définis respectivement par :

- $\forall \gamma \in \pi_1(D_J, \beta)$, $\rho_X(\gamma)$ est l'indice du point d'arrivée du relevé de $\gamma$ d'origine $\beta_0$ dans $X_J$

- $\forall \gamma' \in \pi_1(D'_J, \beta')$, $\rho_Z(\gamma')$ est l'indice du point d'arrivée du relevé de $\gamma'$ d'origine $\beta'_0$ dans $Z_J$.

Alors $\ker(\rho_X) = (\pi_{\hat{X}})_*(\pi_1(X_J \setminus (\pi_{\hat{X}}^{-1}(B_J)), \beta_0))$ et $\ker(\rho_Z) = (\pi_{\hat{Z}})_*(\pi_1(Z_J \setminus (\pi_{\hat{Z}}^{-1}(A_J)), \beta'_0))$. Remarquons alors que, pour tout $j \in J$, le lacet $\gamma_j \subset D_J$ de base $\beta$ faisant un tour autour de $b_j$, s'envoie par $h$ sur le lacet $\gamma'_{\sigma(j)} \subset D'_j$ de base $\beta'$ et faisant un tour autour de $a_{\sigma(j)}$. Ainsi $\rho_{\hat{X}}(\gamma_j) = \rho_{\hat{Y}}(\gamma'_{\sigma(j)}) = e_j$. On peut alors vérifier que $h(\ker(\rho_X)) \subset \ker(\rho_Z)$, et par la théorie des revêtements, on fixe un relevé de $h$ noté $\tilde{h} \in \text{Homeo}(X_J \setminus \pi_{\hat{X}}^{-1}(B_J), Z_J \setminus \pi_{\hat{Z}}^{-1}(A_J))$ vérifiant :

$$h \circ \pi_{\hat{X}} = \pi_{\hat{Y}} \circ \tilde{h} \quad ; \quad \tilde{h}(\beta_0) = \beta'_0.$$

Concrètement, pour tout $x_0 \in X_J \setminus (\pi_{\hat{X}}^{-1}(B_J))$, en notant $\gamma \subset D_J$ un chemin de $\beta$ à $\pi(x_0)$, et $y = h \circ \pi(x_0)$, $\tilde{h}(x_0)$ est l'unique relevé de $y$ dans $Z_J$ qui soit le point d'arrivée du relevé de $h(\gamma)$ d'origine $\beta'_0$. On peut également vérifier que le lemme 5.1.6 s'applique à $\tilde{h}$, dans le sens où $\tilde{h}(\beta_k) = \beta'_k$ pour tout $k \in \{1, \dots, d-1\}$. On en déduit que $\tilde{h} \circ T_{\hat{X}} = T_{\hat{Z}} \circ \tilde{h}$ sur $X_J \setminus (\pi_{\hat{X}}^{-1}(B_J))$. En effet, pour tout $x_0 \in X_J$, en notant $x_k := T_{\hat{X}}^k(x_0)$ et $\gamma$ un chemin de $\beta_0$ à $x_0$, alors $\tilde{h} \circ T_{\hat{X}}(\gamma)$ et $T_{\hat{Y}} \circ \tilde{h}(\gamma)$ sont deux chemins d'origine $\beta'_1$ relevant $h \circ \pi_{\hat{X}}(\gamma)$ et par unicité du relevé, on a donc $\tilde{h} \circ T_{\hat{X}}(x_0) = T_{\hat{Y}} \circ \tilde{h}(x_0)$.

On étend $\tilde{h}$ par continuité sur $X_J$, de sorte que pour tout $j \in J$, $\tilde{h}$ associe bijectivement $\pi_{\hat{X}}^{-1}(b_j)$ à $\pi_{\hat{Z}}^{-1}(a_{\sigma(j)})$ avec $T_{\hat{Z}} \circ \tilde{h} = \tilde{h} \circ T_{\hat{X}}$ sur $X_J$. Finalement $X_J$ et $Z_J$ sont homéomorphes et $H_c^1(X_J)_q \simeq H_c^1(Z_J)_q$. $\square$

On considère un disque ouvert $D \subset \mathbb{C}$, contenant $B = \{b_1, \dots, b_n\}$. On note $X = \pi_{\hat{X}}^{-1}(D)$ et $X^c$ son complémentaire étendu sur le bord en un ouvert. Alors $X^c$ est la pré-image d'un voisinage de $\infty$, donc $X^c$ est la réunion de $e_0 = \text{pgcd}(k_0, d)$ disques. Comme précédemment (dans les notations 6), on écrit $\partial X = X \cap X^c$, qui est ici une réunion de $e_0$ anneaux ouverts $A_0, \dots, A_{e_0-1}$. Comme $\hat{X}$ est connexe, on a la suite de Mayer-Vietoris suivante :

$$0 \to H_c^1(\partial X)_q \to H_c^1(X)_q \to H^1(\hat{X})_q \to H_c^2(\partial X)_q \to H_c^2(X^c)_q \to 0.$$

**Lemme 6.1.3.** Si $q^{e_0} = 1$, alors $H_c^1(\partial X)_q$, $H_c^2(\partial X)_q$ et $H_c^2(X^c)_q$ sont de dimension 1. Si $q^{e_0} \neq 1$, ces trois espaces sont nuls.

**Démonstration** : Il s'agit de la même preuve que celle faite pour le lemme 2.2.6. $\square$

Plus généralement, si $J \subset \{1, \dots, n\}$, en notant $D_J$ un disque ouvert contenant l'ensemble $\{b_j \mid j \in J\}$, et $X_J$ la pré-image de $D_J$ dans $\hat{X}$, alors

**Lemme 6.1.4.** Les espaces $H_c^1(\partial X_J)_q$, $H_c^2(\partial X_J)_q$ sont de dimension 1 si $q^{e_j} = 1$ et 0 sinon, avec $e_J = \text{pgcd}(\sum_{j \in J} k_j, d)$.

**Démonstration** : On introduit la surface de Riemann $\hat{Z}$ définie à partir de $y^d = \prod_{j \in J} (x - b_j)^{k_j}$. Alors, en notant $Z_J = \pi_{\hat{Z}}^{-1}(D_J)$, on a $H_c^1(Z_J)_q \simeq H_c^1(X_J)_q$ d'après le lemme 6.1.2. On a également $H_c^1(\partial Z_J)_q \simeq H_c^1(\partial X_J)_q$, $H_c^2(\partial Z_J)_q \simeq H_c^2(\partial X_J)_q$ et par le lemme 6.1.3 appliqué à la surface $\hat{Z}$, on obtient le résultat attendu. $\square$
**Remarque 6.1.5.** Dans le cas où $J = \{i, i+1\}$ pour un certain $i \in \{1, \dots, n\}$, on a $D_J = D_i$ et on récupère ainsi que $H_c^1(\partial X_i)_q$, $H_c^2(\partial X_i)_q$ sont de dimension 1 si $q^{\text{pgcd}(k_i+k_{i+1},d)} = 1$, et de dimension 0 sinon.

Dans le cas où $J = \{i\}$, on a $D_J = D'_i$, alors $H_c^1(\partial X'_i)_q$ et $H_c^2(\partial X'_i)_q$ sont de dimension 1 si $q^{e_i} = 1$ et de dimension nulle sinon. De plus, comme $X'_i$ est une réunion de $e_i$ disques disjoints permutés cycliquement par $T$, on peut lui appliquer le raisonnement fait dans le lemme 2.2.6 et on obtient que $H_c^2(X'_i)_q$ est de dimension nulle lorsque $q^{e_i} \neq 1$.

## 6.2 Dimension de $H^1(\hat{X})_q$

On s'intéresse à présent à la dimension de $H^1(\hat{X})_q$. Pour la déterminer, nous utilisons des suites de Mayer-Vietoris. Considérons la réunion des voisinages $D'_i$ de chaque points $b_i$. Rappelons que $D'_i$ contient également les points $b_{i,1}, \dots, b_{i,k_i}$. On note $X' = \hat{X} \cup_{i=1}^n X'_i = \pi_{\hat{X}}^{-1}(\hat{C} \cup \bigcup_{i=1}^n D'_i)$, et $Y' = \hat{Y} \cup_{i=1}^n Y'_i = \pi_{\hat{Y}}^{-1}(\hat{C} \cup \bigcup_{i=1}^n D'_i)$. Pour éviter toute confusion ici, on notera $T_{\hat{X}} : \hat{X} \to \hat{X}$ et $\pi_{\hat{X}} : \hat{X} \to \hat{C}$ l'automorphisme de $\hat{X}$ et la projection faisant de $\hat{X}$ un revêtement cyclique. De même, on notera $T_{\hat{Y}} : \hat{Y} \to \hat{Y}$ et $\pi_{\hat{Y}} : \hat{Y} \to \hat{C}$ l'automorphisme de $\hat{Y}$ et la projection faisant de $\hat{Y}$ un revêtement cyclique. On montre que :

**Lemme 6.2.1.** $Y'$ et $X'$ sont homéomorphes, on a donc un isomorphisme : $H_c^1(X')_q \simeq H_c^1(Y')_q$.

**_Démonstration_** : Soient $D' = \hat{C} \setminus (\cup_{i=1}^n D'_i)$, et $D_\infty$ un voisinage ouvert de $\infty$ dans $\hat{C}$ tel que $\pi_{\hat{X}}^{-1}(D_\infty)$, respectivement $\pi_{\hat{Y}}^{-1}(D_\infty)$, soit une réunion de $e_0$ disques disjoints notés $E_0, \dots, E_{e_0-1}$, respectivement $E'_0, \dots, E'_{e_0-1}$, vérifiant $T_{\hat{X}}^k(E_0) = E_k$, respectivement $T_{\hat{Y}}^k(E'_0) = E'_k$, pour tout $k \in \{0, \dots, e_0 - 1\}$. On note $D'' = D' \setminus D_\infty$.

Soit $\beta \in \partial D' \cap D_\infty$, on note $\pi_{\hat{X}}^{-1}(\beta) = \{\beta_0, \dots, \beta_{d-1}\}$ avec $T_{\hat{X}}^k(\beta_0) = \beta_k$ pour tout $k \in \{0, \dots, d-1\}$, et $\pi_{\hat{Y}}^{-1}(\beta) = \{\beta'_0, \dots, \beta'_{d-1}\}$ avec $T_{\hat{Y}}^k(\beta'_0) = \beta'_k$ pour tout $k \in \{0, \dots, d-1\}$. Quitte à ré-indexer les $\beta_k$ et les $\beta'_k$, on peut supposer que $\beta_0 \in \partial E_0$ et $\beta'_0 \in \partial E'_0$.

Alors $X' = \pi_{\hat{X}}^{-1}(D')$ et $Y' = \pi_{\hat{Y}}^{-1}(D')$ sont deux revêtements cycliques au dessus de $D'$, de degré $d$ et éventuellement ramifiés au dessus de $\infty$.

On considère $X'' = \pi_{\hat{X}}^{-1}(D'') = X' \setminus \pi_{\hat{X}}^{-1}(D_\infty)$, et $Y'' := \pi_{\hat{Y}}^{-1}(D'') = Y' \setminus \pi_{\hat{Y}}^{-1}(D_\infty)$. Il s'agit de deux revêtements cycliques de degré $d$ au dessus de $D''$. On peut considérer les morphismes $\rho_X : \pi_*(X'', \beta_0) \to \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$, et $\rho_Y : \pi_*(Y'', \beta'_0) \to \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$, qui associent à un lacet de base $\beta$ dans $D''$, l'indice du point d'arrivée du relevé de ce lacet d'origine $\beta_0$ dans $X''$, respectivement l'indice du point d'arrivée du relevé de ce lacet d'origine $\beta'_0$ dans $Y''$. En particulier, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, si $\gamma_i \subset D''$ est un lacet de base $\beta$, faisant un tour autour de $D'_i$, alors $\rho_{\hat{X}}(\gamma_i) = \rho_{\hat{Y}}(\gamma_i) = e_i$.

On construit sur le même modèle que dans le lemme 6.1.2, un homéomorphisme $\tilde{h}$ :
$X'' \to Y''$ vérifiant :

$$— \pi_Y \circ \tilde{h} = \pi_X$$

$$— \forall k \in \{0, \dots, d-1\}, \quad \tilde{h}(\beta_k) = \beta'_k$$

$$— \tilde{h} \circ T_{\hat{X}} = T_{\hat{Y}} \circ \tilde{h}$$

$$— \forall j \in \{0, \dots, e_0 - 1\}, \quad \tilde{h}(\partial E_j) = \partial E'_j.$$

Pour tout $j \in \{0, \dots, e_0 - 1\}$, comme $E_j$ et $E'_j$ sont deux disques, on peut trouver un homéomorphisme $\tilde{h}_j : E_j \to E'_j$, coïncidant avec $\tilde{h}$ sur le bord de $E_j$ et tel que $\tilde{h}_j \circ T_{\hat{X}}|_{E_j} = T_{\hat{Y}}|_{E'_j} \circ \tilde{h}_j$.
On prolonge alors $\tilde{h}$ sur $X'$ en posant $\tilde{h} = \tilde{h}_j$ sur les $E_j$. On peut alors s'assurer que $\tilde{h} \circ T_{\hat{X}} = T_{\hat{Y}} \circ \tilde{h}$. En effet, pour tout $j \in \{0, \dots, e_0 - 1\}$, et pour tout $x \in E_j$, comme $\beta_j = T_{\hat{X}}^j(\beta_0) \in \partial E_j$, on peut considérer $\gamma$ un chemin dans $E_j$ reliant $\beta_j$ à $x$. Alors $\tilde{h} \circ T_{\hat{X}}(\gamma)$ et $T_{\hat{Y}} \circ \tilde{h}(\gamma)$ sont deux chemins dans $Y'$ relevant tous les deux $h(\pi_X(\gamma))$, et d'origine $\beta'_{j+1 \mod e_0}$. Par unicité du relèvement, les points d'arrivée de ces deux chemins sont les mêmes, ainsi $T_{\hat{Y}} \circ \tilde{h}(x) = \tilde{h} \circ T_{\hat{X}}(x)$. On en déduit que $H_c^1(X')_q \simeq H_c^1(Y')_q$. $\square$

Topologiquement, on peut interpréter $\hat{X}$ comme étant la surface $\hat{Y}$ pour laquelle on aurait découpé chaque $Y'_i$ le long de ses $e_i$ composantes de bords, et où on y aurait recollé $e_i$ disques à la place. Ainsi on a une égalité topologique $X' \simeq Y'$, comme sur la figure 6.2.

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>FIGURE 6.2 – Les surfaces $X'$ et $Y'$</figcaption></figure>

Avant de passer au travail sur la dimension de $H^1(\hat{X})_q$, nous avons besoin du lemme suivant :

**Lemme 6.2.2.** Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, $H_c^1(Y'_i)_q$ est de dimension $k_i - 1$, où $Y'_i$ est la pré-image dans $\hat{Y}$ du disque $D'_i$ contenant les points $b_i, b_{i,1}, \dots, b_{i,k_i}$.

Avant de passer à la démonstration, on définit pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, la surface $\hat{Y}_i$ définie à partir de l'équation algébrique $y^d = \prod_{j=1}^{k_i} (x - b_{i,j})$. Cette surface est connexe et relève du cas de McMullen. On a également : $\pi_{\hat{Y}_i}^{-1}(D'_i) \simeq Y_i$, et $\hat{Y}_i \setminus Y_i$ est la pré-image d'un voisinage de $\infty$ donc $\hat{Y}_i \setminus Y_i$ est une réunion de $e_i$ disques. Ces notations seront réutilisées dans plusieurs preuves.

*Démonstration* : Soit $i \in \{1, \dots, n\}$. La suite de Mayer-Vietoris dans le cas compact appliquée à $\hat{Y}_i$ nous donne :

$$0 \to H_c^1(\partial Y_i)_q \to H_c^1(Y_i)_q \to H^1(\hat{Y}_i)_q \to H_c^2(\partial Y_i)_q \to H_c^2(\hat{Y}_i \setminus Y_i)_q \to 0 \quad (6.2.1)$$

La dimension de $H^1(\hat{Y}_i)_q$ est donnée par le théorème 2.2.3 et vaut $k_i - 1 - \epsilon_i$ où $\epsilon_i = 1$ si $q^{e_i} = 1$ et 0 sinon. D'après le lemme 6.1.3, les dimensions de $H_c^1(\partial Y_i)_q$, $H_c^2(\partial Y_i)_q$ et $H_c^2(\hat{Y}_i \setminus Y_i)_q$ valent 1 si $q^{e_i} = 1$ et 0 sinon. Ainsi, si $q^{e_i} \neq 1$, on a $\dim(H_c^1(Y_i)_q) = k_i - 1 - \epsilon_i = k_i - 1$. Sinon, la somme alternée des dimensions dans la suite de Mayer-Vietoris ci-dessus nous donne :

$$ \begin{aligned} \dim(H_c^1(Y_i)_q) &= \dim(H_c^1(\partial Y_i)_q) + \dim(H^1(\hat{Y}_i)_q) - \dim(H_c^2(\partial Y_i)_q) + \dim(H_c^2(\hat{Y} \setminus Y_i)_q) \\ &= 1 + (k_i - 1 - 1) - 1 + 1 \\ &= k_i - 1. \end{aligned} $$
☐

On peut à présent utiliser des suites de Mayer-Vietoris pour démontrer le théorème 6.0.1 sur la dimension de $H^1(\hat{X})_q$, énoncé au début de cette partie et dont on rappelle ici l'énoncé :

**Théorème 6.0.1 :** *En notant $F_q = \{i \in \{0, \dots, n\} \mid q^{e_i} = 1\}$, la dimension de $H^1(\hat{X})_q$ est donnée par :*

$$ \dim(H^1(\hat{X})_q) = n - 1 - \#F_q. $$

Rappelons la suite exacte de Mayer-Vietoris dans le cas compact appliqué à $\hat{X}$ :

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

Notons $F'_q = \{i \in \{1, \dots, n\} \mid q^{e_i} = 1\}$. Rappelons que $F_q = \{i \in \{0, \dots, n\} \mid q^{e_i} = 1\}$. Alors :

**Lemme 6.2.3.** On a les égalités suivantes :

$$ — H_c^1(\partial X')_q = \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^1(\partial X'_i)_q $$

$$ — H_c^2(\partial X')_q = \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^2(\partial X'_i)_q $$

$$ — H_c^2(\bigcup_{i=1}^n X'_i)_q = \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^2(X'_i)_q $$

Ces trois espaces sont de dimension $\#(F'_q)$.

**Démonstration :** Commençons par montrer que $H_c^1(\partial X')_q = \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^1(\partial X'_i)_q$. En effet, $H_c^1(\partial X')_q = H_c^1(\bigcup_{i=1}^n \partial X'_i)_q$. Comme les $X'_i$ sont deux à deux disjoints, on a : $H_c^1(\partial X')_q \subset \bigoplus_{i=1}^n H_c^1(\partial X'_i)$. De plus, pour chaque $i \in \{1, \dots, n\}$, $T_{\hat{X}}$ permute les disques qui composent $X'_i$, en particulier $T$ préserve chacun des $\partial X'_i$. Or, si un élément $x = x_1 + \dots + x_n \in \bigoplus_{i=1}^n H_c^1(\partial X'_i)$ vérifie $T_{\hat{X}}^*(x) = qx = qx_1 + \dots + qx_n$, on doit avoir, puisque $T_{\hat{X}}$ préserve les $X'_i$, $T_{\hat{X}}^*(x) = T_{\hat{X}}^*(x_1) + \dots + T_{\hat{X}}^*(x_n)$ avec $T_{\hat{X}}^*(x_i) \in H_c^1(\partial X'_i)$. On en déduit que $T_{\hat{X}}^*(x_i) = qx_i$ et donc $x \in \bigoplus_{i=1}^n H_c^1(\partial X'_i)_q$. On a donc $(\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(\partial X'_i))_q \subset \bigoplus_{i=1}^n H_c^1(\partial X'_i)_q$ et l'inclusion réciproque est évidente, finalement : $H_c^1(\partial X')_q = \bigoplus_{i=1}^n H_c^1(\partial X'_i)_q = \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^1(\partial X'_i)_q$. La remarque 6.1.5 nous dit que $H_c^1(\partial X_i)_q$ est nul si $q^{e_i} \neq 1$ et est de dimension 1 sinon, donc $\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(\partial X'_i)_q = \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^1(\partial X'_i)_q$ et a pour dimension $\#F'_q$. De la même façon, on a aussi $H_c^2(\partial X')_q = \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^2(\partial X'_i)_q$ est de dimension $\#F'_q$ et $H_c^2(\bigcup_{i=1}^n X'_i)_q = \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^2(X'_i)_q$ est de dimension $\#F'_q$.

☐

Remarquons ensuite que les $X'_i$ sont deux à deux disjoints et sont respectivement une réunion disjointe de $e_i$ disques permutés par $T$, donc $\bigcup_{i=1}^n X'_i$ est une réunion finie de disques disjoints et $H_c^1(\bigcup_{i=1}^n X'_i)_q = \{0\}$. Finalement, la suite exacte précédente se ré-écrit :
<figure><img src="image_43.png" /></figure>

On peut à présent passer à la démonstration du théorème 6.0.1 dans le cas où $\hat{X}$ est connexe (pour le cas non connexe, nous traiterons simultanément la dimension et la signature de la forme d'intersection, on retrouvera la démonstration pour ce cas dans la proposition 6.3.11).

**Démonstration du théorème 6.0.1** : On utilise la suite de Mayer-Vietoris 6.2.2. Comme $\hat{X}$ est connexe, $H^0(\hat{X})_q = H^2(\hat{X})_q = \{0\}$. Remarquons également que $X'$ est connexe, puisque cette sous-surface correspond à $\hat{X}$ privée d'un certain nombre de disques. Donc $H_c^2(X')_q = \{0\}$. On a ainsi :

$$0 \to \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^1(\partial X'_i)_q \to H_c^1(X')_q \to H^1(\hat{X})_q \to \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^2(\partial X'_i)_q \to \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^2(X'_i)_q \to 0.$$

Simplifions encore cette suite exacte, en remarquant que $\bigoplus_{i \in F'_q} H_c^2(\partial X'_i)_q$ et $\bigoplus_{i \in F'_q} H_c^2(X'_i)_q$ sont de même dimension. La flèche entre ces deux espaces étant surjective, on a une bijection, et finalement $\mathrm{Im}(H^1(\hat{X})_q \to \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^2(\partial X'_i)_q) = \ker(\bigoplus_{i \in F'_q} H_c^2(\partial X'_i)_q \to \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^2(X'_i)_q) = \{0\}$. Alors on récupère une suite exacte courte :

$$0 \to \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^1(\partial X'_i)_q \to H_c^1(X')_q \to H^1(\hat{X})_q \to 0. \quad (6.2.3)$$

La somme alternée des dimensions nous donne :

$$\dim(H^1(\hat{X})_q) = \dim(H_c^1(X')_q) - \dim(\bigoplus_{i \in Z'_q} H_c^1(X'_i)_q) = \dim(H_c^1(X')_q) - \#F'_q.$$

On cherche maintenant la dimension de $H_c^1(X')_q$. Comme $H_c^1(X')_q \simeq H_c^1(Y')_q$, on va calculer $\dim(H_c^1(Y')_q)$, pour cela on utilise de nouveau la suite de Mayer-Vietoris appliquée à $\hat{Y} = Y' \cup (\cup_{i=1}^n Y'_i)$ :

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

Ici on sait que $H_c^1(Y')_q \simeq H_c^1(X')_q$, $H_c^1(\partial X')_q \simeq H_c^1(\partial Y')_q$ et $H_c^2(\partial X')_q \simeq H_c^2(\partial Y')_q$. On va donc avoir $H_c^1(\partial Y')_q \simeq \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^1(\partial Y'_i)_q$ et $H_c^2(\partial Y')_q \simeq \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^2(\partial Y'_i)_q$. Aussi, $Y'$ est connexe donc $H^0(Y')_q = \{0\}$ et $H_c^2(Y')_q = \{0\}$.

Les $Y'_i$ sont deux à deux disjoints et préservés respectivement par $T_{\hat{Y}}$, alors par le même raisonnement que celui fait sur $H_c^1(\partial X')_q$, on a clairement : $H_c^1(\cup_{i=1}^n (Y'_i)_q) = \bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q$. De la même façon, on aura $H_c^2(\cup_{i=1}^n Y'_i)_q = \bigoplus_{i=1}^n H_c^2(Y'_i)_q$ et donc $H_c^2(\cup_{i=1}^n Y'_i)_q = \{0\}$ car les $Y'_i$ sont connexes. Par le lemme 6.2.2, on sait que $H_c^1(Y'_i)_q$ est de dimension $k_i - 1$.
Alors la dimension de $\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y_i')_q$ est exactement $\sum_{i=1}^n (k_i - 1) = k_0 - n$. D'après 2.2.3, la dimension de $H^1(\hat{Y})_q$ qui vaut ici $k_0 - 1 - \varepsilon_0$ où $\varepsilon_0 = 1$ si $q^{e_0} = 1$ et $\varepsilon_0 = 0$ sinon. Alors la suite de Mayer-Vietoris revient à :

$$0 \to \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^1(\partial Y_i')_q \to H_c^1(Y')_q \oplus (\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y_i')_q) \to H^1(\hat{Y})_q \to \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^2(\partial Y_i')_q \to 0. \quad (6.2.4)$$

La somme alternée des dimensions nous donne :

$$\dim(H_c^1(Y')_q) = \#F'_q - (k_0 - n) + k_0 - 1 - \varepsilon_0 - \#F'_q \\ = n - 1 - \varepsilon_0$$

et donc, comme $H_c^1(Y')_q = H_c^1(X')_q$ d'après le lemme 6.2.1 :

$$\dim(H^1(\hat{X})_q) = n - 1 - \varepsilon_0 - \#F'_q = n - 1 - \#F_q$$

avec $F_q = \{i \in \{0, \dots, n\} \mid q^{e_i} = 1\}$

□

Le cas $q = 1$ n'est jamais envisagé car la dimension de $H^1(\hat{X})_1$ est nulle. En effet, si $q = 1$, on sait d'après [McM13], que les espaces $H_c^1(\hat{Y})_1$ et les $H^1(\hat{Y}_i)_1$ pour $i \in \{1, \dots, n\}$ sont nuls. La suite de Mayer-Vietoris 6.2.4 nous donne un isomorphisme $\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(\partial Y_i')_1 \simeq H_c^1(Y')_1 \oplus (\bigoplus_{i \in F'_q} H_c^1(Y_i')_1)$. Or les suites 6.2.1 nous montrent que pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, $H_c^1(Y_i')_1 \simeq H^1(\partial Y_i)_1$, qui est alors de dimension 1. Ainsi, par égalité des dimensions, $H_c^1(Y')_1 = \{0\}$. Finalement, la suite 6.2.3 nous permet de conclure que $H^1(\hat{X})_1 = \{0\}$. La formule de la dimension ne s'applique donc pas lorsque $q = 1$, de même que celle de McMullen ne s'appliquait pas pour $q = 1$.

On vérifie alors que la somme sur $k \in \{0, \dots, d-1\}$ des dimensions de $H^1(\hat{X})_q$ est égale à la dimension de $H^1(\hat{X})$, c'est-à-dire à $2g$. Rappelons qu'on note $q = e^{-k \frac{2i\pi}{d}}$, avec $k \in \{1, \dots, d-1\}$, faire varier $k$ revient à faire varier $q$. Pour $i \in \{0, \dots, n\}$ fixé, $q^{k_i} = 1$ équivaut à $d|k_i k$ ce qui équivaut encore à $d_i|k'_i k$, avec les notations $d_i = \frac{d}{e_i}$ et $k'_i = \frac{k_i}{e_i}$. Comme $d_i$ et $k'_i$ sont premiers entre eux, par le lemme de Gauss on a donc $d_i|k$. Alors $q^{k_i} = 1 \iff k \in \{\alpha d_i | \alpha \in \{1, \dots, e_i - 1\}\}$. On écrit $\varepsilon_{i,k} = 1$ si $q^{k_i} = 1$, et $\varepsilon_{i,k} = 0$ sinon, alors $\sum_{k=1}^{d-1} \#F_q = \sum_{k=1}^{d-1} \sum_{i=0}^n \varepsilon_{i,k} = \sum_{i=0}^n \sum_{k=1}^{d-1} \varepsilon_{i,k} = \sum_{i=0}^n (e_i - 1)$. On a donc :

$$\begin{align*}
\sum_{k=0}^{d-1} \dim(H^1(\hat{X})_q) &= \dim(\underbrace{H^1(\hat{X})_1}_{=\{0\}}) + \sum_{k=1}^{d-1} \dim(H^1(\hat{X})_q) \\
&= \sum_{k=1}^{d-1} (n-1-\#F_q) \\
&= (d-1)(n-1) - \sum_{i=0}^{n} (e_i-1) \\
&= d(n-1) + \sum_{i=0}^{n} e_i + 2 \\
&= 2g.
\end{align*}$$

Finalement, le théorème 6.0.1 est démontré, on peut s'intéresser à la signature de la forme d'intersection sur $H^1(\hat{X})_q$.
## 6.3 Signature de la forme d'intersection sur $H^1(\hat{X})_q$

Pour toute sous-surface ouverte $S \subset \hat{X}$, on peut munir $H_c^1(S)_q$ de la forme d'intersection de $H^1(\hat{X})_q$ via le morphisme naturel $H_c^1(S)_q \to H^1(\hat{X})_q$. De même pour toute sous-surface ouverte de $\hat{Y}$, avec la forme d'intersection sur $H^1(\hat{Y})_q$.

Rappelons que la forme d'intersection sur $H^1(\hat{X})$ est définie par :

$$ \forall \eta, \mu \in H^1(\hat{X}), \quad \langle\eta; \mu\rangle_{\hat{X}} = \frac{i}{2} \int_{\hat{X}} \eta \wedge \bar{\mu}. $$

On note $\varepsilon_i = 1$ si $q^{k_i} = 1$ et $\varepsilon_i = 0$ sinon, et ce pour tout $i \in \{0, \dots, n\}$.

Dans cette partie, nous démontrerons le théorème 6.0.2 donné au début du chapitre, concernant la signature de la forme d'intersection sur $H^1(\hat{X})_q$. On en rappelle ici l'énoncé :

**Théorème : 6.0.2** La forme d'intersection sur $H^1(\hat{X})_q$ est :

$$ (r_q, s_q) = \left( \lfloor \frac{k_0 k}{d} \rfloor - \sum_{i=1}^{n} \lfloor \frac{k_i k}{d} \rfloor - \varepsilon_0, \lfloor k_0 \left(1 - \frac{k}{d}\right) \rfloor - \sum_{i=1}^{n} \lfloor k_i \left(1 - \frac{k}{d}\right) \rfloor - \varepsilon_0 \right). $$

La forme d'intersection n'est pas dégénérée sur $H^1(\hat{X})_q$.

On démontre ce théorème en deux temps, en distinguant les cas $F'_q = \emptyset$ et $F'_q \neq \emptyset$. On verra également que dans tous les cas, $r_q+s_q = \dim(H^1(\hat{X})_q)$, ainsi la forme d'intersection n'est pas dégénérée sur $H^1(\hat{X})_q$.

**Remarque 6.3.1.** Dans le cas où tous les $k_i$ sont égaux à 1, on retrouve bien la formule annoncée dans le théorème 2.2.4. En effet, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, si $k_i = 1$, alors $\lfloor \frac{k_i k}{d} \rfloor = \lfloor \frac{k}{d} \rfloor = 0$, et de même $\lfloor k_i (1 - \frac{k}{d}) \rfloor = 0$. Comme $k_0 = \sum_{i=1}^n k_i$, ici $k_0 = n$. Alors la formule du théorème ci-dessus nous donne :

$$ (r_q, s_q) = \left( \lfloor \frac{nk}{d} \rfloor - \varepsilon_0, \lfloor n \left(1 - \frac{k}{d}\right) \rfloor - \varepsilon_0 \right). $$

Puisque $\frac{nk}{d} \in \mathbb{N} \iff \varepsilon_0 = 1$, on a :

$$ \lfloor \frac{nk}{d} \rfloor - \varepsilon_0 = \begin{cases} \lfloor \frac{nk}{d} \rfloor - 1 & \text{si } d|nk \\ \lfloor \frac{nk}{d} \rfloor & \text{sinon} \end{cases} = \begin{cases} \lfloor \frac{nk}{d} \rfloor - 1 & \text{si } d|nk \\ \lfloor \frac{nk}{d} \rfloor - 1 & \text{sinon} \end{cases}. $$

De même,

$$ \lfloor n \left(1 - \frac{k}{d}\right) \rfloor - \varepsilon_0 = \begin{cases} n \left(1 - \frac{k}{d}\right) - 1 & \text{si } d|nk \\ \lfloor n \left(1 - \frac{k}{d}\right) \rfloor & \text{sinon} \end{cases} = \begin{cases} \lfloor n \left(1 - \frac{k}{d}\right) \rfloor - 1 & \text{si } d|nk \\ \lfloor n \left(1 - \frac{k}{d}\right) \rfloor - 1 & \text{sinon} \end{cases}. $$

et on retrouve bien la formule annoncée par McMullen dans son théorème 2.2.4.

### 6.3.1 Le cas $F'_q = \emptyset$

On supposera ici que $q^{e_i} \neq 1$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, c'est-à-dire que $F'_q = \emptyset$. On commence par faire le lien entre la forme d'intersection sur $H^1(\hat{X})_q$ et celle sur $H_c^1(\hat{Y})_q$.
**Lemme 6.3.2.** Si $F'_q = \emptyset$, alors la somme directe suivante est orthogonale :

$$H_c^1(\hat{Y})_q = H_c^1(Y')_q \oplus (\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q).$$

**_Démonstration_** : Lorsque $F'_q = \{i \in \{1, \dots, n\} \mid q^{e_i} = 1\}$ est vide, c'est-à-dire lorsque $q^{e_i} \neq 1$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, la suite de Mayer-Vietoris (6.2.4) nous donne l'isomorphisme suivant :

$$H^1(\hat{Y})_q = H_c^1(Y')_q \oplus (\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q).$$

D'après la suite exacte (6.2.1), $H_c^1(Y'_i)_q \simeq H^1(\hat{Y}_i)_q$, et comme la forme d'intersection est non dégénérée sur $H_c^1(\hat{Y}_i)_q$ d'après McMullen, on sait que $(\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q) \cap (\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q)^\perp = \{0\}$. Nous avons alors une décomposition en somme directe orthogonale :

$$H^1(\hat{Y})_q \simeq (\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q) \oplus (\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q)^\perp.$$

Comme $Y'$ et $\bigcup_{i=1}^n Y_i$ sont disjoints, on a $H_c^1(Y')_q \subset (\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q)^\perp$. De plus, ces deux espaces sont de même dimension, on a donc une égalité, ce qui nous donne la somme orthogonale :

$$H^1(\hat{Y})_q = H_c^1(Y')_q \oplus (\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q).$$

□

**Lemme 6.3.3.** Si $F'_q = \emptyset$, alors on a une isométrie entre les espaces $(H^1(\hat{X})_q, \langle ; \rangle_{\hat{X}})$ et $(H_c^1(Y')_q, \langle ; \rangle_{\hat{Y}})$.

**_Démonstration_** : Si $F'_q = \emptyset$, les dimensions de $\bigoplus_{i \in F'_q} H_c^1(\partial X'_i)_q$ et de $\bigoplus_{i \in F'_q} H_c^2(\partial X'_i)_q$ sont nulles et la suite de Mayer-Vietoris (6.2.2) nous donne l'isomorphisme : $H^1(\hat{X})_q \simeq H_c^1(X')_q$. Remarquons que cet isomorphisme est indépendant de la connexité de $\hat{X}$. Ainsi, tout élément de $H^1(\hat{X})_q$ admet un représentant à support compact dans $X'$, et s'identifie alors à un élément de $H_c^1(X')_q \simeq H_c^1(Y')_q \subset H^1(\hat{Y})_q$. On peut associer naturellement $H^1(\hat{X})_q$ à un sous-espace de $H^1(\hat{Y})_q$.

