$$
\left\{
\begin{array}{l}
H_{+}(\Sigma) = \{y \in \mathbb{R}^n \text{ tel que } \langle y - x_0 | u \rangle \ge 0\} \\
H_{-}(\Sigma) = \{y \in \mathbb{R}^n \text{ tel que } \langle y - x_0 | u \rangle \le 0\}
\end{array}
\right.
$$

avec $x_0 \in \Sigma$.

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIGURE 3.2 – Les demie espace positif et négatif.</figcaption></figure>

En particulier, nous appellerons le vecteur $u \llcorner$ orientation extérieure de l'hyperplan $\Sigma \gg$. En définissant ainsi les demi-espaces positif et négatif pour tous les hyperplans affines de $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ et après un petit calcul, on peut vérifier que si $\Sigma = \lambda u + \langle u \rangle^{\perp} \subset \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ est un hyperplan affine et $x = \eta v$ un point, avec $\lambda$ et $\eta > 0$ alors :

$$
x \in H_{+}(\Sigma) \Leftrightarrow \langle u | v \rangle \geq \frac{\lambda}{\eta} \Leftrightarrow \Sigma^{*} \in H_{+}(x^{*})
$$

et évidemment, nous retrouvons une relation similaire pour les demi-espaces négatifs.

Considérons donc $K \subset \mathbb{R}^n$ un corps convexe de classe $C_+^\infty$ centré en zéro. On considère alors
le bord topologique $\partial K$ ainsi que $\nu : \partial K \mapsto \mathbb{S}^{n-1}$ le champ orthonormal extérieur au corps $K$.
Mais alors, en considérant le paramétrage $x := \nu^{-1} : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto \partial K$, on sait que $(\partial K, x)$ est un
hérisson de fonction de support $h : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto \mathbb{R}$. On sait enfin que pour tout $u \in \mathbb{S}^{n-1}$, l'hyperplan
en $x(u)$ vérifie l'expression ci-dessous :

$$
\Sigma_u = h(u)u + \langle u \rangle^{\perp}
$$

À présent, montrons que le dual projectif $K^*$ est un corps convexe. Pour cela, considérons $y \notin K^*$ alors on a que $y^* \cap K \neq \emptyset$ et n'est pas un hyperplan de support. En effet, si $y^*$ est un hyperplan de support de $K$, alors il existe forcément une famille de points $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ dans $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ tel que $y_n^* \to y^*$ et $y_n^* \cap K = \emptyset$. En particulier, nous aurions que $y \in K^*$, ce qui est en contradiction avec le choix du point $y$. Par conséquence, le corps $K$ étant de classe $C_+^\infty$ et $y^*$ n'étant pas un hyperplan de support, alors il est immédiat que $K \cap \hat{H}_+(y^*) \neq \emptyset$. En particulier, il existe $u \in \mathbb{S}^{n-1}$ tel que $x(u) \in \hat{H}_+(y^*)$ et donc $y \in \hat{H}_+(x(u)^*)$. Ce qui nous donne finalement que :

$$
\mathbb{R}^n \setminus K^* \subset \bigcup_{u \in \mathbb{S}^{n-1}} \hat{H}_+(x(u)^*)
$$

À présent, considérons $u \in \mathbb{S}^{n-1}$ et $y \in \hat{H}_+(x(u)^*)$. Alors on a $x(u) \in \hat{H}_+(y^*)$. Comme le
corps $K$ est centré en zéro et que le demi-espace $H_-(y^*)$ contient zéro, il existe $z \in ]0, x(u)[$
tel que $z \in y^*$. Nous pouvons préciser que $z$ ne peut être égal à $x(u)$ car sinon nous aurions $x(u) \in y^*$ et donc $y \in x(u)^*$, ce qui n'est pas possible.

Remarquons que le corps $K$ étant de classe $C_+^\infty$ et centré en zéro, alors l'intervalle $]0, x(u)]$ est compris dans l'ouvert $Int(K)$. En particulier, l'hyperplan $y^* \cap K \neq \emptyset$. Ainsi, on peut vérifier que $y \notin K^*$. En effet, si le point $y$ est sur $K^*$, et comme $y^* \cap K \neq \emptyset$, on en déduit nécessairement que $y$ est sur la frontière de $K^*$. Par définition, il existe une famille $(y_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $y_n^* \cap K = \emptyset$ et $y_n \to y$. Par conséquent, l'hyperplan $y^*$ serait un hyperplan de support de $K$, ce qui est contradictoire. Ainsi, $K^* \subset H_-(x(u)^*)$ et plus généralement :

$$K^* \subset \bigcap_{u \in \mathbb{S}^{n-1}} H_-(x(u)^*)$$

Par conséquence, le dual projectif $K^*$ est un corps convexe. Il nous faut vérifier qu'il est de classe $C_+^\infty$. Remarquons (voir expression (3.1.2.15)) que son bord topologique est paramétré par l'application $x^* : \mathbb{S}^{n-1} \to \partial K^*$ telle que :

$$x^*(u) = -\frac{1}{h(u)}u$$

et sa différentielle vérifie $h(u)^2 d_u x^* \cdot \overline{\overleftarrow{W}} = \langle \overleftarrow{\nabla} h(u) | \overline{\overleftarrow{W}} \rangle u - h(u) \overline{\overleftarrow{W}}$. La fonction de support n'étant jamais nulle, c'est un plongement différentiel (voir la propriété 1.2.3 de la page 38). Le corps $K^*$ est donc de classe $C^\infty$. Finalement, notons que le champ orthonormal vérifie l'expression (3.1.1.3) et donc, est un difféomorphisme. Le corps $K^*$ est donc bien de classe $C_+^\infty$.

Enfin, constatons que nous pouvons obtenir les mêmes résultats en appliquant la même méthodologie pour les corps convexes $K \subset \mathbb{P}_n \setminus H_e$, via l'identification de $\mathbb{P}_n \setminus H_e$ avec $\mathbb{R}^n$. Terminons par la relation de bidualité qui s'obtient en vérifiant les deux points suivants :

$$(i) \quad y \in \partial K \Leftrightarrow y^* \text{ est un hyperplan de support de } K^* \qquad (3.1.2.16)$$

$$(ii) \quad y^* \cap K^* = \emptyset \Leftrightarrow y \in \mathrm{Int}(K)$$

Considérons $y \in \partial K$. Pour montrer que $y^*$ est un hyperplan de support de $K^*$, il nous faut vérifier les deux points suivants :

$$\underbrace{K^* \subset H_-(y^*)}_{(1)} \text{ et } \underbrace{K^* \cap y^* \neq \emptyset}_{(2)}$$

Pour (1), considérons $z \in K^*$. Alors, $K \subset H_-(z^*)$ et donc $y \in H_-(z^*)$, c'est-à-dire $z \in H_-(y^*)$. Pour (2), considérons $z^* \subset \mathbb{R}^n$, l'hyperplan de support de $K$ en $y$. Par adhérence, $z \in K^*$ et comme $y \in z^*$ alors $z \in y^*$. Ce qui nous donne le résultat recherché.

Réciproquement, supposons que $y^*$ soit un hyperplan de support de $K^*$. On a donc $y$ qui vérifie les points (1) et (2). Nous devons cependant vérifier les deux points suivants :

$$\underbrace{y \in \Sigma}_{(a)} \text{ et } \underbrace{y \in K}_{(b)}$$

avec $\Sigma \subset \mathbb{R}^n$ un hyperplan de support de $K$. Pour ce faire, considérons $\Sigma^* \in K^* \cap y^*$. On en déduit que $\Sigma^* \in \partial K^*$ et donc $\Sigma$ est un hyperplan de support de $K$. En particulier, on a $y \in \Sigma$,
ce qui valide le point (a). Poursuivons en considérant $z^* \subset \mathbb{R}^n$, un hyperplan de support de $K$. On a alors $z \in K^*$ et donc $z \in H_-(y^*)$; par conséquent, $y \in H_-(z^*)$. En particulier, on déduit que :

$$ y \in \bigcap_{z \in \partial K^*} H_-(z^*) = K \qquad (3.1.2.17) $$

ce qui nous amène au point (b). Cela nous fournit la première équivalence de (3.1.2.16).

Supposons que l'intersection $y^* \cap K^*$ ne soit pas vide. Alors, nous avons deux possibilités. Premièrement, si $y^*$ est un hyperplan de support de $K^*$, alors nous avons vu que $y \in \partial K$. Ainsi, examinons le cas où $y^* \cap \text{Int}(K^*) \neq \emptyset$. Alors, considérons une point $z \in y^* \cap \text{Int}(K^*)$. Il est clair que $y \in z^*$. De plus, comme $z \in \text{Int}(K^*)$, $z^*$ n'est pas un hyperplan de support de $K$ donc $z^* \cap K = \emptyset$. Il s'ensuit que $y \notin K$ et plus précisément $y \notin \text{Int}(K)$.

Réciproquement, supposons que $y \in \text{Int}(K)$. De nouveau, deux cas sont possibles. Si $y \in \partial K$, alors nous savons que $y^*$ est un hyperplan de support de $K^*$. Examinons maintenant le cas où $y \notin K$. Prenons $z^*$ comme un hyperplan tel que $z^* \cap K = \emptyset$ et que $y \in z^*$. Nous avons donc $z \in y^* \cap K^*$. Comme $z^*$ n'est pas un hyperplan de support de $K$, alors $z \in \text{Int}(K^*)$. En particulier, nous avons que $y^* \cap \text{Int}(K^*)$ est non vide. Ainsi, nous établissons bien la deuxième relation d'équivalence de (3.1.2.16), ce qui termine la preuve.

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

Ainsi, par les propriétés 3.1.2 et 3.1.3, nous savons que (via l'identification entre $\mathbb{P}_n \setminus H_e$ et $\mathbb{R}^n$) les duals polaires et projectifs d'un corps convexe correspondent au signe près. Il est également intéressant de remarquer que l'on retrouve la propriété 3.1.1 pour le dual projectif. En effet, si $K$ est un corps convexe, alors nous pouvons constater que le bord du corps $K^*$ est l'enveloppe de la famille d'hyperplans duaux $(x(u)^*)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$. De plus, via l'identification entre $\mathbb{P}_n \setminus H_e$ et $\mathbb{R}^n$, on peut vérifier que la famille d'hyperplans $(x(u)^*)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$ est co-orientée.

## 3.2 Dualité projective d'un hérisson euclidien

De ce qui précède, il est naturel de définir le dual projectif d'un hérisson en considérant l'ensemble des points duaux de sa famille d'hyperplans co-orientés. Soit $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{R}^n$ un hérisson de fonction de support $h: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$. En rappelant que sa famille d'hyperplans co-orientés est définie par les hyperplans affines $\Sigma_u = h(u)u + \langle u \rangle^{\perp}$ indexés sur $\mathbb{S}^{n-1}$ alors, on appelle **dual projectif de $\mathcal{H}_h$** la donnée de l'ensemble $\mathcal{H}_h^* \subset \mathbb{P}_n$ et du paramétrage $x^*: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{P}_n$ tel que :

$$ \mathcal{H}_h^* = \{ \Sigma_u^* \text{ avec } u \in \mathbb{S}^{n-1} \} \text{ et } x^*(u) = \Sigma_u^* \qquad (3.2.0.1) $$

Contrairement à ce que nous avions pour les corps convexes, il n'est pas garanti que le dual projectif $\mathcal{H}_h^*$ soit inclus dans $\mathbb{P}_n \setminus H_e$. Ainsi, nous ne pouvons pas simplement identifier $\mathbb{P}_n \setminus H_e$ avec $\mathbb{R}^n$ pour définir le bidual d'un hérisson. Rappelons que pour définir le bidual d'un corps convexe, nous nous sommes basés sur le fait que le dual projectif était toujours un corps convexe, en définissant la notion de corps convexe sur $\mathbb{P}_n \setminus H_e$ via l'identification $\mathbb{P}_n \setminus H_e \sim \mathbb{R}^n$. Pour surmonter ce problème, il est nécessaire de considérer les deux définitions suivantes :

**Définition 3.2.1.** Nous dirons qu'une famille $(H_u)_{u \in \Gamma}$, avec $\Gamma$ une p-variété, est une **famille lisse d'hyperplans projectifs de $\mathbb{P}_n$ si et seulement s'il existe une application lisse $v: \Gamma \to \mathbb{S}^n$ telle que :**
$$H_u = \mathcal{P}(\langle v(u) \rangle^{\perp}) \qquad (3.2.0.2)$$

pour tout $u \in \Gamma$.

**Note.** Nous appellerons $v$ l'application duale dans $\mathbb{S}^n$ de la famille $(H_u)_{u \in \Gamma}$. Il est alors utile de remarquer que si $\Gamma$ est connexe, alors la famille $(H_u)_{u \in \Gamma}$ admet exactement deux applications duales dans $\mathbb{S}^n$.

**Définition 3.2.2.** Soit $(H_u)_{u \in \Gamma}$ une famille lisse d'hyperplans projectifs de $\mathbb{P}_n$ et $v : \Gamma \mapsto \mathbb{S}^n$ une application duale dans $\mathbb{S}^n$. Alors, nous appelons **enveloppe** de cette famille (si elle existe) l'image d'une application lisse $x := \mathcal{P}(x_0) : \Gamma \mapsto \mathbb{P}_n$, que l'on appelle **paramétrage**, où $x_0 : \Gamma \mapsto \mathbb{S}^n$ est une application vérifiant les deux conditions de contact suivantes :

$$\langle x_0(u) | v(u) \rangle = 0 \text{ et } \langle d_u x_0 | v(u) \rangle = 0 \qquad (3.2.0.3)$$

Aussi, nous appellerons **enveloppe paramétrée** la donnée d'une enveloppe et du paramétrage qui lui est associé.

**Note.** La définition d'enveloppe de famille lisse d'hyperplans projectifs ne dépend pas du choix de l'application duale dans $\mathbb{S}^n$ de la famille considérée.

Il est alors naturel de définir le dual d'une enveloppe paramétrée dans $\mathbb{P}_n$ de la manière suivante : Si $\Lambda = (\Sigma, x)$ est l'enveloppe paramétrée d'une famille lisse $(H_u)_{u \in \Gamma}$ d'hyperplans projectifs définie sur $\mathcal{H}_e(\mathbb{P}_n)$, alors on appelle **dual projectif de $\Lambda$**, que l'on note $\Lambda^*$, la donnée de l'ensemble $\Sigma^*$ et de l'application $x^* : \Gamma \mapsto \mathbb{R}^n$ telle que :

$$\Sigma^* = \{H_u^* \text{ avec } u \in \Gamma\} \text{ et } x^*(u) = H_u^* \qquad (3.2.0.4)$$

**Propriété 3.2.1.** Soit $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{R}^n$ un hérisson de paramétrage $x$. Alors, son dual projectif correspond à l'unique l'enveloppe paramétrée de la famille lisse d'hyperplans projectifs $(x(u)^*)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$. Aussi, son bidual vérifie la relation d'involution :

$$(\mathcal{H}_h^*)^* = \mathcal{H}_h \qquad (3.2.0.5)$$

ce qui justifie l'appellation de dualité.

**Démonstration.** Considérons $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{R}^n$ un hérisson de fonction de support $h$. Nous définissons alors la fonction $s : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto \mathbb{S}^n$ par l'expression suivante :

$$s(u) = \eta(u)(u - h(u)e) \text{ avec } \eta(u) = \frac{1}{\sqrt{1 + h(u)^2}}$$

Nous considérons également la famille d'hyperplans $\Sigma_u = h(u)u + \langle u \rangle^{\perp}$ pour chaque $u \in \mathbb{S}^{n-1}$, qui correspond évidemment à la famille d'hyperplans co-orientés du hérisson $\mathcal{H}_h$. Il est clair que, par construction, le paramétrage $x^*$ défini par la relation (3.2.0.1) vérifie l'expression suivante :

$$x^*(u) = p \circ s(u)$$

avec $p : \mathbb{S}^n \mapsto \mathbb{P}_n$ la projection projective.

À présent, considérons le paramétrage $x(u) = h(u)u + \vec{\nabla}h(u)$ du hérisson $\mathcal{H}_h$. Il est alors clair que la famille d'hyperplans projectifs $(x(u)^*)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$ est définie par $x(u)^* = p(\langle \nu(u) \rangle^{\perp})$, avec :
$$ \nu(u) = \frac{1}{\sqrt{1 + \|x(u)\|^2}} [e + x(u)] $$

Après un petit calcul, on peut vérifier que l'application $s$ vérifie les conditions de contact $\langle s(u) | \nu(u) \rangle = 0$ et $\langle d_u s | \nu(u) \rangle = 0$, ce qui nous donne le résultat recherché. Enfin, la relation (3.2.0.5) découle directement de la relation de bidualité (3.1.2.10) entre les points et les hyperplans. $\square$

Il sera utile de remarquer que si $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{R}^n$ est un hérisson dont la fonction de support $h: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$ n'est jamais nulle, alors son dual projectif $\mathcal{H}_h^*$ est contenu dans $\mathbb{P}_n \setminus H_e$. De plus, via l'identification $\mathbb{P}_n \setminus H_e \sim \mathbb{R}^n$, le paramétrage $x^*: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}^n$ admet pour expression :

$$ x^*(u) = -\frac{1}{h(u)}u \qquad (3.2.0.6) $$

ce qui correspond à l'expression (3.1.2.14) de la propriété 3.1.3.

### 3.2.1 Représentation du dual d'un hérisson sur la sphère

La représentation du dual d'un hérisson est l'ensemble des représentants, sur l'hypersphère $\mathbb{S}^n$, correspondant aux points de son dual sur l'espace projectif. Il est à noter qu'en pratique, la représentation du dual d'un hérisson fournit une méthode qui simplifie, dans certains cas de figure, les développements que nous pouvons considérer dans le cadre de l'étude du dual d'un hérisson (voir démonstration de la propriété 3.2.2). Considérons donc $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{R}^n$ un hérisson de fonction de support $h: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$. Nous appellerons **représentation du dual de $\mathcal{H}_h$ sur la sphère** l'application $s: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{S}^n$ définie par l'expression ci-dessous :

$$ s(u) = \sigma(u)[u - h(u)e] \qquad (3.2.1.7) $$

$$ \text{avec } \sigma(u) = \frac{1}{\sqrt{1+h(u)^2}}. $$

Il est assez clair que, comme nous le représentons ci-dessous, la représentation du dual d'un hérisson sur la sphère correspond au graphe de sa fonction de support sur $\mathbb{S}^n$, en prenant l'équateur comme l'axe des abscisses.

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE 3.3 – Représentation du dual d'un hérisson sur la sphère</figcaption></figure>
En particulier, sur la sphère $\mathbb{S}^n$, le dual projectif d'un hérisson est une hypersurface orientée dont le champ orthonormal est l'application $\vec{v} : \mathbb{S}^{n-1} \to T\mathbb{S}^n$ définie par l'expression suivante :

$$ \vec{v}(u) = \eta(u)[e + x(u)] \qquad (3.2.1.8) $$

$$ \text{avec } \eta(u) = \frac{1}{\sqrt{1+\|x(u)\|^2}}. $$

Il est alors intéressant de remarquer que les relations de dualité que nous avons définies via les définitions 3.1.1 et 3.1.2 induisent naturellement des relations de dualité entre l'espace $\mathbb{R}^n$ et la sphère $\mathbb{S}^n \setminus \{e, -e\}$. Ainsi, via ces relations de dualité, il est immédiat que la représentation, sur la sphère, du dual d'un hérisson vérifie la propriété 3.2.1.

### 3.2.2 Petite remarque géométrique

Nous voulons ici montrer un exemple de correspondance géométrique<fnref n="1" /> entre un hérisson et son dual sur l'espace projectif ou la sphère. Ainsi, nous allons démontrer que si $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{R}^n$ est un hérisson dont le dual projectif est $\mathcal{H}_h^* \subset \mathbb{P}_n$, alors on a :

1. Les valeurs critiques de $\mathcal{H}_h$ correspondent aux points du dual $\mathcal{H}_h^*$ où la courbure de Gauss s'annule.

2. Les points d'intersection de $\mathcal{H}_h$ correspondent sur $\mathcal{H}_h^*$ à des couples de points dont les hyperplans tangents coïncident.

La figure 3.4 ci-dessous représente graphiquement un hérisson (à droite) ainsi que son dual projectif (à gauche). Nous pouvons en particulier y observer la correspondance entre les valeurs critiques et les points d'intersection du hérisson avec les points d'inflexion<fnref n="2" /> et les couples de points qui partagent la même droite tangent sur son dual.

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>FIGURE 3.4 – Exemple de correspondance géométrique entre un hérisson et son dual</figcaption></figure>

Munissons l'espace projectif $\mathbb{P}_n$ de la structure riemannienne induite par la sphère $\mathbb{S}^n$ via la projection projective $\mathcal{P} : \mathbb{S}^n \to \mathbb{P}_n$. Il nous sera nécessaire d'identifier les hyperplans vectoriels de chaque espace tangent de $\mathbb{P}_n$ avec les hyperplans projectifs via le procédé suivant : Si $x \in \mathbb{P}_n$ est un point et $\Sigma \subset T_x\mathbb{P}_n$ un hyperplan vectoriel, alors on considère l'unique hyperplan projectif $\Gamma \subset \mathbb{P}_n$ tel que :

<footnote n="1">1. Ce rapporter aux pages 145 et 146 de [70] pour plus de détails.</footnote>

<footnote n="2">2. Un point d'inflexion est un point où s'opère un changement de concavité d'une courbe plane.</footnote>
$$x \in \Gamma \text{ et } T_x\Gamma = \Sigma \qquad (3.2.2.9)$$

Il est aussi utile de remarquer que si $\Sigma \subset T_x\mathbb{P}_n$ est un hyperplan vectoriel, alors $\Sigma = d_v\mathcal{P} \cdot \Sigma_0$, avec $v \in \mathbb{S}^n$ tel que $x = \mathcal{P}(v)$ et $\Sigma_0 \subset T_v\mathbb{S}^n$ est un hyperplan vectoriel. Il est ainsi immédiat que si $\Gamma$ est l'hyperplan projectif qui correspond à $\Sigma$, alors on a :

$$\Gamma = \mathcal{P}(\langle v + \Sigma_0 \rangle) \qquad (3.2.2.10)$$

Via cette identification, nous dirons que, pour $\Lambda \subset \mathbb{P}_n$ une hypersurface, **les hyperplans tangents sont confondus en x et y**, avec $x$ et $y$ deux points sur $\Lambda$, si et seulement si il existe $\Gamma \subset \mathbb{P}_n$ un hyperplan projectif contenant les points $x$ et $y$ tel que $T_x\Gamma = T_x\Lambda$ et $T_y\Gamma = T_y\Lambda$. Par conséquent, on considère la propriété suivante :

**Propriété 3.2.2.** Soit $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{R}^n$ un hérisson et $\mathcal{H}_h^* \subset \mathbb{P}_n$ son dual projectif ainsi que $x : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto \mathbb{R}^n$ et $x^* : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto \mathbb{P}_n$ leurs paramétrages respectifs. Alors on a :

1. Les valeurs critiques de $\mathcal{H}_h$ correspondent aux points du dual $\mathcal{H}_h^*$ dont la courbure de Gauss est nulle.

2. Pour $u \in \mathbb{S}^{n-1}$ et $u' \in \mathbb{S}^{n-1}$, $x(u) = x(u')$ si et seulement si les hyperplans tangents dans $\mathbb{P}_n$ en $x^*(u)$ et $x^*(u')$ sont confondus.

**Démonstration.** Considérons $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{R}^n$ un hérisson dont la fonction de support est $h$. La représentation du dual de $\mathcal{H}_h$ dans $\mathbb{S}^n$ est définie par l'application $s : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto \mathbb{S}^n$ vérifiant l'expression (3.2.1.7). Nous savons aussi que $s(\mathbb{S}^{n-1})$ est une hypersurface orientée dont l'application orthonormale $\vec{v} : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto T\mathbb{S}^n$ est définie par l'expression (3.2.1.8).

Pour calculer la dérivée covariante du champ $\vec{v}$, rappelons que, par définition de la sphère $\mathbb{S}^n$, si $\nabla : \Delta(\mathbb{S}^n) \otimes \Omega_1(\mathbb{S}^n) \mapsto \Delta(\mathbb{S}^n)$ est la connexion de Levi-Civita pour la métrique induite de la sphère, alors $\nabla_u \vec{v} \cdot \vec{W} = d_u \vec{v} \cdot \vec{W}$, avec $u \in \mathbb{S}^{n-1}$ et $\vec{W} \in T_u\mathbb{S}^{n-1}$. De plus, nous avons :

$$\left\{ \begin{array}{l} d_u s \cdot \vec{W} = -\sigma(u)^2 \langle \vec{\nabla} h(u) | \vec{W} \rangle s(u) + \sigma(u) [\vec{W} - \langle \vec{\nabla} h(u) | \vec{W} \rangle e] \\ d_u \vec{v} \cdot \vec{W} = -\eta(u)^2 \langle x(u) | d_u x \cdot \vec{W} \rangle \vec{v}(u) + \eta(u) d_u x \cdot \vec{W} \end{array} \right.$$

Remarquons maintenant que si $d_u x \cdot \vec{W}$ est non nul, alors la famille formée par les éléments $\vec{v}(u)$ et $d_u x \cdot \vec{W}$ est libre. En particulier, $d_u \vec{v} \cdot \vec{W}$ est non nul, d'où :

$$d_u \vec{v} \cdot \vec{W} = 0 \Leftrightarrow d_u x \cdot \vec{W} = 0$$

ce qui nous donne le premier point.

Pour le second point, il suffit de voir que $\langle s(u) + Im(d_u s) \rangle = \langle \vec{v}(u) \rangle^{\perp}$, avec $\vec{v}(u)$ dans $\Omega_e$, et cela pour tout point $u \in \mathbb{S}^{n-1}$. Ainsi, pour tout couple de points distincts $u_1$ et $u_2$ dans $\mathbb{S}^{n-1}$, nous avons :

$$\vec{v}(u_2) \perp \langle s(u_1) + Im(d_{u_1} s) \rangle \Leftrightarrow \vec{v}(u_1) = \vec{v}(u_2) \Leftrightarrow x(u_1) = x(u_2)$$

ce qui nous donne le résultat recherché.

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

Nous pouvons alors aisément comprendre que si le dual projectif (ou polaire) d'un corps est toujours un corps convexe, ce n'est plus le cas pour les hérissons. À titre d'exemple, il nous suffit de reconsidérer la figure 3.4. Il est donc intéressant de caractériser géométriquement le dual d'un hérisson. C'est précisément l'objet de la section suivante.
## 3.3 Théorème de caractérisation projective

L'objet de cette section est de connaître les caractéristiques géométriques du dual d'un hérisson. En effet, nous avons vu précédemment que, contrairement aux corps convexes, le dual d'un hérisson n'est pas nécessairement un hérisson. Nous commençons donc par le résultat suivant :

**Théorème 3.3.1.** Soit $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{R}^n$ un hérisson euclidien. Alors son dual projectif $\mathcal{H}_h^*$ vérifie les trois conditions ci-dessous :

1. Son paramétrage $x^* : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto \mathbb{P}_n$ est une immersion.

2. Toute droite projective passant par $e$ intersecte $\mathcal{H}_h^*$ en un ou deux points.

3. Les hyperplans tangents de $\mathcal{H}_h^*$, vus comme hyperplans projectifs, ne passent jamais par $e$.

*Démonstration.* Soit $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{R}^n$ un hérisson de fonction de support $h : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$. Considérons maintenant $s : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{S}^n$ la représentation de son dual sur la sphère définie par l'expression (3.2.1.7). Il est alors clair que la fonction $s$ est une immersion et ainsi, le paramétrage du dual $x^* = p \circ s$, avec $p : \mathbb{S}^n \to \mathbb{P}_n$ la projection projective, est également une immersion.

