# Étude par simulation directe de l'interaction turbulence/surface plane sans cisaillement en vue de l'analyse des transferts intercomposantes

Gaelle Campagne, Jean-Bernard Cazalbou, Laurent Joly, Patrick Chassaing

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Gaelle Campagne, Jean-Bernard Cazalbou, Laurent Joly, Patrick Chassaing. Étude par simulation directe de l'interaction turbulence/surface plane sans cisaillement en vue de l'analyse des transferts intercomposantes. 17e Congrès Français de Mécanique, Aug 2005, Troyes, France. hal-04038785

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# Étude par simulation directe de l'interaction turbulence/surface plane sans cisaillement en vue de l'analyse des transferts intercomposantes

Gaëlle Campagne, Jean-Bernard Cazalbou, Laurent Joly & Patrick Chassaing

École Nationale Supérieure d'Ingénieurs de Constructions Aéronautiques
Département de Mécanique des Fluides
1 place Emile Blouin 31056 Toulouse
gaëlle.campagne@ensica.fr

## Résumé :

Cette communication présente une simulation directe de l'interaction turbulence/surface plane sans cisaillement. L'originalité de la configuration étudiée tient au fait que la turbulence est entretenue à distance par un forçage aléatoire localisé au voisinage d'un plan de l'espace parallèle à la surface. L'écoulement est donc statistiquement stationnaire et la couche de surface continûment alimentée par diffusion turbulente. On donne les premiers résultats de simulation obtenus. On discute de la pertinence de ces résultats pour l'interprétation des mécanismes de transfert énergétique intercomposantes au voisinage d'une surface de blocage.

## Abstract :

In this paper, direct numerical simulation is used to study the interaction between turbulence and a free surface. The configuration is original due to the fact that a random force generates turbulence in the vicinity of a plane parallel to the free surface. Turbulence is therefore statistically steady and the surface layer is continuously fed by turbulent diffusion. It is shown that the results obtained with this method can help the understanding of intercomponent energy-transfer phenomena.

## Mots-clefs :

turbulence ; simulation directe ; surface libre ; forçage aléatoire

## 1 Introduction

Dans un écoulement pleinement turbulent, non confiné, et pour des niveaux d'anisotropie modérés, on observe que le transfert intercomposantes associé aux corrélations pressiondéformation est assimilable à un mécanisme linéaire de retour à l'isotropie. Il n'en va pas de même lorsque l'écoulement s'effectue à proximité d'une surface imperméable (surface de blocage) : dans ce cas, le transfert intercomposantes ne s'effectue conformément au mécanisme de retour à l'isotropie qu'au delà d'une certaine distance, il est sensiblement affecté (voire inversé) au voisinage de la surface. On invoque traditionnellement l'effet d'impact (splat effect) pour expliquer cette modification dans la nature du transfert intercomposantes : des masses de fluide portées par des fluctuations normales à la surface transfèrent leur énergie dans les directions tangentielles lorsqu'elles rencontrent la surface. Cette interprétation a été remise en cause en 1995 par les travaux de simulation directe de Perot et Moin [1] : les évènements d'impacts sont nécessairement associés à des éjections (antisplat) ayant un effet inverse, le déséquilibre entre les deux types d'évènements serait faible et ne pourrait être déterminé que par les effets visqueux, actifs au voisinage immédiat de la surface. L'année suivante, ces conclusions ont été modérées par Walker, Leighton et Garza-Rios [2] : sur des champs obtenus par simulation directe dans la même configuration — mais aux temps courts —, le transfert intercomposantes
est plus intense, il existe un déséquilibre net entre impacts et éjections, toujours favorable aux premiers, et qui ne saurait être réglé par la viscosité. Les résultats de distortion rapide obtenus récemment par Magnaudet [3] semblent confirmer ce point.