Rappelons que $H_c^1(Y')_q$ est muni de la forme d'intersection de $H^1(\hat{Y})_q$ via le morphisme naturel $H_c^1(Y')_q \to H^1(\hat{Y})_q$. Alors pour tout $\eta, \mu \in H^1(\hat{X})_q$, et $\eta', \mu'$ des représentants de $\eta$ et $\mu$ à support compact dans $X' = Y'$, on a :

$$\langle \eta, \mu \rangle_{\hat{X}} = \frac{i}{2} \int_{\hat{X}} \eta \wedge \bar{\mu} = \frac{i}{2} \int_{X'} \eta' \wedge \bar{\mu}' = \frac{i}{2} \int_{Y'} \eta' \wedge \bar{\mu}' = \frac{i}{2} \int_{\hat{Y}} \eta' \wedge \mu' = \langle \eta', \mu' \rangle_{\hat{Y}}.$$

On a finalement une isométrie entre $(H_c^1(Y')_q, \langle ; \rangle_{\hat{Y}})$ et $(H^1(\hat{X})_q, \langle ; \rangle_{\hat{X}})$. □

On a naturellement une égalité entre la signature $(r_X, s_X)$ de la forme d'intersection $\langle ; \rangle_{\hat{X}}$ sur $H^1(\hat{X})_q$ et la signature $(r_\perp, s_\perp)$ de la forme d'intersection $\langle ; \rangle_{\hat{Y}}$ restreinte à $(\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q)^\perp = H_c^1(Y')_q$. Comme la décomposition donnée dans le lemme 6.3.2 est orthogonale, cette signature est exactement $(r_Y - r, s_Y - s)$ où $(r_Y, s_Y)$ est la signature de $\langle ; \rangle_{\hat{Y}}$ sur $H^1(\hat{Y})_q$ et $(r, s)$ est la signature de $\langle ; \rangle_{\hat{Y}}$ sur $\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q$. Il suffit donc de calculer $(r_Y, s_Y)$ et $(r, s)$.

**Lemme 6.3.4.** Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, la signature de la restriction de la forme d'intersection au sous-espace $H_c^1(Y'_i)_q \subset H^1(\hat{Y})_q$ est $(r_i, s_i) = (\lceil k_i \frac{k}{d} - 1 \rceil, \lceil k_i(1 - \frac{k}{d}) - 1 \rceil)$.
**Démonstration** : La démonstration est une application des résultats de McMullen, en considérant de nouveau, pour un $i \in \{1, \dots, n\}$ fixé, la surface $\hat{Y}_i$ obtenue d'après la courbe algébrique $y^d = \prod_{j=1}^{k_i}(x - b_{i,j})$. On a vu dans la démonstration du lemme 6.2.2, qu'on a la suite exacte :

$$0 \to H_c^1(\partial Y_i)_q \to H_c^1(Y_i)_q \to H^1(\hat{Y}_i)_q \to H_c^2(\partial Y_i)_q \to H_c^2(\hat{Y}_i \setminus Y_i)_q \to 0.$$

Ici, on a par hypothèse $q^{e_i} \neq 1$, et donc d'après le lemme 2.2.6, $H_c^1(\partial Y_i)_q$, $H_c^2(\partial Y_i)_q$ et $H_c^2(\hat{Y}_i \setminus Y_i)_q$ sont nuls. On a alors $H_c^1(Y_i)_q \simeq H^1(\hat{Y}_i)_q$ et donc la signature de la forme d'intersection sur $H_c^1(Y_i)_q$ est la même que celle sur $H^1(\hat{Y}_i)_q$. Celle-ci, notée $(r_i, s_i)$ est connue par le théorème de McMullen 2.2.4, on récupère ainsi la valeur de la signature $(r_i, s_i)$ de la forme d'intersection restreinte sur $H_c^1(Y_i)_q$ :

$$(r_i, s_i) = (\lceil k_i \frac{k}{d} - 1 \rceil, \lceil k_i(1 - \frac{k}{d}) - 1 \rceil).$$

□

On peut donc montrer le théorème 6.0.2 dans le cas où $F'_q = \emptyset$ :

Démonstration du théorème 6.0.2 dans le cas $F'_q = \emptyset$ :

D'après ce qui précède, il nous faut calculer la différence $(r_Y - r, s_Y - s)$. Remarquons que comme les $Y'_i$ sont deux à deux disjoints, la somme directe $\oplus_{i=1}^n H^1(\hat{Y}_i)_q$ est une somme directe orthogonale. On a donc $r = \sum_{i=1}^n r_i$ et $s = \sum_{i=1}^n s_i$, et on va pouvoir calculer $r - \sum_{i=1}^n r_i$ et $s_Y - \sum_{i=1}^n s_i$ avec :

$$(r_Y, s_Y) = (\lceil k_0 \frac{k}{d} - 1 \rceil, \lceil k_0(1 - \frac{k}{d}) - 1 \rceil)$$

$$(r_i, s_i) = (\lceil k_i \frac{k}{d} - 1 \rceil, \lceil k_i(1 - \frac{k}{d}) - 1 \rceil).$$

On cherche à exprimer ces sommes. Remarquons que pour tout $p \in \mathbb{Q}$, $\lceil p \rceil = \lfloor p \rfloor$ si $p \in \mathbb{Z}$, et $\lceil p \rceil = \lfloor p \rfloor + 1$ sinon.

Rappelons que d'après 6.1.1, $q^{e_i} = 1 \iff q^{k_i} = 1$, pour tout $i \in \{0, \dots, n\}$. Donc $F_q = \{i \in \{0, \dots, n\} | q^{k_i} = 1\}$ et $F'_q = \{i \in \{1, \dots, n\} | q^{k_i} = 1\}$. On a $q^{k_0} = 1 \iff \frac{k_0 k}{d} \in \mathbb{N}$. De même, $q^{k_i} = 1 \iff \frac{k_i k}{d} \in \mathbb{N}$, et puisque $q^{k_i} \neq 1$, on a $q^{e_i} \neq 1$ et donc $\frac{k_i k}{d} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$. On en déduit que :

$$\begin{cases} \lceil k_0 \frac{k}{d} - 1 \rceil = \lfloor \frac{k_0 k}{d} \rfloor - 1 = \lfloor \frac{k_0 k}{d} \rfloor - \varepsilon_0 & \text{si } q^{k_0} = 1 \\ \lceil k_0 \frac{k}{d} - 1 \rceil = \lfloor \frac{k_0 k}{d} - 1 \rfloor + 1 = \lfloor \frac{k_0 k}{d} \rfloor - \varepsilon_0 & \text{sinon} \end{cases}$$

De même, on a pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, $\lceil k_i \frac{k}{d} - 1 \rceil = \lfloor \frac{k_i k}{d} \rfloor$.

D'autre part, $\lceil k_0(1 - \frac{k}{d}) - 1 \rceil = \lfloor k_0(1 - \frac{k}{d}) \rfloor - 1$ si $-\frac{k_0 k}{d} \in \mathbb{Z}$, c'est à dire si $q^{k_0} = 1$, et $\lceil k_0(1 - \frac{k}{d}) - 1 \rceil = \lfloor k_0(1 - \frac{k}{d}) \rfloor$ sinon. Donc $\lceil k_0(1 - \frac{k}{d}) - 1 \rceil = \lfloor k_0(1 - \frac{k}{d}) \rfloor - \varepsilon_0$. De façon plus générale, on a donc $\lceil k_i(1 - \frac{k}{d}) - 1 \rceil = \lfloor k_i(1 - \frac{k}{d}) \rfloor$.

$$(r_X, s_X) = (\lfloor \frac{k_0 k}{d} \rfloor - \sum_{i=1}^{n} \lfloor \frac{k_i k}{d} \rfloor - \varepsilon_0, \lfloor k_0(1 - \frac{k}{d}) \rfloor - \sum_{i=1}^{n} \lfloor k_i(1 - \frac{k}{d}) \rfloor - \varepsilon_0).$$

On montre alors que la forme d'intersection $\langle ; \rangle_{\hat{X}}$ est non dégénérée, en vérifiant que : $r_X + s_X = \dim(H^1(\hat{X})_q)$. Il faut travailler sur l'expression de $s_Y$ et des $s_i$. On fixe un $x$ tel que $0 \le x < 1$ et $\frac{k_0 k}{d} = \lfloor \frac{k_0 k}{d} \rfloor + x$. Si $x = 0$, c'est à dire si $q^{e_0} = 1$, on a
donc $[-\frac{k_0k}{d}] = -[\frac{k_0k}{d}]$. Si $x \neq 0$, c'est à dire si $q^{e_0} \neq 1$, on a alors $[-\frac{k_0k}{d}] = -[\frac{k_0k}{d}] - 1$. En notant cette fois-ci $\bar{\varepsilon}_0 = 1$ si $q^{e_0} \neq 1$ et $\bar{\varepsilon}_0 = 0$ si $q^{e_0} = 1$, on a donc $\lceil k_0(1 - \frac{k}{d}) - 1 \rceil = k_0 - 1 - \lfloor \frac{k_0k}{d} \rfloor - \bar{\varepsilon}_0$. De même pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, on a : $\lceil k_i(1 - \frac{k}{d}) - 1 \rceil = k_i - 1 - \lfloor \frac{kik}{d} \rfloor - 1$. Alors :

$$r_X + s_X = n - 2\varepsilon_0 + \bar{\varepsilon}_0 = n - 1 - \varepsilon_0.$$

Ainsi le théorème 6.0.2 est démontré dans le cas $F'_q = \emptyset$. $\square$

## 6.3.2 Le cas $F'_q \neq \emptyset$

Comme $\hat{X}$ est connexe, on dispose de la suite exacte (6.2.3), ainsi que de la suite exacte (6.2.4) concernant $\hat{Y}$. On rappelle ici ces deux suites :

$$0 \to \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^1(\partial X'_i)_q \xrightarrow{i_1} H_c^1(X'_i)_q \xrightarrow{\varphi_1} H^1(\hat{X})_q \to 0 \ ;$$
$$0 \to \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^1(\partial Y'_i)_q \xrightarrow{j} H_c^1(Y'_i)_q \oplus (\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q) \xrightarrow{\varphi} H^1(\hat{Y})_q \to \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^2(\partial Y'_i)_q \to 0.$$

On a toujours $H_c^1(\partial X'_i)_q \simeq H_c^1(\partial Y'_i)_q$, $H_c^1(X'_i)_q \simeq H_c^1(Y'_i)_q$ et $H_c^1(\partial X'_i)_q \simeq H_c^2(\partial Y'_i)_q$. D'autre part, en introduisant les surfaces $\hat{Y}_i$ construites respectivement à partir des courbes algébriques $y^d = \prod_{j=1}^{k_i}(x - b_{i,j})$, on a vu dans la démonstration du lemme 6.2.2, que pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, on a une suite exacte :

$$0 \to H_c^1(\partial Y'_i)_q \to H_c^1(Y'_i)_q \to H^1(\hat{Y}_i)_q \to H_c^2(\partial Y'_i)_q \to H_c^2(\hat{Y}'_i \setminus Y_i)_q \to 0.$$

Par le lemme 2.2.6, $H_c^1(\partial Y'_i)_q$, $H_c^2(\partial Y'_i)_q$ et $H_c^2(\hat{Y}_i \setminus Y'_i)_q$ sont de dimension 1 si $q^{e_i} = 1$, c'est-à-dire si $i \in F'_q$, et sont nuls sinon. Si $q^{e_i} = 1$, les espaces $H_c^2(\partial Y'_i)_q$ et $H_c^2(\hat{Y}_i \setminus Y'_i)_q$ sont de dimension 1, et la flèche entre ces deux espaces étant surjective, c'est une bijection. On a alors, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, une suite exacte courte :

$$0 \to H_c^1(\partial Y'_i)_q \xrightarrow{\alpha_i} H_c^1(Y'_i)_q \xrightarrow{\phi_i} H^1(\hat{Y}_i)_q \to 0.$$

On peut alors obtenir une suite exacte :

$$0 \to \bigoplus_{i=1}^n H_c^1(\partial Y'_i)_q \xrightarrow{i_2} \bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q \xrightarrow{\varphi_2} \bigoplus_{i=1}^n H^1(\hat{Y}_i)_q \to 0. \quad (6.3.1)$$

Pour simplifier les notations ici, nous allons poser :

$$\text{— } W = \bigoplus_{i=1}^n H_c^1(\partial Y'_i)_q = \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^1(\partial Y'_i)_q \simeq \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^1(\partial X'_i)_q$$

$$\text{— } V_1 = H_c^1(X'_i)_q \simeq H_c^1(Y'_i)_q$$

$$\text{— } V_2 = \bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q$$

Ainsi, les suites exactes (6.2.3), (6.3.1) et (6.2.4) s'écrivent respectivement :

$$\text{— } 0 \to W \xrightarrow{i_1} V_1 \xrightarrow{\varphi_1} H^1(\hat{X})_q \to 0$$

$$\text{— } 0 \to W \xrightarrow{i_2} V_2 \xrightarrow{\varphi_2} \bigoplus_{i=1}^n H^1(\hat{Y}_i)_q \to 0$$

$$\text{— } 0 \to W \xrightarrow{j} V_1 \oplus V_2 \xrightarrow{\varphi} H^1(\hat{Y})_q \to \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^2(\partial Y'_i)_q \to 0$$

On a $j : w \in W \mapsto (w, w) \in V_1 \oplus V_2$ est injective. Comme $V_1 = H_c^1(X'_i)_q \simeq H_c^1(Y'_i)_q$ et $V_2 \subset H^1(\hat{Y})_q$, on a naturellement des morphismes $\tilde{\varphi}_1 : V_1 \to H^1(\hat{Y})_q$ et $\tilde{\varphi}_2 : V_2 \to H^1(\hat{Y})_q$, alors : $\varphi(v_1, v_2) = \tilde{\varphi}_2(v_2) - \tilde{\varphi}_1(v_1)$. On peut s'assurer que :

**Lemme 6.3.5.** Les morphismes $\tilde{\varphi}_1$ et $\tilde{\varphi}_2$ sont injectifs.
**Démonstration** : Supposons $v_1 \in \ker(\tilde{\varphi}_1)$ et considérons $(v_1, 0) \in V_1 \oplus V_2$. Alors $\varphi(v_1, 0) = \tilde{\varphi}_2(0) - \tilde{\varphi}_1(v_1) = 0$ donc $(v_1, 0) \in \ker(\varphi) = \mathrm{Im}(j)$. Alors $(v_1, 0)$ est de la forme $(w, w)$, d'où $v_1 = 0$ et $\tilde{\varphi}_1$ est injective.

On peut faire exactement le même raisonnement pour montrer que $\tilde{\varphi}_2$ est injective. $\square$

Le morphisme injectif $i_1$, respectivement $i_2$, permet de considérer $W$ comme un sous-espace de $V_1$, respectivement $V_2$. Considérons $W_1$ et $W_2$ tels que :

$$V_1 = W \oplus W_1 \quad ; \quad V_2 = W \oplus W_2.$$

**Lemme 6.3.6.** La restriction $\varphi_1|_{W_1}: W_1 \to H^1(\hat{X})_q$ réalise une isométrie entre $(W_1, \langle\cdot\rangle_{\hat{Y}})$ et $(H^1(\hat{X})_q, \langle\cdot\rangle_{\hat{X}})$. De même, $\varphi_2|_{W_2}$ réalise une isométrie entre $(W_2, \langle\cdot\rangle_{\hat{Y}})$ et $(\bigoplus_{i=1}^n H^1(\hat{Y}_i)_q, \langle\cdot\rangle_{\hat{Y}})$

**Démonstration** : On peut voir que $\varphi_1|_{W_1}$ est un isomorphisme : en effet, $\varphi_1$ est surjective, donc pour tout $\eta \in H_c^1(\hat{X})_q$, on peut trouver $v_1 \in V_1 = W \oplus W_1$ tel que $\varphi_1(v_1) = \eta$. Or $v_1 = w + w_1$ avec $w \in W = \mathrm{Im}(i_1) = \ker(\varphi_1)$ et $w_1 \in W_1$, donc $\varphi_1(v_1) = \varphi_1(w_1)$ et donc $\varphi_1|_{W_1}$ est surjective. De plus, si $w_1, w'_1 \in W_1$ vérifient $\varphi(w_1) = \varphi(w'_1)$, alors $\varphi(w_1 - w'_1) = 0$ donc $w_1 - w'_1 \in W_1 \cap W = \{0\}$ et finalement $\varphi|_{W_1}$ est injective. Alors pour tout $\eta, \mu \in W_1$,

$$\langle \varphi_1(\eta), \varphi_1(\mu) \rangle_{\hat{X}} = \frac{i}{2} \int_{\hat{X}} \varphi_1(\eta) \wedge \overline{\varphi_1(\mu)} = \frac{i}{2} \int_{X'} \eta \wedge \bar{\mu}.$$

Comme $X' = Y'$, on a de plus, $\int_{X'} \eta \wedge \bar{\mu} = \int_{Y'} \eta \wedge \bar{\mu}$. On considère la restriction de la forme d'intersection de $\langle\cdot\rangle_{\hat{Y}}$ au sous-espace $W_1$ de $H^1(\hat{Y})_q$. Alors pour tout $\eta, \mu \in W_1 \subset V_1$,

$$\begin{align*}
\langle \eta; \mu \rangle_{\hat{Y}} &= \frac{i}{2} \int_{\hat{Y}} \eta \wedge \bar{\mu} \\
&= \frac{i}{2} \int_{Y'} \eta \wedge \bar{\mu} \\
&= \frac{i}{2} \int_{X'} \eta \wedge \bar{\mu} \\
&= \frac{i}{2} \int_{\hat{X}} \varphi_1(\eta) \wedge \overline{\varphi_1(\mu)} \\
&= \langle \varphi_1(\eta); \varphi_1(\mu) \rangle_{\hat{X}}.
\end{align*}$$

Finalement on a une isométrie entre $(W_1, \langle\cdot\rangle_{\hat{Y}})$ et $(H^1(\hat{X})_q, \langle\cdot\rangle_{\hat{X}})$. Par le même argument, on peut montrer que $\varphi_2$ est également une isométrie. $\square$

Ainsi, on peut identifier $H^1(\hat{X})_q$, muni de la forme d'intersection sur $\hat{X}$, avec un sous-espace $W_1$ de $H^1(\hat{Y})_q$, muni de la restriction de la forme d'intersection de $\hat{Y}$ à ce sous-espace.

**Lemme 6.3.7.** Pour tout $w \in W$, $w_1 \in W_1$ et $W_2 \in W_2$, on a :

$$\langle w, w_1 \rangle_{\hat{Y}} = \langle w, w_2 \rangle_{\hat{Y}} = \langle w_1, w_2 \rangle_{\hat{Y}}.$$

**Démonstration** : Rappelons que $W = \bigoplus_{i \in F'_q} H_c^1(\partial Y'_i)_q$ et que, pour $i \in F'_q$, $H_c^1(\partial Y'_i)_q$ est engendré par un élément dont l'auto-intersection est nulle d'après le corollaire 3.1.2. Par construction, un élément $v_1 \in V_1$ se décompose de façon unique en la somme d'un
élément $w \in W$ à support compact dans $\cup_{i=1}^n \partial Y'_i$ et d'un élément $w_1$ admettant un représentant à support compact dans $Y' \setminus (\cup_{i=1}^n \partial Y'_i)$ qui est une rétraction de $Y'$. Ainsi, pour tout $w \in W$ et pour tout $w_1 \in W_1$, puisque $w$ et $w_1$ admettent des représentant dont les supports sont disjoints, alors :

$$ \langle w, v_1 \rangle_{\hat{Y}} = \frac{i}{2} \int_{\hat{Y}} w \wedge \bar{w}_1 = \frac{i}{2} \int_{Y'} w \wedge \bar{w}_1 = 0. $$

De la même façon, un élément $v_2 \in V_2$ se décompose de façon unique en la somme d'un élément $w \in W$ à support compact dans $\cup_{i=1}^n \partial Y'_i$ et d'un élément $w_2$ admettant un représentant à support compact dans $(\oplus_{i=1}^n Y'_i) \setminus (\cup_{i=1}^n \partial Y'_i)$ qui est une rétractation de $\oplus_{i=1}^n Y'_i$. Ainsi, pour tout $(w, w_2) \in W \oplus W_2$, $\langle \varphi_2(w); \varphi_2(w_2) \rangle_{\hat{Y}} = 0$.

On peut également vérifier que $W_1$ et $W_2$ sont orthogonaux. En effet, pour tout $(w_1, w_2) \in W_1 \times W_2$, on peut trouver un représentant de $w_1$, respectivement de $w_2$, à support compact dans $Y' \setminus (\cup_{i=1}^n \partial Y'_i)$, respectivement dans $(\cup_{i=1}^n Y'_i) \setminus (\cup_{i=1}^n \partial Y'_i)$. Ces supports étant disjoints, $\langle w_1, w_2 \rangle_{\hat{Y}} = 0$. $\square$

Rappelons que pour un $i \in \{1, \dots, n\}$ fixé, $H_c^1(\partial Y'_i)_q$ est engendré par un élément $\eta_i$ dont l'auto-intersection est nulle. Ainsi $W$ est orthogonal à $\text{Im}(\varphi)$. Or la forme d'intersection n'est pas dégénérée sur $H^1(\hat{Y})_q$. Alors :

**Proposition 6.3.8.** *Il existe $W' \subset H^1(\hat{Y})_q$ vérifiant :*

$$ H^1(\hat{Y})_q \simeq (W \oplus W') \oplus W_1 \oplus W_2 $$

tel que les espaces $(W \oplus W')$, $W_1$ et $W_2$ en somme directe orthogonale.

**Démonstration** : Rappelons qu'on a un isomorphisme entre $H^1(\hat{Y})_q$ et son dual $(H^1(\hat{Y})_q)^*$, donné par la forme d'intersection avec : $\forall \alpha \in H^1(\hat{Y})_q$, $\alpha^*(\cdot) = \langle \alpha; \cdot \rangle$.

On considère la liste ordonnée des éléments de $F'_q$ classés par ordre croissant : $F'_q = \{\sigma(1), \sigma(2), \dots, \sigma(\#F'_q)\}$. Comme la forme d'intersection est non dégénérée sur $H^1(\hat{Y})_q$ et que $W$ est orthogonale à $\text{Im}(\varphi)$, on doit pouvoir trouver un sous-espace $W' \subset H^1(\hat{Y})_q$ non orthogonal à $W$. Considérons un élément $\beta_1 \in (H^1(\hat{Y})_q)^*$ vérifiant :

$$ \text{— } \beta_1(\eta_{\sigma(1)}) = 1 \text{ et } \beta_1(\eta_{\sigma(j)}) = 0 \text{ pour tout } j \neq 1 $$

$$ \text{— } \beta_1 \text{ est nul sur } W_1 \text{ et sur } W_2 $$

On fixe $\mu_1$ l'élément de $H^1(\hat{Y})_q$ dual à $\beta_1$. On peut corriger $\mu_1 \mapsto \mu_1 + \lambda \eta_{\sigma(1)}$ pour que $\langle \mu_1; \mu_1 \rangle = 0$.

On ré-itère le procédé en choisissant cette fois un $\beta_2 \in (H^1(\hat{Y})_q)^*$ vérifiant :

$$ \text{— } \beta_2(\eta_{\sigma(2)}) = 1 \text{ et } \beta_2(\eta_{\sigma(j)}) = 0 \text{ si } j \neq 2 $$

$$ \text{— } \beta_2 \text{ est nul sur } W_1 \text{ et sur } W_2 $$

$$ \text{— } \beta_2(\mu_1) = 0 $$

On fixe l'élément $\mu_2 \in H^1(\hat{Y})_q$ correspondant à $\beta_2$ et corrigé de sorte que $\langle \mu_2; \mu_2 \rangle = 0$. On construit ainsi des éléments $\mu_1, \dots, \mu_{\#F'_q}$ et on note $W'$ l'espace qu'ils engendrent. Alors $W'$ s'identifie au dual de $W$, on a donc $W' \cap \text{Im}(\varphi) = \{0\}$, d'où $W' \oplus \text{Im}(\varphi) = (W' \oplus W) \oplus W_1 \oplus W_2 \subset H^1(\hat{Y})_q$. Rappelons que la dimension de $H_c^1(\hat{Y})_q$ est $k_0 - 1 - \varepsilon_0$ d'après 2.2.3, les dimensions de $W$ et $W'$ sont $\#(F'_q)$, comme $V_1 = W \oplus W_1$, et que la dimension de $V_1$ est donnée dans la démonstration du théorème 6.0.1, la dimension de $W_1$
est $n - 1 - \varepsilon_0$. De même, comme $V_2 = W \oplus W_2$, la dimension de $W_2$ est $k_0 - n - \#(F'_q)$.
Par égalité des dimensions, on a :

$$
H^1(\hat{Y})_q \simeq (W \oplus W') \oplus W_1 \oplus W_2.
$$

De plus, les espaces $W \oplus W'$, $W_1 \simeq H^1(\hat{X})_q$ et $W_2 \simeq \oplus_{i=1}^n H^1(\hat{Y}_i)_q$ sont orthogonaux entre eux, ainsi la somme ci-dessus est une décomposition de $H^1(\hat{Y})_q$ en somme directe orthonale.
□

En conséquence, on a immédiatement :

$$
(r_Y, s_Y) = (r_q, s_q) + \sum_{i=1}^{n} (r_i, s_i) + (r, s) \qquad (6.3.2)
$$

où les $(r_i, s_i)$ sont respectivement les signatures sur les espaces $H^1(\hat{Y}_i)_q$, $(r_q, s_q)$ est la signature de la forme d'intersection sur $H^1(\hat{X})_q$, $(r_Y, s_Y)$ est la signature de la forme d'intersection sur $H^1(\hat{Y})_q$ et enfin $(r, s)$ est la signature sur $W \oplus W'$.

**Lemme 6.3.9.** La signature $(r, s)$ de la forme d'intersection sur $W \oplus W'$ vaut $(\#F'_q, \#F'_q)$.

_Démonstration_ : Considérons la base $\{\eta_{\sigma(1)}, \mu_1, \eta_{\sigma(2)}, \mu_2, \dots, \eta_{\sigma(\#F'_q)}, \mu_{\#F'_q}\}$ de $W \oplus W'$.
La matrice de la forme d'intersection sur cette base est :

$$
\left(
\begin{array}{ccccccc}
0 & 1 & & & & & \\
1 & 0 & & & & & \\
& & 0 & 1 & & & \\
& & 1 & 0 & & & \\
& & & & \ddots & & \\
& & & & & 0 & 1 \\
& & & & & 1 & 0
\end{array}
\right)
$$

Or la matrice $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ a pour valeurs propres 1 et $-1$ donc $(r, q) = (\#F'_q, \#F'_q)$. $\square$

**Lemme 6.3.10.** On a : $r_Y - \sum_{i=1}^n r_i = \lfloor \frac{k_0 k}{d} \rfloor - \varepsilon_0 - (\sum_{i=1}^n \lfloor \frac{k_i k}{d} \rfloor - \#F'_q)$ et $s_Y - \sum_{i=1}^n s_i = \lfloor k_0 (1 - \frac{k}{d}) \rfloor - \varepsilon_0 - (\sum_{i=1}^n \lfloor k_i (1 - \frac{k}{d}) \rfloor - \#F'_q)$.

_Démonstration_ : Comme on a pu le voir dans le cas $F'_q = \emptyset$, on a $q^{k_i} = 1 \iff \frac{k_i k}{d} \in \mathbb{N}$, et donc :

$$
\text{— si } i \in F'_q, \text{ on a } \lceil k_i \frac{k}{d} - 1 \rceil = \frac{k_i k}{d} - 1 = \lceil \frac{k_i k}{d} \rceil - 1
$$

$$
\text{— si } i \notin F'_q, \text{ on a } \lceil k_i \frac{k}{d} - 1 \rceil = \lfloor \frac{k_i k}{d} \rfloor.
$$

Alors $r_Y - \sum_{i=1}^{n} r_i = \lfloor \frac{k_0 k}{d} \rfloor - \varepsilon_0 - (\sum_{i=1}^{n} \lfloor \frac{k_i k}{d} \rfloor - \#F'_q)$.

De même, pour le calcul de $s_Y - \sum_{i=1}^{n} s_i$, on aura :

$$
\text{— si } i \in F'_{q}, \lceil k_{0}(1 - \frac{k}{d}) - 1 \rceil = \lfloor k_{0}(1 - \frac{k}{d}) \rfloor - 1
$$

$$
\text{— si } i \notin F'_{q}, \lceil k_{i}(1 - \frac{k}{d}) - 1 \rceil = \lfloor k_{i}(1 - \frac{k}{d}) \rfloor.
$$
et donc $s_Y - \sum_{i=1}^n s_i = \lfloor k_0(1 - \frac{k}{d}) \rfloor - \varepsilon_0 - (\sum_{i=1}^n \lfloor k_i(1 - \frac{k}{d}) \rfloor - \#F'_q)$.

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

On peut finalement démontrer le théorème 6.0.2 dans le cas $F'_q \neq \emptyset$ :

Démonstration du théorème 6.0.2 dans le cas $F'_q \neq \emptyset$ :

D'après l'égalité (6.3.2), la formule 2.2.4, les lemmes 6.3.9 et 6.3.10, on a finalement :

$$ (r_q, s_q) = \left( \lfloor \frac{k_0 k}{d} \rfloor - \sum_{i=1}^{n} \lfloor \frac{k_i k}{d} \rfloor - \varepsilon_0, \lfloor k_0 (1 - \frac{k}{d}) \rfloor - \sum_{i=1}^{n} \lfloor k_i (1 - \frac{k}{d}) \rfloor - \varepsilon_0 \right). $$

On peut alors vérifier que la forme d'intersection est non dégénérée sur $H^1(\hat{X})_q$. On a :

$$ \begin{aligned} r_q + s_q &= (r_Y + s_Y) - \sum_{i=1}^{n} (r_i + s_i) - 2\#F'_q \\ &= \dim(H^1(\hat{Y})_q) - \sum_{i=1}^{n} (\dim(H^1(\hat{Y}_i)_q) - 2\#F'_q) \\ &= k_0 - 1 - \varepsilon_0 - \sum_{i=1}^{n} (k_i - 1 - \varepsilon_i) - 2\#F'_q \\ &= n - 1 - \varepsilon_0 + \#F'_q - 2\#F'_q \\ &= n - 1 - \#F_q \end{aligned} $$

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

### 6.3.3 Le cas non connexe

**Proposition 6.3.11.** *Les théorèmes 6.0.1 et 6.0.2 sont toujours valables lorsque $\hat{X}$ admet moins de $d$ composantes connexes.*

*Démonstration* : Notons $m := \text{pgcd}(e_1, \dots, e_n) = \text{pgcd}(k_1, \dots, k_n, d)$ et supposons $1 < m$. On a :

$$ \begin{aligned} y^d &= \prod_{i=1}^{n} (x - b_i)^{k_i} &\iff& (y^{\frac{d}{m}})^m = \left( \prod_{i=1}^{n} (x - b_i)^{\frac{k_i}{m}} \right)^m \\ &\iff& \exists l \in \{0, \dots, m-1\} : \zeta_m^l y^{\frac{d}{m}} &= \prod_{i=1}^{n} (x - b_i)^{\frac{k_i}{m}}. \end{aligned} $$

Pour tout $l \in \{0, \dots, m-1\}$, les solutions de l'équation $\zeta_m^l y^{\frac{d}{m}} = \prod_{i=1}^n (x-b_i)^{\frac{k_i}{m}}$ forment une sous-surface de $\hat{X} \setminus (\tilde{B} \cup \tilde{\infty})$, notée $Z_l$. Puisque $T$ est défini sur la courbe algébrique par $T(x, y) = (x, \zeta_d y)$, on a ici, pour $(x_0, y_0) \in Z_l$, $T(x_0, y_0)$ vérifie l'équation $\zeta_m^{l-1} y^{\frac{d}{m}} = \prod_{i=1}^n (x-b_i)^{\frac{k_i}{m}}$. Ainsi, on peut montrer que $T(Z_l) = Z_{l-1}$ et donc $T$ permute les sous-surfaces $Z_l$. On peut de même que dans le chapitre 4, normaliser cette courbe algébrique que l'on note de nouveau $\hat{X}_l$. On a alors $\hat{X}_l$ est connexe d'après 4.2.3. Alors $T^m|_{\hat{X}_l}$ est un automorphisme de $\hat{X}_l$ qui permute cycliquement dans $\hat{X}_l$ les solutions de $\zeta_m^l y^{\frac{d}{m}} = \prod_{i=1}^n (x-b_i)^{\frac{k_i}{m}}$. Puisque $(T^m|_{\hat{X}_l})^{\frac{d}{m}} = \text{Id}$, on peut considérer les sous-espaces propres de $T^*|_{\hat{X}_l}$ ici les valeurs propres sont des racines $\frac{d}{m}$-ième de l'unité. En particulier, on va voir que l'espace propre $H^1(\hat{X}_l)_{qm}$ est un sous-espace de $H^1(\hat{X})_q$.

Pour résumer, $\hat{X}$ est la réunion disjointe de $m$ copies d'une surface construite à partie de l'équation algébrique $y^{\frac{d}{m}} = \prod_{i=1}^n (x-b_i)^{\frac{k_i}{m}}$, ces copies sont permutées cycliquement
par $T$. On note $\hat{X}_0, \dots, \hat{X}_{m-1}$ ces différentes copies, indexées de sorte que $T : \hat{X}_l \to \hat{X}_{l-1} \bmod m$, et donc $T^*(H^1(\hat{X}_l)) \subset H^1(\hat{X}_{l+1} \bmod m)$, $\forall l \in \{0, \dots, m-1\}$. L'automorphisme jouant le rôle de $T_{\hat{X}}$ sur chacune des $\hat{X}_l$ est donné par $T_l := T^m|_{\hat{X}_l}$, et l'espace propre $H^1(\hat{X}_l)_{qm}$ est l'ensemble des éléments $w_l$ de $H^1(\hat{X}_l)$ tels que $T_l^*(w_l) = q^m w_l$, ce qui revient à $(T^m|_{\hat{X}_l})^*(w_l) = (T^*)^m(w_l) = q^m w_l$.

Si $w \in H^1(\hat{X})_q$, alors $w = (w_0, \dots, w_{m-1})$ où $w_l \in H^1(\hat{X}_l)$. Alors :

$$T^*(w) = T^*((w_0, \dots, w_{m-1})) = (T^*(w_{m-1}), T^*(w_0), \dots, T^*(w_{m-2}))$$

et comme $T^*(w) = qw$ on doit avoir pour tout $l \in \{0, \dots, m-1\}$, $w_l = q^{-1}T^*(w_{l-1})$ et $w_0 = q^{-1}T^*(w_{m-1})$. Alors $w_l = q^{-l}(T^*)^l(w_0)$, pour tout $l \in \{0, \dots, m-1\}$ et $w_0 = q^{-m}(T^*)^m(w_0)$. Finalement, $(T_0^*)^m(w_0) = q^m(w_0)$, donc $w_0 \in H^1(\hat{X}_0)_{qm}$. Ainsi le choix de $w$ ne dépend que de la donnée d'un élément $w_0 \in H^1(X_0)_{qm}$.

Réciproquement, la donnée d'un tel élément va permettre la construction d'un $w \in H^1(\hat{X})_q$. On a donc une bijection entre les deux espaces vectoriels $H^1(\hat{X})_q$ et $H^1(\hat{X}_0)_{qm}$. D'après le théorème 6.0.1, on sait que $\dim(H^1(\hat{X}_0)_{qm}) = n - 1 - \sum_{i=0}^n \theta_i$ où $\theta_i = 1$ si $(q^m)^{\frac{k_i}{m}} = 1$. c'est-à-dire si $q^{k_i} = 1$, et $\theta_i = 0$ sinon. On a finalement : $\dim(H^1(\hat{X})_q) = n - 1 - \#F_q$.

