**Remarque 11.2.3.** Pour $\alpha^* \in \mathbb{G}_2$, il existe une matrice $\beta^* \in \text{SU}(1, 1)$ telle que $\alpha^* = \lambda_\alpha \beta^*$, où $\lambda_\alpha^2 = \det(\alpha^*)$. On note $B := S\beta^*S^{-1}$ la matrice associée à $\beta^*$ dans $\text{SL}(2, \mathbb{R})$. Alors les actions de $A := S\alpha^*S^{-1}$ et de $B$ sur $\mathbb{P}_C^1$ sont les mêmes. Ainsi, pour étudier l'action de $A$ sur $\mathbb{P}_C^1$, on pourra se ramener à une certaine matrice $B \in \text{SL}(2, \mathbb{R})$, dont l'action sur $\mathbb{P}_C^1$ correspond à celle de l'action de $A$ sur $\mathbb{P}_C^1$.

En particulier, on en déduit que :

**Lemme 11.2.4.** Pour $\alpha^* \in \mathbb{G}_2$, $A = S\alpha^*S^{-1}$ préserve les demi-plans $\{z \in \mathbb{C} | \text{Im}(z) > 0\}$ et $\{z \in \mathbb{C} | \text{Im}(z) < 0\}$.

**Démonstration :** Soit $\alpha^* \in \mathbb{G}$ et $A = S\alpha^*S^{-1}$. Reprenons les notations précédentes, et notons $B = (a \ b \ c \ d) \in \text{SL}(2, \mathbb{R})$ une matrice telle que $B \cdot z = A \cdot z$ pour tout $z \in \mathbb{P}_C^1$. Alors, pour tout $z = \text{Re}(z) + i \text{Im}(z) \in \{z \in \mathbb{C} | \text{Im}(z) > 0\}$, on a :

$$ 
\begin{aligned}
B \cdot z &= \frac{az + b}{cz + d} = \frac{(a(\text{Re}(z) + i \text{Im}(z)) + b)(c(\text{Re}(z) - i \text{Im}(z)) + d)}{|cz + d|^2} \\
&= \frac{((a \ \text{Re}(z) + b)(c \ \text{Re}(z) + d) + ac \ \text{Im}(z)^2) + i \ \text{Im}(z)(ad - bc)}{|cz + d|^2} \in \{z \in \mathbb{C} | \text{Im}(z) > 0\}.
\end{aligned}
$$

Donc $A := S\alpha^*S^{-1}$ préserve le demi-plan $\{z \in \mathbb{C} | \text{Im}(z) > 0\}$ et de la même façon, on peut montrer que $A$ préserve $\{z \in \mathbb{C} | \text{Im}(z) < 0\}$. En particulier, $A \cdot i \in \{z \in \mathbb{C} | \text{Im}(z) > 0\}$ et $A \cdot (-i) \in \{z \in \mathbb{C} | \text{Im}(z) < 0\}$. $\square$

Remarquons que :

**Lemme 11.2.5.** Pour tout $\alpha \in \{\alpha_{1,2}, \alpha_{2,3}, \alpha_{1,3}\}$, $\alpha^*$ normalise $\mathbb{G}_2^0$ :

$$ \alpha^* \cdot \mathbb{G}_2^0 \cdot (\alpha^{-1})^* = \mathbb{G}_2^0. $$

On a alors :

**Lemme 11.2.6.** Soit $\alpha \in \{\alpha_{1,2}, \alpha_{2,3}, \alpha_{1,3}\}$. Notons $A = S\alpha^*S^{-1}$. Alors pour tout $M \in \mathbb{G}_2^0$, $AMA^{-1} \in \mathbb{G}_2$. De plus, $z$ est un point fixe de $M$ si et seulement si $A \cdot z$ est un point fixe de $AMA^{-1}$.

**Démonstration :** Soit $\alpha \in \{\alpha_{1,2}, \alpha_{2,3}, \alpha_{1,3}\}$. Notons $A = S\alpha^*S^{-1}$. Comme $S^{-1}MS \in \mathbb{G}_2^0$, par le lemme 11.2.5, on sait que $\alpha^*(S^{-1}MS)(\alpha^*)^{-1} \in \mathbb{G}_2^0$.

