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# Commande et construction d'observateurs pour des systèmes non linéaires incertains à données échantillonnées et en réseau

Romain Postoyan

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To cite this version:

Romain Postoyan. Commande et construction d'observateurs pour des systèmes non linéaires incer- tains à données échantillonnées et en réseau. Automatique / Robotique. Université Paris-Sud, 2009. Français. NNT: . tel-04420190

HAL Id: tel-04420190

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Submitted on 26 Jan 2024

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## THÈSE DE DOCTORAT

### SPECIALITE : PHYSIQUE

### Ecole Doctorale « Sciences et Technologies de l'Information des Télécommunications et des Systèmes »

Présentée par : Romain POSTOYAN

Sujet :

COMMANDE ET CONSTRUCTION D'OBSERVATEURS POUR DES SYSTEMES NON LINEAIRES INCERTAINS A DONNEES ECHANTILLONNEES ET EN RESEAU

Soutenue le 26 novembre 2009 devant les membres du jury :

Mme Brigitte D'ANDREA-NOVEL (Présidente)

M Jamal DAAFOUZ (Rapporteur)

M Frédéric MAZENC (Rapporteur)

Mme Maria DI BENEDETTO (Examinatrice)

M Antonio LORIA (Examinateur)

Mme Françoise LAMNABHI-LAGARRIGUE (Directrice de thèse)
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À mes parents et à Iwona.
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« Tout est déjà dans l'air il me semble. J'ai ainsi vingt châteaux en l'air où je n'aurais jamais le temps d'aller - Mais ils sont complets *tout y est* - Ils m'appartiennent - seulement - Il y a un *grave, très grave SEULEMENT...* Que je m'approche de ces châteaux il faut que je les libère, les extirpe d'une sorte de gangue et de fatras... que je burine, pioche, creuse, déblaye toute la gangue, la sorte de coton dur qui les emmaillotte, mirage, fouille, puis ménage - Ainsi *Voyage*, ainsi *Mort*, ainsi *Guignols* (...) Je ne crée rien à vrai dire - je nettoye une sorte de médaille cachée, une statue enfouie dans la glaise - *Tout existe déjà*. C'est mon impression - lorsque tout est bien nettoyé, propre, net - alors le livre est fini - le ménage est fait - ou sculpté; il faut seulement nettoyer, déblayer autour - faire venir au jour cru - *AVOIR LA FORCE* c'est une question de force - forcer le rêve dans la réalité - une question ménagère - De soi, de ses propres plans, il ne vient que des bêtises - Tout est fait hors de soi - dans les ondes je pense - Aucune vanité en tout ceci - c'est un labeur bien ouvrier - ouvrier dans les ondes. »

Louis-Ferdinand Céline, Lettre à Milton Hindus, *Cahiers de l'Herne* n° 5.
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# Présentation

Cette thèse est construite autour de deux sujets : d'une part la commande échantillonnée de systèmes non linéaires incertains, d'autre part la synthèse d'observateurs pour les systèmes en réseau. Bien que présentées distinctement, ces deux études traitent de la même problématique qui est celle des systèmes sous contraintes de communication.

**Contributions à la commande échantillonnée de systèmes non linéaires incertains.** L'essentiel des techniques de commande non linéaire disponibles dans la littérature est développé en temps continu. Or, en pratique, les contrôleurs sont généralement implémentés numériquement. L'erreur induite par l'échantillonnage de la commande peut avoir un impact important sur les performances du système. Ainsi, de nombreuses études ont permis ces dernières années de proposer des méthodes de commande efficaces pour les systèmes à données échantillonnées. Dans la plupart de ces travaux, les incertitudes et perturbations affectant les dynamiques du système ne sont pas prises en compte bien qu'elles soient omniprésentes en pratique. Nous proposons dans cette thèse des techniques de commande basées sur l'utilisation de fonctions de Lyapunov, pour différents modèles non linéaires de process affectés par des incertitudes paramétriques, de modélisation ou des perturbations extérieures.

**Observateurs pour les systèmes en réseau.** Dans de nombreux domaines d'applications, la mise en place de structures de commande en réseau permet de diminuer le coût de l'installation, de faciliter la maintenance et offre une plus grande flexibilité comparées aux structures de commande dites classiques. Il s'agit d'assurer les transmissions des données des capteurs et des actionneurs au travers de canaux de communication numériques partagés. En contrepartie, les contraintes de communication induites peuvent fortement affecter le comportement du système. Depuis près d'une décennie, différentes méthodologies de commande ont été proposées afin de prendre en compte ces phénomènes. Le problème de la synthèse d'observateurs a quant à lui été très peu abordé. Ainsi, nous proposons un cadre d'étude méthodologique pour la conception d'observateurs par émulation pour les systèmes en réseau affectés par des perturbations.

Dans tout ce travail, nous nous sommes efforcés de partir de considérations pratiques afin de proposer des résultats généraux qui reposent sur des hypothèses réalistes.
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Remerciements

Je remercie sincèrement Brigitte d'Andréa-Novel, Professeur à l'École des Mines de Paris,
de m'avoir fait l'honneur de présider le jury de ma thèse. Je suis très honoré que Jamal Daa-
fouz, Professeur à l'Institut National Polytechnique de Lorraine, et Frédéric Mazenc, Chargé
de Recherche à l'INRIA Sophia-Antipolis, aient accepté de rapporter mes travaux. Je tiens à
exprimer ma profonde reconnaissance envers Maria di Benedetto, Professeur à l'Université de
l'Aquila (Italie), et Antonio Loría, Directeur de Recherche au LSS-CNRS, pour avoir accepter
d'être membre du jury.

Je remercie chaleureusement Françoise Lamnabhi-Lagarrigue, directrice de thèse, pour sa disponibilité au cours de ces trois années.

Je remercie Tarek Ahmed-Ali (ENSIETA - Brest, Université Basse-Normandie - Caen),
co-encadrant de thèse, de m'avoir initié à la commande des systèmes non linéaires à données
échantillonnées et de m'avoir permis d'enseigner à l'ENSIETA. Une pensée à Laurent Burlion,
mon prédécesseur, pour ses conseils au début de ma thèse.

Je remercie chaleureusement Elena Panteley, co-encadrante de thèse, pour tous nos échan-
ges, discussions et ses conseils. Ce fut un véritable plaisir de travailler avec elle. Je suis
conscient d'avoir beaucoup appris à ses côtés, je lui en suis plus que reconnaissant.

I warmly thank Dragan Nešić, who supervised me during my three-month visit at the Uni-
versity of Melbourne (March - May 2009). It was a great honour and privilege to collaborate
with him. I am most grateful to him for his availability, his advices and his confidence.

Je remercie sincèrement Antonio Loría pour le temps passer à travailler ensemble sur un problème commun. Ces recherches n'ont pas abouti mais elles m'ont apporté.

Je remercie sincèrement Antoine Chaillet pour nos nombreux échanges et discussions. Je
lui suis très reconnaissant pour le temps qu'il a passé à relire certains chapitres de ce mémoire
et pour ses commentaires précieux et justes. Je lui souhaite tout le meilleur pour l'avenir.
Ces trois années furent l'occasion de rencontrer des personnes que j'apprécie, une pensée
donc aux « collègues » et amis Fernando, Antonio, Dhruv, Yiannis, Wissam, Antoine P.,
Moussa, William, Sami, Rafael, Paolo, Denis, Mike, Alessio, Laurie, Fernando T., Reine.

Last but not the least, I warmly thank David Goodall, who was my Master supervisor
at Coventry University. David is an example for me and I constantly kept remembering his
advices during my Ph.D. I am impatient to work with him again.
# Table des matières

Contributions 1

Publications 5

Notations 7

## I Contributions à la commande échantillonnée de systèmes non linéaires incertains 11

### 1 Introduction 13

1.1 Problématique de l'échantillonnage 13

1.2 Systèmes non linéaires incertains 15

1.2.1 Modèle non linéaire 15

1.2.2 Incertitudes 16

1.2.3 Stabilisation de systèmes incertains 17

1.3 Approches de commande en temps échantillonné 19

1.3.1 Synthèse en temps continu (Continuous-Time Design - CTD) 19

1.3.2 Synthèse en temps discret (Discrete-Time Design - DTD) 22

1.3.3 Synthèse en temps échantillonné (Sampled-Data Design - SDD) 24

1.4 Présentation des travaux de thèse 24

### 2 Commande adaptative échantillonnée de systèmes non linéaires 27

2.1 Introduction 27

2.2 Problématique 30

2.3 Loi d'estimation 32

2.3.1 Développement en série de Fliess de l'équation aux différences de V 32

2.3.2 Reparamétrisation 34

2.3.3 Loi d'estimation 35

2.4 Analyse de stabilité 35

2.4.1 Théorème de stabilisation 35
<table><tbody><tr><td>2.4.2 Méthode de redesign</td><td>40</td></tr><tr><td>2.4.3 Commentaires</td><td>41</td></tr><tr><td>2.5 Exemple numérique</td><td>42</td></tr><tr><td>2.5.1 Commande adaptative continue</td><td>42</td></tr><tr><td>2.5.2 Commande échantillonnée</td><td>42</td></tr><tr><td>2.5.3 Simulations</td><td>43</td></tr><tr><td>2.6 Conclusion</td><td>46</td></tr><tr><td><b>3 Backstepping robuste échantillonné</b></td><td><b>47</b></td></tr><tr><td>3.1 Introduction</td><td>47</td></tr><tr><td>3.2 Stabilité entrée-état des systèmes à données échantillonnées</td><td>49</td></tr><tr><td>3.3 Problématique</td><td>51</td></tr><tr><td>3.4 Stabilisation entrée-état semiglobale pratique</td><td>52</td></tr><tr><td>3.5 Stabilisation semiglobale pratique asymptotique</td><td>56</td></tr><tr><td>3.6 Discussions</td><td>61</td></tr><tr><td>3.6.1 Application aux systèmes de la forme (3.1)</td><td>61</td></tr><tr><td>3.6.2 Cas des approximations d'ordre supérieur</td><td>61</td></tr><tr><td>3.7 Exemple numérique</td><td>62</td></tr><tr><td>3.8 Conclusion</td><td>62</td></tr><tr><td><b>II Observateurs pour les systèmes en réseau</b></td><td><b>67</b></td></tr><tr><td><b>4 Introduction</b></td><td><b>69</b></td></tr><tr><td>4.1 Systèmes commandés par réseau</td><td>69</td></tr><tr><td>4.2 Commande des NCS</td><td>73</td></tr><tr><td>4.2.1 Émulation</td><td>74</td></tr><tr><td>4.2.2 Co-synthèse du contrôleur et du protocole</td><td>77</td></tr><tr><td>4.3 Synthèse d'observateurs pour les NCS</td><td>78</td></tr><tr><td>4.3.1 Problématique et état de l'art</td><td>78</td></tr><tr><td>4.3.2 Cadre d'étude</td><td>79</td></tr><tr><td>4.3.3 Travaux de thèse</td><td>88</td></tr><tr><td><b>5 Conditions suffisantes pour l'émulation d'observateurs pour les NCS</b></td><td><b>91</b></td></tr><tr><td>5.1 Introduction</td><td>91</td></tr><tr><td>5.2 Hypothèses et analyse de stabilité</td><td>92</td></tr><tr><td>5.2.1 Convergence pratique</td><td>92</td></tr><tr><td>5.2.2 Convergence asymptotique</td><td>102</td></tr><tr><td>5.3 Applications</td><td>103</td></tr><tr><td>5.3.1 Observateurs linéaires</td><td>103</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td>5.3.2</td><td>Observateurs à grand gain</td><td>107</td></tr><tr><td>5.4</td><td>Conclusion</td><td>111</td></tr><tr><td><b>6</b></td><td><b>Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS</b></td><td><b>113</b></td></tr><tr><td>6.1</td><td>Introduction</td><td>113</td></tr><tr><td>6.2</td><td>Préliminaires</td><td>114</td></tr><tr><td>6.3</td><td>Observateurs pour les systèmes à données échantillonnées</td><td>117</td></tr><tr><td>6.4</td><td>Observateurs pour les NCS</td><td>118</td></tr><tr><td>6.4.1</td><td>Modélisation et hypothèses</td><td>118</td></tr><tr><td>6.4.2</td><td>Pour des protocoles à excitation persistante</td><td>121</td></tr><tr><td>6.4.3</td><td>Pour des protocoles TOD</td><td>125</td></tr><tr><td>6.5</td><td>Applications</td><td>128</td></tr><tr><td>6.5.1</td><td>Observateurs linéaires</td><td>128</td></tr><tr><td>6.5.2</td><td>Observateurs à grand gain</td><td>129</td></tr><tr><td>6.6</td><td>Simulations</td><td>131</td></tr><tr><td>6.6.1</td><td>Exemple numérique</td><td>131</td></tr><tr><td>6.6.2</td><td>Robot flexible</td><td>137</td></tr><tr><td>6.7</td><td>Conclusion</td><td>141</td></tr><tr><td><b>7</b></td><td><b>Convergence semiglobale pratique d'observateurs émulés pour les NCS</b></td><td><b>143</b></td></tr><tr><td>7.1</td><td>Introduction</td><td>143</td></tr><tr><td>7.2</td><td>Hypothèses et analyse de stabilité</td><td>144</td></tr><tr><td>7.3</td><td>Applications aux observateurs par critère du cercle</td><td>152</td></tr><tr><td>7.4</td><td>Commentaires</td><td>158</td></tr><tr><td>7.5</td><td>Conclusion</td><td>158</td></tr><tr><td colspan="2"><b>Conclusion</b></td><td><b>159</b></td></tr><tr><td colspan="2"><b>Annexes</b></td><td><b>165</b></td></tr><tr><td><b>A</b></td><td><b>Rappels mathématiques</b></td><td><b>165</b></td></tr><tr><td>A.1</td><td>Formules algébriques</td><td>165</td></tr><tr><td>A.2</td><td>Rappels d'analyse</td><td>166</td></tr><tr><td><b>B</b></td><td><b>Rappels de stabilité</b></td><td><b>169</b></td></tr><tr><td>B.1</td><td>Stabilité des systèmes à temps variant</td><td>169</td></tr><tr><td>B.2</td><td>Stabilité des systèmes munis d'entrées et de sorties</td><td>170</td></tr><tr><td><b>C</b></td><td><b>Preuve de la Proposition 4.3.1</b></td><td><b>173</b></td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>D</td><td>Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés</td><td>175</td></tr><tr><td></td><td>D.1 Définitions et résultats préliminaires</td><td>176</td></tr><tr><td></td><td>D.2 Théorèmes du petit gain pour des systèmes non-paramétrés</td><td>183</td></tr><tr><td></td><td>D.3 Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés</td><td>211</td></tr><tr><td>E</td><td>Fonction de Lyapunov pour le protocole TOD modifié</td><td>219</td></tr><tr><td>F</td><td>Observateur adaptatif continu-discret pour des systèmes affines en l'état</td><td>221</td></tr><tr><td></td><td>Références</td><td>236</td></tr></table>
# Contributions

Les contributions sont résumées par chapitre ainsi que les publications correspondantes, listées pages 5 et 6. Les travaux développés dans le cadre de cette thèse mais non présentés dans ce mémoire sont également évoqués.

## Partie I: Contributions à la commande échantillonnée de systèmes non linéaires incertains.

### Chapitre 2: Commande adaptative échantillonnée de systèmes non linéaires.

Bien que de nombreuses méthodes de commande adaptative soient disponibles pour les systèmes non linéaires en temps continu, très peu d'études se sont penchées sur le cas où la commande est implémentée numériquement. Au Chapitre 2, nous développons des contrôleurs discrets dans le but de garantir la stabilité du système à données échantillonnées bouclé et d'améliorer les performances obtenues par le simple blocage de la loi de commande continue. Des conditions suffisantes pour la synthèse de retours d'état dits d'ordre élevé sont établies et une méthode de redesign est proposée. Contrairement aux résultats similaires existants, nous n'avons recourt à aucune surparamétrisation pour résoudre ce problème. Cela se traduit par l'obtention de lois de commande simplifiées.

Ces résultats ont été publiés avec T. Ahmed-Ali, L. Burlion F. et Lamnabhi-Lagarrigue dans : (ii) et (vii).

### Chapitre 3: Backstepping robuste échantillonnée.

Parmi les méthodes de commande de systèmes non linéaires existantes, le backstepping est l'une des plus employées et ce dans de nombreux domaines d'applications. Au Chapitre 3, nous proposons des lois de commande échantillonnée par backstepping pour des systèmes sous forme strict-feedback affectés par des perturbations. Les contrôleurs obtenus s'avèrent être plus performants que l'émulation de la commande continue : ils sont donc à privilégier en pratique.

Suggérée par D. Nešić, cette étude a donné lieu à la publication (i) avec T. Ahmed-Ali et F. Lamnabhi-Lagarrigue.
# Partie II: Observateurs pour les systèmes en réseau.

## Chapitre 4: Introduction.

Après avoir présenté la problématique des systèmes commandés par réseau, un cadre d’étude est développé pour l’analyse de stabilité d’observateurs émulés pour de tels systèmes. A partir d’un observateur continu, nous étudions son comportement une fois implémenté via un réseau et proposons pour la première fois une modélisation générale qui permet de considérer de nombreuses configurations. Bien que nous nous concentrons dans cette thèse sur l’émulation d’observateurs, ces outils peuvent être le point de départ d’autres types de conceptions d’observateurs et d’implémentations. A noter que ce cadre offre également un regard nouveau pour la construction d’observateurs pour les systèmes à données échantillonnées.

Développé en collaboration avec D. Nešić, ce cadre d’étude est présenté dans (viii) conjointement aux résultats du Chapitre 5.

## Chapitre 5: Conditions suffisantes pour l’émulation d’observateurs pour les NCS.

Considérant un observateur continu lorsque les contraintes de communication sont ignorées, des conditions suffisantes sont proposées afin d’assurer la convergence de l’erreur d’observation lorsque le transfert des données est réalisé par l’intermédiaire d’un réseau. Des bornes explicites sur l’intervalle maximal admissible entre deux instants de transmission (MATI) sont établies. Nous montrons que les observateurs linéaires et à grand gain vérifient les conditions requises et déterminons, pour la première fois, des bornes sur le MATI pour différentes configurations de réseau en termes de protocoles d’ordonnancement et de fonctions de blocage.

Cette contribution a été développée en collaboration avec D. Nešić et a donnée lieu à la publication (viii). Un article de revue est en cours de rédaction.

## Chapitre 6: Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS.

Les observateurs initialement développés dans [92], pour les systèmes continus dont les measures sont échantillonnées, sont étendus aux systèmes en réseau. En réinterprétant les travaux de [92] à l’aide du cadre d’étude du Chapitre 4, de nouvelles conditions suffisantes sont dérivées par rapport au Chapitre 5. Les observateurs linéaires et à grand gain satisfont également les conditions requises, ce qui nous permet de déduire de nouvelles bornes sur le MATI. Cette étude peut être considérée comme une alternative au Chapitre 5 pour un type particulier de fonctions de blocage.

Ces travaux ont été publiés dans (v) et (xi) avec T. Ahmed-Ali et F. Lamnabhi-Lagarrigue.

## Chapitre 7: Convergence semiglobale pratique d'observateurs émulés pour les NCS.

Les hypothèses du Chapitre 5 sont revues afin d’élargir l’étude à de plus grandes classes de systèmes et de protocoles. Contrairement au Chapitre 5, les propriétés de stabilité ne sont plus valables globalement mais semiglobalement : la borne sur le MATI dépend notamment
de la zone où se situent les conditions initiales. L'analyse fait appel à un théorème du petit gain atypique (voir Annexe D). Les résultats obtenus sont ensuite appliqués aux observateurs par critère du cercle et par injection de sortie.

Cette étude a été réalisée en partenariat avec D. Nešić, une publication est en cours de préparation.

## Annexe D: Théorèmes du petit gain pour des systèmes paramétrés.

Les théorèmes du petit gain utilisés au Chapitre 7 sont énoncés et prouvés. Ces extensions des travaux de [86, 184] permettent d'établir des conditions suffisantes pour la stabilité semi-globale pratique de systèmes paramétrés interconnectés. Ces résultats ont leur propre intérêt puisqu'ils peuvent être utilisés pour de nombreux autres problèmes de commande et de poursuites de trajectoires notamment.

Ce résultat a été obtenu avec D. Nešić et correspond à la publication (ix). Un article de revue est en cours de rédaction.

## Annexe F: Observateur adaptatif continu-discret pour des systèmes affines en l'état. Seule une copie de l'article de revue est proposée.

Pour un système sous forme affine dont certains paramètres sont inconnus et dont les sorties sont échantillonnées, un observateur est synthétisé. Comparé aux solutions existantes en temps continu, l'observateur est modifié afin de prendre en compte l'échantillonnage. Une borne sur la période d'échantillonnage est ainsi obtenue sous des conditions d'excitation persistante. On peut voir ces travaux comme une extension des observateurs de [138] au cas adaptatif.

Cette étude a donné lieu à deux publications en collaboration avec T. Ahmed-Ali et F. Lamnabhi-Lagarrigue: (iii) et (vi).

## Contributions non présentées.

Les travaux suivants ne sont pas développés dans ce mémoire. Plus d'informations sont disponibles dans la publication citée.

## Bornes explicites sur la période d'échantillonnage pour la stabilisation semiglobale de systèmes non linéaires à données échantillonnées.

Jusqu'à ces dernières années, il n'existait que très peu de méthodes pour obtenir une borne sur la période d'échantillonnage d'un système en boucle fermée. Oubliant les approches en temps discret, de récents travaux ont permis de répondre à cette question pour des classes particulières de systèmes, à l'aide d'un formalisme hybride, pour lesquels l'origine est globalement asymptotiquement stable une fois le contrôleur émulé. Il est désormais établi que ces propriétés de stabilité ne sont pas les plus naturelles lorsque l'on étudie les systèmes à données échantillonnés. Ainsi, toujours à l'aide d'outils hybrides, nous proposons une méthode pour
déduire des bornes sur la période échantillonnage pour les systèmes échantillonnées semiglo-
balement asymptotiquement/pratiquement stables par émulation.

Ces résultats ont été développés avec E. Panteley et ont donné lieu aux publications (iv) et (x), d'autres sont en cours de préparation.
# Publications

La liste exhaustive des publications rédigées au cours de cette thèse est fournie ci-dessous.

## Articles de revues

(i) R. Postoyan, T. Ahmed-Ali et F. Lamnabhi-Lagarrigue, *Robust backstepping for the Euler approximate model of sampled-data strict-feedback systems*, Automatica 45 (9): 2164-2168, 2009.

(ii) R. Postoyan, T. Ahmed-Ali, L. Burlion et F. Lamnabhi-Lagarrigue, *On the Lyapunov-based adaptive control redesign for a class of nonlinear sampled-data systems*, Automatica 44 (8): 2099-2107, 2008.

(iii) T. Ahmed Ali, R. Postoyan et F. Lamnabhi-Lagarrigue, *Continuous-discrete adaptive observers for state affine systems*, Automatica 45 (12): 2986-2990, 2009.

## Articles de conférences

(iv) E. Panteley et R. Postoyan, *Semiglobal asymptotic stabilization of a class of nonlinear sampled-data systems using emulated controllers*, Workshop NESTER, ICINCO (International Conference on Informatics in Control, Automation and Robotics), Milan: Italie, 2009.

(v) R. Postoyan, T. Ahmed-Ali et F. Lamnabhi-Lagarrigue, * Observers for classes of nonlinear networked systems*, IEEE SSD (IEEE International Conference on Systems, Signals and Devices), Djerba: Tunisie, 2009.

(vi) T. Ahmed Ali, R. Postoyan et F. Lamnabhi-Lagarrigue, *Continuous-discrete adaptive observers for state affine systems*, IEEE CDC (Conference on Decision and Control): 1356-1360, Nouvelle Orléans: Etats-Unis, 2007.

(vii) L. Burlion, T. Ahmed-Ali, R. Postoyan et F. Lamnabhi-Lagarrigue, *Adaptive control redesign for nonlinear sampled-data systems*, IFAC NOLCOS (Symposium on Nonlinear Control Systems): 754-759, Pretoria: Afrique du Sud, 2007.
Articles soumis

(viii) R. Postoyan et D. Nešić, *A framework for the observer design for networked control systems*, ACC'10 (American Control Conference), Baltimore: Etats-Unis, 2010.

(ix) R. Postoyan et D. Nešić, *Trajectory based small gain theorems for parameterized systems*, ACC'10 (American Control Conference), Baltimore: Etats-Unis, 2010.

(x) R. Postoyan et E. Panteley, *On the semiglobal asymptotic stabilization of a class of nonlinear sampled-data systems using emulated controllers*, HSCC'10 (Hybrid Systems: Computation and Control), Stockholm: Suède, 2010.

(xi) R. Postoyan, T. Ahmed-Ali et F. Lamnabhi-Lagarrigue, *Observers for classes of nonlin-ear networked control systems*, International Journal of Modelling, Identification and Control.
# Notations

## Ensembles

On note $\mathbb{R} = (-\infty, \infty)$, $\mathbb{R}_{\ge 0} = [0, \infty)$, $\mathbb{R}_{> 0} = (0, \infty)$, $\mathbb{Z}_{\ge 0} = \{0,1,2,\dots\}$, $\mathbb{Z}_{> 0} = \{1,2,\dots\}$.

## Classes et ensembles de fonctions

Soit $C(\mathbb{R}^p, \mathbb{R}^q)$, $p, q \in \mathbb{Z}_{>0}$, l'ensemble des applications continues de $\mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}^q$ et $C^i(\mathbb{R}^p, \mathbb{R}^q)$, $i \in \mathbb{Z}_{>0}$, l'ensemble des applications continues dont les dérivées partielles d'ordre $i$ sont définies et continues. L'ensemble des fonctions pour lesquelles ces dérivées sont continues pour tout $i \in \mathbb{Z}_{>0}$ est noté $C^\infty(\mathbb{R}^p, \mathbb{R}^q)$.

Soit $a \in \mathbb{R}_{>0} \cup \{\infty\}$, la fonction $\gamma : [0,a) \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ est dite de classe $\mathcal{K}$ si elle est continue, égale à zéro en zéro et strictement croissante, on dit qu'elle est de classe $\mathcal{K}_\infty$ si de plus $a = \infty$ et $\gamma(s) \to \infty$ quand $s \to \infty$. Par extension, pour $a,b \in \mathbb{R}_{>0} \cup \{\infty\}$, $\gamma : [0,a) \times [0,b) \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ est de classe $\mathcal{KK}$ si, pour tout $(s_1,s_2) \in [0,a) \times [0,b)$, $\gamma(s_1,\cdot)$ et $\gamma(\cdot,s_2)$ sont de classe $\mathcal{K}$. Une fonction continue $\gamma : [0,a) \times \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ est de classe $\mathcal{KL}$ si, pour tout $t \in \mathbb{R}_{\ge 0}$, $\gamma(\cdot,t)$ est de classe $\mathcal{K}$, et, pour tout $s \in [0,a)$, $\gamma(s,\cdot)$ est décroissante et tends vers zéro à l'infini. De plus, $\gamma$ est dite de classe $\exp -\mathcal{KL}$ s'il existe $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}_{>0}$ tels que $\gamma(s,t) = \lambda_1 \exp(-\lambda_2 t)s$, pour $(s,t) \in [0,a) \times \mathbb{R}_{\ge 0}$.

On définit la fonction *signe* de la façon suivante :

$$ \begin{array}{rcl} \text{sign} : \mathbb{R} & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \begin{cases} 1 & \text{si } x > 0 \\ -1 & \text{si } x < 0 \\ 0 & \text{si } x = 0. \end{cases} \end{array} \tag{1} $$

La notation $\mathbb{I}$ représente l'application identité sur les espaces considérés.

