sur l'apprentissage, au moins en tant que processus. Il s'agit de repérer la dynamique savoir ancien/savoir nouveau (notamment dans le passage de la multiplication des entiers à celle des décimaux) ainsi que les dialectiques contextualisation/décontextualisation des savoirs en jeu (l'opération, ses propriétés et la technique opératoire). Il s'agit aussi de décrire la nature des tâches prévues pour les élèves notamment de distinguer celles qui ne demandent que des applications directes de techniques opératoires (mentales ou écrites) de celles où l'élève doit, soit reconnaître la structure multiplicative de la situation, soit mettre en fonctionnement des propriétés de la multiplication (calcul raisonné). Nous n'étudierons pas l'exposition des savoirs car les publications analysées sont très hétérogènes de ce point de vue du fait de l'objectif des auteurs : dans certaines publications destinées aux enseignants, le savoir n'est pas exposé car le lecteur est supposé le maîtriser.

Autrement dit, il s'agit dans ce chapitre d'étudier la transposition didactique de l'objet de savoir multiplication des nombres décimaux dans les différentes "institutions" que sont les publications qui comportent des propositions d'enseignement pour des élèves de la fin du cycle primaire ou de la classe de sixième : recherches, ouvrages et brochures pédagogiques, manuels scolaires.

Une analyse préalable montre que des choix didactiques globaux partagent les propositions d'enseignement de la multiplication des décimaux en trois catégories :

- les décimaux sont des nombres pour lesquels une opération appelée multiplication est construite par une méthode de calcul du produit, cette méthode est montrée à l'élève, puis elle est utilisée pour calculer les produits obtenus lors de la résolution de problèmes issus de différents contextes. Nous intitulerons "de la technique opératoire aux problèmes" les projets inspirés de cette démarche ;

- la multiplication des décimaux est éventuellement rendue nécessaire par l'étude de situations multiplicatives puis, indépendamment de ces situations étudiées, une méthode de calcul du produit est laissée, au moins partiellement, à la charge de l'élève qui doit la découvrir, la formuler et éventuellement la justifier. Enfin, la multiplication est utilisée pour résoudre des problèmes. Nous intitulerons "des activités, une technique, des problèmes" les projets élaborés suivant ce choix ;

- la multiplication des décimaux est rendue nécessaire par l'étude de situations multiplicatives, l'étude de la situation permet de déterminer le produit de deux décimaux par une procédure de calcul construite en référence à la situation d'introduction, après décontextualisation et institutionnalisation, la multiplication est enfin réinvestie dans de nouvelles situations pour résoudre des problèmes. Nous intitulerons "construction des savoirs, institutionnalisation et réinvestissements" les projets qui suivent cette démarche.

Ces trois catégories organisent le présent chapitre. Après l'analyse des propositions d'enseignements publiées, nous reviendrons sur cette classification pour juger de sa pertinence.
# 1. De la technique opératoire aux problèmes multiplicatifs

Parmi les publications parues depuis le changement de programme du 7 juillet 1978 pour l'enseignement élémentaire, qui marque l'abandon de la réforme des "mathématiques modernes", nous n'avons trouvé des projets de cette catégorie que dans certains manuels pour l'école primaire ou pour le collège ; il n'y en a dans aucune brochure pédagogique ni dans aucun ouvrage destiné aux enseignants. En effet, ces ouvrages sont rédigés par des auteurs qui, comme le préconisent les programmes actuels, envisagent et mettent en œuvre l'acquisition de connaissances nouvelles par la résolution de problèmes<fnref n="91" />.

(*) D'une façon générale, on continuera à privilégier les démarches pédagogiques qui placent les élèves dans des situations où les notions et techniques à introduire ou à réinvestir leur apparaissent comme réponses à des problèmes, sans jamais perdre de vue qu'au cycle moyen, comme plus tard, toute nouvelle notion ou technique se construit sur des acquisitions antérieures (éventuellement remises en question) et sur des expériences dont disposent les élèves.

(**) La résolution de problèmes occupe une place centrale dans les apprentissages mathématiques, à l'école primaire comme au collège, notamment en vue de l'appropriation de connaissances nouvelles par les élèves.

Dans ce paragraphe, nous n'aborderons donc pas d'autres publications que des manuels scolaires pour l'enseignement primaire ou secondaire.

Rappelons que nous avons choisi de ne pas tenir compte, dans notre étude, de publications antérieures à 1980 c'est-à-dire à l'application des programmes de 1978. Certains enseignants qui débutaient ou qui exerçaient au cours de cette période ont pu être définitivement convaincus par les arguments alors développés. Il nous suffit de nous remémorer certains stages de formation continue que nous avons animés sur le thème de la liaison école-collège pour en trouver des exemples. Citons, pour mémoire, les conseils pédagogiques qu'on pouvait lire en 1973 dans une brochure intitulée "*Etudes pédagogiques*"<fnref n="92" /> où la multiplication de deux décimaux est définie par la technique opératoire, où ses propriétés sont démontrées à partir de celles de la multiplication et de l'addition des entiers naturels et où n'apparaît aucune situation multiplicative :

> La circulaire du 22 novembre 1971 indique deux voies parmi celles possibles pour l'étude des décimaux : ou bien supposer connues au départ les conventions d'écriture des décimaux ainsi que les règles opératoires de l'addition et de la multiplication dans $\mathbb{D}$, ou bien de faire une véritable construction de $\mathbb{D}$ après une étude des puissances de dix d'exposant entier.

<footnote n="91">⁹¹ (*) Instructions pédagogiques pour le cycle moyen, arrêté du 7 juillet 1978.</footnote>

<footnote>(**) Mathématiques : articulation école-collège, BO n°44 du 5 décembre 1996.</footnote>

<footnote n="92">⁹² VIBES J. (1973), *Information des maîtres, Décimaux et approche des réels*. Reims : INRP - CRDP.</footnote>
(...) Soient deux décimaux $\alpha$ et $\beta$ écrits respectivement avec n et p décimales et soient a et b les entiers obtenus après suppression des virgules s'il y en a (c'est-à-dire si n ou p sont non nuls). Le produit $\alpha \times \beta$ des 2 décimaux sera, par définition, le décimal obtenu à partir du produit $a \times b$ en séparant dans le dernier ($n+p$) décimales.

Nous verrons qu'il ne reste, aujourd'hui, plus aucune trace de cette conception de l'enseignement de la multiplication des décimaux dans les différents manuels, qu'ils soient antérieurs ou postérieurs au changement de programme de 1995.

## 11. Dans des manuels pour l'école primaire édités avant 1995

Les manuels pour le CM2, publiés avant le changement de programme de 1995<sup>93</sup> par trois éditeurs importants<sup>94</sup>, proposent une activité préparatoire dont l'objectif est de souligner l'importance de la propriété suivante : en multipliant respectivement par deux nombres $a$ et $b$ les deux facteurs d'un produit, on multiplie ce produit par $ab$ ; les deux nombres $a$ et $b$ étant 10, 100 ou 1000...

Cette propriété permet le calcul du produit de deux décimaux. Ainsi, par exemple, pour connaître le produit $p = 18,5 \times 0,75$, il suffira de calculer $q = 185 \times 75 = 13875$, de repérer que $q = p \times (10 \times 100) = p \times 1000$ puisque $185 = 18,5 \times 10$ et $75 = 0,75 \times 100$, ce qui permettra enfin de conclure que $p = q \div 1000 = 13,875$. Cette propriété justifie la méthode classique : on calcule sans tenir compte de la virgule puis on place la virgule après avoir totalisé le nombre de décimales des deux facteurs. Remarquons l'utilisation implicite de la commutativité et de l'associativité de la multiplication.

### Le manuel de la collection “ Objectif Calcul ” édité par Hatier

Ce manuel propose un chapitre qui commence directement par l'étude de cette propriété. La méthode classique n'est pas complètement livrée aux élèves. La multiplication d'un décimal par 10, 100 ou 1000 ainsi que la division d'un entier par 10, 100 ou 1000 qui ont été vues l'année précédente, ne font pas l'objet de révisions dans ce manuel.

### La page d'activités préparatoires de ce manuel figure à la page suivante.

Ce chapitre contient, après l'activité de découverte et l'aide-mémoire, huit exercices. Aucun d'entre eux ne fait intervenir de problème multiplicatif, tous portent sur des nombres abstraits. Les deux premiers exercices sont des multiplications de décimaux par 10, 100 ou 1000 ; l'enseignant peut donc les utiliser pour les révisions mais aucun exercice ne propose de division par 10, 100 ou 1000. Le troisième exercice est une liste de multiplications d'un décimal par un entier et les quatre autres portent sur le placement de la virgule dans l'écriture du résultat d'un produit de deux décimaux. Ces exercices sont donc essentiellement des applications techniques.

<footnote n="93"><sup>93</sup> Programme de 1985, en vigueur en CM2 jusqu'à la rentrée 1997-98.</footnote>

<footnote n="94"><sup>94</sup> *Objectif Calcul* CM2 (1988), Paris : Hatier. [pp. 28-29].</footnote>

<footnote>*Diagonale* CM2 (1994), Paris : Nathan. [pp. 86-87].</footnote>

<footnote>*Math et Calcul* CM2 (1988), Paris : Hachette. [pp. 142-147].</footnote>
Objectif Calcul CM2, Hatier 1988.

# 8 MULTIPLICATION des nombres décimaux

Réinvestir la technique de la multiplication dans N à la multiplication dans $\mathbb{D}$.

## découverte...

Voici des dominos en désordre. Replacez-les correctement en observant la façon dont on a commencé.

Tu n'as pas besoin de compter les opérations, fais seulement bien attention aux produits proposés et au nombre de chiffres après la virgule que doivent comporter les résultats.

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

## aide-mémoire

### Pour effectuer la multiplication

* d'un nombre entier par un nombre décimal ou

* d'un nombre décimal par un autre nombre décimal,

tu effectues d'abord l'opération comme si les deux nombres étaient entiers, puis tu places la virgule. EXEMPLES :

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

<figure><img src="image_26.png" /></figure>
Nous avons pourtant relevé une question susceptible de provoquer un questionnement puis l'utilisation du calcul approché pour répondre : on demande en effet de placer la virgule manquante dans l'égalité 61,8 × 3,5 = 2163. La réponse est 216,3 qui ne comporte qu'un chiffre après la virgule alors que le nombre total de décimales des deux facteurs est deux. Cette difficulté n'apparaît pas quand les élèves posent l'opération puisqu'ils trouvent dans un premier temps 21 630 et dans un second temps 216,30 qu'ils peuvent écrire 216,3. Le dernier exercice propose la même difficulté : l'élève doit compléter des égalités sans effectuer de calcul avec l'une des trois propositions :

$$ \text{a) } 548 \times 10,5 = \dots \qquad \text{propositions : } 575,4 \ ; \ 10\ 754 \ ; \ 5\ 754. $$

$$ \text{b) } 9\ 538 \times 0,95 = \dots \qquad \text{propositions : } 9\ 061,1 \ ; \ 906,1 \ ; \ 90\ 611,1. $$

Un raisonnement utilisant les ordres de grandeur suffit pour conclure. La question a) propose un nombre avec un chiffre après la virgule 575,4 qui peut être une source d'erreur pour les élèves qui appliqueraient trop strictement la règle de position de la virgule. Ce résultat peut être rejeté facilement (trop facilement ?) par un argument d'ordre de grandeur 500 × 10 = 5000.

L'argument de l'ordre de grandeur n'aurait pas été suffisant pour réfuter, par exemple, la réponse 5 754,4 si elle avait figuré parmi les propositions. Cette remarque pour montrer que le manuel ne propose pas de situation pour travailler sur l'origine même de l'erreur commise. En conséquence nous pensons que le résultat faux 575,4 est rejeté "trop facilement" par un argument d'ordre de grandeur : durant le déroulement de la correction de cet exercice, pour convaincre cet élève que sa réponse est fausse, l'enseignant ou un autre élève pourrait utiliser seulement un argument d'ordre de grandeur qui montre que le résultat ne convient pas plutôt que de développer un argument qui réfute la méthode erronée (le nombre de décimale du produit est la somme des nombres de décimales des facteurs). Avec l'énoncé du manuel, l'élève qui aurait proposé 575,4 saurait qu'il avait donné une réponse fausse mais resterait sans réponse quant aux véritables raisons de son échec. Sauf intervention complémentaire de l'enseignant...

Cette séquence est suivie d'une série de douze exercices intitulée "multiplication des nombres décimaux : prolonger le sens de la multiplication." Sur les douze, quatre seulement nécessitent la multiplication de deux décimaux : trois problèmes de prix au kg et un calcul d'aire de rectangle avec rappel de la formule. Tous les autres portent sur la multiplication d'un décimal par un entier. En outre, le titre de la séquence est très inducteur quant au choix de l'opération, de nombreux élèves se trouvent enclins à multiplier les données pour répondre à la question plus par effet de contrat que par une réelle prise de sens de la multiplication. Après cette séquence, six double-pages d'une rubrique "Résolution de problèmes" sont proposées. En fait l'élève n'a jamais à résoudre complètement un problème : sur une double-page il doit repérer les informations, sur une autre il doit repérer la question, etc. Enfin, sur deux double-pages qui comportent vingt-huit énoncés, il doit déterminer l'opération qui donne la solution ; nous nous attendions à ce que les auteurs poursuivent enfin l'objectif de "prolonger le sens de la multiplication" mais aucun des énoncés ne porte sur la multiplication de deux décimaux...
### Le manuel de la collection "Diagonale" édité par Nathan.

Ce manuel ne propose pas d'activité qui porte directement sur la propriété déjà citée : "en multipliant respectivement par deux nombres a et b les deux facteurs d'un produit..."

### La page d'activités préparatoires de ce manuel figure à la page suivante.

Il propose une première tâche portant sur les unités, dixièmes, centièmes, sur la multiplication de facteurs égaux à 10, 100 ou 1000, et enfin sur le produit et le quotient d'un nombre par 10, 10 ou 1000. Il propose ensuite une seconde tâche qui pose le problème du calcul du produit de deux décimaux. La méthode de calcul avec multiplication des facteurs décimaux pour obtenir des facteurs entiers est mise en œuvre parallèlement à la méthode classique, l'élève doit comparer les méthodes et conclure.

Huit exercices sont proposés dans cette séquence, cinq portent sur des calculs ou des décalages de virgule avec des nombres abstraits. Les trois autres sont issues de situations concrètes mais, dans deux d'entre eux, les produits à effectuer ont un facteur entier et peuvent être compris avec une multiplication héritée de l'addition répétée. Le seul exercice qui nécessite le calcul du produit de deux décimaux est la conversion de 4,15 milles en km sachant que 1 mille ≈ 1,6 km mais la question est posée après celle de la conversion de 7 milles en km, les élèves peuvent donc procéder par analogie et l'addition réitérée reste le seul modèle multiplicatif convoqué. Cette séquence n'est pas suivie d'une séquence de réinvestissement.

Comme dans "Objectif Calcul", dans les séquences de résolution de problèmes, on ne trouve dans le manuel "Diagonale" pratiquement aucun problème multiplicatif où les deux facteurs sont directement décimaux. Seulement quelques problèmes de prix au kg sont proposés, pour les autres situations (proportionnalité, calcul d'aire...) les formules sont données ou induites par des questions qui portent sur des nombres entiers avant que les questions qui portent sur les nombres décimaux ne soient posées.

### Le manuel de la collection "Math et Calcul" édité par Hachette.

Ce manuel, plus connu dans la profession par le nom de l'un des auteurs <fnref n="95" />, ne se distingue pas de ceux que nous venons d'étudier.

L'activité de découverte consiste en un travail de lecture d'une expérience. Le maître a demandé le calcul de 6,45×2,3 à la calculatrice, un élève obtient 14,835, le maître demande aussi 645×23, l'élève trouve 14 835. Le maître montre alors au tableau la relation entre les deux calculs puis indique la disposition usuelle du calcul. Il n'y a pas de "cours" sur cette notion. La page de découverte se termine sur un calcul de valeur approchée d'un produit.

Les exercices qui suivent sont des applications de la technique opératoire pour 30% d'entre eux, ils posent des problèmes de prix pour 60% d'entre eux, un exercice propose le calcul de la consommation d'un individu qui boit 7 bouteilles d'eau de 1,5ℓ, les autres exercices sont du calcul mental.

<footnote n="95">⁹⁵ Ce manuel est souvent appelé le "Eiller" par les enseignants.</footnote>
Diagonale CM2, Nathan 1994

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

# Opérations avec les nombres décimaux (2)

Enlever 2,5 aux nombres 3,7 10,8 3,68 7,05

## 1 Activités

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

5. Le segment rouge a pour longueur l'unité.

Observe le segment a vu à travers une loupe, puis le segment b vu à travers une loupe :

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

Écris la longueur des segments a, b et c en prenant le segment rouge pour unité.

b. En t'aidant du schéma précédent, recopie d'une même couleur les nombres égaux.

$$10 \times \frac{1}{10} \quad 10 \times \frac{1}{100} \quad 10 \times 0,001$$

$$1 \quad 10 \times 0,1 \quad 10 \times \frac{1}{1000}$$

$$10 \times 0,01 \quad \frac{1}{10} \quad 0,01$$

$$100 \quad 100 \times \frac{1}{100} \quad 1000 \times \frac{1}{1000}$$

c. Avec ta calculette, complète les colonnes. Complète ensuite les opérateurs.

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

## 2

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

Observe ce qu'ont écrit Thomas et Mathieu pour calculer 7,8 x 16,14.

Thomas

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

Mathieu

* Je calcule comme s'il n'y avait pas de virgule.

$$1 614 \times 78 = 125 892$$

* Je compte le nombre de chiffres après la virgule dans 7,8 et 16,14 → 3

* Dans le produit précédent, je place la virgule à 3 rangs à partir de la droite.

$$\text{Donc } 7,8 \times 16,14 = 125,892$$

* Termine les calculs de Thomas et vérifie que Mathieu trouve le même résultat.

* Explique pourquoi les deux élèves procèdent finalement de la même façon.

* Calcule les produits.

$$19,3 \times 8,171 \quad 35 \times 6,07 \quad 20,7 \times 30,01$$

Vérifie les résultats avec ta calculette.
Quel enseignement de la multiplication des décimaux ?

L'étude de ces trois manuels montre une ambition commune de montrer aux élèves les justifications de la technique opératoire de la multiplication des décimaux quand celle de la multiplication des entiers est supposée acquise. Le manuel "Objectif Calcul" propose, en outre, quelques exercices pour faire réfléchir les élèves sur le nombre de chiffres qui figurent après la virgule dans un produit de deux décimaux. Cette ambition était conforme aux instructions officielles en cours au moment de leur publication. <fnref n="96" />

L'élève sera apte à calculer sur les nombres ; pour cela il devra (...) maîtriser les techniques opératoires usuelles addition, soustraction, multiplication des entiers ou des décimaux (...)

Pour répondre à cette ambition de maîtrise exprimée dans les programmes, les trois manuels proposent une méthode pour placer la virgule. Elle impose à l'élève une action issue d'une réflexion proche des justifications théoriques alors qu'avec la technique usuelle, les élèves n'ont qu'à compter les chiffres placés après la virgule dans les facteurs du produit. Cette ambition n'est pas nouvelle mais elle n'a pas toujours été partagée, comme le rappelle Denis Butlen <fnref n="97" /> en citant respectivement un extrait du "Manuel du Certificat d'Aptitude Pédagogique" paru en 1904 aux éditions Brossard-Deferdon-Hachette (*) puis un article de J. Tannery intitulé "Sur l'enseignement de l'arithmétique à l'école primaire" paru la même année (**):

(*) On dit souvent : peu ou point de théorie. Que restera-t-il donc ? La routine, le calcul machinal de chiens savants ou des automates. Nous dirons, nous : sans doute, il fait accoutumer les enfants à opérer vite ; c'est un but matériel et pratique qu'il est désirable d'atteindre. Mais qu'on ne craigne pas non plus de les accoutumer à se rendre compte de leurs opérations. (...) des enfants du cours moyen ne peuvent-ils pas savoir utilement (...) pourquoi dans un produit, on doit reculer la virgule vers la gauche d'autant de chiffres qu'il y en a dans les deux facteurs réunis ?

(**) Le maître dira : "je vais vous apprendre un moyen d'aller plus vite ;" il enseignera le mécanisme de la règle. Je ne suis nullement scandalisé à l'idée que l'enfant ne se rendra pas compte du pourquoi de ce mécanisme, et la confiance qu'il accordera à son maître ne me déplaît en aucune façon. (...) en arithmétique deux points importants : reconnaître quelles opérations on doit faire, c'est-à-dire au fond bien comprendre les définitions ; puis savoir faire correctement ces opérations : le premier point est affaire d'intelligence, le second de routine, ou, pour parler mieux, d'habitude.

<footnote n="96">⁹⁶ Extrait de la rubrique consacrée aux mathématiques dans les programmes de 1985.</footnote>

<footnote n="97">⁹⁷ BUTLEN D. (1985), *Introduction de la multiplication à l'école primaire : histoire, analyses didactiques, manuels actuels*, Cahier de didactique des mathématiques n°19, Paris : IREM de Paris 7. [pp. 43 à 47].</footnote>
Aujourd'hui, la question est, comme nous le soulignons, tranchée depuis plus de vingt ans<fnref n="98" /> :

> L'étude de la multiplication débutera par la recherche de situations où, a et b étant décimaux, l'expression $a×b$ ait une signification (la vie courante, les achats de matériaux divers en fournissent à volonté). Ce travail précédera dans tous les cas l'étude du prolongement de la technique de la multiplication qui en est directement dépendante et ne doit surtout pas se limiter à la mise en place d'un mécanisme aveugle.

Cet extrait des instructions officielles permet de constater, en revanche, un certain renoncement dans les deux manuels en ce qui concerne les situations de résolution de problèmes multiplicatifs avec des nombres décimaux. Les programmes demandaient que l'élève sache "reconnaître les problèmes qui relèvent des opérations évoquées précédemment" c'est-à-dire, entre autres, les problèmes qui mènent à la multiplication de deux décimaux. Nous avons montré que ces trois manuels proposent peu de situations susceptibles de permettre cette acquisition. Les élèves peuvent résoudre les problèmes en ayant l'addition répétée comme seul modèle implicite de la multiplication. Enfin, remarquons que les propriétés algébriques de l'opération ne sont jamais abordées.

## 12. Dans des manuels de collège édités en 1996⁹⁹

Les manuels de collèges sont tous organisés, et pour tous les chapitres, de la même façon : des activités préparatoires partagées entre des révisions de prérequis et des situations de découvertes de nouveaux savoirs, un cours partagé entre ce qu'il faut savoir (définitions, règles...) et ce qu'il faut savoir-faire (méthodes, exercices types...), des exercices d'applications classés dans différentes rubriques (entraînement, approfondissement, soutien...) Ils sembleraient donc tous proposer des enseignements classés dans la deuxième ou la troisième catégorie. Derrière cette uniformité de présentation, notamment par une analyse de tâches de la partie consacrée aux activités préparatoires, nous avons constaté des différences qui expliquent que nous trouvions des manuels de collège dans cette première catégorie : "de la technique opératoire aux problèmes multiplicatifs". Nous montrerons aussi une diversité quant aux justifications de la technique de la multiplication des décimaux et quant aux situations multiplicatives proposées.

Remarquons le manuel "Triangle" des éditions Hatier qui, et c'est le seul, propose, dans les activités préparatoires, une série d'exercices dont l'objectif est un repérage "d'obstacles" c'est-à-dire de conceptions ou de procédures à l'origine des erreurs les plus fréquentes, puis une autre série d'exercices "pour franchir les obstacles". Des annotations marginales permettent la mise en correspondance des exercices qui servent à repérer un obstacle et de ceux qui servent à le franchir.

<footnote n="98">⁹⁸ Instructions pédagogiques des programmes du 7 juillet 1978.</footnote>

<footnote n="99">⁹⁹ La première édition postérieure au changement de programme date de septembre 1996, il en a eu une deuxième en septembre 2000 mais nous n'avons pas examiné ces manuels.</footnote>
Nous allons étudier ici les manuels dont l'enseignement est conforme à la première démarche. Nous examinerons d'abord comment la multiplication est présentée puis comment elle est réinvestie.

## Présentations de la multiplication de deux nombres décimaux

Parmi les manuels dont les auteurs ont choisi de donner une méthode sans laisser l'élève la découvrir ou la formuler, la présentation de la multiplication diffère.

