## Bilan : fonctions de la multiplication des décimaux dans le programme de 6ᵉ

Pour conclure cette approche écologique de la multiplication des nombres décimaux dans le programme de sixième, nous remarquerons que la “niche” est répartie dans les trois parties du programme (travaux géométriques et numériques, gestion de données) et que sa “fonction” est multiple. Ainsi, nous distinguons, dans le programme de sixième, neuf fonctions de la multiplication des décimaux (ces fonctions sont indiquées entre parenthèses dans la liste qui suit) ; plusieurs d'entre elles peuvent être regroupées dans une fonction plus vaste d'apprentissage du nombre décimal :

- contribuer à l'apprentissage des nombres décimaux :

Les multiplications par 10, 100, 1 000 ou 0,1, 0,01, 0,001... permettent de travailler les unités et les changements d'unités le système décimal (1), les écritures fractionnaire (2) et décimale (3);

La technique opératoire permet de travailler les écritures fractionnaires par le calcul sur les fractions décimales (4) et de travailler l'écriture décimale (5);

La lecture des données d'un problème multiplicatif et l'écriture de la solution nécessitent parfois d'effectuer des changements d'unité (6), l'estimation de la solution demande de déterminer les ordres de grandeur de ces données (7);

- modéliser certaines situations qui donnent du sens à la multiplication :

L'élaboration du sens de la multiplication repose sur l'étude de situations multiplicatives et les connaissances construites lors de cette étude sont réinvesties pour résoudre les problèmes numériques lorsque la résolution passe par le calcul d'un produit (8);

- calculer la solution de problèmes numériques :

La technique opératoire permet de calculer la solution de problèmes multiplicatifs (9).

Ces neuf fonctions de l'étude de la multiplication des nombres décimaux dans le programme de la classe de sixième sont indiquées dans le schéma suivant où, conformément au programme nous distinguons les nombres, l'opération et les problèmes qui conduisent à l'opération.

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>Graphique 1. Les neuf fonctions de la multiplication des décimaux dans le programme de sixième</figcaption></figure>
L'opération, les problèmes et les nombres sont l'objet de différents points du programme :

– Pour l'opération, nous avons distingué les cas particuliers que sont les multiplicateurs égaux à 10 ; 100 ; 1 000 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001... la technique opératoire usuelle et le sens de l'opération.

– Pour les problèmes multiplicatifs, nous avons distingué la situation (des situations multiplicatives apparaissent dans les trois parties du programme : travaux géométriques, travaux numériques et gestion de données), les données et la solution qui peut s'obtenir par des méthodes artisanales ou par l'utilisation de la technique opératoire.

– Pour les nombres décimaux, nous avons distingué quatre aspects différents mais liés : les unités et les changements d'unités, les écritures fractionnaires, l'écriture décimale et l'ordre de grandeur.

Enfin, chaque flèche représente une des neuf fonctions de l'objet multiplication des décimaux dans le programme de sixième de 1995.

## 22. L'objet multiplication des décimaux dans les manuels de sixième

Les professeurs utilisent les programmes mais plus encore les manuels scolaires. Comparons la niche et les fonctions de la multiplication des décimaux dans les manuels de cette classe avec celles que nous venons de déterminer dans les programmes de sixième.

### La niche de la multiplication des décimaux dans les manuels de sixième

Changeons d'habitat pour l'objet multiplication des décimaux, quelle est sa niche dans les manuels ? Ces ouvrages sont tous rédigés en reprenant le plan du programme, chacune des notions y est abordée. Ainsi, la niche est la même dans les manuels et dans le programme de sixième.

### Les fonctions de la multiplication des décimaux dans les manuels de sixième

Reprenons les conclusions de l'étude que nous avons menée sur les propositions des auteurs de ces ouvrages. Les trois grandes fonctions que nous avons identifiées dans les programmes correspondent aux catégories que nous avions dégagées pour comparer les manuels. Nous avions dressé un tableau des exercices qu'ils proposent, les catégories qui nous permettaient de distinguer ces exercices étaient : détermination du produit, questions théoriques et situations multiplicatives. Nous trouvons la correspondance suivante :

– la fonction de contribution à l'apprentissage des nombres apparaît dans les exercices des questions théoriques et dans les exercices de calcul mental de la catégorie détermination du produit ;

– la fonction de modélisation de situations apparaît dans les exercices des situations multiplicatives ;

– la fonction de calcul de la solution de problèmes numériques apparaît dans les exercices de technique opératoire et d'ordre de grandeur de la catégorie détermination du produit.
Les résultats quant à l'importance accordée à ces différentes fonctions ont montré une certaine hétérogénéité des manuels scolaires. Deux fonctions ne sont vraiment exploitées dans aucun de ces ouvrages : l'utilisation des ordres de grandeurs ou des fractions décimales pour aider à l'apprentissage de la multiplication. Il faut rappeler que, dans les programmes ces deux fonctions n'apparaissent pas explicitement comme telles, les ordres de grandeurs servent à contrôler les résultats (mais comment apprend-on à manipuler les ordres de grandeurs ?), et les opérations sur les décimaux servent à contrôler celles qui sont effectuées avec les fractions décimales. En outre, nous avons constaté une certaine pauvreté des situations multiplicatives étudiées, celles qui apparaissent dans les chapitres qui ne sont pas directement consacrés à la multiplication des décimaux ne sont pas exploitées pour retravailler le sens de la multiplication mais seulement pour utiliser la technique opératoire. Aussi, l'évaluation de l'importance de l'étude de ces situations sur l'apprentissage du sens de la multiplication reste difficile.

Finalement, les manuels ont, dans leur ensemble, attribué à l'objet multiplication des décimaux la même niche et les mêmes fonctions que les programmes. Mais cette apparente convergence ne doit pas masquer l'hétérogénéité, que nous avons constatée dans l'ensemble des manuels, due à la différence d'importance accordée par chacun d'eux à chacune de ces fonctions.

## 3. Quel projet élaborer compte tenu des contraintes ?

Terminons notre étude de la transposition didactique, en sixième, de la multiplication des nombres décimaux par la prise en compte, dans l'élaboration d'un projet d'enseignement, des connaissances antérieures des élèves et des demandes de l'institution scolaire. Prenons donc la place d'un professeur qui doit élaborer un projet pour enseigner cette notion dans sa classe. Nous en resterons aux grandes lignes de ce projet car ce professeur est fictif : il n'aurait pas d'autre particularité que d'avoir de l'expérience du métier, de devoir enseigner en classe de sixième de niveau standard en étant soumis aux exigences institutionnelles de l'enseignement public et en disposant des moyens qu'elle attribue.

Le programme distingue deux objectifs différents pour l'enseignement de la multiplication des décimaux : le sens de l'opération, indispensable pour la reconnaissance des situations dans les problèmes, et la technique opératoire, pour calculer la solution d'un problème. Ces deux directions de travail pour les enseignants peuvent être plus ou moins reliées dans le projet du professeur. En outre, l'enseignement de la multiplication doit permettre de compléter l'apprentissage du nombre décimal.

## 31. La technique opératoire dans le cas d'un enseignement décontextualisé

La technique peut être étudiée indépendamment du sens de l'opération, c'est le scénario proposé par tous les manuels scolaires. Le professeur pose le problème de trouver un résultat à la multiplication de deux décimaux après avoir éventuellement justifié cette question par une situation. Prenons par exemple le
produit $3,4 \times 4,75$. L'enseignant peut créer une situation qui conduise à ce calcul ou demander aux élèves d'en produire. Nous supposerons dans ce paragraphe que le projet n'est pas d'utiliser la situation pour déterminer le produit. Le problème technique est résolu de façon abstraite, décontextualisée.

L'objectif est d'aboutir à la technique usuelle : calculer $34 \times 475$ et obtenir 16 150, compter trois décimales dans les deux facteurs du produit, puis placer une virgule après le chiffre 6, c'est-à-dire en laissant trois décimales après la virgule. Eventuellement simplifier l'écriture obtenue 16,150 en éliminant le zéro inutile et obtenir 16,15.

Rappelons rapidement les différents moyens qui permettent de justifier l'égalité : $3,4 \times 4,75 = 16,15$. Le professeur pourra développer un ou plusieurs d'entre eux.

### Avec les fractions décimales

L'écriture fractionnaire des décimaux et la multiplication de deux fractions décimales sont des prérequis à un enseignement qui reposerait sur les fractions. Nous avons vu que les élèves éprouvent quelques difficultés à l'entrée en sixième avec les changements d'écriture des nombres décimaux. Ces difficultés pourraient disqualifier cette façon de procéder, néanmoins l'acquisition des pratiques de changement d'écriture étant un des objectifs de l'année de sixième, certains professeurs pourraient tout de même l'envisager :

$$3,4 \times 4,75 = \frac{34}{10} \times \frac{475}{100} = \frac{34 \times 475}{1 000} = \frac{16 150}{1 000} = \frac{1 615}{100} = 16,15.$$

Remarquons que la technique usuelle peut se retrouver assez facilement à partir de ces égalités ce qui constitue un avantage. Le sens de l'écriture décimale est mobilisé. Néanmoins, rappelons que le programme envisage la multiplication des décimaux comme un moyen de contrôle du produit de deux fractions décimales, ce qui peut laisser à penser que la chronologie des enseignements envisagée par l'institution risque de ne pas être respectée. Aucun manuel ne procède ainsi.

### Avec les unités de mesures

Rappelons que la méthode du changement d'unité consiste à transformer les facteurs du produit $3,4 \times 4,75$ en deux nombres entiers en changeant d'unité. Mais cette transformation s'effectue en relation avec les unités de mesure et le sens de la situation qui lie ces deux facteurs. Elle n'entre donc pas dans les projets où la technique précède la résolution de problèmes. Précisons néanmoins qu'aucun manuel ne procède ainsi.

### Avec un encadrement du produit ou l'ordre de grandeur des facteurs

Nous avons vu que les programmes permettent d'envisager un enseignement de la multiplication en liaison avec les approximations et les ordres de grandeurs. Une telle méthode n'a pas encore été vue car elle n'apparaît dans aucune publication. On peut envisager néanmoins qu'un professeur présente le produit $3,4 \times 4,75$ comme celui de 34 dixièmes par 475 centièmes. On obtient alors 16 150 sous-unités qu'il faut déterminer. Cela revient à placer une virgule à 16 150 pour
trouver le produit, ce qui est conforme à la pratique usuelle de la technique opératoire.

Sans utiliser la multiplication des fractions décimales, on peut proposer la recherche d'un encadrement du produit ou l'utilisation de l'ordre de grandeur du produit. Procédons par encadrement : le produit est compris entre $3×4$ et $4×5$ c'est-à-dire entre 12 et 20 donc $3,4 × 4,75 = 16,15$. Avec les ordres de grandeurs : les facteurs ont pour ordre de grandeur 3 et 5 donc une estimation du produit est 15 ; parmi les nombres que l'on peut écrire en plaçant une virgule à 16 150, le plus proche de 15 est $16,15$ donc $3,4 × 4,75 = 16,15$<fnref n="162" />. Ces méthodes visent conjointement l'objectif du contrôle des affichages de la calculatrice par le calcul approché. Aucun manuel ne procède ainsi.

### Avec les opérateurs

La méthode utilisant l'effet sur le produit d'opérateurs multiplicatifs appliqués aux facteurs est la seule méthode exposée dans les manuels. Rappelons qu'elle repose sur la commutativité et l'associativité de la multiplication, ce qui est masqué par une disposition judicieuse :

$$ 
\begin{array}{ccccc}
3,4 & \times & 4,75 & = & ??? \\
\downarrow \times 10 & & \downarrow \times 100 & & \uparrow \div 1\,000 \\
34 & \times & 475 & = & 16\,150
\end{array}
 $$

On en déduit le produit cherché. Cette méthode a l'avantage de rendre compte aisément de la technique usuelle. L'inconvénient majeur est que les nombres obtenus par les opérateurs ne trouvent pas de signification dans la situation où interviennent les décimaux.

### Avec l'écriture décimale

Une méthode reprend celle des fractions décimales mais sans imposer de changement d'écriture. Elle utilise implicitement la distributivité de la multiplication sur l'addition : on pose la multiplication et on l'effectue en attribuant une unité à chaque produit partiel. Cette méthode a l'avantage de permettre une révision de la multiplication d'un décimal par un entier et d'envisager la multiplication de deux décimaux sans changer de technique. Elle suppose que les élèves aient appris à multiplier entre elles les différentes unités : centièmes, dixièmes, unités, dizaines, centaines...

$$ 
\begin{array}{l@{\hspace{2em}}l}
\begin{array}{@{}c@{\,}r@{\,}l}
 & & 4,75 \\
 & & \times 3,4 \\
\cline{3-3}
 & & 1,900 \\
\cline{3-3}
\multicolumn{1}{@{}c@{}}{\rule{0.4em}{0.7ex}} & & 1\ 4,25 \\
\cline{3-3}
\multicolumn{1}{@{}c@{}}{\rule{0.4em}{0.7ex}} & & 1\ 6,150
\end{array}
& \begin{array}{l}
\text{On commence par } 4 \times 5, \text{ on multiplie des dixièmes par des} \\
\text{centièmes donc on obtient } 20 \text{ millièmes. C'est-à-dire} \\
\text{0 millième et 2 centièmes. On pose 0 millième et on retient} \\
\text{2 centièmes. 4 dixièmes} \times 7 \text{ dixièmes font } 28 \text{ centièmes,} \\
\text{plus 2 centièmes de retenue qui font } 30 \text{ centièmes...}
\end{array} \\
\end{array}
 $$

Ainsi, la méthode restitue le sens de chaque produit partiel et de chaque chiffre des écritures décimales. Elle convient pour toutes les multiplications de

<footnote n="162">¹⁶² La conclusion pose des difficultés théoriques qui sont étudiées en annexe, voir le chapitre intitulé : ordre de grandeur et multiplication des décimaux.</footnote>
décimaux, que les facteurs soient entiers ou non. Elle permet aussi de retravailler
le sens de l'écriture décimale. Mais elle est assez lourde à utiliser pour un élève car
elle impose de penser à beaucoup de choses à la fois et pourrait entraîner des
erreurs dues à une surcharge cognitive...

Remarquons enfin que cette méthode met l'accent sur les chiffres du nombre alors que dans l'ensemble du programme du collège, les chiffres et leur valeur ne sont plus travaillés. Toutes les techniques opératoires qui sont étudiées (calcul fractionnaire, calcul algébrique, calcul sur les radicaux) portent directement sur les nombres. La seule exception est le critère de divisibilité par 2, 3 ou 5 qui fait explicitement mention des chiffres du nombre mais la valeur de ces chiffres n'est pas prise en compte puisque ce critère n'est pas établi. Cette méthode s'inscrit donc assez mal dans l'ensemble du programme du collège qui est précisément celui que les professeurs de sixième enseignent quelles que soient les autres classes qu'ils ont en charge <fnref n="163" />.

Après avoir enseigné la technique opératoire, le professeur peut envisager de
proposer des problèmes issus de situations multiplicatives. Si le professeur se
limite aux problèmes d'isomorphisme de grandeurs, il sait que les élèves
reconnaîtront assez facilement la situation multiplicative (c'est un résultat des
evaluations nationales), ils n'auraient donc plus qu'à appliquer la technique
opératoire pour résoudre le problème. Comme nous l'avons montré, à une
exception près, ce choix est celui de toutes les équipes d'auteurs de manuel de
sixième.

