# Sur les g-hérissons de l'espace hyperbolique et de l'hypersphère, ainsi que leurs transformées de L-Gauss vues comme g-hérissons marginalement piégés.

Romain Sieuzac

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Romain Sieuzac. Sur les g-hérissons de l'espace hyperbolique et de l'hypersphère, ainsi que leurs transformées de L-Gauss vues comme g-hérissons marginalement piégés.. Mathématiques [math]. CY Cergy Paris Université, 2023. Français. NNT: . tel-04500379

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Public Domain
Thèse de Doctorat
de CY Cergy Paris Université

réalisée au
Laboratoire de Mathématiques Analyse, Géométrie et Modélisation
en collaboration avec
l'Institut de Mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche

Sujet de la thèse:

# Sur les g-hérissons de l'espace hyperbolique et de l'hyper-sphère, ainsi que leurs transformées de $L$-Gauss vues comme g-hérissons marginalement piégés

par
Romain SIEUZAC

Présentée et soutenue publiquement à Paris le jeudi 21 décembre 2023

devant le jury composé de :

Rapporteur: M. Marc Soret Université de Tours

Rapporteur: M. Rabah Souam CNRS

Président du jury: M. Yves Martinez-Maure Sorbonne Université

Examinatrice: Mme. Marie-Claude Arnaud Université Paris Cité

Directeur de thèse: M. Yong Fang CY Cergy Paris Université

Co-directeur de thèse: M. Anatole Khelif Sorbonne Université
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Nicht einmal falsch!

— Wolfgang Pauli —
<figure><img src="image_2.png" /></figure>
# Résumé

La notion de hérisson a été introduite par R.Langevin, G.Levitt et H.Rosenberg et correspond à la réalisation géométrique des différences formelles de corps convexes sur l'espace euclidien. Par la suite, Y.Martinez-Maure a largement développé la théorie des hérissons, ce qui lui a permis, entre autres, de produire en 2001 un contre-exemple de la conjecture d'A.D.Alexandrov. Aussi, on retrouve sur l'ensemble des hérissons des relations que l'on connaît sur les corps convexes, dont, en particulier, les inégalités de Minkowski et les inégalités isopérimétriques. C'est ainsi qu'apparaît la notion de hérisson marginalement piégé, qui sont des surfaces marginalement piégées sur l'espace de Lorentz-Minkowski, vérifiant des propriétés correspondant à la notion de hérisson.

L'objet de cette thèse consiste à retrouver une notion de hérisson marginalement piégé sur des espaces de Lorentz dont la courbure interne est non nulle. Il a alors été nécessaire de définir la notion de hérisson sur l'espace hyperbolique et sur l'hypersphère, où, en particulier, nous en avons étudié la correspondance avec les notions de g-convexité et de h-convexité. Nous introduisons ainsi la notion de g-hérisson, dont nous étudions la cohérence ainsi que la compatibilité avec les hérissons de l'espace euclidien, et qui doit vérifier la contrainte de pouvoir définir leur transformée de L-Gauss. Cela nous permet alors de définir les g-hérissons marginalement piégés qui sont des surfaces marginalement piégées sur les espaces de Lorentz $H^3 \times \mathbb{R}$ et $S^3 \times \mathbb{R}$ et dont les propriétés correspondent bien avec les g-hérissons de l'espace hyperbolique et de l'hypersphère. Il nous faut néanmoins noter que les caractéristiques géométriques des hérissons marginalement piégés de l'espace de Lorentz-Minkowski ne sont pas toutes transposables aux g-hérissons marginalement piégés, ce qui contribue à limiter significativement notre démarche.
Remerciements

Je tiens tout d'abord à remercier, pour l'examen de mes travaux et la tenue de la soutenance, mon jury de thèse qui est composé de Marie-Claude Arnaud et Yves Martinez-Maure (ex co-directeur), auxquels s'ajoutent mon directeur de thèse Yong Fang et mon co-directeur Anatole Khelif, ainsi que mes deux rapporteurs Marc Soret et Rabah Souam. En particulier, je me dois d'avoir une pensée pour Yong Fang qui a permis l'existence de cette thèse, pour Yves Martinez-Maure qui a partagé son temps, sa patience et son travail de recherche, et pour Anatole Khelif sans qui jamais je n'aurais pu aller au bout de ce travail. À toi Anatole, je veux exprimer, dans ces quelques lignes, que je te dois beaucoup et en particulier le fait que tu as su, il y a deux ans, me redonner courage alors que tout, absolument tout, poussait à raisonnablement abandonner ce projet de thèse. Tu as su toujours être, dans le tumulte de ces deux dernières années de cette thèse, un appui moral et compétent absolument indispensable. À Yves, je sais que diriger cette thèse n'a pas été une chose facile. Aussi, je sais que tu as toujours montré une grande volonté à m'apprendre les rudiments du métier de chercheur et que tu as toujours eu à cœur que je parvienne à aboutir dans ce projet. Je te remercie pour ta générosité et j'espère que nous aurons la possibilité de continuer à échanger sur ce qui a motivé ce travail.

Je tiens ensuite à remercier mon tuteur Eric Toubiana pour ses nombreux conseils et appuis. Il me faut remercier l'IMJ-PRG pour m'avoir permis d'effectuer ma thèse au sein de l'équipe de Géométrie et Dynamique, ainsi que le laboratoire de l'AGM de l'université de Cergy-Pontoise pour m'avoir permis de débuter ma thèse. Je voudrais aussi remercier l'école doctorale de l'université de Cergy-Pontoise qui m'a beaucoup aidé dans toutes mes démarches. En particulier Lalia Sy qui n'a jamais manqué de répondre à mes très nombreuses questions.

Je remercie les universités de Cergy-Pontoise, de Nanterre et de Paris-Cité qui m'ont permis d'effectuer des missions d'enseignement, via divers contrats, et me faisant ainsi découvrir le plaisir d'enseigner dans la discipline qui nous passionne.

Je remercie Étienne Parizot, Alexandru Oancea, Frédéric Le Roux et Joseph Oesterlé qui sont des enseignants, parmi d'autres, de physique et de mathématiques qui ont marqué mon parcours d'étudiant, qui m'ont inspiré et ont contribué à me donner l'ambition d'entreprendre des études doctorales en mathématiques fondamentales.

Je veux remercier les doctorants et doctorantes de Sophie Germain pour tous les échanges et moments de vie que nous avons pu partager. Il ne m'est pas possible d'écrire pour tout le monde mais je ne peux pas manquer de penser à Maud, (...), Pierre, (... [[comme vous le savez je n'ai pas la mémoire des noms car je suis ingrat]] ...) Razvan et Dorian pour tous les échanges que nous avons eus, sans oublier bien sûr Farouk qui ... n'est pas farouche ... :D Bref, on a passé de très bons moments ! Je veux aussi remercier les doctorants du LPTHE que j'ai eu le plaisir de
iv

rencontrer dernièrement.

J'ai une pensée pour mes amis de Toulouse, de Jussieu, de la cité internationale, etc., pour
qui, sur ces dernières années, je n'ai pas pu suffisamment entretenir la relation. En particulier,
Ibra, je ne manquerai pas de m'incruster chez toi, pour profiter de ton avantageuse localisation
dans les Pyrénées. Il n'y a pas de petit profit...

À ma famille, je vous remercie d'avoir, partout où vous l'avez pu, été là pour moi. En me rappelant que ma scolarité a été aussi tumultueuse que ma thèse, je vous résumerai, tous autant que vous êtes, par la phrase suivante, je cite : "Oui madame, le conseil de classe il sert uniquement à me conseiller, et si j'estime que vos conseils ....".

Je termine avec toi Andriani. Je suis chaque jour heureux de partager ma vie avec toi. Et je tiens à te remercier pour cela, car être avec toi a été d'un indispensable apport pour mener à bien mon projet de thèse. Tu es ma boussole :)
# Table des matières

Liste des symboles 2

Introduction 3

<table><tr><td>1</td><td>Contexte et résultat connu</td><td>3</td></tr><tr><td>1.1</td><td>Définition d'un hérisson euclidien</td><td>4</td></tr><tr><td>1.2</td><td>Caractérisation en géométrie de contact</td><td>4</td></tr><tr><td>1.3</td><td>Dualité projective d'un hérisson euclidien</td><td>6</td></tr><tr><td>1.4</td><td>Les hérissons marginalement piégés</td><td>7</td></tr></table>

<table><tr><td>2</td><td>Problématique et contraintes sur les choix de définition</td><td>10</td></tr></table>

<table><tr><td>3</td><td>Principaux résultats de la thèse</td><td>10</td></tr><tr><td>3.1</td><td>Définition et conditions d'existence des g-hérissons sur l'espace hyperbolique</td><td>11</td></tr><tr><td>3.2</td><td>Pseudo-hérissons et g-hérissons sur la sphère</td><td>12</td></tr><tr><td>3.3</td><td>Caractérisation en structure de contact</td><td>13</td></tr><tr><td>3.4</td><td>Dualité et théorème de caractérisation projective</td><td>14</td></tr><tr><td>3.5</td><td>Transformée de L-Gauss et g-hérisson marginalement piégé</td><td>16</td></tr></table>

<table><tr><td>4</td><td>Conclusion et questions ouvertes</td><td>17</td></tr></table>

<table><tr><td>5</td><td>Structure de la thèse</td><td>18</td></tr></table>

I Sur les hérissons de l'espace euclidien 21

1 Introduction et première propriété 25

<table><tr><td>1.1</td><td>Petit point sur les corps convexes</td><td>25</td></tr></table>

<table><tr><td>1.2</td><td>Définition et existence des hérissons euclidiens</td><td>35</td></tr></table>

<table><tr><td>1.3</td><td>Propriétés combinatoires et correspondance avec les corps convexes</td><td>40</td></tr></table>

2 Conditions de contact et structures de contact pour les hérissons euclidiens 47

<table><tr><td>2.1</td><td>Structure de contact usuelle sur $S^{n-1} \times \mathbb{R}^n$</td><td>47</td></tr></table>

<table><tr><td>2.2</td><td>Les hérissons euclidiens vus comme fronts de Legendre</td><td>48</td></tr></table>

<table><tr><td>2.3</td><td>Autre méthode pour décrire les hérissons</td><td>49</td></tr></table>

<table><tr><td>2.4</td><td>Proposition de généralisation de la notion de hérisson</td><td>51</td></tr></table>

3 Dualité et caractérisation projective 53

<table><tr><td>3.1</td><td>Dualité d'un corps convexe de $\mathbb{R}^n$</td><td>53</td></tr></table>

<table><tr><td>3.1.1</td><td>Dualité polaire par rapport à la sphère</td><td>53</td></tr></table>

<table><tr><td>3.1.2</td><td>Dualité projective</td><td>56</td></tr></table>

<table><tr><td>3.2</td><td>Dualité projective d'un hérisson euclidien</td><td>61</td></tr></table>

<table><tr><td>3.2.1</td><td>Représentation du dual d'un hérisson sur la sphère</td><td>63</td></tr></table>
<table><tr><td>3.2.2 Petite remarque géométrique</td><td>64</td></tr><tr><td>3.3 Théorème de caractérisation projective</td><td>66</td></tr></table>

## II Sur les g-hérissons de l'espace hyperbolique et de la sphère 73

### 4 Définition et première propriété de la notion de g-hérisson sur l'espace hyperbolique 81

<table><tr><td>4.1 Petit point sur la géométrie hyperbolique</td><td>81</td></tr></table>

<table><tr><td>4.2 Les corps g-convexes</td><td>83</td></tr></table>

<table><tr><td>4.2.1 Définition et première remarque</td><td>83</td></tr></table>

<table><tr><td>4.2.2 Définition et propriété sur les g-hyperplans de support</td><td>84</td></tr></table>

<table><tr><td>4.2.3 Fonction de support d'un corps g-convexe</td><td>88</td></tr></table>

<table><tr><td>4.3 Les familles de g-hyperplans co-orientés</td><td>88</td></tr></table>

<table><tr><td>4.4 Définition d'un g-hérisson et première propriété.</td><td>95</td></tr></table>

<table><tr><td>4.4.1 Conditions d'existence des g-hérissons</td><td>96</td></tr></table>

<table><tr><td>4.4.2 Orientation naturelle des g-hérissons</td><td>99</td></tr></table>

<table><tr><td>4.4.3 Relation entre les g-hérissons et les corps g-convexes</td><td>99</td></tr></table>

<table><tr><td>4.4.4 Correspondance avec les hérissons euclidiens</td><td>100</td></tr></table>

### 5 Corps h-convexe et h-hérisson 103

<table><tr><td>5.1 Application de Gauss et Horosphères</td><td>103</td></tr></table>

<table><tr><td>5.1.1 Limite d'une géodésique sur le bord à l'infini</td><td>104</td></tr></table>

<table><tr><td>5.1.2 Application de Gauss d'une hypersurface orientée</td><td>104</td></tr></table>

<table><tr><td>5.1.3 Définition et propriétés élémentaires des horosphères</td><td>106</td></tr></table>

<table><tr><td>5.2 Les corps h-convexes</td><td>108</td></tr></table>

<table><tr><td>5.2.1 Définition et premières propriétés</td><td>109</td></tr></table>

<table><tr><td>5.2.2 Les corps h-convexes de classe C²</td><td>111</td></tr></table>

<table><tr><td>5.2.3 Comparaison des hyperplans tangents par la méthode des horosphères.</td><td>114</td></tr></table>

<table><tr><td>5.3 Familles d'Horosphères Co-orientées et H-Hérissons</td><td>114</td></tr></table>

<table><tr><td>5.3.1 Petite remarque sur la relation entre les applications de Gauss</td><td>115</td></tr></table>

<table><tr><td>5.3.2 Les familles d'horosphères co-orientées</td><td>116</td></tr></table>

<table><tr><td>5.3.3 Définition et première propriété sur les h-hérissons</td><td>118</td></tr></table>

<table><tr><td>5.3.4 Définition alternative de la notion de h-hérisson</td><td>123</td></tr></table>

<table><tr><td>5.4 Carte de support et dualité des h-hérissons</td><td>125</td></tr></table>

<table><tr><td>5.4.1 Description des horosphères via le cône lumière</td><td>125</td></tr></table>

<table><tr><td>5.4.2 Relation de dualité entre l'espace hyperbolique et le cône lumière</td><td>128</td></tr></table>

<table><tr><td>5.4.3 Carte de support d'un h-hérisson</td><td>131</td></tr></table>

<table><tr><td>5.4.4 Relation de dualité sur les h-hérissons</td><td>133</td></tr></table>

<table><tr><td>5.5 Opérations sur les h-hérissons</td><td>133</td></tr></table>

### 6 Universalité de la notion de g-hérisson 137

<table><tr><td>6.1 Les sous-espaces hyperboliques et la fonction de changement de point</td><td>137</td></tr></table>

<table><tr><td>6.1.1 Définition et propriétés des sous-espaces hyperboliques</td><td>137</td></tr></table>

<table><tr><td>6.1.2 Définition et propriétés de la fonction de changement de point</td><td>138</td></tr></table>

<table><tr><td>6.2 La fonction de réindexation</td><td>139</td></tr></table>

<table><tr><td>6.2.1 Définition et propriété d'existence</td><td>139</td></tr></table>

<table><tr><td>6.2.2 Propriétés préliminaires de la restriction sur le plan hyperbolique et les relations antipodales</td><td>142</td></tr></table>

<table><tr><td>6.3 Lemme sur l'injectivité de la fonction de réindexation</td><td>146</td></tr></table>
<table><tbody><tr><td>6.4</td><td>Énoncé et démonstration du théorème</td><td>152</td></tr><tr><td>7</td><td>Conditions et structures de contact pour les g-hérissons et les h-hérissons</td><td>157</td></tr><tr><td>7.1</td><td>Structure de contact usuelle</td><td>157</td></tr><tr><td>7.2</td><td>Structure de contact et hérissons</td><td>160</td></tr><tr><td>7.2.1</td><td>Caractérisation des g-hérissons en géométrie de contact</td><td>160</td></tr><tr><td>7.2.1.1</td><td>L'application orthonormale généralisée</td><td>160</td></tr><tr><td>7.2.1.2</td><td>Condition de contact pour les g-hérissons</td><td>163</td></tr><tr><td>7.2.1.3</td><td>Caractérisation des g-hérissons en géométrie de contact</td><td>163</td></tr><tr><td>7.2.1.4</td><td>Les g-hérissons vus comme le front legendrien d'une immersion de Legendre dont l'application de Gauss est un difféomorphisme</td><td>164</td></tr><tr><td>7.2.2</td><td>Caractérisation des h-hérissons en géométrie de contact</td><td>165</td></tr><tr><td>7.2.2.1</td><td>L'application orthonormale horosphérique généralisée</td><td>165</td></tr><tr><td>7.2.2.2</td><td>Les h-hérissons vus comme le front legendrien d'une immersion de Legendre dont l'application de Gauss est un difféomorphisme</td><td>167</td></tr><tr><td>7.3</td><td>Correspondance et Caractérisation de Contact</td><td>167</td></tr><tr><td>8</td><td>Dualité et caractérisation projective des g-hérissons</td><td>171</td></tr><tr><td>8.1</td><td>Dualité sur l'Espace Hyperbolique</td><td>171</td></tr><tr><td>8.1.1</td><td>Généralités sur les espaces modèles</td><td>171</td></tr><tr><td>8.1.2</td><td>Modèle de l'espace hyperbolique et de l'espace de Sitter sur l'espace projectif</td><td>172</td></tr><tr><td>8.1.3</td><td>Dualité projective sur l'espace de Sitter</td><td>174</td></tr><tr><td>8.2</td><td>Duale projective d'un corps g-convexe</td><td>176</td></tr><tr><td>8.3</td><td>Duale projectif d'un g-hérisson</td><td>178</td></tr><tr><td>8.3.1</td><td>Définition et première propriété</td><td>179</td></tr><tr><td>8.3.2</td><td>Représentation du dual d'un g-hérisson sur l'hyperboloides</td><td>180</td></tr><tr><td>8.4</td><td>Théorème de caractérisation projective</td><td>181</td></tr><tr><td>9</td><td>Les pseudo-hérissons sur l'hypersphère</td><td>185</td></tr><tr><td>9.1</td><td>Modèle de l'hypersphère et notations usuelles</td><td>185</td></tr><tr><td>9.2</td><td>Généralités, problématiques et lemmes fondamentaux</td><td>186</td></tr><tr><td>9.2.1</td><td>Définition et première remarque sur les pseudo-hérissons</td><td>186</td></tr><tr><td>9.2.2</td><td>Exemples de g-hérissons passant par leur équateur et hypothèses de classement</td><td>188</td></tr><tr><td>9.2.2.1</td><td>Exemple d'un pseudo-hérisson qui passe par son équateur et occupe les demi-sphères nord et sud</td><td>189</td></tr><tr><td>9.2.2.2</td><td>Exemple de pseudo-hérisson qui passe par son équateur sans annuler ses courbures principales</td><td>191</td></tr><tr><td>9.2.2.3</td><td>Hypothèse sur les pseudo-hérissons qui passent par leur équateur</td><td>192</td></tr><tr><td>9.2.3</td><td>Lemme des points de l'équateur</td><td>193</td></tr><tr><td>9.3</td><td>Conjecture sur le passage de l'équateur</td><td>206</td></tr><tr><td>9.4</td><td>Conclusion sur le classement des pseudo-hérissons</td><td>211</td></tr><tr><td>10</td><td>Sur les g-hérissons de la sphère</td><td>213</td></tr><tr><td>10.1</td><td>Définition et première propriété</td><td>213</td></tr><tr><td>10.2</td><td>Problème du changement de point</td><td>215</td></tr><tr><td>10.3</td><td>Les g-hérissons vus comme fronts de Legendre</td><td>216</td></tr><tr><td>10.4</td><td>Relation de dualité</td><td>221</td></tr></tbody></table>
III Sur les g-hérissons marginalement piégés 223

11 Les hérissons marginalement piégés dans l'espace de Lorentz-Minkowski 227

11.1 Majoration de l'inégalité isopérimétrique 227

11.2 Structure de co-contact 235

11.2.1 Espace symplectique, symplectomorphismes linéaires et structure complexe 235

11.2.2 Variété symplectique et symplectisé d'une variété de contact 236

11.2.3 Représentation d'un hérisson marginalement piégé par un front lagrangien 237

12 Les g-hérissons marginalement piégés sur le lorentzianisé de l'espace hyper-
bolique et de la sphère. 241

12.1 Définition de la notion de co-enveloppe 241

12.1.1 Les variétés de Lorentz $\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ et $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{R}$ vues comme espaces des sphères de l'espace hyperbolique et de la sphère. 241

12.1.2 Famille de géodésiques lumière orientées en $e$ 242

12.1.3 Éléments de base sur le laplacien et l'opérateur de Hodge 245

12.1.4 Définition et propriétés de la notion de co-enveloppe 246

12.2 Théorème d'existence 249

12.3 Problème de structure de co-contact 258

13 Co-enveloppe sur $\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ pour la métrique usuelle de la sphère. 261

13.1 Démonstration du lemme 262

13.1.1 Calcul du terme $\Delta_S [SH f(u)N(u)]$ 262

13.1.2 Calcul du terme $\Delta_S [CH f(u)x(u)]$ 263

13.1.3 Expression de la condition de co-contact et conclusion 265

13.2 Propriété des $g_S$-co-enveloppes 265

Annexe 271

A Éléments sur la théorie des enveloppes 271

B Éléments sur la géométrie de contact 273

2.1 Champ de sous-espaces vectoriel, forme de contact et variété de contact 273

2.2 Champ de Reeb et variété métrique de contact 275

2.3 Les contactomorphismes 276

2.4 Immersion, fibré et front de Legendre 276

C Éléments sur la notion de co-orientation 279

D Éléments sur l'espace projectif 283

4.1 Cartes projectives et transformations projectives 283

4.2 Notions de dualité et de polarité 285

4.2.1 La notion de dualité entre les points et les hyperplans projectifs 285

4.2.2 Identification entre l'espace projectif et son bidual. 286

4.2.3 La notion de polarité entre les points et les hyperplans projectifs. 287

4.3 Dualité projective et polaire d'un corps convexe 288

4.3.1 Dualité projective d'un corps convexe 289

4.3.2 La dualité polaire d'un corps convexe 294
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>E</td>
      <td>Les espaces à courbure constante</td>
      <td>299</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1</td>
      <td>L'espace hyperbolique</td>
      <td>300</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1.1</td>
      <td>Expression des dérivées covariantes, des géodésiques et de la carte exponentielle</td>
      <td>302</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1.2</td>
      <td>Le modèle de Klein</td>
      <td>302</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1.3</td>
      <td>Le modèle du disque de Poincaré</td>
      <td>306</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1.4</td>
      <td>Définitions et propriétés utiles</td>
      <td>310</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1.4.1</td>
      <td>Les horosphères de l'espace hyperbolique</td>
      <td>310</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1.4.2</td>
      <td>Définition et propriétés des g-hyperplans</td>
      <td>311</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1.4.3</td>
      <td>Les g-hyperplans parallèles</td>
      <td>312</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2</td>
      <td>L'espace sphérique</td>
      <td>313</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>F</td>
      <td>Éléments calculatoires en coordonnées sphériques</td>
      <td>315</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.1</td>
      <td>Système de coordonnées sphériques</td>
      <td>315</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2</td>
      <td>Propriétés calculatoires sur le laplacien</td>
      <td>317</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G</td>
      <td>Éléments sur le degré de Brouwer</td>
      <td>321</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.1</td>
      <td>Point critique et valeur critique</td>
      <td>321</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2</td>
      <td>Définition du degré et première propriété</td>
      <td>322</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.3</td>
      <td>Degré d'une application et intégration</td>
      <td>322</td>
    </tr>
    <tr>
      <td colspan="2">Bibliographie</td>
      <td>324</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
# Liste des notations

**Avertissement.** Dans ce document, figurent des notations non usuelles qu'il est important de prendre en compte afin de prévenir de potentielles difficultés de lecture. En conséquence, nous invitons à considérer la liste des notations ci-dessous avant lecture.

## Les ensembles usuels

→ $\mathbb{A}^{n-1}$: Il s'agit de l'absolu, correspondant à la projection dans l'espace projectif du cône lumière de l'espace de Lorentz-Minkowski $\mathbb{L}^{n+1}$.

→ $\mathbb{T}^n$ et $\mathbb{T}_\pm^n$: Le cône lumière et le demi-cône lumière (en temps positif) de l'espace de Lorentz-Minkowski $\mathbb{L}^{n+1}$.

→ $\mathcal{D}(e)$: Si $e$ est un point sur $\mathbb{H}^n$ ou $\mathbb{S}^n$, alors $\mathcal{D}(e)$ est la boule unité dans $(T_e\mathbb{H}^n, g_e)$ (resp. $(T_e\mathbb{S}^n, g_e)$), où $g$ est la métrique induite.

→ $\mathbb{E}^n$: C'est l'espace euclidien, correspondant à $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire usuel.

