# Méthodes totalisantes dans les représentations de fonctions d'une variable complexe.

Memoria di W. J. TRJITZINSKY (a Urbana, I11., U.S.A.)

À M. Enrico Bompiani pour son Jubilé scientifique.

**Résumé.** Dans le développement ci-après on considère les classes de fonctions $f(z) \in [c]$ continues dans un domaine $K$ (ouvert, borné, connexe), $F(R) = \int_c^R f(z)dz \in [C]$ [$c=c(R)$ est la frontière de domaine $R(\bar{R} \subset K)$ d'une classe convenable $\Gamma''$ d'ensembles, $R$ étant intérieur à $c$], $\phi(z) = DF$ (dérivée convenable $D) \in (\delta)$; on suppose que $F$ est une totale indéfinie de $\phi$, appropriée à la dérivation $D$. Le problème principal abordé est celui du calcul effectif de $f$ (de $[c]$) à partir de $\phi$ (de $(\delta)$) correspondant.

**1. Introduction.** – Dans l'ouvrage actuel nous étudions certaines classes de fonctions (2.7a): $f \in [c]$, $F \in [C]$, $\phi = DF \in (\delta)$. $K$ dans le plan complexe désigne un domaine (ouvert, borné, connexe); les $f$, qui peuvent être non réelles, sont continues dans $K$. À partir d'une $f$ de $[c]$ la $F$ de $[C]$, qui correspond, est donnée par la formule $F(R) = \int_c^R f(z)dz$, où $R(\bar{R} \subset K)$ appartient à une famille $\Gamma''$ d'ensembles de type-M (MORERA) [(2.2)-(2.2b)] et $c=c(R)$ est la frontière de $R$; $c(R)$ est un contour fermé suffisamment régulier et $R$ lui est intérieur. En rapport avec ces considérations on a l'ouvrage ($F$) (1) de V. S. FÉDOROFF sur le théorème de Morera en vue. On définit les dérivés extrêmes $\bar{D}$, $D$ et la dérivée unique $D$ de fonctions d'ensemble de $\Gamma''$ (de type-M), dans $K$, selon (2.4)-(2.4c), de sorte que la situation suivante soit réalisée. Si $F \in [C]$, la dérivée $DF$ existe et est finie sur $K-K_0$, où $K_0$ est vide ou bien est négligeable au sens approprié à une certaine totalisation ($T$), en sorte que $F(R) = (T) \int_R DF(z)da(z) = T(R$; $DF$) [totale ($T$) sur $R(\in \Gamma'', \bar{R} \subset K)$ de $DF(z)$, $da(z)$ étant l'élément d'aire] (voir (2.5)-2.7a)]. On dira que cette dérivée $DF$ est un élément de la classe $(\delta)$. À une $f$ donnée de $[c]$ une $F$ unique de $[C]$ et une $\phi = DF$ unique de $(\delta)$ correspondent ($\phi$ est finie sur $K-K_0$).

Notre objet principal est comme il suit: étant donnée une $\phi$ de $(\delta)$, d'obtenir des procédés du calcul effectif pour rémonter de $\phi$ à une $f$ correspondante de la classe $[c]$. On note que toutes les $f$ de $[c]$ qui correspondent à une $\phi$ particulière de $(\delta)$ ne diffèrent entre eux que par des fonctions
analytiques dans $K$. D'abord nous considérons le cas où à la $\varphi$ de $(\delta)$ donnée il correspond une $f$ réelle de $[c]$; à partir de certainess relations différen tielles (2.11*), moyennant un passage à la limite (2.16), suivie d'une sorte de prolongement, ce problème spécial est résolu dans (2.18). Dès le com mencement de la section 3 nous faisons usage des conditions (3.1). Avec $f$ de $[c]$, supposée réelle et $K$ désignant un intervalle (à deux dimensions), $f$ est exprimable à partir de $\varphi$ de $(\delta)$ moyennant une formule assez simple (3.11). Si $\varphi \in (\delta)$, il existe à priori une décomposition (3.10a) $\varphi = \varphi' + i\varphi''$, avec $\varphi'$ et $\varphi''$ dans $(\delta)$ de sorte qu'à $\varphi'$ et $\varphi''$ dés fonctions réelles de $[c]$ correspondent, soient $u$ et $v$; alors $f=u+iv$ sera un élément de $[c]$ correspondant à $\varphi$; si on sait $\varphi'$ et $\varphi''$ on peut calculer $u$ et $v$ d'accord avec (3.11). Il est établi que l'élément $\varphi'$ d'une décomposition (3.10a) de $\varphi$ est parmi les solutions des équations 'ensemble-fonctionnelles' (3.14). Il y a une sorte de réciproque (3.16)-(3.18a), si l'on fait intervenir certaines classes $[c^*]$ (3.17a), $[c]$ (3.18) plus générales que $[c]$. Nous n'avons pas indiqué des méthodes effectives por résoudre les équations (3.14). Dans tous les cas les fonctions $g$, $g''$ (2.11a) satisfont au système elliptique (2.11') (voir (4.2)). Dans la section 4 on considère le cas où $K$ es un cercle; d'abord on suppose que $f$ de $[c]$, qui correspond à une $\varphi$ de $(\delta)$, est continue sur $\bar{K}$; dans ces conditions la résolution effective du problème est donnée dans le Théorème 4.13. Dans le cas où $K$ est quelconque (mais toujours ouvert, connexe) on développe une sorte de prolongement [(4.14–(4.14c)] en rapport avec le théorème. Dans la section 5 $K$ est un cercle et l'on considère le cas où à une $\varphi$ donnée de $(\delta)$ une $f=u+iv$ de $[c]$ (avec $u=R\{f\}$) correspond telle que $(5.1) \int_0^{2\pi} |u(\rho, \psi)| d\psi \le M(o \le \rho < \rho^0)$; la réso lution effective dans ce cas est donnée (moyennant les résultats de la section 4) au Théorème 5.3. Dans la section 6 nous utilisons quelques résultats qui se trouvent dans le livre (P) (2) de CH.DE LE VALLÉE POUSSIN. Le Théorème 6.17 constitue une extension du Théorème 4.13 au cas où $K$ est borné par une courbe fermée simple ($K$) de JORDAN ($K$ est l'inté rieur de ($K$), tandis qu'à une fonction donnée $\varphi$ de $(\delta)$ une $f$ de $[c]$ cor respond avec $u=R\{f\}$ continue sur $\bar{K}$. Ensuite l'Hypothèse 6.11 est introduite, où on suppose que $K$ est simplement connexe et qu'à une $\varphi$ de $(\delta)$ une $f=u+iv$ de $[c]$ correspond, avec $u=R\{f\}$ satisfaisant à une inégalité analogue à (5.1); dans ces conditions $f$ est effectivement calculable à partir de $\varphi$ d'accord avec le Théorème 6.12 (c'est une extension du Théorème 5.3).

Des résultats spéciaux, faisant intervenir le noyau de Cauchy $\frac{1}{\zeta-\bar{z}}$, sont donnés dans (7.1), (7.5), (7.6), (7.7), (7.8), (7.9). À partir de (7.3) on admet $\Gamma''$ comme une famille d'intervalles (rectangles ouverts à côtés
parallèles aux axes); les caractères V. B. et C. A. et la définition de fonctions singulières d'intervalle sont au sens donné dans le liver (S) (³) de S. SAKS. Dans les énoncés (7.8), (7.9) il s'agit de représentations de $f(z)$ dans la forme (7.8b):

$$ (1^\circ) \quad f(z) = - \frac{1}{2\pi i} \iint_K \frac{\varphi(s, t) ds dt}{\zeta - z} + a(z) \quad \text{sur une plénitude de } K \ (\zeta = s + it), $$

avec $a(z)$ analytique dans $K$; ici l'intégrale est lebesguienne.

En rapport avec les représentations de la forme (1º) nous mentionnons les ouvrages ($T_1$) (⁴), ($T_2$) (⁵) de l'auteur. Nous faisons usage aussi de nos travaux ($T_3$) (⁶), ($T_4$) (⁷) (celui-ci dans la section 2).

Dans la section 8 la totale ($T$) est ce que P. ROMANOVSKI dans ses ouvrages ($R_1$), ($R_2$) (⁸) nomme 'D-intégrale à indice q' ($0 < q < 1$), la famille $\sigma = \sigma_q$ d'ensembles fondamentaux étant formée de tous les intervalles (contenus dans l'intervalle $K$) à paramètre de régularité $\geq q$. Une telle totale, ou bien une totale 'à indice variable', est essentiellement ce que deviennent dans le plan $\mathcal{N}_1$ les totalisations établies par A. DENJOY dans l'espace $\mathcal{N}_1$. On suppose qu'il s'agit de $f$ de [c] continues sur $\bar{K}$. Le Théorème (8.4) présente certaines conditions suffisantes pour que $f$ appartienne à [c]; ces conditions sont assez simples et sont proches d'être nécessaires. Les développements de (8.5) jusqu'à la Remarque 8.9 mènent aux caractères (I), (II), (III). Selon le Théorème 8.10 chacun de ces trois caractères est nécessaire et est suffisante pour que $f$ appartienne à la classe [c].

Enfin dans le même ordre d'idées les Corollaires 8.11, 8.12 donnent des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction $f(z)$ continue dans un domaine $y$ soit analytique,

**2. Les classes [c], [C], (δ) et calcul des f réelles de [c].** - Soient $K$ un ensemble ouvert, borné, connexe, et $f(z)$ une fonction de variable complexe $z = x + iy$ définie et continue dans $K$; $f = u + iv$, $u = u(x, y)$, $v = v(x, y)$.

**DÉFINITION 2.1** - Dénommons *domaine* tout ensemble ouvert connexe, *contour* - toute courbe simple, fermé, rectifiable de JORDAN.

$$ (2.1\text{a}) \qquad F(D) = \int_C f(z) dz = F_1(D) + iF_2(D), $$

où $c$ est un contour dans $K$, tel que le domaine intérieur $D = D(c)$ de $c$ est dans $K$; l'intégration est au sens direct, laissant $D(c)$ à gauche. Désignons par $\Gamma = \{D\}$ la famille de domaines $D, \subset K$, chaque $D$ étant le domaine intérieur d'un contour $c, \subset K$; $c = c(D)$. La classe de toutes les fonctions $f$ continues dans $K$ sera désignée par $(c)$; en outre $(C)$ sera la classe de fonctions $F(D)$ (2.1a) d'ensemble $D$ de $\Gamma'$, $f$ parcourant $(c)$.
À toute $f$ de (c) il correspond une $F$ unique de (C). D'autre part à une $F$ de (C) correspondent plus d'une $f$ de (c); en effet, si $f$ est une fonction de (c) qui correspond à $F$, la fonction $f+g$, où $g$ est analytique dans $K$, sera une autre. Si $f_1$ et $f_2$ sont des fonctions distinctes de (c) qui correspondent à une $F$ de (C), on aura

$$0 = \int_C (f_1(z) - f_2(z))dz$$

pour tout contour $c$ dans $K$, tel que le domaine interieur de $c$ est dans $K$; en vertu du théorème de MORERA il s'ensuivra que $f_1(z) - f_2(z)$ est analytique dans $K$.

Nous dirons qu'une famille $\Gamma'' = \{O\}$ partielle de $\Gamma'$ (Définition 2.1) est de type-$M$ (Morera), si les trois conditions suivantes sont remplies:

(2.2) tout contour $c(O)$, dont un $O$ (de $\Gamma''$) est l'intérieur, est constitué d'un nombre fini d'arcs de courbe à tangente continue;

(2.2a) parmi les domainses $O$ de $\Gamma''$ il y'en a de diamètre arbitrairement petit;

(2.2b) $\Gamma''$ contient toutes les translations, contenues dans $K$, de ses ensembles.

Selon V. S. FÉDOROFF ($F$) le théorème de MORERA s'applique à la famille de contours $\{c(O)\}$, le domaine $O$ décrivant la famille $\Gamma''$; ainsi $f(z)$, supposée continue dans $K$, sera analytique dans $K$, dès que $\int_C f(z)dz = 0$ pour tous les $c=c(O)$ de la famille de contours que nous venons de mentionner.

Soient $\Gamma'' = \{O\}$ une famille de type-$M$ et $z_0$ un point de $K$. Prenons $0 < \epsilon < d(z_0)$, où $d(z_0)$ est la distance de $z_0$ à la frontière de $K$; vu (2.2a) il existe un $O'_\epsilon$, $\epsilon \in \Gamma''$, de diamètre $\leq \epsilon$; à cause de (2.2b) il se trouve un $O_\epsilon$ de $\Gamma''$ de diamètre $\leq \epsilon$, tel que $\bar{O}_\epsilon \ni z_0$. Cela étant vrai pour tout $0 < \epsilon < (d(z_0))$, il s'ensuit que:

(2.3) si $z_0 \in K$, la famille d'ensembles $O(z_0)$ de $\Gamma''$ (de type-$M$), tels que $\bar{O}(z_0) \ni z_0$, contient des ensembles de diamètre arbitrairement petit.

Désignons par $\Gamma''(z_0)$: soit la famille $\Omega(z_0)$ d'ensembles de $\Gamma''$ (de type-$M$) dont les fermetures contiennent $z_0$, soit une famille partielle (choisie selon une loi bien définie) de $\Omega(z_0)$, mais toujours contenant (pour tout $z_0$ fixe de $K$) des ensembles de diamètre arbitrairement petit. Quand $\Gamma''(z_0) = \Omega(z_0)$, aucune loi de choix n'intervient pas dans la détermination de $\Gamma''(z_0)$; une loi de choix survient, lorsque $\Gamma''(z_0)$ n'est pas identique avec $\Omega(z_0)$. Si $G$ est une fonction définie pour tous les ensembles des familles $\Gamma''(z_0)$, $z_0$ décrivant $K$, par exemple si $G = F_1$ ou bien $G = F_2$, avec $F = F_1 + iF_2 \in (C)$
(Définition 2.1), alors on pourra envisager au point $z_0$ (de $K$) les dérivés de $G$ supérieur et inférieur, ainsi que la dérivée unique (si elle existe):

$$ (2.4) \qquad \bar{D}G(z_0) = \bar{1} \operatorname{im} \frac{G(O)}{m(O)}, \quad \underline{D}G(z_0) = \underline{1} \operatorname{im} \dots, \quad \underline{D}G(z_0) = \underline{1} \operatorname{im} \dots (\operatorname{si} \bar{D} = \underline{D}), $$

$m(\dots)$ désignant la mesure de Borel-Lebesgue et les limites, qui interviennent, étant pour $O \in \Gamma''(z_0)$, lorsque le diamètre de $O$ tend vers 0; nous écrivons

$$ (2.4a) \qquad \bar{\varphi}(z_0) = \bar{D}G(z_0), \quad \underline{\varphi}(z_0) = \underline{D}G(z_0), \quad \varphi(z_0) = \underline{D}G(z_0)(\operatorname{si} \bar{\varphi} = \underline{\varphi}); $$

si $G = F = F_1 + iF_2 \in (C)$, nous posons

$$ (2.4b) \qquad \bar{\varphi}_j(z_0) = \bar{D}F_j(z_0), \quad \underline{\varphi}_j(z_0) = \underline{D}F_j(z_0), \quad \varphi_j(z_0) = \underline{D}F_j(z_0) \quad (j=1, 2), $$

Les dérivations ainsi spécifiées sont relativement aux ensembles des familles $\Gamma''(z_0)$, $z_0$ parcourant $K$; si $\Gamma''(z_0) = \Omega(z_0)$ (pour tout $z_0 \in K$, on peut dire que les dérivations sont relativement à la famille $\Gamma''$ de tzpe-$M$

(2.2-2b). Si $G = F \in (C)$, on peut écrire

(2.4c) $\varphi = \varphi_1 + i\varphi_2 = DF$ en tout point où les $\varphi_j = DF_j(j=1, 2)$ existent et sont finies.

Nous allons indiquer plus loin plusieurs façons de réalisation de la situation suivante.

(2.5) Une fonction $G$ réelle possède des propriétés convenables d'additivité et de continuité relativement à une famille $\Gamma''$ (2.2-2b) de type-$M$ ($\Gamma'' \subset \Gamma'$); la famille $\Gamma''$ et la manière de dérivation $D$ (2.4c) sont telles qu'il existe un procédé de totalisation, soit $(T)$ en sorte que, si la dérivée unique et finie $DG$ (2.4a) existe dans $K$, sauf peut-être sur un ensemble convenable exceptionnel $K_0$, alors pour tout ensemble $R$ de $\Gamma''$ $G$ sera la totale $(T)$ de $DG$:

$$ (2.5a) \qquad G(R) = T(DG; R) = (T) \int_{\mathbb{R}} DG(z) da(z) \quad (da(z) \text{ étant l'élément d'aire}). $$

Ici la famille $\Gamma''$ et le mode $D$ de dérivation sont indépendants de $G$. Si l'on suppose que la constatation (2.5, 5a) a été réalisée, on pourra envisager les développements de la sorte suivante.

(2.6) $f$ de $(c)$ est telle que les constituants $F_1, F_2$ de la fonction correspondante $F = F_1 + F_2$ (2.1a) de $(C)$ satisfassent aux conditions remplies par $G$ dans (2.5,5a); ainsi, en particulier, les dérivées finies $\varphi_j = DF_j(j=1, 2)$ existent sauf sur des ensembles exceptionnels $K_j$ (du même caractère que
$K_0$); alors

$$
(2.6a) \qquad F(R) = T(\varphi; R) = T(\varphi_1; R) + iT(\varphi_2; R);
$$

$T(\varphi_j; R) = (T) \int_{\mathbb{R}} \varphi_j(z) da(z)$ pour tout $R$ de $\Gamma''$;

on pourra écrire

$$
F(R) = (T) \int_{\mathbb{R}} \varphi(z) da(z).
$$

DÉFINITION 2.7. – Désignons par [c] la classe partielle de (c) (Définition 2.1) formée de fonctions f de (c) de la sorte indiquée dans (2.6); soit [C] la classe partielle de fonctions F (2.1a) de (C) correspondant aux diverses f de [c]. Enfin, dénommons (δ) la classe de dérivées DF (F parcourant [C]) = φ₁ + iφ₂; les φⱼ = DFⱼ (j = 1, 2) sont définies et finies dans K, sauf sur des ensembles exceptionnels Kⱼ (du caractère de K₀ (2.5)).

On a un schéma que voici :

$$
(2.7a) \quad f \in [c](\subset(c)) \sim F(2.1a) \in [C](\subset(C)) \sim \varphi = DF \in (\delta).
$$

À tout élément de [c] correspond un élément unique de [C], défini pour
tous les ensembles de la famille Γ' (Définition 2.1). À toute fonction de [C]
correspond une fonction-dérivée unique de la classe (δ); l'unicité est sauf
pour l'indétermination indiquée plus haut. Étant donnée une φ de (δ),
moyennant la totalisation (T) on obtient l'élément correspondant F de [C] :

$$
(2.8) \qquad F(R) = T(\varphi; R) \text{ pour tout } R \text{ de } \Gamma''(\subset \Gamma').
$$

La totalisation (T) ne détermine pas F de [C] pour tous les ensembles
de Γ'. La fonction F₀ de [C], déterminée par la totalisation (T) pour la
famille d'ensembles de Γ'' et qui correspond au élément donné φ₀ de (δ),
cette fonction est unique dans le champ de Γ''. La question se pose si à la
fonction F₀ peuvent correspondre plus d'une fonction F de [C] coïncidant
avec F₀ dans le champ Γ''. Dans la suite nous allons montrer que les
fonctions f₀ de [c] qui correspondent à F₀ ne diffèrent entre elles que par
des fonctions analytiques dans K; à ces fonctions f₀ correspondra une Fº
unique de [C], définie dans Γ'; cette Fº sera l'unique extension de F₀.
Ainsi se verra-t-il que la réponse à la question que nous venons de poser
est négative.

Envisageons une fonction particulière $F(R)$ de $[C]$, supposée connue
seulement pour tout $R$ de la famille $\Gamma''$; par exemple, $F$ peut être une
fonction (2.8). En tant que $\Gamma''$ est type-$M$ (2.2-2b), la section 2 de l'ouvrage
$(F)$ de FÉDOROFF s'applique. Comme dans $(F$; §2) **associons avec tout**
ensemble $R$ de $\Gamma''$ un point $z = z(R)$, qui peut être dans $R$ ou étranger à $R$, de sorte que, $R$ est subi à une translation, le point $z(=z(R))$ est assujetti à la même translation. Soit $R_0 (\in \Gamma'')$ un ensemble fixe, tel que le point correspondant $z_0 = z(R_0) \in K$. Désignons par $K(R_0)$ l'ensemble ouvert maximum contenu dans $K$, tel que, si $z'$ est dans $K(R_0)$, l'ensemble $R'$ qui correspond à $z'$ et qui est une translation de $R_0$, sera dans $K$. À la fonction $F(R)$ (de $[C]$), introduite plus haut, il correspond une fonction $f(z)$ de $[c](\subset [c])$, encore inconnue, telle que (2.1a):

$$F(R) = \int_C f(\zeta) d\zeta, \quad c = c(R) \text{ étant le contour-frontière de } R (\in \Gamma'').$$

En supposant que $f$ est sommable sur $R$ (c'est certainement le cas si $\bar{R} \subset K$), nous envisageons avec FÉDOROFF la fonction

$$(2.9) \qquad f(z, R) = \frac{1}{m(R)} \int_R f(\zeta) d\zeta \qquad (R = R(z)),$$

qui est défiue pour $z$ dans le domaine $K(R_0)$; ici $R = R(z)$ est l'association, spécifiée plus haut, d'un domaine $R$ (de $\Gamma''$) avec le point $z (\in K(R_0))$; les $R$ dans (2.9) sont des translations de $R_0$.

(2.10) Nous ferons usage des conclusions suivantes, qui se trouvent dans (F; §2). $f(z, R(z))$ est une fonction de $z = x + iy$ continue dans $K(R_0)$ [cela étant vrai même si $f$, possiblement n'étant pas continue, est seulement sommable sur tout $R(\in \Gamma'')$, qui survient]; avec $\zeta = s + it$, on a

$$(2.10a) \qquad \frac{\partial f(z, R)}{\partial x} = \frac{1}{m(R)} \int_C f(\zeta) dt, \quad \frac{\partial f(z, R)}{\partial y} = - \frac{1}{m(R)} \int_C f(\zeta) ds$$

pour tout $z$ dans $K(R_0)$ [ici $R = R(z)$, $c = c(R)$ est le contour-frontière de $R$, le sens d'integration laissant $R$ à la gauche]; de plus, les dérivées partielles (2.10a) sont continues dans $KR_0$.

