**Démonstration.** Considérons donc $\sigma = \lambda(e + u)$; nous obtenons alors :

$$ \sigma - \Gamma_e(\sigma) = \left(\lambda - \frac{\lambda^2 - 1}{2\lambda}\right)u + \left(\lambda - \frac{\lambda^2 + 1}{2\lambda}\right)e = \frac{\lambda^2 + 1}{2\lambda}u + \frac{\lambda^2 - 1}{2\lambda}e $$

$$ \text{et donc } \langle \Gamma_e(\sigma) | \sigma - \Gamma_e(\sigma) \rangle = 0 \text{ et } \langle \sigma - \Gamma_e(\sigma) | \sigma - \Gamma_e(\sigma) \rangle = \frac{(\lambda^2+1)^2 - (\lambda^2-1)^2}{4\lambda^2} = 1. \quad \square $$

**Propriété 5.4.5.** Si $x$ et $y \in \mathbb{H}^n$, alors $x + S_x^{n-1} = y + S_y^{n-1} \Rightarrow x = y$.

**Démonstration.** Considérons le point $e = (0, \dots, 0, 1) \in \mathbb{H}^n$, alors il est clair que pour tout $x \in \mathbb{H}^n$, si $e + S_x^{n-1} = x + S_x^{n-1}$ alors $e = x$. À présent, soit deux points $x$ et $y$. En considérant une isométrie vectorielle $\phi : \mathbb{L}^{n+1} \to \mathbb{L}^{n+1}$ telle que $\phi(x) = e$ et $\phi(T_e \mathbb{H}^n) = \mathbb{E}^n$, on se retrouve forcément dans le premier cas. $\square$

À partir des opérations de transformation géométrique que nous avons définies en considérant l'application $\Gamma_e$, pour tout point $e \in \mathbb{H}^n$, et au vu des deux propriétés précédentes, nous pouvons définir une notion de dualité comme ci-dessous :

**Définition 5.4.1.** Considérons un point $x \in \mathbb{H}^n$ et une horosphère $H \subset \mathbb{H}^n$. Nous appellerons respectivement **dual de x** et **dual de H**, l'hypersphère $x^* \in \mathcal{H}_0(\mathbb{T}_+^n)$ et le point sur le cône $H^* \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$, tels que :

$$ x^* = x + S_x^{n-1} \text{ et } H = \mathbb{H}^n \cap \mathcal{P}_{H^*} \quad (5.4.2.9) $$

**Définition 5.4.2.** Considérons un point $\sigma \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$ et une hypersphère $C \in \mathcal{H}_0(\mathbb{T}_+^n)$. On appelle **dual de σ** et **dual de C**, respectivement l'horosphère $\sigma^* \subset \mathbb{H}^n$ et le point dans l'espace hyperbolique $C^* \in \mathbb{H}^n$, tels que :

$$ \sigma^* = \mathbb{H}^n \cap \mathcal{P}_{\sigma} \text{ et } C = C^* + S_{C^*}^{n-1} \quad (5.4.2.10) $$

Il est alors clair que la notion de dualité ainsi définie est involutive. C'est-à-dire que pour tous les points $x \in \mathbb{H}^n$, $\sigma \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$, horosphères $H \subset \mathbb{H}^n$ et hypersphères $C \in \mathcal{H}_0(\mathbb{T}_+^n)$, on a $(x^*)^* = x$, $(\sigma^*)^* = \sigma$, $(H^*)^* = H$ et $(C^*)^* = C$. De plus, on obtient la propriété suivante :

**Propriété 5.4.6.** Considérons $x \in \mathbb{H}^n$ et $\sigma \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$ deux points ainsi qu'une horosphère $H \subset \mathbb{H}^n$ et une hypersphère $C \in \mathcal{H}_0(\mathbb{T}_+^n)$. Alors on a :

1. Si $\sigma \in C$, alors $C^* \in \sigma^*$.

2. Si $x \in H$, alors $H^* \in x^*$.

**Démonstration.** Pour le premier point, considérons une hypersphère $C = x + S_x^{n-1}$ et un point $\sigma = x + u \in C$. Ainsi, on a $C^* = x$ et, sachant que $\Gamma_x(\sigma) = x$, on obtient que $x \in \mathcal{P}_{\sigma} = \Gamma_x(\sigma) + \langle \sigma \rangle^{\perp}$.

Pour le second point, adoptons un raisonnement similaire. Considérons une horosphère $H \subset \mathbb{H}^n$ et un point $x \in H$. On sait alors que $H = \mathbb{H}^n \cap (x + \langle \sigma \rangle^{\perp})$ avec $\sigma = x + u$ et $u \in S_x^{n-1}$, ce qui nous donne que $\sigma \in x + S_x^{n-1}$. $\square$

**Remarque 5.4.2.** Ajoutons que, par la propriété 5.4.4, si $e \in \mathbb{H}^n$ et $\sigma \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$ sont deux points, alors :

$$ \sigma \in \Gamma_e(\sigma)^* \quad (5.4.2.11) $$

et aussi $\Gamma_e(\sigma) \in \sigma^*$.
À présent, rappelons que nous avons déjà vu à la section 3.1.2 du chapitre 3 une notion de dualité entre les points et les hyperplans de l'espace euclidien $\mathbb{R}^n$, ainsi qu'entre les points sur $\mathbb{P}_n \setminus H_e$ et les hyperplans projectifs correspond à $\mathcal{H}_e(\mathbb{P}_n)$. Aussi, pour démontrer les propriétés 4.3.1 et 4.3.2 de l'annexe D, nous avons défini des relations de dualité sur la sphère $\mathbb{S}^n$ équivalentes à celles que nous avons considérées sur l'espace projectif $\mathbb{P}_n$. Nous allons donc rapidement présenter cette construction de dualité afin de pouvoir la comparer à ce que nous avons vu précédemment. Pour cela, il nous sera utile de reconsidérer les définitions 3.1.1 et 3.1.2 de la page 57.

Considérons le point $e = (0, \dots, 0, 1) \in \mathbb{R}^{n+1}$ ainsi que $\Omega_e = \{v \in \mathbb{S}^n \text{ tel que } \langle v|e \rangle > 0\}$, la demi-sphère ouverte centrée en $e$. Alors, pour tout point $x \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ et hyperplan $T = \lambda u + \langle u \rangle^\perp$ avec $\lambda > 0$, on considère le grand cercle $C_x \subset \Omega_e \setminus \{e\}$ et le point $v_T \in \Omega_e \setminus \{e\}$ tels que :

$$C_x = \Omega_e \cap \langle e + x \rangle^\perp \text{ et } v_T = \frac{1}{\sqrt{1 + \lambda^2}} (\lambda e - u) \quad (5.4.2.12)$$

De plus, si on considère un point $v \in \Omega_e \setminus \{e\}$ et un grand cercle $C \subset \Omega_e \setminus \{e\}$, alors on considère l'unique hyperplan $T \subset \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ et l'unique point $x \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ tels que :

$$e + T = (e + T_e \mathbb{S}^n) \cap \langle v \rangle^\perp \text{ et } e + x \in (e + T_e \mathbb{S}^n) \cap \langle C \rangle^\perp \quad (5.4.2.13)$$

<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>FIGURE 5.15 – Représentation de la dualité sur $\mathbb{R}^n$ via la sphère $\mathbb{S}^n$</figcaption></figure>

Il est clair que cette construction correspond à la dualité que nous avions définie sur l'espace projectif via les définitions 3.1.1 et 3.1.2. Pour vérifier cela, il suffit de constater que si $x \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ est un point et $T \subset \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ un hyperplan, alors on a :

$$\left\{ \begin{array}{l} x^* = p(C_x) \text{ et } p(C_x)^* = x \\ T^* = p(v_T) \text{ et } p(v_T)^* = T \end{array} \right. \quad (5.4.2.14)$$

En conclusion, nous avons que les définitions de dualité des points et des horosphères avec les hypersphères et les points du cône relèvent de la même construction géométrique. Cependant, contrairement à la dualité entre $\mathbb{R}^n$ et $\mathbb{P}_n$, il n'est pas possible de transporter nos relations sur l'espace projectif. Cela provient du fait que la projection projective n'est pas un plongement lorsque l'on se restreint au cône de lumière.
### 5.4.3 Carte de support d'un h-hérisson

Dans cette section, nous allons présenter quelques propriétés élémentaires sur les cartes de support (voir définition 5.1.4 page 105), que nous tirons directement de l'article [34] et qui nous seront nécessaires par la suite. Avant tout, il est important de rappeler que nous nous en tiendrons à l'avertissement 5.3.3 page 125 que nous avons considéré précédemment. Par conséquent, lorsque nous considérerons la carte de support d'une hypersurface orientée (Σ, N), il s'agira uniquement de l'application $\sigma : \Sigma \mapsto \mathbb{T}_+^n$ définie par l'expression suivante :

$$ \sigma(x) = x + N(x) \qquad (5.4.3.15) $$

Il est important de noter qu'à présent, dans le cadre de l'avertissement 5.3.3, les horosphères sont toutes orientées par l'orientation entrante. En particulier, comme nous l'avons vu à la propriété 5.1.5 et à la remarque 5.4.1, la carte de support $\sigma$ d'une horosphère $H$ centrée en $a \in \mathbb{A}^{n-1}$ est constante et vérifie que :

$$ p \circ \sigma(x) = a \qquad (5.4.3.16) $$

pour tout $x \in H$.

**Propriété 5.4.7.** Si $\sigma : \mathbb{A}^{n-1} \to \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$ est une application lisse telle que $\nu = p(\sigma) : \mathbb{A}^{n-1} \to \mathbb{A}^{n-1}$ est une immersion, alors la famille d'horosphères $\Sigma_a = \mathbb{H}^n \cap \mathcal{P}_{\sigma(a)}$ admet une unique enveloppe paramétrée.

*Démonstration.* C'est une conséquence immédiate de la relation (5.4.3.16). En effet, en tout point de $\mathbb{A}^{n-1}$, il existe des voisinages $\mathcal{V}$ et $\mathcal{W}$ tels que la restriction $\nu : \mathcal{V} \to \mathcal{W}$ est un difféomorphisme. Ainsi, la famille d'horosphères $(\Sigma_{\nu^{-1}(a)})_{a \in \mathcal{W}}$ est lisse et vérifie que chaque horosphère $\Sigma_{\nu^{-1}(a)}$ est centrée en $a$. Par conséquence, en appliquant le même raisonnement que pour la propriété 5.3.4 page 118, on obtient le résultat recherché. $\square$

Pour la suite, il nous sera utile d'exprimer la carte de support d'un h-hérisson en fonction du choix d'un point de référence $e \in \mathbb{H}^n$ et de sa fonction de support. À cette fin, considérons l'application $\mathcal{N}_a : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$ telle que :

$$ \mathcal{N}_e(u) = e + u \qquad (5.4.3.17) $$

et que l'on appelle **référentiel normé centré en e**. Alors il est clair que si $\mathcal{H}$ est un h-hérisson dont la fonction de support est $h$, pour un point de référence $e$, sa carte de support admet pour expression $\sigma = \lambda \mathcal{N}_e$, où $\lambda$ est une fonction lisse définie par la fonction de support $h$. Ainsi, nous considérons les deux propriétés suivantes :

**Propriété 5.4.8.** Considérons $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence ainsi que $\sigma = \lambda(e + u) \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$ un point du cône lumière défini par la relation (5.4.1.2). Alors la distance géodésique entre les points $e$ et $\Gamma_e(\sigma)$ vérifie la relation ci-dessous :

$$ d_g(e, \Gamma_e(\sigma)) = |\ln(\lambda)| \qquad (5.4.3.18) $$

où $\ln(\lambda)$ correspond à la distance orientée du point $e$ au point $\Gamma_e(\sigma)$.

*Démonstration.* Considérons $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence et $\sigma = \lambda(e + u) \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$, défini par la relation (5.4.1.2). Si nous définissons le point $x = \Gamma_e(\sigma) = au + be$, alors, via la carte de Klein centrée en $e$, nous avons :

$$ \psi_e(x) = lu $$
et en particulier, il est immédiat que la distance orientée du point $e$ au point $\psi_e(x)$ est définie par $\mathrm{ArcTH}(l)$. De plus, la fonction $\Gamma_e$ étant définie par (5.4.1.4), nous avons :

$$ \psi_e(x) = k_e(x) - e = \frac{au + be}{b} - e = \frac{\lambda^2 - 1}{\lambda^2 + 1}u $$

et donc,

$$ \mathrm{ArcTH}(l) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1+l}{1-l} \right) = \ln(\lambda) $$

ce qui termine la preuve.

□

**Propriété 5.4.9.** Considérons $\sigma_1 \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$ et $\sigma_2 \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$, deux points du cône lumière tels que $\sigma_2 = \eta\sigma_1$. Alors, la distance géodésique entre les points $\Gamma_e(\sigma_1)$ et $\Gamma_e(\sigma_2)$ est :

$$ d_g(\Gamma_e(\sigma_1), \Gamma_e(\sigma_2)) = |\ln(\eta)| \qquad (5.4.3.19) $$

et de plus, la distance orientée du point $\Gamma_e(\sigma_1)$ au point $\Gamma_e(\sigma_2)$ est $\ln(\eta)$.

**Démonstration.** Commençons par considérer un point de référence $e \in \mathbb{H}^n$ ainsi que $\sigma_1 = \lambda(e+u) \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$ et $\sigma_2 = \eta\lambda(e+u) \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$. Alors on définit le point :

$$ x_0 = \Gamma_e(\sigma_1) = au + be \text{ avec } a = \frac{\lambda^2 - 1}{2\lambda} \text{ et } b = \frac{\lambda^2 + 1}{2\lambda} $$

ainsi que le vecteur $v = \sigma_1 - x_0 = bu + ae$. Dès lors, nous avons que $\langle v|v \rangle = b^2 - a^2 = 1$ et $\langle x_0|v \rangle = -1 + 1 = 0$, et donc $v \in \mathbb{S}_{x_0}^{n-1}$. En particulier, $\sigma_2 = \eta(x_0 + v)$ et en considérant la propriété 5.4.8 précédente pour le point de référence $x_0$, nous obtenons le résultat recherché. □

Considérons donc $\mathcal{H}$ un h-hérisson ainsi qu’un point de référence $e \in \mathbb{H}^n$. Nous appellerons alors **carte de support centrée en e** l’application $\sigma : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$ telle que :

$$ \sigma(u) = x(u) + N(u), \qquad (5.4.3.20) $$

où $x$ et $N$ sont le paramétrage et le champ orthonormal définis via la propriété 5.3.6 page 124. Par conséquence, si $\mathcal{H}$ est un h-hérisson et $h : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto \mathbb{R}$ sa fonction de support centrée en $e$, alors sa carte de support $\sigma : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$, centrée en $e$, admet pour expression :

$$ \sigma(u) = \lambda(u)\mathcal{N}_e(u) \text{ avec } \lambda(u) = e^{h(u)} \qquad (5.4.3.21) $$

Terminons cette section sur une remarque sémantique. Jusqu’à présent, tant pour les g-hérissons que pour les h-hérissons, les notions de paramétrage, de champ orthonormal (ou la notion de carte de support, précédemment définie, pour les h-hérissons) correspondaient à des applications définies sur $\mathbb{S}_e^{n-1}$. A présent, pour les h-hérissons, nous considérerons ces applications comme étant définies sur $\mathbb{A}^{n-1}$ lorsque nous ne préciserons pas qu’elles sont centrées en $e$. Il est néanmoins important de noter que, lorsque cela ne produira pas de confusion, nous nous permettrons de ne pas imposer de telles précisions afin de simplifier notre texte.
### 5.4.4 Relation de dualité sur les h-hérissons

À partir des propriétés de dualité que nous avons considérées précédemment, nous pouvons définir une notion de dualité sur les h-hérissons comme nous l’avons fait au chapitre 3 pour les hérissons euclidiens. Pour ce faire, nous considérons les deux définitions suivantes :

**Définition 5.4.3.** Soit $(\mathcal{H}, x)$ l'enveloppe paramétrée d'une famille lisse d'horosphères $(\Sigma_u)_{u \in \Gamma}$. Nous appelons donc **dual de** $\mathcal{H}$ la donnée de l'ensemble $\mathcal{H}^* = \{\Sigma_u^* \text{ tel que } u \in \Gamma\} \subset \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$ et d'une application lisse $x^* : \Gamma \mapsto \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$, que nous appelons **paramétrage**, définie par l'expression ci-dessous :

$$x^*(u) = \Sigma_u^* \qquad (5.4.4.22)$$

pour tout $u \in \Gamma$.

**Définition 5.4.4.** Soit $(\Lambda, y)$ l'enveloppe paramétrée d'une famille lisse d'hypersphères du cône $(C_u)_{u \in \Gamma}$. Nous appelons donc **dual de** $\Lambda$ la donnée de l'ensemble $\Lambda^* = \{C_u^* \text{ tel que } u \in \Gamma\} \subset \mathbb{H}^n$ et d'une application lisse $y^* : \Gamma \mapsto \mathbb{H}^n$, que nous appelons **paramétrage**, définie par l'expression ci-dessous :

$$y^*(u) = C_u^* \qquad (5.4.4.23)$$

pour tout $u \in \Gamma$.

**Propriété 5.4.10.** Soit $\mathcal{H}_h$ un h-hérisson, de paramétrage $x : \mathbb{A}^{n-1} \to \mathbb{H}^n$. Alors le dual de $\mathcal{H}_h$ est l'enveloppe paramétrée de la famille d'hypersphères du cône $(x(a)^*)_{a \in \mathbb{A}^{n-1}}$. De plus, on a que son bidual vérifie la relation d'involution suivante :

$$(\mathcal{H}_h^*)^* = \mathcal{H}_h \qquad (5.4.4.24)$$

ce qui justifie que l'on parle de dualité.

**Démonstration.** Considérons $(\Sigma_a)_{a \in \mathbb{A}^{n-1}}$ une famille d'horosphères co-orientées et $\mathcal{H}$ le h-hérisson qui lui est associé, dont le paramétrage est $x : \mathbb{A}^{n-1} \to \mathbb{H}^n$. Ainsi, par la propriété 5.4.6, il est clair que $x^*(a) = \Sigma_a^* \in x(a)^*$. A présent, pour $a \in \mathbb{A}^{n-1}$, considérons le point $e = x(a) \in \mathcal{H}$ ainsi que les applications $h, \tilde{x}$ et $\sigma$ correspondant respectivement à la fonction de support, au paramétrage et à la carte de support, que nous considérerons centrées en $e$. Par conséquent, via la propriété 5.3.6, nous savons que $h(u_0) = 0$ et $\overrightarrow{\nabla} h(u_0) = 0$, avec $u_0 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ tel que $\tilde{x}(u_0) = e$. En particulier, la carte de support étant définie par l'expression (5.4.3.20), sa différentielle en $u_0$ vérifie la relation suivante :

$$d_{u_0} \sigma \cdot \overrightarrow{W} = \overrightarrow{W} \in T_{u_0} \mathbb{S}_e^{n-1} = T_{\sigma(u_0)} C_e \text{ avec } C_e = e + \mathbb{S}_e^{n-1}$$

et ainsi, il est immédiat que l'application $x^*$ est le paramétrage de l'enveloppe de la famille d'hypersphères $(x(u)^*)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$. Enfin, par la propriété d'involution, nous obtenons que le paramétrage du bidual a pour expression $y(a) = (x(a)^*)^* = x(a)$, ce qui nous permet de conclure que le bidual du h-hérisson $\mathcal{H}$ vérifie bien la relation $(\mathcal{H}^*)^* = \mathcal{H}$. $\square$

## 5.5 Opérations sur les h-hérissons

Dans cette dernière section, nous donnons une rapide présentation de trois méthodes permettant de définir des opérations combinatoires sur l'ensemble des h-hérissons. En particulier,
il est à noter que ces quelques résultats sont tirés de l’article [34], dont l’objet est de définir et d’étudier ces trois opérations. Pour cela, commençons par remarquer que l’hypersurface $T_+^n \setminus \{0\}$ est réglé$^6$. Cela nous permet en particulier de composer les cartes de support via les opérations usuelles sur l’espace de Lorentz-Minkowski $\mathbb{L}^{n+1}$. Ainsi, nous considérons les trois opérations suivantes :

1. **La somme simple** : Considérons $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$, deux hypersurfaces orientées dont la courbure de Gauss n’est jamais nulle. De plus, nous supposerons que les cartes de support $\sigma_1$ et $\sigma_2$, qui leur sont respectivement associées, vérifient la condition suivante :

$$ \sigma_2 = \lambda\sigma_1 \qquad (5.5.0.1) $$

où $\lambda$ est une fonction de classe $C^\infty$. Alors, en remarquant que l’application $\sigma_1 + \sigma_2$ vérifie les conditions de la propriété 5.4.7 page 131, nous appelons **somme de $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$** l’enveloppe paramétrée de la famille d’horosphères définie par l’application $\sigma_1 + \sigma_2$. Nous pouvons alors faire une première remarque sur cette opération en constatant qu’elle ne dépend pas du choix d’un point de référence sur $\mathbb{H}^n$. Ajoutons que si $\mathcal{H}_1$ et $\mathcal{H}_2$ sont deux h-hérissons dont les fonctions de support centrées en $e$ sont $h_1$ et $h_2$, alors la somme $\mathcal{H}_1 + \mathcal{H}_2$ est un h-hérisson dont la fonction de support est :

$$ h_1 * h_2 = \ln(e^{h_1} + e^{h_2}) \qquad (5.5.0.2) $$

Il est également possible de compléter cette opération par le produit $k \cdot \mathcal{H}$, pour $k > 0$, correspondant à l’enveloppe paramétrée de la famille d’horosphères définie par l’application $k\sigma$. De même, on peut vérifier qu’une telle enveloppe est un h-hérisson dont la fonction de support est $k \cdot h = \ln(ke^h) = \ln(k) + h$.

2. **La somme harmonique** : Si $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$ sont deux hypersurfaces orientées dont la courbure de Gauss n’est jamais nulle, alors nous supposons de nouveau que leurs cartes de support $\sigma_1$ et $\sigma_2$ vérifient la condition (5.5.0.1). Nous définissons ainsi l’application :

$$ \sigma_1 \# \sigma_2 = \frac{\lambda}{1 + \lambda} \sigma_1 \qquad (5.5.0.3) $$

Et en constatant que la fonction $\sigma_1 \# \sigma_2$ vérifie également les conditions de la propriété 5.4.7, nous appelons **somme harmonique de $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$** l’enveloppe paramétrée de la famille d’horosphères définie par l’application $\sigma_1 \# \sigma_2$. Nous noterons naturellement $\Sigma_1 \# \Sigma_2$ cette somme. Cette opération a aussi pour caractéristique de ne pas dépendre du choix d’un point de référence sur l’espace hyperbolique. De plus, elle a pour propriété (voir propriété 6 de [34]) que la somme harmonique du bord de deux corps h-convexes correspond toujours au bord d’un corps h-convexe.

3. **La somme centrée en e** : Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence, ainsi que $N_e$ le référentiel centré en $e$. Considérons $\mathcal{H}_1$ et $\mathcal{H}_2$, deux h-hérissons, ainsi que $h_1$ et $h_2$, leurs fonctions de support centrées en $e$. Alors nous savons que leurs cartes de support $\sigma_1$ et $\sigma_2$ centrées en $e$ sont définies comme suit :

$$ \sigma_1 = \lambda_1 N_e \text{ et } \sigma_2 = \lambda_2 N_e \text{ avec } \lambda_1 = e^{h_1} \text{ et } \lambda_2 = e^{h_2} $$

Ainsi, nous considérons l’application $\sigma_1 + e \sigma_2 = \lambda_1 \lambda_2 N_e$ et en remarquant qu’elle vérifie la condition de la propriété 5.4.7, nous appelons donc **somme centrée en e**, que l’on

<footnote n="6">6. On appelle **hypersurface réglé** dans $\mathbb{R}^n$, toute hypersurface $\Sigma$ pour laquelle, en chaque point $x \in \Sigma$, passe une droite $\delta \subset \Sigma$.</footnote>
note $\mathcal{H}_1 +_e \mathcal{H}_2$, l'enveloppe paramétrée de la famille d'horosphères définie par l'applica-
tion $\sigma_1+_e \sigma_2$. Nous pouvons également compléter cette opération par le produit $k \cdot \mathcal{H}$, qui
correspond à l'enveloppe paramétrée de la famille d'horosphères définie par l'application
$k \cdot \sigma = \lambda^k \mathcal{N}_e$.

S'il est clair que ces deux opérations ne sont pas indépendantes du choix du point de
référence, leur intérêt réside dans le fait que si $\mathcal{H}_1$ et $\mathcal{H}_2$ sont deux h-hérissons de fonctions
de support $h_1$ et $h_2$, alors $\mathcal{H}_1+_e k \cdot \mathcal{H}_2$ est un h-hérisson dont la fonction de support est
$h_1 + kh_2$. En particulier, via cette opération, nous pouvons considérer que tout h-hérisson
correspond à une différence de deux corps h-convexes.
# Chapitre 6

## Universalité de la notion de g-hérisson

Dans ce chapitre, nous montrons que la notion de g-hérisson sur l'espace hyperbolique est universelle au sens où elle ne dépend pas du choix du point de référence. Ce résultat est notamment intéressant du fait que, comme nous l'avons vu, il est possible de produire des exemples de familles de g-hyperplans co-orientés qui dépendent du choix du point de référence (voir propriété 4.3.5 page 94). Nous devons donc montrer que si $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^n$ est un g-hérisson centré en $e$ alors c'est aussi un g-hérisson centré en n'importe quel point $v_0$. Pour cela, il nous faudra vérifier que si une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$ admet une enveloppe, alors elle est co-orientable<fnref n="1" /> en n'importe quel point.

### 6.1 Les sous-espaces hyperboliques et la fonction de changement de point

Dans cette section, nous introduisons les définitions qui nous seront nécessaires et vérifions une série de propriétés qui nous permettront de nous restreindre au plan hyperbolique dans nos futures démonstrations.

#### 6.1.1 Définition et propriétés des sous-espaces hyperboliques

Pour commencer, il nous sera utile de rappeler qu'une *p*-sous-variété $N \subset M$, sur une variété de Riemann, est dite **totalement géodésique** lorsque toute géodésique $\gamma : I \subset \mathbb{R} \to M$ tangente à $N$ est comprise dans $N$. On appelle alors **p-sous-espace hyperbolique** toute sous-variété de dimension $p$ sur l'espace hyperbolique $\mathbb{H}^n$ qui est totalement géodésique.

**Remarque 6.1.1.** *Tout p-sous-espace hyperbolique $\Sigma \subset \mathbb{H}^n$ est l'intersection du demi-hyperboloïde $\mathbb{H}^n$ avec un (p + 1)-sous-espace vectoriel de type temps. En particulier, il est immédiat que tout p-sous-espace hyperbolique est un espace hyperbolique de dimension p.*

Par conséquent, si $\Sigma \subset \mathbb{H}^n$ est un *p*-sous-espace hyperbolique, on sait que $\Sigma$ est de la forme $L \cap \mathbb{H}^n$, où $L \subset \mathbb{L}^{n+1}$ est un (*p* + 1)-sous-espace de type temps. Considérons donc un point de

<footnote n="1">1. Voir la définition 4.3.9 page 94 pour un rappel de la définition de famille de g-hyperplans co-orientables.</footnote>
référence $e \in \Sigma$. Alors il est clair qu'en considérant le $p$-sous-espace vectoriel $H = L \cap T_e H^n$ on a que :

$$ \Sigma = \varphi_e(H \cap \mathcal{D}(e)) = \{x = \vec{v} + te \text{ tel que } \vec{v} \in H \text{ et } \|\vec{v}\|^2 - t^2 = -1\} \quad (6.1.1.1) $$

Ainsi, pour $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence et $H \subset T_e \mathbb{H}^n$ un $p$-sous-espace vectoriel, il est justifié de considérer le $p$-sous-espace hyperbolique $\mathbb{H}^n \cap (H \oplus \mathbb{R}e)$, que l'on notera $\mathbb{H}_H$. De plus, pour $v_0 \in \mathbb{H}_H$ un second point de référence, alors en considérant $\mathbb{H}_H$ vu comme étant l'espace hyperbolique sur l'espace de Lorentz $H \oplus \mathbb{R}e$, on définit :

→ La partie $\mathcal{D}_{\mathbb{H}_H}(v_0) = \mathcal{D}(v_0) \cap (H \oplus \mathbb{R}e)$ qui correspond à la boule unité centrée en $v_0$.

→ La partie $\mathbb{S}_{v_0}^{p-1}[\mathbb{H}_H] = \mathbb{S}_{v_0}^{n-1} \cap (H \oplus \mathbb{R}e)$ qui correspond à l'hypersphère centrée en $v_0$.

