Il est alors clair que ce résultat est l'équivalent du théorème 11.1.1. À présent, nous devons vérifier que la w-co-envelope d'un g-hérisson est, en ses points non-ombilic<fnref n="9" />, localement une surface marginalement piégée (comme nous l'avons vu au théorème 11.1.2 pour les hérissons marginalement piégés de $\mathbb{L}^4$). Ainsi, considérons le résultat suivant :

**Théorème 12.2.2.** Toute w-co-envelope $\partial\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ d'une famille de géodésiques lumière orientées en $e$ est, en ses points non-ombilic, localement une surface marginalement piégée. En particulier, le paramétrage $y$ de la w-co-envelope $\partial\mathcal{H}$ vérifie les deux points suivants :

1. La première forme fondamentale vérifie que $I_y = y^*g_L = SH(\frac{R_1-R_2}{2})^2w$, où $g_L$ est la métrique sur le lorentziarisé de l'espace hyperbolique.

2. Si le vecteur $u \in S_e^2$ est non-ombilic pour le g-hérisson correspondant à la w-co-envelope $\partial\mathcal{H}$, alors $\partial\mathcal{H}$ est localement une 2-surface marginalement piégée en $y(u)$ dont le vecteur de courbure moyen est colinéaire à $\tilde{\eta}$.

*Démonstration.* Afin d'éviter d'inutilement alourdir notre démonstration, nous reconsidérons les mêmes éléments que nous avons introduits dans la démonstration précédente. En particulier, pour $u_0 \in S_e^2$, considérons les vecteurs $\vec{V}_1$ et $\vec{V}_2$ qui forment une base propre pour l'endomorphisme $\phi_{u_0}$ et qui correspondent à une base orthonormale pour la forme $III_x^{u_0}$. Sachant que la différentielle de la fonction $y_E$ est définie telle que $d_{u_0}y_E \cdot \vec{W} = SH f(u_0) \langle \vec{V}f(u_0)|\vec{W} \rangle x(u_0) + CH f(u_0)d_{u_0}x \cdot \vec{W} + CH f(u_0) \langle \vec{V}f(u_0)|\vec{W} \rangle N(u_0) + SH f(u_0)d_u N \cdot \vec{W}$, après quelques calculs, nous obtenons :

$$ 
\begin{aligned}
I_y^{u_0}(\vec{V}, \vec{W}) &= (CH f(u_0))^2 I_x^{u_0}(\vec{V}, \vec{W}) + 2CH f(u_0)SH f(u_0)II_x^{u_0}(\vec{V}, \vec{W}) + (SH f(u_0))^2 III_x^{u_0}(\vec{V}, \vec{W}) \\
&= (CH f(u_0))^2 \left[ I_x^{u_0}(\vec{V}, \vec{W}) + 2TH f(u_0)II_x^{u_0}(\vec{V}, \vec{W}) + (TH f(u_0))^2 III_x^{u_0}(\vec{V}, \vec{W}) \right]
\end{aligned}
$$

où $I_y$ est la première forme fondamentale de la w-co-envelope, ainsi que $I_x$, $II_x$ et $III_x$ sont les trois formes fondamentales du g-hérisson qui lui correspond.

Il est alors facile de vérifier, à partir de l'expression précédente, que la famille formée par les vecteurs $\vec{V}_1$ et $\vec{V}_2$ est une base orthogonale pour la première forme fondamentale $I_y$. Nous pouvons alors déterminer l'expression de $I_y$ dans cette base, afin d'établir une relation entre les formes $I_y$ et $w$ telle que :

$$ 
\begin{aligned}
I_x^{u_0}_{ii} &= I_x^{u_0}(\vec{V}_i, \vec{V}_i) = (CH f(u_0))^2 \left[ r_i^2 + 2r_iTH f(u_0) + (TH f(u_0))^2 \right] \\
&= (CH f(u_0))^2 (TH(R_i) - TH(R))^2 \text{ avec } R = \frac{1}{2}(R_1 + R_2) \text{ et } R_i = \text{ArcTH}(r_i) \\
&= (CH f(u_0))^2 \frac{SH\left(\frac{R_1-R_2}{2}\right)^2}{CH(R)^2CH(R_i)^2} = \frac{SH\left(\frac{R_1-R_2}{2}\right)^2}{CH(R_i)^2} \\
&= SH\left(\frac{R_1-R_2}{2}\right)^2 (1-r_i^2) = SH\left(\frac{R_1-R_2}{2}\right)^2 w_{ii}^{u_0}
\end{aligned}
$$

ce qui nous donne le premier point. À présent, supposons que $u_0$ ne soit pas ombilic, alors la première forme $I_y$ est localement de rang 2. En effet, il suffit de voir que si $R_1^u$ et $R_2^u$ sont les rayons de courbure principaux, alors :

<footnote n="9">9. Pour un g-hérisson, on dira que $u \in S_e^2$ est non-ombilic si les valeurs propres $r_1$ et $r_2$ sont distinctes.</footnote>
$$ (R_1^u - R_2^u)^2 = f(u)^2 - 4r_h(u) \qquad (12.2.0.27) $$

et donc, par continuité, si $R_1$ et $R_2$ sont distincts en $u_0$, alors ils le sont toujours au voisinage de $u_0$. Ainsi, $\partial H$ est localement une surface de type espace et comme, au voisinage de $u_0$, on a que $I_y \sim w$, il est immédiat que le vecteur de courbure moyen vérifie la relation suivante :

$$ \vec{H}(u) = \frac{1}{2} \Delta_{I_y}(y)_u \sim \Delta_w(w)_u \qquad (12.2.0.28) $$

De plus, par la relation de contact, on sait que $\langle dy|\tilde{\eta}(u)\rangle = 0$ et ainsi $\tilde{\eta}(u)^{\perp_{g_{L_y(u)}}} = dy_u \cdot T_u S_e^2 \oplus \mathbb{R}\tilde{\eta}(u_0)$. Par conséquent, comme par définition du vecteur de courbure moyenne, $\vec{H}(u_0)$ est orthogonal à $d_u y \cdot T_u S_e^2$ et que par la condition de co-contact $\langle \Delta_w(y)_{u_0}|\tilde{\eta}(u_0)\rangle = 0$, alors on a forcément que $\vec{H}(u_0) \sim \tilde{\eta}(u_0)$. $\square$

Il est aussi possible de donner l'expression du vecteur de courbure moyenne aux points non-ombilic d'une $w$-co-enveloppe. En effet, en considérant l'expression (12.2.0.21), nous pouvons vérifier que $\Delta_w(y) = \Delta_w(f)\tilde{\eta}$. Étant donné qu'aux points non ombilic, la première forme fondamentale vérifie $I_y = e^{\varphi}w$, nous avons que $\Delta_{I_y} = e^{-\varphi}\Delta_w$. Ainsi, après quelques calculs, nous obtenons l'expression :

$$ \vec{H}(u) = \frac{1}{2} \Delta_{I_y}(f)_u \tilde{\eta}(u) \qquad (12.2.0.29) $$

pour tout $u \in S_e^2$ qui est non-ombilic.

Il convient de noter que l'expression (12.2.0.29) est bien connue depuis longtemps comme nous pouvons la trouver dans l'ouvrage [40] publié en 1929 par T. Gerhard et B. Wilhelm (voir l'expression 109 de la page 318). Il est également utile de souligner que l'expression (11.1.0.11) page 232 nous permet de retrouver exactement la même expression du vecteur de courbure moyenne pour les hérissons marginalement piégés de l'espace de Lorentz-Minkowski.

Pour rester cohérent avec la construction proposée par Y. Martinez-Maure, nous appellerons donc ces $w$-co-enveloppes des **g-hérissons marginalement piégés centrés en e**. Nous pouvons alors remarquer que par la propriété 12.1.4 page 248 (sur le lorentziarisé $\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ uniquement), la notion de g-hérisson marginalement piégé ne dépend pas du choix du point de référence. Jusqu'à présent, nous avons montré que seuls les g-hérissons dont les valeurs propres sont dans $]-1; 1[$ définissent un g-hérisson marginalement piégé. Cependant, nous ne sommes pas limités à une telle restriction. Pour que les démonstrations des deux théorèmes précédents soient valides, nous avons besoin que le rayon de courbure moyen soit défini et que la métrique $w = III - I$ soit soit définie positive ou définie négative. Ainsi, la condition qu'un g-hérisson doit vérifier pour définir un g-hérisson marginalement piégé est :

$$ \det(\phi^2 - Id) > 0 \qquad (12.2.0.30) $$

et qui est équivalente à la condition (12.2.0.14) que nous avons considérée pour définir la fonction du rayon de courbure moyenne.

En effet, remarquons que si $r_1$ et $r_2$ sont les valeurs propres d'un g-hérisson en $u_0 \in S_e^2$, alors la condition (12.2.0.30) est équivalente à ce que les valeurs propres vérifient :
$$ \text{ou} \quad \begin{cases} r_1^2 < 1 \text{ et } r_2^2 < 1 \\ r_1^2 > 1 \text{ et } r_2^2 > 1 \end{cases} \qquad (12.2.0.31) $$

En particulier, il est clair que si les valeurs propres vérifient la condition (12.2.0.31), alors la forme $w_{u_0}$ est définie positivement ou est définie négativement<fnref n="10" />. Il est alors immédiat que, par le même procédé que nous avons considéré pour vérifier le théorème 12.2.1, nous obtenons que la condition de co-contacte (12.2.0.18) équivaut à ce que la fonction $f$ soit solution de l'équation trigonométrique (12.2.0.25). Ainsi, il est clair que, dans le cadre de la condition (12.2.0.31), les coefficients $r_1r_2+1$ et $r_1r_2-1$ étant non nulles, nous obtenons que l'unique solution de l'équation trigonométrique (12.2.0.25) est la fonction de courbure moyenne.

Nous avons donc déterminé les conditions minimales pour lesquelles un g-hérisson définit un g-hérisson marginalement piégé par transformation de $\mathcal{L}$-Gauss. Nous pouvons en particulier remarquer que les g-hérissons qui vérifient la condition (12.2.0.30) sont, via la propriété 7.3.2 page 169, aussi des h-hérissons. Cette remarque est intéressante du fait qu'elle peut être considérée comme étant un point de départ afin de retrouver une structure de co-contacte équivalente à ce que nous avons considéré à la section 11.2.3 page 237 au sujet des hérissons marginalement piégés de l'espace de Lorentz-Minkowski.

## 12.3 Problème de structure de co-contact

En consultant le chapitre 5 de la thèse de B.M.Xavier (voir [110]), nous pouvons remarquer que les démonstrations des théorèmes 12.2.1 et 12.2.2, que nous avons vues précédemment, utilisent des arguments très similaires à ceux de B.M.Xavier. Il en va de même pour les hérissons marginalement piégés de $\mathbb{L}^4$ et l'article de B.Palmer (voir [82]). Toutefois, il convient de noter qu'il existe principalement deux caractéristiques permettant de distinguer les constructions entreprises par B.Palmer et B.M.Xavier de ce que nous avons considéré au sujet des hérissons marginalement piégés.

1. Les hérissons marginalement piégés, aussi bien sur $\mathbb{L}^4$ que sur les espaces lorentziarisés $\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ et $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{R}$, correspondent à des transformations de $\mathcal{L}$-Gauss de surfaces qui admettent des points critiques. Plus particulièrement, il faut noter que cela est rendu possible du fait que, par définition de la notion de hérisson, le champ orthonormal $N : \mathbb{S}^2 \to \mathbb{R}^3$ (ou $N : \mathbb{S}_e^2 \to x_0^*T\mathbb{H}^3$ pour les g-hérissons) est une immersion.

2. Nous avons aussi la structure que vérifient les hérissons marginalement piégés. En effet, les hérissons marginalement piégés de l'espace de Lorentz-Minkowski ne sont pas uniquement des transformations de $\mathcal{L}$-Gauss d'un hérisson euclidien; ils satisfont également des caractéristiques correspondant à la notion de hérisson (i.e., ils vérifient une condition de co-contact, le vecteur de courbure moyenne est de la forme $H = \alpha N_L$, où $N_L : \mathbb{S}^2 \to \mathcal{C}_-^3 \cap \mathbb{S}^3$ est un difféomorphisme, etc.).

$$ I_y = -SH \left( \frac{R_1 - R_2}{2} \right)^2 w $$

<footnote n="10">10. Il est à noter que dans le cas de figure où la forme $w$ est définie négativement, alors la première forme fondamentale du g-hérisson marginalement piégé $\partial \mathcal{H}$ qui lui est associée vérifie que :</footnote>

<footnote>au voisinage de $u_0$. Cela diffère légèrement de ce que nous avons vu pour le théorème 12.2.2 du fait que les formes $I_y$ et $w$ sont alternativement définies positives et définies négativement. Rajoutons aussi que dans le cas où la forme $w$ est définie négative, alors les rayons de courbure principaux ne sont pas définissables. Seul le rayon de courbure moyenne est définissable ainsi que le paramètre $(R_1 - R_2)^2$ qui est définie via la relation (12.2.0.27).</footnote>
C'est le deuxième point qui va nous occuper à présent. En effet, pour les g-hérissons marginalement piégés, nous ne retrouvons pas toutes les caractéristiques que vérifient les hérissons marginalement piégés de l'espace de Lorentz-Minkowski. En particulier, pour les hérissons marginalement piégés de l'espace de Lorentz-Minkowski, ces caractéristiques proviennent essentiellement du fait que la première forme fondamentale vérifie $I_y \sim g_S$, où $g_S$ est la métrique usuelle de la sphère. Il est évident que la métrique $g_S$ ne dépend pas de la fonction de support du hérisson euclidien correspondant à la famille de lignes lumière dont le hérisson marginalement piégé est la co-enveloppe. Ainsi, dans le cadre des hérissons marginalement piégés de l'espace de Lorentz-Minkowski, la notion de co-enveloppe correspond au dual de la notion d'enveloppe. En effet, dans ce cadre-là, la notion d'enveloppe dépend de l'opérateur de dérivation extérieur et la notion de co-enveloppe de l'opérateur de Hodge, qui est alors défini par dualité via la métrique usuelle de la sphère.

Il est alors clair que les g-hérissons marginalement piégés, étant définis via des w-co-enveloppes où w est la métrique telle que $w = III - I$, il n'est pas possible, en l'état, de définir la condition de co-contact comme étant le dual de la condition de contact. En effet, si $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^3$ est un g-hérisson centré en e de fonction de support h, ainsi que $(l_u)_{u \in \mathbb{S}_e^2}$ la famille de géodésiques lumière orientées en e définie via la relation (12.1.4.14) page 247, alors la métrique $w_h = III_x - I_x$ dépend de la fonction h. Plus particulièrement, la transformée de L-Gauss du g-hérisson $\mathcal{H}$, correspondant à la w_h-co-enveloppe de la famille des géodésiques lumière $l_u$, n'est pas définie via une condition de co-contact indépendante de la fonction h. La méthode la plus directe pour contourner ce problème serait donc de vérifier s'il existe une métrique $w_0$ sur la sphère $\mathbb{S}_e^2$ telle que :

$$w_h = \sigma(h)w_0 \qquad (12.3.0.1)$$

pour tout g-hérisson $\mathcal{H}$ de fonction de support h. Toutefois, nous pouvons d'ores et déjà rejeter cette hypothèse. En effet on a que :

**Propriété 12.3.1.** *Pour tout point de référence $e \in \mathbb{S}_e^2$, il n'existe pas de métrique $w_0$ qui vérifie la condition (12.3.0.1) pour tout g-hérisson.*

**Note.** *Nous dirons que la métrique w est irréductible de la fonction de support.*

**Démonstration.** Pour vérifier cela, considérons un g-hérisson $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^3$ de fonction de support h ainsi qu'un vecteur $u_0 \in \mathbb{S}_e^2$. Par le théorème 6.4.1 page 152, nous pouvons supposer, sans perte de généralité, que $h(u_0) = 0$ et $\nabla h(u_0) = 0$. Il est alors immédiat que $d_{u_0}x \cdot \vec{v} = Hess(h)_{u_0} * \vec{v}$ et $\nabla(N)_{u_0} \cdot \vec{v} = \vec{v}$. À présent, considérons les vecteurs $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$ qui forment une base propre pour la matrice hessienne $Hess(h)_{u_0}$ et qui correspondent aussi à une base orthonormale pour la métrique usuelle de la sphère. Il est alors immédiat que les vecteurs $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$, ainsi définis, correspondent à une base orthogonale de $w_{u_0}$. De plus, en considérant les coordonnées (12.2.0.16) qui sont définies par les vecteurs $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$ via la carte exponentielle, on obtient que :

$$w_{ii}^{u_0} = 1 - (\partial_i^2 h(u_0))^2 \qquad (12.3.0.2)$$

ce qui termine la preuve.

<figure><img src="image_102.png" /></figure>

Nous pouvons adopter une autre méthode consistant à déterminer une métrique $w_0$ sur la sphère $\mathbb{S}_e^2$ pour laquelle les $w_0$-co-enveloppes des familles de géodésiques lumière orientées en e correspondent à leurs w-co-enveloppes. Pour cela, remarquons que le théorème 12.2.1 est équivalent à : Si $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^3$ est un g-hérisson et f une fonction lisse, alors la fonction y, définie via la relation
(12.2.0.1), vérifie la condition de co-contact (12.2.0.4) si et seulement si la fonction f correspond au rayon de courbure moyenne. Par conséquent, il est justifié de considérer la conjecture suivante :

**Conjecture 12.3.1.** Considérons $e \in \mathbb{H}^3$ un point de référence. Alors il existe une métrique riemannienne $w_0$ sur la sphère $S_e^2$ telle que pour tout g-hérisson $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^3$ vérifiant la condition (12.2.0.30), on a :

$$ \langle \Delta_{w_0}(y_R) |\tilde{\eta}\rangle = 0 \qquad (12.3.0.3) $$

où $y_R$ est le paramétrage de la transformée $\mathcal{L}$-Gauss du g-hérisson $\mathcal{H}$.

Il nous faut alors considérer la condition (12.3.0.3) comme étant une équation aux dérivées partielles sur l'ensemble des métriques riemanniennes $w_0 \in \Omega_1(S_e^2) \otimes \Omega_1(S_e^2)$. Une des méthodes envisageables consiste à considérer la métrique usuelle de la sphère. En effet, comme nous le vérifions au chapitre suivant, il apparaît que, bien que la métrique usuelle de la sphère ne soit pas solution de l'équation (12.3.0.3), il semble qu'il en soit de peu pour qu'elle convienne. Il est alors justifié de rechercher une solution de l'équation (12.3.0.3) au voisinage de la métrique usuelle de la sphère en y appliquant de légères variations.
# Chapitre 13

## Co-enveloppe sur $\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ pour la métrique usuelle de la sphère.

Ce chapitre peut être considéré comme une annexe du chapitre précédent et a pour objet de tester naïvement la métrique usuelle de la sphère comme premier élément de réponse à la conjecture 12.3.1. Il est à noter qu'étant particulièrement calculatoire, nous nous appuierons sur l'annexe F qui nous permettra de réduire significativement la taille de nos futurs développements. Nous commencerons donc par déterminer les conditions d'existence des solutions de l'équation de co-contact $\langle \Delta_{g_S}(y)|\tilde{\eta} \rangle = 0$ sur l'ensemble des applications y définies par la relation (12.1.4.14) page 247 via f étant une fonction lisse. Ensuite, nous vérifierons si la fonction f, définissant une solution de l'équation de co-contacte, correspond au rayon de courbure moyenne. Il est à noter que, sans surprise, nous pourrons constater que la fonction f ne peut pas correspondre au rayon de courbure moyenne. Par conséquent, la $g_S$-co-enveloppe d'une famille de géodésique lumière définie par un g-hérisson ne correspond pas à la transformée de $\mathcal{L}$-Gauss du g-hérisson considéré. En particulier, par proposition 13 page 46 de [110], la $g_S$-co-enveloppe d'une famille de géodésique lumière définie par un g-hérisson ne vérifie pas les conclusions du théorème 12.2.2.

Considérons donc $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^3$ un g-hérisson centré en e. Alors, on définit les applications $a : \mathbb{S}_e^2 \to \mathbb{R}$, $b : \mathbb{S}_e^2 \to \mathbb{R}$, $c : \mathbb{S}_e^2 \to \mathbb{R}$ et $d : \mathbb{S}_e^2 \to \mathbb{R}$ telles que :

$$a = \langle \Delta_S(N)|N \rangle, \quad b = \langle \Delta_S(x)|x \rangle, \quad c = \langle \Delta_S(x)|N \rangle \text{ et } d = \langle \Delta_S(N)|x \rangle \quad (13.0.0.1)$$

où x et N sont le paramétrage et le champ orthonormal du g-hérisson.

**Lemme 13.0.1.** Soit $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^3$ un g-hérisson centré en e. Alors la famille des géodésiques lumière définies par $\mathcal{H}$ admet une $g_S$-co-enveloppe si et seulement si l'équation trigonométrique :

$$(c+d)CH(2f) + (a+b)SH(2f) + c - d = 0 \quad (13.0.0.2)$$

admet une solution. De plus, en cas d'existence d'une solution, elle est unique et correspond à une fonction de classe $C^\infty$.

Nous pouvons remarquer que nous retrouvons la même équation que celle obtenue à la relation (12.2.0.23) page 254. Ce résultat est intéressant car l'équation de co-contact $\langle \Delta(y)|\tilde{\eta} \rangle = 0$ se réduit en une simple équation trigonométrique où, en particulier, toutes les dérivées partielles disparaissent.
## 13.1 Démonstration du lemme 13.0.1

Considérons $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^3$ un g-hérisson centré en $e$ ainsi que $(l_u)_{u \in \mathbb{S}_e^2}$ la famille des géodésiques lumière qui lui est associée. Par conséquent, supposons l'existence d'une $g_S$-co-enveloppe dont le paramétrage est $y : \mathbb{S}_e^2 \to \mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$. Il existe donc une fonction lisse $f$ telle que l'application $y$ soit de la forme :

$$y(u) = (y_E(u), -f(u)) \qquad (13.1.0.1)$$

où $y_E(u) = CH f(u)x(u) + SH f(u)N(u)$.

**Notation 13.1.1.** Pour la suite, nous noterons par $\Delta$ l'opérateur de Laplace-Beltrami entre $(\mathbb{S}_e^2, g_S)$ et $(\mathbb{H}^3, g)$ (resp. $(\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}, g_L = g - dt^2)$). De plus, nous noterons par $\Delta_S$ le laplacien usuel sur la sphère $\mathbb{S}_e$. En particulier, si $s : \mathbb{S}_e^2 \to \mathbb{R}^n$ est une application lisse, alors on notera :

$$\Delta_S(s) = (\Delta_S(s_1), \dots, \Delta_S(s_n)) \qquad (13.1.0.2)$$

le laplacien de $s$, où les $s_i$ sont les fonctions coordonnées.

Il est alors clair que $\Delta(y_E)_u = \Delta_S(y_E)_u - \langle \Delta_S(y_E)_u | y_E(u) \rangle y_E(u)$. Aussi, en considérant l'application $\tilde{\eta} = (\eta, -1)$ avec $\eta(u) = SH f(u)x(u) + CH f(u)N(u)$ (voir (12.2.0.3) page 249), on sait que la condition de co-contacte $\langle \Delta(y)_u | \tilde{\eta}(u) \rangle = 0$ est équivalente à l'équation :

$$\langle \Delta_S(y_E) | \eta \rangle - \Delta_S(f) = 0 \qquad (13.1.0.3)$$

où $\Delta_S(y_E)_u$ correspond au laplacien de la fonction $y_E$ que l'on considère à image dans $\mathbb{L}^4$. Par conséquent, il nous faut calculer le laplacien $\Delta_S(y_E)$ et, en particulier, déterminer l'expression des termes $\Delta_S(SH f(u)N(u))$ et $\Delta_S(CH f(u)x(u))$.

### 13.1.1 Calcul du terme $\Delta_S [SH f(u)N(u)]$

Comme $SH f(u)N(u) = SH f(u)CH h(u)u + SH f(u)SH h(u)e$, il nous faut déterminer le laplacien de chacun des termes de cette égalité. Commençons donc par :

$$\Delta_S[SH f(u)SH h(u)] = \Delta_S[SH f(u)]SH h(u) + 2CH f(u)CH h(u) \langle \overleftrightarrow{\nabla}_S f(u) | \overleftrightarrow{\nabla}_S h(u) \rangle + SH f(u)\Delta_S[SH h(u)]$$

Pour le second terme, nous pouvons nous référer au lemme 6.2.1 de l'annexe F. Ainsi, nous obtenons :

$$\Delta_S[SH f(u)CH h(u)u] = (\Delta_S[SH f(u)CH h(u)] - 2SH f(u)CH h(u))u + 2\overleftrightarrow{\nabla}_S[SH f(u)CH h(u)]$$

et après avoir développé les termes $\Delta_S[SH f(u)CH h(u)]$ et $\overleftrightarrow{\nabla}_S[SH f(u)CH h(u)]$, nous obtenons :

$$\Delta_S[SH f(u)CH h(u)u] = \Delta_S[SH f(u)]CH h(u)u + 2CH f(u)CH h(u)\overleftrightarrow{\nabla}_S f(u) + 2CH f(u)SH h(u)\langle \overleftrightarrow{\nabla}_S f(u) | \overleftrightarrow{\nabla}_S h(u) \rangle u + SH f(u)\Delta_S[CH h(u)u]$$
et finalement :

$$
\Delta_S[SH f(u)N(u)] = \Delta_S[SH f(u)]N(u) + \sharp_N(u) + SH f(u)\Delta_S(N)_u \quad (13.1.1.4)
$$

où $\sharp_N(u) = 2CH f(u)[CH h(u)\vec{\nabla}_S f(u) + \langle\vec{\nabla}_S f(u)|\vec{\nabla}_S sh(u)\rangle x_0(u)]$ est le terme qui correspond aux dérivées partielles de premier ordre de la fonction $f$.