Dans la suite, nous identifions la $(n-1)$-sphère à $\mathbb{S}_e^{n-1} = S(\langle e \rangle^{\perp})$. Ainsi, par construction, si l'on considère le 2-plan $P_u = \mathbb{R}u \oplus \mathbb{R}e$, avec $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, l'intersection $P_u \cap s(\mathbb{S}_e^{n-1})$ contient exactement deux points. En identifiant la droite $\mathbb{R}u$ avec la droite projective $p(P_u)$, il est immédiat que l'intersection $\mathbb{R}u \cap \mathcal{H}_h^*$ contient soit un, soit deux points.

Pour finir, il nous suffit de remarquer que la troisième condition découle directement du fait que, par la propriété 3.2.1 page 62, on sait que le dual $\mathcal{H}_h^*$ est l'enveloppe paramétrée de la famille des hyperplans projectifs $x(u)^* \subset \mathbb{P}_n \setminus \{e\}$. $\square$

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

Il est alors intéressant de discuter du sens géométrique des deuxième et troisième conditions précédentes. Considérons, pour un hérisson $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{R}^n$, la famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$ d'hyperplans co-orientés dont $\mathcal{H}_h$ est l'enveloppe paramétrée. La deuxième condition correspond à l'injectivité (voir définition 1.1.6 de la page 30) de la famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$. En particulier, si pour une direction $u \in \mathbb{S}^{n-1}$, la droite $^3\mathbb{R}u$ intersecte le dual $\mathcal{H}_h^*$ en un seul point, cela signifie que les hyperplans $\Sigma_u$ et $\Sigma_{-u}$ sont les mêmes (avec bien sûr des orientations opposées). Dans l'exemple ci-dessous, nous représentons le dual d'un hérisson en prenant soin d'obtenir un exemple (à gauche) où l'intersection d'une droite projective passant par le point $e$ avec le dual $\mathcal{H}_h^*$ se fait en un seul point et (à droite) en deux points.

<footnote n="3">3. Bien sûr, lorsque l'on parle de la droite $\mathbb{R}u$ dans $\mathbb{P}_n$, on parle de la droite projective $\mathcal{P}(\mathbb{R}e \oplus \mathbb{R}u)$.</footnote>
<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>FIGURE 3.5 – Intersection du graphe de la représentation projective via la carte projective en e</figcaption></figure>

On peut remarquer que dans le cas où $\Sigma_u = \Sigma_{-u}$ alors $h(u) = -h(-u)$ et donc il existe forcément un $u_0 \in \mathbb{S}^{n-1}$ tel que $h(u_0) = 0$, ce qui explique que le graphe de gauche explose. En effet, nous avions vu que via la carte projective centrée en $e$, le paramétrage du dual projectif vérifie l'expression (3.2.0.6) lorsque $h(u) \neq 0$. Ainsi, les points vérifiant $h(u_0) = 0$ correspondent forcément à des points à l'infini sur $\mathbb{P}_n$.

La troisième condition est plus difficile à visualiser. Rappelons que la représentation sur la sphère du dual d'un hérisson (voir expression (3.2.1.7)) correspond au graphe de la fonction de support sur la sphère en considérant l'équateur comme l'axe des abscisses. Considérons pour un hérisson $\mathcal{H}_h$ la représentation sur la sphère de son dual, qui correspond à l'application $s: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{S}^n$. Supposons qu'en $u \in \mathbb{S}^{n-1}$, l'hyperplan $d_u x^* \cdot T_u \mathbb{S}^{n-1}$ contienne le point $e$. On a donc :

$$d_u s \cdot T_u \mathbb{S}^{n-1} \subset \mathbb{R}s(u) \oplus \mathbb{R}e \qquad (3.3.0.1)$$

et il n'est alors pas possible que $s(\mathbb{S}^{n-1})$ corresponde au graphe d'une fonction lisse sur la sphère en prenant l'équateur comme étant l'axe des abscisses. Dans la figure ci-dessous, nous illustrons ce dont nous avons discuté en considérant une fonction $h: \mathbb{S}^1 \to \mathbb{R}$ qui n'est pas partout de classe $C^1$.
<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>FIGURE 3.6 – Défaut de régularité de la fonction de support</figcaption></figure>

À présent, montrons que les conditions que nous avons considérées sont suffisantes. Il nous faut vérifier que toute application $\mu : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{P}_n$ vérifiant ces trois conditions correspond au paramétrage du dual d'un hérisson.

**Lemme 3.3.1.** Si $\mu : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{P}_n \setminus \{e\}$ est une application lisse alors la famille d'hyperplans duals $(\mu(u)^*)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$ est lisse.

*Démonstration.* Considérons $\mu : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{P}_n \setminus \{e\}$ une application lisse. Alors, pour tout $u_0$ dans $\mathbb{S}^{n-1}$, il existe forcément $v_0 \in \mathbb{S}^n$ et $\Omega \subset \mathbb{S}^{n-1}$, un ouvert centré en $u_0$ tel que :

$$ \forall u \in \Omega, \mu(u) \in \mathbb{P}_n \setminus H_{v_0} $$

avec $H_{v_0} = p(\langle v_0 \rangle^{\perp})$.

Mais alors, il est clair que sur $\Omega$, $\mu(u) = p(v_0 + \bar{\varphi}_{v_0} \circ \mu(u))$, où la fonction $\bar{\varphi}_{v_0} : \mathbb{P}_n \setminus H_{v_0} \to \bar{T}_{v_0} = \langle v_0 \rangle^{\perp}$ est la carte projective centrée en $v_0$. En particulier, si on considère la fonction $w : \Omega \to \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0\}$ telle que $w(u) = v_0 + \bar{\varphi}_{v_0} \circ \mu(u)$, alors par construction, on a :

$$ \forall u \in \Omega, e + \mu(u)^* = T_e \cap \langle w(u) \rangle^{\perp} $$

et ainsi la famille d'hyperplans $(\mu(u)^*)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$ est bien une famille lisse. $\square$

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

**Théorème 3.3.2.** Considérons $\mu : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{P}_n$, avec $n \ge 3$, une application lisse vérifiant les trois points suivants :

1. C'est une immersion.

2. Toutes les droites projectives passant par le point $e$ intersectent l'image $\mu(\mathbb{S}^{n-1})$ en un ou deux points.

3. Les hyperplans tangents<fnref n="4" /> de l'image $\mu(\mathbb{S}^{n-1})$, vus comme hyperplans projectifs, ne passent jamais par le point $e$.

Alors, il existe un unique hérisson euclidien $\mathcal{H} \subset \mathbb{R}^n$ pour lequel l'application $\mu$ correspond (à un difféomorphisme de la sphère $\mathbb{S}^{n-1}$ près) au paramétrage de son dual projectif.

<footnote n="4">4. Il s'agit des $d_u \mu \cdot T_u \mathbb{S}^{n-1}$.</footnote>
Démonstration. Considérons $\mu : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{P}_n$ une application lisse vérifiant les trois points précédents. On peut alors remarquer que le troisième point implique que l'image $\mu(\mathbb{S}^{n-1})$ ne contient pas le point $e$. Considérons donc la famille d'hyperplans duaux $(\mu(u)^*)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$. D'après le lemme 3.3.1 précédent, nous savons que c'est une famille lisse. Tout l'enjeu de la preuve est alors de montrer qu'elle est co-orientée, à difféomorphisme de la sphère près.

La famille d'hyperplans duaux $(\mu(u)^*)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$ étant lisse, par définition, il existe des fonctions lisses $\nu : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{S}^{n-1}$ et $a : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$ telles que :

$$ \mu(u)^* = a(u)\nu(u) + \langle \nu(u) \rangle^{\perp} $$

et ainsi, il nous faut montrer que l'application $\nu$ est un difféomorphisme.

À présent, considérons l'application $s : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{S}^n$, que nous appellerons représentation de $\mu$ sur la sphère, définie de la manière suivante :

$$ s(u) = \sigma(u)[\nu(u) - a(u)e] \text{ avec } \sigma(u) = \frac{1}{\sqrt{1 + a(u)^2}} \qquad (3.3.0.2) $$

et qui vérifie en particulier la relation suivante :

$$ \mu(u) = p \circ s(u) \text{ et } e + \mu(u)^* = T_e \cap \langle s(u) \rangle^{\perp} $$

En rappelant que la restriction sur la sphère $\mathbb{S}^n$ de la projection $p$ est une immersion alors, d'après l'hypothèse sur $\mu$, il est immédiat que c'est également le cas pour $s$.

Pour la suite de la preuve, nous identifions la $(n-1)$-sphère avec $\mathbb{S}_e^{n-1} = S[\langle e \rangle^{\perp}]$. Soit $u_0 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, alors on considère le 2-plan $P_{u_0} = \mathbb{R}e \oplus \mathbb{R}\nu(u_0)$. Par définition de la fonction $s$, il existe forcément $v_0 \in P_{u_0} \cap \mathbb{S}_e^{n-1}$ et $\Omega \subset \mathbb{S}_e^{n-1}$ un ouvert centré en $u_0$ tel que :

$$ \mathbb{R}_+ v_0 \cap T_e \neq \emptyset \text{ et } \forall u \in \Omega, s(u) \notin \langle v_0 \rangle^{\perp} \qquad (3.3.0.3) $$

En considérant la projection orthogonale $\pi_{v_0} : \mathbb{R}^{n+1} \to \langle v_0 \rangle^{\perp}$ ainsi que l'application de normalisation $\mathcal{N} : \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0\} \to \mathbb{S}^n$, il est clair que l'application $\phi := \mathcal{N} \circ \pi_{v_0} : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$, avec $\mathbb{S}_{v_0}^{n-1} = S[\langle v_0 \rangle^{\perp}]$, est un difféomorphisme. Le point $v_0$ étant défini par (3.3.0.3), si nous considérons l'application $v := \phi \circ \nu : \Omega \to \mathbb{S}_{v_0}^{n-1}$, il existe forcément une fonction lisse $\alpha : \Omega \to \mathbb{R}$ telle que :

$$ \forall u \in \Omega, s(u) \sim v_0 + \alpha(u)v(u) \qquad (3.3.0.4) $$
<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>FIGURE 3.7 – Définition du point $v_0$ et de l’application $\Phi$</figcaption></figure>

À présent, considérons la carte projective $\bar{\varphi}_{v_0} : \mathbb{P}_n \setminus H_{v_0} \mapsto \vec{T}_{v_0}$, avec $H_{v_0} = p(\langle v_0 \rangle^{\perp})$ et $\vec{T}_{v_0} = \langle v_0 \rangle^{\perp}$. Remarquons aussi que sur $\Omega$, la fonction $\mu$ vérifie que $\mu(u) = p(v_0 + \bar{\varphi}_{v_0} \circ \mu(u))$ et ainsi, par (3.3.0.4), il s’ensuit que :

$$ \forall u \in \Omega, \alpha(u)v(u) = \bar{\varphi}_{v_0} \circ \mu(u) \qquad (3.3.0.5) $$

Supposons donc que $d_{u_0}v \cdot \vec{W} = 0$ pour $\vec{W} \in T_{u_0}\mathbb{S}_e^{n-1}$, un vecteur non nul. L’application $\bar{\varphi}_{v_0} \circ \mu : \Omega \mapsto \vec{T}_{v_0}$ étant, par hypothèse, une immersion, on a donc que :

$$ d_{u_0}[\bar{\varphi}_{v_0} \circ \mu] \cdot \vec{W} = \langle \vec{\nabla} \alpha(u_0) | \vec{W} \rangle v(u_0) \neq 0 $$

En particulier, le produit scalaire $\langle \vec{\nabla} \alpha(u_0) | \vec{W} \rangle$ est non nul. Ceci nous indique que la droite $\mathbb{R}v(u_0)$ est comprise dans l'hyperplan $d_{u_0}[\bar{\varphi}_{v_0} \circ \mu] \cdot T_{u_0}\mathbb{S}_e^{n-1}$. Mais alors, par la relation (3.3.0.5), on obtient que :

$$ \mathbb{R}v(u_0) \subset \bar{\varphi}_{v_0} \circ \mu(u_0) + d_{u_0}[\bar{\varphi}_{v_0} \circ \mu] \cdot T_{u_0}\mathbb{S}_e^{n-1} $$

De plus, comme $v_0 \in P_{u_0}$, alors par construction, nous avons $\mathbb{R}e \oplus \mathbb{R}v(u_0) = \mathbb{R}v_0 \oplus \mathbb{R}v(u_0)$ et en particulier $\bar{\varphi}_{v_0} \circ \mu(P_{u_0}) = \mathbb{R}v(u_0)$. Ensuite, en observant que $e \in P_{u_0}$, nous obtenons :

$$ \bar{\varphi}_{v_0} \circ p(e) \in \bar{\varphi}_{v_0} \circ \mu(u_0) + d_{u_0}[\bar{\varphi}_{v_0} \circ \mu] \cdot T_{u_0}\mathbb{S}_e^{n-1} $$

Or, cela n’est pas possible d’après l’hypothèse initiale. Par conséquent, l’application $\nu$ est une immersion. De plus, étant une immersion de $\mathbb{S}_e^{n-1}$ dans $\mathbb{S}_e^{n-1}$, et avec $n \ge 3$, elle est alors, par simple convexité de $\mathbb{S}_e^{n-1}$, un difféomorphisme. En particulier, la famille d’hyperplans $(\mu \circ \nu^{-1}(u))^*_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ est co-orientée. $\square$

Remarquons que, pour le moment, nous ne traitons pas du cas où $n = 2$. En effet, en considérant les arguments de la démonstration précédente, nous savons que l’application $\nu : \mathbb{S}^1 \to \mathbb{S}^1$ est une immersion surjective. Cependant, du fait que $\mathbb{S}^1$ n’est pas simplement connexe, $\nu$ n’est pas nécessairement injective. Ainsi, la situation se complique dans ce cas. Si l’application $\nu$ n’est pas injective, alors les intersections $P_u \cap s(\mathbb{S}^1)$ vérifient forcément l’une des trois conditions suivantes :

1. Elle contient deux points. Plus précisément, l'intersection $p(P_u) \cap \mu(\mathbb{S}^1)$ ne contient qu'un seul point si et seulement si l'intersection $P_u \cap s(\mathbb{S}^1)$ contient exactement deux points qui, de plus, sont antipodaux.
2. Elle contient trois points dont deux sont antipodaux.

3. Elle contient deux couples de points antipodaux.

Prenons un exemple simple d'application $\mu : \mathbb{S}^1 \to \mathbb{P}_2$ non triviale. Nous souhaitons donc que l'application $\nu$ ne soit pas injective, c'est à dire que les intersections $P_u \cap s(\mathbb{S}^1)$ contiennent plus de deux points. À cette fin, considérons la fonction lisse $a : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie comme suit :

$$ a(t) = \begin{cases} ke^{-\frac{1}{\sin(t)^4(\sin(t)^2-1)^2}} & \text{si } t \in [0; \frac{\pi}{2}] \text{ mod } 2\pi \\ le^{-\frac{1}{\sin(t)^4(\sin(t)^2-1)^2}} & \text{si } t \in [\frac{\pi}{2}; \pi] \cup [\frac{3\pi}{2}; 2\pi] \text{ mod } 2\pi \\ -le^{-\frac{1}{\sin(t)^4(\sin(t)^2-1)^2}} & \text{si } t \in [\pi; \frac{3\pi}{2}] \text{ mod } 2\pi \end{cases} \quad (3.3.0.6) $$

En considérant ensuite l'application $s : \mathbb{S}^1 \to \mathbb{S}^2$ définie par l'expression (3.3.0.2), il est aisé de constater qu'il s'agit d'une immersion dont les intersections $P_u \cap s(\mathbb{S}^1)$ contiennent alternativement deux ou trois points. De plus, l'application $\mu := p \circ s : \mathbb{S}^1 \to \mathbb{P}_2$ vérifie les conditions du théorème 3.3.2. Ci-dessous, nous représentons la fonction $s$ (à gauche), la fonction $\mu$ (au centre) et le hérisson correspondant (à droite).

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>FIGURE 3.8 – Représentation des fonctions $s$ et $\mu$ ainsi que du hérisson correspondant</figcaption></figure>

La principale conséquence de ce que nous venons de discuter est que nous ne pourrons jamais avoir $a = h \circ \nu$. Ainsi, dans notre exemple, il ne peut donc pas exister de hérisson $\mathcal{H}_h$ dont le paramétrage du dual vérifie $\mu = x^* \circ \nu$, avec $\nu$ un difféomorphisme de $\mathbb{S}^1$.

Néanmoins, nous pouvons obtenir un résultat équivalent à celui que nous observons lorsque $n \ge 3$. Considérons $\mu : \mathbb{S}_e^1 \to \mathbb{P}_2$, une application vérifiant les conditions du théorème 3.3.2. On obtient alors que $\mu = p \circ s$ avec $s$ défini par l'expression (3.3.0.2), et bien sûr, $\nu$ est une immersion surjective. Il est donc clair qu'il existe $[a; b] \subset \mathbb{S}_e^1$, un arc de cercle, tel que :

* L'application $s$ est injective sur $]a; b[$.

* $s([a; b]) = s(\mathbb{S}_e^1)$.

* $s(a) = s(b)$.

Ainsi, après passage au quotient, l'application $\bar{\nu} : \mathbb{S}_e^1 \sim [a; b]_{a \sim b} \to \mathbb{S}_e^1$ est un difféomorphisme. En considérant l'application $\bar{\mu} : \mathbb{S}_e^1 \sim [a; b]_{a \sim b} \to \mathbb{P}_2$, nous avons $\bar{\mu}(\mathbb{S}_e^1) = \mu(\mathbb{S}_e^1)$ et la famille d'hyperplans $(\bar{\mu}(u))^*_{u \in \mathbb{S}_e^1}$ est co-orientée.

En conclusion, si $\mathcal{H}_h$ est le hérisson généré par la famille d'hyperplans duals induite par l'application $\bar{\mu}$, alors on obtient :
$$ \mathcal{H}_h^* = \mu(\mathbb{S}_e^1) \qquad (3.3.0.7) $$

ce qui correspond à la conclusion du théorème 3.3.2.
Deuxième partie

Sur les g-hérissons de l'espace
hyperbolique et de la sphère
<figure><img src="image_37.png" /></figure>
Dans cette partie, nous étudions la notion de hérisson sur des espaces non euclidiens, et en particulier sur des espaces dont les courbures sectionnelles sont constantes. La question à laquelle nous allons répondre est donc la suivante : **qu'est-ce qu'un hérisson dans un espace non-euclidien ?** Il apparaît alors une notion naturelle, que nous appellerons g-hérisson, et que nous étudierons sur l'espace hyperbolique et la sphère. En particulier, l'espace hyperbolique et la sphère étant les revêtements universels des variétés de courbure constante (voir annexe E pour plus de détails), il serait alors possible d'étendre nos constructions sur de tels espaces.

La motivation principale qui nous pousse à considérer une notion de hérissons sur les espaces à courbure sectionnelle constante provient de l'ambition de définir et d'étudier des hérissons marginalement piégés dans un cadre plus général que celui considéré par Y.Martinez-Maure dans [74], et où en particulier la courbure de l'espace de Lorentz ne serait pas nulle. En effet, les hérissons marginalement piégés correspondent à des surfaces marginalement piégées, admettant des points ombilics, sur l'espace de Lorentz-Minkowski <fnref n="5" />, qui sont construites à partir de hérissons euclidiens. Or les surfaces marginalement piégées correspondent à des objets géométriques introduits par R.Penrose (voir [83]) pour décrire l'horizon d'un trou noir dans le cadre de la relativité générale. D'où l'intérêt de retrouver la relation, mise en avant par Y.Martinez-Maure (voir [74]), entre ces surfaces et les hérissons euclidiens, mais sur des espaces dont la courbure est non nulle.

Étant donné que nous dédions déjà à la partie III de ce document à l'étude des g-hérissons marginalement piégés, nous n'en dirons pas plus dans cette introduction. Cependant, nous verrons ci-dessous que l'intérêt de définir une notion de g-hérisson sur l'espace hyperbolique et la sphère va au-delà des éléments de motivation que nous avons précédemment considérés et qui motivent cette thèse.

## Élément de motivation à l'étude des g-hérissons

Alors que la notion de corps convexe a fait l'objet d'un grand intérêt sur l'espace euclidien, il a rapidement été envisagé d'étudier cette notion sur des espaces non euclidiens, et en particulier l'espace hyperbolique. Nous pouvons par exemple considérer les travaux de L.A.Santaló (voir [95], [96], [97] et [98]) qui font référence sur la question. En particulier, il est intéressant de noter que les articles [95] et [96] correspondent aux premières mentions de tels objets sur l'espace hyperbolique et sur la sphère. On voit alors apparaître dans la littérature une série de questions naturelles que nous présentons succinctement ci-dessous :

1) **Différents types de corps convexes** : Sur $\mathbb{H}^n$, la définition de corps convexe correspond à la généralisation naturelle de celle que l'on connaît sur $\mathbb{R}^n$. Dans la littérature traitant de cette question, on découvre rapidement que l'ensemble des corps convexes de classe $C_+^2$, dont les courbures principales sont supérieures à 1, possèdent des propriétés très proches de celles que l'on connaît sur les corps convexes de $\mathbb{R}^n$. On appelle les corps convexes de cette sous-catégorie des "h-convexes" (avec "h" pour horosphère), tandis que les corps convexes en général sont appelés "g-convexes" (avec "g" pour géodésique). Pour une définition la plus générale possible, nous pouvons nous référer à l'article [33] de E.Gallego et A.Reventós où l'on trouve la notion de corps $\lambda$-convexe (voir définition 5 de [33]). En particulier, avec cette notion de corps $\lambda$-convexe et les propriétés qui l'accompagnent, on constate que la classification des corps convexes de l'espace hyperbolique est bien plus nuancée que pour les corps convexes de $\mathbb{R}^n$.

<footnote n="5">5. Si $\mathbb{E}^n = (\mathbb{R}^n, \langle \cdot | \cdot \rangle)$ est l'espace euclidien usuel de dimension $n$, alors on appelle espace de Lorentz-Minkowski l'espace $\mathbb{L}^{n+1} = \mathbb{E}^n \times \mathbb{R}$ muni du produit de Minkowski $\langle \cdot | \cdot \rangle_L = \langle \cdot | \cdot \rangle - dt^2$.</footnote>
2) **Définir une somme de Minkowski pour les corps convexes de $\mathbb{H}^n$** : Sur $\mathbb{R}^n$, on étudie la géométrie des corps convexes dans l'espace euclidien en utilisant la somme de Minkowski. Mais sur $\mathbb{H}^n$, il n'y a pas de définition universellement reconnue pour la somme de deux ensembles. La principale difficulté dans l'établissement d'une théorie de Brunn-Minkowski pour les corps convexes de l'espace hyperbolique est qu'il n'existe évidemment pas de structure linéaire sous-jacente sur $\mathbb{H}^n$.

On trouve néanmoins différentes définitions (non canoniques) de somme de corps convexes sur $\mathbb{H}^n$, chacune avec ses avantages et inconvénients. Par exemple, L.Haizhong et X.Botong définissent et étudient (voir [46]) une notion de *p*-somme pour les h-convexes. Nous pourrions aussi citer l'article [34] de E.Gallego, G.Solanes et E.Teufel qui propose différentes méthodes de combinaisons d'hypersurfaces sur $\mathbb{H}^n$ ayant pour avantage de ne pas dépendre d'un point de référence (voir définition 4 page 339 de [34]) ou de correspondre à une fonction de support $h$ (voir section 4.4 de [34]). Nous reviendrons sur ces travaux lorsque nous aborderons les h-hérissons au chapitre 5. Enfin, nous pourrions citer l'article [53] de K.Leichtweib dans lequel nous trouvons la définition la plus intuitive (voir définition 3.5 page 100 de [53]) pour additionner des corps convexes sur $\mathbb{H}^n$ mais qui dépend d'un choix d'origine (donc n'est pas isométriquement invariante) et qui surtout n'est pas stable sur l'ensemble des corps convexes. En particulier, le résultat principal (voir théorème 4.12 page 114 de [53]) de ce dernier article montre qu'en adoptant une telle somme, la somme de deux h-convexes est toujours un corps strictement convexe (mais pas nécessairement un h-convexe).

3) **Inégalité sur les aires, volumes, surfaces et courbure moyenne** : Un exemple classique d'inégalité faisant intervenir les aires, volumes, surfaces et courbure moyenne sur les corps convexes de $\mathbb{R}^n$ est celui des inégalités isopérimétriques. Bien sûr, cette même question se pose pour les corps h-convexes. À titre d'exemple, on peut considérer l'article [12] de A.A.Borisenko et V.Miquel qui étudient les rapports entre l'aire, le volume et la courbure moyenne pour les corps h-convexes.

4) **Définition et étude des corps convexes de largeur constante** : Dans l'espace euclidien, tout comme dans l'espace hyperbolique, l'étude des corps convexes de largeur constante occupe une place importante. Il est possible de consulter l'ouvrage [79] de H.Martini, L.Montejano et D.Oliveros où l'on trouve un exposé complet sur cette question. Nous recommandons aussi la lecture de l'article [76], une note simple et pédagogique rédigée par Y.Martinez-Maure traitant en particulier du triangle de Reuleaux qui est, sur le plan, la courbe convexe de longueur constante minimisant sa surface. Dans l'espace euclidien, la définition de largeur d'un corps convexe est immédiate grâce au cinquième axiome<fnref n="6" /> d'Euclide. Si $K \subset \mathbb{R}^n$ est un corps convexe et $x \in \partial K$ un point sur le bord avec $\Sigma$ un hyperplan de support en $x$, alors il existe un unique hyperplan de support $\Sigma'$ pour $K$ parallèle à $\Sigma$ (qui peut être le même lorsque le corps $K$ est d'intérieur vide). Un corps $K$ est dit de **largeur constante** si la distance entre les paires d'hyperplans $\Sigma$ et $\Sigma'$ est constante.

Dans l'espace hyperbolique et sur la sphère, il n'existe pas de méthode canonique pour définir la notion de largeur constante des corps convexes. Cela découle bien sûr du fait que ni dans l'espace hyperbolique ni sur la sphère, le cinquième axiome d'Euclide ne s'applique⁷.

<footnote n="6">6. Il s'agit de l'axiome des parallèles : Si $p$ est un point et $(d)$ une droite, alors il existe une et une seule droite $(d')$ passant par le point $p$ et parallèle à la droite $(d)$.</footnote>
Dans l'espace hyperbolique, A.G.Horváth présente dans son article [41] quatre méthodes pour définir un corps convexe de largeur constante (voir section 1.1 de [41]) auxquelles il ajoute une cinquième qu'il définit et étudie (voir définition 2.1 page 47 de [41]). Cet article est intéressant car il compare plusieurs notions de corps convexes de largeur constante. Après avoir lu cet article, on comprend que la principale difficulté pour définir la notion de corps convexe de largeur constante dans l'espace hyperbolique est de choisir une méthode pour identifier des hyperplans parallèles. Plus précisément, cela revient à définir (ou plutôt choisir) une notion d'injectivité comme nous l'avons fait naturellement dans l'espace euclidien (voir définition 1.1.6 page 30), mais pour des champs d'hyperplans co-orientés (voir définition 3.0.2 page 280). Pour conclure sur l'étude des corps g-convexes et h-convexes de largeur constante, il est intéressant de mentionner quelques résultats classiques connus dans l'espace euclidien que l'on retrouve également dans l'espace hyperbolique et sur la sphère. Prenons donc, pour exemple, les trois résultats suivants :

* Nous avons un équivalent du théorème de Blaschke-Lebesgue (voir [9]), que nous devons à P.V.Araujo (voir théorème 1 de [4]). Sur le plan euclidien, le théorème de Blaschke-Lebesgue stipule que le triangle de Reuleaux possède la plus petite aire parmi toutes les courbes de largeur constante. Pour rappel, le triangle de Reuleaux est une figure du plan définie de la manière suivante : On part d'un triangle équilatéral et à chaque sommet, on dessine un arc de cercle entre les deux autres sommets, comme le montre la représentation ci-dessous :

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Construction du triangle de Reuleaux</figcaption></figure>

* Nous avons un équivalent du théorème de Barbier (voir théorème 12.1.3 page 281 de [79]) qui affirme : Si $C$ est une courbe fermée sur $\mathbb{R}^2$ de largeur constante, alors $L = \pi l$, $L$ et $l$ étant respectivement le périmètre et la largeur de la courbe $C$. K.Leichtweib a montré (voir théorème 3.5 de [55]) que sur la sphère $\mathbb{S}^2$ (resp. sur l'espace hyperbolique $\mathbb{H}^2$) nous avons :

$$L = J \cdot \operatorname{Tan}\left(\frac{l}{2}\right), \quad \text{resp } L = J \cdot \operatorname{TH}\left(\frac{l}{2}\right)$$

avec $J$ la courbure totale de la courbe $C$.