Alors $AMA^{-1} = S(\alpha^*S^{-1}MS\alpha^*)S^{-1} \in \mathbb{G}_2$. Pour $z \in \mathbb{P}_C^1$ :

$$ M \cdot z = z \iff AMA^{-1} \cdot (A \cdot z) = A \cdot z. $$

$\square$

De plus, à partir du théorème 9.3.2, on peut donner les matrices des restrictions de $\alpha_{1,2}$, $\alpha_{2,3}$ et $\alpha_{1,3}$ à $\mathbb{V}_2$ dans la base $\{g_1, g_2\}$ :

$$ 
\begin{aligned}
\alpha_{1,2}^* |_{\mathbb{V}_2} &= \begin{pmatrix} q^{k_1+k_2} & q^{k_2}(1-q^{k_1}) \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad \alpha_{2,3}^* |_{\mathbb{V}_2} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1-q^{k_3} & q^{k_2+k_3} \end{pmatrix} \\
\alpha_{1,3}^* |_{\mathbb{V}_2} &= \begin{pmatrix} q^{k_3} & -q^{k_2+k_3}(1-q^{k_1}) \\ -q^{-k_2}(1-q^{k_3}) & 1-q^{k_3}+q^{k_1+k_3} \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

On a alors :
**Lemme 11.2.7.** $\alpha_{1,2}^*|_{\mathbb{V}_2}\alpha_{2,3}^*|_{\mathbb{V}_2}\alpha_{1,3}^*|_{\mathbb{V}_2} = q^{k_1+k_2+k_3}|_{\mathbb{V}_2}\mathrm{Id}|_{\mathbb{V}_2}$

On a immédiatement :

**Corollaire 11.2.8.** *L'action de $\alpha_{1,2}^*|_{\mathbb{V}_2}, \alpha_{2,3}^*|_{\mathbb{V}_2}, \alpha_{1,3}^*|_{\mathbb{V}_2}$ sur $\mathbb{P}_C^1$ est triviale.*

Par la suite, on notera :

— $\alpha$ un élément de $\{\alpha_{1,2}, \alpha_{2,3}, \alpha_{1,3}\}$

— $A := S\alpha^*S^{-1} \in \mathrm{GL}(2, \mathbb{R})$

— $B \in \mathrm{SL}(2, \mathbb{R})$ une matrice agissant sur $\mathbb{P}_C^1$ de la même façon que $A$

— $M \in G_2\{\pm I_2\}$

Par définition, on peut trouver un point fixe de $\alpha^*$ :

— si $\alpha = \alpha_{1,2}$ : la droite engendrée par $g_1$ dans $\mathbb{P}_C^1$ est un point fixe de $\alpha_{1,2}^*$, notée **a**

— si $\alpha = \alpha_{2,3}$ : la droite engendrée par $g_2$ dans $\mathbb{P}_C^1$ est un point fixe de $\alpha_{2,3}^*$, notée **b**

— si $\alpha = \alpha_{1,3}$ : la droite engendrée par $g_1 + q^{-k_2}g_2$ dans $\mathbb{P}_C^1$ est un point fixe de $\alpha_{1,3}^*$, notée **c**

On a évidemment **a**, **b** et **c** sont deux à deux distincts.

## 11.2.2 Élimination des cas où $G_2^0$ est isomorphe à un sous-groupe strict de $\mathrm{SL}(2, \mathbb{R})$

On garde les notations introduites précédemment. Comme $G_2^0$ est un sous-groupe de $\mathrm{SU}(1, 1)$, on a soit $G_2^0 = \mathrm{SU}(1, 1)$, soit $G_2^0 = \{I_2\}$, soit, à conjugaison près, $G_2^0$ est isomorphe à l'un des sous-groupes suivants :

— $\mathrm{SO}(2, \mathbb{R}) = \{ (\frac{\cos(t)}{\sin(t)} - \frac{\sin(t)}{\cos(t)}) | t \in \mathbb{R} \}$

— $\mathbf{A} := \{(\begin{smallmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{smallmatrix}) | t \in \mathbb{R} \}$

— $\mathbf{N} := \{(\begin{smallmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}) | b \in \mathbb{R} \}$

— $\mathbf{P} := \{(\begin{smallmatrix} a & b \\ 0 & a^{-1} \end{smallmatrix}) | a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R} \}$.

On peut à présent démontrer la proposition 11.2.1 :

*Démonstration* : Supposons que $G_2^0 \neq \mathrm{SU}(1, 1)$, alors soit $G_2^0 = \{I_2\}$, soit, à conjugaison près, $G_2^0$ est isomorphe à $\mathrm{SO}(2, \mathbb{R})$, $\mathbf{A}$, $\mathbf{N}$ ou $\mathbf{P}$. Montrons que chacun de ces cas mène à une contradiction, et donc finalement $G_2^0 = \mathrm{SU}(1, 1)$.

• Si $G_2^0 \simeq \mathrm{SO}(2, \mathbb{R})$ : Toute matrice de $\mathrm{SO}(2, \mathbb{R})\{\pm I_2\}$ admet uniquement deux points fixes, qui sont $i$ et $-i$. En effet, pour $M = \begin{pmatrix} \cos(t) & -\sin(t) \\ \sin(t) & \cos(t) \end{pmatrix} \in \mathrm{SO}(2, \mathbb{R})\{\pm I_2\}$, si $z \in \mathbb{P}_C^1$ est un point fixe de $M$, alors :

$$M \cdot z = z \iff \frac{\cos(t)z - \sin(t)}{\sin(t)z + \cos(t)} = z \iff \sin(t)(z^2 + 1) = 0.$$

Comme $M \neq \pm I_2$, $\sin(t) \neq 0$, alors $z = i$ ou $z = -i$.