En vertu de (2.10a)

$$(2.11) \qquad -\frac{\partial f(z, R)}{\partial y} + i \frac{\partial f(z, R)}{\partial x} = \frac{1}{m(R)} \int_C f(\zeta)(ds + idt) = \frac{F(R)}{m(R)} = q(x, y), \quad R = R(z);$$

ici $z \in K(R_0)$; $z$ et $R$ sont ebtenus par une même translation à partir de $z_0(=z(R_0))$ et de $R_0$; $q(z) = q(x, y)$ est continue dans $K(R_0)$. En tenant compte
de (2.9) posons

$$
\begin{array}{l}
(2.11\text{a}) \qquad f(\zeta) = u(s, t) + iv(s, t), \quad f(z, R) = g(x, y) = g' + ig'', \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad g'(x, y) = \displaystyle\frac{1}{m(R)} \int_R u(s, t)da(\zeta), \quad g''(x, y) = \displaystyle\frac{1}{m(R)} \int_R v(s, t)da(\zeta), \\
\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad q(x, y)(2.11) = q_1(x, y) + iq_2(x, y), \qquad R = R(z).
\end{array}
$$

D'après (2.11)

$$
- \frac{\partial}{\partial y} (g' + ig'') + i \frac{\partial}{\partial x} (g' + ig'') = q_1 + iq_2,
$$

ce qui équivaut à

$$
(2.11') \quad \frac{\partial g'}{\partial y} + \frac{\partial g''}{\partial x} = -q_1, \quad \frac{\partial g'}{\partial x} - \frac{\partial g''}{\partial y} = q_2.
$$

g' g'' et les dérivées partielles aux premiers membres des équations (2.11')
sont continues dans K(R₀).

Envisageons le cas particulier correspondant aux $f(z)$ de [c] (2.7a) réelles,
e. g. $f(z) = u(x, y)$ ($v(x, y) = 0$). Alors (2.11a): $g'' = 0$, et les équations (2.11')
deviennent

$$
(2.11^*) \quad \frac{\partial g'(x, y)}{\partial y} = -q_1(x, y), \quad \frac{\partial g'(x, y)}{\partial x} = q_2(x, y),
$$

Soit $J(z^0)$ le carre ouvert maximum, contenu dans $K(R_0)$, de centre $z^0$ et
à côtés parallèles aux axes. Avec $(x, y) \in J(z^0)$, en intégrant la seconde
équation (2.11*) sur le segment linéaire d'extrémités $(x_0, y)$, $(x, y)$, il vient

$$
(1^\circ) \qquad g'(x, y) = g'(x^0, y) + \int_{s=x^0}^{x} q_2(s, y)ds.
$$

En intégrant la première relation (2.11*), où l'on pose $x=x^0$, on
obtient

$$
(2^0) \qquad g'(x^0, y) = g'(x^0, y^0) - \int_{t=y^0}^{y} q_1(x^0, t) dt.
$$
Donc, pour $z \in J(z_0)$,

$$ (2.12) \qquad g'(x, y) = g'(x^0, y^0) + h'(x, y), \quad h'(x, y) = \int_{s=x^0}^{x} q_2(s, y)ds \\ - \int_{t=y^0}^{y} q_1(x^0, t)dt, \quad \frac{F(R(z))}{m(R(z))} = q_1(x, y) + iq_2(x, y). $$

Admettons que la situation indiquée dans l'hypothèse (2.13), ci-après, soit réalisée.

**HYPOTHÈSE 2.13.** – Dès lors nous supposerons toujours que l'association d'un point z avec un R de $\Gamma''$ (voir le texte qui précède 2.9) est telle que $z = z(R) \in \bar{R}$). Avec un point $z_0 \in K$ est associée une suite infinie de $\Gamma''$, à savoir $R_j = R_j(z_0)(j = 1, 2, ...)$ de sorte que $\bar{R}_j \ni z_0$, $\bar{R}_j \subset K$, $d(R_j) \to 0$. Soit $K(R_j)$ l'ensemble maximum, $\subset K$, tel que, si $z$ (de $K$) $\in K(R_j)$, l'ensemble $R_j(z)$ correspondant à $z$ et qui est une translation de $R_j$, aura la fermeture dans $K$; $K(R_j)$ sera ouvert. Admettons que $\tilde{K}^0$, l'intérieur de $\tilde{K} = \Pi K(R_j)$, soit non vide. On suppose que 'le théorème de dérivation' par rapport à la famille

$$ (2.13\text{a}) \qquad \{R_j(z)\} (j = 1, 2, ..., z \text{ décrivant } \tilde{K}) $$

ait lieu. On remarque que $z_0 \in K(R_j)(j=1, 2, ...)$.

Le théorème de dérivation au-dessus est entendu au sens suivant: pour $z$ sur une plénitude de $\tilde{K}^0$ on a:

$$ (2.13\text{b}) \qquad 1 \operatorname{im}_j \frac{1}{m(\bar{R}_j(z))} \int_{\bar{R}_j(z)} \nu(\zeta) da(\zeta) = \nu(z) $$

lorsque $\nu$ est mesurable dans $\tilde{K}^0$ et est bornée sur un sous-ensemble fermé de $\tilde{K}^0$ [on remarque que pour $j$ suffisamment grand $\bar{R}_j(z) \subset \tilde{K}^0$, dès que $z$ est dans le $\tilde{K}^0$ ouvert, donc on peut regarder $\nu$ comme bornée dans $R_j(z)$]. Il suffit que la famille $\bar{R}_j(z) \ j = 1, 2, ..., z$ décrivant $\tilde{K}^0$) couvre $\tilde{K}^0$ au sens du théorème classique de couverture de Vitali [cela même, si $\nu$ est seulement sommable sur tout sous-ensemble fermé de $\tilde{K}^0$, l'égalité (2.13b) ayant lieu sur une plénitude de $\tilde{K}^0$ et, en particulier, aux points de continuité de $\nu$ (s'il y en a)]. Dans la plupart de nos développements, dans la suite, $\nu$ dans (2.13b), sera continue; alors on pourra se débarasser de l'hypothèse (2.13a), (2.13b) et choisir n'importe quelle suite $R_j(z) \in \Gamma''$, avec $d(R_j(z)) \to 0$; dans ce cas (2.13b) aura lieu partout dans $\tilde{K}^0$. En vertu d'un théorème connu [SAKS, (S; p. 132)] on conclut que l'égalité (2.13b) aura lieu, si pour
$z \in \tilde{K}^0$ les $R_j(z)(j=1, 2, ...)$ sont des rectangles ouvert, à côtés parallèles aux axes, tels que

$$ (2.14) \qquad \bar{R}_j(z) \ni z, \quad \bar{R}_j(z) \subset K, \quad d(R_j(z)) \to 0. $$

D'une façon plus générale, pour la validité de (2.13b) il suffit que la famille $\bar{R}_j(z)$, $j=1, 2, ..., z$ décrivant $\tilde{K}^0$ satisfasse aux conditions du Théorème 15.6 dans l'ouvrage (T_4) de l'auteur [la famille devrait remplir la condition de la 'régularité simplé', et pour cette famille le théorème d'épaisseur (T_4; 13.3, 3a) devrait être valide].

(2.15) Soient $z_0 = x_0 + iy_0$ (fixe) $\in K$, $z^0 = x^0 + iy^0 \in \tilde{K}^0$ [donc $z^0 \in K(R_\nu(z_0))$ pour $\nu = 1, 2, ...$]; designons par $\tilde{J}(z^0)$ le carré ouvert maximum, contenu dans $\tilde{K}^0$, de centre $z^0$ (et à côtés parallèles aux axes); posons

$$ (2.15a) \qquad g'(x, y) = f(z, R_j(z)) $$

$$ (2.11a) \qquad q^j(x, y) = q_1^j(x, y) + iq_2^j(x, y) = \frac{F(R_j(z))}{m(R_j(z))} $$

$$ (2.11); \qquad h^j(x, y) = \int_{s=x^0}^{x} q_2^j(s, y) ds - \int_{t=y^0}^{y} q_1^j(x^0, t) dt $$

$$ (2.12) \qquad \text{pour } z \in \tilde{J}(z^0). $$

En vertu de la première relation (2.12) on obtient

$$ (2.15b) \qquad g'(x, y) = g'(x^0, y^0) + h'(x, y) \quad (z \in \tilde{J}(z^0); j = 1, 2, ...). $$

D'après (2.15a), (2.9)

$$ g'(x, y) = \frac{1}{m(R_j(z))} \int_{R_j(z)} u(s, t) ds $$

ici $f(\zeta) = u(s, t)$ ($\zeta = s + it$) réelle est une fonction de [c] (voir (2.7a)), encore inconue, qui correspond à la fonction envisagée $F$ de [C]; $u$ est continue dans $\tilde{K}^0$ (et, en effet, dans $K$); la relation (2.13b), avec $u$ pour $v$, mène au résultat :

$$ (2.15c) \qquad \displaystyle\sum_{j}^{1} \operatorname{Im} g^{j}(x, y) = u(x, y) \text{ dans } \tilde{K}^{0}. $$

Donc (2.15b):

$$ (2.16) \qquad f(z) = u(x, y) = u(x^0, y^0) + \sum_{j}^{1} \operatorname{Im} h^{j}(x, y) \quad (2.15a) $$
pour tout $z$ dans le carré $\tilde{J}(z^0)$; l'essentiel est que la limite au second membre est définie à partir de la fonction $F$ de $[C]$, supposée connue seulement pour les ensembles de la famille $\Gamma''$. Rappelons-nous que $\Gamma''$ est de type-$M$ (Morera), d'accord avec (2.2-2b). Si $f_1, f_2$ sont deux fonctions réelles distinctes de $[c]$, qui correspondent à $F$, on aura

$$ \int_C f_\nu(z) dz = F(R) \quad (\nu = 1, 2; R \in \Gamma''), $$

où le contour $c=c(R)$ est la frontière de $R$. Pour la fonction $a=f_1-f_2$ on aura $\int_C adz=0$ ($c=c(R)$), $R$ décrivant $\Gamma''$; $\Gamma''$ étant de type-$M$, on en conclut que $a$ est analytique dans $K$; pourtant $a$ est réelle, donc $a$ est une constante. D'autre part, si $f_0$ est une fonction réelle de $[c]$ qui correspond à $F$, toute fonction $f_0+a$ ($a$ constante réelle dans $K$) jouira de la même propriété. En revenant à (2.16), on voit donc qu'on peut assigner à $f(z^0)=u(x^0, y^0)$ une valeur réelle quelconque $c^0$.

Enfin on peut écrire

$$ (2.17) \quad f(z) = u(x, y) = c^0 + L'(z, z^0; F), \quad L'(z, z^0; F) = 1 \operatorname{im} h'(x, y) \quad (2.15a) $$

pour $z \in \tilde{J}(z^0) \subset \tilde{K}^0$; en vertu de la continuité de $f$ cette fonction est connue moyennant (2.17) en tout point, contenue dans $\tilde{K}^0$, de la fermeture de $\tilde{J}(z^0)$. Si $z^*$, $\mp z^0$, est un point quelconque dans $\tilde{K}^0$ connexe, on peut trouver une suite finie de carrés $Q_\nu(z^\nu)(\nu=1, \dots, v')$ ouverts (à côtés parallèles aux axes), tels que:

$$ \begin{array}{l} (2.17a) \qquad z^\nu \text{ est le centre de } Q_\nu(z^\nu), Q_\nu(z^\nu) \subset \tilde{K}^0, \\ \qquad z^\nu \in \bar{Q}_{\nu-1}(z^{\nu-1})\tilde{K}^0[\nu = 1, \dots, v'; Q_0(z^0) = \tilde{J}(z^0)], Q_{\nu'}(z^{\nu'}) \ni z^* \end{array} $$

(ou bien $\bar{Q}_{\nu'}(z^{\nu'})\tilde{K}^0 \ni z^*$). On obtient en succession :

$$ \begin{array}{l} f(z^1) = c^0 + L'(z^1, z^0; F), \quad f(z^2) - f(z^1) = L'(z^2, z^1; F), \quad \dots, \\ f(z^{\nu'}) - f(z^{\nu'-1}) = L'(z^{\nu'}, z^{\nu'-1}; F), \quad f(z^*) - f(z^{\nu'}) = L'(z^*, z^{\nu'}; F). \end{array} $$

En ajoutant ces relations il vient :

$$ \begin{array}{l} (2.18) \qquad f(z^*) = c^0 + L'(z^1, z^0; F) + L'(z^2, z^1; F) + \dots \\ \qquad \qquad + L'(z^{\nu'}, z^{\nu'-1}; F) + L'(z^*, z^{\nu'}; F) = c^0 + \Omega'(z^0, z^*; F). \end{array} $$
Ainsi, voici un procédé de calcul dans $\tilde{K}^0$ connexe d'une fonction réelle $f$ de [c] à partir de la valeur assignée $f(z^0) = c^0$ et de la fonction $F$ de [C], supposée connue dans le champ de $\Gamma''$.

**3. L'extension de la section 2 au cas général.** Dans quelques cas tres généraux il sera possible de choisir les $R_j = R_j(z_0)(j = 1, 2, ...)$ (Hypo. thèse 2.13) de sorte que

$$ (3.1) \qquad R_j \in \Gamma'', \quad \bar{R}_j \ni z_0, \quad \bar{R}_j \subset K, \quad R_1 \supset R_2 \supset \dots, \quad d(R_j) \to 0, $$

Dans ce cas pour les ensembles $K(R_j)$, spécifiés dans l'Hypothèse 2.13, on aura

$$ (3.1a) \qquad K(R_1) \subset K R_2) \subset \dots \subset K(R_j) \dots \subset K; \quad \text{1 im } K(R_j) = K; $$

alors, pour $p \ge 1$,

$$ (3.1b) \qquad K_p^0 = \tilde{K}_p = \bigoplus_{i \ge p} K(R_j) = K(R_p); \quad K_1^0 = K^0 = \tilde{K}. $$

De plus $z^0 \in K_p^0(p=1, 2, ...)$; $K_p^0$ (ouvert) $\uparrow K$ pour $p \to \infty$. $K_p^0$ sera connexe pour $p$ assez grand, car $K$ l'est et $K_p \uparrow K$. Nous ferons en sorte que $K_1^0 = K(R_1)$ est déjà connexe. Étant donnée une fonction $F$ de [C], connue dans $\Gamma''$ et à laquelle des fonctions réelles de [c] correspondent, on calcul une $f^1$ réelle de [c], qui correspond à $F$, dans l'ensemble $K_p^0 = K(R_p)$ ainsi :

$$ (3.2) \qquad f^p(z) = u^p(x, y) = c^0 + \Omega'^p(z^0, z; F), \quad f^p(z^0) = c^0; $$

ici $c^0$ (réelle) est une valeur, indépendante de $p$ et choisie arbitrairement; $z^0$ est un point fixe dans $K_1^0(=K(R_1); \Omega'^p(z^0, z; F))$ est le résultat d'un calcul, réalisé d'accord avec les procédés qui mènent à (2.18); $\Omega'^p$ est $\Omega'$ de la formule (2.18), lorsque la suite $\{R_j(z_0)\}(j=1, 2, ...)$ a été remplacée par la suite $\{R_p(z_0), R_{p+1}(z_0), ...\}$. Or $f^1(z) = f(z)$, donnée par (3.2) pour $p=1$, est une fonction (réelle) de [c], calculée dans $K_1^0(\subset K_p^0 \subset K)$; $f - f^p = a_p$ est une constante (réelle) dans $K$; on a

$$ (3.3) \qquad a_p = \Omega'^p(z^0, z; F) - \Omega'^1(z^0, z; F) $$

d'abord pour $z \in K_1^0$ et, enfin, dans $K$. La fonction $f(=f^1)$, originellement connue seulement dans $K_1^0$, est à présent connue dans $K_p^0$, e.g.

$$ (3.4) \qquad f(z) = f^p(z) + a_p \text{ partout dans } K_p^0 \text{ (voir 3.2)).} $$
Ce résultat a lieu pour tout entier positif $p$; d'autre part $K_p^0 \uparrow K$ pour $p \to \infty$. Ainsi (3.4) fournit un moyen de calculer partout dans $K$ d'une fonction $f$ réelle de [c], à partir de la fonction $F$ de [C] [supposée connue seulement pour les ensembles de la famille l'' et telle que des fonctions réelles $f$ de [c] correspondent à $F$] en effet, si $z$ est un point quelconque dans $K$, on aura

$$ (3.4a) \qquad f(z) = f^p(z) + a_p \quad \text{pour } p = p(z) \text{ tel que } K_p^0 \ni z, $$

### REMARQUE 3.5.
Laissons toujours 'intervalle', sans autre qualification, désigner un rectangle ouvert à côtés parallèles aux axes. On peut modifier les développements à partir de (2.11*) comme il suit. $J(z^0)$ (à la suite de (2.11*)) est un intervalle contenu dans $K(R_0)$ et contenant $z^0$. $\tilde{J}(z^0)$ [(2.15), (2.16), (2.17)], $\subset \tilde{K}^0$, est un intervalle contenant $z^0$. Les $Q_v(z^v)$ (2.17a) sont des intervalles, tels que

$$ z^v \in Q_v(z^v) \subset \tilde{K}^0, \quad z^v \in \bar{Q}_{v-1}(z^{v-1})\tilde{K}^0[v = 1, \dots, v']; \quad Q_0(z^0) = J(z^0), \quad Q_v'(z^v) \ni z^* $$

$(z^*, \neq z^0, \text{ étant un point quelconque de } \tilde{K}^0)$. D'une façon encore plus générale, au lieu du carré $\tilde{J}(z^0)$ on pourrait employer un domaine simplement connexe $D(z^0)$, $D(z^0) \ni z^0$, $D(z^0) \subset \tilde{K}^0$, tel que, si $z$ est un point dans $D(z^0)$, le segment lineaire d'extrémités $(x^0, y^0)$, $(x^0, y)$ et le segment d'extrémités $(x^0, y)$, $(x, y)$ se trouvent dans $D(z^0)$. Correspondamment les carrés $Q_v(z^v)$ pourraient être remblacés par des domaines $D_v(z^v)$ convenables, où $D_v(z^v)$ et le point $z^v$ proviennent de $D(z^0)$ et de $z^0$ par une même translation et une similitude.

### EXEMPLE 3.6.
La fonction réelle $f(z) = \beta x - \alpha y(\alpha, \beta)$ étant des constantes réelles) appartient à [c] (2.7a); à cet élément de [c] correspond $F(R) = (\alpha + i\beta)m(R)$ [$R \in \Gamma''$ (Def. (2.1))] de [C] et l'élément $\varphi = \alpha + i\beta$ de $(\delta)$. En effet on aura, $c$ désignant le contour de $R$ (2.1a) :

$$ F(R) = \int_C (\beta x - \alpha y)(dx + idy) = (\alpha + i\beta)m(R), $$

en tant que

$$ \int_C ydx = -m(R), \quad \int_C xdy = m(R), \quad \int_C xdx = \int_C ydy = 0. $$

Puis $\varphi(z) = DF(z) = \alpha + i\beta$. En plus, à partir de $\varphi(z) = \alpha + i\beta$ on obtient $F(R) = T(\varphi; R) = (\alpha + i\beta)m(R)$ pour $R \in \Gamma''$ (voir (2.6a)) [toute totale (T) d'une fonction sommable est l'intégrale lebesguienne de cette fonction]. Ainsi la constatation 3.6 est vérifiée. En outre on peut remonter de
φ = α + iβ à $F(R) = T(φ; R) = (α + iβ)m(R)(R ∈ Γ'')$ de [C] et, puis, moyennant les méthodes données plus haut, on peut calculer $f(z)$ de [c], obtenant $f(z) = βx - αy$. Il se voit que toute constante, réelle ou complexe, appartient à la classe $(\delta)$ et à cet élément il correspond une f réelle de la classe [c].

Si $φ$ est une fonction de point, définie dans $K$, quelles sont les conditions pour que $φ$ soit un élément de $(\sigma)$, avec une fonction réelle de [c] lui correspondant ? D'abord il faut que $φ$ soit $(T)$-totalisable. Dans ce cas on obtient (2.6a):

$$ (3.7) \qquad F(R) = T(\varphi; R) = (T) \int_K \varphi(z) da(z) \quad (R \in \Gamma''), $$

Puis il faut que, en procédant à partir de cette fonction $F$, comme on l'a indiqué de (2.11*) jusqu'à (3.4a), on aboutisse à une fonction $f(z)$ réelle et continue dans $K$; enfin, il faut et il suffit que la fonction $f(z)$, ainsi calculée, mène à la conclusion :

(3.7a) $φ(z) = DF(z)$ sur $K - E_0$, où $E_0$ est un ensemble exceptionnel (assez négligeable) au sens approprié pour le procédé totalisant $(T)$, $F(R)$ étant l'intégrale $\int_C f(ζ)dζ$, avec $c$ désignant le contour de $R$, $c \in \Gamma''$.

(3.8) Étant donnée $φ' \in (\delta)$, $φ'' \in (\delta)$, soient $F'$ et $F'''$ les éléments de [c] correspondant à $φ'$ et à $φ''$. Supposons que $φ'$, $φ''$ sont tels qu'il existent des $f'$, $f''$ réelles de [c] qui correspondent à $φ'$ et à $φ''$; $c'$, $c''$ désignant des constantes possiblement non réelles, $φ = c'φ' + c''φ''$ sera dans $(\delta)$ et les éléments

$$ (3.8a) \qquad f = c'f' + c''f'' \in [c], \quad F = c'F' + c''F'' \in [C] $$

correspondront à $φ$. On aura $F(R) = T(φ; R)(R \in \Gamma'')$; la fonction la plus générale de [c] correspondant à $φ$ sera $f + a$, où $a$ est analytique (quel-conque) dans $K$.

(3.9) Si $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ ($u, v$ réelles) $\in [c]$, les fonctions réelles $u(x, y)$, $v(x, y)$ seront dans [c]. Pour $R \in \Gamma''$ soit $c$ le contour de $R$; alors

$$ (3.9a) \qquad F'(R) = \int_C u(x, y)dz, \quad F''(R) = \int_C v(x, y)dz, \quad F(R) = F'(R) + iF''(R) $$

seront les éléments de [C] qui correspondent respectivement à $u$, à $v$, à $f$. Les dérivées $φ' = DF'$, $φ'' = DF'''$ seront les éléments de $(\delta)$ qui correspondent à $u$ et à $v$. La fonction $φ = φ'' + iφ'$ sera dans $(\delta)$ et correspondra à $f$. Si $a(z) = p(x, y) + iq(x, y)$ ($p, q$ réelles) est analytique dans $K$, $f + a$ sera dans [c], ainsi que les fonctions $u + p$, $v + q$.
Les trois éléments

$$
(3.9\text{b}) \qquad \int_C u \, dz + \int_C p \, dz, \quad \int_C v \, dz + \int_C q \, dz, \quad \int_C u \, dz + i \int_C v \, dz = F(R)
$$

[c étant le contour de $R \in \Gamma''$, tandis que $\int_C (p+iq)dz = 0$] seront dans [C]
et correspondront respectivement à $u+p$, à $v+q$, à $f+a$. On aura

$$
\varphi' + D \int_C p \, dz \in (\delta), \quad \varphi'' + D \int_C q \, dz \in (\delta),
$$

et ces fonctions correspondent à $u+p$ et à $v+q$. De plus, l'élément

$$
(3.9c) \qquad [\varphi' + D \int_C p \, dz] + i[\varphi'' + D \int_C q \, dz], \in (\delta),
$$

correspond à $u+p+i(v+q)=f+a$; la fonction (3 9c) doit être iden-
tique avec $\varphi'+i\varphi''$. Donc nécessairement

$$
(3.9\text{d}) \qquad D \int_C p \, dz + iD \int_C q \, dz = 0,
$$

ce qui est d'accord avec la relation $\int_C adz = 0$.

Les considérations (3.8)-(3.9d) mènent à la conclusion suivante.

