# Représentations de groupes de tresses via des revêtements cycliques

Gabrielle Menet

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## To cite this version:

Gabrielle Menet. Représentations de groupes de tresses via des revêtements cycliques. Théorie des groupes [math.GR]. Université de Bordeaux, 2023. Français. NNT: 2023BORD0175. tel-04180358

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THÈSE PRÉSENTÉE

POUR OBTENIR LE GRADE DE

DOCTEURE

DE L'UNIVERSITÉ DE BORDEAUX

ECOLE DOCTORALE MATHEMATIQUES ET
INFORMATIQUE

GEOMETRIE

Par Gabrielle MENET

Représentations de groupes de tresses via des revêtements
cycliques

Sous la direction de : **Vincent KOZIARZ, Duc-Manh NGUYEN**

Soutenue le 03/07/2023

Membres du jury :

<table><tr><td>M. Martin DERAUX</td><td>Maître de conférences</td><td>Université Grenoble Alpes</td><td>Rapporteur</td></tr><tr><td>M. Vincent KOZIARZ</td><td>Professeur des Universités</td><td>Université de Bordeaux</td><td>Directeur</td></tr><tr><td>M. Julien MARCHE</td><td>Professeur des Universités</td><td>Université Sorbonne</td><td>Rapporteur</td></tr><tr><td>M. Duc-Manh NGUYEN</td><td>Maître de conférences</td><td>Université de Bordeaux</td><td>Directeur</td></tr><tr><td>Mme Jasmin RAISSY</td><td>Professeure des universités</td><td>Université de Bordeaux</td><td>Examinateur</td></tr><tr><td>M. Anton ZORICH</td><td>Professeur des universités</td><td>Université Paris Cité</td><td>Président du jury</td></tr></table>
# Représentations de groupes de tresses via des revêtements cycliques

## Résumé

Les groupes de tresses sont des objets omniprésents dans plusieurs branches des thématiques modernes : topologie, théorie géométrique des groupes, combinatoire, théorie des nombres... Comprendre les différentes facettes de ces groupes est un thème récurrent dans la littérature qui est toujours d'actualité. Dans les années 80 et 90, Deligne-Mostow puis Thurston, par deux approches différentes, ont découvert des représentations de $B_n$, le groupe de tresses à $n$ brins, d'image dans $U(n - 2, 1)$, dont certaines ont pour image des sous-groupes discrets de co-volume fini (de tels sous-groupes sont appelés réseaux) de $U(n - 2, 1)$. Pendant longtemps, ces sous-groupes ont été les seuls exemples connus de réseaux non-arithmétiques de $U(n - 2, 1)$. Dans un article plus récent, en utilisant des revêtements cycliques ramifiés au-dessus de $n + 1$ points de la sphère, McMullen construit des familles de représentations du groupe de tresses $B_n$ dans des groupes $U(r, s)$ avec différentes signatures $(r, s)$. Il retrouve ainsi certains réseaux de Deligne-Mostow comme cas particuliers.

Nous avons généralisé les constructions de McMullen, et obtenu de nouvelles représentations de groupes de tresses pures dans des groupes unitaires $U(r, s)$. Pour cela, nous avons utilisé une surface de Riemann compacte, notée $\hat{X}$, obtenue à partir de l'équation $y^d = \prod_{i=1}^n (x - b_i)^{k_i}$, où $n, d \in \mathbb{N}^*$, $b_1, \dots, b_n \in \mathbb{C}$ sont deux à deux distincts, et $k_1, \dots, k_n \in \mathbb{N}^*$. Le cas de McMullen est celui pour lequel $k_i = 1$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$. Cette surface $\hat{X}$ est un revêtement cyclique au dessus de la sphère de Riemann, ramifié au dessus des points $b_i$ et éventuellement de l'infini.

Il existe un morphisme du groupe de tresses pures à $n$ brins, noté $PB_n$, à valeurs dans $\text{Mod}(\hat{X})$, qui associe à chaque tresse pure la classe d'homotopie de l'un de ses relevés, qui est un homéomorphisme de $\hat{X}$ commutant avec l'action de $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$.

L'action de $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ sur la cohomologie de $\hat{X}$ se décompose en sous-espaces propres pour des valeurs propres qui sont des racines $d$-èmes de l'unité. En considérant l'action des relevés sur chaque sous-espace propre, on obtient des représentations linéaires de $PB_n$, qui sont unitaires par rapport à la restriction de la forme d'intersection au sous-espaces propres en question. Notre étude repose en partie sur l'utilisation de suites de Mayer-Vietoris, nous permettant de faire des liens entre le cas de McMullen et notre cas généralisé. L'action de n'importe quelle tresse de $PB_n$ peut ensuite être explicitée. Nous avons aussi montré que les représentations obtenues sont irréductibles, et que les images de certaines d'entre elles sont Zariski denses dans des groupes unitaires.

**Mots clés :** Groupes de tresses, Représentations, Revêtement cycliques
# Representations of braid groups using cyclic covers

## Abstract

Braid groups are ubiquitous objects in several branches of modern mathematics : topology, geometric group theory, combinatorics, number theory... Understanding the different facets of these groups is a recurrent theme in the literature that remains more relevant than ever. In the 1980s and 1990s, Deligne-Mostow and then Thurston, using two different approaches, discovered representations of $B_n$, the $n$-stranded braid group, with image in $U(n-2, 1)$, some of which have as image discrete subgroups of finite co-volume (such subgroups are called lattices) of $U(n-2, 1)$. For a long time, these subgroups were the only known examples of non-arithmetic lattices of $U(n-2, 1)$. In a more recent paper, using cyclic coverings branched over $n+1$ points of the sphere, McMullen constructs families of representations of the braid group $B_n$ in $U(r, s)$-groups with different signatures $(r, s)$. He thus finds some Deligne-Mostow lattices as special cases.

We generalize McMullen’s constructions, and obtain new representations of pure braid groups in unitary groups $U(r, s)$. For this purpose, we use a compact Riemann surface, denoted $\hat{X}$, obtained from the equation $y^d = \prod_{i=1}^n (x-b_i)^{k_i}$, where $n, d \in \mathbb{N}^*$, $b_1, \dots, b_n \in \mathbb{C}$ are two distinct, and $k_1, \dots, k_n \in \mathbb{N}^*$. The McMullen case is the one for which $k_i = 1$ for all $i \in \{1, \dots, n\}$. This surface $\hat{X}$ is a cyclic covering over the Riemann sphere, branched over the points $b_i$ and possibly infinity.

There is a morphism of the $n$-stranded pure braid group, denoted $PB_n$, with values in $\mathrm{Mod}(\hat{X})$, which associates to each pure braid the homotopy class of one of its statements, which is a homeomorphism of $\hat{X}$ commutating with the action of $Z/d\mathbb{Z}$.

The action of $Z/d\mathbb{Z}$ on the cohomology of $\hat{X}$ is decomposed into eigenspaces for eigenvalues which are $d$-roots of unity. Considering the action of the lifts on each eigensubspace, we obtain linear representations of $PB_n$, which are unitary with respect to the restriction of the intersection form to the egenspace under consideration. Our study relies in part on the use of Mayer-Vietoris sequences, allowing us to make connections between the McMullen case and our generalized case. The action of any braid of $PB_n$ can then be made explicit. We also show that the obtained representations are irreducible, and that the images of some of them are Zariski dense in a unitary group.

**Keywords :** Braid group, Representations, Cyclic covers

Institut de Mathématiques de Bordeaux
Université de Bordeaux
351 cours de la libération
33405 Talence cedex, France
Remerciements

Je tiens à remercier tout particulièrement mes directeurs de thèses, Duc-Manh Nguyen et Vincent Koziarz, pour l'encadrement de mes travaux de recherches, avec patience et rigueur. Ils m'ont partagé leurs savoirs et leurs idées, se rendant toujours disponibles. Merci à eux pour les nombreuses relectures de mon manuscrit.

Un grand merci à Martin Deraux et à Julien Marché, les rapporteurs de ma thèse, pour leur lecture attentive de mon travail, ainsi que pour leurs retours qui ont largement contribué à l'amélioration de mon manuscrit.

Je tiens également à remercier chaleureusement Anton Zorich et Jasmin Raissy, qui ont accepté d'être dans mon jury de thèse.
# Table des matières

<table><thead><tr><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>Introduction</td><td>10</td></tr><tr><td>1.1</td><td>Contexte et motivations</td><td>10</td></tr><tr><td>1.2</td><td>Résultats principaux</td><td>11</td></tr><tr><td>1.3</td><td>Méthodes de démonstration</td><td>14</td></tr><tr><td>1.4</td><td>Conclusion</td><td>16</td></tr><tr><td>2</td><td>Pré-requis sur les groupes de tresses et le travail de McMullen</td><td>18</td></tr><tr><td>2.1</td><td>Le groupe de tresses à n brins B<sub>n</sub></td><td>18</td></tr><tr><td>2.1.1</td><td>Définition topologique et présentation finie de B<sub>n</sub></td><td>18</td></tr><tr><td>2.1.2</td><td>Le sous-groupe des tresses pures PB<sub>n</sub> à n brins</td><td>22</td></tr><tr><td>2.1.3</td><td>Groupes de tresses et groupes modulaires</td><td>23</td></tr><tr><td>2.2</td><td>Les représentations de McMullen</td><td>26</td></tr><tr><td>2.2.1</td><td>La construction de Ŷ et des représentations</td><td>26</td></tr><tr><td>2.2.2</td><td>Quelques résultats de McMullen</td><td>27</td></tr><tr><td>3</td><td>Interprétation en homologie des résultats de McMullen</td><td>34</td></tr><tr><td>3.1</td><td>Les formes d'intersections en cohomologie et en homologie</td><td>35</td></tr><tr><td>3.1.1</td><td>La forme d'intersection ⟨ ; ⟩ sur H<sup>1</sup>(ŷ)</td><td>35</td></tr><tr><td>3.1.2</td><td>La forme d'intersection int sur H<sub>1</sub>(ŷ)</td><td>36</td></tr><tr><td>3.1.3</td><td>Lien entre les formes d'intersections en homologie et en cohomologie</td><td>37</td></tr><tr><td>3.2</td><td>Construction de g<sub>1</sub> générateur de H<sub>c</sub><sup>1</sup>(Y<sub>1</sub>)<sub>q</sub> dans le cas n = 2</td><td>40</td></tr><tr><td>3.2.1</td><td>Construction et première étude de c<sub>1</sub></td><td>41</td></tr><tr><td>3.2.2</td><td>Le cas q ≠ -1</td><td>41</td></tr><tr><td>3.2.3</td><td>Le cas q = -1, construction d'un générateur de H<sub>c</sub><sup>1</sup>(∂Y<sub>1</sub>)<sub>-1</sub></td><td>45</td></tr><tr><td>3.3</td><td>Construction des éléments g<sub>1</sub>, ..., g<sub>n</sub> pour n via l'homologie pour un n quelconque</td><td>48</td></tr><tr><td>3.3.1</td><td>Construction et première étude de c<sub>1</sub>, ..., c<sub>n</sub></td><td>48</td></tr><tr><td>3.3.2</td><td>Construction de g<sub>i</sub> comme dual d'un multiple de c<sub>i</sub></td><td>49</td></tr><tr><td>3.3.3</td><td>Relations en homologie</td><td>51</td></tr><tr><td>4</td><td>Généralisation de la construction du revêtement Ŷ</td><td>54</td></tr><tr><td>4.1</td><td>Construction de la surface Ŷ</td><td>54</td></tr><tr><td>4.1.1</td><td>Séparation des branches au voisinage des (b<sub>i</sub>, 0)</td><td>55</td></tr><tr><td>4.1.2</td><td>Séparation des branches sur un voisinage de ∞</td><td>56</td></tr><tr><td>4.1.3</td><td>Finalisation de la construction de Ŷ</td><td>58</td></tr><tr><td>4.2</td><td>Genre de Ŷ et condition de connexité de Ŷ</td><td>59</td></tr><tr><td>4.2.1</td><td>Étude du genre g de Ŷ</td><td>59</td></tr><tr><td>4.2.2</td><td>Connexité de Ŷ</td><td>60</td></tr></tbody></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>10.1.2</td>
      <td>Indépendance entre l'action d'une tresse et le choix de son câblage</td>
      <td>134</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.2</td>
      <td>Action d'un twist de Dehn sur un disque contenant un ensemble de points indexés successivement</td>
      <td>136</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>11</b></td>
      <td><b>Densité de Zariski des représentations ρ<sub>q</sub></b></td>
      <td><b>142</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.1</td>
      <td>Outils préparant la récurrence</td>
      <td>142</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.2</td>
      <td>Initialisation au rang 2</td>
      <td>145</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.2.1</td>
      <td>Action de SU(1, 1) ≃ SL(2, R) sur P<sup>1</sup><sub>C</sub></td>
      <td>145</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.2.2</td>
      <td>Élimination des cas où G<sup>0</sup><sub>2</sub> est isomorphe à un sous-groupe strict de SL(2, R)</td>
      <td>147</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3</td>
      <td>Récurrence</td>
      <td>150</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
# Chapitre 1

## Introduction

### 1.1 Contexte et motivations

Dans cette thèse, nous construisons des représentations de groupes de tresses dans des groupes unitaires. Rappelons brièvement la définition des groupes de tresses. Pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $b_1, \dots, b_n$ deux points complexes deux à deux distincts, une tresse à $n$ brins est la donnée de $n$ chemins $\gamma_i : [0, 1] \to \mathbb{C} \times [0, 1]$, tels que :

$$ \text{— } \forall i \in \{1, \dots, n\}, \gamma_i(0) = (b_i, 0) $$

$$ \text{— } \forall i, j \in \{1, \dots, n\}, \forall t \in [0, 1], \gamma_i(t) \neq \gamma_j(t) \text{ si } i \neq j $$

$$ \text{— il existe une permutation } \sigma \in \mathfrak{S}_n \text{ telle que : } \forall i \in \{1, \dots, n\}, \gamma_i(1) = (b_{\sigma(i)}, 1). $$

L'ensemble des classes d'homotopies des tresses à $n$ brins, muni de la concaténation, forme un groupe, non abélien si $n \ge 3$, noté $B_n$ et appelé le groupe de tresses à $n$ brins. Les groupes de tresses apparaissent dans de nombreuses branches des mathématiques et ont des applications dans plusieurs domaines scientifiques comme la physique ou l'informationique. Ils sont étudiés depuis le début du XXème siècle. Dans le chapitre 2, nous présenterons les principaux résultats connus sur les tresses et dont nous aurons besoin par la suite. Nous introduirons également le sous-groupe de tresses pures à $n$-brins, noté $PB_n$, qui se compose des tresses associées à la permutation identité.

Dans la littérature, on trouve de nombreux exemples de représentations unitaires de groupes de tresses, parmi les plus connues on peut citer les représentations de Burau [Bur36] ou encore celles de Deligne-Mostow [DM86]. En particulier, les images de certaines représentations de Deligne-Mostow ont donné, dans les années 80, des exemples de réseaux non arithmétiques dans $PU(n, 1)$. En 2013, dans son article [McM13] McMullen construit des représentations de groupes de tresses dans des groupes unitaires en utilisant des revêtements cycliques au dessus de la sphère de Riemann, obtenus à partir de courbes algébriques de la forme $y^d = \prod_{i=1}^n (x - b_i)$ où $n, d \in \mathbb{N}^*$ et les $b_i$ sont des complexes deux à deux distincts. Nous généralisons cette construction et obtenons d'autres représentations des groupes de tresses pures dans des groupes unitaires. Pour cela, nous considérons des équations de la forme $y^d = \prod_{i=1}^n (x - b_i)^{k_i}$ avec des exposants $k_i$ non nécessairement égaux à 1. On retrouve en particulier les représentations de Deligne-Mostow, et on étend l'étude aux représentations dont l'image est dans $PU(r, s)$ avec $r, s \ge 2$.

Nous présenterons plus en détail les constructions de McMullen, dans la partie 2.2, dont on fait ici un court résumé : McMullen considère une courbe algébrique $y^d = \prod_{i=1}^n (x - b_i)$, où $n, d \in \mathbb{N}^*$ et $b_1, \dots, b_n$ sont des points complexes deux à deux distincts. Par un procédé de normalisation standard, il obtient à partir de cette courbe algébrique, une
surface de Riemann compacte notée $\hat{Y}$, qui est également un revêtement cyclique au-dessus de la sphère de Riemann, de degré $d$, ramifié au dessus des $b_i$ et éventuellement au dessus de $\infty$. En considérant les tresses de $B_n$ comme des homéomorphismes de la sphère, McMullen relève les tresses de $B_n$ en des éléments de Mod($\hat{Y}$), commutant avec un certain automorphisme $T_{\hat{Y}}$ de la surface $\hat{Y}$. Une tresse $\tau \in B_n$ est ainsi associée à un unique relevé $\tilde{\tau} \in \text{Mod}(\hat{Y})$. En passant à la cohomologie de de Rahm de $\hat{Y}$ et en considérant les sous-espaces propres de $T_{\hat{Y}}^*$ associées à une valeur propre $q \neq 1$, notés $H^1(\hat{Y})_q$, on peut voir que $\tilde{\tau}^*$ préserve les $H^1(\hat{Y})_q$ et finalement, McMullen obtient des représentations $\rho_q : B_n \to U(H^1(\hat{Y})_q)$, où $U(H^1(\hat{Y})_q)$ est le groupe unitaire pour la forme hermitienne induite par la forme d'intersection. On généralise cette construction en considérant cette fois des courbes algébriques de la forme $y^d = \prod_{i=1}^n (x - b_i)^{k_i}$, où $k_1, \dots, k_n \in \mathbb{N}^*$. Les points marqués $b_1, \dots, b_n$ ne jouent alors plus des rôles symétriques, ce qui a des conséquences directes sur la construction du revêtement cyclique, ainsi que sur les méthodes de démonstrations mises en place pour obtenir nos résultats.

## 1.2 Résultats principaux

Considérons une courbe algébrique de la forme $y^d = \prod_{i=1}^n (x - b_i)^{k_i}$ où $k_1, \dots, k_n \in \mathbb{N}^*$. La normalisation d'une telle courbe permet d'obtenir une surface de Riemann compacte, notée $\hat{X}$. On verra les détails de cette construction dans le chapitre 4, où on montrera également que $\hat{X}$ est un revêtement cyclique de degré $d$ au dessus de la sphère de Riemann, ramifié au dessus des points $b_i$, et éventuellement au dessus de $\infty$. Pour que $\hat{X}$ soit connexe, il nous faut imposer la condition suivante : $\text{pgcd}(k_1, \dots, k_n, d) = 1$, dont on parlera plus en détail dans le chapitre 4. Sauf précision contraire, on supposera maintenant que $\hat{X}$ est connexe. On note $T$ un automorphisme de $\hat{X}$ permutant cycliquement les pré-images de n'importe quel point de $\hat{\mathbb{C}}$, vérifiant donc $T^d = \text{Id}_{\hat{X}}$. Soit $k \in \{1, \dots, d-1\}$ et $q = e^{-k \frac{2i\pi}{d}}$ une racine $d$-ième de l'unité, différente de 1. En passant à la cohomologie de de Rham de $\hat{X}$, on peut considérer le sous-espace propre de $T^*$, associé à la valeur propre $q$, que l'on note $H^1(\hat{X})_q$. On définit la forme d'intersection $\langle ; \rangle$ sur $H^1(\hat{X})$ de la façon suivante :

$$ \forall \eta, \mu \in H^1(\hat{X}), \quad \langle \eta ; \mu \rangle = \frac{i}{2} \int_{\hat{X}} \eta \wedge \bar{\mu}. $$

On peut restreindre cette forme d'intersection à $H^1(\hat{X})_q$, on énonce alors le théorème suivant, qui généralise les corollaires 3.2 et 3.3 de l'article [McM13] de McMullen :

**Théorème 1.** En notant $k_0 = \sum_{i=1}^n k_i$ et $F_q = \{i \in \{0, \dots, n\} \mid q^{e_i} = 1\}$ où $e_i = \text{pgcd}(k_i, d)$, la dimension de $H^1(\hat{X})_q$ est donnée par :

$$ \dim(H^1(\hat{X})_q) = n - 1 - \#F_q. $$

La forme d'intersection sur $H^1(\hat{X})_q$ est non dégénérée et a pour signature :

$$ (r_q, s_q) = \left( \lfloor \frac{k_0 k}{d} \rfloor - \sum_{i=1}^{n} \lfloor \frac{k_i k}{d} \rfloor - \varepsilon_0, \lfloor k_0 (1 - \frac{k}{d}) \rfloor - \sum_{i=1}^{n} \lfloor k_i (1 - \frac{k}{d}) \rfloor - \varepsilon_0 \right) $$

où $\varepsilon_0 = 0$ si $q^{e_0} \neq 1$ et $\varepsilon_0 = 1$ sinon.
A l'aide de ces revêtements cycliques, on peut construire sur le même modèle que celui de McMullen des représentations du sous-groupe de tresses pures PB_n dans les groupes unitaires U(H^1(\hat{X})_q) \simeq U(r_q, s_q). Pour cela, on utilise le fait que B_n \simeq \text{Mod}(D, n), où D est un disque contenant les n points marqués b_1, ..., b_n. Concrètement, une tresse est alors vue comme la classe d'homotopie d'un homéomorphisme du disque D, préservant l'ensemble des n points marqués, et coïncidant avec Id sur \partial D. Rappelons qu'une tresse de PB_n fixe identiquement les points marqués. En prolongeant par l'identité une tresse $\tau \in PB_n$ sur $\hat{C}$, on peut s'intéresser à la relever en un élément de Mod(\hat{X}). Toutes les tresses de B_n ne se relèvent pas, par exemple si $e_i > e_{i+1}$, un relevé de la tresse $\tau_i$ ne serait pas correctement défini sur les points au dessus de b_i. Cependant, parmi celles qui se relèvent, on retrouve le sous-groupe PB_n, c'est pourquoi on restreint notre construction à des représentations de PB_n. La mise en œuvre du relèvement des tresses pures utilise la théorie des revêtements et on retrouvera les détails dans le chapitre 5, où on montrera le théorème 5.0.1 qui nous dit qu'il existe un morphisme de groupe $\theta$ de PB_n dans Mod(\hat{X}) qui, à toute tresse $\tau \in PB_n$, associe un relevé $\tilde{\tau}$ qui commute avec T. En considérant les tirés en arrière par ces relevés des tresses de PB_n, on peut ainsi obtenir des éléments de U(H^1(\hat{X})_q) \simeq U(r_q, s_q), ce qui nous donne une représentation notée $\rho_q$.

On souhaite ensuite expliciter l'action des tresses sur $H^1(\hat{X})_q$, pour cela on s'intéresse à l'action de générateurs de $PB_n$. Commençons par rappeler que le groupe de tresses $B_n$ admet une présentation finie, et en particulier est engendré par un nombre fini de tresses notées $\tau_i$ pour $i \in \{1, \dots, n-1\}$. Un élément $\tau_i$ correspond à un demi-twist de Dehn ayant pour support un disque topologique contenant $b_i$ et $b_{i+1}$, mais aucun autre des points marqués. Le sous-groupe de tresses pures $PB_n$ admet aussi une présentation finie, et est engendré par un nombre fini de tresses pures notées $\alpha_{i,j}$ pour $i, j \in \{1, \dots, n\}$ avec $i < j$. Un élément $\alpha_{i,j}$ correspond à un twist de Dehn ayant pour support un disque topologique $D_i$ contenant uniquement les points marqués $b_i$ et $b_j$. En particulier, lorsque $j = i + 1$, le twist $\alpha_{i,j}$ est $\tau_i^2$. Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, on note $X_i$ la pré-image de $D_i$ dans $\hat{X}$. Le support de $\tau_i^2$ est donc $D_i$.

Nous décrivons la représentation $\rho_q$ par l'action des générateurs $\alpha_{i,j}$ de $PB_n$ sur $H^1(\hat{X})_q$, que l'on explicite sur une famille $(g_1, \dots, g_n)$ génératrice de $H^1(\hat{X})_q$. Cette famille est construite au chapitre 7, elle vérifie les propriétés suivantes :

**Théorème 2.** *Il existe une famille génératrice $(g_1, \dots, g_n)$ de $H^1(\hat{X})_q$ telle que, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, $g_i$ est à support compact dans $X_i$, engendre $H_c^1(X_i)_q$ et les valeurs de la forme d'intersection entre les $g_i$ sont :*

$$ - \langle g_i; g_i \rangle = i \frac{\bar{q}(1-q)^2(1-q^{k_i+k_{i+1}})}{(1-q^{k_i})(1-q^{k_{i+1}})} $$

$$ - \langle g_i; g_{i+1} \rangle = -i \frac{\bar{q}(1-q)^2}{1-q^{k_i+1}} $$

$$ - \langle g_i; g_{i-1} \rangle = i \frac{q^{k_i} \bar{q}(1-q)^2}{1-q^{k_i}} $$

$$ - \langle g_i; g_j \rangle = 0 \quad \text{si} \quad |i-j| > 1. $$

$$ \text{De plus : } \sum_{i=1}^{n} g_i = 0 \in H^1(\hat{X})_q. $$

On s'intéresse donc à l'action d'une tresse $\alpha_{i,j}$ de $PB_n$ sur la famille $(g_1, \dots, g_n)$, les formules obtenues nous permettent d'expliciter l'action de $\alpha_{i,j}$ sur $H^1(\hat{X})_q$. On montre alors le théorème suivant :

**Théorème 3.** *Pour tous $i, j \in \{1, \dots, n\}$ tels que $i < j$, l'action de $\alpha_{i,j}$ sur $H^1(\hat{X})_q$ est*
donnée par :

$$
\forall x \in H^1(\hat{X})_q, \quad \tilde{\alpha}_{i,j}^*(x) = x - i \frac{(1-q^{k_i})(1-q^{k_j})}{(1-q)(1-\bar{q})} \langle x; g_i' \rangle g_i'.
$$

$$
où g'_{i} = g_{i} + \sum_{l=i+1}^{j-1} \bar{q}^{\sum_{r=i+1}^{l} k_{r}} g_{l}.
$$

Si de plus, $q^{k_i+k_j} \neq 1$, alors $\alpha_{i,j}$ agit comme une réflexion complexe d'expression :

$$
\forall x \in H^1(\hat{X})_q, \quad \tilde{\alpha}_{i,j}^*(x) = x - (1 - q^{k_i+k_j}) \frac{\langle x; g_i' \rangle}{\langle g_i', g_i' \rangle} g_i'.
$$

Les $\tilde{\alpha}_{i,j}^*$ sont d'ordre fini lorsque $q^{k_i+k_j} \neq 1$ et unipotents sinon.

Plus généralement, pour un twist de Dehn quelconque $\tau_J$, ayant pour support un disque topologique contenant $\{b_j|j \in J\}$ pour $J \subset \{1, \dots, n\}$, on peut exprimer l'action de $\tau_J$ sur la famille $(g_1, \dots, g_n)$ de façon explicite :

**Théorème 4.** Soient $i_0, j_0 \in \{1, \dots, n\}$ tels que $i_0 < j_0$ et $J = \{i_0, \dots, j_0\}$. En notant
$\sigma_i^j = \sum_{l=i}^j k_l$, l'action du twist $\tau_J \in PB_n$ de support un disque contenant les points
marqués $\{b_{i_0}, \dots, b_{j_0}\}$ est donnée par :

$$
\begin{align*}
\tilde{\tau}_J^*(g_{i_0-1}) &= g_{i_0-1} + \sum_{l=i_0}^{j_0-1} (1-q^{\sigma_{l+1}^{j_0}}) g_l \\
\tilde{\tau}_J^*(g_i) &= q^{\sigma_{i_0}^{j_0}} g_i \quad \text{si} \quad i_0 \le i \le j_0 - 1 \\
\tilde{\tau}_J^*(g_{j_0}) &= g_{j_0} + \sum_{l=i_0}^{j_0-1} q^{\sigma_{l+1}^{j_0}} (1-q^{\sigma_{i_0}^l}) g_l \\
\tilde{\tau}_J^*(g_j) &= g_j \quad \text{si} \quad j < i_0 - 1 \text{ ou } j_0 < j
\end{align*}
$$

De plus, $\tilde{\tau}_J^*$ est d'ordre fini si $q^{\sigma_{i_0}^{j_0}} \neq 1$ et unipotent sinon.

Une fois explicitée l'action des tresses de PB$_n$ sur $H^1(\hat{X})_q$, on peut s'intéresser à
l'image de ces représentations dans $U(r_q, s_q)$, on montre en particulier :

**Théorème 5.** Pour tout $q = e^{-\frac{2i\pi k}{d}} \neq 1$, la représentation $\rho_q : PB_n \to U(H^1(\hat{X})_q)$ est irréductible.

On retrouve également certains des résultats de Deligne-Mostow, et en s'inspirant de
leur travail, on montre que :

**Théorème 6.** Pour tout $q = e^{-\frac{2i\pi k}{d}} \neq 1$, en supposant qu'il existe une indexation $(b_1, \dots, b_n)$ des points marqués telle que :

$$
- \text{ pour tout } r \in \{3, \dots, n - \varepsilon_0\}, d \nmid k(k_1 + \dots + k_r)
$$

$$
- 1 < \left\{ \frac{kk_1}{d} \right\} + \left\{ \frac{kk_2}{d} \right\} + \left\{ \frac{kk_3}{d} \right\} < 2 \text{ où pour tout } x \in \mathbb{R}, \{x\} \text{ est la partie fractionnaire de } x
$$

alors la composante neutre de la clôture de Zariski de $\rho_q(PB_n)$ est égale à $SU(H^1(\hat{X})_q)$.
## 1.3 Méthodes de démonstration

Les méthodes utilisées dans l'article [McM13] ne s'appliquent plus dans le cas de la surface $\hat{X}$, car celles-ci reposaient en grande partie sur la symétrie des rôles joués par les points marqués, symétrie que l'on perd en ajoutant les poids $k_i$. On utilise une surface auxiliaire $\hat{Y}$ relevant du cas de McMullen et on applique ensuite des suites de Mayer-Vietoris pour faire le lien entre le cas de McMullen et le nôtre.

Dans un petit voisinage $D'_i$ de chaque $b_i$, on considère $k_i$ points deux à deux distincts, notés $b_{i,1}, \dots, b_{i,k_i}$. Alors la courbe algébrique $y^d = \prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^{k_i} (x-b_{i,j})$ nous permet d'obtenir une surface de Riemann compacte, notée $\hat{Y}$, qui est également un revêtement cyclique de degré $d$ au dessus de la sphère de Riemann, ramifié au dessus des points $b_{i,j}$ et éventuellement au dessus de $\infty$. La surface $\hat{Y}$ est connexe. De même que pour la surface $\hat{X}$, on note $T_{\hat{Y}}$ un automorphisme de $\hat{Y}$ permutant cycliquement les pré-images de n'importe quel point de $\mathring{C}$, vérifiant donc $T_{\hat{Y}}^d = \text{Id}_{\hat{Y}}$, et on note $H^1(\hat{Y})_q$ les sous-espaces propres de $T_{\hat{Y}}^*$ associés chacun à une valeur propre $q$, pour $q \neq 1$ une racine $d$-ième de l'unité.

On définit la forme d'intersection $\langle \cdot ; \cdot \rangle_{\hat{Y}}$ sur $H^1(\hat{Y})_q$ de la façon suivante : $\forall \eta, \mu \in H^1(\hat{Y})_q$,

$$ \langle \eta; \mu \rangle_{\hat{Y}} = \frac{i}{2} \int_{\hat{Y}} \eta \wedge \bar{\mu}. $$

On peut restreindre la forme d'intersection au sous-espace $H^1(\hat{Y})_q$, sur lequel nous pouvons appliquer les principaux résultats de [McM13] présentés dans 2.2. Nous utilisons alors des suites de Mayer-Vietoris pour faire le lien entre ces surfaces.

En notant $X'_i$, respectivement $Y'_i$ les pré-images dans $\hat{X}$, respectivement dans $\hat{Y}$, des disques $D'_i$, on a un homéomorphisme entre les surfaces $\hat{X} \setminus (\cup_{i=1}^n X'_i) \simeq \hat{Y} \setminus (\cup_{i=1}^n Y'_i)$. En notant $X' := \hat{X} \setminus (\cup_{i=1}^n X'_i)$ et $Y' := \hat{Y} \setminus (\cup_{i=1}^n Y'_i)$, on a un isomorphisme $H_c^1(Y')_q \simeq H_c^1(X')_q$. On verra que chaque $X'_i$ est une réunion disjointe de disques, donc $X'$ correspond à $\hat{X}$ privé d'un certain nombre de disques. Pour repasser à la surface $\hat{Y}$, on rebouche ces trous non pas par des disques, mais en y recollant des sous-surfaces connexes. Topologiquement, on peut donc voir $\hat{X}$ comme la surface $\hat{Y}$, privée des pré-images des disques $D'_i$ qui auraient été découpés le long de leurs bords, et rebouchés par des disques. Alors tout élément $\eta \in H^1(\hat{X})_q$ admet un représentant à support compact dans $X'$, qui s'interprète comme un élément de $H_c^1(Y')_q$. On peut ainsi faire un lien entre les formes d'intersections sur $H^1(\hat{Y})_q$ et sur $H^1(\hat{X})_q$. En étendant légèrement les $X'_i$ sur leurs bords, on note $\partial X' = X' \cap (\cup_{i=1}^n X'_i)$, qui est donc un ouvert contenant le bord de $X'$. De la même façon, $\partial Y' \simeq \partial X'$ est un ouvert de $\hat{Y}$, contenant le bord de $Y'$ et vérifiant $\partial Y' = Y' \cap (\cup_{i=1}^n Y'_i)$. On obtient des suites de Mayer-Vietoris :

$$ 0 \to H_c^1(\partial X')_q \to H_c^1(X')_q \to H^1(\hat{X})_q \to H_c^2(\partial X')_q \to \bigoplus_{i=1}^n H_c^2(X'_i)_q \to 0 $$

$$ 0 \to H_c^1(\partial Y')_q \to H_c^1(Y')_q \oplus (\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q) \to H^1(\hat{Y})_q \to H_c^1(\partial Y')_q \to 0. $$

Comme $H_c^1(Y')_q \simeq H_c^1(X')_q$, on peut, via ces suites, déterminer la dimension de $H^1(\hat{X})_q$ et la signature de la forme d'intersection $\langle \cdot ; \cdot \rangle$ sur $H^1(\hat{X})_q$, on obtient alors le théorème 1. Les détails se trouvent dans les démonstrations des théorèmes 6.0.1 et 6.0.2.

