ANNALES
DE LA FACULTÉ
DES SCIENCES
DE TOULOUSE
Mathématiques

THIERRY BOUSCH

Le lemme de Mañé-Conze-Guivarc'h pour les systèmes amphidynamiques rectifiables

Tome XX, n° 1 (2011), p. 1-14.

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# Le lemme de Mañé-Conze-Guivarc'h pour les systèmes amphidynamiques rectifiables

THIERRY BOUSCH$^{(1)}$

**RÉSUMÉ.** — On démontre le lemme de Mañé-Conze-Guivarc'h (en classe Lipschitz) pour les systèmes amphidynamiques vérifiant une certaine condition d'hyperbolicité : la « rectifiabilité ». Diverses applications sont données.

**ABSTRACT.** — The Mañé-Conze-Guivarc'h lemma (in Lipschitz class) is proved, for amphidynamical systems which satisfy some hyperbolicity condition, called "rectifiability". Various applications are given.

## 1. Introduction

Le problème de l'«optimisation ergodique» consiste à trouver, parmi toutes les mesures de probabilité invariantes d'un système dynamique donné $T: X \to X$, celles qui minimisent l'intégrale d'une fonction $u: X \to \mathbb{R}$ donnée [Bo1, YH]. L'existence de ces mesures est garantie par des arguments abstraits, dans une très grande généralité ($X$ compact non vide, $T, u$ continues), mais leur détermination explicite est un problème difficile. Ce n'est possible qu'avec des hypothèses additionnelles sur la dynamique ($T$ dilatante ou hyperbolique) et sur la régularité de $u$ (condition de Hölder, ou de Walters), et grâce à un résultat essentiel, le théorème (ou lemme) de Mañé-Conze-Guivarc'h.

<footnote>(*) Reçu le 30/07/2007, accepté le 30/06/2009</footnote>

<footnote>Ce travail a été réalisé dans le cadre du projet ANR blanc "Hamilton-Jacobi et théorie KAM faible".</footnote>

<footnote>(1) Laboratoire de Mathématique (UMR 8628 du CNRS), bât. 425/430, Université de Paris-Sud, 91405 Orsay Cedex, France
Thierry.Bousch@math.u-psud.fr</footnote>
Parfois attribué à Mañé [Man], il apparaît pour la première fois (à ma connaissance) dans un préprint de Conze et Guivarc'h [CG], essentiellement sous la forme suivante : si $T$ est dilatante et $u$ hölderienne, et si $u$ est de moyenne positive sur toute orbite périodique, alors $u \ge vT - v$ pour une certaine fonction $v : X \to \mathbb{R}$, hölderienne de même exposant que $u$, et avec une constante comparable.

De nombreuses variantes et extensions de ce résultat ont été obtenues indépendamment [Bo1, Bo2, CLT, LT1, LT2, Sav], et on pourrait également mentionner [Bar, BM, Fat, Lei] dans des domaines voisins (contrôle optimal, IFS topicaux, systèmes lagrangiens). La plupart de ces énoncés concernent le cas où $T$ est dilatante. Quand $T$ est seulement hyperbolique, le « lemme de Mañé version hyperbolique » de [Bo2] affirme l'existence d'une solution $v$ continue, si $u$ est Walters, mais sans donner de module de continuité explicite.

Toujours dans le cas où $T$ est hyperbolique, un article plus récent de Lopes et Thieullen [LT1] affirme qu'il existe une solution $v$ hölderienne, si $u$ est hölderienne, mais avec un exposant plus petit que celui de $u$, et [LT2] donne un résultat analogue pour les flots hyperboliques.

Ces résultats pessimistes sont à comparer au théorème de Lifchitz [Liv], qui affirme que si l'équation $u = vT - v$ a une solution, alors $v$ est aussi régulière que $u$, et ce aussi bien dans le cas hyperbolique que dans le cas dilatant. D'autre part, le théorème de Yuan et Hunt [YH] sur l'instabilité des mesures minimisantes non-périodiques repose, dans sa démonstration originale, sur des estimations qui suggèrent l'existence d'une solution $v$ de l'inéquation cohomologique $u \ge vT - v$ ayant même régularité que $u$ (même exposant de Hölder, et constantes comparables). Quant à la nouvelle démonstration que j'ai proposée récemment de ce théorème [Bo3], elle repose de manière essentielle, et explicite, sur un lemme de Mañé-Conze-Guivarc'h où il n'y a aucune perte de régularité entre $u$ et $v$. Voilà autant de motivations pour chercher à améliorer le résultat de [LT1].

