# Simulation 3D de la croissance de grain

Benoit Serre, Claire Maurice, Roland Fortunier

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Benoit Serre, Claire Maurice, Roland Fortunier. Simulation 3D de la croissance de grain. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. hal-01508936

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Submitted on 15 Apr 2017

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# Simulation 3D de la croissance de grain

Benoit Serre — Claire Maurice — Roland Fortunier

Ecole Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne
Centre SMS, CNRS UMR 5146
158, cours Fauriel
F-42023 Saint-Étienne Cedex
{serre,maurice,fortunier}@emse.fr

RÉSUMÉ. La microstructure des matériaux polycristallins évolue au cours du temps, des grains vont grossir alors que d'autres vont disparaître. Or, celle-ci a une forte influence sur les propriétés mécaniques de ces matériaux. Il est donc important de simuler cette évolution pour connaître a priori les futures propriétés. Nous avons donc développé un modèle de croissance de grain et nous l'avons introduit dans le code éléments finis ZéBuLoN. De plus, pour mieux suivre l'évolution de la géométrie de la microstructure, nous avons construit un outil de remaillage adpaté à notre problème.

ABSTRACT. As the microstructure of polycristal material evolve, some grains grow while others disappear, causing a well known influence on the macroscopic mechanical properties. Hence, it is important to simulate the evolution of the microstructure to determine property changes. A grain growth model was developed and incorporated into the finite element software Z-set. For this purpose, a specific remeshing tool has been built to follow the geometrical evolution of the microstructure.

MOTS-CLÉS : Croissance de grain, joints de grain, éléments finis, remaillage, transformations topologiques, ZéBuLoN

KEYWORDS: Grain growth, grain boundary, finite elements, remeshing, topological transformations, Z-set
# 1. Introduction

Les matériaux polycristallins sont constitués de grains. Chaque grain est un volume de matière possédant une orientation cristallographique particulière, il est séparé des autres par des joints. Ainsi, comme deux grains voisins peuvent avoir des orientations différentes, il existe un excès d'énergie surfacique $\gamma$ liée à la désorientation locale des réseaux cristallins au niveau du joint.

Pour minimiser cette énergie surfacique, le joint va se mettre en mouvement (Burke et al., 1952). Sa vitesse normale est proportionnelle à la somme des courbures (Turnbull, 1951). Le coefficient de proportionalité est le produit de l'énergie surfacique $\gamma$ et de la mobilité des joints $m$. La mobilité permet de quantifier la vitesse de réarrangement des réseaux cristallins.

De multiples méthodes peuvent être utilisées pour simuler la croissance de grains existent déjà : la méthode de Monte-Carlo (Fumihiro et al., 2000), la méthode des champs de phase (Brakke, 1992), (Russo et al., 2000) ou la méthode des éléments finis (Weygand et al., 1998), (Kuprat, 2000), (Couturier et al., 2003). Toutefois, le caractère tridimensionnel de l'évolution est peu souvent traité et les outils présentés semblent peu évolutifs. C'est pourquoi, nous avons décidé de développer une méthode de simulation de la croissance des grains à l'aide du code éléments finis ZéBuLoN.

La suite de ce document est consacrée à présenter les étapes importantes dans l'établissement d'un modèle éléments finis de croissance de grains et l'outil dédié au problème du maillage. Enfin la dernière partie est une présentation d'un exemple très simplifié.

# 2. Méthode éléments finis et croissance de grains

## 2.1. De la formulation variationnelle au système linéaire

Pour appliquer la méthode des éléments finis adaptée à la résolution de la croissance de grain, nous nous basons sur la formalisation de Kawasaki (Kawasaki et al., 1989). Pour un joint de surface $s$, cette formulation introduit deux termes :

$$ - \text{son énergie libre } L = \int_s \gamma ds $$

$$ - \text{un potentiel dissipatif de Rayleigh } D = \int_s \frac{v_n^2}{2m} ds. $$

A l'aide de ces deux grandeurs, nous sommes alors capables d'écrire la formulation variationnelle de l'équation de Lagrange pour un joint constitué de $n_v$ noeuds.

$$ \sum_{i=1}^{n_v} \left( \frac{\partial D}{\partial \vec{v}_i} + \frac{\partial L}{\partial \vec{x}_i} \right) \cdot \vec{v}_i^* = 0 \qquad [1] $$

Dans cette équation, $\vec{x}_i$ est la position du noeud $i$ et $\vec{v}_i$ sa vitesse. Le vecteur $\vec{v}_i^*$ est une vitesse virtuelle associée au noeud $i$.
Le calcul des dérivées pour chaque élément nous permet de construire les grandes élémentaires de notre modélisation. La dérivée de l'énergie libre d'un élément par rapport à la position des noeuds nous donne un vecteur homogène à une force. De plus, la dérivée du potentiel de dissipation par rapport à la vitesse des noeuds est le produit entre une matrice de viscosité et le vecteur des vitesse nodales. L'ensemble de ces grandeurs ne dépendent que de la géométrie de notre structure.

