# Modélisation du comportement thermomécanique de l'interface de contact par une approche couplée
## MED-MEF

Hamza Haddad, Mohamed Guessasma, Jérôme Fortin

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Hamza Haddad, Mohamed Guessasma, Jérôme Fortin. Modélisation du comportement thermomécanique de l'interface de contact par une approche couplée MED-MEF. 12e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2015, Giens, France. hal-01516442

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# Modélisation du comportement thermomécanique de l'interface de contact par une approche couplée MED-MEF

H. Haddad<fnref n="1" />, M. Guessasma<fnref n="2" />, J. Fortin<fnref n="2" />

**Résumé** — Cette étude a pour ambition de développer un outil numérique fiable contribuant à une meilleure compréhension de la transition des phénomènes physiques à différentes échelles. Plus précisément, nous avons mis en place un modèle multi-physiques pour étudier le comportement thermomécanique de deux corps en contact, entre lesquels est piégé un milieu discret qualifié de troisième corps. L'ensemble est désigné communément par le triplet tribologique. L'approche développée, basée sur un couplage MED-MEF, propose une description progressive des échelles et des quantités physiques au niveau de l'interface de contact. Les résultats numériques présentés dans le cadre de cette communication montrent la pertinence du modèle de couplage MED-MEF proposé.

**Mots clés** — MED, Couplage MED-MEF, interface de contact, transfert thermique

## 1 Introduction

L'interface de contact entre deux corps est caractérisée par une fine couche constituée de particules de tailles micrométriques et de formes hétérogènes. La description des phénomènes sous-jacents demeure difficile car plusieurs aspects physiques sont impliqués. Par conséquent, un outil numérique capable de prendre en compte la complexité de ces phénomènes est un défi majeur pour surmonter les limites de l'approche expérimentale. Compte tenu de la nature discrète de l'interface de contact, l'utilisation de la Méthode des Éléments Discrets (MED) est adaptée vu le caractère discontinu de l'interface. Par ailleurs, la modélisation simultanée des premiers et troisième corps s'avère nécessaire pour une meilleure compréhension des phénomènes multi-physiques opérant à différentes échelles. En effet, la rhéologie de l'interface de contact dépend des déformations subies par les corps en contact. Toutefois, une modélisation discrète pure serait trop coûteuse. Pour contourner cette difficulté, une formulation MED-MEF couplée permet de réduire le coût de calcul tout en garantissant une transition des grandeurs physiques à différentes échelles. Cependant, la difficulté réside justement dans la transition de ces grandeurs physiques entre le troisième corps et les premiers corps. Dans les travaux de Cao et al. [1] un élément hybride est proposé pour faciliter la transition entre les corps. Wang et al. [2] proposent, quant à eux, d'évaluer les efforts de contact au niveau de l'interface de contact par une méthode de pénalisation. Dans le cadre de notre étude, nous avons utilisé une approche couplée basée sur la décomposition de domaine [3, 4]. L'originalité de la formulation proposée réside dans la modélisation thermomécanique du triplet tribologique. Les simulations numériques qui ont été réalisées avec la méthode de couplage choisie ont conduit à des résultats probants.

## 2 Modèle couplé du triplet tribologique

Considérons le problème décrit à la Fig. 1. La MED est utilisée pour modéliser le corps 3 composé de 19000 particules. Par opposition, les corps 1 et 2 sont modélisés par un milieu continu. Dans les régions adjacentes au corps 3, les corps 1 et 2 sont modélisés respectivement avec 5000 éléments discrets. Loin du corps 3, le corps 1 est modélisé avec 700 éléments finis. Ce choix offre l'avantage de faire communiquer les deux échelles par le biais des contacts. Une zone de recouvrement fait office de zone de "collage" entre les sous-domaines discret et continu du corps 1. Sur le corps 1 est imposée une force de compression. Le corps 2 est soumis à une vitesse imposée avec des conditions périodiques sur les côtes latéraux. Pour

