# Contributions à l'écart entre deux moyennes pondérées. Un outil d'analyse aux applications multiples

Jean-Pierre Berthier

► To cite this version:

Jean-Pierre Berthier. Contributions à l'écart entre deux moyennes pondérées. Un outil d'analyse aux applications multiples. Courrier des Statistiques, 2001, 100, pp.31-39. hal-05442299

HAL Id: hal-05442299

https://insee.hal.science/hal-05442299v1

Submitted on 5 Jan 2026

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons CC BY 4.0 - Attribution - International License
# Contributions à l'écart entre deux moyennes pondérées

## Un outil d'analyse aux applications multiples

**Une question provisoirement sans réponse : la part due à chaque type d'exploitation dans l'évolution du revenu agricole moyen.**

Entre 1990 et 2000, le revenu d'entreprise agricole par exploitant est passé, en francs de 2000, de 125 000 francs à 149 000 francs, soit un gain de 24 000 francs. Cet indicateur est en fait très variable. Il dépend notamment de la spécialisation des exploitations (on parle d'orientation technique des exploitations – OTEX) : en 2000, il s'élève ainsi à 330 000 francs pour le vin d'appellation d'origine mais à 63 000 francs pour l'élevage des herbivores autres que les bovins (ovins, caprins, équidés). Le hors sol (élevage de porcins et volailles) se trouve dans une situation intermédiaire avec 227 000 francs, ce qui constitue une progression de 27 000 francs entre 1990 et 2000.

Quel est l'impact de cette progression du revenu des exploitants de hors sol sur l'augmentation moyenne de 24 000 francs, toutes spécialisations confondues ? Plus précisément, quelle part (on parlera alors de la contribution du hors sol à l'augmentation globale) en explique-t-elle ? Le fait que le revenu par exploitant augmente dans le hors sol suffit-il pour pouvoir affirmer que cette contribution est positive ?

Pour calculer cette contribution (en fait pour la définir), la première idée peut être la suivante : calculer de combien aurait augmenté le revenu moyen total si seuls avaient bougé le nombre et le revenu moyen des exploitations du hors sol, le nombre et le revenu moyen des autres catégories d'exploitations étant demeurés inchangés. Cette idée renvoie à la façon dont on calcule généralement la contribution d'un terme à la variation d'une somme ; elle débouche par exemple sur la notion de contribution (de la consommation, de l'investissement) à la croissance du PIB (produit intérieur brut). Mais une telle approche bute ici sur une critique fondamentale : si l'on détermine de la sorte les contributions respectives des différentes OTEX, la somme des contributions individuelles ainsi calculées ne sera pas égale à 24 000 francs. Cette piste n'est donc pas la bonne et il nous faut revenir au point de départ.

Testons maintenant l'idée suivante : définir la contribution du hors sol comme le rapport de l'augmentation du revenu global du hors sol (pour l'ensemble des exploitants) au nombre total des exploitants de l'année 1990, toutes OTEX confondues. Mais, là encore, l'exigence minimale que la somme des contributions soit égale à l'écart global des 24 000 francs n'est pas satisfaite. La voie pour y parvenir est cependant aisée. Amendons légèrement le ratio précédent. Au lieu du rapport (revenu global hors sol 2000 – revenu global hors sol 1990) / effectif total 1990, considérons l'expression suivante :

revenu global hors sol 2000 / effectif total 2000
– revenu global hors sol 1990 / effectif total 1990

De façon immédiate, on obtient que la somme, pour toutes les OTEX, est bien égale au revenu par exploitant en 2000 moins le revenu par exploitant en 1990, c'est-à-dire les 24 000 francs.

Une telle définition est un candidat sérieux : elle possède un certain nombre de propriétés simples, sur lesquelles nous reviendrons, et son interprétation est claire. En s'inspirant de ce que les conjoncturistes appellent contribution à la croissance du PIB, on peut dire que chacun des deux termes de la différence représente la contribution de l'OTEX considérée au revenu par exploitant, en 2000 et en 1990. La contribution à l'écart de 24 000 francs serait alors la différence des contributions à chacune des deux dates.

Malheureusement, cette définition présente au moins deux défauts rédhibitoires.

Imaginons en effet qu'une subvention de 10 000 francs soit donnée à l'ensemble des exploitants, en 1990 comme en 2000. Ceci ne change en rien les écarts de revenus par exploitant, par OTEX ou en général, au sein d'une même année ou entre les deux dates. Il est dès lors naturel de vouloir que les contributions à l'écart soient les mêmes suivant que l'on considère les revenus hors cette subvention ou avec elle. Or, il est facile de s'assurer que cette propriété n'est pas respectée avec la définition indiquée précédemment.
Considérons par ailleurs le cas fictif où toutes les OTEX ont le même revenu par exploitant et où ce revenu commun est de plus le même en 1990 et en 2000. Vis-à-vis de notre problème (les disparités par OTEX des revenus par exploitant et leur évolution), la notion d'OTEX n'a aucune pertinence, et toutes sont équivalentes. Le découpage en OTEX est ici sans intérêt et peut être considéré comme arbitraire. Il est dès lors naturel de demander que toutes les contributions soient nulles, leur total devant l'être. Mais, là encore, cette propriété n'est pas respectée. Pour s'en assurer, nous pouvons considérer le cas où les effectifs totaux sont les mêmes en 1990 et 2000, mais où les effectifs du hors sol ont varié.