A l'aide de ces grandeurs élémentaires, la formulation variationnelle sera vérifiée si l'équation [2] est résolue. La matrice [A] est issue de l'assemblage des matrices élémentaires de viscosité et le vecteur {$F$} est le vecteur des forces motrices. Enfin, le vecteur {$V$} est le vecteur inconnu des vitesses nodales.

$$ [A].\{V\} = \{F\} \quad [2] $$

## 2.2. Réduction du problème et résolution

L'établissement de la formulation [2] est indépendante des conditions cinématiques sur les déplacements des joints. Cependant, ces conditions dépendent de la connectivité des noeuds, c'est-à-dire, du nombre de joints et de grains auquels ils appartiennent. Ainsi, si un noeud appartient à un joint, son déplacement est colinéaire à sa normale. Dans ce cas, nous affectons un seul degré de liberté à ce noeud qui est la composante normale de sa vitesse. Le déplacement d'un noeud appartenant à une ligne triple (intersection de 3 joints) doit être orthogonal cette ligne. Nous affectons 2 degrés de liberté à ce type de noeud car la composante tangentielle à la ligne est toujours nulle. Enfin, quand un noeud appartient à 4 grains, il n'existe pas de condition cinématique particulière. Le noeud conserve 3 degrés de liberté.

A l'aide de ces conditions, nous sommes capable de construire un système linéaire de taille réduite en modifiant la structure de la matrice [A] et du vecteur {$F$}. L'ensemble des composantes des vecteurs vitesses sont calculés a posteriori lors de la mise à jours de la géométrie.

En multipliant le second membre de l'équation [2] par le pas de temps $\Delta t$, nous calculons directement un incrément de déplacement {$\Delta U$} plutôt qu'une vitesse. Nous utilisons une intégration explicite pour déterminer le déplacement des noeuds. Le pas de temps est ajusté automatiquement à chaque incrément sur des critères géométriques. De plus, nous régularisons la matrice de viscosité pour éviter l'apparition de singularités lors de la résolution du système linéaire. Ceci est fait en pénalisant les termes diagonaux de la matrice : $[A^*] = [A] + p[I]$.

Finalement, nous avons implété dans ZéBuLoN la construction et la résolution du système décrit par l'équation [3] pour simuler la croissance de grain.

$$ [A^*]\{\Delta U\} = \Delta t\{F\} \quad [3] $$
# 3. Transformations topologiques et remaillage

## 3.1. Transformation de la géométrie

Lors de l'évolution de la taille des grains, certains vont disparaître entrainant une suite de transformations. Ces transformations se font en conservant certaines propriétés sur la connectivité des grains, des joints, des lignes triples et des points quadruples (Kinderlehrer et al., 2004). En 3D, il existe 2 types de transformations (figure 1) : la transformation réversible d'une ligne en un joint et la transformation d'un grain en un point quadruple.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

**Figure 1. Transformations topologiques possibles en 3D lors de l'évolution d'une structure granulaire**

Ces transformations qui sont des évolutions de géométrie sont traitées en amont de la phase de remaillage. Il s'agit en fait de construire et ou de supprimer des lignes, des joints ou des grains de petites tailles. Enfin, pour détecter qu'une entité doit être transformée, nous nous basons sur des critères de tailles. Par exemple, si la longueur d'une ligne triple devient inférieure à une valeur critique, on déclenche alors la transformation de la ligne en un joint. Des conditions similaires existent pour la transformation des joints et des grains.

## 3.2. Remaillage

Le remaillage de nos structure est effectué à l'aide d'un couplage entre le mailleur libre GMSH<fnref n="1" /> et les outils de transformation de maillage de ZéBuLoN. Cette étape a lieu après chaque phase de transformations topologiques ou après décision du solveur. Celle-ci est basée sur des critères de qualité des éléments et sur une fréquence de remaillage.