13.1.2 Calcul du terme $\Delta_S [CH f(u)x(u)]$

Étant donné que $CH f(u)x(u) = CH f(u)\sigma(u)CH h(u)e + CH f(u)\sigma(u)SH h(u)u + CH f(u)\sigma(u)\vec{V}(u)$, il nous faut calculer le laplacien de chacun des termes de l'égalité. Ainsi, nous avons :

$$
\Delta_S[CH f(u)\sigma(u)CH h(u)] = \Delta_S[CH f(u)]\sigma(u)CH h(u) + 2SH f(u) \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S \sigma(u) \rangle CH h(u) \\
+ 2SH f(u)\sigma(u)SH h(u) \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S sh(u) \rangle + CH f(u)\Delta_S[\sigma(u)CH h(u)] \quad (13.1.2.5)
$$

et

$$
\Delta_S[CH f(u)\sigma(u)SH h(u)u] = (\Delta_S[CH f(u)\sigma(u)SH h(u)] - 2CH f(u)\sigma(u)SH h(u))u \\
\qquad + \vec{\nabla}_S[CH f(u)\sigma(u)SH h(u)]
$$

Alors, en développant les termes $\Delta_S[CH f(u)\sigma(u)SH h(u)]$ et $\vec{\nabla}_S[CH f(u)\sigma(u)SH h(u)]$,
nous trouvons que la seconde expression est :

$$
\Delta_S[CH f(u)\sigma(u)SH h(u)u] = \Delta_S[CH f(u)]\sigma(u)SH h(u)u + 2SH f(u) \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S \sigma(u) \rangle SH h(u)u \\
+ 2SH f(u)\sigma(u)CH h(u) \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S sh(u) \rangle u + 2SH f(u)\sigma(u)SH h(u) \vec{\nabla}_S f(u) \\
+ CH f(u)\Delta_S[\sigma(u)SH h(u)u] \quad (13.1.2.6)
$$

Ensuite, le calcul du laplacien du terme $CH f(u)\sigma(u)\vec{V}(u)$ est moins immédiat et nécessite
quelques outils que nous pouvons trouver à l'annexe F. Considérons donc le repère $\vec{e}_{\theta}(u)$,
$\vec{e}_{\varphi}(u)$ qui est défini par les coordonnées sphériques. En remarquant que $CH f(u)\sigma(u)\vec{V}(u) =$
$CH f(u)\sigma(u)V_{\theta}(u)\vec{e}_{\theta}(u) + CH f(u)\sigma(u)V_{\varphi}(u)\vec{e}_{\varphi}(u)$, alors on calcule :

$$
\Delta_S[CH f(u)\sigma(u)V_{\theta}(u)\vec{e}_{\theta}(u)] = -2\left(\partial_{\theta}[CH f(u)\sigma(u)V_{\theta}(u)] + \frac{1}{\mathrm{Tan}(\theta)}CH f(u)\sigma(u)V_{\theta}(u)\right)u \\
+ \left(\Delta_S[CH f(u)\sigma(u)V_{\theta}(u)] - \frac{1}{\mathrm{Sin}(\theta)^2}CH f(u)\sigma(u)V_{\theta}(u)\right)\vec{e}_{\theta}(u) \\
+ 2\frac{\mathrm{Cos}(\theta)}{\mathrm{Sin}(\theta)^2}\partial_{\varphi}[CH f(u)\sigma(u)V_{\theta}(u)]\vec{e}_{\varphi}(u)
$$

et après avoir développé les termes $\partial_{\theta}[CH f(u)\sigma(u)V_{\theta}(u)]$, $\partial_{\varphi}[CH f(u)\sigma(u)V_{\theta}(u)]$ et $\Delta_S[CH f(u)\sigma(u)V_{\theta}(u)]$,
nous obtenons :
$$
\begin{align*}
\Delta_S[CH f(u)\sigma(u)V_\theta(u)\vec{e}_\theta(u)] &= \Delta_S[CH f(u)]\sigma(u)V_\theta(u)\vec{e}_\theta(u) + CH f(u)\Delta_S[\sigma(u)V_\theta(u)\vec{e}_\theta(u)] \\
&\quad + 2SH f(u) \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S \sigma(u) \rangle V_\theta(u) \vec{e}_\theta(u) \\
&\quad + 2SH f(u)\sigma(u) \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S V_\theta(u) \rangle \vec{e}_\theta(u) \\
&\quad - 2SH f(u)\sigma(u)V_\theta(u) \left[ \partial_\theta f(u)u - \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)^2} \partial_\varphi f(u) \vec{e}_\varphi(u) \right]
\end{align*}
$$

Aussi, en appliquant la même méthode pour le laplacien du terme CH f(u)σ(u)V_φ(u)⃗e_φ(u),
on obtient l'égalité suivante :

$$
\begin{align*}
\Delta_S[CH f(u)\sigma(u)V_\varphi(u)\vec{e}_\varphi(u)] ={}& \Delta_S[CH f(u)]\sigma(u)V_\varphi(u)\vec{e}_\varphi(u) + CH f(u)\Delta_S[\sigma(u)V_\varphi(u)\vec{e}_\varphi(u)] \\
& + 2SH f(u)\langle\vec{\nabla}_S f(u)|\vec{\nabla}_S \sigma(u)\rangle V_\varphi(u)\vec{e}_\varphi(u) \\
& + 2SH f(u)\sigma(u)\langle\vec{\nabla}_S f(u)|\vec{\nabla}_S V_\varphi(u)\rangle\vec{e}_\varphi(u) \\
& - \frac{2}{\sin(\theta)^2}SH f(u)\partial_\varphi f(u)\sigma(u)V_\varphi(u)(\sin(\theta)u + \cos(\theta)\vec{e}_\theta(u))
\end{align*}
$$

et donc :

$$
\begin{align*}
\Delta_S [CH f(u)\sigma(u)\vec{V}(u)] ={}& \Delta_S [CH f(u)]\sigma(u)\vec{V}(u) + CH f(u)\Delta_S [\sigma(u)\vec{V}(u)] \\
& + 2SH f(u)\sigma(u) \left[ \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S V_\theta(u) \rangle \vec{e}_\theta(u) + \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S V_\varphi(u) \rangle \vec{e}_\varphi(u) \right] \\
& - 2 \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)^2} SH f(u)\sigma(u)\partial_\varphi f(u) [V_\varphi(u)\vec{e}_\varphi(u) - V_\theta(u)\vec{e}_\theta(u)] \\
& + 2SH f(u)\langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S \sigma(u) \rangle \vec{V}(u) \\
& - 2SH f(u)\sigma(u) \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{V}(u) \rangle u
\end{align*}
$$

Finalement, en considérant les expressions (13.1.2.5) et (13.1.2.6) que nous avons vues précédemment
et que l'on complète par la dernière égalité, nous obtenons :

$$
\Delta_S[CH f(u)x(u)] = \Delta_S[CH f(u)]x(u) + \sharp_x(u) + CH f(u)\Delta_S(x)_u \quad (13.1.2.7)
$$

avec

$$
\begin{align*}
\sharp_x(u) ={}& 2SH f(u) \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \frac{1}{\sigma(u)} \vec{\nabla}_S \sigma(u) \rangle x(u) \\
& + 2SH f(u) \sigma(u) \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{V}(u) \rangle (CH h(u) N(u) - u) \\
& + 2SH f(u) \sigma(u) \left[ \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S V_\theta(u) \rangle \vec{e}_\theta(u) + \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S V_\varphi(u) \rangle \vec{e}_\varphi(u) \right] \\
& - 2 \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)^2} SH f(u) \sigma(u) \partial_\varphi f(u) [V_\varphi(u) \vec{e}_\varphi(u) - V_\theta(u) \vec{e}_\theta(u)] \\
& + 2SH f(u) \sigma(u) SH h(u) \vec{\nabla}_S f(u)
\end{align*}
$$
### 13.1.3 Expression de la condition de co-contact et conclusion

À partir des expressions (13.1.1.4) et (13.1.2.7), et en déterminant les laplaciens $\Delta_S[CH f(u)]$ et $\Delta_S[SH f(u)]$, nous obtenons que pour toute fonction lisse $f: S_e^2 \to \mathbb{R}$, le laplacien $\Delta_S(y_E)_u$ est donné par :

$$ \Delta_S(y_E)_u = \Delta_S(f)_u \eta(u) + l(u)y_E(u) + \sharp_x(u) + \sharp_N(u) + CH f(u) \Delta_S(x)_u + SH f(u) \Delta_S(N)_u $$

où $l(u) = \|\vec{\nabla}_S f(u)\|^2$. Par conséquent, il nous reste à vérifier que le produit des termes $\sharp_x(u)$ et $\sharp_N(u)$ par le vecteur $\eta(u)$ est nul. En effet, on a :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \langle \sharp_N(u) | N(u) \rangle = 0 \\ \\ \langle \sharp_N(u) | x(u) \rangle = 2\sigma(u)CH f(u) \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{V}(u) \rangle (CH h(u) - CH h(u)) = 0 \\ \\ \langle \sharp_x(u) | N(u) \rangle = 2\sigma(u)SH f(u) \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{V}(u) \rangle (CH h(u) - CH h(u)) = 0 \end{array} \right. $$

Enfin, pour le produit $\langle \sharp_x(u) | x(u) \rangle$, il est nécessaire de commencer par calculer $\langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S \sigma(u) \rangle$ en sachant que $\partial_\theta \sigma(u) = \sigma(u)^3 \langle \vec{V}(u) | \partial_\theta \vec{V}(u) \rangle$ et $\partial_\varphi \sigma(u) = \sigma(u)^3 \langle \vec{V}(u) | \partial_\varphi \vec{V}(u) \rangle$. Ainsi, on a :

$$ \begin{aligned} \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S \sigma(u) \rangle &= \partial_\theta f(u) \partial_\theta \sigma(u) + \frac{1}{\sin(\theta)^2} \partial_\varphi f(u) \partial_\theta \varphi(u) \\ &= \sigma(u)^3 \left[ \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S V_\theta(u) \rangle V_\theta(u) + \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S V_\varphi(u) \rangle V_\varphi(u) \right] \end{aligned} $$

et donc :

$$ \begin{aligned} \langle \sharp_x(u) | x(u) \rangle = & -2 \frac{SH f(u)}{\sigma(u)} \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S \sigma(u) \rangle - 2SH f(u) \sigma(u)^2 \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{V}(u) \rangle SH h(u) \\ & + 2SH f(u) \sigma(u)^2 \left[ \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S V_\theta(u) \rangle V_\theta(u) + \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S V_\varphi(u) \rangle V_\varphi(u) \right] \\ & - 2 \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)^2} SH f(u) \sigma(u) [V_\varphi(u)V_\theta(u) - V_\theta(u)V_\varphi(u)] \\ & + 2SH f(u) \sigma(u)^2 SH h(u) \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{V}(u) \rangle = 0 \end{aligned} $$

Par conséquent, puisque nous retrouvons l'équation (12.2.0.22) page 254 pour la métrique usuelle de la sphère, alors en appliquant le même raisonnement que pour la suite de la démonstration du théorème 12.2.1, nous obtenons bien l'équation trigonométrique que nous recherchons

## 13.2 Propriété des $g_S$-co-enveloppes et questionnements sur la structure de co-contact

À première vue, le fait que la condition de co-contact pour la métrique usuelle de la sphère se réduise, par le lemme 13.0.1, à une équation trigonométrique est encourageant. Toutefois, comme nous le verrons dans cette section, il nous sera difficile de progresser davantage. Remarquons d'abord que l'équation de co-contact (13.1.0.3) page 262 n'est pas invariante par changement du point de référence¹. En particulier, il est intéressant de constater que nous avons
cette stabilité pour la condition de co-contact correspondant à la métrique $w = III - I$. Cela provient évidemment du fait qu'étant définie par les formes fondamentales, la métrique est naturellement transportée lorsqu'on change le point de référence pour le paramétrage du g-hérisson. Plus généralement, si nous souhaitons que la métrique que nous considérons, pour définir la co-envelope des familles de géodésiques lumière, ne dépende pas du g-hérisson que nous considérons, nous pouvons comprendre que l'invariance de la condition de co-contact ne pourrait pas être obtenue par une mécanique similaire à celle qui permet de l'obtenir pour la métrique $w = III - I$. De plus, il nous faut noter que l'invariance de la condition de contact par changement du point de référence est une condition nécessaire pour qu'une métrique $w_0$ soit solution de l'équation (12.3.0.3).

Montrons donc que la métrique usuelle de la sphère n'est pas solution de l'équation (12.3.0.3). Pour cela, nous devons définir un exemple de $g_S$-co-envelope d'une famille de géodésiques lumière qui ne correspond pas à la transformée de $\mathcal{L}$-Gauss du g-hérisson qui lui est associé. Par conséquent, considérons un g-hérisson tel que :

$$h(u_0) = 0 \text{ et } \overrightarrow{\nabla}_S h(u_0) = 0 \qquad (13.2.0.1)$$

pour $u_0 \in \mathbb{S}_e^2$.

Il nous faut alors déterminer les coefficients $a = \langle \Delta_S(N) | N \rangle$, $b = \langle \Delta_S(x) | x \rangle$, $c = \langle \Delta_S(x) | N \rangle$ et $d = \langle \Delta_S(N) | x \rangle$ en $u_0$. Pour cela, on calcule les laplaciens $\Delta_S(x)_{u_0}$ et $\Delta_S(N)_{u_0}$. Après quelques développements, on obtient que $\Delta_S(N)_{u_0} = \Delta_S(h)_{u_0}e - 2u_0$, où $h$ est la fonction de support centrée en $e$ du g-hérisson considéré. De plus, on calcule que :

$$\begin{aligned} \Delta_S(x)_{u_0} = \Delta_S(\sigma)_{u_0} e + \Delta_S(h)_{u_0} u_0 + \Delta_S(V_{\theta})_{u_0} \overrightarrow{e_{\theta}}(u_0) + \Delta_S(V_{\varphi})_{u_0} \overrightarrow{e_{\varphi}}(u_0) \\ - 2 \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)^2} [\partial_{\varphi} V_{\varphi}(u_0) \overrightarrow{e_{\theta}}(u_0) - \partial_{\varphi} V_{\theta}(u_0) \overrightarrow{e_{\varphi}}(u_0)] \end{aligned} \qquad (13.2.0.2)$$

Par la suite, on peut vérifier que $a = -2$, $b = \Delta_S(\sigma)_{u_0}$, $c = \Delta_S(h)_{u_0}$ et $d = \Delta_S(h)_{u_0}$ et ainsi, on détermine $\alpha = c+d = 2\Delta_S(h)_{u_0}$, $\beta = a+b = \Delta_S(\sigma)_{u_0} - 2$ et $K = c-d = 0$. On a donc que la fonction $f$ correspondant au paramétrage de la $g_S$-co-envelope est telle que $f(u_0)$ est solution de l'équation trigonométrique suivante :

$$\alpha CH 2f(u_0) + \beta SH 2f(u_0) = 0 \qquad (13.2.0.3)$$

Ensuite, on peut vérifier que $\Delta_S(\sigma)_{u_0} = \Delta_S(h)_{u_0}^2 + \frac{2}{\sin(\theta)^2} [\partial_{\theta\varphi}h(u_0)^2 - \partial_{\theta}^2h(u_0)\partial_{\varphi}^2h(u_0)]$. Par conséquent, en choisissant correctement la fonction de support pour que la solution de l'équation trigonométrique existe en $u_0$, on obtient nécessairement :

$$f(u_0) = -\frac{1}{2} ArcTH \left( \frac{2\Delta_S(h)_{u_0}}{\Delta_S(h)_{u_0}^2 + \frac{2}{\sin(\theta)^2} \left[ \partial_{\theta\varphi}h(u_0)^2 - \partial_{\theta}^2h(u_0)\partial_{\varphi}^2h(u_0) \right] - 2} \right) \qquad (13.2.0.4)$$

<footnote n="1">1. Par non-invariance par changement du point de référence, nous entendons que si pour $x : \mathbb{S}_e^2 \to \mathbb{H}^3$ étant le paramétrage d'un g-hérisson centré en $e$, il existe une solution $y : \mathbb{S}_e^2 \to \mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ vérifiant la condition de co-contact pour la métrique usuelle sur la sphère $\mathbb{S}_e^2$, alors en considérant $\phi : \mathbb{S}_{v_0}^2 \to \mathbb{S}_e^2$ la fonction de réindexation, il n'est pas vrai que le paramétrage $y \circ \phi$ vérifie toujours la condition de co-contact pour la métrique usuelle de la sphère $\mathbb{S}_{v_0}^2$.</footnote>
Il ne nous reste plus qu’à comparer cette expression avec le rayon de courbure moyenne. Pour cela, nous considérons le morphisme $\phi_u := \nabla(N)_u^{-1} \circ d_u x : T_u S_e^2 \hookrightarrow T_u S_e^2$. Il est alors facile de vérifier que $d_{u_0} x \cdot \vec{W} = Hess(h)_{u_0} * \vec{W}$ et $\nabla(N)_{u_0} \cdot \vec{W} = \vec{W}$. En particulier, $\phi_{u_0} \cdot \vec{W} = Hess(h)_{u_0} * \vec{W}$ et donc les valeurs propres de la hessienne correspondent aux valeurs propres<fnref n="2" /> du g-hérisson considéré. Par conséquent, en rappelant que l’expression de la hessienne est :

$$Hess(h)_{u_0} = \begin{pmatrix} \partial_{\theta}^2 h(u_0) & \frac{1}{\sin(\theta)} \partial_{\theta\varphi} h(u_0) \\ \frac{1}{\sin(\theta)} \partial_{\theta\varphi} h(u_0) & \frac{1}{\sin(\theta)^2} \partial_{\varphi}^2 h(u_0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & C \\ C & B \end{pmatrix} \quad (13.2.0.5)$$

et en considérant le discriminant du polynôme caractéristique, qui admet pour expression $\Delta = (A+B)^2 - 4(AB-C^2)$, alors les valeurs propres sont respectivement $r_1 = \frac{1}{2}(A+B+\sqrt{\Delta})$ et $r_2 = \frac{1}{2}(A+B-\sqrt{\Delta})$. En particulier, elles vérifient que :

$$r_1 + r_2 = A + B \text{ et } r_1 r_2 = \frac{(A+B)^2 - \Delta}{4} = AB - C^2$$

Ainsi, en considérant l’expression (12.2.0.26) page 255, le rayon de courbure moyenne $R : S_e^2 \hookrightarrow \mathbb{R}$ vérifie en $u_0$ l’expression suivante :

$$R(u_0) = -\frac{1}{2} \mathrm{ArcTH} \left( \frac{\Delta_S(h)_{u_0}}{\frac{1}{\sin(\theta)^2} \partial_{\theta}^2 h(u_0) \partial_{\varphi}^2 h(u_0) - \frac{1}{\sin(\theta)^2} \partial_{\theta\varphi} h(u_0)^2 + 1} \right) \quad (13.2.0.6)$$

Il est alors immédiat, du fait que les expressions (13.2.0.5) et (13.2.0.6) ne coïncident pas, que la $g_S$-co-enveloppe de la famille des géodésiques lumière définie par le g-hérisson $\mathcal{H}$ ne correspond pas à sa transformée de $\mathcal{L}$-Gauss. Remarquons néanmoins que nous ne passons pas très loin d’un résultat positif du fait que cette non-égalité correspond à une simple différence de signe comme nous le mettons en évidence ci-dessous :

$$\frac{r_1 + r_2}{r_1 r_2 + 1} = \frac{A + B}{(A + B)^2 - \Delta} \quad \text{et} \quad \frac{\alpha}{\beta} = \frac{A + B}{(A + B)^2 + \Delta} - 1 \quad (13.2.0.7)$$

où $\alpha$ et $\beta$ sont les coefficients de l’équation trigonométrique (13.2.0.3).

<footnote n="2">2. Ce sont les valeurs propres du morphisme $\phi_u$ (voir (12.2.0.11) page 251).</footnote>
Annexe
<figure><img src="image_103.png" /></figure>
# Annexe A

## Éléments sur la théorie des enveloppes

Pour définir les notions de hérisson, de g-hérisson et de h-hérisson, il est essentiel de considérer en toute généralité les notions de famille lisse et d'enveloppe de famille lisse. Pour cela, nous nous appuyons sur le chapitre V de l'ouvrage [13], qui nous est largement suffisant.

**Définition 1.0.1.** Soient $M$ et $\Gamma$ deux variétés lisses de dimensions respectives $n$ et $k$. Une famille $(\Sigma_u)_{u \in \Gamma}$ de p-sous-variétés de $M$ est dite **lisse** si, pour tout point $u_0 \in \Gamma$ et $x_0 \in \Sigma_{u_0}$, il existe deux ouverts $\Omega \subset \Gamma$ et $W \subset M$, centrés respectivement en $u_0$ et $x_0$, et une application lisse $f: \Omega \times W \to \mathbb{R}^{n-p}$ telle que les applications partielles<fnref n="1" /> $f_u: W \to \mathbb{R}^{n-p}$ soient des submersions pour lesquelles :

$$W \cap \Sigma_u = f_u^{-1}(\{0\}) \qquad (1.0.0.1)$$

pour tout $u \in \Gamma$.

**Note.** Il est également possible d'adapter cette définition pour définir des familles de p-sous-variétés de classe $C^k$. Il suffit pour cela de considérer que les fonctions $f: \Omega \times W \to \mathbb{R}^{n-p}$ sont de classe $C^k$.

**Exemple.** Sur $\mathbb{R}^n$, la famille des hyperplans affines $\Sigma_u = h(u)u + \langle u \rangle^\perp$, où $h$ est une fonction lisse définie sur la sphère $S^{n-1}$, est une famille lisse d'hyperplans.

**Propriété 1.0.1.** Considérons $M$ une $n$-variété ainsi que $(\Sigma_u)_{u \in \Gamma}$ une famille lisse de p-sous-variétés. Alors pour tout point $u_0 \in \Gamma$, il existe un ouvert $\Omega \subset \Gamma$ centré en $u_0$ et $\theta: \Omega \to M$ une application lisse telle que :

$$\theta(u) \in \Sigma_u \qquad (1.0.0.2)$$

pour tout $u \in \Omega$.

**Démonstration.** Si $(\Sigma_u)_{u \in \Gamma}$ est une famille lisse de p-sous-variétés, alors pour tout $u_0 \in \Gamma$ et $x_0 \in \Sigma_{u_0}$, il existe $\Omega \subset \Gamma$, $W \subset M$ et $V \subset \mathbb{R}^n$ des ouverts respectivement centrés en $u_0$, $x_0$ et

<footnote n="1">1. On dit que $f_x: F \to G$ est l'application partielle de $f: E \times F \to G$ en $x \in E$ si, pour tout $y \in F$, on a $f_x(y) = f(x, y)$.</footnote>
zéro ainsi qu'une application lisse $g : \Omega \times W \hookrightarrow \mathbb{R}^n$ dont les applications partielles $g_u : W \hookrightarrow V$ sont des difféomorphismes tels que :

$$g_u(W \cap \Sigma_u) = V \cap \mathbb{R}^p,$$

ce qui correspond à la définition précédente reformulée via la propriété de la forme réduite des submersions. Alors, il suffit de considérer la fonction $\theta : \Omega \hookrightarrow M$ définie par l'expression suivante :

$$\theta(u) = g_u^{-1}(0)$$

pour tout $u \in \Omega$.

□

**Définition 1.0.2.** Considérons $M$ une $n$-variété ainsi que $(\Sigma_u)_{u \in \Gamma}$ une famille lisse de p-sous-variétés. Alors, on appelle **enveloppe** l'image d'une application lisse $x : \Gamma \hookrightarrow M$, que l'on appelle **paramétrage**, et qui vérifie la condition suivante :

$$x(u) \in \Sigma_u \text{ et } d_u x \cdot \vec{v} \in T_{x(u)} \Sigma_u \quad (1.0.0.3)$$

pour tout $u \in \Gamma$ et tout vecteur $\vec{v} \in T_x \Gamma$.