Comment progresser ? En suivant une méthode qui a fait ses preuves : effectuer un effort de généralisation et d'abstraction.

## Un problème commun derrière des questions très diverses

En parallèle avec la question du revenu par exploitant suivant les OTEX, voici trois autres questions dont la similitude est a priori limitée au fait qu'il s'agit de comprendre comment un écart global (entre deux rapports, deux évolutions) peut se décomposer en contributions de différentes composantes.

- Le revenu net d'entreprise agricole a évolué, entre 1999 et 2000, de + 0,5 % selon le compte prévisionnel de l'agriculture. Lors du compte provisoire (une fois l'année 2000 achevée), cette évolution a été révisée sensiblement à la baisse : - 2,1 %, soit une révision de - 2,6 points. Quelle est la part due à la révision des consommations intermédiaires sachant que les montants de l'année 2000, mais aussi - et toute la difficulté est là - ceux de l'année 1999, sont révisés ? La similitude avec le revenu par OTEX n'est pas trop difficile à débusquer : le « prévisionnel » et le « provisoire » jouent le rôle des années 1990 et 2000 ; les différents postes comptables (dont les consommations intermédiaires) jouent le rôle des OTEX ; le pourcentage d'évolution entre 1999 et 2000 celui du revenu par exploitant, c'est-à-dire que la variation en niveau joue le rôle du revenu et le niveau de l'année 1999 celui des effectifs. Moyennant cette correspondance, les deux problèmes sont formellement identiques.

- La FBCF (formation brute de capital fixe) en biens d'équipement professionnel progresse entre 1995 et 1996 (selon les résultats de la campagne des comptes publiés

en avril 1997) de 0,6 % aux prix constants de l'année 1980, mais diminue de 1,4 % aux prix de l'année 1995. D'où vient cet écart, particulièrement important, de 2 points ? Quelle est la contribution du matériel informatique ? La similitude avec les questions précédentes est plus difficile à repérer. Elle est pourtant bien réelle. Les comptes aux prix de 1995 et aux prix de 1980 jouent le rôle des années 1990 et 2000 ; les différents types de produits correspondent aux OTEX ; le volume de FBCF en 1996 aux prix de 1995 et celui aux prix de 1980 jouent le rôle du revenu ; la valeur en 1995 et le volume de 1995 aux prix de 1980 celui des effectifs. Là encore, les problèmes sont formellement identiques.

- L'indice des prix à la consommation a évolué en glissement de + 1,2 % au cours de l'année 1999, et de + 1,6 % au cours de l'année 2000. Quels produits expliquent cette accélération de 0,4 point ? Quelle est la contribution des carburants ? La similitude est ici d'une nature quelque peu différente, mais sa recherche va nous faire progresser. Les années 1999 et 2000 correspondent sans problème aux années 1990 et 2000. De même, les différents produits jouent le rôle des OTEX. Par contre, il n'y a pas, a priori, de correspondance aux revenus et aux effectifs.

Ce dernier exemple s'écrit en fait sous une forme à la fois simple et très générale : les indices d'ensemble (les 1,2 % et 1,6 %) sont égaux aux moyennes des indices des différents produits, pondérés par des coefficients proportionnels à la consommation des ménages de l'année précédente, telle qu'évaluée par les comptes nationaux. L'écart de 0,4 point est alors égal à la différence de deux moyennes pondérées, les coefficients variant d'une moyenne à l'autre.

Les problèmes précédents peuvent se mettre facilement sous cette forme. Tous étant formellement identiques, on ne reprendra que le premier : les revenus par exploitant des différentes OTEX correspondent aux indices des différents produits ; la part des effectifs des différentes OTEX dans le total des effectifs correspond aux pondérations.

Examinons maintenant notre problème d'une façon théorique : définir et calculer des contributions à l'écart entre deux moyennes pondérées.

## Contributions à l'écart de deux moyennes pondérées : aspects théoriques<fnref n="1" />

Afin de raisonner concrètement, mais en préservant l'atout d'une réflexion abstraite, prenons un exemple déconnecté de toute préoccupation économique et même statistique.

Un élève de seconde a trois matières : français, algèbre et géométrie. Pour chacune, il a une certaine note, affectée d'un certain coefficient pour calculer sa moyenne générale.

<footnote n="1">1. Nous nous contentons ici d'une présentation qui se veut simple et pédagogique. Pour un exposé plus détaillé, on pourra utilement se reporter à l'article suivant : « Les comptes nationaux français en volume aux prix d'une année fixe et aux prix de l'année précédente ; écarts entre les indices d'évolution dans les deux systèmes de prix », Jean-Pierre Berthier, in *Comptabilité Nationale – Nouvelles frontières*, Economica, 1999 (actes du 7ᵉ colloque de l'ACN).</footnote>
Pour mieux comprendre pourquoi rejeter les premières pistes

Dans cet exemple très simple, on ne distingue que deux catégories d'exploitations agricoles, les OTEX1 et 2.

Notons Ni (i = 1 ou 2) le nombre de ces exploitations en 1990, N'i leur nombre en 2000, Ri leur revenu moyen en 1990 et R'i leur revenu moyen en 2000.