Les auteurs du manuel de la collection “ Cinq sur cinq ” des éditions Hachette ont fait le même choix que ceux du manuel “ Diagonale CM2 ” des éditions Nathan. Après des activités de révision sur les ordres de grandeur, sur les décalages de virgule dans le produit d'un décimal par un entier, mais sans aborder l'effet de la multiplication par 10 ou 100 de l'un des facteurs d'un produit, une tâche de comparaison de deux méthodes de calcul du produit de deux décimaux est proposée à l'élève : la méthode de décalage de la virgule qui est explicitée complètement et la méthode issue de la propriété “ en multipliant respectivement par deux nombres a et b les deux facteurs d'un produit, on multiplie ce produit par ab ; les deux nombres a et b étant 10, 100 ou 1000... ”

Dans le cours les deux méthodes sont présentées parallèlement en utilisant les effets de la disposition dans la page ainsi que des couleurs pour les décimales.

On retrouve, dans les activités préparatoires, des exercices pour que l'élève critique la proposition erronée mais proche de la règle de décalage de la virgule : “ le produit de deux décimaux comporte autant de chiffres après la virgule que les deux facteurs. ” L'élève doit corriger les trois calculs suivants<fnref n="100" /> et pour deux d'entre eux le produit (pourtant faux) a autant de décimales écrites que les deux facteurs ensemble :

$$ \begin{array}{c@{\hspace{1em}}r@{\,}l} & 3,85 & \\[1ex] \times & 2\ 0,6 & \\[1ex] \cline{2-2} & 2\ 3\ 1\ 0 & \\[1ex] \cline{2-2} & 6\ 7\ 0\ 0 & \\[1ex] \cline{2-2} & \multicolumn{1}{r}{9,01\ 0} & \end{array} \qquad 1\ 3,4 \times 0,2 = 2\ 6,8 \qquad \begin{array}{c@{\hspace{1em}}r@{\,}l} & 0,18 & \\[1ex] \times & 4\ 5\ 0 & \\[1ex] \cline{2-2} & 9\ 0 & \\[1ex] \cline{2-2} & 7\ 2 & \\[1ex] \cline{2-2} & \multicolumn{1}{r}{8,10} & \end{array} $$

Les auteurs du manuel de la collection “ Mathématiques ” des éditions Delagrave sont les plus directs : après un rappel – intitulé “ Un bon produit ” – où la multiplication d'un décimal par un entier est définie par une addition réitérée (3,5 × 4 = 3,5 + 3,5 + 3,5 + 3,5), et quatre courts exercices d'application introduisant des écritures littérales, on peut lire<fnref n="101" />

### 2. Avec des virgules

Tu sais calculer le produit d'un nombre entier par un nombre décimal.

$$ \text{Calcule : } 17 \times 0,4 ; 7,38 \times 5 ; 5,4 \times 236 ; 0,05 \times 12 $$

Tu vas maintenant calculer des produits dont les facteurs ne sont pas des nombres entiers.

<footnote n="100">¹⁰⁰ Cinq sur cinq Math 6e (1996), Paris : Hachette. [p. 59].</footnote>

<footnote n="101">¹⁰¹ Mathématiques 6e (1996), Paris : Delagrave. [p. 33].</footnote>
Observe : 6,27 × 3,5 = 21,945

$$ \begin{array}{r} 6,27 \\ \times \quad 3,5 \\ \hline 3135 \\ 1881 \\ \hline 21,945 \end{array} $$

Une annotation marginale du manuel (dans sa version spéciale destinée aux professeurs) précise que la multiplication de deux décimaux n'est plus au programme de l'école primaire. Dans le rappel, les auteurs présentent $3,5 \times 4$ comme une somme de quatre termes. Avec cette définition, l'expression $4 \times 3,5$ n'a pas de sens. Dans le deuxième point, ils affirment pourtant que l'élève sait déjà calculer le produit d'un entier par un décimal et ils proposent les deux types de produits. La commutativité reste totalement implicite. De même, dans la présentation de la multiplication de deux décimaux, les chiffres après la virgule – que nous avons indiqués en gras dans la citation – sont imprimés en rouge, la méthode n'est pas écrite. Elle ne figure pas non plus dans le cours si bien qu'elle n'apparaît nulle part dans ce manuel.

Les auteurs du manuel de la collection "Triangle" des éditions Hatier, ont fait un choix opposé : aucune méthode de calcul du produit de deux décimaux n'apparaît dans les activités préparatoires alors que la règle de décalage de la virgule figure dans le cours ; trois problèmes de prix à payer conduisant à une multiplication de deux décimaux sont proposés dans les activités préparatoires. Nous pouvons formuler deux hypothèses. Soit les auteurs prévoient que le professeur doit exposer une méthode de calcul avant de proposer les activités préparatoires, ce qui semble contradictoire avec les instructions officielles, soit les auteurs préfèrent laisser les élèves calculer un tel produit avec la calculatrice ou par des méthodes personnelles comme ils le feraient à l'école primaire d'après les indications ministérielles<fnref n="102" /> :

Bien que le travail concernant le produit de deux décimaux ne figure pas au programme de l'école primaire, les élèves auront pu être confrontés à des problèmes du type :

- calcul de "l'aire du rectangle" ou du "périmètre du cercle" (compétences inscrites dans le programme du cycle des approfondissements), en ayant recours à la calculatrice ;

- recherche du "prix de 3,5 kg de fromage à 80,60 F le kg" où ils auront pu utiliser des procédures personnelles, par exemple liées à la proportionnalité (calcul du prix de 3 kg, puis du prix de 500 g considéré comme un demi-kg).

La seconde hypothèse nous semble plus probable compte tenu des activités des auteurs (formateurs en IUFM, auteurs d'un ouvrage de préparation au concours de professeur des écoles...) mais alors rien n'est prévu dans ce manuel pour passer des procédures personnelles à la technique usuelle qui figure dans le cours.

<footnote n="102">¹⁰² Mathématiques : articulation école-collège, BO n°44 du 5 décembre 1996.</footnote>
## Les réinvestissements : calculs, questionnements théoriques et problèmes

Les exercices proposés dans les manuels de collège sont bien plus nombreux que dans ceux de l'école primaire. Afin de mieux rendre compte des propositions faites aux professeurs par les auteurs, nous avons relevé, dans un premier temps, tous les exercices qui portent sur la multiplication et, dans un second temps, ceux qui font intervenir le produit de deux décimaux. Pour ceux qui portent sur la multiplication de deux décimaux, nous avons adopté un classement proche de celui qui est utilisé par les auteurs de manuels et qui permet de rendre compte à la fois des distinctions opérées grâce à l'analyse menée au chapitre précédent et des critères liés à l'apprentissage qui nous viennent des outils développés en didactique des mathématiques.

Ainsi avons-nous regroupé les exercices dont l'objectif est de déterminer un produit en distinguant ceux qui demandent une simple application de la technique opératoire, ceux qui demandent de réinvestir des propriétés algébriques de la multiplication (calcul mental ou raisonné) et ceux qui font utiliser les ordres de grandeur des facteurs (problèmes d'approximation qui demandent de mobiliser des connaissances sur l'écriture décimale). Nous avons regroupé ensuite les exercices qui soulèvent des questions plus théoriques, généralement relatives aux propriétés de la multiplication. Nous avons regroupé enfin les problèmes numériques issus de situations multiplicatives (ici problèmes de prix, problèmes de conversion, calcul d'aire de rectangles). Nous pouvons dresser le tableau suivant où les pourcentages sont calculés par rapport aux exercices faisant intervenir une multiplication de deux nombres décimaux :

<table><caption>Tableau 4. Comparaison des exercices proposés par trois manuels de collège</caption><thead><tr><th></th><th>Cinq sur cinq</th><th>Mathématiques</th><th>Triangle</th></tr></thead><tbody><tr><td>Exercices sur la multiplication</td><td>35</td><td>36</td><td>45</td></tr><tr><td>Mult. de deux décimaux</td><td>18</td><td>15</td><td>17</td></tr><tr><td>Détermination du produit</td><td>7 (39%)</td><td>8 (46%)</td><td>11 (64%)</td></tr><tr><td>Technique opératoire</td><td>2 (11%)</td><td>3 (20%)</td><td>5 (29%)</td></tr><tr><td>Calcul mental</td><td>3 (17%)</td><td>2 (13%)</td><td>1 (06%)</td></tr><tr><td>Ordre de grandeur</td><td>2 (11%)</td><td>2 (13%)</td><td>5 (29%)</td></tr><tr><td>Questions théoriques</td><td>6 (33%)</td><td>5 (33%)</td><td>4 (24%)</td></tr><tr><td>Situations multiplicatives</td><td>5 (28%)</td><td>3 (21%)</td><td>2 (12%)</td></tr><tr><td>Problèmes de prix</td><td>4 (22%)</td><td>1 (07%)</td><td>1 (06%)</td></tr><tr><td>Problèmes de conversion</td><td>1 (06%)</td><td>1 (07%)</td><td>1 (06%)</td></tr><tr><td>Calcul d'aire de rectangles</td><td>0 (00%)</td><td>1 (07%)</td><td>0 (00%)</td></tr></tbody></table>

On remarque quelques régularités et des tendances différemment affirmées suivant les collections. La multiplication de deux décimaux concerne environ un tiers des exercices portant sur la multiplication dans le manuel "Triangle" contre environ la moitié dans les deux autres. Les auteurs de ce manuel ont donné une plus grande importance que les autres aux situations multiplicatives issues de problèmes de dénombrement; ces situations conduisent à la multiplication de nombres entiers pour calculer le cardinal d'un produit cartésien et qui permettent l'étude de situations multiplicatives difficiles à interpréter par une addition réitérée.
La différence du nombre d'exercices de technique opératoire s'explique plus difficilement : des auteurs ont pu choisir de ne pas en encombrer leur manuel car les professeurs de collège peuvent aisément improviser dans cette catégorie d'exercices en adaptant la difficulté des opérations aux acquisitions de leurs élèves. Remarquons en revanche l'importance accordée par les auteurs aux problèmes portant sur des questions théoriques. Cette importance semble témoigner de l'ambition des auteurs quant à l'acquisition raisonnée de la technique opératoire.

Comparativement à cette ambition, les problèmes issus de situations multiplicatives ne sont pratiquement pas traités. On peut supposer que des problèmes qui nécessitent des calculs d'aires ou des conversions sont abordés dans d'autres chapitres ultérieurs mais il faut alors en conclure que ces problèmes sont plutôt conçus par les auteurs comme des applications de la multiplication des décimaux ou comme des applications de formules que comme une phase de l'enseignement de la multiplication. Un tel choix n'empêche cependant pas un professeur de revenir sur la construction de la notion de cette opération à l'occasion de ces calculs. Mais il peut aussi s'interpréter comme une mise en œuvre du caractère outil de la multiplication à cette période de l'enseignement, plutôt que comme un retour sur l'apprentissage de son caractère objet. Cela constituerait un renoncement par rapport à l'ambition des instructions officielles<fnref n="103" /> :

> En sixième, il s'agit donc désormais de faire acquérir par les élèves le produit de deux décimaux, aussi bien pour ce qui concerne la technique de calcul que pour ce qui concerne le sens (reconnaissance des situations où intervient le produit de deux décimaux). Ce dernier apprentissage est difficile dans la mesure où il existe une rupture de sens avec les cas du produit de deux naturels et d'un décimal par un naturel, cas pour lesquels la référence à l'addition réitérée est possible pour accéder à la multiplication.

Il est également possible que les auteurs de ces manuels supposent qu'une bonne acquisition technique de la multiplication suffit à ce que les élèves sachent repérer les situations qui relèvent de la multiplication.

## 13. Des différences entre les manuels pour l'école et ceux pour le collège

Dans les manuels dont les auteurs ont choisi d'exposer technique opératoire usuelle puis de proposer des exercices d'application, nous pouvons constater des points communs et des différences entre les ouvrages destinés à l'enseignement élémentaire et ceux destinés au collège.

Les ouvrages du primaire approfondissent plus que ceux du collège les justifications théoriques de la technique opératoire dans les activités préparatoires mais beaucoup moins dans les exercices d'applications. Les exercices de simple technique opératoire sont moins nombreux dans les manuels de collège que dans ceux du primaire (on peut penser qu'ils sont laissés à la charge des professeurs de mathématique). Les calculs d'approximations et les questionnements théoriques sont plus nombreux dans les manuels de collège que dans ceux du primaire.

<footnote n="103">¹⁰³ Mathématiques : articulation école-collège, BO n°44 du 5 décembre 1996.</footnote>
Dans les deux types d'ouvrages, les problèmes issus de situations multiplicatives sont délaissés. L'enseignement de la multiplication est décontextualisé. Les programmes préconisent pourtant à la fois l'acquisition de la technique et l'acquisition du sens, ils soulignent la nécessité d'enseigner la multiplication dans des situations qui donnent du sens à cette opération.

Qu'en est-il dans les autres propositions d'enseignement ? Nous allons maintenant étudier les publications de la deuxième catégorie c'est-à-dire dont les enseignements proposent des tâches où la méthode pour multiplier deux décimaux est construite par les élèves (au moins en partie) avant d'être institutionnalisée par l'enseignant puis être appliquée dans des problèmes.

## 2. Des activités, une technique, des problèmes multiplicatifs

Les publications des auteurs qui ont choisi cet enchaînement dans leur projet d'enseignement de la multiplication des décimaux sont rares. Dans les brochures ou les ouvrages destinés aux enseignants ou aux candidats au concours de recrutement des professeurs des écoles, on trouve des propositions de cette catégorie ou de la troisième pour la multiplication de deux entiers. Ces enseignements sont riches de problèmes de dénombrement qui donnent à la multiplication un autre sens que celui de l'addition réitérée du fait de la bidimensionnalité. Différentes techniques de multiplication de deux entiers sont approfondies et comparées (méthode des rectangles appelée aussi multiplication de type égyptien, méthode des réseaux appelée aussi méthode chinoise ou méthode des baguettes, méthode de l'abaque, méthode per gelosia...), situations multiplicatives et techniques opératoires n'étant pas forcément reliées. différents problèmes multiplicatifs sont proposés. Dans ces ouvrages, la multiplication de deux décimaux n'est jamais traitée, même dans ceux qui ont été publiés avant que cette opération ne disparaisse du programme de l'école primaire. Un titre du type "Addition, soustraction et multiplication dans l'ensemble des décimaux" figure parfois dans le sommaire mais, dans ce cas, la multiplication est délaissée au profit de l'addition ou de la soustraction.

Nous avons trouvé des propositions d'enseignement de cette catégorie dans des manuels mais seulement dans ceux pour le collège. Pouvons-nous expliquer leur absence des livres pour l'école par une évolution de ces manuels ? Afin de répondre à cette question, nous avons fait une exception à notre choix de ne pas considérer les ouvrages antérieurs aux années quatre-vingts. Nous allons montrer, par un exemple, comment la multiplication des décimaux était introduite par des activités à l'école primaire avant la réforme des "mathématiques modernes". Puis nous nous pencherons sur les manuels de collège.

## 21. Dans un manuel d'arithmétique de 1947

Nous avons choisi un manuel qui nous semble offrir des garanties quant à la l'adéquation des enseignements proposés aux programmes officiels : les auteurs sont trois inspecteurs, un Inspecteur général de l'Instruction publique et deux
Inspecteurs de l'Enseignement primaire. Il s'agit du cours d'arithmétique pour le cours supérieur et la classe de fin d'étude, édité en 1947 par les éditions Armand Colin <fnref n="104" />. Dans ce manuel, la technique de la multiplication des décimaux est construite à partir d'exercices préparatoires avant d'être formulée puis utilisée dans des problèmes, et les situations de cette construction sont cohérentes avec les utilisations ultérieures.

## Présentation de la multiplication.

Les auteurs proposent une activité préparatoire puis un énoncé de la règle <fnref n="105" />.

Exercice d'observation : produit de deux nombres décimaux.

1.° Vous voulez trouver le prix de 12 kg. de beurre à 43½,40 le kilogramme. Que vaut le kilogramme en centimes ? Que valent les 12 kg. en centimes ? Que valent-ils en francs ?

2.° Vous voulez calculer le poids de 4½,5 d'huile pesant 0kg,92 le litre. Quel est le poids du litre en grammes ? le poids du décilitre ? le poids de 45 dl. ? Donnez ces poids en kilogrammes.

Pour multiplier deux nombres décimaux, on fait l'opération sans tenir compte des virgules, puis on sépare à la droite du produit autant de chiffres décimaux qu'en comportent à la fois le multiplicande et le multiplicateur.

Ces exercices d'observation venaient-ils illustrer une explication du maître ou devaient-ils préparer les élèves à aborder la question de la technique opératoire ? Dans la seconde hypothèse, pourquoi la formulation de la règle n'est-elle pas demandée ? Le format très réduit des manuels de l'époque explique peut-être qu'on ne demande pas, par écrit, à l'élève de formuler une règle ; les enseignants ont la possibilité de poser la question oralement et d'organiser une discussion dans la classe. Cette possibilité ne doit pas être écartée, citons l'introduction des programmes du 17 octobre 1945 de l'enseignement du premier degré :

Partout, l'opération manuelle doit précéder l'opération arithmétique ; l'expression du langage courant doit précéder l'expression du langage mathématique...

(...) Il importe également de comprendre et apprendre la règle du déplacement de la virgule, soit par changement d'unité, soit par multiplication ou division par 10, 100, 1000.

On constate que la construction de la technique opératoire repose sur une conception du nombre décimal héritée du nombre entier-mesure avec changement d'unité, en conformité avec les programmes. Cette conception permet de poser autrement la multiplication de deux nombres décimaux qui sont des mesures : on change l'unité de mesure pour obtenir des entiers puis on convertit la valeur de la mesure obtenue dans l'unité issue des unités initiales. Comme les changements d'unité correspondent à des déplacements de la virgule, la méthode est aisément

<footnote n="104">¹⁰⁴ PUGIBET CH. (1947), *Arithmétique, cours supérieur, classe de fin d'études, certificat d'étude primaire*, Paris : Armand Colin. [pp. 94-108].</footnote>

<footnote n="105">¹⁰⁵ *Ibid.* [p. 94].</footnote>
généralisée par la règle énoncée. Nous avons montré néanmoins que cette méthode n'est pas générale<fnref n="106" />, la technique opératoire usuelle n'est donc pas construite à proprement parler. Précisons enfin que dans ce manuel, conformément aux instructions, la multiplication de deux nombres entiers est définie par l'addition réitérée.

### Les réinvestissements : calculs, questionnements théoriques et problèmes

Les réinvestissements de ce chapitre sont principalement des exercices d'application s'appuyant sur des situations multiplicatives, les nombres sont des mesures. Puis suivent trois chapitres portant sur les calculs d'aires (conversion de mesures, aire du rectangle et du carré, applications aux problèmes pratiques : peinture, carrelage, papiers peints, boiseries, doublures) totalisant une centaine d'exercices portant sur les prix, les masses, les longueurs, les aires et les volumes, les poids volumiques...

On trouve également des exercices analogues à ceux qui figurent aujourd'hui dans les manuels pour le collège sur les ordres de grandeurs ou qui posent des questions plus théoriques<fnref n="107" /> :

Ayant à effectuer le produit $275 \times 4,25$, un élève a trouvé $1 568,75$. Pouvez-vous lui prouver qu'il s'est trompé ? Donnez le résultat exact.

Ayant à calculer le prix de 4 tonnes et demie de charbon à $530 f.$ la tonne, ne vous est-il pas possible de remplacer la multiplication $530 f. \times 4,5$ par une multiplication portant sur des nombres entiers ? Justifiez votre réponse.

Dans quel cas le produit est-il plus petit que le multiplicande ? Dans quel cas est-il plus petit que le multiplicateur ? Donnez des exemples présentés sous la forme de petits problèmes.

Ayant à calculer la surface d'un champ, un élève donne la réponse suivante : $2 365^{m^2}$, 477 586. Lisez ce nombre. Que pensez-vous de cette précision ? Quelle réponse auriez-vous donnée ? Pourquoi ?

Que devient la surface d'un rectangle : 1° Lorsqu'on double la longueur sans toucher à la largeur ? 2° Lorsqu'on triple la largeur sans toucher à la longueur ? 3° Lorsqu'on double les deux dimensions ? lorsqu'on les triple ? 4° Lorsque la longueur est doublée et la largeur triplée ? Donnez dans chacun des cas un exemple numérique.

Le côté d'un carré mesure 8m. Quel est le périmètre de ce carré ? Quelle est sa surface ? Cherchez des rectangles ayant le même périmètre. Calculez leurs surfaces. Cherchez des rectangles ayant la même surface. Calculez leurs périmètres. Quelles remarques faites-vous dans chaque cas ?

<footnote n="106">¹⁰⁶ Dans le paragraphe consacré aux méthodes de calcul du produit de deux décimaux, nous avons étudié le cas des nombres " décimaux-système métrique ". Nous avons montré que le prix de 12 kg de beurre à 43,40 F/kg peut se calculer en calculant le prix en F/hg mais que cette méthode ne peut pas s'appliquer pour calculer le prix de 12,450 kg de beurre.</footnote>

<footnote n="107">¹⁰⁷ Ibid. [pp. 94-108].</footnote>
## Quelle évolution jusqu'à nos jours ?

Des projets d'enseignement analogues à celui que nous venons de décrire n'apparaissent dans aucun manuel actuel. Pour mieux comprendre pourquoi, nous nous proposons de montrer, plus précisément que nous l'avons fait dans l'analyse *a priori* menée au chapitre précédent, les évolutions de programme et leurs conséquences sur l'enseignement de la multiplication des nombres décimaux.

La méthode de calcul du produit de deux décimaux justifiée par les changements d'unité ne figure plus dans les manuels actuels. Les nombres décimaux ne sont plus systématiquement attachés à des unités de mesure. Ils l'étaient encore durant la période de l'enseignement primaire soumis aux programmes du 2 janvier 1970 où les changements d'unités justifiaient aussi la technique de multiplication de deux décimaux :

Les nombres décimaux sont introduits au cours moyen ; à ce niveau les enfants savent écrire et nommer les nombres naturels à partir de groupement d'objets d'un ensemble.

(...) Une ville comporte 10 850 habitants. Le millier étant choisi comme unité, la population s'exprime par le nombre décimal 10,850.

(...) Multiplication d'un nombre décimal par un nombre entier. Elle se présente comme une addition de nombres décimaux égaux. Exemple :

$$0,2 \times 3 = 0,2 + 0,2 + 0,2 = 0,6.$$

(...) Multiplication de deux nombres décimaux. Un changement d'unité la ramène à la multiplication d'un nombre décimal par un nombre entier.

Rappelons que différents travaux sur les conceptions des nombres décimaux et sur les opérations à l'école primaire ont été publiés qui s'opposent à ce choix. Leurs auteurs justifient leur position en attribuant à ce choix l'origine de mauvaises acquisitions des élèves. Citons par exemple Guy Brousseau<fnref n="108" /> :

Le fait d'attacher les décimaux à des mesures conduit à les faire considérer par l'enfant comme un triplet $(n, p, u)$ : d'une part un entier $n$ d'autre part une division par $10^p$, c'est-à-dire un changement d'unité, et une unité $u$ : 3,25 mètres, c'est 325 cm exprimé en mètres. (...) Le décimal fonctionne comme un entier et n'est plus détachable d'une unité : l'objet n'est pas le décimal, mais la grandeur physique. L'élève ne peut alors interpréter le produit de deux décimaux que dans le cas par exemple du produit de deux longueurs, ce qui le ramène aux obstacles bien connus des

Version révisée de deux articles :

BROUSSEAU G. (1978), Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques, *Recherches en didactique des mathématiques* 4/2 (165-198), Grenoble : La pensée sauvage.

BROUSSEAU G. (1989), Les obstacles épistémologiques et la didactique des mathématiques. In : Bednarz and C. Garnier (eds.) : *Construction des savoirs – Obstacles et conflits* (41-63). Montréal : Centre interdisciplinaire de recherche sur l'apprentissage et le développement en éducation (CIRADE).

<footnote n="108">108 BROUSSEAU G. (1998), Obstacles épistémologiques, problèmes et ingénierie didactique, in *Théorie des situations didactiques* (115-160), Grenoble : La pensée sauvage. [pp. 131-132].</footnote>
nombres concrets : il aura du mal à concevoir $a^2 - a$ et traînera implicitement des équations aux dimensions.

