# La multiplication des nombres décimaux. Enjeux, transpositions didactiques et contraintes d'enseignement.

Eric Roditi

► To cite this version:

Eric Roditi. La multiplication des nombres décimaux. Enjeux, transpositions didactiques et contraintes d'enseignement. IREM de Paris. IREM de Paris, 39, 2002, Cahier de DIDIREM, René Cori, 2-86612-220-8. hal-02142442

HAL Id: hal-02142442

https://hal.science/hal-02142442

Submitted on 28 May 2019

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons Attribution - ShareAlike 4.0 International License
<figure><img src="image_2.png" /></figure>

INSTITUT
DE RECHERCHE
POUR L'ENSEIGNEMENT
DES MATHEMATIQUES

39
JANVIER 2002

CAHIER DE DIDIREM

LA MULTIPLICATION DES NOMBRES DÉCIMAUX

ENJEUX, TRANSPOSITIONS DIDACTIQUES
ET CONTRAINTES D'ENSEIGNEMENT

Eric RODITI

DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES
UNIVERSITE PARIS 7 - DENIS DIDEROT
LA MULTIPLICATION
DES NOMBRES DÉCIMAUX

Enjeux, transpositions didactiques et contraintes d'enseignement

Éric RODITI
<figure><img src="image_3.png" /></figure>
# INTRODUCTION

Des questions de formateur sont à l'origine de ce cahier. Mieux comprendre l'enseignement d'une notion donnée pour répondre à des besoins que les professeurs expriment en formation initiale ou continue, et finalement contribuer à améliorer les apprentissages mathématiques des élèves, tels sont les objectifs poursuivis.

Nous nous intéressons ici à l'enseignement de la multiplication des nombres décimaux en classe de sixième (conformément au programme du 22 novembre 1995) et nos questions portent à la fois sur les difficultés d'apprentissage que les élèves rencontrent, sur les problèmes que certaines d'entre elles causent aux professeurs, et sur les enseignements possibles de cette notion.

## Les professeurs sont confrontés à des erreurs persistantes de leurs élèves

Des erreurs persistantes des élèves révèlent des difficultés d'apprentissage. Ces erreurs concernent, d'une part, la reconnaissance du modèle multiplicatif d'une situation dans laquelle les valeurs numériques ne sont pas entières, et d'autre part, la mise en œuvre de la technique opératoire. En outre, il subsiste des problèmes liés à la multiplication des entiers et à l'écriture des nombres décimaux.

Les professeurs s'interrogent sur les difficultés de leurs élèves. La technique opératoire, comparée à celle de la division, ne leur paraît pas difficile ; comme le modèle multiplicatif d'une situation est indépendant des valeurs numériques, le fait que les valeurs soient entières ou décimales ne leur semble pas modifier la difficulté de sa reconnaissance. Pourtant, la réaction de nombreux élèves montre le contraire, et les enseignants restent démunis devant ces difficultés.

## Faire appel à la recherche en didactique pour étudier un enseignement

Dans la mesure où les analyses issues des seules connaissances mathématiques ne permettent pas d'expliquer les difficultés constatées ni à fortiori de les résoudre, il nous a semblé légitime d'utiliser les outils développés en didactique des mathématiques afin d'étudier les problèmes relatifs à l'enseignement et à l'apprentissage de la multiplication des nombres décimaux.

D'une manière classique en didactique, nous avons déterminé les contraintes et les possibles en tenant compte à la fois de considérations épistémologiques, des programmes et des acquis des élèves. Nous avons analysé les travaux issus de
recherche en didactique des mathématiques<fnref n="1" />, des brochures destinées aux professeurs mais aussi des manuels scolaires. L'enseignement de la multiplication des décimaux en classe de sixième repose sur deux notions étudiées antérieurement à l'école élémentaire, le nombre décimal et la multiplication.

Nous commençons donc par un bilan des travaux concernant ces notions et nous précisons les choix de l'institution scolaire par une lecture des programmes et de leur évolution. Nous étudions ensuite, en fonction des apprentissages potentiels des élèves, les diverses propositions d'enseignement de la multiplication des décimaux qui figurent dans les publications et que les professeurs pourraient utiliser pour préparer leurs cours. Nous proposons enfin de déterminer les projets possibles compte tenu des programmes et des connaissances des élèves quand ils entrent en sixième.

*Des hypothèses théoriques ont guidé nos analyses*

Nous supposons que l'apprentissage d'un élève dépend des situations qu'il étudie, en classe notamment, pour le contenu mathématique qu'elles comportent mais aussi pour l'organisation de la rencontre entre l'élève et le savoir.

Le contenu est abordé dans ce travail selon trois dimensions empruntées à la théorie des champs conceptuels<fnref n="2" /> :

... un concept est un triplet de trois ensembles : C(s, I, S)

s : l'ensemble des situations qui donnent du sens au concept (la référence);

I : l'ensemble des invariants sur lesquels repose l'opérationnalité des schèmes (le signifié);

S : l'ensemble des formes langagières et non langagières qui permettent de représenter symboliquement le concept, ses propriétés, les situations et les procédures de traitement (le signifiant).

(...) Le champ conceptuel des structures additives est à la fois l'ensemble des situations dont le traitement implique une ou plusieurs additions ou soustractions, et l'ensemble des concepts et théorèmes qui permettent d'analyser ces situations comme des tâches mathématiques.

Ainsi, chaque notion est analysée en considérant les problèmes qu'elle permet de résoudre (classés par catégorie, ils en constituent les situations de référence), ses propriétés dont certaines conduisent éventuellement à des méthodes de résolution des problèmes précédents dans un certain domaine de validité, ainsi que ses représentations symboliques et leur transformation.

Pour l'organisation de la rencontre entre l'élève et le savoir, conformément aux hypohèses généralement retenues en didactique des mathématiques, une

<footnote n="1">¹ Notamment deux ingénieries didactiques d'enseignement des nombres décimaux, celle de Nadine Brousseau & Guy Brousseau (1987) et celle de Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin (1986), des articles de Guy Brousseau (1998) sur les décimaux, des travaux de Gérard Vergnaud (1981 et 1983) sur la multiplication ainsi que la thèse de Janine Rogalski (1985) qui traite de la bidimensionnalité (de la multiplication).</footnote>

<footnote n="2">² VERGNAUD G. (1990), La théorie des champs conceptuels, in *Recherches en didactique des mathématiques* 10/2.3 (133-170), Grenoble : La pensée sauvage.</footnote>
attention particulière est portée à certaines caractéristiques de l'enseignement, tel qu'il est proposé dans les travaux étudiés. Il s'agit de la dynamique savoir ancien / savoir nouveau : comment l'enseignement prévu engage-t-il l'élève, avec ce qu'il sait déjà, à apprendre ce qu'il y a de nouveau ? Nous sommes également attentif aux dialectiques contextualisations / décontextualisation des savoirs : quelles sont les situations sur lesquelles reposent les problèmes auxquels les élèves sont confrontés pour "donner du sens" au savoir nouveau, et comment est aménagé le passage de connaissances issues du contexte de ces situations et de ces problèmes au savoir visé ? Dans l'étude des tâches proposées, nous repérons les dialectiques outil / objet des savoirs, ainsi que les différentes représentations symboliques mobilisées pour leur réalisation. Nous distinguons aussi les tâches qui ne demandent que des applications directes de techniques, de celles où l'élève doit, soit reconnaître une situation (de ce que Gérard Vergnaud appelle "la référence"), soit adapter des savoirs anciens.

## Quelles questions sur la multiplication des décimaux ?

Le cadre général que nous venons de décrire sera utilisé pour étudier le cas précis de l'enseignement de la multiplication des nombres décimaux. Nous cherchons à répondre à trois questions globales :

- quels sont les enjeux mathématiques d'enseignement de la multiplication des nombres décimaux ?

- quels sont *a priori* les enseignements possibles de la multiplication des nombres décimaux ?

- que deviennent ces possibles en considérant les prescriptions et les contraintes communes qui s'imposent aux professeurs ?

### *Les enjeux mathématiques de la multiplication des décimaux*

Nous cherchons à mieux connaître les enjeux mathématiques dont la multiplication des décimaux est l'objet. Cette question nécessite une analyse du savoir (les nombres et l'opération) et des situations qui mettent en jeu ce savoir (les situations multiplicatives). A propos des nombres décimaux, nous nous demandons à la fois quelle est leur fonction, comment ils s'écrivent et dans quels problèmes ils interviennent. Concernant la multiplication, nous nous interrogeons sur les situations qui en constituent la référence (situations multiplicatives), sur les propriétés de l'opération et sur les méthodes de calcul d'un produit de deux décimaux. Le thème choisi est au carrefour de nombreux travaux de recherche en didactique des mathématiques. Nous les utilisons abondamment pour répondre à ces questions sur le savoir.

### *La multiplication des décimaux, les enseignements possibles*

Alors que les nombres décimaux et que les situations multiplicatives ont été étudiées à l'école primaire, quels seraient les enseignements envisageables de la multiplication des nombres décimaux ? Pour répondre à cette question sans tenir compte des contraintes spécifiques à l'enseignement actuel dans une classe de sixième, nous allons chercher toute proposition permettant d'élaborer un projet d'enseignement dans diverses publications : manuels scolaires, brochures à
l'intention des professeurs et recherches en didactique des mathématiques. Nous analysons alors ces projets en fonction de l'apprentissage<fnref n="3" /> des élèves dont ils sont potentiellement vecteurs. La question de leur diversité sera examinée. Nous chercherons aussi à déterminer d'éventuelles zones d'ombre, c'est-à-dire des objets de savoirs liés à la multiplication des décimaux qui ne sont pas traités, ou qui le sont seulement très rarement. Ces zones d'ombre peuvent concerner des situations multiplicatives ou des propriétés de la multiplication. Le cas échéant nous tenterons d'en déterminer l'origine et les conséquences éventuelles sur l'apprentissage.

### La transposition didactique à l'épreuve de l'exercice du métier

Si la transposition didactique désigne la nécessaire transformation d'un savoir mathématique pour qu'il puisse être enseigné, la question posée ici concerne l'influence des contraintes du métier sur cette transposition. Nous complétons donc l'analyse *a priori* de l'enseignement de la multiplication des décimaux en sixième par une étude de deux facteurs qui influencent les choix des professeurs dans l'élaboration de leur projet d'enseignement : les élèves et le programme.

Les élèves sont ici étudiés, par le biais des résultats à différentes évaluations de compétences. Il s'agit de déterminer ce qu'ils savent déjà (sur les nombres décimaux et sur la multiplication d'un décimal par un entier) et quelles sont les difficultés d'apprentissage connues sur la multiplication de deux décimaux.

Le programme est analysé pour ce qui concerne spécifiquement la multiplication des décimaux mais aussi dans son ensemble parce que cette notion est réinvestie, cette même année de sixième, dans l'étude d'autres savoirs mathématiques. Les professeurs conçoivent un enseignement qui s'intègre dans le programme de l'année scolaire. Une analyse de type écologique<fnref n="4" /> permettra une étude préalable de cette intégration.

### Les publications étudiées pour répondre à ces questions

Nous allons présenter brièvement les publications que nous avons étudiées : nous commençons par les programmes, nous indiquons ensuite les différents ouvrages qui peuvent être consultés par un professeur et conduire à son projet d'enseignement, nous terminons par les évaluations de compétences des élèves.

### *Les programmes, les compléments et les instructions officielles*

Nous avons utilisé les programmes actuels mais aussi les programmes antérieurs. Leur confrontation peut montrer une évolution de la position de l'institution scolaire mais aussi, elle permet de retracer l'histoire d'un enseignement. Nous avons consulté les programmes de l'enseignement primaire sur la multiplication et sur les décimaux avant et depuis 1995, et sur la

<footnote n="3">³ Dans cette brochure, l'apprentissage des élèves doit s'entendre aussi bien comme le processus d'acquisition de savoirs nouveaux que comme l'acquisition elle-même.</footnote>

<footnote n="4">⁴ CHEVALLARD Y. (1994), Les processus de transposition didactique et leur théorisation, In Arsac et al. (Eds) *La transposition didactique à l'épreuve* (pp. 135-180), Grenoble : La pensée sauvage éditions.</footnote>
multiplication des nombres décimaux avant 1995. Nous avons également étudié l'ensemble du programme de 1995 pour la classe de sixième et particulièrement tout ce qui concerne la multiplication des décimaux.

### Les manuels scolaires

Les manuels scolaires nous intéressent dans notre analyse des enseignements possibles. Toutes les équipes de rédaction comportent des professeurs aussi, malgré les contraintes des éditeurs qui pèsent sur les auteurs, les manuels traduisent les choix de la profession enseignante sur une notion. L'analyse de manuels actuels pour la dernière année d'école élémentaire donnera une image de l'enseignement que les élèves ont reçoivent avant d'entrer en classe de sixième. Enfin, la confrontation des manuels de primaire, antérieurs au changement de programme de 1995, et ceux de collège, édités depuis, permettra de montrer une continuité, ou une rupture, dans l'enseignement de la multiplication des nombres décimaux.

### Les publications à l'intention des professeurs

Les publications à l'intention des professeurs constituent une autre source pour accéder au débat éventuel qui anime la profession enseignante et une partie de la noosphère sur l'enseignement de la multiplication des décimaux. Ainsi, nous avons consulté des brochures pédagogiques et des articles, des publications pour la formation continue des professeurs ainsi que des publications pour la préparation du concours de recrutement des Professeurs d'Ecole.

### Les publications de recherches en didactique des mathématiques

Les travaux de recherche en didactique des mathématiques sur les nombres décimaux et sur la multiplication sont nombreux. Nous proposons une synthèse des résultats concernant l'analyse épistémologique de la notion, les enjeux didactiques dont elle est l'objet, ainsi que des propositions d'enseignement.

### Les évaluations des compétences des élèves

Nous terminons la présentation des sources documentaires utilisées dans ce travail par les publications des évaluations des compétences des élèves. Comment les professeurs tiennent-ils compte des acquis et des lacunes ? Cette question se pose nécessairement durant l'élaboration d'un projet d'enseignement. Nous avons consulté les résultats de différentes évaluations concernant les compétences inhérentes au savoir dont nous étudions l'enseignement. Ainsi avons-nous utilisé les résultats des évaluations incluses dans des recherches ou des articles à l'intention des professeurs, des évaluations menées par l'APMEP et, bien sûr, des évaluations ministérielles (DEP et DP&D <fnref n="5" />) à l'entrée en sixième.

<footnote n="5">⁵ Ces évaluations nationales sont gérées par la direction chargée de l'évaluation au Ministère de l'Education nationale. Pour la période qui nous intéresse, cette direction a porté le nom de DEP (Direction de l'Evaluation et de la Prospective) puis de DP&D (Direction de la Programmation et du Développement). L'équipe chargée de l'élaboration des outils d'évaluation est composée d'un Inspecteur Général de l'Education nationale, d'Inspecteurs Pédagogiques Régionaux (c'est-à-dire de l'enseignement secondaire), d'un Inspecteur de l'Education nationale (c'est-à-dire de l'enseignement primaire), de Professeurs d'IUFM, de Collège et d'Ecole.</footnote>
# Organisation du cahier

## 1. *Les nombres décimaux et la multiplication*

Dans le premier chapitre de ce cahier, nous montrons le contenu mathématique que renferment les deux désignations "nombres décimaux" et "multiplication des nombres décimaux". Autrement dit, nous proposons une mise au point sur les enjeux mathématiques de ces notions. Lesquels de ces contenus doivent-être enseignés ? appris ? et à quel niveau de la scolarité ? Nous ne répondons pas à ces questions mais nous donnons des indications sur les choix possibles à ce propos.

Afin d'organiser cette mise au point, nous avons choisi de traiter la notion de nombre décimal en distinguant leurs représentations symboliques qui correspondent chacune à différentes fonctions des décimaux : représentation sous la forme d'un quotient, d'une somme ou d'un produit. La multiplication sera traitée en abordant successivement les situations que cette opération modélise, ses propriétés, et les procédures de calcul du produit de deux décimaux.

## 2. *La multiplication des décimaux en 6ème, quelle transposition didactique?*

C'est dans ce deuxième chapitre que nous montrons les choix effectués par différentes "institutions" à propos de l'enseignement de la multiplication des nombres décimaux en primaire ou en sixième. Ces choix sont illustrés par des propositions plus ou moins détaillées suivant les institutions. Nous avons étudié les programmes français actuels et passés, des manuels, des brochures à l'intention des professeurs, des travaux de recherche en didactique des mathématiques.

Autant que possible, la présentation des propositions pour enseigner la multiplication des nombres décimaux est organisée en fonction des choix didactiques globaux, réalisés par les auteurs, pour enseigner cette notion. Ce chapitre permettra aux professeurs et aux formateurs d'apprécier *a priori* les conséquences de ces choix en terme d'apprentissage des élèves.

## 3. *La transposition didactique à l'épreuve de l'exercice du métier*

Nous savons que l'appréciation *a priori* des conséquences de tel ou tel choix didactique n'est pas suffisante pour un professeur ou pour un formateur, il faut encore croiser ces données avec les contraintes de l'exercice du métier : les indications des programmes en vigueur, les contraintes de temps qui ne sont pas des moindres, les connaissances réelles des élèves au moment où la notion nouvelle doit être présentée, et les contraintes liées à la gestion de la classe qui ne sont pas les mêmes suivant les tâches proposées aux élèves.

Dans le troisième chapitre du cahier, nous indiquons quelles sont les connaissances des élèves à l'entrée en sixième qui peuvent être sollicitées pour apprendre la multiplication des nombres décimaux suivant l'enseignement dispensé, nous proposons aussi une prise en compte des indications des programmes pour envisager des projets d'enseignement réalisables en classe.
# CHAPITRE 1

## ENSEIGNEMENT DES DÉCIMAUX ET DE LA MULTIPLICATION QUELS ENJEUX MATHÉMATIQUES ?

### Sommaire

**1. Les enjeux de l'enseignement des décimaux**

11. Rappel épistémologique sur les nombres décimaux

12. Les nombres décimaux écrits sous la forme d'un quotient

13. Les décimaux écrits sous la forme d'une somme

14. Les décimaux écrits sous la forme d'un produit

*A priori*, quel enseignement des nombres décimaux à l'école et au collège ?

**2. Les enjeux de l'enseignement de la multiplication**

21. Les problèmes que la multiplication permet de résoudre

22. Les propriétés de la multiplication

23. Les procédures de calcul du produit de deux décimaux

*A priori*, quel enseignement de la multiplication des décimaux ?

*Conclusions sur les nombres décimaux et leur multiplication*
Le premier paragraphe concerne les nombres décimaux (de manière implicite, compte tenu de la notion étudiée, les décimaux considérés dans cette recherche sont toujours positifs). Après un rappel épistémologique les concernant, nous procédons à une analyse des enjeux mathématiques dont leur enseignement est l'objet. Les représentations symboliques des nombres décimaux sont intimement liées aux problèmes qu'ils permettent de résoudre, aussi, pour présenter cette analyse, nous abordons successivement leurs différentes représentations et nous décrivons, pour chacune d'elle, les problèmes auxquels les nombres décimaux apportent une réponse. A la lumière des précédents travaux sur les nombres décimaux, nous distinguons les écritures sous la forme d'un quotient, d'une somme ou d'un produit :

– écrits sous la forme d'un quotient (par exemple $n = \frac{3}{4} = \frac{75}{100}$), nous montrons que les décimaux, comme rationnels particuliers, permettent des comparaisons et, par conséquent, répondent à des problèmes de mesure ou d'expression de relations fonctionnelles ;

– écrits sous la forme d'une somme, explicite ou implicite (par exemple, respectivement $n = \frac{7}{10} + \frac{5}{100}$ ou $n = 0,75$), les décimaux facilitent le repérage de points d'une droite car les chiffres de l'écriture décimale sont associés à des subdivisions successives d'une graduation régulière. Sous cette forme, ils permettent d'approcher tous les réels quelle que soit la précision souhaitée ;

– écrits sous la forme d'un produit (par exemple $n = 75 \times 10^{-2}$) les nombres décimaux expriment aisément la mesure d'une longueur en référence au système métrique. Le choix de l'unité adaptée permet de ne plus mentionner la puissance de dix : $0,75 \text{ m} = 75 \times 10^{-2} \text{ m} = 75 \text{ cm}^6$. Selon le même principe, les décimaux expriment aussi d'autres mesures avec le système d'unités adapté.

Dans le second paragraphe, en utilisant les travaux déjà menés sur cette opération, la multiplication est étudiée, d'abord par les problèmes qu'elle permet de résoudre et donc par ses situations de référence (que nous appelons situations multiplicatives), ensuite par ses propriétés algébriques et enfin par les différentes procédures de calcul d'un produit. Nous étudions les façons d'établir les propriétés de la multiplication suivant les situations de référence et les manières de calculer un produit de deux nombres décimaux suivant leur représentation symbolique.

Au fur et à mesure de cette étude, nous utilisons les programmes officiels et parfois quelques manuels pour indiquer les choix de choix de l'institution scolaire.

<footnote n="6">⁶ Ces écritures qui intègrent les unités peuvent étonner. En ce qui concerne leur utilité comme leur légitimité, deux textes sont particulièrement éclairants :</footnote>

<footnote>CHEVALLARD Yves & BOSCH Marianna (2000), Les grandeurs mathématiques au collège – Partie I. Une Atlantide oubliée, *Petit x* n°55 [pp. 5–32].</footnote>

<footnote>PRESSIAT André (2001), *Grandeurs et mesures : évolutions des organisations mathématiques de référence, et problèmes de transposition*, premier cours du thème 4 de la XIᵉ école d'été de didactique des mathématiques.</footnote>
# 1. Les enjeux de l'enseignement des décimaux

Dans l'enseignement élémentaire, les décimaux apparaissent le plus souvent comme des nouveaux nombres, étudiés après les entiers naturels. Avant d'analyser les problèmes qu'ils permettent de résoudre suivant leur représentation symbolique, procédons à un bref rappel sur le rôle qu'ont eu les nombres décimaux dans l'histoire des mathématiques.

# 11. Rappel épistémologique sur les nombres décimaux

Historiquement, c'est la construction du système décimal, motivée en particulier par les nécessités du commerce, qui va permettre d'unifier le domaine numérique déjà bien pourvu mais de façon hétérogène comme en témoigne le vocabulaire : nombres absurdes, irrationnels, irréguliers, inexprimables, sourds, rompus... Rappelons que l'œuvre de Simon Stevin a contribué à nourrir le débat concernant les nombres <fnref n="7" /> :

Au XVIe siècle, Stifel (1487-1567) refuse encore aux irrationnels le statut de " vrai " nombre, alors que Simon Stevin (1548-1620), qui a une réelle pratique de calcul sur les nombres décimaux – c'est lui qui introduit en Europe les fractions décimales dans un petit traité édité en flamand en 1585 –, réagit vivement pour faire reconnaître les nombres irrationnels comme des nombres à part entière. Il s'élève contre l'usage de cette terminologie " d'irrationnel ", " d'inexprimable ".

Le débat perdurera au cours du XVIIe siècle autour de la lecture et de l'interprétation du livre V d'Euclide. Surtout, l'essor de tous les calculs à partir de cette époque, calculs algébrique, symbolique, infinitésimal, fait éclater le cadre dans lequel il se pose. Il ne sera élucidé théoriquement qu'au XIXe siècle par les différentes constructions des réels...