<footnote n="7">7. Il est à noter que l'aventure de la géométrie non euclidienne a débuté avec la constatation qu'il est possible de construire des géométries cohérentes où le cinquième axiome d'Euclide n'est plus valide. De nombreux mathématiciens, de Proclus (412 av. J.-C.) à A.M.Legendre, ont tenté de prouver qu'invalider l'axiome des parallèles mène à une contradiction. Cela a notamment conduit à l'émergence de la géométrie hyperbolique entre les XVIIIème et XIXème siècles grâce aux travaux de mathématiciens tels que G.G.Saccheri, J.H.Lambert, N.Lobatchevski et J.Bolyai. Dans cette géométrie, le cinquième axiome est remplacé par : Si $x$ est un point et ($d$) une droite ne contenant pas le point $x$, alors il existe une infinité de droites parallèles à la droite ($d$) et passant par le point $x$. De même, la géométrie sphérique apparaît lorsqu'on rejette l'existence de droites parallèles. Pour en savoir plus sur l'histoire de l'émergence de la géométrie non euclidienne, il est intéressant de consulter l'ouvrage [87] de J.C.Pont.</footnote>
* Enfin, le théorème d'Alexandrov (voir théorème 13.1.7 page 303 de [79]) : Tout corps convexe à symétrie d'origine <fnref n="8" /> sur $\mathbb{R}^n$ est entièrement déterminé par son volume et ses projections. Un équivalent de ce théorème a été obtenu dans l'espace hyperbolique par M.A.Alfonseca, M.Cordier et D.I.Florentin (voir [2]), à condition de choisir la bonne définition de largeur constante.

Pour en savoir plus, nous pouvons consulter les pages 240 à 243 de [79] où l'auteur énumère les principales avancées réalisées sur la question des corps convexes de largeur constante dans des espaces non euclidiens. En particulier, la question des corps convexes de largeur constante sur des variétés de Riemann abstraites y est traitée.

5) **Inégalité de Brunn-Minkowski** : C'est une inégalité qui combine les notions de somme et de volume de corps convexes. Si $K$ et $L$ sont deux corps convexes de $\mathbb{R}^n$, elle donne une minoration du volume d'une telle somme telle que :

$$Vol_n(K)^{\frac{1}{n}} + Vol_n(L)^{\frac{1}{n}} \leq Vol_n(K + L)^{\frac{1}{n}}$$

Sur l'espace hyperbolique, il est clair qu'à chaque fois que l'on définit une méthode pour sommer des corps convexes, on peut potentiellement retrouver une telle inégalité. C'est par exemple ce que retrouvent L. Haizhong et X. Botong (voir théorème 12.4, 12.5 et 12.6 page 144 de [46]) en utilisant leur définition de $p$-somme de corps convexes.

Plus généralement, il est même possible de retrouver l'inégalité de Brunn-Minkowski sur des variétés abstraites, comme D. Barilari et L. Rizzi l'ont mise en évidence (voir la section 1.3 page 6 de [6]).

Sur l'espace euclidien, la théorie des hérissons englobe les différents thèmes que nous avons précédemment abordés. Dans la première partie, nous avons discuté de la notion de hérisson comme étant des différences de corps convexes de classe $C_+^\infty$. Mais bien sûr, nous pouvons étendre cela à tous les corps convexes, quelle que soit leur classe (voir [61]). Ceci nous amène naturellement à étendre la théorie de Brunn-Minkowski aux hérissons. En effet, nous avons une structure vectorielle sur l'ensemble des hérissons et une notion de volume (voir [62]). Cela permet de retrouver des résultats classiques comme l'inégalité d'Alexandrov-Fenchel (voir théorème 1 page 446 de [60] et théorème 2 page 67 de [73]), l'inégalité de Brunn-Minkowski (voir propriété 3 page 448 de [60]) ou encore l'inégalité isopérimétrique présente sur le plan (voir proposition 5 page 449 de [60]) et qui, dans l'espace $\mathbb{R}^3$, met en lumière la notion de hérisson marginalement piégé (voir [69] et [74]).

Au vu de ces derniers éléments, il est clair qu'une théorie des hérissons sur les espaces à courbure constante serait utile pour étudier les corps convexes, à l'instar de ce qui est fait avec les hérissons de l'espace euclidien. Tout comme pour les notions gravitant autour des corps convexes de l'espace hyperbolique, nous serons confrontés à la non-canonicité du problème qui consiste à définir une notion de hérisson et, par conséquent, à la nécessité de définir une sorte de "cahier des charges" à respecter.

Terminons cette introduction avec la question de l'étude des courbes de Zindler qui prennent récemment de l'intérêt dans la théorie des hérissons. Une courbe $C \subset \mathbb{R}^2$ est dite de **Zindler** lorsque toutes les cordes qui coupent le périmètre de la courbe en deux parties égales sont de même

<footnote n="8">8. Un corps $K$ est dit à symétrie d'origine s'il vérifie : Si $x \in K$, alors $-x \in K$.</footnote>

<footnote n="8">8. Voir théorème 7.3.1 page 393 de [100] pour en savoir plus.</footnote>
longueur. Comme pour les corps convexes, l'étude des hérissons de largeur constante<fnref n="9" /> permet d'obtenir plusieurs résultats (voir [59], [64], [56], [58] et [62]). Il a récemment été établi par D. Rochera sur le plan (voir théorème 1 de [90]) puis sur $\mathbb{R}^4$ en travaillant avec Y. Martinez-Maure (voir théorème 4 de [91]) que toute courbe de Zindler généralisée correspond à la transformée<fnref n="10" /> d'un hérisson projectif<fnref n="11" />.

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Courbe $\mathcal{Z}$ de Zindler du plan associée au hérisson projectif $\mathcal{H}$ par transformation de paramètre $r = 0,5$.</figcaption></figure>

Notons aussi que certains travaux ont étudié les courbes de Zindler dans des géométries non euclidiennes, comme dans les espaces isotropes (voir [88] et [108]). Il sera donc intéressant de retrouver, sur l'espace hyperbolique, les relations mises en avant par D. Rochera et Y. Martinez-Maure à travers les g-hérissons que nous définirons au chapitre suivant.

<footnote n="9">9. Un hérisson $\mathcal{H} \subset \mathbb{R}^n$ sera dit de largeur constante si et seulement si sa fonction de support vérifie $h(u) + h(-u) = \text{cst}$ pour tout $u \in \mathbb{S}^{n-1}$.</footnote>

<footnote n="10">10. Sur $\mathbb{R}^2$, la transformée d'un hérisson $\mathcal{H} \subset \mathbb{R}^2$ de paramétrage $x : \mathbb{S}^1 \mapsto \mathbb{R}^2$ correspond à la courbe paramétrée par $y(u) = x(u) + re(u)$ avec $r > 0$ un paramètre et $e : \mathbb{S}^1 \mapsto T\mathbb{S}^1$ la section lisse telle que pour tout $u \in \mathbb{S}^1$, la famille $(u, e(u))$ est une base orthonormale de $\mathbb{R}^2$ dans le même sens que la base canonique.</footnote>

<footnote n="11">11. Un hérisson est dit projectif lorsqu'il est de largeur constante et nulle. En particulier, un hérisson $\mathcal{H} \subset \mathbb{R}^n$ est projectif si et seulement si sa fonction de support vérifie $h(u) + h(-u) = 0$ pour tout $u \in \mathbb{S}^{n-1}$.</footnote>
# Chapitre 4

## Définition et première propriété
de la notion de g-hérisson sur
l'espace hyperbolique

Dans ce chapitre, nous définissons la notion de g-hérisson qui correspond à une méthode parmi d'autres pour généraliser la notion de hérisson que nous avons vue en partie I. En particulier, nous mettrons l'accent sur le fait que cette méthode découle d'un choix de procédé sur la comparaison des hyperplans orientés.

### 4.1 Petit point sur la géométrie hyperbolique

Avant toute chose, il est essentiel de faire un point sur quelques notions de la géométrie hyperbolique. Nous en profiterons aussi pour définir les notations employées tout au long de ce document. Pour en savoir plus sur les notions que nous introduisons, il est possible de se référer à la section 5.1 de l'annexe E.

**L'espace ambiant** : Nous commençons par définir les deux espaces ci-dessous qui reviendront systématiquement tout au long de cette partie, ainsi que dans la partie III.

• On appelle espace euclidien usuel de dimension n, que l'on note $\mathbb{E}^n$, la donnée de $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire usuel que l'on notera $\langle \cdot | \cdot \rangle$.

• On appelle espace de Lorentz-Minkowski de dimension n + 1, que l'on note $\mathbb{L}^{n+1}$, la donnée de $\mathbb{R}^{n+1}$ que l'on munit du produit de Minkowski $\langle \cdot | \cdot \rangle_L = \langle \cdot | \cdot \rangle - dt^2$. Il nous arrivera de noter $\mathbb{L}^{n+1} = \mathbb{E}^n \times \mathbb{R}$ l'espace de Lorentz-Minkowski, notation que nous adopterons en particulier durant la partie III.

**Définition et modèle de l'espace hyperbolique** : On appelle espace hyperbolique de dimension n toute n-variété de Riemann $(M, g)$ complète, simplement connexe, dont la courbure est partout égale à -1. Notons que de telles variétés sont deux à deux isométriques, à condition bien sûr qu'elles soient de la même dimension. Il existe aussi plusieurs modèles de l'espace hyperbolique et nous travaillerons essentiellement avec trois d'entre eux qui sont les suivants :

• Le modèle du demi-hyperboloïde de Lorentz-Minkowski : On considère le demi-hyperboloïde $\mathbb{H}^n \subset \mathbb{L}^{n+1}$ de l'espace de Lorentz-Minkowski tel que :
$$ \mathbb{H}^n = \{x \in \mathbb{R}^{n+1} \text{ tel que } x_1^2 + \cdots + x_n^2 - x_{n+1}^2 = -1 \text{ et } x_{n+1} > 0\} \quad (4.1.0.1) $$

que l'on munit de la métrique induite notée $g$. Dans ce modèle, les géodésiques correspondent aux intersections de plans vectoriels de type temps avec le demi-hyperboloïde $\mathbb{H}^n$. Il est à noter que ce modèle sera notre modèle par défaut. En particulier, lorsque nous parlerons de l'espace hyperbolique, il s'agira du demi-hyperboloïde $\mathbb{H}^n$ muni de la métrique induite $g$.

* **Le modèle de Klein** : Considérons $e \in \mathbb{H}^n$ un point, alors on appelle **projection de Klein centrée en e** la projection, par rapport à l'origine, de l'hyperboloïde $\mathbb{H}^n$ sur l'hyperplan affine $e + T_e \mathbb{H}^n$. On obtient ainsi l'application $\psi_e : \mathbb{H}^n \to \mathcal{D}(e)$, avec $\mathcal{D}(e)$ la boule ouverte unité de l'espace euclidien $(T_e \mathbb{H}^n, g_e)$, définie par l'expression suivante :

$$ \psi_e(v) = k_e(v)v - e \text{ avec } k_e(v) = -\frac{1}{\langle e|v \rangle} \quad (4.1.0.2) $$

qui est un difféomorphisme dont la réciproque est :

$$ \varphi_e(w) = \alpha(w)[w + e] \text{ avec } \alpha(w) = \frac{1}{\sqrt{1 - \|w\|^2}} \quad (4.1.0.3) $$

On appelle alors **modèle de Klein centré en e** la donnée de la boule unité $\mathcal{D}(e)$ que l'on munit de la métrique tirée en arrière $\varphi_e^*(g)$. Notons que, dans ce modèle de l'espace hyperbolique, les géodésiques correspondent aux intersections non vides de la boule unité $\mathcal{D}(e)$ avec les droites affines de l'espace tangent $T_e \mathbb{H}^n$.

* **Le modèle de Poincaré** : Considérons $e \in \mathbb{H}^n$ un point, alors on appelle **projection de Poincaré centrée en e** la projection par rapport à $-e$ de $\mathbb{H}^n$ sur l'hyperplan vectoriel $T_e \mathbb{H}^n$. La projection ainsi définie est une application $\psi_e : \mathbb{H}^n \to \mathcal{D}(e)$ qui est un difféomorphisme. Ainsi, si $\varphi_e$ est l'inverse de la projection de Poincaré, alors on appelle **modèle de Poincaré centré en e** la donnée de la boule unité $\mathcal{D}(e)$ munie de la métrique tirée en arrière $\varphi_e^*(g)$ qui est conforme avec le produit scalaire $g_e$ de l'espace tangent $T_e \mathbb{H}^n$. Notons que les géodésiques de ce modèle correspondent aux intersections de la boule unité $\mathcal{D}(e)$ avec les droites vectorielles et les cercles orthogonaux au bord topologique de $\bar{\mathcal{D}}(e)$ dans $(T_e \mathbb{H}^n, g_e)$.

**Notations usuelles** : Pour des fins pratiques, nous résumons ci-dessous les notations usuelles que nous utiliserons très régulièrement. Considérons donc $e \in \mathbb{H}^n$ un point, alors nous noterons :

* $\mathbb{E}^n$ l'espace euclidien $(\mathbb{R}^n, \langle \cdot | \cdot \rangle)$.

* $\mathbb{L}^{n+1}$ l'espace de Lorentz-Minkowski $(\mathbb{R}^{n+1}, \langle \cdot | \cdot \rangle_L)$.

* $\mathcal{D}(e)$ la boule unité de $(T_e \mathbb{H}^n, g_e)$.

* $\mathbb{S}_e^{n-1} = ST_e \mathbb{H}^n$ que l'on appelle **hypersphère centrée en e**.

**Avertissement 4.1.1.** Afin de simplifier la rédaction, nous nous permettrons de confondre les notations des produits $\langle \cdot | \cdot \rangle$, $\langle \cdot | \cdot \rangle_L$ et $g_e(\cdot, \cdot)$ lorsque, bien sûr, cela ne produira pas de confusion.
## 4.2 Les corps g-convexes

Dans cette section, nous exposons quelques éléments de base sur les corps convexes dans l'espace hyperbolique. Nous y considérons également quelques propriétés topologiques et définissons les g-hyperplans et fonctions de support. Cette section est un préliminaire à la définition de la notion de g-hérisson.

### 4.2.1 Définition et première remarque

La notion de corps convexe, telle que nous l'avons vue sur les espaces euclidiens, peut se définir sur toute variété de Riemann et suscite un intérêt<fnref n="1" /> certain, même sur des variétés abstraites. Tout d'abord, la notion de corps est une notion topologique qui est la suivante : Si $(M, \mathcal{T})$ est une variété topologique, alors une partie $K \subset M$ est appelée **corps** lorsqu'elle est non vide et vérifie l'une des deux propriétés suivantes :

* La partie $K$ est compacte d'intérieur vide.

* La partie $K$ est compacte d'intérieur non vide telle que $K = Ad(\mathring{K})$.

En particulier, on peut remarquer que les corps convexes tels que nous les avons définis en partie I (voir définition 1.1.1 page 25) sont bien des corps. Ensuite, sur une variété de Riemann $(M, g)$, une partie $K \subset M$ sera dite **géodésiquement convexe** si, étant donné deux points quelconques de $K$, il existe une géodésique minimisante<fnref n="2" /> unique contenue dans $K$ qui joint ces deux points. Ainsi, sur l'espace hyperbolique, on considère la définition suivante :

**Définition 4.2.1.** Une partie $K \subset \mathbb{H}^n$ sera appelée **corps g-convexe** si elle est compacte, non vide et vérifie la **condition de convexité** : Pour tout couple de points $x$ et $y$ dans $K$, le segment géodésique qui relie $x$ à $y$ est compris dans $K$.

De plus, nous dirons que le corps $K$ est de classe $C^k$ lorsque son bord topologique est une sous-variété de classe $C^k$.

**Note.** Si $x$ et $y$ sont deux points dans une variété de Riemann $(M, g)$, alors on appelle **segment géodésique reliant $x$ à $y$** l'image de toute géodésique $\gamma : [a, b] \mapsto M$ telle que $\gamma(a) = x$ et $\gamma(b) = y$. En particulier, sur l'espace hyperbolique, pour tout couple de points $x$ et $y$, il existe un unique segment géodésique les reliant et qui de plus est une géodésique minimisante.

**Remarque 4.2.1.** Si $\psi_e : \mathbb{H}^n \to \mathcal{D}(e)$ est la projection de Klein centrée en $e \in \mathbb{H}^n$, alors une partie $K \subset \mathbb{H}^n$ est un corps convexe (resp. de classe $C^k$) si et seulement si l'image $\psi_e(K)$ est un corps convexe (resp. de classe $C^k$) sur l'espace euclidien $(T_e\mathbb{H}^n, g_e)$.

Cette remarque va nous permettre de faire correspondre les propriétés des corps g-convexes avec celles que nous connaissons sur les corps convexes de l'espace euclidien. Il est important de noter que l'on parle de correspondance car il est évident que nous ne retrouvons pas exactement les mêmes propriétés. Il est déjà possible, en se basant sur cette dernière remarque, de considérer les propriétés topologiques suivantes :

<footnote n="1">1. Dans une série d'articles, B.V.Dekster a travaillé sur la notion de corps convexe de largeur constante sur des variétés de Riemann (voir [19], [18], [21], [20] et [22]). En particulier, l'auteur a montré que l'on retrouve certaines propriétés standards que l'on connaît sur l'espace euclidien.</footnote>

<footnote n="2">2. On appelle géodésique minimisante un segment géodésique qui minimise la distance géodésique. Nous pouvons constater que ce n'est pas toujours vrai qu'un segment géodésique minimise la distance géodésique en considérant, par exemple, la sphère $\mathbb{S}^2$.</footnote>
1. Un corps g-convexe $K$ a un intérieur non vide si et seulement s'il est de classe $C^0$.

2. Un corps g-convexe n'est pas de classe $C^0$ si et seulement s'il est compris dans un g-hyperplan (voir définition 4.2.2 ci-dessous).

## 4.2.2 Définition et propriété sur les g-hyperplans de support

Il existe essentiellement deux méthodes, qui ont toutes deux des avantages et des inconvénients, pour définir un équivalent aux hyperplans de support sur les corps g-convexes. Nous pouvons utiliser des géodésiques porteuses et transversales pour raisonner comme dans un espace affine. C'est une méthode qui a été introduite par L.A.Santaló afin de définir une notion de largeur constante pour les corps g-convexes (voir [96] pour en savoir plus). Nous pouvons aussi utiliser les horosphères comme courbes supports, comme cela a été considéré par J.P Fillmore (voir [32]). Cette dernière approche permet d'obtenir un grand nombre de résultats, mais elle a pour inconvénient de n'être applicable que pour une partie réduite des corps g-convexes. Malgré cela, il est à noter que les propriétés ainsi obtenues privilégient cette méthode pour étudier la notion de convexité sur l'espace hyperbolique. En particulier, nous en parlerons au prochain chapitre.

Ici, nous nous appuierons sur la méthode des géodésiques transverses et porteuses qui, après quelques adaptations, nous amène à naturellement définir les g-hyperplans de support ainsi que la notion de fonction de support qui leur est associée. Cette méthode nous permet d'établir une correspondance directe entre les corps g-convexes et les corps convexes des espaces euclidiens via la projection de Klein. Considérons donc la définition suivante :

**Définition 4.2.2.** On appelle *g-hyperplan* toute hypersurface totalement géodésique<fnref n="3" /> de l'espace hyperbolique.

Pour plus de détails, nous pouvons nous rapporter à la section 5.1.4.2 page 311 de l'annexe E dans laquelle nous traitons en détail les propriétés des g-hyperplans. De cette manière, afin d'éviter de surcharger notre texte, nous allons nous contenter de lister les propriétés qui nous seront nécessaires.

1. Une hypersurface $\Sigma \subset \mathbb{H}^n$ est un g-hyperplan si et seulement s'il existe un point $e \in \mathbb{H}^n$ tel que l'image de $\Sigma$ par la projection de Klein centrée en $e$ est l'intersection d'un hyperplan affine avec le disque unité. De plus, si $\Sigma$ est un g-hyperplan, alors pour tout $v_0 \in \mathbb{H}^n$, on a que $\psi_{v_0}(\Sigma)$ correspond à l'intersection (non vide) d'un hyperplan affine de $T_{v_0}\mathbb{H}^n$ avec $D(v_0)$.

2. Si $\Sigma$ est un g-hyperplan, alors en tout point $e \in \mathbb{H}^n$, il existe une unique géodésique orthogonale à $\Sigma$ et passant par le point $e$. De plus, si $\gamma$ est la géodésique orthogonale à $\Sigma$, alors l'intersection $\gamma \cap \Sigma$ ne contient qu'un seul point.

3. Pour tout point $e \in \mathbb{H}^n$ et vecteur $\vec{v} \in T_e\mathbb{H}^n$, non nul, il existe un unique g-hyperplan passant par le point $e$ et orthogonal au vecteur $\vec{v}$.

4. Tout g-hyperplan est une hypersurface orientable qui admet exactement deux orientations. Nous appellerons donc **g-hyperplan orienté** la donnée d'un g-hyperplan $\Sigma$ que l'on munit d'un champ orthonormal $\nu : \Sigma \mapsto \text{ST}\mathbb{H}^n$.

5. Tout g-hyperplan $\Sigma$ divise l'espace hyperbolique $\mathbb{H}^n$ en deux parties fermées géodésiquement convexes que nous appellerons **demi-espaces bordant $\Sigma$**.

<footnote n="3">3. Nous dirons qu'une *p*-sous-variété $N \subset M$ dans une variété de Riemann est totalement géodésique si toute géodésique $\gamma : I \subset \mathbb{R} \mapsto M^n$ tangente à $N$ est comprise dans $N$.</footnote>
Une notion importante dont nous aurons besoin est celle de g-hyperplan parallèle. Bien sûr, par définition de l'espace hyperbolique, la notion de parallèle n'est pas aussi simple que dans l'espace euclidien. Nous dirons que deux g-hyperplans sont **parallèles** lorsque leur intersection est vide. Ainsi, on considère la définition suivante :

**Définition 4.2.3.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point et deux g-hyperplans $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$. Alors nous dirons que ces deux g-hyperplans sont **parallèles par rapport à e** s'il existe une géodésique $\gamma$ passant par le point e et orthogonale aux deux g-hyperplans.

**Remarque 4.2.2.** Si $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$ sont deux g-hyperplans parallèles par rapport à e, alors ils sont parallèles.

**Remarque 4.2.3.** Il existe des g-hyperplans parallèles qui ne sont parallèles par rapport à aucun point. (Voir section 5.1.4.3 page 312 de l'annexe E)

À partir de là, nous pouvons définir l'analogue des hyperplans de support que nous avons vus à la section 1.1 page 25. En particulier, il est intéressant de remarquer que nous retrouvons essentiellement les mêmes propriétés que celles vues pour les corps convexes de l'espace euclidien. Ce constat rendra naturelle la définition de g-hérisson que nous considérerons, comme cela a été le cas pour les hérissons de l'espace euclidien. On considère donc la définition suivante :

**Définition 4.2.4.** Soit $K \subset \mathbb{H}^n$ un corps g-convexe. Alors on appelle **g-hyperplan de support** tout g-hyperplan $\Sigma$ tel que :

1. Le corps $K$ est compris dans le demi-espace bordé par $\Sigma$.

2. L'intersection $K \cap \Sigma$ est non vide.

**Note.** De plus, si $\Sigma$ est un g-hyperplan de support, alors nous appellerons **demi-espace de support** le demi-espace bordant $\Sigma$ qui contient le corps $K$ et **point de support** les points contenus dans l'intersection $K \cap \Sigma$, définissant ainsi $\text{Supp}(K)$ comme étant l'ensemble des points de support.

Il est alors immédiat que $\text{Supp}(K) = \partial K$ comme pour les corps convexes de l'espace euclidien. Mais aussi, dans le cas où le bord de $K$ est de classe $C^k$, avec $k \ge 1$, la propriété 1.1.1 de la page 26, que nous réadaptons aux corps g-convexes via la projection de Klein (voir la remarque 4.2.1), nous donne que le bord topologique de $K$ est une hypersurface orientée de classe $C^k$ telle que :

1. Si $\nu : \partial K \to \text{ST}\mathbb{H}^n$ est un champ orthonormal, alors l'application $\nu$ est de classe $C^{k-1}$ et pour tout $x \in \partial K$, le g-hyperplan passant par le point $x$ et orthogonal au vecteur $\nu(x)$ est un g-hyperplan de support.

2. Pour tout $x \in \partial K$, il existe un unique g-hyperplan de support contenant le point $x$.

Remarquons que, contrairement à la propriété 1.1.1, nous n'avons pas évoqué la surjectivité de l'application $\nu$. Cela provient du fait qu'il n'existe pas de méthode canonique pour comparer les orientations des g-hyperplans de support dans l'espace hyperbolique. La question est donc de surmonter ce problème. En constatant que le bord d'un corps g-convexe de classe $C^k$, avec $k \ge 1$, admet exactement deux orientations, nous considérons la définition suivante :

**Définition 4.2.5.** Soit $K \subset \mathbb{H}^n$ un corps g-convexe de classe $C^k$, avec $k \ge 1$. Alors on appelle **orientation extérieure au corps K** l'unique orientation $\nu : \partial K \to \text{ST}\mathbb{H}^n$ telle que, pour tout $x \in \partial K$, si $\gamma$ est la géodésique qui passe par le point $x$ à la vitesse $\nu(x)$ à l'instant $t = 0$, alors :

$$ \gamma(t) \in \mathbb{H}^n \setminus K \qquad (4.2.2.1) $$

pour tout $t > 0$.
**Note.** Par opposition, nous appellerons **orientation intérieure** au corps K l'orientation opposée à l'orientation extérieure.

Notons que tout corps g-convexe, de classe $C^k$, muni de l'orientation extérieure présente en chaque point une courbure Gauss $^4$ positive ou nulle. Ce constat nous amène à considérer naturellement la définition suivante :

**Définition 4.2.6.** Nous dirons qu'un corps g-convexe est de **classe $C^k$**, avec $k \ge 2$, lorsque son bord topologique $\partial K$ est une hypersurface orientable de classe $C^k$ dont la courbure de Gauss n'est jamais nulle.

**Avertissement 4.2.1.** À ce stade, nous reprenons l'avertissement 1.1.2 page 29, consistant à ne considérer que les corps g-convexes de classe $C^\infty$. Ainsi, dans toute la suite, lorsque nous considérerons un corps g-convexe, nous supposerons implicitement qu'il est de classe $C^\infty$ (sauf mention contraire).

Nous abordons maintenant une question essentielle pour définir une notion de hérisson dans l'espace hyperbolique : **Comment comparer l'orientation des hyperplans tangents du bord d'un corps g-convexe ?** L'idée est d'établir une méthode associant la donnée d'un triplet $(x, T_x \partial K, \nu(x))$, avec $x \in \partial K$ et $\nu$ le champ orthonormal correspondant à l'orientation extérieure au corps K, à la donnée d'un couple $(x, u)$, où $u \in S^{n-1}$. Il est alors important de bien remarquer qu'il n'existe pas de méthode canonique qui réponde à cette problématique. Aussi, bon nombre de questionnements sur les corps g-convexes se ramènent, de près ou de loin, à cette question. Par exemple, lorsque L.A.Santaló ou J.P Fillmore définissent une notion de largeur constante correspondant respectivement à l'usage des géodésiques porteuses et transverses, ou par le biais des horosphères, cela passe nécessairement par la contrainte de donner un sens à la notion d'hyperplan tangent opposé

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>**FIGURE 4.1 –** Identification des hyperplans tangents opposés selon la méthode de L.A.Santaló (à gauche) et de J.P Fillmore (à droite)</figcaption></figure>

Nous pouvons néanmoins observer que pour L.A.Santaló il est seulement nécessaire de définir les hyperplans opposés, tandis que pour J.P Fillmore, une méthode est clairement établie pour comparer toutes les orientations des hyperplans tangents. En ce qui nous concerne, nous proposons ci-dessous une méthode à la croisée de ces deux approches.