<figure><img src="image_104.png" /><figcaption>FIGURE 1.1 – Enveloppe d'une famille lisse</figcaption></figure>

**Note.** Nous appellerons aussi **enveloppe paramétrée** la donnée de l'enveloppe d'une famille lisse de p-sous-variétés que l'on munit de son paramétrage.
# Annexe B

## Éléments sur la géométrie de contact

Nous nous limiterons à un bref exposé des éléments fondamentaux de la géométrie de contact qui seront nécessaires pour étudier les notions de hérissons et de g-hérissons. Pour une présentation détaillée, nous pouvons consulter l'ouvrage [38] de H. Geiges, et sur lequel nous nous reposerons essentiellement. Il est également possible de se référer aux ouvrages [106] et [42], qui offrent un excellent exposé sur la géométrie de contact. Pour finir, nous pouvons considérer l'ouvrage [37], présentant l'histoire et les motivations de la géométrie de contact ainsi que de la géométrie symplectique.

### 2.1 Champ de sous-espaces vectoriel, forme de contact et variété de contact

Nous appellerons donc **champ de p-sous espaces vectoriel** d'une $n$-variété $M$, toute famille $(\mathcal{D}_x)_{x \in M}$ tel que chaque $\mathcal{D}_x$ est un $p$-sous espace vectoriel de $T_x M$. De plus nous dirons qu'un champ de $p$-sous espaces vectoriel est **lisse** si l'une des deux conditions équivalentes suivantes est vérifiée :

1. Le champ de $p$-sous espaces vectoriel est, en tout point, localement engendré par $p$ champs de vecteurs linéairement indépendants.

2. Le champ de $p$-sous espaces vectoriel est, en tout point, localement de la forme $\text{Ker}(\alpha_1) \cap \dots \cap \text{Ker}(\alpha_{n-p})$ où $\alpha_1, \dots, \alpha_{n-p}$ sont une famille de 1-formes différentielles linéairement indépendantes.

**Définition 2.1.1.** Considérons $M$ une variété différentielle ainsi que $\mathcal{D} \subset TM$ un champ lisse de $p$-sous espaces vectoriel. Alors nous dirons qu'une sous-variété $V \subset M$ est **intégrable** si elle vérifie que :

$$ T_x V \subset \mathcal{D}_x \qquad (2.1.0.1) $$

pour tout $x \in V$.

**Théorème.** Considérons $M$ une variété différentielle ainsi que $\mathcal{D} \subset TM$ un champ d'hyperplans que nous supposerons de classe $C^\infty$. Alors, les deux assertions suivantes sont équivalentes :
1. En tout point $x \in M$, il existe une hypersurface intégrable pour le champ d'hyperplans $\mathcal{D}$.

2. Pour tout champ de vecteurs $X \subset \mathcal{D}$ et $Y \subset \mathcal{D}$, on a que $X \wedge Y \subset \mathcal{D}$.

**Note.** Ce théorème est connu sous le nom du théorème de Frobenius.

Nous dirons alors qu’un champ lisse d’hyperplans de $M$ est **intégrable** s’il vérifie la condition du théorème de Frobenius que nous appellerons alors **condition d’intégrabilité de Frobenius**. En particulier, un champ lisse d’hyperplans $\mathcal{D} \subset TM$ est intégrable si et seulement si, en tout point, le champ $\mathcal{D}$ est localement de la forme $\text{Ker}(\alpha)$ tel que :

$$ \alpha \wedge d\alpha = 0 \qquad (2.1.0.2) $$

où $\alpha \in \Omega_1(\alpha)$.

**Définition 2.1.2.** Une **variété de contact** est la donnée d'une $(2n+1)$-variété $M$ et d'un champ lisse d'hyperplans $\mathcal{D} \subset TM$ qui est, en tout point, localement de la forme $\text{ker}(\alpha)$ où $\alpha \in \Omega_1(M)$ vérifie la condition :

$$ \alpha \wedge d\alpha^n \neq 0 \qquad (2.1.0.3) $$

que l'on appelle **condition de maximal non-intégrabilité**.

**Note.** En particulier, nous appellerons **forme de contact** toute 1-forme différentielle vérifiant la condition (2.1.0.3). Il faut préciser que la condition (2.1.0.3) signifie que la forme $\alpha \wedge d\alpha^n$ n'est jamais nulle.

**Remarque 2.1.1.** Il est important de constater que si $(M, \mathcal{D})$ est une variété de contact, alors les 1-formes locales associées ne sont pas uniques. En effet, si $\alpha$ est associé à $\mathcal{D}$, alors pour tout $\lambda \neq 0$, il en sera de même pour $\lambda\alpha$.

**Avertissement 2.1.1.** Dans la suite, nous nous permettrons d'appeler variété de contact la donnée d'une $(2n+1)$-variété différentielle que l'on munit d'une forme $\alpha \in \Omega_1(M)$ vérifiant la condition (2.1.0.3). Il est à noter que cela correspond à considérer des champs d'hyperplans $\mathcal{D} \subset TM$ qui sont globalement de la forme $\text{Ker}(\alpha)$, ce qui est généralement faux.

**Remarque 2.1.2.** Une forme différentielle $\alpha \in \Omega_1(M)$ est une forme de contact si et seulement si la $(2n+1)$-forme $\alpha \wedge d\alpha^n$ est une forme volume.

Un exemple classique de variété de contact est la variété $(\mathbb{R}^{2n+1}, \alpha)$, que l'on appelle **struc-ture de contact standard** et dont la forme de contact est :

$$ \alpha = dz + x_1dy_1 + \cdots + x_n dy_n \qquad (2.1.0.4) $$

avec $(x_1, y_1, \cdots, x_n, y_n, z) \in \mathbb{R}^{2n+1}$.

Il est alors assez facile de vérifier que c'est une forme de contact et que sur $\mathbb{R}^3$ la forme de contact est $\alpha = dz + xdy$ et correspond au champ d'hyperplans qui pour tout point $(x, y, z)$ associe l'hyperplan $\langle (0, x, 1) \rangle^{\perp}$.
<figure><img src="image_105.png" /><figcaption>FIGURE 2.1 – Structure de contact pour $Ker(dz + xdy)$</figcaption></figure>

## 2.2 Champ de Reeb et variété métrique de contact

Un objet fondamental en géométrie de contact est le champ de Reeb, et que l'on retrouve dans divers domaines tels que la théorie des champs en physique. Pour cela, nous devons considérer la propriété suivante :

**Propriété 2.2.1.** Si $(M, \mathcal{D})$ est une $(2n+1)$-variété de contact, alors il existe $\varepsilon \in \Delta(M)$, un champ vectoriel (non unique pour $\mathcal{D}$), que l'on appelle **champ de Reeb**, vérifiant localement que :

$$ \alpha(\varepsilon) = 1 \text{ et } \varepsilon \in \mathrm{Ker}(d\alpha) \qquad (2.2.0.1) $$

avec $\alpha$ étant localement défini tel que $\mathcal{D} = \mathrm{Ker}(\alpha)$.

*Démonstration.* Voir lemme/définition 1.1.9 page 5 de [38]. □

**Remarque 2.2.1.** Si $\alpha$ est une 1-forme de contact définie sur $M$, alors il existe un unique champ de Reeb qui lui est associé (c'est-à-dire vérifiant la condition (2.2.0.1) pour $\alpha$), et que nous noterons alors $\varepsilon_\alpha$.

**Exemple.** Nous pouvons facilement vérifier que le champ de Reeb sur la structure de contact standard de $\mathbb{R}^{2n+1}$ est $\partial_z$.

**Définition 2.2.1.** On appelle **variété métrique de contact** la donnée d'une variété rieman-nienne $(M, g)$ que l'on munit d'une 1-forme $\alpha \in \Omega_1(M)$ et d'un endomorphisme $J : \Delta(M) \to \Delta(M)$ vérifiant les trois points suivants :

1. Si $\varepsilon_\alpha \in \Delta(M)$ est le dual métrique¹ de $\alpha$, alors $\alpha(\varepsilon_\alpha) = 1$.

2. $d\alpha(X, Y) = g(JX, Y)$.

3. $J^2X = -X + \alpha(X)\varepsilon_\alpha$.
On vérifie alors que $(M, \alpha)$ est bien une variété de contact et dont $\varepsilon_\alpha$ en est le champ de Reeb. De plus, nous pouvons montrer (voir lemme 2.1.9 page 25 de [106]) que sur une variété de contact $(M, \alpha)$, tout endomorphisme $J$ satisfaisant la troisième condition de la définition 2.2.1 définit automatiquement et de manière unique la métrique $g$ telle que la structure $(M, g, \alpha, J)$ est une variété métrique de contact. Plus précisément, la métrique $g$ est définie par l'expression suivante :

$$g(X, Y) = \alpha(X)\alpha(Y) + d\alpha(X, JY) \qquad (2.2.0.2)$$

où $X$ et $Y$ sont des champs de vecteurs.

## 2.3 Les contactomorphismes

Il est naturel de considérer les transformations qui préservent les structures de contact. Nous appellerons donc **contactomorphisme** entre deux variétés de contact $(M_1, \alpha_1)$ et $(M_2, \alpha_2)$ tout difféomorphisme $f : M_1 \to M_2$ vérifiant que :

$$f^*\alpha_2 = \lambda\alpha_1 \qquad (2.3.0.1)$$

avec $\lambda \neq 0$.

De plus, si on choisit $\alpha_1$ et $\alpha_2$ comme étant les formes de contact qui sont respectivement définies sur $M_1$ et $M_2$, alors nous dirons qu’un difféomorphisme $f : M_1 \to M_2$ est un **contactomorphisme strict** s’il vérifie la condition (2.3.0.1) telle que $f^*\alpha_2 = \alpha_1$.

**Propriété 2.3.1.** Considérons $(M_1, \alpha_1)$ et $(M_2, \alpha_2)$ deux variétés de contact ainsi que $\varepsilon_1$ et $\varepsilon_2$ les champs de Reeb qui leur sont respectivement associés. Si $f : M_1 \to M_2$ est un contactomorphisme strict, alors on a que $\varepsilon_1 = f^*\varepsilon_2$.

*Démonstration.* Voir lemme 2.2.4 page 61 de [106]. □

## 2.4 Immersion, fibré et front de Legendre

Nous terminerons cet exposé par les notions d'immersion de Legendre, de fibré de Legendre et de front legendrien, qui sont nécessaires pour caractériser les hérissons en géométrie de contact. Pour cela, on commence par définir les **sous-espaces isotropes** d'une $(2n + 1)$-variété de contact $(M, \alpha)$, qui correspondent à des sous-variétés $L \subset M$ telles que :

$$T_x L \subset Ker(\alpha_x) \qquad (2.4.0.1)$$

pour tout $x \in L$.

On peut alors montrer (voir propriété 1.5.12 page 34 de [106]) que la dimension de toute sous-variété isotrope $L$ d'une $(2n + 1)$-variété de contact $(M, \alpha)$ est telle que $\dim(L) \leq n$. En conséquence, on définit les **sous-variétés de Legendre** comme étant les sous-variétés isotropes de dimension maximale, c'est-à-dire de dimension $n$.

<footnote n="1">1. Le dual métrique d'une 1-forme $\alpha$ sur une variété riemannienne $(M, g)$ est l'unique champ de vecteurs $\varepsilon \in \Delta(M)$ tel que $\alpha = g(\varepsilon, \cdot)$.</footnote>
**Définition 2.4.1.** Nous appellerons **fibré lisse de fibre T**, avec $T$ une variété différentielle, toute submersion surjective $p: \mathcal{E} \hookrightarrow \beta$ telle que pour tout $b_0 \in \beta$, il existe $\mathcal{V} \subset \beta$ un ouvert centré en $b_0$ et un difféomorphisme $\phi: \mathcal{V} \times T \hookrightarrow p^{-1}(\mathcal{V})$, que l'on appellera **trivialisation locale**, vérifiant que :

$$p \circ \phi(b, x) = b \qquad (2.4.0.2)$$

pour tout $(b, x) \in \mathcal{V} \times T$.

**Définition 2.4.2.** Si $(M, \alpha)$ est une $(2n+1)$-variété de contact, alors nous appellerons **fibré de Legendre** tout fibré lisse $\pi: M \hookrightarrow \beta$ dont les fibres sont des sous-variétés de Legendre.

**Définition 2.4.3.** Nous appellerons **immersion de Legendre** à image dans une $(2n+1)$-variété de contact $(M, \alpha)$ toute immersion $i: L \hookrightarrow M$ qui est définie sur une $n$-variété et qui vérifie :

$$d_u i \cdot \overrightarrow{W} \in \mathrm{Ker}(\alpha_{i(u)}) \qquad (2.4.0.3)$$

pour tout $u \in L$ et $\overrightarrow{W} \in T_u L$.

Enfin, nous appellerons **front legendrien** la donnée de la partie $\mathcal{H} = \pi \circ i(L)$, où $\pi$ et $i$ sont respectivement la projection d'un fibré de Legendre et une immersion de Legendre, que l'on munit du paramétrage $x := \pi \circ i: L \hookrightarrow \beta$ et qui fait donc commuter le diagramme ci-dessous :

<figure><img src="image_106.png" /></figure>

Il est alors intéressant de constater que l'on peut définir des hypersurfaces orientées qui admettent des points singuliers en considérant le front legendrien de sous-variétés de Legendre. En particulier, nous verrons aux chapitres 2 et 7 que c'est précisément le cas pour les hérissons et les g-hérissons.
# Annexe C

## Éléments sur la notion de co-orientation

La notion de co-orientation nous étant indispensable pour définir les notions de hérisson et de g-hérisson, il est alors nécessaire de l'introduire correctement. Par conséquent, nous consacrons cette annexe à une présentation de la notion de co-orientation en toute généralité. Pour cela nous nous reposerons sur l'ouvrage [38] de H.Geiges qui recouvre largement toutes les notions qui nous seront nécessaires.

On commence par considérer un fibré vectoriel $\pi : E \to \beta$. Nous dirons alors qu'une famille p-sous-espace vectoriel $V \subset E$ est un **champ de p-sous-espaces vectoriels** s'il existe toujours localement une famille libre $(e_1, \dots, e_p)$ de sections lisses telle que $V = \langle e_1, \dots, e_p \rangle$.

**Définition 3.0.1.** Soit $(E, g)$ un fibré vectoriel métrique. Alors nous dirons qu'un champ d'hyperplan $T \subset E$ est **co-orienté** si le champ des droites orthogonales $l = T^\perp \subset E$ est orienté<fnref n="1" />.

**Remarque 3.0.1.** Il est immédiat qu'un champ d'hyperplans $T \subset E$ est co-orienté si et seulement si le fibré vectoriel quotient $E/T$ est trivial.

Nous faisons le choix de définir la notion de co-orientation à ce niveau de généralité afin de pouvoir l'adapter aux différents cas que nous considérerons. Dans la suite, nous travaillerons uniquement sur le fibré tangent d'une variété riemannienne. Ainsi, on considère la propriété suivante :

**Propriété 3.0.1.** Si $(M, g)$ est une variété riemannienne, alors un champ d'hyperplans $T \subset TM$ est co-orienté si et seulement s'il est de la forme :

$$ T = \mathrm{Ker}(\alpha) \qquad (3.0.0.1) $$

pour $\alpha \in \Omega_1(M)$ étant une forme différentielle.

*Démonstration.* Voir lemme 1.1.1 page 2 de [38]. □

**Remarque 3.0.2.** S'il est clair que tout champ d'hyperplans vérifie localement la relation (3.0.0.1), la notion de co-orientation se caractérise par le fait que la relation (3.0.0.1) est globalement vérifiée.

<footnote n="1">1. Nous dirons qu'un champ de droites vectorielles $l \subset E$ dans un fibré vectoriel $(E, \pi)$, est **orienté** s'il existe une section lisse $\nu \in \Gamma^0(E)$ qui n'est jamais nulle et qui vérifie, de plus, que $\nu = \mathbb{R}\nu$.</footnote>
Il est alors naturel de considérer comme étant **co-orientée** toute variété de contact $(M, \mathcal{E})$ (voir définition 2.1.2 page 274) vérifiant que :

$$ \mathcal{E} = \mathrm{Ker}(\alpha) \qquad (3.0.0.2) $$

et où $\alpha$ est donc la forme de contact. Il est intéressant de remarquer que toute variété de contact vérifie localement la relation 3.0.0.2. Ainsi, ce qui définit qu'une variété de contact est co-orientée est le fait que cette relation est vérifiée globalement.

Nous pouvons alors constater que la variété de contact que nous considérons à la section 2.1 page 47 est bien évidemment co-orientée. Aussi, il est intéressant de considérer l'exemple 1.2.8 page 8 de [38] qui correspond à une variété de contact qui n'est pas co-orientée.

**Définition 3.0.2.** Soit $(M, \alpha)$ une variété de contact co-orientée. Alors nous dirons qu'un champ d'hyperplans $\Sigma \subset x^*TM$, avec $x : \Gamma \mapsto M$ une application lisse, est **co-orienté** si :

$$ \Sigma_u = \mathrm{Ker}(\alpha_{x(u)}) \qquad (3.0.0.3) $$

pour tout $u \in \Gamma$.

**Remarque 3.0.3.** Dans le cadre d'une variété métrique de contact $(M, g, \alpha, J)$ (voir définition 2.2.1 page 275) tout champ d'hyperplans co-orientés selon la définition 3.0.2 l'est aussi selon la définition 3.0.1.

Considérons donc la structure de contact que nous avons considérée à la section 2.1 page 47 et que l'on munit de la métrique $g$ et de l'endomorphisme complexe $J$ tels que :

$$ g_w(\vec{W}_1, \vec{W}_2) = \langle \vec{V}_1 | \vec{V}_2 \rangle + \langle \vec{X}_1 | \vec{X}_2 \rangle \text{ et } J_w \cdot \vec{W} = (\langle v | \vec{X} \rangle v - \vec{X}) \oplus \vec{V} \qquad (3.0.0.4) $$

pour tout $w = (v, x) \in \mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n$.

**Définition 3.0.3.** Soit $(M, \alpha)$ une variété de contact co-orientée. Alors, on appelle **point co-orienté** la donnée d'un point $x \in M$ et de son hyperplan associé $\mathrm{Ker}(\alpha_x)$.

Il nous faut alors remarquer que tout point co-orienté $(w, T)$ de $\mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n$ est naturellement associé à un hyperplan affine orienté de $\mathbb{R}^n$. En effet, si $w = (v, x) \in \mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n$, alors $\mathrm{Ker}(\alpha_w) = \langle v \rangle^{\perp} \oplus \langle v \rangle^{\perp} = \langle (0, v) \rangle^{\perp_{gw}}$. Ainsi pour tout point co-orienté $(w, T)$, avec $T = \langle (0, v) \rangle^{\perp_{gw}}$ il nous suffit de considérer l'hyperplan affine $\Sigma = x + \langle v \rangle^{\perp}$ que l'on munit de l'orientation qui correspond au vecteur $v$.

Pour définir une notion de co-orientation sur les familles d'hyperplans affines orientés, il nous faut alors établir une correspondance "naturelle" entre les champs d'hyperplans co-orientés de la variété de contact $\mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n$ et les familles d'hyperplans affines orientés de l'espace $\mathbb{R}^n$.

Considérons donc $T \subset j^*T[\mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n]$, avec $j : \Gamma \mapsto \mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n$ une application lisse, un champ d'hyperplans co-orientés. Alors, en considérant les applications lisses $\nu : \Gamma \mapsto \mathbb{S}^{n-1}$ et $x : \Gamma \mapsto \mathbb{R}^n$ telles que $j(u) = (\nu(u), x(u))$, nous pouvons définir la famille des hyperplans $\Sigma_u = x(u) + \langle \nu(u) \rangle^{\perp}$ et dont l'orientation est définie par le vecteur $\nu(u)$. Par conséquent, il est justifié de considérer la définition suivante :
**Définition 3.0.4.** Nous dirons qu'une famille $(\Sigma_u, \beta_u)_{u \in \Gamma}$ d'hyperplans affines orientés de $\mathbb{R}^n$ est co-orientée si les hyperplans sont de la forme :

$$ \Sigma_u = h(u)\nu(u) + \langle \nu(u) \rangle^{\perp}, \qquad (3.0.0.5) $$

avec h étant une fonction de classe $C^{\infty}$, et dont l'orientation $\beta_u$ est définie par $\nu(u)$.

Pour terminer cette annexe, il nous faut de noter que nous pouvons trouver dans la littérature la définition d'hypersurface co-orientée comme étant la donnée d'une hypersurface orientable $\Sigma \subset M$, dans une variété riemannienne, que l'on munit d'une orientation. Il est alors intéressant de constater que si $\Sigma \subset \mathbb{R}^n$ est une hypersurface co-orientée, alors via la propriété 3.0.1, on a que la famille des hyperplans tangents est un champ d'hyperplans co-orientés du fibré tangent $TM$ selon la définition 3.0.1. De plus, si $M = \mathbb{R}^n$, alors il est clair que la famille des hyperplans orientés $(x + T_x\Sigma, \nu(x))$, où $\nu$ est le champ orthonormal correspondant à l'orientation de l'hypersurface $\Sigma$, est co-orientée au sens de la définition (3.0.4). Nous pouvons ainsi remarquer la cohérence des différentes définitions de co-orientation que nous avons considérées.
# Annexe D

## Éléments sur l'espace projectif

Il nous sera utile de faire le point sur la géométrie projective ainsi que sur les différentes notions de dualité qui seront nécessaires pour définir le dual projectif d'un hérisson, ou d'un g-hérisson. En particulier, nous introduirons les deux principales méthodes permettant de définir le dual d'un corps convexe. Pour approfondir, il est possible de consulter l'ouvrage [49], lequel propose une introduction à la géométrie projective largement suffisante pour nos besoins.

### 4.1 Cartes projectives et transformations projectives

L'espace projectif de dimension $n$, que l'on notera $\mathbb{RP}^n$, $\mathcal{P}^n(\mathbb{R})$ ou simplement $\mathbb{P}_n$, se définit via le passage au quotient de $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$ par la relation d'équivalence $\sim$ qui identifie les points (distingts de l'origine) se trouvant sur la même droite vectorielle. C'est alors une variété différentielle de dimension $n$ qui, de plus, est compacte. Il est clair que la projection canonique $\pi: \mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\} \to \mathbb{P}_n$, que nous appellerons **projection projective**, est lisse. Plus généralement, si $E$ est un espace vectoriel (pas forcément de dimension finie), nous définissons de la même manière l'espace projectif qui lui correspond. Nous noterons alors $\mathcal{P}(E)$ cet espace et $\pi_E: E\setminus\{0\} \to \mathcal{P}(E)$ la projection projective qui lui est associée.

**Remarque 4.1.1.** *Sur $\mathbb{S}^n$, la projection projective est toujours une immersion.*

**Avertissement 4.1.1.** *Pour éviter des notations redondantes, nous nous permettrons, lorsque cela ne produira pas de confusion, d'identifier les points de l'espace projectif $\mathbb{P}_n$ avec leur représentant dans $\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$ et que nous considérerons généralement sur la sphère $\mathbb{S}^n$.*

**Notation 4.1.1.** *Si $x \in E$ est un point et $H \subset E$ un sous-espace vectoriel, nous noterons $\mathcal{P}(x)$ et $\mathcal{P}(H)$ leurs projections respectives dans $\mathcal{P}(E)$ via la projection projective.*

Nous appellerons **droite projective** (resp. **p-sous-espace projectif et hyperplan projectif**) l'image par la projection projective d'un plan vectoriel (resp. d'un $(p+1)$-sous-espace vectoriel ou d'un hyperplan vectoriel) de $\mathbb{R}^{n+1}$. En particulier, il est facile de remarquer que tout $p$-sous-espace projectif correspond à $\mathbb{P}_p$, l'espace projectif de dimension $p$. Ensuite, nous pouvons définir un atlas de $\mathbb{P}_n$ en considérant pour tout $e \in \mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\}$ l'ouvert $W_e = \{v \in \mathbb{R}^{n+1} \text{ tel que } \langle v|e \rangle \neq 0\}$ ainsi que l'application lisse $\varphi_e: W_e \to \langle e \rangle^{\perp}$ qui est définie telle que :

$$ \varphi_e(v) = \sigma_e(v)v - e \qquad (4.1.0.1) $$
avec $\sigma_e(v) = \frac{\|e\|^2}{\langle v|e \rangle}$.

Comme il est clair que l'application $\varphi_e$ est compatible avec la relation d'équivalence $\sim$, nous appellerons **carte projective centrée en e** ou simplement **carte projective** l'application lisse $\bar{\varphi}_e : \mathbb{P}_n \setminus H_e \mapsto \vec{T}_e$ correspondant au passage au quotient de $\varphi_e$ et faisant donc commuter le diagramme ci-dessous :

<figure><img src="image_107.png" /></figure>

**Notation 4.1.2.** Pour $e \in \mathbb{S}^n$, nous prendrons l'habitude de noter l'hyperplan affine $T_e = e + \langle e \rangle^{\perp}$, ainsi que l'hyperplan vectoriel $\vec{T}_e = \langle e \rangle^{\perp}$ et l'hyperplan projectif $H_e = \mathcal{P}(\vec{T}_e \setminus \{0\})$.

**Avertissement 4.1.2.** Afin de ne pas alourdir inutilement notre texte, nous prendrons l'habitude de confondre les applications $\varphi_e$ et $\bar{\varphi}_e$ tant que cela ne produira pas de confusions.