(3.10). Si on sait que $\varphi \in (\delta)$, alors il existe à priori une décomposition

$$
(3.10a) \qquad \varphi = \varphi' + i\varphi'', \quad \varphi' \in (\delta), \quad \varphi'' \in (\delta)
$$

(qui n'est pas encore effectivement connue), telle que des fonctions *réelles*
$u, v$ existent dans $[c]$ et correspondent respectivement à $\varphi'$ et à $\varphi''$. Dès
qu'une telle décomposition est effectivement connue on peut remonter de $\varphi$
à une fonction de $[c]$, qui correspond à $\varphi$, en remontant de $\varphi'$ (de $\varphi''$),
moyennant le procédés (2.11*)-(3.4a), à un élément $u$ (à un élément $v$)
*réel* de $[c]$, correspondant à $\varphi'$ (à $\varphi''$); alors $f=u+iv+a$ ($a$ analytique dans
$K$) sera l'élément le plus général de $[c]$ correspondant à $\varphi$.

Dans le reste de cette section K sera un intervalle. Dans ce cas nous allons établir une équation pour le composant $\varphi'$, par exemple, dans la décomposition (3.10a) d'une fonction $\varphi$ de $(\delta)$.

Avec (3.1) toujours admise et en tenant compte de la Remarque 3.5, il
vient que certains des dévoloppements (2.11*)-(3.4a) se simplifient. K(R₀)
introduit avant (2.9) sera un intervalle contenu dans $K$. A la suite de (2.11*) on pourra prendre $J(z^0) = K(R_0)$. Les $K(R_j)$ ($j \ge 0$) sont des intervalles; $K(R_j) \subset K(R_{j+1})(j \ge 1)$, 1 im $K(R_j) = K$ (3.1). $p$ désignant un entier $\ge 1$, l'ensemble $\tilde{K}$ (voir le texte qui précède (2.13a)) formé pour la suite $\{R_p, R_{p+1}, \dots\}$ devient $\tilde{K}_p = K(R_p)K(R_{p+1})... = K(R_p)$; $\tilde{K}_p$ est un intervalle, donc l'ensemble $\tilde{K}^0$ est identique avec $\tilde{K}_p$. Le carré $J(z^0)$ (2.15) peut être remplacé par $\tilde{K}_p = K(R_p)$; par conséquent (2.16) entraîne (3.11) $f(z) = u(x, y)$ (réelle) $= u(x^0, y^0) + \text{im } h^j(x, y)$ (2.15a) pour tout $z$ dans l'intervalle $K(R_p)$; cela étant pour tout entier $p \ge 1$, la formule (3.11) aura lieu partout dans $K$ (parce que $K(R_p) \upharpoonright K$) [à tout $z$ de $K$ il correspond un entier $p(z)$ minimum tel que $K(R_{p(z)}) \ni z$; pour un tel $z$ on peut regarder la formule (3.11) comme ne faisant intervenir les $h^j(x, y)$ que pour $j \ge p(z)$].

Supposons à présent que $\varphi$ soit un élément de $(\mathfrak{z})$. Alors la constatation (3.10), (3.10a) aura lieu. Ni $f$ de $[c]$, correspondant à $\varphi$, ni la décomposition (3.10a) sont effectivement connues. On aura $\varphi'' = (\varphi' - \varphi)i$; posons

$$ (3.12) \qquad F'(R) = T(\varphi'; R), \quad F''(R) = iT(\varphi' - \varphi; R) \quad (R \in \Gamma''). $$

Il vient

$$ (3.12a) \qquad F(R) = F'(R) + iF''(R) = T(\varphi; R); $$

la totale $T(\varphi; R)$, qui exprime $F(R)$, est connue. D'accord avec (2.15a), $z^0$ désignant un point fixe dans l'intervalle $K$, posons

$$ \begin{array}{l} (1^0) \qquad q^j(x, y) = q_1^j(x, y) + iq_2^j(x, y), \quad q''^j(x, y) = q_1''^j(x, y) + iq_2''^j(x, y), \\ \qquad q_1^j(x, y) = R \left\{ \frac{F'(R_j(z))}{m(R_j(z))} \right\}, \quad q_2^j(x, y) = I \left\{ \frac{F'(R_j(z))}{m(R_j(z))} \right\}, \quad q_1'' = R \left\{ \frac{F''(...)}{m(...)} \right\}, \\ \qquad q_2'' = I \left\{ \frac{F''(...)}{m(...)} \right\}; \end{array} $$

ici $R\{\dots\}$, $I\{\dots\}$ désignent les parties réelle et imaginaire de $\{\dots\}$;

$$ \begin{array}{l} (2^0) \qquad h^j(x, y) = \displaystyle\int_{s=x^0}^{\infty} q_2^j(s, y)ds - \displaystyle\int_{t=y^0}^{y} q_1^j(x^0, t)dt, \\ \qquad h''^j(x, y) = \displaystyle\int_{s=x^0}^{\infty} q_2''^j(s, y)ds - \displaystyle\int_{t=y^0}^{y} q_1''^j(x^0, t)dt. \end{array} $$

La fonction $\varphi'$ (dans la décomposition (3.10a)) devrait être telle que la
totale $T(\varphi'; R)$ exprimant $F'(R)$ (3.12), les fonctions réelles $u, v$ de $[c]$, mentionnées à la suite de (3.10a), soient exprimables d'accord avec (3.11), e.g.

$$
(3.12b) \quad u(x, y) = \underset{j}{\operatorname{im}} h'^j(x, y), \quad v(x, y) = \underset{j}{\operatorname{im}} h''^j(x, y)((x, y) \in K)
$$

[sans perte de généralité on peut prendre $u(x^0, y^0) = v(y^0, y^0) = 0$. Or,
$c = c(R)$ désignant le contour de $R(R \in \Gamma'')$, on devrait avoir

$$
F''(R) = \int_C u(z)dz, \quad F'''(R) = \int_C v(z)dz \quad (2.1a);
$$

d'après (3.12), (3.12b), (2º), (1º):

$$
\begin{align*}
T(\varphi'; R) &= \int_C \underset{j}{\operatorname{im}} h'^j(x, y) dz = \int_C \underset{j}{\operatorname{im}} \left[ \int_{s=x^0}^x q'_z^j(s, y) ds - \int_{t=y^0}^y q'_t^j(x^0, t) dt \right] dz \\
&= \int_C \underset{j}{\operatorname{im}} \left[ \int_{s=x^0}^x I \left\{ \frac{F'(R_j(s, y))}{m(R_j(s, y))} \right\} ds - \int_{t=y^0}^y R \left\{ \frac{F'(R_j(x^0, t))}{m(R_j(x, t))} \right\} dt \right] dz;
\end{align*}
$$

ainsi

$$
(3.13) \quad T(\varphi'; R) = Q(\varphi'; R), \quad Q(\varphi'; R) = \int_c \underset{j}{\operatorname{im}} \left[ \int_{s=x^0}^{x} I \left\{ \frac{T(\varphi'; R_j(s, y))}{m(R_j(s, y))} \right\} ds \right. \\
\qquad \left. - \int_{t=y^0}^{y} R \left\{ \frac{T(\varphi'; R_j(x^0, t))}{m(R_j(x^0, t))} \right\} dt \right] dz \quad (z=x+iy).
$$

De la même façon pour la fonction $\varphi'' = (\varphi' - \varphi)i$ on devrait avoir (3.13)
avec $\varphi''$ au lieu de $\varphi'$. En tant que pour $\gamma$ possiblement non réel $I\{i\gamma\} =$
$= R\{\gamma\}$, $R\{i\gamma\} = -I\{\gamma\}$, il vient :

$$
(3.13b) \quad T(\varphi' - \varphi; R) = -iP(\varphi' - \varphi; R), \quad P(\varphi; R) = \int_c \underset{j}{\operatorname{im}} \left[ \int_{s=x^0}^{x} R \left\{ \frac{T(\varphi; R_j(s, y))}{m(R_j(s, y))} \right\} ds + \int_{t=y^0}^{y} I \left\{ \frac{T(\varphi; R_j(x^0, t))}{m(R_j(x^0, t))} \right\} dt \right] dz = Q(i\psi; R).
$$

D'où il vient que $\varphi'$ devrait satisfaire aux deux équations :

$$
\begin{align*}
(3.14) \qquad T(\varphi'; R) &= Q(\varphi'; R), \\
T(\varphi'; R) + iP(\varphi'; R) &= T(\varphi; R) + iP(\varphi; R)
\end{align*}
$$
(pour tout $R \in \Gamma''$; (3.13), (3.13b)); e.g., si $\varphi \in (\delta)$, l'élément $\varphi'$ d'une décomposition (3.10a) $\varphi = \varphi' + i\varphi''$ sera parmi les solution des équations ensemble-fonctionnelles (3.14).

(3.15) Les conditions (3.14) sont nécessaires pour que $\varphi'$ soit l'élément dans une décomposition (3.10a) $\varphi' + i\varphi''$ de $\varphi$, donnée dans (δ).

Considérons la question réciproque. Si $\varphi'$ est une solution des équations (3.14), cela implique que $\varphi'$ est totalisable-(T) dans K, que les intégrales qui interviennent dans l'expression [...] dans la formule (3.13) pour $Q(\varphi'$; R) existent et que la $\lim_{j} [...]$. (dans (3.13)) existe; d'accord avec (3.12b) cette limite sera $u(x, \bar{y}) = \lim_{j} h^{j}(x, y)$. En plus l'hypothèse que $\varphi'$ est une solution de (3.14) entraîne que $u(x, y)$ soit intégrable le long le contour $c = c(R)$ de tout domaine $R$ de $\Gamma''$ et que $\int_{c(R)} udz = T(\varphi'$; R)(R \in \Gamma'')$.

On conclut ainsi:

(3.16) Si $\varphi$ est un élément de $(\delta)$ et si $\varphi'$ satisfait à (3.14), alors $\varphi'$ sera l'élément dans une décomposition $\varphi = \varphi' + i\varphi''$ au sens plus général qu'avant.

À savoir, $\varphi'$, $\varphi''$ sont totalisables-(T); $u$ et $v$ réelles et intégrables le long tout contour $c = c(R)(R \in \Gamma'')$ existent, $u$ correspondant à $\varphi'$ et $v$ correspondant à $\varphi''$, de sorte qu'en posant $F'(R) = T(\varphi'$; R) et $F''(R) = T(\varphi''; R)$ on ait

$$ (3.16a) \qquad \begin{gathered} F'(R) = \int_C udz, \quad F''(R) = \int_C vdz \quad (c = c(R), R \in \Gamma''); \\ DF' = \varphi', \quad DF'' = \varphi'' \quad \text{sur } K \subset \bar{K}_0, \end{gathered} $$

où $K_0$ est négligeable au sens de $K_0$ dans (2.5).

REMARQUE 3.17. - La fonction $v$ dans (3.16) se calcule à partir de $\varphi''(\equiv i(\varphi' - \varphi))$ de la même manière que $u$ à partir de $\varphi'$. Si dans (3.16) $u$ et $v$ étaient continues (dans $K$) il s'ensuivrait que $u \in [c]$ et $v \in [c]$, $[c]$ désignant la classe qui survient dans le schéma (2.7a). On dira que les fonctions $u, v$, dont il s'agit dans (3.16), sont des éléments réels de la classe $[c^*]$,

$$ (3.17a) \qquad [c^*] \supset [c], $$

où $[c^*)$ est définie précisement comme la classe $[c]$, mais en remplaçant le caractère de continuité par la propriété de l'intégrabilité le long les contours $c(R)(R)$ décrivant $\Gamma''$). Ayant cette définition en vue on peut dire ceci: si $\varphi \in (\delta)$ et si $\varphi'$ satisfait à (3.14), alors à $\varphi'$ et à $\varphi''(\equiv i(\varphi' - \varphi))$ deux
fonctions réelles u et v correspondent, telles que

$$ (3.17b) \qquad u \in [c^*], \quad v \in [c^*]; $$

dans ce cas $f(z) = u + iv$ est ainsi dans $[c^*]$ et correspond à $\varphi = \varphi' + i\varphi''$, Bien entendu, si les fonctions $u$ et $v$ [calculées à partir de $\varphi'$ et de $\varphi'' = i(\varphi' - \varphi)$ comme on vient d'indiquer] sont continues dans $K$, on aura

$$ (3.17c) \qquad u \in [c], \quad v \in [c], \quad f = u + iv \in [c]. $$

D'un intérêt spécial est la classe $[c']$ intermédiaire entre $[c^*]$ et $[c]$,

$$ (3.18) \qquad [c^*] \supset [c'] \supset [c], $$

formée des fonctions de $[c^*]$ superficiellement sommables dans $K$ (e. g. sur tout sous-ensemble fermé de $K$). C'est parce qu'en rapport avec une telle classe on peut faire usage du théorème (du genre de MORERA) le plus général, qui se trouve dans l'ouvrage (F) de FÉDOROFF et qui peut être exprimé ainsi :

si $f(z)$, définie sur une plénitude du domaine $K$ (intervalle ou non) est superficiellement sommable dans $K$ et si $\int_C f(z)dz = 0$ [$c = c(R)$ étant la frontière de $R$ d'une famille $\Gamma''$ du type de MORERA], dès que cette intégrale existe au sens de Lebesgue, alors $f(z)$ vaut sur une plénitude de $K$ une fonction analytique dans $K$. Le résultat suivant en découle.

(3.18a) Si $f_1, f_2$ sont dans $[c']$ et correspondent à un même élément $\varphi$ de $(\delta)$, on aura $f_1 - f_2 = a$ sur une plénitude de $K$, $a$ étant une fonction analytique dans $K$. On dira aussi: $f_1 - f_2$ est analytique sur une plénitude de $K$.

En tenant compte de (3.16)-(3.18a) on conclut ainsi :

(3.19) Si $\varphi \in (\delta)$, on sait qu'il existe une décomposition (3.10a) $\varphi = \varphi'_0 + i\varphi''_0$ de sorte qu'à $\varphi'_0$ et à $\varphi''_0$ des fonctions, continues et réelles, $u_0$ et $v_0$ de $[c]$ correspondent; $f_0(z) = u_0 + iv_0$ sera une fonction de $[c]$ qui correspond à $\varphi$. Supposons pourtant que $\varphi'$ est une solution de la classe $[c']$ (3.18) des équations (3.14); à $\varphi'$ et à $\varphi'' = i(\varphi' - \varphi)$ des fonctions $u$ et $v$ réelles, superficiellement sommables, dans $K$, correspondent; $f(z) = u + iv$ est un élément de $[c']$ correspondant à $\varphi$; on aura

(3.19a) $f = f_0 + h[f_0 \in [c]]$, $h$ étant analytique sur une plénitude de $K$. Les fonctions $u - u_0, v - v_0$ réelles sont dans $[c']$ et, sauf pour un ensemble mince elles sont harmoniques associées dans $K$ (e.g. on peut modifier les valeurs de ces fonctions sur un ensemble mince de sorte qu'elles deviennent harmoniques associés dans $K$).
Soit $D$ la dérivation (2.4), appropriée à la totalisation $(T)$ envisagée (voir (2.5), (2.5a)); toute façon $(T)$ de totaliser inclut le caractère suivant :

(3.20) $D[(T) \int f(z) da(z)] = f(z)$ sauf sur un ensemble mince, dès que $f(z)$ est totalisable – $(T)$. Par conséquent, si $\varphi'$ satisfait aux équations (3.14), on aura

$$ (3.21) \qquad \varphi'(z) = DQ(\varphi'; z), \quad \varphi'(z) - \varphi(z) = -(r)DP(\varphi' - \varphi; z) $$

sur une plénitude de $K$.

**4. Calcul de $f$ complexe de $[c]$ moyennant un système elliptique au cas où $Rf$ est continue sur $\bar{K}$ circulaire.** - Dans la section précédente $K$ (le domaine où les $f$ de $[c]$ sont définies) était un intervalle. Dans la section actuelle nous supposerons que $K$ un cercle (domaine circulaire), soit

$$ (4.1) \qquad K = C = C(O, \rho_0) = \{ \overline{OP} < \rho_0 \}, $$

de centre $O$ et de rayon $\rho_0$; $C(Q_0; r) = C(\xi_0, \eta_0; r)$ désignera un cercle de centre $Q_0 = (\xi_0, \eta_0)$ et de rayon $r$; si $C$ est un cercle, $(C)$ désignera sa circonférence. Les développements ci-après s'appliqueront (mais moyennant des calculs plus compliqués) dans le cas où $K$ est un domaine simplement connexe à frontière assez régulière; c'est parce qu'une transformation conforme (qui ne détruit pas le caractère de harmonicité des fonctions dont il s'agit) peut réduire ce cas plus général au cas circulaire. Prenons $z_0 = z^0$ à l'origine $O$. Envisageons les $K(R_j)(j=1, 2, ...)$ (ouverts), $\subset K$, qui interviennent dans l'Hypothèse 2.13. On admet toujours (3.1). En tenant compte de (3.1a) on conclut qu'il existe une suite de cercles $C_j = C(O, r_j)$ ($j=1, 2, ...$), tels que

$$ (4.1a) \qquad 0 < r_1 < r_2 < \dots; \quad r_j < \rho_0; \quad r_j \uparrow \rho_0; \quad \bar{C}_j \subset K(R_j). $$

On aura $C_j \uparrow C(=K)$. En tenant compte des développements (2.9)-(2.11') il se voit que les fonctions réelles $g'$ et $g''$ (2.11a) sont continues dans $K_0 = K(R_0)$ (on peut faire en sorte que $O \in K^0$), ainsi que leurs dérivées premières-ce que nous exprimons en disant que $g'$ et $g''$ appartiennent à la classe $\{C^1(K_0)\}$; $g_1$ et $g_2$ satisfont aux équations elliptiques (2.11'):

$$ (4.2) \qquad \frac{\partial g'}{\partial y} + \frac{\partial g''}{\partial x} = -q_1, \quad \frac{\partial g'}{\partial x} - \frac{\partial g''}{\partial y} = q_2, $$

où $q_1$ et $q_2$ sont les parties réelle et imaginaire de $q(x, y) = F(R(z))/m(R(z))$ (2.11); $q_1$ et $q_2$ sont des fonctions connues et continues dans $K_0$. Etudions
la résolution des équations (4.2) dans le champ de fonctions de la classe $\{C^1(K_0)\}$. Ce qu'on vient d'indiquer signifie que (4.2) possède une solution particulière $(g', g'')$, dont les éléments sont dans $\{C^1(K_0)\}$ et sont exprimables par les formules de (2.11a); à présent cette solution n'est pas effectivement connue en tant que $f=u+iv$ de [c], qui correspond à $F$ de $[C]$, ne l'est pas.

(4.3) Si $(g', g'')$, $(g'+\alpha', g''+\alpha'')$ sont deux solutions dans $\{C^1(K_0)\}$ de (4.2), il s'ensuit que $\alpha'$ et $\alpha''$ sont associées harmoniques dans $K_0$. Si $(g', g'')$ est une solution particulière dans $\{C^1(K_0)\}$ de (4.2), la solution la plus générale dans la classe $\{C^1(K_0)\}$ sera de la forme $g'+\alpha', g''+\alpha''$, où $\alpha'$ et $\alpha''$ sont associées harmoniques dans $K_0$.

En effet, ayant l'hypothèse de la première partie de cette constatation en vue, il vient que $\alpha'(x, y)$ et $\alpha''(x, y)$ satisfont aux équations de Cauchy-Riemann dans $K_0$; de plus $\alpha'$ et $\alpha''$ sont dans la classe $\{C^1(K_0)\}$, ce qui entraîne que la fonction $\omega(z) = \alpha'(x, y) + i\alpha''(x, y)$ est analytique en $z$ dans $K_0$. La conclusion de la première partie de (4.3) en découle. Le reste de l'énoncé (4.2) est immédiat.

Soient $(g', g'')$ une solution quelconque dans $\{C^1(K_0)\}$ de (4.2). Soit $C_0 = C(O, r_0)$, $\bar{C}_0 \subset K_0(=K(R_0))$. Introduisons la notation :

$$ (4.4) \qquad \begin{aligned} G'(x, y) &= \int_{t=0}^{y} \int_{s=0}^{x} g'(s, t)dsdt, \quad G''(x, y) = \int_{t=0}^{y} \int_{s=0}^{x} g''(s, t)dsdt, \\ Q_{\nu}(x, y) &= \int_{t=0}^{y} \int_{s=0}^{x} q_{\nu}(s, t)dsdt \quad (\nu = 1, 2); \quad (x, y) \in C_0; \end{aligned} $$

ici l'ordre des intégrations n'importe pas. En laissant les points $(x, t)$, $(s, y)$ être variables dans $C_0$, d'après (4.2) (où la solution $(g', g'')$ a été substituée) on obtient

$$ g'(s, y) - g'(s, 0) + \int_{t=0}^{y} \frac{\partial g''(s, t)}{\partial s} dt = - \int_{t=0}^{y} q_1(s, t) dt, $$

$$ g'(x, t) - g'(0, t) - \int_{s=0}^{x} \frac{\partial g''(s, t)}{\partial t} ds = \int_{s=0}^{x} q_2(s, t) ds; $$

en intégrant la première équation par rapport à $s$ et la deuxième équation par rapport à $t$ et un échangeant l'ordre d'intégration aux premiers mem-
bres (ce qui est possible parce que les premières dérivées de $g''$ sont continues), il resulte :

$$ (1^\circ) \quad \int_{s=0}^{x} g'(s, y)ds = \int_{s=0}^{x} g'(s, 0)ds - \int_{t=0}^{y} g''(x, t)dt + \int_{t=0}^{y} g''(0, t)dt - Q_1(x, y), $$

$$ (2^\circ) \quad \int_{t=0}^{y} g'(x, t)dt = \int_{t=0}^{y} g'(0, t)dt + \int_{s=0}^{x} g''(s, y)ds - \int_{s=0}^{x} g''(s, 0)ds + Q_2(x, y). $$

Selon (4.4) :

$$ (3^\circ) \quad \frac{\partial G'(x, y)}{\partial y} = \text{le second membre de } (1^\circ), \quad \frac{\partial G'(x, y)}{\partial x} = \text{le second membre de } (2^\circ). $$

Les dérivées $\frac{\partial^2}{\partial y^2} G'(x, y)$, $\frac{\partial^2}{\partial x^2} G'(x, y)$ existent; en effet elles valent respectivement

$$ \frac{\partial}{\partial y} \int_{s=0}^{x} g'(s, y) ds = \int_{s=0}^{x} \frac{\partial g'(s, y)}{\partial y} ds, \quad \frac{\partial}{\partial x} \int_{t=0}^{y} g'(x, t) dt = \int_{t=0}^{y} \frac{\partial g'(x, t)}{\partial x} dt. $$

Par conséquent [(3°), (1°), (2°)] :

$$ \frac{\partial^2 G'(x, y)}{\partial^2 y} = -g''(x, y) + g''(0, y) - \frac{\partial Q_1(x, y)}{\partial y}, $$

$$ \frac{\partial^2 G'(x, y)}{\partial^2 x} = g''(x, y) - g''(x, 0) + \frac{\partial Q_2(x, y)}{\partial x}. $$

En ajoutant ces relations et en laissant $\Delta$ désigner le laplacien ordinaire, on déduit

$$ (4.5) \qquad \Delta G'(x, y) = g''(0, y) - g''(x, 0) + Q(x, y), $$

$$ Q(x, y) = \int_{t=0}^{y} q_2(x, t)dt - \int_{s=0}^{x} q_1(s, y)ds \quad ((x, y) \in C_0). $$