Simon Stévin expose le système décimal dans L'arithmétique (1585) sous le titre : "La disme enseignant facilement expedier par nombre entiers sans rompuz, tous compte se rencontrans aux affaires des Hommes" puis, dans le *Traité des incommensurables grandeurs* (paru en 1634), il approfondit la notion théorique de nombre réel. Il insiste sur le fait que la représentation décimale illimitée permet d'assimiler les irrationnels à de véritables nombres, puisqu'ils en ont les mêmes propriétés opératoires. C'est bien à la fois par l'utilisation des fractions décimales pour écrire les nombres et par les calculs sur ces fractions que l'œuvre de Simon Stevin se distingue. Comme l'écrit Georges Ifrah <fnref n="8" /> :

Ces fractions <fnref n="9" /> auront certes été connues bien avant lui (...) Mais à l'exception peut-être du mathématicien musulman Ghiyat ad din Ghamshid al Kashi (première moitié du XVe siècle), dont les travaux auront été ignorés en Occident, personne, en dehors de Stévin, n'aura eu

<footnote n="7">⁷ DAHAN-DALMEDICO A. & PEIFFER J (1986), *Une histoire des mathématiques*, Paris : Seuil. [p. 103-104].</footnote>

<footnote n="8">⁸ IFRAH G. (1994), *Histoire universelle des chiffres*, Paris : Robert Laffont. [Tome 2, p. 463].</footnote>

<footnote n="9">⁹ Les fractions décimales.</footnote>
l'idée jusque-là de substituer ces fractions aux fractions ordinaires et n'aura élaboré de système de notation permettant d'unifier le domaine d'application des règles arithmétiques par un rapprochement avec celles qui s'appliquent aux nombres entiers.

En utilisant les termes de Raymond Duval <fnref n="10" />, nous terminons ce rappel historique sur la notation décimale en disant que Simon Stevin a proposé un nouveau registre de représentation sémiotique qui a permis d'amorcer l'unification du domaine numérique qui a conduit aux nombres réels.

A l'école primaire, l'apport des nombres décimaux comme élément d'unification théorique ne peut être présenté. En revanche, si les fractions sont connues et utilisées, la simplification qu'apporte la notation décimale pour calculer ou pour comparer peut être montrée aux élèves. L'histoire de l'enseignement des décimaux en France depuis 1945 montre que les choix possibles sont nombreux. Avant de commencer l'étude des nombres décimaux, précisons que les programmes actuels <fnref n="11" /> définissent la progression de leur enseignement : à l'école élémentaire, au cours des trois dernières années, les nombres décimaux sont étudiés ainsi que la multiplication de deux entiers et d'un entier par un décimal ; en sixième, la notion de décimal est approfondie et la multiplication de deux nombres décimaux est apprise.

Nous allons donc examiner, pour chaque mode de représentation symbolique, les problèmes que les nombres décimaux permettent de résoudre. Au fur et à mesure de cette étude, nous indiquons les objectifs de l'institution scolaire et leur éventuelle évolution.

## 12. Les nombres décimaux écrits sous la forme d'un quotient

Certaines progressions envisagent l'introduction des rationnels (écrits comme un quotient de deux entiers) avant celle des décimaux qui sont alors considérés comme des rationnels particuliers. Cet ordre semble actuellement indiqué, sans que cela soit impératif, par les instructions officielles <fnref n="12" />, l'étude des rationnels précédant, dans le texte du programme, celle des décimaux.

*Fractions simples.* Ecriture, comparaison de fractions de même dénominateur.

*Nombres décimaux.* Ecriture à virgule, écriture fractionnaire, passage d'une écriture à l'autre ; (...)

Les compléments sur l'articulation école-collège <fnref n="13" /> précisent :

<footnote n="10">¹⁰ DUVAL R. (1995), *Sémiosis et pensée humaine*. Berne : Peter Lang.</footnote>

<footnote n="11">¹¹ Programme de mathématique de l'école primaire, Cycle des approfondissements, 22 février 1995. Programmes de mathématiques de la classe de sixième et accompagnements, 22 novembre 1995.</footnote>

<footnote n="12">¹² Programme de mathématique de l'école primaire, Cycle des approfondissements, 22 février 1995. Ce programme est appliqué en dernière année (CM2) depuis la rentrée scolaire 1997-1998.</footnote>

<footnote n="13">¹³ Mathématiques : articulation école-collège, BO n°44 du 5 décembre 1996.</footnote>
A l'école primaire, seules quelques fractions simples usuelles (demi, tiers, fractions décimales) sont utilisées par les élèves, et éventuellement travaillées plus longuement dans le but d'introduire les nombres décimaux par le biais des fractions décimales.

Pour introduire les nombres rationnels, le professeur peut proposer aux élèves des situations différentes : des situations de comparaisons et de mesures, des situations de partage, ou encore des situations dans lesquelles les grandeurs sont soumises à des opérateurs. Dans ces diverses situations, le recours à des fractions n'est pas motivé par le même objectif. Le sens que les élèves construisent et attribuent à ces nouvelles écritures numériques dépend de la situation qui leur a permis de les découvrir. Notre objectif n'est pas ici d'étudier ces situations mais simplement de préciser, pour analyser l'enseignement de la multiplication des nombres décimaux, les différentes façons de considérer les nombres rationnels suivant le problème auxquels ils répondent. Ces problèmes sont très bien décrits par Nicolas Rouche <fnref n="14" /> dans *Le sens de la mesure*, nous allons utiliser cet ouvrage dans les paragraphes suivants. Lorsqu'un de ces problèmes a été choisi par un auteur pour élaborer une situation d'enseignement, nous indiquons la publication, nous décrivons la situation et, le cas échéant, nous évoquons les questions qu'elle pose, relativement à la transposition didactique.

## Des rationnels pour comparer des grandeurs

Nicolas Rouche rappelle qu'on peut définir la multiplication d'une grandeur par un nombre naturel comme une addition réitérée de cette grandeur à elle-même. Par exemple, on multiplie par quatre la longueur d'un segment *S* en prenant la longueur du segment obtenu par quatre reports consécutifs du segment *S*. Si une relation d'ordre total est définie sur les longueurs, on peut comparer deux longueurs différentes. Dans certains cas que nous allons détailler dans les paragraphes suivants, on peut les situer l'une par rapport à l'autre en n'utilisant que deux nombres naturels. Cela permet d'indiquer de combien ces longueurs diffèrent. La comparaison du périmètre d'un carré et de son côté est très simple : le périmètre est égal à quatre fois le côté. La comparaison du périmètre d'un disque et de son diamètre est impossible, ces deux grandeurs ne sont pas commensurables.

Comme nous allons le présenter, une telle activité de comparaison de deux grandeurs peut conduire à l'introduction des nombres rationnels.

♦ Comparaison de deux grandeurs commensurables par la recherche d'une commune mesure. Considérons, par exemple, deux longueurs de segments *u* et *L*. La comparaison de *u* et de *L* par la recherche d'une commune mesure s'effectue comme suit :

- on reporte la petite longueur *u* autant de fois qu'on le peut dans la grande longueur *L*, on suppose qu'il y a un reste $r_1$ ;

- on reporte la longueur $r_1$ autant de fois qu'on le peut dans la longueur *u*, on suppose qu'il y a un reste $r_2$ ;

<footnote n="14">14 ROUCHE N. (1992), *Le sens de la mesure*, Bruxelles : Didier Hatier.</footnote>
– on reporte la longueur $r_2$ autant de fois qu’on le peut dans la longueur $r_1$, etc.

Par exemple, supposons que “ cela tombe juste ” avec $u$ qui va une fois dans $L$, $r_1$ qui va une fois dans $u$ et $r_2$ qui va exactement trois fois dans $r_1$.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Alors $r_2$ est une commune mesure à $u$ et à $L$: $r_2$ va exactement quatre fois dans $u$ et sept fois dans $L$. Pour comparer $L$ et $u$, nous dirons que $L$ est à $u$ comme 7 est à 4. Ainsi, nous avons exprimé l’égalité de deux rapports, c’est-à-dire une proportion.

En choisissant $u$ comme longueur unité, nous pouvons dire que la commune mesure $r_2$ est égale au quart de l’unité ($4 \times r_2 = u$). Nous écrivons $r_2 = \frac{1}{4}u$. Nous exprimons alors la mesure de $L$ avec l’unité $u$ en disant que la longueur $L$ mesure sept quarts de l’unité $u$: $L = 7(\frac{1}{4}u)$.

Une introduction aux fractions par ce type de mesure de longueurs est proposée par Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin <fnref n="15" />. Les auteurs décrivent les procédures des élèves qui doivent dessiner un segment, rédiger et envoyer un message à un récepteur afin qu’il trace un segment de même longueur. La rédaction des messages conduit les élèves à mesurer leurs segments à l’aide d’une unité qui leur est fournie après le tracé. Leur tâche étant pratique, ils cherchent une mesure suffisamment précise et non une mesure théorique <fnref n="16" /> :

> Les segments de l’émetteur et du récepteur ne coïncident pas toujours. L’erreur provient soit de la manipulation, soit d’un reste négligé par l’émetteur, soit des deux.

> (...) le message comporte (...) une information qualitative sur le reste "et un tout petit peu plus" (...)

Mais ils parviennent à exprimer la longueur $L$ à l’aide de l’unité $u$, l’écriture choisie par les élèves est plutôt de type $L = u + \frac{3}{4}u$.

♦ Comparaison de deux grandeurs commensurables par la méthode de coïncidence. Reprenons les deux longueurs $u$ et $L$. La comparaison de $u$ et de $L$ par

<footnote n="15">¹⁵ DOUADY R. & PERRIN M.-J. (1986), *Liaison Ecole-Collège : Nombres décimaux*, Brochure n°62, Paris : IREM de Paris 7.</footnote>

<footnote n="16">¹⁶ *Ibid.* [pp. 35 et 37].</footnote>
la méthode de coïncidence consiste à déterminer deux entiers $n$ et $p$ tels que $n$ reports de $u$ coïncident avec $p$ reports de $L$.

longueur $u$

longueur $L$

Dans le dessin ci-dessus, nous pouvons comparer les longueurs $L$ et $u$ : quatre reports de $L$ coïncident avec sept reports de $u$. En prenant la longueur $u$ comme unité, la longueur $L$ mesure le quart de sept unités : $L = \frac{1}{4}(7u)$.

Une introduction aux fractions par ce type de mesure de longueurs est proposée par Guy Brousseau<fnref n="17" /> dans l'activité de mesure des épaisseurs des feuilles de papier. Les élèves cherchent à mesurer l'épaisseur d'une pile de feuilles de papier de même épaisseur en un nombre entier de millimètres. Ils font, par exemple, coïncider 60 feuilles et 7mm et déterminent l'épaisseur de la feuille par le couple (60f ; 7mm).

Mais revenons à notre exemple où quatre longueurs $L$ coïncident avec sept longueurs $u$. Nous pouvons déterminer, grâce à cette coïncidence, une commune mesure à $u$ et à $L$. Supposons qu'on puisse diviser $u$ par 4 : notons $\ell$ la longueur qui, reportée 4 fois, égale $u$. Cette nouvelle longueur $\ell$ est la commune mesure de $u$ et de $L$ :

- 4 reports de $\ell$ coïncident avec $u$;

- 7 reports de $u$ coïncident avec 4 reports de $L$;

- donc $7 \times 4$ reports de $\ell$ coïncident avec 4 reports de $L$;

- c'est-à-dire que 7 reports de $\ell$ coïncident avec $L$.

longueur $u$

longueur $L$

longueur $\ell$

Pour comparer $u$ et $L$, nous disons que $u$ est à $L$ comme 4 est à 7 ou bien que $L$ est à $u$ comme 7 est à 4. Et nous retrouvons l'expression que nous avions obtenue par la recherche directe d'une commune mesure : $L = 7(\frac{1}{4}u)$.

<footnote n="17">¹⁷ BROUSSEAU G. (1998), Problèmes de didactique des décimaux, in *Théorie des situations didactiques* (201-289), Grenoble : La pensée sauvage. [pp. 257-276].</footnote>

<footnote>Version révisée et augmentée d'une première édition en 1981 in *Recherches en didactique des mathématiques* 2/1 (37-127), Grenoble : La pensée sauvage.</footnote>
Les deux égalités montrent l'égalité de sept quarts de l'unité et du quart de sept unités : $7(\frac{1}{4}u) = \frac{1}{4}(7u)$ ce que l'on convient d'écrire $\frac{7}{4}u$.

♦ Distinguons les bilans des deux méthodes de comparaison. La recherche d'une commune mesure conduit à écrire $\frac{7}{4}u$ pour $7(\frac{1}{4}u)$. Cette représentation du rationnel $\frac{7}{4}$ correspond bien au vocabulaire des fractions où 4 est le dénominateur (il indique le *nom* de la partie de l'unité c'est-à-dire le nom de la sous-unité) et où 7 est le numérateur (il indique le *nombre* de ces sous-unités). Elle correspond aussi à la façon de lire la fraction : sept quarts de l'unité.

La méthode de coïncidence conduit à écrire $\frac{7}{4}u$ pour $\frac{1}{4}(7u)$. Par ailleurs, puisque quatre reports de la longueur L coïncident avec sept reports de l'unité, il s'ensuit que $\frac{7}{4}u + \frac{7}{4}u + \frac{7}{4}u + \frac{7}{4}u = 7u$ donc $4 \times \frac{7}{4}u = 7u$. Nous obtenons que $\frac{7}{4}$ est le nombre $x$ solution de l'équation $4x = 7$. Cette propriété relie la fraction à la division. En effet, $4x = 7$ s'écrit $x = 7 \div 4$ or nous savons que $x = \frac{7}{4}$.

Finalement, $\frac{7}{4} = 7 \times \frac{1}{4} = \frac{7}{4} \times 7 = 7 \div 4$.

### Des rationnels pour fractionner des grandeurs

Des activités proposées aux élèves permettent de fractionner une grandeur c'est-à-dire de la découper en parts dont les grandeurs sont d'égales mesures.

♦ Fractions de l'unité. En pliant une bande de papier ou une feuille rectangulaire, on peut la fractionner en deux parts dont les aires sont identiques. Si la bande ou la feuille est l'aire unité, par convention d'écriture, chacune des aires des deux parts est notée $\frac{1}{2}$. Dans ce type d'activité, on fait remarquer aux élèves que deux parts de formes différentes peuvent être notées par la même fraction. C'est le cas dans le pliage d'une feuille rectangulaire suivant que l'élève la plie le long de la largeur, de la longueur ou d'une diagonale.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

<figure><img src="image_8.png" /></figure>
Sur cet exemple, de façon plus générale, l'écriture $\frac{1}{n}$ désigne l'aire d'une part
lorsqu'il en faut $n$ pour paver la feuille, et $\frac{p}{n}$ désigne l'aire de la part obtenue par
juxtaposition de $p$ parts d'aire $\frac{1}{n}$. On retrouve ici la valeur $\frac{1}{n}$ comme sous-unité
($n$ est le dénominateur) et $p$ comme le nombre de ces sous-unités ($p$ est le
numérateur). Ce type d'activité est proposé par Régine Douady & Marie-Jeanne
Perrin dans leur ingénierie pour l'enseignement des nombres décimaux<fnref n="18" />. Les
fractions permettant à la fois d'exprimer des longueurs et des aires, les élèves
pourront déterminer le produit de deux rationnels par l'aire du rectangle dont les
dimensions sont précisément ces deux facteurs rationnels.

♦ Fraction de plusieurs unités. Le fractionnement par pliage peut être proposé sur une feuille qui représente plusieurs unités d'aire. Cette activité permet de retrouver l'autre signification de la fraction $\frac{p}{n}$ c'est-à-dire l'aire obtenue par le fractionnement d'une surface qui mesure $p$ unités en $n$ parts de même mesure. Par superposition, on retrouve l'égalité entre trois quarts de l'unité et le quart de trois unités :

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

Le fractionnement de plusieurs unités permet de retrouver aussi que $\frac{3}{4}$ est la
solution de l'équation $4x = 3$. En effet, $\frac{3}{4}$ étant le quart de trois unités, on obtient
ces trois unités en prenant quatre fois $\frac{3}{4}$. Cette situation tisse le lien entre la
division et le fractionnement : $4 \times x = 3$ s'écrit $x = 3 \div 4$ or $x = \frac{3}{4}$.

Des rationnels pour opérer sur les grandeurs

Les rationnels peuvent encore être présentés comme des opérateurs appliqués
à des grandeurs. L'exemple le plus souvent repris est celui proposé par Guy
Brousseau <fnref n="19" /> : l'agrandissement de puzzles. La fraction-mesure a déjà été
manipulée par les élèves comme un ensemble de couples (nombres de feuilles,
nombre de millimètres) pour évaluer l'épaisseur de feuilles de papier. Dans cette
nouvelle présentation, la fraction-opérateur est un autre ensemble de couples : les
couples (longueur initiale, longueur image) dans une situation d'agrandissement
de figures planes sans déformation. Le meilleur représentant de cet ensemble est le
couple (unité, image de l'unité).

<footnote n="18">¹⁸ DOUADY R. & PERRIN M.-J. (1986), *Op. cit.* [pp. 51-62].</footnote>

<footnote n="19">¹⁹ BROUSSEAU G. (1998), *Op. cit.* [pp. 237-241].</footnote>
Le rationnel $\frac{7}{4}$ représente l'image de 1 dans l'agrandissement qui, à 4, associe 7 ($4 \mapsto 7$) ou qui, à 8, associe $14 (8 \mapsto 14)$, ainsi peut-on calculer l'image de toute longueur entière en la multipliant par $\frac{7}{4}$. On utilise implicitement une propriété des fonctions linéaires : $f(n) = n f(1)$. Remarquons que dans cette présentation, $\frac{7}{4}$ est envisagé comme un opérateur mais les nombres 4 et 7 ne sont pas envisagés eux-mêmes comme des opérateurs. Dans cette perspective, $\frac{7}{4}$ se compare à d'autres opérateurs. Pour comparer $\frac{7}{4}$, $\frac{8}{4}$ et $\frac{6}{4}$ c'est-à-dire les coefficients de $(4 \mapsto 7)$, $(4 \mapsto 8)$ et de $(4 \mapsto 6)$, on se réfère à l'image de 4, on déduit que $\frac{7}{4}$ est inférieur à $\frac{8}{4} = 2$ (on agrandit plus quand on obtient 8 à partir de 4 que quand on obtient seulement 7) et que $\frac{7}{4}$ est supérieur à $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. D'une façon analogue, pour comparer $\frac{7}{4}$, $\frac{7}{3}$ et $\frac{7}{5}$ c'est-à-dire les coefficients de $(4 \mapsto 7)$, $(3 \mapsto 7)$ et $(5 \mapsto 7)$, on se réfère à l'antécédent de 7, on déduit que $\frac{7}{4}$ est inférieur à $\frac{7}{3}$ (on agrandit plus quand on obtient 7 à partir de 3 que quand on obtient 7 à partir de 4) et que $\frac{7}{4}$ est supérieur à $\frac{7}{5}$. Ces comparaisons contribuent à conférer aux fractions-opérateurs le statut de nombre.

On peut aussi présenter une fraction comme le résultat de la composition de deux opérateurs appliqués à une grandeur. Le numérateur et le dénominateur sont ces deux opérateurs, le premier multiplie et le second divise. Par exemple,

$$ \overline{\times \frac{7}{4}} \rightarrow \text{ est le résultat de la composition des deux opérateurs : } \overline{\times 7} \rightarrow \text{suivi de } \overline{\div 4} \rightarrow \text{ou bien } \overline{\div 4} \rightarrow \text{suivi de } \overline{\times 7} \rightarrow \text{. Les programmes du 2 janvier 1970 ont introduit l'enseignement de ces opérateurs de façon abstraite : l'attention ne devait pas être portée sur la grandeur initiale, la transformation et la grandeur image mais principalement sur la transformation. Les programmes du 7 juillet 1978 (ils tentent de rompre avec la distinction, sur laquelle nous reviendrons, entre les décimaux-mesures et les fractions-opérateurs) pointent l'intérêt d'utiliser ces compositions d'opérateurs pour éclairer la multiplication des décimaux : " ainsi, 'mult. 3,761' revient à composer 'mult. 3 761' et 'div. 1 000'." Nicolas Rouche émet quelque réserve quant à l'utilisation de cette façon de considérer une fraction }^{20} : $$

<footnote n="20">20 ROUCHE N. (1992), *Op. cit.* [p. 158].</footnote>
Cette façon d'envisager la fraction est assez abstraite du fait qu'elle
tend à détourner l'attention des grandeurs sur lesquelles on opère pour la
concentrer sur les opérations elles-mêmes et leur enchaînement. Comme
les grandeurs ne sont sans doute jamais totalement absentes de
l'imagination, on peut dire que la fraction conçue comme pur produit de
deux opérateurs est une vue extrême qui tend parfois à s'établir dans la
pensée, mais sans jamais s'imposer complètement. C'est en tout cas une
vue élaborée dont on peut douter qu'elle décrive jamais l'intuition
spontanée d'un enfant.

Devons-nous interpréter cette réserve comme une critique a posteriori de cette
partie des programmes, aujourd'hui abandonnée, dont l'ambition de formation
mathématique serait jugée, par son excès, inadaptée au développement des
élèves ?

La fraction-opérateur permet, en théorie, de définir aisément la multiplication
de deux rationnels (ce qui n'est pas le cas pour l'addition) : le produit est la
fraction qui correspond à la composée de deux opérateurs. Guy Brousseau propose
de telles activités en cumulant deux agrandissements d'une figure plane à l'aide de
pantographes <fnref n="21" />. Les grandeurs sur lesquelles opèrent les agrandissements sont ici
omniprésentes, la réserve émise par Nicolas Rouche concernant la composition
d'opérateurs ne concerne donc pas cette situation.

Présentation des nombres décimaux comme des rationnels particuliers

Avec les rationnels, les additions et les comparaisons conduisent souvent à de
longs calculs. Cette contrainte est exploitée pour privilégier les nombres dont une
écriture fractionnaire a pour dénominateur une puissance de dix. C'est ainsi que
les auteurs qui ont choisi cette introduction des décimaux présentent les rationnels
particuliers que sont les décimaux. Citons Guy Brousseau <fnref n="22" /> :

Mais il se trouve que parmi toutes les opérations que l'on peut faire
avec les rationnels sous leur forme fractionnaire, les plus longues, les moins
faciles, sont justement les comparaisons et les sommes ou les différences.
De telle sorte que, pour des raisons d'efficacité, les enfants vont très vite
choisir d'eux-mêmes, parmi les fractions rationnelles, certaines – les
décimales – qui permettent à la fois des calculs rapides et une
représentation commode – une approche – des mesures rationnelles.

Citons aussi Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin <fnref n="23" /> :

A partir des $\frac{1}{100}$; les élèves ont définitivement opté pour le calcul
avec les fractions décimales (des centièmes, des millièmes), tant les calculs
devenaient complexes. (...) Avec les fractions décimales les calculs sont
plus faciles (...) Il reste que l'écriture est très lourde (...) le maître propose

<footnote n="21">21 BROUSSEAU G. (1998), *Op. cit.* [pp. 225-234].</footnote>

<footnote n="22">²² *Ibid.* [p. 224].</footnote>

<footnote n="23">²³ DOUADY R. & PERRIN M.-J. (1986), *Op. cit.* [pp. 148-150].</footnote>
aux élèves de chercher une écriture plus simple où on n'ait pas besoin d'écrire tous ces 0.

Nous étudierons ces activités dans le chapitre consacré aux matériaux dont les professeurs disposent pour enseigner la multiplication des décimaux. Voyons maintenant les nombres décimaux écrits sous la forme d'une somme, c'est-à-dire par exemple, $6 + \frac{3}{10} + \frac{7}{100}$ et remarquons que la notation décimale 6,37 en constitue un autre exemple où l'addition est implicite.

## 13. Les décimaux écrits sous la forme d'une somme

Comme nous l'avons déjà indiqué, une pratique préconisée par les instructions officielles, sans toutefois être imposée, consiste à présenter les nombres décimaux à partir des fractions décimales. Cette pratique est actuellement courante (voir la citation ci-dessous). Néanmoins, pour répondre à l'objectif des programmes quant à la connaissance des nombres décimaux, le professeur ne doit pas limiter son enseignement à une conception fractionnaire du nombre décimal et à une transformation de la fraction décimale en une écriture à virgule <fnref n="24" /> :

> Plusieurs aspects sont à mettre en place concernant les nombres décimaux : l'écriture à virgule est une autre écriture des fractions décimales, les décimaux sont de bons outils pour la mesure des grandeurs, pour repérer des points sur la droite numérique (aspect important pour la comparaison, l'encadrement, les approximations...), les décimaux permettent d'approcher les quotients de deux entiers, (...)

> Ces différents aspects sont en général travaillés dès l'école primaire, l'introduction par les fractions décimales étant aujourd'hui la plus fréquente.