Le but du présent article est justement de montrer que, sous une certaine hypothèse d'hyperbolicité de $T$, que j'appelle rectifiabilité, il existe $v$ aussi régulière que $u$. Plus précisément, on suppose $u$ lipschitzienne de constante $\le 1$ (quitte à modifier la distance sur $X$), et on montre qu'il existe $v$ lipschitzienne, de constante bornée, vérifiant l'inéquation cohomologique. Ce théorème, qui est strictement plus fort que celui de [LT1], est précisément celui dont j'ai besoin (et que j'avais promis) dans [Bo3].

Le théorème de Mañé-Conze-Guivarc'h sera ici énoncé dans le cas des systèmes amphidynamiques, qui consistent en la donnée de deux espaces
métriques compacts et deux fonctions continues $X_0 \xrightarrow{\partial_0} X_1 \xrightarrow{\partial_1} X_0$. Ce formalisme a été introduit dans [Bo3] afin d'unifier les énoncés et les preuves concernant les systèmes dynamiques, qui correspondent à $X_0 \xrightarrow{\mathrm{Id}} X_0 \xrightarrow{T} X_0$, et une classe de modèles, considérés notamment par Leizarowitz [Lei], qui correspondent à $X_0 \xrightarrow{\pi_0} X_0^2 \xrightarrow{\pi_1} X_0$, où $\pi_0, \pi_1$ sont les projections naturelles, et peuvent être vus comme des systèmes lagrangiens à temps discret. Pour un système amphidynamique, l'inéquation cohomologique s'écrit $u \ge v\partial_1 - v\partial_0$, où $u : X_1 \to \mathbb{R}$ est la fonction donnée et $v : X_0 \to \mathbb{R}$ la fonction inconnue.

Le premier résultat de cet article, le lemme 1.1, montre en toute généralité que l'existence de $v$ (avec un module de continuité prescrit) équivaut à un ensemble d'inégalités concernant non seulement les orbites, mais aussi toutes les pseudo-orbites du système (amphi)dynamique considéré. Sa démonstration, en substance, revient à se ramener au cas $X_0 \xrightarrow{\pi_0} X_0^2 \xrightarrow{\pi_1} X_0$, ce qui illustre encore l'importance et le caractère « universel » de ces systèmes amphidynamiques particuliers.

Dans le chapitre 2, j'introduis la notion de rectifiabilité, sorte de condition d'hyperbolicité de nature métrique, ne nécessitant aucune structure différentiable sur $X_0$ ou $X_1$, et donc utilisable aussi bien sur des variétés que des laminations ou des cantors. Cette condition, assez facile à vérifier en pratique, entraîne un « lemme de poursuite » (lemme 2.1) permettant de « rectifier » les pseudo-orbites en de vraies orbites, à quelques détails près.

De ces deux lemmes on déduit le théorème principal (théorème 3.1), avec quelques complications techniques quand la distance limite de rectification $L$ est finie ; cela fait l'objet du chapitre 3.

Enfin, le chapitre 4 donne divers exemples de systèmes amphidynamiques rectifiables : les multigraphes finis, les systèmes $X_0 \xrightarrow{\pi_0} X_0^2 \xrightarrow{\pi_1} X_0$, les sous-décalages unilatères et bilatères de type fini, les applications dilatantes, les difféomorphismes d'Anosov, ainsi que certaines correspondances particulières.

**LEMME 1.1.** — *Soit $(X_0, d)$ un espace métrique, $X_1$ un ensemble, $\partial_0, \partial_1 : X_1 \to X_0$ et $u : X_1 \to \mathbb{R}$ des fonctions. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :*

(i) Pour tout $n \ge 1$ et toute suite $(x_i)_{i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$ d'éléments de $X_1$,

$$ \sum_{i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} u(x_i) + \sum_{i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} d(\partial_1 x_i, \partial_0 x_{i+1}) \ge 0 \quad (1.1) $$

(ii) Il existe une fonction 1-lipschitzienne $v : X_0 \to \mathbb{R}$ telle que $u \ge v\partial_1 - v\partial_0$.
Démonstration. — (ii)⇒(i). Supposons $u \ge v\partial_1 - v\partial_0$ avec $v$ 1-lipschitzienne. Pour toute suite $(x_i)_{i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$, on a

$$ 
\begin{aligned}
\sum_i u(x_i) &\ge \sum_i v\partial_1(x_i) - v\partial_0(x_i) = \sum_i v\partial_1(x_i) - v\partial_0(x_{i+1}) \\
&\ge \sum_i -d(\partial_1 x_i, \partial_0 x_{i+1})
\end{aligned}
 $$

qui est l'inégalité cherchée.

(i)⇒(ii). Supposons les inégalités (1.1) satisfaites. Ecartons immédiatement les cas triviaux où $X_0$ ou $X_1$ est vide, et choisissons un point $p$ dans $X_0$. Soient $v_0, v_1, v_2, \dots : X_0 \to [-\infty, \infty[$ les fonctions définies par

$$ 
\begin{aligned}
v_0(x) &= d(p, x) \\
v_{n+1}(x) &= \inf_{s \in X_1} v_n(\partial_0 s) + u(s) + d(\partial_1 s, x)
\end{aligned}
 $$

et $v : X_0 \to [-\infty, \infty[$ leur borne inférieure.

