# CORPS DE NOMBRES D'INDICE DIVISIBLE PAR UN ENTIER DONNÉ, DANS FACTEUR CARRÉ

DENIS HÉMARD

Univ. de Valenciennes et du Hainaut Cambrésis,
France

## Abstract

If $K$ is a number field, $O_K$ its ring of integers and $\alpha \in O_K$ such that $K = \mathbb{Q}(\alpha)$, the index of $\alpha$ is the index of abelian groups $\text{ind}\alpha = (O_K : \mathbb{Z}[\alpha]) \in \mathbb{N}$ and the index $i(K)$ of $K$ is the gcd of these $\text{ind}\alpha$. We show a way to construct via Hilbert class fields of quadratic number fields, for any integer $n$ without square factor, an infinite family of number fields $K$ with $i(K)$ divisible by $n$.
## Introduction

Le paragraphe 1 présente une variante de l'interprétation habituelle de la notion d'indice, qui permet une démonstration simplifiée d'un théorème de Dedekind et d'un de ses corollaires (corollaire 2) (on pourra consulter [N] ou [H] pour une autre présentation).

Le paragraphe 2 se base sur ce corollaire pour construire des corps de nombres d'indice divisible par un entier donné sans facteur carré. On les obtient comme sous-corps (laissés fixes par certains sous-groupes de Galois) de corps de classes de Hilbert de certaines extensions quadratiques de $\mathbb{Q}$. Et un résultat de Yamamoto [Y] nous assure l'existence d'une infinité de telles extensions quadratiques.

Le fait qu'il y ait une infinité de corps de nombres d'indice divisible par un entier donné sans facteur carré était déjà connu de M. Bauer en 1907 ([B]). Sa méthode basée sur les polygones de Newton et le corollaire déjà cité, fournit des polynômes irréductibles définissant de telles extensions. Il nous a semblé utile d'en rappeler le principe dans un appendice. (Voir également, pour d'autres résultats sur l'indice, les références données dans [N] p198)

# 1. Le théorème de Dedekind

Soient $K$ un corps de nombre de degré $n$ sur $\mathbb{Q}$, $O_K$ son anneau d'entiers et $\alpha \in O_K$ tel que $K = \mathbb{Q}(\alpha) (\simeq \mathbb{Q}^{[K]}_{(P)}$ où $P = \text{Irr}(\alpha, \mathbb{Q}) \in \mathbb{Z}[X]$ est le polynôme minimal de $\alpha$ sur $\mathbb{Q}$). On sait que $O_K$ est un $\mathbb{Z}$-module libre de rang $n$ et $\mathbb{Z}[\alpha] \simeq \mathbb{Z}^{[K]}_{(P)}$ un sous $\mathbb{Z}$-module libre de même rang ; d'où la notion d'indice :
$$ \text{ind} \alpha = |\mathbb{Z}^{\alpha}| = (O_K : \mathbb{Z}[\alpha]) = \prod_{i=1}^r m_i \text{ où } m_i|m_{r-1}|\dots|m_1 \text{ sont les facteurs invariants } (\neq 1) \text{ du sous } \mathbb{Z}-module } \mathbb{Z} \text{ de } O_K. $$

## Définition :

On appelle indice de $K/\mathbb{Q}$ l'entier $i(K) = \text{pgcd}\{\text{ind}\alpha; \alpha \in O_K, \mathbb{Q}(\alpha) = K\}$.
**Remarque :**

En choisissant une $\mathbf{Z}$-base $(e_1, \dots, e_n)$ de $\mathcal{O}_K$ de telle sorte que $(m_1e_1, \dots, m_ne_n)$ soit une $\mathbf{Z}$-base de $\mathbf{Z}[\alpha]$ (avec $m_{r+1} = \cdots = m_n = 1$), on voit que les discriminants vérifient l'égalité :

$$(\mathrm{ind}\alpha)^2 \mathrm{disc}(\mathcal{O}_K/\mathbf{Z}) = \mathrm{disc}(\mathbf{Z}[\alpha]/\mathbf{Z}).$$

D'où le fait que les diviseurs de l'indice $i(K)$ soient généralement désignés en allemand, par "außerwesentliche Diskriminantenteiler" et en anglais, par "(common) inessential discriminantal divisor" (ils visent tous les $\mathrm{disc}(\mathbf{Z}[\alpha]/\mathbf{Z})$ sans nécessairement diviser $\mathrm{disc}(\mathcal{O}_K/\mathbf{Z})$).