(...) Cette assimilation aux naturels sera évidemment renforcée par l'étude des opérations sous forme de mécanismes, c'est-à-dire d'actions que l'on effectue de mémoire, sans comprendre, comme dans les naturels, avec seulement un petit complément pour la virgule.

De tête, le calcul suivra une autre pente. On calculera le produit de la partie entière et celui de la "partie décimale" et on recollera les morceaux : $(0,4)^2 = 0,16$ mais $(0,3)^2 = 0,9$ et quelquefois $(3,4)^2 = 9,16$.

C'est encore l'effet de la mesure : ce qui compte le plus c'est la partie entière, la partie décimale fait ce qu'elle peut.

Depuis les programmes du 7 juillet 1978, la rupture est affirmée entre les nombres-mesures et les nombres décimaux qui doivent être introduits comme de nouveaux nombres ; et depuis, les modifications des instructions officielles n'ont pas touché à ce point de vue.

Ces programmes de 1978 indiquent aussi une évolution du sens de la multiplication quand on passe de la multiplication par un entier à celle de deux décimaux. Rappelons ce passage déjà cité :

Pour l'addition et la soustraction, l'extension du sens de ces opérations au cas des nombres décimaux, ainsi que les aménagements correspondants des techniques ne posent pas de gros problèmes. Il en est de même pour la multiplication d'un décimal par un naturel, qui peut être interprétée comme une addition particulière.

L'étude de la multiplication débutera par la recherche de situations où, *a* et *b* étant décimaux, l'expression *a*×*b* ait une signification (la vie courante, les achats de matériaux divers en fournissent à volonté). Ce travail précédera dans tous les cas l'étude du prolongement de la technique de la multiplication qui en est directement dépendante et ne doit surtout pas se limiter à la mise en place d'un mécanisme aveugle.

En conclusion de cette observation de l'évolution des instructions officielles, nous pouvons distinguer, dans le temps, deux options divergentes pour l'enseignement des nombres décimaux qui ne sont pas sans conséquences sur celui de leur multiplication. Jusqu'en 1970, le nombre décimal est un nombre-mesure, la multiplication de deux décimaux (pour le sens et pour la technique opératoire) est traitée en continuité avec celle des nombres entiers, au moyen des changements d'unité, et la multiplication est appliquée à des situations qui font intervenir uniquement des nombres-mesures. La continuité n'est qu'apparente en ce qui concerne la technique opératoire puisque, comme nous l'avons montré, la méthode de changement d'unité n'est pas générale. Depuis 1978, le nombre décimal n'est plus seulement un nombre-mesure, ce changement a des conséquences sur la transition de la multiplication des entiers à celle des décimaux. D'une part, l'enseignement de la multiplication des entiers s'effectue seulement en référence aux situations d'isomorphisme de grandeurs qui sont les seules à s'interpréter comme une addition réitérée dans le cas où le multiplicateur est entier. Le sens de la multiplication reste donc partiel. D'autre part, le passage des entiers aux
décimaux pour la technique opératoire repose sur l'utilisation de propriétés de la multiplication. Dans les manuels pour l'école primaire édités avant 1995, ces propriétés restaient implicites et par conséquent la technique n'était pas justifiée.

Examinons maintenant les propositions des auteurs des manuels de collège qui ont choisi de rédiger des activités où l'élève construit lui-même la multiplication de deux décimaux.

## 22. Dans des manuels de collège édités en 1996

Trois manuels pour la classe de sixième proposent des tâches où les élèves ont à leur charge l'élaboration de la multiplication des décimaux. Nous étudierons comment leurs auteurs présentent la multiplication ainsi que les réinvestissements proposés dans les pages d'exercices d'applications.

### Présentations de la multiplication

Pour deux d'entre eux, cette élaboration repose sur l'utilisation de propriétés de la multiplication, pour le dernier, les élèves sont conduits à multiplier des décimaux avec la calculatrice et à formuler leurs constatations.

Les auteurs du manuel de la collection "Le nouveau Transmath" édité par Nathan ont rédigé un premier chapitre de révision dés acquis de l'école primaire où les effets de la multiplication par 10, 100, 0,1 et 0,01 sont constatés par l'élève, rappelés par le manuel puis libellés comme des règles de décalage de la virgule. Le chapitre suivant est consacré aux quatre opérations. Une activité composée de deux exercices "à trous" présente la multiplication <fnref n="109" />:

$$
\begin{array}{l@{\hspace{2em}}r}
\text{Tu sais effectuer à la main le produit de deux entiers,} & 4 \ 5 \\
\text{par exemple : } 45 \times 15 \text{ comme ci contre.} & \times 1 \ 5 \\
\cline{2-2}
\text{On se propose maintenant de calculer } 4,5 \times 1,5. & 2 \ 2 \ 5 \\
\text{Pour cela, on peut remarquer que :} & 4 \ 5 \\
\cline{2-2}
45 = 4,5 \times 10 \text{ et } 15 = 1,5 \times 10 & 6 \ 7 \ 5 \\
45 \times 15 = 4,5 \times 10 \times 1,5 \times 10 \\
45 \times 15 = 4,5 \times 1,5 \times 10 \times 10 \\
\text{Ainsi : } 675 = \dots \times 100
\end{array}
$$

Et la conclusion s'impose d'elle même... Un autre exercice analogue propose une illustration qui met en parallèle deux multiplications posées : 1,23 × 6,5 et 123 × 65. Les nombres 1,23 et 123 comme les nombres 6,5 et 65 sont respectivement reliés par les opérateurs —×100—→ et —×10—→. Un texte "à trous" commente l'illustration. La présentation de la multiplication du manuel de sixième est donc très proche de celle du manuel de CM2 de ce même éditeur, elle n'est pas issue d'une situation multiplicative.

La règle énoncée dans la page de cours est celle du décalage de la virgule.

Dans un chapitre intitulé "Nombres décimaux", les auteurs du manuel de la collection Décimale édité par Belin consacrent une partie de leur livre à la

<footnote n="109">¹⁰⁹ Le nouveau Transmath 6e, (1996), Paris : Nathan [p. 24].</footnote>
multiplication. Après une activité de révision sur les multiplications et divisions par 10, 100 ou 1000, les auteurs proposent une activité sur la multiplication des décimaux organisée en trois étapes :

– constatation sur des exemples numériques de l’effet sur le produit de la multiplication des facteurs par 10 et 100, puis un exercice de formulation à trou<fnref n="110" />

Si on multiplie le premier facteur d'un produit par 100, et le second par 10, le produit est multiplié par......

– une illustration de deux multiplications posées : 3,58 × 7,2 et 358 × 72 avec indication d'opérateurs pour les facteurs à compléter pour les produits ;

– une question sur le nombre de chiffres après la virgule des différents nombres : facteurs et produit.

La présentation est donc la même que la précédente. La règle énoncée dans la page de cours est celle du déplacement de la virgule, elle est disposée en parallèle avec une illustration analogue à celle de l'activité avec les opérateurs.

Les auteurs du manuel de sixième de la collection *Math* édité par Bordas, ont choisi de présenter la multiplication des décimaux à partir d'une situation de conversion monétaire. L'activité est formulée comme un exercice très directif <fnref n="111" /> :

Pascal fait un voyage scolaire en Allemagne pour améliorer sa pratique de la langue allemande.

Son professeur lui a dit : "Tu dois multiplier les prix en marks par 3,5 pour connaître les prix en francs".

Une montre coûte 37,8 DM et un appareil photos jetable coûte 12,7 DM.

1° Quel est le prix en francs de la montre ? de l'appareil photos jetable ? (Utilise ta calculatrice.)

2° Compare les produits suivants :

a) 12,7 × 3,5 et 127 × 35. 37,8 × 3,5 et 378 × 35.

b) 1,34 × 2,3 et 134 × 23. 2,41 × 3,27 et 241 × 327.

Quelle règle peux-tu deviner pour multiplier deux nombres décimaux ?

Dans ce problème de conversion monétaire, la question de l'opération qu'il convient d'effectuer n'est pas laissée à l'élève, elle est imposée par l'énoncé (le professeur d'allemand) si bien que la situation n'aide pas à construire le sens de cette opération dans ce contexte. La technique de la multiplication est devinée mais elle n'est pas justifiée, elle reste "dans la calculatrice". Les auteurs ont choisi de limiter la réflexion de l'élève à une conjecture issue d'une simple constatation. Dans la page de cours, la seule règle énoncée est celle du déplacement de la virgule.

*Les réinvestissements : calculs, questionnements théoriques et problèmes*

Voici un tableau analogue à celui que nous avions présenté pour les autres manuels de sixième. Nous avons repéré les exercices qui conduisent à une

<footnote n="110">¹¹⁰ *Décimale* 6e, (1996), Paris : Belin [p. 85].</footnote>

<footnote n="111">¹¹¹ *Math* 6e, (1996), Paris : Bordas [p. 41].</footnote>
multiplication et, parmi eux, nous avons examiné ceux qui conduisent à la multiplication de deux décimaux. Les exercices qui répondent à deux critères (par exemple, calcul d'aire et conversion) sont comptés deux fois. Les pourcentages sont calculés par rapport aux exercices faisant intervenir une multiplication de deux nombres décimaux :

<table><caption>Tableau 5. Comparaison des exercices proposés par trois manuels de collège</caption><thead><tr><th></th><th>Transmath</th><th>Décimale</th><th>Math</th></tr></thead><tbody><tr><td>Exercices sur la multiplication</td><td>43</td><td>77</td><td>22</td></tr><tr><td>Mult. de deux décimaux</td><td>31</td><td>54</td><td>11</td></tr><tr><td>Détermination du produit</td><td>22 (71%)</td><td>12 (22%)</td><td>09 (82%)</td></tr><tr><td>Technique opératoire</td><td>06 (19%)</td><td>05 (09%)</td><td>06 (55%)</td></tr><tr><td>Calcul mental</td><td>14 (45%)</td><td>07 (13%)</td><td>03 (27%)</td></tr><tr><td>Ordre de grandeur</td><td>02 (07%)</td><td>00 (00%)</td><td>00 (00%)</td></tr><tr><td>Questions théoriques</td><td>03 (10%)</td><td>08 (15%)</td><td>02 (18%)</td></tr><tr><td>Situations multiplicatives</td><td>06 (19%)</td><td>34 (63%)</td><td>00 (00%)</td></tr><tr><td>Problèmes de prix</td><td>05 (17%)</td><td>09 (17%)</td><td>00 (00%)</td></tr><tr><td>Problèmes de conversion</td><td>01 (03%)</td><td>07 (13%)</td><td>00 (00%)</td></tr><tr><td>Calcul d'aire de rectangles</td><td>00 (00%)</td><td>14 (26%)</td><td>00 (00%)</td></tr><tr><td>Autres (échelle, L/100km,...)</td><td>00 (00%)</td><td>04 (07%)</td><td>00 (00%)</td></tr></tbody></table>

On remarque une hétérogénéité des résultats très importante. Deux manuels sont assez proches (Transmath et Math), le troisième est sensiblement différent (Décimale).

On constate une variation importante de la quantité d'exercices proposés. De Math à Décimale, le nombre d'exercices portant sur la multiplication est multiplié par 3,5 et le nombre d'exercices portant sur celle de décimaux est multiplié par 5. Les exercices sur la multiplication de décimaux représentent 70% des exercices de multiplication pour Transmath et Décimale mais seulement 50% pour Math.

On remarque aussi une variation importante de la répartition des exercices proposés à l'élève. Les auteurs des manuels Transmath et Math concentrent les efforts de l'élève sur la détermination d'un produit (71% et 82% des exercices sur la multiplication de décimaux). Au contraire, ceux de Décimale proposent un travail à la fois important et très varié sur les situations multiplicatives (les problèmes représentent 63% des exercices sur la multiplication de décimaux).

Les résultats montrent encore une relative stabilité du pourcentage de questions plus théoriques sur la multiplication des décimaux. Le pourcentage moyen sur les trois manuels est de 14%, il est très inférieur à celui qui a été constaté dans les manuels où l'activité préparatoire se limite à une lecture de la règle et, éventuellement, de sa justification (28%). Peut-être cette différence s'explique-t-elle par une volonté des auteurs de compenser le manque d'activités théoriques dans les activités préparatoires.

### Quel enseignement de la multiplication dans ces manuels de sixième ?

Contrairement à la demande institutionnelle, la construction de la multiplication des décimaux n'est, dans aucun de ces manuels de sixième, issue de situations multiplicatives. Néanmoins, la technique opératoire n'est pas toujours réduite à son mécanisme ; certains auteurs la relient à l'effet, sur le produit, de la
multiplication de ses facteurs par 10, 100 ou 1000. Pour un autre, elle est le fruit d'une simple constatation des résultats affichés par la calculatrice. Les manuels contiennent aussi quelques exercices qui posent des questions plus théoriques sur l'opération.

Dans tous les manuels, la partie consacrée à ce qu'il faut savoir expose la règle de déplacement de la virgule. Une mise en parallèle avec l'effet, sur le produit, d'opérateurs appliqués aux facteurs est parfois proposée.

Un manuel se distingue nettement par le choix d'exercices d'applications. Alors que *Transmath* et *Math* accordent beaucoup d'importance à la technique opératoire et/ou aux questions théoriques en négligeant les études de situations multiplicatives, *Décimale* propose un choix nombreux et varié d'exercices de ce type en laissant l'entraînement à la technique opératoire à la charge du professeur.

### 3. Construction des connaissances, institutionnalisation et réinvestissements

Etudions les publications des propositions d'enseignement où la construction de la multiplication des décimaux est liée à la situation multiplicative qui pose le problème de cette multiplication. Leurs auteurs présentent des tâches où la "fabrication" effective du produit des décimaux, issue de différents contextes, est laissée à la charge de l'élève. Citons par exemple, les tâches sur l'agrandissement de figures, sur le calcul d'aire de rectangles, et sur le calcul de prix par l'utilisation de double graduation. Parmi ces publications, on ne trouve aucun manuel scolaire mais seulement des travaux de didacticiens des mathématiques, des brochures pédagogiques et des ouvrages destinés aux enseignants.

En première introduction de la multiplication des décimaux, différents auteurs proposent des situations qui portent sur trois grandeurs telles que les valeurs de la troisième s'obtiennent, sous certaines contraintes concernant les unités, en multipliant les valeurs des deux premières. Ces situations ont déjà été étudiées par les élèves avec des valeurs entières, on leur propose un travail analogue avec des valeurs décimales ou fractionnaires. La multiplication de valeurs entières de deux grandeurs se prolonge aux valeurs décimales de ces grandeurs, la légitimité de ce prolongement reste implicite. Ces activités ont aussi pour objectif d'enrichir le sens de la multiplication car elles ne reposent pas sur l'addition réitérée.

Les auteurs centrent leurs exposés sur ces activités d'apprentissage sans développer les réinvestissements des savoirs dans des situations variées, différentes ou non de celles qui sont à l'origine des connaissances. Cependant, ils soulignent leur importance dans l'enrichissement des notions en cours d'acquisition.

Nous commençons par les travaux des didacticiens qui proposent, en fait, une présentation complète de l'enseignement des décimaux mais nous limitons notre étude à la multiplication. Nous présentons, ensuite, des travaux de chercheurs italiens qui expérimentent un enseignement des mathématiques comprenant une phase contextualisée. Puis nous étudions les publications destinées aux enseignants, elles traitent de points plus particuliers qui reprennent parfois
partiellement les travaux didactiques ou qui traitent des difficultés spécifiques d'enseignement.

## 31. Dans deux ingénieries didactiques de construction des décimaux

Guy Brousseau et Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin ont élaboré deux ingénieries didactiques de construction des décimaux à l'école et au collège. Parmi les travaux des chercheurs en didactique des mathématiques, les ingénieries sont les publications les plus accessibles aux professeurs. Si, comme l'expose Michèle Artigue<fnref n="112" />, ce type de travaux consiste en une méthodologie de recherche en didactique des mathématiques, il comporte une partie destinée à la mise en œuvre de réalisations didactiques en classe que les enseignants peuvent tenter de s'approprier. Nous ne reviendrons pas ici sur les problèmes que peuvent poser ces tentatives et qui ont été étudiés notamment par Michèle Artigue<fnref n="113" />.

### La multiplication des décimaux chez G. Brousseau

Guy Brousseau <fnref n="114" /> propose une ingénierie dans laquelle les décimaux sont des rationnels particuliers. La multiplication de décimaux est introduite dans deux situations d'agrandissement aujourd'hui classiques dans l'enseignement ou au moins dans la formation des enseignants : activités d'agrandissement de puzzles (*) puis activités avec un pantographe (**).

(*) La situation-problème

La première situation d'étude des applications linéaires proposée aux élèves est la suivante.

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>figure 7</figcaption></figure>

<footnote n="112">112 ARTIGUE M. (1988), Ingénierie didactique, *Recherches en didactique des mathématiques* 9/3 (281-308), Grenoble : La pensée sauvage.</footnote>

<footnote n="113">113 ARTIGUE M. (1984), *Contribution à l'étude de la reproductibilité des situations didactiques*. Thèse, Université de Paris 7.</footnote>

<footnote>ARTIGUE M. (1986), Etude de la dynamique d'une situation de classe : une approche de la reproductibilité, *Recherches en didactique des mathématiques* 7/1 (5-62), Grenoble : La pensée sauvage.</footnote>

<footnote n="114">114 BROUSSEAU G. (1998), Problèmes de didactique des décimaux, in *Théorie des situations didactiques* (201-289), Grenoble : La pensée sauvage. [pp. 237-241].</footnote>

<footnote>Version révisée et augmentée d'une première édition en 1981 in *Recherches en didactique des mathématiques* 2/1 (37-127), Grenoble : La pensée sauvage.</footnote>
Consigne :

“ Voici des puzzles (Exemple Tan-gram, figure 7) vous allez en fabriquer de semblables, plus grands que les modèles, en respectant la règle suivante : le segment qui mesure quatre centimètres sur le modèle devra mesurer sept centimètres sur votre reproduction. Je donne un puzzle par équipe de 5 ou 6, mais chaque élève fait au moins une pièce ou un groupe de 2 en fait 2. Lorsque vous aurez fini, vous devez pouvoir reconstituer les mêmes figures qu’avec le modèle. ”

(**) Dans la séance d'introduction, les élèves apprennent du maître, banalement, comment se servir de l'appareil : la ventouse ne doit pas bouger, ni le papier, la pointe suit le modèle, le crayon dessine l'image... Ils s'essayent à agrandir et à rapetisser des dessins personnels puis mettent en commun leurs observations et leurs hypothèses :

– on peut “ agrandir ” ou “ rapetisser ” en échangeant la pointe et le crayon ;

– l'image ne change pas de forme quelle que soit la manière dont on dispose le pantographe ; (...)

Le maître annonce aux élèves que dans un moment il choisira une longueur entre 1 et 15 cm : chaque élève ou groupe de deux devra prévoir la longueur correspondante transformée par son pantographe. Cette prévision fera l'objet d'un pari, puis d'une épreuve : on vérifiera avec l'appareil si la valeur annoncée est exacte. En attendant ce moment, les élèves peuvent s'entraîner à prévoir : ils cherchent les images de quelques nombres et vérifient. Ils peuvent venir parier dès qu'ils pensent avoir découvert la loi et s'en sentent assez sûrs.

La première situation, indispensable selon l'auteur, permet de construire le modèle multiplicatif de la situation d'agrandissement : l'addition n'est pas la seule opération qui agrandit les nombres<fnref n="115" />.

Avec peu de modifications, cette situation du pantographe pourrait être prise comme situation initiale dans l'étude des applications linéaires. Mais alors les hypothèses que font les élèves pour interpréter les agrandissements du puzzle avec de simples translations $(x \to x + a)$ seraient envisagées moins sérieusement. Elles seraient rejetées presque sans examen, puisque l'appareil fournirait la bonne image. Au lieu de construire le modèle et de prévoir le résultat satisfaisant les conditions voulues, il suffirait de le découvrir comme une loi de la nature. Or le modèle additif est un obstacle résistant à la mise en place du modèle multiplicatif et doit pouvoir lui être opposé dans des situations ouvertes, ce choix devant se faire sur des critères rationnels et intellectuels.

La seconde activité permet d'utiliser la multiplication pour enrichir le sens de l'opération : la composition de deux agrandissements de coefficients quelconques (entiers mais aussi rationnels ou décimaux) engendre un agrandissement dont le coefficient est le produit des coefficients des deux agrandissements composés. Cet enrichissement permet à l'élève de tenir le raisonnement analogue à celui-ci : les agrandissements successifs par les pantographes $[\times 2,5]$ et $[\times 1,25]$ donnent un seul

<footnote n="115">¹¹⁵ *Ibid.* [p. 227].</footnote>
agrandissement dont le coefficient est $2,5×1,5$ et dont la valeur 3,75 peut être déterminée par des calculs sur des longueurs particulières. Cet enrichissement n'est pas immédiat, il est le fruit d'un véritable travail mathématique. Guy Brousseau insiste sur la nécessité de ce travail<fnref n="116" /> :

> Une pratique comparable, courante, dans l'enseignement élémentaire, consiste pour le maître à "exploiter" le genre de situations didactiques présenté plus haut, en institutionnalisant immédiatement la découverte d'un élève : "Vous avez découvert tel objet (affirmation implicite du fait qu'il a un caractère général) ; il s'appelle "composé de deux applications" (sous-entendu il a un statut cognitif et culturel, reconnaissez-le, utilisez-le, dans les exercices suivants...)$^{116}$.

> Cette pratique court-circuite tout le travail mathématique et même le nie ; elle revient à affirmer implicitement qu'il suffisait d'y penser pour transformer un concept mathématique.

On distingue dans ces activités, au sens de Gérard Vergnaud <fnref n="117" />, deux types de multiplication dans le cas d'un seul espace de mesure : la multiplication de la longueur d'un côté par le coefficient du pantographe (multiplication d'une mesure par un opérateur scalaire pour obtenir la mesure correspondante) et la multiplication de deux coefficients dans le cas de deux utilisations successives du pantographe (multiplication de deux opérateurs scalaire pour obtenir l'opérateur composé). Dans les deux cas, la multiplication est envisagée dans une situation où le passage des nombres entiers aux nombres décimaux ne se heurte pas à une rupture du sens de l'opération.

### La multiplication des décimaux chez R. Douady & M.-J. Perrin

Dans la progression proposée par Régine Douady et Marie-Jeanne Perrin <fnref n="118" />, la multiplication de deux entiers a deux sens différents suivant que l'un des deux est une mesure et l'autre un nombre sans dimensions ou que les deux nombres sont des mesures. Les calculs du périmètre d'un carré ou de l'aire d'un rectangle illustrent et donnent du sens à ces deux situations. Les décimaux y sont abordés comme des rationnels particuliers, la multiplication de deux décimaux est construite par les élèves dans une situation de calcul d'aire de rectangle.

> Il s'agit dans ce chapitre d'utiliser le cadre géométrique pour faire avancer les connaissances sur les nombres : c'est en calculant la mesure de l'aire de rectangles qu'on donnera du sens au produit de fractions, et les fractions décimales seront privilégiées pour approcher la mesure du côté d'un carré dont l'aire est donnée. (...)

> Si les deux dimensions sont fractionnaires, le rectangle est coupé en 4 parties dont on sait calculer l'aire pour 3 d'entre elles. On peut déterminer l'aire de la 4ème partie par référence au pavage. Et l'aire du

<footnote n="116">¹¹⁶ *Ibid.* [pp. 234].</footnote>

<footnote n="117">¹¹⁷ VERGNAUD G. (1981), *L'enfant, la mathématique et la réalité*, Berne : Peter Lang. [pp. 161 et suiv.].</footnote>

<footnote n="118">¹¹⁸ DOUADY R. & PERRIN M.-J. (1986), *Liaison Ecole-Collège : Nombres décimaux*, brochure n°62, PARIS : IREM de Paris 7.</footnote>
rectangle est la somme des aires des quatre parties. Finalement la
connaissance des dimensions détermine l'aire du rectangle. Par convention,
le produit de 2 nombres fractionnaires a et b est la mesure de l'aire du
rectangle de dimensions (a, b) en prenant des unités de longueur et d'aire
adaptées.

$$
\text{Exemple : } a = 4 + \frac{7}{10} \quad b = 5 + \frac{1}{2}
$$

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

$$
\begin{align*}
\left(4+\frac{7}{10}\right)\times\left(5+\frac{1}{2}\right) &= 4\times5 + \left(4\times\frac{1}{2}\right) + \left(5\times\frac{7}{10}\right) + \left(\frac{7}{10}\times\frac{1}{2}\right) \\
&= 20 + 2 + 3 + \frac{5}{10} + \left(\frac{7}{10}\times\frac{1}{2}\right)
\end{align*}
$$

Il reste à calculer l'aire du rectangle R de dimension $\frac{7}{10}$ u et $\frac{1}{2}$ u.