## Normes

Le norme Euclidienne d'un vecteur ou d'une matrice est notée $| \cdot |$. Pour une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$, $n \in \mathbb{Z}_{>0}$, Lebesgue mesurable, on définit pour $t_1 \le t_2 \in \mathbb{R}$, $\|f\|_{[t_1,t_2)} =$
ess. sup$_{\tau \in [t_1, t_2)} |f(\tau)|$ et $\|f\|_{\infty} = \text{ess. sup}_{\tau \in [t_0, \infty)} |f(\tau)|$. L'ensemble $\mathcal{L}_{\infty}^n$ représente l'ensemble des fonctions $f: \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}^n$ telles que $\|f\|_{[0, \infty)} < r, r \in \mathbb{R}_{\ge 0}$.

## Opérations sur les fonctions et propriétés

Pour des applications $f = [f_1, \dots, f_n]^T \in C(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$ et $h \in C^1(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^p)$, $Lfh$ représente $\sum_{i=1}^n (\partial_i h)f_i$ où $\partial_i h$ est la dérivée première de $h$ par rapport à la $i^{ème}$ variable, $n, p \in \mathbb{Z}_{>0}$. On notera $\partial h$ la dérivée première de $h$.

Pour une fonction $f: \mathbb{R}_{\ge 0} \to \mathbb{R}^n$, $n \in \mathbb{Z}_{>0}$, la notation $f(t^+)$ représente $\lim_{s \to t^+} f(s)$ où $t \in \mathbb{R}_{\ge 0}$, si une telle limite existe. Parallèlement, on note $f(t^-) = \lim_{s \to t^-} f(s)$, si elle existe.

Une fonction $R_{T,r,a}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ est dite un grand o de $T^r$, que l'on note $R_{T,r,a}(y) = \mathcal{O}(T^r)$, où $y \in \mathbb{R}^n$ est une variable et $T, r, a \in \mathbb{R}_{>0}$ des paramètres, s'il existe une fonction $\gamma_{r,a}$ de classe $\mathcal{K}_{\infty}$ telle que, pour tout $r, a \in \mathbb{R}$, $\delta \in \mathbb{R}_{>0}$, il existe $\bar{T} \in \mathbb{R}_{>0}$ tel que pour tout $|y| \le \delta$ et $T \in (0, \bar{T})$, on a :

$$ |R_{T,r,a}(y)| \le T^r \gamma_{r,a}(|y|). \qquad (2) $$

## Vecteurs et matrices

Soit $(x, y) \in \mathbb{R}^{n+m}$, la notation $(x, y)$ correspond à $[x^T, y^T]^T$.

Pour une matrice symétrique définie positive $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, $\lambda_{\min}(A)$ ($\lambda_{\max}(A)$) symbolise la valeur propre minimale (maximale) de $A$. La matrice identité est représentée par $I \in \mathbb{R}^{n \times n}$. Considérant $p$ matrices $A_1, \dots, A_p \in \mathbb{R}^{n \times n}$, diag$(A_1, \dots, A_p)$ représente la matrice bloc-diagonal $np \times np$ suivante :

$$ \begin{bmatrix} A_1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & A_2 & 0 & \vdots \\ \vdots & 0 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \dots & 0 & A_p \end{bmatrix}. $$

## Solution d'une équation différentielle ordinaire

Soit l'équation différentielle ordinaire :

$$ \dot{x} = f(t, x, u), \qquad (3) $$

où $x \in \mathbb{R}^n$, $u \in \mathbb{R}^m$, $f: \mathbb{R}_{\ge 0} \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$, $n, m \in \mathbb{Z}_{>0}$. Pour un instant initial donné $t_0 \in \mathbb{R}_{\ge 0}$, une condition initiale $x_0 = x(t_0) \in \mathbb{R}^{nx}$ et un signal d'entrée $u \in \mathcal{L}_{\infty}^m$, la solution
(ou les solutions) de (3) est notée $x(\cdot, t_0, x_0, u)$ (si elle existe). Lorsque les dépendances sont suffisamment claires de par le contexte, nous la notons simplement $x(t)$.

Divers

Pour $k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, $i_0, \dots, i_k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, $I_k = \{i_0, \dots, i_k\}$, $\tilde{I}_k = i_0 + \dots + i_k$, $\bar{I}_k = \sum_{j=0}^k j \cdot i_j$. Pour une suite réelle $\{x_k\}_{k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}}$, on notera $\limsup_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} (\sup_{p \ge k} x_p)$ si elle existe.
# Première partie

## Contributions à la commande échantillonnée de systèmes non linéaires incertains
<figure><img src="image_9.png" /></figure>
# Chapitre 1

## Introduction

Dans ce chapitre, les deux problématiques centrales, que sont l'échantillonnage et la stabilitätion des systèmes non linéaires incertains, sont tout d'abord brièvement présentées. Les principales approches de synthèse de contrôleurs pour les systèmes à données échantillonnées sont ensuite expliquées. Ce chapitre se conclut par la présentation des travaux de cette première partie de thèse.

### 1.1 Problématique de l'échantillonnage

Jusqu'aux années 1950, la plupart des systèmes étaient commandés à l'aide de contrôleurs analogiques. Le développement exponentiel des capacités de calcul des ordinateurs a permis l'utilisation grandissante des contrôleurs numériques. De nos jours, ces systèmes dits *contrôlés* *par ordinateur* sont prédominants dans le monde industriel.

Comparés aux analogiques, les contrôleurs numériques offrent l'avantage d'être généralement moins chers, en particulier pour les grandes installations comprenant de nombreuses boucles de commande. Plus ergonomiques, leurs réglages s'effectuent par programmation et non par câblage, ils sont dès lors plus facile à configurer. Cette flexibilité les rend également plus appropriés pour l'implémentation d'algorithmes adaptatifs ou non linéaires. De plus, le même contrôleur numérique peut être utilisé pour différents modes de fonctionnement et applications. De manière générale, ils sont plus adaptés aux systèmes complexes pour lesquels les interactions entre les boucles de commande sont multiples. Dans de nombreux cas, l'ingénieur a le choix entre commande analogique et numérique, cependant, les avantages des schémas numériques en termes de flexibilité et de simplicité sont parfois indispensables, comme dans [173].

L'utilisation de contrôleurs numériques a pour conséquence de créer une différence entre la nature des signaux générés par l'algorithme de commande et ceux entrant et sortant du système. En effet, les dynamiques de la plupart des systèmes physiques étudiés sont en temps continu. Les machines électriques, robots manipulateurs, process biochimiques,
véhicules automobiles, systèmes hydrauliques ne sont qu’un échantillon d’exemples admettant une modélisation en temps continu. Les lois de commande numérique sont elles par définition discrètes. La juxtaposition des dynamiques discrètes et continues donne ici lieu à ce que l’on appelle les *systèmes à données échantillonnées*. La configuration typique est celle décrite Figure 1.1 (voir [13]).

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIG. 1.1 – *Architecture de commande de systèmes à données échantillonnées*</figcaption></figure>

La sortie du système continu, *y(t)*, est échantillonnée c'est-à-dire transformée en un signal discret par le convertisseur analogique-numérique (A/N) aux instants d'échantillonnage *t*<sub>k</sub>. Ce signal discret est ensuite utilisé par l'algorithme pour générer un signal de commande discret, *u(t*<sub>k</sub>*). Signal de commande qui est ensuite converti en un signal analogique à l'aide du convertisseur numérique-analogique (N/A) afin d'être transmis au système. Ces opérations sont synchronisées à l'aide d'une horloge temps-réel. Il existe une multitude de convertisseurs N-A. La configuration typique consiste à bloquer le signal de commande entre deux instants d'échantillonnage, on parle de *bloqueur d'ordre zéro*.

La situation est ainsi différente de celle d'un schéma analogique, pour lequel toutes les
dynamiques sont continues. En effet, entre deux instants d'échantillonnage, le système est
commandé en boucle ouverte, puisque le signal de commande ne tient pas compte des valeurs
de la sortie y(t). On devine immédiatement que la période d'échantillonnage joue un rôle
crucial pour l'analyse de la stabilité. Il existe ainsi différentes philosophies. La première est de
traiter le problème à l'aide d'outils en temps discret : toutes les dynamiques sont ramenées à celles du contrôleur. Un autre point de vue consiste à voir ce problème comme un système hybride ou impulsif : le système est commandé par un signal affecté par des sauts aux instants d'échantillonnage. On peut également aborder le sujet comme un problème de commande à entrée retardée : l'entrée appliquée au système à l'instant $t \in [t_k, t_{k+1})$ est affectée par un retard variant $t - t_k$ (lorsque l'on considère un bloqueur d'ordre zéro). Ces approches sont détaillées dans la suite de ce chapitre.

Dans cette thèse, le point de vue en temps discret est adopté afin de développer des contrôleurs pour des classes de systèmes non linéaires incertains.

## 1.2 Systèmes non linéaires incertains

Dans cette section, des connaissances de base sur les systèmes non linéaires sont rappelées, puis les méthodes de stabilisation de systèmes incertains poursuivies par la suite présentées.

### 1.2.1 Modèle non linéaire

La plupart des systèmes physiques ont un comportement dynamique par nature non linéaire. Ces non-linéarités donnent lieu à des modèles mathématiques souvent difficiles à analyser, c'est pourquoi une alternative consiste à linéariser le comportement du système autour d'un point de fonctionnement. Cette approximation présente l'avantage d'être beaucoup simple à étudier. En contrepartie, ces modèles ne sont valables que localement et ne permettent pas conséquent pas de représenter fidèlement les trajectoires du système pour de larges plages de fonctionnement. De plus, certains phénomènes fortement non linéaires comme les saturations (des signaux de commande), les hystérésis (dues aux amplificateurs opérationnels), les relais (électromécaniques ou électriques), ne peuvent être linéarisés.

Le comportement dynamique d'un système non linéaire est généralement représenté comme un ensemble d'équations différentielles ordinaires couplées du premier ordre :

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
\dot{x}_1 &= f_1(t, x_1, \dots, x_n, u_1, \dots, u_m) \\
\dot{x}_2 &= f_2(t, x_1, \dots, x_n, u_1, \dots, u_m) \\
\vdots \\
\dot{x}_n &= f_n(t, x_1, \dots, x_n, u_1, \dots, u_m) \\
y_1 &= h_1(t, x_1, \dots, x_n, u_1, \dots, u_m) \\
\vdots \\
y_p &= h_p(t, x_1, \dots, x_n, u_1, \dots, u_m),
\end{aligned}
\right. 
\qquad (1.1) 
$$

qui se résume à

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
\dot{x} &= f(t, x, u) \\
y &= h(t, x, u),
\end{aligned}
\right. 
\qquad (1.2) 
$$
où $x = (x_1, ..., x_n) \in \mathbb{R}^n$ représente le vecteur d'état, $u = (u_1, ..., u_m) \in \mathbb{R}^m$ le vecteur d'entrée, $y = (y_1, ..., y_p) \in \mathbb{R}^p$ le vecteur de sortie, $f = (f_1, ..., f_n) : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^n$ la dynamique du système et $h = (h_1, ..., h_p) : \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^p$ le vecteur fonction de sortie.

Le modèle mathématique (1.2) permet de considérer des phénomènes impossibles à reproduire par un modèle linéaire. Par exemple, l'existence de solution de (1.2) n'est pas toujours garantie, même pour un intervalle de temps donné. Pour une même condition initiale, (1.2) peut également générer plusieurs solutions. D'autres caractéristiques comme l'échappement en temps fini ou certains phénomènes oscillatoires font que les modèles non linéaires requiert une analyse plus aiguë que les modèles linéaires. Un dernier point est que la solution analytique de (1.2), pour une condition initiale donnée, est en général impossible à déterminer. Cet aspect sera particulièrement important lorsque seront évoqués les problèmes de discrétisation dans §1.3.

### 1.2.2 Incertitudes

Aussi complexes soient-ils, les modèles non linéaires sont la plupart du temps le fruit d'une série d'approximations. Ces dernières sont à l'origine d'incertitudes, que l'on doit toujours prendre en compte lorsque l'on synthétise une loi de commande pour un système physique. D'autres types d'incertitudes et de perturbations peuvent affecter le système. Ces phénomènes sont récapitulés ci-dessous :

- *incertitudes de modélisation*, les étapes de simplification réalisées lors de la modélisation induisent des erreurs qui peuvent avoir un impact significatif sur la validité du modèle;

- *incertitudes paramétriques*, les valeurs de certains paramètres sont parfois inconnues à cause de la difficulté voire l'impossibilité de les mesurer;

- *perturbations extérieures / exogènes*, des phénomènes extérieurs peuvent perturber l'évolution du système comme par exemple, les bourrasques de vent sur le déplacement d'un véhicule, le choc accidentel d'un robot, les bruits de mesure etc...

**Remarque 1.2.1** *A noter que l'expression système incertain est utilisée dans cette thèse pour nommer les systèmes affectés, de manière générale, par les phénomènes cités ci-dessus. Cet abus de langage a pour but de rendre la présentation plus claire.*

Des informations sont généralement disponibles sur les incertitudes et/ou perturbations. Dans le cas des incertitudes paramétriques, on sait le plus souvent si la valeur du paramètre inconnu varie fortement ou pas au cours du temps, parfois, une plage de valeurs est même connue. Prenons l'exemple de la masse d'un avion. Celle-ci dépend notamment de la structure de l'avion, du nombre de passagers, de leur quantité de bagages, des réserves en carburant qui sont autant de paramètres incertains. Cette masse varie lentement au cours du temps, au fur et à mesure que les stocks de kérosène sont consommés. On devine qu'il est toutefois possible
d'établir une plage de valeurs plausibles pour ce paramètre. Dans le cas des incertitudes de modèle ou des perturbations exogènes, une borne sur leur amplitude est souvent connue, comme cela peut-être le cas pour les frottements affectant un système mécanique par exemple. Ce type d'information constitue le point de départ pour la synthèse de contrôleurs.

### 1.2.3 Stabilisation de systèmes incertains

Contrairement aux systèmes linéaires, il n'existe pas de méthode générique de synthèse de contrôleurs globaux pour les systèmes non linéaires. Les travaux existants ne sont donc applicables qu'à des classes données de modèles. Dans ce mémoire, nous nous intéressons à des méthodes basées sur l'utilisation de fonctions de Lyapunov. Le but n'est pas ici de proposer un état de l'art exhaustif mais de rappeler les grandes lignes directrices des approches suivies dans les chapitres suivants.

#### Incertitudes paramétriques

Le domaine consacré à la commande des systèmes dont certains paramètres sont inconnus est communément appelé *commande adaptative* (expression qui est également utilisée dans d'autres contextes). L'idée de base est de construire un contrôleur composé, d'une part, d'une *loi d'estimation* qui fournit, comme son nom l'indique, un estimé du paramètre inconnu, d'autre part de *la loi de commande* à proprement parler, qui génère un signal à partir des mesures du système et de l'estimé du paramètre inconnu. Deux familles de commande adaptive se distinguent alors :

- *approche directe*, où les lois d'estimation et de commande sont synthétisées à la même étape. Dès lors, la loi de commande stabilisera le système même si l'estimé du paramètre inconnu ne tend pas vers sa véritable valeur ;

- *approche indirecte*, où il s'agit d'assurer l'identification du paramètre inconnu et de développer une loi de commande indépendamment.

De nombreux ouvrages sont disponibles pour expliquer les différentes méthodes de commande adaptative [4, 12, 83, 105, 126, 169] (par modèle de référence, par la méthode de Lyapunov, par identification du modèle, par gains préprogrammés etc...). Nous nous intéresserons au Chapitre 2 au cas la commande adaptative directe par la méthode de Lyapunov (cf. [105, 106]).
Un exemple très simple permet d'en saisir le principe.
**Exemple 1.2.1** Considérons le système scalaire mono-entrée suivant :

$$ \dot{x} = x^2 \theta + u, \tag{1.3} $$

où $\theta \in \mathbb{R}$ est un paramètre inconnu supposé constant. Soit la fonction de Lyapunov candidate suivante, pour $x \in \mathbb{R}$, $\tilde{\theta} = \theta - \hat{\theta} \in \mathbb{R}$ où $\hat{\theta}$ est l'estimé de $\theta$ :

$$ V(x,\theta) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}\tilde{\theta}^2. \tag{1.4} $$

Lorsque l'on dérive V le long des solutions de (1.3), en remarquant que $\dot{\tilde{\theta}} = \dot{\theta} - \hat{\theta} = -\dot{\tilde{\theta}}$, on obtient :

$$ \begin{aligned} \dot{V}(x,\theta) &= x(x^2\theta + u) - \tilde{\theta}\dot{\tilde{\theta}} \\ &= x(x^2\tilde{\theta} + u) + x^3\tilde{\theta} - \tilde{\theta}\dot{\tilde{\theta}}. \end{aligned} \tag{1.5} $$

Définissons $\hat{\theta}$ comme la solution de l'équation différentielle :

$$ \dot{\hat{\theta}} = x^3, \tag{1.6} $$

et

$$ u = -x^2\hat{\theta} - x, \tag{1.7} $$

on a

$$ \dot{V}(x,\theta) = -x^2. \tag{1.8} $$

La fonction V est donc une fonction de Lyapunov faible (voir Annexe B) pour notre système augmenté (1.3), (1.6) avec le retour d'état (1.7). D'après le théorème de LaSalle (Théorème B.1.2), on en conclut que $x(t)$ converge asymptotiquement vers l'origine tandis que $\hat{\theta}$ tend vers une valeur constante qui dépend des conditions initiales.

Il s'agit donc de considérer une fonction de Lyapunov candidate pour le système augmenté prenant en compte la loi d'estimation, puis de définir cette dernière ainsi que la loi de commande à partir de l'analyse de sa dérivée le long des trajectoires ; le but étant d'annuler les termes inconnus à l'aide de la loi d'estimation et d'assurer la décroissance de la fonction à l'aide de celle de commande. Bien évidemment, cette technique n'est applicable qu'à certaines classes de systèmes. Néanmoins, elle permet notamment d'assurer la convergence asymptotique des états vers l'origine pour de nombreux systèmes dont ceux sous forme parametric-strict-feedback [104]. Au Chapitre 2, une méthode de synthèse de contrôleurs adaptatifs par la méthode de Lyapunov directe sera proposée pour une classe de systèmes à données échantillonnées.

## Incertitudes de modélisation et perturbations extérieures

La stabilisation des systèmes perturbés et/ou incertains est une thématique centrale de l'automatique. Souvent nommée *commande robuste*, elle a donné lieu à un très large éventail d'approches et de techniques. Nous rappelons brièvement celles poursuivies dans les chapitres suivants.
En 1989, Eduardo Sontag introduit une nouvelle notion de stabilité dite *stabilité entrée-état* afin d'analyser l'impact de signaux bornés sur le comportement du système en représentation d'état [180]. Elle peut être vue comme un cas particulier de la propriété « entrée bornée » implique « état borné ». Largement étendue depuis (voir [183]), cette propriété et ses dérivées ont été entièrement caractérisées par des outils de Lyapunov. De nombreuses études se sont dès lors intéressées à la stabilisation entrée-état afin d'avoir à disposition des contrôleurs robustes vis-à-vis des perturbations pouvant affecter le système. Ainsi, il est montré dans [180] qu'un retour d'état bâti sur des fonctions de Lyapunov de commande pour les systèmes affines peut être modifié afin d'assurer la stabilité entrée-état du système vis-à-vis des perturbations sur les signaux des actionneurs. Dans [56], une commande par backstepping pour les systèmes sous forme strict-feedback est proposée afin de garantir la stabilité entrée-état vis-à-vis des termes incertains affectant les dynamiques du modèle. La stabilisation de cette classe de systèmes par backstepping est établie depuis les années 1990 [101, 172] et a été appliquée pour de nombreux problèmes comme la commande d'actionneurs hydro-électriques, de véhicules autonomes, de machines électriques, de robots manipulateurs, la synchronisation de systèmes chaotiques etc... Nous nous intéresserons au Chapitre 3 à ce problème lorsque le contrôleur utilisé est numérique. Il faut souligner que ces résultats n'ont pas pour but d'atténuer l'effet des perturbations mais de garantir la robustesse du système bouclé en ce sens que l'erreur de convergence dépendra de l'amplitude maximale des perturbations.

D'autre part, lorsqu'une borne sur l'amplitude des perturbations est connue et que la structure du problème le permet, la stabilisation asymptotique est envisageable par diverses méthodes déterministes. Il s'agit dès lors de compenser les perturbations et de garantir la stabilité du système bouclé. Une multitude de techniques ont été développées dans ce sens que ce soit à l'aide de lois de commande continues ou discontinues comme les modes glissants. Nous utiliserons l'une d'entre elles au Chapitre 3, toujours pour la commande par backstepping de systèmes sous forme strict-feedback. Cette étude reprend certaines lois de commande de [55] pour ensuite les reconstruire en fonction de la période d'échantillonnage. Les travaux de [55] peuvent être considérés comme une extension des techniques initialement développées dans [17, 38].

## 1.3 Approches de commande en temps échantillonné

Les trois approches permettant de synthétiser des contrôleurs pour les systèmes à données échantillonnées sont présentées en prétant une attention particulière au cas des systèmes non linéaires. Un tableau comparatif est proposé à la fin de cette section (voir Tableau 1.1).

### 1.3.1 Synthèse en temps continu (Continuous-Time Design - CTD)

La façon la plus simple de commander un système à données échantillonnées est de discrétiser un contrôleur continu. L'idée étant, qu'en échantillonnant à une fréquence suffisamment
ment élevée, le contrôleur discret fournira un signal proche du continu. On parle d'approche par émulation.

Ainsi, dans un premier temps, une loi de commande continue est synthétisée à partir des techniques disponibles dans la littérature. A cette étape, l'échantillonnage est ignoré. Le contrôleur continu est ensuite discrétisé à l'aide de schéma d'intégrations numériques ou, pour les systèmes linéaires, de correspondance des pôles et des zéros entre le continu et le discret. Les méthodes d'Euler, de Runge-Kutta, de Tustin sont autant de façons d'obtenir un contrôleur discret à partir du continu. Finalement, le contrôleur discret est implémenté numériquement (voir Figure 1.1). Le choix de la période d'échantillonnage est un point clef de cette étape. Dans la grande majorité des cas, elle est choisie suffisamment petite pour garantir la stabilité du système bouclé. Une exception est [212] où cette contrainte est relaxée, à la condition que le vecteur d'état réside dans le bassin d'attraction de l'origine à chaque instant d'échantillonnage.

De nombreux travaux de recherche ont étudié le comportement dynamique des systèmes à données échantillonnées par émulation. Pour les systèmes linéaires, la stabilité entrée-sortie est étudiée dans [33, 54]. Des analyses fréquentielles sont proposées dans [43, 162]. Le cas des systèmes non linéaires est examiné dans [33, 34, 109, 159, 196, 211] à l'aide d'outils d'analyse en temps discret. Dans [109], un cadre méthodologique pour la discrétisation de commandes continues est développée. Considérant des contrôleurs garantissant certaines propriétés de dissipativité, il est prouvé qu'une discrétisation appropriée et l'implémentation numérique à l'aide d'un bloqueur d'ordre zéro assurent des propriétés similaires pour le système à données échantillonnées. Cette large extension de [196] propose une solution pour le cas particulier, fondamentale en pratique, où l'origine du système continue bouclé est globalement asymptotiquement stable. Il y est prouvé que cette propriété est maintenue par émulation semiglobalement et pratiquement dans le cas général. Les notions de semiglobalité et de convergence pratique signifient que pour tout boule de conditions initiales donnée il existe une période d'échantillonnage telle que l'origine du système est asymptotiquement stable à une erreur résiduelle près que l'on peut diminuer autant que désiré.

Le récent engouement pour la thématique des systèmes hybrides a permis de voir le problème sous un jour nouveau. Il est montré, dans [74], que pour les systèmes globalement Lipschitziens, le blocage d'une loi de commande statique maintient la stabilité exponentielle sous un échantillonnage rapide. Cette étude a ensuite été étendue, sous des conditions similaires, au cas des contrôleurs dynamiques discrétisés d'après le schéma d'Euler [28]. L'étude d'un retour de sortie dynamique est proposée dans [114] à partir de la linéarisation du système et du contrôleur. La commande de systèmes non linéaires continus par une loi linéaire numérique est traitée dans [77, 81] où il est expliqué comment les propriétés de stabilité du système peuvent être déduites de celles du système linéaire associé, pour des échantillonnages à pas simples ou multiples. Dernièrement, les résultats initialement dédiés aux systèmes en réseau (voir Partie II) ont prouvé leur utilité pour l'obtention d'une borne
explicite sur la période d'échantillonnage maximale admissible, sans qu'aucune linéarisation
ou hypothèse de type Lispchitzienne ne soit requise [154]. Des conditions suffisantes sur le
système bouclé continu sont proposées en termes de fonctions de Lyapunov. Une borne sur la
période d'échantillonnage est alors déduite assurant ainsi la stabilité (globale) asymptotique
de l'origine. Une approche alternative à [154] a été développée au cours de cette thèse [161]
pour de plus larges classes de systèmes. Pour les systèmes linéaires à temps invariant (LTI), des
fonctions de Lyapunov, inspirées des fonctionnelles habituellement utilisées pour les systèmes
à retard, sont considérées dans [140] afin de déduire des conditions suffisantes exprimées en
termes d'inégalités matricielles linéaires (LMI). L'analyse de stabilité repose sur l'application
d'un théorème développé pour les systèmes impulsifs. D'autre part, lorsque l'échantillonnage
n'est pas uniforme, les systèmes LTI à données échantillonnées sont vus comme des systèmes
à commutation discrets dans [76]. Le cas des systèmes LTI à retards à données échantillonnées
y est également traité.

Lorsque le signal de commande discret est converti en un signal analogique à l'aide d'un
bloqueur d'ordre zéro, le problème peut être considéré comme un système commandé par une
entrée retardée $u(t - \tau)$, où $\tau = t - t_k$, $t \in [t_k, t_{k+1})$, voir [58, 59, 93]. Le cas des systèmes LTI
est pour la première fois abordé sous cet angle dans [58], où des conditions suffisantes pour la
stabilisation sont exprimées en termes de LMI, notamment lorsque le signal de commande est
soumis à des saturations. Poursuivant cette approche, une classe de systèmes non linéaires est
étudiée dans [93] sans contrainte d'homogénéité ou de type Lipschitzienne, à l'aide de fonctions
de Razumikhin classiques ou vectorielles. Cette étude présente l'avantage de considérer des
perturbations sur l'échantillonnage et permet de calculer une borne sur la période maximale
admissible.

L'approche CTD désigne également la synthèse de lois de commande, toujours en temps
continu, mais en tentant de compenser l'effet de l'échantillonnage, voir [37, 70, 80, 82, 95, 136].
Les travaux sur les systèmes linéaires [58, 140] peuvent être également regroupés dans cette
catégorie si le problème est pris à l'envers : plutôt que de fixer le gain du contrôleur linéaire
puis de résoudre les LMI en jouant sur la période d'échantillonnage, l'inverse est réalisé, on
fixe cette dernière afin de déterminer le gain.

L'approche CTD présente l'avantage d'être simple d'utilisation. Il suffit, en effet, de
développer une loi de commande en temps continu, à l'aide des techniques disponibles dans
la littérature, puis de la discrétiser à l'aide de schémas numériques bien établis. En revanche,
elle nécessite la mise en place d'échantillonneurs à fréquence élevée du fait que la structure de
commande ne prend pas en compte l'échantillonnage. Dans de nombreux cas, l'utilisation de
puissants calculateurs permet d'assurer le bon fonctionnement du système bouclé. Cependant,
la période d'échantillonnage requise peut parfois excéder les capacités de calcul disponibles,
il est alors nécessaire d'envisager d'autres approches.
### 1.3.2 Synthèse en temps discret (Discrete-Time Design - DTD)

Contrairement à la commande par émulation, le contrôleur est ici synthétisé à partir d'un modèle discret du système continu. On remarque que l'analyse de stabilité de tels systèmes repose exclusivement sur les outils en temps discret : aucune approche hybride ou à retard n'est envisageable. Le principe est donc le suivant. Premièrement, le système continu est discrétisé, ramenant ainsi le problème au comportement de l'état du système aux instants d'échantillonnage uniquement. Une loi de commande est ensuite développée pour ce modèle, à partir des techniques existantes en temps discret. Les propriétés de stabilité du système à données échantillonnées sont alors déduites de celles du système discret bouclé, sous certaines conditions.