Après tensorisation par $\mathbf{F}_p = \mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ ($p$ premier $\in \mathbb{N}$), l'isomorphisme $\frac{\mathbf{Z}^{[X]}}{(P)} \simeq \mathbf{Z}[\alpha]$ et l'injection canonique $\mathbf{Z}[\alpha] \hookrightarrow \mathcal{O}_K$ fournissent les morphismes

$$\frac{\mathbf{F}_p[X]}{(\bar{P})} \simeq \frac{\mathbf{Z}[\alpha]}{p\mathbf{Z}[\alpha]} \xrightarrow{\varphi_\alpha} \frac{\mathcal{O}_K}{p\mathcal{O}_K}$$

de $\mathbf{F}_p$-algèbres de même $\mathbf{F}_p$-dimension $n$ (où $\bar{P} = \text{image de } P$ dans $\mathbf{F}_p[X]$).

**Lemme :**

a) $p \nmid \mathrm{ind}\alpha \Leftrightarrow \varphi_\alpha$ est un isomorphisme.

b) $p \nmid i(K) \Leftrightarrow \frac{\mathcal{O}_K}{p\mathcal{O}_K}$ est une $\mathbf{F}_p$-algèbre monogène.

**Démonstration :**

a) $p \nmid \mathrm{ind}\alpha \Leftrightarrow \frac{\mathcal{O}_K}{\mathbf{Z}[\alpha]} \otimes \mathbf{F}_p = 0 \Leftrightarrow \varphi_\alpha$ surjectif

$\Leftrightarrow \varphi_\alpha$ isomorphisme (par égalité des $\mathbf{F}_p$-dimensions)

b) $p \nmid i(K) \Leftrightarrow \exists \alpha \in \mathcal{O}_K, \mathbf{Q}(\alpha) = K$ et $\varphi_\alpha$ isomorphisme (par a))

$\Leftrightarrow \mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K \mathbf{F}_p$-algèbre monogène (engendrée par $\alpha \mod p\mathcal{O}_K$).

(Pour le sens $\Leftarrow$, on remarque que si les $n$ premières puissances de $\alpha$ sont $\mathbf{F}_p$-linéairement indépendantes modulo $p\mathcal{O}_K$, on a $\deg(\mathrm{Irr}(\alpha, \mathbf{Q})) = n$ et donc $\mathbf{Q}(\alpha) = K$).

**Corollaire 1 (Théorème de Dedekind) :**

Si $p \nmid \mathrm{ind}\alpha$, soit $\bar{P} = \prod_{i=1}^s \bar{Q}_i^{r_i}$ la décomposition en irréductibles unitaires de l'image $\bar{P}$ de $P = \mathrm{Irr}(\alpha, \mathbf{Q})$ dans $\mathbf{F}_p[X]$ (et les $Q_i$ unitaires, antécédents de $\bar{Q}_i$ dans $\mathbf{Z}[X]$) ; alors
a) les idéaux de $\mathcal{O}_K$, $p_i = (p, Q_i(\alpha))$, sont les idéaux premiers de $\mathcal{O}_K$ au dessus de $p$ ; il y en a donc $s$.

b) $\deg Q_i = f(p_i/p)$ (le degré résiduel)

c) $r_i = ep_i/p$ (l'indice de ramification) pour tout $i \in \{1, \dots, s\}$.

(En particulier, si $p \nmid i(K)$, la décomposition de $p$ dans $\mathcal{O}_K$ est complètement déterminée par la connaissance d'un $\alpha$ tel que $p \nmid \text{ind}\alpha$.)