32. La technique opératoire enseignée à partir d'une situation multiplicative

Certaines propositions d'enseignement de la multiplication des décimaux ne
ressemblent pas à celles des manuels. Leurs auteurs ne proposent pas d'élaborer
une technique indépendamment des situations où intervient la multiplication.
Bien au contraire, c'est la situation qui donne du sens à la technique opératoire.
Cette démarche est conforme au programme. Les objectifs généraux <fnref n="164" /> rappellent
que la démarche d'enseignement doit être de "bâtir des mathématiques à partir de
problèmes rencontrés dans plusieurs disciplines et, en retour, d'utiliser des savoirs
mathématiques dans les spécialités diverses". Ils ajoutent que la résolution de
problème et le calcul permettent aux élèves "de mieux prendre en compte le
caractère 'd'outil' des mathématiques". Un projet qui reprendrait des
propositions d'enseignement comprenant une phase contextualisée est donc
envisageable par un professeur, bien qu'aucune d'entre elles ne soit relayée par les
manuels.

Nous avons vu trois propositions qui envisagent la multiplication des décimaux comme un outil pour résoudre un problème s'appuyant sur une situation multiplicative, celles de Guy Brousseau, de Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin et de celle Milena Basso & Cinzia Bonotto. Les situations multiplicatives

<footnote n="163">163 Nous ne prenons pas en compte ici les rares professeurs dont le service est réparti à la fois dans un collège et dans un lycée.</footnote>

<footnote n="164">164 Programme de mathématiques de la classe de sixième, 22 novembre 1995.</footnote>
utilisées sont respectivement l'agrandissement de figures planes, le calcul d'aire de rectangles et les problèmes de prix. Rappelons comment ces situations permettent de construire la multiplication des décimaux.

## Multiplication des décimaux dans le contexte des problèmes de prix

Les nombres décimaux qui interviennent dans les problèmes de prix sont des mesures. La méthode de calcul du produit repose sur des changements d'unités directement liés à la situation. Soit, par exemple, la question : combien paiera-t-on 3,4 mètres de ruban à 4,70 francs par mètre ? Les conversions 3,4 m = 34 dm et 4,70 F/m = 47 c/dm permettent de résoudre le problème avec des nombres entiers. Mais nous avons vu que cette méthode n'est pas efficace pour toutes les valeurs. Ici par exemple, si le prix du ruban est 4,75 F/m alors on achète 34 dm de ruban qui coûte 47,5 centimes par dm, on doit se contenter d'un seul facteur entier. La méthode n'est pas suffisante pour constituer une technique, elle ne conduit pas non plus à la technique usuelle qui serait simplement constatée pour des valeurs adaptées. Aucun manuel actuel ne procède ainsi.

## Multiplication des décimaux dans le contexte du calcul d'aire de rectangles

Comme l'ont montré Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin, le calcul d'aire de rectangle peut être conduit en étudiant parallèlement la multiplication des décimaux écrits avec les fractions décimales ou avec la notation décimale. Une telle étude permet d'atteindre d'autres objectifs du programme de sixième comme le sens de l'écriture décimale en liaison avec les fractions décimales, le calcul d'aires et les conversions d'unités d'aires.

Nous avons montré que cette situation est la plus efficace pour illustrer les propriétés de la multiplication. Mais nous avons aussi montré que le calcul d'aire de rectangles pose des difficultés aux élèves à l'entrée en sixième, même quand les mesures des côtés sont des nombres entiers. Deux hypothèses contradictoires peuvent alors être formulées. Soit le professeur décide d'approfondir l'enseignement du calcul d'aire de rectangles et, il pourra bénéficier de cet investissement pour la multiplication des décimaux en la reliant à cette situation. Soit le professeur ne prend pas cette décision, et le calcul d'aire de rectangles apparaîtra plutôt comme une difficulté supplémentaire pour l'enseignement de la multiplication. Dans les manuels, le calcul d'aire de rectangle est un chapitre postérieur à celui de la multiplication des décimaux.

## Multiplication des décimaux dans le contexte de l'agrandissement de figures

La situation d'agrandissement de figures planes fait intervenir des opérateurs multiplicatifs, la multiplication des décimaux provient soit de l'application d'un opérateur à une longueur soit de la composition de deux opérateurs. Les situations élaborées par Guy Brousseau ont inspiré de nombreuses publications parmi lesquels on trouve des ouvrages destinés à la formation initiale des enseignants mais aussi des propositions comme celles de la thèse de Jeanne Bolon ou celles que l'INRP a expérimentées et qui sont regroupées sous le titre *Apprentissages mathématiques en 6e*<fnref n="165" />. Dans ce dernier ouvrage, on trouve une activité analogue

<footnote n="165">¹⁶⁵ INRP – ERMEL (1991), *Apprentissages mathématiques en 6e*, Paris : Hatier.</footnote>
à celle d'un agrandissement d'une droite graduée que les auteurs appellent “ la bande à double graduation ”. Cette situation permet, et c'est la seule, de mobiliser la conception “ abscisse ” des nombres décimaux. Comme le montrent les auteurs, elle trouve de nombreuses applications pour modéliser des situations de proportionnalité.

Mais nous avons montré que ces situations avec des opérateurs multiplicatifs ne permettent pas facilement de justifier les propriétés de la multiplication. Si bien que ces situations contribuent principalement à construire un sens à la multiplication de deux décimaux ou rationnels, sens qui n'apparaît, dans le programme, qu'au paragraphe consacré aux situations de proportionnalité où l'utilisation d'une échelle est simplement signalée en commentaire mais n'apparaît pas parmi les compétences exigibles. Les travaux sur la notion d'échelle figurent plus explicitement au programme de la classe de cinquième, les professeurs pourraient estimer que ces situations sont donc bien coûteuses...

## 33. Retour au programme : maîtrise de l'opération et durée de l'enseignement

Les grandes lignes des projets que pourrait construire un professeur pour enseigner la multiplication des décimaux sont maintenant tracées. Pour que ce projet puisse être finalisé, il faut encore estimer le nombre d'heures de classe à lui consacrer qui dépend aussi du niveau de maîtrise recherché.

### *Pas de virtuosité technique*

Le programme de sixième précise, à trois reprises, le niveau que le professeur doit viser<sup>166</sup> :

> Les travaux numériques prennent appui sur la pratique du calcul exact ou approché sous différentes formes : le calcul mental, le calcul à la main (dans le cas de nombres courants et d'opérations techniquement simples), l'emploi de la calculatrice. (...)

> On tendra ainsi à ce que la maîtrise des techniques opératoires devienne suffisante pour ne pas faire obstacle à la résolution de problèmes.

> (...) Addition, soustraction et multiplication : savoir effectuer ces opérations sous les trois formes de calcul (mental, à la main, à la calculatrice), dans des situations n'exigeant pas de virtuosité technique.

Comment interpréter ces phrases ? L'institution déclare que son but n'est pas que les élèves dominent parfaitement la technique opératoire, sans préciser ce qui est acceptable que les élèves ignorent. Nous envisageons alors deux interprétations qui, a priori, ne sont pas incompatibles :

- l'institution aurait pour objectif que les élèves puissent résoudre les problèmes numériques sans utiliser la calculatrice, et alors d'une part ces problèmes doivent conduire à des calculs suffisamment simples techniquement et d'autre part la maîtrise technique des élèves doit permettre d'effectuer ces calculs ;

- ou l'institution supposerait l'existence d'une relation entre la maîtrise de la technique opératoire et la capacité à reconnaître l'opération dans une situation. Il

<footnote n="166"><sup>166</sup> Programme de mathématique de la classe de sixième, 22 novembre 1995.</footnote>
existerait un seuil de maîtrise en deçà duquel la reconnaissance du modèle serait compromise. Alors le programme demanderait que la maîtrise des techniques opératoires soit supérieure à ce seuil (" suffisante ") pour ne pas faire obstacle à la reconnaissance de l'opération (" à la résolution de problèmes "). Le débat sur la relation entre technique opératoire et résolution de problème n'est pas clos. Les travaux de Denis Butlen & Monique Pézard y contribuent : ils montrent que la relation entre habileté opératoire et reconnaissance du modèle dépend de nombreux facteurs : résolution orale ou écrite, complexité de la situation, familiarité de la situation...

Les évaluations que nous avons citées ont montré que le modèle multiplicatif, dans des situations simples d'isomorphisme de grandeurs est reconnu par environ 80 % des élèves. La réussite au problème demande en outre que la multiplication soit juste. Or nous avons constaté que la réussite est d'environ 70 % pour un problème conduisant à la multiplication d'un décimal par un entier et de 40 % si la multiplication porte sur deux décimaux. Les professeurs qui utilisent les manuels où les situations multiplicatives sont presque uniquement des situations simples d'isomorphisme de grandeurs pourraient donc concevoir un enseignement où les problèmes conduisent à des calculs de niveaux variés, en permettant éventuellement l'usage de la calculatrice pour pallier les difficultés techniques de certains élèves.

## Quelle durée pour cet enseignement ?

Le projet d'enseignement qu'un professeur peut élaborer dépend aussi de la durée dont il dispose. Pour évaluer cette durée, les enseignants peuvent utiliser les manuels. Le programme de l'année est couvert par une quinzaine de chapitres. Ainsi, accorder environ deux semaines de classe à chaque chapitre permet de traiter l'ensemble du programme. Suivant les manuels, la multiplication des nombres décimaux est un chapitre à part entière ou seulement la moitié quand elle est associée à l'addition et à la soustraction. Les programmes prévoyant trois heures hebdomadaires, nous pouvons évaluer la durée de l'enseignement de la multiplication (y compris la résolution de problèmes) dans une fourchette de quatre à six heures (évaluation comprise).

Si le professeur élabore un projet conforme à ceux des manuels, il consacrera deux à quatre heures à la technique opératoire et aux relations entre cette technique et la numération décimale. La multiplication des fractions décimales pourra être reportée. Il consacrera encore trois heures environ aux résolution de problèmes pour enrichir le sens de l'opération et la connaissance des situations courantes (grandeurs, unités, relations entre les grandeurs...) Si le professeur élabore un projet d'enseignement comprenant une phase contextualisée, il doit recomposer différent chapitre du manuel ou travailler sans l'utiliser, ce qui n'est pas facile. Nous ne pouvons pas dans ce cas prévoir de répartition car les propositions étudiées peuvent être reprises ou adaptées en toute liberté par un professeur comme en témoignent les suggestions que Jeanne Bolon a élaborées dans sa thèse et qui reprennent les travaux de Guy Brousseau et de Régine Douady & Marie-Jeanne Perrin.
<figure><img src="image_47.png" /></figure>
# CONCLUSION

Des problèmes posés par la formation des enseignants<fnref n="167" /> nous ont conduit à l'analyse *a priori* de l'enseignement de la multiplication des nombres décimaux. Nous disposions d'une grande richesse de travaux sur l'enseignement des nombres décimaux ou sur la multiplication car ces notions ont suscité de nombreuses recherches <fnref n="168" />. Nous les avons utilisés pour déterminer les enjeux d'apprentissage de ces deux notions. Nous avons étudié les propositions d'enseignement qui figurent dans les diverses publications. En croisant les résultats obtenus avec les compétences des élèves sur les notions liées à la multiplication des décimaux d'une part et les programmes actuels ou passés d'autre part, nous avons pu cerner l'éventail des possibles pour cet enseignement.

## La multiplication des nombres décimaux, quels enjeux mathématiques ?

### *Les nombres décimaux et leurs écritures*

Les nombres décimaux sont utilisés pour résoudre trois types de problèmes. Des problèmes algébriques parce qu'ils permettent la résolution de certaines équations du type $ax = b$ (où $a \in \mathbb{N}$ et $b \in \mathbb{N}$) sans solution dans l'ensemble des entiers naturels. Des problèmes de mesure parce qu'ils permettent l'approximation de tout nombre de la droite numérique (de tout réel) avec une précision quelconque et en particulier toutes les solutions aux équations évoquées précédemment. Des problèmes techniques parce qu'ils permettent aisément les comparaisons et les opérations. Les rationnels répondent, mieux encore que les décimaux, au problème algébrique mais posent des difficultés techniques. Ainsi, le nombre décimal peut-il être conçu comme un rationnel particulier ou, inversement, l'ensemble des rationnels peut-il venir prolonger celui des décimaux.

En tant que nombre rationnel, le nombre décimal peut être considéré comme une mesure (la grandeur et l'unité étant commensurables), comme un rapport de deux grandeurs (dans des situations de comparaisons) ou comme un opérateur (le

<footnote n="167">167 Nous avons constaté que des professeurs (à l'école et au collège) restent démunis face à des erreurs persistantes de leurs élèves à propos des nombres décimaux et de leur multiplication.</footnote>

<footnote n="168">168 Nous pensons notamment à Brousseau N. & G. (1987), Brousseau G. (1998), Douady R. & Perrin M.-J. (1986), Vergnaud G. (1981, 1983), Rogalski J. (1985).</footnote>
coefficient d'une application linéaire). Indépendamment des rationnels, les nombres décimaux peuvent être considérés comme des abscisses de points qui viennent enrichir la demi-droite numérique graduée d'unité en unité (ils permettent alors des mesures de longueurs ou des approximations décimales des réels positifs). En référence au système métrique, les décimaux permettent d'effectuer facilement des conversions d'unités.

Aux nombres décimaux sont associées différentes représentations écrites, les programmes actuels prévoient l'enseignement de cette multiplicité de sens et de représentations ainsi que les changements d'écriture : fractions, fractions décimales, somme de fractions décimales, écriture à virgule, écriture sous la forme d'un produit <fnref n="169" />. Un vocabulaire spécifique est associé à l'écriture à virgule qui permet d'indiquer la valeur de chaque chiffre dans l'écriture du nombre.

Nous constatons cependant une certaine carence des programmes actuels concernant l'enseignement des grandeurs familières au profit de l'enseignement des nombres et de leurs écritures. En conséquence, les auteurs des manuels scolaires proposent de nombreux exercices sur le sens de l'écriture décimale, mais dans leurs séquences, les décimaux sont toujours considérés de façon décontextualisée, ils n'apparaissent jamais comme des rationnels particuliers et la seule écriture utilisée est l'écriture à virgule.

### Situations multiplicatives, propriétés de l'opération et techniques de calcul

En tant qu'opération, la multiplication peut être appréhendée suivant trois aspects : l'ensemble des situations qu'elle modélise, ses propriétés algébriques et les techniques opératoires permettant le calcul d'un produit. A l'école élémentaire sont étudiées la multiplication de deux entiers puis celle d'un décimal par un entier. La multiplication de deux nombres décimaux s'enseigne au collège.

Malgré l'évolution des instructions ministérielles concernant la multiplication depuis le début du siècle, cette opération reste intimement liée à l'addition réitérée. La répartition actuellement choisie entre l'école élémentaire et le collège ne peut que renforcer cette liaison à l'école et ne semble pas avoir engendré de modification profonde au collège. Enfin, dans les programmes, la carence constatée de l'enseignement des grandeurs familières se conjugue avec celle de l'enseignement de l'opération multiplication en référence aux situations qu'elle modélise. Ces situations sont pourtant très variées et confèrent à la multiplication un sens complexe. Elles peuvent se classer en trois catégories <fnref n="170" /> :

- les situations qui portent sur un seul espace de mesure (l'addition itérée, le dénombrement des points d'un réseau rectangulaire, la droite à double graduation, l'agrandissement de figures planes, et plus généralement toute situation conduisant au produit d'un scalaire par une grandeur ; les agrandissements successifs de figures planes et, plus généralement, toute situation conduisant à la composée d'opérateurs) ;

<footnote n="169">¹⁶⁹ Par exemple, dans l'ordre indiqué $\frac{7}{2} = \frac{35}{10} = 3 + \frac{5}{10} = 3,5 = 35 \times 10^{-1}$.</footnote>

<footnote n="170">¹⁷⁰ Nous utilisons ici les travaux de Gérard Vergnaud (1981, 1983).</footnote>
– les situations qui portent sur un produit de grandeurs (le cardinal du produit cartésien de deux ensembles finis qui se pose dans les problèmes de dénombrement, le calcul de l’aire d’un rectangle, etc.) ;

– les situations qui portent sur des grandeurs isomorphes c’est-à-dire qui conduisent au produit d’une grandeur quotient par une grandeur (par exemple les problèmes de prix, de vitesse, etc.).