Les fonctions $v_n$ sont 1-lipschitziennes, i.e. satisfont $v_n(y) \le v_n(x) + d(x, y)$ pour tous $x, y$, et donc $v$ aussi. Les inégalités (1.1) entraînent $v_n(p) \ge 0$ pour tout $n$, donc $v(p) \ge 0$ et par suite $v(x) \ge -d(p, x)$ pour tout $x$, ce qui montre que $v$ est à valeurs réelles. D'autre part, les inégalités

$$ v(x) \le v_{n+1}(x) \le v_n(\partial_0 s) + u(s) + d(\partial_1 s, x) $$

entraînent, par passage à la borne inférieure,

$$ v(x) \le v(\partial_0 s) + u(s) + d(\partial_1 s, x) $$

pour tous $x \in X_0$, $s \in X_1$. En particulier, pour $x = \partial_1 s$ on obtient

$$ v(\partial_1 s) \le v(\partial_0 s) + u(s) $$

pour tout $s \in X_1$, ce qu'il fallait démontrer. $\square$

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

## 2. Systèmes amphidynamiques rectifiables

Soient $(X_0, d_0)$ et $(X_1, d_1)$ deux espaces métriques compacts, et $\partial_0, \partial_1 : X_1 \to X_0$ deux fonctions continues. Disons que le système amphidynamique $X_0 \stackrel{\partial_0}{\rightleftharpoons} X_1 \stackrel{\partial_1}{\rightleftharpoons} X_0$ est L-rectifiable, pour un $L \in ]0, \infty[$ donné, s'il vérifie la propriété suivante : quels que soient $x, y \in X_1$ tels que $d_0(\partial_1 x, \partial_0 y) < L$, il existe $x', y' \in X_1$ tels que $\partial_1 x' = \partial_0 y'$ et

$$ d_1(x, x') + d_1(y, y') + d_0(\partial_0 x, \partial_0 x') + d_0(\partial_1 y, \partial_1 y') \le d_0(\partial_1 x, \partial_0 y). \quad (2.1) $$
Les systèmes amphidynamiques rectifiables satisfont le lemme de pour-suite (shadowing lemma) suivant.

LEMME 2.1. — Soient $(X_0, d_0)$ et $(X_1, d_1)$ deux espaces métriques compacts et $\partial_0, \partial_1 : X_1 \to X_0$ deux fonctions continues. On suppose que le système amphidynamique $X_0 \stackrel{\partial_0}{\rightleftharpoons} X_1 \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} X_0$ est L-rectifiable pour un certain $0 < L \le \infty$. Alors, pour tout $n \ge 2$ et toute suite $(x_i)_{i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$ d’éléments de $X_1$, il existe une suite $(y_i)_{i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$ d’éléments de $X_1$ vérifiant

$$ \sum_i d_1(x_i, y_i) + \sum_i d_0(\partial_1 y_i, \partial_0 y_{i+1}) \le \sum_i d_0(\partial_1 x_i, \partial_0 x_{i+1}) \quad (2.2) $$

et telle que, pour tout $i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, on a

$$ \partial_1 y_i = \partial_0 y_{i+1} \text{ ou bien } d_0(\partial_1 y_i, \partial_0 y_{i+1}) \ge L. $$

Notons en particulier que si les $(x_i)$ vérifient $\sum_i d_0(\partial_1 x_i, \partial_0 x_{i+1}) < L$, alors $(y_i)$ sera une orbite du système amphidynamique, i.e. $\partial_1 y_i = \partial_0 y_{i+1} \quad \forall i$.

Il ne faudrait pas être tenté de croire qu'on puisse se passer de l'hypothèse $n \ge 2$ dans le lemme. Le résultat n'est pas vrai pour $n = 1$; il existe notamment des systèmes amphidynamiques $\infty$-rectifiables sans point fixe (i.e. $\partial_0 x \ne \partial_1 x$ pour tout $x \in X_1$).

Démonstration. — Considérons l'ensemble $X = (X_1)^{\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$, muni de la distance de Manhattan

$$ d(s,t) = \sum_{i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} d_1(s_i, t_i) $$

et la fonction $\Phi : X \to \mathbb{R}$ définie par

$$ \Phi(t) = \sum_{i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} d_0(\partial_1 t_i, \partial_0 t_{i+1}). $$

Soit $x = (x_i)$, et $\Psi : X \to \mathbb{R}$ la fonction $t \mapsto \Phi(t) + d(x, t)$. L'ensemble

$$ \{t \in X : \Psi(t) = \operatorname{Inf} \Psi\} $$

est un sous-ensemble compact non vide de $X$, sur lequel la fonction $\Phi$ re-streinte atteint son minimum, en un point que je noterai $y$. Autrement dit, $y$ est tel que

$$ \forall z \in X \quad \Psi(z) > \Psi(y) \text{ ou } [\Psi(z) = \Psi(y) \text{ et } \Phi(z) \ge \Phi(y)]. \quad (2.3) $$
On a en particulier $\Psi(x) \ge \Psi(y)$, qui est précisément l'inégalité (2.2).

