**Propriété 9.2.3.** Considérons $k : \Omega \mapsto \mathbb{R}$ une fonction lisse, partout positive ou nulle, définie sur un ouvert relativement compact<fnref n="10" /> $\Omega \subset \mathbb{R}^n$, tel que $\vec{\nabla}k(u) \neq 0$ sur $\Omega \setminus K$, avec $K = k^{-1}(\{0\})$. De plus, on suppose qu'il existe $\nu : \Omega \mapsto \mathbb{S}^{n-1}$ un champ de vecteurs tel que :

$$ \vec{\nabla}k(u) = R(u)\nu(u) \qquad (9.2.3.22) $$

où R est une fonction positive<fnref n="11" /> et continue.

Alors, la partie K est un corps<fnref n="12" /> d'intérieur non vide dans Ω, dont le bord ∂K est une hypersurface orientée, et dont la restriction du champ ν correspond au champ orthonormal sortant.

**Note.** Cette propriété reste vraie si k est une fonction partout négative ou nulle. En particulier, dans ce cas de figure, la restriction sur ∂K du champ ν correspond au champ orthonormal entrant du corps K. Enfin, il est à noter que, pour plus de clarté, le gradient $\vec{\nabla}k(u)$ n'est pas forcément non nul sur la partie K.

**Démonstration.** Considérons $u_0 \in \partial K$, alors il existe $W \subset \Omega$ un ouvert centré en $u_0$ ainsi que des champs de vecteurs $\nu_2 : W \mapsto \mathbb{S}^{n-1}, \dots, \nu_n : W \mapsto \mathbb{S}^{n-1}$ tels que pour tout $u \in W$, la famille $(\nu(u), \nu_2(u), \dots, \nu_n(u))$ est une base orthonormale sur $\mathbb{R}^n$. En effet, il suffit de considérer une base orthonormale $\beta_0 = (e_1, e_2, \dots, e_n)$, avec $e_1 = \nu(u_0)$, ainsi que la fonction lisse :

$$ q(u) = \det_{\beta_0}(\nu(u), e_2, \dots, e_n) $$

Il est alors clair que $q(u_0) = 1$ et donc, considérons la partie $W = q^{-1}([0, +\infty[)$ qui est un ouvert. Ainsi, par l'application de l'algorithme de Gram-Schmidt, on obtient le résultat recherché. Par conséquent, pour tout vecteur $\vec{v} = (v_2, \dots, v_n) \in \mathbb{R}^{n-1}$, on définit le champ de vecteurs :

$$ \chi_{\vec{v}} = v_2\nu_2 + \dots + v_n\nu_n $$

ainsi que $\Gamma_{u, \vec{v}} : I(u, \vec{v}) \mapsto W$ la courbe intégrale maximale passant par un point $u \in W$ en l'instant $t = 0$ le long du champ $\chi_{\vec{v}}$. À présent, il nous faut remarquer que si, pour $u \in W, \lambda > 0$ et $\vec{v} \in \mathbb{R}^{n-1}$, on considère $\Gamma_{u, \vec{v}}$ défini sur $I(u, \vec{v}) = ]a, b[$, alors la courbe intégrale $\Gamma_{u, \lambda \vec{v}}$ est définie sur l'intervalle $I(u, \lambda \vec{v}) = ]\frac{a}{\lambda}, \frac{b}{\lambda}[$ et admet pour expression :

$$ \Gamma_{u, \lambda \vec{v}}(t) = \Gamma_{u, \vec{v}}(\lambda t) \qquad (9.2.3.23) $$

En remarquant que nous travaillons sur le système d'équations aux dérivées ordinaires $\partial_t\Gamma(t) = \chi_{\vec{v}} \circ \Gamma(t)$ paramétré sur $\mathbb{R}^{n-1}$, considérons le flot $\mathcal{F}: \mathcal{D} \mapsto W$ (qui est une application lisse) vérifiant l'expression $\mathcal{F}(t, u, \vec{v}) = \Gamma_{u, \vec{v}}(t)$ et étant défini sur l'ouvert :

$$ \mathcal{D} = \bigcup_{(u, \vec{v}) \in W \times \mathbb{R}^{n-1}} I(u, \vec{v}) \times \{u, \vec{v}\} \subset \mathbb{R} \times W \times \mathbb{R}^{n-1} $$

La partie $\mathcal{D}$ étant un ouvert de $\mathbb{R} \times W \times \mathbb{R}^{n-1}$ centré en $(0, u_0, 0)$, il existe alors $a > 0$, ainsi que $r > 0$ et $R_0 > 0$, tels que $]-a, a[ \times B(u_0, r) \times B(R_0) \subset \mathcal{D}$, avec $B(u_0, r) \subset W$ et $B(R_0) \subset \mathbb{R}^{n-1}$ correspondant à des boules ouvertes respectivement centrées en $u_0$ et zéro. Ensuite, par ce qui

<footnote n="10">10. Une partie $\Omega$ est dite relativement compacte lorsque son adhérence est compacte.</footnote>

<footnote n="11">11. Il est à noter que, par définition du gradient de la fonction $k$, la fonction $R$ est strictement positive et de classe $C^\infty$ sur $\Omega \setminus K$.</footnote>

<footnote n="12">12. On rappelle qu'une partie $K$ est appelée corps si c'est un compact d'intérieur vide, ou un compact d'intérieur non vide correspondant à la fermeture de son intérieur.</footnote>
précède, on a que pour tout $\lambda > 0$, $]-\frac{a}{\lambda}, \frac{a}{\lambda}] \times B(u_0, r) \times B(\lambda R_0) \subset \mathcal{D}$ et, en particulier, il est
possible de choisir $\lambda > 0$ tel que, en posant $R = \lambda R_0$, on ait que :

$$[-1, 1] \subset I(u, \vec{v})$$

pour tout $(u, \vec{v}) \in B(u_0, r) \times B(R)$.

À présent, on définit l'application $\phi : B(u_0, r) \times B(R) \mapsto \mathcal{W}$ telle que $\phi(u, \vec{v}) = \mathcal{F}(1, u, \vec{v})$, qui est clairement une application lisse. Ensuite, considérons un point $u \in B(u_0, r)$ ainsi que deux vecteurs $\vec{X} \in \mathbb{R}^n$ et $\vec{W} = (W_2, \dots, W_n) \in \mathbb{R}^{n-1}$. Alors, il nous faut calculer la différentielle $d_{(u_0,0)}\phi(\vec{X}, \vec{W})$. Pour cela, on a que :

$$d_{(u,0)}\phi(\vec{X}, \vec{W}) = d_u[\mathcal{F}(1, u, 0)] \cdot \vec{X} + W_2 \partial_{\lambda_2}[\mathcal{F}(1, u, \lambda_2 v_2)]_{\lambda_2=0} + \dots + W_n \partial_{\lambda_n}[\mathcal{F}(1, u, \lambda_n v_n)]_{\lambda_n=0}$$

avec $(v_2, \dots, v_n)$ correspondant à la base canonique de $\mathbb{R}^{n-1}$. D'abord, remarquons que $\mathcal{F}(1, u, 0) = u$ pour tout $u \in B(u_0, r)$ et ainsi on obtient que $d_u[\mathcal{F}(1, u, 0)] \cdot \vec{X} = \vec{X}$. Ensuite, comme par (9.2.3.23) on sait que $\mathcal{F}(1, u, \lambda_i \vec{v}_i) = \mathcal{F}(\lambda_i, u, \vec{v}_i)$, il est clair que $\partial_{\lambda_i}[\mathcal{F}(1, u, \lambda_i v_i)]_{\lambda_i=0} = \nu_i(u)$. On obtient donc finalement que :

$$d_{(u,0)}\phi(\vec{X}, \vec{W}) = \vec{X} + W_2\nu_2(u) + \dots + W_n\nu_n(u) \quad (9.2.3.24)$$

pour tout $u \in B(u_0, r)$.

À présent, considérons $\gamma : I \mapsto B(u_0, r)$ la courbe intégrale maximale passant par le point $u_0$ à l'instant $t = 0$ le long du champ $\nu$, avec $I = ]a, b[$ tel que $a < 0 < b$. Alors, on définit la fonction lisse $f : I \times B(R) \mapsto \mathcal{W}$ telle que $f(t, \vec{v}) = \phi(\gamma(t), \vec{v})$. Ainsi, pour tout instant $t \in I$ et couple $(T, \vec{W}) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n-1}$, alors, par (9.2.3.24), on a que :

$$d_{(t,0)}f(\vec{T}, \vec{W}) = T\nu \circ \gamma(t) + W_2\nu_2 \circ \gamma(t) + \dots + W_n\nu_n \circ \gamma(t)$$

En particulier, par le théorème d'inversion local, on sait que pour tout $t \in I$, il existe deux ouverts $\mathcal{V}_t \subset I \times B(R)$ et $\mathcal{W}_t \subset B(u_0, r)$ respectivement centrés en $(t, 0)$ et $\gamma(t)$ tels que la restriction $f : \mathcal{V}_t \mapsto \mathcal{W}_t$ est un difféomorphisme. Ensuite, en notant $L_s = k^{-1}(\{s\})$, pour tout $s \in \text{Im}(k)$, il nous faut remarquer que pour tout $u \in B(u_0, r)$ et $\vec{v} \in B(R)$, on a toujours :

$$\phi(u, \vec{v}) \in L_{k(u)} \quad (9.2.3.25)$$

En effet, pour tout $u \in B(u_0, r)$ et $\vec{v} \in B(R)$, considérons $\Gamma : J \mapsto \mathcal{W}$ la courbe intégrale maximale passant par le point $u$ à l'instant $t = 0$ le long du champ de vecteur $\chi_{\vec{v}}$ ainsi que l'application lisse $\tilde{k} = k \circ \Gamma : J \mapsto \mathbb{R}$. Alors, on a que, pour tout $t \in J$ :

$$\partial_t \tilde{k}(t) = \langle \vec{\nabla} k \circ \Gamma(t) | \partial_t \Gamma(t) \rangle = R \circ \Gamma(t) \langle \nu \circ \Gamma(t) | \chi_{\vec{v}} \circ \Gamma(t) \rangle = 0$$

et donc la fonction $\tilde{k}$ est constante.

À présent, considérons la fonction lisse $\tilde{k} := k \circ \gamma : I \mapsto \mathbb{R}$ et remarquons que pour tout instant $t \in I$, sa dérivée vérifie que :

$$\partial_t \tilde{k}(t) = \langle \vec{\nabla} k \circ \gamma(t) | \partial_t \gamma(t) \rangle = R \circ \gamma(t), \quad (9.2.3.26)$$
on sait donc que la fonction $\tilde{k}$ est croissante. En particulier, si pour $t_0 > 0$ on a que $\gamma(t_0) \in \Omega \setminus K$ alors par (9.2.3.26) la fonction $\tilde{k}$ est strictement croissante sur l'intervalle $[t_0, b[$ et donc, $\gamma([t_0, b]) \subset \Omega \setminus K$. Aussi, si, pour $t_0 < 0$, $\gamma(t_0) \in \Omega \setminus K$ alors la fonction $\tilde{k}$ étant strictement croissante sur l'intervalle $]a, t_0[$ on a forcément que $\tilde{k}(t) < 0$ pour tout $t \le t_0$, ce qui n'est pas possible<fnref n="13" />. Par conséquent, la partie $I_K = \tilde{k}^{-1}(K)$ est donc de la forme $I_K = ]a, c]$ avec $c \ge 0$. Supposons donc que $c > 0$, alors en choisissant l'ouvert $\mathcal{V}_0$ suffisamment petit, on peut supposer que $\mathcal{V}_0 = ]\alpha, \beta[ \times B(s)$, avec $\alpha < 0 < \beta$ et $s \le R$, tel que $]\alpha, \beta[ \subset ]a, c]$. Mais alors, par (9.2.3.25), on sait que :

$$u_0 \in \mathcal{W}_0 = f(\mathcal{V}_0) \subset K$$

ce qui contredit les hypothèses de départ. Ainsi, on sait que $I_K = ]a, 0]$. Ensuite, en appliquant la même méthode, on obtient que pour tout $t \in ]a, 0[$, on peut choisir $\mathcal{V}_t$ suffisamment petit pour que $\gamma(t) \in \mathcal{W}_t = f(\mathcal{V}_t) \subset K$ et ainsi on a que $\gamma(t) \in \text{Int}(K)$. De cette manière, on sait que la partie $K$ est un corps d'intérieur non vide. Pour finir, considérons l'hypersurface $H = \{0\} \times \mathbb{R}^{n-1}$, alors par ce qui précède, on a que $\mathcal{W}_0 \cap \partial K = f(\mathcal{V}_0 \cap H)$. Ainsi, on a bien que le bord $\partial K$ est une hypersurface. De plus, on a que :

$$T_{u_0} \partial K = d_{(0,u_0)} f(H) = \langle \nu(u_0) \rangle^{\perp}$$

et par conséquent, le bord $\partial K$ du corps $K$ est une hypersurface orientée dont la restriction du champ $\nu$ correspond au champ orthonormal sortant. $\square$

**Définition 9.2.5.** Considérons $e \in \mathbb{S}^n$ un point de référence ainsi que $\mathcal{H} \subset \mathbb{S}^n$ un pseudo-hérisson centré en $e$ passant par son équateur. Alors on définit la partie $K$ sur $\mathbb{S}_e^{n-1}$ qui correspond aux points d'intersection avec l'équateur, telle que :

$$K = x^{-1}(\mathcal{H} \cap \mathcal{C}_e) \qquad (9.2.3.27)$$

où $x$ est le paramétrage du pseudo-hérisson $\mathcal{H}$.

**Remarque 9.2.3.** Par la relation (9.2.1.6), nous savons que le paramétrage d'un pseudo-hérisson est de la forme $a(u)\vec{G}(u) + b(u)x_0(u)$. Comme sur la partie $K$, il est clair que $x_0(u) = u$, alors on a :

$$\vec{G}(u) \in T_u \mathcal{C}_e \text{ et } x(u) \in \mathcal{C}_e \qquad (9.2.3.28)$$

pour tout $u \in K$.

**Lemme 9.2.1.** Soit $\mathcal{H} \subset \mathbb{S}^n$ un pseudo-hérisson centré en $e$ passant par son équateur ainsi que $K$ la partie définie via la relation (9.2.3.27) ci-dessus. Alors, pour tout vecteur $u_0 \in \partial K$, il existe un voisinage $\Omega \subset \mathbb{S}_e^{n-1}$ de $u_0$ tel que :

1. La restriction du paramétrage du pseudo-hérisson sur le voisinage $\Omega$ est de la forme (9.2.1.6), et le champ de vecteur $\vec{G}: \Omega \to x_0^*TS^n$ n'est jamais nul et vérifie, sur le bord $\Omega \cap \partial K$, l'expression suivante :

$$\vec{G}(u) = \frac{\pi}{2} \nu(u) \qquad (9.2.3.29)$$

où $\nu: \Omega \to STS^n$ est le champ de vecteur tel que $\vec{G}(u) = G(u)\nu(u)$, avec $G(u)$ étant une fonction lisse strictement positive.

<footnote n="13">13. Cela provient du fait que la fonction $k$ est, par définition, positive ou nulle.</footnote>
2. Si $\gamma \subset S_e^{n-1}$ est une courbe régulière<fnref n="14" /> passant par $u_0$ non orthogonalement<fnref n="15" /> à $\vec{G}(u_0)$, alors $u_0$ est un point d'accumulation<fnref n="16" /> de $K \cap \gamma$.

3. Si $h: \Omega \subset S_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ est une fonction de support défini sur $\Omega$, alors le gradient $\nabla h$ est nul sur la partie $\Omega \cap K$. De plus, en considérant $\Omega$ suffisamment petit, nous avons que le gradient $\vec{\nabla} h$ est non nul sur $\Omega \setminus K$.

4. Si le bord $\partial K$ est une hypersurface dans le voisinage $\Omega$, alors $\Omega \cap K$ est un corps d'intérieur non vide dans $\Omega$, dont le bord $\partial K \cap \Omega$ est une hypersurface orientable sur laquelle la restriction du champ $\nu$ correspond au champ orthonormal sortant<fnref n="17" />.

**Démonstration.** Soient $\mathcal{H}$ un pseudo-hérisson centré en $e$ correspondant à l'enveloppe paramétrée d'une famille de g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in S_e^{n-1}}$ co-orientés en $e$, ainsi que $u_0 \in \partial K$, un vecteur sur le bord. Alors, on considère, sur un voisinage $\Omega \subset S_e^{n-1}$ du vecteur $u_0$, une fonction de support $h$ ainsi que les fonctions $x_0$, $N$ et $\vec{G}$, qui sont respectivement définies via les expressions (9.2.1.5) et (9.2.1.6). Par le lemme 4.4.1 page 96, on sait qu'il existe deux fonctions lisses $a: \Omega \to \mathbb{R}$ et $b: \Omega \to \mathbb{R}$ vérifiant, sur $\Omega \setminus G^{-1}(\{0\})$, les expressions suivantes :

$$a(u) = \frac{\mathrm{Sin} G(u)}{G(u)} \quad \text{et} \quad b(u) = \mathrm{Cos} G(u) \qquad (9.2.3.30)$$

et ainsi, on obtient forcément que la restriction sur $\Omega$ du paramétrage $x$ du pseudo-hérisson $\mathcal{H}$ vérifie l'expression suivante :

$$x(u) = a(u)\vec{G}(u) + b(u)x_0(u) \qquad (9.2.3.31)$$

Ensuite, comme il est clair que le produit $\langle x(u) | N(u) \rangle$ est toujours nul, il est immédiat que la condition de contact (9.2.1.7) équivaut à ce que le paramétrage vérifie la condition $\langle x(u) | d_u N \cdot \vec{v} \rangle = 0$, pour tout vecteur $u \in \Omega$ et $\vec{v} \in T_u S_e^{n-1}$. Aussi, comme on a que :

$$d_u N \cdot \vec{v} = - \langle \vec{\nabla} h(u) | \vec{v} \rangle x_0(u) + \mathrm{Cos} h(u) \vec{v}, \qquad (9.2.3.32)$$

alors on obtient que :

$$b(u)\vec{\nabla}h(u) = \mathrm{Cos}(h(u))a(u)\vec{G}(u) \qquad (9.2.3.33)$$

et en particulier,

$$b(u)^2 \|\vec{\nabla} h(u)\|^2 = (1 - b(u)^2) (\mathrm{Cos} h(u))^2 \qquad (9.2.3.34)$$

Ainsi, par la relation (9.2.3.34), il est immédiat que $\mathrm{Cos} h(u) = 0$ lorsque $b(u) = 0$. En particulier, on sait donc que si $\mathrm{Cos} h(u) \neq 0$, alors on obtient que :

$$b(u) = \mathrm{Cos} G(u) \neq 0 \qquad (9.2.3.35)$$

Via la relation (9.2.3.33) et en reprenant les mêmes arguments que nous avons considérés pour vérifier le théorème 4.4.1 page 97, on obtient que :

<footnote n="14">14. Une courbe $\gamma: I \to \Omega$ est dite régulière lorsque c'est une immersion.</footnote>

<footnote n="15">15. C'est-à-dire que $\langle \partial_t \gamma(t_0) | \vec{G}(u_0) \rangle \neq 0$ avec $\gamma(t_0) = u_0$.</footnote>

<footnote n="16">16. Un point $x$ est un point d'accumulation de $X$ si c'est un point d'adhérence de $X \setminus \{x\}$.</footnote>

<footnote n="17">17. Il nous faut préciser que le champ $\nu$ est toujours sortant, comme c'est également le cas pour le champ $\vec{G}$. Cela provient du fait qu'il ne correspond pas directement au gradient de la fonction de support $h$, mais correspond au champ vecteur $\vec{V}$ que nous définissons via l'expression (9.2.3.37) ci-dessous.</footnote>
$$ (\mathrm{Cos} G(u))^2 \|\vec{\nabla} h(u)\|^2 = (\mathrm{Cos} h(u))^2 (\mathrm{Sin} G(u))^2 \quad (9.2.3.36) $$

et ainsi, sur $\Omega \setminus K$, on a que :

$$ \vec{G}(u) = \begin{cases} \mathrm{ArcTan}(V(u))\nu(u) = \frac{\mathrm{ArcTan} V(u)}{V(u)} \vec{V}(u) \quad \text{si } \vec{V}(u) \neq 0 \\ 0 \quad \text{sinon} \end{cases} \quad (9.2.3.37) $$

avec $\vec{V}(u) = \frac{1}{\mathrm{Cos} h(u)} \vec{\nabla} h(u)$.

En particulier, par le lemme 4.4.1 page 96, il est clair que le champ de vecteur $\vec{G}$, dont l'expression sur $\Omega \setminus K$ est définie via (9.2.3.37), est bien de classe $C^\infty$. Pour la suite, nous supposerons, sans perte de généralité, que $h(u_0) = \frac{\pi}{2}$. Ainsi, en considérant la fonction $k : \Omega \mapsto \mathbb{R}$ telle que $h(u) = \frac{\pi}{2} + k(u)$, on obtient que pour tout $u \in \Omega \setminus K$ suffisamment proche de $u_0$, le champ de vecteur $\vec{V}$ vérifie la relation suivante :

$$ \vec{V}(u) \sim -\vec{\nabla} \ln|k(u)| \quad (9.2.3.38) $$

Par conséquent, via la relation (9.2.3.38) ci-dessus, il existe $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$, une suite de vecteurs définie sur $\Omega \setminus K$ qui converge vers $u_0$ et telle que $V(u_n) \sim \|\vec{\nabla} \ln|k(u_n)|\| \xrightarrow{+\infty} 0$. Comme le champ de vecteur $\vec{G}$ est, par définition, de classe $C^\infty$ sur $\Omega$, alors on a que $\vec{G}(u_0) = \frac{\pi}{2}\nu(u_0)$, avec $\nu(u_0) \in ST_{u_0}\mathbb{S}^n$. Par conséquent, on sait que sur $\Omega \cap \partial K$, le champ $\vec{G}$ est de la forme :

$$ \vec{G}(u) = \frac{\pi}{2}\nu(u) \quad (9.2.3.39) $$

et plus généralement, en considérant $\Omega$ suffisamment petit, nous pouvons supposer que sur le voisinage $\Omega$, le champ de vecteur $\vec{G}$ est non nul et vérifie ainsi l'expression :

$$ \vec{G}(u) = G(u)\nu(u) \quad (9.2.3.40) $$

où $\nu : \Omega \mapsto ST\mathbb{S}^n$ est un champ de vecteurs normé et $G : \Omega \mapsto \mathbb{R}$ est une fonction lisse strictement positive telle que $G(u) = \mathrm{ArcTan}(V(u))$ sur $\Omega \setminus K$ et $G(u) = \frac{\pi}{2}$ sur $\Omega \cap \partial K$.

Supposons donc qu'il existe $\gamma : I \mapsto \Omega$, une courbe régulière passant par $u_0$ à l'instant $t = 0$ et vérifiant les deux conditions suivantes :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \gamma(t) \in \Omega \setminus K, \text{ lorsque } t \neq 0 \\ \langle \vec{G}(u_0) | \partial\gamma(0) \rangle \neq 0 \end{array} \right. \quad (9.2.3.41) $$

À présent, considérons la fonction lisse $g : I \mapsto \mathbb{R}$ telle que $g(t) = \langle \vec{G} \circ \gamma(t) | \partial_t \gamma(t) \rangle$. Ainsi, en remarquant que sur $I \setminus \{0\}$, la fonction $\tilde{V}(t) = \langle \vec{V} \circ \gamma(t) | \partial_t \gamma(t) \rangle$ vérifie la relation suivante :

$$ \begin{align*} \tilde{V}(t) &= \langle \vec{V} \circ \gamma(t) | \partial_t \gamma(t) \rangle = \frac{1}{\mathrm{Cos}(h \circ \gamma(t))} \langle \vec{\nabla} h \circ \gamma(t) | \partial_t \gamma(t) \rangle \\ &= \frac{\partial_t \tilde{h}(t)}{\mathrm{Cos} \tilde{h}(t)} \text{ avec } \tilde{h}(t) = h \circ \gamma(t) \end{align*} $$
alors on obtient que :

$$g(t) = \operatorname{ArcTan}(V \circ \gamma(t)) \frac{\tilde{V}(t)}{V \circ \gamma(t)} \qquad (9.2.3.42)$$

Ensuite, par la propriété 9.2.2 que nous avons vue précédemment et en supposant que $h(u_0) = \frac{\pi}{2}$, nous savons qu'il existe deux suites $(t_n^-)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(t_n^+)_{n \in \mathbb{N}}$ définies respectivement sur $]-\infty, 0[ \cap I$ et $]0, +\infty[ \cap I$, convergeant toutes les deux vers $t = 0$ et vérifiant :

$$\tilde{V}(t_n^-) \longrightarrow +\infty \text{ et } \tilde{V}(t_n^+) \longrightarrow -\infty$$

Ainsi, en remarquant que les suites $V \circ \gamma(t_n^-)$ et $V \circ \gamma(t_n^+)$ convergent vers $+\infty$, il est clair que les valeurs d'adhérence (si elles existent) des rapports $\frac{\tilde{V}(t_n^-)}{V \circ \gamma(t_n^-)}$ et $\frac{\tilde{V}(t_n^+)}{V \circ \gamma(t_n^+)}$ sont respectivement dans $[0, +\infty]$ et $[-\infty, 0]$. Ensuite, comme les suites $\operatorname{ArcTan}(V \circ \gamma(t_n^-))$ et $\operatorname{ArcTan}(V \circ \gamma(t_n^+))$ convergent vers $\frac{\pi}{2}$ et que, par construction, $g(0) \neq 0$, alors la fonction $g$ ne peut être continue en $t = 0$, ce qui est contradictoire.

<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>FIGURE 9.3 – Représentation du champ de vecteurs $\vec{G}$ sur le bord $\partial K$.</figcaption></figure>

Ensuite, supposons que le gradient $\vec{\nabla}h(u_0)$ est non nul. Alors, en considérant $\Omega$ suffisamment petit, on a que $\Omega \cap K$ est une hypersurface. Il existe donc forcément $\gamma: I \mapsto \Omega$, une courbe régulière passant par le point $u_0$ non orthogonalement au vecteur $\nu(u_0)$ telle que $\gamma \cap K = \{u_0\}$, ce qui n'est pas possible. Par conséquent, on a que $\vec{\nabla}h(u_0) = 0$ et, en particulier, le gradient $\vec{\nabla}h$ est nul sur l'intersection $\Omega \cap K$.

Supposons enfin que l'intersection du bord $\Omega \cap \partial K$ est une hypersurface. Si, pour $u \in \Omega \cap \partial K$, il existe $W \subset \Omega$ un ouvert centré en $u$ tel que $W \cap \operatorname{Int}(K) = \emptyset$, alors en appliquant le même raisonnement que précédemment, on aboutit forcément à une contradiction. Par conséquent, on a bien que $\Omega \cap K$ est un corps d'intérieur non vide dans $\Omega$. En particulier, en considérant l'ouvert $\Omega$ suffisamment petit, on peut supposer que $h = \frac{\pi}{2} + k$, avec $k: \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$ une fonction partout positive ou nulle (resp. partout négative ou nulle). Et, par la propriété 9.2.3 que nous avons vue précédemment, on obtient le résultat recherché. $\square$

**Remarque 9.2.4.** En considérant la figure 9.3 ci-dessus, il est intéressant de constater que, pour la figure de gauche, il est possible de prolonger le champ de vecteurs $\vec{G}$ sur $\operatorname{Int}(K)$ qui est non vide. C'est précisément par ce biais que nous obtenons une méthode permettant de définir les deux pseudo-hérissons qui passent par leur équateur, considérés dans les sections 9.2.2.1 et 9.2.2.2. En particulier, notons que si l'intérieur de la partie K est non vide, alors il existe
plusieurs manières de prolonger le champ $\vec{G}$. Pour la figure de droite, nous avons un cas où la partie K correspond à un singleton<fnref n="18" />, et il est alors évident que le champ de vecteurs $\vec{G}$ ne peut pas être continu.

**Remarque 9.2.5.** Il faut noter que, via la relation (9.2.3.35) que nous avons considérée ci-dessus, si $Cos(h) > 0$, alors l'intersection $C_e \cap H$ est forcément vide.

À présent, nous pouvons constater que, de ce qui précède, il est clair que la partie K, définie via la relation (9.2.3.27), correspond à un corps, à condition de vérifier que toute courbe régulière $\gamma: I \mapsto \mathbb{S}_e^{n-1}$, passant par un vecteur $u_0$, sur le bord $\partial K$, non orthogonalement au champ $\nu$, intersecte la partie K sur une union disjointe d'intervalle fermé. Par conséquent, il nous est nécessaire de faire le point sur les ensembles parfaits et totalement discontinus ainsi que sur l'ensemble de Cantor et le théorème de Brouwer. Pour en savoir plus, il est possible de se reporter aux sections 3.5, 4.2 et 4.5 de l'ouvrage [45], dans lequel on trouve un exposé plus que suffisant pour les besoins de nos développements. Considérons donc les quatre définitions ci-dessous :

1. Un point $x \in X$ sera dit **isolé** lorsque le point $x$ n'est pas dans la fermeture $Ad(X \setminus \{x\})$.

2. Une partie $A \subset X$ sera dite **isolée** lorsque l'intersection $A \cap Ad(X \setminus A)$ est vide.

3. Un espace topologique $X$ sera dit **totalement discontinu** si la composante connexe de chaque point $x \in X$ correspond au singleton $\{x\}$.

4. Une partie $A \subset X$ sera dite **parfaite** si elle est fermée et ne contient aucun point isolé.

**Remarque 9.2.6.** Par le lemme 9.2.1, il est clair que la partie K, définie via la relation (9.2.3.27), est parfaite sur l'hypersphère $\mathbb{S}^n$.