Les propriétés de la multiplication donnent du sens à cette opération, en outre certaines d’entre elles sont utilisées pour établir la technique usuelle du calcul du produit de deux décimaux. Nous avons examiné la possibilité offerte par les différentes situations multiplicatives pour établir ces propriétés (commutativité, associativité, distributivité par rapport à l’addition, cas où l’un des facteurs est égal à zéro ou à un, ordre). Le bilan est double. Certaines propriétés, comme la distributivité, émergent de nombreuses situations alors que d’autres, comme l’associativité ou la multiplication par zéro, ne sont pas faciles à établir. Nous avons montré en outre que les situations multiplicatives ne sont pas “équivalentes” pour enseigner les propriétés de la multiplication.

Les possibilités sont variées pour justifier la technique opératoire. Différentes situations multiplicatives permettent son élaboration et, indépendamment des situations multiplicatives, on peut recourir aux unités de mesure, aux ordres de grandeur, aux opérateurs, aux fractions décimales ou à d'autres décompositions des facteurs décimaux pour établir la technique opératoire.

**La multiplication des nombres décimaux, quels enseignements proposés ?**

Nous avons étudié l’ensemble des publications – manuels, articles et brochures pédagogiques, recherches – comportant une proposition pour enseigner la multiplication des décimaux. Aucune de ces propositions ne peut consister en une simple présentation de la technique opératoire. Le mot d’ordre de la “quête du sens” reflète la position dominante de la noosphère, et il figure explicitement dans les programmes. Mais il peut s’interpréter au moins de deux façons différentes :

– la première implique une justification de la technique opératoire de la multiplication de deux nombres décimaux ;

– la seconde implique une étude de situations dans lesquelles la multiplication est un modèle pertinent, en considérant notamment le problème du prolongement de la multiplication de deux entiers à celle de deux décimaux.

Compte tenu des ces deux interprétations, nous avons classé selon trois types les propositions d’enseignement de la multiplication des décimaux que nous avons recensées dans les publications :

– la problématique du prolongement des situations multiplicatives de $N$ à $\mathbb{D}$ n’est pas posée, la technique opératoire est admise ou justifiée par le professeur ;

– la problématique du prolongement des situations multiplicatives de $N$ à $\mathbb{D}$ est posée par l’étude d’au moins une situation ou/et la technique opératoire est justifiée au moins en partie par l’élève mais il n’y a pas de lien entre la situation et la technique ;
– la problématique du prolongement de la multiplication de N à D est posée par l'étude d'au moins une situation multiplicative, la technique opératoire est justifiée en relation avec la situation.

*Les manuels scolaires proposent un enseignement des deux premiers types*

Nous avons constaté que les manuels destinés à l'école élémentaire (ceux qui précédent le changement de programme et qui abordent donc la multiplication des décimaux) proposaient seulement des scénarios du premier type. Il en est de même de la moitié des manuels actuels destinés au collège. La seconde moitié des manuels de collège proposent des scénarios du deuxième type où l'élève assume en partie la charge de la justification de la technique opératoire.

Les manuels proposent un enseignement de la multiplication décontextualisé. Les élèves travaillent sur les écritures des nombres, les références à des situations que les élèves connaissent bien disparaissent. Ainsi, la proposition la plus fréquente dans les manuels pour justifier la technique opératoire est de recourir à des opérateurs : on procède à des multiplications pour obtenir des facteurs entiers puis on divise le produit obtenu pour placer correctement la virgule. Ces manipulations restent formelles.

Dans les exercices, les situations d'isomorphisme de grandeurs sont pratiquement les seules situations proposées par les manuels. Le calcul d'aire de rectangles et les agrandissements de figures sont étudiés après la multiplication, le sens de l'opération n'est pas enrichi, c'est l'application de formules et l'utilisation de tableaux de proportionnalité qui sont visées, la reconnaissance du modèle multiplicatif n'est pas à la charge de l'élève.

*Les travaux de recherche conduisent à des choix différents*

Dans les publications qui proposent des scénarios du troisième type, on ne trouve que des brochures à l'intention des enseignants ou des travaux de recherche en didactique des mathématiques. L'enseignement de la multiplication des nombres décimaux commence alors par une phase contextualisée, les situations de référence sont nombreuses : agrandissement de figures, aire de rectangle, bande à double graduation...

Deux ingénieries didactiques (françaises) proposent des situations d'enseignement de la multiplication, intégrées à un enseignement des rationnels et des décimaux, qui reposent sur des activités de calcul d'aire ou d'agrandissement de figures. Les savoirs mathématiques s'y construisent à partir d'une connaissance approfondie de ces situations du domaine mathématique.

En Italie, certains chercheurs en didactique défendent un enseignement des mathématiques à l'école primaire qui s'appuie sur des *domaines d'expériences*, ces domaines sont choisis en dehors du domaine mathématique pour susciter une interaction entre, d'une part les connaissances, les raisonnements et les modes de calculs dans le cadre extrascolaire et d'autre part les savoirs et les activités qui leur sont associées dans le cadre d'une discipline étudiée dans le cadre scolaire.

Plus généralement, les publications à l'intention des enseignants proposent un enseignement de la multiplication des décimaux comprenant une phase contextualisée et se différencient ainsi des manuels scolaires.
Une nécessité pour l'enseignant : s'adapter aux élèves

Adapter l'enseignement aux élèves, c'est d'abord tenir compte de leurs connaissances. Les acquis attendus des élèves figurent dans les programmes de l'école primaire. Afin de mieux connaître leurs compétences à l'entrée en sixième, nous avons utilisé les résultats des évaluations à l'entrée ou à la sortie de la classe de sixième. Les évaluations du Ministère de l'Education nationale et celles de l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public répondent à ce critère.

Les nombres décimaux à l'entrée en sixième

Le professeur chargé de l'enseignement de la multiplication des décimaux sera confronté aux conceptions de ses élèves à propos des nombres décimaux. Les programmes de l'école élémentaire prévoient un enseignement qui couvre trois approches complémentaires de ces nombres : les décimaux comme rationnels particuliers, les décimaux pour approcher les abscisses des points de la droite numérique et les décimaux pour mesurer des grandeurs en référence au système métrique.

Les évaluations montrent que les entiers sont bien mieux acquis que les nombres décimaux qui sont encore en cours d'acquisition pour de nombreux élèves de sixième. Une conception directement héritée des nombres entiers explique 10% à 50% des erreurs commises aux questions posées sur le nombre décimal, les résultats concernant les écritures fractionnaires figurent parmi les plus faibles. Le vocabulaire associé à l'écriture est complexe et entraîne de nombreuses confusions chez les élèves. Parallèlement, les questions relatives aux opérations sur les nombres décimaux montrent que 10% des erreurs de calcul d'une somme ou d'une différence et 20% des erreurs de calcul d'un produit surviennent au moment de placer la virgule. Les multiplications par 10, 100, 0,1, 0,01... ne sont réussies que par 50% à 70% des élèves.

Ainsi, les professeurs ne pourront pas directement envisager un enseignement de la multiplication des décimaux qui repose sur la notion de nombre décimal. Cela pourra conduire certains d'entre eux à enseigner la multiplication en s'appuyant davantage sur les nombres entiers, c'est ce qui est généralement proposé par les manuels scolaires qui utilisent les opérateurs.

La multiplication à l'entrée en sixième

Les programmes distinguent le sens de l'opération, hérité des situations multiplicatives, et la technique opératoire.

Les questions des évaluations qui portent sur la technique de la multiplication de deux entiers montrent qu'elle est acquise par environ 80% des élèves quand certaines difficultés ne sont pas présentes. Les erreurs principales sont causées par une connaissance insuffisante des tables de multiplication et par de mauvais décalages des produits partiels. La présence d'un chiffre supérieur à cinq dans les deux facteurs à la fois ou la présence d'un zéro dans le multiplicateur sont des difficultés qui font chuter les pourcentages de réussite entre 60% et 70%.

Les questions qui portent sur la résolution de problèmes multiplicatifs ne concernent que des situations de grandeurs isomorphes (poids, prix...) où la
multiplication se conçoit comme une addition réitérée, et des calculs d'aire de
rectangles. Dans le premier type de situations, le modèle multiplicatif est reconnu
par environ 75% des élèves alors qu'il ne l'est que par 30% à 40% pour l'aire du
rectangle. Les autres situations qui contribuent à la signification de la
multiplication ne figurent pas dans les questions des évaluations.

Ces résultats peuvent inciter les professeurs de sixième à ne pas faire reposer
l'enseignement de la multiplication de décimaux sur d'autres situations que celles
qui sont bien identifiées par les élèves afin d'éviter des difficultés d'enseignement
liées à des confusions. Ils peuvent aussi choisir un enseignement décontextualisé de
la multiplication, c'est le choix que nous avons constaté chez les auteurs des
manuels scolaires.

Une autre nécessité : prendre en compte le contexte institutionnel

Les programmes de 1945 pour l'école primaire limitaient le nombre décimal à
l'expression d'une mesure et la multiplication à une addition réitérée, après une
éventuelle conversion pour que le multiplicateur soit entier. L'objectif principal de
l'enseignant primaire était de former les futurs adultes à la résolution des
problèmes du quotidien. Après quelques évolutions successives des instructions
officielles, les nombres décimaux ont été dissociés des mesures, et le sens de la
multiplication s'est élargi. Les programmes se sont détournés des mathématiques
du quotidien.

Actuellement, il est demandé aux professeurs d'enseigner la multiplication des décimaux de manière à améliorer les connaissances des élèves sur l'écriture décimale. Le texte du programme ne fait pas explicitement mention des différentes situations multiplicatives qui permettent de construire le sens de l'opération. Seuls les techniques opératoires et les procédés de calcul approché sont mentionnés. Certaines notions, comme l'aire du rectangle ou la proportionnalité, qui reposent sur la multiplication doivent être étudiées en sixième mais elles apparaissent plutôt comme une occasion d'appliquer la technique opératoire. Pour l'institution scolaire, l'objectif d'enseignement des nombres domine nettement celui de l'enseignement de l'opération, aucune mention n'est faite de ses propriétés. Cependant, la résolution de problèmes, y compris ceux du quotidien, reste un objectif explicite des programmes.

Les programmes laissent une certaine marge de manœuvre aux professeurs

Les programmes laissent les professeurs assez libres du choix des arguments
pour légitimer théoriquement la technique de la multiplication des décimaux. Ils
ne fixent pas la virtuosité technique comme objectif, les élèves doivent savoir
effectuer des calculs simples et utiliser leur calculatrice pour résoudre des
problèmes. L'institution scolaire, à travers l'enseignement de la multiplication de
décimaux, vise aussi l'acquisition de la notion de nombre décimal.

L'ordre utilisé pour présenter les contenus dans les programmes n'est pas
impératif : il est précisé que le professeur a toute liberté dans l'organisation de son
enseignement à condition que soient atteints les objectifs visés. Néanmoins, cet
ordre est repris dans tous les manuels dont les éditeurs, pour des raisons
commerciales, veulent montrer qu'ils garantissent la conformité aux instructions officielles.

Le paragraphe du programme qui comprend la multiplication des décimaux est divisé en deux parties : techniques opératoires et procédés de calcul approché. Les situations multiplicatives sur lesquelles pourrait s'appuyer l'enseignement de l'opération ne sont pas mentionnées. Un enseignement décontextualisé est donc envisageable. Cependant, le programme indique que les problèmes doivent permettre aux élèves d'associer une situation concrète à un travail numérique et de mieux saisir le sens des opérations. Un enseignement comprenant une phase contextualisée n'est donc pas exclu.

### La durée contraint fortement le projet d'enseignement

Après avoir montré la diversité des possibilités laissée par les programmes pour enseigner la technique opératoire, nous avons estimé la durée qu'un professeur pouvait accorder à l'enseignement de la multiplication des décimaux. Nous avons tenté de prendre en compte le niveau de maîtrise technique attendu par l'institution. Nous avons estimé à quatre à six heures de cours la durée de l'enseignement de la multiplication des décimaux envisagé sans phase contextualisée c'est-à-dire comprenant la technique opératoire, la relation avec la notation décimale, l'utilisation de la calculatrice, le recours au calcul approché pour contrôler les calculs sur machine ainsi que la résolution de problèmes liés à des situations multiplicatives.

C'est un enseignement de ce type qui est proposé par tous les manuels scolaires. Mais ce constat ne nous semble pas suffisant pour conclure que les professeurs de collège ne peuvent pas proposer à leurs élèves un enseignement où la multiplication serait étudiée à partir de situations multiplicatives. Pour cela ils pourront nourrir leurs cours par d'autres propositions parmi celles que nous avons étudiées.
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BIBLIOGRAPHIE

APMEP (1986), *Aides pédagogiques pour le cycle moyen*, Nombres décimaux.

APMEP (1991), *Evaluation du programme de mathématiques* Sixième 1989 - Cinquième 1990, Paris : APMEP.

APMEP-IREM de Besançon (1987), *Evaluation du Programme de Mathématiques fin de sixième*, Paris : APMEP.

ARTIGUE M. (1988), Ingénierie didactique, *Recherches en didactique des mathématiques* 9/3 (281-308), Grenoble : La pensée sauvage.

ARTIGUE M. (1984), Contribution à l'étude de la reproductibilité des situations didactiques. Thèse, Université de Paris 7.

ARTIGUE M. (1986), Etude de la dynamique d'une situation de classe : une approche de la reproductibilité, *Recherches en didactique des mathématiques* 7/1 (5-62), Grenoble : La pensée sauvage.

BASSO M. & BONOTTO C (1996), Un'esperienza didattica di integrazione tra realtà extrascolastica e realtà scolastica riguardo ai numeri decimali, *L'insegnamento della matematica e delle scienze integrate* vol. 19A N. 5 (424-449), Paderno del Grappa TV. : Centro Ricerche Didattiche Ugo Morin.

BODIN A (1994), Un observatoire du système d'enseignement des mathématiques – La situation de l'observatoire EVAPM, in *Vingt ans de didactique des mathématiques en France* (395-402), Grenoble : La Pensée Sauvage éditions.

BOERO P. (1994), Situations didactiques et problèmes d'apprentissage : convergence et divergence dans les perspectives de recherche, in *Vingt ans de didactique des mathématiques* (17-50), Grenoble : La pensée sauvage éditions.

BOERO P.; DAPUETO. C.; FERRERO. E.; GARUTI. R.; LEMUT. E.; PARENTI. L.; SCALI. E. (1995), Aspects of Mathematics-Culture Relationship in Mathematics Teaching-Learning in Compulsory School, in *Proceedings of PME XIX*, Recife 1, pp. 151-166.
BOERO P. (2000), *Objets d'usage courant dans la vie sociale exploités en classe*, in *Actes de la Xe école d'été de didactique des mathématiques du 18 au 21 août 1999*, tome 1 pp. 245-252, Rectorat de Caen, IUFM de Caen, ARDM: Caen.

BOLON J. (1996), *Comment les enseignants tirent-ils parti des recherches faites en didactique des mathématiques? Le cas de l'enseignement des décimaux à la charnière Ecole-Collège*, Thèse de didactique des mathématiques de l'Université de Paris 5.