Soient $M \in G_2\{\pm I_2\}$ et $\alpha^* \in \{\alpha_{1,2}^*, \alpha_{2,3}^*, \alpha_{1,3}^*\}$, on note $A = S\alpha^*S^{-1}$. Par le lemme 11.2.6, $AMA^{-1} \in G_2$ et admet donc pour seuls points fixes $i$ et $-i$. Or, par ce même lemme, $A \cdot i$ et $A \cdot (-i)$ sont deux points fixe de $AMA^{-1}$. Par le lemme 11.2.4, l'action de $A$ préserve les demi-plans $\{z \in \mathbb{C} | \mathrm{Im}(z) > 0\}$ et $\{z \in \mathbb{C} | \mathrm{Im}(z) < 0\}$, on a donc $A \cdot i = i$
et $A \cdot (-\iota) = -\iota$. Ainsi $S \cdot a, S \cdot b$ et $S \cdot c$ sont trois points distincts dans $\{-\iota, \iota\}$, ce qui est contradictoire. Donc $\mathbb{G}_2^0$ n'est pas un sous-groupe fini de SU(1, 1).

Supposons que $\mathbb{G}_2^0 = \{I_2\}$ : Remarquons que ce cas correspond à celui pour lequel $\mathbb{G}_2$ est un groupe discret : en effet, si $\mathbb{G}_2$ est fini, $\mathbb{G}_2^0$ étant la composante connexe de $\mathbb{G}_2$ contenant l'élément neutre, $\mathbb{G}_2^0 = \{I_2\}$. Réciproquement, si $\mathbb{G}_2^0 = \{I_2\}$, alors $\mathbb{G}_2$ est un groupe fini.

Dans ce cas, on va travailler avec un autre sous-groupe $\mathbb{G}_2^1$ de $\mathbb{G}_2$, défini par :

$$ \mathbb{G}_2^1 = \{\alpha^* \in \mathbb{G}_2 | \det(\alpha^*) = 1\}. $$

Montrons que $\mathbb{G}_2^1 \neq \{\pm I_2\}$. Puisque $\mathbb{G}_2 \subset U_d(\mathbb{V}_2)$, on a la suite exacte courte suivante :

$$ 0 \to \mathbb{G}_2^1 \to \mathbb{G}_2 \to \mathbb{Z}/d\mathbb{Z} \to 0. $$

si $\mathbb{G}_2^1 = \{\pm I_2\}$ ou si $\mathbb{G}_2^1 = \{I_2\}$, alors $\mathbb{G}_2/\mathbb{G}_2^1$ est cyclique, donc les éléments de $\mathbb{G}_2$ sont de la forme $\pm g_0^k$, pour un certain $g_0 \in \mathbb{G}_2$. Tous les éléments de $\mathbb{G}_2$ ont donc les mêmes points fixes, ce qui n'est pas possible puisque $\alpha_{1,2}^*, \alpha_{2,3}^*$ et $\alpha_{1,3}^*$ ont tous les trois des points fixes deux à deux distincts. Donc $\mathbb{G}_2^1 \neq \{\pm I_2\}$.

On va ici noter $G_2$ le sous-groupe de SL(2, $\mathbb{R}$) associé par conjugaison à $\mathbb{G}_2^1$, donc $G_2$ est un sous-groupe fini. Sur $G_2$ on dispose d'un produit scalaire construit à partir du produit scalaire standard de la façon suivante : pour tout $M \in G_2$, ${}^tMI_2M = {}^tMM$ est une matrice définie positive, et $H := \sum_{M \in G_2} {}^tMM$ est une matrice symétrique définie positive, donc $H$ définit un produit scalaire préservé par l'action de $G_2$ dans le sens où :

$$ \forall M \in G_2, \quad {}^tMHM = H. $$

On sait qu'on peut trouver une base telle que $H$ s'écrive comme la matrice $I_2$, dans cette base les matrices de $G_2$ sont des matrices orthogonales, et à conjugaison près, $\mathbb{G}_2^0$ se voit comme un sous-groupe de SO(2, $\mathbb{R}$), que l'on note de nouveau $G_2$. On a vu précédemment que les points fixes d'une matrice $M \in G_2 \subset SO(2, \mathbb{R})$ sont $\iota$ et $-\iota$.

