# Plasticité (matériaux standard généralisés)

M.L.M. François

► To cite this version:

M.L.M. François. Plasticité (matériaux standard généralisés). Master. Module XMS3PE713 Comportements dissipatifs Cours III/VI Plasticité, Nantes, France. 2025, pp.89. hal-05457080

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<figure><img src="image_1.png" /></figure>

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Module XMS3PE713 Comportements dissipatifs
Cours III/VI Plasticité

M2 de Mécanique, parcours Mécanique et Fiabilité des Structures

Faculté des Sciences et techniques, Nantes Université

Version du 25 novembre 2025
# Objectifs de ce cours

* Connaître la plasticité 3D dans le cadre des matériaux standard généralisés

* Savoir utiliser les modèles élémentaires :

* Écrouissage Cinématique Linéaire (ECL)

* Écrouissage Isotrope (EI)

* Écrouissage Cinématique non Linéaire (ECNL)

et leur assemblage (EICNL)

* Connaitre les bases des schémas d'intégration (explicite, retour radial et θ-méthode

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Train d'atterrissage forgé (Doc. Messier-Bugatti-Dowty)</figcaption></figure>
# Plan

1

1.1 Spécificités de la plasticité 3D

1.1.1 Déformation plastique

1.1.2 Hypothèses

1.1.3 Plasticité déviatorique

1.1.4 Loi de Hooke généralisée isotrope

2

2.1 Surface de charge

3

3.1 État

4

4.1 Normalité

5

5.1 Normalité généralisée

6

6.1 Consistance

7

7.1 Modèle complet EICNL

8

8.1 Etude de la réponse en 1D

9

9.1 Bases sur l'intégration des modèles

10

Bibliographie
# 1 Spécificités de la plasticité 3D

## 1.1 Déformation plastique

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Fabrication d'une boule de pétanque

## Tenseur des déformations plastiques

La déformation plastique est la déformation résiduelle en l'absence de contraintes. Elle est décrite par le tenseur des déformations plastiques $\mathbf{\varepsilon}^P$.
## 1.2 Hypothèses

### Hypothèse de partition des déformations

La déformation (mesurable) se scinde en parties élastique (due à la présence d'une contrainte), plastique et d'autres parties (thermiques, chimiques...) que nous ne prendrons pas en compte dans ce cours :

$$ \boldsymbol{\epsilon} = \boldsymbol{\epsilon}^e + \boldsymbol{\epsilon}^p + (\boldsymbol{\epsilon}^{\text{th}} + \dots) $$

### Hypothèse HPP

Ce cours fait l'hypothèse des petites perturbations. a b

a. Suffisante dans la majorité des cas pratiques à l'exception des procédés de mise en forme comme l'emboutissage profond.

b. La théorie de la plasticité existe aussi en grandes transformations.
## 1.3 Plasticité déviatorique

Les travaux de P. W. Bridgman (prix Nobel 1946) montrent que

* la déformation plastique se fait à volume constant donc $\text{trace}(\boldsymbol{\varepsilon}^P) = 0$.

Le tenseur des déformations plastiques est un déviateur

$$ \boldsymbol{\varepsilon}^P \in \mathcal{T}^{-2\text{SD}} $$

* la plasticité est indépendante de la pression hydrostatique $p = -\text{trace}(\boldsymbol{\sigma})/3$. Par conséquent :

Les transformations plastiques sont régies par le déviateur des contraintes $\boldsymbol{\sigma}^D$
## 1.4 Loi de Hooke généralisée isotrope

Dans ce cours nous nous limitons aux matériaux d'élasticité isotrope, vue au cours précédent :

$$ 
\begin{gathered}
\boldsymbol{\sigma} = \mathbb{C} : (\boldsymbol{\epsilon} - \boldsymbol{\epsilon}^\mathrm{P}) \\
\mathbb{C} = 2\mu\mathbb{P}^\mathrm{D} + 3K\mathbb{P}^\mathrm{H}
\end{gathered}
$$

où $\mathbb{P}^\mathrm{D}$ et $\mathbb{P}^\mathrm{H}$ sont les projecteurs déviatoriques et hydrostatiques. D'où :

Loi de Hooke généralisée isotrope sous forme de Kelvin :

$$ \boldsymbol{\sigma} = 2\mu(\boldsymbol{\epsilon}^\mathrm{D} - \boldsymbol{\epsilon}^\mathrm{P}) + 3K\boldsymbol{\epsilon}^\mathrm{H} \quad (\mathrm{ELASK}) $$

et la loi inverse :

$$ \boldsymbol{\epsilon} = \frac{\boldsymbol{\sigma}^\mathrm{D}}{2\mu} + \frac{\boldsymbol{\sigma}^\mathrm{H}}{3K} + \boldsymbol{\epsilon}^\mathrm{P} \quad (\mathrm{KELAS}) $$
Remarques

* (ELASK) se décompose sur les sous-espaces déviatoriques et hydrostatiques :

$$ \boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{D}}=2 \mu\left(\boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{D}}-\boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{P}}\right) \quad(\mathrm{ELASKD}) $$

$$ \boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{H}}=3 K \boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{H}} \quad(\mathrm{ELASKH}) $$

* Les formes de Young et de Lamé correspondantes sont :

$$ \boldsymbol{\varepsilon}-\boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{P}}=\frac{1+\nu}{E} \boldsymbol{\sigma}-\frac{\nu}{E} \operatorname{trace}(\boldsymbol{\sigma}) \mathbf{I} \quad(\mathrm{ELASY}) $$

$$ \boldsymbol{\sigma}=2 \mu\left(\boldsymbol{\varepsilon}-\boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{P}}\right)+\lambda \operatorname{trace}\left(\boldsymbol{\varepsilon}\right) \mathbf{I} \quad(\mathrm{ELASL}) $$

* On peut se passer de la variable déformation élastique $\boldsymbol{\varepsilon}^e = \boldsymbol{\varepsilon} - \boldsymbol{\varepsilon}^P$

* Dans la pratique la déformation élastique $\approx 10^{-3}$ est souvent négligeable par rapport à la déformation plastique $\approx 10^{-2}... 10^{-1}$.
# Plan

1. 1. Spécificités de la plasticité 3D

2. 2 Surface de charge

* 2.1 Rappels

* 2.2 Surface de charge en 3D

3. 3 Etat

4. 4 Normalité

5. 5 Normalité généralisée

6. 6 Consistance

7. 7 Modèle complet EICNL

8. 8 Etude de la réponse en 1D

9. 9 Bases sur l'intégration des modèles

10. Bibliographie
# 2 Surface de charge

## 2.1 Rappels

La fonction de charge *f* est une fonction de variables décrivant l'état du système qui définit :

* le domaine d'élasticité *f* < 0, lieu des transformations élastiques

* la surface de charge *f* = 0, lieu des transformations plastiques

Par ex., en 1D : $f = |\sigma - X| - R - \sigma^y$. En plasticité $f \equiv 0$ est réalisé :

* soit en changeant *X* (modèles ECL, ECNL)

* soit en changeant *R* (modèle EI)

<figure><img src="image_4.png" /></figure>
## 2.2 Surface de charge en 3D

On suppose la matière isotrope et sensible au déviateur des contraintes. L'invariant retenu ici<fnref n="1" /> est la norme euclidienne<fnref n="2" /> (Von Mises, 1913).

### La fonction de charge de Von Mises

$$f(\boldsymbol{\sigma}^D, \mathbf{X}, R) = \|\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}\| - R - \boldsymbol{\sigma}^Y$$

dans laquelle :

* $\boldsymbol{\sigma}^D$ est le déviateur des contraintes

* le déviateur **X** est le centre du domaine d'élasticité, (ECL et ECNL)

* **R** est l'écrouissage (EI)

<footnote n="1">1. on peut aussi utiliser le critère de Tresca</footnote>

<footnote n="2">2. indépendamment de l'angle de Lode</footnote>
Remarque : posons $f = 0$ en traction et à la limite d'élasticité $\sigma^c$ et à l'état initial défini par $\mathbf{X} = \mathbf{0}$ et $R = 0$ :

$$ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma^c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

$$ \boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{D}} = \begin{bmatrix} 2\sigma^{\mathrm{c}}/3 & 0 & 0 \\ 0 & -\sigma^{\mathrm{c}}/3 & 0 \\ 0 & 0 & -\sigma^{\mathrm{c}}/3 \end{bmatrix} $$

$$ \|\boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{D}}\| = \sqrt{2/3} \sigma^{\mathrm{c}} $$

$$ \sigma^{\mathrm{y}} = \sqrt{2/3} \sigma^{\mathrm{c}} $$

Pour cette raison, on trouve encore souvent dans la littérature cette forme que l'on utilisera pas<fnref n="3" /> :

$$ f(\boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{D}}, \mathbf{X}, R) = \sqrt{\frac{3}{2}} \|\boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{D}} - \mathbf{X}\| - \underline{R} - \sigma^{\mathrm{c}} $$