Il reste à voir que les distances $d_0(\partial_1 y_i, \partial_0 y_{i+1})$ sont toutes dans $\{0\} \cup [L, \infty[$. Raisonnons par l'absurde, en supposant qu'il existe un intérieur $i$ tel que $0 < d_0(\partial_1 y_i, \partial_0 y_{i+1}) < L$. D'après l'hypothèse de rectification, il existe $u, v \in X_1$ tels que $\partial_1 u = \partial_0 v$ et

$$d_1(y_i, u) + d_1(y_{i+1}, v) + d_0(\partial_0 y_i, \partial_0 u) + d_0(\partial_1 y_{i+1}, \partial_1 v) \le d_0(\partial_1 y_i, \partial_0 y_{i+1}). \quad (2.4)$$

Définissons alors $z = (z_j)$ de la façon suivante,

$$z_j = \begin{cases} y_j & \text{si } j \notin \{i, i+1\}, \\ u & \text{si } j = i, \\ v & \text{si } j = i+1, \end{cases}$$

si bien que $d(y, z) = d_1(y_i, u) + d_1(y_{i+1}, v) > 0$. Un calcul simple (dans lequel il est bon de distinguer les cas $n=2$ et $n > 2$) montre que

$$\Phi(y) - \Phi(z) \ge d_0(\partial_1 y_i, \partial_0 y_{i+1}) - d_0(\partial_0 u, \partial_0 y_i) - d_0(\partial_1 v, \partial_1 y_{i+1})$$

et cette inégalité, combinée avec (2.4), donne

$$\Phi(y) - \Phi(z) \ge d_1(y_i, u) + d_1(y_{i+1}, v) = d(y, z).$$

Sachant que $d(y, z) \ge d(x, z) - d(x, y)$ et d'autre part $d(y, z) > 0$, cela entraîne simultanément $\Psi(y) \ge \Psi(z)$ et $\Phi(y) > \Phi(z)$, en contradiction avec (2.3).

Il aurait été plus naturel d'utiliser le lemme d'Ekeland [Eke] pour établir le résultat, mais comme ici $X$ est compact, j'ai préféré en donner une preuve directe. $\square$

### 3. Le lemme de Mañé-Conze-Guivarc'h

**THÉORÈME 3.1.** — Soient $(X_0, d_0)$ et $(X_1, d_1)$ deux espaces métriques compacts non vides, et $\partial_0, \partial_1 : X_1 \to X_0$ deux fonctions continues. On suppose que le système amphidynamique $X_0 \stackrel{\partial_0}{\rightleftharpoons} X_1 \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} X_0$ est L-rectifiable, pour un certain $0 < L \le \infty$.

Soit $u : X_1 \to \mathbb{R}$ une fonction 1-lipschitzienne, vérifiant

$$\sum_{i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} u(x_i) \ge 0 \quad (3.1)$$

pour tout $n \ge 1$ et toute suite $(x_i)_{i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$ d'éléments de $X_1$ telle que $\partial_1 x_i = \partial_0 x_{i+1} \forall i$.
Alors il existe une fonction C-lipschitzienne $v : X_0 \to \mathbb{R}$ telle que
$u \ge v\partial_1 - v\partial_0$, avec

$$
C = (2N - 1) \max(1, \sup(-u/L)) \quad (3.2)
$$

où N est le cardinal maximum d'une partie de X₀ où toutes les distances mutuelles sont ≥ L. (En particulier, N = 1 et C = 1 quand L = ∞.)

Démonstration. — On pose $B = \max(1, \sup(-u/L))$, si bien que $C = (2N-1)B \ge B \ge 1$ et $u \ge -BL$. Montrons d'abord deux résultats auxiliaires, dont j'aurai besoin plus tard.

