<figure><img src="image_1.png" /></figure>

HAL
open science

# Caractérisation et modélisation du comportement mécanique d'élastomères compressibles

Manon Bour

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

## To cite this version:

Manon Bour. Caractérisation et modélisation du comportement mécanique d'élastomères compressibles. Génie mécanique [physics.class-ph]. Université de Tours, 2023. Français. NNT: tel-04471131

HAL Id: tel-04471131

https://hal.science/tel-04471131

Submitted on 21 Feb 2024

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

Public Domain
UNIVERSITÉ DE TOURS

ÉCOLE DOCTORALE EMSTU

LABORATOIRE DE MÉCANIQUE GABRIEL LAMÉ

THÈSE présentée par :
Manon BOUR

soutenue le : 29 Juin 2023

pour obtenir le grade de : **Docteur de l'université de Tours**
Discipline/ Spécialité : **Génie Mécanique et Productique**

Caractérisation et modélisation du
comportement mécanique d'élastomères
compressibles

THÈSE dirigée par :

<table><tr><td>M. MÉO Stéphane</td><td>Professeur, Université de Tours</td></tr><tr><td>M. LACROIX Florian</td><td>Professeur, Université de Tours</td></tr></table>

RAPPORTEURS :

<table><tr><td>M. LEJEUNES Stéphane</td><td>Ingénieur de recherche, HDR, CNRS/LMA</td></tr><tr><td>M. VERRON Erwan</td><td>Professeur, École Centrale Nantes</td></tr></table>

PRÉSIDENT DU JURY :

<table><tr><td>M. CHAGNON Grégory</td><td>Professeur, Université Grenoble Alpes</td></tr></table>

JURY :

<table><tr><td>M. CHAGNON Grégory</td><td>Professeur, Université Grenoble Alpes</td></tr><tr><td>M. LAIARINANDRASANA Lucien</td><td>Directeur de recherches, Mines ParisTech</td></tr><tr><td>M. LEJEUNES Stéphane</td><td>Ingénieur de recherche, HDR, CNRS/LMA</td></tr><tr><td>M. VERRON Erwan</td><td>Professeur, École Centrale Nantes</td></tr><tr><td>M. MÉO Stéphane</td><td>Professeur, Université de Tours</td></tr><tr><td>M. PICART Didier</td><td>Ingénieur-chercheur, HDR, CEA Le Ripault</td></tr><tr><td>M. CHALON Florent</td><td>Maître de conférences, Université de Tours</td></tr><tr><td>M. LACROIX Florian</td><td>Professeur, Université de Tours</td></tr></table>

INVITÉS :

<table><tr><td>M. ALTMEYER Guillaume</td><td>Maître de conférences, Université de Tours</td></tr><tr><td>M. RAYMOND Matthieu</td><td>Ingénieur-chercheur, CEA Le Ripault</td></tr></table>
<figure><img src="image_3.png" /></figure>
Remerciements

Dans ces prochaines pages, je souhaite remercier toutes les personnes qui de près ou de loin ont participé à cette aventure de trois ans qu'est la thèse. La route était semée d'embûches, mais j'ai eu toute l'aide nécessaire pour arriver à bon port et j'en garderai un très bon souvenir. Je vais donc tâcher d'avoir un petit mot pour chacun de mes compagnons de voyage et j'espère n'oublier personne.

Je tiens à remercier en premier lieu les membres de mon jury qui ont accepté de lire et exami-
ner mes travaux. Je remercie Stéphane Lejeunes et Erwan Verron pour avoir été les rapporteurs
de ce manuscrit ainsi que Grégory Chagnon d'avoir accepté la présidence du jury et Lucien
Laiarinandrasana d'avoir examiné mes travaux et également pour les discussions intéressantes
que nous avons pu avoir en conférences. Je vous remercie pour les discussions conviviales et très
intéressantes que nous avons eues pendant ma soutenance, je suis ravie que mes travaux aient
suscité autant d'intérêt.

Cette thèse est le fruit d'une collaboration entre le Laboratoire de Mécanique Gabriel LaMé
et le CEA Le Ripault. J'aimerais donc remercier mes deux directeurs de thèse Stéphane Méo et
Florian Lacroix ainsi que Florent Chalon et Guillaume Altmeyer mes encadrants de thèse du
LaMé, pour la confiance qu'ils m'ont accordée et pour le travail que nous avons fourni ensemble.
Je tiens à remercier Maxime Biessy qui a initié la thèse au CEA pour son aide et sa disponibilité,
particulièrement durant le confinement qui a marqué le début de cette thèse ainsi que Didier
Picart et Matthieu Raymond qui ont assuré la suite de l'encadrement scientifique et ont su
guider l'aboutissement de ce projet.

Il n'y a pas de mots assez forts pour remercier Stéphane Méo, mon directeur de thèse,
très impliqué dans le sujet, ma thèse n'aurait pas été la même sans toi. On en aura fait des
réunions de travail et on en aura rempli des tableaux d'équations! C'était toujours captivant et
enrichissant de travailler avec toi, j'ai énormément appris grâce à toi. Il suffisait souvent d'une
simple discussion pour qu'on ait de nouvelles idées à tester et il y en a encore tellement qu'on
voudrait appliquer! Il y a eu bien sûr des moments de doute pendant ces trois années et c'est en
grande partie grâce à ton soutien et ton intérêt pour le sujet que l'aventure a continué et que ce
manuscrit a vu le jour, alors je te dis vraiment mille mercis et j'espère qu'on pourra à nouveau
travailler ensemble un jour! Je tiens à remercier chaleureusement Didier Picart, qui a accepté
de reprendre le suivi de ma thèse côté CEA. C'est toujours un plaisir de discuter et travailler
avec toi, on a l'impression d'apprendre des tas de choses à chaque discussion, dont ta rigueur
exemplaire que j'ai tenté de suivre lors de la rédaction de ce manuscrit. Je suis très heureuse de pouvoir continuer à bénéficier de ton expertise à l'avenir ! Je voudrais aussi remercier Matthieu Raymond d'avoir toujours su nous apporter un cadre au niveau projet. C'est vrai qu'avec toutes les idées qu'on avait et l'étendue du sujet, nous pouvions en sortir assez facilement. J'ai apprécié toutes les conversations que nous avons eu et te remercie d'avoir pris le temps quand il le fallait malgré ton emploi du temps chargé. Ensuite je remercie Florent Chalon d'avoir relu et corrigé, quand tu le pouvais, les équations dans mes rapports et articles, car la coquille est vite arrivée et grâce à toi je suis sûre qu'il y en a bien moins.

Je souhaite remercier Guénhaël Le Quilliec enseignant-chercheur au LaMé pour son aide pré-
cieuse d'expert en POD et pour le temps qu'il m'a accordé sur la partie identification des
paramètres du modèle de ma thèse. Je suis également reconnaissante à Christophe Pompon
pour le partage de campagne d'essais, Pierre Scotté pour son aide avec les matériaux, Didier
Saulnier pour la fabrication des plaques et plots et Thomas Peyres pour son aide avec les essais
de traction.

Je remercie ma seconde famille : le CERMEL, où j'ai passé un temps considérable de ma thèse avec des personnes incroyables : Mathieu Venin notre rayon de soleil toujours de bonne humeur, qui ne refuse jamais un bon café;) et toujours prêt à aider! Julie Pepin (et Guizmo) experte de la biblio qui trouve toujours un article que tu n'as jamais vu, qui est toujours de bons conseils et plus douée que n'importe quel correcteur orthographique;) Merci aussi pour les belles balades avec le plus beau teckel du monde, les soirées jeux de société et les excursions glacées à Azay! Ensuite, mes compagnons de galère, les thésards : Oumaima Ezzaamari notre maman attentionnée et d'une extrême gentillesse <3! Adrien Simon qui a été mon exemple d'une thèse réussie malgré la difficulté, merci pour ton soutien psychologique, tes remarques et corrections et merci de m'avoir parfois demandé d'aller voir Tabou, le plus beau des chats! Rémi Baltazat, merci pour ton humour qui détendait l'atmosphère et pour tous les goûters que tu cherchais en rédaction, on en avait bien besoin! Rodolphe Forasacco pour toutes les fois où tu nous auras fait rire avec tes petites boulettes et pour le bon vin qu'on a goûté. Hugo Tocqueville, nouveau boute-en-train du CERMEL (la relève est assurée), merci pour ta bonne humeur et pour toutes ces soirées studieuses pendant la rédaction (même si j'ai souvent tes chansons pourries en tête!)! Bon courage pour la suite avec Jean-Michel ;). Ensuite je remercie Wafaa Mofid pour sa pure bonté et gentillesse, toujours avec le sourire, je me souviendrai toujours des petits délices marocains concoctés par toi et ta maman, un régal! Un grand merci également à Jordan Biglione pour son aide avec Python et son regard critique sur mon travail. Je remercie également les stagiaires Maureen, Eva, Emmanuella et Noa, votre présence a contribué à une vie très sympathique au CERMEL. Et comment oublier nos repas passés tous ensemble au P'ti Cher, j'espère pouvoir vous y rejoindre encore souvent! Je tiens également à remercier tout le personnel de Polytech Tours que j'ai pu rencontrer durant ma thèse et les moments où j'ai enseigné, pour leur aide et leur gentillesse. Je pense en particulier à Naïma, Lydia, Amélie, Sylvie, Anne, Abdel, Christophe et évidemment Luc sans qui mon ordi aurait fait des siennes.

J'ai également passé une partie de mon temps au CEA où j'ai rencontré énormément de per-
sonnes fort sympathiques. Je voudrais tout d'abord remercier Maxime Biessy qui est à l'origine
de cette thèse et qui a finalement transformé une de ses passions en un métier florissant ;). C'était un plaisir de travailler avec toi durant la première année. Je remercie aussi Chrystel de m'avoir accueilli au sein de son laboratoire et pour tous ses précieux conseils pour mon avenir. Un grand merci aux meilleurs collègues de bureau, Steven, Mathilda et Romain. C'était vraiment agréable de travailler avec vous. Merci pour tous les moments que nous avons pu passer ensemble et je suis convaincue qu'il y en aura encore de nombreux! Je tiens à remercier mes autres collègues du labo : Alexandre (pour le MEB et toutes les discussions toujours intéressantes), Angélique (pour ton sourire, ta bonne humeur et ton oreille attentive), Clémentine, Sylvie, Loïc, Florian, Matthieu, Clément, Eric, Cyril, Mattéo, Enzo, Laurence et bien d'autres personnes. Grâce à vous l'ambiance de travail a toujours été propice et je suis très heureuse d'avoir pu travailler à vos côtés. Je remercie aussi mes collègues du CESTA, Anne-Sophie, Dimitri, Marion et Anaëlle pour toutes les réunions intéressantes que nous avons eues sur les élastomères compressibles. Spéciale dédicace aux meilleurs thésards d'Asthéroïd, Arthur et Emilien avec qui on a organisé un Tournoi Inter-Service d'enfer! Et qu'est-ce que ce n'était pas facile, mais on est trop forts et c'était des super moments!

Et le meilleur pour la fin, je remercie toute ma famille de m'avoir toujours soutenue et d'avoir cru en moi durant toute ma vie et pendant ces longues études, merci aussi à mes amies Noémie et Mathilde pour leur présence et leurs petits mots d'encouragement. Un miaou merci aux membres félins de la famille Kinoa, Titi et Aslan et Maria pour leurs câlins et les moments de jeux et de rigolade qui font du bien! Un grand merci à Thomas de toujours me redonner le sourire et de m'avoir supporté pendant les moments difficiles de la thèse. Grâce à toi j'ai toujours pu me relever de ces moments et garder espoir. J'ai hâte qu'on puisse passer plus de temps ensemble avec la thèse derrière nous!
# Sommaire

Glossaire 1

Introduction 5

I Généralités sur les élastomères et leur modélisation 9

I.A Structure et comportement des élastomères 11

I.A.1 Structure et composition 11

I.A.2 Cas des RTV 13

I.A.3 Mousses d'élastomères syntactiques 15

I.A.4 Comportement mécanique 17

I.B Modélisation du comportement mécanique des élastomères 20

I.B.1 Cadre des grandes déformations et lois de comportement 21

I.B.2 Modèles de comportements incompressibles 26

I.B.3 Extension à la compressibilité 29

I.B.4 Modélisation des phénomènes dissipatifs 35

Conclusions du chapitre 44

II Nature et comportement mécanique des matériaux RTV/Expancel 45

II.A Techniques expérimentales 47

II.A.1 Caractérisation thermique et thermo-mécanique 47

II.A.2 Caractérisation mécanique 48

II.A.3 Caractérisation microstructurale 52

II.B Caractérisation des matériaux étudiés 55

II.B.1 Présentation des matériaux et de leur application 55

II.B.2 Observations microscopiques 57

II.B.3 Caractérisation des propriétés thermiques des RTV/microsphères 59

II.B.4 Caractérisation du comportement mécanique des RTV/microsphères 61

Conclusions du chapitre 70

III Développement d'un modèle hyperélastique dissipatif compressible 71

III.A Cadre thermodynamique et hypothèses 73

III.B Introduction de la compressibilité 73
<table><tbody><tr><td>III.B.1 Cas de l'hyperélasticité compressible</td><td>74</td></tr><tr><td>III.C Introduction des phénomènes dissipatifs</td><td>76</td></tr><tr><td>III.C.1 États intermédiaires</td><td>76</td></tr><tr><td>III.C.2 Effet Mullins</td><td>81</td></tr><tr><td>III.C.3 Choix des énergies libres</td><td>82</td></tr><tr><td>III.C.4 Choix des potentiels de dissipation et lois d'évolution</td><td>83</td></tr><tr><td>III.D Implémentation dans un code de calculs aux éléments finis</td><td>86</td></tr><tr><td>III.D.1 Description, généralités et spécificités liées à Abaqus</td><td>86</td></tr><tr><td>III.D.2 Calcul exact en hyperélasticité compressible</td><td>87</td></tr><tr><td>III.D.3 Calcul numérique de l'opérateur tangent</td><td>88</td></tr><tr><td>Conclusions du chapitre</td><td>91</td></tr><tr><td><strong>IV Stratégie d'identification de modèles hyperélastiques compressibles</strong></td><td><strong>93</strong></td></tr><tr><td>IV.A Méthode d'identification par réduction de modèle</td><td>95</td></tr><tr><td>IV.A.1 Préparation des données d'entrée</td><td>95</td></tr><tr><td>IV.A.2 Réduction des données d'entrée</td><td>96</td></tr><tr><td>IV.A.3 Interpolation des snapshots dans l'espace α et identification des paramètres</td><td>97</td></tr><tr><td>IV.B Application de la méthode</td><td>98</td></tr><tr><td>IV.B.1 Stratégie adoptée</td><td>98</td></tr><tr><td>IV.B.2 Identification sur la compression hydrostatique</td><td>99</td></tr><tr><td>IV.B.3 Identification sur des chargements mixtes déviatorique/sphérique</td><td>107</td></tr><tr><td>IV.B.4 Identification de la partie liée à l'effet Mullins</td><td>111</td></tr><tr><td>IV.C Stabilité du modèle</td><td>116</td></tr><tr><td>Conclusions du chapitre</td><td>121</td></tr><tr><td><strong>V Implémentation d'un modèle élasto-(visco-)plastique. Capacités et perspectives.</strong></td><td><strong>123</strong></td></tr><tr><td>V.A Implémentation d'un modèle élasto-(visco-)plastique</td><td>125</td></tr><tr><td>V.A.1 Implémentation</td><td>126</td></tr><tr><td>V.A.2 Test du modèle</td><td>127</td></tr><tr><td>V.B Identification des paramètres</td><td>131</td></tr><tr><td>V.C Possibilités du modèle élasto-(visco-)plastique</td><td>134</td></tr><tr><td>V.C.1 Viscosité à temps caractéristique court</td><td>134</td></tr><tr><td>V.C.2 Viscosité à temps caractéristique long</td><td>136</td></tr><tr><td>Conclusions du chapitre</td><td>142</td></tr><tr><td><strong>Conclusions et perspectives</strong></td><td><strong>145</strong></td></tr><tr><td><strong>A Grandes déformations et cadre thermodynamique</strong></td><td><strong>151</strong></td></tr><tr><td>I.A Grandes déformations</td><td>151</td></tr><tr><td>I.A.1 Description du mouvement</td><td>151</td></tr><tr><td>I.A.2 Transport de vecteurs, éléments de surface et de volume</td><td>153</td></tr><tr><td>I.A.3 Mesure des déformations</td><td>153</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>I.A.4</td><td>Vitesse de déformation</td><td>156</td></tr><tr><td>I.A.5</td><td>Description des contraintes</td><td>157</td></tr><tr><td>I.B</td><td>Cadre thermodynamique</td><td>159</td></tr><tr><td>I.B.1</td><td>Équations d'équilibre de la mécanique</td><td>159</td></tr><tr><td>I.B.2</td><td>Premier Principe de la thermodynamique</td><td>162</td></tr><tr><td>I.B.3</td><td>Second principe de la thermodynamique</td><td>164</td></tr><tr><td>B</td><td>Détails des calculs : modèle hyperélastique compressible</td><td>165</td></tr><tr><td>II.A</td><td>Développement de la loi de comportement</td><td>165</td></tr><tr><td>C</td><td>Détails des calculs : modèle hyperélastique compressible et dissipatif</td><td>169</td></tr><tr><td>III.A</td><td>Développement de la loi de comportement</td><td>169</td></tr><tr><td>D</td><td>Identification de paramètres à différentes températures</td><td>173</td></tr><tr><td>E</td><td>Influence du pourcentage de microsphères sur le comportement mécanique</td><td>177</td></tr><tr><td></td><td>Bibliographie</td><td>180</td></tr></table>
Glossaire

<table><caption>TABLEAU 1 – Opérateurs tensoriels, notations et conventions.</caption><thead><tr><th>Symbole</th><th>Désignation</th><th>Commentaires</th></tr></thead><tbody><tr><td>⊗</td><td>Produit tensoriel</td><td></td></tr><tr><td>·</td><td>Produit tensoriel simplement contracté</td><td></td></tr><tr><td>:</td><td>Produit tensoriel doublement contracté</td><td></td></tr><tr><td>δ<sub>ij</sub></td><td>Symbole de Kronecker</td><td>δ<sub>ij</sub> = 1 si i = j<br>= 0 sinon</td></tr><tr><td>1</td><td>Identité d'ordre 2</td><td>[1]<sub>ij</sub> = δ<sub>ij</sub><br>1 · Y = Y · 1 = Y ∀ Y d'ordre 1 ou 2</td></tr><tr><td>4<br>1</td><td>Identité d'ordre 4</td><td>[1]<sub>ijkl</sub> = δ<sub>ik</sub>δ<sub>jl</sub><br>1: Y = Y : 1 = Y ∀ Y d'ordre 2</td></tr><tr><td>trY</td><td>Trace d'un tenseur d'ordre 2</td><td></td></tr><tr><td>Y<sub>sym</sub></td><td>Partie symétrique d'un tenseur d'ordre 2</td><td></td></tr><tr><td>Y<sup>D</sup></td><td>Partie déviatorique d'un tenseur d'ordre 2</td><td></td></tr><tr><td>Y<sup>T</sup></td><td>Transposée d'un tenseur d'ordre 2</td><td></td></tr><tr><td>Y<sup>-1</sup></td><td>Inverse d'un tenseur d'ordre 2</td><td></td></tr><tr><td>Y<sup>-T</sup></td><td>Inverse de la transposée d'un tenseur d'ordre 2</td><td>Y<sup>-T</sup> = (Y<sup>T</sup>)<sup>-1</sup> = (Y<sup>-1</sup>)<sup>T</sup></td></tr><tr><td>||Y||</td><td>Norme d'un tenseur d'ordre 2</td><td>||Y|| = √Y : Y</td></tr><tr><td>P<sub>1</sub></td><td>Opérateur déviateur eulérien</td><td>P<sub>1</sub> = 1<sup>4</sup> - 1/3 1 ⊗ 1</td></tr><tr><td>grad<sub>x</sub></td><td>Gradient en configuration eulérienne</td><td></td></tr><tr><td>grad<sub>X</sub></td><td>Gradient en configuration lagrangienne</td><td></td></tr><tr><td>div<sub>x</sub></td><td>Divergence en configuration eulérienne</td><td></td></tr><tr><td>div<sub>X</sub></td><td>Divergence en configuration lagrangienne</td><td></td></tr><tr><td>(•)</td><td>Dérivée temporelle d'une grandeur</td><td></td></tr></tbody></table>
<table><caption>TABLEAU 2 – Grandeurs cinématiques utilisées.</caption><thead><tr><th>Symbole</th><th>Désignation</th><th>Commentaires</th></tr></thead><tbody><tr><td>C<sub>0</sub></td><td>Condifuration initiale</td><td></td></tr><tr><td>C<sub>t</sub></td><td>Condifuration à un instant t</td><td></td></tr><tr><td>X</td><td>Position d'une particule dans C<sub>0</sub></td><td></td></tr><tr><td>x</td><td>Fonction position à l'instant t</td><td>x : C<sub>0</sub> → C<sub>t</sub><br>X ↦ x(X, t)</td></tr><tr><td>u</td><td>Fonction déplacement à l'instant t</td><td>u : C<sub>0</sub> → C<sub>t</sub><br>X ↦ u(X, t) = x(X, t) - X</td></tr><tr><td>dX</td><td>Vecteur élémentaire dans la configuration initiale</td><td>dx = F · dX et J = det(F) > 0</td></tr><tr><td>dx</td><td>Transformé de dX dans la configuration actuelle</td><td>det F = 1</td></tr><tr><td>F</td><td>Tenseur gradient de la transformation</td><td>F = J<sup>1/3</sup>1</td></tr><tr><td>F̄</td><td>Partie isochore de F</td><td>C = F<sup>T</sup> · F</td></tr><tr><td>F̂</td><td>Partie volumique de F</td><td>E = 1/2(C - 1)</td></tr><tr><td>C</td><td>Tenseur de Cauchy-Green droit</td><td>B = F̂ · F<sup>T</sup></td></tr><tr><td>E</td><td>Tenseur des déformations de Green-Lagrange</td><td>A = 1/2(1 - B<sup>-1</sup>)</td></tr><tr><td>B</td><td>Tenseur de Cauchy-Green gauche</td><td>L = F̂ · F<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>A</td><td>Tenseur des déformations d'Euler-Almansi</td><td>D = (F̂ · F<sup>-1</sup>)<sub>sym</sub></td></tr><tr><td>L</td><td>Gradient eulérien des vitesses</td><td>B̄ = F̂ · F̂<sup>T</sup></td></tr><tr><td>D</td><td>Tenseur taux de déformation</td><td>C̄ = F̂ · F̂<sup>T</sup></td></tr><tr><td>B̄</td><td>Tenseur de Cauchy-Green gauche associé à F̄</td><td>B̄ = J<sup>2/3</sup>1</td></tr><tr><td>C̄</td><td>Tenseur de Cauchy-Green droit associé à F̄</td><td>C̄ = J<sup>2/3</sup>1</td></tr><tr><td>Ĉ</td><td>Tenseur de Cauchy-Green droit associé à F̂</td><td>Ĉ = J<sup>2/3</sup>1</td></tr><tr><td>R</td><td>Tenseur des rotations associé à F</td><td>R = R̄</td></tr><tr><td>R̄</td><td>Tenseur des rotations isochores associé à F̄</td><td></td></tr><tr><td>V</td><td>Tenseur des déformations pures gauche associé à F</td><td></td></tr><tr><td>V</td><td>Tenseur des déformations isochores pures gauche associé à F̄</td><td></td></tr></tbody></table>
<table><caption>TABLEAU 3 – Grandeurs cinématiques liées au découpage $\bar{F} = \bar{F}_e \cdot \bar{F}_a$.</caption><thead><tr><th>Symbole</th><th>Désignation</th><th>Commentaires</th></tr></thead><tbody><tr><td>F<sub>e</sub> (resp. F<sup>(i)</sup>)</td><td>Gradient de la transformation élastique</td><td></td></tr><tr><td>F<sub>a</sub> (resp. F<sup>(i)</sup>)</td><td>Gradient de la transformation anélastique</td><td></td></tr><tr><td>F&#773;<sub>e</sub> (resp. F&#773;<sup>(i)</sup>)</td><td>Gradient de la transformation isochore élastique</td><td></td></tr><tr><td>F&#773;<sub>a</sub> (resp. F&#773;<sup>(i)</sup>)</td><td>Gradient de la transformation isochore anélastique</td><td></td></tr><tr><td>J<sub>e</sub> (resp. J<sup>(i)</sup>)</td><td>Déterminant de F<sub>e</sub></td><td></td></tr><tr><td>J<sub>a</sub> (resp. J<sup>(i)</sup>)</td><td>Déterminant de F<sub>a</sub></td><td></td></tr><tr><td>F&#770;<sub>e</sub> (resp. F&#770;<sup>(i)</sup>)</td><td>Gradient de la transformation volumique élastique</td><td>F&#770;<sub>e</sub> = J<sub>e</sub><sup>1/3</sup>1 (resp. F&#770;<sup>(i)</sup> = J<sup>(i)1/3</sup>1)</td></tr><tr><td>F&#770;<sub>a</sub> (resp. F&#770;<sup>(i)</sup>)</td><td>Gradient de la transformation volumique anélastique</td><td>F&#770;<sub>a</sub> = J<sub>a</sub><sup>1/3</sup>1 (resp. F&#770;<sup>(i)</sup> = J<sup>(i)1/3</sup>1)</td></tr><tr><td>B&#773;<sub>e</sub> (resp. B&#773;<sup>(i)</sup>)</td><td>Tenseur de Cauchy-Green gauche associé à F&#773;<sub>e</sub> (resp. F&#773;<sup>(i)</sup>)</td><td>B&#773;<sub>e</sub> = F&#773;<sub>e</sub> &middot; F&#773;<sub>e</sub><sup>T</sup><br>(resp. B&#773;<sup>(i)</sup> = F&#773;<sup>(i)</sup> &middot; F&#773;<sup>(i)T</sup>)</td></tr><tr><td>B&#773;<sub>a</sub> (resp. B&#773;<sup>(i)</sup>)</td><td>Tenseur de Cauchy-Green gauche associé à F&#773;<sub>a</sub> (resp. F&#773;<sup>(i)</sup>)</td><td>B&#773;<sub>a</sub> = F&#773;<sub>a</sub> &middot; F&#773;<sub>a</sub><sup>T</sup><br>(resp. B&#773;<sup>(i)</sup> = F&#773;<sup>(i)</sup> &middot; F&#773;<sup>(i)T</sup>)</td></tr><tr><td>R<sub>e</sub></td><td>Tenseur des rotations associé à F<sub>e</sub></td><td></td></tr><tr><td>R&#773;<sub>e</sub></td><td>Tenseur des rotations isochores associé à F&#773;<sub>e</sub></td><td></td></tr><tr><td>V&#773;<sub>e</sub></td><td>Tenseur des déformations pures gauche associé à F&#773;<sub>e</sub></td><td></td></tr><tr><td>D<sub>a</sub> (resp. D<sup>(i)</sup>)</td><td>Tenseur taux de déformation associé à F<sub>a</sub> (resp. F&#773;<sup>(i)</sup>)</td><td>D<sub>a</sub> = (F&#770;<sub>a</sub> &middot; F<sub>a</sub><sup>-1</sup>)<sub>sym</sub><br>(resp. D<sup>(i)</sup> = (F&#770;<sup>(i)</sup> &middot; F<sup>(i)T</sup>)<sub>sym</sub>)</td></tr><tr><td>D&#773;<sub>a</sub> (resp. D&#773;<sup>(i)</sup>)</td><td>Tenseur taux de déformation associé à F&#773;<sub>a</sub> (resp. F&#773;<sup>(i)</sup>)</td><td>D&#773;<sub>a</sub> = (F&#770;<sub>a</sub> &middot; F<sub>a</sub><sup>-1</sup>)<sub>sym</sub><br>(resp. D&#773;<sup>(i)</sup> = (F&#770;<sup>(i)</sup> &middot; F<sup>(i)T</sup>)<sub>sym</sub>)</td></tr><tr><td>D&#770;<sub>a</sub> (resp. D&#770;<sup>(i)</sup>)</td><td>Tenseur taux de déformation associé à F&#773;<sub>a</sub> (resp. F&#773;<sup>(i)</sup>)</td><td>D&#770;<sub>a</sub> = (F&#770;<sub>a</sub> &middot; F<sub>a</sub><sup>-1</sup>)<sub>sym</sub><br>(resp. D&#770;<sup>(i)</sup> = (F&#770;<sup>(i)</sup> &middot; F<sup>(i)T</sup>)<sub>sym</sub>)</td></tr><tr><td>D<sup>o</sup><sub>a</sub> (resp. D<sup>(i)</sup>)</td><td>Tenseur taux de déformation objectif</td><td></td></tr><tr><td>D&#773;<sup>o</sup><sub>a</sub> (resp. D&#773;<sup>(i)</sup>)</td><td>Tenseur taux de déformation isochore objectif</td><td></td></tr><tr><td>D&#770;<sup>o</sup><sub>a</sub> (resp. D&#770;<sup>(i)</sup>)</td><td>Tenseur taux de déformation volumique objectif</td><td></td></tr></tbody></table>