L'écart E entre le revenu moyen total 2000 et le revenu moyen total 1990 s'écrit donc

$$
\left[ \frac{(R'1N'1 + R'2N'2)}{(N'1 + N'2)} \right] - \left[ \frac{(R1N1 + R2N2)}{(N1 + N2)} \right]
$$

Une première idée, pour déterminer les contributions respectives des deux catégories d'exploitations à l'écart entre le revenu moyen total 2000 et le revenu moyen total 1990, est de calculer à combien se serait élevé cet écart si le nombre et le revenu moyen des secondes (respectivement des premières) étaient demeurés inchangés, soit N'2 = N2 et R'2 = R2 (resp. N'1 = N1 et R'1 = R1).

Sous cette approche,

la contribution de l'OTEX1 s'écrit [(R'1N'1 + R2N2) / (N'1 + N2)] - [(R1N1 + R2N2) / (N1 + N2)]

$$
\text{et celle de l'OTEX2} \qquad \left[ \frac{(R1N1 + R'2N'2)}{(N1 + N'2)} \right] - \left[ \frac{(R1N1 + R2N2)}{(N1 + N2)} \right]
$$

Par sommation, on obtient une expression sensiblement différente de la formule donnant **E**. Le résultat sera plus ou moins différent selon les valeurs des *R*, *R'i*, *Ni* et *N'i*. Pour obtenir une somme égale à *E*, il faudrait prendre comme contribution de l'OTEX2 l'expression suivante : [(R'1N'1 + R'2N'2) / (N'1 + N'2)] - [(R'1N'1 + R2N2) / (N'1 + N2)], c'est-à-dire partir d'une situation dans laquelle les exploitations de type 1 sont définies par R'1 et N'1 et non R1 et N1. Mais alors, la contribution des différentes OTEX dépendrait de l'ordre dans lequel on les classe.

Une deuxième idée est de définir la contribution de l'OTEX1 par le rapport (R'1N'1 – R1N1) / (N1 + N2)

$$
\text{et celle de l'OTEX2 par le rapport analogue} \qquad \frac{(R'2N'2 - R2N2)}{(N1 + N2)}
$$

Sous cette approche, la somme des deux contributions peut s'écrire

$$
\left[ \frac{(R'1N'1 + R'2N'2)}{(N1 + N2)} \right] - \left[ \frac{(R1N1 + R2N2)}{(N1 + N2)} \right]
$$

Ici, la différence avec la formule donnant **E** réside uniquement dans le premier dénominateur : N1 + N2 en lieu et place de N'1 + N'2. Mais le résultat peut bien sûr être sensiblement différent.

Une troisième idée est de définir les contributions respectives des OTEX1 et 2 par les expressions

$$
[R'1N'1 / (N'1 + N'2)] - [R1N1 / (N1 + N2)]
$$

$$
\text{et} \quad [R'2N'2 / (N'1 + N'2)] - [R2N2 / (N1 + N2)]
$$

Sous cette approche, on vérifie facilement que la somme des deux contributions est bien égale à E.

Imaginons toutefois que toutes nos exploitations aient reçu, tant en 1990 qu'en 2000, une même subvention de montant s. Autrement dit, R1N1 devient R1N1 + sN1, R2N2 devient R2N2 + sN2, R'1N'1 devient R'1N'1 + sN'1 et R'2N'2 devient R'2N'2 + sN'2. Sous cette hypothèse, l'écart E demeure inchangé, et la somme des contributions respectives des OTEX1 et 2 demeure bien égale à ce même écart E.

En revanche, les contributions sont, quant à elles, modifiées.

À la contribution de l'OTEX1 vient en effet s'ajouter le terme [sN'1 / (N'1 + N'2)] - [sN1 / (N1 + N2)]

et à celle de l'OTEX2 le terme
[sN'2 / (N'1 + N'2)] - [sN2 / (N1 + N2)]

A priori non nuls, ces deux termes sont bien sûr égaux en valeur absolue et de signe opposé puisque leur somme est nulle.

Imaginons à présent que R1 = R'1 = R2 = R'2 = R. Sous cette hypothèse, **E** est égal à zéro, de même que la somme des contributions respectives des OTEX1 et 2.

En revanche, celles-ci ne sont a priori pas nulles, elles sont simplement opposées.

Celle de l'OTEX1 est en effet égale à [RN'1 / (N'1 + N'2)] - [RN1 / (N1 + N2)]

et celle de l'OTEX2 à [RN'2 / (N'1 + N'2)] - [RN2 / (N1 + N2)]
L'année suivante, en première, il a toujours ces trois matières, mais les coefficients ont changé ainsi que, bien sûr, ses notes. Le tableau ci-dessous résume ces données en précisant les notations.

<table><thead><tr><th></th><th>Seconde</th><th>Première</th></tr></thead><tbody><tr><th>Français</th><td>Coef f2 = 3<br>Note F2 = 15</td><td>Coef f1 = 4<br>Note F1 = 14</td></tr><tr><th>Algèbre</th><td>Coef a2 = 1<br>Note A2 = 6</td><td>Coef a1 = 2<br>Note A1 = 9</td></tr><tr><th>Géométrie</th><td>Coef g2 = 1<br>Note G2 = 4</td><td>Coef g1 = 1<br>Note G1 = 12</td></tr><tr><th>Ensemble</th><td>Coef e2 = 5<br>Moyenne E2 = 11</td><td>Coef e1 = 7<br>Moyenne E1 = 12,29</td></tr></tbody></table>

Plutôt que de tenter de définir directement des « contributions » de chaque matière à la hausse de la moyenne de l'élève, demandons-nous quelles propriétés il est naturel de leur demander :

(1) **Exhaustivité** : la somme des 3 contributions doit être égale à E1 - E2 = 1,29 point.