En tant que les fonctions $q_1, q_2$ sont seulement continues sur $\bar{C}_0$, les dérivées premières du second membre de l'équation (4.5) n'existent nèces- sairement pas; pourtant ce membre est une fonction continue sur $\bar{C}_0$.
Puisque $\Delta G'$ est continu dans $C_0$, on peut attribuer à $\Delta$ la signification d'un laplacien généralisé quelconque, par exemple celle du laplacien de $ZAREMBA$ (cf. $(T_3)$), sans changer la valeurs du laplacien ordinaire de $G'$. La formule de Poisson s'applique à tout laplacien généralisé continu et barné. Une solution particulière dans la classe $\{C^1(C_0)\}$ de l'équation

$$ (4^0) \qquad \Delta\omega'(x, y) = g''(0, y) - g''(x, 0) $$

est

$$ (4.5a) \qquad \omega'(x, y) = Y'(y) - X'(x), $$

$$ Y'(y) = \int_{t=0}^{y} (y - t)g''(0, t) \, dt, \quad X'(x) = \int_{s=0}^{x} (x - s)g''(s, 0) \, ds. $$

Par consequent, moyennant les remarques faites plus haut relativement à la formule de POISSON, d'après (4.5) il vient

$$ (4.5b) \qquad G'(x, y) = Y'(y) - X'(x) + \Gamma'(x, y) + B'(x, y), $$

$$ \Gamma'(x, y) = \frac{1}{2\pi} \iint_{C_0} Q(\xi, \eta) \log r(\xi, \eta; x, y) d\xi d\eta, \text{ pour } (x, y) \in C_0, $$

$B'(x, y)$ étant une fonction harmonique dans $C_0$, $r(\xi, \eta; x, y)$ étant la distance entre les points $(\xi, \eta)$ et $(x, y)$. En raison de (4.4) et $g'$ étant continue il se voit que $\frac{\partial^2}{\partial x \partial y} G'(x, y) = g'(x, y)$ partout dans $C_0$, l'ordre des dérivations n'important pas; d'où la dérivée mixte $\frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \Gamma'(x, y) = \frac{\partial^2}{\partial y \partial x} \Gamma'(x, y)$ existe dans $C_0$; on obtient

$$ (4.5c) \qquad g'(x, y) = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \Gamma'(x, y) + A'(x, y) \text{ dans } C_0 \text{ [(4.5b), (4.5)],} $$

$$ A'(x, y) = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} B'(x, y) \text{ étant harmonique dans } C_0. $$

Considérons maintenant les $R_j$ et les $K(R_j)$, d'accord avec l'Hypothèse (2.13) et (2.13b). La constatation en rapport avec (4.1a) aura lieu. Reprenons les développements (4.2)-(4.5c) avec un $R_j$ au lieu de $R_0$. Les fonctions
et les ensembles

$$
(1_j) \qquad g'_j, g''_j, q_1^j, q_2^j, R_j, K_j = K(R_j), \\
\qquad \qquad \qquad C_j = C(O, r_j), \quad G'_j(4.4), \quad Q^j(4.5), \quad \Gamma'_j(4.5b)
$$

remplacerons respectivement les fonctions et les ensembles

$$
(1_o) \qquad g', g'', q_1, q_2, R_o, K_o = K(R_o), \\
\qquad \qquad \qquad C_o = C(O, r_o), G'(4.4), Q(4.5), \Gamma'(4.5b).
$$

On note qu'aux relations $\bar{C}_0 \subset K = K(R_0)$, données antérieurement, les
inclusions

$$
(2_o) \qquad \bar{C}_j(= \bar{C}(O, r_j)) \subset K_j = KR_j) \quad (j \ge 2)
$$

(voir (4.1a)) correspondent. Ainsi (4.5c)

$$
(4.6) \quad g'_j(x, y) = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \Gamma'_j(x, y) + A'_j(x, y) \text{ dans } C_j = C(O, r_j),
$$

où $A'_{j}(x, y)$ est harmonique dans $C_j$ et

$$
(4.6a) \quad \Gamma'_{j}(x, y) = \frac{1}{2\pi} \iint_{C_j} Q^i(\xi, \eta) \log r(\xi, \eta; x, y) d\xi d\eta,
$$

$$
(4.6b) \quad Q^i(x, y) = \int_{t=0}^{y} q_2^i(x, t) dt - \int_{s=0}^{x} q_1^i(s, y) ds \quad (x, y) \in C_j = C(O, r_j);
$$

de plus

$$
(4.6c) \quad q_1^i(x, y) + iq_2^i(x, y) = F(R_j(z))/m(R_j(z)) \quad (\text{voir Hypothèse (2.13)}),
$$

$F$ étant l'élément donné de la classe $[C]$ (section 2);

$$
(4.6d) \quad g'_{j}(x, y) = \frac{1}{m(R_{j}(z))} \iint_{R_{j}(z)} u(s, t) ds dt, \quad g''_{j}(x, y) = \frac{1}{m(R_{j}(z))} \iint_{R_{j}(z)} v(s, t) ds dt
$$

(la fonction $f(z) = u + iv$ de [c] n'est pas encore effectivement connue);
$g'_j$ et $g''_j$ sont dans la classe $\{C^1(K_j)\}$, où $K_j = K(R_j)$, donc dans la classe
$\{C^1(C_j)\} (2_0)$. D'après (4.6)

$$
(4.6e) \qquad \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \Gamma'_j(x, y) \in \{C^1(C_j)\}.
$$

Notons, en plus, que $q_1^i, q_2^i, Q^i$ sont continues et bornées sur $\bar{C}_j$. La fonction (4.6e) est continue sur $\bar{C}_{j-1} = C_{j-1} + (C_{j-1})$. Moyennant la formule de POISSON pour un cercle on construit une fonction $\gamma'_j$ telle que

$$
(4.7) \qquad \gamma'_j(x, y) = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \Gamma'_j(x, y) \text{ sur la circonférence } (C_{j-1}), \\
\qquad \qquad \gamma'_j(x, y) \text{ est harmonique dans } C_{j-1}.
$$

La fonction

$$
(4.7a) \qquad \sigma'_j(x, y) = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \Gamma'_j(x, y) - \gamma'_j(x, y)
$$

est définie sur $\bar{C}_{j-1}$ à partir de $F(\in[C])$; elle est continue sur $\bar{C}_{j-1}$ et ses
dérivées premières sont continues dans $C_{j-1}$. D'après (4.6):

$$
(4.8) \quad g'_j(x, y) = \sigma'_j(x, y) + h'_j(x, y) \text{ (sur } \bar{C}_{j-1}\text{), } h'_j(x, y) = A'_j(x, y) + \gamma'_j(x, y);
$$

$h'_j(x, y)$ est *harmonique* dans $C_{j-1}$ et possède une extension continue sur $\bar{C}_{j-1}$;

$$
(4.8b) \qquad h'_{j}(x, y) = g'_{j}(x, y) \text{ sur } (C_{j-1}).
$$

D'après le caractère (2.13b) et (4.6d) (u étant continue dans K):

$$
(4.8c) \qquad \operatorname*{lim}_{j} g'_{j}(x, y) = u(x, y) \text{ dans } K := C(O, \rho_{0}).
$$

Dès lors, jusqu'à mention contraire, nous procédons sous l'hypothèse
que voici.

HYPOTHÈSE 4.9 - Supposons qu'à la fonction F, considérée, de la classe
[C] une $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ de la classe [c] correspond, telle que $u(x, y)$
est continue sur $\bar{K}$.

La continuité de $u$ sur $\bar{K}$ étant uniforme, il existe une fonction $\mu(d)$, positive pour $d_0 \ge d > 0$ ($d_0$ = diamètre de $\bar{K}$), telle que $\mu(d) \downarrow 0$ pour $d \uparrow 0$ et telle que

$$
(1') \qquad |u(x_1, y_1) - u(x_2, y_2)| \le \mu(d)
$$
pour $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ sur $\bar{K}$ et $r(x_1, y_1; x_2, y_2) \leq d$. De plus on aura
$|u| \leq K$ sur $\bar{K}$; donc (4,6d):

$$
(2') \quad |g_j'(x, y)| \text{ et } |g_j''| \le K \text{ sur } K_j = K(R_j) \supset \bar{C}_j.
$$

Soit $(x, y) = (r, \Theta) \left[ r^2 = x^2 + y^2, \Theta = tg^{-1} \frac{y}{x} \right]$ un point quelconque fixe dans K. Prenons l'entier $j' = j(x, y)$ de sorte que

$$
(3') \quad (\rho_0 >) r_{j-1} \ge \frac{1}{2} (\rho_0 + r) \quad (\text{pour } j \ge j').
$$

En particulier $r_{j-1} > r(j \geq j')$. Posons

$$
(4') \qquad \lambda(\rho, r, \Theta - \psi) = \frac{\rho^2 - r^2}{\rho^2 - 2r\rho \cos(\Theta - \psi) + r^2},
$$

Désignons par $H'$ la fonction harmonique dans $K$, telle que $H' = u$
sur la frontière $(C) = (C(O, \rho_0))$ de $K$. Selon POISSON et d'après (4.8b) on
obtient

$$
(5') \quad 2\pi H'(x, y) = 2\pi H'(r, \Theta) = \int_0^{2\pi} u(\rho_0, \psi)\lambda(\rho_0, r, \Theta - \psi)d\psi,
$$
$$
\quad \quad [(\xi_0, \eta_0) = (\rho_0, \psi) \text{ sur } (C); \rho_0^2 = \xi_0^2 + \eta_0^2, \psi = tg^{-1} \frac{\eta_0}{\xi_0}];
$$
$$
\quad 2\pi h_j'(x, y) = 2\pi h_j(r, \Theta) = \int_0^{2\pi} g_j(r_{j-1}, \psi)\lambda(r_{j-1}, r, \Theta - \psi)d\psi
$$
$$
\quad [(\xi, \eta) = (r_{j-1}, \psi) \text{ sur } (C_{j-1}); r_{j-1}^2 = \xi^2 + \eta^2, \psi = tg^{-1} \frac{\eta}{\xi}].
$$

Par conséquent

$$
(6') \quad \delta_j \equiv 2\pi(H'(x, y) - h_j'(x, y)) = \alpha_j + \beta_j \quad (j \ge j'):
$$
$$
\alpha_j = \int_0^{2\pi} [u(\rho_0, \psi) - g_j'(r_{j-1}, \psi)] \lambda(\rho_0, r, \Theta - \psi) d\psi,
$$
$$
\beta_j = \int_0^{2\pi} g_j'(r_{j-1}, \psi) [\lambda(\rho_0, r, \Theta - \psi) - \lambda(r_{j-1}, r, \Theta - \psi)] d\psi.
$$
En substituant dans (4.6d) $u(s, t) = u(r_{j-1}, \psi) + (u(s, t) - u(r_{j-1}, \psi))$, on déduit

$$
(7') \qquad \begin{aligned}
g_j'(r_{j-1}, \psi) &= u(Q_{j-1}) + \tau_j, \quad \tau_j = \\
&= \frac{1}{m(r(j))} \iint_{r(j)} [u(s, t) - u(Q_{j-1}^{\text{ref}})] ds dt (r(j)) = R_j(Q_{j-1}),
\end{aligned}
$$

où $Q_{j-1}$ représente le point $(r_{j-1}, \psi)$. Or $\bar{R}_j(Q_{j-1}) \supset Q_{j-1}$, d'où en raison de (1')

$$
| u(s, t) - u(Q_{j-1}) | \le \mu(d_j) \text{ sur } r(j), \text{ avec } d_j = d(R_j(Q_{j-1}))
$$

$(d(\dots))$ est le diamètre de $(\dots))$. $r(j)$ est une translation de $R_j(O)$ (Hypothèse 2.13), par là $d_j = d(R_j(O))$; enfin (7') :

$$
(8') \quad | \tau_j | \le \frac{1}{m(r(j))} \iint_{r(j)} | u(s, t) - u(Q_{j-1}) | ds dt \le \mu(d(R_j(O))), \quad \lim_{\tau_j \to 0} 1 = 0
$$

(car $d(R_j(O)) \to 0$). Puisque $r_{j-1} \uparrow \rho_0$, selon (7') et (8') il vient

$$
(9') \qquad u(\rho_0, \psi) - g_j'(r_{j-1}, \psi) = u(\rho_0, \psi) - u(r_{j-1}, \psi) - \tau_j \to 0.
$$

En raison de (2'), la valeur absolue de la fonction sous le signe d'intégration pour $\alpha_j$ (6') ne surpasse pas $2k\lambda(\rho_0, r, \Theta - \psi)$ (4'); cette fonction-ci est indépendante de $j$ et est intégrable sur le segment $0 \le \psi \le 2\pi$; par conséquent, en tenant compte de (9') on déduit $\lim_{\alpha_j \to 0} 1$.

Nous allons démontrer que $\beta_j (6') \to 0$. Posons (4')

$$
(10') \quad \lambda_j(\psi) = \lambda(\rho_0, r, \Theta - \psi) - \lambda(r_{j-1}, r, \Theta - \psi) = \frac{\rho_0^2 - r^2}{Q_0 P_0^2} - \frac{r_{j-1}^2 - r^2}{Q_{j-1} P_0^2},
$$

où $P = (x, y) = (r, \Theta)$, $Q_{j-1} = (r_{j-1}, \psi)$, $Q_0 = (\rho_0, \psi)$, $j \ge j'$. En posant $P_0 = (r, \psi)$ on note (3') que

$$
(o <) \quad \frac{r_{j-1}^2 - r^2}{Q_{j-1} P_0^2} \le \frac{r_{j-1}^2 - r^2}{Q_{j-1} P_0^2} = \frac{r_{j-1} + r}{r_{j-1} - r} \le \frac{\rho_0 + 3r}{\rho_0 - r} \quad (j \ge j').
$$

Donc (10')

$$
- \frac{\rho_0 + 3r}{\rho_0 - r} \le - \frac{r_{j-1}^2 - r^2}{Q_{j-1} P^2} < \lambda_j(\psi) < \frac{\rho_0^2 - r^2}{Q_0 P^2} = \lambda(\rho_0, r, \Theta - \psi);
$$

$$
(11') \quad | \lambda_j(\psi) | < \frac{\rho_0 + 3r}{\rho_0 - r} + \lambda(\rho_0, r, \Theta - \psi) \quad (j \ge j' = j'(x, y); (x, y) = (r, \Theta)).
$$
Le second membre dans (11') est indépendant de $j$ et il est intégrable par rapport à $\psi$ sur le segment $[0 \le \psi \le 2\pi]$. D'autre part $|g'_j(r_{j-1}, \psi)| \le k(2')$ et $1im g'_j(r_{j-1}, \psi)\lambda_j(\psi) = 0$; de là (6') : $1im\beta_j = 0$. Conséquemment

$$ (4.10) \qquad \displaystyle\lim_{j} h'_{j}(x, y) = H'(x, y) \quad \text{dans } K = C(O, \rho_0), $$

(où $h_j(x, y)$ est la fonction qui intervient dans (4.8).

En tenant compte des relations limites (4.8c), (4.10) et de (4.8), il se voit que la limite

$$ (4.11) \qquad \sigma'(x, y) = \lim_{j} \sigma'_{j}(x, y) = \lim_{j} (g'_{j}(x, y) - h'_{j}(x, y)) = \lim_{j} g'_{j}(x, y) - \lim_{j} h'_{j}(x, y) = u(x, y) - H'(x, y) $$

existe dans $K$ (les $\sigma'_j x, y$ sont données dans (4.7a)). Ainsi on obtient

$$ (4.11a) \qquad u(x, y) = \sigma'(x, y) + H'(x, y) \quad \text{dans } K, $$

$H'(x, y)$ étant une fonction harmonique dans $K$ et $\sigma'(x, y)$ étant effective calculable, dans $K$, à partir de l'élément $F$ de $[C]$ considéré ; $H'(x, y)$ possède une extension continue sur $\bar{K}$. De même $\sigma'(x, y) := u - H'$ a une extension continue sur $\bar{K}$ (car $u$ est continue sur $\bar{K}$) ; désignons par $\sigma'(x, y)$ une telle extension de la fonction ainsi originellement dénotée. On a $\sigma' = 0$ sur $K$.

Posons $u_0(x, y) = \sigma'(x, y)$ ; c'est une fonction continue sur $\bar{K}$ et connue à partir de l'élément $F$ de $[C]$. Soit $H''(x, y)$ une fonction associée harmonique de $H'$ dans $K$ ; $f(z) = u + iv$ (4.11a) étant un élément de $[c]$, qui correspond à $F$ (avec $u$ continue sur $\bar{K}$), la fonction $f_0(z) = u_0 + iv_0 = f(z) - (H' + iH'')|u_0 = \sigma' v_0 = v - H'|$ sera aussi un élément de $[c]$ (correspondant à $F$), avec $u_0$ satisfaisant à l'Hypothèse 4.9. Pour tous les éléments $f'_0(z)$ de $[c]$, qui correspondent à $F$ et qui sont de la forme $u_0 + iv'_0$, on aura nécessairement $v'_0 = v_0 + k'_0$, où $k'_0$ est une constante $[ceci est une conséquence du fait que $f'_0 - f_0$ analytique est purement imaginaire] ; $R = R(z)$ étant une translation de $R_0$, comme on a indiqué à la suite de (2.11), posons d'accord avec (2.11a):

$$ (1_1) \qquad g'_0(x, y) = \frac{1}{m(R)} \iint_R u_0(s, t) ds dt, \quad g''_0(x, y) = \frac{1}{m(R)} \iint_R v_0(s, t) ds dt, $$

où $u_0 = \sigma'$ est la fonction déjà calculée. Les équations (4.2), pour $g'_0$ et
$g''$ au lieu de $g'$ et de $g''$, auront lieu; ainsi

$$ (2_1) \qquad \frac{\partial g_0''(x, y)}{\partial x} = \tau_2(x, y), \quad \frac{\partial g_0''(x, y)}{\partial y} = -\tau_1(x, y) \quad (\text{dans } K(R_0)), $$

où les fonctions

$$ 3_1) \quad \tau_2(x, y) = -q_1(x, y) - \frac{\partial g_0''(x, y)}{\partial y}, \quad \tau_1(x, y) = q_2(x, y) - \frac{\partial g_0'(x, y)}{\partial x} \quad [(1_1), (2.11)] $$

sont connues (à partir de $F$) et continues dans $K(R_0)$. Or les équations (2.1) sont de la forme (2.11*), avec $g'$, $q_1$, $q_2$ y remplacés par $g_0'$, $\tau_1$, $\tau_2$. On obtient (avec $(x^0, y^0) = (0, 0)$), pareille à (2.12):

$$ (4_1) \qquad g_0''(x, y) = g_0''(0, 0) + h_0''(x, y), \quad h_0''(x, y) = \int_{s=0}^{x} \tau_2(s, y)ds - \int_{t=0}^{y} \tau_1(o, t)dt $$

pour $(x, y) \in C_0 = C(O, r_0)$ pourvu que $\bar{C}_0 \subset K(R_0)$. Nous admettons toujours les notations en rappurts avec (4.1)-(4.1a). Dans (1$_1$)-(4$_1$) on remplace $R_0$ par $R_j$ (Hypothèse 2.13); on pose (avec $z = (x, y)$):

$$ (4.12) \qquad g_0''(x, y) = \frac{1}{m(R_j(z))} \iint_{R_j(z)} v_0(s, t)dsdt, \quad q_1'(x, y) + iq_2'(x, y) = \frac{F(R_j(z))}{m(R_j(z))}, \\ g_0'(x, y) = \frac{1}{m(R_j(z))} \iint_{R_j(z)} u_0(s, t)dsdt, \quad \tau_2'(x, y) = -q_1'(x, y) - \frac{\partial g_0'(x, y)}{\partial y}, \\ \tau_1'(x, y) = q_2'(x, y) - \frac{\partial g_0'(x, y)}{\partial x}, \quad h_0''(x, y) = \int_{s=0}^{x} \tau_2'(s, y)ds - \int_{t=0}^{y} \tau_1'(0, t)dt. $$

Les fonctions $g_0'(x, y)$, $\tau_1'(x, y)$, $\tau_2'(x, y)$, $h_0''(x, y)$ sont connues (à partir de $F$, donnée dans [C]) et continues dans $C_j = C(O, r_j)$ (4.1a); $C_j \uparrow C(O, \rho_0) = K$. Or (4.1) $g_0''(x, y) = g_0''(0, 0) + h_0''(x, y)$ dans $C_j$, tandis que (4.12) $1im g_0''(x, y) = v_0(x, y)$ dans $K$. Par suite

$$ (4.12a) \qquad v_0(x, y) = c_0 + 1im h_0'''(x, y) \quad (\text{dans } K); $$

ici $c_0 = v_0(0, 0)$. Selon les indications qui précèdent (1$_1$) on peut prendre pour $c_0$ n'importe quelle constante; posons $c_0 = 0$. La conclusion capitale suivante en découle.
### THÉORÈME 4.13. - Soit $K = C(O, \rho_0)$ (4.1) et envisageons un élément $F$ de la classe $[(C]$. Si à $F$ une $f = u + iv$ de la classe $[c]$ correspond, telle que $u$ est continue sur $\bar{K}$, alors une fonction $f_0 = u_0 + iv_0$ de $[c]$, qui correspond à $F$, est effectivement calculable à partir de $F$ comme il suit :

$$ (4.13a) \qquad f_0(z) = \sigma'(x, y) + i \lim_{j} h_0''(x, y) \quad (\text{dans } K); $$

$\sigma'(x, y)$ est définie par (4.11), (4.7a), (4.7), (4.6a), (4.6b), (4.12) (pour $q_1^j, q_2^j$); $h_0''(x, y)$ est donnée moyennant (4.12), avec

$$ (4.13b) \qquad g_0^j(x, y) = \frac{1}{m(\bar{R}_j(z))} \iint_{\bar{R}_j(z)} \sigma'(s, t) ds dt; $$

$u_0 = \sigma'$ est continue sur $\bar{K}$ (e.g. une extension de $u_0$. continue sur $\bar{K}$. existe). Tout élément de $[c]$, correspondant à $F$, sera de la forme $f_0(z) + a(z)$, où $a(z)$ est analytique dans $K(= C(0, \rho_0))$.