→ $\mathbb{H}^n$: C'est le demi-hyperboloïde défini par $\mathbb{H}^n = \{x \in \mathbb{L}^{n+1} \text{ tel que } \langle x|x \rangle_L = -1 \text{ et } x_{n+1} > 0\}$.

→ $\mathbb{L}^{n+1}$: C'est l'espace de Lorentz-Minkowski, correspondant à $\mathbb{R}^{n+1}$ muni du produit de Minkowski $\langle \cdot | \cdot \rangle_L = \langle \cdot | \cdot \rangle - dt^2$.

→ $\mathbb{S}^n$: C'est la sphère unité dans $\mathbb{E}^{n+1}$.

→ $\mathbb{S}_e^{n-1}$: Si $e$ est un point sur $\mathbb{H}^n$ ou $\mathbb{S}^n$, alors $\mathbb{S}_e^{n-1}$ correspond au bord topologique de la boule fermée $\overline{\mathcal{D}}(e)$.

→ $\mathbb{d}\mathbb{S}^n$: C'est l'espace de Sitter, correspondant à la projection de l'hyperboloïde $\mathbb{d}S^n$ dans l'espace projectif.

→ $\mathbb{d}\mathbb{S}^n$: C'est l'hyperboloïde défini par $\mathbb{d}S^n = \{x \in \mathbb{L}^{n+1} \text{ tq } \langle x|x \rangle_L = 1\}$.

## Les fonctions usuelles

→ **CH(t), SH(t) et TH(t):** Ce sont les notations pour les fonctions hyperboliques.

## Les opérations et opérateurs

→ $\overrightarrow{\nabla}h(u)$: Nous noterons ainsi le gradient, pour la métrique usuelle, d'une fonction $f$ définie sur la sphère $\mathbb{S}^n$.

→ $\mathbf{\Delta}_S(f)$: Nous noterons ainsi le laplacien d'une fonction $f$ définie sur la sphère $\mathbb{S}^n$ et pour la métrique usuelle.

→ $\partial_k f \text{ ou } \partial_t \gamma$: Nous noterons de cette manière les dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x_k}$ ou $\frac{\partial \gamma}{\partial t}$.

→ **Ad et Int:** Nous noterons ainsi les opérations de fermeture et d'ouverture topologique.
$\rightarrow \underline{\text{Hess}}(\mathbf{h})_u$: Nous noterons ainsi la matrice hessienne, pour la métrique usuelle, d'une fonction $f$ définie sur la sphère $\mathbb{S}^n$.

## Les ensembles de sections

$\rightarrow \underline{\Delta}(\mathbf{M})$: Si $M$ est une variété différentielle, alors on notera $\Delta(M)$ le $C^\infty(M)$-module des champs de vecteurs qui habituellement admet $\Gamma^0(TM)$ pour notation.

$\rightarrow \underline{\Omega}(\mathbf{M})$: Si $M$ est une $n$-variété différentielle, alors on notera $\Omega(M)$ le $C^\infty(M)$-module des formes différentielles tel que $\Omega(M) = \Omega_1(M) \oplus \cdots \oplus \Omega_n(M)$.

$\rightarrow \underline{\Omega_k}(\mathbf{M})$: Si $M$ est une variété différentielle, alors on notera $\Omega_k(M)$ le $C^\infty(M)$-module des $k$-formes différentielles.

$\rightarrow \underline{\Gamma}(\mathbf{E})$: Si $p : E \mapsto B$ est un fibré vectoriel, alors on notera $\Gamma(E)$ le $C^\infty(B)$-module des sections généralisées tel que $\Gamma(E) = \Omega(B) \otimes \Gamma^0(E)$.

$\rightarrow \underline{\Gamma^0}(\mathbf{E})$: Si $p : E \mapsto B$ est un fibré vectoriel, alors on notera $\Gamma^0(E)$ le $C^\infty(B)$-module des sections lisses $\sigma : B \mapsto E$.

$\rightarrow \underline{\Gamma^k}(\mathbf{E})$: Si $p : E \mapsto B$ est un fibré vectoriel, alors on notera $\Gamma^k(E)$ le $C^\infty(B)$-module des $k$-sections généralisées tel que $\Gamma^k(E) = \Omega_k(B) \otimes \Gamma^0(E)$.

## Les terminologies particulières

$\rightarrow \underline{\text{n-espace vectoriel}}$: On appelle $n$-espace vectoriel tout $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension $n$.

$\rightarrow \underline{\text{n-sphère}}$: On appelle $n$-sphère la sphère $\mathbb{S}^n$ de dimension $n$.

$\rightarrow \underline{\text{n-variété}}$: On appelle $n$-variété toute variété de dimension $n$.

$\rightarrow \underline{\text{p-sous-espace vectoriel}}$: On appelle $p$-sous-espace vectoriel tout sous-espace vectoriel de dimension $p$ dans un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.

$\rightarrow \underline{\text{p-sous-variété}}$: On appelle $p$-sous-variété toute sous-variété de dimension $p$.
# Introduction

Cette thèse est consacrée à une tentative de définir et étudier une notion de hérisson marginalement piégé sur des espaces de Lorentz dont la courbure est non nulle. Pour cela, il nous faudra retrouver une notion de hérisson sur des variétés de Riemann à courbure constante et donc sur leurs revêtements universels (l'espace euclidien, l'espace hyperbolique et la sphère). De plus, il nous sera nécessaire d'approcher cette notion de hérisson par le biais d'une démarche universelle au sens où nous obtiendrons les mêmes formulations (quelle que soit la géométrie considérée) et les mêmes propriétés. Ainsi nous pourrons constater que les différentes notions de hérisson que nous allons considérer correspondent bien lorsque l'on adopte un point de vue relevant de la géométrie de contact ou de la géométrie projective.

## 1 Contexte et résultat connu

L'objet de la théorie des hérissons est de généraliser la théorie de Brunn-Minkowski aux différences de corps convexes. Pour cela, en remarquant que tout corps convexe est caractérisé par son bord, il nous suffit de définir la notion de hérisson comme étant une différence de bords de corps convexes. C'est précisément l'approche qui a été adoptée par R.Langevin, G.Levitt et H.Rosenberg (voir [52] pour plus de détails) en considérant l'enveloppe d'hyperplan $h(u)u + \langle u \rangle^{\perp}$, avec $h: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$ une application de classe $C^k$, où $k \ge 2$. Ainsi, on peut vérifier que de telles enveloppes correspondent à des différences de bords de corps convexes de classe $C^k$. Par la suite, Y.Martinez-Maure a étendu de telles différences de corps convexes à tous les corps convexes, fournissant ainsi les premières définitions et propriétés de la théorie des hérissons (voir l'ouvrage [78] pour un exposé complet). L'intérêt d'une telle théorie réside dans la réduction de la complexité des différentes problématiques (traitant de questions connexes aux corps convexes) du fait que l'ensemble des hérissons admet une structure d'espace vectoriel. Nous pouvons prendre, pour exemple, la proposition d'un contre-exemple à la conjecture d'A.D.Aleksandrov<fnref n="1" /> (voir [63] pour en savoir plus). En ce qui nous concerne, nous nous en tiendrons aux hérissons de classe $C^{\infty}$. Aussi, il est important de noter que, dans cette thèse, nous abordons seulement une petite partie des notions relevant de la théorie des hérissons. En particulier, nous prendrons soin d'en donner la définition la plus large possible (voir chapitre 1 et 4 pour plus de détails). Puis, nous nous contenterons d'en exposer leur caractérisation en géométrie de contact, par un certain type d'immersion de Legendre, ainsi que leurs propriétés de dualité projective.

$$ (k_1 - c)(k_2 - c) \le 0, $$

<footnote n="1">1. La conjecture d'A.D.Aleksandrov affirme que toute surface convexe fermée de classe $C^2_+$ dans $\mathbb{R}^3$ dont les courbures principales $k_1$ et $k_2$ vérifient l'inégalité :</footnote>

<footnote>avec $c$ une constante, est nécessairement la 2-sphère.</footnote>
## 1.1 Définition d'un hérisson euclidien

Considérons donc $h : S^{n-1} \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^\infty$. Alors on appelle **famille d'hyperplans co-orientés** toute famille d'hyperplans de la forme $h(u)u + \langle u \rangle^\perp$ ainsi que **hérisson euclidien** toute enveloppe paramétrée (voir définition 1.2.4 et 1.2.5 page 36) de famille d'hyperplans co-orientés. En particulier, nous appellerons naturellement **fonction de support** la fonction $h$. Il est alors possible de vérifier que le bord d'un corps convexe de classe $C^\infty$ est un hérisson euclidien dont la famille d'hyperplans co-orientés correspond à sa famille d'hyperplans tangents. Ensuite, en constatant que pour toute fonction $h$, il existe $k \in \mathbb{R}$ tel que $h + k$ correspond à la fonction de support d'un corps convexe de classe $C^\infty$, on obtient alors que tout hérisson est une différence de bords de corps convexes (voir propriété 1.3.4 page 44).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Exemple de hérisson comme différence de bords de corps convexes</figcaption></figure>

Il nous faut alors remarquer que tout hérisson euclidien, que l'on note $\mathcal{H}_h$ (avec $h$ la fonction de support), admet $x(u) = h(u)u + \vec{\nabla}h(u)$ pour paramétrage que l'on peut considérer (ou interpréter) comme étant l'inverse de son application de Gauss. En effet, si pour $u_0 \in S^{n-1}$, la différentielle $d_{u_0}x$ est injective, alors $\mathcal{H}_h$ est localement une hypersurface orientée, en $x_0 = x(u_0)$, dont $x^{-1}$ correspond à un champ orthonormal. En particulier, si $\mathcal{H}_h$ est le bord d'un corps convexe $K$, alors le paramétrage $x : S^{n-1} \to \mathcal{H}_h = \partial K$ est un difféomorphisme dont l'inverse correspond au champ orthonormal sortant.

## 1.2 Caractérisation en géométrie de contact

L'objet de cette caractérisation est de proposer une méthode de généralisation de la notion de hérisson à d'autres espaces que l'espace euclidien (voir [74] pour en savoir plus). Commençons par remarquer qu'une application $x : S^{n-1} \to \mathbb{R}^n$ correspond au paramétrage d'un hérisson euclidien si et seulement si elle vérifie la condition :

$$ \langle u | d_u x \cdot \vec{v} \rangle = 0 \qquad (1.2.1) $$

que l'on appelle **condition de contact**.

Ensuite, on rappelle qu'une structure de contact est la donnée d'une $(2n + 1)$-variété différentielle $M$ que l'on munit d'une 1-forme $\alpha \in \Omega_1(M)$ (que l'on appelle **forme de contact**) telle que $(d\alpha)^n \wedge \alpha \neq 0$. Aussi, on appelle :

1. **Immersion de Legendre** toute immersion $i : \Gamma \to M$ définie sur une $n$-variété telle que $\mathrm{Im}(d_i i) \subset \mathrm{Ker}(\alpha_{i(u)})$.

2. **Sous-variété de Legendre** toute $n$-sous-variété $\mathcal{L} \subset M$ telle que $T_x \mathcal{L} \subset \mathrm{Ker}(\alpha_x)$, pour tout $x \in \mathcal{L}$.

3. **Fibré de Legendre** tout fibré lisse $p : M \to \beta$ dont les fibres sont des sous-variétés de Legendre.
4. **Front de Legendre** La donnée de la partie $p \circ i(\Gamma)$ et du paramétrage $x := p \circ i$ avec $p$ et $i$ étant respectivement un fibré et une immersion de Legendre.

et est donc le vocabulaire nécessaire pour caractériser la notion de hérisson euclidien en géométrie de contact. Pour en savoir plus, il est possible de consulter l'annexe B dans laquelle nous décrivons ces différentes notions. Ainsi, on peut définir sur $\mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n$ la 1-forme de contact $\alpha_{(u,x)} \cdot (V, X) = \langle u | X \rangle$ et par la condition (1.2.1), il est clair que tout hérisson euclidien est le front legendrien d'une immersion de Legendre de la forme

$$i(u) = (u, x(u)) \qquad (1.2.2)$$

En particulier, on peut remarquer que l'immersion de Legendre $i: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n$ correspond au relèvement du paramétrage $x$ en une immersion définissant une $(n-1)$-sous-variété de Legendre sur $\mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n$.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Relèvement d'un hérisson euclidien via l'immersion de Legendre (en identifiant $\mathbb{S}^1$ avec $]0, 2\pi[$).</figcaption></figure>

Pour finir, considérons $i: \Gamma \mapsto \mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n$ une immersion de Legendre. Alors on appelle application de Gauss l'application $\nu: \Gamma \mapsto \mathbb{S}^{n-1}$ telle que $i(u) = (\nu(u), x(u))$. Et ainsi, on peut formuler le résultat suivant :

**Théorème.** Tout hérisson euclidien est, à difféomorphisme de $\mathbb{S}^{n-1}$ près, le front legendrien d'une immersion de Legendre dont l'application de Gauss est un difféomorphisme.

Nous pouvons considérer ce dernier résultat comme étant une caractérisation des hérissons euclidiens en géométrie de contact. De plus, comme nous retrouvons cette caractérisation pour tous les autres types de hérissons, comme les hérissons lorentziens (voir page 431 de [74]) ou complexes (voir [77]), mais aussi les g-hérissons (et h-hérissons) de l'espace hyperbolique et de la sphère que nous introduisons dans cette thèse (voir théorème 7.3.1 et 10.3.2), il est alors possible de considérer, comme hypothèse de généralisation, de définir une notion de hérisson en se reposant sur cette caractérisation. C'est précisément la proposition qu'a faite Y.Martinez-Maure dans la section 2.2.1 page 338 de [74].
## 1.3 Dualité projective d'un hérisson euclidien

Les relations de dualité polaire (ou projective) sont bien connues pour les corps convexes (voir section 1.6 de [100] pour un exposé détaillé) et il est naturel de les retrouver pour les hérissons euclidiens. Ainsi, pour $e = (0, \dots, 0, 1) \in \mathbb{S}^n$, on considère l'espace tangent $T_e \mathbb{S}^n = \langle e \rangle^\perp$, que l'on identifie avec $\mathbb{R}^n$, ainsi que $\mathcal{H}_e(\mathbb{P}_n)$, l'ensemble des hyperplans projectifs ne contenant pas le point $e$. En conséquence, on définit les relations de dualité suivantes :

1. Si $x \in \mathbb{R}^n$ et $L \subset \mathbb{R}^n$ sont un point et un hyperplan affine, alors on définit l'hyperplan projectif $x^* = p(\langle e + x \rangle^\perp)$ ainsi que le point $L^* = p(e + L)^\perp$.

2. Si $\alpha \in \mathbb{P}_n \setminus \{e\}$ et $H \in \mathcal{H}_e(\mathbb{P}_n)$ sont un point et un hyperplan projectif, alors on considère l'hyperplan affine $\alpha^* \subset \mathbb{R}^n$ et le point $H^* \in \mathbb{R}^n$ tels que $\alpha = p(\langle e + \alpha^* \rangle^\perp)$ et $H = p(\langle e + H^* \rangle^\perp)$.

Il est alors facile de vérifier que les relations que nous avons considérées sont involutives (au sens où $x^{**} = x$, $L^{**} = L$, $\alpha^{**} = \alpha$ et $H^{**} = H$), ce qui justifie que l'on parle de dualité. Par la suite, si $\mathcal{H} \subset \mathbb{R}^n$ est l'enveloppe paramétrée d'une famille d'hyperplans affines $(\Sigma_u)_{u \in \Gamma}$, alors on appelle *dual* de $\mathcal{H}$ la donnée de la partie $x^*(\Gamma)$ et du paramétrage $x^*(u) = \Sigma_u^*$. En considérant la même définition pour toute enveloppe paramétrée $\Lambda \subset \mathbb{P}_n \setminus \{e\}$, on peut vérifier que le dual d'un hérisson euclidien $\mathcal{H} \subset \mathbb{R}^n$ est l'enveloppe paramétrée de la famille d'hyperplans projectifs $x(u)^*$, avec $x: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}^n$ le paramétrage du hérisson $\mathcal{H}$ tel que $\mathcal{H}^{**} = \mathcal{H}$, ce qui justifie de nouveau que l'on parle de dualité. En particulier, on peut calculer que lorsque $h(u)$ est non nul, alors le paramétrage du dual a pour expression $x^*(u) = \frac{u}{h(u)}$.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Dual d'un hérisson euclidien</figcaption></figure>

Il est également important de remarquer que la notion de dualité projective sur les corps convexes coïncide avec celle des hérissons euclidiens. Ainsi, on sait que la dualité sur les hérissons euclidiens prolonge la notion de dualité projective connue pour les corps convexes. Pour conclure, observons qu'il est possible de représenter sur la sphère $\mathbb{S}^n$ le dual d'un hérisson euclidien en considérant le représentant $s: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{S}^n$ du paramétrage $x^*$ selon la relation :

$$s(u) = \sigma(u)[u - h(u)e] \text{ avec } \sigma(u) = \frac{1}{\sqrt{1 + h(u)^2}} \qquad (1.3.3)$$

Ce résultat est intéressant car le dual d'un hérisson, ainsi défini, correspond simplement au graphe de la fonction de support $h$ en considérant l'équateur comme étant l'axe des abscisses et qui est donc une hypersurface orientée.
## 1.4 Les hérисsons marginalement piégés

La notion de hérisson marginalement piégé apparaît naturellement lorsque l'on prolonge au hérisson euclidien de l'espace $\mathbb{R}^3$ les inégalités isopérimétriques que l'on connaît sur les corps convexes (voir chapitre 7 de [100]). Comme nous décrivons en détail cette notion au chapitre 11, nous nous contenterons, dans cette introduction, d'un court exposé en présentant uniquement les éléments essentiels. Il est aussi possible de consulter l'article [74] dans lequel Y.Martinez-Maure définit et étudie les propriétés de cette notion.

Sur le plan, on peut vérifier (voir [60] pour plus de détails) qu’un hérisson euclidien $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{R}^2$ vérifie l’inégalité isopérimétrique $0 \le l(h)^2 - 4\pi a(h) \le -4\pi a(\partial h) = -4\pi a(h, \partial^2 h)$ avec $a(h)$ l’aire du hérisson, $a(\partial h)$ l’aire de sa développée et $a(h, \partial^2 h)$ l’aire mixte du hérisson avec sa développée seconde. Il convient de noter que les développées première et seconde d’un hérisson du plan sont aussi des hérисsons euclidiens. Cependant, pour les hérисsons sur l’espace euclidien $\mathbb{R}^3$, si on peut définir sur $\mathbb{R}^3$ la développée moyenne qui correspond à la double développée (et qui est aussi un hérisson euclidien), il n’est pas possible de définir sur $\mathbb{R}^3$ un équivalent de la développée simple d’un hérisson euclidien. C’est précisément pour définir un équivalent de la développée simple d’un hérisson sur l’espace (sans s’imposer la contrainte qu’elle réside sur $\mathbb{R}^3$) que Y.Martinez-Maure a introduit la notion de hérisson marginalement piégé. Il s’agit d’une surface marginalement piégée<fnref n="2" /> de l’espace de Lorentz-Minkowski $\mathbb{L}^4$ qui vérifie des propriétés analogues à celle des hérисsons euclidien. Ce qui est surprenant et qui rend l’étude des hérисsons marginalement piégés très intéressante, c’est que les surfaces marginalement piégées correspondent à une catégorie de surfaces qui ont été introduites par R. Penrose (voir [83] pour l’article original) pour étudier, dans le cadre de la relativité générale, l’horizon d’un trou noir.

Considérons donc $(l_u)_{u \in \mathcal{S}^2}$ une famille de droites affines de type lumière sur l'espace de Lorentz-Minkowski $\mathbb{L}^4 = \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}$, vérifiant que pour tout $u \in \mathcal{S}^2$, la droite $Ru$ est orthogonale à l'intersection $(l_u)_0^{\perp} = \mathbb{R}^3 \cap (l_u)^{\perp}$.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 4 – Représentation sur $\mathbb{L}^3$</figcaption></figure>

En particulier, on appelle **famille de lignes lumière orientées** les familles de droites affines ainsi définies. Dans un premier temps, on peut remarquer que toute famille de lignes lumière orientées correspond à un unique hérisson euclidien tel que $l_u = x(u) + Ru_L$, avec $x$ le paramétrage du hérisson lui étant associé. On appelle alors **co-enveloppe** d'une telle famille, la donnée de la partie $y(\mathcal{S}^2)$ et du paramétrage $y : \mathcal{S}^2 \to \mathbb{L}^4$ telle que $y(u) \in l_u$, $\langle du_y \cdot \overline{v} | u_L \rangle = 0$ et

<footnote n="2">². Si $(M, g)$ est une 4-variété de Lorentz, alors on appelle **surface marginalement piégée** toute 2-sous-variété de type espace dont le vecteur de courbure moyenne est de type lumière.</footnote>
$\langle \delta(dy)|u_L \rangle = 0$ (qu'on appelle condition de co-contact), avec $u_L = (u, -1)$ et $\delta$ la co-différentielle de Hodge. Ainsi, on obtient les deux résultats suivants :

**Théorème.** Toutes les familles de lignes lumière orientées admettent une unique co-enveloppe. Plus précisément, si $(l_u)_{u \in \mathbb{S}^2}$ est une famille de lignes lumière et h la fonction de support du hérisson euclidien lui correspondant, alors sa co-enveloppe admet pour paramétrage

$$y_{\partial h}(u) = L_h(u) + \delta(dh)_u u_L \quad (1.4.4)$$

$$\text{avec } L_h(u) = (\vec{\nabla} h(u), h(u)).$$

Par ce théorème, on sait que si $(l_u^1)u \in \mathbb{S}^2$ et $(l_u^2)u \in \mathbb{S}^2$ sont deux familles de lignes lumières orientées, telles que $dh_1 = dh_2$, alors leurs co-enveloppes se correspondent, à une translation près par rapport à l'axe du temps. En particulier, il est justifié d'appeler **1-forme de support** la forme différentielle $dh$ correspondant à chaque famille de lignes lumières orientées. Par conséquence, nous avons que pour chaque forme exacte $dh$, correspond une unique co-enveloppe $\partial \mathcal{H}$, à translation près par rapport à l'axe du temps. Ensuite, nous avons :

**Théorème.** Toute co-enveloppe d'une famille de lignes lumière orientées est, en ses points non-ombilic, localement une surface marginalement piégée. Plus précisément, si $\partial \mathcal{H}$ est la co-enveloppe de la famille de lignes lumière $(l_u)_{u \in \mathbb{S}^2}$, alors on a :

1. La première forme fondamentale est $y^*g = \frac{1}{4}(R_1 - R_2)^2 g_S$, avec $g$ la métrique de l'espace de Lorentz-Minkowski, $R_i$ les rayons de courbure principaux du hérisson $\mathcal{H}_h$ qui correspondent à la famille de lignes lumière et $g_S$ la métrique usuelle de la sphère.

2. Pour tout point non-ombilic (c'est-à-dire : $u \in \mathbb{S}^2$ tel que $R_1(u) \neq R_2(u)$), le paramétrage $y_{\partial h}$ est localement un plongement dont le vecteur de courbure moyenne est colinéaire à $u_L$.

**Note.** On appelle rayons de courbure principaux d'un hérisson $\mathcal{H} \subset \mathbb{R}^n$, les fonctions qui sont définies, en chaque $u \in \mathbb{S}^{n-1}$, par les valeurs propres de la différentielle $d_u x : T_u \mathbb{S}^{n-1} \to T_u \mathbb{S}^{n-1}$.