La présente étude a été entreprise pour réexaminer cette question dans une situation plus en rapport avec les applications, c'est-à-dire quand la turbulence est entretenue à distance : les simulations de Perot et Moin et de Walker *et al*. mettent en jeu une turbulence en décroissance à partir de l'instant initial où la surface est insérée. Il s'agira à terme d'identifier les structures turbulentes responsables du caractère inhabituel du transfert intercomposantes dans la couche de blocage et d'en inférer des voies d'amélioration pour la modélisation des corrélations pression-déformation. Dans la suite de cette communication, on présentera d'abord les méthodes numériques utilisées, pour passer ensuite à la présentation des premiers résultats de simulation. Enfin on évoquera les perspectives de l'étude sur le transfert intercomposantes au voisinage de la surface.

## 2 Méthodes numériques

### 2.1 Géométrie du problème

Le domaine de calcul est un parallélépipède rectangle, dans lequel la taille de maille est constante dans chaque direction. Les directions $x$ et $y$ sont traitées à l'identique, elles sont périodiques, de période $2\pi$ (ce qui permet de travailler avec des nombres d'onde entiers). La direction $z$ est la direction dans laquelle on a placé une surface plane sans cisaillement (surface libre), à chaque extrémité du domaine de calcul. Ainsi pour chaque cas d'étude, on pourra cumuler les statistiques au voisinage des deux surfaces. Le forçage s'effectuera dans une zone centrale parallèle aux deux surfaces libres et d'épaisseur finie en $z$ (cf. 2.3).

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG. 1 – Définition du domaine de calcul.</figcaption></figure>

### 2.2 Code de calcul

Nous avons mis au point précédemment dans le laboratoire [4] un code de calcul basé sur une méthode pseudo-spectrale, désormais classique depuis Orszag et Patterson [5], où les dérivées spatiales sont calculées dans l'espace spectral et les termes non-linéaires dans l'espace physique. Nous appliquons la méthode de troncature selon la règle des $2/3$ pour supprimer les erreurs de recouvrement, introduites par la méthode pseudo-spectrale. On choisit des conditions aux limites périodiques dans les deux directions $x$ et $y$ de l'espace. La direction $z$ subit un traitement particulier pour la représentation des surfaces de blocage. Les grandeurs calculées sont en effet décomposées selon $z$ en sinus et cosinus suivant leur parité. Ainsi les vitesses horizontales sont paires, et la vitesse verticale impaire, ce qui réalise les conditions de blocage : $w(0) = 0$ et $w(2\pi) = 0$.
## 2.3 Méthode de forçage

On trouve dans la littérature différentes méthodes permettant de forcer une turbulence homogène isotrope. Nous utilisons la méthode d'Alvélius [6] : une force volumique aléatoire est introduite dans l'espace spectral, aux faibles nombres d'onde, avec une distribution prédéterminée $E = \exp[-(\kappa - \kappa_f)^2/c]$ où $\kappa_f$ est le nombre d'onde de forçage maximum, et c un facteur de concentration, fixé ici à 0,05. Par construction, cette force est à divergence nulle afin d'être cohérente avec le système d'équations à résoudre et d'éviter une modification du champ de pression. Ce forçage est d'abord introduit dans l'ensemble du domaine de calcul puis confiné, à l'aide d'une fonction porte, à la zone centrale : à l'intérieur de cette zone, la force reste inchangée, alors qu'elle est annulée à l'extérieur.

# 3 Résultats de simulation

On examinera l'évolution temporelle de statistiques volumiques prises sur l'ensemble du domaine, mais compte tenu de l'homogénéité horizontale, on est également fondé à pratiquer des statistiques horizontales. Ces dernières donnent accès à une information locale en z. La stationnarité permet également de faire converger ces statistiques spatiales par cumul d'échantillons prélevés à n instants. La convergence est ici obtenue par cumul de 100 échantillons temporels.