Laissons dès lors $K$ être un domaine (ensemble ouvert, connexe). Soit $C_1 = C(z_1, r_1)$ un domaine-cercle, $\bar{C}_1 \subset K$. Si les fonctions

$$ (a_1) \qquad f(z) = u + iv \in [c], \quad F(R) \in [C](R, \in \Gamma'', \text{ dans } K), \quad \varphi(z) \in \mathfrak{S}, $$

relativement à $K$, correspondent l'une à l'autre, la correspondance sera maintenue, relativement à un domaine $D$ contenu dans $K$, si les fonctions $(a_1)$ sont réduites à $D$, e.g. si l'on considère $f$ et $\varphi$ comme définies seule. ment dans $D$ et $F(R)$ comme définie seulement pour les $R$ de $\Gamma''$ dans $D$. Prenons $D = C_1$. Tandis que $f(z)$ dans $(a_1)$ (continue dans $K$) peut être non bornée dans $K$, la fonction $f$, réduite à $C_1$, sera continue et bornée sur $\bar{C}_1$, ($\subset K$). Aux éléments $f$ (de $[c]$), $F$ (de $[C]$), considérés relativement à $C_1$, les conclusions (4.13)-(4.13b) s'appliqueront, en remplacant $C(O, \rho_0)$ par $C(z_1, r_1)$. D'accord avec (4.13a) on obtient

$$ (a_2) \qquad f_1(z) = \sigma_1'(x, y) + i \lim_{j} h_1''(x, y) = u_1(x, y) + iv_1(x, y) \quad \text{dans } C_1 $$

($\sigma_1'$, $h_1''$ correspondent à $\sigma'$, $h_0''$); $u_1(x, y)$ est continue sur $\bar{C}_1$ (et $u_1=0$ sur la circonférence ($C_1$)). La fonction $f_1(z)$ est un élément de $[c]$ (dans $C_1$), calculé dans $C_1$ à partir de $F$ (réduite à $C_1$). On aura

$$ (a_3) \qquad f(z) = f_1(z) + a_1(z) \quad \text{dans } C_1, \quad \alpha_1(z) = \alpha_1(x, y) + i\beta_1(x, y), $$

$a_1(z)$ étant analytique dans $C_1$. Il se voit que $\alpha_1(x, y)(= u(x, y) - u_1(x, y))$ est continue sur $\bar{C}_1$. On ne sait pas si $\beta_1(x, y)$ (assocée harmonique dans $C_1$
de $\alpha_1(x, y)$ est continue sur $\bar{C}_1$, car on n'a pas établi que $v_1(x, y)$ (qui correspond à $v_0[4.13)-(4.13b]$) est continue sur $\bar{C}_1$.

Étant donné un élément particulier $F$ de $[C]$ (relativement à $K$), $F(R)$ sera calculable à partir d'une $\varphi$ unique de $(\delta)$ (relativement à $K$) par une totalisation : $F(R) = T(\varphi; R)$ (tout $R$, de $\Gamma'', \subset K$). Selon définition des ciasses $[c]$, $[C]$ $(\delta)$, à priori il devrait exister un procédé de calcul permettant d'obtenir, à partir de $\varphi$ seule (connue dans $K$, sauf pour un ensemble exceptionnel approprié au genre de la totalisation), une fonction $f$ de $[c]$ (relativement à $K$) correspondant à $\varphi$ (à $F(R) = T(\varphi; R)$). Nous allons démontrer le fait suivant.

(4.14) Ayant la remarque que nous venons de faire en vue, une fonction $f$ de $[c]$ (relativement à $K$) est effectivement calculable moyennant le résultat (4.13)-(4.13b), si l'on connaît l'élément $\varphi$ de $(\delta)$ relativement à $K$ ($f$ correpond à $\varphi$) et les valeurs de $f$ sur une circonférence $(S_1) = (C(z_1, \rho_1))$, avec $\bar{C}(z_1, \rho_1) \subset K$.

Voici le procédé de calcul. Soit $r_1$ tel que $0 < \rho_1 < r_1$ et $\bar{C}_1 = \bar{C}(z_1, r_1) \subset K$. La constatation relativement à $(a_2)$ $f = f_1 + a_1$ (dans $C_1$) en résulte; ici $f_1$ a été calculée (à partir de $\varphi$) dans $C_1$; $f - f_1$ est continue et est connue sur la circonférence $(S_1)$ (en tant que $f$ l'est). Dans $S_1$ $a_1(z)$ est déterminée moyennant ces valeurs: $2\pi a_1(z) = \int_{(S_1)} (f(\zeta) - f_1(\zeta)) \frac{d\zeta}{\zeta - z}$, d'où on peut obtenir $a_1(z)$ dans $C_1$ au moyen des valeurs $a_1^{(n)}(z_1)(n = 0, 1, ...)$, $K$ étant connexe, si $z^*$ est un point quelconque dans $K$ on peut obtenir $f$ au point $z^*$ par un procédé de prolongement comme il suit. On trouve une suite finie de cercles, tels que

$$ (4.14a) \qquad \begin{aligned} S_j &= S_j(z_j, \rho_j), \quad \bar{S}_j \subset K(j=2, \dots, v); \\ S_j S_{j+1} &= \begin{cases} 0 & (j=1, \dots, v-1); \quad S_v \ni z^*. \end{cases} \end{aligned} $$

Pareille à la formule $(a_3)$ il vient que

$$ (4.14b) \qquad f(z) = f_j(z) + a_j(z) \quad \text{dans } S_j \quad (j=1, 2, \dots), $$

où $f_j(z)$ est calculée (à partir de $\varphi$) dans $S_j$ selon (4.13) – (4.13b), et $a_j(z)$ est une fonction analytique dans $S_j$. Pour $j < v$ on aura $f = f_j + a_j = f_{j+1} + a_{j+1}$ dans $S_j S_{j+1}$, donc

$$ a_{j+1} = a_j + f_j - f_{j+1} \quad (\text{dans } S_j S_{j+1}). $$

Si $a_j$ est connue (dans $S_j$), il se voit que $a_{j+1}$ est le prolongement analytique dans $S_{j+1}$ de la fonction $a_j + f_j - f_{j+1}$, analytique dans $S_j S_{j+1}$.
On peut choisir les $S_j(j = 1, ..., v)$ de sorte que $z_{j+1} \in S_j$; alors

$$ (4.14c) \quad a_{j+1}(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \left[ \frac{d^n}{dz_{j+1}^n} (a_j(z_{j+1}) + f_j(z_{j+1}) - f_{j+1}(z_{j+1})) \right] (z - z_{j+1})^n \quad \text{dans } S_{j+1} $$

[la condition $z_{j+1} \in S_j$ est seulement pour simplifier; autrement, elle n'est pas nécessaire]. En particulier, $a_2$ sera le prolongement analytique dans $S_2$ de la fonction $a_1 + f_1 - f_2$ entièrement connue et analytique dans $S_1 S_2$; par conséquent toutes les $a_j (j = 2, ..., v)$ seront déterminées successivement dans les $S_j$ qui correspondent. Donc on aura $f(z^*)$ déterminée par la formule (4.14b): $f(z^*) = f_v(z^*) + a_v(z^*)$, ce qui vérifie l'énoncé (4.14).

**5. L'extension de la section 4 à un cas plus général.** - Considérons le cas où $K = C(O, \rho^0)$ (un domaine circulaire) et que, étant donné un $F$ de $[C]$ [$F(R) = T(\varphi; R)$ pour $R$ (de $T^0$) $\subset K$, $\varphi$ étant un élément de $(\delta)$], une fonction $f = u + iv$ de $[c]$ relativement à $K$) correspond telle que

$$ (5.1) \quad \int_0^{2\pi} |u(\rho, \psi)| d\psi \le M \quad (\text{fini et indépendant de } \rho) $$

$$ \text{pour } 0 \le \rho < \rho^0 (\zeta = s + it = \rho e^{i\theta} = (\rho, \psi)). $$

Ainsi $f$, continue dans $K$, peut y être non borné. Envisageons une suite de cercles

$$ (1_0) \quad C_n = C(O, r_n), \quad 0 < r_1 < r_2 < \dots, r_n < \rho^0, r_n \uparrow \rho^0. $$

En réduisant les classes $(\delta)$ $[C]$, $[c]$ à $C_n$, en notant que $u$ est continue sur $\bar{C}_n$, d'accord avec (4.13) - (4.13b) (pour $C_n$ au lieu de $C(O, \rho_0)$) on calcule une $f_n$ de $[c]$ (relativement à $C_n$):

$$ (2_0) \quad f_n = u_n + iv_n \quad \text{dans } C_n, $$

avec $u_n$ continue sur $\bar{C}_n$, $u_n$ étant zéro sur la circonférence $(C_n)$. Nécessairement

$$ \begin{array}{l} (3_0) \quad f = f_n + a_n \quad \text{dans } C_n, \quad a_n = \alpha_n + i\beta_n \quad \text{analytique dans } C_n; \\ \phantom{(3_0) \quad f = } u = u_n + \alpha_n \quad \text{dans } C_n, \quad \alpha_n \quad \text{harmonique dans } C_n. \end{array} $$

$\alpha_n$ est continue sus $\bar{C}_n$ et $\alpha_n$ vaut $u$ sur $(C_n)$, donc

$$ (4_0) \quad \alpha_n(r, \Theta) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{r_n^2 - r^2}{r_n^2 - 2r_n r \cos(\Theta - \psi) + r^2} u(r_n, \psi) d\psi \quad (r < r_n). $$
Soient $0 < 2\delta < \rho^0$ et $n' = n'(\delta)$ tel que $r_n' \ge \rho^0 - \delta$. Laissons $r \le \rho^0 - 2\delta$, alors $r_n - r \ge \delta$ pour $n \ge n'$ et

$$ \frac{r_n^2 - r^2}{r_n^2 - 2r_n r \cos(\Theta - \psi) + r^2} \le \frac{r_n + r}{r_n - r} \le \frac{2\rho^0}{\delta} \quad (n \ge n'); $$

donc [(4₀), (5.1)]:

$$ (5_0) \quad | \alpha_n(r, \Theta) | \le \frac{\rho^0}{\pi \delta} \int_0^{2\pi} | u(r, \psi) | d\psi \le \frac{\rho^0}{\pi \delta} M \quad \text{sur } \bar{C}(O, \rho^0 - 2\delta), $$

Posons $\lambda_n(\Theta) = r_n^2 - 2r_n r \cos(\Theta - \psi) + r^2$, où $r = \rho^0 - 2\delta$ et $n \ge n'$; alors $\lambda_n(\Theta) \ge (r_n - r)^2 \ge \delta^2$, par là

$$ \left| \frac{1}{\lambda_n(\Theta')} - \frac{1}{\lambda_n(\Theta)} \right| = \frac{2r_n r \left| \cos(\Theta' - \psi) - \cos(\Theta - \psi) \right|}{\lambda_n(\Theta')\lambda_n(\Theta)} \le \frac{2r_n r}{\delta^4} |\Theta' - \Theta|; $$

donc d'après (4₀) et (5.1) il vient :

$$ (6_0) \quad \begin{aligned} | \alpha_n(r, \Theta') - \alpha_n(r, \Theta) | &\le \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \left| \frac{1}{\lambda_n(\Theta')} - \frac{1}{\lambda_n(\Theta)} \right| (r_n^2 - r^2) \cdot \\ &\qquad \cdot |u(r_n, \psi)| d\psi \le \frac{4M(\rho^0/\delta)^3}{\pi} |\Theta' - \Theta| \quad (r = \rho^0 - 2\delta, n \ge n'(\delta)). \end{aligned} $$

Sur la circonférence ($C(O, \rho^0 - 2\delta)$), où $\delta$ est fixé, la famille de fonctions $\{\alpha_n\}$ ($n \ge n'(\delta)$) est uniformément bornée et les $\alpha_n$ ($n \ge n'(\delta)$) y sont équicontinues [la équicontinuité sur la circonférence vient aussi de quelques principes généraux]. Par conséquent il existe une suite d'entiers $n_1 < n_2 < \dots$, $n_k \to \infty$, $n_k \ge n'(\delta)$ et une fonction $\alpha(\delta; \rho^0 - 2\delta, \psi)$ (continue en $\psi$ pour $(0 \le \psi \le 2\pi)$), de sorte que $\alpha_{n_k}(\rho^0 - 2\delta, \psi) \to \alpha(\delta; \rho^0 - 2\delta, \psi)$ uniformément. D'après la formule de POISSON pour $C(O, \rho^0 - 2\delta)$ il vient que la limite

$$ (7_0) \quad \lim_{k} \alpha_{n_k}(r, \Theta) = \alpha(\delta; r, \Theta) \quad (0 \le r < \rho^0 - 2\delta) $$

existe, la fonction $\alpha(\delta; r, \Theta)$ étant harmonique dans $C(O, \rho^0 - 2\delta)$, continue sur la fermeture de ce cercle et ayant les valeurs $\alpha(\delta; \rho^0 - 2\delta, \psi)$ sur $(C(O, \rho^0 - 2\delta))$; $(7_0)$ aura lieu aussi pour $r = \rho^0 - 2\delta$. D'après (3₀), (7₀) la limite

$$ (8_0) \quad \lim_{k} u_{n_k}(r, \Theta) = u(\delta; r, \Theta) = u(r, \Theta) - \alpha(\delta; r, \Theta) \quad (0 \le r \le \rho^0 - 2\delta) $$

existe et est continue sur $\bar{C}(O, \rho^0 - 2\delta)$.
Prenons $0 < 2\delta_v < \rho^0(v = 1, 2, ...), \delta_v \downarrow 0$. Désignons par $n_{1,k}(k=1, 2, ...)$ les $n_k$ qui interviennent dans $(7_0)$, $(8_0)$ pour $\delta = \delta_1$; $n_{1,k} \ge n'(\delta_1)$ ($k \ge 1$). Désignons par $\Gamma_1$ la suite $\{n_{1,1}, n_{1,2}, ...\}$ et formons en succession, pour $v = 2, 3, ...$, des suites infinies et croissantes d'entiers :

$$ (9_0) \quad \Gamma_v = \{n_{1,1}, n_{2,2}, \dots, n_v, v, n_v, v+1, \dots\} \quad \begin{array}{l} n_v, k \ge n'(\delta_v) \quad (\text{pour } k \ge v); \\ \Gamma_1 \supset \Gamma_2 \supset \dots \supset \Gamma_v \supset \dots; \end{array} $$

de plus $\Gamma_v$, pour un $v(>1)$ fixe, est choisie de sorte que $[(7_0), (8_0)]$ avec $\delta_v$ pour $\delta]$ la limite $\displaystyle\lim_k \alpha_{n_v, k}(r, \Theta) = \alpha(\delta_v; r, \Theta)(0 \le r \le \rho^0 - 2\delta_v)$ existe, $\alpha(\delta_v; r, \Theta)$ étant harmonique pour $r < \rho^0 - 2\delta_v$ et continue pour $r \le \rho^0 - 2\delta_v$; alors

$$ (10_0) \quad \lim_k u_{n_v, k}(r, \Theta) = u(\delta_v; r, \Theta) = u(r, \Theta) - \alpha(\delta_v; r, \Theta) $$

sur $\bar{C}(O, \rho^0 - 2\delta_v)$. La possibilité de la réalisation de $(10_0)$ découle quand on reprend les développements $(3_0)-(8_0)$, avec la suite $\{n\}$ remplacée par la suite $\Gamma_{v-1}(\text{supposée déjà connue})$ et en posant $\delta = \delta_v$. On aura $(10_0)$ sur $\bar{C}(O, \rho^0 - 2\delta_1)$ d'après le choix originel des $n_1, k$ ($k \ge 1$), e. g. la cons-
tatation $(10_0)$ pour $v=1$ est valide. En tant que $\Gamma_v \subset \Gamma_1$ il se voit que

$$ (11_0) \quad u(\delta_v; r, \Theta) = u(\delta_1; r, \Theta) \quad \text{pour } r \le \rho^0 - 2\delta_1. $$

Par là $\alpha(\delta_v; r, \Theta) = \alpha(\delta_1; r, \Theta)(r \le \rho^0 - 2\delta_1)$; par conséquent

$$ (12_0) \quad \alpha(\delta_v; r, \Theta) \text{ est le prolongement harmonique dans } C(O, \rho^0 - 2\delta_v) \\ \text{de } \alpha(\delta_1; r, \Theta). $$

La suite diagonale $\Gamma = \{n_{1,1}, n_{2,2}, \dots, n_v, v, \dots\}$ appartient à $\Gamma_1$ et, en général, si $m(>0)$ est un entier quelconque, la suite formée d'éléments de $\Gamma$ d'indice égal ou supérieur à $m$ est contenu dans chacune des suites $\Gamma_1, \dots, \Gamma_m$. Soit $z$ un point quelconque, fixe, dans $K = C(O, \rho^0)$. Prenons $m=m(z)$ tel que $2\delta_m < \rho^0 - |z|$; $z$ sera dans $C(O, \rho^0 - 2\delta_m)$ et, d'après $(10_0)$ (pour $v=m$), il vient que la limite

$$ (13_0) \quad u_0(z) = \lim_j u_{n_j, j}(z) = \lim_k u_{n_m, k}(z) = u(\delta_m; z) $$

existe. La $\lim_j u_{n_j, j}(z)$ existe partout dans $K$ et la suite $\{n_j, j\}$ ne dépend pas de $z$. En raison de $(10_0)$

$$ u_0(z) = u(z) - \alpha(\delta_m; z) \quad (m = m(z)) \quad \text{pour } z \text{ dans } K; $$

or $(12_0)$ il existe une fonction $\alpha_0(z)$, harmonique dans $K$, qui est le prolongement
gement harmonique dans $K$ de $\alpha(\delta_1; z)[\alpha_0(z) = \alpha(\delta_{m(z)}; z)]$; donc

$$ (14_0) \qquad u(z) = u_0(x, y) + \alpha_0(x, y) \quad \text{dans } K. $$

Il se voit que l'hypothèse (5.1) entraîne que la famille de limites dans $K = C(O, \rho^0)$ des $u_n(2_0)$ n'est pas vide. Pourtant l'inconvénient est que la détermination de $u_0(z) = \operatorname{im} u_{n_j, j}(z)$, selon (13$_0$), fait intervenir une suite $\Gamma = \{n_1, 1, n_2, 2, \dots\}$ d'entiers, qui n'est pas effectivement trouvable sans la préalable connaissance de $f$ de $[c]$.

Soit $u^0$ une limite quelconque des $u_n(2_0)$. Ainsi il existe une suite infinie croissante d'entiers $m_k$ ($k = 1, 2, \dots$), tels que

$$ (1^0) \qquad u^0(x, y) = \lim_{k} u_{m_k}(x, y) \quad \text{dans } K = CO, \rho^0; $$

le choix des $m_k$ ne dépend pas directement de $f$ de $[c]$. D'après (3$_0$) on observe que la limite

$$ (2^0) \qquad \alpha = \lim_{k} \alpha_{m_k} = u - \lim_{k} u_{m_k} = u - u^0 $$

existe dans $K$; $\alpha_{m_k}(r, \Theta)$, harmonique dans $C_{m_k} = C(O, r_{m_k})$ et continue sur $\bar{C}_{m_k}$, est exprimable pour $r < r_{m_k}$ par $(4_0)$ (avec $n = m_k$). Soit $0 < 2\delta < \rho^0$ et $k' = k'(\delta)$ tel que $r_{m_k'} \ge \rho^0 - \delta$. Moyennant la condition (5.1) on obient (5$_0$):

$$ (3^0) \qquad | \alpha_{m_k}(r, \Theta) | \le \frac{\rho^0}{\pi \delta} M \quad \text{sur } \bar{C}(O, \rho^0 - 2\delta) $$

pour tout $k \ge k'(\delta)$. On déduit aussi (6$_0$) pour $n = m_k$, $k \ge k'$; la famille $\{\alpha_{m_k}(r, \Theta)\}$ ($k \ge k'$) est ainsi uniformément bornée et equicontinue sur la circonférence $(C(O, \rho^0 - 2\delta))$; d' aute part (2$^0$) la suite $\alpha_{m_k}$ converge vers $\alpha$, donc $\alpha$ est continue sur cette circonférence.

$$ \alpha_{m_k}(r, \Theta) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{[(\rho^0 - 2\delta)^2 - r^2] \alpha_{m_k}(\rho^0 - 2\delta, \psi)}{(\rho^0 - 2\delta)^2 - 2(\rho^0 - 2\delta)r \cos(\Theta - \psi) + r^2} d\psi $$

pour $r < \rho^0 - 2\delta$. En conséquence de (3$^0$), (2$^0$):

$$ \alpha(r) \Theta, = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{[(\rho^0 - 2\delta)^2 - r^2]\alpha(\rho^0 - 2\delta, \psi)}{(\rho^0 - 2\delta)^2 - 2(\rho^0 - 2\delta)r \cos(\Theta - \psi) + r^2} d\psi $$

dans $C(O, \rho^0 - 2\delta)$. Ainsi $\alpha$ est harmonique dans $C(O, \rho^0 - 2\delta)$; $\alpha$ (2$^0$) est indépendante de $\delta$, donc en laissant $\delta \to 0$ on conclut que $\alpha$ est harmonique dans $C(O, \rho^0 - 2\delta)$.
nique dans $K = C(O, \rho^0)$. Par conséquent

(4º) 	$u = u^0 + \alpha$ dans $K$, $\alpha$ harmonique dans $K$.

Rappelons-nous que $v_n$ ($2_0$) est calculée selon (4.13a)-(4.13b) (avec $C_n = C(O, r_n)$ pour $C(O, \rho_0)$). Les $C_n$ dont il s'agit maintenant ne sont pas les $C_j$ qui interviennent dans (4.1a) et dans les calculs spécifiés dans (4.13a)-(4.13b). Avec un $n$ fixe on envisage les $K_n(R_n, j)$ ($j=1, 2, ...$) (ouverts), $\subset K_n = C_n = C(O, r_n)$, d'accord avec l'Hypothèse 2.13. On introduit une suite de cercles $C_n, j = C(O, r_n, j)$ ($j=1, 2, ...$) en sorte que

(5º) 	$0 < r_n, 1 < r_n, 2 < \dots; r_n, j < r_n; r_n, j \uparrow r_n$ (pour $j \to \infty$); 	$\bar{C}_n, j \subset K_n(R_n, j)$;

de plus $C_n, j \uparrow C_n(=K_n)$. On note que $v_n(0, 0) = 0$. Selon (3º):

(6º) 	$\beta_n = v - v_n$ est associée harmonique de $\alpha_n$ dans $C_n$; $\beta_n(0, 0) = v(0, 0)$,

Prenons $0 < 2\delta < \rho^0$, $m_k$ comme dans (1º) et $k \ge k'(\delta)$, de sorte que $r_{m_k} \ge \rho^0 - \delta(k \ge k'(\delta))$; alors, en posant $\rho_\delta = \rho^0 - 2\delta$, on obtient

(7º) 	$\beta_{m_k}(r, \Theta) = v(0, 0) + \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\rho_\delta r \sin(\Theta - \psi) \alpha_{m_k}(\rho_\delta, \psi)}{\rho_\delta^2 - 2\rho_\delta r \cos(\Theta - \psi) + r^2} d\psi$

pour $r < \rho^0 - 2\delta$. D'après (3º)

$$ \left| \frac{\rho_\delta r \sin(\Theta - \psi) \alpha_{m_k}(\rho_\delta, \psi)}{\rho_\delta^2 - 2\rho_\delta r \cos(\Theta - \psi) + r^2} \right| < \frac{(\rho^0)^3}{\pi \delta} M[\rho_\delta^2 - 2\rho_\delta r \cos(\Theta - \psi) + r^2]^{-1} = \lambda_\delta(r, \Theta - \psi) $$

pour $r < \rho^0 - 2\delta$, $k \ge k'(\delta)$; $\lambda_\delta(r, \Theta - \psi)$, indépendante de $k$, est sommable sur $(0 \le \psi \le 2\pi)$. Par conséquent [(2º), (7º)]:

(8º) 	$\beta(r, \Theta) = \underset{k}{im} \beta_{m_k}(r, \Theta) = v(0, 0) + \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\rho_\delta r \sin(\Theta - \psi) \alpha(\rho_\delta, \psi)}{\rho_\delta^2 - 2\rho_\delta r \cos(\Theta - \psi) + r^2} d\psi,$

lorsque $r < \rho^0 - 2\delta$. Or la fonction au troisième membre est harmonique en $(r, \Theta)$ dans $C(O, \rho^0 - 2\delta)$; $\beta(r, \Theta)$ est indépendante de $\delta$ et $\delta$ peut être pris arbitrairement petit. Par suite $\beta(r, \Theta)$ (8º) est harmonique dans $K = C(O, \rho^0)$. En raison des relations

$$v_{m_k} = v - \beta_{m_k} \text{ (dans } C_{m_k}), C_{m_k} \uparrow K,$$
et de (8º) il vient

$$ (9^0) \qquad v^0 = \lim_{k} v_{m_k} = v - \beta \quad \text{dans } K. $$

L'intégrale dans (8º) représente une fonction qui est une associée harmonique dans $C(O, \rho^0 - 2\delta)$ de $\alpha$; de là $\beta = \lim_{k} \beta_{m_k}$ est une associée harmonique dans $K$ de $\alpha$. Ainsi [(2º), (1º), (9º)]:

$$ (5.2) \qquad f^0 = \lim_{k} f_{m_k} = w^0 + iv^0 = f - a \quad \text{dans } K = C(O, \rho^0), \quad a = \alpha + i\beta $$

étant harmonique dans $K$;

$f$ est dans la classe [c] d'accord avec la constatation relativement à (5.1). Nous résumons comme il suit.