**Démonstration :**

Par hypothèse, l'application

$$ \frac{\mathbf{F}_p[X]}{(\bar{P})} \longrightarrow \frac{\mathcal{O}_K}{p\mathcal{O}_K} \\ \bar{Q}\operatorname{mod}(\bar{P}) \longmapsto Q(\alpha) \operatorname{modp}\mathcal{O}_K $$

(indépendante du choix de l'antécedent $Q \in \mathbb{Z}[X]$, de $\bar{Q}$)

est un isomorphisme de $\mathbf{F}_p$-algèbres.

On en déduit une correspondance bijective entre idéaux premiers de $\mathbf{F}_p[X]$ contenant $\bar{P}$ et idéaux premiers de $\mathcal{O}_K$ contenant $p$ ; d'où a) puisque les idéaux premiers de $\mathbf{F}_p[X]$ contenant $\bar{P}$ sont les $(\bar{Q}_i)$, $i = 1, \dots, s$. b) s'en déduit car

$$ \deg \bar{Q}_i = \dim \frac{\mathbf{F}_p[X]/(\bar{P})}{(\bar{Q}_i)/(\bar{P})} = \dim \frac{\mathcal{O}_K/p\mathcal{O}_K}{(Q_i(\alpha), p)/p\mathcal{O}_K} = f(p_i/p) $$

ainsi que c), car dans $\frac{\mathbf{F}_p[X]}{(\bar{P})}$, il y a exactement $r_i + 1$ puissances distinctes de l'idéal engendré par $\bar{Q}_i \mod(\bar{P})$ (correspondant aux exposants $0, 1, \dots, r_i$). $\blacksquare$

**Corollaire 2 :**

Soit $p\mathcal{O}_K = p_1^{e_1} \dots p_s^{e_s}$ la décomposition dans $\mathcal{O}_K$ d'un $p$ premier $\in \mathbb{N}$ et $f_i = f(p_i/p)$, pour $i = 1, \dots, s$ ; alors

$$ p \nmid i(K) \Leftrightarrow \exists P_1, \dots, P_s \in \mathbf{F}_p[X], \text{ irréductibles, unitaires, distincts, de degré } f_1, \dots, f_s \text{ respectivement.} $$
Démonstration :

⇒) : ∃α ∈ O_K, p†indα ; on applique alors le corollaire 1.

⇔) : Comme extensions (de corps) de même degré sur F_p, on a des isomorphismes de F_p-algèbres :

$$
\frac{\mathcal{O}_K}{p_i} \approx \frac{\mathbf{F}_p[X]}{(P_i)} \quad \forall i = 1, \dots, s.
$$

Par un petit lemme (démontré ci-dessous), on en déduit des isomor-
phismes de F_p-algèbres :

$$
\frac{\mathcal{O}_K}{p_i^{e_i}} \approx \frac{\mathbf{F}_p[X]}{(P_i^{e_i})} \quad \forall i = 1, \dots, s.
$$

Par application du théorème chinois, il en résulte des isomorphismes
de $\mathbf{F}_p$-algèbres :

$$
\frac{\mathbf{F}_p[X]}{(P_1^{e_1} \dots P_s^{e_s})} \approx \prod_{i=1}^{s} \frac{\mathbf{F}_p[X]}{(P_i^{e_i})} \approx \prod_{i=1}^{s} \frac{\mathcal{O}_K}{p_i^{e_i}} \approx \frac{\mathcal{O}_K}{p \mathcal{O}_K}.
$$

En particulier $\frac{\mathcal{O}_K}{p\mathcal{O}_K}$ est une $\mathbf{F}_p$-algèbre monogène et donc $p\nmid i(K)$. $\diamond$ ■

Démonstration du lemme utilisé :

$$
\frac{\mathbf{F}_p[X]}{(P)} \approx \frac{\mathcal{O}_K}{p} \Rightarrow \frac{\mathbf{F}_p[X]}{(P^r)} \approx \frac{\mathcal{O}_K}{p^r} \quad \forall r = 1, \dots, e
$$

(on a omis les indices i).