Il est alors justifié d'appeler **hyperplan à l'infini** l'hyperplan projectif $H_e$ et ainsi, toute carte projective correspond au choix d'un hyperplan projectif que l'on considère comme étant l'hyperplan à l'infini. En particulier, pour tout hyperplan projectif $H \subset \mathbb{P}_n$, nous identifions, via la carte projective définie par l'hyperplan $H$, l'ouvert $\mathbb{P}_n \setminus H$ avec l'espace $\mathbb{R}^n$.

**Définition 4.1.1.** Soit $E$ et $F$ deux espaces vectoriels ainsi que $\mathcal{P}(E)$ et $\mathcal{P}(F)$ les espaces projectifs qui leur sont associés et dont les projections projectives respectives sont $p_E$ et $p_F$. Alors nous dirons qu'une application $\phi : \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(F)$ est un **plongement projectif** si il existe $f : E \to F$ une application linéaire injective faisant commuter le diagramme ci-dessous :

<figure><img src="image_108.png" /></figure>

**Notation 4.1.3.** On notera donc $\phi = \mathcal{P}(f)$ le plongement projectif associé à l'application $f$.

Il est alors clair que la condition d'injectivité de $f$ est nécessaire pour que la fonction $\phi$ existe. Aussi, on peut vérifier que toute application $\phi : \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(F)$ ainsi définie est forcément un plongement de variété différentielle. Nous appellerons alors **transformation projective** tout plongement projectif de $\mathcal{P}(E)$ dans $\mathcal{P}(E)$ et **isomorphisme projectif** tout plongement projectif inversible.

**Remarque 4.1.2.** Un plongement projectif $\phi : \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(F)$ est un **isomorphisme projectif** si et seulement si $\phi = \mathcal{P}(f)$ avec $f : E \to F$ un **isomorphisme linéaire**. En particulier, si $E$ est de dimension finie, alors les transformations projectives sont des **isomorphismes projectifs**.
## 4.2 Notions de dualité et de polarité sur les espaces projectifs

La dualité projective se définit en transposant sur les espaces projectifs les relations de dualité qui existent sur les espaces vectoriels. Ainsi, pour un espace vectoriel $E$ (pas nécessairement de dimension finie), on considère les espaces projectifs $\mathcal{P}(E)$, $\mathcal{P}(E^*)$ et $\mathcal{P}(E^{**})$. Nous prendrons alors l'habitude de noter ces espaces $\mathcal{P}(E)$, $\mathcal{P}(E)^*$ et $\mathcal{P}(E)^{**}$ et, en particulier, pour $\mathbb{R}^{n+1}$ nous adopterons les notations suivantes :

$$ \mathbb{P}_n = \mathcal{P}(\mathbb{R}^{n+1}), \mathbb{P}_n^* = \mathcal{P}(\mathbb{R}^{n+1})^* \text{ et } \mathbb{P}_n^{**} = \mathcal{P}(\mathbb{R}^{n+1})^{**} $$

### 4.2.1 La notion de dualité entre les points et les hyperplans projectifs

Considérons donc $E$ un espace vectoriel. Si $V \subseteq E$ est un sous-espace vectoriel, alors on définit le sous-espace $V^{\perp*} \subset E^*$, que l'on appelle **orthogonal de V au sens de la dualité**, tel que :

$$ V^{\perp*} = \{l \in E^* \text{ tel que } \forall v \in V, l(v) = 0\} \qquad (4.2.1.1) $$

Si, de plus, les espaces $E$ et $V$ sont de dimensions respectives $n$ et $p$, il est alors clair que l'orthogonal au sens de la dualité $V^{\perp*}$ est de dimension $n-p$, comme on pourrait s'y attendre pour l'orthogonal d'un $p$-sous-espace vectoriel dans un espace euclidien. Nous pouvons alors définir une relation de dualité entre les points et les hyperplans projectifs de $\mathcal{P}(E)$, $\mathcal{P}(E)^*$ et $\mathcal{P}(E)^{**}$ en considérant la définition suivante :

**Définition 4.2.1.** Soit $E$ un espace vectoriel ainsi que $\mathcal{P}(E)$ et $\mathcal{P}(E)^*$ son espace projectif et son dual projectif. Alors nous définissons les relations de dualité entre les points et les hyperplans projectifs comme suit :

1. On appelle **hyperplan dual** d'un point $p \in \mathcal{P}(E)$, l'hyperplan projectif, noté $p^*$, dans le dual projectif $\mathcal{P}(E)^*$ tel que :

$$ p^* = \mathcal{P}(\delta_p^{\perp*}) \subset \mathcal{P}(E)^*, \qquad (4.2.1.2) $$

où $\delta_p \subset E$ est la droite vectorielle telle que $p = \mathcal{P}(\delta_p)$.

2. On appelle **point dual** d'un hyperplan projectif $H \subset \mathcal{P}(E)$, le point noté $H^*$, dans le dual projectif $\mathcal{P}(E)^*$ tel que :

$$ H^* = \mathcal{P}(H_0^{\perp*}) \in \mathcal{P}(E)^*, \qquad (4.2.1.3) $$

où $H_0 \subset E$ est l'hyperplan vectoriel<fnref n="1" /> tel que $H = \mathcal{P}(H_0)$.

**Remarque 4.2.1.** Sur le plan projectif, la relation de dualité associe les points aux droites et les droites aux points.

<footnote n="1">1. Si $E$ est de dimension infinie, alors $H_0$ est un hyperplan vectoriel si sa codimension est égale à 1, au sens où il admet un supplémentaire de dimension 1.</footnote>
## 4.2.2 Identification entre l'espace projectif et son bidual.

Lorsque $E$ est de dimension finie, nous savons que l'application canonique $f: E \mapsto E^{**}$ qui à $x \in E$ associe la forme bidual $f_x \in E^{**}$ telle que $f_x \cdot l = l(x)$, est un isomorphisme. Cette identification entre $E$ et son bidual $E^{**}$, une fois passée au quotient, nous permet d'identifier l'espace projectif $\mathcal{P}(E)$ et son bidual $\mathcal{P}(E)^{**}$ via la propriété suivante :

**Propriété 4.2.1.** Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, alors l'isomorphisme canonique $f: E \mapsto E^{**}$ passe au quotient en un isomorphisme projectif $\eta: \mathcal{P}(E) \hookrightarrow \mathcal{P}(E)^{**}$ qui de plus vérifie :

1. Si $p \in \mathcal{P}(E)$, alors $p^{**} = \eta(p)$.

2. Si $H \subset \mathcal{P}(E)$ est un hyperplan projectif, alors $H^{**} = \eta(H)$.

**Note.** En identifiant, via $\eta$, les espaces projectifs $\mathcal{P}(E)$ et $\mathcal{P}(E)^{**}$, on obtient que pour tout point $p \in \mathcal{P}(E)$ et pour tout hyperplan projectif $H \subset \mathcal{P}(E)$, alors :

$$ p^{**} = p \text{ et } H^{**} = H \qquad (4.2.2.4) $$

et que l'on appelle naturellement relation de bidualité.

**Démonstration.** Voir les pages 85 à 87 de [49].

<figure><img src="image_109.png" /></figure>

**Remarque 4.2.2.** Les relations de dualité via l'application $\eta$ sont stables par l'action du groupe projectif. En effet, si $\psi: \mathcal{P}(E) \mapsto \mathcal{P}(E)$ est une transformation projective, alors pour tout point $p \in \mathcal{P}(E)$ et pour tout hyperplan projectif $H \subset \mathcal{P}(E)$, on a :

$$ \eta^{-1}(\psi(p)^{**}) = \psi(\eta^{-1}(p^{**})) \text{ et } \eta^{-1}(\psi(H)^{**}) = \psi(\eta^{-1}(H^{**})) \qquad (4.2.2.5) $$

ce que nous pouvons représenter via le graphe ci-dessous :

$$ \begin{array}{ccc} p \in \mathcal{P}(E) & \longrightarrow & p^{**} \in \mathcal{P}(E)^{**} \longrightarrow \eta^{-1} \eta^{-1}(p^{**}) \in \mathcal{P}(E) \\ \psi \downarrow & & \psi \downarrow \\ \psi(p) \in \mathcal{P}(E) & \longrightarrow & \psi(p)^{**} \in \mathcal{P}(E)^{**} \longrightarrow \eta^{-1} \psi(\eta^{-1}(p^{**})) = \eta^{-1}(\psi(p)^{**}) \end{array} $$

Il est à noter que la propriété 4.2.1 justifie que l'on utilise la terminologie de "dualité" lorsque l'on considère les espaces projectifs $\mathcal{P}(E)^*$ et $\mathcal{P}(E)^{**}$. En effet, la notion de dualité est involutive (au sens où appliquée deux fois, elle nous ramène à la situation initiale). En particulier, cela explique pourquoi on travaille en dimension finie lorsque l'on considère la dualité projective, car en dimension infinie, nous perdons<fnref n="2" /> l'identification entre $E$ et son bidual $E^{**}$.

<footnote n="2">2. Lorsqu'un espace vectoriel $E$ est de dimension infinie, alors la dimension de son bidual $E^{**}$ est strictement supérieure à celle de $E$. C'est une conséquence directe du théorème d'Erdos-Kaplansky (voir les pages 221 à 227 de l'ouvrage [43] pour plus de détails).</footnote>
### 4.2.3 La notion de polarité entre les points et les hyperplans projectifs.

La notion de polarité se définit en transposant sur $\mathcal{P}(E)$ la notion de dualité que nous avons définie entre les espaces $\mathcal{P}(E)$ et $\mathcal{P}(E)^*$. Pour cela, l'idéal serait d'identifier les espaces $\mathcal{P}(E)$ et $\mathcal{P}(E)^*$ via un isomorphisme projectif $\varphi : \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(E)^*$ qui vérifie la condition (4.2.2.5) au sens où pour chaque transformation projective $\psi : \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(E)$, si $p \in \mathcal{P}(E)$ est un point et $H \subset \mathcal{P}(E)$ est un hyperplan projectif, on a :

$$ \varphi^{-1}(\psi(p)^*) = \psi(\varphi^{-1}(p^*)) \text{ et } \varphi^{-1}(\psi(H)^*) = \psi(\varphi^{-1}(H^*)), \quad (4.2.3.6) $$

Nous pouvons alors constater que la relation (4.2.3.6) ne peut être vérifiée en toute généralité. Il est néanmoins possible de contourner ce problème en considérant $\phi \in E^* \otimes E^*$, une forme bilinéaire non dégénérée sur l'espace vectoriel $E$, qui, par application du théorème des représentations de Reeb, nous fournit un isomorphisme projectif $\varphi : \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(E)^*$. En effet, nous pouvons vérifier que l'identification via cet isomorphisme est stable par l'action du sous-groupe du groupe projectif, qui est engendré par les applications conformes<fnref n="3" /> pour $\phi$.

**Remarque 4.2.3.** Si $\phi \in E^* \otimes E^*$ est une forme bilinéaire non dégénérée, et $f : E \to E^*$ est l'isomorphisme défini via la forme bilinéaire $\phi$, alors on a que :

$$ f(V^{\perp \phi}) = V^{\perp *} \quad (4.2.3.7) $$

pour tout sous-espace vectoriel $V \subset E$.

Nous pouvons ainsi définir la notion de **polarité** sur $\mathcal{P}(E)$ relative au choix d'une quadrique $C \subset \mathcal{P}(E)$ qui correspond à une forme bilinéaire symétrique $\phi \in E^* \otimes E^*$ non dégénérée. Cette forme bilinéaire nous permet, comme nous l'avons vu précédemment, d'identifier $\mathcal{P}(E)$ avec son dual $\mathcal{P}(E)^*$, et ainsi de transporter naturellement sur l'espace projectif $\mathcal{P}(E)$ la notion de dualité que nous avons définie sur $\mathcal{P}(E)^*$.

**Définition 4.2.2.** Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, alors nous dirons que $C \subset \mathcal{P}(E)$ est une **quadrique** si c'est la projection, dans $\mathcal{P}(E)$, du cône isotrope d'une forme quadratique $q : E \to \mathbb{R}$.

**Note.** Nous dirons alors que la quadrique $C$ est **définie par la forme quadratique q**. De plus, une quadrique $C \subset \mathcal{P}(E)$ est dite **propre** lorsqu'elle est non vide et est définie par une forme quadratique non dégénérée.

Pour en savoir plus sur les quadriques, il est possible de consulter la section 2 du chapitre III de [49] qui traite des coniques (ce sont les quadriques du plan projectif), ainsi que le chapitre VI de [5] où l'on se place dans un cadre général.

**Définition 4.2.3.** Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie ainsi que $C \subset \mathcal{P}(E)$ une quadrique propre définie par une forme quadratique $q$ et dont la forme polaire est $\phi \in E^* \otimes E^*$. Alors on définit la relation de **polarité pour C** (ou simplement **polarité**) entre les points et les hyperplans projectifs de la manière suivante :

1. On appelle **hyperplan polaire pour C** (ou simplement **hyperplan polaire**) d'un point $p \in \mathcal{P}(E)$, l'hyperplan projectif, que l'on note $p^\circ$, de l'espace projectif $\mathcal{P}(E)$ tel que :

$$ p^{\circ} = \mathcal{P}(\delta_{p}^{\perp \phi}) \subset \mathcal{P}(E), \quad (4.2.3.8) $$

où $\delta_p \subset E$ est la droite vectorielle telle que $p = \mathcal{P}(\delta_p)$.

<footnote n="3">3. Une application conforme pour $\phi$ est un endomorphisme $f : E \to E$ pour lequel il existe $\lambda \in \mathbb{R}$, un scalaire non nul tel que pour tous $x$ et $y$ dans $E : \phi(f(x), f(y)) = \lambda\phi(x, y)$.</footnote>
2. On appelle **pôle pour C** (ou simplement **pôle**) d'un hyperplan projectif $H \subset \mathcal{P}(E)$ le point, que l'on note $H^{\circ}$, de l'espace projectif $\mathcal{P}(E)$ tel que :

$$H^{\circ} = \mathcal{P}(H_{0}^{\perp\phi}) \in \mathcal{P}(E), \qquad (4.2.3.9)$$

où $H_0 \subset E$ est l'hyperplan vectoriel tel que $H = \mathcal{P}(H_0)$.

**Note.** Il est clair que les relations de dualité polaire, ainsi définies, ne dépendent pas du choix de la forme quadratique définissant la quadrique C.

**Remarque 4.2.4.** Nous pouvons vérifier que les relations de dualité et de polarité coïncident via l'isomorphisme projectif $\varphi : \mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(E)^*$. En effet, on a :

$$p^{\circ} = \varphi^{-1}(p^{*}) \text{ et } H^{\circ} = \varphi^{-1}(H^{*}) \qquad (4.2.3.10)$$

pour tout point $p \in \mathcal{P}(E)$ et hyperplan $H \subset \mathcal{P}(E)$.

Pour conclure, constatons que la relation de bidualité (4.2.2.4) est vérifiée. En effet, si l'on considère un point $p \in \mathcal{P}(E)$ et un hyperplan projectif $H \subset \mathcal{P}(E)$, alors on a :

$$(p^{\circ})^{\circ} = p \text{ et } (H^{\circ})^{\circ} = H \qquad (4.2.3.11)$$

ce qui justifie que l'on parle de dualité.

## 4.3 Dualité projective et dualité polaire d'un corps convexe

L'objet de cette section est d'étudier les définitions de dualité projective et de dualité polaire que nous avons introduites au chapitre 3. En effet, si $K \subset \mathbb{R}^n$ est un corps convexe dont le bord topologique est de classe $C^1$, alors on définit le dual projectif de $K$ dans $\mathbb{P}_n$ tel que :

$$K^* = \mathrm{Ad}\{\bar{\delta} \in \mathbb{P}_n \text{ tel que } \delta = \langle e + L \rangle^{\perp} \text{ avec } L \in \mathcal{H}(\mathbb{R}^n) \text{ vérifiant } L \cap K = \emptyset\} \qquad (4.3.0.1)$$

où $e = (0, \dots, 0, 1) \in \mathbb{S}^n \subset \mathbb{R}^{n+1}$ et $\mathcal{H}(\mathbb{R}^n)$ est l'ensemble des hyperplans affines de $\mathbb{R}^n$ (où l'espace vectoriel $\mathbb{R}^n$ est identifié avec l'hyperplan $\vec{T}_e$).

Pour ce qui est de la dualité polaire, si $K$ est un corps convexe centré en zéro (i.e., l'intérieur $\mathrm{Int}(K)$ contient l'origine de $\mathbb{R}^n$), on définit le dual polaire de $K$ tel que :

$$K^{\circ} = \{x \in \mathbb{R}^n \text{ tel que } \forall y \in \mathbb{R}^n, \langle x|y \rangle \le 1\} \subset \mathbb{R}^n \sim \mathbb{P}_n \setminus H_e \qquad (4.3.0.2)$$

où $H_e$ est l'hyperplan projectif défini par le point $e$ et $\mathbb{P}_n \setminus H_e$ que l'on identifie à $\mathbb{R}^n$ via la carte projective $\varphi_e : \mathbb{P}_n \setminus H_e \to \vec{T}_e \sim \mathbb{R}^n$.

Par conséquent, il nous faut établir la correspondance entre les définitions (4.3.0.1) et (4.3.0.2) avec les notions de dualité que nous avons introduites à la section 4.2.
4.3.1 Dualité projective d'un corps convexe

Pour la définition (4.3.0.1), il nous est nécessaire de définir la dualité projective d'un corps
convexe dans P(E) en nous reposant sur les définitions classiques de la géométrie projective qui
consistent à appliquer une transformation sur les polygones via les relations de dualité entre les
points et les droites du plan.

**Définition 4.3.1.** Soit E un espace euclidien, alors nous dirons que $K \subset \mathcal{P}(E)$ est un corps convexe lorsque pour tout hyperplan projectif H qui n'intersecte pas K, c'est un corps convexe sur $\mathcal{P}(E) \setminus H$ vu comme espace euclidien.

Note. De plus, nous dirons que le corps K est de classe Ck (resp. Ck+) si pour tout hyperplan projectif H ⊂ P(E) qui n'intersecte pas K, alors le corps K sur P(E) \ H vu comme espace euclidien est de classe Ck (resp. Ck+).

**Propriété 4.3.1.** Soit $e \in \mathbb{S}^n$ et $L \subset \vec{T}_e$ un corps convexe. Si on considère $\varphi_e : \mathbb{P}_n \setminus H_e \mapsto \vec{T}_e$
la carte projective centrée en $e$, alors on a que la partie $K = \varphi_e^{-1}(L)$ est un corps convexe dans $\mathbb{P}_n$. De plus, si $L$ est de classe $C^k$ (resp. $C^k_+$), alors le corps $K$ est aussi de classe $C^k$ (resp. $C^k_+$).

Démonstration. Soit $p : \mathbb{S}^n \to \mathbb{P}_n$ la projection projective restreinte à la sphère $\mathbb{S}^n$, qui est alors une immersion. Si $e \in \mathbb{S}^n$ est un point, alors on considère $\varphi_e : W_e \to \vec{T}_e$, avec $\vec{T}_e = \langle e \rangle^{\perp}$ et $W_e = \{x \in \mathbb{R}^{n+1} \text{ tel que } \langle x|e \rangle \neq 0\}$, telle que :

$$
\varphi_e(x) = \sigma_e(x)x - e
$$

$$
\text{où } \sigma_e(x) = \frac{1}{\langle x|e \rangle}.
$$

À présent, en considérant l'ouvert $\Omega_e = \{u \in \mathbb{S}^n \text{ tel que } \langle u|e \rangle > 0\}$, on a que la restriction $\varphi_e : \Omega_e \to \vec{T}_e$ est un $\mathcal{C}^\infty$-difféomorphisme correspondant à la projection gnomonique de la sphère centrée en $e$.

Nous dirons alors qu'une partie $K \subset \Omega_e$ est un corps convexe dans $\Omega_e$ lorsqu'elle est non
vide, compacte et vérifie la condition de convexité : si $x$ et $y \in K$, alors la plus petite géodésique
$\gamma$ reliant les points $x$ et $y$, qui est donc contenue dans $\Omega_e$, est comprise dans $K$. Nous dirons
de plus que $K$ est de classe $C^k$ lorsque son bord topologique $\partial K$ est une hypersurface de $\mathbb{S}^n$
de classe $C^k$.

Il est alors facile de voir que $K \subset \Omega_e$ est un corps convexe si et seulement si l'image $\varphi_e(K)$ est un corps convexe dans $\vec{T}_e$. De même, le corps $K$ est de classe $C^k$ si et seulement si le corps $\varphi_e(K)$ l'est aussi.

En particulier, si $K$ est de classe $C^k$, avec $k \ge 1$, alors il existe $\nu : \partial K \mapsto T\mathbb{S}^n$ une section de classe $C^{k-1}$ orthogonale au bord $\partial K$, telle que pour tout $x \in \partial K$, si $\gamma : ]a; b[ \mapsto \Omega_e$ est la géodésique qui passe par le point $x$ avec la vitesse $\nu(x)$ à l'instant $t = 0$, alors : $\forall t > 0$, $\gamma(t) \notin K$. Nous appellerons alors *normale sortante du corps K* le champ $\nu$ ainsi défini.

Ainsi, nous dirons que le corps K est de classe $C_{+}^k$, avec $k \ge 2$, si son bord topologique est une hypersurface de classe $C^k$ dont la courbure de Gauss n'est jamais nulle. Par construction, il est alors immédiat que le corps K est de classe $C_{+}^k$ si et seulement si l'image $\varphi_e(K)$ l'est aussi.
Considérons donc $K_0 \subset \Omega_e$ un corps convexe; il nous suffit de montrer que la projection $K = p(K_0)$ est un corps convexe dans $\mathbb{P}_n$. Pour cela, considérons $H = p(\langle v_0 \rangle^{\perp})$ un hyperplan projectif qui n'intersecte pas $K$, et alors il est clair que :

$$K_0 \cap \langle v_0 \rangle^{\perp} = \emptyset$$

On peut alors supposer, sans perte de généralité, que $K_0 \subset \Omega_{v_0}$. Et alors, par définition, $K_0$ est un corps convexe dans $\Omega_{v_0}$. En particulier, on obtient que $\varphi_{v_0}(K_0) = \overline{\varphi_{v_0}(K)}$ est un corps convexe dans $\overline{T}_{v_0}$. De plus, il est clair que si $K_0$ est de classe $C^k$ (resp. $C_+^k$), alors le corps $\varphi_{v_0}(K_0) = \overline{\varphi_{v_0}(K)} \subset \overline{T}_{v_0}$ est aussi de classe $C^k$ (resp. $C_+^k$). $\square$

**Remarque 4.3.1.** À partir de la propriété précédente, il résulte qu'une partie $K \subset \mathcal{P}(E)$ est un corps convexe si et seulement s'il existe $H$, un hyperplan projectif dans $\mathcal{P}(E)$, tel que $K$ est un corps convexe dans $\mathcal{P}(E) \setminus H$ vu comme espace euclidien. Il en est de même pour les corps convexes de classe $C^k$ (resp. $C_+^k$).

**Définition 4.3.2.** Soit $E$ un espace euclidien et $K \subset \mathcal{P}(E)$ un corps convexe, alors on appelle **dual projectif de K**, que l'on note $K^*$, la partie de $\mathcal{P}(E)^*$ telle que :

$$K^* = \mathrm{Ad}\{H^* \in \mathcal{P}(E)^* \text{ tel que } H \in \mathcal{H}\mathcal{P}(E) \text{ et } H \cap K = \emptyset\} \quad (4.3.1.3)$$

où $\mathcal{H}\mathcal{P}(E)$ correspond à l'ensemble des hyperplans projectifs de $\mathcal{P}(E)$.

**Propriété 4.3.2.** Soit $E$ un espace euclidien et $K \subset \mathcal{P}(E)$ un corps convexe. Alors le dual projectif de $K$ vérifie les quatre points suivants :

1. En considérant l'identification de $\mathcal{P}(E)$ avec son bidual $\mathcal{P}(E)^{**}$, via l'isomorphisme projectif $\eta$, alors $(K^*)^* = K$, pour tout corps convexe non réduit à un singleton.

2. Si $K$ est un corps convexe qui n'est pas de classe $C^0$, alors son dual projectif n'est pas un corps convexe.

3. Si $K$ est un corps convexe de classe $C^0$, alors son dual projectif l'est aussi.

4. Si $K$ est un corps convexe de classe $C_+^k$, alors son dual projectif l'est aussi.

**Démonstration.** Soit $e \in \mathbb{S}^n$ ainsi que l'ouvert $\Omega_e = \{v \in \mathbb{S}^n \text{ tel que } \langle v|e \rangle > 0\}$. Alors nous dirons que $\Sigma \subset \Omega_e$ est un g-hyperplan de $\Omega_e$ s'il existe $v \in \Omega_e$ tel que $\Sigma$ est l'intersection non vide entre $\Omega_e$ et $\langle v \rangle^{\perp}$. Il est alors utile de remarquer qu'à partir de cette définition, il n'existe pas de g-hyperplan dans $\Omega_e$ passant par le point $e$. Aussi, on définit $H_+ = \{w \in \Omega_e \text{ tel que } \langle w|v \rangle \ge 0\}$ et $H_- = \{w \in \Omega_e \text{ tel que } \langle w|v \rangle \le 0\}$ les demi-espaces bordant $\Sigma$, que nous appellerons respectivement demi-espace positif et demi-espace négatif. Enfin, nous noterons $\mathcal{H}(\Omega_e)$ l'ensemble des g-hyperplans de $\Omega_e$.