<footnote n="3">3. car elle entraine des $\sqrt{3/2}$ partout...</footnote>
Pour un chargement de bi-traction :

$$ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_I & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{II} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

$$ \boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{D}} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2\sigma_I - \sigma_{II} & 0 & 0 \\ 0 & 2\sigma_{II} - \sigma_I & 0 \\ 0 & 0 & -\sigma_I - \sigma_{II} \end{bmatrix} $$

$$ \Rightarrow \|\boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{D}}\| = \sqrt{\frac{2}{3}} \sqrt{\sigma_I^2 + \sigma_{II}^2 - \sigma_I \sigma_{II}} $$

La surface seuil $f = 0$ (à $\mathbf{X} = 0$ et $R = 0$) s'écrit donc :

$$ \|\boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{D}}\| = \sigma^y $$

$$ \Rightarrow (\sigma_I/\sigma_c)^2 + (\sigma_{II}/\sigma_c)^2 - (\sigma_I\sigma_{II}/\sigma_c^2) = 1 $$

ce qui est l'équation d'une ellipse.
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Comparaison théorique / expérimentale du critère de Von Mises en bi-traction pour différents métaux</figcaption></figure>
# Plan

1. 1. Spécificités de la plasticité 3D

2. 2. Surface de charge

3. 3 État
* 3.1 Rappels de thermodynamique des processus irréversibles
* 3.2 Modèle ECL
* 3.3 Modèle EI
* 3.4 Modèle ECNL

4. 4. Normalité

5. 5. Normalité généralisée

6. 6. Consistance

7. 7. Modèle complet EICNL

8. 8. Etude de la réponse en 1D

9. 9. Bases sur l'intégration des modèles

10. Bibliographie
# 3 État

## 3.1 Rappels de thermodynamique des processus irréversibles

L'énergie libre de Helmholtz lie les variables d'état ($ε, T, V^k$) aux forces associées ($\sigma, S, A^k$)$^4$ :

$$ \sigma = \rho \frac{\partial \psi}{\partial \boldsymbol{\epsilon}} \qquad (\text{VAS}) $$

$$ A^k = -\rho \frac{\partial \psi}{\partial V^k} \qquad (\text{VAV}) $$

$$ s = -\rho \frac{\partial \psi}{\partial T} $$

En plasticité, la déformation plastique est une variable d'état :

$$ \mathbf{V}^1 = \boldsymbol{\epsilon}^p $$

<footnote n="4">4. Dans ce cours on s'occupe pas de l'entropie / température.</footnote>
Afin d'obtenir la loi de Hooke généralisée (ELASK), l'énergie libre de Helmholtz doit contenir cette partie élastique $\rho\Psi^e$ :

$$\rho\Psi = \rho\Psi^e + \rho\Psi^p$$

$$2\rho\Psi^e = 2\mu(\varepsilon^D - \varepsilon^p) : (\varepsilon^D - \varepsilon^p) + 3K\varepsilon^H : \varepsilon^H$$

où la partie $\rho\Psi^p$ ne sera relative qu'à la plasticité. Vérification :

$$\begin{aligned} \sigma &= \rho \frac{\partial \Psi}{\partial \varepsilon} \\ &= 2\mu(\varepsilon^D - \varepsilon^p) + 3K\varepsilon^H \end{aligned}$$

en utilisant :

## Théorème

$$\forall \mathbf{T} \in \mathcal{T}^{2S}, \quad \frac{\partial \mathbf{T}^D}{\partial \mathbf{T}} = \mathbb{P}^D, \quad \frac{\partial \mathbf{T}^H}{\partial \mathbf{T}} = \mathbb{P}^H$$

Preuve triviale depuis $\mathbf{T}^D = \mathbb{P}^D : \mathbf{T}$, où $\mathbb{P}^D$ est le projecteur déviatorique (c.f. cours d'anisotropie). Idem en H. ■
## 3.2 Modèle ECL

* Le modèle à écrouissage cinématique linéaire (ECL) a été introduit par W. Prager (1955, 1958).

* L'aspect cinématique est dû au centre du domaine d'élasticité **X**

* Variables dissipatives, d'état et associées :

<table><tr><td><b>V</b><sup><i>k</i></sup></td><td><i>&epsilon;</i><sup><i>P</i></sup></td></tr><tr><td><b>A</b><sup><i>k</i></sup></td><td><b>&sigma;</b><sup><i>D</i></sup> &minus; <b>X</b></td></tr></table>

* Fonction de charge :

$$ 
\begin{aligned}
f(\boldsymbol{\sigma}^D, \mathbf{X}) &= \|\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}\| - \sigma^y \\
f(\mathbf{A}^1) &= \|\mathbf{A}^1\| - \sigma^y
\end{aligned}
$$
L'énergie libre de Helmholtz introduit, en plus de la partie obligatoire de la planche 17, un terme quadratique en déformation plastique :

$$2\rho\psi = 2\mu(\boldsymbol{\epsilon}^D - \boldsymbol{\epsilon}^P) : (\boldsymbol{\epsilon}^D - \boldsymbol{\epsilon}^P) + 3K\boldsymbol{\epsilon}^H : \boldsymbol{\epsilon}^H + C\boldsymbol{\epsilon}^P : \boldsymbol{\epsilon}^P$$

On retrouve ELASK et on en déduit l'expression de **X** :

$$\sigma = \rho \frac{\partial \psi}{\partial \boldsymbol{\epsilon}} = 2\mu(\boldsymbol{\epsilon}^D - \boldsymbol{\epsilon}^P) + 3K\boldsymbol{\epsilon}^H$$

$$\mathbf{A}^1 = -\rho \frac{\partial \psi}{\partial \mathbf{V}^1}$$

$$\begin{align*} \Rightarrow \underline{\boldsymbol{\sigma}}^D - \mathbf{X} &= -\rho \frac{\partial \psi}{\partial \boldsymbol{\epsilon}^P} \\ &= \frac{2\mu(\boldsymbol{\epsilon}^D - \boldsymbol{\epsilon}^P) - C\boldsymbol{\epsilon}^P}{\boldsymbol{\epsilon}^P} \\ \Rightarrow \mathbf{X} &= C\boldsymbol{\epsilon}^P \end{align*}$$
## 3.3 Modèle EI

* Le modèle à écrouissage isotrope est dû à Taylor et Quinney (1931).

* L'aspect isotrope est porté par l'écrouissage R

* Variables dissipatives, d'état et associées :

<table><tr><td><b>V</b><sup>k</sup></td><td><b>ε</b><sup>p</sup></td><td><i>p</i></td></tr><tr><td><b>A</b><sup>k</sup></td><td><b>σ</b><sup>D</sup></td><td>-<i>R</i></td></tr></table>

où nous montrerons que $p$ est la plasticité cumulée définie par $dp = ||dε^p||$.

* Fonction de charge :

$$ 
\begin{aligned}
f(\boldsymbol{\sigma}^D) &= ||\boldsymbol{\sigma}^D|| - R - \sigma^y \\
f(\mathbf{A}^1, A^2) &= ||\mathbf{A}^1|| + A^2 - \sigma^y
\end{aligned}
$$
L'énergie libre de Helmholtz introduit, en plus de la partie obligatoire (planche 17), une fonction de p :

$$2\rho\Psi = 2\mu(\boldsymbol{\epsilon}^D - \boldsymbol{\epsilon}^P) : (\boldsymbol{\epsilon}^D - \boldsymbol{\epsilon}^P) + 3K\boldsymbol{\epsilon}^H : \boldsymbol{\epsilon}^H + 2\mathcal{R}(p)$$

On retrouve (ELASK), (ELASKD) et l'expression de R :

$$ 
\begin{align*}
\sigma &= \rho \frac{\partial \Psi}{\partial \boldsymbol{\epsilon}} = 2\mu(\boldsymbol{\epsilon}^D - \boldsymbol{\epsilon}^P) + 3K\boldsymbol{\epsilon}^H \\
\mathbf{A}^1 &= -\rho \frac{\partial \Psi}{\partial \mathbf{V}^1} \\
\Rightarrow \boldsymbol{\sigma}^D &= -\rho \frac{\partial \Psi}{\partial \boldsymbol{\epsilon}^P} = 2\mu(\boldsymbol{\epsilon}^D - \boldsymbol{\epsilon}^P) \\
\mathbf{A}^2 &= -\rho \frac{\partial \Psi}{\partial \mathbf{V}} \\
\Rightarrow -R &= -\rho \frac{\partial \Psi}{\partial p} \\
\Rightarrow R(p) &= \mathcal{R}'(p)
\end{align*}
$$
Les lois d'écrouissage sont monotones croissantes afin de décrire l'effet d'écrouissage qui consiste à augmenter la taille du domaine d'élasticité. On trouve classiquement :

* La loi linéaire de Prandtl-Reuss

$$R = k p$$

* La loi puissance

$$R = k p^{1/m}$$

* La loi exponentielle saturante

$$R = R_{\infty}(1 - \exp(-p/p_0))$$
## 3.4 Modèle ECNL

* Le modèle à écrouissage cinématique non-linéaire (ECNL) a été introduit par Armstrong et Frederick (1966)

* L'aspect cinématique est porté par **X**, centre du domaine

* Par rapport au modèle ECL, on sépare les variables $\boldsymbol{\sigma}^D$ et **X** :

$$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \mathbf{V}^k & \boldsymbol{\epsilon}^p & \mathbf{V} \\ \mathbf{A}^k & \boldsymbol{\sigma}^D & -\mathbf{X} \\ \hline \end{array} $$

où **V** sera identifié après.