On appelle **espace de Cantor** l'ensemble $C = \{0, 1\}^{\mathbb{N}^*}$ que l'on munit de la topologie induite par la topologie métrique de l'espace produit $[0, 1]^{\mathbb{N}^*}$. Ainsi, on peut vérifier (voir propriété 4.5.1 page 184 de l'ouvrage [45]) que l'espace de Cantor $C$ est compact, métrisable, infini, non dénombrable, sans points isolés et totalement discontinu. De plus, par le théorème de Brouwer (voir le chapitre 17 de l'ouvrage [17] pour en savoir plus), on sait que tout compact métrisable non vide, totalement discontinu et parfait est homéomorphe à l'espace de Cantor. Pour finir, il nous faut introduire le modèle de **l'ensemble triadique de Cantor**. Pour cela, on considère l'opérateur $T: \mathcal{P}_a(\mathbb{R}) \mapsto \mathcal{P}_a(\mathbb{R})$ qui à toute partie disjointe $A \subset \mathbb{R}$ et $B \subset \mathbb{R}$ donne $T(A \cup B) = T(A) \cup T(B)$ et, pour tout intervalle fermé $I = [a; b]$, donne :

$$T([a; b]) = [a; a + \frac{b-a}{3}] \cup [b - \frac{b-a}{3}; b]$$

Alors, on considère la suite des parties fermées $(L_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dont le premier terme est $L_0 = [a; b]$ et est défini via la relation de récurrence ci-dessous :

$$L_{n+1} = T(L_n)$$

pour tout $n \in \mathbb{N}$.

<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>FIGURE 9.4 – Construction de l'ensemble triadique de Cantor</figcaption></figure>

<footnote n="18">18. Ou, plus généralement, le vecteur $u_0$ est un point isolé sur une courbe régulière.</footnote>
Ainsi, on définit l'ensemble triadique de Cantor comme étant la limite supérieure de la suite qui est formée par les parties fermées $L_n$, en prenant l'intervalle $[0; 1]$ pour intervalle de base. Par conséquent, on considère la partie suivante :

$$L = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} L_n \subset [0; 1] \qquad (9.2.3.43)$$

que l'on munit de la topologie induite. Il est alors clair que la partie $L$ ainsi définie vérifie les conditions du théorème de Brouwer et est donc homéomorphe à l'espace de Cantor.

**Remarque 9.2.7.** Par construction de l'ensemble triadique de Cantor, il est clair que, d'après le théorème de Brouwer, pour tout $t \in L$ et $\varepsilon > 0$, il existe un intervalle $[a, b] \subset ]t - \varepsilon, t + \varepsilon] \cap [0, 1]$, avec $t$ dans l'ouverture $]a, b[$, et tel que les parties $L_1 = [a, b] \cap L$ et $L_2 = L \setminus L_1$ soient homéomorphes à l'espace de Cantor et soient isolées dans $L$.

**Propriété 9.2.4.** Pour tout point $t \in L$, il existe $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'intervalle fermés vérifiant les deux caractéristiques suivantes :

1. Les intersections $I_n \cap L$ sont isolées dans $L$ et sont homéomorphes à l'espace de Cantor.

2. La suite des $I_n$ est décroissante et admet $\{t\}$ pour limite supérieure.

*Démonstration.* À partir de la remarque 9.2.7 ci-dessus et en considérant la construction de l'ensemble triadique de Cantor, la propriété recherchée est immédiate. $\square$

La suite de cette section est consacrée à vérifier que la partie $K$, définie via l'expression (9.2.3.27), ne peut pas être totalement discontinue. Pour cela, il nous faut compléter la propriété 9.2.2 ainsi que le lemme 9.2.1 au regard de la notion des ensembles parfaits et totalement discontinus.

**Propriété 9.2.5.** Considérons $f : I \to \mathbb{R}$ une fonction lisse définie sur un intervalle ouvert, telle que la partie $K = \text{Cos}(f)^{-1}(0)$ soit totalement discontinue et parfaite. Si $V : I \setminus K \to \mathbb{R}$ est la fonction lisse définie via l'expression suivante :

$$V(t) = \frac{\partial_t f(t)}{\text{Cos} f(t)} \qquad (9.2.3.44)$$

alors, il existe $t \in K$, un instant sur la frontière de la partie $K$, ainsi que $(t_n^+)$$_{n \in \mathbb{N}}$ et $(t_n^-)$$_{n \in \mathbb{N}}$, deux suites qui sont respectivement définies sur $I \setminus K$ à droite et à gauche de $t$ et convergent vers $t$, telles que :

$$V(t_n^+) \xrightarrow{---} -\infty \text{ et } V(t_n^-) \xrightarrow{---} +\infty \qquad (9.2.3.45)$$

ou inversement respectif<fnref n="19" />.

*Démonstration.* La partie $K$ étant totalement discontinue et parfaite sur l'intervalle ouvert $I$ et pour la topologie métrique induite par $\mathbb{R}$, il est clair que son compactifié d'Alexandrov²⁰, $\bar{K} = K \cup \{w\}$, est homéomorphe à l'espace de Cantor. Il est alors immédiat, par construction de l'ensemble triadique de Cantor, qu'il existe deux parties fermées $K_1$ et $K_2$ partitionnant l'ensemble $\bar{K}$ et qui sont respectivement homéomorphes à l'ensemble de Cantor. En supposant,

<footnote n="19">19. En effet, comme pour la propriété 9.2.2, cela dépend du fait que l'image $f(t)$ est égale à $\frac{\pi}{2}$ ou $-\frac{\pi}{2}$ modulo $2\pi$.</footnote>
de plus, que le point à l'infini soit dans $K_2$, alors on a que $K_1$ est une partie fermée nécessairement contenue dans l'intervalle $I$ et est homéomorphe à l'ensemble de Cantor, tel que :

$$K_1 \cap \mathrm{Ad}(K \setminus K_1) = \emptyset$$

Sans perte de généralité, nous supposerons donc que $K$ est homéomorphe à l'ensemble de Cantor. Par conséquent, la partie $K$ étant compacte, considérons $t \in K$, sa borne supérieure. Aussi, en considérant $\phi: K \to L$ un homéomorphisme, avec $L$ étant l'ensemble triadique de Cantor, alors par la propriété 9.2.4, on sait qu'il existe $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite d'intervallefs fermés décroissants sur $L$, dont la limite supérieure est $\{\phi(t)\}$ et telle que les intersections $I_n \cap L$ soient isolées dans $L$. Mais alors, par bicontinuité de l'application $\phi$, il est clair que :

$$\phi^{-1}(I_n \cap L) \cap \mathrm{Ad}(K \setminus \phi^{-1}(I_n \cap L)) = \emptyset \qquad (9.2.3.46)$$

et de plus, les parties $\phi^{-1}(I_n \cap L)$ forment une suite décroissante qui admet $\{t\}$ pour limite supérieure. Considérons donc, pour chaque $n \in \mathbb{N}$, l'instant $\tilde{t}_n$ comme étant la borne inférieure de la partie compacte $\phi^{-1}(I_n \cap L)$, qui est donc, par définition, nécessairement distincte de l'instant $t$. Alors, par la relation (9.2.3.46), il existe $\alpha_n < \tilde{t}_n$ tel que :

$$[\alpha_n; \tilde{t}_n[ \cap K = \emptyset$$

Par construction, la suite $(\tilde{t}_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge à gauche vers l'instant $t$. Nous considérerons donc, sans perte de généralité, que l'image de $t$ est $f(t) = \frac{\pi}{2}$. Supposons, à présent, que pour tout $N \in \mathbb{N}$, il existe $n > N$ tel que $f(\tilde{t}_n) = \frac{\pi}{2} + k_n\pi$, avec $k_n \in \mathbb{Z}^*$. Mais alors, par accroissement fini, il existerait une suite $(\tau_n)_{n \in \mathbb{N}}$ qui converge à gauche vers $t$ telle que :

<figure><img src="image_87.png" /></figure>

$$|\partial_t f(\tau_n)| \longrightarrow +\infty,$$

ce qui n'est pas possible car, par hypothèse de départ, la fonction $f$ est lisse.

Par conséquent, nous savons qu'il existe un entier $N$ tel que pour tout $n > N$, nous ayons $f(\tilde{t}_n) = \frac{\pi}{2}$. En particulier, nous supposerons que c'est le cas pour tout $n \in \mathbb{N}$. Ainsi, pour un $n \in \mathbb{N}$ fixé, comme $[\alpha_n; \tilde{t}_n[ \cap K = \emptyset$, et en reprenant les mêmes arguments que ceux considérés au cours de la preuve de la propriété 9.2.2, il existe $(\eta_k^n)_{k \in \mathbb{N}}$ une suite définie sur $[\alpha_n; \tilde{t}_n[$ qui converge vers $\tilde{t}_n$ telle que :

$$V(\eta_k^n) \underset{k \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$$

Ainsi, nous pouvons définir la suite $(t_n^-)_{n \in \mathbb{N}}$, convergent à gauche vers $t$, telle que $t_n^- = \eta_k^n$, avec $k > n$, et $V(t_{n+1}^-) > V(t_n^-)$, et qui, par construction, vérifie les propriétés recherchées. Ensuite, en considérant l'intervalle $]t, \beta] \subset I$ tel que $K \cap ]t, \beta] = \emptyset$, on construit la suite $(t_n^+)_{n \in \mathbb{N}}$ sur l'intervalle $]t, \beta]$, en adoptant la même méthode que celle utilisée pour vérifier la propriété 9.2.2. $\square$

<footnote n="20">20. Se reporter à la section 3.5, page 137 de [45], pour en savoir plus sur le compactifié d'Alexandrov.</footnote>
Les deux propriétés suivantes correspondent à des éléments techniques qui seront nécessaires pour vérifier le lemme 9.2.2. Pour cela, on appelle **cône plein** (resp. **demi-cône fini**) sur $\mathbb{R}^{n+1}$ toute partie de la forme $\mathcal{C} = \{tu \mid t \in \mathbb{R} \text{ et } u \in \mathcal{D}\}$ (resp. $\mathcal{C} = \{tu \mid t \in [0; R] \text{ et } u \in \mathcal{D}\}$) où $\mathcal{D} \subset \mathbb{S}^n$ est une partie fermée d'intérieur non vide. Pour $\varepsilon > 0$ et $v \in \mathbb{S}^n$, remarquons que la boule ouverte sur $\mathbb{S}^n$, centrée en $v$ et de rayon $\text{ArcCos}(\varepsilon)$, pour la métrique usuelle, est définie par l'expression ci-dessous :

$$ \Omega_{\varepsilon}(v) = \{u \in \mathbb{S}^n \text{ tel que } \langle u|v \rangle > \varepsilon\} \qquad (9.2.3.47) $$

Aussi, nous noterons par $\overline{\Omega}_{\varepsilon}(v)$ la boule fermée correspondant à l'adhérence de $\Omega_{\varepsilon}(v)$. On définit alors $\mathcal{D}_{\varepsilon}(v)$ la partie qui correspond au cône plein défini par la boule fermée $\overline{\Omega}_{\varepsilon}(v)$.

**Propriété 9.2.6.** Considérons, pour $\varepsilon > 0$ et $v \in \mathbb{S}^n$, une partie compacte $K$ sur le cône plein $\mathcal{D}_{\varepsilon}(v)$ telle que pour toute droite $\delta \subset \mathcal{D}_{\varepsilon}(v)$, l'intersection $K \cap \delta$ soit non vide et contienne un segment fermé $I$ comprenant le point $x = 0$ qui, de plus, est isolé dans $K \cap \delta$. Alors il existe une partie $K_0$ dans $K$ correspondant à un demi-cône plein fini sur $\mathbb{R}^{n+1}$.

<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>FIGURE 9.5 – Structure compacte contenant des cônes pleins centrés en zéro</figcaption></figure>

*Démonstration.* Pour chaque $u \in \overline{\Omega}_{\varepsilon}(v)$, on considère la droite $\gamma(t) = tu$ ainsi que $[a_u; b_u] \subset \gamma^{-1}(K)$ l'intervalle fermé borné maximal contenant l'instant $t = 0$. Ainsi, pour chaque $u \in \overline{\Omega}_{\varepsilon}(v)$, on note :

$$ l_u = b_u - a_u $$

Nous allons commencer par montrer que l'application $l: \overline{\Omega}_{\varepsilon}(v) \mapsto \mathbb{R}^{+}$, ainsi définie, est semi-continue supérieure$^{21}$. Pour vérifier cela, considérons un vecteur $u_0$ et un instant $t > b_{u_0}$. Deux cas de figure sont alors à considérer :

1. Si $tu_0 \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus K$, la partie $\mathbb{R}^{n+1} \setminus K$ étant ouverte dans $\mathbb{R}^{n+1}$, considérons $W \subset \mathbb{R}^{n+1} \setminus K$ une boule ouverte centrée en $tu_0$. En choisissant $W$ suffisamment petite, il est clair que $V = \{u \in \overline{\Omega}_{\varepsilon}(v) \mid tu \in W \text{ pour } t \in \mathbb{R}^{+}\}$ est aussi une boule ouverte centrée en $u_0$ dans $\overline{\Omega}_{\varepsilon}(v)$. En particulier, on a $b_u < t$ pour tout $u \in V$.

2. Si $tu_0 \in K$, comme l'intervalle $[a_{u_0}; b_{u_0}]$ est isolé dans $\gamma^{-1}(K)$, il existe nécessairement un instant $t_0$, tel que $b_{u_0} < t_0 < t$ et $t_0u_0 \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus K$. Nous pouvons alors considérer $W \subset \mathbb{R}^{n+1} \setminus K$ une boule ouverte centrée en $t_0u_0$, ainsi que l'ouvert $V \subset \overline{\Omega}_{\varepsilon}(v)$ défini comme précédemment.

<footnote n="21">21. Une application $f: X \to \mathbb{R}$, définie sur un espace topologique, est dite semi-continue supérieure en $x_0 \in X$ si et seulement si, pour tout $t > f(x_0)$, la partie $f^{-1}(|-\infty; t|)$ est un voisinage de $x_0$ dans $X$.</footnote>
<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>FIGURE 9.6 – Semi-continuité supérieure de l’application $l$.</figcaption></figure>

Par conséquent, on a donc bien que pour tout $t > 0$, la partie $b^{-1}([)-\infty;t[)$ est ouverte dans $\bar{\Omega}_{\varepsilon}(v)$. En effet, si $u_0 \in b^{-1}([)-\infty;t[)$, alors $b_{u_0} < t$ et, d’après ce qui précède, il existe forcément $V \subset \bar{\Omega}_{\varepsilon}(v)$ un ouvert centré en $u_0$ tel que :

$$ \forall u \in V, b_u < t $$

En particulier, il est clair que la fonction $b$ est semi-continue supérieure. Aussi, en appliquant la même méthode, on montre que la fonction $a$ est semi-continue inférieure et étant négative, alors on a bien que la fonction $l = b - a$ est semi-continue supérieure.

Pour la suite, supposons que pour tout instant $t > 0$ et ouvert $V \subset \bar{\Omega}_{\varepsilon}(v)$, il existe $u \in V$ et $u' \in V$ tels que :

$$ -t < a_{u'} \text{ et } b_u < t $$

Alors, on définit, pour tout $t > 0$, l’ouvert $\Gamma_t = l^{-1}([)-\infty,t[)$. Il nous faut vérifier que, dans le cadre de notre hypothèse, chaque ouvert $\Gamma_t$ est dense dans $\bar{\Omega}_{\varepsilon}(v)$. Considérons donc un instant $t > 0$ ainsi que l’ouvert $\Gamma_t$. Si $V \subset \bar{\Omega}_{\varepsilon}(v)$ est un ouvert, alors on sait qu’il existe $u \in V$ tel que $b_u < \frac{t}{2}$. Il est donc immédiat, par ce qui précède, que l’intersection $V \cap b^{-1}([)-\infty, \frac{t}{2}[)$ est un ouvert non vide centré en $u$. Ainsi, en considérant $u' \in V \cap b^{-1}([)-\infty, \frac{t}{2}[)$ tel que $-\frac{t}{2} < a_{u'}$, on obtient que :

$$ V \cap a^{-1} \left( \left[ -\frac{t}{2}, +\infty \right] \right) \cap b^{-1} \left( \left[ -\infty, \frac{t}{2} \right] \right) \neq \emptyset $$

et comme $V \cap a^{-1}([)-\frac{t}{2}, +\infty[) \cap b^{-1}([)-\infty, \frac{t}{2}[) \subset V \cap \Gamma_t$, on a bien le résultat recherché. Mais alors, par le théorème de Baire 22, on sait que la partie :

$$ \Gamma = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \Gamma_{\frac{1}{n}} $$

est dense. En particulier, la partie $\Gamma$ est non vide et donc, on aboutit à ce qu’il existe un point $u \in \bar{\Omega}_{\varepsilon}(v)$ tel que $l_u = 0$, ce qui, par construction de l’application $l$, n’est pas possible. Par conséquent, on sait qu’il existe $u_0 \in \bar{\Omega}_{\varepsilon}(v)$ ainsi que $R > 0$ et $\bar{\Omega}_r(u_0) \subset \bar{\Omega}_{\varepsilon}(v)$ une boule fermée centrée en $u_0$ telle que $\forall u \in \bar{\Omega}_r(u_0)$, $b_u \ge R$ (ou respectivement $\forall u \in \bar{\Omega}_r(u_0)$, $a_u \le R$). Il nous suffit donc de considérer la partie $K_0 = \{tu \text{ avec } u \in \bar{\Omega}_r(u_0) \text{ et } t \in [0; R]\}$ qui est bien un demi-cône plein fini. $\square$

<footnote n="22">22. Voir le théorème 3.4.4 page 137 de [45] pour en savoir plus.</footnote>
**Propriété 9.2.7.** Considérons $\vec{G} : \mathcal{V} \subset \mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1}$ un champ de vecteurs ainsi qu'un point $x_0 \in \mathcal{V}$ et un vecteur $u_0 \in \mathbb{S}^n$ tels que $\langle \vec{G}(x_0)|u_0 \rangle \neq 0$. Alors il existe deux scalaires $\varepsilon > 0$, et $T > 0$ tels que :

$$ \langle \vec{G}(x_0 + tu)|u \rangle \neq 0. \qquad (9.2.3.48) $$

pour tout $u \in \bar{\Omega}_{\varepsilon}(u_0)$ et $t \in [-T; T]$.

**Démonstration.** Considérons donc l'ensemble $\Gamma = \{(u,t) \in \mathbb{S}^n \times \mathbb{R} \text{ tel que } x_0 + tu \in \mathcal{V}\}$ ainsi que la fonction lisse $f : \Gamma \to \mathbb{R}$ définie via l'expression suivante :

$$ f(u,t) = \langle \vec{G}(x_0 + tu)|u \rangle $$

Par hypothèse, on sait que $f(u_0, 0) \neq 0$. Ainsi, la partie $f^{-1}(\mathbb{R}^*)$ est un ouvert non vide contenant le point $(u_0, 0)$ et donc, par définition de la topologie produit, il existe deux scalaires $\varepsilon > 0$ et $T > 0$ tels que la partie $\bar{\Omega}_{\varepsilon}(u_0) \times [-T; T]$ est comprise dans l'image réciproque $f^{-1}(\mathbb{R}^*)$. $\square$

**Lemme 9.2.2.** Si $\mathcal{H} \subset \mathbb{S}^n$ est un pseudo-hérisson centré en e qui passe par son équateur, alors la partie $K = x^{-1}(\mathcal{H} \cap \mathcal{C}_e)$ est un corps d'intérieur non vide dont le bord est une hypersurface orientée. De plus, le champ orthonormal sortant correspond, au voisinage de chacun des points sur le bord $\partial K$, à la restriction du champ $\nu : \Omega \mapsto \text{STS}^n$ qui est défini via la relation (9.2.3.29) page 196.

**Démonstration.** Considérons donc un point $u_0 \in \partial K$ ainsi que, au voisinage de $u_0$, le champ $\vec{G} : \Omega \mapsto x_0^*\text{TS}^n$ défini via la relation (9.2.1.6) page 188. Par le lemme 9.2.1, on sait qu'en considérant le voisinage $\Omega$ suffisamment petit, le champ $\vec{G}$ est de la forme $\vec{G}(u) = G(u)\nu(u)$, où $\nu : \Omega \mapsto \text{STS}^{n-1}$ est un champ de vecteurs normés et $G$ est une fonction lisse strictement positive. De plus, le point $u_0$ étant sur le bord $\partial K$, alors on a $\vec{G}(u_0) = \frac{\pi}{2}\nu(u_0)$. Ensuite, en considérant $\gamma : I \mapsto \mathbb{S}^{n-1}$ une courbe régulière, définie sur un intervalle ouvert et passant par le point $u_0$ non orthogonalement au vecteur $\nu(u_0)$, alors on définit la fonction lisse $g_\gamma : I \mapsto \mathbb{R}$ vérifiant l'expression suivante :

$$ g_{\gamma}(t) = \langle \vec{G} \circ \gamma(t) | \partial_{t} \gamma(t) \rangle $$

que l'on supposera non nulle sur $I$. Par le lemme 9.2.1, on sait donc que le point $u_0$ est un point d'accumulation sur l'intersection $K \cap \gamma$ et en particulier il est clair que $\gamma^{-1}(K)$ est un ensemble parfait sur l'intervalle $I$. Supposons donc que la partie $\gamma^{-1}(K)$ soit totalement discontinue. Par conséquent, comme on sait que la fonction $g_\gamma$ vérifie l'expression (9.2.3.42) page 199 sur la partie $I \setminus \gamma^{-1}(K)$, nous pouvons alors vérifier qu'elle est forcément discontinue en un instant $t_0 \in \gamma^{-1}(K)$. En effet, il suffit d'adapter le raisonnement que nous avons considéré pour vérifier le lemme 9.2.1 via la propriété 9.2.5 que nous avons vue précédemment.

En conclusion, on obtient que toute courbe régulière $\gamma : I \mapsto \Omega$, définie sur un intervalle ouvert $I$, passant par le point $u_0$ à l'instant $t_0$ et dont la fonction $g_\gamma$ ne s'annule jamais, vérifie que la composante connexe de $t_0$ sur $\gamma^{-1}(K)$ correspond à un intervalle fermé$^{23}$ dans $I$.

<footnote n="23">23. Il nous faut préciser que par "intervalle fermé dans $I$", nous entendons toute partie connexe, fermée et d'intérieur non vide dans $I$. En particulier, il s'agit de l'intersection d'un intervalle fermé $[a; b]$ avec l'intervalle $I$.</footnote>
Soit $v \in ST_{u_0}\mathbb{S}_e^{n-1}$ un vecteur ainsi que $\gamma_v : \mathbb{R} \to \mathbb{S}_e^{n-1}$ la géodésique de la sphère $\mathbb{S}_e^{n-1}$ qui passe par le point $u_0$ à la vitesse $v$ en l'instant $t=0$. Aussi, considérons la fonction lisse $f : ST_{u_0}\mathbb{S}_e^{n-1} \times J_{u_0} \to \mathbb{R}$ que l'on définit via l'expression ci-dessous :

$$f(v,t) = \langle \partial_t \gamma_v(t) | \vec{G} \circ \gamma_v(t) \rangle$$

où $J_{u_0}$ est un intervalle ouvert centré en $t=0$ tel que pour tout vecteur $v \in ST_{u_0}\mathbb{S}_e^{n-1}$ et instant $t \in J_{u_0}$, le point $\gamma_v(t)$ est dans le voisinage $\Omega$.

On sait alors, via la propriété 9.2.7, qu'il existe $\bar{\Omega}_\varepsilon(\nu(u_0)) \subset ST_{u_0}\mathbb{S}_e^{n-1}$ une boule fermée centrée en $\nu(u_0)$ ainsi que $T > 0$ tel que la restriction de la fonction $f$ sur la partie $\bar{\Omega}_\varepsilon(\nu(u_0)) \times [-T, T]$ est strictement positive. Par conséquence, on définit le cône géodésique fini :

$$\mathcal{D}(u_0) = \{\gamma_v(t) \text{ avec } v \in \bar{\Omega}_\varepsilon(\nu(u_0)) \text{ et } t \in [-T, T]\} \subset \mathbb{S}_e^{n-1}$$

ainsi que la partie $K_0$ telle que :

$$K_0 = K \cap \mathcal{D}(u_0)$$

Il est alors immédiat qu'il existe $I \subset J_{u_0}$ un intervalle ouvert qui contient l'intervalle fermé $[-T, T]$ et pour lequel la fonction $f$ est non nulle sur la partie $\bar{\Omega}_\varepsilon(\nu(u_0)) \times I$. Par conséquent, comme vu précédemment, les intersections $I \cap \gamma_v^{-1}(K)$ vérifient que la composante connexe de l'instant $t=0$ est un intervalle fermé et isolé dans $I$. Il est donc clair qu'au regard de la carte exponentielle centrée en $u_0$, la partie $K_0$ satisfait les conditions de la propriété 9.2.6. Par conséquent, via la propriété 9.2.6, il existe $L \subset K_0 \subset K$ un demi-cône géodésique plein et fini qui est centré en $u_0$ et qui contient donc le point $u_0$ dans la fermeture de son intérieur. En particulier, il est immédiat que la partie $K$ est d'intérieur non vide et vérifie que :

$$u_0 \in Ad(\mathring{L}) \subset Ad(\mathring{K})$$

On a donc bien que la partie $K$ est un corps d'intérieur non vide. Pour finir, en supposant l'ouvert $\Omega$ suffisamment petit, on peut considérer que la fonction de support (définie sur l'ouvert $\Omega$) est de la forme $h = \frac{\pi}{2} + k$, avec $k$ partout positive ou nulle (respectivement partout négative ou nulle). Alors, par la propriété 9.2.3, on obtient que le bord $\partial K$ est nécessairement une hypersurface orientée dont la restriction du champ $\nu$ correspond au champ orthonormal sortant. $\square$

**Remarque 9.2.8.** *Considérons $\mathcal{H} \subset \mathbb{S}^n$ un pseudo-hérisson centré en e qui passe par son équateur. Alors, comme par le lemme précédent, on sais que la partie $K$ est un corps d'intérieur non vide, on a forcément que toutes les dérivées partielles $\partial_i^k h$ sont nulles sur $K$.*

## 9.3 Conjecture sur le passage de l'équateur

Dans cette section, nous concluons ce chapitre en étudiant les caractéristiques géométriques des pseudo-hérissons qui intersectent leurs équateurs en plus d'un point. Il est à noter que nous n'avons pas encore épuisé toutes les questions correspondant à cette problématique, lesquelles font l'objet des conjectures 9.3.1 et 9.3.3 présentées ci-dessous. Par conséquent, nous présentons quelques résultats préliminaires nous permettant d'approcher une vérification de ces deux conjectures; en particulier, nous vérifions la conjecture 9.3.1 dans un cas particulier (voir théorème 9.3.1). Pour commencer, il nous faut rappeler que, via la remarque 9.2.3 page 196, on sait que
sur le bord du corps $K$, le paramétrage est tel que $x(u) = \nu(u)$, où $\nu$ correspond au champ orthonormal sortant du corps $K$ et que l'on considère à image sur $\mathbb{S}_e^{n-1}$.

**Propriété 9.3.1.** Si le corps $K$ n'est pas une demi-sphère alors le paramétrage $x$ n'est pas constant sur $K$. En particulier, il existe $u \in \text{Int}(K)$ tel que la différentielle $d_u x$ est non nulle.

*Démonstration.* Il nous suffit de considérer $u_0$ et $u_1$ deux vecteurs sur le bord $\partial K$ qui sont sur la même composante connexe du corps $K$ et vérifient de plus que $\nu(u_0) \neq \nu(u_1)$. En effet, dans ce cas de figure, il existe forcément $\gamma : [0, 1] \mapsto K$ une courbe régulière telle que $\gamma([0, 1]) \subset \text{Int}(K)$ avec $\gamma(0) = u_0$ et $\gamma(1) = u_1$. Par conséquent, il est clair que l'application $x \circ \gamma$ n'est pas constante sur l'intervalle $[0, 1]$, ce qui nous donne le résultat recherché. $\square$

**Propriété 9.3.2.** *Tout pseudo-hérisson centré en e dont le paramétrage n'est pas constant sur le corps K est centré uniquement en les points e et $-e$.*

*Démonstration.* En effet, dans le cadre de l'hypothèse où le paramétrage $x$ n'est pas constant sur le corps $K$, alors il existe forcément $\gamma \subset \text{Int}(K)$ une courbe régulière telle que la composée $x \circ \gamma$ est une immersion injective. Ainsi, la courbe $x(\gamma)$ étant comprise sur l'équateur, elle ne peut que correspondre à l'enveloppe d'une famille de g-hyperplans co-orientés en les points de référence $e$ et $-e$. $\square$

Par les deux propriétés précédentes, il est justifié de formuler comme hypothèse que tout pseudo-hérisson centré en $e$, qui passe par son équateur et occupe les demi-sphères nord et sud, admet un point $x \in \mathcal{H} \cap C_e$ pour lequel l'intersection $\mathcal{H} \cap C_e$ est, au voisinage du point $x$, une hypersurface dont la courbure de Gauss est nulle. Ainsi, en constatant que tout pseudo-hérisson, vérifiant les caractéristiques de notre hypothèse, admet un corps $K$ qui est distinct de la demi-sphère et de la sphère entière, alors toute la difficulté de la vérification de cette hypothèse se résume à la conjecture suivante :

**Conjecture 9.3.1.** Soit $\mathcal{H} \subset \mathbb{S}^n$ un pseudo-hérisson centré en $e$ qui passe par son équateur. Si le corps $K$ n'est pas une demi-sphère (ni la sphère $\mathbb{S}_e^{n-1}$ tout entière), alors il existe un vecteur $u \in \text{Int}(K)$ pour lequel la différentielle $d_u x : T_u \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto T_{x(u)} C_e$ est un isomorphisme. En particulier, le pseudo-hérisson $\mathcal{H}$ est localement une hypersurface dont la courbure de Gauss est nulle en $x(u)$.