BRENNER M.-E. (1998), *Meaning and Money*, in *Educational Studies in Mathematics* 36, pp. 123-155.

BRISSIAUD R. (1994), *Penser l'usage du mot "fois" et l'interaction oral/écrit lors de l'apprentissage initial de la multiplication*, in: *Vingt ans de didactique des mathématiques en France* (195-202), Grenoble: La pensée sauvage éditions.

BROUSSEAU G. (1978), *Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathématiques*, *Recherches en didactique des mathématiques* 4/2 (165-198), Grenoble: La pensée sauvage éditions.

BROUSSEAU G. (1980), *Problèmes de l'enseignement des décimaux*, *Recherches en didactique des mathématiques* 1/1 (11-59), Grenoble: La pensée sauvage éditions.

BROUSSEAU G. (1981), *Problèmes de didactique des décimaux*, *Recherches en didactique des mathématiques* 2/1 (37-127), Grenoble: La pensée sauvage éditions.

BROUSSEAU G. (1986), *Fondement et méthode de la didactique des mathématiques*, *Recherches en didactique des mathématiques* 7/2 (33-115), Grenoble: La pensée sauvage éditions.

BROUSSEAU G. (1989), *Les obstacles épistémologiques et la didactique des mathématiques*. In: *Bednarz and C. Garnier (eds.), Construction des savoirs – Obstacles et conflits* (41-63). Montréal: Centre interdisciplinaire de recherche sur l'apprentissage et le développement en éducation (CIRADE).

BROUSSEAU G. (1998), *Théorie des situations didactiques*, Grenoble: La pensée sauvage éditions.

BROUSSEAU G. & BROUSSEAU N. (1987), *Rationnels et décimaux dans la scolarité obligatoire*, Bordeaux: IREM de Bordeaux.

BUTLEN D. (1985), *Introductions de la multiplication à l'école primaire : histoire, analyses didactiques, manuels actuels*, Cahier de didactique des mathématiques n°19, Paris: IREM de Paris 7.

BUTLEN D. & PEZARD M. (1996), *Rapports entre habileté calculatoire et "prise de sens" dans la résolution de problèmes numériques, étude d'un exemple : impact d'une pratique régulière de calcul mental sur les procédures et*
*performances des élèves de l'école élémentaire*, Cahier de DIDIREM n°27, Paris : IREM de Paris 7.

CHEVALLARD Y. (1994), Les processus de transposition didactique et leur théorisation, In Arsac et al. (Eds) *La transposition didactique à l'épreuve* (135-180), Grenoble : La pensée sauvage éditions.

CHEVALLARD Y. & BOSCH M. (2000), Les grandeurs en mathématiques au collège. Partie I. Une Atlantide oubliée, Petit x, n° 55, pp. 5-32

COLOMB J. (sous la direction de) (1995), *Calcul littéral – Savoirs des élèves de collège*, Paris : INRP, Documents et travaux de recherche en éducation.

DAHAN-DALMEDICO A. & PEIFFER J (1986), *Une histoire des mathématiques*, Paris : Seuil.

DEP ou DP&D (depuis 1989), *Evaluation CE 2 - 6ème – Résultats nationaux*, Paris : Ministère de l'Education nationale, de l'enseignement supérieur et de la recherche, Direction de l'évaluation et de la prospective.

DEP (1997), *Pratiques pédagogiques de l'enseignement des mathématiques en sixième et progrès des élèves*, Paris : Ministère de l'Education nationale, de l'Enseignement supérieur et de la Recherche.

DOUADY R. & PERRIN M.-J. (1986), *Liaison Ecole-Collège : Nombres décimaux*, Brochure n°62, Paris : IREM de Paris 7.

DUPÉ C. & HILLION M. (1998), *Travaux numériques 6e*, Paris : Nathan.

DUVAL R. (1995), *Sémiosis et pensée humaine*, Berne : Peter Lang.

GIRODET M.-A. (1996), *L'influence des cultures sur les pratiques quotidienne des calculs*, Paris : CREDIF ENS de Fontenay-St Cloud DIDIER.

GRISVARD C. & LEONARD F. (1983), Résurgence de règles implicites dans la comparaison de nombres décimaux, *Bulletin de l'APMEP* n°340, Paris.

Groupe Nouveaux programmes de Collège (1996), *Activités pour la classe de sixième : Nombres décimaux - Aires et Périmètres*, Montpellier : IREM de Montpellier 2.

IFRAH G. (1994), *Histoire universelle des chiffres*, Paris : Robert Laffont.

INRP – ERMEL (1991), *apprentissages mathématiques en 6e*, Paris : Hatier.

IREM de Nice & CDDP de la Haute Corse (1981), *Le nombre décimal*, Bastia : CDDP de la Haute Corse.

LECOQ J. (1976), La multiplication des naturels à l'école élémentaire, in : *Brochure Elem Math II*, Paris : APMEP.

LELONG-FERRAND J. (1985), *Les fondements de la géométrie*, Paris : PUF.
PERRIN M.-J. (1984), *Représentation des fractions et des nombres décimaux chez des élèves de CM2 et du collège*, Cahier de didactique des mathématiques n°24, Paris : IREM de Paris 7.

PERRIN M.-J. (1999), *Problèmes d'articulation de cadres théoriques, Recherches en didactique des mathématiques 19/3 (279-322)*, Grenoble : La pensée sauvage éditions.

PRESSIAT A. (1991), *Apprentissages mathématiques en 6e*, Paris : Hatier/INRP.

PRESSIAT A. (2001), *Grandeurs et mesures : évolutions des organisations mathématiques de référence, et problèmes de transposition*, Cours donné à la 11ᵉ Ecole d'été de didactique des mathématiques le 26 août 2001.

ROBERT A. (1998), *Outils d'analyse des contenus mathématiques à enseigner au Lycée et à l'Université, Recherches en didactiques des mathématiques 18/2 (139-190)*, Grenoble : La pensée sauvage éditions.

RODITI E (1996), *La racine carrée en troisième, étude d'une activité*, cahier didirem n°17, Paris : IREM de Paris 7.

RODITI E (1997), *DEA de didactique des disciplines, Didactique des mathématiques – Le tableau noir, un outil pour la classe de mathématiques, Cahier DIDIREM n°30*, Paris : IREM de Paris 7.

RODITI E. (2000), *Ordre de grandeur et multiplication des décimaux, in Bulletin APMEP n° 431 Novembre-Décembre 2000 (719-727)*, APMEP : Paris.

RODITI E. (2001), *L'enseignement de la multiplication des décimaux en sixième. Etude de pratiques ordinaires, Thèse, Université de Paris 7.*

ROGALSKI J. (1985), *Acquisition de la bidimensionnalité, Thèse d'Etat.*

ROUCHE N. (1992), *Le sens de la mesure*, Bruxelles : Didier Hatier.

SCALI E. (1996), *Expériences des enfants dans le domaine économique et construction des compétences de base en arithmétique*, in *Proceedings of CIAEM 47*, pp. 409-413, Berlin.

DUBOIS C., FENICHEL M., PAUVERT M. (1993), *Se former pour enseigner les mathématiques Tome 4. : Nombres et opérations, fonctions numériques*, Paris : Armand Colin, Formation des enseignants.

VERGNAUD G., ROUCHIER A., RICCO G., MARTHE P., METREGISTE R., GIACCOBBE J. (1979), *Acquisition des "structures multiplicatives"*, IREM d'Orléans et Centre d'études des processus cognitifs et du langage, Paris : EHESS-CNRS.

VERGNAUD G. (1981), *L'enfant, la mathématique et la réalité*, Berne : Peter Lang.
VERGNAUD G. (1983), *Multiplicative structures*, in R. Lesh & M. Landau (Eds.), *Acquisition of Mathématics: Concepts and processes*. New York: Academic Press.

VERGNAUD G. (1990), *La théorie des champs conceptuels, Recherches en didactique des mathématiques* 10/2.3 (133-170), Grenoble: La pensée sauvage éditions.

VERGNAUD G. (1992), *Qu'est-ce que la didactique ? En quoi peut-elle intéresser la formation d'adultes peu qualifiés ?* *Education permanente* n°111 (19-31).

VIBES J. (1973), *Information des maîtres, Décimaux et approche des réels*, Reims: INRP - CRDP.

VYGOTSKI (1985), *Pensée et langage*. Paris: Messidor.
# Manuels scolaires et programmes officiels

## Manuels scolaires

### Pour l'école élémentaire

- L'heure des maths CE2 (1999), Paris : Hatier.

- Math outil CM1 (1997), Paris : Magnard.

- Diagonale CM2 (1994), Paris : Nathan.

- Math élem. CM2 (1998), Paris : Belin.

- Math et calcul CM2 (1988), Paris : Hachette.

- Math outil CM2 (1997), Paris : Magnard.

- Nouvelle collection Thévenet CM2 (1996), Paris : Bordas.

- Objectif Calcul CM2 (1988), Paris : Hatier.

- PUGIBET CH. (1947), Arithmétique, cours supérieur, classe de fin d'études, certificat d'étude primaire, Paris : Armand Colin.

### Pour le collège

- Cinq sur cinq Math 6e (1996), Paris : Hachette.

- Décimale 6e, (1996), Paris : Belin.

- Le nouveau Pythagore 6e (1996), Paris : Hatier.

- Le nouveau Transmath 6e, (1996), Paris : Nathan.

- Math 6e, (1996), Paris : Bordas.

- Mathématiques 6e (1996), Paris : Delagrave.

- Triangle 6e (1996), Paris : Hatier.

## Textes des programmes officiels ou accompagnements

### Pour l'école élémentaire

- Programmes et instructions officielles du 2 janvier 1970.

- Instructions pédagogiques pour le cycle moyen, arrêté du 7 juillet 1978.

- Programme du 23 avril 1985 pour l'enseignement des mathématiques au cycle 3.

- Programme de mathématique de l'école primaire, Cycle des approfondissements, 22 février 1995.

- Projets de documents d'application des programmes de l'école élémentaire, 26/08/1999.

### Pour le collège

- Programme de mathématique de la classe de sixième, 22 novembre 1995.

- Mathématiques : articulation école-collège, BO n°44 du 5 décembre 1996.

- Accompagnement des programmes de 6e, mathématiques, 1996.

- Programmes de troisième, BO du 15 octobre 1998.
Table des matières

<table><tbody><tr><td><strong>INTRODUCTION</strong></td><td><strong>3</strong></td></tr><tr><td>Les professeurs sont confrontés à des erreurs persistantes de leurs élèves</td><td>3</td></tr><tr><td>Faire appel à la recherche en didactique pour étudier un enseignement</td><td>3</td></tr><tr><td>Des hypothèses théoriques ont guidé nos analyses</td><td>4</td></tr><tr><td><strong>Quelles questions sur la multiplication des décimaux ?</strong></td><td><strong>5</strong></td></tr><tr><td>Les enjeux mathématiques de la multiplication des décimaux</td><td>5</td></tr><tr><td>La multiplication des décimaux, les enseignements possibles</td><td>5</td></tr><tr><td>La transposition didactique à l'épreuve de l'exercice du métier</td><td>6</td></tr><tr><td><strong>Les publications étudiées pour répondre à ces questions</strong></td><td><strong>6</strong></td></tr><tr><td>Les programmes, les compléments et les instructions officielles</td><td>6</td></tr><tr><td>Les manuels scolaires</td><td>7</td></tr><tr><td>Les publications à l'intention des professeurs</td><td>7</td></tr><tr><td>Les publications de recherches en didactique des mathématiques</td><td>7</td></tr><tr><td>Les évaluations des compétences des élèves</td><td>7</td></tr><tr><td><strong>Organisation du cahier</strong></td><td><strong>8</strong></td></tr><tr><td>1. Les nombres décimaux et la multiplication</td><td>8</td></tr><tr><td>2. La multiplication des décimaux en 6ème, quelle transposition didactique ?</td><td>8</td></tr><tr><td>3. La transposition didactique à l'épreuve de l'exercice du métier</td><td>8</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td><strong>CHAPITRE 1 ENSEIGNEMENT DES DÉCIMAUX ET DE LA MULTIPLICATION QUELS ENJEUX MATHÉMATIQUES ?</strong></td><td><strong>9</strong></td></tr><tr><td><strong>1. Les enjeux de l'enseignement des décimaux</strong></td><td><strong>11</strong></td></tr><tr><td>11. Rappel épistémologique sur les nombres décimaux</td><td>11</td></tr><tr><td>12. Les nombres décimaux écrits sous la forme d'un quotient</td><td>12</td></tr><tr><td>Des rationnels pour comparer des grandeurs</td><td>13</td></tr><tr><td>Des rationnels pour fractionner des grandeurs</td><td>16</td></tr><tr><td>Des rationnels pour opérer sur les grandeurs</td><td>17</td></tr><tr><td>Présentation des nombres décimaux comme des rationnels particuliers</td><td>19</td></tr><tr><td>13. Les décimaux écrits sous la forme d'une somme</td><td>20</td></tr><tr><td>Subdivisions successives de l'unité de mesure</td><td>21</td></tr><tr><td>Les écritures décimales illimitées</td><td>22</td></tr><tr><td>Approche décimale d'un rationnel ou d'un irrationnel</td><td>24</td></tr><tr><td>14. Les décimaux écrits sous la forme d'un produit</td><td>26</td></tr><tr><td>Les mesures décimales et les changements d'unités</td><td>26</td></tr><tr><td>Un essai d'enseignement des grandeurs familières</td><td>29</td></tr><tr><td>A priori, quel enseignement des nombres décimaux à l'école et au collège ?</td><td>31</td></tr></tbody></table>