* La surface de charge est la même que pour l'ECL :

$$ f(\boldsymbol{\sigma}^D, \mathbf{X}) = \|\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}\| - \boldsymbol{\sigma}^y $$

$$ f(\mathbf{A}^1, \mathbf{A}^2) = \|\mathbf{A}^1 + \mathbf{A}^2\| - \boldsymbol{\sigma}^y $$
L'énergie libre de Helmholtz introduit un terme quadratique en **V** :

$$2\rho\Psi = 2\mu(\boldsymbol{\epsilon}^D - \boldsymbol{\epsilon}^P) : (\boldsymbol{\epsilon}^D - \boldsymbol{\epsilon}^P) + 3K\boldsymbol{\epsilon}^H : \boldsymbol{\epsilon}^H + CV : V$$

On retrouve (ELASK), (ELASKD) et l'expression de **V** :

$$\sigma = \rho \frac{\partial \Psi}{\partial \boldsymbol{\epsilon}} = 2\mu(\boldsymbol{\epsilon}^D - \boldsymbol{\epsilon}^P) + 3K\boldsymbol{\epsilon}^H$$

$$\mathbf{A}^1 = -\rho \frac{\partial \Psi}{\partial \mathbf{V}^1}$$

$$\Rightarrow \boldsymbol{\sigma}^D = -\rho \frac{\partial \Psi}{\partial \boldsymbol{\epsilon}^P} = 2\mu(\boldsymbol{\epsilon}^D - \boldsymbol{\epsilon}^P)$$

$$\mathbf{A}^2 = -\rho \frac{\partial \Psi}{\partial \mathbf{V}}$$

$$\Rightarrow -\mathbf{X} = -\rho \frac{\partial \Psi}{\partial \mathbf{V}}$$

$$\Rightarrow \mathbf{X} = CV$$

cette dernière équation permettant << d'oublier >> la variable d'état **V**.
# Plan

1. 1. Spécificités de la plasticité 3D

2. 2. Surface de charge

3. 3. État

4. 4. Normalité

* 4.1 Normalité à la surface de charge

* 4.2 Deux théorèmes utiles pour la suite

* 4.3 Normalité pour les modèles ECL, EI et ECNL

* 4.4 Plasticité cumulée

* 4.5 Remarques

5. 5. Normalité généralisée

6. 6. Consistance

7. 7. Modèle complet EICNL

8. 8. Etude de la réponse en 1D

9. 9. Bases sur l'intégration des modèles
# 4 Normalité

## 4.1 Normalité à la surface de charge

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Essais de Rousset (g.) et Oytana et Delobelle (d.). On observe que les incrément $d\epsilon^P$ sont raisonablement normaux aux surfaces de charge.

## Règle de normalité à la surface de charge

$$d\epsilon^P = \frac{\partial f}{\partial \sigma} d\lambda$$

où $d\lambda$ est le multiplicateur plastique que l'on précisera ensuite.
## 4.2 Deux théorèmes utiles pour la suite

### Théorème 1

$$ \frac{\partial \|\mathbf{A}\|}{\partial \mathbf{A}} = \frac{\mathbf{A}}{\|\mathbf{A}\|} $$

Preuve :

$$ \frac{\partial(\sqrt{A_{pq}A_{pq}})}{\partial A_{ij}} = \frac{1}{2} 2 \frac{A_{pq} \delta_{ip} \delta_{jq}}{\sqrt{A_{pq}A_{pq}}} = \frac{A_{ij}}{\sqrt{A_{pq}A_{pq}}} $$

### Théorème 2

$$ \frac{\partial \|\mathbf{A}\|}{\partial \mathbf{B}} = \frac{\mathbf{A}}{\|\mathbf{A}\|} : \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial \mathbf{B}} $$

Preuve :

$$ \frac{\partial(\sqrt{A_{pq}A_{pq}})}{\partial B_{ij}} = \frac{1}{2} \frac{A_{pq} \partial A_{pq} / \partial B_{ij}}{\sqrt{A_{pq}A_{pq}}} = \frac{A_{pq}}{\sqrt{A_{pq}A_{pq}}} \frac{\partial A_{pq}}{\partial B_{ij}} $$
## 4.3 Normalité pour les modèles ECL, EI et ECNL

* Modèles ECL et ECNL ($f = ||\sigma^D - \mathbf{X}|| - \sigma^y$)

$$ 
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial \sigma} &= \frac{\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}}{||\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}||} \\
\Rightarrow d\boldsymbol{\epsilon}^P &= \mathbf{N}d\lambda \\
\mathbf{N} &= \frac{\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}}{||\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}||}
\end{aligned}
$$

* Modèle EI ($f = ||\sigma^D|| - R - \sigma^y$)

$$ 
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial \sigma} &= \frac{\boldsymbol{\sigma}^D}{||\boldsymbol{\sigma}^D||} \\
\Rightarrow d\boldsymbol{\epsilon}^P &= \mathbf{N}d\lambda \\
\mathbf{N} &= \frac{\boldsymbol{\sigma}^D}{||\boldsymbol{\sigma}^D||}
\end{aligned}
$$
* Dans l'espace des déviateurs, les surface de charge iso-normes sont des (hyper-)sphères centrées en **X** (ECL) ou en **0** (EI) et **N** est colinéaire à un rayon.

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

* De plus, comme **N** est normé, cela implique que, pour les trois modèles :

$$ 
\begin{align*}
\|d\boldsymbol{\epsilon}^P\| &= \|\mathbf{N}\|d\lambda \\
\implies d\lambda &= dp \\
dp &\ge 0 \\
d\boldsymbol{\epsilon}^P &= \mathbf{N}dp
\end{align*}
$$
## 4.4 Plasticité cumulée

Définition : la plasticité cumulée (ou paramètre d'Odqvist) p, définie par

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

est la longueur du trajet plastique dans l'espace des déviateurs.

Elle représente la quantité de plasticité subie par le matériau.
4.5 Remarques

* La règle de normalité possède un effet inattendu : supposons un petit incrément de contrainte en cisaillement après une traction en plasticité. L'évolution plastique associée est (curieusement mais brièvement) un allongement pur (TD).

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

Effet de normalité : allongement en début de torsion 5

<footnote n="5">5. Les directions tensorielles $D_1$ et $D_2$ réferent à la base d'Ilyoushin</footnote>
* Si les métaux respectent bien la règle de normalité, les matériaux granulaires (sables, terres...), présentent en général des surfaces seuil définies dans le plan hydrostatique / déviatorique (avec un effet de renforcement de la pression hydrostatique). Les déformations plastiques se font plus ou moins à volume constant, donc sans respecter la loi de normalité.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Non respect de la loi de normalité d'un granulaire

* On considère dès à présent les cas des métaux où la normalité s'applique
# Plan

1. 1. Spécificités de la plasticité 3D

2. 2. Surface de charge

3. 3. État

4. 4. Normalité

5. 5. Normalité généralisée
● 5.1 Rappel : principe de dissipation maximale

● 5.2 Modèle ECL

● 5.3 Modèle EI

● 5.4 Modèle ECNL

6. 6. Consistance

7. 7. Modèle complet EICNL

8. 8. Etude de la réponse en 1D

9. 9. Bases sur l'intégration des modèles

10. Bibliographie
# 5 Normalité généralisée

## 5.1 Rappel : principe de dissipation maximale

Nous avons vu au cours de TPI que le principe de dissipation maximale était satisfait si :

### Règle de normalité généralisée

$$dV^k = \frac{\partial F}{\partial A^k} d\lambda$$
où F est le pseudo-potentiel de dissipation

### Un matériaux standard généralisé est dit associé si :

$$F = f$$
et non-associé dans le cas contraire.
## 5.2 Modèle ECL

Le modèle ECL est associé donc $F = f = \|\mathbf{A}^1\| - \sigma^Y$.

* Normalité généralisée sur l'unique variable interne :

$$ 
\begin{align*}
d\mathbf{V}^1 &= \frac{\partial F}{\partial \mathbf{A}^1} d\lambda \\
&= \frac{\mathbf{A}^1}{\|\mathbf{A}^1\|} d\lambda \\
\implies d\boldsymbol{\epsilon}^P &= \frac{\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}}{\|\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}\|} d\lambda
\end{align*}
$$

On retrouve des résultats déjà connus.
## 5.3 Modèle EI

Le modèle EI est associé donc $F = f = \|\mathbf{A}^1\| + A^2 - \sigma^y$. Normalité généralisée :

* Normalité généralisée sur la première variable

$$ 
\begin{aligned}
d\mathbf{V}^1 &= \frac{\partial F}{\partial \mathbf{A}^1} d\lambda = \frac{\mathbf{A}^1}{\|\mathbf{A}^1\|} d\lambda \\
\implies d\boldsymbol{\varepsilon}^P &= \frac{\boldsymbol{\sigma}^D}{\|\boldsymbol{\sigma}^D\|} d\lambda
\end{aligned}
$$

* Normalité généralisée sur la seconde :

$$ 
\begin{aligned}
d\mathbf{V} &= \frac{\partial F}{\partial \mathbf{A}^2} d\lambda = 1 d\lambda \\
\implies dp &= d\lambda
\end{aligned}
$$

On retrouve des résultats déjà connus.
## 5.4 Modèle ECNL

Le modèle ECNL est non-associé. Le pseudo-potentiel de dissipation diffère de la surface de charge par l'introduction d'un terme quadratique :

$$F = f + \frac{\gamma}{2C} \mathbf{A}^2 : \mathbf{A}^2$$

$$F = \|\mathbf{A}^1 + \mathbf{A}^2\| - \sigma^y + \frac{\gamma}{2C} \mathbf{A}^2 : \mathbf{A}^2$$

$$F = \|\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}\| - \sigma^y + \frac{\gamma}{2C} \mathbf{X} : \mathbf{X}$$

où $\gamma$ est le second paramètre du modèle.