On le reporte dans le carré unité. (...) Finalement la mesure de l'aire
cherchée est :

$$
\left(4+\frac{7}{10}\right)\times\left(5+\frac{1}{2}\right) = 20+2+3+\frac{5}{10}+\frac{7}{20} = 25+\frac{10}{20}+\frac{7}{20} = 25+\frac{17}{20}.
$$

(...) L'activité présentée ici est l'occasion de donner du sens à la fois
à cette multiplication et au calcul de l'aire d'un rectangle en fonction de ses
dimensions dans le cas où les mesures ne sont pas entières.

Remarque : Avec des nombres décimaux on aurait le même travail.

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

Par exemple 0,5×0,7 = 0,35 : on a besoin de
100 carrés de dimension 0,1u pour paver le
carré de dimension 1u. L'aire du carré de
dimension 0,1u est donc 0,01C, il en faut 35
pour paver le rectangle de dimensions
(0,5u ; 0,7u) donc 0,5×0,7 = 0,35.

Comme dans l'ingénierie de Guy Brousseau, la connaissance nouvelle est
issue, dans une situation multiplicative connue, d'un problème posé par
l'introduction de valeurs décimales. Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin
insistent, elles aussi, sur la nécessité d'un travail mathématique ainsi que sur l'importance du réinvestissement des nouvelles connaissances dans différentes situations.

Au fur et à mesure que de nouvelles fractions apparaissent, on les fait intervenir dans des situations différentes de celles où elles ont été créées. De cette manière les fractions vont pouvoir être décontextualisées et prendre le statut de nombre. De plus de nouvelles situations vont permettre aux élèves de produire de nouvelles écritures, qu'on pourra à leur tour utiliser dans de nouveaux problèmes. C'est ainsi que le stock des nombres s'agrandit. Il s'agit d'utiliser les écritures fractionnaires pour traiter des relations de proportionnalité entre des quantités continues.

(...) Nous ne détaillerons pas ici ces situations de proportionnalité. En voici quelques exemples :

- prix payé pour des marchandises en fonction de la masse,

- consommation d'essence en fonction de la distance parcourue,

- distance parcourue en fonction du temps dans un mouvement uniforme.

Remarquons que dans cette ingénierie comme dans celle de Guy Brousseau, la multiplication est envisagée dans une situation où le passage des nombres entiers aux nombres décimaux ne se heurte pas à une rupture du sens de l'opération.

*Quelle multiplication dans ces deux ingénieries didactiques des décimaux ?*

Dans ces deux ingénieries, les nombres décimaux sont introduits comme des rationnels particuliers. Ce choix de définition a pour conséquence une diversité de l'écriture des décimaux absente des ouvrages que nous avions étudiés : écriture fractionnaire quelconque (la fraction irréductible associée a pour dénominateur le produit d'une puissance de 2 et d'une puissance de 5), écriture fractionnaire décimale (le dénominateur de la fraction est une puissance de 10) ou écriture décimale (certains auteurs disent aussi écriture virgulée mais nous pensons que cette dénomination entraîne des confusions pour les nombres entiers). Dans l'enseignement de la multiplication des décimaux, les différentes écritures entraînent des traitements différents dans les procédures de calculs.

Dans l'ingénierie de Guy Brousseau, les coefficients des agrandissements ou des réductions sont des rationnels, quotients de deux longueurs entières, le calcul effectif du produit des coefficients est ramené au calcul du coefficient de l'agrandissement composé.

Dans l'ingénierie de Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin, les nombres qui mesurent les côtés des rectangles sont des rationnels construits à partir de partages et de reports de l'unité de longueur. Le calcul effectif du produit de deux décimaux en écriture fractionnaire décimale permet de tisser un lien avec la technique usuelle. Ce lien apparaît dans l'extrait cité, il montre qu'en multipliant un nombre de dixièmes par un nombre de dixièmes, on obtient un nombre de centièmes. Un travail spécifique est proposé pour passer de ces procédures " artisanales " à la technique usuelle.
Dans les deux ingénieries, la multiplication des décimaux est construite en continuité avec celle des entiers. Cette continuité est assurée par le choix d'une situation où l'addition réitérée n'est pas une bonne représentation de la multiplication : l'application puis la composition d'opérateurs d'agrandissements sur des mesures pour Guy Brousseau et le calcul de l'aire de rectangles pour Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin. Ce choix évite aux auteurs (et c'était certainement là un de leurs objectifs) de ramener le décimal à un nombre entier par un changement d'unité.

Les nombres considérés dans les deux ingénieries sont de natures différentes, nous distinguons, dans notre étude, les nombres-mesures (rattachés à une unité), les nombres-scalaires (sans unité mais qui opèrent sur des mesures, par exemple le coefficient d'un agrandissement est un scalaire) et les nombres-abstraits (sans unité ni lien avec des mesures, par exemple les nombres des exercices de technique opératoire sont des nombres abstraits).

Dans les situations multiplicatives envisagées par Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin, les nombres sont des nombres-mesures, si bien qu'il peut être difficile d'éviter que la longueur 0,5 $u$ ne soit aussi considérée comme 5 $v$ avec
$$v = \frac{u}{10}.$$ Cette difficulté n'apparaît pas dans la situation de Guy Brousseau, les nombres-scalaires n'ayant pas d'unité. Ce choix est important pour cet auteur, comme nous l'avons déjà souligné<fnref n="119" />

> Le décimal fonctionne comme un entier et n'est plus détachable d'une unité : l'objet n'est pas le décimal, mais la grandeur physique. L'élève ne peut alors interpréter le produit de deux décimaux que dans le cas par exemple du produit de deux longueurs, ce qui le ramène aux obstacles bien connus des nombres concrets : il aura du mal à concevoir $a^2 - a$ et traînera implicitement des équations aux dimensions.

Les passages entre nombres-scalaires et nombres-abstraits sont plus faciles qu'entre nombres-mesures et nombres-abstraits du fait même de l'absence d'unité lors de la composition de deux opérateurs. Nous avons d'ailleurs pu le constater lors d'une expérience d'enseignement de la multiplication de radicaux en classe de troisième <fnref n="120" />.

Etudions maintenant comment Jeanne Bolon, dans sa recherche sur l'impact des recherches en didactique des mathématiques sur l'enseignement des nombres décimaux <fnref n="121" />, envisage leur multiplication.

<footnote n="119">¹¹⁹ BROUSSEAU G. (1998), Obstacles épistémologiques, problèmes et ingénierie didactique, in *Théorie des situations didactiques* (115-160), Grenoble : La pensée sauvage. [p. 131].</footnote>

<footnote n="120">¹²⁰ RODITIE (1996), *La racine carrée en troisième, étude d'une activité*, cahier didirem n°17, Paris : IREM de Paris 7.</footnote>

<footnote n="121">¹²¹ BOLON J. (1996), *Comment les enseignants tirent-ils parti des recherches faites en didactique des mathématiques ? Le cas de l'enseignement des décimaux à la charnière Ecole-Collège*, Paris : Thèse de didactique des mathématiques de l'Université de Paris 5.</footnote>
## 32. La multiplication des décimaux dans la thèse de Jeanne Bolon

Dans sa thèse, Jeanne Bolon propose une série de douze suggestions progressives sous forme de fiches d'activités commentées. Nous distinguons cette progression des deux ingénieries précédentes car la thèse ne présente pas d'évaluation de ces suggestions (fondée sur la comparaison d'une analyse *a priori* et d'une analyse *a posteriori*).

Son objectif était plutôt d'évaluer le parti que les enseignants qui ont participé à son travail de recherche ont tiré de ces suggestions inspirées par les travaux de didactique des mathématiques. Ces suggestions ne sont pas directement utilisables, les objectifs et la trame des activités sont présentés, l'enseignant doit inscrire ces activités dans un déroulement de l'enseignement segmenté en séquences et dans une organisation de la classe, il lui reste encore à élaborer différentes phases du travail : institutionnalisations, applications, évaluations...

L'ensemble de ce travail très riche concerne l'enseignement des décimaux à l'école primaire (CM2) et au collège (6e). Nous y avons relevé les activités qui concernent implicitement ou explicitement la multiplication des décimaux.

### Ordre de grandeur du produit de deux décimaux

Dans la suggestion 1 qui concerne le calcul approché sur les entiers et les décimaux, l'auteur propose des tâches où les élèves doivent choisir, parmi une liste de nombres, celui qui est le plus proche d'un produit donné. Par exemple :

38 × 109 qui doit être associé à 4 038 parmi 234, 5 002, 4 038, 512 et 84 ;

45,92 × 0,2 qui doit être associé à 10 parmi 90, 10 et 30.

Il est difficile, à la lecture de la suggestion, de savoir quelles procédures les élèves sont censés mobiliser à ce niveau. En référence aux programmes, les élèves peuvent engager les procédures suivantes :

- utiliser des approximations de 38 et 109 par excès (40 et 110) et en déduire
  38 × 109 ≈ 4 400 ; utiliser ensuite une approximation de 109 par défaut (100) et en
déduire 38 × 109 ≈ 38 × 100 ≈ 3 800. D'où le choix de 4 038 ;

- approcher 45,92 par 50. Ainsi $45,92 \times 0,2 \approx 50 \times 0,2$ et on obtient
  $45,92 \times 0,2 \approx 10$ en calculant $50 \times 0,2$.

Il n'est pas facile, à ce niveau de la progression proposée par les suggestions, de comprendre comment l'élève effectue $50 \times 0,2$. Il semble que la multiplication d'un entier par un décimal est, comme dans les manuels de CM2, un des prérequis de la progression proposée.

Nous remarquons la volonté implicite "d'intégration" de nouveaux nombres qui émerge de cette activité : les procédures mises en œuvre pour les nombres entiers sont analogues à celles qui concernent les décimaux ; les nombres changent mais l'opération, elle, ne change pas. L'ordre de grandeur est un moyen de la mise en œuvre de cette intégration.

### De la multiplication des entiers à celle des décimaux

La suggestion 2 concerne les grandeurs familières. Dans ce contexte, l'auteur pose le problème de l'interprétation des résultats affichés par la calculatrice. Une
situation porte sur les trois grandeurs : masse, prix au kg, prix. Les nombres décimaux sont écrits en respectant le format social qui correspond à l'unité : les francs sont écrits avec deux décimales, ce qui permet de lire 5,80 F comme 5 F 80 c, les masses sont écrites avec trois décimales, ce qui permet de lire 0,620 kg comme 0 kg 620 g. La situation montre que les balances du commerce n'indiquent pas le produit de la masse par le prix au kg, que l'élève peut déterminer à la calculatrice et que Jeanne Bolon appelle le "vrai" nombre. Elles indiquent son arrondi à cinq centimes près. A cette étape de la progression proposée, les élèves ne sont pas censés savoir calculer le produit de deux décimaux, ils doivent l'effectuer à la calculatrice.

La pertinence de ce prolongement du produit des grandeurs au cas où les valeurs sont décimales est admise mais elle est questionnée par la situation, et cela nous semble être un objectif pédagogique de l'auteur : ce questionnement permet de soulever un problème contribuant à enrichir le sens de l'écriture des nombres décimaux ainsi que celui de la multiplication.

### La multiplication ne conserve pas le format social des nombres

Le même énoncé de la suggestion 2 pose aussi le problème de l'écriture d'un résultat soumise à un format social : le produit de la masse en kg par le prix au kg donne la "vraie" valeur du prix qui n'est pas celle que la balance affiche.

Au-delà de la constatation de la perte du format social des nombres, un travail est suggéré au professeur qui peut être entrepris en classe pour faire comprendre le sens des décimales affichées par la calculatrice. Par exemple, dans l'étude de la ligne d'un ticket de caisse de poissonnier<fnref n="122" />

Maquereau
0,550 kg 29,90 F/kg 16,45F

la calculatrice affiche 16,445 pour le produit 0,550 × 29,90. Des procédures personnelles peuvent conduire à ce résultat : 1 kg coûte 29,90 F donc 100g coûtent 2,99 F. Ainsi 500 g coûtent 2,99 F × 5 = 14,95 F. 50 g coûtent la moitié de 2,99 F.

Or 2,99 F = 299 c, $299 \div 2 = (298 + 1) \div 2 = 199 + \frac{1}{2}$, cela permet d'interpréter

le demi-centime qui apparaît dans le résultat de la multiplication ainsi que le demi-centime supplémentaire qui est demandé à l'acheteur par la pratique de l'arrondi.

### La multiplication n'est pas qu'une addition répétée

Dans la suggestion 7, Jeanne Bolon propose une série d'activités de production d'énoncés de problèmes où l'on devrait effectuer certaines multiplications et certaines divisions. Les multiplications proposées sont :

$13 \times 9$ $13 \times 1058 \frac{14}{6} \times \frac{9}{13}$ $13 \times 10,58$ $0,13 \times 10,58$

<footnote n="122">¹²² Ibid. [p. 221].</footnote>
Les énoncés sont affichés puis les problèmes qui se ressemblent sont regroupés. L'auteur rappelle au professeur, dans un langage courant, une classification des problèmes multiplicatifs inspirée de celle de Gérard Vergnaud <fnref n="123" /> : transformation par un opérateur linéaire, composition de deux transformations par des opérateurs linéaires, composition de deux grandeurs, comparaison de deux grandeurs homologues, conversion d'unité.

L'ambition de l'auteur est affichée au début de la suggestion <fnref n="124" />.

Les sens de la multiplication se sont enrichis depuis l'addition répétée du cours élémentaire. Mettre de l'ordre dans les différents types de problèmes est le but des activités suivantes.

On retrouve ici la préoccupation déjà citée et partagée par tous les auteurs : prolonger la multiplication des entiers aux décimaux en reprenant les situations multiplicatives qui mettent en jeu des grandeurs qui avaient des valeurs entières et en leur attribuant des valeurs décimales. Dans cette suggestion plus que dans la précédente, le prolongement est implicite.

## Multiplication/division par 10, 100 ou 1000 et changements d'unités

La suggestion 9 porte sur les grandeurs et unités conventionnelles, principalement celles de longueur, d'aire, de volume et de masse. Elle fait suite à une série d'activités où les élèves manipulent ces grandeurs, procèdent à différents partages et à l'expression des mesures des grandeurs par un couple nombre / unité. Ils ont constaté, en changeant les unités de référence, que plus l'unité est grande, plus le nombre qui exprime la mesure est petit.

La suggestion 9 reprend ces activités avec les unités conventionnelles, le premier objectif est d'installer quelques repères physiques sur les unités usuelles. Le deuxième objectif est de comparer les unités et les sous-unités usuelles. Ici encore, l'auteur propose de recourir à des manipulations matérielles <fnref n="125" />.

> Il est très important de faire voir aux enfants 1 cm³, 1 dm³, 1 m³, fait avec des armatures (baguettes de bois). Il est alors impossible de dire que 10 cm³ = 1 dm³. On voit tout de suite que c'est faux.

Nous émettons une réserve toutefois, cette manipulation n'est pas suffisante pour régler tous les problèmes liés aux conversions d'unités et rendre impossible l'écriture : V = 12 dm³ = 1,2 m³.

D'autres activités traitent des changements d'unité usuelle de longueur et de masse, toujours à partir de manipulation effective des élèves. L'auteur dresse le bilan de ces séances <fnref n="126" /> :

<footnote n="123">¹²³ VERGNAUD G. (1981), *Op. cit.* [pp. 161 et suiv.].</footnote>

<footnote n="124">¹²⁴ BOLON J. (1996), *Op. cit.* [p. 236].</footnote>

<footnote n="125">¹²⁵ *Ibid.* [p. 239].</footnote>

<footnote n="126">¹²⁶ *Ibid.* [p. 240].</footnote>
Quand on mesure un objet avec deux unités, on trouve deux nombres pour le mesurer ; le nombre le plus grand est celui qui correspond à l'unité la plus petite.

On peut représenter par un schéma ou par un calcul :

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

On retrouve, et c'est la première fois depuis notre étude du manuel d'arithmétique de 1947, les multiplications et divisions par 10, 100 et 1000 directement liées aux changements d'unité : 3,4 est un nombre qui mesure un segment en cm, il signifie la même longueur que 34 mm. Mais cet éclairage n'est pas celui qui domine dans les suggestions de Jeanne Bolon, elle ne l'utilise pas, par exemple, pour la multiplication des décimaux. Sans doute pour éviter d'enfermer l'élève dans une représentation du nombre décimal qui, selon Guy Brousseau que nous avons déjà cité à ce sujet, le conduit à commettre des erreurs.

## Multiplication et agrandissement

Dans la suggestion 10, l'auteur reprend des activités analogues à celle du puzzle de Guy Brousseau en choisissant des mesures entières ou décimales. Nous ne détaillerons donc pas l'analyse.

Dans la suggestion 11, l'auteur reprend les premières étapes de l'activité avec le pantographe de Guy Brousseau où des dessins de maisons sont agrandis ou réduits. L'objectif de Jeanne Bolon n'est pas de passer d'un agrandissement à deux agrandissements pour multiplier les coefficients. Il est d'utiliser les imprécisions pour, sans aborder une quelconque théorie de l'approximation, amener les élèves à distinguer les valeurs obtenues par mesure directe (VMD), les valeurs obtenues par un calcul sur des VMD, et les valeurs obtenues par un calcul sur des résultats de calculs qui ont pu être arrondis.

Dans cette activité le professeur annonce que l'agrandissement de la maison correspond à la multiplication de ses longueurs par 1,5. La hauteur de la porte mesure 3 cm, sa largeur 1,7 cm... Les procédures attendues par l'auteur sont<fnref n="127" />

- Utiliser un opérateur additif.

- Partir des nombres entiers, prendre le nombre et ajouter sa moitié ou passer par l'image de 1.

- Partir d'une mesure décimale, convertir en millimètres, passer par l'image de 1.

<footnote n="127">¹²⁷ Ibid. [p. 245].</footnote>
– Partir d’une mesure décimale, convertir en dixièmes, calculer l’image d’un dixième.

– Pour des élèves de niveau plus élevé, utiliser le multiplicateur fractionnaire.

Remarquons que l'auteur n'envisage pas que les élèves multiplient directement deux nombres en écriture décimale.

## Multiplication, aire et périmètre de rectangles

La suggestion 12 qui est la dernière de la progression, reprend le travail de Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin. Le calcul d'aire porte sur des rectangles dont les dimensions ne sont pas écrites sous forme décimale mais sous la forme d'une somme d'un entier et d'une fraction : $3+\frac{1}{2}, 2+\frac{3}{4}, 4+\frac{6}{10}$. Pour déterminer le produit de deux fractions l'auteur envisage des procédures de pavages ou le recours aux nombres en écriture décimale et le calcul à la main ou à la calculatrice.

Il semblerait donc que la compétence calculatoire sur les décimaux soit envisagée comme pouvant être acquise ou non à ce dernier niveau de la progression. L'enseignement de la technique opératoire n'est pas explicité.

## Quelle multiplication des décimaux dans les suggestions de Jeanne Bolon ?

La multiplication des décimaux est pratiquement omniprésente dans les suggestions qui figurent dans la thèse de Jeanne Bolon. La multiplication est implicitement présente dans les écritures des nombres décimaux ainsi que dans les changements d'unité. Nous pouvons distinguer deux types de situations : celles qui mettent en avant les ruptures de sens entre la multiplication des décimaux et la multiplication des entiers et celles qui assurent une continuité de sens avec un " écrasement " des nombres par l'opération. Les situations-ruptures sont très minoritaires, la seule rupture qui soit vraiment soulevée est celle de la non-conservation du format social des nombres. Les autres situations assurent plutôt une continuité de sens : associer l'opération à des problèmes indépendamment des nombres, prolonger les situations multiplicatives sur des entiers à des décimaux, utiliser les ordres de grandeurs ou des approximations pour approcher un produit. Les modèles multiplicatifs utilisés qui permettent le prolongement de l'opération des entiers aux décimaux sans rupture de sens, sont ceux que nous avons repérés dans les deux ingénieries didactiques : l'agrandissement ou la réduction de figures sans déformation et le calcul d'aire de rectangles.

L'analyse détaillée que nous venons de terminer de ces suggestions montre en outre que l'auteur ne prend pas en charge explicitement l'enseignement de la technique de la multiplication de deux décimaux. Sans doute pouvons-nous avancer que l'auteur cherche à privilégier la construction du sens de cette opération plutôt que le côté technique. Comment tisser un lien entre sens et technique ? L'auteur laisse la réponse à la charge du professeur.
## 33. Une expérience d'enseignement comprenant une phase contextualisée

Bien qu'il soit peu probable que les enseignants français construisent leurs projets d'enseignement de la multiplication des nombres décimaux en référence à des recherches en cours en Italie, nous voudrions mentionner une expérience de chercheurs italiens dont les résultats ont été publiés en septembre 1996.

Plusieurs chercheurs italiens mènent des travaux sur des projets d'enseignement à long terme où le savoir mathématique est contextualisé en dehors du domaine mathématique : en économie, en technologie, en astronomie... De tels projets d'enseignement reposent sur des hypothèses de construction des connaissances à travers la contextualisation du savoir mathématique <fnref n="128" /> : la "motivation" de l'élève est d'autant plus grande que le problème l'intéresse, le rapport avec des "pratiques extra-scolaires familières à l'enfant" lui permet de recourir au sens de la situation pour effectuer sa tâche et pour contrôler cette effectuation, la rencontre avec les objets et les pratiques sociales liés au "domaine d'expérience" réalise une médiation avec le savoir incorporé dans ces objets et dans ces pratiques sociales, la mise en place de stratégie de résolution de problèmes contextualisés participe à la construction de schèmes, les activités de résolution de problèmes liés au "domaine d'expérience" mobilisent "naturellement" des opérations mentales multiples et coordonnées.

Milena Basso & Cinzia Bonotto <fnref n="129" /> ont réalisé une expérience d'enseignement de la multiplication des décimaux et de la proportionnalité en introduisant des tickets de caisse de supermarchés, de primeurs, de bouchers... dans le contexte scolaire. L'expérience rejoint les travaux du Nucleo di Padova sur les problèmes de l'enseignement des nombres rationnels à l'école élémentaire. Cette expérience d'enseignement s'est déroulée durant une année scolaire à raison de deux heures hebdomadaires. Les auteurs ont montré que ces tickets de caisse matérialisaient un moyen de médiation entre le savoir contextualisé d'une réalité extrascolaire et le savoir mathématique, qu'ils étaient un instrument de médiation entre les élèves et le savoir. Les auteurs schématisent ainsi la situation :

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

<footnote n="128">¹²⁸ BOERO P. (1994), Situations didactiques et problèmes d'apprentissage : convergence et divergence dans les perspectives de recherche, in *Vingt ans de didactique des mathématiques* (17-50), Grenoble : La pensée sauvage.</footnote>

<footnote n="129">¹²⁹ BASSO M. & BONOTTO C (1996), Un'esperienza didattica di integrazione tra realtà extrascolastica e realtà scolastica riguardo ai numeri decimali, *L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate vol. 19A N. 5 (424-449)*, Paderno del Grappa TV. : Centro Ricerche Didattiche Ugo Morin.</footnote>
D'après les auteurs, cette situation a généré des questionnements et des raisonnements, elle a favorisé des contrôles, elle a permis d'accéder à des savoirs mathématiques (contextualisés, décontextualisés puis institutionnalisés) autour de plusieurs activités : lecture "fonctionnelle" des données inscrites sur les tickets, approximation d'une donnée, recherche de la valeur d'une donnée manquante (effacée par l'enseignant), mise en relation des grandeurs numériques (émergence du concept de proportionnalité), recherche d'algorithmes pour multiplier et diviser avec des nombres décimaux.

Cette expérience qui relate des résolutions de problèmes dont les énoncés sont analogues à ceux qui figurent dans les manuels français pour la classe de sixième, montre que des apprentissages mathématiques peuvent être construits à partir de problèmes posés dans le contexte extrascolaire et qu'ils permettent de les résoudre. L'enseignement qui émerge des manuels français suit un chemin inverse : le savoir mathématique est enseigné à travers des activités du contexte scolaire, il est appliqué pour la résolution de problèmes posés par des situations extra-scolaires auxquelles les élèves ne sont pas nécessairement familiarisés.