Premier résultat auxiliaire : soient $t_0, t_1, \dots, t_{n-1}$ des points de $X_1$, avec $n \ge 2$, vérifiant $\partial_1 t_i = \partial_0 t_{i+1} \quad \forall i \in [0, n-1[$ et $d_0(\partial_1 t_{n-1}, \partial_0 t_0) < L$. On a alors

$$
\sum_{0 \le i < n} u(t_i) \ge -d_0(\partial_1 t_{n-1}, \partial_0 t_0) > -L \ge -BL. \quad (3.3)
$$

En effet, d'après le lemme 2.1 et la remarque qui suit, il existe une orbite
$(z_i)_{i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$ telle que $\sum_i d_1(t_i, z_i) \le d_0(\partial_1 t_{n-1}, \partial_0 t_0)$, et par conséquent

$$
0 \le \sum_i u(z_i) \le \sum_i u(t_i) + \sum_i d_1(t_i, z_i) \le \sum_i u(t_i) + d_0(\partial_1 t_{n-1}, \partial_0 t_0)
$$

ce qui démontre (3.3).

Deuxième résultat auxiliaire : soient $t_0, t_1, \dots, t_{n-1}$ des points de $X_1$, avec $n \ge 1$, vérifiant $\partial_1 t_i = \partial_0 t_{i+1} \quad \forall i \in [0, n-1[$. J'affirme que

$$
\sum_{0 \le i < n} u(t_i) \ge -CL. \quad (3.4)
$$

En effet, soient $p_0, p_1, \dots, p_n$ les points de $X_0$ tels que $\partial_0 t_i = p_i$ et $\partial_1 t_i = p_{i+1}$ pour tout $i \in [0, n[$. Soit $w : \mathbb{N} \to [0, n]$ la fonction définie par

$$
\begin{align*}
w(0) &= 0 \\
w(k+1) &= \max(1 + \eta[w(k)], n)
\end{align*}
$$

où $\eta: [0, n] \to [0, n]$ est la fonction qui à tout indice $i$, associe le plus grand
indice $j$ tel que $d_0(p_i, p_j) < L$. Notons $s \ge 1$ le plus petit entier pour lequel
$\eta[w(s-1)] = n$. On a

$$
0 = w(0) < w(1) < \dots < w(s-1) \le w(s) = n.
$$
Les distances mutuelles entre les points $p_{w(0)}, \dots, p_{w(s-1)}$ sont toutes $\ge L$ ;
en effet, si $k, \ell$ sont deux indices dans $[0, s[$ tels que $k < \ell$, on a $w(\ell) \ge w(k+1) > \eta[w(k)]$ et par conséquent $d_0[p_{w(k)}, p_{w(\ell)}] \ge L$. Il en résulte
$s \le N$.

Nous pouvons maintenant écrire

$$
\sum_{0 \le i < n} u(t_i) = \sum_{0 \le k < s} \left[ \sum_{w(k) \le i < \eta w(k)} u(t_i) \right] + \sum_{0 \le k < s-1} u(t_{\eta w(k)}).
$$

Or toutes les sommes $\sum_{w(k) \le i < \eta w(k)} u(t_i)$ sont minorées par $-BL$, d'après (3.3) si la

somme contient au moins deux termes, et sinon (quand elle contient zéro ou
un terme) parce que $u \ge -BL$. Les termes $u(t_{\eta w(k)})$ sont également minorés
par $-BL$, et finalement,

$$
\sum_{0 \le i < n} u(t_i) \ge -(2s-1)BL \ge -(2N-1)BL
$$

ce qui démontre (3.4).

Revenons à la preuve du théorème 3.1. D'après le lemme 1.1, il s'agit de
montrer que *u* satisfait les inégalités

$$
\sum_i u(x_i) + C \sum_i d_0(\partial_1 x_i, \partial_0 x_{i+1}) \ge 0 \quad (3.5)
$$

pour tout $n \ge 1$ et toute suite $(x_i)_{i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}$ de points de $X_1$.

Nous pouvons omettre le cas $n=1$, qui est une conséquence des autres,
et supposer $n \ge 2$. Appliquons alors le lemme de poursuite (lemme 2.1). La
suite $(y_i)$ vérifie

$$
\frac{1}{C} \sum_{i} d_{1}(x_{i}, y_{i}) \le \sum_{i} d_{1}(x_{i}, y_{i}) \le \sum_{i} d_{0}(\partial_{1} x_{i}, \partial_{0} x_{i+1}) - \sum_{i} d_{0}(\partial_{1} y_{i}, \partial_{0} y_{i+1})
$$

et par conséquent

$$
\begin{align*}
& \sum_i u(x_i) + C \sum_i d_0(\partial_1 x_i, \partial_0 x_{i+1}) \\
& \ge \sum_i [u(y_i) - d_1(x_i, y_i)] + C \left[ \sum_i d_0(\partial_1 y_i, \partial_0 y_{i+1}) + \frac{1}{C} \sum_i d_1(x_i, y_i) \right] \\
& = \sum_i u(y_i) + C \sum_i d_0(\partial_1 y_i, \partial_0 y_{i+1})
\end{align*}
$$
et donc, pour démontrer l'inégalité (3.5), il suffit de démontrer l'inégalité
analogue

$$
\sum_i u(y_i) + C \sum_i d_0(\partial_1 y_i, \partial_0 y_{i+1}) \ge 0. \quad (3.6)
$$

Disons que $i \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un « bon indice » si $\partial_1 y_i = \partial_0 y_{i+1}$, et un « mauvais indice » dans le cas contraire, i.e. $d_0(\partial_1 y_i, \partial_0 y_{i+1}) \ge L$. Notons $M$ le nombre de mauvais indices. Si $M=0$, l'inégalité se réduit à $\sum_i u(y_i) \ge 0$, inégalité qui est satisfaite par hypothèse, puisque $(y_i)$ est une orbite.

