SUR LE TYPE DIFFÉRENTIEL ANALLAGMATIQUE
D'UNE COURBE PLANE OU GAUCHE

PAR

E. ČECH (PRAGUE)

Une courbe $C$ de l'espace euclidien $E_n$ sera appelée ponctuellement régulière si on peut exprimer les coordonnées $x_1, x_2, ..., x_n$ d'un point de $C$ en fonctions $n$ fois continûment différentiables d'un paramètre $l$ tel que le déterminant $|dx_j/dl^j|$ soit partout $\neq 0$. Une telle courbe $C$ possède en chaque point $T_0$ une tangente $T_1$, un plan osculateur $T_2$, ..., un hyperplan osculateur $T_{n-1}$. Chaque transformée projective de $C$ est aussi ponctuellement régulière; s'il en est de même aussi pour les transformées dualistiques de $C$, nous appellerons $C$ projectivement régulière. $C$ possède alors des paramètres $l$ projectivement réguliers qui ont la propriété suivante: pour chaque $i$ ($0 \le i \le n-1$), les coordonnées non-homogènes de $T_i$ sont des fonctions continûment différentiables (au moins une fois) et pour chaque $l$, la dérivée d'une au moins de ces fonctions est différente de zéro. Pour chaque paramètre $l$ projectivement régulier et pour $0 \le i \le n-1$ posons, $r_i(l) = \infty$ si les coordonnées non homogènes de $T_i(l)$ sont infiniment différentiables, et $r_i(l) = r(= 1, 2, ...)$ si ces coordonnées admettent des dérivées continues d'ordre $r$, mais non d'ordre $r+1$; soit $r_i(C)$ la valeur maximum de $r_i(l)$ si $l$ parcourt tous les paramètres projectivement réguliers de $C$.

On voit sans peine que, si $r_i(C) = \infty$ pour une valeur de $i$, il en est de même pour chaque $i$ ($0 \le i \le n-1$) et que, si $r_i(C) < \infty$, on a $|r_i(C) - r_{i+1}(C)| \le 1$ pour chaque $i$ ($0 \le i \le n-2$). Mais le problème consistant à déterminer, pour tout $n$, les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il existe une $C \subset E_n$ projectivement régulière telle que les nombres $r_i(C)$ ($0 \le i \le n-1$) aient des valeurs données est très difficile. Pour $n=2, 3, 4$, on connaît ces conditions (voir mes Mémoires [1], [2]) que je vais rappeler ici pour $n=2$ et pour $n=3$.

Posons $r = \min_{0 \le i \le n-1} r_i(C)$ et supposons $r < \infty$. Pour $n=2$, on a $r_0(C) = r_1(C) = r \ge 2$. Si $r_0(l) = r$, on a $r_1(l) = r-1$; si $r_1(l) = r$, on a $r_0(l) = r-1$.
Pour $n=3$, on a $2 \le r \le \infty$. Pour $r < \infty$, quatre cas sont possibles:

I. On a $r_0(C) = r_1(C) = r_2(C) = r$. Si $r_0(l) = r$, on a $r_1(l) = r_2(l) = r-1$. Si $r_1(l) = r$, on a $r_0(l) = r_2(l) = r-1$. Si $r_2(l) = r$, on a $r_0(l) = r_1(l) = r-1$.

II. On a $r_0(C) = r_1(C) = r_2(C) = r$. Si $r_0(l) = r$, on a $r_1(l) = r-1$, $r_2(l) = r$. Si $r_1(l) = r$, on a $r_0(l) = r_2(l) = r-1$. Si $r_2(l) = r$, on a $r_0(l) = r$, $r_1(l) = r-1$.

III. On a $r_0(C) = r+1$, $r_1(C) = r_2(C) = r$. Si $r_0(l) = r+1$, on a $r_1(l) = r$, $r_2(l) = r-1$. Si $r_1(l) = r$, on a $r_0(l) \ge r$, $r_2(l) = r-1$. Si $r_2(l) = r$ on a $r_0(l) = r_1(l) = r-1$.

IV. On a $r_0(C) = r_1(C) = r$, $r_2(C) = r+1$. Si $r_0(l) = r$, on a $r_1(l) = r_2(l) = r-1$. Si $r_1(l) = r$, on a $r_0(l) = r-1$, $r_2(l) \ge r$. Si $r_2(l) = r+1$, on a $r_0(l) = r-1$, $r_1(l) = r$.