<table><caption>TABLEAU 4 – Tenseurs des contraintes utilisés.</caption><thead><tr><th>Symbole</th><th>Désignation</th><th>Commentaires</th></tr></thead><tbody><tr><td>σ</td><td>Tenseur des contraintes de Cauchy (description eulérienne)</td><td></td></tr><tr><td>τ</td><td>Tenseur des contraintes de Kirchhoff</td><td>τ = Jσ</td></tr><tr><td>π</td><td>Premier tenseur de Piola-Kirchhoff (description mixte)</td><td>π = Jσ &middot; F<sup>-T</sup></td></tr><tr><td>S</td><td>Second tenseur de Piola-Kirchhoff (description lagrangienne)</td><td>S = F<sup>-1</sup> &middot; π</td></tr><tr><td>σ&#773;</td><td>Partie déviatorique du tenseur des contraintes de Cauchy liée à F&#773;</td><td></td></tr><tr><td>σ&#770;</td><td>Partie sphérique du tenseur des contraintes de Cauchy liée à F&#770;</td><td></td></tr><tr><td>τ&#773;</td><td>Partie déviatorique du tenseur des contraintes de Kirchhoff</td><td></td></tr><tr><td>τ&#770;</td><td>Partie sphérique du tenseur des contraintes de Kirchhoff</td><td></td></tr><tr><td>σ&#773;<sub>eq</sub></td><td>Partie déviatorique du tenseur des contraintes de Cauchy liée à F&#773;</td><td></td></tr><tr><td>σ&#770;<sub>eq</sub></td><td>Partie sphérique du tenseur des contraintes de Cauchy liée à J</td><td></td></tr><tr><td>σ&#773;<sub>neq</sub> (resp. σ&#770;<sup>(i)</sup><sub>neq</sub>)</td><td>Partie déviatorique du tenseur des contraintes de Cauchy liée à F&#773;<sub>e</sub> (resp. F&#773;<sup>(i)</sup>)</td><td></td></tr><tr><td>σ&#770;<sub>neq</sub> (resp. σ&#770;<sup>(i)</sup><sub>neq</sub>)</td><td>Partie sphérique du tenseur des contraintes de Cauchy liée à J<sub>e</sub> (resp. J<sup>(i)</sup>)</td><td></td></tr></tbody></table>
<table><caption>TABLEAU 5 – Autres grandeurs thermodynamiques utilisées.</caption><thead><tr><th>Symbole</th><th>Désignation</th><th>Commentaires</th></tr></thead><tbody><tr><td>ρ<sub>0</sub> (resp. ρ)</td><td>Masse volumique dans C<sub>0</sub> (resp. C<sub>t</sub>)</td><td>ρ = ρ<sub>0</sub>J<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>T</td><td>Température</td><td></td></tr><tr><td>e</td><td>Energie interne spécifique</td><td></td></tr><tr><td>η</td><td>Entropie spécifique</td><td></td></tr><tr><td>ψ</td><td>Energie libre spécifique</td><td>ψ = e - ηT.</td></tr><tr><td>ψ̄</td><td>Partie isochore de ψ</td><td>ψ̄ = ψ̄(B̄).</td></tr><tr><td>ψ̂</td><td>Partie volumique de ψ</td><td>ψ̂ = ψ̂(J).</td></tr><tr><td>ψ̄<sub>eq</sub></td><td>Partie isochore à l'équilibre de ψ</td><td>ψ̄<sub>eq</sub> = ψ̄<sub>eq</sub>(B̄).</td></tr><tr><td>ψ̂<sub>eq</sub></td><td>Partie volumique à l'équilibre de ψ</td><td>ψ̂<sub>eq</sub> = ψ̂<sub>eq</sub>(J).</td></tr><tr><td>ψ̄<sub>neq</sub> (resp. ψ̄<sub>neq</sub><sup>(i)</sup>)</td><td>Partie isochore hors l'équilibre de ψ</td><td>ψ̄<sub>neq</sub> = ψ̄<sub>neq</sub>(B̄<sub>e</sub>) (resp. ψ̄<sub>neq</sub><sup>(i)</sup> = ψ̄<sub>neq</sub><sup>(i)</sup>(B̄<sup>(i)</sup>).</td></tr><tr><td>ψ̂<sub>neq</sub> (resp. ψ̂<sub>neq</sub><sup>(i)</sup>)</td><td>Partie volumique hors l'équilibre de ψ</td><td>ψ̂<sub>neq</sub> = ψ̂<sub>neq</sub>(J<sub>e</sub>) (resp. ψ̂<sub>neq</sub><sup>(i)</sup> = ψ̂<sub>neq</sub><sup>(i)</sup>(J<sup>(i)</sup>).</td></tr></tbody></table>
Introduction

La Direction des Applications Militaires (DAM) du CEA (Commissariat à l'Énergie Ato-
mique et aux énergies alternatives) développe une structure composée de plusieurs matériaux
ayant des coefficients de dilatation thermique différents. Elle est soumise à des cycles ther-
miques qui peuvent créer des concentrations de contraintes dans les matériaux et entraîner la
rupture des parties les plus fragiles. Afin d'éviter cela, des liaisons jointives compressibles sont
utilisées. Ces joints sont des élastomères silicones de type RTV (Room Temperature Vulcani-
zation) auxquels sont ajoutées des microsphères Expancel, c'est-à-dire des coques creuses en
thermoplastique, qui rendent le matériau plus ou moins compressible. Dans le cadre de cette
application, les joints sont sujets à des sollicitations mécaniques variées couplant la traction, la
compression confinée et/ou le cisaillement simple.

L'un des enjeux du CEA consiste à réaliser des simulations sur la structure pour prédire son com-
portement selon ces chargements. Pour cela, il faut caractériser le comportement des mélanges
RTV/microsphères puis développer un modèle mécanique capable de le décrire. Les élastomères
industriels sont généralement des matériaux qui subissent de grandes déformations couplant
élasticité à des phénomènes dissipatifs comme la viscosité, la plasticité et/ou l'effet Mullins. Ils
sont généralement de nature incompressible ou quasi-incompressible. Les matériaux de l'étude
sont cependant compressibles en raison de l'ajout des microsphères, rendant la présente étude
particulièrement originale. Il faut donc construire un modèle capable d'intégrer tous les phé-
nomènes dissipatifs, dans le cadre des grandes déformations tout en tenant compte de la forte
compressibilité induite.

Les travaux existants sur la construction de lois de comportement pour les élastomères sont assez fournis. De nombreuses lois hyperélastiques ont été créées au fil des années, permettant la modélisation la plus précise possible du caractère non-linéaire de ces matériaux incompressibles. Il est également courant de décomposer la déformation en deux parties afin de modéliser un comportement quasi-incompressible et/ou de rendre l'implémentation numérique plus simple et plus stable. La première isochore, concerne le caractère incompressible et utilise des lois hyperélastiques classiques, la seconde partie est quant à elle volumique. Nombre d'énergies de déformations ont été ou sont créées pour retranscrire cette transformation, mais elles sont invariablement valides dans le domaine des faibles variations de volume. L'effet Mullins, un adoucissement de la contrainte se produisant lors des premiers cycles (majoritairement
sur le premier) d'une sollicitation cyclée, est typiquement retrouvé dans les élastomères. Sa compréhension physique et sa modélisation font également l'objet de nombreuses études. Des travaux permettent le développement de modèles phénoménologiques dissipatifs pour élastomères quasi-incompressibles en utilisant la décomposition du gradient de déformation en états intermédiaires de déformations (BOUKAMEL 2006; DELATTRE 2014; LEJEUNES et al. 2011; MEO 2012; SIDOROFF 1975). Cette approche, initialement introduite pour des comportements élasto-plastiques, peut être étendue à d'autres phénomènes dissipatifs, la viscosité notamment. Les modèles introduisent des états intermédiaires visqueux ou visco-plastiques sur le gradient de transformation incompressible.

Les matériaux de notre étude, sans doute de par la présence des microsphères thermoplastiques, présentent un comportement dissipatif (visqueux, plastique, Mullins), lié à la fois aux déformations volumiques et isochores. Ainsi, la démarche classiquement adoptée sur la transformation isochore (i.e. prise en compte sur celle-ci de variables modélisant l'effet Mullins et/ou l'introduction d'états intermédiaires dissipatifs) devrait être étendue, de manière analogue, à la partie volumique. C'est ce qui est développé dans des thèses récentes (KOPROWSKI-THEISS 2011; SEIBERT 2017). Elles décrivent un modèle pour des mousses d'élastomères compressibles, que les auteurs considèrent comme deux phases, selon la théorie des milieux poreux. Sont ainsi considérées, une phase incompressible, l'élastomère, et une phase compressible, l'air contenu dans les pores (hypothèse des gaz parfaits). Ils reprennent donc la théorie de décomposition du gradient de déformation. Leur apport se situe dans l'introduction de variables internes à la fois sur la partie isochore et la partie volumique. Cela leur a permis de modéliser le comportement visco-élastique de leurs matériaux pour des sollicitations cyclées en traction, mais aussi en compression hydrostatique. Toutefois la formulation de leur modèle ne permet pas d'utiliser d'autres potentiels de dissipations qui pourraient décrire la plasticité ou des phénomènes d'endommagement/d'adoucissement des contraintes par exemple.

C'est ce qui justifie cette étude. Elle consiste à développer un modèle phénoménologique dans le cadre des grandes déformations, capable de décrire le comportement élasto-visco-plastique des élastomères fortement compressibles prenant en compte l'effet Mullins, très important pour un matériau soumis à des sollicitations cycliques.

Le premier chapitre s'attache à décrire d'abord les élastomères, en particulier les RTV et leur formulation, ainsi que les principaux phénomènes thermo-mécaniques qu'ils présentent. Un état de l'art de la modélisation des élastomères est présenté, partant du comportement hyperélastique incompressible, pour aller à la compressibilité. Par la suite, les différentes lois de comportement pour les phénomènes visqueux, plastiques ou visco-plastiques sont décrites. Ce chapitre permet d'introduire toutes les bases nécessaires à la compréhension de la démarche développée pour la mise en place du modèle proposé dans cette thèse.

Dans un second temps, nous décrirons les trois matériaux étudiés et leur fabrication : le RTV (sans microsphères), le RTV mélangé à 23%vol d'Expancel appelé R23, et le RTV contenant 33%vol de microsphères appelé R33. Leurs caractéristiques thermiques et micro-structurales seront présentées. La suite du chapitre porte sur leur caractérisation mécanique selon les solli-
citations considérées dans l'application. Elle permettra d'observer l'influence de la présence de microsphères sur le comportement macroscopique, mais aussi celle de la température et de la vitesse de chargement.

Le troisième chapitre présente le formalisme et le développement de notre modèle élasto-(visco-)plastique. Il est obtenu par l'introduction de deux états intermédiaires (visco-)plastiques, l'un appliqué sur la partie isochore, et l'autre sur la partie volumique de la transformation. Une approche similaire nous conduit à introduire deux variables, chacune portant sur une des parties de la déformation, afin de prendre en compte l'adoucissement des contraintes lié à l'effet Mullins. Le résultat est un modèle étendu, dont la contrainte est découplée en une partie déviatorique et une sphérique, permettant une modélisation de phénomènes dissipatifs sur tout type de sollicitation.

Le chapitre 4 permet de mettre en place la chaîne d'identification des paramètres de la loi de comportement. La méthode adoptée est issue d'un couplage entre la décomposition orthogonale aux valeurs propres (POD) et une méthode d'interpolation (krigeage). La POD permet de représenter des données dans une base orthogonale réduite dont la direction des axes s'appuie sur la variance des données. Les résultats de la POD, une fois interpolés par krigeage, offrent un modèle réduit permettant une estimation de l'influence de chaque paramètre et leur identifiabilité. La méthode est employée en première approche sur une simplification hyperélastique compressible du modèle créé au chapitre 3 et implémenté dans le code de calculs Abaqus. Grâce au découplage de la contrainte, l'identification peut se faire en deux temps, d'abord sur les essais de compression hydrostatique, puis sur des essais comme la traction uniaxiale et/ou la compression confinée qui sont à la fois déviatoriques et sphériques. Finalement, la stabilité du modèle est vérifiée par une condition suffisante aussi démontrée en profitant du découplage déviatorique/sphérique de la contrainte.

Après s'être intéressé au cas particulier hyperélastique, on considère le modèle complet élasto-(visco-)plastique. Son implémentation dans le code de calculs Abaqus est présentée, puis on effectue des simulations pour montrer les phénomènes qu'il est capable de décrire. La suite du chapitre 5 propose une étude sur l'identifiabilité des paramètres du modèle (s'appuyant sur la base expérimentale à notre disposition) par la méthode développée dans le chapitre 4. Les capacités du modèle sont ensuite expertisées en lien avec le domaine d'application du matériau. Il est étendu aux cas de chargements statiques tels que la relaxation (plutôt court terme, que nous avons réalisés) et le fluage (sur la base d'essais plutôt long terme à notre disposition). Dans ce cas, bien que classé comme un phénomène de second ordre, les capacités du modèle à rendre compte d'une réponse différée à court, moyen et/ou long termes, par la prise en compte d'un ou plusieurs comportements visco-élastiques sont explorées.

Enfin, la dernière partie reprend les principaux résultats obtenus et propose des perspectives liées à plusieurs aspects de ce travail de thèse (expérimental, théorique, numérique).
# Chapitre I

## Généralités sur les élastomères et leur modélisation

Ce chapitre s'attache à décrire les élastomères et leur structure. Le processus de réticulation des élastomères, et notamment des silicones vulcanisant à froid, les RTV, est brièvement rappelé. Les élastomères sont également chargés avec des particules améliorant de nombreuses propriétés. C'est leur structure et ses mécanismes de déformation qui leur confèrent des propriétés intéressantes comme leur grande déformabilité ainsi que leur capacité d'amortissement. Cette structure est également à l'origine de phénomènes qui leur sont propres, comme l'élasticité entropique, ou encore l'effet Mullins qui lui est souvent lié aux charges.

Tous ces phénomènes sont largement modélisés dans la littérature. La deuxième partie de ce chapitre présente donc les voies de modélisation de l'hyperélasticité pour les matériaux incompressibles (ou quasi) que sont les élastomères. Nombreux sont également les modèles permettant de rendre compte de la viscosité et de son effet sur les comportements dépendants du temps et donc de la vitesse de sollicitation. Enfin les modèles d'endommagement classiquement utilisés pour décrire l'effet Mullins sont présentés. De plus en plus d'applications requérant un allègement de structures ou une réduction des coûts de fabrication, incorporent des microsphères de verre ou thermoplastique à des élastomères ou des thermoplastiques notamment. On parle de mousses syntactiques. Ces matériaux sont alors fortement compressibles contrairement aux élastomères qui sont incompressibles. Or, la modélisation du comportement hyperélastique d'élastomères compressibles est encore peu développée, seules quelques tentatives abordent cet objectif dans la littérature récente. Les différentes méthodes existantes sont décrites et discutées.
<table><thead><tr><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>I.A</td><td>Structure et comportement des élastomères</td><td>11</td></tr><tr><td>I.A.1</td><td>Structure et composition</td><td>11</td></tr><tr><td>I.A.1.a</td><td>Réticulation des élastomères</td><td>12</td></tr><tr><td>I.A.1.b</td><td>Renforcement des élastomères</td><td>13</td></tr><tr><td>I.A.2</td><td>Cas des RTV</td><td>13</td></tr><tr><td>I.A.3</td><td>Mousses d'élastomères syntactiques</td><td>15</td></tr><tr><td>I.A.4</td><td>Comportement mécanique</td><td>17</td></tr><tr><td>I.A.4.a</td><td>Chargements cyclés : Effet Mullins</td><td>17</td></tr><tr><td>I.A.4.b</td><td>Influence de la température : élasticité entropique</td><td>18</td></tr><tr><td>I.A.4.c</td><td>Comportement des mousses syntactiques</td><td>19</td></tr><tr><td>I.B</td><td>Modélisation du comportement mécanique des élastomères</td><td>20</td></tr><tr><td>I.B.1</td><td>Cadre des grandes déformations et lois de comportement</td><td>21</td></tr><tr><td>I.B.1.a</td><td>Description des déformations</td><td>22</td></tr><tr><td>I.B.1.b</td><td>Vitesse de déformation</td><td>23</td></tr><tr><td>I.B.1.c</td><td>Description des contraintes</td><td>24</td></tr><tr><td>I.B.1.d</td><td>Lois de comportement</td><td>24</td></tr><tr><td>I.B.2</td><td>Modèles de comportements incompressibles</td><td>26</td></tr><tr><td>I.B.2.a</td><td>Modèles physiques</td><td>26</td></tr><tr><td>I.B.2.b</td><td>Modèles phénoménologiques</td><td>27</td></tr><tr><td>I.B.3</td><td>Extension à la compressibilité</td><td>29</td></tr><tr><td>I.B.3.a</td><td>Quasi-incompressibilité</td><td>29</td></tr><tr><td>I.B.3.b</td><td>Modélisation du comportement des polymères poreux</td><td>31</td></tr><tr><td>I.B.4</td><td>Modélisation des phénomènes dissipatifs</td><td>35</td></tr><tr><td>I.B.4.a</td><td>Modèles élasto-dissipatifs</td><td>35</td></tr><tr><td>I.B.4.b</td><td>Prise en compte de l'effet Mullins</td><td>40</td></tr><tr><td colspan="2">Conclusions du chapitre</td><td>44</td></tr></tbody></table>
# I.A Structure et comportement des élastomères

## I.A.1 Structure et composition

Les élastomères sont des matériaux faisant partie de la famille des polymères, au même titre que les thermoplastiques et les thermodurcissables. Leur structure comporte des macro-molécules liées entre-elles non seulement par des liaisons chimiques faibles (type van der Waals, hydrogène), mais aussi par des liaisons fortes. Ce sont des liaisons covalentes entre les chaînes formant des nœuds de réticulation. La particularité des élastomères est leur faible densité de réticulation par rapport, notamment, aux thermodurcissables. Les élastomères sont amorphes et possèdent une transition vitreuse qui se manifeste en général bien en dessous de la température ambiante. À cette température, les chaînes ont une bonne extensibilité et sont faiblement liées entre-elles excepté aux nœuds de réticulation. Cela confère aux élastomères une certaine souplesse et leur permet de se déformer élastiquement jusqu'à des centaines de pourcents de déformation. La Figure I.1 présente une courbe contrainte-déformation en traction d'un caoutchouc naturel. L'élastomère peut subir de grandes déformations réversibles en étant sollicité à de faibles contraintes. On parle alors d'élasticité non-linéaire ou d'hyper-élasticité.

Leur structure leur confère une dépendance à la vitesse de déformation. En effet les phénomènes de fluage ou de relaxation des contraintes sont observés expérimentalement lors de sollicitations longues.

Ils ont également un coefficient de Poisson $\nu$ proche de 0,5 et sont donc qualifiés de (quasi)-incompressibles.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE I.1 – Courbe contrainte-déformation d'un caoutchouc naturel (TRELOAR 1975)</figcaption></figure>

En plus de leurs propriétés mécaniques intéressantes, les élastomères présentent également une bonne résistance à l'abrasion ainsi qu'une bonne tenue en température (jusqu'à 200°C).
De ce fait, ils sont utilisés dans l'automobile par exemple, dans les pneus et également d'autres pièces pour leurs propriétés amortissantes (joint de portière, silent block). D'autres sont utilisés dans de nombreuses applications industrielles pour leur bonne isolation électrique. On retrouve également les silicones dans les joints d'étanchéité. Le domaine médical les emploie également dans des implants grâce à leur biocompatibilité.

### I.A.1.a Réticulation des élastomères

Au départ, un élastomère n'est composé que de chaînes liées par des liaisons faibles. Il est désigné par le terme d'élastomère « cru ». La sollicitation d'un tel matériau provoque un glissement des chaînes entre-elles et la déformation n'est pas totalement réversible. La réticulation joue donc un rôle important pour les élastomères. En effet, leurs propriétés, notamment mécaniques, vont dépendre de la formation d'un réseau tri-dimensionnel de macromolécules liées par des liaisons chimiques : les nœuds de réticulation.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE I.2 – Schéma décrivant le procédé de vulcanisation (CORAN 2013)</figcaption></figure>

Il existe différents systèmes de réticulation dont les plus courants sont la vulcanisation au soufre et la réticulation aux peroxydes. La vulcanisation ne peut avoir lieu que dans des systèmes insaturés, c'est-à-dire contenant des doubles liaisons. La réticulation aux peroxydes quant à elle est faite dans des milieux saturés comme insaturés. Elle permet également une meilleure stabilité thermique des élastomères, car elle crée des liaisons C–C qui sont plus résistantes que les liaisons C–S et S–S, du fait de leur énergie de dissociation plus élevée (AKIBA & HASHIM 1997). En général, on donne une forme à l'élastomère cru, par moulage par exemple, après lui avoir ajouté son système de réticulation. La réaction de pontage commence sous l'effet d'une température élevée. Dans le cas du soufre, la réaction dure environ 5h à 140,°C mais peut être réduite à quelques minutes en utilisant des accélérants comme l'oxyde de zinc (CORAN 2013).
Les conditions de température pour la réticulation aux peroxydes sont déterminées en fonction de leur température de dégradation. Il faut en effet que la température soit élevée, mais qu'il
reste assez de peroxyde pendant toute la durée de la réticulation. KRUŽELÁK et al. 2017 listent différents types de peroxydes et les plages de températures idéales à mettre en œuvre pour ces derniers. Dans tous les cas, la température est élevée et supérieure à 140-150°C.

### I.A.1.b Renforcement des élastomères

La plupart des élastomères sont chargés. Les charges sont principalement employées pour augmenter les propriétés du matériau. Leur nature, leur taille ainsi que la quantité ajoutée influencent grandement le comportement thermo-mécanique des élastomères. Parmi les charges les plus utilisées, on retrouve le noir de carbone et la silice. Ce sont des charges de taille nanométrique à micrométrique qui ont une grande surface spécifique leur permettant d'interagir avec le polymère (MAJESTÉ 2017).

Dans cette partie, on s'intéressera à la silice qui est employée dans les silicones. Les particules élémentaires de silice forment des agrégats entre elles par des liaisons chimiques (type siloxane). Ces entités peuvent alors mesurer de 100 à 150 nm. Des liaisons hydrogène se forment entre les agrégats créant ainsi des agglomérats pouvant aller de 1 µm à 100 µm. Les interactions entre les charges sont directement impliquées dans l'amélioration des propriétés mécaniques du silicone.

Lors de l'ajout de charges, les macromolécules d'élastomère peuvent se lier aux charges et former ainsi une phase élastomérique rigide (l'élastomère lié) à l'interface polymère/charge. Il est également possible que cette couche se forme autour d'agrégrats piégeant ainsi certaines molécules. Cela contribue à réduire la mobilité de l'élastomère et le renforce (MAJESTÉ 2017).

### I.A.2 Cas des RTV

Les RTV (« Room Temperature Vulcanized ») sont des élastomères qui réticulent à température ambiante. Ce sont généralement des silicones de la famille des polysiloxanes qui sont utilisés principalement comme joints ou comme adhésifs dans l'industrie.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE I.3 – Représentation schématique de la structure de chaînes obtenue après la réticulation des RTV mono-composant (Les lettres a, b et c désignent les coefficients stœchiométriques des réactifs).</figcaption></figure>

Leur réticulation se fait grâce à un catalyseur et un agent de réticulation. Il existe deux familles de RTV : les mono-composant (RTV-1) et les bi-composants (RTV-2) (LAUBIE 2012) :
- Les RTV-1 résultent d'un mélange d'huile silicone, des charges, du catalyseur et du réticulant. La réaction de réticulation se déclenche lors de l'exposition à l'humidité ambiante.

- Les RTV-2 commencent à réticuler lorsque l'huile silicone et les charges sont mélangées au catalyseur et au réticulant.

Les RTV-1 sont relativement simples et rapides à mettre en œuvre. La réticulation commence en surface au contact de l'humidité de l'air puis se propage vers le cœur de l'objet fabriqué. Leur réseau est réticulé grâce à l'atome d'oxygène des molécules d'eau, comme schématisé sur la Figure I.3. Ils sont particulièrement adaptés à des applications qui requièrent de faibles épaisseurs comme les revêtements, les joints et les collages.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE I.4 – Représentation schématique de la structure de chaînes obtenue après la réticulation par polycondensation des RTV bi-composants (Les lettres a et b désignent les coefficients stœchiométriques des réactifs).</figcaption></figure>

Les RTV-2 peuvent réticuler par deux méthodes : une réaction de condensation lorsque le catalyseur est composé d'étain (Figure I.4) ou une réaction d'addition en présence d'un catalyseur à base de platine (Figure I.5). Dans les deux cas, la réticulation est complète en une journée à température ambiante, mais peut être accélérée par un apport de chaleur.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE I.5 – Représentation schématique de la structure de chaînes obtenue après la réticulation par polyaddition des RTV bi-composants (Les lettres a et b désignent les coefficients stœchiométriques des réactifs).</figcaption></figure>

La réaction d'addition a la particularité de ne dégager aucun sous-produits, tandis que la condensation, en général, libère des alcools ou d'autres espèces suivant l'agent réticulant utilisé (TANG & TSIANG 1999). Certaines réactions dégageant de l'hydrogène permettent la formation de mousses de silicone (NGUYEN 2005). L'avantage des RTV-2 est de pouvoir fabriquer des pièces plus massives. De nombreuses possibilités de fonctionnalisation existent, notamment pour améliorer la résistance dans certains environnements, la conductivité thermique ou l'isolation
électrique. Certains fabricants proposent également des solutions qui réticulent sous l'action de
la lumière UV.