Nous définissons aussi une notion de dualité sur $\Omega_e$ qui, à tout point $v \in \Omega_e \setminus \{e\}$ et g-hyperplan $\Sigma \in \mathcal{H}(\Omega_e)$, associe respectivement le g-hyperplan dual $v^* \in \mathcal{H}(\Omega_e)$ et le point dual $\Sigma^* \in \Omega_e \setminus \{e\}$, tels que :

$$v^* = \Omega_e \cap \langle v \rangle^{\perp} \text{ et } \Sigma^* = \Omega_e \cap \langle \Sigma \rangle^{\perp} \quad (4.3.1.4)$$

Nous pouvons alors remarquer qu'il est clair que l'on obtient $v^{**} = v$ et $\Sigma^{**} = \Sigma$, ce qui justifie que l'on parle de dualité. Ensuite, nous prendrons l'habitude de noter, pour chaque point $x \in \Omega_e \setminus \{e\}$, les parties :
$$
H_{+}(x) = \{y \in \Omega_{e} \text{ tel que } \langle x|y \rangle \ge 0\} \text{ et } H_{-}(x) = \{y \in \Omega_{e} \text{ tel que } \langle x|y \rangle \le 0\} \quad (4.3.1.5)
$$

et qui correspondent aux demi-espaces positif et négatif bordant le g-hyperplan dual $x^*$. Nous pouvons aussi remarquer que pour tous $x$ et $y \in \Omega_e \setminus \{e\}$, on a :

$$
x \in y^* \Leftrightarrow y \in x^* \qquad (4.3.1.6)
$$

À présent, considérons un corps convexe $K \subset \Omega_e$ tel que nous l'avons défini pour la démonstration de la propriété 4.3.1. Alors nous dirons que $\Sigma \subset \Omega_e$ est un *g-hyperplan de support du corps K* si le corps $K$ est inclus dans l'un des deux demi-espaces $H_+$ ou $H_-$, bordant $\Sigma$, et satisfait $\Sigma \cap K \neq \emptyset$. De plus, nous appellerons point de support les points contenus dans les intersections de $K$ avec ses g-hyperplans de support et ainsi on définit $\text{Supp}(K)$ comme l'ensemble des points de support de $K$. Par conséquent, pour $e \in K$, il est alors facile, en se rapportant aux propriétés des corps convexes de $\mathbb{R}^n$, de savoir que :

1. Pour tout $u \in S_e^{n-1}$, avec $S_e^{n-1} = \mathbb{S}[T_e\mathbb{S}^n]$, si $\gamma : \mathbb{R} \to \mathbb{S}^n$ est la géodésique passant par le point $e$ à la vitesse $u$, alors il existe un g-hyperplan de support de $K$ qui est orthogonal à la géodésique $\gamma$. En particulier, si $\text{Int}(K)$ est non vide alors il existe exactement deux g-hyperplans de support qui sont orthogonaux à la géodésique $\gamma$.

2. Pour tout $x \in \partial K$, avec $\partial K$ étant le bord topologique de $K$, il existe toujours $\Sigma \subset \Omega_e$ un g-hyperplan de support de $K$ en $x$ (c'est-à-dire contenant le point $x$). En particulier, on a que $\text{Supp}(K) = \partial K$.

3. Une partie $K$ est un corps convexe si et seulement si c'est un compact non vide qui est l'intersection d'une famille de demi-espaces.

4. Un corps convexe $K$ de classe $C^0$ n'est pas de classe $C^1$ si et seulement s'il existe un point de support $x \in \partial K$ admettant deux g-hyperplans de support distincts$^4$.

Nous pouvons alors définir une notion de dualité pour les corps convexes de $\Omega_e$ qui, de plus, correspond à la dualité projective que nous avons définie via la définition 4.3.2. Considérons donc $K \subset \Omega_e$ un corps convexe de $\Omega_e$. Alors on définit le dual projectif du corps $K$ tel que :

$$
K^* = Ad\{\Sigma^* \in \Omega_e \text{ tel que } \Sigma \in \mathcal{H}(\Omega_e) \text{ et } K \cap \Sigma = \emptyset\} \subset \bar{\Omega}_e \quad (4.3.1.7)
$$

Il est à noter que la partie $K^*$ est définie par fermeture sur la sphère $\mathbb{S}^n$. En particulier, pour que $K^*$ soit un corps convexe de $\Omega_e$, il nous faudra d'abord vérifier que $K^* \subset \Omega_e$.

À présent, considérons $K \subset \mathbb{P}_n$ un corps convexe. Alors, par la définition 4.3.2, on sait que le dual projectif dans $\mathbb{P}_n^*$ du corps $K$ est défini tel que :

$$
K^* = Ad\{H^* \in \mathbb{P}_n^* \text{ tel que } H \in \mathcal{H}(\mathbb{P}_n) \text{ et } K \cap H = \emptyset\}
$$

où $\mathcal{H}(\mathbb{P}_n)$ est l'ensemble des hyperplans projectifs.

Par le théorème de représentation de Reeb, on sait que le produit scalaire de $\mathbb{R}^{n+1}$ induit un isomorphisme linéaire $f : \mathbb{R}^{n+1} \hookrightarrow \left(\mathbb{R}^{n+1}\right)^*$ et qui, par passage au quotient, correspond à un isomorphisme projectif $\varphi : \mathbb{P}_n \hookrightarrow \mathbb{P}_n^*$. Considérons donc $H_e$, avec $e \in \mathbb{S}^n$, un hyperplan projectif tel que $K \cap H_e = \emptyset$ et $e \in K$. Il existe donc $K_0 \subset \Omega_e$ un corps convexe de $\Omega_e$ tel que $K = p(K_0)$. Il est alors facile de vérifier que :

<footnote n="4">4. Voir théorème 2.2.4 page 83 de [100].</footnote>
$$K^* = \varphi \circ p(K_0^*) = p^* \circ f(K_0^*) \quad (4.3.1.8)$$

avec $p : \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0\} \stackrel{\wedge}{\longrightarrow} \mathbb{P}_n$ et $p^* : (\mathbb{R}^{n+1})^* \setminus \{0\} \stackrel{\wedge}{\longrightarrow} \mathbb{P}_n^*$ étant les projections projectives respectives. Il est alors clair que la relation (4.3.1.8) nous permet de transposer sur $\mathbb{P}_n$ et $\mathbb{P}_n^*$ les relations de dualité que nous obtenons sur $\mathbb{S}^n$ via la définition (4.3.1.7). Remarquons aussi que la relation (4.3.1.8) reste vraie même dans le cas où le dual $K_0^*$ n'est pas compris dans $\Omega_e$. Dans ce cas-là, nous aurons que $K^*$ n'est pas un corps convexe de $\mathbb{P}_n^*$.

Par conséquent, considérons $K \subset \Omega_e$ un corps convexe tel que $e \in K$. Si $x \notin K$, alors il existe forcément $y \in \Omega_e$ tel que $x \in y^*$ et $y^* \cap K = \emptyset$. Mais alors on a que $y \in K^*$ et $y \in x^*$. Ce qui nous donne que $x^* \cap K^* \neq \emptyset$ et donc $x \notin \text{Int}(K^{**})$. Ensuite, constatons qu'en adaptant les arguments que nous avons considérés pour montrer la relation (3.1.2.16) page 60, on obtient que :

$$\left\{
\begin{array}{l}
x \in \partial K \Leftrightarrow x^* \text{ est un g-hyperplan de support de } K^* \Leftrightarrow x \in \partial K^{**} \\
x^* \cap K^* = \emptyset \Leftrightarrow x \in \text{Int}(K)
\end{array}
\right.
\quad (4.3.1.9)$$

Par conséquent, on a que $K^{**} \subset K$ et $\partial K^{**} = \partial K$. Supposons donc que le corps $K$ est d'intérieur non vide. Il est alors immédiat que si $x \in \text{Int}(K)$, alors $x^* \cap K^* = \emptyset$ et donc $x \in K^{**}$. Nous avons donc vérifié que $K^{**} = K$ sur $\Omega_e$.

Considérons à présent l'isomorphisme canonique $g : \mathbb{R}^{n+1} \stackrel{\wedge}{\longrightarrow} (\mathbb{R}^{n+1})^{**}$ ainsi que $\psi : \mathbb{P}_n \stackrel{\wedge}{\longrightarrow} \mathbb{P}_n^{**}$ l'isomorphisme projectif qui lui est associé par passage au quotient. De plus, on considère les projections $p^* : (\mathbb{R}^{n+1})^* \setminus \{0\} \stackrel{\wedge}{\longrightarrow} \mathbb{P}_n^*$ et $p^{**} : (\mathbb{R}^{n+1})^{**} \setminus \{0\} \stackrel{\wedge}{\longrightarrow} \mathbb{P}_n^{**}$ correspondant respectivement au dual et au bidual projectifs. Soit $K \subset \mathbb{P}_n$ un corps convexe ainsi que $K_0 \subset \Omega_e$ le corps convexe de $\Omega_e$ tel que $e \in K_0$ et $K = p(K_0)$. Alors, on a que $K^{**} = p^{**} \circ g(K_0^{**})$. En effet, si $f : \mathbb{R}^{n+1} \stackrel{\wedge}{\longrightarrow} (\mathbb{R}^{n+1})^*$ et $f^* : (\mathbb{R}^{n+1})^* \stackrel{\wedge}{\longrightarrow} (\mathbb{R}^{n+1})^{**}$ sont les isomorphismes induits par le produit scalaire usuel, alors par la relation (4.3.1.8), on a que :

$$K^* = p^* \circ f(K_0^*) \text{ et } K^{**} = p^{**} \circ f^*(f(K_0^*)^*)$$

Ce qui nous donne que $K^{**} = p^{**} \circ f^*(f(K_0^*)^*) = p^{**} \circ f^* \circ f(K_0^{**}) = p^{**} \circ g(K_0^{**})$ et par ce qui précède, nous obtenons $K^{**} = p^{**} \circ g(K_0^{**}) = \psi \circ p(K_0^*) = \psi \circ p(K_0) = \psi(K)$. Ce qui nous donne le premier point.

Considérons à présent $K \subset \Omega_e$ un corps convexe tel que $e \in K$. Alors supposons que le bord topologique du corps $K$ n'est pas une variété topologique. En considérant la remarque 1.1.1 page 31, on sait que nécessairement, le corps $K$ est contenu dans $\Sigma = \langle v_0 \rangle^{\perp} \cap \mathbb{S}^n$, un g-hyperplan de $\mathbb{S}^n$ tel que $v_0 \in \langle e \rangle^{\perp} \cap \mathbb{S}^n$. On peut alors vérifier que :

1. Les points $v_0$ et $-v_0$ sont dans $K^*$.

2. Si $\gamma : [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \stackrel{\wedge}{\longrightarrow} \bar{\Omega}_e$ est la géodésique reliant les points $v_0$ et $-v_0$ en passant par $e$, alors on a que $\gamma \subset K^*$.
<figure><img src="image_110.png" /><figcaption>FIGURE 4.1 – Dual projectif d'un corps convexe dont le bord topologique n'est pas $C^0$</figcaption></figure>

Donc, pour tout $v \in \mathbb{S}^n$, l'intersection $\gamma \cap \langle v \rangle^{\perp}$ est non vide et, en particulier, il n'existe pas de $v \in \mathbb{S}^n$ tel que $K^* \subset \Omega_v$. Ainsi, il est clair que $\varphi \circ p(K^*)$ ne peut pas être un corps convexe dans $\mathbb{P}_n^*$, d'où le second point.

Considérons $K$ un corps convexe de $\Omega_e$ de classe $C^0$ et donc vérifiant que le bord topologique est une variété topologique de dimension $n-1$. On a donc forcément que l'intérieur de $K$ est non vide (voir propriété 1.1.4 page 31 pour plus de détails). Nous supposerons alors le corps $K$ centré en $e$, c'est-à-dire que $e \in \text{Int}(K)$. On sait, par la relation (4.3.1.9) que pour tout point du bord $x \in \partial K$, le dual $K^*$ est compris dans le demi-espace $H_+(x)$. On obtient en particulier que :

$$K^* = \bigcap_{x \in \partial K} H_+(x)$$

Ensuite, remarquons que comme $e \in \text{Int}(K)$, alors le dual $K^*$ est dans $\Omega_e$. On a donc que $K^*$ est compact, convexe, non vide et est compris dans $\Omega_e$. C'est donc bien un corps convexe de $\Omega_e$. De plus, supposons que le bord topologique de $K^*$ ne soit pas une variété topologique. Alors, par ce qui précède, nous aurions que $K^{**}$ ne serait pas un corps convexe. Et comme on sait que $K = K^{**}$, alors on aboutirait à une contradiction. Ainsi, si $K \subset \Omega_e$ est un corps convexe de classe $C^0$ centré en $e$, alors son dual projectif $K^*$ est aussi un corps convexe dans $\Omega_e$, centré en $e$ et qui est de classe $C^0$. Ce qui nous donne le troisième point.

Supposons enfin que le corps $K$ est de classe $C^k$, avec $k \ge 2$. Alors en considérant le champ orthonormal $\nu : \partial K \mapsto \text{ST}\mathbb{S}^n$, on obtient, par construction, un paramétrage du bord topologique du dual $K^*$. En particulier, il est clair que $\nu : \partial K \mapsto \partial K^*$ est un plongement de classe $C^k$ (voir la remarque 1.2.7 page 39), et donc le bord topologique $\partial K^*$ est une $C^k$-variété. De plus, la réciproque $\nu^{-1} : \partial K^* \mapsto \text{ST}\mathbb{S}^n$, que l'on considère à image dans le fibré des sphères tangentielles de $\mathbb{S}^n$, est l'application de Gauss de la $C^k$-variété $\partial K^*$. En particulier, la courbure de Gauss de $\partial K^*$ n'est jamais nulle. $\square$

**Remarque 4.3.2.** Si $K$ est un corps convexe de classe $C^k$, avec $k \ge 1$, alors il n'est pas forcément vrai que son dual projectif le soit aussi. En effet, plaçons-nous sur la sphère $\mathbb{S}^n$ et considérons un corps convexe de classe $C^1$ admettant un g-hyperplan de support $x^*$ qui intersecte $K$ en plus d'un point. Considérons donc $y_1$ et $y_2$ sur $\partial K$, deux points de support qui sont dans $x^*$. Alors, on a que $x \in \partial K^*$ et vérifie que $x \in y_1^*$ et $x \in y_2^*$, où $y_1^*$ et $y_2^*$ sont deux g-hyperplans de support de $K^*$ qui sont distincts. Il est donc clair que le corps $K^*$ n'est pas de classe $C^1$.

**Remarque 4.3.3.** Si $K$ est un singleton, alors $K^* = \mathbb{P}_n$ et $K^{**} = \emptyset$.
Nous obtenons alors la définition (4.3.0.1) en nous plaçant sur l'espace euclidien $(\mathbb{R}^{n+1}, \langle \cdot | \cdot \rangle)$,
où $\langle \cdot | \cdot \rangle$ est le produit scalaire usuel et en considérant les deux remarques ci-dessous :

1. Si $H \subset \mathbb{P}_n$ est un hyperplan projectif, alors il existe $H_0 \subset \mathbb{R}^{n+1}$ un hyperplan vectoriel tel que $H = \mathcal{P}(H_0)$. Ainsi, en considérant $\delta$ la droite orthogonale à l'hyperplan vectoriel $H_0$ dans $\mathbb{R}^{n+1}$, on a que $H^* = \varphi(\bar{\delta})$ avec $\bar{\delta} = \mathcal{P}(\delta)$.

2. En considérant, pour $e \in \mathbb{S}^n$, l'identification $\mathbb{P}_n \setminus H_e \sim \vec{T}_e \sim \mathbb{R}^n$ ainsi que $K \subset \mathbb{P}_n \setminus H_e$ un corps convexe centré en $e$, alors un hyperplan projectif $H \in \mathcal{H}(\mathbb{P}_n) \setminus \{H_e\}$ n'intersecte pas $K$, si et seulement si il existe $L \subset \mathbb{R}^n$ un hyperplan affine de $\mathbb{R}^n$ qui n'intersecte pas $K$ vu dans $\mathbb{R}^n$ tel que :

$$H = \mathcal{P}(\langle e + L \rangle) \qquad (4.3.1.10)$$

Par conséquent, identifions $\mathbb{P}_n$ et $\mathbb{P}_n^*$ via l'isomorphisme projectif induit par le produit scalaire et considérons $K \subset \mathbb{R}^n$ un corps convexe centré en zéro. Alors, par les deux remarques précédentes, on a que la partie :

$$\{H^* \in \mathcal{P}(E)^* \text{ tel que } H \in \mathcal{HP}(E) \text{ et } H \cap K = \emptyset\} \subset \mathbb{P}_n^* \qquad (4.3.1.11)$$

correspond nécessairement à la partie :

$$\underbrace{\{\bar{\delta} \in \mathbb{P}_n \text{ tel que } \delta = \langle e + L \rangle^{\perp} \text{ avec } L \in \mathcal{H}(\mathbb{R}^n) \text{ vérifiant } L \cap K = \emptyset\}}_{\mathcal{A}} \cup \{\overline{\{\delta_e\}}\} \subset \mathbb{P}_n \qquad (4.3.1.12)$$

avec $\overline{\delta_e} = \mathcal{P}(\mathbb{R}e)$ étant le dual de $H_e$. On retrouve alors la relation (4.3.0.1) par fermeture de la partie $\mathcal{A}$. Remarquons en particulier que le point $\overline{\delta_e}$ est bien un point d'adhérence de la partie $\mathcal{A}$. Il est alors intéressant de représenter graphiquement cette construction comme ci-dessous :

<figure><img src="image_111.png" /><figcaption>FIGURE 4.2 – Dual projectif d'un corps convexe</figcaption></figure>

## 4.3.2 La dualité polaire d'un corps convexe

Commençons par remarquer que lorsque l'on parle de dualité pour les corps convexes, il s'agit classiquement de la dualité polaire (voir section 1.6 de [100]). Il est aussi intéressant de noter que sur le plan euclidien, on parle de dualité polaire pour une courbe $\gamma \subset \mathbb{R}^2$ par rapport à un cercle $C$, en considérant l'enveloppe de la famille des $(\delta_x)_{x \in \gamma}$, formée par les droites polaires de chaque point $x \in \gamma$ par rapport au cercle $C$. On rappelle que la droite polaire d'un point $x \in \mathbb{R}^2$ par rapport à un cercle $C$, lorsque le point $x$ est à l'extérieur du cercle $C$, correspond à la droite passant par les deux points d'intersection entre le cercle $C$ et le cercle $\Gamma_x$, qui est centré en $x$ et qui est orthogonal au cercle $C$.
<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>FIGURE 4.3 – Droite polaire d'un point sur le plan euclidien</figcaption></figure>

Par conséquent, nous définissons la notion de dualité polaire d'un corps convexe en appliquant la même méthode que pour la dualité projective, mais en nous reposant sur la définition 4.2.3. On obtient alors la définition suivante :

**Définition 4.3.3.** Soit $E$ un espace euclidien et $C \subset \mathcal{P}(E)$ une quadrique propre. Si $K$ dans $\mathcal{P}(E)$ est un corps convexe, alors on définit le **dual polaire de K par rapport à la quadrique** $C$, que l'on note $K^{\circ}$, comme étant la partie de $\mathcal{P}(E)$ vérifiant que :

$$ K^{\circ} = \mathrm{Ad}\{H^{\circ} \in \mathcal{P}(E) \text{ tel que } H \in \mathcal{HP}(E) \text{ et } K \cap H = \emptyset\} \quad (4.3.2.13) $$

**Propriété 4.3.3.** Soit $E$ un espace euclidien et $K \subset \mathcal{P}(E)$ un corps convexe, et $C \subset \mathcal{P}(E)$ une quadrique propre. Alors le dual polaire de $K$ pour $C$ vérifie les quatre points suivants :

1. Le bidual polaire vérifie que $(K^{\circ})^{\circ} = K$ pour tout corps convexe non réduit à un singleton.

2. Si $K$ est un corps convexe dont le bord n'est pas de classe $C^0$, alors son dual polaire n'est pas un corps convexe.

3. Si $K$ est un corps convexe de classe $C^0$, alors son dual polaire l'est aussi.

4. Si $K$ est un corps convexe de classe $C_{+}^k$, alors son dual polaire l'est aussi.

*Démonstration.* Soit $C \subset \mathcal{P}(E)$ une quadrique propre et $K \subset \mathcal{P}(E)$ un corps convexe. Si $\phi \in E^* \otimes E^*$ est la forme polaire correspondant à la forme quadratique $q : E \mapsto \mathbb{R}$ qui définit la quadrique $C$, alors on considère $\psi : \mathcal{P}(E) \hookrightarrow \mathcal{P}(E)^*$ l'isomorphisme projectif induit par $\phi$. De plus, on considère l'isomorphisme projectif canonique $\varphi : \mathcal{P}(E) \mapsto \mathcal{P}(E)^{**}$ entre l'espace projectif et son bidual. Alors, par construction, on a que :

$$ \psi(K^{\circ}) = K^{*} \text{ et } \varphi(K^{\circ\circ}) = K^{**} $$

Ainsi, par ce qui précède, nous retrouvons donc l'équivalent sur $\mathcal{P}(E)$ de la propriété 4.3.2 que nous avons vue précédemment pour la dualité projective des corps convexes. $\square$

À présent, considérons la forme quadratique $q(x) = x_1^2 + \cdots + x_n^2 - x_{n+1}^2$ définie sur $\mathbb{R}^{n+1}$, dont la forme polaire est $\phi$, ainsi que la quadrique $C \subset \mathbb{P}_n$ définie par $q$. En choisissant le point de type temps $e = (0, \cdots, 0, 1) \in \mathbb{S}^n$ (avec $\mathbb{S}^n$ étant la sphère unité pour le produit scalaire usuel de $\mathbb{R}^{n+1}$) ainsi que $H_e \subset \mathbb{P}_n$ l'hyperplan projectif associé à $e$, alors nous pouvons remarquer que la quadrique $C$ correspond à la sphère unité dans $\mathbb{P}_n \setminus H_e$ (vue comme espace euclidien), et ainsi nous ramène à considérer une notion de polarité par rapport à une sphère, comme nous l'avons vue dans l'exemple introductif.

Soit $K$ dans $\mathbb{R}^n \sim \mathbb{P}_n \setminus H_e$ un corps convexe que nous supposerons d'intérieur non vide et centré en zéro (on rappelle que nous identifions $\mathbb{R}^n$ avec l'hyperplan vectoriel $\vec{T}_e$). Nous pouvons alors considérer les quatre remarques suivantes :
1. Considérons $L \subset \mathbb{R}^n$ un hyperplan affine qui ne passe pas par zéro. Alors on considère l'hyperplan vectoriel $H_0 = \langle e + L \rangle \subset \mathbb{R}^{n+1}$ et la droite $\delta$ orthogonale à $H_0$ pour la forme polaire $\phi$. Il est alors clair que la droite $\delta$ intersecte l'hyperplan affine $T_e = e + \vec{T}_e$ en un unique point $(x_0, 1)$, avec $x_0 \in \mathbb{R}^n \sim \vec{T}_e$ non nul. Ainsi, pour tout $y \in L$, on peut vérifier que $\phi((x_0, 1), (y, 1)) = \langle x_0|y \rangle - 1 = 0$, où $\langle \cdot | \cdot \rangle$ est le produit scalaire usuel sur $\mathbb{R}^n$. Par conséquent, l'hyperplan affine $L$ peut être défini via $x_0$ tel que :

$$L = \{y \in \mathbb{R}^n \text{ tel que } \langle x_0 | y \rangle = 1\} \qquad (4.3.2.14)$$

Réciproquement, si $x_0 \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$, alors on peut vérifier que l'hyperplan affine $L$ défini par l'expression (4.3.2.14) ne passe pas par zéro.

2. Considérons $L \subset \mathbb{R}^n$ un hyperplan affine qui n'intersecte pas le corps $K$. Le corps $K$ étant centré en zéro, alors l'hyperplan $L$ ne passe pas par zéro et donc vérifie l'expression (4.3.2.14) pour un certain $x_0 \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$. Comme le corps $K$ est centré en zéro, alors il est clair qu'il existe $y \in K$ tel que $\langle x_0|y \rangle < 1$. Supposons alors qu'il existe $y \in K$ tel que $\langle x_0|y \rangle \ge 1$. Il est donc immédiat (par convexité) que $L \cap K \ne \emptyset$, ce qui n'est pas possible. On a donc montré que : Un hyperplan $L \subset \mathbb{R}^n$ ne passant pas par zéro (et vérifiant donc l'expression (4.3.2.14) pour un certain $x_0 \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$), n'intersecte pas le corps $K$ si et seulement si :

$$\langle x_0 | y \rangle < 1 \qquad (4.3.2.15)$$

pour tout $y \in K$.

