# Stabilité des solides visqueux : exemples structuraux

Farid Abed-Meraim

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Farid Abed-Meraim. Stabilité des solides visqueux: exemples structuraux. 4e colloque national en calcul de structure de Giens, 1999, Giens, France. pp.557-562. hal-00116545

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# Stabilité des solides visqueux : exemples structuraux

Farid Abed-Meraim

Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers

## Résumé

Cette étude concerne la stabilité de l'évolution quasi-statique des solides visqueux. On commence par mettre le problème d'évolution sous forme d'une équation différentielle globale non autonome. La méthode de linéarisation nous permet ensuite de déduire des résultats relatifs à la stabilité de cette évolution. L'étude complète de la colonne de Shanley, ayant différents comportements visco-élastiques et visco-plastiques, permet d'illustrer cette méthodologie.

## 1 Introduction

L'analyse de la stabilité des solides sensibles à la vitesse de chargement est très différente de celle relative aux matériaux indépendants du temps physique. Pour ces derniers, différentes études de stabilité fondées sur les états d'équilibre du solide ont été menées [3], [4]. Dans le cas des structures visqueuses, l'absence d'équilibre nous amène à étudier la stabilité de leurs évolutions quasi-statiques [1], [2]. Notre approche se distingue des quelques études sur le sujet par sa capacité à répondre à la stabilité du système réel, non linéaire, et pas simplement du système linéarisé. De plus, elle prend en compte le caractère non autonome du problème, chose qu'ignorent la plupart des autres approches.

## 2 Description de la structure et du chargement

On considère la colonne de Shanley [5] représentée par la figure (1) ci-après. Ce modèle est constitué d'un cadre rigide, ayant la forme d'un $\perp$, reposant sur deux
ressorts identiques à comportements visco-élastiques ou visco-plastiques.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG. 1 – Colonne de Shanley visqueuse</figcaption></figure>

Cette colonne est soumise à une charge verticale descendante d'amplitude $\lambda$ appliquée à son extrémité $A$. On notera par $v$ le déplacement vertical du point $B$ et par $\theta$ la rotation de la colonne à partir de sa position droite. En gardant toutes les non-linéarités géométriques, les élongations des ressorts notées $(\epsilon_1, \epsilon_2)$ sont reliées aux deux degrés de liberté $(v, \theta)$ de la structure par les relations cinématiques :

$$ \epsilon_i = v + (-1)^i l \sin \theta \quad i = 1, 2 \qquad (1) $$

Le déplacement vertical de $A$, point d'application du chargement, est :

$$ u_A = v + L (1 - \cos \theta) $$

### 3 Équations d'évolution

On adoptera la notation vectorielle : $\mathbf{u} = (v, \theta)$, $\boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{u}) = (\epsilon_1, \epsilon_2)$ et $\boldsymbol{\alpha} = (\alpha_1, \alpha_2)$. Les $\alpha_i$ représentent les paramètres dissipatifs (déformations visco-élastiques ou visco-plastiques). L'énergie potentielle totale $W(\boldsymbol{\epsilon}, \boldsymbol{\alpha}, \lambda)$ du système s'exprime en fonction du potentiel global d'énergie libre $W(\boldsymbol{\epsilon}, \boldsymbol{\alpha})$ et du potentiel des efforts extérieurs $W_{\text{ext}}(\mathbf{u}, \lambda)$ :

$$ \left\{ \begin{array}{l} W(\boldsymbol{\epsilon}, \boldsymbol{\alpha}, \lambda) = W(\boldsymbol{\epsilon}, \boldsymbol{\alpha}) - W_{\text{ext}}(\mathbf{u}, \lambda) \\ W(\boldsymbol{\epsilon}, \boldsymbol{\alpha}) = \sum_{i=1}^{2} \frac{1}{2} E (\epsilon_i - \alpha_i)^2 + \frac{1}{2} h \alpha_i^2 \\ W_{\text{ext}}(\mathbf{u}, \lambda) = \lambda [v + L (1 - \cos \theta)] \end{array} \right. $$

où les constantes $E$ et $h$ désignent respectivement le module d'Young et le coefficient d'écrouissage. En exploitant la relation $\boldsymbol{\epsilon} = \boldsymbol{\epsilon}(\mathbf{u})$ donnée par (1), cette énergie potentielle totale s'écrit :