L'utilisation du terme *conjecture* se justifie par la résistance de l'hypothèse que nous considérons malgré plusieurs tentatives pour trouver un contre-exemple. En effet, avec l'aide de Anatole Khélif, nous avons adopté plusieurs méthodes pour définir des contre-exemples, parmi lesquelles nous considérons ci-dessous les deux approches qui peuvent être considérées comme étant les plus pertinentes. Pour cela, commençons par remarquer que, par la remarque 9.2.3 page 196, il est clair que la restriction du paramétrage d'un pseudo-hérisson sur le corps $K$ est une application $x : K \mapsto \mathbb{S}_e^{n-1}$ qui correspond au prolongement de classe $C^\infty$ du champ orthonormal sortant $\nu : \partial K \mapsto \text{ST}\mathbb{S}_e^{n-1}$, que nous considérons à image dans la sphère $\mathbb{S}_e^{n-1}$. Par conséquent, la conjecture 9.3.1 est équivalente à l'énoncé ci-dessous :

**Conjecture 9.3.2.** Considérons $K \subset \mathbb{S}^{n-1}$ un corps d'intérieur non vide distinct de toute demi-sphère (et de la sphère toute entière) dont le bord $\partial K$ est une hypersurface orientée et dont l'application $\nu : \partial K \mapsto \mathbb{S}^{n-1}$ correspond au champ orthonormal sortant. On suppose de plus qu'il existe une application lisse $x : K \mapsto \mathbb{S}^{n-1}$ telle que $x(u) = \nu(u)$ sur le bord $\partial K$. Alors il existe un point $u \in \text{Int}(K)$ tel que la différentielle $d_u x$ est injective.
Ainsi, pour produire un contre-exemple de la conjecture 9.3.1, nous pouvons considérer la méthode consistant à définir un corps $K \subset \mathbb{S}_e^{n-1}$ dont les caractéristiques correspondent au lemme 9.2.2 et pour lequel l'image du bord $\nu(\partial K)$ est contractile$^{24}$. En effet, dans ce cas de figure, il est possible, à condition de bien définir$^{25}$ le corps $K$, de produire un prolongement de classe $C^\infty$ de l'application $\nu$ sur le corps $K$ tel que $x(K) = \nu(\partial K)$.

**Propriété 9.3.3.** Considérons $K \subset \mathbb{S}^2$ un corps dont le bord est connexe et vérifie les conditions de la conjecture 9.3.2. Alors, on a que la partie $\nu(\partial K)$ n'est pas contractile.

*Démonstration.* Considérons $K \subset \mathbb{S}^2$ un corps d'intérieur non vide dont le bord $\partial K$ est connexe et est une hypersurface orientée, et soit $\nu : \partial K \mapsto \mathbb{S}^2$ le champ orthonormal sortant. Par conséquent, choisissons $\gamma_1 : I \mapsto \partial K$ et $\gamma_2 : I \mapsto \partial K$ deux courbes régulières qui sont définies sur le même intervalle $I$ et telles que :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \gamma_1(I) \cap \gamma_2(I) = \emptyset \\ \forall t \in I, \nu \circ \gamma_1(t) = \nu \circ \gamma_2(t) = v(t) \end{array} \right. \qquad (9.3.0.1) $$

Ainsi, comme par définition de l'application $\nu$, il est immédiat que les produits $\langle \gamma_i(t) | v(t) \rangle$ et $\langle \partial_t \gamma_i(t) | v(t) \rangle$ sont nuls, alors il s'en suit :

$$ \langle \gamma_i(t) | \partial_t v(t) \rangle = 0 $$

pour tout instant $t \in I$.

Supposons, à présent, que les points $\gamma_1(t)$ et $\gamma_2(t)$ ne sont pas antipodaux. Alors, comme par (9.3.0.1), on ne peut pas avoir $\gamma_1(t) = \gamma_2(t)$; la famille $(\gamma_1(t), \gamma_2(t), v(t))$ forme donc une base de $\mathbb{R}^3$. En particulier, il est immédiat que dans ce cas de figure, $\partial_t v(t) = 0$. Par conséquence, on a que si la dérivée $\partial_t v(t)$ est non nulle, alors les points $\gamma_1(t)$ et $\gamma_2(t)$ sont forcément antipodaux.

Considérons donc $\gamma : \mathbb{S}^1 \mapsto \partial K$ un difféomorphisme que nous paramétrons sur l'intervalle $[0, 2\pi]$ et supposons qu'il existe $T > 0$ et $b$ deux scalaires pour lesquels les intervalles $]0, T[$ et $]b - T, b[$ sont disjoints et sont compris dans $[0, 2\pi]$, tels que :

$$ v(t) = v(b - t) \text{ et } \partial_t v(t) \neq 0 $$

pour tout $t \in [0, T]$, où $v = \nu \circ \gamma$.

Ainsi, par ce qui précède, on sait que $\gamma(t) = -\gamma(b - t)$ et donc on obtient que $\partial_t \gamma(t) = -\partial_t[\gamma(b - t)] = \partial_t \gamma(b - t)$. Considérons ensuite la fonction $\Gamma(t) = \det(\gamma(t), \partial_t \gamma(t), v(t))$ définie

<footnote n="24">24. Un espace topologique $X$ est dit contractile lorsqu'il existe $f : [0; 1] \times X \mapsto X$ une application continue telle que $f(\{0\} \times X) = X$ et $f(\{1\} \times X) = \{x\}$.</footnote>

<footnote n="25">25. Il est à noter que pour pouvoir définir un contre-exemple de la conjecture 9.3.1 via ce procédé, il nous suffit que le corps $K$ vérifie les deux caractéristiques suivantes :</footnote>

<footnote n="1">1. Il existe un point $u_0 \in \text{Int}(K)$ ainsi que $\phi : [0; 1] \times \partial K \mapsto K$ une homotopie de classe $C^\infty$ qui contracte le bord $\partial K$ sur le point $u_0$ dans le corps $K$ telle que toutes les dérivées partielles sont nulles sur $\{1\} \times \partial K$ et dont la restriction $\phi : [0; 1] \times \partial K \mapsto K \setminus \{u_0\}$ est un difféomorphisme.</footnote>

<footnote n="2">2. Il existe un point $x_0 \in \nu(\partial K)$ ainsi qu'une homothétie $\varphi : [0; 1] \times \nu(\partial K) \mapsto \nu(\partial K)$ qui contracte la partie $\nu(\partial K)$ sur le point $x_0$ sur $\nu(\partial K)$ et telle que l'application qui à $(t, u) \in [0; 1] \times \partial K$ donne $\varphi(t, \nu(u))$ est lisse.</footnote>
sur $[0, 2\pi]$. Alors on a que $\Gamma(b-t) = \det(-\gamma(t), \partial_t\gamma(t), v(t)) = -\Gamma(t)$, ce qui n'est pas possible$^{26}$ car par construction $\Gamma(t) \neq 0$ pour tout instant $t$. Par conséquent, il est clair$^{27}$ que la partie $\nu(\partial K)$ est une courbe fermée qui n'est pas contractile. $\square$

Nous pouvons alors constater que les conditions d'application de la propriété 9.3.3 sont moins strictes que les conditions d'application du théorème 9.3.1 que nous considérons ci-dessous, dans lequel le corps $K$ doit être compris dans une demi-sphère ouverte. En particulier, nous avons, avec Anatole Khelif, pu constater que dépasser la contrainte consistant à considérer le corps $K$ dans une demi-sphère est difficile pour des dimensions supérieures. Cela provient du fait que, dans le cadre de cette contrainte, nous pouvons nous restreindre à la sphère privée d'un point, dont les propriétés géométriques sont moins contraignantes que sur la sphère entière. Ainsi, par la propriété 9.3.3, il est justifié d'orienter les travaux sur une recherche de démonstration complète dans le cas où $n = 2$.

<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>FIGURE 9.7 – Exemple d'image du bord $x(\partial K)$ partageant une même portion régulière pour des parties disjointes du bord $\partial K$.</figcaption></figure>

En effet, l'idée de la preuve consiste à définir, à partir des éléments que nous avons considérés dans la démonstration précédente, une forme différentielle $\alpha \in \Omega_1(\mathbb{S}^2)$ telle que l'intégrale :

$$ \int_{\partial K} \nu^*(\alpha) \qquad (9.3.0.2) $$

soit non nulle. Ainsi, dans le cas où nous pourrions définir une telle forme différentielle, alors, par le théorème de Stokes, on obtient nécessairement que :

$$ \int_K x^*(d\alpha) = \int_{\partial K} x^*(\alpha) = \int_{\partial K} \nu^*(\alpha) \neq 0 $$

et donc, il est clair que la différentielle $d_u x$ est nécessairement injective pour un point $u \in \text{Int}(K)$. Il est à noter qu'en l'état, nous ne prétendons pas avoir vérifié la conjecture 9.3.1 sur $\mathbb{S}^3$. Nous nous contentons simplement de présenter les axes de recherche que nous jugeons justifiés d'empunter.

En particulier, cela nous fournit un autre procédé pour définir un contre-exemple. Il s'agirait alors de définir un corps $K$ sur $\mathbb{S}^{n-1}$, qui vérifie les conditions de la conjecture 9.3.2 et pour lequel l'intégrale (9.3.0.2) est nulle pour toute forme différentielle $\alpha \in \Omega_{n-2}(\mathbb{S}^2)$. Aussi, via cette

<footnote n="26">26. En effet, par construction, la fonction $\Gamma$ est partout non nulle. Cependant, comme $\Gamma(b-t) = -\Gamma(t)$, il existe nécessairement deux instants $a$ et $b$ dans l'intervalle $[0; 2\pi]$ pour lesquels les images $\Gamma(a)$ et $\Gamma(b)$ sont alternativement strictement positives et strictement négatives. En particulier, par continuité, il est clair qu'il existe $t_0 \in ]a; b]$ tel que $\Gamma(t_0) = 0$, ce qui est impossible.</footnote>

<footnote n="27">27. En effet, si $v : \mathbb{S}^1 \to \mathbb{R}^2$ est une courbe de classe $C^\infty$ qui n'est pas réduite à un point et est contractile (i.e. la fonction $v$ est homotope à une fonction constante), alors il existe nécessairement $s_1 : ]0; 1[$ $\mapsto \mathbb{S}^1$ et $s_2 : ]0; 1[$ $\mapsto \mathbb{S}^1$, deux plongements lisses tels que $v \circ s_1(t) = v \circ s_2(1-t)$.</footnote>
approche, nous obtenons le théorème suivant, dont nous devons la démonstration à Anatole Khelif :

**Théorème 9.3.1.** Considérons un corps $K$ dans $\mathbb{S}^{n-1}$ d'intérieur non vide (distinct de toute demi-sphère et de la sphère) tel que le bord $\partial K$ est une hypersurface orientée dont l'application $\nu : \partial K \mapsto \mathbb{S}^{n-1}$ correspond au champ orthonormal sortant. Supposons donc qu'il existe $x : K \mapsto \mathbb{S}^{n-1}$ une application lisse telle que $x(u) = \nu(u)$ sur le bord $\partial K$. De plus, nous supposerons que le corps $K$ est compris dans une demi-sphère ouverte et est difféomorphe à la boule fermée unité $\bar{B}(0,1) \subset \mathbb{R}^{n-1}$. Alors il existe un vecteur $u \in \text{Int}(K)$ pour lequel la différentielle $d_u x$ est injective.

**Démonstration.** Considérons donc un corps $K \subset \mathbb{S}^n$ d'intérieur non vide et vérifiant les conditions du théorème ainsi que $\phi : K \hookrightarrow \bar{B}(0,1)$ un difféomorphisme. Aussi, on considère le vecteur $u_0 = \phi^{-1}(0) \in \text{Int}(K)$ ainsi qu'une forme différentielle $w \in \Omega_{n-2}(\mathbb{S}^n \setminus \{u_0, -u_0\})$ telle que :

$$ 
\left\{ 
\begin{array}{l}
\text{La forme } w \text{ est fermée.} \\
\\
\text{Si } \mathcal{C} = \mathbb{S}^n \cap \langle u_0 \rangle^{\perp} \text{ est l'équateur pour } u_0 \text{ alors l'intégrale } \int_{\mathcal{C}} w \text{ est non nulle.}
\end{array}
\right. 
\qquad (9.3.0.3) 
$$

En effet, pour définir une telle forme différentielle, considérons le champ de vecteurs normé $v : \mathbb{S}^{n-1} \setminus \{u_0, -u_0\} \mapsto \mathbb{S}^{n-1}$ défini par les géodésiques méridiennes allant de $u_0$ à $-u_0$, ainsi que la fonction $f : \mathbb{S}^{n-1} \setminus \{u_0, -u_0\} \mapsto \mathbb{R}$ correspondant à la mesure des parallèles telle que :

$$ f(u) = \int_{g^{-1}(\langle u | u_0 \rangle)} w^v \qquad (9.3.0.4) $$

où $g(u) = \langle u_0|u \rangle$ et $w^v_u(W_2, \dots, W_{n-1}) = \det(u, v(u), W_2, \dots, W_{n-1})$. Alors, on définit le champ de vecteurs $X : \mathbb{S}^{n-1} \setminus \{u_0, -u_0\} \mapsto T\mathbb{S}^{n-1}$ tel que :

$$ X(u) = \frac{v(u)}{f(u)} \qquad (9.3.0.5) $$

et après un petit calcul, on peut vérifier que la divergence $\text{div}(X)$ est nulle. Ainsi, il est immédiat que la $(n-2)$-forme différentielle telle que :

$$ w_u(W_2, \dots, W_{n-1}) = \det(u, X(u), W_2, \dots, W_{n-1}) \qquad (9.3.0.6) $$

vérifie les conditions recherchées.

Considérons à présent la fonction $g : K \setminus \{u_0\} \mapsto \mathbb{R}$ telle que $g(u) = \|\phi(u)\|$. En remarquant que les hypersurfaces de niveau $\Gamma_t = g^{-1}(t)$ sont lisses, on définit le champ orthonormal $V : K \setminus \{u_0\} \mapsto \mathbb{S}^{n-1} \setminus \{u_0, -u_0\}$ tel que :

$$ V(u) = \frac{\vec{\nabla} g(u)}{\|\vec{\nabla} g(u)\|} \qquad (9.3.0.7) $$

En particulier, il est important de noter que le corps $K$ étant compris dans une demi-sphère ouverte, l'image $V(u)$ est distincte de $u_0$ et $-u_0$. Comme $V(\Gamma_t) \to \mathcal{C}$ lorsque $t \to 0$, il existe forcément $t_0 \in ]0, 1[$ tel que :

$$ \int_{\Gamma_{t_0}} V^*(w) \neq 0 \qquad (9.3.0.8) $$
et comme la forme $w$ est fermée, alors par le théorème de Stokes :

$$ \int_{g^{-1}([t_0,1])} V^*(dw) = \int_{\Gamma_{t_0}} V^*(w) + \int_{\partial K} V^*(w) = 0 \qquad (9.3.0.9) $$

et donc

$$ \int_{\partial K} V^*(w) \neq 0 \qquad (9.3.0.10) $$

On peut alors définir $w' \in \Omega_{n-2}(\mathbb{S}^{n-1})$, une forme différentielle qui n'est pas fermée et qui coïncide avec la forme $w$ sur l'image $\nu(\partial K)$. Ainsi, par le théorème de Stokes, on a que :

$$ \int_K x^*(dw') = \int_{\partial K} x^*(w') = \int_{\partial K} \nu^*(w') \neq 0 \qquad (9.3.0.11) $$

ce qui nous donne le résultat recherché. □

À présent, il nous faut savoir que définir une forme $w$ pour laquelle l'intégrale (9.3.0.2) est non nulle dans un cadre plus large que celui que nous avons considéré dans le théorème précédent, et pour une dimension supérieure à $n = 2$, relève d'une grande complexité. Aussi, d'autres méthodes pourraient être employées dont, en particulier, celles se reposant sur la géométrie algébrique. Ces méthodes feront l'objet de futurs projets. Pour terminer, nous présentons rapidement ci-dessous une deuxième conjecture qui apparaît naturellement et dont l'importance est non négligeable pour répondre à l'objectif consistant à classer les pseudo-hérissons :

**Conjecture 9.3.3.** Si $\mathcal{H} \subset \mathbb{S}^n$ est un pseudo-hérisson centré en $e$ tel que l'intersection $\mathcal{H} \cap C_e$ admet un point isolé, alors le pseudo-hérisson $\mathcal{H}$ passe par son équateur en un seul et unique point, et le corps $K$ est une demi-sphère. De plus, il existe un second point de référence $v_0 \in \mathbb{S}^n$ pour lequel le pseudo-hérisson $\mathcal{H}$ est centré en $v_0$ et est compris dans la demi-sphère $\Omega_{v_0}$.

Nous ne nous étendrons pas plus sur cette dernière conjecture. L'idée centrale est que si l'intersection $\mathcal{H} \cap C_e$ admet un point isolé, alors le corps $K$ doit forcément admettre une composante connexe sur laquelle le paramétrage $x$ est constant. Et par la propriété 9.3.1, nous savons que le corps $K$ est une demi-sphère et donc l'intersection $\mathcal{H} \cap C_e$ est un singleton. Toute la difficulté réside dans le fait de choisir un point de référence $v_0$ pour lequel la fonction de réindexation $\phi: \mathbb{S}^{n-1} \setminus K \to \mathbb{S}^{n-1} \setminus \{u_0\}$ (voir expression (10.2.0.1) page 215) est un difféomorphisme vérifiant que la famille de g-hyperplans $(\Sigma_{\phi^{-1}(u)})_{u \in \mathbb{S}^{n-1} \setminus \{u_0\}}$ peut être complétée par le g-hyperplan $C_e$, afin de former une famille de g-hyperplans co-orientés en $v_0$.

## 9.4 Conclusion sur le classement des pseudo-hérissons

Dans la suite et, en particulier, pour le chapitre 10, nous supposerons vraies les deux conjectures précédentes$^{28}$. Par conséquent, nous pouvons considérer trois catégories de pseudo-hérissons que nous présentons ci-dessous :

* La première catégorie correspond aux pseudo-hérissons centrés en $e$ qui sont compris dans la demi-sphère $\Omega_e$ (ou dans la demi-sphère $\Omega_{-e}$). En particulier, cette catégorie correspond aux g-hérissons de la sphère et font l'objet du chapitre suivant.

<footnote n="28">28. Il est à noter que cette hypothèse aura pour seul effet de justifier la définition de g-hérisson que nous considérons au chapitre 10. En particulier, les résultats qui sont présentés au chapitre 10 ne reposent pas sur les conjectures 9.3.1 et 9.3.3.</footnote>
• La deuxième catégorie correspond aux pseudo-hérissons centrés en *e* qui passent par leur équateur en un seul et unique point. Ainsi, via la conjecture 9.3.3, on sait que ce sont des g-hérissons, à condition de modifier le point de référence.

• La troisième catégorie correspond aux pseudo-hérissons qui passent par leur équateur en plus d'un point. Par les conjectures 9.3.1 et 9.3.3, il est clair que cette catégorie se distingue des deux premières en ce sens qu'il est justifié d'en exclure^29^ les pseudo-hérissons du fait qu'ils ne vérifient pas les caractéristiques nécessaires pour définir les g-hérissons marginalement piégés.

Pour conclure ce chapitre, nous pouvons considérer que la notion de hérisson se montre plus difficile sur la sphère que sur l'espace hyperbolique. En particulier, nous perdons la correspondance directe entre les g-hérissons et les hérissons euclidiens, comme c'est le cas sur l'espace hyperbolique via la projection de Klein. Cela provient du fait que les pseudo-hérissons centrés en *e* de la deuxième catégorie vérifient des propriétés satisfaisantes sans qu'ils correspondent à des hérissons euclidiens via la projection gnomonique centrée en *e*.

<footnote n="29">29. Pour être précis, deux cas de figure sont à traiter. En effet, nous avons que le corps *K* correspondant à un pseudo-hérisson de la troisième catégorie peut vérifier les conditions de la conjecture 9.3.1 ou bien être une demi-sphère. Et dans ces deux situations, il est justifié de considérer que l'intersection $H \cap C_e$ est localement une hypersurface dont la courbure de Gauss est nulle.</footnote>
# Chapitre 10

## Sur les g-hérissons de la sphère

Dans le chapitre précédent, nous avons établi que la notion de g-hérisson sur la sphère doit correspond à des pseudo-hérissons (voir définition 9.2.4 page 187) qui sont contenus dans leur demi-sphère nord<fnref n="1" />. Nous obtenons ainsi une notion de hérisson dont les propriétés correspondent à ce que nous connaissons sur l'espace euclidien et l'espace hyperbolique. Néanmoins, la notion de g-hérisson sur la sphère, ainsi définie, reste plus contraignante que sur l'espace hyperbolique. L'objet de ce chapitre consiste donc à en étudier les caractéristiques afin de déterminer les conditions pour lesquelles nous retrouvons des résultats similaires à ceux que nous avons vus pour les g-hérissons de l'espace hyperbolique.

### 10.1 Définition et première propriété

Considérons $e \in \mathbb{S}^n$ un point de référence ainsi que $h : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}^{\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}}$ [ une fonction lisse. Il est alors nécessaire de considérer les applications lisses $x_0$, $N$ et $\vec{G}$ que nous avons définies via les expressions (9.2.1.5) et (9.2.1.6) page 188, ainsi que le champ de vecteurs $\vec{V} \in \Delta(\mathbb{S}_e^{n-1})$ et la fonction lisse $\sigma : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ tels que :

$$ \vec{V}(u) = \frac{1}{\cos h(u)} \vec{\nabla} h(u) \text{ et } \sigma(u) = \frac{1}{\sqrt{1 + V(u)^2}} \quad (10.1.0.1) $$

avec $V(u) = \|\vec{V}(u)\|$.

**Définition 10.1.1.** Considérons $e \in \mathbb{S}^n$ un point de référence. Alors on appelle **g-hérisson centré en e** tout pseudo-hérisson centré en e qui est compris dans la demi-sphère ouverte $\Omega_e$.

Suite à la remarque 9.2.5 page 200 et afin de ne pas inutilement surcharger notre texte, il est justifié d'appeler **famille de g-hyperplans co-orientés en e** toute famille de g-hyperplans co-orientés en e qui vérifie la condition suivante :

$$ \Sigma_u \neq C_e \quad (10.1.0.2) $$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$.

<footnote n="1">1. Pour rappel, si $\mathcal{H} \subset \mathbb{S}^n$ est un pseudo-hérisson centré en $e$, alors on appelle **demi-sphère nord** la demi-sphère ouverte $\Omega_e$.</footnote>
Notons que pour toute famille de g-hyperplans co-orientés en *e* vérifiant la condition (10.1.0.2), il existe une seule et unique fonction de support à image sur l'intervalle $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, que l'on appelle donc naturellement **fonction de support** de la famille de g-hyperplans.

**Propriété 10.1.1.** Toute famille de g-hyperplans co-orientés en *e* et vérifiant la condition (10.1.0.2) admet une unique enveloppe paramétrée sur la demi-sphère $\Omega_e$. De plus, son paramétrage est défini via l'expression suivante :

$$x(u) = \sigma(u) [x_0(u) + \vec{V}(u)] = \exp_{x_0(u)}(\vec{G}(u)) \quad (10.1.0.3)$$

où les champs de vecteurs $\vec{V}$ et $\vec{G}$, qui sont définis par les expressions (9.2.1.6) et (10.1.0.1), vérifient les relations $G(u) = \text{ArcTan } V(u)$ et $\langle \vec{G}(u)|\vec{V}(u) \rangle = G(u)V(u)$.

**Démonstration.** Considérons donc $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ une famille de g-hyperplans co-orientés en *e* qui vérifie la condition (10.1.0.2) et supposons qu'elle admet une enveloppe $\mathcal{H} \subset \Omega_e$. Alors, en reprenant les expressions et les relations (9.2.1.6), (9.2.3.30), (9.2.3.31), (9.2.3.32), (9.2.3.33) et (9.2.3.34) des pages 188 et 197 ainsi que le lemme 4.4.1 page 96, nous savons que le paramétrage de l'enveloppe $\mathcal{H}$ admet pour expression $x(u) = a(u)\vec{G}(u) + b(u)x_0(u)$ où $a$ et $b$ sont deux fonctions lisses telles que $b = \text{Cos}(G)$ et $a(u)$ est défini par :

$$a(u) = \frac{\text{Sin } G(u)}{G(u)} \quad (10.1.0.4)$$

lorsque $\vec{G}(u) \neq 0$, et $a(u) = 1$ sinon. Ensuite, comme la condition de contact implique que les applications $x$ et $N$ vérifient la relation $\langle d_u x \cdot \vec{v} | N(u) \rangle = 0$, pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ et $\vec{v} \in T_u \mathbb{S}_e^{n-1}$, alors après quelques calculs on obtient :

$$\langle x(u) | d_u N \cdot \vec{v} \rangle = -b(u) d_u h(\vec{v}) + a(u) \text{Cos } h(u) \langle \vec{G}(u) | \vec{v} \rangle = 0$$

Il s'en suit que $b(u)\vec{\nabla}h(u) = a(u)\text{Cos } h(u)\vec{G}(u)$, pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, et comme la famille de g-hyperplans vérifie la relation (10.1.0.2), alors $\text{Cos } h(u) \neq 0$. Ainsi, par la remarque 9.2.5 page 200, on a forcément que $b(u)$ n'est jamais nul. Par conséquent, si le gradient $\vec{\nabla}h(u)$ est non nul, alors $a(u) \neq 0$ et donc le vecteur $\vec{G}(u)$ est non nul, tel que :

$$\vec{G}(u) = \frac{\text{ArcTan } V(u)}{V(u)} \vec{V}(u) \quad (10.1.0.5)$$

et ainsi,

$$a(u)\vec{G}(u) = \frac{1}{\text{ArcTan } V(u)} \frac{V(u)}{\sqrt{1 + V(u)^2}} \vec{G}(u) = \sigma(u)\vec{V}(u) \text{ et } b(u) = \sigma(u)$$

De plus, comme $\vec{G}(u) = 0$ lorsque $\vec{V}(u) = 0$, il est clair que dans ce cas, $a(u)\vec{G}(u)$ est nul et, par conséquent, nous obtenons le résultat recherché. $\square$

Il est à noter qu'au vu de ce qui précède, nous obtenons nécessairement que, pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, la dérivée covariante $\nabla(N)_u : T_u \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto \langle N(u) \rangle^{\perp}$ est un difféomorphisme. Par conséquent, en définissant la **fonction de courbure** via l'expression suivante :

$$R(u) = \det(\phi_u), \quad (10.1.0.6)$$
où $\phi$ est le morphisme de fibré tel que $\phi_u := \nabla(N)_u^{-1} \circ d_u x : T_e S^n \to T_e S^n$, nous retrouvons bien que la courbure de Gauss d'un g-hérisson est non nulle partout où elle existe.

Pour conclure cette section, considérons $e \in S^n$ un point de référence. Il est alors clair que, via la projection gnomonique centrée en $e$, les familles de g-hyperplans co-orientés en $e$ vérifiant la condition (10.1.0.2) correspondent aux familles d'hyperplans co-orientés sur l'espace euclidien $(T_e S^n, g_e)$, où $g$ est la métrique usuelle sur la sphère $S^n$. En particulier, nous obtenons la propriété suivante :

**Propriété 10.1.2.** *Considérons $e \in S^n$ un point de référence ainsi que $\psi_e : \Omega_e \to T_e S^n$ la carte gnomonique centrée en $e$. Alors nous avons que $\mathcal{H} \subset \Omega_e$ est un g-hérisson centré en $e$ si et seulement si l'image $\psi_e(\mathcal{H})$ est un hérisson euclidien. De plus, si $h$ et $l$ sont les fonctions de support respectives de $\mathcal{H}$ et $\psi_e(\mathcal{H})$, alors $l = \text{Tan}(h)$.*

*Démonstration.* Il suffit de d'adapter les arguments que nous avons considérés lors des démonstrations des propriétés 4.3.4 et 4.4.3 des pages 93 et 100. □

## 10.2 Problème du changement de point

Sur l'espace hyperbolique, nous savons, par le théorème 6.4.1 page 152, que la notion de g-hérisson ne dépend pas du choix du point de référence. Cependant, comme nous le vérifions via la propriété ci-dessous, il est clair que nous ne retrouvons pas cette propriété pour les g-hérissons de la sphère. En effet :

**Propriété 10.2.1.** *Sur la sphère $S^n$, la notion de g-hérisson dépend du choix du point. En particulier, pour tout g-hérisson $\mathcal{H}$ centré en $e$, il existe $v_0 \in \Omega_e$ un point pour lequel $\mathcal{H}$ n'est pas un g-hérisson centré en $v_0$.*

*Démonstration.* En effet, considérons $\mathcal{H}$ un g-hérisson centré en $e$ qui n'est pas réduit à un singleton. Alors il existe nécessairement un second point de référence $v_0 \in \Omega_e$ pour lequel $\mathcal{H}$ passe par l'équateur $C_{v_0}$ et occupe les demi-sphères nord et sud par rapport au point $v_0$. Ainsi, par les propriétés 9.3.1 et 9.3.2 page 207, on sait que si $\mathcal{H}$ est un g-hérisson centré en $v_0$, alors il ne pourrait pas être centré en $e$. □

Il est alors naturel d'adopter la démarche que nous avons considérée dans le chapitre 6 afin de déterminer les conditions qui rendent possible le changement de point de référence d'un g-hérisson de la sphère.

**Définition 10.2.1.** *Considérons $(\Sigma_u)_{u \in S^n}$ une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$ ainsi que $v_0 \in S^n$ un second point de référence. Alors, on appelle **fonction de réindexation**, toute fonction $\phi : S^n \to S^n$ qui est de classe $C^\infty$ et vérifie que, pour tout vecteur $u \in S^n$, la géodésique passant par le point $v_0$ à la vitesse $\phi(u)$ est orthogonale à $\Sigma_u$ sur la demi-sphère $\Omega_{v_0}$.*

**Propriété 10.2.2.** *Considérons $\mathcal{H} \subset S^n$ un g-hérisson centré en $e$ ainsi que $v_0 \in S^n$ un second point de référence tel que $\mathcal{H} \subset \Omega_{v_0}$. Alors, il existe une unique fonction de réindexation entre les points $e$ et $v_0$ pour laquelle, pour tout $u \in S^n$, l'orientation du g-hyperplan $\Sigma_u$ correspond² avec le vecteur $\phi(u)$. De plus, la fonction de réindexation, ainsi définie, vérifie l'expression suivante :*

$$ \phi(u) = \mathcal{N} \circ \pi_{v_0} \circ N(u) \qquad (10.2.0.1) $$

où $\pi_{v_0} : \mathbb{R}^{n+1} \to T_{v_0} S^n$ est la projection orthogonale le long de la droite $\mathbb{R}v_0$.
**Démonstration.** Considérons $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ une famille de g-hyperplan co-orienté en $e$ ainsi que $v_0 \in \Omega_e$ un second point de référence vérifiant que $\Sigma_u \neq C_{v_0}$, pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$. Alors supposons l'existence d'une fonction de réindexation entre les points $e$ et $v_0$.