Nous supposerons à partir de là que $q^{k_i} \neq 1$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$. Nous verrons alors, avec des suites de Mayer-Vietoris, que $H^1(\hat{Y})_q$ s'écrit comme une somme directe orthogonale $H_c^1(Y')_q \oplus (\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q)$. Nous aurons également un isomorphisme
$H_c^1(Y')_q \simeq H_c^1(X')_q \simeq H^1(\hat{X})_q$. On peut alors introduire une application surjective, notée $\phi_{\hat{X}}$ qui correspond à la composition de la projection orthogonale de $H^1(\hat{Y})_q$ sur $H_c^1(Y')_q$ et l'identification $H_c^1(Y')_q \simeq H_c^1(X')_q \simeq H^1(\hat{X})_q$ :

$$ \phi_{\hat{X}} : H^1(\hat{Y})_q \to H^1(\hat{X})_q. $$

Cette application exprime le lien entre les espaces $H^1(\hat{Y})_q$ et $H^1(\hat{X})_q$. D'après l'article [McM13], on peut expliciter une famille génératrice $(g_{i,j}|i \in \{1, \dots, n\}, j \in \{1, \dots, k_i\})$ qui engendre $H^1(\hat{Y})_q$, sur laquelle les valeurs de la forme d'intersection $\langle; \rangle_{\hat{Y}}$ sont connues. En particulier, la projection orthogonale des générateurs $g_{i,j}$ de $H^1(\hat{Y})_q$ sur $H_c^1(Y')_q$ donne une famille génératrice de $H_c^1(Y')_q$. On verra que $H_c^1(Y'_i)_q$ est engendré par les éléments $(g_{i,1}, \dots, g_{i,k_{i-1}})$, ainsi, les seuls générateurs $g_{i,j}$ dont l'image est non nulle par la projection orthogonale sur $H_c^1(Y')_q$ sont les $g_{i,k_i}$ pour $i \in \{1, \dots, n\}$. On peut alors définir, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ :

$$ g_i := \phi_{\hat{X}}(g_{i,k_i}). $$

L'image de la famille génératrice $(g_{i,j}|i \in \{1, \dots, n\}, j \in \{1, \dots, k_i\})$ par $\phi_{\hat{X}}$ nous permet d'obtenir une famille $(g_1, \dots, g_n)$ engendrant $H^1(\hat{X})_q$, et vérifiant le théorème 2.

On s'intéresse à l'action des générateurs de $PB_n$ sur $H^1(\hat{X})_q$, que l'on détermine en étudiant l'action de ces générateurs sur la famille $(g_1, \dots, g_n)$ du théorème 2. On traite d'abord le cas des $\alpha_{i,i+1}$, qui sont donc des $\tau_i^2$. On montre ensuite qu'en ré-indexant les points marqués, n'importe quel $\alpha_{i,j}$ correspond, dans une certaine indexation, à un $\tau_i^2$ dont la formule est connue. L'indexation des points marqués est directement liée à la construction de la famille génératrice du théorème 2, aussi introduire une nouvelle indexation conduit à la construction d'une nouvelle famille génératrice. En explicitant le passage d'une famille à l'autre, on est alors en mesure d'expliciter l'action de tous les générateurs $\alpha_{i,j}$ sur une même famille génératrice de $H^1(\hat{X})_q$.

Commençons par expliquer le raisonnement pour déterminer l'action des $\alpha_{i,i+1} = \tau_i^2$. Les formules s'obtiennent dans ce cas en faisant le lien entre l'action d'une tresse $\tau \in PB_n$ sur $H^1(\hat{X})_q$, et l'action d'une tresse $\mathcal{T} \in B_{k_0}$ sur $H^1(\hat{Y})_q$, avec $k_0 = \sum_{i=1}^n k_i$.

On est amenés à considérer le groupe de tresses $B_{k_0}$, et pour éviter toute confusion avec les générateurs de $B_n$, on va noter $\sigma_{i,j}$ le générateur de $B_{k_0}$ correspondant au demi-twist ayant pour support un disque topologique $D_{i,j}$ contenant les points marqués $b_{i,j}$ et $b_{i,j+1}$ si $j \neq k_i$, ou les points marqués $b_{i,k_i}$ et $b_{i+1,1}$ sinon. Rappelons que, par les résultats de [McM13], l'action des $\sigma_{i,j}$ sur la famille $(g_{i,j}|i \in \{1, \dots, n\}, j \in \{1, \dots, k_i\})$ est explicite. On peut donc déterminer l'action de n'importe quelle tresse de $B_{k_0}$ sur les $g_{i,j}$, en utilisant son écriture comme un mot des $\sigma_{i,j}$.

Pour établir le lien entre une tresse de $PB_n$ et une tresse de $B_{k_0}$, nous introduisons la notion de câblage, qui consiste à séparer le brin issu de $b_i$ en $k_i$ nouveaux brins issus respectivement des $b_{i,j}$. On montre que, pour $\tau \in PB_n$ et $\mathcal{T} \in B_{k_0}$ son câblage :

$$ \forall i \in \{1, \dots, n\}, \quad \tilde{\tau}^*(g_i) = \phi_{\hat{X}}(\tilde{\mathcal{T}}^*(g_{i,k_i})). $$

En explicitant le câblage $\mathcal{T}_i$ des tresses $\tau_i^2$ comme un mot des $\sigma_{i,j}$, et en projetant via $\phi_{\hat{X}}$ les éléments $\tilde{\mathcal{T}}_i^*(g_{i,k_i})$, on détermine explicitement l'action des tresses $\tau_i^2$ sur la famille $(g_1, \dots, g_n)$, et finalement on trouve les formules du théorème 3 dans le cas des $\alpha_{i,i+1}$.

**Remarque :**

* On utilise la même méthode pour exprimer l'action d'un twist de Dehn quelconque sur la famille $(g_1, \dots, g_n)$, qui nous donne alors le théorème 4.
• L'expression explicite des $\tau_i^2$ permet de montrer, par un calcul direct, que les représentations que nous obtenons sont irréductibles.

Pour généraliser ce résultat aux $\alpha_{i,j}$ pour $j \neq i + 1$, il nous faut remarquer que $\alpha_{i,j}$ correspond à un twist de Dehn sur un disque contenant les points marqués $b_i$ et $b_j$, alors en renommant $b'_1, \dots, b'_n$ les points marqués, de sorte que $b'_i = b_i$ et $b'_{i+1} = b_j$, on obtient une nouvelle indexation dans laquelle $\alpha_{i,j}$ correspond maintenant à un $\tau_i^2$. Cependant, l'ordre d'indexation des points marqués détermine la famille génératrice du théorème 2, il faut donc trouver le lien entre la famille génératrice $(g_1, \dots, g_n)$ obtenue par l'indexation initiale et la famille $(g'_1, \dots, g'_n)$ obtenue par l'indexation adaptée pour voir $\alpha_{i,j}$ comme un $\tau_i^2$. Pour cela, on utilise un point de vue homologique. Dans un premier temps, dans le chapitre 3, on interprète les résultats de McMullen en homologie, on commence donc par traduire ses résultats sur les générateurs $(g_{i,j}|i \in \{1, \dots, n\}, j \in \{1, \dots, k_i\})$ de $H^1(\hat{Y})_q$: pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, notons $c_{i,j}$ un chemin de $b_{i,j}$ à $b_{i,j+1}$ si $j \neq k_i$, et de $b_{i,j}$ à $b_{i+1,1}$ sinon, de sorte que le chemin concatené $c_{1,1} \cdots c_{n,k_n}$ forme le bord d'un disque. On note $c_{i,j}^0, \dots, c_{i,j}^{d-1}$ les $d$ relevés de chaque $c_{i,j}$ sur $\hat{Y}$ indexés convenablement, et $c_{i,j}$ la 1-chaîne $c_{i,j} = \sum_{m=0}^{d-1} q^m c_{i,j}^m$. Alors en notant $g_{i,j}$ le dual de Poincaré de $2\frac{\sqrt{1-\mathrm{Re}(q)}}{\sqrt{d}}c_{i,j}$, la famille $(g_{1,1}, \dots, g_{n,k_n})$ vérifie le résultat de McMullen, c'est-à-dire que $(g_{1,1}, \dots, g_{n,k_n})$ engendre $H^1(\hat{Y})_q$ et pour tous $i \in \{1, \dots, n\}, j \in \{1, \dots, k_i\}: g_{i,j}$ engendre $H_c^1(Y_{i,j})_q$ et

$$ \langle g_{i,j}, g_{l,m} \rangle = \begin{cases} \iota(1 - \bar{q}) & \text{si } (l,m) = (i, j + 1) \text{ si } j \neq k_i, \text{ ou } (l,m) = (i + 1, 1) \text{ si } j = k_i \\ 2 \operatorname{Im}(q) & \text{si } (l,m) = (i, j) \\ -\iota(1 - q) & \text{si } (l,m) = (i, j - 1) \text{ si } j \neq 1, \text{ ou } (l,m) = (i - 1, k_{i-1}) \text{ si } j = 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$

Dans un second temps, au chapitre 7, on utilise le point de vue en homologie présenté au chapitre 3 pour trouver des relations entre des familles génératrices. Pour deux indexations différentes $(b_1, \dots, b_n)$ et $(b'_1, \dots, b'_n)$ des points marqués, on obtient deux collections de chemins $c_{i,j}$ et $c'_{i,j}$. L'étude des relations en homologie entre les chemins relevant les $c_{i,j}$ et ceux relevant les $c'_{i,j}$, donnent finalement des relations entre les $c_{i,j}$ et $c'_{i,j}$, puis entre leur duaux de Poincaré et donc entre les $g_{i,j}$ et les $g'_{i,j}$, les générateurs de $H^1(\hat{Y})_q$ de McMullen construits respectivement pour ces deux indexations. En projetant ces relations sur $H^1(\hat{X})_q$ on obtient des relations entre les familles $(g_1, \dots, g_n)$ et $(g'_1, \dots, g'_n)$. On peut alors déterminer l'action de $\alpha_{i,j}$ sur la famille $(g_1, \dots, g_n)$ et enfin sur tout élément de $H^1(\hat{X})_q$.

En s'intéressant ensuite à l'image de ces représentations, on remarquera que pour tout $\tau \in PB_n$, $\det(\rho_q(\tau))$ est toujours une racine $d$-ième de l'unité. Par conséquent, la composante neutre de la clôture de Zariski de $\rho_q(PB_n)$ est incluse dans $SU(r_q, s_q)$. On montrera par un argument de récurrence que, sous les conditions du théorème 6, la composante neutre de la clôture de Zariski de chacune de ces représentations est égale à $SU(r_q, s_q)$.

## 1.4 Conclusion

Notre travail permet donc d'obtenir des représentations des groupes de tresses pures à l'aide d'outils géométriques, en généralisant le travail de McMullen. Parmi les représentations obtenues on retrouve en particulier celles de Deligne-Mostow, pour $q = e^{-\frac{2i\pi}{2}}$ et avec
les paramètres $\mu_s = \frac{k_s}{d}$ pour $s \in \{1, \dots, n\}$, et $k_1 + \dots + k_n = 2d$. Nous avons commencé à étendre leurs résultats dans notre cas, avec l'étude de la densité de Zariski des images de nos représentations dans $U(r_q, s_q)$ – dans le cadre des hypothèses du théorème 6.

Dans son article [McM13], McMullen s'était demandé si les images de ses représentations étaient commensurables à des sous-groupes arithmétiques. Il serait intéressant de se poser la question pour nos représentations.

Dans une autre mesure, il serait intéressant de voir si nos résultats permettent de généraliser les résultats de Venkataramana dans ses articles [Ven14a] et [Ven14b], en y apportant également un point de vue plus géométrique.
# Chapitre 2

## Pré-requis sur les groupes de tresses et
le travail de McMullen

Dans cette partie, nous rappellerons rapidement ce qu'est un groupe de tresses, ce qui nous permettra également d'introduire quelques notations et points de vue sur le groupe de tresses à $n$ brins, où $n$ est un entier naturel non nul. Dans un deuxième temps, nous donnerons un bref aperçu du travail de McMullen [McM13] que nous généralisons dans cette thèse. Cela consiste essentiellement en la construction de représentations du groupe de tresses à $n$-brins dans un groupe unitaire par des moyens géométriques. Nous expliquons les grandes lignes de cette construction ainsi que le rôle d'une surface particulière $\hat{Y}$ que nous définirons, et dont nous présenterons certaines propriétés.

### 2.1 Le groupe de tresses à $n$ brins $B_n$

Nous présentons dans cette partie le groupe de tresses à $n$ brins noté $B_n$, avec $n \in \mathbb{N}^*$, ainsi que son sous-groupe $PB_n$ composé des tresses pures de $B_n$. Les résultats de cette partie sont classiques, on les retrouve principalement dans le livre [FM11]. De fait, certaines démonstrations seront omises.

Commençons par définir le groupe de tresses à $n$ brins.

#### 2.1.1 Définition topologique et présentation finie de $B_n$

Soit $n \in \mathbb{N}^*$, on donne une première définition topologique du groupe de tresses à $n$ brins. Fixons $n$ points $b_1, \dots, b_n \in \mathbb{C}$ deux à deux distincts, on notera $D$ un disque ouvert contenant l'ensemble des $n$ points marqués $B := \{b_1, \dots, b_n\}$. On peut définir une tresse à $n$ brins par la donnée de $n$ chemins $\gamma_i : [0, 1] \to \mathbb{C} \times [0, 1]$ pour $i \in \{1, \dots, n\}$, vérifiant les points suivants :

- $\forall i, j \in \{1, \dots, n\}, \forall t \in [0, 1], \gamma_i(t) \neq \gamma_j(t) \text{ si } i \neq j$.

- $\forall i \in \{1, \dots, n\}, \gamma_i(0) = (b_i, 0)$

- $\forall i \in \{1, \dots, n\}, \gamma_i(1) \in \{b_0, \dots, b_n\} \times \{1\}$. Autrement dit, on peut associer à une tresse une permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ telle que $\gamma_i(1) = (b_{\sigma(i)}, 1)$.

On peut représenter graphiquement les tresses dans $\mathbb{R}^3$, ou encore dans $\mathbb{R}^2$ comme dans la figure ci-dessous 2.1.

On note $B_n$ l'ensemble des tresses à $n$ brins quotienté par homotopie. Remarquons alors que deux graphiques peuvent représenter la même tresse dans $B_n$ comme sur le
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 2.1 – Représentation graphique d'une tresse de $B_4$ dans $\mathbb{R}^3$ et dans $\mathbb{R}^2$</figcaption></figure>

dessin 2.2. Les brins doivent garder le même point de départ et d'arrivée, mais peuvent se déplacer visuellement sur $\mathbb{R} \times [0, 1]$ à partir du moment où ils restent dans le même ordre de superposition :

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2.2 – Deux tresses équivalentes par homotopie</figcaption></figure>

Pour simplifier les notations, on confondra une tresse et sa classe d'homotopie, ainsi, lorsqu'on parlera d'une tresse, on sous-entendra un élément de $B_n$. Muni de la concaténation des chemins, $B_n$ dispose d'une structure de groupe non abélien. Pour deux tresses $\tau, \tau' \in B_n$, l'élément $\tau\tau'$ est la tresse définie par :

$$ \tau\tau'(t) = \begin{cases} \tau'(2t) & \text{si } t \in [0, \frac{1}{2}] \\ \tau(2t-1) & \text{si } t \in [\frac{1}{2}, 1]. \end{cases} $$

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 2.3 – Concaténation $\tau\tau'$ de deux tresses $\tau$ et $\tau'$ de $B_3$</figcaption></figure>

L'élément neutre pour la concaténation de chemins à $n$ brins, noté $\text{Id}$, est la tresse à $n$ brins droits, c'est-à-dire ne réalisant aucun croisement entre eux. L'inverse d'une tresse
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 2.4 – La tresse identité dans $B_3$ et l'inverse d'une tresse $\alpha \in B_3$</figcaption></figure>

se représente par son symétrique par rapport à l'axe horizontal. On illustre, pour $n = 3$, la tresse identité et l'inverse d'une tresse de $B_3$ sur la figure 2.4.

Le groupe de tresses $B_n$ est engendré par les $n-1$ tresses échangeant seulement deux brins successifs, on note $\tau_1, \dots, \tau_{n-1}$ ces tresses : pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, la tresse $\tau_i$ fait passer le $(i+1)$-ème brin au-dessus du $i$-ème brin comme dans l'illustration ci-dessous.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 2.5 – Le croisement des $i$-ème et $i+1$-ème brins de la tresse $\tau_i$</figcaption></figure>

Chaque tresse de $B_n$ peut s'écrire comme un mot en les $\tau_i$ et leurs inverses. On a vu que deux graphiques peuvent représenter une même tresse, de la même façon, l'écriture d'une tresse comme un mot en les $\tau_i$ et $\tau_i^{-1}$ n'est pas unique. D'après [Art47], on dispose pour $B_n$ d'une présentation finie : le groupe de tresses à $n$-brins s'écrit comme un groupe libre à $n-1$ générateurs, quotienté par deux types de relations que l'on appelle les relations de tresses.

**Proposition 2.1.1.** Le groupe de tresse à $n$ brins $B_n$ admet une présentation finie :

$$B_n = \left\langle \tau_1, \dots, \tau_{n-1} \left| \begin{array}{l} \forall |i-j| \neq 1, \qquad \tau_i \tau_j = \tau_j \tau_i \\ \forall i \in \{1, \dots, n-2\}, \qquad \tau_i \tau_{i+1} \tau_i = \tau_{i+1} \tau_i \tau_{i+1} \end{array} \right. \right\rangle.$$

On note $\sigma$ l'élément $\sigma = \tau_1 \cdots \tau_{n-1}$. Cet élément $\sigma$ joue un rôle particulier puisque $\sigma^n$ engendre le centre de $B_n$ pour $n \ge 3$. On peut vérifier le lemme suivant :

**Lemme 2.1.2.** Pour tout $i \in \{1, \dots, n-2\}$, $\tau_{i+1} = \sigma \tau_i \sigma^{-1}$.

*Démonstration* : Soit $i \in \{1, \dots, n-1\}$, d'après les relations de tresses, on sait que $\tau_i$ commute avec tous les $\tau_j$ tels que $|j-i| > 1$. Alors :

$$\begin{align*}
\sigma \tau_i \sigma &= (\tau_1 \cdots \tau_{n-1}) \tau_i (\tau_{n-1}^{-1} \cdots \tau_1^{-1}) \\
&= (\tau_1 \cdots \tau_i \tau_{i+1}) \tau_i (\tau_{i+2} \cdots \tau_{n-1}) (\tau_{n-1}^{-1} \cdots \tau_1^{-1}) \\
&= (\tau_1 \cdots \tau_i) (\tau_{i+1} \tau_i \tau_{i+1}^{-1}) (\tau_i^{-1} \cdots \tau_1^{-1}) \\
&= (\tau_1 \cdots \tau_i) (\tau_i^{-1} \tau_{i+1} \tau_i) (\tau_i^{-1} \cdots \tau_1^{-1}) \\
&= (\tau_1 \cdots \tau_{i-2}) \tau_{i+1} (\tau_{i-1}^{-1} \cdots \tau_1^{-1}) \\
&= \tau_{i+1}.
\end{align*}$$
☐

Dans son travail, McMullen introduit un élément supplémentaire $\tau_n$, défini par :

$$ \tau_n := \sigma \tau_{n-1} \sigma^{-1}. $$

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 2.6 – Illustration de la tresse $\tau_n$ pour $n = 5$</figcaption></figure>

**Lemme 2.1.3.** *L'élément $\tau_n$ vérifie également les relations de tresses, c'est-à-dire : $\tau_n$ commute avec les $\tau_j$ pour $j \in \{2, \dots, n-2\}$, et $\tau_n \tau_{n-1} \tau_n = \tau_{n-1} \tau_n \tau_{n-1}$ et de plus ici $\tau_1 \tau_n \tau_1 = \tau_n \tau_1 \tau_n$.*

*Démonstration* : Pour les premières relations on utilise les relations de tresses, $\forall j \in \{2, \dots, n-2\}$ :

$$
\begin{align*}
\tau_n \tau_j &= \sigma \tau_{n-1} \sigma^{-1} \tau_j \\
&= (\tau_1 \cdots \tau_{n-1}) \tau_{n-1} (\tau_{n-1}^1 \cdots \tau_1^{-1}) \tau_j \\
&= (\tau_1 \cdots \tau_{n-1}) \tau_{n-1} (\tau_{n-1}^{-1} \cdots \tau_j^{-1} \tau_{j-1}^{-1} \tau_j \tau_{j-2}^{-1} \cdots \tau_1^{-1}) \\
&= (\tau_1 \cdots \tau_{n-1}) \tau_{n-1} (\tau_{n-1}^{-1} \cdots \tau_{j-1}^{-1} \tau_j^{-1} \tau_{j-1}^{-1} \tau_{j-2}^{-1} \cdots \tau_1^{-1}) \\
&= (\tau_1 \cdots \tau_{j-2} \underbrace{\tau_{j-1} \tau_j \tau_{j-1}}_{\tau_{j+1} \cdots \tau_{n-1}} \tau_{j+1} \cdots \tau_{n-1}) \tau_{n-1} (\tau_{n-1}^{-1} \cdots \tau_1^{-1}) \\
&= (\tau_1 \cdots \tau_{j-2} \tau_j \tau_{j-1} \tau_j \tau_{j+1} \cdots \tau_{n-1}) \tau_{n-1} (\tau_{n-1}^{-1} \cdots \tau_1^{-1}) \\
&= \tau_j (\tau_1 \cdots \tau_{n-1}) \tau_{n-1} (\tau_{n-1}^{-1} \cdots \tau_1^{-1}) \\
&= \tau_j \tau_n.
\end{align*}
$$

D'autre part,

$$
\begin{align*}
\tau_{n-1} \tau_n \tau_{n-1} &= \tau_{n-1} (\tau_1 \cdots \tau_{n-1}) \tau_{n-1} (\tau_{n-1}^{-1} \cdots \tau_1^{-1}) \tau_{n-1} \\
&= (\tau_1 \cdots \tau_{n-3}) (\tau_{n-1} \tau_{n-2} \tau_{n-1}) \tau_{n-1} (\tau_{n-1}^{-1} \tau_{n-2}^{-1} \tau_{n-1}) (\tau_{n-3}^{-1} \cdots \tau_1^{-1}) \\
&= (\tau_1 \cdots \tau_{n-3}) (\tau_{n-2} \tau_{n-1} \tau_{n-2}) \tau_{n-1} (\tau_{n-2}^{-1} \tau_{n-1}^{-1} \tau_{n-2}^{-1}) (\tau_{n-3}^{-1} \cdots \tau_1^{-1}) \\
&= \sigma (\tau_{n-2} \tau_{n-1} \tau_{n-2}) \sigma^{-1} \\
&= \sigma ((\tau_{n-1} \tau_{n-1}^{-1}) \tau_{n-2} \tau_{n-1} \tau_{n-2}) \sigma^{-1} \\
&= \sigma \tau_{n-1} (\tau_{n-1}^{-1} \cdots \tau_1^{-1}) (\tau_1 \cdots \tau_{n-2}) (\tau_{n-2} \tau_{n-1} \tau_{n-2}) \sigma^{-1} \\
&= \tau_n (\tau_1 \cdots \tau_{n-2}) (\tau_{n-2} \tau_{n-1} \tau_{n-2}) \sigma^{-1} \\
&= \tau_n (\tau_1 \cdots \underbrace{\tau_{n-2}) (\tau_{n-1} \tau_{n-2} \tau_{n-1})}_{\tau_{n-3} \tau_{n-1} \tau_{n-2}}) \sigma^{-1} \\
&= \tau_n (\tau_1 \cdots \tau_{n-3} \tau_{n-1} \tau_{n-2} \tau_{n-1}) \tau_{n-1} \sigma^{-1} \\
&= \tau_n \tau_{n-1} (\tau_1 \cdots \tau_{n-1}) \tau_{n-1} \sigma^{-1} \\
&= \tau_n \tau_{n-1} \tau_n.
\end{align*}
$$
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 2.7 – Les brins de la tresse concaténée $\tau_1\tau_n\tau_1$ se déplacent pour former $\tau_n\tau_1\tau_n$.</figcaption></figure>

Pour voir que $\tau_1\tau_n\tau_1 = \tau_n\tau_1\tau_n$, on propose cette fois une autre méthode de démonstration qui se fait directement avec la représentation graphique et les équivalences par homotopie :

Ici sur la figure 2.7, on a représenté le graphe de $\tau_1\tau_n\tau_1$. Du premier au tracé au deuxième, on déplace vers le haut le dernier brin (tracé en rouge), et on enlève le croisement inutile entre les deux premiers brins. Du deuxième tracé au troisième, on déforme le premier brin (tracé en bleu) en l'étirant, cela permettra de récupérer $\tau_n$. Pour passer du troisième dessin au quatrième, on croise le deuxième et le quatrième brins (en vert) en ajoutant $\tau_1\tau_1^{-1}$ à la suite du premier bloc pour retrouver la tresse $\tau_1$. Il n'y a plus qu'à réorganiser lisiblement les brins pour voir apparaître $\tau_n\tau_1\tau_n$.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

## 2.1.2 Le sous-groupe des tresses pures $PB_n$ à $n$ brins

Parmi les sous-groupes de $B_n$, le sous-groupe des tresses pures $PB_n$ nous intéressera particulièrement par la suite. On a vu dans la définition topologique de $B_n$, que toute tresse à $n$ brins peut être associée à une permutation de $S_n$. Cette association est un morphisme dont le noyau est un sous-groupe de $B_n$, formé des tresses associées à la permutation identité. On appelle ce noyau le sous-groupe de tresses pures, on le note $PB_n$. On a une suite exacte courte :

$$0 \to PB_n \to B_n \to S_n \to 0.$$

Autrement dit, une tresse pure $(\gamma_1, \dots, \gamma_n)$ à $n$-brins vérifie $\gamma_i(0) = (b_i, 0)$ et $\gamma_i(1) = (b_i, 1)$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$.

On a également une présentation finie du sous-groupe de tresses pures $PB_n$, donnée par Artin, bien plus compliquée que celle de $B_n$, et dont on peut retrouver une version
simplifiée dans le livre [FM11]. Nous retiendrons principalement :

**Théorème 2.1.4.** Le sous-groupe des tresses pures à n brins est engendré par des éléments $\alpha_{i,j}$ dont l'expression est la suivante : pour tout $(i, j) \in \{1, \dots, n\}^2$, avec $i < j$,

$$ \alpha_{i,j} = (\tau_{j-1} \cdots \tau_{i+1}) \tau_i^2 (\tau_{i+1}^{-1} \cdots \tau_{j-1}^{-1}). $$

Par exemple, pour $n = 5$, on peut illustrer la tresse $\alpha_{2,5}$ comme sur la figure 2.8.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIGURE 2.8 – Illustration de la tresse $\alpha_{2,5}$ dans $B_5$</figcaption></figure>

On peut en particulier remarquer que pour $j = i + 1$, la tresse $\alpha_{i,j}$ est égale à la tresse $\tau_i^2$.

### 2.1.3 Groupes de tresses et groupes modulaires

Dans cette sous-partie, nous allons présenter rapidement comment considérer le groupe de tresses à n brins comme un groupe modulaire. Avant cela, nous allons voir qu'on peut également définir le groupe de tresses $B_n$ comme un groupe fondamental, ce qui constitue une première étape dans l'interprétation de $B_n$ comme un groupe modulaire. Nous ne donnerons ici que les grandes lignes de chaque étape puisque ces faits sont bien connus, on les retrouve entre autres dans le livre [FM11].

On veut considérer le groupe fondamental de l'ensemble des listes non ordonnées à n éléments tous distincts dans $\mathbb{C}$. Commençons par la construction de cet ensemble. Nous allons d'abord considérer le sous-ensemble de $\mathbb{C}^n$ formé des listes n'ayant que des points distincts. Pour cela, on introduit la grande diagonale $\mathcal{D}_n$ de $\mathbb{C}^n$ définie par : $\mathcal{D}_n := \{ (z_1, \dots, z_n) \in \mathbb{C}^n \mid \exists i, j \in \{1, \dots, n\}, i \neq j : z_i = z_j \}$. Le sous-ensemble de $\mathbb{C}^n$ qui nous intéresse est $\mathbb{C}^n \setminus \mathcal{D}_n$. Il est clair que $\mathcal{D}_n$ est fermé, alors $\mathbb{C}^n \setminus \mathcal{D}_n$ hérite naturellement d'une structure de variété différentielle, induite par celle de $\mathbb{C}^n$.

D'autre part, le groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ agit sur $\mathbb{C}^n$ par permutation des indices, c'est-à-dire $\forall \sigma \in \mathfrak{S}_n, \forall (z_1, \dots, z_n) \in \mathbb{C}^n, \sigma \cdot (z_1, \dots, z_n) = (z_{\sigma(1)}, \dots, z_{\sigma(n)})$. L'action de $\mathfrak{S}_n$ permet d'oublier l'ordre dans $\mathbb{C}^n$, et en particulier dans $\mathbb{C}^n \setminus \mathcal{D}_n$.
On considère alors $\mathbb{C}^{<n}$ défini par :

$$ \mathbb{C}^{<n} := (\mathbb{C}^n \setminus \mathcal{D}_n) / \mathfrak{S}_n \\ = \{ \{z_1, \dots, z_n\} \mid \forall i, j \in \{1, \dots, n\}, i \neq j \Leftrightarrow z_i \neq z_j \}. $$

$\mathbb{C}^{<n}$ est une variété différentielle complexe de dimension $n$. Pour un certain point base $B = \{b_1, \dots, b_n\}$, un lacet $\gamma \in \pi_1(\mathbb{C}^{<n}, B)$ est une collection de chemins $\gamma_i : [0, 1] \to \mathbb{C}$
qui vérifient pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, $\gamma_i(0) = b_i$, $\gamma_i(1) \in B$ et pour tout $t \in [0, 1]$, $\{\gamma_1(t), \dots, \gamma_n(t)\} \in \mathbb{C}^{<n\rangle}$, c'est-à-dire qu'à n'importe quel temps donné, les chemins ne s'intersectent pas. On revient donc à la définition d'une tresse de $B_n$. On vérifie facilement le résultat bien connu :

**Proposition 2.1.5.** $B_n$ et $\pi_1(\mathbb{C}^{<n\rangle}, B)$ sont isomorphes.

Passons maintenant à l'interprétation de $B_n$ comme un groupe modulaire. Rappelons que le groupe modulaire d'une surface $S$, noté Mod($S$), est donné par :

$$ \mathrm{Mod}(S) := \pi_0(\mathrm{Homeo}^+(S, \partial S)) \\ = \{[f] \mid f : S \to S \text{ homéomorphisme, } f|_{\partial S} = \mathrm{Id}\} $$

où $[f]$ désigne la classe d'équivalence à homotopie près de $f$. Lorsque $S$ est une surface avec des points marqués, on demande que les homéomorphismes $f$ ainsi que les homotopies préservent l'ensemble des points marqués. Pour $S$ ayant $n$ points marqués, on notera son groupe modulaire Mod($S, n$).

Rappelons que $D \subset \mathbb{C}$ est un disque contenant les points marqués $b_1, \dots, b_n$. Le groupe modulaire Mod($D, n$) est donc l'ensemble des classes d'homotopie des homéomorphismes du disque $D$ préservant l'ensemble $B = \{b_1, \dots, b_n\}$ et coïncidant avec $\mathrm{Id}_{\mathbb{C}}$ sur le bord $\partial D$ du disque $D$.

**Théorème 2.1.6.** Les groupes $B_n$ et Mod($D, n$) sont isomorphes.

Nous ne ferons pas une démonstration complète de cette proposition qui est déjà connue. Nous présenterons cependant quelques idées intuitives pour que le lecteur puisse plus aisément saisir le lien entre ces deux groupes.