<table><tbody><tr><td><strong>2. Les enjeux de l'enseignement de la multiplication</strong></td><td><strong>34</strong></td></tr><tr><td>21. Les problèmes que la multiplication permet de résoudre</td><td>35</td></tr><tr><td>La multiplication, une addition réitérée</td><td>35</td></tr><tr><td>Des situations multiplicatives indépendantes de l'addition</td><td>39</td></tr><tr><td>L'addition réitérée a-t-elle finalement disparu de l'enseignement ordinaire ?</td><td>43</td></tr></tbody></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>Prolongement des situations multiplicatives : des entiers aux rationnels</td>
      <td>45</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>22. Les propriétés de la multiplication</td>
      <td>46</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Commutativité de la multiplication</td>
      <td>46</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Associativité de la multiplication</td>
      <td>48</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Distributivité de la multiplication par rapport à l'addition.</td>
      <td>50</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Multiplications par 0 et par 1</td>
      <td>51</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Prolongement des propriétés de la multiplication : des entiers aux rationnels</td>
      <td>52</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>23. Les procédures de calcul du produit de deux décimaux</td>
      <td>54</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Avec les nombres décimaux écrits sous la forme d'un quotient d'entiers</td>
      <td>54</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Avec les nombres décimaux écrits comme une somme</td>
      <td>55</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Avec les nombres décimaux considérés comme des mesures</td>
      <td>57</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Avec la calculatrice</td>
      <td>59</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A priori, quel enseignement de la multiplication des décimaux ?</td>
      <td>60</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Représentations des décimaux et situations multiplicatives</td>
      <td>61</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Représentations des décimaux et méthodes de calcul d'un produit</td>
      <td>62</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Propriétés algébraiques et situations multiplicatives</td>
      <td>63</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Conclusions sur les nombres décimaux et leur multiplication</td>
      <td>65</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>CHAPITRE 2 LA MULTIPLICATION DES DÉCIMAUX EN SIXIÈME, QUELLE TRANSPOSITION DIDACTIQUE ?</td>
      <td>69</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1. De la technique opératoire aux problèmes multiplicatifs</td>
      <td>72</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11. Dans des manuels pour l'école primaire édités avant 1995</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Le manuel de la collection " Objectif Calcul " édité par Hatier</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Le manuel de la collection " Diagonale " édité par Nathan.</td>
      <td>76</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Le manuel de la collection " Math et Calcul " édité par Hachette.</td>
      <td>76</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Quel enseignement de la multiplication des décimaux ?</td>
      <td>78</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12. Dans des manuels de collège édités en 1996</td>
      <td>79</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Présentations de la multiplication de deux nombres décimaux</td>
      <td>80</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Les réinvestissements : calculs, questionnements théoriques et problèmes</td>
      <td>82</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>13. Des différences entre les manuels pour l'école et ceux pour le collège</td>
      <td>83</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2. Des activités, une technique, des problèmes multiplicatifs</td>
      <td>84</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>21. Dans un manuel d'arithmétique de 1947</td>
      <td>84</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Présentation de la multiplication.</td>
      <td>85</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Les réinvestissements : calculs, questionnements théoriques et problèmes</td>
      <td>86</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Quelle évolution jusqu'à nos jours ?</td>
      <td>87</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>22. Dans des manuels de collège édités en 1996</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Présentations de la multiplication.</td>
      <td>89</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Les réinvestissements : calculs, questionnements théoriques et problèmes</td>
      <td>90</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Quel enseignement de la multiplication dans ces manuels de sixième ?</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3. Construction des connaissances, institutionnalisation et réinvestissements</td>
      <td>92</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>31. Dans deux ingénieries didactiques de construction des décimaux</td>
      <td>93</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>La multiplication des décimaux chez G. Brousseau</td>
      <td>93</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>La multiplication des décimaux chez R. Douady &amp; M.-J. Perrin</td>
      <td>95</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Quelle multiplication dans ces deux ingénieries didactiques des décimaux ?</td>
      <td>97</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>32. La multiplication des décimaux dans la thèse de Jeanne Bolon</td>
      <td>99</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Ordre de grandeur du produit de deux décimaux</td>
      <td>99</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table><tr><td>De la multiplication des entiers à celle des décimaux</td><td>99</td></tr><tr><td>La multiplication ne conserve pas le format social des nombres</td><td>100</td></tr><tr><td>La multiplication n'est pas qu'une addition répétée</td><td>100</td></tr><tr><td>Multiplication/division par 10, 100 ou 1000 et changements d'unités</td><td>101</td></tr><tr><td>Multiplication et agrandissement</td><td>102</td></tr><tr><td>Multiplication, aire et périmètre de rectangles</td><td>103</td></tr><tr><td>Quelle multiplication des décimaux dans les suggestions de Jeanne Bolon ?</td><td>103</td></tr></table>

33. Une expérience d'enseignement comprenant une phase contextualisée 104

34. La multiplication des décimaux dans les publications pour les enseignants 105
Comment ces publications s'adressent-elles aux enseignants ? 105
Quelles situations pour enseigner la multiplication des décimaux ? 107
Des procédures personnelles à la technique usuelle 109
Les réinvestissements dans de nouvelles situations multiplicatives 109

<table><tr><td>Conclusion : la multiplication, des transpositions divergentes</td><td>110</td></tr><tr><td>Trois catégories d'enseignement, quelle pertinence ?</td><td>110</td></tr><tr><td>Multiplications des décimaux, quels nombres avec quelles écritures ?</td><td>112</td></tr><tr><td>Multiplication des entiers et des décimaux, rupture ou continuité ?</td><td>113</td></tr></table>

## CHAPITRE 3 LA TRANSPOSITION DIDACTIQUE À L'ÉPREUVE DE L'EXERCICE DU MÉTIER 115

<table><tr><td>1. Quelles sont les difficultés d'apprentissage ?</td><td>118</td></tr><tr><td>11. Difficultés d'apprentissage des nombres décimaux</td><td>119</td></tr><tr><td>Les décimaux et les rationnels</td><td>119</td></tr><tr><td>Les décimaux et les nombres composés</td><td>122</td></tr><tr><td>Les décimaux, abscisses de points de la droite graduée</td><td>122</td></tr><tr><td>Les décimaux et l'écriture décimale</td><td>123</td></tr><tr><td>Les décimaux et les ordres de grandeur</td><td>124</td></tr><tr><td>Les décimaux et les grandeurs usuelles</td><td>124</td></tr><tr><td>Conclusion : une maîtrise encore insuffisante du nombre décimal</td><td>125</td></tr><tr><td>12. Difficultés d'apprentissage de la multiplication</td><td>125</td></tr><tr><td>Technique de la multiplication de nombres entiers</td><td>125</td></tr><tr><td>Les multiplications par 10, 100, 1 000...</td><td>127</td></tr><tr><td>Les divisions par 10, 100, 1 000...</td><td>128</td></tr><tr><td>Les multiplications de deux décimaux</td><td>128</td></tr><tr><td>Les problèmes issus de situations multiplicatives</td><td>130</td></tr><tr><td>Conclusion : des difficultés qui portent sur la technique et sur le sens</td><td>135</td></tr></table>

## 2. Intégration de l'enseignement de la multiplication des décimaux dans une progression annuelle 137

<table><tr><td>21. L'objet multiplication des décimaux dans l'ensemble du programme</td><td>138</td></tr><tr><td>La multiplication des décimaux, un outil pour les travaux géométriques</td><td>138</td></tr><tr><td>La multiplication des décimaux pour apprendre le sens de l'écriture décimale</td><td>138</td></tr><tr><td>La multiplication, un outil pour résoudre des problèmes numériques</td><td>139</td></tr><tr><td>La multiplication des décimaux, une technique à connaître</td><td>140</td></tr><tr><td>La multiplication des décimaux et les fractions décimales</td><td>140</td></tr><tr><td>La multiplication des décimaux et la gestion de données</td><td>140</td></tr><tr><td>Bilan : fonctions de la multiplication des décimaux dans le programme de 6<sup>e</sup></td><td>141</td></tr></table>

<table><tr><td>22. L'objet multiplication des décimaux dans les manuels de sixième</td><td>142</td></tr><tr><td>La niche de la multiplication des décimaux dans les manuels de sixième</td><td>142</td></tr><tr><td>Les fonctions de la multiplication des décimaux dans les manuels de sixième</td><td>142</td></tr></table>
<table><tr><td>3. Quel projet élaborer compte tenu des contraintes ?</td><td>143</td></tr><tr><td>31. La technique opératoire dans le cas d'un enseignement décontextualisé</td><td>143</td></tr><tr><td>Avec les fractions décimales</td><td>144</td></tr><tr><td>Avec les unités de mesures</td><td>144</td></tr><tr><td>Avec un encadrement du produit ou l'ordre de grandeur des facteurs</td><td>144</td></tr><tr><td>Avec les opérateurs</td><td>145</td></tr><tr><td>Avec l'écriture décimale</td><td>145</td></tr><tr><td>32. La technique opératoire enseignée à partir d'une situation multiplicative</td><td>146</td></tr><tr><td>Multiplication des décimaux dans le contexte des problèmes de prix</td><td>147</td></tr><tr><td>Multiplication des décimaux dans le contexte du calcul d'aire de rectangles</td><td>147</td></tr><tr><td>Multiplication des décimaux dans le contexte de l'agrandissement de figures</td><td>147</td></tr><tr><td>33. Retour au programme : maîtrise de l'opération et durée de l'enseignement</td><td>148</td></tr><tr><td>Pas de virtuosité technique</td><td>148</td></tr><tr><td>Quelle durée pour cet enseignement ?</td><td>149</td></tr><tr><td>CONCLUSION</td><td>151</td></tr><tr><td>La multiplication des nombres décimaux, quels enjeux mathématiques ?</td><td>151</td></tr><tr><td>Les nombres décimaux et leurs écritures</td><td>151</td></tr><tr><td>Situations multiplicatives, propriétés de l'opération et techniques de calcul</td><td>152</td></tr><tr><td>La multiplication des nombres décimaux, quels enseignements proposés ?</td><td>153</td></tr><tr><td>Les manuels scolaires proposent un enseignement des deux premiers types</td><td>154</td></tr><tr><td>Les travaux de recherche conduisent à des choix différents</td><td>154</td></tr><tr><td>Une nécessité pour l'enseignant : s'adapter aux élèves</td><td>155</td></tr><tr><td>Les nombres décimaux à l'entrée en sixième</td><td>155</td></tr><tr><td>La multiplication à l'entrée en sixième</td><td>155</td></tr><tr><td>Une autre nécessité : prendre en compte le contexte institutionnel</td><td>156</td></tr><tr><td>Les programmes laissent une certaine marge de manœuvre aux professeurs</td><td>156</td></tr><tr><td>La durée contraint fortement le projet d'enseignement</td><td>157</td></tr><tr><td>BIBLIOGRAPHIE</td><td>159</td></tr></table>

TABLE DES MATIÈRES 165

ANNEXES 169
# ORDRE DE GRANDEUR ET MULTIPLICATION DES NOMBRES DÉCIMAUX

## Introduction

L'utilisation des ordres de grandeur figure plus ou moins explicitement dans de nombreux manuels scolaires. Cette utilisation s'explique par la demande de l'institution : les professeurs doivent apprendre aux élèves à contrôler les résultats obtenus par le calcul écrit ou affichés par la calculatrice. Nous cherchons ici à établir une méthode qui permette d'utiliser les ordres de grandeur pour contrôler la position de la virgule du produit de deux nombres décimaux positifs.

Nous commençons par un exemple traité de manière empirique qui illustre le problème, nous proposons alors quelques précisions qui permettent d'appuyer la question posée sur des fondements théoriques, puis nous développons une argumentation visant à l'égitimer l'utilisation des ordres de grandeur pour multiplier deux décimaux.

## Une utilisation empirique des ordres de grandeur

* Considérons le produit $482,4 \times 62,15$ c'est-à-dire $xy$ où $x = 482,4$ et $y = 62,15$.

* Lorsqu'on effectue "à la main" le calcul du produit $xy$ on associe respectivement, aux facteurs décimaux $x$ et $y$, les deux facteurs entiers $X$ et $Y$ obtenus en supprimant la virgule à $x$ et à $y$ : $X = 4\,824$ et $Y = 6\,215$. Le produit $XY$ des facteurs entiers associés est $XY = 29\,981\,160$.

Le produit $xy$ s'obtient alors en plaçant une virgule au nombre $XY$, autrement dit $xy \in \{XY \times 10^p, p \in \mathbb{Z}\}$. Il reste à déterminer la position de cette virgule.

* Convenons, pour le moment, que :

l'ordre de grandeur de 482,4 est 500 c'est-à-dire $x' = 500$;

l'ordre de grandeur de 62,15 est 60 c'est-à-dire $y' = 60$;

nous obtenons une estimation $x'y$ du produit $xy$ où $x'y = 500 \times 60 = 30\,000$. Cette estimation nous permet d'affirmer que le produit $xy$ est égal à 29 981,16.

La question posée ici est celle de la légitimité de la démarche utilisée. L'étude que nous avons menée pour établir cette démarche montre qu'elle n'est pas

toujours valable, aussi nous proposons une étude plus générale que celle qu'on pourrait attendre à la suite de cet exemple. D'une part nous ne définissons pas a priori ce qu'est un ordre de grandeur, et d'autre part nous nous interrogeons sur la détermination du produit à partir de l'estimation obtenue.

## Comment fonder cette utilisation des ordres de grandeur ?

De quelle précision sur $x$ et sur $y$ a-t-on besoin pour obtenir une estimation $x'y$ suffisante du produit $xy$ ? autrement dit, quelle erreur relative maximum peut-on tolérer en remplacant $x$ par $x'$ et $y$ par $y'$ pour que l'estimation $x'y$ soit suffisante ? Et comment comparer l'estimation $x'y'$ aux nombres obtenus à partir du produit entier $XY$ pour déterminer le produit $xy$ cherché ? c'est-à-dire pour que le nombre $xy$ soit bien le plus proche de l'estimation $x'y$ parmi les décimaux de l'ensemble $E$ des " candidats possibles ": $E = \{XY \times 10^p, p \in \mathbb{Z}\}$.

Ces deux questions sont liées, elles déterminent le problème posé. Précisons-les successivement.

### Quel ordre de grandeur des facteurs faut-il pour obtenir le produit ?

La notion d'ordre de grandeur est souvent utilisée dans les programmes du collège pour évoquer le calcul approché qui permet de contrôler les résultats affichés par la calculatrice. Mais cette notion n'y est pas définie. Nous n'en avons pas non plus trouvé de définition dans les manuels ou les dictionnaires pour l'enseignement secondaire ni même dans les ouvrages destinés à l'enseignement supérieur<fnref n="171" />. Nous expliquons cette absence par le fait qu'un ordre de grandeur nous semble être une approximation dont la précision dépend de l'objectif qui conduit à son utilisation. Ici, notre objectif est de déterminer $xy$ sachant $XY$ et $x'y$.

Ainsi, nous pouvons préciser notre problème :

$$ \text{ayant noté : } \Delta x = |x - x'| \text{ et } \Delta y = |y - y'|, $$

$$ \text{nous cherchons un majorant } M > 0 \text{ tel que : la condition } \frac{\Delta x}{x} < M \text{ et } \frac{\Delta y}{y} < M $$

implique que $xy$ est, parmi les éléments de $E = \{XY \times 10^p, p \in \mathbb{Z}\}$, le plus proche de $x'y$.

Il reste encore à définir ce que nous entendons par " le plus proche ".

<footnote n="171">¹⁷¹ Cette notion était cependant enseignée avant que la calculatrice ne remplace la règle à calcul. C'est la justification de la méthode utilisée que nous n'avons pas trouvée. Citons, par exemple, le manuel de Terminale CDE rédigé par Marc GOURION, édité en 1971 par les éditions Fernaud Nathan dans la collection Queysaune & Revuz (tome 2 p. 267) : " On notera que la règle à calcul permet seulement de trouver les chiffres significatifs du produit. L'ordre de grandeur du résultat n'est pas obtenu par la lecture sur la règle mais par calcul approxéré direct, on remplace les nombres donnés par des nombres plus simples pour pouvoir situer le nombre cherché entre deux puissances successives de 10 ".</footnote>
## Deux critères pour déterminer le produit à partir de son estimation

Pour définir l'expression " le plus proche $v$, il nous faut préciser comment
comparer l'estimation $x'y'$ aux nombres de l'ensemble E = {$XY \times 10^p, p \in \mathbb{Z}$}.
Nous envisageons deux méthodes suivant que l'on compare les nombres en
calculant leur différence ou en calculant leur quotient. Examinons ces deux cas.

### Si on calcule la différence de deux nombres pour les comparers

Dans l'exemple précédent, sachant que l'estimation $x'y'$ est 30 000, si la méthode de comparaison des nombres repose sur le calcul de leur différence, nous dirons que le produit cherché $xy$ est 29 981,160 parce que c'est le nombre qui minimise $\lfloor n - 30 000 \rfloor$ lorsque $n$ décrit l'ensemble E des nombres obtenus en plaçant une virgule au produit entier $XY = 29\ 981\ 160$.

Remarquons que $|xy - x'y'| = \Delta xy$ est l'erreur absolue commise sur $xy$ en l'estimant par $x'y'$.

En définitive nous cherchons, avec cette première méthode, une précision
suffisante sur $x$ et sur $y$ pour que : $\Delta xy = \min_{p \in \mathbb{Z}} \{|XY \times 10^p - x'y'|\}$ et que ce
minimum soit atteint pour une valeur unique de $p$.