$$ W(\mathbf{u}, \boldsymbol{\alpha}, \lambda) = \sum_{i=1}^{2} \frac{1}{2} E \left[ v + (-1)^i l \sin \theta - \alpha_i \right]^2 + \frac{1}{2} h \alpha_i^2 - \lambda \left[ v + L (1 - \cos \theta) \right] $$
Les équations d'état donnant les forces thermodynamiques $\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_1, \sigma_2)$ et $\mathbf{A} = (A_1, A_2)$ sont :

$$ \boldsymbol{\sigma} = W_{,\epsilon} = E(\epsilon - \boldsymbol{\alpha}), \quad \mathbf{A} = -W_{,\alpha} = \boldsymbol{\sigma} - h\boldsymbol{\alpha} $$

Utilisant la relation (1), ces forces s'écrivent : $\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{u}, \boldsymbol{\alpha})$ et $\mathbf{A} = \mathbf{A}(\mathbf{u}, \boldsymbol{\alpha})$. L'équilibre du système rend stationnaire l'énergie potentielle totale, soit :

$$ W_{,u}(\mathbf{u}, \boldsymbol{\alpha}, \lambda) \cdot \delta\mathbf{u} = 0 \quad \forall \delta\mathbf{u} \qquad (2) $$

ce qui donne :

$$ \begin{cases} W_{,v} = \sigma_1 + \sigma_2 - \lambda = 0 & (\text{Équilibre des forces}) \\ W_{,\theta} = (\sigma_2 - \sigma_1) l \cos \theta - \lambda L \sin \theta = 0 & (\text{Équilibre des moments}) \end{cases} $$

Sous la condition de stabilité élastique ($W_{,uu}$ [$\delta\mathbf{u}, \delta\mathbf{u}$] > 0, $\forall \delta\mathbf{u} \neq 0$), l'équation d'équilibre (2) permet d'écrire $\mathbf{u}$ comme une fonction de $\boldsymbol{\alpha}$ et $\lambda$ (théorème des fonctions implicites). Cette inversion $\mathbf{u} = \mathbf{u}(\boldsymbol{\alpha}, \lambda)$ n'est pas complètement explicite si l'on garde les non-linéarités en $\sin \theta$ et $\tan \theta$. Elle s'écrit :

$$ \left\{ \begin{array}{l} v = \frac{\lambda}{2E} + \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} \\ \sin \theta \left( 1 - \frac{\lambda}{\lambda_E \cos \theta} \right) = \frac{\alpha_2 - \alpha_1}{2l} \end{array} \right. $$

où $\lambda_E = \frac{2EI^2}{L}$ représente la charge critique de perte de stabilité élastique. Dans ces conditions, les forces généralisées $\mathbf{A}$ apparaîssent comme des fonctions de $\boldsymbol{\alpha}$ et $\lambda$: $\mathbf{A}(\boldsymbol{\alpha}, \lambda) = \mathbf{A}(\mathbf{u}(\boldsymbol{\alpha}, \lambda), \boldsymbol{\alpha})$. Cette relation peut être obtenue directement par :

$$ \mathbf{A}(\boldsymbol{\alpha}, \lambda) = -W_{,\alpha}^{r}(\boldsymbol{\alpha}, \lambda) $$

où $W^r(\boldsymbol{\alpha}, \lambda)$ désigne l'énergie à l'équilibre ou l'énergie réduite définie comme :

$$ W^r(\boldsymbol{\alpha}, \lambda) = W(\mathbf{u}(\boldsymbol{\alpha}, \lambda), \boldsymbol{\alpha}, \lambda) = \min_{\mathbf{u}} W(\mathbf{u}, \boldsymbol{\alpha}, \lambda) $$