I.A.3 Mousses d'élastomères syntactiques

Il est maintenant courant d'utiliser des mousses de polymères ou d'élastomères qui sont
appelées syntactiques. Cela consiste à ajouter à la matrice des microsphères creuses ayant des
coques en verre ou en thermoplastique. L'avantage est d'avoir, par simple mélange, une mousse
à porosités fermées et dont la taille et la fraction volumique des pores sont contrôlées. Ces
mousses peuvent être utilisées dans de nombreux domaines. On peut citer, par exemple, le mi-
lieu marin pour les sous-marins ou l'industrie offshore (LAWRENCE & PYRZ 2001; SHORTER
2014). En effet ces mousses ont l'avantage d'être légères, de permettre une bonne résistance
à la pression hydrostatique, d'avoir une faible absorption de l'eau et une très bonne isolation
thermique (GUPTA et al. 2014). Leurs propriétés acoustiques les rendent intéressantes pour
les revêtements furtifs des sous-marins (SHORTER 2014). L'utilisation de microsphères en verre
permet d'améliorer les propriétés mécaniques des mousses. Cependant, après un chargement
de compression, les coques cassent lors de l'atteinte d'une certaine pression et cela revient à
avoir une mousse à porosités vides lors des cycles de sollicitations suivants. Les coques ont aussi
une faible résistance en cisaillement (LAWRENCE & PYRZ 2001). C'est pourquoi l'utilisation de
microsphères à coques thermoplastiques s'est développée. Elles ont l'avantage de se déformer
de manière réversible.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE I.6 – Représentation schématique de la fabrication de microsphères à coques thermo-plastiques (GARDFORS 2013)</figcaption></figure>

Les sphères sont creuses et contiennent un gaz issu du processus de fabrication schématisé
sur la Figure I.6. Au départ, les précurseurs de la polymérisation et l'agent d'expansion (gaz)
se trouvent sous forme liquide dans une solution qui contient des agents surfactants provoquant
la formation de gouttes qui contiennent dans l'agent stabilisant le monomère et l'amorceur.
Sous l'effet de la chaleur, la polymérisation a lieu et des coques se forment encapsulant l'agent
d'expansion. Ce dernier retrouve sa forme gazeuse une fois sa température d'évaporation passée
(GARDFORS 2013).
Ces microsphères peuvent être incorporées telles qu'elles dans des élastomères vulcanisant à froid par exemple. Pour ceux qui vulcanisent à températures plus élevées, il est courant d'utiliser des microsphères de plus petites tailles qui continuent à s'expanser pendant que le matériau réticule. En effet, la chaleur ramollit les coques, le matériau les constituant approchant de sa $T_g$. La chaleur augmente la pression de l'agent d'expansion et donc le volume des microsphères augmente également (GARDFORS 2013; TOMALINO & BIANCHINI 1997; WANG *et al.* 2014). Quelques exemples de ces mousses syntactiques sont montrés sur la Figure I.7.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIGURE I.7 – Structure des mousses syntactiques obtenues dans plusieurs études avec des microsphères thermoplastiques. (a) Image MEB d'une mousse expansée (TOMALINO & BIANCHINI 1997). (b) Coupe de microtomographie RX issue de CURD *et al.* 2021. (c) Coupe d'une mousse observée au MEB par YOUSAF *et al.* 2020. (d) Coupe d'une mousse observée au MEB par SHORTER 2014.</figcaption></figure>
I.A.4 Comportement mécanique

I.A.4.a Chargements cyclés : Effet Mullins

L'effet Mullins est observé sur les élastomères chargés. Il est caractérisé par un adoucissement du matériau lorsqu'il est soumis à une charge cyclée. En effet, dès le deuxième cycle, une baisse importante de rigidité est observée. Les cycles tendent ensuite à se stabiliser (voir Figure I.8a). Après ces premiers cycles, si le matériau est sollicité à une déformation supérieure, la charge suit la courbe de décharge du cycle précédent puis retrouve la courbe contrainte-déformation qui serait celle d'un chargement monotone sur matériau vierge. Cet adoucissement suivi de l'augmentation de la contrainte est visible sur la Figure I.8b. On remarque également que plus l'élongation est grande, plus la baisse de rigidité est marquée (cf. cycles E2 et E3 sur la Figure I.8b). De plus, une déformation résiduelle est observable et recouvrable après un temps de repos relativement long et généralement à des températures supérieures à l'ambiante (DIANI et al. 2009).

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE I.8 – Effet Mullins - Essais de traction uniaxiale cyclée. (a) Amplitude de déformation constante (DELATTRE 2014). (b) Amplitude de déformation croissante (MAJESTÉ 2017)</figcaption></figure>

La raison physique de cet effet n'est pas encore clairement connue. Ce phénomène est rapporté en premier par MULLINS 1948 qui a étudié des élastomères contenant ou non des charges. L'effet étant présent uniquement sur les matériaux chargés, il l'attribue à des ruptures des agglomérats de charges ou même à de l'adsorption des chaînes sur les charges. BLANCHARD & PARKINSON 1952 et BUECHE 1960 l'attribuent à des ruptures de chaînes, mais cela ne pourrait pas expliquer l'augmentation de contraintes lorsque l'élongation appliquée augmente. Plussieurs autres hypothèses existent notamment celle d'un glissement des chaînes polymères sur les charges lors de la première extension du matériau. De nouvelles liaisons physiques pourraient alors se créer instantanément sur d'autres parties des chaînes. Cela peut expliquer l'augmentation de contrainte après l'adoucissement lorsque le matériau est sollicité à une elongation supérieure (HOUWINK 1956).
I.A.4.b Influence de la température : élasticité entropique

Dans les solides en général, la déformation est accompagnée d'une augmentation de l'enthalpie du matériau. L'entropie du système est quant à elle constante. C'est le cas, par exemple, de la plupart des polymères thermoplastiques, thermodurs et des élastomères proches de leur température de transition vitreuse (T<sub>g</sub>). S'ils sont déformés en traction à même vitesse, mais à des températures croissantes se rapprochant de T<sub>g</sub>, leur rigidité est plus faible. L'apport d'énergie confère une mobilité supplémentaire aux chaînes dont l'extension est plus importante. En ce qui concerne les polymères semi-cristallins, quand la température approche celle de la fusion des cristallites (T<sub>m</sub>), la rigidité est au plus faible et le matériau présente un grand allongement avant la rupture (voir Figure I.9a).

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIGURE I.9 – Courbes de traction uniaxiale pour un polymère semi-cristallin (a) et pour un élastomère (b)</figcaption></figure>

L'origine de l'élasticité des élastomères est tout autre, puisqu'elle est de nature entropique (GEDDE 1995). Comme tous les polymères amorphes, les macromolécules sont sous forme de pelotes statistiques. Néanmoins, leurs nœuds de réticulation étant moins nombreux, les chaînes peuvent se replier plus fortement sur elles-mêmes, par rapport aux autres structures. Quand elles sont sous cette forme, la conformation est idéale pour le matériau et son entropie est maximale. Appliquer une déformation à un élastomère revient donc à déplier ses macromolécules en diminuant son entropie. Cependant, le matériau cherche toujours à revenir à sa configuration optimale pour maximiser son entropie. En conséquence, l'augmentation de température pour une même amplitude de déformation occasionne une force de rappel plus importante qui entraîne les macromolécules vers leur forme de pelote. Cela provoque une rigidification dans les élastomères (voir Figure I.9b) (TRELOAR 1975).
I.A.4.c Comportement des mousses syntactiques

L'étude du comportement en compression de matériaux cellulaires est abordée en premier
dans GIBSON & ASHBY 1982 et GIBSON 1989. Les auteurs étudient plusieurs types de mousses
à porosités ouvertes ou fermées. Les matériaux de base sont des thermoplastiques ou des élas-
tomères. Ils ont donc des rigidités plus ou moins élevées.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIGURE I.10 – Comportement mécanique en compression de plusieurs mousses de polymères (GIBSON & ASHBY 1982). (a) Mousse flexible de polyuréthane à porosités ouvertes. (b) Mousse flexible de polyéthylène à porosités fermées. (c) Mousse rigide de polyuréthane à porosités fermées.</figcaption></figure>

Les courbes contrainte-déformation sur la Figure I.10 montrent un comportement que l'on peut diviser en trois phases, dont chacune est plus ou moins marquée selon la nature du matériau en question. La première pente correspond à la déformation élastique de la mousse. Durant la seconde phase, en forme de plateau, les pores commencent à flamber sous l'effet de la pression. Enfin, la contrainte augmente de manière significative signe que les pores sont tous refermés. Des deux mécanismes principaux de déformation, la fermeture des pores et la déformation de la matrice, seul le dernier subsiste. Il se traduit par une faible déformation quand la contrainte augmente.

Le même comportement sous compression est observé par YOUSAF *et al*. 2020 pour les mousses syntactiques de polyuréthane avec des microsphères thermoplastiques, et également par JAYAVARDHAN & DODDAMANI 2018 pour des matériaux de type epoxy avec des microballons en verre.

Le comportement en traction des mousses syntactiques est moins étudié, mais on trouve
quelques exemples dans la littérature. Ils sont illustrés sur la Figure I.11. SHORTER 2014, par
exemple, a caractérisé en traction uniaxiale le comportement de silicones RTV contenant diffé-
rents pourcentages volumiques de microsphères thermoplastiques. Il observe un effet renforçant
des microsphères sur les premiers pourcents de déformation. Le comportement de plateau, d'au-
tant plus marqué qu'il y a de microballons, peut être dû à un flambement des microsphères ou
à une décohésion des coques et de la matrice. Cette dernière hypothèse est également présentée
par YOUSAF et al. 2022 qui étudient des mousses polyuréthane avec différents grades et pour-
cents de microsphères. Plus ce dernier est important, plus ce phénomène est marqué et amène
à une rupture de l'éprouvette prématurée. On remarque que dans leur cas, l'effet renforçant
n'est pas présent, car toutes les courbes ont un module initial similaire. Il peut y avoir plusieurs
raisons pour expliquer ce phénomène. S'agissant, dans les deux cas de la Figure I.11, du même
type de microsphères, le choix de la matrice conditionne donc ce phénomène. En effet, un poly-
uréthane doit avoir une rigidité plus proche du matériau composant les coques des microballons
contrairement à un silicone dont le module d'Young est faible. L'effet renforçant serait alors
plus marqué pour ce dernier matériau. Il pourrait également y avoir des interactions physiques
ou chimiques entre les microsphères et l'élastomère en fonction de la nature des deux.

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE I.11 – Courbes contrainte-déformation en traction uniaxiale pour différentes fractions volumiques de microsphères dans des mousses syntactiques. (a) Etude de SHORTER 2014. (b) Etude de YOUSAF et al. 2022.</figcaption></figure>

I.B Modélisation du comportement mécanique des élastomères

On a vu que les élastomères sont des réseaux de longues molécules faiblement réticulées
entre elles. Cette structure mobile et flexible permet au matériau de subir de grandes défor-
mations non linéaires. Les voies de modélisation de ce type de comportement seront décrites
dans un premier temps dans cette section, d'abord pour les élastomères classiques considérés
incompressibles, puis en introduisant un peu de compressibilité. Les mousses d'élastomères pré-
sentent le même type de comportement non linéaire et on s'attachera à décrire les possibilités
de modélisation de leur comportement fortement compressible.

La structure chimique des élastomères leur confère un comportement visqueux. En effet, la rep-
tation des chaînes induit de la viscosité qui rend leur comportement dépendant du temps et de
la vitesse. La deuxième partie de cette section présentera donc la modélisation des phénomènes
visqueux. La modélisation des autres phénomènes dissipatifs comme la plasticité ou l'effet Mullins est également décrite.

Tout d'abord certains prérequis de l'hyperélasticité sont rappelés succinctement. Ces aspects sont détaillés dans l'annexe A.

## I.B.1 Cadre des grandes déformations et lois de comportement

La fonction $\chi$ décrit le mouvement d'un solide entre sa position dans la configuration initiale $C_0$ à l'instant $t_0$ et sa position à $t$ dans la configuration actuelle $C(t)$. La description du mouvement est, dans ce cas, lagrangienne, dépendante du temps et des positions initiales du point matériel :

$$x = \chi(\mathbf{X}, t) \qquad (I.1)$$

Cette fonction du mouvement est bijective de $C_0$ dans $C(t)$ et permet ainsi de retrouver la position initiale du point X dans $C_0$ en fonction de sa position dans $C(t)$. Comme l'indique la Figure I.12, les coordonnées d'un point X sont notées $\mathbf{X}$ dans $C_0$ et $\mathbf{x}$ dans $C(t)$.

La position peut également être indiquée par l'introduction d'un vecteur déplacement $\mathbf{u}$, sous la forme SIDOROFF 1982 :

$$\mathbf{x}(\mathbf{X}, t) = \mathbf{X} + \mathbf{u}(\mathbf{X}, t) \qquad (I.2)$$

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE I.12 – Configurations initiale et actuelle</figcaption></figure>

Pour décrire la déformation locale entre un point X et un point Y, on peut écrire le développement limité de la fonction de mouvement en Y au voisinage de X :

$$\chi(\mathbf{Y}, t) = \chi(\mathbf{X}, t) + \frac{\partial\chi(\mathbf{X}, t)}{\partial\mathbf{X}}(\mathbf{Y} - \mathbf{X}) + o(\mathbf{Y} - \mathbf{X})^2 \qquad (I.3)$$

Or d'après (I.1), on peut écrire :

$$d\mathbf{x} = \mathbf{y} - \mathbf{x} = \chi(\mathbf{Y}, t) - \chi(\mathbf{X}, t) \qquad (I.4)$$
L'expression (I.3) devient donc :

$$dx = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}} d\mathbf{X} \qquad (I.5)$$

L'équation (I.5) met en évidence le gradient de transformation qui relie un vecteur de la configuration de référence à ce vecteur dans la configuration actuelle. Ce tenseur est noté **F** et a donc pour expression :

$$\mathbf{F} = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}} = \frac{\partial \mathbf{x}_i}{\partial \mathbf{X}_j} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \qquad (I.6)$$

Son déterminant est noté **J** et décrit les variations de volume de la transformation. Cette grandeur est donc égale à 1 dans un cas incompressible.

### I.B.1.a Description des déformations

**Décomposition polaire** La seule connaissance de **F** n'est pas adaptée pour décrire la déformation d'un corps puisque ce tenseur contient des informations sur les déformations, mais aussi sur les translations et rotations. Pour pallier ce problème, il faut faire appel à la décomposition polaire unique de **F**. Elle repose sur la multiplication d'un tenseur décrivant une déformation et d'un autre décrivant une rotation :

$$\mathbf{F} = \mathbf{R} \cdot \mathbf{U} = \mathbf{V} \cdot \mathbf{R} \qquad (I.7)$$

Dans l'équation (I.7), **R** est le tenseur des rotations, orthogonal. **U** et **V** sont respectivement les tenseurs de déformation pure droit et gauche. Ils sont symétriques et définis positifs. Ces deux tenseurs peuvent être transportés l'un et l'autre entre les configurations initiale et actuelle par les relations en (I.8) :

$$\begin{aligned} \mathbf{V} &= \mathbf{R} \cdot \mathbf{U} \cdot \mathbf{R}^{\mathrm{T}} \\ \mathbf{U} &= \mathbf{R}^{\mathrm{T}} \cdot \mathbf{V} \cdot \mathbf{R} \end{aligned} \qquad (I.8)$$

**Définition directe** Les déformations peuvent également être définies à partir du produit скалаire de vecteurs des deux configurations. En considérant d**X** et d**Y** de la configuration C₀ et dx et dy de C(t), il est possible d'écrire :

$$\begin{aligned} dx \cdot dy &= (\mathbf{F} \cdot d\mathbf{X}) \cdot (\mathbf{F} \cdot d\mathbf{Y}) \\ &= d\mathbf{X} \cdot \mathbf{F}^T \cdot \mathbf{F} \cdot d\mathbf{Y} \qquad (I.9) \\ &= d\mathbf{X} \cdot \mathbf{C} \cdot d\mathbf{Y} \end{aligned}$$

Par identification, l'expression du tenseur des dilatations de CAUCHY-GREEN droit s'écrit :

$$\mathbf{C} = \mathbf{F}^T \cdot \mathbf{F} \qquad (I.10)$$

En effectuant la même démarche pour la configuration eulérienne, il vient la définition de **B** le tenseur de dilatations de CAUCHY-GREEN gauche :

$$\mathbf{B} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{F}^T \qquad (I.11)$$
Dans un état non déformé, le gradient de la transformation vaut l'identité. C'est donc aussi le cas des tenseurs de dilatation **B** et **C**. On peut alors utiliser une autre définition de déformation, qui, elle, sera plus conventionnelle puisqu'à un état non déformé, la valeur de la déformation sera nulle. Pour cela on considère la déformation comme une différence de produits scalaires des vecteurs des configurations $C_0$ et $C(t)$ :

$$ 
\begin{aligned}
d\mathbf{x} \cdot d\mathbf{y} - d\mathbf{X} \cdot d\mathbf{Y} &= d\mathbf{X} \cdot \mathbf{F}^T \cdot \mathbf{F} \cdot d\mathbf{Y} - d\mathbf{X} \cdot d\mathbf{Y} \\
&= d\mathbf{X} \cdot (\mathbf{C} - \mathbf{I}) \cdot d\mathbf{Y} \qquad (I.12) \\
&= d\mathbf{X} \cdot 2\mathbf{E} \cdot d\mathbf{Y}
\end{aligned}
$$

Il apparaît le tenseur de déformation de GREEN-LAGRANGE **E** :

$$ \mathbf{E} = \frac{1}{2} (\mathbf{C} - \mathbf{I}) \qquad (I.13) $$

De manière analogue, en exprimant la différence de produits scalaires avec des vecteurs de la configuration actuelle, on obtient la définition du tenseur de EULER-ALMANSI **A** :

$$ \mathbf{A} = \frac{1}{2} (\mathbf{I} - \mathbf{B}^{-1}) \qquad (I.14) $$

Une expression généralisée de la déformation a été introduite par Seth et Hill,

— en configuration lagrangienne $C_0$ :

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l}
\frac{1}{2n}(\mathbf{U}^{2n} - \mathbf{1}) = \frac{1}{2n}(\mathbf{C}^n - \mathbf{1}) \text{ si } n \neq 0 \\
\ln \mathbf{U} \text{ sinon}
\end{array}
\right. 
\qquad (I.15) $$

— en configuration eulérienne $C(t)$ :

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l}
\frac{1}{2n}(\mathbf{V}^{2n} - \mathbf{1}) = \frac{1}{2n}(\mathbf{B}^n - \mathbf{1}) \text{ si } n \neq 0 \\
\ln \mathbf{V} \text{ sinon}
\end{array}
\right. 
\qquad (I.16) $$

Selon les valeurs prises par $n$, plusieurs grandeurs peuvent être retrouvées : Green-Lagrange (pour $n = 1$ dans $C_0$), Euler-Almansi (pour $n = -1$ dans $C(t)$). Lorsque $n = 0$, on retrouve la déformation logarithmique, ou déformation vraie :

$$ \log \mathbf{U} \text{ dans } C_0 \text{ et } \log \mathbf{V} \text{ dans } C(t) \qquad (I.17) $$

### I.B.1.b Vitesse de déformation

La vitesse de déformation s'écrit en dérivant la position dans la configuration initiale et cela aboutit à l'expression suivante :

$$ \dot{\mathbf{F}} = \frac{d\mathbf{F}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}}\right) = \frac{\partial}{\partial \mathbf{X}}\left(\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right) = \mathrm{grad}_X \mathbf{v} \qquad (I.18) $$
Dans la configuration actuelle, il est également possible de décrire la vitesse de déformation grâce au tenseur noté **L** :

$$ \mathbf{L} = \dot{\mathbf{F}} \cdot \mathbf{F}^{-1} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial \mathbf{X}} \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial \mathbf{v}} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial \mathbf{x}} = \operatorname{grad}_x \mathbf{v} \qquad (I.19) $$

Ce tenseur peut aussi s'écrire :

$$ \mathbf{L} = \mathbf{D} + \mathbf{W} \qquad (I.20) $$

**D** est le symétrique de **L** représentant le taux de déformation, et **W** est la partie anti-symétrique décrivant le rotationnel du champ de vitesse. Ces tenseurs s'écrivent ainsi :

$$ \mathbf{D} = \frac{1}{2} (\mathbf{L} + \mathbf{L}^T) \qquad \mathbf{W} = \frac{1}{2} (\mathbf{L} - \mathbf{L}^T) \qquad (I.21) $$

### I.B.1.c Description des contraintes

Il y a plusieurs possibilités afin de décrire les efforts intérieurs subis par un corps matériel selon la configuration considérée. Les grandeurs utilisées sont :

- Le tenseur de Cauchy $\sigma$ en description eulérienne. Il correspond à une force exerçant sur une surface déformée par unité de surface déformée. Sa définition est également utilisée dans le cadre des petites déformations. Il est symétrique donc $\sigma = \sigma^T$.

- Le tenseur de Piola-Kirchhoff I $\pi$ en description mixte. Il correspond à une force exerçant sur une surface déformée par unité de surface non déformée, équivalent à la contrainte nominale. Il est non symétrique.

- Le tenseur de Piola-Kirchhoff II **S** en description lagrangienne. Il n'a pas de signification physique. Il est symétrique.

Les relations entre ces tenseurs peuvent s'écrire :

$$ \pi = J\sigma \cdot \mathbf{F}^{-T} \qquad (I.22) $$

$$ \mathbf{S} = \mathbf{F}^{-T} \cdot \pi = J\mathbf{F}^{-1} \cdot \sigma \cdot \mathbf{F}^{-T} \qquad (I.23) $$

### I.B.1.d Lois de comportement

La contrainte peut être représentée de manière générale par la relation (BERGSTRÖM 2015; SIDOROFF 1982) :

$$ \mathbf{Z}(t) = \mathcal{F}_{\tau \le t} (\mathbf{F}(\tau), T, \operatorname{grad}_x T) \qquad (I.24) $$

Elle permet le calcul de la contrainte **Z** à un instant donné, $t$, à partir de l'histoire des déformations et des températures $T$ subies par le matériau jusqu'au temps $t$. Selon la configuration considérée, **Z** désigne soit $\sigma$, soit $\pi$ ou encore **S**.

Cela signifie que la contrainte prend sa valeur à l'instant $t$, en fonction de valeurs qu'elle a prises aux instants précédents, introduisant une certaine "mémoire" du matériau. C'est ce qu'on
appelle le déterminisme, un des principes nécessaires à la formulation de lois de comportement. Un autre principe important est l'hypothèse d'un état local. La déformation ou la tempéralité en un point dépend seulement des valeurs de ces variables au voisinage du point considéré (COIRIER & NADOT-MARTIN 2013).

Chacune des grandeurs (contrainte, flux de chaleur, énergie et entropie) est supposée dépendre des mêmes variables en un point, c'est le principe d'équiprésence (BERGSTRÖM 2015).

**Variables d'état** Les variables permettant le calcul des grandeurs de l'ensemble $\mathcal{R}$ à l'instant $t$, en un point, sont appelées variables d'état. Elles peuvent être divisées en deux types (LEMAÎTRE et al. 2009) :

- Les variables observables, comme la déformation et la température. Selon les cas, la déformation pourra être **B** ou **C**. Ces variables sont observables et mesurables. Elles sont également objectives, i.e. indépendantes du référentiel d'observation.

- Les variables internes servant à décrire d'autres phénomènes tels que la plasticité, l'endommagement (effet Mullins par exemple) ou la viscosité.

Après l'introduction des variables d'état et l'adoption des différents principes (déterminisme, état local, équiprésence, objectivité), la relation (I.24) peut être exprimée :

$$ \mathbf{Z} = \mathcal{F}_{\tau \le t} (\mathbf{C}_t(\tau), \mathbf{B}(t), T, k_1, \dots, k_M, \mathbf{K}_1, \dots, \mathbf{K}_N) \qquad (I.25) $$

Les variables $k_M$ et $\mathbf{K}_N$ sont respectivement des variables internes scalaires et tensorielles.

**Principe d'entropie** Le principe de variation de l'entropie ou de la dissipation positive doit être respecté. Une loi de comportement doit donc vérifier l'inégalité de CLAUSIUS-DUHEM.

On postule l'existence d'un potentiel thermodynamique obtenu par transformation de LEGENDRE de l'énergie interne $e$. Ce potentiel $\psi$ dit de HELMHOLTZ s'écrit :

$$ \psi = e - ST \qquad (I.26) $$

L'inégalité de dissipation intrinsèque correspondant au second principe, dans un cas isotherme et adiabatique, s'écrit donc :

- en configuration eulérienne

$$ - \rho \dot{\psi} + \sigma : \mathbf{D} \ge 0 \qquad (I.27) $$

- en configuration mixte

$$ - \rho_0 \dot{\psi} + \pi : \dot{\mathbf{F}} \ge 0 \qquad (I.28) $$

- en configuration lagrangienne

$$ - \rho_0 \dot{\psi} + \mathbf{S} : \dot{\mathbf{E}} \ge 0 \qquad (I.29) $$
## I.B.2 Modèles de comportements incompressibles

La partie précédente a présenté les bases des grandes déformations et les considérations thermodynamiques menant à la création de lois de comportements.

La dissipation est nulle en hyperélasticité donc les inégalités I.27, I.28 et I.29 deviennent des égalités. L'énergie libre introduite dans ces expressions dépend des déformations, donc de F. Afin de respecter l'objectivité, elle dépend de B ou C selon la configuration ou, plus exactement, de leurs invariants $I_1, \mathbb{I}_2, \mathbb{I}_3$ ou des élongations principales $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$. Elle est équivalente à une densité d'énergie de déformation. Le cas étant incompressible, $\mathbb{I}_3 = \det(F) = 1$ et l'elongation $\lambda_3$ peut donc s'exprimer en fonction des deux autres $\lambda_3 = \lambda_1^{-1}\lambda_2^{-1}$.

$$ \rho_0\psi = \rho_0\psi(\mathbf{B}) = \rho_0\psi(\mathbf{C}) = \rho_0\psi(I_1, \mathbb{I}_2) = \rho_0\psi(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) \quad (I.30) $$

Cela permet de définir, à partir de ces égalités, la contrainte dans chacune des configurations à une pression hydrostatique $p$ près induite par l'incompressibilité :

$$ \sigma = 2\rho_0\mathbf{B} \cdot \frac{\partial\psi}{\partial\mathbf{B}} - p\mathbf{1} \quad (I.31) $$

$$ \pi = \rho_0 \frac{\partial \psi}{\partial \mathbf{F}} - p \mathrm{cof}(\mathbf{F}) \quad (I.32) $$

$$ \mathbf{S} = 2\rho_0 \frac{\partial \psi}{\partial \mathbf{C}} - p \mathbf{C}^{-1} \quad (I.33) $$

On rappelle la définition des invariants, par exemple, ceux de B :

$$ \begin{align} I_1 &= \mathrm{tr}(\mathbf{B}) = \mathbf{B} : \mathbf{1} \notag \\ \mathbb{I}_2 &= \frac{1}{2} [(\mathbf{B} : \mathbf{1})^2 - \mathbf{B}^T : \mathbf{B}] \tag{I.34} \\ \mathbb{I}_3 &= \det(\mathbf{B}) = J^2. \notag \end{align} $$

L'enjeu à présent est de trouver des énergies libres capables de représenter convenablement le comportement non-linéaire des élastomères. Il existe plusieurs approches, l'une consistant à modéliser le comportement des chaînes dans le matériau, l'autre cherchant plutôt à décrire le comportement macroscopique des élastomères grâce à des considérations mathématiques.