La méthode de coïncidence ou la détermination d'une commune mesure d'un segment donné avec un segment unité permet, nous l'avons vu, de mesurer des longueurs exprimées à l'aide de nombres rationnels. La présentation des nombres décimaux qui répondent aux besoins de mesurer des grandeurs peut alors être envisagée par le professeur à partir des fractions. Cependant, les auteurs des instructions officielles paraissent préférer les décimaux aux rationnels pour la mesure des grandeurs et le repérage des points : “les décimaux sont de bons outils pour la mesure des grandeurs, pour repérer des points (...)”. Cette formulation semble insister sur la nécessité d'une multiple présentation des nombres décimaux, des résolutions d'équation du type $ax=b$ avec les fractions, des comparaisons, des encadrements, des approximations... avec la notation décimale et des mesures avec l'utilisation d'un système d'unités adaptées. Le professeur peut donc choisir de mettre en relation le système métrique avec le système de numération décimale en utilisant la “droite numérique” c'est-à-dire, à l'école élémentaire, une demi-droite graduée à partir de zéro.

<footnote n="24">²⁴ Mathématiques : articulation école-collège, BO n°44 du 5 décembre 1996.</footnote>
## Subdivisions successives de l'unité de mesure

Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin utilisent cette écriture des décimaux pour mesurer les longueurs des côtés des rectangles dont il faut calculer l'aire. Durant une longue phase, les élèves n'écrivent pas $6,37$ mais $6 + \frac{3}{10} + \frac{7}{100}$. C'est au moment de multiplier les nombres avec cette représentation que les élèves en viennent volontiers à la notation décimale qui allège l'écriture.

On trouve généralement ce type de représentations dans les manuels pour le CM2<sup>25</sup> ainsi que dans des brochures destinées aux enseignants<sup>26</sup>, le fil conducteur des activités est généralement le suivant. Soit un segment [AB] à mesurer, on dispose d'une unité de longueur et d'une graduation. Le " mesurage " montre que la mesure de la longueur du segment [AB] est comprise entre les deux nombres entiers 6 et 7 ; ce qui n'est pas très précis...

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

Le professeur, ou l'énoncé de la fiche d'activité, propose de mieux voir ce qui se passe entre 6 et 7 en agrandissant dix fois cet intervalle. On subdivise alors le segment compris entre 6 et 7 qui mesure une unité de longueur, en dix segments de longueur $\frac{1}{10}$ et on complète la graduation en marquant $6+\frac{1}{10}$, $6+\frac{2}{10}$... que l'on écrit $6,1, 6,2...$ en utilisant les résultats du travail déjà effectué sur les fractions décimales et l'écriture décimale : $6+\frac{1}{10}=\frac{60}{10}+\frac{1}{10}=\frac{61}{10}=6,1$. Le mesurage montre alors que la longueur du segment [AB] est comprise entre 6,3 et 6,4 ; ce qui est plus précis mais...

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Le professeur propose de mieux voir ce qui se passe entre 6,3 et 6,4 en agrandissant dix fois cet intervalle. On subdivise alors le segment compris entre 6,3 et 6,4 qui

<footnote n="25"><sup>25</sup> Les manuels de CM2 utilisent un "zoom ×10" sur la droite numérique pour présenter les décimaux (ou fractions décimales), pour situer un point sur la droite, pour comparer deux décimaux, ou pour montrer qu'entre deux décimaux ayant exactement *n* décimales (la *n*<sup>ième</sup> est non nulle) il existe exactement 9 nombres ayant exactement *n+1* décimales. Par exemple :

*Math et calcul* CM2 (1988), Paris : Hachette. [p. 108];

*Math outil* CM1 (1997), Paris : Magnard. [p. 157];

*Math élem.* CM2 (1998), Paris : Belin. [pp. 72, 88].</footnote>

<footnote n="26"><sup>26</sup> Groupe Nouveaux programmes de Collège (1996), *Activités pour la classe de sixième : Nombres décimaux - Aires et Périmètres*, Montpellier : IREM de Montpellier 2. [pp. 14-32].</footnote>
mesure $\frac{1}{10}$ unité de longueur, en dix segments de longueur $\frac{1}{100}$ et on complète la graduation en marquant $6,3+\frac{1}{100}$, $6,3+\frac{2}{100}$... que l'on écrit $6,31, 6,32...$ Le mesurage montre alors que la longueur du segment [AB] est comprise entre 6,37 et 6,38 ; ce qui est plus précis mais...

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Dans les manuels, le processus s'arrête après un nombre fini d'étapes (généralement trois ou quatre) soit parce que le point B est précisément situé sur une marque de graduation, soit parce que la précision de la mesure est jugée suffisante. Mais, sur le plan théorique, il se peut que ce processus ne s'arrête jamais. La mesure du segment [AB] est alors exprimée par une écriture décimale illimitée.

## Les écritures décimales illimitées

L'activité que nous venons de décrire repose sur un postulat selon lequel tout point de la droite numérique peut être associé à un nombre. Une conception unificatrice de la notion de nombre s'en dégage, un nombre est un représentant d'un point de la droite numérique. Cette conception permet de présenter de la même façon tous les nombres réels positifs, elle permettra aussi d'absorber les nombres relatifs quand, au collège, la droite numérique sera graduée dans les deux sens...

Cette activité permet aussi d'aborder le cas de nombres qui auraient une écriture décimale illimitée. Les écritures décimales illimitées posent un problème d'enseignement : la situation pratique n'est pas la même si l'on obtient, pour la longueur du segment [AB], la mesure 6,372999... ou la mesure 6,373000... Et pourtant ces deux résultats pratiques conduisent au même nombre pour exprimer la longueur du segment [AB]. Les instructions du 22 novembre 1971 envisageaient, pour la classe de quatrième, de traiter les développements décimaux illimités afin de présenter les nombres réels. Le problème que nous venons d'évoquer n'était pas ignoré : "On fera comprendre qu'il n'existe pas de développement entre 7,220000... et 7,21999... ce qui conduit à identifier de tels développements".

Aujourd'hui, aucun apprentissage n'est associé à ces nombres. Néanmoins, des nombres qui ont une écriture décimale illimitée sont rencontrés par les élèves lors de la division de deux entiers "poussée après la virgule". Pour convaincre leurs élèves que "la division ne s'arrêtera jamais", les enseignants expliquent souvent que la suite des décimales comporte une période qui se perçoit bien à partir du moment où l'on obtient un reste qui a déjà été obtenu. Et cela ne manquera pas d'arriver puisque le nombre de restes possibles est limité. Certains professeurs de collège évoquent aussi le fait que 0,999... et 1 désignent le même nombre en utilisant les deux écritures du tiers, $\frac{1}{3}$ et 0,333... :
$$ \frac{1}{3} = 0,333... \text{ donc } 3 \times \frac{1}{3} = 3 \times 0,333... \text{ or } 3 \times \frac{1}{3} = 1 \text{ et } 3 \times 0,333... = 0,999... $$

La propriété “ tout nombre dont l'écriture décimale illimitée est périodique à partir d'un certain rang peut s'écrire comme le quotient de deux entiers ” n'est pas enseignée. On obtient, par exemple, une écriture fractionnaire du nombre $a = 3,8757575...$ que l'on note 3,875 par le raisonnement suivant :

$$
\begin{array}{l@{\qquad}l}
\text{et} & 10a = 38\overline{,75} \\[1.5ex]
\text{donc} & 1000a = 3\,875\overline{,75} \\[1.5ex]
& 990a = 3\,875\overline{,75} - 38\overline{,75} \\
& \qquad = 3\,875 - 38 = 3\,837 \\[1.5ex]
\text{et donc} & a = \displaystyle\frac{3\,837}{990} \\[1.5ex]
\text{soit, en simplifiant :} & a = \displaystyle\frac{1\,279}{330}
\end{array}
$$

Cette propriété permettrait de conclure une première étude des nombres. Les nombres de la droite numérique sont les nombres réels, tous ces nombres ont une écriture décimale, la partie décimale étant éventuellement illimitée. Les nombres réels qui ont une écriture décimale illimitée périodique à partir d'un certain rang sont les nombres rationnels, ils peuvent s'écrire comme un quotient de deux entiers. Les nombres réels qui ont une écriture décimale limitée sont les nombres décimaux que l'on peut écrire aussi sous la forme d'une fraction décimale ou d'une autre fraction.

Cette présentation classe les nombres selon des critères d'écriture. Ce classement apparaît tôt dans la scolarité alors que les arguments développés précédemment sont difficiles, ils ne seront accessibles que bien plus tard dans la vie des élèves si tant est qu'ils le soient vraiment durant la scolarité obligatoire. Cette présentation peut alors conduire à des confusions comme celle que nous avons trouvée dans un livre du maître<sup>27</sup> : " *Il s'agit d'un nombre 'périodique'. Ce n'est pas un nombre décimal.*" C'est l'inconvénient majeur de cette présentation, elle induit la conception suivante : tous les nombres ont une écriture décimale ; ceux qui n'ont pas de partie décimale sont les nombres entiers ; ceux qui ont une partie décimale limitée sont les décimaux, ils ne sont pas entiers ; ceux qui ont une partie décimale illimitée périodique sont des rationnels, ils ne sont pas décimaux. Ainsi, les nombres entiers ne seraient pas décimaux, les décimaux ne seraient pas rationnels et 0,9 ne serait pas décimal.

Cette présentation possède d'autres inconvénients. Elle repose sur le fait que les subdivisions successives de l'unité peuvent s'effectuer indéfiniment, mais, dans la pratique, de telles subdivisions sont impossibles et cela renforce la confusion entre les nombres entiers et les nombres décimaux. C'est ce que signale Guy Brousseau<sup>28</sup> :

<footnote n="27"><sup>27</sup> *Math et calcul* CM2 Livre du maître (1990), Paris : Hachette. [p. 170].</footnote>

<footnote n="28"><sup>28</sup> BROUSSEAU G. (1998), Problèmes de l'enseignement des décimaux, in *Théorie des situations didactiques* (165-197), Grenoble : La pensée sauvage. [p. 173, 174].</footnote>
Même si la définition laisse entendre que toutes les unités de grandeur peuvent être divisées en dix, ces divisions, ne sont jamais – dans l'enseignement élémentaire – poursuivies impunément au-delà de l'utile et du raisonnable, même à travers la fiction commode du calcul de la division.
(...)

Dans ces conditions, les décimaux restent munis d'un ordre discret, celui des naturels (...)

Souvent les comparaisons et les sommes de décimaux ne seront correctes que si ces derniers sont écrits avec le même nombre n de chiffres après la virgule, c'est-à-dire s'ils sont présentés dans le même $D_n$ (ensemble des décimaux tels que $10^n D_n \in \mathbb{N}$) et donc s'ils s'interprètent comme des naturels.

Les emboîtements de ces $D_n$ seront malaisés dès que la situation se compliquera, surtout pour $D_0$, l'ensemble des naturels, car nous avons vu que si les décimaux sont au fond des naturels, les entiers ont été déclarés ne pas être des décimaux !

Guy Brousseau met bien en cause cette présentation des décimaux. Selon lui, elle ne permet pas aux élèves d'acquérir de solides compétences ni pour la comparaison ni pour l'addition. Si l'on rejette cette présentation, il reste une question à résoudre : comment montrer que les décimaux permettent d'approcher les nombres réels ? Guy Brousseau et Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin ont conçu des situations pour répondre à cette question, nous allons les décrire dans le paragraphe suivant.

## Approche décimale d'un rationnel ou d'un irrationnel

Les deux situations d'approximation de réels à l'aide de décimaux élaborées respectivement par Guy Brousseau et par Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin sont bien connues des didacticiens, nous nous contentons de les rappeler car nous ne les avons retrouvées ni dans des manuels ni dans des brochures destinées aux enseignants. Ces situations ne contribuent donc pas à l'élaboration des conceptions des élèves sur les nombres décimaux à l'école primaire, sauf pour ceux dont les enseignants utiliseraient ces propositions de didacticiens...

En CM2 comme en sixième, les décimaux qui permettent d'approcher des quotients sont généralement obtenus par une mise en œuvre de la technique de la division, le problème alors posé est celui de la difficile interprétation du reste.

* Le jeu du radar ou jeu de l'explorateur. Dans la progression pour l'enseignement des rationnels et des décimaux de Guy Brousseau 29, les élèves construisent l'ensemble des rationnels, l'addition, la soustraction et la multiplication de deux rationnels, la division d'un rationnel par un entier et une

<footnote>Version révisée et augmentée d'une première édition en 1980 in *Recherches en didactique des mathématiques* 1/1 (11-59), Grenoble : La pensée sauvage.</footnote>

<footnote n="29">29 BROUSSEAU G. (1998), Problèmes de didactique des décimaux, in *Théorie des situations didactiques* (201-289), Grenoble : La pensée sauvage.</footnote>

<footnote>Version révisée et augmentée d'une première édition en 1981 in *Recherches en didactique des mathématiques* 2/1 (37-127), Grenoble : La pensée sauvage.</footnote>
relation d'ordre. Alors seulement, des situations d'approximation de rationnels par des décimaux sont proposées aux élèves : le jeu de l'explorateur <fnref n="30" />.

Le joueur A choisit une fraction comprise entre 0 et 10 (sans la dire à haute voix). Il l'écrit sur un papier qu'il met dans sa poche. Le joueur B cherche à deviner dans quel intervalle de naturels consécutifs se trouve cette fraction. Pour cela il a le droit de poser des questions, par exemple "est-ce que ta fraction se trouve entre 7 et 9 ?" A n'a le droit de répondre que par "oui" ou par "non". (...)

Le maître (...) introduit de nouvelles règles au jeu précédent : on va essayer de continuer le jeu en essayant d'encadrer la fraction de l'adversaire dans l'intervalle le plus petit possible. (...)

La difficulté consiste autant à trouver des fractions entre deux autres, qu'à comparer celle qu'on a choisie à celles du "filet" de l'adversaire (...)

Cependant déjà, les encadrements décimaux apparaissent (...) les parties se déroulent beaucoup plus vite et les dénominateurs s'enflent (...) Encadrée par un intervalle très petit : 1/1 000 000 la fraction 22/7 n'est pas encore attrapée. Une discussion animée s'installe (...)

♦ *Trouver le côté du carré d'aire* 27. Dans leur ingénierie pour l'enseignement des décimaux, Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin proposent une situation de recherche des rectangles d'aire 27³¹; chaque rectangle est associé à un couple (a, b) où a et b sont ses dimensions et chaque couple est représenté sur un graphique. Dans cette famille de rectangles, existe-t-il un carré ? Telle est la question posée aux élèves.

Ils procèdent par encadrement : ils nomment la mesure du côté du carré, x par exemple, et cherchent à encadrer x.

$$5 \times 5 = 25 \qquad 6 \times 6 = 36 \qquad 5 < x < 6$$

Le problème est de s'approcher le plus possible d'un x tel que $x \times x = 27$.

1ère étape : partager en deux l'intervalle d'incertitude (...) les calculs deviennent compliqués. (...)

2ème étape : passage au $\frac{1}{10}$. (...) Nous assistons là à un conflit entre deux points de vue à prendre en compte si on veut progresser efficacement :

- simplifier les calculs d'où le choix de $\frac{1}{10}$ ;

- faire converger rapidement le processus de recherche du carré et donc couper en deux.

3ème étape : passage au $\frac{1}{100}$ et abandon du graphique. (...) Il reste que l'écriture est très lourde lorsqu'il s'agit de calculer le carré d'un tel nombre et d'écrire le résultat (...)

<footnote n="30">³⁰ *Ibid.* [pp. 241-243].</footnote>

<footnote n="31">³¹ DOUADY R. & PERRIN M.-J. (1986), *Op. cit.* [pp. 143-152].</footnote>
Ces deux situations montrent que les décimaux écrits sous la forme d'une somme (y compris avec l'écriture décimale) sont des bons outils pour les approximations parce qu'ils permettent d'effectuer des calculs plus simplement et qu'ils facilitent la détermination de nombres compris entre deux autres pour affiner la précision de l'approximation. Leurs auteurs privilégient les situations où les savoirs apparaissent selon des critères d'utilité pour résoudre un problème, cela explique l'apparition tardive de l'écriture décimale : "Il reste que l'écriture est très lourde (...)".

Abordons maintenant les nombres décimaux écrits sous la forme d'un produit, la puissance de dix pouvant être implicite comme lorsqu'on écrit :

$$2,15 \text{ m} = 215 \text{ cm.}$$

## 14. Les décimaux écrits sous la forme d'un produit

Comme nous l'avons vu, à l'école primaire, la présentation des décimaux sur la droite numérique par subdivisions réitérées de l'unité est toujours limitée à quelques itérations. Cette simplification permet d'enseigner parallèlement le système décimal et le système métrique : il suffit de limiter le nombre de chiffres après la virgule au rang des plus petites unités pratiquées couramment.

Une telle simplification a priori figurait explicitement dans les programmes de 1928 et 1945. Elle engendre une dépendance entre les nombres décimaux et les mesures ainsi qu'une altération des nombres décimaux qui sont, dans les faits, "ramenés" à des entiers.

### Les mesures décimales et les changements d'unités

Afin de mieux montrer les conséquences d'un enseignement qui limite les nombres décimaux à l'expression de mesures usuelles, citons quelques extraits du programme du cours moyen de 1945 :

> Les élèves ont presque tous entendu parler de prix exprimés en francs et centimes, de poids exprimés en kilogrammes et grammes, de capacités exprimées en litres et centilitres, de distances exprimées en kilomètres et mètres, etc. Il importe de leur faire comprendre l'équivalence des deux expressions d'un nombre concret, soit avec deux unités, soit avec une virgule : 2 mètres et 15 centimètres = 2,15 m. (...)

> Il est bon que les chiffres décimaux, complétés au besoin par des zéros, correspondent à des unités pratiques. On est ainsi ramené à indiquer un nombre en francs avec deux décimales (c), un nombre en mètres avec deux ou trois décimales (cm ou mm), un nombre en kilomètres avec trois décimales (km), un nombre en litres avec deux décimales (cl), un nombre en mètres cubes avec trois décimales (dm³), etc.

> *Opérations.* – Les règles de changement d'unité permettent d'expliquer – sinon de justifier – la pratique des opérations. (...) On peut justifier la règle de la virgule dans la multiplication par un double changement d'unité.
♦ Le premier effet d'un tel enseignement est, mais c'est bien le choix de simplification opéré, que les décimaux seront implicitement limités au rang des plus petites unités pratiquées couramment <fnref n="32" />.

♦ Le deuxième effet qui est une conséquence directe du précédent est que les relations topologiques sur l'ensemble de ces décimaux enseignés ressemblent plus aux relations sur l'ensemble des entiers naturels qu'à celles sur l'ensemble des décimaux, citons Guy Brousseau <fnref n="33" /> :

(...) toutes les relations topologiques vont être perturbées et pendant longtemps : l'enfant ne trouvera pas de décimal entre 3,25 et 3,26, mais par contre, il trouvera un prédécesseur dans $\mathbb{D}$ à 3,15 : ce sera 3,14 etc. Même s'il corrige sa réponse sur tel ou tel point, les raisonnements intuitifs vont être guidés par ce modèle erroné (...)

L'exemple utilisé dans les programmes de 1945 montre comment le nombre décimal 2,15 est considéré comme un couple de deux entiers 2 et 15 et comment l'écriture décimale est restreinte à ce que nous conviendrons d'appeler un "format social" des décimaux-système métrique <fnref n="34" />. Chacun des deux entiers 2 et 15 est affecté de son unité, le mètre pour la partie entière, le centimètre pour la partie décimale. La partie décimale 0,15 est, elle aussi, considérée comme un entier par l'effet de l'écriture : 0,15 m = 15×10⁻² m = 15 cm. Finalement, la partie entière est associée à l'unité principale usuelle (m, m², l, kg, F...) la partie décimale à sa sous-unité usuelle (cm ou mm, dm², dℓ, g, c...). Les deux parties sont parfois mises en relation par référence à la sous-unité usuelle : 2,15 m = 215 cm. Les nombreuses études de différentes évaluations des acquis des élèves ont montré que cette conception des nombres décimaux cause de nombreuses erreurs : en 1979, une enquête de l'INRP a montré que 37% des élèves de CM2 déclaraient 3,2 inférieur à 3,135. Et parmi les élèves qui répondent que 3,135 est inférieur à 3,2, certains *rangent les décimaux en ordre inverse de la longueur de la partie décimale* <fnref n="35" />...

♦ Le troisième effet est une conséquence sur le calcul, et particulièrement sur le calcul mental, de la conception du nombre décimal comme un couple de deux

Version révisée de deux articles :

BROUSSEAU G. (1978), Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques, *Recherches en didactique des mathématiques* 4/2 (165-198), Grenoble : La pensée sauvage.

BROUSSEAU G. (1989), Les obstacles épistémologiques et la didactique des mathématiques. In : Bednarz and C. Garnier (eds.) : *Construction des savoirs – Obstacles et conflits* (41-63). Montréal : Centre interdisciplinaire de recherche sur l'apprentissage et le développement en éducation (CIRADE).

<footnote n="32">³² BROUSSEAU G. (1998), Obstacles épistémologiques, problèmes et ingénierie didactique, in *Théorie des situations didactiques* (115-160), Grenoble : La pensée sauvage. [p. 131].</footnote>

<footnote n="33">³³ *Ibid.* [p. 132].</footnote>

<footnote n="34">³⁴ Nous employons le mot format pour désigner un type d'écriture, comme c'est l'usage dans tous les logiciels de traitement de texte, les tableurs... L'expression "format social" d'un décimal désigne ainsi le type d'écriture de ce décimal qui respecte l'usage social.</footnote>

<footnote n="35">³⁵ GRISVARD C. & LEONARD F. (1983), Résurgence de règles implicites dans la comparaison de nombres décimaux, *Bulletin de l'APMEP* n°340, Paris : APMEP.</footnote>
entiers : on rencontre fréquemment chez les élèves des égalités du type $2,3 \times 2,3 = 4,9$ ou $17,3 + 21,8 = 38,11$$^{36}$. Partie entière et partie décimale étant traitées séparément, n'étant jamais mises en relation, c'est le sens des opérations sur les nombres décimaux qui est perturbé.

♦ Le quatrième et dernier effet que nous énoncerons de cet enseignement qui limite les nombres décimaux à des "nombres concrets" porte sur le rapport entre les nombres rationnels et les nombres décimaux. Dans cet enseignement, une opération entre deux nombres décimaux correspond nécessairement à une opération entre les grandeurs dont ils expriment la mesure. Si un "nombre abstrait" (c'est-à-dire un nombre qui n'est pas la mesure d'une grandeur) intervient dans un calcul, ce nombre est soit entier soit une fraction mais pas un décimal. Une rupture entre décimaux-nombres concrets et rationnels-nombres abstraits est orchestrée.

Dans tous les manuels de l'époque est cependant insérée une leçon
au cours de laquelle on s'efforce de montrer qu'un nombre décimal peut
s'écrire sous la forme d'une fraction décimale et inversement, ou, si l'on
préfère qu'un nombre dit concret : 0,5 m peut prendre l'aspect d'un
nombre abstrait $\frac{5}{10}$ opérant sur une grandeur : le mètre. Cette séance se
réduit à une leçon de choses sur des écritures. Nulle part, on ne cherche à
montrer que ces écritures pourraient remplir la même fonction
opératoire.$^{37}$

Les programmes qui ont succédé à ceux de 1945 n'ont pas modifié cet enseignement des nombres décimaux jusqu'en 1970. La réforme mise en place cette année là bouleverse l'enseignement du calcul à l'école élémentaire. L'écriture de nombres dans différentes bases influence la présentation des nombres décimaux qui sont alors des cas particuliers de nombres à virgules : ceux pour lesquels les groupements se font par dix. Le sens de chaque chiffre de l'écriture d'un nombre à virgule est abordé par différents exemples. Néanmoins, le nombre décimal reste le nombre de la mesure, opposé à la fraction qui reste un opérateur. Le nombre décimal reste considéré comme un entier à un changement d'unité près$^{38}$ :

On remarquera qu'à tout nombre naturel exprimant une mesure on
peut associer, par un changement d'unité convenable, un nombre décimal
et qu'à tout nombre décimal on peut associer, par un changement d'unité,
un nombre naturel (et cela de diverses façons).