### THÉORÈME 5.3. - Envisageons la situation décrite en rapport avec l'hypothèse (5.1). Calculons $(2_0)$ $f_n = u_n + iv_n$ dans $C_n$ $(1_0)$, $n = 1, 2, \dots$, à partir de $\varphi$ de $(\delta)$[e. g. de $F(R) = T(\varphi; R)$, $R$ (de $\Gamma'$) $\subset K$], en suivant les procédés spécifiés dans (4.13)-(4.13b) (pour $C_n$ au lieu de $C(O, \rho_0)$). Il s'ensuit que la famille de limites dans $K$ de la suite $\{u_n\}$ n'est pas vide. Soit $u_{m_k}$ $(k = 1, 2, \dots)$ une suite partielle quelconque, qui converge dans $K$ vers une limite, soit $u^0$; alors la limite $v^0 = \lim_{k} v_{m_k}$ existera dans $K$. Enfin la fonction $f^0(z) = u^0(x, y) + iv^0(x, y)$ sera un élément de la classe [c] dans $K$, correspondant à la fonction $\varphi$ de $(\delta)$ (ou à $F(R) = T(\varphi; R)$ de [C]) donnée.

### 6. Le cas où la frontière de $K$ borné est un contour jordanien et le cas de $K$ borné simplement connexe.
Dans la section actuelle on suppose que l'ensemble ouvert et borné $K$ est simplement connexe. Nous plaçons l'origine du plan complexe-(z) ($z = x + iy = (x, y)$) dans $K$. Soit $z' = \lambda'(z)$ la fonction, analytique et simple dans $K$, qui effectue la transformation conforme de $K$ sur le cercle $C' = C(O, 1) = \{ | z' | < 1 \}$ dans le plan-(z') ($z' = x' + iy' = (x', y')$):

$$ (6.1) \qquad \lambda'(z) = \lambda'_1(x, y) + i\lambda'_2(x, y); \quad \text{la fonction inverse} $$

$$ \lambda(z') = \lambda_1(x', y') + i\lambda_2(x', y'); \quad \lambda'(0) = \lambda(0) = 0, \quad \lambda^{(\alpha)}(0) > 0. $$

$\lambda(z')$ est simple dans $C'$; $K$ étant borné, la fonction $\lambda(z')$ est bornée; $|\lambda(z')| < N(z' \in C')$. $\Gamma'' = \{R\}$ étant une famille d'ensembles $R$, $\subset K$, de type-M (MORERA) d'accord avec (2.2)-(2.2b), en désignant par $\tilde{R}$ l'homologue de $R$ ($\in \Gamma''$), on obtient une famille $\tilde{\Gamma}'' = \{\tilde{R}\}$ d'ensembles situés dans
$C'$ et possédant les caractères (2.2), (2.2a); la propriété (2.2b) sera en général en défaut pour $\bar{\Gamma}''$ (avec $C'$ pour $K$).

(6.1a) Pour la famille $\bar{\Gamma}''$ le théorème de Morera s'applique.

En effet soit $\tilde{f}(z')$ une fonction continue dans $C'$ et telle que

$$ \int_{c} \tilde{f}(z')dz' = 0 \quad (c = \tilde{c}(\bar{R}) \text{ étant le contour de } \bar{R}) $$

pour tout $\bar{R}$ de $\bar{\Gamma}''$. Cette égalité se transforme ainsi :

$$ \int_{c} \tilde{f}(\lambda'(z))\lambda^{(1)}(z)dz = 0 \quad (c = c(\bar{R}) \text{ étant le contour de } \bar{R}) $$

pour $R$ de $\Gamma''$. Or $f^*(z) = \tilde{f}(\lambda'(z))\lambda^{(1)}(z)$ est continue dans $K$ et on sait que $\bar{\Gamma}'$ est de type-$M$; donc cette fonction est analytique dans $K$; par là $\tilde{f}(z') = f^*(\lambda(z'))\lambda^{(1)}(z')$ est analytique dans $C'$, ce qui vérifie (6.1a).

Envisageons trois fonctions en correspondance indiquée dans (2.7a) (relativement à $R$), selon Définition 2.7, soient

$$ (6.1b) \quad f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \in [c] \backslash \tilde{F}(R) \in [C] \quad (\text{avec } R \in \Gamma'') \backslash \varphi = DF \in \mathfrak{s}) $$

la dérivation $D$ étant au sens (2.4)-(2.4b).

Soient $R \subset K$ un ensemble de $\Gamma''$ et $c = c(\bar{R})$ son contour; alors

$$ (6.1c) \quad F(R) = \int_{c} f(z)dz = \int_{\bar{c}} f(\lambda(z'))\lambda^{(1)}(z')dz' = \bar{F}(\bar{R}) \quad (\bar{c} = \bar{c}(\bar{R})) $$

où $\bar{R} \in \bar{\Gamma}''$ est l'homologue de $R$. En outre, à partir de $\varphi$ on obtient (2.6a):

$$ (6.1d) \quad \bar{F}(\bar{R}) = T(\varphi; R) = (T) \iint_{\bar{R}} \varphi(z)dx dy. $$

On observe que

$$ (1_0) \quad dxdy = J(x, y)dx'dy', \quad J(x, y) = \frac{\partial(\lambda_1(x', y'), \lambda_2(x', y'))}{\partial(x', y')} = |\lambda^{(1)}(z')|^2. $$

Introduisons la mesure (pour tout ensemble $e \subset C'$, mesurable B.-L.)

$$ (6.1e) \quad \hat{m}(e) = \iint_{e} |\lambda^{(1)}(z')|^2 dx'dy'. $$
Ainsi si $\varphi$ est sommable :

$$ (2_0) \qquad \tilde{F}(\tilde{R}) = \iint_{\tilde{R}} \varphi(\lambda(z')) |\lambda^{(1)}(z')| {}^2 dx' dy' = \iint_{\tilde{R}} \varphi(\lambda(z')) d\tilde{m}(e_{z'}) $$

$(z'$ dans la notation $e_{z'}$ indiquant le point variable d'intégration). En particulier

$$ (3_0) \qquad \tilde{m}(\tilde{R}) = m(R). $$

Soit $K_0$ l'ensemble exceptionnel en rapport avec la totalisation $(T)$. Pour un $z \in K - K_0$ considérons la famille $\Gamma''(z)$, $\subset \Gamma''$, qui intervient dans la dérivation $D[(2.4)-(2.4a)]$, liée avec $(T)$; $\Gamma''(z)$ consiste de certains $R$ de $\Gamma''$, tels que $\tilde{R} \ni z$ et de diamètre arbitrairement petit. La famille $\tilde{\Gamma}''(z')$ d'ensembles homologues est formée de certains $\tilde{R}$ de $\tilde{\Gamma}''$, avec $\tilde{R} \ni z'$ et de diamètre arbitrairement petit. On obtient [(6.1c), (3$_0$)]

$$ (6.2) \qquad \varphi(z) = DF(z) = 1im \frac{F(R)}{m(R)} = 1im \frac{\tilde{F}(\tilde{R})}{\tilde{m}(\tilde{R})} = \tilde{D}\tilde{F}(z') = \varphi(\lambda(z')) $$

$[z \in K - K_0, z' \in C' - \tilde{K}_0, \tilde{K}_0 \text{ étant l'homologue de } K_0]$

pour $R \in \Gamma''(z)$, $\tilde{R} \in \tilde{\Gamma}''(z')$, $d(R) \to 0$, $d(\tilde{R}) \to 0$. Nous avons introduit ici un procédé de dérivation, à savoir $\tilde{D}$, qui est lié avec un procédé $(\tilde{T})$ de totalisation, ent sorte que

$$ (6.2a) \qquad (\tilde{T}) \iint_{\tilde{R}} \varphi(\lambda(z')) d\tilde{m}(e_{z'}) = (T) \iint_R \varphi(z) dm(e_z) \quad (dm(e_z) = dxdy). $$

D'accord avec le texte qui précéde (2.9) on associe avec tout $R$ de $\Gamma''$ un point $z = z(R)$, tel que $\tilde{R} \ni z$, et on écrit $R = R(z)$, de sorte que, si $z_1$ est un autre point, $R(z_1) \in \Gamma''$ s'obtient de $R(z)$ par la même translation qui mène de $z$ à $z_1$. Soit $R_0 = R_0(z_0)$ ($z_0 = 0$) un ensemble particulier de $\Gamma''$ ($R_0 \subset K$). $K(R_0)$ sera l'ensemble ouvert maximum contenu dans $K$, en sorte que pour tout $z$ dans $K(R_0)$ on ait $\tilde{R}_0(z) \subset K$ [ici $R_0(z)$ s'obtient de $R_0$ par la même translation que $z$ de $z_0 = 0$]. On se rappelle les remarques en rapport avec (2.9)-(2.10a) $[c = c(R_0(z))$ pour $z \in K(R_0)$ désignant le contour de $R_0(z)]$. On obtient $(\zeta = s + it = (s, t))$ :

$$ (6.3) \qquad \begin{aligned} f(z, R_0(z)) &= \frac{1}{m(\tilde{R}_0(z))} \iint_{\tilde{R}_0(z)} f(\zeta) ds dt \\ &= \frac{1}{\tilde{m}(\tilde{R}_0(z'))} \iint_{\tilde{R}_0(z')} f(\lambda(\zeta')) d\tilde{m}(e_{z'}) = \tilde{f}(z' \tilde{R}_0(z')) \quad (\zeta' = s' + it') \end{aligned} $$
où $z'$ est l'homologue de $z$ et $\tilde{R}_0(z')$ est l'homologue de $R_0(z)$; $z \in K(R_0) = K_0$ et $z' \in \tilde{K}_0$.

Posons $a(x, y) = f(z, R_0(z))$, $b(x', y') = \tilde{f}(z', \tilde{R}_0(z'))$ (où $z = \lambda(z')$); on a $a(x, y) = b(x', y')$ (6.3) pour $z \in K_0$, $z' \in \tilde{K}_0$; les dérivées premières $a_x, a_y$ sont continues dans $K_0$ ((2.10)-(2.10a)). On obtient

$$b_{x'} = a_x \lambda_{1x'} + a_y \lambda_{2x'}, \quad b_{y'} = a_y \lambda_{1y'} + a_x \lambda_{2y'}.$$

Donc, en tenant compte de (2.10a), il vient

$$(6.3a) \qquad b_{x'} = \frac{\lambda_{1x'}}{m(\tilde{R}_0(z))} \int f(\zeta)dt - \frac{\lambda_{2x'}}{m(\tilde{R}_0(z))} \int f(\zeta)ds,$$ $$b_{y'} = \frac{\lambda_{1y'}}{m(\tilde{R}_0(z))} \int f(\zeta)dt - \frac{\lambda_{2y'}}{m(\tilde{R}_0(z))} \int f(\zeta)ds,$$

pour $z \in K_0$, $z' \in \tilde{K}_0$; $c=c(R_0(z))$. Par conséquent (6.3) :

$$(6.3b) \quad -\frac{\partial}{\partial y'} \tilde{f}(z', \tilde{R}_0(z')) + i \frac{\partial}{\partial x'} \tilde{f}(z', \tilde{R}_0(z')) = \overline{\lambda^{(1)}(z')} \frac{F(R_0(z))}{m(R_0(z))} = \tilde{q}(x', y')$$

pour $z \in K_0(=K(R_0))$, $z' \in \tilde{K}_0$. D'après (2.10)-(2.10a) $a_x, a_y$ sont continues dans $K_0$; ainsi (6.3a) les dérivées aux premiers membres dans (6.3b) sont continues dans $\tilde{K}_0$, le même étant vrai pour [(6.1c), (3₀)] la fonction

$$(6.3c) \qquad \tilde{q}(x', y') = \overline{\lambda^{(1)}(z')} \frac{\tilde{F}(\tilde{R}_0(z'))}{\tilde{m}(\tilde{R}_0(z'))} = \tilde{q}_1(x', y') + i\tilde{q}_2(x', y');$$

on obtient

$$(6.3d) \qquad \tilde{q}_1(x', y') = q_1(x, y)\lambda_{1x'}(x', y') + q_2(x, y)\lambda_{2x'}(x', y'), \\ \qquad \tilde{q}_2(x', y') = -q_1(x, y)\lambda_{2x'}(x', y') + q_2(x, y)\lambda_{1x'}(x', y');$$

ici (2.11) $q(x, y) = q_1(x, y) + iq_2(x, y) = F(R_0(z)/m(R_0(z)))$, et on sait que $q_1$ et $q_2$ sont continues dans $K_0$. D'après (6.3) et (2.11a) (avec $R = R_0(z)$)

$$(6.3e) \qquad \tilde{f}(z', \tilde{R}_0(z')) = \tilde{g}'(x', y') + i\tilde{g}''(x', y'), \\ \qquad \tilde{g}'(x', y') = g'(x, y), \quad \tilde{g}''(x', y') = g''(x, y).$$
En substituant (6.3e) dans (6.3b) et en tenant compte de (6.3c), il vient

$$ (6.4) \qquad \frac{\partial \tilde{g}'}{\partial y'} + \frac{\partial \tilde{g}''}{\partial x'} = - \tilde{q}_1(x', y'), \quad \frac{\partial \tilde{g}'}{\partial x'} - \frac{\partial \tilde{g}''}{\partial y'} = \tilde{q}_2(x', y') $$

pour $(x', y') \in \tilde{K}_0$; les fonctions et les dérivées qui interviennent ici sont toutes continues dans $\tilde{K}_0$ (l'homologue de $K_0 = K(R_0)$, introduit à la suite de (6.2a)).

(6.5) D'accord avec l'Hypothèse 2.13 et (3.1) introduisons les $R_j := R_j(z_0)$ ($\subset K$), $z_0 = 0$, pour $j = 1, 2, \dots$, de sorte que $R_j \in \Gamma''$, $\bar{R}_j \ni z_0$, $\bar{R}_j \subset K$, $R_1 \supseteq R_2 \supseteq \dots$, $d(R_j) \to 0$, Un entier $j(z) > 0$ existe tel que $\bar{R}_j(z) \subset K$ pour tout $j \ge j(z)$; $R_j(z)$ est la même translation de $R_j(z_0)$ que $z$ est de $z_0(= 0)$, $\bar{R}_j(z) \ni z$. On note que (3.1a) :

$$ (6.5a) \qquad K_j := K(R_j(z_0)) \upharpoonright K \quad (j \to \infty); $$

ici $K_j$ est défini à partir de $R_j(z)$ de la même manière que $K_0 = K(R_0)$ l'était à partir de $R_0 = R_0(z)$ (cf. le texte à la suite de (6.2a)). Désignons par $z', \tilde{R}_j(z')$, $\tilde{K}_j$ respectivement les homologues de $z$, de $R_j(z)$, de $K_j$.

(6.6). Désignons par (6.4; j) les relations (6.4) quand $R_0$ et $K_0 = K(R_0)$ sont remplacés par $R_j = R_j(0)$ et $K_j$ [(6.5), (6.5a)]; correspondamment posons

$$ (6.6a) \qquad \begin{gathered} \tilde{g}_j, \tilde{g}_j' [(6.3e), (2.11a) \text{ avec } R=R_j(z)]; \quad \tilde{q}_1^j(x', y'), \\ \tilde{q}_2^j(x', y') [(6.3c), (6.3d), (2.11) \text{ avec } R=R_j(z)] \end{gathered} $$

respectivement pour $\tilde{g}', \tilde{g}'', \tilde{q}_1, \tilde{q}_2$. Les équations (6.4; j) ont lieu pour $(x', y') \in \tilde{K}_j$, avec les fonctions (6.6a); de plus, en raison de (6.5a), $\tilde{K}_j \upharpoonright C$.

En tenant compte du Théorème 4.13 et des développements donnés plus haut on est mené au résultat suivant.

**THÉORÈME 6.7.** — Admettons que le domaine $K$ est borné par un contour fermé simple (K) de JORDAN [K est l'intérieur de (K); (K) peut être non rectifiable]. Étant donné un élément $F$ de $[C]$, supposons qu'une $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ de la classe $[c]$ (relativement à $K$) correspond, telle que $u$ est continue sur $K$. Alors, à partir de $F$, une fonction $f_0 = u_0 + iv_0$ de $[c]$ est effectivement calculable.

On sait [voir le livre (P) de CH. de LA V. POUSSIN, (P; p, 319)] que la frontière (K) de K étant un contour de la sorte indiquée, les fonctions (6.1) $\lambda'(z)$ et $\lambda(z)$ seront continues, respectivement, pour $z \in \bar{K}$ et pour $z' \in \bar{C}' = \bar{C}(\bar{O}, 1)$. La transformation conforme entre K (dans le plan-(z)) et
C' (dans le plan-(z')) sera 'bicontinue et biuniforme les frontières comprises'. Si $u$ est une fonction dont il s'agit dans le Théorème, il s'ensuit que, en posant

$$ (1^0) \qquad \begin{aligned} \tilde{u}(x', y') &= R\{f(\lambda(z'))\} = u(\lambda_1(x', y'), \lambda_2(x', y')), \\ \tilde{v}(x', y') &= I\{f(\lambda(z'))\} = v(\lambda_1(x', y'), \lambda_2(x', y')) \end{aligned} $$

$\tilde{u}(x', y')$ est continue sur $\bar{C}$; relativement à $\tilde{v}(x', y')$ on sait seulement que cette fonction est continue dans $C'$. Nous tenons compte des notations introduites dans (6.5)-(6.6a) (avec $z_0 = 0 \in K$). On remarque que les fonctions $\tilde{q}_1^j(x', y')$, $\tilde{q}_2^j(x', y')$ aux seconds membres des équations (6.4; j) sont calculables sur $\tilde{K}_j$ à partir de $\varphi(z) \in [c]$, connue sur $K$ (sauf sur un ensemble exceptionnel qui est approprié à la totalisation $(T)$); on a [(6.3c), (6.3d)]

$$ (2^0) \qquad \tilde{q}_1^j(x', y') + i\tilde{q}_2^j(x', y') = \bar{\lambda}^{(1)}(z')q^j(x, y), \quad q^j(x, y) = \frac{F(R_j(z))}{m(R_j(z))}, $$

avec $F(R_j(z)) = T(\varphi; R_j(z))$; ces fonctions sont continues dans $\tilde{K}_j$ (l'homologue de $K_j = K(R_j(z))$; $K_j \uparrow K$, $\tilde{K}_j \uparrow C' = C(O, 1)$). Nous procédons comme dans le texte qui précède (4.2) (avec $\rho_0 = 1$). Ainsi soient $r_j$ des nombres tels que

$$ (3^0) \qquad 0 < r_1 < r_2 < \dots; \quad r_j < 1; \quad r_j \uparrow 1 \quad \bar{C}_j = \bar{C}(O, r_j) \subset \tilde{K}_j. $$

Nous résolvons, pour un $j$, les équations (6.4; j), en procédant comme dans (4.4)-(4.8b). Ainsi (4.6)-(4.6b)

$$ (6.8) \qquad \begin{gathered} \tilde{g}_j(x', y') = \frac{\partial^2}{\partial x' \partial y'} \tilde{\Gamma}_j(x', y') + A'_j(x', y') \quad \text{dans } C_j = C(O, r_j); \\ A'_j(x', y') \text{ harmonique dans } C_j; \end{gathered} $$

$$ (6.8a) \qquad \tilde{\Gamma}_j(x', y') = \frac{1}{2\pi} \iint_{C_j} \tilde{Q}^j(\xi' \eta') \log r(\xi', \eta'; x', y') d\xi' d\eta'; $$

$$ (6.8b) \qquad \tilde{Q}^j(x', y') = \int_{t'=0}^{y'} \tilde{q}_2^j(x', t') dt' - \int_{s'=0}^{x'} \tilde{q}_1^j(s', y') ds'((x', y') \in C_j; \text{ cf. (2}^0\text{)}). $$
Or d'après (6.3e) et (2.11a) (avec $R = R_j(z)$)

$$ (4^\circ) \qquad \hat{g}'_j(x', y') = g'_j(x, y) = \frac{1}{m(R_j(z))} \iint_{\hat{R}_j(z)} u(s, t) ds dt, $$

$$ \hat{g}''_j(x', y') = \frac{1}{m(R_j(z))} \iint_{R_j(z)} v(s, t) ds dt; $$

ces relations correspondent à (4.6d). Pour un $j$ fixe les fonctions $\hat{g}'_j, \hat{g}''_j$;
ainsi que leurs dérivées premières, sont continues dans $\bar{K}_j(\supset \bar{C}_j; (3^\circ))$.
Posons, dans $C_{j-1}$,

$$ (6.9) \qquad \hat{\sigma}'_j(x', y') = \frac{\partial^2}{\partial x' \partial y'} \hat{\Gamma}_j(x', y') - \hat{\gamma}'_j(x', y'); \quad \hat{\gamma}'_j(x', y') $$

harmonique dans $C_{j-1}$, telle que

$$ (6.9a) \qquad \hat{\gamma}'_j = \frac{\partial^2}{\partial x' \partial y'} \hat{\Gamma}_j \quad \text{sur la circonférence } (C_{j-1}). $$

On observe que $\hat{\sigma}'_j$ est continue sur $\bar{C}_{j-1}$; $\hat{\sigma}''_j$ et les dérivées premières sont continues dans $C_{j-1}$. D'après (4°)

$$ (5^\circ) \qquad \underset{i}{\operatorname{im}} \hat{g}'_j(x', y') = u(x, y) = u(\lambda_1(x', y'), \lambda_2(x', y')) = \hat{u}(x', y'), $$

$$ \underset{i}{\operatorname{im}} \hat{g}'_j(x', y') = v(x, y) = v(\lambda_1(x', y'), \lambda_2(x', y')) = \hat{v}(x', y') \text{ pour } (x', y') \in C'. $$

Procédons d'une manière analogue aux dévloppements (4.8)-(4.11a). On conclut ainsi :

$$ (6.10) \qquad \hat{u}(x', y') = \hat{u}_0(x', y') + \hat{H}'(x', y') \quad (\text{dans } C' = C(0, 1)), \quad \hat{u}_0 = \operatorname{lim}_{j \to \infty} \hat{\sigma}'_j \quad (6.9); $$

ici $\hat{H}'(x', y')$ est une fonction harmonique dans $C'$, $\hat{u}_0(x', y')$ est effectivement connue à partir de $F$ (de $\varphi$). On a déjà remarqué que $\hat{u}(x', y')$ (1°) est continue sur $\bar{C}'$ en plus, $\hat{H}'(x', y')$ et $\hat{u}_0(x', y')$ sont continues sur $\bar{C}'$; $\hat{u}_0 = 0$ sur la circonférence ($C'$). On conclut que

$$ (6^\circ) \qquad \hat{u}_0(x, y) = \hat{u}_0(\lambda_1'(x, y), \lambda_2'(x, y)) \text{ continue sur } \bar{K}. $$

Soit $\hat{H}''(x', y')$ la fonction associée harmonique de $\hat{H}'$ dans $C'$. $f(z) = u + iv$ étant une fonction de [c] (dans $K$) dont il s'agit dans
Théorème 6.7, en posant

$$
\hat{a}(z') = \hat{H}'(x', y') + i\hat{H}''(x', y') = H'(x, y) + iH''(x, y) = a(z)
$$

(z et z' étant homologues), on va déduire que la fonction

$$
(7^\circ) \qquad f_0(z) = \hat{f}_0(z') = \hat{u}_0 + i\hat{v}_0 = \hat{f}(z') - \hat{a}(z') \quad (\hat{v}_0 = \hat{v} - \hat{H}'')
$$

est un élément de [c] (relativement à K); ici $f_0(z) = f(z) - a(z)$, avec $a(z)$
analytique dans K. Le calcul de $\hat{v}_0(x', y')$ se fait d'accord avec les déve-
loppements $(1_1)-(4.12a)$ de la section 4. Ainsi

$$
(6.10a) \quad \hat{v}_0(x', y') = \operatorname*{lim}_{j} \hat{h}_0''(x', y') \quad (\text{dans } C', \hat{v}_0(0, 0) = 0);
$$

$$
(6.10\text{b}) \quad \hat{h}_0''(x', y') = \int_{s'=0}^{x'} \hat{\tau}_2^j(s', y') ds' - \int_{t'=0}^{y'} \hat{\tau}_1^j(0, t') dt' \hat{\tau}_1^j = \hat{q}_2^j - \frac{\partial}{\partial x'} \hat{g}_0'^j, \\
\hat{\tau}_2^j = -\hat{q}_1^j - \frac{\partial}{\partial y'} \hat{g}_0'^j, \quad \hat{g}_0'^j(x', y') = \frac{1}{m(R_j(z))} \iint_{R_j(z)} u_0(s, t) ds dt \quad (\text{cf. (2}^\circ), (4}^\circ)).
$$

Les fonctions (6.10b) sont connues dans $\bar{K}_j; \bar{K}_j \upharpoonright C'$. On peut ajouter
à $\hat{v}_0$ une constante réelle.