**Définition 4.2.7.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point, alors nous désignons par **hypersphère centrée en e** la $(n-1)$-sphère $S_e^{n-1} = S[T_e \mathbb{H}^n]$.

<footnote n="4">4. Si $N \subset M$ est une hypersurface orientée par $\nu: N \to \text{STM}$, alors on appelle courbure de Gauss le déterminant $k = \det(\nabla \nu)$, où $\nabla$ est la connexion induite par l'injection canonique et la connexion de Levi-Civita sur TM. Précisons que, pour tout $x \in N$, la dérivée covariante $(\nabla \nu)_x$ définit un endomorphisme de $T_x N$.</footnote>
**Propriété 4.2.1.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ et $(\Sigma, \nu)$ un $g$-hyperplan orienté. Il existe alors un unique vecteur $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ tel que la géodésique $\gamma$ passant par le point $e$ à la vitesse $u$, intersecte le $g$-hyperplan en $x$ avec $\nu(x) = \partial_t \gamma(t_0)$, où $t_0$ est l'instant pour lequel $x = \gamma(t_0)$.

*Démonstration.* En se plaçant dans le modèle de Poincaré centré en $e$, c'est immédiat. □

Considérons un corps g-convexe $K$ de classe $C^k$, avec $k \ge 1$, ainsi que $\nu : \partial K \mapsto \text{ST}\mathbb{H}^n$ le champ orthonormal extérieur. À chaque point $x \in \partial K$, si $\Sigma$ est le $g$-hyperplan de support en $x$, considérons alors $\eta : \Sigma \mapsto \text{ST}\mathbb{H}^n$ le champ orthonormal associé au vecteur $\nu(x)$ en $x$. D'après ce qui précède, il existe un vecteur unique $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ correspondant au $g$-hyperplan orienté $(\Sigma, \eta)$. Nous définissons ainsi une fonction $v : \partial K \mapsto \mathbb{S}_e^{n-1}$, que nous appelons **champ orthonormal extérieur centré en e**. La propriété suivante nous fournit alors la méthode recherchée.

**Propriété 4.2.2.** Soit $K \subset \mathbb{H}^n$ un corps g-convexe de classe $C^k$, avec $k \ge 1$. Alors, le champ orthonormal extérieur centré en $e$ est une fonction de classe $C^{k-1}$ et est surjective.

De plus, si $K$ est un corps g-convexe de classe $C_+^k$, avec $k \ge 2$, alors le champ orthonormal extérieur centré en $e$ est un $C^k$-difféomorphisme.

*Démonstration.* Pour ce faire, plaçons-nous dans le modèle de Klein centré en $e$. Notons que si $L \subset T_e\mathbb{H}^n$ est un hyperplan affine intersectant la boule ouverte $\mathcal{D}(e)$ et si $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ est un vecteur tel que $\mathbb{R}u \perp L$, alors la géodésique $\gamma \subset \mathbb{H}^n$ passant par le point $e$ à la vitesse $u$ intersecte orthogonalement le $g$-hyperplan $\Sigma = \varphi_e(L \cap \mathcal{D}(e))$. Voir la propriété 5.1.4 et la remarque 5.1.4 page 304 de l'annexe E pour plus de détails.

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>FIGURE 4.2 – Correspondance géométrique du champ orthonormal.</figcaption></figure>

De cette remarque, il est clair que dans le modèle de Klein centré en $e$, le champ orthonormal centré en $e$ correspond à l'orientation extérieure du corps convexe $\psi_e(K)$ dans l'espace euclidien $(T_e\mathbb{H}^n, g_e)$. Ainsi, par les propriétés 1.1.1 et 1.1.5 des pages 26 et 32, nous obtenons le résultat recherché. □

Nous prendrons l'habitude d'orienter les $g$-hyperplans de support d'un corps g-convexe de manière à ce que leur orientation corresponde à l'orientation extérieure. Nous appelons alors **orientation extérieure** l'orientation des $g$-hyperplans de support ainsi définie. En particulier, d'après la propriété 4.2.2, pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, il correspond un unique $g$-hyperplan de support que nous noterons $\Sigma_u$, dont l'orientation extérieure est associée au vecteur $u$ (via le champ orthonormal extérieur centré en $e$).

**Notation 4.2.1.** Dans la suite, nous prendrons la liberté de désigner par **orientation** les vecteurs de l'hypersphère $\mathbb{S}_e^{n-1}$.
**Remarque 4.2.4.** Soit $K \subset \mathbb{H}^n$ un corps g-convexe et $e \in \mathbb{H}^n$ un point. En considérant l'inverse du champ orthonormal centré en $e$, nous obtenons une application que l'on désigne par $x : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \partial K$, et que nous appellerons naturellement **paramétrage centré en e du corps K**. Elle vérifie que pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, le point $x(u)$ est le point de support qui correspond à l'unique point dans l'intersection $K \cap \Sigma_u$. Plus spécifiquement, il convient de noter que le paramétrage centré en e ainsi défini est un difféomorphisme.

### 4.2.3 Fonction de support d'un corps g-convexe

La notion de fonction de support est un outil essentiel pour décrire les corps convexes. Dans l'espace euclidien, nous avons vu que la fonction de support est définie par la définition 1.1.7 page 33. Cependant, dans l'espace hyperbolique, plusieurs notions s'en rapprochent. Par exemple, lorsqu'un corps g-convexe est h-convexe, il existe naturellement une notion de fonction de support définie par la distance signée de chaque horosphère de support (voir définition 5.3.2 page 117). Aussi, nous pouvons la définir par le biais des bandes de support (voir définition 2.2 page 260 de [55]). Enfin, nous pouvons considérer un dernier exemple de fonction de support qui est donné dans l'article [54] (voir (9) page 178), et qui ressemble beaucoup à ce que nous aborderons dans cette section. Nous retrouvons donc le même problème évoqué en introduction concernant la non-canonicité des notions à considérer. En effet, si dans l'espace euclidien il n'existe qu'une seule façon de définir la fonction de support d'un corps convexe, nous venons de voir que ce n'est pas le cas dans l'espace hyperbolique.

**Remarque 4.2.5.** Soit $\gamma$ une géodésique passant par un point $e$ à la vitesse $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, alors il est clair que pour tout $t \in \mathbb{R}$ :

$$t = \int_{0}^{t} \|\partial_{t}\gamma(t)\| dt \qquad (4.2.3.2)$$

**Définition 4.2.8.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point et $K$ un corps g-convexe. On définit la **fonction de support centrée en e de K** comme la fonction $h : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ telle que pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, $\gamma_u(h(u)) \in \Sigma_u$, où $\Sigma_u$ est l'unique g-hyperplan de support de $K$ dont l'orientation extérieure correspond au vecteur $u$ et $\gamma_u$ est la géodésique passant par le point $e$ à la vitesse $u$.

**Propriété 4.2.3.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point et $K$ un corps g-convexe. La fonction de support $h$ centrée en e de K est lisse. De plus, si $\psi_e : \mathbb{H}^n \to \mathcal{D}(e)$ est la projection de Klein centrée en e, alors $L = \psi_e(K)$ est un corps convexe dont la fonction de support est $l = TH(h)$.

**Démonstration.** Via la projection de Klein centrée en $e$, on sait que $L = \psi_e(K)$ est un corps convexe dans l'espace euclidien $T_e\mathbb{H}^n$. De plus, on peut montrer que si $\gamma$ est la géodésique passant par le point $e$ à la vitesse $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ à l'instant $t = 0$, alors $\psi_e \circ \gamma(t) = TH(t)u$. En particulier, si $h$ et $l$ sont les fonctions de support des corps $K$ et $L$, alors (par la remarque 4.2.5), on a $l = TH(h)$. Ce qui termine la preuve. $\square$

## 4.3 Les familles de g-hyperplans co-orientés

Commençons par faire un point sur la terminologie. Sur un fibré métrique $(E, g)$, un champ d'hyperplan vectoriel $^5 T \subset E$ est dit **co-orienté** si et seulement si le champ des droites vecto-

<footnote n="5">5. Soit $(E, g)$ un fibré vectoriel de base $\beta$ et de dimension $n$. On appelle champ de $p$-sous-espaces vectoriels toute famille de $p$-sous-espaces vectoriels $(V_x)_{x \in \beta}$ vérifiant qu'il existe toujours localement une famille libre de sections $(e_1, \dots, e_p)$ telle que $V = \langle e_1, \dots, e_p \rangle$.</footnote>
rielles orthogonales $l = T^\perp$ est orienté$^6$. Nous pouvons alors donner une première adaptation de cette définition pour les variétés de Riemann comme suit :

**Définition 4.3.1.** Soit $(M, g)$ une variété de Riemann et $x : \Gamma \mapsto M$ une application lisse. Nous dirons qu’un champ d’hyperplan $T \subset x^*TM$ est **co-orienté** s’il existe une section lisse $\nu : \Gamma \mapsto x^*STM$ telle que :

$$ T_u = \langle \nu(u) \rangle^{\perp} \qquad (4.3.0.1) $$

pour tout $u \in \Gamma$.

**Note.** Nous dirons qu’un champ d’hyperplan co-orienté est **régulier** lorsque la dérivée covariante de la section $\nu$ est injective en tout point.

**Remarque 4.3.1.** Il est clair qu’un champ d’hyperplan $T \subset x^*TM$ est co-orienté si et seulement s’il est co-orienté dans le fibré métrique $(x^*TM, g)$ selon la définition générale, ce qui assure le bon usage de la terminologie.

**Remarque 4.3.2.** Il est important de noter le caractère global de cette définition. Si l’on considère, par exemple, $\mathcal{M} \subset \mathbb{R}^3$ le ruban de Möbius et $(T_u)_{u \in \mathcal{M}}$ la famille des plans tangents, il est clair que cette famille de plans tangents ainsi définie ne correspond pas à un champ d’hyperplan co-orienté. Cela vient du fait qu’il n’est pas possible d’orienter les plans tangents de manière à satisfaire globalement la condition (4.3.0.1). En effet, dans le cas contraire, le ruban de Möbius serait une surface orientable.

Autre exemple : les hypersurfaces orientées de $\mathbb{R}^n$. Il est clair que tout champ d’hyperplan correspondant à la famille des hyperplans tangents d’une hypersurface orientée est co-orienté. Plus généralement, une hypersurface $\Sigma \subset M$, avec $(M, g)$ une variété de Riemann, est orientable si et seulement si sa famille d’hyperplans tangents correspond à un champ d’hyperplan co-orienté.

Pour les besoins de nos futurs développements, nous allons devoir adapter la définition 4.3.1 pour donner une définition de co-orientation (dont l’équivalence avec la définition 4.3.1 est évidente) sur les familles $(T_u, \bar{\beta}_u)_{u \in \Gamma}$ d’hyperplans orientés dans un fibré $TM$, avec $(M, g)$ une variété de Riemann orientée. Considérons donc la définition suivante :

**Définition 4.3.2.** Soit $(M, g)$ une variété de Riemann orientée. Nous dirons alors qu’une famille d’hyperplans orientés $(T_u, \bar{\beta}_u)_{u \in \Gamma}$ est **co-orientée** s’il existe $x : \Gamma \mapsto M$ une application lisse et $\nu : \Gamma \mapsto x^*STM$ une section lisse telle que :

1. La famille $T = (T_u)_{u \in \Gamma}$ est un champ d’hyperplans vectoriels dans le fibré vectoriel $x^*TM$.

2. Il existe $\bar{\gamma}$ une orientation$^7$ sur $M$ telle que, pour tout $u \in \Gamma$, si $\beta_u$ et $\gamma_{x(u)}$ sont des représentants de $\bar{\beta}_u$ et $\bar{\gamma}_{x(u)}$, alors la base complétée $(\beta_u, \nu(u))$ est dans le même sens que la base $\gamma_{x(u)}$.

**Note.** Tout comme pour la définition 4.3.1, nous dirons qu'une famille d'hyperplans co-orientés $(T_u, \bar{\beta}_u)_{u \in \Gamma}$ est **régulière** lorsque la dérivée covariante du champ vectoriel $\nu$ est injective en tout point.

<footnote n="6">6. Soit $E$ un fibré vectoriel. Nous dirons qu’un champ de droites vectorielles $l \subset E$ est **orienté** lorsqu’il existe une section $\nu \in \Gamma^0(E)$ jamais nulle telle que $l = \mathbb{R}\nu$.</footnote>

<footnote n="7">7. Pour plus de clarté, rappelons qu'une orientation $\bar{\gamma}$ sur une variété différentielle $M$ correspond à une famille d'orientations $(\bar{\gamma}_x)_{x \in M}$ sur chaque espace tangent $T_x M$ qui satisfait en outre une condition de régularité.</footnote>
A présent, rappelons qu'un hérisson est défini par l'information d'une famille d'hyperplans co-orientés qui vérifie une condition de régularité et d'injectivité (voir définition 1.1.6 page 30). En particulier, pour la condition d'injectivité, nous avons déjà vu qu'il existe plusieurs méthodes pour comparer les hyperplans tangents, dont deux que nous allons développer dans cette thèse. Considérons donc $(T, \bar{\beta})$ un hyperplan orienté sur l'espace tangent $T_x\mathbb{H}^n$. On appelle alors **prolongement géodésique de $(T, \bar{\beta})$** l'unique g-hyperplan orienté $(\Sigma, \nu)$ tel que :

$$x \in \Sigma \text{ et } (T_x\Sigma, \nu(x)) = (T, \bar{\beta}) \qquad (4.3.0.2)$$

Pour comprendre la condition (4.3.0.2), nous devons définir la relation entre le vecteur orthogonal $\nu(x)$ et le choix d'orientation $\bar{\beta}$. Considérons sur l'espace hyperbolique $\mathbb{H}^n$, le champ orthogonal $v(x) = x$ ainsi que l'orientation $\bar{\gamma}$ sur $\mathbb{H}^n$, telle que pour tout représentant $\gamma_x$ (de l'orientation $\bar{\gamma}_x$ sur l'espace tangent $T_x\mathbb{H}^n$), la base complétée $(\gamma_x, x)$ est dans le même sens que la base canonique de $\mathbb{L}^{n+1}$. Par conséquent, nous dirons que le choix d'orientation $\bar{\beta}$ sur l'hyperplan $T \subset T_x\mathbb{H}^n$ correspond au vecteur $u \in \mathbb{S}_x^{n-1}$ si et seulement si, pour tout représentant $\beta$ et $\gamma_x$ de $\bar{\beta}$ et $\bar{\gamma}_x$, la base complétée $(\beta, u)$ est dans le même sens que la base $\gamma_x$. Par conséquent, nous pouvons considérer la définition suivante :

**Définition 4.3.3.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point, ainsi que $(T_1, \bar{\beta}_1)$ et $(T_2, \bar{\beta}_2)$ deux hyperplans orientés sur les espaces tangents respectifs $T_{v_1}\mathbb{H}^n$ et $T_{v_2}\mathbb{H}^n$. Nous dirons que ces hyperplans tangents sont dans le même sens par rapport à $e$ s'il existe $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ tel que, si $\gamma$ est la géodésique passant par le point $e$ à la vitesse $u$ ainsi que $(\Sigma_1, \nu_1)$ et $(\Sigma_2, \nu_2)$ sont les g-hyperplans orientés correspondant au prolongement géodésique des hyperplans orientés $(T_1, \bar{\beta}_1)$ et $(T_2, \bar{\beta}_2)$, alors :

1. La géodésique $\gamma$ est orthogonale aux g-hyperplans $\Sigma_1$ et $\Sigma_2$.

2. Si $x_1 = \gamma(t_1) \in \gamma \cap \Sigma_1$ et $x_2 = \gamma(t_2) \in \gamma \cap \Sigma_2$, alors $\nu_1(x_1) = \partial_t\gamma(t_1)$ et $\nu_2(x_2) = \partial_t\gamma(t_2)$.

**Note.** On notera alors $(T_1, \bar{\beta}_1) \sim_e (T_2, \bar{\beta}_2)$ la relation ainsi définie.

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>FIGURE 4.3 – Deux hyperplans dans le même sens par rapport à $e$ dans le modèle de Poincaré.</figcaption></figure>

**Remarque 4.3.3.** La relation précédemment définie est une relation d'équivalence. De plus, dans le modèle de Klein centré en $e$, la relation de même sens par rapport à $e$ correspond à la relation que nous avons considérée à la définition 1.1.5 page 29.
**Définition 4.3.4.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point, ainsi que $(T_u, \overline{\beta_u})_{u \in \Gamma}$ une famille d'hyperplans co-orientés. Nous dirons que la famille d'hyperplans est **injective par rapport à e lorsque, pour tout $u_1 \in \Gamma$ et $u_2 \in \Gamma$ :**

$$ (T_{u_1}, \overline{\beta_{u_1}}) \sim_e (T_{u_2}, \overline{\beta_{u_2}}) \Rightarrow u_1 = u_2 \qquad (4.3.0.3) $$

**Note.** On appelle **condition d'injectivité centrée en e la condition (4.3.0.3).**

**Propriété 4.3.1.** La famille des hyperplans tangents d'un corps g-convexe correspond à une famille d'hyperplans co-orientés réguliers et injectifs par rapport à tous les points de $\mathbb{H}^n$.

**Démonstration.** Considérons donc $K \subset \mathbb{H}^n$ un corps g-convexe de classe $C_+^\infty$, ainsi que $\nu : \partial K \mapsto ST\mathbb{H}^n$ le champ orthonormal extérieur et $v : \partial K \mapsto S_e^{n-1}$ le champ orthonormal extérieur centré en $e$. On sait déjà que $T_x \partial K = \langle \nu(x) \rangle^\perp$ pour tout point $x \in \partial K$. En particulier, la famille des hyperplans tangents est co-orientée et régulière. Ensuite, par la construction de l'application $v$, on a nécessairement :

$$ (T_{x_1} \partial K, \nu(x_1)) \sim (T_{x_2} \partial K, \nu(x_2)) \iff v(x_1) = v(x_2) $$

et par la propriété 4.2.2, on obtient le résultat recherché. $\square$

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

À présent, il est naturel d'adapter la notion de co-orientation aux familles de g-hyperplans afin de pouvoir caractériser les g-hyperplans de support d'un corps g-convexe. Ceci nous permettra d'aboutir à une définition de hérisson que nous appellerons évidemment g-hérisson, car cette définition découle du choix de comparer les orientations des hyperplans tangents en utilisant des géodésiques porteuses et transverses. Considérons donc les définitions suivantes :

**Définition 4.3.5.** On dira qu'une famille de g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in \Gamma}$ est **lisse** si, en tout point $u_0 \in \Gamma$, les g-hyperplans sont localement de la forme :

$$ \Sigma_u = \mathbb{H}^n \cap \langle N(u) \rangle^\perp \qquad (4.3.0.4) $$

avec $N : \Omega \subset \Gamma \mapsto dS^n$ une application lisse.

**Note.** La partie $dS^n$ correspond à l'hyperboloïde $dS^n = \{x \in \mathbb{L}^{n+1} \mid \text{tq } \langle x|x \rangle_L = 1\}$ que l'on appelle **hyperboloïde de Sitter**. Notons aussi que $\langle N(u) \rangle^\perp$ correspond à l'orthogonal de la droite $\mathbb{R}N(u)$ dans l'espace de Lorentz-Minkowski $\mathbb{L}^{n+1}$.

**Définition 4.3.6.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point. Nous appellerons **famille de g-hyperplan co-orienté en e toute famille lisse de g-hyperplans orientés** $(\Sigma_u, \nu_u)_{u \in S_e^{n-1}}$, indexée sur l'hypersphère $S_e^{n-1}$, telle que : pour tout $u \in S_e^{n-1}$, la géodésique $\gamma_u$ passant par le point $e$ à la vitesse $u$ est orthogonale au g-hyperplan $\Sigma_u$ et vérifie que si $x_0 = \gamma_u(t_0) \in \Sigma_u$ alors $\partial_t \gamma_u(t_0) = \nu_u(x_0)$.

**Avertissement 4.3.1.** Comme pour la notion de famille d'hyperplans co-orientés, nous avons par définition que l'orientation des g-hyperplans $\Sigma_u$ est définie par les vecteurs $u$. En conséquence, pour alléger notre texte, nous prendrons la liberté de ne plus mentionner l'orientation des g-hyperplans lorsque nous considérons une famille de g-hyperplans co-orientés.

La notion de g-hyperplan co-orienté s'accompagne naturellement d'une notion de fonction de support. Pour cela, il nous suffit de considérer la définition suivante :
**Définition 4.3.7.** Si $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ est une famille de g-hyperplans co-orientés centrés en e, alors nous appellerons **fonction de support de la famille** $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ toute fonction $h: \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ vérifiant la condition suivante :

$$x_0 = \gamma_u(h(u)) \in \Sigma_u \text{ et } \partial\gamma_u(h(u)) = \nu_u(x_0) \qquad (4.3.0.5)$$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$.

**Note.** Dans l'expression (4.3.0.5) ci-dessus, l'application $\nu_u : \Sigma_u \to \text{ST}\mathbb{H}^n$ correspond au champ orthonormal associé à l'orientation du g-hyperplan $\Sigma_u$.

**Lemme 4.3.1.** Soit $(\Sigma_u)_{u \in \Gamma}$ une famille lisse de g-hyperplans. Alors, en tout point $u_0 \in \Gamma$, il existe, au voisinage de $u_0$, une application lisse $x_0 : \Omega \subset \Gamma \to \mathbb{H}^n$ telle que :

$$x_0(u) \in \Sigma_u \qquad (4.3.0.6)$$

pour tout $u \in \Omega$.

**Démonstration.** Soit $u_0 \in \Gamma$ ainsi que $e \in \mathbb{H}^n$, un point qui n'est pas dans le g-hyperplan $\Sigma_{u_0}$. Alors, par définition, il existe $N : \Omega \subset \Gamma \to dS^n$, une fonction lisse définie au voisinage de $u_0$ telle que pour tout $u \in \Omega$,

$$\Sigma_u = \mathbb{H}^n \cap \langle N(u) \rangle^{\perp} \text{ et } e \notin \Sigma_u$$

avec $\langle N(u) \rangle^{\perp}$ étant l'orthogonal de la droite $\mathbb{R}N(u)$ dans $\mathbb{L}^{n+1}$. Par conséquent, il nous suffit de considérer, pour tout $u \in \Gamma$, le point $x_0(u)$ correspondant à l'unique élément de l'intersection $\langle e, N(u) \rangle \cap \Sigma_u$. $\square$

**Propriété 4.3.2.** Toute famille de g-hyperplans co-orientés en e admet une unique fonction de support, qui de plus, est lisse.

**Démonstration.** Si $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ est une famille de g-hyperplans, on construit la fonction de support en considérant, pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, l'unique instant $t_u \in \mathbb{R}$ tel que $\gamma_u(t_u) \in \Sigma_u$. On définit alors la fonction $h$ par :

$$h(u) = t_u$$

Il nous faut montrer que la fonction de support ainsi construite est lisse. On sait par le lemme 4.3.1 précédent que, pour chaque $u_0 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, il existe $\Omega \subset \mathbb{S}_e^{n-1}$ un voisinage de $u_0$ et une fonction lisse $\theta : \Omega \to \mathbb{H}^n$ telle que :

$$\theta(u) \in \Sigma_u$$

pour tout $u \in \Omega$. Par conséquent, en considérant la fonction $\theta_0(u) = \gamma_u \circ h(u) = \text{SH} h(u)u + \text{CH} h(u)e$, il existe un champ de vecteurs $\vec{R} : \Omega \to \text{TS}^{n-1}_e$ vérifiant la condition :

$$\vec{R}(u) \in T_u \mathbb{S}_e^{n-1} \text{ et } \theta(u) = \exp_{\theta_0(u)} \vec{R}(u) = a(u) \vec{R}(u) + b(u) \theta_0(u)$$

Il est alors évident que les fonctions $\langle \theta(u) | u \rangle = b(u)\text{SH} h(u)$ et $\langle \theta(u) | e \rangle = b(u)\text{CH} h(u)$ sont lisses. Ainsi, la fonction $b^2$ est lisse et, par construction, la fonction $b$ étant strictement positive, on obtient le résultat recherché. $\square$
**Définition 4.3.8.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point et $h : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ une fonction lisse. Alors, on définit les applications $x_0 : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{H}^n$ et $N : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{T}\mathbb{H}^n$ par :

$$x_0(u) = \gamma_u(h(u)) \text{ et } N(u) = \varphi_{e,x_0(u)}(u) \qquad (4.3.0.7)$$

avec l'application $\gamma_u : \mathbb{R} \to \mathbb{H}^n$ correspondant à la géodésique passant par le point $e$ à la vitesse $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ et l'application $\varphi_{e,x_0(u)} : T_e\mathbb{H}^n \to T_{x_0(u)}\mathbb{H}^n$ étant le transport parallèle entre les points $e$ et $x_0(u)$ le long de $\gamma_u$.

**Remarque 4.3.4.** Pour tout point de référence $e \in \mathbb{H}^n$ et fonction lisse $h : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$, les fonctions $x_0$ et $N$, telles que définies précédemment, sont données par :

$$x_0(u) = SH h(u)u + CH h(u)e \text{ et } N(u) = CH h(u)u + SH h(u)e \qquad (4.3.0.8)$$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$.

**Propriété 4.3.3.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence. Alors, pour toute fonction lisse $h : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$, il existe une unique famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ de g-hyperplans co-orientés en $e$ qui lui est associée.

**Démonstration.** Il suffit de remarquer qu'une famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ est une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$ ayant pour fonction de support $h$ si et seulement si elle est de la forme :

$$\Sigma_u = \exp_{x_0(u)} \langle N(u) \rangle^{\perp}$$

avec $x_0$ et $N$ les applications définies par (4.3.0.7). □

**Remarque 4.3.5.** Par construction, si $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ est une famille de g-hyperplans co-orientés en $e$, alors l'orientation de chaque g-hyperplan $\Sigma_u$ est définie par le champ orthonormal $\nu_u$ tel que :

$$\nu_u(x) = N(u) \qquad (4.3.0.9)$$

pour tout $x \in \Sigma_u$.

**Propriété 4.3.4.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence, alors une famille de g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ est co-orientée en $e$ si et seulement si la famille d'hyperplans $((\psi_e \cdot \Sigma_u))_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ est co-orientée sur l'espace euclidien $(T_e\mathbb{H}^n, g_e)$.

De plus, si $h$ et $l$ correspondent aux fonctions de support des familles respectives $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ et $((\psi_e \cdot \Sigma_u))_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$, alors :

$$l = TH(h) \qquad (4.3.0.10)$$

**Démonstration.** En reprenant les mêmes arguments que pour la propriété 4.2.3, c'est immédiat. □

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

Pour conclure, une remarque importante s'impose. La notion de co-orientation de familles de g-hyperplans dépend du choix du point. En effet, comme nous allons le voir, il est possible de construire une famille de g-hyperplans co-orientés en un point $e$ mais pour laquelle il existerait un second point $v_0$ tel que la famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ n'est pas pas co-orientée en $v_0$. Considérons donc la définition suivante :
**Définition 4.3.9.** Nous dirons qu'une famille de g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in \Gamma}$ est co-orientable en e si il existe $\phi : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \Gamma$ un difféomorphisme tel que la famille $(\Sigma_{\phi(u)})_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ soit co-orientée en e.

Pour comprendre la méthode de construction d'une telle famille de g-hyperplans, nous tra-
vaillerons dans le modèle de Poincaré. En particulier, nous pourrons nous appuyer sur la figure
ci-dessous qui illustre notre construction.