Pour définir complètement l'évolution quasi-statique du système, il nous faut une relation supplémentaire décrivant son comportement irréversible. L'introduction d'un potentiel de dissipation $D(\dot{\boldsymbol{\alpha}})$ permet de relier les forces aux flux par :

$$ \mathbf{A} = D, \dot{\boldsymbol{\alpha}} $$

Il est parfois plus pratique d'utiliser le potentiel dual de dissipation $\Omega(\mathbf{A})$, obtenu par la transformation de Legendre-Fenchel, pour écrire l'évolution des paramètres dissipatifs comme :

$$ \dot{\boldsymbol{\alpha}} = \Omega, \mathbf{A} $$

Dans ce cas, l'évolution quasi-statique de la structure est régie par l'équation différentielle globale condensée formée par le système :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \text{Équilibre:} & W_{,u}(\mathbf{u}, \boldsymbol{\alpha}, \lambda) \cdot \delta\mathbf{u} = 0 \quad \forall \delta\mathbf{u} \\ \text{Équation d'état:} & \mathbf{A} = -W_{,\alpha}(\mathbf{u}, \boldsymbol{\alpha}, \lambda) \\ \text{Loi complémentaire:} & \dot{\boldsymbol{\alpha}} = \Omega, \mathbf{A} \\ \text{Donnée initiale:} & \boldsymbol{\alpha}(0) = \boldsymbol{\alpha}_0 \end{array} \right. \qquad (3) $$
On peut écrire cette équation différentielle de façon plus compacte en éliminant la variable **u** à partir de l'équilibre :

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
\text{Énergie réduite:} & \mathbf{W}^r(\boldsymbol{\alpha}, \lambda) = \mathbf{W}(\mathbf{u}(\boldsymbol{\alpha}, \lambda), \boldsymbol{\alpha}, \lambda) \\
\text{Équation d'état:} & \mathbf{A} = -\mathbf{W}_{,\boldsymbol{\alpha}}^r(\boldsymbol{\alpha}, \lambda) \\
\text{Loi complémentaire:} & \dot{\boldsymbol{\alpha}} = \Omega_{,\mathbf{A}}(\mathbf{A}) \\
\text{Donnée initiale:} & \boldsymbol{\alpha}(0) = \boldsymbol{\alpha}_0
\end{array}
\right.
\qquad (4)
$$

4 Évolution fondamentale visco-élastique

Le comportement visco-élastique de Maxwell avec écrouissage cinématique li-
néaire correspond au potentiel de dissipation :

$$
D(\dot{\boldsymbol{\alpha}}) = \frac{1}{2} \boldsymbol{\alpha} \cdot \boldsymbol{\eta} \cdot \dot{\boldsymbol{\alpha}} \Leftrightarrow \Omega(\boldsymbol{A}) = \frac{1}{2} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{\eta}^{-1} \cdot \boldsymbol{A}
$$

où η désigne un paramètre de viscosité. L'évolution fondamentale θ⁰(t) = 0, ∀ t,
de la colonne reposant sur des ressorts ayant un tel comportement est obtenue par
l'intégration de l'équation différentielle (3) ou (4) et s'écrit :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\theta^0(t) = 0 \quad \forall t \ge 0 \\
\alpha_1^0(t) = \alpha_2^0(t) = \int_0^t e^{-\frac{h}{\eta}(t-s)} \frac{\lambda(s)}{2\eta} ds \\
v^0(t) = \frac{\lambda(t)}{2E} + \alpha_i^0(t)
\end{array}
\right.
\qquad
\left\{
\begin{array}{l}
\epsilon_1^0(t) = \epsilon_2^0(t) = v^0(t) \\
\sigma_1^0(t) = \sigma_2^0(t) = \frac{\lambda(t)}{2} \\
A_1^0(t) = A_2^0(t) = \frac{\lambda(t)}{2} - h\alpha_i^0(t)
\end{array}
\right.
$$

4.1 Analyse de stabilité

On va étudier la stabilité de l'évolution quasi-statique ($\mathbf{u}^0(t), \boldsymbol{\alpha}^0(t)$) associée à
un trajet de charge $\lambda(t) \in [0, \lambda_M]$. En notant par $\boldsymbol{\alpha}^* = \boldsymbol{\alpha} - \boldsymbol{\alpha}^0$ l'écart par rapport
à la solution fondamentale, le système différentiel non autonome (3) ou (4) se met
sous la forme :

$$
\dot{\boldsymbol{\alpha}}^* = \boldsymbol{B}(t) \cdot \boldsymbol{\alpha}^* + \boldsymbol{h}(\boldsymbol{\alpha}^*, t) \quad (5)
$$

où :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\mathbf{B}(t) = -\Omega_{,AA}(\mathbf{A}^0) \cdot \mathbf{W}_{,\alpha\alpha}^r(\boldsymbol{\alpha}^0, \lambda) \\
\mathbf{W}_{,\alpha\alpha}^r = \mathbf{W}_{,\alpha\alpha} - \mathbf{W}_{,\alpha u} \cdot \mathbf{W}_{,u u}^{-1} \cdot \mathbf{W}_{,u\alpha}
\end{array}
\right.
$$

et $\frac{\|h(\alpha^*,t)\|}{\|\alpha^*\|} \to 0$ lorsque $\alpha^* \to 0$, uniformément par rapport au temps, $t \in [0, +\infty[$.
Le premier terme dans (5) représente la forme linéarisée de l'équation différentielle
(4).