3. Nous avons vu à la section précédente qu'un hyperplan projectif $H \subset \mathbb{P}_n$, distinct de $H_e$, n'intersecte pas le corps $K$ (vu dans $\mathbb{P}_n \setminus H_e$) si et seulement si il est de la forme $H = \mathcal{P}(\langle e + L \rangle)$, où $L \subset \mathbb{R}^n$ est un hyperplan affine qui n'intersecte pas $K$ (vu dans $\mathbb{R}^n$).

4. Considérons $L \subset \mathbb{R}^n$ un hyperplan affine défini par l'expression (4.3.2.14) pour un certain $x_0 \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$, ainsi que l'hyperplan projectif $H = \mathcal{P}(\langle e + L \rangle)$. Alors, via l'identification $\mathbb{P}_n \setminus H_e \sim \vec{T}_e \sim \mathbb{R}^n$, on a que $x_0 = H^\circ$.

Considérons donc $H \subset \mathbb{P}_n$ un hyperplan projectif, distinct de $H_e$ et n'intersectant pas le corps $K$. Alors, par ce qui précède, $H$ correspond à un hyperplan affine $L$ défini par l'expression (4.3.2.14) pour un certain $x_0 \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ et qui vérifie la condition (4.3.2.15). Réciproquement, si $x_0 \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ vérifie la condition (4.3.2.15), alors il définit un hyperplan projectif $H$ qui n'intersecte pas le corps $K$. Il est alors clair que la partie $\{H^\circ \in \mathbb{P}_n \text{ tel que } H \in \mathcal{H}(\mathbb{P}_n) \text{ et } K \cap H = \emptyset\}$ de $\mathbb{P}_n$ correspond à la partie :

$$\underbrace{\{x \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \text{ tel que } \forall y \in K, \langle x | y \rangle < 1\}}_{\mathcal{B}} \cup \{0\} \qquad (4.3.2.16)$$

On obtient donc la définition (4.3.0.2) par fermeture de la partie $\mathcal{B}$. Remarquons en particulier que le point $x = 0$ est un point d'adhérence de la partie $\mathcal{B}$. Comme pour la dualité projective, il est intéressant de représenter graphiquement cette construction comme ci-dessous :
<figure><img src="image_113.png" /><figcaption>FIGURE 4.4 – Dual polaire d’un corps convexe</figcaption></figure>

En particulier, via les représentations 4.3 et 4.4, nous pouvons observer que le dual projectif et le dual polaire d'un corps convexe correspondent au signe près. C'est précisément ce que nous obtenons au chapitre 3 via les propriétés 3.1.2 et 3.1.3 des pages 54 et 58.
# Annexe E

## Les espaces à courbure constante

L'objet de cette annexe est d'introduire les définitions et les propriétés de base sur l'espace hyperbolique et sur la sphère, qui nous seront nécessaires pour les parties II et III. Pour cela, nous nous reposerons principalement sur l'ouvrage [94] de F. Rouvière, qui couvre largement les notions qui nous sont nécessaires.

**Théorème.** Si $(M, g)$ est une variété riemannienne à courbure constante $K$, alors tout point de $M$ admet un voisinage qui est isométrique à un ouvert d'une sphère de rayon $\frac{1}{\sqrt{K}}$ (si $K > 0$), d'un espace euclidien (si $K = 0$), ou d'un espace hyperbolique (si $K < 0$).

De plus, si la variété $M$ est complète et simplement connexe, alors les isométries en question sont globales.

*Démonstration.* Voir théorème 10.3.3 page 219 de [94]. □

**Remarque 5.0.1.** Par ce théorème, il apparaît naturellement les trois variétés à courbures constantes (i.e., l'espace euclidien, l'espace sphérique et l'espace hyperbolique).

**Note historique :** Jusqu'au début du XIX-ème siècle, il était commun de penser que le monde était euclidien. En particulier, on croyait qu'il ne pouvait exister d'autre géométrie que la géométrie euclidienne. Mais nous savons tous que le XIX-ème siècle a été une période de grands bouleversements où les changements sociaux, politiques, intellectuels et technologiques s'entremêlaient avec l'illusion de maîtriser la nature tant sur le plan intellectuel que technique. C'est naturellement dans ce contexte que la géométrie non euclidienne émergea. Rappelons que le cinquième axiome d'Euclide affirme : *Sur le plan, par tout point hors d'une droite (d), il passe une et une seule droite parallèle à (d).* Si, depuis l'Antiquité, des générations de mathématiciens ont tenu pour évident cet axiome, par sa simplicité, et supposé qu'il devait forcément résulter des autres axiomes de la géométrie, aucun n'a pu le prouver. En particulier, au début du XVIII-ème siècle, le mathématicien italien Giovanni Saccheri échoua à montrer l'incohérence de la géométrie quand le cinquième axiome était infirmé, ce qui aurait dû être, selon lui, l'œuvre de sa vie. Il conclut par l'aveu d'un demi-échec, alors qu'il avait devant lui une nouvelle géométrie. Ce n'est qu'avec l'arrivée, aux XIX-ème et XX-ème siècles, de mathématiciens tels que János Bolyai, Nikolai Lobachevsky, Carl Friedrich Gauss, Eugenio Beltrami, Felix Klein et Henri Poincaré que les géométries non euclidiennes prirent leur essor.
Pour en savoir plus, il est possible de consulter les deux ouvrages [107] et [44]. Il est également possible de considérer l'ouvrage de vulgarisation [86] de Henri Poincaré, qui est destiné au grand public. En particulier, dans cet ouvrage, l'auteur discute du rapport entre la physique et les différentes géométries qui, dans leur diversité, ont pour objet d'être sélectionnées afin de simplifier l'écriture des lois de la physique. Par conséquent, elles ne sont plus, pour aucune d'entre elles, la représentation absolue de la nature, comme on pouvait le considérer pour la géométrie euclidienne, au début du XIXᵉ siècle.

## 5.1 L'espace hyperbolique

La géométrie hyperbolique est une géométrie qui vérifie les quatre premiers axiomes<fnref n="1" /> d'Euclide, mais dont le cinquième est remplacé par : *Par un point extérieur à une droite, il passe plusieurs droites parallèles<fnref n="2" /> à celle-ci.* Formellement, on appelle **espace hyperbolique** de dimension *n* toute *n*-variété complète et simplement connexe dont la courbure est constante et égale à *K* < 0. Il est alors clair que, par l'application du théorème précédent, pour *K* < 0 et *n* ∈ N* fixé, toutes les variétés hyperboliques de dimension *n* et dont la courbure est égale à *K* sont isométriques les unes aux autres.

Par conséquent, il existe différents modèles de l'espace hyperbolique, et nous présenterons, en particulier, le modèle du demi-hyperboloïde de Lorentz-Minkowski, le modèle de Klein et le modèle de Poincaré. Il est à noter que nous considérons le modèle du demi-hyperboloïde de Lorentz-Minkowski comme modèle par défaut, et qui est défini par la donnée du demi-hyperboloïde :

$$ \mathbb{H}^n = \{x \in \mathbb{R}^{n+1} \text{ tel que } x_1^2 + \cdots + x_n^2 - x_{n+1}^2 = -1 \text{ et } x_{n+1} > 0\} \quad (5.1.0.1) $$

que l'on munit de la métrique *g*, que l'on appelle **métrique usuelle**, et qui correspond à la métrique induite par le produit de Minkowski sur l'espace de Lorentz-Minkowski $\mathbb{L}^{n+1}$.

Nous pouvons alors vérifier que le demi-hyperboloïde $\mathbb{H}^n$ muni de la métrique usuelle, définit une variété hyperbolique de dimension *n* et de courbure *K* = -1. En particulier, et pour toute la suite, $\mathbb{H}^n$ correspondra au demi-hyperboloïde (5.1.0.1), sauf mention contraire. De plus, dans le cas où cela ne produit pas de confusion, nous noterons $\langle \cdot | \cdot \rangle$ la métrique induite sur le demi-hyperboloïde et qui correspond au produit de Minkowski.

**Propriété 5.1.1.** *Pour tout couple de points $v \in \mathbb{H}^n$ et $w \in \mathbb{H}^n$, on a que $\langle v|w \rangle \le -1$.*

*Démonstration.* Considérons l'ensemble des vecteurs de type temps dans le demi-espace des vecteurs à temps positif :

<footnote n="1">1. On rappelle que les cinq axiomes de la géométrie euclidienne sont les suivants :</footnote>

<footnote>♦ **Premier axiome** : Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques et distincts.</footnote>

<footnote>♦ **Deuxième axiome** : Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.</footnote>

<footnote>♦ **Troisième axiome** : Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et dont l'une de ses extrémités correspond au centre du cercle.</footnote>

<footnote>♦ **Quatrième axiome** : Tous les angles droits sont congruents.</footnote>

<footnote>♦ **Cinquième axiome** : Si deux droites sont coupées par une troisième de telle manière que la somme des angles intérieurs du même côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux droites se rencontrent de ce côté-là.</footnote>

<footnote n="2">2. On rappelle que deux droites du plan sont dites parallèles lorsqu'elles ne s'intersectent pas.</footnote>
$$
\Gamma^{+} = \{x \in \mathbb{R}^{n+1} \text{ tel que } x_{1}^{2} + \cdots + x_{n}^{2} - x_{n+1}^{2} < 0 \text{ et } x_{n+1} > 0\}
$$

alors,

$$
v + w \in \Gamma^{+} \text{ et } \lambda v \in \Gamma^{+} \qquad (5.1.0.2)
$$

pour tout $v$ et $w$ dans $\Gamma^+$, ainsi que pour tout $\lambda > 0$.

<figure><img src="image_114.png" /><figcaption>FIGURE 5.1 – Addition de deux vecteurs dans $\Gamma^+$</figcaption></figure>

Pour vérifier cela, il suffit de considérer $p : \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^n$ la projection orthogonale le long de l'axe du temps $\mathbb{R}(0_{\mathbb{R}^n}, 1)$. Si $v \in \Gamma^+$ et $w \in \Gamma^+$, alors nous avons :

$$
\|p(v + w)\| \le \|p(v)\| + \|p(w)\| \le v_{n+1} + w_{n+1}
$$

ce qui nous donne immédiatement le résultat recherché. On vérifie aussi le deuxième point en
appliquant la même méthode.

À présent, considérons deux points $v \in \Gamma^+$ et $w \in \Gamma^+$. Par ce qui précède, nous savons que pour tout $\lambda > 0$, le vecteur $v + \lambda w$ est de type temps. Ensuite, comme les vecteurs $v$ et $w$ forment un plan de type temps, il existe donc $\alpha \in \mathbb{R}$ et $\beta \in \mathbb{R}$ tels que $\alpha v + \beta w$ est de type lumière. Aussi, les vecteurs $v$ et $w$ étant de type temps, les scalaires $\alpha$ et $\beta$ sont non nuls. Cela implique qu'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$, non nul, tel que $v + \lambda w$ est de type lumière. Et par (5.1.0.2), on sait que la seule possibilité est que $\lambda < 0$. Par conséquent, on obtient :

$$
\langle v + \lambda w | v + \lambda w \rangle = -1 + 2\lambda \langle v | w \rangle - \lambda^2 = 0
$$

et ainsi,

$$
\langle v | w \rangle = \frac{1 + \lambda^2}{2\lambda}
$$

Pour finir, il nous suffit de remarquer que la fonction $f(t) = \frac{1+t^2}{2t}$, définie sur $]-\infty, 0[$ admet
$y = -1$ pour maximum global. $\square$
### 5.1.1 Expression des dérivées covariantes, des géodésiques et de la carte exponentielle

Considérons la connexion de Levi-Civita $\nabla : \Delta(\mathbb{H}^n) \hookrightarrow \Omega_1(\mathbb{H}^n) \otimes \Delta(\mathbb{H}^n)$, avec $\Delta(\mathbb{H}^n)$ étant l'ensemble des champs de vecteurs sur l'espace hyperbolique.

**Propriété 5.1.2.** Si $X \in \Delta(\mathbb{H}^n)$ est un champ de vecteurs, alors pour tout point $v \in \mathbb{H}^n$ et vecteur $\vec{W} \in T_v\mathbb{H}^n$, la dérivée covariante admet pour expression :

$$ \nabla(X)_v \cdot \vec{W} = d_v X \cdot \vec{W} + \langle d_v X \cdot \vec{W} | v \rangle_L v \quad (5.1.1.3) $$

*Démonstration.* Il suffit de vérifier que la connexion qui est définie via l'expression (5.1.1.3) est une connexion métrique dont la torsion est nulle. Il est alors clair que c'est la connexion de Levi-Civita. $\square$

En particulier, si $x : \Sigma \hookrightarrow \mathbb{H}^n$ est une fonction lisse et $N \in \Gamma^0(x^*T\mathbb{H}^n)$ une section vérifiant la condition de contact $\langle N(u)|d_u x \cdot \vec{W} \rangle = 0$, pour tout $u \in \Sigma$ et $\vec{W} \in T_u \Sigma$, alors la dérivée covariante du champ $N$ vérifie l'expression suivante :

$$ \nabla(N)_u \cdot \vec{W} = d_u N \cdot \vec{W} \quad (5.1.1.4) $$

**Propriété 5.1.3.** Si $e \in \mathbb{H}^n$ est un point et $u \in S_e^{n-1}$, avec $S_e^{n-1} = ST_e\mathbb{H}^n$ la sphère unité, alors la géodésique maximale passant par le point $e$ à la vitesse $u$ est la fonction $\gamma : \mathbb{R} \hookrightarrow \mathbb{H}^n$ définie par l'expression suivante :

$$ \gamma(t) = CH(t)e + SH(t)u \quad (5.1.1.5) $$

*Démonstration.* En remarquant que $\partial_t^2 \gamma(t) = \gamma(t)$, on obtient que $\nabla_t(\partial_t \gamma) = 0$. $\square$

**Remarque 5.1.1.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point. À partir de la propriété précédente, il est immédiat que la carte exponentielle centrée en $e$ correspond à l'application $\phi : T_e\mathbb{H}^n \hookrightarrow \mathbb{H}^n$ définie ci-dessous :

$$ \phi(t) = \begin{cases} CH(W)e + SH(W)u_{\vec{W}} & \text{si } \vec{W} \neq 0 \\ e & \text{sinon} \end{cases} \quad (5.1.1.6) $$

avec, lorsque le vecteur $\vec{W}$ est non nul, $W = \|\vec{W}\|$ et $u_{\vec{W}} = \frac{\vec{W}}{\|\vec{W}\|}$.

### 5.1.2 Le modèle de Klein

Le modèle de Klein est un modèle de l'espace hyperbolique que l'on définit sur la boule unité d'un espace euclidien et dont les géodésiques correspondent aux intersections non vides des droites affines de l'espace euclidien avec la boule unité. Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence sur le demi-hyperboloïde et considérons donc l'espace euclidien $(T_e\mathbb{H}^n, g_e)$, où $g$ est la métrique usuelle de l'espace hyperbolique. Alors on appelle **boule de Klein centrée en e** la partie $\mathcal{D}(e) \subset T_e\mathbb{H}^n$ telle que :

$$ \mathcal{D}(e) = \{w \in T_e\mathbb{H}^n \text{ tel que } w_1^2 + \cdots + w_n^2 - w_{n+12} < 1\} \quad (5.1.2.7) $$

Par conséquent, le modèle de Klein centré en $e$ correspond à la projection, par rapport à l'origine, du demi-hyperboloïde $\mathbb{H}^n$ sur l'espace affine $e + T_e\mathbb{H}^n$ et donc sur la boule de Klein centrée en $e$.
<figure><img src="image_115.png" /><figcaption>FIGURE 5.2 – Projection de Klein</figcaption></figure>

Pour cela, si $v \in \mathbb{H}^n$, on considère $f(t) = tv$ et on cherche l'instant $t$ tel que $f(t) \in e + T_e\mathbb{H}^n$, c'est-à-dire $f(t) - e \in \langle e \rangle^\perp$. On obtient alors la définition suivante :

**Définition 5.1.1.** Considérons un point $e \in \mathbb{H}^n$, alors on appelle **projection de Klein centrée en e** l'application $\psi_e : \mathbb{H}^n \to \mathcal{D}(e)$ telle que :

$$ \psi_e(v) = k_e(v)v - e \qquad (5.1.2.8) $$

$$ \text{avec } k_e(v) = -\frac{1}{\langle e|v \rangle}. $$

On remarque facilement que les applications $\psi_e$ et $k_e$ sont lisses et que pour tout $v \in \mathbb{H}^n$, $\psi_e(v) \in \mathcal{D}(e)$. De plus, la projection de Klein centrée en $e$, ainsi définie, est un difféomorphisme dont la réciproque est l'application lisse $\varphi_e : \mathcal{D}(e) \to \mathbb{H}^n$ définie par l'expression suivante :

$$ \varphi_e(w) = \alpha(w)[w + e] \qquad (5.1.2.9) $$

$$ \text{avec } \alpha(w) = \frac{1}{\sqrt{1 - \|w\|^2}}. $$

En particulier, si $g$ correspond à la métrique induite sur le demi-hyperboloïde $\mathbb{H}^n$, alors on appelle **modèle de Klein centré en e** la donnée de la boule de Klein centrée en $e$ munie de la métrique tirée en arrière $\varphi_e^*(g)$. Étant un difféomorphisme à image sur un ouvert d'un espace vectoriel, il est justifié d'appeler aussi **carte de Klein centrée en e** la projection $\psi_e$. Nous nous permettrons donc de l'appeler ainsi en fonction de la situation que nous considérerons.

**Remarque 5.1.2.** Soit $v \in \mathbb{H}^n$ et $w \in \mathcal{D}(e)$ tels que $w = \psi_e(v)$. Alors les applications $k_e$ et $\alpha$ vérifient la relation suivante :

$$ \alpha(w)k_e(v) = 1 \qquad (5.1.2.10) $$

**Remarque 5.1.3.** Les différentiels des applications $\psi_e$, $k_e$, $\varphi_e$ et $\alpha$ admettent les expressions suivantes :
1. Si $v \in \mathbb{H}^n$ et $\vec{V} \in T_e\mathbb{H}^n$ :

$$d_v \psi_e \cdot \vec{V} = k_e(v) [\vec{V} + k_e(v) \langle e|\vec{V} \rangle v] \quad \text{et} \quad d_v k_e \cdot \vec{V} = k_e(v)^2 \langle e|\vec{V} \rangle \quad (5.1.2.11)$$

2. Si $w \in \mathcal{D}(e)$ et $\vec{W} \in T_e\mathbb{H}^n$ :

$$d_w \varphi_e \cdot \vec{W} = \alpha(w) [\vec{W} + \alpha(w)^2 \langle w|\vec{W} \rangle (e+w)] \quad \text{et} \quad d_w \alpha \cdot \vec{W} = \alpha(w)^3 \langle w|\vec{W} \rangle \quad (5.1.2.12)$$

**Propriété 5.1.4.** *Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point ainsi que $g \in \Omega_1(\mathbb{H}^n) \otimes \Omega_1(\mathbb{H}^n)$ la métrique usuelle sur le demi-hyperboloïde $\mathbb{H}^n$, alors le tiré en arrière $\varphi_e^*(g)$ vérifie l'expression suivante :*

$$\varphi_e^*(g)_w(\vec{W}_1, \vec{W}_2) = \alpha(w)^2 (\langle \vec{W}_1 | \vec{W}_2 \rangle + \alpha(w)^2 \langle w | \vec{W}_1 \rangle \langle w | \vec{W}_2 \rangle) \quad (5.1.2.13)$$

pour tout point $w \in \mathcal{D}(e)$ et vecteurs $\vec{W}_1$ et $\vec{W}_2$ dans $T_e\mathbb{H}^n$.

**Démonstration.** C'est immédiat via l'expression (5.1.2.12). □

**Remarque 5.1.4.** *Considérons un point $w \in \mathcal{D}(e)$ ainsi que deux vecteurs $\vec{W}_1$ et $\vec{W}_2$, dont au moins un est orthogonal à la droite $\mathbb{R}w$ sur $T_e\mathbb{H}^n$. Alors on obtient que :*

$$\varphi_e^*(g)_w(\vec{W}_1, \vec{W}_2) = \alpha(w)^2 \langle \vec{W}_1 | \vec{W}_2 \rangle \quad (5.1.2.14)$$

En particulier, en considérant la propriété ci-dessous, on a que pour un point $w \neq 0$ dans $\mathcal{D}(e)$, les droites $w + \mathbb{R}\vec{v}$ et $\mathbb{R}w$ sont orthogonales si et seulement si les géodésiques qui leur correspondent le sont aussi.

**Propriété 5.1.5.** *Les géodésiques maximales du modèle de Klein sont les intersections non vides des droites affines de $T_e\mathbb{H}^n$ avec le disque ouvert $\mathcal{D}(e)$.*

**Démonstration.** Si $\gamma : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{H}^n$ est une géodésique passant par un point $v$ à la vitesse $u \in \mathbb{S}_v^{n-1}$, alors elle admet l'expression suivante :

$$\gamma(t) = SH(t)u + CH(t)v$$

ainsi,

$$\begin{aligned} \psi_e \circ \gamma(t) - \psi_e(v) &= k_e(\gamma(t))\gamma(t) - k_e(v)v = -\frac{\langle e|\gamma(t) \rangle v - \langle e|v \rangle \gamma(t)}{\langle e|\gamma(t) \rangle \langle e|v \rangle} \\ &= \frac{SH(t)}{\langle e|\gamma(t) \rangle \langle e|v \rangle} [\langle e|u \rangle v - \langle e|v \rangle u] = \frac{\langle e|v \rangle^2 SH(t)}{\langle e|\gamma(t) \rangle \langle e|v \rangle} d_v \psi_e(u) \end{aligned}$$

et finalement, on obtient :

$$\psi_e \circ \gamma(t) = \psi_e(v) + f(t)d_v \psi_e(u) \quad (5.1.2.15)$$

avec $f(t) = \frac{SH(t)}{CH(t) - k_e(v) \langle e|u \rangle SH(t)}$.

Pour la réciproque, si on considère la droite ($d$) $= w + \mathbb{R}u$, avec $w \in \mathcal{D}(e)$ et $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, alors il suffit de considérer la géodésique $\gamma(t) = SH(t)u + CH(t)v$, avec $v = \varphi_e(w)$, et ainsi on retrouve immédiatement que $\psi_e(\gamma) = d \cap \mathcal{D}(e)$. □
**Remarque 5.1.5.** Toute géodésique maximale de l'espace hyperbolique $\mathbb{H}^n$ est l'intersection non vide d'un plan vectoriel de type temps dans $\mathbb{L}^{n+1}$ avec l'hyperboloïde $\mathbb{H}^n$.

Pour finir, si $e$ et $v$ sont deux points de l'espace hyperbolique $\mathbb{H}^n$, alors on appellera **fonction de changement de carte** l'application $\phi := \psi_v \circ \varphi_e : \mathcal{D}(e) \mapsto \mathcal{D}(v)$. À présent, si $\gamma \subset \mathcal{D}(e)$ est une géodésique, alors nous voulons étudier la relation entre les géodésiques $\gamma$ et $\phi(\gamma)$.

**Définition 5.1.2.** Si on considère deux points $e \in \mathbb{H}^n$ et $v_0 \in \mathbb{H}^n$, alors on appelle **fonction de changement de point en w** $\in \mathcal{D}(e)$ l'application linéaire $\mathcal{F}_w : T_e\mathbb{H}^n \mapsto T_{v_0}\mathbb{H}^n$ définie par l'expression suivante :

$$ \mathcal{F}_w(\vec{W}) = \vec{W} + \kappa_w(\vec{W})[e+w] \quad (5.1.2.16) $$

$$ \text{avec } \kappa_w(\vec{W}) = - \frac{\langle v_0 | \vec{W} \rangle}{\langle v_0 | e+w \rangle}. $$

**Propriété 5.1.6.** Considérons deux points $e \in \mathbb{H}^n$ et $v_0 \in \mathbb{H}^n$, ainsi que la fonction de changement de carte $\phi := \psi_{v_0} \circ \varphi_e : \mathcal{D}(e) \mapsto \mathcal{D}(v_0)$. Si $\gamma : \mathbb{R} \mapsto \mathcal{D}(e)$ est la géodésique dans le modèle de Klein centré en $e$ passant par le point $w$ à la vitesse $\vec{W}$, alors $\phi \circ \gamma$ est la géodésique dans le modèle de Klein centré en $v_0$ passant par le point $\phi(w)$ à la vitesse $a(w)\mathcal{F}_w(\vec{W})$, avec $a(w) = \alpha(w)k_v \circ \varphi_e(w)$.