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>FIGURE 4.4 – Construction d'une famille de g-hyperplans co-orientée dépendant du point e</figcaption></figure>

Considérons deux points *e* et *p*₀ ainsi qu'une géodésique $\gamma$ passant par le point *p*₀ et ne contenant pas le point *e*. Il nous suffit alors de considérer trois g-hyperplans $\Sigma_{u_1}$, $\Sigma_{u_2}$ et $\Sigma_{u_3}$, deux à deux distincts et orthogonaux à la géodésique $\gamma$. Il est alors clair que relativement au point *e*, les trois g-hyperplans ainsi définis correspondent à trois directions $u_1$, $u_2$ et $u_3$, deux à deux distinctes et non colinéaires. Considérons donc $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ une famille de g-hyperplans co-orientés centrée en *e* qui correspond aux g-hyperplans précédemment définis pour les directions respectives. Il est alors clair que la famille de g-hyperplans ainsi définie ne peut être co-orientée en $p_0$, car les g-hyperplans $\Sigma_{u_1}$, $\Sigma_{u_2}$ et $\Sigma_{u_3}$ sont parallèles par rapport au point $p_0$. Nous avons donc vérifié la propriété suivante :

**Propriété 4.3.5.** Pour tout point *e*, il existe une famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ de g-hyperplans co-orientés en *e* pour laquelle il existe un point $v_0$ tel que la famille de g-hyperplans n'est pas co-orientable en $v_0$.

Cette observation souligne que la notion de g-hérisson que nous allons définir par cette
démarche pourrait être potentiellement plus complexe et moins maniable que la notion de hérisson
sur les espaces euclidiens. Une question légitime se pose alors : Existe-t-il des familles de g-
hyperplans qui sont co-orientées en tout point de $\mathbb{H}^n$ ? Pour répondre à cette question, il nous
suffit de considérer la propriété suivante :

**Propriété 4.3.6.** La famille de g-hyperplans de support d'un corps g-convexe est co-orientable en tout point de $\mathbb{H}^n$.

Démonstration. C'est une conséquence immédiate de la propriété 4.3.1. □

<figure><img src="image_46.png" /></figure>
## 4.4 Définition d'un g-hérisson et première propriété.

Étant donné que la définition de hérisson sur l'espace hyperbolique (comme sur la sphère) relève d'un choix et n'est pas canonique, il est important de définir en premier lieu "le cahier des charges" que nous souhaitons voir vérifié par notre définition. Rappelons donc que notre objectif principal est de retrouver, sur des espaces dont la courbure est non nulle, la relation établie par Y.Martinez-Maure (voir [74]) entre les hérissons de l'espace euclidien et les surfaces marginalement piégées de l'espace de Lorentz-Minkowski $L^4$. Pour cela, il est nécessaire que les conditions suivantes soient vérifiées :

1. La courbure de Gauss est non nulle en tous les points non singuliers. C'est en effet à cette condition que l'on peut définir les hérissons marginalement piégés qui dérivent (par transformation de $\mathcal{L}$-Gauss) des hérissons et correspondent à des surfaces marginalement piégées en leurs points non-ombilicaux.

2. Le bord d'un corps g-convexe de classe $C_+^\infty$ est un hérisson.

3. Tout hérisson correspond à une différence de corps g-convexe. Il est à noter que cette condition dépend du choix d'une somme sur les corps g-convexes. En particulier, nous ne remplissons pas, en l'état, cette condition qui reste donc une question ouverte.

4. La définition de hérisson ne dépend pas du choix de l'espace considéré. Nous entendons par là que la définition de hérisson doit rester la même quel que soit l'espace considéré. En particulier, il nous faudra étudier la correspondance géométrique entre les hérissons de l'espace euclidien, de l'espace hyperbolique et de la sphère. Voir les chapitres 3, 7 et 10 pour en savoir plus.

5. Tout hérisson de l'espace hyperbolique (et de la sphère) correspond au front legendrien d'un certain type d'immersion de Legendre et vérifie en particulier un équivalent de la propriété 2.4.1 page 51. Il est à noter que nous retrouverons naturellement la même problématique de non-canonicité lorsque nous déterminerons le type d'immersion de Legendre qui correspond aux hérissons de l'espace hyperbolique et de la sphère.

En conséquence, la démarche que nous adopterons consistera naturellement à reprendre la même construction qui a été adoptée par R.Langevin, G.Levitt et H.Rosenberg en considérant des enveloppes généralisées de familles de g-hyperplans co-orientés. Nous considérons ainsi les définitions suivantes :

**Définition 4.4.1.** Soit $(\Sigma_u)_{u \in \Gamma}$ une famille lisse de g-hyperplans. Alors on appelle **enveloppe** l'image de toute application lisse $x : \Gamma \mapsto \mathbb{H}^n$ vérifiant les deux points suivants :

1. Pour tout $u \in \Gamma$, $x(u) \in \Sigma_u$.

2. Pour tout $u \in \Gamma$ et $\vec{W} \in T_u\Gamma$, $d_u x \cdot \vec{W} \in T_{x(u)}\Sigma_u$.

**Note.** De plus, on appelle **paramétrage**, l'application $x$ et **enveloppe paramétrée** la donnée d'une enveloppe $\Lambda$ munie de son paramétrage $x$.

**Définition 4.4.2.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point, alors nous appellerons **g-hérisson centré en e** toute enveloppe paramétrée d'une famille de g-hyperplans co-orientés en e.

**Note.** Nous appellerons alors **fonction de support centrée en e** la fonction de support de la famille de g-hyperplans.

**Avertissement 4.4.1.** Afin de ne pas alourdir inutilement notre texte, nous reprendrons l'avertissement 1.2.2 que nous avons considéré en première partie pour les hérissons euclidiens. En conséquence, nous noterons $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^n$ sans faire mention du paramétrage.
**Notation 4.4.1.** Il nous arrivera souvent de noter $\mathcal{H}_h$ pour mentionner un g-hérisson centré en e de fonction de support h.

## 4.4.1 Conditions d'existence des g-hérissons

Dans cette section, nous étudions les conditions d'existence des g-hérissons, nous fournissant ainsi un premier résultat qui, en particulier, met en évidence une condition nécessaire et suffisante (voir (4.4.1.2)) que doivent vérifier les fonctions de support des g-hérissons.

**Lemme 4.4.1.** Soit $\vec{R}: \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{L}^{n+1}$ une application lisse ainsi que $R: \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ la fonction vérifiant $R(u) = \|\vec{R}(u)\|$. Alors les applications a, b et $\beta$ définies par les expressions :

$$a(u) = \frac{SH R(u)}{R(u)}, \quad b(u) = CH R(u) \text{ et } \beta(u) = \alpha(u)^2 = (SH R(u))^2 \quad (4.4.1.1)$$

sont lisses.

*Démonstration.* Considérons une fonction lisse $\vec{R}: \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{L}^{n+1}$ ainsi que $R(u) = \|\vec{R}(u)\|$. Nous pouvons déjà remarquer que la fonction $R^2$ est forcément lisse. Considérons donc les fonctions suivantes :

$$a(u) = \frac{SH R(u)}{R(u)}, \quad b(u) = CH R(u) \text{ et } \alpha(u) = SH R(u)$$

À présent, rappelons que les fonctions hyperboliques $CH(t)$ et $SH(t)$ sont analytiques et admettent pour décomposition en série entière :

$$CH(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n)!} t^{2n} \text{ et } SH(t) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)!} t^{2n+1}$$

Ainsi, en remarquant que les séries entières $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n)!}t^n$ et $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)!}t^n$ définissent des fonctions f et g de classe $C^\infty$ telles que $CH(t) = f(t^2)$ et $SH(t) = tg(t^2)$, alors on obtient forcément que :

$$a(u) = g(R(u)^2), \quad b(u) = f(R(u)^2) \text{ et } \alpha(u)^2 = R(u)^2 g(R(u)^2)^2$$

ce qui nous donne le résultat recherché.

□

**Théorème 4.4.1.** Une famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ de g-hyperplans co-orientés en e et de fonction de support h : $\mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$, admet une enveloppe si et seulement si la fonction de support vérifie la condition suivante :

$$\|\vec{\nabla} h(u)\| < CH h(u) \quad (4.4.1.2)$$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$.

De plus, en cas d'existence de l'enveloppe, celle-ci est unique et admet pour paramétrage et champ orthonormal les fonctions respectives $x: \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{H}^n$ et $N: \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{T}\mathbb{H}^n$ vérifiant les relations suivantes :

$$x(u) = \sigma(u) [x_0(u) + \vec{V}(u)] \text{ et } N(u) = CH h(u)u + SH h(u)e \quad (4.4.1.3)$$
avec $x_0$ et $N$ les applications que nous avons introduites à la définition 4.3.8, ainsi que $\vec{V}$ et $\sigma$ que nous définissons dans la note ci-dessous :

**Note.** On définit la section $\vec{V} : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto x_0^*T\mathbb{H}^n$ et la fonction $\sigma : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto \mathbb{R}$ via les expressions :

$$ \vec{V}(u) = \frac{\vec{\nabla}h(u)}{CH h(u)} \quad \text{et} \quad \sigma(u) = \frac{1}{\sqrt{1 - V(u)^2}} \qquad (4.4.1.4) $$

avec $V(u) = \|\vec{V}(u)\|$.

*Démonstration.* Considérons une famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ de g-hyperplans co-orientés en $e$ et de fonction de support $h$. Ainsi, en considérant les applications $x_0$ et $N$ définies par (4.3.0.7), il est alors clair que chaque g-hyperplan $\Sigma_u$ sont définis par l'expression suivante :

$$ \Sigma_u = \exp_{x_0(u)} \langle N(u) \rangle^{\perp} $$

Supposons donc que la famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ admette une enveloppe $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^n$ dont le paramétrage est $x$. Par construction, il existe forcément une section lisse $\vec{R} : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto x_0^*T\mathbb{H}^n$ telle que :

$$ x(u) = \exp_{x_0(u)} \vec{R}(u) \text{ et } N(u) \perp \vec{R}(u) \qquad (4.4.1.5) $$

et donc il existe des fonctions $a$ et $b$ telles que

$$ x(u) = a(u) \vec{R}(u) + b(u) x_0(u) \qquad (4.4.1.6) $$

avec $a(u) = \frac{SH R(u)}{R(u)}$, $b(u) = CH R(u)$ et $R(u) = \|\vec{R}(u)\|$.

Ainsi, par le lemme 4.4.1, on sait que les applications $a$ et $b$ sont nécessairement lisses. De plus, par définition, le paramétrage $x$ satisfait la condition ci-dessous :

$$ \langle d_u x \cdot \vec{W} | N(u) \rangle = 0 \qquad (4.4.1.7) $$

que nous appellerons naturellement *condition de contact*.

Ensuite, en observant que $\langle x(u)|N(u) \rangle = 0$, la condition de contact (4.4.1.7) admet pour expression équivalente $\langle x(u)|d_u N \cdot \vec{W} \rangle = 0$, et comme, après un petit calcul, la différentielle du champ orthonormal vérifie l'expression $d_u N \cdot \vec{W} = \langle \vec{\nabla}h(u)|\vec{W} \rangle x_0(u) + CH h(u)\vec{W}$ on obtient donc la relation suivante :

$$ a(u)CH h(u)\vec{R}(u) = b(u)\vec{\nabla}h(u) \qquad (4.4.1.8) $$

Aussi, en définissant la fonction $\alpha(u) = SH R(u)$, alors par la relation (4.4.1.6), on obtient que les fonctions $\alpha$ et $b$ vérifient l'égalité ci-dessous :

$$ \alpha(u)^2 - b(u)^2 = -1 \qquad (4.4.1.9) $$

et en combinant la relation (4.4.1.6) avec (4.4.1.8) et la relation (4.4.1.8) avec (4.4.1.9), on obtient les deux relations suivantes :
$$
\left\{
\begin{array}{l}
R(u)CH R(u) \vec{\nabla} h(u) = SH R(u)CH h(u) \vec{R}(u) \\
(1 + \alpha(u)^2) \| \vec{\nabla} h(u) \|^2 = \alpha(u)^2 (CH h(u))^2
\end{array}
\right.
\qquad (4.4.1.10)
$$

Par conséquence, en considérant l'application $\vec{V}$ que nous avons définie par l'expression (4.4.1.4), alors par (4.4.1.10), on obtient la relation suivante :

$$
(1 - V(u)^2) \alpha(u)^2 = V(u)^2 \qquad (4.4.1.11)
$$

Ainsi, la relation (4.4.1.11) nous permet de savoir que $1 - V(u)^2 > 0$. En effet, il est d'abord immédiat que $1 - V(u)^2 \ge 0$ et si $1 - V(u)^2 = 0$, alors nous aurions $V(u)^2 = 0$ et $V(u)^2 = 1$, ce qui est impossible. En conclusion, nous obtenons bien que si la famille de g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ admet une enveloppe, alors la fonction de support vérifie l'inégalité :

$$
\| \vec{\nabla} h(u) \| < CH h(u)
$$

Pour déterminer l'expression du paramétrage $x$, il nous suffit de calculer les coefficients $a$ et $b$. Pour cela, remarquons que :

1. $b(u)^2 = 1 + \alpha(u)^2 = 1 + \sigma(u)^2 V(u)^2 = \sigma(u)^2$ avec $\sigma(u) = \frac{1}{\sqrt{1-V(u)^2}}$.

2. Si $\vec{V}(u) \neq 0$, alors $a(u) \vec{R}(u) = \alpha(u) \frac{\vec{V}(u)}{V(u)} = \sigma(u) \vec{V}(u)$.

3. D'après la relation ((4.4.1.10)), $R(u) = \text{ArcTH} V(u)$. En particulier, si $\vec{V}(u) = 0$, alors $a(u) \vec{R}(u) = 0$.

et donc, tout paramétrage correspondant à l'enveloppe d'une famille de g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$
est forcément défini par l'expression (4.4.1.3).

Enfin, si $x$ est l'application définie par l'expression (4.4.1.3), il est clair que l'inégalité sur la fonction de support (4.4.1.2) ainsi que la condition de contact (4.4.1.7) sont vérifiées. En effet, nous avons que l'inégalité sur la fonction de support est forcément vérifiée du fait que la fonction $\sigma$ est bien définie. Ensuite, pour la condition de contact, il suffit de remarquer que :

$$
\langle N(u) | d_u \vec{V} (\vec{W}) \rangle = - \langle \vec{\nabla} h(u) | \vec{W} \rangle
$$

ce qui termine la preuve.

<figure><img src="image_47.png" /></figure>

Contrairement à ce que nous avons observé sur l'espace euclidien, n'importe quelle famille de
g-hyperplans co-orientés en un point donné n'engendrera pas nécessairement un g-hérisson. En
particulier, nous étudirons plus loin (voir section 6.3 du chapitre 6) la signification géométrique
de l'inégalité (4.4.1.2). Notons également que notre approche n'est pas singulière. En effet, V.
Oliker a adopté une démarche similaire dans l'article [81] afin d'étudier les relations de dualité
entre les hypersurfaces sur l'espace hyperbolique $\mathbb{H}^n$ et les hypersurfaces sur l'espace de Sitter
$d\mathbb{S}^n$. Pour ce faire, l'auteur a considéré des "enveloppes généralisées" qui correspondent à la
définition de g-hérisson. Aussi, notons que nous rediscuterons des relations de dualité entre les
espaces $\mathbb{H}^n$ et $d\mathbb{S}^n$ au cours du chapitre 8.
### 4.4.2 Orientation naturelle des g-hérissons

Comme pour les hérissons euclidiens, il nous sera nécessaire de considérer un choix d'orientation pour les g-hérissons. Ce choix d'orientation, qui est non canonique, nous permettra en particulier de définir les fonctions de courbure par lesquelles nous pouvons étudier la correspondance entre les corps g-convexes et les g-hérissons. Par conséquence, si $\mathcal{H}_h$ est un g-hérisson centré en $e$, nous appellerons **orientation naturelle** (ou simplement **orientation**) du g-hérisson, l'orientation de ses g-hyperplans définie par le champ de vecteurs $N : \mathbb{S}_e^{n-1} \to x^*ST\mathbb{H}^n$.

**Remarque 4.4.1.** Soit $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{H}^n$ un g-hérisson centré en $e$. Alors, par propriété de la connexion de Levi-Civita sur $\mathbb{H}^n$ correspondant au demi-hyperboloïde de Lorentz-Minkowski, la dérivée covariante du champ orthonormal $N$ d'un g-hérisson vérifie la relation suivante :

$$ \nabla(N)_u \cdot \overrightarrow{W} = d_u N \cdot \overrightarrow{W} \qquad (4.4.2.12) $$

En particulier, constatons que pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, la différentielle $d_u N : T_u \mathbb{S}_e^{n-1} \to \langle N(u) \rangle^{\perp} \subset T_{x(u)} \mathbb{H}^n$ est un isomorphisme et la différentielle $d_u x$ du paramétrage du g-hérisson est forcément à image dans $\langle N(u) \rangle^{\perp}$. Nous pouvons ainsi considérer le morphisme de fibré $\phi : \Delta(\mathbb{S}_e^{n-1}) \to \Delta(\mathbb{S}_e^{n-1})$ tel que :

$$ \phi_u = \nabla(N)_u^{-1} \circ d_u x \qquad (4.4.2.13) $$

ce qui nous permet de définir la fonction $R(u) = \det(\phi_u)$ que l'on appelle **fonction de courbure**. Nous pouvons noter que la fonction de courbure ainsi définie correspond à la fonction de courbure que nous avons considérée pour les hérissons euclidiens (voir définition 1.2.6 page 39).

Il est alors possible de traiter la question de la courbure des g-hérissons en des points non singuliers. Pour cela, si $\mathcal{H}_h$ est un g-hérisson de paramétrage $x$, nous dirons que $x_0 \in \mathcal{H}_h$ est **un point singulier** si $x_0 = x(u_0)$ tel que la différentielle $d_{u_0} x$ n'est pas injective.

**Propriété 4.4.1.** Soit $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{H}^n$ un g-hérisson centré en $e$. Alors en tout point non singulier, le g-hérisson $\mathcal{H}_h$ est localement une hypersurface orientée dont la courbure de Gauss n'est jamais nulle. De plus, lorsque $x(\Omega)$ est une hypersurface, avec $\Omega \subset \mathbb{S}_e^{n-1}$ un ouvert, alors c'est une hypersurface orientée pour laquelle on peut choisir l'application de Gauss $\nu$ telle que $N = \nu \circ x$.

**Démonstration.** Considérons $u_0 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ tel que la différentielle $d_{u_0} x$ soit injective. En appliquant le même raisonnement que celui considéré pour la propriété 1.2.4 page 38, il existe $\Omega \subset \mathbb{S}_e^{n-1}$ un voisinage ouvert de $u_0$ sur lequel la restriction du paramétrage $x$ est un plongement différentiel. En particulier, $x(\Omega)$ est une hypersurface de $\mathbb{H}^n$ orientée par le champ orthonormal $\nu : x(\Omega) \to ST\mathbb{H}^n$ vérifiant que $N = \nu \circ x$. Par conséquence, l'application $N$ (vue comme une application à image dans $\mathbb{L}^{n+1}$) étant clairement une immersion, nous obtenons le résultat recherché. $\square$

### 4.4.3 Relation entre les g-hérissons et les corps g-convexes

Pour étudier la relation entre les corps g-convexes et les g-hérissons, nous devons introduire quelques définitions. Considérons donc $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{H}^n$ un g-hérisson centré en $e$ ainsi que $x$ son paramétrage et $N$ son champ orthonormal. Comme la dérivée covariante de $N$ est partout injective, alors on appelle **troisième forme fondamentale** la forme bilinéaire :

$$ III_u(\vec{v}_1, \vec{v}_2) = \langle d_u N \cdot \vec{v}_1 | d_u N \cdot \vec{v}_2 \rangle_L \qquad (4.4.3.14) $$
qui est clairement une métrique Riemannienne sur la sphère $S_e^{n-1}$. En particulier, on peut vérifier (voir propriété 12.2.2 page 250 du chapitre 12) que le morphisme de fibré $\phi$ que nous avons considéré à la remarque 4.4.1 est symétrique par rapport à la forme III. Par conséquent, on définit les **fonctions des courbures principales** correspondant, pour chaque $u \in S_e^{n-1}$, aux valeurs propres $r_1(u), \dots, r_{n-1}(u)$ de l'endomorphisme $\phi_u$. Il est à noter que les fonctions $r_i$ ainsi définies ne sont pas forcément partout de classe $C^\infty$.

**Propriété 4.4.2.** Soit $K \subset \mathbb{H}^n$ un corps g-convexe. Alors pour tout point $e$, le bord du corps $K$ est un g-hérisson dont le paramétrage correspond à l'inverse de son orientation extérieure centrée en $e$. Réciproquement, tout g-hérisson centré en $e$ dont les fonctions de courbure principales sont toutes et partout strictement positives correspond forcément au bord orienté d'un corps g-convexe.

**Démonstration.** D'abord, si $K$ est un corps g-convexe de classe $C_+^\infty$, alors par la propriété 4.3.6, il est immédiat que le bord $\partial K$ correspond à un g-hérisson en tous points. Réciproquement, il nous suffit de constater qu'un g-hérisson $\mathcal{H}_h$ centré en $e$ admet des fonctions de courbure principales qui sont toutes et partout strictement positives si et seulement si c'est le cas pour le hérisson euclidien $\psi_e(\mathcal{H}_h)$ via la projection de Klein centrée en $e$. Ainsi, par la propriété 1.3.3 page 43, on obtient le résultat recherché. $\square$

### 4.4.4 Correspondance avec les hérissons euclidiens

Enfin, nous conclurons ce chapitre avec une propriété évidente qui nous éclaire sur la géométrie de nos constructions. Considérons donc :

**Propriété 4.4.3.** Si $e \in \mathbb{H}^n$ est un point et $\psi_e : \mathbb{H}^n \to \mathcal{D}(e)$ la carte de Klein centrée en $e$, alors une hypersurface topologique $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^n$ est un g-hérisson centré en $e$ si et seulement si $\psi_e(\mathcal{H})$ est un hérisson euclidien. De plus, si $h : S_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ est la fonction de support de $\mathcal{H}$ et $l : S_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ la fonction de support de $\psi_e(\mathcal{H})$, alors elles vérifient la relation suivante :

$$l = TH(h) \qquad (4.4.4.15)$$

**Démonstration.** Ceci découle directement de la propriété 4.3.4 page 93. $\square$

<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>FIGURE 4.5 – Correspondance via le modèle de Klein entre g-hérisson et hérisson euclidien</figcaption></figure>

Cette dernière propriété démontre que les g-hérissons correspondent à des structures projectives comme c'est le cas pour les corps g-convexes. Pour approfondir ce sujet, il est recommandé
de consulter l'article [30] de F. Fillastre, où l'auteur décrit les propriétés projectives des corps convexes sur les espaces modèles. En particulier, nous revisiterons ces sujets dans le chapitre 8, au cours duquel nous examinerons le dual projectif des g-hérissons.
# Chapitre 5

## Corps h-convexe et h-hérisson

Dans ce chapitre, nous considérons une définition alternative de la notion de hérisson (les h-hérissons) sur l'espace hyperbolique. Nous étudierons les propriétés élémentaires de cette notion ainsi que ses avantages et inconvénients par rapport au g-hérisson que nous avons introduit précédemment. En particulier, il sera nécessaire de présenter certaines propriétés des corps h-convexes dont les caractéristiques géométriques motivent la définition de la notion de h-hérisson.

### 5.1 L'application de Gauss et les horosphères sur l'espace hyperbolique

Sur l'espace hyperbolique, une définition naturelle de l'application de Gauss consiste à prolonger géodésiquement le champ orthonormal d'une hypersurface orientée et à considérer sa limite sur le bord à l'infini. Cette définition s'accompagne de la notion d'horosphère, qui correspond à des hypersurfaces orientées dont les courbures principales sont partout égales à 1 ou sont partout égales à -1. En particulier, il nous sera utile de noter que dans le modèle du disque de Poincaré, les horosphères correspondent à des sphères tangentes au bord à l'infini $\partial_\infty \mathbb{H}^n = \mathbb{S}_e^{n-1}$.

<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>FIGURE 5.1 – Représentation de l'application de Gauss dans le disque de Poincaré</figcaption></figure>

Pour en savoir plus sur l'application de Gauss d'une hypersurface sur l'espace hyperbolique, il est possible de consulter les articles [27] et [11], sur lesquels nous nous appuierons pour les éléments présentés dans cette section.
### 5.1.1 Limite d'une géodésique sur le bord à l'infini

Pour définir la limite à l'infini d'une géodésique, la manière la plus immédiate consiste à se placer sur le modèle du disque de Poincaré et à considérer le point limite sur le bord à l'infini. Étant donné que nous travaillons principalement avec le modèle du demi-hyperboloïde de Lorentz-Minkowski, il est nécessaire de comprendre cette construction dans ce cadre. Pour cela, observons que, pour $\gamma \subset \mathbb{H}^n$ une géodésique, la droite $\mathbb{R}\gamma(t)$ tend vers une droite de lumière lorsque $t \to +\infty$. Ainsi, il est justifié de considérer la définition suivante :

**Définition 5.1.1.** On appelle **absolue**, la partie de l'espace projectif $\mathbb{P}_n$, que l'on note $\mathbb{A}^{n-1}$, correspondant à l'ensemble des droites lumière<fnref n="1" /> sur l'espace de Lorentz-Minkowski $\mathbb{L}^{n+1}$.

**Propriété 5.1.1.** L'absolue $\mathbb{A}^{n-1}$ est une $(n-1)$-variété différentielle qui est, de plus, difféomorphe à la $(n-1)$-sphère $\mathbb{S}^{n-1}$.

*Démonstration.* Il suffit de considérer la sphère $\mathbb{S}^{n-1} \subset \mathbb{E}^n$ ainsi que l'application $f: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{RP}^n$ définie par l'expression $f(u) = p(u, 1)$. Ainsi, si $\varphi_e: \mathbb{RP}^n \setminus \langle e \rangle^{\perp} \hookrightarrow \langle e \rangle^{\perp}$ est la carte projective centrée en $e = (0_{\mathbb{R}^n}, 1)$, il est clair que $\varphi_e \circ f(u) = u$ et donc $f$ est un plongement dont l'image est $\mathbb{A}^{n-1}$. $\square$

**Définition 5.1.2.** Nous dirons qu'une géodésique $\gamma \subset \mathbb{H}^n$ converge vers $a \in \mathbb{A}^{n-1}$ si elle vérifie $p \circ \gamma(t) \xrightarrow{t \to +\infty} a$.

**Note.** Si $\gamma$ converge vers $a$, alors on notera $\gamma \to a$.

**Propriété 5.1.2.** Si $\gamma \subset \mathbb{H}^n$ est une géodésique passant par le point $e$ à la vitesse $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, alors elle converge vers le point $a = p(e+u)$.

*Démonstration.* Il suffit de remarquer que $p \circ \gamma(t) = p(e + TH(t)u) \to p(e+u)$. $\square$

### 5.1.2 Application de Gauss d'une hypersurface orientée

Puisque l'absolue $\mathbb{A}^{n-1}$ correspond à une $(n-1)$-sphère, il est naturel de définir, pour toute hypersurface orientée, les deux applications correspondant au prolongement géodésique (dans les sens positif et négatif) du champ orthonormal. Par conséquent, on considère la définition suivante :

**Définition 5.1.3.** Soit $\Sigma$ une hypersurface orientée. On appelle application de Gauss positive (resp. négative) les applications $\nu_+: \Sigma \to \mathbb{A}^{n-1}$ et $\nu_-: \Sigma \to \mathbb{A}^{n-1}$ telles que : pour tout $x \in \Sigma$, le point $\nu_+(x) \in \mathbb{A}^{n-1}$ correspond à la limite à l'infini de la géodésique $\gamma$ passant par le point $x$ à la vitesse $N(x)$ (resp. $-N(x)$ pour $\nu_-(x)$).