Soit R un relèvement unitaire de P, dans Z [X] ; on peut choisir α ∈
O_K tel que R(α) ∈ p\p². Alors Pr−¹(α mod p²) = Rr−¹(α) mod p² ≠ 0.
Par conséquent, l'homomorphisme de F_p[X] dans O_K/p² qui envoie X
sur α mod p² est de noyau (P²) et induit donc l'isomorphisme cherché,
par égalité des F_p-dimensions (égalité qu'on peut vérifier par une
récurrence et un "dévissage" après avoir localisé O_K/p² en p, ce qui
ne change rien à ce quotient mais permet de supposer O_K principal).
**Remarque :**

On utilisera ce corollaire sous la forme contraposée équivalente (avec les notations supplémentaires $r(f_i) = \#\{p_i|p, f(p_i/p) = f_i\}$ et $g(f_i) = \#\{P \in \mathbb{F}_p[X], \text{unitaires, irréductibles et de degré } f_i\}$):

$$p|i(K) \Leftrightarrow \exists i \in \{1, \dots, s\} \quad r(f_i) > g(f_i)$$

## 2. Corps de nombres d'indice divisible par un entier donné sans facteur carré

Soit $k$ une extension galoisienne finie de $\mathbb{Q}$ et $H$ l'extension abélienne de $k$ partout non ramifiée, de degré impair, maximale (dans une clôture algébrique de $\mathbb{Q}$). On notera $\Gamma = \text{Gal}(H/k)$ d'ordre $|\Gamma| = m$ (impair) et $Cl'_k = Cl_k/Cl_k(2)$ le quotient du groupe des classes d'idéaux de $k$ par sa partie 2-primaire.

Par maximalité $H/\mathbb{Q}$ est galoisienne et le corps de classes fournit un isomorphisme de $\text{Gal}(k/\mathbb{Q})$-modules $Cl'_k \simeq \Gamma$ (qui à la classe $\bar{p}$ d'un idéal premier $p$ associe son Frobenius Frob $p$ dans $\Gamma$).

Prenons pour $k$ une extension quadratique de $\mathbb{Q}$. Alors les 2-Sylow de $\text{Gal}(H/\mathbb{Q})$ sont d'ordre 2 et n'importe quel élément $\sigma$ d'ordre 2 dans $\text{Gal}(H/\mathbb{Q})$ est un relèvement du générateur $\tau$ de $\text{Gal}(k/\mathbb{Q})$. En particulier $\text{Gal}(H/\mathbb{Q}) = \Gamma \times \text{Gal}(k/\mathbb{Q})$. Soit $K = H^{<\sigma>} \text{ le corps laissé fixe ; alors :}$

**Proposition :**

Avec ces notations, pour $p$ premier $\in \mathbb{N}$ et $m$ la partie impaire du nombre de classes de $k$, on a $p|i(K)$ dans les cas suivants :

a) $p$ ramifié dans $k/\mathbb{Q}$ et $m > 2p - 1$.

b) $p$ inerte dans $k/\mathbb{Q}$ et $m > p^2 - p + 1$.

**Démonstration :**

Comme $\tau$ opère par inversion sur $Cl_k$ et $Cl'_k$ (en particulier toute sous-extension de $H/k$ reste galoisienne sur $\mathbb{Q}$), on a

$$\gamma\sigma\gamma\sigma = \gamma\gamma^{-1} = 1 \quad \forall \gamma \in \Gamma.$$
Par conséquent, il y a *m* éléments d'ordre 2 et donc *m* 2-Sylow dans Gal(*H*/Q), lesquels sont conjugés par les théorèmes de Sylow ; ce sont donc les $^{γ}<σ>$, $γ ∈ Γ$ (où $^{γ}σ = γσγ^{-1}$).

Si $p$ ramifié dans $k/Q$: $pO_k = p^2 \Rightarrow \bar{p} = 1$ dans $Cl'_k \Rightarrow$ Frob $p = 1$ dans $\Gamma \Rightarrow pO_H = B_1...B_m = \prod_{\gamma \in \Gamma} \gamma(B)$ totalement décomposé.