En remarquant que $\Sigma_u = \mathbb{S}^n \cap \langle N(u) \rangle^\perp$, alors comme $\Sigma_u \neq C_{v_0}$, on a que le vecteur $N(u)$ ne peut être colinéaire avec $v_0$. De plus, la géodésique $\gamma$ passant par le point $v_0$ et étant orthogonale à $\Sigma_u$, il s'ensuit qu'elle est forcément comprise sur le plan vectoriel $\mathbb{R}v_0 \oplus \mathbb{R}N(u)$. Il est donc immédiat que $N(u) = a\phi(u) + bv_0$ et comme on sait que $\pi_{v_0} \circ N(u) \neq 0$, alors on obtient le résultat recherché.

<figure><img src="image_91.png" /></figure>

□

**Propriété 10.2.3.** Considérons $\mathcal{H} \subset \mathbb{S}^n$ un g-hérisson centré en $e$ ainsi qu'un vecteur $u_0 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ et le point $x_0 = x(u_0)$, où $x$ est le paramétrage centré en $e$. Alors la fonction de réindexation $\phi : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{S}_{x_0}^{n-1}$ est localement un difféomorphisme aux voisinages des vecteurs $u_0$ et $v_0 = \phi(u_0)$ et, en particulier, le g-hérisson $\mathcal{H}$ est, au voisinage du point $x_0$, un g-hérisson centré en $x_0$. De plus, si $N : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{T}\mathbb{S}^n$ est le champ orthonormal centré en $e$, alors on obtient les deux relations suivantes :

$$N(u_0) = \phi(u_0) = v_0 \quad \text{et} \quad d_{u_0} N \cdot \vec{v} = d_{u_0} \phi \cdot \vec{v} \qquad (10.2.0.2)$$

pour tout $\vec{v} \in T_{u_0}\mathbb{S}_e^{n-1}$.

**Démonstration.** En remarquant que les éléments $N(u_0)$, $d_{u_0} N \cdot \vec{v}$ et $x_0$ sont deux à deux orthogonaux, il est immédiat que l'on obtient les expressions (10.2.0.2) à partir de l'expression (10.2.0.1). □

**Propriété 10.2.4.** Considérons $\mathcal{H} \subset \mathbb{S}^n$, avec $n \geq 3$, un g-hérisson centré en $v_0 \in \Omega_e$ vérifiant que $x_0(u) \in \Omega_e$, pour tout vecteur $u \in \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$, où $x_0$ est l'application définie via l'expression (9.2.1.5). Alors, c'est un g-hérisson centré en $e$.

**Démonstration.** Considérons donc la fonction de réindexation $\phi := \mathcal{N} \circ \pi_e \circ N : \mathbb{S}_{v_0}^{n-1} \to \mathbb{S}_e^{n-1}$, où $N(u) = \operatorname{Cos} h(u)u - \operatorname{Sin} h(u)v_0$ est le champ orthonormal. Si $\vec{v} \in T_u \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$ est un vecteur non nul, alors comme $\langle x_0(u) | e \rangle > 0$, on a que pour tout scalaire $a$ et $b$, le vecteur $aN(u) + bd_u N \cdot \vec{v}$ n'est jamais colinéaire à $e$. En particulier, les vecteurs $\pi_e \circ N(u)$ et $\pi_e(d_u N \cdot \vec{v})$ sont non nuls et forment une famille libre sur $T_e \mathbb{S}^n$. Par conséquent, on a que la différentielle $d_u \phi \cdot \vec{v}$ est non nulle et donc l'application $\phi$ est un difféomorphisme local en tout point. Ainsi, par simple convexité, on obtient le résultat recherché. □

## 10.3 Condition de contact et g-hérisson vu comme front de Legendre

Dans cette section, nous traitons de la notion de g-hérisson vue comme étant le front de Legendre d'un certain type d'immersion de Legendre que nous caractérisons. Pour cela, nous adopterons deux points de vue qui correspondent naturellement aux deux approches que nous avons considérées aux sections 7.2.1 et 7.2.2 des pages 160 et 165 pour décrire les g-hérissons de

<footnote n="2">2. Nous entendons par correspondance entre l'orientation du g-hyperplan $\Sigma_u$ et le vecteur $\phi(u)$, le fait que la géodésique $\gamma$ qui passe par le point $v_0$ à la vitesse $\phi(u)$ intersecte orthogonalement, dans la demi-sphère $\Omega_{v_0}$, le g-hyperplan $\Sigma_u$ en l'instant $t_0$ tel que $\partial_t \gamma(t_0) = \nu_u(x_0)$, où $x_0$ est l'unique point dans l'intersection $\gamma \cap \Sigma_u \cap \Omega_{v_0}$ et $\nu_u$ est le champ orthonormal qui correspond à l'orientation du g-hyperplan $\Sigma_u$.</footnote>
l'espace hyperbolique au regard de la géométrie de contact.

Commençons donc par déterminer la condition de contact qui correspond à la relation d'in-
jectivité qui est définie par les géodésiques porteuses et transverses (voir définition 4.3.4 page 91).
Pour cela, nous adaptons la méthode que nous avons considérée à la section 7.2.1 en définissant,
pour tout point $x \in \Omega_e$ et vecteur $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, le vecteur $N_e(x, u) \in \mathbb{S}_x^{n-1}$ tel que le g-hyperplan
$\Sigma = \text{exp}_x(\langle N_e(x, u) \rangle^{\perp})$ est orthogonal à la géodésique passant par le point $e$ à la vitesse $u$.
Considérons donc la définition ci-dessous :

**Définition 10.3.1.** *Considérons $e \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ un point de référence, alors on appelle application orthonormale centrée en e l'application lisse $N_e : \Omega_e \times \mathbb{S}_e^{n-1} \hookrightarrow ST\mathbb{S}^n$ qui est définie via l'expression suivante :*

$$
N_e(x, u) = (x, \mathcal{N}(u - k_e(x) \langle x|u \rangle e)) \quad (10.3.0.1)
$$

avec $k_e(x) = \frac{1}{\langle e|x \rangle}$ et $\mathcal{N}$ étant la fonction de normalisation sur $\mathbb{R}^{n+1}$.

En adaptant les arguments que nous avons considérés afin de vérifier les propriétés 7.2.2 et 7.2.3 des pages 161 et 162 pour les g-hérissons de l'espace hyperbolique, il est clair que l'application orthonormale généralisée centrée en e est une immersion et est la seule application lisse vérifiant la condition (7.2.1.2) page 160 pour toute hypersurface orientée. Il est alors clair que si x est le paramétrage d'un g-hérisson centré en e, alors on a :

$$
N(u) = N_e(x(u), u) \tag{10.3.0.2}
$$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$. Par conséquent, après quelques développements, on obtient qu'une application $x : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \Omega_e$ est le paramétrage d'un g-hérisson centré en $e$ si et seulement si la condition ci-dessous est vérifiée :

$$
\langle d_u x \cdot \vec{W} | \langle x|e \rangle u - \langle x|u \rangle e \rangle = 0 \quad (10.3.0.3)
$$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$.

Il est alors justifié d'appeler **condition de contact centrée en e**, la condition (10.3.0.3).
De plus, en considérant, sur la sphère $\mathbb{S}^n$, la structure de contact que nous avons introduite sur
l'espace hyperbolique à la section 7.1 page 157, il s'ensuit le résultat suivant :

**Propriété 10.3.1.** *Tout g-hérisson centré en e, sur la sphère, est le front Legendrien d'une immersion de Legendre $\iota : \mathbb{S}_e^{n-1} \to ST\mathbb{S}^n$ de la forme suivante :*

$$
\iota(u) = N_e(x(u), u) \tag{10.3.0.4}
$$

où $x : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \Omega_e$ est une application lisse.

Démonstration. La démonstration est identique à celle que nous avons considérée pour vérifier
la propriété 7.2.6 page 164.
□

Pour la suite, nous considérons les immersions de Legendre qui sont définies via l'application
de Gauss correspondant au prolongement géodésique du champ orthonormal. Considérons donc
$e \in \mathbb{S}^n$ un point de référence ainsi que l'équateur $C_e$, que nous appellerons **horizon à l'infini**
**centré en e** pour la suite de cette section. Ainsi, si $\mathcal{H} \subset \Omega_e$ est une hypersurface orientée et
dont le champ orthonormal est $v : \mathcal{H} \to ST\mathbb{S}^n$, alors pour tout point $x \in \mathcal{H}$, on définit $\nu(x)$
comme étant l'unique point d'intersection de l'horizon $C_e$ avec la restriction sur l'intervalle $]0; \pi[$ de la géodésique qui passe par le point $x$ à la vitesse $v(x)$. Par conséquent, considérons pour tout point $x \in \Omega_e$ et vecteur $u \in \mathbb{S}_x^{n-1}$, la géodésique $\gamma(t) = \operatorname{Cos}(t)x + \operatorname{Sin}(t)u$ qui passe par le point $x$ à la vitesse $u$. En considérant $t_0 \in ]0 : \pi[$ l'unique instant tel que $\gamma(t_0) \in C_e$, il est clair que $\langle \gamma(t_0) | e \rangle = 0$ et en supposant que $t_0 \neq \frac{\pi}{2}$ on obtient forcément que :

$$ \frac{\gamma(t_0)}{\operatorname{Cos}(t_0)} = x + \operatorname{Tan}(t_0)u = x - \frac{\langle e | x \rangle}{\langle e | u \rangle} u \sim \langle e | u \rangle x - \langle e | x \rangle u \quad (10.3.0.5) $$

Ainsi, après normalisation, on définit l'application de Gauss centrée en $e$ pour l'hypersurface $\mathcal{H}$, comme étant l'application lisse $\nu: \mathcal{H} \mapsto C_e$ telle que $\nu(x) = \phi_e(x, v(x)) \in C_e$, pour tout point $x \in \mathcal{H}$ où $\phi_e: ST\Omega_e \mapsto C_e$ est l'application lisse vérifiant l'expression suivante :

$$ \phi_e(x, u) = f_e(x, u)[\langle e|x\rangle u - \langle e|u\rangle x] \quad (10.3.0.6) $$

avec $f_e(x, u) = \frac{1}{\sqrt{\langle e|x\rangle^2 + \langle e|u\rangle^2}}$. Par conséquent, il est donc justifié de définir l'application de Gauss d'un g-hérisson via la définition suivante :

**Définition 10.3.2.** Si $\mathcal{H} \subset \mathbb{S}^n$ est un g-hérisson centré en $e$, alors on appelle application de Gauss centrée en $e$ l'application $\nu: \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto C_e$ telle que :

$$ \nu(u) = \phi_e(x(u), N(u)) \quad (10.3.0.7) $$

où $x$ et $N$ sont le paramétrage et le champ orthonormal du g-hérisson.

**Propriété 10.3.2.** Si $\mathcal{H} \subset \Omega_e$ est un g-hérisson de la sphère et qui est centré en $e$, alors son application de Gauss vérifie l'expression suivante :

$$ \nu(u) = \eta(u) \left[ u + \operatorname{Sin} h(u) \vec{V}(u) \right] \quad (10.3.0.8) $$

avec $\eta(u)$ étant le facteur de normalisation.

*Démonstration.* Il suffit de remarquer que $\nu(u) \sim \langle N(u)|e\rangle x(u) - \langle x(u)|e\rangle N(u)$ et, après quelques calculs, on obtient le résultat recherché. $\square$

**Remarque 10.3.1.** Si, pour $u_0 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, on a $x(u_0) = e$, alors, comme via l'expression (10.1.0.3), il est clair que l'image $h(u_0)$ et le gradient $\vec{\nabla} h(u_0)$ sont respectivement nuls, on a forcément que :

$$ \nu(u_0) = u_0 \text{ et } d_{u_0} \nu \cdot \vec{v} = \vec{v} \quad (10.3.0.9) $$

pour tout vecteur $\vec{v} \in T_{u_0} \mathbb{S}_e^{n-1}$.

Par conséquent, il est nécessaire de déterminer les conditions pour lesquelles l'application de Gauss d'un g-hérisson est un difféomorphisme. Considérons donc $\mathcal{H} \subset \mathbb{S}^n$ un g-hérisson centré en $e$. La dérivée covariante du champ orthonormal $N: \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto x^*T\mathbb{S}^n$ étant partout injective, alors on considère le morphisme de fibré $f \in \Omega_1(\mathbb{S}_e^{n-1}) \otimes \Delta(\mathbb{S}_e^{n-1})$, tel que :

$$ f_u := (d_u N)^{-1} \circ d_u x : T_u \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto T_u \mathbb{S}_e^{n-1} \quad (10.3.0.10) $$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$.

Il nous faut alors remarquer que $f$ est un endomorphisme symétrique pour la troisième forme fondamentale $III_u(\vec{v}_1, \vec{v}_2) = \langle d_u N \cdot \vec{v}_1 | d_u N \cdot \vec{v}_2 \rangle$. Ainsi, pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, on appelle
rayon de courbure principal pour u toute valeur propre de $f_u$. On peut ainsi constater que pour tout $x_0 \in \Omega_e$, si la fonction de réindexation $\phi: \mathcal{V} \subset \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathcal{W} \subset \mathbb{S}_{x_0}^{n-1}$ est un difféomorphisme local au voisinage d'un vecteur $u_0 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, alors les rayons de courbure principaux en $u_0$ (relativement au point de référence $e$) correspondent aux rayons de courbure principaux pour $v_0 = \phi(u_0)$ (relativement au point de référence $x_0$).

**Remarque 10.3.2.** Si $\mathcal{H} \subset \mathbb{S}_e^{n-1}$ est un g-hérisson centré en $e$ et $u_0 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ un vecteur, alors un scalaire $r \in \mathbb{R}$ est un rayon de courbure principal pour $u_0$ si et seulement s'il existe $\vec{v} \in T_{u_0}\mathbb{S}_e^{n-1}$, un vecteur non nul, tel que :

$$d_{u_0}x(\vec{v}) = rd_{u_0}N(\vec{v}) \qquad (10.3.0.11)$$

À présent, considérons $\nu \in \mathbb{S}^n$ un point ainsi que $S(\nu, R)$, l'hypersphère géodésique centrée en $\nu$ et de rayon $R$. Après un petit calcul, on peut constater que les courbures principales (pour l'orientation définie via la normale entrante) sont toutes les mêmes et admettent pour expression :

$$k = -\frac{1}{\mathrm{Tan}(R)} \quad \text{avec } \mathrm{Tan}(R) = \frac{\sqrt{1 - \langle \nu | x \rangle^2}}{\langle \nu | x \rangle} \qquad (10.3.0.12)$$

pour tout $x \in S(\nu, R)$.

**Remarque 10.3.3.** Si $e \in \mathbb{S}^n$ est un point de référence et $\nu \in C_e$ un point sur l'horizon, alors on peut construire un g-hérisson centré en $e$ qui correspond localement à une hypersphère $S(\nu, R)$. Il nous faut alors noter que dans ce cas de figure, il est clair que l'application de Gauss centrée en $e$ n'est pas injective.

**Définition 10.3.3.** Un g-hérisson $\mathcal{H} \subset \mathbb{S}^n$ centré en $e$ sera dit **non gaussien** lorsqu'il existe un vecteur $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ ainsi qu'un rayon de courbure principal $r \in \mathbb{R}$ pour $u$, tels que :

$$r = \frac{\sqrt{1 - \langle x(u)|\nu(u) \rangle^2}}{\langle x(u)|\nu(u) \rangle} \qquad (10.3.0.13)$$

avec $x: \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{S}^n$ et $\nu: \mathbb{S}_e^{n-1} \to C_e$ correspondant respectivement au paramétrage et à l'application de Gauss centrée en $e$ du g-hérisson $\mathcal{H}$.

**Note.** Dans le cas contraire, nous dirons que le g-hérisson $\mathcal{H}$ est **gaussien**.

**Théorème 10.3.1.** *L'application de Gauss d'un g-hérisson centré en $e$ est un difféomorphisme si, et seulement si, c'est un g-hérisson gaussien.*

*Démonstration.* Considérons $\mathcal{H} \subset \mathbb{S}^n$ un g-hérisson centré en $e$ ainsi que $\nu: \mathbb{S}_e^{n-1} \to C_e$ son application de Gauss centrée en $e$. Par la propriété 10.3.2 précédente, nous savons que $\langle u|\nu(u) \rangle > 0$ pour tout vecteur $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$. Il nous suffit alors de vérifier que l'application de Gauss est un difféomorphisme local en chaque point. Considérons donc un second point de référence $x_0 \in \Omega_e$ tel que le g-hérisson $\mathcal{H}$ intersecte la demi-sphère $\Omega_{x_0}$. À présent, il nous faut définir une application $f: (\Omega_e \cap \Omega_{x_0}) \times C_e \to (\Omega_e \cap \Omega_{x_0}) \times C_{x_0}$ telle que, si $\nu_{x_0}: \Gamma \subset \mathbb{S}_{x_0}^{n-1} \to C_{x_0}$ correspond localement à l'application de Gauss centrée en $x_0$ du g-hérisson $\mathcal{H}$, que l'on considère localement$^3$ comme étant un g-hérisson centré en $x_0$, alors sur le voisinage $\phi^{-1}(\Gamma)$, la relation suivante est vérifiée :

<footnote n="3">3. Par "localement", nous entendons qu'il existe $(\Sigma_u)_{u \in \Gamma \subset \mathbb{S}_{x_0}^{n-1}}$ une famille de g-hyperplans qui est définie sur un ouvert $\Gamma$ et qui est co-orientée en $x_0$ telle que l'enveloppe est comprise dans le g-hérisson $\mathcal{H}$.</footnote>
$$ (x(u), v_{x_0} \circ \phi(u)) = f(x(u), v(u)) \qquad (10.3.0.14) $$

où $\phi: \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto \mathbb{S}_{x_0}^{n-1}$ est la fonction de réindexation entre les points $e$ et $x_0$. Pour cela, considérons $\nu$, l'unique point d'intersection de l'horizon $C_e$ avec la restriction sur l'intervalle $[0; \pi]$ de la géodésique passant par le point $x \in \Omega_e$ à la vitesse $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ et en l'instant $t = 0$. Alors, par la relation (10.3.0.5), nous savons que $\nu = \mu(\langle e|x \rangle u - \langle e|u \rangle x)$, avec $\mu > 0$ étant le facteur de normalisation. Ainsi, comme $\langle e|x \rangle > 0$, alors, en projetant orthogonalement le point $\nu$ le long de la droite $\mathbb{R}x$, on a que $u = \mathcal{N}(\nu - \langle \nu|x \rangle x) \sim \nu - \langle \nu|x \rangle x$ et, suite à un petit calcul, on obtient que $\langle x_0|x \rangle u - \langle x_0|u \rangle x \sim \langle x_0|x \rangle \nu - \langle x_0|\nu \rangle x$. Par conséquent, après normalisation, on définit la fonction $f: (\Omega_e \cap \Omega_{x_0}) \times C_e \mapsto (\Omega_e \cap \Omega_{x_0}) \times C_{x_0}$ via l'expression suivante :

$$ f(x, \nu) = (x, \vec{f}(x, \nu)) \qquad (10.3.0.15) $$

avec $\vec{f}(x, \nu) = \mathcal{N}(\langle x_0|x \rangle \nu - \langle x_0|\nu \rangle x)$. Il est alors clair que $f$ correspond à l'unique application vérifiant la condition (10.3.0.14). De plus, en remarquant que, par le même procédé, on peut définir l'application inverse $g: (\Omega_e \cap \Omega_{x_0}) \times C_{x_0} \mapsto (\Omega_e \cap \Omega_{x_0}) \times C_e$, on obtient que l'application $f$ est un difféomorphisme.

Considérons donc $u_0 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ un vecteur ainsi que le point $x_0 = x(u_0)$. Alors on a vu, par procédé 10.2.3, que $\mathcal{H}$ est localement un g-hérisson centré en $x_0$. Considérons alors $y: \Gamma \subset \mathbb{S}_{x_0}^{n-1} \mapsto \mathbb{S}^n$ le paramétrage centré en $x_0$ (défini localement) ainsi que le vecteur $v_0 \in \Gamma$ tel que $x_0 = y(v_0)$. En particulier, on a vu (voir remarque 10.3.1) que dans ce cas :

$$ \nu_{x_0}(v_0) = v_0 \text{ et } d_{v_0} \nu_{x_0} \cdot \vec{W} = \vec{W} \qquad (10.3.0.16) $$

et par la relation (10.2.0.2) on obtient :

$$ d_{u_0} \nu \cdot \vec{W} = d_{(x_0, v_0)} \vec{g} \left( d_{u_0} x \cdot \vec{W}, d_{u_0} N \cdot \vec{W} \right) \qquad (10.3.0.17) $$

Pour la suite, notons que $\vec{g}(x, \varepsilon) = \eta(x, \varepsilon)\sigma(x, \varepsilon)$, pour tout $(x, \varepsilon) \in (\Omega_{x_0} \cap \Omega_e) \times C_{x_0}$ où $\sigma(x, \varepsilon) = \langle e|x \rangle \varepsilon - \langle e|\varepsilon \rangle x$. Ainsi pour tout $\vec{X} \in T_{x_0}\mathbb{S}^n$ et $\vec{E} \in T_{v_0}\mathbb{S}_{x_0}^{n-1}$ on a que :

$$ d_{(x, \varepsilon)} \vec{g}(\vec{X}, \vec{E}) = \eta(x, \varepsilon) [d_{(x, \varepsilon)} \sigma(\vec{X}, \vec{E}) + \langle \vec{g}(x, \varepsilon) | d_{(x, \varepsilon)} \sigma(\vec{X}, \vec{E}) \rangle \vec{g}(x, \varepsilon)] \qquad (10.3.0.18) $$

$$ \text{avec } d_{(x, \varepsilon)} \sigma(\vec{X}, \vec{E}) = \langle e|\vec{X} \rangle \varepsilon + \langle e|x \rangle \vec{E} - \langle e|\vec{E} \rangle x - \langle e|\varepsilon \rangle \vec{X}. $$

À présent, considérons le couple $(x_0, v_0)$. Il nous faut alors remarquer que pour tout vecteur $\vec{V} \in T_{v_0}\mathbb{S}_{x_0}^{n-1}$ non nul (en identifiant $\mathbb{S}_{x_0}^{n-1}$ avec l'horizon $C_{x_0}$) et vecteur $\vec{X} \in T_{x_0}\mathbb{S}^n$ quelconque, si la différentielle $d_{(x_0, v_0)}\sigma(\vec{X}, \vec{V})$ est non nulle, alors il en est de même pour $d_{(x_0, v_0)}\vec{g}(\vec{X}, \vec{V})$. En effet, comme le produit $\langle e|x_0 \rangle$ est non nul, alors la famille formée par les éléments $\sigma(x_0, v_0)$ et $d_{(x_0, v_0)}\sigma(\vec{X}, \vec{V})$ forme une famille libre. Par conséquent, considérons $\vec{W} \in T_{u_0}\mathbb{S}_e^{n-1}$ ainsi que les vecteurs $\vec{X} = d_{u_0}x \cdot \vec{W}$ et $\vec{V} = d_{u_0}N \cdot \vec{W}$. Par ce qui précède (voir la relation (10.3.0.17)), on sait que la différentielle $d_{u_0}\nu \cdot \vec{W}$ est nulle si et seulement si :

$$ d_{(x_0, v_0)} \sigma(\vec{X}, \vec{V}) = \langle e|\vec{X} \rangle v_0 + \langle e|x_0 \rangle \vec{V} - \langle e|\vec{V} \rangle x_0 - \langle e|v_0 \rangle \vec{X} = 0 \qquad (10.3.0.19) $$
Ainsi, en projetant alternativement l'égalité (10.3.0.19) le long des droites $\mathbb{R}x_0$ et $\mathbb{R}v_0$, on obtient que $\langle e|\vec{V} \rangle = 0$ et $\langle e|\vec{X} \rangle = 0$ et donc $\langle e|x_0 \rangle \vec{V} - \langle e|v_0 \rangle \vec{X} = 0$. Par conséquent, en notant $v_0 = \nu(u_0)$ alors par l'expression (10.3.0.15) on sait que $v_0 = \mu[v_0 - \langle x_0|v_0 \rangle x_0]$, où $\mu > 0$ est le facteur de normalisation. Et donc, après un petit calcul, on a que l'égalité (10.3.0.19) est équivalente à la relation suivante :

$$ \vec{V} + \frac{\langle x_0 | v_0 \rangle}{\sqrt{1 - \langle x_0 | v_0 \rangle^2}} \vec{X} = 0 \qquad (10.3.0.20) $$

ce qui nous donne le résultat recherché. □

À ce stade, on peut constater que nous retrouvons des constructions proches de celles que nous avons considérées au chapitre 5 pour les h-hérissons de l'espace hyperbolique. En particulier, nous retrouvons bien des relations et des caractéristiques qui correspondent à ce que nous avons vu par les propriétés 7.3.1 et 7.3.2 des pages 167 et 169, et qui traitent des conditions de correspondance entre les g-hérissons et les h-hérissons. En effet, par ce qu'il précède, on a forcément que tout g-hérisson gaussien centré en $e$ correspond à l'enveloppe paramétrée d'une famille lisse $(\Gamma_u)_{u \in C_e}$ où chaque $\Gamma_u$ est une hypersphère dans $\mathbb{S}^n$, centrée en $u \in C_e$. Or nous pouvons remarquer que de telles hypersphères jouent, dans le cadre de cette construction, un rôle similaire aux horosphères de l'espace hyperbolique. Ainsi, on obtient le résultat suivant :

**Définition 10.3.4.** Considérons $e \in \mathbb{S}^n$ un point de référence ainsi que $\iota : \Gamma \mapsto \text{STS}^n$ une immersion de Legendre centrée en $e$. Alors, on appelle application de Gauss de $\iota$ l'application $\nu : \Gamma \mapsto C_e$ qui est définie via la relation (10.3.0.7).

**Note.** Rappelons que si $\iota : \Gamma \mapsto \text{STS}^n$ est une immersion de Legendre, alors elle est de la forme $\iota(u) = (x(u), N(u))$, où $x : \Gamma \mapsto \mathbb{S}^n$ et $N : \Gamma \mapsto \mathbb{R}^{n+1}$ sont deux applications lisses vérifiant la condition de contact $\langle N(u)|d_u x \cdot \vec{v} \rangle = 0$. En particulier, nous dirons qu'une immersion de Legendre est centrée en $e$ lorsque $x(u) \in \Omega_e$ pour tout $u \in \Gamma$.

**Théorème 10.3.2.** Si $\mathcal{H} \subset \mathbb{S}^n$ est un g-hérisson gaussien centré en $e$, alors c'est le front legendrien d'une immersion de Legendre $\iota : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto \text{STS}^n$ qui est centrée en $e$ et dont l'application de Gauss $\nu : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto C_e$ est un difféomorphisme.

**Démonstration.** Par le théorème 10.3.1, c'est un résultat immédiat. □

<figure><img src="image_92.png" /></figure>

## 10.4 Relation de dualité

Nous avons déjà étudié cette question lors des chapitres 3 et 8 pour l'espace euclidien et l'espace hyperbolique. En particulier, nous avons pu constater que nous retrouvons des résultats équivalents. Sur la sphère $\mathbb{S}^n$, on définit les relations de dualité entre les points et les hyperplans projectifs de $\mathbb{P}_n$ (respectivement entre les g-hyperplans et les points de $\mathbb{P}_n$) en considérant, sur la sphère, les définitions 8.1.3 et 8.1.4 page 175.

Considérons donc un point de référence $e \in \mathbb{S}^n$. En remarquant que, par construction, la projection gnomonique correspond à la carte projective $\varphi_e : \mathbb{P}_n \setminus H_e \mapsto T_e$, avec $T_e = \langle e \rangle^{\perp} \subset \mathbb{R}^{n+1}$ et $H_e = p(T_e)$, il est clair que les relations de dualité entre la demi-sphère ouverte $\Omega_e$, l'hyperplan $T_e$ et l'espace projectif $\mathbb{P}_n$ se correspondent deux à deux. Pour en savoir plus, nous décrivons en détail cette correspondance à la section 4.3.1 de l'annexe D. Il est donc immédiat que nous retrouvons les mêmes relations de dualité pour les g-hérissons centrés en $e$ de la sphère que pour
les hérissons euclidiens sur $T_e$. En particulier, on obtient forcément les théorèmes 3.3.1 et 3.3.2 des pages 66 et 68 pour les g-hérissons de la sphère.

Pour finir, il nous faut remarquer que l’on peut associer au choix d’un point de référence $e \in S^n$, l’espace hyperbolique $\mathbb{H}_e$ correspondant au graphe de la fonction $f(w) = \sqrt{1 + \langle w|w \rangle}$, où la fonction $f$ est définie sur l’hyperplan $T_e$. Ainsi, il est immédiat que les notions de hérisson sur les espaces $\Omega_e, T_e$ et $\mathbb{H}_e$ se correspondent projectivement (via la projection gnomonique et la projection de Klein).

<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>FIGURE 10.1 – Correspondance sur l'espace projectif entre les notions de hérisson de l'espace euclidien, de l'espace hyperbolique et de la demi-sphère $\Omega_e$.</figcaption></figure>

Aussi, par les théorèmes de caractérisation projective, nous pouvons supposer qu'étudier la notion de hérisson dans l'espace projectif, en considérant les propriétés du dual projectif, permettrait potentiellement d'obtenir une piste pour la généralisation de la notion de hérisson. En effet, nous allons le voir, dans la prochaine partie, la notion de g-hérisson marginalement piégé sur les espaces de Lorentz $\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ et $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{R}$ comme étant la transformée de $\mathcal{L}$-Gauss de g-hérisson. Cela nous fournit une notion de g-hérisson marginalement piégé sur des espaces de Lorentz dont la courbure n'est pas nulle. Il serait donc intéressant de pouvoir étendre encore l'ensemble des espaces de Lorentz sur lesquels une telle notion peut être définie. C'est précisément pour répondre à cette problématique qu'il nous sera utile d'étudier la notion de hérissons via sa représentation duale dans l'espace projectif.
Troisième partie

Sur les g-hérissons marginalement
piégés
<figure><img src="image_94.png" /></figure>
En prolongeant les inégalités de la théorie de Brunn-Minkowski à la théorie des hérissons, Y. Martinez-Maure a établi une relation entre les surfaces marginalement piégées de l'espace de Lorentz-Minkowski et les hérissons euclidiens. Une surface marginalement piégée (resp. une surface piégée) est une surface sur une 4-variété de Lorentz<fnref n="4" /> qui est de type espace<fnref n="5" /> et dont le vecteur de courbure moyenne est de type lumière (resp. de type temps).