## 6.1.2 Définition et propriétés de la fonction de changement de point

Considérons $e$ et $v_0$ deux points sur l'espace hyperbolique $\mathbb{H}^n$. Alors, on appellera **fonction de changement de carte** l'application $f := \psi_{v_0} \circ \varphi_e : \mathcal{D}(e) \mapsto \mathcal{D}(v_0)$, où $\psi_{v_0}$ et $\varphi_e$ correspondent respectivement à la projection de Klein centrée en $v_0$ et à la réciproque de la projection de Klein centrée en $e$. On appelle également **fonction de changement de point**<fnref n="2" /> l'application linéaire $\mathcal{F} : T_e \mathbb{H}^n \mapsto T_{v_0} \mathbb{H}^n$ définie via l'expression suivante :

$$ \mathcal{F}(\vec{W}) = \vec{W} + \kappa(\vec{W})e \quad (6.1.2.2) $$

$$ \text{avec } \kappa(\vec{W}) = - \frac{\langle v_0 | \vec{W} \rangle}{\langle v_0 | e \rangle} = k \langle v_0 | \vec{W} \rangle \text{ et } k = - \frac{1}{\langle v_0 | e \rangle}. $$

**Notation 6.1.1.** Nous prendrons l'habitude, dans la suite de ce chapitre, d'introduire dans nos expressions le paramètre $k$ que nous définissons ci-dessous :

$$ k = - \frac{1}{\langle v_0 | e \rangle} \quad (6.1.2.3) $$

par rapport aux deux points de référence $e$ et $v_0$.

**Propriété 6.1.1.** Considérons $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence. Alors, pour tout $p$-sous-espace vectoriel $H \subset T_e \mathbb{H}^n$ et point $v_0 \in \mathbb{H}_H$, on a que :

$$ f(H \cap \mathcal{D}(e)) = \mathcal{F}(H) \cap \mathcal{D}(v_0) \quad (6.1.2.4) $$

**Note.** Il est important de constater que $v_0$, le second point de référence, n'est pas pris n'importe où sur l'espace hyperbolique.

**Démonstration.** En effet, par la propriété 5.1.6 de l'annexe E, on a que $f(\mathbb{R}\vec{v} \cap \mathcal{D}(e)) = \mathcal{F}(\mathbb{R}\vec{v}) \cap \mathcal{D}(v_0)$, ce qui nous donne le résultat recherché. $\square$

**Remarque 6.1.2.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence, alors la conséquence immédiate de la propriété précédente est que pour tout sous-espace vectoriel $H \subset T_e \mathbb{H}^n$ et point $v_0 \in \mathbb{H}_H$ on a que : $T_{v_0} \mathbb{H}_H = \mathcal{F}(H) \cap T_{v_0} \mathbb{H}^n$, $\mathcal{D}_{\mathbb{H}_H}(v_0) = \mathcal{F}(H) \cap \mathcal{D}(v_0)$ et $\mathbb{S}_{v_0}^{p-1}[\mathbb{H}_H] = \mathcal{F}(H) \cap \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$.

<footnote n="2">2. Voir définition 5.1.2 page 305 de l'annexe E pour en savoir plus. Il est à noter que la définition que nous considérons dans ce chapitre correspond à un cas particulier (où $w = 0$) de la fonction de changement de point. En particulier, nous considérerons la définition de la fonction de changement de point dans son sens large au cours de la démonstration de la propriété 6.2.1.</footnote>
**Propriété 6.1.2.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence ainsi qu'un p-sous-espace vectoriel $H \subset T_e\mathbb{H}^n$ et $v_0 \in \mathbb{H}_H$ un second point de référence. Si $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ est une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$ et de fonction de support $h : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$, alors la famille $(\mathbb{H}_H \cap \Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{p-1}[\mathbb{H}_H]}$ est une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$ définie sur le sous-espace hyperbolique $\mathbb{H}_H$ et dont la fonction de support $h_H : \mathbb{S}_e^{p-1}[\mathbb{H}_H] \to \mathbb{R}$ correspond à la restriction de la fonction $h$ sur $\mathbb{S}_e^{p-1}[\mathbb{H}_H]$.

*Démonstration.* Cela vient du fait que si $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ est une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$ alors la famille $(\psi_e(\Sigma_u))_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ est co-orientée. Mais alors il en sera immédiatement de même pour la famille $(H \cap \psi_e(\Sigma_u))_{u \in H \cap \mathbb{S}_e^{n-1}}$. $\square$

## 6.2 La fonction de réindexation

Considérons $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^n$ un g-hérisson centré en $e$ ainsi que $v_0$ un second point de référence. Par définition, nous savons que le g-hérisson $\mathcal{H}$ correspond à l'enveloppe paramétrée d'une famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ de g-hyperplans co-orientés en $e$. La condition nécessaire et suffisante pour que $\mathcal{H}$ soit un g-hérisson centré en $v_0$ est que nous puissions reparamétrer la famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ par rapport au point $v_0$ afin d'obtenir une famille de g-hyperplans co-orientés en $v_0$. Par conséquent, la condition nécessaire et suffisante est que la famille de g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ soit co-orientable au point $v_0$ au sens de la définition 4.3.9 page 94.

### 6.2.1 Définition et propriété d'existence

Considérons $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$. Si $v_0 \in \mathbb{H}^n$ est un second point de référence, alors pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, nous devons définir un vecteur $\phi(u) \in \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$ tel que la géodésique passant par le point $v_0$ à la vitesse $\phi(u)$ soit orthogonale au g-hyperplan $\Sigma_u$.

<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>FIGURE 6.1 – La fonction de réindexation</figcaption></figure>

Nous définissons ainsi une application $\phi : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$, que nous appelons fonction de réindexation, et dont nous devons vérifier si c'est un difféomorphisme lorsque la famille de g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ admet une enveloppe. Il est à noter que cela n'est pas vrai pour n'importe quelle famille de g-hyperplans co-orientés en $e$. En effet, nous savons, par le biais de la propriété 4.3.5 page 94, que pour tout point de référence $e \in \mathbb{H}^n$, il existe une famille de g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ ainsi qu'un second point $v_0 \in \mathbb{H}^n$ pour lesquels la fonction de réindexation (dont l'existence est garantie par la propriété 6.2.1 ci-dessous) n'est pas un difféomorphisme car elle n'est pas injective.
**Définition 6.2.1.** Considérons $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ une famille de g-hyperplans co-orientés en e ainsi que $v_0$ un second point de référence. Nous appelons **fonction de réindexation entre les points e et v_0** toute application **lisse** $\phi : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$ telle que pour tout vecteur $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, la géodésique passant par le point $v_0$ à la vitesse $\phi(u)$ est orthogonale au g-hyperplan $\Sigma_u$.

**Propriété 6.2.1.** Considérons e et $v_0$, sur $\mathbb{H}^n$, deux points de référence ainsi que $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ une famille de g-hyperplans co-orientés en e. Il existe alors une unique fonction de réindexation $\phi : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$ telle que pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, l'orientation du g-hyperplan $\Sigma_u$ corresponde au vecteur $\phi(u)$. De plus, si $h : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ est la fonction de support, centrée en e, de la famille de g-hyperplans, alors nous avons que :

$$ \phi := \mathcal{N} \circ \pi_{v_0} \circ \phi_0, \qquad (6.2.1.1) $$

avec $\pi_{v_0}$ étant la projection orthogonale le long de la droite $\mathbb{R}v_0$, $\mathcal{N}$ la fonction de normalisation des vecteurs non nuls de type espace et $\phi_0 : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{L}^{n+1}$ la fonction lisse définie via l'expression ci-dessous :

$$ \phi_0(u) = u + l(u)e, \qquad (6.2.1.2) $$

où $l = TH(h)$.

**Note.** À présent, pour une famille de g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ et $v_0$ un second point de référence, alors dans toute la suite, la fonction de réindexation que nous considérerons sera toujours définie via la relation (6.2.1.1).

**Démonstration.** Commençons par vérifier l'unicité (au signe près). Si $\phi$ et $\phi'$ sont deux fonctions de réindexation d'une famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ de g-hyperplans co-orientés en e et relativement à un second point de référence $v_0$, alors on considère l'application $\varepsilon : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ définie via l'expression suivante :

$$ \varepsilon(u) = \langle \phi(u) | \phi'(u) \rangle $$

Or, par définition, nous avons que $\phi(u) \sim \phi'(u)$ et donc $\varepsilon(u) \in \{-1; +1\}$. Aussi, par continuité de l'application $\varepsilon$ et par connexité de l'hypersphère $\mathbb{S}_e^{n-1}$, on a forcément que l'application $\varepsilon$ est constante. Il s'ensuit que si les $\bar{\beta}_u$ correspondent aux orientations des g-hyperplans $\Sigma_u$, alors l'une des deux fonctions de réindexation vérifie forcément que pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, la base complétée$^3$ $(\beta_u^{x(u)}, \partial\gamma_u(t_u))$ est dans le même sens que la base canonique de l'espace $\mathbb{L}^{n+1}$.

Considérons donc $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_0^{n-1}}$ une famille de g-hyperplans co-orientés en e. Alors on sait que, via la propriété 4.4.3 page 100, la famille $(\psi_e(\Sigma_u))_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ vérifie l'expression suivante :

$$ \psi_e(\Sigma_u) = (l(u)u + \langle u \rangle^\perp) \cap \mathcal{D}(e) $$

avec $l(u) = TH h(u)$.

<footnote n="3">3. Pour ne pas surcharger notre démonstration, nous faisons le choix d'introduire ici la définition des éléments $\beta_u^{x(u)}$ et $\partial_t \gamma_u(t_u)$. En effet, pour $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, on considère $\gamma_u : \mathbb{R} \to \mathbb{H}^n$ la géodésique qui passe par le point $v_0$ à la vitesse $\phi(u)$ et à l'instant $t = 0$. Ensuite, on considère le point $x(u)$ correspondant à l'unique point de l'intersection du g-hyperplan $\Sigma_u$ avec la géodésique $\gamma_u$ ainsi que $t_u$ étant l'instant tel que $x(u) = \gamma_u(t_u)$. Enfin, on définit $\beta_u^{x(u)}$ comme étant une base de l'espace tangent $T_{x(u)}\mathbb{H}^n$, qui correspond à l'orientation $\bar{\beta}_u$.</footnote>
Ensuite, considérons l'application du changement de carte $f := \psi_{v_0} \circ \varphi_e : \mathcal{D}(e) \mapsto \mathcal{D}(v_0)$ ainsi que l'application de changement de point $\mathcal{F}_w : T_e\mathbb{H}^n \mapsto T_{v_0}\mathbb{H}^n$ (voir définition 5.1.2 page 305 de l'annexe E), telle que :

$$ \mathcal{F}_w(\vec{v}) = \vec{v} + \kappa_w(\vec{v})[e + w], \text{ avec } \kappa_w(\vec{v}) = -\frac{\langle v_0 | \vec{v} \rangle}{\langle v_0 | e + w \rangle} $$

On peut alors vérifier (voir la propriété 5.1.6 page 305 de l'annexe E) que la famille de g-hyperplan est définie, dans le modèle de Klein centré en $v_0$, via la relation ci-dessous :

$$ \psi_{v_0}(\Sigma_u) = (f(l(u)u) + \mathcal{F}_{l(u)u} \cdot T_u \mathbb{S}_e^{n-1}) \cap \mathcal{D}(v_0) $$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$.

À présent, afin de ne pas inutilement alourdir notre démonstration par des notations redondantes, nous noterons par $T_u$ l'hyperplan $\mathcal{F}_{l(u)u} \cdot T_u \mathbb{S}_e^{n-1}$. Il est alors important de remarquer que le vecteur $f(l(u)u)$ n'est pas forcément orthogonal à l'hyperplan vectoriel $T_u$ sur l'espace euclidien $(T_{v_0}\mathbb{H}^n, g_{v_0})$. Nous devons donc, pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, définir un vecteur $\phi(u) \in \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$ qui est orthogonal à l'hyperplan vectoriel $T_u$ pour le produit scalaire usuel. Considérons donc $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, alors pour $\lambda \in \mathbb{R}$, on définit le vecteur :

$$ \vec{v}_0 = u + \lambda(e + w) $$

avec $w = l(u)u$.

Remarquons donc que dans l'hypothèse où le vecteur $\vec{v}_0$ est orthogonal à l'hyperplan $T_u$, alors on a forcément que le scalaire $\lambda$ vérifie la condition ci-dessous :

$$ l(u)\kappa_w(\vec{v}) + \lambda\kappa_w(\vec{v})(l(u))^2 - 1 = 0 \qquad (6.2.1.3) $$

pour tout vecteur $\vec{v} \in T_u \mathbb{S}_e^{n-1}$ tel que $\kappa_w(\vec{v}) \neq 0$. Par conséquent, nous pouvons déduire de la condition (6.2.1.3) que le vecteur $\vec{v}_0$ est orthogonal à l'hyperplan $T_u$ si et seulement si le scalaire $\lambda$ est défini via l'expression ci-dessous :

$$ \lambda = \frac{l(u)}{1 - l(u)^2} $$

et donc,

$$ \vec{v}_0 = u + \frac{l(u)}{1 - l(u)^2} (l(u)u + e) = \frac{1}{1 - l(u)^2} (u + l(u)e) $$

Pour conclure, si pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, on considère le vecteur $\phi_0(u) = u + l(u)e \in \mathbb{L}^{n+1}$, alors, par ce qui précède, il est évident que $\phi_0(u)$ est orthogonal à l'hyperplan $T_u$. Aussi, comme le vecteur $\phi_0(u)$ est clairement de type espace, alors, en considérant $\pi_{v_0}$ la projection orthogonale le long de la droite $\mathbb{R}v_0$ (qui est de type temps), il est immédiat que le vecteur $\pi_{v_0} \circ \phi_0(u)$ est non nul. Ce qui termine la preuve. $\square$

**Remarque 6.2.1.** Il est intéressant de constater que pour toute famille de g-hyperplans co-orientés en un point $e \in \mathbb{H}^n$ et dont la fonction de support est non nulle, il existe forcément un second point de référence $v_0 \in \mathbb{H}^n$ pour lequel la fonction de réindexation vérifie que :

$$ \langle u_0 | \phi(u_0) \rangle = 0 \qquad (6.2.1.4) $$
pour un certain $u_0 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$. En effet, pour vérifier cela, il suffit de se placer sur le modèle de Poincaré centré en e. Ainsi, si pour $u_1 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, on a que $h(u_1)$ est non nul, alors en choisissant $v_0$ suffisamment proche de l'intersection du bord à l'infini $\partial \bar{D}(e)$ avec la fermeture du g-hyperplan $\bar{\Sigma}_{u_1}$ (vue sur l'espace euclidien $(T_eH^n, g_e)$), on obtient que le produit scalaire $\langle u_1|\phi(u_1) \rangle$ est strictement négatif. Mais aussi, en considérant un second vecteur $u_2 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ tel que la droite $Ru_2$ contient les points $e$ et $v_0$, alors il est clair que $\phi(u_2) = u_2$ et en particulier le produit $\langle u_2|\phi(u_2) \rangle$ est strictement positif.

<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>FIGURE 6.2 – Non constance du signe du produit $\langle u|\phi(u) \rangle$</figcaption></figure>

L'intérêt de cette dernière remarque consiste à évacuer l'idée d'utiliser le fait que le produit $\langle u|\phi(u) \rangle$ est non nul et donc de signe constant pour conclure que la fonction de réindexation est injective car de degré 1. En effet, pour vérifier que la fonction de réindexation, correspondant à une famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ de g-hyperplans co-orientés en $e$ qui admet une enveloppe, est un difféomorphisme, on montre d'abord (voir démonstration théorème 6.4.1) que lorsque la fonction de support $h$ vérifie la condition d'existence (4.4.1.2), alors la fonction de réindexation est forcément un difféomorphisme local pour tout $u_0 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$. Mais par la remarque 6.2.1 précédente, il nous est alors nécessaire de déterminer les conditions d'injectivité de la fonction de réindexation (voir lemme 6.3.1).

## 6.2.2 Propriétés préliminaires de la restriction sur le plan hyperbolique et les relations antipodales

Dans cette section, nous présentons trois lemmes qui nous seront nécessaires à la démonstration du lemme d'injectivité de la fonction de réindexation (voir section 6.3 suivante).

**Lemme 6.2.1.** *Considérons $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$. Si $H \subset T_eH^n$ est un plan vectoriel et $v_0 \in \mathbb{H}_H$ un second point de référence, alors la fonction de réindexation $\phi: \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$ vérifie que :*

$$ \phi(H \cap \mathbb{S}_e^{n-1}) \subset \mathcal{F}(H) \cap \mathbb{S}_{v_0}^{n-1} \qquad (6.2.2.5) $$

*De plus, en considérant la famille de g-hyperplans $(\mathbb{H}_H \cap \Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^1[\mathbb{H}_H]}$ qui est co-orientée en $e$, alors la fonction de réindexation $\phi_H: \mathbb{S}_e^1[\mathbb{H}_H] \to \mathbb{S}_{v_0}^1[\mathbb{H}_H]$ correspond à la restriction de $\phi$ sur $\mathbb{S}_{v_0}^1[\mathbb{H}_H]$.*

*Démonstration.* Considérons donc un point de référence $e \in \mathbb{H}^n$ ainsi qu'un plan $H \subset T_eH^n$ et $v_0 \in \mathbb{H}_H$ un second point de référence sur le 2-sous-espace hyperbolique défini par $H$. Rappelons aussi (voir section 5.1.2 page 302 de l'annexe E pour plus de détails) que la projection de Klein centrée en $e$ est définie via l'expression suivante :*
$$ \psi_e(v) = k_e(v)v - e $$

$$ \text{où } k_e(v) = -\frac{1}{\langle e|v \rangle} $$

À présent, considérons, sur la boule ouverte $\mathcal{D}(e)$, le point $w_0 = \psi_e(v_0) = kv_0 - e$, où $k$ est le coefficient défini par l'expression (6.1.2.3). Nous définissons alors le vecteur :

$$ u_0 = \lambda w_0 $$

où $\lambda = \frac{1}{\|w_0\|}$. Il est alors clair que le vecteur $u_0$, ainsi défini, est compris dans le plan $H$. De plus, nous pouvons vérifier que :

1. Si $\mathcal{F}: T_e\mathbb{H}^n \to T_{v_0}\mathbb{H}^n$ et $\mathcal{G}: T_{v_0}\mathbb{H}^n \to T_e\mathbb{H}^n$ sont les fonctions de changement de point (définies via l'expression (6.1.2.2)) correspondant respectivement aux applications de changement de carte $f := \psi_{v_0} \circ \varphi_e$ et $g := \psi_e \circ \varphi_{v_0}$, alors on a que $\mathcal{G} \circ \mathcal{F}(H) = H$.

2. Si $\phi: \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$ est la fonction de réindexation définie par l'expression (6.2.1.1), alors l'image $\phi(H \cap \mathbb{S}_e^{n-1})$ est contenue dans un plan vectoriel.

En effet, pour le premier point, en considérant l'expression des fonctions de changement de point $\mathcal{F}$ et $\mathcal{G}$, on obtient la relation suivante :

$$ \mathcal{G} \circ \mathcal{F}(\vec{W}) = \vec{W} - k \langle v_0 | \vec{W} \rangle w_0 $$

et, par définition du point $v_0$, il est clair que $w_0 \in H$. Par conséquent, on obtient que $\mathcal{G} \circ \mathcal{F}(H) \subset H$. Les applications $\mathcal{F}$ et $\mathcal{G}$ étant des isomorphismes, on en déduit le résultat recherché.

Pour le second point, il nous faut constater que pour tout vecteur $\vec{W}$ orthogonal au plan vectoriel $H$, l'application $\phi_0$ étant définie via l'expression (6.2.1.2), on a que $\vec{W} \perp \phi_0(u)$, pour tout $u \in H \cap \mathbb{S}_e^{n-1}$. On sait donc que $\mathrm{Im}(\phi_0) \subset H \oplus \mathbb{Re}$ et en particulier $\mathrm{Im}(\phi) \subset \pi_{v_0}(H \oplus \mathbb{Re})$.

Pour terminer cette démonstration, considérons $u_1 \in H \cap \mathbb{S}_e^{n-1}$, un vecteur orthogonal à $u_0$. Il est immédiat que la famille $(u_0, u_1)$ correspond à une base orthonormale du plan vectoriel $H$. Ainsi, par ce qui précède, il nous suffit de vérifier que la famille formée par les vecteurs $\mathcal{G}(\pi_{v_0} \circ \phi_0(u_0))$ et $\mathcal{G}(\pi_{v_0} \circ \phi_0(u_1))$ correspond à une base de $H$. Pour cela, nous devons déterminer les expressions de ces deux vecteurs.

Considérons donc $h: \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ la fonction de support centrée en $e$ de la famille de g-hyperplans, ainsi que la fonction $l = TH(h)$. En notant $l_0 = l(u_0)$, on a que $\phi_0(u_0) = u_0 + l_0e = \lambda kv_0 + (l_0 - \lambda)e$ et donc $\langle v_0 | \phi_0(u_0) \rangle = -\Gamma$, avec $\Gamma = \lambda k + \frac{l_0\lambda}{k}$. Ainsi, on obtient que :

$$ \begin{aligned} \pi_{v_0} \circ \phi_0(u_0) &= \phi_0(u_0) + \langle \phi_0(u_0) | v_0 \rangle v_0 = u_0 + l_0 e - \Gamma \frac{w_0 + e}{k} \\ &= u_0 + l_0 e - \frac{\Gamma}{k\lambda}(u_0 + \lambda e) = \left(1 - \frac{\Gamma}{k\lambda}\right)u_0 + \left(l_0 - \frac{\Gamma}{k}\right)e \end{aligned} $$

ce qui nous donne $\pi_{v_0} \circ \phi_0(u_0) = \alpha u_0 + \beta e$. Ensuite, on a que :

$$ \begin{aligned} \mathcal{G}(\pi_{v_0} \circ \phi_0(u_0)) &= \pi_{v_0} \circ \phi_0(u_0) + k \langle e | \pi_{v_0} \circ \phi_0(u_0) \rangle v_0 = \alpha u_0 + \beta e - k\beta v_0 \\ &= \alpha u_0 + \beta e - k\beta \frac{w_0 + e}{k} = \left(\alpha - \frac{\beta}{\lambda}\right)u_0 \end{aligned} $$
et donc $\mathcal{G}(\pi_{v_0} \circ \phi_0(u_0)) \sim u_0$.

Pour le second vecteur, considérons $\phi_0(u_1) = u_1 + l_1 e$, avec $l_1 = l(u_1)$. Ainsi, on a que
$$ \langle v_0 | \phi_0(u_1) \rangle = -\frac{l_1}{k} \text{ et, par conséquent, on obtient :} $$

$$
\begin{align*}
\pi_{v_0} \circ \phi_0(u_1) &= \phi_0(u_1) + \langle \phi_0(u_1) | v_0 \rangle v_0 = u_1 + l_1 e - \frac{l_1}{\lambda k^2} (u_0 + \lambda e) \\
&= -\frac{l_1}{\lambda k^2} u_0 + u_1 + l_1 \left(1 - \frac{1}{k^2}\right) e = \alpha u_0 + u_1 + l_1 \beta e
\end{align*}
$$

Cela nous donne finalement que $\mathcal{G}(\pi_{v_0} \circ \phi_0(u_1)) = \left(\alpha - \frac{l_1\beta}{\lambda}\right)u_0 + u_1$ et, ainsi, on obtient le résultat recherché. $\square$

Nous terminons cette section en vérifiant deux lemmes qui traitent de la relation entre les vecteurs antipodaux sur l'hypersphère $S_{v_0}^{n-1}$ et les vecteurs antipodaux sur l'hypersphère $S_{v_0}^{n-1}$ via la fonction de réindexation $\phi: S_{v_0}^{n-1} \to S_{v_0}^{n-1}$. Considérons donc $e$ et $v_0$ deux points de référence sur l'espace hyperbolique. Alors, nous définissons le vecteur :

$$ u_0 = \lambda w_0 \in S_e^{n-1} \qquad (6.2.2.6) $$

avec $w_0 = \psi_e(v_0)$ et $\lambda > 0$. De plus, pour tout vecteur $u_1 \in S_e^{n-1}$ orthogonal au vecteur $u_0$, il est nécessaire d'introduire les deux définitions suivantes :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\mathcal{K}_+[u_1] = \{\vec{W} \in \mathbb{R}u_0 \oplus \mathbb{R}u_1 \text{ tel que } \langle u_1|\vec{W} \rangle \ge 0\} \\
\mathcal{K}_-[u_1] = \{\vec{W} \in \mathbb{R}u_0 \oplus \mathbb{R}u_1 \text{ tel que } \langle u_1|\vec{W} \rangle \le 0\}
\end{array}
\right.
\qquad (6.2.2.7)
$$

et

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\mathcal{L}_+[\mathcal{F}(u_1)] = \{\vec{V} \in \mathbb{R}\mathcal{F}(u_0) \oplus \mathbb{R}\mathcal{F}(u_1) \text{ tel que } \langle \mathcal{F}(u_1)|\vec{V} \rangle \ge 0\} \\
\mathcal{L}_-[\mathcal{F}(u_1)] = \{\vec{V} \in \mathbb{R}\mathcal{F}(u_0) \oplus \mathbb{R}\mathcal{F}(u_1) \text{ tel que } \langle \mathcal{F}(u_1)|\vec{V} \rangle \le 0\}
\end{array}
\right.
\qquad (6.2.2.8)
$$

avec $\mathcal{F}: T_e\mathbb{H}^n \to T_{v_0}\mathbb{H}^n$ étant l'application linéaire de changement de point de référence définie via l'expression (6.1.2.2).

**Lemme 6.2.2.** Considérons $e$ et $v_0$ deux points de référence ainsi que $(\Sigma_u)_{u \in S_e^{n-1}}$ une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$. Alors, si le vecteur $u_0 \in S_e^{n-1}$ est défini via l'expression (6.2.2.6) et $u_1 \in S_e^{n-1}$ est orthogonal à $u_0$, on a :

$$ 1. f(\mathcal{K}_+[u_1] \cap \mathcal{D}(e)) \subset \mathcal{L}_+[\mathcal{F}(u_1)] \cap \mathcal{D}(v_0) \text{ et } f(\mathcal{K}_-[u_1] \cap \mathcal{D}(e)) \subset \mathcal{L}_-[\mathcal{F}(u_1)] \cap \mathcal{D}(v_0). $$

$$ 2. \phi(\mathcal{K}_+[u_1] \cap \mathbb{S}_e^{n-1}) \subset \mathcal{L}_+[\mathcal{F}(u_1)] \cap \mathbb{S}_{v_0}^{n-1} \text{ et } \phi(\mathcal{K}_-[u_1] \cap \mathbb{S}_e^{n-1}) \subset \mathcal{L}_-[\mathcal{F}(u_1)] \cap \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}. $$

$$ 3. \text{ Les vecteurs } \phi(u_0) \text{ et } \phi(-u_0) \text{ sont contenus sur la droite } \mathbb{R}\mathcal{F}(u_0) \text{ et sont, en particulier, des vecteurs antipodaux.} $$
**Démonstration.** Considérons donc deux points de référence $e \in \mathbb{H}^n$ et $v_0 \in \mathbb{H}^n$ ainsi que la fonction de changement de carte $f := \psi_{v_0} \circ \varphi_e : \mathcal{D}(e) \to \mathcal{D}(v_0)$ et la fonction de réindexation $\phi : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$.

Choisissons un vecteur $u_1 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ orthogonale à $u_0$. Via le lemme 6.2.1, que nous avons vu précédemment, nous savons que nous pouvons nous restreindre au 2-plan $\mathbb{R}u_0 \oplus \mathbb{R}u_1$. Ainsi, sans perte de généralité, nous travaillerons sur le plan hyperbolique $\mathbb{H}^2$ en considérant la fonction de réindexation $\phi : \mathbb{S}_e^1 \to \mathbb{S}_{v_0}^1$ ainsi que la fonction de changement de point $f$. Nous considérons alors les vecteurs $u_0$ et $u_1$ vérifiant les conditions du lemme ainsi que les demi-espaces :

$$ \mathcal{K}_+ = \{ \vec{W} \in T_e \mathbb{H}^2 \text{ tel que } \langle u_1 | \vec{W} \rangle \ge 0 \} \text{ et } \mathcal{K}_- = \{ \vec{W} \in T_e \mathbb{H}^2 \text{ tel que } \langle u_1 | \vec{W} \rangle \le 0 \} $$

et que nous représentons ci-dessous :

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>FIGURE 6.3 – Représentation des demi-disques</figcaption></figure>

En remarquant que $\mathcal{F}(u_1) = u_1$, avec $\mathcal{F} : T_e\mathbb{H}^2 \to T_{v_0}\mathbb{H}^2$ la fonction de changement de point (voir expression (6.1.2.2)), alors les demi-espaces $\mathcal{L}_+[\mathcal{F}(u_1)]$ et $\mathcal{L}_-[\mathcal{F}(u_1)]$ admettent pour expression :

$$ \mathcal{L}_+ = \{ \vec{V} \in T_{v_0} \mathbb{H}^2 \text{ tel que } \langle u_1 | \vec{V} \rangle \ge 0 \} \text{ et } \mathcal{L}_- = \{ \vec{V} \in T_{v_0} \mathbb{H}^2 \text{ tel que } \langle u_1 | \vec{V} \rangle \le 0 \} $$

et, après un petit calcul, nous obtenons :

$$ \langle u_1 | f(w) \rangle = - \frac{1}{\langle v_0 | e + w \rangle} \langle u_1 | w \rangle \text{ et } \langle u_1 | \phi(u) \rangle = \langle u_1 | u \rangle $$

ce qui nous donne les deux premiers points.

