# Développement d'un élément fini intégrant les comportements ferroélectriques et ferroé-lastiques des céramiques piézoélectriques

Mourad Elhadrouz, Ben Zineb, Etienne Patoor

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Mourad Elhadrouz, Ben Zineb, Etienne Patoor. Développement d'un élément fini intégrant les comportements ferroélectriques et ferroé-lastiques des céramiques piézoélectriques. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01812988

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# Développement d'un élément fini intégrant les comportements ferroélectriques et ferroélastiques des céramiques piézoélectriques

Mourad Elhadrouz, Tarak Ben Zineb, Etienne Patoor

Laboratoire de Physique et Mécanique des Matériaux UMR CNRS 7554
Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers
Technopôle 2000 - 4 rue Augustin Fresnel
F-57078 Metz Cedex
mourad.elhadrouz@metz.ensam.fr

RÉSUMÉ. Les céramiques piézoélectriques présentent, en terme de comportement, un couplage électromécanique très intéressant du point de vue des applications industrielles. L'utilisation de tels matériaux nécessitent des outils de dimensionnement capables de prendre en compte ce couplage particulier. A ce titre, de nombreux éléments finis piézoelectriques ont été formulés et intégrés dans des codes commerciaux. Or, l'utilisation progressive de ces matériaux a fait naître le besoin de considérer les effets non linéaires liés à des niveaux de chargement plus élevés que ceux considérés dans le cas purement linéaire. Les comportements ferroélectriques et ferroélastiques doivent ainsi être pris en compte pour une meilleure analyse des structures piézoélectriques. L'objet de ce travail concerne la formulation d'un élément fini solide intégrant une loi de comportement pour les céramiques ferroélectriques et ferroélastiques. Cet élément est implanté dans le code commercial ABAQUS.

ABSTRACT. Piezoceramics exhibit an electro-mechanical coupling, which is very interesting for industrial applications. Using such materials requires numerical tools able to take into account this specific coupling. Many piezoelectric finite elements have been proposed and implemented into commercial codes. However, the non linear effects exhibited by these materials for high levels of loading have attracted a significant attention. They have to be considered for a sharper analysis. This work focus on the formulation of a solid finite element that integrates a constitutive law for ferroelectric and ferroelastic piezoceramics. It has been implemented into the ABAQUS code.

MOTS-CLÉS : Piézoélectricité, ferroélectricité, ferroélasticité, couplage électromécanique, élément fini solide.

KEYWORDS: Piezoelectricity, ferroelectricity, electro-mechanical coupling, solid finite element.
# 1. Introduction

Les années 80 ont vu l'avénement de matériaux qualifiés de matériaux intelligents ("smart materials"), tels les alliages à mémoire de forme ou les matériaux piézoélectriques. Ces derniers ont la particularité de se déformer sous l'effet d'un champ électronique et inversement ils produisent une charge électrique lorsqu'ils sont soumis à une contrainte mécanique. Ce couplage de nature électromécanique est utilisé dans de nombreuses applications comme les actionneurs, les capteurs de force ou de pression, les transducteurs et de nombreuses autres encore. La plupart de ces applications sont dimensionnées dans l'hypothèse d'un comportement piézoélectrique linéaire. A cet égard, le besoin grandissant d'outils numériques a conduit aux développement d'éléments finis intégrant ce comportement piézoélectrique, si bien que certains éléments (solides ou coques) ayant des degrés de liberté à la fois mécaniques et électriques sont disponibles dans des codes comme ABAQUS ou ANSYS [ELH 04a]. Cependant, il s'avère que ces outils ne sont pas toujours suffisants pour une bonne modélisation de ces structures, dans la mesure où des effets non linéaires, du point de vue du comportement, peuvent être observés, voire peuvent être à la base de certaines applications. Ces non linéarités s'observent pour de forts champs de contrainte (comportement ferroélastique) et/ou pour de forts champs électriques (comportement ferroélectrique). L'objectif de ce travail est de développer un élément fini solide linéaire (héxaèdre à 8 noeuds) intégrant une loi de comportement décrivant les comportements ferroélectriques et ferroélastiques [ELH 04b]. Cet élément est développé dans le code de calcul ABAQUS via la routine utilisateur User Element (UEL). Le problème à résoudre est un problème non linéaire, puisque le comportement dépend de l'histoire du chargement. Il est donc nécessaire d'adopter une approche itérative comme le permet le code ABAQUS Standard. Après l'exposé des bases et hypothèses de la loi de comportement utilisée, la démarche globale d'implantation de cet élément est explicitée.