(2) **Symétrie** : si l'on s'intéresse non pas à la hausse (E1 - E2) mais à la baisse (E2 - E1) lorsque l'on se remémore l'année précédente, les contributions de chaque matière doivent simplement changer de signe en gardant la même valeur absolue.

(3) **Agrégativité interne** : la contribution du français doit être conservée si l'on regroupe l'algèbre et la géométrie en une seule matière, les mathématiques, avec un coefficient égal à la somme des deux, et en attribuant comme note la moyenne pondérée des deux notes. Le tableau peut alors se transformer en celui-ci :

<table><thead><tr><th></th><th>Seconde</th><th>Première</th></tr></thead><tbody><tr><th>Français</th><td>Coef f2 = 3<br>Note F2 = 15</td><td>Coef f1 = 4<br>Note F1 = 14</td></tr><tr><th>Mathématiques</th><td>Coef m2 = 2<br>Note M2 = 5</td><td>Coef m1 = 3<br>Note M1 = 10</td></tr><tr><th>Ensemble</th><td>Coef e2 = 5<br>Moyenne E2 = 11</td><td>Coef e1 = 7<br>Moyenne E1 = 12,29</td></tr></tbody></table>

(4) **Invariance d'échelle** : toutes les notes sont actuellement sur 20. On pourrait envisager qu'elles soient sur 10. Elles seraient alors toutes divisées par 2, ainsi que l'écart global. Il est alors indispensable de demander aux contributions d'être elles-mêmes divisées par 2. Si l'on repense au revenu par exploitant, cela signifie que les calculs peuvent être effectués indifféremment avec des revenus exprimés en francs, en milliers de francs ou en euros, à condition bien sûr d'en tenir compte dans la lecture des résultats.

(5) **Invariance par translation** : on pourrait aussi envisager que les notes soit comprises entre -10 et +10, la moyenne étant alors à 0 et non à 10, toutes les notes étant

abaissées de 10 points. Il est alors naturel de demander que les contributions à l'écart des moyennes ne soient pas affectées par cette translation qui n'affecte en aucune façon les écarts, seul sujet de préoccupation ici. Cette propriété correspond, pour le revenu par exploitant, à la première propriété non respectée par la différence des contributions (cf. l'exemple d'une subvention uniforme).

Lorsque l'on impose ces propriétés, on montre qu'il existe une et une seule possibilité et que la contribution du français s'écrit ainsi :

$$Cf = (f1/e1) * [F1^{-1/2}(E1 + E2)] - (f2/e2) * [F2^{-1/2}(E1 + E2)]$$

soit -0,66 point.

Pour les mathématiques, on obtient de la même façon $Cm = +1,95$ point, la somme des deux faisant bien +1,29 point. Il est à noter que la démonstration de ce résultat ne fait intervenir aucune hypothèse sur le signe des coefficients. Ceci est utile car certaines applications, comme celle déjà évoquée de la révision d'un solde comptable, font intervenir des coefficients négatifs.

On montre par ailleurs que les cinq propriétés requises ne sont pas redondantes : l'une quelconque de ces propriétés étant choisie, il existe une formule vérifiant les quatre autres, mais pas celle-là.

Les propriétés (1) à (5) permettent également d'assurer que d'autres propriétés sont satisfaites :

(6) L'agrégativité externe est vérifiée, ce qui se traduit ici par le fait que la contribution des mathématiques est égale à la somme des contributions de l'algèbre et de la géométrie.

(7) Si, au lieu de notes, on a des indices d'évolution, le calcul des contributions peut s'effectuer indifféremment à partir d'indices du type 102, ou 1,02, ou 0,02, ou 2.

(8) Si l'élève a toutes ses notes égales (par exemple 12 quelles que soient l'année et la matière), alors toutes les contributions sont nulles. Il s'agit de la deuxième propriété présentée au moment où l'on a rejeté la différence des contributions à propos du revenu par exploitant.

Nous pouvons donner maintenant la formulation générale de l'expression des contributions.

Soient des $a_i$ et des $b_i$ ($a_i$ et $b_i$ peuvent être négatifs), tels que $\sum_i a_i = \sum_i b_i = 1$ et soient des $r_i$ ($a_i$ et $b_i$) quelconques.

Notons $R(a)$ et $R(b)$ les moyennes des $r_i$ ($a_i$ et $b_i$), c'est-à-dire $\sum_i a_i r_i(a) = R(a)$ et $\sum_i b_i r_i(b) = R(b)$.

Alors, la « contribution » $C_i$ de la composante $i$ à l'écart $E = R(b) - R(a)$ s'écrit :

$$C_i = b_i[r_i(b) - R] - a_i[r_i(a) - R] \text{ avec } R = 1/2 [R(a) + R(b)].$$
## Retour sur l'exemple du premier encadré

### Solution du problème et écriture des contributions en un terme « principal » et un terme « structurel »

Rappelons les données et notations du problème considéré dans le premier encadré : on ne distingue que deux catégories d'exploitations agricoles, les OTEX1 et 2, on note Ni (i = 1 ou 2) le nombre de ces exploitations en 1990, N'i leur nombre en 2000, Ri leur revenu moyen en 1990 et R'i leur revenu moyen en 2000.