Comme $\mathbb{G}_2^1 \neq \{\pm I_2\}$, il existe un élément $M \in G_2 \setminus \{\pm I_2\}$. Soient $M \in G_2 \setminus \{\pm I_2\}$ et $\alpha^* \in \{\alpha_{1,2}^*, \alpha_{2,3}^*, \alpha_{1,3}^*\}$, on note $A = S\alpha^*S^{-1}$. Par le même raisonnement que dans le cas $\mathbb{G}_2^0 \simeq \text{SO}(2, \mathbb{R})$, on aboutit à une contradiction et montrer ainsi que $\mathbb{G}_2^0 \neq \{I_2\}$.

• Si $\mathbb{G}_2^0 \simeq \mathbf{A}$ : Regardons les points fixes d'une matrice $M \in \mathbf{A} \setminus \{\pm I_2\}$. En notant $M = \begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} \end{pmatrix}$, on a pour $z \in \mathbb{P}_C^1$ :

$$ M \cdot z = z \iff \frac{e^t z}{e^{-t}} = z \iff e^{2t} z = z \iff z \in \{\infty, 0\}. $$

Ainsi $M$ admet exactement deux points fixes distincts.

Soit $\alpha \in \{\alpha_{1,2}, \alpha_{2,3}, \alpha_{1,3}\}$ et $A = S\alpha^*S^{-1}$. De même que précédemment, par le lemme 11.2.6, on a $AMA^{-1} \in \mathbf{A}$, et $A \cdot 0, A \cdot \infty$ sont des points fixes de $AMA^{-1}$. Donc $A \cdot 0, A \cdot \infty \in \{0, \infty\}$.

D'après le corollaire 11.2.8, on sait que $\alpha_{1,2}^*, \alpha_{2,3}^*, \alpha_{1,3}^*$ agit comme Id sur $\mathbb{P}_C^1$. Alors :

$$ 0 = S(\alpha_{1,2}^* \alpha_{2,3}^* \alpha_{1,3}^*) S^{-1} \cdot 0 = \underbrace{(S\alpha_{1,2}^* S^{-1})}_{A_{1,2}} \underbrace{(S\alpha_{2,3} S^{-1})}_{A_{2,3}} \underbrace{(S\alpha_{1,3} S^{-1})}_{A_{1,3}} \cdot 0. $$

Les matrices $A_{1,2}, A_{2,3}$, et $A_{1,3}$ peuvent soit permuter $0$ et $\infty$, soit les fixer. Si chacun des $A_{i,j}$ permutent $0$ et $\infty$, alors $A_{1,2}A_{2,3}A_{1,3} \cdot 0 = \infty$. Comme $0 = A_{1,2}A_{2,3}A_{1,3} \cdot 0$, on
en déduit qu'il existe un couple $(i, j) \in \{(1, 2), (2, 3), (1, 3)\}$ tel que $A_{i,j} \cdot 0 = 0$. On aura également $A_{i,j} \cdot \infty = \infty$.

D'après la remarque 11.2.3, l'action de $A_{i,j}$ est la même que celle d'une certaine matrice $B \in SL(2, \mathbb{R})$. Comme $A_{i,j} \cdot 0 = 0$, on a $B \cdot 0 = 0$, et de même $B \cdot \infty = \infty$. En notant $B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, on a : $0 = B \cdot 0 = \frac{b}{d}$, donc $b = 0$, et d'autre part $\infty = B \cdot \infty = \frac{a\infty+b}{c\infty+d}$, donc $c = 0$. Donc $B = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix}$. D'après le théorème 9.3.2 on sait que $\alpha^*$ est soit unipotent soit d'ordre fini au plus $d$, il en est donc de même pour $A_{i,j}$ et pour $B$. Alors si $\alpha^*$ est d'ordre fini $m \in \mathbb{N}^*$, $a$ doit être une racine $m$-ième de l'unité, or $a \in \mathbb{R}$ donc $a \in \{-1, 1\}$ et l'action de $B$, et donc celle de $\alpha^*$ est triviale sur $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$, ce qui est contradictoire. Si $B$ est unipotente, sa trace est $\pm 2$, donc $a \in \{-1, 1\}$ et on aboutit à la même contradiction. Ainsi, $\mathbb{G}_2^0$ ne peut pas être isomorphe à $\mathbf{A}$.

• Si $\mathbb{G}_2^0 \simeq \mathbb{N}$ : Regardons les points fixes d'une matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{N} \setminus \{\pm I_2\}$. Pour $z \in \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$, et comme $b \neq 0$ on a :

$$M \cdot z = z \iff z + b = z \iff z = \infty.$$

Notons $M$ la matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{N} \setminus \{\pm I_2\}$. Alors pour tout $\alpha \in \{\alpha_{1,2}, \alpha_{2,3}, \alpha_{1,3}\}$, en notant $A = S\alpha^*S^{-1}$, on a de nouveau $A \cdot \infty$ est un point fixe de $AMA^{-1} \in \mathbb{N}$, donc $A \cdot \infty = \infty$. Montrons que $\infty$ est le seul point fixe de $A$.