# 2. Loi de comportement pour les céramiques ferroélectriques et ferroélastiques

Dans cette section, nous résumons les éléments clés de loi de comportement proposée par Elhadrouz et al. [ELH 04b]. La déformation $\varepsilon_{ij}$ et le déplacement $D_i$ électronique sont partionnés de la manière suivante

$$ \varepsilon_{ij} = \varepsilon_{ij}^{el} + \varepsilon_{ij}^{r} \qquad D_i = P_i^{el} + P_i^{r} \qquad [1] $$

où les exposants $^{el}$ et $^{r}$ correspondent respectivement aux parties réversibles et rémanentes. Les parties linéaires peuvent être décrites par les équations piézoélectriques

$$ \sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}^{el} - e_{kij} E_k = C_{ijkl} (\varepsilon_{kl} - \varepsilon_{kl}^{r}) - e_{kij} E_k \qquad [2] $$

$$ P_i^{el} = e_{ikl} \varepsilon_{kl}^{el} + \kappa_{ij} E_j = D_i - P_i^r = e_{ikl} (\varepsilon_{kl} - \varepsilon_{kl}^r) + \kappa_{ij} E_j \qquad [3] $$
où $\sigma_{ij}$ et $E_i$ désignent la contrainte et le champ électrique. $C_{ijkl}$ et $\kappa_{ij}$ désignent les composantes des tenseurs d'élasticité et de permittivité, en adoptant l'hypothèse d'isotropie. $e_{ikl}$ est une composante du tenseur de piézoélectricité. Les parties rémanentes sont associées à la configuration relaxée. Une décomposition de la déformation rémanente $\varepsilon_{ij}^r$ est introduite

$$ \varepsilon_{ij}^r = \varepsilon_{ij}^p + \varepsilon_{ij}^f \quad [4] $$

où $\varepsilon_{ij}^p$ est la déformation rémanente associée à la polarisation rémanente induite par le champ électrique. Etant donné que cette tranformation a lieu à volume constant, le tenseur est purement déviatorique

$$ \varepsilon_{ij}^p = \frac{3}{2} \varepsilon^{sat} \frac{\sqrt{P_k^e P_k^e}}{P^{sat}} \left( e_i^p e_j^p - \frac{1}{3} \delta_{ij} \right) \quad [5] $$

$\varepsilon^{sat}$ et $P^{sat}$ sont la déformation et la polarisation rémanente maximales. $e_i^p$ est une composante du vecteur de la direction de polarisation. $P_i^e$ est le polarisation rémanente induite par le champ électrique. Pour rendre compte du phénomène de dépolarisation mécanique, la polarisation rémanente $P_i^r$ est décomposée ainsi

$$ P_i^r = P_i^e + P_i^\sigma \quad [6] $$

où $P_i^\sigma$ est la dépolarisation induite par la contrainte mécanique. En tenant compte de ces partitions et hypothèses, $P_i^e$ et $\varepsilon_{ij}^f$ sont choisies comme variables internes. Les comportements ferroélectriques et ferroélastiques apparaissent lorsque la contrainte atteint la valeur de contrainte coercitive et/ou lorsque le champ électrique est égale au champ coercitif. Par conséquent, deux surfaces de charges sont introduites. La première surface est ferroélastique

$$ f^\sigma = \sqrt{\frac{3}{2} (s_{ij} - \alpha_{ij}) (s_{ij} - \alpha_{ij}) - \hat{\sigma}_c} \quad [7] $$

où $s_{ij}$ et $\alpha_{ij}$ désignent les composantes du tenseur déviateur des contraintes et un tenseur d'écrouissage. $\hat{\sigma}_c$ est une valeur seuil dépendant du champ électrique. Cette grandeur est supposée varier linéairement avec la projection du champ électrique suivant la direction de polarisation

$$ \hat{\sigma}_c = \sigma_c + n E_i e_i^p \quad [8] $$

où $\sigma_c$ et $n$ sont la contrainte coercitive et une constante du matériau. De manière similaire, une surface de charge ferroélectrique est définie

$$ f^E = \sqrt{(E_i - X_i)(E_i - X_i)} - E_c \quad [9] $$

$X_i$ est une variable d'écrouissage et $E_c$ est le champ coercitif. Des considération thermodynamiques [ELH 04b] permettent d'écrire les lois de normalité
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 1.** (a) Elément fini hexaédrique à 8 noeuds intégrant la loi de comportement pour les céramiques ferroélectriques. (b) Implantation de l'élément dans le code de calcul ABAQUS via la routine UEL.</figcaption></figure>

$$ \dot{\varepsilon}_{ij}^{f} = \dot{\lambda}^{\sigma} \frac{\partial f^{\sigma}}{\partial \sigma_{ij}} \qquad \dot{P}_{i}^{e} = \dot{\lambda}^{E} \frac{\partial f^{E}}{\partial E_{i}} \qquad [10] $$