L'écart E entre le revenu moyen total 2000 et le revenu moyen total 1990 s'écrit ainsi
$$[(R'1N'1 + R'2N'2) / (N'1 + N'2)] - [(R1N1 + R2N2) / (N1 + N2)]$$

Ce que l'on cherche à déterminer, ce sont les contributions respectives C1 et C2 des OTEX1 et 2 à cet écart E, en se fixant les contraintes (1) à (8) énoncées dans le texte. La vérification de ces contraintes, quel que soit le nombre de composantes (ici les OTEX), conduit à une formule générale qui, adaptée au cas examiné ici, s'écrit comme suit :

$$C1 = [[N'1 / (N'1 + N'2)] (R'1 - R)] - [[N1 / (N1 + N2)] (R1 - R)]$$

$$C2 = [[N'2 / (N'1 + N'2)] (R'2 - R)] - [[N2 / (N1 + N2)] (R2 - R)]$$

avec $R = 1/2$ (revenu moyen total 2000 + revenu moyen total 1990)

soit $R = 1/2 [(N'1R'1 + N'2R'2) / (N'1 + N'2)] + 1/2 [(N1R1 + N2R2) / (N1 + N2)]$

Tant C1 que C2 peuvent s'écrire sous la forme de la somme de deux termes, un terme « principal » et un terme « structurel ».

Démontrons-le pour C1 en posant, pour commodité d'écriture et de lecture,

$$[N'1 / (N'1 + N'2)] = b1 \text{ et } [N1 / (N1 + N2)] = a1$$

Il vient $C1 = b1 (R'1 - R) - a1 (R1 - R)$

qui peut s'écrire sous la forme suivante :

$$C1 = 1/2 [b1(R'1 - R)] + 1/2 [b1(R'1 - R)] - 1/2 [a1(R1 - R)] - 1/2 [a1(R1 - R)] + 1/2 b1R1 - 1/2 b1R1 + 1/2 a1R'1 - 1/2 a1R'1$$

En développant, on obtient cette somme de douze termes :

$$C1 = 1/2 b1R'1 - 1/2 b1R + 1/2 b1R'1 - 1/2 b1R - 1/2 a1R1 + 1/2 a1R - 1/2 a1R1 + 1/2 a1R + 1/2 b1R1 - 1/2 b1R1 + 1/2 a1R'1 - 1/2 a1R'1$$

En regroupant les premier, cinquième, dixième et onzième termes, on obtient :

$$1/2 b1R'1 - 1/2 a1R1 - 1/2 b1R1 + 1/2 a1R'1$$

soit $1/2 (R'1 - R1) (b1 + a1)$

En regroupant les huit autres termes, on obtient :

$$- 1/2 b1R + 1/2 b1R'1 - 1/2 b1R + 1/2 a1R - 1/2 a1R1 + 1/2 a1R + 1/2 b1R1 - 1/2 a1R'1$$

soit $-b1R + a1R + 1/2 b1R'1 - 1/2 a1R1 + 1/2 b1R1 - 1/2 a1R'1$

soit $(b1 - a1) (1/2 R'1 + 1/2 R1 - R)$

C1 peut ainsi s'écrire sous la forme de deux facteurs, l'un en (R'1 - R1), l'autre en (b1 - a1). Le premier constitue le terme « principal », le second le terme « structurel ».
## « Terme principal » et « effet de structure »

L'expression précédente peut s'écrire comme somme de deux termes.

Le premier, égal à $1/2 (b_i + a_i) [r_i(b) - r_i(a)]$ dépend principalement de l'écart entre $r_i(b)$ et $r_i(a)$ (par exemple l'évolution du revenu par exploitant entre 1990 et 2000), alors que les pondérations en a et b n'interviennent que par leur moyenne. Nous l'appellerons, de façon un peu abusive, « terme principal ». Il est en effet généralement prédominant lorsque les pondérations évoluent peu entre les deux situations comparées, ce qui est souvent le cas.

Le deuxième, égal à $(b_i - a_i) (r_i - R)$ avec $r_i = 1/2 [r_i(a) + r_i(b)]$ fait intervenir l'évolution des pondérations, alors que les termes $r$ en a et $b$ n'interviennent que par leur moyenne. On l'appellera « l'effet de structure ».

Présentés en annexe, les résultats des quatre exemples (réels) précédemment évoqués montrent que l'importance respective des deux termes peut être très diverse en fonction du type de problème examiné. Ainsi, si l'on cherche à analyser les écarts entre évolutions de volume à prix constants et aux prix de l'année précédente, il apparaît que ces écarts sont fondamentalement liés à l'effet de structure, terme qui de fait est généralement prédominant dans ce cas. On le comprend bien en prenant le cas où les composantes sont les produits au niveau fin (appelé « R » ou « 600 » en base 80) : par construction des comptes à prix constants, les indices d'évolution sont identiques dans les deux systèmes de prix (les produits étant de fait considérés comme homogènes à ce niveau). Les « termes principaux » sont alors tous nuls, et les contributions ne proviennent que de l'effet de structure. On tient là la résolution du paradoxe qui apparaît lorsque l'on commence à réfléchir à cette question et que l'on prend conscience, à un niveau de nomenclature plus agrégé, que les écarts au niveau global ne proviennent pas principalement des écarts au niveau des différentes composantes.