Le choix du modèle discret, et donc du schéma de discrétisation, est fondamental. Dans de nombreuses études [5, 15, 52, 96, 103, 141, 156, 175], il est supposé que le modèle discrétisé exact est connu, c'est-à-dire que l'équation aux différences permettant de prédire exactement l'état du système à l'instant d'échantillonnage $t_{k+1}$ à partir de sa valeur à $t_k$, est disponible. Il est alors aisé de déduire des propriétés de stabilité pour le système à données échantillonnées à partir de celles du modèle discret. Supposer la connaissance du discrétisé exact, revient toutefois à affirmer savoir résoudre analytiquement (1.2), or nous avons vu dans §1.2.1 que c'est en général impossible, à l'exception des systèmes linéaires et de certains cas particuliers. Ce constat limite donc l'applicabilité de telles méthodes.

L'alternative communément employée consiste à considérer des modèles dits *approximés*. Une simple intégration par la méthode d'Euler permet ainsi d'obtenir un modèle discret du système continu. D'autres schémas plus sophistiqués peuvent être choisis, comme par exemple Runge-Kutta ou Newton-Hooke, voir [188] pour plus de détails. Le problème est alors de savoir si les propriétés de stabilité obtenues pour le modèle approximé bouclé sont maintenues pour le système à données échantillonnées. Il est montré dans [150], que si le contrôleur ou l'approximation ne sont pas choisies avec attention, aucune propriété de stabilité ne pourra être déduite pour le discrétisé exact et a fortiori pour le système à données échantillonnées. De plus, la structure algébrique du système continu est en général fortement affectée par la discrétisation : l'affinité en la commande ou dans les paramètres est le plus souvent perdue, à l'instar de propriétés clefs pour la synthèse de contrôleurs comme la linéarisabilité par retour d'état ou la fait d'être à minimum de phase [10, 64, 132, 133]. En conséquence, les premiers résultats se concentraient sur des cas particuliers, en terme d'approximation de modèle et de synthèse de contrôleurs, cf. [45, 63, 68, 125] par exemple. La plupart de ces études se basent sur l'approximation d'Euler qui présente notamment l'avantage de maintenir l'affinité en la commande.

Ces constatations ont motivé le développement d'un cadre d'étude méthodologique rigoureux pour la conception de contrôleurs à partir de modèles approximés. Considérant des systèmes dont le comportement dynamique est décrit par une inclusion différentielle,
il est prouvé dans [150], que si le modèle discret constitue une approximation consistante du discrétisé exact (i.e. qu'il lui est en quelque sorte suffisamment fidèle) et si le contrôleur synthétisé est uniformément bornée (typiquement, qu'il n'explose pas lorsque la période d'échantillonnage tend vers zéro), alors des propriétés de stabilité similaires à celles dérivées pour le modèle approximé sont maintenues pour le discrétisé exact. Le passage « stabilité du discrétisé exact » à « stabilité du système à données échantillonnées » est ensuite assuré sous certaines conditions d'après [155]. Dans cette étude, les modèles approximés sont vus comme des familles de systèmes discrets paramétrés par la période d'échantillonnage. Cette méthodologie non-constructive permet d'étudier de nombreux schémas de discrétisation et de lois de commande.

Lorsque l'on décide de résoudre un problème de commande à l'aide de l'approche DTD, la question première est de savoir quel schéma de discrétisation considéré. En effet, meilleure sera l'approximation, plus performant sera le contrôleur développé. Il existe de nombreuses méthodes pour construire un modèle approximé, voir par exemple [65, 66] où des modèles dits d'ordre élevé sont étudiés. Ce type de modèles présente l'avantage de fournir de bonnes approximations de l'état à chaque instant d'échantillonnage, mais est évidemment plus difficile à analyser qu'un modèle d'Euler. D'autres travaux ont pour objet de déterminer des lois de commande et des schémas de discrétisation assurant la correspondance des entrées et sorties des systèmes continu et discret aux instants d'échantillonnage, pour plus d'informations voir [134] et les références qui y sont citées.

Contrairement à l'approche CTD, la DTD permet de développer des contrôleurs qui dépendent de la période d'échantillonnage. Une configuration classique est la synthèse de lois de la forme, $r \in \mathbb{Z}_{>0}$, [16, 29, 136, 147, 153] :

$$u = u_0 + \sum_{i=1}^{r} T^i u_i. \qquad (1.9)$$

On parle généralement de contrôleurs d'ordre élevé (pour $r \in \mathbb{Z}_{>0}$). Typiquement, $u_0$ correspond au blocage de la loi continue, tandis que les $u_i$ ($i \in \mathbb{Z}_{>0}$) sont synthétisés à partir du modèle discret. L'ajout de ces termes supplémentaires a pour but d'améliorer la réponse du système par rapport à la simple émulation, en termes de contraintes sur la période d'échantillonnage et de vitesse de convergence notamment. A noter que les contrôleurs (1.9) ne peuvent pas être, en général, un simple développement de Taylor d'une commande continue [67, 147].

La commande par DTD permet donc de développer des contrôleurs plus adaptés aux systèmes échantillonnées que par CTD. Cependant, cette approche est généralement plus difficile de par le choix du modèle approximé, de sa complexité mais aussi du fait que l'analyse de stabilité est réalisée en temps discret, les techniques de commande étant moins aisées à manipuler qu'en continu.
<table><caption>TAB. 1.1 – Récapitulatif des différentes approches de commande</caption><thead><tr><th></th><th>CTD</th><th>DTD</th><th>SDD</th></tr></thead><tbody><tr><th>Avantages</th><td>synthèse du contrôleur<br>en temps continu</td><td>meilleures performances<br>que le CTD</td><td>meilleures performances<br>que le DTD</td></tr><tr><th>Inconvénients</th><td>échantillonnage<br>à fréquence élevée</td><td>synthèse du contrôleur<br>en temps discret,<br>choix du modèle<br>discret</td><td>synthèse du contrôleur<br>en temps discret<br>en prenant en compte<br>l'inter-échantillonnage</td></tr><tr><th>Représentation</th><td>temps discret,<br>hybride, à retard</td><td>temps discret,</td><td>temps discret<br>(hybride)</td></tr></tbody></table>

### 1.3.3 Synthèse en temps échantillonné (Sampled-Data Design - SDD)

Cette dernière approche repose toujours sur un modèle échantillonné du système mais tient également compte de la dynamique entre deux instants d'échantillonnage, contrairement à la DTD. Développé à partir des années 1990, elle est potentiellement prometteuse mais sa formulation rend l'analyse du problème souvent complexe. Pour des résultats pour les systèmes linéaires cf. [34]. La différence entre CTD et SDD repose sur l'utilisation d'un modèle échantillonné. Cependant, des études comme [94] semblent être partagées entre CTD et SDD. En effet, dans [94], l'espace d'état est décomposé en un nombre (infini) de régions pour lesquelles une loi de commande est synthétisée. Ainsi, la loi de commande change en fonction de la zone, à chaque instant d'échantillonnage. Cette technique hybride présente l'éventuel avantage de considérer de plus larges périodes d'échantillonnage que les méthodes dites classiques.

L'approche SDD n'est pas suivie dans cette thèse, pour plus d'informations voir [135] et les références qui y sont citées.

## 1.4 Présentation des travaux de thèse

Dans cette première partie de thèse, deux résultats sont présentés, tout deux ayant pour cadre la synthèse de retours d'état discrets pour des systèmes non linéaires incertains par l'approche DTD et ce afin d'améliorer les performances du système par rapport au simple blocage d'une loi de commande continue.

### Commande adaptative échantillonnée de systèmes non linéaires.

Une méthode de commande adaptative de type Lyapunov directe pour des systèmes non linéaires affines en la commande et en le paramètre est présentée. Il s'agit de développer des contrôleurs discrets d'ordre élevé de la forme (1.9) afin d'améliorer les performances de l'émulation. Cette étude est une extension des travaux de [147] au cas adaptatif. Dans [147],
une technique dite de *redesign* de contrôleurs de type *grand gain* est proposée. L'analyse repose sur l'utilisation de fonctions de Lyapunov, à partir desquelles des conditions suffisantes sont exprimées, permettant la synthèse du retour d'état désiré. Cette étude présente l'avantage de considérer une classe de systèmes générale et d'être flexible, c'est pourquoi nous avons choisi d'étendre ces résultats au cas où un paramètre inconnu affecte linéairement les dynamiques du système continu. L'analyse repose toujours sur le développement en série de Fliess d'une fonction de Lyapunov à partir duquel les lois d'estimation et de commande sont obtenues. Une des difficultés majeures lorsque l'on considère des modèles discrets approximés d'ordre élevé, est que la paramétrisation linéaire originelle du système continu devient polynomial. L'argument traditionnellement utilisé ([68]) consiste à voir chaque puissance comme un nouveau paramètre. En conséquence, la complexité de la structure de commande augmente linéairement avec le degré d'approximation considéré. Au Chapitre 2, en supposant que le paramètre inconnu appartienne à un ensemble compact donné, aussi large soit-il mais de bornes connues, le système est reparamétré d'après [145] et une unique loi d'estimation est développée.

## Backstepping robuste échantillonné.

Des contrôleurs pour la stabilisation robuste par *backstepping* de systèmes sous forme à données échantillonnées *strict-feedback* sont développés. Deux objectifs de commande sont satisfaits : la stabilisation entrée-état et la compensation des perturbations lorsque celles-ci vérifient certaines hypothèses. Cette étude peut être considérée comme l'extension robuste des travaux de [153]. Le modèle discret approximé est obtenu à l'aide d'une intégration d'Euler. Le premier objectif permet en quelque sorte, d'assurer le bon comportement du système bouclé lorsque celui-ci est perturbé par des signaux bornés, tandis que le second le stabilise asymptotiquement en tentant d'annihiler l'effet des incertitudes à l'instar des travaux en temps continu de [55].

Les résultats de ce chapitre sont un complément aux travaux de [107, 109], puisqu'une nouvelle classe de systèmes générale est considérée à l'aide des mêmes outils d'analyse. Les lois de commande proposées permettent d'améliorer les propriétés de robustesse intrinsèques du *backstepping* bloqué étudiées dans [97]. Ainsi, le domaine d'attraction est généralement élargi et la vitesse de convergence des états augmentée comparé à l'émulation, pour une même période d'échantillonnage. Par conséquent, nos contrôleurs sont à privilégier lorsqu'une loi de commande par *backstepping* robuste est appliquée numériquement à un système continu.
# Chapitre 2

## Commande adaptative
échantillonnée de systèmes non
linéaires

### 2.1 Introduction

Bien que de nombreuses méthodes de commande adaptative soient disponibles pour les systèmes non linéaires en temps continu, très peu d'études se sont penchées sur le cas où la commande est implémentée numériquement. Cet état de fait se justifie par les difficultés induites par l'échantillonnage. En effet, lorsque la synthèse du contrôleur discret est réalisée à partir d'un modèle discret approximé, les incertitudes dues à l'approximation viennent s'ajouter à l'ignorance de la valeur du paramètre. Il s'agit dès lors de proposer un contrôleur pour un système non linéaire discret incertain à la fois au niveau des paramètres et du modèle, tâche qui est loin d'être aisée. De plus, si le système original dépend du paramètre inconnu de manière linéaire, ce ne sera plus le cas du modèle discret (à l'exception des modèles approximés d'Euler par exemple). Or la commande adaptative pour les systèmes paramétrés non linéairement est extrêmement ardue: rares sont les études a proposé des solutions, voir [6, 12, 99, 120, 145, 146, 178] par exemple.

Les principales études disponibles pour la commande adaptative des systèmes non linéaires à données échantillonnées sont rappelées. Dans [68], l'objectif est de transposer les lois de commande adaptative linéarisantes initialement développées en temps continu dans [18, 195]. Nous avons vu au Chapitre 1 que la linéarisabilité par retour d'état d'un système peut être détruite par l'échantillonnage, à l'instar de la dépendance linéaire du paramètre inconnu. Pour ces raisons, les auteurs de [68] se concentrent sur les systèmes linéarisables par retour d'état sans avoir recours à un difféormorphisme dépendant du paramètre. Considérant des modèles approximés discrets d'ordre élevé, la dépendance linéaire du paramètre inconnu devient polynomiale. Le problème est alors surparamétré: à chaque puissance est associé un nouveau
paramètre. Des algorithmes récursifs normalisés des moindres carrés sont alors utilisés afin d'estimer chacun d'entre eux. Une loi de commande est ensuite synthétisée. Il s'agit donc ici d'une méthode de commande adaptative indirecte qui présente l'inconvénient de rapidement gagner en complexité, puisqu'à chaque fois que l'on augmente l'ordre du modèle approximé, une nouvelle loi d'estimation est requise. De plus la classe de systèmes étudiée est relative-ment restrictive. Dans [125, 177] des lois de commande adaptative sont proposées pour des systèmes non linéaires incertains non pas en termes de paramètres inconnus, mais de manière plus générale, au niveau de leurs champs de vecteurs et des perturbations extérieures. Il ne s'agit donc pas d'identifier un paramètre inconnu, mais d'estimer le modèle du système lo-calement en temps et en espace, à chaque instant d'échantillonnage. L'analyse repose sur le modèle d'Euler et nécessite que le système inverse soit stable dans [125] ou que des propriétés de factorisation soient satisfaites dans [177]. Des contrôleurs adaptatifs discrets sont proposés dans les études applicatives [60, 202]. Dans [60], la commande d'une machine synchrone, dont le couple de charge et les résistances statoriques sont incertains, est proposée. Combinant schémas de discrétisation approximés multi-pas et identification par la méthode des moindres carrés, une loi de commande est obtenue qui garantit la stabilité du système. Dans [202], la stabilisation de robots manipulateurs est assurée à l'aide d'une loi de commande également multi-pas composée d'une part, du contrôleur de Slotine-Li discrétisé [179], et d'autre part, d'un terme de compensation non linéaire. Cette étude repose sur l'approximé d'Euler du modèle continu.

Analyser la stabilité d'un système contrôlé par une loi adaptative à l'aide de fonctions de Lyapunov est souvent délicat. En effet, la fonction étudiée est généralement faible (cf. Annexe B), c'est-à-dire qu'elle ne permet pas de conclure directement quant à la stabilité du système complet. Deux techniques sont alors envisageables : d'une part, le principe d'invariance de LaSalle qui ramène l'étude de la stabilité du système à l'ensemble pour lequel la dérivée de la fonction s'annule, d'autre part les théorèmes de Matrosov, qui fournissent, dans certains cas, une fonction de Lyapunov forte (cf. Annexe B) à partir de celle considérée [123, 127, 129, 130]. Dans [149], la commande adaptative par modèle de référence est étudiée à l'aide de théorèmes de Matrosov pour les systèmes discrets paramétrés. Considérant l'approximé d'Euler et supposant que des propriétés d'excitation persistante soient vérifiées, il est montré que le système bouclé est uniformément semiglobalement pratiquement asymptotiquement stable.

La commande par *backstepping* adaptatif de l'approximation d'Euler de systèmes sous forme *parametric strict-feedback* est proposée dans [205], où la technique des *σ*-modifications est utilisée afin de garantir la stabilité de la loi d'estimation. A noter que dans [124], la commande par *backstepping* pour les systèmes discrets est proposée. A la différence de [124], les travaux de [205] considèrent des modèles approximés, donc incertains, paramétrés en la période d'échantillonnage.

Dans ce chapitre, la stabilisation adaptative d'une classe de systèmes non linéaires, dont un
paramètre est incertain, est réalisée. L'objectif est de proposer des contrôleurs discrets d'ordre
élevé aussi simples que possible, qui permettent d'obtenir de meilleures performances que le
blocage de la commande continue. La méthode suivie est celle initialement développée dans
[147] pour la synthèse de contrôleurs dits grand gain. Le principe est le suivant. Considérant
une fonction de Lyapunov pour le système bouclé continu, son équation aux différences
est développée en série de Fliess. Des conditions suffisantes sont ensuite déduites, à partir
desquelles, une loi de commande d'ordre élevé peut être déduite. Cette méthode présente
l'avantage d'être relativement simple, flexible et de pouvoir s'appliquer à une large classe de
systèmes. Nous étendons ici ces résultats au cas où un paramètre inconnu affecte les dyna-
miques du modèle. La commande adaptative développée repose donc sur des outils de Lyapu-
nov et est du type directe: notre but n'est pas d'identifier le paramètre mais de véritablement
assurer des propriétés de stabilité pour l'état du système. Puisque le développement de
l'équation aux différences de la fonction de Lyapunov se fait à un ordre élevé, le problème
perd sa linéarité originale en le paramètre inconnu. Contrairement à [68], aucune surpa-
ramétrisation n'est nécessaire. En effet, en supposant que le paramètre appartienne à un
ensemble compact de bornes connues, le problème est reparamétré. Puis, à l'aide des tech-
niques de [146], une unique loi d'estimation est dérivée. Celle-ci est notamment composée de
σ-modifications comme dans [205], afin de garantir la stabilité de l'estimé. Des conditions
suffisantes, similaires à celles de [147], sont alors déduites, permettant d'obtenir un contrôleur
d'ordre élevé. La structure de commande adaptative garantit des propriétés de bornitude
semiglobale pour le système bouclé. L'analyse de stabilité ne permet pas de distinguer les
propriétés du vecteur d'état du système de celles de l'estimé. En effet, il n'existe pas aujourd'hui de principe de LaSalle approprié pour les systèmes discrets paramétrés incertains et la
construction de fonctions de Lyapunov forte à l'aide de théorèmes de Matrosov est ici vaine,
puisque la convergence de l'estimé vers la véritable valeur n'a a priori pas lieu d'être. Les simulations sur un exemple numérique montrent que les états du système convergent bien vers un
voisinage de l'origine. Bien que l'analyse de stabilité soit réalisée à partir du développement
en série de Fliess tronquée de l'équation aux différences de Lyapunov, les propriétés obtenues
sont garanties pour le discrétisé exact. Celles du système à données échantillonnées suivent
alors sous de faibles conditions d'après [155]. En comparaison avec le simple blocage d'une
loi continue, les contrôleurs d'ordre élevé permettent généralement d'augmenter la vitesse
de convergence et d'élargir le bassin d'attraction, comme nous le montrons sur un exemple.
En résumé, les contrôleurs proposés fournissent de meilleures performances que l'émulation
et sont plus simples que ceux d'ordre élevé précédemment donnés dans [68] puisqu'aucune
surparamétrisation n'est requise.

Ce chapitre est organisée de la façon suivante. Dans un premier temps, la problématique est présentée dans §2.2, puis une loi d'estimation est proposée après avoir reparamétré le problème dans §2.3. Le théorème de stabilité principal est alors énoncé dans §2.4, ainsi que des conditions suffisantes pour la synthèse de contrôleurs. Une méthode de synthèse est donnée
à la fin de cette section. Finalement, un exemple numérique illustre les résultats théoriques obtenus dans §2.5.

## 2.2 Problématique

Considérons la classe de systèmes non linéaires suivante :

$$ \dot{x}(t) = g_0(x(t))\theta + g_1(x(t))u(t), \qquad (2.1) $$

où $x \in \mathbb{R}^n$ est le vecteur d'état, $u \in \mathbb{R}$ le signal d'entrée, $\theta \in \mathbb{R}$ un paramètre constant inconnu et $n \in \mathbb{Z}_{>0}$. Les fonctions $g_0, g_1$ sont connues, analytiques et s'annulent à l'origine. Le paramètre $\theta$ est supposé appartenir à l'ensemble compact $[\underline{\theta}, \bar{\theta}]$ où $\underline{\theta}, \bar{\theta} \in \mathbb{R}$ sont connus, $\underline{\theta} < \bar{\theta}$ et $\text{sign}(\underline{\theta}) = \text{sign}(\bar{\theta})$. La notation $\hat{\theta}$ est utilisée pour désigner l'estimation du paramètre inconnu $\theta$ et $\tilde{\theta} = \theta - \hat{\theta}$ l'erreur d'estimation.

**Remarque 2.2.1** En pratique, il est souvent aisé de déterminer un intervalle de valeurs possibles pour le paramètre inconnu, $\theta$, en prenant en compte sa signification physique et l'environnement dans lequel le système évolue. Le fait que nous supposons que les bornes du compact soient de même signe n'induit pas de restriction supplémentaire. En effet, si ce n'est pas le cas au départ, un changement de paramètre par translation est suffisant pour satisfaire cette hypothèse. Ainsi, pour $\theta \in [\underline{\theta}, \bar{\theta}]$ avec $\underline{\theta} < \bar{\theta}$ et $\underline{\theta}\bar{\theta} < 0$, en introduisant $\theta_1 = \theta - \bar{\theta} - 1$, le système (2.1) devient :

$$ \dot{x}(t) = g_0(x(t))(\theta_1 + \bar{\theta} + 1) + g_1(x(t))u(t), \qquad (2.2) $$

avec $\theta_1$ inconnu qui appartient au compact de bornes de même signe $[\underline{\theta}-\bar{\theta}-1, -1]$. Le système (2.2) n'est pas exactement de la forme (2.1), néanmoins les résultats de ce chapitre peuvent être appliqués après d'évidentes modifications.

On suppose, au cours de ce chapitre, que toutes les composantes du vecteur d'état sont mesurées et donc disponible pour le contrôleur. L'instant initial considéré est $t = 0$, sans perte de généralité. La méthode proposée se concentre sur les systèmes mono-entrée, toutefois elle peut être étendue au cas multi-entrées au prix de calculs additionnels. De même, lorsqu'un vecteur de paramètres est inconnu, une extension est possible sous des hypothèses supplémentaires, voir [146].

Nous supposons que le problème de commande en temps continu est résolu, en ce sens, que l'on sait déterminer une loi de commande adaptative assurant la convergence asymptotique de l'état $x$ vers l'origine et la stabilité de l'estimé. L'hypothèse proposée repose sur la connaissance de fonctions de Lyapunov.
**Hypothèse 2.2.1** Il existe une fonction définie positive V : $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ telle que, lorsqu'on applique la loi de commande connue $u(t) = u_c(x(t),\hat{\theta}(t))$ et la boucle d'estimation $\hat{\theta}(t) = \alpha L_{g_0}V(x(t))$, $\alpha \in \mathbb{R}_{>0}$, $(t \in \mathbb{R}_{\ge 0})$, il existe $\underline{\beta}, \bar{\beta} \in K_\infty$ et une constante $c \in \mathbb{R}_{>0}$ qui satisfont, lorsque l'on considère la fonction de Lyapunov $W(x,\tilde{\theta}) = V(x) + \frac{1}{2\alpha}\tilde{\theta}^2$, pour tout $(x,\tilde{\theta}) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}$,

$$ \underline{\beta}(|(x,\tilde{\theta})|) \le W(x,\tilde{\theta}) \le \bar{\beta}(|(x,\tilde{\theta})|), \quad (2.3) $$

et le long des trajectoires de (2.1),

$$ \dot{W}(t) = L_{g_1}V(x)u_c(x,\hat{\theta}) + L_{g_0}V(x)\hat{\theta} \le -cV(x). \quad (2.4) $$

Lorsque l'Hypothèse 2.2.1 est vérifiée, la convergence globale asymptotique des états du système vers l'origine est assurée. En effet, puisque le plus grand ensemble invariant inclus dans $\{(x,\tilde{\theta}) \in \mathbb{R}^{n+1} : \dot{V} = 0\}$ est $\{(x,\tilde{\theta}) \in \mathbb{R}^{n+1} : x = 0 \text{ et } \theta = d \text{ où } d \in \mathbb{R}\}$, d'après le principe d'invariance de LaSalle (Théorème B.1.2), le vecteur $(x,\tilde{\theta})$ converge globalement asymptotiquement vers ce dernier ensemble.

Il existe de nombreuses méthodes de commande adaptative directe pouvant permettre de satisfaire l'Hypothèse 2.2.1 pour des classes de système de la forme (2.1), comme les méthodes par backstepping [104] ou plus généralement celles faisant appel aux fonctions de Lyapunov de commande [105, 172].

**Remarque 2.2.2** Contrairement aux résultats de [147], l'hypothèse sur le système bouclé en temps continu repose sur une fonction de Lyapunov faible de par l'extension du vecteur d'état à l'estimé du paramètre inconnu. C'est là une difficulté majeure de cette étude.

Nous nous concentrons désormais sur le cas où la commande $u$ et par conséquent la variable d'estimation $\hat{\theta}$ sont implémentées numériquement à l'aide d'un échantillonneur de période $T \in (0,1)$ et d'un bloqueur d'ordre zéro. La configuration correspond à celle dépeinte Figure 1.1.

**Remarque 2.2.3** Le fait de prendre $T < 1$ n'apporte aucune contrainte : il suffit de changer l'échelle de temps si nécessaire.

Le terme $u_{sd}^r$ est utilisé pour désigner le signal de commande constant par morceaux d'ordre $r$, $r \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, appliqué au système (2.1), $u_{sd}^r(t) = u_{sd}^r(kT)$, pour $t \in [kT,(k+1)T)$, $k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, qui s'écrit sous la forme :

$$ u_{sd}^r = u_0 + \sum_{s=1}^{r} T^s u_s. \quad (2.5) $$

Le système (2.1) devient alors, pour $t \in [kT,(k+1)T)$, $k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ :

$$ \dot{x}(t) = g_0(x(t))\theta + g_1(x(t))u_{sd}^r(kT). \quad (2.6) $$
**Remarque 2.2.4** Tout au long de ce chapitre, les variables dont dépend l'entrée sont omises par souci de clarté. Implicitement, à chaque fois qu'une composante de la loi de commande est mentionnée, une loi d'estimation est utilisée. Lorsqu'aucune définition explicite de la loi d'estimation n'est donnée, la variable correspondante est supposée bornée. Il sera montré que celle développée dans §2.3 l'est effectivement.

Pour une condition initiale, $x_0 = x(0)$, et une loi de commande échantillonnée, $u_{sd}^r$, $r \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, données, la solution de (2.6), $x(\cdot, x_0, T, u_{sd}^r)$ coïncide avec celle du système discrétisé exact, $x_e(\cdot, x_0, T, u_{sd}^r)$, à chaque instant d'échantillonnage. Le système discrétisé exact associé à (2.6) est, pour $k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$,

$$x((k+1)T) = x(kT) + \int_{kT}^{(k+1)T} [g_0(x(s))\theta + g_1(x(s))u_{sd}^r(kT)] \, ds \quad (2.7)$$

$$= F_{T,\theta}^e(x(kT), u_{sd}^r(kT)). \quad (2.8)$$

Nous rappelons que l'expression analytique de (2.6) est en général impossible à établir (cf. Chapitre 1).

L'objectif principal de ce chapitre est de donner des conditions suffisantes pour la synthèse de contrôleurs d'ordre élevé de la forme (2.5), qui garantissent la bornitude des états et de la variable d'estimation du discrétisé exact (2.8) semiglobalement, pour $T$ suffisamment petit. Le système à données échantillonnées (2.6) héritera alors de cette propriété sous de faibles conditions sur le comportement du système entre deux instants d'échantillonnage (cf. [155]). Par exemple, si $g_0$ et $g_1$ sont des champs de vecteurs globalement Lipschitziens, la bornitude des états suit immédiatement en utilisant le lemme de Gronwall (Lemme A.1 dans [98]). Il sera montré sur un exemple, dans §2.5, qu'en augmentant l'ordre du contrôleur, on améliore la vitesse de convergence et étend le bassin d'attraction du système en boucle fermée.

**Remarque 2.2.5** Les résultats de ce chapitre ne sont pas fondés sur le cadre méthodologique de [150], contrairement à ceux du Chapitre 3, puisqu'aucun modèle approximé n'est considéré, mais uniquement le développement en série de Fliess de la fonction de Lyapunov continue.