### I.B.2.a Modèles physiques

Les modèles physiques sont basés sur la modélisation des mouvements de chaînes. En effet, l'élasticité dans les réseaux d'élastomères vient des changements d'entropie qui ont lieu pendant la déformation. L'entropie est pilotée par les changements de conformations dans les chaînes. Les approches physiquement motivées cherchent donc, par le biais de la mécanique statistique, à estimer les variations d'entropie dans les chaînes macromoléculaires. La variation d'entropie dépend de la probabilité d'occurrence de certaines conformations de chaînes lors de la déformation. Plusieurs approches existent pour considérer cette probabilité : les théories gaussienne et non-gaussienne. Les modèles les plus couramment utilisés sont détaillés ci-après.
**Modèle de Neo-Hooke** (TRELOAR 1943) Ce modèle est issu de l'utilisation d'une approche gaussienne pour exprimer la variation d'entropie par la probabilité de trouver l'autre extrémité d'une chaîne dans une sphère où la chaîne serait fixée à l'origine. Il en découle l'expression :

$$ \rho_0\psi = \frac{1}{2}nkT(I_1 - 3) \qquad (I.35) $$

avec n le nombre de chaînes par unité de volume, k la constante de Bolzmann et T la température absolue.

Il s'agit du modèle le plus simple permettant de décrire l'hyperélasticité des élastomères, mais il est limité à des déformations modérées.

**Modèle d'Arruda-Boyce** Les modèles basés sur une approche non-gaussienne sont plus aptes à représenter le comportement des élastomères, notamment la limite d'extensibilité aux grandes déformations. D'autres conformations de chaînes sont également possibles. Ici, l'entropie dépend de la fonction de Langevin $\mathcal{L}$ et nécessite d'estimer l'arrangement des chaînes dans l'espace. Le modèle de ARRUDA & BOYCE 1993, aussi appelé 8-chaînes, est le plus commun des modèles non-gaussiens. Les chaînes sont supposées orientées dans les diagonales d'un cube. L'élongation de chacune d'entre-elles est reliée au premier invariant tel que :

$$ \lambda = \sqrt{\frac{I_1}{3}} \qquad (I.36) $$

et l'énergie libre s'écrit :

$$ \rho_0\psi = nkTN \left[ \frac{\lambda}{\sqrt{N}}\beta + \ln\frac{\beta}{\cosh\beta} \right] \qquad (I.37) $$

avec $\beta = \mathcal{L}^{-1} \frac{r}{nL}$ ($r$ est la longueur du vecteur chaîne), $nL$ est la longueur de chaîne, $N$ paramètre la position du raidissement.

### I.B.2.b Modèles phénoménologiques

**Énergies polynomiales** La plupart des modèles phénoménologiques découlent d'une énergie libre polynomiale dite de Mooney-Rivlin (RIVLIN et al. 1951) qui a pour expression :

$$ \rho_0\psi(I_1, \mathbb{I}_2) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{n} C_{ij} (I_1 - 3)^i (\mathbb{I}_2 - 3)^j \quad \text{avec } C_{00} = 0 \qquad (I.38) $$

Les jeux de paramètres $C_{ij}$ choisis le plus couramment sont listés dans le tableau I.1. Plus les valeurs de $i$ et $j$ sont grandes, plus le modèle sera apte à modéliser les non-linéarités caractéristiques du comportement mécanique des élastomères. Le nombre de paramètres à identifier peut néanmoins être problématique dans certains cas. L'enjeu est donc de trouver un bon compromis.

La Figure I.13 présente le résultat d'identification de plusieurs énergies libres polynomiales sur le jeu de données expérimentales en traction de TRELOAR 1975. Le modèle de Mooney-Rivlin est capable de bien représenter le comportement aux faibles déformations. Il est d'ailleurs
<table><caption>TABLEAU I.1 – Expression de quelques énergies libres polynomiales</caption><thead><tr><th>Modèle</th><th colspan="6">Coefficients</th></tr></thead><tbody><tr><td>Mooney-Rivlin RIVLIN & RIDEAL 1948</td><td>C<sub>10</sub></td><td>C<sub>01</sub></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>YEOH 1990</td><td>C<sub>10</sub></td><td></td><td>C<sub>20</sub></td><td></td><td>C<sub>30</sub></td><td></td></tr><tr><td>BIDERMAN 1958</td><td>C<sub>10</sub></td><td>C<sub>01</sub></td><td>C<sub>20</sub></td><td></td><td>C<sub>30</sub></td><td></td></tr><tr><td>JAMES et al. 1975</td><td>C<sub>10</sub></td><td>C<sub>01</sub></td><td>C<sub>11</sub></td><td>C<sub>20</sub></td><td>C<sub>02</sub></td><td>C<sub>21</sub></td><td>C<sub>12</sub></td><td>C<sub>30</sub></td><td>C<sub>03</sub></td></tr></tbody></table>

couramment utilisé afin de calculer le module d'Young des élastomères. Il est en effet exprimé par la relation :

$$E = 6(C_{10} + C_{01}) \qquad (I.39)$$

Le modèle de Biderman, quant à lui, permet de mieux capter la forme en « S » de la courbe de traction. Cette énergie a d'ailleurs été utilisée dans plusieurs travaux comme ceux de SEIBERT 2017 ou ALEXANDER 1968.

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE I.13 – Comparaison de modèles phénoménologiques sur des données expérimentales (Treloar) typiques d'un élastomère (BERGSTRÖM 2015; TRELOAR 1975). (a) Mooney-Rivlin. (b) Biderman.</figcaption></figure>

RIVLIN et al. 1951 ont montré que l'énergie libre pouvait s'écrire sous une forme utilisant $C_{10}$ sur la partie dépendante de $I_1$ car sa dérivée apparaît constante selon les expériences menées. Pour la partie dépendant du second invariant, la dérivée de l'énergie libre dépend de $\mathbb{I}_2$. Ils ont donc introduit une fonction décroissante de $\mathbb{I}_2$ dans l'énergie tel que :

$$\rho_0\psi(\mathbb{I}_1, \mathbb{I}_2) = C_{10}(\mathbb{I}_1 - 3) + f(\mathbb{I}_2 - 3) \qquad (I.40)$$

Un exemple de cette approche est le modèle de GENT & THOMAS 1958 qui utilise une fonction logarithmique de $\mathbb{I}_2$ :

$$\rho_0\psi(\mathbb{I}_1, \mathbb{I}_2) = C_1(\mathbb{I}_1 - 3) + C_2\ln\left(\frac{\mathbb{I}_2}{3}\right) \qquad (I.41)$$
**Modèle de Ogden** Le modèle d'OGDEN & HILL 1972 basé sur les élongations principales est également couramment utilisé et implémenté dans les codes de calculs commerciaux :

$$ \rho_0 \psi(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = \sum_{p=0}^{N} \frac{\mu_p}{\alpha_p} (\lambda_1^{\alpha_p} + \lambda_2^{\alpha_p} + \lambda_3^{\alpha_p} - 3) \quad (I.42) $$

avec $\sum_{p=0}^{N} \mu_p \alpha_p = 2\mu$ et $\mu_p \alpha_p > 0$.

Ce modèle permet une bonne adéquation avec la courbe contrainte-déformation en traction de Treloar (Figure I.14). En général, une énergie de déformation d'Odgen à l'ordre 3 (i.e. avec $N = 3$) est plutôt efficace, mais demande l'identification de 6 paramètres ce qui n'est parfois pas aisé (BERGSTRÖM 2015; MARCKMANN & VERRON 2006).

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIGURE I.14 – Utilisation de l'énergie libre d'Ogden pour modéliser les données de traction uniaxiale de TRELOAR 1975</figcaption></figure>

### I.B.3 Extension à la compressibilité

#### I.B.3.a Quasi-incompressibilité

En réalité, les élastomères sont légèrement compressibles. On parle aussi de quasi-incompressibilité. Dès 1930, des essais de compression ont été mis en place par ADAMS & GIBSON afin de caractériser la compressibilité d'échantillons de caoutchouc. Les résultats montrent un comportement très compressible aux basses pressions et devenant rapidement incompressible.

Afin de la prendre en compte dans la modélisation, un découplage de l'énergie libre, découlant d'une décomposition du gradient de déformation, est employé. Cette décomposition introduite initialement par FLORY 1961 est largement employée dans la littérature. Elle s'écrit :

$$ \mathbf{F} = \hat{\mathbf{F}} \cdot \bar{\mathbf{F}} \quad (I.43) $$

Le premier terme $\hat{\mathbf{F}} = J^{1/3} \mathbf{1}$, dépend directement de la variation de volume $J$ et décrit donc les déformations purement volumiques. Le second terme $\bar{\mathbf{F}}$ décrit les déformations isochores, i.e. à volume constant. Les tenseurs de Cauchy-Green gauche et droit peuvent ainsi également
s'écrire sous forme isochore :

$$
\begin{align}
\bar{\mathbf{B}} &= \bar{\mathbf{F}} \cdot \bar{\mathbf{F}}^T = (J^{-1/3} \mathbf{F}) \cdot (J^{-1/3} \mathbf{F}^T) = J^{-2/3} \mathbf{B} \nonumber \\
\bar{\mathbf{C}} &= \bar{\mathbf{F}}^T \cdot \bar{\mathbf{F}} = (J^{-1/3} \mathbf{F}^T) \cdot (J^{-1/3} \mathbf{F}) = J^{-2/3} \mathbf{C} \tag{I.44}
\end{align}
$$

Une hypothèse supplémentaire mène à considérer l'énergie libre comme une somme des contri-
butions isochore et volumique :

$$
\psi(\mathbf{B}) = \bar{\psi}(\bar{\mathbf{B}}) + \hat{\psi}(J) \tag{I.45}
$$

La contrainte s'écrit alors dans ce cas :

$$
\sigma = 2\rho_0 J^{-1} \bar{\mathbf{B}} \cdot \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial \bar{\mathbf{B}}} : \mathbb{P}_1 + \rho_0 \frac{\partial \hat{\psi}}{\partial J} \mathbf{1} \quad (I.46)
$$

avec $\mathbb{P}_1 = \mathbf{1} - \frac{1}{3}\mathbf{1} \otimes \mathbf{1}$ l'opérateur déviateur eulérien,

$$
\pi = \rho_0 \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial \bar{\mathbf{F}}} : \mathbb{P}_C + \rho_0 \frac{\partial \hat{\psi}}{\partial J} \mathrm{cov}(\mathbf{F}) \quad (I.47)
$$

$$
\mathbf{S} = 2\rho_0 \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial \bar{\mathbf{C}}} : \mathbb{P}_C + \rho_0 J \frac{\partial \hat{\psi}}{\partial J} \mathbf{C}^{-1} \quad (I.48)
$$

avec $\mathbb{P}_C = J^{-\frac{2}{3}} \left[ \mathbf{1} - \frac{1}{3}\mathbf{C} \otimes \mathbf{C}^{-1} \right]$.

On remarque que, dans la configuration eulérienne, cette décomposition isochore/volumique
mène à un découplage de la contrainte de Cauchy (I.46) en parties déviatorique et sphérique.

**Énergies libres volumiques** (Remarque : La partie isochore est modélisée par les énergies libres présentées dans la partie précédente.)

Les formes d'énergies libres doivent respecter certains critères. Elles doivent, dans un premier
temps, être nulles à l'origine lorsque le changement de volume *J* vaut 1, et la contrainte for-
mulée avec cette expression doit également être nulle. Elle doit être positive, tout comme sa
dérivée seconde par rapport à *J*, pour s'assurer de la polyconvexité. Dans le cas des énergies
libres volumiques, il y a également des conditions qui permettent d'atteindre le comportement
asymptotique lorsque l'incompressibilité est atteinte. Pour cela, il faut que la limite de $\hat{\psi}$ et la
contrainte, lorsque *J* tend vers 0, soient respectivement $+\infty$ et $-\infty$ (MOERMAN et al. 2020).
La littérature propose de nombreuses énergies pour la partie volumique. Elles s'écrivent sous la
forme :

$$
\rho_0 \hat{\psi} = \kappa f(J) \tag{I.49}
$$

avec $\kappa$ une constante pouvant être comparée au module de compressibilité et $f$ une fonction de $J$ dont on trouve de nombreuses formes dans la littérature. Elles sont listées non exhaustive-
ment dans le Tableau I.2 (LEJEUNES 2006). Ces énergies libres sont en général efficaces pour des déformations volumiques modérées dans le cas de matériaux quasi-incompressibles.
L'incompressibilité telle que décrite dans les équations (I.31) à (I.33) est difficile à implémen-
<table><caption>TABLEAU I.2 – Exemples de fonctions f(J) formant des énergies libres volumiques</caption><thead><tr><td>Modèle</td><td>Expression de f(J)</td></tr></thead><tbody><tr><td>SUSSMAN & BATHE 1987</td><td><sup>1</sup>&frasl;<sub>2</sub>(J &minus; 1)<sup>2</sup></td></tr><tr><td>HENCKY 1933</td><td><sup>1</sup>&frasl;<sub>2</sub>ln(J)<sup>2</sup></td></tr><tr><td>SIMO & TAYLOR 1982</td><td><sup>1</sup>&frasl;<sub>4</sub>((J &minus; 1)<sup>2</sup> + (lnJ)<sup>2</sup>)</td></tr><tr><td>SIMO & MIEHE 1992</td><td><sup>1</sup>&frasl;<sub>4</sub>(J<sup>2</sup> &minus; 1 &minus; 2lnJ)</td></tr><tr><td>OGDEN & HILL 1972</td><td><sup>1</sup>&frasl;<sub>&beta;<sup>2</sup></sub>(<sup>1</sup>&frasl;<sub>J&beta;</sub> &minus; 1 + &beta;lnJ)</td></tr></tbody></table>

ter numériquement. Le découplage isochore/volumique permet donc d'introduire une contrainte sphérique, qui grâce aux énergies libres du Tableau I.2 permet d'agir comme une fonction de pé- nalité, assurant l'asymptote à $-\infty$ de la contrainte pour de faibles déformations de compression (CHAGNON 2003).

### I.B.3.b Modélisation du comportement des polymères poreux

Les mousses de polymères sont des matériaux qui sont compressibles pour de très grandes dé- formations. Les énergies libres, présentées dans le paragraphe précédent, ne sont donc pas aptes à modéliser leur comportement. De plus, elles ont une courbe de contrainte-déformation souvent très non linéaire. D'autres formes d'énergies libres sont donc nécessaires pour les modéliser.

Les modèles présentés ci-après sont phénoménologiques. Il s'agit pour la plupart d'énergies libres volumiques pouvant être utilisées en complément des énergies libres isochores présentées précédemment.

**Modèle Hyperfoam** Le modèle d'Ogden & Hill aussi appelé Hyperfoam est l'un des plus connus pour modéliser le comportement en compression des mousses. Il dérive des travaux de OGDEN & HILL 1972 et de leur proposition d'énergie libre pour matériaux compressibles. Ensuite, HILL 1979 a développé une autre forme volumique de l'énergie libre et STORÅKERS 1986 a utilisé une combinaison des deux travaux pour obtenir la forme du modèle (I.50) telle qu'elle est connue aujourd'hui :

$$ \rho_0 \hat{\psi}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, J) = \sum_{i=0}^{n} \frac{2\mu_i}{\alpha_i^2} \left( \lambda_1^{\alpha_i} + \lambda_2^{\alpha_i} + \lambda_3^{\alpha_i} - 3 + \frac{1}{\beta_i} (J^{-\alpha_i \beta_i} - 1) \right) \quad (I.50) $$

Ce modèle est implémenté dans de nombreux codes de calculs aux éléments finis.

**Modèle de Eipper** Les travaux de EIPPER 1998 ont permis d'établir une expression promet- teuse de $\hat{\psi}$ qui dépend de la part volumique de vide dans le matériau. Cela est rendu possible
par l'utilisation de la théorie des milieux poreux, qui permet de voir, notamment, une mousse élastomère comme composée d'une phase matériau, incompressible, et une phase "vide", représentée par la porosité de la mousse. Dans ce cas, les pores contiennent de l'air et cela apporte macroscopiquement de la compressibilité au matériau :

$$ \rho_0 \hat{\psi}(J) = \frac{\Lambda \left[ J^{\gamma} - 1 - \gamma \ln \frac{J - n_0^S}{1 - n_0^S} + \gamma n_0^S \frac{J - 1}{1 - n_0^S} \right]}{\gamma \left( \gamma - 1 + \frac{1}{(1 - n_0^S)^2} \right)} \quad (I.51) $$

avec $n_0^S$ la part volumique initiale de solide, $\gamma$ et $\Lambda$ des paramètres à identifier.

Cette énergie a été utilisée avec succès dans les travaux de thèse de KOPROWSKI-THEISS 2011 et SEIBERT 2017.

**Modèles de Moerman** Les travaux de MOERMAN et al. 2020 ont permis la création de trois nouvelles énergies libres volumiques capables de décrire le comportement des mousses aux grandes déformations. Les auteurs se sont focalisés sur la partie sphérique de la contrainte, telle que décrite dans l'équation (I.46). Leurs modèles permettent donc de décrire la réponse sphérique aussi bien en compression qu'en expansion. Réaliser des essais d'expansion hydrostatique n'est pas aisé, c'est pourquoi leurs modèles ont été validés sur des données de compression hydrostatique.

Les deux premiers modèles permettent de décrire de fortes compressibilités pour des comportements en compression dont la courbe contrainte hydrostatique/variation de volume a la forme d'une sigmoïde.

La Figure I.15 présente l'évolution de la contrainte pour chacun des modèles en fonction de la variation de volume, ainsi que l'influence de chacun de leurs paramètres.

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIGURE I.15 – Représentation de la contrainte hydrostatique en fonction de la variation de volume pour les modèles développés par MOERMAN et al. 2020. Influence des paramètres sur les modèles 1 (cf I.52), 2 (cf I.53) et 3 (cf IV.9)</figcaption></figure>
**Modèle 1** - Ce modèle dérive de la formulation d'Ogden présentée dans le Tableau I.2. Elle a été modifiée pour que les critères de stabilité de l'énergie libre soient mieux respectés en traction. Un terme a donc été rajouté pour faire en sorte que $\beta_1$ pilote le raidissement en traction et $\beta_2$ celui de compression. Le paramètre $\kappa$ est équivalent au module de compressibilité et pilote le pied de courbe.

$$ \rho_0 \hat{\psi}(J) = \frac{\kappa}{4} \left( \frac{1}{\beta_1^2} (J^{\beta_1} - 1)^2 + \frac{1}{\beta_2^2} (J^{-\beta_2} - 1)^2 \right) \qquad (I.52) $$

**Modèle 2** - Ce modèle est également adapté pour présenter la forme sigmoïdale de la courbe contrainte hydrostatique-variation de volume. Contrairement au premier, le paramètre $a$ qui prend des valeurs différentes selon le mode de chargement, pilote la position de l'asymptote verticale à l'atteinte de l'incompressibilité.

$$ \rho_0 \hat{\psi}(J) = -\kappa a^2 \ln \left( \cos \left( \frac{J-1}{a} \right) \right) \qquad (I.53) $$

$$ \text{avec } a = \frac{2}{\pi} \begin{cases} (J_1 - 1) & \text{si } J \ge 1 \\ (J_2 - 1) & \text{si } J < 1 \end{cases} \qquad (I.54) $$

Les paramètres $J_1$ et $J_2$ fixent la position des asymptotes verticales comme le montre la Figure I.15b.

**Modèle 3** - Ce modèle améliore le précédent pour modéliser les trois phénomènes intervenant dans les mousses lors de leur compression : la déformation élastique, la compaction (flambement des pores) et la densification (fermeture des pores). Il est également basé sur des fonctions trigonométriques qui sont aisées à dériver. $\kappa$ et $J$ ont toujours le même rôle dans ce modèle. Le paramètre $s$ définit le début du plateau de compaction et $q$ pilote la pente de ce plateau.

$$ \rho_0 \hat{\psi}(J) = \kappa \left[ -(1-q)a^2 \ln \left( \cos \left( \frac{J-1}{a} \right) \right) + q b^2 \ln \left( \cosh \left( \frac{J-1}{b} \right) \right) \right] \qquad (I.55) $$

$$ \text{avec } a = \frac{2}{\pi} \begin{cases} (J_1 - 1) & \text{si } J \ge 1 \\ (J_2 - 1) & \text{si } J < 1 \end{cases}, \quad b = \frac{1}{\kappa} \begin{cases} s_1 & \text{si } J \ge 1 \\ s_2 & \text{si } J < 1 \end{cases} \text{ et } q = \begin{cases} q_1 & \text{si } J \ge 1 \\ q_2 & \text{si } J < 1 \end{cases} \qquad (I.56) $$

Même si le nombre de paramètres à identifier reste conséquent, certains ont un sens physique et peuvent être facilement imposés. $J_2$ par exemple peut être directement relié au volume de pores dans la mousse, puisque l'asymptote d'incompressibilité apparaît lorsqu'ils sont toutes refermés et que le matériau ne peut plus être comprimé. $\kappa$ lui est le coefficient directeur du pied de courbe et donc facilement déterminable.

**Théorie des milieux poreux** Plusieurs travaux portent sur la modélisation de mousses d'élastomères. Par exemple, ceux de EHLERS & MARKERT 2003, MARKERT 2008 ou KOPROWSKI-THEISS 2011. Cette théorie se base sur la loi des mélanges et le concept de fraction volumique.
En considérant ainsi un mélange $\varphi$ et ses constituants $\varphi^\alpha$, il vient la relation :

$$ \varphi = \sum_{\alpha=1}^{N} \varphi^{\alpha} \qquad (I.57) $$

Le volume du mélange est égal à la somme des volumes de ces constituants et on considère que le mélange est saturé. Donc, on a la relation :

$$ \sum_{\alpha=1}^{N} n^{\alpha} = 1 \qquad (I.58) $$

où $n^\alpha$ est la fraction volumique d'un constituant définie comme :

$$ n^{\alpha} = \frac{dv^{\alpha}}{dv} \qquad (I.59) $$

La masse volumique de chaque phase peut-être vue soit comme la masse de la phase rapportée au volume global $\rho^\alpha$, soit comme la masse volumique réelle i.e. la masse de la phase sur son volume $\rho^{\alpha R}$ :

$$ \rho^{\alpha} = \frac{dm^{\alpha}}{dv} \text{ et } \rho^{\alpha R} = \frac{dm^{\alpha}}{dv^{\alpha}} \qquad (I.60) $$

La mousse d'élastomère peut être vue comme un matériau avec une phase élastomère incompressible $\varphi^S$ et une phase poreuse remplie d'air, compressible, $\varphi^G$. Il s'agit d'un modèle hybride de second type (BOER 2000). Considérer ces deux phases conduit à réécrire les équations de la thermodynamique. Il en résulte une nouvelle inégalité de dissipation contenant un nouveau terme lié à la phase poreuse. L'expression de la contrainte correspondante s'écrit :

$$ \sigma = -(\rho^{GR})^2 \frac{\partial \psi^G}{\partial \rho^{GR}} \mathbf{1} + 2J_S^{-1} \rho_0^S (\bar{\mathbf{B}} \cdot \frac{\partial \bar{\psi}^S}{\partial \bar{\mathbf{B}}}) + \rho_0^S \frac{\partial \hat{\psi}^S}{\partial J^S} \mathbf{1} \qquad (I.61) $$

avec $\rho^{GR}$ la masse volumique réelle de gaz, $\rho_0^S$ la masse volumique initiale de phase solide par rapport à l'ensemble, $J^S$ la variation de volume de la phase solide. L'énergie libre choisie pour le gaz est :

$$ \psi^G = p_0 \left( \frac{J_S - 1}{J_S - n_0^S} \right) \frac{1}{\rho^{GR}} \qquad (I.62) $$

avec $n_0^S$ la part volumique initiale de solide et $p_0$ la pression atmosphérique. Cette forme découle de la loi des gaz parfaits. En effet, l'énergie est homogène à une pression dépendant de la variation de volume des pores durant la sollicitation du matériau.

Les énergies libres isochore et volumique du solide $\bar{\psi}^S$ et $\hat{\psi}^S$ peuvent être choisies parmi celles présentées dans les paragraphes précédents.

**Modèles d'homogénéisation** Le lecteur notera qu'il existe également dans la littérature d'autres méthodes de modélisation d'élastomères poreux ou mousses syntactiques basées sur des techniques d'homogénéisation ou sur des modèles micro-mécaniques. Ces dernières ne seront dé-
taillées que succinctement dans ce chapitre, car elles ne sont pas utilisées dans le cadre de cette
thèse.

Les travaux du groupe de recherche de Lopez-Pamies, par exemple, décrivent des modèles basés
sur un volume élémentaire représentatif (VER) constitué d'une matrice élastomère incompres-
sible et de particules : soit des pores fermés (SHRIMALI et al. 2019), soit un mélange de pores
fermés et de particules rigides (SHRIMALI et al. 2020). Dans cette dernière étude par exemple,
le mélange pores/particules est décrit avec une variable et sa loi d'évolution. En effet, les parti-
cules sont souvent des microsphères qui, sous l'effet d'une certaine pression critique, vont rompre
ou flamber et ne plus encaisser les efforts. C'est un modèle particulièrement bien adapté à la
compression uniaxiale.

Les travaux de PASCALIS et al. 2013 présentent un modèle reproduisant le comportement en compression de matériaux polymères contenant des microsphères (verre ou thermoplastique). Ils considèrent une matrice incompressible ou légèrement compressible mélangée à des inclusions sphériques. Dans un premier temps, le modèle calcule la déformation élastique linéaire des sphères, puis, tenant compte de leur distribution de taille, un modèle de flambement prédit lesquelles sont le plus susceptibles de flamber sous la pression hydrostatique. Si tel est le cas, les microsphères ne participent plus à la déformation et cela provoque une perte de rigidité et augmente ainsi la compressibilité du matériau. À partir de là, elles sont considérées comme des cavités creuses et leur variation de taille est modélisée par des lois de type Neo-Hooke ou Mooney-Rivlin. Finalement la variation de volume totale est calculée à partir de la somme des variations locales pour chaque sphère, pondérée par la probabilité de distribution des épaisseurs des coques.

Ce modèle demande un bon nombre de calculs, spécialement pour les calculs de flambement.
De plus, il est efficace pour une charge de compression, mais il serait difficile d'y intégrer des
phénomènes dissipatifs ou de l'adapter à d'autres sollicitations.

I.B.4 Modélisation des phénomènes dissipatifs

I.B.4.a Modèles élasto-dissipatifs

Ce paragraphe présente quelques techniques de modélisation permettant de tenir compte de
la viscosité des élastomères. Ils permettent, par exemple, de modéliser l'effet de la vitesse de
déformation ou de contrainte sur leur comportement mécanique.

**Formulations intégrales** Les formulations intégrales se rapprochent le plus de ce qui se fait en visco-élasticité linéaire. Elles considèrent la contrainte comme une fonction intégrale de l'histoire des déformations.