Le groupe d'inertie sur $\mathbb{Q}$ de $\mathcal{B} = \mathcal{B}_1$ est de la forme $T_{\mathcal{B}} = \langle \sigma \rangle$ d'ordre 2. Ses conjugués sont les $^{\gamma}T_{\mathcal{B}} = T_{\gamma(\mathcal{B})}$ ; ils sont tous distincts : ce sont les *m* 2-Sylow de Gal($H/\mathbb{Q}$). Donc si $K = H^{<\sigma>}$ est le corps laissé fixe par $\sigma$, on a :

$$
\operatorname{Gal}(H/K) = T_{\mathcal{B}} \Rightarrow \mathcal{B}^2 = \wp_1 \mathcal{O}_H \text{ pour un } \wp_1|p \text{ dans } \mathcal{O}_K
$$

et pour $2 \le i \le m$,

$$
T_{\mathcal{B}_i} \cap T_{\mathcal{B}} = \{1\} \Rightarrow \exists j \neq i \text{ et } \wp_i|p \text{ dans } \mathcal{O}_K, \mathcal{B}_{i\mathcal{B}j} = \wp_i \mathcal{O}_H
$$

(on numérotera les $\mathcal{B}_i$, $2 \le i \le m$, de sorte que les $\frac{m-1}{2}$ premiers s'associent aux $\frac{m-1}{2}$ derniers).

D'où

$$
p\mathcal{O}_K = \wp_1 \wp_2^2 \dots \wp_{\frac{m+1}{2}}^2.
$$

Il y a donc $\frac{m+1}{2}$ idéaux premiers de $\mathcal{O}_K$ au-dessus de $p$, dont les degrés résiduels sont tous égaux à 1.

Il suffit donc que $\frac{m+1}{2} > p$ c'est à dire $m > 2p - 1$ pour que $p|i(K)$ par le corollaire 2 de §1.

Si $p$ inerte dans $k/Q$: $pO_k = p$ ; on a comme précédemment

$$
p\mathcal{O}_H = \mathcal{B}_1 \dots \mathcal{B}_m = \prod_{\gamma \in \Gamma} \gamma(\mathcal{B}).
$$

Le groupe de décomposition sur $\mathbb{Q}$ de $\mathcal{B} = \mathcal{B}_1$ est de la forme $D_{\mathcal{B}} = \langle \sigma \rangle$ d'ordre 2, distincts des autres $D_{\mathcal{B}_i}$ qui lui sont conjugués.

$$
K = H^{<\sigma>} \Rightarrow \operatorname{Gal}(H/K) = D_{\mathcal{B}} \Rightarrow \exists \wp_1 | p \text{ dans } \mathcal{O}_K \\
\qquad \wp_1 \mathcal{O}_K = \mathcal{B}
$$

et pour $2 \le i \le m$,

$$
D_{\mathcal{B}_i} \cap D_{\mathcal{B}} = \{1\} \implies \exists j \neq i \text{ et } \wp_1|p \text{ dans } \mathcal{O}_K, \mathcal{B}_{i\mathcal{B}j} = \wp_1 \mathcal{O}_H.
$$

D'où

$$
p\mathcal{O}_K = \wp_1 \wp_2 \dots \wp_{\frac{m+1}{2}}
$$

avec $f(\wp_1/p) = 1$, $f(\wp_1/p) = 2 \quad \forall i = 2, \dots, \frac{m+1}{2}.$
Comme le nombre de polynômes irréductibles unitaires et de degré 2 sur $\mathbf{F}_p$ est $\frac{p^2-p}{2}$, il suffit donc que $\frac{m-1}{2} > \frac{p^2-p}{2}$ c'est à dire $m > p^2 - p + 1$ pour que $p|i(K)$ par le corollaire 2 de §1. ■

**Remarque :**

$H$ est la clôture galoisienne de $K$ et $k$ est l'unique extension quadra-tique de $\mathbf{Q}$, contenue dans $H$ (car $4 \nmid |\mathrm{Gal}(H/\mathbf{Q})|$). Deux extensions quadratiques distinctes de $\mathbf{Q}$ ne peuvent donc fournir la même exten-sion $K$.