* Normalité généralisée sur la première variable

$$d\mathbf{V}^1 = \frac{\partial F}{\partial \mathbf{A}^1} d\lambda = \frac{\mathbf{A}^1 + \mathbf{A}^2}{\|\mathbf{A}^1 + \mathbf{A}^2\|} d\lambda$$

$$\Rightarrow d\boldsymbol{\varepsilon}^P = \frac{\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}}{\|\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}\|} d\lambda$$

On retrouve des résultats déjà connus.
* Normalité généralisée sur la seconde variable :

$$ 
\begin{aligned}
d\mathbf{V} &= \frac{\partial F}{\partial \mathbf{A}^2} d\lambda \\
&= \left( \frac{\mathbf{A}^1 + \mathbf{A}^2}{\|\mathbf{A}^1 + \mathbf{A}^2\|} + \frac{\gamma}{C} \mathbf{A}^2 \right) d\lambda
\end{aligned}
$$

Compte tenu de $\mathbf{X} = C\mathbf{V}$ trouvé au (3.4), de $d\lambda = dp$ et des expression de $d\boldsymbol{\epsilon}^P$ et de $\mathbf{N}$ au (4.3) :

$$ 
\begin{aligned}
\frac{d\mathbf{X}}{C} &= \left( \frac{\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}}{\|\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}\|} - \frac{\gamma}{C} \mathbf{X} \right) d\lambda \\
d\mathbf{X} &= (C\mathbf{N} - \gamma\mathbf{X}) dp \\
d\mathbf{X} &= C d\boldsymbol{\epsilon}^P - \gamma\mathbf{X} dp
\end{aligned}
\quad (\text{EVOecnl})
$$

On obtient l'équation d'évolution du modèle ECNL.⁶
# Plan

1. 1. Spécificités de la plasticité 3D

2. 2. Surface de charge

3. 3. État

4. 4. Normalité

5. 5. Normalité généralisée

6. 6. Consistance

● 6.1 Principe

● 6.2 Modèle ECL

● 6.3 Modèle EI

● 6.4 Modèle ECNL

● 6.5 Condition d'évolution plastique

7. 7. Modèle complet EICNL

8. 8. Etude de la réponse en 1D

9. 9. Bases sur l'intégration des modèles
# 6 Consistance

## 6.1 Principe

Une transformation plastique se fait à $f(A^k) = 0$. Dans l'espace des contraintes déviatoriques, la surface de charge est entrainée :

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

La fonction restant constante, on en déduit :

L'équation de consistance : lors d'une transformation plastique

$$ \iff \frac{\partial f}{\partial A^k} dA^k = 0 $$
## 6.2 Modèle ECL

Depuis l'équation de la surface de charge et le théorème 1 :

$$f(\mathbf{A}^1) = \|\mathbf{A}^1\| - \sigma^y$$

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{A}^1} : d\mathbf{A}^1 = \frac{\mathbf{A}^1}{\|\mathbf{A}^1\|} : d\mathbf{A}^1 = 0$$

Puisque $\mathbf{A}^1 = \boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}$ on trouve l'équation de consistance 7 :

$$\mathbf{N} : d\mathbf{X} = \mathbf{N} : d\boldsymbol{\sigma}^D$$

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

L'égalité des projections garantit 8 que $f(\boldsymbol{\sigma} + d\boldsymbol{\sigma} = 0)$

<footnote n="7">7. où $\mathbf{N} = (\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X})/\|\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}\|$ est connu depuis (4.3)</footnote>

<footnote n="8">8. visuellement, à l'approximation différentielle près</footnote>
## 6.3 Modèle EI

Depuis l'équation de la surface de charge et le théorème 1 :

$$f(A^1, A^2) = \|\mathbf{A}^1\| + A^2 - \sigma^y$$

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{A}^1} : d\mathbf{A}^1 + \frac{\partial f}{\partial A^2} dA^2 = \frac{\mathbf{A}^1}{\|\mathbf{A}^1\|} : d\mathbf{A}^1 + dA^2 = 0$$

Avec $\mathbf{A}^1 = \boldsymbol{\sigma}^D$ et $A^2 = -R$, on en déduit l'équation de consistance⁹ :

$$dR = N : d\boldsymbol{\sigma}^D$$

$$\iff R'(p)dp = N : d\boldsymbol{\sigma}^D$$

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

L'égalité des projections garantit¹⁰ que $f(\boldsymbol{\sigma} + d\boldsymbol{\sigma} = 0)$

9. où $N = (\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X})/\|\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}\|$ est connu depuis (4.3)

10. visuellement, à l'approximation différentielle près
## 6.4 Modèle ECNL

Depuis l'équation de la surface de charge et le théorème 2 :

$$f(A^1, A^2) = \|A^1 + A^2\| - \sigma^y$$

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{A}^1} : d\mathbf{A}^1 + \frac{\partial f}{\partial \mathbf{A}^2} : d\mathbf{A}^2 = \frac{\mathbf{A}^1 + \mathbf{A}^2}{\|\mathbf{A}^1 + \mathbf{A}^2\|} : d\mathbf{A}^1 + \frac{\mathbf{A}^1 + \mathbf{A}^2}{\|\mathbf{A}^1 + \mathbf{A}^2\|} : d\mathbf{A}^2 = 0$$

Avec $\mathbf{A}^1 = \boldsymbol{\sigma}^D$ et $\mathbf{A}^2 = -\mathbf{X}$, on en déduit l'équation de consistance 11 :

$$\mathbf{N} : d\mathbf{X} = \mathbf{N} : d\boldsymbol{\sigma}^D$$

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

L'égalité des projections garantit 12 que $f(\boldsymbol{\sigma} + d\boldsymbol{\sigma} = 0)$

<footnote n="11">11. où $\mathbf{N} = (\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X})/\|\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}\|$ est connu depuis (4.3)</footnote>

<footnote n="12">12. visuellement, à l'approximation différentielle près</footnote>
## 6.5 Condition d'évolution plastique

L'évolution plastique ne se produit que :

* si l'on est sur la surface de charge : $f = 0$

* et si l'on cherche à en sortir $N : d\sigma^D > 0$ a

a. Puisque $N$ est un déviateur, $N : d\sigma^D = N : d\sigma$

Ces conditions sont faciles à vérifier si le pilotage se fait en contrainte. Vous verrez bientôt les conditions de Kuhn-Tucker, plus adaptées au calcul numérique.

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

Une évolution plastique (en rouge) et une évolution élastique (en bleu)
## Plan

1. 1 Spécificités de la plasticité 3D

2. 2 Surface de charge

3. 3 État

4. 4 Normalité

5. 5 Normalité généralisée

6. 6 Consistance

7. 7 Modèle complet EICNL

● 7.1 Motivation

● 7.2 Formalisme de matériau standard généralisé non associé

● 7.3 Équations du modèle

● 7.4 Module tangent du modèle EICNL

● 7.5 Bilan énergétique du modèle EICNL

8. 8 Etude de la réponse en 1D

9. 9 Bases sur l'intégration des modèles
# 7 Modèle complet EICNL

## 7.1 Motivation

Les trois modèles montrés ont chacun leurs propriétés

* Le modèle ECL est basique mais décrit l'effet Bauschinger

* Le modèle EI décrit l'augmentation non linéaire de la taille de la surface de charge

* Le modèle ECNL décrit les non-linéarité sur l'aspect cinématique Mais, afin de décrire les essais plus finement, on peut avoir besoin d'associer EI et ECNL <fnref n="13" />. Souvent on se contente de deux ECNL, un « rapide » et un « lent ».

Ce modèle à plusieurs écrouissages a été développé par J.L. Chaboche (ONERA) dans les années 90. Il est utilisé dans le monde entier et implémenté dans les principaux codes de calcul.