### Si on calcule le quotient de deux nombres pour les comparers

Dans l'exemple précédent, sachant que l'estimation $x'y'$ est 30 000, si la
méthode de comparaison des nombres repose sur le calcul de leur quotient, nous
dirons que le produit cherché $xy$ est 29 981,160 parce que c'est le nombre pour
lequel le quotient $\frac{30\ 000}{n}$ est le plus proche de 1 lorsque $n$ décrit l'ensemble E des
nombres obtenus en plaçant une virgule au produit entier $XY = 29\ 981\ 160$.
Autrement dit, nous cherchons le nombre de l'ensemble E qui minimise
l'expression $\lfloor x'y' - 1 \rfloor$.

Remarquons que $\lfloor \frac{x'y'}{xy} - 1 \rfloor = \lfloor \frac{x'y' - xy}{xy} \rfloor = \lfloor \frac{x'y' - xy}{xy} \rfloor = \frac{\Delta xy}{xy}$ qui est l'erreur relative commise sur $xy$ en l'estimant par $x'y'$.

En définitive nous cherchons, avec cette seconde méthode, une précision
suffisante sur $x'$ et sur $y'$ pour que : $\frac{\Delta xy}{xy} = \min_{p \in \mathbb{Z}} \left\{ \lfloor \frac{x'y'}{XY \times 10^p} - 1 \rfloor \right\}$ et que ce
minimum soit atteint pour une valeur unique de $p$.

### Les deux méthodes sont à examiner

Les deux méthodes consistent donc à identifier le produit $xy$ parmi les
nombres $n$ de l'ensemble E en choisissant celui qui optimise (minimise) soit
l'erreur absolue, soit l'erreur relative, commise sur $n$ en l'estimant par $x'y'$. Ces
deux méthodes semblent a priori pertinentes. Pour chacune d'elles, définissons les

conditions à déterminer pour la valider, déterminons ces conditions et indiquons la
démarche à utiliser dans la pratique.

## Définition du problème posé

Commençons par une remarque concernant l'ensemble E des nombres décimaux qui s'éxplant en plaçant une virgule au nombre entier XY, produit des deux entiers X et Y obtenus en supprimant la virgule aux deux nombres décimaux $x$ et $y$.

### Une autre écriture de l'ensemble E

Nous avions déjà écrit que $E = \{XY \times 10^p, p \in \mathbb{Z}\}$.

Sachant que le produit $xy$ appartient à cet ensemble,

$\exists q \in \mathbb{Z}$ tel que : $xy = XY \times 10^q$ c'est-à-dire tel que : $XY = xy \times 10^{-q}$.

Nous obtenons alors, pour tout nombre décimal $d$ :

$$d \in E \Leftrightarrow \exists r \in \mathbb{Z} \text{ tel que } d = XY \times 10^r$$

$$\Leftrightarrow \exists r \in \mathbb{Z} \text{ tel que } d = xy \times 10^{-q} \times 10^r$$

$$\Leftrightarrow \exists p \in \mathbb{Z} \text{ tel que } d = xy \times 10^p \quad (\text{car } r-q \text{ décrit } \mathbb{Z} \text{ lorsque } r \text{ décrit } \mathbb{Z})$$

$$\Leftrightarrow d \in \{xy \times 10^p, p \in \mathbb{Z}\}$$

Finalement $E = \{xy \times 10^p, p \in \mathbb{Z}\}$.

Remarquons que $xy$ est l'élément de E pour lequel $p = 0$.

Nous sommes en mesure maintenant de poser précisément notre problème.

### Formulation du problème général

Soit $x \in \mathbb{D}$, $x > 0$ et $x'$ une approximation de $x$, notons $\Delta x = |x - x'|$.

Soit $y \in \mathbb{D}$, $y > 0$ et $y'$ une approximation de $y$, notons $\Delta y = |y - y'|$.

Nous cherchons à évaluer la précision nécessaire sur $x'$ et sur $y'$ pour s'assurer que $xy$ est plus proche de $x'y'$ que tous les autres éléments de E.

* Pour la méthode d'optimisation de l'erreur absolue nous cherchons un majorant $M > 0$ tel que :

la double condition $\frac{\Delta x}{x} < M$ et $\frac{\Delta y}{y} < M$ implique la propriété (P₁)

$$\text{où } (P_1) : \forall p \in \mathbb{Z}, p \neq 0 \Rightarrow \Delta xy < |xy \times 10^p - x'y'|$$

* Pour la méthode d'optimisation de l'erreur relative nous cherchons un majorant $M > 0$ tel que :

la double condition $\frac{\Delta x}{x} < M$ et $\frac{\Delta y}{y} < M$ implique la propriété (P₂)

$$\text{où } (P_2) : \forall p \in \mathbb{Z}, p \neq 0 \Rightarrow \frac{\Delta xy}{xy} < \frac{x'y'}{|xy \times 10^p| - 1}$$

Étudions maintenant successivement chacune des deux méthodes.
## Etude de la méthode d'optimisation de l'erreur absolue

Nous allons déterminer un majorant $M > 0$ tel que :

$$ \text{si } \frac{\Delta x}{x} < M \text{ et } \frac{\Delta y}{y} < M, \text{ alors la propriété } (P_1) \text{ est satisfaite.} $$

Dans la suite nous appelons l'hypothèse (H) la condition : $\frac{\Delta x}{x} < M$ et $\frac{\Delta y}{y} < M$.

Nous commençons par écrire une propriété (P¹) moindre que (P₁) telle que :
(H) $\Rightarrow$ (P¹) $\Leftrightarrow$ (H) $\Rightarrow$ (P₁).

### Restriction de la propriété (P₁)

Notons (P¹) le système formé par ces deux propriétés :

$$ (1) \quad |xy - x'y'| < |10xy - x'y'| $$

$$ (2) \quad |xy - x'y'| < |0,1xy - x'y'|. $$

(P¹) correspond à $p = \pm 1$ dans (P₁) donc : (H) $\Rightarrow$ (P₁) implique (H) $\Rightarrow$ (P¹).

Réciproquement, montrons qu'un majorant $M$ qui convient pour satisfaire (P¹) convient aussi pour satisfaire (P₁).

### Un encadrement de $x'y'$

$$ \text{Imposons } M \le \frac{1}{2}. $$

$$ \text{Comme } \frac{\Delta x}{x} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\underline{x}}{2} < \underline{x'} < \frac{3x}{2} $$

$$ \text{et } \frac{\Delta y}{y} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\underline{y}}{2} < \underline{y'} < \frac{3y}{2} $$

on obtient, sous l'hypothèse (H), l'encadrement suivant :

$$ \frac{\underline{y}}{4} < x'y' < \frac{9xy}{4} $$

et donc l'encadrement :

$$ 0,1xy < x'y' < 10xy. $$

Cet encadrement permet de supprimer les valeurs absolues dans les membres de droite des deux propriétés (1) et (2) :

$$ (1') \quad |xy - x'y'| < 10xy - x'y' $$

$$ \text{et } (2') \quad |xy - x'y'| < x'y' - 0,1xy. $$

### La condition (P¹) suffit à réaliser la propriété (P₁)

Montrons que si (H) implique (P¹) alors, avec $M \le \frac{1}{2}$, (H) implique aussi (P₁).

$$ \text{Si } p > 1 \quad \begin{array}{l} \text{alors} \\ \text{donc} \\ \text{et donc} \end{array} \quad \begin{array}{l} (10^p - 10)xy > 0 \\ 10xy - x'y' < 10xy - x'y' + (10^p - 10)xy \\ 10xy - x'y' < xy \times 10^p - x'y' \end{array} $$

$$ \text{Si } p < -1 \quad \begin{array}{l} \text{alors} \\ \text{donc} \\ \text{et donc} \end{array} \quad \begin{array}{l} (10^p - 0,1)xy < 0 \\ x'y' - 0,1xy < x'y' - 0,1xy - (10^p - 0,1)xy \\ x'y' - 0,1xy < x'y' - 10^p xy \end{array} $$

Par conséquent, si l'hypothèse (H) est réalisée avec $M \le \frac{1}{2}$ on a :

$$ \begin{array}{l} |xy - x'y'| < 10xy - x'y' \Rightarrow \forall p \ge 1, |xy - x'y'| < xy \times 10^p - x'y' \\ \text{et } |xy - x'y'| < |x'y' - 0,1xy \Rightarrow \forall p \le -1, |xy - x'y'| < x'y' - xy \times 10^p \end{array} $$

c'est ce qu'il fallait démonter.

### Une approximation des facteurs pour approcher suffisamment le produit

Nous supposons l'hypothèse (H) réalisée avec $M < \frac{1}{2}$ et nous cherchons pour quelles valeurs de M cette hypothèse entraîne (P¹) c'est-à-dire :

$$ (1') \quad |xy - x'y'| < 10xy - x'y' $$

$$ \text{et } (2') \quad |xy - x'y'| < x'y' - 0,1xy $$

Les valeurs absolues du premier membre de chaque inégalité (1') et (2') conduisent à envisager deux cas : celui où $x'y'$ est une approximation par défaut de $xy$ et celui où $x'y'$ en est une approximation par excès.

Afin de supprimer les valeurs absolues contenues dans $\Delta x$ et $\Delta y$ nous distinguerons aussi les quatre cas possibles de la position relative de $x$ et $x'$ et de $y$ et $y'$ :

$x' < x$ et $y' < y$; $x' < x$ et $y' > y$; $x' > x$ et $y' < y$ et $x' > x$ et $y' > y$.

Compte tenu du rôle symétrique de $x$ et $y$, nous ne distinguerons cependant pas le deuxième cas du troisième.

Si le produit estimé est une approximation par défaut du produit exact

Dans ce premier cas, nous pouvons rejeter l'hypothèse où $x' > x$ et $y' > y$.

En outre, nous avons $0,1xy < x'y' < xy < 10xy$ donc la condition (1') est assurée.

$$ \text{Nous recherchons donc } M \le \frac{1}{2} \text{ tel que : } (H) \Rightarrow xy - x'y' < x'y' - 0,1xy. $$

$$ \text{Or } xy - x'y' < x'y' - 0,1xy \Leftrightarrow \begin{cases} 1,1xy < 2xy \\ xy < \frac{20}{11}x'y' \end{cases} $$

$$ \bullet \text{ Cas où } x' < x \text{ et } y' < y $$

$$ \frac{\Delta x}{x} < M \text{ s'écrit : } x - x' < Mx \text{ c'est-à-dire, puisque } M < 1 : x < \frac{1}{1-M}x'. $$

$$ \text{De même } \frac{\Delta y}{y} < M \text{ s'écrit : } y < \frac{1}{1-M}y'. $$

$$ \text{Ainsi, l'hypothèse (H) implique : } xy < \frac{1}{(1-M)^2} x'y'. $$
Puisque $M \le \frac{1}{2}$, pour satisfaire (2), il suffit de choisir $M$ tel que : $\frac{1}{(1-M)^2} \le \frac{20}{11}$.

Or $M \in [0; 1]$ et $\frac{1}{(1-M)^2} \le \frac{20}{11}$ conduisent à : $0 < M \le 1 - \sqrt{\frac{11}{20}}$.

Ainsi $M = \inf \left\{ \frac{1}{2}; 1 - \sqrt{\frac{11}{20}} \right\}$ est, dans ce cas, une valeur satisfaisante,

comme $1 - \sqrt{\frac{11}{20}} \approx 0,25838$ nous en déduisons $M = 1 - \sqrt{\frac{11}{20}}$.

• Cas où $x' < x$ et $y' > y$

$$ \frac{\Delta y}{x} < M \text{ s'écrit toujours : } x < \frac{1}{1-M} x' $$

La condition $\frac{\Delta y}{y} < M$ n'apporte, en revanche, pas d'autre majoration que $y < y'$.

Ainsi, l'hypothèse (H) implique : $xy < \frac{1}{1-M} x'y$.

Il suffit donc, pour satisfaire (2), de choisir $M \le \frac{1}{2}$ tel que : $\frac{1}{1-M} \le \frac{20}{11}$.

Or $M \in [0; 1]$ et $\frac{1}{1-M} \le \frac{20}{11}$ conduisent à : $0 < M \le \frac{9}{20}$.

Comme $1 - \sqrt{\frac{11}{20}} < \frac{9}{20} < \frac{1}{2}$, nous retiendrons encore : $M = 1 - \sqrt{\frac{11}{20}}$.

Si le produit estimé est une approximation par excès du produit exact

Sous cette condition, nous pouvons rejetter le cas où $x' < x$ et $y' < y$.

En outre, nous avons $0,1xy < xy < x'y' < 10xy$ donc la condition (2') est assurée.

Nous recherchons donc $M \le \frac{1}{2}$ tel que : (H) $\Rightarrow x'y' - xy < 10xy - x'y'$.

$$ \text{Or } x'y' - xy < 10xy - x'y' \Leftrightarrow 11xy > 2x'y' $$

$$ \Leftrightarrow xy > \frac{2}{11} x'y' $$

• Cas où $x' > x$ et $y' > y$

$$ \frac{\Delta x}{x} < M \text{ s'écrit : } x' - x < Mx $$

$$ \text{c'est-à-dire : } x > \frac{1}{1+M} x' $$

$$ \text{De même, } \frac{\Delta y}{y} < M \text{ s'écrit : } y < \frac{1}{1+M} y' $$

$$ \text{Ainsi, l'hypothèse (H) implique : } xy > \frac{1}{(1+M)^2} x'y' $$

Il suffit donc, pour satisfaire (1), de choisir $M \le \frac{1}{2}$ tel que : $\frac{1}{(1+M)^2} > \frac{2}{11}$.

Or $M > 0$ et $\frac{1}{(1+M)^2} > \frac{2}{11}$ conduisent à : $0 < M < \sqrt{\frac{11}{2}} - 1$
et comme $\sqrt{\frac{11}{2}} - 1 \approx 1,35$, nous retiendrons encore : $M = 1 - \sqrt{\frac{11}{20}}$.

• Cas où $x' > x$ et $y' < y$

$$ \frac{\Delta x}{x} < M \text{ s'écrit encore : } x > \frac{1}{1+M} x' $$

La condition $\frac{\Delta y}{y} < M$ n'apporte, en revanche, pas d'autre minoration que $y > y'$.

Ainsi, l'hypothèse (H) implique : $xy > \frac{1}{1+M} x'y'$.

Il suffit donc de choisir $M$ tel que $\frac{1}{1+M} > \frac{2}{11}$ pour satisfaire (1).

Or $M > 0$ et $\frac{1}{1+M} > \frac{2}{11}$ conduisent à : $0 < M \le \frac{9}{20}$ et comme $\frac{9}{20} > 1 - \sqrt{\frac{11}{20}}$ nous retiendrons encore $M = 1 - \sqrt{\frac{11}{20}}$.

### Conclusion de la méthode d'optimisation de l'erreur absolue

$$ \text{L'étude menée ci-dessus conduit à choisir } M = 1 - \sqrt{\frac{11}{20}} $$

Si l'erreur relative sur $x$ et sur $y$ est strictement inférieure à $M$, alors le produit estimé $x'y'$ est plus proche du produit $xy$ que de tous les autres nombres obtenus en plaçant une virgule au produit XY des entiers X et Y associés à $x$ et à $y$.

Pour placer la virgule au produit XY de manière à obtenir $xy$, il suffira donc de choisir le nombre décimal le plus proche du produit estimé $x'y'$.