Nous pouvons répondre maintenant à l'une des questions que nous nous étions posées en début d'article : le fait que le revenu par exploitant augmente dans le hors sol suffit-il pour pouvoir affirmer que sa contribution est positive ?

Elle peut désormais se formuler ainsi : le fait que $r_i(b)$ soit supérieur à $r_i(a)$ suffit-il pour que la contribution de la composante $i$ soit positive ? Les expressions ci-dessus montrent qu'il n'en est rien : le « terme principal » est certes positif dès lors que les pondérations sont positives, mais « l'effet de structure » peut être suffisamment négatif pour que la contribution soit négative, même si ce cas de figure reste probablement quelque peu exceptionnel.

L'interprétation intuitive de ce phénomène peut être alors la suivante (les formules montrent qu'il y a deux cas de figure) : $r_i(a)$ est fort (supérieur à $R$) et $r_i(b)$ l'est plus encore, mais la pondération $b_i$ baissant beaucoup par rapport à $a_i$, la composante $i$ tire moins à la hausse en $b$ qu'en $a$. Pour les exploitations agricoles, le cas d'une contribution de signe opposé à l'évolution du revenu par exploitant ne se présente pas, mais il s'en faut d'extrêmement peu que ce ne soit le cas pour le « vin d'appellation d'origine » (cf. exemple 1). Ce cas de figure sera en fait illustré par l'exemple du volume de la FBCF (exemple 3).

Par ailleurs, la « différence des contributions » dont il a été question en début d'article s'écrit $b_i r_i(b) - a_i r_i(a)$.

Il pourrait paraître naturel de choisir cette expression pour définir la contribution de la composante $i$, sachant que l'on cherche à décomposer l'écart global :

$$R(b) - R(a) = \sum_{i} b_{i} r_{i}(b) - \sum_{i} a_{i} r_{i}(a).$$

Elle peut constituer pour certains types de problèmes une approximation des « bonnes » contributions, mais peut d'autres fois s'en écarter complètement. C'est que, si la différence des contributions vérifie les propriétés (1) à (4), ainsi que (6), elle ne vérifie par contre pas les points (5), (7) et (8). L'« erreur » que l'on commet, par rapport aux « bonnes » contributions, est égale à $-(b_i - a_i)*R$.

## Jean-Pierre BERTHIER

Insee

Direction générale

Chef de la division Agriculture
## Quatre exemples réels

### 1. Évolution du revenu agricole par exploitant

<table><caption>Revenu net d'entreprise agricole par actif non salarié
Évolution en milliers de francs 2000 entre 1990 et 2000</caption><thead><tr><td>Composantes</td><td>Contribution à R(b)-R(a)</td><td>Terme principal</td><td>Effet structure</td><td>Différence des contributions</td></tr></thead><tbody><tr><td>Céréales, oléoprotéagineux</td><td>-1,0</td><td>-1,0</td><td>0,0</td><td>1,3</td></tr><tr><td>Autres grandes cultures</td><td>2,3</td><td>2,1</td><td>0,1</td><td>3,0</td></tr><tr><td>Maraîchage et fleurs</td><td>6,2</td><td>6,5</td><td>-0,3</td><td>4,7</td></tr><tr><td>Vin d'appellation d'origine</td><td>0,0</td><td>-3,5</td><td>3,5</td><td>2,2</td></tr><tr><td>Autres vins</td><td>-1,8</td><td>-2,2</td><td>0,3</td><td>-1,4</td></tr><tr><td>Fruits</td><td>-1,8</td><td>-1,8</td><td>0,0</td><td>-1,9</td></tr><tr><td>Bovins lait</td><td>7,9</td><td>5,3</td><td>2,6</td><td>-0,3</td></tr><tr><td>Bovins viande</td><td>2,8</td><td>3,1</td><td>-0,3</td><td>4,2</td></tr><tr><td>Bovins mixte</td><td>1,7</td><td>2,1</td><td>-0,5</td><td>2,6</td></tr><tr><td>Autres herbivores</td><td>-0,4</td><td>-0,2</td><td>-0,2</td><td>0,0</td></tr><tr><td>Hors sol</td><td>2,1</td><td>1,3</td><td>0,8</td><td>3,5</td></tr><tr><td>Polyculture</td><td>1,6</td><td>1,8</td><td>-0,2</td><td>0,8</td></tr><tr><td>Autres orientations mixtes</td><td>4,7</td><td>5,0</td><td>-0,2</td><td>5,4</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>24,2</td><td>18,8</td><td>5,4</td><td>24,2</td></tr></tbody></table>

Deux OTEX ont des contributions particulièrement élevées : « maraîchage et fleurs », ainsi que « bovins lait ».

En ce qui concerne « maraîchage et fleurs », cela provient simplement du fait que le revenu par actif a augmenté dans de très grandes proportions, passant de 81 000 francs à 242 000 francs, ce qu'indique le fait que le terme principal soit très fortement positif.

Pour « bovins lait », la situation est plus complexe. Le revenu augmente fortement, de 79 878 francs à 107 274 francs et le terme principal est donc élevé. Mais l'effet de structure est également positif. Cela provient de la conjonction de deux points : d'une part le poids (la part des actifs dans le total) baisse sensiblement (de 0,224 à 0,164) et d'autre part le niveau de revenu est bas relativement au niveau de revenu moyen toutes OTEX confondues (125 000 F en 1990, 149 000 F en 2000)<fnref n="1" />.