Pour l'étude de la signature de la forme d'intersection lorsque $\hat{X}$ n'est pas connexe, remarquons que la suite exacte (6.2.3) est toujours vraie, ainsi les raisonnements faits dans les cas $F'_q = \emptyset$ et $F'_q \neq \emptyset$ sont toujours vrais et la formule pour la signature reste inchangée. $\square$

On a ainsi montré :

**Lemme 6.3.12.** $H^1(\hat{X})_q \simeq H^1(\hat{X}_0)_{qm}$

**Remarque 6.3.13.** Si $\hat{X}$ est formé exactement de d composantes connexes, alors $H^1(\hat{X})_q \simeq H^1(\hat{X}_0)_1 = \{0\}$. Ainsi $(r_q, s_q) = (0, 0)$.

Finalement, on peut généraliser les premiers résultats de McMullen aux espaces $H^1(\hat{X})_q$, avec $q$ une racine d-ième de l'unité qui ne soit pas 1. On peut déterminer la dimension des $H^1(\hat{X})_q$, et la signature de la forme d'intersection sur ces espaces. Les outils mis en place dans cette partie seront de nouveau utilisés pour déterminer une famille généralisatrice de $H^1(\hat{X})_q$.

## 6.4 Les représentations $\rho_q$

Montrons que toute tresse de $PB_n$ peut être associée de façon unique à un élément de $U(H^1(\hat{X})_q)$, où $H^1(\hat{X})_q \subset H^1_{dR}(\hat{X})$ est le sous-espace propre de $T^*$ associée à une valeur propre $q$ racine d-ème de l'unité, et $U(H^1(\hat{X})_q)$ est le groupe unitaire défini comme l'ensemble des homéomorphisme préservant la forme d'intersection $\langle ; \rangle$.

Le théorème 1.13 du livre [FM11], nous dit que tout homéomorphisme d'une surface compacte est homotope à un difféomorphisme de cette surface. On associe à tout élément $f \in \mathrm{Mod}(\hat{X})$, un représentant, que l'on note encore $f$, qui soit un difféomorphisme de $\hat{X}$.

**Lemme 6.4.1.** On a une représentation unitaire :

$$ \begin{array}{ccc} \mathrm{Mod}(\hat{X}) & \to & U(H^1(\hat{X})) \\ f & \mapsto & (f^{-1})^* \end{array} $$
Nous ne ferons pas ici de démonstration de ce lemme puisqu'il est clair que $f \mapsto (f^{-1})^*$ est un morphisme, et qu'il est également classique que Mod($\hat{X}$) préserve la forme d'inter-section. On obtient ainsi une représentation Mod($\hat{X}$) $\to U(H^1(\hat{X})_q)$.

Notons Mod($\hat{X}$)$^T$ les éléments de Mod($\hat{X}$) qui commutent avec T.

**Lemme 6.4.2.** *Pour tout $f \in \text{Mod}(\hat{X})^T$, les éléments $(f^{-1})^*$ pré servent les espaces propres $H^1(\hat{X})_q$.*

**Démonstration** : On sait que $f$ et $T$ commutent, alors $f^{-1}$ et $T$ commutent et pour tout $w \in H^1(\hat{X})_q$, on a :

$$ 
\begin{align*}
(T^* - q \text{Id})((f^{-1})^*(w)) &= (T^* \circ (f^{-1})^*)(w) - q(f^{-1})^*(w) \\
&= (f^{-1} \circ T)^*(w) - q(f^{-1})^*(w) \\
&= (T \circ f^{-1})^*(w) - q(f^{-1})^*(w) \\
&= ((f^{-1})^* \circ T^*)(w) - (f^{-1})^*(w) \\
&= (f^{-1})^*(qw) - (f^{-1})^*(w) \\
&= 0.
\end{align*}
$$

Donc $(f^{-1})^*(H^1(\hat{X})_q) \subset H^1(\hat{X})_q$. $\square$

<figure><img src="image_47.png" /></figure>

**Corollaire 6.4.3.** *On obtient $d-1$ représentations $\text{Mod}(\hat{X})^T \to U(H^1(\hat{X})_q)$, pour $q$ une racine $d$-ème de l'unité qui ne soit pas 1.*

**Démonstration** : En effet, on a clairement une représentation de Mod($\hat{X}$)$^T$ obtenue à partir de celle du lemme 6.4.1 donnée par :

$$ 
\begin{array}{ccc}
\text{Mod}(\hat{X})^T & \to & U(H^1(\hat{X})) \\
f & \mapsto & (f^{-1})^*
\end{array}
$$

Or on a vu dans le lemme précédent que les éléments de Mod($\hat{X}$)$^T$ pré servent les sous-espaces $H^1(\hat{X})_q$, on a donc des sous-représentations Mod($\hat{X}$) $\to U(H^1(\hat{X})_q) \simeq U(r_q, s_q)$, pour $q$ une racine $d$-ème de l'unité qui n'est pas 1. $\square$

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

On a finalement :

**Théorème 6.4.4.** *Pour $q \neq 1$ une racine $d$-ième de l'unité, on obtient une représentation :*

$$ 
\rho_q: \begin{array}{ccc} PB_n & \to & U(H^1(\hat{X})_q) \simeq U(r_q, s_q) \\ \tau & \mapsto & (\tilde{\tau}^{-1})^* \end{array} .
$$

**Démonstration** : En effet, d'après 5.0.1, on associe à toute tresse $\tau \in PB_n$ un unique $\tilde{\tau} \in \text{Mod}(\hat{X})^T$. Il s'agit clairement d'un morphisme, on récupère alors $d-1$ représentation en restreignant les représentations du corollaire 6.4.3 aux relevés des tresses de $PB_n$. $\square$

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

Nous voulons à présent étudier ces représentations, et notamment expliciter l'action des générateurs $\alpha_{i,j}$ du groupe $PB_n$ sur $U(H^1(\hat{X})_q)$. Dans le chapitre suivant, nous traiterons le cas particulier des $\alpha_{i,i+1} = \tau_i^2$. Nous introduirons pour cela la notion de câblage.
# Chapitre 7

## Construction d'une famille génératrice
($g_1, \dots, g_n$ de $H^1(\hat{X})_q$

Dans cette partie, on construit une famille génératrice de $H^1(\hat{X})_q$ formée de $n$ éléments $g_1, \dots, g_n$ engendrant respectivement un $H_c^1(X_i)_q$, où $X_i$ est la pré-image du disque ouvert complexe $D_i$, qui contient uniquement les points marqués $b_i$ et $b_{i+1}$. Nous montrerons que les $g_i$ forment une famille génératrice de $H^1(\hat{X})_q$.

Pour cela nous considérons la surface $\hat{Y}$, construite comme précédemment à partir de la courbe algébrique :

$$y^d = \prod_{i=1}^{n} \prod_{j=1}^{k_i} (x - b_{i,j})$$

où les $b_{i,j}$ sont dans un voisinage $D'_i$ de $b_i$, avec $D'_i \cap D'_j = \emptyset$ si $i \neq j$. On note $Y'_i$ la pré-image de $D'_i$ dans $\hat{Y}$.

Pour simplifier l'exposition, on suppose à partir de maintenant que $q^{k_i} \neq 1$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, puisque la dimension de $H_c^1(\hat{X})_q$ ne dépend que du cardinal de $\{i \in \{1, \dots, n\} | q^{k_i} \neq 1\}$, cette restriction n'affecte en rien nos résultats principaux. On a donc d'après 6.3.3 :

$$H^1(\hat{Y})_q \simeq H_c^1(Y')_q \oplus (\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q) \quad (7.0.1)$$

où $H_c^1(Y')_q \simeq H^1(\hat{X})_q$ est l'orthogonal de $\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q$. Nous démontrons dans ce chapitre le résultat principal suivant :

**Théorème 7.0.1.** Il existe une famille génératrice ($g_1, \dots, g_n$) de $H^1(\hat{X})_q$ telle que, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, $g_i$ est à support compact dans $X_i$, engendre $H_c^1(X_i)_q$ et les valeurs de la forme d'intersection entre les $g_i$ sont :

$$— \langle g_i; g_i \rangle = i \frac{\bar{q}(1-q)^2(1-q^{k_i+k_{i+1}})}{(1-q^{k_i})(1-q^{k_{i+1}})}$$

$$— \langle g_i; g_{i+1} \rangle = -i \frac{\bar{q}(1-q)^2}{1-q^{k_i+1}}$$

$$— \langle g_i; g_{i-1} \rangle = -i \frac{q^{k_i} \bar{q}(1-q)^2}{1-q^{k_i}}$$

$$— \langle g_i; g_j \rangle = 0 \text{ si } |i-j| > 1.$$

De plus : $\sum_{i=1}^{n} g_i = 0 \in H^1(\hat{X})_q$.

Ce résultat généralise le théorème 2.2.4, issu de l'article [McM13]. Afin d'utiliser les résultats de McMullen sur la surface $\hat{Y}$, nous devons introduire de nouvelles notations. Les points marqués sur la sphère pour définir cette surface $\hat{Y}$ dans ce cas sont les $b_{i,j}$.
On veut pouvoir considérer un disque ayant deux points marqués d'indexation successive, c'est-à-dire contenant $b_{i,j}$ et $b_{i,j+1}$ si $j \neq k_i$, ou bien $b_{i,k_i}$ et $b_{i+1,1}$ si $j = k_i$. On notera $D_{i,j}$ un tel disque topologique, comme illustré sur la figure 7.1, et $Y_{i,j}$ sa pré-image dans $\hat{Y}$. Alors les générateurs de McMullen de $H^1(\hat{Y})_q$ sont les éléments $g_{i,j}$ qui engendrent respectivement $H_c^1(Y_{i,j})_q$ et sur lesquels la forme d'intersection $\langle\cdot;\cdot\rangle_{\hat{Y}}$ sur $H^1(\hat{Y})_q$ prend les valeurs annoncées dans le théorème 2.2.11.

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>FIGURE 7.1 – Illustration des disques $D_i$, $D'_i$ et $D_{i,j}$</figcaption></figure>

## 7.1 Le cas $n = 2$

D'après le lemme 6.1.2, pour étudier un $H_c^1(X_i)_q$, il suffit de considérer le cas $n = 2$. On suppose donc que $n = 2$, on a également l'hypothèse $q^{k_1} \neq 1$ et $q^{k_2} \neq 1$. Pour que ce cas puisse nous servir par la suite, nous ne ferons pas d'hypothèse sur la connexité de $\hat{X}$, c'est-à-dire qu'on ne suppose plus que $\text{pgcd}(k_1, k_2, d) = 1$. Les surfaces $\hat{X}$ et $\hat{Y}$ sont construites respectivement à partir des courbes algébriques suivantes :

$$y^d = (x - b_1)^{k_1} (x - b_2)^{k_2} \quad ; \quad y^d = \prod_{i=1}^{2} \prod_{j=1}^{k_i} (x - b_{i,j})$$

où les $b_{1,j}$ sont dans un voisinage $D'_1$ de $b_1$, et les $b_{2,j}$ sont dans un voisinage $D'_2$ de $b_2$, avec $D'_1 \cap D'_2 = \emptyset$.

On verra pour commencer que $H_c^1(X_1)_q$ est de dimension 1. On fera ensuite le lien entre $H_c^1(X_1)_q$ et $H_c^1(Y_1)_q$ où $Y_1$ est la pré-image de $D_1$ dans $\hat{Y}$. On pourra alors construire un générateur $g_1$ de $H_c^1(X_1)_q$.

### 7.1.1 Étude préalable de $H_c^1(X_1)_q$ et de sa dimension

On a toujours ici les hypothèses $q^{k_1} \neq 1$, $q^{k_2} \neq 1$. En revanche, $m := \text{pgcd}(d, k_1, k_2)$ n'est pas forcément 1, alors $\hat{X}$ est constitué de $m$ composantes connexes et est donc connexe si et seulement si $m = 1$, on pourra se référer à ce qui a été fait dans la partie 6.3.3.

Notre objectif ici généraliser la proposition 2.2.9 à la surface $\hat{X}$ pour étudier $H_c^1(X_1)_q$ soit comme $H^1(\hat{X})_q$, si $q^{k_1+k_2} \neq 1$, soit comme $H_c^1(\partial X_1)_q$ sinon.

#### Analyse topologique de $X_1$ et $Y_1$

Pour mieux comprendre les surfaces avec lesquelles nous travaillons et leurs sous-surfaces, nous les illustrons dans les cas $\hat{X}$ connexe ou non. Ces illustrations sont schématiques et ne représentent pas forcément un cas pour des valeurs précises de $n, d, k_1$ et $k_2$.
Remarquons d'abord que $X_1$ correspond à la surface $\hat{X}$ privée des $e_0 = \text{pgcd}(k_1 + k_2, d)$ disques au-dessus du voisinage de $\infty$. On sait également que $X'_1$ (la pré-image de $D'_1$ dans $\hat{X}$) est formée de $e_1$ disques disjoints, et de même $X'_2$ (la pré-image de $D'_2$) est formée de $e_1$ disques disjoints. D'autre part, $Y_1$ correspond à $\hat{Y}$ privé des $\text{pgcd}(k_1 + k_2, d)$ disques au-dessus du voisinage de $\infty$, et $Y'_1, Y'_2$ sont connexes et ont respectivement $e_1$ et $e_2$ composantes de bord. On a alors $X_1 \setminus (X'_1 \cup X'_2) \simeq Y_1 \setminus (Y'_1 \cup Y'_2)$. On notera ces espaces $X''$ et $Y''$, ils sont égaux topologiquement.

Lorsque $\hat{X}$ est connexe, nous pouvons illustrer $X''$ et $Y''$ de la façon suivante :

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>FIGURE 7.2 – Illustration de $Y_1 = Y'' \cup (Y'_1 \cup Y'_2)$ et $X_1 = X''_1 \cup (X'_1 \cup X'_2)$ dans le cas $\hat{X}$ connexe</figcaption></figure>
Lorsque $\hat{X}$ n'est pas connexe, ses $m$ composantes connexes contiennent chacune $\frac{e_1}{m}$ et $\frac{e_2}{m}$ composantes de bord de $X'_1$ respectivement $X'_2$, on aura donc de façon similaire pour $Y''$, $m$ composantes connexes, chacune comportant $\frac{e_1}{m}$ et $\frac{e_2}{m}$ composantes de bord de $Y'_1$ et $Y'_2$, avec ces deux surfaces qui restent connexes.

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>FIGURE 7.3 – Illustration de $Y_1 = Y'' \cup (Y'_1 \cup Y'_2)$ dans le cas $\hat{X}$ non connexe</figcaption></figure>

On peut maintenant passer à des résultats plus abstraits en se référant éventuellement aux illustrations précédentes.

### Espaces isomorphes à $H_c^1(X_1)_q$

On veut montrer que :

**Proposition 7.1.1.** Si $q^{k_1+k_2} \neq 1$, alors $H_c^1(X_1)_q \simeq H^1(\hat{X})_q$, et sinon $H_c^1(X_1)_q \simeq H_c^1(\partial X_1)_q$.

**Démonstration** : Comme précédemment, on note $k_0 = k_1 + k_2$ et $e_0 = \text{pgcd}(k_0, d)$. Rappelons que $\hat{X} \setminus X_1$ est une réunion de $e_0$ disques permutés cycliquement par $T$, donc :

$$— H^1(X_1^c)_q = \{0\}$$

— $H_c^1(\partial X_1)_q$, $H_c^2(\partial X_1)_q$ et $H_c^2(\hat{X} \setminus X_1)_q$ sont de dimension 1 si $q^{k_1+k_2} = 1$ et de dimension nulle sinon d'après le lemme 6.1.3

On a alors la suite exacte de Mayer-Vietoris suivante :

$$ \begin{tikzcd} H_c^1(\partial X_1)_q \arrow[r] \arrow[d] & H_c^1(X_1)_q \arrow[r] \arrow[d] & H^1(\hat{X})_q \arrow[r] \arrow[d] & H_c^2(\partial X_1)_q \arrow[r] \arrow[d] & H_c^2(X_1)_q \oplus H_c^2(\hat{X} \setminus X_1)_q \arrow[d] \\ H_c^0(\hat{X})_q & & & & \end{tikzcd} \quad (7.1.1) $$

Supposons que $\hat{X}$ est connexe, on a $H_c^0(\hat{X})_q = \{0\}$ et $H_c^2(\hat{X})_q = \{0\}$. Comme $X_1$ correspond à $\hat{X}$ privé d'une réunion de disques, $X_1$ est également connexe et donc $H_c^2(X_1)_q = \{0\}$. La suite de Mayer-vietoris (7.1.1) nous donne dans ce cas :

$$0 \to H_c^1(\partial X_1)_q \to H_c^1(X_1)_q \to H^1(\hat{X})_q \to H_c^2(\partial X_1)_q \to H_c^2(\hat{X} \setminus X_1)_q \to 0.$$
Si $q^{k_1+k_2} \neq 1$, $H_c^1(\partial X_1)_q$ et $H_c^2(\partial X_1)_q$ sont de dimension 0 on a donc un isomorphisme $H_c^1(X_1)_q \simeq H^1(\hat{X})_q$. Sinon, la dimension de $H^1(\hat{X})_q$ est nulle d'après le théorème 6.0.1, on a donc dans ce cas $H_c^1(\partial X_1)_q \simeq H_c^1(X_1)_q$.

Supposons que $\hat{X}$ n'est pas connexe, c'est-à-dire ici que $m = \text{pgcd}(d, k_1, k_2) \neq 1$. Remarquons que $m \neq d$ sinon $q^{k_1} = q^{k_2} = 1$. On pourra donc utiliser le théorème 6.3.11. On sait que $\hat{X}$ est composé de $m$ sous-surfaces connexes $\hat{X}^0, \dots, \hat{X}^{m-1}$ deux à deux disjointes, correspondant chacune à une surface obtenue via une courbe algébrique : $y^{\frac{d}{m}} = (x - b_1)^{\frac{k_1}{m}} (x - b_2)^{\frac{k_2}{m}}$.

Attention toute fois au fait que, comme $T$ permute les composantes connexes, l'automorphisme jouant le rôle de $T$ sur la sous-surface $\hat{X}^k$ est donné par $T^m|_{\hat{X}^k}$. Donc ici, la valeur propre nous intéressant est $q^m$ et non plus $q$.

De même que dans la démonstration de 6.3.12, on peut montrer que $H^1(\hat{X})_q \simeq H^1(\hat{X}^0)_{q^m}$, et $H_c^1(X_1)_q \simeq H_c^1(X_1 \cap \hat{X}^0)_{q^m}$. Finalement en appliquant la preuve du cas connexe à la surface $H^1(\hat{X}^0)_{q^m}$ on a : si $(q^m)^{\frac{\text{pgcd}(k_1+k_2,d)}{m}} \neq 1$, c'est-à-dire si $q^{k_1+k_2} \neq 1$, alors :

$$H^1(\hat{X})_q \simeq H^1(\hat{X}^0)_{q^m} \simeq H_c^1(X_1 \cap \hat{X}^0)_{q^m} \simeq H_c^1(X_1)_q$$

et sinon :

$$H_c^1(\partial X_1)_q \simeq H_c^1(\partial(\hat{X}^0 \cap X_1))_{q^m} \simeq H_c^1(X_1 \cap \hat{X}^0)_{q^m} \simeq H_c^1(X_1)_q.$$

□

On peut alors montrer que :

**Proposition 7.1.2.** La dimension de $H_c^1(X_1)_q$ est 1.

*Démonstration* : D'après la proposition 7.1.1 si $q^{k_1+k_2} \neq 1$, alors $H_c^1(X_1)_q \simeq H^1(\hat{X})_q$ qui est de dimension $n-1=1$, et sinon $H_c^1(X_1)_q \simeq H_c^1(\partial X_1)_q$ qui est de dimension 1 dans ce cas. □

On a donc généralisé pour nos surfaces le résultat 2.2.9. De plus, on sait maintenant que la dimension de $H_c^1(X_1)_q$ est 1. On cherche alors un générateur de cet espace. Pour cela, on fait tout d'abord un premier lien avec $H_c^1(Y_1)_q$.

## 7.1.2 Construction d'un générateur de $H_c^1(X_1)_q$

On va montrer la proposition suivante :

**Proposition 7.1.3.** Les isomorphismes $H_c^1(Y'')_q \simeq H_c^1(X'')_q \simeq H_c^1(X_1)_q$ et la décomposition en somme directe :

$$H_c^1(Y_1)_q \simeq H_c^1(Y'')_q \oplus H_c^1(Y'_1)_q \oplus H_c^1(Y'_2)_q$$

permettent de voir $H_c^1(X_1)_q$ comme un sous-espace de $H_c^1(Y_1)_q$.

Pour démontrer cette proposition nous utiliserons la suite de Mayer-Vietoris appliquée à $Y_1$ en décomposant $Y_1 = Y' \cup (Y'_1 \cup Y'_2)$. En particulier, les espaces $H_c^1(Y'_1 \cup Y'_2)_q$, $H_c^1(\partial(Y'_1 \cup Y'_2))_q$ et $H_c^2(\partial(Y'_1 \cup Y'_2))_q$ interviendront. Remarquons ici que $\partial(Y'_1 \cup Y'_2)$ est formé de $e_1+e_2$ anneaux, mais $T$ permute cycliquement d'une part les $e_1$ anneaux formant le bord de $Y'_1$ et d'autre part les $e_2$ anneaux formant $\partial Y'_2$, puisque $q^{k_1} \neq 1$ et $q^{k_2} \neq 1$, on a en particulier :
**Lemme 7.1.4.** $H_c^1(Y'_1 \cup Y'_2)_q = H_c^1(Y'_1)_q \oplus H_c^1(Y'_2)_q$, et les espaces $H_c^1(\partial(Y'_1 \cup Y'_2))_q$ et $H_c^2(\partial(Y'_1 \cup Y'_2))_q$ sont de dimension nulle.

On peut passer maintenant à la démonstration de la proposition 7.1.3 :

*Démonstration de la proposition 7.1.3 :* Comme $Y_1$ correspond à $\hat{Y}$ privé de pgcd($k_1 + k_2, d$) disques, et que $\hat{Y}$ est connexe, $Y_1$ est également connexe. On a alors, en notant $Y'' = Y_1 \setminus (Y'_1 \cup Y'_2)$, la suite de Mayer-Vietoris suivante :

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

Par le lemme précédent, la suite exacte écrite ci-dessus nous donne finalement un isomorphisme :

$$H_c^1(Y_1)_q \simeq H_c^1(Y'')_q \oplus H_c^1(Y'_1)_q \oplus H_c^1(Y'_2)_q.$$

En considérant maintenant la suite de Mayer-Vietoris sur la surface $X_1 = X'' \cup (X'_1 \cup X'_2)$, on a :

$$ \dots \to \underbrace{H_c^1(\partial(X'_1 \cup X'_2))_q}_{\simeq H_c^1(\partial(Y'_1 \cup Y'_2))_q = \{0\}} \to H_c^1(X'')_q \to H_c^1(X_1)_q \to \underbrace{H_c^2(\partial(X'_1 \cup X'_2))_q}_{\simeq H_c^2(\partial(Y'_1 \cup Y'_2))_q = \{0\}} \to \dots $$

qui nous donne immédiatement : $H_c^1(X_1)_q \simeq H_c^1(X'')_q$. On a finalement montré la proposition 7.1.3. $\square$

Passons à la construction d'un générateur de $H_c^1(X_1)_q$ en nous intéressant à la construction d'un générateur de $H_c^1(Y'')_q \subset H_c^1(Y)_q$.

La forme d'intersection sur $H^1(\hat{Y})_q$ est notée ici $\langle ; \rangle_{\hat{Y}}$ et celle sur $H^1(\hat{X})_q$ est notée $\langle ; \rangle$. Rappelons ici le théorème 2.2.11 de McMullen, adapté à nos notations :

**Théorème de McMullen :** $H^1(\hat{Y})_q$ est engendré par la famille :

$$L := (g_{i,j} \mid i \in \{1, \dots, n\}, j \in \{1, \dots, k_i\})$$

où les $g_{i,j}$ vérifient :

- $g_{i,j}$ engendre l'espace $H_c^1(Y_{i,j})_q$ (de dimension 1) où $Y_{i,j}$ est la pré-image de $D_{i,j}$, disque contenant $b_{i,j}$, $b_{i,j+1}$ si $j \neq k_i$, et $b_{i,k_i}$, $b_{i+1,1}$ sinon

- $\langle g_{i,j}; g_{i,j} \rangle_{\hat{Y}} = 2 \operatorname{Im}(q)$

- $\langle g_{i,j}; g_{i,j+1} \rangle_{\hat{Y}} = \iota(1 - \bar{q}) \text{ si } j \neq k_i \text{ et } \langle g_{i,k_i}; g_{i+1,1} \rangle_{\hat{Y}} = \iota(1 - \bar{q})$

- $\langle g_{i,j}; g_{i,j-1} \rangle_{\hat{Y}} = -\iota(1-q) \text{ si } j \neq 1 \text{ et } \langle g_{i,1}; g_{i-1,k_{i+1}} \rangle_{\hat{Y}} = -\iota(1-q)$

- $\langle g_{i,j}, g_{i,m} \rangle_{\hat{Y}} = 0 \text{ dans les cas où } j \neq k_j \text{ et } (l,m) \neq (i,j-1), (i,j), (i,j+1) \text{ ou si } j = k_i, \text{ et } (l,m) \neq (i+1,1), (i,k_i), (i,k_i-1)$.

On montre ici le résultat principal suivant :
**Proposition 7.1.5.** $H_c^1(X_1)_q$ est engendré par une 1-forme $g_1$ à support dans $X''$, obtenue à partir d'une 1-forme $w_1$ à support dans $Y''$ qui satisfait l'équation ci-dessous dans $H_c^1(Y_1)_q$ :

$$w_1 = \sum_{j=1}^{k_1} q^{k_1-j} \frac{1-q^j}{1-q^{k_1}} g_{1,j} + \sum_{j=1}^{k_2-1} \frac{1-q^{k_2-j}}{1-q^{k_2}} g_{2,j}.$$

Pour montrer ce résultat, nous utilisons la décomposition de $H_c^1(Y_1)_q$ en somme directe donnée par la proposition 7.1.3. Nous avons pour cela besoin de trouver des générateurs de cet espace, qui ne seront pas les mêmes suivant que $q^{k_1+k_2} \neq 1$ ou $q^{k_1+k_2} = 1$. Ainsi, on traite séparément ces deux cas.

Si $q^{k_1+k_2} \neq 1$, on a d'après la proposition 2.2.9, $H_c^1(Y_1)_q \simeq H^1(\hat{Y})_q$. Alors une famille génératrice de $H_c^1(Y_1)_q$ sera donnée par la famille génératrice de $H^1(\hat{Y})_q$ :

$$L_1 := (g_{1,1}, \dots, g_{1,k_1}, g_{2,1}, \dots, g_{2,k_2-1}).$$

Le cas $q^{k_1+k_2} = 1$ est a priori plus compliqué, on le traitera dans un second temps.

**Le cas $q^{k_1+k_2} \neq 1$**

Si $q^{k_1+k_2} \neq 1$, la dimension de $H^1(\hat{Y})_q$ est $k_1 + k_2 - 1$ et la famille $L_1$ est donc une base de $H^1(\hat{Y})_q \simeq H_c^1(Y_1)_q$.

On a également, d'après 6.2.2 :

**Lemme 7.1.6.** La famille $L'_1 := (g_{1,1}, \dots, g_{1,k_1-1})$, respectivement $L'_2 = (g_{2,1}, \dots, g_{2,k_2-1})$, est une base de $H_c^1(Y'_1)_q$, respectivement de $H_c^1(Y'_2)_q$.

*Démonstration de la proposition 7.1.5 dans le cas où $q^{k_1+k_2} \neq 1$ :*

Commençons par remarquer que l'élément $g_{1,k_1}$ est un générateur dans $L_1$ qui n'est pas dans $H_c^1(Y'_1)_q \oplus H_c^1(Y'_2)_q$. On utilise la somme directe de la proposition 7.1.3 pour exprimer $g_{1,k_1}$ comme une combinaison linéaire des éléments des familles $L'_1$ et $L'_2$ et d'un élément $w_1$ dans $H_c^1(Y'')_q \simeq H_c^1(X_1)_q$. Il existe des complexes $\lambda_1, \dots, \lambda_{k_1-1}$ et $\mu_1, \dots, \mu_{k_2-1}$ tels que :

$$g_{1,k_1} = \sum_{j=1}^{k_1-1} \lambda_j g_{1,j} + \sum_{j=1}^{k_2-1} \mu_j g_{2,j} + w_1$$

où $w_1 \in H_c^1(Y'')_q$.

On peut expliciter par le calcul les nombres complexes $\lambda_j$ et $\mu_j$. Rappelons que si $q^{k_1+k_2} \neq 1$, $H_c^1(Y_1)_q \simeq H^1(\hat{Y})_q$ est muni de la forme hermitienne non-dégénérée, la décomposition dans 7.1.3 est orthogonale. Utilisons la forme d'intersection pour trouver les $\lambda_j$ et les $\mu_j$. Rappelons que $w_1$ est dans $H_c^1(Y'')_q$ qui est l'orthogonal de $H_c^1(Y'_1)_q \oplus H_c^1(Y'_2)_q$ dans $H^1(\hat{Y})_q$, et donc $\langle w_1, g_{i,j} \rangle_{\hat{Y}} = 0$ si $(i, j) \neq (1, k_1)$, ce qui nous donne les équations (7.1.2) et (7.1.3) ci-dessous. Dans ces calculs, on note $A = \iota(1 - \bar{q})$.

*Explicitation des $\lambda_j$.*

Remarquons que si $k_1 = 1$, la première somme est vide et il n'y a pas de $\lambda_j$ à trouver. Si $k_1 = 2$, on a $\langle g_{1,k_1}, g_{1,1} \rangle_{\hat{Y}} = -\iota(1-q)$ d'après McMullen, et $\langle g_{1,k_1}, g_{1,1} \rangle_{\hat{Y}} = \lambda_1 \langle g_{1,1}, g_{1,1} \rangle_{\hat{Y}} = i\lambda_1(\bar{q} - q)$. Comme $q^{k_1} \neq 1$, on doit ici avoir $q \neq -1$ et donc $\lambda_1 = -\frac{1-q}{\bar{q}-q} = -q\frac{1-q}{1-q^2}$.
Si $k_1 > 2$, on résout le système suivant :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\langle g_{1,k_1}, g_{1,1} \rangle_{\hat{Y}} = \lambda_1 2 \operatorname{Im}(q) + \lambda_2 \bar{A} = 0 \\
\langle g_{1,k_1}, g_{1,j} \rangle_{\hat{Y}} = \lambda_{j-1} A + \lambda_j 2 \operatorname{Im}(q) + \lambda_{j+1} \bar{A} = 0 \quad \forall j \in \{2, \dots, k_1 - 2\} \\
\langle g_{1,k_1}, g_{1,k_1-1} \rangle_{\hat{Y}} = \lambda_{k_1-2} A + \lambda_{k_1-1} 2 \operatorname{Im}(q) = \bar{A}
\end{array}
\right.
\qquad (7.1.2)
$$

Comme $q$ est supposé différent de 1, on a $\bar{A} \neq 0$ et $\lambda_2 = -\lambda_1 \frac{2\operatorname{Im}(q)}{\bar{A}} = (1+\bar{q})\lambda_1$.
Plus généralement, on peut montrer par récurrence que pour tout $j \in \{1, \dots, k_1-1\}$,
$\lambda_j = \sum_{l=0}^{j-1} \bar{q}^l \lambda_1$. La dernière ligne du système nous donne en plus :

$$
\begin{align*}
\lambda_{k_1-2} A + \lambda_{k_1-1} 2 \operatorname{Im}(q) &= \bar{A} \Rightarrow (\iota(1-\bar{q}) \sum_{i=0}^{k_1-3} \bar{q}^i + \iota(\bar{q}-q) \sum_{i=0}^{k_1-2} \bar{q}^i) \lambda_1 = -\iota(1-q) \\
&\Rightarrow (\bar{q}^{k_1-1} - q) \lambda_1 = -(1-q) \\
&\Rightarrow \lambda_1 = -\frac{1-\bar{q}}{1-\bar{q}^{k_1}} = -q^{k_1-1} \frac{1-q}{1-q^{k_1}}.
\end{align*}
$$

et ainsi : $\lambda_j = (\sum_{l=0}^{j-1} \bar{q}^l)\lambda_1 = \left(\frac{1-\bar{q}^j}{1-\bar{q}}\right) \times \left(-\frac{1-\bar{q}}{1-\bar{q}^{k_1}}\right) = -\frac{1-q^{-j}}{1-\bar{q}^{k_1}} = -q^{k_1-j} \frac{1-q^j}{1-q^{k_1}}$ pour tout $j \in \{1, \dots, k_1\}$.

Explicitation des $\mu_j$

Remarquons que si $k_2 = 1$, il n'y a pas de $\mu_j$ à trouver.

Si $k_2 = 2$, l'hypothèse $q^{k_2} \neq 1$ nous garantit que $2\operatorname{Im}(q) \neq 0$ et donc $\langle g_{1,k_1}, g_{2,1} \rangle_{\hat{Y}} = \mu_1 2\operatorname{Im}(q) = A$ nous donne $\mu_1 = \frac{A}{2\operatorname{Im}(q)} = -\frac{1-q}{1-q^2}$.

Si $k_2 > 2$, on résout le système suivant :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\langle g_{1,k_1}, g_{2,1} \rangle_{\hat{Y}} = \mu_1 2 \operatorname{Im}(q) + \mu_2 \bar{A} = A \\
\langle g_{1,k_1}, g_{2,j} \rangle_{\hat{Y}} = \mu_{j-1} A + \mu_j 2 \operatorname{Im}(q) + \mu_{j+1} \bar{A} = 0 \quad \forall i \in \{2, \dots, k_1-2\} \\
\langle g_{1,k_1}, g_{2,k_2-1} \rangle_{\hat{Y}} = \mu_{k_2-2} A + \mu_{k_2-1} 2 \operatorname{Im}(q) = 0
\end{array}
\right.
\qquad (7.1.3)
$$

La dernière ligne nous donne $\mu_{k_2-2} = -\mu_{k_1-1} \frac{2\operatorname{Im}(q)}{\bar{A}}$ et donc $\mu_{k_2-2} = (1+q)\mu_{k_2-1}$. On peut montrer avec une récurrence que $\mu_j = \sum_{l=0}^{k_2-1-j} q^l \mu_{k_2-1}$ pour tout $j \in \{1, \dots, k_2-1\}$. La première ligne du système nous donne de plus :

$$
(\bar{q} - q)\mu_1 - (1 - q)\mu_2 = 1 - \bar{q} \Rightarrow \mu_{k_2-1} = -\frac{1-q}{1-q^{k_2}}.
$$

Alors pour tout $j \in \{1, \dots, k_2 - 1\}$, $\mu_j = \sum_{l=0}^{k_2-1-j} q^l \mu_{k_2-1} = -\frac{1-q^{k_2-j}}{1-q} \frac{1-q}{1-q^{k_2}} = -\frac{1-q^{k_2-j}}{1-q^{k_2}}$.

On a ainsi : $w_1 = \sum_{j=0}^{k_1-1} q^{k_1-j} \frac{1-q^j}{1-q^{k_1}} g_{1,j} + \sum_{j=0}^{k_2-1} \frac{1-q^{k_2-j}}{1-q^{k_2}} g_{2,j} + g_{i,k_i}$. De plus, comme $q^{k_1-k_1} \frac{1-q^{k_1}}{1-q^{k_1}} = 1$, on a bien trouvé un élément $w_1 \in H_c^1(Y')_q$ donné par :

$$
w_1 = \sum_{j=1}^{k_1} q^{k_1-j} \frac{1-q^j}{1-q^{k_1}} g_{1,j} + \sum_{j=1}^{k_2-1} \frac{1-q^{k_2-j}}{1-q^{k_2}} g_{2,j}.
$$

Il est clair que $w_1$ est non nul sinon $g_{1,k_1}$ s'exprimerait comme une combinaison linéaire
des éléments de $L'_1$ et $L'_2$ et la famille $L_1$ serait alors liée ce qui contredit le fait que
$L_1$ soit une base. On associe alors $w_1$ à un élément $g_1$ dans $H_c^1(X_1)_q$ via l'isomorphisme
$H_c^1(Y'')_q \simeq H_c^1(X'')_q \simeq H_c^1(X_1)_q$. Puisque $w_1 \neq 0$, $g_1 \neq 0$, donc est un générateur de
l'espace $H_c^1(X_1)_q$ qui est de dimension 1.
$\square$
**Remarque 7.1.7.** L'isomorphisme $H_c^1(X_1)_q \simeq H_c^1(X'')_q \simeq H_c^1(Y'')_q$ nous permet de dire que l'élément $g_1$ admet un représentant à support compact dans $X''$, et la classe de cet élément est $w_1$ dans $H_c^1(X'')_q \simeq H_c^1(Y'')_q$.