<footnote n="13">13. Nul besoin d'ECL qui est une limite de l'ECNL, avec $\gamma = 0$.</footnote>
## 7.2 Formalisme de matériau standard généralisé non associé

* Variables dissipatives, d'état et associées :

<table><tr><td><b>V</b><sup>k</sup></td><td><b>ε</b><sup>p</sup></td><td>p</td><td><b>V</b><sup>I</sup></td></tr><tr><td><b>A</b><sup>k</sup></td><td><b>σ</b><sup>D</sup></td><td>-R</td><td>-<b>X</b><sup>I</sup></td></tr></table>

* Énergie libre de Helmholtz<fnref n="14" />

$$2\rho\psi = 2\mu(\boldsymbol{\varepsilon}^D - \boldsymbol{\varepsilon}^P)^2 + 3K(\boldsymbol{\varepsilon}^H)^2 + 2R(p) + \sum_{I} C^I(\mathbf{V}^I)^2$$

* Fonction de charge :

$$f(\boldsymbol{\sigma}^D, \mathbf{X}^I, R) = \|\boldsymbol{\sigma}^D - \sum_I \mathbf{X}^I\| - R - \sigma^y \quad (\text{SEUIL})$$

* Pseudo-potentiel de dissipation :

$$F = f + \sum_{I} \frac{\gamma^I}{2C^I}(\mathbf{X}^I)^2$$

<footnote n="14">14. où $\mathbf{A}^{:2} \stackrel{\text{def}}{=} \mathbf{A} : \mathbf{A}$</footnote>
## 7.3 Équations du modèle

* Par dérivation de $\rho\Psi$ par rapport aux V.E. $(\boldsymbol{\epsilon}, \boldsymbol{\epsilon}^p, \boldsymbol{p}, \mathbf{V}^I)$ :

$$ \boldsymbol{\sigma}^D = 2\mu(\boldsymbol{\epsilon}^D - \boldsymbol{\epsilon}^p) \quad \text{(ELASKD)} $$

$$ \boldsymbol{\sigma}^H = 3K\boldsymbol{\epsilon}^H \quad \text{(ELASKH)} $$

$$ R(p) = \mathcal{R}'(p) $$

$$ \mathbf{X}^I = C^I \mathbf{V}^I $$

* Depuis $dp = -\partial F / \partial R d\lambda$ :

$$ d\lambda = dp $$

On se place au cours d'une transformation plastique

* Depuis $d\boldsymbol{\epsilon}^p = \partial F / \partial \boldsymbol{\sigma}^D d\lambda$ et ce sui précède :

$$ d\boldsymbol{\epsilon}^p = \mathbf{N} dp \quad \text{(NORM1)} $$

$$ \mathbf{N} = \frac{\boldsymbol{\sigma}^D - \sum_I \mathbf{X}^I}{\|\boldsymbol{\sigma}^D - \sum_I \mathbf{X}^I\|} \quad \text{(NORM2)} $$

où $\mathbf{N}$ est la normale à la surface de charge
* Depuis $d\mathbf{V}^I = -\partial F/\partial \mathbf{X}^I d\lambda$ et ce qui précède on déduit l'équation d'évolution et une relation intéressante :

$$ 
\begin{gathered}
d\mathbf{V}^I = \mathbf{N}d\lambda - \frac{\gamma^I}{C^I}\mathbf{X}^I d\lambda \\ 
d\mathbf{X}^I = (C^I\mathbf{N} - \gamma^I\mathbf{X}^I)dp
\end{gathered} 
\quad (\text{EVOX}) 
$$

$$ \Rightarrow \mathbf{N} : d\mathbf{X}^I = (C^I - \gamma^I\mathbf{N} : \mathbf{X}^I)dp $$

* Posons la consistance $\partial f/\partial A^k dA^k = 0$ :

$$ \mathbf{N} : d\boldsymbol{\sigma}^D - dR - \sum_I \mathbf{N} : d\mathbf{X}^I = 0 $$

$$ R'(p)dp = \mathbf{N} : d\boldsymbol{\sigma}^D - \sum_I \mathbf{N} : d\mathbf{X}^I $$
* en éliminant **N** : $d\mathbf{X}^I$ on en déduit l'équation de consistance en contrainte :

$$dp = \frac{\mathbf{N} : d\boldsymbol{\sigma}}{h} \qquad (\text{CONSS})$$

$$h = R'(p) + \sum_{I} (C^I - \gamma^I \mathbf{N} : \mathbf{X}^I) \qquad (\text{MODT})$$

où h se nomme la fonction d'écrouissage.

* En différentiant (ELASK)

$$d\boldsymbol{\sigma} = 2\mu(d\boldsymbol{\epsilon}^D - d\boldsymbol{\epsilon}^P) + 3Kd\boldsymbol{\epsilon}^H$$

$$\mathbf{N} : d\boldsymbol{\sigma} = 2\mu(\mathbf{N} : d\boldsymbol{\epsilon} - \mathbf{N} : d\boldsymbol{\epsilon}^P)$$

$$\mathbf{N} : d\boldsymbol{\sigma} = 2\mu(\mathbf{N} : d\boldsymbol{\epsilon} - dp)$$

* on obtient l'équation de consistance en déformation :

$$dp = \frac{2\mu(\mathbf{N} : d\boldsymbol{\epsilon} - dp)}{h} \\ dp = \frac{2\mu}{2\mu + h} \mathbf{N} : d\boldsymbol{\epsilon} \qquad (\text{CONSE})$$
## 7.4 Module tangent du modèle EICNL

Beaucoup de méthodes d'intégration requièrent :

### Le module tangent

$$ \mathbb{H} = \frac{d\sigma}{d\epsilon} $$

* il possède les petites symétries $H_{ijkl} = H_{jikl} = H_{ijlk}$

* pour le modèle EICNL, il possède la grande symétrie $H_{ijkl} = H_{klij}$

* une bifurcation (perte d'unicité) apparaît s'il n'est pas défini positif

Pour une transformation élastique, les variables $V^k$ sont bloquées donc :

$$ \frac{d\sigma}{d\epsilon} = \frac{\partial\sigma}{\partial\epsilon} \\ \mathbb{H} = \mathcal{C} $$
Pour une transformation plastique :

* Depuis la différentielle d'(ELASK) et avec (NORM1) :

$$ 
\begin{aligned}
d\boldsymbol{\sigma} &= 2\mu(d\boldsymbol{\varepsilon}^D - d\boldsymbol{\varepsilon}^P) + 3Kd\boldsymbol{\varepsilon}^H \\
&= 2\mu d\boldsymbol{\varepsilon}^D + 3Kd\boldsymbol{\varepsilon}^H - 2\mu\mathbf{N}dp
\end{aligned}
$$

* où $dp$ est donné par (CONSE) et d'où on déduit le module tangent :

$$ 
\begin{aligned}
d\boldsymbol{\sigma} &= \left( 2\mu\mathbb{P}^D + 3K\mathbb{P}^H - \frac{4\mu^2}{2\mu+h}\mathbf{N} \otimes \mathbf{N} \right) : d\boldsymbol{\varepsilon} \\
\Rightarrow \mathbb{H} &= \mathbf{C} - \frac{4\mu^2}{2\mu+h}\mathbf{N} \otimes \mathbf{N} \qquad (\text{HTAN})
\end{aligned}
$$

qui possède la grande symétrie indicielle $H_{ijkl} = H_{klij}$
Le modèle tangent inverse $\mathbb{H}^{-1} = d\boldsymbol{\epsilon}/d\boldsymbol{\sigma}$ :

* en scindant l'espace des déviateurs (5D) en un sous espace colinéaire à $\mathbf{N}$ (1D) et son orthogonal (4D) :

$$
\begin{align*}
\mathbb{H} &= 2\mu\mathbb{P}^D + 3\kappa\mathbb{P}^H - \frac{4\mu^2}{2\mu + h}\mathbf{N} \otimes \mathbf{N} \\
&= 2\mu(\mathbb{P}^D - \mathbf{N} \otimes \mathbf{N}) + 3\kappa\mathbb{P}^H + (2\mu - \frac{4\mu^2}{2\mu + h})\mathbf{N} \otimes \mathbf{N} \\
\implies \mathbb{H}^{-1} &= \frac{1}{2\mu}(\mathbb{P}^D - \mathbf{N} \otimes \mathbf{N}) + \frac{1}{3\kappa}\mathbb{P}^H + \frac{2\mu + h}{2\mu h}\mathbf{N} \otimes \mathbf{N} \\
\implies \mathbb{H}^{-1} &= \frac{1}{2\mu}\mathbb{P}^D + \frac{1}{3\kappa}\mathbb{P}^H + \frac{1}{h}\mathbf{N} \otimes \mathbf{N} \\
\implies \mathbb{H}^{-1} &= \mathcal{S} + \frac{1}{h}\mathbf{N} \otimes \mathbf{N} \tag{HINV}
\end{align*}
$$

où $\mathcal{S} = \mathbb{C}^{-1}$ est le tenseur des souplesses.
## 7.5 Bilan énergétique du modèle EICNL

* Énergie dissipée, avec (NORM1) et (EVOX) et (SEUIL) pour $f = 0$ :

$$ 
\begin{align*}
\delta q_i &= \sum A^k dV^k \\
&= \boldsymbol{\sigma}^D : d\boldsymbol{\epsilon}^P - Rdp - \sum_I \frac{1}{C^I} \mathbf{X}^I : d\mathbf{X}^I \\
&= (\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}^I) : \mathbf{N}dp - Rdp + \sum_I \frac{\gamma^I}{C^I} \mathbf{X}^I : \mathbf{X}^I dp \\
&= (\|\boldsymbol{\sigma}^D - \mathbf{X}^I\| \mathbf{N} : \mathbf{N} - R)dp + \sum_I \frac{\gamma^I}{C^I} \mathbf{X}^I : \mathbf{X}^I dp \\
&= \left( \sigma^y + \sum_I \frac{\gamma^I}{C^I} \mathbf{X}^I : \mathbf{X}^I \right) dp
\end{align*}
$$
* En différentiant l'énergie libre de Helmholtz, puis avec (ELASK), (EVOX) et (NORM1) :

$$ 
\begin{aligned}
\rho d\Psi &= 2\mu(\boldsymbol{\epsilon}^D - \boldsymbol{\epsilon}^P) : d(\boldsymbol{\epsilon}^D - \boldsymbol{\epsilon}^P) + 3K\boldsymbol{\epsilon}^H : d\boldsymbol{\epsilon}^H + Rdp + \sum_I \frac{\mathbf{X}^I : d\mathbf{X}^I}{C^I} \\
&= \boldsymbol{\sigma} : d(\boldsymbol{\epsilon} - \boldsymbol{\epsilon}^P) + Rdp + \sum_I \mathbf{X}^I : d\boldsymbol{\epsilon}^P - \sum_I \frac{\gamma^I}{C^I} \mathbf{X}^I : \mathbf{X}^I dp
\end{aligned}
$$