Les principaux modèles sont décrits dans la suite de manière succincte, car ils ne font pas l'objet de cette étude.

*Modèle F.L.V* - Le modèle « Finite Linear Viscoelasticity » a été introduit par COLEMAN & NOLL 1964. Il est adapté aux élastomères, car il prend en compte leur mémoire évanescente. Cela signifie que, pour des temps plus longs, l'histoire des déformations et de la température
aura moins d'influence sur le comportement. Les auteurs ont introduit une fonction capable de
décrire la vitesse à laquelle la mémoire s'estompe. Ils sont partis de l'expression de la contrainte
de Cauchy σ incompressible, où un terme intégral a été ajouté, comme suit :

$$
\sigma = -p\mathbf{1} + \mathbf{R} \cdot f(\mathbf{E}) \cdot \mathbf{R}^T + \mathbf{R} \cdot \left[ \int_0^\infty \dot{\overline{\mathbf{K}}}(\mathbf{E}, s) : \mathbf{E}_d(s) ds \right] \cdot \mathbf{R}^T \quad (I.63)
$$

avec **E** le tenseur des déformations de Green-Lagrange, **E**<sub>d</sub>(s) = **E**(*t* − *s*) − **E** le tenseur permettant de décrire l'histoire des déformations, **K** le tenseur de relaxation des contraintes et **R** le tenseur des rotations issu de la décomposition polaire de **F** afin d'avoir des grandeurs objectives.

**Modèle M.F.L.V** - Plus tard, MORMAN 1988 modifie le modèle F.L.V. en introduisant une autre mesure de la déformation évanescente **H**, telle que **H**<sub>d</sub>(s) = **H**(*E*(*t* − *s*) − **H**(*E*). La contrainte s'écrit de manière similaire :

$$
\sigma = -p\mathbf{1} + \mathbf{R} \cdot f(\mathbf{E}) \cdot \mathbf{R}^T + \mathbf{R} \cdot \left[ \int_0^\infty \dot{\overline{\mathbf{K}}}(s) : \mathbf{H}_d(\mathbf{E}) ds \right] \cdot \mathbf{R}^T \quad (I.64)
$$

**Modèle B.K.Z** - Ce modèle a été créé par BERNSTEIN et al. 1965. Il est issu d'une gé-
néralisation en trois dimensions d'une approche mono-dimensionnelle et linéaire formulée en
cisaillement, où la contrainte τ s'écrit :

$$
\tau(t) = \int_{-\infty}^{t} \frac{\partial W}{\partial \gamma}(\gamma(t'), t - t')\gamma(t')dt \quad (I.65)
$$

Dans le cas tri-dimensionnel et grandes déformations, la contrainte σ peut s'écrire :

$$
\sigma = -p\mathbf{1} + \int_{-\infty}^{t} \mathbf{F}^{-1}(t') \cdot \frac{\partial W}{\partial \mathbf{E}(t, t')} \cdot \mathbf{F}^{-T}(t') dt' \quad (I.66)
$$

**Formulations différentielles** La modélisation de phénomènes dissipatifs peut être obtenue par dissociation du caractère élastique et anélastique (viscosité, plasticité, visco-plasticité). Cette dissociation est utilisée initialement par GREEN & NAGHDI 1965 dans le cas de l'élasto-plasticité. La formulation est reprise et étendue à d'autres phénomènes dissipatifs par SIDOROFF 1973, 1974, 1975, 1976. Elle est à l'origine de tous les modèles qui sont présentés dans la suite de cette partie.

Cela consiste à introduire un état intermédiaire, provenant d'un relâchement élastique depuis
la configuration finale, qui se traduit par une décomposition multiplicative du gradient de dé-
formation telle que :

$$
\mathbf{F} = \mathbf{F}_e \cdot \mathbf{F}_a \tag{I.67}
$$

où **F**<sub>e</sub> désigne le phénomène élastique et **F**<sub>a</sub> celui anélastique.

Cette méthode permet d'introduire des variables internes k<sub>i</sub> et K<sub>i</sub> de l'équation I.25 par le
biais d'états intermédiaires. Il existe alors un nouvel état C̄<sub>a</sub> entre les configurations initiales et
finales C<sub>0</sub> et C(t) (voir figure I.16).

À partir de cette décomposition, il existe de nombreux modèles dans la littérature pour repré-
<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>FIGURE I.16 – Décomposition de la transformation en une partie élastique et une partie anélastique</figcaption></figure>

senter la visco-élasticité ou la visco-plasticité.

**Modèle de Boukamel, Méo et Lejeunes** - Ces auteurs proposent une voie de modélisation basée sur l'hypothèse de l'état local. La formulation de la dissipation répond à l'hypothèse des matériaux standards généralisés et au principe de normalité (HALPHEN & NGUYEN 1975). La déformation est décomposée en états intermédiaires sur sa partie isochore, car la transformation est supposée incompressible. Le formalisme permet de décrire plusieurs types de modèles rhéologiques comme ceux de Zener, Poynting-Thomson ou Maxwell (LEJEUNES et al. 2011; MEO 2000). La dissipation de chacun de ces modèles est définie par les lois d'évolution de leurs variables internes. Elle se déduit de l'inégalité de Clausius-Duhem qui peut se mettre sous la forme d'un produit doublement contracté de contraintes par un tenseur taux de déformation dissipatif. La généralisation des relations d'Onsager permet alors de postuler l'existence d'un potentiel de dissipation $\varphi$ qui a la forme :

$$ - \rho \frac{\partial \psi}{\partial \boldsymbol{\alpha}} = \frac{\partial \varphi}{\partial \dot{\boldsymbol{\alpha}}} \qquad (I.68) $$

Le terme de gauche de l'équation (I.68) est homogène à une contrainte. $\boldsymbol{\alpha}$ est une variable interne et $\dot{\boldsymbol{\alpha}}$ son flux correspondant. Par exemple, un modèle de Zener aura un découplage de l'énergie libre et de la contrainte qui s'écrit :

$$ \psi(\mathbf{B}, J) = \bar{\psi}_{eq}(\bar{\mathbf{B}}) + \bar{\psi}_{neq}(\bar{\mathbf{B}}_e) + \hat{\psi}(J) \qquad (I.69) $$

$$ \boldsymbol{\sigma} = 2J^{-1}\bar{\mathbf{B}} \cdot \frac{\partial \bar{\psi}_{eq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}} : \mathbb{P}_1 + 2J^{-1}\bar{\mathbf{B}}_e \cdot \frac{\partial \bar{\psi}_{neq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}_e} : \mathbb{P}_1 + \rho_0 \frac{\partial \hat{\psi}}{\partial J} \mathbf{1} \qquad (I.70) $$
avec $\bar{\mathbf{B}}_e = \bar{\mathbf{F}}_e \cdot \bar{\mathbf{F}}_e^T$ et $\mathbb{P}_1$ l'opérateur déviateur. La loi d'évolution dans ce cas s'écrit :

$$ \frac{\partial \varphi}{\partial \bar{\mathbf{D}}_a^o} = 2J^{-1} \bar{\mathbf{V}}_e \cdot \frac{\partial \bar{\psi}_{neq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}_e} \cdot \bar{\mathbf{V}}_e : \mathbb{P}_1 \quad (I.71) $$

$\bar{\mathbf{D}}_a^o$ est le tenseur taux de déformation anélastique objectif. Il est défini à partir de :

$$ \bar{\mathbf{D}}_a^o = \bar{\mathbf{R}}_e \cdot \bar{\mathbf{D}}_a \cdot \bar{\mathbf{R}}_e^T \quad (I.72) $$

où $\bar{\mathbf{R}}_e$ est le tenseur de rotations pures issu de la décomposition polaire de $\bar{\mathbf{F}}_e$ et $\bar{\mathbf{D}}_a$ le tenseur taux de déformation anélastique. Reste à exprimer le pseudo-potentiel de dissipation. Il doit être choisi positif, nul à l'origine et convexe, c'est pourquoi les auteurs proposent une forme quadratique telle que :

$$ \varphi = \frac{1}{2} \eta \bar{\mathbf{D}}_a^o : \bar{\mathbf{D}}_a^o \quad (I.73) $$

Cela permet d'arriver à une forme différentielle de la loi d'évolution :

$$ \dot{\bar{\mathbf{B}}}_e = -\frac{2}{3}\bar{\mathbf{B}}_e[\mathbf{1} : \mathbf{D}] + \mathbf{L} \cdot \bar{\mathbf{B}}_e + \bar{\mathbf{B}}_e \cdot \mathbf{L}^T - \frac{2}{\eta}\boldsymbol{\sigma}_{neq} \cdot \bar{\mathbf{B}}_e : \mathbb{P}_1 \quad (I.74) $$

Le formalisme est également étendu à l'hyper-visco-plasticité par LEJEUNES et al. 2011 grâce à l'introduction d'un pseudo-potentiel transformé par Legendre-Fenchel qui s'écrit :

$$ \varphi^* = \frac{1}{2} \frac{\langle f(\boldsymbol{\sigma}_{neq}) \rangle^2}{\eta} \quad \text{avec } f(\boldsymbol{\sigma}_{neq}) = \|\boldsymbol{\sigma}_{neq}\| - \chi \quad (I.75) $$

où $f(\boldsymbol{\sigma}_{neq})$ est la fonction définissant la limite d'écoulement, $\eta$ est un paramètre de viscosité, $\langle \cdot \rangle$ sont les crochets de Mac-Cauley et $\chi$ est le seuil de plasticité. L'expression du taux de déformation anélastique s'écrit alors :

$$ \bar{\mathbf{D}}_a^o = \frac{\partial \varphi^*}{\partial \boldsymbol{\sigma}_{neq}} = \frac{\langle f(\boldsymbol{\sigma}_{neq}) \rangle}{\eta} \frac{\boldsymbol{\sigma}_{neq}}{\|\boldsymbol{\sigma}_{neq}\|} \quad (I.76) $$

Finalement, la contrainte est identique à l'expression (I.70) et la loi d'écoulement s'écrit :

$$ \dot{\bar{\mathbf{B}}}_e = -\frac{2}{3}\bar{\mathbf{B}}_e[\mathbf{1} : \mathbf{D}] + \mathbf{L} \cdot \bar{\mathbf{B}}_e + \bar{\mathbf{B}}_e \cdot \mathbf{L}^T - 2 \frac{\langle f(\boldsymbol{\sigma}_{neq}) \rangle}{\eta} \frac{\boldsymbol{\sigma}_{neq}}{\|\boldsymbol{\sigma}_{neq}\|} \cdot \bar{\mathbf{B}}_e : \mathbb{P}_1 \quad (I.77) $$

**Modèle de Koprowski-Theiß et Seibert** - Les travaux de thèse de KOPROWSKI-THEISS 2011 et SEIBERT 2017 portaient sur la modélisation de mousses d'élastomères EPDM ayant des fractions volumiques de pores proches de 50%. La caractérisation de leur matériau sous sollicitation de compression hydrostatique a montré, sous un tel chargement, un caractère hystérétique et la présence d'effet Mullins. C'est pourquoi leur découplage élastique/anélastique porte à la fois sur la partie isochore et sur la partie volumique du tenseur gradient de déformation. Dans
ce cas, l'énergie libre d'Helmholz s'écrit :

$$ \psi = \psi_{eq} + \psi_{neq} = \psi_{eq}^{G}(\rho^{GR}) + \bar{\psi}_{eq}^{S}(\bar{\mathbf{B}}_{S}) + \sum_{i=1}^{n} \bar{\psi}_{neq}^{S_{i}}(\bar{\mathbf{B}}_{S}^{i}) + \hat{\psi}_{eq}^{S}(J_{S}) + \sum_{i=1}^{n} \hat{\psi}_{neq}^{S_{i}}(J_{S}^{i}) \quad (I.78) $$

avec $\psi_{eq}^G$ la contribution de la théorie des milieux poreux, $\bar{\psi}_{neq}^{S_i}$ et $\hat{\psi}_{neq}^{S_i}$ respectivement les énergies libres isochore et volumique de chaque branche visco-élastique d'un modèle de Maxwell généralisé.

On remarque que les parties dissipatives sont écrites comme la somme de n états dissipatifs. Par analogie avec les modèles rhéologiques, cela correspond à une représentation d'un modèle de Maxwell généralisé, telle que présentée sur la Figure I.17 issue des travaux de Seibert.

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIGURE I.17 – Représentation rhéologique du modèle de Koprowski et Seibert. SEIBERT 2017</figcaption></figure>

La contrainte correspondante qui vérifie le second principe de la thermodynamique s'écrit
$$ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{eq} + \sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{\sigma}_{neq}^{S_i} \quad \text{avec :} $$

$$ \boldsymbol{\sigma}_{eq} = \boldsymbol{\sigma}_{eq}^{G} + \boldsymbol{\sigma}_{eq}^{S} = -(\rho^{GR})^{2} \frac{\partial \psi_{eq}^{G}}{\partial \rho^{GR}} \mathbf{1} + 2J_{S}^{-1} \rho_{0}^{S} (\bar{\mathbf{B}}_{S} \cdot \frac{\partial \bar{\psi}_{eq}^{S}}{\partial \bar{\mathbf{B}}_{S}}) + \rho_{0} \frac{\partial \hat{\psi}_{eq}^{S}}{\partial J_{S}^{i}} \mathbf{1} \quad (I.79) $$

$$ \boldsymbol{\sigma}_{neq}^{S_i} = 2J_S^{-1} \rho_0^S (\bar{\mathbf{B}}_S^i \cdot \frac{\partial \psi_{neq}^{S_i}}{\partial \bar{\mathbf{B}}_S^i}) + \rho_0^S \frac{\partial \hat{\psi}_{neq}^{S_i}}{\partial J_S^i} \quad (I.80) $$

La loi d'évolution s'écrit dans leur cas comme une équation différentielle sur la variable $i\dot{\mathbf{C}}_S$, le tenseur de Cauchy-Green droit anélastique de la phase solide :

$$ i \dot{\mathbf{C}}_S = \frac{1}{\eta_D^i} 4 J_S^{-1} \rho_0^S \left[ \mathbf{F}_S^{iT} \cdot \frac{\partial \bar{\psi}_{neq}^{S_i}}{\partial \bar{\mathbf{B}}_S^i} \cdot \mathbf{F}_S^i \right] + \frac{1}{\eta_V^i} 4 J_S^{-1} \rho_0^S \frac{\partial \hat{\psi}_{neq}^{S_i}}{\partial J_S^i} \mathbf{1} \quad (I.81) $$

L'énergie libre $\bar{\psi}_{neq}^{S_i}$ est choisie comme un modèle de Neo-Hooke avec $C_{10}^i = \mu^i/2$. La partie volumique est modélisée par l'énergie libre de Eipper (I.51) dont le paramètre $\Lambda^i$ est homogène
à un module en compression. Il est ainsi possible de définir pour chaque branche du modèle de Maxwell, un temps de relaxation volumique (V) ou isochore (D) comme étant le rapport d'une viscosité et d'un module :

$$r_V^i = \frac{\eta_V^i}{\Lambda^i} \qquad r_D^i = \frac{\eta_D^i}{\mu^i} \qquad (I.82)$$

Ce temps de relaxation peut être vu comme une constante ou bien comme un développement contenant des fonctions exponentielles de la norme du tenseur taux de déformation **D** :

$$r^i = r^{i1} + r^{i2}\exp(-k^{i1}\|\mathbf{D}\|) + r^{i3}\exp(-k^{i2}\|\mathbf{D}\|) \qquad (I.83)$$

Les résultats obtenus par ce modèle sont très proches des données expérimentales. L'inconvénient reste le nombre conséquent de paramètres à identifier : 5 pour la partie à l'équilibre et 23 pour la partie visqueuse.

### I.B.4.b Prise en compte de l'effet Mullins

L'effet Mullins présenté dans la section I.A.4.a est associé à un phénomène d'endommagement, même si physiquement, l'origine n'est pas clairement définie. Sa modélisation est souvent basée sur des modèles d'endommagement qui peuvent être physiques ou phénoménologiques. Quelques-uns de ces modèles sont présentés ci-après.

#### Modèles physiques

**Modèle de Govindjee et Simo** - Les auteurs GOVINDJEE & SIMO 1991, 1992 considèrent l'effet Mullins comme étant la conséquence de la rupture de chaînes reliant le réseau macromoléculaire aux charges (le noir de carbone notamment), lorsque les chaînes sont étirées au-delà d'une certaine longueur (voir Figure I.18).

Le matériau est considéré comme une matrice élastomère dans laquelle se trouvent des particules rigides de noir de carbone. L'énergie de déformation de ce système à l'équilibre s'écrit :

$$W(\lambda_A, \mu) = (1 - \nu_p) [W_{cc}(\lambda_A^m) + W_{pp}(\lambda_A^m, \mu)] \qquad (I.84)$$

avec $W_{cc}$ l'énergie libre de l'élastomère, $W_{pp}$ l'énergie libre des chaînes liées à des particules, $\nu_p$ la fraction volumique de noir de carbone, $\mu$ une variable scalaire d'endommagement. $\lambda_a$ et $\lambda_a^m$ sont respectivement les élongations moyennes du matériau et de la matrice élastomère, valeurs propres des tenseurs :

$$\mathbf{F} = \mathbf{R} \cdot \mathbf{U} \quad \text{et} \quad \mathbf{F}^m = \frac{\mathbf{R} \cdot (\mathbf{U} - \nu_p \mathbf{1})}{1 - \nu_p} \qquad (I.85)$$

La contrainte de Piola-Kirchhoff I se met sous la forme :

$$\pi = (1 - \nu_p) \sum_{B=1}^{3} \left( \frac{\partial W_{cc}}{\partial \lambda_B^m} + \frac{\partial W_{pp}}{\partial \lambda_B^m} \right) \frac{\partial \lambda_B^m}{\partial \lambda_A} \qquad (I.86)$$

L'énergie de déformation $W_{cc}$ de l'élastomère incompressible est choisie, par exemple, comme
<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>FIGURE I.18 – Représentation schématique de l'endommagement considéré par GOVINDJEE & SIMO 1991</figcaption></figure>

une forme d'Ogden. L'énergie $W_{pp}$ des chaînes inter-particulaires est définie comme suit :

$$W_{pp}(\lambda_a^m, \mu) = \frac{N_{pp}}{3} \sum_{i=1}^{3} \int_{A_X} P(n, R)w(n, \lambda_a^m R) dRdn \quad (I.87)$$

avec $N_{pp}$ le nombre de chaînes par unité de volume, $P(n, R)$ la probabilité de trouver une chaîne de longueur $R$ à la position $X$ et constituée de $n$ monomères de longueur moyenne $A$, $w(n, \lambda_a^m R)$ l'énergie libre d'une de ces chaînes et $A_X$ est l'ensemble des couples $(n, R)$ physiquement admissibles en $X$.

## Modèles phénoménologiques

**Modèle de Miehe** - MIEHE 1995 propose un modèle qui utilise une fonction corrective de la contrainte de la forme $(1 - d)$, $d$ étant une variable de dommage se décomposant en deux parties. En effet, Miehe considère que l'endommagement comporte deux phénomènes : un fort adoucissement (discontinu) de la contrainte sur les premiers cycles de chargements, mais aussi un endommagement (continu) sur les cycles suivant lorsque l'élongation appliquée n'excède pas l'élongation maximale de l'histoire du chargement.

Cela se traduit donc par un fonction de la forme :

$$d = d_{\alpha}(\alpha) + d_{\beta}(\beta) \quad (I.88)$$
avec $d_\alpha$ et $d_\beta$ les endommagements discontinu et continu. Cet endommagement vérifie les conditions suivantes :

$$d_{\alpha}(0) + d_{\beta}(0) = 0 \quad \text{et} \quad d_{\alpha}(\infty) + d_{\beta}(\infty) \in [0, 1] \qquad (I.89)$$

La fonction $\alpha$ représente l'état de déformation maximal pilotant l'endommagement discontinu. La fonction utilisée pour la partie continue est dépendante du trajet dans l'histoire des déformations :

$$\alpha(t) = \max_{s \in [0,t]} W_0(s) \quad \text{et} \quad \beta(t) = \int_0^t |\dot{W}_0(s)| ds \qquad (I.90)$$

Elle suivent toutes deux une loi d'évolution de la forme :

$$\dot{\alpha} = \begin{cases} \dot{W}_0 & \text{si } W - \alpha = 0 \text{ et } \dot{W}_0 > 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \quad \text{et} \quad \dot{\beta} = |\dot{W}_0| \qquad (I.91)$$

Les fonctions de dommage proposées ont pour expression :

$$d_{\alpha}(\alpha) = d_{\alpha}^{\infty} \left[ 1 - \exp \left( -\frac{\alpha}{\eta_{\alpha}} \right) \right] \qquad (I.92)$$

$$d_{\beta}(\beta) = d_{\beta}^{\infty} \left[ 1 - \exp \left( -\frac{\beta}{\eta_{\beta}} \right) \right] \qquad (I.93)$$

Les scalaires $d_\alpha^\infty$, $d_\beta^\infty$, $\eta_\alpha$ et $\eta_\beta$ sont des paramètres à identifier.

Ce modèle a donc l'avantage d'avoir peu de paramètres. Cependant, la perte de raideur est relativement faible et les courbes de recharge sont proportionnelles. Cela signifie que ce modèle ne prend pas en compte le retour sur la courbe monotone du matériau (CHAGNON 2003).

**Modèle d'Ogden et Roxburgh** - Le modèle de OGDEN & ROXBURGH 1999 propose de faire porter un adoucissement de la réponse sur la partie déviatorique de la contrainte de Cauchy. Un paramètre de dommage scalaire $\eta$ est introduit. Ce dernier repère l'état de chargement : sur un premier chargement $\eta = 1$, sur une décharge $\eta$ diminue et son minimum est atteint quand $\bar{W} = 0$.

L'énergie libre associée s'écrit :

$$W(\mathbf{B}, J) = \eta \bar{W}(\bar{\mathbf{B}}) + \phi(\eta) + \hat{W}(J) \qquad (I.94)$$

avec $\phi$ la fonction d'endommagement qui suit la condition $\phi(1) = 0$ et $\phi'(\eta) = -\bar{W}(\bar{\mathbf{B}})$. La dérivée de la fonction $\phi$ a pour formule :

$$\phi'(\eta) = (m + \beta \bar{W}^{\text{max}}) \text{erf}^{-1}(r(1 - \eta)) - \bar{W}^{\text{max}} \qquad (I.95)$$

avec $\text{erf}^{-1}$ l'inverse de la fonction erreur, $r$, $\beta$ et $m$ des paramètres à identifier et $\bar{W}^{\text{max}}$ l'énergie de déformation maximale sur l'histoire des chargements. Il est donc possible d'en déduire l'expression du paramètre de dommage $\eta$ :

$$\eta = 1 - \frac{1}{r} \text{erf} \left( \frac{\bar{W}^{\text{max}} - \bar{W}}{m + \beta \bar{W}^{\text{max}}} \right) \qquad (I.96)$$
La contrainte eulérienne s'écrit :

$$ \sigma = \eta\bar{\sigma} + \hat{\sigma} \qquad (I.97) $$

Ce modèle fonctionne particulièrement bien sur des comportements obtenus après des essais cyclés à amplitude de déformation croissante. Il est facile à mettre en œuvre et d'ailleurs implémenté dans le code de calculs Abaqus.
Conclusions du chapitre

Ce chapitre a permis de présenter les élastomères et les spécificités de leur comporte-
ment thermo-mécanique. Cette thèse porte particulièrement sur des matériaux semblables aux
mousses syntactiques puisqu'ils sont constitués d'un élastomère auquel sont ajoutées des micro-
sphères de thermoplastique.

Les points importants qu'il faut retenir pour la suite sont :

* Les mousses syntactiques d'élastomères présentent un comportement fortement non-linéaire en raison de leur grande compressibilité. Les microsphères semblent être à l'origine de ce comportement et notamment de par leur possibilité de flamber sous la contrainte imposée et leur interaction avec la matrice élastomère.

* Le comportement compressible des mousses sous des sollicitations sphériques peut être bien décrit par des modèles phénoménologiques, notamment ceux proposés par EIPPER 1998 et MOERMAN *et al.* 2020.

* Il existe encore peu de modèles dans la littérature pour décrire le comportement dissipatif de matériaux fortement compressibles.
Chapitre II

Nature et comportement mécanique des
matériaux RTV/Expancel

Le CEA/DAM développe des structures composées de pièces obtenues à partir de différents matériaux. Ces structures sont soumises à des variations de température durant leur utilisation.
Les matériaux ont des coefficients de dilatation thermique différents pouvant engendrer des contraintes internes menant à la rupture des pièces les plus fragiles. Pour pallier ce problème, un joint élastomère compressible est injecté entre les pièces pour réduire les contraintes. Il est rendu compressible grâce à l'incorporation de microsphères expansées.

L'objectif de ce chapitre est de présenter les matériaux élastomères employés par une caractérisation structurale, thermique et mécanique.

Pour cela, des observations au MEB et au microtomographe à rayons X ont été réalisées afin d'avoir une meilleure idée de la structure de ces matériaux compressibles et de la forme des microsphères et de leur dispersion dans le silicone.

Les polymères sont sujets à des chargements structuraux des chaînes en fonction de la température. Des essais de DSC et de DMA sont donc effectués pour évaluer la transition vitreuse de l'élastomère d'étude, mais également pour voir si d'autres phénomènes entrent en jeu, et comprendre la structure et les interactions microsphères/silicone.

Durant leur utilisation, les joints sont exposés à des températures pouvant aller de -20 à 60° C. De plus, ils subissent des sollicitations variées et couplées telles que la traction, la compression confinée et/ou le cisaillement. Leur comportement mécanique est donc étudié sous de tels chargements, et ce à plusieurs températures. Des essais de compression hydrostatique ont aussi été réalisés pour examiner au mieux le caractère compressible des matériaux.
<table><tr><td>II.A Techniques expérimentales</td><td>47</td></tr><tr><td>II.A.1 Caractérisation thermique et thermo-mécanique</td><td>47</td></tr><tr><td>II.A.1.a Calorimétrie différentielle à balayage</td><td>47</td></tr><tr><td>II.A.1.b Analyse mécanique dynamique</td><td>47</td></tr><tr><td>II.A.2 Caractérisation mécanique</td><td>48</td></tr><tr><td>II.A.2.a Traction uniaxiale</td><td>48</td></tr><tr><td>II.A.2.b Compression confinée</td><td>49</td></tr><tr><td>II.A.2.c Compression hydrostatique</td><td>50</td></tr><tr><td>II.A.2.d Cisaillement simple</td><td>51</td></tr><tr><td>II.A.3 Caractérisation microstructurale</td><td>52</td></tr><tr><td>II.A.3.a Microscope électronique à balayage</td><td>52</td></tr><tr><td>II.A.3.b Microtomographie RX</td><td>53</td></tr><tr><td>II.B Caractérisation des matériaux étudiés</td><td>55</td></tr><tr><td>II.B.1 Présentation des matériaux et de leur application</td><td>55</td></tr><tr><td>II.B.1.a Application des matériaux</td><td>55</td></tr><tr><td>II.B.1.b Silicone RTV</td><td>55</td></tr><tr><td>II.B.1.c Microsphères</td><td>55</td></tr><tr><td>II.B.1.d Élaboration des matériaux</td><td>56</td></tr><tr><td>II.B.2 Observations microscopiques</td><td>57</td></tr><tr><td>II.B.2.a Caractéristiques géométriques des microsphères</td><td>57</td></tr><tr><td>II.B.2.b Observations des matériaux RTV/Microsphères</td><td>57</td></tr><tr><td>II.B.3 Caractérisation des propriétés thermiques des RTV/microsphères</td><td>59</td></tr><tr><td>II.B.4 Caractérisation du comportement mécanique des RTV/microsphères</td><td>61</td></tr><tr><td>II.B.4.a Influence de la quantité de microsphères</td><td>62</td></tr><tr><td>II.B.4.b Influence de la température d'essai</td><td>66</td></tr><tr><td>II.B.4.c Influence de la vitesse de sollicitation</td><td>68</td></tr><tr><td>Conclusions du chapitre</td><td>70</td></tr></table>
## II.A Techniques expérimentales

### II.A.1 Caractérisation thermique et thermo-mécanique

#### II.A.1.a Calorimétrie différentielle à balayage

La calorimétrie différentielle à balayage (ou analyse enthalpique différentielle), appelée cou-ramment DSC ("Differential Scanning Calorimetry") permet de mesurer les variations d'enthal-pie caractéristiques des transformations de phase (cristallisation, fusion) et la transition vitreuse apparaissant dans les polymères, lorsque la température varie.