## 2.3 Loi d'estimation

### 2.3.1 Développement en série de Fliess de l'équation aux différences de V

Premièrement, l'équation aux différence de $V$, $\Delta V(x) = V(x^+) - V(x)$, est développée en une série de Fliess. Cela constituera le point de départ pour la synthèse de contrôleurs adaptatifs.
**Proposition 2.3.1** Soit $r \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, le long des trajectoires de (2.8), considérant un contrôleur de la forme (2.5), pour $T \in \mathbb{R}_{>0}$ suffisamment petit,

$$ \frac{\Delta V(x)}{T} = L_{g_1} V(x)u_0 + P_0(\theta,x) + \sum_{s=1}^{r} T^s (L_{g_1} V(x)u_s + P_s(\theta,x,U_{s-1})) \\ + R_{T,\theta,r}(x,U_r), \qquad (2.9) $$

où $U_s = (u_0, \dots, u_s)$, pour $s \in \{0, \dots, r\}$, $R_{T,\theta,r}(x,U_r) = \mathcal{O}(T^{r+1})$,

$$ P_0(\theta,x) = L_{g_0} V(x)\theta, \qquad (2.10) $$

pour $s \ge 1$,

$$ P_s(\theta,x,U_{s-1}) = \sum_{k=1}^{s} \sum_{i=0}^{k+1} p_{iks}(x,U_{s-1})\theta^i, \qquad (2.11) $$

pour tout $i \in \{0, \dots, r+1\}$, $(k,s) \in \{1, \dots, r\}^2$,

$$ p_{iks}(x,U_{s-1}) = \sum_{(i_0, \dots, i_k) \in \mathcal{J}_{ik}} \frac{L_{g_{i_0}} \dots L_{g_{i_k}} V(x)}{(k+1)!} \left( \sum_{\substack{|N|=\tilde{I}_k \\ \tilde{N}=s-k}} \left( \begin{array}{cc} k+1-i & n_0 \end{array} \right) \prod_{j=0}^{r} u_j^{n_j} \right) \qquad (2.12) $$

où $\mathcal{J}_{ik} = \{(i_0, \dots, i_k) \in \{0,1\}^{k+1} : \tilde{I}_k = k+1-i\}$ (on rappelle que $\tilde{I}_k = i_0 + \dots + i_k$).

**Preuve.** D'après le Théorème 3.1.5 dans [85] et du fait que le signal de commande est constant entre deux instants d'échantillonnage, on peut montrer que :

$$ \frac{\Delta V(x)}{T} = \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{i_0=0, \dots, i_k=0}^{m=1} L_{\tilde{g}_{i_0}} \dots L_{\tilde{g}_{i_k}} V(x) \frac{T^k}{(k+1)!} (u_{sd}^r)^{\tilde{I}_k}, \qquad (2.13) $$

où $\tilde{g}_0 = \theta g_0$ et $\tilde{g}_1 = g_1$. En écrivant (2.13) comme un polynôme en $\theta$ et puisque $u_{sd}^r = \sum_{s=0}^r T^s u_s$, le développement (2.9) est obtenu après quelques calculs. $\square$

**Remarque 2.3.1** Le terme $R_{T,\theta,r}(x,U_r)$ dépend de l'entrée et par conséquent de la variable d'estimation. Puisque celle-ci est bornée, $R_{T,\theta,r}(x,U_r)$ peut être qualifié de $\mathcal{O}(T^{r+1})$ (voir Remarque 2.2.4).

La Proposition 2.3.1 est une extension du Théorème 3.1 dans [147] pour la classe de systèmes incertains (2.8). Le calcul des termes d'ordre élevé de la série (2.9) devient généralement rapidement complexe et peut nécessiter l'utilisation d'un logiciel de calcul symbolique. Les deux premiers termes du développement (2.9) sont :

$$ \frac{\Delta V(x)}{T} = L_{g_0} V(x)\theta + L_{g_1} V(x)u_0 + T(L_{g_1} V(x)u_1 + p_{011}(x,u_0) + p_{111}(x,u_0)\theta \\ + p_{211}(x)\theta^2) + \mathcal{O}(T^2), \qquad (2.14) $$
avec

$$
\left\{
\begin{array}{l}
p_{011}(x, u_0) = \frac{1}{2} L_{g_1}^2 V(x) u_0^2 \\
p_{111}(x, u_0) = \frac{1}{2} (L_{g_0} L_{g_1} V(x) + L_{g_1} L_{g_0} V(x)) u_0 \\
p_{211}(x) = \frac{1}{2} L_{g_0}^2 V(x).
\end{array}
\right.
$$

2.3.2 Reparamétrisation

Nous avons vu que le développement en série de Fliess de l'équation aux différences de la fonction V, le long des solutions de (2.8), change la nature de la paramétrisation. D'après la méthode de [146], le problème est reparamétré afin de synthétiser une unique loi d'estimation. Sachant que le paramètre inconnu appartient à un ensemble compact de bornes connues de même signe, le nouveau paramètre $\gamma$ est défini comme suit :

$$
\gamma = \frac{1}{\zeta} \ln\left(\frac{|\theta|}{\underline{\theta}}\right), \qquad (2.15)
$$

où $\zeta = \ln(\frac{\theta}{\underline{\theta}})$ (de manière équivalente, $\theta = e^{\zeta\gamma}$). On remarque que $\gamma \in [0,1]$.

Les fonctions suivantes joueront un rôle clef lors de l'analyse de stabilité. Tout d'abord,
nous définissons les fonctions convexes suivantes, pour $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ :

$$
\begin{align}
f_i : \mathbb{R} &\to \mathbb{R}_{>0} \nonumber \\
a &\mapsto f_i(a) = e^{i\zeta a}. \tag{2.16}
\end{align}
$$

Un autre ensemble de fonctions est donnée ci-dessous.

**Définition 2.3.1** Soit $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, la fonction $\tilde{f}_i$ satisfait les propriétés suivantes :

1. $\tilde{f}_i : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est continûment dérivable ;

2. $\tilde{f}_i$ est concave sur $\mathbb{R}$;

3. $\tilde{f}_i \ge f_i$ sur $[0,1]$.

**Remarque 2.3.2** Il existe une infinité de telles fonctions $\tilde{f}_i$ (des exemples sont proposés dans [145] et §2.5).

En utilisant les définitions et respectivement la convexité des $f_i$ et la concavité des $\tilde{f}_i$, le
lemme ci-dessous est obtenu.

**Lemme 2.3.1 ([145]** Pour tout $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0} \gamma_1, \gamma_2 \in \mathbb{R}$,

$$
f_i(\gamma_1) - f_i(\gamma_2) \geq \partial_1 f_i(\gamma_2)(\gamma_1 - \gamma_2), \quad (2.17)
$$

et pour tout $\gamma_1 \in [0,1]$, $\gamma_2 \in \mathbb{R}$,

$$
f_i(\gamma_1) - \tilde{f}_i(\gamma_2) \le \partial_1 \tilde{f}_i(\gamma_2)(\gamma_1 - \gamma_2). \quad (2.18)
$$
### 2.3.3 Loi d'estimation

A partir de l'analyse du développement en série de l'équation aux différences de la fonction Lyapunov $V$ (Proposition 2.3.1), la loi d'estimation suivante est choisie pour le nouveau paramètre $\gamma$:

$$ \hat{\gamma}^{+} = \hat{\gamma} + \alpha T \left( \sum_{s=1}^{r} T^s \sum_{k=1}^{s} \sum_{i=1}^{k+1} \bar{p}_{iks}(x, U_{s-1}) L_{is}(\hat{\gamma}) + \bar{p}_0(x) L_{10}(\hat{\gamma}) + \Gamma(\hat{\gamma}) \right), \quad (2.19) $$

où $\alpha$ est défini dans l'Hypothèse 2.2.1, les $p_{iks}$ dans la Proposition 2.3.1,

$$ \bar{p}_{iks}(x, U_{s-1}) = p_{iks}(x, U_{s-1}) |\theta|^{i} \quad (2.20) $$

$$ \bar{p}_0(x) = L_{g_0} V(x) |\theta|, \quad (2.21) $$

les $L_{is}$'s sont définis par, pour $i \in \{1, \dots, r+1\}$ et $s \in \{1, \dots, r\}$:

$$ L_{is}(\hat{\gamma}) = \begin{cases} \partial_1 f_i(\hat{\gamma}) & \text{si } \sum_{k=1 \text{ et } k \ge i-1}^s \bar{p}_{iks}(x, U_{s-1}) \le 0 \\ \partial_1 \tilde{f}_i(\hat{\gamma}) & \text{si } \sum_{k=1 \text{ et } k \ge i-1}^s \bar{p}_{iks}(x, U_{s-1}) > 0 \end{cases} \quad (2.22) $$

$$ L_{10}(\hat{\gamma}) = \begin{cases} \partial_1 f_1(\hat{\gamma}) & \text{si } \bar{p}_0(x) \le 0 \\ \partial_1 \tilde{f}_1(\hat{\gamma}) & \text{si } \bar{p}_0(x) > 0, \end{cases} \quad (2.23) $$

et $\Gamma(\hat{\gamma})$ est une $\sigma$-modification définie par, pour $\sigma \in \mathbb{R}_{>0}$,

$$ \Gamma(\hat{\gamma}) = -\sigma\hat{\gamma}. \quad (2.24) $$

Les $\sigma$-modifications sont généralement utilisées afin d'assurer la stabilité de systèmes incertains (cf. [47, 57, 83]). Ici le problème est non seulement incertain à cause du paramètre inconnu, mais aussi de la discrétisation qui est à l'origine d'erreurs non-négligeables, comme dans [205]. Le choix d'une telle loi d'estimation sera justifiée lors de l'analyse de stabilité.

## 2.4 Analyse de stabilité

### 2.4.1 Théorème de stabilisation

Tout d'abord, une hypothèse sur les contrôleurs d'ordre $r$ est supposée satisfaite. Elle garantit la bornitude du vecteur d'état étendu $(x, \tilde{\gamma})$ pour le système (2.8), pour $T$ suffisamment petit. Nous verrons par la suite qu'elle peut nous permettre de synthétiser récursivement les composantes de la loi de commande (2.5).

**Hypothèse 2.4.1** Il existe une loi de commande $u_{sd}^r(x, \hat{\gamma}) = \sum_{s=0}^r T^s u_s(x, \hat{\gamma})$, avec $r \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, qui assure :

$$ -cV(x) \ge \sum_{s=1}^{r} T^s \left( L_{g_1} V(x) u_s + \Lambda_s + \sum_{k=1}^{s} \bar{p}_{0ks}(x, U_{s-1}) + \sum_{k=1}^{s} \sum_{i=1}^{k+1} \bar{p}_{iks}(x, U_{s-1}) S_{is}(\hat{\gamma}) \right) \\ + \bar{p}_0(x) S_{10}(\hat{\gamma}) + L_{g_1} V(x) u_0, \quad (2.25) $$
où les $\Lambda_s$'s, $s \in \{1, \dots, r\}$, sont définis par comparaison des termes homogènes du polynôme en $T$:

$$ \frac{\alpha T}{2} \left( \sum_{s=1}^{r} T^s \sum_{k=1}^{s} \sum_{i=1}^{k+1} \bar{p}_{iks}(x, U_{s-1}) L_{is}(\hat{\gamma}) + \bar{p}_0(x) L_{10}(\hat{\gamma}) + \Gamma(\hat{\gamma}) \right)^2 - \frac{\alpha T}{2} \Gamma(\hat{\gamma})^2 = \Lambda_1(x, \hat{\gamma}) \\ + \sum_{s=2}^{r} T^s \Lambda_s(x, \hat{\gamma}, U_{s-2}) + \mathcal{O}(T^{r+1}), \quad (2.26) $$

et les $S_{is}$'s sont :

$$ S_{is}(\hat{\gamma}) = \begin{cases} f_i(\hat{\gamma}) & \text{si } \sum_{k=1 \text{ et } k \ge i-1}^{s} \bar{p}_{iks}(x, U_{s-1}) \le 0 \\ \tilde{f}_i(\hat{\gamma}) & \text{si } \sum_{k=1 \text{ et } k \ge i-1}^{s} \bar{p}_{iks}(x, U_{s-1}) > 0, \end{cases} \quad (2.27) $$

et

$$ S_{10}(\hat{\gamma}) = \begin{cases} f_1(\hat{\gamma}) & \text{si } \bar{p}_0(x) \le 0 \\ \tilde{f}_1(\hat{\gamma}) & \text{si } \bar{p}_0(x) > 0. \end{cases} \quad (2.28) $$

Le théorème principal peut alors être énoncé.

**Théorème 2.4.1** *Supposons qu’un contrôleur $u_{sd}^r$ de la forme (2.5) valide l’Hypothèse 2.4.1, alors le système (2.8) est semiglobalement borné, i.e. pour tout $\Delta \in \mathbb{R}_{>0}$, il existe $\bar{\Delta} > \Delta$ et $\bar{T}(\Delta, \bar{\Delta}) \in \mathbb{R}_{>0}$, que l’on note $\bar{T}$, tels que, pour tout $T \in (0, \bar{T})$,*

$$ \left( |(x_0, \tilde{\gamma}_0)| < \Delta \right) \Rightarrow \left( |(x(kT), \tilde{\gamma}(kT))| < \bar{\Delta} \quad \forall k \in \mathbb{Z}_{\ge 0} \right), \quad (2.29) $$

de plus,

$$ \limsup_{k \to \infty} |(x(kT), \tilde{\gamma}(kT))| \le \underline{\beta}^{-1} \left( \frac{\sigma}{2a} (2 - \pi) + T^{r+1} \frac{\eta_{\bar{\Delta}}}{a} \right), \quad (2.30) $$

où $\pi$ est n'importe quelle constante dans $(0,1)$, $a = \min\{c, \sigma\alpha\pi\}$, avec $c, \alpha, \underline{\beta}$ (définis dans l'Hypothèse 2.2.1) et $\eta_{\bar{\Delta}}$ est une constante définie dans la preuve.

**Preuve.** Dans un premier temps, le développement en série de Fliess de l'équation aux différences de $V$ est reparamétré en $\gamma$. Ensuite, la fonction de Lyapunov pour le système étendu, $W$, est considérée et la loi d'estimation appliquée. Finalement, la propriété de stabilité désirée est prouvée en invoquant l'Hypothèse 2.4.1.

D'après la Proposition 2.3.1, pour $T$ suffisamment petit :

$$ \begin{aligned} \frac{\Delta V(x)}{T} &= L_{g_1} V(x) u_0 + P_0(\theta, x) + \sum_{s=1}^{r} T^s (L_{g_1} V(x) u_s + P_s(\theta, x, U_{s-1})) \\ &\quad + \mathcal{O}(T^{r+1}) \\ &= L_{g_1} V(x) u_0 + L_{g_0} V(x) \theta + \sum_{s=1}^{r} T^s \left( L_{g_1} V(x) u_s + \sum_{k=1}^{s} \sum_{i=0}^{k+1} p_{iks}(x, U_{s-1}) \theta^i \right) \\ &\quad + \mathcal{O}(T^{r+1}). \end{aligned} \quad (2.31) $$
Puisque $\theta = |\underline{\theta}|e^{\zeta\gamma}$, on a $\theta^i = |\underline{\theta}|^i f_i(\gamma)$ pour $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, par conséquent d'après (2.31),

$$ \frac{\Delta V(x)}{T} = L_{g_1} V(x) u_0 + L_{g_0} V(x) |\underline{\theta}| f_1(\gamma) + \sum_{s=1}^{r} T^s \left( L_{g_1} V(x) u_s + \sum_{k=1}^{s} \sum_{i=0}^{k+1} p_{iks}(x, U_{s-1}) |\underline{\theta}|^i f_i(\gamma) \right) + \mathcal{O}(T^{r+1}), \quad (2.32) $$

ainsi, d'après (2.20) et (2.21),

$$ \frac{\Delta V(x)}{T} = L_{g_1} V(x) u_0 + \bar{p}_0(x) f_1(\gamma) + \sum_{s=1}^{r} T^s \left( L_{g_1} V(x) u_s + \sum_{k=1}^{s} \sum_{i=0}^{k+1} \bar{p}_{iks}(x, U_{s-1}) f_i(\gamma) \right) + \mathcal{O}(T^{r+1}), \quad (2.33) $$

le développement de l'équation aux différences de V est paramétré désormais en $\gamma$.

Considérons la fonction W définie dans l'Hypothèse 2.2.1 avec $\tilde{\gamma} = \gamma - \hat{\gamma}$ :

$$ W(x, \tilde{\gamma}) = V(x) + \frac{1}{2\alpha} \tilde{\gamma}^2, \quad (2.34) $$

où $\alpha \in \mathbb{R}_{>0}$. D'après la loi d'estimation (2.19) le développement de l'équation aux différences de W s'écrit :

$$ \frac{\Delta W(x, \tilde{\gamma})}{T} = L_{g_1} V(x) u_0 + \bar{p}_0(x) (f_1(\gamma) - L_{10}(\hat{\gamma}) \tilde{\gamma}) + \sum_{s=1}^{r} T^s \left[ L_{g_1} V(x) u_s + \sum_{k=1}^{s} \bar{p}_{0ks}(x, U_{s-1}) \right] \\ + \sum_{s=1}^{r} T^s \left[ \sum_{k=1}^{s} \sum_{i=1}^{k+1} \bar{p}_{iks}(x, U_{s-1}) (f_i(\gamma) - L_{is}(\hat{\gamma}) \tilde{\gamma}) \right] - \Gamma(\hat{\gamma}) \tilde{\gamma} \\ + \frac{\alpha T}{2} \left[ \sum_{s=1}^{r} T^s \sum_{k=1}^{s} \sum_{i=1}^{k+1} \bar{p}_{iks}(x, U_{s-1}) L_{is}(\hat{\gamma}) + \bar{p}_0(x) L_{10}(\hat{\gamma}) + \Gamma(\hat{\gamma}) \right]^2 + \mathcal{O}(T^{r+1}). \quad (2.35) $$

En appliquant le Lemme 2.3.1, on obtient :

$$ \frac{\Delta W(x, \tilde{\gamma})}{T} \le L_{g_1} V(x) u_0 + \bar{p}_0(x) S_{10}(\hat{\gamma}) + \sum_{s=1}^{r} T^s \left[ L_{g_1} V(x) u_s + \sum_{k=1}^{s} \bar{p}_{0ks}(x, U_{s-1}) \right] \\ + \sum_{s=1}^{r} T^s \left[ \sum_{k=1}^{s} \sum_{i=1}^{k+1} \bar{p}_{iks}(x, U_{s-1}) S_{is}(\hat{\gamma}) \right] - \Gamma(\hat{\gamma}) \tilde{\gamma} \\ + \frac{\alpha T}{2} \left[ \sum_{s=1}^{r} T^s \sum_{k=1}^{s} \sum_{i=1}^{k+1} \bar{p}_{iks}(x, U_{s-1}) L_{is}(\hat{\gamma}) + \bar{p}_0(x) L_{10}(\hat{\gamma}) + \Gamma(\hat{\gamma}) \right]^2 + \mathcal{O}(T^{r+1}). \quad (2.36) $$

D'après l'Hypothèse 2.4.1, on a alors :

$$ \frac{\Delta W(x, \tilde{\gamma})}{T} \le -cV(x) - \Gamma(\hat{\gamma})\tilde{\gamma} + \frac{\alpha T}{2}\Gamma(\hat{\gamma})^2 + \mathcal{O}(T^{r+1}). \quad (2.37) $$
Sachant que $\Gamma = -\sigma\hat{\gamma}$, $\gamma \in [0,1]$ et $\hat{\gamma} = \gamma - \tilde{\gamma}$,

$$
\begin{align*}
\frac{\Delta W(x, \tilde{\gamma})}{T} &\le -cV(x) + \sigma(\gamma - \tilde{\gamma})\tilde{\gamma} + \frac{\alpha T}{2}\sigma^2(\gamma - \tilde{\gamma})^2 + \mathcal{O}(T^{r+1}) \\
&\le -cV(x) - \left(\sigma - \sigma^2 \frac{\alpha T}{2}\right)\tilde{\gamma}^2 + \left(\sigma - \sigma^2 \alpha T\right)\gamma\tilde{\gamma} + \frac{\alpha T}{2}\sigma^2 + \mathcal{O}(T^{r+1}) \\
&\le -cV(x) - \sigma\left(1 - \sigma \frac{\alpha T}{2}\right)\tilde{\gamma}^2 + \sigma|\gamma\tilde{\gamma}| + \frac{\alpha T}{2}\sigma^2 + \mathcal{O}(T^{r+1}), \tag{2.38}
\end{align*}
$$

en utilisant le fait que $|\gamma\tilde{\gamma}| \le \frac{1}{2}\gamma^2 + \frac{1}{2}\tilde{\gamma}^2$ (Proposition A.1.1),

$$
\frac{\Delta W(x, \tilde{\gamma})}{T} \le -cV(x) - \sigma(1 - \sigma \frac{\alpha T}{2})\tilde{\gamma}^2 + \frac{1}{2}\sigma\gamma^2 + \frac{1}{2}\sigma\tilde{\gamma}^2 + \frac{\alpha T}{2}\sigma^2 + \mathcal{O}(T^{r+1}), \quad (2.39)
$$

par conséquent, puisque $|\gamma| < 1$,

$$
\frac{\Delta W(x, \tilde{\gamma})}{T} \le -cV(x) - \frac{1}{2}\sigma(1 - \sigma\alpha T)\tilde{\gamma}^2 + \frac{1}{2}\sigma(1 + \sigma\alpha T) + \mathcal{O}(T^{r+1}). \quad (2.40)
$$

Prenons $\pi \in (0,1)$, et définissons $a = \min\{c, \sigma\alpha\pi\}$, $T^* = \frac{1-\pi}{\alpha\sigma}$, pour tout $T \in (0, T^*)$, $1-\sigma\alpha T > \pi$, dès lors, pour $T \in (0, T^*)$ suffisamment petit,

$$
\begin{align}
\frac{\Delta W(x, \tilde{\gamma})}{T} &\le -cV(x) - \sigma\pi\alpha \frac{1}{2\alpha} \tilde{\gamma}^2 + \frac{1}{2}\sigma(1 + \sigma\alpha T) + \mathcal{O}(T^{r+1}) \nonumber \\
&\le -aW(x, \tilde{\gamma}) + \frac{1}{2}\sigma(2 - \pi) + \mathcal{O}(T^{r+1}). \tag{2.41}
\end{align}
$$

Pour tout $\Delta \in \mathbb{R}_{>0}$, la notation $\eta_\Delta$ est utilisée pour dénommer un réel positif qui garantit $\mathcal{O}((T^*)^{r+1}) \le (T^*)^{r+1}\eta_\Delta$ dans (2.41), pour $|(x, \tilde{\gamma})| \le \Delta$ ($\eta$ peut être considérée comme une fonction croissante en $\Delta$). Il est maintenant montré que le système (2.8) est semiglobalement borné. Soit $\Delta \in \mathbb{R}_{>0}$, $\bar{\Delta} \in \mathbb{R}_{>0}$ suffisamment grand tel que $\bar{\Delta} > \max\{\underline{\beta}^{-1} \circ \bar{\beta}(\Delta), \underline{\beta}^{-1} (\frac{1}{2a}\sigma(2-\pi))\}$, et $|(x_0, \tilde{\gamma}_0)| \le \Delta$. On définit $\bar{T} = \min\{T^*, \frac{1}{a}, \left(\frac{a\beta(\bar{\Delta})-\frac{1}{2}\sigma(2-\pi)}{\eta_\Delta}\right)^{\frac{1}{r+1}}\}$. Notons $[0, k_{\max}T)$, l'intervalle maximal d'existence du système discrétisé exact (2.8) couplé à la commande et la loi d'estimation considérée, où $k_{\max} \in \mathbb{Z}_{\ge 0} \cup \{\infty\}$. Nous allons montré que $k_{\max} = \infty$ et que pour tout $k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, $|(x(kT), \tilde{\gamma}(kT))| < \bar{\Delta}$ pour $T \in (0, \bar{T})$ suffisamment petit, sachant que $|(x_0, \tilde{\gamma}_0)| \le \Delta$. Puisque les champs de vecteurs du système (2.1) sont analytiques, en prenant $T$ suffisamment petit, la solution du discrétisé exact de (2.1) contrôlé par $u_{sd}^r$ est bien définie à l'instant $t = T$, ainsi d'après (2.41),

$$
W(x(T), \tilde{\gamma}(T)) \le (1 - Ta)W(x_0, \tilde{\gamma}_0) + T \frac{\sigma}{2} (2 - \pi) + T^{r+2} \eta_{\Delta},
$$

puisque $\bar{\Delta} > \underline{\beta}^{-1} \circ \bar{\beta}(\Delta)$, on a $\bar{\Delta} > \Delta$, ainsi

$$
W(x(T), \tilde{\gamma}(T)) \le (1 - Ta)W(x_0, \tilde{\gamma}_0) + T \frac{\sigma}{2} (2 - \pi) + T^{r+2} \eta_{\bar{\Delta}}, \quad (2.42)
$$

d'après (2.3) et puisque $|(x_0, \tilde{\gamma}_0)| \le \Delta < \bar{\Delta}$, on a :

$$
\begin{align}
W(x(T), \tilde{\gamma}(T)) &\le (1 - Ta)\bar{\beta}(\Delta) + T \frac{\sigma}{2}(2 - \pi) + T^{r+2}\eta_{\bar{\Delta}} \nonumber \\
&\le (1 - Ta)\underline{\beta}(\bar{\Delta}) + T \frac{\sigma}{2}(2 - \pi) + T^{r+2}\eta_{\bar{\Delta}}. \tag{2.43}
\end{align}
$$
On peut alors montrer, d'après les définitions de $\bar{\Delta}$ et de $\bar{T}$, que :

$$W(x(T), \tilde{\gamma}(T)) < \underline{\beta}(\bar{\Delta}), \qquad (2.44)$$

et donc :

$$|(x(T), \tilde{\gamma}(T))| < \bar{\Delta}. \qquad (2.45)$$

Il est important de remarquer que l'inégalité (2.45) a été obtenue en utilisant le fait que $|(x_0, \tilde{\gamma}_0)| < \bar{\Delta}$ et non pas $|(x_0, \tilde{\gamma}_0)| \le \bar{\Delta}$. Par conséquent, on en déduit par récurrence que le système discrétisé exact (2.8) est positivement complet, c'est-à-dire $k_{max} = \infty$, et que, pour tout $k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, pour $T \in (0, \bar{T})$ suffisamment petit :

$$|(x(kT), \tilde{\gamma}(kT))| \le \bar{\Delta}, \qquad (2.46)$$

le système (2.8) est donc semiglobalement borné. De plus, on peut montrer que, pour $k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ :

$$W(x(kT), \tilde{\gamma}(kT)) \le (1 - Ta)^k W(x_0, \tilde{\gamma}_0) + \frac{\sigma}{2a}(2 - \pi) + T^{r+1} \frac{\eta \bar{\Delta}}{a}. \qquad (2.47)$$

Ainsi, puisque $(1 - Ta) \in (0,1)$,

$$\limsup_{k \to \infty} W(x(kT), \tilde{\gamma}(kT)) \le \frac{\sigma}{2a}(2 - \pi) + T^{r+1} \frac{\eta \bar{\Delta}}{a}, \qquad (2.48)$$

en d'autres termes,

$$\limsup_{k \to \infty} |(x(kT), \tilde{\gamma}(kT))| \le \underline{\beta}^{-1} \left( \frac{\sigma}{2a}(2 - \pi) + T^{r+1} \frac{\eta \bar{\Delta}}{a} \right). \qquad (2.49)$$

Tous les résultats désirés ont été démontrés. $\square$

On remarque que l'Hypothèse initiale 2.2.1 n'est pas nécessaire pour appliquer le Théorème 2.4.1. Cependant nous verrons par la suite dans quelle mesure elle permet de satisfaire l'Hypothèse 2.4.1 qui est elle un point clef de la preuve ci-dessus.

On constate que l'ensemble compact vers lequel converge l'état étendu du système dans le Théorème 2.4.1 tend vers la boule centrée en l'origine de rayon $\underline{\beta}^{-1}(\frac{\sigma}{2a}(2 - \pi))$ lorsque l'on augmente l'ordre du contrôleur.

