# Homogénéisation d'ordre supérieur de composites élastiques

Patrice Cartraud, Stéphane Bourgeois, M. Sharafaty-Zangeneh

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Patrice Cartraud, Stéphane Bourgeois, M. Sharafaty-Zangeneh. Homogénéisation d'ordre supérieur de composites élastiques. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01812898

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Submitted on 11 Jun 2018

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Homogénéisation d'ordre supérieur de com-
posites élastiques

P. Cartraud* — S. Bourgeois** — M. Sharafaty-Zangeneh*

*GeM (Institut de Recherche en Génie Civil et Mécanique), UMR CNRS 6183
Ecole Centrale de Nantes, BP 92101, 44321 Nantes Cedex 3
patrice.cartraud@ec-nantes.fr

**EGIM et LMA (CNRS-UPR7051),
Technopole de Chateau-Gombert, 38, rue Joliot Curie, 13451 Marseille Cedex 20
stephane.bourgeois@egim-mrs.fr

RÉSUMÉ. Cet article présente la mise en oeuvre d'une méthode d'homogénéisation d'ordre supérieur. L'approche est fondée sur la méthode des développements asymptotiques, et la prise en compte des termes d'ordre supérieur du développement a pour objectif d'améliorer la précision du modèle homogénéisé. Ceci conduit à la résolution de plusieurs problèmes, microscopiques et macroscopiques, et cet article est plus particulièrement consacré à la résolution numérique des problèmes microscopiques d'ordre supérieur.

ABSTRACT. A higher-order homogenization method is presented in this paper. The approach is based on the asymptotic expansion method, and the accuracy of the homogenized model is improved through the computation of the higher-order terms of the expansion. This leads to the solution of several microscopic and macroscopic problems, and this paper is focused on the numerical solution of the higher-order microscopic problems.

MOTS-CLÉS : homogénéisation, développement asymptotique, modèle d'ordre supérieur.

KEYWORDS: homogenization, asymptotic expansion, higher-order model
# 1. Introduction

Les méthodes standards d'homogénéisation sont appropriées lorsque la taille des hétérogénéités est petite devant les dimensions de la structure, et que les gradients de contraintes macroscopiques sont faibles (il existe en outre le problème des effets de bords). Si on veut étendre leur domaine de validité, il convient d'enrichir le modèle homogénéisé, et pour un milieu périodique, la démarche consiste à prendre en compte les termes d'ordre supérieur du développement asymptotique. Ceci amène à considérer de nouveaux problèmes microscopiques et macroscopiques, les premiers d'entre eux permettant de caractériser plus finement le comportement macroscopique.

Des travaux dans ce domaine existent [BOU 96], [TRI 96], [SMY 00], mais les contributions sont essentiellement théoriques. Notre propos est ici la mise en oeuvre numérique de cette méthode, en considérant le cas d'un milieu élastique, en 2D.

# 2. Problèmes Microscopiques

## 2.1. Formulation

La structure hétérogène est formée par la répétition périodique d'une cellule de base (ou période) $Y^\varepsilon$. Le point de départ de la méthode est le problème d'élasticité 3D. Une échelle locale est introduite en posant $\mathbf{y} := \mathbf{x}/\varepsilon$, et le déplacement est recherché sous la forme d'un développement asymptotique : $\mathbf{u}^\varepsilon(\mathbf{x}) = \mathbf{U}^0(\mathbf{x}) + \varepsilon\mathbf{u}^1(\mathbf{y}, \mathbf{x}) + \varepsilon^2\mathbf{u}^2(\mathbf{y}, \mathbf{x}) + \dots$ où chaque fonction $\mathbf{u}^k(\mathbf{y}, \mathbf{x})$, $k \ge 1$, est périodique par rapport à la variable $\mathbf{y}$. La coexistence des deux échelles transforme le problème initial 3D hétérogène en une série de problèmes 3D microscopiques ou cellulaires, posés sur la période de la structure et de problèmes macroscopiques, portant sur la structure avec un milieu homogène équivalent. Les comportements macroscopiques intervenant à ce niveau sont issus de la résolution des problèmes microscopiques.

Au premier ordre, les problèmes cellulaires sur la cellule 3D mise à l'échelle $Y$ s'écrivent ($\mathbf{a}$ est le tenseur de rigidité, $\mathbf{div}_\mathbf{y}$ et $\mathbf{e}_\mathbf{y}$ les opérateurs divergence et de déformation sur la variable $\mathbf{y}$, et $\mathbf{E}$ la déformation macroscopique, égale à $\mathbf{e}_x(\mathbf{U}^0(\mathbf{x}))$ :