Pour le troisième point, nous commençons par considérer $w_e = \psi_{v_0}(e) = ke - v_0 \in \mathcal{D}(v_0)$ ainsi que le scalaire $\lambda = \pm \frac{1}{\|w_0\|}$. Il nous faut alors montrer que $\phi(\lambda w_0) = \mu w_e$. Ainsi, pour chaque scalaire $\lambda$, considérons la longueur $l_\lambda \in ]-1; 1[$ telle que :

$$ \phi_0(\lambda w_0) = \lambda w_0 + l_\lambda e $$

Par conséquence, nous devons déterminer le vecteur $\pi_{v_0} \circ \phi_0(\lambda w_0)$, qui correspond à la projection orthogonale du vecteur $\phi_0(\lambda w_0)$ le long de la droite $\mathbb{R}v_0$. Pour ce faire, nous considérons le produit $\langle \phi_0(\lambda w_0) | v_0 \rangle = -\lambda k - \frac{l_\lambda - \lambda}{k}$, ce qui nous donne :

$$ \pi_{v_0} \circ \phi_0(\lambda w_0) = \frac{l_\lambda - \lambda}{k} (ke - v_0) \qquad (6.2.2.9) $$
Ainsi, deux cas sont possibles en fonction de $\lambda$. En effet, en remarquant que $|\lambda| > 1$, alors par (6.2.2.9), il est immédiat que : Si $\lambda > 0$, alors $\mu < 0$ et si $\lambda < 0$, alors $\mu > 0$. Ce qui termine la preuve. $\square$

**Remarque 6.2.2.** Une conséquence immédiate du lemme précédent est que $\phi(-u) \neq \phi(u)$, pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$.

**Lemme 6.2.3.** Considérons $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$, ainsi que $v_0$, un second point de référence, et $\phi : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$ la fonction de réindexation entre les points $e$ et $v_0$. Alors, pour tout vecteur $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, le produit $\langle \mathcal{F}(u)|\phi(u) \rangle$ est strictement positif.

**Démonstration.** Rappelons que, comme nous l'avons vu à la propriété 6.2.1, la fonction de réindexation admet pour expression $\phi := \mathcal{N} \circ \pi_{v_0} \circ \phi_0 : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$, où $\phi_0$ vérifie l'expression (6.2.1). Pour éviter des notations redondantes, nous adopterons les notations suivantes :

$$l = l(u), \lambda = \langle v_0|u \rangle, \nu = \phi(u) \text{ et } \nu_0 = \pi_{v_0} \circ \phi_0(u)$$

Par conséquent, si $\mathcal{F} : T_e\mathbb{H}^2 \to T_{v_0}\mathbb{H}^2$ est la fonction du changement de point, elle admet comme expression $\mathcal{F}(u) = u + k\lambda e$. Il est donc immédiat que $\langle \mathcal{F}(u)|\nu_0 \rangle = \langle u|\nu_0 \rangle + k\lambda \langle e|\nu_0 \rangle$ avec :

$$\langle e|\nu_0 \rangle = -\frac{1}{k} \left[ (k^2 - 1) \frac{l}{k} + \lambda \right] \text{ et } \langle u|\nu_0 \rangle = 1 + \left( \lambda - \frac{l}{k} \right) \lambda$$

ainsi,

$$\langle \mathcal{F}(u)|\nu_0 \rangle = 1 + \left( \lambda - \frac{l}{k} \right) \lambda - \lambda \left[ (k^2 - 1) \frac{l}{k} + \lambda \right] = 1 - k\lambda l$$

et finalement,

$$\langle \mathcal{F}(u)|\phi(u) \rangle = \mu(u)[1 - l(u) \langle w_0|u \rangle] > 0$$

ce qui termine la preuve. $\square$

## 6.3 Lemme sur l'injectivité de la fonction de réindexation

Nous avons vu à la propriété 4.4.1 page 97 qu'une famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ de g-hyperplans co-orientés en $e$ admet une enveloppe seulement dans le cas où sa fonction de support $h : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ vérifie la condition ci-dessous :

$$\| \vec{\nabla} h(u) \| < CH h(u)$$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$.

Si la notion de g-hérisson est universelle, c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas du choix du point de référence, cela signifie que la condition précédente appliquée à la fonction de support $h$ impose que toute fonction de réindexation soit au injective. Néanmoins, comme nous l'avons vu via la remarque 6.2.1, la question de l'injectivité de la fonction de réindexation ne peut pas être résolue de manière triviale. Il est alors justifié d'étudier la relation entre la condition d'existence (4.4.1.2) sur la fonction de support d'une famille de g-hyperplan et l'injectivité des fonctions de réindexation. C'est précisément l'objet du lemme ci-dessous :
**Lemme 6.3.1.** *Considérons $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ une famille de g-hyperplans co-orientés en e. S'il existe un point $v_0$ pour lequel la fonction de réindexation $\phi: \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$ n'est pas injective, alors il existe un vecteur $u_0 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ tel que :*

$$ \| \vec{\nabla} h(u_0) \| \geq CH h(u_0) \qquad (6.3.0.1) $$

avec $h$ étant la fonction de support centrée en e.

*Démonstration.* Nous allons commencer par démontrer ce lemme sur le plan hyperbolique. Considérons donc $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^1}$ une famille de g-hyperplans co-orientés en e et supposons qu'il existe un point $v_0 \in \mathbb{H}^2$ pour lequel la fonction de réindexation $\phi: \mathbb{S}_e^1 \to \mathbb{S}_{v_0}^1$ n'est pas injective. En particulier, considérons $u_1 \in \mathbb{S}_e^1$ et $u_2 \in \mathbb{S}_e^1$ deux vecteurs distincts tels que $\phi(u_1) = \phi(u_2)$. Via la remarque 6.2.2 que nous avons vue précédemment, nous savons que les vecteurs $u_1$ et $u_2$ ne peuvent pas être antipodaux. Pour la suite, définissons le vecteur $\nu = \phi(u_1) = \phi(u_2) \in \mathbb{S}_{v_0}^1$ et considérons les demi-espaces :

$$ \left\{ \begin{array}{l} K_1 = \{ \vec{W} \in T_e \mathbb{H}^2 \text{ tel que } \langle \vec{W} | u_1 \rangle \ge l_1 \} \\ K_2 = \{ \vec{W} \in T_e \mathbb{H}^2 \text{ tel que } \langle \vec{W} | u_2 \rangle \ge l_2 \} \end{array} \right. \qquad (6.3.0.2) $$

et

$$ \left\{ \begin{array}{l} L_1 = \{ \vec{V} \in T_{v_0} \mathbb{H}^2 \text{ tel que } \langle \vec{V} | \nu \rangle \ge t_1 \} \\ L_2 = \{ \vec{V} \in T_{v_0} \mathbb{H}^2 \text{ tel que } \langle \vec{V} | \nu \rangle \ge t_2 \} \end{array} \right. \qquad (6.3.0.3) $$

où les scalaires $l_1, l_2, t_1$ et $t_2$ correspondent à la mesure de la position des g-hyperplans $\Sigma_{u_1}$ et $\Sigma_{u_2}$ par rapport aux vecteurs $u_1, u_2$ et $\nu$ dans les modèles de Klein associés aux points de référence $e$ et $v_0$. En particulier, si $h: \mathbb{S}_e^1 \to \mathbb{R}$ est la fonction de support, alors via la propriété 4.4.3 page 100, nous savons que :

$$ l_1 = TH h(u_1) \text{ et } l_2 = TH h(u_2) $$

À présent, considérons la fonction de changement de carte $f := \psi_{v_0} \circ \varphi_e : \mathcal{D}(e) \to \mathcal{D}(v_0)$. Nous devons alors vérifier les deux relations suivantes :

$$ f(\mathring{K}_1 \cap \mathcal{D}(e)) = \mathring{L}_1 \cap \mathcal{D}(v_0) \text{ et } f(\mathring{K}_2 \cap \mathcal{D}(e)) = \mathring{L}_2 \cap \mathcal{D}(v_0) \qquad (6.3.0.4) $$

Pour cela, introduisons la fonction définie par l'expression $\mu(l) = \langle \nu | f(lu_1) \rangle$. Alors, après quelques calculs, nous obtenons :

$$ \mu(l) = \langle \nu | f(lu_1) \rangle = \langle \nu | w_e \rangle + S(l) \langle \nu | \mathcal{F}(u_1) \rangle $$

avec $S(l) = - \frac{l}{\langle v_0 | e + lu_1 \rangle}$ et $w_e = \psi_{v_0}(e)$.

Via le lemme 6.2.3, nous savons que le produit $\langle \nu | \mathcal{F}(u_1) \rangle$ est strictement positif. De plus, comme la fonction $S(l)$ est strictement croissante, il en est alors de même pour la fonction $\mu(l)$. Ainsi, puisque $\mu(l_1) = t_1$, il existe donc $w_1 \in \mathrm{Int}(K_1) \cap \mathcal{D}(e)$ tel que $f(w_1) \in \mathrm{Int}(K_1) \cap \mathcal{D}(v_0)$. Enfin, l'application $f: \mathcal{D}(e) \setminus \psi_e(\Sigma_{u_1}) \to \mathcal{D}(v_0) \setminus \psi_{v_0}(\Sigma_{u_1})$ étant un difféomorphisme, alors $f$ envoie les composantes connexes sur les composantes connexes, ce qui nous donne le résultat
recherché.

Il est important de remarquer que sur le domaine $\mathcal{D}(v_0)$, on ne peut avoir que $\psi_{v_0}(\Sigma_{u_1}) = \psi_{v_0}(\Sigma_{u_2})$, car sinon les deux g-hyperplans seraient identiques et il en serait de même pour les vecteurs $u_1$ et $u_2$, du fait qu’ils ne peuvent pas être antipodaux. Par définition des demi-espaces $L_1$ et $L_2$, il est clair que $L_1 \subset \text{Int}(L_2)$ ou $L_2 \subset \text{Int}(L_1)$. Alors, en considérant (6.3.0.4), on a :

$$K_2 \subset \text{Int}(L_1) \text{ ou } K_1 \subset \text{Int}(L_2) \qquad (6.3.0.5)$$

À présent, il nous faut noter que, pour la suite, nous considérerons (sans perte de généralité) que les distances orientées $l_1$ et $l_2$ vérifient la condition ci-dessous :

$$l_1 \le l_2 \qquad (6.3.0.6)$$

et en particulier, on obtient que :

$$K_2 \subset \text{Int}(L_1) \qquad (6.3.0.7)$$

Ensuite, comme il est clair qu’en adoptant la même méthode que pour $\mu$, la fonction $\eta(l) = \langle \nu | f(lu_2) \rangle$ est strictement croissante, alors on obtient que :

$$u_2 \in \text{Int}(K_1) \cap \mathbb{S}_e^1$$

En effet, on sait que $f(l_2u_2) \in \psi_{v_0}(\Sigma_{u_2}) \subset L_2 \cap \mathcal{D}(v_0) \subset \text{Int}(L_1) \cap \mathcal{D}(v_0)$. En particulier, comme la fonction $\eta$ est strictement croissante, on a : pour tout $l > l_2$, $f(lu_2) \in \text{Int}(L_2) \cap \mathcal{D}(v_0)$. Par conséquence, en passant à la limite sur le bord, on obtient le résultat recherché.

À présent, considérons le paramétrage $s : ]-\pi; \pi[ \mapsto \mathbb{S}_e^1$ correspondant à la rotation indirecte telle que $s(0) = u_1$. Aussi, relativement à la droite affine $T_{u_1} = l_1u_1 + \langle u_1 \rangle^{\perp}$, nous définissons les vecteurs $u_I \in s([]-\pi; 0[)$ et $u_D \in s([0; \pi[)$ tels que $\mathcal{D}(e) \cap T_{u_1} = ]u_I; u_D[ \text{ (où } ]u_I; u_D[ \text{ est le segment reliant les vecteurs } u_I \text{ et } u_D$, considérés comme des points sur l'espace euclidien $T_e\mathbb{H}^2$), ainsi que $\theta_I$ et $\theta_D$ étant leurs coordonnées associées via le paramétrage $s$.

<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>FIGURE 6.4 – Définition des vecteurs $u_I$ et $u_D$.</figcaption></figure>

A présent considérons, pour $\theta \neq \theta_I$, l'angle $\varphi_{\theta} = \theta - \theta_I$ ainsi que la fonction $\tilde{l}_I(\theta) = \text{Cos}(\varphi_{\theta})$ définie sur $]-\pi; \theta_I[ \cup ]\theta_I; \pi[$. Il nous faut alors noter que la famille de g-hyperplans, définie sur $\mathcal{D}(e)$ par l'application $\tilde{l}_I$, représente un cas limite de famille de g-hyperplans co-orientés en $e$ contenant le g-hyperplan $\Sigma_{u_1}$. De plus, tous les g-hyperplans $\Sigma_{\theta}$, ainsi définis et distincts de $\Sigma_{u_1}$, sont parallèles 4 à $\Sigma_{u_1}$. Par conséquent, on définit la fonction $\tilde{h}_I : ]-\pi; \theta_I[ \cup ]\theta_I; \pi[$ $\mapsto \mathbb{R}$ via l'expression suivante :
$$ \tilde{h}_I(\theta) = \mathrm{ArcTH}(\tilde{l}_I(\theta)) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1 + \mathrm{Cos}(\theta - \theta_I)}{1 - \mathrm{Cos}(\theta - \theta_I)} \right) $$

Pour définir la même fonction par rapport au vecteur $u_D$, considérons, pour $\theta \neq \theta_D$, la fonction $\tilde{l}_D(\theta) = \mathrm{Sin}(\varphi_\theta)$, où $\varphi_\theta$ vérifie la relation $\theta + \varphi_\theta = \theta_D$. En particulier, on considère la fonction définie via l'expression suivante :

$$ \tilde{h}_D(\theta) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1 + \mathrm{Cos}(\theta - \theta_D)}{1 - \mathrm{Cos}(\theta - \theta_D)} \right) $$

Par conséquent, il nous sera nécessaire de remarquer qu'après un petit calcul, on peut vérifier que pour tout $\theta \neq \theta_I$ (resp. $\theta \neq \theta_D$), on a que les fonctions $\tilde{h}_I$ et $\tilde{h}_D$, que nous avons précédemment définies, vérifient les relations ci-dessous :

$$ \frac{\partial_{\theta} \tilde{h}_{I}(\theta)}{CH \tilde{h}_{I}(\theta)} = - \frac{|\mathrm{Sin}(\theta - \theta_{I})|}{\mathrm{Sin}(\theta - \theta_{I})} \quad \text{et} \quad \frac{\partial_{\theta} \tilde{h}_{D}(\theta)}{CH \tilde{h}_{D}(\theta)} = - \frac{|\mathrm{Sin}(\theta - \theta_{D})|}{\mathrm{Sin}(\theta - \theta_{D})} $$

À présent, considérons l'application $\tilde{h}: ]-\pi; \pi[ \mapsto \mathbb{R}$ correspondant, via le paramétrage $s$, à la fonction de support $h$ de la famille de g-hyperplans. Aussi, on définit les angles $\theta_1 = 0$ et $\theta_2$ qui correspondent, via le paramétrage $s$, aux vecteurs $u_1$ et $u_2$. Par conséquent, comme les g-hyperplans $\Sigma_{u_1}$ et $\Sigma_{u_2}$ sont parallèles$^5$ par rapport au point $v_0$ et vérifient la condition (6.3.0.7), on a forcément que : Si l'angle $\theta_2$ est dans l'intervalle $]\theta_I; 0[$, alors :

$$ \tilde{h}(\theta_2) > \tilde{h}_I(\theta_2) \qquad (6.3.0.8) $$

Il est important de bien remarquer que l'inégalité (6.3.0.8) est stricte du fait que les g-hyperplans $\Sigma_{u_1}$ et $\Sigma_{u_2}$ sont parallèles par rapport au point $v_0$ au sens où il existe une géodésique qui leur est communément perpendiculaire et passant par le point $v_0$. En effet, par la propriété 5.1.16 page 313 de l'annexe E qui traite des g-hyperplans parallèles, il est clair que le g-hyperplan $\Sigma_{u_2}$ ne peut pas correspondre à la longueur $\tilde{h}_I(\theta_2)$.

<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>FIGURE 6.5 – Positionnement du g-hyperplan $\Sigma_{u_2}$ relativement au g-hyperplan $\Sigma_{u_1}$.</figcaption></figure>

Pareillement, dans le cas où l'angle $\theta_2$ est dans l'intervalle $]0; \theta_D[$, alors en considérant la même méthode que précédemment, on obtient que $\tilde{h}(\theta_2) > \tilde{h}_D(\theta_2)$. Ainsi, sans perte de généralité, nous supposerons dans toute la suite que $\theta_2 \in ]\theta_I; 0[$. Par conséquent, en remarquant que par

<footnote n="4">4. Il convient de préciser que pour tout $\theta$ non nul, les g-hyperplans $\Sigma_{u_1}$ et $\Sigma_{\theta}$ sont parallèles sans jamais avoir de géodésique orthogonale commune (voir section 5.1.4.3 page 312 de l'annexe E pour en savoir plus sur les g-hyperplans parallèles).</footnote>

<footnote n="5">5. Voir la définition 4.2.3 page 85 du chapitre 4 pour un rappel sur la définition de g-hyperplan parallèle par rapport à un point de référence.</footnote>
construction, nous avons forcément que $\tilde{h}(\theta_1) = \tilde{h}_I(\theta_1)$ et $\tilde{h}_I \to +\infty$, lorsque $\theta \to \theta_I$, alors il existe un intervalle fermé $[a; b] \subset ]\theta_I; 0]$ tel que $\tilde{h}_I(a) = \tilde{h}(a)$, $\tilde{h}_I(b) = \tilde{h}(b)$ ainsi que :

$$ \tilde{h}(\theta) > \tilde{h}_I(\theta) \qquad (6.3.0.9) $$

pour tout $\theta \in ]a; b[$. En particulier, par la condition (6.3.0.9) on peut calculer que la dérivée des fonctions $\tilde{h}$ et $\tilde{h}_I$ vérifie l'inégalité suivante :

$$ \partial_{\theta} \tilde{h}(b) \leq \partial_{\theta} \tilde{h}_I(b) \qquad (6.3.0.10) $$

Pour terminer, il nous faut distinguer trois cas de figure en fonction des distances orientées $l_1$ et $l_2$. En effet, comme les distances $l_1$ et $l_2$ vérifient la condition (6.3.0.6), alors on a que :

→ Supposons que les longueurs $l_1$ et $l_2$ soient positives ou nulles. Alors dans ce cas de figure, nous avons $\theta_D - \theta_I \leq \pi$ et en particulier $b - \theta_I < \frac{\pi}{2}$. Par conséquent, comme les dérivées des fonctions $\tilde{h}$ et $\tilde{h}_I$ vérifient la condition (6.3.0.10), on a forcément que :

$$ \frac{\partial_{\theta} \tilde{h}(b)}{CH \tilde{h}(b)} \leq \frac{\partial_{\theta} \tilde{h}_I(b)}{CH \tilde{h}_I(b)} = - \frac{|\text{Sin}(b - \theta_I)|}{\text{Sin}(b - \theta_I)} = -1 $$

et donc il existe bien un angle $\theta_0 \in ]\theta_I; 0[$ tel que :

$$ |\partial_{\theta} \tilde{h}(\theta_0)| \geq CH \tilde{h}(\theta_0) \qquad (6.3.0.11) $$

avec $\theta_0 = b$ dans ce cas de figure.

→ Supposons que les longueurs $l_1$ et $l_2$ soient négatives ou nulles. Alors en considérant la famille de g-hyperplan définie par la fonction de support $-h$, on se retrouve forcément dans le cas précédent. En particulier, il existe alors un angle $\theta_0 \in ]-\pi; \pi[$ pour lequel la fonction $\tilde{h}$ vérifie la relation (6.3.0.11).

→ Supposons que $l_1 < 0$ et $l_2 > 0$. Il nous faut alors définir deux autres vecteurs $u'_1$ et $u'_2$ pour lesquels les longueurs $l'_1$ et $l'_2$ qui leur correspondent, vérifient l'un des deux cas de figure précédents. Pour cela, remarquons que par continuité, comme on sait que les fonctions $\tilde{h}$ et $\tilde{h}_I$ admettent la même image en $\theta_1 = 0$ et vérifient l'inégalité (6.3.0.8) en $\theta_2$, alors il existe forcément un angle $\theta'_1 \in ]\theta_2; 0[$ pour lequel on a :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \tilde{h}(\theta) > \tilde{h}_I(\theta) \text{ pour tout } \theta \in [\theta_2; \theta'_1[ \\ \tilde{h}(\theta'_1) = \tilde{h}_I(\theta'_1) \end{array} \right. \qquad (6.3.0.12) $$

Aussi, par le même argument de continuité, nous avons qu'il existe un second angle $\theta'_2 \in [\theta_2; \theta'_1[$ pour lequel les longueurs $\tilde{h}(\theta'_1)$ et $\tilde{h}(\theta'_2)$ sont de même signe $^6$. Il nous faut alors re-marquer que, par (6.3.0.12), il est clair que les applications $\tilde{h}$ et $\tilde{h}_I$ vérifient l'inégalité (6.3.0.8) pour l'angle $\theta'_2$. Ainsi, par la propriété 5.1.16 page 313 de l'annexe E, il est immédiat qu'il existe une géodésique $\gamma$ qui est orthogonale aux g-hyperplans $\Sigma_{u'_1}$ et $\Sigma_{u'_2}$,

<footnote n="6">6. Pour plus de clarté, nous précisons que par "de même signe", nous entendons : les longueurs $\tilde{h}(\theta'_1)$ et $\tilde{h}(\theta'_2)$ sont soit toutes les deux dans l'intervalle $[0; +\infty[$, soit toutes les deux dans l'intervalle $]-\infty; 0[$.</footnote>
avec $u'_1$ et $u'_2$ étant les vecteurs correspondant aux angles $\theta'_1$ et $\theta'_2$. Ensuite, en nous plaçant dans le modèle de Klein centré en $e$, alors par ce qui précède <fnref n="7" />, il est immédiat que :

$$ \mathbb{S}_e^1 \setminus \mathrm{Int}(K'_1) \subset \mathbb{S}_e^1 \setminus K'_2 \qquad (6.3.0.13) $$

où $K'_1$ et $K'_2$ sont définis via (6.3.0.2) relativement aux vecteurs $u'_1$ et $u'_2$. Par conséquent, comme la géodésique $\gamma$ correspond à une droite $\delta$ qui intersecte les g-hyperplans $\psi_e(\Sigma_{u'_1})$ et $\psi_e(\Sigma_{u'_2})$, alors par (6.3.0.13), il est clair qu'il existe un point $w'_0 \in \delta \cap \mathcal{D}(e)$ pour lequel la droite vectorielle $T$ qui passe par le point $w'_0$, partage $\mathbb{S}_e^1$ en deux demi-cercles dont l'un contient les vecteurs $u'_1$ et $u'_2$ à son intérieur <fnref n="8" />. On définit donc un nouveau point de référence :

$$ v'_0 = \varphi_e(w'_0) $$

ainsi que $\phi' : \mathbb{S}_e^1 \to \mathbb{S}_{v'_0}^1$, la fonction de réindexation qui lui correspond.

<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>FIGURE 6.6 – Définition du point de référence $v'_0$</figcaption></figure>

Par construction, il est clair que les images $\phi'(u'_1)$ et $\phi'(u'_2)$ sont égales ou antipodales sur le cercle $\mathbb{S}_{v_0}^1$. Considérons alors un vecteur $\vec{v}' \in \mathbb{S}_e^1$ qui est orthogonal à la droite $\mathbb{R}w'_0$ et tel que les vecteurs $u'_1$ et $u'_2$ soient compris dans l'ouverture $\mathrm{Int}(K^+)$, avec $K^+$ étant la partie définie via l'expression (6.2.2.7) pour le vecteur $\vec{v}'$. Aussi, en remarquant que $\vec{v}' = \mathcal{F}(\vec{v})$, où $\mathcal{F}$ est la fonction de changement de point définie via l'expression (6.1.2.2) et correspondant aux points de référence $e$ et $v'_0$, on définit la partie $L^+ \subset T_{v'_0}\mathbb{H}^n$ via l'expression (6.2.2.8) relativement au vecteur $\vec{v}'$. Ainsi, comme par le lemme 6.2.2, on sait que $\phi'(\mathrm{Int}(K^+) \cap \mathbb{S}_e^1) = \mathrm{Int}(L^+) \cap \mathbb{S}_{v'_0}^1$, on en déduit forcément que $\phi'(u'_1) = \phi'(u'_2)$. Nous sommes donc, pour les vecteurs $u'_1$ et $u'_2$ et relativement au point de référence $v'_0$, dans l'une des deux situations précédentes. En particulier, il est clair que la fonction $\tilde{h}$ vérifie la relation (6.3.0.11) pour un angle $\theta_0 \in ]\theta'_1; \theta'_2[$.

Pour terminer cette démonstration, nous devons nous placer sur l'espace hyperbolique en dimension quelconque. Considérons donc $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$ telle qu'il existe un second point de référence $v_0$ pour lequel la fonction de réindexation $\phi : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$ n'est pas injective. Il existe alors $u_1$ et $u_2$ deux vecteurs tels que $\phi(u_1) = \phi(u_2)$. Si $\gamma$ est la géodésique orthogonale aux g-hyperplans $\Sigma_{u_1}$ et $\Sigma_{u_2}$, considérons $\delta$ comme étant la droite affine sur l'espace $T_e\mathbb{H}^n$ correspondant à la géodésique $\gamma$ dans le modèle de Klein centré

<footnote n="7">7. Il nous faut préciser que la relation (6.3.0.13) est, par construction des g-hyperplans $\Sigma_{u'_1}$ et $\Sigma_{u'_2}$, une conséquence directe de la relation (6.3.0.8) pour l'angle $\theta'_2$. En particulier, nous pouvons remarquer que la relation (6.3.0.13), tout comme la relation (6.3.0.7), permet de décrire la position du g-hyperplan $\Sigma_{u'_1}$ par rapport au g-hyperplan $\Sigma_{u'_2}$ en prenant en compte l'information de leurs orientations respectives.</footnote>

<footnote n="8">8. Il nous faut remarquer que par construction on a que $[\theta'_2; \theta'_1] \subset ]\theta_2; \theta_1] \subset ]\theta_I; 0] \subset ]-\pi; 0]$ et par conséquent, il n'est pas possible que les vecteurs $u'_1$ et $u'_2$ soient antipodaux. Notons qu'il est aussi possible de justifier que les vecteurs $u'_1$ et $u'_2$ ne sont pas antipodaux via la relation (6.3.0.13).</footnote>
en e. La droite $\delta$ n'étant pas une droite vectorielle, considérons alors l'unique plan vectoriel $H$ qui la contient. On peut aussi vérifier<fnref n="9" /> que les vecteurs $u_1$ et $u_2$ se trouvent sur le plan $H$. En particulier, comme par la remarque 6.2.2, on sait que les vecteurs $u_1$ et $u_2$ ne sont pas antipodaux, alors on obtient finalement que :

$$v_0 \in H = \langle u_1, u_2 \rangle$$

Ainsi, via la propriété 6.1.2 et le lemme 6.2.1, on a que la famille $(\mathbb{H}_H \cap \Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^1[\mathbb{H}_H]}$ est une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$ sur le 2-espace hyperbolique $\mathbb{H}_H$ pour laquelle la fonction de réindexation $\phi_H : \mathbb{S}_e^1[\mathbb{H}_H] \to \mathbb{S}_{v_0}^1[\mathbb{H}_H]$ n'est pas injective. Il s'ensuit qu'il existe nécessairement un vecteur $u \in \mathbb{S}_e^1[\mathbb{H}_H]$ tel que :

$$\frac{\|\vec{\nabla} h(u)\|}{CH h(u)} \geq \frac{\|\vec{\nabla}_{\mathbb{S}_e^1[\mathbb{H}_H]} h(u)\|}{CH h(u)} \geq 1$$

ce qui termine la preuve.

□

## 6.4 Énoncé et démonstration du théorème

Dans cette section, nous présentons et démontrons le théorème de l'indépendance du choix du point de référence pour les g-hérissons de l'espace hyperbolique. Par ce théorème, nous savons que, comme pour les h-hérissons, les g-hérissons correspondent à un objet géométrique que l'on peut décrire (via le paramétrage, la fonction de support, etc.) relativement à n'importe quel point sur l'espace hyperbolique. En particulier, par ce théorème il n'est plus nécessaire de préciser le point de référence lorsque nous considérons un g-hérisson sur l'espace hyperbolique.

**Théorème 6.4.1.** Si $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^n$ est un g-hérisson centré en $e$, alors c'est un g-hérisson pour tous les points.

*Démonstration.* Considérons donc $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^n$ un g-hérisson centré en $e$. Il existe alors $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$ et de fonction de support $h$, dont l'enveloppe paramétrée existe et correspond au g-hérisson $\mathcal{H}$. À présent, considérons $v_0 \in \mathbb{H}^n$ un second point de référence, ainsi que $\phi : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$ la fonction de réindexation entre les points $e$ et $v_0$. Nous devons alors vérifier que l'application $\phi$ est un difféomorphisme et pour cela, nous déterminerons le noyau de la différentielle $d_u \phi : T_u \mathbb{S}_e^{n-1} \to T_{\phi(u)} \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$.