## 3.1 Nature du champ turbulent

La configuration retenue est la suivante :

- le domaine de calcul est de dimensions $2\pi^3$, avec une zone de forçage d'épaisseur $\pi/2$;

- le champ turbulent est discrétisé sur 192³ points et la résolution spatiale est isotrope :
  $$ \Delta x = \Delta y = \Delta z; $$

- l'énergie volumique injectée par le forçage à chaque pas de temps est $P = 0,1$;

- le spectre du forçage s'étend de $\kappa = 2$ à $\kappa = 6$ avec un maximum en $\kappa_f = 4$;

- le critère de résolution des plus petites échelles est $\kappa_{max}\eta = 2$, où $\kappa_{max} = n_x/3$ pour éviter les problèmes de recouvrement.

- le nombre de Reynolds de turbulence dans la zone de forçage $Re_f = u_f \ell_f / \nu$ vaut 410 (où $\ell_f$ est construite à partir des valeurs de l'énergie cinétique turbulente et de la dissipation dans la zone de forçage : $\ell_f = k_f^{3/2} / \epsilon_f$).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIG. 2 – Spectre énergétique tridimensionnel à $t^* = 60$ ($t^*$ est un temps adimensionnel, normé par un temps caractéristique des structures injectées par forçage).</figcaption></figure>
Sur la Figure 2, le spectre énergétique tridimensionnel du champ turbulent établi dans notre domaine de calcul présente un début de plage de décroissance en -5/3, caractéristique d'une turbulence pleinement développée. L'étendue de cette plage augmentera avec le nombre de Reynolds de la simulation. Aux grands nombres d'onde, on observe une augmentation importante de la pente, caractéristique de la coupure dissipative. A la frontière de résolution du spectre, paraît une légère remontée du spectre, typique d'une sous-résolution aux plus grands nombres d'onde. La Figure 3 présente les évolutions temporelles des trois composantes de la vitesse en

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIG. 3 – Evolution temporelle des trois composantes de la vitesse en moyenne volumique, normalisées par leurs écarts-types : U (—), V (–), W (–).</figcaption></figure>

moyenne volumique, normalisées par les écarts-types correspondants. Idéalement, le type de forçage utilisé doit conduire à des vitesses moyennes nulles, ceci est obtenu ici à moins de 0,3% près. Sur la Figure 4, on a tracé l'évolution en fonction du temps de l'énergie cinétique turbu-

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIG. 4 – Évolution temporelle de l'énergie cinétique turbulente normalisée par la valeur finale de sa moyenne volumique, en moyenne volumique (—) et en moyenne horizontale dans le plan z = 0 (–).</figcaption></figure>

lente en moyenne volumique normalisée par sa valeur finale, et sa moyenne horizontale dans le plan z = 0 normalisée par la même valeur. Partant d'un champ de vitesse nulle, le forçage génère de la turbulence dans la zone centrale, et au bout de 5 temps caractéristiques, les niveaux d'équilibre statistique temporel des deux grandeurs semblent être atteints.

On donne en Figure 5-a les profils d'énergie cinétique turbulente et de dissipation en moyenne horizontale. Comme on pouvait s'y attendre, ces deux grandeurs prennent leurs valeurs maximales dans la zone de forçage, elle décroissent ensuite en étant diffusées vers les deux surfaces
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIG. 5 – (a) Évolution verticale de l'énergie cinétique turbulente (—) et du montant de la dissipation (–), et (b) Evolution verticale du facteur d'isotropie, grandeurs moyennées dans les plans horizontaux (les traits horizontaux (···) correspondent à la limite de la zone de forçage).</figcaption></figure>

libres. On pourrait observer que la décroissance de l'énergie cinétique turbulente est inhibée par la présence de ces deux surfaces, au voisinage desquelles elle réaugmente légèrement. S'agissant de la dissipation, il apparaît des pics très nets aux frontières de la zone de forçage ; cet effet reste inexplicué mais est certainement à mettre en relation avec le confinement « brutal » du forçage par une fonction porte.