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l}
\mathbf{div}_\mathbf{y}\boldsymbol{\sigma}^0 = \mathbf{0} \text{ dans } Y \\
\boldsymbol{\sigma}^0 = \mathbf{a}(\mathbf{y}) : \mathbf{e} \text{ dans } Y \\
\mathbf{e} = \mathbf{e}_\mathbf{y}(\mathbf{u}^1) + \mathbf{E}(\mathbf{x}) \text{ dans } Y \\
\boldsymbol{\sigma}^0 \cdot \mathbf{n} = \mathbf{0} \text{ sur } \partial Y_b \\
\mathbf{u}^1 \text{ périodique et } \boldsymbol{\sigma}^0 \cdot \mathbf{n} \text{ anti-périodique sur } \partial Y_a
\end{array}
\right. 
\quad (1) 
$$

où $\partial Y = \partial Y_a \cup \partial Y_b$, avec $\partial Y_a$ qui représente le contour de la cellule concerné par la périodicité, et $\partial Y_b$ sa partie complémentaire, libre d'efforts. La solution du problème (1) est définie à une translation d'ensemble près et est notée :

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l}
\mathbf{u}^1 = \mathbf{U}^1(\mathbf{x}) + \mathbf{X}^1(\mathbf{y}) : \mathbf{E}(\mathbf{x}) = \mathbf{U}^1(\mathbf{x}) + \mathbf{X}^{1ij}(\mathbf{y})E_{ij}(\mathbf{x}) \\
\boldsymbol{\sigma}^0 = \boldsymbol{\tau}^0(\mathbf{y}) : \mathbf{E}(\mathbf{x}) = \boldsymbol{\tau}^{0ij}(\mathbf{y})E_{ij}(\mathbf{x})
\end{array}
\right. 
\quad (2) 
$$
Au deuxième ordre, d'après (4), les problèmes à résoudre font apparaître des efforts volumiques et une contrainte initiale. Pour le problème dont la solution est $(\mathbf{Y}^{jkh}, \tau^{1jkh})$, ils ont pour expression : $f_i^{jkh}(\mathbf{y}) = (\tau^{0kh}(\mathbf{y}) - \langle \tau^{0kh} \rangle)_{ij}$ et $(s_{ini}^{jkh})_{lm} = a_{lmpj}(\mathbf{y})\mathbf{X}_p^{kh}(\mathbf{y})$ respectivement. Ces problèmes sont résolus avec le logiciel Abaqus : l'effort $f_i^{jkh}(\mathbf{y})$ se calcule sans difficulté à partir des contraintes du premier ordre, alors que la contrainte initiale $(s_{ini}^{jkh})_{lm}$ est évaluée aux points d'intégration à partir des déplacements.

Pour valider la mise en oeuvre de la méthode, le cas test d'un bi-matériau périodique en contraintes planes est étudié. On dispose en effet sur ce problème d'une solution analytique pour le problème du deuxième ordre [LAH 98], qui est approchée avec une excellente précision avec le résultat élément fini. Une mousse à cellule carrée est ensuite traitée en contraintes planes. La déformée sur le champ périodique obtenue pour les problèmes cellulaires est donnée figure 1. La figure 1(a) correspond à la solution au premier ordre pour une déformation macroscopique de glissement imposée, alors que la figure 1(b) représente la solution du problème cellulaire du deuxième ordre lorsque la donnée est un gradient de déformation macroscopique de glissement.

# 3. Problèmes Macroscopiques

## 3.1. Formulation

Par récurrence, le développement asymptotique du déplacement s'écrit :

$$ \mathbf{u}^{\varepsilon}(\mathbf{x}) = \mathbf{U}^{0}(\mathbf{x}) + \varepsilon(\mathbf{U}^{1}(\mathbf{x}) + \mathbf{X}^{1}(\mathbf{y})) : \mathbf{e}_{\mathbf{x}}(\mathbf{U}^{0}(\mathbf{x})) \\ + \varepsilon^{2}(\mathbf{U}^{2}(\mathbf{x}) + \mathbf{X}^{1}(\mathbf{y})) : \mathbf{e}_{\mathbf{x}}(\mathbf{U}^{1}(\mathbf{x})) + \mathbf{X}^{2}(\mathbf{y}):\mathbf{grad}_{\mathbf{x}}\mathbf{e}_{\mathbf{x}}(\mathbf{U}^{0}(\mathbf{x}))... \quad (7) $$

La résolution successive des problèmes macroscopiques fournit les solutions $(\mathbf{X}^1(\mathbf{y}), \tau^0(\mathbf{y}))$, $(\mathbf{X}^2(\mathbf{y}), \tau^1(\mathbf{y}))$, ..., alors que les problèmes macroscopiques permettent le calcul de $\mathbf{U}^0(\mathbf{x})$, $\mathbf{U}^1(\mathbf{x})$... Ces problèmes macroscopiques sont posés sur le domaine 3D homogénéisé.

Les équations d'équilibre s'écrivent ($\delta$ est le symbole de Kronecker, et $k \ge 0$) :

$$ \mathrm{div}_{\mathbf{x}} \langle \sigma^k \rangle + \delta_{k0} \langle f \rangle = \mathbf{0} \quad (8) $$

avec les efforts volumiques $f$ qui interviennent sur le problème de plus bas ordre.