Le Théorème 6.7 est vérifié avec $f_0(z) = u_0(x, y) + iv_0(x, y)$, où

$$
(6.10c) \quad u_0(x, y) = \hat{u}_0(\lambda'_1(x, y), \lambda'_2(x, y)), \quad v_0(x, y) = \hat{v}_0(\lambda'_1(x, y), \lambda'_2(x, y))
$$

[cf. (6º), (6.10), (6.9), (6.9a), (6.8a), (6.8b), (2º), (6.10a, b)].

Avec la section 5 en vue introduisons

HYPOTHÈSE 6.11. – Soit $K$ (dans le plan-(z)) ouvert borné et simplement connexe. Envisageons la transformation conforme (6.1) de $K$ sur $C' = C(O, 1)$ (dans le plan-(z').) Étant donné un $\varphi$ de $(\delta)$ (relativement à $K$), ce qui donne l'élément correspondant $F(R) = T(\varphi; R)$ pour $R (\in \Gamma') \subset K$ de la classe $[C]$, supposons qu'il existe une fonction $f(z) = u + iv$ de $[c]$ (relativement à $K$) de sorte que pour la fonction

$$
(6.11a) \qquad \hat{u}(s', t') = u(\lambda_1(s', t'), \lambda_2(s', t')) (= u(s, t))
$$
on ait

$$
(6.11\text{b}) \quad \int_0^{2\pi} |\bar{u}(\rho, \psi)| d\psi \le M \quad \text{fini, pour } 0 \le \rho < 1
$$

$$
[(s' t') \text{ représente } \zeta' = s' + it' = \rho e^{t\psi}; (s', t') = (\rho, \psi)].
$$

Il suffit, par exemple, que $|u(s, t)|$ soit bornée dans $K$.

Pour un $r$, $0 < r < 1$, fixe envisageons le cercle ouvert $C(O, r)$ (dans
le plan–$(z')$; donc $C(O, r) \subset C'$. Moyennant la transformation conforme à
la circonférence $l(r) = (C(O, r))$ il correspond dans $K$ une courbe fermée $L(r)$.
On sait (P; p. 318) que cette courbe $L(r)$, qui s’appelle **ligne de niveau**,
est en correspondance bicontinue et biuniforme avec $l(r)$, le sens de rota-
tion étant conservé; $L(r)$ est simple et partage $K$ en deux domaines, soient

$$
(1_1) \quad K[r] \text{ contenant l' origine (le pôle), } K - \bar{K}[r].
$$

On observe que

$$
(2_1) \quad \bar{K}[r] \subset K[r_1] \quad \text{pour } 0 < r < r_1 < 1 \quad \text{et} \quad K[r] \uparrow K \quad \text{pour } r \uparrow 1.
$$

Considérons une suite de cercles dans le plan–$(z')$ :

$$
(3_1) \quad C_n' = C(O, r_n), \quad 0 < r_1 < r_2 < \dots, \quad r_n < 1, \quad r_n \uparrow 1.
$$

$K[r_n]$ et $L(r_n) = (K[r_n])$ seront les homologues de $C'_n$ et de $l(r_n) = (C'_n)$.
Réduisons les classes $(\delta)$, $[C]$, $[c]$ (originellement spécifiées par rapport à $K$)
à $K[r_n]$; désignons ces classes réduites par $(\delta_n)$, $[C_n]$, $[c_n]$. La fonction $u$
(Hypothèse (6.11)) est continue sur $\overline{K[r_n]} = K[r_n] + L(r_n)$; de plus, la
frontière $L(r_n)$ de $K[r_n]$ satisfait à l'hypothèse dans Théorème 6.7 relati-
vement à la frontière de $K$, étant en effet plus régulière que celle-ci.

D'après le Théorème 6.7 (pour un $n$ fixe), où l'on remplace

$$
(4_1) \quad K, (K), (\delta), [C], [c], f_0 = u_0 + iv_0 \quad \text{respectivement} \\
\qquad \text{par } K[r_n], L(r_n), (\delta_n), [C_n], [c_n], f_n = u_n + iv_n,
$$

il s'ensuit que pour la fonction $f = u + iv$ (Hypothèse 6.11) on a

$$
(\delta_1) \qquad f(z) = f_n(z) + a_n(z) \quad \text{dans } K[r_n], \\
\qquad \qquad a_n(z) = \alpha_n + i\beta_n \quad \text{analytique dans } K[r_n],
$$
où la fonction $f_n(z) = u_n(x, y) + iv_n(x, y)$ est effectivement calculable dans $K[r_n]$ à partir de $F$ (de $\varphi$); $u_n$ ($v_n$) est continue sur $\bar{K}[r_n]$, $u_n=0$ sur $L(r_n)$, $v_n(0, 0)=0$. Il vient

$$
\begin{array}{l}
(6_1) \qquad \bar{f}(z)(=f(z)) = \bar{f}_n(z') + \bar{a}_n(z') \\
\qquad \text{dans } C'_n := C(O, r_n), \quad \bar{f}_n(z') = f_n(z), \quad \bar{a}_n(z') = a_n(z); \\
\qquad \bar{a}_n(z') = \bar{\alpha}_n(x', y') + i\bar{\beta}_n(x', y') \text{ analytique dans } C'_n; \\
\qquad u(x', y')(=u(x, y)) = \bar{u}_n(x', y') + \bar{\alpha}_n(x', y') \text{ dans } C'_n; \quad \bar{u}_n(x', y') = u_n(x, y); \\
\\
\bar{\alpha}_n \text{ harmonique dans } C'_n, \text{ continue sur } \bar{C}'_n; \quad \bar{\alpha}_n = \bar{u} \text{ sur } l(r_n) = (C'_n). \quad (6_1) \\
\text{correspond à } (5,3_0) \text{ (avec } \rho^0 = 1 \text{ et } C'_n \text{ pour } C_n).
\end{array}
$$

Procédons. à partir de (6₁) et en tenant compte de l'hypothèse (6.11b), comme dans (5,3₀)-(5,14₀). On conclut que la famille de limites dans $C' = C(O, 1)$ des $\bar{u}_n$ (6₁) est non vide.

Soit $\bar{u}^0$ une limite (dans $C'$) quelconque des $\bar{u}_n$; ainsi pour une suite $m_k(k=1, 2, ...)$, $\to \infty$, on a

$$
(7_1) \qquad \bar{u}^0(x', y') = \lim_{k} u_{m_k}(x', y') \text{ dans } C',
$$

le choix de {$m_k$} ne dépendant pas directement de $f$ de $[c]$. À partir de
(7₁) et en suivant les développements (5,1º)-(5.2) on conclut que la limite

$$
(8_1) \quad \bar{v}^0(x', y') = \lim_{k} \bar{v}_{m_k}(x', y') \quad [\bar{v}_{m_k}(x', y') = v_{m_k}(x, y)]
$$

existe dans $C'$; ici $\bar{v}_{m_k}(x', y')$ est effectivement calculable dans $C'_{m_k} = C(O, r_{m_k})$
à partir de $F$ (de $\varphi$) [voir le texte à la suite de (5₁); $C'_{m_k}$ est l'homologue
de $K[r_{m_k}]$. En plus

$$
(9_1) \quad \bar{f}^0(z) = \lim_{k} \bar{f}_{m_k}(z') = \bar{u}^0(x', y') + i\bar{v}^0(x', y) = \bar{f}(z) - \bar{a}(z)
$$

dans $C'$, $\bar{a}(z')$ étant analytique dans $C'$. Moyennant la transformation con-
forme de $C'$ sur $K$ il vient dans $K$)

$$
(10_1) \qquad f^0(z) := \bar{f}^0(\lambda'(z)) = f(z) - a(z), \quad a(z) = \bar{a}(\lambda'(z)),
$$

$\alpha(z)$ étant analytique dans $K$, tandis que $f(z) \in [c]$ (relativement à $K$); donc la fonction $f^0(z)$, qui a été effectivement calculée dans $K$ à partir de $F$ (de $\varphi$), appartient-elle aussi à $[c]$.

On a démontré le résultat suivant.
THÉORÈME 6.12. – Étant donné un F de [C] (donc $F(R) = T(\varphi : R)$ pour $R \in \Gamma''$, $R \subset K$. avec un $\varphi \in (\mathfrak{S})$), relativement à $K$, admettons la situation décrite dans l'Hypothèse 6.11. Envisageons la famille de fonction $\{f_n(z)\}$, $f_n(z) = u_n(x, y) + iv_n(x, y)$, dont il s'agit dans $(\mathfrak{S}_1)$; $f_n(z)$ est effectivement calculable, à partir de F, dans $K[r_n]$ (l'homologue de $C_n(\mathfrak{S}_1)$), comme on l'a indiqué dans $(\mathfrak{A}_1)-(\mathfrak{S}_1)$. Il en découle que la famille des limites dans K de la suite $\{u_n\}$ n'est pas vide. Soit $\lim_{k} u_{m_k} = u^0$ une quelconque de ces limites. Alors la limite $\lim_{k} v_{m_k} = v^0$ existe aussi, et l'on obtient que la fonction $f^0(z) = u^0 + iv^0$, ainsi effectivement calculée, est un élément de [c] (relativement à K), qui correspond à $\varphi$.

7. Quelques résultats spéciaux en rapport avec le noyau de Cauchy. Dans la section actuelle nous ferons usage du noyau de CAUCHY $\frac{1}{\zeta - z}$ ($\zeta = s + it$, $z = x + iy$). Soit K ouvert, borné, connexe.

(7.1). Admettons que $\varphi = \varphi_1 + i\varphi_2$ est sommable sur K et possède en outre les propriétés (1º), (3º) comme il suit :

$$ (1º) \qquad \iint_K \frac{\varphi(s, t)dsdt}{\zeta - z} \text{ est continue dans } K $$

[il s'ensuit que

$$ (2º) \quad \text{la fonction } \varphi^*(z) = \iint_K \frac{|\varphi(s, t)|}{|\zeta - z|} dsdt \text{ est définie et finie partout dans } K; $$

$$ (3º) \quad \begin{gathered} \text{l'intégrale } \int_c \varphi^*(z) |dz| \text{ existe pour tout contour } c = c(R) (R \in \Gamma'', \bar{R} \subset K; \\ \text{dans ces conditions } \varphi(z) \text{ appartient à la classe } (\mathfrak{S}).) \end{gathered} $$

COROLLaire 7.1'. – Toute $\varphi$ bornée et mesurable sur K est dans $(\mathfrak{S})$.

On vérifie (7.1) en montrant que

$$ (7.2) \qquad f(z) = - \frac{1}{2\pi i} \iint_K \frac{\varphi(s, t) dsdt}{\zeta - z} $$

est un élément de [c] qui correspond à $\varphi$. D'après (1º)$f(z)$ est continue dans $K$. À cause d'un théorème de FUBINI et de (3º) il vient

$$ \begin{align*} \int_C f(z) dz &= \iint_K \left[ \frac{1}{2\pi i} \int_C \frac{dz}{z - \zeta} \right] \varphi(s, t) dsdt = \\ &= \iint_{\bar{R}} \varphi(s, t) dsdt \quad (c = c(R), R \in \Gamma'', \bar{R} \subset K), \end{align*} $$
Donc l'élément $F(R)$ de $[C]$, qui correspond à $\varphi$, est l'intégrale de LEBESGUE au troisième membre dans (7.2a), tandis que à partir de $f(z)$ la fonction $F(R)$ s'exprime par l'intégrale au premier membre de (7.2a); en plus, $D$ désignant la dérivation qui convient, on a

$$ (7.2b) \qquad D \int_C f(z) dz = DF(z) = \varphi(z) $$

sur une plénitude de $K$. L'énoncé (7.1) est vérifié.

Quant au Corollaire 7.1', c'est immédiat [relativement à la condition (1º) de continuité voir ($T_3$; p. 221)].

(7.3) Pour fixer les idées supposons dans le reste de cette section que la famille $\Gamma'' = \{R\}$ contient les intervalles ouverts (e. g. les rectangles ouverts) à côtés parallèles aux axes. Corrélativement, le caractères V. B. (variation bornée), C.A. (continuité absolue), la propriété d'être singulière seront entendus au sens donné pour les fonctions additives d'intervalle dans le livre (S) de SAKS [dans (S) les intervalles sont définis comme fermés, mais cela n'importe pas]. Une fonction additive d'intervalle est étendue aux figures; les figures étant les réunions finies d'intervalle (dans $K$).

Envisageons une $f(z)$ avec les propriétés suivantes :

$$ (1_0) \quad f(z) \text{ est continue dans } K; (2_0) \quad F(R) = \int_C f(z) dz (c = c(R)) \in V.B. $$

sur toute figure dont la fermeture $\subset K$; $(3_0) F \notin C.A.$

Le caractère de V.B. entraîne que la dérivée ordinaire $D$ (au sens de (S; p. 106)),

$$ (7.4) \qquad DF = \varphi, $$

existe sur une plénitude de $K$ et est sommable sur tout sous-ensemble fermé de $K$; de plus on aura la décomposition

$$ (7.4a) \qquad F(R) = S(R) + A(R), \quad A(R) = \iint_R \varphi(s, t) ds dt \quad (\bar{R} \subset K), $$

où $S(R)$ et $A(R)$ sont respectivement singulière et absolument continue comme fonctions additives d'intervalle. D'après le caractère $(3_0)$ la fonction et singulière d'intervalle $S$ n'est pas identiquement zéro. Si, la additive $f(z)$, assujettie aux conditions $(1_0)$, $(2_0)$, $(3_0)$, était un élément de $[c]$, il s'ensuivrait, selon la définition de classe $[c]$, que $\int_C f dz [c = c(R), R \in \Gamma''$, $\bar{R} \subset K]$ serait la totale (T) sur $R$ de $DF = \varphi$ (7.4); mais $\varphi$ est sommable
comme indiquée plus haut, donc la totale $T(\varphi; R)$ est une intégrale de LEBESGUE et $F(R) = \iint \varphi dsdt$ pour tout intervalle $R, \bar{R} \subset K$, ce qui con- tredit la décomposition (7.4a). On conclut comme il suit.

(7.5) Si $f$ jouit des propriétés (1$_{0}$), (2$_{0}$), (3$_{0}$), $f$ ne sera pas dans la classe [c]. $f$ étant encore assujettie à (1$_{0}$), (2$_{0}$), (3$_{0}$), il se peut que la dérivée $DF = \varphi$ (7.4). qui correspond à $f$ est sommable sur $K$ et satisfait aux conditions (1$^{o}$), (3$^{o}$) de (7.1); $\varphi$ sera alors un élément de $(\mathfrak{z})$; $f^{\circ}(z) = -\frac{1}{2\pi i} \iint_{\bar{\mathfrak{R}}-\mathfrak{z}} \varphi \, ds \, dt$ (7.2) sera un élément de [c] correspondant à $\varphi$. Nécessairement $a=f-f^{\circ}$ ne sera par analytique dans $K$, car (7.5) $f \notin [c]$. On peut vérifier ce fait directement (7.4a):

$$ \int_C a(z) dz = F(R) - \int_C f^\circ dz = F(R) - \iint_{\bar{R}} \varphi \, ds \, dt = S(R) $$

$(c=c(R))$, où $S(R)$ n'est pas identiquement zéro.

(7.6) Admettons que $f$ satisfait à (1$_{0}$), (2$_{0}$); pour que $f$ appartienne à [c] il faut et il suffit que $F \in C.A$.

En effet, si $f \in [c]$, le caractère $F \in A.C.$ s'ensuit d'après (7.5). Réciproquement, si $F \in C.A.$ (alors la condition (2$_{0}$) sera superflue), le composant singulier dans la décomposition (7.4a) sera identiquement zéro, e. g. $F(R) = A(R) = \iint_{\bar{R}} \varphi(s, t) ds dt (\bar{R} \subset K)$, ce qui veut dire que $f \in [c]$. (7.6) est vérifié.

Supposons que $e'$ et $e''$ sont de certains ensembles linéairement minces, situés sur les axes — $x$ et — $y$. Soit $l_x''$ [$l_y''$] l'ensemble de points $(x, t)$ [$(s, y)$] dans $K$ pour un $x$ [un $y$] fixe. On dira qu'une propriété a lieu 'pour presque tous les intervalles' $I$ dans $K$, si des ensembles $e'$, $e''$ vides ou linéairement minces existent tels qu'on a la propriété pour tout $I \subset K$ dont les côtés ne sont pas situés dans les ensembles $l_x''(x \in e')$, $l_y''(y \in e'')$. Désignerons dans la suite par $(I)$ la frontiere d'intervalle $I$.

(7.7). Si $\varphi(= \varphi_1 + i\varphi_2)$ est sommable sur $K$, il s'ensuit que l'intégrale

$$ (7.7a) \qquad f^{\circ}(z) = - \frac{1}{2\pi i} \iint_K \frac{\varphi(s, t)}{\zeta - z} ds dt $$

(qui est définie sauf possiblement sur un ensemble mince) représente une fonction sommable sur tout ensemble $E$ de mesure finie; de plus l'intégrale

$$ (7.7b) \qquad \int_{(I)} f^{\circ}(z) dz = \iint_I \varphi(s, t) ds dt $$

existe pour presque tous les intervalles $I \subset K$.
Notons d'abord que, c étant une constante positive et $K_c$ désignant l'ensemble des points à distance ne surpassant pas $c$ de $K$, il vient

$$ (1_1) \qquad \iint_E \frac{dxdy}{|\zeta - z|} = \iint_{EK_c} \dots + \iint_{E'} \dots \quad (E' = E - EK_c) $$

et, pour $\zeta$ dans $K$,

$$ \iint_{EK_c} \dots \le \int_0^{2\pi} d\Theta \int_{r=0}^L dr = 2\pi L = c_1 \quad (L = \max |\zeta - z| \text{ pour } \zeta \in K, z \in EK_c). $$

$$ \iint_{E'} \dots \le \frac{1}{c} \iint_{E'} dxdy = \frac{1}{c} m(E') = c_2. $$

Donc l'intégrale (1_1) est bornée sur $K$. Posons

$$ (2_1) \qquad \varphi^*(z) = \iint \frac{|\varphi(s, t)|}{|\zeta - z|} dsdt; $$

on note que

$$ \iint_K \left( \iint_E \frac{dxdy}{|\zeta - z|} \right) |\varphi(s, t)| dsdt \le (c_1 + c_2) \iint_K |\varphi(s, t)| dsdt < \infty; $$

d'où (théorème de FUBINI)

$$ \iint_E \varphi^*(z) dxdy = \iint_K |\varphi(s, t)| \iint_E \frac{dxdy}{|\zeta - z|} dsdt < \infty, $$

e. g. $\varphi^*(z)$ est sommable sur $E$. En conséquence $f^0(z)(7.7a)$ est sommable sur $E$; on a

$$ (3_1) \qquad \left| \iint_E f^0(z) dxdy \right| \le \frac{1}{2\pi} \iint_E \varphi^*(z) dxdy \le \frac{c_1 + c_2}{2\pi} \iint_K |\varphi(s, t)| dsdt. $$

La conclusion relativement à (7.7b) s'ensuit. En effet on aura $\int_{\zeta}^{(I)} \varphi^*(z) dz$ finie pour presque tous les intervalles $I \subset K$; le même sera vrai pour $\int_{(I)} f^0(z) dz$. En outre

$$ \begin{aligned} (4_1) \qquad \int_{(I)} f^0(z) dz &= \int_{(I)} \left( \frac{1}{2\pi i} \iint_K \frac{\varphi(s, t)}{z-\zeta} dzdt \right) ds = \iint_K \left( \frac{1}{2\pi i} \int_{(I)} \frac{dz}{z-\zeta} \right) \varphi(s, t) dsdt \\ &= \iint_I \varphi(s, t) dsdt \quad \text{pour presque tous les intervalles } I \subset K; \end{aligned} $$
en effet le changement de l'ordre d'intégration ici est justifiable pour tout
$I, \subset K$ pour lequel $\int_{(I)} \varphi^*(z) | dz |$ existe.

(7.8) Supposons que (1º) $f$ est continue dans $K$, (2º) $F(R) = \int f dz (c = c(R)) \in C.A.$ dans $K$, comme fonction additive d'intervalle. Alors $f \in [c]$. Admettons en outre que la dérivée ordinaire

$$
(7.8a) \qquad DF = \varphi
$$

(qui nécessairement existe sur une plénitude de K et est sommable sur tout sous-ensemble fermé de K) est sommable sur K. Il s'ensuivra que, sauf sur un ensemble mince,

$$
(7.8b) \qquad f(z) = - \frac{1}{2\pi i} \iint_K \frac{\varphi(s, t)}{\zeta - z} ds dt + a(z),
$$

où $a(z)$ est une fonction analytique sur une plénitude de $K$.