**Remarque 2.4.1** On ne peut espérer prouver que $|(x(kT), \tilde{\gamma}(kT))|$ tende vers 0 lorsque $k$ tend vers l'infini, puisqu'il n'y a a priori aucune raison que $\tilde{\gamma}$ converge vers $\gamma$.

**Remarque 2.4.2** D'après la preuve du Théorème 2.4.1, la bornitude des variables du système (2.8), n'est a priori pas garantie avec cette analyse lorsque l'on considère l'émulation directe de la loi de commande adaptative continue (sans $\sigma$-modification dans la loi d'estimation) de l'Hypothèse 2.2.1, même pour $T$ très petit.
## 2.4.2 Méthode de redesign

D'après le Théorème 2.4.1, la condition (2.25) est suffisante pour assurer la bornitude semiglobale des variables du système (2.8) lorsque l'on applique un contrôleur du type (2.5) couplé à la loi d'estimation (2.19). Une telle loi de commande peut être obtenue par récurrence en considérant les termes de droite de (2.25) comme un polynôme en $T$. En effet, résoudre (2.25) revient à résoudre le système d'inégalités suivant :

$$ egin{cases} L_{g_1} V(x)u_0 + \bar{p}_0(x)S_{10}(\hat{\gamma}) \le -cV(x), \\ L_{g_1} V(x)u_1 + \sum_{i=1}^{2} \bar{p}_{i11}(x,u_0)S_{i1}(\hat{\gamma}) + \bar{p}_{011}(x,u_0) \le -\Lambda_1(x,\hat{\gamma}), \\ \vdots \\ L_{g_1} V(x)u_r + \sum_{k=1}^{r} \bar{p}_{0kr}(x,U_{r-1}) + \sum_{k=1}^{r} \sum_{i=1}^{k+1} \bar{p}_{ikr}(x,U_{r-1})S_{ir}(\hat{\gamma}) \le -\Lambda_r(x,U_{r-1},\hat{\gamma}). \end{cases} \quad (2.50) $$

De par la structure triangulaire de (2.50), les $u_s$'s, $s \in \{0, \dots, r\}$ peuvent être déterminés étape après étape. Notons que, d'après l'Hypothèse 2.2.1, la première inégalité de (2.50) est toujours satisfaite (en identifiant $\hat{\theta}$ à $|\theta|S_{10}(\hat{\gamma}))$. Ensuite, $u_1$ est obtenu en résolvant la seconde inégalité, puisque les autres termes ne dépendent que de variables connues $x, \hat{\gamma}, u_0$. En répétant cette procédure pour chaque $u_s$, $s \in \{1, \dots, r\}$, un contrôleur d'ordre $r$ peut être construit. Cette approche repose grandement sur le choix de la fonction $V$ satisfaisant l'Hypothèse 2.2.1, ainsi, lorsque l'on se trouve dans l'impossibilité de résoudre ces inégalités, une fonction de Lyapunov différente peut être une alternative.

Le point clef repose sur la façon de déterminer les $u_s$'s de telle sorte que (2.50) soit satisfaite. Ceci doit être examiné au cas par cas. Lorsque des propriétés de factorisation sont vérifiées, la proposition suivante présente une technique possible de synthèse de contrôleurs.

**Proposition 2.4.1** Soit $r \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, supposons que pour tout $i \in \{0, \dots, r+1\}$, $k,s \in \{1, \dots, r\}$, les $\bar{p}_{iks}$'s puissent être factorisés comme suit :

$$ \bar{p}_{iks}(x, \hat{\gamma}) = L_{g_1} V(x) \tilde{p}_{iks}(x, \hat{\gamma}) \quad (2.51) $$

pour $(x, \hat{\gamma}) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}$. Alors, le système en boucle fermée constitué de (2.8), (2.19) et :

$$ egin{cases} u_s = -\kappa_s \mathrm{sign}(L_{g_1} V(x)) \left| \sum_{k=1}^{s} \tilde{p}_{0ks}(x, U_{s-1}) + \Lambda_s(x, U_{s-1}, \hat{\gamma}) \right| - \sum_{k=1}^{s} \sum_{i=1}^{k+1} \tilde{p}_{iks}(x, U_{s-1}) S_{is}(\hat{\gamma}), \\ u_0 = u_c(x, |\theta|S_{10}(\hat{\gamma})), \end{cases} \quad (2.52) $$

avec $\kappa_s \in \mathbb{R}^+$, $s \in \{1, \dots, r\}$, vérifie les propriétés (2.29) et (2.30).

**Preuve.** Ce résultat est une conséquence directe du Théorème 2.4.1 puisque la condition (2.51) permet au contrôleur (2.52) de satisfaire l'Hypothèse 2.4.1. $\square$
**Remarque 2.4.3** Les premiers termes dans l'expression des $u_s$'s, $s \in \{1, \dots, r\}$, ne sont pas choisis pour compenser le terme correspondant en facteur de $T^s$ dans le développement de l'équation aux différences de la fonction de Lyapunov, mais pour assurer plus de négativité, afin d'améliorer la vitesse de réponse du système comme nous le verrons dans §2.5. Des termes supplémentaires peuvent ainsi être ajoutés dans (2.52).

Il n'est pas toujours possible de résoudre chaque étape de (2.50). Dans un tel cas, le contrôleur pourra être synthétisé afin de rendre aussi faible que possible l'impact des termes d'ordre élevé du développement de la fonction $V$. Dans ce cas, pour $r \in \mathbb{Z}_{>0}$ donné, les termes $u_1, \dots, u_r$ seront choisis par récurrence tels que, pour $s \in \{1, \dots, r\}$:

$$u_s = \arg \min_{|\bar{u}_s| \le U_M} (L_{g_1} V(x) \bar{u}_s + G_s(\hat{\gamma}, x, U_{s-1})), \quad (2.53)$$

où

$$G_1(\hat{\gamma}, x, u_0) = \sum_{i=1}^{2} \bar{p}_{i11}(x, u_0) S_{i1}(\hat{\gamma}) + \bar{p}_{011}(x, u_0) + \Lambda_1(x, \hat{\gamma}) \quad (2.54)$$

et

$$G_s(\hat{\gamma}, x, U_{s-1}) = \sum_{k=1}^{s} \bar{p}_{0ks}(x, U_{s-1}) + \sum_{k=1}^{s} \sum_{i=1}^{k+1} \bar{p}_{iks}(x, U_{s-1}) S_{is}(\hat{\gamma}) + \Lambda_s(x, U_{s-1}, \hat{\gamma}). \quad (2.55)$$

### 2.4.3 Commentaires

Lorsque la condition (2.50) est assurée, les composantes $u_s$'s de la loi de commande obtenue rendent chaque terme du développement en série de la fonction de Lyapunov plus « négatifs ». En conséquence, la vitesse de convergence du système en boucle fermée générale–ment augmente, le domaine d'attraction est élargi et les états convergent vers un plus petit voisinage centré en l'origine, lorsque l'ordre du contrôleur augmente. Cependant, la loi de commande dépend généralement de termes à grand gain (voir les $\kappa_s$'s dans la Proposition 2.4.1 par exemple). En conséquence, le terme $O(T^{r+1})$ qui dépend du signal de commande, peut augmenter et devenir de moins en moins négligeable. Cet aspect doit être pris en compte lorsque l'on synthétise de tels contrôleurs. Toutefois, un contrôleur redésigné avec attention fournit des résultats supérieurs à ceux du blocage d'une loi continue, comme nous le verrons dans la prochaine section.

Concernant le choix des paramètres $\alpha$ et $\sigma$, l'utilisateur est libre. La preuve du Théorème 2.4.1 nous indique qu'un $\alpha$ grand et un $\sigma$ petit permettent de réduire le voisinage de l'origine vers lequel les états convergent, au prix d'un échantillonnage plus rapide.

Un dernier phénomène peut apparaître avec de tels contrôleurs : l'accroissement du dépassement qui peut être atténuer lorsque le système continu vérifie certaines propriétés, voir la condition (ii) de l'Hypothèse 2.2 dans [147].
## 2.5 Exemple numérique

Considérons le système monodimensionnel non linéaire suivant, où $\theta \in [\underline{\theta}, \bar{\theta}]$ est inconnu et $0 < \underline{\theta} < \bar{\theta}$,

$$ \dot{x} = x^2\theta + u. \tag{2.56} $$

Une loi de commande continue est dans un premier temps synthétisée, puis nous nous intéressons au cas où la commande est échantillonnée à une période constante $T \in \mathbb{R}_{>0}$ et maintenue constante entre deux instants d'échantillonnage. Des contrôleurs d'ordre 0 et 1 sont obtenus pour le discrétisé exact de (2.56) d'après la résolution du système d'inégalités équivalent à (2.50).

### 2.5.1 Commande adaptative continue

Considérons la fonction de Lyapunov candidate suivante :

$$ W(x, \tilde{\theta}) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2\alpha}\tilde{\theta}^2, $$

avec $\alpha \in \mathbb{R}^+$, le contrôleur adaptatif suivant peut être choisi (voir Chapitre 1):

$$ \begin{cases} u_c(x, \hat{\theta}) = -cx - \hat{\theta}x^2 \\ \dot{\hat{\theta}} = \alpha x^3, \end{cases} \tag{2.57} $$

où $c \in \mathbb{R}_{>0}$. En effet, il permet d'obtenir, le long des solutions de (2.56),

$$ \dot{W} = x(x^2\theta + u_c) - \dot{\hat{\theta}}\tilde{\theta} = -cx^2. \tag{2.58} $$

L'Hypothèse 2.2.1 est satisfaite et $x$ converge asymptotiquement vers l'origine, d'après le principe d'invariance de LaSalle (Théorème B.1.2).

### 2.5.2 Commande échantillonnée

#### Commande d'ordre zéro

Le nouveau paramètre $\gamma$ est introduit, ainsi, d'après (2.19) (les dépendances sont omises par souci de clarté) :

$$ \hat{\gamma}^{+} = \hat{\gamma} + T\alpha(x\tilde{p}_0(x)L_{10}(\hat{\gamma}) - \sigma\hat{\gamma}), \tag{2.59} $$

avec

$$ \tilde{p}_0(x) = x^2\underline{\theta}. \tag{2.60} $$

Le terme $L_{10}$ est défini dans (2.23) avec $\zeta = \ln(\frac{\hat{\theta}}{\underline{\theta}})$, $f_i(z) = e^{i\zeta z}$ et $\tilde{f}_i(z) = -2z^2 + (f_i(1) + 1)z + 1.2$ pour $z \in \mathbb{R}$, $i \in \{1,2\}$. La loi de commande suivante est proposée, selon la Proposition 2.4.1,

$$ u_{sd}^{0} = -cx - \tilde{p}_{0}(x)S_{10}(\hat{\gamma}), \tag{2.61} $$
où $S_{10}$ est défini dans (2.28).

En accord avec la Remarque 2.4.2, on constate que le contrôleur d'ordre 0 ne correspond pas au blocage de la loi continue à cause de la reparamétrisation.

**Remarque 2.5.1** Puisque la développement de l'équation aux différences de Lyapunov ne change pas la paramétrisation en $\theta$ ici, nous aurions pu déterminer un loi d'estimation en terme de $\theta$ directement et obtenir ainsi, un contrôleur différent en utilisant des techniques similaires à celles développées dans §2.3 et §2.4.

## Commande d'ordre un

On peut montrer que les conditions de la Proposition 2.4.1 sont garanties ici, le contrôleur adaptatif suivant est proposé :

$$ 
\left\{ 
\begin{aligned}
\hat{\gamma}^{+} &= \hat{\gamma} + \alpha T (xT(\tilde{p}_{111}(x,\hat{\gamma})L_{11}(\hat{\gamma}) + \tilde{p}_{211}(x,\hat{\gamma})L_{21}(\hat{\gamma}))) + x\tilde{p}_{0}(x)L_{10}(\hat{\gamma}) - \sigma\hat{\gamma}) \\
u_{0} &= -cx - \tilde{p}_{0}(x)S_{10}(\hat{\gamma}) \\
u_{1} &= -\mu\mathrm{sign}(x)|\lambda_{1}(x,\hat{\gamma})| - \tilde{p}_{111}(x,\hat{\gamma})S_{11}(\hat{\gamma}) - \tilde{p}_{211}(x)S_{21}(\hat{\gamma}) - \tilde{p}_{011}(x,\hat{\gamma}) \\
u_{sd}^{1} &= u_{0} + Tu_{1},
\end{aligned}
\right. 
\qquad (2.62) $$

avec $\mu > 1$,

$$ 
\begin{aligned}
\lambda_1(x, \hat{\gamma}) &= \frac{1}{2}\alpha x^5 \underline{\theta}^2 L_{10}(\hat{\gamma})^2 - \alpha x^2 \underline{\theta} L_{10}(\hat{\gamma}) \sigma \hat{\gamma} \\
\tilde{p}_{011}(x, \hat{\gamma}) &= \frac{1}{2}x(-c - x \underline{\theta} S_{10}(\hat{\gamma}))^2 \\
\tilde{p}_{111}(x, \hat{\gamma}) &= 2xu_0(x, \hat{\gamma}) \underline{\theta} \\
\tilde{p}_{211}(x) &= \frac{3}{2}x^3 \underline{\theta}^2,
\end{aligned} 
\qquad (2.63) $$

les $S_{is}$ et $L_{is}$ sont respectivement définis dans (2.27) et (2.22) avec les mêmes $f_1$ et $\tilde{f}_1$ que pour la commande d'ordre d'ordre 0.

### 2.5.3 Simulations

Différentes simulations sont présentées pour lesquelles seule la période d'échantillonnage varie. Dans chacun des cas, quatre contrôleurs sont considérés : le continu (2.57), l'émulation du continu, celui d'ordre 0 (2.59), (2.61) et celui d'ordre 1 (2.62). Les valeurs suivantes sont prises : $c = 1$, $\alpha = 1$, $\theta = 0.6$ ($\gamma = 0.6826$), $\underline{\theta} = 0.2$, $\bar{\theta} = 1$, $\sigma = 0.5$, $x(0) = -5$, $\hat{\gamma}(0) = 0.5$, $\hat{\theta}(0) = -0.5$.

Premièrement, pour $T = 0.3$, la Figure 2.1 montre que tous les contrôleurs échantillonnés assurent la convergence de l'état $x$ vers un voisinage de l'origine. Les contrôleurs d'ordre 0 et 1 fournissent des réponses similaires, à ceci près qu'avec l'ordre 1, $x$ converge plus rapidement, tandis que l'émulation présente un fort dépassement, potentiellement néfaste pour le système.
Concernant l'évolution des variables $\tilde{\theta}$ et $\tilde{\gamma}$, on observe bien que celles-ci ne convergent pas vers zéro. On remarque également que le loi continue et son blocage convergent vers des valeurs très différentes : cet écart est entièrement dû à l'échantillonnage. En effet, plus la période $T$ diminue, plus l'émulation tendra vers le continu (nous l'avons vérifié en simulation).

Dans un second temps, la période d'échantillonnage a été augmentée : $T = 0.5$. Dans ce cas, on constate, Figure 2.2, que le blocage de la loi continue ne stabilise plus le système contrairement aux contrôleurs d'ordre 0 et 1. De plus, le contrôleur d'ordre 1 fournit des performances supérieures à celui d'ordre 0 en terme de vitesse de convergence et de dépassement. En prenant la période d'échantillonnage $T = 0.8$, on observe, Figure 2.3, que seul le contrôleur d'ordre 1 est capable de stabiliser le système.

En résumé, ces simulations justifient la construction proposée dans §2.4.2 puisqu'il est montré qu'en augmentant l'ordre du contrôleur, de plus grandes périodes d'échantillonnage peuvent être choisies, ce qui permet en pratique de diminuer la consommation d'énergie de la structure de commande. De plus, ces contrôleurs ont permis ici d'améliorer la vitesse de convergence de l'état et de diminuer le dépassement. La supériorité potentielle des contrôleurs d'ordre 0 sur le simple blocage de la loi continue a également été constatée.

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIG. 2.1 – *Simulations pour $x(0) = -5$ et $T = 0.3$*</figcaption></figure>
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIG. 2.2 – Simulations pour $x(0) = -5$ et $T = 0.5$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIG. 2.3 – Simulations pour $x(0) = -5$ et $T = 0.8$</figcaption></figure>
## 2.6 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons étendu la technique de redesign de type grand gain proposée dans [147], au cas où un paramètre inconnu affecte les dynamiques du système. Une loi de commande adaptative directe de Lyapunov est synthétisée à partir de l'analyse de du développement en série de Fliess de l'équation aux différences de la fonction de Lyapunov continu. Le problème de la paramétrisation polynomiale est contourné, non pas à l'aide d'une surparamétrisation, mais en reparamétrant la série. Une unique loi d'estimation est alors développée à partir de laquelle des conditions suffisantes sur le contrôleur d'ordre r sont déduites. Lorsque toutes les hypothèses sont validées, le discrétisé exact du système est semiglobalement borné et l'état étendu converge asymptotiquement vers une boule centrée en l'origine. Il est ensuite expliqué comment les hypothèses sur le contrôleur peuvent être utilisées afin de synthétiser une loi de commande d'ordre élevé. Une des techniques de redesign proposées est ainsi appliquée sur un exemple numérique. On constate qu'en augmentant l'ordre du contrôleur, les contraintes sur la période d'échantillonnage sont relaxées et la vitesse de convergence du système améliorée.

Une des principales difficultés techniques de cette étude est l'absence de principe d'invariance de LaSalle pour le type de système considéré. En effet, en temps continu, ce dernier est généralement utilisé pour conclure quant à la stabilité des systèmes contrôlés par des lois de commande adaptative directes de Lyapunov. Pour cette raison, la propriété de stabilité obtenue dans ce chapitre ne permet pas de distinguer le vecteur d'état du système et l'estimé du paramètre. Cependant, les résultats obtenus en simulation indique le vecteur d'état converge effectivement vers une zone proche de l'origine, tandis que l'estimé tend vers une valeur constante. Le développement d'un principe d'invariance de LaSalle pour les systèmes discrets paramétrés incertains reste un problème ouvert qui permettrait d'affiner les résultats de ce chapitre.
# Chapitre 3

# Backstepping robuste échantillonné

## 3.1 Introduction

Après nous être intéressés à la commande échantillonnée de systèmes aux paramètres incertains, nous considérons, dans ce chapitre, le cas des incertitudes de modèle et/ou des perturbations exogènes pour une nouvelle classe de systèmes, toujours à l'aide de fonctions de Lyapunov. La technique de commande considérée est de type backstepping. Il s'agit d'une méthode constructive non linéaire adaptée aux systèmes ayant une structure de type triangulaire inférieure (cf. [101], Chapitre 6 dans [172] et les références qui y sont citées). Nous en rappelons le principe pour les systèmes sous forme strict-feedback suivants d'ordre $n$, $n \in \mathbb{Z}_{>0}$:

$$ egin{cases} 
\dot{x}_1 = f_1(x_1,x_2) \\
\dot{x}_2 = x_3 + f_2(x_1,x_2) \\
\dot{x}_3 = x_4 + f_3(x_1,x_2,x_3) \\
\vdots \\
\dot{x}_n = u + f_n(x_1, \dots, x_n). 
\end{cases} 
\quad (3.1) $$

La synthèse du contrôleur s'effectue en $n$ étapes. A la première, uniquement le sous-système $\dot{x}_1 = f_1(x_1,x_2)$ est considéré. Supposant que $x_2$ soit un signal de commande, un contrôleur virtuel $x_2 = \alpha_1(x_1)$ est déterminé afin de garantir la stabilité globale asymptotique de l'origine, à l'aide d'une fonction de Lyapunov $V_1(x_1)$. Puisqu'en réalité $x_2$ n'est pas une commande, l'erreur $z_2 = x_2 - \alpha_1(x_1)$ est introduite afin d'analyser l'évolution entre sa valeur réelle et celle désirée. A la seconde étape, le sous-système, dont l'état est $(x_1,z_2)$ et la commande $x_3$ est étudié. En suivant la même procédure qu'à l'étape précédente, une loi de commande virtuelle $\alpha_2(x_1,z_2)$ est attribuée à $x_3$ à l'aide de la fonction de Lyapunov $V_2(x_1,z_2) = V_1(x_1) + \frac{1}{2}z_2^2$. L'erreur $z_3 = x_3 - \alpha_2(x_1,z_2)$ est ensuite introduite. Après $n$ étapes, une loi de commande, $u$, et une fonction de Lyapunov, $V(x) = V_1(x_1) + \frac{1}{2} \sum_{i \in \{2, \dots, n\}} z_i^2$, sont obtenues et la stabilité globale asymptotique de l'origine du système bouclé de coordonnées $(x_1,z_2, \dots, z_n)$ est garantie. Une brève analyse du changement de variables de $(x_1,z_2, \dots, z_n)$ à $(x_1,x_2, \dots, x_n)$ permet de déduire
des propriétés de stabilité pour le système (3.1) sous sa forme initiale.

Comme nous l'avons évoqué au cours du Chapitre 1, depuis son développement au début des années 1990, le *backstepping* a été employé dans de nombreuses applications comme la commande de machines électriques [193], de véhicules [208], de suspensions actives, de turboréacteurs [105], de bateaux [61], ou encore la synchronisation de systèmes chaotiques [201]. Dans la majorité des cas, le contrôleur est implémenté numériquement. Afin d'améliorer les performances obtenues par émulation, l'étude de la commande par *backstepping* échantillonné de systèmes sous forme *strict-feedback* est réalisée par l'approche DTD dans [153]. A partir de l'approximé discret d'Euler, des retours d'état sont synthétisés permettant généralement d'élargir le domaine d'attraction et d'augmenter la vitesse de convergence, comparés au blocage de la loi continue (pour une période d'échantillonnage donnée). Le cas des approximations d'ordre supérieur est traité dans [29] pour la même classe de systèmes.

Dans ce chapitre, nous considérons le cas où les systèmes étudiés dans [153] sont affectés par des termes inconnus représentant des incertitudes de modèle et/ou des perturbations extérieures. Le but est de synthétiser des lois de commande discrètes assurant des propriétés de robustesse pour l'approximé d'Euler. Contrairement au Chapitre 2, nous ne considérons pas d'approximation d'ordre supérieur. Ce choix se justifie par le fait qu'il faudrait, pour cela, que les termes incertains vérifient des propriétés très restrictives donc peu réalistes (cf. §3.6.2). L'impact des perturbations induites par l'utilisation d'actionneurs à dynamiques rapides, sur le blocage d'une commande par *backstepping* a été étudié dans [97]. Les perturbations considérées ici sont beaucoup moins restrictives et le problème, de manière générale, est différent puisqu'il s'agit véritablement de proposer de nouveaux contrôleurs et non d'étudier la robustesse d'une loi continue bloquée. Deux objectifs sont ainsi satisfaits : la stabilisation entrée-état et la compensation des perturbations, lorsque celles-ci vérifient certaines conditions.

La stabilité entrée-état a été introduite en temps continu dans [180] puis en temps discret dans [87]. Dans [196], il est prouvé que cette propriété est préservée par émulation, dans un sens semiglobale et pratique, pour des fréquences d'échantillonnage suffisamment élevées. La notion de semiglobalité signifie que la période d'échantillonnage dépend de la boule dans laquelle se trouvent les conditions initiales et où évoluent les signaux de perturbations. Le terme pratique traduit le fait que la propriété de convergence du continu est maintenue à une erreur résiduelle près, que l'on peut diminuer autant que désiré en ajustant la période d'échantillonnage. Ces travaux reposent sur l'utilisation de fonctions de Razumikhin communément employées pour étudier la stabilité des systèmes à retard. Une approche alternative est proposée dans [109] pour le même problème. Dans [108], des conditions suffisantes pour que la stabilité entrée-état d'un modèle discret approximé soit maintenue pour le discrétisé exact sont énoncées. Ces résultats ont ensuite été étendus aux systèmes à temps variant dans [107] où la stabilisation entrée-état de modèles approximés de systèmes perturbés non holonomes sous forme de puissance est proposée puis appliquée à plusieurs classes de robots.
Comme dans [107, 108], les résultats de notre étude se basent sur le cadre méthodologique de [150]. Considérant l’approximé d’Euler des systèmes considérés, un retour d’état entrée-état stabilisant est développé à l’aide des théorèmes de stabilité de [108], pour des perturbations bornées et mesurables au sens de Lebesgue. Lorsque que des informations sur les bornes des termes incertains sont disponibles et vérifient certaines propriétés, une classe de retours d’état est synthétisée afin de compenser leurs effets. Cette dernière peut être vue comme un redesign des lois de commande continu de type hard de [55]. Il est ainsi montré, sur un exemple, que les contrôleurs proposés améliorent certaines performances comparés au blocage des lois de [55].

Ce chapitre est organisé de la façon suivante. Dans un premier temps, des définitions et théorèmes relatifs à la stabilité entrée-état des systèmes à données échantillonnées sont rappelés dans §3.2. Après avoir énoncé la problématique dans §3.3, la stabilisation entrée-état est ensuite réalisée dans §3.4. La stabilisation semiglobale pratique asymptotique est garantie lorsque les incertitudes sont bornées par des termes appropriés dans §3.5. Une discussion sur de possibles extensions de cette étude est proposée dans §3.6. Enfin, un exemple numérique est présenté afin d’illustrer les résultats obtenus dans §3.7.

## 3.2 Stabilité entrée-état des systèmes à données échantillonnées

Soit le système non linéaire suivant :

$$ \dot{x}(t) = f(x(t),u(t),d(t)), \qquad (3.2) $$

où $x \in \mathbb{R}^n$ est le vecteur d'état, $u \in \mathbb{R}^m$ celui d'entrée et $d \in \mathbb{R}^m$ un vecteur de perturbations exogènes. La fonction $f$ est telle que $f(0,0,0) = 0$. La fonction $d$ est mesurable au sens de Lebesgue et la commande $u$ est échantillonnée à une période fixe donnée $T \in \mathbb{R}_{>0}$. Un bloqueur d'ordre zéro est utilisé afin de convertir le signal discret du contrôleur en un signal continu. Le système discrétisé exact de (3.2) est donné par, sur $[kT,(k+1)T)$ pour $k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$,

$$ x((k+1)T) = F_T^e(x(kT),u(kT),d[kT]), \qquad (3.3) $$

où $d[kT] = \{d(t) : t \in [kT,(k+1)T)\}$. En général, l'expression analytique de $F_T^e$ n'est pas connue puisqu'il faudrait, pour cela, résoudre un problème de Cauchy non linéaire, ce qui est d'autant plus difficile voire impossible compte tenu du fait que $F_T^e$ dépend de perturbations (voir §5.2 dans [107]). Pour ces raisons, nous considérons un modèle discret approximé de (3.2) :

$$ x((k+1)T) = F_T^a(x(kT),u(kT),d[kT]). \qquad (3.4) $$

Le problème est alors de savoir si les propriétés de stabilité obtenues pour (3.4) sont satisfaites par le discrétisé exact. Après avoir rappelé quelques définitions, un théorème faisant le lien entre la stabilité de ces deux systèmes est présenté.
La définition suivante étend semiglobalement et pratiquement la notion classique de stabilité (globale) entrée-état des systèmes discrets [87] aux systèmes discrets paramétrés.

**Définition 3.2.1 (Stabilité entrée-état semiglobale pratique [108])** Le système (3.4) est dit **SP-SEE** (semiglobalement pratiquement stable entrée-état) s'il existe $\beta \in \mathcal{KL}$ et $\gamma \in \mathcal{K}$ telles que pour tout $\Delta_x, \Delta_d, \delta \in \mathbb{R}_{>0}$, il existe $T^* \in \mathbb{R}_{>0}$ telle que, les solutions de (3.4) satisfont, pour tout $T \in (0,T^*)$, $|x_0| \le \Delta_x$ et $d \in \mathcal{L}_\infty$ avec $\|d\|_\infty \le \Delta_d$, et $k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$:

$$|x(k,x_0,d)| \le \beta(|x_0|,k) + \gamma(\|d\|_{\infty}) + \delta. \quad (3.5)$$

Lorsque l'on a :

$$|x(k,x_0,d)| \le \beta(|x_0|,k) + \delta, \quad (3.6)$$

le système (3.4) est dit **SP-AS** (semiglobalement pratiquement asymptotiquement stable).