**Démonstration partielle** : Le lemme d'Alexander nous dit que Mod($D$) est trivial, autrement dit tout homéomorphisme du disque $D$ est homotope à l'identité. Ainsi, pour $h$ un élément de Mod($D, n$), $h$ est en particulier un homéomorphime de $D$ et on peut trouver une homotopie $F : D \times [0, 1] \to D$ telle que $F(\cdot, 0) = \mathrm{Id}_D$ et $F(\cdot, 1) = h$. Alors la restriction de $F$ à $\{b_1, \dots, b_n\} \times [0, 1]$ nous donne exactement un élément de $\pi_1(\mathbb{C}^{<n\rangle}, B) \simeq B_n$. On peut ainsi associer à un élément de Mod($D, n$) une tresse de $B_n$, cette correspondance est en fait un isomorphisme comme on peut le voir dans le théorème 9.1 de [FM11]. $\square$

Il est intéressant de voir quel homéomorphisme du disque est associé à un générateur $\tau_i$ de $B_n$, ou à un générateur $\alpha_{i,j}$ de $PB_n$. Introduisons pour cela des demi-twists de Dehn pouvant apparaître sur $D$. Un premier cas de twist de Dehn est celui des disques contenant deux points marqués : pour un disque $D_i$ contenant uniquement les points marqués $b_i$ et $b_{i+1}$ mais aucun autre, le demi-twist de Dehn sur $D_i$ peut se représenter comme sur la figure 2.9.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE 2.9 – Demi-twist de Dehn sur un disque ayant deux points marqués</figcaption></figure>

C'est un homéomorphisme de $D$ à support dans $D_i$, préservant les points $\{b_i, b_{i+1}\}$ et coïncidant avec $\mathrm{Id}$ sur $D \setminus D_i$. Un tel demi-twist est donc un élément de Mod($D, n$). On
peut lui associer une tresse de $B_n$. En regardant la figure 2.10, on voit que le demi-twist de Dehn de support $D_i$ correspond à la tresse $\tau_i$.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIGURE 2.10 – Correspondance entre $\tau_i$ et le demi-twist de Dehn de support $D_i$</figcaption></figure>

Le twist de Dehn de support $D_i$ correspond à $\tau_i^2$ et plus généralement, en regardant un twist de Dehn sur un disque ne contenant que les points marqués $b_i$ et $b_j$, quitte à supposer que $i < j$, on peut voir que ce twist de Dehn correspond à $\alpha_{i,j}$, ce qu'on illustre sur la figure 2.11.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIGURE 2.11 – Interprétation d'une tresse $\alpha_{i,j}$ comme un twist de Dehn</figcaption></figure>

Par la suite, pour simplifier les notations, on confondra une tresse de $B_n$ avec l'élément lui correspondant dans $\text{Mod}(D, n)$. Nous pourrons ainsi être amenés à parler d'une tresse de $B_n$ comme d'un homéomorphime de $D$.
## 2.2 Les représentations de McMullen

Dans son article [McM13], McMullen construit $d-1$ représentations $\rho_q : B_n \to U(r_q, s_q)$ du groupe de tresses à $n$ brins dans des groupes unitaires, où $d$ est un entier non nul et $q$ une racine $d$-ième de l'unité distincte de 1, on note $q = e^{-k \frac{2i\pi}{d}}$ pour $k \in \{1, \dots, d-1\}$. Il utilise pour cela un revêtement cyclique $\hat{Y}$ de la sphère de Riemann $\hat{\mathbb{C}}$, muni d'un automorphisme $T : \hat{Y} \to \hat{Y}$ vérifiant $T^d = \text{Id}$. Nous exposerons rapidement l'idée de ces constructions, puis nous présenterons certains résultats de McMullen concernant l'espace $H_{dR}^1(\hat{Y})$. Pour chacune des représentations $\rho_q$, nous expliciterons l'action des générateurs $\tau_i$ du groupe de tresses sur l'espace propre de $T^*$ associé à la valeur propre $q$, noté $H^1(\hat{Y})_q \subset H_{dR}^1(\hat{Y})$.

### 2.2.1 La construction de $\hat{Y}$ et des représentations

L'idée de la construction de McMullen est la suivante : il considère la courbe algébrique d'équation :

$$y^d = \prod_{i=1}^{n} (x - b_i)$$

où les $b_i$ sont des points complexes deux à deux distincts, et $n$ et $d$ sont des entiers naturels non nuls. Par un processus de normalisation standard, il obtient une surface de Riemann compacte notée $\hat{X}$. Ce processus consiste à construire des cartes locales au dessus des points $b_i$, et de plonger ensuite cette courbe dans $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^2$, en considérant les zéros de la fonction $F([x : y : z]) = y^d z^{n-d} - \prod_{i=1}^n (x - b_i z)$ si $n \ge d$, et $F([x : y : z]) = y^d - z^{d-n} \prod_{i=1}^n (x - b_i z)$ sinon. La courbe algébrique correspond aux zéros de $F$ sur les points de $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^2$ de la forme $[x : y : 1]$, pour compactifier cette surface il faut regarder le point $p_{infty}$ de dernière coordonnée nulle dans $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^2$ tel que $F(p_{\infty}) = 0$. En séparant les branches qui passent par le point de la courbe $p_{\infty}$, on obtient une surface de Riemann compacte $\hat{Y}$. Cette surface peut s'interpréter comme un revêtement cyclique $\pi : \hat{Y} \to \hat{\mathbb{C}}$ de degré $d$, ramifié au-dessus des points marqués $b_i$ et du point $\infty$. Le revêtement $\pi$ est défini sur la courbe algébrique par $(x, y) \mapsto x$.

On dispose sur $\hat{Y}$ d'un automorphisme $T : \hat{Y} \to \hat{Y}$, défini sur la courbe algébrique par $(x, y) \mapsto (x, \zeta_d y)$ avec $\zeta_d = e^{\frac{2i\pi}{d}}$. Il est clair que $T$ vérifie $T^d = \text{Id}$. Pour un point quelconque $x \in \mathbb{C} \setminus B$, nous avons $d$ pré-images $x_0, \dots, x_{d-1}$ dans $\hat{Y}$, $T$ permute cycliquement ces pré-images. En général, on indexera les pré-images d'un point quelconque de sorte que $x_j = T^j(x_0)$. Au-dessus des points $b_i$, nous avons dans $\hat{Y}$ une unique pré-image notée $q_i$, laissée fixe par $T$. Au-dessus de $\infty$, nous avons dans $\hat{Y}$ un nombre $e = \text{pgcd}(n, d)$ pré-images notées $p_0, \dots, p_{e-1}$ permutées cycliquement par $T$ avec $p_k = T^k(p_0)$ pour tout $k \in \{0, \dots, e-1\}$, on récupère également $T^e(p_0) = p_0$. En particulier, la pré-image d'un voisinage de $\infty$ est formée de $e$ disques deux à deux disjoints.

D'autre part, on a vu que les tresses de $B_n$ peuvent s'interpréter comme des éléments du groupe modulaire $\text{Mod}(D, n)$ où $D \subset \mathbb{C}$ est un disque ouvert contenant les points marqués $b_1, \dots, b_n$. Une tresse $\tau \in B_n$ peut donc être considérée comme la classe d'homotopie d'un homéomorphisme de $D$ préservant l'ensemble des points marqués $B = \{b_1, \dots, b_n\}$ et coïncidant avec $\text{Id}$ sur le bord de $D$. Ainsi, en prolongeant cette tresse sur $\hat{\mathbb{C}}$ par $\text{Id}$ en dehors de $D$, on peut voir $\tau$ comme un homéomorphisme $\tau : \hat{\mathbb{C}} \to \hat{\mathbb{C}}$. McMullen montre que toute tresse $\tau$ de $B_n$ se relève en un élément $\tilde{\tau}$ de $\text{Mod}(\hat{Y})$, ce relevé est unique lorsqu'on impose $\tilde{\tau}(q_1) = q_1$, de sorte que l'opération de relèvement soit un morphisme de groupe. Nous reverrons ce procédé en détail dans le chapitre 5.
On peut également vérifier que les relevés des tresses commutent avec $T$. McMullen passe ensuite à la cohomologie de de Rham en considérant l'espace $H^1(\hat{Y})$. Le tiré en arrière par l'automorphisme $T$ vérifie $(T^*)^d = \text{Id}$, on décompose alors $H^1(\hat{Y})$ en la somme directe des sous-espaces propres de $T^*$. En reprenant les notations de McMullen, $H^1(\hat{Y})_q$ est le sous-espace propre de $T^*$ associé à la valeur propre $q = e^{-k \frac{2i\pi}{d}}$ où $k \in \{1, \dots, d-1\}$. Comme $T$ et $\tilde{\tau}$ commutent, les relevés des tresses préservent les $H^1(\hat{Y})_q$. D'autre part, sur $H^1(\hat{Y})$, on dispose d'une forme d'intersection définie par :

$$ \forall \eta, \mu \in H^1(\hat{Y}), \quad \langle \eta; \mu \rangle_{\hat{Y}} = \frac{i}{2} \int_{\hat{Y}} \eta \wedge \bar{\mu}. $$

Cette forme d'intersection est non dégénérée lorsqu'elle est restreinte à $H^1(\hat{Y})_q$, et on peut considérer le groupe unitaire $U(H^1(\hat{Y})_q)$, associé à la forme $\langle ; \rangle$ restreinte à $H^1(\hat{Y})_q$. On peut s'assurer que, pour une tresse $\tau \in B_n$, la restriction de $\tilde{\tau}^*$ à $H^1(\hat{Y})_q$ est dans $U(H^1(\hat{Y})_q)$. Pour tout $q \in \{e^{-\frac{2i\pi k}{d}} | k = 1, \dots, d-1\}$, on obtient une représentation $\rho_q : B_n \to U(H^1(\hat{Y})_q) \simeq U(r_q, s_q)$ où $(r_q, s_q)$ est la signature de la forme d'intersection sur $H^1(\hat{Y})_q$.

### 2.2.2 Quelques résultats de McMullen

Plusieurs des résultats de l'article de McMullen [McM13] seront repris au cours de ce document. Il convient donc de les présenter ici, ils portent sur la surface $\hat{Y}$ en elle-même, sur l'espace $H^1(\hat{Y})_q$ et enfin sur l'expression de l'action des $\tau_i$ sur $U(r_q, s_q)$.

Comme expliqué plus haut, $\hat{Y}$ est une surface de Riemann compacte et connexe, qui est également un revêtement cyclique de degré $d$ au-dessus de la sphère de Riemann, ramifié au-dessus des points $b_1, \dots, b_n$ et éventuellement au-dessus de $\infty$. Il y a une unique pré-image $q_i$ au-dessus de chacun des $b_i$, et $e = \text{pgcd}(d, n)$ pré-images $p_0, \dots, p_{e-1}$ au-dessus de $\infty$. En appliquant le théorème de Riemann-Hurwitz, on obtient directement le genre de $\hat{Y}$ :

**Lemme 2.2.1.** Le genre de $\hat{Y}$ est $g = \frac{1}{2}((d-1)(n-1) - e + 1)$, où $e = \text{pgcd}(n, d)$.

On a alors :

**Corollaire 2.2.2.** La dimension de $H^1(\hat{Y})$ est $2g = (d-1)(n-1) - e + 1$.

**Théorème 2.2.3.** La dimension de $H^1(\hat{Y})_q$ est $n-1$ si $q^n \neq 1$ et $n-2$ sinon.

**Idée de la démonstration** : Pour le calcul de cette dimension, qui est un invariant topologique, McMullen suppose que les $b_i$ sont les racines n-ièmes de l'unité, donc $\hat{Y}$ est construit à partir de la courbe algébrique $y^d = x^n - 1$. Il introduit un nouvel automorphisme $R : \hat{Y} \to \hat{Y}$ défini sur la courbe algébrique par : $(x, y) \mapsto (\zeta_n x, y)$, où $\zeta_n = e^{\frac{2i\pi}{n}}$, laissant invariant les $p_i$ et permutant les $q_j$ de sorte que $R(q_j) = q_{j-1}$.

Alors $(R^*)^n = \text{Id}$ et comme $R$ et $T$ commutent, on peut décomposer l'espace $H^1(\hat{Y})_q$, où $q = \zeta_d^{-k}$ avec $k \in \{0, \dots, d-1\}$, en la somme directe des sous-espaces propres $H^1(\hat{Y})_{k,j} = \ker(T^* - \zeta_d^{-k} \text{Id}) \cap \ker(R^* - \zeta_n^j \text{Id})$. La décomposition de Hodge sur ces sous-espaces nous donne :

$$ H^1(\hat{Y})_q = \bigoplus_{j=0}^{n-1} H^1(\hat{Y})_{k,j} = \left( \bigoplus_{j=0}^{n-1} H^{(1,0)}(\hat{Y})_{k,j} \right) \oplus \left( \bigoplus_{j=0}^{n-1} H^{(0,1)}(\hat{Y})_{k,j} \right) $$
et donc :

$$
H^1(\hat{Y}) = \bigoplus_{k=0}^{d-1} \bigoplus_{j=0}^{n-1} (H^{(1,0)}(\hat{Y})_{j,k} \oplus H^{(0,1)}(\hat{Y})_{j,k}) \quad (2.2.1)
$$

McMullen introduit ensuite les (1,0)-formes méromorphes $w_{k,j} = \frac{x^{j-1}}{y^k}dx$ et les (0,1)-
formes conjuguées des $w_{k,j}$. En calculant les diviseurs de chacun des $w_{j,k}$ et de leur conju-
gué, McMullen aboutit à la conclusion que : $H^{(1,0)}(\hat{Y})_{j,k}$ est non vide si $0 < \frac{j}{n} < \frac{k}{d} < 1$
et $H^{(0,1)}(\hat{Y})_{j,k}$ est non vide si $0 < \frac{k}{d} < \frac{j}{n} < 1$. Or, on peut compter qu'il y a exac-
tement $(d-1)(n-1) - e + 1 = 2g$ couples d'indices $(j,k)$ vérifiant l'une ou l'autre
de ces conditions, c'est-à-dire qu'il y a exactement $2g = \dim(H^1(\hat{Y}))$ espaces non vides
apparaissant dans la somme directe (2.2.1). On en déduit que, pour un couple d'indice
$(j,k) \in \{0, \dots, n-1\} \times \{0, \dots, d-1\}$ fixé :

— si $0 < \frac{j}{n} < \frac{k}{d} < 1$, alors $H^1(\hat{Y})_{j,k} = H^{(1,0)}(\hat{Y})_{j,k}$ est de dimension 1

— si $0 < \frac{k}{d} < \frac{j}{n} < 1$, alors $H^1(\hat{Y})_{j,k} = H^{(0,1)}(\hat{Y})_{j,k}$ est de dimension 1

— si aucune des conditions ci-dessus est vérifiée, alors $H^1(\hat{Y})_{j,k} = \{0\}$.

En particulier, pour un *k* fixé, on a :

$$
\dim(H^1(\hat{Y})_q) = (\oplus_{0<\frac{j}{n}<\frac{k}{d}<1} \dim(H^1(\hat{Y}_{k,j}))) \oplus (\oplus_{0<\frac{k}{d}<\frac{j}{n}<1} \dim(H^1(\hat{Y}_{k,j})))
$$

En comptant le nombre d'indices $j \in \{0, \dots, n-1\}$ vérifiant l'une ou l'autre de ces conditions on a : $\dim(H^1(\hat{Y})_q) = n-1$ si $q^n \neq 1$, et $n-2$ sinon. $\square$

**Théorème 2.2.4.** *Pour $q = \zeta_d^{-k}$ fixé, la signature de la forme d'intersection sur $H^1(\hat{Y})_q$ est :*

$$
(r_q, s_q) = (\lceil n \frac{k}{d} - 1 \rceil, \lceil n(1 - \frac{k}{n}) - 1 \rceil).
$$

La forme d'intersection est non dégénérée sur $H^1(\hat{Y})_q$.

**Démonstration** : Comme $H^1(\hat{Y})_q = (\oplus_{0<\frac{j}{n}<\frac{k}{d}<1} H^1(\hat{Y})_{k,j}) \oplus (\oplus_{0<\frac{k}{d}<\frac{j}{n}<1} H^1(\hat{Y})_{k,j})$ et
que

$$
- \dim(H^{(1,0)}(\hat{Y})_{k,j}) = 1 \text{ si } 0 < \frac{j}{n} < \frac{k}{d} < 1
$$

$$
- \dim(H^{(0,1)}(\hat{Y})_{k,j}) = 1 \text{ si } 0 < \frac{k}{d} < \frac{j}{n} < 1
$$

alors la signature $(r_q, s_q)$ se détermine en calculant le nombre d'indices $j \in \{0, \dots, n\}$ vérifiant la condition $0 < \frac{j}{n} < \frac{k}{d} < 1$, ce qui nous donne $r_q$, et le nombre d'indices $j \in \{0, \dots, n-1\}$ vérifiant la condition $0 < \frac{k}{d} < \frac{j}{n} < 1$, ce qui nous donne $s_q$.

On peut vérifier que $r_q + s_q = \dim(H^1(\hat{Y})_q$, et la forme d'intersection est donc non dégénérée sur $H^1(\hat{Y})_q$.
$\square$

On note $D_i \subset \mathbb{C}$ le support d'un représentant de $\tau_i \in B_n \simeq \mathrm{Mod}(D, n)$, que l'on
peut choisir comme étant un disque ouvert contenant uniquement les points marqués $b_i$
et $b_{i+1}$, et $Y_i$ la pré-image de $D_i$ dans $\hat{Y}$. McMullen étudie les sous-surfaces $Y_i$ à l'aide de
suites de Mayer-Vietoris. Pour présenter cet outil et la façon dont nous allons l'utiliser,
nous faisons d'abord quelques lemmes concernant une sous-surface $Y \subset \hat{Y}$ quelconque,
qui pourront être réutilisés dans le reste de la thèse. Puis nous appliquerons ces lemmes
aux sous-surfaces $Y_i$.

On considère donc une sous-surface ouverte non vide $Y$ de $\hat{Y}$ et son complémentaire $Y^c$ dans $\hat{Y}$. La sous-surface $Y^c$ est prolongée sur son bord en un ouvert dont l'intersection avec $Y$ contient le bord de $Y$, de même qu'illustré sur la figure 2.12. On note de nouveau
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 2.12 – Illustration de la notation $\partial Y$</figcaption></figure>

$Y^c$ la sous-surface $Y^c$ prolongée et par abus de notation, de même que McMullen, on écrira $\partial Y := Y \cap Y^c$, qui est donc ici un ouvert non vide, voisinage du bord de $Y$.

On obtient alors une suite exacte :

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

Cette suite exacte est équivariante par l'action de $T^*$, et se conserve donc en passant aux sous-espaces propres :

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

La surface $\hat{Y}$ étant connexe, et comme $q \neq 1$, on a $H^0(\hat{Y})_q = \{0\}$ et $H^2(\hat{Y})_q = \{0\}$. On récupère ainsi une suite exacte :

$$0 \to H_c^1(\partial Y)_q \to H_c^1(Y)_q \oplus H_c^1(Y^c)_q \to H^1(\hat{Y})_q \to H_c^2(\partial Y)_q \to H_c^2(Y)_q \oplus H_c^2(Y^c)_q \to 0 \quad (2.2.2)$$

Pour certaines sous-surfaces $Y$, nous pouvons à partir de la suite (2.2.2) obtenir des suites exactes courtes, ou même des isomorphismes entre certains espaces de cette suite. Les cas qui nous intéressent particulièrement, sont ceux pour lesquels $Y$ (ou éventuellement son complémentaire) est connexe et $\partial Y$ est composé de $m$ anneaux permutés cycliquement par $T$. Cette dernière condition ne peut être vérifiée que si $m$ divise $d$. Les $Y_i = \pi^{-1}(D_i)$ sont de tels surfaces. Avant de leur appliquer la suite (2.2.2), rappelons le résultat bien connu suivant :

**Lemme 2.2.5.** Pour $\mathcal{A}$ un anneau, $H_c^1(\mathcal{A})$ est de dimension 1.

*Démonstration* : $\mathcal{A}$ a le même type d'homotopie que le cercle $S^1$, donc $H^1(\mathcal{A}) = H^1(S^1) = \mathbb{C}$. Or la dualité de Poincaré nous dit que, pour $M$ une variété de dimension $m$, $H_c^k(M) \simeq (H^{m-k}(M))^*$, d'où $\dim(H_c^1(\mathcal{A})) = 1$. $\square$

On peut construire un générateur $\eta$ de $H_c^1(\mathcal{A})$ de la façon suivante : $\mathcal{A} \simeq \mathbb{S} \times I$, où $I = ]0, 1[$ et $\mathbb{S}$ est le cercle unité. On note $(x, t)$ les coordonnées sur $S^1 \times I$. On cherche à définir une 1-forme non nulle à support compact $\eta$ telle que sa classe $[\eta]$ vérifie : $\mathbb{C}[\eta] = H_c^1(\mathbb{S} \times I)$.

On fixe $\phi : I \to I$ croissante et $\mathbb{C}^\infty$ ainsi qu'un $\varepsilon \in ]0, \frac{1}{2}[$ tel que : $\phi(t) = 0$ si $t < \varepsilon$ et $\phi(t) = 1$ si $t > 1 - \varepsilon$. Alors $\phi'(t)$ est nulle sur $]0, \varepsilon[ \cup ]1 - \varepsilon, 1[$ et strictement positive
sinon, donc son support est inclus dans $[\varepsilon, 1 - \varepsilon]$ qui est compact dans $I$. On pose alors
$\eta = \phi'(t)dt$. Clairement $\eta$ est à support compact et est fermée. Aussi $\eta = d\phi$, et s'il existe
$f$ telle que $\eta = df$, alors $f = \phi + c$ où $c$ est constante. Alors $f$ ne peut pas être une forme
à support compact, ainsi $[\eta] \in H_c^1(I) \setminus \{0\}$. D'autre part, la projection $p_2 : \mathbb{S}^1 \times I \to I$
nous donne un morphisme $p_2^* : H_c^1(I) \to H_c^1(\mathbb{S}^1 \times I)$. On a $[p_2^*(\eta)] \in H_c^1(\mathbb{S}^1 \times I)$ et
$\int_A \eta \wedge dx = \int_{[0,1[\times]0,1[} \phi'(t)dt \wedge dx = 1$. Alors $[p_2^*(\eta)]$ est non nul. Le générateur de $H_c^1(\mathbb{S}^1 \times I)$
qui nous intéresse est l'image du générateur $\eta$ de $H_c^1(I)$ par ce morphisme $p_2^*$, qui est donc
non nul, et que l'on notera également $\eta$. Alors $H_c^1(I) \simeq H_c^1(\mathbb{S}^1 \times I) \simeq \mathbb{C}[\eta]$. $\square$

Regardons ce qu'il se passe pour $H_c^1(\partial Y)_q$, $H_c^2(\partial Y)_q$ lorsque $\partial Y$ est une réunion de $m \in \mathbb{N}^*$ anneaux, permutés cycliquement par $T$, avec $m$ qui divise $d$ :

**Lemme 2.2.6.** *Pour $Y \subset \hat{Y}$ tel que $\partial Y$ est une réunion de $m$ anneaux disjoints, permutés cycliquement par $T$, avec $m$ qui divise $d$, on a :*

- si $q^m = 1$, alors $H_c^1(\partial Y)_q$ et $H_c^2(\partial Y)_q$ sont de dimension 1

- Si $q^m \neq 1$, ces deux espaces sont nuls

De plus, si $Y$ est une réunion de $m$ disques disjoints, on a de même $H_c^2(Y)_q$ est de dimension 1 si $q^m = 1$ et de dimension nulle sinon.

**_Démonstration_** : $\partial Y$ est une réunion disjointe de $m$ anneaux $A_0, \dots, A_{m-1}$. Comme $T$ permute ces anneaux, on peut les indexer tels que, pour tout $k \in \{0, \dots, m-1\}$, $T: A_k \to A_{k+1 \mod m}$. On a : $H_c^1(\partial Y)_q \subset \bigoplus_{k=0}^{m-1} H_c^1(A_k)$. On sait que les $H_c^1(A_k)$ sont de dimension 1, et on peut fixer $\eta_0 \neq 0$, construit comme ci-dessus, telle que $H_c^1(A_0) \simeq \mathbb{C}\eta_0$. On définit alors pour tout $k \in \{0, \dots, m-1\}$, $\eta_k := (T^*)^{m-k}(\eta_0)$, un générateur de $H_c^1(A_k)$.

La restriction de $T^m$ à $A_0$ est une rotation d'angle $\frac{2m\pi}{d}$. En effet, on identifie $\mathbb{S}^1$ à $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$, alors sur $A_0 = \mathbb{S}^1 \times I \simeq \mathbb{R}/\mathbb{Z} \times I$ avec $I := ]0,1[$, l'expression de $T^m$ est donnée par $T^m : (x,t) \mapsto (x + \frac{m}{d}, t)$. En particulier, comme $\eta_0$ est de la forme $\phi'(t)dt$, on a : $(T^*)^m(\eta_0) = \eta_0$.

Soit $w \in H_c^1(\partial Y)_q \subset \bigoplus_{k=0}^{m-1} H_c^1(A_k)$. Il existe des complexes $\lambda_0, \dots, \lambda_{m-1}$ tels que
$$w = \sum_{k=0}^{m-1} \lambda_k \eta_k.$$ Comme $T^*(w) = qw$, on récupère une égalité $\sum_{k=0}^{m-1} \lambda_k \eta_{k-1} \bmod m = \sum_{k=0}^{m-1} q \lambda_k \eta_k$ d'où, pour tout $k \in \{0, \dots, m-1\}$, $\lambda_{k+1} \bmod m = q \lambda_k$ et donc $\lambda_k = q^k \lambda_0$, pour tout $k \in \{0, \dots, m-1\}$.

D'autre part, $(T^*)^m(w) = q^m w = \sum_{k=0}^{m-1} q^k \lambda_k \eta_k$, la composante sur $H_c^1(A_0)_q$ est $q^m \eta_0$.
Or $(T^*)^m(w) = \sum_{k=0}^{m-1} \lambda_k (T^*)^m(\eta_k)$ dont la composante sur $H_c^1(A_0)_q$ est $(T^*)^m(\eta_0) = \eta_0$.
On a donc : $\lambda_0 = q^m \lambda_0$.

Si $q^m \neq 1$ alors $\lambda_0 = 0$ et donc $w = 0$, et finalement $H_c^1(\partial Y)_q = \{0\}$.

Si $q^m = 1$, alors les $\lambda_k$ s'écrivent en fonction de $\lambda_0$, et l'élément non nul $\sum_{k=0}^{m-1} q^k \eta_k$ engendre $H_c^1(\partial Y)_q$. Ainsi, $H_c^1(\partial Y)_q$ est de dimension 1.

On montre de la même façon que $H_c^2(\partial Y)_q$ est de dimension 1 si $q^m = 1$ et de dimension nulle sinon. $\square$

**Remarque 2.2.7.** *Remarquons que ce lemme s'applique en particulier lorsque $Y$ est la pré-image $Y_\infty$ d'un voisinage $D_\infty$ de $\infty$, ne contenant aucun des points marqués $b_1, \dots, b_n$. On sait alors que la pré-image de $D_\infty$ dans $\hat{Y}$ est formée de $e = \text{pgcd}(d, n)$ disques disjoints $E_0, \dots, E_{e-1}$. Alors $H_c^1(\partial Y_\infty)_q$ est de dimension 1 si $q^e = 1$ et de dimension nulle sinon, de même pour les espaces $H_c^2(\partial Y_\infty)_q$ et $H_c^2(Y_\infty)_q$.*

Appliquons maintenant ces lemmes à l'étude de $Y_i$. McMullen considère une nouvelle surface $\mathcal{Y}_i$ construite à partir de la courbe algébrique $y^d = (x - b_i)(x - b_{i+1})$. La pré-image de $D_i$ dans $\mathcal{Y}_i$ est notée $\mathcal{Y}_i$.
**Lemme 2.2.8.** On a les isomorphismes $H_c^1(Y_i)_q \simeq H_c^1(\mathcal{Y}_i)_q$ et $H_c^1(\partial\mathcal{Y}_i)_q \simeq H_c^1(\partial Y_i)_q$.

Démonstration : $Y_i$ et $\mathcal{Y}_i$ sont deux revêtements de degré $d$ au-dessus de $D_i$, ramifiés de la même façon. Ainsi, on peut trouver un difféomorphisme entre ces deux surfaces. La démonstration pour le second automorphisme est identique □

Nous sommes ici dans le cas de deux points marqués, on va considérer pgcd(d, 2). Celui-ci vaut 1 si d est impair, et 2 sinon. Alors $q^{\text{pgcd(d,2)}} = 1$ équivaut à $q = -1$. En effet, si d est impair, alors $q \neq -1$ et donc $q^1 \neq -1$. Si d est pair, alors $q^2 = 1$ n'est vrai que pour $q = -1$. Comme $\hat{\mathcal{Y}}_i \setminus \mathcal{Y}_i$ est une réunion de pgcd(d, 2) disques au-dessus d'un voisinage du point $\infty \in \mathbb{C}$, on a exactement pgcd(d, 2) composantes de bord pour $\mathcal{Y}_i \simeq Y_i$. De plus, T permute cycliquement les disques formant $\hat{\mathcal{Y}}_i \setminus \mathcal{Y}_i$. On peut alors montrer que :

**Proposition 2.2.9.** $H_c^1(Y_i)_q \simeq H^1(\hat{\mathcal{Y}}_i)_q \text{ si } q \neq -1$, et $H_c^1(Y_i)_q \simeq H_c^1(\partial\mathcal{Y}_i)_q \text{ si } q = -1$.

Démonstration : En effet, on applique la suite de Mayer-Vietoris (2.2.2) à $\hat{\mathcal{Y}}_i$ et à sa sous-surface $\mathcal{Y}_i$. Ici, $\mathcal{Y}_i^c$ est une réunion de pgcd(d, 2) disques disjoints, donc $H_c^1(\mathcal{Y}_1^c)_q = \{0\}$.

On sait que, d'après 2.2.3, la dimension de $H^1(\hat{\mathcal{Y}})_q$ est 1 si $q^{\text{pgcd(d,2)}} \neq 1$, et 0 sinon. On sait aussi que $\dim(H_c^1(\partial Y_1)_q) = 1$ si $q^{\text{pgcd(d,2)}} = 1$, et $\dim(H_c^1(\partial Y_1)_q) = 0$ d'après le lemme 2.2.6. Si $q \neq -1$, alors la suite exacte devient :

$$0 \to \underbrace{H_c^1(\partial \mathcal{Y}_i)_q}_{=\{0\}} \to H_c^1(\mathcal{Y}_i)_q \oplus \underbrace{H_c^1(\mathcal{Y}_i^c)_q}_{=\{0\}} \to H^1(\hat{\mathcal{Y}})_q \to \underbrace{H_c^2(\partial \mathcal{Y})_q}_{=\{0\}}$$

et donc $H_c^1(\mathcal{Y}_i)_q \simeq H^1(\hat{\mathcal{Y}})_q$.

Si $q = -1$, alors :

$$0 \to H_c^1(\partial \mathcal{Y}_i)_q \to H_c^1(\mathcal{Y}_i)_q \oplus \underbrace{H_c^1(\mathcal{Y}_i^c)_q}_{=\{0\}} \to \underbrace{H^1(\hat{\mathcal{Y}})_q}_{=\{0\}} \to H_c^2(\partial \mathcal{Y})_q$$

et donc $H_c^1(\mathcal{Y}_i)_q \simeq H^1(\hat{\mathcal{Y}})_q$.

Le lemme 2.2.8 permet de conclure. □

On a en particulier montré que :

**Proposition 2.2.10.** Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, $H_c^1(Y_i)_q$ est de dimension 1.

On peut alors démontrer le théorème suivant :

**Théorème 2.2.11.** Pour $q = \zeta_d^{-k}$ un racine d-ième de l'unité différente de 1, on peut construire une famille génératrice de $H^1(\hat{Y})_q$, ($g_1, \dots, g_n$) où pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, $g_i$ est à support compact dans $Y_i$, et :

$$\text{— } g_i \text{ engendre } H_c^1(Y_i)_q \text{ pour tout } i \in \{1, \dots, n\}$$

$$\text{— } \langle g_i; g_i \rangle = 2 \operatorname{Im}(q)$$

$$\text{— } \langle g_i; g_{i+1} \rangle = \iota(1 - \bar{q})$$

$$\text{— } \langle g_i; g_{i-1} \rangle = -\iota(1 - q)$$

$$\text{— } \langle g_i; g_j \rangle = 0 \text{ si } |i - j| > 1.$$
**Démonstration du théorème 2.2.11 :** L'étude de $H_c^1(Y_i)_q$ relève du cas $n=2$, comme on l'a vu plus haut. Supposons donc que $n=2$, $b_1=1$ et $b_2=-1$. De même que dans la proposition ci-dessus 2.2.9, la suite de Mayer-Vietoris précédente (2.2.2) et le lemme 2.2.2 nous permettent d'affirmer que $H_c^1(Y_1)_q \simeq H^1(\hat{Y})_q$ si $q \neq -1$, et $H_c^1(Y_1)_q \simeq H_c^1(\partial Y_1)_q$ sinon.