En notant $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, on a $AMA^{-1} = \begin{pmatrix} (ad-bc)-ac & a^2 \\ -c^2 & (ad-cb)+da \end{pmatrix} \in \mathbb{N}$, donc $c = 0$. D'après la remarque 11.2.3, l'action de $A$ est la même que celle d'une certaine matrice $B \in SL(2, \mathbb{R})$, multiple de $A$. Alors $B$ est de la forme $B = \begin{pmatrix} a' & b' \\ 0 & (a')^{-1} \end{pmatrix}$ où $a', b' \in \mathbb{R}$. Comme $\alpha^*$ est soit unipotent soit d'ordre fini, il en est de même pour $A$ et $B$. Alors de même que précédemment, $a' = \pm 1$. Puisque l'action de $\alpha^*$ n'est pas triviale, il en est de même pour celle de $A$ et de $B$. Alors $b' \neq 0$, et on en déduit que le seul point fixe de $A$ est $\infty$.

Comme $\mathbf{a}$ est un point fixe de $\alpha_{1,2}^*, A_{1,2} \cdot (S \cdot \mathbf{a}) = S \cdot \mathbf{a}$, donc $S \cdot \mathbf{a} = \infty$, et de même $S \cdot \mathbf{b} = S \cdot \mathbf{c} = \infty$. Or $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ et $\mathbf{c}$ sont deux à deux distincts, on a donc une contradiction.

• Si $\mathbb{G}_2^0 \simeq \mathbf{P}$ : Regardons les points fixes de la matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. De même que dans le cas précédent, on peut voir que, pour $z \in \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^1$, $M \cdot z = z \iff z = \infty$. Donc $M$ admet un unique point fixe $\infty$. Alors pour $\alpha \in \{\alpha_{1,2}, \alpha_{2,3}, \alpha_{1,3}\}$, et $A = S\alpha^*S^{-1}$, on a : $A \cdot \infty$ est un point fixe de $AMA^{-1} \in \mathbf{P}$. Comme $\mathrm{Tr}(G) = 2$, on a $\mathrm{Tr}(AMA^{-1}) = 2$, donc la matrice $AMA^{-1}$ est de la forme $\begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Si $b = 0$, on a $AMA^{-1}$ agit triviallement ce qui n'est pas possible, sinon $AMA^{-1}$ fixe uniquement le point $\infty$ et on peut reprendre l'argument du cas précédent.

Finalement, $\mathbb{G}_2^0 = \mathrm{SU}(1, 1)$ et la proposition 11.2.1 est démontrée. $\square$

**Remarque 11.2.9.** La condition (11.0.2) est nécessaire pour obtenir $\mathbb{G}_2^0 = \mathrm{SU}(H^1(\hat{X})_q)$. En effet, il existe des cas tels que cette condition ne soit pas vérifiée, et que l'image $\rho_q(PB_n)$ forme un sous-groupe fini de $U(H^1(\hat{X})_q)$. Alors $\rho_q(PB_n)$ est égale à sa clôture de Zariski et en particulier la composante connexe de cette clôture de Zariski est restreinte à l'élément neutre, donc $\mathbb{G}_2^0 \neq \mathrm{SU}(H^1(\hat{X})_q)$. Pour $q = e^{-\frac{2i\pi}{d}}$, on peut citer les cas suivants, issus de l'article [DM86] (p.82) :
<table>
  <thead>
    <tr>
      <th>d</th>
      <th>k<sub>1</sub></th>
      <th>k<sub>2</sub></th>
      <th>k<sub>3</sub></th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <td>12</td>
      <td>5</td>
      <td>3</td>
      <td>3</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>24</td>
      <td>11</td>
      <td>7</td>
      <td>5</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>60</td>
      <td>29</td>
      <td>19</td>
      <td>11</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2m</td>
      <td>m &minus; 1</td>
      <td>m &minus; 1</td>
      <td>1</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

Dans ces différents cas, nous avons $\frac{k_1}{d} + \frac{k_2}{d} + \frac{k_3}{d} < 1$, donc la condition (11.0.2) n'est pas vérifiée.

Passons maintenant à la récurrence.