La définition ci-dessous permet de caractériser la **Définition 3.2.1** à l'aide de fonctions de Lyapunov.

**Définition 3.2.2 (Stabilité entrée-état semiglobale pratique de Lyapunov [108])** Le système (3.4) est **Lyapunov SP-SEE** s'il existe une famille paramétrée de fonctions $V_T$ : $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ telle qu'il existe $\alpha_i \in \mathcal{K}_\infty$, $i \in \{1, \dots, 3\}$, $\gamma \in \mathcal{K}$, et pour tout $\Delta_x, \Delta_d, \delta_1, \delta_2 \in \mathbb{R}_{>0}$, il existe $T^*, L \in \mathbb{R}_{>0}$ tels que pour tout $T \in (0,T^*)$, $|x| \le \Delta_x$ et $d \in \mathcal{L}_\infty$ avec $\|d\|_\infty \le \Delta_d$ les propriétés suivantes sont satisfaites, $k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$:

$$\alpha_1(|x|) \le V_T(x) \le \alpha_2(|x|) \quad (3.7)$$

$$\frac{1}{T} [V_T(F_T^a(x(kT),u(kT),d[kT])) - V_T(x)] \le -\alpha_3(|x|) + \gamma(\|d\|_{\infty}) + \delta_1, \quad (3.8)$$
et, pour tout $(x_1,x_2,z) \in \mathbb{R}^{3n}$ avec $|(x_1,z)|,|(x_2,z)| \in [\delta_2,\Delta_x]$ et tout $T \in (0,T^*)$,

$$|V_T(x_1,z) - V_T(x_2,z)| \le L|x_1 - x_2|. \quad (3.9)$$

De plus, si $d=0$, système (3.4) est dit **Lyapunov SP-AS**. La paire $(u,V_T)$ est appelée une paire **SP-EE(SP-A)** stabilisante.

N'importe quelle approximation discrète de (3.3) ne peut être considérée. Il faut en effet que celle-ci soit suffisamment « fidèle » au véritable modèle discret au sens défini ci-dessous.

**Définition 3.2.3 (Approximation fortement consistante [108])** La famille de systèmes (3.4) est **fortement consistante** avec (3.3) si, pour tout $\Delta_x, \Delta_u, \Delta_d \in \mathbb{R}_{>0}$, il existe $\rho \in \mathcal{K}_\infty$ et $T^* \in \mathbb{R}_{>0}$ tels que, pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, $u \in \mathbb{R}^m$, $d \in \mathcal{L}_\infty$ où $|x| \le \Delta_x$, $|u| \le \Delta_u$, $\|d\|_\infty \le \Delta_d$,

$$|F_T^e(x,u,d) - F_T^a(x,u,d)| \le T\rho(T). \quad (3.10)$$

**Remarque 3.2.1** Dans [108], la notion d'approximation faiblement consistante est également introduite. Elle relaxe les conditions de la définition précédente mais requiert des hypothèses supplémentaires lors de l'analyse de stabilité. Nous ne l'utiliserons pas par la suite.
Nous nous intéresserons, dans notre étude, à l'approximation d'Euler de la classe de systèmes étudiée. Dans le cas général où le signal exogène $d$ est élément de $\mathcal{L}_{\infty}^{n+1}$, l'approximation suivante sera considérée, pour $k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$:

$$x((k+1)T) = x(kT) + \int_{kT}^{(k+1)T} f(x(kT),u(kT),d(s)) \, ds. \qquad (3.11)$$

Lorsque $d$ est continûment dérivable (comme dans §3.5), le modèle approximé d'Euler peut prendre la forme suivante, pour $k \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$:

$$x((k+1)T) = x(kT) + T f(x(kT),u(kT),d(kT)). \qquad (3.12)$$

Il n'est pas nécessaire de connaître l'expression analytique du discrétisé exact afin de prouver qu'une approximation est fortement consistante. Des conditions suffisantes sont par exemple proposées dans la Proposition 1.5 de [112]. Dans notre cas, si l'on nomme les approximés d'Euler de (3.11) et (3.12) respectivement $F_T^{Euler,1}$ et $F_T^{Euler,2}$, on peut voir que $F_T^e = F_T^{Euler,i} + \mathcal{O}(T^2)$, $i \in \{1,2\}$, et que, par définition des grand « $\mathcal{O}$ », (3.10) est satisfait. Ces approximations sont donc fortement consistantes avec (3.3).

En conséquence, les propriétés de stabilité de (3.3) peuvent être déduites de l'analyse de la stabilité de (3.4) (de manière équivalente de (3.11) ou (3.12)) d'après le théorème suivant qui est une conséquence directe du Théorème 3.2 dans [108].

**Théorème 3.2.1** Si le système (3.4) est Lyapunov SP-SEE (SP-AS) et si l'entrée est localement uniformément bornée, c'est-à-dire que pour tout $\Delta_x \in \mathbb{R}_{>0}$ il existe $T^*$, $\Delta_u \in \mathbb{R}_{>0}$ tels que, pour tout $T \in (0,T^*)$ et $|x| \le \Delta_x$ on a

$$|u_T(x)| \le \Delta_u, \qquad (3.13)$$

alors le système discrétisé exact (3.3) est également SP-SEE (SP-AS).

Les propriétés de stabilité du système à données échantillonnées original (3.2) peuvent ensuite être déduites de celles du discrétisé exact sous de faibles conditions, cf. [155].

## 3.3 Problématique

L'objectif de ce chapitre est de synthétiser des lois de commande qui garantissent des propriétés de stabilité semiglobale pour les systèmes sous forme strict-feedback :

$$\dot{\eta} = f(\eta) + g(\eta)\xi + d_1 \qquad (3.14)$$

$$\dot{\xi} = u + d_2, \qquad (3.15)$$

où $x = (\eta, \xi) \in \mathbb{R}^{n+1}$ avec $\eta \in \mathbb{R}^n$ et $\xi \in \mathbb{R}$, est le vecteur d'état, $u \in \mathbb{R}$ celui d'entrée qui est échantillonné et bloqué à une période constante $T \in \mathbb{R}_{>0}$. Les champs de vecteur $f \in C^1(\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$ et $g \in C^1(\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$ sont supposés connus et $f(0) = 0$. Le vecteur $d = (d_1, d_2) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n+1}$
est lui inconnu et représente les incertitudes ou perturbations affectant les dynamiques du système.

Deux classes de retours d'état seront développés : l'une assurant la stabilité entrée-état vis-à-vis des perturbations, l'autre leur compensation sous certaines conditions. Il sera montré que les contrôleurs synthétisés sont reconstruits par rapport au simple blocage de la loi de commande continue, c'est-à-dire qu'une partie correspondra au continu et une autre sera purement le fruit de l'analyse en temps discret.

**Remarque 3.3.1** La classe de systèmes (3.14)-(3.15) peut paraître restrictive par rapport à (3.1), toutefois les méthodes proposées s'y appliquent comme nous le verrons dans §3.6.1.

## 3.4 Stabilisation entrée-état semiglobale pratique

Dans cette section, des retours d'état sont développés afin de garantir la stabilité entrée-état du système approximé, et par conséquent du discrétisé exact, vis-à-vis des perturbations. L'approximation d'Euler suivante du système à données échantillonnées (3.14)-(3.15) est étudiée :

$$ \eta^+ = \eta + T(f(\eta) + g(\eta)\xi) + \tilde{d}_1 \quad (3.16) $$

$$ \xi^+ = \xi + Tu + \tilde{d}_2, \quad (3.17) $$

où $\tilde{d}_i = \int_{kT}^{(k+1)T} d_i(s) \, ds$, $i \in \{1,2\}$. A noter que (3.16) et (3.17) sont toutes deux des « équations fonctionnelles aux différences » et non des « équations de fonctions aux différences » de par la dépendance en $\tilde{d}_1$ et $\tilde{d}_2$.

Avant d'énoncer le résultat principal de cette section, les conditions suivantes sont supposées vérifiées. Elles stipulent qu'une commande virtuelle et une fonction de Lyapunov suffisamment régulières sont connues pour le système (3.16) avec $\xi$ comme entrée, qui forment une paire SP-SEE. Cela signifie que les étapes précédentes du backstepping (cf. §3.1) sont d'ores et déjà réalisées et que seule reste la construction de la loi de commande $u$ à proprement parler.

**Hypothèse 3.4.1** Il existe $\hat{T} \in \mathbb{R}_{>0}$ et une paire SP-SEE $(\bar{\xi}_T, W_T)$ définie pour chaque $T \in (0, \hat{T})$ pour le sous-système (3.16) avec $\xi \in \mathbb{R}$ vu comme un signal de commande. Supposons également que :

(1) $\bar{\xi}_T$ et $W_T$ soient deux fois dérivables pour tout $T \in (0, \hat{T})$;

(2) il existe $\tilde{\phi} \in K_\infty$ telle que $|\bar{\xi}_T(\eta)| \le \tilde{\phi}(|\eta|)$ pour tout $\eta \in \mathbb{R}^n$, $T \in (0, \hat{T})$;

(3) pour tout $\tilde{\Delta} > 0$ il existe une paire de réels strictement positifs $(\tilde{T}, \tilde{M}_1)$ telle que pour chaque $T \in (0, \tilde{T})$ et $|\eta| \le \tilde{\Delta}$,

$$ \max\{|\frac{\partial W_T}{\partial \eta}|, |\frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta}|, |\frac{\partial^2 \bar{\xi}_T}{\partial \eta^2}|, |\frac{\partial^2 W_T}{\partial \eta^2}|, |\frac{\partial}{\partial \eta}|\frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta}|^2|\} \le \tilde{M}_1. \quad (3.18) $$
Le théorème principal de cette section est énoncé.

**Théorème 3.4.1** *Supposons que l’Hypothèse 3.4.1 soit vérifiée, définissons, avec $c \in \mathbb{R}_{>0}$,*

$$ u_T(x) = -(c+1-cT)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) + \frac{\bar{\xi}_T(\eta_0^+) - \bar{\xi}_T(\eta)}{T} - \left(\frac{\partial W}{\partial \eta}(\bar{\eta}_0^+)\right)^T g(\eta) \\ -(1-cT)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))\left|\frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta}(\eta_0^+)\right|^2, \qquad (3.19) $$

où $\bar{\eta}_0^+ = \eta + T[f(\eta) + g(\eta)\bar{\xi}_T]$, $\eta_0^+ = \eta + T[f(\eta) + g(\eta)\xi]$, alors le système (3.14)-(3.15) contrôlé par (3.19) est SP-SEE.

**Preuve.** Soient $\Delta, \Delta_d, \delta \in \mathbb{R}_{>0}$, $x = (\eta, \xi) \in \mathbb{R}^{n+1}$, $d = (d_1, d_2) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n+1}$ tels que $|x| \le \Delta$ et $\|d\|_{\infty} \le \Delta_d$. D'après l'Hypothèse 3.4.1, il existe $\hat{T} \in \mathbb{R}_{>0}$ tel que (3.8) est satisfait pour $T \in (0, \hat{T})$ avec $\delta_1 = \frac{\delta}{2}$, $\gamma = \gamma_1 \in \mathcal{K}$, considérant le système (3.16) avec $\xi = \bar{\xi}_T$ comme entrée. Soit $\Delta_1 = \sup_{|x|\le\Delta, \|d\|_{\infty}\le\Delta_d} \max\{|\eta^+|, |\eta_0^+|, |\bar{\eta}_0^+|, |\bar{\eta}^+|\}$ (où $\bar{\eta}^+ = \eta + T[f(\eta) + g(\eta)\bar{\xi}_T] + \tilde{d}_1$), qui est bien défini puisque les fonctions $f, g, \bar{\xi}_T$ sont continues et $d_1 \in \mathcal{L}_{\infty}^n$. Soit $\bar{\Delta} = \max\{\Delta, \Delta_1\}$ qui génère $(\hat{T}, \tilde{M}_1)$ tel que la condition (3) de l'Hypothèse 3.4.1 est vérifiée. Soit $\tilde{M} = \sup_{|x|\le\Delta, \|d\|_{\infty}\le\Delta_d} \max\{|\xi - \bar{\xi}_T|, |f(\eta) + g(\eta)\xi|, \tilde{M}_1, |g(\eta)|, \Delta_d\}$, qui est également bien défini grâce à la continuité des fonctions considérées sur ce compact. La période d'échantillonnage $\bar{T}$ est définie par $\bar{T} = \min\{\hat{T}, \hat{T}, \frac{\delta}{2}\hat{M}^{-1}, \frac{1}{c}\}$ où $\hat{M} = \hat{M}^2((\tilde{M}^2 + 2\tilde{M} + 2)^2 + c\tilde{M} + 2\hat{M}^2)$. Prenons $T \in (0, \bar{T})$ et définissons :

$$ V_T(\eta, \xi) = W_T(\eta) + \frac{1}{2}(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2. \qquad (3.20) $$

La condition (3.7) est bien vérifiée, cf. [153]. Il est maintenant montré que l'inégalité (3.8) est satisfaite. Ainsi,

$$ \Delta V_T = W_T(\eta^+) - W_T(\eta) + \frac{1}{2}(\xi + Tu_T + \tilde{d}_2 - \bar{\xi}_T(\eta^+))^2 - \frac{1}{2}(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2. \qquad (3.21) $$

On peut prouver, à l'aide du théorème de la valeur moyenne, qu'avec $\eta^{\diamond} = \bar{\eta}^+ + T\theta_1 g(\eta)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))$ et $\theta_1 \in (0,1)$,

$$ \begin{aligned} W_T(\eta^+) - W_T(\eta) &= W_T(\bar{\eta}^+) - W_T(\eta) + W_T(\eta^+) - W_T(\bar{\eta}^+) \\ &= W_T(\bar{\eta}^+) - W_T(\eta) + \left(\frac{\partial W}{\partial \eta}(\eta^{\diamond})\right)^T T g(\eta)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)). \end{aligned} \qquad (3.22) $$
D'après (3.21) et en nommant $\Delta W_T = W_T(\bar{\eta}^+) - W_T(\eta)$,

$$
\begin{align*}
\Delta V_T &= \Delta W_T + \left(\frac{\partial W}{\partial \eta}(\eta^\diamond)\right)^\mathrm{T} T g(\eta) (\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) - \frac{1}{2}(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 \\
&\quad + \frac{1}{2}(\xi + T u_T + \tilde{d}_2 - \bar{\xi}_T(\eta^+))^2 \\
&= \Delta W_T + \left(\frac{\partial W}{\partial \eta}(\eta^\diamond)\right)^\mathrm{T} T g(\eta) (\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) - \frac{1}{2}(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 \\
&\quad + \frac{1}{2}\left((1 - cT - T(1 - cT))(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) - T\left(\frac{\partial W}{\partial \eta}(\bar{\eta}_0^+)\right)^\mathrm{T} g(\eta)\right. \\
&\qquad \left. - T(1 - cT)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))\left|\frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta}(\bar{\eta}_0^+)\right|^2 + \tilde{d}_2 + \bar{\xi}_T(\eta_0^+) - \bar{\xi}_T(\eta^+)\right)^2 \\
&= \Delta W_T + \left(\frac{\partial W}{\partial \eta}(\eta^\diamond)\right)^\mathrm{T} T g(\eta) (\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) - cT(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 \\
&\quad + c^2 \frac{T^2}{2}(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 + (1 - cT)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))\Lambda + \frac{1}{2}\Lambda^2,
\end{align*}
$$

où

$$
\Lambda = -T(1-cT)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) - T \left(\frac{\partial W}{\partial \eta}(\bar{\eta}_0^+)\right)^{\mathrm{T}} g(\eta) \\
\qquad -T(1-cT)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) \left|\frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta}(\eta_0^+)\right|^2 + \tilde{d}_2 + \bar{\xi}_T(\eta_0^+) - \bar{\xi}_T(\eta^+). \tag{3.23}
$$

Grâce au théorème de la valeur moyenne, on obtient :

$$
\begin{align}
-T(1-cT)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) \left(\frac{\partial W}{\partial \eta}(\bar{\eta}_0^+)\right)^{\mathrm{T}} g(\eta) + \left(\frac{\partial W}{\partial \eta}(\eta^\diamond)\right)^{\mathrm{T}} T g(\eta) (\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) \nonumber \\
&\le T(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) \left(\frac{\partial W}{\partial \eta}(\eta^\diamond) - \frac{\partial W}{\partial \eta}(\bar{\eta}_0^+)\right)^{\mathrm{T}} g(\eta) + cT^2 \tilde{M}^3 \tag{3.24} \\
&\le (c\tilde{M} + \tilde{M}^2)T^2 \tilde{M}^2. \nonumber
\end{align}
$$

En majorant $\Lambda^2$ par $T^2 \tilde{M}^2 (2 + 2\tilde{M} + \tilde{M}^2)^2$ et toujours avec le théorème de la valeur moyenne, on a :

$$
\begin{align}
\Delta V_T \le {}& \Delta W_T - cT(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 \nonumber \\
& + (1-cT)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) (\bar{\xi}_T(\eta_0^+) - \bar{\xi}_T(\eta^+) - T(1-cT)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) \nonumber \\
& - T(1-cT)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) \left|\frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta}(\eta_0^+)\right|^2 + \tilde{d}_2) \nonumber \\
& + T^2 \tilde{M}^2 \left((\tilde{M}^2 + 2\tilde{M} + 2)^2 + c\tilde{M} + \tilde{M}^2\right). \tag{3.25}
\end{align}
$$

Le terme $\bar{\xi}_T(\eta_0^+) - \bar{\xi}_T(\eta^+)$ peut être écrit, à l'aide du théorème de la valeur moyenne, comme
$\left(\frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta}(\eta^*)\right)^T \tilde{d}_1$, où $\eta^* = \eta + T(f(\eta) + g(\eta)\xi) + \theta_2 \tilde{d}_1$, et $\theta_2 \in (0,1)$. Par conséquent,

$$
\begin{align}
\Delta V_T \le \Delta W_T - cT(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 & \nonumber \\
& + (1-cT)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) \left( \left( \frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta}(\eta^*) \right)^T \tilde{d}_1 - T(1-cT)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) \right. \nonumber \\
& \qquad \left. - T(1-cT)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) \left| \frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta}(\eta_0^+) \right|^2 + \tilde{d}_2 \right) \nonumber \\
& + T^2 \tilde{M}^2 \left( (\tilde{M}^2 + 2\tilde{M} + 2)^2 + c\tilde{M} + \tilde{M}^2 \right), \tag{3.26}
\end{align}
$$

en utilisant la Propriété A.1.1 et le fait que $|\tilde{d}_i| \le T \|d_i\|_{\infty}$ pour $i \in \{1,2\}$,

$$
\begin{align}
\Delta V_T \le \Delta W_T - cT(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 &+ T \|d_2\|_{\infty}^2 + T(1-cT)^2(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 \left| \frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta}(\eta^*) \right|^2 \nonumber \\
&+ T \|d_1\|_{\infty}^2 - T(1-cT)^2(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 \left| \frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta}(\eta_0^+) \right|^2 \nonumber \\
&+ T^2 \tilde{M}^2 \left( (\tilde{M}^2 + 2\tilde{M} + 2)^2 + c\tilde{M} + \tilde{M}^2 \right), \tag{3.27}
\end{align}
$$

d'après le théorème de la valeur moyenne, puisque la fonction $\zeta : z \mapsto |\frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta}(z)|^2$ est continûment dérivable,

$$
\begin{align}
\Delta V_T \le \Delta W_T - cT(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 &+ T \|d_2\|_{\infty}^2 \nonumber \\
&+ T(1-cT)^2(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 \frac{\partial \zeta}{\partial \eta}(\eta^{**}) \theta_2 \tilde{d}_1 + T \|d_1\|_{\infty}^2 \nonumber \\
&+ T^2 \tilde{M}^2 \left( (\tilde{M}^2 + 2\tilde{M} + 2)^2 + c\tilde{M} + \tilde{M}^2 \right), \tag{3.28}
\end{align}
$$

où $\eta^{**} = \eta + T(f(\eta) + g(\eta)\xi) + T\theta_2\theta_3 d_1$, $\theta_3 \in (0,1)$. D'après la définition de $\hat{M}$ on a :

$$
\Delta V_T \le \Delta W_T - cT(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 + T \|d_1\|_{\infty}^2 + T \|d_2\|_{\infty}^2 + T^2 \hat{M}. \quad (3.29)
$$

L'Hypothèse 3.4.1 nous indique que, pour tout $T \in (0, \bar{T})$, il existe $\tilde{\alpha}_3 \in \mathcal{K}_\infty$ telle que, avec $\tilde{\gamma}_1 : s \mapsto s^2 + \gamma_1(s)$ et $\tilde{\gamma}_2 : s \mapsto s^2 (s \in \mathbb{R}_{\ge 0})$,

$$
\Delta V_T \le -T\tilde{\alpha}_3(|\eta|) - cT(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 + T\frac{\delta}{2} + T\frac{\delta}{2} + T\tilde{\gamma}_1(\|d_1\|_{\infty}) + T\tilde{\gamma}_2(\|d_2\|_{\infty}). \quad (3.30)
$$

D'après la Proposition 1 dans [153], il existe $\tilde{\alpha}_3 \in \mathcal{K}_\infty$ et $\gamma \in \mathcal{K}$ telles que :

$$
\Delta V_T \le -T\bar{\alpha}_3(|x|) + T\gamma(\|d\|_{\infty}) + T\delta. \quad (3.31)
$$

En invoquant le théorème de la valeur moyenne, on peut montrer qu'il existe $L \in \mathbb{R}_{>0}$, tel que, pour tout $x,z \in \mathbb{R}^{n+1}$ où $\max\{|x|,|z|\} \le \Delta$, $|V_T(x) - V_T(z)| \le L|x - z|$.

Finalement,

$$
\begin{align}
|u_T| \le {}& (c+1-cT) |\xi - \bar{\xi}_T(\eta)| + \left| \frac{\bar{\xi}_T(\eta_0^+) - \bar{\xi}_T(\eta)}{T} \right| + \left| \left( \frac{\partial W}{\partial \eta} (\bar{\eta}_0^+) \right)^T g(\eta) \right| \nonumber \\
& + (1-cT) |\xi - \bar{\xi}_T(\eta)| \left| \frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta} (\eta_0^+) \right|^2 \nonumber \\
\le {}& (c+1) \tilde{M} + \tilde{M}^2 + \tilde{M}^3 + \left| \frac{\bar{\xi}_T(\eta_0^+) - \bar{\xi}_T(\eta)}{T} \right|, \tag{3.32}
\end{align}
$$
en utilisant le théorème de la valeur moyenne avec $\eta^\dagger = \eta + T\theta_4(f(\eta) + g(\eta)\xi)$ et $\theta_4 \in (0,1)$, on a :

$$ egin{aligned} |u_T(x)| & \le (c+1) \tilde{M} + \tilde{M}^2 + \tilde{M}^3 + \left| \frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta}(\eta^\dagger) \right| |f(\eta) + g(\eta)\xi| \\ & \le (c+1) \tilde{M} + 2\tilde{M}^2 + \tilde{M}^3 = \bar{M}, \end{aligned} \quad (3.33) $$

la loi de commande $u_T$ est donc localement uniformément bornée. Par conséquent, d'après la Définition 3.2.2, le système (3.16)-(3.17), (3.19) est Lyapunov SP-SEE et donc, d'après le Théorème 3.2.1, le discrétisé exact du système (3.14)-(3.15) contrôlé par (3.19) est SP-SEE, puisque (3.16-3.17) est une bien approximation fortement consistante. $\square$

Les contrôleurs (3.19) sont de la forme form $u_T = u_{cont} + Tu_{dt}$, où $u_{cont}$ correspond au blocage de la loi de commande continue [105] et $u_{dt}$ est une composante supplémentaire qui permet généralement d'élargir le bassin d'attraction et d'augmenter la vitesse de convergence par rapport à la simple émulation.

## 3.5 Stabilisation semiglobale pratique asymptotique

Dans cette section, les termes incertains sont supposés suffisamment réguliers et majorés par des fonctions connues.

**Hypothèse 3.5.1** (i) $d_1 \in C^1([t_0, \infty) \times \mathbb{R}^{n+1}, \mathbb{R}^n)$ et $d_2 \in C^1([t_0, \infty) \times \mathbb{R}^{n+1}, \mathbb{R})$.

(ii) Il existe des fonctions connues $\rho_1 \in C^1(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}_{\ge 0})$ avec $\rho_1(0) = 0$, $\rho_2 \in C^1(\mathbb{R}^{n+1}, \mathbb{R}_{\ge 0})$ telles que, pour tout $(t,x) \in [t_0, \infty) \times \mathbb{R}^{n+1}$ :

$$ |d_1(t,x)| \le \rho_1(\eta) $$

$$ |d_2(t,x)| \le \rho_2(x). $$

**Remarque 3.5.1** Ce type d'hypothèse est commune lorsque des systèmes strict-feedback perturbés sont étudiés [55].

Il ne s'agira plus ici de garantir la robustesse vis-à-vis des perturbations, mais de les compenser. Puisque la condition (i) de l'Hypothèse 3.5.1 sera supposée vérifiée, le modèle approximé discret suivant est considéré :

$$ \eta^+ = \eta + T(f(\eta) + g(\eta)\xi + d_1) \quad (3.34) $$

$$ \xi^+ = \xi + T(u + d_2). \quad (3.35) $$

Les fonctions suivantes sont utilisées par la suite.

**Définition 3.5.1** Pour tout $\varepsilon, T \in \mathbb{R}_{>0}$, $n \in \mathbb{Z}_{>0}$, la fonction $sat_{T\varepsilon,n}: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ est définie par, pour $z = (z_1, \dots, z_n) \in \mathbb{R}^n$: $sat_{T\varepsilon,n}(z) = (\tilde{sat}_{T\varepsilon,1}(z_1), \dots, \tilde{sat}_{T\varepsilon,1}(z_n))$ avec

$$ \tilde{sat}_{T\varepsilon,1}(z_i) = \begin{cases} \text{sign}(z_i) & \text{si } |z_i| \ge \frac{T\varepsilon}{n} \\ p_{T\varepsilon}(z_i) & \text{sinon} \end{cases} $$
où $p_{T\varepsilon}: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$, $p_{T\varepsilon}(0) = 0$ et $|p| \le 1$ sur $[-\frac{T\varepsilon}{n}, \frac{T\varepsilon}{n}]$, $yp_{T\varepsilon}(y) \ge 0$ pour $y \in [-\frac{T\varepsilon}{n}, \frac{T\varepsilon}{n}]$, est tel que la fonction $sat_{T\varepsilon,n}$ est $C^1$ sur $\mathbb{R}^n$.

**Remarque 3.5.2** Il existe une infinité de fonctions $p_{T\varepsilon}$ satisfaisant la Définition 3.5.1 (voir par exemple [27, 55]).

L'hypothèse suivante est le pendant de l'Hypothèse 3.4.1.

**Hypothèse 3.5.2** Il existe $\hat{T} \in \mathbb{R}_{>0}$ et une paire SP-AS $(\bar{\xi}_T, W_T)$ définie pour tout $T \in (0, \hat{T})$ pour le sous-système (3.34), avec $\xi \in \mathbb{R}$ vu comme une commande. Supposons également que :

(1) $\bar{\xi}_T$ et $W_T$ soient deux fois dérivables pour tout $T \in (0, \hat{T})$;

(2) il existe $\tilde{\phi} \in K_\infty$ telle que, pour tout $\eta \in \mathbb{R}^n$, $T \in (0, \hat{T})$,

$$|\bar{\xi}_T(\eta)| \le \tilde{\phi}(|\eta|); \qquad (3.36)$$

(3) pour tout $\tilde{\Delta} > 0$ il existe une paire de réels strictement positifs $(\tilde{T}, \tilde{M}_1)$ telle que pour chaque $T \in (0, \tilde{T})$ et $|\eta| \le \tilde{\Delta}$,

$$\max\{|\frac{\partial W_T}{\partial \eta}|, |\frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta}|, |\frac{\partial^2 \bar{\xi}_T}{\partial \eta^2}|, |\frac{\partial^2 W}{\partial \eta^2}|\} \le \tilde{M}_1. \qquad (3.37)$$

Le théorème principal de cette section peut être énoncé.