D'après (2º) on a $F(R) = \iint_R \varphi(s, t)dsdt$ pour toute figure $R$, $\bar{R} \subset K$; d'où
$f \in [c]$ et $\varphi \in (\delta)$ lui correspond. Selon (7.7)$f^0(z)$ est sommable sur $K$; donc
la fonction $a(z) = f^0(z)$ est sommable sur tout sous-ensemble fermé de $K$
(car $f(z)$, continue dans $K$, possède cette propriété). De plus (7.7b) :

$$
\int_{(I)} a(z) dz = F(R) - \int_{(I)} f^0(z) dz = \iint_{I} \varphi(s, t) ds dt - \int_{(I)} f^0(z) dz
$$

pour presque tous les $I \subset K$. D'après FÉDOROFF (voir (F)) $a(z)$ sera analytique sur une plénitude de $K$. L'énoncé (7.8) en découle.

(7.9) Si $f \in [c]$ et la dérivée ordinaire $DF = \varphi$ (où $F(R) = \int fdz$, $c = c(R)$) est sommable sur $K$, alors sur une plénitude de $Kf(z)$ possède la représentation (7.8b)($\varphi$ est l'élément de $(\delta)$ correspondant à $f$).

En effet $F(R) = T(\varphi; R) = \iint_H \varphi dsdt$, donc $F \in C.A.$ dans $K$, les conditions
de l'énoncé (7.8) sont remplies et la conclusion dans (7.9) en résulte.

8. - Les conditions nécessaires et suffisantes pour que $f$ appartienne à $[c]$, lorsque la totalisation est à indice $q(0 < q < 1)$. - Dans le reste de l'ouvrage présent la totalisation (T) sera prise essentiellement au sens de A. DENJOY, dans le plan, en rapport avec un paramètre de régularité $q$, $0 < q < 1$. On fera usage de l'exposé de la totale de cette sorte dans l'ouvrage ($R_2$) de P. ROMANOVSKI (voir en particulier les pages 281-293); cette théorie est fondée sur les développements généraux présentés dans
$(R_1)$. Assi la totale-$\langle T \rangle$ sera ce que dans $(R_2)$ est nommée 'D-intégrale à $q'$. K sera un intervalle (ouvert) ; la famille d'ensembles fondamentaux $\sigma = \sigma_q$ sera constituée par tous les intervalles. contenus dans K, K compris, à paramètre de régularité $\ge q$.

Si $F$ est une fonction réelle additive d'intervalle $I$ dans $K$, on forme les dérivés extrêmes $\overline{DF}(z)$, $\overline{DF}(z)$ de $F$ au point $z$ dans $K$ comme les limites $\overline{1im}$, $\overline{1im}$ de $F(I)/|I|$, où $I \in \sigma$ (e. g. le paramètre de régularité de $I$ vaut $q$ au moins), $\overline{I} \ni z$, l'aire $|I| \to 0$ (ce qui veut dire le diamètre de $I$ tend vers 0). Si $\overline{DF} = \overline{DF}$, la valeur commune est nommée la dérivée (unique et à indice $q$) $\overline{DF}$. Si $F = F_1 + iF_2$, où $F_1$ et $F_2$ sont des fonctions réelles de $I(\in \sigma)$ et si les derivees $DF_1$, $DF_2$ finies existent, on pose $\overline{DF} = \overline{DF_1} + i\overline{DF_2}$.

Nous envivagens encore les classes $[c]$, $[C]$, $(\delta)$ (2.7a) :

$$ (8.1) \qquad f \in [c] \sim F \in [C] \sim \varphi = DF \in (\delta); $$

$$ (8.1a) \qquad F(I) = \int_{(I)} f(z)dz, $$

$(I)$ étant la frontière d'intervalle $I$ de $\sigma$, avec $\overline{I} \subset K$.

Dès lors nous procédons avec la condition suivante.

(8.2) Toute $f$ de $[c]$ est continue sur $\bar{K}$.

D'accord avec $(R_2$; p. 282) on dira qu'une fonction $F(I)$ d'intervalle $I \subset K$ est continue au sens étroit, c.s.é. sur $K$, si à tout $\in > 0$ il correspond un $\eta = \eta(\in) > 0$ tel que $I \subset K$, $|I| < \eta$ entraînent $|F(I)| < \epsilon$.

(8.3) Si $f(z)$ (possiblement non réelle) est continue sur $\bar{K}$ (comme dans le cas où $f \in [c]$ (8.2)), alor $F(I)$ (8.1a), qui est definie pour tout intervalle $I \in K$, K compris, sera c.s.é. sur $K$.

Il existe une fonction $\mu(\delta)$, positive pour $\delta > 0$, $\mu(\delta) \downarrow 0$ pour $\delta \downarrow 0$, de sorte que $|f(z) - f(z')| \le \mu(\delta)$ dès que $z$ et $z'$ sont sur $\bar{K}$ et $|z - z'| \le \delta$. $I = I(x, y, x_1, y_1)$ désignant un intervalle dans $\bar{K}$ de sommets opposés $(x, y)$, $(x_1, y_1)$ $(x_1 > x, y_1 > y)$, on obtient (8.1a) :

$$ \begin{aligned} |F(I)| &\le \int_{x}^{x_1} |f(u, y) - f(u, y_1)| du + \int_{y}^{y_1} |f(x_1, v) - f(x, v)| dv \\ &\le (x_1 - x)\mu(y_1 - y) + (y_1 - y)\mu(x_1 - x). \end{aligned} $$
Soit par exemple $x_1 - x \le y_1 - y$. Si $|I| = (x_1 - x)(y_1 - y) < \eta$, il vient $(x_1 - x)^2 < \eta$; d'où, L étant le diamètre de K,

$$|F(I)| < \eta^{\frac{1}{2}} \mu(L) + L\mu(\eta^{\frac{1}{2}}).$$

La même inégalité aura lieu si $y_1 - y \le x_1 - x$. La conclusion dans (8.3) en résulte.

Selon un théorème dans (R₂; p. 282) le caractère c.s.é. sur K équivaut à la continuité inférieure sur K, ce qui veut dire continuité inférieure pour tout intervalle $I \subset K$. Selon (R₁; p. 71) on dira que F est inférieurement continue pour un $I_0 \subset K$, si à tout $\epsilon > 0$ il correspond un $\eta = \eta(\epsilon)$ de sorte que $I \subset I_0$, $|I_0 - I| < \eta$ entraînent $|F(I_0) - F(I)| < \epsilon$.

Ainsi toute F de [C] est c.s.é. sur K, e.g. inférieurement continue sur K.

(8.4) Supposons que $f(z)$ est continue sur $\bar{K}$ et est telle que pour la fonction correspondante $F(I)$ (8.1a) la dérivée (unique et finie) $DF(z)$ existe sur une plénitude $K^*$ de K, tandis que les dérivés (extrêmes) $\overline{DF}_j$, $\overline{DF}_j(j = 1, 2)$ sont finis dans K, sauf possiblement aux points d'une infinité dénombrable de lignes droites parallèles aux axes. Alors $f \in [c] \text{ et } \phi = DF$ (définie sur $K^*$) sera l'élément correspondant de $(\mathfrak{S})$.

En effet, d'après (8.3) $F(I)$ (8.1a) sera c.s.é. sur K. Selon un théorème dans (R₂; p. 286) il s'ensuit que $DF(z)$ est totalisable sur K et que

$$(T) \int_{I} DF(z) da(z) = F(I) \text{ pour } I \subset K.$$

La conclusion dans (8.4) en résulte.

Nous allons maintenant récapituler quelques notions et caractères en rapport avec les procédés de la totalisation (T). Un point z d'un ensemble E est à coordonnée isolée (R₂; p. 284) s'il existe un voisinage V de z tel que VE est situé sur une parallèle à un des axes. Un ensemble fermé sans points à coordonnée isolée nous appelons s-parfait (parfait au sens spécial). Un ensemble ouvert O possède une décomposition (â indice q) s'il existe un système fini d'intervalle disjoints de $\sigma = \sigma_q$ (e. g. à para-mètre de régularité $\ge q$) dont la réunion est contenue dans O et diffère de O d'un ensemble mince. Si $S = \{i\}$ est un système fini d'intervalle disjoints de $\sigma_q$, on pose (voir (R₁; §1)):

$$(8.5) \qquad M(S) = \max. (i \in S) \mid i \mid, \quad |S| = \sum \mid i \mid (i \in S);$$

en plus, si F est une fonction d'intervalle,

$$(8.5a) \qquad F(S) = \sum_{i \in S} F(i).$$
Si $F$ est réelle définie et finie pour tout $i \in \sigma_q$ on peut envisager les intégrales sup. et inf. de Burkill (à indice $q$):

$$ (8.5b) \quad \int_I^q F = \overline{\lim_{i \in \sigma_q} F(S)}, \quad \int_{-I}^q F = \underline{\lim_{i \in \sigma_q} F(S)} \quad (\text{pour } M(S) \to 0), $$

où $I$ est un intervalle quelconque dans $K$ et $S$ représente les décompositions (à indice $q$) de $I$ [on sait ($R_2$; p. 282) que tout intervalle admet des décompositions dans toute famille $\sigma_q$]. Si les intégrales extrêmes (8.5b) sont égales, la valeur commune s'appelle l'intégrale de Burkill (à indice $q$):
$$ \int_I^q F. \text{ Si } F = F_1 + iF_2, \text{ où } F_1 \text{ et } F_2 \text{ sont réelles, définies et finies dans } \sigma_q, $$
nous appelons l'intégrale de BURKILL (à indice $q$) de $F$ sur $I$ et nous écrivons

$$ (8.5c) \quad \int_I^q F = \int_I^q F_1 + i \int_I^q F_2, $$

dès que les deux intégrales au second membre existent (et sont finies). On fera usage de la notation (avec $i$ un intervalle)

$$ (8.5d) \quad F_E(i) = F(i)(\text{si } i \in E \neq 0), = 0(\text{si } i \notin E = 0), $$

$E$ désignant un ensemble s-parfait. De plus, si $E$ est seulement fermé,

$$ (8.5e) \quad F^E(I) = F(I) \quad (\text{si } \overline{IE} = 0), = 0 \quad (\text{si } \overline{IE} \neq 0). $$

$E$ étant s-parfait et $I$ un intervalle $\subset K$, on écrira

$$ (8.6) \quad V^q(F; E, I) = V^q(E, I) = \int_I^q F_E \quad (8.5d) $$

et on appellera ce nombre (s'il existe et est fini)

(8.6a) variation (à indice $q$) de $F$ autour $E$ sur $I$ ($\subset K$).

Avec $F = F_1 + iF_2$ possiblement non réelle, on aura

$$ V^q(F; E, I) = V^q(F_1; E, I) + iV^q(F_2; E, I), $$

si les variations indiquées de $F_1$ et de $F_2$ sont finies. Posons

$$ (8.6b) \quad \Gamma(I - IE) = \int_I^q F^E(E \text{ fermé, } I \subset K), $$
dès que l'intégrale au second membre existe; on observe que $\Gamma(I - IE)$, s'il existe, est déterminé par les valeurs de $F(i)$ pour les $i$ tels que $i \in \sigma_q$, $i \subset I$, $iE = 0$; en effet

$$ (8.6b') \qquad \Gamma(I - IE) = \lim_{j} \sum_{i} (\bar{i}_{j}E = 0)F(i_{j}) \quad (M(S) \to 0), $$

où $\{i_j\}$ représente les décompositions à indice $q$ de $I$.

Une $F$ est dite, $A. C^q$. (absolument continue à indice $q$) sur $I$, si pour $\epsilon > 0$ il existe un $\eta > 0$ tel que pour tout systeme fini $S$ d'intervalle disjoints de $\sigma_q$ dans $I$, l'inégalité $|S| < \eta$ entraîne $|F(S)| < \epsilon$ (on peut écrire $|F| (S) < \epsilon$). Une $F$ est $A. C^q. G$. (absolument continue généralisée à indice $q$) sur $I$ ($R_2$; p. 285), si pour tout $E$ s-parfait et tout $I_0$, $I \subset I$, joint à $E$, il existe un $I_1$. $I_1 \subset I_0$, joint à $E$, tel que $F_E \in A. C^q$. sur $I_1$.

(8.7) Nous dirons que la variation (8.6a) à indice $q$ de $F$ autour tout $E$ s-parfait est réductible sur $I$ et nous écrivons

$$ F \in V^q. \text{ Réd. sur } I, $$

si pour tout $E$ s-parfait et tout $I_0$, $I \subset I$, joint à $E$, il existe un $I_1$, $I_1 \subset I_0$, joint à $E$, tel que $V^q(F; E, I_1)$ (8.6) existe et est finie. Ce caractère équivaut à la définition de l'intégrabilité au sens de BURKILL généralisée à indice $q$ sur $I$, dont il s'agit dans ($R_2$; p. 285, 286).

(8.8) D'accord avec ($R_1$; p. 287) on dira que $F$ est résoluble à indice $q$ sur $I$, et on écrira $F \in (R^q.)$ sur $I$, si pour tout $N$ s-parfait et mince et tout $I_0$, $I \subset I$, joint à $N$, il existe un $I_1$, $I_1 \subset I_0$, joint à $N$, tel que pour tout $i \subset I_1$ on a $V^q(F; N, i) (= \int_i^q F_N) = 0$. On peut exprimer ce caractère en disant: 'la variation à indice $q$ de $F$ autour tout $N$ s-parfait et mince est réductible à zéro sur $I'$.

REMARQUE 8.9. - L'emploi de la notion de réductibilité dans les constatations (8.7), (8.8) est d'accord avec la terminologie, dont A. DENJOY avait fait usage dans ses travaux sur diverses totalisations.

Envisageons sur l'intervalle $K$ les trois couples suivants de conditions :

(I) $F \in A. C^q. G$. et $F \in V^q$. Réd. (8.7);

(II) $F \in A. C^q. G$. et $DF(z)$ finie existe sur une plénitude de $K$;

(III) $F \in (R^q.)$ (8.8) et $F \in V^q$. Réd.

THÉORÈME 8.10. - Pour que $f(z)$, continue sur le segment $\bar{K}$, soit dans la classe [c] 8.1 il faut et il suffit que la fonction $F(I) = \int f(z)dz$ d'intervalle $I, \subset K$, satisfasse sur $K$ à une des trois couples de condition (I), (II), (III).
Dans chacun de ces couples de conditions $DF(z)$ existe sur une plénitude de $K$, tandis que $F$ et $DF$ seront les éléments respectifs des classes $[C]$ et $(\delta)$ (8.1) qui correspondet à $f$.

En effet, d'après (8.3) la fonction $F$ additive d'intervalle $(I \subset K)$ est c.s.é. sur $K$. Chacun des trois couples de conditions est nécessaire et suffisant pour que $F$ soit $(T)$-totale indéfinie sur $K$; cela s'ensuit en conséquence de trois théorèmes dans $(R_2$; p. 286) (pour $(I)$), $(R_2$; p. 286) (pour $(II)$), $(R_2$; q. 292) (pour $(III)$). $F$ étant une $(T)$-totale, la dérivée $DF(z)$ existe sur une plénitude de $K$, tandis que $F(I) = (T) \int_I DF(z) da(z)$ pour tout intervalle $I \subset K$. Toutes les conclusion du théorème en découlent.

COROLLAIRE 8.11. - Soit $O$ un domaine (e. g. ouvert connexe). Pour qu'une fonction $f(z)$, continue dans $O$, soit analytique dans $O$ il faut et il suffit que, $F(I)$ designant $\int_{I} f(z)dz$, on ait :

$$ (8.11a) \quad F \in A.C^q.G. \text{ sur } I \text{ et } DF(z) = 0 \text{ sur une plénitude de } O, $$

cela étant pour tout intervalle $I$, dont la fermeture est dans $O$.

La nécessité est immédiate, car, si $f$ est analytique dans $K$, on aura

$$ F(I) = 0(\bar{I} \subset O), \quad DF(z) = 0 \quad \text{dans } O; $$

à fortiori $F \in A.C^q.G.$ sur $I$. Pour démontrer la suffisance admettons (8.11a); alors ($f$ étant continue sur $\bar{I} \subset O$) Théorème 8.10, sous les conditions (II), s'applique avec $K = I$, ce qui veut dire :

$$ f \in [c] \text{ relativement à } I \text{ et } F(I) = (T) \int_I DF(z) da(z) = 0, $$

Cela étant vrai pour tout $I$ dont $\bar{I} \subset O$, d'après le théorème de MORERA $f$ sera analytique dans $O$.

Voici un Corollaire à l'énoncé (8.4).

(8.12). Pour qu'une fonction $f(z)$, continue dans un domaine $O$, soit analytique dans $O$ il faut et il suffit que [avec $F(I) = \int_{I} fdz = F_1 + iF_2$; $F_1$, $F_2$ réelles]:

$$ (8.12a) \quad DF = 0 \text{ sur une plénitude de } O; $$

(8.12b) les dérivés extrêmes $\overline{DF}_j$, $\overline{DF}_j(j=1, 2)$ soient finis dans $O$, à l'exception possible d'une infinité dénombrable de segments linéaires parallèles aux axes.
La nécessité. Si $f(z)$ est analytique, on aura $F(I) = 0(\bar{I} \subset O)$, et partout dans $O$:

$$DF = 0 = DF_1 + iDF_2, \quad DF_j = 0(j = 1, 2).$$

La suffisance. Admettons (8.12a), (8.12b); $f$ est continue sur tout $\bar{I} \subset O$. D'après (8.4) (avec un $I$ quelconque pour $K$; $\bar{I} \subset O)f(z) \in [c]$, relativement à $I$, et $\varphi = DF = 0$ sur une plénitude de $I$ sera l'élément de $(\delta)$ qui correspond à $f$; on aura

$$F(I) = (T) \int_I \varphi da(z) = 0;$$

il viendra que $f$ est analytique dans $O$.

REMARQUE 8.13. - Les développements de la section actuelle peuvent être formulés en rapport avec la totalisation à indice variable (cf. la théorie d'une telle totale dans $(R_2)$), dans auquel cas il n'y a pas d'analogue de l'énoncé (8.4) du Théorème 8.10 sous les conditions (II), du Corollaire 8.11 et de l'énoncé (8,12).

Les conditions (8.11a) sont les meilleures que l'on puisse énoncer, tandis que les conditions (8.12a), (8.12b), si elles ne sont pas les meilleures, sont proches de l'être; l'avantage des conditions (8.12a), (8.12b) est qu'elles sont un peu plus explicites.

(8.14). Si $f$ de $[c]$ (relativement à $K \in \sigma_q$) est continue sur $\bar{K}$, l'élément $\varphi$ de $(\delta)$, qui lui correspond, sera totalisable-(T) sur $K$ (donc sur $\bar{K}$).

En effet $\varphi$ est $(T)$-totalisable sur tout $I$ dont la fermeture est dans $K$; pour la fonction $F$ (8.1a) on a

$$F(I) = (T) \int_I \int_I \varphi(s, t) ds dt, \text{ dès que } \bar{I} \subset K.$$

Selon (8.3) $F(I)$ est c.s. é. (continue au sens étroit) sur $K$. Dans $(R_2$: p. 293) le caractère de c. u. s. é., continuité uniforme au sens étroit, est introduit $[F$ possède cette propriété si un $\eta(\cdot) > 0$ pour $\cdot > 0$, existe de sorte que $\bar{I} \subset K$, $|I| < \eta(\cdot)$ entraînent $|F(I)| < \cdot|\cdot|$. Il se voit que c.s. é., sur $K$ implique c.u.s. é. sur $K$ (la réciproque n'est pas vraie). D'après une constatation dans $(R_2$; p. 293) la fonction (8.1a) possède la propriété

$$F(K) = \operatorname{im} F(I) (\bar{I} \subset K, \ |I| \to |K|),$$

e. g. la limite existe, comme on a indiqué. lorsque $\bar{I} \subset K$ et la frontière (I)
de $I$ tend vers la frontière ($K$) de $K$; de plus $\varphi$ sera $(T)$-totalisable sur $K$ et $(T) \iint_K \varphi dsdt$ sera égale à la limite indiquée. L'énoncé (8.14) s'ensuit.

Pour conclure indiquons un problème de représentation dont l'étude ne sera pas poursuivie dans l'ouvrage actuel.

Y — a — t — il des totalisations (T) en sorte que pour f de [c], continue
sur $\bar{K}$, on ait :

$$
(8.15) \qquad f(z) = - \frac{1}{2\pi i} (T) \iint_K \frac{\varphi(s, t)}{\zeta - z} ds dt + a(z)
$$
sur une plénitude de $K(\zeta = s + it)$,

$a(z)$ étant analytique dans $K$ et $\varphi$ étant l'élément de $(\mathfrak{C})$ qui correspond à $f$?

Si $\Gamma'' = \{R\}$ est la famille de type-M d'ensembles fondamentaux $R \subset K$,
qui surviennent, et $K \in \Gamma''$, il se voit qu'une représentation (8.15) aura lieu
dès que les deux propriétés suivantes ont été vérifiées :

$$
(I) \qquad \Omega(K, z) = (T) \iint_K \frac{\varphi(s, t)}{\zeta - z} ds dt
$$

est sommable sur tout sous-ensemble fermé de K (cela impliquerait que
Ω(K, z) finie existe sur une plénitude de K);

$$
(II) \quad \int_{\mathbb{R}} -\frac{1}{2\pi i} \Omega(K, z) dz \equiv F(\mathbb{R}) \stackrel{[=]}{=} \int_{\mathbb{R}} f(z) dz
$$

pour presque tous les $R \subset K$ de $\Gamma''$.

La conclusion voulue s'ensuivrait en vertu de la forme générale du théorème de MORERA, comme présentée dans (F).

BIBLIOGRAPHIE

[1] V. S. FÉDOROFF, *Sur le théorème de Morera*, « Mat. Sbornik », t. 40, 1933, p. 168-179, désigné par (F)

[2] CH. DE LA VALLÉE POUSSIN, Le Potentiel logarithmique .. Paris, 1949, désigné par (P),

[3] S. SAKS, *Theory of the integral*, « Warszawa-Lwów », 1937, désigné par (S).

[4] W. J. TRJITZINSKY, *Problems of representation and uniqueness for functions of a complex variable*, «Acta Mathematica», t. 78, 1946, p. 97-192, désigné par ($T_1$).

[5] —, *Theory of functions of intervals and applications to functions of a complex variable*, «Jonrnal de Math.», t. 25, 1946, p. 347-395, désigné par ($T_2$).
[6] —, *Mixed laplacians ...*, «Annali di Matematica», t. 31, 1950, p. 143-230, désigné par ($T_3$).

[7] —, *Théorie métrique dans espaces où il y a une mesure*, «Mémorial des Sc. Math.», Paris, fasc. 143, 1960, p. 1-116, désigné par ($T_4$).

[8] P. ROMANOVSKI, *Intégrale de Denjoy dans les espaces abstraits*, «Mat. Sbornik», t. 9, 1941, p. 67-120, désigné par ($R_1$); aussi Mat. Sbornik, t. 9, 1941, p. 281-307, désigné par ($R_2$).