Pour comprendre l'intérêt et la motivation de considérer de telles surfaces, il nous faut prendre en compte les travaux de K. Schwarzschild. Après avoir pris connaissance des travaux d'Albert Einstein parus à la fin de l'année 1915, et qui définissent les bases de la relativité générale, K. Schwarzschild proposa, quelques mois plus tard, une solution explicite aux équations d'A. Einstein modélisant l'espace-temps au voisinage d'un astre sphérique. Ses travaux se répartissent sur deux articles : "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie" et "Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie" (voir [103] et [102] pour trouver les articles originaux), et dont les traductions <fnref n="6" /> de l'allemand à l'anglais ont été faites en 1999 par S. Antoci et A. Loinger.

Pour cette introduction, nous nous reposons essentiellement sur l'ouvrage [47] d'E. Humbert et de M. Vaugon, dans lequel nous trouvons une présentation des bases de la relativité générale au regard de la physique mathématique. Aussi, pour un exposé qui rentre dans tous les détails et qui recouvre toutes les démonstrations, il est possible de consulter l'ouvrage [16] (très complet) de Y. Choquet-Bruhat.

La conséquence des travaux de K. Schwarzschild est la suivante : Lorsque la masse de l'astre est suffisamment importante, relativement à sa taille, il apparaît alors une région bornée de l'espace dans laquelle toute particule (même les photons qui sont de masse nulle) qui s'y trouverait y serait alors piégée. En particulier, toute particule qui pénètrerait dans l'intérieur de cette région convergerait irrémédiablement vers son centre en un temps fini. Un tel point est alors appelé singularité de l'espace-temps et ainsi, on considère la définition suivante :

**Définition.** *On dit qu’un espace-temps<fnref n="7" /> (M, g) possède une singularité s’il existe des géodésiques incomplètes<fnref n="8" /> de type temps ou lumière.*

Mais le modèle de K. Schwarzschild suppose que l'espace-temps possède une symétrie sphérique parfaite, hypothèse qui n'est bien sûr jamais exactement vérifiée dans la réalité. C'est pour répondre à ce problème que Roger Penrose entreprend, dans les années 60, de démontrer que l'apparition d'une singularité est une conséquence de l'effondrement gravitationnel d'un astre suffisamment massif, indépendamment de toute hypothèse sur sa forme exacte. C'est ainsi que R. Penrose obtient un premier théorème (voir [83]) en 1965, qu'il améliore et généralise quelques années plus tard avec Stephen Hawking (voir [84]) et qui est connu sous le nom du théorème sur les singularités :

**Théorème.** *Considérons un espace-temps (M, g) vérifiant que la condition forte d'énergie est satisfaite, et contenant une surface de Cauchy non compacte ainsi qu'une surface piégée. Alors,*

<footnote n="4">4. Une 4-variété de Lorentz est une variété différentielle de dimension 4 que l'on munit d'une métrique de signature (3, 1).</footnote>

<footnote n="5">5. Une sous-variété d'une variété de Lorentz sera dite de *type espace* si tous les plans tangents sont de type espace.</footnote>

<footnote n="6">6. Voir les articles [105] et [104] qui correspondent aux traductions des articles de K. Schwarzschild.</footnote>

<footnote n="7">7. Un espace-temps est une 4-variété de Lorentz admettant une orientation en temps continue.</footnote>

<footnote n="8">8. Une géodésique d'une variété pseudo-riemannienne est dite *incomplète* si elle n'est pas définie sur tout $\mathbb{R}$ et ne peut être prolongée.</footnote>
il existe une géodésique de type lumière incomplète. En particulier, l'espace-temps admet une singularité.

Nous n'en dirons pas plus sur les surfaces marginalement piégées. Pour en savoir plus, il est possible de consulter les deux ouvrages [47] et [16] que nous avons présentés précédemment. Aussi, nous conseillons la lecture de l'ouvrage "La nature de l'espace et du temps" (voir [85]), qui est la traduction d'un ouvrage de vulgarisation scientifique écrit par Stephen Hawking et Roger Penrose et qui traite, en partie, de la question des singularités de l'espace-temps.
# Chapitre 11

## Les hérissons marginalement piégés dans l'espace de Lorentz-Minkowski

La théorie des hérissons, étant le prolongement (aux différences de corps convexes) de la théorie de Brunn-Minkowski, il a alors été nécessaire de vérifier si les inégalités que l'on connaît pour les corps convexes sont toujours valides pour les hérissons. C'est précisément pour prolonger les inégalités isopérimétriques à l'ensemble des hérissons de l'espace $E^3$, que Y. Martinez-Maure a défini la notion de hérisson marginalement piégé, et qui correspond à des transformations de $L$-Gauss de hérissons euclidiens (voir les articles [69], [60] et [74]). Dans ce chapitre, nous introduisons donc la notion de hérisson marginalement piégé et nous en étudierons les caractéristiques géométriques.

### 11.1 Majoration de l'inégalité isopérimétrique par l'aire signée d'un hérisson marginalement piégé

L'étude des inégalités isopérimétriques occupe une place importante dans la théorie de Brunn-Minkowski. Pour en savoir plus, il est possible de consulter le chapitre 7 de l'ouvrage [100] et le chapitre 2 de l'ouvrage [89] dans lesquels nous trouvons un exposé clair et complet sur la question. On a donc que tout corps convexe $K \subset \mathbb{R}^2$ sur le plan vérifie l'inégalité $4\pi A \le L^2$, où $A$ et $L$ désignent respectivement l'aire et le périmètre du corps $K$. Il est donc possible de prolonger cette inégalité aux hérissons du plan (voir proposition 5 de l'article [60]) tel que si $H_h$ est un hérisson euclidien du plan et dont la fonction de support est $h : \mathbb{S}^1 \to \mathbb{R}$, alors on a que :

$$4\pi a(h) \le l(h)^2 \qquad (11.1.0.1)$$

où $a(h)$ et $l(h)$ sont respectivement l'aire algébrique et la longueur du hérisson. Il est à noter que les fonctions $a$ et $l$ sont définies telles qu'en considérant le paramétrage $u(t) = (\operatorname{Cos}(t), \operatorname{Sin}(t))$ ainsi que la fonction de support $h(t)$, on obtient que les paramètres $a(h)$ et $l(h)$ admettent pour expression :

$$l(h) = \int_{0}^{2\pi} h(t)dt \text{ et } a(h) = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} h(t)R(t)dt \qquad (11.1.0.2)$$
avec $R(t) = h(t) + h''(t)$.

De plus, il est possible de vérifier que le déficit isopérimétrique $l(h)^2 - 4\pi a(h)$ est majoré (voir proposition 6 de l'article [60]) par l'aire $a(\partial h)$ de sa développée<fnref n="1" /> ainsi que l'aire mixte<fnref n="2" /> entre le hérisson $H_h$ et sa développée seconde $H_{\partial^2 h}$ tel que :

$$0 \le l(h)^2 - 4\pi a(h) \le -4\pi a(\partial h) = -4\pi a(h, \partial^2 h) \quad (11.1.0.3)$$

À présent, considérons $(d_u)_{u \in S^1}$ une famille de droites co-orientées ainsi que $h : S^1 \to \mathbb{R}$ sa fonction de support et $H_h$ le hérisson euclidien qui correspond à son enveloppe paramétrée. Alors la développée du hérisson $H_h$ correspond à un hérisson euclidien qui est défini par l'enveloppe paramétrée de la famille des droites $\delta_u = x_h(u) + \mathbb{R}u$ qui sont respectivement orthogonales à chaque droite de support $d_u$ et qui passent par le point $x(u)$. On peut alors vérifier qu'une telle famille de droites est bien co-orientée et admet $\partial h(t) = h'(t - \frac{\pi}{2})$ pour fonction de support. De même, la développée seconde est un hérisson du plan dont la fonction de support est $\partial^2 h(t) = -h''(t)$ et qui correspond à l'enveloppe paramétrée des droites qui sont parallèles aux droites de support $d_u$ et qui passent par les centres de courbure du hérisson $H_h$. Par conséquent, on obtient que l'inégalité isopérimétrique (11.1.0.1) est vérifiée pour les hérissons du plan tel que le déficit isopérimétrique est contrôlé par l'inégalité (11.1.0.3). De plus, les paramètres de ces deux inégalités correspondent à la suite des développées :

$$H_h \to H_{\partial h} \to H_{\partial^2 h} \quad (11.1.0.4)$$

et dont chaque terme est un hérisson euclidien du plan.

Sur l'espace euclidien $\mathbb{E}^3$, il n'est pas immédiat de retrouver un équivalent à l'inégalité (11.1.0.3) que nous obtenons pour les hérissons du plan (voir les articles [69] et [74]). Si $K \subset \mathbb{R}^3$ est un corps convexe, alors on sait qu'il vérifie l'inégalité isopérimétrique $M^2 - 4\pi S \ge 0$, avec $M$ et $S$ étant respectivement l'intégrale de la courbure moyenne et la surface du bord $\partial K$. Considérons donc un hérisson euclidien $H_h \subset \mathbb{E}^3$ dont la fonction de support est $h$. On peut alors vérifier<fnref n="3" /> que :

$$0 \le m(h)^2 - 4\pi s(h) \le -4\pi s(h, \partial^2 h) \quad (11.1.0.5)$$

où les paramètres $m(h)$, $s(h)$ et $s(h, \partial^2 h)$ correspondent respectivement aux intégrales de la courbure moyenne, de l'aire et de l'aire mixte entre le hérisson $H_h$ et sa développée moyenne<fnref n="4" /> $H_{\partial^2 h}$ qui est aussi un hérisson euclidien dont la fonction de support est $\partial^2 h(u) = -\frac{1}{2}\Delta(h)_u$.

Nous pouvons alors remarquer que nous ne retrouvons pas entièrement le schéma (11.1.0.4) que nous obtenons pour les hérissons du plan, du fait qu'il nous manque l'équivalent de la développée simple du hérisson $H_h$. Dans l'article [74], l'auteur nous apprend alors que : La surface correspondant à l'équivalent de la développée première, pour un hérisson $H \subset \mathbb{E}^3$ de

<footnote n="1">1. On appelle **développée**, d'une courbe $\Gamma$, la partie définie par la famille des centres de courbure. En particulier, la développée d'une courbe correspond à l'enveloppe de ses droites orthogonales</footnote>

<footnote n="2">2. On appelle **aire mixte** le coefficient $a(h, k) = \frac{1}{2}[a(h + k) - a(h) - a(k)]$. En particulier, il nous faut constater que la fonction $a$ étant définie via l'expression (11.1.0.2), c'est une forme quadratique. Par conséquent, la fonction qui correspond à l'aire mixte est une forme bilinéaire.</footnote>

<footnote n="3">3. Voir théorème 1 de l'article [69].</footnote>

<footnote n="4">4. On appelle **développée moyenne** d'une surface $\Sigma$, l'ensemble des centres de courbure moyenne. En particulier, si $H_h \subset \mathbb{E}^3$ est un hérisson euclidien, alors sa développée moyenne est un hérisson euclidien qui correspond à l'enveloppe des plans qui sont parallèles à ses plans de support et qui passent par les centres des segments focaux (i.e., c'est les segments qui sont définis par les centres de courbure principaux).</footnote>
l'espace, n'est pas un hérisson euclidien mais est une surface marginalement piégée de l'espace de Lorentz-Minkowski $\mathbb{L}^4 = \mathbb{E}^3 \times \mathbb{R}$, admettant des points ombilic et vérifiant des propriétés équivalentes à celles des hérissons euclidiens. Pour obtenir ce résultat, Y.Martinez-Maure s'est appuyé sur les travaux de B.Palmer (voir [82]) traitant de l'étude des transformés de $\mathcal{L}$-Gauss d'une immersion de Legendre sur l'espace $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^2$.

**Définition 11.1.1.** On appelle **famille de lignes lumière orientées**, toute famille lisse $(l_u)_{u \in \mathbb{S}^2}$ dans $\mathbb{L}^4$, où chaque $l_u$ est une droite de type lumière qui est orientée par le vecteur $(u, -1)$.

**Notation 11.1.1.** Pour chaque vecteur $u \in \mathbb{S}^2$, on notera $u_L = \frac{1}{\sqrt{2}}(u, -1)$. En particulier, on a que pour tout vecteur $u \in \mathbb{S}^2$, le vecteur $u_L$ est dans l'intersection $\mathbb{T}^3 \cap \mathbb{S}^3$.

**Définition 11.1.2.** On appelle **co-enveloppe** d'un champ orienté<fnref n="5" /> $(l_u)_{u \in \Gamma^2}$ de lignes lumière, avec $\Gamma$ étant une 2-variété différentielle, la donnée de l'image $y(\Gamma)$ et de l'application $y : \Gamma \mapsto \mathbb{L}^4$ (que nous appellerons **paramétrage**) telle que :

1. Pour tout $u \in \Gamma$, $y(u) \in l_u$.

2. Pour tout $u \in \Gamma$ et $\vec{v} \in T_u\Gamma$, $\langle du_y \cdot \vec{v} | u_L \rangle = 0$.

3. Pour tout $u \in \Gamma$, $\langle \delta(dy)_u | u_L \rangle = 0$, où $\delta$ correspond à l'opérateur de la co-différentielle de Hodge.

**Note.** Nous appellerons naturellement **condition de co-contact** la troisième condition ci-dessus. Il est important de noter que dans la définition 11.1.2 ci-dessus, le champ $u_L$ ne correspond pas forcément au champ de vecteurs que nous avons considéré à la définition 11.1.1.

**Avertissement 11.1.1.** Comme pour les hérissons et les g-hérissons, afin de ne pas alourdir inutilement notre texte, nous nous permettrons de considérer les co-enveloppes de familles de lignes lumière, sans faire mention de leurs paramétrages.

**Propriété 11.1.1.** Toute famille de lignes lumière orientées $(l_u)_{u \in \mathbb{S}^2}$ admet une unique 1-forme exacte $\alpha = dh \in \Omega_1(\mathbb{S}^2)$, que l'on appelle **1-forme de support**, telle que pour tout vecteur $u \in \mathbb{S}^2$ :

$$l_u = L_{h+k}(u) + \mathbb{R}u_L \qquad (11.1.0.6)$$

avec $L_{h+k}(u) = (\vec{\nabla}h(u), h(u) + k)$ et où $h$ est une primitive de $\alpha$.

**Démonstration.** Il suffit de remarquer que la famille d'hyperplans $\mathbb{R}^3 \cap (l_u)^\perp$ correspond à une famille d'hyperplans co-orientés. Ainsi, en considérant la forme $\alpha = dh$, avec $h$ la fonction de support de la famille d'hyperplans ainsi définie, on obtient le résultat recherché. $\square$

**Remarque 11.1.1.** Par la relation (11.1.0.6), il est clair que deux familles de lignes lumière orientées qui admettent la même 1-forme de support sont parallèles par rapport à l'axe du temps. Cela justifie la terminologie de 1-forme de support, du fait que si nous identifions les familles de lignes lumière parallèles par rapport à l'axe du temps, la forme de support admet les mêmes propriétés que la fonction de support des familles d'hyperplans co-orientés. En particulier, par le théorème 11.1.1 ci-dessous, nous retrouvons aussi cette caractéristique pour les hérissons marginalement piégés.

<footnote n="5">5. On appelle champ orienté de ligne lumière toute famille lisse $(l_u)_{u \in \Gamma}$ de droites de type lumière qui sont orientées par une application lisse $u_L : \Gamma \mapsto \mathbb{T}^3$.</footnote>
À présent, on définit, pour chaque hérisson euclidien $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{E}^3$, la famille de lignes lumière $(l_u)_{u \in \mathbb{S}^2}$ telle que pour tout vecteur $u \in \mathbb{S}^2$ on a $l_u = x(u) + \mathbb{R}u_L$, où $x$ est le paramétrage de $\mathcal{H}_h$. En particulier, il nous faut constater que si deux familles de lignes lumière orientées correspondent respectivement à deux hérissons euclidiens parallèles $^6$, alors elles sont aussi parallèles par rapport à l'axe du temps.

<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>FIGURE 11.1 – Hérissons parallèles et vérifiant donc que leurs fonctions de support correspondent à des primitives d'une même 1-forme différentielle.</figcaption></figure>

**Remarque 11.1.2.** Toute famille $(l_u)_{u \in \mathbb{S}^2}$ de lignes lumière orientées correspond à un unique hérisson euclidien $\mathcal{H}_h$ au sens où elles sont définies telles que $l_u = x(u) + \mathbb{R}u_L$, avec $x$ étant le paramétrage du hérisson $\mathcal{H}_h$.

**Théorème 11.1.1.** Toute famille de lignes lumière orientée admet une unique co-enveloppe. Plus précisément, si $(l_u)_{u \in \mathbb{S}^2}$ est une famille de lignes lumière orientées, de 1-forme de support dh, alors le paramétrage de sa co-enveloppe admet pour expression :

$$y_{\partial h}(u) = L_{h+k}(u) + \delta(\partial h)_u u_L \qquad (11.1.0.7)$$

avec $\partial h(u) = \frac{1}{\sqrt{2}} dh$.

**Démonstration.** Considérons donc $\mathcal{H}_h$ un hérisson euclidien de fonction de support $h$ et dont le paramétrage est $x(u) = h(u)u + \vec{\nabla}h(u)$. Alors, considérons la famille de ligne lumière orientée qui est définie par les $l_u = x(u) + \mathbb{R}u_L$ et supposons qu'elle admet une co-enveloppe dont le paramétrage est $y: \mathbb{S}^2 \to \mathbb{L}^4$. Il est alors clair que le paramétrage admet pour expression $y(u) = x(u) + f(u)u_L$ où $f$ est une fonction de classe $C^\infty$. Après quelques calculs (voir annexe F pour plus de détails), on obtient que $\Delta_S(x)_u = -(2h(u) + \Delta_S(h)_u)u + \vec{\nabla}[2h(u) + \Delta_S(h)_u]$ et $\Delta_S[f(u)u] = (\Delta_S(f)_u - 2f(u))u + 2\vec{\nabla}h(u)$. Étant donné que la condition de co-contact implique que $\langle \Delta_S(y)_u | u_L \rangle = 0$, alors on obtient que $-2h(u) - \Delta_S(h)_u + \Delta_S(f)_u - 2f(u) - \Delta_S(f)_u = 0$ et donc :

$$f(u) = -h(u) - \frac{1}{2} \Delta_S(h)_u \qquad (11.1.0.8)$$

ce qui termine la preuve.

<figure><img src="image_96.png" /></figure>

**Notation 11.1.2.** Dans la suite, nous noterons $\partial = \frac{1}{\sqrt{2}}(d + \delta)$ l'opérateur de Hodge-Dirac et où le facteur $\frac{1}{\sqrt{2}}$ est défini pour des raisons de cohérence. En particulier, nous avons que $\partial^2$ correspond à l'opérateur de Hodge-Laplace et en notant $\Delta_S$ l'opérateur de Laplace-Beltrami,

<footnote n="6">6. Deux hérissons euclidiens sont dits *parallèles* lorsque leurs fonctions de support correspondent à deux primitives d'une même 1-forme exacte.</footnote>
il nous sera utile de remarquer que pour toute fonction lisse $f : \mathbb{S}^2 \to \mathbb{R}$, on a que $\partial^2(f) = -\frac{1}{2}\Delta_S(f)$.

À présent, il nous sera utile de rappeler quelques notions élémentaires. Pour cela, nous nous reposons principalement sur le chapitre 5 de l'ouvrage [35] et plus particulièrement sur la re-marque page 34 de l'ouvrage [50] où nous trouvons la définition la plus générale possible de la notion de courbure moyenne. Considérons donc $(M, g)$ une variété pseudo-Riemannienne ainsi que $\Gamma \subset M$ une $p$-sous-variété de type espace (i.e. sur chaque espace tangent $T_u\Gamma$, la restriction de la métrique $g_u$ est un produit scalaire). Alors on appelle **première forme fondamentale** et **seconde forme fondamentale** les tenseurs $I \in \Omega_1(\Gamma) \otimes \Omega_1(\Gamma)$ et $II \in \Omega_1(\Gamma) \otimes \Omega_1(\Gamma) \otimes \Delta(\Gamma)$ tels que $I(X, Y) = g(X, Y)$ et $II(X, Y) = (\nabla(X) \cdot Y)^\perp$, où $\nabla$ est la connexion de Levi-Civita. De plus, on appelle **vecteur de courbure moyenne** la section $H \in \Gamma^0(i^*TM)$, avec $i : \Gamma \mapsto M$ étant l'injection canonique, et qui est définie telle que $H(u) = II_u(v_1, v_1) + \cdots + II_u(v_p, v_p)$, où $(v_1, \cdots, v_p)$ est une base orthonormale$^7$ pour la première forme fondamentale. Par conséquent, nous pouvons considérer la définition suivante :

**Définition 11.1.3.** Soit $(M, g)$ une $4$-variété de Lorentz, alors on appelle **surface marginalement piégée** toute $2$-sous-variété $\Gamma \subset M$ qui est de type espace et dont le vecteur de courbure moyenne est de type lumière.

Rappelons que nous avons déjà défini (voir définition 1.2.6 page 39) la notion de fonction de courbure $R_h : \mathbb{S}^2 \to \mathbb{R}$ d'un hérisson. En particulier, nous avons remarqué que cette fonction joue le même rôle (pour les hérissons) que la notion de courbure pour les corps convexes. Il est alors nécessaire de constater que, par la propriété 1.3.2 page 41, la fonction de courbure $h \to R_h$ est quadratique. Ainsi, on définit naturellement la **fonction de courbure mixte**, qui, pour toute fonction de support $h$ et $k$, donne :

$$R_{(h,k)} = \frac{1}{2}[R_{h+k} - R_h - R_k] \qquad (11.1.0.9)$$

Pour en savoir plus sur la fonction de courbure mixte $R_{(h,k)}(u)$ et ses applications, il est possible de consulter l'article [70]. Par conséquent, on considère le résultat suivant :

**Théorème 11.1.2.** Toute co-enveloppe d'une famille de lignes lumière orientées est, en ses points non-ombilicaux, localement une surface marginalement piégée. Plus précisément, si $\partial\mathcal{H} \subset \mathbb{L}^4$ est la co-enveloppe d'une famille de lignes lumière orientées $(l_u)_{u \in \mathbb{S}^2}$ dont la 1-forme de support est $\alpha = dh$, alors son paramétrage $y : \mathbb{S}^2 \to \mathbb{L}^4$ vérifie les deux points suivants :

1. La première forme fondamentale vérifie que $y^*g = \frac{1}{4}(R_1 - R_2)^2 g_S$, avec $g$ étant la métrique de Minkowski, les $R_i(u)$ étant les rayons de courbure principaux$^8$ du hérisson$^9$ $\mathcal{H}_h$, et $g_S$ étant la métrique usuelle de la sphère.

2. Si, pour un vecteur $u_0 \in \mathbb{S}^2$, les rayons de courbure vérifient que $R_1(u_0) \neq R_2(u_0)$, alors $\partial H$ est localement une surface marginalement piégée en $y(u_0)$ et son vecteur de courbure moyenne est, via le paramétrage $y$, colinéaire à $u_L$.

<footnote n="7">7. Il est à noter que la deuxième forme fondamentale vérifie que pour toute base orthonormale pour la première forme fondamentale $(e_1, \cdots, e_p)$ et $(v_1, \cdots, v_p)$, on a que $II_u(e_1, e_1) + \cdots + II_u(e_p, e_p) = II_u(v_1, v_1) + \cdots + II_u(v_p, v_p)$, ce qui justifie la définition du vecteur de courbure moyenne.</footnote>

<footnote n="8">8. On appelle rayon de courbure principal en $u$, d'un hérisson euclidien $\mathcal{H}$ de paramétrage $x$, toute valeur propre de l'endomorphisme $d_u x : T_u \mathbb{S}^2 \to T_u \mathbb{S}^2$.</footnote>

<footnote n="9">9. Il est à noter que dans ce cas de figure, comme nous considérons la différence des deux rayons de courbure principaux, alors le hérisson $\mathcal{H}_h$ est arbitrairement choisi parmi les hérissons euclidiens dont la fonction de support correspond à une primitive de la forme $\alpha$.</footnote>
Démonstration. Considérons donc $(l_u)_{u \in \mathbb{S}^2}$ une famille de lignes lumière orientées ainsi que $\mathcal{H}_h$ dans l'espace $\mathbb{E}^3$ le hérisson euclidien qui lui correspond. Précédemment, nous avons vu que le paramétrage de la co-enveloppe d'une famille de lignes lumière est défini tel que $y(u) = x(u) + f(u)u_L$ où $x$ est le paramétrage du hérisson $\mathcal{H}_h$ et $f$ est la fonction vérifiant l'expression (11.1.0.8). Aussi, nous pouvons vérifier que la fonction de courbure mixte, pour les fonctions de support $h$ et $k=1$, admet pour expression (voir [70]) :

$$R_{(1,h)}(u) = h(u) + \frac{1}{2} \Delta_S(h)_u \qquad (11.1.0.10)$$

pour tout $u \in \mathbb{S}^2$. Par conséquent, comme on a que $\Delta_S[f(u)u] = (2h(u) - \frac{1}{2}\Delta_S^2(h)_u)u - \overrightarrow{\nabla}[2h(u) + \Delta_S(h)_u]$ (voir le lemme 6.2.1 page 318 de l'annexe F) alors on obtient :

$$\Delta_S(y)_u = -\Delta_S[R_{(1,h)}]_u u_L \qquad (11.1.0.11)$$

pour tout $u \in \mathbb{S}^2$.

À présent, rappelons que la différentielle du paramétrage est $d_u x \cdot \overrightarrow{v} = h(u) \overrightarrow{v} + Hess(h)_u * \overrightarrow{v}$ (voir propriété 1.3.2 page 41). Ainsi, si $R_1(u)$ et $R_2(u)$ sont les rayons de courbure principaux, il est alors immédiat que :

$$R_1(u) + R_2(u) = 2h(u) + \mathrm{Tr}Hess(h)_u = 2h(u) + \Delta_S(h)_u = 2R_{(1,h)}(u)$$

ce qui nous donne que $f(u) = -R_{(1,h)}(u) = -\frac{1}{2}(R_1(u) + R_2(u))$. En particulier, on sait que la fonction $f$ correspond au rayon de courbure moyenne. Ensuite, après un petit calcul, on obtient que $d_u y \cdot \overrightarrow{v} = d_u x \cdot \overrightarrow{v} + \langle \overrightarrow{\nabla} f(u) | \overrightarrow{v} \rangle u_L + f(u) \overrightarrow{v}$. Considérons donc les vecteurs $\overrightarrow{e_1}$ et $\overrightarrow{e_2}$ correspondant à une base orthonormale (pour la métrique usuelle de la sphère $\mathbb{S}^2$) et étant des vecteurs propres de la matrice $Hess(h)_u$. Alors, il est clair que $d_u x \cdot \overrightarrow{e_i} = R_i(u) \overrightarrow{e_i}$ et donc :

$$\langle d_u y \cdot \overrightarrow{e_1} | d_u y \cdot \overrightarrow{e_2} \rangle = 0 \text{ et } \langle d_u y \cdot \overrightarrow{e_i} | d_u y \cdot \overrightarrow{e_i} \rangle = \frac{1}{4} (R_1(u) - R_2(u))^2$$

ce qui nous donne que la première forme fondamentale admet pour expression $y^*g = \frac{1}{4}(R_1 - R_2)^2 g_S$. En particulier on obtient que, pour tout vecteur $u \in \mathbb{S}^2$, le vecteur de courbure moyenne vérifie la relation $H(u) = \frac{1}{2} \Delta_{I_y}(y)_u \sim \Delta_S(y)_u \sim u_L$ ce qui nous donne le résultat recherché. $\square$

**Notation 11.1.3.** Si $w$ est une métrique sur la sphère $\mathbb{S}^2$, alors nous notons $\Delta_w$ l'opérateur de Laplace-Beltrami qui correspond à la métrique $w$. En particulier, nous notons $\Delta_S$ l'opérateur de Laplace-Beltrami qui correspond à la métrique usuelle de la sphère.

La terminologie de hérisson se justifie du fait que, pour chaque direction $u \in \mathbb{S}^2$, il existe une seule et unique droite $N(u) = x(u) + \mathbb{R}u$ qui est dirigée par le vecteur $u$ et qui pointe orthogonalement à $\mathcal{H}_h$ et vers l'extérieur, à l'image des épines du mammifère. De même, il convient de souligner que, pour chaque direction $u_L = \frac{1}{\sqrt{2}}(u, -1) \in \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb{S}^2 \times \{-1\}$, il existe une et une seule ligne lumière $l_u = y(u) + \mathbb{R}u_L$, qui est orientée par le vecteur $u_L$ et correspondant à la "normale sortante" de la co-enveloppe $\partial\mathcal{H}$ dans $\mathbb{L}^4$.