Toutes ces remarques ont conduit l'institution scolaire à tenter de dissocier davantage, dans l'enseignement, le nombre décimal de la mesure et de ses unités. Plutôt que d'ancrer la notion de nombre décimal dans une pratique sociale, les enseignants sont invités à introduire cette notion par le problème mathématique

<footnote>$^{36}$ APMEP (1986), *Aides pédagogiques pour le cycle moyen, Nombres décimaux*, Paris. [p. 31].</footnote>

<footnote>$^{37}$ *Ibid.* [p. 23].</footnote>

<footnote>$^{38}$ Programmes et instructions officielles du 2 janvier 1970.
On remarquera notamment la différence entre "à tout nombre naturel exprimant une mesure" et "à tout nombre décimal".</footnote>
de la mesure d'une grandeur avec une seule unité. L'objectif est de relier, dès le départ, le nombre décimal à la fraction décimale, chaque chiffre de l'écriture décimale trouvant sa signification dans la fraction d'unité qu'il représente.

Cette modification des programmes a eu aussi une conséquence concernant l'enseignement des grandeurs et de leur mesure. Dans sa thèse, Jeanne Bolon <fnref n="39" /> a montré qu'actuellement ni les manuels pour l'école élémentaire ni ceux pour le collège ne proposent d'activités qui portent effectivement sur les grandeurs familières. Pourtant ces grandeurs interviennent dans tous les problèmes numériques issus de situations concrètes ou de la vie courante. Aussi Jeanne Bolon en propose-t-elle un enseignement spécifique que nous allons présenter maintenant.

## Un essai d'enseignement des grandeurs familières

Après avoir constaté la disparition de l'enseignement des grandeurs familières dans les manuels, Jeanne Bolon, dans sa comparaison de l'ingénierie de Nadine et Guy Brousseau <fnref n="40" /> à celle de Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin <fnref n="41" />, remarque que <fnref n="42" /> :

> La progression Brousseau & Brousseau inclut l'étude de décimaux liés aux grandeurs familières. Certaines grandeurs sont effectivement mesurées ou fabriquées (masses, capacités). La progression Douady & Perrin n'inclut pas d'étude de grandeurs familières (sauf la longueur).

Toujours dans sa thèse, l'auteur propose une série de douze *suggestions* progressives sous forme de fiches d'activités commentées. Trois d'entre elles portent précisément sur l'enseignement des grandeurs familières.

Dans la première suggestion <fnref n="43" />, ces grandeurs ne sont pas effectivement mesurées mais elles sont étudiées dans des situations "quotidiennes" qui portent sur des relations additives ou multiplicatives et sur des problèmes d'approximation. L'auteur précise que

> Sur les grandeurs familières, longueurs, prix, masses, capacités, il n'est pas nécessaire de connaître les propriétés des décimaux pour faire des calculs additifs à la main. On convertit les centimes en francs ou les centimètres en mètres dès que la somme dépasse 100 ; on fait de même pour des kilomètres et mètres, pour des kilogrammes et grammes.

La notion de nombre décimal n'est pas encore approfondie. Dans des situations multiplicatives, les élèves utilisent la calculatrice qui élimine les "zéros inutiles"

<footnote n="39">³⁹ BOLON J. (1996), *Comment les enseignants tirent-ils parti des recherches faites en didactique des mathématiques ? Le cas de l'enseignement des décimaux à la charnière Ecole-Collège*, Thèse de didactique des mathématiques de l'Université de Paris 5. [p. 208].</footnote>

<footnote n="40">⁴⁰ BROUSSEAU G. & BROUSSEAU N. (1987), *Rationnels et décimaux dans la scolarité obligatoire*, Bordeaux : IREM de Bordeaux.</footnote>

<footnote n="41">⁴¹ DOUADY R. & PERRIN M.-J. (1986), *Liaison Ecole-Collège : Nombres décimaux*, Brochure n°62, Paris : IREM de Paris 7.</footnote>

<footnote n="42">⁴² BOLON J. (1996), *Op. cit.* [p. 138].</footnote>

<footnote n="43">⁴³ *Ibid.* [Suggestion n°2, pp. 221-222].</footnote>
et qui n’arrondit pas les mesures décimales des grandeurs en respectant le format social. Ainsi émergent des difficultés liées aux contradictions entre ce format et la notation mathématique des décimaux que les élèves doivent lever en travaillant le sens et l’utilité de ces écritures.

Dans la deuxième suggestion <fnref n="44" />, Jeanne Bolon propose des situations où les élèves doivent communiquer sur des grandeurs mesurées avec des unités différentes afin de déterminer la plus grande. Les élèves doivent, par exemple comparer la longueur d’une ficelle rouge et celle d’une ficelle bleue sachant que la ficelle rouge a pour longueur 35 avec l’unité A, la ficelle bleue a pour longueur 4 avec l’unité B et qu’il faut 10 A pour faire un B. L’objectif est que les élèves découvrent la relation entre le nombre qui indique la mesure et l’unité de mesure pour prévoir comment varie le nombre quand l’unité est multipliée ou divisée par 10, 100… Dans la conclusion de sa thèse, Jeanne Bolon propose, entre autres, ce thème comme perspective de recherche en didactique des mathématiques <fnref n="45" /> :

> Un autre domaine de recherche à ouvrir de nouveau serait celui des rapports entre nombres, mesures de grandeurs, unités-étalons dans l'esprit de ce que nous avions proposé dans notre suggestion 8. Ce domaine a fait l'objet de nombreux travaux dans la période 1960-1980 (Revuz, Colmez en particulier) dans un contexte où la logique de la déduction mathématique dominait l'approche psychologique. L'enseignement y a gagné l'indépendance entre système de nombres et mesures. Il y a probablement perdu l'approche algébrique entre mesure de grandeurs, unités-étalons et nombres.

Dans la troisième suggestion <fnref n="46" />, Jeanne Bolon propose un travail pratique sur les conversions de mesure par changement d’unité. Ce travail n’est pas l’étude théorique et systématique d’un tableau analogue à celui de la notation décimale. Au contraire, l’objectif est d’aider les élèves à acquérir quelques repères physiques sur les grandeurs usuelles afin de pouvoir contrôler les valeurs qu’ils annoncent comme résultats dans les résolutions de problèmes. L’auteur propose des travaux pratiques où des longueurs, des masses et des volumes sont mesurées et fabriquées. Par exemple, en atelier “ technologie ”, les élèves fabriquent plusieurs exemplaires de sacs de sable de 1 g, 1dag, 1 hg, 1 kg. Ils pourront vérifier, à l’aide d’une balance, que 10 sacs de 1 hg ont la même masse qu’un sac de 1 kg.

L’ambition de l’auteur nous semble claire. Les élèves connaissent des notations décimales utilisées socialement, mais, contrairement à ce que préconisaient les programmes de 1945, il ne s’agit pas d’introduire la notion de nombre décimal là où elle n’est pas indispensable ni, a fortiori de réduire l’enseignement des décimaux à une notation pratique couramment utilisée. Il s’agit au contraire de manipuler les grandeurs, de les mesurer avec différents systèmes de mesure et de les introduire dans des situations concrètes afin que les élèves puissent résoudre les problèmes où ces grandeurs familières interviennent.

<footnote n="44">⁴⁴ Ibid. [Suggestion n°8, pp. 238 et 240].</footnote>

<footnote n="45">⁴⁵ Ibid. [p. 329].</footnote>

<footnote n="46">⁴⁶ Ibid. [Suggestion n°9, p. 239].</footnote>
Utilisons maintenant cette étude pour décrire les objectifs de l'institution scolaire concernant l'enseignement des nombres décimaux.

**A priori, quel enseignement des nombres décimaux à l'école et au collège ?**

Les nombres décimaux peuvent être présentés à l'école primaire de différentes façons mais, quelle qu'en soit l'introduction trois modes de représentations symboliques correspondant à plusieurs catégories de problèmes peuvent être travaillées (ce que préconisent les instructions officielles actuelles). Dressons un bilan de cette étude pour distinguer, au niveau du sens, les différentes façons de concevoir la notion de nombre décimal.

Ecrits sous la forme d'un quotient, les décimaux servent à résoudre certaines équations du type $ax = b$, sans solution dans l'ensemble des entiers, et des problèmes numériques que ces équations modélisent. Ainsi, les nombres décimaux sont considérés comme des rationnels particuliers écrits sous la forme d'un quotient $\frac{a}{b}$. Nous avons vu trois situations différentes qui conduisent à une telle utilisation des nombres rationnels : des situations de comparaison conduisant à la mesure de longueur, des situations de fractionnement conduisant à la mesure de longueur et d'aire, et des situations d'agrandissement de figure conduisant à l'utilisation d'opérateurs ou de fonctions linéaires. Nous distinguons finalement, au niveau du sens, le "rationnel-mesure", le "rationnel-fractionnement" et le "rationnel-opérateur".

Les décimaux sont de meilleurs outils que les entiers pour la mesure, ils permettent, comme les rationnels, une approximation aussi précise qu'on le souhaite de la position d'un point sur une droite graduée ou de la mesure d'une grandeur. Ecrits sous la forme d'une somme ou avec la notation décimale, la résolution de ces problèmes d'approximation est simplifiée. Nous avons vu que la mesure de longueur de segment ou la situation de repérage de points sur la droite numérique conduit à l'utilisation des décimaux avec cette représentation symbolique. En référence au système métrique, les nombres décimaux sont implicitement écrits comme des produits et répondent aux problèmes de mesure des grandeurs familières. Nous retenons finalement, au niveau du sens, le "décimal-mesure", le "décimal-abscisse" et le "décimal-système métrique".

Depuis un demi-siècle, les instructions officielles pour l'école primaire ont beaucoup évolué sur l'enseignement des nombres décimaux. Jusqu'en 1970, ils sont réduits à une écriture des mesures des grandeurs familières. Ils sont désignés comme des nombres concrets par opposition aux nombres abstraits qui n'expriment aucune mesure, qui apparaissent dans des calculs et dont la notation privilégiée est la fraction. De 1970 à 1980, c'est l'écriture décimale qui est mise en avant, traduction des nombres entiers après un changement d'unité. L'approche est plus abstraite mais l'opposition est conservée entre le nombre-mesure dont l'écriture est décimale et le nombre-opérateur dont l'écriture est fractionnaire. Durant ces deux périodes, les opérations sur les décimaux ainsi que les techniques
opératoires sont enseignées par référence aux nombres entiers, à l'aide de décalages de la virgule.

Depuis 1980, l'ambition de transformer le paysage numérique est nettement affirmée : face aux nombres entiers, les fractions et les décimaux sont les nouveaux nombres qui vont pallier les insuffisances des premiers <fnref n="47" /> :

Diverses situations permettront aux enfants de prendre conscience de la nécessité de disposer d'autres nombres. Ainsi :

(...) la fonction " diviser par 100 " dans $N$ n'est pas définie pour 22, pour 1 110, etc.

(...) Lorsqu'on veut exprimer la mesure de la longueur d'un objet avec une unité choisie, l'ensemble des nombres naturels est peu satisfaisant, ne permettant pas de transmettre une information précise dans la plupart des cas.

(...) de nombreux points ne correspondent à aucun nombre naturel. On peut chercher à affecter un nombre à d'autres points de la droite ; par exemple : au milieu du segment défini par le "point 102" et le "point 103".

Comme l'indique le complément aux programmes de mathématiques pour le cycle des approfondissements de l'école primaire et pour la classe de sixième "Mathématiques : articulation école-collège <fnref n="48" />" paru à la fin de l'année 1996, les décimaux sont, à l'école primaire, le plus souvent présentés à partir des fractions décimales. Les facilités de calculs et de comparaisons que permettent les décimaux expliquent que ceux-ci soient privilégiés à l'école comme dans la vie courante. Mais paradoxalement, l'ambition de "libérer" les nombres décimaux de la mesure s'est accompagnée, dans les publications scolaires et donc peut-être aussi dans les pratiques, d'un abandon de l'enseignement de la mesure des grandeurs familières. Ne pourrait-on pas craindre alors une régression des capacités des élèves à résoudre les problèmes numériques courants ? Ils modélisent les situations qui, précisément, mettent en relation les grandeurs familières.

En sixième, à propos des nombres décimaux, les instructions officielles de 1996 chargent les professeurs d'une triple mission : prolonger le travail commencé à l'école primaire sur la signification des écritures décimales, introduire la notation fractionnaire des quotients d'entiers ou de décimaux et leur faire acquérir le statut de nombre, former les élèves à la résolution de problèmes numériques <fnref n="49" />.

On consolidera et on enrichira les acquis de l'école élémentaire relatifs à la numération et au sens des opérations en les mobilisant dans l'étude de situations rencontrées au collège. On tendra ainsi à ce que la maîtrise des techniques opératoires devienne suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problèmes. (...)

A l'école élémentaire l'écriture fractionnaire a été introduite à partir de l'activité de partage. (...) Dans des situations de proportionnalité, le quotient de deux nombres est utilisé comme un opérateur. On visera

<footnote n="47">⁴⁷ Instructions pédagogiques des programmes du 7 juillet 1978.</footnote>

<footnote n="48">⁴⁸ BO n°44 du 5 décembre 1996.</footnote>

<footnote n="49">⁴⁹ Programmes de mathématiques de la classe de sixième et accompagnements, 22 novembre 1995.</footnote>
aussi à lui faire acquérir le statut de nombre au travers de multiples activités (...)

Les problèmes sont à la fois la source et le critère des connaissances mathématiques. Mais de quels problèmes s'agit-il ? Le terme de problème concret utilisé dans les précédents programmes a été abandonné parce qu'il renvoi trop souvent à la seule idée de problème de la vie courante. (...) C'est tout le métier du professeur d'adapter la complexité des problèmes proposés à ses élèves.

A propos des nombres décimaux et des opérations, les programmes pour la classe de sixième indiquent ce qui a disparu de l'enseignement primaire : " C'est en sixième que le professeur doit désormais conduire l'apprentissage de la multiplication de deux décimaux qui était autrefois entrepris à l'école élémentaire " mais ils demandent aussi aux professeurs de revenir sur ce qui n'est pas encore acquis<fnref n="50" /> :

> Pour les nombres décimaux courants, passer d'une écriture décimale à une écriture fractionnaire et vice-versa.

> Sur une droite graduée : lire l'abscisse d'un point ou en donner un encadrement, situer un point d'abscisse donnée.

L'institution scolaire reconnaît explicitement que les connaissances des élèves à la sortie l'école primaire ne sont pas suffisantes<fnref n="51" /> : " Les évaluations faites en 6e ont montré combien la signification des écritures décimales échappe encore à beaucoup d'élèves à l'entrée en 6e. " Cependant, elle ne semble pas revendiquer ce constat comme la conséquence d'une formation différente et programmée sur une durée plus longue, la scolarité de la quasi-totalité des élèves se prolongeant jusqu'en classe de troisième générale ou technologique. Pourtant, nous avons constaté depuis 1980 une évolution sensible de l'ambition des programmes à propos de la connaissance des décimaux et cette évolution pourrait expliquer des acquisitions différentes des élèves. Nous avons par ailleurs remarqué que cette évolution n'a pas été favorable à l'enseignement des grandeurs familières qui sont pourtant sollicitées dans les situations sur lesquels portent les problèmes numériques et notamment ceux qui conduisent à multiplier deux décimaux.

A la fin de l'année 1998, les derniers changements de programme pour le collège paraissent, ils concernent la classe de troisième<fnref n="52" />. Un paragraphe laisse la possibilité aux professeurs de proposer une réflexion sur les nombres :

> Cette partie d'arithmétique [Nombres entiers et rationnels] permet une première synthèse sur les nombres, intéressante tant du point de vue de l'histoire des mathématiques que pour la culture générale des élèves.

> A côté des nombres rationnels, on rencontre au collège des nombres irrationnels comme $\pi$ et $\sqrt{2}$. On pourra éventuellement démontrer l'irrationalité de $\sqrt{2}$. Une telle étude peut également être mise à profit pour distinguer le calcul exact et le calcul approché.

<footnote n="50">⁵⁰ *Ibidem.*</footnote>

<footnote n="51">⁵¹ Accompagnement des programmes de 6e, mathématiques, 1996.</footnote>

<footnote n="52">⁵² Programmes de troisième, BO du 15 octobre 1998.</footnote>
Si la réflexion plus approfondie sur les nombres qui est envisagée peut porter sur les décimaux dans la distinction du calcul exact et du calcul approché, il reste que l'effort semble devoir porter sur l'opposition rationnel - irrationnel davantage que sur l'unité du domaine numérique. Les nombres décimaux sont donc utilisés au collège, notamment par l'introduction des calculatrices dans l'enseignement, mais aucune étude nouvelle de la notion même de nombre décimal n'est proposée après l'enseignement élémentaire.

Comme nous l'avons fait pour les nombres décimaux, nous allons maintenant nous attacher à dégager les enjeux mathématiques dont l'enseignement de la multiplication est l'objet à l'école élémentaire et au collège.

## 2. Les enjeux de l'enseignement de la multiplication

Depuis le changement de programme de 1995, à l'école élémentaire, les élèves étudient la multiplication de deux nombres entiers naturels ainsi que la multiplication d'un décimal par un entier. Ils apprennent des techniques opératoires ainsi que le traitement de certaines situations multiplicatives. C'est donc seulement en classe de sixième qu'ils apprennent la multiplication de deux nombres décimaux. Quel enseignement de la multiplication peut-on envisager a priori à l'école et au collège ? Le sens de la multiplication évolue-t-il du CM2 à la sixième ? Quelles en sont les continuités et les ruptures ? Afin de répondre à ces questions, nous nous proposons d'étudier successivement les problèmes qui nourrissent le sens de la multiplication, les propriétés de cette opération ainsi que la technique opératoire.

Au niveau de l'enseignement, l'institution scolaire prend position sur l'équilibre à trouver entre ces trois composantes du sens de l'opération – problèmes, propriétés et technique – et cette position évolue. Depuis la généralisation des calculatrices, la technique opératoire et le sens de l'opération sont souvent placées en situation de concurrence dans les différentes publications, y compris dans les instructions officielles. Paradoxalement, leur complémentarité est souvent évoquée à propos de la capacité à résoudre des problèmes numériques<fnref n="53" /> :

> Il ne s'agit pas de rechercher une virtuosité dans le domaine du calcul, mais de donner du sens à cette opération ainsi que des moyens de contrôle aux élèves pour le calcul avec des machines.

> (...) On tendra ainsi à ce que la technique opératoire devienne suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problème.

D'après les auteurs des programmes, l'utilisation de la calculatrice dispenserait de la virtuosité technique mais il existerait un seuil en deçà duquel le manque de technique ferait obstacle au sens. Nous constatons une évolution des objectifs de l'institution scolaire concernant la maîtrise technique car les programmes de 1945

<footnote n="53">⁵³ Programmes de mathématiques de la classe de sixième et accompagnements, 22 novembre 1995.</footnote>
ne mentionnent aucune précision qualitative de cette acquisition : " Usage et pratique des quatre opérations sur les nombres décimaux ".

L'enseignement des propriétés algébrique a, lui aussi, évolué. Les programmes de 1995 pour la classe de sixième n'évoquent pas ces propriétés de la multiplication. Après leur étude systématique durant la période de la réforme dite de "la mathématique moderne", il semble que les propriétés sont abordées seulement selon des critères d'utilité, par exemple pour le calcul mental ou raisonné qui figure au programme.

Enfin, les ambitions de formation des élèves ont subi, elles aussi, une évolution sensible en ce qui concerne la résolution de problème. La comparaison de manuels des années cinquante aux manuels actuels en témoigne. Dans les premiers, les situations et les exercices-types sont répertoriés avec leurs méthodes de résolutions. Aujourd'hui l'enseignement est davantage centré sur l'étude des nombres, les élèves sont supposés apprendre à résoudre des problèmes de manière à déterminer une méthode efficace en face d'une situation, même si elle n'a pas été déjà rencontrée.

Afin de déterminer les enjeux de l'enseignement de la multiplication, nous étudions premièrement les problèmes qu'elle permet de résoudre, nous abordons ensuite les propriétés de cette opération et les procédures de calcul du produit de deux nombres décimaux.

## 21. Les problèmes que la multiplication permet de résoudre

En reprenant la terminologie utilisée par Gérard Vergnaud<sup>54</sup> dans la théorie des champs conceptuels, nous appellerons *situation multiplicative* toute situation de laquelle est issu un problème que la multiplication permet de résoudre. Durant les périodes de découverte et d'apprentissage de cette opération, les situations multiplicatives étudiées fournissent les premiers produits de deux nombres, rendent compte de propriétés algébriques de la multiplication et permettent d'envisager des méthodes pour calculer. Elles peuvent conduire à tisser le lien entre la technique opératoire, le principe de numération décimale et la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.

### *La multiplication, une addition réitérée*

#### ♦ Quand la multiplication n'est plus qu'une addition

L'addition réitérée trois fois du nombre 58 est $58 + 58 + 58$. Cette addition s'écrit $58 \times 3$, on dit que 58 est multiplié par 3, le résultat de la multiplication est le produit de 58 par 3. De nombreuses situations issues du quotidien permettent d'illustrer cette définition de la multiplication de deux nombres entiers, citons par exemple les instructions officielles du 20 juin 1925 :

<footnote n="54"><sup>54</sup> VERGNAUD G. (1990), La théorie des champs conceptuels, in *Recherches en didactiques des mathématiques* 10/2.3 (133-170), Grenoble : La pensée sauvage.</footnote>
Nous avons trois sacs de billes qui renferment 58, 23 et 36 billes.
Nous réunissons toutes ces billes dans un quatrième sac. Il y aura
(58 + 23 + 36) billes.

(...) J'ai maintenant trois sacs de billes. Ils contiennent tous les trois le même nombre de billes, 58 par exemple. Combien aura-t-on de billes dans un quatrième sac où on les vide tous les trois ? Le résultat est encore celui d'une addition : (58 + 58 + 58) billes. Une pareille addition où tous les termes sont égaux, s'appelle une multiplication.

Janine Rogalski, dans sa thèse sur l'acquisition de la bidimensionnalité remarque<sup>55</sup>:

Avant la réforme des années soixante-dix (...) Cette représentation de la multiplication comme addition réitérée est un invariant à la fois au cours du temps et dans les divers niveaux scolaires où elle est entreprise. On la retrouve dans les livres d'arithmétique à l'usage des classes de 6ème, 5ème, 4ème ou 3ème.

Avec cet invariant vont de pair un certain nombre de caractéristiques de l'enseignement de la multiplication :

- le multiplicande est un nombre "concret";

- le multiplicateur est un nombre "abstrait" (sans dimension).

Il est rarissime que la mesure des surfaces et volumes soit citée comme une exception à cette règle (...)

Autre caractère lié au précédent : les problèmes posés sont toujours du type "isomorphisme de mesure" au sens de Vergnaud et jamais du type "produit de mesure".

Donc l'enseignement avant la réforme des années soixante-dix "linéarise" complètement les problèmes de la multiplication, ne les met pas en rapport avec la combinatoire du produit cartésien pas plus qu'avec le produit de dimensions "physiques" (...)

Cette présentation de la multiplication apparaît comme très économique pour l'enseignement : la nouvelle opération multiplication n'est qu'une forme nouvelle de la précédente, l'addition. Il reste à construire la table de multiplication, à faire apprendre la technique opératoire et à proposer des exercices dont les situations sont fidèles au modèle référent : l'élève reconnaît le modèle donc l'opération, il la pose, il l'effectue puis il résout le problème.

♦ Une définition contestée

De nombreux auteurs ont développé des arguments pour s'opposer à ce choix de présentation de la multiplication, citons par exemple Jacques Lecoq dès 1976<sup>56</sup>:

<footnote n="55">55 ROGALSKI J. (1985), *Acquisition de la bidimensionnalité*, Thèse d'Etat. [Partie V. pp. 4 à 7].</footnote>

<footnote n="56">56 LECOQ J. (1976), *La multiplication des naturels à l'école élémentaire*, Brochure Elem Math II, Paris : APMEP.</footnote>
On a, dans ces conditions, $\overbrace{p+p+...+p}^{n \text{ termes}}$ objets et l'on désigne ce nombre par le symbole $p \times n$.