**Démonstration.** Considérons donc $\gamma$ une géodésique sur le disque de Klein $\mathcal{D}(e)$. Nous savons par la propriété 5.1.5 que $\gamma(t) = w + \eta(t)\vec{W}$ avec $\eta : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ une immersion injective telle que :

$$ \eta(0) = 0 \text{ et } \partial_t \eta(0) = 1 \quad (5.1.2.17) $$

Via l'application de changement de carte $\phi := \psi_{v_0} \circ \varphi_e$ et à partir de l'expression (5.1.2.15), on obtient qu'il existe une immersion injective $f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ vérifiant (5.1.2.17) telle que :

$$ \phi \circ \gamma(t) = \phi(w) + f(t)d_w \phi(\vec{W}) $$

$$ \text{où } \phi(w) = - \frac{e+w}{\langle v_0 | e+w \rangle} - v_0. $$

Afin de simplifier l'écriture de nos relations, nous définissons les termes $\sigma = e + w$ et $\kappa = \langle v_0 | e + w \rangle$. En remarquant que $\langle v_0 | e + \eta(t) \rangle = \kappa + \eta(t) \langle v_0 | \vec{W} \rangle$ et $e + \gamma(t) = \sigma + \eta(t) \vec{W}$, alors :

$$ \phi \circ \gamma(t) - \phi(w) = - \frac{\sigma + \eta(t) \vec{W}}{\kappa + \eta(t) \langle v_0 | \vec{W} \rangle} + \frac{\sigma}{\kappa} = \frac{\eta(t)}{\kappa (\kappa + \eta(t) \langle v_0 | \vec{W} \rangle)} (\langle v_0 | \vec{W} \rangle \sigma - \kappa \vec{W}) $$

et comme

$$ \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\eta(t)}{\kappa \left( \kappa + \eta(t) \langle v_0 | \vec{W} \rangle \right)} \right]_{t=0} = \frac{1}{\kappa^2} $$

on obtient donc le résultat recherché. □
### 5.1.3 Le modèle du disque de Poincaré

Le modèle du disque de Poincaré est un modèle de l'espace hyperbolique qui est défini sur la boule unité d'un espace euclidien et qui, de plus, est conforme avec le produit scalaire. Considérons donc $e \in \mathbb{H}^n$ un point, alors on appelle **boule de Poincaré centrée en e** la partie $\mathcal{D}(e) \subset T_e\mathbb{H}^n$ définie par l'expression (5.1.2.7). Comme pour le modèle de Klein, le modèle de Poincaré correspond à la projection du demi-hyperboloïde $\mathbb{H}^n$ sur l'hyperplan vectoriel $T_e\mathbb{H}^n$ par rapport au point $-e$.

<figure><img src="image_116.png" /><figcaption>FIGURE 5.3 – Projection de Poincaré</figcaption></figure>

Considérons donc un point $v \in \mathbb{H}^n$; nous voulons trouver $w$ sur la droite passant par les points $-e$ et $v$, et qui vérifie que $\langle w|e \rangle = 0$. Pour cela, si $f(t) = -e + t\vec{W}$, avec $\vec{W} = e + v$, alors on a que $\langle e|f(t) \rangle = 0$ si et seulement si $t = \frac{1}{1-\langle e|v \rangle}$. Par conséquent, pour chaque point $v \in \mathbb{H}^n$, on considère :

$$ \psi_e(v) = q_e(v)[e+v] - e \qquad (5.1.3.18) $$

$$ \text{où } q_e(v) = \frac{1}{1-\langle e|v \rangle}. $$

**Propriété 5.1.7.** Pour tout $v \in \mathbb{H}^n$, on a que $\psi_e(v) \in \mathcal{D}(e)$.

*Démonstration.* En effet,

$$ \begin{align*} \langle \psi_e(v) | \psi_e(v) \rangle &= q_e(v)^2 \langle v + e | v + e \rangle - 2q_e(v) \langle v + e | e \rangle - 1 \\ &= -2q_e(v)^2(1 - \langle v | e \rangle) + 2q_e(v)(1 - \langle v | e \rangle) - 1 \\ &= -2q_e(v)^2 + 1 = - \frac{1 + \langle v | e \rangle}{1 - \langle v | e \rangle} \end{align*} $$

De plus, comme par la propriété 5.1.1, on sait que $\langle v|e \rangle \le -1$, alors il est clair que $\|\psi_e(v)\|^2 = \frac{\langle v|e \rangle^2 - 1}{(\langle v|e \rangle - 1)^2} < 1$. Ce qui nous donne donc le résultat que nous recherchons. $\square$

**Remarque 5.1.6.** Pour tout $v \in \mathbb{H}^n$, on a que $\|\psi_e(v)\|^2 = \frac{\langle v|e \rangle + 1}{\langle v|e \rangle - 1}$.
**Définition 5.1.3.** Pour $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence, on appelle **projection de Poincaré centrée en e** l'application $\psi_e : \mathbb{H}^n \to \mathcal{D}(e)$ qui est définie via l'expression (5.1.3.18).

Il est alors immédiat que la projection de Poincaré est un $\mathcal{C}^\infty$-difféomorphisme dont l'inverse, $\varphi_e : \mathcal{D}(e) \to \mathbb{H}^n$, vérifie l'expression suivante :

$$ \varphi_e(w) = \beta(w)[w + e] - e \qquad (5.1.3.19) $$

avec $\beta(w) = \frac{2}{1 - \|w\|^2}$.

Étant un difféomorphisme à image sur un ouvert d'un espace vectoriel, il est justifié d'appeler **carte de Poincaré centrée en e** la projection $\psi_e$ et nous nous permettrons donc de l'appeler ainsi en fonction de la situation considérée.

**Propriété 5.1.8.** Soit $v \in \mathbb{H}^n$ et $w \in \mathcal{D}(e)$ tels que $w = \psi_e(v)$. Alors les applications $q_e$ et $\beta$ vérifient la condition suivante :

$$ \beta(w)q_e(v) = 1 \qquad (5.1.3.20) $$

**Démonstration.** En effet,

$$ q_e(v) = \frac{1}{1 - \langle v|e \rangle} = \frac{1}{1 - \beta(w) \langle e|e \rangle + \langle e|e \rangle} = \frac{1}{\beta(w)} $$

ce qui termine la preuve.

□

**Remarque 5.1.7.** Les différentiels des applications $\psi_e$, $q_e$, $\varphi_e$ et $\beta$ admettent les expressions suivantes :

1. Si $v \in \mathbb{H}^n$ et $\vec{V} \in T_e\mathbb{H}^n$ alors :

$$ d_v\psi_e \cdot \vec{V} = q_e(v) [\vec{V} + q_e(v) \langle e|\vec{V} \rangle (e+v)] \quad \text{et} \quad d_vq_e \cdot \vec{V} = q_e(v)^2 \langle e|\vec{V} \rangle \qquad (5.1.3.21) $$

2. Si $w \in \mathcal{D}(e)$ et $\vec{W} \in T_e\mathbb{H}^n$ alors :

$$ d_w\varphi_e \cdot \vec{W} = \beta(w) [\vec{W} + \beta(w) \langle w|\vec{W} \rangle (w+e)] \quad \text{et} \quad d_w\beta \cdot \vec{W} = \beta(w)^2 \langle w|\vec{W} \rangle \qquad (5.1.3.22) $$

**Propriété 5.1.9.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence ainsi que $g \in \Omega_1(\mathbb{H}^n) \otimes \Omega_1(\mathbb{H}^n)$ la métrique usuelle sur le demi-hyperboloïde $\mathbb{H}^n$, alors le tiré en arrière $\varphi_e^*(g)$ sur la boule de Poincaré $\mathcal{D}(e)$ vérifie l'expression suivante :

$$ \varphi_e^*(g)_w(\vec{W}_1, \vec{W}_2) = \beta(w)^2 \langle \vec{W}_1 | \vec{W}_2 \rangle \qquad (5.1.3.23) $$

pour tout point $w \in \mathcal{D}(e)$ et pour tous vecteurs $\vec{W}_1$ et $\vec{W}_2$ sur $T_e\mathbb{H}^n$.

**Démonstration.** C'est une conséquence immédiate de l'expression (5.1.3.22).

□

Nous appelons **modèle de Poincaré centré en e** la donnée de la boule de Poincaré munie de la métrique $\varphi_e^*(g)$. Il faut alors noter que, par la propriété 5.1.9, il est clair que la métrique $\varphi_e^*(g)$ est conforme avec le produit $g_e$.

**Définition 5.1.4.** On appelle **bord à l'infini**, que l'on note $\partial_\infty\mathcal{D}(e)$, la frontière topologique de la boule ouverte $\mathcal{D}(e)$ dans l'espace euclidien $(T_e\mathbb{H}^n, g_e)$.
**Remarque 5.1.8.** Il est clair que $\partial_{\infty}D(e) = \mathbb{S}_e^{n-1}$, avec $\mathbb{S}_e^{n-1} = ST_e\mathbb{H}^n$.

**Propriété 5.1.10.** Les géodésiques maximales du modèle de Poincaré $(D(e), \varphi_e^*(g))$ correspondent aux intersections non vides de la boule ouverte $D(e)$ avec les cercles orthogonaux au bord à l'infini $\partial_{\infty}D(e)$, et aux intersections non vides de la boule $D(e)$ avec les droites vectorielles de l'espace $T_e\mathbb{H}^n$.

*Démonstration.* Supposons que $\gamma \subset D(e)$ est une géodésique passant par zéro dans $D(e)$. Sur $\mathbb{H}^n$, on sait que la géodésique $\gamma$ passe par le point $e$ et est l'intersection non vide d'un plan de type temps de $\mathbb{R}^{n+1}$ avec $\mathbb{H}^n$. En particulier, il est alors clair que sur $D(e)$, la géodésique $\gamma$ est l'intersection d'une droite de l'espace tangent $T_e\mathbb{H}^n$ avec la boule ouverte $D(e)$.

Supposons donc que $\gamma$ ne passe pas par zéro dans $D(e)$. Par la remarque 5.1.4, on sait qu'il existe une géodésique passant par zéro et orthogonale à $\gamma$. En particulier, il existe forcément un point $w_0 \in \gamma$ tel que :

$$ \partial_t \gamma(t_0) \perp \mathbb{R} w_0 $$

où $t_0 \in \mathbb{R}$ est l'instant tel que $w_0 = \gamma(t_0)$.

Considérons le point $v_0 = \varphi_e(w_0)$. Nous supposerons alors que $t_0 = 0$ et que $\partial_t \gamma$ est de norme égale à 1. En remarquant que $\gamma(t) = \psi_e(CH(t)v_0 + SH(t)\nu)$, avec $\nu \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, on calcule que :

$$ \beta(\gamma(t)) \langle \gamma(t) | \partial_t \gamma(t) \rangle \xrightarrow{t \to +\infty} 1 $$

De plus, comme par hypothèse $\partial_t \gamma$ est de norme 1, alors en considérant l'expression (5.1.3.22), on a que $\beta(\gamma(t))^2 \langle \partial_t \gamma(t) | \partial_t \gamma(t) \rangle$ est constant et égal à 1, pour tout $t \in \mathbb{R}$. Par conséquent, si pour tout instant $t$, on considère l'orthogonal $\langle \partial_t \gamma(t) \rangle^{\perp}$, pour le produit scalaire $g_e$, on a donc que :

$$ \gamma(t) \xrightarrow{t \to +\infty} x \in \partial_{\infty} D(e) \text{ et } \langle \partial_t \gamma(t) \rangle^{\perp} \xrightarrow{t \to +\infty} T_x \partial_{\infty} D(e) $$

et en particulier $\beta(\gamma(t))\partial_t\gamma(t) \xrightarrow{t \to +\infty} x \perp_{g_e} T_x \partial_{\infty} D(e)$.

Ensuite, il est clair que $\psi_{v_0} \circ \varphi_e \circ \gamma$ est une géodésique sur $D(v_0)$ passant par zéro et, par ce qui précède, correspond à l'intersection $D(v_0) \cap \mathbb{R}u$, avec $u \in \partial_{\infty}D(v_0) = \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$. Considérons donc l'application $\zeta : ]-1, 1[ \mapsto D(e)$ définie par l'expression suivante :

$$ \zeta(t) = \psi_e \circ \varphi_{v_0}(tu) $$

Il nous faut alors remarquer que l'application $\zeta$ n'est pas une géodésique et correspond à un paramétrage de $\gamma(\mathbb{R})$. Nous devons donc vérifier que $\zeta$ est l'intersection d'un cercle avec la boule unité $D(e)$ et dont le centre est forcément de la forme $x = aw_0$.
<figure><img src="image_117.png" /><figcaption>FIGURE 5.4 – Description de la courbe ζ</figcaption></figure>

Notons que $\varphi_{v_0}(tu) = \beta(t)[v_0 + tu] - v_0$ avec $\beta(t) = \frac{2}{1-t^2}$. De plus, par la remarque 5.1.6, on obtient que la norme de $\zeta(t)$ vérifie l'expression suivante :

$$ \|\zeta(t)\|^2 = \frac{\langle e | \varphi_{v_0}(tu) \rangle + 1}{\langle e | \varphi_{v_0}(tu) \rangle - 1} $$

Considérons donc $\alpha(t) = \langle e|\varphi_{v_0}(tu) \rangle = \beta(t)[\kappa + \sigma t] - \kappa$ avec $\kappa = \langle e|v_0 \rangle$ et $\sigma = \langle e|u \rangle$. En remarquant que, comme $\mathbb{R}w_0$ est orthogonal à $\gamma$ dans $\mathcal{D}(e)$, alors $u \in \langle e, w_0 \rangle^{\perp}$, on obtient que $\sigma = 0$. Ce qui nous donne donc que :

$$ \alpha(t) = \kappa \frac{1 + t^2}{1 - t^2} $$

et ainsi,

$$ \|\zeta(t)\|^2 = -1 - 2q(t)\alpha(t) $$

où $q(t) = \frac{1}{1-\alpha(t)}$.

Notons à présent le scalaire $\eta = \frac{1}{1-\kappa}$. En remarquant que $w_0 = \psi_e(v_0) = \eta[e + v_0] - e$, alors le produit scalaire $\langle w_0|\zeta(t) \rangle$ vérifie la relation suivante :

$$ \langle w_0|\zeta(t) \rangle = \eta \langle v_0|\zeta(t) \rangle = \eta q(t)(\kappa + \langle v_0|\varphi_{v_0}(tu) \rangle) - \eta \kappa $$

et comme $\langle v_0|\varphi_{v_0}(tu) \rangle = -\beta(t) + 1 = -\frac{1}{\kappa}\alpha(t)$ alors :

$$ \langle w_0|\zeta(t) \rangle = \eta q(t) \left( \kappa - \frac{1}{\kappa} \alpha(t) \right) - \eta \kappa = \eta q(t) \left( \kappa - \frac{1}{\kappa} \right) \alpha(t) = \frac{\eta(\kappa^2 - 1)}{\kappa} q(t) \alpha(t) $$

Ainsi, en considérant $a = -\frac{\kappa}{\eta(\kappa^2-1)}$, on obtient que $\|\zeta(t)\|^2 = -1 - 2a \langle w_0|\zeta(t) \rangle$. Et pour finir, en remarquant que $\kappa\eta = \eta - 1$, on a que $w_0 = \eta(\kappa e + v_0)$. Ce qui nous donne :

$$ a^2 \|w_0\|^2 - 1 = \frac{\kappa^2}{\kappa^2 - 1} - 1 = \frac{1}{\kappa^2 - 1} > 0 $$

et donc $\|\zeta(t) - aw_0\|^2 = R^2$, avec $R = \frac{1}{\sqrt{\kappa^2-1}}$. $\square$
### 5.1.4 Définitions et propriétés utiles

Dans cette section, nous introduisons une série de propriétés qui nous seront nécessaires pour les parties II et III. En particulier, nous y définissons et y étudions les notions d'horosphère et de g-hyperplan.

#### 5.1.4.1 Les horosphères de l'espace hyperbolique

Les horosphères correspondent aux sphères de rayon infini et qui, dans l'espace hyperbolique, correspondent à une catégorie d'hypersurfaces qui peut être considérée comme une alternative aux hypersurfaces totalement géodésiques (voir définition 5.1.6).

**Définition 5.1.5.** On appelle **horosphère** toute hypersurface orientée dont les courbures principales sont toutes et partout égales à $\lambda = 1$ (resp. sont toutes et partout égales à $\lambda = -1$) et qui sont connexes et maximales au sens de l'inclusion.

Afin de caractériser les horosphères, il nous faut introduire quelques notions qui nous seront nécessaires. Tout d'abord, on considère la partie $\mathbb{A}^{n-1} \subset \mathbb{P}_n$ que l'on appelle **absolu** et qui correspond à la projection du cône lumière dans l'espace projectif. Il est alors immédiat que l'absolu est une hypersurface qui est difféomorphe à la sphère $\mathbb{S}^{n-1}$. Nous pouvons alors définir une application de Gauss pour les hypersurfaces orientées de l'espace hyperbolique. En effet, si $\Sigma \subset \mathbb{H}^n$ est une hypersurface orientée dont le champ orthonormal est $N : \Sigma \mapsto T\mathbb{H}^n$, alors on appelle **application de Gauss**, l'application $\nu : \Sigma \mapsto \mathbb{A}^{n-1}$ telle que :

$$ \nu(x) = \lim_{t \to +\infty} p \circ \gamma(t) \qquad (5.1.4.24) $$

avec $p : \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0\} \to \mathbb{P}_n$ étant la projection projective et $\gamma$ étant la géodésique qui passe par le point $x$ à la vitesse $N(x)$. On a alors que l'application de Gauss $\nu$ est lisse et admet pour expression :

$$ \nu(x) = x + N(x) \qquad (5.1.4.25) $$

pour tout $x \in \Sigma$.

**Remarque 5.1.9.** Par connexité, une horosphère admet exactement deux orientations et donc deux applications de Gauss.

**Propriété 5.1.11.** Une hypersurface orientée et connexe $\Sigma \subset \mathbb{H}^n$ dont l'une des applications de Gauss $\nu : \Sigma \mapsto \mathbb{A}^{n-1}$ est constante, est forcément comprise dans une horosphère.

*Démonstration.* Il suffit de remarquer que : Si $\overrightarrow{W}$ est un vecteur propre de $d_u N \cdot \overrightarrow{W}$ et dont la courbure principale associée est $k$, alors $d_u \nu \cdot \overrightarrow{W} = \overrightarrow{W} + d_u N \cdot \overrightarrow{W} = (1 + k)\overrightarrow{W}$. $\square$

**Propriété 5.1.12.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence, alors dans le modèle de Poincaré centré en $e$, les horosphères correspondent aux intersections non vides de la boule ouverte $\mathcal{D}(e)$ avec les hypersphères de l'espace euclidien $(T_e \mathbb{H}^n, g_e)$ qui sont comprises dans la fermeture $\overline{\mathcal{D}(e)}$ et qui sont tangentes avec le bord $\partial_\infty \mathcal{D}(e) = \mathbb{S}_e^{n-1}$.

*Démonstration.* Il est clair que, dans le modèle de Poincaré, les intersections de la boule unité $\mathcal{D}(e)$ avec les hypersphères de l'espace euclidien $(T_e \mathbb{H}^n, g_e)$ qui sont comprises dans $\overline{\mathcal{D}(e)}$ et qui intersectent le bord, vérifient les conditions de la propriété 5.1.11. De plus, étant maximales au sens de l'inclusion, ce sont bien des horosphères.
Réciproquement, considérons $H \subset \mathbb{H}^n$ une horosphère ainsi que $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence. Alors, par la propriété 5.1.11, on sait que l'une de ses deux applications de Gauss est constante. En particulier, en se plaçant dans le modèle de Poincaré centré en $e$, on a que l'application de Gauss correspond à une application $\nu : H \mapsto \mathbb{S}_e^{n-1}$ telle que :

$$ \nu(x) = u_0 $$

pour tout $x \in H$.

Par conséquent, on sait, via la propriété 5.1.10, que tout cercle $C$ qui passe orthogonalement à l'hypersphère $\mathbb{S}_e^{n-1}$ par le point $u_0$ et qui intersecte l'hypersurface $H$, est alors orthogonal à $H$. On peut alors vérifier que, par connexité, la partie $H$ est forcément comprise dans une hypersphère $H_0 \subset \mathcal{D}(e)$ et qui est tangente au bord $\mathbb{S}_e^{n-1}$. De plus, étant maximale au sens de l'inclusion, on a que :

$$ H = H_0 \cap \mathcal{D}(e) $$

et ainsi, on obtient le résultat recherché. $\square$

**Remarque 5.1.10.** Toute horosphère est la limite d'une famille d'hypersphères géodésiques dont les centres convergent vers le bord à l'infini et donc les rayons tendent vers l'infini.

### 5.1.4.2 Définition et propriétés des g-hyperplans

Les g-hyperplans correspondent aux hypersurfaces dont les courbures principales sont toutes et partout nulles et que nous pouvons considérer comme étant un équivalent des hyperplans affines des espaces euclidiens.

**Définition 5.1.6.** Soit $(M, g)$ une variété riemannienne. Nous dirons qu'une sous-variété $\Gamma \subset M$ est **totalement géodésique** si toute géodésique $\gamma : I \subset \mathbb{R} \mapsto M$ tangente à $\Gamma$ est comprise dans $\Gamma$.

**Remarque 5.1.11.** Une sous-variété $N \subset M$ est totalement géodésique si et seulement si toutes les géodésiques de $(N, g)$ sont des géodésiques de $(M, g)$.

**Propriété 5.1.13.** Une $p$-sous-variété $\Gamma \subset \mathbb{H}^n$, de l'espace hyperbolique, est totalement géodésique si et seulement si l'une des deux assertions équivalentes suivantes est vérifiée :

1. Il existe $e \in \mathbb{H}^n$ tel que $\psi_e(\Gamma)$ est l'intersection non vide d'un $p$-sous-espace affine de $T_e\mathbb{H}^n$ avec la boule ouverte $\mathcal{D}(e)$.

2. Pour tout point $v \in \mathbb{H}^n$, l'image $\psi_v(\Gamma)$ est l'intersection non vide d'un $p$-sous-espace affine de $T_v\mathbb{H}^n$ avec la boule ouverte $\mathcal{D}(v)$.

**Note.** Il est à noter que les $\psi_v$ correspondent aux projections de Klein centrées en $v$.

**Démonstration.** À partir des propriétés sur la projection de Klein, c'est un résultat immédiat. $\square$

**Remarque 5.1.12.** Toute $p$-sous-variété totalement géodésique de $\mathbb{H}^n$ est l'intersection non vide d'un $(p+1)$-sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^{n+1}$ avec $\mathbb{H}^n$.

**Définition 5.1.7.** Sur l'espace hyperbolique $\mathbb{H}^n$, on appelle **g-hyperplan** toute hypersurface totalement géodésique.
**Propriété 5.1.14.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence ainsi que $u \in S_e^{n-1}$ et $\gamma \subset \mathbb{H}^n$ la géodésique passant par le point $e$ à la vitesse $u$. Si $\Gamma$ est un g-hyperplan orthogonal à la géodésique $\gamma$, alors on a que :

1. L'intersection $\gamma \cap \Gamma$ ne contient qu'un point.

2. Dans le modèle de Klein centré en $e$, l'hyperplan affine $\psi_e(\Gamma)$ est orthogonal à la droite $\mathbb{R}u$ pour le produit scalaire $g_e$.

**Démonstration.** C'est une conséquence immédiate de la remarque 5.1.4. □

### 5.1.4.3 Les g-hyperplans parallèles

Dans cette section, nous abordons la question des g-hyperplans parallèles. En effet, par définition de l'espace hyperbolique, nous savons qu'il existe une infinité de g-hyperplans qui sont parallèles à un même g-hyperplan. En particulier, nous considérerons une sous-catégorie de g-hyperplans parallèles (voir définition 5.1.8) dont les propriétés sont non négligeables pour le chapitre 6.

**Définition 5.1.8.** Soit $\Sigma_1 \subset \mathbb{H}^n$ et $\Sigma_2 \subset \mathbb{H}^n$ deux g-hyperplans distincts. Alors nous dirons qu'une géodésique $\gamma \subset \mathbb{H}^n$ est **une orthogonale commune à $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$** si elle est orthogonale aux deux g-hyperplans.

**Note.** Nous dirons alors que les g-hyperplans $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$ **admettent une orthogonale commune**.

**Définition 5.1.9.** Soit $\Sigma_1 \subset \mathbb{H}^n$ et $\Sigma_2 \subset \mathbb{H}^n$ deux g-hyperplans distincts. Alors nous les dirons **parallèles** lorsque :

$$ \Sigma_1 \cap \Sigma_2 = \emptyset $$

**Propriété 5.1.15.** Tout couple de g-hyperplans distincts admettant une orthogonale commune sont parallèles.

**Démonstration.** Considérons $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$ deux g-hyperplans distincts qui admettent $\gamma$, une géodésique qui leur est communément orthogonale. Alors, en considérant $e \in \gamma$ comme point de référence, on a que, par la propriété 5.1.14, les g-hyperplans $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$ correspondent à deux hyperplans parallèles dans le modèle de Klein centré en $e$. □

L'inverse n'est pas vrai. En effet, comme on le présente ci-dessous sur le demi-plan de Poincaré, il est facile de définir sur le plan hyperbolique, et par extension sur tout espace hyperbolique, deux géodésiques parallèles qui n'admettent pas d'orthogonale commune.

<figure><img src="image_118.png" /><figcaption>FIGURE 5.5 – Exemple de deux géodésiques parallèles n'admettant pas d'orthogonale commune.</figcaption></figure>

Nous voulons alors connaître les conditions nécessaires et suffisantes pour que deux g-hyperplans parallèles n'admettent pas d'orthogonale commune. Pour cela, on considère la définition suivante :
**Définition 5.1.10.** Nous dirons que deux géodésiques $\gamma_1$ et $\gamma_2$ dans $\mathbb{H}^n$ s'intersectent à l'infini lorsqu'elles vérifient :

$$ \lim_{t \to +\infty} p \circ \gamma_1(t) = \lim_{t \to +\infty} p \circ \gamma_2(t) \qquad (5.1.4.26) $$

avec $p : \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0\} \to \mathcal{P}_n$ étant la projection projective.