Pour comprendre la correspondance entre la développée d'un hérisson du plan et les hérissons marginalement piégés que nous venons de considérer, il suffit de constater que de telles constructions correspondent forcément à la transformée de $\mathcal{L}$-Gauss (pour plus de détails, voir l'article [82] ou les dernières pages de la section 11.1) d'un hérisson euclidien de $\mathbb{R}^3$. De ce qui précède, nous pouvons conclure que les hérissons marginalement piégés correspondent bien à des surfaces marginalement piégées qui vérifient des propriétés analogues à celles des hérissons. Il est donc justifié d'appeler **hérisson marginalement piégé** toute co-enveloppe d'une famille de lignes lumière orientées. En particulier, pour mieux comprendre cette correspondance, nous comparons les différentes propriétés qui caractérisent les notions de hérisson euclidien et hérisson marginalement piégé dans le tableau suivant :
<table><thead><tr><th></th><th>Les hérissons euclidiens</th><th>Les hérissons marginalement piégés</th></tr></thead><tbody><tr><td>La définition géométrique :</td><td>Espace ambiant : L'espace euclidien (R<sup>n</sup>, g), avec g le produit scalaire usuel de R<sup>n</sup>.<br>Les hérissons euclidiens sont des enveloppes de familles d'hyperplans co-orientés (&Sigma;<sub>u</sub>)<sub>u&isin;S<sup>n-1</sup></sub>.</td><td>Espace ambiant : Le lorentziarisé (R<sup>3</sup> &times; R, g<sub>L</sub>) avec g<sub>L</sub> = g &minus; dt<sup>2</sup> la métrique de Minkowski induite du produit scalaire. Les hérissons marginalement piégés sont des co-enveloppes de familles de lignes lumière orientées (l<sub>u</sub>)<sub>u&isin;S<sup>2</sup></sub>.</td></tr><tr><td>La condition différentielle :</td><td>Tout hérisson euclidien correspond à l'image d'une application lisse x : S<sup>n-1</sup> &mapsto; R<sup>n</sup> vérifiant la condition de contact ci-dessous :<br>Pour tout u &isin; S<sup>n-1</sup>, &lang;d<sub>u</sub>x|u&rang; = 0</td><td>Tout hérisson marginalement piégé correspond à l'image d'une application lisse y : S<sup>2</sup> &mapsto; L<sup>4</sup> vérifiant les conditions respectives de contact et de co-contact ci-dessous :<br>1. Pour tout u &isin; S<sup>2</sup>, &lang;d<sub>u</sub>y|u<sub>L</sub>&rang; = 0<br>2. Pour tout u &isin; S<sup>2</sup>, &lang;&delta;(dy)<sub>u</sub>|u<sub>L</sub>&rang; = 0<br>Ici, on rappelle que u<sub>L</sub> = (u, &minus;1) et &delta; est la co-différentielle de Hodge.</td></tr><tr><td>Relèvement :</td><td>On se place dans le cadre de la géométrie de contact.<br>(R<sup>n</sup> &times; S<sup>n-1</sup>, &alpha;)<br>Si x<sub>h</sub> : S<sup>n-1</sup> &mapsto; R<sup>n</sup> est le paramétrage d'un hérisson euclidien H &sub; R<sup>n</sup>, alors on définit le plongement i<sub>h</sub> : S<sup>n-1</sup> &mapsto; R<sup>n</sup> &times; S<sup>n-1</sup> tel que :<br>i<sub>h</sub>(u) = (x<sub>h</sub>(u), u)<br>Ce plongement vérifie alors les deux points suivants :<br>1. C'est une immersion de Legendre sur i<sub>h</sub>(S<sup>n-1</sup>) qui est donc une sous-variété de Legendre.<br>2. Le hérisson euclidien H est le front de Legendre pour l'immersion i<sub>h</sub>.<br>En d'autres termes, tout hérisson euclidien se relève dans la variété de contact (R<sup>n</sup> &times; S<sup>n-1</sup>, &alpha;) en une sous-variété de Legendre.</td><td>On se place dans le cadre du symplectisé :<br>(L<sup>4</sup> &times; S<sup>2</sup>, w)<br>avec L<sup>4</sup> &times; S<sup>2</sup> = (R<sup>3</sup> &times; S<sup>2</sup>) &times; R et la forme symplectique w = d[e<sup>t</sup>&alpha;].<br>Si y<sub>&part;h</sub> : S<sup>2</sup> &mapsto; L<sup>4</sup> &times; S<sup>2</sup> est la paramétrisation d'un hérisson marginalement piégé &part;H &sub; L<sup>4</sup>, alors on définit le plongement i<sub>&part;h</sub> : S<sup>2</sup> &mapsto; L<sup>4</sup> &times; S<sup>2</sup> tel que :<br>i<sub>&part;h</sub>(u) = (y<sub>&part;h</sub>(u), u)<br>Ce plongement vérifie alors les trois points suivants :<br>1. Si on considère L<sub>h</sub> la surface de Lagrange formée par tous les hérissons parallèles de fonction de support h + t primitifive de la 1-forme &part;h alors :<br>i<sub>&part;h</sub>(S<sup>2</sup>) &sub; L<sub>h</sub><br>2. C'est un plongement pour lequel la surface i<sub>&part;h</sub>(S<sup>2</sup>) est marginalement piégée.<br>3. Le hérisson marginalement piégé &part;H est le front de Lagrange pour l'immersion i<sub>&part;h</sub>.<br>En d'autres termes, tout hérisson marginalement piégé se relève dans la variété symplectique (L<sup>4</sup> &times; S<sup>2</sup>, w) en une surface marginalement piégée comprise dans une sous-variété de Lagrange.</td></tr></tbody></table>
## 2 Problématique et contraintes sur les choix de définition

La notion de hérisson marginalement piégé sur l'espace de Lorentz-Minkowski introduit une nouvelle catégorie de surface marginalement piégée qui présente des propriétés géométriques correspondant à la notion de hérisson euclidien. Le but de cette thèse est de généraliser cette notion pour des espaces dont la courbure n'est pas nulle. Nous traiterons le cas des variétés de Lorentz de la forme $(M \times \mathbb{R}, g_L)$, où $g_L = g - dt^2$ et $(M, g)$ est une 3-variété de Riemann à courbure constante. Il sera donc nécessaire de définir une notion de hérisson pour l'espace hyperbolique $\mathbb{H}^n$ et la sphère $\mathbb{S}^n$, qui correspondent respectivement au revêtement universel des variétés de Riemann à courbure constante. Pour cela, nous devrons définir et étudier une notion de hérisson sur l'espace hyperbolique et la sphère qui généralise la notion de hérisson euclidien, en veillant à bien saisir la mécanique de cette généralisation. De plus, les définitions que nous envisagerons devront respecter la contrainte suivante, qui est intrinsèquement satisfaite dans le cas des hérissons euclidiens : Le rayon de courbure moyenne doit exister et être fini en tout point. Par conséquence, sur l'espace hyperbolique (tout comme sur la sphère), si $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^3$ est un hérisson dont le paramétrage est $x : \mathbb{S}^2 \to \mathbb{H}^3$ et le champ orthonormal est $N : \mathbb{S}^2 \to x^*ST\mathbb{H}^3$, il doit exister, en tout point, des scalaires $r_1$ et $r_2$ tels que :

$$d_u x \cdot \vec{v}_1 = r_1 d_u N \cdot \vec{v}_1 \text{ et } d_u x \cdot \vec{v}_2 = r_2 d_u N \cdot \vec{v}_2 \qquad (2.0.1)$$

ce qui nécessite que, pour tout $u \in \mathbb{S}^2$, la dérivée covariante $\nabla(N)_u$ soit injective. Bien que cette contrainte n'ait pas de sens sur l'espace euclidien - qui est forcément satisfaite par les hérissons euclidiens - nous verrons que dans l'espace hyperbolique (tout comme sur la sphère), cette contrainte influencera significativement nos choix de définitions.

En effet, sur l'espace hyperbolique, plusieurs méthodes existent pour définir la notion de hérisson (une infinité pour être plus précis, voir [33] pour plus de détails). Certaines ont déjà été considérées comme des enveloppes d'horosphères (voir [24], [26] et [25]) ou encore les enveloppes d'hypersurfaces totalement géodésiques (voir [81]). En conséquence, nous prendrons soin de définir et d'établir les fondements d'une théorie des hérissons pour l'espace hyperbolique et la sphère, apportant des solutions à toutes les questions nécessaires pour présenter une construction rigoureuse, complète et cohérente qui ambitionne de regrouper et d'unifier, autant que possible, toutes les approches précédemment explorées.

## 3 Principaux résultats de la thèse

La notion de corps convexe sur l'espace hyperbolique et sur la sphère suscite de l'intérêt depuis près d'un demi-siècle (voir [95], [96], [97] et [98]). Naturellement, des questions fondamentales émergent, telles que la recherche d'une opération équivalente à la somme de Minkowski et l'étude des inégalités isopérimétriques. Il apparaît rapidement qu'il n'existe pas de définition canonique pour des notions telles que la somme ou la largeur d'un corps convexe. Pour chacune d'entre elles, nous identifions des avantages et des inconvénients, sans jamais parvenir à une situation aussi confortable que celle observée sur l'espace euclidien. C'est précisément dans ce contexte que nous introduisons différentes notions de hérisson, correspondant chacune à un choix de méthode pour comparer les hyperplans tangents (et donc de "support") au bord d'un corps convexe (voir les sections 4.2 et 5.2 pour une description plus complète).
## 3.1 Définition et conditions d'existence des g-hérissons sur l'espace hyperbolique

Sur l'espace hyperbolique, il existe plusieurs méthodes pour définir la notion de hérisson, dont essentiellement deux : les h-hérissons (enveloppes d'horosphères) et les g-hérissons (enveloppes d'hyperplans totalement géodésiques). Pour notre part, nous nous concentrerons sur la notion de g-hérisson, même si nous discuterons également des h-hérissons.

Considérons un point $e \in \mathbb{H}^n$, alors on appelle **famille de g-hyperplans co-orientés en e** toute famille lisse (voir annexe A pour plus de détails) d'hyperplans totalement géodésiques $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$, avec $\mathbb{S}_e^{n-1} = S[T_e\mathbb{H}^n]$ vérifiant que pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$ :

$$ \gamma_u \perp \Sigma_u \qquad (3.1.1) $$

avec $\gamma_u$ la géodésique qui passe par le point $e$ à la vitesse $u$.

Notons que si $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$ est une telle famille de g-hyperplans (on appelle g-hyperplan toute hypersurface totalement géodésique), alors on peut l'associer à une fonction $h : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathbb{R}$, que l'on appelle **fonction de support centré en e** (ou simplement fonction de support), correspondant à l'unique fonction $h$ telle que $\gamma_u(h(u)) \in \Sigma_u$. Ainsi, on définit la notion de g-hérisson comme suit :

**Définition.** On appelle **g-hérisson centré en e** toute enveloppe paramétrée $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^n$ d'une famille de g-hyperplans co-orientés en e. De plus, on appelle **fonction de support de H** la fonction de support de la famille de g-hyperplans.

On peut aisément remarquer que le bord d'un corps g-convexe est bel et bien un g-hérisson (en tout point de $\mathbb{H}^n$) et que, via la projection de Klein centrée en $e$, tout g-hérisson centré en $e$ correspond à un hérisson euclidien sur l'espace tangent $(T_e\mathbb{H}^n, g_e)$. Cependant, la première grande différence avec ce que nous connaissons des hérissons de l'espace euclidien est que toute famille de g-hyperplans centrée en $e$ ne correspond pas nécessairement à un g-hérisson. En particulier, nous avons le résultat suivant :

**Théorème.** Une famille de g-hyperplans co-orientés centrés en e admet une enveloppe paramétrée si et seulement si sa fonction de support vérifie la condition :

$$ \frac{\| \vec{\nabla} h(u) \|}{CH h(u)} < 1 \qquad (3.1.2) $$

pour tout $u \in \mathbb{S}_e^{n-1}$. De plus, dans le cas d'existence d'une enveloppe paramétrée, cette dernière est unique.

Pour conclure, notons qu'il est possible de construire des familles de g-hyperplans co-orientés en $e$ pour lesquelles il existe un point $v_0 \in \mathbb{H}^n$ tel que la famille de g-hyperplans en question n'est pas co-orientée en $v_0$ (voir figure 4.4 page 94 pour comprendre comment construire une telle famille). Concernant la notion de g-hérisson, nous avons le résultat suivant :

**Théorème.** Tout g-hérisson centré en e est centré en tout point de $\mathbb{H}^n$.

Ce dernier résultat montre que la notion de g-hérisson sur l'espace hyperbolique est aussi pertinente que la notion de h-hérisson qui a déjà été considérée (voir [24], [26] et [25]) sans la nommer explicitement, pour étudier les corps h-convexes qui sont une sous-catégorie des corps g-convexes. Il est aussi intéressant de noter que la correspondance géométrique entre les g-hérissons
et les hérissons euclidiens pourrait permettre de retrouver, sur l'espace hyperbolique, des résultats analogues à ceux que nous connaissons sur l'espace euclidien. En effet, nous pouvons citer comme exemple les développements récents entrepris par D.Rochera et Y.Martinez-Maure sur les courbes de Zindler (voir [90] et [91] pour plus de détails), développements qui pourraient être transposés sur l'espace hyperbolique via les g-hérissons.

## 3.2 Pseudo-hérissons et g-hérissons sur la sphère

Sur la sphère, les choses se compliquent en raison de la non-injectivité de la carte exponentielle. L'approche intuitive suggérerait de considérer un point $e \in \mathbb{S}^n$ ainsi que la demi-sphère ouverte $\Omega_e = \{x \in \mathbb{S}^n \text{ tel que } \langle x|e \rangle > 0\}$ pour définir la notion de g-hérisson via la projection gnomonique $\varphi_e : \Omega_e \to T_e\mathbb{S}^n$ (voir section 5.2 de l'annexe E). Le principal inconvénient de cette méthode est qu'elle ne définit pas géométriquement la notion de hérisson. Par conséquent, il est naturel de reprendre ce que nous avons fait sur l'espace hyperbolique en l'adaptant à la sphère. Ainsi, pour $e \in \mathbb{S}^n$, on appelle **famille de g-hyperplan co-orienté en e** toute famille lisse d'hyperplans totalement géodésiques tels que $\gamma_u \perp \Sigma_u$, pour tout $u \in \mathbb{S}^{n-1}$. On peut alors remarquer que, dans le cas de la sphère, il n'est pas toujours vrai que toute famille de g-hyperplan co-orienté possède une fonction de support. De plus, en considérant la famille $\Sigma_u = C_e = \mathbb{S}^n \cap \langle e \rangle^{\perp}$, il s'agit clairement d'une famille de g-hyperplans co-orientés en e pour laquelle $C_e$ correspond à une des enveloppes (qui ne sont même pas uniques). Mais puisqu'il est évident que $C_e$ ne satisfait pas aux caractéristiques que nous recherchons (voir section 2), nous ne pouvons pas simplement définir la notion de g-hérisson sur la sphère comme étant l'enveloppe paramétrée d'une famille de g-hyperplan co-orienté. Nous considérons donc la définition suivante :

**Définition.** On appelle **pseudo-hérisson centré en e** toute enveloppe paramétrée d'une famille de g-hyperplan co-orienté en e.

**Note.** On notera $x$ le paramétrage de l'enveloppe.

Nous pouvons alors observer (voir les sections 9.2.2.1 et 9.2.2.2 aux pages 189 et 191) que les pseudo-hérissons centrés en e et qui ne correspondent pas aux contraintes énoncées à la section 2, intersectent l'équateur $C_e$. À ce stade, nous n'avons pas totalement épuisé cette question qui fait l'objet de la conjecture suivante :

**Conjecture.** Tout pseudo-hérisson $\mathcal{H} \subset \mathbb{S}^n$ centré en e dont la partie $K = x^{-1}(\mathcal{H} \cap C_e) \subset \mathbb{S}^{n-1}$ (qui est toujours un corps à bords lisses) est non vide et n'est pas une demi-sphère, est, en un point $x_0 \in \mathcal{H}$, localement une hypersurface dont la courbure est nulle.

Néanmoins, il est possible de vérifier cette conjecture dans le cas où le corps $K$ est compris dans une demi-sphère et est difféomorphe à la boule unité $B^{n-1}$ (voir théorème 9.3.1 page 210 pour plus de détails). En nous basant sur cette conjecture, nous pouvons conclure que la catégorie de pseudo-hérissons qui nous intéresse correspond aux pseudo-hérissons compris dans la demi-sphère $\Omega_e$ et donc, nous retrouvons bien notre considération intuitive initiale. Par conséquent, il est justifié d'ajouter à la définition de famille de g-hyperplan co-orienté en e la contrainte suivante :

$$ \Sigma_u \neq C_e \qquad (3.2.3) $$

pour tout $u \in \mathbb{S}^{n-1}$. Nous considérons donc la définition suivante :

**Définition.** Nous appelons **g-hérisson centré en e** toute enveloppe paramétrée $\mathcal{H}$, d'une famille de g-hyperplan co-orienté en e, qui est comprise dans la demi-sphère ouverte $\Omega_e$.
Il est alors clair que toute famille de g-hyperplans co-orientés centrés en *e* vérifiant la condition (3.2.3) admet une unique fonction de support *h* à image dans l'intervalle $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Aussi, on peut montrer que de telles familles de g-hyperplans admettent forcément une unique enveloppe paramétrée dans la demi-sphère $\Omega_e$ et qui correspond, via la projection gnomonique $\varphi_e$, à un hérisson euclidien sur l'espace tangent $T_eS^n$. En particulier, il n'y a pas de condition d'existence comme c'est le cas pour les g-hérissons de l'espace hyperbolique, mais par contre, la notion de g-hérisson sur le sphère dépend fortement du choix du point de référence (voir section 10.2 page 215 pour plus de détails).

## 3.3 Caractérisation en structure de contact

Sur l'espace euclidien, la définition de l'application de Gauss est canonique. Cependant, ce n'est plus le cas sur l'espace hyperbolique et sur la sphère. Dans cette introduction, nous ne présenterons qu'une seule méthode pour définir l'application de Gauss. Il est cependant à noter que nous pourrions également proposer une définition alternative (voir les sections 7.2.1 et 10.3 des pages 160 et 216 pour plus de détails) qui nous permettrait d'obtenir des résultats intéressants.

Considérons, sur l'espace projectif, l'ensemble $\mathbb{A}^{n-1} = \{p(x) \text{ tel que } \langle x|x \rangle_L = 0\} \subset \mathbb{P}_n$ que l'on appelle **absolue**, avec $p$ la projection projective. Si $\Sigma \subset \mathbb{H}^n$ est une hypersurface orientée et si $N : \Sigma \mapsto \text{ST}\mathbb{H}^n$ est un champ orthonormal, alors on définit l'**application de Gauss** comme étant l'unique application $\nu : \Sigma \mapsto \mathbb{A}^{n-1}$ telle que pour tout $x \in \Sigma$, le point $\nu(x)$ correspond à la limite à l'infini de la fonction $p(\gamma_{N(x)}(t))$, où $\gamma_u$ est la géodésique passant par le point $x$ à la vitesse $N(x)$. En particulier, il nous faut noter que toute hypersurface orientée et connexe admet exactement deux applications de Gauss.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 5 – Application de Gauss d'une hypersurface sur l'espace hyperbolique</figcaption></figure>

On appelle **horosphère** toute hypersurface orientée qui est maximale au sens de l'inclusion et dont l'application de Gauss est constante (ce qui est équivalent à ce que les courbures principales soient toutes et partout égales à -1). Il est donc clair que pour tout $x \in \mathbb{H}^n$ et $a \in \mathbb{A}^{n-1}$, il existe une unique horosphère contenant le point $x$ et dont l'application de Gauss pointe vers $a$. Ainsi, on appelle horosphère centrée en $a$ toute horosphère dont l'application de Gauss pointe vers $a$. Par conséquent, considérer une hypersurface dont l'application de Gauss $\nu : \Gamma \mapsto \mathbb{A}^{n-1}$ est un difféomorphisme revient à dire qu'elle soit l'enveloppe d'une famille lisse d'horosphères $(\Sigma_a)_{a \in \mathbb{A}^{n-1}}$, où chaque $\Sigma_a$ est centré en $a$. Il est alors justifié d'appeler **h-hérisson** toute enveloppe d'une telle famille d'horosphères. Si nous voulons caractériser les g-hérissons par des immersions de Legendre dont l'application de Gauss (définie comme ci-dessus) est un difféomorphisme, il est nécessaire de déterminer les critères de correspondance entre les g-hérissons et les h-hérissons. On obtient alors (voir les propriétés 7.3.1 et 7.3.2 pour plus de détails) :
Tout h-hérisson dont les courbures principales, partout où elles existent, ne sont jamais nulles, est un g-hérisson. De plus, tout g-hérisson dont les courbures principales, partout où elles existent, ne valent jamais $-1$ est un h-hérisson.

Nous savons donc que les h-hérissons dont les courbures principales ne sont jamais nulles correspondent aux g-hérissons dont les courbures principales ne valent jamais $-1$. En particulier, lorsque les conditions sur les courbures principales ne sont plus remplies, il est facile de définir des h-hérissons et des g-hérissons qui ne correspondent pas simultanément aux deux définitions (voir la propriété 5.3.5 et la remarque 7.3.1, des pages 123 et 170, pour en savoir plus). Par la suite, on définit naturellement une structure de contact sur le fibré des sphères $ST\mathbb{H}^n$ en considérant la forme de contact :

$$ \alpha_{x,u}(\vec{X}, \vec{V}) = \langle u|\vec{X} \rangle_L $$

où $\langle \cdot | \cdot \rangle_L$ est le produit de Minkowski sur l'espace de Lorentz-Minkowski $\mathbb{L}^{n+1}$. Ainsi, en définissant, pour toute immersion de Legendre, l'application de Gauss par prolongement géodésique sur l'absolue $\mathbb{A}^{n-1}$, on obtient le résultat suivant :

**Théorème.** Tout g-hérisson dont les courbures principales ne valent jamais $-1$, partout où elles existent, est le front legendrien d'une immersion de Legendre $\iota : \mathbb{A}^{n-1} \to \text{ST}\mathbb{H}^n$ vérifiant les deux points suivants :

1. L'application de Gauss $\nu : \mathbb{A}^{n-1} \to \mathbb{A}^{n-1}$ est un difféomorphisme.

2. Les courbures principales, partout où elles existent, ne sont jamais nulles.

Nous retrouvons ainsi le même énoncé que nous avons vu pour les hérissons euclidiens à la section 1.2. Ajoutons aussi (voir les théorèmes 10.3.1 et 10.3.2, des pages 219 et 221, pour plus de détails) qu'en adaptant nos dernières constructions à la géométrie de la sphère, nous obtenons que :

**Théorème.** Si $\mathcal{H} \subset \mathbb{S}^n$ est un g-hérisson gaussien $^3$ centré en $e$, alors c'est le front legendrien d'une immersion de Legendre $\iota : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \text{ST}\mathbb{S}^n$, centré en $e$, dont l'application de Gauss $\nu : \mathbb{S}_e^{n-1} \to \mathcal{C}_e$ est un difféomorphisme.

Ces deux derniers résultats confirment l'intuition que Y.Martinez-Maure a exposée dans [74] et indiquent, en même temps, que le choix de généralisation de la notion de hérisson par les enveloppes de g-hyperplans correspond bien géométriquement aux hérissons euclidiens.

## 3.4 Dualité et théorème de caractérisation projective

Il est bien connu que l'on peut définir des relations de dualité entre l'espace hyperbolique et l'espace de Sitter, qui correspondent à l'analogue de la notion de dualité projective que nous connaissons sur l'espace euclidien (voir [30] pour une description détaillée). Pour cela, considérons la partie $d\mathbb{S}^n$, que l'on appelle **espace de Sitter**, et qui correspond sur l'espace projectif à l'ensemble des vecteurs de type espace de l'espace de Lorentz-Minkowski $\mathbb{L}^{n+1}$. De plus, on considère $\mathcal{H}(d\mathbb{S}^n)$ l'ensemble des hyperplans projectifs, que l'on appelle **hyperplans elliptiques**, et qui correspondent à la projection d'hyperplans vectoriels de type espace dans $\mathbb{L}^{n+1}$. Aussi, considérons $\mathcal{H}(\mathbb{H}^n)$ l'ensemble des g-hyperplans dans l'espace hyperbolique. Ainsi, on définit les relations de dualité suivantes :

<footnote n="3">3. Un g-hérisson $\mathcal{H}$ centré en $e$ de la sphère sera dit gaussien si $\mathcal{H}$ ne correspond jamais localement à une hypersphère centrée sur l'équateur $\mathcal{C}_e$. Pour en savoir plus, voir la définition 10.3.3 page 219.</footnote>
1. Si $x \in \mathbb{H}^n$ et $L \in \mathcal{H}(\mathbb{H}^n)$ sont un point et un g-hyperplan, alors on définit l'hyperplan elliptique $x^* = p(\langle x \rangle^{\perp})$ ainsi que le point $L^* = p(\langle L \rangle^{\perp})$.

2. Si $\alpha \in d\mathbb{S}^n$ et $H \in \mathcal{H}(d\mathbb{S}^n)$ sont un point et un hyperplan elliptique, alors on définit $\alpha^* \in \mathcal{H}(\mathbb{H}^n)$ et $H^* \in \mathbb{H}^n$, l'unique g-hyperplan et l'unique point tels que $\alpha = p(\langle \alpha^* \rangle^{\perp})$ et $H = p(\langle H^* \rangle^{\perp})$.

Il est alors immédiat que les relations ainsi définies sont involutives. Ensuite, comme nous l'avons fait sur l'espace euclidien, on définit le dual de l'enveloppe paramétrée $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^n$ d'une famille de g-hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in \Gamma}$ en considérant la partie $x^*(\Gamma)$ que l'on munit du paramétrage $x^*(u) = \Sigma_u^*$. Et en définissant le dual d'une enveloppe paramétrée d'hyperplan elliptique $\Lambda \subset d\mathbb{S}^n$ en appliquant la même méthode, on obtient de nouveau (voir propriété 8.3.1 page 179 pour plus de détails) que le dual d'un g-hérisson $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^n$ centré en $e$ correspond à l'enveloppe paramétrée de la famille d'hyperplans elliptiques $(x(u)^*)_{u \in \mathbb{S}_e^{n-1}}$. De plus, on peut vérifier que $\mathcal{H}^{**} = \mathcal{H}$, ce qui justifie que l'on parle bien de dualité. Il est à noter que nous pouvons établir les mêmes construc- tions et relations pour les g-hérissons de la sphère, en prenant soin de constater la dépendance du choix du point de référence.