La loi de comportement macroscopique est donnée aux premiers ordres par (3) et (6), et aux ordres suivants, les gradients de déformation d'ordre supérieur apparaissent. Ces expressions montrent que le calcul des termes d'ordre supérieur du développement asymptotique permet de prendre en compte les variations des champs macroscopiques à l'échelle de la cellule.
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 1.** Déformées microscopiques pour un matériau cellulaire</figcaption></figure>

## 3.2. Résolution numérique

La résolution à chaque ordre du problème macroscopique peut paraître pénalisante. C'est pourquoi plusieurs auteurs proposent de se ramener à un seul problème macroscopique, en utilisant différentes approches [BAK 89], [FIS 01], [SMY 00]. Dans tous ces cas, le problème macroscopique ainsi obtenu est un problème d'élasticité non classique. Il s'ensuit qu'il faut définir plus de trois conditions aux limites en tout point du contour. Il s'agit là d'un problème encore largement ouvert, qui relativise par conséquent l'intérêt de ces approches.

La méthode adoptée ici consiste à résoudre successivement (ordre après ordre) les problèmes macroscopiques. Considérons à titre d'exemple le problème macroscopique d'ordre 1. Quand la solution $U^1(x)$ de ce problème est recherchée, la solution $U^0(x)$ du problème macroscopique d'ordre 0 est connue, si bien que les équations d'équilibre peuvent s'écrire sous la forme :

$$ \begin{cases} \operatorname{div}_x(\langle \tau^0 \rangle : e_x(U^1(x)) + \sigma_{ini}) = 0 \\ \sigma_{ini} = \langle \tau^1 \rangle : \operatorname{grad}_x(e_x)(U^0(x)) \end{cases} \qquad (9) $$

On est ainsi ramené à un problème d'élasticité classique, avec une contrainte initiale. Le calcul de cette contrainte initiale passe par le calcul des gradients de déformation de la solution macroscopique d'ordre 0, ce qui nécessite l'utilisation d'éléments finis avec des fonctions d'interpolation polynômiales de degré 2 au moins. Au final, les solutions microscopiques et macroscopiques à chaque ordre sont combinées pour reconstituer la série (7) du développement asymptotique.
## 4. Conclusion

Nous proposons ici une implémentation numérique d'une méthode d'homogénéisation d'ordre supérieur pour des applications de type milieux continus. Dans un premier temps, l'accent est mis sur l'amélioration de la loi de comportement homogénéisée, grâce à la prise en compte des termes d'ordre supérieur du développement asymptotique. Il est aussi montré que même si ces termes se traduisent par des gradients de déformation, ils peuvent être traités en restant dans le cadre de l'élasticité classique (milieu de Cauchy). Des travaux sont actuellement en cours pour démontrer la précision de cette méthode sur divers exemples.

A plus long terme, le problème des effets de bords sera également abordé.

## 5. Bibliographie

[BAK 89] BAKHVALOV N., PANASENKO G., *Homogenization: Averaging Processes in Per-iodic Media*, Kluwer, 1989.

[BOU 96] BOUTIN C., « Microstructural Effects in Elastic Composites », *Int. J. Solids Structures*, vol. 33, n° 7, 1996, p. 1023-1051.

[BOU 00] BOURGEOIS S., « Homogénéisation d'une poutre périodique : limite des développements asymptotiques », *C.R.Acad.Sci. Ser. II*, vol. 328, 2000, p. 719-725.

[BUA 00] BUANNIC N., « Analyse asymptotique de poutres élastiques hétérogènes », Thèse, Ecole Centrale de Nantes, 2000.

[DUM 90] DUMONTET H., « Homogénéisation et effets de bords dans les matériaux composites », Thèse d'Etat, Université Paris 6, 1990.

[FIS 01] FISH J., CHEN W., « Higher-Order Homogenization of Initial/Boundary-Value Problem », *J. Eng. Mech.*, vol. 127, n° 12, 2001, p. 1223-1230.

[LAH 98] LAHELLEC N., « Limite de vailidté d'une approche par homogénéisation périodique, étude de cas », D.E.A. de Mécanique, Université Aix-Marseille II, 1998.

[MIC 99] MICHEL J., MOULINEC H., SUQUET P., « Effective properties of composite materials with periodic microstructure : a computational approach », *Comput. Meth. Appl. Mech. Eng.*, vol. 172, n° 1-4, 1999, p. 109-143.

[PEE 02] PEERLINGS R., FLECK N., « A numerical framework for homogenisation towards higher-order media », MANG H.A. RAMMERSTORFER F.G E. J., Ed., *Proceedings of the Fifth World Congress on Computational Mechanics (WCCM V)*, http://wccm.tuwien.ac.at, 2002.

[SMY 00] SMYSHLYAEV V., CHEREDNICHENKO K., « On rigorous derivation of strain gradient effects in the overall behaviour of periodic heterogeneous media », *J. Mech. Phys. Solids*, vol. 48, n° 6-7, 2000, p. 1325-1357.

[TRI 96] TRIANTAFYLLIDIS N., BARDENHAGEN S., « The influence of scale size on the stability of periodic solids and the role of associated higher order gradient continuum models », *J. Mech. Phys. Solids*, vol. 44, n° 11, 1996, p. 1891-1928.