### Utilisation de la méthode d'optimisation de l'erreur absolue

Examinons maintenant comment, dans la pratique, choisir un ordre de grandeur suffisant pour que l'erreur relative portant sur $x$ et sur $y$ soit inférieure à

$$ 1 - \sqrt{\frac{11}{20}} $$

### Des contraintes pratiques en classe de sixième

Dans une classe de sixième, la capacité en calcul mental des élèves impose de se limiter à la table de multiplication de 1 à 9 et à quelques règles simples de calcul mental comme la multiplication par 11, par 1,5 ou par 2,5.
Une précision de deux chiffres est suffisante mais inadaptée dans la pratique

Soit $x \in \mathbb{D}$, $x>0$. Notons son écriture scientifique : $a \times 10^n$ avec $a \in [1; 10]$ et $n \in \mathbb{Z}$.

Choisissons, comme ordre de grandeur de $x$, le nombre $x'$ défini par :
$x' = a' \times 10^n$ où $a'$ est la valeur arrondie au dixième de $a$.

L'erreur $\frac{\Delta x}{x} = \frac{|a - a'|}{a}$ est maximale dans le cas " limite " où $a = 1,05$ et $a' = 1,1$

donc inférieure à $1,05 \approx 0,048$, valeur qui est " très " inférieure à $M = 1 - \sqrt{\frac{11}{20}}$

Mais ce choix n'est pas accessible aux élèves de sixième qui ne peuvent pas, mentalement, effectuer le produit de deux nombres à deux chiffres.

Une précision d'un chiffre est " presque " suffisante

Choisissons alors, comme ordre de grandeur de $x$, le nombre $x'$ défini par :
$x' = a' \times 10^n$ où $a'$ est la valeur arrondie à l'unité de $a$.

L'erreur $\frac{\Delta x}{x} = \frac{|a - a'|}{a}$ est maximale dans le " cas limite " où $a = 1,5$ et $a' = 2$

donc inférieure à $1,5 = \frac{1}{3}$ valeur qui n'est pas inférieure à $M$...

Cette précision n'est donc pas suffisante, procédons cependant à deux remarques.

* La valeur de $1 - \sqrt{\frac{11}{20}}$ a été trouvée seulement dans le cas où les deux ordres de grandeur sont des approximations par défaut des deux facteurs. Dans tous les autres cas, la valeur de $M$ égale à $\frac{1}{3}$ est suffisante.

La majoration par $M = 1 - \sqrt{\frac{11}{20}}$ était nécessaire pour s'assurer que :

$$|xy - x'y'| < x'y' - 0,1xy.$$

Cette inégalité permet de rejetter la valeur $0,1xy$. Un autre argument le permet aussi : nous savons que la condition $M = \frac{1}{2}$ suffit pour assurer que : $0,1xy < x'y'$, $x'y'$ étant une approximation par défaut de $xy$, il ne saurait être question de choisir une valeur inférieure à $x'y'$.

* Remarquons aussi que la majoration de $\frac{\Delta x}{x}$ ainsi obtenue est insuffisante seulement dans le cas des valeurs de $x$ pour lesquelles $a \in [1; 1,5]$.

En effet, dès que $a$ est supérieur à 2, l'erreur relative $\frac{\Delta x}{x} = \frac{|a - a'|}{a}$ est inférieure à 0,25 donc elle est inférieure à $M$.

Ces valeurs de $a$ sont donc de la forme $a = 1+\alpha$ avec $\alpha \in ]0; 0,5[ \text{ et où } \alpha \text{ est une solution de l'inéquation } \frac{\alpha}{1+\alpha} > M$.

Cette inéquation définie sur $]0; 0,5[ \text{ a pour solution } \left[ \frac{M}{1-M'} \right] \cdot$

Les valeurs de $a$ correspondantes appartiennent donc à l'intervalle :

$$]A; 1,5[ \text{ où } A = 1 + \frac{M}{1-M} \text{. Indiquons que } A \approx 1,348.$$

Finalement, la méthode d'optimisation de l'erreur absolue est directement applicable en recourant seulement aux ordres de grandeur sauf pour toutes les valeurs de $x$ ou de $y$ qui conduisent à $a \in ]A; 1,5[ \text{ où } A \approx 1,348$.

Un exemple où la précision d'un chiffre significatif n'est pas suffisante

Considérons les deux décimaux $x = 1,45$ et $y = 147,2$ ; les facteurs entiers associés sont $X = 145$ et $Y = 1472$ donc $XY = 213440$ ;

La valeur la plus proche de 100, obtenue en plaçant une virgule à 213 440, est 21,344 et non 213,44. Pourtant c'est bien 213,44 qui est la valeur du produit $xy$ et non 21,344 qui est la valeur de $0,1xy$.

Remarquons de nouveau qu'un raisonnement élémentaire permet de rejetter la valeur 21,344 au profit de 213,44 : l'estimation du produit $xy$ par 100 est une approximation par défaut, il n'est donc pas possible d'avoir $xy = 21,344$.

Faut-il pour autant invalidier totalement la méthode ? Non si l'on accepte de la modifier légèrement.<fnref n="172" />

Deux adaptations possibles

Afin de modifier la méthode, on peut :

- soit conserver l'ordre de grandeur avec un chiffre significatif et affiner les décisions pour exclure $0,1xy$ dans le cas où $x'$ et $y'$ sont des approximations par défaut de $x$ et de $y$;

- soit modifier le choix de l'ordre de grandeur pour les valeurs de $x$ ou de $y$ qui conduisent à $a \in ]A; 1,5[ \text{ où } A \approx 1,348$.

<footnote n="172">¹⁷² Remarquons, avant de poursuivre, que les ordres de grandeur ainsi déterminés n'illustrent pas une méthode judicieuse. Il semblerait beaucoup plus efficace de compenser une approximation pas défaut par une approximation par excès. Ainsi, ayant choisi $x' = 1$, il conviendrait de prendre $y' = 200$. Si nous ne retenons pas cette possibilité, c'est parce qu'il nous semble difficile de proposer à des élèves de sixième une définition de l'ordre de grandeur qui dépend du contexte : avec $x = 1,65$ on choisirait, $x' = 2$ et pour la même valeur de $y = 147,2$, on prendrait alors $y' = 100$.</footnote>
Première adaptation de la méthode d'optimisation de l'erreur absolue

Il suffit, après avoir estimé le produit xy par le produit $x'y$ de se poser la question supplémentaire : " les approximations $x'$ et $y'$ sont-elles toutes les deux des approximations par défaut des facteurs $x$ et $y$?" et de tenir compte de la réponse pour exclure 0,1xy dans le cas où la réponse est affirmative.

Méthode pour multiplier deux décimaux en utilisant les ordres de grandeur

• Soit $x$ quelconque, $x \in \mathbb{D}$, $x > 0$. Supposons que l'écriture scientifique de $x$ soit $a \times 10^n$ avec $a \in \{1; 10\}$ et $n \in \mathbb{Z}$. Nous choisissons, comme ordre de grandeur de $x$, le nombre $x'$ défini par : $x' = a' \times 10^n$ où $a'$ est la valeur arrondie à l'unité de $a$.

• Soit à multiplier deux facteurs décimaux positifs $x$ et $y$;

– on commence par associer deux facteurs entiers $X$ et $Y$ aux facteurs décimaux $x$ et $y$ en supprimant leur virgule;

– on calcule le produit XY des deux facteurs entiers;

– on détermine les ordres de grandeur $x'$ et $y'$ des facteurs $x$ et $y$. Puis on estime le produit xy par le produit $x'y$ que l'on calcule mentalement;

– parmi les nombres qu'on peut écrire en plaçant une virgule au nombre XY, on choisit celui qui répond aux deux conditions suivantes :

1°) le nombre obtenu est supérieur au produit estimé $x'y'$ si les deux ordres de grandeur $x'$ et $y'$ sont deux approximations par défaut des facteurs $x$ et $y$;

2°) le nombre obtenu est le plus proche du produit estimé $x'y'$.

Premier exemple

Soit à multiplier 612,54 et 68,25.

$$ \begin{array}{r@{\quad}l} & 6 \ 1 \ 2 \ 5 \ 4 \quad \rightarrow \quad 6 \ 0 \ 0 \\ \cline{2-2} \times & 6 \ 8 \ 2 \ 5 \quad \rightarrow \quad 7 \ 0 \\ \cline{2-2} & 4 \ 1 \ 8 \ 0 \ 5 \ 8 \ 5 \ 5 \ 0 \quad \rightarrow \quad 4 \ 2 \ 0 \ 0 \ 0 \end{array} $$

Les deux ordres de grandeur ne sont pas deux approximations par défaut, on choisit donc le nombre le plus proche de 42 000 en plaçant une virgule au nombre entier 418 058 550.

Conclusion : $612,54 \times 68,25 = 41805,855$.

Deuxième exemple

Soit à multiplier 148,17 et 24,9.

$$ \begin{array}{r@{\quad}l} & 1 \ 4 \ 8 \ 1 \ 7 \quad \rightarrow \quad 1 \ 0 \ 0 \\ \cline{2-2} \times & 2 \ 4 \ 9 \quad \rightarrow \quad 2 \ 0 \\ \cline{2-2} & 3 \ 6 \ 8 \ 9 \ 4 \ 3 \ 3 \quad \rightarrow \quad 2 \ 0 \ 0 \ 0 \end{array} $$

Les deux ordres de grandeur sont des approximations par défaut, on choisit donc le nombre le plus proche de 2 000, et supérieur à 2 000, en plaçant une virgule au nombre entier 3 389 433.

Conclusion : 148,17 et 24,9 = 3 689,433.

Remarque : Sans la restriction " supérieur à 2 000 ", on aurait pu proposer 368,9433 qui est plus proche de 2 000 que 3 689,433 ne l'est, En effet : 2 000 – 368,9433 = 1 631,0567 et 3 689,433 – 2 000 = 1 689,433.

Seconde adaptation de la méthode d'optimisation de l'erreur absolue

Une seconde possibilité est de choisir, pour chaque facteur, un ordre de grandeur plus précis que précédemment pour les valeurs de $x$ ou de $y$ qui conduisent à $a \in \{1; 1,5\}$.

L'ordre de grandeur possède un chiffre significatif ou bien deux

• Soit $x$ un décimal positif, $x = a \times 10^n$ avec $a \in \{1; 10\}$ et $n \in \mathbb{Z}$; nous choisissons, comme ordre de grandeur de $x$, le nombre $x' = a' \times 10^n$ où

– si $a \in \{2; 10\}$ alors $a'$ est la valeur arrondie à l'unité de $a$;

– si $a \in \{1; 2\}$ alors $a'$ est la valeur la plus proche de $a$ parmi : 1, 1,5 et 2.

Ainsi l'erreur relative maximale ainsi commise est inférieure à 0,25 donc est inférieure à $M = 1 - \sqrt{\frac{11}{20}}$ puisque $M \approx 0,258$.

Avec ce choix pour l'ordre de grandeur, on obtient la méthode suivante.

• Soit à multiplier deux facteurs décimaux positifs $x$ et $y$;

– on commence par associer deux facteurs entiers $X$ et $Y$ aux facteurs décimaux $x$ et $y$ en supprimant leur virgule;

– on calcule le produit XY des deux facteurs entiers;

– on détermine les ordres de grandeur $x'$ et $y'$ des facteurs $x$ et $y$. Puis on estime le produit $xy$ par le produit $x'y'$ que l'on calcule mentalement;

– parmi les nombres qu'on peut écrire en plaçant une virgule au nombre XY, on choisit celui qui est le plus proche du produit estimé $x'y'$.

Premier exemple

Soit à multiplier 612,54 et 68,25.

$$ \begin{array}{r@{\quad}l} & 6 \ 1 \ 2 \ 5 \ 4 \quad \rightarrow \quad 6 \ 0 \ 0 \\ \cline{2-2} \times & 6 \ 8 \ 2 \ 5 \quad \rightarrow \quad 7 \ 0 \\ \cline{2-2} & 4 \ 1 \ 8 \ 0 \ 5 \ 8 \ 5 \ 5 \ 0 \quad \rightarrow \quad 4 \ 2 \ 0 \ 0 \ 0 \end{array} $$

On choisit le nombre le plus proche de 42 000 en plaçant une virgule au nombre entier 418 058 550.

Conclusion : $612,54 \times 68,25 = 41805,855$.

Deuxième exemple

Soit à multiplier 148,17 et 24,9.
$$ \begin{array}{r} 14817 \\ \times \quad 249 \\ \hline 3689433 \\ \end{array} \rightarrow \begin{array}{r} 150 \\ \times \quad 20 \\ \hline 3000 \\ \end{array} $$

On choisit donc le nombre le plus proche de 3 000 en plaçant une virgule au nombre entier 3 689 433.

Conclusion : $148,17 \times 24,9 = 3 689,433$.

## Conclusion sur la méthode d'optimisation de l'erreur absolue

Il est donc possible d'utiliser, en toute rigueur, les ordres de grandeur pour contrôler la place de la virgule dans leur produit en utilisant la méthode d'optimisation de l'erreur absolue. Mais la méthode demande quelques précautions qui excluent une utilisation empirique.

## Etude de la méthode d'optimisation de l'erreur relative

Rappelons que nous cherchons un majorant $M>0$ tel que :

$$ \frac{\Delta x}{x} < M \text{ et } \frac{\Delta y}{y} < M \text{ alors } \forall p \in \mathbb{Z}, p \neq 0 \Rightarrow \frac{\Delta xy}{xy} < \left| \frac{x^2 y'}{xy \times 10^p} - 1 \right| $$

Dans la suite nous appelons l'hypothèse (H) la condition : $\frac{\Delta x}{x} < M \text{ et } \frac{\Delta y}{y} < M$

$$ \text{nous notons } (P_2) \text{ la propriété : } \forall p \in \mathbb{Z}, p \neq 0 \Rightarrow \frac{\Delta xy}{xy} < \left| \frac{x^2 y'}{xy \times 10^p} - 1 \right| $$

Comme précédemment, nous commençons par écrire une propriété (P'₂) moins forte que (P₂) telle que :

$$ (H) \Rightarrow (P'_2) \Leftrightarrow (H) \Rightarrow (P_2) $$

### Restriction de la propriété (P₂)

Notons (P'₂) le système formé par ces deux propriétés :

$$ (1') \quad \frac{\Delta xy}{xy} < \left| \frac{x^2 y'}{10 xy} - 1 \right| $$

$$ (2') \quad \frac{\Delta xy}{xy} < \left| \frac{x^2 y'}{0,1 xy} - 1 \right| $$

(P'₂) correspond à $p = \pm 1$ dans (P₂) donc : (H) $\Rightarrow$ (P₂) implique (H) $\Rightarrow$ (P'₂).

Réciproquement, montrons qu'un majorant M qui convient pour satisfaire (P'₂) convient aussi satisfaire (P₂).

Nous avions montré que si $M \le \frac{1}{2}$ on obtient, sous l'hypothèse (H), l'encadrement : $0,1 xy < x^2 y' < 10 xy$.

La première inégalité conduit à $\frac{x^2 y'}{0,1 xy} - 1 > 0$, et la seconde inégalité conduit à $\frac{x^2 y'}{10 xy} - 1 < 0$.