Vient à présent la question centrale que nous avons traitée pour étudier la dualité des hérissons euclidiens et des g-hérissons de l'espace hyperbolique et de la sphère. Il est bien connu que le dual d'un corps convexe sur $\mathbb{R}^n$ (resp. sur $\mathbb{H}^n$ et $d\mathbb{S}^n$) est un corps convexe sur l'espace projectif $^4\mathbb{P}_n$. Il est alors intéressant de savoir ce qu'il en est pour le dual d'un hérisson euclidien (resp. d'un g- hérisson). Il nous est d'abord possible de produire des contre-exemples (voir section 3.2.2 pour en savoir plus) nous permettant d'évacuer la question de savoir si le dual d'un hérisson est toujours un hérisson (via une identification du même genre que celle que nous avons considérée pour définir la notion de corps convexe sur l'espace projectif). Ainsi, sur l'espace euclidien (voir les théorèmes 3.3.1 et 3.3.2 des pages 66 et 68 pour plus de détails), une application $\mu : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto \mathbb{P}_n$ correspond$^5$ au paramétrage du dual d'un hérisson euclidien si et seulement si :

1. C'est une immersion.

2. Toute droite projective passant par le point$^6$ $e$ intersecte l'image $\mu(\mathbb{S}^{n-1})$ en un ou deux points.

3. Les hyperplans tangents$^7$ de l'image $\mu(\mathbb{S}^{n-1})$, vus comme hyperplans projectifs, ne passent jamais par le point $e$.

Si, pour les g-hérissons de la sphère, nous retrouvons immédiatement le même résultat du fait de la correspondance des relations de dualité entre les espaces $\mathbb{R}^n \sim T_e\mathbb{S}^n$, $\Omega_e$ et $\mathbb{P}_n \setminus H_e$, il nous faut être plus prudents concernant l'espace hyperbolique. En effet, pour les g-hérissons de l'espace hyperbolique (voir les théorèmes 8.4.1 et 8.4.2 des pages 181 et 182 pour plus de détails), on obtient que le dual d'un g-hérisson correspond à une immersion $\mu : \mathbb{A}^{n-1} \mapsto d\mathbb{S}^n$ vérifiant les mêmes caractéristiques que pour les hérissons euclidiens, mais dont les hyperplans tangents de l'image $\mu(\mathbb{A}^{n-1})$, vus comme des hyperplans projectifs, sont elliptiques. Il est à noter que, de ce qui précède, le dual d'un g-hérisson de l'espace hyperbolique est indépendant du choix du

<footnote n="4">4. On dira que $K \subset \mathbb{P}_n$ est un corps convexe s'il existe $H \subset \mathbb{P}_n$ un hyperplan projectif tel qu'il soit un corps convexe dans $\mathbb{P}_n \setminus H$ via l'identification entre $\mathbb{P}_n \setminus H$ et $\mathbb{R}^n$.</footnote>

<footnote n="5">5. Si $n \ge 3$ l'application $\mu$ correspond au paramétrage $x^*$ via un difféomorphisme de $\mathbb{S}^{n-1}$. En revanche, pour $n=2$, on parle de correspondance du fait que $\mathcal{H}^* = \mu(\mathbb{S}^{n-1})$.</footnote>

<footnote n="6">6. On rappelle que nous avons défini le point $e$ à la section 1.3.</footnote>

<footnote n="7">7. Ici, nous appelons hyperplans tangents les hyperplans projectifs $p(\langle s(u) + d_u s \cdot T_u \mathbb{S}^{n-1} \rangle)$, avec $s : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto \mathbb{S}^n$ tels que $\mu = p \circ s$.</footnote>
point de référence (ce qui est une conséquence directe du théorème de l'indépendance du choix du point de référence).

Cette série de résultats (que l'on appelle les théorèmes de caractérisation projective) est intéressante car elle nous montre que les différentes notions de hérisson que nous avons considérées (les hérissons euclidiens, et les g-hérissons de la sphère et de l'espace hyperbolique) correspondent, via le point de vue de la géométrie projective, à un même objet géométrique. Ceci nous donne ainsi une nouvelle hypothèse de généralisation de la notion de hérisson (toujours dans le cadre de l'objectif de pouvoir définir le plus largement possible la notion de g-hérisson marginalement piégé).

## 3.5 Transformée de L-Gauss et g-hérisson marginalement piégé

Commençons par rappeler que la notion de hérisson marginalement piégé correspond à la transformée de L-Gauss d'un hérisson euclidien et est l'analogue de la développée par les centres de courbure d'un hérisson du plan. Si, pour les hérissons marginalement piégés, Y.Martinez-Maure s'est appuyé sur les travaux de B.Palmer (voir [82]), en ce qui nous concerne, nous nous baserons sur le chapitre 5 de la thèse de B.M.Xavier (voir [110]) dans lequel nous trouvons plusieurs propriétés sur les transformées de L-Gauss<fnref n="8" /> d'hypersurface orientée de la sphère et de l'espace hyperbolique.

Ainsi, pour $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^3$ un g-hérisson centré en $e$, on définit la famille de géodésiques lumière par $l_u = \exp_{x(u)}(\mathbb{R}N_L(u))$ sur l'espace de Lorentz $(\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}, g_L)$, où $g_L = g - dt^2$ et $N_L(u) = (N(u), -1)$. On appelle alors **famille de géodésiques lumière orientée centrée en $e$** toute famille de géodésiques lumière ainsi définie. Dans cette introduction, nous nous en tiendrons à cette définition même si, dans la section 12.1.2, nous adoptons une démarche plus large pour des raisons de cohérence avec nos différentes définitions. Toute la difficulté pour obtenir une notion de g-hérisson marginalement piégé réside dans la définition d'une notion de co-enveloppe qui, comme nous allons le voir, dépend du choix d'une métrique sur la sphère $\mathbb{S}_e^2$. Considérons donc $w$ une métrique sur la sphère $\mathbb{S}_e^2$ ainsi que $\nabla_w^*$, dual de la connexion de Levi-Civita sur $(\mathbb{S}_e^2, w)$, et $\nabla$ la connexion de Levi-Civita sur l'espace de Lorentz $(\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}, g_L)$. Si $y: \mathbb{S}_e^2 \to \mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ est une application lisse, on définit l'opérateur de Laplace-Beltrami comme suit :

$$ \Delta_w(y) = (\nabla_w^* \otimes y^* \nabla)(dy) $$

Par conséquent, on appelle **w-co-enveloppe paramétrée** d'une famille de géodésiques lumière $(l_u)_{u \in \Gamma}$ l'ensemble défini par la partie $y(\Gamma)$ et le paramétrage $y: \Gamma \to \mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ tel que :

$$ \left\{ \begin{array}{l} y(u) \in l_u \\ d_u y \cdot \vec{v} \perp T_{y(u)} l_u \\ \Delta_w(y)_u \perp T_{y(u)} l_u \end{array} \right. \qquad (3.5.4) $$

Par ailleurs, pour $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^3$ un g-hérisson centré en $e$, considérons les formes fondamentales $I$ et $III$ définies sur la sphère $\mathbb{S}_e^2$ telles que $I_u(\vec{v}_1, \vec{v}_2) = \langle d_u x \cdot \vec{v}_1 | d_u x \cdot \vec{v}_2 \rangle_L$ et $III_u(\vec{v}_1, \vec{v}_2) =$

<footnote n="8">8. Si $\Sigma \subset \mathbb{H}^3$ est une hypersurface orientée dont le champ orthonormal est $N$, alors pour tout $x \in \Sigma$, on définit le rayon de courbure moyenne par $R(x) = \mathrm{ArcTH}(\frac{k_1+k_2}{1+k_1k_2})$, où $k_1$ et $k_2$ sont les courbures principales en $x$. On appelle **transformée de L-Gauss** le paramétrage $y(x) = \exp_x(R(x)N_L(x))$, avec $N_L(x) = (N(x), -1)$.</footnote>
$\langle d_u N \cdot \vec{v}_1 | d_u N \cdot \vec{v}_2 \rangle_L$, avec $x$ et $N$ étant respectivement le paramétrage et le champ orthonormal du g-hérisson. En définissant la forme bilinéaire $w = I - III$, on obtient le résultat suivant (voir les théorèmes 12.2.1 et 12.2.2 des pages 251 et 256 pour plus de détails) :

**Théorème.** Toute famille de géodésiques lumière engendrée par un g-hérisson de $\mathbb{H}^3$ dont les valeurs propres<fnref n="9" /> $r_1$ et $r_2$ sont comprises dans l'intervalle $]-1; 1[$ admet une unique w-co-envelope correspondant à la transformée de L-Gauss du g-hérisson considéré. De plus, la w-co-envelope est, en ses points non ombilic, localement une surface marginalement piégée.

On obtient donc un résultat très proche de ce que nous avons déjà vu sur l'espace de Lorentz-Minkowski et, en particulier, il est justifié d'appeler **g-hérissons marginalement piégés** de tels w-co-enveloppes. Cependant, on peut vérifier que l'on atteint rapidement des limites difficilement réductibles (voir la section 12.3 et le chapitre 13 pour en savoir plus). En effet, pour les hérissons marginalement piégés de l'espace de Lorentz-Minkowski, nous avons pu définir la notion de co-envelope à partir de la co-différentielle de Hodge associée à la métrique usuelle de la sphère. Or, ce n'est clairement plus le cas pour les g-hérissons marginalement piégés dans le sens où il semble difficile d'associer un opérateur à la notion de co-envelope. Cela rend difficile, en l'état actuel, la caractérisation géométrique de tels objets, comme nous pouvons le faire pour les hérissons marginalement piégés de l'espace de Lorentz-Minkowski.

# 4 Conclusion et questions ouvertes

Nous avons pu établir les bases d'une théorie des hérissons sur l'espace hyperbolique et la sphère, et nous nous sommes assurés que leurs caractéristiques géométriques correspondent bien à ce que nous connaissons des hérissons euclidiens. Cela nous a notamment permis de proposer une généralisation de la notion de hérisson marginalement piégé sur les espaces de Lorentz $\mathbb{H}^3 \times \mathbb{R}$ et $\mathbb{S}^3 \times \mathbb{R}$ (ce qui correspond à l'objectif initial de cette thèse). Pour établir cette généralisation, nous nous sommes basés sur certaines caractéristiques (enveloppes de familles d'hyperplans co-orientés) des hérissons euclidiens, pour lesquels nous avons pu définir un équivalent sur l'espace hyperbolique et sur la sphère. Si cela nous a permis de retrouver une partie des propriétés caractérisant les hérissons euclidiens, il est clair que cela reste incomplète. En particulier, nous n'avons, à ce jour, pas été en mesure de retrouver les deux principales caractéristiques qui sont à l'origine de la notion de hérisson :

1. **La composition des g-hérissons** : Une des caractéristiques fondamentales de la notion de hérisson est le fait que l'on peut doter l'ensemble des hérissons d'une structure d'espace vectoriel qui est isomorphe à l'ensemble des fonctions de support. Cette propriété constitue la principale question non résolue sur les g-hérissons. Elle se formule de la manière suivante : Considérons $\Gamma_e(\mathbb{H}^n) \subset \mathcal{F}(\mathbb{S}_e^{n-1}, \mathbb{R})$, l'ensemble des fonctions de support (centré en e) vérifiant la condition (3.1.2). Existe-t-il une (ou plusieurs) structure d'espace vectoriel sur l'ensemble $\Gamma_e(\mathbb{H}^n)$ ?

2. **Les g-hérissons comme différence de corps g-convexes** : Ce qui définit initialement la notion de hérisson est qu'ils correspondent à la réalisation géométrique des différences formelles de corps convexes pour la somme de Minkowski. Il est à noter que sur l'espace hyperbolique (comme sur la sphère), il n'existe pas de définition canonique de la somme de Minkowski. Par conséquent, la question précédente peut être complétée par : Existe-t-il une structure d'espace vectoriel sur l'ensemble $\Gamma_e(\mathbb{H}^n)$ et une somme sur les corps g-convexes,

<footnote n="9">9. On appelle valeur propre tout scalaire $r \in \mathbb{R}$ pour lequel il existe un vecteur $\vec{v}$ sur l'espace tangent $T_u \mathbb{S}_e^2$ tel que $d_u x \cdot \vec{v} = r d_u N \cdot \vec{v}$.</footnote>
pour lesquels tous les g-hérissons sont des différences de corps convexes correspondant à la
structure d'espace vectoriel sur $\Gamma_e(\mathbb{H}^n)$ ? Plus précisément, nous recherchons une structure
d'espace vectoriel $(\Gamma_e(\mathbb{H}^n), +, \cdot)$ et une somme + sur les corps g-convexes telle que :

* Pour tout corps g-convexe $K_1 \subset \mathbb{H}^n$ et $K_2 \subset \mathbb{H}^n$, si $h_1$ et $h_2$ sont les fonctions de support qui leur correspondent, alors $K_1 + K_2 = K_{h_1+h_2}$.

* Pour tout g-hérisson $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{H}^n$, il existe $h_1$ et $h_2$, deux fonctions de support correspondant à des corps g-convexes, tels que $h = h_1 - h_2$.

Il est à noter que si nous considérons sur l'ensemble des fonctions $\mathcal{F}(\mathcal{S}_e^{n-1}, \mathbb{R})$ la structure d'espace vectoriel usuelle, alors si $h$ est la fonction de support d'un g-hérisson, il existe forcément un scalaire $k \in \mathbb{R}$ suffisamment grand pour lequel la fonction $h+k$ correspond à un corps g-convexe. Évidemment, les opérations usuelle ne sont pas stables sur l'ensemble $\Gamma_e(\mathbb{H}^n)$. Toutefois, notons que de telles opérations sont stables pour les h-hérissons (voir section 5.5 pour plus de détails), ce qui est très intéressant. Rajoutons aussi que par le biais des h-hérissons, il est possible de définir la notion de g-hérisson parallèle, qui occupe une place importante pour l'étude des g-hérissons marginalement piégés. Ainsi, il est justifié de considérer, comme première approche, de s'orienter vers les g-hérissons qui correspondent à des h-hérissons.

Viennent ensuite les questions relatives aux g-hérissons marginalement piégés. En effet, comme nous l'avons évoqué précédemment, il est difficile de définir correctement la notion de co-enveloppe, comme nous avons pu le faire dans l'espace de Lorentz-Minkowski. Il est donc nécessaire de déterminer s'il est possible d'associer la notion de w-co-enveloppe, que nous avons définie précédemment, à un opérateur, à l'instar du co-différentiel de Hodge (associé à la métrique usuelle de la sphère) pour les hérissons marginalement piégés de l'espace de Lorentz-Minkowski. Considérons donc pour $\mathcal{H} \subset \mathbb{H}^3$ un g-hérisson, la fonction $y_{\partial\mathcal{H}}(u) = \exp_{x(u)}(R(u)N_L(u))$ qui correspond à sa transformée de L-Gauss. Il est alors nécessaire d'étudier l'ensemble des métriques w sur la sphère $\mathcal{S}_e^2$ telles que :

Pour tout g-hérisson $\mathcal{H}$, si $y_{\partial\mathcal{H}}$ est la transformée de L-Gauss, alors $\langle \delta_w(dy) | \tilde{\eta} \rangle_L = 0$ (où $\delta_w$ est le co-différentiel de Hodge correspondant à la métrique w).

Notons que $\tilde{\eta}(u) = \partial_t l_u(t_0)$, où $l_u$ est la géodésique lumière passant par le point $x(u)$ à la vitesse $N_L(u)$ à l'instant $t=0$, et $t_0$ est tel que $l_u(t_0) = y_{\partial \mathcal{H}}(u)$. Plus particulièrement, il convient de vérifier si cet ensemble de métriques est non-vide. Pour approfondir ce sujet, il est possible de consulter la section 12.3 où nous traitons cette question en détail.

# 5 Structure de la thèse

Pour faciliter la lecture de la thèse, il est utile de connaître sa structure et son organisation. La thèse est divisée en trois parties respectivement consacrées au hérisson euclidien, au g-hérisson de l'espace hyperbolique et de la sphère, ainsi qu'au hérisson et g-hérisson marginalement piégés. Ainsi, les chapitres s'organisent comme suit :

1. Les chapitres 1, 2, 3 (pour les sections 3.1 et 3.2) et 11 sont consacrés aux éléments fondamentaux de la théorie des hérissons euclidiens et des hérissons marginalement piégés sur l'espace de Lorentz-Minkowski. Nous y abordons les éléments nécessaires à nos diverses constructions.

2. Les chapitres 4 et 5 traitent des définitions et propriétés fondamentales des g-hérissons et h-hérissons de l'espace hyperbolique.
3. Les chapitres 6, 7 et 8 sont consacrés à l'étude des propriétés et caractéristiques géométriques des g-hérissons de l'espace hyperbolique. Ajoutons que pour les théorèmes de caractérisation projective, les démonstrations sont fournies dans la section 3.3 du chapitre 3 pour les hérissons euclidiens.

4. Les chapitres 9 et 10 se consacrent à l'étude des g-hérissons de la sphère.

5. Les chapitres 12 et 13 traitent des g-hérissons marginalement piégés sur les espaces de Lorentz $H^3 \times \mathbb{R}$ et $S^3 \times \mathbb{R}$.
Première partie

Sur les hérissons de l'espace
euclidien
<figure><img src="image_8.png" /></figure>
Dans cette partie, nous introduisons la notion de hérisson euclidien correspondant à la réalisation géométrique des différences formelles de Minkowski de corps convexes dans un espace euclidien. Nous mettrons en évidence le lien qu’ont de tels objets avec la géométrie de contact et étudierons aussi leurs propriétés de dualité.

## Contexte historique sur la théorie des hérissons

La théorie de Brunn-Minkowski tient un rôle central dans la géométrie des corps convexes (i.e. ensemble compact convexe<fnref n="10" /> non vide dans un espace euclidien). Elle est apparue avec un ensemble de travaux que nous devons à H. Brunn en 1887 (voir [14]), qui ont ensuite été prolongés par H. Minkowski (voir [80]), aboutissant à la théorie de Brunn-Minkowski. Cette théorie a depuis suscité un intérêt constant en raison de ses applications diverses, ses connexions avec d'autres domaines (géométrie, analyse, probabilité) et la persistance de certains problèmes en-core ouverts. Elle est le fruit de l'alliance de deux notions élémentaires des espaces euclidiens : l'addition vectorielle et le volume. Ensemble, elles conduisent à la notion de volume mixte et aux inégalités de Brunn-Minkowski (voir les pages 369-393 de [100]), permettant la résolution de problèmes complexes et fournissant plusieurs résultats d'unicité. Pour un exposé contemporain sur la théorie de Brunn-Minkowski, nous recommandons la lecture du livre "Convex Bodies : The Brunn-Minkowski Theory" de R. Schneider (voir [100]).

Pour comprendre la genèse de la notion de hérisson, il est important de remarquer qu'il est facile de réaliser des combinaisons de corps convexes (i.e. addition et multiplication par un scalaire positif), aboutissant ainsi à une structure algébrique sur l'ensemble des corps convexes. En particulier, la somme de deux corps convexes $K_1$ et $K_2$ est définie par la somme de Minkowski :

$$K_1 + K_2 = \{x_1 + x_2, \text{ avec } x_1 \in K_1 \text{ et } x_2 \in K_2\} \quad (1)$$

En complétant avec la multiplication $\lambda K = \{\lambda x, x \in K\}$ par des scalaires strictement positifs, il est facile de vérifier que toute combinaison $K_1 + \lambda K_2$ de corps convexes avec $\lambda > 0$ est toujours un corps convexe. En effet, il suffit de constater que si $x = x_1 + \lambda x_2 \in K_1 + \lambda K_2$ et $y = y_1 + \lambda y_2 \in K_1 + \lambda K_2$, alors en considérant pour tout $t \in [0; 1]$, $y_1(t) = x_1 + t(y_1 - x_1) \in K_1$ et $y_2(t) = x_2 + t(y_2 - x_2) \in K_2$, on obtient que :

$$y(t) = x + t(y - x) = y_1(t) + \lambda y_2(t) \in K_1 + \lambda K_2$$

Ensuite, pour comprendre géométriquement la somme de Minkowski, il est utile de la voir comme l'union des $x + K_2$, où $x \in K_1$. Elle correspond ainsi, comme illustré ci-dessous, au tracé de $K_1$ avec le motif du corps $K_2$.

<footnote n="10">10. Un ensemble convexe est une partie $X$ d'un espace vectoriel $(E, +, \cdot)$ pour laquelle, si $x$ et $y$ sont deux points de $X$, alors l'intervalle $[x, y] = \{(1 - \lambda)x + \lambda y, \text{ avec } 0 \le \lambda \le 1\}$ est contenu dans $X$.</footnote>
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Somme de Minkowski de deux corps convexes</figcaption></figure>

Il est important de remarquer que la combinaison $K_1 + \lambda K_2$ est toujours envisagée avec le scalaire $\lambda$ strictement positif. Autrement dit, l'ensemble des corps convexes muni de ces deux opérations n'est pas un espace vectoriel, car il nous manque une notion de différence de Minkowski entre deux corps convexes. Dans les années 30, plusieurs mathématiciens, comme H. Geppert, ont constaté qu'en complétant l'ensemble des corps convexes de cette manière, on obtiendrait une structure d'espace vectoriel très utile. En particulier, on peut consulter l'article [39], dans lequel H. Geppert propose dès 1937 d'étudier les différences de corps convexes en dimensions 2 et 3. La théorie des hérissons est l'aboutissement de cette recherche. Si ce concept occupait déjà l'esprit de certains mathématiciens dès les années 30, son développement et sa reconnaissance sont dus principalement à R. Langevin, G. Levitt, et H.W. Rosenberg qui ont défini la notion de hérisson en 1985, dans le cas où la fonction de support est lisse (voir [52]), puis à Y. Martinez-Maure qui a étendu cette notion aux différences de corps convexes arbitraires. Y. Martinez-Maure a travaillé sur la notion de hérisson dès son doctorat (voir [57]) à la fin des années 80 et y a consacré une longue série d'articles. Aujourd'hui, l'étude des hérissons couvre un large éventail de domaines mathématiques, allant des corps convexes aux surfaces marginalement piégées<fnref n="11" />, en passant par l'étude des équations aux dérivées partielles (voir [36]).

Comme mentionné précédemment, l'idée de prolonger l'ensemble des corps convexes aux différences de corps convexes a tenté les mathématiciens dès les années 30. H. Geppert en a émis l'idée et A.D. Aleksandrov a proposé de travailler avec des différences de fonctions de support (voir [1]). Cette idée a ensuite été mise de côté jusqu'aux années 80 où R. Langevin, G. Levitt et H. Rosenberg ont associé à chaque fonction $h : S^{n-1} \to \mathbb{R}$ l'enveloppe des hyperplans d'équation $\langle x(u) | u \rangle = h(u)$ (voir [52]). Cette enveloppe, notée $\mathcal{H}_h$, est paramétrée par l'application $x_h : S^{n-1} \to \mathbb{R}^n$ telle que $x_h(u) = h(u)u + \overrightarrow{\nabla} h(u)$, pouvant être interprétée comme étant la réciproque de son application de Gauss. Par la suite, Y. Martinez-Maure a envisagé ces enveloppes comme des différences de corps convexes de classe $C_+^k$ (resp. $C_+^\infty$), puis a défini les différences de corps convexes quelconques (voir [66] ou encore les première et seconde sections de [68]). Son travail a consisté à développer une théorie des hérissons qui prolonge naturellement la théorie de Brunn-Minkowski aux différences de corps convexes. Pour une présentation générale de la théorie des hérissons, il est possible de consulter la deuxième section de l'article [71].

<footnote n="11">11. Les surfaces marginalement piégées sont une catégorie de surface introduite par R. Penrose pour l'étude des trous noirs en relativité générale (voir [47] chap. VIII)</footnote>
# Chapitre 1

## Introduction et première
propriété

Comme nous l'avons vu précédemment, la théorie des hérissons est le fruit de la volonté de se placer sur un espace vectoriel en associant à toute différence formelle de corps convexes une représentation géométrique satisfaisante. Elle nous fournit une théorie (des hérissons) d'une grande utilité dans l'étude des corps convexes, avec une longue série d'applications en géométrie et en analyse.

### 1.1 Petit point sur les corps convexes

Avant d'envisager de définir rigoureusement la notion de hérisson, il est nécessaire de rappeler certains points et de faire quelques remarques sur les corps convexes. Bien évidemment, nous ne ferons qu'un rapide exposé dont l'objet est de motiver les constructions que nous considérerons lorsque nous aborderons les hérissons dans la prochaine section. Aussi, nous pouvons retrouver un exposé détaillé des notions que nous allons introduire en consultant les chapitres 1 à 3 de [100]. En particulier, nous nous appuierons sur cet ouvrage pour les quelques démonstrations que nous aborderons sur les corps convexes. Pour commencer, rappelons-en la définition.