* Énergie reçue de l'extérieur :

$$ 
\begin{aligned}
\delta w_e &= \rho d\Psi + \delta q_i \\
\delta w_e &= \boldsymbol{\sigma} : d(\boldsymbol{\epsilon} - \boldsymbol{\epsilon}^P) + Rdp \\
&\quad + \sum_I \mathbf{X}^I : d\boldsymbol{\epsilon}^P - \sum_I \frac{\gamma^I}{C^I} \mathbf{X}^I : \mathbf{X}^I dp \\
&\quad + \boldsymbol{\sigma}^y dp + \sum_I \frac{\gamma^I}{C^I} \mathbf{X}^I : \mathbf{X}^I dp
\end{aligned}
$$
<figure><img src="image_17.png" /></figure>

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Figure – Bilan d'énergie pour un chargement 1D avec un seul écrouissage</figcaption></figure>

• énergie reçue de l'extérieur $\delta w_e$, aire sous la courbe $\sigma - \varepsilon$

• énergie élastique directement récupérable par une décharge

• énergie stockée par l'écrouissage isotrope, irrécupérable car $R \uparrow$

• énergie stockée par l'écrouissage cinématique, récupérable

• Énergie dissipée en chaleur, irrécupérable
## Plan

1. 1. Spécificités de la plasticité 3D

2. 2. Surface de charge

3. 3. État

4. 4. Normalité

5. 5. Normalité généralisée

6. 6. Consistance

7. 7. Modèle complet EICNL

8. 8. Étude de la réponse en 1D

* 8.1 Présentation

* 8.2 Intégration analytique

* 8.3 Plasticité parfaite

* 8.4 Écrouissage isotrope

* 8.5 Écrouissage cinématique linéaire

* 8.6 Écrouissage cinématique non-linéaire

* 8.7 Combinaison de deux écrouissages cinématiques

* 8.8 Modèle complet
# 8 Étude de la réponse en 1D

## 8.1 Présentation

* Nous étudions ici la réponse du modèle dans un cas de chargement 1D déviatorique<fnref n="15" />

$$ \boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{D}} \rightarrow \boldsymbol{\sigma} $$

$$ \boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{H}} \rightarrow 0 $$

$$ \boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{D}} \rightarrow \boldsymbol{\varepsilon} $$

$$ \boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{H}} \rightarrow 0 $$

$$ \boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{P}} \rightarrow \boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{P}} $$

$$ \mathbf{X}^{\mathrm{I}} \rightarrow \mathbf{X}^{\mathrm{I}} $$

$$ \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N} = \pm 1 $$

$$ p \rightarrow p $$

* On pilote en déformation plastique, donc $\varepsilon^P(t)$ est connu.

<footnote n="15">15. Par exemple, en cisaillement avec $\boldsymbol{\sigma} = \sigma(\mathbf{e}_1 \otimes \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_2 \otimes \mathbf{e}_1)/\sqrt{2}$</footnote>
## 8.2 Intégration analytique

* Depuis (NORM1), on distingue la charge de la décharge :

$$d\varepsilon^P > 0 \implies N = 1, \quad dp = d\varepsilon^P$$

$$d\varepsilon^P > 0 \implies N = -1, \quad dp = -d\varepsilon^P$$

* Pour les écrouissages cinématiques, on intègre (EVOX), sur un trajet monotone $N = \text{cst}$ entre l'état initial $0$ et l'état courant, en faisant l'hypothèse que $C^I N - \gamma^I X^I \ge 0$

$$dX^I = (C^I N - \gamma^I X^I) dp$$

$$\frac{-\gamma^I dX^I}{C^I N - \gamma^I X^I} = -\gamma^I dp$$

$$\log \left( \frac{C^I N - \gamma^I X^I}{C^I N - \gamma^I X^I_0} \right) = -\gamma^I (p - p_0)$$
• D'où :

$$ 
\begin{align*}
(C^I N - \gamma^I X^I) &= (C^I N - \gamma^I X^I_0) \exp(-\gamma^I(p - p_0)) \\
\gamma^I X^I &= C^I N - (C^I N - \gamma^I X^I_0) \exp(-\gamma^I(p - p_0)) \\
\gamma^I X^I(p) \text{sature } (p \to \infty) \text{ à } NC^I, \text{ ce qui confirme l'hypothèse}
\end{align*}
$$

• La contrainte est donnée par (SEUIL) avec $f = 0$ et (NORM2) :

$$ 
\begin{align*}
|\sigma - \sum_I X^I| &= R + \sigma^y \\
N &= \operatorname{sgn}(\sigma - \sum_I X^I) \\
\implies \sigma &= \sum_I X^I + N(R(p) + \sigma^y)
\end{align*}
$$

• On peut maintenant tracer le graphe de $\sigma(\varepsilon^P)$

• Le graphe de $\sigma(\varepsilon)$, s'obtient avec (ELASKD) $\varepsilon = \varepsilon^P + \frac{1}{2\mu}\sigma$ qui revient à « coucher » le graphe précédent de la pente $1/2\mu$
## 8.3 Plasticité parfaite

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure – Graphes $\sigma(\varepsilon^P)$, $(X_1 + X_2)(\varepsilon^P)$</figcaption></figure>

<table><thead><tr><th>σ<sup>y</sup></th><th>R<sub>∞</sub></th><th>ρ<sub>0</sub></th><th>C<sub>1</sub></th><th>γ<sub>1</sub></th><th>C<sub>2</sub></th><th>γ<sub>2</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

Tous les coefficients à 0 sauf $\sigma^y$: modèle de plasticité parfaite.
## 8.4 Écrouissage isotrope

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Figure – Graphes $\sigma(\varepsilon^P)$, $(X_1 + X_2)(\varepsilon^P)$</figcaption></figure>

<table><thead><tr><th>σ<sup>Y</sup></th><th>R<sub>∞</sub></th><th>p<sub>0</sub></th><th>C<sub>1</sub></th><th>γ<sub>1</sub></th><th>C<sub>2</sub></th><th>γ<sub>2</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>0,5</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

L'écrouissage *R* (en noir) atteint sa valeur limite 0,5 asymptotiquement. Le domaine d'élasticité croit symétriquement. Les écrouissages
<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Figure – Graphes $\sigma(\varepsilon^P)$, $(X_1 + X_2)(\varepsilon^P)$</figcaption></figure>

<table><thead><tr><th>σ<sup>y</sup></th><th>R<sub>∞</sub></th><th>p<sub>0</sub></th><th>C<sub>1</sub></th><th>γ<sub>1</sub></th><th>C<sub>2</sub></th><th>γ<sub>2</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>0,5</td><td>0,1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

L'écrouissage $R$ (en noir) atteint sa valeur limite $R_{\infty}$ beaucoup plus rapidement à cause du $p_0$ plus petit..
## 8.5 Écrouissage cinématique linéaire

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Figure – Graphes $\sigma(\varepsilon^P)$, $(X_1 + X_2)(\varepsilon^P)$</figcaption></figure>

<table><thead><tr><th>σ<sup>y</sup></th><th>R<sub>∞</sub></th><th>p<sub>0</sub></th><th>C<sub>1</sub></th><th>γ<sub>1</sub></th><th>C<sub>2</sub></th><th>γ<sub>2</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0,5</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

Avec $\gamma_1 = 0$ on est en modèle ECL. Quand $p$ (ou $\varepsilon^P$) varie de 1, $X_1$ varie de $C_1 = 0,5$. La surface de charge est translatée, sa taille reste de $2\sigma^y$,
## 8.6 Écrouissage cinématique non-linéaire

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Figure – Graphes $\sigma(\varepsilon^P)$, $(X_1 + X_2)(\varepsilon^P)$</figcaption></figure>

<table><thead><tr><th>σ<sup>y</sup></th><th>R<sub>∞</sub></th><th>p<sub>0</sub></th><th>C<sub>1</sub></th><th>γ<sub>1</sub></th><th>C<sub>2</sub></th><th>γ<sub>2</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0,5</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

Avec $\gamma_1 = 1$ on est en modèle ECNL. L'aspect non-linéaire est visible, et la surface de charge reste toujours de taille $2\sigma^y$.
<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Figure – Graphes $\sigma(\varepsilon^p)$, $(X_1 + X_2)(\varepsilon^p)$</figcaption></figure>

<table><thead><tr><th>σ<sup>y</sup></th><th>R<sub>∞</sub></th><th>ρ<sub>0</sub></th><th>C<sub>1</sub></th><th>γ<sub>1</sub></th><th>C<sub>2</sub></th><th>γ<sub>2</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>5</td><td>10</td><td>0</td><td>0</td></tr></tbody></table>