Dans le premier cas, on peut appliquer le théorème 2.2.3 pour avoir $\dim(H_c^1(Y_i)_q) = 1$ et de plus, appliquées avec $j=1$ et $n=2$, la condition $0 < \frac{j}{n} < \frac{k}{d} < 1$ revient ici à $\mathrm{Im}(q) > 0$ et la condition $0 < \frac{k}{d} < \frac{j}{n} < 1$ revient à $\mathrm{Im}(q) < 0$. On peut alors fixer un élément non nul $g_1 \in H_c^1(Y_1)_q$ qui vérifie $\langle g_1; g_1 \rangle = 2 \mathrm{Im}(q)$.

Dans l'autre cas, $\partial Y_1$ est la réunion disjointe de deux anneaux permutés par $T$ et d'après le lemme 2.2.2, la dimension de $H_c^1(\partial Y_1)_q$ vaut 1. On construit directement un générateur de cet espace comme dans le lemme 2.2.6 ci-dessus, on peut vérifier que ce générateur est tel que : $\langle g_1; g_1 \rangle = 0 = 2 \mathrm{Im}(-1)$.

Pour $n > 2$, il est ensuite possible de calculer la forme d'intersection entre deux des éléments $g_i$. Pour ses calculs, McMullen suppose que les $b_i$ sont les racines $n$-ièmes de l'unité, et en réintroduisant l'automorphisme $R$ de $\hat{Y}$ défini sur la courbe algébrique par $R(x, y) = (\zeta_n x, y)$, il obtient que :

$$R^*(g_i) = g_{i-1} \qquad (2.2.3)$$

ce qui lui permet de montrer que le calcul de $\langle g_i, g_{i+1} \rangle$ est indépendant de la valeur de $n$ et d'obtenir ainsi les formules annoncées dans le théorème. On retrouve les détails de cette preuve dans la démonstration du théorème 4.1 de l'article [McM13]. □

La relation ci-dessus (2.2.3) nous permet de voir que $\sum_{i=1}^n g_i$ est un vecteur dans $H^1(\hat{Y})_{0,k} = \{0\}$. Ainsi $\sum_{i=1}^n g_i = 0$. On en déduit :

**Remarque 2.2.12.** La famille $(g_1, \dots, g_{n-1})$ est également une famille génératrice de $H^1(\hat{Y})_q$.

Maintenant que des générateurs de $H^1(\hat{Y})_q$ sont trouvés, McMullen explicite l'action des tresses de $B_n$ sur cette famille génératrice. Il en déduit :

**Théorème 2.2.13.** *L'expression de l'action d'un $\tau_i$ sur $U(H^1(\hat{Y})_q)$ est donnée par :* $\forall x \in H^1(\hat{Y})_q,$

$$\tilde{\tau}_i^*(x) = \begin{cases} x - (q+1) \frac{\langle x; g_i \rangle}{\langle g_i; g_i \rangle} g_i & \text{si } q \neq -1 \\ x - \frac{i}{2} \langle x; g_i \rangle & \text{sinon.} \end{cases}$$

**Idée de la démonstration :** Dans le cas $q \neq -1$, McMullen montre que $\tilde{\tau}_i^*$ coïncide avec $-T^*$ sur $H_c^1(Y_i)_q$, ce que l'on peut voir en se ramenant au cas $n=2$, les détails se trouvent dans la partie 4 de l'article [McM13]. Alors $\tilde{\tau}_i^*(g_i) = -qg_i$ puisque $g_i \in H_c^1(Y_i)_q$. Comme le support de $\tau_i$ est $D_i$, $\tilde{\tau}_i^*$ laisse invariant $H_c^1(Y_i^c)_q$, c'est-à-dire $\tilde{\tau}_i^*$ fixe les éléments dont le support est dans $Y_i^c$, et en particulier il fixe donc les $g_j$ pour $|i-j| > 1$.

On veut faire un lien entre $H_c^1(Y_i^c)_q$ et $(H_c^1(Y_i)_q)^\perp$. On sait que la forme d'intersection est non dégénérée sur $H^1(\hat{Y})_q$, on a alors une première décomposition $H^1(\hat{Y})_q \simeq H_c^1(Y_i)_q \oplus (H_c^1(Y_i)_q)^\perp$. D'autre part, la suite de Mayer-Vietoris dans le cas compact nous donne également un isomorphisme $H^1(\hat{Y})_q \simeq H_c^1(Y_i)_q \oplus H_c^1(Y_i^c)_q$, on a donc $H_c^1(Y_i^c)_q \simeq (H_c^1(Y_i)_q)^\perp$. Un élément $w \in H^1(\hat{Y})_q$ admet une écriture $w = \lambda g_i + w'$ où $\lambda \in \mathbb{C}$ et $w' \in (H_c^1(Y_i)_q)^\perp \simeq$
$H_c^1(Y_i^c)_q$. Alors $\tilde{\tau}_i^*(w) = -q\lambda g_i + w' = w - (q+1)\lambda g_i$. Comme $\langle w; g_i \rangle = \lambda \langle g_i; g_i \rangle$, et que dans le cas $q \neq -1$, on a $\langle g_i; g_i \rangle \neq 0$, on a donc, pour tout $w \in H^1(\hat{Y})_q$ :

$$ \tilde{\tau}_i^*(w) = w - (q+1) \frac{\langle w; g_i \rangle}{\langle g_i; g_i \rangle} g_i. $$

Dans le cas $q = -1$, McMullen montre que :

$$ \begin{align*} \tilde{\tau}_i^*(g_i) &= g_i \\ \tilde{\tau}_i^*(g_{i+1}) &= g_{i+1} - g_i = g_{i+1} + qg_i = g_{i+1} - \frac{i}{2} \times (-i(1-q))g_i = g_{i+1} - \frac{i}{2} \langle g_{i+1}, g_i \rangle g_i \\ \tilde{\tau}_i^*(g_{i-1}) &= g_{i-1} + g_i = g_{i-1} - (-1)g_i = g_{i-1} - \frac{i}{2}(i(1-\bar{q}))g_i = g_{i-1} - \frac{i}{2} \langle g_{i-1}, g_i \rangle. \end{align*} $$

Enfin, comme tout élément $w \in H^1(\hat{Y})_q$ s'écrit comme une combinaison linéaire des $g_i$, on obtient la formule attendue. $\square$

Dans la pratique, on utilisera principalement les formules suivantes, qui explicitent l'action des $\tilde{\tau}_i^*$ sur les $g_1, \dots, g_n$ :

**Corollaire 2.2.14.** Pour tout $q \neq 1$ et pour tout $i, j \in \{1, \dots, n\}$ tels que $|i - j| > 1$, on a :

$$ \tilde{\tau}_i^*(g_i) = -qg_i \quad ; \quad \tilde{\tau}_i^*(g_{i+1}) = g_{i+1} + qg_i \quad ; \quad \tilde{\tau}_i^*(g_{i-1}) = g_{i-1} + g_i \quad ; \quad \tilde{\tau}^*(g_j) = g_j. $$

Par la suite, nous nous intéresserons aux éléments $\tilde{\tau}_i^{2*}$, on peut dès à présent exprimer leur action sur la famille $(g_1, \dots, g_n)$ :

**Proposition 2.2.15.** Pour tout $i, j \in \{1, \dots, n\}$ avec $|i - j| > 1$, on a :

$$ \begin{align*} (\tilde{\tau}_i^2)^*(g_i) &= q^2 g_i \\ (\tilde{\tau}_i^2)^*(g_{i+1}) &= g_{i+1} + q(1-q)g_i \\ (\tilde{\tau}_i^2)^*(g_{i-1}) &= g_{i-1} + (1+q)g_i \\ (\tilde{\tau}_i^2)^*(g_j) &= g_j \end{align*} $$

On a rappelé les principales définitions et notations, ainsi que les résultats de McMullen les plus utiles pour cette thèse. Avant de passer à la généralisation de ces derniers, nous allons aborder avec un nouveau point de vu le théorème 2.2.11 dans lequel McMullen explicite des générateurs de $H^1(\hat{Y})_q$. Nous utiliserons pour cela l'homologie, et les outils développés dans ce prochain chapitre nous seront utiles lors de la généralisation du théorème 2.2.11.
# Chapitre 3

## Interprétation en homologie des résultats de McMullen

Dans ce chapitre, nous proposons une construction d'une famille génératrice de $H^1(\hat{Y})_q$ vérifiant le théorème 2.2.11, en utilisant l'homologie. Ici la surface $\hat{Y}$ correspond à celle présentée dans le chapitre précédent relevant du cas de McMullen, en particulier $\hat{Y}$ est compacte. On rappellera la définition de la forme d'intersection $\langle ; \rangle$ sur $H^1(\hat{Y})_q$ et de la forme d'intersection sur $H_1(\hat{Y})$, notée *int* et que nous définirons par la suite, ainsi que le lien entre les deux, donné par la dualité de Poincaré. Les éléments $g_i$ pourront être construits comme les duaux d'éléments $\tilde{c}_i \in H_1(\hat{Y})_{\bar{q}}$, où $H_1(\hat{Y})_{\bar{q}}$ est le sous-espace propre de $T_*$ dans $H_1(\hat{Y})$, associé à la valeur propre $\bar{q}$. On trouve alors des relations entre les $\tilde{c}_i$ qui se transposent aux $g_i$.

Les résultats principaux de ce chapitre sont les suivants :

**Théorème 3.0.1.** Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, notons $c_i$ un chemin de $b_i$ à $b_{i+1}$, de sorte que le chemin concaténé $c_1 \cdots c_n$ forme le bord d'un disque. On note $c_{i,0}, \dots, c_{i,d-1}$ les d relevés de chaque $c_i$ sur $\hat{Y}$ indexés convenablement, et $c_i$ la 1-chaîne $c_i = \sum_{m=0}^{d-1} q^m c_{i,m}$. Alors en notant $g_i$ le dual de Poincaré de $2\frac{\sqrt{1-\mathrm{Re}(q)}}{\sqrt{d}}c_i$, la famille $(g_1, \dots, g_n)$ vérifie le théorème 2.2.11 de McMullen, c'est-à-dire que $(g_1, \dots, g_n)$ engendre $H^1(\hat{Y})_q$ et pour tous $i, j \in \{1, \dots, n\}$ : $g_i$ engendre $H_c^1(Y_i)_q$ et

$$ \langle g_i, g_j \rangle = \begin{cases} \iota(1 - \bar{q}) & \text{si } j = i + 1 \\ 2 \operatorname{Im}(q) & \text{si } j = i \\ -\iota(1 - q) & \text{si } j = i - 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$

Cette construction de la famille $(g_1, \dots, g_n)$ permet de retrouver naturellement des relations entre les $g_i$. En notant $Y_\infty$ la pré-image d'un voisinage $D_\infty$ de $\infty$, on peut retrouver la relation suivante déjà donnée par McMullen :

**Proposition 3.0.2.** $\sum_{i=1}^n g_i = 0 \in H_c^1(\hat{Y} \setminus Y_\infty)$.

On montre également une nouvelle relation pour $q^e = 1$, qui nous sera utile dans le cas généralisé, pour construire des générateurs lorsque $q^e = 1$. Cette relation est la suivante :
**Théorème 3.0.3.** Pour $q^e = 1$, où $e = \text{pgcd}(d, n)$, en notant $Y_\infty$ la pré-image d'un
voisinage de l'infini, l'élément $g \in H_c^1(\hat{Y} \setminus Y_\infty)_q$ défini par :

$$
g := \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\bar{q}^i - 1}{\bar{q}} g_i
$$

est non nul et admet un représentant à support dans $\partial(\hat{Y} \setminus Y_\infty)$ qui engendre $H_c^1(\partial(\hat{Y} \setminus Y_\infty))_q$

On utilisera principalement le point de vue en homologie par la suite afin de trouver
des relations entre les générateurs dans le cas plus général, en particulier nous serons
amenés à considérer plusieurs familles génératrices dépendantes du choix d’indexation
des $b_1, \dots, b_n$, on pourra grâce à cette construction en homologie faire le passage d’une
famille génératrice à une autre.

Commençons par définir les formes d'intersections en cohomologie et en homologie.

3.1 Les formes d'intersections en cohomologie et en ho-
mologie

Soient $n, d \in \mathbb{N}^*$, et $\hat{Y}$ la surface de Riemann obtenue à partir de la courbe algébrique :
$y^d = x^n - 1$.

3.1.1 La forme d'intersection $\langle ; \rangle$ sur $H^1(\hat{Y})$

Sur $H_{dR}^1(\hat{Y}, \mathbb{C})$ noté $H^1(\hat{Y})$, une 1-forme $\eta$ peut localement s'écrire $\eta = Pdx + Qdy$,
alors $\bar{\eta}$ est donné par $\bar{\eta} = \bar{P}dx + \bar{Q}dy$. On dispose de la forme d'intersection $\langle ; \rangle$ définie
par :

$$
\forall \eta, \mu \in H^1(\hat{Y}), \quad \langle \eta; \mu \rangle = \frac{i}{2} \int_{\hat{Y}} \eta \wedge \bar{\mu}.
$$

Sur $\hat{Y}$, on a également l'automorphisme $T$ vérifiant notamment $T^d = \text{Id}$. On décompose
comme précédemment $H^1(\hat{Y})$ en la somme directe des $d$ sous-espaces propres $H^1(\hat{Y})_q$ de
$T^*$, associés respectivement aux valeurs propres $q \in \{e^{-\frac{2i\pi k}{d}} | k \in \{0, \dots, d-1\}\}$. Dans tout
ce qui suit, $q$ représentera une racine $d$-ième de l'unité, on supposera de plus que $q \neq 1$.

De façon générale, lorsque $Y \subset \hat{Y}$ est une sous-surface ouverte de $\hat{Y}$, l'inclusion $i: Y \to \hat{Y}$ donne $i_*: H_c^1(Y)_q \to H_c^1(\hat{Y}) = H^1(\hat{Y})$. On pourra alors calculer pour $\eta, \mu \in H_c^1(Y)$ la forme d'intersection $\langle i_*(\eta); i_*(\mu) \rangle$ sur $H^1(\hat{Y})_q$. Par abus de notation, on écrira $\langle \eta, \mu \rangle$ plutôt que $\langle i_*(\eta); i_*(\mu) \rangle$.

Profitons d'avoir introduit la définition de cette forme d'intersection pour revenir sur
la cohomologie d'un anneau $\mathcal{A}$ dans $\hat{Y}$. On va pouvoir montrer le résultat suivant qui
complète le lemme 2.2.5 :

**Lemme 3.1.1.** Pour $\mathcal{A}$ un anneau de $\hat{Y}$, tout générateur $\eta$ de $H_c^1(\mathcal{A})_q$ vérifie $\langle\eta; \eta\rangle = 0$.

*Démonstration* : On construit un générateur $\eta$ de $H_c^1(\mathcal{A})$ comme dans la partie précédente. Il nous suffit de vérifier que $\langle\eta, \eta\rangle = 0$. Rappelons que $\mathcal{A} \simeq \mathbb{S}^1 \times I$ avec $I = ]0, 1[$, et $\eta$ est de la forme $\eta = \phi'(t)dt$ avec $\phi: I \to \mathbb{R}$ qui vérifie les propriétés énoncées précédemment. On calcule :

$$
\langle \eta; \eta \rangle = \frac{i}{2} \int_{\hat{Y}} \eta \wedge \bar{\eta} = \frac{i}{2} \int_{\mathcal{A}} \eta \wedge \bar{\eta}.
$$
On a alors :

$$ \langle \eta; \eta \rangle = \frac{i}{2} \int_I \phi'^2(t) dt \wedge dt = 0. $$

□

En particulier, on a vu au cours de la démonstration du lemme 2.2.6, que si $Y \subset \hat{Y}$ est une sous-surface telle que, en reprenant les notations ci-dessus, $\partial Y$ est une réunion de $m$ anneaux $A_0, \dots, A_{m-1}$ disjoints et permutés cycliquement par $T$, avec $m$ qui divise $d$, alors $H_c^1(\partial Y)_q$ est engendré par l’élément $\eta := \sum_{l=0}^{m-1} q^l \eta_l$ où $\eta_l = (T^{m-l})^*(\eta_0)$. Ici les $\eta_l$ interprétés dans $H_c^1(\hat{Y})_q = H^1(\hat{Y})_q$ sont à support deux à deux disjoints, et donc $\langle \eta_l; \eta_j \rangle = 0$ pour tout $l, j \in \{0, \dots, m-1\}$. On a alors immédiatement :

**Corollaire 3.1.2.** Si $\partial Y$ est la réunion disjointe de $m$ anneaux de $\hat{Y}$ permutés cycliquement par $T$, lorsque $q^m = 1$, $H_c^1(\partial Y)_q$ est engendré par un élément $\eta$ vérifiant $\langle \eta; \eta \rangle = 0$.

Ce corollaire sera utilisé dans les chapitres suivants. On s’intéresse à présent à la forme d’intersection *int* en homologie.

## 3.1.2 La forme d’intersection *int* sur $H_1(\hat{Y})$

En homologie, nous disposons également d'une forme d'intersection, notée *int*. Pour deux lacets $\alpha$ et $\beta$ de $\hat{Y}$, on note $\text{int}(\alpha, \beta)$ le nombre de points d'intersection entre ces deux chemins comptés avec signe : si $p$ est un point d'intersection entre $\alpha$ et $\beta$, on note $\varepsilon_{\alpha,\beta}(p) = 1$ si l'orientation de $\alpha$ par rapport à $\beta$ est positive, et $\varepsilon_{\alpha,\beta}(p) = -1$ sinon.

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIGURE 3.1 – Orientation de l’intersection entre deux chemins $\alpha$ et $\beta$</figcaption></figure>

Ainsi :

$$ \text{int}(\alpha, \beta) = \sum_{p \in \alpha \cap \beta} \varepsilon_{\alpha, \beta}(p). $$

Le nombre de points d'intersection est invariant par classe d'homologie et vérifie les propriétés suivantes :

* $\text{int}(\alpha, \beta) = -\text{int}(\beta, \alpha)$;

* $\text{int}(\alpha, \lambda\beta) = \text{int}(\lambda\alpha, \beta) = \lambda\text{int}(\alpha, \beta)$, pour tout $\lambda \in \mathbb{Z}$

* $\text{int}(\alpha + \beta, \gamma) = \text{int}(\alpha, \gamma) + \text{int}(\beta, \gamma)$.

Ainsi, *int* se définie sur $H_1(\hat{Y})$ avec pour toute classe $[\alpha], [\beta] \in H_1(\hat{Y})$, en notant $\alpha$ un représentant de $[\alpha]$ et $\beta$ un représentant de $[\beta]$,

$$ \text{int}([\alpha], [\beta]) = \text{int}(\alpha, \beta) = \sum_{p \in \alpha \cap \beta} \varepsilon_{\alpha, \beta}(p). $$

On peut de nouveau considérer l'automorphisme $T$ de $\hat{Y}$. Pour $\alpha$ une courbe sur $\hat{Y}$ et $[\alpha]$ sa classe dans $H_1(\hat{Y}, \mathbb{R})$, on définit $T_*([\alpha]) = [T(\alpha)]$. On identifie $\alpha$ à sa classe dans
$H_1(\hat{Y}, \mathbb{R})$ et on note alors $T_*(\alpha) = T(\alpha)$. On a également $(T_*)^d = \text{Id}$ et on peut considérer les sous-espaces propres de $T_*$, que l'on note $H_1(\hat{Y}, \mathbb{R})_{\bar{q}}$ pour $q$ une racine d-ième de l'unité définie comme précédemment. On peut faire le lien entre int et $\langle ; \rangle$, via la dualité de Poincaré.

### 3.1.3 Lien entre les formes d'intersections en homologie et en cohomologie

Pour $Y \subset \hat{Y}$ une sous-surface ouverte dans $\hat{Y}$ et invariante par $T$, la dualité de Poincaré nous donne un isomorphisme $H_1(Y, \mathbb{R}) \simeq H_c^1(Y, \mathbb{R})$. En particulier, on pourra utiliser les résultats suivants pour $Y = \hat{Y}$, rappelons alors que comme $\hat{Y}$ est compacte, $H_c^1(\hat{Y}) = H^1(\hat{Y})$. On définit la dualité de Poincaré de la façon suivante : $\eta \in H_c^1(Y)$ et $\alpha \in H_1(Y)$ sont duaux si :

$$ \forall w \in H^1(Y), \quad \langle w, \eta \rangle = \int_{\alpha} w. $$

On explicite ici la construction du dual de Poincaré d'un élément de $H_1(Y)$. Pour $\alpha$ une courbe fermée simple $C^\infty$ de $Y$, on considère un voisinage tubulaire de $\alpha$, qui est difféomorphe à $S^1 \times ]0, 1[$. Soit $\phi : ]0, 1[ \to \mathbb{R}$ une fonction $C^\infty$, croissante, valant 0 sur un intervalle $]0, \varepsilon[$ et $1$ sur $]1 - \varepsilon, 1[$ de sorte que $\phi'$ a pour support $[\varepsilon, 1 - \varepsilon]$. Alors $\eta_\alpha = \phi'(t)dt$ est une 1-forme fermée sur $S^1 \times ]0, 1[$, représentant un élément dans $H_c^1(Y)$.

**Lemme 3.1.3.** $\eta_\alpha$ est le dual de Poincaré de $\alpha$.

**Démonstration** : Soit $w$ une 1-forme fermée sur $Y$. On considère un voisinage tubulaire de $\alpha$ comme précédemment, difféomorphe à $S^1 \times ]0, 1[$, avec $(\theta, t)$ les coordonnées sur $S^1 \times ]0, 1[$. Comme $S^1 \simeq \mathbb{R}/\mathbb{Z}$, on identifie les fonctions et les 1-formes sur $S^1 \times ]0, 1[$ avec des fonctions et des 1-formes sur $\mathbb{R} \times ]0, 1[$ invariantes par la translation $\theta \to \theta + 1$. Alors $w = P(\theta, t)dt + Q(\theta, t)d\theta$ avec $P$ et $Q$ qui sont $C^\infty$ et vérifient $P(\theta, t) = P(\theta + 1, t)$, $Q(\theta, t) = Q(\theta + 1, t)$ pour tout $(\theta, t) \in \mathbb{R} \times ]0, 1[$. $w$ est fermée donc $\frac{\partial P}{\partial \theta} = \frac{\partial Q}{\partial t}$. On peut vérifier que $\int_Y \eta_\alpha \wedge w = \int_0^1 Q(1 - \varepsilon, \theta)d\theta = \int_{\alpha'} w$ où $\alpha'$ est la courbe qui s'identifie à $S^1 \times \{1 - \varepsilon\}$ et est donc homotope à $\alpha$. En effet :
$$
\begin{align*}
\int_Y \eta \wedge w &= \int_{\mathbb{S}^1} \int_{]0;1[} \phi'(t)dt \wedge (P(t,\theta)dt + Q(t,\theta)d\theta)) \\
&= \int_{\mathbb{S}^1} \int_{\varepsilon}^{1-\varepsilon} \phi'(t)Q(t,\theta)dtd\theta \\
&= \int_0^1 \left( \int_{\varepsilon}^{1-\varepsilon} \phi'(t)Q(t,\theta)dt \right) d\theta \\
&= \int_0^1 \left( [\phi(t)Q(t,\theta)]_{\varepsilon}^{1-\varepsilon} - \int_{\varepsilon}^{1-\varepsilon} \phi(t)\frac{\partial Q}{\partial t}(t,\theta)dt \right) d\theta \\
&= \int_0^1 Q(1-\varepsilon,\theta)d\theta - \int_{\varepsilon}^{1-\varepsilon} \int_0^1 \phi(t)\frac{\partial P}{\partial \theta}(t,\theta)dtd\theta \\
&= \int_0^1 Q(1-\varepsilon,\theta)d\theta - \int_{\varepsilon}^{1-\varepsilon} \left( \int_0^1 \frac{\partial P(t,\theta)}{\partial \theta}d\theta \right) \phi(t)dt \\
&= \int_0^1 Q(1-\varepsilon,\theta)d\theta - \int_{\varepsilon}^{1-\varepsilon} \underbrace{(P(t,1)-P(t,0))}_{=0} \phi(t)dt \\
&= \int_0^1 Q(1-\varepsilon,\theta)d\theta \\
&= \int_{\alpha'} w = \int_{\alpha} w.
\end{align*}
$$

Ainsi, $\eta$ est le dual de $\alpha$.

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

En conséquence, on a le lemme suivant :

**Lemme 3.1.4.** Pour $\alpha$ et $\beta$ deux courbes fermées sur $Y$ et $\eta_\alpha, \eta_\beta$ les 1-formes fermées associées, définies à partir d'une fonction $\phi$ comme ci-dessus, on a :

$$ \mathrm{int}(\alpha, \beta) = \int_Y \eta_\alpha \wedge \eta_\beta = \int_{\hat{Y}} \eta_\alpha \wedge \eta_\beta. $$

**_Démonstration_** : On considère des voisinages tubulaires de $\alpha$ et de $\beta$, notés respectivement $V_\alpha$ et $V_\beta$, définis comme dans le lemme précédent. On peut considérer que les courbes $\alpha$ et $\beta$ s'intersectent transversalement en chacun des points d'intersection entre $\alpha$ et $\beta$. Ainsi, pour tout point $p \in \alpha \cap \beta$, on peut fixer un voisinage $V_p$ difféomorphe à $]0; 1[ \times ]0, 1[ \text{ tel que l'intersection avec } \alpha \text{ correspond à } ]0; 1[ \times \{0\} \text{ et l'intersection avec } \beta \text{ correspond à } \{0\} \times ]0; 1[. \text{ En notant } (s,t) \text{ les coordonnées sur } V_p, \text{ on peut écrire, si } \beta \text{ va vers le haut, } \eta_\alpha = \phi'(t)dt \text{ et } \eta_\beta = -\phi'(s)ds. \text{ Alors :

$$ \int_{V_p} \eta_\alpha \wedge \eta_\beta = \int_0^1 \int_0^1 \phi'(s)\phi'(t)dsdt = \int_0^1 \phi'(t)\left(\int_0^1 \phi'(s)ds\right)dt = 1. $$

A l'inverse, si $\beta$ est orienté vers le bas, alors $\int_{V_p} \eta_\alpha \wedge \eta_\beta = -1$. Ainsi, $\mathrm{int}(\alpha, \beta) = \int_{\hat{Y}} \eta_\alpha \wedge \eta_\beta$. $\square$

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

La correspondance $\alpha \mapsto \eta_\alpha$ induit un isomorphisme $H_1(Y, \mathbb{R}) \to H_1^1(Y, \mathbb{R})$. Reprenons maintenant le cas de $\hat{Y}$. On sait que la dimension de $H_1^1(\hat{Y}, \mathbb{R})$ et de $H_1(\hat{Y}, \mathbb{R})$ est $2g$, où $g$ est le genre de $\hat{Y}$. Considérons une base $(c_1, \dots, c_{2g})$ de $H_1(\hat{Y}, \mathbb{R})$, formée de courbes fermées simples. On considère les $\eta_i$, 1-formes associées à $c_i$ pour chaque $i \in \{1, \dots, 2g\}$.
Alors les $\eta_i$ forment une base de $H^1(\hat{Y}, \mathbb{R})$. Rappelons que dans le travail de McMullen, la notation $H^1(\hat{Y})$ est plutôt utilisé pour $H^1(\hat{Y}, \mathbb{C})$. Cet espace s'identifie naturellement à :

$$ \{\sum_{i=1}^{2g} \lambda_i \eta_i \mid \lambda_1, \dots, \lambda_{2g} \in \mathbb{C}\}. $$

Sur cet espace, on définit la conjugaison complexe par : $\overline{\sum_{i=1}^{2g} \lambda_i \eta_i} = \sum_{i=1}^{2g} \overline{\lambda_i \eta_i}$. On peut de même identifier $H_1(\hat{Y}, \mathbb{C})$ à l'espace :

$$ \{\sum_{i=1}^{2g} \lambda_i c_i \mid \lambda_1, \dots, \lambda_{2g} \in \mathbb{C}\} $$

sur lequel on peut également définir la conjugaison complexe : $\overline{\sum_{i=1}^{2g} \lambda_i c_i} = \sum_{i=1}^{2g} \overline{\lambda_i c_i}$. On étend l'identification $H_1(\hat{Y}, \mathbb{R}) \simeq H_c^1(\hat{Y}, \mathbb{R})$ à une identification $H_1(\hat{Y}, \mathbb{C}) \simeq H^1(\hat{Y}, \mathbb{C})$. Sur $H^1(\hat{Y}, \mathbb{C})$, on définit la forme hérmitienne non dégénérée :

$$ \langle \eta, \mu \rangle := \frac{i}{2} \int_{\hat{Y}} \eta \wedge \bar{\mu} $$

et on étend sur $H_1(\hat{Y}, \mathbb{C})$ la forme bilinéaire anti-symétrique int par :

$$ \mathrm{int}(\sum_{i=1}^{2g} \lambda_i c_i, \sum_{j=1}^{2g} \lambda'_j c_j) = \sum_{i=1}^{2g} \sum_{j=1}^{2g} \lambda_i \lambda'_j \mathrm{int}(c_i, c_j). $$

On a :

**Lemme 3.1.5.** Soient $\alpha, \beta \in H_1(\hat{Y}, \mathbb{C})$ et $\eta_\alpha, \eta_\beta \in H_c^1(\hat{Y}, \mathbb{C})$ leur dual de Poincaré. Alors :

$$ \langle \eta_\alpha; \eta_\beta \rangle = \frac{i}{2} \mathrm{int}(\alpha, \bar{\beta}). $$

**_Démonstration_ :** On note $\alpha = \sum_{i=1}^{2g} \lambda_i c_i$ et $\beta = \sum_{j=1}^{2g} \lambda'_j c_j$, où les $\lambda_i, \lambda'_j$ sont des complexes. Par définition, on a donc $\eta_\alpha = \sum_{i=1}^{2g} \lambda_i \eta_i$ et $\eta_\beta = \sum_{i=1}^{2g} \lambda'_i \eta_i$. Alors :

$$ \begin{align*} \langle \eta_\alpha, \eta_\beta \rangle &= \frac{i}{2} \sum_{i,j=1}^{2g} \lambda_i \overline{\lambda'_j} \int_{\hat{Y}} \eta_i \wedge \eta_j \\ &= \frac{i}{2} \sum_{i,j=1}^{2g} \lambda_i \overline{\lambda'_j} \mathrm{int}(c_i, c'_j) \\ &= \frac{i}{2} \mathrm{int}(\alpha, \bar{\beta}). \end{align*} $$

□

On peut alors définir $T_*$ sur $H_1(\hat{Y}, \mathbb{C}) := H_1(\hat{Y})$ avec $T_*(\alpha) = T(\alpha)$ pour $\alpha \in H_1(\hat{Y})$. On démontre alors le lemme suivant :

**Lemme 3.1.6.** $H_1(\hat{Y})_{\bar{q}} \simeq H^1(\hat{Y})_q$.
**Démonstration** : Considérons $\eta \in H^1(\hat{Y})_q$ et son dual $\alpha \in H_1(\hat{Y})$. Alors pour tout $w \in H^1(\hat{Y})$, on a par définition :

$$
\begin{align*}
\int_{T_*(\alpha)} w &= \int_{T(\alpha)} w := \int_{\alpha} T^*(w) = \int_{\hat{Y}} \eta \wedge T^*(w) \\
&= \int_{\hat{Y}} T^*((T^*)^{-1}(\eta) \wedge w) \\
&= \int_{\hat{Y}} (T^*)^{-1}(\eta) \wedge w \\
&= \int_{\hat{Y}} q^{-1}\eta \wedge w \\
&= q^{-1} \int_{\hat{Y}} \eta \wedge w \\
&= \bar{q} \int_{\alpha} w
\end{align*}
$$

donc $\int_{T_*(\alpha)} w = \bar{q} \int_{\alpha} w$ pour tout $w \in H^1(\hat{Y})$. Ainsi $T_*(\alpha) = \bar{q}\alpha$ c'est-à-dire $\alpha \in H_1(\hat{Y})_{\bar{q}}$ et on peut identifier $H^1(\hat{Y})_q$ et $H_1(\hat{Y})_{\bar{q}}$. $\square$

Si $Y \subset \hat{Y}$ est une sous-surface ouverte de $\hat{Y}$, invariante par $T$, on dispose également
via la dualité de Poincaré d'un résultat similaire :

**Lemme 3.1.7.** *Pour $Y \subset \hat{Y}$ une sous-surface ouverte de $\hat{Y}$, invariante par $T$, $H_c^1(Y)_q \simeq H_1(Y)_{\bar{q}}$.*

## 3.2 Construction de $g_1$ générateur de $H_c^1(Y_1)_q$ dans le cas $n = 2$

On note de nouveau $D_i \subset \mathbb{C}$ un disque contenant les points $b_i$ et $b_{i+1}$ mais aucun autre des points marqués, et $Y_i = \pi^{-1}(D_i)$. On cherche à construire un générateur de $H_c^1(Y_1)_q$. Puisque $Y_1$ est la pré-image du $D_1$, contenant donc les deux points marqués $b_1$ et $b_2$, on peut se retreindre au cas $n = 2$. On peut supposer $b_1 = 1$ et $b_2 = -1$. La surface $\hat{Y}$ est obtenue à partir de la courbe algébrique $y^d = x^2 - 1$. Comme les $b_i$ sont les racines carrées de l'unité, on dispose ici de l'automorphisme $R : \hat{Y} \to \hat{Y}$ défini sur la courbe algébrique par $R(x, y) = (-x, y)$. On sait également d'après [McM13], que si $d$ est pair, il y a deux pré-images $p_0$ et $p_1$ de $\infty$, permutées par $R$ et par $T$, de sorte que $T(p_l) = p_{l+1 \mod 2}$ et $R(p_l) = p_{l-1 \mod 2}$. Cette écriture s'avère plus utile lorsque $n > 2$, mais nous pouvons déjà l'introduire ici pour familiariser le lecteur.