**Corollaire :**

Pour un entier $n = p_1 \dots p_r$ sans facteur carré, il y a une infinité de corps de nombres d'indice divisible par $n$.

**Démonstration :**

Par un résultat de Yamamoto ([Y], théorèmes 1 et 2), pour des entiers premiers $q_1, \dots, q_u$ et $q'_1, \dots, q'_v$ et un entier $t$, fixés, il existe une infinité d'extensions quadratiques $k/\mathbf{Q}$ dans lesquelles les $q_i$ sont ramifiés, les $q'_i$ inertes et telles que $t|Cl_k$. Ceci s'applique de plusieurs façons ici : il suffit de décomposer $\{p_1, \dots, p_r\} = S_1 \cup S_2$ en deux sous-ensembles disjoints (l'un d'entre eux pouvant être vide), et de choisir $t$ impair $> \sup(2s_1 - 1, s_2^2 - s_2 + 1)$ où $s_1 = \sup S_1$ et $s_2 = \sup S_2$. Il y a alors une infinité de $k/\mathbf{Q}$ quadratiques dans lesquelles les $p$ de $S_1$ se ramifient et ceux de $S_2$ restent inertes et telles que $t|m = |Cl'_k|$. D'où par la proposition, une infinité de $K$ avec $p_1, \dots, p_r$ divisant $i(K)$, c'est à dire $n|i(K)$.

**Appendice :**

La méthode de M. Bauer par le polygone de Newton.

On se donne un entier premier $p$ et un polynôme unitaire

$$P = X^n + c_1 X^{n-1} + \dots + c_{n-1} X + c_n \in \mathbb{Z}[X]$$

de racines $\omega = \omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n$ (non nécessairement distinctes) dans une clôture algébrique de $\mathbf{Q}$. D'où l'extension de corps

$$K = \mathbf{Q}(\omega_1, \dots, \omega_n) \supset k = \mathbf{Q}(\omega) \supset \mathbf{Q}.$$
On choisit $\mathcal{B}|p$ dans $\mathcal{O}_K$ et l'on pose $p = \mathcal{B} \cap \mathcal{O}_k$ ; on a donc des décompositions de la forme

$$p\mathcal{O}_k = p^e p \dots \text{ et } p\mathcal{O}_K = \mathcal{B}^{e_B} \dots$$

Comme $K/Q$ est galoisienne, $e = e_B$ ne dépend pas de $\mathcal{B}$ mais seulement de $p$. Soit $w = w_B$ la valuation associée à $\mathcal{B}$ et $v = v_p$ la valuation $p$-adique de $Z$ ; on suppose les racines ordonnées par ordre croissant de valuation dans $\mathcal{O}_K$ :

$$w(\cdot) : \underbrace{\omega_1, \dots, \omega_{k_1}}_{a_1}, \dots, \underbrace{\omega_{k+1}, \dots, \omega_{k_1+k_2}}_{a_2}, \dots < \dots < \dots$$

Comme les coefficients $c_j$ vérifient

$$c_j = \pm \sum_{i \le i_1 < \dots < i_j \le n} w_{i_1} \dots w_{i_j}$$

on en déduit

$$\begin{gathered} 1 \le j \le k_1 \implies w(c_j) \ge ja_1 \implies v(c_j) \ge \frac{ja_1}{e} \\ w(ck_1) = k_1a_1 \implies v(c_{k_1}) = \frac{k_1a_1}{e} \quad (\implies e | k_1a_1) \end{gathered}$$

de même

$$\begin{gathered} k_1 + 1 \le j \le k_1 + k_2 \implies v(c_j) \ge (k_1a_1 + (j - k_1)a_2)/e \\ v(c_{k_1+k_2}) = \frac{k_1a_1}{e} + \frac{k_2a_2}{e} \quad (\implies e | k_2a_2) \end{gathered}$$

etc...