Pour commencer, via la propriété 6.2.1, nous savons que la fonction de réindexation est donnée par l'expression $\phi = \mathcal{N} \circ \pi_{v_0} \circ \phi_0$ avec $\phi_0(u) = u + l(u)e$, où $l = TH(h)$, ainsi que $\pi_{v_0}$ étant la projection orthogonale le long de la droite $\mathbb{R}v_0$ et $\mathcal{N} : \mathbb{L}^{n+1} \setminus K \to dS^n$ étant l'application de normalisation qui est définie via l'expression suivante :

$$\mathcal{N}(x) = \beta(x)x \text{ avec } \beta(x) = \frac{1}{\sqrt{\langle x|x \rangle}}$$

où $K = \{x \in \mathbb{L}^{n+1} \text{ tel que } \langle x|x \rangle_L \le 0\}$.

<footnote n="9">9. En effet, en se plaçant dans le modèle de Poincaré centré en $v_0$ et en considérant $\delta$ la droite vectorielle correspondant à la géodésique $\gamma$, nous savons que les g-hyperplans $\Sigma_{u_1}$ et $\Sigma_{u_2}$ correspondent à des hypersurfaces de révolution dont l'axe de rotation est la droite $\delta$. Ainsi, en considérant l'unique plan vectoriel $H$ contenant la droite $\delta$ et le point $e$ (qui, par construction, ne peut se trouver sur la droite $\delta$), on a que les géodésiques $\gamma_1$ et $\gamma_2$, correspondant aux géodésiques passant par le point $e$ aux vitesses $u_1$ et $u_2$, sont nécessairement contenues dans le plan $H$.</footnote>
Après un calcul rapide, on obtient que pour tout point $x \in \mathbb{L}^{n+1}$ et vecteur $\vec{X} \in \mathbb{L}^{n+1}$, alors
$d_x \mathcal{N} \cdot \vec{X} = \beta(x) [\vec{X} - \beta(x)^2 \langle x|\vec{X} \rangle x]$. On peut donc remarquer que si les éléments $x$ et $\vec{X}$ forment
une famille libre, alors $d_x \mathcal{N} \cdot \vec{X} \neq 0$.

Considérons un vecteur $u \in S_e^{n-1}$ ainsi qu'un vecteur tangent $\vec{W} \in T_u S_e^{n-1}$. La différentielle de la fonction de réindexation est alors donnée via la relation suivante :

$$d_u \phi \cdot \vec{W} = d_{\pi_{v_0} \circ \phi_u(u)} \mathcal{N} \left( \pi_{v_0} \circ d_u \phi_0 \cdot \vec{W} \right)$$

Il nous faut donc nous assurer que les vecteurs $\pi_{v_0} \circ \phi_u(u)$ et $\pi_{v_0} \circ d_u \phi_0 \cdot \vec{W}$ forment une famille libre lorsque le vecteur $\vec{W}$ est non nul. Déjà, notons que, puisque $\phi_0(u)$ est un vecteur de type espace, alors le vecteur $\pi_{v_0} \circ \phi_0(u)$ est toujours non nul. Ensuite, via le théorème 4.4.1 page 97 on sait que la fonction de support $h$ satisfait la relation :

$$\| \vec{\nabla} h(u) \| < CH h(u)$$

pour tout $u \in S_e^{n-1}$. De plus, pour tout $u \in S_e^{n-1}$ et $\vec{W} \in T_u S_e^{n-1}$, on a que la différentielle de l'application $\phi_0$ est définie via l'expression ci-dessous :

$$d_u \phi_0 \cdot \vec{W} = \vec{W} + \langle \vec{\nabla} l(u) | \vec{W} \rangle e \text{ avec } \vec{\nabla} l(u) = \frac{1}{(CH \, h(u))^2} \vec{\nabla} h(u)$$

et donc, lorsque le vecteur $\vec{W} \in T_u S_e^{n-1}$ est non nul, on a que :

$$\begin{align*}
\langle d_u \phi_0 \cdot \vec{W} | d_u \phi_0 \cdot \vec{W} \rangle &= \|\vec{W}\|^2 - \langle \vec{\nabla} l(u) | \vec{W} \rangle^2 \ge \|\vec{W}\|^2 - \|\vec{\nabla} l(u)\|^2 \|\vec{W}\|^2 \\
&= \|\vec{W}\|^2 - \frac{\|\vec{\nabla} h(u)\|^2}{(CH \, h(u))^4} \|\vec{W}\|^2 > \|\vec{W}\|^2 - \frac{\|\vec{W}\|^2}{(CH \, h(u))^2} \\
&= \frac{\|\vec{W}\|^2}{(CH \, h(u))^2} \left[ (CH \, h(u))^2 - 1 \right] \ge 0
\end{align*}$$

ce qui nous donne que :

$$\langle d_u \phi_0 \cdot \vec{W} | d_u \phi_0 \cdot \vec{W} \rangle > \frac{\|\vec{W}\|^2}{(CH \, h(u))^2} \left[ (CH \, h(u))^2 - 1 \right] \ge 0.$$

Ainsi, si le vecteur $\vec{W} \in T_u S_e^{n-1}$ est non nul, alors on obtient que $d_u \phi_0 \cdot \vec{W}$ est également non nul et de type espace. Par conséquent, on sait que le vecteur $\pi_{v_0} \circ d_u \phi_0 \cdot \vec{W}$ est non nul lorsque le vecteur $\vec{W}$ l'est aussi. On peut également observer que les vecteurs $\phi_0(u)$ et $d_u \phi \cdot \vec{W}$ forment une famille libre. De plus, il est évident que si

$$\lambda \pi_{v_0} \circ \phi_0(u) + \mu \pi_{v_0} \left( d_u \phi_0 \cdot \vec{W} \right) = 0,$$

alors on a que :

$$\lambda \phi_0(u) + \mu d_u \phi_0 \cdot \vec{W} = 0 \text{ ou } \lambda \phi_0(u) + \mu d_u \phi_0 \cdot \vec{W} \sim v_0$$

Par conséquent, vérifions que toutes les combinaisons linéaires $\lambda \phi_0(u) + \mu d_u \phi_0 \cdot \vec{W}$ sont toujours de type espace ou nul. Pour ce faire, nous devons déterminer les trois produits suivants :
1. Le produit $\langle \phi_0(u) | \phi_0(u) \rangle$

$$ \langle \phi_0(u) | \phi_0(u) \rangle = 1 - l(u)^2 = 1 - (TH \ h(u))^2 = \frac{1}{(CH \ h(u))^2} $$

2. Le produit $\langle \phi_0(u) | d_u \phi_0 \cdot \vec{W} \rangle$

$$ \begin{aligned} |\langle \phi_0(u) | d_u \phi_0 \cdot \vec{W} \rangle| &= |l(u)| \cdot |\langle \vec{\nabla} l(u) | \vec{W} \rangle| = \frac{|l(u)|}{(CH \ h(u))^2} |\langle \vec{\nabla} h(u) | \vec{W} \rangle| \\ &\leq \frac{|l(u)|}{(CH \ h(u))^2} \cdot \| \vec{\nabla} h(u) \| \cdot \| \vec{W} \| < \frac{|l(u)|}{CH \ h(u)} \cdot \| \vec{W} \| \end{aligned} $$

3. Le produit $\langle d_u \phi_0 \cdot \vec{W} | d_u \phi_0 \cdot \vec{W} \rangle$

$$ \langle d_u \phi_0 \cdot \vec{W} | d_u \phi_0 \cdot \vec{W} \rangle \geq \frac{\| \vec{W} \|^2}{(CH \ h(u))^2 ((CH \ h(u))^2 - 1)} = \| \vec{W} \|^2 \cdot l(u)^2 $$

Supposons donc qu'il existe $\lambda$ et $\mu$, deux scalaires pour lesquels la combinaison linéaire $\lambda\phi_0(u) + \mu d_u \phi_0 \cdot \vec{W}$ est non nulle. Alors, de ce qui précède, nous considérons le développement suivant :

$$ \begin{aligned} \langle \lambda \phi_0(u) + \mu d_u \phi_0 \cdot \vec{W} | \lambda \phi_0(u) + \mu d_u \phi_0 \cdot \vec{W} \rangle &= \lambda^2 \langle \phi_0(u) | \phi_0(u) \rangle + 2\lambda\mu \langle \phi_0(u) | d_u \phi_0 \cdot \vec{W} \rangle + \mu^2 \langle d_u \phi_0 \cdot \vec{W} | d_u \phi_0 \cdot \vec{W} \rangle \\ &\geq \lambda^2 \langle \phi_0(u) | \phi_0(u) \rangle - 2|\lambda||\mu| \left| \langle \phi_0(u) | d_u \phi_0 \cdot \vec{W} \rangle \right| + \mu^2 \langle d_u \phi_0 \cdot \vec{W} | d_u \phi_0 \cdot \vec{W} \rangle \\ &> \frac{\lambda^2}{(CH \ h(u))^2} - 2|\lambda| \cdot |\mu| \cdot \frac{|l(u)|}{CH \ h(u)} \cdot \| \vec{W} \| + \mu^2 \| \vec{W} \|^2 l(u)^2 \\ &= \left( \frac{|\lambda|}{CH \ h(u)} - |\mu| \cdot |l(u)| \cdot \| \vec{W} \| \right)^2 \geq 0 \end{aligned} $$

En conséquence, nous pouvons conclure que si la combinaison linéaire $\lambda\phi_0(u) + \mu d_u \phi_0 \cdot \vec{W}$ est non nulle, alors elle correspond à un vecteur de type espace. Ainsi, si on considère deux scalaires $\lambda$ et $\mu$ tels que la combinaison linéaire

$$ \lambda \pi_{v_0} \circ \phi_0(u) + \mu \pi_{v_0} (d_u \phi_0 \cdot \vec{W}) $$

est nulle, alors il en est de même pour la combinaison linéaire $\lambda\phi_0(u) + \mu d_u \phi_0 \cdot \vec{W}$, impliquant que $\lambda = 0$ et $\mu = 0$. Il en résulte que les éléments $\pi_{v_0} \circ \phi_u(u)$ et $\pi_{v_0} \circ d_u \phi_0(\vec{W})$ forment bien une famille libre. En particulier, si $\vec{W}$ est un vecteur non non nul, alors la différentielle $d_u \phi \cdot \vec{W}$ l'est aussi, ce qui signifie que l'application de réindexation $\phi$ est un difféomorphisme local en chaque point.

Pour conclure, on a que via la propriété 7.3.1 page 322 de l'annexe G, nous savons que l'application de réindexation est surjective. De plus, par le lemme 6.3.1, nous savons qu'elle est également injective. Par conséquent, c'est un difféomorphisme et la famille de g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in S_e^{n-1}}$ est co-orientable en $v_0$. $\square$
**Remarque 6.4.1.** Notons que le lemme 6.3.1, qui traite de la question de l'injectivité de la fonction de réindexation, n'est utile à la démonstration précédente qu'en dimension 2 pour l'espace hyperbolique. En effet, en dimension supérieure, nous aurions pu nous contenter d'un argument topologique basé sur la simple connexité de la sphère $S_e^{n-1}$. Néanmoins, il est à noter que le lemme 6.3.1 nous permet aussi de mieux comprendre la géométrie qui s'articule autour de la notion de g-hérisson.
# Chapitre 7

## Conditions et structures de contact pour les g-hérissons et les h-hérissons

Rappelons qu'au chapitre 2, nous avons vu que tout hérisson sur l'espace euclidien est le front de Legendre d'un certain type d'immersion de Legendre (voir propriété 2.2.1 page 49). Cette remarque<fnref n="1" /> conduit naturellement à proposer une méthode pour généraliser la notion de hérisson (voir section 2.4 page 51 pour plus de détails). Dans ce chapitre, nous vérifions donc que les g-hérissons ainsi que les h-hérissons tels que nous les avons définis correspondent bien à des fronts legendriens d'un certain type d'immersion de Legendre, qu'il nous faut définir.

### 7.1 Structure de contact usuelle induite par l'espace hyperbolique

Pour commencer, il nous faut retrouver une structure de contact qui correspond à celle que nous avons définie sur $S^{n+1} \times \mathbb{R}^n$ en considérant la forme de contact définie via la relation (2.1.0.1) page 48. Pour cela, on considère le fibré des sphères :

$$ST\mathbb{H}^n = \prod_{x \in \mathbb{H}^n} S_x^{n-1} \qquad (7.1.0.1)$$

ainsi que les deux propriétés suivantes :

**Propriété 7.1.1.** En tout point $w = (x, u) \in ST\mathbb{H}^n$, il existe un $\mathbb{R}$-isomorphisme linéaire tel que :

$$T_w ST\mathbb{H}^n \simeq T_x\mathbb{H}^n \oplus T_u S_x^{n-1} \qquad (7.1.0.2)$$

*Démonstration.* Considérons donc $x_0 \in \mathbb{H}^n$ un point sur l'espace hyperbolique. Si $w = (x, u) \in ST\mathbb{H}^n$ alors on considère $\gamma_{(x,x_0)} : [0, 1] \to \mathbb{H}^n$ la géodésique qui relie $x$ à $x_0$ ainsi que

<footnote n="1">1. Pour en savoir plus sur la relation entre la notion de hérisson et la géométrie de contact, il est possible de consulter les articles [74] et [77] dans lesquels cette relation est développée pour différents types de hérissons (i.e. les hérissons euclidiens, lorentziens et complexes).</footnote>
$$ \varphi_{(x,x_0)} : T_x \mathbb{H}^n \to T_{x_0} \mathbb{H}^n $$

le transport parallèle le long de la géodésique $\gamma_{(x,x_0)}$. On définit ainsi, en tout point $x_0 \in \mathbb{H}^n$, le morphisme de fibré $\phi^{(x_0)} : \mathrm{ST}\mathbb{H}^n \to \mathbb{H}^n \times \mathbb{S}_{x_0}^{n-1}$ vérifiant l'expression suivante :

$$ \phi^{(x_0)}(x, u) = (x, \varphi_{x,x_0}(u)) $$

En remarquant que $\phi^{(x_0)}(x_0, u) = (x_0, u)$ alors, par inversion locale, il existe un ouvert $\mathcal{W} = p^{-1}(\mathcal{V})$, avec $p : \mathrm{ST}\mathbb{H}^n \to \mathbb{H}^n$ la projection du fibré des sphères et $\mathcal{V}$ un voisinage de $x_0$, tel que la restriction $\phi^{(x_0)} : \mathcal{W} \to \mathcal{V} \times \mathbb{S}_{x_0}^{n-1}$ est un difféomorphisme. En particulier, on définit un $\mathbb{R}$-isomorphisme :

$$ f_{(x_0,u)} := d_{(x_0,u)}\phi^{(x_0)} : T_{(x_0,u)}[\mathrm{ST}\mathbb{H}^n] \hookrightarrow T_{x_0}\mathbb{H}^n \oplus T_u\mathbb{S}_{x_0}^{n-1} \quad (7.1.0.3) $$

ce qui nous donne le résultat recherché.

<figure><img src="image_73.png" /></figure>

**Propriété 7.1.2.** La famille des $\mathbb{R}$-isomorphismes linéaires définis par (7.1.0.3) induit un isomorphisme de $C^\infty(\mathrm{ST}\mathbb{H}^n)$-module tel que :

$$ \Delta(\mathrm{ST}\mathbb{H}^n) \simeq \Gamma^0(p^*\mathrm{TH}^n) \oplus \Gamma^0(\Pi\mathbb{S}^{n-1}) \quad (7.1.0.4) $$

et qui correspond naturellement à un isomorphisme de fibré vectoriel entre le fibré tangent du fibré des sphères $\mathrm{ST}\mathbb{H}^n$ et le fibré vectoriel $p^*\mathrm{TH}^n \oplus \Pi\mathbb{S}^{n-1}$.

**Note.** Dans la relation (7.1.0.4), nous avons considéré $p : \mathrm{ST}\mathbb{H}^n \to \mathbb{H}^n$ comme étant la projection du fibré des sphères. Aussi, on définit :

$$ \Pi\mathbb{S}^{n-1} = \coprod_{(x,u) \in \mathrm{ST}\mathbb{H}^n} T_u \mathbb{S}_x^{n-1} \quad (7.1.0.5) $$

correspondant au fibré vectoriel des hyperplans tangents des sphères tangentes de l'espace hyperbolique.

**Démonstration.** Il nous suffit de considérer la famille des $\mathbb{R}$-isomorphismes $(f_w)_{w \in \mathrm{ST}\mathbb{H}^n}$ définis via (7.1.0.3). On obtient alors un isomorphisme de fibré $f : T[\mathrm{ST}\mathbb{H}^n] \to p^*\mathrm{TH}^n \oplus \Pi\mathbb{S}^{n-1}$. En particulier, nous pouvons vérifier que $f$ est bien $C^\infty$ en constatant que la fonction $\mathcal{F} : \mathbb{H}^n \times \mathrm{ST}\mathbb{H}^n \to d\mathbb{S}^n$, avec $d\mathbb{S}^n = \{x \in \mathbb{H}^n \text{ tel que } \langle x|x \rangle = 1\}$, définie via l'expression :

$$ \mathcal{F}(x, y, u) = \varphi_{(x,y)}(u) $$

est lisse.

<figure><img src="image_74.png" /></figure>

Il nous sera utile de remarquer que nous pouvons considérer les mêmes constructions et retrouver ces deux mêmes propriétés sur le fibré $\mathrm{ST}\mathbb{S}^n$ pour l'hypersphère de dimension $n$. L'intérêt de ces deux dernières propriétés réside dans le fait que nous devons définir une forme de contacte correspondant à l'analogue de la relation (2.1.0.1). Et pour cela, on considère la propriété suivante :

**Propriété 7.1.3.** Sur le fibré des sphères tangentes $\mathrm{ST}\mathbb{H}^n$, la 1-forme différentielle $\alpha \in \Omega_1(\mathrm{ST}\mathbb{H}^n)$ définie via l'expression ci-dessous :

$$ \alpha_w(\vec{V} \oplus \vec{W}) = \langle \vec{V} | u \rangle \text{ avec } w = (x, u) \text{ et } \vec{V} \oplus \vec{W} \in T_x\mathbb{H}^n \oplus T_u\mathbb{S}_x^{n-1} \quad (7.1.0.6) $$

est une forme de contact.
**Démonstration.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence ainsi que la carte exponentielle $x : \mathbb{H}^n \to T_e\mathbb{H}^n$ centrée en $e$. On considère aussi $(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_n)$ une base orthonormale de l'hyperplan tangent $T_e\mathbb{H}^n$ ainsi que le repère différentiel $(\partial_1, \dots, \partial_n)$ défini via la carte exponentielle :

$$ \partial_i(p) = (d_p x)^{-1} \cdot \vec{e_i} $$

pour tout $p \in \mathbb{H}^n$.

À présent, remarquons que si $w = (p, u) \in \text{STH}^n$ est un point et $\vec{W} = \vec{X} \oplus \vec{V} \in T[\text{STH}^n]$ un vecteur, alors comme $\vec{X} = X_1\partial_1(p) + \dots + X_n\partial_n(p)$, on a :

$$ \alpha_w \cdot \vec{W} = \langle \partial_1(p) | u \rangle X_1 + \dots + \langle \partial_n(p) | u \rangle X_n $$

Ainsi, on définit les applications $v_i : \text{STH}^n \to \mathbb{R}$ qui, pour tout $w = (p, u) \in \text{STH}^n$, nous donnent $v_i(w) = \langle \partial_i(p) | u \rangle$. De plus, on prolonge<fnref n="2" /> la carte $x$ sur $\text{STH}^n$ telle que $x(w) = x(p)$ et donc, on obtient que la forme $\alpha$ admet pour expression :

$$ \alpha = v_1 dx_1 + \dots + v_n dx_n \qquad (7.1.0.7) $$

Considérons donc $w_e = (e, u)$, avec $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, ainsi qu'un vecteur $\vec{W} = \vec{X} \oplus \vec{V} \in T_e\mathbb{H}^n \oplus T_u\mathbb{S}_e^{n-1}$. Par propriété de la carte de Gauss, on a que la différentielle des applications $v_i$ admet pour expression $d_{w_e} v_i \cdot \vec{W} = \langle \vec{e}_i | \vec{V} \rangle = V_i$. Ainsi la différentielle extérieur de la forme $\alpha$ vérifie en $w_e$ que :

$$ d_{w_e} \alpha (\vec{W}, \vec{W}') = V_1 X'_1 - V'_1 X_1 + \dots + V_n X'_n - V'_n X_n \qquad (7.1.0.8) $$

Par conséquent, en sachant que $u_1 V_1 + \dots + u_n V_n = 0$, alors après un petit calcul, on obtient que la $(2n-1)$-forme alternée $(d_{w_e} \alpha)^{n-1} \wedge \alpha(w_e)$ est non nulle. Ce qui nous donne le résultat recherché. $\square$

Pour finir, rappelons que (voir définition 2.1.2 page 47 du chapitre 2), si $(M, \alpha)$ est une $(2n+1)$-variété de contact, alors on appelle fibré de Legendre tout fibré lisse $p : M \to \beta$ dont les fibres sont des sous-variétés de Legendre. Pour en savoir plus, il est aussi possible de consulter les définitions 2.4.1, 2.4.2 et 2.4.3 de l'annexe B. Ainsi, on a la propriété suivante :

**Propriété 7.1.4.** Considérons la $(2n-1)$-variété de contact $(\text{STH}^n, \alpha)$ définie via la 1-forme de contact (7.1.0.6). Alors le fibré des sphères $p : \text{STH}^n \to \mathbb{H}^n$ est un fibré de Legendre.

**Démonstration.** Considérons donc un point $x \in \mathbb{H}^n$ ainsi que la fibre $L_x = \{x\} \times \mathbb{S}_x^{n-1}$. Il nous suffit alors de remarquer que $T_{w_x} L_x = \{0\} \oplus T_u \mathbb{S}_x^{n-1}$ pour tout $w_x = (x, u)$. En particulier, la forme $\alpha$ étant définie par l'expression (7.1.0.6), il est donc clair que $\text{Ker}(\alpha_{w_x}) \subset T_{w_x} L_x$. $\square$

<footnote n="2">² Le prolongement de la carte exponentielle $x$ que nous considérons, correspond à l'application $w : \text{STH}^n \to T_e\mathbb{H}^n$ définie via l'expression $w(p, u) = x(p)$, pour tout $(p, u) \in \text{STH}^n$. En particulier, il nous faut noter que ce n'est pas un trivialisateur local du fibré des sphères. Ensuite, on définit les fonctions coordonnées $w_i, \dots, w_n$ relativement à la base orthonormale $(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_n)$ que nous avons précédemment considérée. Enfin, pour ne pas nous surcharger de notation redondante, nous confondrons volontairement les applications $w$ et $x$ ainsi que leurs fonctions coordonnées.</footnote>
## 7.2 Structure de contact et hérissons sur l'espace hyperbolic

Dans cette section, nous montrons que tout g-hérisson et h-hérisson est le front legendrien d'une immersion de Legendre qui est caractérisé par une condition de contact correspondant au type de hérisson considéré. En effet, rappelons qu'au chapitre 6, nous avons vu que les hérissons euclidiens étant définis via la condition de contact (voir (2.2.0.1) page 48) correspondent alors naturellement au front legendrien d'immersion de Legendre $i: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n$ de la forme $i(u) = (u, x(u))$.

### 7.2.1 Caractérisation des g-hérissons en géométrie de contact

Il nous faut commencer par remarquer que la condition d'injectivité correspondant aux géodésiques transverses et porteuses (voir les définitions 4.3.3 et 4.3.4 page 91) permet de définir une application de Gauss. En effet, si $(\Sigma, N)$ est une hypersurface orientée, alors pour tout $x \in \Sigma$, on considère $(\Gamma_x, N_x)$ le g-hyperplan orienté correspondant au prolongement géodésique de l'hyperplan tangent orienté $(T_x\Sigma, N(x))$ comme nous l'avons défini via la relation (4.3.0.2) page 90. Alors pour $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence, on appelle application de Gauss centrée en e, l'unique application $\nu: \Sigma \mapsto \mathbb{S}_e^{n-1}$ vérifiant que pour tout $x \in \Sigma$, la géodésique $\gamma$ passant par le point e à la vitesse $\nu(x)$ pour l'instant $t = 0$ vérifie que :

1. La géodésique $\gamma$ intersecte orthogonalement le g-hyperplan $\Gamma_x$ en $x_0$.

2. Si $t_0$ est l'instant tel que $\gamma(t_0) = x_0$ alors $\partial_t\gamma(t_0) = N_x(x_0)$.

**Propriété 7.2.1.** Si $(\Sigma, N)$ est une hypersurface orientée, alors en tout point $e \in \mathbb{H}^n$, l'application de Gauss centrée en e est de classe $C^\infty$.

**Démonstration.** D'abord, il est clair que la famille de g-hyperplans $(\Gamma_x)_{x \in \Sigma}$ correspondant au prolongement géodésique des hyperplans tangents est lisse. Ainsi, en se plaçant dans le modèle de Klein centré en e, on a que :

$$ \Gamma_x = l(x)\nu(x) + \langle \nu(x) \rangle^{\perp} \qquad (7.2.1.1) $$

avec $l$ et $\nu$ des fonctions lisses. Par conséquent, en remarquant que l'application $\nu$ définie via la relation (7.2.1.1) correspond bien à l'application de Gauss centrée en e, on obtient le résultat recherché. $\square$

#### 7.2.1.1 L'application orthonormale généralisée

Dans cette section nous définissons l'application orthonormale généralisée qui nous est nécessaire pour définir correctement la condition de contact pour les g-hérissons. Nous voulons donc une application $N_e: \mathbb{H}^n \times \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathcal{S}^T\mathbb{H}^n$, avec $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence, vérifiant que pour toute hypersurface orientée $(\Sigma, N)$, nous ayons, en tout point $x \in \Sigma$,

$$ N_e(x, \nu(x)) = N(x) \qquad (7.2.1.2) $$

avec $\nu$ l'application de Gauss centrée en e que nous avons précédemment définie.
<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>FIGURE 7.1 – Construction de l’application orthonormale généralisée</figcaption></figure>

Pour définir le vecteur $N_e(x, u)$, avec $x \in \mathbb{H}^n$ et $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, on considère l'unique g-hyperplan orienté $(\Gamma, N_0)$ passant par le point $x$ et dont la géodésique $\gamma$ passant par le point $e$ à la vitesse $u$ intersecte orthogonalement le g-hyperplan $\Gamma$ au point $x_0 = \gamma(t_0)$ tel que $N_0(x_0) = \partial_t \gamma(t_0)$. Pour cela, rappelons qu'en se plaçant dans le modèle de Klein centré en $e$, on a :

$$ \psi_e(\Gamma) = l(x, u)u + \langle u \rangle^{\perp} \qquad (7.2.1.3) $$

avec $l(x, u) = \langle u | \psi_e(x) \rangle$.

Ainsi, par construction, il est clair que l'application orthonormale généralisée correspond à une généralisation de la fonction de réindexation que nous avons introduite au chapitre 6 (voir définition 6.2.1 et propriété 6.2.1 page 140). Elle est donc définie par l'expression suivante :

$$ N_e(x, u) = \mathcal{N} \circ \pi_x \circ \phi_e(x, u) \qquad (7.2.1.4) $$

avec $\phi_e(x, u) = u + l(x, u)e$ ainsi que $\pi_x$ la projection orthogonale le long de la droite $\mathbb{R}x$ et $\mathcal{N}$ l'application de normalisation définie sur l'ensemble des vecteurs non nuls de type espace. Par conséquent, il est justifié de considérer la définition suivante :

**Définition 7.2.1.** Considérons $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence. On appelle alors application orthonormale généralisée centrée en e le morphisme de fibré $N_e : \mathbb{H}^n \times \mathbb{S}_e^{n-1} \to \text{STH}^n$ vérifiant l'expression suivante :

$$ N_e(x, u) = (x, \mathcal{N}(u + k_e(x) \langle x|u \rangle e)) \qquad (7.2.1.5) $$

avec $k_e(x) = -\frac{1}{\langle x|e \rangle}$.

**Avertissement 7.2.1.** En pratique, tant que cela ne produira pas de confusion, nous considérerons que $N_e(x, u)$ est le vecteur $\mathcal{N}(u + k_e(x) \langle x|u \rangle e)$ sur l'hyperboloïde de Sitter $dS^n = \{x \in \mathbb{L}^{n+1} \text{ tel que } \langle x|x \rangle = 1\}$.

**Propriété 7.2.2.** Pour tout point de référence $e \in \mathbb{H}^n$, l'application orthonormale généralisée centrée en e est une immersion.