Cette définition – ou plutôt cette introduction, au demeurant légitime – est-elle bien adaptée aux enfants du CE ?

1. Dans la définition évoquée ci-dessus, $n$ et $p$ ne se réfèrent pas à des objets de même nature. En effet, au niveau de la manipulation, $n$ désigne le nombre des ensembles ayant chacun $p$ objets. De même, au niveau numérique, $p$ désigne le nombre qui est répété dans l'écriture "$p+p+...+p$", tandis que $n$ désigne le nombre de répétition du symbole $p$.

2. La remarque précédente a conduit à des abus. On a parfois imposé de substituer "$n \times p$" à "$p + p... + p$" de façon à lire "$n$ fois $p$" sans doute par référence à la phrase "il y a $n$ fois $p$ objets dans la situation concrète étudiée". Une telle convention est fâcheuse puisqu'une des propriétés de la multiplication est d'être commutative (...)

3. Cette présentation de la multiplication à partir de situations concrètes introduit des difficultés d'ordre perceptif chez l'enfant. Il doit en effet percevoir simultanément : des collections 2 à 2 disjointes (il y en a $n$), des objets (il y en a $p$ dans chaque collection et $n \times p$ en tout), des correspondances 1 à 1 (pour s'assurer que les collections ont bien le même nombre $p$ d'objets)

4. Fonder la multiplication sur la réunion de collections disjointes conduit parfois à représenter les situations concrètes par des dessins du type :

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

(...) si l'on souhaite dépasser le stade du dénombrement des objets de la réunion (5+5+5) et donner aux enfants un véritable outil d'exploration, alors ce type de représentation est peu efficace. On le verrait bien en essayant de visualiser une égalité telle que :

$$9 \times (8 + 5) = (9 \times 8) + (9 \times 5) \text{ par des dessins analogues aux précédents.}$$
(...)

5. N'ayant pas de représentation bien adaptée au problème à étudier, il est inévitable, et on constate effectivement, dans les classes que l'étude de la multiplication se situe presque exclusivement au niveau des écritures (...)

D'autres arguments sont venus compléter la liste :

- si la distributivité à droite se perçoit bien, il n'en va pas de même de la distributivité à gauche ;

- la multiplication de $n$ par 0 et par 1 n'entrent pas dans le cadre de la situation de référence alors que la multiplication de 0 et de 1 par $n$ se calcule bien, cela contribue à masquer davantage la commutativité ;
– si l'addition réitérée permet aisément de prolonger la notion de multiplication au produit d'un décimal par un entier, elle ne peut s'étendre au produit de deux décimaux ;

– avec l'addition réitérée, la multiplication est une opération qui agrandit " toujours ". Cette propriété est une source d'erreurs dans de nombreux problèmes qui demandent le calcul du produit d'un nombre par un nombre inférieur à l'unité, les élèves ne percevant pas le modèle multiplicatif de la situation.

Plus récemment, Rémi Brissiaud<sup>57</sup> a formulé une constatation surprenante : en 1930, les pédagogues préconisent une méthode "reconstructive" de l'apprentissage, ils optent – dans les programmes de 1923 – pour une multiplication conçue comme une addition réitérée, et pourtant, en ce qui concerne l'apprentissage de la table de multiplication, ils n'envisagent qu'une méthode "reproductive", ignorant les tentatives marginales mais récurrentes d'utilisation de tables d'additions réitérées. Les tables traditionnelles (3×1, 3×2, 3×3...) conduiraient, plus sûrement et plus rapidement à la mémorisation que les tables d'additions réitérées (1×3, 2×3, 3×3...). Rémi Brissiaud, dans son article, propose une explication. Un élève qui recherche 3×6 à partir de 3×5 pensera qu'après 15, il y a 15+3 donc 18, il adopte une **régulation spatiale** de sa reconstruction de la table. Un élève qui recherche 3×6 par une addition réitérée devra effectuer 6 et 6, 12 et encore 6, 18. Il se laisse guider par le mot fois, il adopte une **régulation verbale** de sa reconstruction de la table. Mais compter de 6 en 6 est plus difficile que de compter de 3 en 3. Et l'élève qui recherche 3×6 à partir de 6×3 pour n'additionner que des 3 se retrouve pris dans un rituel verbal qui consiste à compter de 3 en 3 depuis le début. Si on veut que l'élève utilise une régulation spatiale, mieux vaut donc éviter de lui faire réciter des tables d'additions réitérées.

♦ Une évolution de l'institution scolaire

Sur l'enseignement de la multiplication, nous constatons une évolution très marquée de la position de l'institution scolaire.

Dès 1945, la définition de la multiplication par l'addition était critiquée dans les programmes :

> Il est fréquent de dire que la multiplication est une addition abrégée. (...) En fait dans le cas le plus fréquent la multiplication est une convention commerciale : le prix total d'une grandeur est obtenu en multipliant le prix de l'unité par le nombre d'unités.

La critique peut laisser perplexe... mais la résolution de problèmes du quotidien était l'objectif majeur de l'enseignement du calcul.

<footnote n="57"><sup>57</sup> BRISSIAUD R. (1994), Penser l'usage du mot "fois" et l'interaction oral/écrit lors de l'apprentissage initial de la multiplication, in : *Vingt ans de didactique des mathématiques en France* (195-202), Grenoble : La pensée sauvage.</footnote>

<footnote>Dans cet article, Rémi Brissiaud désigne par méthode reconstructive une conception de l'enseignement qui vise ce que les élèves acquièrent la possibilité de reconstruire leurs connaissances par opposition à une méthode reproductive où l'objectif premier est que les élèves connaissent des résultats et des méthodes et sachent les utiliser. Le terme "pédagogues" désigne en particulier les auteurs des programmes, ceux des commentaires et ceux des manuels à l'attention des maîtres.</footnote>
Les programmes de 1970 n'ont plus pour objectif de préparer à la vie pratique mais "d'assurer une approche correcte et une compréhension réelle des notions mathématiques liées à des techniques de résolution de problèmes". La multiplication de deux entiers est introduite par l'étude de grilles rectangulaires et des écritures additives répétées. La multiplication d'un décimal par un entier est définie par une addition réitérée.

Les instructions officielles de 1978 pour l'enseignement primaire ne font plus référence à l'addition pour le produit de deux entiers, et c'est la première fois :

Le nombre d'éléments d'une collection peut être donné sous la forme habituelle (exemple : 125). Mais dans certains cas, il peut être plus intéressant d'utiliser pour le désigner d'autres types d'écritures, par exemple :

(...) Ecritures multiplicatives (exemples : 25×5 ; 7×6×15) dans le cas d'objets rangés en lignes et en colonnes, dans des situations de dénombrements.

(...) En même temps que de nouveaux nombres sont introduits, il faut les désigner, par écrit et oralement, les organiser en prolongeant l'ordre et les opérations connues dans l'ensemble des nombres naturels

(...) Le mode d'introduction retenu pour les nombres décimaux détermine en grande partie le choix des situations conduisant à ces prolongements.

Pourtant, alors que ces programmes viennent d'entrer en application, Denis Butlen<sup>58</sup> montre que sur dix manuels destinés au CE1,

La tendance à s'appuyer essentiellement sur l'addition reste très forte (voire majoritaire) pour introduire la multiplication.

Janine Rogalski<sup>59</sup> précise que :

> dans la réalisation des séquences proposées et des manuels, la structure de produit cartésien ne sera jamais, à ce niveau de l'enseignement élémentaire CE et CM, dissociée d'une représentation spatiale, le plus souvent en 'matrice' lignes × colonnes. (...) le caractère linéaire du produit reste dominant voire exclusif ; le caractère bilinéaire n'apparaît pas.

Depuis 1978 les instructions officielles ne font plus référence à l'addition pour le produit de deux entiers. Quelles sont donc les situations différentes de l'addition réitérée qui permettraient d'enseigner la multiplication ?

### Des situations multiplicatives indépendantes de l'addition

Certaines situations multiplicatives, qui portent pourtant sur des nombres entiers, s'interprètent autrement qu'avec un modèle additif. Gérard Vergnaud en distingue trois types.

Le premier se compose des situations qui mettent en jeu une seule mesure. Certains problèmes mettent en jeu des opérateurs, ils conduisent à la multiplication d'une grandeur par un scalaire comme, par exemple, dans le cas de

<footnote n="58"><sup>58</sup> BUTLEN D. (1985), *Op. cit.* [pp. 28-29].</footnote>

<footnote n="59"><sup>59</sup> ROGALSKI J. (1985), *Op. cit.* [Partie V. pp. 8, 9].</footnote>
l'agrandissement d'une figure sans déformation. Les opérateurs peuvent être composés comme dans le cas de plusieurs agrandissements successifs d'une figure, cette situation conduit à multiplier deux scalaires.

Dans le deuxième type de situations, deux mesures se composent pour donner une troisième mesure. C'est le cas par exemple pour l'aire d'un rectangle, produit de la longueur et de la largeur. C'est aussi le cas des problèmes de dénombrement qui conduisent à la recherche du cardinal d'un produit cartésien.

Enfin, le troisième type se compose des situations où deux grandeurs sont proportionnelles, le coefficient qui permet de calculer la valeur de l'une connaissant la valeur de l'autre est lui-même la mesure d'une troisième grandeur qui est la grandeur quotient des deux autres. C'est le cas des problèmes qui décrivent le mouvement uniforme d'un mobile, c'est aussi le cas des situations d'achat de marchandises avec un prix unitaire fixé. En reprenant la terminologie de Gérard Vergnaud <fnref n="60" />, nous désignons ce type de situations comme des *situations d'isomorphisme de mesures* ou, avec le vocabulaire actuellement utilisé dans les programmes, d'isomorphisme de "grandeurs".

Des situations multiplicatives ont été utilisées par différents auteurs pour introduire ou enrichir le sens de l'opération, nous allons en présenter succinctement cinq, souvent rencontrées dans les publications, une analyse détaillée des propositions d'enseignement de la multiplication des nombres décimaux sera l'objet du prochain chapitre.

### 1) Multiplication d'une longueur par un scalaire (un seul espace de mesure)

Guy Brousseau <fnref n="61" /> propose l'étude d'agrandissements de figures planes sans déformation. Son objectif est que l'élève déstabilise le modèle additif dans cette situation pour le remplacer par un modèle multiplicatif :

longueur originale × coefficient de l'agrandissement = longueur image. Cette situation permet aussi d'introduire les rationnels et les décimaux et de prolonger la multiplication des entiers à celle des décimaux. Pour cette raison, nous reportons son étude au chapitre suivant consacré aux propositions pour enseigner la multiplication des décimaux.

Remarquons cependant que toutes les multiplications d'une longueur par un scalaire ne correspondent pas à ce modèle, certaines d'entre elles sont en fait des additions réitérées. Le périmètre d'un polygone à n côtés est égal à la somme des longueurs de ses côtés ; dans le cas d'un polygone régulier, le calcul du périmètre est toujours noté par une multiplication. On trouve dès l'enseignement élémentaire la formule du périmètre du carré ainsi que celle du périmètre du

<footnote n="60">⁶⁰ VERGNAUD G. (1981), *L'enfant, la mathématique et la réalité*, Berne : Peter Lang. [pp. 161 et suiv.].</footnote>

<footnote n="61">⁶¹ BROUSSEAU G. (1998), Problèmes de didactique des décimaux, in *Théorie des situations didactiques* (201-289), Grenoble : La pensée sauvage.</footnote>

<footnote>Version révisée et augmentée d'une première édition en 1981 in *Recherches en didactique des mathématiques* 2/1 (37-127), Grenoble : La pensée sauvage.</footnote>
disque. L'élève est-il vraiment conduit à s'interroger sur la différence de signification du signe × dans les formules :

$$ \mathcal{P} = 4 \times \text{côté et } \mathcal{P} = \pi \times \text{diamètre} ?^{62} $$

## 2) Composition de deux opérateurs multiplicatifs (un seul espace de mesure)

L'ambition de Guy Brousseau 63 étant d'identifier $Q^+$ et l'ensemble $\mathcal{L}(Q^+)$ des applications linéaires dans $Q^+$, il propose une activité de composition d'agrandissements de figures planes avec des pantographes. Le produit des coefficients de deux agrandissements est égal au coefficient de la composée des deux agrandissements. Dans l'édition de 1998 d'un recueil de textes de Guy Brousseau, l'auteur précise dans une note les différents sens du produit de deux rationnels et celle de deux entiers, en particulier 64 :

L'application linéaire naturelle de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ n'est pas non plus une opération. Elle peut être identifiée avec un naturel opérant multiplicativement dans un ensemble de mesure (un demi-groupe) et il lui est associée une opération.

Exemple $f(3)=12$ avec $f=4$. Pour bien marquer la différence on peut écrire $f= * 4$. Les enseignants du primaire appelaient cela un ‘opérateur’ et ils écrivaient $*4(3)$ ou $*4 \times 3$ ou, avec une flèche, $3 \xrightarrow{\times 4} 12$ ou simplement $3 \times 4$.

(...) La composition d'applications est une opération interne dans le semi-groupe des applications linéaires de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$. Elle peut être aussi interprétée comme une multiplication $*4 o *3 = *12$.

Cette proposition permet, elle aussi, d'aborder des situations multiplicatives qui ne peuvent pas se réduire à des additions réitérées. Nous n'avons trouvé aucune reprise d'une telle activité dans un manuel scolaire ou dans une brochure destinée aux enseignants.

## 3) Cardinal d'un produit cartésien (produit de mesures)

Dans son étude des introductions de la multiplication à l'école primaire, Denis Butlen 65 analyse les travaux effectués en didactique des mathématiques sur la multiplication. Il constate que “ tous les travaux montrent que la définition du

<footnote n="62">62 Les deux formules peuvent aussi s'interpréter de la même façon : 4 étant le périmètre du carré de côté 1 et $\pi$ étant le périmètre du disque de diamètre 1, on considère le carré de côté $c$ comme un agrandissement du carré de côté 1 et le disque de diamètre $d$ comme un agrandissement du disque de diamètre 1, on obtient alors respectivement un périmètre de $4 \times c$ et $\pi \times d$.</footnote>

<footnote n="63">63 BROUSSEAU G. (1998), Problèmes de didactique des décimaux, in *Théorie des situations didactiques* (201-289), Grenoble : La pensée sauvage.
Version révisée et augmentée d'une première édition en 1981 in *Recherches en didactique des mathématiques* 2/1 (37-127), Grenoble : La pensée sauvage.</footnote>

<footnote n="64">64 BROUSSEAU G. (1998), *Théorie des situations didactiques*, Grenoble : La pensée sauvage. [pp. 210 à 216].</footnote>

<footnote n="65">65 BUTLEN D. (1985), *Introductions de la multiplication à l'école primaire : histoire, analyses didactiques, manuels actuels*, Cahier de didactique des mathématiques n°19, Paris : IREM de Paris 7.</footnote>
produit de deux naturels découle immédiatement de la définition du produit cartésien de deux ensembles, l'écriture $a \times b$ désigne le cardinal du produit cartésien de deux ensembles ayant respectivement a et b éléments. " Ces activités sont généralement proposées à l'aide d'un problème concret comme le dénombrement des bateaux que l'on peut former à l'aide de coques de 4 couleurs différentes et de voiles de 3 couleurs différentes. Le problème est alors représenté de manière spatiale, le plus souvent en tableau, parfois en arbre. Mais cette bidimensionnalité n'est pas associée à celle de dimensions " physiques " et, dans les manuels pour le CM, les problèmes restent des problèmes " linéaires " d'où les produits de dimensions sont exclus.

### 4) Calcul de l'aire d'un rectangle (produit de mesures)

Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin <fnref n="66" /> proposent des situations de calcul d'aire de rectangles dont les côtés sont des nombres entiers. Cette situation est proche de la proposition des programmes de 1970 d'étude de "grilles", elle a l'avantage de permettre facilement le prolongement de la multiplication aux nombres décimaux. Nous ne détaillerons donc pas ici cette situation bien connue, nous y reviendrons dans le chapitre suivant.

Remarquons cependant que les exercices proposés dans les manuels qui portent sur la notion d'aire se limitent généralement à l'application de formules, citons Janine Rogalski <fnref n="67" /> :

> La bidimensionnalité des formules est elle-même très peu exploitée. (... tout aussi rares les utilisations réelles du caractère multiplicatif des formules, celles-ci sont essentiellement, sinon exclusivement, utilisées pour leur statut algorithmique : la formule, par son expression en langue naturelle, ou sa représentation symbolique, détermine des opérations à effectuer : "chercher la longueur, chercher la largeur, effectuer le produit".)

### 5) Situations d'isomorphisme de mesures

Il reste le cas des situations où interviennent trois grandeurs $a, b$ et $c$ telles que $a \times b = c$ où la grandeur $b$ est la grandeur quotient des deux grandeurs $a$ et $c$. C'est le cas par exemple des problèmes du type :

- nombre d'unités $\times$ prix unitaire = prix total ;

- durée du parcours $\times$ vitesse moyenne = distance parcourue ;

- volume $\times$ masse volumique = masse ;

- des conversions d'unités (par exemple : passer d'une longueur en pouces à une longueur en centimètres).

La structure multiplicative de ces situations est en fait issue du quotient de deux grandeurs (mesures). Les auteurs de "Apprentissages mathématiques en 6e" <fnref n="68" /> font le choix de placer la notion de quotient au cœur du champ de connaissances

<footnote n="66">⁶⁶ DOUADY R. & PERRIN M.-J. (1986), *Liaison Ecole-Collège : Nombres décimaux*, Brochure n°62, Paris : IREM de Paris 7.</footnote>

<footnote n="67">⁶⁷ ROGALSKI J. (1985), *Op. cit.* [Partie V. p. 16].</footnote>

<footnote n="68">⁶⁸ PRESSIAT A. (1991), *Apprentissages mathématiques en 6e*, Paris : Hatier/INRP.</footnote>
liées à la multiplication et à la proportionnalité. Ils justifient théoriquement leur
démarche en citant Jacqueline Lelong-Ferrand <fnref n="69" /> :

Une grandeur physique mesurable (masse, longueur,...) peut
s'interpréter mathématiquement comme un demi-groupe abélien ordonné
(la loi étant notée + ) que l'on transforme, par le procédé de symétrisation
en groupe abélien ordonné G. (Ce qui revient à orienter la grandeur et à lui
ajouter des éléments dits "négatifs".)

Si ce groupe est archimédien (...) on démontre que : pour tout $a$ de $G$ tel que $a > 0_G$, il existe un homomorphisme de groupes strictement croissant $h_a$ et un seul de $(G; +)$ dans $(\mathbb{R}; +)$ tel que $h_a(a) = 1$.

$g$ désignant un élément de $G$, $h_a(g)$ est la mesure de $g$ quand on prend $a$ comme unité. C'est par définition le quotient de $g$ par $a$ que l'on note $\frac{g}{a}$.

Dans le cas où $G = \mathbb{R}$ : (...) $\mathbb{R}$ ayant de plus de ‘bonnes’ propriétés, il en résulte que $h_a$ est bijectif, propriété que l’on peut utiliser pour définir la multiplication. (...)

Dans cette présentation, le quotient du réel $b$ par le réel $a$ égal à $h_a(b)$, apparaît avant leur produit (égal à $h_a^{-1}(b)$), phénomène à relier au fait que le quotient de deux grandeurs $a$ une signification physique alors que le produit de deux grandeurs $n$ pas (du moins pas de manière immédiate !)

Les auteurs concluent ce petit détour vers les mathématiques supérieures en
réaffirmant la nécessité de rompre avec une multiplication réduite à une addition
répétée. Nous examinerons, dans le chapitre suivant, leurs propositions à propos
de la multiplication de deux décimaux.

Nous avons finalement montré qu’en plus de l’addition réitérée, des situations, dont Gérard Vergnaud distingue trois catégories, contribuent au sens de la multiplication. Quant à leur enseignement, les programmes ont beaucoup évolué : la référence à l’addition, qui était la seule interprétation de la multiplication de deux entiers en 1925, disparaît des textes officiels en 1978. Cependant les analyses de manuels effectuées durant les années 80 montrent peu de changement, qu’en est-il aujourd’hui ?

L'addition réitérée a-t-elle finalement disparu de l'enseignement ordinaire ?

Les situations multiplicatives que nous venons de présenter montrent que les
possibilités existent si l'on ne veut pas réduire, dans son enseignement, la
multiplication à une addition réitérée. Avec les instructions officielles de 1978, il
n'y a plus aucune référence à l'addition pour le cas de deux entiers. Pour
l'enseignement de la multiplication d'un décimal par un entier, en revanche,
l'addition demeure l'interprétation préconisée <fnref n="70" /> :

<footnote n="69">⁶⁹ Lelong-Ferrand J. (1985), *Les fondements de la géométrie*, Paris : PUF.</footnote>

<footnote n="70">⁷⁰ Instructions pédagogiques des programmes du 7 juillet 1978.</footnote>
Pour l'addition et la soustraction, l'extension du sens de ces opérations au cas des nombres décimaux, ainsi que les aménagements correspondants des techniques ne posent pas de gros problèmes. Il en est de même pour la multiplication d'un décimal par un naturel, qui peut être interprétée comme une addition particulière.

Et cette interprétation est toujours d'actualité<sup>71</sup> :

En sixième, il s'agit donc désormais de faire acquérir par les élèves le produit de deux nombres décimaux (...) Ce dernier apprentissage est difficile dans la mesure où il existe une rupture de sens avec les cas du produit de deux naturels et d'un décimal par un naturel, cas pour lesquels la référence à l'addition réitérée est possible pour accéder à la multiplication.

Aujourd'hui, à une exception près<sup>72</sup>, les manuels de CE2 que nous avons consultés présentent la multiplication en liaison avec l'addition. Par exemple, on propose à l'élève de dénombrer les cases d'un tableau de quatre lignes et trois colonnes et on lui demande de conclure : $4×3 = 3×4 = 4+4+4 = 3+3+3+3$. En CM2, les manuels présentent la multiplication d'un décimal par un entier soit en référence – éventuellement implicite – à l'addition, soit de façon abstraite comme un problème technique. Nous avons aussi repéré deux manuels<sup>73</sup> qui proposent de s'appuyer sur les changements d'unité – francs en centimes dans un calcul de prix – pour justifier la “ règle de la virgule ”. En ce qui concerne les exercices proposés, un sur deux est purement technique et, pour les problèmes, 74% d'entre eux portent sur des prix ou des conversions, les autres sont du type “ isomorphisme de grandeurs ”.

Sur sept manuels de sixième<sup>74</sup>, deux seulement se réfèrent à l'addition pour réviser la multiplication d'un décimal par un entier. On pourrait croire que l'addition réitérée n'est plus le modèle des situations de référence pour l'enseignement de la multiplication. Mais certains manuels ne proposent plus aucune situation multiplicative dans les pages destinées à l'élaboration des savoirs, ils restent à un niveau technique éventuellement nourri, suivant les ouvrages, d'arguments théoriques. Pour les autres, l'opération n'est pas construite en référence à la situation : on affirme purement et simplement que pour déterminer le résultat, il faut multiplier les données.

Aujourd'hui encore, l'enseignement de la multiplication en référence à d'autres situations que l'addition réitérée n'a donc pas vraiment dépassé le cadre de l'enseignement expérimental. Cette représentation de la multiplication n'est

<footnote n="71"><sup>71</sup> Mathématiques : articulation école-collège, BO n°44 du 5 décembre 1996.</footnote>

<footnote n="72"><sup>72</sup> *L'heure des maths* CE2 (1999), Paris : Hatier.</footnote>

<footnote n="73"><sup>73</sup> *Nouvelle collection Thévenet* CM2 (1996), Paris : Bordas. [p. 106].
*Math outil* CM2 (1997), Paris : Magnard. [p. 61].</footnote>

<footnote n="74"><sup>74</sup> Par ordre alphabétique des éditeurs : *Décimale* 6e (1996), Paris : Belin ; *Math* 6e (1996), Paris : Bordas ; *Mathématiques* 6e (1996), Paris : Delagrave ; *Cinq sur cinq Math* 6e (1996), Paris : Hachette ; *Triangle* 6e (1996), Paris : Hatier ; *Le nouveau Pythagore* 6e (1996), Paris : Hatier ; *Le nouveau Transmath* 6e (1996), Paris : Nathan.</footnote>
pourtant pas satisfaisante dans le cas de deux facteurs décimaux. La question du prolongement de la multiplication des entiers à celle des nombres rationnels est celle que nous nous proposons de traiter maintenant afin de conclure notre étude des situations qui donnent du sens à la multiplication.