L'analyse du « vin d'appellation d'origine » dont la contribution est nulle, malgré une forte réduction du revenu par exploitant (330 000 contre 380 000 F) et donc un terme principal fortement négatif, est analogue : l'augmentation

de la pondération (la part des effectifs) de cette OTEX à niveau de revenu élevé compensate (via l'effet de structure) l'impact de la baisse du revenu.

La différence des contributions donne ici des résultats très largement « faux ». Par exemple, elle est légèrement négative pour les « bovins lait » (–0,3), ce qui provient de la forte baisse du poids de cette OTEX<fnref n="2" />.

Jean-Pierre Bouteloup

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

<footnote n="1">1. Terme principal : $1/2 (0,164 + 0,224) (107 274 - 79 878) = 5 315 F \Rightarrow 5,3$ (en milliers de francs).
Effet structure : $(0,164 - 0,224) [1/2 (79 878 + 107 274) - 1/2 (125 000 + 149 000)] = 2 605 F \Rightarrow 2,6$.</footnote>

<footnote n="2">2. Il est rappelé que « l'erreur » par rapport à la « bonne » contribution est égale à $-(bi - ai)*R$, soit, dans le cas précis, $-(0,164 - 0,224) * 1/2 (125 000 + 149 000) = 8 220 F \Rightarrow 8,2$.</footnote>
## 2. Révision des comptes

### Révision entre le compte prévisionnel et le compte provisoire 2000 du pourcentage d'évolution du revenu net d'entreprise agricole

<table><thead><tr><th>Composantes</th><th>Contribution à R(b)-R(a)</th><th>Terme principal</th><th>Effet structure</th><th>Différence des contributions</th></tr></thead><tbody><tr><td>Production</td><td>-1,38</td><td>-1,12</td><td>-0,26</td><td>-1,29</td></tr><tr><td>- consommations intermédiaires</td><td>0,17</td><td>-0,10</td><td>0,27</td><td>0,11</td></tr><tr><td>- consommation de capital fixe</td><td>-0,46</td><td>-0,52</td><td>0,05</td><td>-0,48</td></tr><tr><td>+ subventions d'exploitation</td><td>0,18</td><td>0,18</td><td>0,00</td><td>0,18</td></tr><tr><td>- autres impôts sur la production</td><td>-0,03</td><td>-0,03</td><td>0,00</td><td>-0,03</td></tr><tr><td>- rémunérations</td><td>-0,40</td><td>-0,43</td><td>0,03</td><td>-0,41</td></tr><tr><td>- intérêts versés</td><td>-0,30</td><td>-0,28</td><td>-0,02</td><td>-0,30</td></tr><tr><td>- charges locatives nettes</td><td>-0,33</td><td>-0,33</td><td>0,00</td><td>-0,33</td></tr><tr><td>= Revenu net d'entreprise agricole</td><td>-2,56</td><td>-2,64</td><td>0,08</td><td>-2,56</td></tr></tbody></table>

Sur le plan méthodologique, cet exemple a l'intérêt de présenter une application avec des poids négatifs, relatifs aux postes comptables correspondant à des charges pour les exploitants. Par ailleurs, on constate que l'effet structure, même s'il est le plus souvent secondaire, peut être important, voire prépondérant : la légère révision à la hausse de l'évolution des consommations intermédiaires n'empêche pas une contribution positive au revenu car l'effet de structure est assez fortement positif. Enfin, la différence des contributions s'avère ici relativement bonne. Ceci provient de ce que R, moyenne de l'évolution du revenu net d'entreprise agricole, entre le prévisionnel et le provisoire, est proche de zéro.

## 3. Écart entre évolution à prix constants et aux prix de l'année précédente

### Évolution 1996 (compte provisoire, base 80) de la FBCF en biens d'équipement professionnels
### Écart entre volumes aux prix de 1980 et aux prix de l'année précédente

<table><thead><tr><th>Composantes</th><th>Contribution à R(b)-R(a)</th><th>Terme principal</th><th>Effet structure</th><th>Différence des contributions</th></tr></thead><tbody><tr><td>Machines agricoles</td><td>-0,10</td><td>0,00</td><td>-0,10</td><td>-1,28</td></tr><tr><td>Machines-outils</td><td>0,01</td><td>0,00</td><td>0,01</td><td>-0,62</td></tr><tr><td>Équipement industriel</td><td>0,24</td><td>-0,01</td><td>0,25</td><td>-4,69</td></tr><tr><td>Matériel MTPS</td><td>0,52</td><td>0,50</td><td>0,02</td><td>0,19</td></tr><tr><td>Machines de bureau et matériel de traitement de l'information</td><td>0,86</td><td>0,00</td><td>0,86</td><td>9,23</td></tr><tr><td>Matériel électrique</td><td>0,04</td><td>0,00</td><td>0,04</td><td>-1,62</td></tr><tr><td>Matériel électronique professionnel</td><td>0,06</td><td>0,01</td><td>0,05</td><td>1,20</td></tr><tr><td>Construction navale</td><td>0,01</td><td>0,00</td><td>0,01</td><td>0,24</td></tr><tr><td>Construction aéronautique</td><td>0,30</td><td>0,00</td><td>0,30</td><td>-0,90</td></tr><tr><td>Instruments et matériel de précision</td><td>0,11</td><td>0,11</td><td>0,00</td><td>0,29</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>2,05</td><td>0,61</td><td>1,44</td><td>2,05</td></tr></tbody></table>

L'effet de structure est le plus souvent prépondérant. C'est le cas pour les biens d'équipement industriel dont la contribution est largement positive malgré un terme principal négatif. L'explication en a déjà été donnée. L'effet « principal » (ici très mal nommé) n'est pas nul car l'on se place au niveau 90 de la nomenclature et que les évolutions correspondantes présentent des différences entre les deux systèmes de prix du fait d'effets de structure à l'intérieur de chaque niveau. Le terme « principal » pour le matériel MTPS (0,50) est de ce point de vue curieux. De fait, ce poste de la nomenclature recelait une erreur qui a été corrigée lors de la révision des comptes.