*Démonstration.* Si $\mathcal{N} : \mathbb{L}^{n+1} \setminus K \to dS^n$ est l'application de normalisation avec $\mathbb{L}^{n+1} \setminus K$ l'ensemble des vecteurs non nuls de type espace et $dS^n = \{x \in \mathbb{L}^{n+1} \text{ tel que } \langle x|x \rangle = 1\}$ l'hyperboloïde de Sitter, alors après un petit calcul, sa différentielle admet pour expression :

$$ d_w \mathcal{N} \cdot \vec{W} = \beta(w) [\vec{W} - \beta(w)^2 \langle w | \vec{W} \rangle w] $$

Il est alors clair que si les éléments $w$ et $\vec{W}$ forment une famille libre, alors le vecteur $d_w \mathcal{N} \cdot \vec{W}$ est non nul. Considérons donc l'application $\phi_e : \mathbb{H}^n \times \mathbb{S}_e^{n+1} \to \mathbb{M}^{n+1}$ telle que $\phi_e(w) = u + k_e(x) \langle x|u \rangle e$ avec $w = (x, u)$, et qui admet donc pour différentielle :
$$d_w \phi_e (\vec{W} \oplus \vec{V}) = \vec{V} + k_e(x) f_w (\vec{W} \oplus \vec{V}) e$$

où $f \in \Omega_1(\mathbb{H}^n \times \mathbb{S}_e^{n-1})$ est une 1-forme différentielle. Il est alors clair que, dans l'hypothèse où $d_w \phi_e (\vec{W} \oplus \vec{V})$ est non nul, la famille formée par les vecteurs $\phi_e(w)$ et $d_w \phi_e (\vec{W} \oplus \vec{V})$ est libre. Par conséquent, comme la différentielle de l'application $N_e$ est :

$$d_w N_e (\vec{W} \oplus \vec{V}) = \vec{W} \oplus d_w [\mathcal{N} \circ \phi_e] (\vec{W} \oplus \vec{V})$$

alors, dans l'hypothèse où la différentielle $d_w N_e (\vec{W} \oplus \vec{V})$ est nulle, il est donc immédiat que les vecteurs $\vec{W}$ et $d_w [\mathcal{N} \circ \phi_e] (\vec{W} \oplus \vec{V})$ sont nuls. Alors, par ce qui précède, il en est de même pour $d_w \phi_e (\vec{W} \oplus \vec{V})$ et donc $\vec{V} = 0$. $\square$

**Propriété 7.2.3.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence. Alors, l'application orthonormale généralisée centrée en e est l'unique application vérifiant la relation (7.2.1.2) pour toute hypersurface orientée.

*Démonstration.* Considérons $N'_e$ une seconde application vérifiant la relation (7.2.1.2). Si $(x, u) \in \mathbb{H}^n \times \mathbb{S}_e^{n-1}$, alors il nous suffit de choisir une hypersurface orientée $(\Sigma, N)$ contenant le point $x$ telle que $^3 \nu(x) = u$. Et alors, il est clair que :

$$N'_e(x, u) = N(x) = N_e(x, u)$$

d'où l'unicité.

A présent, considérons $(\Sigma, N)$ une hypersurface orientée ainsi que $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence. En tout point $x \in \Sigma$, on définit le g-hyperplan $\Gamma_x$ correspondant au prolongement géodésique de l'hyperplan tangent $T_x \Sigma$, ainsi que le point $x_0(x)$ correspondant à l'intersection de la géodésique passant par le point $e$ à la vitesse $\nu(x)$ avec le g-hyperplan $\Gamma_x$. Alors, à partir de la relation (7.2.1.3), on a que les applications $N$ et $x_0$ admettent pour expressions :

$$\left\{ \begin{array}{l} x_0(x) = CH h(x)e + SH h(x)\nu(x) \\ N(x) = SH h(x)e + CH h(x)\nu(x) \end{array} \right. \qquad (7.2.1.6)$$

avec $h(x) = \mathrm{ArcTan}(\langle \nu(x) | \psi_e(x) \rangle)$. Il est alors immédiat que :

$$N_e(x, \nu(x)) = \mathcal{N}(\nu(x) + k_e(x) \langle \nu(u) | x \rangle e) = \mathcal{N}\left(\nu(x) + \frac{SH h(x)}{CH h(x)} e\right) = N(x) \quad (7.2.1.7)$$

ce qui termine la preuve. $\square$

<footnote n="3">3. Nous précisons que l'application $\nu$ correspond à l'application de Gauss centrée en $e$ que nous avons définie précédemment.</footnote>
### 7.2.1.2 Condition de contact pour les g-hérissons

Nous avons vu à la section 2.2 du chapitre 2 que la condition de contact (2.2.0.1) est une condition nécessaire et suffisante pour qu'une application $x: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}^n$ corresponde au paramétrage d'un hérisson euclidien. Il est alors important de noter que cette condition contient, dans son expression, la condition d'injectivité (voir définition 1.1.6 page 30) sur les hyperplans tangents. Par conséquent, il est naturel de s'appuyer sur les conditions d'injectivité<fnref n="4" /> que nous avons introduites pour les g-hérissons et les h-hérissons afin de retrouver une bonne formulation de la condition de contact qui leur corresponde. Par conséquence, en notant que par définition, l'application orthonormale généralisée, que nous avons définie précédemment, contient toute l'information de la condition d'injectivité correspondant à la définition 4.3.4, il nous sera donc nécessaire de nous reposer dessus pour définir la condition de contact correspondant au g-hérisson. En particulier, nous pouvons considérer la propriété suivante :

**Propriété 7.2.4.** Une application $x: \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{H}^n$ correspond au paramétrage d'un g-hérisson centré en e si et seulement si elle vérifie la condition suivante :

$$ \langle d_u x | \langle e | x(u) \rangle u - \langle u | x(u) \rangle e \rangle = 0 \qquad (7.2.1.8) $$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$.

**Note.** Par conséquent, il est alors naturel d'appeler condition de contact centrée en e la condition définie via la relation (7.2.1.8).

**Démonstration.** Le paramétrage et le champ orthonormal d'un g-hérisson étant définis via les relations (4.4.1.3) page 96, relativement à un point de référence $e \in \mathbb{H}^n$, alors après un petit calcul, nous pouvons facilement vérifier que tout g-hérisson centré en e vérifie la condition de contact (7.2.1.8).

Réciproquement, considérons $x: \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{H}^n$ une application lisse vérifiant la condition de contact (7.2.1.8). On définit alors $N: \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{S} \mathbb{H}^n$ le champ de vecteurs vérifiant l'expression $N(u) = N_e(x(u), u)$ ainsi que la famille de g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ telle que :

$$ \Sigma_u = \exp_{x(u)} (\langle N(u) \rangle^{\perp}) \qquad (7.2.1.9) $$

Ainsi, par construction, il est clair que l'application $x$ correspond au paramétrage de l'envoloppe de la famille des g-hyperplans $\Sigma_u$. De plus, par définition de l'application de Gauss généralisée, il est clair que la famille de g-hyperplans, ainsi définie, est une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$. Ce qui nous donne le résultat recherché. $\square$

### 7.2.1.3 Caractérisation des g-hérissons en géométrie de contact

Nous terminons cette section par la réalisation de la notion de g-hérisson comme étant le front legendrien d'un certain type d'immersion de Legendre définie via la condition de contact (7.2.1.8) que nous avons vue précédemment. Commençons donc par remarquer qu'une immersion de Legendre, à image sur le fibré des sphères $\mathbb{S} \mathbb{H}^n$ que l'on munit de la forme de contact définie via (7.1.0.6), est une immersion $i: \Gamma \to \mathbb{S} \mathbb{H}^n$ de la forme $i(u) = (x(u), N(u))$, avec $x$ et $N$ étant des applications lisses vérifiant la condition de contact $\langle d_u x \cdot \vec{v} | N(u) \rangle = 0$. Par conséquent, on considère les deux propriétés suivantes :

<footnote n="4">4. Voir la définition 4.3.4 et la section 5.3.2 des pages 91 et 116 pour un rappel sur les conditions d'injectivité qui correspondent respectivement aux notions de g-hérisson et h-hérisson.</footnote>
**Propriété 7.2.5.** Si $e \in \mathbb{H}^n$ est un point de référence et $x : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{H}^n$ une application lisse, alors l'application $i : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \text{STH}^n$, définie via l'expression $i(u) = N_e(x(u), u)$, est une immersion.

*Démonstration.* Par la propriété 7.2.3 que nous avons vue précédemment, il nous suffit de re-
marquer que l'application qui, à $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, donne $(x(u), u) \in \mathbb{H}^n \times \mathbb{S}_e^{n-1}$ est une immersion. $\square$

**Propriété 7.2.6.** *Tout g-hérisson centré en e correspond au front legendrien d'une immersion de Legendre i : S<sub>e</sub><sup>n-1</sup> ↦→ STH<sub>n</sub> défini via l'expression ci-dessous :*

$$
i(u) = N_e(x(u), u) \tag{7.2.1.10}
$$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$.

*Démonstration.* Il est clair que l'immersion *i* ainsi définie est une immersion de Legendre *si* et seulement *si* l'application *x* vérifie la condition de contacte (7.2.1.8). Par conséquent, en considérant la propriété 7.2.4, on obtient immédiatement le résultat recherché. $\square$

7.2.1.4 Les g-hérissons vus comme le front legendrien d'une immersion de Legendre
dont l'application de Gauss est un difféomorphisme

À présent, nous souhaitons reformuler la propriété 7.2.6 ci-dessus pour l'exprimer sous une
forme analogue à la propriété 2.4.1 du chapitre 2. En effet, à la section 2.4, nous avons intro-
duit une proposition de généralisation de la notion de hérisson, consistant à considérer le front
legendrien d'immersion de Legendre i : Sⁿ⁻¹ ↦→ STM, où (M, g) est une n-variété de Riemann,
dont l'application de Gauss ν : Sⁿ⁻¹ ↦→ Sⁿ⁻¹ est un difféomorphisme. Il est alors notable que
la notion de hérisson, ainsi définie, nécessite de choisir une méthode permettant de définir une
application de Gauss pour chaque immersion de Legendre. En particulier, dans cette section et
la suivante, pour chaque type de hérisson (les g-hérissons et les h-hérissons) nous considérerons
une méthode permettant de définir l'application de Gauss des immersions de Legendre qui leur
correspond.

Dans le cas des g-hérissons, il nous faut donc définir l'application de Gauss associée à une
immersion de Legendre de la même manière que nous l'avons fait pour les hypersurfaces au
début de la section 7.2.1. Pour cela, considérons un point de référence $e \in \mathbb{H}^n$. Rappelons que
pour toute immersion de Legendre $i : \Gamma \mapsto \text{STH}^n$, il existe $x : \Gamma \mapsto \mathbb{H}^n$ et $N : \Gamma \mapsto dS^n$, des
applications lisses telles que :

$$
i(u) = (x(u), N(u)) \tag{7.2.1.11}
$$

et qui vérifient la condition $\langle d_u x \cdot \vec{v} | N(u) \rangle = 0$ pour tout $u \in \Gamma$ et $\vec{v} \in T_u \Gamma$.

Ainsi, pour tout $u \in \Gamma$, on considère $(\Sigma_u, \nu_u)$ l'unique g-hyperplan orienté contenant le point $x(u)$ tel que $\nu_u(x(u)) = N(u)$. On appelle alors **application de Gauss centrée en e** l'unique application $\nu : \Gamma \to \mathbb{S}_e^{n-1}$ vérifiant que, pour tout $u \in \Gamma$, la géodésique $\gamma$ passant par le point $e$ à la vitesse $\nu(u)$ intersecte orthogonalement le g-hyperplan $\Sigma_u$ au point $x_0 = \gamma(t_0)$ tel que $\nu_u(x_0) = \partial_t \gamma(t_0)$.

**Remarque 7.2.1.** *En reprenant les arguments des propriétés 7.2.1 et 7.2.3, l'application de Gauss centrée en e d'une immersion de Legendre est nécessairement de classe $C^\infty$ et est l'unique application lisse vérifiant la relation (7.2.1.2).*
**Propriété 7.2.7.** Tout g-hérisson centré en e est (à difféomorphisme près de $S_e^{n-1}$) le front legendrien d'une immersion de Legendre $i: S_e^{n-1} \to STH^n$ dont l'application de Gauss centrée en e est un difféomorphisme.

*Démonstration.* Il est clair que, si $(\mathcal{H}, x)$ est un g-hérisson centré en $e$, alors étant le front legendrien de l'immersion de Legendre $i(u) = N_e(x(u), u)$, c'est donc bien le front legendrien d'une immersion de Legendre dont l'application de Gauss centrée en $e$ est un difféomorphisme.

Réciproquement, considérons $i(u) = (x(u), N(u))$ une immersion de Legendre dont $\nu$, l'application de Gauss centrée en $e$, est un difféomorphisme ainsi que $(\mathcal{H}, x)$ le front legendrien qui lui correspond. Par la remarque 7.2.1, nous savons que $N(u) = N_e(x(u), \nu(u))$. Il nous suffit alors de considérer l'immersion de Legendre $j(u) = i \circ \nu^{-1}(u) = (x \circ \nu^{-1}(u), N \circ \nu^{-1}(u))$. Nous pouvons alors vérifier que :

$$N \circ \nu^{-1}(u) = N_e(x \circ \nu^{-1}(u), u)$$

et donc par la propriété 7.2.6, nous avons bien que le front legendrien $(\mathcal{H}, x \circ \nu^{-1})$ est un g-hérisson centré en $e$. $\square$

### 7.2.2 Caractérisation des h-hérissons en géométrie de contact

Dans cette section, nous retrouvons une propriété analogue aux propriétés 2.4.1 et 7.2.7 pour les h-hérissons, en définissant une application Gauss adéquate pour les immersion de Legendre. Pour ce faire, nous considérons, pour toute hypersurface orientée et immersion de Legendre, l'application de Gauss $\nu_+$ telle que nous l'avons définie à la définition 5.1.3 page 104 par le prolongement géodésique du champ orthonormal (dans le sens positif),

#### 7.2.2.1 L'application orthonormale horosphérique généralisée

Considérons donc $(\Sigma, N)$ une hypersurface orientée. On appelle donc **application de Gauss** l'application lisse $\nu : \Sigma \to \mathbb{A}^{n-1}$ telle que pour tout $x \in \Sigma$, le point $\nu(x)$ correspond à la limite à l'infini de la géodésique passant par le point $x$ à la vitesse $N(x)$. De plus, pour $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence, on appelle **application de Gauss centrée en e** l'application $v : \Sigma \to S_e^{n-1}$ vérifiant la relation ci-dessous :

$$\nu(x) = p(e + v(x)) \qquad (7.2.2.12)$$

avec $p : \mathbb{L}^{n+1} \setminus \{0\} \to \mathbb{P}^n$ la projection projective.

À présent, comme nous l'avons considéré à la section 7.2.1.1, nous devons définir une application $N_e : \mathbb{H}^n \times S_e^{n-1} \to STH^n$, relativement à un point de référence $e \in \mathbb{H}^n$, telle que :

$$N_e(x, v(x)) = N(x) \qquad (7.2.2.13)$$

pour toute hypersurface orientée $(\Sigma, N)$. Considérons $e \in \mathbb{H}^n$, un point de référence. Nous devons déterminer l'expression de la vitesse $N_e(x, u) \in S_x^{n-1}$ correspondant à la géodésique $\gamma$ passant par le point $x$ et convergent à l'infini vers le point $a = p(e + u)$.
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>FIGURE 7.2 – Construction de l’application orthonormale horosphérique généralisée dans le modèle de Poincaré (à gauche) et dans le modèle de Klein (à droite)</figcaption></figure>

En conséquence, plaçons-nous dans le modèle de Klein centré en $e$ et considérons $\tilde{\gamma} = \psi_e(\gamma)$, correspondant à la géodésique $\gamma$ sur $\mathcal{D}(e)$. Sans perte de généralité, supposons que $\tilde{\gamma}(0) = x$ et que $\tilde{\gamma}(t) \xrightarrow{t \to +\infty} u$. Comme dans le modèle de Klein, la géodésique $\tilde{\gamma}$ correspond à un segment de droite affine, alors $\partial_t \tilde{\gamma}_{\psi_e(x)}^u(0) \sim u - \psi_e(x)$. Aussi, comme $N_e(x, u) = (d_x \psi_e)^{-1} \cdot \partial_t \tilde{\gamma}_{\psi_e(x)}^u(0)$, on obtient :

$$N_e(x, u) \sim d_{\psi_e(x)} \varphi_e(u - \psi_e(x)) \sim u + e + \langle x | e + u \rangle x$$

avec $\|u + e + \langle x | e + u \rangle x\| = - \langle x | e + u \rangle$. Par conséquent, il est justifié de considérer la définition suivante :

**Définition 7.2.2.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence. On appelle application orthonormale horosphérique généralisée centrée en e l'application $N_e : \mathbb{H}^n \times \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto \text{ST}\mathbb{H}^n$ définie par l'expression suivante :

$$N_e(x, u) = -x - \frac{u + e}{\langle x | u + e \rangle} \qquad (7.2.2.14)$$

**Note.** Il est particulièrement utile de remarquer que, par le lemme 5.4.1 page 125, le produit $\langle x | u + e \rangle$ n'est jamais nul.

**Propriété 7.2.8.** L'application orthonormale horosphérique généralisée centrée en e est l'unique application vérifiant la relation 7.2.2.13 pour toute hypersurface orientée $(\Sigma, N)$.

**Démonstration.** Pour l'unicité, il nous suffit de reprendre les mêmes arguments que pour la propriété 7.2.3. Considérons donc $(\Sigma, N)$ une hypersurface orientée ainsi que les applications $\nu$ et $v$ vérifiant la relation (7.2.2.12). Ainsi, pour un point $x \in \Sigma$, on a que par définition de l'application $v$, il existe $\lambda > 0$ tel que $e + v(x) = \lambda(x + N(x))$. Par conséquent, on obtient que :

$$N_e(x, v(x)) = -x - \frac{e + v(x)}{\langle x | e + v(x) \rangle} = -x - \frac{x + N(x)}{\langle x | x + N(x) \rangle} = -x + x + N(x) = N(x)$$

ce qui nous donne le résultat recherché. □

**Propriété 7.2.9.** L'application orthonormale horosphérique généralisée centrée en e est une immersion.

**Démonstration.** Si $w = (x, u) \in \mathbb{H}^n \times \mathbb{S}_e^{n-1}$ et $\vec{W} = \vec{X} \oplus \vec{V}$ alors la différentielle de l'application $N_e$ admet pour expression $d_x N_e \cdot \vec{W} = (\vec{X}, f(\vec{X}) + \alpha \langle x | \vec{V} \rangle (e + u) + \beta \vec{V})$, avec $\alpha$ et $\beta$ deux scalaires non nuls et $f : T_x \mathbb{H}^n \to \mathbb{L}^{n+1}$ une application linéaire. Par conséquent, il est immédiat que si $d_x N_e \cdot \vec{W} = 0$ alors $\vec{X} = 0$ et donc $\vec{V} = 0$. □
### 7.2.2.2 Les h-hérissons vus comme le front legendrien d'une immersion de Legendre dont l'application de Gauss est un difféomorphisme

En considérant les mêmes arguments que pour la propriété 7.2.4, nous pouvons vérifier que toute application $x : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{H}^n$ est le paramétrage d'un h-hérisson si et seulement si la condition suivante est vérifiée :

$$ \langle d_u x \cdot \overrightarrow{W} | e + u \rangle = 0 \qquad (7.2.2.15) $$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$.

En particulier, il est justifié d'appeler **condition de contact** la condition (7.2.2.15). Aussi, il est facile de vérifier que tout h-hérisson correspond au front legendrien d'une immersion de Legendre $i : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \text{ST}\mathbb{H}^n$ de la forme $i(u) = N_e(x(u), u)$.

Par conséquent, en définissant, pour chaque immersion de Legendre $i : \Gamma \mapsto \text{ST}\mathbb{H}^n$, l'application de Gauss $\nu : \Gamma \mapsto \mathbb{A}^{n-1}$ correspondant, pour tout $u \in \Gamma$, à la limite à l'infini de la géodésique passant par le point $x(u)$ à la vitesse $N(u)$, nous obtenons la propriété suivante :

**Propriété 7.2.10.** Tout h-hérisson est (à difféomorphisme de $\mathbb{A}^{n-1}$ près) le front legendrien d'une immersion de Legendre $i : \mathbb{A}^{n-1} \to \text{ST}\mathbb{H}^n$ dont l'application de Gauss est un difféomorphisme.

*Démonstration.* Considérons donc $i : \mathbb{A}^{n-1} \to \text{ST}\mathbb{H}^n$ une immersion de Legendre dont l'application de Gauss $\nu : \mathbb{A}^{n-1} \to \mathbb{A}^{n-1}$ est un difféomorphisme. Il est alors immédiat que, pour tout point de référence $e \in \mathbb{H}^n$, l'application $v : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{A}^{n-1}$ définie via la relation (7.2.2.12) est aussi un difféomorphisme. Par conséquent, pour un point de référence $e \in \mathbb{H}^n$, il nous suffit de remarquer que :

$$ i \circ v^{-1}(u) = N_e(x \circ v^{-1}(u), u) $$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$. Ainsi, en adaptant les arguments que nous avons considérés pour vérifier la propriété 7.2.4, on obtient le résultat recherché. $\square$

## 7.3 Correspondance entre les g-hérissons et les h-hérissons et nouvelle caractérisation des g-hérissons en géométrie de contact

Dans cette dernière section, nous donnons les conditions nécessaires et suffisantes pour que les notions de g-hérisson et h-hérisson correspondent. En effet, nous avons vu au chapitre 5 (voir propriété 5.3.5 page 123) qu'un h-hérisson n'est pas forcément un g-hérisson. Il est aussi possible de construire des g-hérissons qui correspondent localement à une horosphère et qui alors ne sont pas des h-hérissons. En effet, on peut observer que, puisqu'une horosphère est localement un g-hérisson, un g-hérisson n'est pas un h-hérisson lorsqu'en un point, il correspond localement à une horosphère. Pour les h-hérissons, nous pouvons aussi constater qu'un g-hyperplan est localement un h-hérisson, et donc un h-hérisson n'est pas un g-hérisson lorsqu'il correspond localement à un g-hyperplan.

**Propriété 7.3.1.** Tout h-hérisson dont les courbures principales, partout où elles existent, ne sont jamais nulles, est un g-hérisson dont les courbures principales, partout où elles existent, ne valent jamais -1.
Démonstration. Considérons $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^n$ un h-hérisson. Alors, relativement à $e \in \mathbb{H}^n$, un point de référence, considérons les applications $x : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{H}^n$ et $N : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \text{ST}\mathbb{H}^n$, qui sont le paramétrage et le champ orthonormal centré en $e$. Ensuite, pour $u_0 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, considérons le point $x_0 = x(u_0) \in \mathcal{H}$ ainsi que $x_{x_0} : \mathbb{S}_{x_0}^{n-1} \to \mathbb{H}^n$ et $N_{x_0} : \mathbb{S}_{x_0}^{n-1} \to \text{ST}\mathbb{H}^n$, le paramétrage et le champ orthonormal centré en $x_0$. En considérant le vecteur $v_0 \in \mathbb{S}_{x_0}^{n-1}$ tel que $x_{x_0}(v_0) = x_0$, nous savons par la propriété 5.3.4 page 118 que la fonction de support $h_{x_0} : \mathbb{S}_{x_0}^{n-1} \to \mathbb{R}$ centrée en $x_0$ vérifie les relations suivantes :

$$h_{x_0}(v_0) = 0 \text{ et } \vec{\nabla} h_{x_0}(v_0) = 0$$

et ainsi, on a que :

$$d_{v_0} x_{x_0} \cdot \vec{V} = Hess(h_{x_0})_{v_0} * \vec{V} \text{ et } d_{v_0} N_{x_0} \cdot \vec{V} = \vec{V} - Hess(h_{x_0})_{v_0} * \vec{V} \quad (7.3.0.1)$$

pour tout vecteur $\vec{V} \in T_{v_0} \mathbb{S}_{x_0}^{n-1}$.

Par conséquent, si $\lambda$ est une valeur propre de la hessienne $Hess(h_{x_0})_{v_0}$ et que $\vec{V}$ est un vecteur propre qui lui est associé, alors par (7.3.0.1), il est immédiat que $d_{v_0} x_{x_0} \cdot \vec{V} = \lambda \vec{V}$ et $d_{v_0} N_{x_0} \cdot \vec{V} = (1 - \lambda) \vec{V}$. Il est donc clair que les courbures principales existent lorsque les valeurs propres de la hessienne sont non nulles. Sans perte de généralité, supposons l'existence de toutes les courbures principales en $x_0$. Nous avons donc que le h-hérisson $\mathcal{H}$ est localement une hypersurface orientée $(\Omega, \vec{v})$ contenant le point $x_0$. Ainsi, le champ orthonormal $\vec{v}$ vérifie la relation $\vec{v} = N \circ x_{x_0}$, et donc nous obtenons :

$$d_{x_0} \vec{v} \cdot \vec{V} = \frac{1 - \lambda}{\lambda} \vec{V}$$

où $d_{x_0} \vec{v}$ est l'opérateur de Weingarten en $x_0$. En particulier, les courbures principales admettent pour expression :

$$c_i = \frac{1 - \lambda_i}{\lambda_i}$$

où les $\lambda_i$ sont les valeurs propres de la hessienne. On obtient donc que les courbures principales, partout où elles existent, ne valent jamais -1. De plus, lorsqu'elles sont non nulles, la différentielle de l'application $N_{x_0}$ en $v_0$ est injective. Il en est alors de même pour l'application $N : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \text{ST}\mathbb{H}^n$ en $u_0$.

À présent, en nous rapportant à la construction de la fonction de réindexation (voir l'expression (6.2.1.2) de la propriété 6.2.1 page 140), pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, on considère $\nu(u) = \mathcal{N} \circ \pi_e \circ N(u) \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, où $\pi_e$ est la projection orthogonale le long de la droite $\mathbb{R}e$, ainsi que $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ la famille de g-hyperplans telle que :

$$\Sigma_u = \exp_{x(u)} (\langle N(u) \rangle^\perp)$$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$.

Il est alors clair que, pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, le g-hyperplan $\Sigma_u$ est orthogonal à la géodésique qui passe par le point $e$ à la vitesse $\nu(u)$. Par conséquent, le h-hérisson $\mathcal{H}$ correspondant à l'enveloppe de la famille de g-hyperplans que nous avons définie ci-dessus, il nous faut donc montrer qu'elle est co-orientée et donc que l'application $\nu : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{S}_e^{n-1}$ est un difféomorphisme.
Pour cela, remarquons que si $\overrightarrow{W} \in T_u S_e^{n-1}$ est un vecteur non nul alors, les éléments $\pi_e \circ N(u)$ et $\pi_e(d_u N \cdot \overrightarrow{W})$ forment une famille libre 5 et ainsi la différentielle $d_u \nu \cdot \overrightarrow{W}$ est non nulle. On sait donc que l'application $\nu : S_e^{n-1} \to S_e^{n-1}$ est un difféomorphisme local en tout point. En particulier, il est clair que l'application $\nu$ est surjective et de degré non nul. Aussi, dans l'hypothèse où $n \ge 3$ alors l'hypersphère $S_e^{n-1}$ étant simplement connexe, il est donc immédiat que l'application $\nu$ est un difféomorphisme. Il nous faut ainsi traiter le cas du plan hyperbolique. Supposons donc que $n = 2$.

Considérons, pour tout $u \in S_e^1$, les parties compactes $K_u^+$ et $K_u^-$ correspondant aux demi-espaces dans $D(e)$ bordés par la fermeture du g-hyperplan $\Sigma_u$. Par convention, nous supposerons donc que la partie $K_u^+$ contient le vecteur $\nu(u)$. Comme $\mathcal{H}$ est un h-hérisson orienté négativement (voir section 5.3.4 page 123 du chapitre 5 pour plus de détails) alors, par définition, on a que les demi-espaces $K_u^+$ contiennent les horosphères $\Gamma_u$, pour tout $u \in S_e^1$. Supposons donc que l'application $\nu : S_e^1 \to S_e^1$ soit de degré strictement supérieur à 1. Ainsi, il existe forcément $u_0 \in S_e^1$ tel que $\nu(u_0) = -u_0$.

Mais alors on a que l'horosphère $\Gamma_{u_0}$ est comprise dans le demi-espace $K_u^-$, ce qui n'est pas possible. Par conséquent, on sait que l'application $\nu$ est de degré 1 et donc on obtient le résultat recherché. □

<figure><img src="image_77.png" /></figure>

**Propriété 7.3.2.** *Tout g-hérisson dont les courbures principales, partout où elles existent, ne valent jamais -1, est un h-hérisson.*

*Démonstration.* Soit $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^n$ un g-hérisson centré en $e$ dont les courbures principales, partout où elles existent, ne valent jamais $-1$. Soient également $x$ et $N$ le paramétrage et le champ orthonormal centré en $e$. On considère alors l'application de Gauss $\nu : S_e^{n-1} \to \mathbb{A}^{n-1}$ telle que :

$$ \nu(u) = p(x(u) + N(u)) $$

où $p$ est la projection projective.