La Figure 5-b montre l'évolution verticale de l'isotropie du champ de vitesse, définie par $I(z) = \frac{2w(z)}{u(z)+v(z)}$, où $u, v, w$ sont les écarts-types des trois composantes du champ de vitesse turbulent. À partir de la zone centrale où le coefficient d'isotropie reste proche de l'unité, on observe qu'il augmente légèrement pour atteindre un maximum de l'ordre de 1,2. Ceci traduit le fait que la composante $w$ est plus importante que les deux autres ; ce résultat est cohérent avec les expériences de diffusion de turbulence à partir d'une source plane (expériences de grille oscillante, voir par exemple De Silva et Fernando [7]) où le coefficient d'anisotropie s'établit dans la plage 1,1–1,3. Après avoir atteint son maximum, l'isotropie chûte jusqu'à s'annuler sur les surfaces libres ; cette plage de décroissance correspond à la zone affectée par les effets de blocage, et vaut $0,46\ell_f$.

## 3.2 Indépendance au maillage

L'indépendance au maillage a été testée en simulant l'écoulement à $Re_f = 350$ avec deux maillages différents : 128³ et 192³, la viscosité étant celle fixée par le critère $\kappa_{max}\eta = 2$ dans le cas le moins résolu.

On remarque sur la Figure 6-a que les évolutions temporelles de l'énergie cinétique turbulente en moyenne volumique et dans le plan central du forçage conduisent aux mêmes niveaux d'équilibre pour les deux résolutions. De même, pour le spectre énergétique tridimensionnel de la turbulence (cf. Figure 6-b), on constate qu'ils coïncident pour les deux résolutions choisies. En outre, on observe que la légère remontée du spectre en limite de résolution obtenu avec le maillage le plus grossier n'influence pas le reste du spectre ; de plus, les autres résultats présentés ne semblent pas affectés par cette sous-résolution. Ceci valide donc le critère de résolution retenu.
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIG. 6 – (a) Evolution temporelle des énergies cinétiques turbulentes, normalisées par la valeur finale de la moyenne volumique, en moyenne volumique et dans le plan $z = 0$, et (b) Spectre énergétique tridimensionnel à $t^* = 60$. $N_x \times N_y \times N_z = 128^3$ (—), $N_x \times N_y \times N_z = 192^3$ (—).</figcaption></figure>

## 4 Conclusions

Les résultats présentés permettent l'étude de l'interaction turbulence/surface libre dans le cas où la turbulence est maintenue et l'écoulement résultant statistiquement stationnaire : ils sont validés du point de vue de l'indépendance au maillage et l'extension de la zone affectée par l'effet de blocage est significative (de l'ordre de l'échelle intégrale dans la région source). Les pics de dissipation obtenus en frontière de zone forcée ne semblent pas de nature à perturber l'écoulement dans la couche de blocage. Néanmoins on s'attachera à les éliminer par un confinement moins abrupt du forçage avant de procéder à la construction des bilans des tensions de Reynolds, nécessaires à une étude plus approfondie des structures énergétiques existantes à la surface.

## Références

[1] B. Perot and P. Moin. Shear-free turbulent boundary layers. part 1. Physical insights into near-wall turbulence. *J. Fluid Mech.*, 295:199-227, 1995.

[2] D. T. Walker, R. I. Leighton, and L. O. Garza-Rios. Shear-free turbulence near a flat free surface. *J. Fluid Mech.*, 320:19-51, 1996.

[3] J. Magnaudet. High-Reynolds-number turbulence in a shear-free boundary layer : revisiting the Hunt-Graham theory. *J. Fluid Mech.*, 484:167-196, 2003.

[4] L. Bretonnet, L. Joly, and P. Chassaing. Direct numerical simulation of inertia-sensitive turbulence. *European Turbulence Conference, July 2-5, Southampton, UK*, (71), 2002.

[5] S. A. Orszag and G. S. Patterson. Numerical simulation of three-dimensional homogeneous isotropic turbulence. *Phys. Rev. Lett.*, 28(2):76-79, 1972.

[6] K. Alvelius. Random forcing of three-dimensional homogeneous turbulence. *Phys. Fluids*, 11(7):1880-1889, 1999.

[7] I. P. D. De Silva and H. J. S. Fernando. Oscillating grids as a source of nearly isotropic turbulence. *Phys. Fluids*, 6(7):2455-2464, 1994.