Ensuite, il est important de remarquer que par les relations (11.1.0.10) et (11.1.0.12) on a que pour une même 1-forme de support correspond une famille de hérissons marginalement piégés qui peut être considérée comme un seul et unique hérisson marginalement piégé défini à translation parallèle près suivant l'axe des temps $\mathbb{R}\partial t$. Il est donc justifié de noter $\mathcal{H}_{\partial h}$ la famille des hérissons marginalement piégés ainsi définie.
**Avertissement 11.1.2.** À présent, nous nous permettrons de confondre les hérissons marginalement piégés avec leur classe d'équivalence pour la relation correspondant à la translation par rapport à l'axe du temps. En particulier, pour une 1-forme de contact $\partial h$, il est alors justifié de noter $\mathcal{H}_{\partial h}$ le hérisson marginalement piégé qui lui correspond et dont l'unicité nous est assurée à translation près par rapport à l'axe du temps $\mathbb{R}\partial_t$. Il est aussi à noter que dans la suite, l'information du positionnement d'un hérisson marginalement piégé sur l'axe du temps ne joue aucun rôle. Cela justifie donc la démarche que nous adoptons. Ajoutons enfin que le facteur $\frac{1}{\sqrt{2}}$ qui accompagne l'opérateur de Hodge-Dirac, est choisi de manière à ce que le hérisson dont la fonction de support est $\partial^2 h := \partial(\partial h)$ coïncide avec la développée moyenne du hérisson $\mathcal{H}_h$.

Sur le plan, nous avons vu que l'inégalité isopérimétrique (11.1.0.3) correspond aux développées première et seconde d'un hérisson euclidien. De même, sur l'espace $\mathbb{E}^3$, nous avons l'inégalité isopérimétrique (11.1.0.5) pour laquelle la majoration du déficit isopérimétrique se fait uniquement avec la surface mixte entre le hérisson $\mathcal{H}_h$ et sa développée par les centres de courbure moyenne. Il nous reste donc à positionner notre hérisson marginalement piégé dans cette inégalité et de comprendre le rapport entre ce que nous avons sur le plan et ce que nous obtenons sur l'espace $\mathbb{E}^3$. Tout d'abord, après un petit calcul, nous avons que le paramétrage $y: \mathbb{S}^2 \to \mathbb{L}^4$ de $\mathcal{H}_{\partial h}$ vérifie l'expression suivante :

$$y(u) = (c_h(u), R_{(1,h)}(u)) \qquad (11.1.0.12)$$

où $c_h(u) = x(u) - R_{(1,h)}(u)u$ est le centre de courbure moyenne. Ainsi, il est clair que le hérisson $\mathcal{H}_{\partial h}$ correspond à l'ensemble des sphères de courbure moyenne vues sur l'espace de Lorentz-Minkowski via la bijection $\varphi: \mathbb{L}^4 = \mathbb{E}^3 \times \mathbb{R} \to \Gamma(\mathbb{E}^3)$, où $\Gamma(\mathbb{E}^3)$ est l'ensemble des sphères orientées de l'espace euclidien, et dont l'image de chaque point $(x, r) \in \mathbb{L}^4$ correspond à la sphère<fnref n="10" /> de centre $x$, de rayon $|r|$ et dont l'orientation est définie par le signe du scalaire $r$.

Pour la suite, il nous est nécessaire d'introduire quelques éléments de vocabulaire. Considérons donc l'ensemble des plans orientés et des cycles<fnref n="11" />, alors on appelle **contact orienté** d'un plan ou d'un cycle avec un autre plan ou un autre cycle le fait que les plans tangents et les vecteurs normaux coïncident au point de contact. En particulier on dira qu'un plan ou un cycle est en contact orienté avec un point, qui est une sphère de rayon nul, lorsque ce dernier est sur le plan ou sur le cycle considéré.

**Remarque 11.1.3.** Via la bijection $\varphi$, il nous sera utile de constater que deux cycles qui correspondent aux points $y_1 \in \mathbb{L}^4$ et $y_2 \in \mathbb{L}^4$ sont en contact orienté si et seulement si le vecteur $y_1 - y_2$ est de type lumière ou nul.

Ensuite, considérons $\Sigma \subset \mathbb{E}^3$ une surface orientée n'admettant aucun point parabolique<fnref n="12" />. Alors, si $\nu$ est le champ orthonormal qui correspond à son orientation, on appelle **transformée de L-Gauss** la donnée de l'image $y(\Sigma)$ que l'on munit du paramétrage $y: \Sigma \to \mathbb{L}^4$ qui est défini via l'expression :

$$y(x) = (c(x), R(x)) \qquad (11.1.0.13)$$

<footnote n="10">10. Il nous faut préciser que dans le cas de figure où le scalaire $r$ est nul alors $\varphi(x, r)$ correspond à $\{x\}$ et que l'on considère comme étant une sphère de rayon nul. En particulier, la partie $\Gamma(\mathbb{E}^3)$ est l'ensemble des singletons et des sphères orientées sur l'espace $\mathbb{E}^3$.</footnote>

<footnote n="11">11. Les cycles de l'espace $\mathbb{E}^3$ correspondent aux sphères orientées et aux points qui sont alors considérés comme étant des sphères de rayon nul. En particulier, l'ensemble $\Gamma(\mathbb{E}^3)$ correspond à l'ensemble des cycles de l'espace $\mathbb{E}^3$.</footnote>

<footnote n="12">12. Les points paraboliques sont les points où la courbure de Gauss s'annule, et donc où le rayon de courbure moyenne n'est pas défini.</footnote>
où $R(x)$ est le rayon de courbure moyenne au point $x$ et $c(x) = x - R(x)\nu(x)$ est le centre de courbure moyenne. Il est alors clair que via la bijection $\varphi$, la transformée de $\mathcal{L}$-Gauss d'une surface sans points paraboliques, correspond à sa famille de sphères de courbure moyenne. Pour en savoir plus, il est possible de consulter l'ouvrage [15], où nous trouvons en particulier une introduction à la géométrie de Laguerre sur laquelle se basent les constructions qui vont suivre.

Par conséquent, il est clair, que via la relation (11.1.0.12), on a que pour tout hérisson $\mathcal{H}_h$ de l'espace $\mathbb{E}^3$, le hérisson marginalement piégé $\mathcal{H}_{\partial h}$ correspond à sa transformée de $\mathcal{L}$-Gauss. De plus, en remarquant que l'ensemble des hérissons marginalement piégés, que l'on note $\Lambda(\mathbb{L}^4)$, forme un espace vectoriel qui est isomorphe à l'espace des 1-formes exactes, nous pouvons alors considérer l'invariant de Laguerre $\mathcal{L}: \Lambda(\mathbb{L}^4) \to \mathbb{R}$ et que l'on appelle **fonctionnelle de Laguerre**, comme étant défini via l'expression suivante :

$$ \mathcal{L}(\partial h) = \frac{1}{4} \int_{u \in \mathbb{S}^2} (R_1(u) - R_2(u))^2 d\sigma(u) = \frac{1}{4} \int_{u \in \mathbb{S}^2} (R_{(1,h)}^2(u) - R_h(u)) d\sigma(u) \quad (11.1.0.14) $$

où $\sigma$ est la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{S}^2$, $R_{(1,h)}$ est la fonction correspondant au rayon courbure moyenne et $R_h$ est la fonction de courbure du hérisson $\mathcal{H}_h$. Nous appellerons donc **surface de Laguerre** la valeur $\mathcal{L}(\partial h)$ ainsi que **surface signée** la valeur $s(\partial h) = -\mathcal{L}(\partial h)$. Par conséquent (voir les théorèmes 2 et 4 de [74] pour plus de détails), nous pouvons compléter l'inégalité (11.1.0.5) telle que :

$$ 0 \le m(h)^2 - 2\pi s(h) \le -4\pi s(\partial h) = -4\pi s(h, \partial^2 h) \quad (11.1.0.15) $$

ce qui nous donne une inégalité isopérimétrique dont les paramètres correspondent bien aux développées successives du hérisson $\mathcal{H}_h$.

Enfin, il nous sera intéressant de faire un bilan en comparant ce que nous connaissons pour les hérissons du plan à ce que nous connaissons sur les hérissons de l'espace. Pour cela, commençons par remarquer que sur $\mathbb{S}^1$ l'opérateur de Hodge-Dirac $d + \delta$ correspond, via le paramétrage $u(t) = (Cos(t), Sin(t))$, à l'opérateur de dérivation des fonctions lisses $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Ensuite, il est clair que la développée seconde des hérissons du plan et la développée moyenne des hérissons de l'espace correspondent à des constructions équivalentes. En effet, on a que la développée seconde d'un hérisson du plan correspond à l'enveloppe des droites qui sont parallèles aux droites de support et qui passent par les centres de courbure. Et la développée moyenne d'un hérisson de l'espace correspond à l'enveloppe de la famille des plans parallèles aux plans supports et passant par le milieu des segments focaux <fnref n="13" />. Par conséquence, nous obtenons le graphe suivant :

<figure><img src="image_97.png" /></figure>

<footnote n="13">13. Ce sont les segments qui relient les deux centres de courbure principale de $\mathcal{H}_h$ dans $\mathbb{R}^3$.</footnote>
<figure><img src="image_98.png" /></figure>

La théorie des hérissons marginalen piégés n'est bien sûr pas limitée aux quelques éléments que nous avons considérés. En effet, nous aurions pu adapter nos constructions aux hérissons de Lorentz (voir [72]) ou aux hérissons fuchsiens (voir [29] et [72]) ou encore, plus récemment, aux hérissons complexes (voir [77]). Aussi, nous avons défini en partie II la notion de g-hérisson sur l'espace hyperbolique et la sphère. Nous verrons alors au prochain chapitre comment définir la notion de g-hérisson marginalen piégé comme étant la transformée de L-Gauss des g-hérissons sur le lorentziarisé$^{15}$ de l'espace hyperbolique et de la sphère. On aurait également pu considérer les multihérissons (que l'on appelle aussi N-hérissons, avec N étant le degré de l'application de Gauss) à condition, bien sûr, de faire attention au fait qu'un N-hérisson peut avoir des points paraboliques pour $N \ge 2$.

## 11.2 Structure de co-contact sur les hérissons marginalen piégés et relation avec les hérissons euclidiens.

Nous avons vu au chapitre 2 que tout hérisson euclidien correspond au front legendrien d'une immersion de Legendre dont l'application de Gauss est un difféomorphisme. En particulier, nous obtenons que tout hérisson se relève sur le fibré des sphères $\mathbb{E}^n \times \mathbb{S}^{n-1}$ en une sous-variété de Legendre. Dans cette section, nous considérons une structure symplectique sur laquelle sont vérifiées des propriétés équivalentes pour les hérissons marginalen piégés.

### 11.2.1 Espace symplectique, symplectomorphismes linéaires et structure complexe

On appelle **espace symplectique** la donnée d'un espace vectoriel $E$ et d'une 2-forme linéaire alternée $w \in \Lambda^2(E)$ est non dégénérée$^{16}$. Il est alors immédiat qu'un tel espace est de dimension paire $n = 2k$. En particulier, il existe une base, que l'on appelle **base de Darboux**, qui est de la forme $\beta = (e_1, \dots, e_k, f_1, \dots, f_k)$ et qui vérifie que :

$$w = e_1^* \wedge f_1^* + \dots + e_k^* \wedge f_k^* \qquad (11.2.1.1)$$

À présent, considérons $V \subset E$ un sous-espace vectoriel. Alors, nous dirons que le sous-espace $V$ est **symplectique** (resp. **isotropique**) lorsque la 2-forme $w$ est non dégénérée sur $V$.

<footnote n="14">14. La développée par projection d'une surface marginalen piégée $\Gamma \subset \mathbb{L}^4$ consiste à considérer l'enveloppe de la famille d'hyperplans affines $\Sigma_x = \pi_{\partial t}(x) + \langle \pi_{\partial t} \cdot H(x) \rangle^{\perp}$, qui est indexée sur la surface $\Gamma$ et dont $H(x)$ est le vecteur de courbure moyenne et $\pi_{\partial t}: \mathbb{L}^4 \to \mathbb{E}^3$ la projection orthogonale le long de l'axe du temps. En particulier, si $y: \mathbb{S}^2 \to \mathbb{L}^2$ est le paramétrage d'un hérisson marginalen piégé, alors on a que la développée par projection correspond à un hérisson euclidien qui est l'enveloppe paramétrée de la famille des hyperplans $\Sigma_u = c(u) + \langle u \rangle^{\perp}$, où les $c(u)$ sont tels que $y(u) = (c(u), r(u))$.</footnote>

<footnote n="15">15. On appelle lorentziarisé d'une variété de Riemann $(M, g)$, la variété de Lorentz $(M \times \mathbb{R}, g - dt^2)$.</footnote>

<footnote n="16">16. Une 2-forme $w$ est non dégénérée si, pour tout $u \in E$, la 1-forme $w(u, \cdot)$ est non nulle.</footnote>
(resp. lorsque la 2-forme $w$ est nulle sur $V$). Il est alors clair, en considérant $V^w$ comme étant l'orthogonal de $V$ pour la forme $w$, que :

* Le sous-espace $V$ est symplectique si et seulement si $V \cap V^w = \{0\}$.

* Le sous-espace $V$ est isotropique si et seulement si $V \subset V^w$.

Il nous faut alors noter qu’en considérant la base de Darboux $\beta = (e_1, \dots, e_k, f_1, \dots, f_k)$, les sous-espaces isotropiques sont tous de la forme $\langle e_{i_1}, \dots, e_{i_l} \rangle$ ou $\langle f_{i_1}, \dots, f_{i_l} \rangle$, et voient ainsi leur dimension majorée par $k$. En particulier, nous appellerons **sous-espace de Lagrange** les sous-espaces isotropiques maximaux. Enfin, pour terminer cette brève introduction sur les espaces vectoriels symplectiques, considérons :

**Les symplectomorphismes linéaires :** On dira qu'une application linéaire est un morphisme symplectique entre deux espaces symplectiques $(E_1, w_1)$ et $(E_2, w_2)$ lorsque $w_1 = f^*w_2$. De telles applications sont toujours injectives et on appelle alors **symplectomorphisme linéaire** tout isomorphisme symplectique. On a alors que par le théorème de Darboux linéaire : Deux espaces symplectiques de même dimension sont deux à deux linéairement symplectomorphes<fnref n="17" />.

**Les structures Complexes :** On appelle structure complexe la donnée d'un espace vectoriel $E$ que l'on munit d'un endomorphisme $J : E \to E$ tel que $J^2 = -Id$. Toute structure complexe est de dimension parie $n = 2k$ et admet une 2-forme symplectique $w \in \Lambda^2(E)$ compatible (i.e. $w(Ju, Jv) = w(u, v)$ et $w(u, Ju) > 0$). On peut aussi vérifier que tout espace symplectique admet une structure complexe. Ensuite, nous dirons qu'un triplet, qui est formé d'un produit scalaire $g \in E^* \otimes E^*$, d'une 2-forme symplectique $w \in \Lambda^2(E)$ et d'un endomorphisme $J : E \to E$ vérifiant que $J^2 = -Id$, est **compatible** lorsque pour tout vecteur $u$ et $v$ dans $E$, on a que $g(u, v) = w(Ju, v)$ et $w(u, v) = g(u, Jv)$. En particulier, il est à noter que deux éléments parmi les trois constituant d'un triplet compatible en déterminent automatiquement le troisième.

### 11.2.2 Variété symplectique et symplectisé d'une variété de contact

Une variété symplectique est la donnée d'une variété différentielle $M$ que l'on munit d'une 2-forme symplectique<fnref n="18" /> $w \in \Omega_2(M)$. Une telle variété est forcément de dimension $n = 2k$. De plus, elle est orientable et admet pour forme volume :

$$ \nu = \frac{1}{n!} w^k \qquad (11.2.2.2) $$

que l'on appelle la **forme de Liouville**.

**Définition.** Nous dirons qu'une sous-variété $\mathcal{L} \subset M$ est **lagrangienne** lorsque tous ses espaces tangents le sont aussi.

Ainsi, on sait que toute sous-variété de Lagrange est toujours de dimension $k$. En particulier, il nous sera utile de remarquer qu'elles admettent des caractéristiques équivalentes aux sous-variétés de Legendre en géométrie de contact.

**Définition.** On appelle **variété métrique de contact** la donnée d'une variété différentielle $M$ que l'on munit d'une métrique Riemannienne $g \in \Omega_1(M) \otimes \Omega_1(M)$ ainsi que d'une 1-forme $\alpha \in \Omega_1(M)$ et d'un morphisme de fibré $J : \Delta(M) \to \Delta(M)$ vérifiant les trois conditions suivantes :

<footnote n="17">17. Deux espaces symplectiques sont dits symplectomorphes s'ils sont isomorphes via un isomorphisme symplectique.</footnote>

<footnote n="18">18. Une 2-forme $w$ est dite symplectique si les $w_x \in \Lambda^2(T_x M)$ sont des 2-formes linéaires symplectiques.</footnote>
1. Si $\varepsilon_\alpha \in \Delta(M)$ est le dual métrique<fnref n="19" /> de $\alpha$, alors $\alpha(\varepsilon_\alpha) = 1$.

2. Pour tous champs de vecteurs X et Y, on a que $d\alpha(X, Y) = g(JX, Y)$.

3. Pour tout champ de vecteurs X, on a que $J^2X = -X + \alpha(X)\varepsilon_\alpha$.

Il nous faut alors noter que si $(M, g, \alpha, J)$ est une variété métrique de contact, alors nous avons bien que la structure $(M, \alpha)$ est une structure de contact dont le champ de Reeb<fnref n="20" /> est $\varepsilon_\alpha$. En particulier, la métrique $g$ vérifie l'expression suivante :

$$g(X, Y) = \alpha(X)\alpha(Y) + d\alpha(X, JY) \qquad (11.2.2.3)$$

Nous retrouvons aussi le même type de structure sur les variétés symplectiques en considérant les structures complexes que nous avons vues précédemment. On appellera donc **variété métrique symplectique** la donnée d'une $2k$-variété différentielle $M$, que l'on munit d'une métrique Riemannienne $g \in \Omega_1(M) \otimes \Omega_1(M)$, ainsi que d'une $2$-forme symplectique $w \in \Omega_2(M)$ et d'un morphisme complexe<fnref n="21" /> $J : \Delta(M) \to \Delta(M)$ vérifiant que pour tout champ de vecteurs $u$ et $v$ dans $\Delta(M)$ on a que $g(u, v) = w(Ju, v)$ et $w(u, v) = g(u, Jv)$.

À présent, considérons $(M, \alpha)$ une $(2k-1)$-variété de contact. Alors, on appelle **symplectisé de M** la $2k$-variété symplectique $(M \times \mathbb{R}, d[e^t\alpha])$. En particulier, nous avons la propriété suivante :

**Propriété.** Toute variété métrique de contact $(M, g, \alpha, J)$ induit une variété métrique symplectique $(\overline{M}, \overline{g}, w, \overline{J})$ où $\overline{M} = M \times \mathbb{R}$, $\overline{g} = g + dt^2$, et $w = d[e^t\alpha]$ telle que $\overline{J}|_{Ker \alpha} = J|_{Ker \alpha}$, $\overline{J} \cdot \varepsilon_\alpha = -\partial t$ et $\overline{J} \cdot \partial t = \varepsilon_\alpha$.

Pour en savoir plus sur le symplectisé d'une variété de contact, nous pouvons nous référer au cours de C.Stadtmuller (voir [106]). Enfin, nous considérons les définitions équivalentes aux fibrés et aux immersions de Legendre, au regard des variétés symplectiques. Ainsi, on considère les deux définitions suivantes :

**Définition 11.2.1.** Sur une variété symplectique $(M, w)$, on dira que $\pi : M \to \beta$ est une **fibration de Lagrange** si toutes ses fibres sont des sous-variétés lagrangiennes.

**Définition 11.2.2.** Soient $(M, w)$ une variété symplectique, alors on appelle **immersion de Lagrange** toute immersion $i : \mathcal{L} \to M$ pour laquelle les $d_{\pi i}(T_{\pi i}\mathcal{L})$ sont tous des sous-espaces vectoriels lagrangiens.

**Note.** Aussi, on appelle **front de Lagrange**, pour $i$ et $\pi$ une immersion et un fibré de Lagrange, la donnée de l'image $x(\mathcal{L}) \subset \beta$ et du paramétrage $x := \pi \circ i$. Nous prendrons alors l'habitude de noter $x(\mathcal{L}) \subset \beta$ les fronts lagrangiens sans mentionner le paramétrage afin de ne pas inutilement alourdir notre texte.

### 11.2.3 Représentation d'un hérisson marginalement piégé par un front lagrangien

Rappelons qu'au chapitre 3, nous avons défini la structure de contact qui correspond au fibré des sphères $\mathbb{E}^n \times \mathbb{S}^{n-1}$ et dont la forme de contact $\alpha$ est définie via l'expression (2.1.0.1). En

<footnote n="19">19. Le dual métrique d'une $1$-forme $w \in \Omega_1(M)$ est le champ de vecteurs $V \in \Delta(M)$ tel que $w_x = g(V_x, \cdot)$ pour tout point $x \in M$.</footnote>

<footnote n="20">20. Pour rappel, sur une structure de contact $(M, \alpha)$, le champ de Reeb est l'unique champ de vecteurs $\varepsilon \in \Delta(M)$ vérifiant que $\alpha(\varepsilon) = 1$ et $\varepsilon \in Ker \alpha$.</footnote>

<footnote n="21">21. Un morphisme de fibré $J$ est dit complexe lorsque $J^2 = -Id$.</footnote>
particulier, nous avons vu (voir propriété 2.2.1 page 49) que tout hérisson euclidien sur l'espace $\mathbb{E}^n$ est le front legendrien d'une immersion de Legendre de la forme $i(u) = (x(u), u)$, où $x$ est une application lisse.

Considérons donc le symplectisé $(\mathbb{L}^4 \times \mathbb{S}^2, w)$ de la variété de contact $\mathbb{E}^3 \times \mathbb{S}^2$ ainsi que le fibré de Lagrange $\pi_L : \mathbb{L}^4 \times \mathbb{S}^2 \hookrightarrow \mathbb{E}^3$ qui est défini via l'expression $\pi_L(x, t, u) = x$. Par conséquent, si $h : \mathbb{S}^2 \hookrightarrow \mathbb{R}$ est une fonction de support, alors on définit l'application $I_h : \mathbb{S}^2 \times \mathbb{R} \hookrightarrow \mathbb{L}^4 \times \mathbb{S}^2$ telle que :

$$I_h(u, t) = (x_{h-t}(u), t, u), \qquad (11.2.3.4)$$

et qui est donc une immersion de Lagrange. Il nous faut alors remarquer que la 3-sous-variété de Lagrange $\mathcal{L}_h = I_h(\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R})$, qui est définie par l'immersion $I_h$, correspond à l'ensemble des hérissons parallèles au hérisson $\mathcal{H}_h$. En effet, tout hérisson euclidien parallèle à $\mathcal{H}_h$ est le front legendrien correspondant à une section de $\mathcal{L}_h$ qui est de la forme $\mathcal{L}_h^t = i_{h-t}(\mathbb{S}^2)$, et où l'immersion de Legendre $i_{h-t} : \mathbb{E}^3 \times \{t\} \times \mathbb{S}^2 \hookrightarrow \mathbb{E}^3$ est définie telle que :

$$i_{h-t}(u) = I_h(u, t) \qquad (11.2.3.5)$$

pour tout $u \in \mathbb{S}^2$.

Ensuite, sur la variété de contact $(\mathbb{E}^3 \times \mathbb{S}^2, \alpha)$, considérons l'endomorphisme complexe $J$ tel que, pour tout point $(x, u) \in \mathbb{E}^3 \times \mathbb{S}^2$ et vecteur $\vec{W} = \vec{X} \oplus \vec{V}$ sur l'espace tangent $T_{(x,u)}[\mathbb{E}^3 \times \mathbb{S}^2] = \mathbb{E}^3 \oplus T_u \mathbb{S}^2$, on a :

$$J(x, u) \cdot \vec{W} = (\vec{V}, \vec{X} - \langle \vec{X} | u \rangle u) \qquad (11.2.3.6)$$

Par conséquent, en considérant la métrique $g$ qui est définie via la relation (11.2.2.3), on obtient une variété métrique de contact $(\mathbb{E}^3 \times \mathbb{S}^2, \alpha, g, J)$ nous permettant de compléter le symplectisé $(\mathbb{L}^4 \times \mathbb{S}^2, w)$ en considérant la métrique de Lorentz $g_L = g - dt^2$. Considérons donc une fonction lisse $h$ ainsi que $\mathcal{H}_{\partial h}$ le hérisson marginalement piégé correspondant à la 1-forme exacte $\partial h$. Nous pouvons alors vérifier que l'application $\iota_{\partial h} : \mathbb{S}^2 \hookrightarrow \mathbb{L}^4 \times \mathbb{S}^2$, qui est définie via l'expression :

$$\iota_{\partial h}(u) = (y(u), u) \qquad (11.2.3.7)$$

correspond au paramétrage d'une surface marginalement piégée $\mathcal{I}_{\partial h} = \iota_{\partial h}(\mathbb{S}^2)$ qui est incluse dans la sous-variété lagrangienne $\mathcal{L}_h$ de $\mathbb{L}^4 \times \mathbb{S}^2$. Plus précisément, on a que :

1. La première forme fondamentale est $\iota_{\partial h}^* g_L = (1 + \frac{1}{4}(R_1 - R_2)^2) g_S$, avec $g_S$ étant la métrique usuelle sur la sphère $\mathbb{S}^2$ et où $R_1(u)$ et $R_2(u)$ sont les rayons de courbure principaux du hérisson euclidien qui est défini par la fonction de support $h$.

2. Le vecteur de courbure moyenne $\vec{H} : \mathcal{I}_{\partial h} \hookrightarrow T[\mathbb{L}^4 \times \mathbb{S}^2]$ vérifie que

$$\vec{H} \circ \iota_{\partial h}(u) = (u, -1, 0) = \varepsilon_{\alpha} \circ \iota_{\partial h}(u) - \partial t \circ \iota_{\partial h}(u)$$

avec $\varepsilon_{\alpha}(x, u) = (u, 0) \in \mathbb{E}^3 \times T_u \mathbb{S}^2$ étant le champ de vecteur de Reeb défini sur la variété de contact $\mathbb{E}^3 \times \mathbb{S}^2$.

Il s'ensuit que le hérisson marginalement piégé $\mathcal{H}_{\partial h}$ est l'image de la surface marginalement piégée $\mathcal{I}_{\partial h}$ via la projection du fibré de Lagrange $\pi_L : \mathbb{L}^4 \times \mathbb{S}^2 \hookrightarrow \mathbb{L}^4$ et, en particulier, on obtient le diagramme commutatif suivant :
<figure><img src="image_99.png" /></figure>

Pour conclure, on a que tout hérisson marginalement piégé $\mathcal{H}_{\partial h}$ se relève, via le fibré de Lagrange $\pi_L$, sur une surface marginalement piégée $\mathcal{I}_{\partial h}$ qui est comprise dans la sous-variété lagrangienne $\mathcal{L}_h$ et qui correspond à la famille des hérissons parallèles $(\mathcal{H}_{h-t})_{t \in \mathbb{R}}$. Nous retrouvons donc bien un schéma équivalent à ce que nous connaissons pour les hérissons euclidiens.
# Chapitre 12

## Les g-hérissons marginalement piégés sur le lorentzianisé de l'espace hyperbolique et de la sphère.

Dans le chapitre précédent, nous avons introduit la notion de hérisson marginalement piégé, qui correspond à la transformation de $\mathcal{L}$-Gauss des hérissons euclidiens $\mathcal{H} \subset \mathbb{E}^3$ et qui définit ainsi une sous-catégorie de surfaces marginalement piégées. Dans ce chapitre, nous définissons et étudions donc la transformée de $\mathcal{L}$-Gauss des g-hérissons sur les variétés de Lorentz $\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ et $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{R}$. Pour cela, nous nous appuierons essentiellement sur les travaux de thèse de B.M.Xavier (voir chapitre 5 de [110]) dans lesquels l'auteur étudie les transformations de $\mathcal{L}$-Gauss d'hyper-surfaces de l'espace hyperbolique et de la sphère. En particulier, il est justifié de considérer les constructions introduites par B.M.Xavier comme étant équivalentes à celles que nous trouvons dans l'article [82] de B.Palmer, sur lequel s'est appuyé Y.Martinez-Maure pour définir la notion de hérisson marginalement piégé.

### 12.1 Définition de la notion de co-enveloppe et premières propriétés

Dans cette section, nous adaptons aux lorentziarisés $\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ et $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{R}$ les définitions 11.1.1 et 11.1.2 correspondant aux lignes lumière orientées et aux co-enveloppes des lignes lumière. Il est à noter que pour éviter la répétition des mêmes arguments, nous ne traiterons, pour toute la suite de ce chapitre et du chapitre suivant, que le cas des g-hérissons de l'espace hyperbolique. En particulier, nous nous en tiendrons uniquement à définir la notion de g-hérissons marginalement piégés sur le lorentziarisé $\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$.

#### 12.1.1 Les variétés de Lorentz $\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ et $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{R}$ vues comme espaces des sphères de l'espace hyperbolique et de la sphère.

Commençons par définir les variétés de Lorentz $(\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}, g_L)$ et $(\mathbb{S}^3 \times \mathbb{R}, g_L)$, où la métrique de Lorentz est donnée par $g_L = g - dt^2$, avec g étant respectivement la métrique usuelle sur
$\mathbb{H}^3$ et sur $\mathbb{S}^3$. Nous appelons respectivement ces deux variétés de Lorentz les **lorentziarisés** de l'espace hyperbolique $\mathbb{H}^3$ et de la sphère $\mathbb{S}^3$. Nous pouvons alors interpréter ces deux espaces comme étant les espaces des sphères orientées via les bijections $\phi: \mathbb{H}^3 \times \mathbb{R} \to \Gamma(\mathbb{H}^3)$ et $\phi: \mathbb{S}^3 \times \mathbb{R} \to \Gamma(\mathbb{S}^3)$, où $\Gamma(\mathbb{H}^3)$ et $\Gamma(\mathbb{S}^3)$ sont les ensembles des sphères orientées<fnref n="1" />, et qui sont définies de sorte que l'image de tout point $(x, r)$ correspond à la sphère géodésique orientée $S(x, |r|)$, dont le signe du scalaire $r$ en définit l'orientation.