11.3 Récurrence

On montre ici la proposition suivante :

**Proposition 11.3.1.** *Pour tout $r \in \{2, \dots, n-2-\varepsilon_0\}$, si $\mathbb{G}_r = \text{SU}(\mathbb{V}_r)$ alors $\mathbb{G}_{r+1} = \text{SU}(\mathbb{V}_{r+1})$.*

*Démonstration* : Soit $r \in \{2, \dots, n-2-\varepsilon_0\}$. Commençons par expliciter les ensembles $\text{SU}(\mathbb{V}_{r+1})$ et $\text{SU}(\mathbb{V}_r)$. Supposons que $\mathbb{G}_r = \text{SU}(\mathbb{V}_r)$. D'après le lemme 11.1.3, la forme d'intersection restreinte à $\mathbb{V}_i$ n'est pas dégénérée pour tout $i \in \{2, \dots, r+1\}$, alors en utilisant le procédé de Gram-Schmidt, on peut obtenir une base "orthonormée" $\{e_1, \dots, e_{r+1}\}$ de $\mathbb{V}_{r+1}$ telle que :

$$
\forall i \in \{2, \dots, r+1\}, \quad \langle e_1, \dots, e_i \rangle = \langle g_1, \dots, g_i \rangle.
$$

Dans cette base, la matrice de la forme d'intersection est $H_{r+1} = \text{diag}(\delta_1, \dots, \delta_{r+1})$ où
$\delta_i = \langle e_i, e_i \rangle = \pm 1$. On a donc :

$$
\mathrm{SU}(\mathbb{V}_{r+1}) = \{ A \in \mathcal{M}_{r+1}(\mathbb{C}) | {}^t \overline{A} H_{r+1} A = H_{r+1} \text{ et } \det(A) = 1 \}.
$$

Alors $\mathbb{G}_r^0 = \text{SU}(\mathbb{V}_r)$ s'identifie au sous-groupe de $\text{SU}(\mathbb{V}_r)$ donnée par :

$$
\mathrm{SU}(\mathbb{V}_r) = \{ A = ( \begin{smallmatrix} A' & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} ) \in \mathcal{M}_{r+1}(\mathbb{C}) \mid A' \in \mathcal{M}_r(\mathbb{C}) \text{ telle que } {}^t \overline{A}' H_r A' = H_r \text{ et } \det(A') = 1 \}.
$$

On sait que $\mathbb{G}_i^0$ est un groupe de Lie, comme on a pu le voir dans le lemme 11.2.2 pour
le cas $r=2$, on peut donc considérer l'algèbre de Lie de $\mathbb{G}_i^0$, que l'on note $\mathfrak{g}_i$. D'après
l'hypothèse $\mathbb{G}_r^0 = \text{SU}(\mathbb{V}_r)$, on a $\mathfrak{g}_r = \mathfrak{su}(\mathbb{V}_r)$. Comme la forme d'intersection n'est pas
dégénérée sur $\mathbb{V}_r$, en notant les complexifiés $\mathfrak{g}_r(\mathbb{C}) = \mathfrak{g}_r \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$ et $\mathfrak{g}_{r+1}(\mathbb{C}) = \mathfrak{g}_{r+1} \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$, on
a : $\mathfrak{g}_r(\mathbb{C}) = \mathfrak{sl}(\mathbb{V}_r) \simeq \mathfrak{sl}(r, \mathbb{C})$. Alors :

$$
\mathfrak{g}_r = \left\{ \begin{pmatrix} X & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \mid X \in \mathcal{M}_r(\mathbb{C}) \text{ avec } \mathrm{Tr}(X) = 0 \text{ et } {}^t \overline{X} H_r + H_r X = 0 \right\}.
$$

On a :

$$
\mathfrak{su}(\mathbb{V}_r \otimes \mathbb{C}) = \mathfrak{g}_r(\mathbb{C}) \subset \mathfrak{g}_{r+1}(\mathbb{C}) \subset \mathfrak{sl}(\mathbb{V}_{r+1}) \simeq \mathfrak{sl}(r+1, \mathbb{C}).
$$

Montrons donc que $\mathfrak{g}_{r+1}(\mathbb{C}) \simeq \mathfrak{sl}(r+1, \mathbb{C})$. On sait que toute matrice de $\mathfrak{sl}(r+1, \mathbb{C})$ est de la forme : $\begin{pmatrix} X'' & v \\ t_w & d \end{pmatrix}$ avec : $X'' \in \mathcal{M}_r(\mathbb{C})$, $v, w \in \mathcal{M}_{1,r}(\mathbb{C})$, $d \in \mathbb{C}$, et $\mathrm{Tr}(X'') + d = 0$. Une telle matrice s'écrit donc comme une somme :

$$
X' = \begin{pmatrix} X & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & v \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ t_w & 0 \end{pmatrix} + \mathrm{diag}(-d, 0, \dots, 0, d)
$$