Une condition suffisante de stabilité uniforme et asymptotique de l'évolution
($\mathbf{u}^0(t), \boldsymbol{\alpha}^0(t)$) est alors donnée par la définie négativité de $\mathbf{B}(t)$, voir [1], [2]. Pour
le modèle visco-élastique de Maxwell précédemment décrit, on obtient :

$$
\Omega_{,AA} = \frac{1}{\eta} I_2, \quad \mathbf{W}_{,\alpha\alpha}(\boldsymbol{\alpha}^0, \lambda) = \begin{bmatrix} h-p & p \\ p & h-p \end{bmatrix}, \quad p = \frac{E\lambda}{2(\lambda_E - \lambda)} \quad (6)
$$
Les valeurs propres de $B(t) = -\frac{1}{\eta}W_{,\alpha\alpha}^r(\boldsymbol{\alpha}^0, \lambda)$ sont : $\mu_1 = -\frac{h}{\eta}$ et $\mu_2 = -\frac{h}{\eta}\frac{\lambda_E}{\lambda_T}\frac{\lambda_T-\lambda}{\lambda_E-\lambda}$, $(\lambda_T = \frac{2E_Tl^2}{L}, E_T = \frac{Eh}{E+h})$, associées respectivement aux vecteurs propres (1,1) et (1,-1). Cette évolution visco-élastique $(\boldsymbol{u}^0(t), \boldsymbol{\alpha}^0(t))$ est donc uniformément et asymptotiquement stable si $\lambda_M < \lambda_T$. Comme le vecteur propre associé à $\mu_2$ est constant, on peut également affirmer que cette évolution est instable pour $\lambda_M > \lambda_T$.

# 5 Évolutions fondamentales visco-plastiques

Le comportement visco-plastique à seuil de Perzyna est caractérisé par le potentiel dual :

$$ \Omega(\mathbf{A}) = \frac{\langle |A_1| - A_c \rangle^2}{2\eta} + \frac{\langle |A_2| - A_c \rangle^2}{2\eta} $$

où $\langle \rangle$ désigne la partie positive. Pour un chargement croissant $\lambda(t) \in [0, \lambda_M]$ tel que $\lambda_M > 2A_c$, l'évolution fondamentale $\theta^0(t) = 0$, $\forall t$, comporte une phase élastique $(\lambda(t) \in [0, 2A_c])$ suivie d'une phase visco-plastique $(\lambda(t) \in [2A_c, \lambda_M])$ :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \theta^0(t) = 0 \quad \forall t \ge 0 \\ \alpha_1^0(t) = \alpha_2^0(t) = \int_0^t e^{-\frac{h}{\eta}(t-s)} \frac{(\lambda(s)-2A_c)}{2\eta} ds \\ v^0(t) = \frac{\lambda(t)}{2E} + \alpha_i^0(t) \end{array} \right. $$

$$ \left\{ \begin{array}{l} \epsilon_1^0(t) = \epsilon_2^0(t) = v^0(t) \\ \sigma_1^0(t) = \sigma_2^0(t) = \frac{\lambda(t)}{2} \\ A_1^0(t) = A_2^0(t) = \frac{\lambda(t)}{2} - h\alpha_i^0(t) \end{array} \right. $$

Enfin, le modèle de viscosité non linéaire de Norton-Hoff correspond au potentiel dual de dissipation :

$$ \Omega(\mathbf{A}) = c \left[ \left( \frac{A_1}{A_c} \right)^m + \left( \frac{A_2}{A_c} \right)^m \right] \quad (c > 0, m \text{ : paire}) $$

L'évolution fondamentale $\theta^0(t) = 0$, $\forall t$, associée à ce modèle, s'obtient par l'intégration de l'équation différentielle :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \dot{\alpha}_i^0 = c \frac{m}{A_c} \left(\frac{A_i^0}{A_c}\right)^{m-1} \\ A_i^0 = \frac{\lambda(t)}{2} - h\alpha_i^0 \end{array} \right. \quad i = 1, 2 $$

Notons que pour $m = 2$, $c = \frac{A_c^2}{2\eta}$, on retrouve le comportement visco-élastique de Maxwell.