Traitons maintenant le cas $M \ge 1$. Evidemment, ce n'est possible que si $L$ est fini. Notons $b(0), \dots, b(M-1)$ les mauvais indices, avec

$0 \le b(0) < b(1) < \dots < b(M-1) \le n-1$

et posons $b(M) = n + b(0)$. On peut alors écrire

$$
\sum_i u(y_i) + C \sum_i d_0(\partial_1 y_i, \partial_0 y_{i+1}) \\
= \sum_{0 \le j < M} \left[ \sum_{b(j) < i \le b(j+1)} u(y_i) + C d_0(\partial_1 y_{b(j)}, \partial_0 y_{b(j)+1}) \right].
$$

Or chacune des sommes $\sum_{b(j)<i\le b(j+1)} u(y_i)$ est minorée par $-CL$, d'après notre deuxième résultat auxiliaire (3.4), donc les expressions entre crochets sont positives, et l'inégalité (3.6) est démontrée, ce qui achève la démonstration du théorème 3.1. $\square$

4. Quelques applications

*Multigraphes finis.* Soient $X_0, X_1$ deux ensembles finis et $\partial_0, \partial_1 : X_1 \to X_0$ deux fonctions. Le diagramme $X_0 \stackrel{\partial_0}{\rightleftarrows} X_1 \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} X_0$ constitue un multigraphe¹ (orienté, fini), où $X_0$ est l'ensemble des « sommets », $X_1$ l'ensemble des « arêtes », et $\partial_0, \partial_1$ sont les fonctions qui à chaque arête associent ses extrémités gauche et droite ; voir par exemple [LS], Article III.5 et III.6.

Munissons maintenant $X_0$ et $X_1$ de la distance discrète (qui vaut 1 entre deux points distincts quelconques), ce qui fait de notre multigraphe

<footnote>(1) Certains auteurs appellent simplement « graphe » un tel diagramme. Le préfixe « multi » fait référence au fait que la fonction jointe $(\partial_0, \partial_1) : X_1 \to X_0^2$ n’est pas supposée injective, c’est-à-dire qu’il peut exister plusieurs arêtes joignant deux sommets donnés.</footnote>
$X_0 \underset{\partial_0}{\stackrel{\partial_1}{\rightleftharpoons}} X_1 \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} X_0$ un système amphidynamique. Celui-ci est trivialment 1-rectifiable, et satisfait donc le lemme de Mañé-Conze-Guivarc'h (théorème 3.1) qui, dans ce cas précis, est bien connu et tout à fait élémentaire : l'inéquation cohomologique $u \ge v\partial_1 - v\partial_0$ admet des solutions si et seulement si $u$ est de moyenne positive sur tout circuit du multigraphe. (En pratique, il suffit de vérifier cette propriété sur les circuits simples, c'est-à-dire qui ne passent pas deux fois par le même sommet ; en effet, tout circuit peut se décomposer en circuits simples.)

*Correspondances.* Si un système amphidynamique $X_0 \underset{\partial_0}{\stackrel{\partial_1}{\rightleftharpoons}} X_1 \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} X_0$ est tel que la fonction $(\partial_0, \partial_1) : X_1 \longrightarrow X_0$ est injective, alors $X_1$ est homéomorphe à un sous-ensemble fermé de $X_0$. Appelons donc correspondance sur un espace métrique compact $(X_0, d_0)$ n'importe quelle partie fermée $X_1$ de $X_0$. Toute correspondance $X_1$ sur $X_0$ définit un diagramme $X_0 \underset{\partial_0}{\stackrel{\partial_1}{\rightleftharpoons}} X_1 \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} X_0$ où $\partial_0, \partial_1$ sont les restrictions à $X_1$ des projections canoniques $X_0^2 \longrightarrow X_0$, et pour faire de ce diagramme un système amphidynamique, il ne reste plus qu'à spécifier une distance $d_1$ sur $X_1$. Il est naturel de choisir la distance induite par la distance de Manhattan sur $X_0^2$, éventuellement à un facteur près :

$$d_1(x, y) = \lambda[d_0(\partial_0 x, \partial_0 y) + d_0(\partial_1 x, \partial_1 y)] \quad (4.1)$$

avec $0 < \lambda \le 1$. (La condition (2.1) ne peut pas être satisfaite si $\lambda > 1$, sauf dans le cas trivial $\partial_1 x = \partial_0 y$.)