où $X = X'' + \text{diag}(d, 0, \dots, 0)$ et $\text{Tr}(X) = 0$. En montrant que chacune de ces quatre
formes de matrice est dans $\mathfrak{g}_{r+1}(\mathbb{C})$, on aura alors $\mathfrak{sl}(r+1, \mathbb{C}) \subset \mathfrak{g}_{r+1}(\mathbb{C})$.
On détermine la matrice de $(\tau_{r+1}^2)^* = \alpha_{r+1,r+2}^*$ dans la base $\{e_1, \dots, e_{r+1}\}$. Rappe-
lons que $(\tau_{r+1}^2)^*(g_i) = g_i$, pour tout $i = 1, \dots, r-1$. Ainsi, la restriction de $(\tau_{r+1}^2)^*$ à
$\langle e_1, \dots, e_{r-1} \rangle$ est l'identité. Soient $\lambda_1, \dots, \lambda_{r+1} \in \mathbb{C}$ et $\mu_1, \dots, \mu_{r+1} \in \mathbb{C}$ tels que :

$$
(\tau_{r+1}^2)^*(e_r) = \sum_{i=1}^{r+1} \lambda_i e_i \quad \text{et} \quad (\tau_{r+1}^2)^*(e_{r+1}) = \sum_{i=1}^{r+1} \mu_i e_i.
$$

Pour tout $i \in \{1, \dots, r-1\}$, on a :

$$
\delta_i \lambda_i = \langle (\tau_{r+1}^2)^*(e_r), e_i \rangle = \langle (\tau_{r+1}^2)^*(e_r), (\tau_{r+1}^2)^*(e_i) \rangle = \langle e_r, e_i \rangle = 0
$$

et

$$
\delta_i \mu_i = \langle (\tau_{r+1}^2)^*(e_{r+1}), e_i \rangle = \langle (\tau_{r+1}^2)^*(e_{r+1}), (\tau_{r+1}^2)^*(e_i) \rangle = \langle e_{r+1}, e_i \rangle = 0.
$$

Alors $\lambda_i = \mu_i = 0$ pour tout $i = 1, \dots, r-1$, et la matrice de $(\tau_{r+1}^2)^*$ dans la base $\{e_1, \dots, e_{r+1}\}$ est de la forme :

$$
A_{r+1} = \begin{pmatrix} I_{r-1} & 0 & 0 \\ 0 & a & c \\ 0 & b & d \end{pmatrix}
$$

Montrons que les coefficients $b, c$ sont non-nuls. Comme $(\tau_{r+1}^2)^*(g_r) = g_r + (1-q^{k_{r+2}})g_{r+1} \notin \mathbb{V}_r$, on a $b \neq 0$. Si $c = 0$, remarquons que, comme $\det(A_{r+1}) \neq 0$, $d \neq 0$, et on a alors :

$$
\begin{align*}
0 &= \langle e_{r+1}, e_r \rangle \\
  &= \langle (\tau_{r+1}^2)^*(e_{r+1}), (\tau_{r+1}^2)^*(e_r) \rangle \\
  &= \langle d e_{r+1}, a e_r + b e_{r+1} \rangle \\
  &= d \bar{b} \delta_{r+1} \neq 0.
\end{align*}
$$

Alors $c \neq 0$.

On note :

$$
A_{r+1}^{-1} = \begin{pmatrix} I_{r-1} & 0 & 0 \\ 0 & a' & c' \\ 0 & b' & d' \end{pmatrix}
$$

où $\begin{pmatrix} a' & c' \\ b' & d' \end{pmatrix}$ est la matrice inverse de $\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}$. De même que précédemment, on a : $b' \neq 0$ et $c' \neq 0$. On écrira $A_{r+1} = \begin{pmatrix} A_r & v \\ t_w & d \end{pmatrix}$ et $A_{r+1}^{-1} = \begin{pmatrix} A'_r & v' \\ t_w & d' \end{pmatrix}$ avec

$$
\bullet A_r = \begin{pmatrix} I_{r-1} & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}, A'_r = \begin{pmatrix} I_{r-1} & 0 \\ 0 & a' \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_r(\mathbb{C}),
$$

$$
\bullet v = (\begin{smallmatrix} 0 \\ c \end{smallmatrix}), v' = (\begin{smallmatrix} 0 \\ c' \end{smallmatrix}), w = (\begin{smallmatrix} 0 \\ b \end{smallmatrix}), w' = (\begin{smallmatrix} 0 \\ b' \end{smallmatrix}) \in \mathbb{C}^r.
$$