## Prolongement des situations multiplicatives : des entiers aux rationnels

Nous avons vu, dans le paragraphe précédent, que des situations qui permettent la construction du sens de la multiplication portent aussi bien sur des valeurs entières que sur des valeurs décimales ou rationnelles des grandeurs. Nous pourrions dire, d'une certaine manière, que c'est la situation qui légitime le prolongement de la multiplication aux nombres décimaux. Les situations multiplicatives qui se prêtent effectivement à ce prolongement sont celles qui mettent en relation des grandeurs continues – longueur, aire, masse, capacité... – et non des grandeurs discrètes. Ainsi les aires de rectangles, les agrandissements de figures planes, les prix au kilogramme, au litre ou au mètre donnent des situations qui se prêtent aisément au prolongement de la multiplication à des valeurs décimales ou rationnelles, en revanche les additions réitérées et les dénombrements d'éléments d'un produit cartésien ne s'y prêtent pas.

Encore faut-il nuancer notre propos à cause de l'addition réitérée. Il est aisé de multiplier un décimal par un entier : $7,80 \times 2 = 7,80 + 7,80 = 15,6$. Ainsi, 2 kg de pommes de terre à 7,80 F/kg coûte 15,60 F. Mais si, pour multiplier, on se réfère à l'addition réitérée, comment calculer le prix de 2,5 kg ? On peut combiner addition et fractionnement : le prix de 2,5 kg s'obtient en ajoutant deux fois 7,80 F et encore une demi-fois. Détaillons le calcul :

$$7,80 \times 2,5 = 7,80 \times (2 + \frac{1}{2}) = 7,80 + 7,80 + (7,80 \times \frac{1}{2})$$

$$où \quad 7,80 \times \frac{1}{2} = 7,80 \div 2 \text{ avec } 7,80 \div 2 = x \text{ tel que } x + x = 7,80.$$

Cette combinaison de l'addition réitérée et du fractionnement est présente dans langage courant, on dit "deux fois et demie" comme on dit "deux fois plus". En généralisant, l'addition réitérée est une conception qui permet de résoudre les problèmes de la vie quotidienne issus de situations d'isomorphisme de deux grandeurs. Cette conception de la multiplication possède une dimension sociale qui la légitime, qui justifie qu'elle a été enseignée systématiquement par le passé, alors que l'objectif de l'enseignement primaire était de donner des méthodes pour résoudre des problèmes concrets, et qui contribue sans doute à expliquer les difficultés actuelles pour intégrer d'autres situations multiplicatives dans l'enseignement ordinaire.

Nous avons étudié les différentes situations de référence de la multiplication, situations desquelles sont issus les problèmes multiplicatifs proposés aux élèves. Leur résolution nécessite la reconnaissance de l'opération ainsi que le calcul du produit. La technique opératoire repose à la fois sur le système d'écriture des nombres et sur les propriétés de la multiplication (comme nous le verrons, commutativité, associativité et distributivité par rapport à l'addition). Nous
allons donc maintenant étudier *a priori* l'enseignement des propriétés de la multiplication, notamment à partir des différents types de situations que nous avons décrits et qui donnent du sens à cette opération.

## 22. Les propriétés de la multiplication

Comme nous le montrerons plus en détail dans le prochain chapitre, pour construire la technique opératoire de la multiplication de deux décimaux, de nombreux auteurs proposent de recourir à l'associativité et à la commutativité de la multiplication et d'utiliser la technique opératoire sur les nombres entiers. Pour multiplier 2,5 et 3,25, ils suggèrent de poser :

$$25 \times 325 = (2,5 \times 10) \times (3,25 \times 100) = 2,5 \times 3,25 \times 10 \times 100 = 2,5 \times 3,25 \times 1000$$
et ils en concluent que $2,5 \times 3,25 = (25 \times 325) \div 1000$. Cette utilisation des propriétés est souvent masquée par une présentation avec des opérateurs :

$$ 
\begin{array}{r@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c}
 & & 2,5 & \times & 3,25 & = & 8,125 \\
 \downarrow & \times & \uparrow & \downarrow & \times & \uparrow & \div 1000 \\
 25 & & \times & 325 & & 8 & 125
\end{array}
$$

A l'école primaire comme au collège, le professeur a seulement pour rôle de faire utiliser les propriétés des opérations : alors que le calcul mental ou raisonné figure au programme de l'école primaire et du collège, aucun apprentissage systématique n'est mentionné. Néanmoins, durant la préparation de ses cours, un enseignant envisage des éventuelles questions de ses élèves, il prévoit aussi les réponses qu'il pourrait apporter. Après avoir montré quelques exemples, un professeur qui voudrait justifier la commutativité ou l'associativité de la multiplication devra s'appuyer sur une situation modélisée par cette opération.

Nous allons étudier comment les différentes situations multiplicatives permettent de rendre compte des propriétés de la multiplication. Nous limitons dans un premier temps notre étude au cas de deux facteurs entiers, puis nous envisageons le cas des facteurs décimaux pour les situations qui permettent ce prolongement. Rappelons que nous avons distingué l'addition réitérée, le cardinal d'un produit cartésien, l'aire d'un rectangle (ou le dénombrement de points disposés en réseau rectangulaire) et les situations d'isomorphisme de grandeurs.

### Commutativité de la multiplication

Examinons, en fonction des différentes présentations de la multiplication, comment le professeur peut enseigner la commutativité.

**Addition réitérée.** Dans le cas de l'addition réitérée, les facteurs entiers *a* et *n* du produit *a* × *n* ne jouent pas le même rôle. Ainsi, d'après la définition,

$$ a \times n = \underbrace{a+a+\dots+a}_{n \text{ termes}} \quad \text{et} \quad n \times a = \underbrace{n+n+\dots+n}_{a \text{ termes}} $$

Pour justifier l'égalité des produits, l'enseignant pourra utiliser, par exemple, la disposition de points en réseau rectangulaire, qui est compatible avec l'addition répétée, en modifiant l'interprétation de cette disposition :
<figure><img src="image_14.png" /></figure>

*Opérateurs multiplicatifs et composition d'opérateurs.* Dans le cas d'une fonction linéaire appliquée à une variable, on retrouve encore la difficulté posée par la signification des nombres dans la situation. Par exemple, en agrandissant de 5 fois un segment de 3 cm on obtient un segment de 15 cm c'est-à-dire de même longueur que celle du segment obtenu en agrandissant de 3 fois un segment de 5 cm. La commutativité n'est pas évidente non plus dans la situation de deux agrandissements successifs, car comme le signale Nicolas Rouche que nous avons déjà cité à propos de cette situation<sup>75</sup> :

(...) elle tend à détourner l'attention des grandeurs sur lesquelles on opère pour la concentrer sur les opérations elles-mêmes et leur enchaînement. Comme les grandeurs ne sont sans doute jamais totalement absentes de l'imagination, on peut dire que la fraction conçue comme pur produit de deux opérateurs est une vue extrême qui tend parfois à s'établir dans la pensée, mais sans jamais s'imposer complètement.

Les enseignants en classe de troisième en ont des témoignages tous les ans quand ils posent à leurs élèves le problème de savoir ce qu'il y a de plus intéressant entre l'application d'une remise de 10% avant d'appliquer la TVA ou après avoir appliqué la TVA. De nombreux commerçants savent que, bien souvent, la clientèle pense bénéficier d'une remise plus importante si elle porte sur le prix TTC...

*Cardinal d'un produit cartésien.* La justification de la commutativité de la multiplication est difficile avec les situations de dénombrement des éléments d'un produit cartésien. Prenons un exemple : les bateaux que l'on peut construire avec des voiles de trois couleurs différentes et des coques de quatre couleurs différentes ne sont pas les mêmes que ceux que l'on construit avec quatre couleurs de voiles et trois couleurs de coques. On peut toutefois choisir la situation pour que le rôle des nombres ne soit plus distingué. Considérons, par exemple, la situation de Maud qui doit se rendre à son cours de sport : elle dispose de trois polos et de deux shorts, le professeur demande de combien de façons elle peut s'habiller. Une représentation de ce problème avec un arbre permet de compter les tenues. Que Maud commence par mettre un des trois polos puis un des deux shorts ou qu'elle commence par mettre un des deux shorts puis un des trois polos, ne changera rien au nombre de tenues dont elle dispose ; les arbres représentant les deux façons de s'habiller seront pourtant bien différents.

<footnote n="75"><sup>75</sup> ROUCHE N. (1992), *Op. cit.* [p. 158]</footnote>
<figure><img src="image_15.png" /></figure>

*Points en réseau rectangulaire et aire de rectangles.* Dans la présentation du dénombrement des cases d'une grille ou des points d'un réseau rectangulaire, la commutativité peut être perçue comme une conséquence de la *conservation des quantités discrètes* (au sens de Jean Piaget) dans transformation "changer la position de la grille ou du réseau" :

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

Il en est de même dans la présentation de la multiplication par l'aire de rectangles dont les côtés sont les facteurs.

*Isomorphisme de grandeurs.* La commutativité n'a pas de sens dans les situations d'isomorphisme de grandeurs car les facteurs ne désignent pas la même grandeur. Empruntons un exemple aux auteurs d'un ouvrage pour la formation des professeurs des écoles<sup>76</sup>. Cinq kilogrammes d'oranges à dix francs le kilogramme coûtent cinquante francs. Dix kilogrammes d'oranges à cinq francs le kilogramme coûtent aussi cinquante francs. Mais l'identification des produits n'émerge pas de ces deux situations bien différentes : dans la première on achète moins d'oranges que dans la seconde, et elles sont plus chères...

On retiendra, finalement, que certaines situations qui donnent du sens à la multiplication se prêtent mal à l'interprétation de la commutativité. Il reste pourtant fondamental que les élèves la connaissent, sachent l'utiliser et distinguent aussi les opérations commutatives de celles qui ne le sont pas.

*Associativité de la multiplication*

Voyons maintenant comment justifier l'associativité de la multiplication suivant les situations qui donnent du sens à cette opération.

*Addition réitérée.* L'addition réitérée, moyennant par exemple l'utilisation de points disposés en réseaux rectangulaires permet de montrer l'associativité de la multiplication. Cela demande que la commutativité soit une connaissance mobilisable :

<footnote n="76"><sup>76</sup> *Tome 4. Nombres et opérations, fonctions numériques* (1993), Se former pour enseigner les mathématiques, professeur des écoles, Paris : Armand Colin, Formation des enseignants. [p. 70].</footnote>
<figure><img src="image_17.png" /></figure>

Comme précédemment, le changement de statut des nombres de la situation qu'impose l'application de la commutativité rend assez artificielle cette représentation.

*Opérateurs multiplicatifs et composition d'opérateurs.* Si les deux nombres *b* et *c* sont les coefficients de deux agrandissements successifs d'une figure plane et si *a* est la longueur d'un segment de cette figure, alors certaines manipulations conduisent à l'associativité de la multiplication comme le montre le schéma suivant :

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Avec la première manipulation, le produit $b \times c$ s'interprète comme le coefficient de l'agrandissement composé de l'agrandissement de coefficient *b* suivi de l'agrandissement de coefficient *c*. Avec la seconde manipulation on obtient les deux membres de l'égalité cherchée suivant que l'on considère successivement les agrandissements de coefficients *b* et *c* appliqués à la longueur *a* ou directement l'agrandissement de coefficient $b \times c$ appliqué à la longueur *a*.

*Cardinal d'un produit cartésien.* Comme on l'a présenté pour montrer la commutativité de la multiplication, certaines situations de dénombrement se prêtent assez bien à la justification de l'associativité. Par exemple, si Raphaël dispose de 5 chemises, 3 pantalons et 2 paires de chaussures, alors $(5 \times 3) \times 2$ et $5 \times (3 \times 2)$ sont deux écritures différentes du nombre de ses tenues. Le deuxième produit demande d'utiliser la commutativité $(5 \times (3 \times 2)) = (3 \times 2) \times 5$ car un arbre ne peut pas représenter $5 \times (3 \times 2)$. La situation donne du sens aux deux produits et à leur égalité : soit Raphaël enfile sa chemise, son pantalon puis ses chaussures (ce qui correspond au produit $(5 \times 3) \times 2$), soit il enfile sa chemise après avoir mis son pantalon et ses chaussures (ce qui correspond au produit $(3 \times 2) \times 5$).

*Calcul d'aire de rectangles.* En ce qui concerne le calcul d'aire, si le produit $a \times b$ est interprété comme l'aire d'un rectangle dont les dimensions sont *a* et *b*, alors le produit $(a \times b) \times c$ n'est pas, lui, interprétable comme une aire car $a \times b$ n'est pas une longueur. Il faut changer de situation pour que les différents facteurs *a*, $(b \times c)$, $(a \times b)$ et *c* aient un sens. Théoriquement, on pourrait calculer le
volume d'un pavé. Mais ces calculs, difficiles pour les élèves, ne sont pas au programme de l'école primaire.

*Situations d'isomorphisme de grandeurs.* La difficulté que nous avons constatée, avec les nombres liés à des grandeurs, pour justifier la commutativité, se retrouve pour l'associativité.

On retiendra que les situations qui donnent du sens à la multiplication permettent difficilement d'en montrer l'associativité. Etudions enfin le cas de la distributivité par rapport à l'addition.

*Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.*

Il faut parfois distinguer la distributivité à gauche de la distributivité à droite qui ne se justifient pas toujours l'une et l'autre suivant les présentations de la multiplication.

*Addition réitérée.* Avec l'addition réitérée, la distributivité à gauche est aisément démontrable, la distributivité à droite s'établit en utilisant l'associativité et la commutativité de l'addition pour des valeurs différentes de 0 et de 1 :

$$ 
\begin{aligned}
5 \times (4 + 2) &= \underbrace{5+5+5+5}_{4 \text{ termes}} + \underbrace{5+5}_{2 \text{ termes}} \\
&= (5 \times 4) + (5 \times 2) \\[1em]
(3 + 2) \times 6 &= (3 + 2) + \dots + (3 + 2) \\
&= (3 + \dots + 3) + (2 + \dots + 2) \\
&= (3 \times 6) + (2 \times 6)
\end{aligned}
$$

*Opérateurs multiplicatifs et composition d'opérateurs.* La démonstration de la distributivité à droite est aisée avec les situations qui reposent sur des opérateurs multiplicatifs comme les agrandissements de figure plane (il suffit d'agrandir une ligne brisée composée de deux segments) mais celle de la distributivité à gauche est impossible car les opérateurs ne s'ajoutent pas. Les situations de composition d'opérateurs multiplicatifs, pour cette même raison, ne sont pas adaptées à l'illustration de la distributivité, ni à droite, ni à gauche.

*Cardinal d'un produit cartésien.* La somme de deux nombres étant interprétée comme le cardinal de deux ensembles disjoints dont les cardinaux sont précisément les deux termes de la somme, la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition revient à établir les deux égalités :

$$ 
\begin{array}{l}
\text{card } A \times (B \cup C) = \text{card } (A \times B) + \text{card } (A \times C) \\
\text{et} \\
\text{card } (A \cup B) \times C = \text{card } (A \times C) + \text{card } (B \times C)
\end{array}
$$

ce qui revient à montrer que les produits $A \times B$ et $A \times C$ sont disjoints, comme le sont $A \times C$ et $B \times C$, puis :

$$ 
\begin{array}{l}
A \times (B \cup C) = A \times B \cup A \times C \\
\text{et} \\
(A \cup B) \times C = A \times C \cup B \times C
\end{array}
$$

*Points en réseaux rectangulaires et calcul d'aire de rectangles.* Le dénombrement de points d'un réseau rectangulaire ou le calcul de l'aire d'un rectangle sont des situations qui se prêtent très bien à l'illustration de la distributivité : il suffit de " coller " plusieurs grilles ou plusieurs rectangles :
$$ (5 \times 4) + (5 \times 2) $$

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

$$ 5 \times (4 + 2) $$

$$ (3 \times 6) + (2 \times 6) $$

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

$$ (3 + 2) \times 6 $$

$$ 3 \times 4 + 3 \times 2 + 2 \times 4 + 2 \times 2 $$

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

$$ (3+2) \times (4+2) $$

**Isomorphisme de grandeurs.** On peut montrer la distributivité avec une situation d'isomorphisme de grandeurs en faisant appel à la situation pour identifier les deux membres de l'égalité. Supposons que chaque jour de la semaine, sauf le samedi et le dimanche, Marie utilise un billet de transport aller-retour à 12 F et prend un déjeuner au self à 37 F. Le calcul de la somme dépensée peut s'effectuer de deux façons : le coût total du transport est $12 \times 5$ et celui du déjeuner est $37 \times 5$ soit une dépense totale de $(12 \times 5) + (37 \times 5)$, ou bien l'on calcule le coût par journée $(12 + 37)$ que l'on multiplie par le nombre de journée $(12 + 37) \times 5$. Voyons une illustration de la distributivité à gauche. Vincent doit repeindre deux chambres, la surface à peindre de la première chambre $45 m^2$ et celle de la seconde mesure $60 m^2$. Vincent utilise 15 cl de peinture par m². Le calcul de la quantité de peinture nécessaire peut se calculer de deux façons, en calculant d'abord la quantité par chambre ou bien d'abord la mesure de la surface totale. On obtient $(15 \times 45) + (15 \times 60)$ ou bien $15 \times (45 + 60)$. On retrouve ce type de raisonnement avec les situations illustrant le dénombrement des éléments d'un produit cartésien.

Finalement, la distributivité est, des trois propriétés que nous venons d'étudier, celle qui se montre le plus facilement en s'appuyant sur une des situations qui donnent du sens à la multiplication. Néanmoins, nous avons constaté quelques différences entre toutes ces situations. Abordons maintenant les cas particuliers de la multiplication par zéro ou par un.

## Multiplications par 0 et par 1

Ces deux multiplications sont indispensables pour effectuer des calculs puisque 0 et 1 sont deux chiffres qui, comme les autres, apparaissent dans l'écriture des nombres. Elles constituent cependant une source de nombreuses erreurs chez les élèves. Doit-on rechercher les causes de ces difficultés dans leur enseignement ou dans les mathématiques elles-mêmes ? Voyons comment on peut illustrer la multiplication par 0 et par 1, suivant les situations que cette opération modélise.

**Addition réitérée.** L'écriture $a \times n$ correspondant à la somme de $n$ termes égaux à $a$, n'est véritablement définie que pour $n \ge 2$. Ainsi, des produits comme $0 \times 7$ ou $1 \times 5$ ne posent pas de problème alors que $7 \times 0$ ou $5 \times 1$ ne sont pas définis. La possibilité éventuelle d'admettre la commutativité réglerait le problème pour les exemples montrés mais elle ne change rien à la difficulté de représenter $1 \times 0$.
**Opérateurs multiplicatifs et compositions d'opérateurs.** Les situations qui reposent sur un opérateur multiplicatif n'ont de sens que pour les opérateurs différents de 0 et de 1. Elles permettent d'interpréter la multiplication $1 \times k$ où $k$ – différent de zéro et de un – est le coefficient. Par exemple, dans l'agrandissement d'une figure plane de coefficient 3, un segment de longueur 1 cm a pour image un segment dont la longueur en cm est égale à $1 \times 3 = 3$. Mais il sera impossible d'illustrer une des autres multiplications que nous étudions ici. La restriction des valeurs de $k$ fait que le modèle de composition d'opérateurs est, lui aussi, inadapté pour rendre compte de ces deux multiplications.

**Cardinal d'un produit cartésien.** En reprenant la situation de dénombrement des bateaux que l'on peut construire avec des voiles et des coques de couleurs différentes, on illustrera facilement la multiplication par 1 : s'il n'y a qu'une couleur de coque, alors il y a autant de bateaux que de couleurs de voile. En revanche la mobilisation de l'ensemble vide rend délicate l'interprétation de la multiplication par 0, difficile en effet de compter les bateaux que l'on ne peut construire en l'absence de voile...

**Points en réseaux rectangulaires et calcul d'aire de rectangles.** La situation de dénombrement de points d'un réseau rectangulaire ne permet pas d'illustrer ces deux multiplications car il faut au moins deux lignes pour faire un réseau rectangulaire. En revanche, le calcul d'aire de rectangle permet d'illustrer une multiplication dont un facteur est 1 (l'autre étant non nul) mais pas celle ou l'un des facteurs est égal à zéro.

**Isomorphisme de grandeurs.** Les situations d'isomorphisme de grandeurs, ne permettent pas d'illustrer facilement les produits dont un facteur est égal à 0 ou à 1. Etudions deux exemples. Le prix d'un kilogramme de pommes qui coûtent 12 F/kg est 12 F. On ne pose pas la multiplication $12 \times 1 = 12$ pour répondre. C'est l'interprétation du prix par kilogramme qui donne la réponse : on paie 12 F pour 1 kg. Plus délicate encore est l'interprétation de $12 \times 0 = 0$ par le prix à payer lorsqu'on n'achète pas de pommes... Voyons un autre exemple. La notice d'un sirop pour nourrissons précise la posologie, “ dose quotidienne : une cuillerée à café par kg ” ; pour un enfant de 6 kg, le médecin a prescrit 2 cuillerées à café 3 fois par jour. La dose est bien de 6 cuillerées par jour. Le médecin a-t-il procédé par identification des valeurs ou bien a-t-il calculé $1 \times 6 = 6$ ? Difficile de répondre, surtout si le médecin procède par addition répétée pour multiplier.

L'examen des différentes situations qui permettent de présenter la multiplication montre qu'elles posent bien des difficultés pour donner du sens aux produits dont un facteur est égal à 1 ou à 0.

Abordons maintenant les propriétés de la multiplication de deux décimaux.

## Prolongement des propriétés de la multiplication : des entiers aux rationnels

Nous avons vu que certaines situations ne convenaient pas pour montrer des propriétés algébriques de la multiplication dans le cas où les facteurs sont entiers. Parmi ces situations, certaines se prolongent aux valeurs décimales mais elles ne conviendront pas mieux, avec des facteurs décimaux. De même, en reprenant
l'étude menée sur le cas des facteurs entiers, nous pouvons remarquer que, pour les situations qui portent sur des grandeurs continues (aire de rectangles, agrandissement de figures planes, isomorphisme de grandeurs continues), le fait que les facteurs soient entiers ou décimaux ne change pas l'émergence de la propriété algébrique. Elles conviennent donc tout aussi bien.

Si l'étude de l'effet de la multiplication sur l'ordre n'est pas explicitement au programme de l'enseignement primaire ni de la classe de sixième, un problème d'enseignement bien connu que pose le prolongement de la multiplication aux nombres décimaux explique que nous y consacrons tout de même un paragraphe. Si l'on prend soin d'écarter les facteurs égaux à 0 ou à 1, la multiplication par un nombre entier " augmente " le multiplicande. Autrement dit, si $a \in \mathbb{N}$, $a \ge 1$ et si $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$ alors $a \times n > a$$^{77}$. Il en résulte que, sous les mêmes conditions, $a \div n < a$. Les professeurs se trouvent confrontés à une acquisition précoce de cette propriété de la multiplication qui n'est pas conservée lors du prolongement aux valeurs décimales positives. Ainsi, certains élèves qui repéraient l'opération à effectuer pour résoudre un problème en s'appuyant sur une comparaison *a priori* du résultat de l'opération et des valeurs données, se trompent parce qu'ils continuent de multiplier pour agrandir et de diviser pour réduire.

Signalons enfin un problème, lié au sens de l'écriture décimale, posé par les multiplications dont le multiplicateur est 10, 100 ou 1 000... Ce problème est bien connu lui aussi. Pour multiplier un entier, on " ajoute des zéros ", pour multiplier un décimal, on " déplace la virgule ". Mais comme il arrive qu'il faille " déplacer la virgule " et " ajouter des zéros " certains élèves appliquent ces règles alors qu'elles ne sont pour eux que des recettes imprécises qui conduisent parfois à la réussite et souvent à l'erreur.