Le calorimètre utilisé est le modèle Netzsch Maia 200F. Il s'agit d'un système de DSC à flux de chaleur. Il comporte un four dans lequel on place deux creusets en aluminium. Le premier est vide pour servir de référence et le second contient environ 10 mg du matériau étudié. Un circuit d'azote gaz permet de placer le four sous atmosphère inerte pour éviter les phénomènes d'oxydation. En dessous de chaque creuset se trouve un thermocouple permettant de mesurer la température des échantillons. La différence de température est convertie en flux de chaleur.

Le signal résultant comporte alors des pics représentant les phénomènes endothermiques (fusion, évaporation), exothermiques (cristallisation, polymérisation, réticulation) ou athermiques (transition vitreuse) qui surviennent dans le matériau.

Les essais sont réalisés à une vitesse de chauffe de 10 K.min⁻¹. La précision de mesure des enthalpies est de 1 J.g⁻¹ et les thermocouples permettent une mesure à 1°C près.

#### II.A.1.b Analyse mécanique dynamique

L'Analyse Mécanique Dynamique (ou DMA pour Dynamic Mechanical Analysis) consiste à appliquer à un matériau un déplacement oscillatoire de type sinusoïde et à suivre la réponse en force. Selon le comportement du matériau, la réponse sera en phase avec la déformation (élastique) ou aura un retard d'autant plus important qu'est la part visqueuse du comportement visco-élastique.

Les déformations appliquées étant faibles, on reste dans le cadre de la visco-élasticité linéaire et l'hypothèse des petites perturbations (HPP) est adoptée. Le type de sollicitation est varié : traction (étudiée ici), cisaillement ou flexion.

Ce signal de déformation ε est défini par une amplitude de déformation ε₀ et une pulsation propre ω = 2πf, où f est la fréquence de sollicitation :

$$ \varepsilon(t) = \varepsilon_0 \sin(2\pi ft) \qquad (II.1) $$

Le déphasage possible entre le signal imposé et le signal résultant est caractérisé par l'angle de phase noté δ. La contrainte s'écrit alors (considérant la réponse stabilisée) :

$$ \sigma(t) = \sigma_0 \sin(2\pi ft + \delta) \qquad (II.2) $$
On peut la mettre sous la forme :

$$
\begin{align}
\sigma(t) &= \sigma_0 \sin(2\pi ft) \cos(\delta) + \sigma_0 \cos(2\pi ft) \sin(\delta) \nonumber \\
&= \varepsilon_0 E' \sin(2\pi ft) + \varepsilon_0 E'' \sin(2\pi ft + \frac{\pi}{2}) \tag{II.3}
\end{align}
$$

Les modules E' et E'' sont définis par :

$$
E' = \frac{\sigma_0}{\varepsilon_0} \cos(\delta) \quad E'' = \frac{\sigma_0}{\varepsilon_0} \sin(\delta) \qquad (II.4)
$$

E' est le module de conservation (partie élastique de la déformation) et E'' est le module de perte (partie visqueuse de la déformation, déphasée de $\frac{\pi}{2}$).

Le rapport des deux fournit le facteur d'amortissement tan(δ) :

$$
\tan(\delta) = \frac{E''}{E'} \qquad (II.5)
$$

Les dernières relations (II.4) et (II.5) sont définies pour une fréquence, une amplitude de dé-
formation et une température données. En variant l'un de ces trois paramètres, on peut alors
engendrer une variation des grandeurs d'intérêt.

C'est ce qu'on appelle couramment en DMA un balayage en déformation, en fréquence ou en température permettant de suivre l'évolution de E', E'' et tan(δ) en fonction du paramètre étudié.

La machine de DMA utilisée est une Metravib VA400. Elle est équipée de mors de traction placés dans une enceinte thermique pouvant aller de -150 à 450°C. La cellule de fréquence peut couvrir une gamme de 10⁻³ à 100 Hz. Les éprouvettes utilisées sont des rectangles de taille 20x9mm² découpées dans des plaques de 3mm d'épaisseur.

II.A.2 Caractérisation mécanique

II.A.2.a Traction uniaxiale

Les essais de traction uniaxiale sont bien connus et facilement modélisables. Ils permettent
de mettre en évidence certains phénomènes qui influent sur le comportement mécanique des
élastomères, notamment l'effet Mullins. Deux types d'essais peuvent être distingués :

■ Essai cyclé à amplitude de déformation croissante afin de mettre en évidence l'effet Mullins. Ces essais ont été réalisés sur une machine Zwick Roell Z010 avec un capteur de force 1kN (classe de précision 0,5 au-dessus de 4 N). L'allongement est mesuré à l'aide d'un extensomètre mécanique à grande course dont l'écartement initial est fixé à 20 mm. Les cycles sont pilotés en déformation de 10 à 100% par palier de 10%. Les éprouvettes utilisées sont de dimensions normalisées H2 (zone utile 20x4mm²) et ont une épaisseur de 3 mm.

■ Essai monotone avec suivi de la déformation volumique.

Ces essais ont été effectués sur une machine Zwick Z030 avec un capteur de force 500N (classe de précision 0,5 au-dessus de 0,5 N). Les déformations longitudinale et transversale étaient suivies grâce à un extensomètre vidéo Video Xtens 3-300 (classe de précision
1 selon EN ISO 9513). Les éprouvettes sont de type H1 (zone utile 20x6mm²) découpées dans des plaques de 3 mm d'épaisseur. Un mouchetis noir a été peint pour suivre les essais avec le vidéo-extensomètre par le biais de zones de mesures définies dans la longueur et la largeur de l'éprouvette. Le logiciel suit le barycentre des points détectés dans les marques à chaque instant. On considère ici le matériau comme isotrope, si bien que les déformations dans la largeur et l'épaisseur de l'éprouvette sont supposées identiques.

Dans les deux cas, une enceinte thermique peut être adaptée sur la machine pour faire des essais en température. Dans le cas de l'application des matériaux, les températures choisies sont -20°C, 24°C et 60°C. L'éprouvette est laissée 10 min en condition avant l'essai pour que la température soit homogène.

Les résultats sont présentés sur des courbes en contrainte nominale en fonction de l'élongation :

■ Contrainte de Piola-Kirchhoff I

$$ \pi = \frac{F}{S_0} \qquad (II.6) $$

avec F la force mesurée par le capteur et $S_0$ la section initiale de l'éprouvette.

■ Élongation

$$ \lambda = \frac{L}{L_0} \qquad (II.7) $$

avec L la longueur à l'instant t et $L_0$ l'écartement initial des bras de l'extensomètre ou la taille définie dans le logiciel dans le cas du suivi par caméra.

## II.A.2.b Compression confinée

La compression confinée s'effectue avec un outillage adapté sur la machine de traction Zwick Roell Z010 avec cellule de force 10 kN (classe de précision 1 dans la plage 40-200 N puis classe 0,5 au-dessus de 200 N). Le montage se compose d'un cylindre creux en acier, à parois très épaisses, fixé sur la traverse du bas et dans lequel l'éprouvette cylindrique est insérée. Sur la traverse mobile se trouve un piston qui vient pénétrer dans la cavité et comprimer l'éprouvette dans le sens longitudinal (voir Figure II.1). Les déplacements radiaux et tangentiels en surface de l'éprouvette sont donc considérés comme nuls. Les éprouvettes sont des plots moulés de 16 mm de diamètre et 32 mm de hauteur. Ils sont légèrement graissés avant d'être insérés dans la cavité pour éviter les frottements contre les parois.

Il est intéressant de souligner que, dans le cas de matériaux compressibles, cette sollicitation n'est pas purement sphérique. Les résultats sont présentés sur des courbes en contrainte nominale en fonction de l'élongation :

■ Contrainte de Piola-Kirchhoff I

$$ \pi = \frac{F}{S_0} \qquad (II.8) $$

avec F la force mesurée par le capteur et $S_0$ la section initiale de l'éprouvette.
■ Élongation (correspondant ici directement à la variation de volume du plot)

$$ \lambda = \frac{L}{L_0} \qquad (II.9) $$

avec L le déplacement du piston à l'instant t et L₀ la hauteur initiale du plot.

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>FIGURE II.1 – Montage de compression confinée</figcaption></figure>

## II.A.2.c Compression hydrostatique

Compte tenu de la compressibilité des matériaux étudiés, un essai de compression hydrostatique est très intéressant pour caractériser leur comportement isostatique indépendamment de la réponse déviatorique (ce qui n'est pas le cas de la compression confinée présentée dans le paragraphe précédent). Ce type d'essai n'est pas très répandu et demande en général un fluide hydraulique pour comprimer un échantillon jusqu'à de hautes pressions. Ne disposant pas d'installations spécifiques dans le laboratoire, nous avons tiré profit d'un porosimètre à mercure. L'objectif premier de ce type de dispositif, comme son nom l'indique, est de remonter à des informations sur la porosité ouverte des matériaux (pourcentage, taille de pores...). Son usage a été détourné dans le cas de nos matériaux étanches dont les porosités, fermées, ne sont pas accessibles par le mercure. Par contre ce dernier comprime de manière hydrostatique les échantillons dans la cavité permettant ainsi d'obtenir la variation de volume en fonction de la pression imposée. Le porosimètre utilisé est le Micromeritics AutoPore IV.

L'essai consiste à injecter du mercure dans une cavité de volume connu contenant l'échantillon

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE II.2 – Essai de compression hydrostatique dans un pénétromètre à mercure.</figcaption></figure>
étudié. La variation de masse du montage permet de remonter à la quantité injectée. Ensuite, le mercure est comprimé soit par un gaz (basse pression) soit par un fluide hydraulique (haute pression). Cette méthode permet d'imposer une pression allant jusqu'à 4000 bars. La variation de volume de l'échantillon est déterminée par le changement de capacité entre le mercure dans le capillaire et le revêtement métallique déposé autour. Le principe est décrit schématiquement sur la Figure II.2.

Les résultats sont présentés sur des courbes en pression (imposée par la machine) en fonction de la variation de volume de l'échantillon. La précision de mesure de la pression est de ±0,1% de la pleine échelle mesurée. La précision sur l'intrusion de mercure dans la tige du pénétromètre est de ±1% de l'intrusion totale.

## II.A.2.d Cisaillement simple

Le comportement des matériaux a aussi été étudié sous une sollicitation déviatorique telle que le cisaillement simple. Durant ce type d'essai, il n'y a pas de changement de volume. Cela peut donc être intéressant si on veut identifier les paramètres de la partie déviatorique d'une loi de comportement.

Dans ce projet, un montage de type ARCAN a été adapté sur une machine de traction Zwick Roell Z050 avec cellule de force 1 kN (classe de précision 0,5 au-dessus de 4 N). Le montage permet de varier l'angle de sollicitation du système de 0° à 90°. Ainsi, une valeur de 0° correspond au cisaillement simple et un angle de 90° à la traction uniaxiale. Les angles intermédiaires permettent ainsi de faire des chargements mixtes. Le montage est présenté schématiquement sur la Figure II.3.

Les mors sont adaptés pour l'utilisation d'éprouvettes, dites « papillon ». Elles sont découpées

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIGURE II.3 – Montage de type ARCAN présenté avec un angle de 0° correspondant à du cisaillement simple.</figcaption></figure>
dans des plaques moulées de 3 mm d'épaisseur à l'aide de la technique de découpe jet d'eau. La fixation se fait de chaque côté de l'éprouvette entre deux plaques d'acier vissées. Ces plaques comportent une cavité de la forme de l'éprouvette. Il faut porter une attention particulière au vissage homogène de ces 4 vis pour garantir un bon maintien sans glissement de l'éprouvette. Ce montage est inspiré de celui développé par KOTTNER et al. 2019.

Les résultats sont présentés sur des courbes en contrainte nominale en fonction du glissement :

* **Contrainte de Piola-Kirchhoff I**

$$ \pi = \frac{F}{S_0} \qquad (II.10) $$

avec F la force mesurée par le capteur et $S_0$ la section initiale de l'éprouvette correspondant au produit de sa hauteur par son épaisseur.

* **Glissement**

$$ \gamma = \frac{U}{L_0} \qquad (II.11) $$

avec U la course du mors du haut à l'instant t et $L_0$ l'écartement horizontal entre les mors, correspondant à 10,2 mm.

## II.A.3 Caractérisation microstructurale

### II.A.3.a Microscope électronique à balayage

La microscopie électronique à balayage (MEB) est une technique d'imagerie qui profite de l'interaction de la matière avec des électrons. Elle permet l'analyse d'échantillons en surface pour connaître leur topographie et peut aussi permettre la détermination des éléments chi- miques présents.

La technique consiste à balayer la surface d'un échantillon avec un faisceau d'électrons. L'inter- action avec le matériau a pour conséquence la ré-émission de différents types d'électrons ou de rayonnements : les électrons Auger, secondaires, rétrodiffusés ou rayons X. Les électrons secon- daires sont ceux qui seront intéressants dans cette étude. Lorsque le faisceau atteint la surface à analyser, les électrons provoquent l'ionisation d'atomes qui vont émettre des électrons de faible énergie, appelés secondaires. Ils se trouvent dans un volume de l'ordre du nm³ autour de la surface et permettent donc un contraste sur la topographie de l'échantillon. Le détecteur est équipé d'un scintillateur qui permet la transformation des électrons en photons, dont le signal est amplifié afin d'avoir une meilleure luminosité sur l'écran (ROBERT et al. 2007). L'appareil utilisé est un MEB-FEG modèle Versa 3D de Thermofisher Scientific.

**Focused Ion Beam (FIB)** Le MEB Versa 3D utilisé est dit dual beam, car il est également équipé d'une colonne générant un faisceau d'ions. L'avantage est de pouvoir découper la surface étudiée et observer grâce aux électrons secondaires, la section du matériau. Pour cela, la colonne d'électrons est verticale et la colonne d'ions est montée avec un angle de 52°. L'échantillon est donc pivoté avec un tilt de 52° pour que le faisceau d'ions soit perpendiculaire à la surface à découper, tandis que le résultat est observé en électrons secondaires. Le faisceau est généré par une source de gallium liquide et son intensité doit pouvoir fournir aux atomes du matériau une
énergie cinétique suffisante pour être éjectés.

Cette technique permet, par exemple, de faire des tomographies de matériaux grâce à la découpe

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIGURE II.4 – Principe de fonctionnement d'un système « dual beam » avec colonne d'ions et d'électrons</figcaption></figure>

de couches successives dont les clichés MEB sont reconstruits en un volume grâce à des logiciels spécialisés (GIANNUZZI & STEVIE 2004). Dans cette étude, des microsphères ont été découpées afin d'estimer l'épaisseur de leur coque.

II.A.3.b Microtomographie RX

La tomographie à rayons X est une technique d'imagerie permettant de reconstruire le vo-
lume d'un objet ou d'un matériau. Elle est, par exemple, couramment employée dans l'industrie
pour contrôler de manière non destructive l'intégrité de structures.

Le principe consiste à générer des rayons X qui vont traverser un échantillon mis en rotation devant le générateur. Un détecteur de l'autre côté de l'échantillon capte l'intensité du rayon comme cela est décrit sur l'image II.5. Il y a donc n radiographies de l'échantillon pour autant d'angles de rotation.

Selon la nature des matériaux, les rayons seront plus ou moins absorbés. Cela se traduit sur une image par des pixels avec différents niveaux de gris. L'absorption des RX est régie par la loi de Beer-Lambert :

$$
I = I_0 e^{\int_S \mu(S) dS} \qquad (II.12)
$$

où I₀ est l'intensité des RX incidents, I l'intensité du faisceau transmis par le matériau et μ le coefficient d'absorption linéique du matériau.

Cette loi traduit le fait que plus les matériaux sont denses, moins les rayons transmis seront intenses. L'image sera alors plus foncée. L'épaisseur traversée par les rayons influence également le contraste de l'image.

Si les rayons traversent des atomes dont les numéros atomiques sont proches, dans ce cas l'absorption sera similaire et le contraste sera faible.

La résolution s'exprime en taille de voxels, notée α. Elle se calcule grâce à la taille des pixels
du détecteur K multipliée par le grossissement géométrique. Ce dernier est défini par le rapport de la distance source-objet D et de la distance source-détecteur $D_1$ (voir Figure II.6). La taille de voxel $\alpha$ s'écrit donc :

$$ \alpha = K \frac{D}{D_1} \qquad (II.13) $$

Le microtomographe utilisé dans cette étude est le modèle EasyTom160 de RX Solutions. Sa source de rayons X est un tube ouvert nanofoyer équipé d'un filament de $LaB_6$. La résolution atteinte dans la configuration utilisée est comprise entre 0,4 et 0,5 µm.

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIGURE II.5 – Principe de fonctionnement de la micro-tomographie à rayons X</figcaption></figure>

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIGURE II.6 – Définition du grossissement géométrique pour la micro-tomographie à rayons X</figcaption></figure>
## II.B Caractérisation des matériaux étudiés

### II.B.1 Présentation des matériaux et de leur application

#### II.B.1.a Application des matériaux

Les silicones compressibles étudiés dans la thèse interviennent dans une structure complexe développée par le CEA/DAM. Ils composent des joints participant à l'intégrité de la structure. En effet, cette dernière, composée de matériaux de natures différentes, est soumise à des variations de température. Étant donné les différences de coefficients de dilatation thermique, des pièces, des contraintes internes se créent. Les pièces les plus fragiles pourraient se rompre. Afin d'éviter cela, les joints en silicone entre les pièces sont rendus compressibles par l'ajout de microsphères creuses. Deux compositions de ce mélange sont utilisées : 23 et 33%<sub>vol</sub> de microsphères dans le silicone. Elles seront appelées dans la suite, respectivement, R23 et R33.

La structure subit durant plusieurs années quelques dizaines de cycles de variations de température dans une plage allant de -10 à 70°C. Ces variations ont pour conséquence une sollicitation variée des joints qui peuvent subir, principalement, de la compression confinée, de la traction uniaxiale et/ou du cisaillement simple. Ils peuvent également subir du fluage pour un temps très long. La déformation des joints atteint environ 20% à des vitesses de sollicitation de l'ordre de 10<sup>-8</sup> à 10<sup>-5</sup> s<sup>-1</sup>.

#### II.B.1.b Silicone RTV

Les matériaux de l'étude sont principalement constitués d'un élastomère vulcanisé à froid ou RTV (« Room Temperature Vulcanized rubber »). Il s'agit d'un silicone polydiméthylsiloxane (PDMS), de la gamme Elastosil® RT fabriqué par Wacker. Il est bi-composant : une résine chargée en silice et carbonate de calcium et un catalyseur T40 (sel d'étain dilué dans une huile silicone de type tetrasilicate). Cette gamme de RTV réticule grâce à une réaction de polycondensation entre les molécules de tétraéthylsilicate et les groupements terminaux de type alcool des chaînes de PDMS. Ce mécanisme réactionnel est présenté sur la Figure II.7. Pour ce RTV, les groupements *R* sont de nature méthyle et les groupements *R*1 sont des chaînes d'éthyle.

#### II.B.1.c Microsphères

À ce matériau sont incorporées des microsphères creuses, expansées à l'isobutane, fabriquées par Nouryon (Expancel® DE 551 40 d42). Ces microsphères confèrent à l'ensemble une grande compressibilité, en comparaison au RTV seul qui lui est quasi-incompressible comme la plupart des silicones.

L'enveloppe des microsphères se compose d'un terpolymère thermoplastique d'acrylonitrile, de chlorure de vinyldène et de méthacrylate de méthyle. Selon les spécifications, elles ont un diamètre compris entre 30 et 50 µm et une épaisseur de l'ordre de 0,1 µm.

Une étude en microtomographie RX de CURD et al. 2021 a permis d'estimer une répartition de taille des microsphères dans leur matériau. Selon leurs résultats, le diamètre moyen est de 21
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE II.7 – Mécanisme de polycondensation à l'origine de la réticulation des RTV bi-composants (LAUBIE 2012).</figcaption></figure>

µm donc assez éloigné des spécifications du fabricant, 40 µm. L'allure de la répartition suit une
loi Gaussienne qui est présentée sur la Figure II.8b.

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>FIGURE II.8 – Quelques données concernant les microsphères DE 551 40 d42. (a) Schéma d'une microsphère selon les spécifications du fabricant Nouryon.(b) Répartition de diamètres des microsphères selon CURD *et al.* 2021.</figcaption></figure>

II.B.1.d Élaboration des matériaux

Les matériaux sont utilisés en tant que plaques ou plots cylindriques fabriqués par moulage.
Le RTV étant bi-composant, on dispose d'un pot contenant les oligomères silicones avec ses
charges (RT563), et d'un pot avec le catalyseur et l'agent de réticulation. Le ratio à respecter
pour la réticulation est de 100 g de RT563 pour 2 g de T40. À l'aide des densités du RTV et
des microsphères, les masses d'Expancel nécessaires pour avoir une fraction volumique de 23 ou
de 33% sont calculées.

Les moules utilisés sont entièrement revêtus de téflon pour faciliter le démoulage et le nettoyage.
Les étapes d'obtention des matériaux RTV/microsphères sont :
* le composant 1 est mélangé pendant 2 min à l'aide d'une spatule afin de l'homogénéiser. En effet, ce composant a tendance à être biphasique, car les charges décantent au fond du pot,

* pesée du RT563,

* pesée et ajout des microsphères,

* mélange à la spatule jusqu'à l'incorporation des microsphères,

* ajout de la quantité adéquate de T40,

* mélange à la spatule pendant 2 min,

* dégazage pendant 5 à 10 min sous vide de -100 kPa,

* étalage dans le moule et attente de 5 min,

* fermeture progressive du moule pour éviter les bulles d'air.

Le matériau réticule dans le moule pendant 5 jours pour être sûr que la réaction soit complète. Ensuite, les plaques ou les plots sont prêts à l'utilisation.

## II.B.2 Observations microscopiques

### II.B.2.a Caractéristiques géométriques des microsphères

Les microsphères ont été étudiées à l'aide d'un microscope électronique à balayage (MEB-FEG modèle Versa 3D de Thermofisher Scientific). Des Expancel ont été saupoudrées sur un porte-échantillon préalablement rayé afin d'améliorer leur accroche. L'utilisation de colle n'est pas adéquate dans ce cas, car les microsphères s'enfoncent dedans. Il est donc impossible de les observer sur la totalité de leur volume. L'image de la Figure II.9a présente l'observation d'une microsphère isolée en mode électrons secondaires. Une cartographie du porte-échantillon, a montré des clusters de dizaines de sphères. Elle a permis une vue d'ensemble des diamètres des microsphères qui semblent avoir une moyenne plutôt située autour de 30µm. Cela serait plus proche de la répartition observée par CURD *et al.* 2021.

Afin d'avoir une meilleure idée de l'intérieur de l'enveloppe, la microsphère a été découpée à l'aide d'un faisceau d'ions concentré (FIB). L'objectif initial était de mesurer l'épaisseur des coques. Cependant l'intensité du faisceau génère une température assez importante qui fait fondre les bords de découpe. De ce fait la précision de mesure est plutôt faible. L'idéal serait de disposer d'une platine refroidissante pour contrôler la température de l'échantillon.

Le résultat de découpe, visible sur la Figure II.9b, montre que la microsphère est bien une coque creuse de faible épaisseur. De plus, en suivant chaque instant de la découpe, il est possible de voir que la coque se dégonfle. Ceci traduit sans doute l'échappement de l'isobutane contenu dans les microsphères. Le gaz doit participer au maintien de la forme sphérique.

### II.B.2.b Observations des matériaux RTV/Microsphères

Les matériaux ont été observés en microtomographie à rayons X. Les figures II.10a et II.10b montrent les clichés obtenus avec une résolution d'environ 0,5 µm. Il est possible d'y distinguer
<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>FIGURE II.9 – Microsphères Expancel DE 551 40 d42 observées au MEB (CEA Le Ripault). (a) microsphère non endommagée. (b) microsphère découpée par faisceau d'ions</figcaption></figure>

le silicone (en gris clair) et ses charges (en blanc) ainsi que les microsphères Expancel. Leur enveloppe apparaît également, d'une couleur plus foncée. La répartition des microsphères semble plutôt homogène.

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>FIGURE II.10 – Coupe en microtomographie RX des matériaux (a) R23 (résolution 0,56 µm), (b) R33 (résolution 0,58 µm)</figcaption></figure>

Les clichés ont été analysés à l'aide du logiciel Avizo qui offre une grande variété d'outils de segmentation d'images et permet une analyse des microsphères. Il est possible d'estimer leur fraction volumique dans la matrice. Les valeurs trouvées de 0,229 et 0,333 sont très proches des valeurs théoriques. Une analyse du volume des sphères a également été réalisée, ce qui permet
de calculer le diamètre équivalent. La distribution de diamètres de la Figure II.11, modélisée avec une loi log-normale, est en accord avec celle présentée dans les travaux de CURD *et al.* 2021. Les paramètres de cette loi sont $\mu = 3.33$ et $\sigma = 0.47$. La moyenne des diamètres est légèrement supérieure à celle trouvée par Curd avec une valeur de 31 µm. Cette valeur correspond à ce qui avait été observé au MEB.

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>FIGURE II.11 – Analyse de distribution de diamètre des microsphères dans le R33. (a) Réprésentation volumique des microsphères. (b) Répartition des diamètres ajustée avec une loi log-normale.</figcaption></figure>

## II.B.3 Caractérisation des propriétés thermiques des RTV/microsphères

**DSC** Les trois matériaux de la thèse ont été étudiés en DSC afin de connaître notamment la température de transition vitreuse caractérisée par un saut endothermique sur la courbe. L'essai réalisé est un cyclage composé d'un refroidissement de 20°C à -150°C, suivi d'une chauffe jusqu'à 150°C, puis d'un refroidissement jusqu'à -150°C, pour finir avec une chauffe jusqu'à l'ambiante. Ce type d'essai a pour but d'étudier les phénomènes de cristallisation/fusion dans le matériau. Cela permet de voir si des cristaux sont déjà présents ou non, et si leur fusion est partielle ou complète. La Figure II.12a présente un saut de $C_p$ pour les trois matériaux autour de -120°C. Le saut correspond à la transition vitreuse du RTV (TANG & TSIANG 1999). Un pic exothermique de cristallisation est observable autour de -80°C lors des refroidissements et il semble se décaler avec l'ajout de microsphères. Il serait donc plus facile de cristalliser en leur présence. La fusion de ces cristaux a lieu à -50°C pour les trois matériaux lors des phases de chauffe.