Nous utiliserons cette remarque par la suite pour calculer la forme d'intersection sur $H^1(\hat{X})_q$.

Lorsque $q^{k_1+k_2} = 1$, nous n'avons plus l'isomorphisme entre $H_c^1(Y_1)_q$ et $H^1(\hat{Y})_q$. Il nous faut trouver une autre méthode pour trouver un générateur de $H_c^1(X_1)_q$.

**Le cas $q^{k_1+k_2} = 1$**

Supposons maintenant que $q^{k_1+k_2} = 1$. Nous ne pouvons plus utiliser directement les générateurs de $H^1(\hat{Y})_q$. D'après la suite exacte 6.2.4, on a la suite exacte courte suivante :

$$0 \to H_c^1(\partial Y_1)_q \to H_c^1(Y_1)_q \to H^1(\hat{Y})_q \to 0.$$

D'après le théorème 3.0.3, on sait trouver un générateur $\eta$ de $H_c^1(\partial Y_1)_q$ dont l'image est non nulle dans $H_c^1(Y_1)_q$. On a également, d'après la proposition 7.1.1, $H_c^1(\partial X_1)_q \simeq H_c^1(X_1)_q$. Le générateur de $H_c^1(\partial Y_1)_q \simeq H_c^1(\partial X_1)_q$ nous donnera donc un générateur de $H_c^1(X_1)_q$ que l'on sait interpréter dans $H_c^1(Y_1)_q$.

**Démonstration de la proposition 7.1.5 dans le cas $q^{k_1+k_2} = 1$ :**

Le générateur $\eta$ de $H_c^1(\partial Y_1)_q$ construit dans le théorème 3.0.3 s'interprète comme un élément non nul dans $H_c^1(Y_1)_q$ d'après la suite exacte courte précédente. On a vu dans le théorème 3.0.3 que $\eta \neq 0$ peut s'exprimer comme une combinaison linéaire des éléments de $L'_1$ et $L'_2$. En reprenant la formule obtenue dans le théorème 3.0.3 et en l'adaptant à nos notations, on obtient pour $\eta$ l'expression suivante :

$$\eta = \sum_{j=1}^{k_1} \frac{\bar{q}^j - 1}{\bar{q}} g_{1,j} + \sum_{j=1}^{k_2-1} \frac{\bar{q}^{k_1+j} - 1}{\bar{q}} g_{2,j}.$$

Il suffit donc de modifier cette expression pour faire apparaître celle attendue dans le théorème. On pose $w = \frac{q^{k_1-1}}{1-q^{k_1}}\eta$ avec $\frac{q^{k_1-1}}{1-q^{k_1}} = \frac{\bar{q}}{\bar{q}^{k_1-1}} \neq 0$, donc $w \neq 0$. Comme $q^{k_1+k_2} = 1$, on a $\bar{q}^{k_1} = q^{k_2}$, alors :

$$\begin{align*}
w &= \sum_{j=1}^{k_1} \frac{\bar{q}^j - 1}{\bar{q}^{k_1} - 1} g_{1,j} + \sum_{j=1}^{k_2-1} \frac{\bar{q}^{k_1+j} - 1}{\bar{q}^{k_1} - 1} g_{2,j} \\
&= \sum_{j=1}^{k_1} \frac{q^{-j} - 1}{q^{-k_1}(1 - q^{k_1})} g_{1,j} + \sum_{j=1}^{k_2-1} \frac{q^{k_2-j} - 1}{q^{k_2} - 1} g_{2,j} \\
&= \sum_{j=1}^{k_1} q^{k_1} \frac{q^{-j}(1 - q^j)}{1 - q^{k_1}} g_{1,k_1} + \sum_{j=1}^{k_2-1} \frac{1 - q^{k_2-j}}{1 - q^{k_2}} g_{2,j} \\
&= \sum_{j=1}^{k_1} q^{k_1-j} \frac{1 - q^j}{1 - q^{k_1}} g_{1,k_1} + \sum_{j=1}^{k_2-1} \frac{1 - q^{k_2-j}}{1 - q^{k_2}} g_{2,j}
\end{align*}$$

Comme $H_c^1(\partial Y_1)_q$ s'injecte dans $H_c^1(Y_1)_q$, on note $w_1$ l'élément $w$ vu dans $H_c^1(Y_1)_q$, qui vérifie donc la relation annoncée dans la proposition 7.1.5. On peut alors associer $w_1$ à un élément $g_1 \in H_c^1(X_1)_q$ via l'isomorphisme $H_c^1(Y')_q \simeq H_c^1(X')_q \simeq H_c^1(X_1)_q$, et comme $w_1$ est non nul, $g_1$ est non nul également et engendre $H_c^1(X_1)_q$. $\square$
Finalement, tous les cas sont traités et la proposition 7.1.5 est démontrée.

Dans le cas où $n$ est quelconque, nous nous rapporterons, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, au
cas $n = 2$ pour trouver un générateur $g_i$ de $H_c^1(X_i)_q$. Nous montrerons que les $g_1, \dots, g_n$
ainsi obtenus engendrent $H^1(\hat{X})_q$ et nous calculerons les valeurs de la forme d'intersection
sur cette famille génératrice.

## 7.2 Détermination d'une famille génératrice de $H^1(\hat{X})_q$ et calcul de la forme d'intersection sur cette famille

### 7.2.1 La famille $(g_1, \dots, g_n)$ génératrice de $H^1(\hat{X})_q$

On suppose ici que $n > 0$ est quelconque. Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, on commence par
déterminer, à l'aide du cas $n = 2$, un générateur $g_i$ de $H_c^1(X_i)_q$.

**Proposition 7.2.1.** *Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, l'élément*

$$w_i = \sum_{j=1}^{k_i} q^{k_i-j} \frac{1-q^j}{1-q^{k_i}} g_{i,j} + \sum_{j=1}^{k_{i+1}-1} \frac{1-q^{k_{i+1}-i}}{1-q^{k_{i+1}}} g_{i+1,j} \in H_c^1(Y_i)_q$$

*donne un générateur $g_i$ de $H_c^1(X_i)_q$.*

*Démonstration* : Soit $i \in \{1, \dots, n\}$. On construit les surfaces $\hat{X}_i$ et $\hat{Y}_i$ obtenues respectivement à partir des courbes algébriques suivantes :

$$y^d = (x - b_i)^{k_i} (x - b_{i+1})^{k_{i+1}} \quad ; \quad y^d = \prod_{j=1}^{k_i} (x - b_{i,j}) \times \prod_{j=1}^{k_{i+1}} (x - b_{i+1,j}).$$

On note $\mathcal{X}_i$, respectivement $\mathcal{Y}_i$, la pré-image dans $\hat{X}_i$, respectivement dans $\hat{Y}_i$ de $D_i$.

D'après le lemme 6.1.2, on sait que $H_c^1(X_i)_q \simeq H_c^1(\mathcal{X}_i)_q$ et $H_c^1(Y_i)_q \simeq H_c^1(\mathcal{Y}_i)_q$. De plus, les générateurs de McMullen sur $H^1(\hat{Y}_i)_q$ obtenus via le théorème 2.2.11, à l'exception du dernier générateur dont on peut se passer d'après la remarque 2.2.12, coïncident avec les $g_{i,1}, \dots, g_{i,k_i}, g_{i+1,1}, \dots, g_{i+1,k_{i+1}-1}$ dans $H^1(\hat{Y})_q$.

On applique la proposition 7.1.5. On a donc un élément $w_i \in H_c^1(Y_i \setminus (Y'_i \cup Y'_{i+1}))_q \subset H_c^1(Y_i)_q \simeq H_c^1(\mathcal{Y}_i)_q$ donné par la combinaison linéaire :

$$w_i = \sum_{j=1}^{k_i} q^{k_i-j} \frac{1-q^j}{1-q^{k_i}} g_{i,j} + \sum_{j=1}^{k_{i+1}-1} \frac{1-q^{k_{i+1}-i}}{1-q^{k_{i+1}}} g_{i+1,j}$$

et donne un élément $g_i$ générateur de $H_c^1(X_i)_q \simeq H_c^1(\mathcal{X}_i)_q$. $\square$

On a donc trouvé pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, un générateur $g_i$ de $H_c^1(X_i)_q$. Par abus de notation, on note de nouveau $g_i$ le générateur de $H_c^1(X_i)_q$ vu dans $H^1(\hat{X})_q$ via le morphisme naturel $H_c^1(X_i)_q \to H^1(\hat{X})_q$. On veut maintenant montrer que ces générateurs $(g_1, \dots, g_n)$ forment une famille génératrice de $H^1(\hat{X})_q$. Par abus de notation, on note également $w_i$ l'élément $w_i \in H_c^1(Y_i \setminus (Y'_i \cup Y'_{i+1}))_q$ vu dans $H_c^1(Y')_q$ via le morphisme $H_c^1(Y_i \setminus (Y'_i \cup Y'_{i+1}))_q \to H_c^1(Y')_q$.
**Proposition 7.2.2.** La famille $(g_1, \dots, g_n)$ engendre $H^1(\hat{X})_q$. Si de plus $n \neq 2$, cette famille vérifie la relation $\sum_{i=1}^n g_i = 0 \in H^1(\hat{X})_q$, et on a pour tout $i, j \in \{1, \dots, n\}$ :

$$ \langle g_i; g_j \rangle = \langle w_i; w_j \rangle_{\hat{Y}}. $$

**Démonstration** : Le cas $n = 2$ et $q^{k_0} = 1$ est à exclure puisque on a alors $H^1(\hat{X})_q = \{0\}$, ce qui ne représente aucun intérêt pour nous. Si $n = 2$ et $q^{k_0} \neq 1$, on a vu que $g_1$ engendre $H_c^1(X_1)_q \simeq H^1(\hat{X})_q$.

Supposons maintenant que $n \neq 2$. On a vu précédemment dans 6.3.3 la décomposition en somme directe orthogonale :

$$ H^1(\hat{Y})_q \simeq H_c^1(Y')_q \oplus (\oplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q). $$

On peut alors considérer la projection orthogonale $\text{pr}_{\hat{Y}} : H^1(\hat{Y})_q \to H_c^1(Y')_q$. Regardons l'image $\text{pr}_{\hat{Y}}(g_{i,j})$ pour tout générateur $g_{i,j}$ de $H^1(\hat{Y})_q$.

Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, et pour tout $j \in \{1, \dots, k_i - 1\}$, on sait que $g_{i,j}$ est dans $H_c^1(Y'_i)_q$ donc $\text{pr}_{\hat{Y}}(g_{i,j}) = 0$. Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, on considère l'élément $g_{i,k_i}$. Par définition de $w_i$, on a $\text{pr}_{\hat{Y}}(g_{i,k_i}) = \text{pr}_{\hat{Y}}(w_i)$. Or $w_i$ est à support compact dans $Y_i \setminus (Y'_i \cup Y'_{i+1})$, c'est-à-dire $w_i \in H_c^1(Y_i \setminus (Y'_i \cup Y'_{i+1}))_q \subset (\oplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q)^\perp \simeq H_c^1(Y')_q$. Donc la projection de $g_{i,k_i}$ sur $H_c^1(Y')_q$ correspond à $w_i$. Alors la projection orthogonale $\text{pr}_{\hat{Y}} : H^1(\hat{Y})_q \to H_c^1(Y')_q$, est définie sur les $g_{i,j}$ par :

$$ \text{pr}_{\hat{Y}}(g_{i,j}) = \begin{cases} w_i & \text{si } j = k_i \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \qquad (7.2.1) $$

De plus, puisque $H_c^1(Y')_q \simeq H_c^1(X')_q \simeq H^1(\hat{X})_q$, avec l'identification $w_i \mapsto g_i$, on a finalement un morphisme surjectif :

$$ \phi_{\hat{X}} : H^1(\hat{Y})_q \to H^1(\hat{X})_q \\ g_{i,j} \mapsto \begin{cases} g_i & \text{si } j = k_i \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$

La projection orthogonale de la famille génératrice de $H^1(\hat{Y})_q$ sur $H_c^1(Y')_q$ identifié à $H^1(\hat{X})_q$, donne une famille génératrice de $H^1(\hat{X})_q$. Ainsi la famille génératrice $L = (g_{1,1}, \dots, g_{n,k_n})$ de $H^1(\hat{Y})_q$ s'envoie par $\phi_{\hat{X}}$ sur la famille $(g_1, \dots, g_n)$, qui engendre alors $H^1(\hat{X})_q$. Comme $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{k_i} g_{i,j} = 0$ d'après les résultats de McMullen, en projetant cette relation sur $H^1(\hat{X})_q$, on obtient : $\sum_{i=1}^n g_i = 0$.

Il reste à voir que pour tout $i, j \in \{1, \dots, n\}$, $\langle g_i, g_j \rangle = \langle w_i; w_j \rangle_{\hat{Y}}$. Soient $i, j \in \{1, \dots, n\}$. On sait que $g_i$ admet un représentant à support dans $Z_i := X_i \setminus (X'_i \cup X'_{i+1}) \simeq Y_i \setminus (Y'_i \cup Y'_{i+1})$ dont la classe dans $H_c^1(Z_i)_q$ est $w_i$. De même $g_j$, admet un représentant à support dans $Z_j := X_j \setminus (X'_j \cup X'_{j+1}) \simeq Y_j \setminus (Y'_j \cup Y'_{j+1})$ dont la classe dans $H_c^1(Z_j)_q$ est $w_j$. On a alors :

$$ \begin{align*} \langle g_i; g_j \rangle &= \frac{i}{2} \int_{\hat{X}} g_i \wedge \overline{g_j} \\ &= \frac{i}{2} \int_{Z_i \cup Z_j} w_i \wedge \overline{w_j} \\ &= \frac{i}{2} \int_{\hat{Y}} w_i \wedge \overline{w_j} \\ &= \langle w_i; w_j \rangle_{\hat{Y}} \end{align*} $$
□

**Remarque 7.2.3.** Avec les notations précédentes, il vient immédiatement qui si $|i-j| > 1$, alors $Z_i \cap Z_j = \emptyset$ et $\langle w_i; w_j \rangle_{\hat{Y}} = \langle g_i; g_j \rangle_{\hat{Y}} = 0$.

On a donc trouvé une famille génératrice de $H^1(\hat{X})_q$, composée des éléments $g_i$ engen-
drant respectivement $H_c^1(X_i)_q$. Il nous reste encore à calculer la forme d'intersection sur
la famille génératrice de $H^1(\hat{X})_q$ pour finir la démonstration du théorème 7.0.1.

7.2.2 Calcul de la forme d'intersection sur la famille génératrice
de H¹( X̂ )q

On passe aux calculs de la forme d'intersection $\langle g_i; g_i \rangle$, $\langle g_i; g_{i+1} \rangle$ et $\langle g_{i+1}, g_i \rangle$ en utilisant
la forme d'intersection de $H^1(\hat{Y})_q$ sur les $w_1, \dots, w_n$.

**Proposition 7.2.4.** *Pour tout* $i, j \in \{1, \dots, n\}$ *on a :*

$$
- \langle g_i; g_i \rangle = i(1-q) \left(1 + \bar{q} - \frac{1-q^{k_i-1}}{1-q^{k_i}} - \frac{1-q^{k_{i+1}-1}}{1-q^{k_{i+1}}}\right) = i \frac{\bar{q}(1-q)^2(1-q^{k_i+k_{i+1}})}{(1-q^{k_i})(1-q^{k_{i+1}})}
$$

$$
- \langle g_i; g_{i+1} \rangle = -i \frac{\bar{q}(1-q)^2}{1-q^{k_{i+1}}}
$$

$$
- \langle g_i; g_{i-1} \rangle = -i \frac{q^k \bar{q} (1-q)^2}{1-q^k}
$$

$$
- \langle g_i; g_j \rangle = 0 \text{ si } |i-j| > 1.
$$

Démonstration : L’expression de w_i est donnée dans la proposition 7.1.5 et donne en
sortant g_{i,k_i} de la somme :

$$
g_{i,k_i} = - \sum_{j=1}^{k_i-1} q^{k_i-j} \frac{1-q^j}{1-q^{k_i}} g_{i,j} - \sum_{j=1}^{k_i+1-1} \frac{1-q^{k_i+1-j}}{1-q^{k_i+1}} g_{i+1,j} + w_i.
$$

Notons $\lambda_{i,j} := q^{k_i-j} \frac{1-q^j}{1-q^{k_i}}$ pour tout $j \in \{1, \dots, k_i - 1\}$ et $\mu_{i,j} := \frac{1-q^{k_i+1-j}}{1-q^{k_i+1}}$ pour tout $j \in \{1, \dots, k_i+1 - 1\}$ de sorte que :

$$
g_{i,k_i} = - \sum_{j=1}^{k_i-1} \lambda_{i,j} g_{i,j} - \sum_{j=1}^{k_i+1-1} \mu_{i,j} g_{i+1,j} + w_i.
$$

Calcul de $\langle w_i; w_i \rangle_{\hat{Y}}$. Rappelons que $w_i$ est orthogonal aux $g_{i,j}$ pour $j \in \{1, \dots, k_i - 1\}$ et aux $g_{i+1,j}$ pour $j \in \{1, \dots, k_{i+1} - 1\}$. De même, les $g_{i,j}$ et les $g_{i+1,l}$ sont à support disjoints et donc orthogonaux pour $(j,l) \neq (k_i, 1)$. Notons également $\lambda_{i,0} = \mu_{i,0} = 0$ et $\lambda_{i,k_i} = \mu_{i,k_{i+1}} = 0$. Alors :

$$
\begin{align*}
\langle g_{i,k_i}; g_{i,k_i} \rangle_{\hat{Y}} &= \left\langle -\sum_{j=1}^{k_i-1} \lambda_{i,j} g_{i,j} - \sum_{j=1}^{k_{i+1}-1} \mu_{i,j} g_{i+1,j} + w_i \right\rangle_{\hat{Y}} \\
&= \sum_{j=1}^{k_i-1} \sum_{l=1}^{k_i-1} \lambda_{i,j} \overline{\lambda_{i,l}} \langle g_{i,j}; g_{i,l} \rangle_{\hat{Y}} + \sum_{j=1}^{k_{i+1}-1} \sum_{l=1}^{k_i} \mu_{i,j} \overline{\mu_{i,l}} \langle g_{i+1,j}; g_{i,l} \rangle_{\hat{Y}} + \langle w_i, w_i \rangle_{\hat{Y}} \\
&= \sum_{j=1}^{k_i-1} \lambda_{i,j} (\overline{\lambda_{i,j-1}} \overline{A} + \overline{\lambda_{i,j}} 2 \operatorname{Im}(q) + \overline{\lambda_{i,j+1}} A) \\
&\quad + \sum_{j=1}^{k_{i+1}-1} \mu_{i,j} (\overline{\mu_{i,j-1}} \overline{A} + \overline{\mu_{i,j}} 2 \operatorname{Im}(q) + \overline{\mu_{i,j+1}} A) + \langle w_i, w_i \rangle_{\hat{Y}}.
\end{align*}
$$
On commence par calculer la première somme. Pour un $j$ donné, on note ici : $a_{i,j} := \overline{\lambda_{i,j-1}}\overline{A} + \overline{\lambda_{i,j}}2\operatorname{Im}(q) + \overline{\lambda_{i,j+1}}A$. On a alors, si $j \neq 1, k_i - 1, a_{i,j} = 0$.
Si $j = 1$, le terme $\lambda_{i,0} = 0$ et on trouve $a_{i,1} = 0$. Si $j = k_i - 1$, le terme $\lambda_{i,k_i} = 0$ et on trouve $a_{i,k_i} = i\bar{q}(1-q)$. Alors la première somme dans l'expression de $\langle g_i; g_i \rangle$ vaut :

$$ \sum_{j=1}^{k_{i+1}-1} \lambda_{i,j} a_{i,j} = i q \frac{1 - q^{k_i - 1}}{1 - q^{k_i}} \times \bar{q}(1-q) = i \frac{(1-q)(1-q^{k_i-1})}{1-q^{k_i}}. $$

On peut de la même façon calculer :

$$ \sum_{j=1}^{k_{i+1}-1} \mu_{i,j} (\overline{\mu_{i,j-1}} \overline{A} + \overline{\mu_{i,j}} 2 \operatorname{Im}(q) + \overline{\mu_{i,j+1}} A) = i \frac{(1-q)(1-q^{k_{i+1}-1})}{1-q^{k_{i+1}}}. $$

Comme $\langle g_{i,k_i}, g_{i,k_i} \rangle_{\hat{Y}} = 2 \operatorname{Im}(q) = i(\bar{q} - q) = i\bar{q}(1-q)(1+q)$, on trouve ici

$$ \begin{aligned} \langle w_i; w_i \rangle_{\hat{Y}} &= i(1-q) \left( \bar{q}(1+q) - \frac{1-q^{k_i-1}}{1-q^{k_i}} + \frac{(1-q^{k_{i+1}-1}) + (1-q^{k_{i+1}-1}) + (1-q^{k_{i+1}-1})}{1-q^{k_{i+1}}} \right) \\ &= i(1-q) \frac{(-1+\bar{q}+q^{k_i+k_{i+1}}-q^{k_i+k_{i+1}-1})}{(1-q^{k_i})(1-q^{k_{i+1}})} \\ &= i \frac{\bar{q}(1-q)^2(1-q^{k_i+k_{i+1}})}{(1-q^{k_i})(1-q^{k_{i+1}})} \\ &= -i(1-q)(1-\bar{q}) \frac{1-q^{k_i+k_{i+1}}}{(1-q^{k_i})(1-q^{k_{i+1}})} \end{aligned} $$

Remarquons que comme $q \neq 1$, on a $\langle g_i; g_i \rangle \neq 0$ si et seulement si $q^{k_i+k_{i+1}} \neq 1$.

**Calcul de $\langle w_i; w_{i+1} \rangle_{\hat{Y}}$** : On utilise ici l'expression de $g_{i,k_i}$ et de $g_{i+1,k_{i+1}}$ comme com-
binaison linéaire des $g_{i,j}$, $g_{i+1,j}$ et $w_i$, respectivement des $g_{i+1,l}$, $g_{i+2,l}$ et $w_{i+1}$. Comme la
forme d'intersection entre les $g_{i,j}$ et $g_{i+2,l}$ est nulle, on a :

$$ 0 = \langle g_{i,k_i}; g_{i+1,k_{i+1}} \rangle_{\hat{Y}} = \left\langle \sum_{j=1}^{k_{i+1}-1} \frac{1-q^{k_{i+1}-j}}{1-q^{k_{i+1}}} g_{i+1,j}; \sum_{j=1}^{k_{i+1}-1} q^{k_{i+1}-j} \frac{1-q^j}{1-q^{k_{i+1}}} g_{i+1,j} \right\rangle_{\hat{Y}} + \langle w_i; w_{i+1} \rangle_{\hat{Y}} $$

Alors :

$$ \begin{aligned} \langle w_i; w_{i+1} \rangle_{\hat{Y}} &= - \left\langle \sum_{j=1}^{k_{i+1}-1} \frac{1-q^{k_{i+1}-j}}{1-q^{k_{i+1}}} g_{i+1,j}; \sum_{j=1}^{k_{i+1}-1} q^{k_{i+1}-j} \frac{1-q^j}{1-q^{k_{i+1}}} g_{i+1,j} \right\rangle_{\hat{Y}} \\ &= -i \frac{(1-q^{k_{i+1}-1})}{(1-q^{k_{i+1}})(1-q^{k_{i+1}})} (\bar{q}^{k_{i+1}-1}(1-\bar{q})(\bar{q}-q) + \bar{q}^{k_{i+1}-2}(1-\bar{q}^2)(1-\bar{q})) \\ &\quad - \sum_{j=2}^{k_{i+1}-2} i \frac{(1-q^{k_{i+1}-j})}{(1-q^{k_{i+1}})(1-\bar{q}^{k_{i+1}})} (\bar{q}^{k_{i+1}-j+1}(1-\bar{q}^{j-1})(q-1) \\ &\quad + \bar{q}^{k_{i+1}-j}(1-\bar{q}^j)(\bar{q}-q) + \bar{q}^{k_{i+1}-j-1}(1-\bar{q}^{j+1})(1-\bar{q})) \\ &\quad - i \frac{(1-q)}{(1-q^{k_{i+1}})(1-\bar{q}^{k_{i+1}})} (\bar{q}^2(1-\bar{q}^{k_{i+1}-2})(q-1) + \bar{q}(1-\bar{q}^{k_{i+1}-1})(\bar{q}-q)) \\ &= i \frac{(1-q)(1-\bar{q})(1-\bar{q}^{k_{i+1}})}{(1-q^{k_{i+1}})(1-\bar{q}^{k_{i+1}})} \\ &= -i \frac{\bar{q}(1-q)^2}{1-q^{k_{i+1}}} = i \frac{(1-q)(1-\bar{q})}{1-q^{k_{i+1}}} \end{aligned} $$
Calcul de $\langle w_{i+1}; w_i \rangle_{\hat{Y}}$ : On a :

$$ \langle w_{i+1}; w_i \rangle_{\hat{Y}} = \overline{\langle w_i; w_{i+1} \rangle_{\hat{Y}}} \\ = -i \frac{(1-q)(1-\bar{q})}{1-\bar{q}^{k_i+1}} = -i \frac{q^{k_i+1-1}(1-q)^2}{1-q^{k_i+1}}. $$

□

**Remarque 7.2.5.** Les éléments $g_1, \dots, g_n$ sont non nuls vus dans $H^1(\hat{X})_q$ puisque $\langle g_i, g_{i+1} \rangle = i \frac{(1-q)(1-\bar{q})}{1-q^{k_i}}$ avec l'hypothèse $q^{k_i} \neq 1$.

Finalement, en explicitant la valeur de la forme d'intersection entre deux éléments de la famille génératrice, nous avons complété la démonstration du théorème 7.0.1 annoncé au début du chapitre. Nous avons donc trouvé une famille génératrice $(g_1, \dots, g_n)$ de $H^1(\hat{X})_q$ où les $g_i$ engendrent respectivement les $H_c^1(X_i)_q$ et sur la quelle la forme d'intersection est connue. On peut à présent expliciter l'action du groupe de tresses pures sur ces générateurs. Dans le chapitre suivant, on s'intéresse à l'action des tresses $\tau_i^2$ sur la famille génératrice $(g_1, \dots, g_n)$.
# Chapitre 8

## Action des $\tau_i^2$ sur $H^1(\hat{X})_q$

On suppose ici $q^{k_i} \neq 1$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$. On veut expliciter l'action des $\tau_i^2$ sur $H^1(\hat{X})_q$. On démontrera principalement dans ce chapitre le théorème suivant :

**Théorème 8.0.1.** Soit $(g_1, \dots, g_n)$ la famille génératrice de $H^1(\hat{X})_q$ dans le théorème 7.0.1, alors pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ :

$$ \forall x \in H^1(\hat{X})_q, \quad \tilde{\tau}_i^{2*}(x) = x - i \frac{(1-q^{k_i})(1-q^{k_{i+1}})}{(1-q)(1-\bar{q})} \langle x; g_i \rangle g_i $$

De plus, si $q^{k_i+k_{i+1}} \neq 1$, alors $\tau_i^2$ agit comme une réflexion complexe :

$$ \forall x \in H^1(\hat{X})_q, \quad \tilde{\tau}_i^{2*}(x) = x - (1 - q^{k_i+k_{i+1}}) \frac{\langle x; g_i \rangle}{\langle g_i; g_i \rangle} g_i. $$

Si $q^{k_i+k_{i+1}} = 1$, alors $\tilde{\tau}_i^{2*}$ est unipotent.

On en déduira le théorème suivant :

**Théorème 8.0.2.** Pour tout $q = e^{-\frac{2i\pi k}{d}} \neq 1$, la représentation $\rho_q : PB_n \to U(H^1(\hat{X})_q)$ est irréductible.

On reprend les notations utilisées jusqu'à maintenant. Ainsi, les points $b_1, \dots, b_n$ sont $n$ points complexes deux à deux distincts. Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, on considère également $k_i$ points deux à deux distincts $b_{i,1}, \dots, b_{i,k_i}$ dans un disque ouvert $D'_i$, voisinage de $b_i$. La surface $\hat{Y}$ est obtenue à partir de la courbe algébrique :

$$ y^d = \prod_{i=1}^{n} \prod_{j=1}^{k_i} (x - b_{i,j}). $$

Cette surface relève du cadre de l'article de McMullen et d'après le lemme 6.3.2 et le corollaire 6.3.2, puisque pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, $q^{k_i} \neq 1$, on a la somme directe orthogonale suivante :

$$ H^1(\hat{Y})_q = H_c^1(Y')_q \oplus (\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q) $$

où $Y'_i$ est la pré-image dans $\hat{Y}$ de $D'_i$, $Y' = \hat{Y} \setminus (\cup_{i=1}^n Y'_i)$ et $H_c^1(Y')_q \simeq H^1(\hat{X})_q$.
## 8.1 Utilisation du câblage pour étudier l'action d'une tresse de $PB_n$ sur $H^1(\hat{X})_q$

L'objectif de cette partie est de définir ce qu'est le câblage d'une tresse de $PB_n$. Cet outil nous permet d'associer à toute tresse $\tau \in PB_n$ des tresses de $B_{k_0}$, appelées câblages de $\tau$. On veut montrer que l'action d'une tresse $\tau \in PB_n$ sur $H^1(\hat{X})_q$ est induite par l'action de son câblage sur $H^1(\hat{Y})_q$. En particulier, on déterminera une formule donnant l'action de $\tau$ sur les $g_1, \dots, g_n$ en fonction de l'action de son câblage sur les $g_{1,k_1}, \dots, g_{n,k_n}$. Commençons par définir ce qu'est le câblage.

### 8.1.1 Le câblage d'une tresse de $PB_0$

Dans cette partie nous présentons la notion de câblage, et comment celle-ci nous permettra d'interpréter une tresse de $PB_n$ comme une tresse de $B_{k_0}$, où $k_0 = \sum_{i=1}^n k_i$.

Soit $\tau \in PB_n$, on peut voir cette tresse comme la donnée de $n$ chemins $\gamma_1, \dots, \gamma_n$ conformément à la définition de la partie 2. Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, on a donc un chemin $\gamma_i : b_i \rightsquigarrow b_i$. L'idée du câblage consiste à séparer le brin $\gamma_i$ partant de $b_i$, en $k_i$ brins $\gamma_{i,j}$, pour $j \in \{1, \dots, k_i\}$, d'origines respectives $b_{i,j}$, qui ne se croisent pas entre eux et se terminent respectivement en $b_{i,j}$. La tresse câblée, restreinte à chacun des disques $D'_i$, correspond à la tresse Id. Par exemple, sur le dessin suivant, pour $(n, k_1, k_2, k_3) = (3, 2, 4, 1)$ la tresse pure de $PB_3$ représentée ici peut se câbler pour obtenir une tresse de $B_7$.

<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>FIGURE 8.1 – Câblage d'une tresse dans le cas $n = 3$, $k_1 = 2$, $k_2 = 4$ et $k_3 = 1$</figcaption></figure>

Le câblage nous permet donc d'associer de façon unique une tresse de $PB_n$ à une tresse de $PB_{k_0} \subset B_{k_0}$, dont l'action sur $H^1(\hat{Y})_q$ est connue d'après McMullen. Cette association est en fait un morphisme de groupe. On a immédiatement :

**Lemme 8.1.1.** *Pour une tresse $\tau \in PB_n$ et $\mathcal{T}$ son câblage dans $B_{k_0}$, $\mathcal{T}$ préserve les sous-surfaces $Y_i$.*

*Démonstration* : En effet, par définition la tresse $\mathcal{T}$ laisse stables les disques $D'_i$, et son relevé dans $\hat{Y}$ préserve donc $Y'_i$. $\square$

Pour la partie suivante, nous expliquons comment le câblage permet d'exprimer l'action d'une tresse $\tau \in PB_n$ sur $H^1(\hat{X})_q$ à l'aide de l'action sur $H^1(\hat{Y})_q$ de son câblage.

### 8.1.2 Le câblage et l'action d'une tresse de $PB_n$ sur $H^1(\hat{X})_q$

Rappelons que d'après McMullen, nous avons une première représentation $\rho_{\hat{Y}} : B_{k_0} \to U(H^1(\hat{Y})_q)$, et d'après notre théorème 6.4.4 nous avons également une représentation
$\rho_q : PB_n \to U(H^1(\hat{X})_q)$. On veut ici montrer que l'action de $\tau$ sur $H^1(\hat{X})_q$ est induite par celle de son câblage sur $H_c^1(Y')_q$.

Pour cela revenons sur les notations introduites au chapitre 5. Pour $\beta \in \hat{\mathbb{C}}\setminus(\cup_{i=1}^n D'_i)$, $\beta_0 \in \pi_{\hat{X}}^{-1}(\beta)$ et $\beta'_0 \in \pi_{\hat{Y}}^{-1}(\beta)$, rappelons qu'on note $\tilde{\tau}$ le relevé d'une tresse $\tau \in PB_n$ dans $\hat{X}$ fixant $\beta_0$, et $\tilde{T}$ le relevé d'une tresse $T \in B_{k_0}$ dans $\hat{Y}$ fixant $\beta'_0$. Rappelons que $X'$ et $Y'$ sont deux revêtements isomorphes au dessus de $\hat{\mathbb{C}}\setminus(\cup_{i=1}^n D'_i)$, et on note $\varphi : X' \to Y'$ l'identification entre ces deux surfaces tel que : $\pi_{\hat{Y}} \circ \varphi = \pi_{\hat{X}}$ et $\varphi(\beta_0) = \beta'_0$. Alors on montre que :

**Lemme 8.1.2.** *Pour toute tresse $\tau \in PB_n$, la restriction de $\tilde{\tau}$ à $X'$ correspond à la restriction du relevé de son câblage $T$ à $Y'$ via :*

$$ \varphi \circ (\tilde{\tau}|_{X'}) \circ \varphi^{-1} = \tilde{T}|_{Y'}. $$

*Démonstration* : Soit $\tau \in PB_n$ et $T \in B_{k_0}$ son câblage. On sait qu'on dispose d'un isomorphisme $B_n \simeq \text{Mod}(D, n)$ où $D \subset \mathbb{C}$ est un disque topologique contenant les $n$ points marqués de $B = \{b_1, \dots, b_n\}$. De même, $B_{k_0} \simeq \text{Mod}(D, k_0)$, puisque $D$ contient également les $k_0$ points de $B' = \{b_{1,1}, \dots, b_{n,k_n}\}$.

Fixons $[h] \in \text{Mod}(D, k_0)$, l'élément associé à $T \in B_{k_0}$. Rappelons que $T$ est obtenue par la restriction $F|_{B' \times [0,1]}$ où $F$ est une homotopie $F : D \times [0,1] \to D$ qui vérifie $F(\cdot, 0) = \text{Id}_D$ et $F(\cdot, 1) = h$, pour $h$ un représentant de $[h]$.