**Théorème 3.5.1** Supposons que les Hypothèses 3.5.1 et 3.5.2 soient vérifiées, définissons, pour $c \in \mathbb{R}_{>0}$,

$$u_T(x) = -c(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) + \hat{d}_2 + \frac{\bar{\xi}_T(\eta_0^+) - \bar{\xi}_T(\eta)}{T} - \left(\frac{\partial W}{\partial \eta}(\bar{\eta}_0^+)\right)^T g(\eta) \\ - \left(\frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta}(\eta_0^+)\right)^T \hat{d}_1, \qquad (3.38)$$

avec $\bar{\eta}_0^+ = \eta + T[f(\eta) + g(\eta)\bar{\xi}_T]$, $\eta_0^+ = \eta + T[f(\eta) + g(\eta)\xi]$, et $\hat{d}_2 = -\rho_2(x)sat_{T\varepsilon,1}((\xi - \bar{\xi}_T(\eta)))$ et $\hat{d}_1 = \rho_1(\eta)sat_{T\varepsilon,n}\{(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))\left(\frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta}(\eta_0^+)\right)^T\}$, avec $\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$, alors le système (3.34)-(3.35), (3.38) est SP-AS, et tel est également le discrétisé exact de (3.14)-(3.15) contrôlé par (3.38).

**Preuve.** La preuve est similaire à celle du Théorème 3.4.1. Par souci de clarté, les fonctions sat sont notées sans indice. Soient $\Delta, \delta, \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$, $x = (\eta, \xi) \in \mathbb{R}^{n+1}$ avec $|x| \le \Delta$. D'après l'Hypothèse 3.5.2, il existe $\hat{T} \in \mathbb{R}_{>0}$ telle que la condition (3.8) est vérifiée pour $T \in (0, \hat{T})$ avec $\frac{\delta}{2}$, considérant le système (3.34), quand $\xi = \bar{\xi}_T$ comme entrée. Soit $\Delta_1 = \sup_{|x|\le\Delta, T\in(0,\hat{T})} \max\{|\eta^+|, |\eta_0^+|, |\bar{\eta}_0^+|, |\bar{\eta}^+|\}$ (avec $\bar{\eta}^+ = \eta + T[f(\eta) + g(\eta)\bar{\xi}_T] + Td_1$) qui est bien défini puisque les fonctions $f, g, \bar{\xi}_T, d_1$ sont continues. Prenons $\tilde{\Delta} = \max\{\Delta, \Delta_1\}$ qui génère $\tilde{T}, \tilde{M}_1$ tel que la condition (3) de l'Hypothèse 3.5.2 est garantie. Soit $\tilde{M} = \sup_{|x|\le\Delta, T\in(0,\hat{T})} \max\{|\xi - \bar{\xi}_T|, |f(\eta) + g(\eta)\xi|, \tilde{M}_1, |g(\eta)|, \rho_1, \rho_2\}$, qui est également bien défini puisque les fonctions considérées sont continues sur ce compact. La période d'échantillonnage $\bar{T}$ est définie
par $\bar{T} = \min\{\hat{T}, \bar{T}, \frac{\delta}{2}\hat{M}^{-1}, \frac{1}{c}\}$ où $\hat{M} = 11\tilde{M}^4 + (12+c)\tilde{M}^3 + 4\tilde{M}^2 + 4\varepsilon\tilde{M}$. Soit $T \in (0, \bar{T})$ et prenons la fonction candidate de Lyapunov suivante :

$$V_T(x) = W_T(\eta) + \frac{1}{2}(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2. \qquad (3.39)$$

La condition (3.7) est satisfaite ici, voir [153]. Dans un premier temps, nous nous attachons à prouver l'inégalité (3.8) :

$$\begin{aligned} \Delta V_T = W_T(\eta^+) - W_T(\eta) & - \frac{1}{2}(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 \\ & + \frac{1}{2}(\xi + Tu_T + Td_2 - \bar{\xi}_T(\eta^+))^2. \end{aligned} \qquad (3.40)$$

On peut voir, à l'aide du théorème de la valeur moyenne, où $\eta^\diamond = \bar{\eta}^+ + T\theta_1 g(\eta)(\xi - \bar{\xi}(\eta))$, et $\theta_1 \in (0,1)$, que

$$\begin{aligned} W_T(\eta^+) - W_T(\eta) &= W_T(\eta^+) - W_T(\bar{\eta}^+) + W_T(\bar{\eta}^+) - W_T(\eta) \\ &= (W_T(\bar{\eta}^+) - W_T(\eta)) + \left(\frac{\partial W}{\partial \eta}(\eta^\diamond)\right)^T T g(\eta)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)). \end{aligned} \qquad (3.41)$$

D'après (3.40), notons $\Delta W_T = W_T(\bar{\eta}^+) - W_T(\eta)$,

$$\begin{aligned} \Delta V_T &= \Delta W_T + \left(\frac{\partial W}{\partial \eta}(\eta^\diamond)\right)^T T g(\eta)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) - \frac{1}{2}(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 \\ &\quad + \frac{1}{2}(\xi + Tu_T + Td_2 - \bar{\xi}_T(\eta^+))^2 \\ &= \Delta W_T + \left(\frac{\partial W}{\partial \eta}(\eta^\diamond)\right)^T T g(\eta)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) - \frac{1}{2}(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 \\ &\quad + \frac{1}{2}\left((\xi - \bar{\xi}_T(\eta))(1 - cT) - T\frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta}(\eta_0^+)^T \hat{d}_1 - T\left(\frac{\partial W}{\partial \eta}(\bar{\eta}_0^+)\right)^T g(\eta)\right. \\ &\quad \left. + T(\hat{d}_2 + d_2) + \bar{\xi}_T(\eta_0^+) - \bar{\xi}_T(\eta^+)\right) \\ &= \Delta W_T + \left(\frac{\partial W}{\partial \eta}(\eta^\diamond)\right)^T T g(\eta)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) - cT(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 \\ &\quad + c^2 \frac{T^2}{2}(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 + (1 - cT)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))\Lambda + \frac{1}{2}\Lambda^2, \end{aligned} \qquad (3.42)$$

avec

$$\Lambda = \bar{\xi}_T(\eta_0^+) - \bar{\xi}_T(\eta^+) + T \left( - \left( \frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta}(\eta_0^+) \right)^T \hat{d}_1 - \left( \frac{\partial W}{\partial \eta}(\bar{\eta}_0^+) \right)^T g(\eta) + \hat{d}_2 + d_2 \right). \qquad (3.43)$$

Grâce au théorème de la valeur moyenne,

$$\begin{aligned} & -T(1 - cT)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) \left(\frac{\partial W}{\partial \eta}(\bar{\eta}_0^+)\right)^T g(\eta) + \left(\frac{\partial W}{\partial \eta}(\eta^\diamond)\right)^T T g(\eta)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) \\ & \le T(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) \left(\frac{\partial W}{\partial \eta}(\eta^\diamond) - \frac{\partial W}{\partial \eta}(\bar{\eta}_0^+)\right)^T g(\eta) + cT^2 \tilde{M}^3 \qquad (3.44) \\ & \le (c\tilde{M} + \tilde{M}^2)T^2 \tilde{M}^2. \end{aligned}$$
En utilisant la Définition 3.5.1, on peut voir que

$$ (1 - cT)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))T(\hat{d}_2 + d_2) \le 2T^2 \tilde{M} \varepsilon, \quad (3.45) $$

et, en majorant $\Lambda^2$ par $T^2 \tilde{M}^2(3\tilde{M} + 2)^2$ (à l'aide du théorème de la valeur moyenne),

$$ \begin{aligned} \Delta V_T \le & \Delta W_T - cT(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 + (1 - cT)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) (\bar{\xi}_T(\eta_0^+) - \bar{\xi}_T(\eta^+)) \\ & - T \left( \frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta} (\eta_0^+) \right)^T \hat{d}_1 + T^2 \tilde{M} \left( \tilde{M}(3\tilde{M} + 2)^2 + (c\tilde{M} + \tilde{M}^2)\tilde{M} + 2\varepsilon \right). \end{aligned} \quad (3.46) $$

L'expression $(1-cT)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))(\bar{\xi}_T(\eta_0^+) - \bar{\xi}_T(\eta^+))$ peut être écrit, toujours à l'aide du théorème de la valeur moyenne, sous la forme :

$$ (1 - cT)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))(\bar{\xi}_T(\eta_0^+) - \bar{\xi}_T(\eta^+)) = -(1 - cT)(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))T \left( \frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta} (\eta^*) \right)^T d_1, \quad (3.47) $$

avec $\eta^* = \eta + T(f(\eta) + g(\eta)\xi) + T\theta_2 d_1$, et $\theta_2 \in (0,1)$. Par conséquent,

$$ \begin{aligned} \Delta V_T \le & \Delta W_T - cT(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 + (1 - cT)T(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) \\ & \times \left( - \left( \frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta} (\eta^*) \right)^T d_1 - \left( \frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta} (\eta_0^+) \right)^T \hat{d}_1 \right) \\ & + T^2 (\tilde{M}(3\tilde{M} + 2)^2 + (c\tilde{M} + \tilde{M}^2)\tilde{M} + 2\varepsilon) \\ \le & \Delta W_T - cT(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 + (1 - cT)T(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) \left( - \left( \frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta} (\eta^*) \right)^T d_1 \right. \\ & \left. + \left( \frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta} (\eta_0^+) \right)^T d_1 - \left( \frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta} (\eta_0^+) \right)^T \hat{d}_1 \right) \\ & + T^2 \tilde{M} (\tilde{M}(3\tilde{M} + 2)^2 + (c\tilde{M} + \tilde{M}^2)\tilde{M} + 2\varepsilon) \\ \le & \Delta W_T - cT(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 + T^2(1-cT)|\xi - \bar{\xi}_T(\eta)| \frac{\partial^2 \bar{\xi}_T}{\partial \eta^2}(\eta^{**}) |\theta_2 \rho_1^2(\eta)| \\ & + (1-cT)T(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) \left[ \left( \frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta} (\eta_0^+) \right)^T (d_1 - \hat{d}_1) \right] \\ & + T^2 \tilde{M} (\tilde{M}(3\tilde{M} + 2)^2 + (c\tilde{M} + \tilde{M}^2)\tilde{M} + 2\varepsilon), \end{aligned} $$

avec $\eta^{**} = \eta + T(f(\eta) + g(\eta)\xi) + T\theta_2\theta_3 d_1$, $\theta_3 \in (0,1)$ sachant que, par définition de $\hat{d}_1$ :

$$ \begin{aligned} & (1 - cT)T(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) \left( \frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta} (\eta_0^+) \right)^T (-d_1 - \hat{d}_1) \le (1 - cT)T |\xi - \bar{\xi}_T(\eta)| \left| \frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta} (\eta_0^+) \right| \\ & \times \rho_1(\eta) - (1 - cT)T(\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) \left( \frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta} (\eta_0^+) \right)^T \rho_1(\eta) \mathrm{sat}_{T\varepsilon,n} \{ (\xi - \bar{\xi}_T(\eta)) \left( \frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta} (\eta_0^+) \right)^T \} \\ & \le 2T^2 \tilde{M} \varepsilon. \end{aligned} \quad (3.49) $$

En utilisant l'Hypothèse 3.5.2 et la définition de $\hat{M}$,

$$ \Delta V_T \le -T\alpha_3(|\eta|) - cT(\xi - \bar{\xi}_T(\eta))^2 + T\delta. $$
D'après la Proposition 1 de [153], il existe $\bar{\alpha}_3 \in \mathcal{K}_\infty$, telle que :

$$ \Delta V_T \leq -T\bar{\alpha}_3(|x|) + T\delta. \quad (3.50) $$

En utilisant le théorème de la valeur moyenne, on peut montrer qu'il existe $\bar{L} \in \mathbb{R}_{>0}$, tel que pour tout $x,z \in \mathbb{R}^{n+1}$ avec $\max\{|x|,|z|\} \le \Delta$, $|V_T(x) - V_T(z)| \le \bar{L}|x - z|$. Finalement,

$$ \begin{aligned} |u_T| & \le c|\xi - \bar{\xi}_T(\eta)| + |\hat{d}_2| + \left| \frac{\bar{\xi}_T(\eta_0^+) - \bar{\xi}_T(\eta)}{T} \right| \\ & \quad + \left| \left( \frac{\partial W}{\partial \eta}(\bar{\eta}_0^+) \right)^T ||g(\eta)| + \left( \frac{\partial \bar{\xi}_T}{\partial \eta}(\eta_0^+) \right)^T ||\hat{d}_1| \\ & \le 3\tilde{M}^2 + \tilde{M}(c+1) = \bar{M}. \end{aligned} \quad (3.51) $$

La commande $u_T$ est donc localement uniformément bornée. Ainsi, la paire $(u_T, V_T)$ est SP-A stabilisante pour le système (3.34)-(3.35) d'après la Définition 3.2.2, par conséquent le système discrétisé exact de (3.14)-(3.15) contrôlé par (3.38) est SP-AS d'après le Théorème 3.2.1, en notant que (3.34)-(3.35) est une approximation fortement consistante. $\square$

A l'instar de §3.4, les contrôleurs (3.38) sont reconstruits comparés à l'émulation. Néanmoins, la période d'échantillonnage n'apparaît pas uniquement linéairement dans l'expression de la commande puisqu'elle intervient également non linéairement dans la définition des fonctions sat.

**Remarque 3.5.3** Le contrôleurs virtuel $\bar{\xi}_T$ ne peut être composé de fonctions sat paramétrés en $T$ (comme dans la Définition 3.5.1) car leurs dérivées ne sont pas uniformément bornées par rapport à $T$. Prenons l'exemple suivant où la fonction $p_{T\epsilon}$ est, pour $z = (z_1, \dots, z_n) \in \mathbb{R}^n$ et $\epsilon \in \mathbb{R}_{>0}$ :

$$ p_{T\epsilon} : z_i \mapsto -\frac{1}{2} \left(\frac{z_i}{T\epsilon}\right)^3 + \frac{3}{2} \frac{z_i}{T\epsilon}. \quad (3.52) $$

On peut vérifier que la fonction sat obtenue est bien localement uniformément bornée, puisque pour tout $T \in \mathbb{R}_{>0}$ et $z \in \mathbb{R}^n$, $|sat_{T\epsilon,n}(z)| \le 1$ (bien que $p_{T\epsilon}(z) \to \infty$ quand $T$ tend vers 0, de par la définition la fonction sat, celle-ci n'explose pas). On ne peut en dire autant de sa dérivée, puisqu'en notant que :

$$ \frac{\partial p_{T\epsilon}(z_i)}{\partial_i} = -\frac{3}{2} \frac{z_i^2}{(T\epsilon)^3} + \frac{3}{2} \frac{1}{T\epsilon}, \quad (3.53) $$

on voit que $\max_{z \in \mathbb{R}^n, T \in \mathbb{R}_{>0}} \{|sat_{T\epsilon,n}(z)|\} = \frac{3}{2} \frac{1}{T\epsilon}$ qui converge vers l'infini lorsque $T$ tend vers zéro.

**Remarque 3.5.4** Si la perturbation $d_1$ ne s'annule pas en zéro, en supposant des conditions légèrement différentes de celles de l'Hypothèse 3.5.2, un résultat de type $\delta$-régulation pourrait être obtenue, voir [55].
## 3.6 Discussions

### 3.6.1 Application aux systèmes de la forme (3.1)

Bien que présentées pour la classe de systèmes (3.14)-(3.15), les méthodes de ce chapitre peuvent s'appliquer aux systèmes de la forme :

$$ egin{cases} 
\dot{x}_1 = f_1(x_1,x_2) + d_1 \\ 
\dot{x}_2 = x_3 + f_2(x_1,x_2) + d_2 \\ 
\vdots \\ 
\dot{x}_n = u + f_n(x) + d_n. 
\end{cases} 
\tag{3.54} $$

En effet, pour le cas de la stabilisation entrée-état, il suffit de s'assurer qu'il existe une paire commande virtuelle/fonction de Lyapunov SP-SEE suffisamment dérivable pour l'approximation d'Euler du premier sous-système. Ainsi, l'Hypothèse 3.4.1 est vérifiée et une paire commande/fonction de Lyapunov SP-SEE est obtenue, d'après le Théorème 3.4.1, pour l'approximé d'Euler du système ayant pour état $(x_1,x_2)$. Cette dernière permettra ensuite de valider l'Hypothèse 3.4.1 dans le but d'en déterminer une pour l'approximé d'Euler du système ayant pour état $(x_1,x_2,x_3)$. En procédant par récurrence, un retour d'état est obtenu pour l'approximé d'Euler de (3.54).

Pour la compensation des perturbations, des conditions supplémentaires sont requises comme le fait que les $d_i$'s, $i \in \{1, ..., n-1\}$, doivent s'annuler à l'origine, être suffisamment dérivables ou qu'aucune fonction sat ne soit utilisée avant la dernière étape afin d'obtenir un contrôleur localement uniformément borné.

### 3.6.2 Cas des approximations d'ordre supérieur

L'extension aux approximations d'ordre supérieur est loin d'être triviale. Que l'on aborde la question à l'aide du développement en série de Fliess tronquée de l'équation aux différences de la fonction de Lyapunov du premier sous-système, comme dans [29], ou par des approximations du type de celles de [65], la perte de structure originelle du système continu est à l'origine de difficultés majeures.

Pour le cas de la compensation des incertitudes, on pourrait imaginer une solution similaire à celle développée dans §3.5, en supposant que les termes incertains soient suffisamment dérivables et que des bornes de chacune de leurs dérivées successives soient connues. Ce cas de figure semble toutefois peu réaliste en pratique, c'est pourquoi nous avons choisi de ne pas poursuivre cette voie. De la même manière, la stabilisation entrée-état nécessiterait ou du moins, serait facilitée par l'application de conditions additionnelles sur les signaux comme, par exemple, le fait qu'ils restent constants entre deux instants d'échantillonnage.

Puisque de telles extensions requièrent une analyse complexe et des hypothèses restrictives, nous nous contentons de la synthèse de contrôleurs pour des approximés d'Euler. Il est montré, dans la section suivante, que ceux-ci fournissent des résultats très satisfaisants.
## 3.7 Exemple numérique

Dans cette section, nous illustrons les résultats de §3.5 à l'aide d'un exemple numérique. Soit le système non linéaire suivant :

$$ \dot{\eta} = \eta^2 + \xi + d_1(\eta, \xi) \qquad (3.55) $$

$$ \dot{\xi} = u + d_2(\eta, \xi), \qquad (3.56) $$

où $d_1 : (\eta, \xi) \mapsto (1+\sin(\xi))\eta^3$ est majorée par $\rho_1 : (\eta, \xi) \mapsto 2|\eta|^3$ et $d_2 : (\eta, \xi) \mapsto 1+\cos(\eta)\xi^2$ par $\rho_2 : (\eta, \xi) \mapsto 1+\xi^2$: l'Hypothèse 3.5.1 est satisfaite. Considérons $\bar{\xi} = -\eta - \eta^2 - 2\eta^3$ et $W_T(\eta) = \frac{1}{2}\eta^2 (\eta \in \mathbb{R})$, l'Hypothèse 3.5.2 est garantie puisque ces fonctions sont bien deux fois dérivables pour tout $T$, la condition (2) est vérifiée avec $\phi : s \mapsto s + s^2 + 2s^3 (s \in \mathbb{R}_{\ge 0})$ et les différentes dérivées partielles de $\bar{\xi}$ et $W_T$, considérées dans la condition (3), sont bien localement bornées. Par conséquent, le Théorème 3.5.1 peut être appliqué. Un contrôleur de la forme (3.38) est synthétisé avec $c = 1$, $\varepsilon = 0.01$ et la fonction $p$ de sat est :

$$ p_{T\varepsilon} : z \mapsto -\frac{3}{2(T\varepsilon)^5}z^5 + \frac{5}{2(T\varepsilon)^3}z^3. \qquad (3.57) $$

Des simulations ont été réalisées afin de comparer les performances fournies par le contrôleur (3.38) et l'émulation d'une loi continue du type *hard* développée dans [55]. Les paramètres suivants ont été pris : $T = 0.005$, $\eta(0) = \xi(0) = 3$. La Figure 3.1 montre que les deux contrôleurs discrets garantissent la convergence des états vers un voisinage de l'origine, mais plus rapidement pour (3.38). Le tracé des signaux de commande, Figure 3.2, nous indique que des phénomènes de grand gain apparaissent, typiques des contrôleurs de type *hard* [55]. La commande reconstruite présente toutefois l'avantage d'avoir généralement une amplitude plus faible que l'émulation. En prenant une nouvelle valeur de période d'échantillonnage $T = 0.015$ (et $\eta(0) = \xi(0) = 2$) on constate Figure 3.3 que le blocage de la loi continue n'assure plus la stabilisation du système contrairement à (3.38) : ce dernier permet d'élargir le bassin d'attraction. Les signaux de commande sont présentés dans la Figure 3.4 et de nouveau, des amplitudes élevées sont atteintes.

## 3.8 Conclusion

Rares sont les techniques de commande robuste non linéaire disponibles en temps échantillonné. Dans ce chapitre, nous avons étudié le cas d'une des méthodes de commande non linéaire les plus célèbres : le *backstepping*. Considérant une classe de systèmes sous forme *strict-feedback* affectés par des perturbations, des lois de commande ont été proposées pour la stabilisation entrée-état et asymptotique (lorsque les incertitudes vérifient des propriétés de majoration) du système à données échantillonnées. A partir de l'approximé d'Euler discret, les contrôleurs obtenus sont reconstruits par rapport au blocage de la loi continue afin d'améliorer certaines performances, comme nous le montrons sur un exemple. Simples à déterminer et à
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIG. 3.1 – Simulations pour $\eta(0) = \xi(0) = 3$ et $T = 0.005$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIG. 3.2 – Signaux de commande pour $\eta(0) = \xi(0) = 3$ et $T = 0.005$</figcaption></figure>
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIG. 3.3 – Simulations pour $\eta(0) = \xi(0) = 2$ et $T = 0.015$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIG. 3.4 – Signaux de commande pour $\eta(0) = \xi(0) = 2$ et $T = 0.015$</figcaption></figure>
implémenter, ces contrôleurs sont à privilégier en pratique par rapport à la simple émulation.
L'application des méthodes proposées à une classe plus générale de systèmes sous forme *strict-feedback* a été expliquée en indiquant comment les hypothèses et contrôleurs étudiés peuvent être utilisés à cette fin. Il serait intéressant à l'avenir d'étudier le *redesign* de lois de commande par *backstepping* de type *soft* ([55]) afin d'atténuer les phénomènes de grand gain constatés en simulation.
# Seconde partie

## Observateurs pour les systèmes en réseau
<figure><img src="image_18.png" /></figure>
# Chapitre 4

## Introduction

Dans ce chapitre, la problématique des systèmes commandés par réseau (en anglais *net-worked control systems* d'où l'acronyme NCS) est présentée. Offrant de nombreux avan-tages en termes de coût, de flexibilité et de simplicité d'installation, les NCS requièrent le développement de méthodes de commande et d'observation adaptées à cause des contraintes de communication induites par le réseau. Alors que le problème de la commande est aujourd'hui largement étudié, rares sont les études à proposer des solutions pour l'observation. Cette seconde partie de thèse a ainsi pour but de développer de nouvelles méthodes d'analyse et de synthèse d'observateurs déterministes pour les NCS dits *ordonnancés*. Après avoir rappelé les principales approches de stabilisation, la problématique de la conception d'observateurs est introduite et les résultats existants revus. Un cadre d'étude est ensuite développé avant de présenter nos contributions.

### 4.1 Systèmes commandés par réseau

On appelle *systèmes commandés par réseau* (NCS), les systèmes pour lesquels les trans-missions de données entre les capteurs, le contrôleur et les actionneurs sont assurées par des canaux de communication série numériques. La Figure 4.1 représente l'architecture typique ; à noter que le réseau, qui assure le multiplexage des signaux des capteurs au contrôleur et/ou du contrôleur aux actionneurs, peut également être le support de communication d'autres tâches. Ce type de configuration présente l'avantage d'être moins coûteux, plus flexible et plus aisé à installer et entretenir qu'une architecture de commande classique par câblage point-à-point [25, 166, 167, 200]. Pour ces raisons, les NCS sont de nos jours communément employés dans de nombreux domaines d'application comme la télé-chirurgie [131], les drones ou la coordina-tion de véhicules [170, 171], les systèmes de chauffage et de climatisation ou encore, de manière générale, les secteurs aérien et automobile. Ainsi, les véhicules automobiles les plus récents comportent généralement deux bus CAN (*controller area network*), l'un de fréquence élevée, à l'avant du véhicule qui gère le moteur, la transmission et la traction, l'autre, à transmission
plus lente, pour la commande des systèmes de verrouillage, des fenêtres et autres dispositifs électriques. Outre les bus de terrain (CAN), d'autres types de réseaux, comme les LAN (local area network) ou ceux à longue distance WAN (wide area network), permettent d'assurer la transmission d'information entre les différentes composantes de la structure de commande. Pour plus d'informations voir le Chapitre 1 dans [203].

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>FIG. 4.1 – *Architecture de NCS*</figcaption></figure>

La mise en place d'un réseau implique des difficultés supplémentaires par rapport aux schémas de commande classiques. En effet, le partage des canaux de communication, les limitations de la bande passante du réseau, l'échantillonnage des signaux, les retards de transmission et les possibles pertes d'informations sont autant de phénomènes à prendre en compte lors de l'analyse des NCS puisqu'ils peuvent avoir un impact significatif sur les performances du système. Les NCS présentent ainsi la particularité de pouvoir relever à la fois de la théorie de la commande et de celle de l'information. En effet, l'objectif premier demeure la stabilitation ou/et l'observation du système, cependant les imperfections des transmissions doivent être considérées, c'est pourquoi des outils relatifs à la théorie de l'information sont parfois nécessaires à leur analyse.

Les contraintes et imperfections de communication peuvent être classées en trois catégories que nous détaillons.
## Ordonnancement

Tout élément de la boucle de commande directement relié au réseau constitue un *nœud*. On distinguera les *nœuds de capteurs* de ceux d'actionneurs ; à noter que plusieurs capteurs et actionneurs peuvent être regroupés en un même nœud selon leur localisation. Le bus CAN de fréquence élevée d'une automobile possède ainsi une cinquantaine de nœuds mais seulement une demi-douzaine sont généralement connectés. Le réseau peut également contenir un nombre arbitraire de *nœuds passifs* qui ne sont aptes qu'à recevoir des paquets. Ils peuvent être utilisés pour recueillir des observateurs distants ou des actionneurs pour les systèmes munis d'entrées.

La procédure de communication est la suivante. A chaque instant de transmission, un unique nœud est autorisé à envoyer ses données sur le réseau. Cet accès est régi par une loi appelée *protocole*. On parle de *protocole statique*, lorsque l'ordre d'accès est préalablement fixé, comme c'est le cas pour le protocole *round-robin* (RR) également nommé *token ring* ou *token bus* pour lequel chaque nœud transmet ses données à une période égale au nombre de nœuds [78, 84, 113], et de *protocole dynamique* lorsque le choix du nœud répond à un critère dépendant de l'état du système, comme le *try-once-discard* (TOD) [199] pour lequel l'accès est donné au nœud ayant l'erreur la plus grande entre les valeurs des variables actuelles et celles dernièrement transmises (les protocoles RR et TOD sont explicitement définis dans la suite). Ce partage du réseau entre les différents nœuds implique plusieurs difficultés pour la commande et l'observation du système. Tout d'abord les données sont échantillonnées, comme dans la Partie I, ainsi, entre deux instants de transmission, aucune information n'est disponible. De plus, pour le cas des capteurs, seul un nœud (i.e. un sous-groupe de capteurs) transmet ses données au réseau : le vecteur de sortie du système n'est pas complètement connu. La disponibilité partielle et périodique des informations du système est à prendre en considération lors de l'analyse de stabilité. Ces contraintes sont caractérisées par l'*intervalle maximal de transmission admissible* (en anglais *maximum allowable transmission interval* d'où l'acronyme MATI) et le protocole, tous deux jouant un rôle clef.