Si les enseignants sont peu familiers des productions de la didactique des mathématiques dont les publications sont rédigées à l'attention des chercheurs, certains professeurs consultent des publications qui leur sont adressées. Nous allons maintenant étudier les propositions qui y figurent pour enseigner la multiplication des décimaux.

## 34. La multiplication des décimaux dans les publications pour les enseignants

Les auteurs des manuels proposent un enseignement très décontextualisé pour privilégier la technique opératoire. Les situations multiplicatives ne sont pas exploitées pour introduire la multiplication ou pour déterminer le produit de deux décimaux. Au mieux, elles sont utilisées dans des problèmes de réinvestissement. A l'opposé, les enseignements élaborés par les didacticiens sont très riches en tâches qui permettent à la fois un prolongement de la multiplication des entiers à celle des décimaux, et une élaboration de procédures variées pour obtenir le produit de deux décimaux. Nous savons, d'après une enquête de la DEP 130 déjà mentionnée, que les professeurs utilisent les manuels principalement pour y choisir des exercices d'entraînement, un tiers d'entre eux utilisent d'autres sources pour préparer leurs cours. Les publications pour les enseignants constituent-elles un relais entre la recherche en didactique et les professeurs ? Répondent-elles aux problèmes d'enseignement laissés en suspens dans les recherches ? Présentent-elles les activités préparatoires contextualisées qui font défaut dans les manuels ?

### Comment ces publications s'adressent-elles aux enseignants ?

Nous avons consulté les publications à l'intention des enseignants. Trois d'entre elles abordent la multiplication des décimaux. Ce sont par ordre

<footnote n="130">130 Direction de l'Evaluation et de la Prospective (1997), *Pratiques pédagogiques de l'enseignement des mathématiques en sixième et progrès des élèves*, Paris : Ministère de l'Education nationale, de l'Enseignement supérieur et de la Recherche.</footnote>
chronologique d'édition <fnref n="131" /> : *Aides pédagogiques pour le cycle moyen, Nombres décimaux* (1986), *Apprentissages mathématiques en 6e* (1991) et *Travaux numériques* 6e (1998). Leurs conceptions sont très différentes. Après les avoir brièvement présentés, nous les comparerons suivant les critères déjà utilisés : dans quelles situations s'inscrivent les activités de construction de la multiplication des décimaux et quelle continuité est établie avec la multiplication des entiers ? Comment est pris en charge le passage des procédures personnelles à la technique usuelle ? Comment passe-t-on des situations multiplicatives de découvertes aux autres situations et comment dans ce passage sont traitées les ruptures de sens de la multiplication ?

*Aides pédagogiques* a été rédigé par des membres de différents IREM. Il propose une cinquantaine de pages pour éclairer l'enseignement des décimaux en évoquant les avantages et les inconvénients des différentes présentations classiques puis une centaine de pages où sont développées quatre présentations réalisées en classe. Un extrait d'article de Guy Brousseau et une "bibliographie sommaire" terminent cet ouvrage. Sa présentation et son style sont proches de ceux d'un recueil d'articles didactiques regroupés autour d'un thème commun.

*Apprentissages mathématiques* est un prolongement pour la classe de sixième des ERMEL bien connus à l'école élémentaire. Il a été mis au point par une équipe regroupant des chercheurs de l'INRP, des professeurs d'IUFM, des professeurs de collège et une institutrice. Sa conception est assez proche de celle d'un livre du maître : buts et objectifs déclarés et argumentés, scénarios d'activités commentés, organisation matérielle du déroulement précisée... Néanmoins sa structure n'est pas caractéristique de celle des livres du maître où les chapitres sont plus nombreux, analogues à ceux qu'on trouve dans un manuel pour la classe. Les auteurs recourent à de nombreux schémas, les développements théoriques sont assez denses et le langage utilisé recourt à du vocabulaire et à des concepts didactiques tout en restant assez proche du langage courant.

Cet ouvrage propose deux progressions, une en calcul et une en géométrie qui couvrent une partie importante du programme de la classe de sixième. La progression consacrée au calcul débute par deux situations de "révision" de la multiplication qui figurait, à l'époque de la publication, au programme de l'école élémentaire. L'objectif de ces révisions est de revenir sur des conceptions sources d'erreurs bien connues des enseignants.

*Travaux numériques* est un ouvrage rédigé par deux professeurs de collège. Sa conception est très proche de celle d'un livre du maître, les titres des chapitres reprennent ceux des manuels de sixième. Chaque chapitre présente des objectifs pédagogiques en référence à des résultats de recherches et aux évolutions des programmes. Des indications concernent le rôle du professeur. Les activités sont présentées et commentées : objectif, présentation, matériel, consignes,

<footnote n="131">¹³¹ APMEP (1986), *Aides pédagogiques pour le cycle moyen, Nombres décimaux*, Paris.
PRESSIAT A. (1991), *Apprentissages mathématiques en 6e*, Paris: Hatier/INRP.
DUPÉ C. & HILLION M. (1998), *Travaux numériques 6e*, Paris: Nathan Pédagogie.</footnote>
déroulement... elles se terminent par "L'essentiel" qui résume l'intérêt de l'activité.

Les auteurs s'adressent à des collègues. Le professeur-lecteur est parfois confondu avec l'auteur-professeur comme nous le soulignons dans les citations suivantes<fnref n="132" /> :

> Notre rôle consiste donc à nous inscrire dans le développement de ce processus engagé depuis le cours préparatoire.

> (...) les évaluations de début de 6e, même si elles montrent que nos élèves ont des acquis...

Les concepts issus des recherches en didactique des mathématiques y sont utilisés modérément.

### Quelles situations pour enseigner la multiplication des décimaux ?

Parmi les quatre propositions qui figurent dans *Aides pédagogiques*, trois traitent de la multiplication des décimaux. Deux d'entre elles considèrent le nombre décimal comme un rationnel particulier et la multiplication des décimaux est considérée comme un cas particulier de la multiplication des rationnels. Elle est présentée par le calcul d'aire de rectangles à l'aide de pavages rectangulaires comme dans l'ingénierie de Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin. Une proposition analogue figure dans *Travaux numériques*.

Une situation plus formelle qui met en jeu des opérateurs et qui repose implicitement sur les propriétés des fonctions linéaires, est décrite dans *Aides pédagogiques* <fnref n="133" />. Les décimaux restent, à ce niveau de l'exposé, écrits sous forme fractionnaire décimale avec la convention d'écriture $\frac{n}{10} = n \div 10$.

1) En utilisant la fonction "diviser par 10", on peut introduire les nombres décimaux, $\frac{1}{10}, \frac{2}{10}, \frac{27}{10}$, les comparer, les additionner et les multiplier par un naturel. (...)

2) Si on compose la fonction "diviser par 10" avec elle-même, on se trouve confronté à la recherche de l'image des nombres $\frac{1}{10}, \frac{2}{10}, ...$

Une réponse peut être apportée en remarquant que "div. 10" suivie de "div. 10" est équivalente à "div. 100". (...)

3) A l'aide des fonctions réciproques "multiplier par 10",... il est facile d'observer que $\frac{11}{100} \times 10 = \frac{11}{10} \cdot ...$

4) Les propriétés de la fonction "div. 10" nous permettent d'établir le tableau suivant :

<footnote n="132">¹³² DUPÉ C. & HILLION M. (1998), *Op. cit.* [pp. 47-48].</footnote>

<footnote n="133">¹³³ APMEP (1986), *Op. cit.* [pp. 158-161].</footnote>
<figure><img src="image_39.png" /></figure>

Ainsi $\frac{1}{10} \times n = \frac{n}{10}$ ce qui permet, en acceptant la commutativité de construire ce nouveau tableau : multiplier par $\frac{1}{10} \cdot \dots$

En comparant ces deux tableaux on constate que multiplier un entier par $\frac{1}{10}$ équivaut à diviser cet entier par 10. On étendra cette règle à la multiplication d'un décimal par $\frac{1}{10}$.

Par exemple pour calculer $\frac{2}{100} \times \frac{1}{10}$, on divisera $\frac{2}{100}$ par 10.

Comment donner un sens à $\frac{2}{10} \times \frac{3}{100}$ ?

$$ 
\begin{aligned}
\frac{2}{10} \times \frac{3}{100} &= \frac{2}{10} \times (\frac{1}{100} + \frac{1}{100} + \frac{1}{100}) \\
&= \frac{2}{1000} + \frac{2}{1000} + \frac{2}{1000} = \frac{2}{1000} \times 3 (\dots)
\end{aligned}
$$

L'auteur précise<fnref n="134" />:

Cette présentation ne peut se faire sans un travail préalable et parallèle sur des situations de proportionnalité (par exemple réalisation de maquettes à une échelle donnée).

Finalement, on retrouve les deux principales situations multiplicatives utilisées dans les ingénieries de Guy Brousseau et de Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin, les agrandissements - réductions et les calculs d'aires de rectangles. Ces situations permettent de ne pas changer de conception de la multiplication en la prolongeant des entiers aux décimaux.

Les auteurs de *Travaux numériques* proposent aussi une activité que nous avons déjà présentée de double graduation de droite pour déterminer le produit de deux décimaux<fnref n="135" /> :

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

<footnote n="134">¹³⁴ *Ibid.* [p. 162].</footnote>

<footnote n="135">¹³⁵ DUPÉ C. & HILLION M. (1998), *Op. cit.* [p. 61].</footnote>
Etudions la correspondance entre la masse et le prix du pain pour 16,50 F par kg. Compléter les deux graduations figurant sur la feuille, puis à l'aide de ces données, déterminer le prix d'un bâtard de 200 g et le prix d'un pain de campagne de 500 g.

Les auteurs de *Apprentissages mathématiques* utilisent la même situation dans des problèmes de proportionnalité non pour permettre le calcul du produit ni pour mettre en évidence la structure multiplicative mais seulement pour proposer à l'élève <fnref n="136" />:

> un nouvel outil permettant de résoudre des problèmes de proportionnalité : la bande à double graduation (...)

> Cette dernière fournit un support visuel pour les grandeurs en question (plus exactement pour leurs mesures relatives à des unités précises).

### Des procédures personnelles à la technique usuelle

Ce passage n'est pas développé dans ces ouvrages. Les auteurs en laissent la charge aux enseignants ; ou estiment-ils qu'il ne pose pas de difficulté ? Les auteurs de *Travaux numériques* sont les seuls à mentionner ce passage, ils se contentent d'une remarque à la fin de deux activités où seules des procédures personnelles permettent de déterminer des produits <fnref n="137" /> :

> L'étude des deux cas permet de découvrir une règle de calcul du produit de deux nombres décimaux en utilisant deux entiers :

> Transformons le produit de 0,2 par 16,5 en un produit d'un entier par un entier. On choisit le produit de 2 par 165. A l'aide du produit de 2 par 165, trouver une règle permettant de calculer 0,2 × 16,5.

> A partir des deux exemples précédents, les élèves vérifieront cette règle sur d'autres produits.

### Les réinvestissements dans de nouvelles situations multiplicatives

Ces activités ne figurent pas dans les ouvrages à destination des enseignants. Certains auteurs signalent la nécessité des réinvestissements. Mais ils sont toujours laissés à l'initiative des professeurs.

Néanmoins, des situations multiplicatives différentes convoquent des conceptions différentes de la multiplication. Des auteurs signalent les difficultés que rencontrent certains élèves pour résoudre des problèmes et les expliquent par des conceptions inadaptées. Ils suggèrent alors des activités dites de "remédiation" qui permettraient de modifier les représentations que ces élèves ont de la multiplication.

*Apprentissages mathématiques (*) comme *Travaux numériques (**)*) proposent des situations liées à l'ordre entre les facteurs et le produit, leurs présentations sont très ressemblantes* <fnref n="138" />:

<footnote n="136">¹³⁶ PRESSIAT A. (1991), *Op. cit.* [p. 98].</footnote>

<footnote n="137">¹³⁷ DUPÉ C. & HILLION M. (1998), *Op. cit.* [p. 61].</footnote>

<footnote n="138">¹³⁸ PRESSIAT A. (1991), *Op. cit.* [pp. 54 et 64].
DUPÉ C. & HILLION M. (1998), *Op. cit.* [p. 58].</footnote>
(*) Buts

– Amener les élèves à modifier leur conception courant de la multiplication comme “opération qui agrandit toujours” (Obstacle)

– Amener les élèves à savoir anticiper la place d'un produit par rapport à chacun de ses facteurs.

(...) amener les élèves à remettre en cause le modèle additif dans un problème d'agrandissement.

(**) Il s'agit, par des situations simples, d'amener les élèves à modifier la conception selon laquelle la multiplication agrandit toujours. La multiplication peut aussi réduire.

Les deux ouvrages contiennent une activité où l'élève doit éliminer, parmi plusieurs résultats proposés pour des produits, ceux qui sont faux. Il utilise pour cela le calcul approché, ou la prise en compte du dernier chiffre, ou la prise en compte du nombre de chiffres après la virgule, ou enfin la place de l'un des facteurs par rapport à 1. Ces ouvrages contiennent également une activité d'agrandissement et de réduction. *Apprentissages mathématiques* a choisi l'activité du puzzle de Guy Brousseau. *Travaux numériques* propose d'effectuer une réduction A'B'C'D' d'un rectangle ABCD avec la diagonale [AC] tracée.

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

Après une superposition qui fait coïncider les deux sommets A et A', les deux longueurs [AB] et [A'B'] et les deux largeurs [AD] et [A'D'], l'appartenance du sommet C' à la diagonale [AC] est un critère qui permet de distinguer l'utilisation d'un modèle additif et l'utilisation un modèle multiplicatif.

**Conclusion : la multiplication, des transpositions divergentes**

Nous avons, dans ce chapitre, analysé les transpositions didactiques de la multiplication des nombres décimaux dans les différentes institutions que sont les publications de recherches, les ouvrages et les brochures à l'intention des enseignants et les manuels scolaires. Nous avons constaté des différences importantes.

*Trois catégories d'enseignement, quelle pertinence ?*

Nous avons débuté cette étude des publications en les distinguant suivant plusieurs catégories déterminées en fonction de choix didactiques : la multiplication est-elle présentée d'abord de façon contextualisée, la technique opératoire est-elle construite au moins en partie par les élèves et, si ces deux conditions sont réalisées, la technique est-elle construite en référence à la
situation du contexte initial ? Les textes officiels semblent préconiser un
enseignement comprenant une phase contextualisée <fnref n="139" /> :

La résolution de problèmes occupe une place centrale dans les
apprentissages mathématiques, à l'école primaire comme au collège,
notamment en vue de l'appropriation de connaissances nouvelles par les
élèves.

Mais l'utilisation du mot problème en mathématique est tellement diverse que les
interprétations possibles de ce fragment de texte nous semblent nombreuses.

Nous avons réparti, par une première lecture, les publications suivant trois
catégories que nous avons analysées successivement. Les enseignements proposés
dans les deux premières catégories sont décontextualisés, ils se distinguent par
l'existence d'une phase de construction de la technique opératoire laissée, au moins
en partie, aux élèves. Les publications de la troisième catégorie proposent un
enseignement comprenant une phase contextualisée. Nous pouvons à présent
conclure sur la réelle pertinence de cette classification pour différencier les
enseignements proposés.

Les manuels scolaires appartiennent tous à l'une des deux premières
catégories. L'organisation des chapitres présente trois phases, quel que soit
l'éditeur : des activités de révision et de découverte des nouveaux savoirs, un cours
avec des exemples développés, des exercices d'application. Malgré cette apparente
homogénéité, les propositions d'enseignement de la première catégorie ne
proposent aucune construction de la technique opératoire dans les pages étiquetées
" *activités préparatoires* ", les élèves devant seulement lire un exposé du cours. En
outre, nous avons montré que les activités préparatoires des manuels de la
deuxième catégorie se distinguaient seulement des précédentes par une
formulation plus ouverte, la place réservée au travail de l'élève étant toujours très
limitée et insuffisante pour permettre une complète construction de la technique.
Les propriétés algébriques de l'opération sur lesquelles repose la technique restent
notamment toujours implicites. En cela, rien ne distingue les manuels de collège de
ceux du primaire. Tout se passe comme si la distinction des deux premières
périodes de l'enseignement était aménagée dans les livres par une maquette mais
n'était pas assumée par les auteurs autrement que par une introduction au cours,
ce que proposaient déjà des manuels scolaires anciens comme celui que nous avons
analysé et qui a été publié en 1947...

Les autres publications, ouvrages et brochures à l'intention des enseignants et
recherches en didactique des mathématiques, appartiennent toutes à la troisième
catégorie. Le bilan de notre étude montre que les auteurs qui s'adressent aux
professeurs n'ont pas cherché à tisser un lien entre le sens de la multiplication et la
technique opératoire. Nous pourrions résumer ainsi la situation : soit la
publication est une documentation pédagogique et alors le sens est privilégié mais
les auteurs en restent à des procédures personnelles de détermination du produit,
soit la publication est une ingénierie didactique et alors l'enseignement est d'abord

<footnote n="139">139 Mathématiques : articulation école-collège, BO n°44 du 5 décembre 1996.</footnote>
contextualisé et il comprend la construction d'une technique de calcul qui s'appuie
sur la situation du contexte.

Quant aux situations multiplicatives de réinvestissement dont l'objectif est d'enrichir à la fois le sens de l'opération, celui des nombres et de leurs écritures, elles sont globalement délaissées par les auteurs, même par ceux des manuels scolaires qui proposent de nombreux exercices mais qui, à une exception près, accordent une importance écrasante aux problèmes de prix. Il nous semble que cette constatation est à relier à la disparition de l'enseignement des grandeurs usuelles que nous avons signalée dans le chapitre précédent. Peut-être les prix sont-ils les seules grandeurs qui soient familières aux élèves sans que l'école ait à se charger de leur enseignement. L'expérience italienne d'enseignement à partir de tickets de caisse réalisée par Milena Basso & Cinzia Bonotto montre toutefois qu'une réelle expérience sociale des situations liées au calcul des prix n'est pas acquise par les élèves de cet âge. Elle montre aussi qu'à partir d'un tel domaine d'expérience peuvent émerger et se construire, dans le cadre scolaire, des savoirs mathématiques décontextualisés.

Nous pouvons maintenant répondre à la question de la pertinence de la distinction des trois catégories d'enseignement. Le critère dominant qui discrimine le contenu des publications est l'appartenance ou non à la catégorie "manuel scolaire" dont les auteurs proposent un enseignement qui "démarre" avec la technique opératoire puis proposent éventuellement des activités d'argumentation et de réflexion sur cette technique. Nous retrouvons là l'opposition constatée par Jeanne Bolon entre les programmes et les travaux issus de la didactique des mathématiques<fnref n="140" /> :

> Or les programmes officiels de sixième (...) Dans ces conditions (...)
> On peut se demander si le processus des progressions de référence, contextualisation puis décontextualisation puis recontextualisation, est compatible avec la gestion du temps didactique des classes de collège.

De plus, les publications à l'intention des enseignants ne prévoient pas une construction de la technique opératoire qui s'appuie sur la situation d'introduction de la multiplication des nombres décimaux, elles n'aménagent pas de lien entre des procédures personnelles "artisanales" de calcul et la technique usuelle.

*Multiplications des décimaux, quels nombres avec quelles écritures?*

Les deux ingénieries introduisent les nombres rationnels avant les nombres décimaux, envisagés comme des rationnels particuliers. Les nombres et les opérations sont introduits par des situations. Ainsi, dans ces travaux, lors de l'étude de la multiplication des décimaux, les nombres sont soit des nombres-mesures soit des nombres-scalaires et leurs écritures sont multiples (fractionnaires, fractionnaires décimales ou décimales) bien que l'écriture fractionnaire soit privilégiée, ce qui est exploité.

Dans les manuels, à une exception près, les nombres décimaux sont traités,
dans le chapitre de la multiplication, sans lien avec les fractions ; la seule écriture

<footnote n="140">¹⁴⁰ BOLON J. (1996), *Op. cit.* [pp. 327-328].</footnote>
est l'écriture décimale. Lors de l'introduction de l'opération, les nombres sont
abstraits, ils le sont encore dans les premiers exercices posés qui portent sur la
technique opératoire et sur des questions plus théoriques. Quelques problèmes sont
posés (presque uniquement de prix) où les nombres sont des nombres-mesures ou
des nombres-scalaires.

Les occasions de changements de registres dans les publications sont rares. On
en trouve principalement dans l'ingénierie de Régine Douady & Marie-Jeanne
Perrin, ou le calcul de $0,5 \times 0,7$ est considéré comme le calcul de $\frac{7}{10} u \times \frac{5}{10} u$, ce
qui permet aux auteurs de recourir à des pavages rectangulaires dans un calcul
d'aire pour déterminer le produit (changement de cadres).

Multiplication des entiers et des décimaux, rupture ou continuité ?

Les textes officiels déjà cités <sup>141</sup> signalent une difficulté d'enseignement de la
multiplication des décimaux : la reconnaissance des situations où intervient le
produit de deux décimaux “ est difficile dans la mesure où il existe une rupture de
sens avec les cas du produit de deux naturels et d'un décimal par un naturel, cas
pour lesquels la référence à l'addition réitérée est possible pour accéder à la
multiplication. ”

Les auteurs privilégient pourtant les situations assurant une continuité de
sens dans le passage de la multiplication des entiers à celle des décimaux. Soit, et
c'est le cas des ingénieries didactiques comme de certaines publications destinées
aux professeurs, une situation multiplicative est étudiée qui préserve le sens de
l'opération dans le passage des entiers aux décimaux : agrandissements de figures
planes, calculs d'aires de rectangles ou utilisation d'une double graduation. Soit, et
c'est le cas de tous les manuels, la technique opératoire est étudiée à partir de celle
de la multiplication des entiers sans référence à une situation multiplicative.

La relation entre la multiplication et l'addition n'est vraiment questionnée
que dans les activités de calcul d'aire de rectangle où la distributivité apparaît
simplement. Ce n'est pas le cas avec l'activité d'agrandissement de puzzles qui
tend à opposer les deux opérations. En effet, la première étape de l'enseignement
consiste à écarter l'addition qui ne répond pas à la situation pour cause de
déformation des pièces. Puis les élèves apprennent d'une part que pour augmenter
on peut aussi multiplier, et d'autre part que dans les situations d'agrandissements
de figures sans déformation c'est plutôt du côté de la multiplication qu'il faut aller
chercher. Enfin, les activités se succèdent, nombres et opérations se construisent
en référence à la situation d'agrandissement, le modèle additif n'est plus
questionné.

Avec les programmes actuels, toutes les situations multiplicatives étudiées à
l'école élémentaire ont au moins l'un des facteurs entiers. Quatre années durant,
les problèmes posés avec ces situations, à l'exception des problèmes de
dénombrement, auront pu trouver leur solution en référence à l'addition réitérée.
Dans un problème de prix, nous prenons cet exemple du fait de l'importance qu'il

<footnote n="141"><sup>141</sup> Mathématiques : articulation école-collège, BO n°44 du 5 décembre 1996.</footnote>
lui est accordé dans les manuels, le calcul de 3 kg de pommes à 12 F/kg peut être traité par une procédure additive, celui de 0,284 kg de merlan à 69,90 F/kg ne le peut pas. La situation est la même mais l'opération qui fait référence doit changer. Elle doit changer parce que les nombres ont changé. La multiplication doit remplacer l'addition mais ne saurait la faire disparaître. Nous avons donc affaire, non pas à une situation de rupture, mais à une situation de prolongement " à deux dimensions ". Un prolongement des entiers aux décimaux : tous les entiers sont intégrés aux décimaux mais il y a des décimaux qui ne sont pas des entiers. Un prolongement de l'addition à la multiplication : toutes les additions réitérées sont des multiplications mais il y a des multiplications qui ne sont pas des additions réitérées.