**Définition 1.1.1.** *Sur un espace vectoriel euclidien (E, +, ·, ⟨·|·⟩), nous dirons qu'une partie K ⊂ E est un **corps convexe** si et seulement si :*

1. C'est un ensemble convexe : pour tout x et y ∈ K, l'intervalle [x, y] = {⟨1 − λ)x + λy, avec 0 ≤ λ ≤ 1} est compris dans K.

2. La partie K est compacte et non vide.

**Note.** De plus, nous dirons qu'un corps $K \subset E$, avec $E$ que nous considérons de dimension $n$, est de classe $C^0$ si et seulement si son bord topologique $\partial K$ est une variété topologique de dimension $n - 1$. De même, pour les classes de régularité supérieures, nous dirons que le corps $K$ est de classe $C^k$, pour $k \ge 1$, si et seulement si son bord topologique est une $C^k$-variété de dimension $n - 1$.

**Avertissement 1.1.1.** Sans perte de généralité, nous travaillerons désormais uniquement sur l'espace euclidien $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire usuel $\langle x|y \rangle = x_1y_1 + \cdots + x_ny_n$.

**Définition 1.1.2.** *Soit $K \subset \mathbb{R}^n$ un corps convexe, nous dirons que $T \subset \mathbb{R}^n$ est un **hyperplan d'appui** du corps $K$ si et seulement si c'est un hyperplan affine vérifiant :*
1. Le corps convexe $K$ est compris dans l'un des demi-espaces fermés bordant l'hyperplan $T$.

2. L'intersection $K \cap T$ est non vide.

On appelle alors **points de support** tous les points appartenant à l'intersection $K \cap T$, définissant ainsi l'ensemble des points de support que l'on note $\text{Supp}(K)$.

**Note.** Si $T$ est un hyperplan d'appui, nous appellerons alors **demi-espace de support** le demi-espace bordant $T$ contenant le corps $K$.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIGURE 1.1 – Hyperplan d'appui et points de support d'un corps convexe</figcaption></figure>

Par le théorème de Mazur-Bourgin (voir prop 11.5.2 page 43 de [7] pour plus de détails), publié en 1933, nous savons que le bord topologique d'un corps convexe $K$, que l'on note $\partial K$, vérifie que $\partial K \subset \text{Supp}(K)$ (et donc nous avons égalité par définition des points de support). On peut alors vérifier que, pour les corps convexes dont le bord topologique est de classe $C^k$, avec $k \ge 1$, les hyperplans d'appui correspondent aux hyperplans tangents du bord $\partial K$. C'est-à-dire que :

**Propriété 1.1.1.** Soit $K \subset \mathbb{R}^n$ un corps convexe de classe $C^k$, avec $k \ge 1$ (resp. de classe $C^\infty$). Alors son bord topologique est une hypersurface orientée de classe $C^k$ (resp. $C^\infty$) telle que :

1. Si $\nu : \partial K \to \mathbb{S}^{n-1}$ est un champ orthonormal à $\partial K$, alors $\nu$ est de classe $C^{k-1}$ (resp. $C^\infty$), surjectif, et pour tout $x \in \partial K$, l'hyperplan tangent $T = x + \langle \nu(x) \rangle^\perp$ est un hyperplan de support contenant le point $x$.

2. Pour tout point $x \in \partial K$, il existe un unique hyperplan de support $T \subset \mathbb{R}^n$ contenant le point $x$.

**Démonstration.** Considérons $K$ un corps convexe dont le bord topologique, noté $\partial K$, est de classe $C^k$. Commençons par définir un champ orthonormal $\nu : \partial K \to \mathbb{S}^{n-1}$. En observant que, par convexité, les hyperplans tangents sont nécessairement des hyperplans de support (voir section 2.5 de [100] pour davantage de détails), si $x \in \partial K$ est un point du bord, alors il existe un vecteur $u \in \mathbb{S}^{n-1}$ orthogonal à l'hyperplan tangent $T_x \partial K$ tel que, pour tout $t > 0$, le point $x + tu$ se trouve dans la région $\mathbb{R}^n \setminus K$. Nous désignerons, pour la suite de la démonstration, par "vecteur orthonormal sortant" tout vecteur $u$ défini de cette manière. Par conséquent, nous définissons $\nu$ comme le champ orthonormal sortant qui, à chaque point $x \in \partial K$ du bord, associe le vecteur orthonormal sortant de $K$ correspondant à l'hyperplan $T_x \partial K$. Notre objectif est donc de montrer que l'application $\nu$ ainsi définie est de classe $C^{k-1}$. Pour ce faire, choisissons un point $x \in \partial K$ sur le bord du corps $K$. Par régularité, il existe nécessairement $r > 0$ tel que, pour tout vecteur $w$ dans la boule ouverte $B_u(r) = \{w \in \langle u \rangle^\perp \text{ tel que } \|w\| < r\}$, la droite $x + w + \mathbb{R}u$ coupe $K$. Nous introduisons alors la fonction $\varphi : B_u(r) \to \mathbb{R}$ définie par :

$$ \varphi(w) = \text{Min}\{t \in \mathbb{R} \text{ tel que } x + w - tu \in K\} $$
où $u \in \mathbb{S}^{n-1}$ est le vecteur orthonormal sortant de l'hyperplan tangent $T_x \partial K$. Par la construction de la fonction $\varphi$, nous pouvons définir l'application $f : \mathcal{B}_u(r) \mapsto \partial K$ telle que :

$$f(w) = x + w - \varphi(w)u \qquad (1.1.0.1)$$

que nous illustrons ci-dessous :

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE 1.2 – Construction de la fonction f</figcaption></figure>

Nous pouvons alors vérifier, après un petit calcul, qu'en considérant $r$ suffisamment petit, la fonction $f$ est inversible et admet pour fonction réciproque la fonction $g$ telle que :

$$g(y) = p_u(y - x),$$

avec $p_u : \mathbb{R}^n \to \langle u \rangle^{\perp}$ la projection orthogonale le long de la droite $\mathbb{R}u$. Comme $d_x g \cdot \vec{W} = \vec{W}$, alors par le théorème d'inversion locale, il existe $\mathcal{W}$ un ouvert de $\partial K$ centré en $x$ et $r > 0$ tel que la restriction $g : \mathcal{W} \to \mathcal{B}_u(r)$ est un difféomorphisme de classe $\mathcal{C}^k$. Ainsi, il est clair que la fonction $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^k$ et comme le champ $\nu$ admet pour expression

$$\nu \circ f(w) = \frac{1}{\sqrt{1 + \|\vec{\nabla}\varphi(w)\|^2}} (\vec{\nabla}\varphi(w) + u)$$

au voisinage du point $x$, il est immédiat que $\nu$ est de classe $\mathcal{C}^{k-1}$.

Ensuite, il nous faut montrer qu'en chaque point $x \in \partial K$ il existe un seul et unique hyperplan de support $T \subset \mathbb{R}^n$ tel que $x \in T \cap K$. D'abord, on sait par le théorème de Mazur-Bourgin que tout point du bord admet un hyperplan de support. Considérons donc $T = x + \langle u \rangle^{\perp}$ un hyperplan de support en $x$, tel que le vecteur $u$ correspond à la normale extérieure au corps $K$. Alors on peut définir le demi-espace de support :

$$H = \{y \in \mathbb{R}^n \text{ tel que } \langle y - x | u \rangle \le 0\}$$

D'abord, on sait que $K \subset H$ et de plus, si $\gamma : \mathbb{R} \to H$ est une courbe régulière de classe $\mathcal{C}^k$ telle que $\gamma(0) = x$, alors nous avons forcément que la fonction $\langle u|\gamma(t) - x \rangle$ admet zéro pour maximum et l'atteint en l'instant $t = 0$. En particulier, on sait que $\langle u|\partial_t\gamma(0) \rangle = 0$ et donc $\partial_t\gamma(0) \in \vec{T}$. Ainsi, pour un vecteur $\vec{W} \in T_x \partial K$ en considérant $\gamma : \mathbb{R} \to \partial K$ une courbe de classe $\mathcal{C}^k$ qui passe par le point $x$ à la vitesse $\vec{W}$ en l'instant $t = 0$, on a donc que $\vec{W} = \partial_t\gamma(0) \in \vec{T}$. Par conséquent, si on considère les hyperplans tangents comme étant des hyperplans affines, nous avons que les
hyperplans de support contenant le point $x$ correspondent forcément à l'hyperplan tangent en $x$.

Enfin, nous pouvons vérifier que l'application $\nu$ est bien surjective. En effet, si $u \in \mathbb{S}^{n-1}$, il existe forcément un point $x \in \partial K$ tel que l'hyperplan $T = x + \langle u \rangle^{\perp}$ est un hyperplan de support de $K$ (voir théorème 1.3.2 à la page 11 de [100] pour plus de détails). Mais par ce qui précède, le corps $K$ étant de bord $C^k$, l'hyperplan $T$ est forcément l'hyperplan tangent $T_x \partial K$ et $\nu(x) = \pm u$. Supposons donc que $\nu(x) = -u$. Alors, si nous considérons la fonction continue $\eta(y) = \langle y - x|u \rangle$ définie sur $K$, comme $K$ est compact, la fonction $\eta$ admet une valeur inférieure (en l'occurrence $x$) et une valeur supérieure, disons $y$. Ainsi, il est clair que $\nu(y) = u$.

En conclusion, nous avons bien que l'application $\nu$ est de classe $C^{k-1}$, surjective et que pour tout point $x \in \partial K$, il existe un seul et unique hyperplan de support en $x$ qui est exactement $T = x + \langle \nu(x) \rangle^{\perp}$. $\square$

Il nous sera utile de faire une digression sur les corps convexes de classe $C^0$. En effet, on trouve souvent dans la littérature que la notion de corps convexe correspond à des parties de $\mathbb{R}^n$ qui sont convexes, compactes et d'intérieur non vide. Ce n'est pas ce que nous avons considéré dans la définition 1.1.1. Il est alors intéressant de vérifier la propriété suivante :

**Propriété 1.1.2.** *Tout corps convexe d'intérieur non vide est de classe $C^0$.*

*Démonstration.* Soit $K \subset \mathbb{R}^n$ un corps convexe d'intérieur non vide et $x \in \partial K$ un point sur le bord. Alors, pour tout $u \in \mathbb{S}^{n-1}$, on considère la fonction $g_u : \partial K \mapsto \langle u \rangle^{\perp}$ définie par l'expression suivante :

$$g_u(y) = p_u(y - x)$$

avec $p_u : \mathbb{R}^n \to \langle u \rangle^{\perp}$ la projection orthogonale le long de la droite $Ru$. Le corps étant d'intérieur non vide, il est clair qu'il existe un $u \in \mathbb{S}^{n-1}$ tel que $g_u(\partial K)$ est un voisinage de zéro. Il est particulièrement intéressant de visualiser cette situation. Comme nous le représentons ci-dessous, nous avons à gauche un exemple de corps convexe d'intérieur non vide et à droite un corps convexe d'intérieur vide.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIGURE 1.3 – Projection d'un corps convexe</figcaption></figure>

Pour s'en convaincre, il suffit de voir que si $\tilde{g}_u : K \to \langle u \rangle^{\perp}$ prolonge l'application $g_u$, alors par convexité, on a $g_u(\partial K) = \tilde{g}_u(K)$. De plus, si on considère un $u \in \mathbb{S}^{n-1}$ tel que $(x + Ru) \cap \text{Int}(K) \neq \emptyset$, il est clair que $\tilde{g}_u(K)$ est un voisinage de zéro. Considérons donc la boule ouverte $B(0, r) \subset x + \langle u \rangle^{\perp}$ pour un certain $r > 0$ et $W = g_u^{-1}(B(0, r))$.

Par construction, en considérant la topologie induite sur $\partial K$, on a que l'application $g_u$ est continue et donc $W$ est ouvert dans $\partial K$. Aussi, nous pouvons considérer la fonction $f_u : B(0, r) \to \partial K$ que nous avions précédemment définie par l'expression (1.1.0.1). En considérant $r$ suffisamment petit et en ne conservant que la composante convexe de $W$ contenant le point $x$, il est clair que
$g_u : W \mapsto \mathcal{B}(0, r)$ est bijective et admet $f_u : \mathcal{B}(0, r) \mapsto W$ comme application réciproque. Nous pouvons alors conclure en observant que l'application $g_u$ ainsi définie est une application ouverte. En effet, par construction, pour tout $y \in \partial K$ et pour tout $\eta > 0$,

$$g_u(\mathcal{B}(y, \eta) \cap \partial K) = \mathcal{B}(g_u(y), \eta) \cap g_u(\partial K)$$

ce qui nous donne le résultat recherché.

□

Revenons à présent aux corps convexes de classe $C^k$, avec $k \ge 1$. Lorsque le bord topologique $\partial K$ d'un corps convexe $K \subset \mathbb{R}^n$ est de classe $C^k$, avec $k \ge 1$, il est évidemment connexe et admet donc exactement deux orientations. En particulier, si $\nu : \partial K \mapsto \mathbb{S}^{n-1}$ est un champ orthonormal au bord topologique $\partial K$, alors, par compatibilité de $K$, deux situations sont possibles :

1. Pour tout $x \in \partial K$ et $t > 0$, on a $x + tv(x) \in \mathbb{R}^n \setminus K$.

2. Pour tout $x \in \partial K$, il existe $a > 0$ tel que $\forall t \in [0; a]$, $x + tv(x) \in K$.

Nous appellerons **orientation extérieure du corps convexe K** l'orientation du bord topologique associée au champ orthonormal vérifiant le premier point. Étant donné qu'il est d'usage d'orienter le bord d'un corps convexe par l'orientation extérieure du corps convexe $K$, il est alors naturel de considérer la définition suivante :

**Définition 1.1.3.** Soit $K$ un corps convexe de classe $C^k$, avec $k \ge 1$ (resp. de classe $C^\infty$), nous appellerons **bord du corps convexe K** l'hypersurface formée par le bord topologique muni de l'orientation vers l'extérieur du corps $K$.

**Note.** Pour un corps convexe de classe $C^0$ qui n'est pas de classe $C^1$, le bord du corps convexe $K$ sera simplement son bord topologique car il n'est évidemment pas possible de définir une orientation sur $\partial K$.

Cela revient, pour les corps convexes de classe $C^k$ avec $k \ge 1$, à considérer le couple $(\partial K, \nu)$ formé par le bord topologique du corps $K$ et son champ orthonormal extérieur $\nu : \partial K \mapsto \mathbb{S}^{n-1}$. Dans la suite, nous adopterons cette description lorsque nous parlerons des bords d'un corps convexe de classe $C^k$ avec $k \ge 1$.

**Définition 1.1.4.** Nous dirons qu'un corps convexe est de classe $C_+^k$ (resp. $C_+^\infty$), avec $k \ge 2$, lorsque son bord topologique $\partial K$ est une hypersurface orientable de classe $C^k$ (resp. $C^\infty$) dont la courbure de Gauss est toujours non nulle<fnref n="1" />.

**Avertissement 1.1.2.** Comme nous parlerons principalement de corps convexes (resp. hérissons) de classe $C_+^\infty$, nous prendrons la liberté, à partir de cet instant, de ne plus le préciser. Autrement dit, lorsque l'on considère $K$ un corps convexe (resp. un hérisson $\mathcal{H}$), nous le considérerons implicitement de classe $C_+^\infty$, sauf mention contraire. Il est important de noter que la plupart de nos énoncés resteront valables pour les corps convexes (resp. hérissons) de classe $C_+^k$ avec $k \ge 2$.

À présent, nous allons voir que la famille des hyperplans tangents au bord d'un corps convexe vérifie une certaine condition d'injectivité. Pour cela, nous commençons par définir la relation d'équivalence suivante :

**Définition 1.1.5.** Nous dirons que deux hyperplans affines orientés $(\Sigma_1, \bar{\beta}_1)$ et $(\Sigma_2, \bar{\beta}_2)$ sont dans le même sens si et seulement s'ils vérifient :

$$\vec{\Sigma}_1 = \vec{\Sigma}_2 \text{ et } \bar{\beta}_1 = \bar{\beta}_2 \qquad (1.1.0.2)$$

<footnote n="1">1. En particulier, si on considère le champ orthonormal extérieur, la courbure de Gauss est strictement positive. C'est pour cela que l'on note $C_+^k$ cette catégorie.</footnote>
**Note.** Nous rappelons qu’un hyperplan affine orienté est la donnée d’un hyperplan affine $\Sigma$ dirigé par $\Sigma$ et d’une orientation $\beta$ sur $\Sigma$.

**Notation 1.1.1.** Nous prendrons l’habitude de noter $\sim$ la relation que nous venons de considérer.

Il est alors clair que c’est bien une relation d’équivalence. De plus, si nous considérons $\Sigma \subset \mathbb{R}^n$ une hypersurface orientée<fnref n="2" /> par $\bar{\beta}$, il est tout à fait possible qu’il existe deux points $x$ et $y \in \Sigma$ pour lesquels les hyperplans tangents orientés $(T_x\Sigma, \bar{\beta}_x)$ et $(T_y\Sigma, \bar{\beta}_y)$, vus comme hyperplans affines, soient dans le même sens.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIGURE 1.4 – Hypersurface<fnref n="3" /> qui admet des hyperplans tangents parallèles ayant la même orientation.</figcaption></figure>

Dans ce dernier exemple, nous pouvons dire que la famille des hyperplans tangents orientés, vue comme hyperplan affine, de l'hypersurface n'est pas "injective" car il existe au moins deux points pour lesquels les hyperplans tangents orientés sont dans le même sens. Nous pouvons ainsi définir la condition d'injectivité sur les familles d'hyperplans affines orientés comme suit :

**Définition 1.1.6.** Une famille d'hyperplans affines orientés $(\Sigma_u, \bar{\beta}_u)_{u \in \Gamma}$ sera dite **injective** si elle vérifie la condition ci-dessous :

$$ \text{Si } (\Sigma_{u_1}, \bar{\beta}_{u_1}) \sim (\Sigma_{u_2}, \bar{\beta}_{u_2}) \text{ alors } u_1 = u_2 \qquad (1.1.0.3) $$

pour tout $u_1 \in \Gamma$ et $u_2 \in \Gamma$.

Ainsi, nous appellerons **condition d'injectivité** la condition (1.1.0.3) que nous venons de définir. En particulier, pour la famille des hyperplans tangents d'un corps convexe, cela est évidemment le cas. En effet, il nous suffit de vérifier les propriétés 1.1.3 et 1.1.5 que nous considérons ci-dessous :

**Propriété 1.1.3.** Soit $K \subset \mathbb{R}^n$ un corps convexe de classe $C^k$, avec $k \ge 0$, ou de classe $C^\infty$, ainsi que $v \in \mathbb{S}^{n-1}$. Considérons à présent $f_v : K \to \mathbb{R}$ l'application telle que :

$$ f_v(x) = \langle x|v \rangle \qquad (1.1.0.4) $$

Alors, pour tout $v \in \mathbb{S}^{n-1}$, l'image $f_v(K)$ est un intervalle fermé $[a; b]$ non réduit à un singleton, c'est-à-dire $a \neq b$.

<footnote n="2">2. On rappelle qu'une $n$-variété orientée est la donnée d'une $n$-variété $M$ et d'une famille d'orientation $\bar{\beta} = (\bar{\beta}_x)_{x \in M}$ sur chaque espace tangent $T_x M$ vérifiant la condition de régularité suivante : Pour tout $x_0 \in M$, il existe $\varphi : W \to \mathbb{R}^n$ une carte centrée en $x_0$ pour laquelle les bases de la famille $((d_x\varphi)_* \cdot \beta_x)_{x \in W}$, avec chaque $\beta_x$ un représentant de la classe $\bar{\beta}_x$, sont formées de bases de $\mathbb{R}^n$ qui sont deux à deux dans le même sens.</footnote>

<footnote n="3">3. Il est clair que ce n'est pas une hypersurface du plan. Cependant, nous avons conservé cet exemple car, en plus d'être esthétique, il représente bien ce dont nous parlons.</footnote>
Démonstration. Supposons donc que $f_v(K) = \{a\}$ pour un certain $v \in S^{n-1}$. Alors, le corps $K$ est égal à son bord $\partial K$ et est compris dans l'hyperplan $\Sigma = av + \langle v \rangle^{\perp}$. En particulier, c'est une sous-variété de $\Sigma$ de classe $C^k$ et, ayant la même dimension que $\Sigma$, est alors ouverte. On a donc que $K$ est un ouvert fermé de $\Sigma$ et ainsi $K = \Sigma$. Ce qui n'est pas possible par compacité de $K$. $\square$

Nous allons à nouveau faire une digression sur les corps convexes de classe $C^0$. En effet, nous avions déjà vu à la propriété 1.1.2 que tout corps convexe d'intérieur non vide est de classe $C^0$. À présent, nous allons voir que la propriété 1.1.3 nous permet de montrer la réciproque.

**Propriété 1.1.4.** *Tout corps convexe de classe $C^0$ possède un intérieur non vide.*

*Démonstration.* Commençons par démontrer cette propriété pour les corps convexes du plan. Considérons un corps convexe $K \subset \mathbb{R}^2$ de classe $C^0$ et choisissons une direction $u_1 \in S^1$. La propriété 1.1.3 nous permet de savoir que les extremums $x_1$ et $y_1 \in \partial K$ de la fonction $f_{u_1}$ définie par l'expression (1.1.0.4), sont distinctes. À présent, considérons la direction $u_2 \in S^1$ orthogonale à la droite $\mathbb{R}(y_1 - x_1)$. De nouveau, par la propriété 1.1.3 on sait que les extremums $x_2$ et $y_2 \in \partial K$ de la fonction $f_{u_2}$ sont aussi distinctes. Il est alors clair que, les vecteurs $u_1$ et $u_2$ formant une base de $\mathbb{R}^2$, l'enveloppe convexe $\mathcal{K}(x_1, y_1, x_2, y_2)$ possède un intérieur non vide.

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 1.5 – Construction du simplexe $\mathcal{K}(x_1, y_1, x_2, y_2)$</figcaption></figure>

Et comme par convexité, nous savons que $\mathcal{K}(x_1, y_1, x_2, y_2) \subset K$ alors le corps $K$ possède bien un intérieur non vide. Ceci termine donc la démonstration pour les corps convexes du plan.

Pour conclure, appliquons une méthode de récurrence. Supposons la propriété 1.1.4 vraie en dimension $n-1$. Considérons $K \subset \mathbb{R}^n$ un corps convexe de classe $C^0$ et une direction $u \in S^{n-1}$. Les extrémités $x$ et $y \in \partial K$ de la fonction $f_u$ étant distinctes, considérons $z \in ]x; y[$. Il est alors clair que l'hyperplan $\Sigma = z + \langle u \rangle^{\perp}$ n'est pas un hyperplan d'appui de $K$. Par conséquence, $K \cap \Sigma$ est un corps convexe de classe $C^0$ dans $\Sigma$. Et par hypothèse de récurrence, on sait que le corps $K \cap \Sigma$ possède un intérieur non vide dans $\Sigma$. Ainsi, l'enveloppe convexe $\mathcal{K}(K \cap \Sigma, x, y)$ est nécessairement d'intérieur non vide et étant incluse dans $K$, nous obtenons le résultat souhaité. $\square$

**Remarque 1.1.1.** *Un corps convexe n'est pas de classe $C^0$ si et seulement s'il est contenu dans un hyperplan.*

<footnote n="4">4. L'enveloppe convexe d'une partie $A \subset \mathbb{R}^n$ est le plus petit convexe contenant la partie A. Voir section 1.1 de [100] pour plus d'informations.</footnote>
Pour comprendre cette dernière remarque, observons qu’un corps convexe admet un intérieur vide si et seulement si il est contenu dans un hyperplan. En effet, dans le cas où un corps $K \subset \mathbb{R}^n$ n’est pas contenu dans un hyperplan, alors il contient forcément l’enveloppe convexe de $n+1$ points $x_0, x_1, \dots, x_n$ tels que la famille de vecteurs $(x_1 - x_0, \dots, x_n - x_0)$ forme une base de $\mathbb{R}^n$. En particulier, $K$ est d’intérieur non vide.

Après cette brève parenthèse, revenons à notre question. En effet, nous pouvons montrer l’injectivité de la famille des hyperplans tangents du bord d’un corps convexe par la propriété suivante :

**Propriété 1.1.5.** Soit un corps convexe $K \subset \mathbb{R}^n$ et $\delta$ une droite affine. Alors, il existe exactement deux points $x_1$ et $x_2 \in \partial K$ sur le bord de $K$ pour lesquels les espaces tangents sont orthogonaux à la droite $\delta$. De plus, leurs vecteurs orthonormal sortants $u_1$ et $u_2$ sont opposés.