Remarquons que les points $b_{i,1}, \dots, b_{i,k_i}$ étant $k_i$ points deux à deux distincts dans un voisinage de $b_i$, on peut choisir $b_{i,1} = b_i$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$. Alors, $h$ est un homéomorphisme de $D$ qui préserve l'ensemble $B'$, et en particulier l'ensemble $B \subset B'$, et qui coïncide avec $\text{Id}$ sur de bord $\partial D$. Alors $[h] \in \text{Mod}(D, n) \simeq B_n$. On a ainsi une correspondance unique entre $[h]$ et une tresse de $B_n$. Or, $F|_{B \times [0,1]}$ nous donne exactement la tresse $\tau$, donc $\tau$ et $T$ sont obtenues à partir d'un même homéomorphisme de $D$, leurs relevés $\tilde{\tau}$ et $\tilde{T}$ sont donc les mêmes sur $X' \simeq Y'$.

Par abus de notations, on écrit $\tau|_{\hat{\mathbb{C}}\setminus(\cup_{i=1}^n D'_i)} = T|_{\hat{\mathbb{C}}\setminus(\cup_{i=1}^n D'_i)}$. Alors :

$$ \begin{align*} \pi_{\hat{Y}} \circ \varphi \circ (\tilde{\tau}|_{X'}) \circ \varphi^{-1} &= \pi_{\hat{X}} \circ (\tilde{\tau}|_{X'}) \circ \varphi^{-1} \\ &= (\tau|_{\hat{\mathbb{C}}\setminus(\cup_{i=1}^n D'_i)} \circ \pi_{\hat{X}} \circ \varphi^{-1} \\ &= T|_{\hat{\mathbb{C}}\setminus(\cup_{i=1}^n D'_i)} \circ \pi_{\hat{Y}}. \end{align*} $$

Donc $\varphi \circ (\tilde{\tau}|_{X'}) \circ \varphi^{-1}$ relève $T$ sur $Y'$. De plus, $\varphi \circ (\tilde{\tau}|_{X'}) \circ \varphi^{-1}(\beta'_0) = \varphi \circ (\tilde{\tau}|_{X'})(\beta_0) = \varphi(\beta_0) = \beta'_0$. Par unicité du relevé de $T$ fixant $\beta_0$, on a bien : $\varphi \circ (\tilde{\tau}|_{X'}) \circ \varphi^{-1} = \tilde{T}|_{Y'}$. $\square$

L'idée pour voir que l'action du câblage d'une tresse induit celle de la tresse elle-même, est la suivante : par définition de $\rho_q$ et de $\rho_{\hat{Y}}$, l'action de $\tau \in PB_n$ et celle de son câblage $T \in B_{k_0}$ sont les mêmes sur $H_c^1(Y')_q \simeq H_c^1(X')_q \simeq H^1(\hat{X})_q$. Comme l'action de $\tau$ sur $H^1(\hat{X})_q$ est donnée par son action sur $H_c^1(X')_q$, qui est la même que celle de $T$ sur $H_c^1(Y')_q$, l'action de $T$ sur $H_c^1(Y')_q$ induit donc celle de $\tau$ sur $H^1(\hat{X})_q$. On explicite le lien entre ces deux actions, en montrant qu'elle induisent toutes les deux des représentations à image dans $U(H_c^1(Y')_q)$, pour lesquelles les actions d'une tresse de $PB_n$ et de son câblage dans $B_{k_0}$ sont les mêmes.

Rappelons que $H^1(\hat{Y})_q$ est engendré par la famille $(g_{1,1}, \dots, g_{n,k_n})$ définie comme dans la proposition 2.2.11, et d'après 7.2.1, chaque $g_{i,k_i}$ s'exprime comme une combinaison
linéaire d'éléments dans $\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y_i')_q$ et d'un élément $w_i$ admettant un support dans $Y'$. Comme $H^1(\hat{Y})_q = H_c^1(Y')_q \oplus (\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y_i')_q)$ est une somme directe orthogonale, on peut donc considérer la projection orthogonale $\text{pr}_{\hat{Y}}$ de $H^1(\hat{Y})_q$ sur $H_c^1(Y')_q$, définie sur la famille génératrice de $H^1(\hat{Y})_q$ par :

$$ \text{pr}_{\hat{Y}}(g_{i,j}) = \begin{cases} w_i & \text{si } j = k_i \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$

où $w_i \in H_c^1(Y')_q$ est défini comme dans la proposition 7.2.1. Alors $H_c^1(Y')_q$ est engendré par $(w_1, \dots, w_n)$. L'isomorphisme $\varphi : X' \to Y'$ nous donne également l'identification $\varphi^* : H_c^1(Y')_q \to H_c^1(X')_q \simeq H^1(\hat{X})_q$ donnée par $\varphi^*(w_i) = g_i$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$. Alors la représentation $\rho_q$ nous donne une nouvelle représentation $\tilde{\rho}_q$ dont l'image est dans $U(H_c^1(Y')_q)$, définie par :

$$ \tilde{\rho}_q : \begin{array}{ccc} PB_n & \to & U(H_c^1(Y')_q) \\ \tau & \mapsto & (\varphi^{-1})^* \circ (\rho_q(\tau)) \circ \varphi^* \end{array} $$

Alors on peut montrer que :

**Lemme 8.1.3.** *L'ensemble $\Gamma$ des tresses de $B_{k_0}$ qui préserve chacun des $D'_i$, pour $i \in \{1, \dots, n\}$, est un sous-groupe de $B_{k_0}$. De plus, pour toute tresse $\mathcal{T} \in \Gamma$, $\tilde{\mathcal{T}}^*$ préserve $H_c^1(Y')_q$, et pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, on a :

$$ \tilde{\mathcal{T}}^*|_{H_c^1(Y')_q}(w_i) = \text{pr}_{\hat{Y}} \circ \tilde{\mathcal{T}}(g_{i,k_i}). $$

**_Démonstration_** : Il est clair que $\Gamma$ forme un sous-groupe de $B_{k_0}$. De plus, pour toute tresse $\mathcal{T} \in \Gamma$, et pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, comme $\mathcal{T}(D'_i) \subset D'_i$, alors $\tilde{\mathcal{T}}$ préserve $Y'_i$, donc $\tilde{\mathcal{T}}^*$ préserve $H_c^1(Y'_i)_q$, et plus généralement $\tilde{\mathcal{T}}^*$ préserve $\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q$. Or on a la décomposition en somme directe orthogonale : $H^1(\hat{Y})_q = H_c^1(Y')_q \oplus (\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q)$. Alors pour tout $y' \in H_c^1(Y')_q$ et pour tout $y \in \bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q$ :

$$ 0 = \langle y, y' \rangle = \langle \tilde{\mathcal{T}}^*(y), \tilde{\mathcal{T}}^*(y') \rangle. $$

Comme $\tilde{\mathcal{T}}^*(y) \in \bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q$, on doit avoir $\tilde{\mathcal{T}}^*(y) \in H_c^1(Y')_q$. Donc $\tilde{\mathcal{T}}^*$ préserve $H_c^1(Y')_q$. Alors pour tout $\eta = y' + y \in H^1(\hat{Y})_q$, avec $y' \in H_c^1(Y')_q$ et $y \in \bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q$, on a :

$$ \text{pr}_{\hat{Y}}(\tilde{\mathcal{T}}^*(\eta)) = \text{pr}_{\hat{Y}}(\tilde{\mathcal{T}}^*(y') + \underbrace{\tilde{\mathcal{T}}^*(y)}_{\in \bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y_i')_q}) = \tilde{\mathcal{T}}^*(y') = \tilde{\mathcal{T}}^* \circ \text{p}_{\hat{Y}}(\eta). $$

Ainsi, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ :

$$ \tilde{\mathcal{T}}^*|_{H_c^1(Y')_q}(w_i) = \tilde{\mathcal{T}}^* \circ \text{pr}_{\hat{Y}}(g_{i,k_i}) = \text{pr}_{\hat{Y}} \circ \tilde{\mathcal{T}}^*(g_{i,k_i}). $$

□

Alors la représentation $\rho_{\hat{Y}}$ donne une nouvelle représentation $\tilde{\rho}_{\hat{Y}} : \Gamma \to U(H_c^1(Y')_q)$, définie par :

$$ \forall \mathcal{T} \in \Gamma, \forall i \in \{1, \dots, n\}, \quad \tilde{\rho}_{\hat{Y}}(\mathcal{T})(w_i) = \text{pr}_{\hat{Y}} \circ \rho_{\hat{Y}}(\mathcal{T})(g_{i,k_i}). $$

On a alors :
**Théorème 8.1.4.** L'action d'une tresse $\tau \in PB_n$ sur $H^1(\hat{X})_q$ est induite par celle de son câblage $\mathcal{T} \in B_{k_0}$ sur $H_c^1(Y')_q$, ce lien est rendu explicite par la formule suivante :

$$ \forall i \in \{1, \dots, n\}, \quad \tilde{\tau}(g_i) = (\varphi^* \circ \mathrm{pr}_{\hat{Y}}) \circ \tilde{\mathcal{T}}^*(g_{i,k_i}). $$

**Démonstration** : Pour $\tau \in PB_n$ et $\mathcal{T} \in B_{k_0}$ son câblage, il est évident que $\mathcal{T} \in \Gamma$. D'après le lemme 8.1.2 on a : $\tilde{\tau}_{|X'} = \varphi^{-1} \circ (\tilde{\mathcal{T}}_{|Y'}) \circ \varphi$. Par le lemme 8.1.3, on a donc pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ :

$$ \tilde{\tau}(g_i) = \varphi^* \circ (\tilde{\mathcal{T}}^*|_{H_c^1(Y')_q}) \circ (\varphi^{-1})^*(g_i) = \varphi^* \circ \tilde{\mathcal{T}}^*|_{H_c^1(Y')_q}(w_i) = (\varphi^* \circ \mathrm{pr}_{\hat{Y}}) \circ \tilde{\mathcal{T}}^*(g_{i,k_i}). $$

□

**Remarque 8.1.5.** La composition $\varphi^* \circ \mathrm{pr}_{\hat{Y}}$ correspond en fait au morphisme surjectif $\phi_{\hat{X}} : H^1(\hat{Y})_q \to H^1(\hat{X})_q$ introduit dans 7.2.1, défini sur les $g_{i,j}$ par :

$$ \phi_{\hat{X}}(g_{i,j}) = \begin{cases} g_i & \text{si } j = k_i \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases} $$

Finalement, pour calculer explicitement l'action d'une tresse $\tau \in PB_n$ sur l'un des générateurs $g_i$ de $H^1(\hat{X})_q$, on considérera le câblage $\mathcal{T} \in B_{k_0}$ de $\tau$, il nous suffira alors de projeter l'image de $\tilde{\mathcal{T}}^*(g_{i,k_i})$ sur $H_c^1(Y')_q$ puis de l'identifier via $(\varphi^{-1})^*$ en un élément de $H^1(\hat{X})_q$. Utilisons cette méthode pour expliciter l'action des $\tau_i^2$ sur la famille génératrice $\{g_1, \dots, g_n\}$ de $H^1(\hat{X})_q$. On commence donc par déterminer le câblage d'une telle tresse.

## 8.2 Action des $\tau_i^2$ sur $H^1(\hat{X})_q$

On utilise ici le câblage pour déterminer l'action des $\tau_i^2$ sur la famille génératrice $(g_1, \dots, g_n)$ de $H^1(\hat{X})_q$. Pour cela, nous explicitons dans un premier temps l'expression du câblage de $\tau_i^2$. Puis nous calculons $\tau_i^2$ sur les générateurs, et enfin nous généralisons les calculs pour obtenir une formule donnant l'action de chaque $\tau_i^2$ sur $H^1(\hat{X})_q$. On pourra en déduire que les $\tau_i^2$ sont soit des réflexions complexes d'ordre fini, soit unipotent.

### 8.2.1 Le câblage associée à un $\tau_i$

On note $\sigma_1, \dots, \sigma_{k_0-1}$ les demi-twists générateurs de $B_{k_0}$, de sorte que l'élément $\sigma_j$ échange le $j$-ième et le $(j+1)$-ième brins. Soit $i \in \{1, \dots, n\}$. Il s'agit dans cette partie d'observer le dessin de la tresse $\mathcal{T}_i$, câblage de $\tau_i^2$, pour déterminer l'écriture de cette tresse comme un mot en les $\sigma_j$.

**Théorème 8.2.1.** Le câblage $\tau_i^2 \in PB_n$ correspond à un élément $\mathcal{T}_i \in B_{k_0}$ où $\mathcal{T}_i$ est donné par :

$$ \mathcal{T}_i = (\sigma_{\sum_{j=1}^i k_j} \cdots \sigma_{\sum_{j=1}^{i-1} k_j+1}) (\sigma_{\sum_{j=1}^i k_j+1} \cdots \sigma_{\sum_{j=1}^{i-1} k_j+2}) \cdots (\sigma_{\sum_{j=1}^i k_j+k_{i+1}-1} \cdots \sigma_{\sum_{j=1}^{i-1} k_j+k_{i+1}}) \\ (\sigma_{\sum_{j=1}^{i-1} k_j+k_{i+1}} \cdots \sigma_{\sum_{j=1}^i k_j+k_{i+1}-1}) \cdots (\sigma_{\sum_{j=1}^{i-1} k_j+2} \cdots \sigma_{\sum_{j=1}^i k_j+1}) (\sigma_{\sum_{j=1}^{i-1} k_j+1} \cdots \sigma_{\sum_{j=1}^i k_j}). $$
Démonstration : Pour rendre cette démonstration plus lisible, nous ne traiterons que le
cas i = 1, le câblage d'un τ²ᵢ dans le cas i quelconque se fera de la même façon. Considérons
donc la tresse τ₁². Ici la formule attendue est la suivante :

$$
\begin{align*}
\mathcal{T}_1 ={}& (\sigma_{k_1} \cdots \sigma_1)(\sigma_{k_1+1} \cdots \sigma_2) \cdots (\sigma_{k_2+k_1-1} \cdots \sigma_{k_2}) \\
& \qquad (\sigma_{k_2} \cdots \sigma_{k_2+k_1-1}) \cdots (\sigma_2 \cdots \sigma_{k_1+1})(\sigma_1 \cdots \sigma_{k_1}).
\end{align*}
$$

Il suffit d'organiser le dessin de $\mathcal{T}_1$ à l'aide des relations de tresses :

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>FIGURE 8.2 – Câblage standard de la tresse $\tau_1^2$</figcaption></figure>

On organise les croisements de sorte que le brin issu de $b_{2,1}$ croise dans un premier temps tous les brins issus de $b_{1,1}, \dots, b_{1,k_1}$. Cela correspond à la tresse concaténée $\sigma_1 \cdots \sigma_{k_1}$.

Puis on réalise le même travail avec le brin issu de $b_{2,2}$. Là encore, il va croiser les $k_1$ brins initialement issus de $b_{1,1}, \dots, b_{1,k_1}$. C'est la tresse concaténée $\sigma_2 \cdots \sigma_{k_1+1}$.

Ainsi de suite, on fait obtient une famille de $k_2$ tresses concaténation de $k_1$ demi-twist d'ordre successif. c'est-à-dire qu'on obtient la première partie de l'expression de $\mathcal{T}_1$ :

$$
(\sigma_{k_2} \cdots \sigma_{k_2+k_1-1}) \cdots (\sigma_2 \cdots \sigma_{k_1+1})(\sigma_1 \cdots \sigma_{k_1}).
$$

On fait de même pour déterminer le reste de l'expression de $\mathcal{T}_1$. $\square$

On pourrait aussi déterminer un câblage de tous les générateurs $\alpha_{i,j}$ de $PB_n$. Cependant, nous allons voir dans le chapitre 9, que pour chaque $\alpha_{i,j}$, il existe une famille génératrice de $H^1(\hat{X})_q$ telle que $\alpha_{i,j}$ se comporte comme $\tau_i^2$. Ainsi, en étudiant dans un premier temps les $\tau_i^2$, nous nous épargnerons par la suite de nombreux calculs.

8.2.2 Application au calcul de l'action de τᵢ² sur les générateurs de H¹(Х)q

On va ici utiliser les théorèmes 8.2.1 et 8.1.4 pour calculer $\tau_i^2(g_j)$ pour tout $i, j \in \{1, \dots, n\}$. On commence par faire les calculs pour $i = 1$ et on généralisera les résultats obtenus.
Pour travailler plus facilement avec $\mathcal{T}_1$, nous allons nommer les parenthèses comme ci-dessous :

$$ \mathcal{T}_1 = \underbrace{(\sigma_{k_1} \cdots \sigma_1)}_{\beta_1} \cdots \underbrace{(\sigma_{k_2+k_1-1} \cdots \sigma_{k_2})}_{\beta_{k_2}} \underbrace{(\sigma_{k_2} \cdots \sigma_{k_2+k_1-1})}_{\alpha_{k_2}} \cdots \underbrace{(\sigma_1 \cdots \sigma_{k_1})}_{\alpha_1}. $$

Alors $\tilde{\mathcal{T}}_1^* = \tilde{\alpha}_1^* \circ \cdots \circ \tilde{\alpha}_{k_2}^* \tilde{\beta}_{k_2}^* \circ \cdots \circ \tilde{\beta}_1^*$. On a également $\tilde{\beta}_i^* = \tilde{\sigma}_i^* \cdots \tilde{\sigma}_{k_1+i-1}^*$, et $\tilde{\alpha}_i^* = \tilde{\sigma}_{k_1+i-1}^* \cdots \tilde{\sigma}_i^*$. Toujours dans le but de simplifier les notations, on confondra maintenant la notation d'une tresse avec son action sur $H^1(\hat{Y})_q$, et on notera donc $\alpha_i^*$ plutôt que $\tilde{\alpha}_i^*$, $\beta_i^*$ plutôt que $\tilde{\beta}_i^*$ et $\sigma_i^*$ plutôt $\tilde{\sigma}_i^*$.

Pour éviter de manipuler les doubles indices des $g_{i,j}$, on on va noter :

$$ \eta_{\sum_{l=1}^{i-1} k_l + j} := g_{i,j}. $$

Par exemple $g_{1,1} = \eta_1$, $g_{1,k_1} = \eta_{k_1}$, $g_{2,1} = \eta_{k_1+1}$ etc.

**Action sur les $\eta_j$ des parenthèses $\beta_i$ et $\alpha_i$**

**Lemme 8.2.2.** Pour tout $i \in \{1, \dots, k_2\}$, on a :

$$ \text{— } \forall j \notin \{i-1, \dots, k_1+i\}, \beta_i^*(\eta_j) = \eta_j $$

$$ \text{— } \beta_i^*(\eta_{i-1}) = \eta_{i-1} + \eta_i $$

$$ \text{— } \forall j \in \{i, \dots, k_1 + i - 2\}, \beta_i^*(\eta_j) = \eta_{j+1} $$

$$ \text{— } \beta_i^*(\eta_{k_1+i-1}) = - \sum_{j=i}^{k_1+i-1} q^{k_1+i-j} \eta_j $$

$$ \text{— } \beta_i^*(\eta_{k_1+i}) = \sum_{j=i}^{k_1+i} q^{k_1+i-j} \eta_j. $$

**_Démonstration_** : Rappelons que, d'après les formules de McMullen 2.2.14, on a :

$$ \sigma_i^*(\eta_j) = \begin{cases} -q\eta_i & \text{si } j = i \\ \eta_{i+1} + q\eta_i & \text{si } j = i + 1 \\ \eta_{i-1} + \eta_i & \text{si } j = i - 1 \\ \eta_j & \text{sinon} \end{cases} $$

On applique ces résultats pour le calcul de $\beta_i^* = \sigma_i^* \cdots \sigma_{k_1+i-1}^*$. Clairement, si $j \notin \{i-1, \dots, k_1+i-1\}$, on a $\beta_i^*(\eta_j) = \eta_j$.

Pour $\eta_{i-1}$, on a :

$$ \begin{aligned} \beta_i^*(\eta_{i-1}) &= \sigma_i^* \cdots \sigma_{k_1+i-1}^*(\eta_{i-1}) \\ &= \sigma_i^*(\eta_{i-1}) \\ &= \eta_{i-1} + \eta_i. \end{aligned} $$

Pour $j \in \{i, \dots, k_1 + i - 2\}$, on a $j+1 \in \{i+1, \dots, k_1 + j - 1\}$ et donc $\sigma_j^* \sigma_{j+1}^*$ apparaît dans l'écriture de $\beta_i^*$. Or $\sigma_j^* \sigma_{j+1}^*(\eta_j) = \sigma_j^*(\eta_j + \eta_{j+1}) = -q\eta_j + \eta_{j+1} + q\eta_j = \eta_{j+1}$. On a alors :

$$ \begin{aligned} \beta_i^*(\eta_j) &= \sigma_i^* \cdots \sigma_j^* \sigma_{j+1}^*(\eta_j) \\ &= \sigma_i^* \cdots \sigma_{j-1}^*(\eta_{j+1}) \\ &= \eta_{j+1}. \end{aligned} $$
Regardons $\beta_i^*(\eta_{k_1+i-1})$.

$$
\begin{align*}
\beta_i^*(\eta_{k_1+i-1}) &= \sigma_i^* \cdots \sigma_{k_1+i-1}^*(\eta_{k_1+i-1}) \\
&= \sigma_i^* \cdots \sigma_{k_1+i-2}^*(\eta_{k_1+i-1}) \\
&= \sigma_i^* \cdots \sigma_{k_1+i-3}^*(\eta_{k_1+i-1} - q^2\eta_{k_1+i-2}) \\
&\vdots \\
&= - \sum_{j=i}^{k_1+i-1} q^{k_1+i-j} \eta_j.
\end{align*}
$$

Le calcul de $\beta_i^*(\eta_{k_1+i})$ est assez similaire et on trouve : $\beta_i^*(\eta_{k_1+i}) = \sum_{j=i}^{k_1+i} q^{k_1+i-j} \eta_j$. $\square$

On connaît donc l'expression de l'action de chaque $\beta_i^*$ sur les $\eta_1, \dots, \eta_{k_1+k_2-1}$. On peut de la même façon étudier l'action de $\alpha_i^*$ sur cette même famille. On trouve :

**Lemme 8.2.3.** *Pour tout $i \in \{1, \dots, k_2\}$, on a :*

$$
- \forall j \notin \{i - 1, \dots, k_1 + i\}, \alpha_i^*(\eta_j) = \eta_j
$$

$$
- \alpha_i^*(\eta_{i-1}) = \sum_{j=i-1}^{k_1+i-1} \eta_j
$$

$$
- \alpha_i^*(\eta_i) = -q \sum_{j=i}^{k_1+i-1} \eta_j
$$

$$
- \forall j \in \{i + 1, \dots, k_1 + i - 1\}, \alpha_i^*(\eta_j) = q\eta_{j-1}
$$

$$
- \alpha_i^*(\eta_{k_1+i}) = \eta_{k_1+i} + q\eta_{k_1+i-1}.
$$

La démonstration est calculatoire et repose sur les mêmes méthodes que celles du
lemme précédent. On ne fera pas ici le détail des calculs.

**Action de** $\beta^* = \beta_{k_2}^* \cdots \beta_1^*$ **et de** $\alpha^* = \alpha_1^* \cdots \alpha_{k_2}^*$ **sur les** $\eta_j$

Appliquons maintenant ces résultats pour calculer l'action de $\beta^* := \beta_{k_2}^* \cdots \beta_1^*$ sur chacun des $\eta_1, \dots, \eta_{k_0}$. On a :

**Lemme 8.2.4.** *On a :*

1. $\forall j \in \{1, \dots, k_1 - 1\}, \beta^*(\eta_j) = \eta_{j+k_2}$

2. $\beta^*(\eta_{k_1}) = -q^{k_1}(\eta_1 + \cdots + \eta_{k_2}) - \sum_{j=k_2+1}^{k_1+k_2-1} q^{k_1+k_2-j} \eta_j$

3. $\forall j \in \{k_1 + 1, \dots, k_0 - 1\}, \beta^*(\eta_j) = q^{k_1} \eta_{j-k_1}$

4. $\beta^*(\eta_{k_0}) = \eta_{k_0} + \sum_{j=1}^{k_2} \eta_j$.

*Démonstration* : Distinguons les quatre cas annoncés dans le lemme :

Pour $j \in \{1, \dots, k_1 - 1\}$, on a $j \in \{1, \dots, k_1 + 1 - 2\}$ et donc $\beta_1^*(\eta_j) = \eta_{j+1}$ d'après
le premier cas du lemme 8.2.2. On a alors $j + 1 \in \{2, \dots, k_1 + 2 - 2\}$ et de même,
$\beta_2^*(\eta_{j+1}) = \eta_{j+2}$. Ainsi de suite, on en déduit que : $\beta^*(\eta_j) = \eta_{j+k_2}$.
Dans le cas de $\beta^*(\eta_{k_1})$, on a :

$$
\begin{align*}
\beta^*(\eta_{k_1}) &= \beta_{k_2}^* \cdots \beta_1^*(\eta_{k_1}) \\
&= \beta_{k_2}^* \cdots \beta_2^*(-\sum_{j=1}^{k_1} q^{k_1+1-j}\eta_j) \\
&= \beta_{k_2}^* \cdots \beta_2^*(-q^{k_1}\eta_1 - \sum_{j=2}^{k_1} q^{k_1+1-j}\eta_j) \\
&= \beta_{k_2}^* \cdots \beta_3^*(-q^{k_1}(\eta_1 + \eta_2) - \sum_{j=3}^{k_1+1} q^{k_1+2-j}\eta_j) \\
&\vdots \\
&= -q^{k_1}(\eta_1 + \cdots \eta_{k_2}) - \sum_{j=k_2+1}^{k_1+k_2-1} q^{k_1+k_2-j}\eta_j
\end{align*}
$$

Pour $j \in \{k_1+1, \dots, k_1+k_2-1\}$, on peut écrire $j = k_1+l$ avec $l \in \{1, \dots, k_2-1\}$.
Alors pour tout $i < l$, on a $i+k_1 < k_1+l = j \le k_1+k_2-1$, et donc $\beta_i^*(\eta_{k_1+l}) = \eta_{k_1+l} = \eta_j$.
Ainsi le premier terme de $\beta^*$ agissant non trivalement sur $\eta_j$ est $\alpha_l$ on a

$$
\begin{align*}
\beta^*(\eta_j) &= \beta_{k_2}^* \cdots \beta_1^*(\eta_j) \\
&= \beta_{k_2}^* \cdots \beta_{l+1}^* \beta_l^*(\eta_{k_1+l}) \\
&= \beta_{k_2}^* \cdots \beta_{l+1}^* \left( \sum_{m=l}^{k_1+l} q^{k_1+l-m} \eta_m \right) \\
&= \beta_{k_2}^* \cdots \beta_{l+1}^* \left( q^{k_1} \eta_l + \sum_{m=l+1}^{k_1+l-1} q^{k_1+l-m} \eta_m + \eta_{k_1+l} \right) \\
&= \beta_{k_2}^* \cdots \beta_{l+2}^* \left( q^{k_1} (\eta_l + \eta_{l+1}) + \sum_{m=l+2}^{k_1+l} q^{k_1+l-m+1} \eta_m - \sum_{m=l+1}^{k_1+l} q^{k_1+l+1-m} \eta_m \right) \\
&= \beta_{k_2}^* \cdots \beta_{l+2}^* \left( q^{k_1} \eta_l \right) \\
&= q^{k_1} \eta_{j-k_1}.
\end{align*}
$$

Dans le cas de $\beta^*(\eta_{k_0})$, on a : $\beta^*(\eta_{k_0}) = \beta_{k_2}^* \cdots \beta_1^*(\eta_{k_0}) = \beta_{k_2}^* \cdots \beta_2^*(\eta_1+\eta_{k_0}) = \sum_{j=1}^{k_2} \eta_j + \eta_{k_0}.$
□

D'une façon similaire, on obtient l'action de $\alpha^* = \alpha_1^* \cdots \alpha_{k_2}^*$ sur les $\eta_j$ :

**Lemme 8.2.5.** On a :

1. $\forall j \in \{1, \dots, k_2 - 1\}, \alpha^*(\eta_j) = \eta_{j+k_1}$

2. $\alpha^*(\eta_{k_2}) = -q^{k_2} \sum_{j=1}^{k_1-1} \eta_j - \sum_{j=k_1}^{k_0-1} q^{k_2+k_1-j} \eta_j$

3. $\forall j \in \{k_2+1, \dots, k_1+k_2-1\}, \alpha^*(\eta_j) = q^{k_2} \eta_{j-k_2}.$

4. $\alpha^*(\eta_{k_0}) = \eta_0 + \sum_{j=1}^{k_1} \eta_j.$
### Action de $\tilde{T}_i^*$ sur les $\eta_j$

On peut à présent déterminer l'action des $\tau_i^2$ sur la famille génératrice $(g_1, \dots, g_n)$. Rappelons qu'on note $\text{pr}_{\hat{Y}}$ la projection orthogonale de $H^1(\hat{Y})_q$ sur $H_c^1(Y')_q \simeq H_c^1(X')_q$ et que pour toute tresse $\tau \in PB_n$ et son câblage $\mathcal{T} \in B_{k_0}$, d'après le théorème 8.1.4, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, $\tilde{\tau}^*(g_i) = \varphi^* \circ \text{pr}_{\hat{Y}}(\tilde{T}^*(g_{i,k_i}))$. En calculant $\tilde{T}_i^*$ sur les $g_{l,k_l}$ et y appliquant ensuite $\varphi^* \circ \text{pr}_{\hat{Y}}$, on va montrer :

**Théorème 8.2.6.** *L'expression de $\tilde{\tau}_i^2$ sur les $g_i$ est donnée par :*

$$ 
\begin{align*}
\tilde{\tau}_i^2(g_i) &= q^{k_i+k_{i+1}}g_i \\
\tilde{\tau}_i^2(g_{i+1}) &= g_{i+1} + q^{k_{i+1}}(1-q^{k_i})g_i \\
\tilde{\tau}_i^2(g_{i-1}) &= g_{i-1} + (1-q^{k_{i-1}})g_i \\
\tilde{\tau}_i^2(g_j) &= g_j \quad \forall j \notin \{i-1, i, i+1\}
\end{align*}
$$

*Démonstration* : On réalise une fois de plus les calculs dans le cas de $\tilde{\tau}_1^2$ et on généralise ces résultats pour trouver les formules pour $\tilde{\tau}_i^2$ où $i \in \{1, \dots, n\}$. Pour cela, on utilise le théorème 8.1.4, il suffit de calculer $\tilde{T}_1^*$ sur les $\eta_j$, pour $j$ de la forme $\sum_{l=1}^m k_l$, puis de projeter le résultat sur $H_c^1(Y')_q$ et enfin d'identifier cette projection à un élément de $H^1(\hat{X})_q$.

* On a vu que $\beta^*(\eta_{k_1}) = -q^{k_1}(\eta_1 + \dots + \eta_{k_2}) - \sum_{j=k_2+1}^{k_1+k_2-1} q^{k_1+k_2-j}\eta_j$, alors :

$$ 
\begin{align*}
\tilde{T}_1^*(g_{1,k_1}) &= \alpha^* \circ \beta^*(\eta_{k_1}) \\
&= \alpha^*(-q^{k_1} \sum_{j=1}^{k_2} \eta_j - \sum_{j=k_2+1}^{k_1+k_2-1} q^{k_1+k_2-j} \eta_j) \\
&= -q^{k_1} \alpha^*(\sum_{j=1}^{k_2-1} \eta_j) - q^{k_1} \alpha^*(\eta_{k_2}) - \sum_{j=k_2+1}^{k_1+k_2-1} q^{k_1+k_2-j} \eta_j) \\
&= -q^{k_1} \sum_{j=1}^{k_2-1} \eta_{j+k_1} - q^{k_1} (-q^{k_2} \sum_{j=1}^{k_1-1} \eta_j - \sum_{j=k_1}^{k_1+k_2-1} q^{k_2+k_1-j} \eta_j) + \sum_{j=1}^{k_1-1} q^{k_1-j} \eta_{k_2+j}) \\
&= \sum_{j=1}^{k_1-1} q^{k_1+k_2}(1-q^j)\eta_j + q^{k_1+k_2}\eta_{k_1} + \sum_{j=k_1+1}^{k_1+k_2-1} (q^{k_1} - q^{k_1+k_2-j})\eta_j.
\end{align*}
$$

Ainsi $\text{pr}_{\hat{Y}}(\tilde{T}^*(g_{i,k_i})) = q^{k_1+k_2}w_1$ donc $\tilde{\tau}_1^2(g_i) = q^{k_1+k_2}g_1$.

* De la même façon, on peut calculer :

$$ 
\begin{align*}
\tilde{T}_1^*(g_{2,k_2}) &= \alpha^* \circ \beta^*(\eta_{k_1+k_2}) \\
&= -q^{k_1+k_2} \sum_{j=1}^{k_1-1} (1-q^j)\eta_j - \sum_{j=k_1}^{k_1+k_2-1} q^{2k_1+k_2-j}\eta_j + \sum_{j=k_1}^{k_1+k_2} q^{k_1+k_2-j}\eta_j
\end{align*}
$$

Ainsi, $\text{pr}_{\hat{Y}}(\tilde{T}_1^*(g_{2,k_2})) = q^{k_2}(1-q^{k_1})w_1 + w_2$ et donc $\tilde{\tau}_1^2(g_2) = q^{k_2}(1-q^{k_1})g_1 + g_2$.
• Regardons $\tilde{T}_1^*(g_{n,k_n}) = \alpha^* \circ \beta^*(\eta_{k_0})$. On peut calculer que :

$$ \tilde{T}^*(g_{n,k_n}) = \eta_{k_0} + \sum_{j=1}^{k_1-1} (1-q^{k_2})\eta_j + (1-q^{k_2})\eta_{k_1} + \sum_{j=k_1+1}^{k_1+k_2-1} (1-q^{k_1+k_2-j})\eta_j. $$

Ainsi $\text{pr}_{\hat{Y}}(\tilde{T}^*(g_{n,k_n})) = w_n + (1-q^{k_2})w_1$ et donc $\tilde{\tau}_1^{2*}(g_n) = g_n + (1-q^{k_2})g_1$.

• Pour $i \neq n, 1, 2$, on peut vérifier par le calcul que la projection de $\tilde{T}^*(g_{i,k_i})$ sur $H^1(\hat{X})_q$, correspond à $w_i$ et donc $\tilde{\tau}_1^{2*}(g_i) = g_i$.

On généralise ces calculs pour tout $\tau_i^2$ ce qui nous donne la formule annoncée dans le théorème. $\square$

On a ainsi déterminé l'action d'une tresse $\tau_i^2$ sur les générateurs $g_1, \dots, g_n$ de $H^1(\hat{X})_q$. On veut maintenant trouver une formule générale pour exprimer l'action des $\tau_i^2$, on verra notamment que si $q^{k_i+k_{i+1}} \neq 1$, $\tau_i^2$ agit comme une réflexion complexe d'ordre fini.