Considérons $u \in S_e^{n-1}$. Alors, par le théorème 6.4.1 page 152, nous pouvons supposer que $x(u) = e$. En particulier, si $h$ est la fonction de support centrée en $e$, on a :

$$ h(u) = 0 \text{ et } \overrightarrow{\nabla} h(u) = 0 $$

et ainsi, $d_u x \cdot \overrightarrow{W} = Hess(h)_u * \overrightarrow{W}$ et $d_u N \cdot \overrightarrow{W} = \overrightarrow{W}$. Considérons donc $\sigma = x + N$ la carte de support centrée en $e$ (voir section 5.4.3 page 131 du chapitre 5 pour en savoir plus), ainsi que $\lambda$ une valeur propre de la hessienne $Hess(h)_u$, et $\overrightarrow{W}$ un vecteur propre qui lui est associé. On calcule alors que $d_u \sigma \cdot \overrightarrow{W} = (1 + \lambda) \overrightarrow{W}$. De plus, lorsque la valeur propre $\lambda$ est non nulle, il est immédiat qu'elle correspond à la courbure principale :

<footnote n="5">5. Pour plus de clarté, il est essentiel de bien noter que si les courbures principales, partout où elles existent, sont non nulles, alors le différentiel $d_u N$ est toujours injectif. Pour vérifier cela, considérons, pour un vecteur $u \in S_e^{n-1}$, le point $x_0 = x(u)$, la fonction de support $h_{x_0} : S_{x_0}^{n-1} \to \mathbb{R}$, le paramétrage $x_{x_0} : S_{x_0}^{n-1} \to \mathbb{H}^n$, le champ orthonormal $N_{x_0} : S_{x_0}^{n-1} \to \mathbb{S}\mathbb{H}^n$ et le vecteur $v_0 \in S_{x_0}^{n-1}$ tel que $x_0 = x_{x_0}(v_0)$. À présent, si $(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ sont les valeurs propres de la hessienne $Hess(h_{x_0})_{v_0}$, alors d'après ce qui précède, elles sont toutes différentes de $\lambda = 1$. Ainsi, on a que la différentiel $d_{v_0} N_{x_0}$ est injectif, et en particulier, il en est forcément de même pour le différentiel $d_u N$.</footnote>
$$c = \frac{1}{\lambda}$$

Par conséquent, si toutes les courbures principales, partout où elles existent, ne valent pas $-1$, alors l'application de Gauss $\nu$ est un difféomorphisme local en tout point. Aussi, en appliquant le même raisonnement que pour la propriété précédente, on obtient que l'application de Gauss $\nu$ est nécessairement injective. On en déduit donc que $\mathcal{H}$ est l'enveloppe d'une famille d'horosphères co-orientées. $\square$

**Remarque 7.3.1.** Il est possible de construire un g-hérisson $\mathcal{H}$ admettant un point $x$ pour lequel une des courbures principales est égale à $-1$. En effet, il suffit de définir sur le plan hyperbolique un g-hérisson dont la fonction de support $h$ vérifie les trois conditions suivantes :

$$h(0) = 0, \partial_t h(0) = 0 \text{ et } \partial_t^2 h(0) = -1 \qquad (7.3.0.2)$$

Et en particulier, d'après ce qui précède, il est clair que l'application de Gauss $\nu$ n'est pas une immersion partout. Ainsi, nous savons construire un ensemble d'exemples de g-hérisson qui ne sont pas des h-hérisson.

Enfin, notons que ces deux dernières propriétés nous permettent de compléter les caractéristiques respectives des deux définitions de la notion de hérisson sur l'espace hyperbolique par les avancages de l'autre. En particulier, on obtient le résultat suivant, grâce auquel nous raccordons la notion de hérisson sur l'espace hyperbolique à l'intuition que nous en avons eue sur l'espace euclidien.

**Définition 7.3.1.** Considérons une immersion de Legendre $i: \Gamma \hookrightarrow \text{ST}\mathbb{H}^n$, alors nous dirons que $\lambda \in \mathbb{R}$ est une courbure principale en $u \in \Gamma$ si il existe un vecteur $\vec{W} \in T_u\Gamma$ tel que :

$$d_u N \cdot \vec{W} = \lambda d_u x \cdot \vec{W} \text{ et } d_u x \cdot \vec{W} \neq 0 \qquad (7.3.0.3)$$

**Note.** On rappelle que $i(u) = (x(u), N(u))$.

**Théorème 7.3.1.** Tout g-hérisson dont les courbures principales ne valent jamais $-1$, partout où elles existent, correspond<fnref n="6" /> au front legendrien d'une immersion de Legendre $i: \mathbb{A}^{n-1} \hookrightarrow \text{ST}\mathbb{H}^n$ vérifiant les deux points suivants :

1. L'application de Gauss $\nu: \mathbb{A}^{n-1} \hookrightarrow \mathbb{A}^{n-1}$ est un difféomorphisme.

2. Les courbures principales, partout où elles existent, ne sont jamais nulles.

**Note.** Rappelons que l'application de Gauss que l'on considère est définie par le prolongement géodésique à l'infini du champ orthonormal.

**Démonstration.** Via les propriétés 7.2.10, 7.3.1 et 7.3.2 que nous avons vues précédemment, c'est un résultat immédiat. $\square$

<footnote n="6">6. Précisons que, dans le cadre des hypothèses du théorème, un g-hérisson correspond, relativement à un point de référence $e \in \mathbb{H}^n$, au front legendrien d'une immersion $i$ via le difféomorphisme entre l'absolue $\mathbb{A}^{n-1}$ et l'hypersphère $\mathbb{S}_e^{n-1}$ que nous avons considéré pour la propriété 5.1.1 page 104 du chapitre 5.</footnote>
# Chapitre 8

## Dualité et caractérisation projective des g-hérissons

Dans ce chapitre, nous revenons sur les relations de dualité que nous avons introduites au chapitre 3 pour les hérissons euclidiens. En particulier, nous définissons et étudions le dual, sur l'espace projectif, des g-hérissons de l'espace hyperbolique et nous verrons qu'ils vérifient les mêmes conditions que pour les hérissons euclidiens, modulo quelques exigences supplémentaires. Il est alors à noter que cette correspondance justifie que l'on considère la notion de hérisson au regard de la géométrie projective.

### 8.1 Dualité entre les points et les g-hyperplans de l'espace hyperbolique et de l'espace de Sitter

Dans cette section, nous définissons des relations de dualité entre l'espace hyperbolique et l'espace de Sitter, relations qui nous seront nécessaires pour définir le dual des g-hérissons. Pour cela, nous nous reposons principalement sur l'article [30] dans lequel les auteurs ont pris soin de faire l'exposé des relations de dualité entre l'espace hyperbolique et l'espace de Sitter en adoptant une démarche générale via l'introduction d'espaces modèles (voir définition 8.1.1 ci-dessous). Rajoutons aussi que la motivation des auteurs provient du fait que la littérature sur la question est disparate et difficilement accessible. Pour en savoir plus, il est donc intéressant et utile de se rapporter à l'article [30] ainsi qu'à la thèse [28] de F.Fillastre dont les cinq premiers chapitres constituent un bon exposé des définitions et propriétés de base sur la question.

#### 8.1.1 Généralités sur les espaces modèles

Il est connu que les géométries elliptiques et hyperboliques peuvent être obtenues via la géométrie projective en définissant un absolu correspondant au quotient projectif du cône isotrope d'une forme quadratique. Pour approfondir, il est possible de consulter l'ouvrage [93] dans lequel l'auteur recense toutes les géométries qui peuvent être construites de cette façon. En particulier, nous adopterons cette démarche pour définir un modèle de l'espace hyperbolique et de l'espace de Sitter (voir définition 8.1.2 dans la section suivante).

Considérons donc $b \in \Lambda_1(\mathbb{R}^{n+1}) \otimes \Lambda_1(\mathbb{R}^{n+1})$ une forme bilinéaire non dégénérée (et de signature $(p, q)$). On appelle alors **pseudo-sphère** les parties définies comme ci-dessous :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\mathcal{M}_+(b) = \{x \in \mathbb{R}^{n+1} \text{ tel que } b(x, x) = 1\} \\
\mathcal{M}_-(b) = \{x \in \mathbb{R}^{n+1} \text{ tel que } b(x, x) = -1\}
\end{array}
\right.
\qquad (8.1.1.1)
$$

ainsi que le **cône isotrope** :

$$
\mathcal{I}(b) = \{x \in \mathbb{R}^{n+1} \text{ tel que } b(x, x) = 0\} \qquad (8.1.1.2)
$$

où il faut remarquer que c'est une hypersurface réglée (non régulière en $x=0$) dont le quotient projectif est une hypersurface dans l'espace projectif $\mathbb{P}_n$.

Il est alors immédiat que les pseudo-sphères $\mathcal{M}_+(b)$ et $\mathcal{M}_-(b)$ sont des hypersurfaces dont les métriques induites par la forme $b$ sont respectivement de signatures $(p-1, q)$ et $(p, q-1)$. Par conséquent, on obtient des hypersurfaces que l'on peut orienter via l'application orthonormale $\mathcal{N}(x) = x$, et qui admettent donc une courbure de Gauss constante et respectivement égale à 1 et $-1$. Il est également important de remarquer que les sous-variétés totalement géodésiques de dimension $p$, sur les pseudo-sphères, correspondent à des intersections non vides de sous-espaces vectoriels de dimension $p+1$ sur $\mathbb{R}^{n+1}$ avec les pseudo-sphères. En particulier, cette dernière remarque justifie la définition suivante :

**Définition 8.1.1.** On appelle **espace modèle** toute partie de la forme $\mathcal{M} = p(\mathcal{M})$ sur l'espace projectif, avec $p$ la projection projective et $\mathcal{M}$ une pseudo-sphère.

**Note.** Nous noterons $\mathcal{M}$ et $\mathcal{M}$ les pseudo-sphères et espaces modèles sans mentionner le signe de la courbure ni la métrique que nous avons considérée.

**Propriété 8.1.1.** *Tout espace modèle* $\mathcal{M} \subset \mathcal{P}_n(\mathbb{R})$ est une $n$-variété pseudo-Riemannienne. *De plus, les $p$-sous-variétés totalement géodésiques d'un espace modèle correspondent aux intersections non vides avec les $p$-sous-espaces projectifs.*

**Démonstration.** Il suffit de remarquer que la restriction de la projection projective $p: \mathcal{M} \mapsto \mathcal{P}_n(\mathbb{R})$ sur une pseudo-sphère $\mathcal{M}$ est une immersion. En effet, si l'on considère un point $x \in \mathcal{M}$ et un vecteur $\vec{v} \in T_x\mathcal{M}$, la forme bilinéaire $b$ étant non dégénérée et $x$ n'étant pas sur le cône isotrope, il est alors clair que la famille formée par les éléments $x$ et $\vec{v}$ est libre. Par conséquent, il est immédiat<fnref n="1" /> que $d_x p \cdot \vec{v}$ est non nul. □

8.1.2 Modèle de l'espace hyperbolique et de l'espace de Sitter sur l'es-
pace projectif

Sur l'espace projectif, nous avons déjà considéré l'absolu $\mathbb{A}^{n-1}$ (voir définition 5.1.1 page
104) correspondant à la projection du cône lumière. À présent, considérons les espaces modèles
correspondant aux hyperboloïdes $H^n$ et $dS^n$ tels que :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
H^n = \{w \in \mathbb{M}^{n+1} \text{ tel que } \langle w|w \rangle = -1\} \\
dS^n = \{w \in \mathbb{M}^{n+1} \text{ tel que } \langle w|w \rangle = 1\}
\end{array}
\right.
\qquad (8.1.2.3)
$$

En particulier, on appelle **hyperboloïde de Sitter** l'hyperboloïde $dS^n$ qui, comme nous l'avons vu précédemment, est une variété de Lorentz de dimension $n$ dont les courbures principales sont constantes et égales à 1.

<footnote n="1">1. Il suffit de considérer les expressions (8.4.0.1) et (8.4.0.2) page 181.</footnote>
**Définition 8.1.2.** Sur l'espace projectif $\mathbb{P}_n$, on définit les deux espaces modèles $\mathbb{H}^n = p(H^n)$ et $d\mathbb{S}^n = p(dS^n)$ que l'on appelle respectivement **espace hyperbolique** et **espace de Sitter**.

**Remarque 8.1.1.** Il est utile de constater que la partie $\mathbb{H}^n = p(H^n)$ munie de la métrique tirée en arrière $p_*(g)$, avec $g$ étant la métrique induite par le produit de Minkowski sur l'hyperboloïde $H^n$, correspond bien à l'espace hyperbolique. De plus, si $e \in \mathbb{H}^n$ est un point de référence (avec $\mathbb{H}^n$ vu comme étant le demi-hyperboloïde) et $f_e : \mathbb{P}_n \setminus H_e \to T_e$ est la carte projective<fnref n="2" /> centrée en $e$, alors il est clair que par construction, la restriction de l'application $f_e \circ p$ sur le demi-hyperboloïde $\mathbb{H}^n$ est la projection de Klein centrée en $e$. Par conséquent, il est justifié de considérer que la restriction de la carte projective $f_e$ sur $\mathbb{H}^n$ (vu comme étant l'espace modèle via la définition 8.1.2) correspond à la projection de Klein centrée en $e$ (où $e$ est un point sur $\mathbb{H}^n \subset \mathbb{P}_n$).

**Propriété 8.1.2.** Les espaces $\mathbb{H}^n$, $d\mathbb{S}^n$ et $\mathbb{A}^{n-1}$ sont respectivement ouverts, ouverts et fermés tels que l'absolue $\mathbb{A}^{n-1}$ correspond à la frontière commune de la fermeture des espaces modèles $\mathbb{H}^n$ et $d\mathbb{S}^n$. De plus $\mathbb{P}_n$ admet une décomposition via l'union disjointe des trois espaces que nous avons considérés.

*Démonstration.* Rappelons d'abord que nous avons vu que $\mathbb{A}^{n-1}$ est difféomorphe à l'hypersphère $\mathbb{S}^{n-1}$. Il suffit alors de remarquer que l'absolue $\mathbb{A}^{n-1}$ vérifie les trois relations suivantes :

$$Ad(\mathbb{H}^n) = \mathbb{H}^n \cup \mathbb{A}^{n-1}, Ad(d\mathbb{S}^n) = d\mathbb{S}^n \cup \mathbb{A}^{n-1} \text{ et } \mathbb{P}_n = \mathbb{H}^n \cup \mathbb{A}^{n-1} \cup d\mathbb{S}^n$$

ce qui termine la preuve.

<figure><img src="image_78.png" /></figure>

Pour terminer cette section, nous allons caractériser les *p*-sous-espaces projectifs sur $\mathbb{P}_n$. Un *p*-sous-espace projectif sera dit **hyperbolique** (resp. **parabolique** ou **elliptique**) s'il intersecte l'absolue en au moins deux points (resp. un seul et unique point ou aucun point).

<footnote n="2">2. Voir section 4.1 page 283 de l'annexe D pour en savoir plus sur la carte projective. Il est à noter que sur l'espace de Lorentz-Minkowski, et en particulier dans la remarque 8.1.1, la carte projective centrée en $e$ est définie relativement au produit de Minkowski $\langle |\cdot| \rangle_L$. Par conséquent, les parties $T_e$ et $H_e$ sont définies tel que $T_e = T_e \mathbb{H}^n$ et $H_e = p(T_e)$.</footnote>
<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>FIGURE 8.1 – Caractérisation des sous-espaces projectifs selon l'absolue $A^{n-1}$.</figcaption></figure>

**Remarque 8.1.2.** Un p-sous-espace projectif est hyperbolique (resp. parabolique ou elliptique) si et seulement s'il correspond à la projection d'un ($p+1$)-sous-espace vectoriel de type temps (resp. lumière ou espace).

**Avertissement 8.1.1.** On rappelle que lorsque l'on considère l'espace hyperbolique, il s'agit toujours du demi-hyperboloïde défini via l'expression (4.1.0.1) page 82. Malgré tout, lorsque cela ne risquera pas de produire de confusion, nous noterons par $\mathbb{H}^n$ aussi bien le demi-hyperboloïde que l'espace modèle que nous avons considéré via la définition 8.1.2.

Pour terminer cette section, il est intéressant de constater que, via les caractérisations des sous-espaces projectifs que nous venons de considérer, on a que l'absolu $A^{n-1}$, correspondant au quotient projectif du cône isotrope pour le produit de Minkowski, permet bien de définir l'espace hyperbolique et l'espace de Sitter. En effet, un point $x$ est sur l'espace hyperbolique (resp. l'espace de Sitter) si et seulement si toute droite projective qui contient le point $x$ est de type hyperbolique (resp. il existe une droite elliptique qui contient le point $x$). Cette remarque a pour objet d'illustrer la méthode<fnref n="3" /> de construction d'une géométrie, sur l'espace projectif, via la définition d'une quadrique (voir définition 4.2.2 page 287 de l'annexe D). En particulier, comme nous l'introduisons à la section 4.2.3 de l'annexe D, nous pouvons aussi définir, relativement à une quadrique $C \subset \mathbb{P}_n$, des relations de dualité (i.e. relations de dualité polaire) qui correspondent à la géométrie définie (via le procédé précédent) par la quadrique $C$.

## 8.1.3 Dualité projective sur l'espace de Sitter

La notion de dualité que nous allons considérer correspond à la notion de dualité projective que nous avions déjà étudiée via les définitions 3.1.1 et 3.1.2 page 57 du chapitre 3. Pour cela, considérons $\mathcal{H}(\mathbb{H}^n)$ et $\mathcal{H}(d\mathbb{S}^n)$, qui correspondent respectivement à l'ensemble des g-hyperplans

<footnote n="3">3. Voir l'ouvrage [93] pour en savoir plus.</footnote>
et à l'ensemble des hyperplans projectifs de type écliptique. Considérons donc les deux définitions suivantes :

**Définition 8.1.3.** Si $x \in \mathbb{H}^n$ et $L \in \mathcal{H}(\mathbb{H})$ sont un point et un g-hyperplan, alors on appelle **dual de x** (et resp. **dual de L**) l'hyperplan elliptique $x^*$ dans $\mathcal{H}(d\mathbb{S}^n)$ ainsi que le point $L^*$ dans $d\mathbb{S}^n$ tels que :

$$x^* = p(\langle x \rangle^{\perp}) \text{ et } L^* = p(v) \qquad (8.1.3.4)$$

où $v \in d\mathbb{S}^n$ est un vecteur pour lequel $L = \mathbb{H}^n \cap \langle v \rangle^{\perp}$.

**Définition 8.1.4.** Si $\sigma \in d\mathbb{S}^n$ et $H \in \mathcal{H}(d\mathbb{S}^n)$ sont un point et un hyperplan projectif de type elliptique, alors on appelle **dual de σ** (et resp. **dual de H**) le g-hyperplan $\sigma^*$ dans $\mathcal{H}(\mathbb{H}^n)$ ainsi que le point $H^*$ dans $\mathbb{H}^n$ tels que :

$$\sigma^* = \mathbb{H}^n \cap \langle v \rangle^{\perp} \text{ et } H^* = v \qquad (8.1.3.5)$$

où le vecteur $v$ correspond, pour le point $\sigma$, à $v \in d\mathbb{S}^n$ tel que $\sigma = p(v)$ et, pour l'hyperplan elliptique $H$, à $v \in \mathbb{H}^n$ tel que $H = p(\langle v \rangle^{\perp})$.

<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>FIGURE 8.2 – Dual d'un g-hyperplan de $\mathbb{H}^n$.</figcaption></figure>

**Remarque 8.1.3.** Il nous sera utile de rappeler que si $L \subset \mathbb{H}^n$ est un g-hyperplan et $x \in L$ un point, alors, en considérant l'hyperplan affine $T_x \subset T_x \mathbb{H}^n$ tel que $\psi_x(L) = T_x \cap \mathcal{D}(x)$, on a $L = \mathbb{H}^n \cap \mathcal{P}_L$, où $\mathcal{P}_L$ est l'hyperplan de type temps sur $\mathbb{L}^{n+1}$ tel que $\mathcal{P}_L = \mathbb{R}x \oplus T_x$.

Il est alors immédiat que la notion de dualité que nous avons définie vérifie bien les relations de bidualité classiques. C'est-à-dire que pour tout point $x \in \mathbb{H}^n$ (resp. dans $d\mathbb{S}^n$) et g-hyperplan $L \in \mathcal{H}(\mathbb{H}^n)$ (resp. hyperplan elliptique dans $\mathcal{H}(d\mathbb{S}^n)$), on a :

$$x^{**} = x \text{ et } L^{**} = L \qquad (8.1.3.6)$$

ainsi que,

$$x \in L \Leftrightarrow L^* \in x^* \qquad (8.1.3.7)$$

Pour en savoir plus, il est possible de se référer au troisième chapitre de la thèse [28] dans lequel nous trouvons une présentation de la géométrie projective (traitant en particulier des polygones géodésiques et des hypersurfaces régulières) et fournissant quelques propriétés de dualité entre l'espace hyperbolique et l'espace de Sitter.
## 8.2 Duale projective d'un corps g-convexe

À partir des relations de dualité entre les points et les g-hyperplans (resp. les hyperplans elliptiques) de l'espace hyperbolique et de l'espace de Sitter, nous pouvons définir le dual projectif d'un corps g-convexe en adoptant la même démarche que celle que nous avons considérée pour la définition 3.1.3 page 57 du chapitre 3. Il nous faut savoir qu'il existe, bien sûr, d'autres méthodes pour définir le dual d'un corps g-convexe, comme nous pouvons le trouver à la section 2.4 de l'article [30]. L'intérêt de la démarche adoptée par les auteurs est qu'elle nous permet de définir le dual de corps g-convexe sur tout espace modèle. Il est à noter que pour les besoins de nos futurs développements, nous adopterons une méthode plus adaptée, mais qui est, bien sûr, équivalente aux autres méthodes qu'il est possible de considérer.

**Définition 8.2.1.** Si $K \subset \mathbb{H}^n$ est un corps g-convexe, alors on appelle **dual du corps K** la partie $K^* \subset d\mathbb{S}^n$ vérifiant l'expression suivante :

$$ K^* = \mathrm{Ad}\{y \in d\mathbb{S}^n \text{ tel que } y^* \cap K = \emptyset\} \cup \mathbb{H}^n \quad (8.2.0.1) $$

où $\mathbb{H}^n$ correspond à l'espace modèle que nous avons introduit via la définition 8.1.2.

**Notation 8.2.1.** Considérons $e \in \mathbb{H}^n$ un point, alors pour ne pas nous surcharger de notation redondante, nous prendrons l'habitude de noter $T_e = T_e \mathbb{H}^n$ et $H_e = p(T_e \setminus \{0\})$, avec $p$ étant la projection projective.

Rappelons que nous avons défini, à la section 3.1.2 du chapitre 3, la notion de corps convexe sur $\mathbb{P}_n \setminus H_e$, avec $H_e$ l'hyperplan projectif défini par le point $e = (0, \dots, 0, 1) \in \mathbb{S}^n$, comme étant les corps convexes de $\mathbb{R}^n$ via l'identification avec $\mathbb{P}_n \setminus H_e$. Nous pouvons compléter cette définition telle qu'une partie $K \subset \mathbb{P}_n$ est appelée **corps convexe** si il existe un hyperplan projectif $H$ tel que $K$ est un corps convexe sur $\mathbb{P}_n \setminus H$ via l'identification entre $\mathbb{P}_n \setminus H$ et $\mathbb{R}^n$. Pour en savoir plus, il est possible de se rapporter à la définition 4.3.1 et à la propriété 4.3.1 page 289 de l'annexe D.

**Propriété 8.2.1.** Soit $K \subset \mathbb{H}^n$ un corps g-convexe et $e \in \mathrm{Int}(K)$ un point de référence. Alors le dual projectif $K^*$ est un corps convexe dans $\mathbb{P}_n \setminus H_e$, centré$^4$ en $e$, dont le bord $\partial K^*$ est compris dans l'espace de Sitter $d\mathbb{S}^n$ et est paramétré (via l'identification entre $\mathbb{P}_n \setminus H_e$ et $T_e$) par l'application $x^* : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto T_e$ définie via l'expression ci-dessous :

$$ x^*(u) = \frac{1}{TH h(u)} u \quad (8.2.0.2) $$

où $h : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto \mathbb{R}$ est la fonction de support centrée en $e$.

**Démonstration.** Considérons l'espace euclidien $\mathbb{E}^{n+1} = (\mathbb{R}^{n+1}, \langle \cdot | \cdot \rangle)$ et l'espace de Lorentz $\mathbb{L}^{n+1} = (\mathbb{R}^{n+1}, \langle \cdot | \cdot \rangle_L)$. A présent, on considère un point $e \in \mathbb{H}^n$ ainsi que le vecteur $e_0 \in \mathbb{S}^n$ qui est orthogonal à l'hyperplan $T_e$ dans l'espace euclidien $\mathbb{E}^{n+1}$ et tel que le produit scalaire $\langle e | e_0 \rangle$ soit strictement positif. Si $L = lu + \langle u \rangle^{\perp L} \subset T_e$ est un hyperplan affine avec $l \neq 0$ et $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, alors :

* Le dual de $L$ dans l'hyperplan $T_e$ selon$^5$ le produit scalaire $\langle \cdot | \cdot \rangle$ est :

$$ L^* = p(u - le_0) \sim -\frac{1}{l}u \quad (8.2.0.3) $$

où $\sim$ correspond à l'identification de $\mathbb{P}_n \setminus H_e$ avec $T_e$.

<footnote n="4">4. On rappelle (voir les avertissements 1.1.2 et 4.2.1) que les corps convexes et les corps g-convexes sont tous considérés de classe $C_+^\infty$. Ainsi, un corps convexe $K \subset \mathbb{P}_n$ est dit centré en $e$ lorsque $e \in \mathrm{Int}(K)$.</footnote>
* Le dual du g-hyperplan $\varphi_e(L)$ dans l'espace hyperbolique $\mathbb{H}^n$ selon le produit de Minkowski $\langle\cdot|\cdot\rangle_L$ est :

$$ \varphi_e(L)^* = p(CH(ArcTan(l))u + SH(ArcTan(l))e) \sim \frac{1}{l}u \quad (8.2.0.4) $$

avec $\varphi_e$ étant l'inverse de la projection de Klein.

Il nous sera utile de remarquer que pour la relation (8.2.0.3), nous considérons la relation de dualité entre les points et les hyperplans de l'espace euclidien ($T_e, g_e$) avec les hyperplans projectifs et les points sur $\mathbb{P}_n \setminus \{e_0\}$ via les définitions 3.1.1 et 3.1.2 page 57. En particulier, il est justifié de parler de dualité relativement au produit scalaire $\langle\cdot|\cdot\rangle$ pour la relation (8.2.0.3) et de dualité relativement au produit de Minkowski $\langle\cdot|\cdot\rangle_L$ pour la relation (8.2.0.4).

<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>FIGURE 8.3 – Comparaison du dual d'un g-hyperplan avec le dual de l'hyperplan qui lui correspond via la projection de Klein.</figcaption></figure>

Ensuite, si $K \subset \mathbb{H}^n$ est un corps g-convexe, alors nous savons que $\psi_e(K)$ est un corps convexe sur l'espace euclidien $T_e$, avec $\psi_e$ étant la projection de Klein centrée en $e$. Ainsi, d'après ce qui précède, les duaux $K^*$ et $\psi_e(K)^*$ pour les produits respectifs $\langle\cdot|\cdot\rangle_L$ et $\langle\cdot|\cdot\rangle$ vérifient que :

$$ K^* = -\psi_e(K)^* \quad (8.2.0.5) $$

dans $\mathbb{P}_n \setminus H_e$, identifié à $T_e$. Ainsi, en considérant que $e \in \text{Int}(K)$, alors par la propriété 3.1.3 page 58 du chapitre 3, on obtient le résultat recherché. Enfin, pour définir le paramétrage $x^* : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto \mathbb{H}^n$, il suffit de considérer le paramétrage $x : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto \partial K$ (voir remarque 4.2.4 page 88 du chapitre 4). En effet, considérons la famille de g-hyperplans $(T_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ tels que chaque $T_u$ est le g-hyperplan de support en $x(u)$ alors, par la relation (8.2.0.4), on a bien que le paramétrage $x^*$ vérifie l'expression (8.2.0.2). $\square$

**Remarque 8.2.1.** Si $K \subset \mathbb{P}_n$ est un corps convexe tel que $\mathbb{A}^{n-1} \subset \text{Int}(K)$, alors tout hyperplan projectif dont l'intersection avec $\text{Int}(K)$ est vide est forcément de type elliptique.

<footnote n="5">5. Nous entendons par dualité selon le produit $\langle\cdot|\cdot\rangle$ le fait de considérer les relations de dualité sur $\mathbb{E}^{n+1}$ que nous avons introduites via les définitions 3.1.3 et 3.1.4 page 57 au chapitre 3. Plus précisément, si on considère un point $x \in T_e$ et un hyperplan $L \subset T_e$, alors on définit l'hyperplan projectif $x^* = p(\Sigma)$ et le point $L^* = p(\mathbb{R}v)$, où $\Sigma$ et $\mathbb{R}v$ sont un hyperplan et une droite sur $\mathbb{R}^{n+1}$ qui sont respectivement orthogonaux, pour le produit scalaire $\langle\cdot|\cdot\rangle$, à la droite $\mathbb{R}(e_0 + x)$ et à l'hyperplan $\mathbb{R}e_0 \oplus L$.</footnote>

<footnote>Pareillement, nous entendons par dualité selon le produit $\langle\cdot|\cdot\rangle_L$ les points $L^*$ et hyperplans $x^*$ tels que $\Sigma$ et $\mathbb{R}v$ sont respectivement orthogonaux, selon le produit de Minkowski $\langle\cdot|\cdot\rangle_L$, à la droite $\mathbb{R}(e+x)$ et à l'hyperplan $\mathbb{R}e \oplus L$.</footnote>
**Définition 8.2.2.** Considérons $K \subset \mathbb{P}_n$ un corps convexe tel que $\mathbb{A}^{n-1} \subset \text{Int}(K)$. On appelle alors **dual de K** la partie $K^* \subset \mathbb{H}^n$ telle que :

$$ K^* = \text{Ad}\{x \in \mathbb{H}^n \text{ tel que } x^* \cap K = \emptyset\} \qquad (8.2.0.6) $$

**Propriété 8.2.2.** Si $K \subset \mathbb{P}_n$ est un corps convexe tel que $\mathbb{A}^{n-1} \subset \text{Int}(K)$, alors son dual $K^*$ est un corps g-convexe dans $\mathbb{H}^n$. De plus, pour tout corps g-convexe $K \subset \mathbb{H}^n$ et corps convexe $K \subset \mathbb{P}_n$ contenant l'absolu dans son intérieur, alors leurs biduaux vérifient la relation d'involution $K^{**} = K$, ce qui justifie que l'on parle de dualité.