L'étude de la transposition didactique de la multiplication des nombres décimaux montre des divergences entre les institutions qui en publient des propositions d'enseignement : manuels scolaires, publications à l'intention des professeurs, recherches en didactique des mathématiques. Pour préparer leurs cours, les enseignants utilisent différents matériaux publiés. Leurs choix s'effectuent en fonction de multiples composantes personnelles dont notamment leurs conceptions sur les mathématiques, leur apprentissage et leur enseignement. Leur choix est aussi déterminé par des contraintes globalement partagées par tous les professeurs et qui viennent de l'exercice même du métier : ils doivent tenir compte de leurs élèves (de ce qu'ils savent déjà et des difficultés d'apprentissage connues de la notion enseignée), ils doivent aussi prévoir un enseignement qui s'intègre dans le programme de l'année scolaire. Aussi, nous allons procéder à une évaluation de ces contraintes et de leur portée sur les projets que les enseignants peuvent élaborer.
## CHAPITRE 3

### LA TRANSPOSITION DIDACTIQUE
À L'ÉPREUVE DE L'EXERCICE DU MÉTIER

#### Sommaire

1. Quelles sont les difficultés d'apprentissage ?

11. Difficultés d'apprentissage des nombres décimaux

12. Difficultés d'apprentissage de la multiplication

2. Intégration de l'enseignement de la multiplication dans une progression annuelle

21. L'objet multiplication des décimaux dans l'ensemble du programme

22. L'objet multiplication des décimaux dans les manuels de sixième

3. Quel projet élaborer compte tenu des contraintes ?

31. La technique opératoire dans le cas d'un enseignement décontextualisé

32. La technique opératoire enseignée à partir d'une situation multiplicative

33. Retour au programme : maîtrise de l'opération et durée de l'enseignement
Dans le chapitre précédent, nous avons examiné des propositions de différents auteurs pour enseigner la multiplication des nombres décimaux. Certaines d'entre elles sont directement adressées aux enseignants. D'autres, qui à l'origine étaient adressées aux chercheurs, ont été reprises dans des brochures pédagogiques ou dans des ouvrages de formation des professeurs.

Parce qu'elle montre les possibles et leurs conséquences sur l'apprentissage, cette étude fournit en outre une synthèse utile à un formateur qui aurait la charge d'un stage sur l'enseignement de la multiplication des nombres décimaux, ou à un professeur en classe de sixième. Cette étude n'est cependant pas encore suffisante pour constituer un véritable outil de travail pour le formateur ou pour le professeur. En effet, le professeur recherche de quoi préparer ses propres cours donc il va spontanément éliminer tout ce qui lui semblera ne pas répondre à cet objectif. Dans sa thèse, Jeanne Bolon montre que les enseignants reprennent les propositions d'activités sous certaines conditions<fnref n="142" /> :

> En proposant aux enseignants des suggestions, sans obligation pour eux de les employer (en totalité ou en partie), nous avons cherché à fabriquer une sorte de test d'acceptabilité : selon les cas, les enseignants (...) pouvaient être conduits à ne pas tenir compte de ces suggestions pour des raisons diverses : difficulté à comprendre les tenants et les aboutissants d'une suggestion, difficulté à l'insérer dans la progression en cours, manque de temps ou manque de sécurité pour le faire, doute sur le bien-fondé de la suggestion pour leurs élèves. Quel qu'ait pu être le motif ressenti, il permettait de faire émerger les raisons qui fondaient les choix des enseignants. Inversement, l'acceptation d'une suggestion prouvait qu'elle était perçue comme compatible ou cohérente avec la progression adoptée et possible ou facile à mettre en œuvre immédiatement, sans surcroît de travail démesuré.

Ainsi, l'auteur propose trois critères pour analyser cette sélection : la difficulté d'enseignement, l'adaptation aux élèves, et l'adaptation à la progression choisie (qui comprend la durée). Explicitons-les davantage.

Le premier critère est la difficulté d'enseignement. Un professeur a l'expérience de la classe, il connaît les projets qu'il anime facilement et ceux qui l'ont embarrassé. La difficulté vient parfois du contenu enseigné : lors d'une précédente recherche<fnref n="143" />, nous avons montré, par une analyse des pratiques d'un professeur en classe, que certaines questions mathématiques plus délicates repérées *a priori* ont été l'occasion d'un travail spécifique de la part de l'enseignant durant le déroulement des séances. La difficulté peut venir aussi de l'animation requise par un projet et dont le professeur n'a pas l'habitude : travail en groupe, autonomie de la recherche des élèves, manipulations concrètes... Ces causes ne

<footnote n="142">142 BOLON J. (1996), *Comment les enseignants tirent-ils parti des recherches faites en didactique des mathématiques ? Le cas de l'enseignement des décimaux à la charnière Ecole-Collège*, Paris : Thèse de didactique des mathématiques de l'Université de Paris 5. [pp. 323-324].</footnote>

<footnote n="143">143 RODITIE (1997), *DEA de didactique des disciplines, Didactique des mathématiques – Le tableau noir, un outil pour la classe de mathématiques*, Cahier DIDIREM n°30, Paris : IREM de Paris 7.</footnote>
sont pas identiques pour tous les professeurs, même expérimentés. Elles dépendent
à la fois de certaines conditions personnelles liées aux conceptions des
mathématiques, de leur apprentissage et de leur enseignement, et d'autres qui sont
moins directement liées à la discipline étudiée.

Le deuxième critère de sélection à l'œuvre en cours de lecture de documents pédagogiques est la difficulté d'apprentissage des élèves que le professeur perçoit d'une part durant l'enseignement d'une notion (par la conduite de ses élèves, les questions qu'ils posent, les réponses qu'ils produisent), et d'autre part quand il examine les productions orales ou écrites à des questions d'évaluations.

Le troisième critère de sélection d'une proposition par le professeur qui prépare ses cours, est lié à l'intégration de cette proposition dans la programmation annuelle de son enseignement. Une notion figure dans un programme officiel. Cette notion fait partie d'un ensemble que le professeur doit gérer dans sa totalité. Le temps dont il dispose pour prévoir son enseignement intervient aussi pour l'intégrer dans cet ensemble. Une analyse de type écologique <fnref n="144" /> permet une étude préalable de cette intégration au niveau des contenus.

L'objectif de ce dernier chapitre est de croiser l'analyse précédente de la transposition didactique en sixième de la multiplication des nombres décimaux et les contraintes sur l'élaboration d'un projet d'enseignement que représentent l'adaptation de l'enseignement aux élèves et l'intégration dans la progression annuelle, contraintes à l'origine des deux derniers critères que nous venons de citer. Le premier critère dépend de conditions personnelles des professeurs, il n'est pas utilisable pour cette étude. Ici, nous pensons seulement à des professeurs fictifs qui auraient la charge d'une classe de sixième de niveau standard. Le chapitre pourrait donc s'intituler : la transposition didactique à l'épreuve de l'exercice " virtuel " du métier.

Dans le premier paragraphe, nous abordons les difficultés des élèves à travers
les résultats de différentes évaluations disponibles des compétences dont
l'acquisition est attendue par l'institution scolaire. Nous avons accordé une place
importante à l'examen des évaluations nationales à l'entrée en sixième qui se
déroulent depuis une dizaine d'années <fnref n="145" />. Deux raisons expliquent ce choix. D'une
part, pour notre recherche, nous bénéficions de données fiables car ces évaluations
ont porté sur un effectif très important d'élèves. D'autre part, les professeurs font
passer ces évaluations à leurs élèves de sixième en début d'année, ils en recueillent
les résultats, et l'institution leur recommande de les utiliser pour adapter leur
enseignement aux acquis de leurs élèves. Nous avons complété parfois avec les

<footnote n="144">144 CHEVALLARD Y. (1994), Les processus de transposition didactique et leur théorisation, In Arsac et al. (Eds) *La transposition didactique à l'épreuve* (pp. 135-180), Grenoble : La pensée sauvage éditions.</footnote>

<footnote n="145">145 Les résultats de ces évaluations figurent dans des brochures éditées par le Ministère de l'Education nationale. Les références de ces brochures sont :

DEP (depuis 1989), *Evaluation CE2 - 6ème, Résultats nationaux*, Paris : Ministère de l'Education nationale, de l'enseignement supérieur et de la recherche, Direction de l'évaluation et de la prospective.</footnote>
évaluations qu'organise l'APMEP<sup>146</sup> depuis 1987 qui portent aussi sur un effectif suffisant d'élèves.

Dans le deuxième paragraphe nous précisons les attentes institutionnelles concernant l'enseignement de la multiplication des nombres décimaux en sixième. Des résultats ont déjà été obtenus au chapitre 2 où les programmes officiels sont utilisés. Nous les complétons par une analyse écologique de l'objet multiplication des décimaux au sein du curriculum, en primaire et au collège. Nous tentons enfin de formuler des hypothèses quant aux projets que les professeurs peuvent élaborer en tenant compte des programmes et des publications mais aussi de contraintes liées à l'exercice du métier c'est-à-dire, ici, des difficultés d'apprentissage et de l'intégration dans une programmation annuelle.

# 1. Quelles sont les difficultés d'apprentissage ?

Depuis 1989, le ministère de l'Education Nationale propose aux enseignants des outils d'évaluation à l'entrée en classe de sixième. Certaines des questions posées portent sur les nombres décimaux et la multiplication. Les performances des élèves à ces évaluations nationales ainsi qu'à d'autres évaluations comme celles organisées par l'APMEP révèlent certaines de leurs compétences et de leurs difficultés d'apprentissage. Les enseignants peuvent en tenir compte dans leurs préparations et dans leurs pratiques de la classe.

Pour évaluer l'influence qu'ils peuvent avoir sur l'enseignement, les résultats à ces évaluations doivent être rapportés à la taille du groupe d'élèves auquel un professeur s'adresse. Sur une classe de trente élèves, 10 % correspondent environ à trois élèves. Mais nous savons que des données statistiques ne donnent aucune indication à l'échelle d'une classe réelle, la répartition des élèves n'y est pas analogue à la répartition nationale. Ainsi, quand une erreur porte sur 10 % des élèves à l'entrée en sixième, certains professeurs peuvent n'avoir qu'un élève qui l'a commise alors que d'autres pourront en avoir une dizaine, et même plus !

Dans ce paragraphe, nous cherchons les contraintes qu'exercent les difficultés des élèves sur la préparation d'une séquence d'enseignement de la multiplication des nombres décimaux dans une classe de sixième de niveau standard. Nous retiendrons donc comme pertinents les résultats qui concernent un nombre significatif d'élèves, c'est-à-dire au moins quinze pour cent. Toutefois, en classe, les professeurs peuvent être amenés à gérer une difficulté rencontrée par un ou plusieurs élèves alors qu'elle n'apparaissait pas de manière significative dans les résultats des évaluations.

<footnote n="146"><sup>146</sup> Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public. Depuis 1987, cette association développe un dispositif d'observation du système d'enseignement des mathématiques, il repose en partie sur des enquêtes régulières comprenant des évaluations des compétences des élèves et des opinions et conceptions des enseignants. Pour plus de détail sur ce dispositif, on consultera par exemple :</footnote>

<footnote>BODIN A (1994), Un observatoire du système d'enseignement des mathématiques – La situation de l'observatoire EVAPM, in *Vingt ans de didactique des mathématiques en France* (395-402), Grenoble : La Pensée Sauvage éditions.</footnote>
Nous allons analyser les performances des élèves qui concernent la multiplication des décimaux, y compris les prérequis nécessaires à son apprentissage. Ainsi, seront étudiées les compétences relatives aux nombres décimaux et à la multiplication tant du point de vue technique que du point de vue de sa reconnaissance dans une situation décrite par l'énoncé d'un problème. Afin de montrer certaines relations entre l'enseignement et l'apprentissage, nous proposerons, quand cela sera possible, des interprétations des erreurs des élèves en référence aux enseignements des décimaux et de la multiplication que nous avons étudiés dans le chapitre précédent.

Les questions tirées des évaluations nationales à l'entrée en sixième sont référencées par EVA6 suivi de la date de passation de l'épreuve, du numéro de l'exercice et du numéro de la question. Ces évaluations et les résultats des élèves ont été publiées par le Ministère de l'Éducation nationale. Les questions tirées des évaluations organisées par l'APMEP sont en général référencées par EVAPM6 suivi de la date de passation de l'épreuve, la lettre référence du questionnaire et le numéro de la question.

## 11. Difficultés d'apprentissage des nombres décimaux

Nous avons trouvé de nombreuses questions d'évaluation sur les nombres décimaux. L'analyse des propositions d'enseignement a montré l'importance de certaines acquisitions suivant les projets qui reposent sur des conceptions différentes du nombre décimal.

### Les décimaux et les rationnels

Les programmes de 1995 (*) et ses documents d'accompagnement (**) pour la classe de sixième précisent la nature de l'enseignement des fractions à l'école primaire :

(*) A l'école élémentaire l'écriture fractionnaire a été introduite à partir de situations de partage.

(**) L'écriture fractionnaire n'est apparue que dans des exemples très simples à l'école primaire.

L'existence même de ces précisions dans les programmes indique que l'institution attend des professeurs qu'ils tiennent compte des acquis des élèves sur les nombres rationnels pour élaborer leur enseignement. Quels sont ces acquis ?

En demandant à des élèves scolarisés en classe de CM2, 6ᵉ, 5ᵉ ou 4ᵉ, ce qu'ils diraient et ce qu'ils dessineraient à un camarade de CE2 pour expliquer $\frac{1}{3}, \frac{3}{4}$ et 2,3, Marie-Jeanne Perrin<sup>147</sup> montre que le partage de "galettes" constitue la référence majoritaire et presque unique des nombres rationnels, la deuxième étant la représentation "baguette" issue d'activités de partage ou de graduation. Elle montre aussi certaines erreurs suffisamment fréquentes pour laisser à penser qu'elles ne sont pas accidentelles.

<footnote n="147"><sup>147</sup> PERRIN M.-J. (1984), *Représentation des fractions et des nombres décimaux chez des élèves de CM2 et du collège*, Cahier de didactique des mathématiques n°24, Paris : IREM de Paris 7.</footnote>
Si de nombreux élèves partagent un disque en trois parts pour représenter un tiers, les parts ne sont pas toujours équivalentes. Partager équitablement un disque en trois parts n'est pas facile pour un jeune élève. Mais les parts sont suffisamment différentes pour qu'on puisse conclure que l'élève ne cherchait pas à obtenir des parts équivalentes. En voici quelques exemples :

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

Mais nous ne devons pas en déduire que les parts resteraient différentes si le partage équitable était plus facile à réaliser.

La confusion entre $\frac{1}{3}$ et $\frac{1}{4}$ est la plus répandue. Elle ne doit pas toujours être rapprochée d'un partage en parts inégales comme le suggère le dernier partage de la figure précédente. Certains élèves expliquent : " *il le coupe en demi et la moitié il la coupe en 2. Une des parties sera le tiers* ".

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

Une représentation comme celle qui est proposée ci-contre montre une source de confusion entre $\frac{1}{3}$ et $\frac{1}{4}$. L'élève a colorié une part sur quatre, mais il a aussi colorié une part et en a laissé trois blanches. Nous décrivons là une confusion entre une part coloriée pour trois blanches et une part coloriée pour trois parts. C'est-à-dire une confusion entre le rapport partie / partie-complémentaire et le rapport partie / tout. On retrouve peut-être cette confusion, cumulée à celle de l'inégalité des parts, dans certaines représentations en parts de galettes que Marie-Jeanne Perrin décrit comme issues d'une " conception que l'on pourrait appeler 'juxtaposition de deux entiers' ". En voici deux exemples :

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

Quand les élèves représentent $\frac{3}{4}$, les partages inégaux sont plus rares. Toutefois, certains élèves se contentent de dessiner trois morceaux, éventuellement étiquetés $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{4}$ et $\frac{3}{4}$ mais sans préciser le tout.

D'autres élèves confondent trois quarts et le troisième quart : un segment est partagé en quatre segments de même longueur, et le troisième segment est
hachuré. Peut-être y a-t-il confusion avec les activités de graduations, l'élève ne sait plus bien si l'on mesure ou si l'on repère. A ce propos, remarquons que si en mathématiques, le tiers sert à désigner la partie d'une unité divisée en trois parties égales et se distingue du troisième, il n'en est pas ainsi dans la langue ordinaire où tiers signifie aussi troisième, comme on le trouve dans plusieurs expressions : tiers monde, se moquer du tiers comme du quart, principe du tiers exclu, un testament fait à un tiers... La confusion avec les ordinaux est toujours présente pour le cinquième, le sixième, etc. Elle trouverait son origine dans une pratique qui consiste, pour prélever un sixième d'une quantité discrète, à compter les objets un à un jusqu'à six, à écarter le sixième, et à recommencer ainsi jusqu'à épuisement de la quantité.

Les choix et les erreurs commises pour représenter $\frac{1}{3}$ et $\frac{3}{4}$ nous renseignent sur ce que savent les élèves des fractions : des écritures numériques à deux nombres, associées à des actions de partage et de prélèvement de parts. Les rôles respectifs du numérateur et du dénominateur dans ces actions ne sont pas toujours clairement définis.

Une question différente a été posée en 1987 dans le cadre de l'EVAPM <fnref n="148" /> aux élèves de sixième, on leur a demandé de partager un disque représentant un gâteau en huit parts égales puis de colorier une part représentant $\frac{3}{8}$ du gâteau et une part représentant $\frac{1}{4}$ du même gâteau. 76% des élèves réussissent le partage, 71% réussissent à colorier les trois huitièmes et 45% réussissent à colorier le quart. Si l'on ramène les deux derniers pourcentages aux élèves qui ont partagé le disque en huit parts égales, on obtient respectivement 93% et 59% de réussite. La chute importante du "score" indique à la fois la bonne association entre trois parts sur huit et la fraction $\frac{3}{8}$ mais aussi la difficulté de plus de quatre élèves sur dix à colorier deux parts pour représenter un quart du disque.

Dans cette même évaluation, on demandait aux élèves, sans calculatrice, de donner l'écriture décimale des fractions $\frac{2}{5}$ et $\frac{7}{4}$. La réussite conjointe n'est que de 15% ce qui montre, compte tenu de la simplicité des divisions à effectuer, que l'écriture fractionnaire n'est pas, pour la plupart des élèves en fin de sixième et dans ce contexte, disponible en tant qu'écriture d'un quotient. La question "inverse" a aussi été posée, il fallait écrire sous forme d'une fraction les nombres 0,1, 0,6, 3,7 et 0,03. La réussite conjointe est de 34%, la réussite à au moins trois des quatre monte à 45%. On retrouve des erreurs mentionnées par Marie-Jeanne Perrin :
$$ \frac{2}{5} = 2,5, \quad 0,03 = \frac{0}{03} \quad \text{ou} \quad 0,03 = \frac{03}{0} \quad \dots $$

<footnote n="148">¹⁴⁸ APMEP-IREM de Besançon (1987), *EVALuation du Programme de Mathématiques fin de sixième*, Paris : APMEP. [p. 42, 43].</footnote>
## Les décimaux et les nombres composés

Avant de rencontrer les nombres décimaux, les élèves rencontrent des "nombres composés" d'heures et de minutes, de francs et de centimes, de mètres et de centimètres par exemple. Les deux entiers qui figurent dans ces nombres sont perçus par certains élèves comme étant relativement indépendants. Cette conception rejoint celle de "juxtaposition de deux entiers" que décrit Marie-Jeanne Perrin et qui explique des erreurs dues au traitement séparé de la partie entière et de la partie décimale.

Dans les écritures décimales. Comment les élèves passent-ils d'un "nombre composé" à un nombre décimal ? Dans la question [EVA6,95. Ex 2. a.], la consigne est de compléter un chèque par le montant en écriture décimale alors que le montant rédigé en toutes lettres apparaît : quarante-huit francs cinq centimes. La moitié des élèves répond 48,5 francs alors que la forme de l'exercice n'a pas dérouté les élèves (1,3% d'absence de réponse à cet exercice), les unités monétaires étant d'un usage courant.

Dans les calculs en ligne. Le traitement séparé de la partie entière et de la partie décimale dans des calculs apparaît notamment lorsque l'opération est donnée en ligne. Ainsi, par exemple, 7,8% des élèves répondent 3,21 à la question [EVA6,95. Ex 17. b.] où il fallait calculer 7,24 – 4,3.

Dans les comparaisons. Nous avons déjà cité les travaux de Catherine Grisvard et François Léonard sur les règles utilisées par certains élèves dans la comparaison des nombres décimaux positifs. Dans la question [EVA6,91. Ex 19. c.] les élèves devaient compléter l'inégalité 6,23 >... en choisissant un nombre parmi 6,4, 31,7, 53, 6,13, 31,07 et 65,2. Ces nombres avaient déjà servi pour des consignes analogues dans les questions a. et b. Alors que la valeur 6,13 est proposée et non 6,137 qui aurait été moins attractive, 14,1% des élèves répondent 6,4. Et parmi ceux qui répondent 6,13, combien aurait pu aussi bien écrire 6,4 ?

## Les décimaux, abscisses de points de la droite graduée

Nous avons vu qu'une approche des nombres décimaux consiste à partager, sur une droite numérique, l'unité en dix parties égales repérées par 0,1, 0,2..., en reliant éventuellement la démarche à la conception du système métrique. Cette méthode facilite les comparaisons pour les élèves qui savent placer un nombre sur la droite numérique. Elle produit aussi, en phase d'apprentissage, certaines erreurs dont voici un exemple.

Dans les questions [EVA6,95. Ex 23. a. b.] les élèves devaient associer un nombre à une flèche pointant sur une marque de graduation d'une droite graduée en dixièmes où les nombres 0, 1 et 2 étaient indiqués. Un exemple leur était fourni : 0,4. Deux associations étaient demandées : 0,8 et 1,6. Les élèves ont trouvé 0,8 à 93,9% mais 1,6 à 76,8%. Certains ont compté 0,8, 0,9, 0,10, 0,11... et ils ont proposé 0,16 au lieu de 1,6. D'autres ont compté à partir de 2, l'entier le plus proche, mais ils n'ont pas inversé l'ordre et ils ont proposé 2,4.
## Les décimaux et l'écriture décimale

Quand l'accent est mis sur l'écriture, le nombre décimal est décrit par une forme. Elle est constituée de chiffres, le chiffre des unités est identifié par la virgule qui le suit et l'on repère alors les autres chiffres : le chiffre des centaines, des dizaines, des dixièmes, des centièmes, etc. Les élèves doivent alors gérer un vocabulaire complexe et une virgule mobile. Le vocabulaire est complexe : ils sont nombreux à confondre dizaine et dixièmes, un dixième cardinal et le dixième ordinal, à écrire dizième ou diziaine... Quant à la virgule, elle n'est pas toujours associée au repérage du chiffre des unités mais souvent à un séparateur de la partie entière et de la partie décimale. Cela renforce la conception "juxtaposition de deux entiers". Et la virgule est mobile dans certaines formulations de règles... Cette complexité pose des difficultés, en voici quelques exemples.

* Le vocabulaire. La complexité du vocabulaire entraîne des erreurs, dans les questions [EVA6,91. Ex 18. a. à d.], les élèves devaient :

– a. écrire le chiffre des centaines de 127,753. Ils sont 16% à répondre 7, négligent-ils la virgule, confondent-ils dixième et centième ou sont-ils induits en erreur par la lecture orale du nombre ? Ils sont 3,4% à répondre 5 ce qui semble correspondre à une confusion entre centaine et centième ;

– b. écrire le chiffre des dixièmes de 180,254. Ils sont alors 26,6% à répondre 5 (le chiffre des dizaines de la partie décimale) et 12% à répondre 8 ;

– c. compléter la phrase "Dans le nombre 13,456 le chiffre 4 est celui des..." Ils répondent correctement pour 42,2% d'entre eux et 21,0% répondent centaines.

* La gestion de la virgule. Parler de gestion de la place de la virgule peut sembler mathématiquement réducteur, néanmoins de nombreuses règles de calcul sont formulées en deux parties, la première en considérant les nombres entiers obtenus en supprimant la virgule et la seconde en plaçant la virgule au résultat.

Pour l'addition ou la soustraction de deux décimaux, on place les nombres en disposant les virgules les unes sous les autres, on effectue l'opération sans tenir compte des virgules puis on place la virgule au résultat sous les autres virgules. A condition de ne pas l'oublier... Dans la question [EVA6,97. Ex 15. c.] les élèves devaient effectuer l'addition posée $168,75 + 42,50$. Ils sont 10,7% à trouver les bons chiffres de la somme mais à oublier (à ne pas écrire) la virgule ou à ne pas bien la placer.