Le cas $n=2$ est particulier puisque les disques $D_1$ et $D_2$ contiennent tous les deux les points $b_1$ et $b_2$. Ces deux disques homotopes, et on a donc un isomorphisme $Y_1 \simeq Y_2$ et $H_c^1(Y_1)_q \simeq H_c^1(Y_2)_q$. Puisque $D_1 \simeq D_2$, on s'intéresse principalement à la construction du générateur $g_1$ de $H_c^1(Y_1)_q$ en passant par la construction d'un générateur soit de $H_c^1(\partial Y_1)_q$ si $q = -1$, soit de $H^1(\hat{Y})_q$ si $q \neq -1$, en accord avec la proposition 2.2.9.

Nous passons par l'homologie pour faire la construction de ce générateur. Rappelons que $H_c^1(Y_1)_q \simeq H_1(Y_1)_{\bar{q}}$ par la dualité de Poincaré et le lemme 3.1.7. D'après le corollaire 2.2.10, on sait que $H_c^1(Y_1)_q$ est de dimension 1. On en déduit immédiatement :

**Corollaire 3.2.1.** *La dimension de $H_1(Y_1)_{\bar{q}}$ est 1.*
On construit dans ce qui suit un élément $\mathbf{c}_1$ dans $H_1(Y_1)_{\bar{q}}$, on montrera ensuite que cet élément est non nul et engendre donc $H_1(Y_1)_{\bar{q}}$ qui est de dimension 1.

### 3.2.1 Construction et première étude de $\mathbf{c}_1$

On va considérer $D$ le disque unité, et $D_\infty$ son complémentaire. Au-dessus de $D$ il y a $d$ disques ouverts disjoints, permutés par $T$ mais stables par $R$. On note $E_0, \dots, E_{d-1}$ ces disques et $B_0, \dots, B_{d-1}$ leur bords respectifs, avec $T^m(E_0) = E_m$ et donc $T^m(B_0) = B_m$ pour tout $m \in \{0, \dots, d-1\}$. Le bord de $D$ est la concaténation d'un chemin $c_1$ joignant $b_1$ à $b_2$, et d'un chemin $c_2$ joignant $b_2$ à $b_1$. $c_1$ admet $d$ relevés sur $\hat{Y}$, permutés par $T$. On note $c_{1,0}$ le relevé de $c_1$ qui se trouve sur $B_0$. On définit alors les autres relevés de $c_1$ par $c_{1,m} = T^m(c_{1,0})$ pour tout $m \in \{0, \dots, d-1\}$. Comme $c_2 = \pi \circ R(c_{1,0})$, on définit $c_{2,0} = R(c_{1,0})$. Or $R$ laisse stable $B_0$, on a donc $c_{2,0} \subset B_0$. On définit ensuite les autres relevés de $c_2$ de la façon suivante : $c_{2,m} = T^m(c_{2,0})$.

Il est clair que les $c_{1,m}$ sont dans $Y_1$, on veut construire un générateur de $H_1(Y_1)_{\bar{q}}$ à l'aide des relevés de $c_1$.

On considère, pour $i=1,2$ les 1-chaînes : $\mathbf{c}_i = \sum_{m=0}^{d-1} q^m \cdot c_{i,m}$. On montre alors :

**Proposition 3.2.2.** *Pour tout $i \in \{1,2\}$, on a : $\mathbf{c}_i \in H_1(Y_i)_{\bar{q}}$.*

*Démonstration* : Chaque $c_{i,m}$, pour $i=1,2$ et $m \in \{0, \dots, d-1\}$, débute en $q_i$ et se termine en $q_{i+1}$, où $q_i$ est le point au-dessus de $b_i$. Comme $\partial c_{i,m} = q_{i+1} - q_i$, on a $\partial \mathbf{c}_i = (\sum_{m=1}^{d-1} q^m) \cdot (q_{i+1} - q_i) = 0$ et donc $\mathbf{c}_i$ est dans $H_1(Y_i)$. De plus, on peut vérifier que $T_*(\mathbf{c}_i) = \bar{q}\mathbf{c}_i$, donc $\mathbf{c}_i \in H_1(Y_i)_{\bar{q}}$. $\square$

D'après la proposition 3.2.2, on sait que $\mathbf{c}_1$, respectivement $\mathbf{c}_2$, est dans $H_1(Y_1)_{\bar{q}}$, respectivement dans $H_1(Y_2)_{\bar{q}}$. Comme ces deux espaces sont de dimension 1 d'après 2.2.10, il suffit de montrer que $\mathbf{c}_1$ et $\mathbf{c}_2$ sont non nuls pour qu'ils soient générateurs respectivement de $H_1(Y_1)_{\bar{q}}$ et de $H_1(Y_2)_{\bar{q}}$. Suivant les cas $q \neq -1$ ou $q = -1$, on utilisera deux méthodes différentes pour voir que $\mathbf{c}_1$ et $\mathbf{c}_2$ sont tous les deux non nuls.

### 3.2.2 Le cas $q \neq -1$

On veut ici montrer que $\mathbf{c}_1$ est non nul en calculant $\text{int}(\mathbf{c}_1, \overline{\mathbf{c}_1})$. Remarquons qu'il suffit de faire le calcul pour $\mathbf{c}_1$ puisque $\mathbf{c}_2 = R(\mathbf{c}_1)$, ainsi si $\mathbf{c}_1$ est non nul, $\mathbf{c}_2$ ne l'est pas non plus car $R$ est un isomorphisme.

Regardons localement ce qu'il se passe au voisinage de $q_1$ et de $q_2$. Remarquons pour commencer que $y$ est une coordonnée locale sur $Y_1$. En effet, $\frac{\partial f}{\partial x}(b_i, 0) = \pm 2 \neq 0$, avec $f$ la fonction $f(x, y) = y^d - (x^2 - 1)$. D'après le théorème d'inversion locale, on a donc $y$ est une coordonnée locale au voisinage des $b_i$, et on peut considérer que $y$ est une coordonnée locale sur $Y_1$. Alors $T$ s'exprime comme $T : y \mapsto \zeta_d y$. Ainsi, en regardant au voisinage de $q_1$, les $d$ chemins $c_{1,m}$ peuvent être représentés comme une rotation d'angle $\frac{2\pi m}{d}$ de $c_{1,0}$. De même à l'arrivée, au voisinage de $q_2$, les chemins $c_{1,m}$ correspondent respectivement à une rotation d'angle $\frac{2\pi m}{d}$ de $c_{1,0}$. Ceci est illustré sur la figure 3.2.
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIGURE 3.2 – Au voisinage de $q_1$ et $q_2$, les $c_{1,m}$ sont l'image par une rotation d'angle $m \frac{2\pi}{d}$ de $c_{1,0}$</figcaption></figure>

En particulier, comme les chemins $c_1$ et $c_2$ forment un angle de $\pi$ sur $\hat{C}$, alors au voisinage de $q_2$, les chemins $c_{2,m}$ forment un angle $\frac{\pi(1+2m)}{d}$ avec $c_{1,0}$. C'est ce que l'on représente sur la figure 3.3.

**Théorème 3.2.3.** Lorsque $q \neq -1$, $c_i$ est non nul et engendre $H_1(Y_i)_{\bar{q}}$ pour $i = 1, 2$.

**Démonstration** : On fait la preuve pour $c_1$ puisqu'on aura immédiatement, si $c_1$ est non nul, alors $c_2 = R(c_1)$ est non nul également.

Calculons donc $int(c_1, \bar{c}_1)$. Pour cela, on introduit de nouveaux cycles sur lesquels ces calculs se font plus facilement.

Soient $\hat{c}_{1,m} = c_{1,m} - c_{1,m+1}$ et $\hat{c}_1 = \sum_{m=0}^{d-1} q^m \cdot \hat{c}_{1,m}$. On peut vérifier facilement que $\partial \hat{c}_1 = 0$ et $\hat{c}_1 \in H_1(Y_1)_{\bar{q}}$. Aussi, on a :

$$ \begin{aligned} \hat{c}_1 &= (c_{1,0} - c_{1,1}) + q(c_{1,1} - c_{1,2}) - \dots + q^{d-1}(c_{1,d-1} - c_{1,0}) \\ &= (1 - \bar{q})c_{1,0} + q(1 - \bar{q})c_{1,1} + \dots + q^{d-1}(1 - \bar{q})c_1, \\ &= (1 - \bar{q})c_1. \end{aligned} $$

On peut voir que :

$$ int(\hat{c}_{1,m}, \hat{c}_{1,m'}) = \begin{cases} 0 & \text{si } |m - m'| \neq 1 \\ -1 & \text{si } m' = m - 1 \\ 1 & \text{si } m' = m + 1 \end{cases}. $$

En effet, si $|m-m'| > 1$, il est facile de trouver des chemins de même classe d'homotopie que $\hat{c}_{1,m}$ et $\hat{c}_{1,m'}$ qui sont disjoints, comme illustré sur la figure 3.4, et donc $int(\hat{c}_{1,m}, \hat{c}_{1,m'}) = 0$.

Il est également clair que si $m = m'$, l'intersection entre $\hat{c}_{1,m}$ et lui-même est nulle en considérant de la même façon deux chemins ayant la même classe d'homotopie que $\hat{c}_{1,m}$ mais ne s'intersectant pas, de même que sur la figure 3.5.
<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>FIGURE 3.3 – Au voisinage de $q_2$, l'angle entre $c_{1,m}$ et $c_{1,m+1}$ est $\frac{2\pi}{d}$, et l'angle entre $c_{1,m}$ et $c_{2,m}$ est $\frac{\pi}{d}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>FIGURE 3.4 – Deux chemins homotopes à $\hat{c}_{1,m}$ et $\hat{c}_{1,m'}$ ne se rencontrant pas</figcaption></figure>

Si $m' = m + 1$, il suffit d'observer la figure 3.6 sur laquelle le chemin $c$ homotope à $\hat{c}_{1,m}$ est tracé aux voisinages de $q_1$ et de $q_2$, et le chemin $c'$ homotope à $\hat{c}_{1,m+1}$ est tracé en gras aux voisinages de $q_1$ et de $q_2$.

Au voisinage de $q_1$, le chemin $c'$ est sur le bord droit du chemin $c$, alors au voisinage de $q_2$, le chemin $c'$ reste sur le bord droit de $c$ et $c$ doit donc rencontrer $c'$, l'orientation est positive.

Si $m' = m - 1$, alors $\text{int}(\hat{c}_{1,m}, \hat{c}_{1,m-1}) = -\text{int}(\hat{c}_{1,m-1}, \hat{c}_{1,m}) = 1$.

On trouve alors :

$$ \text{int}(\hat{c}_1, \bar{\hat{c}_1}) = \sum_{m=0}^{d-1} \sum_{m'=0}^{d-1} q^{m-m'} \text{int}(\hat{c}_{1,m}, \hat{c}_{1,m'}) = -d(q - \bar{q}) = -d \times 2i \operatorname{Im}(q) \neq 0. $$

Donc :

$$ \begin{align*} \text{int}(\mathbf{c}_1, \bar{\mathbf{c}}_1) &= \text{int}\left(\frac{1}{1-\bar{q}}\hat{c}_1, \frac{1}{1-q}\bar{\hat{c}}_1\right) \\ &= \frac{1}{(1-\bar{q})(1-q)}\text{int}(\hat{c}_1, \bar{\hat{c}}_1) \\ &= \frac{-d \times i \operatorname{Im}(q)}{1 - \operatorname{Re}(q)} \end{align*} $$

Puisque $q \neq 1$ et que $q \neq -1$, on a $1 - \operatorname{Re}(q) \neq 0$ et $\operatorname{Im}(q) \neq 0$, donc l'auto-intersection ci-dessus est non nulle. Alors $\mathbf{c}_1 \neq 0$ est un générateur de $H_1(Y_1)_q$ qui est de dimension
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE 3.5 – Deux chemins homotopes à $\hat{c}_{1,m}$ ne se rencontrant pas</figcaption></figure>

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIGURE 3.6 – Intersection entre $\hat{c}_{1,m}$ et $\hat{c}_{1,m+1}$</figcaption></figure>

1.

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

On peut normaliser $\mathbf{c}_1$ de sorte que son dual $g_1$ vérifie $\langle g_1, g_1 \rangle = 2 \operatorname{Im}(q)$ comme attendu dans le théorème 3.0.1. On note $g_1$ le dual de Poincaré de $\tilde{c}_1 := \frac{2\sqrt{1-\operatorname{Re}(q)}}{\sqrt{d}}\mathbf{c}_1$. Alors $\tilde{c}_1$ est un générateur de $H_1(Y_1)_{\bar{q}}$ et son dual $g_1$ vérifie :

$$ \langle g_1; g_1 \rangle = \frac{\ell}{2} \operatorname{int}(\tilde{c}_1, \tilde{c}_1) = 2 \operatorname{Im}(q). $$

**Remarque 3.2.4.** Le même travail peut être réalisé pour montrer que $c_2$ est un générateur de $H_1(Y_2)_{\bar{q}}$, et démontrer ainsi le théorème 3.0.1 dans le cas $n = 2$ et $q \neq -1$.

Comme précédemment, on note $Y_\infty$ la pré-image de $D_\infty$, un voisinage de $\infty$, et $Y = \hat{Y} \setminus Y_\infty$, prolongé en un ouvert de sorte que le bord de $Y_\infty$ est compris dans $Y$. De nouveau, on notera $\partial Y$ l'intersection entre $Y$ et $Y_\infty$, qui se compose donc d'une réunion de $e = \text{pgcd}(d, 2)$ anneaux disjoints. Vus dans $H_c^1(Y)$, les $\mathbf{c}_1$ et $\mathbf{c}_2$ vérifient la relation suivante :

**Proposition 3.2.5.** $\mathbf{c}_1 + \mathbf{c}_2 = 0 \in H_c^1(Y)$.

**Démonstration** : Rappelons que $B_0, \dots, B_{d-1}$ sont les bords des $d$ disques au-dessus de $D$, avec $c_{1,0} \in B_0$ et $B_m = T^m(B_0)$ pour tout $m \in \{0, \dots, d-1\}$. On en déduit $T^m(c_{1,m}) = c_{1,m} \in B_m$. Comme $R$ laisse stables les pré-images de 0, on a $R(B_m) = B_m$ et donc $c_{2,m} \in B_m$. Alors $B_m = \sum_{i=1}^n c_{i,m}$ et $\sum_{i=1}^2 \mathbf{c}_i = \sum_{m=0}^{d-1} q^m \cdot c_{i,m} = \sum_{m=0}^{d-1} q^m \cdot B_m = 0 \in H_1(Y)$ et la relation est démontrée. $\square$

Cette relation relève celle que l'on retrouve sur le bord du disque $D$ : on a $c_1 = -c_2$ comme on peut le voir sur l'illustration ci-dessous 3.7.

Cette relation sera généralisée dans le cas $n$ quelconque, on la retrouve également pour $n = 2$ et $q = -1$ puisque la démonstration est indépendante de la valeur de $q$.

Il faut maintenant voir ce qu'il se passe dans le cas $q = -1$.
<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIGURE 3.7 – Les chemins $c_1$ et $c_2$ sur $\hat{C}$</figcaption></figure>

### 3.2.3 Le cas $q = -1$, construction d'un générateur de $H_c^1(\partial Y_1)_{-1}$

Le cas $q = -1$ ne peut arriver que pour $d$ pair. On a ici $\mathrm{int}(\mathbf{c}_1, \bar{\mathbf{c}}_1) = 0$ et on ne peut plus utiliser l'argument de la partie précédente pour montrer que $\mathbf{c}_1$ est non nul. On va construire un nouvel élément $s$, dépendant de $\mathbf{c}_1$ et $\mathbf{c}_2$, pour montrer qu'à nouveau, $\mathbf{c}_1$ est non nul et engendre donc $H_1(Y_1)_{-1}$.

Remarquons pour commencer, que comme $q = -1$, alors $H_c^1(\partial Y_1)_{-1} \simeq H_1(\partial Y_1)_{-1}$ d'après la proposition 2.2.9. Ainsi, un générateur de $H_1(\partial Y_1)_{-1}$ donnera un générateur de $H_c^1(\partial Y_1)_{-1}$. On s'intéresse donc à la construction d'un élément non nul de $H_1(\partial Y_1)_{-1}$. On rappelle que $Y_\infty$ est la pré-image d'un voisinage $D_\infty$ au voisinage de $\infty$ et $Y = \hat{Y} \setminus Y_\infty$. $Y_\infty$ est formé de 2 disques, on note $S_0$ et $S_1$ les composantes de bord de $\hat{Y} \setminus Y_\infty$. Notons $s_0$ et $s_1$ les générateurs dans le sens direct respectivement de $H_1(S_0)$ et de $H_1(S_1)$, ils peuvent être représentés respectivement par un chemin orienté sur le bord de $S_1$ et $S_2$, ce que l'on illustre par la figure 3.8.

Comme $T$ permute les bords et préserve l'orientation, on a $T(s_0) = s_1$ et $T(s_1) = s_0$. Remarquons que $D_1$ et $D_\infty$ sont homotopes, on peut donc trouver un isomorphisme entre $H_1(Y_1)_{-1}$ et $H_1(Y)_{-1}$ et entre $H_1(\partial Y_1)_{-1}$ et $H_1(\partial Y)_{-1}$. Puisque $q^2 = 1$, on a également d'après 2.2.9, $H_c^1(Y)_{-1} \simeq H_c^1(\partial Y)_{-1}$. En passant à la dualité de Poincaré, un générateur de $H_1(\partial Y)_{-1}$ donne ainsi un générateur de $H_1(Y)_{-1} \simeq H_1(Y_1)_{-1}$. Si $s$ est un générateur de $H_1(\partial Y)_{-1}$, alors $s$ s'associe à un multiple de $\mathbf{c}_1$, on veut montrer que ce multiple est non nul, alors $\mathbf{c}_1$ engendre $H_1(Y_1)_{-1}$.
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIGURE 3.8 – Illustration des sous-surfaces $Y_\infty$ et $Y$ de $\hat{Y}$ ainsi que des bords $S_0$ et $S_1$ et des chemins $s_0$ et $s_1$</figcaption></figure>

**Proposition 3.2.6.** Pour $q = -1$, l'élément $s = s_0 - s_1$ est non nul dans $H_c^1(Y)_{-1}$ et engendre $H_1(\partial Y)_{-1} \simeq H_c^1(\partial Y_1)_{-1}$.

*Démonstration* : Par la dualité de Poincaré, on sait déjà que la dimension de $H_1(\partial Y_1)_{-1} \simeq H_c^1(\partial Y_1)_{-1}$ est 1 si et seulement si $q^e = 1$ d'après le lemme 2.2.6, avec $e = \text{pgcd}(d, n) = 2$. La condition précédente revient donc ici à $q = -1$. De plus, $T_*(s) = -s$, donc $s \in H_1(\partial Y_1)_{-1}$. Pour montrer que $s$ est un générateur de $H_1(\partial Y_1)_{-1}$, il suffit donc de montrer que $s$ est non nul. Supposons donc que $s$ est nul et raisonnons par l'absurde.

Soit $w \in H_1(\partial Y)_{-1} \subset H_c^1(S_0) \oplus H_c^1(S_1)$ et supposons $w \neq 0$. On sait que $s_0$ engendre $H_1(S_0)$ et de même, $s_1$ engendre $H_1(S_1)$. On peut écrire $w = \lambda_0 \cdot s_0 + \lambda_1 \cdot s_1$. Alors d'une part $T_*(w) = -w$ par définition de $w$, et d'autre part $T_*(w) = \lambda_0 \cdot s_1 + \lambda_1 \cdot s_0$ puisque $T$ permute $S_0$ et $S_1$. On en déduit que $\lambda_l = -\lambda_{l+1}$, et donc $\lambda_1 = -\lambda_0$. Comme $w$ est non nul, on doit avoir $\lambda_0 \neq 0$. Alors $w = \lambda_0 \cdot s_0 - \lambda_0 \cdot s_1 = \lambda_0 \cdot s = 0$. On a donc une contradiction et finalement $s \neq 0$. Alors $s = s_0 - s_1$ engendre $H_1(\partial Y)_{-1}$.

Rappelons qu'on dispose de la suite exacte 2.2.2 qui donne ici suivante :

$$0 \to H_c^1(\partial Y)_{-1} \to H_c^1(Y)_{-1} \to H^1(\hat{Y})_{-1} \to 0.$$

Alors l'élément $s$ s'envoie sur un un élément non nul dans $H_c^1(Y)_{-1}$, que l'on note de nouveau $s$. $\square$

Le lemme suivant nous permet d'exprimer $s$ vu dans $H_c^1(Y)_{-1}$ en fonction de $c_1$ et $c_2$.

**Lemme 3.2.7.** Pour $q = -1$, $s = c_1 - c_2 = 2c_1 \in H_c^1(Y)_{-1}$.

*Démonstration* : Supposons que $d$ est pair. Rappelons que par construction, $c_{1,0}$ est sur le bords de $S_0$, et comme $T$ permute $S_0$ et $S_1$, on a : pour tout $m \in \{0, \dots, d-1\}$,
$c_{1,m} = T^m(c_{1,0})$ est sur $S_m \bmod 2$. De plus, on a construit $c_{2,0}$ par $c_{2,0} = R(c_{1,0})$. Comme $R$ et $T$ permutent les bords $S_0$ et $S_1$, on a $c_{2,m} = T^m \circ R(c_{1,0}) \subset S_{m+1} \bmod 2$. Puisque la concaténation $c_1c_2$ parcourt le bord de $D_\infty$, sur $\hat{Y}$ les bords $S_0$ et $S_1$ sont formés des relevés de $c_1$ et de $c_2$.

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE 3.9 – Les relevés de $c_1$ et $c_2$ sur les bords $S_0 S_1$ de $\partial Y$ et sur les bords $E_0, \dots, E_{d-1}$ de la pré-image du disque unité.</figcaption></figure>

Or $s_0$ est le chemin au bord de $S_0$, et celui-ci est formé des chemins de la forme $c_{1,2l}$ et $c_{2,2l+1}$ pour $l \in \{0, \dots, \frac{d}{2} - 1\}$. De même, $s_1$ est le chemin sur le bord de $S_1$, qui est formé des chemins $c_{1,2l+1}$ et $c_{2,2l}$.

Lorsque $q = -1$, on a :

$$ \mathbf{c}_1 = \sum_{l=0}^{\frac{d}{2}-1} c_{1,2l} - \sum_{l=0}^{\frac{d}{2}-1} c_{1,2l+1} $$

et de même :

$$ \mathbf{c}_2 = \sum_{l=0}^{\frac{d}{2}-1} c_{2,2l} - \sum_{l=0}^{\frac{d}{2}-1} c_{2,2l+1}. $$

Ainsi,

$$ \begin{align*} s_0 - s_1 &= \left( \sum_{l=0}^{\frac{d}{2}-1} c_{1,2l} + \sum_{l=0}^{\frac{d}{2}-1} c_{2,2l+1} \right) - \left( \sum_{l=0}^{\frac{d}{2}-1} c_{1,2l+1} + \sum_{l=0}^{\frac{d}{2}-1} c_{2,2l} \right) \\ &= \left( \sum_{l=0}^{\frac{d}{2}-1} c_{1,2l} - \sum_{l=0}^{\frac{d}{2}-1} c_{1,2l+1} \right) + \left( \sum_{l=0}^{\frac{d}{2}-1} c_{2,2l+1} - \sum_{l=0}^{\frac{d}{2}-1} c_{2,2l} \right) \\ &= \mathbf{c}_1 - \mathbf{c}_2. \end{align*} $$

De plus, comme $\mathbf{c}_2 = -\mathbf{c}_1$ d'après la proposition 3.2.5, qui est vraie quelle que soit la valeur de $q$, on a : $s = s_0 - s_1 = 2\mathbf{c}_1$. $\square$

**Corollaire 3.2.8.** Les éléments $\mathbf{c}_1$ et $\mathbf{c}_2$ sont non nuls dans $H_c^1(Y)_{-1}$, et il engendrent respectivement $H_1(Y_1)_{-1}$ et $H_1(Y_2)_{-1}$.
**Démonstration** : En effet, si $\mathbf{c}_1 = 0$, alors $s$ serait nul ce qui n'est pas le cas. Ainsi, $\mathbf{c}_1$ et $\mathbf{c}_2$ sont non nuls et engendrent respectivement de $H_1(Y_1)_{-1}$ et $H_1(Y_2)_{-1}$, qui sont tous les deux de dimension un. $\square$

On note dans ce cas $g_i$ le dual de Poincaré de $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{d}}\mathbf{c}_i$, alors $g_i$ engendre $H_c^1(Y_i)_q$. Voyons à présent comment généraliser cette construction pour $n$ quelconque.

## 3.3 Construction des éléments $g_1, \dots, g_n$ pour $n$ via l'homologie pour un $n$ quelconque

Supposons ici que les $b_1, \dots, b_n$ sont les racines $n$-ièmes de l'unité, de sorte que $b_m = e^{\frac{2i\pi m}{n}}$ pour tout $m \in \{0, \dots, n-1\}$. La surface $\hat{Y}$ est obtenue à partir de l'équation $y^d = x^n - 1$. Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, on note $D_i$ le support de $\tau_i \in B_n$, et $Y_i$ la pré-image de $D_i$ dans $\hat{Y}$.

De même que dans la partie précédente, on va noter $D$ le disque unité (ouvert), et $D_\infty$ l'intérieur de son complémentaire, de sorte que : la pré-image de $D$ est la réunion de $d$ disques ouverts disjoints de bord respectivement notés $B_0, \dots, B_{d-1}$, et la pré-image de $D_\infty$ est la réunion disjointe de $e = \text{pgcd}(d, n)$ disques ouverts disjoints de bords respectivement notés $S_0, \dots, S_{e-1}$. Rappelons que l'on note $p_0, \dots, p_{e-1}$ les points au-dessus de $\infty$, et $q_i$ le point au-dessus de $b_i$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$. On écrira aussi $B = \{b_1, \dots, b_n\}$, $\tilde{B} = \{q_1, \dots, q_n\}$ et $\tilde{\infty} = \{p_0, \dots, p_{e-1}\}$. On dispose sur $\hat{Y}$ de deux automorphismes $T$ et $R$ vérifiant les propriétés suivantes :

$$ \begin{array}{rcll} R: & \hat{Y} & \rightarrow & \hat{Y} \\ & q_i & \mapsto & q_{i+1} & \text{pour } i \in \{1, \dots, n\} \\ & p_l & \mapsto & p_{l-1} & \text{pour } l \in \{1, \dots, e-1\} \\ & (x, y) & \mapsto & (\zeta_n x, y) & \text{pour } (x, y) \in \hat{Y} \setminus (\tilde{B} \cup \tilde{\infty}) \end{array} $$

$$ \begin{array}{rcll} T: & \hat{Y} & \rightarrow & \hat{Y} \\ & q_i & \mapsto & q_i & \text{pour } i \in \{1, \dots, n\} \\ & p_l & \mapsto & p_{l+1} & \text{pour } l \in \{1, \dots, e-1\} \\ & (x, y) & \mapsto & (x, \zeta_l y) & \text{pour } (x, y) \in \hat{Y} \setminus (\tilde{B} \cup \tilde{\infty}) \end{array} $$

Ainsi, on peut indexer les $B_j$ et les $S_l$ de sorte que $T^j(B_0) = B_j$ pour tout $j \in \{0, \dots, d-1\}$ et $T^l(S_0) = S_l$ pour tout $l \in \{1, \dots, e-1\}$.

On va, de même que précédemment, construire les éléments $\mathbf{c}_1, \dots, \mathbf{c}_n$, et montrer qu'ils engendrent respectivement un $H_1(Y_i)_{\bar{q}}$.

### 3.3.1 Construction et première étude de $\mathbf{c}_1, \dots, \mathbf{c}_n$

Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, on va noter $c_i$ le chemin sur le bord de $D$ reliant $b_i$ à $b_{i+1}$. Chaque $c_i$ admet exactement $d$ pré-images dans $\hat{Y}$. On note $c_{1,0}$ le relevé de $c_1$ se trouvant sur $B_0$. Quitte à ré-indéxer les $S_l$, on peut également supposer que $c_{1,0}$ est sur $S_0$. On a alors immédiatement :

**Lemme 3.3.1.** Pour tout $m \in \{0, \dots, d-1\}$, le relevé $c_{1,m}$ de $c_1$ se trouve sur le bord $B_m$ et sur le bord $S_m \bmod e$.
D'autre part, comme $c_2 = \pi \circ R(c_{1,0})$, alors $R(c_{1,0})$ est un relevé de $c_2$, on pose $c_{2,0} = R(c_{1,0})$. De plus, comme $R$ permute également les $S_l$, on a $c_{2,0} = R(c_{1,0}) \subset S_{e-1}$. Les autres relevés de $c_2$ sont obtenus par application des puissances de $T$ à $c_{2,0}$, on pose ainsi $c_{2,m} = T^m(c_{2,0})$. En particulier, $c_{2,1}$ est sur le bord de $S_0$. On poursuit ainsi la construction des $c_{i,m}$ et on obtient :

**Proposition 3.3.2.** Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, on note $c_{i,0}, \dots, c_{i,d-1}$ les $d-1$ relevés de chaque $c_i$, indexés de sorte que, pour tout $m \in \{0, \dots, d-1\}$ : $c_{i,m} = T^m \circ R^{i-1}(c_{1,0})$.

En conséquence : $c_{i,m} \subset S_{m-i+1} \mod e \cap B_m \mod d$

**Démonstration :** Comme $c_{1,0} \subset B_0 \cap S_0$, on a pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et pour tout $m \in \{0, \dots, d-1\}$, $c_{i,m} \subset T^m \circ R^{i-1}(S_0) = S_{m-i+1} \mod e$. D'autre part, $T^m \circ R^{i-1}(B_0) = T^m(B_0) = B_m \mod d$ $\square$

En particulier, on remarque que les chemins $c_{i,m}$ qui sont sur le bord de $S_0$ sont les chemins pour lesquels il existe $\alpha \in \mathbb{Z}$ tels que $m - i + 1 = \alpha e$, donc les chemins pour lesquels il existe un $\alpha$ tel que $m = i - 1 + \alpha e$. Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, on peut ainsi déterminer les indices $m \in \{0, \dots, d-1\}$ tels que $c_{i,m}$ soit sur $S_0$. Puisque $S_l = T^l(S_0)$, on en déduit :

**Proposition 3.3.3.** Pour tout $l \in \{0, \dots, e-1\}$, le bord de $S_l$ est composé des $n \times \frac{d}{e}$ chemins :

* $c_{1,l}, c_{1,e+l} \mod d, \dots, c_{1,d-e+l} \mod d$

* $c_{2,1+l} \mod d, c_{2,e+1+l} \mod d, \dots, c_{2,d-e+1+l} \mod d$

* $c_{n,n-1+l} \mod d, c_{n,n-1+e+l} \mod d, \dots, c_{n,n-1+d-1+l} \mod d$

On définit pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, le cycle :

$$ \mathbf{c}_m = \sum_{m=0}^{d-1} q^m \cdot c_{i,m} \in H_1(Y_i)_{\bar{q}}. $$

On vérifie facilement $T_*(\mathbf{c}_i) = \bar{q}\mathbf{c}_i$ et $\partial\mathbf{c}_i = \sum_{m=0}^{d-1} q^m \cdot (q_{i+1} - q_i) = 0$, donc $\mathbf{c}_i \in H_1(Y_i)_{\bar{q}}$.

On va utiliser les résultats du cas $n=2$ pour montrer que chaque $\mathbf{c}_i$ engendre $H_1(Y_i)_{\bar{q}}$ et peut être normalisé pour que son dual corresponde à $g_i$ dans $H_1^1(Y_i)_q$.

### 3.3.2 Construction de $g_i$ comme dual d'un multiple de $\mathbf{c}_i$

Pour chaque $i \in \{1, \dots, n\}$, rappelons que $Y_i$ est la pré-image d'un disque $D_i$ contenant les points marqués $b_i$ et $b_{i+1}$ mais aucun autre des points marqués. On peut définir une surface de Riemann compacte $\hat{Y}_i$ obtenue à partir de la courbe algébrique $y^d = (x - b_i)(x - b_{i+1})$. En notant $\mathcal{Y}_i$ la pré-image de $D_i$ dans $\hat{Y}_i$, on a un isomorphisme $Y_i \simeq \mathcal{Y}_i$, et également un isomorphisme $H_c^1(Y_i)_q \simeq H_c^1(\mathcal{Y}_i)_q$. La restriction de l'automorphisme $T$ de $\hat{Y}_i$ à $Y_i$ correspond à la restriction de l'automorphisme $\mathcal{T}$ de $\hat{Y}_i$ sur $\mathcal{Y}_i$. On peut alors utiliser sur $H_c^1(\mathcal{Y}_i)_q$ les résultats de la partie précédente, et les transposer à $H_c^1(Y_i)_q$.