**Démonstration.** En reprenant les mêmes arguments que pour la relation (8.2.0.5), on peut vérifier que pour tout corps convexe $K \subset \mathbb{P}_n$ contenant l'absolu dans son intérieur, alors si $K^*$ est le dual pour le produit de Minkowski $\langle \cdot | \cdot \rangle_L$ et $K^\times$ le dual pour le produit scalaire (voir définition 3.1.4 page 58), alors on a :

$$ \psi_e(K^*) = -K^\times \qquad (8.2.0.7) $$

Ainsi, à partir des relations (8.2.0.5), (8.2.0.7) et en se reposant sur la propriété 3.1.3 page 58 du chapitre 3, on obtient bien que $K^*$ est un corps g-convexe. Enfin, par les relations (8.2.0.5) et (8.2.0.7), il est clair que le bidual d'un corps g-convexe (resp. d'un corps convexe $K \subset \mathbb{P}_n$ tel que $\mathbb{A}^{n-1} \subset \text{Int}(K)$) vérifie la relation d'involution. $\square$

**Remarque 8.2.2.** En adaptant les arguments précédemment considérés afin de pouvoir les appliquer à la propriété 4.3.2 page 290 de l'annexe D, on obtient que :

1. Si $K \subset \mathbb{H}^n$ est un corps g-convexe non réduit à un singleton (et donc pas forcément de classe $C^0$), alors $K^{**} = K$. Idem si $K \subset \mathbb{P}_n$ est un corps convexe contenant l'absolu dans son intérieur.

2. Si $K \subset \mathbb{H}^n$ est un corps g-convexe qui n'est pas de classe $C^0$, alors son dual $K^*$ n'est pas un corps convexe de $\mathbb{P}_n$ et est compris dans un hyperplan elliptique. Il est à noter que sur $\mathbb{P}_n$, les corps convexes tels que $\mathbb{A}^{n-1} \subset \text{Int}(K)$ sont forcément de classe $C^0$.

3. Si $K \subset \mathbb{H}^n$ est un corps g-convexe de classe $C^0$, alors son dual $K^*$ est un corps convexe de classe $C^0$.

4. Si $K \subset \mathbb{P}_n$ est un corps convexe contenant l'absolu dans son intérieur, alors le dual $K^*$ est un corps g-convexe de classe $C^0$.

5. Si $K \subset \mathbb{H}^n$ est un corps g-convexe de classe $C^k_+$, avec $k \ge 2$, alors son dual est aussi un corps convexe de classe $C^k_+$. Il en est de même pour les corps convexes $K \subset \mathbb{P}_n$ contenant l'absolu dans leur intérieur.

## 8.3 Duale projectif d'un g-hérisson

En constatant que le bord $\partial K^*$ du dual d'un corps g-convexe $K \subset \mathbb{H}^n$ correspond au dual projectif du bord $\partial K$, défini comme étant la partie formée par le dual des g-hyperplans de support du corps $K$, il est alors justifié de définir le dual d'un g-hérisson $\mathcal{H}$ comme étant la partie formée par le dual des g-hyperplans correspondant à la famille de g-hyperplans co-orientés dont l'enveloppe paramétrée est le g-hérisson $\mathcal{H}$.
### 8.3.1 Définition et première propriété

Considérons $(\Sigma_u)_{u \in \Gamma}$ une famille lisse de g-hyperplans (resp. d'hyperplans elliptiques) admettant une unique enveloppe paramétrée $(\mathcal{H}, x)$ sur $\mathbb{H}^n$ (resp. $d\mathbb{S}^n$) au sens des définitions 3.2.2 et 4.4.1 des pages 62 et 95. On appelle alors **dual projectif de H** la donnée de la partie $\mathcal{H}^* \subset d\mathbb{S}^n$ (resp. $\mathcal{H}^* \subset \mathbb{H}^n$) et de l'application $x^* : \Gamma \mapsto \mathcal{H}^*$, que l'on appelle **paramétrage**, telle que :

$$ \mathcal{H}^* = x^*(\Gamma) \text{ et } x^*(u) = \Sigma_u^* \qquad (8.3.1.1) $$

pour tout $u \in \Gamma$.

**Avertissement 8.3.1.** Afin de simplifier notre exposé, nous noterons $\mathcal{H}^*$ le dual d'une enveloppe paramétrée, sans faire mention du paramétrage $x^*$.

**Définition 8.3.1.** Soit $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^n$ un g-hérisson centré en e, avec e un point de référence. Alors on appelle **dual projectif centré en e** la donnée de la partie $\mathcal{H}^*$ et du paramétrage $x^* : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto d\mathbb{S}^{n-1}$ défini via la relation (8.3.1.1).

**Propriété 8.3.1.** Soit $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^n$ un g-hérisson centré en e, de paramétrage $x : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto \mathbb{H}^n$. Alors, son dual projectif centré en e correspond à l'enveloppe paramétrée de la famille lisse d'hyperplans elliptiques $(x(u)^*)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$. De plus, on a que son bidual vérifie la relation d'involution :

$$ \mathcal{H}^{**} = \mathcal{H} \qquad (8.3.1.2) $$

ce qui justifie que l'on parle de dualité.

**Démonstration.** Pour le premier point, il suffit de remarquer que si $x : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto \mathbb{H}^n$ est le paramétrage et $N : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto T\mathbb{H}^n$ le champ orthonormal d'un g-hérisson $\mathcal{H}$, alors :

$$ \langle x(u) | N(u) \rangle = 0 \qquad (8.3.1.3) $$

et comme, par la condition de contact, on sait que $\langle d_u x \cdot \vec{v} | N(u) \rangle = 0$, alors on obtient forcément que $\langle x(u) | d_u N \cdot \vec{v} \rangle = 0$. Ainsi, si pour chaque $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ on considère l'hyperplan vectoriel $P_u = \langle x(u) \rangle^{\perp}$ sur l'espace de Lorentz-Minkowski $\mathbb{L}^{n+1}$, alors il est clair que la condition de contact équivaut à :

$$ d_u N \cdot \vec{v} \in P_u \qquad (8.3.1.4) $$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$.

Ensuite, remarquons que par définition, pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, on a $x(u)^* = p(P_u)$ et $\Sigma_u^* = p(N(u))$, où $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ est la famille de g-hyperplans associée au g-hérisson $\mathcal{H}$. Ce qui nous donne 6 donc le premier point. Enfin, la relation d'involution découle du fait que, par bidualité, il est immédiat que $x(u)^{**} = x(u)$. $\square$

**Remarque 8.3.1.** Considérons $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^n$ un g-hérisson centré en e. Alors, une des conséquences immédiates de la propriété 8.3.1 et du théorème 6.4.1 est que : Si $v_0 \in \mathbb{H}^n$ est un second point de référence, alors le dual projectif du g-hérisson $\mathcal{H}$, relativement au point de référence e, correspond au dual projectif par rapport au point $v_0$ via la fonction de réindexation 7 $\phi : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$. En particulier, il est justifié d'adopter la terminologie de **dual projectif**, sans faire mention du point de référence.

<footnote n="6">6. En effet, par la propriété 8.3.2 page 180 et à la relation (8.3.1.4), il est clair que pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, on a que $d_u x^* \cdot \vec{v} \in p(P_u) = x(u)^*$.</footnote>

<footnote n="7">7. Voir la définition 6.2.1 page 140 pour un rappel sur la fonction de réindexation.</footnote>
## 8.3.2 Représentation du dual d'un g-hérisson sur l'hyperboloïde $dS^n$

À la section 3.2.1 du chapitre 3, nous avons vu qu'il était utile de représenter le dual d'un hérisson euclidien sur la sphère. Il est dès lors intéressant de constater que nous retrouvons naturellement cette représentation sur l'hyperboloïde de Sitter pour les g-hérissons hyperboliques. En effet, considérons $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^n$ un g-hérisson centré en $e$. Il est alors clair que nous pouvons définir la représentation du dual de $\mathcal{H}$ sur l'hyperboloïde $dS^n$ en considérant l'application $s: \mathbb{S}_e^{n-1} \to dS^n$ telle que :

$$s(u) = N(u) = CH h(u)u + SH h(u)e \quad (8.3.2.5)$$

et qui correspond donc bien au graphe de la fonction de support sur l'hyperboloïde de Sitter en considérant l'hypersphère $\mathbb{S}_e^{n-1}$ comme "l'axe des abscisses".

<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>FIGURE 8.4 – Graph de la fonction de support sur l'espace de Sitter</figcaption></figure>

Ajoutons que, en considérant la relation de contact (8.3.1.4), nous retrouvons, comme c'est le cas pour la représentation sur la sphère du dual d'un hérisson euclidien, que $s(\mathbb{S}_e^{n-1})$ est une hypersurface orientée sur l'espace de Sitter, dont le champ orthonormal (de type temps) correspond au paramétrage $x$ du g-hérisson $\mathcal{H}$. L'intérêt de cette remarque provient des relations entre les caractéristiques géométriques d'un g-hérisson et de l'hypersurface orientée $s(\mathbb{S}_e^{n-1})$ correspondant à la représentation de son dual sur l'hyperboloïde de Sitter.

**Propriété 8.3.2.** *Si $y: \Gamma \to dS^n$ est une application de classe $C^\infty$ et que l'application $s: \Gamma \to dS^n$ est un représentant de l'application $y$ sur l'hyperboloïde de Sitter, alors l'application $s$ est également de classe $C^\infty$ et satisfait la relation suivante :*

$$y(u) + \mathrm{Im}(d_u y) = p(\mathbb{R}s(u) \oplus \mathrm{Im}(d_u s)) \quad (8.3.2.6)$$

pour tout $u \in \Gamma$.

**Note.** Dans l'expression (8.3.2.6), $y(u) + \mathrm{Im}(d_u y)$ désigne l'unique sous-espace projectif contenant le point $y(u)$ et dont le sous-espace tangent en $y(u)$ est $\mathrm{Im}(d_u y)$.

**Démonstration.** Considérons donc $y: \Gamma \to dS^n$ et $s: \Gamma \to dS^n$, deux applications lisses telles que $y = p \circ s$. La restriction de la projection $p$ sur l'hyperboloïde de Sitter étant une immersion, il est clair que l'application $s$ est de classe $C^\infty$. Ensuite, pour un vecteur $u \in \Gamma$, il suffit de remarquer que, par définition, $H = y(u) + \mathrm{Im}(d_u y)$ est l'unique sous-espace projectif tel que $T_{y(u)}H = \mathrm{Im}(d_u y)$. En notant $L = p(\mathbb{R}s(u) \oplus \mathrm{Im}(d_u s))$, il est déja évident que $y(u) \in L$. Ensuite, considérons un vecteur tangent $\vec{v} \in T_{y(u)}L$ et $\gamma: I \to L$ une courbe régulière définie
au voisinage de $t = 0$, telle que $\gamma(0) = y(u)$ et $\partial_t\gamma(0) = \vec{v}$. Il est alors immédiat que la courbe $\gamma$ est de la forme $p \circ \beta$, avec $\beta: I \mapsto \mathbb{R}s(u) \oplus Im(d_u y)$. On a donc que $\beta(0) \in \mathbb{R}s(u)$ et $\vec{v} = d_{s(u)}p \cdot \partial_t\beta(0)$, où $\partial_t\beta(0) = \vec{w}_0 + \alpha s(u)$ et $\vec{w}_0 \in Im(d_u s)$. Par conséquent, on obtient que $\vec{v} = d_{s(u)}p \cdot \vec{w}_0 \in Im(d_u y)$ et, comme les sous-espaces projectifs $H$ et $L$ ont la même dimension, on obtient le résultat recherché. $\square$

## 8.4 Théorème de caractérisation projective

Dans cette section, nous adaptons pour les g-hérissons les théorèmes de caractérisation projective que nous avons considérés au chapitre 3 pour les hérissons euclidiens. En particulier, nous prendrons soin de bien mettre en avant le lien entre la condition d'existence d'un g-hérisson (voir théorème 4.4.1 page 97 du chapitre 4) et les caractéristiques du dual d'un g-hérisson sur l'espace projectif.

**Lemme 8.4.1.** La restriction de la projection projective $p$ sur l'hyperboloïde de Sitter $dS^n$ est une immersion.

*Démonstration.* Pour un point $e \in \mathbb{H}^n$, on considère $f_e : \mathbb{P}_n \setminus H_e \mapsto T_e$, la carte projective centrée en $e$. Alors, pour tout $w \in \mathbb{L}^{n+1} \setminus T_e$, on a

$$f_e \circ p(w) = \alpha(w)w + e \quad \text{avec } \alpha(u) = -\frac{1}{\langle w|e \rangle} \qquad (8.4.0.1)$$

et ainsi,

$$d_w[f_e \circ \pi] \cdot \vec{v} = \alpha(w)[\vec{v} + \alpha(w) \langle e|\vec{v} \rangle w] \qquad (8.4.0.2)$$

pour tout $\vec{v} \in T_w dS^n$.

En conséquence, si on considère $w \in dS^n \setminus T_e$ et $\vec{v} \in T_w dS^n$, alors en constatant que la famille formée par ces deux éléments est libre, on obtient le résultat recherché. $\square$

**Théorème 8.4.1.** Soit $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^n$ un g-hérisson centré en $e$. Alors son dual projectif $\mathcal{H}^*$ vérifie les trois conditions ci-dessous :

1. Son paramétrage $x^* : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto d\mathbb{S}^n$ est une immersion.

2. Toute droite hyperbolique intersecte $\mathcal{H}^*$ en un ou deux points.

3. Les hyperplans tangents<fnref n="8" /> de $\mathcal{H}^*$, vus comme hyperplans projectifs, sont elliptiques.

*Démonstration.* Considérons $\mathcal{H}$ un g-hérisson ainsi que $e$ et $v_0$ deux points. Comme nous l'avons vu à la remarque 8.3.1, il est clair que si $x^* : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto d\mathbb{S}^n$ et $x_{v_0}^* : \mathbb{S}_{v_0}^{n-1} \mapsto d\mathbb{S}^n$ sont les paramétrages définis via l'expression (8.3.1.1) et relativement aux points de référence $e$ et $v_0$, alors on a :

$$x^* = x_{v_0}^* \circ \phi \text{ et } x^*(\mathbb{S}_e^{n-1}) = x_{v_0}^*(\mathbb{S}_{v_0}^{n-1}) \qquad (8.4.0.3)$$

avec $\phi : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$ la fonction de réindexation de $e$ à $v_0$.

<footnote n="8">8. Lorsqu'une application $f: \Gamma \mapsto \mathbb{P}_n$ est une immersion, alors nous appelons **hyperplan tangent** les hyperplans projectifs, que l'on note $f(u) + Im(d_u f)$, et qui correspondent à l'unique hyperplan projectif $\tilde{H}$ contenant le point $f(u)$ et dont l'espace tangent en $f(u)$ est $T_{f(u)}H = Im(d_u f)$.</footnote>
Considérons donc $h : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ la fonction de support centrée en $e$. Alors, nous avons vu que le paramétrage $x^* : \mathbb{S}_e^{n-1} \to d\mathbb{S}^n$ centré en $e$ est de la forme $x^*(u) = p \circ s(u)$ avec :

$$s(u) = SH h(u)e + CH h(u)u \qquad (8.4.0.4)$$

Sachant que la restriction de la projection projective sur l'hyperboloïde de Sitter est une immersion (voir lemme 8.4.1), il est immédiat que le paramétrage $x^*$ est aussi une immersion. Ensuite, en remarquant que toute intersection $s(\mathbb{S}_e^{n-1}) \cap (\mathbb{R}e \oplus \mathbb{R}u)$ contient exactement deux points, alors nous en déduisons que toute droite projective passant par le point $e$ intersecte l'image $x^*(\mathbb{S}_e^{n-1})$ en un ou deux points. Aussi, si $v_0 \in \mathbb{H}^n$ est un second point de référence, alors, avec les mêmes arguments, toute droite projective passant par le point $v_0$ intersecte l'image $x_{v_0}^*(\mathbb{S}_{v_0}^{n-1})$ en un ou deux points. Ce qui nous donne, en considérant la relation (8.4.0.3), que toute droite hyperbolique intersecte le dual $\mathcal{H}^*$ en un ou deux points.

Pour le dernier point, il nous suffit de nous rapporter à la propriété 8.3.1 que nous avons vu précédemment. En effet, nous savons que si $x$ est le paramétrage de $\mathcal{H}$ centré en $e$, alors le dual $\mathcal{H}^*$ correspond à l'enveloppe paramétrée de la famille d'hyperplans elliptiques $(x(u))^*_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$. $\square$

**Remarque 8.4.1.** Il est intéressant de constater que la propriété sur les hyperplans tangents du dual d'un g-hérisson est aussi une conséquence de la condition (4.4.1.2) page 96 que doit vérifier une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$ pour qu'elle admette une enveloppe. En effet, en considérant l'application $s$ définie par l'expression (8.4.0.4), on a alors que :

$$d_u s \cdot \vec{v} = \langle \vec{\nabla} h(u) | \vec{v} \rangle x_0(u) + CH h(u) \vec{v}$$
où $x_0(u) = CH h(u)e + SH h(u)u$. Ainsi, si $\vec{v} \in T_u \mathbb{S}_e^{n-1}$ est non nul;

$$\langle d_u s \cdot \vec{v} | d_u s \cdot \vec{v} \rangle = CH h(u)^2 \|\vec{v}\|^2 - \langle \vec{\nabla} h(u) | \vec{v} \rangle^2 \\ \geq CH h(u)^2 \|\vec{v}\|^2 - \|\vec{\nabla} h(u)\|^2 \|\vec{v}\|^2 > 0$$

et, via la propriété 8.3.2, on obtient le résultat recherché.

**Lemme 8.4.2.** Si $y : \mathbb{S}_e^{n-1} \to d\mathbb{S}^n$ est une application lisse, alors la famille de g-hyperplans $(y(u))^*_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ est lisse.

*Démonstration.* Il suffit de reprendre les mêmes arguments que nous avons considérés pour montrer le lemme 3.3.1 page 68. $\square$

**Théorème 8.4.2.** Considérons $y : \mathbb{A}^{n-1} \to d\mathbb{S}^n$, avec $n \ge 3$, une application lisse vérifiant les trois conditions suivantes :

1. C'est une immersion.

2. Toute droite hyperbolique coupe l'image $y(\mathbb{A}^{n-1})$ en un ou deux points.

3. Les hyperplans tangents, vus comme hyperplans projectifs, sont elliptiques.

Alors, il existe un unique g-hérisson $\mathcal{H}$ ainsi que, pour tout point de référence $e \in \mathbb{H}^n$, un difféomorphisme $\nu : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{S}_e^{n-1}$ vérifiant que :

$$y \circ f_e = x^* \circ \nu \qquad (8.4.0.5)$$

où $x^*$ est le paramétrage du dual $\mathcal{H}^*$, relativement au point $e$, et $f_e : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{A}^{n-1}$ est le difféomorphisme défini par l'expression $f_e(u) = p(e + u)$.
Démonstration. Considérons $y : A^{n-1} \to dS^n$ une application lisse vérifiant les conditions du théorème ainsi qu’un point $e \in \mathbb{H}^n$. Il nous faut donc montrer que la famille de g-hyperplans $(\Sigma_a)_{a \in A^{n-1}}$ telle que $\Sigma_a = y(a)^*$ est co-orientable en $e$. Pour cela, considérons le difféomorphisme $f_e : S_e^{n-1} \to A^{n-1}$ tel que $f_e(u) = p(e+u)$ et l’application $y_e := y \circ f_e$. On définit alors la famille de g-hyperplans $(\Sigma_{f_e(u)})_{u \in S_e^{n-1}}$. Par le lemme 8.4.2 que nous avons vu précédemment, on sait que la famille $(\Sigma_{f_e(u)})_{u \in S_e^{n-1}}$ est lisse. Il existe donc $\nu : S_e^{n-1} \to S_e^{n-1}$ et $k : S_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ deux fonctions lisses telles que :

$$ \psi_e(\Sigma_{f_e(u)}) = l(u)\nu(u) + \langle \nu(u) \rangle^{\perp} $$

où $l(u) = TH k(u)$ et $\psi_e$ est la projection de Klein centrée en $e$. Ensuite, comme par bidualité, on a $y_e(u) = \Sigma_{f_e(u)}^*$, il est donc clair que $y_e(u)$ est de la forme $p \circ s_e(u)$ avec $s_e(u) = SH k(u)e + CH k(u)\nu(u)$. En particulier, comme par hypothèse, les hyperplans tangents de l’application $y$ sont de type elliptique, alors on obtient que :

$$ \langle d_u s_e \cdot \vec{v} | d_u s_e \cdot \vec{v} \rangle = (CH k(u))^2 \|d_u \nu \cdot \vec{v}\|^2 - \langle \vec{\nabla} k(u) | \vec{v} \rangle^2 > 0 $$

pour tout vecteur $\vec{v} \in S_e^{n-1}$ non nul.

Ce qui nous donne, en particulier, que pour tout vecteur $\vec{v}$ non nul, la différentielle $d_u \nu \cdot \vec{v}$ est également non nulle et donc l'application $\nu$ est une immersion. Ainsi, comme $\nu$ est une immersion et que l'hypersphère $S_e^{n-1}$ est simplement connexe, $\nu$ est un difféomorphisme. Il existe donc $(\Gamma_u)_{u \in S_e^{n-1}}$ une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$, de fonction de support $h : S_e^{n-1} \to \mathbb{R}$, telle que :

$$ \Gamma_{\nu(u)} = \Sigma_{f_e(u)} \text{ et } h \circ \nu(u) = k(u) \qquad (8.4.0.6) $$

A présent, considérons l'immersion $s : S_e^{n-1} \to dS^n$ définie par l'expression $s(u) = SH h(u)e + CH h(u)u$. Alors par (8.4.0.6), on a $s_e(u) = s \circ \nu(u)$, et ainsi, pour tout vecteur $\vec{v} \in T_u S_e^{n-1}$ non nul, il est clair que $d_u s \cdot \vec{v}$ est de type espace. Ainsi, on a que :

$$ (CH h(u))^2 \|\vec{v}\|^2 - \langle \vec{\nabla} h(u) | \vec{v} \rangle^2 > 0 $$

pour tout vecteur $\vec{v} \in S_e^{n-1}$ non nul.

En particulier, si $\vec{\nabla} h(u) \neq 0$, alors $(CH h(u))^2 \|\vec{\nabla} h(u)\|^2 - \|\vec{\nabla} h(u)\|^4 > 0$. Par conséquent, par le théorème 4.4.1 page 97, on sait que la famille de g-hyperplans $(\Gamma_u)_{u \in S_e^{n-1}}$ admet une enveloppe qui correspond nécessairement à un g-hérisson. $\square$

En reprenant les mêmes arguments que ceux considérés à la fin de la section 3.3 du chapitre 3, on obtient que, sur le plan hyperbolique, si $y : A^1 \to dS^2$ est une application lisse vérifiant les conditions du théorème précédent, alors il existe $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^2$ un unique g-hérisson dont le dual vérifie que $\mathcal{H}^* = y(A^1)$ et $y = x^* \circ \nu$, où $\nu : A^1 \to S_e^1$ est une immersion surjective de degré $k \ge 1$.

**Définition 8.4.1.** Si $(\Sigma_u)_{u \in S_e^{n-1}}$ est une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$, on appelle **dual de la famille** $(\Sigma_u)_{u \in S_e^{n-1}}$, l'application $\mu : S_e^{n-1} \to dS^n$ telle que $\mu(u) = \Sigma_u^*$.

**Remarque 8.4.2.** Par la remarque 8.4.1 et le théorème 8.4.2, il est immédiat qu'une famille de g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in S_e^{n-1}}$ co-orientée en $e \in \mathbb{H}^n$ vérifie la condition d'existence (4.4.1.2) si et seulement si son dual projectif, au sens de la définition 8.4.1 ci-dessus, vérifie les trois conditions du théorème 8.4.2.
Pour conclure, il est intéressant de remarquer que le dual d'un g-hérisson de l'espace hyperbolique présente les mêmes caractéristiques que le dual d'un hérisson euclidien. Plus particulièrement, si $\mathcal{H}$ est un g-hérisson de l'espace hyperbolique, alors pour des raisons géométriques évidentes, on a que pour tout point de référence $e \in \mathbb{H}^n$, le dual de $\mathcal{H}$ correspond au dual du hérisson euclidien $\psi_e(\mathcal{H})$ sur l'espace tangent $T_e\mathbb{H}^n$. On pourrait alors avancer l'idée que la notion de hérisson est plus naturelle sur l'espace projectif que dans l'espace euclidien, l'espace hyperbolique ou encore l'hypersphère.
# Chapitre 9

## Les pseudo-hérissons sur l'hypersphère

Sur l'espace hyperbolique, nous avons défini la notion de g-hérisson comme étant l'enveloppe paramétrée d'une famille de g-hyperplans co-orientés. En particulier, nous avons mis en évidence le fait que ce choix ne relève pas d'une construction canonique et correspond donc à un ensemble de caractéristiques qui doivent être vérifiées<fnref n="1" /> pour pouvoir définir la notion de g-hérisson marginalement piégé. Il est alors naturel de vouloir adopter le même procédé pour les g-hérissons sur l'hypersphère $\mathbb{S}^n$. Cependant, il apparaît rapidement que les propriétés de la géométrie sphérique rendent insuffisante cette approche, qu'il nous faut alors compléter. L'objet de ce chapitre consiste donc à définir, étudier et classer les enveloppes de g-hyperplans co-orientés (que nous appelons pseudo-hérissons) de manière à mettre en évidence une sous-catégorie qui nous permettra d'obtenir une définition satisfaisante à la notion de g-hérisson sur l'hypersphère.

### 9.1 Modèle de l'hypersphère et notations usuelles

Il existe plusieurs modèles de l'hypersphère, en particulier les modèles définis via les projections gnomoniques et stéréographiques, qui correspondent respectivement à la projection de Klein et à la projection Poincaré que nous avons considérées sur l'espace hyperbolique. En ce qui nous concerne, nous travaillerons principalement avec la projection gnomonique. Considérons donc $e \in \mathbb{S}^n$ un point de référence; alors, on appelle **demi-sphère ouverte centrée en e** la partie :

$$ \Omega_e = \{x \in \mathbb{S}^n \text{ tel que } \langle x|e \rangle > 0\} \qquad (9.1.0.1) $$

Comme pour la projection de Klein, la projection gnomonique consiste à projeter, sur l'hyperplan tangent $T_e\mathbb{S}^n$, tout point $x \in \Omega_e$ en considérant $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $\lambda x \in e + T_e\mathbb{S}^n$. Ainsi, on appelle **projection gnomonique centrée en e** l'application $\psi_e : \Omega_e \mapsto T_e\mathbb{S}^n$ définie via l'expression suivante :

$$ \psi_e(x) = k_e(x)x - e \qquad (9.1.0.2) $$

avec $k_e(x) = \frac{1}{\langle e|x \rangle}$.

<footnote n="1">1. Voir début de la section 4.4 page 95</footnote>
On peut alors vérifier que la projection gnomonique $\psi_e$ est un difféomorphisme qui envoie les géodésiques de $\Omega_e$ sur les droites de l'espace euclidien ($T_eS^n, g_e$).

**Remarque 9.1.1.** A des fins calculatoires, il nous sera utile de noter que pour tout point $x \in \Omega_e$ et vecteur $\vec{v} \in T_xS^n$, la différentielle de la projection gnomonique centrée en e vérifie l'expression
$$d_x\psi_e \cdot \vec{v} = k_e(x)[\vec{v} - k_e(x)]\langle e|\vec{v}\rangle x].$$

Enfin, il nous sera nécessaire de considérer, relativement à un point de référence $e \in S^n$, l'hypersphère tangente centrée en e comme étant la partie $S_e^{n-1} = S[T_eS^n]$ sur l'espace tangent $T_eS^n$, ainsi que l'équateur centré en e correspondant à la partie $C_e = S^n \cap T_e$ sur l'hypersphère $S^n$, où $T_e$ est l'hyperplan orthogonal à la droite $\mathbb{R}e$ dans $\mathbb{R}^{n+1}$. Il nous faut donc noter qu'en pratique, il est clair que $S_e^{n-1} = C_e$, ce qui nous sera utile lorsque nous aborderons la question de la restriction du paramétrage d'un pseudo-hérisson sur la partie $K = x^{-1}(C_e)$ et qui correspond au problème du passage de l'équateur. (voir section 9.3 page 206 pour en savoir plus).