Considérons maintenant l'action adjointe de $(\tau_{r+1}^2)^*$ sur $\mathfrak{g}_{r+1}(\mathbb{C})$. On sait que $\mathfrak{g}_{r+1}$ est stable par l'action adjointe de $\mathbb{G}_{r+1}$. Pour tout $X \in \mathcal{M}_r(\mathbb{C})$ telle que $\mathrm{Tr}(X) = 0$, la matrice $X' := \begin{pmatrix} X & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{r+1}(\mathbb{C})$ est un élément de $\mathfrak{g}_r(\mathbb{C}) \subset \mathfrak{g}_{r+1}(\mathbb{C})$. Alors

$$
\mathrm{Ad}(\tau_{r+1}^{2*})(X') = \begin{pmatrix} A_r & v \\ t_w & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} X & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} A'_r & v' \\ t_w' & d' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_r X A'_r & A_r X v' \\ t_w X A'_r & t_w X v' \end{pmatrix} \in \mathfrak{g}_{r+1}(\mathbb{C}).
$$

Si $X$ est la matrice $E_{r,1} \in \mathcal{M}_r(\mathbb{C})$ dont le coefficient sur la $r$-ième ligne et la première colonne est 1, et tous les autres coefficients sont nuls, alors

$$
\mathrm{Ad}(\tau_{r+1}^{2*})(X') = \begin{pmatrix} A_r E_{r,1} A_r' & 0 \\ b & 0 \cdots 0 \end{pmatrix}.
$$
Comme $\mathrm{Tr}(A_r E_{r,1} A'_r) = 0$, on a $(A_r E_{r,1} A'_r \begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}) \in \mathfrak{g}_{r+1}(\mathbb{C})$. Par conséquent $\mathfrak{g}_{r+1}(\mathbb{C})$ contient la matrice $\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ b & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}$ et donc la matrice $E_{r+1,1} := \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}$ car $b \neq 0$.

Si $X$ est la matrice $E_{1,r} \in \mathcal{M}_r(\mathbb{C})$ dont seul le coefficient sur la première ligne et la dernière colonne est égal à 1, tous les autres coefficients sont 0, alors on a

$$ \mathrm{Ad}(\tau_{r+1}^{2*})(X') = \begin{pmatrix} c' \\ A_r E_{1,r} A'_r & 0 \\ & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

Par le même argument, on conclut que $\mathfrak{g}_{r+1}(\mathbb{C})$ contient la matrice $E_{1,r+1} := \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Notons $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^r$. Soient $X \in \mathfrak{sl}(r, \mathbb{C})$ et $X' = (\begin{smallmatrix} X & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix}) \in \mathcal{M}_{r+1}(\mathbb{C})$ comme plus haut. On a

$$ \mathrm{ad}(E_{r+1,1})(X') = E_{r+1,1}X' - X'E_{r+1,1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ tv_1X & 0 \end{pmatrix}, $$

$$ \mathrm{ad}(E_{1,r+1})(X') = E_{1,r+1}X' - X'E_{1,r+1} = \begin{pmatrix} 0 & Xv_1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

et

$$ \mathrm{ad}(E_{r+1,1})(E_{1,r+1}) = E_{r+1,1}E_{1,r+1} - E_{1,r+1}E_{r+1,1} = \mathrm{diag}(-1, 0, \dots, 0, 1). $$

Comme $\mathfrak{sl}(r, \mathbb{C})$ agit transitivement sur $\mathbb{C}^r$, on en déduit que $\mathfrak{g}_{r+1}(\mathbb{C})$ contient les matrices suivantes

* $(\begin{smallmatrix} X & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix})$, pour tout $X \in \mathcal{M}_r(\mathbb{C})$, $\mathrm{Tr}(X) = 0$,

* $(\begin{smallmatrix} 0 & v \\ 0 & 0 \end{smallmatrix})$ et $(\begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ t_w & 0 \end{smallmatrix})$, pour tous $v, w \in \mathbb{C}^r$,

* $\mathrm{diag}(-1, 0, \dots, 0, 1)$.

Ces matrices engendrent le sous-espace vectoriel des matrices de trace nulle dans $\mathcal{M}_{r+1}(\mathbb{C})$, on a donc prouvé que $\mathfrak{g}_{r+1}(\mathbb{C}) = \mathfrak{sl}(r+1, \mathbb{C})$, et donc que $\mathfrak{g}_{r+1} = \mathfrak{su}(\mathbb{V}_{r+1})$. $\square$

D'après les proposition 11.2.1 et 11.3.1, on a finalement, par le principe de récurrence, la proposition 11.1.7, c'est-à-dire que pour tout $r \in \{2, \dots, n-1-\varepsilon_0\}$, $\mathbb{G}_r^0 = \mathrm{SU}(\mathbb{V}_r)$ pour tout $r \in \{2, \dots, n-1-\varepsilon_0\}$. En particulier, pour $r = n-1-\varepsilon_0$, la composante neutre de $\overline{\rho_q(PB_n)^Z}$ est $\mathrm{SU}(\mathbb{V}_{n-1-\varepsilon_0}) = \mathrm{SU}(H^1(\hat{X})_q)$. On a ainsi démontré le théorème 11.0.1.
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