À présent, considérons $\Sigma$ une hypersurface orientée et $\nu$ le champ orthonormal correspondant à son orientation. Alors pour toute fonction lisse $f: \Sigma \to \mathbb{R}$, on considère la fonction $y: \Sigma \to \mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ (resp. $y: \Sigma \to \mathbb{S}^3 \times \mathbb{R}$) définie comme suit :

$$y(x) = \exp_x(f(x)\nu_L(x)) \qquad (12.1.1.1)$$

où $\nu_L(x) = (\nu(x), -1)$ et $\exp_x$ est la carte exponentielle centrée en $(x, 0)$ dans $\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ ou $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{R}$. On peut alors vérifier (voir proposition 13 page 46 de [110] pour plus de détails) que, pour une surface $\Sigma$ sans point ombilic et dont les courbures principales vérifient la condition :

$$k_i^2 > 1, \qquad (12.1.1.2)$$

alors l'application $y$, définie via (12.1.1.1), correspond au paramétrage d'une surface marginalement piégée si, et seulement si, la fonction $f$ est le rayon de courbure moyenne. En particulier, nous appelons **transformée de L-Gauss** l'application $y$ définie via le rayon de courbure moyenne. Pour en savoir plus, il est possible de consulter l'ouvrage [10] où l'on trouve une introduction <fnref n="2" /> à la géométrie de Laguerre pour des espaces non euclidiens.

## 12.1.2 Famille de géodésiques lumière orientées en $e$

Sur l'espace de Lorentz-Minkowski, une famille de lignes lumière $(l_u)_{u \in \mathbb{S}^2}$ est dite orientée lorsque chaque ligne lumière $l_u$ est orientée par le vecteur $u_L = (u, -1)$. Il est alors clair qu'une telle définition revient à comparer globalement les orientations des lignes $l_u$. Par conséquent, nous nous appuierons sur la méthode des géodésiques porteuses et transverses afin d'adapter la définition de famille de lignes orientées sur le lorentzarisé $\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$. Pour cela, remarquons qu'une famille $(l_u)_{u \in \mathbb{S}^2}$, sur l'espace de Lorentz-Minkowski, est orientée si et seulement si la famille des intersections $\Sigma_u = \mathbb{E}^3 \cap (l_u)^\perp$ correspond à une famille de plans qui est co-orientée. Considérons donc une géodésique lumière $l \subset \mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$, alors on appelle **orthogonal affine** de la géodésique $l$, et que l'on note $(l)^\perp$, la partie telle que :

$$(l)^\perp = \{p \in \mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}, \text{ tel que } \forall q \in l, \gamma_{pq} \perp l\} \qquad (12.1.2.3)$$

où, pour chaque couple de points $p$ et $q$, la courbe $\gamma_{pq} \subset \mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ est la géodésique qui contient les points $p$ et $q$. Il nous faut alors vérifier que la partie $(l)^\perp$ est une surface totalement géodésique.

Pour cela, nous nous plaçons dans un cadre général en considérant $M^n(k)$ une variété riemannienne géodésiquement complète dont la courbure sectionnelle est constante et égale à

<footnote n="1">1. Il nous faut préciser que les sphères de rayon nul correspondent à des singletons et, par conséquent, n'admettent pas d'orientation.</footnote>

<footnote n="2">2. Il est à noter que les constructions que nous adoptons ne correspondent pas exactement à ce que nous trouvons dans l'ouvrage [10]. En particulier, dans l'ouvrage [10], l'espace des sphères de Laguerre correspond au $(x, SH(r))$ que l'on regarde sur l'espace projectif $\mathbb{P}_4$, avec $x$ étant un point du demi-hyperbolïde $\mathbb{H}^3$, qui correspond au centre de la sphère, et $r$ étant un scalaire qui correspond au rayon de la sphère.</footnote>
$k \in \mathbb{R}$. Nous savons alors qu'en tout point $q = (x, t) \in \mathbb{M}^n(k) \times \mathbb{R}$, l'application exponentielle $exp_q : T_x\mathbb{M}^n(k) \oplus \mathbb{R} \mapsto \mathbb{M}^n(k) \times \mathbb{R}$ vérifie que l'image d'un $p$-sous-espace vectoriel est une $p$-sous-variété totalement géodésique dans $\mathbb{M}^n(k) \times \mathbb{R}$. Aussi, par définition, si $p \in (l)^\perp$ et $q \in l$ alors la géodésique $\gamma_{pq}$ est comprise dans l'orthogonal $(l)^\perp$ et en particulier $l \subset (l)^\perp$. Nous obtenons alors le résultat suivant :

**Propriété 12.1.1.** *Pour toute géodésique de type lumière $l \subset \mathbb{M}^n(k) \times \mathbb{R}$, la partie $(l)^\perp$ est une hypersurface totalement géodésique. De plus, on a que :*

$$ (l)^\perp = \exp_p T_p(l)^\perp = \exp_p (T_p l)^\perp \quad (12.1.2.4) $$

pour tout point $p \in l$.

*Démonstration.* Considérons donc $l \subset \mathbb{M}^n(k) \times \mathbb{R}$ une géodésique de type lumière et définissons, pour tout point $q \in l$, la partie :

$$ K_q = \{p \in \mathbb{M}^n(k) \times \mathbb{R}, \text{ tel que } \gamma_{pq} \perp l\} $$

Il est alors clair que, via la carte exponentielle $exp_q : T_q[\mathbb{M}^n(k) \times \mathbb{R}] \mapsto \mathbb{M}^n(k) \times \mathbb{R}$ centrée au point $q$, la partie $K_q$ correspond à $exp_q^{-1} \cdot (l_q)^{\perp_{g_L q}}$, où $l_q = exp_q^{-1}(l)$, et est ainsi une hypersurface totalement géodésique.

Ensuite, considérons deux points $q$ et $q'$ dans $l$, ainsi que $p \in K_q$. Alors, la (ou les) géodésique(s) $\gamma_{pq}$ contenant les points $p$ et $q$ est (sont) orthogonale(s) à la géodésique lumière $l$. De plus, sachant que $K_q = exp_q^{-1} \cdot (T_q l)^{\perp_{g_L q}}$, en considérant les points $w = exp_q^{-1}(p)$ et $v = exp_q^{-1}(q')$ (ou qui vérifient uniquement que $p = exp(w)$ et $q' = exp_q(v)$ dans le cas où l'exponentielle n'est pas injective), il est immédiat que :

$$ \mathcal{P} = \langle w, v \rangle \subset (T_q l)^{\perp_{g_L q}} $$

où $T_q l = exp_q^{-1}(l) = \mathbb{R}v$.

À présent, considérons $\gamma_{pq'} : [0, 1] \mapsto \mathbb{M}^n(k) \times \mathbb{R}$ une géodésique qui passe par les points $p$ et $q'$ aux instants respectifs $t = 0$ et $t = 1$. Il nous faut donc vérifier que $\gamma_{pq'} \subset K_q$.

<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>FIGURE 12.1 – Positionnement de la géodésique $\gamma_{pq'}$ sur le plan $\mathcal{P}$.</figcaption></figure>

Supposons que $\partial_t \gamma_{pq'}(0) \notin T_p[exp_q^{-1}(\mathcal{P})]$. Il est alors clair que $\vec{v}_0 = (d_w exp_q)^{-1} \cdot \partial_t \gamma_{pq'}(0)$ n'est pas sur le plan $\mathcal{P} = \langle w, v \rangle$. Par propriété de l'exponentielle sur les espaces à courbure sectionnelle constante, on sait que $exp_q^{-1}(\gamma_{pq'}) \subset \langle w, \vec{v}_0 \rangle$, et en particulier $v \in \langle w, \vec{v}_0 \rangle$. Par
conséquent, étant de même dimension, on obtient que $\mathcal{P} = \langle v, w \rangle = \langle w, \vec{v}_0 \rangle$, ce qui contredit l'hypothèse initiale. Ainsi, $\partial_t \gamma_{pq'}(0) \in T_p[\exp_q^{-1}(\mathcal{P})]$ et comme $\exp_q(\mathcal{P})$ est une surface totale-ment géodésique, alors $\gamma_{pq'} \subset \exp_q(\mathcal{P})$.

On sait donc que $\vec{v}_1 = (d_v \exp_q)^{-1} \cdot \partial_t \gamma_{pq'}(1) \in \mathcal{P}$ et alors, le vecteur $\vec{v}_1$ est orthogonal selon le produit $g_{L_q}$ à la droite $T_q l = \mathbb{R}v$. De plus, par le lemme de Gauss, on obtient :

$$ \langle d_v \exp_q \cdot \vec{v}_1 | d_v \exp_q \cdot v \rangle_{q'} = \langle \vec{v}_1 | v \rangle_q = 0 $$

et donc on a bien que $p \in K_{q'}$. En particulier, on obtient que $K_q = K_{q'}$. Ainsi, pour tout $q_0 \in l$, l'orthogonal de la géodésique $l$ satisfait la relation suivante :

$$ (l)^\perp = \bigcap_{q \in l} K_q = K_{q_0} = \exp_{q_0} \cdot (T_{q_0} l)^{\perp_{g_{L_{q_0}}}} $$

ce qui donne le résultat recherché. $\square$

**Propriété 12.1.2.** Si $l \subset \mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ est une géodésique de type lumière, alors l'intersection $\mathbb{H}^3 \cap l$ est non vide et correspond à un singleton $\{x\}$. De plus, la géodésique vérifie la relation suivante :

$$ l = \exp_x(\mathbb{R}u_L), \qquad (12.1.2.5) $$

où $u_L = (u, -1)$ avec $u \in \mathbb{S}_x^2$.

*Démonstration.* Soit $q = (x_q, t_q) \in l$ un point sur la géodésique. On a alors $T_q l = \mathbb{R}\vec{v}$ où $\vec{v} = (\vec{v}, T) = -T(u_q, -1)$ avec $u_q \in \mathbb{S}_{x_0}^2$. Par conséquent, en remarquant que la géodésique $l$ est paramétrée par

$$ l(t) = (\exp_{x_q}(tu_q), t_q - t), $$

on obtient le résultat recherché. $\square$

**Notation 12.1.1.** Pour tout point $x \in \mathbb{H}^3$ et pour tout vecteur $u \in \mathbb{S}_x^2$, nous noterons $u_L$ le vecteur $(u, -1) \in T_x[\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}]$.

Pour conclure cette section, il est clair, par les propriétés 12.1.1 et 12.1.2 que nous avons vu précédemment, que pour toute géodésique de type lumière $l \subset \mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$, l'intersection $\mathbb{H}^3 \cap (l)^\perp$ forme un g-hyperplan $^3$. Par conséquent, considérons $l$ une géodésique lumière orientée et $x$ l'unique point de l'intersection $\mathbb{H}^3 \cap l$. Alors, si l'orientation de la géodésique $l$ correspond, au point $x$, à un vecteur de la forme $u_L = (u, -1) \in T_x[\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}]$, on définit le g-hyperplan orienté :

$$ (l)_0^\perp = \mathbb{H}^3 \cap (l)^\perp \qquad (12.1.2.6) $$

dont l'orientation est définie par le vecteur $u$.

**Définition 12.1.1.** Soit $e \in \mathbb{H}^3$ un point de référence. On appelle **famille de géodésiques lumière orientées en e** toute famille lisse $(l_u)_{u \in \mathbb{S}_x^2}$ de géodésiques orientées de type lumière, qui est orientée en temps négatif$^4$, telle que la famille des g-hyperplans orientés $(l_u)_0^\perp$ soit co-orientée en e.

<footnote n="3">3. En effet, il suffit de constater qu’en considérant $x$ comme étant l’unique point dans l’intersection $\mathbb{H}^3 \cap l$, alors on a que $\mathbb{H}^3 \cap (l)^\perp = \exp_x(T_x\mathbb{H}^3 \cap (T_x l)^{g_{L_x}})$.</footnote>

<footnote n="4">4. Nous dirons qu’une géodésique de type lumière $l \subset \mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ est orientée en temps négatif lorsqu’en tout point $x \in l$, son orientation est définie par un vecteur de la forme $u_L = (u, -1)$.</footnote>
**Avertissement 12.1.1.** Afin d'éviter de surcharger inutilement le texte, nous nous permettrons de considérer les familles de géodésiques lumière comme étant des familles de géodésiques de type lumière, sans mentionner leur orientation.

**Remarque 12.1.1.** Soit $(l_u)_{u \in S_e^2}$ une famille de géodésiques lumière orientées en e. Il est clair que pour tout $u \in S_e^2$, l'orientation de la géodésique $l_u$ est définie par le transport parallèle du vecteur $u_L = (u, -1) \in T_e[\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}]$, le long de la géodésique $\gamma_u \subset \mathbb{H}^3$ qui passe par le point e à la vitesse u.

### 12.1.3 Éléments de base sur le laplacien et l'opérateur de Hodge

Dans la section précédente, nous avons défini la notion de famille de géodésiques lumière orientées en $e \in \mathbb{H}^n$, correspondant à la généralisation naturelle des familles de lignes lumière orientées dont la co-enveloppe définit la notion de hérissons marginalement piégés. Il est donc nécessaire de définir la notion de co-enveloppe de famille de géodésiques de type lumière en adaptant la définition 11.1.2 sur le lorentziarisé $\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$. Pour ce faire, il est nécessaire de faire quelques rappels concernant l'opérateur de Laplace-Beltrami et la co-différentielle de Hodge.

Considérons donc une variété riemannienne $(M, g)$ et sa connexion de Levi-Civita, notée $\nabla : \Delta(M) \to \Omega_1(M) \otimes \Delta(M)$. Soit $f : M \to \mathbb{R}$ une fonction lisse. On définit alors l'opérateur de Laplace-Beltrami comme suit :

$$ \Delta_g(f) = \mathrm{Tr} \nabla^*(df) \qquad (12.1.3.7) $$

où $\mathrm{Tr}$ est la trace orthonormale<fnref n="5" /> et $\nabla^*$ est le dual de la connexion $\nabla$. La co-différentielle de Hodge, notée $\delta_g$, est alors l'adjoint de la différentielle $d$ par rapport à l'extension de la métrique $g$ sur le fibré des formes $\Omega(M)$. En effet, il existe une unique métrique sur le fibré des formes différentielles $\Omega(M)$ telle que :

1. Pour $\alpha \in \Omega_p(M)$ et $\beta \in \Omega_q(M)$ avec $p \neq q$, on a $\langle \alpha | \beta \rangle = 0$.

2. Si $u_1, \dots, u_p \in \Delta(M)$ et $v_1, \dots, v_p \in \Delta(M)$ sont deux familles de champs de vecteurs, alors $\langle g \cdot u_1 \wedge \dots \wedge g \cdot u_p | g \cdot v_1 \wedge \dots \wedge g \cdot v_p \rangle = \det(\langle u_i | v_j \rangle)_{ij}$.

Le co-différentiel de Hodge $\delta_g : \Omega(M) \to \Omega(M)$ est donc l'unique morphisme de $\mathbb{R}$-algèbre gradué de degré $-1$ tel que, pour toute $p$-forme $\alpha \in \Omega_p(M)$ et $(p-1)$-forme $\beta \in \Omega_{p-1}(M)$, on ait $\langle \alpha | d\beta \rangle = \langle \delta_g(\alpha) | \beta \rangle$. À présent, il nous faut considérer la relation entre le co-différentiel de Hodge et l'opérateur de Laplace-Beltrami. Rappelons que l'opérateur de Hodge-Laplace est défini comme suit :

$$ \Delta = \delta_g \circ d + d \circ \delta_g \qquad (12.1.3.8) $$

Ainsi, pour une fonction lisse $f : M \to \mathbb{R}$, on a $\Delta_g(f) = -\Delta(f) = -\delta_g(df)$, où $\Delta_g$ est l'opérateur de Laplace-Beltrami défini via la relation (12.1.3.7). Pour en savoir plus, on peut se référer aux ouvrages [8] et [48], qui offrent un contenu largement suffisant pour nos futurs développements. Il est également possible de considérer les cours de C.Voisin (voir [109]) qui proposent une présentation exhaustive et claire de la Théorie de Hodge.

<footnote n="5">5. Si $(M, g)$ est une variété riemannienne et $f \in \Omega_1(M) \otimes \Omega_1(M)$ une forme symétrique, alors on appelle trace orthonormale en un point $x \in M$, le nombre $\mathrm{Tr}(f)_x = f_x(e_1)e_1 + \dots + f_x(e_n)e_n$, où $e_1, \dots, e_n$ forment une base orthonormale de $T_x M$. Il est à noter que le nombre $\mathrm{Tr}(f)_x$, ainsi défini, ne dépend pas du choix de la base orthonormale. De plus, nous pouvons généraliser cette définition aux tenseurs symétriques $T \in \Omega_1(M) \otimes \Omega_1(M) \otimes \Delta(M)$.</footnote>
Dans la suite, nous devons envisager un cadre plus général en étendant l'opérateur de Hodge et l'opérateur de Laplace-Beltrami à un fibré métrique. En effet, dans le cas des g-hérissons, il est nécessaire de définir le laplacien $\Delta(y)$ et le co-différentiel $\delta(dy)$ pour une application lisse $y: S_e^2 \hookrightarrow \mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$. Considérons donc une application lisse $x: M \hookrightarrow N$ entre deux variétés de Riemann $(M, g)$ et $(N, g_N)$, et où $\nabla_M$ et $\nabla_N$ sont les connexions de Levi-Civita pour les métriques respectives $g$ et $g_N$. En considérant la connexion induite :

$$ \bar{\nabla} = \nabla_M^* \otimes x^* \nabla_N : \Gamma^0(TM^* \otimes x^*TN) \hookrightarrow \Omega_1(M) \otimes \Gamma^0(TM^* \otimes x^*TN), \quad (12.1.3.9) $$

nous définissons alors l'**opérateur de Laplace-Beltrami** pour l'application $x$ en adaptant l'expression (12.1.3.7) via la connexion $\bar{\nabla}$ comme suit :

$$ \Delta_g(x) = \mathrm{Tr} \, \bar{\nabla}(dx) \qquad (12.1.3.10) $$

Ensuite, considérons $(M, g)$ une variété de Riemann ainsi que $p: E \hookrightarrow M$ un fibré métrique, où $g_E \in \Gamma^0(E)^* \otimes \Gamma^0(E)^*$ est la métrique et où $\nabla: \Gamma^0(E) \hookrightarrow \Omega_1(M) \otimes \Gamma^0(E)$ est une connexion métrique pour $g_E$. En considérant $d^\nabla: \Gamma(E) \hookrightarrow \Gamma(E)$ la dérivation covariante extérieure$^6$, avec $\Gamma(E) = \Omega(M) \otimes \Gamma^0(E)$, ainsi que $g^\nabla = g \otimes g_E$ le produit des métriques, où $g$ est le prolongement de la métrique de $M$ sur le fibré des formes, on définit alors le co-différentiel $\delta^\nabla: \Gamma(E) \hookrightarrow \Gamma(E)$ comme étant l'adjoint de $d^\nabla$ pour le produit $g^\nabla$. Par conséquent, pour tout $\alpha \in \Gamma^p(E)$, avec $\Gamma^p(E) = \Omega_p(M) \otimes \Gamma^0(E)$, et $\beta \in \Gamma^{p-1}(E)$ nous avons que :

$$ \langle \alpha | d^\nabla(\beta) \rangle = \langle \delta^\nabla(\alpha) | \beta \rangle \qquad (12.1.3.11) $$

Le co-différentiel $\delta^\nabla$ correspond donc au prolongement sur $\Gamma(E)$ du co-différentiel de Hodge de $M$. On retrouve ainsi l'opérateur de Hodge-Dirac $\partial = d^\nabla + \delta^\nabla$ ainsi que l'opérateur de Hodge-Laplace $\Delta = \partial^2 = d^\nabla \circ \delta^\nabla + \delta^\nabla \circ d^\nabla$.

Par conséquent, si l'on considère une fonction lisse $x: M \hookrightarrow N$, avec $(M, g)$ et $(N, g_N)$ étant deux variétés de Riemann, alors on définit la co-différentiel de la différentielle $dx$, que nous noterons $\delta_g(dx)$ tel que $\delta_g(dx) = \delta^{x^*\nabla^N}(dx)$, avec $\nabla^N$ étant la connexion de Levi-Civita associée à la métrique $g_N$. Après quelques calculs via la carte exponentielle sur $N$, nous obtenons :

$$ \Delta_g(x) = -\delta_g(dx) \qquad (12.1.3.12) $$

où $\Delta_g$ est l'opérateur de Laplace-Beltrami. Il nous faut alors noter que l'opérateur de Hodge et l'opérateur de Laplace-Beltrami, ainsi définis, dépendent du choix d'une métrique sur la variété $M$.

### 12.1.4 Définition et propriétés de la notion de co-enveloppe

Considérons $y: \Gamma \hookrightarrow M$ le paramétrage d'une surface immergée, avec $(M, g)$ étant une 4-variété de Lorentz. Si $I$ est la première forme fondamentale de $y$, alors on peut vérifier que le vecteur de courbure moyenne$^7$ admet pour expression :

$$ H(u) = \frac{1}{2} \Delta_I(y) \qquad (12.1.4.13) $$

<footnote n="6">6. La dérivation covariante extérieure correspond au prolongement de la dérivation extérieure de $\Omega(M)$ sur $\Gamma(E) = \Omega(M) \otimes \Gamma^0(E)$ tel que $d^\nabla(w \otimes \sigma) = dw \otimes \sigma + (-1)^k w \wedge \nabla(\sigma)$ avec $k$ étant le degré de $w$.</footnote>

<footnote n="7">7. Si $y: \Gamma \hookrightarrow M$ est le paramétrage d'une surface immergée, alors on rappelle que le vecteur de courbure moyenne est défini par la trace orthonormale de la deuxième forme fondamentale.</footnote>
Ainsi, sur l'espace de Lorentz-Minkowski, comme les formes fondamentales d'une immersion de Legendre vérifient que $I \sim III \sim g_S$ (voir [82] pour en savoir plus), il est alors clair que, la condition de co-contact $\langle\delta(dy)|u_L\rangle = 0$ (voir définition 11.1.2 page 229) étant définie via la co-différentielle de Hodge correspondant à la métrique usuelle de la sphère, on a forcément que toute co-enveloppe de famille de lignes lumière orientées correspond à une surface marginalement piégée en ses points non ombilic.

Au chapitre 13 nous étudions les propriétés des co-enveloppes de familles de géodésiques lumière en définissant la co-différentielle de Hodge à partir de la métrique usuelle de la sphère $S_e^2$. En particulier, nous comprenons alors (voir section 13.2 pour plus de détails), que les propriétés que l'on obtient ne sont pas suffisantes. Par conséquent, il nous faut définir la notion de co-enveloppe relativement au choix d'une métrique sur la sphère. Pour cela, on considère $(l_u)_{u \in S_e^2}$ une famille de géodésiques orientées en $e \in \mathbb{H}^3$ ainsi qu'une métrique $g \in \Omega_1(S_e^2) \otimes \Omega_1(S_e^2)$. Alors, on considère la définition suivante :

**Définition 12.1.2.** On appelle **g-co-enveloppe** d'une famille $(l_u)_{u \in \Sigma}$ de géodésiques lumière, où $(\Sigma, g)$ est une 2-variété de Riemann, la donnée de l'image $y(\Gamma)$ et d'une application $y : \Sigma \mapsto \mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$, que l'on appelle **paramétrage**, et qui vérifie les trois conditions ci-dessous :

1. Pour tout $u \in \Sigma$, $y(u) \in l_u$.

2. Pour tout $u \in \Sigma$ et $\vec{v} \in T_u\Sigma$, $d_u y \cdot \vec{v} \perp_{g_L} T_{y(u)}l_u$.

3. Pour tout $u \in \Sigma$, $\delta_g(dy)_{u \perp_{g_L} T_{y(u)}l_u}$.

**Note.** Nous appellerons **condition de contact** la deuxième condition et **condition de co-contact** la troisième condition.

**Avertissement 12.1.2.** Afin de ne pas alourdir inutilement notre texte, nous nous permettrons de considérer une g-co-enveloppe comme étant une partie sur le lorentzarisé $\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$, sans mentionner le paramétrage.

**Notation 12.1.2.** Nous noterons $g_L = g_0 - dt^2$ la métrique sur le lorentzarisé $\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$, où $g_0$ est la métrique usuelle de l'espace hyperbolique.

À présent, il nous faut établir les relations entre les g-hérissons de l'espace hyperbolique ainsi que les familles de géodésiques lumière orientées et leurs g-co-enveloppes, où $g$ est une métrique quelconque qui est définie sur la sphère $S_e^2$. En particulier, nous pouvons dès à présent comprendre que, comme nous l'avons vu pour les g-hérissons de l'espace hyperbolique, il est possible de définir des familles de géodésiques lumière orientées sur le lorentzarisé $\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ qui n'admettent pas de g-co-enveloppe.

Considérons donc $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^3$ un g-hérisson centré en $e$ de l'espace hyperbolique, dont le paramétrage est $x : S_e^2 \mapsto \mathbb{H}^3$ et le champ orthonormal est $N : S_e^2 \mapsto T\mathbb{H}^3$. Alors, nous pouvons définir une famille de géodésiques lumière orientées en $e$ telle que :

$$l_u = \exp_{x(u)}(\mathbb{R}N_L(u)) \qquad (12.1.4.14)$$

où $N_L(u) = (N(u), -1)$.

Nous appelons alors **famille de géodésiques lumière orientées engendrée par le g-hérisson $\mathcal{H}$** la famille de géodésiques lumière orientées ainsi définies. Remarquons en particulier que la famille des $(l_u)_0^\perp = \mathbb{H}^3 \cap (l_u)^\perp$ correspond à la famille des g-hyperplans co-orientés en $e$ du g-hérisson $\mathcal{H}$. Ainsi, on obtient la propriété suivante :
**Propriété 12.1.3.** Toute famille de géodésiques lumière orientées centrée en e admettant une g-co-enveloppe (quel que soit le choix de la métrique g sur la sphère) est engendrée par un g-hérisson centré en e.

*Démonstration.* Considérons donc $(l_u)_{u \in \mathbb{S}_e^2}$ une famille de géodésiques lumière orientées en e. Par définition, nous savons que les $\Sigma_u = (l_u)_0^\perp = \mathbb{H}^3 \cap (l_u)^\perp$ forment une famille de g-hyperplans co-orientés en e. Si $h : \mathbb{S}_e^2 \to \mathbb{R}$ est la fonction de support, alors considérons l'application $x_0$ et le champ de vecteurs N qui sont définis via les expressions (4.3.0.7) page 93. Il est alors clair que les g-hyperplans de la famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^2}$ vérifient la relation $\Sigma_u = \exp_{x_0(u)} \langle N(u) \rangle^\perp$. Ensuite, par la propriété 12.1.2, on peut définir l'application $x : \mathbb{S}_e^2 \to \mathbb{H}^3$ telle que pour tout $u \in \mathbb{S}_e^2$, $x(u) \in \mathbb{H}^3 \cap l_u$. On peut alors vérifier, via la carte exponentielle, que l'application $x$ est lisse. De plus, pour tout $u \in \mathbb{S}_e^2$, on a que :

$$l_u = \exp_{x(u)}(\mathbb{R}N_L(u))$$

où $N_L(u) = (N(u), -1)$.

Supposons que la famille de géodésiques lumière $(l_u)_{u \in \mathbb{S}_e^2}$ admette une g-co-enveloppe (pour une métrique g donnée), paramétrée par $y : \mathbb{S}_e^2 \to \mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$. Alors, par définition, il existe nécessairement une fonction lisse $f : \mathbb{S}_e^2 \to \mathbb{R}$ telle que :

$$y(u) = \exp_{x(u)}(f(u)N_L(u))$$

En considérant $\tilde{\eta}(u) = \varphi_{x(u),y(u)} \cdot N_L(u)$, où $\varphi_{x(u),y(u)} : T_{x(u)}[\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}] \to T_{y(u)}[\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}]$ est le transport parallèle le long de la géodésique $\gamma_{N_L(u)}$ passant par le point $x(u)$ à la vitesse $N_L(u)$, on obtient que $y$ et $\tilde{\eta}$ satisfont les expressions suivantes :

$$\left\{ \begin{array}{l} y(u) = (y_E(u), -f(u)) \text{ avec } y_E(u) = \mathrm{SH} \, f(u)N(u) + \mathrm{CH} \, f(u)x(u) \\ \tilde{\eta}(u) = (\eta(u), -1) \text{ avec } \eta(u) = \mathrm{CH} \, f(u)N(u) + \mathrm{SH} \, f(u)x(u) \end{array} \right.$$

Comme $y$ est le paramétrage de la g-co-enveloppe de la famille de géodésiques lumière $(l_u)_{u \in \mathbb{S}_e^2}$, la condition de contact est équivalente à la condition $\langle d_u y \cdot \vec{v} | \tilde{\eta}(u) \rangle = 0$. Ainsi, après quelques calculs, on obtient que :

$$\begin{align*} \langle d_u y \cdot \vec{v} | \tilde{\eta}(u) \rangle &= \langle d_u y_E \cdot \vec{v} | \eta(u) \rangle - \langle \vec{\nabla} f(u) | \vec{v} \rangle \\ &= (\mathrm{CH} \, f(u))^2 \langle \vec{\nabla} f(u) | \vec{v} \rangle + (\mathrm{CH} \, f(u))^2 \langle d_u x \cdot \vec{v} | N(u) \rangle - (\mathrm{SH} \, f(u))^2 \langle \vec{\nabla} f(u) | \vec{v} \rangle - \langle \vec{\nabla} f(u) | \vec{v} \rangle \\ &= (\mathrm{CH} \, f(u))^2 \langle d_u x \cdot \vec{v} | N(u) \rangle = 0 \end{align*}$$

En conséquence, l'application $x : \mathbb{S}_e^2 \to \mathbb{H}^3$ satisfait bien la condition de contact pour la famille de g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^2}$. $\square$

<figure><img src="image_101.png" /></figure>

Par la propriété 12.1.3, nous savons que toute g-co-enveloppe d'une famille de géodésiques lumière orientées correspond à la transformée d'un g-hérisson. Aussi, en adaptant le théorème 6.4.1 page 152 aux familles de géodésiques lumière, nous obtenons la propriété suivante :

**Propriété 12.1.4.** Toute famille de géodésiques lumière orientées en un point $e \in \mathbb{H}^3$ admettant une g-co-enveloppe (quelle que soit le choix de la métrique) est orientée en tout point.
Démonstration. La démonstration de cette propriété découle directement du théorème 6.4.1 page 152. En effet, si $(l_u)_{u \in S_e^2}$ est une famille de géodésiques lumière orientées en $e$ admettant une $g$-co-enveloppe, alors par la propriété 12.1.3 nous savons que la famille $(l_u)_{u \in S_e^2}$ est engendrée par $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^3$, un g-hérisson centré en $e$. Par conséquent, via le théorème 6.4.1, le g-hérisson $\mathcal{H}$ est aussi centré en $v_0$, où $v_0$ est un second point de référence. La famille de géodésiques lumière orientées $(l_u)_{u \in S_e^2}$ étant définie par le g-hérisson $\mathcal{H}$, il est évident que via la fonction de réindexation, la famille de géodésiques lumière $(l_u)_{u \in S_e^2}$ est une famille de géodésiques lumière orientées en $v_0$. $\square$

Nous comprenons donc que la notion de g-hérisson marginalement piégé, que nous définirons naturellement par des $g$-co-enveloppes de familles de géodésiques lumière orientées (pour une métrique $g$ à déterminer), ne dépendra pas du choix du point de référence sur l'espace hyperbolique $\mathbb{H}^3$. Il est à noter que ce dernier résultat n'est vrai que pour les g-hérissons marginalement piégés sur le lorentziarisé $\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$.