Dans la littérature, ces phénomènes de cristallisation/fusion dans les RTV-2 sont attribués selon les auteurs à deux causes. Les travaux de TANG & TSIANG 1999 semblent montrer que les phénomènes sont liés au composant contenant l'agent réticulant et le catalyseur. Cependant, de nombreuses études considèrent que la cristallisation est plutôt celle du PDMS. On peut citer, par exemple, ARANGUREN 1998 et KLONOS 2018.

Afin de vérifier cette dernière hypothèse, le RTV non réticulé (oligomères de PDMS) a été
étudié en DSC. Les résultats sont visibles sur le thermogramme II.12b et montrent bien une cristallisation à -83°C ainsi qu’un pic endothermique de fusion, qui est double. Cela peut être en raison de la présence de deux populations cristallines qui ont des températures de fusion différentes.

Le T40 contenant le catalyseur et le réticulant présente lui une fusion vers -80°C qui est proche de la température théorique de fusion du tétrasilicate. On ne retrouve pas cet endotherme pour les matériaux réticulés puisque le tétrasilicate se trouve dans les chaînes.

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>FIGURE II.12 – Thermogrammes obtenus en DSC (a) RTV, R23 et R33. (b) RTV non réticulé. La vitesse de chauffe/refroidissement est de $10^8 Cmin^{-1}$.</figcaption></figure>

Il est intéressant de comparer ces résultats à un balayage en température en DMA à une fréquence de 1Hz afin de voir si des phénomènes de relaxation apparaissent aux températures qui ont été relevées sur le thermogramme II.12.

**DMA** Préalablement, des balayages en amplitude de déformation ont été réalisés afin de déterminer dans quel intervalle la déformation se trouve le régime linéaire (i.e. E' constant). Au vu des résultats, une valeur de 1% a été choisie. Elle est valable pour les trois matériaux. Les balayages en température ont donc été effectués entre -150°C et 150°C, à une fréquence de 1 Hz et pour l'amplitude de déformation précitée. La chute de module observée à environ -120°C est le résultat de la relaxation principale du RTV. Elle peut être mise en relation avec la transition vitreuse observée en DSC. Une autre relaxation principale apparaît à 110°C il s'agit de celle du terpolymère constituant les coques des microsphères. Cette affirmation s'appuie sur le fait que la baisse de E' est plus prononcée pour le R33 et son pic de tan(δ) (non présent sur le RTV) a une plus grande intensité que le R23. Cette relaxation est plutôt importante au vu de la faible quantité volumique de microsphères, cela peut donc signifier qu'elles interagissent beaucoup avec la matrice aux petites déformations. Cela peut notamment expliquer l'augmentation du module de conservation entre les trois grades de matériaux. L'importante chute de module de conservation à -45°C correspond au gain de mobilité apporté aux chaînes par la fusion des
cristaux qui ont été créés lors du refroidissement.

Le phénomène d'élasticité caoutchoutique est visible également sur le graphe II.13a par l'augmentation de E' entre 0 et 100°C. L'effet étant plus marqué sur le RTV, les microsphères pourraient donc diminuer/empêcher le repliement des chaînes macromoléculaires lorsqu'elles cherchent à minimiser leur entropie.

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>FIGURE II.13 – Balayage en température à 1 Hz pour une amplitude de déformation appliquée de 1%. (a) Module de conservation E'. (b) Facteur d'amortissement tan(δ).</figcaption></figure>

## II.B.4 Caractérisation du comportement mécanique des RTV/microsphères

Les matériaux étudiés sont utilisés dans des structures qui voient des cycles de chargements en température qui induisent une réponse mécanique. Généralement, les élastomères subissent un adoucissement après le premier cycle de sollicitation (effet Mullins) et il est courant de modéliser le comportement stabilisé (après quelques dizaines de cycles) des matériaux. Dans le cas de cette étude, le joint n'est sollicité que de quelques cycles. C'est pourquoi il est important de prendre en compte tous les cycles afin de pouvoir simuler au mieux le comportement de la structure dès le premier cycle de sollicitation. Dans la suite, les courbes présenteront donc, soit le premier, soit tous les cycles de chargement.

Ces essais cyclés sont réalisés pour les sollicitations que subissent les joints, à savoir, la traction uniaxiale, la cisaillement simple et la compression confinée. Les déformations induites dans leur utilisation sont dans des gammes allant jusqu'à 15 ou 20% de déformation. Néanmoins les essais seront réalisés pour des grandes déformations afin de comprendre le comportement des matériaux dans sa globalité. On s'intéressera notamment à l'influence de la quantité de microsphères, de la température ou encore de la vitesse de sollicitation sur la réponse mécanique. La présence de l'effet Mullins et de ses origines sera également discutée.
II.B.4.a Influence de la quantité de microsphères

L'ajout de microsphères dans le RTV provoque un changement de comportement en traction.
La Figure II.14 présente les courbes de contrainte-déformation des matériaux de l'étude. Il est
possible d'y observer plusieurs choses :

■ La rigidité initiale du matériau est plus importante avec les microsphères.

La coque étant composée d'un matériau thermoplastique, on peut s'attendre à un effet renforçant sur l'élastomère qui lui est plus souple.

■ Après 20% de déformation, la courbe des R23 et R33 présente une sorte de plateau.

Afin d'expliquer ce deuxième point, il est intéressant de tracer la variation de volume durant
l'essai de traction. Sur le graphique, la variation représentée est J, le déterminant du gradient
de déformation qui correspond à V/V₀. Le premier résultat pertinent apparaît pour le RTV,
puisque son volume reste plutôt constant au cours de l'essai. Cela corrobore bien sa quasi-
incompressibilité. Les courbes donnant l'évolution de J pour le R23 et le R33 montrent que
jusqu'à 20% de déformation, le volume change peu, puis qu'il augmente passé 20%. L'hypothèse
pouvant expliquer ce phénomène vient de la cohésion entre l'enveloppe des microsphères et la
matrice élastomère. On peut penser qu'aux faibles déformations, la cohésion est plutôt bonne.
L'ensemble se déforme comme l'élastomère en gardant un volume constant. Cela permet aussi
d'expliquer que, dans cet intervalle, la rigidité est plus grande, car l'enveloppe des microsphères
participe à l'effort. Ensuite, la décohésion pourrait survenir, créant des vides dans le matériau
et donc une augmentation de son volume. Ce changement de comportement dans l'évolution de
J pourrait aussi traduire un flambement des coques. Afin de mieux comprendre ce phénomène,
il pourrait être intéressant de réaliser des essais de traction in-situ en microtomographie RX.

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>FIGURE II.14 – Courbe de contrainte-déformation et variation de volume durant l'essai de traction</figcaption></figure>

En regardant l'allure des courbes de compression confinée sur la Figure II.15a, on remarque
que le RTV ne se déforme que de quelques pourcents confirmant, si besoin était, son caractère
quasi-incompressible. De plus la décharge se superposant à la charge, aucun phénomène dissipatif n’est activé sur ce type de chargement. On remarque que le R33 a un niveau de contrainte moins élevé que le R23, y compris en pied de courbe. Cela veut dire que l’enveloppe des microsphères ne participe pas, contrairement à la traction, à la déformation élastique du matériau. Il doit donc y avoir assez rapidement un flambement des coques. Le matériau se déforme davantage comme une mousse jusqu’à ce qu’il soit assez comprimé pour refermer toutes les porosités et que la contrainte soit maximale. C’est le comportement observé autour de 8 MPa. D’ailleurs, le volume correspondant n’est pas loin du pourcentage volumique de microsphères incorporées. On remarque également sur cette figure que le pied de courbe pour le R23 et le R33 présente une inflexion. Cela peut être attribué à un passage entre une sollicitation de compression simple à confinée. En effet les éprouvettes cylindriques ont un diamètre légèrement inférieur à la cavité pour permettre leur insertion. L’éprouvette peut donc sur quelques points de mesures être en compression simple, d’où la contrainte plus faible en pied de courbe. Une fois le matériau en contact parfait avec le métal de la cavité, la contrainte augmente plus rapidement, car l’éprouvette est cette fois en compression confinée.

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>FIGURE II.15 – Comportement des matériaux en compression. (a) Compression confinée (b) Compression hydrostatique</figcaption></figure>

La Figure II.15b présente la pression que voient les échantillons durant l'intrusion de mercure en fonction de la variation de volume associée lors d'essais de compression hydrostatique. La courbe présentant la réponse du RTV remets en évidence sa quasi-incompressibilité. En effet, il ne se déforme que de quelques pourcents c'est pourquoi les valeurs de *J* sont incertaines du fait de la mesure. La variation de hauteur de mercure dans le capillaire n'est pas assez élevée pour conduire à une mesure précise. Il faut sans doute choisir dans le cas du RTV un capillaire de plus petit volume pour pouvoir gagner en précision (dans la limite de ±1% du volume de mercure introduit).

Les matériaux RTV/microsphères sont assez compressibles pour que la variation de volume
<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>FIGURE II.16 – Comportement en pied de courbe des matériaux en compression hydrostatique (pression [0-2] MPa)</figcaption></figure>

de mercure dans le capillaire soit significative conduisant à des mesures plus précises. Sous ce type de sollicitation sphérique, on considère que lorsque toutes les micro sphères sont fermées, la courbe atteint une asymptote quasi-verticale. L'intersection de cette droite avec l'axe des abs-cisses permet donc de remonter au pourcentage de matrice dans le matériau, et par conséquent au pourcentage volumique d'Expancel présent dans le RTV.

Les matériaux ont un comportement assez comparable à celui de mousses d'élastomères sous compression observé par GIBSON 1989. La déformation se découpe en trois phases : la défor-mation élastique de la mousse (1ère pente), le flambement des pores (le plateau), et enfin la densification de la mousse quand toutes les porosités sont fermées.

Effet Mullins Les matériaux ont été soumis à un chargement triangulaire en déformation d'amplitude croissante pour les sollicitations mécaniques présentées en première partie de ce chapitre. Grâce à cela, l'effet Mullins peut être mis en évidence.

Un phénomène d'adoucissement de la contrainte est observable sur la Figure II.17a pour le R23 sollicité en traction par exemple. Après le premier cycle, chaque trajet de charge suit celui de la décharge précédente jusqu'au maximum du cycle antérieur. A ce point, le comportement redevient celui de la réponse monotone (i.e. du matériau vierge).

Cet effet est commun aux trois matériaux comme le montre la Figure II.17b. L'hystérèse des cycles est plus importante quand il y a des microsphères, et la déformation résiduelle à force nulle est plus élevée. Cela est également observé sur un chargement de cisaillement simple comme le montre la Figure II.18a.

Une des explications quant à l'origine de l'effet Mullins porte sur les interactions entre les charges et les macromolécules. Une première hypothèse porte sur la rupture de liaisons avec les charges, la deuxième viendrait du glissement entre les charges et les macromolécules (DIANI et al. 2009).
<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>FIGURE II.17 – Courbes contrainte-déformation en traction cyclée. (a) Comparaison avec un essai monotone sur le R23. (b) Comparaison des trois matériaux</figcaption></figure>

Le RTV contient seulement de la silice et du carbonate de calcium et il présente un faible adoucissement. L'augmentation de l'adoucissement, de l'hystérèse et de la déformation résiduelle apparaît à l'ajout des microsphères qui joueraient le rôle de charge de taille micrométrique et cela expliquerait le renforcement constaté Figure II.14 et évoqué dans le paragraphe II.B.4.a lors de la comparaison des réponses en traction du RTV, R23 et R33. Elles pourraient, par leurs tailles, mais également par leur nature chimique, avoir plus d'interactions avec les chaînes de PDMS. D'ailleurs, le même phénomène est observé par ZHANG et al. 2021 sur des silicones chargés de microsphères de verre. Selon eux, l'augmentation de l'effet Mullins pourrait venir de ruptures de chaînes entre la coque des sphères et le réseau PDMS.

Cette hypothèse paraît acceptable pour des essais de traction ou de cisaillement (cf. Figure II.18a) puisque la tension appliquée sur les chaînes peut provoquer leur rupture. Les résultats de compression confinée cyclée peuvent donc paraître étonnants. En effet, la Figure II.18b permet de comparer les réponses des matériaux sous de tels chargements. Elle montre un adoucissement de la contrainte pour les matériaux RTV/microsphères très semblable à l'effet Mullins (c'est-à-dire une diminution de la contrainte lors de cycles à amplitude de déformation constante). De plus, on impute habituellement cet effet à la partie isochore de la transformation. Or, la compression confinée est majoritairement sphérique. Il est possible que localement la compression confinée provoque un glissement des chaînes autour des charges et que des liaisons faibles se créent et se rompent selon les cycles de chargement. L'origine de l'effet Mullins dans les matériaux de la thèse se rapprocherait donc des hypothèses émises par HOUWINK 1956. Une autre hypothèse pourrait expliquer le phénomène : bien que le chargement soit macroscopiquement majoritairement sphérique, il provoque un flambement des microsphères engendrant localement dans la matrice (autour de la microsphère) un chargement complexe triaxial non sphérique induisant localement l'effet Mullins.
<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>FIGURE II.18 – Essais mécaniques cyclés. (a) Cisaillement simple. (b) Compression confinée.</figcaption></figure>

II.B.4.b Influence de la température d'essai

La plage de température considérée lors de l'utilisation des matériaux se situe entre -20°C et 70°C. Dans le cas de cette étude, trois températures ont été choisies : -20°C, 24°C et 60°C. Les températures sont éloignées de la transition vitreuse ainsi que de la cristallisation/fusion

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>FIGURE II.19 – Essais de compression confinée cyclée à amplitude croissante à différentes températures pour le R23</figcaption></figure>

intervenant dans la résine. Dans cette gamme de température, les essais de DMA ont montré que les matériaux étaient sur leur plateau caoutchoutique. Le module de conservation E' était d'ailleurs croissant de 0 à 100°C, synonyme de l'élasticité entropique. En effet, pour une déformation donnée, si la température augmente, alors les chaînes macromoléculaires vont se
rétracter, entraînant ainsi une augmentation de la contrainte.

Lors des essais de traction, les résultats vont également en ce sens. Effectivement, la Figure II.20 met en évidence le raidissement des matériaux pour une température croissante. L'effet est très présent pour le RTV mais est moins marqué pour le R23 et le R33, particulièrement aux basses températures. Les courbes à -20°C et 24°C sont quasiment confondues. Une hypothèse pouvant expliquer la différence de comportement entre le RTV et les matériaux RTV/Expancel viendrait de l'isobutane contenu dans les microsphères. Sa température d'ébullition est de -11,7°C. Donc, lors des tests à -20°C il doit être liquide. Cela joue sûrement sur le comportement des microsphères lorsqu'elles sont sollicitées en traction.

La Figure II.19 présente les résultats des essais de compression confinée réalisés sur le R23.

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>FIGURE II.20 – Influence de la température sur le comportement des matériaux</figcaption></figure>

On constate que l'élasticité caoutchoutique est présente également en compression confinée. La contrainte maximale atteinte est plus élevée pour les températures élevées. On remarque également que l'asymptote verticale caractéristique de la fermeture des microsphères apparaît à plus faible déformation pour des températures élevées. Il est moins aisé de trouver une explication
physique derrière ce phénomène lorsque l'on est en compression confinée. Cependant, l'hypothèse du flambement des microsphères qui induit localement dans la matrice un chargement de traction semble pouvoir également expliquer cet effet d'élasticité entropique observé sur les courbes.

II.B.4.c Influence de la vitesse de sollicitation

L'influence de la vitesse de sollicitation a été étudiée en traction, compression confinée et cisaillement. Les essais ont été réalisés à des vitesses de déformation initiale variées sur plusieurs décades entre $10^{-3}$ et $10^{-1}$ s$^{-1}$. Les résultats observés montrent que le comportement mécanique du RTV est très peu dépendant de la vitesse de sollicitation. En effet les courbes sont superposées en traction et en cisaillement simple (les courbes ne sont pas présentées dans le manuscrit). Le silicone est très loin de sa température de transition vitreuse. Il est donc normal que les effets visqueux soient limités. Lors de l'ajout de microsphères, le comportement

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>FIGURE II.21 – Influence de la vitesse de sollicitation sur le comportement du R23 en traction (a), en cisaillement (b) et en compression confinée (c).</figcaption></figure>
en traction change légèrement. La contrainte est plus élevée pour les vitesses les plus grandes.
La Figure II.21 montre par exemple les résultats obtenus pour le R23 en traction, cisaillement et compression confinée. On remarque que la différence reste légère, particulièrement dans les gammes de déformations considérées pour cette étude.

Il est possible d’en conclure une faible dépendance à la vitesse du comportement de ces matériaux dans la gamme de température investiguée. D’autant plus pour des déformations dans la plage d’étude c’est-à-dire inférieures à 20%.
Conclusions du chapitre

Ce chapitre a permis de caractériser le comportement mécanique des matériaux RTV/Expancel
pour les sollicitations mécaniques induites par leur application dans des liaisons jointives et dans
les gammes de températures considérées. Les principales observations et résultats à retenir sont :

- Les microsphères ont une influence notable sur le comportement mécanique en traction des matériaux. Les essais de traction et de DMA semblent indiquer que les microsphères participent à l'effort mécanique aux petites déformations.

- Le comportement fortement non-linéaire en traction comme en compression confinée et sphérique provient de la déformation des microsphères et de leur possibilité de flamber. Les interactions avec la matrice silicone peuvent être également à l'origine de décohésions.

- L'ajout de microsphères augmente le caractère dissipatif des matériaux, quelle que soit la sollicitation, même si la dépendance à la vitesse reste faible dans la gamme de température investiguée.

- Les phénomènes (adoucissement, hystérèse, déformation résiduelle) liés à l'effet Mullins sont plus marqués pour les matériaux RTV/Expancel. Les microsphères doivent donc interagir au même titre que les charges dans l'élastomère. L'effet est présent sur toutes les sollicitations considérées.

Point sur les phénomènes à modéliser

On retient que le modèle devra être capable de prendre en compte ces phénomènes pour des
sollicitations variées.

- Phénomènes de 1<sup>er</sup> ordre :
  - grandes déformations et non-linéarités,

- grande compressibilité,

- effet Mullins,

- déformation résiduelle,

- influence de la fraction volumique de microsphères.

- Phénomènes de 2<sup>nd</sup> ordre :

- effet de la température,

- effet visqueux (Fluage, relaxation).
Chapitre III
***
Développement d'un modèle hyperélastique
*dissipatif compressible*

Ce chapitre présente le modèle mécanique développé pendant
la thèse. Il s'agit d'un modèle de comportement compressible
se voulant très général, car il peut prendre en compte de nom-
breux phénomènes dissipatifs comme la viscosité, la plasticité et l'effet
Mullins. En effet les essais réalisés sur les matériaux RTV/Expancel ont
mis en évidence ces phénomènes dissipatifs, l'adoucissement lié à l'effet
Mullins, une déformation résiduelle et une légère dépendance à la vitesse.
Ces phénomènes apparaissent pour des sollicitations macroscopiques dé-
viatoriques comme sphériques. C'est pourquoi le choix du modèle s'est
porté sur un formalisme en grandes déformations postulant un décou-
plage a priori de la transformation en parties isochore et volumique,
menant ainsi à un découplage déviatorique sphérique de la contrainte
de Cauchy. Sur chacune de ces parties, les phénomènes dissipatifs sont
introduits par des configurations intermédiaires. Les lois d'évolution des
variables internes sont obtenues par formulation différentielle suivant le
principe de normalité de la dissipation. L'effet Mullins est également in-
tégré à ce modèle sur les deux contributions à la transformation.

La fin du chapitre explique l'implémentation du modèle dans le code de
calculs Abaqus et s'attache plus particulièrement à décrire la construc-
tion de l'opérateur tangent. Les méthodes analytiques sont présentées
cependant pour des modèles plus complexes, une approche numérique
robuste est utilisée. Elle permet une évaluation de l'opérateur tangent,
quels que soient les phénomènes pris en compte tout en réduisant les
développements d'équations.
PLAN DU CHAPITRE III

<table><tr><td>III.A Cadre thermodynamique et hypothèses</td><td>73</td></tr><tr><td>III.B Introduction de la compressibilité</td><td>73</td></tr><tr><td>III.B.1 Cas de l'hyperélasticité compressible</td><td>74</td></tr><tr><td>III.C Introduction des phénomènes dissipatifs</td><td>76</td></tr><tr><td>III.C.1 États intermédiaires</td><td>76</td></tr><tr><td>III.C.1.a Conséquence sur la dissipation</td><td>78</td></tr><tr><td>III.C.1.b Loi de comportement et loi d'évolution</td><td>80</td></tr><tr><td>III.C.2 Effet Mullins</td><td>81</td></tr><tr><td>III.C.3 Choix des énergies libres</td><td>82</td></tr><tr><td>III.C.3.a Partie isochore</td><td>82</td></tr><tr><td>III.C.3.b Partie volumique</td><td>82</td></tr><tr><td>III.C.4 Choix des potentiels de dissipation et lois d'évolution</td><td>83</td></tr><tr><td>III.C.4.a Partie isochore</td><td>84</td></tr><tr><td>III.C.4.b Partie volumique</td><td>84</td></tr><tr><td>III.D Implémentation dans un code de calculs aux éléments finis</td><td>86</td></tr><tr><td>III.D.1 Description, généralités et spécificités liées à Abaqus</td><td>86</td></tr><tr><td>III.D.2 Calcul exact en hyperélasticité compressible</td><td>87</td></tr><tr><td>III.D.3 Calcul numérique de l'opérateur tangent</td><td>88</td></tr><tr><td>Conclusions du chapitre</td><td>91</td></tr></table>
### III.A Cadre thermodynamique et hypothèses

Le modèle créé dans ce travail de thèse est un modèle phénoménologique en grandes déformations dont la composante dissipative est issue des approches différentielles présentées dans la partie I.B.4.a. On rappelle l'inégalité de dissipation intrinsèque en eulérien (cas isotherme) découlant de l'application des premier et second principes de la thermodynamique :

$$ \Phi_{int} = -\rho \dot{\psi} + \boldsymbol{\sigma} : \mathbf{D} \geq 0 \qquad (III.1) $$

Sous l'hypothèse de l'état local, l'état thermodynamique en un point dépend de la connaissance en ce point de variables qui peuvent être divisées en deux catégories : les variables observables (déformation, température) et les variables internes (description de la dissipation). La contrainte va donc dépendre de ces dernières.

La loi de comportement est formulée en configuration eulérienne, car l'objectif est de l'implémenter dans le code de calculs éléments finis Abaqus qui utilise ce formalisme, qui présente un certain confort d'écriture.

Le jeu de variables employé est donc :

$$ S = \{\mathbf{F}, k_i, \mathbf{K}_i\} \text{ ou } S = \{\mathbf{B}, k_i, \mathbf{K}_i\} \text{ dans la description eulérienne} \qquad (III.2) \\ \text{(sous conditions d'isotropie et d'objectivité SIDOROFF 1973)} $$

La contrainte de Cauchy peut alors s'écrire $\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{B}, k_i, \mathbf{K}_i)$ avec $\mathbf{B}$ le tenseur de Cauchy-Green gauche décrivant la déformation et $k_i$ et $\mathbf{K}_i$ des variables internes scalaires et tensorielles.

### III.B Introduction de la compressibilité

Les matériaux de l'étude sont fortement compressibles. Afin d'introduire ce phénomène, une décomposition volumique/isochore du gradient $\mathbf{F}$ est choisie de manière analogue à ce qui peut être proposé dans le cas quasi-incompressible. Ce point constitue une hypothèse a priori de notre démarche et pourrait être justifié par la nature du matériau, i.e. une phase travaillant sous condition (quasi-)isochore (l'élastomère) et l'autre quasi-volumique (le gaz des microsphères en négligeant le comportement de la coque polymère).

On a alors $\hat{\mathbf{F}} = J^{\frac{1}{3}}\mathbf{1}$, qui représente le changement de volume, et $\bar{\mathbf{F}}$ la partie isochore (à volume constant). Cela revient à introduire une configuration intermédiaire telle que présentée sur la Figure III.1.

On a donc :

$$ \mathbf{F} = \hat{\mathbf{F}} \cdot \bar{\mathbf{F}} = J^{\frac{1}{3}} \bar{\mathbf{F}} \qquad (III.3) $$

À partir de (III.3) et de l'expression de $\hat{\mathbf{F}} = J^{\frac{1}{3}}$ on peut écrire :

$$ \bar{\mathbf{F}} = \hat{\mathbf{F}}^{-1} \cdot \mathbf{F} = J^{-\frac{1}{3}} \mathbf{F} \qquad (III.4) $$

On peut, à partir de (III.3), formuler les grandeurs dérivées du gradient de déformation
<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>FIGURE III.1 – Décomposition du gradient de la transformation en une partie volumique et une partie isochore</figcaption></figure>

isochore comme les tenseurs de CAUCHY-GREEN gauche :

$$ \bar{\mathbf{B}} = \bar{\mathbf{F}} \cdot \bar{\mathbf{F}}^T = (J^{-\frac{1}{3}} \bar{\mathbf{F}}) \cdot (J^{-\frac{1}{3}} \bar{\mathbf{F}}^T) = J^{-\frac{2}{3}} \mathbf{B} \quad (\text{III.5}) $$

Grâce à ce découpage, la variable d'état volumique peut être directement dépendante de $J$. Le jeu de variables peut donc s'écrire en fonction du jacobien $J$ :

$$ S = \{J, \bar{\mathbf{F}}, k_i, \mathbf{K}_i\} \quad \text{ou} \quad S = \{J, \bar{\mathbf{B}}, k_i, \mathbf{K}_i\} \quad \text{dans la description eulérienne} \quad (\text{III.6}) $$

### III.B.1 Cas de l'hyperélasticité compressible

En se plaçant dans le cadre d'un modèle purement hyperélastique et isotherme, les variables internes ne sont pas nécessaires et, par définition, un matériau hyperélastique ne dissipant pas d'énergie, il vient $\Phi_{int} = 0$.

On fait l'hypothèse que l'énergie libre $\psi$ peut être décomposée additivement en une contribution isochore et une volumique, de sorte que :

$$ \psi(J, \bar{\mathbf{B}}) = \hat{\psi}(J) + \bar{\psi}(\bar{\mathbf{B}}) \quad (\text{III.7}) $$

Cette hypothèse est largement utilisée dans la littérature dans le cas quasi-incompressible. Elle a pour conséquence le découplage de la contrainte en une partie inhérente aux variations de formes (déviatorique) et une seconde liée aux variations de volume (sphérique). Il s'agit d'une hypothèse assez forte puisqu'expérimentalement, les deux parties doivent interagir, spécialement sur des sollicitations mixtes comme la traction ou la compression libre. Dans le cadre de notre étude, ce découplage parait tout de même adapté dans le sens où la partie isochore peut correspondre au comportement incompressible de l'élastomère RTV. La compressibilité, et donc les variations
de volume, sont attribuées entièrement aux microsphères.