Parce que les propriétés algébriques de la multiplication font partie des propriétés qui donnent du sens à cette opération et parce que ces propriétés sont utilisées pour établir la technique usuelle du calcul du produit de deux décimaux, nous avons étudié la commutativité, l'associativité, la distributivité par rapport à l'addition ainsi que les cas où l'un des facteurs est égal à zéro ou à un. Nous avons examiné l'adaptation des différentes situations multiplicatives pour montrer ces différentes propriétés. Nous sommes parti des situations puisque à l'école primaire comme au collège, c'est en partant des problèmes que les opérations sont enseignées. Le bilan que nous pouvons en tirer est double. Premièrement, les différentes situations ne sont pas " équivalentes " pour enseigner les propriétés de la multiplication. Deuxièmement, certaines propriétés, comme la distributivité, émergent de nombreuses situations alors que d'autres, comme l'associativité ou la multiplication par zéro, ne sont pas faciles à établir. Enseigner le sens d'une opération, comme y incite conjointement la noosphère et les programmes officiels, comporte deux aspects : la résolution de problèmes que l'opération modélise et la compréhension des techniques opératoires qui reposent sur les propriétés de l'opération comme sur les systèmes d'écriture des nombres.

<footnote>$^{77}$ La multiplication par un nombre positif conserve l'ordre donc $a \ge 1$ et $n > 1 \Rightarrow a \times n > a \times 1$.</footnote>
Après avoir étudié *a priori* l'enseignement des nombres décimaux (des différentes conceptions et des représentations symboliques qui y sont liées), des situations multiplicatives et des propriétés algébriques, nous allons donc aborder la relation entre la technique opératoire et les différentes écritures des nombres.

## 23. Les procédures de calcul du produit de deux décimaux

Nous avons considéré trois représentations des nombres décimaux : sous la forme d'un quotient, d'une somme ou d'un produit. Chacune d'elle est liée à des problèmes que les décimaux permettent de résoudre. Dans ce paragraphe, nous montrons, pour chacune de ces représentations, comment s'interprète et comment se calcule le produit de deux décimaux. Nous indiquons les propriétés de la multiplication qui sont utilisées pour permettre le calcul du produit ainsi que d'éventuelles inadaptations d'une représentation des nombres décimaux pour penser ou calculer leur produit. Nous accordons enfin une attention particulière à l'usage des calculatrices.

### Avec les nombres décimaux écrits sous la forme d'un quotient d'entiers

Nous reprenons les trois types de problème que l'utilisation des rationnels aide à résoudre et que nous avons présentés précédemment : mesure, fractionnement et opérateur linéaire. Mesure et fractionnement seront traités ensemble car dans ces types de problèmes, le nombre rationnel $\frac{a}{b}$ est considéré comme la solution de l'équation $bx = a$. Que signifie $\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ ? comment peut-on calculer ce produit ? en utilisant quelles propriétés de la multiplication ?

♦ En considérant les rationnels comme des outils pour la mesure ou le fractionnement, le rationnel $\frac{a}{b}$ est la solution de l'équation $bx = a$, le rationnel $\frac{c}{d}$ est la solution de $dy = c$ et l'on obtient, après multiplication membre à membre des deux égalités, $(bx)(dy) = ac$. En utilisant l'associativité et la commutativité de la multiplication des entiers, on en déduit $(bd)(xy) = ac$ et finalement que $xy = \frac{ac}{bd}$. C'est-à-dire $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$. Cette technique opératoire permet d'obtenir facilement la technique usuelle de la multiplication des décimaux : on effectue la multiplication sans tenir compte des virgules puis on place la virgule au produit.

Par exemple $3,14 \times 2,7 = \frac{314}{100} \times \frac{27}{10} = \frac{314 \times 27}{100 \times 10} = \frac{8478}{1000} = 8,478$.

♦ En considérant les rationnels comme des opérateurs multiplicatifs, par exemple comme des coefficients d'agrandissement des longueurs d'une figure plane, le produit de deux rationnels s'interprète comme le coefficient de la composée de deux agrandissements successifs. Remarquons que ce fait n'est pas immédiat et demande à être enseigné pour être construit. L'opérateur $a/b$ transforme $b$ en $a$, l'opérateur $c/d$ transforme $d$ en $c$. Pour calculer l'opérateur produit, il suffit de déterminer une valeur initiale et son image. Une propriété des applications linéaires est utilisée pour associer $ad$ à $bd$ puis $ac$ à $ad$ :
<figure><img src="image_22.png" /></figure>

on en déduit $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$. On retrouve ensuite la technique décrite ci-dessus.

Signalons, pour conclure sur les décimaux considérés comme des rationnels opérateurs, une difficulté que l'on rencontre si l'on souhaite construire le produit de deux rationnels par l'application d'un opérateur multiplicatif rationnel à une longueur elle-même rationnelle. C'est sans doute une des raisons qui ont conduit Guy Brousseau à enseigner la multiplication par composition d'agrandissements. Nous ne détaillerons pas les raisons de ces difficultés que Guy Brousseau lui-même expose dans des commentaires récents<sup>78</sup> de son article plus ancien "Problèmes de didactique des décimaux", nous en citons seulement de courts extraits qui indiquent la difficulté du passage de la multiplication d'une mesure rationnelle par un entier (ce que Guy Brousseau présente dans la "deuxième ligne") à la multiplication d'une mesure rationnelle par un rationnel (ce que Guy Brousseau présente dans la "troisième ligne") :

> La troisième ligne présente le cas où les opérateurs sont des fractions engagées dans des mesures rationnelles. (...) Cette étape présente l'aboutissement d'un processus très important et bien plus complexe que ne le laisse supposer la proximité formelle entre $n * L/a$ et $n/a * L$ (...) Il aurait fallu beaucoup d'étapes entre la deuxième ligne et la troisième pour représenter la lente évolution historique ou une évolution ontogénétique didactique plausible.

### Avec les nombres décimaux écrits comme une somme

* En considérant les décimaux comme des mesures de longueur de segments ou d'aire de rectangles on obtient une possibilité de calculer le produit de deux rationnels. Le fait que l'aire du rectangle soit le produit de ses dimensions n'est pas immédiat et demande à être enseigné. Nous décrirons, dans le prochain chapitre, cette façon bien connue aujourd'hui de procéder qu'utilisent Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin dans leur ingénierie didactique. L'utilisation de l'addition des longueurs de segments mis "bout à bout" conduit à considérer le nombre décimal comme une somme de fractions dont les dénominateurs sont des puissances croissantes de 10.

<footnote n="78"><sup>78</sup> BROUSSEAU G. (1998), *Problèmes de didactique des décimaux*, in *Théorie des situations didactiques* (201-289), Grenoble : La pensée sauvage. [p. 213].</footnote>

<footnote>Version révisée et augmentée d'une première édition en 1981 in *Recherches en didactique des mathématiques* 2/1 (37-127), Grenoble : La pensée sauvage.</footnote>
Par exemple, la longueur 3,14 est pensée $3 + \frac{1}{10} + \frac{4}{100}$, la largeur 2,7 est pensée $2 + \frac{7}{10}$ et l'aire du rectangle $3,14 \times 2,7$ se calcule à l'aide d'un tableau en utilisant implicitement la distributivité à droite et à gauche de la multiplication :

<table><tr><td></td><td>3</td><td>1/10</td><td>4/100</td><td></td></tr><tr><td>0</td><td>6</td><td>2</td><td>8</td><td>2</td></tr><tr><td>2</td><td>1</td><td>7</td><td>8</td><td>7/10</td></tr><tr><td>8</td><td>4</td><td>7</td><td>8</td><td></td></tr></table>

Remarquons que cette technique ne conduit pas à la technique usuelle du calcul du produit de deux décimaux mais à la technique dite "per gelosia". Elle permet, par une lecture de chaque cellule, de rendre compte de chaque étape du calcul (à l'exception de la gestion des retenues) ainsi que, par une lecture des lignes, du calcul des produits partiels $2 \times 3,14$ et $0,7 \times 3,14$ comme lorsque la multiplication est disposée de façon habituelle<sup>79</sup> :

$$ \begin{array}{c} u \ d \ c \ m \\ 3,14 \\ \times \ 2,7 \\ \\ 2 \ 1 \ 9 \ 8 \\ \\ 6 \ 2 \ 8 \\ \\ 8,478 \end{array} $$

♦ Afin d'enseigner la multiplication des nombres décimaux considérés comme des abscisses de points de la droite numérique, une équipe de l'INRP a envisagé d'utiliser une bande à double graduation pour déterminer le produit de deux décimaux. Cette situation a été publiée dans *Apprentissages mathématiques en 6e* et reprise par les auteurs de *Travaux numériques 6e*, deux publications destinées aux professeurs de collège<sup>80</sup>. La procédure proposée qui repose sur une représentation graphique reste très artisanale et ne constitue pas une technique de calcul. Illustrons-la par une citation d'un extrait de *Travaux numériques 6e* :

> Etudions la correspondance entre la masse et le prix du pain pour 16,50 F par kg. Compléter les deux graduations figurant sur la feuille, puis à l'aide de ces données, déterminer le prix d'un bâtard de 200 g et le prix d'un pain de campagne de 500 g.

<footnote n="79"><sup>79</sup> Les lettres u, d, c, m désignent les colonnes des unités, des dixièmes, des centièmes et des millièmes.</footnote>

<footnote n="80"><sup>80</sup> PRESSIAT A. (1991), *Apprentissages mathématiques en 6e*, Paris: Hatier/INRP.
DUPÉ C. & HILLION M. (1998), *Travaux numériques 6e*, Paris: Nathan Pédagogie.</footnote>
<figure><img src="image_23.png" /></figure>

Sous la graduation 0,1 l'élève doit écrire le dixième de 16,50 c'est-à-dire 1,65. Il écrira 2,30 (le double de 1,65) sous la graduation 0,2 et 8,25 (cinq fois 1,65) sous la graduation 0,5. L'élève pourra conclure que le prix du bâtard est 2,30 F et que celui du pain de campagne est 8,25 F. Ces deux valeurs correspondent respectivement aux produits 0,2 × 16,5 et 0,5 × 16,5.

### Avec les nombres décimaux considérés comme des mesures

Dans l'approche où le nombre décimal sert à exprimer la mesure d'une grandeur, rappelons que l'écriture du nombre est liée aux unités de mesure usuelles. Un prix s'écrit avec deux chiffres après la virgule (francs, centimes), une masse avec trois chiffres (kilogramme, gramme)... Le nombre décimal est pensé comme une unification d'une écriture qui comporterait deux entiers : 3,450 kg pour 3 kg 450 g. C'est ce que nous avons convenu d'appeler le "format social" des décimaux-mesures. Voyons comment cette conception du nombre décimal intervient dans celle de la multiplication des décimaux.

* La multiplication ne "respecte" pas le format social. En limitant les nombres décimaux à des mesures, toutes les opérations sont liées à des grandeurs. Ces grandeurs sont exprimées par une écriture soumise au format social mais cette contrainte d'écriture n'est pas conservée de manière générale par la multiplication. Par exemple, en multipliant des kg (trois décimales) par des F/kg (deux décimales) on obtient des F (deux décimales) mais le produit obtenu peut contenir de zéro à cinq décimales. Ainsi, le "format social" n'est pas respecté par l'opération. Supposons par exemple qu'un élève ait à calculer le prix de 1,250 kg de viande à 36,00 F/kg ou à 36,40 F ou à 36,50 F/kg ou encore à 36,84 F/kg il trouvera respectivement comme montant à payer 45 F ou 45,5 F ou 45,625 F ou encore 46,05 F. Le premier et le dernier résultats sont conformes à l'écriture d'un prix en francs et centimes, le deuxième et le troisième résultats risquent d'être interprétés comme 45 F 5 c et 45 F 625 c par de nombreux élèves...

Dans un premier temps, l'attribution d'une unité à la partie entière et à la partie décimale peut faciliter l'enseignement des nombres décimaux qui sont alors conçus comme des couples d'entiers. Mais de nombreuses difficultés bien connues en sont les conséquences. Nous venons d'en montrer une qui vient du fait que des kg multipliés par des F/kg donnent des F alors qu'en multipliant un élément de $\mathbb{D}_3$ par un élément de $\mathbb{D}_2$, on n'obtient pas nécessairement un élément de $\mathbb{D}_2$.

* La technique opératoire ne peut s'établir de façon générale. Nous le verrons en détail dans le prochain chapitre, certains anciens manuels présentent la technique opératoire de la multiplication des décimaux, en référence à celle des entiers, en procédant à des changements d'unités. En fait, cette méthode ne
fonctionne pas de façon générale, nous allons le montrer en reprenant les exemples issus du cours d'arithmétique de Ch. Pugibet<fnref n="81" /> :

> Vous voulez trouver le prix de 12 kg. de beurre à 43½,40 le kilogramme. (...)

> Vous voulez calculer le poids de 4'5 d'huile pesant 0kg,92 le litre.

Dans le premier exemple, on peut convertir le prix : le kilogramme de beurre coûte 4 340 centimes donc les 12 kg coûtent 52 080 c c'est-à-dire 520,80 F. La méthode s'exécute aisément. Ce n'est plus le cas quand il faut convertir à la fois le prix et le poids : quel serait, par exemple, le prix de 12,5 kg de beurre ? Le poids de beurre est de 125 hectogrammes et le prix de l'hectogramme est 434 c, ainsi le prix du beurre est 54 250 c c'est-à-dire 542,50 F. La méthode devient inutilisable lorsqu'on ne peut pas convertir simultanément le poids et le prix : quel serait, par exemple, le prix de 12,450 kg de beurre ? Impossible de calculer ainsi la valeur d'un décagramme donc celle de 12,450 kg, et pourtant, c'est un nombre à deux décimales : 540,33 F.

Dans le second exercice qui porte sur la multiplication de deux décimaux, la conversion n'est pas aussi facile. Le poids de 4,5 l d'huile pesant 920 g le litre est égal au poids de 45 dl d'huile pesant 92 g le dl, on obtient 4 140 g c'est-à-dire 4,140 kg. Mais comment calculer le poids de 4,55 l d'huile ? Avec cette méthode, c'est impossible. Et pourtant, on obtient 4,186 kg et le format social du résultat est bien respecté.

Cette méthode qui repose sur des conversions d'unités n'est donc pas suffisante comme technique pour multiplier deux décimaux. Elle impose au professeur de choisir correctement les valeurs numériques pour poser uniquement les exercices que les élèves peuvent résoudre. Finalement cette méthode ne demande qu'à être abandonnée le plus tôt possible au profit de la technique usuelle qu'elle ne permet pas d'expliquer et qui doit donc être seulement constatée puis admise.

La méthode de changement d'unités, utilisée dans les manuels d'avant la réforme de la mathématique moderne, a été abandonnée après cette réforme. Pour que les nombres décimaux enseignés correspondent davantage aux nombres décimaux utilisés en mathématiques, l'institution a modifié les programmes en affirmant l'indépendance entre le nombre décimal et la mesure. Durant cette période, les manuels ont privilégié un travail sur des écritures numériques, plus abstrait. Aujourd'hui, la méthode généralement proposée consiste à appliquer des opérateurs multiplicatifs aux facteurs du produit pour obtenir le produit de deux entiers et placer la virgule en divisant. Par exemple, pour calculer $3,14 \times 2,7$ on calcule $314 \times 27$, on obtient 8 478 puis on utilise implicitement la démarche suivante qui repose sur la commutativité et l'associativité de la multiplication :
$$8 478 = 314 \times 27 = (3,14 \times 100) \times (2,7 \times 10) = (3,14 \times 2,7) \times 1 000$$
d'où $3,14 \times 2,7 = 8 478 \div 1 000 = 8,478$.

<footnote n="81">⁸¹ PUGIBET CH. (1947), Arithmétique, cours supérieur, classe de fin d'études, certificat d'étude primaire, Paris : Armand Colin. [p. 94].</footnote>
Cette méthode est générale, elle permet d'expliquer la " règle de la virgule ", elle pourra donc céder sa place à la technique usuelle.

Pour terminer notre étude des méthodes de calcul du produit de deux décimaux, nous allons analyser maintenant l'intégration des calculatrices dans l'enseignement. Leur usage, aujourd'hui incontournable, est recommandé par les programmes, il permet d'obtenir le produit de deux décimaux ; nous verrons s'il renforce ou s'il gêne l'enseignement de la technique opératoire, non pas en le plaçant en concurrence avec elle mais en examinant s'il donne ou non de nouvelles occasions pour apprendre plus ou simplement pour apprendre mieux.

### Avec la calculatrice

En ce qui concerne spécifiquement la multiplication des décimaux, la mise en œuvre de la technique de multiplication des entiers mise à part, le calcul à la main et le calcul à la calculatrice se distinguent principalement dans l'écriture de la virgule et dans la simplification de l'écriture du résultat. Par exemple, le calcul à la main du produit $3,8 \times 2,15$ conduit à 8,170 alors que le calcul à la machine conduit directement à 8,17. Comme nous le verrons dans le chapitre suivant, certains auteurs de manuels proposent des exercices pour engendrer une réflexion des élèves sur le nombre de décimales des facteurs et du produit, quelques-uns reposent sur l'utilisation de la calculatrice.

En considérant le décimal comme un rationnel particulier, le sens de la simplification peut être approfondi : ce n'est pas simplement qu'on " barre le zéro inutile " c'est qu'on simplifie l'écriture du nombre, on transforme la façon de penser ce nombre, on pense $\frac{817}{100}$ au lieu de penser $\frac{8170}{1000}$.

Comment l'utilisation de la calculatrice s'intègre-t-elle à un enseignement de la multiplication des décimaux pensés comme des mesures et dont l'écriture est contrainte à un format social ? Comme nous venons de le montrer, la multiplication ne " respecte " pas le format social. Par ailleurs le calcul à la main et le calcul à la machine ne conduisent pas toujours à la même tâche pour l'élève. Illustrons notre propos par quelques exemples :

1,500 kg de fraises à 15,80 F/kg coûtent 23,70 F,
1,800 kg de pêches à 15,75 F/kg coûtent 28,35 F,
0,640 kg de potiron à 7,80 F/kg coûtent 5,00 F.

Dans le premier exemple la calculatrice affiche un prix de 23,7 qui peut être interprété comme 23 F 7 c alors que le produit obtenu en posant l'opération (voir ci-après), en supprimant les zéros inutiles et en effectuant tous les décalages des produits partiels comporte exactement deux décimales.

Dans le deuxième exemple, la calculatrice fournit le résultat avec deux décimales alors qu'en posant le calcul et en supprimant les zéros inutiles (voir ci-après), l'élève obtient trois décimales au produit donc c'est lui qui, en recopiant le résultat, décide ou non de restituer le format social du prix.
<table><tr><td>1 5,8 Ø</td><td>1 5,7 5</td></tr><tr><td>x 1,5 ØØ</td><td>x 1,8 ØØ</td></tr><tr><td>7 9 0</td><td>1 2 6 0 0</td></tr><tr><td>1 5 8 .</td><td>1 5 7 5 .</td></tr><tr><td>2 3,7 0</td><td>2 8,3 5 0</td></tr></table>

Dans le troisième exemple, les deux façons de calculer donnent le même produit : 4,992 F qui est arrondi à 5 F dans la vie quotidienne et que l'on peut écrire 5 F ou 5,00 F.

Finalement, l'utilisation de la calculatrice pour multiplier deux décimaux demande une connaissance plus approfondie des décimaux et impose une réflexion pour restituer le résultat en respectant le format social. Certains auteurs comme Jeanne Bolon 82 ou Milena Basso & Cinzia Bonotto 83 proposent d'utiliser ces contraintes comme des leviers. Elles soumettent aux élèves des problèmes à partir desquels ils construiront des connaissances plus solides parce qu'ils auront levé les contradictions que nous avons signalées. Dans la conclusion de sa thèse, Jeanne Bolon signale que de telles perspectives pédagogiques n'ont pas été suffisamment explorées par la recherche en didactique des mathématiques 84 :

> Un autre domaine de recherche (à ouvrir) concerne les rapports entre les savoirs pratiques et les "savoirs du cours de mathématiques", entre le point de vue "technologique" et le point de vue mathématique. (...) Il nous paraît important d'exhiber, en particulier dans l'enseignement secondaire, les zones de validité de ces deux types d'approches, les différences de statut entre les objets de l'action et les objets mathématiques.

Nous pouvons maintenant conclure cette étude de la multiplication par un examen *a priori* de l'enseignement de la multiplication des nombres décimaux.

### A priori, quel enseignement de la multiplication des décimaux ?

Avant d'étudier les propositions pour enseigner la multiplication des nombres décimaux qui figurent dans différentes publications et d'aborder les contraintes éventuelles qui peuvent influencer un professeur dans ses choix d'enseignement, nous souhaitons conclure l'étude que nous venons de mener sur l'enseignement de la multiplication à partir des situations qu'elle modélise. Si nous insistons sur ces

<footnote n="82">82 BOLON J. (1996), *Op. cit.* [pp. 221-222 et 239].
Les suggestions 2 et 9 proposent des activités sur les grandeurs familières et les unités conventionnelles.</footnote>

<footnote n="83">83 BASSO M. & BONOTTO C (1996), *Un'esperienza didattica di integrazione tra realtà extrascolastica e realtà scolastica riguardo ai numeri decimali*, *L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate vol. 19A N. 5 (424-449)*, Paderno del Grappa TV. : Centro Ricerche Didattiche Ugo Morin.
Les auteurs décrivent une expérience d'enseignement de la multiplication des décimaux et de la proportionnalité en introduisant des tickets de caisse de supermarchés, de primeurs, de bouchers... dans le contexte scolaire.</footnote>

<footnote n="84">84 BOLON J. (1996), *Op. cit.* [pp. 329-330].</footnote>
situations, c'est parce qu'elles contribuent au sens de l'opération qui doit être
acquis en classe de sixième <fnref n="85" /> :

En sixième, il s'agit donc désormais de faire acquérir par les élèves
le produit de deux nombres décimaux (...) Ce dernier apprentissage est
difficile dans la mesure où il existe une rupture de sens avec les cas du
produit de deux naturels et d'un décimal par un naturel, cas pour lesquels
la référence à l'addition réitérée est possible pour accéder à la
multiplication.

Les propriétés de l'opération et les techniques de calcul constituent les deux autres composantes du sens de la multiplication. Nous avons vu, en procédant à des croisements, que suivant les situations multiplicatives ou les représentations symboliques des décimaux, il n'était pas toujours possible de montrer telle propriété algébrique ou de justifier la technique opératoire usuelle.

Il ne peut donc être question dans un enseignement de retenir une seule
situation de référence de la multiplication ou d'adopter une seule écriture des
décimaux. Cependant, pour introduire la notion, le professeur doit bien choisir.
Pour conclure l'analyse *a priori* de l'enseignement de la multiplication à l'école et
au collège nous voudrions montrer les conséquences de tels choix. Nous allons
rappeler et croiser les résultats obtenus concernant les représentations des
nombres décimaux et les trois composantes du sens de la multiplication. Cela nous
donnera, en terme de possibles, des outils pour analyser les propositions
d'enseignement de la multiplication des décimaux qui figurent dans les
publications.

Représentations des décimaux et situations multiplicatives

En considérant trois types de représentations des décimaux et les problèmes
qui sont liés, nous avons repéré six manières de penser les nombres décimaux :
"rationnel-mesure", "rationnel-fractionnement", "rationnel-opérateur",
"décimal-mesure", "décimal-abscisse" et "décimal-système métrique". En
plus de l'addition réitérée, nous avons distingué cinq types de situations
multiplicatives dont un, le produit cartésien de deux ensemble fini, qui ne concerne
que les nombres entiers. A ces cinq types de situations s'ajoute la bande à double
graduation qui constitue un outil graphique pour multiplier. Nous allons dresser
un tableau qui rappelle, suivant les situations multiplicatives quelles sont les
représentations des décimaux qui peuvent être mobilisées.