## 12.2 Théorème d'existence des g-hérissons marginalement piégés

Dans cette section, nous démontrons l'existence de g-hérissons marginalement piégés et qui correspondent à des $w$-co-enveloppes de familles de géodésiques lumière orientées dont nous étudions les propriétés. En particulier, nous observerons que, bien que nous retrouvions des résultats équivalents à ceux observés dans l'espace de Lorentz-Minkowski, la question des hérissons marginalement piégés est nettement plus difficile sur les variétés de Lorentz dont la courbure est non-nulle.

Commençons par remarquer que, pour toute métrique $w$ sur la sphère $S_e^2$, avec $e \in \mathbb{H}^3$ étant un point de référence, le paramétrage de la $w$-co-enveloppe d'une famille de géodésiques lumière orientées en $e$ qui est définie par un g-hérisson de paramétrage $x$, admet pour expression :

$$y(u) = \exp_{x(u)}(f(u)N_L(u)) \qquad (12.2.0.1)$$

où $f: S_e^2 \to \mathbb{R}$ est une fonction lisse.

**Notation 12.2.1.** Si $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^3$ est un g-hérisson centré en $e$ et dont le champ orthonormal est $N$, alors on considère le champ de vecteurs $N_L: S_e^2 \to x^*T[\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}]$ tel que :

$$N_L(u) = (N(u), -1) \qquad (12.2.0.2)$$

pour tout $u \in S_e^2$.

On peut alors constater que chaque vecteur $N_L(u)$ correspond à l'orientation de la géodésique lumière $l_u$ au point $x(u)$. Ainsi, en cas d'existence de la $w$-co-enveloppe, on considère $\tilde{\eta}: S_e^2 \to y^*T[\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}]$ le champ de vecteurs correspondant à l'orientation des géodésiques lumière $l_u$ aux points $y(u)$, tel que :

$$\tilde{\eta}(u) = \varphi_{x(u),y(u)} \cdot N_L(u), \qquad (12.2.0.3)$$

où $\varphi_{x(u),y(u)}: T_{x(u)}[\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}] \to T_{y(u)}[\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}]$ est le transport parallèle le long de la géodésique $l_u$. En particulier, on obtient que les conditions de contact et de co-contact, que nous avons introduites via la définition 12.1.2, sont équivalentes à :
$$ \langle dy|\tilde{\eta}\rangle = 0 \text{ et } \langle \Delta_w(y)|\tilde{\eta}\rangle = 0 \qquad (12.2.0.4) $$

où $\langle \cdot | \cdot \rangle$ est la forme usuelle de signature (3, 2) sur l'espace $\mathbb{L}^4 \times \mathbb{R}$.

**Propriété 12.2.1.** Pour toute fonction $f: S_e^2 \to \mathbb{R}$, l'application $y: S_e^2 \to \mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$, définie via la relation (12.2.0.1) et correspondant à la fonction $f$, vérifie la condition suivante :

$$ \langle dy|\tilde{\eta}\rangle = 0 \qquad (12.2.0.5) $$

et qui correspond à la condition de contact de la définition 12.1.2.

**Démonstration.** Considérons donc les applications $y_E(u) = CH f(u)x(u) + SH f(u)N(u)$ et $\eta(u) = SH f(u)x(u) + CH f(u)N(u)$. Nous savons alors que $y(u) = (y_E(u), -f(u))$ et $\tilde{\eta}(u) = (\eta(u), -1)$ et après quelques calculs, nous obtenons :

$$ \langle d_u y_E \cdot \vec{v} | \eta(u) \rangle = SH f(u) [CH f(u) \langle d_u N \cdot \vec{v} | N(u) \rangle + SH f(u) \langle d_u N \cdot \vec{v} | x(u) \rangle] + d_u f(\vec{v}) \\ \text{et comme } \langle d_u N \cdot \vec{v} | N(u) \rangle = 0 \text{ et } \langle d_u N \cdot \vec{v} | x(u) \rangle = 0, \text{ nous obtenons le résultat recherché. } \square $$

Considérons à présent $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^3$ un g-hérisson centré en $e$ ainsi que $h, x$ et $N$ correspondant respectivement à sa fonction de support, son paramétrage et son champ orthonormal. Il est alors naturel de définir les première et troisième formes fondamentales comme suit :

$$ I_u(\vec{v}_1, \vec{v}_2) = \langle d_u x \cdot \vec{v}_1 | d_u x \cdot \vec{v}_2 \rangle \text{ et } III_u(\vec{v}_1, \vec{v}_2) = \langle \nabla(N)_u \cdot \vec{v}_1 | \nabla(N)_u \cdot \vec{v}_2 \rangle \quad (12.2.0.6) $$

avec $\vec{v}_1 \in T_u S_e^2$ et $\vec{v}_2 \in T_u S_e^2$. Notons que $\nabla$ étant la connexion induite par $x$, alors $\nabla(N)_u$ correspond à la différentielle $d_u N$ en considérant $N$ comme étant une fonction à image dans $\mathbb{R}^4$. Nous pouvons alors considérer la forme symétrique :

$$ w = III - I \in \Omega_1(S_e^2) \otimes \Omega_1(S_e^2), \qquad (12.2.0.7) $$

**Remarque 12.2.1.** Si $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^3$ est un g-hérisson centré en $e$ et si l'on considère le morphisme de fibré $\phi_u := \nabla(N)_u^{-1} \circ d_u x : T_u S_e^2 \to T_u S_e^2$, alors nous avons nécessairement :

$$ I(\vec{v}_1, \vec{v}_2) = III(\phi \cdot \vec{v}_1, \phi \cdot \vec{v}_2) \qquad (12.2.0.8) $$

$$ \text{pour tous champs de vecteurs } \vec{v}_1 \in \Delta(S_e^2) \text{ et } \vec{v}_2 \in \Delta(S_e^2). $$

**Propriété 12.2.2.** Si $x : S_e^{n-1} \to \mathbb{H}^n$ et $N : S_e^{n-1} \to \mathbb{TH}^n$ sont respectivement le paramétrage et le champ orthonormal d'un g-hérisson $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^n$, alors on a :

$$ \langle \nabla(N)_u \cdot \vec{v}_1 | d_u x \cdot \vec{v}_2 \rangle = \langle d_u x \cdot \vec{v}_1 | \nabla(N)_u \cdot \vec{v}_2 \rangle \qquad (12.2.0.9) $$

$$ \text{pour tous vecteurs } \vec{v}_1 \text{ et } \vec{v}_2 \text{ dans } T_u S_e^2. $$

**Démonstration.** Considérons $u_0 \in S_e^{n-1}$ et $x_0 = x(u_0)$. Par le théorème 6.4.1, nous savons que le g-hérisson $\mathcal{H}$ est centré en $x_0$. En particulier, la fonction de réindexation $\phi : S_e^{n-1} \to S_{x_0}^{n-1}$ est un difféomorphisme. Soit le vecteur $v_0 = \phi(u_0) \in S_{x_0}^{n-1}$. Si $x_{x_0} : S_{x_0}^{n-1} \to \mathbb{H}^n$, $h_{x_0} : S_{x_0}^{n-1} \to \mathbb{R}$ et $N_{x_0} : S_{x_0}^{n-1} \to \mathbb{TH}^n$ sont respectivement le paramétrage, la fonction de support et le champ orthonormal centré en $x_0$, alors on peut vérifier que :

$$ d_{v_0} x_{x_0} \cdot \vec{v} = Hess(h_{x_0})_{v_0} * \vec{v} \text{ et } \nabla(N_{x_0})_{v_0} \cdot \vec{v} = \vec{v} $$
et ainsi il est immédiat que

$$ \langle d_{v_0} x_{x_0} \cdot \vec{v}_1 | \nabla(N_{x_0})_{v_0} \cdot \vec{v}_2 \rangle = \langle \nabla(N_{x_0})_{v_0} \cdot \vec{v}_1 | d_{v_0} x_{x_0} \cdot \vec{v}_2 \rangle \quad (12.2.0.10) $$

pour tout couple de vecteurs $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$ dans $T_{v_0}S_{x_0}^{n-1}$. À partir de la relation (12.2.0.10), on obtient la relation (12.2.0.9) en remarquant que $x = x_{x_0} \circ \phi$ et $N = N_{x_0} \circ \phi$. $\square$

En conséquence, l'endomorphisme<fnref n="8" /> $\phi$ est symétrique par rapport à la troisième forme fondamentale. En particulier, la forme $w$ est une forme bilinéaire symétrique telle que $Id - \phi^2$ correspond à l'endomorphisme symétrique qui lui est associé. Par conséquent, nous appellerons **valeur propre de $\mathcal{H}$ en $u$** les valeurs propres de l'endomorphisme $\phi_u$. Il nous faut alors noter qu'un scalaire $r \in \mathbb{R}$ est une valeur propre de $\mathcal{H}$ en $u$ si, et seulement si, il existe un vecteur $\vec{v} \in T_u S_e^2$ qui vérifie la relation suivante :

$$ d_u x \cdot \vec{v} = r d_u N \cdot \vec{v} \quad (12.2.0.11) $$

où $x$ et $N$ correspondent au paramétrage et au champ orthonormal du g-hérisson.

**Définition 12.2.1.** Considérons $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^3$ un g-hérisson centré en $e$ ainsi que, pour $u \in S_e^2$, les valeurs propres $r_1$ et $r_2$. Si les $r_i$ appartiennent à l'intervalle $]-1, 1[$, alors on appelle **rayon de courbure principal** les scalaires $R_1$ et $R_2$ définis par :

$$ R_i = \mathrm{ArcTH}(r_i) \quad (12.2.0.12) $$

**Remarque 12.2.2.** Il est clair que les fonctions formées par les valeurs propres d'un g-hérisson ainsi que les fonctions des rayons de courbure principaux ne sont pas nécessairement de classe $C^\infty$.

Ensuite, considérons la fonction de courbure $r_h(u) = \det(\phi_u)$ (voir remarque 4.4.1 page 99) ainsi que la fonction trace $T(u) = \mathrm{Tr}(\phi_u)$. On définit alors la **fonction rayon de courbure moyenne** comme étant la fonction $R: S_e^2 \to \mathbb{R}$ telle que :

$$ R(u) = \frac{1}{2}(R_1 + R_2) = \frac{1}{2} \mathrm{ArcTH} \left( \frac{T(u)}{1 + r_h(u)} \right) \quad (12.2.0.13) $$

et dont la condition d'existence est :

$$ T(u)^2 < (1 + r_h(u))^2, \quad (12.2.0.14) $$

pour tout $u \in S_e^2$.

**Définition 12.2.2.** Si $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^3$ est un g-hérisson centré en $e$ vérifiant la condition (12.2.0.14), alors on appelle **transformé de L-Gauss** du g-hérisson $\mathcal{H}$ la donnée de la partie $y(S_e^2)$, à laquelle on associe le paramétrage :

$$ y(u) = \exp_{x(u)}(R(u)N_L(u)) \quad (12.2.0.15) $$

pour tout $u \in S_e^2$.

**Théorème 12.2.1.** Toute famille de géodésiques lumière engendrée par un g-hérisson de $\mathbb{H}^3$ et dont les valeurs propres $r_1$ et $r_2$ sont comprises dans l'intervalle $]-1; 1[$ admet une unique w-co-enveloppe correspondant au transformé de L-Gauss du g-hérisson considéré.

<footnote n="8">8. Précisions que par endomorphisme, nous entendons un endomorphisme de fibré sur le fibré vectoriel $T S_e^2$.</footnote>
Démonstration. Considérons donc $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^3$ un g-hérisson centré en $e$ ainsi que $x : \mathbb{S}_e^2 \mapsto \mathbb{H}^3$ et $N : \mathbb{S}_e^2 \mapsto \mathbb{TH}^3$, étant respectivement le paramétrage et le champ orthonormal du g-hérisson considéré. Nous considérons également la forme $w = III - I \in \Omega_1(\mathbb{S}_e^2) \otimes \Omega_1(\mathbb{S}_e^2)$, qui correspond à la forme (12.2.0.7) que nous avons introduite précédemment. Il nous faut alors noter que, les valeurs propres du g-hérisson étant sur l'intervalle $]-1; 1[$, nous avons donc :

$$1 - r_1^2 > 0 \text{ et } 1 - r_2^2 > 0$$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^2$. Par conséquent, il est clair que la forme $w$ ainsi définie correspond à une métrique riemannienne définie sur la sphère $\mathbb{S}_e^2$.

Pour $u_0 \in \mathbb{S}_e^2$, considérons une base propre, formée par les vecteurs $\vec{V}_1$ et $\vec{V}_2$, pour l'endo-morphisme $\phi_{u_0}$ et qui correspond également à une base orthonormale pour la forme $III_{u_0}$. Il nous faut alors remarquer que la famille formée par les vecteurs $d_{u_0}N \cdot \vec{V}_1$, $d_{u_0}N \cdot \vec{V}_2$ et $N(u_0)$ constitue une base orthonormale de l'espace tangent $T_{x(u_0)}\mathbb{H}^3$. Nous pouvons alors construire une base orthonormale pour la forme $w_{u_0}$ en considérant la famille des vecteurs :

$$\vec{v}_1 = \frac{1}{\sqrt{1 - r_1^2}} \vec{V}_1 \text{ et } \vec{v}_2 = \frac{1}{\sqrt{1 - r_2^2}} \vec{V}_2$$

où $r_1$ et $r_2$ sont les valeurs propres en $u_0$.

Ainsi, si $\psi : \Omega \subset \mathbb{S}_e^2 \mapsto T_e\mathbb{S}_e^2$ est la carte exponentielle centrée en $u_0$, où $\Omega = \mathbb{S}_e^2 \setminus \{-u_0\}$, considérons le repère différentiel défini par les champs de vecteurs $\partial_1 : \Omega \mapsto T\mathbb{S}_e^2$ et $\partial_2 : \Omega \mapsto T\mathbb{S}_e^2$ tels que :

$$\partial_1(u) = (d_u \psi)^{-1} \cdot \vec{v}_1 \text{ et } \partial_2(u) = (d_u \psi)^{-1} \cdot \vec{v}_2 \quad (12.2.0.16)$$

pour tout $u \in \Omega$.

L'intérêt de ce repère, qui est le repère différentiel induit par la base orthonormale $\beta = (\vec{v}_1, \vec{v}_2)$ via la carte exponentielle, est que le gradient et l'opérateur de Laplace-Beltrami associés à la métrique $w$ vérifient en $u_0$ les expressions suivantes :

$$\vec{\nabla}_w f(u_0) = \partial_1 f(u_0) \vec{v}_1 + \partial_2 f(u_0) \vec{v}_2 \text{ et } \Delta_w(f)_{u_0} = \partial_1^2 f(u_0) + \partial_2^2 f(u_0)$$

pour $f : \mathbb{S}_e^2 \mapsto \mathbb{R}$ étant une fonction lisse.

Considérons donc $(l_u)_{u \in \mathbb{S}_e^2}$ la famille des géodésiques lumière orientées en $e$ engendrées par le g-hérisson $\mathcal{H}$. En particulier, nous savons que chaque $l_u$ est la géodésique passant par le point $x(u)$ à la vitesse $N_L(u) = (N(u), -1)$. Si $y : \mathbb{S}_e^2 \mapsto \mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ est le paramétrage d'une $w$-co-enveloppe de la famille des $l_u$, alors il existe nécessairement une fonction lisse $f : \mathbb{S}_e^2 \mapsto \mathbb{R}$ telle que, pour tout $u \in \mathbb{S}_e^2$ :

$$y(u) = \exp_{x(u)}(f(u)N_L(u)) = (y_E(u), -f(u)) \quad (12.2.0.17)$$

où $y_E(u) = CH f(y)x(u) + SH f(y)N(u)$.

De plus, en considérant le champ de vecteurs $\tilde{\eta} : \mathbb{S}_e^2 \mapsto T[\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}]$ défini via l'expression (12.2.0.3), et par la propriété 12.2.1, nous savons que la condition nécessaire et suffisante pour que $y$ corresponde au paramétrage d'une co-enveloppe de la famille des $l_u$ est :
$$ \langle \Delta_w(y)_u | \tilde{\eta}(u) \rangle = 0 \qquad (12.2.0.18) $$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^2$. De plus, il est à noter, que par définition, il est clair que l'application $\tilde{\eta}$ admet pour expression :

$$ \tilde{\eta}(u) = (\eta(u), -1) $$

avec $\eta(u) = SH f(y)x(u) + CH f(y)N(u)$.

Une première étape de calcul consiste donc à déterminer le laplacien $\Delta_w(x)_{u_0}$. Pour cela, nous devons commencer par constater que $\Delta_w(y)_{u_0} = (\Delta_w(y_E)_{u_0}, -\Delta_w(f)_{u_0})$, et ainsi, nous obtenons la relation suivante :

$$ \langle \Delta_w(y)_{u_0} | \tilde{\eta}(u_0) \rangle = \langle \Delta_w(y_E)_{u_0} | \eta(u_0) \rangle - \Delta_w(f)_{u_0} $$

Aussi, en plongeant $\mathbb{H}^3$ dans l'espace de Lorentz-Minkowski $\mathbb{L}^4$ via l'injection canonique et en considérant $y_E$ à image dans $\mathbb{L}^4$, alors considérons $\Delta_w^S(y_E)$ l'opérateur de Laplace-Beltrami de $y_E$ entre $(\mathbb{S}_e^2, w)$ et $(\mathbb{L}^4, \langle \cdot, \cdot \rangle)$. On peut alors vérifier que le laplacien $\Delta_w^S(y_E)$ admet pour expression :

$$ \Delta_w^S(y_E)_u = (\Delta_w(y_E^{(1)})_u, \dots, \Delta_w(y_E^{(4)})_u), \qquad (12.2.0.19) $$

où les $y_E^{(i)}$ correspondent aux fonctions coordonnées. Nous définissons aussi, par le même procédé, les laplaciens $\Delta_w^S(x)_u$ et $\Delta_w^S(N)_u$ où les $x_i$ et les $N_i$ sont les fonctions coordonnées. Il nous faut alors remarquer que le laplacien $\Delta_w(y_E)_u$ correspond à la projection orthogonale :

$$ \Delta_w(y_E)_u = \Delta_w^S(y_E)_u - \langle \Delta_w^S(y_E)_u | y_E(u) \rangle y_E(u) $$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^2$. De plus, comme il est clair que $y_E(u) \perp \eta(u)$, la condition de co-contact (12.2.0.18) est équivalente à la relation suivante :

$$ \langle \Delta_w(y)_{u_0} | \tilde{\eta}(u_0) \rangle = \langle \Delta_w^S(y_E)_{u_0} | \eta(u_0) \rangle - \Delta_w(f)_{u_0} = 0 \qquad (12.2.0.20) $$

Ensuite, pour déterminer le laplacien $\Delta_w^S(y_E)$, il est nécessaire de calculer le laplacien de chaque coordonnée. Considérons donc $y_E^{(i)}(u) = CH f(u)x_i(u) + SH f(u)N_i(u)$ comme étant la i-ème coordonnée de l'application $y_E$. Il est alors immédiat que son laplacien est donné par :

$$ \Delta_w(y_E^{(i)})_u = \Delta_w[CH f(u)]x_i(u) + 2 \langle \vec{\nabla}_w[CH f(u)] | \vec{\nabla}_w x_i(u) \rangle + CH f(u)\Delta_w(x_i)_u \\ + \Delta_w[SH f(u)]N_i(u) + 2 \langle \vec{\nabla}_w[SH f(u)] | \vec{\nabla}_w N_i(u) \rangle + SH f(u)\Delta_w(N_i)_u $$

En conséquence, déterminer l'expression du laplacien $\Delta_w(y_E^{(i)})_u$ revient à calculer chacun des termes présents dans l'égalité précédente. Commençons par remarquer que :

$$ \vec{\nabla}_w[CH f(u)] = SH f(u)\vec{\nabla}_w f(u) \text{ et } \vec{\nabla}_w[SH f(u)] = CH f(u)\vec{\nabla}_w f(u) $$

Aussi, il est clair que $\partial_j x(u_0) = d_{u_0} x \cdot \vec{v}_j = r_j \nabla(N)_{u_0} \cdot \vec{v}_j = r_j d_{u_0} N \cdot \vec{v}_j$ et par conséquent, on obtient que :
$$
\vec{\nabla}_w x_i(u_0) = r_1 \partial_1 N_i(u_0) \vec{v}_1 + r_2 \partial_2 N_i(u_0) \vec{v}_2 = J * \vec{\nabla}_w N_i(u_0) \text{ avec } J = \begin{pmatrix} r_1 & 0 \\ 0 & r_2 \end{pmatrix}
$$

ce qui nous donne finalement :

$$
\langle \vec{\nabla}_w [CH \, f(u)] | \vec{\nabla}_w x_i(u) \rangle + \langle \vec{\nabla}_w [SH \, f(u)] | \vec{\nabla}_w N_i(u) \rangle = \langle \vec{\nabla}_w f(u_0) | K * \vec{\nabla}_w N_i(u_0) \rangle
$$

$$
\text{avec } K = SH \, f(u_0)J + CH \, f(u_0)Id = \begin{pmatrix} K_1 & 0 \\ 0 & K_2 \end{pmatrix}.
$$

Pour les laplaciens de CH f(u) et SH f(u) en u₀, constatons que ∂ᵢ[CH f(u)] = SH f(u) · ∂ᵢf(u) et donc ∂²ᵢ[CH f(u)] = CH f(u) · (∂ᵢf(u))² + SH f(u) · ∂²ᵢf(u). Ainsi, en appliquant la même méthode pour SH f(u), nous avons :

$$
\Delta_w [CH \, f(u_0)] = CH \, f(u_0) \|\vec{\nabla}_w f(u_0)\|^2 + SH \, f(u_0) \Delta_w(f)_{u_0}
$$

$$
\Delta_w [SH \, f(u_0)] = SH \, f(u_0) \| \vec{\nabla}_w f(u_0) \|^2 + CH \, f(u_0) \Delta_w(f)_{u_0}
$$

et alors, nous obtenons que :

$$
\begin{align}
\Delta_w^S(y_E)_{u_0} &= \|\vec{\nabla}_w f(u_0)\|^2 y_E(u_0) + \Delta_w(f)_{u_0} \eta(u_0) \nonumber \\
&\quad + 2K_1 \partial_1 f(u_0) \partial_1 N(u_0) + 2K_2 \partial_2 f(u_0) \partial_2 N(u_0) \tag{12.2.0.21} \\
&\quad + CH f(u_0) \Delta_w^S(x)_{u_0} + SH f(u_0) \Delta_w^S(N)_{u_0} \nonumber
\end{align}
$$

ainsi, par (12.2.0.20) on a que :

$$
CH f(u_0) \langle \Delta_w^S(x)_{u_0} | \eta(u_0) \rangle + SH f(u_0) \langle \Delta_w^S(N)_{u_0} | \eta(u_0) \rangle = 0 \quad (12.2.0.22)
$$

Par conséquent, nous obtenons finalement que l'application y vérifie la condition de co-contact (12.2.0.18) si et seulement si la fonction f est une solution de l'équation trigonométrique :

$$
\frac{1}{2}(c+d)CH \, 2f(u_0) + \frac{1}{2}(a+b)SH \, 2f(u_0) + \frac{1}{2}(c-d) = 0 \quad (12.2.0.23)
$$

avec :

$$
a = \langle \Delta_w^S(N)_{u_0} | N(u_0) \rangle
$$

$$
b = \langle \Delta_w^S(x)_{u_0} | x(u_0) \rangle
$$

$$
c = \langle \Delta_w^S(x)_{u_0} | N(u_0) \rangle
$$

$$
d = \langle \Delta_w^S(N)_{u_0} | x(u_0) \rangle
$$

À présent, déterminons les coefficients *a*, *b*, *c* et *d*. Pour cela, commençons par rappeler que les trois formes fondamentales correspondant au g-hérisson $\mathcal{H}$ sont définies telles que :

$$
I = \langle dx | dx \rangle, \quad II = - \langle dx | dN \rangle \text{ et } III = \langle dN | dN \rangle \quad (12.2.0.24)
$$

De plus, il est clair que, dans les coordonnées (12.2.0.16), les laplaciens $\Delta_w^S(x)_{u_0}$ et $\Delta_w^S(N)_{u_0}$ ont pour expressions :

$$
\Delta_w^S(x)_{u_0} = \partial_1^2 x(u_0) + \partial_2^2 x(u_0) \text{ et } \Delta_w^S(N)_{u_0} = \partial_1^2 N(u_0) + \partial_2^2 N(u_0)
$$
Ainsi, il nous faut déterminer les produits $\langle \partial_i^2 x(u_0)|x(u_0) \rangle$, $\langle \partial_i^2 x(u_0)|N(u_0) \rangle$, $\langle \partial_i^2 N(u_0)|x(u_0) \rangle$ et $\langle \partial_i^2 N(u_0)|N(u_0) \rangle$. En remarquant que les produits $\langle x|N \rangle$, $\langle dx|N \rangle$ et $\langle x|dN \rangle$ sont nécessairement nuls, pour tout $u \in \mathbb{S}_e^2$, nous obtenons alors les quatre relations suivantes :

$$ \langle \partial_i^2 x | N \rangle = - \langle \partial_i x | \partial_i N \rangle = II_{ii} \text{ et } \langle \partial_i^2 N | x \rangle = - \langle \partial_i x | \partial_i N \rangle = II_{ii} $$

ainsi que :

$$ \langle \partial_i^2 x | x \rangle = - \langle \partial_i x | \partial_i x \rangle = -I_{ii} \text{ et } \langle \partial_i^2 N | N \rangle = - \langle \partial_i N | \partial_i N \rangle = -III_{ii} $$

De plus, notons qu'en évaluant les formes fondamentales en $u_0$, on a $I_{ii}^{u_0} = r_i^2 III_{ii}^{u_0}$ et $III_{ii}^{u_0} = -r_i III_{ii}^{u_0}$. Cela nous permet d'avoir une première expression des coefficients $a, b, c$ et $d$ tels que :

$$ a = -III_{11}^{u_0} - III_{22}^{u_0} $$

$$ b = -r_1^2 III_{11}^{u_0} - r_2^2 III_{22}^{u_0} $$

$$ c = -r_1 III_{11}^{u_0} - r_2 III_{22}^{u_0} $$

$$ d = -r_1 III_{11}^{u_0} - r_2 III_{22}^{u_0} $$

et comme

$$ III_{ii}^{u_0} = \langle \nabla(N)_{u_0} \cdot \vec{v}_i | \nabla(N)_{u_0} \cdot \vec{v}_i \rangle = \frac{1}{1-r_i^2} \langle \nabla(N)_{u_0} \cdot \vec{V}_i | \nabla(N)_{u_0} \cdot \vec{V}_i \rangle = \frac{1}{1-r_i^2} $$

alors on obtient que :

$$ a = -\frac{1}{1-r_1^2} - \frac{1}{1-r_2^2} = \frac{r_1^2 + r_2^2 - 2}{(1-r_1^2)(1-r_2^2)} $$

$$ b = -\frac{r_1^2}{1-r_1^2} - \frac{r_2^2}{1-r_2^2} = \frac{2r_1^2 r_2^2 - r_1^2 - r_2^2}{(1-r_1^2)(1-r_2^2)} $$

$$ c = -\frac{r_1}{1-r_1^2} - \frac{r_2}{1-r_2^2} = \frac{(r_1+r_2)(r_1r_2-1)}{(1-r_1^2)(1-r_2^2)} $$

$$ d = -\frac{r_1}{1-r_1^2} - \frac{r_2}{1-r_2^2} = \frac{(r_1+r_2)(r_1r_2-1)}{(1-r_1^2)(1-r_2^2)} $$

En conséquence, nous pouvons déterminer les coefficients $\frac{1}{2}(a+b)$ et $\frac{1}{2}(c+d)$ de l'équation trigonométrique (12.2.0.23). En particulier, après une simplification par $(1-r_1^2)(1-r_2^2)$, nous obtenons que la condition de co-contact (12.2.0.18) est équivalente, en $u_0$, à l'équation suivante :

$$ (r_1 r_2 - 1) [(r_1 + r_2)CH \ 2f(u_0) + (r_1 r_2 + 1)SH \ 2f(u_0)] = 0 \quad (12.2.0.25) $$

De plus, comme par hypothèse, les valeurs propres du g-hérisson $\mathcal{H}$ sont dans l'intervalle $]-1; 1[$, alors on a que les coefficients $r_1 r_2 - 1$ et $r_1 r_2 + 1$ sont forcément non nuls. Ainsi, l'équation trigonométrique (12.2.0.25) ci-dessus admet pour unique solution :

$$ f(u_0) = -\frac{1}{2} ArcTH \left( \frac{T(u_0)}{r_h(u_0) + 1} \right) \quad (12.2.0.26) $$

et en particulier, comme en appliquant la même méthode en chaque point nous obtenons toujours l'expression (12.2.0.26), nous savons alors que la solution est unique en tout point et correspond à une fonction lisse. Cela définit immédiatement une w-co-enveloppe de la famille des $l_u$, qui est unique par unicité de la fonction $f$. $\square$