### 8.2.3 Formule générale pour l'action de $\tau_i^2$ sur $H^1(\hat{X})_q$

Le résultat précédent 8.2.6 nous permet de trouver les formules annoncées au début du chapitre dans le théorème 8.0.1, que l'on rappelle ici :

#### Formules du théorème 8.0.1

$$ \forall x \in H^1(\hat{X})_q, \quad \tilde{\tau}_i^{2*}(x) = x - i \frac{(1-q^{k_i})(1-q^{k_{i+1}})}{(1-q)(1-\bar{q})} \langle x; g_i \rangle g_i $$

Lorsque de plus $q^{k_i+k_{i+1}} \neq 1$, $\tau_i^2$ agit comme une réflexion complexe :

$$ \forall x \in H^1(\hat{X})_q, \quad \tilde{\tau}_i^{2*}(x) = x - (1 - q^{k_i+k_{i+1}}) \frac{\langle x; g_i \rangle}{\langle g_i; g_i \rangle} g_i $$

**Démonstration** : Fixons un $i \in \{1, \dots, n\}$. On évalue l'expression annoncée sur $g_{i-1}$, $g_i$, $g_{i+1}$ et $g_j$ pour $|j-i| > 1$.

$$ \begin{aligned} & g_{i-1} - i \frac{(1-q^{k_i})(1-q^{k_{i+1}})}{(1-q)(1-\bar{q})} \langle g_{i-1}; g_i \rangle g_i \\ &= g_{i-1} - i \frac{(1-q^{k_i})(1-q^{k_{i+1}})}{(1-q)(1-\bar{q})} \times (-i) \frac{\bar{q}(1-q)^2}{1-q^{k_i}} g_i \\ &= g_{i-1} + (1-q^{k_{i+1}})g_i = \tilde{\tau}_i^{2*}(g_{i-1}) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & g_i - i \frac{(1-q^{k_i})(1-q^{k_{i+1}})}{(1-q)(1-\bar{q})} \langle g_i; g_i \rangle g_i \\ &= g_i - i \frac{(1-q^{k_i})(1-q^{k_{i+1}})}{(1-q)(1-\bar{q})} \times (-i) \frac{(1-q)(1-\bar{q})(1-q^{k_i+k_{i+1}})}{(1-q^{k_i})(1-q^{k_{i+1}})} g_i \\ &= q^{k_i+k_{i+1}} g_i = \tilde{\tau}_i^{2*}(g_i) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & g_{i+1} - i \frac{(1-q^{k_i})(1-q^{k_{i+1}})}{(1-q)(1-\bar{q})} \langle g_{i+1}; g_i \rangle g_i \\ &= g_i - i \frac{(1-q^{k_i})(1-q^{k_{i+1}})}{(1-q)(1-\bar{q})} \times (-i) \frac{q^{k_{i+1}} \bar{q} (1-q)^2}{1-q^{k_{i+1}}} g_i \\ &= g_{i+1} + q^{k_{i+1}} (1-q^{k_i}) g_i = \tilde{\tau}_i^{2*}(g_{i+1}) \end{aligned} $$
Pour $j \in \{1, \dots, n\}$ tel que $|j-i| > 1$, on a : $\langle g_j; g_i \rangle = 0$ et donc la formule est valable dans ce cas aussi. Comme $(g_1, \dots, g_n)$ engendre $H^1(\hat{X})_q$, on a bien :

$$ \forall x \in H^1(\hat{X})_q, \quad \tilde{\tau}_i^{2*}(x) = x - i \frac{(1 - q^{k_i})(1 - q^{k_{i+1}})}{(1 - q)(1 - \bar{q})} \langle x; g_i \rangle g_i. $$

De plus, en supposant maintenant que $q^{k_i+k_{i+1}} \neq 1$, on a $\langle g_i; g_i \rangle \neq 0$ et on peut alors voir que :

$$ \begin{aligned} \frac{(1 - q^{k_i+k_{i+1}})}{\langle g_i; g_i \rangle} &= -i \frac{(1 - q^{k_i+k_{i+1}})}{\frac{(1-q)(1-\bar{q})(1-q^{k_i+k_{i+1}})}{(1-q^{k_i})(1-q^{k_{i+1}})}} \\ &= -i \frac{(1 - q^{k_i})(1 - q^{k_{i+1}})}{(1 - q)(1 - \bar{q})} \end{aligned} $$

Ainsi on a donc : $\forall x \in H^1(\hat{X})_q$,

$$ \tilde{\tau}_i^{2*}(x) = x - i \frac{(1 - q^{k_i})(1 - q^{k_{i+1}})}{(1 - q)(1 - \bar{q})} \langle x; g_i \rangle g_i = x - (1 - q^{k_i+k_{i+1}}) \frac{\langle x; g_i \rangle}{\langle g_i; g_i \rangle} g_i $$

et on retrouve bien les formules attendues dans le théorème 8.0.1. $\square$

Ce théorème généralise également le résultat 2.2.15 de McMullen qui nous dit que, dans son cas où les $k_i$ sont tous égaux à 1, pour $q^2 \neq 1$, les $\tau_i$ agissent comme des réflexions complexes.

L'expression de l'action des $\tilde{\tau}_i^2$ donnée dans le théorème précédent 8.2.6 nous permet de montrer que les $\tilde{\tau}_i^{2*}$ sont d'ordres finis. La proposition suivante nous permet de finir la démonstration du théorème 8.0.1.

**Proposition 8.2.7.** Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, $\tilde{\tau}_i^{2*}$ est d'ordre $m_i$ où $m_i$ est l'ordre de $k_i + k_{i+1}$ dans $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ si $q^{k_i+k_{i+1}} \neq 1$, et $\tilde{\tau}_i^2$ est unipotent sinon.

*Démonstration* : Supposons que $q^{k_i+k_{i+1}} \neq 1$, alors $\langle g_i, g_i \rangle \neq 0$ et on peut trouver une base de $H^1(\hat{X})_q$ sous la forme $(g_i, v_1, \dots, v_{n-\varepsilon_0-2})$, où $(v_1, \dots, v_{n-\varepsilon_0-2})$ engendre $\langle g_i \rangle^{\perp}$. La matrice de $\tilde{\tau}_i^2$ dans cette base est alors :

$$ \begin{pmatrix} q^{k_i+k_{i+1}} & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \end{pmatrix} $$

où les espaces laissés vides sont des 0. L'ordre de cette matrice est exactement l'ordre $m_i$ de $k_i + k_{i+1}$ dans $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$.

Lorsque $q^{k_i+k_{i+1}} = 1$, on a :

$$ \tilde{\tau}_i^{2*}(g_j) = \begin{cases} g_i & \text{si } j = i \\ g_{i+1} + (q^{k_{i+1}} - 1)g_i & \text{si } j = i + 1 \\ g_{i-1} + (1 - q^{k_{i+1}})g_i & \text{si } j = i - 1 \\ g_j & \text{sinon.} \end{cases} $$

Puisque $\sum_{i=1}^n g_i = 0$, on peut extraire de la famille génératrice $(g_1, \dots, g_n)$ une base de $H^1(\hat{X})_q$ dont les trois premiers termes sont $g_i, g_{i+1}$ et $g_{i-1}$. Alors la matrice de $\tilde{\tau}_i^2$ dans cette base est de la forme suivante :
$$
\left(
\begin{array}{ccccccc}
1 & q^{k_{i+1}} - 1 & 1 - q^{k_{i+1}} & & & & \\
0 & 1 & 0 & & & & \\
0 & 0 & 1 & & & & \\
& & & 1 & & & \\
& & & & \ddots & & \\
& & & & & 1 &
\end{array}
\right)
$$

Cette matrice est unipotente donc $\tilde{\tau}_i^{2*}$ est unipotent.

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

On a donc bien démontré le théorème 8.0.1. On peut à présent s’intéresser à l’irréduc-
tibilité des représentations $\rho_q$.

8.3 Irréductibilité de l'action de PB_n sur U(H^1(\hat{X})_q)

Pour $q = e^{-\frac{2i\pi k}{d}} \neq 1$, on considère la représentation $\rho_q$ construite précédemment. On veut montrer que la représentation $\rho_q$ est irréductible. Fixons $W \subset H^1(\hat{X})_q$ un sous-espace stable par $\rho_q$ tel que $W \neq \{0\}$. On peut alors montrer que :

**Lemme 8.3.1.** *S'il existe un indice $i \in \{1, \dots, n\}$ tel que $g_i \in W$, alors $W = H^1(\hat{X})_q$.*

Démonstration : Fixons un indice $i \in \{1, \dots, n\}$ tel que $g_i \in W$. Alors :

$$
\tilde{\tau}_{i+1}^{2*}(g_i) = g_i + (1 - q^{k_{i+1}})g_{i+1}
$$

Remarquons ici que si $i = n$, alors l'élément noté $g_{i+1}$ dans l'expression ci-dessus est en fait $g_1$. Or $w$ est stable par $\rho_q$, donc $\tilde{\tau}_{i+1}^{2*}(g_i) \in W$ donc $(1 - q^{k_{i+1}})g_{i+1} \in W$. Comme $q^{k_{i+1}} \neq 1$, on a bien $g_{i+1} \in W$.

En raisonnant successivement, on peut montrer que tout les $g_1, \dots, g_n$ sont dans W et
ainsi $W = H^1(\hat{X})_q$.

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

**Lemme 8.3.2.** *Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, $\tilde{\tau}_i^{2*}$ laisse invariant l'orthogonal de $\langle g_i \rangle$.*

Démonstration : Soient $i \in \{1, \dots, n\}$ et $y_i \in \langle g_i \rangle^{\perp}$. D'après le théorème 8.0.1, on sait que $\tilde{\tau}_i^{2*}(y_i) = y_i - i \frac{(1-q^{k_i})(1-q^{k_{i+1}})}{(1-q)(1-\bar{q})} \langle y_i; g_i \rangle g_i$. Comme $\langle y_i; g_i \rangle = 0$, on a $\tilde{\tau}_i^{2*}(y_i) = y_i$. Ainsi le lemme est démontré.

<figure><img src="image_58.png" /></figure>

Remarquons alors que :

**Lemme 8.3.3.** $\cap_{i=1}^n (\langle g_i \rangle)^\perp = \{0\}$.

Démonstration : En effet, si $x \in \cap_{i=1}^n (\langle g_i \rangle)^\perp \setminus \{0\}$, pour tout $y \in H^1(\hat{X})_q$, y s'écrit comme une combinaison linéaire des $g_1, \dots, g_n$ et donc $\langle x; y \rangle = 0$. Cela contredit le fait que la forme d'intersection est non dégénérée.

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

On peut maintenant démontrer du théorème 8.0.2 :

Démonstration du théorème 8.0.2 : Considérons un élément $w \in W \setminus \{0\}$. Pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, on peut appliquer $\tilde{\tau}_i^{2*}$ à $w$. D'après le théorème 8.0.1 on a :

$$
\begin{align*}
\tilde{\tau}_i^{2*}(w) &= w - i \frac{(1-q_i^k)(1-q^{k_{i+1}})}{(1-q)(1-\bar{q})} \langle x, g_i \rangle g_i \\
\Rightarrow \underbrace{\tilde{\tau}_i^{2*}(w) - w}_{\in W} &= -i \underbrace{\frac{(1-q^{k_i})(1-q^{k_{i+1}})}{(1-q)(1-\bar{q})}}_{\neq 0} \langle w, g_i \rangle g_i
\end{align*}
$$
Si pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, $\langle w, g_i \rangle = 0$, alors $w$ est orthogonal à chacun des $g_i$, donc $w \in \cap_{i=1}^n \langle g_i \rangle^\perp = \{0\}$, ce qui contredit $w \in W \setminus \{0\}$. Ainsi, il existe $i \in \{1, \dots, n\}$ tel que : $\langle w, g_i \rangle \neq 0$, donc $g_i \in W$ et par le lemme 8.3.1 $W = H^1(\hat{X})_q$. Finalement, la représentation $\rho_q$ est irréductible et le théorème 8.0.2 est démontré. $\square$

Dans ce chapitre, nous avons explicité l'action des tresses $\tau_i^2$ sur $H^1(\hat{X})_q$, les formules obtenues nous ont permis de montrer que les représentations $\rho_q$ sont irréductibles. Dans le chapitre suivant, nous allons utiliser les résultats trouvés pour les $\tau_i^2 = \alpha_{i,i+1}$, et les étendre à tous les générateurs $\alpha_{i,j}$ de $PB_n$. Pour cela, en considérant un couples d'indice $(i, j) \in \{1, \dots, n\}^2$ tel que $i < j$, nous verrons comment choisir une indexation des points marqués $b_1, \dots, b_n$ pour obtenir une nouvelle famille génératrice de $H^1(\hat{X})_q$, dans laquelle l'action de $\alpha_{i,j}$ est donnée par les formules du théorème 8.0.1. Nous montrerons comment passer d'une famille génératrice de $H^1(\hat{X})_q$ à l'autre pour expliciter l'action de tous les $\alpha_{i,j}$ sur une même famille génératrice. Cela nous permettra d'obtenir les matrices des $\tilde{\alpha}_{i,j}^*$ et démontrer alors que, sous certaines conditions, l'image $\rho_q(PB_n)$ est Zariski dense dans un certain groupe unitaire.
# Chapitre 9

## Action des $\alpha_{i,j}$ sur $H^1(\hat{X})_q$

Dans cette partie, nous allons reprendre une partie du travail réalisé précédemment pour déterminer l'action des tresses $\alpha_{i,j}$ sur $H^1(\hat{X})_q$. Rappelons que les $\alpha_{i,j}$ sont les générateurs de $PB_n$, définis dans 2.1.4, chaque $\alpha_{i,j}$ est un conjugué de $\tau_i^2$. Pour cela, nous étudions l'action des $\tilde{\alpha}_{i,j}^*$ sur les générateurs $g_1, \dots, g_n$ de $H^1(\hat{X})_q$ trouvés dans la partie précédente. En remarquant qu'une tresse $\alpha_{i,j}$ agit comme un twist de Dehn de support un disque contenant $b_i$ et $b_j$, nous changeons l'indexation des points marqués de sorte que $b_i$ et $b_j$ soient indexés successivement. Le changement d'indexation induit la construction d'une nouvelle famille génératrice, sur laquelle l'expression de $\tilde{\alpha}_{i,j}^*$ est donnée par celle de $\tau_i^2$ comme dans le théorème 8.0.1. En passant d'une famille génératrice à l'autre, on est en mesure de déterminer l'action de n'importe quel générateur $\alpha_{i,j}$ de $PB_n$ sur la famille génératrice $(g_1, \dots, g_n)$ de $H^1(\hat{X})_q$. Nous en déduirons le résultat suivant :

**Théorème 9.0.1.** Pour tout $(i,j) \in \{1, \dots, n\}$ tel que $i < j$, l'action de $\alpha_{i,j}$ sur $H^1(\hat{X})_q$ est donnée par :

$$ \forall x \in H^1(\hat{X})_q, \quad \tilde{\alpha}_{i,j}^*(x) = x - \iota \frac{(1 - q^{k_i})(1 - q^{k_j})}{(1 - q)(1 - \bar{q})} \langle x; g'_i \rangle g'_i $$

$$ \text{où } g'_i = g_i + \sum_{l=i+1}^{j-1} \bar{q}^{\sum_{r=i+1}^{l} k_r} g_l. $$

Si $q^{k_i+k_j} \neq 1$, alors $\alpha_{i,j}$ agit comme une réflexion complexe d'expression :

$$ \forall x \in H^1(\hat{X})_q, \quad \tilde{\alpha}_{i,j}^*(x) = x - (1 - q^{k_i+k_j}) \frac{\langle x; g'_i \rangle}{\langle g'_i, g'_j \rangle} g'_i. $$

Dans ce cas, $\tilde{\alpha}_{i,j}^*$ est d'ordre fini. Sinon, $\tilde{\alpha}_{i,j}^*$ est unipotent.

## 9.1 Dépendance de la famille génératrice au choix de l'indexation des points complexes marqués

Nous expliquons ici comment le choix d'une indexation des points marqués détermine la construction d'une famille génératrice, et comment choisir une indexation convenable pour aborder n'importe quelle tresse $\alpha_{i,j}$ comme un twist de Dehn dont l'étude à déjà été faite dans le chapitre précédent.
### 9.1.1 Conséquences du choix de l'indexation sur la construction des générateur de $H^1(\hat{X})_q$

Rappelons que la surface $\hat{X}$ est obtenue par le processus de normalisation standard de la courbe algébrique :

$$y^d = \prod_{i=1}^{n} (x - b_i)^{k_i}.$$

Le produit étant commutatif, l'indexation des $n$ points marqués ne change que quelque notation dans la construction de $\hat{X}$, mais pas la surface elle-même.

Une indexation fixée $(b_1, \dots, b_n)$ nous permet de définir les disques $D_i$, contenant les points $b_i$ et $b_{i+1}$ mais aucun autre des points marqués. A partir d'un disque $D_i$, on considère sa pré-image $X_i \subset \hat{X}$ et le générateur $g_i$ de $H_c^1(X_i)_q$. Ainsi la famille génératrice va dépendre du choix de l'indexation des points marqués.

Par exemple, sur la figure 9.1, nous avons représenté quatre points marqués, indexés différemment à droite et à gauche. Pour la première indexation, à gauche sur la figure, $X_1$ représente la pré-image d'un disque entourant les deux premiers points. Pour la seconde indexation, à droite, $X_1$ représente maintenant la pré-image d'un disque tracé en pointillé, bien distinct du disque dessiné à gauche. Ainsi, d'une indexation à l'autre, les notations $X_i$ ne désignent pas forcément les mêmes surfaces. Comme $g_i$ est le générateur de $H_c^1(X_i)_q$, il dépend fortement du choix de l'indexation. En particulier, une indexation donnée $(b_1, \dots, b_n)$ va définir une famille génératrice $(g_1, \dots, g_n)$ qui ne sera pas la même que pour une autre indexation $(b'_1, \dots, b'_n)$.

<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>FIGURE 9.1 – Le choix d'une indexation pour les points marqués détermine les sous-surfaces notées $X_i$ de $\hat{X}$</figcaption></figure>

De même que pour $D_i$, la tresse $\tau_i^2$ est définie comme étant le twist de Dehn de support $D_i$, ainsi la notation $\tau_i^2$ ne représentera plus forcément la même tresse dans deux indexations différentes. Sur la figure 9.2, on représente quatre points marqués dans un disque complexe, que l'on indexe différemment à droite et à gauche. Alors la tresse $\tau_1^2$ dans l'indexation de gauche ne correspond pas à la tresse notée également $\tau_1^2$ dans l'indexation de droite.

En particulier, on remarque sur la figure 9.2 que la tresse $\tau_1^2$ dans la seconde indexation correspond à la tresse $\alpha_{1,3}$ pour la première indexation. Ainsi, pour un couple $(i, j) \in \{1, \dots, n\}^2$ donné tel que $i < j$, en choisissant correctement une nouvelle indexation pour les points marqués, la tresse $\alpha_{i,j}$ s'interprètera comme un $\tau_i^2$ pour la nouvelle indexation.
<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>FIGURE 9.2 – La tresse notée $\tau_1^2$ dans l’indexation $(b_1, b_2, b_3, b_4)$ à gauche et dans l’indexation $(b_1, b_3, b_2, b_4)$ à droite</figcaption></figure>

9.1.2 Choix d’une indexation adaptée à un $\alpha_{i,j}$

On fixe une indexation initiale $(b_1, \dots, b_n)$ et sa famille génératrice associée $(g_1, \dots, g_n)$.
Pour un couple $(i, j) \in \{1, \dots, n\}^2$, avec $i < j$, on regarde la tresse $\alpha_{i,j}$ sur la figure 9.3.
La partie droite de la figure représente une déformation possible qui nous permet de voir
$\alpha_{i,j}$ comme un twist de Dehn. Ce dessin intuitif suggère que si l’ordre d’indexation était
tel que $b_j$ soit indexé successivement à $b_i$, alors la tresse $\alpha_{i,j}$ s’interprèterait comme $\tau_i^2$.

<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>FIGURE 9.3 – Interprétation de $\alpha_{i,j}$ comme un twist de Dehn lorsque le point $b_j$ est indexé à la suite de $b_i$</figcaption></figure>

**Proposition 9.1.1.** *Pour tout* $(i,j) \in \{1, \dots, n\}$ *tel que* $i < j$, *la tresse notée* $\alpha_{i,j}$ *dans l'indexation initiale* $(b_1, \dots, b_n)$ *correspond au twist de Dehn* $\tau_i^2$ *pour l'indexation* $(b'_1, \dots, b'_n) = (b_1, \dots, b_i, b_j, b_{i+1}, \dots, b_{j-1}, b_{j+1}, \dots, b_n)$.

Démonstration : Il s’agit là de formaliser l’idée intuitive présentée plus haut sur le dessin 9.3. Fixons un couple $(i,j) \in \{1, \dots, n\}^2$ tels que $i < j$. Évidemment, si $j = i + 1$, les deux indexations de l’énoncé sont identiques et la tresse $\alpha_{i,i+1}$ est en fait la tresse $\tau_i^2$, il n’y a donc rien à démontrer.

Supposons alors que $j > i+1$. Montrons que la tresse $\alpha_{i,j}$ correspond à un twist de Dehn de support un disque $D_{i,j}$ contenant les points $b_i$ et $b_j$ mais aucun autres points marqués. Pour cela, nous utiliserons la représentation de $\alpha_{i,j}$ comme un homéomorphisme du disque $D \subset \hat{\mathbb{C}}$ contenant tous les points marqués. Pour simplifier le dessin, nous supposerons ici
j = i +2. On représente sur 9.4 les trois points bᵢ, bᵢ+₁ et bⱼ, et on applique successivement
les tresses τᵢ+₁⁻¹, τᵢ, τᵢ et τᵢ+₁ pour obtenir la déformation induite par αᵢ,ⱼ = τᵢ+₁τᵢ²τᵢ+₁⁻¹.

<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>FIGURE 9.4 – Application de $\alpha_{i,i+2}$</figcaption></figure>

Alors le point central $b_{i+1}$ est laissé fixé par $\alpha_{i,j}$, il n'est pas dans le support de $\alpha_{i,j}$.
On peut donc considérer que les chemins le rejoignant sont joints entre eux mais ne sont
plus fixés à ce point marqué. Par homotopie, on peut déformer ce chemin, tracé en rouge
sur l'illustration 9.5, pour voir que $\alpha_{i,j}$ correspond bien à un twist de Dehn de support
$D_{i,j}$.

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

Ainsi, par la suite, lorsqu'on étudiera une des tresses $\alpha_{i,j}$ engendrant $PB_n$, on considérera son indexation associée, construite comme dans la proposition 9.1.1 ci-dessus. Cette nouvelle indexation permet de construire une nouvelle famille génératrice. On s'intéresse alors au passage de la famille initiale à l'autre et inversement.
<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>FIGURE 9.5 – Interprétation de $\alpha_{i,i+2}$ comme un twist de Dehn</figcaption></figure>

## 9.2 Passage d'un famille génératrice de $H^1(\hat{X})_q$ à une autre

On fixe une première indexation $(b_1, \dots, b_n)$. Cette indexation détermine la famille génératrice $(g_1, \dots, g_n)$ du théorème 7.0.1. D'après ce qui précède, pour une nouvelle indexation $(b'_1, \dots, b'_n)$, nous obtenons une nouvelle famille génératrice $(g'_1, \dots, g'_n)$. Les cas qui nous intéressent sont ceux des indexations permettant de voir un $\alpha_{i,j}$ comme un $\tau_i^2$. On veut alors pouvoir passer de la famille initiale à une nouvelle famille et réciproquement.

On rappelle qu'au voisinage de $b_i$ on dispose de $k_i$ points distincts $b_{i,1}, \dots, b_{i,k_i}$, on peut choisir $b_{i,1} = b_i$. Pour retrouver les résultats du chapitre 3, on va supposer, sans perte de généralité, que les $b_{i,j}$ sont des racines $k_0$-ième de l'unité, avec $\beta_{i,j} = (e^{\frac{2i\pi}{k_0}})^{\sum_{l=1}^{i-1} k_l + j}$. De même, au voisinage de $b'_i$ on dispose de $k'_i$ points distincts $b'_{i,1}, \dots, b'_{i,k'_i}$, on peut choisir $b'_{i,1} = b'_i$. D'après les résultats du chapitre 7, on sait que chaque $g_l$ s'identifie à la projection orthogonale d'un élément $w_l \in H^1(\hat{Y})_q$ sur $H_c^1(Y')_q$, où $w_l$ est une combinaison linéaire des générateurs $g_{i,j}$ de $H_c^1(\hat{Y})_q$. On cherche donc des relations entre des $g_{i,j}$ et les $g'_{i,j}$, les générateurs de $H^1(\hat{Y})_q$ du théorème 2.2.11 pour la nouvelle indexation. Chaque $g_{i,j}$ est le dual de Poincaré d'une 1-chaîne d'après 3.0.1, qui s'écrit en fonction des relevés du chemin entre $b_{i,j}$ et $b_{i,j+1}$ si $j \neq k_i$, et entre $b_{i,k_i}$ et $b_{i+1,1}$ sinon. En considérant les chemins entre les points d'indexation successives de $\{b_{i,j} | i \in \{1, \dots, n\}, j \in \{1, \dots, k_i\}\}$ et les chemins entre les points d'indexation successives de $\{b'_{i,j} | i \in \{1, \dots, n\}, j \in \{1, \dots, k'_i\}\}$, on trouve des relations en homologie entre les duaux des $g_{i,j}$ et des $g'_{i,j}$, et enfin des relations entre les $g_l$ et les $g'_l$.

On considère les chemins entre deux points d'indexation successive, pour cela on va noter :
— $\beta_{\sum_{l=1}^{i-1} k_l + j} := b_{i,j}$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et pour tout $j \in \{1, \dots, k_i\}$. Pour simplifier encore ces notations, on pose : $\sigma_l^m := \sum_{r=l}^m k_r$, ainsi $\beta_{\sigma_1^{i-1} + j} := b_{i,j}$. On a alors
$$ \beta_l = (e^{i \frac{2i\pi}{k_0}})^l $$

— $\eta_l : \beta_l \rightsquigarrow \beta_{l+1}$ le chemin de $\beta_l$ à $\beta_{l+1}$ sur le bord du disque unité.

Pour tout $l \in \{1, \dots, k_0\}$, on note $\eta_{l,0}, \dots, \eta_{l,d-1}$ les $d-1$ relevés de $\eta_l$ tels que : pour tout $m \in \{0, \dots, d-1\}$, $T^m(\eta_{l,0}) = \eta_{l,m}$. D'après le théorème 3.0.1, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et pour tout $j \in \{1, \dots, k_i\}$, l'élément $g_{i,j}$ est le dual de Poincaré de $\lambda c_{i,j} = \lambda \sum_{m=0}^{d-1} q^m \eta_{1^{i-1}+j,m}$, où $\lambda = \frac{2\sqrt{1-\mathrm{Re}(q)}}{\sqrt{d}}$.

Fixons à présent un couple d'indice $(i, j) \in \{1, \dots, n\}^2$ tel que $i < j$. On sait d'après 9.1.1 que $\alpha_{i,j}$ agit comme l'élément $\tau_i^2$ sur la famille génératrice $(g'_1, \dots, g'_n)$ obtenue avec l'indexation :

$$ (b'_1, \dots, b'_n) = (b_1, \dots, b_i, b_j, b_{i+1}, \dots, b_{j-1}, b_{j+1}, \dots, b_n). $$

La surface $\hat{X}$ est obtenue à partir de la courbe algébrique $y^d = \prod_{l=1}^n (x - b'_l)^{k'_l}$ avec :
$$ k'_{i+1} = k_j, \quad k'_h = k_{h-1} \quad \text{pour } h \in \{i+1, \dots, j\} \text{ et } k_l = k'_l \quad \text{pour tous les autres indices.} $$

De même que précédemment, on va considérer les points $b'_{l,1}, \dots, b'_{l,k_l}$ au voisinage de chaque $b'_l$ avec $b'_l = b'_{l,0}$, et on va noter :

— $\beta'_{\theta_1^{l-1}+h} := b'_{l,h}$ pour tout $l \in \{1, \dots, n\}$ et pour tout $h \in \{1, \dots, k'_l\}$, avec $\theta_1^{l-1} = \sum_{m=1}^{l-1} k'_m$.

— $\eta'_l : \beta'_l \rightsquigarrow \beta'_{l+1}$ le chemin de $\beta'_l$ à $\beta'_{l+1}$.

Pour tout $l \in \{1, \dots, k_0\}$, on note $\eta'_{l,0}, \dots, \eta'_{l,d-1}$ les $d-1$ relevés de $\eta'_l$ tels que : $\eta'_{1,0} = \eta_{1,0}$ et pour tout $m \in \{0, \dots, d-1\}$, $T^m(\eta'_{l,0}) = \eta'_{l,m}$. L'élément $g'_{l,h}$ est le dual de Poincaré de $\lambda c'_{l,h} = \lambda \sum_{m=0}^{d-1} q^m \eta'_{1^{l-1}+h,m}$, où $\lambda = \frac{2\sqrt{1-\mathrm{Re}(q)}}{\sqrt{d}}$.

Pour exprimer l'action de $\alpha_{i,j}$ sur les générateurs $g_1, \dots, g_n$, on a besoin de passer de la famille $(g_1, \dots, g_n)$ à la famille $(g'_1, \dots, g'_n)$, sur laquelle on connaît l'expression de l'action de $\alpha_{i,j}$. Rappelons également qu'on a la décomposition orthogonale $H^1(\hat{Y})_q \simeq H_c^1(Y')_q \oplus (\oplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i))_q$ où $H_c^1(Y')_q \simeq H^1(\hat{X})_q$. On a toujours le morphisme surjectif donné par :

$$ \phi_{\hat{X}} : H^1(\hat{Y})_q \to H^1(\hat{X})_q \\ g_{i,j} \mapsto \begin{cases} g_i & \text{si } j = k_i \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} $$

obtenu par la projection orthogonale de $H^1(\hat{Y})_q$ sur $H_c^1(Y')_q$ et l'identification $H_c^1(Y')_q \simeq H^1(\hat{X})_q$. On assimilera donc $\phi_{\hat{X}}$ à une projection. Les éléments $g_{l,h}$, respectivement $g'_{l,h}$, se projettent sur 0 dans $H^1(\hat{X})_q$ pour $h \neq k_l$, respectivement $h \neq k'_l$, et sur $g_l$ sinon, respectivement $g'_l$. Pour obtenir des relations entre les éléments $g_1, \dots, g_n$ et les $g'_1, \dots, g'_n$, on cherche donc des relations entre les $g_{l,h}$ et les $g'_{l,h}$, que l'on obtient via l'homologie, et que l'on projette sur $H^1(\hat{X})_q$.

## 9.2.1 Relations en homologie entre les duaux des générateurs de

$$ H_1(\hat{Y})_{\bar{q}} $$

On dispose sur le bord du disque unité les points $b_{i,j} = \beta_{\sigma_1^{i-1}+j}^{m}$ indexés successivement de gauche à droite. On relie alors ces points avec les chemins $\eta_l$, la concaténation $\eta_1, \dots, \eta_{k_0}$
forme le bord du disque unité, et délimite ainsi un disque $D_∞$ contenant le point $∞$ et d'un disque $D = \hat{C} \setminus D_∞$, il s'agit du disque à gauche sur l'image ci-dessous. De même, on peut également relier les points $b_{i,j}$ par les chemins $\eta'_1, \dots, \eta'_{k_0}$ forme le bord d'un nouveau disque topologique $D'$ ne contenant pas $∞$, représenté à droite sur l'image ci-dessous.

<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>FIGURE 9.6 – A gauche le disque $D$ dont le bord est donné par les chemins $\eta_1, \dots, \eta_{k_0}$, à droite le disque $D'$ dont le bord est donné par les chemins $\eta'_1, \dots, \eta'_{k_0}$. Les intersections numérotées seront étudiées localement par la suite, on y fera référence sur les illustrations suivantes en utilisant cette numérotation.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>FIGURE 9.7 – Agrandissement de la figure précédente autour des points $b_{\sigma_1^i} = b_{i,k_1}, \dots, b_{\sigma_{i+1}^j} = b_{j+1,1}$</figcaption></figure>
On relève dans $\hat{Y}$ les disques $D$ et $D_\infty$ ainsi que le disque $D'$. On introduit donc les notations suivantes :

- Soient $E_0, \dots, E_{d-1}$ les relevés de $D$ vérifiant : $\eta_{l,0} \in \partial E_0$ pour tout $l \in \{1, \dots, k_0\}$, et pour tout $m \in \{0, \dots, d-1\}$, $T^m(E_0) = E_m$.

- Soient $S_0, \dots, S_{e_0-1}$ les relevés de $D_\infty$ de sorte que : $\eta_{1,0} \in \partial S_0$ et pour tout $m \in \{1, \dots, e_0-1\}$, $T^m(S_0) = S_m$.

- Soient $E'_0, \dots, E'_{d-1}$ les relevés de $D'$ vérifiant : $\eta'_{l,0} \in \partial E_0$ pour tout $l \in \{1, \dots, k_0\}$, et pour tout $m \in \{0, \dots, d-1\}$.

**Lemme 9.2.1.** *Pour tout $l \in \{1, \dots, k_0\}$ et pour tout $m \in \{0, \dots, d-1\}$, on a $\eta_{l,m} \in \partial S_{m-l+1} \bmod e_0$.*

*Démonstration* : En effet, au voisinage de la pré-image $q_2$ de $\beta_2$ dans $\hat{Y}$, $T$ agit comme une rotation d'angle $\frac{2\pi}{d}$, et les relevés de $\eta_2$ forment un angle de $\frac{\pi}{d}$ avec ceux de $\eta_1$. Comme $\eta_{1,0} \in \partial E_0 \cap \partial S_0$, on en déduit le schéma 9.8.

<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>FIGURE 9.8 – Étude locale des $\eta_{1,0}, \dots, \eta_{1,d-1}$ et $\eta_{2,0}, \dots, \eta_{2,d-1}$ au voisinage de $q_2$</figcaption></figure>

En ré-itérant ce schéma, on voit que $\eta_{l,l-1 \bmod d} \in \partial S_0$ pour tout $l \in \{1, \dots, k_0\}$, et donc $\eta_{l,l-1+\alpha e_0 \bmod d} \in \partial S_0$ pour tout $\alpha \in \{0, \dots, d-1\}$. On en déduit : $\eta_{l,h} \in \partial S_{h-l+1 \bmod e_0}$ pour tout $l \in \{1, \dots, k_0\}$.

□

**Lemme 9.2.2.** *Le relevé $E'_0$ de $D'$ est une réunion d'une partie de $E_0$, d'une partie de $S_{l_0 \bmod e_0}$ et d'une partie de $E_{m_0 \bmod d}$, avec : $l_0 = 1 - \sigma_1^i$ et $m_0 = \sigma_{i+1}^{j-1}$.*

*Démonstration* : On a : $D' = (D' \cap D) \cup (D' \cap (D_\infty \cup \partial D_\infty))$. L'intersection $D \cap D'$ est une réunion disjointe de deux disques. Notons $D_1$ et $D_2$ ces deux disques, de sorte que $\eta_1$ soit sur le bord de $D_1$ et $\eta_{\sigma_1^{j-1}}$ soit sur le bord de $D_2$. D'autre part, $D' \cap D_\infty$ est un disque que l'on note $D_3$. Alors le relevé $E'_0$ de $D'$ est formé d'un certain relevé $D_{1,0}$ de $D_1$, d'un certain relevé $D_{2,0}$ de $D_2$ et d'un certain relevé $D_{3,0}$ de $D_3$.
Comme $D_1 \subset D$, on doit avoir $D_{1,0}$ sur l'un des $E_0, \dots, E_{d-1}$. Or $\eta_{1,0} = \eta'_{1,0} \subset E'_0$, avec $\eta_{1,0} \subset \partial E_0$ et $\eta'_{1,0} \subset \partial E'_0$, on doit donc avoir $D_{1,0} \subset E_0 \cap E'_0$. Puisque $D_3 \subset D_\infty$, on peut
<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>FIGURE 9.9 – Le disque $E'_0$ rencontre $E_0$, $S_{l_0}$ et $E_{m_0}$</figcaption></figure>

fixer un $l_0 \in \{0, \dots, e_0 - 1\}$ tel que $D_{3,0} \subset S_{l_0}$. Comme $D_{2,0}$ est sur $D$, on peut fixer $m_0 \in \{0, \dots, d-1\}$ tel que $D_{2,0} \subset E_{m_0}$.

Pour déterminer les indices $l_0$ et $m_0$, on montre d'abord les relations suivantes :

$$ \bullet \quad \forall l \in \{1, \dots, \sigma_1^i - 1\} \cup \{\sigma_1^{j+1} + 1, \dots, k_0\}, \forall m \in \{0, \dots, d-1\}, $$ 
$$ \eta_{l,m} = \eta_{l,m} $$

$$ \bullet \quad \forall h \in \{0, \dots, \sigma_{r=i+1}^j - 1\}, \forall m \in \{0, \dots, d-1\}, $$ 
$$ \eta'_{\theta_1^{i+1}+h,m} = \eta_{\sigma_1^i+h,m_0+m}. $$

En effet, pour tout $l \in \{1, \dots, \sigma_1^i - 1\} \cup \{\sigma_1^j + 1, \dots, k_0\}$, on a $\eta_l = \eta'_l \in \partial D_1$. Alors $\eta_{l,0}$ et $\eta_{l,0}$ sont deux relevés de $\eta'_l$, tout deux sur le bord de $D_{1,0} \subset E'_0 \cap E_0$ donc $\eta_{l,0} = \eta'_{l,0}$. Comme $\eta_{l,m} = T^m(\eta_{l,0})$ et que $\eta'_{l,m} = T^m(\eta'_{l,0})$, on a : $\eta_{l,m} = \eta'_{l,m}$ pour tout $m \in \{0, \dots, e_0 - 1\}$.