## 9.2 Généralités, problématiques et lemmes fondamentaux

Dans cette section, nous définissons la notion de pseudo-hérisson comme étant l'enveloppe d'une famille de g-hyperplans co-orientés et montrons que, via cette définition, nous sommes nécessairement confrontés à un problème que nous appelons "le problème du passage de l'équateur". Ainsi, nous donnerons quelques exemples de pseudo-hérissons, nous assurant de la pertinence de cette problématique, et considérerons des propriétés topologiques sur les pseudo-hérissons, nous permettant de potentiellement $^2$ solutionner le problème du passage de l'équateur.

### 9.2.1 Définition et première remarque sur les pseudo-hérissons

Nous considérons, sur la sphère $S^n$, les mêmes définitions que celles que nous avons introduites dans l'espace hyperbolique (voir les définitions 4.2.2, 4.3.6, 4.3.7 des pages respectives 84 et 91) pour les notions de g-hyperplan, de famille de g-hyperplans co-orientés et de fonction de support. On appelle donc **g-hyperplan** sur $S^n$ toute hypersurface totalement géodésique, qui correspond nécessairement à l'intersection d'un hyperplan vectoriel de $\mathbb{R}^{n+1}$ avec l'hypersphère $S^n$. Ainsi, relativement à un point de référence $e \in S^n$, on considère les deux définitions suivantes :

**Définition 9.2.1.** Une famille de g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in \Gamma}$ est dite **lisse** lorsqu'en tout vecteur $u_0 \in \Gamma$, il existe $N : \Omega \subset \Gamma \mapsto S^n$ une fonction lisse définie au voisinage de $u_0$ telle que :

$$ \Sigma_u = S^n \cap \langle N(u) \rangle^{\perp} \qquad (9.2.1.1) $$

pour tout $u \in \Omega$.

**Définition 9.2.2.** Nous appellerons **famille de g-hyperplans co-orientés en e** toute famille lisse de g-hyperplans orientés $(\Sigma_u, \nu_u)_{u \in S_e^{n-1}}$, indexée sur l'hypersphère $S_e^{n-1}$, telle que : Pour tout $u \in S_e^{n-1}$, la géodésique $\gamma_u$ passant par le point e à la vitesse u est orthogonale au g-hyperplan $\Sigma_u$ et vérifie que si $x_0 = \gamma(t_0) \in \gamma \cap \Sigma$, alors $\partial_t\gamma_u(t_0) = \nu_u(x_0)$.

Comme sur l'espace euclidien et sur l'espace hyperbolique, nous nous permettrons de noter $(\Sigma_u)_{u \in S_e^{n-1}}$ les familles de g-hyperplans co-orientés en e sans faire mention de l'orientation de

<footnote n="2">2. Nous faisons preuve de prudence du fait que, pour l'heure, la question du problème de passage de l'équateur reste encore ouverte et correspond aux conjectures 9.3.3 et 9.3.3. Néanmoins, il est clair que le lemme 9.2.2 page 205 constitue une bonne piste de travail, comme nous pouvons l'illustrer via le théorème 9.3.1 page 210.</footnote>
chaque g-hyperplan. En particulier, l'information de l'orientation est, par construction, déjà
contenue dans l'indexation de la famille de g-hyperplans.

**Définition 9.2.3.** $\text{Si } (\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ est une famille de g-hyperplans co-orientés en e, alors nous appellerons **fonction de support centrée en e** (ou simplement **fonction de support**), toute fonction **lisse** $h : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ vérifiant la condition ci-dessous :

$$
\gamma_u(h(u)) \in \Sigma_u \qquad (9.2.1.2)
$$

où $\nu_u$ est le champ orthonormal correspondant à l'orientation du g-hyperplan $\Sigma_u$ et $\gamma_u$ est la géodésique qui passe par le point $e$ à la vitesse $u$ en l'instant $t = 0$.

**Note.** Il est alors clair que sur l'hypersphère, la fonction de support d'une famille de g-hyperplans co-orientés n'est pas unique. En effet, si $h$ est une fonction de support, alors $h + 2k\pi$ l'est aussi, pour tout $k \in \mathbb{Z}^*$.

**Remarque 9.2.1.** Contrairement à ce que nous avons vu sur l'espace euclidien et sur l'espace hyperbolique, il est faux d'affirmer que toute famille de g-hyperplans co-orientés admet une fonction de support. Néanmoins, il nous sera toujours possible de la définir localement.

En effet, nous donnons ci-dessous l'exemple d'une famille de g-hyperplans co-orientés centrés en e qui n'admet pas de fonction de support (de manière globale). Considérons donc $k \in \mathbb{Z}^*$ un entier non nul et définissons la fonction $f : [-1; 1] \to \mathbb{R}$ via l'expression suivante :

$$
f(t) = 2k\pi\alpha \int_{0}^{t} e^{-\frac{1}{s^2} - \frac{1}{(s^2-1)^2}} ds \quad (9.2.1.3)
$$

où $\alpha$ est un facteur tel que $f(1) = 2k\pi$.

Il nous suffit donc de définir la famille de g-hyperplans $\Sigma_u = \exp_{x_0(u)} (\langle N(u) \rangle^\perp)$ dont les fonctions $x_0 : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{S}^n$ et $N : \mathbb{S}_e^{n-1} \to x_0^*T\mathbb{S}^n$ vérifient les expressions suivantes :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
x_0(u) = \gamma_{e,u} f(\langle u_0 | u \rangle) = \cos f(\langle u_0 | u \rangle) e + \sin f(\langle u_0 | u \rangle) u \\
N(u) = \varphi_{e,x_0(u)}(u) = \cos f(\langle u_0 | u \rangle) u - \sin f(\langle u_0 | u \rangle) e
\end{array}
\right.
\qquad (9.2.1.4)
$$

avec $u_0$ correspondant à un vecteur initial pris arbitrairement, ainsi que $\gamma_{e,u}: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{S}^n$ et $\varphi_{e,x_0(u)}: T_e\mathbb{S}^n \hookrightarrow T_{x_0(u)}\mathbb{S}^n$ étant respectivement la géodésique passant par le point $e$ à la vitesse $u$ et le transport parallèle de $e$ à $x_0(u)$ le long de la géodésique $\gamma_{e,u}$. Il est alors clair que la famille des g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$, ainsi définie, est co-orientée en $e$ mais n'admet pas de fonction de support. En particulier, toute fonction $h$ globalement définie pour la famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ et vérifiant la condition (9.2.1.2), n'est pas continue.

**Définition 9.2.4.** On appelle **pseudo-hérisson centré en e**, toute enveloppe paramétrée d'une famille de g-hyperplans co-orientés en e.

**Remarque 9.2.2.** *Considérons $\mathcal{H} \subset \mathbb{S}^n$ un pseudo-hérisson centré en e ainsi que, pour un vecteur $u_0 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, une fonction de support $h: \Omega \subset \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ qui est définie au voisinage de $u_0$. Nous pouvons alors définir, sur le voisinage $\Omega$, la fonction $x_0: \Omega \to \mathbb{S}^n$ ainsi que le champ de vecteurs $N: \Omega \to x_0^*TS^*N$ tels que :*

$$
x_0(u) = \cos h(u)e + \sin h(u)u \text{ et } N(u) = \cos h(u)u - \sin h(u)e \quad (9.2.1.5)
$$
Ainsi, il est alors immédiat qu'il existe un champ de vecteurs $\vec{G} : \Omega \mapsto x_0^*T\mathbb{S}^n$ pour lequel la restriction du paramétrage de $\mathcal{H}$ sur $\Omega$ vérifie l'expression suivante :

$$x(u) = \exp_{x_0(u)} (\vec{G}(u)) \qquad (9.2.1.6)$$

où, de plus, $\vec{G}(u)$ est orthogonal à $N(u)$.

**Note.** Il est clair que pour tout $u \in \Omega$, on a $x_0(u) = \gamma_{e,u}(h(u))$ et $N(u) = \varphi_{e,x_0(u)}(u)$, où $\gamma_{e,u}: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{S}^n$ est la géodésique passant par le point $e$ à la vitesse $u$ et $\varphi_{e,x_0(u)}: T_e\mathbb{S}^n \mapsto T_{x_0(u)}\mathbb{S}^n$ est le transport parallèle de $e$ à $x_0(u)$ le long de $\gamma_{e,u}$.

**Notation 9.2.1.** Nous noterons $G(u) = \|\vec{G}(u)\|$ la fonction continue qui correspond à la norme du champ de vecteurs $\vec{G}$ que nous avons précédemment défini via la relation (9.2.1.6).

**Propriété 9.2.1.** Soit $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$. Alors une application lisse $x: \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto \mathbb{S}^n$ correspond au paramétrage d'une enveloppe de la famille de g-hyperplans si et seulement si, au voisinage de tout point $u_0 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, on a :

$$\langle d_u x \cdot \vec{v} | N(u) \rangle = 0 \qquad (9.2.1.7)$$

où $N$ est le champ de vecteurs défini via la relation (9.2.1.5).

**Note.** Il est alors justifié d'appeler **condition de contact** la condition (9.2.1.7).

**Démonstration.** En remarquant que chaque g-hyperplan vérifie que $\Sigma_u = \mathbb{S}^n \cap \langle N(u) \rangle^{\perp}$, alors le résultat recherché est immédiat. $\square$

## 9.2.2 Exemples de g-hérissons passant par leur équateur et hypothèses de classement

Considérons $e \in \mathbb{S}^n$ un point de référence ainsi que la famille de g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ définie telle que $\Sigma_u = C_e$, pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$. Il est alors clair que c'est une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$ dont l'une des enveloppes paramétrées est définie via le paramétrage $x(u) = u$. Ainsi, on a que l'équateur $C_e$ est un pseudo-hérisson centré en $e$. Nous pouvons alors faire les trois remarques suivantes :

1. Nous n'avons pas unicité de l'enveloppe paramétrée pour la famille des g-hyperplans définis tels que $\Sigma_u = C_e$.

2. Le pseudo-hérisson $C_e$, est une hypersurface orientée pour laquelle toutes les courbures principales sont nulles. Il est donc immédiat que le pseudo-hérisson $C_e$ ne vérifie pas les caractéristiques qui sont nécessaires pour définir la notion de g-hérisson marginalement piégé.

3. L'hypersurface $C_e$ n'est pas un pseudo-hérisson pour des points de référence distincts de $e$ et $-e$. Ainsi, le pseudo-hérisson $C_e$ dépend fortement du choix du point de référence.

Par conséquent, il apparaît qu'il est nécessaire de classer les pseudo-hérissons de manière à pouvoir définir correctement la sous-catégorie qui nous permettra de justifier la définition de g-hérisson que nous considérerons au chapitre 10. Pour cela, nous allons considérer deux exemples de pseudo-hérissons, moins triviaux que celui que nous avons précédemment considéré, et qui nous permettront de formuler un ensemble d'hypothèses dont nous déduirons une méthode de classement. En particulier, notre intérêt va se porter sur le fait d'étudier les propriétés topologiques et géométriques des pseudo-hérissons passant par leur équateur (i.e. $\mathcal{H} \cap C_e \neq \emptyset$).
9.2.2.1 Exemple d'un pseudo-hérisson qui passe par son équateur et occupe les demi-sphères nord et sud

Pour le premier exemple, considérons $e \in \mathbb{S}^2$ un point de référence ainsi que l'application $u(t) = (\operatorname{Cos}(t), \operatorname{Sin}(t), 0) \in \mathbb{S}_e^1$ et le champ de vecteurs $\vec{e}_{\theta}(t) = (-\operatorname{Sin}(t), \operatorname{Cos}(t), 0)$. On peut alors définir le paramétrage de l'enveloppe d'une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$ sur la sphère $\mathbb{S}^2$ en considérant l'application $x : \mathbb{R} \to \mathbb{S}^2$ définie<fnref n="3" /> par l'expression ci-dessous :

$$x(t) = \exp_{x_0(t)}(G(t)\vec{e}_{\theta}(t)) \qquad (9.2.2.8)$$

avec $x_0(t) = \operatorname{Cos} h(t)e + \operatorname{Sin} h(t)u(t)$ et $G : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction lisse.

En se rapportant à la démonstration<fnref n="4" /> de la propriété 10.1.1 page 214 du chapitre 10, on peut vérifier que lorsque $\operatorname{Cos} h(t_0) \neq 0$, pour un instant $t_0$, alors, au voisinage de $t_0$, l'enveloppe de la famille de g-hyperplans est unique. En particulier, dans ce cas de figure, on a que la fonction $G$ vérifie l'expression suivante :

$$G(t) = \operatorname{ArcTan} V(t) \qquad (9.2.2.9)$$

$$\text{avec } V(t) = \frac{1}{\operatorname{Cos} h(t)} \partial_t h(t).$$

Par conséquent, on définit la famille de g-hyperplans $\Sigma_t$ dont la fonction de support est de la forme $h(t) = \tilde{h}(\operatorname{Sin}(t))$, où $\tilde{h}$ est la fonction définie telle que :

$$\tilde{h}(t) = \frac{\pi}{2} + \begin{cases} e^{-\frac{1}{(t-a)^2}} & \text{si } t > a \\ 0 & \text{si } t \in [-a; a] \\ -e^{-\frac{1}{(t+a)^2}} & \text{si } t < -a \end{cases} \qquad (9.2.2.10)$$

avec $0 < a < 1$.

Il nous faut donc construire un paramétrage $x : \mathbb{S}_e^1 \to \mathbb{S}^2$ vérifiant la condition de contact<fnref n="5" /> pour la famille de g-hyperplans $\Sigma_t$ que nous avons définie précédemment. Pour cela, remarquons que pour tout instant $t \in \mathbb{R}$ tel que :

$$\operatorname{Sin}(t) \in [-1; -a[ \cup ]a; 1], \qquad (9.2.2.11)$$

il nous suffit de considérer $G(t)$ défini via l'expression (9.2.2.9). Ainsi, on a que pour tout instant $t \in \mathbb{R}$ vérifiant la condition (9.2.2.11), le paramétrage $x$ est défini via la fonction $G$ tel que :

$$G(t) = \operatorname{ArcTan}(\operatorname{Cos}(t)\tilde{V}(\operatorname{Sin}(t))) \qquad (9.2.2.12)$$

<footnote n="3">3. Il est à noter que l'application que nous considérons via l'expression (9.2.2.8) correspond à une application définie sur $\mathbb{S}_e^1$ via le paramétrage $u$.</footnote>

<footnote n="4">4. Il s'agit de considérer la relation (10.1.0.5) page 214 dont il nous faut constater qu'elle reste vraie au voisinage de tout vecteur $u_0 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ tel que $\operatorname{Cos} h(u_0) \neq 0$, malgré le fait que la condition $\operatorname{Cos} h(u) \neq 0$ n'est pas toujours globalement vérifiée dans le cadre des pseudo-hérissons.</footnote>

<footnote n="5">5. Pour rappel, si $(\Sigma_u)_{u \in \Gamma}$ est une famille lisse de g-hyperplans telle que $\Sigma_u = \mathbb{S}^2 \cap \langle N(u) \rangle^\perp$, alors la condition de contact est $\langle d_u x \cdot \vec{v} | N(u) \rangle = 0$ et est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une application $x$ corresponde au paramétrage d'une enveloppe de la famille de g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in \Gamma}$.</footnote>
avec $\tilde{V}(t) = \frac{1}{\cos \tilde{h}(t)} \partial_t \tilde{h}(t)$.

À présent, considérons l'application $V(t) = \cos(t)\tilde{V}(\sin(t))$. Alors, en se restreignant sur l'ensemble des instants $t \in \mathbb{R}$ vérifiant la condition (9.2.2.11) et tels que $\cos(t) > 0$, on obtient que la fonction $G$ vérifie les deux relations suivantes :

1. Lorsque pour un instant $t$ on a que $\sin(t) > a$ et est suffisamment proche de $a$, alors $V(t) \sim -\frac{2\sqrt{1-a^2}}{(\sin(t)-a)^3} < 0$ et ainsi, la fonction $G$ vérifie la relation suivante :

$$G(t) = \operatorname{ArcTan} V(t) \sim -\frac{\pi}{2} - \operatorname{ArcTan} \left( k(\sin(t) - a)^3 \right) \quad (9.2.2.13)$$

avec $k = -\frac{1}{2\sqrt{1-a^2}}$.

2. Lorsque pour un instant $t$ on a que $\sin(t) < -a$ et est suffisamment proche de $-a$, alors $V(t) \sim -\frac{2\sqrt{1-a^2}}{(\sin(t)-a)^3} > 0$ et ainsi, la fonction $G$ vérifie la relation suivante :

$$G(t) = \operatorname{ArcTan} V(t) \sim \frac{\pi}{2} - \operatorname{ArcTan} \left( k(\sin(t) + a)^3 \right) \quad (9.2.2.14)$$

Nous pouvons aussi reconsidérer le même exercice dans le cas où $\cos(t) < 0$ et alors il nous suffit de remarquer que l'on obtient symétriquement le même résultat. Pour finir, nous devons prolonger la fonction $G$ sur la partie correspondant aux instants $t \in \mathbb{R}$ tels que $\sin(t) \in [-a, a]$. Pour cela, considérons la fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que :

$$f(t) = \kappa \int_{0}^{\sin(t)} e^{-\frac{1}{s^2} - \frac{1}{(s^2-a^2)^2}} ds \quad (9.2.2.15)$$

où $\kappa$ est la fonction de normalisation telle que $f(t) = 1$ lorsque $\sin(t)^2 = a^2$. Il nous est donc possible de choisir 6 de prolonger la fonction $G$ sur tout $\mathbb{R}$ tel que :

$$G(t) = \begin{cases} \operatorname{ArcTan} V(t) & \text{si } t > a \text{ ou } t < -a \\ f(t) \left(-\frac{\pi}{2} - \operatorname{ArcTan} \left(k(\sin(t) - a)^3\right)\right) & \text{si } t \in [0; a] \\ f(t) \left(\frac{\pi}{2} - \operatorname{ArcTan} \left(k(\sin(t) + a)^3\right)\right) & \text{si } t \in [-a; 0] \end{cases} \quad (9.2.2.16)$$

Ainsi, en considérant le paramétrage $x(t) = \exp_{x_0(t)} (G(t)\tilde{e}_{\theta}(t))$, on obtient un pseudo-hérisson qui passe par son équateur $C_e$ et occupe les deux demi-sphères $\Omega_e$ et $\Omega_{-e}$. En particulier, nous pouvons représenter ce pseudo-hérisson comme ci-dessous :

<footnote n="6">6. Nous devons préciser que sur l'ensemble des instants tels que $\cos h(t) \neq 0$, le paramétrage $x$ est unique du fait que la fonction $G$ est définie via la relation (9.2.2.9). Mais ce n'est plus le cas lorsque l'on se place sur la partie correspondant aux instants $t$ tels que $\cos h(t) = 0$. En particulier, il existe donc plusieurs manières de prolonger la fonction $G$ sur cette partie et ainsi, il existe plusieurs enveloppes pour la famille de g-hyperplans que nous avons précédemment considérée.</footnote>
<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>FIGURE 9.1 – Représentation d'un pseudo-hérisson qui passe par l'équateur et occupe les deux demi-sphères nord et sud.</figcaption></figure>

Considérons donc la partie $K = \{u \in \mathbb{S}_e^1 \text{ tel que } \cos h(u) = 0\}$, alors il nous faut constater que la restriction du paramétrage $x$ sur l'intérieur de $K$ correspond à une hypersurface comprise sur l'équateur $C_e$ et qui est donc de courbure de Gauss nulle. En particulier, de ce qui précède, on sait que le pseudo-hérisson ainsi défini ne vérifie pas les conditions que nous recherchons.

### 9.2.2.2 Exemple de pseudo-hérisson qui passe par son équateur sans annuler ses courbures principales

En se reposant sur la remarque 9.2.4 page 200, on peut produire un exemple de pseudo-hérisson dont la courbure de Gauss est non nulle partout où elle existe et qui passe par son équateur. Pour cela, on commence par considérer la fonction lisse $f : ]0; 1[ \mapsto ]0; 1[$ définie via l'expression suivante :

$$f(t) = e^{1-\frac{1}{t^2}} g(t) \qquad (9.2.2.17)$$

avec $g(t) = 1 - \frac{1}{2}t^N$ pour $N$ assez grand (nous choisirons $N = 20$ afin de définir la figure 9.2 ci-dessous). Ainsi, en choisissant $u_0 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ comme vecteur de référence, on définit la famille de g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ correspondant à la fonction de support qui vérifie l'expression suivante :

$$h(u) = \begin{cases} \frac{\pi}{2} - f(\langle u_0|u \rangle) & \text{si } \langle u_0|u \rangle \in ]0; 1] \\ \frac{\pi}{2} & \text{sinon} \end{cases} \qquad (9.2.2.18)$$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$.

Par conséquent, on sait que sur l'ensemble des vecteurs $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ vérifiant la condition $\langle u|u_0 \rangle > 0$, alors la famille de g-hyperplans admet une unique enveloppe dont le paramétrage est défini via l'expression (10.1.0.3) page 214. Considérons donc la partie :

$$K = h^{-1}\left(\frac{\pi}{2}\right) = \{u \in \mathbb{S}_e^{n-1} \text{ tel que } \langle u|u_0 \rangle \le 0\},$$

qui est alors une partie fermée dont le bord est une hypersurface orientée sur $\mathbb{S}_e^{n-1}$ et de normale sortante $u_0$. Ainsi, par la remarque 9.2.4, on sait qu'il nous suffit de prolonger sur la partie $K$
le paramétrage que nous avons précédemment considéré tel que $x(u) = u_0$, pour tout $u \in K$. Alors, par construction de la fonction de support, on obtient bien une enveloppe paramétrée de la famille de g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$. Il nous faut donc noter que sur $\mathbb{S}_e^{n-1} \setminus K$, on sait que la courbure de Gauss, partout où elle existe, est non-nulle. Aussi sur $K$, le paramétrage étant constant, alors la courbure de Gauss ainsi que les courbures principales ne peuvent être déterminées via le paramétrage centré en $e$.

<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>FIGURE 9.2 – Pseudo-hérisson de $\mathbb{S}^2$ qui touche son équateur $C_e$ et dont la courbure de Gauss, partout où elle existe, n'est jamais nulle.</figcaption></figure>

Il est clair que le pseudo-hérisson $\mathcal{H}$ correspondant à l'enveloppe de la famille de g-hyperplans que nous avons définie via la fonction de support (9.2.2.18), vérifie que l'intersection $\mathcal{H} \cap C_e$ est un singleton. À présent, considérons le point $x_0 \in \mathcal{H} \cap C_e$ ainsi que $\gamma \subset \mathbb{S}^n$ l'unique géodésique qui contient les points $e$ et $x_0$. Considérons donc un second point de référence $v_0 \in \gamma \cap \Omega_e$. Alors, en supposant le point $v_0$ suffisamment proche du point $e$, nous pouvons définir la fonction de réindexation<fnref n="7" /> :

$$ \phi : \mathbb{S}_e^{n-1} \setminus K \mapsto \mathbb{S}_{v_0}^{n-1} \setminus \{\tilde{u}_0\} \qquad (9.2.2.19) $$

où $\tilde{u}_0 \in \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$ est l'unique vecteur pour lequel la géodésique $\gamma_{v_0, \tilde{u}_0}$, qui passe par le point $v_0$ à la vitesse $\tilde{u}_0$, coïncide avec la géodésique $\gamma$ et vérifie que $\partial_{t_0}\gamma_{v_0, \tilde{u}_0}(t_0) = -e$, avec $t_0$ étant l'instant tel que $\gamma_{v_0, \tilde{u}_0}(t_0) = x_0$. Par conséquent, en supposant $v_0$ suffisamment proche de $e$, alors nous pouvons vérifier que $\phi$ est un difféomorphisme et donc on définit la famille de g-hyperplans $(\Gamma_u)_{u \in \mathbb{S}_{v_0}^{n-1} \setminus \{\tilde{u}_0\}}$ telle que $\Gamma_u = \Sigma_{\phi^{-1}(u)}$. Ainsi, en complétant cette famille par le g-hyperplan $\Gamma_{\tilde{u}_0} = C_e$, alors par construction de la fonction de support $h$, il est clair que la famille de g-hyperplans $(\Gamma_u)_{u \in \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}}$ est lisse et est donc une famille de g-hyperplans co-orientés en $v_0$. On obtient donc que le pseudo-hérisson $\mathcal{H}$ centré en $e$ est aussi un g-hérisson<fnref n="8" /> centré en $v_0$ et en particulier, vérifie que sa courbure de Gauss est non nulle partout où elle existe.

### 9.2.2.3 Hypothèse sur les pseudo-hérissons qui passent par leur équateur

À partir des trois exemples que nous avons considérés, il est clair que nous devons classer les pseudo-hérissons en nous reposant sur les propriétés associées au passage de l'équateur. Pour cela, commençons par définir quelques éléments de vocabulaire :

* Si $e \in \mathbb{S}^n$ est un point de référence, alors on appelle **demi-sphère nord** et **demi-sphère sud** les demi-sphères $\Omega_e$ et $\Omega_{-e}$.

<footnote n="7">7. Voir la définition 10.2.1 et la propriété 10.2.2 page 215 pour en savoir plus.</footnote>

<footnote n="8">8. Un g-hérisson est un pseudo-hérisson contenu dans sa demi-sphère nord. L'intérêt de cette définition est que nous retrouvons une notion de hérisson qui vérifie (à quelques détails près) les mêmes propriétés que les g-hérissons de l'espace hyperbolique. Voir la section 10.1 page 213 du chapitre 10 pour en savoir plus.</footnote>
* Si $\mathcal{H} \subset \mathbb{S}^n$ est un pseudo-hérisson centré en $e$, alors on dira que le pseudo-hérisson $\mathcal{H}$ **passe par son équateur** lorsque l'intersection $C_e \cap \mathcal{H}$ est non vide. De plus, nous dirons que le pseudo-hérisson **passe par son équateur en un seul point** lorsque $C_e \cap \mathcal{H}$ est un singleton.

Par conséquent, en nous basant sur les exemples que nous avons définis, il est justifié de considérer les trois hypothèses ci-dessous qui seront au centre des motivations du reste de ce chapitre.

1. Tout pseudo-hérisson qui passe par son équateur et occupe les demi-sphères nord et sud, est localement une hypersurface orientée dont la courbure de Gauss est nulle.

2. Tout pseudo-hérisson qui passe par son équateur en plus d'un point, est localement une hypersurface orientée dont la courbure de Gauss est nulle.

3. Tout pseudo-hérisson centré en $e$ qui passe par son équateur en un seul point est un g-hérisson centré en $v_0$, où $v_0$ est un second point de référence proche de $e$.

### 9.2.3 Lemme des points de l'équateur

Considérons $\mathcal{H} \subset \mathbb{S}^n$ un pseudo-hérisson centré en $e$. Dans cette section, nous étudions les propriétés topologiques et géométriques de la partie $K = x^{-1}(\mathcal{H} \cap C_e)$, où $x$ est le paramétrage du pseudo-hérisson.

**Propriété 9.2.2.** *Considérons $f : I \mapsto \mathbb{R}$ une application lisse définie sur un intervalle ouvert centré en $t=0$ et vérifiant les deux points suivants :*

$$f(0) = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \text{ (resp. } f(0) = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\text{), avec } k \in \mathbb{Z}, \text{ et } \operatorname{Cos} f(t) \neq 0 \quad (9.2.3.20)$$

pour tout $t \in I \setminus \{0\}$.

Si $\tilde{V} : I \setminus \{0\} \mapsto \mathbb{R}$ est la fonction lisse définie via l'expression $\tilde{V}(t) = \frac{\partial_t f(t)}{\operatorname{Cos} f(t)}$, alors il existe $(t_n^-)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(t_n^+)_{n \in \mathbb{N}}$, deux suites définies respectivement sur $\mathbb{R}_-$ et $\mathbb{R}_+$, qui tendent vers $t=0$ et telles que :

$$\tilde{V}(t_n^-) \xrightarrow{+\infty} \text{et } \tilde{V}(t_n^+) \xrightarrow{-\infty} \quad (9.2.3.21)$$

et inversement respectif<fnref n="9" />.

**Démonstration.** En effet, considérons l'application lisse $g : I \mapsto \mathbb{R}$ telle que $f(t) = \frac{\pi}{2} + g(t)$ et alors, pour $t \in I \setminus \{0\}$ proche de $t=0$, on a que :

$$\frac{\partial_t f(t)}{\operatorname{Cos} f(t)} = -\frac{\partial_t g(t)}{\operatorname{Sin} g(t)} \sim 0 \quad -\frac{\partial_t g(t)}{g(t)} = -\partial_t [\ln|g(t)|]$$

et ainsi, il nous suffit de remarquer que $\ln|g(t)| \to -\infty$ lorsque $t \to 0$. $\square$

<footnote n="9">9. En effet, dans le cas de figure où $f(0) = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, avec $k \in \mathbb{Z}$, il existe $(t_n^-)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(t_n^+)_{n \in \mathbb{N}}$, deux suites qui convergent à gauche et à droite vers l'instant $t=0$ et vérifiant que les suites $\tilde{V}(t_n^-)$ et $\tilde{V}(t_n^+)$ convergent respectivement vers $-\infty$ et $+\infty$.</footnote>