Les coefficients $C_1$ et $\gamma_1$ ont été multipliés par 10. L'asymptote, en $C_1/\gamma_1$ est inchangée, mais atteinte beaucoup plus rapidement.
## 8.7 Combinaison de deux écrouissages cinématiques

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Figure – Graphes $\sigma(\varepsilon^P)$, $(X_1 + X_2)(\varepsilon^P)$</figcaption></figure>

<table><thead><tr><th>σ<sup>y</sup></th><th>R<sub>∞</sub></th><th>p<sub>0</sub></th><th>C<sub>1</sub></th><th>γ<sub>1</sub></th><th>C<sub>2</sub></th><th>γ<sub>2</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0,5</td><td>1</td><td>5</td><td>10</td></tr></tbody></table>

Les deux écrouissages cinématiques sont activés, l'un lent (1, vert) et l'autre rapide (2, rouge). La réponse commence à être très
## 8.8 Modèle complet

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Figure – Graphes $\sigma(\varepsilon^P)$, $(X_1 + X_2)(\varepsilon^P)$</figcaption></figure>

<table><thead><tr><th>σ<sup>Y</sup></th><th>R<sub>∞</sub></th><th>p<sub>0</sub></th><th>C<sub>1</sub></th><th>γ<sub>1</sub></th><th>C<sub>2</sub></th><th>γ<sub>2</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>0,5</td><td>1</td><td>2,5</td><td>10</td><td>0,25</td><td>1</td></tr></tbody></table>

Le modèle décrit correctement l'effet Bauschinger (cinématique) et isotrope. Au prix de 7 constantes cependant.
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Figure – Graphes $\sigma(\varepsilon)$, $(X_1 + X_2)(\varepsilon)$</figcaption></figure>

<table><thead><tr><th>σ<sup>y</sup></th><th>R<sub>∞</sub></th><th>p<sub>0</sub></th><th>C<sub>1</sub></th><th>γ<sub>1</sub></th><th>C<sub>2</sub></th><th>γ<sub>2</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>0,5</td><td>1</td><td>2,5</td><td>10</td><td>0,25</td><td>1</td></tr></tbody></table>

Même calcul, en fonction de la déformation élastique, avec $\mu = 10$. Le graphe est couché de pente $1/2\mu$ et on peut vérifier que les déformations plastiques sont à l'intersection avec l'axe $\sigma = 0$.
Plan

1. 1. Spécificités de la plasticité 3D

2. 2. Surface de charge

3. 3. État

4. 4. Normalité

5. 5. Normalité généralisée

6. 6. Consistance

7. 7. Modèle complet EICNL

8. 8. Étude de la réponse en 1D

9. 9. Bases sur l'intégration des modèles

● 9.1 Pilotage

● 9.2 Méthodes explicite, implicite, et θ-méthode

● 9.3 Calcul explicite

● 9.4 Méthode du retour radial (Ortiz et Simo [1989])

● 9.5 θ-méthode (Benallal et coll. [1988]¹⁶)
# 9 Bases sur l'intégration des modèles

## 9.1 Pilotage

Le jeux de VE ou de VA retenu définit l'état $n$ actuel. Pour le modèle complet du chapitre 7, on prendra :

$$ (\sigma, \varepsilon, \varepsilon^P, \mathbf{X}^I, p) $$

car $R(p)$ est défini connaissant $p$. Ces variables :

* sont connues au *pas de temps* $n$

* sont recherchées au *pas de temps* $n + 1$, sauf $\epsilon_{n+1}$, connu dans le cas du *pilotage en déformations*, celui dont on a besoin dans les codes de calcul qui est traité dans ce chapitre

* La variation $\Delta X = X_{n+1} - X_n$ est assimilée à la différentielle $dX$
## 9.2 Méthodes explicite, implicite, et θ-méthode

Les équations différentielles du modèle (NORM1), (EVOX), (CONSS) ou (CONSE) peuvent être vérifiées en prenant :

* les valeurs à l'état $n$ : calcul explicite. Par ex. $\Delta\sigma = \mathbb{H}_n : \Delta\varepsilon$. C'est la plus simple à programmer mais elle fait beaucoup d'erreurs.

* les valeurs à l'état $n+1$ : calcul implicite. Par ex. $\Delta\sigma = \mathbb{H}_{n+1} : \Delta\varepsilon$. C'est une méthode lente, car la valeur en $n+1$ est inconnue et qu'il faut faire des itérations pour l'obtenir, mais stable et précise.

* les valeurs à un état intermédiaire : $\theta$-méthode. Par ex. $\Delta\sigma = [(1-\theta)\mathbb{H}_n + \theta\mathbb{H}_{n+1}] : \Delta\varepsilon$, avec $\theta \in [0, 1]$.
## 9.3 Calcul explicite

* On calcule un prédicteur élastique :

$$ \boldsymbol{\sigma}_{*} = \boldsymbol{\sigma}_{n} + \mathbf{C} : (\boldsymbol{\varepsilon}_{n+1} - \boldsymbol{\varepsilon}_{n}) \qquad (\text{PRED}) $$

Avec (SEUIL) on teste si c'est vrai :

$$ f(\boldsymbol{\sigma}_{*}, \mathbf{X}_{n}^{I}, R(p_{n})) \leq 0 \ ? $$

* Si oui : transformation élastique, on a trouvé la solution exacte et les variables internes ne changent pas :

$$ \boldsymbol{\sigma}_{n+1} = \boldsymbol{\sigma}_{*} $$

$$ \mathbf{X}_{n+1}^{I} = \mathbf{X}_{n}^{I} $$

$$ p_{n+1} = p_{n} $$
* Si non : **transformation plastique**. On calcule (à l'état $n$) $\mathbf{N}_n$ par (NORM2) et $h_n$ par (HTAN). On en déduit la contrainte à $n+1$ :

$$ \boldsymbol{\sigma}_{n+1} = \boldsymbol{\sigma}_n + \mathbb{H}_n : (\boldsymbol{\varepsilon}_{n+1} - \boldsymbol{\varepsilon}_n) $$

$$ \begin{aligned} \boldsymbol{\sigma}_{n+1} &= \boldsymbol{\sigma}_n + \left( \mathbb{C} - \frac{4\mu^2}{2\mu + h} \mathbf{N} \otimes \mathbf{N} \right) : (\boldsymbol{\varepsilon}_{n+1} - \boldsymbol{\varepsilon}_n) \\ &= \boldsymbol{\sigma}_* - \frac{4\mu^2}{2\mu + h_n} (\mathbf{N}_n : (\boldsymbol{\varepsilon}_{n+1} - \boldsymbol{\varepsilon}_n)) \mathbf{N}_n \end{aligned} $$

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

où le correcteur plastique est selon la normale $\mathbf{N}_n$
* Il faut encore calculer les variables internes

* On calcule le multiplicateur plastique $\Delta p$ par l'équation de consistance en déformation (CONSE)<fnref n="17" /> et par (MODT) :

$$ \Delta p = \frac{2\mu \mathbf{N}_n : (\boldsymbol{\varepsilon}_{n+1} - \boldsymbol{\varepsilon}_n)}{2\mu + R'(p) + \sum_I (C^I - \gamma^I \mathbf{N}_n : \mathbf{X}_n^I)} $$

* On en déduit les V.E. à l'état $n+1$ par (NORM1) et (EVOX) :

$$ p_{n+1} = p_n + \Delta p $$

$$ \boldsymbol{\varepsilon}_{n+1}^{p} = \boldsymbol{\varepsilon}_{n}^{p} + \mathbf{N}_{n} \Delta p $$

$$ \mathbf{X}_{n+1}^{I} = \mathbf{X}_{n}^{I} + (C^{I} \mathbf{N}_{n} - \gamma^{I} \mathbf{X}_{n}^{I}) \Delta p $$

* ce qui complète l'état $n+1$.

On remarque que rien ne garantit que $f(\boldsymbol{\sigma}_{n+1}, \mathbf{X}_{n+1}^I, R(p_{n+1})) = 0$ est *exactement* vérifiée. Il faut faire de petits pas de temps afin de ne pas cumuler de trop grandes erreurs.

<footnote n="17">17. plutôt que depuis (CONSS) car le pilotage est en déformation, à valeur exate</footnote>
## 9.4 Méthode du retour radial (Ortiz et Simo [1989])

Cas de la transformation plastique (le cas élastique est inchangé).