Pour la multiplication de deux décimaux, on effectue le calcul sans tenir compte de la virgule, on obtient le produit cherché en plaçant correctement la virgule. Il peut y avoir confusion avec la méthode décrite pour l'addition quand les deux facteurs sont disposés comme dans une addition. Ainsi, la consigne de [EVA6,91 Ex 23. b.] était d'effectuer la multiplication posée $11,4 \times 5,3$ et les virgules étaient disposées l'une sous l'autre. Après avoir obtenu les bons chiffres du produit, les élèves oublient (n'écrivent pas) la virgule pour 14% d'entre eux et ne la placent pas correctement pour 7,1% d'entre eux. Soit au total plus d'un élève sur cinq. Mais la virgule n'est pas la seule cause des erreurs des élèves, nous y reviendrons plus précisément à propos des difficultés d'apprentissage relatives à la multiplication des décimaux.
## Les décimaux et les ordres de grandeur

Les élèves savent-ils donner l'entier le plus proche d'un nombre décimal donné ? La question [EVAPM6,87 B. 17.] propose trois nombres décimaux " donnés par la calculatrice " (c'est affirmé par l'énoncé) et demande d'écrire à côté de chacun d'eux, l'arrondi à l'unité la plus proche. Un exemple est fourni : 36,859 réponse : 37. Les trois nombres donnés sont 123,45, 3,95459 et 0,23456. En fin de sixième, 24% répondent correctement pour les trois nombres, 46% pour deux des trois.

D'autres évaluations ont proposé d'inscrire cette question d'approximation dans un contexte de calcul. Voyons par exemple [EVA6,94 Ex 15. 1) 2)] :

Tu feras cet exercice sans poser d'opération.

1) Martine affirme que : " 72 x 1,9 est proche de 140. "
Es-tu d'accord avec Martine ou non ? Explique pourquoi.

2) Une classe de collège compte en moyenne 25 élèves. Le nombre d'élèves dans un collège de 21 classes est proche de : 300 400 500

a. Entoure la réponse qui te semble la plus proche du résultat.

b. Explique ton choix.

Les résultats permettent de comparer l'utilisation des approximations suivant que les nombres sont décimaux ou entiers. A la première question, 32% des élèves répondent " oui " (c'est-à-dire la bonne réponse) avec ou sans explication. A la seconde question 44,7% des élèves entourent 500 (c'est-à-dire la bonne réponse) avec ou sans explication. La performance des élèves montre que la détermination d'approximations par des entiers n'est pas acquise à l'entrée en sixième mais aussi qu'elle est plus difficile quand elle porte sur des nombres décimaux plutôt que sur des nombres naturels.

## Les décimaux et les grandeurs usuelles

Nous avons vu que de nombreux exercices qui portent sur la multiplication de nombres décimaux sont issus de situations d'isomorphisme de grandeurs, les décimaux sont alors des mesures de ces grandeurs, une unité étant choisie. Mais les élèves disposent-ils de quelques références de mesures de grandeurs usuelles ? C'est la question posée par [EVA6,93 Ex 3.] :

Pour chaque phrase, entoure la bonne réponse.

a) La surface d'un timbre-poste ordinaire mesure :
5 mm² - 5 cm² - 5 dm² - 5 m²

b) Un pot de yaourt individuel contient :

$2,5 \text{ ml} - 12,5 \text{ cl} - 12,5 \text{ d} \ell - 12,5 \ell$

c) Le diamètre d'une roue de vélo d'adulte est :
10 mm - 50 mm - 150 mm - 700 mm

d) Un œuf de poule pèse environ :
0,65 g - 6,5 g - 65 g - 650 g

Les pourcentages de bonnes réponses à ces questions sont respectivement : 43,0%, 66,8%, 47,3% et 36,6%. Ainsi, à l'entrée en sixième, dans le contexte de questions
scolaires<sup>149</sup>, un élève sur deux ne possède aucun moyen de contrôle de la pertinence des données de l'énoncé ou de la réponse qu'il produit à un problème qui porte sur ces grandeurs usuelles.

## Conclusion : une maîtrise encore insuffisante du nombre décimal

Les élèves abordent les nombres décimaux à l'école primaire, ils en voient différents aspects. Chaque aspect doit contribuer à ce que les élèves comprennent le sens des décimaux et à ce qu'ils puissent mobiliser certaines techniques liées à la numération et aux opérations. Les performances des élèves à différentes évaluations montrent que les nombres entiers sont bien mieux acquis que les nombres décimaux. Les élèves ont des difficultés pour approcher un décimal par un entier, que la question soit posée ou non en référence à une situation. A la fin de l'école primaire, les nombres décimaux restent, pour certains élèves, deux entiers séparés par une virgule, ces entiers ayant éventuellement des statuts différents. Les pourcentages d'erreurs qui correspondent à cette conception varient entre 10 % et 50 % suivant les questions posées.

Ces résultats montrent que les professeurs ne peuvent envisager d'enseigner la multiplication des décimaux en s'appuyant sur la notion de nombre décimal avec seulement les connaissances des élèves à l'entrée en sixième. Les deux ingénieries didactiques de construction des décimaux sont des exemples d'enseignement qui ne peuvent être repris sans que cette notion soit travaillée. Comment les professeurs de sixième pourraient-ils prendre en compte cette réalité quand ils préparent leurs cours sur la multiplication des décimaux ? Nous tenterons de répondre à cette question après avoir, comme nous venons de le faire pour les nombres décimaux, montré quelles sont les compétences des élèves sur la multiplication.

## 12. Difficultés d'apprentissage de la multiplication

L'analyse des propositions d'enseignement de la multiplication des nombres décimaux a montré que nombre d'entre elles qui figurent dans les manuels scolaires s'appuient sur la multiplication de deux entiers et sur la multiplication d'un entier par une puissance de dix. Après avoir examiné ces deux cas particuliers, nous étudions les résultats concernant la multiplication de deux décimaux. Nous cherchons à déterminer des démarches qui traduisent des difficultés d'apprentissage et dont les professeurs tiennent sans doute compte lorsqu'ils préparent leurs cours. Puis nous analysons les performances des élèves quant à la résolution de problèmes multiplicatifs.

### Technique de la multiplication de nombres entiers

On pourrait penser *a priori* que les décalages et la présence de zéros au multiplicateur sont les causes des erreurs les plus fréquentes des élèves. En fait les évaluations montrent que la première des difficultés des élèves est la méconnaissance des tables de multiplications, surtout celles de six à neuf. Voyons

<footnote n="149"><sup>149</sup> Nous précisons l'importance du contexte scolaire car, en dehors de la classe, les enfants trouveraient peut-être d'autres manières de contrôler leurs réponses.</footnote>
quelques exemples pour lesquels nous présentons, dans l'ordre, le questionnaire et l'année de passation de l'évaluation, la question, le pourcentage de réussite et des remarques complémentaires éventuelles.

• IREM & CRDP, 78 <fnref n="150" />

<table><tr><td>312×24</td><td>Réussite : 81,5 %</td><td>543×26</td><td>Réussite : 71,0 %</td></tr><tr><td>236×403</td><td>Réussite : 57,4 %</td><td></td><td></td></tr></table>

• EVA6,92

<table><tr><td>231 × 305</td><td>Réussite : 77,8 % ; décalage correct mais erreurs de calcul : 9,1 % ; pas de décalage avec ou sans erreur de calcul : 4,6 %</td></tr></table>

• EVA6,93

<table><tr><td>452 × 107</td><td>Réussite : 68,3 % ; décalage correct mais erreurs de calcul : 15,6 % ; pas de décalage avec ou sans erreur de calcul : 3,2 %</td></tr></table>

• EVA6,91

<table><tr><td>759 × 109</td><td>Réussite : 51 % ; décalage correct avec erreurs de calcul : 29,3 % ; décalage faux avec ou sans erreur de calcul : 2,9 %</td></tr><tr><td>420 × 30</td><td>Réussite : 75,3 % ; erreur de zéro : 9,9 %</td></tr></table>

L'enquête menée par l'académie de Haute Corse et l'IREM de Nice montre la décroissance de la performance des élèves quand on passe d'une multiplication sans retenue à une multiplication avec retenue (81,5 % à 71,0 %) et quand on passe d'une multiplication avec retenue sans zéro intercalé au multiplicateur à une multiplication avec retenue et un zéro intercalé au multiplicateur (71,0 % à 57,4 %).

Les trois premières multiplications citées à partir des évaluations nationales à l'entrée en sixième montrent aussi l'importance de la méconnaissance de certains produits de la table de multiplication parmi les causes des difficultés des élèves. Ces multiplications sont comparables du point de vue technique : elles contiennent des retenues, elles portent sur deux facteurs à trois chiffres avec un zéro intercalé comme deuxième chiffre du multiplicateur. Mais dans la première, les facteurs ne comportent pas de chiffre " supérieur " à 5, dans la deuxième, un des facteurs en contient un, et dans la troisième, les deux facteurs en contiennent. L'augmentation des erreurs de calcul est sensible : elles sont respectivement de 9,1 %, 15,6 % et 29,3 % parmi les élèves qui décalent correctement les produits partiels.

Néanmoins, les erreurs dues à la présence d'un zéro au chiffre des unités du multiplicateur ne sont pas à négliger, comme le montrent les 9,9 % d'erreurs à la multiplication 420 × 30.

<footnote n="150">¹⁵⁰ L'académie de Haute Corse, associée à l'IREM de Nice, a publié en 1981 une brochure sur le nombre décimal. Elle contient une enquête qui a été réalisée en 1978, elle a porté sur 303 élèves de sixième. Parmi les questions posées, figurent dix multiplications de difficulté variable.

IREM de Nice & CDDP de la Haute Corse (1981), *Le nombre décimal*, Bastia : CDDP de la Haute Corse.</footnote>
## Les multiplications par 10, 100, 1 000...

Deux raisons pour étudier ces multiplications par 10, 100 ou 1 000... D'une part, elles forment un cas particulier des multiplications d'un décimal par un entier qui sont enseignées à l'école primaire et, d'autre part, elles sont utilisées dans de nombreuses propositions d'enseignement de la multiplication des nombres décimaux : pour calculer $3,2 \times 5,17$, on calcule $32 \times 517$ (ce qui revient à multiplier respectivement par 10 et par 100 les deux facteurs) puis on divise le produit par 1 000 (pour compenser les deux multiplications).

Nous remarquons des difficultés des élèves qui sont liées à celles qu'ils éprouvent avec les nombres décimaux et plus exactement avec l'écriture décimale. Ils apprennent à l'école primaire que, par une multiplication par 10, le chiffre des unités du multiplicande devient le chiffre des dizaines du produit ou que la virgule est décalée d'un cran vers la droite. Soit on retrouve les difficultés liées à la complexité du vocabulaire, soit les élèves décalent indistinctement vers la gauche ou vers la droite, soit encore ils sont gênés quand la virgule "disparaît". Et l'on trouve aussi des traces de règles apprises pour multiplier un nombre entier par 10, certains élèves "ajoutent" des zéros à l'écriture du multiplicande. Voyons en quelques exemples issus des évaluations.

### - Multiplications par 10

* EVA6,91 et 95
  63 × 10
  Réussite 94,3 % en 1991 et 91,5 % en 1995

* EVA6,92
  38,45 × 10
  Réussite 60 %

* EVA6,94
  2,3 × 10
  Réussite 77,4 %, 10,4 % répondent 20,3 ou 2,30 et 6,3 % répondent 230.

On remarque que la technique de multiplication d'un entier par 10 est mieux acquise que celle d'un décimal. Le dernier exercice montre que plus de 15 % des élèves appliquent "comme ils peuvent" la technique qu'ils connaissent le mieux pour multiplier un décimal.

### - Multiplications par 100 ou 1 000

* EVA6,95
  7,14 × 100
  Réussite 63,3 %, des élèves utilisent une règle analogue à celle qui concerne les entiers : 9,9 % répondent 7,1400, 4,5 % répondent 700,14 ou 700,1400, enfin 7,8 % effectuent un mauvais déplacement de virgule.

* EVA6,92
  27,1 × 100
  Réussite 47,3 %

* EVA6,94
  35,2 × 100
  Réussite 59,5%, 9,7% répondent 3500,2 ou 35,200 et 15,7% répondent 352.

Même constatation que pour la multiplication par 10 : la technique de multiplication d'un entier par 100 est mieux acquise que celle d'un décimal. On remarque aussi que près d'un élève sur 6 est en difficulté quand, pour effectuer $35,2 \times 100$, il a décalé la virgule d'un rang, que la virgule disparaît et qu'il devrait
la décaler d'un autre rang vers la droite c'est-à-dire ajouter un zéro. L'enchevêtement des techniques semble à l'origine de ces erreurs.

Les multiplications par 1 000 conduisent aux mêmes constatations, avec une chute des résultats quand l'élève doit supprimer la virgule et ajouter des zéros : seulement 48,0% d'entre eux réussissent à effectuer $18,7 \times 1000$ (EVA6,92).

### Les divisions par 10, 100, 1 000...

Comme nous venons de le rappeler, ces divisions d'un nombre décimal par 10, 100 ou 1 000... sont utiles pour certains enseignements de la multiplication des nombres décimaux. En outre, elles sont à rapprocher de la multiplication par une puissance entière négative de dix.

#### - Divisions par 10

• EVA6,95 630 ÷ 10
Réussite 81,4%

• EVA6,91 325,6 ÷ 10
Réussite 62,1%

• EVA6,93 0,1034 ÷ 10
Réussite 30,5%

• EVAPM6,89 287 ÷ 10
Réussite 80%

• EVA6,92 38,45 ÷ 10
Réussite 63,8%

Les performances des élèves montrent que la division d'un nombre entier par 10 est mieux acquise que celle d'un décimal, et ceci que le chiffre des unités soit zéro ou non. Les réussites chutent de plus de 15% en passant d'un entier à un décimal lorsque ce dernier comporte au moins deux chiffres à la partie entière, c'est-à-dire lorsqu'un simple décalage de virgule est possible. Les résultats chutent de plus de 30% lorsque la partie entière est nulle.

#### - Divisions par 100 ou 1 000

• EVA6,95 67 ÷ 100
Réussite 53,9%

• EVA6,92 27,1 ÷ 100
Réussite 47,7%

• EVA6,93 8006 ÷ 100
Réussite 42,5%

• EVA6,94 936,7 ÷ 100
Réussite 53,6%

Les performances des élèves indiquent que la division par 100 est plus difficile que la division par 10. Que le diviseur soit entier ou non ne semble pas influencer les résultats. En revanche, la division par 1 000 quand il y a plus d'un zéro à "ajouter" à gauche fait chuter les scores :

• EVA6,95 3000,6 ÷ 1000
Réussite 47,3%

• EVA6,92 18,7 ÷ 1000
Réussite 37,0%

### Les multiplications de deux décimaux

Le fait que le changement de programme, qui a fait passer la multiplication de deux décimaux de CM2 en 6e, soit récent nous permet d'avoir des résultats d'évaluations de la multiplication d'un décimal par un entier mais aussi de deux décimaux à l'entrée en sixième.

Parmi les résultats aux multiplications de décimaux, il faut différencier les opérations données en lignes de celles qui sont posées car, comme le fait remarquer
l'équipe de l'APMEP chargée de la rédaction de la brochure EVAPM 6e 1987, "La lecture non-courante des nombres crée des erreurs de copie quand une opération est proposée en ligne et qu'elle doit être effectuée en colonne."

♦ Opérations données en ligne

• IREM-CDDP, 78 <fnref n="151" />

<table><tr><td>543×0,12</td><td>17,9×32</td><td>1246×2,5</td></tr><tr><td>Réussite 64,4 %</td><td>Réussite 61,1 %</td><td>Réussite 62,7 %</td></tr><tr><td>2,6×0,25</td><td>912,4×5,123</td><td>37,35×2,34</td></tr><tr><td>Réussite 47,2 %</td><td>Réussite 43,6 %</td><td>Réussite 42,9 %</td></tr><tr><td></td><td>86,34×340</td><td>Réussite 34,7 %</td></tr></table>

• EVAPM6,87 54,15 × 3,02 73,9 × 60,2
Réussite 57% Réussite 55%

• EVAPM6,89 40,75 × 6,20 Réussite 51%

♦ Opérations posées

• EVA6,91 11,4 × 5,3
Réussite 58%, chiffres exacts mais faute de virgule 21,1% <fnref n="152" />

• EVA6,92 7,46 × 3,1
Réussite 52%, chiffres exacts mais faute de virgule 20,1%

• EVA6,94 63,4 × 2,12
Réussite 49,6%, chiffres exacts mais faute de virgule 21,2%

L'examen des performances des élèves montre que les causes d'erreurs sont variées. Il semble que – à une exception près – si l'on fixe la difficulté liée au choix des chiffres des facteurs, la performance des élèves baisse quand on passe de la multiplication de deux entiers à celle d'un décimal par un entier puis à celle de deux décimaux où les fautes de virgule avoisinent 20%; l'exception est le cas où l'entier multiplicateur a le chiffre zéro pour chiffre des unités.

Comment les élèves se trompent-ils au moment de placer la virgule du produit ? Il y a ceux qui l'oublient ou qui ne l'écrivent pas parce qu'ils ne sont pas sûrs de sa place. Certains comptent le nombre de décimales mais placent la virgule au produit en comptant les chiffres de gauche à droite et non de droite à gauche. Des élèves alignent les chiffres (les unités sous les unités...) quand ils posent la multiplication et placent la virgule comme s'il s'agissait d'une addition ; on remarquera que cette disposition des chiffres est inévitable lorsque les facteurs ont le même nombre de décimales et qu'on termine toujours une multiplication par une addition, celle des produits partiels. Lorsque les deux facteurs n'ont pas le même nombre de décimales, notamment lorsque le multiplicateur en a une de plus que le multiplicande, certains élèves, comme dans une addition, complètent

<footnote n="151">¹⁵¹ IREM de Nice & CDDP de la Haute Corse (1981), *Le nombre décimal*, Bastia: CDDP de la Haute Corse.</footnote>

<footnote n="152">¹⁵² Tous les pourcentages se réfèrent à l'effectif total des élèves.</footnote>
mentalement par un zéro pour obtenir le même nombre de décimales, calculent avec ce zéro mais ne le comptabilisent pas au moment de placer la virgule<fnref n="153" /> :

$$ \begin{array}{c@{\hspace{1em}}r@{\hspace{1em}}r@{\hspace{1em}}r@{\hspace{1em}}r} \times & \multicolumn{1}{c}{3,} & \multicolumn{1}{c}{5} & \multicolumn{1}{c}{0} \\ \cline{2-4} & \multicolumn{1}{c}{4,} & \multicolumn{1}{c}{2} & \multicolumn{1}{c}{5} \\ \cline{2-4} & 1 & 7 & 5 & 0 \\ & 7 & 0 & 0 & \bullet \\ \cline{2-4} & 1 & 4 & 0 & \bullet & \bullet \\ \cline{2-5} & 1 & 4 & 8, & 7 & 5 & 0 \end{array} $$

Les évaluations ci-dessus permettent encore de montrer que s'il n'apparaît pas, dans l'utilisation des tables de multiplication, deux facteurs supérieurs à 5, alors la " taille " des chiffres ne contribue pas aux erreurs des élèves. Le fait que le multiplicande et le multiplicateur aient ou non le même nombre de décimales (à condition qu'ils en aient) ne contribue pas non plus à une variation des performances des élèves. Ni encore le fait que le multiplicateur soit inférieur à 1.

Tous ces résultats contribuent à expliquer le changement de programme : la multiplication de deux décimaux pose des difficultés techniques aux élèves pour le calcul du produit, en particulier la gestion de la virgule, difficultés qui surgissent notamment lorsqu'on passe de la multiplication d'un décimal par un entier à celle de deux décimaux.

## Les problèmes issus de situations multiplicatives

Pour terminer cette approche des difficultés des élèves, nous allons examiner celles qu'ils rencontrent pour résoudre un problème issu d'une situation multiplicative. Afin de ne pas entrer dans une étude d'autres difficultés, nous nous restreindrons aux problèmes que l'on peut résoudre en effectuant une et une seule opération : une multiplication. En classe, les élèves rencontrent aussi des problèmes de complexité plus grande.

* **Produit de deux entiers ou d'un décimal par un entier**

* **EVA6,91 & 95 (situation d'isomorphisme de grandeurs)**

A la récréation de 10 heures, 83 petits pains ont été vendus par un groupe de 4 élèves. Chaque petit pain a été vendu 3F. Quel est le montant de cette vente ?

* **en 91 Réussite 81,2%, utilisation d'une donnée parasite : 3,4%**

* **en 95 Réussite 75,9%, utilisation d'une donnée parasite : 13,1%**

* **EVA6,95 & 97 (situation d'isomorphisme de grandeurs)**

Un carton d'eau minérale contient 6 bouteilles de 1,5 litre.

Le magasinier range 25 de ces cartons sur son rayon.

Indique par une croix l'opération qui convient pour trouver le nombre de bouteilles rangées.

$$ \begin{array}{ccccccc} 25+6 & & 25 \times 6 & & 1,5 \times 6 & & 25-6 & & 25 \times 1,5 & & 6-1,5 \\ \square & & \square & & \square & & \square & & \square & & \square \\ \end{array} $$

<footnote n="153">153 Nous avons souligné le zéro qui n'est pas écrit par l'élève mais dont il tient compte pour calculer.</footnote>
en 95 Réussite 77,6%, réponse faisant intervenir 1,5 : 16,6%

en 97 Réussite 80,2%, réponse faisant intervenir 1,5 : 15,0%

* EVA6,92 (situation d'isomorphisme de grandeurs)

On achète 7,20 m de fil électrique à 4 F le mètre.

Combien a-t-on payé ?

Réussite 69,4% Traitement séparé partie entière / partie décimale (28,20) : 2,8 %

* EVA6,94 (addition réitérée)

Entoure l'opération qui permet de calculer la distance de A à B
dans chacun des cas suivants :

<table><thead><tr><th>&lt;-2,7-&gt;</th><th>&lt;-2,7--&gt;</th><th>&lt;-2,7-&gt;</th><th>&lt;-2,7-&gt;</th><th>&lt;-2,7-&gt;</th><th>&lt;-2,7-&gt;</th><th>&lt;-2,7-&gt;</th><th>&lt;-2,7-&gt;</th></tr></thead><tbody><tr><td>A</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>B</td></tr><tr><td>2,7 - 9</td><td>9 : 2,7</td><td></td><td></td><td>9 - 2,7</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>2,7 - 10</td><td>2,7 x 9</td><td></td><td></td><td>2,7 - 9</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Réussite 76,4 %

* EVAPM6, 97 (en fin de sixième, situation d'isomorphisme de grandeurs)

Un ticket de cantine coûte 14,75 F.

Quel est le prix d'un carnet de 10 tickets ?

Réussite 82 %. Et 7 % des élèves répondent 140,75 F

Ces exemples montrent une bonne reconnaissance du modèle multiplicatif dans le cas d'une situation d'isomorphisme de grandeurs où l'une d'entre elles a pour valeur un nombre entier. Toutes ces situations sont interprétables avec le modèle de l'addition réitérée. Voyons quelques résultats qui concernent le calcul de l'aire d'un rectangle, pour les autres situations multiplicatives, nous ne disposons pas de sources issues des évaluations nationales déjà citées. Nous interprétons cette absence comme le témoignage du fait que l'institution scolaire privilégie, dans l'enseignement, les situations d'isomorphisme de grandeur et de calcul d'aire de rectangles.

* EVA6,93 (aire d'un rectangle)

Un terrain a la forme d'un rectangle. Les dimensions sont

longueur : 60 m

largeur : 40 m

Quelle est l'aire de ce terrain ?

Réussite (réponse 2 400 m² ou 2 400) : 38,5%

ERROR : Erreur d'unité de mesure (2 400 m) : 4,6%
* EVA6,95 & 97 (aire d'un rectangle)

Voici le rectangle ABCD

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

L'aire du rectangle est... ... cm²

en 95 Réussite 29%, confusion avec le périmètre (réponse 16) : 35,4%

en 97 Réussite 27,3%, confusion avec le périmètre (réponse 16) : 34%

Ces deux exercices montrent que l'association entre l'aire du rectangle et la multiplication des côtés n'est acquise que par un tiers environ des élèves à l'entrée en sixième. La confusion avec le périmètre existe, elle est renforcée dans le second exercice où les quatre mesures sont indiquées, ce que certains élèves interprètent peut-être comme une invitation à les utiliser toutes. La faiblesse de ces résultats laisse à penser que le choix d'activités de calculs de l'aire de rectangles pour faire travailler les élèves sur la multiplication se heurte à l'importance de la durée nécessaire à l'acquisition de la notion d'aire. Les enseignants privilégieraient alors (comme les manuels) les situations d'isomorphisme de grandeurs et d'addition réitérée.