Comme $Y_i \simeq \mathcal{Y}_i$, on peut établir une correspondance entre les $d$ relevés du chemin $c_i \subset D_i$ dans $Y_i$ et dans $\mathcal{Y}_i$. On note alors $c'_{i,0}, \dots, c'_{i,d-1}$ les relevés de $c_i$ dans $\mathcal{Y}_i$, indexés convenablement pour pouvoir leur appliquer les résultats du cas $n=2$. On peut choisir que le relevé $c'_{i,0}$ corresponde à $c_{i,0}$. On a alors : $T^m(c'_{i,0}) = c'_{i,m}$ correspond à $T^m(c_{i,0}) = c_{i,m}$,
ainsi l'élément $\mathbf{c}'_i = \sum_{m=0}^{d-1} q^m \cdot c'_{i,m}$ qui engendre $H_1(\mathcal{Y}_i)_{\bar{q}}$ correspond à un générateur
$\mathbf{c}_i = \sum_{m=0}^{d} q^m \cdot c_{i,m}$ qui engendre $H_1(Y_i)_{\bar{q}}$, on note de nouveau $g_i$ le dual de Poincaré de
$\frac{2\sqrt{1-\mathrm{Re}(q)}}{\sqrt{d}} \mathbf{c}_i$. Alors $g_i$ engendre $H_c^1(Y_i)_q$.

**Lemme 3.3.4.** *Pour $n > 2$, on retrouve bien :*

$$
- \langle g_i; g_i \rangle = 2 \operatorname{Im}(q)
$$

$$
- \langle g_i; g_{i+1} \rangle = i(1 - \bar{q})
$$

$$
- \langle g_i; g_{i-1} \rangle = -i(1 - q)
$$

$$
- \langle g_i, g_j \rangle = 0 \quad \text{si} \quad |i - j| > 1
$$

*Démonstration* : Soit $i \in \{1, \dots, n\}$. On s'intéresse à l'intersection de $\mathbf{c}_i$ et $\mathbf{c}_{i+1 \bmod n}$.
Pour $j \in \{1, \dots, n\}$, si $|i-j| > 1$, on a $\mathrm{int}(\mathbf{c}_i, \overline{\mathbf{c}_j}) = 0$ puisque les supports de $\mathbf{c}_i$ et $\mathbf{c}_j$
sont disjoints, et donc $\langle g_i, g_j \rangle = 0$.

Le cas $j = i$ est déjà traité dans le cas $n = 2$. Il reste donc à voir les cas $j = i + 1$ et $j = i - 1$.

Les intersections éventuelles ont lieu dans un voisinage que $q_2$. On va, de même que
dans le calcul de l'auto-intersection pour $n = 2$, utiliser les éléments $\hat{c}_i = \sum_{m=0}^{d-1} q^m \cdot \hat{c}_{i,m}$
avec $\hat{c}_{i,m} = c_{i,m} - c_{i,m+1}$. On peut vérifier que $\hat{c}_i \in H_1(Y_i)_{\bar{q}}$ et $\hat{c}_i = (1-\bar{q})c_i$ de même que
dans la preuve du théorème 3.2.3. Soient $m, m' \in \{0, \dots, d-1\}$. En accord avec la figure
3.3, on illustre dans la figure 3.10 les intersections de $\hat{c}_{i+1,m'}$ avec $\hat{c}_{i,m}$.

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>FIGURE 3.10 – Intersections de $\hat{c}_{i,m}$ et $\hat{c}_{i+1,m'}$, lorsque $m' \neq m, m-1$ à gauche, lorsque $m' = m-1$ au milieu, et lorsque $m' = m$ à droite.</figcaption></figure>

Lorsque $m' = m$, l'orientation est positive et $\mathrm{int}(\hat{c}_{i,m}, \hat{c}_{i+1,m}) = 1$. Si $m' = m-1$, l'orientation est négative et $\mathrm{int}(\hat{c}_{i,m}, \hat{c}_{i+1,m-1}) = -1$. Dans les autres cas, on peut trouver de chemins homotopes à $\hat{c}_{i,m}$ et $\hat{c}_{i+1,m'}$ ne se rencontrant pas, donc $\mathrm{int}(\hat{c}_{i,m}, \hat{c}_{i+1,m'}) = 0$.
Ainsi :

$$
\mathrm{int}(\hat{c}_i, \hat{c}_{i+1}) = \sum_{m=0}^{d-1} \sum_{m'=0}^{d-1} q^{m-m'} \mathrm{int}(\hat{c}_{i,m}, \overline{\hat{c}_{i+1,m'}}) = d(1-\bar{q}).
$$

Alors :

$$
\mathrm{int}(\mathbf{c}_i, \overline{\mathbf{c}_{i+1}}) = \frac{1}{(1-q)(1-\bar{q})} \mathrm{int}(\hat{c}_i, \hat{c}_{i+1}) = \frac{d}{1-q}
$$

On en déduit : $\mathrm{int}(\mathbf{c}_i, \overline{\mathbf{c}_{i-1}}) = -\mathrm{int}(\overline{\mathbf{c}_{i-1}}, \mathbf{c}_i) = -\overline{\mathrm{int}(\mathbf{c}_{i-1}, \overline{\mathbf{c}_i})} = -d(1 - \bar{q})$.

On peut alors calculer la forme d'intersection $\langle \cdot, \cdot \rangle$ sur les $g_1, \dots, g_n$.
$$
\begin{align*}
\langle g_i; g_{i+1} \rangle &= \frac{i}{2} \frac{4(1 - \mathrm{Re}(q))}{d} \mathrm{int}(\mathbf{c}_i, \overline{\mathbf{c}_{i+1}}) = i \frac{2(1 - \mathrm{Re}(q))}{1 - q} \\
&= i \frac{2 - q - \bar{q}}{1 - q} = i \frac{1 - q + 1 - \bar{q}}{1 - q} \\
&= i \frac{(1 - q) - \bar{q}(1 - q)}{1 - q} = i \frac{(1 - q)(1 - \bar{q})}{1 - q} \\
&= i(1 - \bar{q})
\end{align*}
$$

et de même : $\langle g_{i-1}; g_i \rangle = -i(1-q)$. Le lemme est alors démontré. $\square$

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

Démonstration du théorème 3.0.1 : On a montré comment construire un générateur $\mathbf{c}_i$ de $H_1(Y_i)_{\bar{q}}$ à partir des relevés de $c_i$ indexés convenablement. Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, le dual de Poincaré de $\frac{2\sqrt{1-\mathrm{Re}(q)}}{\sqrt{d}}\mathbf{c}_i$ est noté $g_i$ et la famille $(g_1, \dots, g_n)$ vérifie les points suivants :

$$
\text{— } g_i \text{ engendre } H_c^1(Y_i)_q
$$

$$
\text{— } \langle g_i, g_i \rangle = 2 \operatorname{Im}(q)
$$

$$
\text{— } \langle g_i, g_{i+1} \rangle = i(1 - \bar{q})
$$

$$
— \langle g_i, g_{i-1} \rangle = -i(1 - q)
$$

$$
— \langle g_i, g_j \rangle = 0 \text{ si } |i - j| > 1
$$

Finalement $(g_1, \dots, g_n)$ vérifie les propriétés de la famille de McMullen donnés dans le théorème 2.2.11. $\square$

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

On peut à présent montrer que les relations 3.3.6 entre ces générateurs trouvées dans
le cas $n = 2$ se généralisent à un $n$ quelconque. Plus particulièrement, il est intéressant de
regarder lorsque $q^e = 1$, la construction d'un générateur de $H_1(Y_\infty)_{\bar{q}}$ généralisant ce qui
été fait dans le cas $n = 2$ et $q = -1$.

**3.3.3 Relations en homologie**

On note de nouveau $D_\infty$ un voisinage de $\infty$, $Y_\infty$ sa pré-image dans $\hat{Y}$, formée de $e$
disques, et $Y = \hat{Y} \setminus Y_\infty$ son complémentaire étendu en un ouvert contenant $\partial Y_\infty$.

Une première relation qui se vérifie immédiatement est la suivante :

**Proposition 3.3.5.** *Les éléments* $\mathbf{c}_i$ *vérifient :* $\sum_{i=1}^{n} \mathbf{c}_i = 0 \in H_c^1(Y)_q$

Démonstration : Pour tout $j \in \{0, \dots, d-1\}$, on a $B_j = \partial E_j = \sum_{i=1}^n c_{i,j}$ par construc-
tion, donc :

$$
\sum_{i=1}^{n} \mathbf{c}_i = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=0}^{d-1} q^j \cdot c_{i,j} = \sum_{j=0}^{d-1} q^j \cdot \partial E_j = 0
$$

et la relation est vérifiée.

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

En conséquence immédiate, on retrouve un résultat déjà énoncé par McMullen :

**Corollaire 3.3.6.** *Les générateurs* $(g_1, \dots, g_n)$ *de* $H^1(\hat{Y})_q$ *vérifient :* $\sum_{i=1}^n g_i = 0$.

Rappelons que on note $S_0, \dots, S_{e-1}$ les $e$ bords de $Y$ avec $c_{1,0} \in S_0$. Cette fois-ci, $s_m$ est le chemin parcourant le bord de $S_m$ et $s = \sum_{m=0}^{e-1} q^m \cdot s_m$. On sait également d'après la remarque 2.2.7, que $H_c^1(\partial Y_\infty)_q$ vaut 1 si $q^e = 1$ et 0 sinon, avec $e = \text{pgcd}(d, n)$ et $q = e^{-k \frac{2i\pi}{d}}$ où $k \in \{1, \dots, d-1\}$.
**Lemme 3.3.7.** Pour $q^e = 1$, l'élément $s = \sum_{m=0}^{e-1} q^m \cdot s_m$ engendre $H_1(\partial Y)_{\bar{q}}$.

**Démonstration** : On a clairement, puisque $q^e = 1$, $T_*(s) = \bar{q}s$. Donc $s \in H_1(\partial Y)_{\bar{q}}$. Montrons alors que $s$ est non nul, et engendre donc $H_1(\partial Y)_{\bar{q}}$. On raisonne de la même façon que pour la proposition 3.2.6 : $H_1(\partial Y)_{\bar{q}}$ est de dimension 1, et pour tout élément $w \in H_1(\partial Y)_{\bar{q}} \subset \bigoplus_{l=0}^{e-1} H_1(S_l)$, $w = \sum_{l=0}^{e-1} \lambda_l \cdot s_l$, avec $s_l$ un générateur de $H_1(S_l)$. Alors $T_*(w) = \bar{q} \cdot w$ et $T_*(w) = \sum_{l=0}^{e-1} q^l \lambda_l \cdot s_{l+1}$, on en déduit que tous les $\lambda_l = q^l \lambda_0$ et donc $w = \lambda_0 \cdot s$, et comme $H_1(\partial Y)_{\bar{q}}$ est de dimension 1, on peut choisir un $w$ non nul, alors $s \neq 0$ et $s$ engendre $H_1(\partial Y)_{\bar{q}}$. $\square$

On peut alors, toujours dans le cas $q^e = 1$, montrer la relation suivante :

**Proposition 3.3.8.** Si $q^e = 1$, $\bar{q}s = \sum_{i=1}^n \bar{q}^i c_i \in H_c^1(Y)_q$.

**Démonstration** : On a déjà vu lors de la construction des $c_{i,j}$ que $c_{i,j} \in S_{j-i+1 \text{ mod } e}$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et pour tout $j \in \{0, \dots, d-1\}$. En particulier, on en avait déduit dans la proposition 3.3.3, que pour une $m \in \{0, \dots, e-1\}$ donné, les chemins sur le bord de $S_m$ sont exactement les $c_{i,m+i-1+\alpha e}$ avec $i \in \{1, \dots, n\}$ et $\alpha \in \{0, \dots, \frac{d}{e}-1\}$. Alors :

$$ 
\begin{align*} 
s &= \sum_{m=0}^{e-1} q^m \cdot s_m = \sum_{m=0}^{e-1} q^m \cdot \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{\alpha=0}^{\frac{d}{e}-1} c_{i,m+i-1+\alpha e} \right) \\ 
&= \sum_{i=1}^{n} q^{-i+1} \cdot \sum_{\alpha=0}^{\frac{d}{e}-1} \sum_{m=0}^{e-1} q^{m+i-1+\alpha e} \cdot c_{i,m+i-1+\alpha e} \\ 
&= \sum_{i=1}^{n} q^{-i+1} \cdot c_i \\ 
&= q \sum_{i=1}^{n} \bar{q}^i \cdot c_i 
\end{align*} 
$$

Ainsi $\bar{q} \cdot s = \sum_{i=1}^n \bar{q}^i \cdot c_i$. $\square$

**Lemme 3.3.9.** Pour $q^e = 1$, le dual $\eta \in H_c^1(\partial Y)_q$ de $\frac{2\sqrt{1-\mathrm{Re}(q)}}{\sqrt{d}} s$ s'envoie sur un élément non nul $g \in H_c^1(Y)_q$.

**Démonstration du lemme** : On considère le dual de Poincaré de $\frac{2\sqrt{1-\mathrm{Re}(q)}}{\sqrt{d}} s$, noté $\eta$. Alors $\eta \in H_c^1(\partial Y)_q \setminus \{0\}$. Montrons que l'image de $\eta$ dans $H_c^1(Y)_q$ est non nulle. Comme $\hat{Y}$ est connexe, on a $H^0(\hat{Y})_q = \{0\}$. On sait que les espaces $H_c^1(\partial Y)_q$, $H_c^2(\partial Y)_q$ et $H_c^2(\partial Y)_q$ sont de dimension 1. Comme $Y_\infty$ est une réunion de $e$ disques, $H_c^1(Y_\infty)_q = \{0\}$. Comme $\hat{Y}$ est connexe et que $Y$ correspond à $\hat{Y}$ privé de $e$ disques, alors $Y$ est connexe, donc $H_c^2(Y)_q$ est nul. Considérons la suite de Mayer-Vietoris suivante, restreinte aux espaces propres de $T^*$ :

$$ 0 \to H_c^1(\partial Y)_q \to H_c^1(Y)_q \oplus H_c^1(Y_\infty)_q \to H^1(\hat{Y})_q \to H_c^2(\partial Y)_q \to H_c^2(Y_\infty)_q \oplus H_c^2(Y)_q \to 0 $$

qui revient à la suite exacte suivante :

$$ 0 \to H_c^1(\partial Y)_q \to H_c^1(Y)_q \to H^1(\hat{Y})_q \to H_c^2(\partial Y)_q \to H_c^2(Y_\infty)_q \to 0. $$

Alors la flèche $H_c^1(\partial Y)_q \to H_c^1(Y)_q$ est injective et l'image de $\eta$ dans $H_c^1(Y)_q$, notée $g$, est non nulle. $\square$
Remarquons également en gardant les notations introduite dans la démonstration ci-dessus, que la flèche $H_c^2(\partial Y_\infty)_q \to H_c^2(Y_\infty)_q$ est surjective et comme ces deux espaces sont de dimension 1, cette flèche est une bijection. Comme $\mathrm{Im}(H^1(\hat{Y})_q \to H_c^2(\partial Y_\infty)_q) = \ker(H_c^2(\partial Y_\infty)_q \to H_c^2(Y_\infty)_q) = \{0\}$, on a finalement une suite exacte courte :

$$0 \to H_c^1(\partial Y)_q \to H_c^1(Y)_q \to H^1(\hat{Y})_q \to 0.$$

On peut alors passer à la démonstration du théorème 3.0.3

Démonstration du théorème 3.0.3 : Supposons $q^e = 1$. Comme $\sum_{i=1}^n c_i = 0$, on a :

$$ 
\begin{align*}
\mathbf{s} &= q \sum_{i=1}^{n} (\bar{q}^i) \cdot \mathbf{c}_i - q \sum_{i=1}^{n} \mathbf{c}_i \\
\Rightarrow \mathbf{s} &= \sum_{i=1}^{n} \frac{\bar{q}^i - 1}{\bar{q}} \cdot \mathbf{c}_i \\
&\Rightarrow \frac{2\sqrt{1 - \mathrm{Re}(q)}}{\sqrt{d}} \mathbf{s} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\bar{q}^i - 1}{\bar{q}} \frac{2\sqrt{1 - \mathrm{Re}(q)}}{\sqrt{d}} \cdot \mathbf{c}_i \\
\Rightarrow g &= \sum_{i=1}^{n} \frac{\bar{q}^i - 1}{\bar{q}} g_i = \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\bar{q}^i - 1}{\bar{q}} g_i
\end{align*}
$$

La dernière égalité vient du fait que $q^e = 1$ et donc $q^n = 1$. $\square$

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

Par la suite, nous utiliserons cet élément $g$ pour la construction d'une famille génératrice dans un cas généralisé. Nous reviendrons sur le point de vue en homologie et les outils introduits ici pour formuler le passage entre deux familles génératrices dans notre cas général.
# Chapitre 4

## Généralisation de la construction du revêtement $\hat{X}$

Soient $n, d \in \mathbb{N}^*$, $k_1, \dots, k_n \in \mathbb{N}^*$ et $\{b_1, \dots, b_n\}$, $n$ points marqués du plan complexe, deux à deux distincts. Dans ce qui suit, on considérera la courbe algébrique :

$$y^d = \prod_{i=1}^{n} (x - b_i)^{k_i}.$$

Le cas où les $k_i$ sont tous égaux à 1 est le cas traité par McMullen dans [McM13].

Les notations introduites ici seront conservées tout au long du document : on pose $k_0 = \sum_{i=1}^n k_i$ et on note, pour tout $i \in \{0, \dots, n\}$, $e_i = \text{pgcd}(k_i, d)$. On utilisera également les notations suivantes : $d_i = \frac{d}{e_i}$, et $k'_i = \frac{k_i}{e_i}$ pour tout $i \in \{0, \dots, n\}$.

Dans ce chapitre, nous montrerons tout d'abord que la courbe algébrique ci-dessus, par sa normalisation, permet d'obtenir une surface de Riemann compacte notée $\hat{X}$, qui est également un revêtement cyclique $\pi : \hat{X} \to \hat{\mathbb{C}}$ de degré $d$ au-dessus de la sphère de Riemann, ramifié au-dessus des points $b_i$ et éventuellement de $\infty$. Cette construction visera essentiellement à séparer les branches de la courbe algébrique en certains points particuliers. La surface $\hat{X}$ pourra s'interpréter comme la courbe $\mathcal{C}$ privée des points $\{(b_i, 0) | i \in \{1, \dots, n\}\}$ et à laquelle on ajoutera des points $q_{i,k}$ et ces points vont former les pré-image des $b_1, \dots, b_n$ et de $\infty$ par le revêtement $\pi : \hat{X} \to \hat{\mathbb{C}}$.

On montre ensuite que le genre de $\hat{X}$ vaut $g = \frac{1}{2}(d(n-1) - \sum_{i=0}^n e_i + 2)$. Enfin, nous verrons que $\hat{X}$ est connexe si et seulement si $\text{pgcd}(e_1, \dots, e_n) = 1$.

### 4.1 Construction de la surface $\hat{X}$

On note $\mathcal{C}$ la courbe algébrique définie par $y^d = \prod_{i=1}^n (x - b_i)^{k_i}$. On pose $f(x, y) = y^d - \prod_{i=1}^n (x - b_i)^{k_i}$, de sorte que $\mathcal{C} = \{(x, y) \in \mathbb{C}^2 | f(x, y) = 0\}$.

**Remarque 4.1.1.** $\mathcal{C}$ ne définit pas une surface de Riemann : elle est singulière en tout point $(b_i, 0)$ tel que $k_i \ge 2$.

En effet, pour $(x_0, y_0) \in \mathcal{C}$, si $y_0 \ne 0$ on a :

$$\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = dy_0^{d-1} \neq 0$$
et le théorème des fonctions implicites nous donne des cartes locales au voisinage de $(x_0, y_0)$. Mais si $y_0 = 0$, alors $x_0 = b_{i_0}$ pour un certain $i_0 \in \{1, \dots, n\}$, et donc

$$ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = k_{i_0}(x - b_{i_0})^{k_{i_0}-1} \prod_{j \neq i_0} (x - b_j^{k_j}) $$

qui est non nul si et seulement si $k_{i_0} = 1$.

On définit sur $\mathcal{C}$ une projection $\pi$ de la façon suivante :

$$ \begin{array}{rcl} \pi: & \mathcal{C} & \to \mathbb{C} \\ & (x, y) & \mapsto x \end{array} $$

ainsi qu'une action sur $\mathcal{C}$ donnée par :

$$ T: \quad \begin{array}{rcl} \mathcal{C} & \to & \mathcal{C} \\ (x, y) & \mapsto & (x, \zeta_d y) \end{array} $$

où $\zeta_d = e^{\frac{2i\pi}{d}}$.

**Remarque 4.1.2.** $\forall (x, y) \in \mathcal{C}$, $\pi \circ T(x, y) = \pi$, et $T^d = \text{Id}_\mathcal{C}$.

### 4.1.1 Séparation des branches au voisinage des $(b_i, 0)$

Soit $D$ un disque complexe centré en 0 de rayon $\varepsilon > 0$. On note $\dot{D}$ le disque $D$ épointé en son centre. Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, on considère la fonction holomorphe $x_i$ définie sur $D$ par :

$$ \forall t \in D, \quad x_i(t) = t^{d_i} + b_i $$

On note $D'_i = x_i(D)$ et $U_i = \pi^{-1}(D'_i)$, qui est un voisinage dans $\mathcal{C}$ de $(b_i, 0)$. On va séparer les branches passant par $(b_i, 0) \in \mathcal{C}$ dans $U_i$. Pour cela, on construit des cartes locales $f_{i,l}$ sur $U_i \setminus \{(b_i, 0)\}$. On note $p_i: t \in \mathbb{C} \mapsto \prod_{j \neq i} (t^{d_i} + b_i - b_j)^{k_j}$ et pour tout $l \in \{0, \dots, d-1\}$, on définit la fonction holomorphe $y_{i,l}: t \in \dot{D} \mapsto \zeta_d^l t^{k'_i} p_i(t)^{\frac{1}{d}}$. On considère alors :

$$ \forall t \in \dot{D}, \quad f_{i,l}(t) := (x_i(t), y_{i,l}(t)). $$

**Lemme 4.1.3.** $U_i \setminus \{(b_i, 0)\} = \cup_{l=0}^{d-1} f_{i,l}(\dot{D})$.

**_Démonstration_** : Vérifions d'abord que pour tout $l \in \{0, \dots, d-1\}$, $f_{i,l}(\dot{D}) \subset \mathcal{C}$, c'est à dire que pour tout $t \in \dot{D}$, on a bien $y_{i,l}^d(t) = \prod_{i=1}^n (x(t) - b_i)^{k_i}$.

$$ \begin{align*} y_{i,l}^d(t) &= (\zeta_d^l)^d t^{k'_i \times d} p_i(t) \\ &= t^{k_i \times d'_i} \times \prod_{j \neq i} (t^{d'_i} + b_i - b_j)^{k_j} \\ &= (t^{d'_i} + b_i - b_i)^{k_i} \prod_{j \neq i} (t^{d'_i} + b_i - b_j)^{k_j} \\ &= \prod_{j=1}^n (t^{d'_i} + b_i - b_j)^{k_j} \\ &= \prod_{j=1}^n (x_i(t) - b_j)^{k_j}. \end{align*} $$
De plus, pour tout $l \in \{0, \dots, d-1\}$, comme $\pi(f_{i,l}(\dot{D})) = x_i(\dot{D})$, il est clair que $\cup_{l=0}^{d-1} f_{i,l}(\dot{D}) \subset U_i \setminus \{(b_i, 0)\} = \pi^{-1}(x_i(\dot{D}))$. Pour tout élément $(x, y) \in U_i \setminus \{(b_i, 0)\}$, on peut fixer $t$ tel que $x = x_i(t)$ et le nombre complexe $\prod_{i=1}^n (x-b_i)^{k_i}$ est non nul, il n'existe alors pas d'autre solution pour $y$ qui ne soit pas un $y_{i,l}(t)$ pour $l \in \{0, \dots, d-1\}$. Ainsi l'égalité est vérifiée. $\square$

**Lemme 4.1.4.** Les $f_{i,l}$ sont injectives pour tout $l, l' \in \{0, \dots, d-1\}$ et on a :

$$f_{i,l}(\dot{D}) = f_{i,l'}(\dot{D}) \iff l \equiv l' \bmod e_i \iff f_{i,l}(\dot{D}) \cap f_{i,l'}(\dot{D}) \neq \emptyset.$$

*Démonstration* : On peut vérifier l'injectivité des $f_{i,l}$ de la façon suivante : si $f_{i,l}(t) = f_{i,l}(s)$ alors il existe $j, m$ tel que $s = \zeta_{d'}^j t$ et $s = \zeta_{k_i'}^m t$ mais $k_i'$ et $d'$ étant premiers entre eux, on en déduit que $s = t$.

Pour montrer les équivalences, supposons $f_{i,l}(\dot{D}) \cap f_{i,l'}(\dot{D}) \neq \emptyset$, alors on peut fixer $s$ et $t$ dans $\dot{D}$ tels que $f_{i,l}(t) = f_{i,l'}(s)$. Alors $x_i(t) = x_i(s)$, on a donc $s^{d_i} = x_i(s) - b_i = x_i(t) - b_i = t^{d_i}$ et on peut fixer $j$ tel que $s = \zeta_{d_i}^j t$. En particulier, $p_i(t) = p_i(s)$. Comme $y_{i,l}(s) = y_{i,l'}(t)$, on a : $\zeta_d^l t^{k_i'} = \zeta_d^{l'} s^{k_i'}$ et donc $\zeta_d^l \zeta_{d_i}^j = \zeta_d^{l'} c$ est à dire $\zeta_d^{l-l'+je_i} = 1$. Ainsi $d$ divise $l-l' - je_i$ et finalement $e_i$ divise $l-l'$.

Supposons $l \equiv l'$ mod $e$. On peut poser $l-l' = e_i \times r$. Or d'après le théorème de Bezout on peut trouver $j, m$ des entiers relatifs tels que $e_i = jd+mk_i$. Alors $l-l' = jrd+mrk_i$. Soit $t \in \dot{D}$. On pose $s := \zeta_{d_i}^{mr} t$. Alors $x_i(t) = x_i(s)$ et $y_{i,l}(t) = y_{i,l'}(s) \iff \zeta_d^l t^{k_i'} = \zeta_d^{l'} s^{k_i'} \iff \zeta_d^{l-l'} = \zeta_d^{mrk_i}$. Or $\zeta_d^{l-l'} = \zeta_d^{jrd+mrk_i} = \zeta_d^{mrk_i}$ donc $y_{i,l}(t) = y_{i,l'}(s)$. Alors $g : t \mapsto \zeta_{d_i}^{mr} t$ est une bijection de $\dot{D}$ dans lui même et $f_{i,l}(\dot{D}) = f_{i,l'} \circ g(\dot{D}) = f_{i,l'}(\dot{D})$. $\square$

On en déduit imédiatement :

**Corollaire 4.1.5.** $U_i \setminus \{(b_i, 0)\} = \cup_{l=0}^{e_i-1} f_{i,l}(\dot{D})$.

Les $f_{i,l}$ étant continues, l'image $f_{i,l}(\dot{D})$ est un disque épointé, on note $q_{i,l}$ son point manquant et on pose $E_{i,l} = (U_i \setminus \{(b_i, 0)\}) \cup \{q_{i,l}\}$.

Notons $\mathcal{X}$ la surface donnée par :

$$\mathcal{X} := (C \setminus U_i) \cup (\cup_{i=1}^n \cup_{l=0}^{e_i-1} E_{i,l}).$$

## 4.1.2 Séparation des branches sur un voisinage de $\infty$

On considère toujours un disque complexe $D$ ouvert de rayon $\varepsilon > 0$, centré en 0, et on note $\dot{D}$ le disque $D$ épointé en son centre. Soit $z$ la fonction holomorphe définie sur $\dot{D}$ par :

$$\forall t \in \dot{D}, \quad z(t) = t^{d_0}$$

$$\text{où } d_0' = \frac{d}{e_0}.$$

Alors $D_\infty := \{\frac{1}{z(t)}|t \in \dot{D}\} \cup \{\infty\}$ est un voisinage de $\infty$ dans $\hat{\mathbb{C}}$. On peut choisir $\varepsilon$ assez petit pour que $b_i \notin D_\infty$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$. On considère dans $\mathcal{C}$ l'ouvert $U$ défini par :

$$U := \pi^{-1}(D_\infty \setminus \{\infty\}).$$

On définit les fonctions :

$$\forall l \in \{0, \dots, d-1\}, \forall t \in \dot{D}, \quad y_l(t) = \zeta_d^l t^{-k_0'} \left( \prod_{i=1}^n (1 - t^{d_0'} b_i)^{k_i'} \right)^{\frac{1}{d}} ; \quad f_l(t) = \left( \frac{1}{z(t)}, y_l(t) \right)$$
où $k'_0 = \frac{k_0}{e_0}$. Alors pour tout $l \in \{1, \dots, d-1\}$ et pour tout $t \in \dot{D}$ :

$$
\begin{align*}
y_l(t)^d &= t^{-k'_0 \times d} \prod_{i=1}^{n} (1 - t^{d'_0} b_i)^{k_i} \\
&= t^{-d'_0 \times k_0} \prod_{i=1}^{n} (1 - t^{d'_0} b_i)^{k_i} \\
&= \prod_{i=1}^{n} t^{-d'_0 \times k_i} (1 - t^{d'_0} b_i)^{k_i} \\
&= \prod_{i=1}^{n} (t^{-d'_0} - b_i)^{k_i} \\
&= \prod_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{z(t)} - b_i \right)^{k_i}.
\end{align*}
$$

On a ainsi : $f_l(\dot{D}) \subset U$. Pour tout élément $(x, y) \in U$, on peut fixer un $t \in \dot{D}$ tel que $x = \frac{1}{z(t)}$. Alors le nombre complexe $\prod_{i=1}^n (x - b_i)^{k_i}$ est non nul et il existe exactement $d$ solutions $y_0, \dots, y_d$ telles que $y^d = \prod_{i=1}^n (x - b_i)^{k_i}$. Puisque les $y_l(t)$ sont $d$ nombres complexes distincts vérifiant cette équation, alors $(x, y) = (\frac{1}{z(t)}, y_l(t))$ pour un certain $l \in \{0, \dots, d-1\}$ et donc $U \subset \cup_{l=1}^{d-1} f_l(\dot{D})$. On a finalement l'égalité : $U = \{(\frac{1}{z(t)}, y_l(t))|l \in \{0, \dots, d-1\}, t \in \dot{D}\}$.

On veut construire les cartes locales dans $U$ définies sur $\dot{D}$. On pose pour tout $l \in \{0, \dots, d-1\}$ :

$$
f_l : t \in \dot{D} \mapsto \left( \frac{1}{z(t)}, y_l(t) \right).
$$

**Lemme 4.1.6.** *Les fonctions $f_l$ ainsi définies sont des bijections holomorphes sur leurs images respectives notées $E_l := f_l(\dot{D})$.*

Démonstration : En effet, si $f_l(t) = f_l(s)$, comme $z(t) = z(s)$, on peut fixer $j$ tel que $t = \zeta_{d_0'}^j s$. En particulier, $t_{d_0'}^j = s_{d_0'}^j$, alors $y_l(t) = y_l(s)$ équivaut à $t^{-k_0'} = s^{-k_0'}$. On peut donc fixer $l$ tel que $t = \zeta_{k_0'}^l s$. Ainsi comme $d_0'$ et $k_0'$ sont premiers entre eux, $\zeta_{k_0'}^l = \zeta_{d_0'}^j$ si et seulement si $\zeta_{k_0'}^l = \zeta_{d_0'}^j = 1$ et donc $t = s$. $\square$

**Lemme 4.1.7.** $U = \bigsqcup_{l=0}^{e-1} E_l$.

Démonstration : Supposons $E_l \cap E_{l'} \neq \emptyset$ et fixons $t, s \in \dot{D}$ tels que $f_l(t) = f_{l'}(s)$. De même que précédemment, comme $z(t) = z(s)$, on peut fixer $j$ tel que $t = \zeta_{d_0}^j s$. Alors :
$$p(t) = \prod_{i=1}^{n} (1 - t^{d_0} b_i)^{k_i} = \prod_{i=1}^{n} (1 - s^{d_0} b_i)^{k_i} = p(s) \text{ et :}$$

$$
\begin{align*}
y_l(t) = y_{l'}(s) &\Rightarrow \zeta_d^l t^{-k_0'} p(t)^{\frac{1}{d}} = \zeta_d^{l'} s^{-k_0'} p(s)^{\frac{1}{d}} \\
&\Rightarrow \zeta_d^{l-l'} (\zeta_{d_0'}^j s)^{-k_0'} = s^{-k_0'} \\
&\Rightarrow \zeta_d^{l-l'} \zeta_{d_0'}^{-k_0'j} = 1 \\
&\Rightarrow \zeta_d^{l-l'-k_0j} = 1.
\end{align*}
$$

Alors $l - l' - k_0j \equiv 0 \mod d$ et on fixe un entier $m \in \mathbb{Z}$ tel que $l - l' = ld + k_0j = e_0(md'_0 - k'_0j)$. Ainsi $l - l' \equiv 0 \mod e_0$ et on a montré que $E_l \cap E_{l'} \neq \emptyset \Rightarrow l - l' \equiv 0 \mod e_0$.
Réciproquement, si $l - l' \equiv 0 \mod e$, alors on fixe $m \in \mathbb{Z}$ tel que $l - l' = me_0$. Par le théorème de Bézout, on peut également fixer, puisque $\text{pgcd}(d, k_0) = e_0$, des entiers $j', m' \in \mathbb{Z}$ tels que $e_0 = m'd - j'k_0$. Alors $me_0 = mm'd - mj'k_0$ et $l - l' = (mm')d - (mj')k_0$. Soit $s \in \dot{D}$ et $t := \zeta_{d_0'}^{mj'} s$. Alors $t \in \dot{D}$ et on peut vérifier que $f_l(t) = f_{l'}(s)$ et finalement $l - l' \equiv 0 \mod e \Rightarrow E_l \cap E_{l'} \neq \emptyset$.