La relation (III.1) devient :

$$ \sigma : \mathbf{D} - \rho \dot{\psi}(J, \bar{\mathbf{B}}) = 0 \qquad (III.8) $$

L'énergie libre s'écrivant selon (III.7), sa dérivée est exprimée par :

$$ \dot{\psi}(J, \bar{\mathbf{B}}) = \frac{\partial \dot{\psi}}{\partial J} \dot{J} + \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial \bar{\mathbf{B}}} : \dot{\bar{\mathbf{B}}} \qquad (III.9) $$

Les étapes de calcul entre les relations (III.9) et (III.10) se trouvent en Annexe B

$$ \dot{\psi}(J, \bar{\mathbf{B}}) = \frac{\partial \dot{\psi}}{\partial J} \mathbf{1} : \mathbf{D} + \left[ \left( 2\bar{\mathbf{B}} \cdot \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial \bar{\mathbf{B}}} \right) : \mathbb{P}_{\mathbf{1}} \right] : \mathbf{D} \qquad (III.10) $$

Avec $\mathbb{P}_1$ le déviateur,

$$ \mathbb{P}_1 = \mathbf{1}^4 - \frac{1}{3} \mathbf{1} \otimes \mathbf{1} \qquad (III.11) $$

En insérant (III.10) dans (III.8), on obtient :

$$ \left[ \boldsymbol{\sigma} - 2\rho_0 J^{-1} \left( \bar{\mathbf{B}} \cdot \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial \bar{\mathbf{B}}} \right) : \mathbb{P}_1 - \rho_0 \frac{\partial \dot{\psi}}{\partial J} \mathbf{1} \right] : \mathbf{D} = 0 \qquad (III.12) $$

Dans cette égalité, le tenseur vitesse de déformation **D** n'étant pas toujours nul, on en déduit l'expression suivante :

$$ \boldsymbol{\sigma} = 2\rho_0 J^{-1} \left[ \bar{\mathbf{B}} \cdot \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial \bar{\mathbf{B}}} \right] : \mathbb{P}_1 + \rho_0 \frac{\partial \dot{\psi}}{\partial J} \mathbf{1} \qquad (III.13) $$

On peut aussi exprimer les dérivées partielles en fonction des invariants du tenseur de Cauchy-Green gauche (ou de sa partie isochore).

$$ \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial \bar{\mathbf{B}}} = \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial \mathbb{I}_{\bar{\mathbf{B}}}} \frac{\partial \mathbb{I}_{\bar{\mathbf{B}}}}{\partial \bar{\mathbf{B}}} + \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial \mathbb{I}_{\mathbf{B}}} \frac{\partial \mathbb{I}_{\mathbf{B}}}{\partial \bar{\mathbf{B}}} \qquad (III.14) $$

Les invariants de **B** ont la forme :

$$ \begin{aligned} \mathbb{I}_{\mathbf{B}} &= \operatorname{tr}(\mathbf{B}) = \mathbf{B} : \mathbf{1} \\ \mathbb{I}_{\mathbf{B}} &= \frac{1}{2} \left[ (\mathbf{B} : \mathbf{1})^2 - \mathbf{B}^T : \mathbf{B} \right] \qquad (III.15) \\ \mathbb{I}_{\mathbf{B}} &= \det(\mathbf{B}) = J^2. \end{aligned} $$

Comme la partie isochore de **B** s'écrit $\bar{\mathbf{B}} = J^{-\frac{2}{3}} \mathbf{B}$, ses invariants sont alors :

$$ \begin{aligned} \mathbb{I}_{\bar{\mathbf{B}}} &= J^{-\frac{2}{3}} \mathbb{I}_{\mathbf{B}} \\ \mathbb{I}_{\bar{\mathbf{B}}} &= J^{-\frac{4}{3}} \mathbb{I}_{\mathbf{B}} \qquad (III.16) \\ \mathbb{I}_{\bar{\mathbf{B}}} &= 1 \end{aligned} $$
Les dérivées des invariants sont :

$$ 
\begin{aligned}
\frac{\partial I_{\bar{B}}}{\partial \bar{B}} &= \mathbf{1} \\
\frac{\partial \Pi_{\bar{B}}}{\partial \bar{B}} &= I_{\bar{B}} \mathbf{1} - \bar{B}
\end{aligned}
\qquad (III.17) $$

Par conséquent, la loi de comportement devient :

$$ \sigma = 2\rho_0 J^{-1} \left[ \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial I_{\bar{B}}} \bar{B} + \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial \Pi_{\bar{B}}} (I_{\bar{B}} \bar{B} - \bar{B}^2) \right] : \mathbb{P}_1 + \rho_0 \frac{\partial \hat{\psi}}{\partial J} \mathbf{1} \qquad (III.18) $$

Or, d'après le théorème de CAYLEY-HAMILTON :

$$ \bar{B}^2 = I_{\bar{B}} \bar{B} - \Pi_{\bar{B}} \mathbf{1} + \Pi_{\bar{B}} \bar{B}^{-1} \qquad (III.19) $$

et on a finalement :

$$ \sigma = 2\rho_0 J^{-1} \left[ \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial I_{\bar{B}}} \bar{B} - \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial \Pi_{\bar{B}}} \bar{B}^{-1} \right] : \mathbb{P}_1 + \rho_0 \frac{\partial \hat{\psi}}{\partial J} \mathbf{1} \qquad (III.20) $$

car

$$ \Pi_{\bar{B}} \frac{\partial \bar{\psi}}{\partial \Pi_{\bar{B}}} \mathbf{1} : \mathbb{P}_1 = 0 $$

### III.C Introduction des phénomènes dissipatifs

#### III.C.1 États intermédiaires

La modélisation de phénomènes dissipatifs peut être obtenue par dissociation du caractère élastique et anélastique<fnref n="1" /> comme présentée dans la partie I.B.4.a du Chapitre I. Cette dissociation est utilisée initialement par GREEN & NAGHDI 1965 et SIDOROFF 1973 pour traiter l'élasto-plasticité. Il introduit alors un état intermédiaire, provenant d'un relâchement élastique depuis la configuration finale (MEO 2012).

Considérée de manière plus générale, cette méthode permet d'introduire des variables internes tensorielles $K_i$ par le biais d'états intermédiaires. On postule donc l'existence d'un nouvel état $\bar{C}_a$ entre les configurations initiales et finales $C_0$ et $C(t)$ (voir figure III.2).

Cette décomposition est généralement introduite sur la partie isochore du modèle (LEJEUNES 2006; LEJEUNES et al. 2011; MEO 2012). Cependant, comme observé dans la partie expérimentale lors des essais de compression confinée (majoritairement sphériques) les matériaux de l'étude se révèlent également dissipatifs. Un état intermédiaire est aussi introduit sur la partie volumique de la transformation. Cette technique a déjà été utilisée et va être adaptée à notre approche (KOPROWSKI-THEISS 2011; SEIBERT 2017). La décomposition sur la partie isochore s'écrit :

$$ \bar{F} = \bar{F}_e \cdot \bar{F}_a \qquad (III.21) $$

<footnote n="1">1. Par anélastique, on entend la viscosité, la plasticité ou encore visco-plasticité</footnote>
où $\bar{\mathbf{F}}_e$ désigne le phénomène élastique et $\bar{\mathbf{F}}_a$ celui anélastique.

Pour la partie volumique, on a :

$$J = J_e J_a \qquad (III.22)$$

avec $J_e$ le déterminant de $\mathbf{F}_e$ et $J_a$ celui de $\mathbf{F}_a$.

On a les relations :

$$\mathbf{F}_e = J_e^{\frac{1}{3}} \bar{\mathbf{F}}_e \qquad (III.23)$$

$$\mathbf{F}_a = J_a^{\frac{1}{3}} \bar{\mathbf{F}}_a \qquad (III.24)$$

Les tenseurs de dilatation de CAUCHY-GREEN gauche respectivement associés à $\mathbf{F}_e$, $\mathbf{F}_a$, $\bar{\mathbf{F}}_e$ et $\bar{\mathbf{F}}_a$ sont obtenus par :

$$\mathbf{B}_e = \mathbf{F}_e \cdot \mathbf{F}_e^T \qquad (III.25)$$

$$\mathbf{B}_a = \mathbf{F}_a \cdot \mathbf{F}_a^T \qquad (III.26)$$

$$\bar{\mathbf{B}}_e = \bar{\mathbf{F}}_e \cdot \bar{\mathbf{F}}_e^T \qquad (III.27)$$

$$\bar{\mathbf{B}}_a = \bar{\mathbf{F}}_a \cdot \bar{\mathbf{F}}_a^T \qquad (III.28)$$

À partir de ces grandeurs, il est possible de définir d'autres grandeurs cinématiques, qui seront utiles par la suite, comme les tenseurs taux de déformation anélastique, isochore anélastique et volumique anélastique :

$$\mathbf{D}_a = (\dot{\mathbf{F}}_a \cdot \mathbf{F}_a^{-1})_{\text{sym}} \qquad (III.29)$$

$$\bar{\mathbf{D}}_a = (\dot{\bar{\mathbf{F}}}_a \cdot \bar{\mathbf{F}}_a^{-1})_{\text{sym}} \qquad (III.30)$$

$$\hat{\mathbf{D}}_a = J_a^{-1} \dot{J}_a \mathbf{1} \qquad (III.31)$$

## Hypothèse sur l'énergie libre

En considérant un cas d'isotropie, respectant l'objectivité et le Principe d'Invariance des Fonctions Constitutives PIFC, les variables d'état dans la configuration eulérienne sont (MEO 2012) :

$$S = \{J, J_e, \bar{\mathbf{B}}, \bar{\mathbf{B}}_e\} \qquad (III.32)$$

Comme dans le cas d'un assemblage rhéologique en petites perturbations, où la déformation peut être décomposée en la somme d'une partie élastique et anélastique, on considère également que l'énergie libre $\psi$ peut être découpée additivement en une énergie libre élastique et une énergie libre anélastique correspondant à ces déformations (SIDOROFF 1973) :

$$\psi = \psi(J, J_e, \bar{\mathbf{B}}, \bar{\mathbf{B}}_e) = \hat{\psi}_{eq}(J) + \hat{\psi}_{neq}(J_e) + \bar{\psi}_{eq}(\bar{\mathbf{B}}) + \bar{\psi}_{neq}(\bar{\mathbf{B}}_e) \qquad (III.33)$$

La notation $(\bullet)_{eq}$ désigne les phénomènes à l'équilibre (élasticité) et $(\bullet)_{neq}$ les phénomènes hors équilibre, dissipatifs.
<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>FIGURE III.2 – Décomposition de la transformation en une partie élastique et une partie anélastique</figcaption></figure>

### III.C.1.a Conséquence sur la dissipation

L'inégalité de Clausius-Duhem, telle qu'elle est écrite en (III.1), va prendre une autre forme. Les variables internes introduites avant sont maintenant incluses dans la décomposition élastique/anélastique adoptée. Elle s'écrit :

$$ - \rho \dot{\psi}(J, J_e, \bar{\mathbf{B}}, \bar{\mathbf{B}}_e) + \boldsymbol{\sigma} : \mathbf{D} \geq 0 \qquad (\text{III.34}) $$

La dérivée de l'énergie libre $\dot{\psi}$ s'écrit maintenant (selon $\psi$ en (III.33)) :

$$ \dot{\psi} = \frac{\partial \bar{\psi}_{eq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}} : \dot{\bar{\mathbf{B}}} + \frac{\partial \bar{\psi}_{neq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}_e} : \dot{\bar{\mathbf{B}}}_e + \frac{\partial \hat{\psi}_{eq}}{\partial J} j + \frac{\partial \hat{\psi}_{neq}}{\partial J_e} j_e \qquad (\text{III.35}) $$

Dans chacun des membres de cette dernière équation, il est possible de faire apparaître des mesures de vitesse de déformation (détails des calculs dans l'Annexe C). Les expressions finales s'écrivent :

$$ \frac{\partial \psi_{eq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}} : \dot{\bar{\mathbf{B}}} = \left[ 2\bar{\mathbf{B}} \cdot \frac{\partial \psi_{eq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}} \right] : \mathbb{P}_1 : \mathbf{D} \qquad (\text{III.36}) $$

$$ \frac{\partial \hat{\psi}_{eq}}{\partial J} j = J \frac{\partial \hat{\psi}_{eq}}{\partial J} [\mathbf{1} : \mathbf{D}] \qquad (\text{III.37}) $$

$$ \frac{\partial \hat{\psi}_{neq}}{\partial J_e} j_e = J_e \frac{\partial \hat{\psi}_{neq}}{\partial J_e} [\mathbf{1} : \mathbf{D}] - J_e \frac{\partial \hat{\psi}_{neq}}{\partial J_e} [\mathbf{1} : \mathbf{D}_a] \qquad (\text{III.38}) $$
Concernant, le terme en $\dot{\bar{\mathbf{B}}}_e$, on commence par exprimer cette dérivée :

$$ 
\begin{aligned}
\dot{\bar{\mathbf{B}}}_e &= \dot{\bar{\mathbf{F}}}_e \cdot \bar{\mathbf{F}}_e^T + \bar{\mathbf{F}}_e \cdot \dot{\bar{\mathbf{F}}}_e^T \\
&= -\frac{2}{3} [\mathbf{1} : \mathbf{D}] \bar{\mathbf{B}}_e + \frac{2}{3} [\mathbf{1} : \mathbf{D}_a] \bar{\mathbf{B}}_e + \mathbf{L} \cdot \bar{\mathbf{B}}_e + \bar{\mathbf{B}}_e \cdot \mathbf{L}^T - 2 \bar{\mathbf{F}}_e \cdot \mathbf{D}_a \cdot \bar{\mathbf{F}}_e^T
\end{aligned}
\quad (III.39) $$

La décomposition polaire de $\mathbf{F}_e$ s'écrit $\mathbf{F}_e = \mathbf{V}_e \cdot \mathbf{R}_e$ et celle de $\bar{\mathbf{F}}_e$, $\bar{\mathbf{F}}_e = \bar{\mathbf{V}}_e \cdot \bar{\mathbf{R}}_e$.

Or comme la décomposition est unique et en se servant de (III.23), on peut en déduire $\mathbf{V}_e = J_e^\mathrm{D} \bar{\mathbf{V}}_e$ et $\bar{\mathbf{R}}_e = \mathbf{R}_e$.

Cela permet de faire apparaître $\mathbf{D}_a^\circ$ la mesure objective du tenseur $\mathbf{D}_a$ dans l'équation (III.39), tel que $\mathbf{D}_a^\circ = \mathbf{R}_e \cdot \mathbf{D}_a \cdot \mathbf{R}_e^T$. La dérivée $\dot{\bar{\mathbf{B}}}_e$ devient donc :

$$ \dot{\bar{\mathbf{B}}}_e = -\frac{2}{3} [\mathbf{1} : \mathbf{D}] \bar{\mathbf{B}}_e + \frac{2}{3} [\mathbf{1} : \mathbf{D}_a^\circ] \bar{\mathbf{B}}_e + \mathbf{L} \cdot \bar{\mathbf{B}}_e + \bar{\mathbf{B}}_e \cdot \mathbf{L}^T - 2 \bar{\mathbf{V}}_e \cdot \mathbf{D}_a^\circ \cdot \bar{\mathbf{V}}_e \quad (III.40) $$

Le terme en $\dot{\bar{\mathbf{B}}}_e$ de l'équation (III.35) devient donc :

$$ \frac{\partial \bar{\psi}_{neq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}_e} : \dot{\bar{\mathbf{B}}}_e = \left[ 2 \bar{\mathbf{B}}_e \cdot \frac{\partial \bar{\psi}_{neq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}_e} \right] : \mathbb{P}_1 : \mathbf{D} - \left[ 2 \bar{\mathbf{V}}_e \cdot \frac{\partial \bar{\psi}_{neq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}_e} \cdot \bar{\mathbf{V}}_e \right] : \mathbb{P}_1 : \mathbf{D}_a^\circ \quad (III.41) $$

et le terme en $\dot{J}_e$ peut également être réécrit en fonction de $\mathbf{D}_a^\circ$ :

$$ 
\begin{aligned}
\frac{\partial \hat{\psi}_{neq}}{\partial J_e} \dot{J}_e &= J_e \frac{\partial \hat{\psi}_{neq}}{\partial J_e} [\mathbf{1} : \mathbf{D}] - J_e \frac{\partial \hat{\psi}_{neq}}{\partial J_e} [\mathbf{R}_e^T \cdot \mathbf{R}_e : \mathbf{D}_a] \\
&= J_e \frac{\partial \hat{\psi}_{neq}}{\partial J_e} [\mathbf{1} : \mathbf{D}] - J_e \frac{\partial \hat{\psi}_{neq}}{\partial J_e} [\mathbf{1} : \mathbf{R}_e \cdot \mathbf{D}_a \cdot \mathbf{R}_e^T] \quad (III.42) \\
&= J_e \frac{\partial \hat{\psi}_{neq}}{\partial J_e} [\mathbf{1} : \mathbf{D}] - J_e \frac{\partial \hat{\psi}_{neq}}{\partial J_e} [\mathbf{1} : \mathbf{D}_a^\circ]
\end{aligned}
$$

L'inégalité de Clausius-Duhem devient dans ce cas :

$$ 
\begin{aligned}
& \left[ -2\rho_0 J^{-1} \bar{\mathbf{B}} \cdot \frac{\partial \bar{\psi}_{eq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}} : \mathbb{P}_1 - 2\rho_0 J^{-1} \bar{\mathbf{B}}_e \cdot \frac{\partial \bar{\psi}_{neq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}_e} : \mathbb{P}_1 \right. \\
& \qquad \left. - \rho_0 \frac{\partial \hat{\psi}_{eq}}{\partial J} \mathbf{1} - \rho_0 J^{-1} J_e \frac{\partial \hat{\psi}_{neq}}{\partial J_e} \mathbf{1} + \sigma \right] : \mathbf{D} \\
& \qquad + \left[ \rho_0 J^{-1} J_e \frac{\partial \hat{\psi}_{neq}}{\partial J_e} \mathbf{1} + 2\rho_0 J^{-1} \bar{\mathbf{V}}_e \cdot \frac{\partial \bar{\psi}_{neq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}_e} \cdot \bar{\mathbf{V}}_e : \mathbb{P}_1 \right] : \mathbf{D}_a^\circ \geq 0 \quad (III.43)
\end{aligned}
$$

avec

$$ \mathbb{P}_1 = \mathbf{1}^4 - \frac{1}{3} \mathbf{1} \otimes \mathbf{1} \quad (III.44) $$

La décomposition du gradient de déformation en deux parties isochore et volumique entraîne naturellement un découpage de $\mathbf{D}$ et $\mathbf{D}_a^\circ$ en un tenseur déviatorique et un tenseur sphérique.
La démonstration est présentée dans l'annexe C. Ils sont écrits de la sorte :

$$
\begin{align}
\mathbf{D} &= \bar{\mathbf{D}} + \hat{\mathbf{D}} = \bar{\mathbf{D}} + \frac{1}{3}(\mathbf{1} : \mathbf{D})\mathbf{1} \nonumber \\
\mathbf{D}_a^\circ &= \bar{\mathbf{D}}_a^\circ + \hat{\mathbf{D}}_a^\circ = \bar{\mathbf{D}}_a^\circ + \frac{1}{3}(\mathbf{1} : \mathbf{D}_a^\circ)\mathbf{1} \tag{III.45}
\end{align}
$$

La contrainte de Cauchy peut également être exprimée en deux parties, déviatorique et sphé-
rique, telles que :

$$
\sigma = \bar{\sigma} + \hat{\sigma} \tag{III.46}
$$

L'inégalité (III.43) devient dans (III.47). Par définition les produits de grandeurs déviatoriques et sphériques (et inversement) sont nuls. On retrouve donc dans l'inégalité une somme de produits doublement contractés, déviatoriques ou sphériques.

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \left[ -2\rho_0 J^{-1} \bar{\mathbf{B}} \cdot \frac{\partial \bar{\psi}_{eq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}} : \mathbb{P}_1 - 2\rho_0 J^{-1} \bar{\mathbf{B}}_e \cdot \frac{\partial \bar{\psi}_{neq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}_e} : \mathbb{P}_1 + \bar{\boldsymbol{\sigma}} \right] : \bar{\mathbf{D}} \\
& \quad + \left[ -\rho_0 \frac{\partial \hat{\psi}_{eq}}{\partial J} \mathbf{1} - \rho_0 J^{-1} J_e \frac{\partial \hat{\psi}_{neq}}{\partial J_e} \mathbf{1} + \hat{\boldsymbol{\sigma}} \right] : \hat{\mathbf{D}} \\
& \quad + \left[ \rho_0 J^{-1} J_e \frac{\partial \hat{\psi}_{neq}}{\partial J_e} \mathbf{1} \right] : \hat{\mathbf{D}}_a^\circ \\
& \quad + \left[ 2\rho_0 J^{-1} \bar{\mathbf{V}}_e \cdot \frac{\partial \bar{\psi}_{neq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}_e} \cdot \bar{\mathbf{V}}_e : \mathbb{P}_1 \right] : \bar{\mathbf{D}}_a^\circ \ge 0
\end{aligned}
\tag{III.47}
\end{equation}
$$

III.C.1.b Loi de comportement et loi d'évolution

Selon Halphen et Nguyen (HALPHEN & NGUYEN 1975), la dissipation intrinsèque (III.47) peut être écrite comme la somme de produits de forces, dépendant des variables d'état du matériau, et de flux (comme les vitesses de déformations notamment).

Si l'on applique cette hypothèse sur la relation (III.47), il vient :

<table><caption>TABLEAU III.1 – Forces et flux de l'inégalité (III.47) selon HALPHEN & NGUYEN 1975.</caption>
  <tr>
    <td>Forces</td>
    <td>-&sigma;&#773;<sub>eq</sub> : P<sub>1</sub> - &sigma;&#773;<sub>neq</sub> : P<sub>1</sub> + &sigma;&#773;</td>
    <td>-&sigma;&#770;<sub>eq</sub> - &sigma;&#770;<sub>neq</sub> + &sigma;&#770;</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Flux</td>
    <td>D&#773;</td>
    <td>D&#770;</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Forces</td>
    <td>2&rho;<sub>0</sub>J<sup>-1</sup>V&#773;<sub>e</sub> &middot; (partial &psi;<sub>neq</sub>/partial B&#773;<sub>e</sub>) &middot; V&#773;<sub>e</sub> : P<sub>1</sub></td>
    <td>&sigma;&#770;<sub>neq</sub></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Flux</td>
    <td>D&#773;<sub>a</sub><sup>o</sup></td>
    <td>D&#770;<sub>a</sub><sup>o</sup></td>
  </tr>
</table>

avec

$$
\begin{align}
\bar{\sigma}_{eq} &= 2\rho_0 J^{-1} \bar{\mathbf{B}} \cdot \frac{\partial \bar{\psi}_{eq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}} && \bar{\sigma}_{neq} = 2\rho_0 J^{-1} \bar{\mathbf{B}}_e \cdot \frac{\partial \bar{\psi}_{neq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}_e} \tag{III.48} \\
\hat{\sigma}_{eq} &= \rho_0 \frac{\partial \hat{\psi}_{eq}}{\partial J} \mathbf{1} && \hat{\sigma}_{neq} = \rho_0 J^{-1} J_e \frac{\partial \hat{\psi}_{neq}}{\partial J_e} \mathbf{1} \nonumber
\end{align}
$$
On note $\mathbf{A}_i$ les forces et $\mathbf{a}_i$ les flux.

On postule l'existence d'un potentiel de dissipation $\varphi$ (convexe, positif et nul à l'origine) selon l'hypothèse des matériaux standards généralisés, tel que :

$$ \mathbf{A}_i = \frac{\partial \varphi_i}{\partial \mathbf{a}_i} \qquad (III.49) $$

De plus, on considère, comme dans le cas de l'énergie libre, un découplage du potentiel de dissipation selon les flux (séparément définis positifs, convexes et nuls à l'origine pour assurer les mêmes propriétés que $\varphi$). On a alors :

$$ \varphi = \bar{\varphi}_0(\bar{\mathbf{D}}) + \hat{\varphi}_0(\hat{\mathbf{D}}) + \bar{\varphi}_a(\bar{\mathbf{D}}_a^o) + \hat{\varphi}_a(\hat{\mathbf{D}}_a^o) \qquad (III.50) $$

Si on applique (III.49) à chacun des termes de l'inégalité de dissipation listés dans le Tableau III.1, on obtient les quatre équations suivantes :

$$ \bar{\sigma} = \left[ 2\rho_0 J^{-1} \bar{\mathbf{B}} \cdot \frac{\partial \bar{\psi}_{eq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}} \right] : \mathbb{P}_1 + \left[ 2\rho_0 J^{-1} \bar{\mathbf{B}}_e \cdot \frac{\partial \bar{\psi}_{neq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}_e} \right] : \mathbb{P}_1 + \frac{\partial \bar{\varphi}_0}{\partial \bar{\mathbf{D}}} \qquad (III.51) $$

$$ \hat{\sigma} = \rho_0 \frac{\partial \hat{\psi}_{eq}}{\partial J} \mathbf{1} + \rho_0 J^{-1} J_e \frac{\partial \hat{\psi}_{neq}}{\partial J_e} \mathbf{1} + \frac{\partial \hat{\varphi}_0}{\partial \hat{\mathbf{D}}} \qquad (III.52) $$

avec $\sigma = \bar{\sigma} + \hat{\sigma}$

$$ \left[ 2\rho_0 J^{-1} \bar{\mathbf{V}}_e \cdot \frac{\partial \bar{\psi}_{neq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}_e} \cdot \bar{\mathbf{V}}_e \right] : \mathbb{P}_1 = \frac{\partial \bar{\varphi}_a}{\partial \bar{\mathbf{D}}_a^o} \qquad (III.53) $$

$$ \rho_0 J^{-1} J_e \frac{\partial \hat{\psi}_{neq}}{\partial J_e} \mathbf{1} = \frac{\partial \hat{\varphi}_a}{\partial \hat{\mathbf{D}}_a^o} \qquad (III.54) $$

La loi d'évolution (III.53) dans le cas où l'énergie libre $\psi_{neq}$ est isotrope de $\bar{\mathbf{B}}_e$ peut se réécrire :

$$ \underbrace{\left[ 2\rho_0 J^{-1} \bar{\mathbf{B}}_e \cdot \frac{\partial \bar{\psi}_{neq}}{\partial \bar{\mathbf{B}}_e} \right]}_{\bar{\sigma}_{neq}} : \mathbb{P}_1 = \frac{\partial \bar{\varphi}_a}{\partial \bar{\mathbf{D}}_a^o} \qquad (III.55) $$

Les potentiels de dissipation $\varphi$ dans les équations (III.51) à (III.54), comme énoncé précédemment, doivent avoir une forme leur permettant d'être convexes, positifs et nuls à l'origine. Elle peut donc être choisie de la forme quadratique (MEO 2012) :

$$ \varphi = \frac{\eta}{2} \mathbf{X} : \mathbf{X} \Rightarrow \frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf{X}} = \eta \mathbf{X} \qquad (III.56) $$

avec $\mathbf{X}$ un taux de déformation.

### III.C.2 Effet Mullins

Souvent, l'effet Mullins (MULLINS 1948) est éliminé en sollicitant le matériau sur quelques dizaines de cycles afin d'atteindre son comportement stabilisé. Pour les applications de cette