D'autre part, pour tout $h \in \{1, \dots, \sigma_{i+1}^{j-1}\}$, on a $\eta_{\sigma_1^i+h} = \eta'_{\theta_1^{i+1}+h} \subset \partial D_2$. Alors sur le bord de $D_{2,0}$, on aura : $\eta_{\sigma_1^i+h,m_0} = \eta'_{\theta_1^{i+1}+h,0} \subset \partial E_{m_0} \cap \partial E'_0$. On en déduit : $\eta'_{\theta_1^{i+1}+h,m} = \eta_{\sigma_1^i+h,m_0+m}$.

En étudiant localement les relevés aux points de départ et d'arrivée des chemins $\eta_{\sigma_1^i}$, $\eta_{\sigma_1^{i+1}}$ et $\eta_{\sigma_1^j}$, on peut déterminer les valeurs de $l_0$ et de $m_0$. On regarde au voisinage du relevé de $\beta_{\sigma_1^i}$ les chemins $\eta_{\sigma_1^i,0}$ et $\eta'_{\theta_1^i,0}$. C'est la partie droite de la figure 9.10.

D'après le lemme 9.2.1, $\eta_{\sigma_1^i,0} \subset \partial S_{1-\sigma_1^i \mod e_0}$. Sur la partie droite de la figure 9.10, on peut voir que $\eta'_{\theta_1^i,0}$ doit se trouver sur le relevé $S_{l_0}$ bordé par $\eta_{\sigma_1^i,0}$, c'est-à-dire sur $S_{1-\sum_{l=1}^i \mod e_0}$ et on pose alors $l_0 = 1 - \sum_{l=1}^i k_l$.

Le chemin $\eta'_{\theta_1^i,0}$ rencontre une nouvelle fois le bord de $S_{l_0}$ en son point d'arrivée. A l'aide du lemme 9.2.1, on peut voir que, le long de $S_{l_0}$ et à la suite du chemin $\eta_{\sigma_{l=1}^i,0}$, on retrouve successivement les chemins suivant :

$$ \eta_{\sigma_1^i+1,1}, \eta_{\sigma_1^i+2,2}, \dots, \eta_{\sigma_1^{j-1}-1,1}, \eta_{\sigma_1^{j-1}-1} \mod d, \eta_{\sigma_1^{j-1}, \sigma_{i+1}^{j-1}} \mod d $$

C'est ce que l'on illustre sur la figure 9.11.

On peut alors s'intéresser à la partie gauche de la figure 9.10, le chemin $\eta'_{\theta_1^i,0}$ rencontre le chemin $\eta_{\sigma_1^{j-1}, \sigma_{i+1}^{j-1} \mod d}$ en son point d'arrivée, alors :

$$ \eta'_{\theta_1^i+1,0} = \eta_{\sigma_1^{j-1}+1, \sigma_{i+1}^{j-1} \mod d} $$
<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>FIGURE 9.10 – Relevé local des intersections entre $\eta'_{\theta_1^i}$ et $\eta_{\sigma_1^i}$ (à droite), et entre $\eta'_{\theta_1^j}$ et $\eta_{\sigma_1^{j-1}+1}$ (à gauche)</figcaption></figure>

et on pose donc $m_0 = \sigma_{i+1}^{j-1}$.

<figure><img src="image_71.png" /></figure>

**Remarque 9.2.3.** On peut vérifier la cohérence des résultats 9.2.2 en étudiant $\eta'_{\theta_1^{j,0}}$.

Le chemin $\eta'_{\theta_1^j}$ se compose de deux parties, l'une dans $D_\infty$ et l'autre dans $D$, on a donc, pour son relevé, une partie dans un relevé de $D_\infty$ et une partie dans un relevé de $D$. On peut s'assurer que ces relevés sont bien $S_{l_0}$ et $E_0$. En effet, la figure 9.6 nous assure que, sur la partie droite, donc au-dessus du point (5), $\eta'_{\theta_1^{j,0}}$ est dans le relevé de $D_\infty$ qui contient sur son bord $\eta_{\sigma_1^{j-1},m_0}$, c'est-à-dire, d'après le lemme 9.2.1 sur $S_{l_0 \mod e_0}$.
La partie gauche de la figure, au-dessus du point (7), si $\eta'_{\theta_1^{j,0}}$ rencontre un relevé $E_{m_1}$, alors $\eta'_{\theta_1^{j+h,0}} = \eta_{\sigma_1^{j+h,m_1}}$ pour tout $h \in \{1, \dots, \sigma_{j+1}^n\}$. En conséquence, on aura alors $\eta'_{1,0} = \eta_{1,m_1}$, or $\eta'_{1,0} = \eta_{1,0}$ donc $m_1 = 0$. $\square$

<figure><img src="image_72.png" /></figure>

En homologie, le chemin parcourant le bord d'un disque est nul. Ainsi, en choisissant correctement certains disques dans $E_0 \cup S_{l_0 \mod e_0} \cup E_{m_0 \mod d}$, on peut déterminer des relations entre les éléments $\eta'_{\theta_1^{i,0}}$, $\eta'_{\theta_1^{i+1,0}}$ et $\eta'_{\theta_1^{j,0}}$ avec les $\eta_{l,m}$. Ces disques sont représentés sur la figure 9.13 :

**Proposition 9.2.4.** On obtient les relations suivantes en homologie :

• $\eta'_{\theta_1^{i,0}} = \sum_{h=0}^{\sigma_{i+1}^{j-1}} \eta_{\sigma_1^i+h,h} \mod d$

• $\eta'_{\theta_1^{i+1,0}} = -\sum_{h=1}^{\sigma_{i+1}^j-1} \eta_{\sigma_1^i+h,m_0} \mod d$

• $\eta'_{\theta_1^{j,0}} = -\sum_{h=1}^{\sigma_{i+1}^{j-1}-1} \eta_{\sigma_1^i+h,h} \mod d + \sum_{h=1}^{\sigma_{i+1}^j} \eta_{\sigma_1^i+h,0}$.

On a donc trouvé des relations en homologie entre les $\eta_l$ et les $\eta'_l$. Rappelons que d'après le théorème 3.0.1, les duaux de Poincaré des $g_{i,j}$, respectivement des $g'_{i,j}$, s'écrivent en fonction des $\eta_l$, respectivement les $\eta'_l$. Voyons maintenant comment obtenir à partir des relations de la proposition ci-dessus des relations entre les $g_{i,j}$ et les $g'_{i,j}$. Nous pourrons alors utiliser la projection $\phi_{\hat{X}}$ pour trouver les relations entre la famille $(g_1, \dots, g_n)$ et la famille $(g'_1, \dots, g'_n)$.
<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>FIGURE 9.11 – Relevés des $\eta_l$ sur bord du disque $S_{l_0} \mod (e_0)$</figcaption></figure>

## 9.2.2 Relation entre les deux familles génératrices de $H^1(\hat{X})_q$

On utilise à présent les relations trouvées en homologie pour passer de la famille $(g_1, \dots, g_n)$ à la famille $(g'_1, \dots, g'_n)$. Prenons la première des relations de la proposition 9.2.4. Comme $T^m(\eta_{l,0}) = \eta_{l,m}$ et $T^m(\eta'_{l,0}) = \eta'_{l,m}$, on en déduit que pour tout $m \in \{0, \dots, d-1\}$, on a :

$$ \eta'_{\theta_1^i, m} = \sum_{h=0}^{m_0} \eta_{\sigma_1^i+h, h+m} \mod d. $$

On a ainsi :

$$ q^m \eta'_{\theta_1^i, m} = q^m \sum_{h=0}^{m_0} \eta_{\sigma_1^i+h, h+m} \mod d = \sum_{h=0}^{m_0} \bar{q}^h q^{h+m} \eta_{\sigma_1^i+h, h+m} \mod d. $$

En sommant sur $m \in \{0, \dots, d-1\}$, on obtient :

$$ \sum_{m=1}^{d-1} q^m \eta'_{\theta_1^i, m} = \sum_{h=0}^{m_0} \bar{q}^h \sum_{m=1}^{d-1} q^{m+h} \eta_{\sigma_1^i+h, h+m} \mod d. $$

En passant à la cohomologie via le dual de Poincaré, on a donc :

$$ g'_{i,k_i} = g_{i,k_i} + \bar{q} g_{i+1,1} + \dots + \bar{q}^{k_{i+1}} g_{i+1,k_{i+1}} + \dots + \bar{q}^{m_0} g_{j-1,k_{j-1}}. $$

En projetant sur $H^1(\hat{X})_q$, on récupère la relation suivante :

$$ g'_{i} = g_{i} + \bar{q}^{k_{i+1}} g_{i+1} + \dots + \bar{q}^{m_0} g_{j-1} = g_{i} + \sum_{l=i+1}^{j-1} \bar{q}^{\sigma_{i+1}^l} g_{l}. $$

En répétant ce processus pour les autres relations de la proposition 9.2.4 et du corollaire 9.2.2, on obtient la proposition suivante, qui permet de passer d'une famille génératrice à l'autre :
<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>FIGURE 9.12 – Etude locale de $\eta'_{\theta_{i,0}^j}$ au-dessus des points (5), (6) et (7) de la figure 9.6</figcaption></figure>

**Proposition 9.2.5.** Toujours avec la notation $\sigma_l^m = \sum_{r=l}^m k_r$, on a :

$$ \bullet \ g'_{i} = g_{i} + \sum_{l=i+1}^{j-1} \bar{q}^{\sigma_{i+1}^{l}} g_{l} $$

$$ \bullet \ g'_{i+1} = -\bar{q}^{\sigma_{i+1}^{j-1}} \sum_{l=i+1}^{j-1} g_l $$

$$ \bullet \ g'_{j} = \sum_{l=i+1}^{j} g_l - \sum_{l=i+1}^{j-2} \bar{q}^l g_l $$

$$ \bullet \ \forall l \in \{1, \dots, i-1\} \cup \{j+1, \dots, n\}, \ g'_{l} = g_{l} $$

$$ \bullet \ \forall l \in \{i+2, \dots, j-1\}, \ g'_{l} = \bar{q}^{\sigma_{i+1}^{j-1}} g_{l-1} $$

On peut également exprimer les éléments $g_1, \dots, g_n$ en fonction des $g'_1, \dots, g'_n$ :

$$ \bullet \ g_i = g'_i + \sum_{l=i+1}^{j-1} g'_l - \sum_{l=i+2}^{j-1} \bar{q}^{\sigma_{i+1}^l} g'_l $$

$$ \bullet \ g_{j-1} = -q^{\sigma_{i+1}^{j-1}} \sum_{l=i+1}^{j-1} g'_l $$

$$ \bullet \ g_j = g'_{j} + \sum_{l=i+1}^{j-1} q^{\sigma_l^{j-1}} g'_l $$

$$ \bullet \ \forall l \in \{1, \dots, i-1\} \cup \{j+1, \dots, n\}, \ g_l = g'_l $$

$$ \bullet \ \forall l \in \{i+1, \dots, j-2\}, \ g_l = q^{\sigma_{i+1}^{j-1}} g'_{l+1} $$

## 9.3 Action des générateurs de $PB_n$ sur la famille génératrice de $H^1(\hat{X})_q$

On fixe une première indexation $(b_1, \dots, b_n)$, appelée l'indexation initiale, qui nous donne une famille génératrice $(g_1, \dots, g_n)$. Pour un couple $(i, j) \in \{1, \dots, n\}^2$, on sait trouver une nouvelle indexation donnant une famille génératrice $(g'_1, \dots, g'_n)$ sur laquelle $\alpha_{i,j}$ agit comme $\tau_i^2$. D'après la proposition 9.2.5, on sait comment passer de la famille génératrice initiale à la nouvelle famille et inversement. On peut ainsi déterminer l'action de $\alpha_{i,j}$ sur la famille $(g_1, \dots, g_n)$ :

**Théorème 9.3.1.** Pour tout $l \neq i-1, i, j-1, j$, on a $\tilde{\alpha}_{i,j}^*(g_l) = g_l$. Sinon, on a, avec $g'_i = g_i + \sum_{l=i+1}^{j-1} \bar{q}^{\sigma_{i+1}^l} g_l$ :
<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>FIGURE 9.13 – En haut à gauche, le disque permettant d’étudier $\eta'_{\theta'_1,0}$, en haut à droite le disque permettant d’étudier $\eta'_{\theta'_{i+1},0}$ et en bas celui pour l’étude de $\eta'_{\theta'_1,0}$.</figcaption></figure>

$$ \bullet \quad \tilde{\alpha}_{i,j}^*(g_{i-1}) = g_{i-1} + (1-q^{k_j})g'_i = g_{i-1} + (1-q^{k_j})g_i + \sum_{l=i+1}^{j-1} \bar{q}^{\sigma_{i+1}^l} (1-q^{k_j})g_l $$

$$ \bullet \quad \tilde{\alpha}_{i,j}^*(g_i) = g_i - (1-q^{k_j})g'_i = q^{k_j}g_i - \sum_{l=i+1}^{j-1} \bar{q}^{\sigma_{i+1}^l} (1-q^{k_j})g_l $$

$$ \bullet \quad \tilde{\alpha}_{i,j}^*(g_{j-1}) = g_{j-1} - q^{\sigma_{i+1}^j} (1-q^{k_i})g'_i = g_{j-1} - q^{\sigma_{i+1}^j} (1-q^{k_i})g_i - \sum_{l=i+1}^{j-1} \bar{q}^{\sigma_{i+1}^l} q^{\sigma_{i+1}^j} (1-q^{k_i})g_l $$

$$ \bullet \quad \tilde{\alpha}_{i,j}^*(g_j) = g_j + q^{\sigma_{i+1}^j} (1-q^{k_i})g'_i = g_j + q^{\sigma_{i+1}^j} (1-q^{k_i})g_i + \sum_{l=i+1}^{j-1} q^{\sigma_{i+1}^j} \bar{q}^{\sigma_{i+1}^l} (1-q^{k_i})g_l. $$

*Démonstration* : On sait que $\alpha_{i,j}$ agit sur $(g'_1, \dots, g'_n)$ comme un $\tau_i^2$, c'est-à-dire qu'on a, d'après le théorème 8.0.1 :

$$ \forall l \in \{1, \dots, n\}, \quad \alpha_{i,j}(g'_l) = \begin{cases} q^{k_i+k_j} g'_i & \text{si } l=i \\ g'_{i+1} + q^{k_j} (1-q^{k_i}) g'_i & \text{si } l=i+1 \\ g'_{i-1} + (1-q^{k_j}) g'_i & \text{si } l=i-1 \\ g'_l & \text{sinon} \end{cases}. $$

On a alors immédiatement, pour tout $l \in \{1, \dots, i-2\} \cup \{j+1, \dots, n\}$, $\tilde{\alpha}_{i,j}^*(g_l) = g_l$. On a aussi : pour tout $l \in \{i+1, \dots, j-2\}$, $\tilde{\alpha}_{i,j}^*(g_l) = \tilde{\alpha}_{i,j}^*(q^{m_0} g'_{l+1}) = g_l$. Il reste à évaluer $\tilde{\alpha}_{i,j}^*$ sur $g_{i-1}$, $g_i$, $g_{j-1}$ et sur $g_j$.

$$ \bullet \quad \tilde{\alpha}_{i,j}^*(g_{i-1}) = \tilde{\alpha}_{i,j}^*(g'_{i-1}) \\ = g'_{i-1} + (1-q^{k_j})g'_i $$
$$
\begin{align*}
\bullet \quad \tilde{\alpha}_{i,j}^*(g_i) &= \tilde{\alpha}_{i,j}^*(g'_i + g'_{i+1} + \sum_{l=i+2}^{j-1} (1-\bar{q}^{\sigma_l^{j-1}})g'_l) \\
&= q^{k_i+k_j} g'_i + (g'_{i+1} + q^{k_j}(1-q^{k_i})g'_i) + \sum_{l=i+2}^{j-2} (1-\bar{q}^{\sigma_l^{j-1}})g'_l \\
&= g_i - (1-q^{k_j})g'_i
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\bullet \quad \tilde{\alpha}_{i,j}^*(g_{j-1}) &= \tilde{\alpha}_{i,j}^*(-q^{\sigma_{i+1}^{j-1}} \sum_{l=i+1}^{j-1} g'_l) \\
&\quad - q^{\sigma_{i+1}^{j-1}} (g'_{i+1} + q^{k_j}(1-q^{k_i})g'_i) - q^{\sigma_{i+1}^{j-1}} \sum_{l=i+2}^{j-1} g'_l \\
&= g_{j-1} - q^{\sigma_{i+1}^{j}} (1-q^{k_i})g'_i
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\bullet \quad \tilde{\alpha}_{i,j}^*(g_j) &= \tilde{\alpha}_{i,j}^*(g'_j + \sum_{l=i+1}^{j-1} q^{\sigma_l^{j-1}} g'_l) \\
&= g'_j + q^{\sigma_{i+1}^{j-1}} (g'_{i+1} + q^{k_j}(1-q^{k_i})g'_i) + \sum_{l=i+2}^{j-1} q^{\sigma_{i+1}^{j-1}} g'_l \\
&= g_j + q^{\sigma_{i+1}^{j}} (1-q^{k_i})g'_i
\end{align*}
$$

□

**Corollaire 9.3.2.** *L'expression de $\tilde{\alpha}_{i,j}^*$ est donnée par :*

$$
\forall x \in H^1(\hat{X})_q, \quad \tilde{\alpha}_{i,j}^*(x) = x - i \frac{(1 - q^{k_i})(1 - q^{k_j})}{(1 - q)(1 - \bar{q})} \langle x; g'_i \rangle g'_i.
$$

Si $q^{k_i+k_j} = 1$, alors $\tilde{\alpha}_{i,j}^*$ est unipotente. Sinon, lorsque $q^{k_i+k_j} \neq 1$, $\alpha_{i,j}$ agit comme une réflexion complexe d'ordre l'ordre $m_{i,j}$ de $k_i + k_j$ dans $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$, donnée par :

$$
\forall x \in H^1(\hat{X})_q, \quad \tilde{\alpha}_{i,j}^*(x) = x - (1 - q^{k_i+k_j}) \frac{\langle x; g'_i \rangle}{\langle g'_i, g'_i \rangle} g'_i.
$$

**_Démonstration_** : On applique ici simplement le résultat 8.0.1 à $\tilde{\alpha}_{i,j}^*$ sur la famille $(g'_1, \dots, g'_n)$.

On pourrait également s'assurer de ce résultat par le calcul, utilisant les formules 7.0.1 pour déterminer successivement $\langle g_{i-1}, g'_i \rangle$, $\langle g_i, g'_i \rangle$, $\langle g_{j-1}, g'_i \rangle$ et $\langle g_j, g'_i \rangle$. On trouve facilement :

$$
\langle g_{i-1}, g'_i \rangle = \langle g'_{i-1}, g'_i \rangle = -i \frac{\bar{q}(1-q)^2}{1-q^{k_i}} = \overline{\langle g_i, g'_i \rangle}
$$

et

$$
\langle g_{j-1}, g'_i \rangle = \langle -q^{\sigma_{i+1}^{j-1}} \sum_{l=i+1}^{j-1} g'_l, g'_i \rangle = -i \frac{q^{\sigma_{i+1}^{j-1}} \times \bar{q}(1-q)^2}{1-q^{k_j}} = \overline{\langle g_j, g'_i \rangle}.
$$

Pour $l \neq i-1, i, j-1, j$, on trouve également $\langle g_l, g'_i \rangle = 0$. On peut alors vérifier l'exactitude de la formule annoncée. $\square$
Finalement, nous avons vu comment exprimer l'action des $\alpha_{i,j}$ sur $H^1(\hat{X})_q$, et en particulier, nous avons montré que $\alpha_{i,j}$ est une réflexion complexe d'ordre fini lorsque $q^{k_i+k_j} \neq 1$, et $\tilde{\alpha}_{i,j}^*$ est unipotent sinon. Dans le prochain chapitre, nous exprimons l'action de n'importe quel twist de Dehn sur la famille génératrice $(g_1, \dots, g_n)$ de $H^1(\hat{X})_q$.
# Chapitre 10

## Action d'un twist de Dehn quelconque sur $H^1(\hat{X})_q$

On a vu comment exprimer l'action des twists de Dehn ayant pour support un disque contenant deux points marqués. On peut alors s'intéresser à généraliser ce résultat pour un twist de Dehn quelconque. En particulier, nous retrouverons parmi ces twists l'élément $(\tau_1 \cdots \tau_{n-1})^n$, qui engendre le centre de $B_n$.

**Théorème 10.0.1.** Soient $i_0, j_0 \in \{1, \dots, n\}$ tels que $i_0 < j_0$ et $J = \{i_0, \dots, j_0\}$. En notant $\sigma_i^j = \sum_{l=i}^j k_l$, et $\tau_J \in PB_n$ la tresse associée au twist de Dehn ayant pour support un disque contenant les points marqués $\{b_{i_0}, \dots, b_{j_0}\}$, l'expression de $\tilde{\tau}_J^*$ est donnée par :

$$ 
\begin{align*}
\tilde{\tau}_J^*(g_{i_0-1}) &= g_{i_0-1} + \sum_{l=i_0}^{j_0-1} (1-q^{\sigma_{l+1}^j})g_l \\
\tilde{\tau}_J^*(g_i) &= q^{\sigma_{i_0}^j} g_i \quad \text{si } i_0 \le i \le j_0 - 1 \\
\tilde{\tau}_J^*(g_{j_0}) &= g_{j_0} + \sum_{l=i_0}^{j_0-1} q^{\sigma_{l+1}^j} (1-q^{\sigma_{i_0}^l})g_l \\
\tilde{\tau}_J^*(g_j) &= g_j \quad \text{si } j < i_0 - 1 \text{ ou } j_0 < j
\end{align*}
$$

De plus, $\tilde{\tau}_J^*$ est d'ordre fini si $q^{\sigma_{i_0}^j} \neq 1$ et unipotent sinon.

### 10.1 Câblage d'un twist de Dehn

Pour $J \subset \{1, \dots, n\}$, on notera $\tau_J$ le twist de Dehn ayant pour support un disque topologique contenant l'ensemble des points $b_j$ d'indices dans $J$ mais pas d'autres points marqués. On commencera par interpréter $\tau_J$ comme une tresse de $PB_n$. Puis nous verrons comment câbler la tresse $\tau_J$.

#### 10.1.1 Interprétation d'un twist de Dehn comme une tresse de $PB_n$

Considérons un sous ensemble $J \subset \{1, \dots, n\}$. Pour faciliter l'étude de $\tau_J$, on suppose que les indices apparaissant dans $J$ sont consécutifs, de sorte qu'on puisse fixer $i_0, j_0 \in \{1, \dots, n\}$ tels que $J = \{i_0, \dots, j_0\}$. On note $D_J$ un disque contenant l'ensemble de points
$B_J := \{b_j \in B \mid j \in J\}$ mais n'en contenant aucun autre. Comme le cas de deux points est déjà traité, on peut également supposer que $j_0 - i_0 > 1$. Par exemple, dans le cas où $D_J$ contient 3 points, on peut représenter le twist de Dehn $\tau_J$ comme sur la figure 10.1 :

<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>FIGURE 10.1 – Illustration d'un twist de Dehn de support un disque avec trois points marqués</figcaption></figure>

On s'intéresse à l'interprétation de $\tau_J$ comme une tresse de $PB_n$. On remarque sur la figure 10.2 que :

$$ \tau_J = (\tau_{j-1} \cdots \tau_i)^{\#J}. $$

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>FIGURE 10.2 – Interprétation d'un twist de Dehn comme une tresse pure</figcaption></figure>

On modifie cette expression à l'aide des relations de tresses, pour montrer que :

**Lemme 10.1.1.** On a : $(\tau_{j-1} \cdots \tau_i)^{\#J} = (\tau_i \cdots \tau_{j-1})^{\#J} \in PB_n$.

*Démonstration* : On procède par récurrence sur le nombre de points marqués dans $D_J$, et pour simplifier les notations on suppose que $J = \{1, \dots, n\}$. Pour trois points marqués, on a :

$$ \tau_J = (\tau_2\tau_1)(\tau_2\tau_1)(\tau_2\tau_1) = (\tau_2\tau_1\tau_2)(\tau_1\tau_2\tau_1) = (\tau_1\tau_2\tau_1)(\tau_2\tau_1\tau_2) = (\tau_1\tau_2)(\tau_1\tau_2)(\tau_1\tau_2). $$

Supposons maintenant que le lemme est vrai pour un certain nombre $n \in \mathbb{N}^*$ de points marqués. Sur le schéma 10.3, on peut voir que $(\tau_n \cdots \tau_1)^{n+1}$ peut s'écrire $(\tau_n \cdots \tau_1)(\tau_n \cdots \tau_2)^n(\tau_1 \cdots \tau_n)$.
<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>FIGURE 10.3 – Equivalence homotopique entre $(\tau_n \cdots \tau_1)^{n+1}$ et $(\tau_n \cdots \tau_1)(\tau_n \cdots \tau_2)^n(\tau_1 \cdots \tau_n)$</figcaption></figure>

Or d'après l'hypothèse de récurrence, $(\tau_n \cdots \tau_2)^n = (\tau_2 \cdots \tau_n)^n$. Alors :

$$
\begin{align*}
(\tau_n \cdots \tau_1)^{n+1} &= (\tau_n \cdots \tau_1)(\tau_2 \cdots \tau_n)^n (\tau_1 \cdots \tau_n) \\
&= (\tau_n \cdots \tau_2)(\tau_1 \cdots \tau_n)(\tau_1^{-1}\tau_1\tau_2 \cdots \tau_n)^{n-1}(\tau_1 \cdots \tau_n) \\
&= (\tau_n \cdots \tau_2)(\underbrace{\tau_1\tau_2\tau_1^{-1} \cdots \tau_n}_{=\tau_2^{-1}\tau_1\tau_2})(\tau_1\tau_2 \cdots \tau_n)(\tau_1^{-1}\tau_1\tau_2 \cdots \tau_n)^{n-2}(\tau_1 \cdots \tau_n) \\
&= (\tau_n \cdots \tau_2\tau_2^{-1})(\tau_1 \cdots \tau_n)^2(\tau_1^{-1}\tau_1\tau_2 \cdots \tau_n)^{n-2}(\tau_1 \cdots \tau_n) \\
&= (\tau_n \cdots \tau_3)(\tau_1 \cdots \tau_n)(\tau_1 \cdots \tau_n)(\tau_1^{-1}\tau_1\tau_2 \cdots \tau_n)(\tau_1^{-1}\tau_1\tau_2 \cdots \tau_n)^{n-3}(\tau_1 \cdots \tau_n) \\
&= (\tau_n \cdots \tau_3)(\tau_1 \cdots \tau_n)(\underbrace{\tau_1\tau_2\tau_1^{-1} \cdots \tau_n}_{=\tau_2^{-1}\tau_1\tau_2})(\tau_1\tau_2 \cdots \tau_n)(\tau_1^{-1}\tau_1\tau_2 \cdots \tau_n)^{n-3}(\tau_1 \cdots \tau_n) \\
&= (\tau_n \cdots \tau_3)(\tau_1 \cdots \tau_n)\tau_2^{-1}(\tau_1 \cdots \tau_n)^2(\tau_1^{-1}\tau_1\tau_2 \cdots \tau_n)^{n-3}(\tau_1 \cdots \tau_n) \\
&= (\tau_n \cdots \tau_3)(\tau_1 \tau_2\tau_3\tau_2^{-1} \cdots \tau_n)(\tau_1 \cdots \tau_n)^2(\tau_1^{-1}\tau_1\tau_2 \cdots \tau_n)^{n-3}(\tau_1 \cdots \tau_n) \\
&= (\tau_n \cdots \tau_3)(\tau_1\tau_3^{-1}\tau_2 \cdots \tau_n)(\tau_1 \cdots \tau_n)^2(\tau_1^{-1}\tau_1\tau_2 \cdots \tau_n)^{n-3}(\tau_1 \cdots \tau_n) \\
&= (\tau_n \cdots \tau_3\tau_3^{-1})(\tau_1 \cdots \tau_n)^3(\tau_1^{-1}\tau_1\tau_2 \cdots \tau_n)^{n-3}(\tau_1 \cdots \tau_n) \\
&\vdots \\
&= (\tau_1 \cdots \tau_n)^{n+1}
\end{align*}
$$

et le lemme est démontré.

<figure><img src="image_79.png" /></figure>

On en déduit immédiatement :

**Corollaire 10.1.2.** *Le twist de Dehn $\tau_J$ s'écrit $\tau_J = (\tau_i \cdots \tau_{j-1})^{\#J}$.*

On peut alors s'intéresser au câblage de $\tau_J$ dans $B_{k_0}$. Comme nous le verrons par la
suite, les calculs ne seront pas faciles avec le câblage tel qu'on l'a défini précédemment.
Nous allons montrer qu'il existe d'autres façons de câbler une tresse et que l'action d'une
tresse de $PB_n$ sur $H^1(\hat{X})_q$ est indépendante du choix de son câblage dans $B_{k_0}$. On utilisera
alors un certain câblage de $\mathcal{T}_J$ afin de déterminer l'action de $\tau_J$ sur la famille $(g_1, \dots, g_n)$
génératrice de $H^1(\hat{X})_q$.

10.1.2 Indépendance entre l'action d'une tresse et le choix de son câblage

Pour cette partie, nous appellerons câblage standard le câblage d'une tresse $\tau \in PB_n$
en une tresse $\mathcal{T} \in B_{k_0}$ tel qu'il est décrit dans le chapitre 8. Commençons par donner des
précisions sur la notion de câblage d'une tresse de PB_n en une tresse de B_{k_0} :

Pour une tresse $\tau \in PB_n$, un câblage de $\tau$ dans $B_{k_0}$ est obtenue en séparant chaque i-ème brins de $\tau$ en $k_i$ brins, on obtient une tresse de $B_{k_0}$ qui préserve les disques $D'_i$. Câbler une tresse de PB_n en une tresse de $B_{k_0}$, c'est choisir un câblage de cette tresse dans $B_{k_0}$. Le câblage que nous avons utilisé dans le chapitre 8, appelé le câblage standard, impose en plus que les brins issus d'une séparation ne se croisent pas entre eux, et donc que la tresse ainsi câblée coïncide avec l'identité sur les $D'_i$.

Pour un câblage quelconque d'une tresse $\tau \in PB_n$ en une tresse $\mathcal{T} \in B_{k_0}$, on suppose maintenant que les $k_i$ brins issus de la séparation du i-ème brin de $\tau$ peuvent se croiser entre eux, et donc que la tresse câblée ne coïncide plus avec l'identité sur les disques $D'_i$, comme par exemple sur l'image 10.4 :

<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>FIGURE 10.4 – Exemple d'un câblage non standard</figcaption></figure>

Montrons que l'action d'une tresse est cependant indépendante du choix de son câblage :

**Proposition 10.1.3.** *L'expression de l'action d'une tresse $\tau \in PB_n$ sur $H^1(\hat{X})_q$ est indépendante du choix du câblage de $\tau$ dans $B_{k_0}$.*

*Démonstration* : Considérons une tresse $\tau \in PB_n$ et $\mathcal{T}_{std}$ son câblage standard. Soit $\mathcal{T}$ un autre câblage possible de $\tau$. Rappelons qu'on note $\phi_{\hat{X}} : H^1(\hat{Y})_q \to H^1(\hat{X})_q$ le morphisme surjectif définit sur les $g_{i,j}$ par $\phi_{\hat{X}}(g_{i,j}) = g_i$ si $j = k_i$, et $\phi_{\hat{X}}(g_{i,j}) = 0$ sinon. On sait que, pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ :

$$ \tilde{\tau}^*(g_i) = \phi_{\hat{X}}(\tilde{\mathcal{T}}_{std}^*(g_{i,k_i})). $$

Il suffit donc de montrer que $\phi_{\hat{X}}(\tilde{\mathcal{T}}^*(g_{i,j})) = \phi_{\hat{X}}(\tilde{\mathcal{T}}_{std}^*(g_{i,j}))$ pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et $j \in \{1, \dots, k_i\}$.

Commençons par remarquer que, par homotopie, on peut choisir que les croisements entre les $k_i$ brins, issus de la séparation du i-ème brin initial, aient lieu avant leurs croisements éventuels avec des brins issus d'autres séparations. C'est ce que l'on illustre sur la figure 10.5.

Alors remarquons que la tresse $\mathcal{T}$ s'écrit comme la concaténation d'une tresse $\mathcal{T}'$ et de $\mathcal{T}_{std}$. Rappelons que l'on note $\sigma_1, \dots, \sigma_{k_0}$ les demi-twist générateurs de $B_{k_0}$. Alors la tresse $\mathcal{T}'$ s'écrit comme un mot en les $\sigma_1, \dots, \sigma_{k_{1-1}}, \sigma_{k_{1+1}}, \dots, \sigma_{k_1+k_{2-1}}, \dots, \sigma_{k_{0-k_n+1}}, \dots, \sigma_{k_{0-1}}$, et leurs inverses.

Ainsi, l'image par $\tilde{\mathcal{T}}^*$ de tout élément $g_{i,j}$ pour $j \neq k_i$ est dans $H_c^1(Y'_i)_q$. On en déduit que $\tilde{\mathcal{T}}^*$ préserve $\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y'_i)_q$, et comme $\tilde{\mathcal{T}}_{std}^*$ préserve cette somme directe, finalement
<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>FIGURE 10.5 – Exemple d’une tresse câblée comme concaténation du câblage standard et d’une autre tresse</figcaption></figure>

$\tilde{T}^*$ préserve également $\bigoplus_{i=1}^n H_c^1(Y_i')_q$, et en particulier $\phi_{\tilde{X}}(\tilde{T}^*(g_{i,j})) = 0$ si $j \neq k_i$.

Il reste à voir que la projection orthogonale $\text{pr}_{\tilde{Y}}$ de $H^1(\tilde{Y})_q$ sur $H_c^1(Y')_q$ envoie $\tilde{T}^*(g_{i,k_i})$ et $\tilde{T}_{\text{std}}^*(g_{i,k_i})$ sur un même élément. Il est clair que les seuls éléments apparaissant éventuellement dans $\mathcal{T}'$ et qui peuvent modifier $g_{i,k_i}$ sont $\sigma_{\sum_{l=1}^i k_l-1}$, $\sigma_{\sum_{l=1}^i k_l+1}$, et leurs inverses.

Or $\sigma_{\sum_{l=1}^i k_l-1}(g_{i,k_i}) = g_{i,k_i} + qg_{i,k_i-1}$ et $\sigma_{\sum_{l=1}^i k_l-1}^{-1}(g_{i,k_i}) = g_{i,k_i} + g_{i,k_i-1}$.

De même, $\sigma_{\sum_{l=1}^i k_l+1}(g_{i,k_i}) = g_{i,k_i} + g_{i,k_i+1}$ et $\sigma_{\sum_{l=1}^i k_l+1}^{-1}(g_{i,k_i}) = g_{i,k_i} + \bar{q}g_{i,k_i+1}$.