Aux notions précédentes de nature projective correspondent des
notions analogues appartenant à la géométrie anallagmatique (géométrie
du groupe de Möbius). Une courbe $C \subset E_n$ sera dite anallagmatiquement
régulière si $C$ est la projection stéréographique d'une courbe $\Gamma \subset E_{n+1}$
projectivement régulière, située sur une hypersphère de $E_{n+1}$. Pour simpli-
fier le langage, supposons que $C$ soit non seulement anallagmatiquement,
mais aussi projectivement régulière. Une telle $C \subset E_n$ possède en chaque
point $K_0$ un cercle osculateur $K_1, \dots$, une hypersphère osculatrice $K_{n-1}$.
$C$ possède des paramètres anallagmatiquement réguliers qui ont la pro-
priété suivante: pour chaque $i$ ($0 \le i \le n-1$), les coordonnées non-ho-
mogènes de $K_i(l)$ sont des fonctions continûment différentiables (au moins
une fois) et pour chaque $l$ la dérivée d'une au moins de ces fonctions
est $\ne 0$. Pour chaque paramètre $l$ anallagmatiquement régulier et pour
$0 \le i \le n-1$ posons $s_i(l) = \infty$ si les coordonnées non homogènes de
$K_i(l)$ sont infiniment différentiables, et $s_i(l) = s$ ($= 1, 2, 3, \dots$) si elles
ont des dérivées continues d'ordre $s$, mais non d'ordre $s+1$; soit $s_i(C)$
la valeur maximum de $s_i(l)$ si $l$ parcourt tous les paramètres anallagma-
tiquement réguliers de $C$. On a donc $s_0(C) = r_0(C)$. Si $s_i(C) = \infty$ pour
une valeur de $C$, on a $s_i(C) = \infty$ pour chaque $C$ ($0 \le i \le n-1$). Si
$s_i(C) < \infty$, on a $|s_0(C)-s_1(C)| \le 2$ et $|s_i(C)-s_{i+1}(C)| \le 1$ ($1 \le i \le n-2$).

Pour $n=2$ et pour $n=3$, je vais indiquer les relations nécessaires
et suffisantes entre les nombres $s_i(C)$ ($0 \le i \le n-1$). Les démonstrations
seront publiées ailleurs. Posons $s = \min_{0 \le i \le n-1} s_i(C)$ et admettons $s < \infty$.

Pour $n=2$, on a $s_0(C) = s+1$, $s_1(C) = s \ge 2$. Si $s_0(l) = s+1$, on a
$s_1(l) = s-1$. Si $s_1(l) = s$ on a $s_0(l) = s-1$.

Pour $n=3$, on a $2 \le s \le \infty$. Pour chaque $s < \infty$, quatre cas sont
possibles:

I. $s_0(C) = s+2$, $s_1(C) = s_2(C) = s$. Si $s_0(l) = s+2$, on a $s_1(l) = s$, $s_2(l) = s-1$. Si $s_1(l) = s$, on a $s_0(l) \ge s$, $s_2(l) = s-1$. Si $s_2(l) = s$, on a $s_0(l) = s_1(l) = s-1$.

II. $s_0(C) = s+1$, $s_1(C) = s_2(C) = s$. Si $s_0(l) = s+1$, on a $s_1(l) = s_2(l) = s-1$. Si $s_1(l) = s$, on a $s_0(l) = s_2(l) = s-1$. Si $s_2(l) = s$, on a $s_0(l) = s_1(l) = s-1$.

III. $s_0(l) = s+1$, $s_1(l) = s_2(l) = s$. Si $s_0(l) = s+1$, on a $s_1(l) = s-1$, $s_2(l) = s$. Si $s_1(l) = s$, on a $s_0(l) = s_2(l) = s-1$. Si $s_2(l) = s$, on a $s_0(l) \ge s$, $s_1(l) = s-1$.

IV. $s_0(l) = s_2(l) = s+1$, $s_1(l) = s$. Si $s_0(l) = s+1$, on a $s_1(l) = s_2(l) = s-1$. Si $s_1(l) = s$, on a $s_0(l) = s-1$, $s_2(l) \ge s$. Si $s_2(l) = s+1$, on a $s_0(l) = s-1$, $s_1(l) = s$.

TRAVAUX CITÉS

[1] E. Čech, *Détermination du type différentiel d'une courbe à deux, trois ou quatre dimensions*, Czechoslovak Mathematical Journal **7** (82) (1957), n° 4, p. 599-631.

[2] — *Classe différentielle des courbes. Sections et projections*, Revue de Mathématiques pures et appliquées **2** (1957), p. 151-159.

Reçu par la *Rédaction le 30. 11. 1957*