La formule donnant l'effet de structure appliquée au problème présent implique qu'un effet positif (et donc très probablement une contribution positive) intervient dans deux cas :

1. Produit en forte croissance relative et prix relatif en baisse. Les deux facteurs sont alors positifs. C'est le cas du matériel informatique (+ 0,86 point).

2. Produit en croissance relative faible et prix relatif en hausse. Les deux facteurs sont alors négatifs. C'est le cas de l'aéronautique (+ 0,30 point).

Un effet de structure négatif (et donc très probablement une contribution négative) intervient dans les deux autres cas, pour lesquels la croissance (relative) et l'évolution des prix (également relatifs) vont dans le même sens. Ces occurrences font économiquement plutôt figure d'exception, et c'est ce que l'on constate dans le tableau.
## 4. Comparaison de l'évolution des prix à la consommation lors de deux années successives

### IPC ensemble des ménages, France entière
Évolution en glissement annuel pour les années 1999 et 2000

<table><thead><tr><td>Composantes</td><td>Contribution à R(b)-R(a)</td><td>Terme principal</td><td>Effet structure</td><td>Différence des contributions</td></tr></thead><tbody><tr><td>Produits alimentaires et boissons non alcoolisées</td><td>0,34</td><td>0,35</td><td>0,00</td><td>-0,34 (0,33)</td></tr><tr><td>Boissons, alcool et tabac</td><td>-0,02</td><td>-0,02</td><td>0,00</td><td>0,00 (-0,02)</td></tr><tr><td>Habillement et chaussures</td><td>0,02</td><td>0,02</td><td>0,00</td><td>-0,19 (0,02)</td></tr><tr><td>Logement, eau, gaz, électricité et autres combustibles</td><td>0,28</td><td>0,28</td><td>0,00</td><td>0,04 (0,27)</td></tr><tr><td>Ameublement, équipement ménager et entretien courant de la maison</td><td>0,06</td><td>0,06</td><td>0,00</td><td>-0,08 (0,06)</td></tr><tr><td>Santé</td><td>-0,03</td><td>-0,04</td><td>0,00</td><td>-0,13 (-0,04)</td></tr><tr><td>Transport</td><td>-0,20</td><td>-0,22</td><td>0,01</td><td>0,47 (-0,19)</td></tr><tr><td>dont carburant</td><td>-0,31</td><td>-0,36</td><td>0,05</td><td>0,09 (-0,31)</td></tr><tr><td>Communications</td><td>-0,18</td><td>-0,15</td><td>-0,03</td><td>0,33 (-0,17)</td></tr><tr><td>Loisirs et culture</td><td>0,04</td><td>0,04</td><td>0,00</td><td>-0,06 (0,04)</td></tr><tr><td>Éducation</td><td>0,00</td><td>0,00</td><td>0,00</td><td>-0,04 (0,00)</td></tr><tr><td>Hôtellerie, café, restaurant</td><td>0,00</td><td>0,00</td><td>0,00</td><td>0,08 (0,00)</td></tr><tr><td>Autres biens et services</td><td>0,10</td><td>0,10</td><td>0,00</td><td>0,32 (0,10)</td></tr><tr><td>Ensemble</td><td>0,40</td><td>0,41</td><td>-0,01</td><td>0,40 (0,40)</td></tr></tbody></table>

Le terme principal est ici largement prédominant. Les pondérations sont en effet suffisamment inertes pour que l'effet de structure soit faible, voire négligeable. Dès lors, le ralentissement des prix des carburants (+ 8,2 % en 2000 contre + 18,3 % en 1999) entraîne une contribution fortement négative, et l'accélération du prix des produits alimentaires (+ 3,1 % contre + 0,9 %) une contribution fortement positive.

Dans la colonne « différence des contributions », deux résultats très différents sont donnés, illustrant l'importance des aspects théoriques analysés précédemment, en l'occurrence le fait que la différence des contributions ne respecte pas la cinquième propriété énoncée :

- le premier chiffre est celui que l'on calcule naturellement en utilisant les indices publiés. Les termes *r* sont alors voisin de 1. Les résultats donnent des valeurs qui n'ont rien à voir avec les contributions calculées « correctement » ;

- le deuxième (entre parenthèses) correspond au résultat des calculs effectués en retranchant 1 à tous les *r*. Ceci revient à donner des évolutions non pas sous la forme 1,01 mais sous la forme 0,01. La différence des contributions fournit alors une approximation satisfaisante de la contribution. Ceci provient de ce que *R* (moyenne sur les deux ans des évolutions moyennes des prix) est alors proche de zéro.