### La condition (P'₂) suffit à réaliser la propriété (P₂)

Montrons que si (H) implique (P'₂) alors, avec $M \le \frac{1}{2}$, (H) implique aussi (P₂).

$$ \text{Si } n > 0 \quad \text{alors} \quad \frac{1}{10^n} < 1 $$

$$ \text{donc} \quad \frac{x^2 y'}{10 xy} > \frac{x^2 y'}{10 xy \times 10^n} $$

$$ \text{et donc} \quad 1 - \frac{x^2 y'}{10 xy} < 1 - \frac{x^2 y'}{10 xy \times 10^n} $$

$$ \text{Autrement dit : } \forall p \in \mathbb{Z}, p > 1 \Rightarrow 1 - \frac{x^2 y'}{10 xy} < 1 - \frac{x^2 y'}{xy \times 10^p} $$

$$ \text{Si } n < 0 \quad \text{alors} \quad \frac{1}{10^n} > 1 $$

$$ \text{donc} \quad \frac{x^2 y'}{0,1 xy} < \frac{x^2 y'}{0,1 xy \times 10^n} $$

$$ \text{et donc} \quad 1 - \frac{x^2 y'}{0,1 xy} < 1 - \frac{x^2 y'}{0,1 xy \times 10^n} - 1 $$

$$ \text{Autrement dit : } \forall p \in \mathbb{Z}, p < -1 \Rightarrow \frac{x^2 y'}{0,1 xy} - 1 < \frac{x^2 y'}{xy \times 10^p} - 1 $$

Par conséquent, si l'hypothèse (H) est réalisée avec $M \le \frac{1}{2}$ on a :

$$ \frac{\Delta xy}{xy} < \left| \frac{x^2 y'}{10 xy} - 1 \right| \Rightarrow \forall p > 1, \frac{\Delta xy}{xy} < \left| \frac{x^2 y'}{xy \times 10^p} - 1 \right| $$

$$ \text{et} \quad \frac{\Delta xy}{xy} < \left| \frac{x^2 y'}{0,1 xy} - 1 \right| \Rightarrow \forall p < -1, \frac{\Delta xy}{xy} < \left| \frac{x^2 y'}{xy \times 10^p} - 1 \right| $$

c'est ce qu'il fallait démonter.

### Une approximation des facteurs pour approcher suffisamment le produit

Nous supposons l'hypothèse (H) réalisée avec $M \le \frac{1}{2}$ et nous cherchons pour quelles valeurs de M cette hypothèse entraîne (P'₂) c'est-à-dire :

$$ (1') \quad \frac{\Delta xy}{xy} < 1 - \frac{x^2 y'}{10 xy} $$

$$ (2') \quad \frac{\Delta xy}{xy} < \frac{x^2 y'}{0,1 xy} - 1 $$
Les valeurs absolues contenues dans $\Delta xy$ conduisent à envisager deux cas : celui où $x'y'$ est une approximation par défaut de $xy$ et celui où $x'y'$ en est une approximation par excès.

Afin de supprimer les valeurs absolues contenues dans $\Delta x$ et $\Delta y$ nous distinguerons aussi les quatre cas possibles de la position relative de $x$ et $x'$ et de $y$ et $y'$ :

$x' < x \text{ et } y' < y$; $x' < x \text{ et } y' > y$; $x' > x \text{ et } y' < y$ et $x' > x \text{ et } y' > y$.

Compte tenu du rôle symétrique de $x$ et $y$, comme nous l'avons déjà indiqué, nous ne distinguerons pas le deuxième cas du troisième.

Si le produit estimé est une approximation par défaut du produit exact

Dans ce premier cas, nous pouvons rejetter l'hypothèse où $x' > x$ et $y' > y$.

En outre, nous avons $0,1xy < x'y' < xy < 10xy$ donc la condition (1") est assurée.

Nous recherchons donc $M \le \frac{1}{2}$ tel que : (H) $\Rightarrow 1 - \frac{x'y'}{xy} < \frac{x'y'}{0,1xy} - 1$.

$$ \text{Or} \quad 1 - \frac{x'y'}{xy} < \frac{x'y'}{0,1xy} - 1 \Leftrightarrow xy - x'y' < 10x'y' - xy $$

$$ \Leftrightarrow 2xy < 11x'y' $$

$$ \Leftrightarrow xy < \frac{11}{2}x'y' $$

• Cas où $x' < x \text{ et } y' < y$

$$ \frac{\Delta x}{x} < M \text{ s'écrit : } x < \frac{1}{1-M}x' \text{ et de même } \frac{\Delta y}{y} < M \text{ s'écrit : } y < \frac{1}{1-M}x'y' $$

Ainsi, l'hypothèse (H) implique : $xy < \frac{1}{1-M}x'y'$.

Puisque $M \le \frac{1}{2}$, pour satisfaire (2"), il suffit de choisir M tel que :

$$ \frac{1}{(1-M)^2} \le \frac{11}{2} $$

$$ \text{Or } M \in [0; 1] \text{ et } \frac{1}{(1-M)^2} \le \frac{11}{2} \text{ conduisent à : } 0 < M \le 1 - \sqrt{\frac{2}{11}} $$

Ainsi $M = \inf \left\{ \frac{1}{2}; 1 - \sqrt{\frac{2}{11}} \right\}$ est, dans ce cas, une valeur satisfaisante,

$$ \text{comme } 1 - \sqrt{\frac{2}{11}} \approx 0,573 \text{ nous retiendrons simplement } M = \frac{1}{2} $$

• Cas où $x' < x \text{ et } y' > y$

$$ \frac{\Delta x}{x} < M \text{ s'écrit toujours : } x < \frac{1}{1-M}x' $$

La condition $\frac{\Delta y}{y} < M$ n'apporte, en revanche, pas d'autre majoration que $y < y'$.

Ainsi, l'hypothèse (H) implique : $xy < \frac{1}{1-M}x'y'$.

Il suffit donc, pour satisfaire (2"), de choisir $M \le \frac{1}{2}$ tel que : $\frac{1}{1-M} \le \frac{11}{2}$.

Or $M \in [0; 1]$ et $\frac{1}{1-M} \le \frac{11}{2}$ conduisent à : $0 < M \le \frac{9}{11}$.

Comme $\frac{9}{11} > \frac{1}{2}$, nous retiendrons encore : $M = \frac{1}{2}$.

Si le produit estimé est une approximation par excès du produit exact

Sous cette condition, nous pouvons rejetter le cas où $x' < x \text{ et } y' < y$.

En outre, nous avons $0,1xy < xy < x'y' < 10xy$ donc la condition (2") est assurée.

Nous recherchons donc $M \le \frac{1}{2}$ tel que : (H) $\Rightarrow \frac{x'y'}{xy} - 1 < \frac{1}{10xy}$

$$ \text{Or} \quad \frac{x'y'}{xy} - 1 < \frac{x'y'}{10xy} \Leftrightarrow 10x'y' - 10xy < 10xy - x'y' $$

$$ \Leftrightarrow xy > \frac{11}{20}x'y' $$

• Cas où $x' > x \text{ et } y' > y$

$$ \frac{\Delta x}{x} < M \text{ s'écrit : } x > \frac{1}{1+M}x' \text{ et de même, } y < M \text{ s'écrit : } y < \frac{1}{1+M}x' $$

Ainsi, l'hypothèse (H) implique : $xy > \frac{1}{(1+M)^2}x'y'$.

Il suffit donc, pour satisfaire (1"), de choisir $M \le \frac{1}{2}$ tel que : $\frac{1}{(1+M)^2} \ge \frac{11}{20}$.

Or $M > 0$ et $\frac{1}{(1+M)^2} \ge \frac{11}{20}$ conduisent à : $0 < M \le \sqrt{\frac{20}{11}} - 1$ et comme $\sqrt{\frac{20}{11}} - 1 \approx 0,3484$, nous retiendrons : $M = \sqrt{\frac{20}{11}} - 1$.

• Cas où $x' > x \text{ et } y' < y$

$$ \frac{\Delta x}{x} < M \text{ s'écrit encore : } x > \frac{1}{1+M}x' $$

La condition $\frac{\Delta y}{y} < M$ n'apporte, en revanche, pas d'autre minoration que $y < y'$.

Ainsi, l'hypothèse (H) implique : $xy > \frac{1}{1+M}x'y'$.

Il suffit donc de choisir $M$ tel que $\frac{1}{1+M} \ge \frac{11}{20}$ pour satisfaire (1).

Or $M > 0$ et $\frac{1}{1+M} \ge \frac{11}{20}$ conduisent à : $0 < M \le \frac{9}{11}$.

$$ \text{et comme } \frac{9}{11} > \sqrt{\frac{20}{11}} - 1, \text{ nous retiendrons encore } M = \sqrt{\frac{20}{11}} - 1. $$
Conclusion de la méthode d'optimisation de l'erreur relative

L'étude menée ci-dessus conduit à choisir $M = \sqrt{\frac{20}{11}} - 1$.

Si l'erreur relative sur $x$ et sur $y$ est strictement inférieure à $M$, alors le produit estimé $x'y'$ est plus proche du produit $xy$ que de tous les autres nombres obtenus en plaçant une virgule au produit XY des entiers $X$ et $Y$ associés à $x$ et à $y$.

Pour placer la virgule au produit XY de manière à obtenir $xy$, il suffira donc de choisir le nombre décimal le plus proche du produit estimé $x'y$.

Utilisation de la méthode d'optimisation de l'erreur relative

Examinons maintenant comment, dans la pratique, choisir un ordre de grandeur suffisant pour que l'erreur relative portant sur $x$ et sur $y$ soit inférieure à

$$ \sqrt{\frac{20}{11}} - 1. $$

Une précision d'un chiffre est suffisante

Choisissons, comme ordre de grandeur de $x$, le nombre $x'$ défini par :

$x' = a' \times 10^n$ où $a'$ est la valeur arrondie à l'unité de $a$.

Nous avons montré dans l'étude précédente que ce choix d'ordre de grandeur conduit à une erreur relative $\frac{\Delta x}{x}$ inférieure à $\frac{1}{3}$.

Comme $M \approx 0,3484$, ce choix d'ordre de grandeur pour les facteurs $x$ et $y$

conduit nécessairement à : $\frac{\Delta x}{x} < M$ et $\frac{\Delta y}{y} < M$.

Nous en concluons que la méthode d'optimisation de l'erreur relative est directement applicable.

Illustrons son utilisation sur les exemples qui nécessitaient un ajustement de la méthode d'optimisation de l'erreur absolue.

Exemples de l'utilisation de la méthode d'optimisation de l'erreur relative

Premier exemple

Considérons les deux décimaux $x = 1,45$ et $y = 147,2$;

les facteurs entiers associés sont $X = 145$ et $Y = 1472$ donc $XY = 213\,440$;

les ordres de grandeur des facteurs sont $x' = 1$ et $y' = 100$ donc $x'y' = 100$.

On choisit le nombre le plus proche de 100, obtenu en plaçant une virgule à 213\,440.

Mentalement, $\frac{100-21,344}{21,344} \approx \frac{80}{20} \text{ donc } \frac{100-21,344}{21,344} \approx 4$

et $\frac{213,44-100}{213,44} \approx \frac{100}{200} \text{ donc } \frac{213,44-100}{213,44} \approx \frac{1}{2}$

Nous en concluons que $xy = 213,44$.

Deuxième exemple

Soit à multiplier 148,17 et 24,9.

$$ \times \frac{148,17}{24,9} \rightarrow \times \frac{100}{200} $$

On choisit le nombre le plus proche de 2 000, en plaçant une virgule au nombre entier 3 689\,433.

$$ \text{Mentalement, } \frac{2000-368,9433}{368,9433} \approx \frac{1600}{400} \text{ donc } \frac{2000-368,9433}{368,9433} \approx 4 $$

$$ \text{et } \frac{3689,433-2000}{3689,433} \approx \frac{1600}{4000} \text{ donc } \frac{3689,433-2000}{3689,433} \approx 0,4 $$

Nous en concluons que $148,17 \times 24,9 = 3689,433$.

Conclusion

Nous avons donc montré que des méthodes différentes d'utilisation des ordres de grandeur sont utilisables de façon légitime pour contrôler la place de la virgule au produit de nombres décimaux positifs. Il reste qu'aucune de ces méthodes n'est simple d'utilisation. Toutes semblent plus difficiles à mettre en oeuvre correctement que la technique opératoire usuelle...

Il semble que les concepteurs du programme de sixième, et plus généralement de l'enseignement primaire et secondaire, en intégrant l'utilisation de la calculatrice parmi les modes de calcul légitimes dans une salle de classe ont souhaité compenser la perte de moyens de contrôler le résultat obtenu en passant du calcul écrit au calcul électronique. Certains manuels de l'enseignement primaire indiquent d'ailleurs aux élèves que c'est cette possibilité de contrôle explique la domination du calcul écrit par rapport à l'utilisation d'abaques ou de bouillers. L'utilisation des ordres de grandeur était familière à ceux qui utilisaiten la règle à calcul avant le récent développement de l'électronique, le retour de leur utilisation n'est donc pas surprenant. L'âge des élèves qui utilisaiten la règle à calcul était plus élevé que celui des élèves qui utilisent aujourd'hui une calculatrice, leur capacité de calcul mental et d'assimilation de notion comme l'erreur absolue ou l'erreur relative était aussi plus élevée.

Les développements que nous avons conduits montrent, d'une part qu'il n'est pas envisageable de justifier ces techniques de calcul approché aux élèves de collège, et d'autre part que leur utilisation empirique risque de conduire à des erreurs. Autrement dit, l'enseignement des techniques de calcul approché pose un problème de transposition didactique tel que des recherches spécifiques apparaissent nécessaires.
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Case 7018
2 Place Jussieu
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TITRE :

La multiplication des nombres décimaux
Enjeux, transpositions didactiques et contraintes d'enseignement

AUTEUR :

RODITI Eric

RESUME :

La multiplication des nombres décimaux pose des problèmes d'enseignement à cause des erreurs persistantes des élèves tant pour le calcul du produit que pour la reconnaissance du modèle multiplicatif des situations. Cette notion est étudiée en évaluant les enjeux mathématiques de son enseignement, en analysant les transpositions didactiques qui sont proposées dans les publications et en déterminant des contraintes professionnelles dont les enseignants doivent tenir compte pour préparer leurs cours.

Le premier chapitre propose une mise au point sur la notion de nombre décimal en distinguant les représentations symboliques qui correspondent aux différentes fonctions des décimaux : représentation sous la forme d'un quotient, d'une somme ou d'un produit. La multiplication est étudiée en abordant les situations que cette opération modélise, ses propriétés, et les procédures de calcul du produit. Des analyses croisées permettent de rendre compte du potentiel didactique des différentes situations pour enseigner les propriétés de l'opération et pour élaborer des techniques opératoires.

Le deuxième chapitre présente une analyse des transpositions didactiques. Y sont étudiées les propositions d'enseignement de la multiplication des nombres décimaux qui figurent dans les programmes français actuels et passés, dans des manuels scolaires, dans des brochures à l'intention des professeurs, et dans des travaux de recherche en didactique des mathématiques. Cette analyse permet d'apprécier a priori les conséquences des choix d'enseignement en terme d'apprentissage des élèves.

Le troisième chapitre complète l'analyse précédente en croisant les résultats obtenus avec deux contraintes majeures qui influencent les choix des professeurs dans l'élaboration de leur projet d'enseignement : les indications des programmes en vigueur, et les connaissances réelles des élèves au moment où la notion est introduite. Les connaissances des élèves sont étudiées, par le biais des résultats à différentes évaluations. En ce qui concerne le programme, une approche de type écologique permet que la notion soit analysée de façon spécifique mais aussi quant à son intégration dans le programme de l'année scolaire.

MOTS CLES :

Décimaux, évaluation, multiplication, ordre de grandeur, situations multiplicatives, transposition didactique.

Editeur : IREM

Université PARIS 7-Denis Diderot

Directeur responsable de la

publication : R. CORI

Case 7018 - 2 Place Jussieu

75251 PARIS Cedex 05

Dépôt légal : 2002

ISBN : 2-86612-220-8