De plus, il est clair que $t \mapsto \zeta_{d_0'}^j t$ est une bijection de $\dot{D}$ dans lui même, alors en reprenant les notations ci-dessus, $E_l = f_l(\dot{D}) = f_l(\zeta_{d_0'}^j \dot{D}) = f_{l'}(\dot{D}) = E_{l'}$. Finalement, on a montré que $l \equiv l' \mod e \iff E_l \cap E_{l'} \neq \emptyset \iff E_l = E_{l'}$. Alors $U = \cup_{l=0}^{d-1} E_l = \cup_{l=0}^{e-1} E_l$. $\square$

Les fonctions $f_l$ étant continues, les $E_l$ sont des disques épointés, on note $p_l$ le point manquant et on re-note alors $E_l := f_l(\dot{D}) \cup \{p_l\}$.

On peut ainsi définir une nouvelle surface $\hat{X}$ :

$$ \hat{X} := \mathcal{X} \cup (\cup_{l=0}^{e_0-1} E_l). $$

On note $\tilde{B} := \{q_{i,l} | i \in \{1, \dots, n\}, l \in \{0, \dots, e_i - 1\}\}$ et $\tilde{\infty} = \{p_0, \dots, p_{e_0-1}\}$. On prolonge le morphisme $\pi$ sur $\hat{X}$ en l'étendant à $\hat{C}$ de la façon suivante :

- $\pi$ reste inchangé là où $C$ et $\mathcal{X}$ coïncident, c'est à dire : $\forall (x, y) \in \hat{X} \setminus (\tilde{B} \cup \tilde{\infty})$, $\pi(x, y) = x$

- on prolonge $\pi$ sur les $q_{i,l}$ par continuité en posant : $\pi(q_{i,l}) = \lim_{t \to 0} \pi(f_{i,l}(t)) = \lim_{t \to 0} x_i(t) = b_i$

- $\forall l \in \{0, \dots, e_0 - 1\}$, on prolonge $\pi$ par continuité sur les $p_l$ en posant : $\pi(p_l) := \lim_{t \to 0} \frac{1}{z(t)} = \infty$.

Remarquons également que par définition de $T$, des $y_{i,l}$ et des $y_l$, on a clairement $T(f_{i,l}(\dot{D})) = f_{i,l+1 \mod e_i}(\dot{D})$ et $T(f_l(\dot{D})) = f_{l+1}(\dot{D})$. On peut ainsi poser :

$$ \forall l \in \{0, \dots, e_0 - 1\}, \quad T(p_l) := p_{l+1 \mod e_0} ; $$

$$ \forall i \in \{1, \dots, n\}, \forall l \in \{0, \dots, d-1\}, \quad T(q_{i,l}) := q_{i,l+1}. $$

**Remarque 4.1.8.** Ainsi prolongés, $T$ et $\pi$ vérifient toujours $\pi \circ T = T$ et $T^d = \text{Id}_{\hat{X}}$.

### 4.1.3 Finalisation de la construction de $\hat{X}$

On peut à présent faire quelques premières observations sur la surface $\hat{X}$ que l'on vient de définir.

**Proposition 4.1.9.** $\hat{X}$ est une surface de Riemann compacte.

*Démonstration* : En effet, $\hat{X}$ dispose d'une structure de variété complexe de dimension 1 : là où $\hat{X}$ coïncide avec $C$, c'est à dire à l'exception des points de $\tilde{B}$ et de $\tilde{\infty}$, on peut construire des cartes locales par le théorème d'inversion locale d'après la remarque 4.1.1. Le travail précédemment réalisé permet de définir également des cartes locales au voisinage des points de $\tilde{B}$ ou de $\tilde{\infty}$.

Pour montrer que $\hat{X}$ est compacte, on considère une suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \hat{X}$. Alors la suite $(\pi(x_n))_{n \in \mathbb{N}}$ admet une sous-suite convergente dans $\hat{C}$. On peut alors extraire de $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une sous-suite $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $(\pi(y_n))_{n \in \mathbb{N}}$ converge. On note $y \in \hat{C}$ la limite de $(\pi(y_n))_{n \in \mathbb{N}}$, $U \subset \mathbb{C}$ un voisinage de $y$, et $n_0 \in \mathbb{N}$ un indice tel que : $\forall n \ge n_0$, $\pi(y_n) \in U$. On
note $\pi^{-1}(y) = \{\tilde{y}_0, \dots, \tilde{y}_{d-1}\}$, avec éventuellement $\tilde{y}_k = \tilde{y}_k \bmod e_i$ si $y = b_i$ et $\tilde{y}_k = \tilde{y}_k \bmod e_i$ si $y = \infty$. On note également $U_y = \cup_{k=0}^{d-1} U_k$ avec de nouveau $U_k = U_k \bmod e_i$ si $y = b_i$, $U_k = U_k \bmod e_i$ si $y = \infty$, et tel que $\tilde{y}_k \in U_k$ pour tout $k \in \{0, \dots, d-1\}$. Alors on peut fixer un indice $k \in \{0, \dots, d-1\}$ tel que $U_k$ contienne une infinité de point de $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$. Ainsi on peut extraire une sous-suite $(z_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que : $\forall n \ge n_0$, $z_n \in U_k$. Alors comme $(\pi(z_n))_{n \in \mathbb{N}}$ tend vers $y$, la suite $(z_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $\tilde{y}_k \in \hat{X}$ et on a finalement trouvé une sous-suite de $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ qui converge dans $\hat{X}$ qui est donc compact. $\square$

On peut également donner quelques caractéristiques de $\hat{X}$ d'un point de vu topologique. Commençons par remarquer que quelque soit $x \in \mathbb{C}\setminus\{b_1, \dots, b_n\}$, la pré-image de $x$ dans $\hat{X}$ se compose de $d$ points deux à deux distincts, permutés cycliquement par $T$. Alors peut trouver un voisinage $U_x$ ouvert de $x$ tel $\pi^{-1}(U_x)$ est une réunion disjointe de $d$ disques ouvert. On a vu par construction que les points $b_i$ ont respectivement $e_i$ pré-images notée $q_{i,0}, \dots, q_{i,e_i-1}$, permutés cycliquement par $T$ avec $T(q_{i,k}) = q_{i,k+1 \bmod e_i}$. Alors la pré-image d'un voisinage ouvert autour d'un $b_i$ est composée d'exactement $e_i$ disques ouverts. De même, les pré-images de $\infty$ dans $\hat{X}$ sont les $e_0$ points $p_0, \dots, p_{e_0-1}$ et la pré-image d'un voisinage de $\infty$ se compose de $e_0$ disques disjoints. Les points $p_k$ sont également permutés cycliquement par $T$ avec $T(p_k) = p_{k+1 \bmod e_0}$.

**Remarque 4.1.10.** Ainsi défini, $\pi : \hat{X} \to \hat{\mathbb{C}}$ est un revêtement cyclique de degré $d$, ramifié au dessus des points $b_1, \dots, b_n$ et éventuellement au dessus de $\infty$.

## 4.2 Genre de $\hat{X}$ et condition de connexité de $\hat{X}$

### 4.2.1 Étude du genre $g$ de $\hat{X}$

**Proposition 4.2.1.** Le genre $g$ de $\hat{X}$ vaut : $g = \frac{1}{2}(d(n-1) - \sum_{i=0}^n e_i + 2)$.

*Démonstration :*

On utilise ici le point de vue de $\hat{X}$ comme un revêtement au-dessus de la sphère. On a vu que $(\hat{X}, \pi)$ est un revêtement de degré $d$ au-dessus de $\hat{\mathbb{C}}$, ramifié au-dessus des points $b_i$ et éventuellement de $\infty$ si $e_0 \neq d$. On a alors, pour tout $x \in \hat{X}$, l'indice de ramification $e_\pi(x)$ qui est donné par :

$$e_{\pi}(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \notin \tilde{\infty} \cup \tilde{B} \\ d_0' & \text{si } x \in \tilde{\infty} \\ d_i' & \text{si } x \in \tilde{B} \end{cases}.$$
La formule de Riemann Hurwitz nous donne donc :

$$
\begin{align*}
2 - 2g &= 2d - \sum_{x \in \hat{X}} (e_{\pi}(x) - 1) \\
&\Rightarrow 2 - 2g = 2d - \sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{j=0}^{e_i-1} (e_{\pi}(q_{i,j}) - 1) \right) - \sum_{k=0}^{e_0-1} (e_{\pi}(p_k) - 1) \\
&\Rightarrow 2 - 2g = 2d - \sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{j=0}^{e_i-1} (d'_i - 1) \right) - \sum_{k=0}^{e_0-1} (d'_0 - 1) \\
&\Rightarrow 2 - 2g = 2d - \sum_{i=1}^{n} (e_i \times d'_i - e_i) - (e_0 \times d'_0 - e_0) \\
&\Rightarrow 2 - 2g = 2d - nd + \sum_{i=1}^{n} e_i - d + e_0 \\
&\Rightarrow -2g = d(1-n) + \sum_{i=0}^{n} e_i - 2 \\
&\Rightarrow g = \frac{d(n-1) - \sum_{i=0}^{n} e_i + 2}{2}.
\end{align*}
$$

□

Remarquons que ce résultat généralise bien celui donné par McMullen dans l’article [McM13] pour le cas où les $k_i$ sont égaux à 1 : en effet, on a alors les $e_i = 1$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, alors $\sum_{i=0}^n e_i = e_0 + n$ avec $e_0 = \text{pgcd}(\sum_{i=1}^n k_i, d) = \text{pgcd}(n, d)$. La formule ci-dessus nous donne :

$$g = \frac{d(n-1) - (n + e_0) + 2}{2} = \frac{d(n-1) - (n - 1) - e_0 + 1}{2} = \frac{(d-1)(n-1) - e_0 + 1}{2}.$$

On retrouve bien la formule du genre annoncée par McMullen dans son article [McM13].

### 4.2.2 Connexité de $\hat{X}$

Rappelons que les tresses de $B_n$ sont vues comme des éléments de $\text{Mod}(D, n)$ étendues sur $\hat{C}$, où $D$ est un disque qui contient les points marqués $b_1, \dots, b_n$. Ainsi, les tresses de $B_n$ coïncident avec l'identité sur $\partial D$ et sur $\hat{C} \setminus D$. On note $B := \{b_1, \dots, b_n\}$. Soit $\beta \in \partial D$, $\beta$ est donc laissé stable par les tresses de $B_n$. On note $\beta_0, \dots, \beta_{d-1}$ les points dans $\hat{X}$ au-dessus de $\beta$ tels que $T^k(\beta_0) = \beta_k$. On peut choisir $\beta$ non aligné avec deux points $b_i$. Alors $\pi_0(\hat{C} \setminus B, \beta)$ est un groupe libre généré par les $n$ éléments $\gamma_i$ lacets de base $\beta$ qui font respectivement un unique tour autour de $b_i$ mais autour d'aucun autre des points marqués.

On note $\tilde{\gamma}_{i,k}$ le relevé de $\gamma_i$ d'origine $\beta_k$.

**Proposition 4.2.2.** Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et pour tout $k \in \{0, \dots, d-1\}$, le relevé $\tilde{\gamma}_{i,k}$ de $\gamma_i$ d'origine $\beta_k$ se termine en $\beta_{k+e_i}$.

*Démonstration* : Soit $i \in \{1, \dots, n\}$, et $\tilde{\gamma}_{i,0}$ le relevé de $\gamma$ dans $\hat{X} \setminus \tilde{B}$ d'origine $\beta_0$. A homotopie près, on peut choisir de voir $\gamma_i$ comme la succession de trois chemins $\gamma_i = \alpha_3 \alpha_2 \alpha_1$ : $\alpha_1$ parcourant un segment se rapprochant de $b_i$, $\alpha_2$ étant un lacet parcourant
<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>FIGURE 4.1 – Illustration d'un $\gamma_i$</figcaption></figure>

le bord d'un petit cercle autour de $b_i$, et enfin le chemin $\alpha_3$ étant l'inverse de $\alpha_1$. On peut choisir $\alpha_2$ dans un voisinage $U_i$ de $b_i$ pour lequel $\pi^{-1}(U_i) = \cup_{j=1}^{e_i} V_{i,j}$ où $V_{i,j}$ est un voisinage de $q_{i,j}$ dans lequel $\pi$ s'exprime localement par $z \mapsto z^{d_i}$. De plus, quitte à considérer une intersection des $V_{i,j}$ avec $f_{i,j}(\dot{D}_{\varepsilon})$ pour un rayon $\varepsilon$ assez petit, on peut supposer $T(V_{i,j}) = V_{i,j+1}$.

Un relèvement $\tilde{\alpha}_1$ de $\alpha_1$ d'origine $\beta_0$ se termine dans un certain $V_{i,j}$. Comme $\alpha_2$ fait un tour complet dans $U_i$ autour de $b_i$, le relèvement $\tilde{\alpha}_2$ de $\alpha_2$, d'origine $\tilde{\alpha}_1(1)$, fait $\frac{1}{d_i}$-ième de tour autour de $q_{i,j}$. Cette rotation correspond à $T^{e_i}$. Le point d'arrivée du relevé de $\alpha_2$ est alors $\tilde{\alpha}_2(1) = T^{e_i}(\tilde{\alpha}_2(0)) = T^{e_i}(\tilde{\alpha}_1(1))$. Remarquons que $T^{e_i}(\tilde{\alpha}_1(1))$ est encore dans $V_{i,j}$ : en effet, comme $\tilde{\alpha}_1(1) \in V_{i,j}$, $T^{e_i}(\tilde{\alpha}_1(1)) \in V_{i,j+e_i \mod e_i} = V_{i,j}$.

Le relevé $\tilde{\alpha}_3$ de $\alpha_3$ se projette sur $\alpha_3 = \bar{\alpha}_1$, donc $\tilde{\alpha}_3 \in \{T^k(\tilde{\alpha}_1) | k = 0, \dots, d-1\}$. Or l'origine de $\tilde{\alpha}_3$ est $\tilde{\alpha}_2(1) = T^{e_i}\tilde{\alpha}_2(0) = T^{e_i}(\tilde{\alpha}_1(1))$. Alors il se termine donc en $T^{e_i}(\tilde{\alpha}_1(0)) = T^{e_i}(\beta_0) = \beta_{e_i}$. On en déduit que le relèvement de $\gamma_i$ d'origine $\beta_0$ se termine en $\beta_{e_i}$. On peut facilement généraliser pour obtenir la proposition. $\square$

On peut à présent donner une condition pour la connexité de $\hat{X}$ :

**Proposition 4.2.3.** $\hat{X}$ est connexe si et seulement si $\text{pgcd}(e_1, \dots, e_n) = 1$.

*Démonstration* : On veut montrer que pour tout $(x, y) \in \hat{X} \setminus (\tilde{B} \cup \tilde{\infty})$, il existe un chemin de $(x, y)$ à $\beta_0$ dans $\hat{X}$. Remarquons alors que, pour $\tilde{x} \in \tilde{B} \cup \tilde{\infty}$, on pourra trouver un chemin de $\beta_0$ à un point $(x, y) \in \hat{X} \setminus \tilde{B} \cup \tilde{\infty}$ qui soit dans un voisinage connexe de $\tilde{x}$, on pourra alors trouver un chemin de $\tilde{x}$ à $\beta_0$.

Soit $(x, y) \in \hat{X} \setminus \tilde{B} \cup \tilde{\infty}$. On a $\pi(x, y) = x$ et on peut trouver un chemin $\gamma$ dans $C\setminus B$ qui relie $x$ à $\beta$. Il existe un unique relevé de ce chemin d'origine $(x, y)$, il se termine en un certain $\beta_{k_0}$. Le problème qui se pose est de relier les $\beta_k$ entre eux. On va montrer qu'on peut relier $\beta_0$ à $\beta_1$ sous la condition de la proposition, on en déduira sur le même modèle comment relier $\beta_k$ à $\beta_{k+1}$ et de proche en proche on saura finalement relier $\beta_0$ à n'importe lequel des $\beta_k$ et en particulier à $\beta_{k_0}$. On trouvera ainsi un chemin qui relie $(x, y)$ à $\beta_0$.

Supposons $\text{pgcd}(e_1, \dots, e_n) = 1$. Alors on peut fixer des entiers $m_1, \dots, m_n$ tels que $\sum_{i=1}^n m_i e_i = 1$. Comme $\tilde{\gamma}_{i,k}$ d'origine $\beta_k$ se termine en $\beta_{k+e_i}$, le chemin $\tilde{\gamma}_{1,m_1-1} \circ \dots \circ \tilde{\gamma}_{1,0}$ relie $\beta_0$ à $\beta_{m_1 e_1}$ (les indices des $\beta_k$ sont tous sous entendu modulo $d$, on ne l'écrit pas pour alléger les notations). Le chemin $\tilde{\gamma}_{2,m_1 e_1+m_2-1} \circ \dots \circ \tilde{\gamma}_{2,m_1 e_1}$ relie $\beta_{m_1 e_1}$ à $\beta_{m_1 e_1+m_2 e_2}$. Ainsi on peut construire des chemins reliant $\beta_{\sum_{i=1}^k m_i e_i}$ à $\beta_{\sum_{i=1}^{k+1} m_i e_i}$, en particulier, le dernier de ces chemins se termine en $\beta_{\sum_{i=1}^n m_i e_i} = \beta_1$. En concaténant tout ces chemins, on obtient un chemin qui relie $\beta_0$ à $\beta_1$.

On peut construire de la même façon des chemins $\tilde{\gamma}_{1,m_1} \circ \dots \circ \tilde{\gamma}_{1,1}$ d'origine $\beta_1$ et se terminant en $\beta_{m_1 e_1+1}$, puis reliant $\beta_{m_1 e_1+1}$ à $\beta_{m_1 e_1+m_2 e_2+1}$ et ainsi de suite jusqu'à atteindre $\beta_{\sum_{i=1}^n m_i e_i+1} = \beta_2$. En généralisant on pourra relier un $\beta_k$ au terme suivant $\beta_{k+1}$. L'existence de chemins entre les $\beta_k$ consécutifs permet de construire un chemin de $\beta_0$ à n'importe quel autre des $\beta_k$ et en particulier jusqu'à $\beta_{k_0}$, en considérant l'inverse de ce
chemin et en le concaténant avec celui de $(x, y)$ à $\beta_{k_0}$ on trouve bien un chemin de $(x, y)$ à $\beta_0$ et finalement $X$ est connexe.

Supposons maintenant $X$ connexe. En particulier, il existe un chemin $\mu$ reliant $\beta_0$ à $\beta_1$. Alors $\gamma := \pi(\mu) \in \pi_0(\mathbb{C}\setminus B, \beta)$ et s'écrit comme un mot en les $\gamma_i$, on note $\gamma = \gamma_{i_r}^{m_{ir}} \circ \dots \circ \gamma_{i_1}^{m_{i_1}}$, avec $r$ un entier naturel, les indices $i_l$ dans l'ensemble $\{1, \dots, n\}$ et les $m_{il} \in \mathbb{Z}^*$.
Le relevé d'un $\gamma_{i_l}^{m_{il}}$ d'origine $\beta_k$ se termine en $\beta_{k+m_{il}e_{il}}$. Alors le relevé $\tilde{\gamma}$ de $\gamma$ d'origine $\beta_0$ se termine en $\beta_{\sum_{k=1}^r m_{ik}e_{ik}}$. Par unicité du relèvement, $\mu$ est homotope à $\tilde{\gamma}$ puisque tous les deux relèvent $\gamma$ et ont pour origine $\beta_0$. Alors $\beta_1 = \beta_{\sum_{k=1}^r m_{ik}e_{ik}}$ et donc $\sum_{k=1}^r m_{ik}e_{ik} \equiv 1 \mod d$. Quitte à poser $m_{il} = 0$ pour tout indice $i_l \in \{1, \dots, n\} \setminus \{i_1, \dots, i_r\}$, et à renoter $m_k := m_{ik}$ on a donc $\sum_{k=1}^n m_k e_k \equiv 1 \mod d$. On pose alors $\sum_{i=1}^n m_i e_i = 1 + \theta d$, avec $\theta$ un entier. On a naturellement $\text{pgcd}(e_1, \dots, e_n) = \sum_{k=1}^n m_k e_k$ et donc $\text{pgcd}(e_1, \dots, e_n) = (1 + \theta d) \cdot \text{Comme } e_i \text{ est le pgcd de } k_i \text{ et } d$, chaque $e_i$ divise $d$ et $\text{pgcd}(e_1, \dots, e_n) \mid d$. Finalement, on doit avoir $\text{pgcd}(e_1, \dots, e_n) \mid 1$ donc $\text{pgcd}(e_1, \dots, e_n) = 1$. $\square$

Dans tout ce qui suit, lorsqu'on dira qu'une surface est obtenue à partir d'une courbe algébrique, on sous-entendra toute la construction faite dans cette partie. Ainsi, la donnée d'une courbe algébrique $\mathcal{C}$ de la forme $y^d = \prod_{i=1}^n (x - b_i)^{k_i}$ permet d'obtenir une surface de Riemann $\hat{X}$, compacte, de genre $g = \frac{1}{2}(d(n-1) - \sum_{i=0} n e_i + 2)$, et connexe si $\text{pgcd}(e_1, \dots, e_n) = 1$. Là où $\hat{X}$ et $\mathcal{C}$ coïncident, on pourra noter $(x, y)$ un élément de $\hat{X}$.

Munie de l'automorphisme $T$ et de la surjection $\pi : \hat{X} \to \mathbb{C}$, la surface $\hat{X}$ peut être vu comme un revêtement cyclique au-dessus de la sphère de Riemann, de degré $d$, éventuellement ramifié au-dessus des $b_i$ et de $\infty$. L'objectif de du chapitre suivant est de relever les tresses de $B_n$ en élément de $\text{Mod}(\hat{X})$. Par la suite, on pourra considérer les tirés en arrières par ces relevés, qui donnerons des éléments de $\text{U}(H^1(\hat{X})_q)$ où $H^1(\hat{X})_q$ est le sous-espace propre dans $H^1(\hat{X})$ de $T^*$ associé à une valeur propre $q \neq 1$. L'étude de ces sous-espaces propres $H^1(\hat{X})_q$ constitue le chapitre 6.
# Chapitre 5

## Relèvements des tresses pures

Rappelons que pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$, et pour $n$ points $b_1, \dots, b_n$ deux à deux distincts, inclus dans un disque complexe $D$, le groupe de tresse $B_n$ peut être vu comme le groupe modulaire $\text{Mod}(D, n)$ des classes d'homotopies des homéomorphismes $D \to D$ qui préservent l'ensemble $B := \{b_1, \dots, b_n\}$ et coïncident avec $\text{Id}$ sur $\partial D$. Le sous-groupe de tresses pures $\text{PB}_n$ est l'ensemble des tresses de $B_n$ dont chaque brin commence et finit sur un même point de $B$. Alors toute tresse $\tau \in \text{PB}_n$ peut être prolongée par $\text{Id}$ sur $\hat{\mathbb{C}}$, et on s'intéresse à relever $\tau$ en un élément de $\text{Mod}(\hat{X})$, où $\hat{X}$ est une surface de Riemann construite comme précédemment en normalisant une courbe algébrique :

$$y^d = \prod_{i=1}^{n} (x - b_i)^{k_i}$$

où $d \in \mathbb{N}^*$, et les $k_i$ sont des entiers naturels. On impose également la condition de connexité du théorème 4.2.3, à savoir : $\text{pgcd}(e_1, \dots, e_n) = 1$ où $e_i = \text{pgcd}(k_i, d)$. On rappelle que $\pi : \hat{X} \to \hat{\mathbb{C}}$ est un revêtement cyclique, de degré $d$, ramifié éventuellement au-dessus des points de $B$ et de $\infty$. On a également un automorphisme $T$ de $\hat{X}$, vérifiant $T^d = \text{Id}$ et qui permute les éléments dans la pré-image d'un point de $\hat{\mathbb{C}}$. Dans ce chapitre, nous montrerons le résultat suivant :

**Théorème 5.0.1.** Il existe un morphisme de groupe $\theta$ de $\text{PB}_n$ dans $\text{Mod}(\hat{X})$ qui, à toute tresse $\tau \in \text{PB}_n$, associe un relevé $\tilde{\tau}$ qui commute avec $T$.

### 5.1 Relèvement d'une tresse de $\text{PB}_n$ sur $\hat{X}$

Reprenons les notations de la partie 4.2.2. On considère $\beta \in \hat{\mathbb{C}}$ un point de $\partial D$ qui ne soit dans l'alignement d'aucune paire de points de $B$, on note $\pi^{-1}(\beta) = \{\beta_0, \dots, \beta_{d-1}\}$ de sorte que $T(\beta_k) = \beta_{k+1} \mod d$. On note également $\tilde{B} = \pi^{-1}(B)$ et $\tilde{\infty} = \pi^{-1}(\infty)$. Un relevé $\tilde{\tau}$ de $\tau$, doit vérifier $\tau \circ \pi = \pi \circ \tilde{\tau}$. Comme $\tau(\beta) = \beta$, alors $\tilde{\tau}(\beta_0) \in \{\beta_0, \dots, \beta_{d-1}\}$. A priori, si $\tau$ se relève, il y aura $d$ relevés différents de $\tau$, chacun associant $\beta_0$ à l'un des $\beta_k$ pour $k \in \{0, \dots, d-1\}$. Le choix d'un relevé de $\tau$ se fait en imposant une condition sur $\tilde{\tau}(\beta_0)$. Il faut donc d'une part que les tresses de $\text{PB}_n$ se relèvent, et d'autre part, que chaque tresse soit associée de façon unique à l'un de ses relevés.

#### 5.1.1 Relèvement des tresses sur $\hat{X} \setminus (\tilde{B} \cup \tilde{\infty})$

Commençons par montrer que les tresses de $\text{PB}_n$ se relèvent dans $\hat{X} \setminus (\tilde{B} \cup \tilde{\infty})$. Rappeons que $B_n \simeq \text{Mod}(D, n)$ d'après 2.1.6, on peut donc voir une tresse $\tau \in \text{PB}_n \subset B_n$
comme un élément de Mod(D, n).

**Proposition 5.1.1.** *Soit* $\Gamma := \pi_*(\pi_1(\hat{X}\setminus(\tilde{B}\cup\tilde{\infty})))$. *Pour toute tresse* $\tau \in PB_n$, *vue comme un représentant de sa classe d'homotopie dans* Mod(D, n), *on peut définir un unique relevé* $\tilde{\tau}$ *de* $\tau$ *dans* Homeo($\hat{X}\setminus(\tilde{B}\cup\tilde{\infty}))$, *fixant* $\beta_0$, *si la condition suivante est vérifiée :*

$$ \tau_*(\Gamma) \subset \Gamma. $$

L'inclusion ci-dessus signifie que pour un lacet $\tilde{\gamma}$ de base $\beta_0$ dans $\hat{X}\setminus(\tilde{B}\cup\tilde{\infty})$, le relevé de $\tau \circ \pi(\tilde{\gamma})$ d'origine $\beta_0$ est également un lacet.

**Démonstration** : Pour toute tresse $\tau \in PB_n \subset B_n \simeq \text{Mod}(D, n)$, en notant de nouveau $\tau$ un représentant de sa classe dans Mod(D, n), on peut voir $\tau$ comme un homéomorphisme du disque D, laissant stable l'ensemble des points marqués $B := \{b_1, \dots, b_n\}$ et coïncidant avec Id sur $\partial D$. En prolongeant $\tau$ sur $\hat{C}$ par Id, on s'intéresse à relever $\tau : \hat{C} \to \hat{C}$ en un homéomorphisme de $\hat{X}\setminus(\tilde{B}\cup\tilde{\infty})$. Rappelons que $\pi_{|\hat{X}\setminus(\tilde{B}\cup\tilde{\infty})}$ est un revêtement. Si $\tau_*(\Gamma) \subset \Gamma$, d'après la théorie des revêtements, il existe exactement d relevés de $\tau$ dans Homeo($\hat{X}\setminus(\tilde{B}\cup\tilde{\infty}))$, associant chacun le point $\beta_0$ à un élément de $\pi^{-1}(\beta)$. On note alors $\tilde{\tau} \in$ Homeo($\hat{X}\setminus(\tilde{B}\cup\tilde{\infty}))$ le relevé de $\tau$ fixant le point de base $\beta_0$.

Concrètement, si $\tau \in PB_n$ vérifie $\tau_*(\Gamma) \subset \Gamma$, le relevé $\tilde{\tau}$ est défini sur $\hat{X}\setminus(\tilde{B}\cup\tilde{\infty})$ de la façon suivante : pour tout $x \in \hat{X}\setminus(\tilde{B}\cup\tilde{\infty})$, on considère $\tilde{\gamma}$ un chemin de $\beta_0$ à $x$, alors $\tilde{\tau}$ associe $x$ au point d'arrivée du relevé de $\tau \circ \pi(\tilde{\gamma})$ d'origine $\beta_0$. $\square$

**Théorème 5.1.2.** *Pour toute tresse* $\tau \in PB_n$, *on a*

$$ \tau_*(\Gamma) \subset \Gamma. $$

Avant de passer à la démonstration de ce théorème, on introduit le morphisme suivant :

$$ \rho : \pi_1(\mathbb{C}\setminus B, \beta) \to \mathbb{Z}/d\mathbb{Z} \qquad (5.1.1) $$

qui a tout lacet $\gamma$ dans $\pi_1(\mathbb{C}\setminus B, \beta)$ associe l'indice $i_0 \in \{0, \dots, d-1\}$ du point d'arrivée $\beta_{i_0}$ du relevé de $\gamma$ d'origine $\beta_0$. Alors $\Gamma = \ker(\rho)$ et l'inclusion dans le théorème 5.1.2 s'écrit aussi : pour toute tresse $\tau \in PB_n$, $\rho(\tau_*(\Gamma)) = \{0\}$. On va en fait montrer un résultat plus fort encore :

**Proposition 5.1.3.**

$$ \forall \gamma \in \pi_1(\mathbb{C}\setminus B, \beta), \forall \tau \in PB_n, \quad \rho(\tau(\gamma)) = \rho(\gamma). $$

**Démonstration du théorème 5.1.2** : En admettant la proposition ci dessus 5.1.3, on aura pour tout $\gamma \in \Gamma$, et pour toute tresse $\tau \in PB_n$, $\rho(\tau(\gamma)) = \rho(\gamma) = 0$. Ainsi $\tau_*(\Gamma) \subset \Gamma$ et le théorème est démontré. $\square$

Pour démontrer la proposition 5.1.3, on a besoin de déterminer l'image des $\gamma_k$ par les générateurs $\alpha_{i,j}$ de $PB_n$. Les éléments $\gamma_k$, respectivement $\alpha_{i,j}$, sont introduits dans la partie 4.2.2, respectivement dans 2.1.2.
**Lemme 5.1.4.** Pour tout $(i, j) \in \{1, \dots, n\}^2$ tel que $i < j$, et pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$, $\alpha_{i,j}(\gamma_k)$ est un conjugué de $\gamma_k$.

*Démonstration* : Rappelons que pour tout $k \in \{1, \dots, n\}$, $\gamma_k$ est un lacet faisant un seul tour autour du point marqué $b_k$.

Commençons par regarder comment un demi-twist $\tau_i$, pour $i \in \{1, \dots, n\}$ transforme un lacet $\gamma_k$. Clairement, si $j \neq i, i+1$, alors $\gamma_j$ n'est pas dans le support de $\tau_i$ et sera laissé fixé par celui-ci. On va donc s'intéresser aux lacets $\gamma_i$ et $\gamma_{i+1}$, qui se trouvent sur $D_i$. on voit sur les illustrations ci-dessous que : $\tau_i(\gamma_i) = \gamma_i\gamma_{i+1}\gamma_i^{-1}$, $\tau_i(\gamma_{i+1}) = \gamma_i$, $\tau_i^{-1}(\gamma_i) = \gamma_{i+1}$, et enfin $\tau_i^{-1}(\gamma_{i+1}) = \gamma_{i+1}^{-1}\gamma_i\gamma_{i+1}$.