Disons que la correspondance $X_1$ est $L$-rectifiable avec coefficient $\lambda$ (où $0 < L \le \infty$, $0 < \lambda \le 1$) si le système amphidynamique $X_0 \underset{\partial_0}{\stackrel{\partial_1}{\rightleftharpoons}} X_1 \stackrel{\partial_1}{\longrightarrow} X_0$ est $L$-rectifiable, où $X_1$ est muni de la distance (4.1). Il est bien clair que cette condition est d'autant plus forte que $L$ et $\lambda$ sont grands.

La situation la plus favorable est celle de la « correspondance pleine » $X_1 = X_0^2$, qui est $\infty$-rectifiable avec coefficient 1. C'est une situation assez rare ; j'en donnerai un autre exemple plus loin dans ce chapitre.

*Applications dilatantes.* Toute endofonction continue $T : X_0 \to X_0$ est, par son graphe $X_1 = \{(x, y) \in X_0^2 : y = Tx\}$, une correspondance sur $X_0$ d'un type particulier (où $\partial_0$ est bijective). Supposons $T$ dilatante, dans le sens suivant<fnref n="2" /> : il existe des constantes $0 < L \le \infty$ et $0 < \eta < 1$ telles que, pour tous $x, y \in X_0$ vérifiant $d_0(Tx, y) < L$, il existe $x' \in T^{-1}\{y\}$ tel que $d_0(x, x') \le \eta d_0(Tx, Tx')$. Alors $T$ est $L$-rectifiable avec coefficient $\lambda = \frac{1-\eta}{1+\eta}$, comme on le voit facilement. En particulier, les sous-décalages de type fini unilatères sont « dilatants » en ce sens, et donc rectifiables.

<footnote n="2">² On comparera avec la condition (WE) de [Bo2].</footnote>
Homéomorphismes. Supposons maintenant que $T : X_0 \to X_0$ est un homéomorphisme (autrement dit, une correspondance où $\partial_0$ et $\partial_1$ sont bi-jectives). La condition de rectifiabilité prend alors la forme suivante : $T$ est $L$-rectifiable avec coefficient $\lambda$ si et seulement si, pour tous $x, y \in X_0$ tels que $d_0(x, y) < L$, il existe $z \in X_0$ tel que

$$ (1 + \lambda) [d_0(T^{-1}x, T^{-1}z) + d_0(Tz, Ty)] + \lambda [d_0(x, z) + d_0(z, y)] \le d_0(x, y). \quad (4.2) $$

Notons que s'il existe $0 < \eta < 1$ tel que $d_0(T^{-1}x, T^{-1}z) \le \eta d_0(x, z)$ et $d_0(Tz, Ty) \le \eta d_0(z, y)$, alors il suffit, pour avoir (4.2), que soit satisfaite l'inégalité

$$ d_0(x, z) + d_0(z, y) \le \frac{1}{(1 + \lambda)\eta + \lambda} d_0(x, y). \quad (4.3) $$

Comme le membre de gauche est minoré par $d_0(x, y)$, ce n'est possible que si $(1 + \lambda)\eta + \lambda \le 1$, c'est-à-dire $\lambda \le \frac{1-\eta}{1+\eta}$.

Considérons maintenant un difféomorphisme d'Anosov $T$ sur une variété compacte $X_0$ de classe $C^1$, et tâchons d'en prouver la rectifiabilité pour $L$ et $\lambda$ assez petits, et pour une distance convenable sur $X_0$, équivalente à la distance originale. Les arguments ci-dessus suggèrent de choisir $z$ de manière à ce que la distance entre $x$ et $z$ soit contractée par $T^{-1}$ et la distance entre $z$ et $y$ soit contractée par $T$ ; c'est-à-dire que $z$ doit être proche de la variété instable locale de $x$, et proche de la variété stable locale de $y$. On pourrait par exemple prendre pour $z$ le produit local de $x$ et $y$, c'est-à-dire leur intersection $W^u(x) \cap W^s(y)$, comme sur la figure ci-dessous :

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Il reste à satisfaire la condition (4.3), qui exprime que $d_0(x, z) + d_0(z, y)$ doit être à peine supérieur à $d_0(x, y)$. Si la distance d'origine $D_0$ sur $X_0$ ne convient pas, on peut la remplacer (par exemple) par la distance

$$ d_0(s, t) = D_0(T^n s, T^n t) + D_0(T^{-n} s, T^{-n} t) $$

avec $n \ge 1$ suffisamment grand. Si $D_0$ est une distance riemannienne, ou une puissance d'une telle distance, et $n$ bien choisi, la nouvelle distance
$d_0$ sera équivalente à $D_0$ et vérifiera la condition (4.3), ainsi que les conditions $d_0(T^{-1}x, T^{-1}z) \le \eta d_0(x, z)$ et $d_0(Tz, Ty) \le \eta d_0(z, y)$, pour $x, y$ assez proches et $z$ leur produit local.