**Remarque 5.1.1.** Par la propriété 5.1.2, il est évident que l'application de Gauss d'une hypersurface orientée s'exprime comme :

$$ \nu_+(x) = p(x + N(x)) \text{ et } \nu_-(x) = p(x - N(x)), \qquad (5.1.2.1) $$

avec $p$ la projection projective. En particulier, les applications de Gauss positive et négative sont bien de classe $C^\infty$.

Il nous sera également utile de considérer une notion complémentaire à l'application de Gauss que nous avons précédemment définie, comme ci-dessous :

<footnote n="1">1. Une droite vectorielle $l = \mathbb{R}v$ est dite de type lumière lorsque $\langle v|v \rangle = 0$.</footnote>
**Définition 5.1.4.** Soit $\Sigma$ une hypersurface orientée, alors on appelle **carte de support positive** (resp. **négative**) les applications $\sigma_+ : \Sigma \mapsto \mathbb{T}_+^n$ et $\sigma_- : \Sigma \mapsto \mathbb{T}_+^n$ telles que :

$$ \sigma_+(x) = x + N(x) \text{ et } \sigma_-(x) = x - N(x), \qquad (5.1.2.2) $$

où $\mathbb{T}_+^n$ est le cône lumière à temps positif (voir (5.4.1.1) page 125).

Il convient de noter que, comme pour toutes les notions que nous avons abordées sur l'espace hyperbolique, la notion d'application de Gauss ne possède pas de définition canonique. En effet, comme nous le verrons au chapitre 8, il est possible de définir une application de Gauss par le biais de géodésiques porteuses et transverses. A présent, il nous faut établir la correspondance entre la courbure de Gauss d'une hypersurface orientée et les deux applications de Gauss qui lui sont associées.

**Propriété 5.1.3.** Les courbures principales d'une hypersurface orientée $\Sigma$ ne valent jamais $\lambda = -1$ (resp. $\lambda = 1$) si et seulement si l'une des conditions équivalentes suivantes est vérifiée :

1. L'application de Gauss $\nu_+$ (resp. $\nu_-$) est, en chaque point, un difféomorphisme local.

2. La carte de support $\sigma_+$ (resp. $\sigma_-$) est une immersion.

**Démonstration.** Il suffit de remarquer que si $\lambda$ est une courbure principale et si $\vec{v} \in T_x\Sigma$ est un vecteur propre associé à $\lambda$, on a que :

$$ d_x\sigma_+ \cdot \vec{v} = (1+\lambda)\vec{v} \text{ et } d_x\sigma_- \cdot \vec{v} = (1-\lambda)\vec{v} \qquad (5.1.2.3) $$

et en remarquant que la projection projective $p$, restreinte sur l'espace tangent $T_x\mathbb{H}^n$, est un isomorphisme, alors on obtient le résultat recherché. $\square$

L'intérêt de la propriété 5.1.3 est qu'à la différence de ce que nous observons sur l'espace euclidien, les propriétés de l'application de Gauss dépendent du choix de l'orientation sur l'hyperurface. Aussi, elle ne correspond plus à la courbure de Gauss (au sens où il n'est plus vrais que la courbure de Gauss est non nulle en un point $x$ si et seulement si l'application de Gauss est un difféomorphisme au voisinage de ce point). Par conséquent, dans la suite, si $K$ est un corps g-convexe, nous appellerons **application de Gauss du corps K** l'application de Gauss positive du bord $\partial K$ muni de l'orientation extérieure.

**Propriété 5.1.4.** L'application de Gauss d'un corps g-convexe est un difféomorphisme.

**Démonstration.** Considérons $K$ un corps g-convexe de classe $C_+^\infty$. Nous savons alors que son bord est un g-hérisson centré en n'importe quel point de référence. Considérons donc $e \in \text{Int}(K)$ et soit $h : S_e^{n-1} \mapsto R$ la fonction de support centrée en $e$. Si $\nu$ est l'application de Gauss précédemment définie, alors $\nu \circ x : S_e^{n-1} \mapsto \mathbb{A}^{n-1}$ est un difféomorphisme local en tout point, avec $x$ étant le paramétrage du bord $\partial K$ vu comme un g-hérisson. De plus, puisque $h$ est strictement positive, nous pouvons vérifier que :

$$ \langle x(u) + N(u)|u \rangle = \sigma(u)SH h(u) + CH h(u) > 0, \qquad (5.1.2.4) $$

où $N$ est le champ orthonormal du bord $\partial K$ vu comme un g-hérisson et $\sigma$ est l'application définie par (4.4.1.4). En particulier, par (5.1.2.4), il est clair que l'application $\nu \circ x$ est de degré 1, ce qui termine la preuve. $\square$
### 5.1.3 Définition et propriétés élémentaires des horosphères

Une horosphère est une sphère de rayon infini sur l'espace hyperbolique, qui, contrairement à ce que nous connaissons sur l'espace euclidien, ne correspond pas à un g-hyperplan. Pour les propriétés élémentaires des horosphères, nous pouvons nous rapporter à la section 5.1.4.1 de l'annexe E. Ainsi, nous nous limiterons dans cette section à exposer uniquement les propriétés dont nous aurons besoin pour nos futurs développements. En particulier, nous nous baserons, pour les quelques éléments que nous considérerons, sur la cinquième section de l'article [3] où nous trouvons une présentation détaillée des enveloppes d'horosphères.

**Définition 5.1.5.** On appelle **horosphère** toute hypersurface orientée dont les courbures principales sont toutes et partout égales à 1 (ou toutes et partout égales à -1) et qui est connexe et maximale au sens de l'inclusion.

**Note.** Sur le plan hyperbolique, les horosphères sont appelées **horocycles**.

**Propriété 5.1.5.** Une hypersurface $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^n$ est comprise dans une horosphère si et seulement si l'une de ses applications de Gauss $\nu_+$ ou $\nu_-$ est constante.

**Démonstration.** C'est une conséquence directe de la propriété 5.1.3. □

Dans la suite, et afin d'alléger notre texte, nous considérerons toujours les horosphères orientées par le champ $N$, que l'on appelle **orientation extérieure**, telle que les courbures principales sont partout égales à 1. Par ailleurs, on appelle **orientation intérieure** l'orientation opposée à l'orientation extérieure.

**Définition 5.1.6.** On appelle **horosphère centrée en a** $\in \mathbb{A}^{n-1}$ toute horosphère dont l'application de Gauss $\nu_-$ pointe vers a.

Remarquons que, dans le modèle de Poincaré centré en e, les horosphères correspondent aux intersections non vides de la boule unité $\mathcal{D}(e)$ avec les hypersphères de l'espace $T_e\mathbb{H}^n$ qui sont tangentes au bord à l'infini $\partial\mathcal{D}(e) = \mathbb{S}_e^{n-1}$ (voir propriété 5.1.12 page 310 de l'annexe E). Par construction, si $\mathcal{H}$ est une horosphère centrée en a, alors pour tout point e, il existe un unique vecteur $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ tel que $a = p(e + u)$. En particulier, si $\gamma$ est la géodésique passant par le point e à la vitesse u, alors elle est orthogonale à l'horosphère $\mathcal{H}$. Ainsi, on définit :

**Définition 5.1.7.** Soit $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^n$ une horosphère et $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence. Alors on dira que l'horosphère $\mathcal{H}$ est **centrée en u** $\in \mathbb{S}_e^{n-1}$ si elle est centrée en $a = p(e + u)$. De plus, on appelle **distance orientée de H** par rapport à e le nombre $s \in \mathbb{R}$ tel que : si $\gamma$ est la géodésique passant par le point e à la vitesse u pour l'instant $t = 0$, alors $\gamma(-s) \in \mathcal{H}$ est le seul point dans l'intersection $\gamma \cap \mathcal{H}$.

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>FIGURE 5.2 – Distance orientée d'une horosphère centrée en $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$</figcaption></figure>
**Propriété 5.1.6.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence et $\mathcal{H}$ une horosphère centrée en $a \in \mathbb{A}^{n-1}$. Si $s$ est la distance orientée de $\mathcal{H}$ par rapport à $e$, alors on a :

$$ \mathcal{H} = \{x \in \mathbb{H}^n \text{ tel que } \langle x|e+u \rangle_L = -e^s\} \qquad (5.1.3.5) $$

Démonstration. Si $\mathcal{H}$ est une horosphère, alors on sait que la carte de support $\sigma_-$ est constante. Par conséquent, si l'horosphère $\mathcal{H}$ est centrée en $a = p(e+u)$, l'application $\sigma_-$ étant constante, il existe $\lambda$ tel que :

$$ \sigma_{-}(x) = x - N(x) = \lambda(e + u) $$

pour tout $x \in \mathcal{H}$.

De plus, on a que $x_0 = CH(-s)e + SH(-s)u \in \mathcal{H}$, et en remarquant que le produit $\langle x|e+u \rangle$ est constant (car est égale à $-\lambda^{-1}$) pour tout $x \in \mathcal{H}$, on obtient le résultat recherché.

Réciproquement, considérons une hypersurface $\mathcal{H}$ définie par la relation (5.1.3.5). À présent, considérons le point $x_0 = CH(s)e - SH(s)u$, qui par définition est dans l'hypersurface $\mathcal{H}$. Alors, par ce qui précède, il est clair que l'unique horosphère centrée en $a$ qui contient le point $x_0$ correspond à l'hypersurface $\mathcal{H}$. $\square$

Cette dernière propriété nous permet de facilement définir les demi-espaces bordés par une horosphère. Pour cela, remarquons que si $\mathcal{H}$ est une horosphère centrée en $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ et $N$ est l'orientation extérieure, alors si $\gamma$ est une géodésique passant par le point $x \in \mathcal{H}$ à la vitesse $N(x)$ pour l'instant $t = 0$, alors pour tout $t > 0$, on a $\langle\gamma(t)|e+u\rangle_L < -e^s$, où $s$ est la distance orientée de $\mathcal{H}$ par rapport à $e$. Ainsi, on considère la définition suivante :

**Définition 5.1.8.** Soit $\mathcal{H}$ une horosphère. On appelle **h-demi-espace négatif** la partie $\mathcal{B}_-$ de $\mathbb{H}^n$ correspondant à l'ensemble des $CH(t)x - SH(t)N(x)$ avec $t \ge 0$, $x \in \mathcal{H}$, et $N$ étant l'orientation extérieure de $\mathcal{H}$.

**Note.** De même, on appelle **h-demi-espace positif** la partie $\mathcal{B}_+$ définie par les $CH(t) - SH(t)$ tels que $t \le 0$, et qui correspond nécessairement à la fermeture du complémentaire de $\mathcal{B}_-$.

**Propriété 5.1.7.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence et $\mathcal{H}$ une horosphère de centre $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ dont la distance orientée par rapport au point $e$ est $s$. Alors, on a :

$$ \mathcal{B}_{-} = \{x \in \mathbb{H}^n \text{ tel que } \langle \gamma(t) | e + u \rangle_L \geq -e^s\} \qquad (5.1.3.6) $$

Démonstration. En reprenant le raisonnement précédent, c'est immédiat. $\square$

**Remarque 5.1.2.** Par les propriétés précédentes, on a que les h-demi-espaces $\mathcal{B}_+$ et $\mathcal{B}_-$ sont géométriquement analogues aux demi-espaces bordés par un hyperplan sur l'espace euclidien.

Pour terminer, nous devons définir une notion de segment horosphérique qui sera nécessaire pour définir les corps h-convexes. En particulier, nous observerons que contrairement au segment géodésique, il n'y a pas d'unicité du segment horosphérique reliant deux points.

**Définition 5.1.9.** On appelle **cercle horosphérique** l'intersection d'une horosphère $\mathcal{H}$ avec un g-plan $\Sigma$ telle que, pour tout $x \in \mathcal{H} \cap \Sigma$, la géodésique passant par le point $x$ à la vitesse $N(x)$ est contenue dans $\Sigma$.

<footnote n="2">2. Un g-plan est l'intersection non-vide d'un 3-sous-espace vectoriel de type temps avec le demi-hyperboloïde $\mathbb{H}^n$.</footnote>
**Note.** Un cercle horosphérique sera appelé **cercle horosphérique centré en a** lorsque l'horosphère qui lui est associée est centrée en a.

**Définition 5.1.10.** On appelle **segment horosphérique** toute partie compacte et connexe d'un cercle horosphérique. De plus, si $x$ et $y$ sont deux points de $\mathbb{H}^n$, alors on appelle **segment horosphérique reliant $x$ et $y$** un plus petit segment horosphérique (au sens de l'inclusion) contenant les points $x$ et $y$.

**Propriété 5.1.8.** Soit $x$ et $y$ deux points de $\mathbb{H}^n$, l'ensemble des $a \in \mathbb{A}^{n-1}$ pour lesquels il existe un segment horosphérique centré en $a$ reliant les points $x$ et $y$ correspond à une hypersurface de $\mathbb{A}^{n-1}$ qui est difféomorphe à $\mathbb{S}^{n-2}$.

*Démonstration.* Considérons le modèle du demi-espace de Poincaré dans lequel la géodésique reliant les points $x$ et $y$ converge vers le point à l'infini lorsque $t \to +\infty$. Dans ce cadre géométrique, nous pouvons remarquer que les points $x$ et $y$ sont sur une droite orthogonale à l'hyperplan à l'infini $\partial_\infty \mathbb{H}^n \setminus \{x_\infty\}$. Considérons donc la sphère $\mathbb{S}^{n-2}$ sur cet hyperplan. Alors, pour tout $v \in \mathbb{S}^{n-2}$, il existe exactement deux cercles horosphériques contenant les points $x$ et $y$, qui sont contenus dans le 2-plan vectoriel engendré par les vecteurs $y - x$ et $v$.

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>FIGURE 5.3 – Segments horosphériques symétriques reliant deux points dans le demi-espace de Poincaré</figcaption></figure>

De plus, il est important de remarquer que les cercles horosphériques, ainsi définis, sont symétriques par rapport à la droite contenant les points $x$ et $y$. Il est donc clair que la sphère $\mathbb{S}^{n-2}$ correspond bien à l'ensemble des segments horosphériques qui relient les points $x$ et $y$. $\square$

## 5.2 Les corps h-convexes

Il semble qu'il n'existe pas encore d'ouvrage traitant des corps h-convexes et présentant les principaux résultats. Nous devons les premières mentions de la notion de h-convexité à L.A. Santalo (voir [97] et [98]) et à J.P. Fillmore (voir [31]). En particulier, J.P. Fillmore a introduit cette notion pour définir et étudier une notion de largeur constante pour les corps h-convexes (voir [32]). En effet, l'une des propriétés des horosphères est que deux horosphères ayant le même centre admettent une distance orthogonale constante, ce qui rend pertinent de considérer des horosphère pour définir une notion de largeur.

Dans cette section, nous nous contenterons d'une rapide présentation, en nous appuyant principalement sur les articles [34], [33] et [53]. En particulier, nous présenterons les résultats qui nous seront nécessaires et qui justifient la notion de h-hérisson.
### 5.2.1 Définition et premières propriétés

Après avoir introduit la notion de segment horosphérique, il est naturel de considérer la condition de convexité horosphérique suivante : un ensemble $T \subset \mathbb{H}^n$ est dit **h-convexe** si, pour tous points $x$ et $y$ appartenant à $T$, tout segment horosphérique reliant ces deux points est contenu dans $T$. Ainsi, nous considérons la définition suivante :

**Définition 5.2.1.** On désigne par corps h-convexe tout ensemble compact, non vide et qui satisfait la condition de h-convexité.

Tout comme pour les corps convexes et les corps g-convexes, nous devons introduire une notion d'horosphère de support. Si $K$ est un corps h-convexe, on appelle **horosphère de support de K** toute horosphère $\mathcal{H}$ telle que $K \subset \mathcal{B}_-$ et $K \cap \mathcal{H} \neq \emptyset$. Par ailleurs, un point $x \in K$ est dit **point de support** s'il existe une horosphère de support contenant ce point, que nous appellerons alors **horosphère de support en x**.

**Remarque 5.2.1.** Par **compacité**, si $K$ est un corps h-convexe, alors pour tout $a \in \mathbb{A}^{n-1}$, il existe une horosphère de support centrée en $a$.

**Propriété 5.2.1.** Tout corps h-convexe est un corps g-convexe. De plus, si un corps h-convexe $K$ n'est pas réduit à un point, alors c'est un corps g-convexe de classe $C^0$.

*Démonstration.* Considérons $K$, un corps h-convexe qui contient plus d'un point. Si on choisit $x$ et $y$ distincts dans $K$, plaçons-nous dans le demi-espace de Poincaré où la géodésique reliant ces deux points converge vers le point à l'infini $x_\infty$ pour l'une de ses extrémités.

Commençons par examiner cette propriété dans le *demi-plan* de Poincaré. Prenons $x$ et $y$ tels que la droite $\delta$ les reliant soit orthogonale à la droite à l'infini $\partial\mathbb{H}^2 \setminus \{x_\infty\}$. Nous avons déjà observé, dans la propriété 5.1.8, que les deux segments horosphériques reliant $x$ et $y$ correspondent à deux arcs de cercle, $C_1$ et $C_2$, symétriques par rapport à $\delta$. Ainsi, si $w \in C_1$, considérons $z \in C_2$ comme étant le symétrique de $w$ par rapport à $\delta$. En remarquant que l'un des deux segments horosphériques reliant $w$ à $z$ coïncide avec le segment $[w, z]$ de l'espace euclidien $\mathbb{R}^2$, il est évident que l'intersection $B_1 \cap B_2$ est incluse dans $K$, avec $B_1$ et $B_2$ désignent les demi-espaces négatifs des deux horocycles associées respectivement aux segments $C_1$ et $C_2$. Plus spécifiquement, $K$ est d'intérieur non vide et contient le segment géodésique $[x, y]$ (qui est le segment euclidien $[x, y]$ dans le demi-plan de Poincaré). Ainsi, $K$ est bien un corps g-convexe d'intérieur non vide.

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>FIGURE 5.4 – La partie $B_1 \cap B_2$</figcaption></figure>

Sur $\mathbb{H}^n$, si $x$ et $y$ sont des points dans $K$, nous adoptons également le cadre du demi-espace de Poincaré, qui présente des caractéristiques similaires à celles mentionnées précédemment. Considérons donc la droite $\delta$ qui relie $x$ à $y$, que nous supposerons vectorielle, ainsi que la sphère $\mathbb{S}^{n-2}$ dans l'hyperplan à l'infini, $\partial\mathbb{H}^n \setminus \{x_\infty\}$. Pour chaque vecteur $u \in \mathbb{S}^{n-2}$, considérons, sur le plan $\mathbb{R}u \oplus \delta$, l'intersection $B_1^u \cap B_2^u$ telle que définie précédemment. Ainsi, nous obtenons :
$$ \bigcup_{u \in \mathbb{S}^{n-2}} \mathcal{B}_1^u \cap \mathcal{B}_2^u \subseteq K, $$

et comme l'union des $\mathcal{B}_1^u \cap \mathcal{B}_2^u$ est clairement d'intérieur non vide et contient le segment $[x, y]$, alors on obtient le résultat recherché. $\square$

**Propriété 5.2.2.** Soit $K$ un corps h-convexe. Alors, pour tout $x \in \partial K$, il existe une horosphère de support en $x$.

*Démonstration.* Soit $K \subset \mathbb{H}^n$ un corps h-convexe et soit $x \in \partial K$ un point sur le bord de $K$. Plaçons-nous alors dans le modèle de Poincaré centré en $x$. Puisque $K$ est aussi un corps g-convexe, il existe un hyperplan vectoriel $T$ qui correspond à un g-hyperplan de support en $x$. Il s'ensuit que $K$ est contenu dans l'un des demi-espaces $\Gamma$ délimité par $T$.

À présent, considérons $y \in \text{Int}(\mathcal{B}_+)$, où $\mathcal{B}_+$ est le h-demi-espace positif associé à l'horosphère $\mathcal{H}$. En nous restreignant au plan vectoriel $\Sigma_2 = \mathbb{R}y \oplus \delta$, avec $\delta$ la droite vectorielle orthogonale à l'hyperplan $T$, il est clair que l'un des deux segments horosphériques reliant les points $x$ et $y$ n'est pas inclus dans le demi-espace $\Gamma$. En effet, il suffit de considérer l'unique cercle $C$ qui correspond à l'horocycle contenant les points $x$ et $y$, dont le centre est dans le demi-espace $\Gamma$.

<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>FIGURE 5.5 – Horocycle et hyperplan de support</figcaption></figure>

Par conséquent, si le corps $K$ possède un point dans $\text{Int}(\mathcal{B}_+)$, alors $T$ ne peut pas être un g-hyperplan de support. Ce qui termine la preuve. $\square$

**Remarque 5.2.2.** En considérant la partie $\text{Supp}(K)$ qui correspond à l'ensemble des points de support, on déduit de ce qui précède que $\text{Supp}(K) = \partial K$.

**Théorème 5.2.1.** Une partie $K \subset \mathbb{H}^n$ est un corps h-convexe si et seulement s'il existe une famille d'horosphères $(\mathcal{H}_a)_{a \in \mathbb{A}^{n-1}}$ centrées en chaque point $a \in \mathbb{A}^{n-1}$ telle que :

$$ K = \bigcap_{a \in \mathbb{A}^{n-1}} \mathcal{B}_a^{-} \neq \emptyset, \qquad (5.2.1.1) $$

où $\mathcal{B}_a^-$ représente le h-demi-espace négatif délimité par $\mathcal{H}_a$.

*Démonstration.* Soit $K \subset \mathbb{H}^n$ un corps h-convexe. On sait alors que, pour tout $a \in \mathbb{A}^{n-1}$, il existe une unique horosphère de support $\mathcal{H}_a$ de $K$ centrée en $a$. De là, on a que :

$$ K \subset \bigcap_{a \in \mathbb{A}^{n-1}} \mathcal{B}_a^{-} $$

De plus, si $x \in \mathbb{H}^n \setminus K$, il existe alors un g-hyperplan de support $T$ tel que $K \subset E^-$ et $x \in \mathbb{H}^n \setminus E^-$, où $E^-$ désigne le demi-espace négatif (selon l'orientation extérieure) bordé par le
g-hyperplan $T$. En considérant un point $x_0$ appartenant à l'intersection $T \cap K$ et $\mathcal{H}$ une horosphère de support en $x_0$, on a que le demi-espace horosphérique $\mathcal{B}^-$ est nécessairement contenu dans $E^-$. Par conséquent, nous avons :

$$x \in \bigcup_{a \in \mathcal{A}^{n-1}} \mathbb{H}^n \setminus \mathcal{B}_a^-$$

ce qui nous donne le résultat recherché.

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

Nous retrouvons alors des propriétés équivalentes à celles que nous connaissons sur les corps convexes, mais en utilisant les horosphères. Un exemple intéressant est celui du triangle horosphérique que nous illustrons ci-dessous :

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>FIGURE 5.6 – Exemple de corps h-convexe dans le disque de Poincaré</figcaption></figure>

### 5.2.2 Les corps h-convexes de classe $\mathcal{C}^2$

À l'instar des corps convexes de l'espace euclidien et des corps g-convexes abordés au champitre précédent, nous considèrerons, à présent, les corps h-convexes de classe $\mathcal{C}^2$. En particulier, il nous faudra établir la relation entre les corps strictement h-convexes de classe $\mathcal{C}^2$ et les corps g-convexes de classe $\mathcal{C}_+^2$. Nous nous appuierons essentiellement sur l'article [11], dans lequel nous retenons deux résultats : le lemme 2.1 et le théorème 3.3, que nous présentons ci-dessous.

Considérons $\Sigma \subset \mathcal{H}^n$, une hypersurface orientée par le champ orthonormal $N$, et soit $x \in \Sigma$ un point donné. Nous dirons que $\Sigma$ est localement strictement h-convexe en $x$ s'il existe un voisinage $W \subset \Sigma$ de $x$ et une horosphère $\mathcal{H}$ contenant le point $x$, tels que :

$$W \cap \mathcal{H} = x \text{ et } N(x) = N_0(x) \qquad (5.2.2.2)$$

où $N_0$ désigne le champ orthonormal extérieur à $\mathcal{H}$. Ainsi, on a que :

1. **Lemme 2.1** : Une hypersurface orientée $\Sigma$ est localement strictement h-convexe en $x \in \Sigma$ si et seulement si ses courbures principales en $x$ sont soit toutes strictement supérieures à 1, soit toutes strictement inférieures à -1.

2. **Théorème 3.3** : Si $\Sigma$ est une hypersurface orientée, complète, et localement h-convexe en chaque point, et que ses courbures principales $k_1, \dots, k_{n-1}$ satisfont en tout point la condition suivante :

$$\frac{2}{1+k_1} + \dots + \frac{2}{1+k_{n-1}} \le n, \qquad (5.2.2.3)$$

alors l'application de Gauss $\nu_-$ est injective.
Il convient de noter que ce dernier résultat découle d'un théorème attribué à R. Schoen et S.T. Yau. Ce théorème nous apprend que sur une variété de Riemann $(M, g)$ dont la courbure scalaire $R_g$ est strictement positive en tout point, toute application conforme $\phi : M \to S^n$ est injective. Pour en savoir plus, nous pouvons consulter l'ouvrage [101], où nous retrouvons ce résultat au théorème 3.5, de la page 262.

**Remarque 5.2.3.** Il est claire que l'exemple présenté à la figure 5.6 n'est jamais localement strictement h-convexe. En particulier, c'est un corps h-convexe qui n'est pas de classe $C^1$.

**Lemme 5.2.1.** Soit $K$ un corps $g$-convexe de classe $C_+^2$ dont les courbures principales sont toutes et partout supérieures à 1. Considérons donc un point $x \in \partial K$ et une horosphère $\mathcal{H}$ telle que :

$$x \in \mathcal{H} \text{ et } N(x) = N_0(x) \qquad (5.2.2.4)$$

où $N$ et $N_0$ sont respectivement les orientations extérieures de $K$ et $\mathcal{H}$. Alors, le corps $K$ est inclus dans le h-demi-espace négatif $\mathcal{B}_-$.

**Démonstration.** Soit $x \in \partial K$ et $\mathcal{H}$ une horosphère vérifiant la condition (5.2.2.4), que nous supposerons centrée en $a \in \mathbb{A}^{n-1}$. En nous plaçant dans le modèle du demi-espace de Poincaré centré en $a$ (dans lequel $a$ correspond au point à l'infini), il s'ensuit que l'horosphère $\mathcal{H}$ est un hyperplan affine parallèle à l'hyperplan vectoriel correspondant au bord à l'infini $\partial \mathbb{H}^n \setminus \{a\}$. De plus, il est clair que l'orientation de $\mathcal{H}$, définie par la condition (5.2.2.4), correspond nécessairement à un vecteur (centré en $x$) qui pointe vers l'origine de $\mathbb{R}^n$.

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>FIGURE 5.7 – Représentation de l'horosphère de support dans le demi-espace de Poincaré</figcaption></figure>

Ainsi, les courbures principales du bord $\partial K$ étant toutes et partout supérieures à 1, alors dans le demi-espace de Poincaré muni de la métrique correspondant au produit scalaire usuel $\langle \cdot | \cdot \rangle$ de $\mathbb{R}^n$, il s'agit d'une hypersurface dont les courbures principales sont toutes et partout positives. En particulier, dans le demi-espace de Poincaré, le corps $K$ est un corps convexe pour lequel l'horosphère $\mathcal{H}$ est un hyperplan de support en $x$. Enfin, en remarquant que le demi-espace inférieur bordé par $\mathcal{H}$ (vu comme un hyperplan affine orienté par $N_0(x)$) correspond au h-demi-espace négatif $\mathcal{B}_-$, on obtient le résultat recherché. $\square$

**Remarque 5.2.4.** Il nous sera utile de constater que dans le cas où un corps h-convexe $K$ est de classe $C^1$, alors en tout point $x \in \partial K$, il existe une unique horosphère de support correspondant au point $x$.