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE 1.6 – Injectivité de la famille des hyperplans orientés tangents au bord d'un corps convexe.</figcaption></figure>

*Démonstration.* Considérons une droite affine $\delta$ portée par un vecteur $v \in \mathbb{S}^{n-1}$ et $K$ un corps convexe de classe $C_+^\infty$. La fonction $f(x) = \langle x|v \rangle$ étant continue et définie sur un compact, elle admet nécessairement $x_1$ et $x_2$ comme bornes inférieure et supérieure. En particulier, par la propriété 1.1.3, nous savons que les points $x_1$ et $x_2$ ne sont pas sur le même hyperplan de support.

Ensuite, on considère $u_1$ et $u_2$ dans $\mathbb{S}^{n-1}$ comme étant les vecteurs orthonormaux sortant du corps $K$ et correspondant aux points $x_1$ et $x_2$. Par la propriété 1.1.1, nous savons que les points $x_1$ et $x_2$ admettent comme uniques hyperplans de support, les hyperplans $T_1 = x_1 + \langle u_1 \rangle^\perp$ et $T_2 = x_2 + \langle u_2 \rangle^\perp$. De plus, nous savons que les demi-espaces de support sont respectivement :

$$H_1 = \{x \in \mathbb{R}^n \text{ tel que } \langle x - x_1 | u_1 \rangle \le 0\} \text{ et } H_2 = \{x \in \mathbb{R}^n \text{ tel que } \langle x - x_2 | u_2 \rangle \le 0\}$$

Considérons donc un points $y \in \partial K$ dont l'hyperplan tangent $T_y \partial K$ est parallèle à l'hyperplan tangent $T_{x_1} \partial K$ et le vecteur orthonormal sortant $u$ est identique à $u_1$. En particulier, supposons que les points $x_1$ et $y$ soient distincts. En considérant $H$ le demi-espace de support pour le point $y$, il est clair que $x_1 \in H$ et $y \in H_1$. Ainsi, nous avons $\langle x_1 - y | u_1 \rangle \le 0$ et $\langle y - x_1 | u_1 \rangle \le 0$, donc les points $x_1$ et $y$ sont sur le même hyperplan de support orthogonal à $u_1$. En particulier, il est immédiat que le segment $[x_1, y]$ est compris dans le bord $\partial K$. Mais alors, il n'est pas possible que le champ orthonormal $\nu$ soit une immersion⁵ sur $[x_1, y]$. Ce qui nous donne finalement que $y = x_1$. □
Enfin, remarquons que la donnée d'un hyperplan affine orienté $(\Sigma, \bar{\beta})$ peut être associée à un unique vecteur $u$ de $\mathbb{S}^{n-1}$. En effet, si $(\Sigma, \bar{\beta})$ est un hyperplan affine orienté, il est facile de voir qu'il existe un vecteur $u \in \mathbb{S}^{n-1}$, unique, tel que $\Sigma_u = \lambda u + \langle u \rangle^{\perp}$ et pour chaque représentant $\beta$ de la classe $\bar{\beta}$, la base $(\beta, u)$ est dans le même sens que la base canonique de $\mathbb{R}^n$. Nous pouvons alors résumer tout ce dont nous avons parlé précédemment par la propriété suivante :

**Propriété 1.1.6.** Considérons la sphère $\mathbb{S}^{n-1}$ munie de $\bar{\gamma}$ l'orientation extérieure à la boule fermée $\bar{B}(0,1)$. Alors la famille des hyperplans tangents (vus comme espace affine orientés) du bord $\partial K$ d'un corps convexe $K$ peut être associée à une famille d'hyperplans affines orientés $(T_u, \beta_u)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$ vérifiant :

$$ \forall u \in \mathbb{S}^{n-1}, (T_u, \beta_u) \sim (u + \langle u \rangle^{\perp}, \gamma_u) \qquad (1.1.0.5) $$

tels que $T_u = T_x \partial K$ avec $\langle u|x \rangle = \text{Sup}\{\langle u|y \rangle \text{ tel que } y \in K\}$. En particulier, nous appellerons **famille d'hyperplans tangents paramétrés sur la sphère** la famille $(T_u, \beta_u)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$.

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE 1.7 – Correspondance entre les orientations de la sphère et du bord d'un corps convexe.</figcaption></figure>

*Démonstration.* Considérons la sphère $\mathbb{S}^{n-1}$ munie de $\bar{\gamma}$ l'orientation extérieure à la boule fermée $\bar{B}(0,1)$. La normale sortante $v: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{S}^{n-1}$ est définie par $v(u) = u$ et chaque orientation $\bar{\gamma}_u$ vérifie que la base $(\gamma_u, u)$ est dans le même sens que la base canonique de $\mathbb{R}^n$. À présent, considérons $K$ un corps convexe de classe $C_+^\infty$. Alors, par les deux propriétés précédentes, on sait que $\nu: \partial K \to \mathbb{S}^{n-1}$, le champ orthonormal sortant au corps $K$, est bijectif. Il nous suffit alors de considérer la famille d'hyperplans affines orientés $(T_u, \bar{\beta}_u)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$ tels que pour tout $u \in \mathbb{S}^{n-1}$, l'hyperplan affine est $T_u = T_{\nu^{-1}(u)} \partial K$ et l'orientation $\bar{\beta}_u$ vérifie que la base $(\beta_u, u)$ est dans le même sens que la base canonique de $\mathbb{R}^n$. En particulier, il est alors clair que l'orientation $\bar{\beta}$ correspond bien à l'orientation extérieure au corps $K$. $\square$

Nous en arrivons naturellement à considérer la fonction de support mesurant la distance signée des hyperplans de support d'un corps convexe $K$ (et donc les hyperplans tangents du bord $\partial K$) par rapport à l'origine.

**Définition 1.1.7.** Soit $K \subset \mathbb{R}^n$ un corps convexe. On appelle **fonction de support de K** la fonction $h: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$ définie de la manière suivante :

$$ h(u) = \text{Sup}\{ \langle x|u \rangle \text{ tel que } x \in K \} \qquad (1.1.0.6) $$

<footnote n="5">5. Par immersion en $x \in \partial K$, nous entendons que la différentielle $d_x \nu: T_x \partial K \to T_{\nu(x)} \mathbb{S}^{n-1}$ soit injective.</footnote>
**Propriété 1.1.7.** La fonction de support d'un corps convexe K est lisse.

**Note.** Nous rappelons que depuis l'avertissement 1.1.2 de la page 29, nous ne traitons que des corps convexes de classe $C_+^\infty$. Pour en savoir plus, il est possible de consulter la section 1.7.1 des pages 44 à 51 de [100], qui traite plus largement de la notion de fonction de support pour les corps convexes sans contrainte sur leur classe de régularité.

**Démonstration.** Soit K un corps convexe de classe $C_+^\infty$ ainsi que $x \in \partial K$ un point sur le bord et $u \in \mathbb{S}^{n-1}$ la normale extérieure au corps K en x. Si $T_u$ est l'hyperplan de support en x, on sait que $K \cap T_u = \{x\}$ et $K \subset H$ avec $H = \{y \in \mathbb{R}^n \text{ tel que } \langle u|y - x \rangle \le 0\}$ le demi-espace de support bordé par $T_u$. Il est alors clair que :

$$ \langle u|x \rangle = \mathrm{Sup}\{ \langle u|y \rangle \text{ tel que } y \in K \} = h(u) \quad (1.1.0.7) $$

En particulier, comme $\nu : \partial K \to \mathbb{S}^{n-1}$ le champ orthonormal sortant du corps K est une bijection, alors on obtient que :

$$ h(u) = \langle \nu^{-1}(u)|u \rangle $$

De plus, le corps K étant de classe $C_+^\infty$, le champ orthonormal est un difféomorphisme local en tout point (et donc évidemment un difféomorphisme). Il est donc clair que la fonction h est lisse. $\square$

Il nous faut alors noter que cette fonction joue un rôle fondamental dans la théorie des hérissons comme c'est le cas pour les corps convexes. Elle permet, par exemple, de décrire la famille des hyperplans tangents du bord d'un corps convexe dont nous avons parlé précédemment. En effet, si K est un corps convexe, de bord $\partial K$ et de fonction de support $h : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$, alors la famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$ des hyperplans tangents au bord, vue comme espace affine (en adoptant le paramétrage sur la sphère $\mathbb{S}^{n-1}$), vérifie la propriété suivante :

**Propriété 1.1.8.** Soit K un corps convexe de fonction de support $h : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$, alors la famille des hyperplans tangents affines orientés paramétrés sur la sphère vérifie que :

$$ \Sigma_u = h(u)u + \langle u \rangle^\perp \quad (1.1.0.8) $$

pour tout $u \in \mathbb{S}^{n-1}$.

**Démonstration.** Considérons $x \in \partial K$ et $u \in \mathbb{S}^{n-1}$ la normale sortante en x du corps K. Si $T_u$ est l'hyperplan tangent en x (vu comme espace affine), on a que $x \in T_u$ et $T_u = \lambda u + \langle u \rangle^\perp$. Il est alors immédiat que $\lambda = \langle u|x \rangle$ et par la relation (1.1.0.7) on obtient le résultat recherché. $\square$

Il est alors possible de vérifier que si $K_1$ et $K_2$ sont deux corps convexes dont les fonctions de support sont respectivement $h_1$ et $h_2$, alors, si $\lambda > 0$ on a que $K_1 + \lambda K_2$ est un corps convexe dont la fonction de support est $h_1 + \lambda h_2$ (voir théorème 1.7.5 page 48 de [100] pour plus de détails). Mais nous reviendrons sur ce point lorsque nous aborderons les opérations sur les corps convexes et les hérissons. Pour l'instant, nous pouvons comprendre que nous avons une forme de correspondance linéaire entre les corps convexes et leurs fonctions de support. Il est donc naturel d'envisager de faire des différences de fonctions de support comme l'a considéré A.D.Aleksandrov (voir [1] pour en savoir plus).
## 1.2 Définition et existence des hérissons euclidiens

Dans cette section, nous prendrons la liberté de définir la notion de hérisson euclidien par le biais de familles d'hyperplans co-orientés. En effet, nous adopterons une démarche similaire pour définir les h-hérissons et les g-hérissons dans la partie II. Considérons donc les deux définitions suivantes :

**Définition 1.2.1.** Nous dirons qu'une famille d'hyperplans $(\Sigma_u)_{u \in \Gamma}$ de $\mathbb{R}^n$, avec $\Gamma$ une p-variété différentiel, est **lisse** si et seulement si en tout point, il existe localement $\nu : W \subset \Gamma \mapsto \mathbb{S}^{n-1}$ et $h : W \subset \Gamma \mapsto \mathbb{R}$ deux applications lisses telles que :

$$ \Sigma_u = h(u)\nu(u) + \langle \nu(u) \rangle^{\perp} \qquad (1.2.0.1) $$

pour tout $u \in W$.

**Note.** Pour plus de généralité sur la notion de famille lisse (et la notion d'enveloppe), il est possible de consulter l'annexe A dans laquelle nous rassemblons les éléments essentiels traitant de ces deux notions.

**Remarque 1.2.1.** De ce qui précède, la famille des hyperplans tangents paramétrés sur la sphère du bord d'un corps convexe est évidemment lisse.

**Définition 1.2.2.** Nous dirons qu'une famille $(\Sigma_u, \bar{\beta}_u)_{u \in \Gamma}$ d'hyperplans affins orientés de $\mathbb{R}^n$ est **co-orientée** si et seulement si elle vérifie les deux points suivants :

1. La famille d'hyperplans affins $(\Sigma_u)_{u \in \Gamma}$ est lisse.

2. Il existe $\nu : \Gamma \mapsto \mathbb{S}^{n-1}$ une application lisse (globale) telle que pour tout $u \in \Gamma$, la droite $\mathbb{R}\nu(u)$ est orthogonale à l'hyperplan $\Sigma_u$ et pour chaque représentant $\beta_u$ de la classe $\bar{\beta}_u$, la base complétée $(\beta_u, \nu(u))$ est dans le même sens que la base canonique de $\mathbb{R}^n$.

**Note.** Nous dirons de plus que la famille $(\Sigma_u, \bar{\beta}_u)_{u \in \Gamma}$ est **régulière** lorsque l'application $\nu$ est une immersion.

**Remarque 1.2.2.** Si $\Sigma \subset \mathbb{R}^3$ est le ruban de Möbius, alors sa famille d'hyperplans tangents $(T_x\Sigma)_{x \in \Sigma}$ ne peut pas correspondre à une famille d'hyperplans co-orientés.

La notion de co-orientation est bien entendu bien plus large que la définition que nous venons de considérer. C'est une notion qui provient de la géométrie de contact, que nous présentons avec plus de détail dans les annexes C et B de ce document. Par ailleurs, il est possible de consulter l'ouvrage [38] de H. Geiges afin de trouver un exposé complet sur cette notion. Pour la suite, puisque la définition 1.2.2 est inutilement large pour les besoins de notre exposé, nous prendrons la liberté de considérer la définition suivante :

**Définition 1.2.3.** Nous appelons **famille d'hyperplans co-orientés de $\mathbb{R}^n$ toute famille lisse d'hyperplans affins orientés** $(\Sigma_u, \bar{\beta}_u)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$ vérifiant que : Pour tout $u \in \mathbb{S}^{n-1}$, la droite $\mathbb{R}u$ est orthogonale à l'hyperplan $\Sigma_u$ et chaque représentant $\beta_u$ de la classe $\bar{\beta}_u$ vérifie que la base complétée $(\beta_u, u)$ est dans le même sens que la base canonique de $\mathbb{R}^n$.

**Note.** Nous appellerons également **fonction de support** la fonction lisse $h : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto \mathbb{R}$ telle que pour tout $u \in \mathbb{S}^{n-1}$, $\Sigma_u = h(u)u + \langle u \rangle^{\perp}$.

**Avertissement 1.2.1.** Nous prendrons l'habitude de considérer qu'une famille d'hyperplans affins $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$ est co-orientée lorsque pour tout $u \in \mathbb{S}^{n-1}$, la droite $\mathbb{R}u$ est orthogonale à l'hyperplan $\Sigma_u$, sans faire mention de l'orientation $\bar{\beta}_u$. En effet, nous la considérons implicitement engendrée par le vecteur $u$ de chaque hyperplan $\Sigma_u$. Bien sûr, il s'agit d'alléger le texte et nous nous permettrons ce raccourci lorsqu'il ne produira pas de confusion.
Nous pouvons aussi constater que la définition 1.2.3 consiste à considérer les familles d'hyperplans affins orientés vérifiant les deux conditions suivantes :

1. Ce sont des familles co-orientées selon la définition 1.2.2, régulières et paramétrées sur la sphère.

2. Elles vérifient la condition d'injectivité de la définition 1.1.6.

Cette dernière remarque n'est pas utile lorsque nous parlons des hérissons de l'espace euclidien, mais le deviendra lorsque nous travaillerons sur l'espace hyperbolique et sur la sphère. En particulier, il ne nous sera pas immédiat (au sens de la non canonicité) de retrouver une condition d'injectivité comme pour la définition 1.1.6 de la page 30. Cela proviendra du fait que cette condition d'injectivité nécessite de comparer globalement les orientations d'hyperplans qui vivent sur des espaces tangents différents.

**Remarque 1.2.3.** La famille des hyperplans tangents paramétrés sur la sphère du bord d'un corps convexe est une famille d'hyperplans co-orientés.

La définition de hérisson proposée par R.Langevin, G.Levitt et H.Rosenberg consiste à considérer l'enveloppe des hyperplans d'équation $\langle x|u \rangle = h(u)$, pour une fonction lisse $h : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$ qui bien sûr ne correspondrait pas forcément à la fonction de support d'un corps convexe. Ainsi, nous définirons les hérissons de la manière suivante :

**Définition 1.2.4.** Soit $(\Sigma_u)_{u \in \Gamma}$ une famille lisse d'hyperplans affines de $\mathbb{R}^n$. Nous appelons enveloppe de la famille d'hyperplans, l'image d'une fonction lisse $x : \Gamma \mapsto \mathbb{R}^n$ vérifiant les deux conditions suivantes :

1. Pour tout $u \in \Gamma$, $x(u) \in \Sigma_u$.

2. Pour tout $u \in \Gamma$ et $\vec{W} \in T_u\Gamma$, $d_u x \cdot \vec{W} \in \vec{\Sigma}_u$.

**Note.** Nous appellerons en particulier **paramétrage** l'application $x$ que nous avons considérée précédemment. De plus, nous appellerons **enveloppe paramétrée** la donnée de l'enveloppe d'une famille lisse d'hyperplans affines et de son paramétrage.

**Définition 1.2.5.** On appelle **hérisson euclidien** ou simplement **hérisson**, la donnée de l'enveloppe $\mathcal{H}$ d'une famille d'hyperplans co-orientés et de son paramétrage $x : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}^n$. Bien sûr, nous dirons que la fonction de support de la famille d'hyperplans est la **fonction de support du hérisson**.

**Note.** Nous appelons **paramétrage** du hérisson, le paramétrage de l'enveloppe de la famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$ d'hyperplans co-orientés.

**Remarque 1.2.4.** Nous pouvons reformuler la définition 1.2.5 en constatant qu'un hérisson est l'enveloppe paramétrée d'une famille d'hyperplans co-orientés.

**Notation 1.2.1.** Par commodité, nous prendrons l'habitude de noter $\mathcal{H}_h$ le hérisson euclidien de fonction de support $h$ ainsi que $x_h$ son paramétrage.

**Avertissement 1.2.2.** Il nous arrivera de noter $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{R}^n$ est un hérisson" sans faire mention de son paramétrage, comme si nous considérons une partie de $\mathbb{R}^n$. Bien sûr, il s'agira d'un raccourci utilisé dans le but de simplifier le texte.

Avant de poursuivre, nous allons justifier pourquoi nous considérons un tel couple $(\mathcal{H}, x)$ pour définir la notion de hérisson euclidien. Pour ce faire, rappelons d'abord que nous avons défini le bord d'un corps convexe (voir définition 1.1.3 page 29) comme étant l'ensemble des points
de support d'un corps convexe $K$ muni du champ orthonormal sortant. Notons également qu'il est facile de constater que l'information $(\partial K, \nu)$ est entièrement contenue dans $(\mathcal{H}_h, x_h)$, avec $h$ étant la fonction de support de $K$. En effet, il suffit de prendre en compte la propriété 1.2.1 suivante :

**Remarque 1.2.5.** Si $f : M \mapsto N$ est une immersion bijective entre deux variétés différentielles de même dimension $n$, alors $c$ est un difféomorphisme.

**Propriété 1.2.1.** Soit $K \subset \mathbb{R}^n$ un corps convexe. L'application de Gauss $\nu : \partial K \mapsto \mathbb{S}^{n-1}$, correspondant à la normale sortante du corps $K$, est un difféomorphisme.

*Démonstration.* Le corps convexe $K$ étant de classe $C_+^\infty$, par définition, l'application $\nu$ est un difféomorphisme local en chaque point. De plus, en vertu des propriétés 1.1.1 et 1.1.5, il est clair que l'application $\nu$ est bijective. D'après ce qui précède, nous obtenons le résultat recherché. $\square$

**Remarque 1.2.6.** Il est alors immédiat que considérer le bord $(\partial K, \nu)$ d'un corps convexe $K$ équivaut à considérer le hérisson $(\mathcal{H}, x)$ avec $\mathcal{H} = \partial K$ et $x = \nu^{-1}$. En particulier, la fonction de support du hérisson $\mathcal{H}$ est également la fonction de support du corps convexe $K$.

Mais pourquoi choisir $(\mathcal{H}, x)$ alors que nous aurions pu envisager une définition analogue à $(\partial K, \nu)$ en appliquant la définition 1.3.1 de la page 40 pour des différences de bord de corps convexe ? Cela provient du fait que si nous considérons une fonction $h$ qui est nulle sur un ouvert $W \subset \mathbb{S}^{n-1}$, alors il n'est pas possible de définir$^6$ la normale de l'enveloppe $x_h(\mathbb{S}^{n-1})$ comme étant une application $\nu : x_h(\mathbb{S}^{n-1}) \mapsto \mathbb{R}^n$. En particulier, la définition pour le bord $\partial K$ d'un corps convexe est suffisante, car le paramétrage de $\partial K$ n'admet pas de point critique. Mais cela n'est évidemment pas le cas pour les hérissons en général. C'est précisément cette contrainte qui justifie la démarche adoptée pour définir la notion de hérisson. Dès lors, il nous faut considérer la propriété suivante :

**Propriété 1.2.2.** Toute famille d'hyperplans co-orientés $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$, et de fonction de support $h$, admet une unique enveloppe paramétrée $\mathcal{H}$ (qui est par définition un hérisson euclidien). De plus, son paramétrage $x : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto \mathbb{R}^n$ est unique et vérifie l'expression suivante :

$$x(u) = h(u)u + \vec{\nabla}h(u) \qquad (1.2.0.2)$$

pour tout $u \in \mathbb{S}^{n-1}$.

*Démonstration.* Supposons d'abord l'existence d'une telle enveloppe. Si $x : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto \mathbb{R}^n$ est le paramétrage de l'enveloppe en question, alors par définition, il vérifie l'expression suivante :

$$x(u) = h(u)u + \vec{V}(u)$$

avec $\vec{V}(u) \perp u$.

Nous savons aussi que par définition du paramétrage d'une enveloppe, l'application $x$ vérifie les deux conditions suivantes : $x(u) \in \Sigma_u$ et si $\vec{W} \in T_u \mathbb{S}^{n-1}$ alors $d_u x \cdot \vec{W} \perp u$. Ainsi, on a que $\langle x(u)|u \rangle = h(u)$ et $\langle x(u)|\vec{W} \rangle = d_u h(\vec{W})$. En particulier, on obtient que pour tout $\vec{W} \in T_u \mathbb{S}^{n-1}$,

<footnote n="6">6. Ce n'est pas seulement dû au fait que $x_h(\mathbb{S}^{n-1})$ admet des points critiques (i.e. valeurs critiques pour $x_h$). En effet, si nous considérons l'exemple de hérisson présenté dans la figure 1.8 de la page 40, il est parfaitement possible de définir l'application normale $\nu : x_h(\mathbb{S}^{n-1}) \mapsto \mathbb{R}^n$ en imposant la condition $\nu \circ x_h(u) = u$. Il s'agirait d'une application continue et lisse sur les valeurs régulières de $x_h$. Mais dans le cas d'un hérisson dont la fonction de support $h$ vérifie qu'il existe un ouvert $W \subset \mathbb{S}^{n-1}$ sur lequel elle est nulle, alors la fonction $\nu$ n'est pas définissable sur $\{x\} = x_h(\overline{W})$.</footnote>
$$ \langle \vec{V}(u) | \vec{W} \rangle = d_u h(\vec{W}) \text{ et donc } \vec{V}(u) = \vec{\nabla} h(u). $$

Enfin, si l'on considère une famille d'hyperplans co-orientés de fonction de support $h$, alors l'application $x(u) = h(u)u + \vec{\nabla}h(u)$ remplit forcément les conditions requises pour être un paramétrage de l'enveloppe associée à cette famille d'hyperplans. □

Nous pouvons immédiatement remarquer que le paramétrage $x_h : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto \mathbb{R}^n$ d'un hérisson euclidien $H_h$ peut être interprété comme étant la réciproque de son application de Gauss. En effet, si $u_0 \in \mathbb{S}^{n-1}$ n'est pas un point critique, alors il existe un ouvert $\Omega \subset \mathbb{S}^{n-1}$ centré en $u_0$ sur lequel la restriction de $x_h$ est un plongement. Pour vérifier cela, on considère les deux propositions suivantes :

**Propriété 1.2.3.** Si $f : M \to N$ est une injection continue définie sur un compact, avec $M$ et $N$ deux espaces topologiques séparés, alors c'est un plongement topologique$^7$.

**Note.** Il est alors immédiat que si $f$ est une immersion injective définie sur un compact, alors c'est un plongement différentiel.

*Démonstration.* En effet, comme $M$ est compact, l'image d'un fermé est fermée dans $N$ car elle est compacte. Il est donc immédiat que si $W = M \setminus F$ est ouvert, alors $f(W) = f(M) \cap (N \setminus f(F))$ est ouvert dans $f(M)$, muni de la topologie induite par $N$. □

**Propriété 1.2.4.** Soit $H_h$ un hérisson de paramétrage $x : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}^n$. Si $u_0 \in \mathbb{S}^{n-1}$ est un point régulier pour $x$, alors il existe un ouvert $W \subset \mathbb{S}^{n-1}$ sur lequel l'application $x$ est un plongement différentiel.

*Démonstration.* Considérons $u_0 \in \mathbb{S}^{n-1}$ un point tel que la différentielle $d_{u_0}x : \langle u \rangle^{\perp} \mapsto \langle u \rangle^{\perp}$ soit injective. Il est alors clair qu'il existe $V \subset \mathbb{S}^{n-1}$ un ouvert centré en $u_0$ sur lequel la différentielle $dx$ est toujours injective. On peut alors supposer que le paramétrage est injectif sur $V$ (via application du théorème d'inversion locale). Considérons donc $W \subset F \subset V$ avec $W$ ouvert et $F$ fermé. Alors, par la propriété précédente, l'application $x$ est un plongement topologique sur $F$ et ainsi un plongement différentiel sur $W$. □

À partir de là, nous savons que $x_h(\Omega)$ est une hypersurface orientée de $\mathbb{R}^n$ pour laquelle on peut choisir l'application de Gauss $\mathcal{N} : x_h(\Omega) \mapsto \mathbb{S}^{n-1}$ vérifiant :

$$ \mathcal{N} \circ x_h(u) = u \qquad (1.2.0.3) $$

pour tout $u \in \Omega$.