## Quantification et codage

Les canaux de communication numériques ne peuvent transmettre qu'une quantité finie d'information par unité de temps. Considérons la Figure 4.1. Les mesures du système réalisées par les capteurs sont quantifiées au niveau du codeur : aux grandeurs physiques du système sont associées des valeurs parmi un ensemble fini qui sont ensuite codées sous forme de bits. Ces données sont alors incluses dans un paquet, également constitué d'informations caractéristiques du réseau (*overhead*), qui est envoyé au contrôleur. Ce dernier décode les bits reçus afin de générer des signaux de commande qui sont ensuite eux-mêmes codés sous forme de bits afin d'être transmis aux actionneurs. Les données du contrôleur sont finalement converties en signaux de commande physique au niveau des actionneurs. On parle dans ce cas de commande avec information limitée puisque le réseau ne permet de transmettre qu'un nombre donné de paquets de longueurs restreintes par unité de temps. Cette problématique est
fondamentale pour de nombreuses applications comme les drones, les planeurs sous-marins, de manière générale les systèmes à longue autonomie pour lesquels les communications sont soumises à de fortes contraintes par souci d'économie d'énergie.

La quantification est caractérisée par le nombre d'éléments finis auxquels sont associés les mesures du système et leur répartition dans l'espace. A l'instar des protocoles d'ordonnancement, cette dernière peut être statique (les éléments sont préalablement fixés et ne varient pas) ou dynamique (lorsqu'ils dépendent de l'évolution des états [26, 115, 116]). Les limitations de communication du réseau sont elles ramenées au taux de bit minimum nécessaire à la stabilisation, problématique qui relève de la théorie de l'information. L'évaluation de ce taux pour les systèmes linéaires a été notamment traitée dans [48, 142, 143, 192, 204] et pour les systèmes non linéaires dans [118, 144].

## Retard et perte de paquets

La communication par réseau est à l'origine de retards qui peuvent perturber voire déstabiliser le système. Alors que le temps de transmission le long du canal de communication peut souvent être ignoré (pour un bus CAN, il est de l'ordre de 100 µs), les effets des files d'attente et des congestions doivent généralement être pris en compte. La valeur des retards dépend alors du protocole de communication considéré. Pour les protocoles à accès direct ou aléatoire, que nous n'avons pas évoqué jusqu'à présent, les retards peuvent prendre des valeurs arbitraires. Un exemple typique sont les Carrier Sense Multiple Access (CSMA), qui incluent Ethernet et DeviceNet, où tous les nœuds sont libres de communiquer leurs paquets à n'importe quel instant. Lorsque le réseau n'est pas occupé et que seul un nœud transmet, aucun retard n'est à constater. Par contre, lorsqu'ils sont plusieurs à vouloir communiquer, des collisions se produisent. Celles-ci sont gérées différemment selon le protocole. Dans le cas de DeviceNet, les paquets sont hiérarchisés : le message prioritaire sera transmis tandis que les autres attendront que le réseau soit libre. Ethernet lui renvoie tous les paquets et les retransmet ultérieurement après un intervalle de temps arbitraire. On devine que les retards induits par de tels protocoles sont fortement variables et peuvent prendre des valeurs aléatoires. C'est la raison pour laquelle, les réseaux CSMA sont analysés à l'aide d'outils stochastiques. Pour ce qui est des protocoles ordonnancés puisque l'accès au réseau est clairement établi selon un ordre prédéterminé (protocole statique) ou un critère dépendant des états du système (protocole dynamique), les retards apparaissent lorsque les nœuds attendent l'autorisation pour transmettre. Dans ce cas, ils sont souvent bornés voire parfois même constant lorsque l'accès au réseau est périodique. A noter que les données transmises puissent être time-stamped, ce qui signifie que le receveur est capable d'estimer le retard avec lequel le message arrive afin d'éventuellement effectuer les corrections nécessaires.

Les collisions ne sont pas uniquement la cause de retards mais également de possibles pertes de paquets, tout comme les défaillances des nœuds. Bien que la plupart des protocoles aient un mécanisme de retransmission, celui-ci n'est valable que pour un intervalle de temps
limité. En effet, il est parfois avantageux de ne pas retransmettre un message si le retard est trop important afin de fournir des données récentes plus utiles à la structure de commande [200].

Les retards pour les protocoles ordonnancés sont souvent caractérisés par le retard maximal admissible (en anglais *maximum allowable delay MAD*) (parallèlement au MATI), tandis que les pertes de paquets sont modélisées par des distributions de probabilités (voir [75] et les références qui y sont citées) ou satisfont des conditions déterministes données (voir [151] par exemple).

Dans cette thèse, nous nous concentrons sur la synthèse d'observateurs déterministes pour les NCS ordonnancés et négligeons donc les effets de quantification et de codage ainsi que les éventuels retards et pertes de paquets. Ce choix se justifie par le fait que, bien que tous les phénomènes cités soient généralement présents, tous n'ont pas le même impact sur les performances du système selon l'implémentation étudiée. En effet, certains protocoles ont un ordonnancement tel que la collision et donc la perte de paquets est peu probable. D'autre part, les retards peuvent être infimes par rapport aux dynamiques du système et le canal de communication et l'encodeur peuvent être suffisamment rapides et précis pour ne pas avoir à se soucier des effets de quantification et de codage.

Avant de présenter les études relatives à l'estimation et l'observation des NCS, nous rap-
pelons brièvement les principaux résultats de commande de NCS ordonnancés en prêtant une
attention particulière aux travaux de D. Nešić et A.R. Teel [151] puisqu'ils ont été la source
d'inspiration principale de plusieurs chapitres de cette partie.

4.2 Commande des NCS

Il existe deux approches de synthèse de contrôleurs pour les NCS. La première est de répondre au problème en ignorant, dans un premier temps, les contraintes de communication puis d'étudier la robustesse du contrôleur aux effets de l'ordonnancement. On parle dans ce cas d'émulation. L'autre approche consiste à synthétiser une loi de commande et certains mécanismes du réseau, comme le protocole, en prenant en compte les contraintes de communication. Nous utiliserons le terme de co-synthèse pour désigner ces méthodes.

**Remarque 4.2.1** *La distinction émulation / co-synthèse rappelle les différences entre approches CTD d'une part et DTD et SDD de l'autre, pour les systèmes à données échantillonnées vues au Chapitre 1.*
### 4.2.1 Émulation

L'approche par émulation présente l'avantage d'être simple à appliquer puisque le contrôleur relève de la théorie de la commande au sens classique du terme, i.e. sans avoir à se soucier des contraintes de communication. Pour les systèmes linéaires, une multitude de techniques sont connues, quant aux systèmes non linéaires de nombreuses méthodes sont disponibles dans la littérature en fonction de la classe de systèmes étudiée. La question est alors de savoir si le contrôleur fournira des performances satisfaisantes lorsqu'il sera implémenté par réseau. Cela se traduit ici par l'obtention d'une borne sur le MATI qui garantit la stabilisation du système bouclé pour un protocole donné.

La commande de NCS ordonnancés par émulation de contrôleurs de sortie dynamiques a été pour la première fois traitée dans [198] pour les systèmes linéaires et [199] pour les systèmes globalement Lipschitziens. Dans ces deux études, une nouvelle variable est introduite afin de modéliser l'erreur entre les valeurs en temps continu des signaux de commande et de sortie et celles effectivement transmises via le réseau. A l'aide d'une analyse basée sur les théorèmes de Lyapunov, des conditions suffisantes pour la stabilité du système bouclé sont déduites et des bornes explicites sur le MATI sont données pour deux types de protocoles : RR et TOD qui fut pour la première fois introduit dans [199]. Ces résultats ont ensuite été étendus et améliorés dans [151], où un véritable cadre méthodologique pour l'étude de la stabilité entrée-sortie est développé. Celui-ci présente l'avantage de couvrir de nombreuses classes de systèmes non linéaires et configurations de réseau en termes de protocoles notamment. Nous en rappelons le principe. Nous ne traitons qu'un cas particulier des travaux de [151] afin d'insister sur les grandes étapes de l'analyse.

Considérons le système non linéaire :

$$ 
\begin{aligned}
\dot{x}_P &= f_P(t, x_P, u) \\
y &= h_P(t, x_P),
\end{aligned} 
\qquad (4.1) 
$$

où $x_P \in \mathbb{R}^{n_{x_P}}$ est l'état, $u \in \mathbb{R}^{n_u}$ l'entrée et $y \in \mathbb{R}^{n_y}$ la sortie. Un contrôleur dynamique est dans un premier temps synthétisé en ignorant les contraintes de communication :

$$ 
\begin{aligned}
\dot{x}_C &= f_C(t, x_C, y) \\
u &= h_C(t, x_C),
\end{aligned} 
\qquad (4.2) 
$$

où $x_C \in \mathbb{R}^{n_{x_C}}$ est l'état. Lorsque le contrôleur (4.2) est implémenté via un réseau, les vecteurs de sortie et d'entrée sont décomposés en sous-groupes formant ainsi l nœuds. La séquence de transmission $\{t_i\}_{i \in \mathbb{Z}_{>0}}$ est telle que :

$$ v \le t_i - t_{i-1} \le \tau \quad \forall i \in \mathbb{Z}_{>0}, \qquad (4.3) $$

avec $t_0 \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ l'instant initial, $\tau \in [v, \infty)$ le MATI et $v \in \mathbb{R}_{>0}$ une constante arbitraire introduite afin d'éviter le paradoxe de Zénon (un nombre infini de transmissions en un temps fini). Les vecteurs $u$ et $y$ ne sont plus disponibles mais $\hat{u}$ et $\hat{y}$, les valeurs des vecteurs de sortie
et d'entrée les plus récemment transmises via le réseau. Le système en boucle fermée s'écrit alors :

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
\dot{x}_P = f_P(t,x_P,\hat{u}) & \forall t \in [t_{i-1},t_i] \\
y = h_P(t,x_P) & \\
\dot{x}_C = f_C(t,x_C,\hat{y}) & \forall t \in [t_{i-1},t_i] \\
u = h_C(t,x_C) & \\
\dot{\hat{y}} = \hat{f}_P(t,x_P,x_C,\hat{y},\hat{u}) & \forall t \in [t_{i-1},t_i] \\
\hat{u} = \hat{f}_C(t,x_P,x_C,\hat{y},\hat{u}) & \forall t \in [t_{i-1},t_i] \\
\hat{y}(t_i^+) = \hat{y}(t_i) + h_y(i,e(t_i)) & \\
\hat{u}(t_i^+) = \hat{u}(t_i) + h_u(i,e(t_i)), &
\end{array}
\right.
\quad (4.4)
$$

où $e \in \mathbb{R}^{n_e}$ est l'erreur induite par le réseau :

$$
e(t) = \begin{bmatrix} \hat{y}(t) - y(t) \\ \hat{u}(t) - u(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e_y(t) \\ e_u(t) \end{bmatrix},
$$

$\hat{f}_P$ et $\hat{f}_C$ sont des fonctions de blocage : elles définissent la façon dont les signaux $\hat{y}$ et $\hat{u}$ sont générés au niveau du contrôleur et des actionneurs entre deux instants de transmission. L'exemple classique est le blocage d'ordre zéro ($\hat{f}_P = 0$ et $\hat{f}_C = 0$), nous verrons par la suite que d'autres fonctions plus sophistiquées sont envisageables. Les fonctions $h_y$ et $h_u$ sont quant à elles définies par le protocole et sont généralement telles que si le nœud $j \in \{1, \dots, l\}$ a accès au réseau à l'instant $t_i$, la composante de $\hat{y}$ ou $\hat{u}$ correspondante est réinitialisée à sa nouvelle valeur : le signal fait un saut. En introduisant la variable $x = (x_P, x_C) \in \mathbb{R}^{n_x}$, le système (4.4) peut s'écrire sous la forme :

$$
\dot{x} = f(t,x,e) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \tag{4.5}
$$

$$
\dot{e} = g(t, x, e) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \qquad (4.6)
$$

$$
e(t_i^+) = h(i, e(t_i)). \tag{4.7}
$$

On remarque que lorsque $e = 0$, la situation initiale, où aucune contrainte de communication n'affecte la transmission des données, est retrouvée et la stabilité du système garantie.

Considérant le système (4.5)-(4.7) comme l'interconnexion des sous-systèmes en $x$ et en $e$, le théorème du petit gain de [86] est utilisé pour garantir la stabilité. Il est ainsi, par exemple, supposé que le premier sous-système est stable entrée-état vis-à-vis de $e$ avec un gain linéaire, i.e. il existe $\beta_1 \in \mathcal{KL}$ et $\gamma_1 \in \mathbb{R}_{>0}$ telles que pour tout $x_0 \in \mathbb{R}^{n_x}$ et $e \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_e}$ :

$$
|x(t)| \le \beta_1(|x(t_0)|, t - t_0) + \gamma_1 \|e\|_{[t_0, t)} \quad \forall t \ge t_0 \ge 0. \quad (4.8)
$$

La dynamique continue de $e$, (4.6), est par essence instable entre deux instants $t_i$ et $t_{i+1}$, ou du moins, pas asymptotiquement stable. Elle doit sa stabilité aux sauts, à chaque $t_i$, dictés par le protocole (4.7). Les auteurs de [151] ont été les premiers à caractériser la stabilité des protocoles afin d'assurer une réinitialisation convenable à chaque instant de transmission. Ils
ont ainsi introduit la notion de protocole uniformément globalement exponentiellement stable (UGES) qui se définit en ces termes :

**Définition 4.2.1 (Protocole UGES)** Le protocole (4.7) est UGES s'il existe une fonction de Lyapunov $W: \mathbb{Z}_{\ge 0} \times \mathbb{R}^{n_e} \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ telle que pour tout $e \in \mathbb{R}^{n_e}$ et $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ :

$$a_1|e| \le W(i,e) \le a_2|e| \qquad (4.9)$$

$$W(i+1,h(i,e)) \le \rho W(i,e), \qquad (4.10)$$

où $a_1, a_2 \in \mathbb{R}_{>0}$ et $\rho \in [0,1)$.

**Remarque 4.2.2** Des bornes linéaires sont utilisées dans (4.9) afin de faciliter les calculs. Pour une fonction typique aux bornes quadratiques données, il suffit de prendre sa racine carrée pour obtenir une fonction satisfaisant (4.9).

De cette manière, lorsque le protocole considéré est UGES, comme cela est le cas pour le RR et le TOD comme nous le verrons par la suite, et lorsque, pour $W$ localement Lipschitzienne en $e$ et uniformément en $i$, il existe $L, \gamma_2 \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ tels que pour tout $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, $x \in \mathbb{R}^{n_x}$ et presque tout $e \in \mathbb{R}^{n_e}$ :

$$\left| \frac{\partial W(i,e)}{\partial i} + \frac{\partial W(i,e)}{\partial e} g(t,x,e) \right| \le L|W(e)| + \gamma_2|x|, \qquad (4.11)$$

il est possible de montrer, d'après la Proposition 6 dans [151], que l'erreur due au réseau de communication suit elle aussi un comportement stable entrée-état, i.e. il existe $\beta_2 \in \mathcal{KL}$ et $\gamma_2 \in \mathcal{K}$ telles que pour tout $e_0 \in \mathbb{R}^{n_e}$ et $x \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_x}$ :

$$|e(t)| \le \beta_2(|e(t_0)|, t - t_0) + \gamma_2(\tau) \|x\|_{[t, t_0)}. \qquad (4.12)$$

D'après le théorème du petit gain [86], il est alors aisé de montrer que $(x,e) = (0,0)$ est uniformément globalement asymptotiquement stable pour le système (4.5)-(4.7) si

$$\gamma_1 \gamma_2(\tau) < 1. \qquad (4.13)$$

En choisissant $\tau$ suffisamment petit, la condition (4.13) est garantie. Il est évident que (4.13) ne fournit qu'un estimé du MATI. Toutefois il est montré sur un exemple que celui-ci est plus précis que ceux de [199]. De plus, contrairement à [199], les bornes dépendent du protocole considéré. On attend en effet qu'un protocole dynamique (comme le TOD) permette d'avoir des MATI plus élevés par rapport à un protocole statique puisqu'il est censé donner accès au nœud ayant, en quelque sorte, l'information la plus importante.

**Remarque 4.2.3** Dans l'étude originale, des perturbations affectent les dynamiques du système, les propriétés de stabilité sont beaucoup plus générales et les pertes de paquets sont également traitées à l'aide d'outils déterministes.
Une analyse similaire est proposée dans [31] à l'aide de fonctions de Lyapunov hybrides cette fois. En réécrivant le système (4.5)-(4.7) d'après le cadre d'étude [62], une fonction de Lyapunov complète pour le système considéré est construite sous des hypothèses similaires et des bornes sur le MATI sont obtenues. Dans [152] il est prouvé que la stabilité *uniforme globale asymptotique* (UGAS) de l'origine du système, garantie par un contrôleur sans contrainte de communication, est maintenue semiglobalement et pratiquement sous de légères conditions, lorsque les données sont transmises du système au contrôleur par l'intermédiaire d'un réseau. Les protocoles considérés ne sont plus UGES mais UGAS (notion que nous définirons ultérieurement). Les techniques utilisées lors de l'analyse sont différentes de celles de [151] et ne permettent pas de déterminer aussi facilement une borne sur le MATI. Ce résultat est en quelque sorte le pendant des précédents travaux des mêmes auteurs sur l'émulation de contrôleurs pour les systèmes à données échantillonnées.

Les réseaux sans fil présentent des difficultés technologiques supplémentaires [190] qui ne permettent pas l'implémentation de tous les protocoles habituellement étudiés, comme le TOD. Prenant en compte les spécificités d'une telle configuration, la commande par émulation de NCS a été étudiée dans [189] dans un contexte stochastique et [190] en déterministe toujours à l'aide d'une formulation similaire à celle de [151]. Il est intéressant de remarquer que le formalisme de [151] est l'un des rares à permettre l'étude de tous les phénomènes présentés dans §4.1, puisque le lien avec les procédures de quantification et de codage est établi dans [148] et avec les retards dans [32, 73].

En résumé, la commande des NCS par émulation présente l'avantage d'être simple à utiliser mais nécessite une bande passante élevée puisque les conditions sur le MATI sont généralement restrictives. Une alternative consiste à synthétiser le contrôleur et le protocole conjointement afin de véritablement prendre en compte les caractéristiques des NCS et de considérer de plus grands MATI: on parle de co-synthèse du contrôleur et du protocole.

### 4.2.2 Co-synthèse du contrôleur et du protocole

Une méthodologie pour la détermination d'une paire contrôleur de sortie dynamique / protocole est proposée pour les systèmes linéaires dans [41]. Les protocoles étudiés sont du type TOD mais pondérées, les poids étant des paramètres de la conception. Après avoir déduit des conditions nécessaires et suffisantes pour la stabilisation quadratique, des conditions suffisantes solubles numériquement sont obtenues sous forme d'inégalités matricielles. Les résultats sont appliqués à la commande par réseau d'un réacteur chimique et il est montré que les bornes sur le MATI sont beaucoup plus grandes que celles données par l'émulation. Lorsque plusieurs NCS, ayant chacun leur contrôleur directement connecté, transmettent leurs mesures via un canal commun, les travaux de [24] proposent des techniques de conception mutuelle, inspiré des résultats existants pour l'ordonnancement des processeurs (voir [11] par
exemple), permettant également de considérer retards et pertes des paquets. Une étude similaire est faite dans [206]. Dans [23], un cadre d'étude est développée pour la modélisation, l'analyse et la simulation de tels NCS.

## 4.3 Synthèse d'observateurs pour les NCS

### 4.3.1 Problématique et état de l'art

La plupart des techniques de stabilisation nécessitent la connaissance globale de l'état du système, or dans de nombreuses situations certaines variables ne sont pas mesurées (pour des raisons technologiques ou économiques) : les lois de commande par retour d'état ne sont dès lors pas applicables. Il est aujourd'hui reconnu que les observateurs peuvent fournir une réponse adaptée à ce problème. A partir d'un modèle dynamique du système et des mesures disponibles, ils permettent de reconstruire toutes les variables d'état. Les variables estimées peuvent ensuite être utilisées à des fins de stabilisation par couplage retour d'état/observateur, sous certaines conditions. Les observateurs ont également prouvé leur efficacité pour des problèmes de détection de pannes et de diagnostic dans des domaines d'application variées où l'objectif est d'estimer les variables afin de surveiller leur évolution. Pour les mêmes raisons que la commande des NCS, lorsque les données du système sont échangées via un réseau, les contraintes de communication doivent être prises en compte lors de la synthèse de l'observateur. La problématique est alors la suivante. Considérons un système multisortie pour lequel les capteurs transmettent leurs données via un réseau ordonnancé. Les mesures du système ne sont disponibles qu'à certains instants de transmission et de manière partielle puisque seul un nœud, c'est-à-dire un groupe de capteurs, communique ses données, voir Figure 4.2. L'objectif est de développer des observateurs sous de telles contraintes de communication.

Il n'existe aujourd'hui que quelques méthodes de synthèse d'observateurs pour les NCS. L'essentiel de ces travaux se concentre sur les systèmes linéaires stochastiques affectés par des pertes de paquets ou des retards modélisés par des distributions de probabilité données [75, 88, 128, 176, 209, 213]. Le cas des NCS ordonnancés est abordé dans [79], où un algorithme pour la synthèse d'un protocole de type RR est développé afin de préserver l'observabilité des systèmes linéaires discrets. Un observateur est ensuite obtenu à partir des techniques disponibles pour les systèmes à temps variant périodiques. Dans [69], des observateurs et protocoles stochastiques sont proposés pour des NCS ordonnancés afin de minimiser l'erreur de covariance de l'estimation pour des systèmes linéaires discrets. Récemment, le dual du problème de synthèse mutuelle du protocole et du contrôleur de [41] a été proposé pour l'observation des NCS linéaires dans [42]. Considérant des protocoles de type TOD pondérés, des conditions suffisantes sur les gains de l'observateur linéaire et les poids du protocole sont dérivées pour un MATI donné. Celles-ci sont exprimées sous forme d'inégalités matricielles qui permettent de déduire une paire protocole/observateur garantissant la reconstruction asymptotique des
états. A noter que récemment l'émulation de contrôleurs de sortie par bouclage avec un observateur a été étudiée pour les NCS quantifiés dans [117, 174] et la synthèse d'observateurs hybrides pour des NCS quantifiés dans [53].

Il n'existe donc pas aujourd'hui de méthode d'analyse générale des observateurs émulés pour les NCS. L'objectif de cette deuxième partie de thèse est de combler ce manque pour les NCS ordonnancés. Dans ce but, nous avons développé un nouveau cadre d'étude inspiré de celui de [151].

## 4.3.2 Cadre d'étude

### Présentation

L'analyse suit l'approche par émulation adoptée pour la commande des NCS dans [151, 199]. Considérons le système non linéaire continu suivant :

$$ \dot{x} = f_P(t,x,w) \quad (4.14) $$

$$ y = h_P(t,x), \quad (4.15) $$

où $x \in \mathbb{R}^{n_x}$ représente l'état, $y \in \mathbb{R}^{n_y}$ la sortie, $w \in \mathbb{R}^{n_w}$ un vecteur de perturbations, $n_x, n_y, n_w \in \mathbb{Z}_{>0}$. Dans un premier temps, un observateur est synthétisé en ignorant les contraintes de communication :

$$ \dot{z} = f_O(t,z,y,w) \quad (4.16) $$

$$ \bar{x} = h_O(t,z), \quad (4.17) $$

où $z \in \mathbb{R}^{n_z}$ est l'état de l'observateur et $\bar{x} \in \mathbb{R}^{n_x}$ l'estimé de l'état du système. En règle générale $n_z = n_x$, le cas où $n_z > n_x$ correspond aux observateurs par immersion qui ont par définition une dimension plus élevée que celle du système.

**Remarque 4.3.1** Pour modéliser les observateurs d'ordre réduit (il s'agit des observateurs pour lesquels les états mesurés ne sont pas reconstruits), nous devons modifier (4.16)-(4.17) de la façon suivante :

$$ \dot{z} = f_O(t,z,y,w) \quad (4.18) $$

$$ \bar{x} = h_O(t,z,y). \quad (4.19) $$

Dans ce cas, le problème n'aura pas de formulation finie dans les nouvelles coordonnées $(\xi, e, z)$, que nous allons introduire. Toutefois si les conditions des chapitres suivants sont vérifiées, les résultats pourront être appliqués.

**Remarque 4.3.2** Bien qu'en pratique, la sortie du système est souvent bruitée, (4.15) ne considère pas de perturbations. Cette modélisation se justifie par la possible utilisation préalable d'un filtre dont les dynamiques sont incluses dans (4.14).
Les contraintes de communication sont dans un second temps prises en compte. L'observateur n'a plus à disposition le vecteur y mais ŷ, le vecteur de mesures le plus récemment transmis via le réseau. Le problème s'écrit alors :

$$
\left.
\begin{aligned}
\dot{x} &= f_P(t,x,w) & \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \\
y &= h_P(t,x) \\
\dot{z} &= f_O(t,z,\hat{y},w) & \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \\
\bar{x} &= h_O(t,z) \\
\dot{\hat{y}} &= \hat{f}_P(t,\hat{y},z,w) & \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \\
\hat{y}(t_i^+) &= \hat{y}(t_i) + h(i,e(t_i),z(t_i))
\end{aligned}
\right\}
\quad (4.20)
$$

où la séquence de transmission {$t_i$}$_{i \in \mathbb{Z}_{>0}}$ satisfait, pour $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ :

$$
v \le t_i - t_{i-1} \le \tau \quad \forall i \in \mathbb{Z}_{>0}, \quad (4.21)
$$

pour $v, \tau \in \mathbb{R}_{>0}$ fixés et $t_0$ l'instant initial. La constante $\tau$ correspond au MATI.

Les mesures étant réalisées par différents capteurs répartis dans l'espace, ceux-ci sont regroupés en l nœuds de capteurs, $l \in \{1, \dots, n_y\}$. Le vecteur de sortie, $y$, est décomposé comme suit $y = (y_1, y_2, \dots, y_l) (y_j \in \mathbb{R}^{n_j}$ et $\sum_{j \in \{1, \dots, l\}} n_j = n_y)$ (après avoir réordonner le vecteur de sortie si nécessaire) où les sous-vecteurs $y_j$ correspondent aux mesures envoyées par le même nœud $j$. Nous supposons, sans perte de généralité, que le réseau ne comporte qu'un seul nœud passif où un observateur est placé. A chaque instant de transmission, un unique nœud est autorisé par le protocole à transmettre ses données, voir Figure 4.2. Entre deux instants de transmission, $\hat{y}$ est définie par la fonction de blocage $\hat{f}_P$ considérée.

**Remarque 4.3.3** En pratique, l'observateur est implémenté numériquement, une modélisation en temps discret semble donc appropriée. Cependant, compte tenu des constantes de temps du système et du réseau ainsi que des vitesses de calculs des ordinateurs disponibles de nos jours, un modélisation en temps continu est souvent tout à fait raisonnable.

**Remarque 4.3.4** Il est implicitement supposé dans tout cette seconde partie de thèse que les observateurs émulés ont besoin de connaître le vecteur y complet pour fonctionner : aucun nœud ne peut être ignoré. Dans le cas des observateurs linéaires par exemple, le système ne sera pas observable à partir de chaque nœud ou groupes de nœuds pris séparément, mais de tous réunis.