<footnote n="1">¹ LAMFA, Université de Picardie Jules Verne, {hamza.haddad}@u-picardie.fr</footnote>

<footnote n="2">² LTI, Université de Picardie Jules Verne, {mohamed.guessasma, jerome.fortin}@u-picardie.fr</footnote>
rendre l'implémentation numérique plus facile, le corps 2 est modélisé entièrement par des éléments discrets.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Circuit tribologique</figcaption></figure>

Le comportement global du réseau de contacts entre particules dans les corps 1 et 2 dépend donc intrinsèquement du modèle de cohésion local au niveau de chaque paire de contact. Pour y parvenir, un modèle cohésif de type "poutre" a été considéré [5]. Une procédure d'identification des paramètres macroscopiques du milieu continu équivalent est mise au point à partir des propriétés locales du contact cohésif entre particules. Au niveau du corps 3, nous avons considéré une loi de contact basée sur une analogie avec des ressorts et amortisseurs. Le frottement entre particules est décrit à partir la loi de Coulomb.

## 3 Formulation mécanique du triplet tribologique

L'approche proposée précédemment a été mise en œuvre numériquement pour modéliser l'interface de contact du triplet tribologique. Afin de garantir la continuité des champs de déplacements discret et continu dans la zone de recouvrement du corps 1, une condition cinématique est imposée :

$$ \vec{d} - \overline{\overline{D}}\vec{u} = \vec{0} \qquad (1) $$

où $\vec{d}$ et $\vec{u}$ représentent respectivement les vecteurs déplacements des sous-domaines discret et continu. $\overline{\overline{D}}$ est la matrice de couplage. Cette condition se traduit mécaniquement par l'introduction d'efforts d'interface dans la formulation énergétique via les multiplicateurs de Lagrange. Le problème mécanique à résoudre revient à déterminer le point-selle de la fonctionnelle suivante :

$$ L = \alpha H_{EF} + \beta H_{ED} + \vec{\lambda}(\vec{d} - \overline{\overline{D}}\vec{u}) \qquad (2) $$

où $\vec{\lambda}$ est le vecteur des multiplicateurs de Lagrange. $H_{ED}$ et $H_{EF}$ sont respectivement les hamiltoniens des sous-domaines discret et continu. Les paramètres de pondération $\alpha$ et $\beta$ sont utilisés afin de garantir l'homogénéité des propriétés matérielles.

Le modèle proposé a été mis en œuvre dans le cadre d'une étude paramétrique pour montrer l'influence du coefficient du frottement local pour une force et une vitesse imposées. Cette étude a révélé une faible influence du coefficient de frottement local sur le coefficient de frottement macroscopique (Fig. 2-a). Ce résultat a été observé numériquement et expérimentalement dans plusieurs travaux [6, 7]. Cependant, une augmentation du coefficient du frottement microscopique s'accompagne naturellement d'une augmentation de la puissance dissipée (Fig. 2-b).
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Influence du coefficient de frottement macroscopique $\mu_m$</figcaption></figure>

Nous avons également étudié l'influence de la vitesse de cisaillement. Nous pouvons constater sur la Fig. 3-a l'apparition d'un régime "stick-slip" pour de faibles vitesses. Ceci se traduit par des fluctuations au cours du temps du coefficient du frottement macroscopique. Pour des vitesses élevées, les fluctuations du coefficient de frottement macroscopique au cours du temps sont plus faibles. Ceci peut s'expliquer par le fait que le nombre de contacts glissants diminue lorsqu'on augmente la vitesse de cisaillement (Fig. 3-b).