Cette preuve laisse un peu de marge dans le choix de $z$. En particulier, on peut remplacer les feuilletages stable et instable, qui en général ne sont pas connus explicitement, par des feuilletages suffisamment proches, et ainsi obtenir pour $z$ un « produit local approché » de $x$ et $y$.

Dans le même esprit, il est à noter que la $L$-rectifiabilité (avec un coefficient non spécifié) est une propriété ouverte en $T$, pour la topologie $C^1$. Plus précisément, si $d_0$ est (équivalente à) une distance de Riemann sur la variété $X_0$, ou une puissance d'une telle distance, $T$ est un difféo $L$-rectifiable avec coefficient $\lambda$, et $\lambda' \in ]0, \lambda[$, alors tout difféo suffisamment proche de $T$ en topologie $C^1$ est $L$-rectifiable avec coefficient $\lambda'$. Cela se déduit facilement de la formule (4.2).

*Sous-décalages de type fini bilatères.* Soit $A$ un ensemble fini, $B$ un sous-ensemble de $A^2$, et $X_0$ le sous-ensemble de $A^Z$ constitué des suites $x = (x_i)_{i \in \mathbb{Z}}$ telles que $(x_i, x_{i+1}) \in B$ pour tout $i$. Etant donné un réel $0 < \eta < 1$, soit $d_0$ la distance sur $X_0$ (et $A^Z$) définie par $d_0(x, y) = \eta^{-k} + \eta^{-\ell}$, où $k$ (resp. $\ell$) est la borne inférieure des entiers naturels $i$ tels que $x_i \ne y_i$ (resp. $x_{-i} \ne y_{-i}$). Notons enfin $T : (x_i) \mapsto (x_{i+1})$ l'application de décalage vers la gauche.

L'homéomorphisme $T$ est 2-rectifiable avec coefficient $\lambda = \frac{1-\eta}{1+\eta}$, et cela se démontre par le même type d'argument que précédemment. En effet, étant donné $x, y \in X_0$ tels que $d_0(x, y) < 2$, c'est-à-dire $x_0 = y_0$, considérons le point $z$ de $X_0$ défini par

$$z_i = \begin{cases} x_i & \text{si } i \le 0, \\ y_i & \text{si } i \ge 0. \end{cases}$$

Il vérifie $d_0(T^{-1}x, T^{-1}z) = \eta d_0(x, z)$, $d_0(Tz, Ty) = \eta d_0(z, y)$ et $d_0(x, z) + d_0(z, y) = d_0(x, y)$, donc l'inégalité (4.2) est satisfaite pour $\lambda = \frac{1-\eta}{1+\eta}$.

*Autres exemples.* Voici pour finir quelques exemples particuliers n'entrant pas dans les catégories précédentes ; les preuves sont laissées au soin du lecteur.

1. Soit $X_0 = \mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ muni de la distance riemannienne usuelle. La correspondance

$$X_1 = \{(x, y) \in \mathbb{T}^2 : 3x = 2y\}$$

(qu'on pourrait écrire $x \mapsto \frac{3}{2}x$) est $\infty$-rectifiable avec coefficient 1/5.
Le lemme de Mañé-Conze-Guivarc'h pour les systèmes amphidynamiques rectifiables

2. Soit $X_0 = [0, 1]$, et $X_1, X'_1$ les correspondances sur $X_0$ définies par

$$X_1 = \{(x, y) \in [0, 1]^2 : x(1+y) \le 1\},$$

$$X'_1 = \{(x, y) \in [0, 1]^2 : x = 0 \text{ ou bien } 1/x - y \text{ entier } \ge 1\},$$

et dont les graphes sont représentés ci-dessous :

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

$x(1+y) \le 1$

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

$1/x-y \text{ entier } > 0 \text{ (ou } x=0\text{)}$

La correspondance $X_1$ est $\infty$-rectifiable avec coefficient 1, quelle que soit la distance $d_0$ sur $X_0$. Quant à $X'_1$, elle n'est pas rectifiable pour la distance usuelle sur $X_0$, mais elle est $\infty$-rectifiable avec coefficient $1/\sqrt{5}$ pour la distance $d_0$ donnée par

$$d_0(x, y) = \left| \frac{1}{\phi + x} - \frac{1}{\phi + y} \right|$$

où $\phi = 1.618...$ est le nombre d'or. Ces correspondances sont utiles pour démontrer des inégalités sur les quotients complets successifs d'une fraction continue, comme dans [Jen].

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