C'est pour cela que R. Langevin, G. Levitt et H. Rosenberg ont intitulé leur article "Hérissons et multihérissons (enveloppes paramétrées par leur application de Gauss)". De plus, l'utilisation de la terminologie "hérisson" est parfaitement justifiée sachant que les normales de l'enveloppe $H = x_h(\mathbb{S}^{n-1})$ se répartissent comme les piques à la surface d'un hérisson.

<footnote n="7">7. Nous rappelons qu'un plongement topologique est une application $f : M \to N$ qui est un homéomorphisme sur son image $f(M)$, avec $f(M) \subset N$ muni de la topologie induite par $N$. Un plongement différentiel est alors une application lisse $f : M \to N$, entre deux variétés différentielles, qui est un plongement topologique dont la différentielle est toujours injective. En particulier, l'image $f(M)$ d'un plongement différentiel est une sous-variété différentielle de $N$ et donc l'application $f$ est un difféomorphisme sur son image.</footnote>
**Remarque 1.2.7.** Si $K$ est un corps convexe dont le paramétrage du bord $\partial K$, vu comme un hérisson, est $x : \mathbb{S}^{n-1} \to \partial K$ et $\nu : \partial K \to \mathbb{R}^n$ le champ orthonormal sortant, alors on a toujours que, pour tout $u \in \mathbb{S}^{n-1}$ :

$$ \nu \circ x(u) = u \qquad (1.2.0.4) $$

En particulier, si le corps $K$ est de classe $C_+^k$, alors le champ orthonormal sortant $\nu : \partial K \to \mathbb{R}^n$ est également de classe $C^k$.

**Définition 1.2.6.** Soit $\mathcal{H}_h$ un hérisson de paramétrage $x_h : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}^n$. On appelle fonction de courbure<fnref n="8" /> la fonction $R_h := \det(dx_h) : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$.

**Note.** Pour bien comprendre cette définition, il faut remarquer que la fonction $d_u x_h$ est forcément un endomorphisme de $T_u \mathbb{S}^{n-1} = \langle u \rangle^\perp$.

**Remarque 1.2.8.** Il est intéressant de noter que lorsque nous parlerons de hérisson, le paramétrage joue un rôle analogue à l'application de Gauss du bord d'un corps convexe. De la même manière, la fonction de courbure remplace la courbure de Gauss.

**Remarque 1.2.9.** Une conséquence immédiate de la propriété 1.2.4 est qu'un hérisson euclidien est, en ses points réguliers<fnref n="9" />, une hypersurface orientée dont la courbure de Gauss n'est jamais nulle.

**Avertissement 1.2.3.** L'orientation naturelle d'un hérisson $\mathcal{H}_h$ est l'orientation transverse définie sur l'hypersurface $\mathcal{H}_h \setminus \{x_h(u)\}$ tel que $R_h(u) = 0$} via l'application de Gauss $N : \mathbb{S}^{n-1} \setminus R_h^{-1}(0) \to \mathbb{S}^{n-1}$ telle que :

* $N(u) = u$ lorsque $R_h(u) > 0$.

* $N(u) = -u$ lorsque $R_h(u) < 0$.

Cette orientation permet en particulier de déterminer les volumes et volumes mixtes, qui, étant une problématique fondamentale dans la théorie de Brunn-Minkowski, le sont aussi dans la théorie des hérissons. Néanmoins, dans ce document, lorsque nous parlerons d'application de Gauss d'un hérisson (tout comme à la partie II, pour les h-hérisson et g-hérisson), ce sera dans le sens de la relation (1.2.0.3).

Nous pouvons conclure cette première partie en constatant que la notion de hérisson peut être considérée selon deux points de vue parfaitement équivalents. D'une part, le point de vue où l'on considère un hérisson euclidien comme l'enveloppe d'une famille d'hyperplans co-orientés (c'est-à-dire dont la famille des hyperplans tangents vérifie la condition d'injectivité), et d'autre part, le point de vue qui voit un hérisson comme une hypersurface orientée, admettant des points critiques, paramétrée par l'inverse de son application de Gauss. Considérer comme distincts ces deux points de vue est totalement superflu pour les hérissons euclidiens. Toutefois, nous verrons à la partie II que lorsque nous voudrons définir la notion de hérisson sur des espaces comme l'espace hyperbolique, la distinction de ces deux points de vue occupera une place importante dans la compréhension de la notion de hérisson.

<footnote n="8">8. Pour en savoir plus sur la fonction de courbure $R_h$ d'un hérisson, qui joue un rôle important dans la théorie des hérissons, il est possible de consulter l'article [70].</footnote>

<footnote n="9">9. Les points critiques d'un hérisson $\mathcal{H}$ correspondent évidemment aux valeurs critiques de son paramétrage de Gauss.</footnote>
<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIGURE 1.8 – Illustration des "deux points de vue" d'un hérisson euclidien sur le plan</figcaption></figure>

Pour conclure ce chapitre, il nous faut discuter des propriétés algébriques que vérifient les hérissons euclidiens ainsi que leurs liens avec les corps convexes, pour s'assurer qu'ils correspondent bien à des différences de corps convexes. Notons que ces caractéristiques constituent le point central de la théorie des hérissons.

## 1.3 Propriétés combinatoires et correspondance avec les corps convexes

Comme nous en avons déjà discuté, il est nécessaire de relier la notion de hérisson aux différences de corps convexes. Tout d'abord, il est facile de constater que le bord d'un corps convexe est nécessairement un hérisson euclidien dont la fonction de support vérifie la relation (1.1.0.6) de la page 33. Ensuite, nous pouvons combiner les corps convexes ainsi que leurs bords en considérant la définition suivante :

**Définition 1.3.1.** Soit $K_1$ et $K_2$ deux corps convexes et $\lambda > 0$. Nous considérons alors les deux opérations suivantes :

1. $K_1 + \lambda K_2 = \{x_1 + \lambda x_2, \text{ avec } x_1 \in K_1 \text{ et } x_2 \in K_2\}$, que l'on appelle en particulier **somme de Minkowski**.

2. $\partial K_1 + \lambda \partial K_2 = \{x_1 + \lambda x_2 \text{ avec } x_1 \in \partial K_1, x_2 \in \partial K_2 \text{ tels que } \nu_1(x_1) = \nu_2(x_2)\}$, que l'on mutit du champ orthonormal $\nu(x_1 + \lambda x_2) = \nu_1(x_1) = \nu_2(x_2)$ pour tout $x_1 + \lambda x_2 \in \partial K_1 + \lambda \partial K_2$.

**Note.** Nous précisons que $\nu_1$ et $\nu_2$ correspondent aux applications orthonormales sortant des corps convexes respectifs $K_1$ et $K_2$.

**Propriété 1.3.1.** Soit $K_1$ et $K_2$ deux corps convexes avec comme fonctions de support $h_1$ et $h_2$, et soit $\lambda > 0$ un scalaire. Alors $K_1 + \lambda K_2$ est un corps convexe dont le bord est $\partial K_1 + \lambda \partial K_2$ et dont la fonction de support est $h_1 + \lambda h_2$.

**Démonstration.** Voir théorème 1.7.5 page 48 de [100]. □

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Cette correspondance entre la somme de Minkowski et la somme des bords nous indique que les différences de bords de corps convexes permettent de réaliser géométriquement les différences formelles (pour la somme de Minkowski) de corps convexes. Ainsi, nous définissons les opérations combinatoires sur les hérissons euclidiens de la manière suivante :
**Définition 1.3.2.** Soit $\mathcal{H}_{h_1}$ et $\mathcal{H}_{h_2}$ deux hérissons. On définit alors les opérations combinatoires sur l'ensemble des hérissons euclidiens comme ci-dessous :

$$ \mathcal{H}_{h_1} + \lambda \mathcal{H}_{h_2} = (\mathrm{Img}(x_1 + \lambda x_2), x_1 + \lambda x_2) \qquad (1.3.0.1) $$

avec $x_1$ et $x_2$ étant les paramétrages respectifs.

**Remarque 1.3.1.** Il est alors immédiat que si $\mathcal{H}_1$ et $\mathcal{H}_2$ sont deux hérissons euclidien avec $h_1$ et $h_2$ pour fonctions de support et pour paramétrages $x_1$ et $x_2$, alors la composition $\mathcal{H}_1 + \lambda \mathcal{H}_2$ est un hérisson dont la fonction de support est $h_1 + \lambda h_2$ et dont le paramétrage est $x_{h_1} + \lambda x_{h_2}$.

En particulier, il est clair que toute différence $\partial K_1 - \partial K_2$ entre bords de corps convexes est un hérisson avec pour fonction de support $h_{K_1} - h_{K_2}$. Cette fonction n'est pas nécessairement celle d'un corps convexe. Cependant, pour associer les hérissons aux corps convexes, nous souhaitons alors montrer que tout hérisson est une différence entre bords de corps convexes. C'est précisément ce que nous abordons ci-dessous :

**Définition 1.3.3.** Soit $\mathcal{H}_h$ un hérisson avec comme paramétrage $x : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}^n$. Nous appelons *rayon de courbure principale en u* $\in \mathbb{S}^{n-1}$ les valeurs propres $\{r_1^{(u)}, \dots, r_{n-1}^{(u)}\}$ de l'endomorphisme $d_u x : T_u \mathbb{S}^{n-1} \to T_u \mathbb{S}^{n-1}$.

**Note.** Nous évoquerons souvent les rayons de courbure principaux comme étant une famille de fonctions $r_i : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$. Cependant, il est important de souligner que ces fonctions ne sont pas toujours lisses. Néanmoins, la fonction de courbure $R_h := r_1 \cdots r_{n-1}$ l'est.

**Propriété 1.3.2.** Soit $\mathcal{H}_h$ un hérisson ayant pour fonction de support $h$ et pour paramétrage $x$. La différentielle du paramétrage vérifie l'expression ci-dessous :

$$ d_u x \cdot \overrightarrow{W} = h(u) \overrightarrow{W} + \mathrm{Hess}(h)_u * \overrightarrow{W} \in T_u \mathbb{S}^{n-1} \qquad (1.3.0.2) $$

pour tout $u \in \mathbb{S}^{n-1}$ et $\overrightarrow{W} \in T_u \mathbb{S}^{n-1}$. De plus, comme l'endomorphisme $d_u x$ est symétrique pour le produit scalaire, les fonctions de rayon de courbure principales existent bien en chaque point de la sphère.

**Démonstration.** Considérons $\mathcal{H}_h \subset \mathbb{R}^n$ un hérisson ayant pour fonction de support $h : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$ et pour paramétrage $x : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}^n$. Commençons par définir les fonctions $\alpha : \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$ et $\beta : \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$ telles que :

$$ \alpha(x) = \sqrt{\langle x|x \rangle} \text{ et } \beta(x) = \frac{1}{\sqrt{\langle x|x \rangle}} $$

Nous trouvons alors que $d_u \alpha \cdot \overrightarrow{W} = \beta(x) \langle x | \overrightarrow{W} \rangle$ et $d_u \beta \cdot \overrightarrow{W} = -\beta(x)^3 \langle x | \overrightarrow{W} \rangle$. Examinons ensuite les fonctions $\tilde{h} : \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$ et $\varphi := \alpha \tilde{h} : \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \to \mathbb{R}$ où $\tilde{h}(x) = h(\beta(x)x)$. Après un petit calcul en utilisant les coordonnées polaires, on obtient :

$$ x(u) = h(u)u + \overrightarrow{\nabla}_S h(u) = \overrightarrow{\nabla} \varphi(u) $$

Il est important de noter que les gradients $\overrightarrow{\nabla}_S h(u)$ et $\overrightarrow{\nabla} \varphi(u)$ sont respectivement définis sur la sphère $(\mathbb{S}^{n-1}, g_S)$ munie de la métrique usuelle et sur l'espace euclidien $(\mathbb{R}^n, \langle \cdot | \cdot \rangle)$. Ainsi, nous avons :

$$ d_u x \cdot \overrightarrow{W} = d_u \left[ \overrightarrow{\nabla} \varphi \right] \cdot \overrightarrow{W} $$
Toute la difficulté se résume à trouver un système de coordonnées sur la sphère $\mathbb{S}^{n-1}$ qui se prolonge sur un ouvert de $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ et qui nous permette de calculer facilement sur la sphère la différentielle $\overrightarrow{\nabla} \varphi$. Pour cela, on commence par remarquer que sur $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ :

$$ \overrightarrow{\nabla} \varphi(x) = \beta(x) \tilde{h}(x) x + \alpha(x) \overrightarrow{\nabla} \tilde{h}(x) $$

Pour comprendre cette dernière relation, il nous faut considérer la base canonique $(\overrightarrow{v}_1, \dots, \overrightarrow{v}_n)$ de $\mathbb{R}^n$. Ainsi, on calcule que $\partial_i[\varphi]_x = \beta(x)x_i \tilde{h}(x) \overrightarrow{v}_i + \alpha(x) \partial_i \tilde{h}(x) \overrightarrow{v}_i$. De là, on obtient notre relation.

A présent, considérons un point $u_0 \in \mathbb{S}^{n-1}$. Nous allons donc pouvoir déterminer la relation (1.3.0.2) en $u_0$. Pour ce faire, nous choisissons une base orthonormale $(\overrightarrow{e}_1, \dots, \overrightarrow{e}_{n-1})$ de l'hyperplan tangent $T_{u_0}\mathbb{S}^{n-1}$. Si $\exp_{u_0}: \mathbb{S}^{n-1} \setminus \{-u_0\} \mapsto T_{u_0}\mathbb{S}^{n-1}$ est la carte exponentielle en $u_0$, alors nous définissons le repère différentiel $(\partial_1, \dots, \partial_{n-1})$ vérifiant que pour tous les points $u \in \mathbb{S}^{n-1} \setminus \{-u_0\}$ :

$$ \partial_i(u) = (d_u \exp_{u_0})^{-1} \cdot \overrightarrow{e}_i $$

Nous pouvons facilement prolonger ces champs de vecteurs sur $\mathbb{R}^n \setminus \{\lambda u_0 \text{ tq } \lambda \le 0\}$ en considérant les $(\partial_1, \dots, \partial_{n-1})$ tels que $\partial_i(x) = (d_u \exp_{u_0})^{-1} \cdot \overrightarrow{e}_i$ avec $u = \beta(x)x$. En complétant avec le champ $\partial_n(x) = \beta(x)x$, nous obtenons un repère différentiel sur $\mathbb{R}^n \setminus \{\lambda u_0 \text{ tq } \lambda \le 0\}$. Nous pouvons alors vérifier que pour tout $u \in \mathbb{S}^{n-1} \setminus \{-u_0\}$ et $i, j$ dans $\{1, \dots, n-1\}$, on a :

$$ \partial_i \tilde{h}(u) = \partial_i h(u), \partial_i^2 \tilde{h}(u) = \partial_i^2 h(u), \partial_n \tilde{h}(u) = 0 \text{ et } \partial_{in}^2 \tilde{h}(u) = 0 $$

Si les deux premiers points sont immédiats, nous obtenons les deux derniers en constatant que si $x \in \mathbb{R}^n \setminus \{\lambda u_0 \text{ tq } \lambda \le 0\}$ alors $d_x \tilde{h} \cdot \overline{W} = \beta(x) d_{\beta(x)} x h(\overline{W} - \beta(x)^2 \langle x | \overline{W} \rangle x)$. Il est alors clair que $d_x \tilde{h} \cdot \partial_n(x) = 0$ et ainsi $\partial_{in}^2 \tilde{h}(x) = 0$.

Rappelons ensuite que nous construisons la carte exponentielle $\exp_{u_0}$ en inversant localement en zéro la fonction lisse $f: T_{u_0}\mathbb{S}^{n-1} \mapsto \mathbb{S}^{n-1}$ telle que $f(t\overrightarrow{v}) = \text{Cos}(t)u_0 + \text{Sin}(t)\overrightarrow{v}$, avec $t \ge 0$ et $\overrightarrow{v} \in S[T_{u_0}\mathbb{S}^{n-1}]$. Ainsi, nous savons que $\partial_i \circ f(t\overrightarrow{e}_i) = -\text{Sin}(t)u_0 + \text{Cos}(t)\overrightarrow{e}_i$ avec, bien sûr, $i$ dans $\{1, \dots, n-1\}$. Alors, en remarquant que $\partial_t[\partial_i \circ f(t\overrightarrow{e}_i)]_{t=0} = d_{u_0}[\partial_i] \cdot \partial_t[f(t\overrightarrow{e}_i)]_{t=0} = d_{u_0}[\partial_i] \cdot \overrightarrow{e}_i$, nous obtenons :

$$ \partial_i[\partial_i(x)]_{x=u_0} = d_{u_0}[\partial_i] \cdot \overrightarrow{e}_i = \partial_t[\partial_i \circ f(t\overrightarrow{e}_i)]_{t=0} = -u_0 $$

Ensuite, pour $i, j \in \{1, \dots, n-1\}$ distincts, il est clair que $\partial_i \circ f(t\overrightarrow{e}_j) = \overrightarrow{e}_j$ et donc $\partial_j[\partial_i(x)]_{x=u_0} = 0$. Nous pouvons alors remarquer que ce que nous obtenons est cohérent avec $\nabla(\partial_i)_{u_0} \cdot \partial_j(u_0) = 0$ pour tout $i$ et $j$ dans $\{1, \dots, n-1\}$, où $\nabla: \Delta(\mathbb{S}^{n-1}) \mapsto \Omega_1(\mathbb{S}^{n-1}) \otimes \Delta(\mathbb{S}^{n-1})$ est la connexion de Levi-Civita pour la métrique induite de la sphère. Ainsi, comme $x(u_0) = \beta(u_0)\tilde{h}(u_0)u_0 + \alpha(u_0)[\partial_1\tilde{h}(u_0)\partial_1(u_0) + \dots + \partial_{n-1}\tilde{h}(u_0)\partial_{n-1}(u_0)]$, nous pouvons faire le calcul suivant :

$$ d_{u_0} x \cdot \overrightarrow{e}_i = \partial_i x(u_0) = \beta(u_0) \tilde{h}(u_0) u_0 + \beta(u_0) \tilde{h}(u_0) \partial_i(u_0) \\ + \alpha(u_0) \left[ \partial_{i,1}^2 \tilde{h}(u_0) \partial_1(u_0) + \dots + \partial_{i,n-1}^2 \tilde{h}(u_0) \partial_{n-1}(u_0) - \partial_i \tilde{h}(u_0) u_0 \right] $$

ce qui nous donne que :
$$
\begin{align*}
d_{u_0} x \cdot \vec{e}_i &= \partial_i h(u_0) u_0 + h(u_0) \vec{e}_i + \partial_{i,1}^2 h(u_0) \vec{e}_1 + \dots + \partial_{i,n-1}^2 h(u_0) \vec{e}_{n-1} - \partial_i h(u_0) u_0 \\
&= h(u_0) \vec{e}_i + Hess(h)_{u_0} * \vec{e}_i
\end{align*}
$$

et ainsi, nous obtenons le résultat recherché.

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

**Propriété 1.3.3.** Tout hérisson $\mathcal{H}_h$ dont les fonctions de rayon de courbure principal sont partout strictement positives correspond au bord d'un corps convexe.

Démonstration. Considérons $\mathcal{H}_h$, un hérisson paramétré par $x : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto \mathbb{R}^n$ et de fonction de
support $h : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto \mathbb{R}$. Soit $u_0 \in \mathbb{S}^{n-1}$ un point. Nous définissons alors la fonction $\eta : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto \mathbb{R}$
par :

$$
\eta(u) = \langle u_0 | x(u) - x_0 \rangle
$$

où $x_0 = x(u_0)$.

Il est clair que $d_u \eta \cdot \vec{W} = \langle u_0 | d_u x \cdot \vec{W} \rangle$. En particulier, en nous plaçant dans la base propre
$\{ \vec{v}_1, \dots, \vec{v}_{n-1} \}$ de l'endomorphisme $d_u x$ pour le point $u \in \mathbb{S}^{n-1}$, nous avons :

$$
\partial_i \eta(u) = r_i(u) \langle u_0 | \vec{v}_i \rangle
$$

Ainsi, le gradient $\vec{\nabla} \eta(u)$ s'annule uniquement aux points $u_0$ et $-u_0$. Par conséquent, la fonction $\eta$, définie sur un compact, admet un minimum et un maximum qui doivent correspondre aux points $u_0$ et $-u_0$. Les rayons de courbure étant strictement positifs, nous pouvons vérifier que $u_0$ est le maximum de $\eta$. En effet, on sait que $\mathcal{H}_h$ est une hypersurface et $x : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto \mathcal{H}_h$ est un difféomorphisme. Aussi, par construction, l'application $\nu := x^{-1} : \mathcal{H}_h \mapsto \mathbb{S}^{n-1}$ est le champ orthonormal correspondant aux courbures principales qui sont strictement positives. En suite, si pour $u \in \mathbb{S}^{n-1}$, on considère $(\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_{n-1})$ une base propre de l'endomorphisme $d_u x$, il nous faut remarquer que c'est forcément une base propre de l'opérateur de Weingarten $d_x \nu : T_x \mathcal{H}_h \mapsto T_x \mathcal{H}_h$, avec $x = x(u)$. Considérons donc $(\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_{n-1})$ une base propre de l'endomorphisme $d_{u_0} x$ et, pour le i-ème vecteur propre, on définit le 2-plan affine $\mathcal{P}_i = x_0 + \mathbb{R}u_0 \oplus \mathbb{R}\vec{v}_i$, avec $x_0 = x(u_0)$. Il est alors clair que l'intersection $\mathcal{H}_h \cap \mathcal{P}_i$ correspond localement (au voisinage de $x_0$) à une courbe paramétrée dont la courbure d'arc est strictement positive. En particulier, on a que $\langle u_0 | x - x_0 \rangle \le 0$ au voisinage de $x_0$ sur $\mathcal{H}_h \cap \mathcal{P}_i$ et en appliquant le même raisonnement pour tous les autres vecteurs propres, on obtient bien que $u_0$ est le maximum de la fonction $\eta$.

Si $H_{u_0} = \{y \in \mathbb{R}^n \text{ tel que } \langle u_0 | y - x_0 \rangle \le 0\}$ est le demi-espace bordant $T_{u_0} = x_0 + \langle u_0 \rangle^{\perp}$,
alors, de ce qu'il précède, on sait que $\mathcal{H}_h \subset H_{u_0}$. En appliquant la même opération à tous les
points $u \in \mathbb{S}^{n-1}$ de la sphère, la famille des demi-espaces $H_u$ ainsi définie vérifie que :

$$
\mathcal{H}_h \subset H_u
$$

pour tout $u \in \mathbb{S}^{n-1}$.