D'où le polygone de Newton pour $P$ et $p$ (= bord inférieur de l'enveloppe convexe des points $(i, v(c_i))$, avec $c_0 = 1$) :
<figure><img src="image_1.png" /></figure>

On pose $\alpha_i = \frac{k_i a_i}{e} (\in \mathbb{N})$.

Les pentes du polygone de Newton, $\frac{\alpha_i}{k_i} = \frac{a_i}{e}$ s'appellent les nombres de Puiseux (de $P$ et $p$). Notons que $\omega = \omega_1$ se décompose sous la forme $\omega \mathcal{O}_K = \mathcal{B}^{a_B} \dots$ (où $a_B = a_1$) et $\omega \mathcal{O}_k = p^{a_P} \dots$ et alors

$$ \frac{a_p}{e_p} = \frac{a_B}{e} \quad \forall \mathcal{B} | p | p. $$

## Applications

* Si les nombres de Puiseux sont $\frac{\alpha_1}{1}, \dots, \frac{\alpha_n}{1}$, on en déduit que toutes les racines sont de valuation $w$ distincte, donc que le groupe de décomposition $D_B$ laisse chaque $\omega_i$ fixe et est donc trivial ; par conséquent $p$ se décompose totalement dans $\mathcal{O}_k$ et $\mathcal{O}_K$.

En particulier, si $p < n$, alors $p|i(k)$ (par le corollaire 2).

** S'il n'y a qu'un nombre de Puiseux $\frac{\alpha}{n}$ avec $(\alpha, n) = 1$, alors toutes les racines $\omega_i$ ont même valuation $w(\omega) = a$ et

$$ \frac{a_p}{e_p} = \frac{\alpha}{n} \Rightarrow n|e_p \alpha \Rightarrow n|e_p \Rightarrow n = e_p \quad (\text{car } e_p \le [k : \mathbf{Q}] \le n). $$
⇒ *P* irréductible (c'est le polynôme minimal de *ω* sur **Q**) et *pO*<sub>*k*</sub> = *p*<sup>*n*</sup> est totalement ramifié dans *O*<sub>*k*</sub>; donc *p* † *i*(*K*).

*** On suppose *P* irréductible (en lui imposant par exemple la condition ** avec *q* à la place de *p*, pour un *q* premier ≠ *p*).

Si les nombres de Puiseux pour $p$ (et $P$) sont $\frac{\alpha_1}{2}$, $\frac{\alpha_2}{1}$, ..., $\frac{\alpha_{n-1}}{1}$ avec $\alpha_1$ impair, alors $\frac{\alpha_1}{2} = \frac{\alpha_1}{e} \Rightarrow 2|e$

et $pO_k = p_1^2 p_2 \dots p_{n-1}$ est la forme de la décomposition de $p$ dans $O_k$.

(Car seules $\omega_1$ et $\omega_2$ peuvent être racines dans $K_B$ d'un même polynôme irréductible $\in \mathbb{Q}_p[X]$ et elles le sont effectivement car sinon $p$ serait non ramifié dans $K$ et ceci contredirait $2|e$).

En particulier, si $p < n - 1$, alors $p|i(k)$ (et aussi $\text{disc}(k/\mathbb{Q})$).

Pour d'autres exemples, on pourra consulter [B].

References

[B] M. BAUER Über die außerwesentlichen Diskriminantenteiler einer Gattung Math. Ann. 64, pp. 572 – 576, (1907).

[H] H. HASSE Number theory, Grundlehren der math. wiss., Nö 29, Springer-Verlag (1980).

[N] W. NARKIEWICZ "Elementary and analytic theory of algebraic numbers" 2nd edition, Springer Verlag (1990).

[Y] Y. YAMAMOTO *On unramified Galois extensions of quadratic number fields*, Osaka J. Math. **7**, pp. 57 – 76, (1970).

Received by : December 20, 1999

Denis Hémard

Université de Valenciennes et du Hainaut Cambrésis
Laboratoire LAMATH B.P. 311
59304 Valenciennes Cedex
France