## ♦ Produit de deux décimaux, reconnaissance du modèle

Pour en terminer avec les difficultés d'apprentissage de la multiplication, abordons un point particulièrement important : la reconnaissance du modèle multiplicatif d'un problème lorsque les données sont décimales. Nous ne disposons, hélas, que d'un exercice d'évaluation de la résolution de problèmes conduisant à une multiplication de deux décimaux.

* EVA6,93 (repris d'une évaluation de 1980, *isomorphisme de grandeurs*)

J'achète 3,70 m de tissus à 9,50 F le mètre.

Combien dois-je payer ?

en 93 Réussite 35,2%, recours à une démarche multiplicative : 80,5%

en 80 Réussite 45,5%, recours à une démarche multiplicative : 77,5%

Ces chiffres montrent un écart important entre le recours à la bonne démarche et l'obtention du résultat attendu. Les élèves identifient-ils la structure multiplicative même s'ils ne savent pas effectuer la multiplication ? C'est le cas de ceux qui, en 1993 (1980) apparaissent dans les 80,5% (77,5%) des élèves qui recourent à une démarche multiplicative et qui n'apparaissent pas dans les 35,2% (45,5%) qui réussissent le problème. Remarquons, sur cet exemple, une évolution qui peut sembler paradoxale : de 1980 à 1993 la reconnaissance du modèle multiplicatif progresse de 3% alors que la réussite au problème baisse de plus de 10%. En 1993, les élèves calculeraient plus mal qu'en 1980 mais cette baisse n'aurait pas d'influence sur la reconnaissance du modèle multiplicatif. Ces
résultats, trop partiels pour qu'on puisse en tirer des généralités posent tout de même une question : la compétence technique contribue-t-elle ou non à la reconnaissance de la situation ? Cette indépendance entre l'habileté technique et la reconnaissance du modèle a été étudiée, en particulier par l'APMEP <fnref n="154" /> :

On peut penser, et cela est souvent affirmé dans le public, que la maîtrise des techniques opératoires classiques est une condition nécessaire à la maîtrise des situations de problèmes du domaine numérique. En fait toutes les études de dépendances et de corrélation conduisent à infirmer fortement cette idée.

La place manque pour développer cette question. Nous donnerons simplement deux exemples en insistant sur le fait qu'ils sont généralisables :

* Les réussites aux items C25 (effectuation d'un produit) et P32 (résolution d'un problème multiplicatif) sont indépendantes.

Rappelons que cela signifie qu'un élève qui a réussi C25 n'a pas plus de chance de réussir P32 qu'un élève qui aurait échoué à C25.

* Les réussites aux items C25 (effectuation d'un produit) et C29 (produit d'un nombre par une fraction) sont indépendantes. Ce dernier point tend à montrer que la dépendance n'est même pas assurée lorsqu'on passe d'un type d'algorithme à un autre.

L'institution pose les mêmes questions <fnref n="155" /> :

D'un point de vue utilitaire, on peut se demander si une bonne capacité à effectuer des calculs par écrit est un objectif important aujourd'hui, alors que l'on a toujours une machine à portée de main. Dans ces conditions, il peut apparaître que les connaissances vraiment utiles aujourd'hui soient d'une part le sens des opérations à effectuer, d'autre part le contrôle des ordres de grandeur par du calcul mental approché.

Pourtant, l'indépendance entre la reconnaissance du modèle et l'habileté opératoire ne semble pas si claire. Les recherches, plus récentes que celles de l'APMEP, menées par Denis Butlen & Monique Pézard <fnref n="156" /> sur les rapports entre l'habileté calculatoire et la "prise de sens" dans la résolution de problème ont donné des résultats plus nuancés. Une amélioration de la résolution de problèmes numériques est parfois obtenue par une meilleure habileté calculatoire, cela dépend de la structure des problèmes – additive ou multiplicative –, de la

<footnote n="154">¹⁵⁴ APMEP (1991), *Evaluation du programme de mathématiques – Sixième 1989 - Cinquième* 1990, Paris : APMEP. [p. 48].</footnote>

<footnote n="155">¹⁵⁵ DEP (1996), *Evaluation CE2 – 6ème, Résultats nationaux Septembre 1995*, Paris : Ministère de l'Education nationale, de l'enseignement supérieur et de la recherche, Direction de l'évaluation et de la prospective. [p. 149].</footnote>

<footnote n="156">¹⁵⁶ BUTLEN D. & PEZARD M. (1996), *Rapports entre habileté calculatoire et "prise de sens" dans la résolution de problèmes numériques, étude d'un exemple : impact d'une pratique régulière de calcul mental sur les procédures et performances des élèves de l'école élémentaire*, Cahier de DIDIREM n°27, Paris : IREM de Paris 7.</footnote>
complexité du problème et du type de résolution demandée – orale ou écrite. En ce qui concerne la multiplication, citons leurs conclusions<fnref n="157" />:

Essayons de mesurer l'impact d'un entraînement au calcul mental sur la résolution mentale de problèmes en fonction du degré de complexité du problème posé. (...)

En conclusion, nous allons essayer de préciser l'impact d'un entraînement au calcul mental sur la résolution écrite de problèmes selon le degré de complexité de la structure sous-jacente. (...)

Un entraînement régulier au calcul mental semble donc avoir un impact positif lors de la résolution écrite d'une certaine catégorie de problèmes : ceux-ci doivent être relativement familiers aux élèves sans toutefois l'être trop ; leur degré de complexité ne doit être ni trop faible ni trop fort.

La nature des erreurs concernées par cet impact dépend du degré de complexité du problème : quand la structure est simple, ce sont les erreurs de calcul et de données ; quand la structure est plus complexe, l'impact porte sur tous les types d'erreurs. Il ne porte sur la reconnaissance du modèle que dans les cas des structures additives complexes lorsque la passation s'inscrit dans une pratique régulière de calcul mental.

Citons enfin, pour illustrer des difficultés de reconnaissance du modèle multiplicatif, l'expérience avec un groupe d'élèves instituteurs (de formation Bac +3, c'est-à-dire correspondant actuellement à des étudiants en première année d'IUFM préparant le concours de Professeur des Ecoles) réalisée par Marie-Alix Girodet<fnref n="158" />:

Nous avons demandé, au cours d'une tâche où il s'agissait de vérifier la facture ci-après, de lire les donnés, puis de contrôler le prix à payer en calculant mentalement un ordre de grandeur puis en donnant le résultat exact à l'aide d'une calculatrice.

<table><tr><td colspan="3">BOEUF MERLAN</td></tr><tr><td colspan="3">CODE 135</td></tr><tr><td colspan="3">SATISFAIT OU REMBOURSÉ</td></tr><tr><td colspan="3">A consommer avant le</td></tr><tr><td colspan="3">22 fev 86</td></tr><tr><td>Prix Unitaire</td><td>Poids net</td><td>Prix à payer</td></tr><tr><td>69,90 F/kg</td><td>0,284 kg</td><td>19,85 F</td></tr><tr><td colspan="3">EMB 92800 La Défense</td></tr></table>

Tous ont lu sans difficulté la somme à payer : 19 francs 85, et le prix au kilo : 69 francs 90 centimes ou 6 990 (anciens) francs ; et les deux tiers ont bien lu 284 grammes. Mais le savoir "social" peut ici assister la compétence en calcul :

<footnote n="157">¹⁵⁷ *Ibid.* [pp. 23 et 30-31].</footnote>

<footnote n="158">¹⁵⁸ GIRODET M.-A. (1996), *L'influence des cultures sur les pratiques quotidienne des calculs*, Paris : CREDIF ENS de Fontenay-St Cloud DIDIER.</footnote>
quand on achète de la viande chez un boucher et que l'on paye environ 20 francs, on sait bien qu'il ne peut s'agir que de grammes. Certains ont d'ailleurs évoqué leur véritable expérience en remarquant qu'ils n'achètent jamais de viande à un prix aussi élevé.

Un seul sujet réussit la tâche en totalité, effectuer une vérification par un ordre de grandeur puis calculer exactement le prix et noter l'arrondi effectué, la calculatrice affichant 19,8516. Quatre arrivent à en réaliser une partie.

Deux élèves instituteurs sur trois sont en difficulté :

“ Alors un kilo donc mille grammes coûte 69 francs 90. Euh ! alors je vais avoir 1000 divisé par 284, je vais voir combien cela fait.

– Prenez la calculatrice.

– Alors pour voir si le prix est exact je divise 69,90 par 3,52 (1000 ÷ 284 = 3,52) et je trouve 19 francs 90.”

“ Euh ! on peut faire deux choses 0,284, je sais qu'il faut diviser ou multiplier. Elle tape sur la calculatrice 0,284 × 19,85 = et reste saisie du résultat affiché (5,6374). Elle recommence en tapant sur la calculatrice 284 × 19,85 = 5 637,4. Elle semble encore plus étonnée.

– Vous ne croyez pas que vous faites quelque chose qui ne va pas ?

– Si, si, c'est clair. Euh ! pourtant, je l'ai fait cela, en plus. Pourquoi je ne comprends plus !”

Les difficultés rencontrées par ces étudiants montrent qu'ils ne mettent pas en fonctionnement la structure multiplicative de ce problème de prix. Ils l'auraient certainement mieux reconnue si le poids net avait été de 3 kg, ce qui laisse à penser que le prolongement aux valeurs décimales n'est pas facile. Surtout, comme c'est le cas ici, lorsque le décimal choisi est inférieur à 1, ce qui donne un prix à payer inférieur au prix initial et ce qui peut induire un calcul par division ou par soustraction. Comme le fait remarquer l'auteur, la bonne lecture des données ne témoigne pas nécessairement d'une bonne lecture des décimaux qui peuvent être perçus comme une variante d'écriture des nombres entiers. Le prolongement de la situation à des valeurs décimales ne suffirait pas à faire acquérir le prolongement de l'opération à des valeurs décimales notamment quand le multiplicateur est inférieur à 1. Cela explique sans doute la perplexité de l'étudiant : “ *Pourquoi je ne comprends plus* !”.

## Conclusion : des difficultés qui portent sur la technique et sur le sens

La multiplication de deux nombres entiers est effectuée avec succès par environ trois élèves sur quatre, cette proportion étant modulée suivant le choix de certaines variables comme la présence d'un zéro au multiplicateur ou la nécessité d'utiliser un produit de deux facteurs supérieurs à cinq de la table de multiplication. Nous avons retrouvé approximativement cette proportion pour la multiplication d'un décimal par un entier ou pour la division par dix d'un nombre entier compris entre cent et mille alors que le résultat est un nombre décimal.

Les questions qui portent sur des multiplications de deux décimaux ne sont réussies que par 35 % à 55 % des élèves. Les compétences techniques sont donc moins bien acquises avec les nombres décimaux. Ces résultats pourraient surprendre quiconque limiterait ce prolongement de la multiplication d'un décimal
par un entier à la multiplication de deux décimaux à une affaire de comptage de décimales... Ils montrent, au contraire, que les difficultés concernant les nombres décimaux (qui sont eux-mêmes moins bien acquis que les nombres entiers à l'entrée en sixième) surgissent au moment de placer la virgule du produit. Il semblerait donc que la tâche du professeur de sixième soit importante s'il souhaite atteindre l'objectif fixé par les programmes : la compétence " multiplier deux nombres décimaux " est exigible.

De l'analyse des questions qui portent sur la reconnaissance du modèle multiplicatif dans différentes situations, et des productions des élèves, nous dressons trois constats différents.

Le premier constat est que deux types de situations seulement sont évaluées : les situations d'isomorphisme de grandeurs et le calcul de l'aire d'un rectangle. L'institution légitime-t-elle que l'enseignement se limite à ces situations ou bien se dessine-t-il un objectif du collège : élargir le sens de la multiplication ? Nous n'avons trouvé aucune réponse dans les programmes.

Le deuxième constat est que le calcul de l'aire d'un rectangle est une source de difficultés pour plus de la moitié des élèves qui confondent l'aire et le périmètre ou bien leurs formules respectives. Cette faible performance correspond-elle à un manque de formation des élèves ou à une difficulté d'acquisition ? Toujours est-il que de tels résultats ne peuvent être sans conséquence sur les choix d'un professeur pour enseigner la multiplication des décimaux : s'il programme une activité qui doit reposer sur une situation multiplicative et s'il souhaite que cette situation ne soit pas un obstacle au déroulement de la séance, alors il aura intérêt à ne pas choisir un calcul d'aire de rectangle qui le conduirait immanquablement à l'émergence de difficultés supplémentaires.

Le troisième constat est que, dans les situations multiplicatives, la dépendance entre la reconnaissance du modèle et la maîtrise technique semble globalement assez faible. Le manque de maîtrise technique handicape les élèves pour le calcul de la solution et ce d'autant plus qu'au collège les élèves sont moins sollicités qu'à l'école primaire pour poser leurs opérations, la calculatrice étant souvent utilisée. L'institution elle-même parait accepter une régression des compétences techniques des élèves à condition qu'ils apprennent à contrôler les résultats fournis par la calculatrice.

Les résultats obtenus, tant sur les décimaux que sur la multiplication, attestent que la tâche récemment confiée aux professeurs de sixième est importante. Il s'agit de compléter l'acquisition de la notion de nombre décimal, d'élargir le sens de la multiplication et d'enseigner une technique opératoire sur laquelle de nombreux élèves trébuchent. La combinaison des difficultés d'apprentissage à ces trois niveaux (nombre décimal, sens de l'opération et technique opératoire) constitue une contrainte sur l'enseignement qui peut être présente chez les enseignants dès la préparation des cours. Une autre contrainte est l'intégration de cet enseignement dans la progression annuelle compte tenu du reste du programme et des moyens horaires disponibles, nous allons l'étudier maintenant.
## 2. Intégration de l'enseignement de la multiplication des décimaux dans une progression annuelle

La tâche prescrite au professeur est définie par le programme : un contenu mathématique associé à des compétences que les élèves doivent acquérir. Un document d'accompagnement précise les intentions de l'institution scolaire afin d'aider les professeurs à programmer leur enseignement dans "l'esprit" du programme. La nécessité de ces documents montre que la tâche du professeur est complexe. L'institution lui laisse la responsabilité de concevoir un enseignement (une procédure de réalisation de la tâche prescrite) qui permettra d'atteindre le but qu'elle lui a fixé. Le professeur de mathématiques décide, en particulier, de l'ordre dans lequel il traitera les différentes notions au programme ainsi que de la durée de l'enseignement de chacune d'elles<fnref n="159" />.

On distingue, en ergonomie, les tâches pour lesquelles la procédure de réalisation peut être finement décrite par le prescripteur de celles, qu'on appelle mission, qui sont seulement définies par leur but<fnref n="160" />. Dans l'enseignement, le but n'est pas seulement celui que le professeur doit atteindre, le but comprend aussi des acquisitions de savoir par les élèves au terme de l'année en cours ainsi qu'à moyen terme. D'une part l'institution définit les thèmes qui seront traités en précisant éventuellement quelques pratiques auxquelles les élèves doivent être habitués comme le calcul écrit, le calcul mental, la recherche... Tout cela relève bien de l'activité professionnelle de l'enseignant. D'autre part, l'institution fixe des compétences exigibles en fin d'année ou en fin de cycle. Ces compétences sont celles qui doivent être acquises par les élèves, elles ne définissent pas l'activité de l'enseignant mais imposent une contrainte d'efficacité.

Le professeur doit donc comprendre le programme c'est-à-dire reconstituer le plus précisément possible, à partir de ce texte, la tâche qui lui est prescrite. Les documents d'accompagnement peuvent l'y aider mais aussi les stages de formation continue et les manuels qui proposent chacun une reconstitution possible de la tâche du professeur. Toutefois, la reconstitution reste partielle puisque le professeur doit encore choisir parmi les propositions des auteurs : il n'est pas envisageable, au collège, avec les horaires prévus, d'exploiter toutes les activités proposées dans un manuel de mathématiques. Afin d'évaluer les contraintes que le programme impose à l'enseignement de la multiplication des nombres décimaux en classe de sixième, nous allons examiner la place que lui réserve l'institution, c'est-à-dire à la fois où cette notion apparaît dans les programmes et quelle est sa fonction dans les activités mathématiques correspondantes. Nous comparerons nos résultats à ceux qui émergent des choix des auteurs des manuels scolaires. Puis nous déterminerons les projets que les professeurs pourraient élaborer pour

<footnote n="159">159 Nous précisons ici la discipline car certains programmes d'autres disciplines indiquent l'ordre et la durée à respecter pour traiter chacune des notions.</footnote>

<footnote n="160">160 LEPLAT J. (1997), *Regard sur l'activité en situation de travail – Contribution à la psychologie ergonomique*, Paris : PUF. [p. 21.]</footnote>
enseigner la multiplication des décimaux en sixième en tenant compte des résultats que nous avons obtenus jusqu'ici.

## 21. L'objet multiplication des décimaux dans l'ensemble du programme

Nous allons repérer, dans l'ensemble du programme de la classe de sixième du 22 novembre 1995, où apparaît la multiplication des décimaux et quelle est sa fonction. Cette analyse permettra de déterminer la tâche qui est prescrite aux enseignants et de dessiner les premiers contours des enseignements possibles. Autrement dit, nous cherchons à définir quel est, dans la période qui concerne notre étude, le rapport institutionnel à l'objet multiplication des décimaux. Pour atteindre cet objectif nous allons procéder à une approche écologique au sens de Yves Chevallard <fnref n="161" />

> Les écologues distinguent, s'agissant d'un organisme, son habitat et sa niche. Pour le dire en un langage volontairement anthropomorphe, l'habitat, c'est en quelque sorte l'adresse, le lieu de résidence de l'organisme. La niche, ce sont les fonctions que l'organisme y remplit : c'est en quelque façon la profession qu'il y exerce.

Nous avons donc fixé l'habitat de l'objet multiplication des décimaux (le programme de sixième) et nous allons examiner sa niche. Ce programme est rédigé en trois parties. La première précise les objectifs généraux, la seconde décrit l'organisation de l'enseignement et la troisième explicite les contenus et les compétences exigibles. C'est dans cette troisième partie que nous allons chercher où il est question de multiplication des décimaux et quelle est sa fonction. Les savoirs y sont organisés autour de trois thèmes : les travaux géométriques, les travaux numériques, l'organisation et la gestion de données.

### La multiplication des décimaux, un outil pour les travaux géométriques

Dans le thème consacré aux travaux géométriques, la multiplication des décimaux n'est pas mentionnée. Elle figure néanmoins implicitement au paragraphe n°2 qui traite des surfaces planes : mesure, comparaison et calcul d'aires et de périmètres. Citons les compétences exigibles :

- Calculer l'aire et le périmètre d'un rectangle.

- Evaluer, à partir du rectangle, l'aire d'un triangle rectangle.

- Calculer la longueur d'un cercle.

Le fait qu'elle ne figure pas explicitement laisse penser que les auteurs des programmes n'envisageaient pas, lors de la rédaction, le calcul d'aire de rectangles comme une activité qui donne du sens à l'objet multiplication mais comme une activité qui permet la mise en fonctionnement du caractère outil de cet objet mathématique.

### La multiplication des décimaux pour apprendre le sens de l'écriture décimale

Dans le paragraphe *Nombres entiers et décimaux : écriture et opérations*, on peut lire, avant le titre *Techniques opératoires*, deux compétences exigibles :

<footnote n="161">¹⁶¹ CHEVALLARD Y. (1994), *Op. cit.* [p. 142.]</footnote>
Utiliser l'écriture décimale et en connaître le sens.
Multiplier et diviser un décimal par 10 ; 100 ; 1000
ou par 0,1 ; 0,01 ; 0,001.

Un commentaire précise : " La multiplication et la division par une puissance de dix sont à relier à des problèmes d'échelles ou de changements d'unités ". L'absence d'indication quant au niveau de maîtrise technique laisse à penser qu'une maîtrise parfaite doit être visée. La place de cette multiplication dans le programme indique l'intention de ses auteurs : elle ne doit pas être conçue comme une technique opératoire mais être enseignée et pratiquée en relation la plus étroite possible avec le sens de l'écriture décimale. Nous avons vu qu'une multiplication par 10, 100 ou 1000 est réussie suivant le choix du multiplicande par 95 % à 50 % des élèves ; une division par 10, 100 ou 1000 par 80 % à 30 % d'entre eux. Il semble donc que ces activités opératoires et l'acquisition du sens de l'écriture décimale soient pensées par l'institution comme allant de pair, l'une profitant à l'autre et réciproquement.

Cette relation est confirmée par les documents d'accompagnement des programmes :

> Les évaluations faites en 6e ont montré combien la signification des écritures décimales échappe encore à beaucoup d'élèves à l'entrée en 6e. Il est nécessaire de conduire un travail sur la signification de l'écriture décimale et de la relier au travail sur les opérations et à la multiplication et la division par 0,1 ; 0,01 ou 0,001.

La fonction de ces multiplications est donc double, être un outil pour répondre à des problèmes d'échelles ou de changements d'unités mais aussi être un moyen, comme doit l'être en général le travail sur les opérations, pour apprendre la signification de l'écriture décimale.

On retrouve implicitement ces multiplications dans le paragraphe consacré à l'extension des écritures fractionnaires aux quotients de décimaux. Une autre fonction de ces multiplications est de permettre des modifications d'écritures

$$ \text{comme} \quad \frac{5,24}{2,1} = \frac{524}{210}. $$

## La multiplication, un outil pour résoudre des problèmes numériques

Dans la deuxième partie, consacrée aux travaux numériques, la multiplication des décimaux apparaît explicitement mais aussi implicitement dans les passages relatifs à la résolution de problèmes et au calcul numérique. Le préambule précise :

> Cette partie du programme s'appuie principalement sur la résolution de problèmes. (...) ces problèmes doivent permettre aux élèves, en continuité avec l'école élémentaire, d'associer à une situation concrète un travail numérique et de mieux saisir le sens des opérations et des équations figurant au programme.

Ce paragraphe du programme porte sur les nombres entiers et décimaux : écriture et opérations. Avant d'aborder les compétences exigibles, les commentaires précisent les limites de ces compétences : " On tendra ainsi à ce que la maîtrise des techniques opératoires devienne suffisante pour ne pas faire
obstacle à la résolution de problèmes.” Une fonction des opérations est définie : être un outil pour la résolution de problèmes. Nous reviendrons plus longuement sur cette fonction quand nous envisagerons comment le professeur peut la traduire dans son enseignement.

## La multiplication des décimaux, une technique à connaître

L'apprentissage de la technique opératoire est prévu dans des situations suffisamment simples, l'utilisation de la calculatrice fait partie des compétences techniques prescrites :

Addition, soustraction et multiplication : savoir effectuer ces opérations sous les trois formes de calcul (mental, à la main, à la calculatrice), dans des situations n'exigeant pas de virtuosité technique.

Les programmes excluent donc que la multiplication des décimaux provoque l'apparition de séances répétées de calculs à la main sauf éventuellement si les élèves éprouvaient des difficultés "avec les nombres courants et pour des opérations techniquement simples."

En conclusion, rappelons que le travail sur la technique opératoire doit permettre une maîtrise suffisante pour la résolution de problèmes. Son apprentissage doit contribuer à l'acquisition de l'écriture décimale. On remarquera qu'aucune mention n'est faite des propriétés algébriques de l'opération sur lesquelles repose pourtant la technique opératoire.

## La multiplication des décimaux et les fractions décimales

Les compétences exigibles sur les fractions décimales ne concernent pas les opérations mais les changements d'écriture. Toutefois, les commentaires suggèrent que les opérations sur les nombres décimaux soient abordées avec les deux types d'écriture :

Les écritures fractionnaires et décimales pourront être utilisées comme des moyens de contrôle mutuel des opérations sur des nombres décimaux. C'est dans ce seul cas que seront rencontrées les opérations

$$ (+, -, \times) \text{ en écriture fractionnaire telles que } \frac{32}{10} + \frac{7}{100} = \frac{327}{100} $$

Une nouvelle fonction de la multiplication des décimaux est ici définie dans le programme, c'est un outil pour vérifier les multiplications de deux fractions décimales.

## La multiplication des décimaux et la gestion de données

Dans l'organisation et la gestion de données, on retrouve implicitement la fonction de la multiplication des décimaux "être un outil pour résoudre les problèmes numériques." Les situations à l'origine de ces problèmes sont énumérées : l'application d'un pourcentage, l'usage des opérateurs constants de la calculatrice, le calcul de l'aire d'un rectangle et enfin celui de la longueur d'un cercle puisque c'est une approximation décimale de $\pi$ que les élèves utilisent.