où $\dot{\lambda}^{\sigma}$ et $\dot{\lambda}^{E}$ sont des multiplicateurs respectivement ferroélastique et ferroélectrique déterminés par les relations de consistance ($\dot{f}^{\sigma} = 0$) et ($\dot{f}^{E} = 0$). L'évolution des variables d'écrouissage s'écrit

$$ \dot{\alpha}_{ij} = \frac{2}{3} h \dot{\varepsilon}_{ij}^{f} \qquad \dot{X}_{i} = \beta \dot{P}_{i}^{e} \qquad [11] $$
où h et β sont des constantes du matériau. Concernant le phénomène de dépolarisation, l'évolution de P<sup>σ</sup><sub>i</sub> s'exprime

$$
\dot{P}_{i}^{\sigma}=\frac{P^{\mathrm{sat}}}{2 \varepsilon^{\mathrm{sat}}} \dot{\varepsilon}_{i j}^{f} e_{i}^{p}
$$

3. Résolution du problème par la méthode des éléments finis

3.1. Procédure

La loi de comportement évoquée dans la section précédente a été implantée dans le code de calcul ABAQUS Standard. Ce code offre la possiblité de définir des éléments finis via la routine UEL (User Element). Le type de problème que nous cherchons à résoudre est un problème non linéaire en statique. ABAQUS Standard utilise une approche de type Newton-Raphson pour résoudre le problème. La routine nécessite donc de définir les contributions de l'élément au modèle global, à savoir la matrice de rigidité de l'élément et les forces internes. L'élément développé dans ce cadre est un héxaèdre à 8 noeuds, ayant les trois composantes du déplacement mécanique et le potentiel électrique comme degrés de liberté (Fig. 1). L'interpolation est linéaire à la fois pour le déplacement et le potentiel électrique. Concernant l'intégration, un schéma de Runge-Kutta d'ordre 4 est choisi pour l'intégration de la loi de comportement, tandis que l'intégration spatiale repose sur une intégration sélective des parties sphériques et déviatoriques de la sous-matrice de rigidité liée au comportement purement mécanique [NAG 74]. A chaque itération de Newton, ABAQUS [ABA 95] appelle la routine afin d'obtenir la contribution de l'élément au modèle global (Fig. 1).

3.2. Validation

Des cas simples de chargement électromécaniques ont permis de s'assurer que la
loi de comportement présentée précédemment est bien intégrée. A titre d'exemple, la
figure 2 montre l'évolution de la déformation en fonction du champ électrique ("but-
terfly") lors d'un chargement électrique uniaxial et homogène sur un seul élément. De
même, un chargement uniaxial purement mécanique de compression puis de traction
sur un élément permet de tracer la courbe hystérétique caractéristique de l'évolution
de la contrainte en fonction de la déformation.

4. Conclusions

Un élément fini héxaédrique isoparamètrique et linéaire est implanté dans le code
de calcul ABAQUS. Il présente la spécificité de prendre en compte les comportements
non linéaires des céramiques piézoélectriques. La modélisation d'un actionneur piézo-
électrique [ELH 05], basées sur des expérimentations faites par Shindo et al. [SHI 04]
a permis de mettre en évidence des phénomènes locaux non linéaires, ce qui justifie
toute l'utilité de tels outils numériques.
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 2.** Résultats d'essais de chargements électriques et mécaniques uniaxiaux et homogènes sur un élément.</figcaption></figure>

**5. Bibliographie**

[ABA 95] ABAQUS, *Theory Manual*, Hibbitt, Karlsson and Sorensen, Inc., 1995.

[ELH 04a] ELHADROUZ M., « Modélisation du comportement des céramiques ferroélectriques et ferroélastiques », PhD thesis, Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers, France, 2004.

[ELH 04b] ELHADROUZ M., BENZINEB T., PATOOR E., « Constitutive law for ferroelastic and ferroelectric Piezoceramics », *J. Int. Mat. Sys. Struc.*, vol. under press, 2004.

[ELH 05] ELHADROUZ M., BENZINEB T., PATOOR E., « Finite element analysis of a multi-layer piezoelectric actuator taking into account the ferroelectric and ferroelastic behaviors », *Smart Structures and Materials, NDE*, Proc. SPIE, 2005.

[NAG 74] NAGTEGAAL D., RICE J., « On numerically accurate finite element solutions in the fully plastic range », *Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.*, vol. 4, 1974, p. 153-177.

[SHI 04] SHINDO Y., YOSHIDA M., NARITA F., HORIGUCHI K., « Electroelastic field concentrations ahead of electrodes in multilayer piezoelectric actuators: experiment and finite element simulation », *Journal of the Mechanics and Physics of Solids*, vol. 52, 2004, p. 1109-1124.