* De nouveau on calcule le prédicteur élastique $\sigma_*$ par (PRED)

* Partant de là, on cherche $f_{n+1} = 0$, selon un algorithme de Newton qui fait une suite de transformations virtuelles

$$ \ast \to \cdots \to m \to m+1 \to \cdots \to n+1 $$

<figure><img src="image_29.png" /></figure>
* Pour toute variable $X$ on note ici $\Delta X = X_{m+1} - X_m$

* La déformation étant connue (c'est le pilotage), $\epsilon_{n+1}$ est atteint dès le départ, ces transformations virtuelles sont à déformation nulle

$$ \Delta\epsilon = 0 $$

* Partition des déformations et la différentielle de (ELASK)

$$ \Delta\epsilon = \Delta\epsilon^e + \Delta\epsilon^p $$

$$ \Delta\sigma = \mathbb{C} : \Delta\epsilon^e $$

$$ \Rightarrow \Delta\sigma = -\mathbb{C} : \Delta\epsilon^p $$

* Depuis (NORM1) et (ELASK), calculées à l'état intermédiaire $m$, et puisque $\mathbf{N}$ est un déviateur :

$$ \Delta\sigma = -\mathbb{C} : \mathbf{N}_m \Delta p $$

$$ = -2\mu \mathbf{N}_m \Delta p $$

qui est le retour radial.
* Descente de Newton : on suppose $f_{m+1} = 0$ :

$$ 
\begin{aligned}
f_{m+1} &= f(\boldsymbol{\sigma}_m + \Delta\boldsymbol{\sigma}, \mathbf{X}_m^I + \Delta\mathbf{X}^I, R_m + \Delta R) = 0 \\
f_m + \left.\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{\sigma}}\right|_m & : \Delta\boldsymbol{\sigma} + \left.\frac{\partial f}{\partial \mathbf{X}^I}\right|_m : \Delta\mathbf{X}^I + \left.\frac{\partial f}{\partial R}\right|_m \Delta R = 0
\end{aligned}
$$

* Depuis les dérivées connues de $f$, la valeur de $\Delta\boldsymbol{\sigma}$ (planche précédente), celle de $\Delta\mathbf{X}^I$ (EVOX) :

$$ 
\begin{aligned}
f_m + \mathbf{N}_m & : \Delta\boldsymbol{\sigma} - \mathbf{N}_m : \Delta\mathbf{X}^I - \Delta R = 0 \\
f_m - 2\mu\mathbf{N}_m & : \mathbf{N}_m\Delta p - \mathbf{N}_m : (C^I\mathbf{N}_m - \gamma^I\mathbf{X}_m^I)\Delta p - R'(p_m)\Delta p = 0
\end{aligned}
$$

* On en déduit le multiplicateur plastique :

$$ \Delta p = \frac{f_m}{2\mu + C^I - \gamma^I \mathbf{N}_m : \mathbf{X}_m^I + R'(p_m)} $$
* qui permet d'actualiser les variables internes (idem planche 75) :

$$ 
\begin{aligned}
p_{m+1} &= p_m + \Delta p \\
\boldsymbol{\varepsilon}^P_{m+1} &= \boldsymbol{\varepsilon}^P_m + \mathbf{N}_m \Delta p \\
\mathbf{X}^I_{m+1} &= \mathbf{X}^I_m + (C^I \mathbf{N}_m - \gamma^I \mathbf{X}^I_m) \Delta p
\end{aligned}
 $$

* On stoppe l'algorithme quand $\Delta p$ devient assez petit.

Il a été montré, au cours de nombreuses publications, que cet algorithme était précis et stable. C'est actuellement le plus utilisé.
## 9.5 θ-méthode (Benallal et coll. [1988]<fnref n="18" />)

On considère toujours le calcul de l'état $n + 1$ sachant l'état $n$ et le pilotage en déformation $\epsilon_{n+1}$

* On pose le « vecteur » des VE ou VA retenues :

$$q = (\epsilon^P, \mathbf{X}^I, p)$$

et il s'agit de déterminer $q_{n+1}$ et $\sigma_{n+1}$

* On regroupe les équations de plasticité sous forme de 3 équations :

$$ 
\begin{aligned}
f(\boldsymbol{\sigma}, q) &\le 0 \\
dq &= g(\boldsymbol{\sigma}, q)dp \\
\boldsymbol{\sigma} &= h(\boldsymbol{\epsilon}, q)
\end{aligned}
$$

où la première est (SEUIL) et la troisième (ELASK).

* La seconde est donnée par (NORM2), (NORM1) et (EVOX) :

$$g(\boldsymbol{\sigma}, q) = (\mathbf{N}, C^I\mathbf{N} - \gamma^I\mathbf{X}^I, 1)$$

<footnote n="18">18. https://doi.org/10.1002/cnm.1630040606</footnote>
• prédicteur élastique :

$$
\boldsymbol{\sigma}_{*} = h(\boldsymbol{\epsilon}_{n+1}, q_n)
$$

* test d'élasticité $f(\boldsymbol{\sigma}_*, q_n) \le 0$ ? Si oui :

$$
\boldsymbol{\sigma}_{n+1} = \boldsymbol{\sigma}_{*}
$$

$$
q_{n+1} = q_n
$$

* si non, la transformation est plastique qu'on calcule par des pas intermédiaires.

$$
n \rightarrow \dots \rightarrow m \rightarrow m+1 \rightarrow \dots \rightarrow n+1
$$

* Les équations d'état sont posées à l'état final $n+1$, mais l'évolution est considérée à l'état intermédiaire $m+\theta$ défini par :

$$
X_{\theta} = \theta X_{m+1} + (1 - \theta) X_{m}, \quad \theta \in [0, 1]
$$

$$
\boldsymbol{\sigma}_{m+1} - h(\boldsymbol{\epsilon}_{n+1}, q_{m+1}) = 0
$$

$$
q_{m+1} - q_m - g(\boldsymbol{\sigma}_{m+\theta}, q_{m+\theta})\Delta p = 0
$$

$$
f(\boldsymbol{\sigma}_{m+1}, q_{m+1}) = 0
$$
* On résume ce problème en : trouver $Q = (\sigma, q, \Delta p)$ tel que $G(Q_{m+1}) = 0$, sachant $Q_m$

* De nouveau, on utilise un schéma de Newton :

$$G(Q_{m+1}) = 0$$

$$G(Q_m) + \left. \frac{\partial G}{\partial Q} \right|_m (Q_{m+1} - Q_m)$$

qui donne accès itérativement à $Q_{n+1}$.

* Les dérivées $\partial G / \partial Q$ se calculent aisément depuis les planches précédentes.

* Le calcul se fait jusqu'à ce qu'au critère de convergence choisi (qui peut être la valeur de $\Delta p$).

* On montre que ce schéma est inconditionnellement stable pour $\theta \in [0.5, 1]$.
Test 1 : influence de θ en traction-compression (ECNL).

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>Table – Déformation finale</figcaption></figure>

<table><thead><tr><th>θ</th><th>0</th><th>0.5</th><th>1</th></tr></thead><tbody><tr><th>ε</th><td>0.00103</td><td>0.00104</td><td>0.00105</td></tr></tbody></table>
Test 2 : influence du nombre de pas en traction-compression (ECNL).

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>Table – Déformation finale</figcaption></figure>

<table><thead><tr><th>pas</th><th>3</th><th>10</th><th>100</th></tr></thead><tbody><tr><th>ε</th><td>0.00104</td><td>0.00104</td><td>0.00104</td></tr></tbody></table>
Test 3 : influence de θ en 2D rochet de traction-torsion (ECNL).

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>Table – Déformation finale</figcaption></figure>

<table><tr><td>θ</td><td>0.5</td><td>1</td></tr><tr><td>ε</td><td>0.0163</td><td>0.0164</td></tr></table>
Test 4 : influence du nombre de pas en 2D rochet (ECNL).

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>Table – Déformation finale</figcaption></figure>

<table><thead><tr><th></th><th>3</th><th>200</th></tr></thead><tbody><tr><td>pas</td><td></td><td></td></tr><tr><td>ε</td><td>0.0167</td><td>0.0163</td></tr></tbody></table>
# Plan

1. 1. Spécificités de la plasticité 3D

2. 2. Surface de charge

3. 3. Etat

4. 4. Normalité

5. 5. Normalité généralisée

6. 6. Consistance

7. 7. Modèle complet EICNL

8. 8. Etude de la réponse en 1D

9. 9. Bases sur l'intégration des modèles

10. Bibliographie
# Bibliographie

## Aspects analytiques :

* Cours en ligne de F. Sidoroff. *Le site à Sido*, https://www.enseignementsup-recherche.gouv.fr/ressources-pedagogiques/notice/view/oai%253Awww.unit.eu%253Aunit-ori-wf-1-3335

* J. Lemaitre, J.L. Chaboche, A. Benallal et R. Desmorat. *Mécanique des matériaux solides - 3ème édition*, Dunod 2009.

* G. Cailletaud, *Mécanique des matériaux solides*, Mines ParisTech.

* J. Salençon. *De l'élasto-plasticité au calcul à la rupture*, École Polytechnique (hal-00112707).

* Hill, R. *The mathematical theory of plasticity*, Oxford classic texts, ISBN: 9781383020625
Aspects numériques :

* D. Dureisseix, *Méthodes numériques appliquées à la conception par éléments finis*, Montpellier 2, http://cel.archives-ouvertes.fr/docs/00/35/17/13/PDF/polyMNb.pdf

* J.L. Batoz et G. Datt, *Modelisation des structures par éléments finis*, Hermes

* M. Ortiz et J. C. Simo. *An analysis of a new class of integration algorithms for elasto-plastic constitutive relations*. Int. J. Num. Meth. in Engng., 23(3):353-366, 1986.

* M. Ortiz and E. P. Popov. *Accuracy and stability of integration algorithms for elastoplastic constitutive relations*. Int. J. Num. Meth. in Engng., 21(9):1561-1576, 1985.

* K.J. Bathe. *Finite Element Procedures*, Pearsons, 1996

* *Abaqus Theory Manual*