Alors $\tilde{T}'^*(g_{i,k_i}) = g_{i,k_i} + \eta_i'$ où $\eta_i' \in H_c^1(Y_i')_q$. Comme $\mathcal{T}'$ et $\mathcal{T}_{\text{std}}$ préservent les $H_c^1(Y_i')_q$, on a :

$$ 
\begin{align*}
\text{pr}_{\tilde{Y}}(\tilde{T}^*(g_{i,k_i})) &= \text{pr}_{\tilde{Y}}(\tilde{T}_{\text{std}}^*(g_{i,k_i} + \eta_i')) \\
&= \text{pr}_{\tilde{Y}}(\tilde{T}_{\text{std}}^{*-}(g_{i,k_i}) + \underbrace{\tilde{T}_{\text{std}}^*(\eta_i')}_{\in H_c^1(Y_i')_q}) \\
&= \text{pr}_{\tilde{Y}}(\tilde{T}_{\text{std}}^{*-}(g_{i,k_i}))
\end{align*}
$$

$$ \text{et donc } \phi_{\tilde{X}}(\tilde{T}^*(g_{i,k_i})) = \phi_{\tilde{X}}(\tilde{T}_{\text{std}}^*(g_{i,k_i})) = \tilde{\tau}^*(g_i). \quad \square $$

## 10.2 Action d'un twist de Dehn sur un disque contenant un ensemble de points indexés successivement

Rappelons que l'on s'intéresse au câblage du twist de Dehn $\tau_J$. Comme précédemment, on note $\sigma_1, \dots, \sigma_{k_0}$ les générateurs de $B_{k_0}$, on utilisera également la notation $\sigma_{i,j} = \sigma_{\sum_{l=1}^{i-1} k_l + j}$ qui met en évidence le fait que $\sigma_{i,j}$ est le demi-twist de support $D_{i,j}$, disque topologique contenant le point $b_{i,j}$ et le point indexé successivement. On représente sur l’illustration suivante 10.6 deux câblages évidents de $\tau_J$, un premier câblage noté $\mathcal{T}_J$ et le câblage standard. Remarquons que $\mathcal{T}_J$ est facile à exprimer, et s’écrit :

$$ \mathcal{T}_J = (\sigma_{i_0,1} \circ \dots \circ \sigma_{j_0,k_{j_0}-1})^{\sum_{l=i_0}^{j_0} k_l} \in B_{k_0}. $$

Le câblage standard est moins simple à expliciter. L’action de la tresse étant indépendante de son câblage, on peut utiliser $\mathcal{T}_J$ pour déterminer l’action de $\tau_J$ sur la famille $(g_1, \dots, g_n)$ génératrice de $H^1(\hat{X})_q$.

Calculons $\tilde{T}_J^*$ sur les $g_{i,k_i}$. Pour ne plus avoir les doubles indices, nous allons utiliser
<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>FIGURE 10.6 – De gauche à droite : la tresse $\tau_J$, un câblage noté $\mathcal{T}_J$, et le câblage standard</figcaption></figure>

de nouveau la notation des $g_{i,j}$ sous forme de $\eta_l$ avec :

$$ \eta_{\sum_{l=1}^{i-1} k_l + j} = g_{i,j}. $$

De même, on note $b'_{\sum_{l=1}^{i-1} k_l + j} = b_{i,j}$, ainsi que $\sigma_i^j = \sum_{l=i}^j k_l$. On pose :

$$ i'_0 = \sigma_1^{i_0-1} + 1 \quad ; \quad j'_0 = \sigma_1^{j_0} - 1 $$

de sorte que :

$$ \mathcal{T}_J = (\sigma_{i'_0} \circ \dots \circ \sigma_{j'_0})^{j'_0 - i'_0 + 2}. $$

On peut à présent passer aux calculs de $\tilde{\mathcal{T}}_J^*$ sur les $\eta_l$. On peut alors utiliser les formules de McMullen pour montrer le théorème suivant :

**Théorème 10.2.1.** En notant $\sigma_i^j = \sum_{l=i}^j k_l$, l'expression du twist $\tau_J \in PB_n$ de support un disque contenant les points marqués $\{b_{i_0}, \dots, b_{j_0}\}$ est donnée par :

$$ \begin{align*} \tilde{\tau}_J^*(g_{i_0-1}) &= g_{i_0-1} + \sum_{l=i_0}^{j_0-1} (1 - q^{\sigma_{l+1}^{j_0}})g_l \\ \tilde{\tau}_J^*(g_i) &= q^{\sigma_{i_0}^{j_0}} g_i \quad \text{si } i_0 \le i \le j_0 - 1 \\ \tilde{\tau}_J^*(g_{j_0}) &= g_{j_0} + \sum_{l=i_0}^{j_0-1} q^{\sigma_{l+1}^{j_0}} (1 - q^{\sigma_{i_0}^l})g_l \\ \tilde{\tau}_J^*(g_j) &= g_j \quad \text{si } j < i_0 - 1 \text{ ou } j_0 < j \end{align*} $$

**Démonstration** : Commençons par regarder l'action de la tresse $\mathcal{T} := \sigma_{i'_0} \cdots \sigma_{j'_0}$. On a donc $\tilde{\mathcal{T}}^* = \tilde{\sigma}_{j'_0}^* \cdots \tilde{\sigma}_{i'_0}^*$. D'après l'expression de cette tresse, les $\eta_l$ tels que $l < i'_0 - 1$ ou $l > j'_0 + 1$ sont laissés invariants par $\tilde{\mathcal{T}}^*$. On s'intéresse donc aux $\eta_l$ pour $l \in \{i'_0 - 1, \dots, j'_0 + 1\}$.

$$ \begin{align*} \tilde{\mathcal{T}}^*(\eta_{i'_0-1}) &= \tilde{\sigma}_{j'_0}^* \cdots \tilde{\sigma}_{i'_0+1}^* (\eta_{i'_0-1} + \eta_{i'_0}) = \sum_{l=i'_0-1}^{j'_0} \eta_l. \\ \tilde{\mathcal{T}}^*(\eta_{i'_0}) &= \tilde{\sigma}_{j'_0}^* \cdots \tilde{\sigma}_{i'_0+1}^* (-q\eta_{i'_0}) \\ &= \tilde{\sigma}_{j'_0}^* \cdots \tilde{\sigma}_{i'_0+2}^* (-q(\eta_{i'_0} + \eta_{i'_0+1})) \\ &= -q \sum_{l=i'_0}^{j'_0} \eta_l. \end{align*} $$
Pour $l \in \{i'_0 + 1, \dots, j'_0\}$, on a

$$
\begin{align*}
\tilde{T}^*(\eta_l) &= \tilde{\sigma}_{j'_0}^* \cdots \tilde{\sigma}_l^* \tilde{\sigma}_{l-1}^* (\eta_l) \\
&= \tilde{\sigma}_{j'_0}^* \cdots \tilde{\sigma}_l^* (\eta_l + q\eta_{l-1}) \\
&= \tilde{\sigma}_{j'_0}^* \cdots \tilde{\sigma}_{l+1}^* (-q\eta_l + q(\eta_{l-1} + \eta_l)) \\
&= q\eta_{l-1}.
\end{align*}
$$

$$
\tilde{T}^*(\eta_{j'_0+1}) = \tilde{\sigma}_{j'_0}^*(\eta_{j'_0+1}) = \eta_{j'_0+1} + q\eta_{j'_0}.
$$

Passons aux calculs avec $\mathcal{T}_J = \mathcal{T}^{j'_0-i'_0+1}$.

Si $l = i'_0 - 1$, on a :

$$
\begin{align*}
\tilde{T}_J^*(\eta_{i'_0-1}) &= (\tilde{T}^*)^{j'_0-i'_0+1} \left(\sum_{l=i'_0}^{j'_0} \eta_l\right) \\
&= (\tilde{T}^*)^{j'_0-i'_0} \left(\sum_{l=i'_0}^{j'_0} \eta_l - q \sum_{l=i'_0}^{j'_0} \eta_l + q \sum_{l=i'_0+1}^{j'_0} \eta_{l-1}\right) \\
&= (\tilde{T}^*)^{j'_0-i'_0} \left(\sum_{l=i'_0}^{j'_0} \eta_l - q\eta_{j'_0}\right) \\
&\vdots \\
&= g_{i'_0-1} + \sum_{l=i'_0}^{j'_0} (1 - q^{j'_0-l+1}) \eta_l.
\end{align*}
$$

Si $l = i'_0$, on a :

$$
\begin{align*}
\tilde{T}_J^*(\eta_{i'_0}) &= (\tilde{\sigma}^*)^{j'_0-i'_0+1} (-q \sum_{l=i'_0}^{j'_0} \eta_l) \\
&= (\tilde{T}^*)^{j'_0-i'_0} (q^2 \sum_{l=i'_0}^{j'_0} \eta_l - q^2 \sum_{l=i'_0+1}^{j'_0} \eta_{l-1}) \\
&= (\tilde{T}^*)^{j'_0-i'_0} (q^2 \eta_{j'_0}) \\
&= q^{j'_0-i'_0+2} \eta_{i'_0}
\end{align*}
$$
Si $l \in \{i'_0 + 1, \dots, j'_0\}$ :

$$
\begin{align*}
\widetilde{\mathcal{T}}_J^*(\eta_l) &= q^{l-i'_0} (\widetilde{\mathcal{T}}^*)^{j_0-l+2} (\eta_{i'_0}) \\
&= -q^{l-i'_0+1} (\widetilde{\mathcal{T}}^*)^{j'_0-l+1} \left(\sum_{l=i'_0}^{j'_0} \eta_l\right) \\
&= -q^{l-i'_0+1} (\widetilde{\mathcal{T}}^*)^{j'_0-l} \left(-q \sum_{l=i'_0}^{j'_0} \eta_l + q \sum_{l=i'_0+1}^{j'_0} \eta_{l-1}\right) \\
&= -q^{l-i'_0+1} (\widetilde{\mathcal{T}}^*)^{j'_0-l} \left(-q \eta_{j'_0}\right) \\
&= q^{l-i'_0+2} (\widetilde{\mathcal{T}}^*)^{j'_0-l} (\eta_{j'_0}) \\
&= q^{j'_0-i'_0+2} \eta_l
\end{align*}
$$

Si $l = j'_0 + 1$, on a :

$$
\begin{align*}
\widetilde{\mathcal{T}}_J^*(\eta_{j'_0+1}) &= (\widetilde{\mathcal{T}}^*)^{j'_0-i'_0+1} (\eta_{j'_0+1} + q\eta_{j'_0}) \\
&= \widetilde{\mathcal{T}}^*(\eta_{j'_0} + q\eta_{j'_0} + \dots + q^{j'_0-i'_0+1}\eta_{i'_0}) \\
&= \eta_{j'_0} + q\eta_{j'_0} + \dots + q^{j'_0-i'_0+1}\eta_{i'_0} - q^{j'_0-i'_0+2}\sum_{l=i'_0}^{j'_0} \eta_l \\
&= \eta_{j'_0} + \sum_{l=i'_0}^{j'_0} (q^{j'_0-l+1} - q^{j'_0-i'_0+2})\eta_l.
\end{align*}
$$

Pour les indices $l < i'_0 - 1$ ou $l > j'_0 + 1$, $\widetilde{\mathcal{T}}_J^*$ laisse invariant $\eta_l$. Ainsi, tous les cas ont
étés traités.

Rappelons que $\phi_{\hat{X}}(g_{i,j}) = g_i$ si $j = k_i$ et $0$ sinon. Alors $\eta_{i'_0-1}$ se projette par $\phi_{\hat{X}}$ sur $g_{i_0-1}$, pour tout $l \in \{k_{i_0}, \dots, k_{j_0-1}\}$, on a $\sigma_1^l \in \{i'_0+1, \dots, j'_0-1\}$, et alors $\eta_{\sigma_1^l}$ se projette sur $g_l$, et enfin $\eta_{j'_0+1}$ se projette sur $g_{j_0}$. Finalement on obtient :

$$
\tilde{\tau}_J^*(g_{i_0-1}) = \phi_{\hat{X}}(\widetilde{\mathcal{T}}_J^*(\eta_{i'_0-1})) = g_{i_0-1} + \sum_{l=i_0}^{j_0} (1 - q^{\sigma_{i_0}^{j_0}}) g_l.
$$

Pour tout $l \in \{i_0, \dots, j_0 - 1\}$, $\sigma_1^l \in \{i'_0 + 1, \dots, j'_0\}$, alors : $\tilde{\tau}_J^*(g_l) = \phi_{\hat{X}}(\widetilde{\mathcal{T}}_J^*(\eta_{\sigma_1^l})) = q^{\sigma_{i_0}^{j_0}} g_l$.

$$
\text{Enfin : } \tilde{\tau}_J^*(g_{j_0}) = \phi_{\hat{X}}(\widetilde{\mathcal{T}}_J^*(\eta_{j'_0+1})) = g_{j_0} + \sum_{l=i_0}^{j_0} q^{\sigma_{l+1}^{j_0}} (1 - q^{\sigma_{i_0}^l}) g_l. \quad \square
$$

On peut maintenant démontrer le théorème 10.0.1. Il ne reste en fait qu’à montrer que
$\tilde{\tau}_J^*$ est d’ordre fini au plus $d$ si $q^{\sigma_{i_0}^{j_0}} \neq 1$, et unipotente sinon.

Démonstration du théorème 10.0.1 : Supposons que $q^{\sigma_i^j}$. Pour tout $i \in \{i_0, \dots, j_0 - 1\}$,
on a : $\tilde{\tau}_J^*(g_i) = q^{\sigma_{i_0}^{j_0}} g_i$, et donc $(\tilde{\tau}_J^*)^d(g_i) = g_i$. Aussi, si $q^{\sigma_{i_0}^{j_0}} \neq 1$ :

$$
\begin{align*}
(\tilde{\tau}_J^*)^d(g_{i_0-1}) &= (\tilde{\tau}_J^*)^{d-1}(g_{i_0-1} + \sum_{l=i_0}^{j_0-1} (1-q^{\sigma_{l+1}^{j_0}})g_l) \\
&= (\tilde{\tau}_J^*)^{d-2}(g_{i_0-1} + \sum_{l=i_0}^{j_0-1} (1-q^{\sigma_{l+1}^{j_0}})g_l + \sum_{l=i_0}^{j_0-1} (1-q^{\sigma_{l+1}^{j_0}})q^{\sigma_{i_0}^{j_0}}g_l) \\
&= (\tilde{\tau}_J^*)^{d-2}(g_{i_0-1} + (1+q^{\sigma_{i_0}^{j_0}})\sum_{l=i_0}^{j_0-1} (1-q^{\sigma_{l+1}^{j_0}})g_l) \\
&= (\tilde{\tau}_J^*)^{d-3}(g_{i_0-1} + \sum_{l=i_0}^{j_0-1} (1-q^{\sigma_{l+1}^{j_0}})g_l + q^{\sigma_{i_0}^{j_0}}(1+q^{\sigma_{i_0}^{j_0}})\sum_{l=i_0}^{j_0-1} (1-q^{\sigma_{l+1}^{j_0}})g_l) \\
&= (\tilde{\tau}_J^*)^{d-2}(g_{i_0-1} + (1+q^{\sigma_{i_0}^{j_0}} + (q^{\sigma_{i_0}^{j_0}})^2)\sum_{l=i_0}^{j_0-1} (1-q^{\sigma_{l+1}^{j_0}})g_l) \\
&\vdots \\
&= g_{i_0-1} + \underbrace{(1+q^{\sigma_{i_0}^{j_0}} + \dots + (q^{\sigma_{i_0}^{j_0}})^d)}_{=0} \sum_{l=i_0}^{j_0-1} (1-q^{\sigma_{l+1}^{j_0}})g_l \\
&= g_{i_0-1}
\end{align*}
$$

De la même façon, on a :

$$
\begin{align*}
(\tilde{\tau}_J^*)^d(g_{j_0}) &= (\tilde{\tau}_J^*)^{d-1}(g_{j_0} + \sum_{l=i_0}^{j_0-1} (q^{\sigma_{l+1}^{j_0}}(1-q^{\sigma_{i_0}^l})g_j) \\
&= (\tilde{\tau}_J^*)^{d-2}(g_{j_0} + (1-q^{\sigma_{i_0}^{j_0}})\sum_{l=i_0}^{j_0-1} (q^{\sigma_{l+1}^{j_0}}(1-q^{\sigma_{i_0}^l})g_j)) \\
&\vdots \\
&= g_{j_0} + \underbrace{(1+q^{\sigma_{i_0}^{j_0}} + \dots + (q^{\sigma_{i_0}^{j_0}})^d)}_{=0} \sum_{l=i_0}^{j_0-1} q^{\sigma_{l+1}^{j_0}}(1-q^{\sigma_{i_0}^l})g_l \\
&= g_{j_0}
\end{align*}
$$

Donc $\tilde{\tau}_J^*$ est d'ordre fini au plus $d$.

Supposons $q^{\sigma_{i_0}^{j_0}} = 1$. La matrice de $\tilde{\tau}_J^*$ dans la famille $(g_1, \dots, g_n)$ s'écrit :

$$
\begin{pmatrix}
I_{i_0-2} & A_J \\
& I_{n-j_0}
\end{pmatrix}
$$
Où $A_J$ est la matrice carrée de taille $(j_0 - i_0 + 2) \times (j_0 - i_0 + 2)$ :

$$A_J = \begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
(1 - q^{\sigma_{i_0+1}^{j_0}}) & 1 & 0 & q^{\sigma_{i_0+1}^{j_0}}(1 - q^{\sigma_{i_0}^{j_0}}) \\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
(1 - q^{\sigma_{j_0}^{j_0}}) & 0 & 1 & q^{\sigma_{i_0}^{j_0}}(1 - q^{\sigma_{i_0}^{j_0-1}}) \\
0 & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}$$

Alors $A_J - I_{j_0-i_0+2}$ est de la forme :

$$\begin{pmatrix}
0 & \cdots & 0 \\
(1 - q^{\sigma_{i_0+1}^{j_0}}) & 0 & 0 & q^{\sigma_{i_0+1}^{j_0}}(1 - q^{\sigma_{i_0}^{j_0}}) \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
(1 - q^{\sigma_{j_0}^{j_0}}) & 0 & 0 & q^{\sigma_{i_0}^{j_0}}(1 - q^{\sigma_{i_0}^{j_0-1}}) \\
0 & \cdots & 0 & 0
\end{pmatrix}$$

On vérifie facilement que $(A_J - I_{j_0-i_0+2})^2 = 0$ et alors $(\tilde{\tau}_J^* - I_n)^2 = 0$, donc $\tilde{\tau}_J^*$ est unipotente lorsque $q^{\sigma_{i_0}^{j_0}} = 1$. $\square$

Pour un twist quelconque, nous pouvons ré-indexer les $b_1, \dots, b_n$ de sorte que le support du twist contienne un ensemble de points d'indices successifs $\{b_{i_0}, \dots, b_{j_0}\}$. Le changement de famille génératrice est plus complexe à réaliser mais se fait sur la même idée que celle présentée pour les twists $\alpha_{i,j}$. On pourrait ainsi exprimer l'expression de l'action de ce twist sur une famille génératrice de $H^1(\tilde{X})_q$ associée à cette indexation, puis par le changement d'une famille génératrice à l'autre, on expliciterait l'action du twist de Dehn dans la famille initiale $(g_1, \dots, g_n)$.
# Chapitre 11

## Densité de Zariski des représentations

### $\rho_q$

On rappelle ici quelques notations : la surface $\hat{X}$ est obtenue à partir d'une courbe algébrique $y^d = \prod_{i=1}^n (x-b_i)^{k_i}$ où $n, d \in \mathbb{N}^*$, les $b_i$ sont des nombres complexes deux à deux distincts, les $k_i$ sont des entiers non nuls vérifiant la condition : $\text{pgcd}(k_1, \dots, k_n, d) = 1$. On note $k_0 = \sum_{i=1}^n k_i$. On a construit dans cette thèse des représentations $\rho_q : \text{PB}_n \to \text{U}(H^1(\hat{X})_q)$, pour $q = e^{-\frac{2i\pi k}{d}}$, une racine d-ème de l'unité différente de 1. On s'intéresse maintenant aux images de ces représentations et on montre, sous certaines conditions, qu'elles sont Zariski-denses dans $\text{PU}(r, s)$, où $(r, s)$ n'est pas nécessairement de la forme $(1, n)$ ou $(n, 1)$ (les cas traités par Deligne-Mostow).

Rappelons qu'on note $\varepsilon_0 = 1$ si $q^{k_0} = 1$ et $\varepsilon_0 = 0$ sinon. On a le théorème suivant :

**Théorème 11.0.1.** *Supposons qu'il existe une indexation des points marqués pour laquelle les hypothèses ci-dessous sont vérifiées :*

$$ \forall r \in \{3, \dots, n - \varepsilon_0\}, \quad d \nmid k(k_1 + \dots + k_r) \qquad (11.0.1) $$

$$ 1 < \left\{ \frac{kk_1}{d} \right\} + \left\{ \frac{kk_2}{d} \right\} + \left\{ \frac{kk_3}{d} \right\} < 2 \qquad (11.0.2) $$

Alors la composante neutre de la clôture de Zariski de $\rho_q(PB_n)$ dans $\text{U}(H^1(\hat{X})_q)$ est $\text{SU}(H^1(\hat{X})_q)$.

Pour démontrer ce théorème nous allons faire une récurrence. Nous commencerons par présenter les outils de cette récurrence, puis nous traiterons le premier cas $r = 2$, enfin nous pourrons établir la récurrence et terminer ainsi la démonstration. On remarquera que, indépendamment des hypothèses du théorème ci-dessus, la composante neutre de la clôture de Zariski de l'image de la représentation $\rho_q$ est toujours incluse dans $\text{SU}(H^1(\hat{X})_q)$.

### 11.1 Outils préparant la récurrence

On note $(g_1, \dots, g_n)$ une famille génératrice de $H^1(\hat{X})_q$ vérifiant le théorème 7.0.1.

**Remarque 11.1.1.** *On peut choisir la famille $(g_1, \dots, g_n)$ telle que $(g_1, \dots, g_{n-1-\varepsilon_0})$ est une base de $H^1(\hat{X})_q$, avec $\varepsilon_0 = 1$ si $q^{k_0} = 1$ et $\varepsilon_0 = 0$ sinon. En effet, d'après le théorème 6.0.1, la dimension de $H^1(\hat{X})_q$ est $n - 1 - \varepsilon_0$. Remarquons que, comme $\sum_{i=1}^n g_i = 0$, la
famille $(g_1, \dots, g_{n-1})$ engendre toujours $H^1(\hat{X})_q$, alors si $\varepsilon_0 = 0$, cette famille est une base de $H^1(\hat{X})_q$. Si $\varepsilon_0 = 1$, cette famille est liée, et quitte à ré-indexer les $g_i$, ce qui revient à ré-indexer les $b_i$, on peut supposer que $g_{n-1}$ est une combinaison linéaires des éléments $g_1, \dots, g_{n-2}$. Alors dans tous les cas, $(g_1, \dots, g_{n-1-\varepsilon_0})$ est une base de $H^1(\hat{X})_q$.

Fixons une telle base, c'est-à-dire une indexation des $\{b_1, \dots, b_n\}$ pour que la famille $(g_1, \dots, g_{n-1-\varepsilon_0})$ forme une base de $H^1(\hat{X})_q$. L'action des générateurs $\alpha_{i,j}$ de $PB_n$ sur $H^1(\hat{X})_q$ est donnée explicitement par le théorème 9.3.2, en particulier, on connaît l'expression de l'action des $\alpha_{i,j}$ sur chacun des $g_l$.

Supposons que $n - 1 - \varepsilon_0 > 1$. Pour tout $r \in \{2, \dots, n - 1 - \varepsilon_0\}$, on note $V_r := \langle g_1, \dots, g_r \rangle$. On étudie la signature de la restriction de la forme d'intersection à $V_r$ à l'aide d'une surface auxiliaire $\hat{Z}_{r+1}$, obtenue à partir de la courbe algébrique $y^d = \prod_{i=1}^{r+1} (x - b_i)^{k_i}$. Pour cela, montrons que :

**Lemme 11.1.2.** On a un isomorphisme entre $H^1(\hat{Z}_{r+1})_q$ et $V_r$, qui préserve la forme d'intersection.

**Démonstration** : Pour éviter les confusions, notons pour cette démonstration $\langle \cdot ; \cdot \rangle_{\hat{Z}_{r+1}}$ la forme d'intersection sur $H^1(\hat{Z}_{r+1})_q$ et $\langle \cdot ; \cdot \rangle_{\hat{X}}$ la forme d'intersection sur $H^1(\hat{X})_q$.

Par le théorème 6.0.1 et l'hypothèse (11.0.1), la dimension de $H^1(\hat{Z}_{r+1})_q$ est $r$, et on peut noter $\{\tilde{g}_1, \dots, \tilde{g}_{r+1}\}$ une famille génératrice vérifiant les conditions du théorème 7.0.1. Alors $\{\tilde{g}_1, \dots, \tilde{g}_r\}$ est une base de $H^1(\hat{Z}_{r+1})_q$.

Pour tout $i \in \{1, \dots, r\}$, on a par le lemme 6.1.2, $H_c^1(X_i)_q \simeq H_c^1(\pi_{\hat{Z}_{r+1}}^{-1}(D_i))_q$. Or $H_c^1(X_i)_q \simeq \langle g_i \rangle$ et $H_c^1(\pi_{\hat{Z}_{r+1}}^{-1}(D_i))_q \simeq \langle \tilde{g}_i \rangle$. On peut donc définir un morphisme injectif $\phi_r : H^1(\hat{Z}_{r+1})_q \to H^1(\hat{X})_q$, avec :

$$ \forall i \in \{1, \dots, r\}, \quad \phi_r(\tilde{g}_i) := g_i. $$

Par définition des deux familles génératrices, on a, pour tout $i, j \in \{1, \dots, r\}$ :

$$ \langle \tilde{g}_i, \tilde{g}_j \rangle_{\hat{Z}_{r+1}} = \langle \phi_r(\tilde{g}_i), \phi_r(\tilde{g}_j) \rangle_{\hat{X}} = \langle g_i, g_j \rangle_{\hat{X}}. $$

Clairement, $V_r = \phi_r(H^1(\hat{Z}_{r+1})_q)$, on a finalement un isomorphisme $H^1(\hat{Z}_{r+1})_q \simeq V_r$, qui préserve la forme d'intersection par définition. $\square$

Comme la forme d'intersection $\langle \cdot ; \cdot \rangle_{\hat{Z}_{r+1}}$ est non dégénérée sur $H^1(\hat{Z}_{r+1})_q$, on en déduit immédiatement :

**Lemme 11.1.3.** Pour tout $r \in \{2, \dots, n-1-\varepsilon_0\}$, la restriction de la forme d'intersection à $V_r$ est non dégénérée, et on a la décomposition en somme directe orthogonale :

$$ H^1(\hat{X})_q \simeq V_r \oplus V_r^{\perp}. $$

On peut alors montrer :

**Lemme 11.1.4.** Pour $r \in \{1, \dots, n-1-\varepsilon_0\}$, pour tout $i, j \in \{1, \dots, r+1\}$ tel que $i < j$, $\alpha_{i,j}$ préserve la somme directe $H^1(\hat{X})_q = V_r \oplus V_r^{\perp}$.
**Démonstration** : Soit $r \in \{1, \dots, n-1 - \varepsilon_0\}$. On connaît par le théorème 9.3.1 l'expression de l'action des $\alpha_{i,j}$ sur la famille $(g_1, \dots, g_{n-1-\varepsilon_0})$. Pour $i, j \in \{1, \dots, n\}$ avec $i < j$, en notant $g'_i = g_i + \sum_{l=i+1}^{j-1} \bar{q}^{\sigma'_{i+1}} g_l$, on a pour tout $l \in \{1, \dots, n\}$ :

$$ \alpha_{i,j}(g_l) = \begin{cases} g_{i-1} + (1-q^{k_j})g'_i & \text{si } l = i-1 \\ g_i - (1-q^{k_j})g'_i & \text{si } l = i \\ g_{j-1} - q^{\sigma_{i+1}^j}(1-q^{k_i})g'_i & \text{si } l = j-1 \\ g_j + q^{\sigma_{i+1}^j}(1-q^{k_i})g'_i & \text{si } l = j \\ g_l & \text{sinon} \end{cases} $$

Alors $\alpha_{i,j}$ préserve les espaces $V_l$ pour $l \le i-2$ et $j-1 \le l$. En particulier, si $j \le r+1$, alors $V_r$ est préservé par $\alpha_{i,j}$.

D'autre part, $V_r^\perp = \cap_{l=1}^r \langle g_l \rangle^\perp$, alors pour tout $x \in V_r^\perp$, $\langle x, g'_i \rangle = 0$. On peut ainsi vérifier que $\alpha_{i,j}$ préserve également $V_r$ en utilisant l'expression de $\tilde{\alpha}_{i,j}^*$ donnée par le théorème 9.3.2 :

$$ \forall x \in V_r^\perp, \quad \alpha_{i,j}(x) = x - i \frac{(1-q^{k_i})(1-q^{k_j})}{(1-q)(1-\bar{q})} \langle x; g'_i \rangle g'_i = x. $$

Finalement $\alpha_{i,j}$ préserve la somme directe $V_r \oplus V_r^\perp$ pour $j \le r+1$. $\square$

<figure><img src="image_83.png" /></figure>

Remarquons que pour $r \le n-1$, on peut interpréter une tresse de $PB_{r+1}$ comme une tresse de $PB_n$ en lui ajoutant un certain nombre de brins droits. On peut ainsi considérer $PB_{r+1}$ comme un sous-groupe de $PB_n$, engendré par les $\alpha_{i,j}$ tels que $j \le r+1$. D'après le lemme précédent, les tresses de $PB_{r+1}$ préservent $V_r$, et on peut donc s'intéresser à la restriction de $\rho_q(PB_{r+1})$ à $U(V_r)$.

**Définition 11.1.5.** Notons $\mathbb{G}_r$ la clôture de Zariski de $\rho_q(PB_{r+1})$ dans $U(V_r)$, les automorphismes de $V_r$ qui préservent la forme d'intersection, et $\mathbb{G}_r^0$ la composante neutre de $\mathbb{G}_r$.

**Lemme 11.1.6.** Pour tout $r \in \{2, \dots, n-1 - \varepsilon_0\}$, $\mathbb{G}_r^0 \subset SU(V_r)$.

**Démonstration** : Notons $U_d(V_r)$ les automorphismes $X \in U(V_r)$ tels que $\det(X)^d = 1$. Comme les $\alpha_{i,j}$ sont soit d'ordre fini au plus $d$, soit unipotents, et qu'ils engendrent $PB_n$, $\mathbb{G}_r$ est inclus dans $U_d(V_r)$. En particulier, on a un morphisme :

$$ \begin{aligned} \mathbb{G}_r & \to \mathbb{Z}/d\mathbb{Z} \\ X & \mapsto \det(X) \end{aligned} $$

Les valeurs du déterminant prises sur $\mathbb{G}_r$ sont donc discrètes, or $\det$ est continue, et donc constante sur chacune des composantes connexes de $\mathbb{G}_r$, et en particulier sur la composante neutre $\mathbb{G}_r^0$ de $\mathbb{G}_r$, qui contient l'élément neutre. Alors la restriction du déterminant sur $\mathbb{G}_r^0$ vaut identiquement 1, et on en déduit que $\mathbb{G}_r^0$ est un sous-groupe de $SU(V_r)$. $\square$

<figure><img src="image_84.png" /></figure>

Dans les deux parties suivantes, va montrer par récurrence que :

**Proposition 11.1.7.** Pour tout $r \in \{2, \dots, n-1 - \varepsilon_0\}$, $\mathbb{G}_r^0 = SU(V_r)$.

En particulier, la composante neutre de la clôture de Zariski de $\rho_q(PB_n)$, notée $\overline{\rho_q(PB_n)^Z}$, est $SU(H^1(\hat{X})_q)$. On initialise pour le rang $r=2$.
## 11.2 Initialisation au rang 2

Dans cette partie, on montre que la proposition 11.1.7 est vraie au rang $r = 2$, c'est-à-dire :

**Proposition 11.2.1.** On a l'égalité $\mathbb{G}_2^0 = \text{SU}(\mathbb{V}_2)$.

L'idée principale pour démontrer la proposition 11.2.1 est la suivante : nous allons montrer que $\mathbb{G}_2^0$ est un sous-groupe de Lie de $\text{SU}(1, 1)$, et ne correspondant à aucun des sous-groupes stricts de $\text{SU}(1, 1)$.

On monte dans un premier temps le lemme suivant :

**Lemme 11.2.2.** $\mathbb{G}_2^0$ est isomorphe à un sous-groupe de Lie de $\text{SU}(1, 1)$.

*Démonstration* : On a vu précédemment que $\mathbb{G}_2^0$ sous-groupe de $\text{SU}(\mathbb{V}_2)$, il suffit donc de montrer que $\text{SU}(\mathbb{V}_2) \simeq \text{SU}(1, 1)$. Pour cela, on montre que la signature de la forme d'intersection restreinte à $\mathbb{V}_2$ est $(1, 1)$.

Remarquons que la signature de la forme d'intersection restreinte à $\mathbb{V}_2$ est égale à la signature $(r, s)$ de la forme d'intersection de $H^1(\hat{Z}_3)_q$. Rappelons que la dimension de $H^1(\hat{Z}_3)_q$ est 2, et que la forme d'intersection sur $H^1(\hat{Z}_3)_q$ n'est pas dégénérée, donc $(r, s) = (r, 2 - r)$. D'après le théorème 6.0.2, on a :

$$ 
\begin{align*}
r &= \lfloor \frac{k(k_1 + k_2 + k_3)}{d} \rfloor - \sum_{i=1}^{3} \lfloor \frac{kk_i}{d} \rfloor \\
&= \frac{k(k_1 + k_2 + k_3)}{d} - \left\{ \frac{k(k_1 + k_2 + k_3)}{d} \right\} - \sum_{i=1}^{3} \frac{kk_i}{d} + \sum_{i=1}^{3} \left\{ \frac{kk_i}{d} \right\} \\
&= \sum_{i=1}^{3} \left\{ \frac{kk_i}{d} \right\} - \left\{ \frac{k(k_1 + k_2 + k_3)}{d} \right\}
\end{align*}
$$

Or d'après l'hypothèse (11.0.1), comme $d$ ne divise pas $k(k_1 + k_2 + k_3)$, on sait que : $0 < \left\{ \frac{k(k_1+k_2+k_3)}{d} \right\} < 1$, et comme d'autre part, d'après l'hypothèse (11.0.2), $1 < \left\{ \frac{kk_1}{d} \right\} + \left\{ \frac{kk_2}{d} \right\} + \left\{ \frac{kk_3}{d} \right\} < 2$. On a donc $0 < r < 2$, d'où $r = 1$ et la signature de la forme d'intersection restreinte à $\mathbb{V}_2$ est $(1, 1)$. Ainsi, on a $\mathbb{G}_2^0 \subset \text{SU}(\mathbb{V}_2) \simeq \text{SU}(1, 1)$. Comme $\mathbb{G}_2^0$ est un sous-groupe fermé dans $\text{SU}(1, 1)$, c'est aussi un groupe de Lie d'après le théorème de Cartan-von Neumann. $\square$

### 11.2.1 Action de $\text{SU}(1, 1) \simeq \text{SL}(2, \mathbb{R})$ sur $\mathbb{P}_C^1$

On sait que $\text{SU}(1, 1)$, à conjugaison près dans $\text{SL}(2, \mathbb{C})$, est isomorphe à $\text{SL}(2, \mathbb{R})$. On note $S \in \text{SL}(2, \mathbb{C})$ une matrice telle que : $X \in \text{SU}(1, 1) \mapsto SXS^{-1} \in \text{SL}(2, \mathbb{R})$ soit un isomorphisme. En particulier, comme $\mathbb{G}_2^0$ est un sous-groupe de $\text{SU}(1, 1)$, on a un isomorphisme entre $\mathbb{G}_2^0$ et un sous-groupe de $\text{SL}(2, \mathbb{R})$, noté $G_2$, donné par :

$$ \alpha^* \in \mathbb{G}_2^0 \mapsto A = S\alpha^*S^{-1} \in G_2 \subset \text{SL}(2, \mathbb{R}). $$

Rappelons d'autre part que $\text{GL}(2, \mathbb{C})$ agit sur $\mathbb{P}_C^1$ de la façon suivante :

$$ \forall M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \text{GL}(2, \mathbb{C}), \forall z \in \mathbb{P}_C^1, \quad M \cdot z = \frac{az + b}{cz + d}. $$