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Influence de la vitesse de cisaillement</figcaption></figure>

## 4 Formulation thermomécanique du triplet tribologique

Deux modèles de transfert thermique ont été considérés dans la formulation thermique du triplet tribologique. Le premier modèle concerne le corps 3, où l'échange thermique entre deux particules en contact s'effectue par conductance. Ce modèle d'échange thermique dépend de l'aire de contact estimée à partir de la théorie de Hertz. La seule source de chaleur considérée dans cette étude provient de l'énergie dissipée par frottement. Compte tenu de ces deux phénomènes, la variation en temps de la température $T_i$ d'une particule $i$ dans le corps 3 s'écrit comme suit :

$$T_i^{t+\Delta t} = T_i^t + \frac{\Delta t}{c_p \rho_d V_i} \sum_{j=1}^{n_i} \left[ \Phi_{cond}^{ij} + 0.5 \Phi_{\mu}^{ij} \right] \quad (3)$$

où $c_p$ est la capacité thermique, $V_i$ le volume de la particule, $\rho_d$ la masse volumique, $\Phi_{cond}^{ij}$ le flux de chaleur par conductance, $\Phi_{\mu}^{ij}$ le flux de chaleur généré par frottement et $n_i$ le nombre de voisins de $i$.

Le second modèle de transfert thermique concerne les corps 1 et 2 et est basé sur une approche de type MED. Dans la zone discrète, chaque particule est reliée à un élément représentatif décrit par un polygone régulier. Le nombre de côtés du polygone est égal au nombre de particules voisines. Ceci permettra d'estimer la surface de transmission pour chaque paire de contact [8]. La méthode de couplage MED-MEF décrite précédemment a été étendue pour modéliser le transfert thermique dans le corps 1 [8]. Le principe des températures virtuelles $\delta W$ dans le corps 1 s'écrit donc comme une combinaison linéaire des principes des températures virtuelles $\delta W_c$ et $\delta W_d$ respectivement dans les sous-domaines continu et
discret.

$$ \delta W = \alpha \delta W_c + \beta \delta W_d \quad (4) $$

où α et β sont des paramètres de pondération. Une condition de continuité des températures dans la zone de recouvrement est imposée par le biais des multiplicateurs de Lagrange.

La mise en œuvre numérique de la formulation thermomécanique a permis de distinguer 3 phases de propagation de la température dans le modèle MED-MEF couplée (Fig. 4). La première phase est caractérisée par la génération de la chaleur par frottement dans le corps 3. Dans la deuxième phase, la température est transmise du corps 3 aux corps 1 et 2 par le biais des contacts. Le transfert thermique dans les corps 1 et 2 se fait par conduction. La troisième phase concerne la propagation de la température par conduction dans le corps 1 au niveau de la zone de recouvrement à l'aide de la méthode de couplage. La Fig. 5 montre l'influence de la vitesse imposée sur le profil de température.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 4 – Champs de température pour différentes phases</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 5 – Influence de la vitesse imposée sur le profil de température</figcaption></figure>

## Références

[1] H. P Cao, M. Renouf, F. Dubois, and Y. Berthier. Coupling continuous and discontinuous descriptions to model first body deformation in third body flows. *journal of tribology*, 133(4):041601, 2011.

[2] W. Wang, Y. Liu G. Zhu, and K. Liu. Using FEM-DEM coupling method to study three-body friction behavior. *Wear*, 318:144-123, 2014.

[3] H. Ben Dhia and G. Rateau. The arlequin method as a flexible engineering design tool. *International Journal for Numerical Methods in Engineering*, 62:1442-1462, 2005.

[4] E. Frangin, P. Marin, and L. Daudeville. On the use of combined finite/discrete element method for impacted concrete structures. *Journal of physics*, 134:461-466, 2006.

[5] D. André, I. Iordanoff, J. L. Charles, and J. Néauport. Discrete element method to simulate continuous material by using the cohesive beam model. *Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering*, 213-216:113-125, 2012.

[6] L. Oger, S. Savage, D. Corriveau, and M. Sayed. Yield and deformation of an assembly of disks subjected to a deviatoric stress loading. *Mechanics of Materials*, 27:189-210, 1998.

[7] K. Soga. The coe workshop on evaluation of mechanical behavior of granular materials. Hokkaido University, Sapporo, Japan, 2005.

[8] H. Haddad, M. Guessasma, and J. Fortin. Heat transfer by conduction using DEM-FEM coupling method. *Computational Materials Science*, 81:339-347, 2014.