En pratique, nous commençons par remailler les lignes triples de nos structures. Cela nous permet de garantir facilement que les lignes sont correctement connectées entre elles. Par la suite, nous remaillons les joints dans leur plan moyen à l'aide de

<footnote n="1">1. http://www.geuz.org/gmsh</footnote>
l'algorithme de J. R. Shewchuk (Shewchuk, 1996) intégré à GMSH. Les grains sont définis comme des listes particulières d'éléments. Dans ce cas, l'étape de remaillage consiste à remettre à jour ces listes. Enfin, comme la géométrie est la seule donnée nécessaire à la construction de nos quantités élémentaires, nous n'avons pas besoin de projeter des champs vectoriels sur notre nouveau maillage.

Le passage d'une phase de remaillage et à une phase de simulation de l'évolution de la structure est géré automatique par un programme extérieur.

## 4. Un exemple d'évolution

La figure 2 présente un exemple d'utilisation de nos développements sur une structure composée de 9 joints. Ces joints possèdent des énergies libres et des mobilités identiques. Comme cette structure n'est pas à équilibre, les joints vont évoluer vers une géométrie dont l'énergie est mininale. Cela se fait notamment en transformant la ligne triple centrale en un joint de grain. Ainsi, la structure possède 10 joints à l'état final.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 2.** Evolution géométrique et énergétique d'un ensemble de joints de grain avec transformation d'une ligne en un joint</figcaption></figure>

La figure 2(c) est une illustration de l'évolution de l'énergie totale du système. Chaque nuance de gris représente un maillage différent. La courbe possède un point d'inflexion pour le temps 1060s correspondant à l'instant de la transformation topologique. Enfin, après le temps 4000s, la géométrie n'évolue plus beaucoup et l'énergie reste quasi-constante, nous avons atteint la structure à énergie minimale.
**5. Conclusion**

Nous avons construit un modèle éléments finis de croissance de grain ainsi que des
outils de remaillage. Ceci nous a permis de faire des calculs simplifiés. Comme ces cas
ne représentent pas une microstructure d'un matériau polycristallin, nous cherchons
actuellement à simuler l'évolution d'un volume élémentaire représentatif composé de
plusieurs dizaines de grains. Cet outils nous permettra ensuite d'étudier l'influence
de paramètres physiques (γ, m, la taille des grains, etc). Nous projetons également
d'introduire des précipités dans la microstructure pour nous rapporcher du cas réel.

**6. Bibliographie**

Brakke K. A., « The Surface Evolver », *Experimental Mathematics*, vol. 1, n° 1, p. 141-165, 1992.

Burke J. E., Turnbull D., « Recrystallization and grain growth », *Progress in Metal Physics*, vol. 3, p. 220-244, 1952.

Couturier G., Maurice C., Fortunier R., « Three-dimensional finite-element simulation of Zener pinning dynamics », *Philosophical Magazine*, vol. 83, n° 30, p. 3387-3405, 2003.

Fumihiro W., Naova E., Hiroshi O., « Three-dimensional Microstructural Evolution in Ideal Grain Growth - General Statistics », *Acta Materialia*, vol. 48, p. 1297-1311, 2000.

Kawasaki K., Nagai T., Nakashima K., « Vertex models for two-dimesional grain growth », *Phil. Mag. B*, vol. 60, p. 399-421, 1989.

Kinderlehrer D., Lee J., Livshits I., Ta'asan S., *Mesoscale Simulation of Grain Growth*, Continuum Scale Simulation of Engineering Materials : Fundamentals - Microstructures - Process Applications, Wiley-VCH Verlag Berlin GmbH & Co edn, Weinheim, p. 356-367, 2004.

Kuprat A., « Modeling Microstructure Evolution Using Gradient-Weighted Moving Finite Elements », *SISC*, vol. 22, p. 535, 2000.

Russo G., Smereka P., « A Level Set Method for the Evolution of Faceted Crystals », *SIAM Journal on Scientific Computing*, vol. 21, n° 6, p. 2073-2095, 2000.

Shewchuk J. R., « Triangle : Engineering a 2D Quality Mesh Generator and Delaunay Triangulator », in, M. C. Lin, D. Manocha (eds), *Applied Computational Geometry : Towards Geometric Engineering*, vol. 1148 of *Lecture Notes in Computer Science*, Springer-Verlag, p. 203-222, May, 1996. From the First ACM Workshop on Applied Computational Geometry.

Turnbull D., « Theory of grain migration rates », *Transactions of the Metallurgical Society of AIME*, vol. 191, p. 661-665, 1951.

Weygand D., Bréchet Y., Lépinoux J., « A vertex dynamics simulation of grain growth in two dimensions », *Philosophical Magazine B*, vol. 78, n° 4, p. 329-352, 1998.