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>FIGURE 5.1 – Transformation du lacet $\gamma_i$ par $\tau_i$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>FIGURE 5.2 – Transformation du lacet $\gamma_{i+1}$ par $\tau_i^{-1}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>FIGURE 5.3 – Transformation du lacet $\gamma_i$ par $\tau_i^{-1}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>FIGURE 5.4 – Transformation du lacet $\gamma_{i+1}$ par $\tau_i^{-1}$</figcaption></figure>
Comme $\tau(\gamma^{-1}) = (\tau(\gamma))^{-1}$, pour tout $\tau \in B_n$ et pour tout $\gamma \in \pi_*(C\B, \beta)$, on peut également calculer :

$$ \tau_i^2(\gamma_i) = (\gamma_i \gamma_{i+1}) \gamma_i (\gamma_{i+1}^{-1} \gamma_i^{-1}) \quad ; \quad \tau_i^2(\gamma_{i+1}) = \gamma_i \gamma_{i+1} \gamma_i^{-1}. $$

Remarquons que $\tau_i^2(\gamma_i)$, respectivement $\tau_i^2(\gamma_{i+1})$, est un conjugué de $\gamma_i$, respectivement de $\gamma_{i+1}$.

Soient $i, j \in \{1, \dots, n\}$, tels que $i < j$, et $k \in \{1, \dots, n\}$. On veut voir que $\alpha_{i,j}(\gamma_k)$ est un conjugué de $\gamma_k$. Rappelons que $\alpha_{i,j}$ est défini par :

$$ \alpha_{i,j} = (\tau_{j-1} \cdots \tau_{i+1}) \tau_i^2 (\tau_{j-1} \cdots \tau_{i+1})^{-1}. $$

On fait un calcul direct pour $k \neq j$, et une récurrence pour $k = j$.

- Si $k < i$ ou si $k > j$, alors aucun des demi-twists apparaissant dans l'écriture de $\alpha_{i,j}$ n'agit sur $\gamma_k$ et $\alpha_{i,j}(\gamma_k) = \gamma_k$.

- Si $k \in \{i+1, \dots, j-1\}$, alors le premier terme de $\alpha_{i,j}$ modifiant $\gamma_k$ est $\tau_k^{-1}$ :

$$ \begin{align*} \alpha_{i,j}(\gamma_k) &= (\tau_{j-1} \cdots \tau_{i+1}) \tau_i^2 (\tau_{i+1}^{-1} \cdots \tau_{j-1}^{-1}) (\gamma_k) \\ &= (\tau_{j-1} \cdots \tau_k \cdots \tau_{i+1}) \tau_i^2 (\tau_{i+1}^{-1} \cdots \tau_k^{-1}) (\gamma_k) \quad \text{avec } \tau_k^{-1}(\gamma_k) = \gamma_{k+1} \\ &= (\tau_{j-1} \cdots \tau_k)(\gamma_{k+1}) \quad \text{avec } \tau_k(\gamma_{k+1}) = \gamma_k \\ &= \gamma_k \end{align*} $$

- Si $k = i$,

$$ \begin{align*} \alpha_{i,j}(\gamma_i) &= (\tau_{j-1} \cdots \tau_{i+1}) \tau_i^2(\gamma_i) \\ &= (\tau_{j-1} \cdots \tau_{i+1})(\gamma_i \gamma_{i+1} \gamma_i^{-1} \gamma_{i+1}^{-1}) \\ &= \underbrace{(\tau_{j-1} \cdots \tau_{i+1})(\gamma_i \gamma_{i+1})}_{:=\gamma} \cdot \gamma_i \cdot (\tau_{j-1} \cdots \tau_{i+1})(\gamma_{i+1}^{-1} \gamma_i^{-1}) \\ &= \gamma \gamma_i \gamma^{-1} \end{align*} $$

- Si $k = j$, on démontre par récurrence que :

Pour tout $l > i$, il existe $\gamma \in \pi_*(C\B, \beta)$, tel que : $\alpha_{i,l}(\gamma_l) = \gamma\gamma_l\gamma^{-1}$.

D'après les calculs faits pour $\tau_i^2(\gamma_{i+1})$, cette propriété est vrai au rang initial $l = i+1$.

Soit $l \in \{i+2, \dots, n-1\}$ et supposons que la propriété est vraie au rang $l-1$, c'est à dire qu'il existe $\gamma \in \pi_*(C\B, \beta)$ tel que : $\alpha_{i,l-1}(\gamma_{l-1}) = \gamma\gamma_{l-1}\gamma^{-1}$. Alors :

$$ \begin{align*} \alpha_{i,l}(\gamma_l) &= (\tau_{l-1} \cdots \tau_{i+1}) \tau_i^2 (\tau_{i+1}^{-1} \cdots \tau_{l-1}^{-1}) (\gamma_l) \\ &= \tau_{l-1} \alpha_{i,l-1} \tau_{l-1}^{-1} (\gamma_l) \\ &= \tau_{l-1} \alpha_{i,l-1} (\gamma_l^{-1} \gamma_{l-1} \gamma_l) \\ &= \tau_{l-1} (\gamma_l^{-1} \cdot \alpha_{i,l-1} (\gamma_{l-1}) \cdot \gamma_l) \\ &= \tau_{l-1} (\gamma_l^{-1} \gamma \gamma_{l-1} \gamma^{-1} \gamma_l) \\ &= \tau_{l-1} (\gamma_l^{-1} \gamma) \cdot \tau_{l-1} (\gamma_{l-1}) \cdot \tau_{l-1} (\gamma^{-1} \gamma_l) \\ &= \underbrace{\tau_{l-1} (\gamma_l^{-1} \gamma) \gamma_{l-1}}_{:=\gamma'} \gamma_l \gamma_{l-1}^{-1} \cdot (\tau_{l-1} (\gamma^{-1} \gamma_{l-1})) \\ &= \gamma' \gamma_l \gamma'^{-1} \end{align*} $$

Par récurrence, on a finalement : $\forall l \in \{i+1, \dots, n\}$, $\alpha_{i,l}(\gamma_l)$ est un conjugué de $\gamma_l$. En particulier, $\alpha_{i,j}(\gamma_j)$ est un conjugué de $\gamma_j$.
Ainsi, dans tous les cas $\alpha_{i,j}(\gamma_k)$ est un conjugué de $\gamma_k$ et finalement le lemme est démontré. $\square$

**Démonstration de la proposition 5.1.3** : Soit $\gamma \in \pi_1(\mathbb{C}\setminus B, \beta)$. Comme $\gamma$ est un lacet dans $\mathbb{C}\setminus B$ d'origine $\beta$, $\gamma$ s'écrit comme un mot en les $\gamma_k$. De plus, chaque tresse de $PB_n$ s'écrit comme un mot des $\alpha_{i,j}$ et de leurs inverse. Il suffit donc de vérifier que pour tout $i, j, k \in \{1, \dots, n\}$ avec $i < j$, $\rho(\alpha_{i,j}(\gamma_k)) = \rho(\gamma_k)$. D'après le lemme 5.1.4, on sait que $\alpha_{i,j}(\gamma_k)$ est un conjugué de $\gamma_k$, on peut donc fixer $\gamma \in \pi_*(\mathbb{C}\setminus B, \beta)$ vérifiant : $\alpha_{i,j}(\gamma_k) = \gamma\gamma_k\gamma^{-1}$. Alors :

$$ 
\begin{align*}
\rho(\alpha_{i,j}(\gamma_k)) &= \rho(\gamma\gamma_k\gamma^{-1}) = \rho(\gamma) + \rho(\gamma_k) + \rho(\gamma^{-1}) \\
&= \rho(\gamma) + \rho(\gamma_k) - \rho(\gamma) \\
&= \rho(\gamma_k).
\end{align*}
$$

Donc la proposition 5.1.3 est démontrée. $\square$

**Remarque 5.1.5.** Dans la preuve du lemme, on a déterminé $\tau_i(\gamma_i)$ et $\tau_i(\gamma_{i+1})$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$. On peut alors remarquer que $\rho(\tau_i(\gamma_i)) = e_{i+1}$ et $\rho(\gamma_i) = e_i$. Alors, dans le cas où $e_i \neq e_{i+1}$, on ne pourra pas relever la tresse $\tau_i$. Cet exemple nous montre que les tresses de $B_n$ ne se relèvent pas toutes sur $\hat{X}\setminus(\tilde{B} \cup \tilde{\infty})$. Une tresse $\tau \in B_n$, associée à une permutation $\sigma\mathfrak{S}_n$ telle que $\tau(b_i) = b_{\sigma(i)}$ se relève si $e_i = e_{\sigma(i)}$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, d'où notre choix de se restreindre au sous groupe de tresses pures puisque la permutation dans $\mathfrak{S}_n$ associée à une tresse pure est toujours l'identité.

On a finalement montré que les tresses pures se relèvent sur $\hat{X}\setminus(\tilde{B} \cup \tilde{\infty})$. En général, on notera $\tilde{\tau}$ l'unique relevé d'une tresse $\tau \in PB_n$ fixant le point $\beta_0$.

## 5.1.2 Commutation des relevés des tresses avec $T$ sur $\hat{X}\setminus(\tilde{B} \cup \tilde{\infty})$

Pour toute tresse $\tau \in PB_n$, on a vu que $\tilde{\tau}$ est l'unique relevé de $\tau$ fixant $\beta_0$ et, pour tout $\mathbf{x} \in \hat{X}\setminus(\tilde{B} \cup \tilde{\infty})$, $\tilde{\tau}(\mathbf{x})$ est défini comme le point d'arrivée du relevé d'origine 0 de $\tau \circ \pi(\tilde{\gamma})$ pour n'importe quel chemin $\tilde{\gamma}$ de $\beta_0$ à $\mathbf{x}$ dans $\hat{X}\setminus(\tilde{B} \cup \tilde{\infty})$.

**Lemme 5.1.6.** Pour $\tau \in PB_n$, le relevé $\tilde{\tau}$ fixe tous les points $\beta_k$ pour chaque $k \in \{0, \dots, d-1\}$.

**Démonstration** : On a vu dans la démonstration de la proposition 4.2.3 que $\hat{X}$ est connexe, et on peut noter $\tilde{\gamma}$ le chemin de $\beta_0$ à $\beta_1$. Le chemin $\tilde{\tau}(\tilde{\gamma})$ relie $\beta_0$ à $\tilde{\tau}(\beta_1)$. D'après 5.1.3, on a $\rho(\pi \circ \tilde{\tau}(\tilde{\gamma})) = \rho(\tau \circ \pi(\tilde{\gamma})) = \rho(\pi(\tilde{\gamma})) = 1$. Ainsi le relevé de $\tau(\pi(\tilde{\gamma}))$ d'origine $\beta_0$ se termine en $\beta_1$. Or ce relevé est exactement $\tilde{\tau}(\tilde{\gamma})$ et donc $\tilde{\tau}(\beta_1) = \beta_1$. On peut procéder ainsi pour chaque $\beta_k$ et le lemme est démontré. $\square$

**Proposition 5.1.7.** Pour toute tresse $\tau \in PB_n$, $\tilde{\tau}$ et $T$ commutent sur $\hat{X}\setminus(\tilde{B} \cup \tilde{\infty})$.

**Démonstration** : Comme $\pi \circ (T \circ \tilde{\tau} \circ T^{-1}) = (\pi \circ T) \circ \tilde{\tau} \circ T^{-1} = (\pi \circ \tilde{\tau}) \circ T^{-1} = \tau \circ \pi \circ T^{-1} = \tau \circ \pi$, on a $T \circ \tilde{\tau} \circ T^{-1}$ est un relevé de $\tau$. De plus, $T \circ \tilde{\tau} \circ T^{-1}(\beta_0) = \beta_0 = \tilde{\tau}(\beta_0)$, donc par unicité du relèvement on a $T \circ \tilde{\tau} \circ T = \tilde{\tau}$ et donc $T$ et $\tilde{\tau}$ commutent. $\square$

On veut à présent étendre le relevé $\tilde{\tau}$ de $\tau$ sur $\hat{X}$, de sorte que $\tilde{\tau} \in \text{Mod}(\hat{X})$.
## 5.2 Relèvement des tresses pures sur $\hat{X}$

**Proposition 5.2.1.** Pour toute tresse $\tau \in PB_n$, le relevé $\tilde{\tau}$ s'étend sur $\hat{X} \setminus \tilde{B}$.

**Démonstration** : On veut prolonger $\tilde{\tau}$ sur les points de $\infty = \{p_0, \dots, p_{e_0-1}\}$.
On a toujours $\beta \in \partial D$ et $\hat{C} \setminus D$ est un voisinage de $\infty$, dont la pré-image est composée de $e_0$ disques disjoints. Remarquons que sur $D_\infty = \hat{C} \setminus D$, $\tau$ est définie comme étant l'identité, et donc sur $\pi^{-1}(D_\infty)$, Id est un relevé de $\tau$, qui fixe $\beta_0$. Donc $\tilde{\tau}$ est l'identité sur $\pi^{-1}(D_\infty) \setminus \infty$ et par continuité, on peut poser $\tilde{\tau}(p_k) = p_k$ pour tout $k \in \{0, \dots, e_0 - 1\}$. $\square$

**Théorème 5.2.2.** Pour toute tresse $\tau \in PB_n$, le relevé $\tilde{\tau}$ s'étend sur $\hat{X}$.

**Démonstration** : Soit $\tau \in PB_n$. Montrons tout d'abord que son relevé $\tilde{\tau}$ peut se prolonger sur $q_{1,0}$.

On considère une suite $(x_i)_{i \in \mathbb{N}}$ dans $\hat{X} \setminus (\tilde{B} \cup \infty)$ qui tend vers $q_{1,0}$. Alors $(\tau \circ \pi(x_i))_{i \in \mathbb{N}}$ est une suite de $\mathbb{C} \setminus B$ qui tend vers $\tau(b_1) = b_1$ puisque $\tau$ est une tresse pure. Rappelons qu'on peut trouver un voisinage $D'_1$ de $b_1$ tel que sa pré-image par $\pi$ soit une réunion disjointe de $e_1$ disques $E_{1,0}, \dots, E_{1,e_1-1}$. Considérons $E'_1 = D'_1 \cap \tau^{-1}(D'_1)$. Clairement, comme $\tau$ est continue et que $b_1 \in D'_1 \cap \tau^{-1}(D'_1)$, $E'_1$ est un voisinage de $b_1$ tel que $\tau(E'_1) \subset D'_1$ et $\pi^{-1}(E'_1) \subset \cup_{j=0}^{e_1-1} E_{1,j}$.

Quitte à considérer une sous-suite, on peut supposer que la suite $(x_i)_{i \in \mathbb{N}}$ est dans $\pi^{-1}(E_1) \cap E_{1,0}$. En particulier, le premier terme $x_0$ de cette suite est dans $E_{1,0}$, et $\pi(x_0) \in E'_1$. Comme $\pi \circ \tilde{\tau} = \tau \circ \pi$, on a : $\tilde{\tau}(x_0) \in \pi^{-1}(E'_1) \subset \cup_{j=0}^{e_1-1} E_{1,j}$ et donc $\tilde{\tau}(x_0) \in E_{1,j_1}$ pour un certain indice $j_1 \in \{0, \dots, e_1 - 1\}$. Comme $E_{1,0}$ est connexe et $\tilde{\tau}$ est continue, $\tilde{\tau}(E_{1,0})$ est connexe et donc strictement inclus dans l'un des $E_{1,j}$. Puisque $\tilde{\tau}(x_0) \in E_{1,j_1}$, on en déduit : $(\tilde{\tau}(x_n))_{n \in \mathbb{N}} \subset E_{1,j_1}$. Par continuité, on peut poser $\tilde{\tau}(q_{1,0}) = q_{1,j_1}$. Comme $T \circ \tilde{\tau} = \tilde{\tau} \circ T$ en dehors de $\tilde{B}$, on a pour tout $j \in \{0, \dots, e_1 - 1\}$, $T^j \circ \tilde{\tau} = \tilde{\tau} \circ T^j$ sur $\hat{X} \setminus \tilde{B}$.

En particulier $T^j \circ \tilde{\tau}(x_n) = \tilde{\tau}(T^j(x_n))$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Par continuité, on peut poser :

$$ \tilde{\tau}(q_{1,j}) = \tilde{\tau}(T^j(q_{1,0})) = \lim_{n \to \infty} \tilde{\tau}(T^j(x_n)) = \lim_{n \to \infty} T^j(\tilde{\tau}(x_n)) = T^j(q_{1,j_1}) = q_{1,j+j_1} \mod e_1 $$

Et donc $\tilde{\tau}(q_{1,j}) = q_{1,j_1+j_2 \mod e_1}$. On définit ainsi $\tilde{\tau}$ sur les $q_{1,j}$. On peut faire exactement la même chose pour définir un indice $j_i$ pour chaque $i \in \{1, \dots, n\}$ tel que $\tilde{\tau}(q_{i,j}) = q_{i,j+j_i \mod e_i}$, ainsi $\tilde{\tau}$ est défini sur chacun des points de $\tilde{B}$. $\square$

**Théorème 5.2.3.** Pour toute tresse pure $\tau \in PB_n$, on a $\tilde{\tau} \circ T = T \circ \tilde{\tau}$ sur $\hat{X}$.

**Démonstration** : On sait déjà que $\tilde{\tau}$ et $T$ commutent sur $\hat{X} \setminus (\tilde{B} \cup \infty)$. Il suffit de voir que $\tilde{\tau}$ et $T$ commutent sur les points de $\tilde{B}$ et $\infty$. Commençons par les points de $\infty$.

Comme $T(p_k) = p_{k+1}$ pour tout $k \in \{0, \dots, e_0 - 1\}$, et que, pour $\tau \in PB_n$, $\tilde{\tau}(p_k) = p_k$, on a bien $T$ et $\tilde{\tau}$ commutent sur $\infty$ pour toute tresse $\tau$ de $PB_n$.

Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et pour tout $j \in \{0, \dots, e_i - 1\}$, on a : $T \circ \tilde{\tau}(q_{i,j}) = T(q_{i,j+j_i \mod e_i}) = q_{i,(j+1)+j_i \mod e_i} = \tilde{\tau}(q_{i,j+1}) = \tilde{\tau} \circ T(q_{i,j})$.

Ainsi, $T$ et $\tilde{\tau}$ commutent également sur les points de $\tilde{B}$, et finalement $T$ et $\tilde{\tau}$ commutent sur $\hat{X}$ tout entier. $\square$

On peut à présent démontrer le théorème 5.0.1

**Démonstration du théorème 5.0.1** : Pour $\tau \in PB_n$ vue comme un représentant de sa classe dans Mod$(D, n)$, en notant $\tilde{\tau} \in \text{Homeo}(\hat{X} \setminus (\tilde{B} \cup \infty))$ l'unique relevé de $\tau$ fixant $\beta_0$, prolongé comme précédemment sur $\hat{X}$, on peut définir un morphisme de groupe :
$$ \theta: PB_n \to \text{Mod}(\hat{X}) \\ \tau \mapsto [\tilde{\tau}] $$

où $[\tilde{\tau}]$ est la classe d'homotopie de $\tilde{\tau}$. En effet, on a vu dans le théorème 5.1.2, que toutes les tresses pures se relèvent en un élément de Homeo($\hat{X} \setminus (\tilde{B} \cup \tilde{\infty})$). D'après la proposition 5.1.1, pour $\tau \in PB_n$, il existe donc un unique relevé $\tilde{\tau}$ de $\tau$ fixant $\beta_0$. En prolongeant $\tilde{\tau}$ sur $\hat{X}$ tout entier et en notant $[\tilde{\tau}]$ sa classe d'isotopie, $\theta: \tau \mapsto [\tilde{\tau}]$ est bien définie. Par la suite, on confondra les notations $[\tilde{\tau}]$ et $\tilde{\tau}$ et on écrira $\theta(\tau) = \tilde{\tau}$.

De plus, pour $\tau_1, \tau_2 \in PB_n$, on peut voir que $\theta(\tau_1\tau_2) = \theta(\tau_1)\theta(\tau_2)$. En effet, $\theta(\tau_1\tau_2)$ est l'unique relevé de $\tau_1\tau_2$ fixant $\beta_0$. Or $\theta(\tau_1)\theta(\tau_2)$ est un relevé de $\tau_1\tau_2$, puisque $\pi(\theta(\tau_1)\theta(\tau_2)) = \tau_1 \circ \pi(\theta(\tau_2)) = \tau_1\tau_2$, qui fixe également $\beta_0$ car $(\theta(\tau_1)\theta(\tau_2))(\beta_0) = \theta(\tau_1)(\beta_0) = \beta_0$. Par unicité du relèvement, $\theta(\tau_1\tau_2) = \theta(\tau_1)\theta(\tau_2)$. Ainsi $\theta$ est bien un morphisme de groupe. $\square$

En général, pour toute tresse $\tau \in PB_n$, on gardera la notation $\tilde{\tau}$ pour désigner $\theta(\tau)$. On peut finalement définir de façon unique le relevé des tresses pures sur $\hat{X}$, et on s'est assuré que ces relevés commutent avec $T$.

Dans le chapitre suivant, on utilisera ces résultats pour construire des représentations de $PB_n$ dans un certain groupe unitaire $U(H^1(\hat{X})_q)$. Avant cela, nous présenterons l'espace $H^1(\hat{X})_q$ et deux théorèmes le concernant, qui généralisent les corollaires 3.2 et 3.3 de [McM13].
# Chapitre 6

## L'espace $H^1(\hat{X})_q$ dimension et signature de la forme d'intersection

L'objectif de cette partie est de généraliser les résultats de McMullen relatifs aux groupes de cohomologie $H^1(\hat{Y})_q$. Rappelons que $n$ et $d$ sont des entiers naturels non nuls, et $b_1, \dots, b_n$ sont $n$ points complexes deux à deux distincts. Sur la sphère de Riemann, on note $D \subset \mathbb{C}$ un disque ouvert contenant les $n$ points marqués deux à deux distincts $b_1, \dots, b_n$. Pour chaque $i \in \{1, \dots, n\}$, on considère $k_i$ points complexes deux à deux distincts $b_{i,1}, \dots, b_{i,k_i}$ dans un petit voisinage de $b_i$, où $k_i \in \mathbb{N}^*$. On note également $k_0 = \sum_{i=1}^n k_i$. Dans tout ce qui suit, $q = e^{-k \frac{2i\pi}{d}}$ est une racine $d$-ème de l'unité vérifiant $q \neq 1$, avec $k \in \{1, \dots, d-1\}$. On introduit les surfaces $\hat{X}$ et $\hat{Y}$ définies respectivement à partir des équations algébriques suivantes :

$$ \hat{X} \quad : \quad y^d = \prod_{i=1}^{n} (x - b_i)^{k_i} \quad ; \quad \hat{Y} \quad : \quad y^d = \prod_{i=1}^{n} \prod_{j=1}^{k_i} (x - b_{i,j}). $$

On supposera ici que $\hat{X}$ est connexe, c'est-à-dire que la condition $\text{pgcd}(d, k_1, \dots, k_n) = 1$ est vérifiée. Remarquons que $\hat{Y}$ entre dans le cadre étudié par McMullen et on peut donc appliquer sur cette surface les résultats de la partie 2.2, issus de l'article [McM13]. Dans cette partie, nous ferons un lien entre $\hat{X}$ et $\hat{Y}$. En notant de nouveau $T$ l'automorphisme de $\hat{X}$ (défini comme dans 4.1.8), on peut considérer $T^*$ le tiré en arrière par $T$ sur $H^1(\hat{X})$. Comme $T^d = \text{Id}_{\hat{X}}$, pour toute racine $d$-ème de l'unité $q \neq 1$, on considère le sous-espace propre :

$$ H^1(\hat{X})_q := \ker(T^* - q \operatorname{Id}_{H^1(\hat{X})}). \qquad (6.0.1) $$

Sur $H^1(\hat{X})$, nous disposons d'une forme d'intersection définie par :

$$ \forall \eta, \mu \in H^1(\hat{X}), \quad \langle \eta; \mu \rangle = \frac{\eta}{2} \int_{\hat{X}} \eta \wedge \bar{\mu}. \qquad (6.0.2) $$

On peut considérer la restriction de cette forme d'intersection au sous-espace propre $H^1(\hat{X})_q$. Nous montrerons les résultats principaux suivants :

**Théorème 6.0.1.** En notant $F_q = \{i \in \{0, \dots, n\} \mid q^{e_i} = 1\}$ où $e_i = \text{pgcd}(k_i, d)$, la dimension de $H^1(\hat{X})_q$ est donnée par :

$$ \dim(H^1(\hat{X})_q) = n - 1 - \#F_q. $$
On vérifiera également que $\sum_{k=0}^{d-1} \dim(H_c^1(\hat{X})_q) = 2g$, pour $q = e^{-k \frac{2i\pi}{d}}$.

**Théorème 6.0.2.** La forme d'intersection sur $H^1(\hat{X})_q$ est non dégénérée et a pour signature :

$$ (r_q, s_q) = \left( \lfloor \frac{k_0 k}{d} \rfloor - \sum_{i=1}^{n} \lfloor \frac{k_i k}{d} \rfloor - \varepsilon_0, \lfloor k_0 \left(1 - \frac{k}{d}\right) \rfloor - \sum_{i=1}^{n} \lfloor k_i \left(1 - \frac{k}{d}\right) \rfloor - \varepsilon_0 \right) $$

où $\varepsilon_0 = 0$ si $q^{e_0} \neq 1$ et $\varepsilon_0 = 1$ sinon.

Nous commencerons par fixer des notations, puis nous présenterons des lemmes indispensables, avant de passer au calcul de la dimension des sous-espaces $H^1(\hat{X})_q$. Enfin nous donnerons la signature de la forme d'intersection sur ces sous-espaces, et nous expliquerons comment construire les représentations $\rho_q : PB_n \to U(r_q, s_q)$.

## Notations

Pour chaque $i \in \{1, \dots, n\}$, $D'_i \subset \mathbb{C}$ est un disque ouvert voisinage de $b_i$ contenant les $k_i$ points complexes $b_{i,1}, \dots, b_{i,k_i}$, de sorte que :

- si $i, j \in \{1, \dots, n\}$ avec $j \neq i$, alors $D'_i \cap D'_j = \emptyset$

- pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et pour tout $j \in \{1, \dots, k_i\}$, les $b_{i,j}$ sont deux à deux distincts.

Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, on note $D_i \subset \mathbb{C}$ un disque topologique ouvert contenant $b_i$ et $b_{i+1} \mod n$ mais aucun autre point marqué de $B$, et tel que $D'_i \subset D_i$ et $D'_{i+1} \subset D_i$, comme illustré sur la figure 6.1.

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>FIGURE 6.1 – Les disques $D_i$, $D'_i$ et $D'_{i+1}$</figcaption></figure>

On précise également les notations utilisées pour les sous-surfaces de $\hat{X}$ et $\hat{Y}$ : de façon générale, si $M$ est une surface de Riemann, et $S \subset M$ un ouvert, on note $S^c$, ou $M\backslash S$ s'il y a un risque de confusion, le complémentaire de $S$ dans $M$, étendu sur son bord en un ouvert, de sorte de $S \cap S^c$ est un ouvert non vide contenant le bord de $S$, et homotope à ce bord. On écrira, de même que McMullen dans [McM13], $\partial S = S \cap S^c$, qui représente donc un voisinage ouvert du bord de $S$. On pourra ainsi utiliser des suites de Mayer-Vietoris dans le cas à support compact :

<figure><img src="image_40.png" /></figure>
Si de plus $S$ est préservé par $T$, cette suite exacte est équivariante par rapport à l'action de $T^*$. Pour un revêtement $\pi_M : M \to \hat{C}$, on notera $M_i = \pi_M^{-1}(D_i)$, $M'_i = \pi_M^{-1}(D'_i)$. En particulier, on note $X_i$ et $X'_i$, respectivement $Y_i$ et $Y'_i$, les pré-images dans $\hat{X}$, respectivement dans $\hat{Y}$, des disques complexes $D_i$ et $D'_i$. D'après la partie 4.1.3, on sait que $X'_i$ est formé de $e_i$ disques disjoints dans $\hat{X}$.

## 6.1 Résultats intermédiaires

**Lemme 6.1.1.** Soit $q$ une racine d-ième de l'unité, alors pour tout $m \in \mathbb{N}^*$, $q^m = 1 \iff q^{\text{pgcd}(m,d)} = 1$.

*Démonstration* : On pose $k \in \{0, \dots, d-1\}$ tel que $q = e^{\frac{2i\pi k}{d}}$. Alors en notant $m = m' \times \text{pgcd}(m, d)$, et $d = d' \times \text{pgcd}(m, d)$, on a : $q^{\text{pgcd}(m,d)} = 1 \Rightarrow (q^{\text{pgcd}(m,d)})^{m'} = 1 \Rightarrow q^m = 1$. Réciproquement, si $q^m = 1$, alors $d$ divise $m \times k$ et donc $d'$ divise $m' \times k$. Par le lemme de Gauss, $d'$ doit diviser $k$, c'est-à-dire que $k = d' \times \alpha$ pour un certain $\alpha \in \mathbb{N}$. Ainsi, $q^{\text{pgcd}(m,d)} = e^{\frac{2i\pi k \times \text{pgcd}(m,d)}{d}} = e^{\frac{2i\pi \alpha \times d' \times \text{pgcd}(m,d)}{d}} = 1$. $\square$

Passons maintenant à des résultats sur les surfaces. Notre but ici est de faire apparaître un lien entre deux surfaces de Riemann obtenues par deux courbes algébriques distinctes mais ayant des exposants communs. Considérons de nouveau la surface $\hat{X}$ introduite précédemment, ainsi que l'automorphisme $T : \hat{X} \to \hat{X}$ et la projection $\pi : \hat{X} \to \hat{C}$ définis comme dans 4.1.8. Puisque nous allons travailler avec plusieurs surfaces, pour éviter toute confusion nous re-noterons ici $T$ et $\pi$ par $T_{\hat{X}}$ et $\pi_{\hat{X}}$.

On introduit également une surface de Riemann $\hat{Z}$, obtenue à partir d'une courbe algébrique $y^d = \prod_{i=1}^m (x - a_i)^{k'_i}$, où $m \in \mathbb{N}^*$, les $a_i$ sont deux à deux distincts dans $\mathbb{C}$ et les $k'_i$ sont des entiers naturels non nuls. Comme dans la sous-partie 4.1.2, on peut considérer la projection $\pi_{\hat{Z}} : \hat{Z} \to \hat{C}$ et l'automorphisme $T_{\hat{Z}} : \hat{Z} \to \hat{Z}$ qui font de $\hat{Z}$ un revêtement cyclique de degré $d$ au dessus de $\hat{C}$, ramifié au dessus des $a_i$, et éventuellement ramifiés au dessus de $\infty$. On a alors le lemme suivant :

**Lemme 6.1.2.** S'il existe $J \subset \{1, \dots, n\}$ et $\sigma : J \to \{1, \dots, n\}$ une injection telle que :

$$ \forall j \in J, \quad k_j = k'_{\sigma(j)} $$

Alors en notant $D_J \subset \mathbb{C}$ un disque topologique contenant $B_J := \{b_j | j \in J\}$, et $D'_J \subset \mathbb{C}$ un disque topologique contenant $A_J := \{a_{\sigma(j)} | j \in J\}$, on a : $X_J = \pi_{\hat{X}}^{-1}(D_J)$ et $Z_J = \pi_{\hat{Z}}^{-1}(D'_J)$ sont homéomorphes et donc $H_c^1(X_J)_q \simeq H_c^1(Z_J)_q$.

*Démonstration* : On reprend les notations du lemme. Soient $\beta \in \partial D_J$ et $\beta' \in \partial D_J$. Les disques $D_J$ et $D'_J$ sont homéomorphes, on note $h : D_J \to D'_J$ un homéomorphisme vérifiant : $h(\beta) = \beta'$ et $\forall j \in J$, $h(b_j) = a_{\sigma(j)}$. On cherche ici à relever $h$ en un homéomorphisme entre $X_J$ et $Z_J$, ce travail est similaire à celui déjà réalisé pour relever les tresses de $PB_n$, on reprend donc brièvement les étapes du chapitre précédent.

Remarquons que $X_J$ et $Z_J$ sont respectivement deux revêtements de degré $d$ au-dessus de $D_J$ et de $D'_J$, ramifiés au dessus de $B_J$ et de $A_J$. On note $\pi_{\hat{X}}^{-1}(\beta) = \{\beta_0, \dots, \beta_{d-1}\}$ et $\pi_{\hat{Z}}^{-1}(\beta') = \{\beta'_0, \dots, \beta'_{d-1}\}$, de sorte que $T^k(\beta_0) = \beta_k$ et $T^k(\beta'_0) = \beta'_k$ pour tout $k \in \{0, \dots, d-1\}$. En reprenant la construction du morphisme $\rho$ (5.1.1), on fixe deux morphismes :

$$ \rho_X : \pi_1(D_J, \beta) \to \mathbb{Z}/d\mathbb{Z} \quad ; \quad \rho_Z : \pi_1(D'_J, \beta') \to \mathbb{Z}/d\mathbb{Z} $$