<footnote n="85">⁸⁵ Mathématiques : articulation école-collège, BO n°44 du 5 décembre 1996.</footnote>
<table><caption>Tableau 1. Représentation des décimaux et situations multiplicatives</caption><thead><tr><th></th><th>Rationnel<br>mesure</th><th>Rationnel<br>fractionnement</th><th>Rationnel<br>opérateur</th><th>Décimal<br>mesure</th><th>Décimal<br>abscisse</th><th>Décimal<br>s. métrique</th></tr></thead><tbody><tr><td>Opérateur<br>scalaire x mesure</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td></td><td>x</td></tr><tr><td>Composition<br>d'opérateurs</td><td></td><td></td><td>x</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Produit de<br>mesures</td><td>x</td><td>x</td><td></td><td>x</td><td></td><td>x</td></tr><tr><td>Isomorph. de<br>mesures</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td>x</td><td></td><td>x</td></tr><tr><td>Double<br>graduation</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>x</td><td></td></tr></tbody></table>

Le tableau permet de visualiser les représentations des décimaux que l'on peut mobiliser suivant chaque situation multiplicative. Les problèmes issus de la vie quotidienne qui sont beaucoup proposés aux élèves (comme le montrent les choix d'exercices des auteurs de manuels scolaires) reposent fréquemment sur une situation d'isomorphisme de grandeurs ; ils semblent donc se prêter facilement à un travail fructueux concernant les représentations des nombres décimaux.

### Représentations des décimaux et méthodes de calcul d'un produit

Nous avons montré que les choix d'écriture des nombres conduisent à des méthodes de calculs variées mais qui ne permettent pas toutes aussi facilement de justifier la technique opératoire usuelle. Rappelons ces résultats dans un tableau. Nous distinguerons les conceptions des décimaux et les écritures suivantes : les rationnels (mesures, fractionnements ou opérateurs) écrits sous forme de fractions décimales ($a/10^n$), les "décimaux-mesures" explicitement écrits comme une somme d'un entier et de fractions décimales de numérateurs inférieurs à 10 ($n+\sum a_i/10^i$), les "décimaux-abscisses" quelle que soit leur écriture (somme ou notation décimale) et les "décimaux-système métrique" associés à une unité du système métrique écrits avec la notation décimale ($a,bcd$ unité). Pour les méthodes de calcul d'un produit, nous avons montré qu'il fallait distinguer la technique usuelle, les méthodes générales de calcul (par exemple la méthode *per gelosia*) et les méthodes artisanales qui ne permettent pas de déterminer tous les produits.

<table><caption>Tableau 2. Représentation des nombres décimaux et méthodes de calcul d'un produit</caption><thead><tr><th></th><th></th><th>Méthode<br>non générale</th><th>Méthode<br>générale</th><th>Technique<br>usuelle</th></tr></thead><tbody><tr><td>Rationnels quelconques</td><td>a/10<sup>n</sup></td><td>x</td><td>x</td><td>x</td></tr><tr><td>Décimaux-mesures</td><td>n+Σa<sub>i</sub>/10<sup>i</sup></td><td>x</td><td>x<br>(per gelosia)</td><td></td></tr><tr><td>Décimaux-abscisses</td><td>quelconque</td><td>x<br>(graphique)</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Décimaux-s. métrique</td><td>a,bcd unité</td><td>x<br>(conversion)</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
## Propriétés algébriques et situations multiplicatives

Nous allons rappeler les résultats obtenus concernant l'adaptation des diverses situations multiplicatives pour montrer les propriétés algébriques de l'opération.

Dans le tableau suivant, pour chaque situation multiplicative, nous avons codé par le signe “ + ” les cas où les illustrations de propriétés et les prolongements aux valeurs 1, 0 sont aisées avec la référence à la situation. Nous avons codé par le signe “ – ” les cas où ces illustrations sont très difficiles ou impossibles avec cette situation. Enfin, nous avons codé par le signe ≈ les cas où les illustrations et les prolongements ne sont pas impossibles mais sont assez artificiels avec cette situation. Nous disposons alors d'un tableau des différentes situations et de leur efficacité à montrer les propriétés algébriques. Nous avons grisé les colonnes correspondant à deux situations (produit cartésien et points en réseau rectangulaire) qui conviennent pour montrer les propriétés opératoires de la multiplication de deux entiers mais qui ne peuvent se prolonger au cas de facteurs décimaux.

<table><caption>Tableau 3. Situations multiplicatives et propriétés de la multiplication</caption><thead><tr><th></th><th>Addition réitérée</th><th>Opérateur [×k]→</th><th>Compo. d'opérateurs</th><th>Produit cartésien</th><th>Points en réseau</th><th>Aire de rectangles</th><th>Isomorph. de mesures</th></tr></thead><tbody><tr><td>Commutativité</td><td>≈</td><td>—</td><td>—</td><td>4</td><td>4</td><td>+</td><td>≈</td></tr><tr><td>Associativité</td><td>≈</td><td>—</td><td>+</td><td>4</td><td>4</td><td>—</td><td>≈</td></tr><tr><td>Distr. à droite</td><td>≈</td><td>+</td><td>—</td><td>4</td><td>4</td><td>+</td><td>+</td></tr><tr><td>Distr. à gauche</td><td>+</td><td>—</td><td>—</td><td>4</td><td>4</td><td>+</td><td>+</td></tr><tr><td>1 × n</td><td>+</td><td>+</td><td>—</td><td>4</td><td>4</td><td>+</td><td>≈</td></tr><tr><td>n × 1</td><td>—</td><td>—</td><td>—</td><td>4</td><td>4</td><td>+</td><td>≈</td></tr><tr><td>0 × n</td><td>+</td><td>—</td><td>—</td><td>4</td><td>4</td><td>—</td><td>—</td></tr><tr><td>n × 0</td><td>—</td><td>—</td><td>—</td><td>4</td><td>4</td><td>—</td><td>—</td></tr></tbody></table>

Ce tableau rappelle qu'à chaque propriété correspondent des situations adaptées et des situations inadaptées. Une exception cependant, la multiplication par zéro pour laquelle aucune des situations ne fournit d'illustration ou de support pour l'établir avec les deux positions possibles du facteur nul. Seule l'addition réitérée permet de justifier que $0 \times n = 0$. La distributivité de la multiplication par rapport à l'addition se montre par de nombreuses situations mais il n'en va pas de même pour la commutativité, l'associativité et pour les produits qui contiennent un facteur nul. Un professeur qui voudrait montrer ces propriétés devra, dans sa préparation, être attentif aux situations qu'il choisira comme support des tâches qu'il proposera aux élèves.

Nous constatons en outre qu'aucune des situations multiplicatives n'est adaptée pour montrer l'ensemble des propriétés. Le nombre important de signes “ – ” et “ ≈ ” du tableau montre que les propriétés de la multiplication des nombres décimaux (entiers ou non) ne sont pas faciles à enseigner à partir des situations multiplicatives. Les trois situations les plus polyvalentes pour l'enseignement de la multiplication des décimaux sont, dans l'ordre, les situations de produit de mesures (calcul d'aire de rectangles), l'addition réitérée et
l'isomorphisme de grandeurs. Ces situations sont-elles celles qui sont le plus utilisées dans les manuels scolaires ou en classe pour enseigner la multiplication des nombres décimaux ? Le chapitre suivant, consacré aux propositions d'enseignement, permettra de répondre à cette question.

*Compléments sur l'addition réitérée.* Le bon "score" de l'addition réitérée peut surprendre le lecteur familier des documents d'aide pédagogique où, comme nous l'avons vu, cette conception de la multiplication est rejetée par de nombreux arguments d'inefficacité pour l'enseignement de certaines propriétés de la multiplication. Mais l'étude globale que nous avons menée montre qu'une comparaison locale ne permet pas d'apporter de conclusions générales. Nous avons trouvé une seule brochure pour montrer des qualités pédagogiques de l'addition réitérée<sup>86</sup>. Citons ces auteurs de l'INRP qui commentent la réussite des élèves à deux réductions de calcul littéral (a + a + a et 2a + 3a) :

> La faiblesse des résultats en 4ème notamment (...) appelle des remarques suivantes en matière d'analyse en terme de "savoir" et de "travail des élèves".

**En terme de savoir.** L'addition itérée n'est pas un objet d'enseignement au collège, alors que la multiplication itérée en est un.

Pourtant, (...)

Ceci prouve que l'on peut définir la multiplication dans $\mathbb{R}$ à partir de l'addition et de la relation d'ordre. L'addition itérée apparaît comme ayant un grand intérêt dans le savoir savant. Elle est d'ailleurs exploitée à l'école primaire pour l'enseignement de la multiplication. Pourquoi n'est-elle pas enseignée au Collège (ce qui conduit à renforcer la conception de la lettre " objet " par des explications du type $2 \text{ ananas} + 3 \text{ ananas} = 5 \text{ ananas}$ donc $2a + 3a = 5a$) ? (...)

**En terme de travail de l'élève.** On attend donc de l'élève que, face à $2a + 3a$, il tienne le raisonnement matérialisé par les étapes suivantes :

$$ 
\begin{array}{l}
2 \times a + 3 \times a \\
(2 + 3) \times a \\
5 \times a \\
5a
\end{array}
 $$

alors que dans un groupe additif, on a directement $2a+3a = 5a$ puisque
$$2a + 3a = a + a + a + a + a + a = 5a.$$

Les auteurs semblent regretter que l'addition itérée ne soit pas davantage enseignée au collège et ils attribuent à cette carence de l'enseignement certaines difficultés rencontrées par les élèves. Pour notre part, nous pensons que l'absence de l'addition répétée dans les programmes de collège ne signifie pas une absence de référence à cette conception de la multiplication de la part des professeurs mais peut-être ne la développent-ils pas autant qu'ils pourraient le faire si elle apparaissait explicitement dans les instructions officielles.

<footnote n="86"><sup>86</sup> COLOMB J. (sous la direction de) (1995), *Calcul littéral – Savoirs des élèves de collège*, Paris : INRP, Documents et travaux de recherche en éducation, Didactique des disciplines. [p. 23].</footnote>
Compléments sur le calcul d'aire de rectangles. Malgré le "très bon score" de la situation de calcul d'aire de rectangles, nous avons remarqué (nous le montrerons dans le prochain chapitre) qu'elle est moins utilisée, par les auteurs de manuels, que l'addition réitérée ou que l'isomorphisme de grandeurs. Cela apparaît comme une contradiction. Différents travaux ont montré que les professeurs associent souvent le calcul d'aire à l'utilisation de formules. Les programmes portent-ils leur part de responsabilité ? Voyons ce qu'on y lit sur l'aire du rectangle <fnref n="87" /> :

(*) Détermination du périmètre d'un cercle, de l'aire d'un disque, de l'aire d'un rectangle, de l'aire d'un triangle, du volume du pavé. Utilisation d'un formulaire pour calculer l'aire ou le volume d'un objet donné.

(**) Seule la surface du rectangle est au programme, en liaison avec la multiplication. (...) A propos du rectangle le maître insiste sur les opérations associées au calcul du périmètre et de la surface (addition pour le périmètre ; multiplication pour la surface). L'utilisation de formules littérales est prématurée à l'école, aussi une forme intermédiaire est utilisée :

périmètre du rectangle = 2 longueurs + 2 largeurs ;
surface = longueur × largeur.

(***) On pourra faire déterminer des aires à l'aide, soit de reports, de décomposition, de découpages et de recollements, soit de quadrillages et d'encadrements. (...) On pourra s'appuyer sur ces travaux qui donnent du sens à la notion d'aire pour constituer et utiliser un formulaire.

Ces citations montrent que la préoccupation majeure des auteurs des programmes est d'articuler l'acquisition de la notion d'aire, l'élaboration d'un formulaire, l'application de formules. A cela s'ajoute le fait que, dans les programmes, le calcul de l'aire du rectangle apparaît dans les activités géométriques alors que la multiplication figure dans les activités de calculs numériques. Ce cloisonnement apparent des activités mathématiques dans les instructions explique sans doute pour une part le cloisonnement trouvé dans les manuels (qui souvent respectent la progression des textes officiels) où le calcul d'aire est une activité plutôt traitée en "géométrie" et donc en appliquant les acquis sur la multiplication qui n'est alors plus questionnée.

## Conclusions sur les nombres décimaux et leur multiplication

Dans ce chapitre, nous avons mené une étude préliminaire de l'enseignement de la multiplication des décimaux en sixième. L'objectif était de nous donner des moyens d'analyser les enseignements proposés dans des publications pour les rapports qu'ils ménagent entre le sens des notions étudiées et les tâches proposées

<footnote n="87">⁸⁷ (*) Programme du 23 avril 1985 pour l'enseignement des mathématiques au cycle 3.
(**) Projets de documents d'application des programmes de l'école élémentaire, 26/08/1999.
(***) Programme de mathématiques de la classe de sixième, 22 novembre 1995.</footnote>
aux élèves. Nous avons abordé successivement l'enseignement des nombres décimaux puis celui de la multiplication, à l'école primaire puis au collège.

Au XVIe siècle, les nombres décimaux, avec les écritures décimales illimitées, ont permis d'effectuer un premier pas vers l'unification du domaine numérique. Entiers, rationnels et irrationnels peuvent s'écrire selon le même principe, les calculs et les comparaisons sont facilités. Dans l'enseignement, les décimaux peuvent être abordés de différentes façons suivant leur écriture et les problèmes qui sont liés. Certaines permettent de montrer en partie le rôle que ces nombres ont eu dans l'histoire des mathématiques. Des problèmes de mesure ou d'agrandissement de figures planes conduisent à la construction de l'ensemble des rationnels dont font partie les décimaux. Certains enseignements posent d'emblée la droite numérique unifiée, les nombres sont déterminés ou sont approchés en procédant à des subdivisions successives de l'unité. L'introduction du système métrique permet l'écriture de mesures de grandeurs usuelles en utilisant les nombres décimaux.

Après une évolution sensible des instructions depuis une cinquantaine d'années, les programmes recommandent actuellement de traiter le caractère algébrique des nombres décimaux en les introduisant à partir des fractions décimales qui permettent de résoudre des équations qui restent sans solution dans l'ensemble des entiers. Ils recommandent de privilégier l'utilisation des nombres décimaux pour les problèmes de mesure, d'approximation et de comparaison. Ils préconisent enfin de faire acquérir les techniques opératoires, sans rechercher la virtuosité, afin que les élèves puissent résoudre des problèmes numériques. La résolution de problèmes est conçue, dans le texte même des programmes, comme étant à la fois "*la source et le critère des connaissances*".

Après avoir été réduit à un nombre-concret assimilable à un nombre entier par un changement d'unité, après avoir été opposé aux nombres-abstraits et aux opérateurs, le nombre décimal a acquis le statut de "nouveau nombre". Parallèlement, nous avons aussi constaté, comme Jeanne Bolon, que l'enseignement relatif aux grandeurs usuelles a perdu de son importance et que les situations qui les mettent en relation se raréfient. Cette évolution de l'enseignement des nombres n'est pas sans conséquence sur l'enseignement des opérations, en particulier celui de la multiplication : les manuels ne proposent que très peu de problèmes issus de situations multiplicatives au profit d'exercices plus techniques ou formels.

Pour déterminer les enjeux mathématiques de l'enseignement de la multiplication des nombres décimaux, nous avons abordé les situations multiplicatives, les propriétés algébriques et les méthodes de calcul du produit de deux décimaux.

La multiplication, jusqu'aux années soixante-dix, a été assimilée à une addition réitérée ou à une "convention sociale". Des études<fnref n="88" /> ont montré le caractère réducteur d'une telle conception, notamment sur la question de la

<footnote n="88">⁸⁸ Nous pensons aux travaux de Janine Rogalski et de Gérard Vergnaud sur la multiplication.</footnote>
dimension. Les instructions officielles issues de la réforme dite de "la mathématique moderne" ont préconisé l'introduction de la multiplication par des activités de dénombrement qui font implicitement référence au produit cartésien de deux ensembles. Mais si la présentation a évolué, les problèmes proposés aux élèves sont restés les mêmes : ceux qui se prêtent à un traitement linéaire, ou ceux qui mobilisent seulement l'application de formules. Des propositions très riches et très variées, issues notamment de recherches en didactique des mathématiques<sup>89</sup>, permettraient d'envisager actuellement un enseignement de la multiplication qui prenne en compte à la fois les trois grands types de situations multiplicatives que distingue Gérard Vergnaud<sup>90</sup> : un seul espace de mesure, le produit de mesures et l'isomorphisme de mesure. Mais les programmes actuels pour l'école primaire focalisent davantage l'enseignement sur les nombres et sur leurs écritures que sur les opérations. Dans les manuels, si l'addition réitérée n'est plus le modèle des situations de référence pour la multiplication, on n'y trouve souvent seulement que des exemples techniques où les transformations d'écritures sont accompagnées d'arguments théoriques et très peu de situations multiplicatives. Nous pourrions aller jusqu'à dire que l'opération a cédé la place aux "écritures multiplicatives".

Puis nous avons abordé les propriétés algébriques de la multiplication. Leur apprentissage est indispensable pour posséder la technique opératoire usuelle qui repose sur l'écriture des nombres mais aussi sur les propriétés de l'opération. Comment les établir en s'appuyant sur les différentes situations multiplicatives étudiées ? Nous avons constaté que c'est parfois impossible pour certaines propriétés du fait même que l'opération porte sur des mesures. Nous avons conclu cette étude en remarquant que, mise à part la situation de calcul d'aire de rectangle, les situations où la multiplication se conçoit comme une addition réitérée sont, contre toute attente, les plus adaptées à montrer les propriétés algébriques de cette opération.

Enfin nous avons analysé les possibilités qu'offraient les différentes conceptions des décimaux, suivant leurs écritures, pour élaborer des méthodes de calcul d'un produit de deux nombres. Nous avons montré des différences importantes. La fraction décimale associée à une conception rationnelle est une écriture qui permet d'établir facilement la technique usuelle. Avec la décomposition en la somme d'un entier et de fractions décimales de numérateurs inférieurs à 10 ($n+\sum a_i/10^i$), la technique de calcul la plus adaptée est celle dite "per gelosia". Ces deux méthodes sont bien des techniques opératoires car elles permettent d'effectuer tous les calculs. Ce n'est pas le cas de deux autres méthodes, plus artisanales, qui permettent de traiter seulement quelques exemples : les conversions qu'on utilise avec des décimaux-mesures, et les bandes à double graduation qui reposent sur une conception où les nombres sont des abscisses de points de la droite numérique.

<footnote n="89"><sup>89</sup> Nous pensons ici encore aux travaux de Janine Rogalski et de Gérard Vergnaud mais aussi à ceux de Nadine & Guy Brousseau et de Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin sur les nombres décimaux et les aires de surfaces planes.</footnote>

<footnote n="90"><sup>90</sup> VERGNAUD G. (1981), *L'enfant, la mathématique et la réalité*, Berne : Peter Lang. [pp. 161 et suiv.].</footnote>
Il apparaît finalement qu'un enseignement de la multiplication des nombres décimaux qui comprendrait à la fois l'étude de situations multiplicatives variées et l'élaboration de la technique opératoire usuelle nécessite une bonne connaissance des nombres décimaux et de leurs écritures ainsi qu'un long travail contextualisé. Un tel enseignement doit-il s'effectuer seulement en sixième ? Un professeur pourrait, au vu des programmes, interpréter la répartition entre l'école primaire et le collège de la façon suivante :

– à l'école, multiplication de deux entiers et multiplication d'un décimal par un entier c'est-à-dire les deux cas où la multiplication s'interprète aisément comme une addition réitérée ;

– au collège, multiplication de deux décimaux donc enseignement des situations multiplicatives qui ne relèvent pas de l'addition.
Une telle interprétation ne serait pas forcément défavorable à l'enseignement de la multiplication et des décimaux. Elle n'entrerait pas non plus en contradiction avec l'ambition de l'institution scolaire.

Après en avoir montré les enjeux, nous allons analyser les enseignements proposés de la multiplication des nombres décimaux dans les différentes publications auxquelles les professeurs peuvent avoir accès et qu'ils sont susceptibles d'utiliser pour préparer leurs cours : les manuels, les brochures et les ouvrages à l'intention des enseignants, ainsi que les travaux de recherche en didactique des mathématiques. L'objectif de ce prochain chapitre est d'étudier, compte tenu des résultats que nous venons d'obtenir, les conséquences envisageables de ces enseignements sur l'apprentissage des élèves.
# CHAPITRE 2

## LA MULTIPLICATION DES DÉCIMAUX EN SIXIÈME, QUELLE TRANSPOSITION DIDACTIQUE ?

### Sommaire

1. De la technique opératoire aux problèmes multiplicatifs

11. Dans des manuels pour l'école primaire édités avant 1995

12. Dans des manuels de collège édités en 1996

13. Des différences entre les manuels de l'école et ceux du collège

2. Des activités, une technique, des problèmes multiplicatifs

21. Dans un manuel d'arithmétique de 1947

22. Dans des manuels de collège édités en 1996

3. Construction des connaissances, institutionnalisation et réinvestissements

31. La multiplication dans deux ingénieries didactiques des décimaux

32. La multiplication des décimaux dans la thèse de Jeanne Bolon

33. Une expérience d'enseignement comprenant une phase contextualisée

34. La multiplication des décimaux dans les publications pour les enseignants

Conclusion : la multiplication, des transpositions divergentes
Le chapitre précédent a permis de montrer quels peuvent être les objectifs d'apprentissages mathématiques visés par un enseignement de la multiplication des nombres décimaux en classe de sixième. Ils concernent à la fois les situations multiplicatives et leur variété, les propriétés algébriques de l'opération et les techniques de calcul du produit de deux décimaux. Le réinvestissement des acquis nouveaux doit permettre de résoudre des problèmes numériques contextualisés ou non, donc d'identifier une éventuelle structure multiplicative et de déterminer un produit par un calcul.

Dans ce chapitre, nous analysons, selon des critères liés à l'apprentissage, les différents matériaux publiés qui sont susceptibles de nourrir des formations sur ce thème ou, plus généralement, les projets élaborés par les professeurs pour leur enseignement de la multiplication des décimaux dans leurs classes.

Nous avons choisi d'écarter les publications antérieures aux années quatre-vingts compte tenu du changement des ambitions institutionnelles marqué par les programmes du 7 juillet 1978, changements dont nous avons montré l'importance au chapitre précédent. En outre, comme nous l'avons déjà signalé, jusqu'aux programmes du 22 février 1995 appliqués en CM2 depuis septembre 1997, la multiplication de deux décimaux figurait au programme de l'enseignement de l'école primaire mais pas en sixième. Depuis cette date, elle est enseignée au collège mais elle ne l'est plus dans le premier degré. Cette modification nous a conduit à examiner aussi des manuels destinés aux élèves de CM2 publiés avant le changement de programme. Notons toutefois que ces manuels ne sont pas construits comme ceux qui sont destinés aux élèves de collège, les chapitres y sont beaucoup plus nombreux et beaucoup plus courts, les exercices d'entraînement y sont nettement moins nombreux. Aussi, pour les comparaisons, distinguerons-nous les manuels suivant le cycle de l'enseignement concerné.

Nous analysons donc les enseignements proposés dans diverses publications : recherches, articles ou brochures, ouvrages pédagogiques, manuels... Nous les comparons en fonction de deux critères imbriqués : celui des savoirs mathématiques travaillés par les élèves (selon les prévisions de ces enseignements) et celui des choix didactiques opérés pour élaborer les scénarios. Pour le premier critère, nous utilisons l'étude des enjeux mathématiques de l'enseignement de la multiplication des nombres décimaux du chapitre précédent, pour le second, nous nous référons aux outils d'analyse élaborés en didactique des mathématiques.

Dans les différents projets d'enseignement disponibles, nous dégageons le contenu mathématique abordé. Ainsi, nous allons repérer les situations multiplicatives desquelles sont issus les problèmes, les propriétés algébriques et leur utilisation dans des exercices de calcul mental ou raisonné, l'élaboration de la technique opératoire et son utilisation dans les calculs écrits puis, d'autre part, les exercices de calcul d'un produit (écrit, mental, approché), et les questions plus théoriques.

Pour analyser les enseignements proposés dans ces publications, nous utilisons des critères développés en didactique des mathématiques et qui, selon les hypothèses généralement admises dans ce champ de recherche, ont une incidence