**Remarque 5.1.13.** Il est intéressant de constater que dans le modèle de Klein centré en $e$, deux géodésiques qui s'intersectent à l'infini correspondent à deux droites affines qui s'intersectent sur le bord de la boule unité.

**Propriété 5.1.16.** Soit $\Sigma_1 \subset \mathbb{H}^n$ et $\Sigma_2 \subset \mathbb{H}^n$ deux g-hyperplans parallèles. Alors ils n'admettent pas d'orthogonale commune si et seulement si ils contiennent deux géodésiques $\gamma_1 \subset \Sigma_1$ et $\gamma_2 \subset \Sigma_2$ qui s'intersectent à l'infini.

**Démonstration.** Supposons qu'il n'existe pas de géodésiques $\gamma_1 \subset \Sigma_1$ et $\gamma_2 \subset \Sigma_2$ qui s'intersectent à l'infini. Alors il existe forcément un point $e \in \mathbb{H}^n$ tel que les g-hyperplans $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$ correspondent à deux demi-hypershères disjointes dans le modèle du demi-espace de Poincaré centré en $e$. Par conséquent, il existe nécessairement une géodésique orthogonale. Réciproquement, supposons que les g-hyperplans admettent une géodésique $\gamma$ qui leur est communément orthogonale. Si on considère $e \in \gamma$, alors, via la propriété 5.1.14, les deux g-hyperplans correspondent, dans le modèle de Klein centré en $e$, à deux hyperplans affines parallèles. En particulier, il ne peut pas exister de géodésiques $\gamma_1 \subset \Sigma_1$ et $\gamma_2 \subset \Sigma_2$ qui s'intersectent à l'infini. $\square$

## 5.2 L'espace sphérique

Il ne nous sera pas nécessaire de faire un long exposé sur la géométrie sphérique du fait que nous retrouverons essentiellement les mêmes éléments. Par conséquent, nous nous contenterons d'un rapide résumé. On a donc que, pour $e \in \mathbb{S}^n$, la carte de Gauss est $f(tu) = \text{Cos}(t)e + \text{Sin}(t)u$, avec $u \in \mathbb{S}^{n-1} = S[T_e\mathbb{S}^n]$, et ainsi la première différence notable avec la géométrie hyperbolique est que la carte de Gauss n'est pas injective. En particulier, cette caractéristique jouera un rôle important lorsque nous aborderons la notion de g-hérisson sur la sphère. Ensuite, nous utiliserons principalement, pour un point de référence $e \in \mathbb{S}^n$, la projection stéréographique $\psi_e : \mathbb{S}^n \setminus \{-e\} \to T_e\mathbb{S}^n$ et la projection gnomonique $\varphi_e : \Omega_e \to T_e\mathbb{S}^n$, avec $\Omega_e = \{x \in \mathbb{S}^n \text{ tel que } \langle e|x \rangle > 0\}$ qui sont définies comme suit :

$$ \psi_e(x) = \mu_e(x)[x + e] - e \text{ et } \varphi_e(x) = k_e(x)x - e \qquad (5.2.0.1) $$

avec $\mu_e(x) = \frac{1}{\langle e|x \rangle + 1}$ et $k_e(x) = \frac{1}{\langle e|x \rangle}$.
<figure><img src="image_119.png" /><figcaption>FIGURE 5.6 – Les projection gnomonique et stéréographique.</figcaption></figure>

Il est à noter que les projections gnomonique et stéréographique jouent le même rôle que les projections de Klein et de Poincaré dans l'espace hyperbolique. En particulier, ce sont des difféomorphismes tels que la projection stéréographique est une transformation conforme et la projection gnomonique transforme les géodésiques de $\Omega_e$ en des droites de $T_eS^n$.
# Annexe F

## Éléments calculatoires en coordonnées sphériques

Il existe principalement trois conventions permettant de paramétrer la sphère, correspondant aux conventions rayon-colatitude-longitude, rayon-longitude-colatitude et rayon-longitude-latitude. En ce qui nous concerne, nous considérerons la convention rayon-colatitude-longitude, que nous représentons ci-dessous :

<figure><img src="image_120.png" /><figcaption>FIGURE 6.1 – Coordonnées sphériques rayon-colatitude-longitude</figcaption></figure>

### 6.1 Système de coordonnées sphériques

Considérons donc $\vec{u}_x$, $\vec{u}_y$ et $\vec{u}_z$, une base orthonormée de $\mathbb{R}^3$ ainsi que le demi-plan vectoriel $\mathcal{P}_{x,z} = \mathbb{R}_+ \vec{u}_x + \mathbb{R} \vec{u}_z$ et l'ouvert $\Omega_{x,z} = \mathbb{S}^2 \setminus \mathcal{P}_{x,z}$. On définit alors l'application $u : ]0, \pi[ \times ]0, 2\pi[ \mapsto \Omega_{x,z}$ telle que :
$$ u(\theta, \varphi) = \begin{bmatrix} \sin(\theta)\cos(\varphi) \\ \sin(\theta)\sin(\varphi) \\ \cos(\theta) \end{bmatrix} \qquad (6.1.0.1) $$

Il est alors clair que l'application $u$, ainsi définie, est un difféomorphisme et que nous appelons donc **carte des coordonnées sphériques**. Ainsi, pour tout $v \in \Omega_{x,z}$, nous noterons $\theta$ et $\varphi$ les coordonnées sphériques telles que $v = u(\theta, \varphi)$. En considérant les dérivées partielles :

$$ \partial_{\theta} u(\theta, \varphi) = \begin{bmatrix} \cos(\theta)\cos(\varphi) \\ \cos(\theta)\sin(\varphi) \\ -\sin(\theta) \end{bmatrix} \quad \text{et} \quad \partial_{\varphi} u(\theta, \varphi) = \sin(\theta) \begin{bmatrix} -\sin(\varphi) \\ \cos(\varphi) \\ 0 \end{bmatrix} \qquad (6.1.0.2) $$

alors on définit le système de coordonnées différentielles :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \vec{u}_{\theta}(v) = d_{u^{-1}(v)} u \cdot (1,0) = \partial_{\theta} u \circ u^{-1}(v) \\ \vec{u}_{\varphi}(v) = d_{u^{-1}(v)} u \cdot (0,1) = \partial_{\varphi} u \circ u^{-1}(v) \end{array} \right. \qquad (6.1.0.3) $$

pour tout $v \in \Omega_{x,z}$.

Par conséquent, si $f : \mathbb{S}^2 \to \mathbb{R}$ est une application lisse, alors on a que ses dérivées partielles correspondent au système de coordonnées (6.1.0.3) telles que :

$$ \partial_{\theta} f(v) = d_u f \cdot \vec{u}_{\theta}(v) \text{ et } \partial_{\varphi} f(v) = d_u f \cdot \vec{u}_{\varphi}(v) \qquad (6.1.0.4) $$

pour tout $v \in \Omega_{x,z}$.

**Remarque 6.1.1.** Il est à noter que nous définissons ainsi un atlas sur la sphère $\mathbb{S}^2$ tel que pour tout point $u_0 \in \mathbb{S}^2$, il existe une carte $u : ]0, \pi[ \times ]0, 2\pi[ \to \Omega_{x,z}$ telle que $u_0 = u(\frac{\pi}{2}, \pi)$.

**Avertissement 6.1.1.** Dans la suite, nous nous permettrons d'identifier les points $v \in \mathbb{S}^2$ avec leurs coordonnées respectives $\theta$ et $\varphi$ sans mentionner le difféomorphisme $u : ]0, \pi[ \times ]0, 2\pi[ \to \Omega_{x,z}$ ni le domaine $\Omega_{x,z}$.

À présent, considérons le repère orthonormé $\vec{e}_{\theta} = \vec{u}_{\theta}$ et $\vec{e}_{\varphi} = \frac{1}{\sin(\theta)} \vec{u}_{\varphi}$. On peut alors vérifier que pour toute fonction lisse $f : \mathbb{S}^2 \to \mathbb{R}$, on a que :

$$ \vec{\nabla}_S f(u) = \partial_{\theta} f(u) \vec{e}_{\theta}(u) + \frac{1}{\sin(\theta)} \partial_{\varphi} f(u) \vec{e}_{\varphi}(u) \qquad (6.1.0.5) $$

et

$$ \begin{align} \Delta_S(f)_u &= \partial_\theta^2 f(u) + \frac{1}{\tan(\theta)} \partial_\theta f(u) + \frac{1}{\sin(\theta)^2} \partial_\varphi^2 f(u) \tag{6.1.0.6} \\ &= \frac{1}{\sin(\theta)} \partial_\theta [\sin(\theta) \partial_\theta f(u)] + \frac{1}{\sin(\theta)^2} \partial_\varphi^2 f(u) \nonumber \end{align} $$

Aussi, pour tout champ de vecteurs $X : \mathbb{S}^2 \to T\mathbb{S}^2$, on peut calculer que la divergence correspond à l'expression suivante :

$$ \mathrm{div}_S(X)_u = \frac{1}{\sin(\theta)} \partial_{\theta} [\sin(\theta) X_{\theta}(u)] + \frac{1}{\sin(\theta)} \partial_{\varphi} X_{\varphi}(u) \qquad (6.1.0.7) $$
## 6.2 Propriétés calculatoires sur le laplacien

L'objet de cette section est de réduire la charge calculatoire des développements que nous considérons au chapitre 13. Considérons donc $x : \mathbb{S}^2 \to \mathbb{R}^n$ une application lisse ; alors on appelle **laplacien extérieur** l'opérateur de Laplace-Beltrami $\Delta_S(x)$, correspondant à la métrique usuelle sur la sphère, et qui admet donc pour expression :

$$ \Delta^S(x)_u = (\Delta^S(x_1)_u, \dots, \Delta^S(x_N)_u) \qquad (6.2.0.1) $$

où les $x_i$ correspondent aux fonctions coordonnées.

**Propriété 6.2.1.** Le laplacien extérieur de l'identité $Id_{\mathbb{S}^2}$ ainsi que des champs orthonormaux $\vec{e}_{\theta}$ et $\vec{e}_{\varphi}$ vérifient les expressions suivantes :

$$ 1. \Delta^S(\mathrm{Id}_{\mathbb{S}^2})_u = -2u $$

$$ 2. \Delta^S(\vec{e}_{\theta})_u = -\frac{1}{\mathrm{Sin}(\theta)^2}[\mathrm{Sin}(2\theta)u + \vec{e}_{\theta}(u)] $$

$$ 3. \Delta^S(\vec{e}_{\varphi})_u = -\frac{1}{\mathrm{Sin}(\theta)^2}\vec{e}_{\varphi}(u) $$

*Démonstration.* Pour montrer le premier point, il nous suffit de faire le calcul sur la première coordonnée et il en sera exactement de même pour toutes les autres. Ainsi, on calcule :

$$ \begin{aligned} \Delta^S[\mathrm{Sin}(\theta)\mathrm{Cos}(\varphi)] &= -\mathrm{Sin}(\theta)\mathrm{Cos}(\varphi) + \frac{1}{\mathrm{Tan}(\theta)}\mathrm{Cos}(\theta)\mathrm{Cos}(\varphi) - \frac{1}{\mathrm{Sin}(\theta)^2}\mathrm{Sin}(\theta)\mathrm{Cos}(\varphi) \\ &= \frac{-\mathrm{Sin}(\theta)^2 + \mathrm{Cos}(\theta)^2 - 1}{\mathrm{Sin}(\theta)^2}\mathrm{Sin}(\theta)\mathrm{Cos}(\varphi) = -2\mathrm{Sin}(\theta)\mathrm{Cos}(\varphi) \end{aligned} $$

ce qui nous donne le résultat recherché. Comme il en est de même pour le troisième point, nous nous concentrerons donc sur le second point.

Pour le deuxième point, on commence par les deux premières coordonnées et ensuite, la troisième nous demandera un peu plus d'attention. Ainsi donc, nous avons :

$$ \begin{aligned} \Delta^S[\mathrm{Cos}(\theta)\mathrm{Cos}(\varphi)] &= -\mathrm{Cos}(\theta)\mathrm{Cos}(\varphi) - \frac{1}{\mathrm{Tan}(\theta)}\mathrm{Sin}(\theta)\mathrm{Cos}(\varphi) - \frac{1}{\mathrm{Sin}(\theta)^2}\mathrm{Cos}(\theta)\mathrm{Cos}(\varphi) \\ &= -\left(2 + \frac{1}{\mathrm{Sin}(\theta)^2}\right)\mathrm{Cos}(\theta)\mathrm{Cos}(\varphi) \end{aligned} $$

et il en est exactement de même pour la deuxième coordonnée. Pour la troisième coordonnée, il nous faut constater que :

$$ \begin{aligned} \Delta^S[-\mathrm{Sin}(\theta)] &= \mathrm{Sin}(\theta) - \frac{1}{\mathrm{Tan}(\theta)}\mathrm{Cos}(\theta) = \mathrm{Sin}(\theta) - \frac{\mathrm{Cos}(\theta)^2}{\mathrm{Sin}(\theta)} = \mathrm{Sin}(\theta)\left(1 - \frac{\mathrm{Cos}(\theta)^2}{\mathrm{Sin}(\theta)^2}\right) \\ &= -\left(2 - \frac{1}{\mathrm{Sin}(\theta)^2}\right)[-\mathrm{Sin}(\theta)] \end{aligned} $$
et ainsi,

$$ \Delta^S(\vec{e}_\theta)_u = -2\vec{e}_\theta(u) - \frac{1}{\sin(\theta)^2} \vec{W}(u) \text{ avec } \vec{W}(u) = \begin{bmatrix} \cos(\theta)\cos(\varphi) \\ \cos(\theta)\sin(\varphi) \\ \sin(\theta) \end{bmatrix} $$

Par conséquent, en remarquant que $\vec{W}(u) = \sin(2\theta)u + (1 - 2\sin(\theta)^2)\vec{e}_\theta(u)$, on obtient donc le résultat recherché. $\square$

**Lemme 6.2.1.** Pour toute fonction lisse $f : \mathbb{S}^2 \to \mathbb{R}$, on a les propriétés suivantes :

$$ 1. \Delta^S[f(u)u] = (\Delta^S(f)_u - 2f(u))u + 2\vec{\nabla}_S f(u) $$

$$ 2. \Delta^S[f(u)\vec{e}_\theta(u)] = -2\left(\partial_\theta f(u) + \frac{1}{\tan(\theta)}f(u)\right)u + \left(\Delta^S(f)_u - \frac{1}{\sin(\theta)^2}f(u)\right)\vec{e}_\theta(u) \\ +2\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)^2}\partial_\varphi f(u)\vec{e}_\varphi(u) $$

$$ 3. \Delta^S[f(u)\vec{e}_\varphi(u)] = -\frac{2}{\sin(\theta)^2}\partial_\varphi f(u)[\sin(\theta)u + \cos(\theta)\vec{e}_\theta(u)] + \left(\Delta^S(f)_u - \frac{1}{\sin(\theta)^2}f(u)\right)\vec{e}_\varphi(u) $$

*Démonstration.* Pour montrer le premier point, en remarquant que $\vec{\nabla}_S[\sin(\theta)\cos(\varphi)] = \cos(\theta)\cos(\varphi)\vec{e}_\theta(u) - \sin(\varphi)\vec{e}_\varphi(u)$, alors on obtient que :

$$ \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S [\sin(\theta) \cos(\varphi)] \rangle = \partial_{\theta} f(u) \cos(\theta) \cos(\varphi) - \frac{1}{\sin(\theta)} \partial_{\varphi} f(u) \sin(\varphi) $$

et ainsi le laplacien des coordonnées est :

$$ \Delta_S[f(u)Id_{\mathbb{S}^2}^{(1)}(u)] = \Delta_S(f)_u Id_{\mathbb{S}^2}^{(1)}(u) + 2\partial_\theta f(u)e_\theta^{(1)}(u) + \frac{2}{\sin(\theta)}\partial_\varphi f(u)e_\varphi^{(1)}(u) + f(u)\Delta_S\left(Id_{\mathbb{S}^2}^{(1)}\right)_u $$

Par conséquent, en appliquant la même méthode sur les autres coordonnées, il est immédiat que nous obtenons :

$$ \Delta_S[f(u)u] = \Delta^S(f)_u u + 2\vec{\nabla}_S f(u) + f(u)\Delta^S(Id_{\mathbb{S}^2})_u $$

et par la propriété 6.2.1 on obtient le résultat recherché. Ensuite, pour le second point, il est nécessaire de déterminer les produits scalaires suivants :

$$ \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S [\cos(\theta) \cos(\varphi)] \rangle = -\sin(\theta) \cos(\varphi) \partial_{\theta} f(u) - \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)^2} \sin(\varphi) \partial_{\varphi} f(u) $$

$$ \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S [\cos(\theta) \sin(\varphi)] \rangle = -\sin(\theta) \sin(\varphi) \partial_{\theta} f(u) + \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)^2} \cos(\varphi) \partial_{\varphi} f(u) $$

$$ \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S [-\sin(\theta)] \rangle = -\cos(\theta) \partial_{\theta} f(u) $$
et après quelques calculs, on arrive rapidement à ce que :

$$ \Delta_S[f(u)\vec{e}_\theta(u)] = \Delta_S(f)_u \vec{e}_\theta(u) - 2\partial_\theta f(u)u + 2\frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)}\partial_\varphi f(u)\vec{e}_\varphi(u) + f(u)\Delta_S(\vec{e}_\theta)_u $$

et ainsi, nous obtenons le résultat recherché. Pour le troisième point, il nous faut aussi déterminer le produit scalaire suivant :

$$ \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S [-\sin(\varphi)] \rangle = - \frac{\cos(\varphi)}{\sin(\theta)^2} \partial_\varphi f(u) \text{ et } \langle \vec{\nabla}_S f(u) | \vec{\nabla}_S [\cos(\varphi)] \rangle = - \frac{\sin(\varphi)}{\sin(\theta)^2} \partial_\varphi f(u) $$

ainsi, en constatant que :

$$ \sin(\theta)u + \cos(\theta)\vec{e}_{\theta}(u) = \begin{bmatrix} \cos(\varphi) \\ \sin(\varphi) \\ 0 \end{bmatrix} $$

on obtient forcément que :

$$ \Delta_S[f(u)\vec{e}_\varphi(u)] = \Delta_S(f)_u \vec{e}_\varphi(u) - \frac{2}{\sin(\theta)^2} \partial_\varphi f(u) [\sin(\theta)u + \cos(\theta)\vec{e}_\theta(u)] + f(u) \Delta_S(\vec{e}_\varphi)_u $$

ce qui nous donne le résultat recherché.

<figure><img src="image_121.png" /></figure>

**Propriété 6.2.2.** Pour toute fonction $f : \mathbb{S}^2 \to \mathbb{R}$, on a toujours que :

$$ 1. \Delta^S [CH f(u)] = SH f(u) \Delta^S (f)_u + CH f(u) l(u) $$

$$ 2. \Delta^S [SH f(u)] = CH f(u) \Delta^S (f)_u + SH f(u) l(u) $$

$$ \text{avec } l(u) = \| \vec{\nabla}_S f(u) \|^2. $$

**Démonstration.** En constatant que :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \partial_i^2 [CH f(u)] = \partial_i^2 f(u) SH f(u) + (\partial_i f(u))^2 CH f(u) \\ \partial_i^2 [SH f(u)] = \partial_i^2 f(u) CH f(u) + (\partial_i f(u))^2 SH f(u) \end{array} \right. $$

on obtient forcément le résultat recherché.

<figure><img src="image_122.png" /></figure>
# Annexe G

## Éléments sur le degré de Brouwer

Nous pouvons vérifier que pour une immersion $f : \mathbb{S}^1 \to \mathbb{S}^1$, le nombre $n_y = \text{Card } f^{-1}(\{y\})$ est constant sur $\mathbb{S}^1$. Par construction, il est alors naturel de l'appeler **enroulement**. La notion de degré est alors une généralisation de la notion d'enroulement aux applications continues entre variétés de même dimension et fournit ainsi un invariant topologique à valeurs entières. Pour une présentation générale de cette notion, il est possible de consulter l'ouvrage [23] de J.Droniou. En ce qui nous concerne, nous nous appuierons principalement sur l'ouvrage [51] de J.Lafontaine, et qui nous sera largement suffisant.

### 7.1 Point critique et valeur critique

Commençons par faire un point sur l'ensemble des points (et valeurs) critiques d'une application. Considérons donc $f : M \to N$ une application lisse entre deux variétés. Alors on appelle **point critique** tout élément $x \in M$ tel que la différentielle $d_x f : T_x M \to T_{f(x)} N$ n'est pas surjective. Aussi, on appelle **valeur critique** l'image d'un point critique et **valeur régulière** toute $y \in N$ qui n'est pas une valeur critique. On a alors le théorème de A. Sard (voir l'article [99], qui est l'article original, pour plus de détail).

**Théorème 7.1.1.** Pour toute application lisse $f : M \to N$ entre deux variétés, l'ensemble des valeurs critiques est de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue.

Dans la suite, nous noterons $\mathcal{C}$ l'ensemble des points critiques et $f(\mathcal{C})$ l'ensemble des valeurs critiques. Il est alors important de remarquer que l'ensemble des valeurs régulières $N \setminus f(\mathcal{C})$ n'est jamais vide.

**Propriété 7.1.1.** Si $f : M \to N$ est une application lisse, avec $M$ compacte, et $y \in N$ une valeur régulière, alors l'ensemble $f^{-1}(y)$ est fini ou vide. De plus, la fonction cardinal :

$$ \#f^{-1} : N \setminus f(\mathcal{C}) \to \mathbb{N} \qquad (7.1.0.1) $$

est localement constante.

*Démonstration.* Voir théorème 21 page 58 de [99]. □
## 7.2 Définition du degré et première propriété

Pour les quelques définitions et propriétés que nous allons considérer, nous nous reposons essentiellement sur les sections 7.C et 7.D de [51]. Considérons donc $f : M \to N$ une application lisse entre deux variétés orientables, avec $M$ compacte et $N$ connexe. Alors, pour $x \in M \setminus C$, on appelle **signe de f en x** le nombre $sgn(d_x f)$ qui est égal à +1 si la différentielle préserve l'orientation et à -1 sinon. Par conséquent, pour toute valeur régulière $y \in N \setminus f(C)$ on appelle **degré en y** le nombre :

$$d(f, y) = \sum_{x \in f^{-1}(y)} sgn(d_x f) \qquad (7.2.0.1)$$

et où $d(f, y) = 0$ lorsque $f^{-1}(y) = \emptyset$.

**Théorème 7.2.1.** Si $f : M \to N$ est une application lisse entre deux variétés orientées, avec $M$ compacte et $N$ connexe, alors pour toute valeur régulière $y \in N \setminus f(C)$ et $y' \in N \setminus f(C)$ on a que :

$$d(f, y) = d(f, y') \qquad (7.2.0.2)$$

*Démonstration.* Voir théorème 14 page 236 de [51]. □

Par conséquent, si $f : M \to N$ est une application lisse entre deux variétés orientées, avec $M$ compacte et $N$ connexe, alors on appelle **degré de Brouwer** le nombre $deg(f) = d(f, y)$ avec $y \in N \setminus f(C)$. Dans la suite, nous supposerons que les variétés $M$ et $N$ sont connexes et compactes. Ainsi, on a que :

* Si $f \sim g$ alors $deg(f) = deg(g)$.

* $deg(g \circ f) = deg(g)deg(f)$

* Si $f : M \to N$ n'est pas surjective, alors $deg(f) = 0$.

## 7.3 Degré d'une application et intégration

L'une des contributions importantes de la théorie du degré réside dans la théorie de l'intégration. En ce qui nous concerne, nous nous limiterons aux deux résultats suivants, et qui nous seront utiles dans de nombreux développements.

**Théorème 7.3.1.** Pour toute application lisse $f : M \to N$ et toute $n$-forme différentielle $\omega \in \Omega_n(N)$, on a que :

$$\int_M f^*(\omega) = deg(f) \int_N \omega \qquad (7.3.0.1)$$

*Démonstration.* Voir corollaire 12 page 234 de [51]. □

**Propriété 7.3.1.** Toute immersion $f : \mathbb{S}^n \to \mathbb{S}^n$ est surjective.

*Démonstration.* On sait que la $n$-sphère $\mathbb{S}^n$ est une variété de dimension $n$ qui est compacte, connexe et orientée. Considérons donc $w \in \Omega_n(\mathbb{S}^n)$, une forme volume, alors pour une immersion lisse $f : \mathbb{S}^n \to \mathbb{S}^n$, le tiré en arrière $f^*(w)$ est également une forme volume. Par conséquent, les intégrales :
$$ \int_{S^n} w \text{ et } \int_{S^n} f^*(w) $$

sont non nulles. Et par le théorème 7.3.1, vu précédemment, on en déduit que $deg(f) \neq 0$, ce qui nous donne le résultat recherché. □
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