<footnote n="3">3. Une application $f : M \to N$ entre deux variétés de Riemann $(M, g)$ et $(N, h)$ est dite conforme si c'est une immersion vérifiant que $f^*(h) = \alpha g$, où $\alpha$ est une fonction lisse qui n'est jamais nulle.</footnote>
**Théorème 5.2.2.** Un corps h-convexe est de classe $C^2$ si et seulement si c'est un corps g-convexe de classe $C_+^2$ dont toutes les courbures principales sont partout supérieures à 1. De plus, lorsque toutes les courbures principales sont strictement supérieures à 1, alors l'application de Gauss $\nu_-$ est un $C^2$-difféomorphisme.

*Démonstration.* Considérons un corps h-convexe $K$ de classe $C^2$ et supposons qu'il existe un point $x \in \partial K$ sur le bord qui admet une courbure principale strictement inférieure à 1. À présent, considérons $H_a$, l'unique horosphère de support (centrée en $a \in \mathbb{A}^{n-1}$) correspondant au point $x$. Alors, nous savons que dans le demi-espace de Poincaré centré en $a$, l'horosphère $H_a$ est un hyperplan affine qui est parallèle à l'hyperplan vectoriel correspondant au bord à l'infini $\partial \mathbb{H}^n \setminus \{a\}$ et qui est tangent au bord $\partial K$ au point $x$. De plus, en munissant le demi-espace de Poincaré de la métrique correspondant au produit scalaire usuel $\langle \cdot | \cdot \rangle$, alors par hypothèse, nous avons que l'hypersurface $\partial K$ admet une courbure principale strictement négative (pour l'orientation extérieure au corps $K$) au point $x$. En particulier, il n'est pas possible que le corps $K$ soit compris dans le h-demi-espace $B^-$ correspondant à l'horosphère $H_a$.

Réciproquement, considérons un corps g-convexe $K$ de classe $C_+^2$ dont les courbures principales sont toutes et partout supérieures à 1. Considérons donc $a \in \mathbb{A}^{n-1}$ un point ; alors, par compacité, il existe forcément une horosphère $H_a$ centrée en $a$ telle que :

$$ K \subset B_- \text{ et } H_a \cap \partial K \neq \emptyset \qquad (5.2.2.5) $$

avec $B_-$ étant le h-demi-espace bordé par l'horosphère $H_a$.

À présent, on se place dans le demi-espace de Poincaré centré en $a$, que l'on munit de la métrique correspondant au produit scalaire $\langle \cdot | \cdot \rangle$. Par hypothèse, on sait que, dans ce cadre-là, le corps $K$ est un corps convexe de classe $C^2$. De plus, l'horosphère $H_a$ correspondant à un hyperplan affine qui est parallèle au bord à l'infini $\partial_{\infty} \mathbb{H}^n \setminus \{a\}$ et qui vérifie la relation (5.2.2.5), on a que $H_a$ est forcément un hyperplan de support du corps $K$. Ajoutons que si $H'_a$ est une seconde horosphère centrée en $a$ vérifiant la condition (5.2.2.5), alors dans le demi-espace de Poincaré centré en $a$, les horosphères $H_a$ et $H'_a$ correspondent à deux hyperplans de support du corps $K$ qui sont parallèles et dans le même sens (via la condition (1.1.0.2) page 29). Aussi, comme dans le demi-espace de Poincaré, le corps $K$ est un corps convexe, on obtient donc que $H_a = H'_a$.

Par conséquent, nous avons construit une famille $(H_a)_{a \in \mathbb{A}^{n-1}}$ où chaque $H_a$ est l'unique horosphère centrée en $a$ qui vérifie la condition (5.2.2.5). En particulier, le corps $K$ est compris dans l'intersection des $B_a$ qui correspondent aux h-demi-espaces bordés par les $H_a$. Ensuite, pour $x \in \partial K$, considérons $L_x$ l'unique horosphère qui contient le point $x$ et dont l'orientation extérieure correspond à l'orientation du corps $K$. Alors par le lemme 5.2.1 on sait que $L_x$ vérifie la condition (5.2.2.5) et donc, par ce qui précède, on a que $L_x = H_{\nu_-(x)}$. On a donc que l'application de Gauss $\nu_-$ : $\partial K \mapsto \mathbb{A}^{n-1}$ est surjective. De plus, en remarquant que pour chaque $x \in \partial K$, on a que $B_{\nu_-(x)} \subset E_x$, avec $E_x$ étant le g-demi-espace de support en $x$, on obtient que :

$$ \bigcap_{a \in \mathbb{A}^{n-1}} B_a = \bigcap_{x \in \partial K} B_{\nu_-(x)} \subset \bigcap_{x \in \partial K} E_x = K $$

et ainsi, par le théorème 5.2.1, on a bien que $K$ est un corps h-convexe.

Pour conclure, lorsque les courbures principales sont toutes strictement supérieures à 1, il est clair que l'application de Gauss $\nu_-$ est en tout point un difféomorphisme local. De plus, par le
théorème 3.3 de [11], nous pouvons vérifier que $\nu_-$ est injectif et donc, nous obtenons le résultat recherché. □

**Définition 5.2.2.** Nous dirons qu'un corps h-convexe $K$ est strictement h-convexe si, en tout point $x \in \partial K$ sur le bord, il existe une unique horosphère de support $\mathcal{H}$ qui, de plus, vérifie $K \cap \mathcal{H} = \{x\}$.

**Remarque 5.2.5.** Tout corps strictement h-convexe est de classe $C^1$.

**Propriété 5.2.3.** Un corps h-convexe de classe $C^2$ est strictement h-convexe si et seulement si c'est un corps g-convexe de classe $C_+^2$ dont les courbures principales sont toutes et partout strictement supérieures à 1.

*Démonstration.* C'est une conséquence immédiate du lemme 2.1 de l'article [11] et du théorème 5.2.2 vue précédemment. □

**Remarque 5.2.6.** Les applications de Gauss $\nu_+$ et $\nu_-$ d'un corps strictement h-convexe de classe $C^2$ sont des $C^2$-difféomorphismes.

Il est intéressant de noter que c'est l'une des caractéristiques des corps strictement h-convexes de classe $C^2$ qui les distingue des corps g-convexes de classe $C_+^2$. En effet, nous avons vu à la propriété 5.1.4 que, pour les corps g-convexes de classe $C^2$, l'application de Gauss $\nu_+$ est toujours un difféomorphisme, mais ce n'est pas nécessairement le cas de l'application $\nu_-$. □

## 5.2.3 Comparaison des hyperplans tangents par la méthode des horosphères.

Pour conclure cette section, nous revenons sur la question de la comparaison des hyperplans tangents d'un corps g-convexe. En effet, dans le cadre des corps h-convexes, il est possible de considérer une méthode pour comparer les hyperplans tangents qui diffère de celle que nous avons introduite via la définition 4.3.3 en utilisant les géodésiques porteuses et transverses. Par conséquent, nous considérons la définition suivante :

**Définition 5.2.3.** Deux hyperplans orientés $(T_x, N_x)$ et $(T_y, N_y)$ sur les espaces tangents $T_x\mathbb{H}^n$ et $T_y\mathbb{H}^n$ seront dits **dans le même sens** si les géodésiques passant par les points $x$ et $y$ aux vitesses $N_x$ et $N_y$ convergent vers le même point $a$ dans $\mathbb{A}^{n-1}$.

**Note.** Lorsque $(T_x, N_x)$ et $(T_y, N_y)$ sont dans le même sens, on notera $(T_x, N_x) \sim (T_y, N_y)$.

**Remarque 5.2.7.** Il est clair que la relation de même sens est une relation d'équivalence.

## 5.3 Premiers éléments sur les familles d'horosphères coorientées et les h-hérissons

À ce stade, il est naturel de considérer des enveloppes de familles d'horosphères qui vérifient une condition d'injectivité. Cela nous permettra ainsi de définir une notion de hérisson que nous appellerons naturellement h-hérisson. Cette notion correspond à une définition alternative des g-hérissons que nous avons considérés au chapitre précédent. Pour cela, nous nous appuierons essentiellement sur la série d'articles [24], [26] et [25] de C. Epstein, que nous pouvons considérer comme étant une référence sur cette question.
### 5.3.1 Petite remarque sur la relation entre les applications de Gauss

Pour commencer, il nous faut comprendre la relation entre les applications de Gauss $\nu_+$ et $\nu_-$ d'une hypersurface orientée. Considérons donc $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence ainsi que $\mathcal{H}_a$ une horosphère centrée en $a = p(e + u)$, avec $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$. Alors il existe un unique scalaire $h$ pour lequel $CH(h)e - SH(h)u \in \mathcal{H}_a$. Par conséquent, si $\Sigma \subset \mathbb{H}^n$ est une hypersurface orientée (par le champ $N$), nous considérons les fonctions $h_+ : \Sigma \mapsto \mathbb{R}$ et $h_- : \Sigma \mapsto \mathbb{R}$ telles que :

$$ \left\{ \begin{array}{l} CH(h_+(x))e - SH(h_+(x))N(x) \in \mathcal{H}_{\nu_+(x)} \\ CH(h_-(x))e + SH(h_-(x))N(x) \in \mathcal{H}_{\nu_-(x)} \end{array} \right. \qquad (5.3.1.1) $$

avec $\nu_+$ et $\nu_-$ étant les applications définies par (5.1.2.1) ainsi que $\mathcal{H}_{\nu_+(x)}$ et $\mathcal{H}_{\nu_-(x)}$, pour tout $x \in \Sigma$, qui sont les horosphères contenant le point $x$ et qui sont respectivement centrées en $\nu_+(x)$ et $\nu_-(x)$.

<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>FIGURE 5.8 – Représentation des fonctions de support.</figcaption></figure>

Dans l'article [26], l'auteur fournit deux résultats (i.e., théorème 3.1 et propriété 3.2) qui déterminent le lien entre l'application de Gauss positive $\nu_+$ et l'application de Gauss négative $\nu_-$. Considérons donc une hypersurface orientée $\Sigma$, dont nous supposerons que les courbures principales sont toutes et partout différentes de 1. Ainsi, l'application de Gauss $\nu_+$ est un difféomorphisme local en tout point et donc, nous définissons l'application $\Gamma = \nu_- \circ \nu_+^{-1} : \mathbb{S}_e^{n-1} \mapsto \mathbb{S}_e^{n-1}$. Alors nous avons les deux relations suivantes :

$$ 1. \Gamma(u) = \frac{\|\vec{\nabla}h_+(u)\|^2 - 1}{\|\vec{\nabla}h_+(u)\|^2 + 1} u + \frac{2}{\|\vec{\nabla}h_+(u)\|^2 + 1} \vec{\nabla}h_+(u) $$

$$ 2. h_{-} \circ \nu_{+}^{-1}(u) = \ln \left( \|\vec{\nabla}h_{+}(u)\|^2 + 1 \right) - h_{+}(u) $$

en considérant l'application $h_+$ définie sur $\mathbb{S}_e^{n-1}$ via le difféomorphisme $\nu_+$.

Ces deux résultats montrent que même s'il existe deux manières de définir l'application de Gauss d'une hypersurface par le biais du prolongement géodésique, alors, à condition que les courbures principales soient toutes et partout différentes de 1 (ou toutes et partout différentes de $-1$), toute l'information est finalement contenue dans le choix d'une seule famille d'horosphères dont on considère l'enveloppe. Cela justifie, en particulier, que l'on considère des enveloppes de familles d'horosphères co-orientées que nous définissons via la définition 5.3.1 ci-dessous.
### 5.3.2 Les familles d'horosphères co-orientées

En considérant la relation de même sens selon la définition 5.2.3, il est clair que la famille des hyperplans de support $(T_x, N_x)_{x \in \partial K}$ d'un corps strictement h-convexe satisfait la condition suivante :

$$ (T_x, N_x) \sim (T_y, N_y) \Rightarrow x = y \qquad (5.3.2.2) $$

pour tout $x \in \partial K$ et $y \in \partial K$.

Nous appelons naturellement **condition d'injectivité** la condition ainsi définie. Ensuite, pour $\Sigma_a$, une horosphère centrée en $a \in \mathbb{A}^{n-1}$, nous appelons **orientation induite par a** l'orientation extérieure de $\Sigma_a$. Il est donc naturel de considérer la définition suivante :

**Définition 5.3.1.** On appelle **famille d'horosphères co-orientées** toute famille lisse<fnref n="4" /> d'horosphères $(\Sigma_a)_{a \in \mathbb{A}^{n-1}}$ telle que, pour toute orientation $a \in \mathbb{A}^{n-1}$, l'horosphère $\Sigma_a$ est centrée en $a$ et est orientée par $a$.

Contrairement aux familles de g-hyperplans co-orientés, la notion de co-orientation pour les familles d'horosphères est universelle, c'est-à-dire qu'elle ne dépend pas du choix d'un point de référence dans l'espace hyperbolique. En particulier, nous pouvons considérer la propriété suivante :

**Propriété 5.3.1.** Une famille lisse d'horosphères $(\Sigma_a)_{a \in \mathbb{A}^{n-1}}$ est co-orientée si et seulement si l'une des assertions équivalentes suivantes est vérifiée :

1. Il existe un point $e$ tel que, pour toute orientation $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, la géodésique $\gamma_u$ passant par le point $e$ à la vitesse $u$ est orthogonale à l'horosphère $\Sigma_a$ avec $a = p(e + u)$.

2. Pour tout point $e$ et toute orientation $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, la géodésique $\gamma_u$ passant par le point $e$ à la vitesse $u$ est orthogonale à l'horosphère $\Sigma_a$ avec $a = p(e + u)$.

**Démonstration.** Il suffit de rappeler que si $\Sigma_a$ est une horosphère centrée en $a$ et $e \in \mathbb{H}^n$, il existe un unique $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ tel que $a = p(e + u)$. Cela provient du fait que l'application $f: \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{A}^{n-1}$ définie par :

$$ f(u) = p(e + u) \qquad (5.3.2.3) $$

est un difféomorphisme. En particulier, la géodésique passant par le point $e$ à la vitesse $u$ est nécessairement orthogonale à toute horosphère centrée en $f(u)$. $\square$

Il est alors naturel d'appeler **famille d'horosphères co-orientées** en $e \in \mathbb{H}^n$ toute famille d'horosphères $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ telle que la famille $(\Sigma_{f^{-1}(a)})_{a \in \mathbb{A}^{n-1}}$, avec $f$ la fonction définie par l'expression (5.3.2.3), est une famille d'horosphères co-orientées selon la définition 5.3.1.

**Avertissement 5.3.1.** De nouveau, nous reconsidérons les avertissements 1.1.2 et 4.2.1 que nous appliquerons désormais aux corps h-convexes. Ainsi, dans toute la suite, les corps h-convexes seront toujours considérés (sauf mention du contraire) comme étant strictement h-convexes et de classe $C^\infty$.

**Remarque 5.3.1.** Par le théorème 5.2.2, vu précédemment, il est clair que la famille des horosphères de support d'un corps h-convexe est co-orientée.

<footnote n="4">4. Voir les définitions 1.0.1 et 1.0.2 de l'annexe A pour trouver les définitions les plus larges sur les notions de famille lisse et d'enveloppe de famille lisse.</footnote>
**Définition 5.3.2.** Si $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ est une famille lisse d'horosphères co-orientées en e, on appelle fonction de support centrée en e toute fonction $h: \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ telle que :

$$x_0 = \gamma_u(h(u)) \in \Sigma_u \text{ et } \partial\gamma_u(h(u)) = \nu_u(x_0) \qquad (5.3.2.4)$$

où $\nu_u$ est le champ orthonormal extérieur de l'horosphère $\Sigma_u$ et $\gamma_u$ est la géodésique passant par le point e à la vitesse $-u$ en l'instant $t=0$.

**Remarque 5.3.2.** Si $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ est une famille lisse d'horosphères co-orientées en e et que h est la fonction de support, alors on a que :

$$CH h(u)e - SH h(u)u \in \Sigma_u \qquad (5.3.2.5)$$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$.

Il est important de constater que, contrairement aux familles de g-hyperplans et aux familles d'hyperplans, le signe de $h(u)$ est contraire à l'orientation du vecteur $u$. En effet, nous souhaitons que pour tout corps h-convexe $K$, la fonction de support $h$ soit strictement positive lorsque le point de référence $e$ est dans l'ouverture $\text{Int}(K)$. De plus, il nous faut que l'orientation induite par la famille d'horosphères orientées (par l'orientation extérieure) corresponde à l'orientation extérieur du corps $K$. Ainsi, pour les corps h-convexes, on considère la famille d'horosphères de support qui correspondent à l'application de Gauss $\nu_-$.

**Propriété 5.3.2.** Toute famille d'horosphères co-orientées admet une unique fonction de support qui est de plus, une application lisse.

*Démonstration.* Si la première affirmation est évidente, la seconde se démontre facilement en observant que, dans le modèle de Poincaré centré en e, toute famille d'horosphères co-orientées en e peut être définie comme suit :

$$\Sigma_u = \left\{ \frac{1-l(u)}{2}u + \frac{1+l(u)}{2}\vec{v}, \text{ avec } \vec{v} \setminus \{u\} \in \mathbb{S}_e^{n-1} \right\} \qquad (5.3.2.6)$$

où $l$ est la fonction de support dans le modèle de Poincaré centré en e.

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>FIGURE 5.9 – Fonction de support dans le modèle de Poincaré</figcaption></figure>

En particulier, dans le modèle de Poincaré centré en e, les horosphères $\Sigma_u$ correspondent à des hypersphères de $T_e\mathbb{H}^n$ centrées en $\frac{1-l(u)}{2}$ et de rayon $\frac{1+l(u)}{2}$. Il s'ensuit que si la famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ est lisse au sens de la définition 1.0.1 de l'annexe A, alors l'application $l$ l'est aussi. $\square$

**Propriété 5.3.3.** Pour toute application $h: \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ de classe $C^\infty$, avec $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence, il existe une unique famille d'horosphères co-orientées en e dont l'application de support est h.
Démonstration. Il suffit de se placer dans le modèle de Poincaré centré en e et de considérer la famille d'horosphères $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ définie par l'expression (5.3.2.6). $\square$

**Remarque 5.3.3.** La fonction de support associée à la famille des horosphères de support d'un corps h-convexe K est partout strictement positive lorsqu'elle est centrée en $e \in \text{Int}(K)$.

### 5.3.3 Définition et première propriété sur les h-hérissons

À présent, en considérant la définition 1.0.1 de l'annexe A sur les enveloppes de familles lisses, il est immédiat que le bord d'un corps h-convexe correspond à l'enveloppe paramétrée d'une famille d'horosphères co-orientées. Ainsi, il est justifié de considérer la définition suivante :

**Définition 5.3.3.** On appellera **h-hérisson** toute enveloppe paramétrée $(\mathcal{H}, x)$ d'une famille d'horosphères co-orientées. De plus, on appelle **fonction de support centrée en e** (ou simplement **fonction de support** lorsqu'il n'y aura pas d'ambiguïté) la fonction de support associée à la famille d'horosphères, relativement à un point de référence $e \in \mathbb{H}^n$.

**Avertissement 5.3.2.** Comme pour les hérissons de l'espace euclidien et les g-hérissons, afin de simplifier notre texte, nous considérerons les h-hérissons sans faire mention de leurs paramétrages.

**Notation 5.3.1.** Nous prendrons l'habitude de noter $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{H}^n$ un h-hérisson de fonction de support $h$.

Pour la suite, nous nous appuierons essentiellement sur les articles [24] et [26], dans lesquels l'auteur introduit et étudie de telles enveloppes d'horosphères. En particulier, après adaptation des développements figurant dans la deuxième section de l'article [24], nous obtenons la propriété 5.3.4 ci-dessous, qui nous assure l'existence de l'enveloppe paramétrée d'une famille d'horosphères co-orientées. Pour cela, nous devons introduire quelques définitions. Considérons donc, pour $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence, une famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ d'horosphères co-orientées en $e$. On commence donc par considérer les fonctions $x_0$ et $N_0$, correspondant à l'adaptation de la définition 4.3.8 page 93 pour les familles d'horosphères. Ainsi, nous obtenons que ces deux applications admettent pour expression :

$$x_0(u) = -SH h(u)u + CH h(u)e \text{ et } N_0(u) = CH h(u)u - SH h(u)e \quad (5.3.3.7)$$

Ensuite, il nous sera nécessaire de considérer les applications lisses $\vec{R}$, $\alpha$, et $k$ qui sont définies par les expressions suivantes :

$$\vec{R}(u) = \vec{\nabla} h(u), \alpha(u) = 1 + CH h(u) + SH h(u) \text{ et } k(u) = \frac{1}{2}(1 + CH h(u)) \quad (5.3.3.8)$$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$. Par conséquent, on considère la propriété suivante :

**Propriété 5.3.4.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence, alors toute famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ d'horosphères co-orientées en $e$ admet une unique enveloppe paramétrée (qui est, par définition, un h-hérisson). De plus, si $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{H}^n$ est un h-hérisson, alors son paramétrage $x$ et son champ orthonormal $N$ ont pour expression :

$$\left\{ \begin{array}{l} x(u) = x_0(u) + \vec{\eta}(u) \\ N(u) = N_0(u) - \vec{\eta}(u) \end{array} \right. \qquad (5.3.3.9)$$

$$\text{avec } \vec{\eta}(u) = \frac{1}{2}\alpha(u)^2 \vec{L}(u) \text{ et } \vec{L}(u) = R(u)^2 k(u)(e+u) - \vec{R}(u).$$
Démonstration. Commençons par considérer $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence et $\psi_e : \mathbb{H}^n \to \mathcal{D}(e)$ la projection de Poincaré centrée en $e$. Ainsi, considérons $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ une famille d'horosphères co-orientées en $e$ et de fonction de support $h$. En nous plaçant dans le modèle de Poincaré centré en $e$, alors pour chaque $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$, on définit $l(u)$ tel que $\tilde{x}_0(u) = -l(u)u \in \psi_e(\Sigma_u)$, avec $\tilde{x}_0 = \psi_e \circ x_0$. On a donc que :

$$ \tilde{x}_0(u) = \psi_e \circ x_0(u) = - \frac{SHh(u)}{1 + CHh(u)} u = - \frac{e^{2h(u)} - 1}{(e^{h(u)} + 1)^2} u = - \frac{e^{h(u)} - 1}{e^{h(u)} + 1} u $$

et ainsi on obtient que :

$$ l(u) = \frac{SH h(u)}{1 + CH h(u)} = \frac{e^{h(u)} - 1}{e^{h(u)} + 1} \qquad (5.3.3.10) $$

Nous allons déterminer l'expression de l'enveloppe de la famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ dans le modèle de Poincaré centré en $e$. Supposons donc que $\tilde{x}$ soit le paramétrage d'une enveloppe de la famille $(\psi_e(\Sigma_u))_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$. Étant donné que les horosphères $\psi_e(\Sigma_u)$ satisfont l'expression (5.3.2.6), il existe une application lisse $v : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{S}_e^{n-1}$ telle que :

$$ \tilde{x}(u) = \frac{1 - l(u)}{2} u + \frac{1 + l(u)}{2} v(u) \qquad (5.3.3.11) $$

avec $v(u) \neq u$.

<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>FIGURE 5.10 – Décomposition du paramétrage de l'enveloppe</figcaption></figure>

Plus simplement, nous avons que $\tilde{x}(u) = c(u) + w(u)$, où $c(u) = \frac{1-l(u)}{2}u$ étant le centre de l'horosphère $\psi_e(\Sigma_u)$ et $w(u) = \frac{1+l(u)}{2}v(u)$ est un point sur la sphère de rayon $\frac{1+l(u)}{2}$. Par définition du paramétrage d'une enveloppe, l'application $\tilde{x}$ doit satisfaire la condition suivante :

$$ \langle d_u x \cdot \vec{W} | v(u) \rangle = 0 $$

que l'on appelle naturellement *condition de contact*. Après quelques calculs, nous trouvons que cette condition de contact est équivalente à la relation suivante :

$$ - \langle \vec{\nabla} l(u) | \vec{W} \rangle \langle v(u) | u \rangle + (1 - l(u)) \langle v(u) | \vec{W} \rangle + \langle \vec{\nabla} l(u) | \vec{W} \rangle = 0 \qquad (5.3.3.12) $$

En considérant $v_T(u)$ correspondant à la projection orthogonale du vecteur $v(u)$ le long de $u$, nous avons $v(u) = v_T(u) + a(u)u$, où $a(u) = \langle v(u) | u \rangle$. Et par la condition de contact (5.3.3.12), on obtient que $v_T$ doit satisfaire la relation suivante :

$$ (1 - l(u))v_T(u) = (a(u) - 1)\vec{\nabla}l(u) $$
À présent, nous adopterons les notations suivantes : $a = a(u)$, $b = 1 - l(u)$, $\vec{D} = \vec{\nabla}l(u)$, $\vec{v} = v(u)$, $D = \|\vec{D}\|$ et $v = \|\vec{v}\|$. Ainsi, nous avons $b\vec{v} = (a - 1)\vec{D} + abu = a(\vec{D} + bu) - \vec{D}$ et en particulier, $a$ est une racine du polynôme :

$$a^2(D^2 + b^2) - 2aD^2 + D^2 - b^2 \qquad (5.3.3.13)$$

Après un petit calcul, on peut vérifier que les racines du polynôme (5.3.3.13) sont $a_1 = \frac{D^2-b^2}{D^2+b^2}$ et $a_2 = 1$. De plus, en notant que la racine $a_2 = 1$ correspond au cas où $v(u) = u$ (ce qui n'est pas possible), nous obtenons finalement :

$$v(u) = \frac{\|\vec{\nabla}l(u)\|^2 - (1-l(u))^2}{\|\vec{\nabla}l(u)\|^2 + (1-l(u))^2} u - \frac{2(1-l(u))}{\|\vec{\nabla}l(u)\|^2 + (1-l(u))^2} \vec{\nabla}l(u) \qquad (5.3.3.14)$$

Nous retrouvons donc bien la même expression qui a été considérée par C. Epstein dans l'article [24] (voir (2.3) page 9). Ainsi, nous savons qu'il existe une seule et unique enveloppe paramétrée pour chaque famille d'horosphères co-orientées. La suite de la preuve va donc consister à donner une expression satisfaisante du paramétrage d'un h-hérisson, mais sur le modèle du demi-hyperboloïde de Lorentz-Minkowski.