## .1 Analyse de stabilité

Pour le modèle à seuil de Perzyna, la linéarisation de l'équation différentielle (4) autour de l'évolution fondamentale $(\boldsymbol{u}^0(t), \boldsymbol{\alpha}^0(t))$, dans le domaine visco-plastique, donne :

$$ \dot{\boldsymbol{\alpha}}^* = -\frac{1}{\eta}W_{,\alpha\alpha}^r(\boldsymbol{\alpha}^0, \lambda) \cdot \boldsymbol{\alpha}^* $$
Dans le cas du modèle de Norton-Hoff, cette même linéarisation conduit à :

$$ \dot{\boldsymbol{\alpha}}^* = -c \frac{m(m-1)}{A_c^2} \left( \frac{A_i^0(t)}{A_c} \right)^{m-2} W_{,\alpha\alpha}^{r}(\boldsymbol{\alpha}^0, \lambda) \cdot \boldsymbol{\alpha}^* $$

En effet, dans le premier cas $\Omega_{,AA}$ est égal à $\frac{1}{\eta}I_2$, alors que dans le second on a : $\Omega_{,AA} = c \frac{m(m-1)}{A_c^2} \left( \frac{A_i^0(t)}{A_c} \right)^{m-2} I_2$. Dans les équations ci-dessus, l'expression de $W_{,\alpha\alpha}(\boldsymbol{\alpha}^0, \lambda)$ est donnée par l'équation (6). Il vient alors que pour ces deux évolutions visco-plastiques précédemment calculées, les résultats de stabilité sont identiques à ceux obtenus pour le cas visco-élastique dans le sous-paragraphe 4.1.

# 6 Conclusion

Pour la colonne de Shanley à supports ayant différents comportements visco-élastiques ou visco-plastiques, les mêmes résultats concernant la stabilité ont été trouvés. L'évolution fondamentale est uniformément et asymptotiquement stable si $\lambda_M < \lambda_T$; instable pour $\lambda_M > \lambda_T$. Cette charge critique du module tangent $\lambda_T$ correspond à la première charge de bifurcation de la colonne à comportement élasto-plastique. Ce comportement élasto-plastique peut être obtenu, à partir des modèles visqueux de Perzyna ou Norton-Hoff, en faisant tendre les paramètres régularisants $\eta$ respectivement $1/m$ vers zéro.

Le critère de stabilité uniforme et asymptotique trouvé, portant sur la définie positivité de la seconde variation de l'énergie potentielle totale, est équivalent à la définie positivité de la fonctionnelle :

$$ I(\delta\mathbf{u}) = \delta\mathbf{u} \cdot (W_{,uu} - W_{,u\alpha} \cdot W_{,\alpha\alpha}^{-1} \cdot W_{,\alpha u}) \cdot \delta\mathbf{u} $$

Cette fonctionnelle $I(\delta\mathbf{u})$ est appelée fonctionnelle élastique limite [1]. Elle correspond, en effet, à un comportement élastique non linéaire particulier.

# Références

[1] F. Abed Meraim. Conditions suffisantes de stabilité pour les solides visqueux. C. R. Acad. Sci., t. 327, Série II b, (1):25-31, 1999.

[2] F. Abed Meraim. Quelques problèmes de stabilité et de bifurcation des solides visqueux. Thèse de Doctorat, École Polytechnique, 1999.

[3] R. Hill. A general theory of uniqueness and stability in elastic-plastic solids. J. of Mech. Phys. Solids, 6:236-249, 1958.

[4] Q.S. Nguyen and D. Radenkovic. Stability of an equilibrium in elastic plastic solids. Compte rendu du Symposium IUTAM-IMU, Marseille 1975, Lecture Notes in Math., 503, Springer-Verlag, Berlin, 1976.

[5] F.R. Shanley. Inelastic column theory. J. Aeronaut. Sci., 14:261-267, 1947.