En considérant les expressions (5.3.3.11) et (5.3.3.14), nous obtenons que, dans le modèle de Poincaré, le paramétrage admet pour expression $\tilde{x}(u) = \tilde{a}(u)u - \tilde{b}(u)\vec{\nabla}l(u)$, où $\tilde{a}$ et $\tilde{b}$ sont des fonctions définies par les expressions suivantes :

$$1) \quad \tilde{a}(u) = \frac{\|\vec{\nabla}l(u)\|^2 - l(u)(1-l(u))^2}{\|\vec{\nabla}l(u)\|^2 + (1-l(u))^2} = \sigma(u)\left(-l(u) + V(u)^2\right)$$

$$2) \quad \tilde{b}(u)\vec{\nabla}l(u) = \frac{1-l(u)^2}{\|\vec{\nabla}l(u)\|^2 + (1-l(u))^2} \vec{\nabla}l(u) = \sigma(u)(1+l(u))\vec{V}(u)$$

avec $\vec{V}(u) = \frac{1}{1-l(u)}\vec{\nabla}l(u)$ et $\sigma(u) = \frac{1}{1+V(u)^2}$. Ainsi, après reformulation, l'expression du paramétrage de l'enveloppe de la famille d'horosphères dans le modèle de Poincaré centré en $e$ est :

$$\tilde{x}(u) = \tilde{a}(u)u - \tilde{b}(u)\vec{\nabla}l(u) = \sigma(u)\left[(-l(u) + V(u)^2)u - (1+l(u))\vec{V}(u)\right]$$

Pour définir le paramétrage $x$ sur le demi-hyperboloïde, il nous suffit de déterminer l'expression de l'application $\varphi_e \circ \tilde{x}$, avec $\varphi_e$ étant l'inverse de la projection de Poincaré centrée en $e$. Pour rappel (voir section 5.1.3 de l'annexe E pour en savoir plus), l'expression de $\varphi_e$ est définie comme suit :

$$\varphi_e(w) = \beta(w)[w + e] - e \text{ avec } \beta(w) = \frac{2}{1 - \|w\|^2}$$

Commençons donc par déterminer le coefficient $\tilde{\beta}(u) = \frac{2}{1 - \|\tilde{x}(u)\|^2}$. Il nous faut alors correctement exprimer la norme $\|\tilde{x}(u)\|^2$ qui, après quelques calculs, admet pour expression :
$$
\begin{aligned}
\|\tilde{x}(u)\|^2 &= \sigma(u)^2 \left[ (-l(u) + V(u)^2)^2 + (1+l(u))^2 V(u)^2 \right] \\
&= \sigma(u)^2 (l(u)^2 + V(u)^2) (1 + V(u)^2) = \sigma(u) (l(u)^2 + V(u)^2)
\end{aligned}
$$

et donc, on obtient que :

$$
\tilde{\beta}(u) = \frac{2}{1 - \|\tilde{x}(u)\|^2} = \frac{2}{\sigma(u) (1 - l(u)^2)} = 2 \frac{k(u)}{\sigma(u)} \text{ avec } k(u) = \frac{1}{1 - l(u)^2}
$$

Ainsi, dans le demi-hyperbolïde, le paramétrage admet pour première expression $x(u) = \tilde{\beta}(u)\tilde{x}(u) + (\tilde{\beta}(u) - 1)e$ et après quelques développements, on obtient que $\tilde{\beta}(u) - 1 = k(u)(2V(u)^2 + l(u)^2 + 1)$ et donc :

$$
x(u) = k(u) \left[ 2(-l(u) + V(u)^2)u - 2(1 + l(u))\vec{V}(u) + (2V(u)^2 + l(u)^2 + 1)e \right]
$$

À présent, il nous faut reformuler l'expression du paramétrage $x$ à partir de la fonction de
support $h$. Pour cela, il suffit de considérer la relation (5.3.3.10). Ainsi, on obtient que :

$$
1) 1 + l(u)^2 = 1 + \frac{(SH \ h(u))^2}{(1 + CH \ h(u))^2} = \frac{2CH \ h(u)[1 + CH \ h(u)]}{(1 + CH \ h(u))^2} = \frac{2CH \ h(u)}{1 + CH \ h(u)}
$$

$$
2) 1 - l(u)^2 = 1 - \frac{(SH \ h(u))^2}{(1 + CH \ h(u))^2} = \frac{2}{1 + CH \ h(u)}
$$

$$
3) 1 - l(u) = 1 - \frac{SH h(u)}{1 + CH h(u)} = \frac{1 + CH h(u) - SH h(u)}{1 + CH h(u)} = \frac{2}{1 + CH h(u) + SH h(u)}
$$

$$
4) 1 + l(u) = \frac{1 + CH \ h(u) + SHh(u)}{1 + CH \ h(u)}
$$

ce qui nous donne :

1) $k(u) = \frac{1}{2}(1 + CH \ h(u))$

2) $\vec{V}(u) = \frac{1}{2}\alpha(u)\vec{R}(u)$ avec $\alpha(u) = 1 + CH \, h(u) + SH \, h(u)$ et $\vec{R}(u) = \vec{\nabla}h(u)$

On a donc que le paramétrage du h-hérisson est donné par l'expression $x(u) = a(u)u - b(u)\vec{R}(u) + c(u)e$, où les coefficients $a, b$ et $c$ sont exprimés comme suit :

$$
1) a(u) = 2k(u)[-l(u) + V(u)^2] = -SH h(u) + \frac{1}{2}\alpha(u)^2 R(u)^2 k(u)
$$

$$
2) b(u) = 2(1 + l(u)) \frac{\alpha(u)}{2} k(u) = \frac{1}{2} \alpha(u)^2
$$

$$
3) c(u) = k(u) [2V(u)^2 + l(u)^2 + 1] = CH h(u) + \frac{1}{2} \alpha(u)^2 R(u)^2 k(u)
$$
En considérant les applications $x_0$ et $\vec{\eta}$ que nous avons respectivement définies par l'expression (5.3.3.7) et dans l'énoncé de la propriété 5.3.4, il en résulte que $x(u) = x_0(u) + \vec{\eta}(u)$.

Pour le champ $N$, notons que, du fait de la condition de contact, l'application $v$ correspond à un champ non nul et orthogonal à l'hyperplan tangent (s'il existe) du h-hérisson dans le modèle de Poincaré. Considérons alors l'application $\tilde{n}_0(u) = (V(u)^2 - 1)u + 2\vec{V}(u)$. Il est alors claire que $v(u) = \sigma(u)\tilde{n}_0(u)$. Ensuite, en reformulant le paramétrage $\tilde{x}$, nous obtenons $\tilde{x}(u) = \sigma(u)[a_0(u)u - b_0(u)\vec{V}(u)]$, où $a_0(u) = -l(u) + V(u)^2$ et $b_0(u) = 1 + l(u)$. Nous avons alors que :

$$ 
\begin{aligned}
\langle \tilde{x}(u) | \tilde{n}_0(u) \rangle &= \sigma(u) a_0(u) (V(u)^2 - 1) + 2\sigma(u) b_0(u) V(u)^2 \\
&= \sigma(u) [V(u)^4 + l(u) + l(u)V(u)^2 + V(u)^2] \\
&= \sigma(u)(1 + V(u)^2)(V(u)^2 + l(u)) = V(u)^2 + l(u) = c_0(u)
\end{aligned}
$$

Il nous faut donc déterminer l'expression du tiré en arrière du champ de vecteurs $\tilde{n}_0$ par la projection de Poincaré centrée en $e$. Ainsi, on obtient que :

$$ d_{\tilde{x}(u)}\varphi_e \cdot \tilde{n}_0(u) = \tilde{\beta}(u)[\tilde{n}_0(u) + \tilde{\beta}(u)\langle \tilde{x}(u) | \tilde{n}_0(u) \rangle(\tilde{x}(u) + e)] \quad (5.3.3.15) $$

tel que :

$$ 
\begin{aligned}
\tilde{n}_0(u) + \tilde{\beta}(u) \langle \tilde{x}(u) | \tilde{n}_0(u) \rangle \tilde{x}(u) &= (V(u)^2 - 1)u - 2\vec{V}(u) + 2k(u)c_0(u)(a_0(u)u - b_0(u)\vec{V}(u)) \\
&= A(u)u - 2B(u)\vec{V}(u)
\end{aligned}
$$

avec

$$ 1. A(u) = V(u)^2 - 1 + 2k(u)a_0(u)c_0(u) = k(u)(1 + V(u)^2)[2V(u)^2 - l(u)^2 - 1] $$

$$ 2. B(u) = 1 + k(u)b_0(u)c_0(u) = k(u)(1 + V(u)^2)(1 + l(u)) $$

et en considérant l'expression (5.3.3.15), on obtient finalement que :

$$ \tilde{n}_0(u) + \tilde{\beta}(u) \langle \tilde{x}(u) | \tilde{n}_0(u) \rangle \tilde{x}(u) = \frac{1}{2} \tilde{\beta}(u) [f(u)u - 2g(u)\vec{V}(u)] $$

$$ \text{où } f(u) = 2V(u)^2 - l(u)^2 - 1 \text{ et } g(u) = 1 + l(u). $$

Par conséquent, via l'expression (5.3.3.15), nous obtenons un champ orthogonal aux hyperplans tangents du h-hérisson sur le demi-hyperboloïde, tel que :

$$ n_0(u) = f(u)u - 2g(u)\vec{V}(u) + 2c_0(u)e $$

et après quelques calculs, nous avons :

$$ \langle n_0(u) | n_0(u) \rangle = f(u)^2 + 4g(u)^2V(u)^2 - 4c_0(u)^2 = l(u)^4 - 2l(u)^2 + 1 = (1 - l(u)^2)^2 $$

ce qui nous donne :
$$N(u) = -k(u) \left[ (2V(u)^2 - l(u)^2 - 1)u - 2(1+l(u))\vec{V}(u) + 2(V(u)^2+l(u))e \right]$$

De nouveau, en considérant l'expression (5.3.3.10), nous pouvons exprimer les paramètres du champ orthonormal N en fonction de la fonction de support h, comme suit :

$$1) k(u) (2V(u)^2 - l(u)^2 - 1) = -CH h(u) + \frac{1}{2} k(u) \alpha(u)^2 R(u)^2$$

$$2) 2k(u)(1+l(u))\frac{1}{2}\alpha(u) = \frac{1}{2}\alpha(u)^2$$

$$3) 2k(u)(V(u)^2 + l(u)) = SH h(u) + \frac{1}{2}k(u)\alpha(u)^2 R(u)^2$$

et finalement, $N(u) = N_0(u) - \vec{\eta}(u)$.

□

**Propriété 5.3.5.** Il existe un h-hérisson $\mathcal{H}$ qui est localement une hypersurface orientée dont toutes les courbures principales sont nulles en un point $x \in \mathcal{H}$.

*Démonstration.* Pour démontrer cette propriété, il suffit de considérer un h-hérisson $\mathcal{H}$ et un point $e \in \mathcal{H}$. Si on considère $h : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ la fonction de support centrée en $e$, alors il existe nécessairement $u_0 \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ tel que $x(u_0) = e$. D'après la propriété 5.3.4 précédente, on a forcément :

$$h(u_0) = 0 \text{ et } \vec{\nabla} h(u_0) = 0$$

et comme en $u_0$ nous avons $d_{u_0} \vec{\eta} \cdot \vec{W} = -Hess(h)_{u_0} * \vec{W}$, alors :

$$d_{u_0} x \cdot \vec{W} = -Hess(h)_{u_0} * \vec{W} \text{ et } d_{u_0} N \cdot \vec{W} = \vec{W} + Hess(h)_{u_0} * \vec{W}$$

Ainsi, il suffit de considérer une fonction $h : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ dont les valeurs propres de la matrice hessienne $Hess(h)_{u_0}$ sont toutes égales à -1. Et dans ce cas, le paramétrage $x$ est localement un plongement en $u_0$, et donc $\mathcal{H}$ est, au voisinage de $x(u_0)$, une hypersurface orientée dont toutes les courbures principales sont nulles en $x(u_0)$. □

Par cette dernière propriété, nous savons que les h-hérissons ne satisfont pas les critères nécessaires pour définir des hérissons marginalement piégés sur des espaces de Lorentz dont la courbure est non nulle. Néanmoins, comme nous le montrerons dans la section suivante, la notion de h-hérisson est, selon certains critères, un bon candidat pour définir une notion de hérisson sur l'espace hyperbolique. Il sera donc intéressant de comparer les h-hérissons aux g-hérissons, et en particulier d'examiner les conditions de correspondance entre ces deux définitions.

### 5.3.4 Définition alternative de la notion de h-hérisson

Il est également possible de définir une notion alternative de h-hérisson en orientant les horosphères selon leur normale entrante. En effet, si l'on considère une hypersurface orientée $\Gamma \subset \mathbb{H}^n$ pour laquelle seule l'application de Gauss $\nu_+$ : $\Gamma \mapsto \mathbb{A}^{n-1}$ est un difféomorphisme, alors via la définition de h-hérisson que nous avons précédemment introduite (voir 5.3.3), il est claire que l'hypersurface orientée $\Gamma$ ne peut pas correspondre à un h-hérisson.
<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>FIGURE 5.11 – Représentation de la définition alternative de h-hérisson</figcaption></figure>

Par conséquent, on appelle **h-hérisson négatif** (et respectivement **h-hérisson positif** pour les h-hérissons précédemment définis) toute enveloppe paramétrée d'une famille d'horosphères co-orientées, dont chaque horosphère est orientée selon la normale entrante. En pratique, peu de choses changent, si ce n'est la fonction de support, le paramétrage et le champ orthonormal. En particulier, dans ce cadre-là, la fonction de support d'une famille d'horosphères $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ est l'unique fonction $h : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$ définie par la relation suivante :

$$x_0(u) = CH h(u)e_{\perp} + SH h(u)u \in \Sigma_u \quad (5.3.4.16)$$

Ainsi, les expressions diffèrent seulement par quelques signes de celles des h-hérissons positifs. En effet, il suffit de remplacer $h$ par $-h$ dans toutes les relations. De cette manière, la propriété 5.3.4 correspond, pour les h-hérissons négatifs, à la propriété ci-dessous :

**Propriété 5.3.6.** Si $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ est une famille lisse d'horosphères co-orientées en $e$ et de fonction de support $h : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$, alors il existe un unique h-hérisson $\mathcal{H}$, pour la fonction de support $h$, tel que :

1. Le paramétrage est $x(u) = x_0(u) + \vec{\eta}(u)$, avec $x_0(u) = SH h(u)u + CH h(u)e$.

2. Le champ orthonormal est $N(u) = N_0(u) - \vec{\eta}(u)$, avec $N_0(u) = CH h(u)u + SH h(u)e$.

où $\vec{\eta}(u) = \frac{1}{2}\alpha(u)^2 \vec{L}(u)$ et $\vec{L}(u) = R(u)^2 k(u)(e + u) + \vec{R}(u)$. Aussi, les applications $\vec{R}$, $\alpha$ et $k$ sont définies par les expressions suivantes :

$$\vec{R}(u) = \vec{\nabla} h(u), \alpha(u) = 1 + CH h(u) - SH h(u) \text{ et } k(u) = \frac{1}{2}(1 + CH h(u)) \quad (5.3.4.17)$$

*Démonstration.* Pour obtenir ces relations, il suffit de considérer les expressions de la propriété 5.3.4 et d'appliquer les transformations $h \rightsquigarrow -h$ et $\vec{R} \rightsquigarrow -\vec{R}$. $\square$

**Remarque 5.3.4.** Considérons $K$ un corps $g$-convexe. Comme l'application de Gauss $\nu_+$ est un difféomorphisme, alors son bord<fnref n="5" /> est un h-hérisson négatif. De plus, si le bord du corps $K$ est également un h-hérisson positif, alors il est clair que c'est un corps $h$-convexe.

<footnote n="5">5. Rappelons que le bord d'un corps $g$-convexe est toujours orienté par l'orientation extérieure.</footnote>
**Avertissement 5.3.3.** Dans la suite, les propriétés faisant intervenir la notion de h-hérisson correspondront (sauf mention contraire) à la notion de h-hérisson négatif. Ce choix est motivé par le fait que la notion de h-hérisson négatif est plus adaptée à la définition des g-hérissons. Par conséquent, nous nous permettrons d'appeler simplement h-hérisson tous les h-hérissons, sans préciser s'ils sont orientés positivement ou négativement.

## 5.4 Carte de support et dualité des h-hérissons

L'une des raisons pour lesquelles la notion de h-convexité est favorisée dans l'étude de la convexité sur l'espace hyperbolique est qu'elle permet de retrouver certaines relations que l'on connaît sur les corps convexes de l'espace euclidien. Ainsi, ce qui va nous occuper dans cette section (et la suivante) et qui jouera un rôle d'exemple quant à l'utilité de la notion de h-hérisson, sera de définir des outils qui nous permettront d'établir une notion de dualité et de considérer des opérations sur les h-hérissons. En particulier, nous allons considérer une notion de dualité sur les horosphères en nous basant sur la définition de carte de support (voir section 2 de l'article [34] pour en savoir plus), et dont nous allons énoncer quelques propriétés élémentaires.

### 5.4.1 Description des horosphères via le cône lumière

Pour définir une notion de dualité, il nous sera nécessaire de décomposer les horosphères comme étant l'intersection du demi-hyperboloïde $\mathbb{H}^n$ avec un hyperplan de type lumière qui est paramétré sur le cône lumière. Pour cela, on considère donc le demi-cône lumière positif qui est défini comme ci-dessous :

$$ \mathbb{T}_+^n = \{x \in \mathbb{L}^{n+1} \text{ tel que } \langle x|x \rangle = 0 \text{ et } x_{n+1} \ge 0\} \qquad (5.4.1.1) $$

et qui est clairement une hypersurface (non régulière en zéro) de type lumière.

**Lemme 5.4.1.** Si $\sigma \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$ et $v \in \mathbb{H}^n$, alors $\langle \sigma|v \rangle < 0$.

*Démonstration.* On commence par considérer le point $e = (0, \dots, 0, 1) \in \mathbb{H}^n$ ainsi que l'hyper-
sphère $\mathbb{S}_e^{n-1}$ dans l'espace euclidien $\mathbb{E}^n \subset \mathbb{L}^{n+1}$. Si $\sigma \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$ et $v \in \mathbb{H}^n$, alors on a que :

$$ \sigma = \lambda(e + u) \text{ et } v = av + be $$

avec $\lambda$, $a$ et $b$ des scalaires strictement positifs ainsi que $u$ et $v$ dans $\mathbb{S}_e^{n-1}$. Mais comme, par
définition du demi-hyperboloïde, les coefficients $a$ et $b$ vérifient $a^2 - b^2 = -1$, on a forcément que
$a < b$ et donc :

$$ \langle \sigma | v \rangle = \lambda(a \langle u | v \rangle - b) < 0 $$

ce qui termine la preuve.

<figure><img src="image_61.png" /></figure>

**Propriété 5.4.1.** Soit $e \in \mathbb{H}^n$ un point sur l'espace hyperbolique. Alors pour tout $\sigma$ dans $\mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$, il existe un unique scalaire $\lambda > 0$ et un unique vecteur $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ tel que :

$$ \sigma = \lambda(e + u) \qquad (5.4.1.2) $$
**Démonstration.** Considérons un point de référence $e \in \mathbb{H}^n$ dans l'espace hyperbolique ainsi que $\sigma$ dans $\mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$. Par le lemme 5.4.1 que nous avons vu précédemment, nous savons que le scalaire $\lambda = -\langle e|\sigma \rangle$ est strictement positif. Par conséquent, considérons le vecteur

$$u = \frac{\sigma - \lambda e}{\lambda}$$

Et en vérifiant que $\langle u|e \rangle = -\frac{\lambda+\lambda}{\lambda} = 0$ et $\langle u|u \rangle = \frac{-2\lambda\langle u|\sigma \rangle - \lambda^2}{\lambda^2} = 1$, nous obtenons la décomposition (5.4.1.2) dont l'unicité est évidente. $\square$

Dans les deux propriétés suivantes, nous verrons comment les horosphères de l'espace hyperbolique sont des intersections d'hyperplans affines de type lumière avec le demi hyperboloïde $\mathbb{H}^n$. Pour cela, si $\sigma \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$, considérons l'hyperplan affine :

$$\mathcal{P}_{\sigma} = \{w \in \mathbb{L}^{n+1} \text{ tel que } \langle w|\sigma \rangle = -1\} \subset \mathbb{L}^{n+1} \qquad (5.4.1.3)$$

Pour étudier cette famille d'hyperplans, il nous faut considérer l'application $\Gamma_e : \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\} \to \mathbb{H}^n$, définie par l'expression suivante :

$$\Gamma_e(\sigma) = a(\lambda)u + b(\lambda)e \qquad (5.4.1.4)$$

avec $a(\lambda) = \frac{\lambda^2-1}{2\lambda}$ et $b(\lambda) = \frac{\lambda^2+1}{2\lambda}$. Notons également que le scalaire $\lambda > 0$ et le vecteur $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ sont les uniques éléments qui vérifient la relation (5.4.1.2) associé à chaque $\sigma$ dans $\mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$.

**Propriété 5.4.2.** Considérons $e \in \mathbb{H}^n$ un point de référence, ainsi que $\sigma \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$. Alors, nous avons que l'hyperplan affine $\mathcal{P}_\sigma$, défini par (5.4.1.3), est un hyperplan de type lumière qui vérifie la relation ci-dessous :

$$\mathcal{P}_{\sigma} = \Gamma_{e}(\sigma) + \langle \sigma \rangle^{\perp} \qquad (5.4.1.5)$$

avec $\Gamma_e$ l'application définie par (5.4.1.4).

<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>FIGURE 5.12 – Relation entre l'hyperplan $\mathcal{P}_\sigma$ et le point $\Gamma_e(\sigma)$.</figcaption></figure>

**Démonstration.** Considérons donc $\sigma \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$ ainsi que $\mathcal{P}_\sigma$, l'hyperplan défini par l'expression (5.4.1.3). Nous pouvons déjà vérifier qu'il s'agit d'un hyperplan de type lumière en constatant que, pour tout $w \in \mathcal{P}_\sigma$, nous avons $\mathcal{P}_\sigma = w + \langle \sigma \rangle^{\perp}$. Ensuite, par la propriété 5.4.1, nous savons que :

$$\sigma = \lambda(e + u)$$

avec $\lambda > 0$ et $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$. À présent, supposons qu'il existe un point $x = au + be$ vérifiant que $\langle x|\sigma \rangle = -1$ et $a^2 - b^2 = -1$. Après quelques calculs, nous obtenons que le point $x$ vérifie le système suivant :
$$ \begin{cases} a+b=\lambda \\ a-b=-\frac{1}{\lambda} \end{cases} $$

qui admet pour solution $a = \frac{\lambda^2-1}{2\lambda}$ et $b = \frac{\lambda^2+1}{2\lambda}$. Ainsi, nous avons bien que $x = \Gamma_e(\sigma)$, et comme l'hyperplan $\mathcal{P}_\sigma$ vérifie la relation $\mathcal{P}_\sigma = x + \langle\sigma\rangle^\perp$, nous obtenons le résultat recherché. $\square$

**Lemme 5.4.2.** Soit $\sigma \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$ ainsi que $e \in \mathbb{H}^n \cap \mathcal{P}_\sigma$, alors nous avons $\Gamma_e(\sigma) = e$.

*Démonstration.* Soit $e \in \mathbb{H}^n \cap \mathcal{P}_\sigma$ un point. Nous savons alors que $\sigma = \lambda(u + e) \in \langle e, u \rangle$, et donc $\langle e, u \rangle \cap \langle\sigma\rangle^\perp = \mathbb{R}\sigma$. Ensuite, par la propriété 5.4.2 précédente, nous avons $\mathcal{P}_\sigma = \Gamma_e(\sigma) + \langle\sigma\rangle^\perp$, ce qui donne que :

$$ \mathcal{P}_{\sigma} \cap \langle e, u \rangle = e + \mathbb{R}\sigma $$

et ainsi,

$$ \Gamma(\sigma) \in \mathbb{H}^n \cap \mathcal{P}_\sigma \cap \langle e, u \rangle = \mathbb{H}^n \cap (e + \mathbb{R}\sigma) = \{e\} $$

ce qui termine la preuve.

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

**Propriété 5.4.3.** Pour tout $\sigma \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$, l'intersection $\Sigma = \mathbb{H}^n \cap \mathcal{P}_\sigma$ est une horosphère centrée en $a = p(\sigma) \in \mathbb{A}^{n-1}$. De plus, pour toute horosphère, il existe un unique $\sigma \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$ tel que $\Sigma = \mathbb{H}^n \cap \mathcal{P}_\sigma$.

*Démonstration.* Considérons $\sigma \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$ ainsi que l'intersection $\Sigma = \mathbb{H}^n \cap \mathcal{P}_\sigma$. En considérant $e \in \Sigma$, nous savons que $\sigma = \lambda(e+u)$ et par le lemme 5.4.2 précédent, nous avons $\Gamma(\sigma) = a(\lambda)u + b(\lambda)e = e$, ce qui implique que $\lambda = 1$ et donc que $\sigma = e+u$.

Posons $c = \frac{1}{2}u$, alors nous devons vérifier, via la projection de Poincaré centrée en $e$, que l'hypersurface $\psi_e(\Sigma)$ est une sphère de centre $c$ et de rayon $\frac{1}{2}$ pour le produit scalaire $g_e$. Pour ce faire, il nous faut déterminer, en tout point $x \in \Sigma$, l'expression suivante :

$$ \langle \psi_e(x) - c | \psi_e(x) - c \rangle = \langle \psi_e(x) | \psi_e(x) \rangle - 2 \langle c | \psi_e(x) \rangle + \langle c | c \rangle $$

<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>FIGURE 5.13 – Représentation de $\psi_e(\Sigma)$ dans le modèle de Poincaré centré en $e$</figcaption></figure>

Par définition de l'hypersurface $\Sigma$, nous avons $\langle\sigma|x\rangle = -1$, pour tout $x \in \Sigma$. En particulier, nous savons donc que $\langle\sigma|e\rangle = -1$. Ainsi, nous obtenons les trois relations suivantes :

$$ 1. \langle \psi_e(x) | \psi_e(x) \rangle = -2q_e(x) + 1 $$

$$ 2. \langle c | \psi_e(x) \rangle = \frac{1}{2} \langle \sigma - e | \psi_e(x) \rangle = \frac{1}{2} \langle \sigma | \psi_e(x) \rangle = \frac{1}{2} [q_e(x) \langle \sigma | x \rangle + q_e(x) \langle \sigma | e \rangle - \langle \sigma | e \rangle] = \frac{1}{2} [-2q_e(x) + 1] $$
$$3. \quad \langle c|c \rangle = \frac{1}{4}$$

ce qui nous donne $\langle \psi_e(x) - c|\psi_e(x) - c \rangle = \frac{1}{4}$, confirmant ainsi que $\Sigma$ est bien une horosphère.

Pour finir, considérons $\Sigma$ une horosphère centrée en $a \in \mathbb{A}^{n-1}$ et prenons $e \in \Sigma$. À nouveau, en utilisant la projection de Poincaré centrée en $e$, nous savons que $\psi_e(\Sigma)$ correspond à l'intersection non vide de la boule unité $\mathcal{D}(e)$ avec une sphère tangente en $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ au bord à l'infini $\partial_\infty \bar{\mathcal{D}}(e) = \mathbb{S}_e^{n-1}$. En particulier, nous avons que $a = p(e + u)$. De plus, en considérant le point $\sigma = e + u \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$, alors nous obtenons le résultat recherché en reprenant notre raisonnement précédent. $\square$

**Remarque 5.4.1.** Par le lemme 5.4.2 et la propriété 5.4.3 que nous avons vue précédemment, toute horosphère $\Sigma$ orientée par $N$ (qui correspond à l'orientation extérieure) est de la forme $\mathbb{H}^n \cap \mathcal{P}_\sigma$, où $\sigma \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$ vérifie que :

$$\sigma = x - N(x) \qquad (5.4.1.6)$$

pour tout $x \in \Sigma$.

Nous pouvons donc résumer les propriétés précédentes de la manière suivante. Toute horosphère $\Sigma$ centrée en $a \in \mathbb{A}^{n-1}$ correspond à un unique point $\sigma \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$ sur le cône lumière, tel que :

$$\mathcal{P}_{\sigma} = \Gamma(\sigma) + \langle \sigma \rangle^{\perp}, \quad \Sigma = \mathcal{P}_{\sigma} \cap \mathbb{H}^{n} \text{ et } a = p(\sigma) \qquad (5.4.1.7)$$

<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>FIGURE 5.14 – Horosphère comme intersection du demi-hyperboloïde $\mathbb{H}^n$ avec un hyperplan affine $\mathcal{P}_\sigma$ de type lumière</figcaption></figure>

## 5.4.2 Relation de dualité entre l'espace hyperbolique et le cône lumière

Nous appellerons **hypersphère unité du cône** (ou plus simplement **hypersphère**) toute partie $C \subset \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$ de la forme $C = x + \mathbb{S}_x^{n-1}$, pour un point $x \in \mathbb{H}^n$. Nous noterons alors $\mathcal{H}_0(\mathbb{T}_+^n)$ l'ensemble des hypersphères unités du cône. Ainsi, les deux propriétés suivantes sont vérifiées :

**Propriété 5.4.4.** Considérons un point $e \in \mathbb{H}^n$ ainsi que $\sigma \in \mathbb{T}_+^n \setminus \{0\}$, un point sur le cône. Alors, l'application $\Gamma_e$ vérifie que :

$$\sigma \in \Gamma_e(\sigma) + \mathbb{S}_{\Gamma_e(\sigma)}^{n-1} \qquad (5.4.2.8)$$