En particulier, nous avons $\mathcal{H}_h \subset K = \bigcap H_u$, où $K$ est clairement un ensemble convexe,
compact et non vide (donc un corps convexe). Enfin, si nous considérons $T_u = x(u) + \langle u \rangle^{\perp}$,
il est clair qu'il s'agit d'un hyperplan de support, car $K \subset H_u$ et $x(u) \in T_u \cap K$. Ainsi on
a que $\mathcal{H}_h = \text{Supp}(K) = \partial K$ et donc le hérisson $\mathcal{H}_h$ correspond bien au bord du corps $K$,
dont l'application $\nu := x^{-1} : \mathcal{H}_h \to \mathbb{S}^{n-1}$, vu précédemment, correspond au champ orthonormal sortant. $\square$

**Propriété 1.3.4.** Tout hérisson euclidien est une différence de bords de corps convexes. C'est-à-dire que pour tout hérisson euclidien $\mathcal{H} \subset \mathbb{R}^n$, il existe deux corps convexes $K_1$ et $K_2$ tels que :

$$ \mathcal{H} = \partial K_1 - \partial K_2 \qquad (1.3.0.3) $$

*Démonstration.* Nous avons vu que $d_u x \cdot \overrightarrow{W} = h(u)\overrightarrow{W} + Hess(h)_u * \overrightarrow{W} \in T_u \mathbb{S}^{n-1}$. Il est alors clair qu'il existe un $\lambda > 0$ pour lequel les fonctions des rayons de courbure principaux (pour $x_{h+\lambda}$) sont partout strictement positives et par la propriété 1.3.3 vue précédemment, le hérisson $\mathcal{H}_{h+\lambda}$ est forcément le bord d'un corps convexe. Enfin, la remarque combinatoire 1.3.1, nous permet de conclure que $\mathcal{H}_h$ est bien une différence de bords de corps convexes du fait que $\mathcal{H}_h = \mathcal{H}_{h+\lambda} - \mathcal{H}_{\lambda}$. $\square$

Nous savons donc que tout hérisson est une différence de bords de corps convexes, ce qui justifie que l'on parle bien d'un prolongement de la théorie de Brunn-Minkowski aux différences de corps convexes. En particulier, sur le plan, il est facile de comprendre la mécanique des opérations que nous avons considérées, comme nous l'illustrons<fnref n="10" /> ci-dessous :

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIGURE 1.9 – Hérisson comme différence de bord de corps convexe.</figcaption></figure>

Remarquons aussi que si $(\partial K, \nu)$ est le bord d'un corps convexe, nous pouvons voir que le symétrique, en considérant l'expression (1.3.0.1), correspond bien à $(\partial K, -\nu)$, l'ensemble des points de support muni de la normale entrante du corps convexe $K$. Et cette remarque s'applique aussi au hérisson, comme nous l'illustrons ci-dessous :

<footnote n="10">10. Nous tirons cette illustration de la présentation [75] correspondant à un séminaire donné par Y. Martinez-Maure en 2018 pour exposer ses travaux (voir [74]) sur lesquels repose le sujet de cette thèse.</footnote>
<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>FIGURE 1.10 – Inversion de la normale entre $H_h$ et $-H_h$.</figcaption></figure>

Profitons de la fin de cette section pour une petite conclusion. Comme nous l'avons répété à plusieurs reprises maintenant, la notion de hérisson provient de la volonté de prolonger la théorie de Brunn-Minkowski aux différences de corps convexes. Dans ce document, nous nous contenterons de juste définir les hérissons, mais nous pouvons observer que l'usage des hérissons est très varié. En effet, il est déjà possible de prolonger aux hérissons certaines inégalités connues sur les corps convexes (voir [60], [65]), mais c'est aussi un très bon outil pour générer des contre-exemples<fnref n="11" />. Aujourd'hui, la notion de hérisson s'est enrichie avec des objets qui vérifient des caractéristiques communes et qui justifient de les appeler ainsi sans forcément avoir un lien aussi direct avec les corps convexes. Nous avons dans cette catégorie : les hérissons lorentziens, fuchsiens (voir [72]), complexes (voir [77]) ou encore marginalement piégés (voir [74]). Sans compter les différentes caractérisations comme les hérissons minimal (voir [92] et [67]), ou les hérissons projectifs (voir [90]) qui suscitent un grand intérêt dans l'étude des courbes à longueur constante.

<footnote n="11">11. Nous pouvons consulter [63] dans lequel Y. Martinez-Maure propose un contre-exemple à la conjecture de A.D.Aleksandrov.</footnote>
# Chapitre 2

## Conditions de contact et
structures de contact pour les
hérissons euclidiens

Un hérisson euclidien étant, comme nous l'avons vu précédemment, l'enveloppe d'une fa-
mille d'hyperplans co-orientés, nous allons voir qu'il est naturel de les définir comme étant le
front legendrien d'un certain type d'immersion de Legendre. En particulier, nous verrons que la
géométrie de contact offre un cadre adéquat pour généraliser la notion de hérisson.

### 2.1 Structure de contact usuelle sur $\mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n$

Une structure de contact est la donnée d'une $(2n+1)$-variété $M$ et d'une 1-forme $\alpha \in \Omega_1(M)$, dite **forme de contact**, vérifiant la condition de **maximale non-intégrabilité** $\alpha \wedge d\alpha^n \neq 0$. Pour en savoir plus, il est possible de se rapporter à l'annexe B que nous dédions à la présentation des éléments de base de la géométrie de contact. Pour les besoins de ce chapitre (et des chapitres 7 et 10 de la partie II), nous nous contenterons des deux définitions suivantes :

**Définition 2.1.1.** Soit $(M, \alpha)$ une $(2n+1)$-variété de contact. Alors, nous dirons qu'une application $i: \Gamma \mapsto M$, avec $\Gamma$ une $n$-variété différentielle, est une **immersion de Legendre** si c'est une immersion telle que : pour tout $u \in \Gamma$ et $\vec{W} \in T_u\Gamma$, $d_u i \cdot \vec{W} \in \text{Ker}(\alpha_{i(u)})$.

**Note.** Nous dirons aussi qu'une sous-variété $\mathcal{L} \subset M$ est une sous-variété de Legendre si elle est de dimension $n$ et vérifie que pour tout $x \in \mathcal{L}$ l'espace tangent vérifie $T_x\mathcal{L} \subset \text{Ker}(\alpha_x)$.

**Définition 2.1.2.** Soit $(M, \alpha)$ une $(2n+1)$-variété de contact. Alors, nous appellerons **fibré de Legendre** tout fibré lisse<fnref n="1" /> $p: M \mapsto \beta$ dont les fibres sont des sous-variétés de Legendre.

**Note.** En particulier, si $i: \Gamma \mapsto M$ et $p: M \mapsto \beta$ sont respectivement une immersion et un fibré de Legendre, alors nous appellerons **front legendrien** la donnée de l'image $p \circ i(\Gamma)$ et de l'application $x := p \circ i: \Gamma \mapsto \beta$ que l'on appellera **paramétrage**.

<footnote n="1">1. Un fibré lisse de fibre $T$, avec $T$ une variété différentielle, est une submersion surjective $p: \mathcal{E} \mapsto \beta$ telle que pour tout $b_0 \in \beta$, il existe $\mathcal{V} \subset \beta$ un ouvert centré en $b_0$ ainsi qu'un difféomorphisme $\phi: \mathcal{V} \times T \mapsto p^{-1}(\mathcal{V})$, que l'on appelle **trivialiseur local**, vérifiant que : pour tout $(b, x) \in \mathcal{V} \times T, p \circ \phi(b, x) = b$.</footnote>
Les variétés de contact induites par l'espace euclidien correspondent à un exemple classique de telle structure qui nous intéressera tout particulièrement. En effet, tout espace euclidien $(\mathbb{R}^n, +, \cdot, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ induit naturellement une structure de contact sur $\mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n$. La variété $\mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n$ étant de dimension impaire $2n-1$, il nous suffit de considérer la 1-forme $\alpha$ de $\mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n$ qui, en tout point $w = (v, x)$ de $\mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n$ et pour tout vecteur $\vec{W} = \vec{V} \oplus \vec{X} \in T_v\mathbb{S}^{n-1} \oplus \mathbb{R}^n$, associe le produit :

$$ \alpha_w \cdot \vec{W} = \langle v | \vec{X} \rangle \qquad (2.1.0.1) $$

qui est bien une forme de contact comme nous pouvons le vérifier en considérant la propriété ci-dessous :

**Propriété 2.1.1.** La forme $\alpha$ précédemment définie est une 1-forme de contact.

*Démonstration.* Nous avons défini la 1-forme $\alpha$ telle que pour tout point $(v, x) \in \mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n$, $\alpha_{(v,x)} = v_1dx_1 + \cdots + v_n dx_n$. Aussi, comme $v_1^2 + \cdots + v_{n-1}^2 + v_n^2 = 1$, alors $v_1dv_1 + \cdots + v_n dv_n = 0$ et en particulier, on obtient :

$$ v_n d\alpha = dv_1 \wedge (v_n dx_1 - v_1 dx_n) + \cdots + dv_{n-1} \wedge (v_n dx_{n-1} - v_{n-1} dx_n) $$

Après quelques calculs, on peut vérifier que $\alpha \wedge (da)^{n-1} \sim dv_1 \wedge \cdots \wedge dv_{n-1} \wedge dx_1 \wedge \cdots dx_n$, qui est alors bien une forme volume. Ce qui nous donne le résultat recherché. $\square$

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

Il est clair que les immersions de Legendre à image dans la structure de contact vue précédemment sont définies par la donnée de deux applications $\nu : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{S}^{n-1}$ et $x : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}^n$ telles que :

$$ i(u) = (\nu(u), x(u)) \text{ et } \langle dx | \nu \rangle = 0 \qquad (2.1.0.2) $$

Enfin, constatons que la projection $\pi : \mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ est un fibré de Legendre. En effet, il suffit de voir que pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, la fibre $\pi^{-1}(x)$ vérifie que $T_{(u,x)}\pi^{-1}(x) = \langle u \rangle^{\perp} \oplus \{0\}$ et est donc bien une sous-variété de Legendre.

## 2.2 Les hérissons euclidiens vus comme fronts de Legendre

Pour les quelques éléments que nous considérerons au sujet des hérissons euclidiens en géométrie de contact, nous nous reposons sur l'article [74]. Commençons donc par constater que, en considérant la définition 1.2.5 page 36, il est immédiat que le paramétrage $x$ d'un hérisson euclidien vérifie la condition ci-dessous :

$$ \langle dx | u \rangle = 0 \qquad (2.2.0.1) $$

et que l'on appelle naturellement **condition de contact**. En particulier, nous pouvons facilement remarquer que c'est une condition nécessaire et suffisante pour qu'une application $x : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}^n$ corresponde au paramétrage d'un hérisson euclidien. Il est alors immédiat que les hérissons euclidiens, dont les paramétrages $x$ satisfont la condition de contact (2.2.0.1), correspondent à des immersions de Legendre de la forme $i(u) = (u, x(u))$. Par conséquence, nous pouvons donc résumer tout ce dont nous avons discuté par la propriété suivante :

**Propriété 2.2.1.** Tout hérisson euclidien est le front legendrien d'une immersion de Legendre $i : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n$ de la forme :
$$i(u) = (u, x(u)) \qquad (2.2.0.2)$$

pour tout $u \in \mathbb{S}^{n-1}$.

*Démonstration.* Si $(\mathcal{H}, x)$ est un hérisson avec pour fonction de support $h$ et $x$ est le paramétrage de l'enveloppe de la famille d'hyperplans co-orientés, on a :

$$\langle x(u)|u \rangle = h(u) \text{ et } \langle d_u x \cdot \vec{W} | u \rangle = 0$$

En particulier, le paramétrage $x$ vérifie la condition de contact. Il est alors immédiat que $(\mathcal{H}, x)$ est le front legendrien de $i(u) = (u, x(u))$, qui est bien-sûr une immersion de Legendre. Réciproquement, supposons que $(\mathcal{H}, x)$ soit le front legendrien d'une immersion de Legendre de la forme $i(u) = (u, x(u))$. Comme le paramétrage $x$ vérifie la condition de contact, alors, en considérant $h(u) = \langle x(u)|u \rangle$, il est clair que $(\mathcal{H}, x)$ est un hérisson euclidien dont la fonction de support est $h$. $\square$

Nous pouvons aussi remarquer que de telles immersions de Legendre sont forcément des difféomorphismes sur leur image, ce qui consiste à relever les hérissons dans une variété de dimension supérieure, éliminant ainsi les points critiques comme nous le représentons<fnref n="2" /> ci-dessous :

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE 2.1 – Relèvement d'un hérisson euclidien en géométrie de contact.</figcaption></figure>

## 2.3 Autre méthode pour décrire les hérissons en géométrie de contact

Il est intéressant de faire une rapide digression en considérant une autre représentation, bien évidemment équivalente, de la notion de hérisson en géométrie de contact. Remarquons que considérer l'enveloppe d'une famille d'hyperplans co-orientés consiste à considérer, pour tout

<footnote n="2">2. Pour bien comprendre la figure 2.1, il nous faut noter que nous considérons le cercle $\mathbb{S}^1$ via le paramétrage défini sur l'intervalle $[0, 2\pi[$.</footnote>
$u \in \mathbb{S}^{n-1}$, la donnée d'un vecteur $\vec{V}(u) \in T_u \mathbb{S}^{n-1}$ et d'une longueur algébrique$^3 h(u) \in \mathbb{R}$ telle que $x_h(u)$ correspond à la translation selon le vecteur $\vec{V}(u)$ du point $h(u)u$.

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIGURE 2.2 – Décomposition de l’enveloppe d’une famille d’hyperplans co-orientés.</figcaption></figure>

La remarque précédente nous permet de faire correspondre tout point $x_h(u)$ avec le triplet $(u, \vec{V}(u), h(u))$ dans $T\mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}$. Considérons donc la 1-forme de contact $\beta$ qui, à $w = (u, v, t) \in T\mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}$ et $\vec{W} = \vec{U} \oplus \vec{V} \oplus T \in T_u\mathbb{S}^{n-1} \oplus T_u\mathbb{S}^{n-1} \oplus \mathbb{R}$, donne :

$$ \beta_w \cdot \vec{W} = T - \langle v | \vec{U} \rangle \qquad (2.3.0.1) $$

Nous pouvons nous assurer que c'est bien une forme de contact en considérant des coordonnées locales de la sphère $\mathbb{S}^{n-1}$ nous permettant de l'exprimer comme $\beta = dt - v_1 du_1 - \cdots - v_{n-1} du_{n-1}$. Il n'est alors pas difficile de constater que $\beta \wedge d\beta^{n-1} \sim dt \wedge du_1 \wedge \cdots \wedge du_{n-1} \wedge dv_1 \wedge \cdots \wedge dv_{n-1}$ et est donc bien une forme volume. Ensuite, constatons que la condition de contact (2.2.0.1) admet la forme équivalente suivante :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \langle x | u \rangle = h \\ \\ \langle x | du \rangle = dh \end{array} \right. \qquad (2.3.0.2) $$

Enfin, pour comprendre la correspondance entre ces deux structures de contact, nous pouvons considérer le contacto-morphisme$^4 f : \mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n \mapsto T\mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}$ que l'on définit par l'expression suivante :

$$ f(u, x) = (u, x - \langle x | u \rangle u, \langle x | u \rangle) \qquad (2.3.0.3) $$

On peut alors vérifier que toute immersion de Legendre $i : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto \mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n$ correspond, via ce contacto-morphisme, à une immersion de Legendre $j : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto T\mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}$. Ainsi, si nous considérons le fibré de Legendre $p : T\mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}^n$ défini par $p(u, \vec{v}, \lambda) = \lambda u + \vec{v}$, nous retrouvons bien que tout hérisson euclidien est le front legendrien d'une immersion de Legendre $j : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto T\mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}$ de la forme :

$$ j(u, \vec{\nabla} h(u), h(u)) \qquad (2.3.0.4) $$

avec $h : \mathbb{S}^{n-1} \mapsto \mathbb{R}$ une fonction lisse.

<footnote n="3">3. Il s'agit d'une longueur signée.</footnote>

<footnote n="4">4. Nous appellerons donc **contacto-morphisme** entre deux variétés de contact $(M_1, \alpha_1)$ et $(M_2, \alpha_2)$ tout difféomorphisme $f : M_1 \mapsto M_2$ vérifiant que : $f^*\alpha_2 = \lambda\alpha_1$ avec $\lambda \neq 0$</footnote>
## 2.4 Proposition de généralisation de la notion de hérisson

Précédemment, nous avons caractérisé les hérissons euclidiens en géométrie de contact. Il est intéressant de constater que nous retrouvons aussi cette caractérisation pour d'autres types de hérissons comme les hérissons lorentziens (voir page 341 de [74]). Pour définir les hérissons lorentziens, on se place sur $\mathbb{L}^n = (\mathbb{R}^n, +, \cdot, \langle \cdot | \cdot \rangle_L)$, l'espace de Lorentz-Minkowski avec $\langle \vec{V} | \vec{W} \rangle_L = V_1 W_1 + \cdots + V_{n-1} W_{n-1} - V_n W_n$ le produit de Minkowski. Ainsi, un hérisson lorentzien correspondra à l'enveloppe paramétrée<fnref n="5" /> des hyperplans d'équation $\langle x | v \rangle = h(v)$, où $h: \mathcal{H}^{n-1} \to \mathbb{R}$ est une fonction $\mathcal{C}^\infty$ définie sur la pseudo-sphère $\mathcal{H}^{n-1} = \{x \in \mathbb{L}^n \text{ tel que } \langle x | x \rangle_L = -1\}$. À partir de là, en considérant la structure de contact $(\mathcal{H}^{n-1} \times \mathbb{L}^n, \alpha)$ dont la forme de contact est $\alpha_{(v,x)} := \langle v | dx \rangle_L$, les hérissons lorentziens sont aussi le front legendrien d'immersion de Legendre de la forme $i(v) = (v, x_h(v))$. Plus récemment encore, Y.Martinez-Maure a retrouvé une telle caractérisation pour les hérissons complexes<fnref n="6" /> (voir l'article [77] pour en savoir plus) en considérant la structure de contact holomorphe $(\mathbb{C}^{n-1} \times \mathbb{C}^n, \alpha)$, avec $\alpha$ la forme de contact holomorphe qui à tout point $q = (z_1, \dots, z_{n-1}, w_0, \dots, w_{n-1})$ donne $\alpha_q = dw_0 + z_1 dw_1 + \dots + z_{n-1} dw_{n-1}$. Ainsi, dans ce cadre-là, tout hérisson complexe est aussi le front legendrien d'immersion de Legendre $i: \mathbb{C}^{n-1} \to \mathbb{C}^{n-1} \times \mathbb{C}^n$ de la forme $i(z) = (z, x_h(z))$, avec $z = (z_1, \dots, z_{n-1})$.

Il apparaît de ce constat que les hérissons (quel que soit leur type) sont le front legendrien d'immersion de Legendre de la forme $i(u) = (u, x(u))$ ou autrement dit "d'un certain type d'immersion de Legendre". Bien sûr, pour les quelques exemples que nous avons vus précédemment, il n'était pas nécessaire d'être plus exigeant sur cet énoncé. Mais en partie II, lorsque nous étudierons la caractérisation des g-hérissons et des h-hérissons en géométrie de contact, il nous sera nécessaire d'avoir une approche plus générale de ce que nous venons de considérer ici. Pour cela, nous considérons la définition suivante :

**Définition 2.4.1.** Nous appellerons application de Gauss legendrienne d'une immersion de Legendre $i: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n$ la projection sur $\mathbb{S}^{n-1}$ de $i$.

Il est possible de considérer une telle définition pour toute immersion de Legendre du type $i: \mathcal{H}^{n-1} \to \mathcal{H}^{n-1} \times \mathbb{L}^n$ ou encore $i: \mathbb{C}^{n-1} \to \mathbb{C}^{n-1} \times \mathbb{C}^n$. Ensuite, constatons que nous pouvons reformuler ce que nous avons vu précédemment sur la caractérisation des hérissons euclidiens en géométrie de contact, par l'énoncé suivant :

**Propriété 2.4.1.** Tout hérisson euclidien est (à difféomorphisme près de $\mathbb{S}^{n-1}$) le front legendrien d'une immersion de Legendre $i: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R}^n$ dont l'application de Gauss legendrienne est un difféomorphisme.

**Démonstration.** Considérons $(\mathcal{H}, x)$ le front legendrien d'une immersion de Legendre $i$ dont l'application de Gauss legendrienne $\nu: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{S}^{n-1}$ est un difféomorphisme. Il est alors immédiat que l'application $x \circ \nu^{-1}$ vérifie la condition de contact et donc $(\mathcal{H}, x \circ \nu^{-1})$ est un hérisson. La réciproque est encore plus évidente. $\square$

$$x_h(z) = (h(z) - z_1 \partial_{z_1} h(z) - \cdots - z_{n-1} \partial_{z_{n-1}} h(z), \partial_{z_1} h(z), \cdots, \partial_{z_{n-1}} h(z))$$

avec $z = (z_1, \dots, z_{n-1}) \in \mathbb{C}^{n-1}$.

<footnote n="5">5. Il s'agit, comme pour les hérissons euclidiens, de considérer la fonction $x_h: \mathcal{H}^{n-1} \to \mathbb{L}^n$ vérifiant les conditions de contact $\langle x_h(v) | v \rangle_L = h(v)$ et $\langle x_h(v) | \cdot \rangle_L = d_v h$. En particulier, un tel paramétrage admet pour expression $x_h(v) = \vec{\nabla} h(v) - h(v) v$. (voir [72] pour en savoir plus)</footnote>

<footnote n="6">6. Si $h: \mathbb{C}^{n-1} \to \mathbb{C}$ est une fonction holomorphe, alors on définit le hérisson complexe pour la fonction de support $h$ comme étant la donnée de l'image $x_h(\mathbb{C}^{n-1})$ que l'on munit du paramétrage $x_h: \mathbb{C}^{n-1} \to \mathbb{C}^n$ défini par l'expression suivante :</footnote>
En constatant que nous retrouvons le même énoncé pour les hérissons lorentziens et complexes dont nous avons parlé précédemment, nous pouvons donc envisager l'hypothèse de généralisation de la notion de hérisson que nous énonçons ci-dessous :

Si $(M, g)$ est une n-variété riemannienne (resp. lorentzienne ou hermitienne) isométriquement plongée dans $(\mathbb{R}^N, \langle\cdot|\cdot\rangle_L)$ un $\mathbb{R}$-espace pseudo-euclidien (resp. $(\mathbb{C}^N, \langle\cdot|\cdot\rangle_L)$ un $\mathbb{C}$-espace pseudo-hermitien), alors nous pourrions reconnaître un hérisson comme étant (avec quelques adaptations) le front legendrien<fnref n="7" /> d'une immersion de Legendre $i: \mathbb{S}^{n-1} \to \text{STM}^n$ dont l'application de Gauss legendrienne est un difféomorphisme.

Toute la difficulté réside, bien sûr, dans le fait de définir une notion d'application de Gauss legendrienne $\nu: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{S}^{n-1}$, comme nous avons pu le faire précédemment à la définition 2.4.1. C'est précisément la difficulté à laquelle nous serons confrontés au chapitre 7 pour caractériser les g-hérissons en géométrie de contact, nous permettant, en particulier, de retrouver un énoncé équivalent à la propriété 2.4.1 que nous avons précédemment considéré.

<footnote n="7">7. La structure de contact qui correspond au fibré des sphères est définie selon la méthode suivante : Considérons $(M, g)$ une n-variété de Riemann isométriquement plongée dans $(\mathbb{R}^N, \langle\cdot|\cdot\rangle_L)$ un $\mathbb{R}$-espace pseudo-euclidien, alors on définit sur le fibré des sphères $\text{STM}$ la forme de contact $\alpha$ qui, à $w = (x, u) \in \text{STM}$ et $\vec{W} = (\vec{X}, \vec{v}) \in T_{(x,u)}[\text{STM}] \sim T_x M \oplus T_u \mathbb{S}_x^{n-1}$, avec $\mathbb{S}_x^{n-1} = S[T_x M]$, donne $\alpha_w \cdot \vec{W} = \langle u|\vec{X} \rangle_L$.</footnote>
# Chapitre 3

## Dualité et caractérisation projective

En géométrie projective, les relations de dualité fournissent des méthodes classiques permettant d'aboutir à de nombreux résultats. Il n'est donc pas étonnant de retrouver une telle notion pour les hérissons euclidiens. Pour un exposé général sur la théorie des hérissons et en particulier sur leurs propriétés duales, nous pouvons consulter l'ouvrage [78] sur lequel nous nous baserons pour les notions que nous présentons dans ce chapitre.

### 3.1 Dualité d'un corps convexe de $\mathbb{R}^n$

Dans le cadre des corps convexes sur les espaces euclidiens, nous pouvons distinguer deux notions de dualité : la dualité polaire par rapport à la sphère et la dualité projective. En particulier, nous verrons que ces deux notions fournissent les mêmes objets à un signe près. Nous nous contenterons ici d'exposer le strict nécessaire sur ce sujet afin d'éviter d'alourdir inutilement notre texte. Néanmoins, une présentation plus exhaustive de la notion de dualité en géométrie projective est donnée à l'annexe D de ce document. En particulier, nous y prenons le temps d'étudier le sens géométrique des expressions (3.1.1.1) et (3.1.3).

#### 3.1.1 Dualité polaire par rapport à la sphère

Classiquement, lorsque l'on considère la notion de dualité en ce qui concerne les corps convexes, on parle de dualité polaire (voir section 1.6 de [100] pour en savoir plus). Si $K \subset \mathbb{R}^n$ est un corps convexe centré en zéro (c'est-à-dire que $Int(K)$ contient zéro), alors on appelle **dual polaire par rapport à la sphère** $\mathbb{S}^{n-1}$ (ou simplement **dual polaire**) la partie $K^\circ \subset \mathbb{R}^n$ de l'espace euclidien, telle que :

$$ K^{\circ} = \{x \in \mathbb{R}^n \text{ tel que } \forall y \in \mathbb{R}^n, \langle x|y \rangle \le 1\} \qquad (3.1.1.1) $$

Il est clair que le dual polaire $K^\circ$ est une partie compacte dont le bord topologique $\partial K^\circ$ correspond à l'enveloppe de la famille $(\Sigma_x)_{x \in \partial K}$ telle que pour tout point du bord $x \in \partial K$, la partie $\Sigma_u$ est l'hyperplan affine défini comme ci-dessous :

$$ \Sigma_x = \{y \in \mathbb{R}^n \text{ tel que } \langle x|y \rangle = 1\} \qquad (3.1.1.2) $$
En particulier, nous dirons que chaque $\Sigma_x$ est l'**hyperplan polaire** du point $x \in \partial K$. Nous pouvons alors vérifier (voir propriété 3.1.2) que le dual polaire d'un corps convexe est toujours un corps convexe dont les hyperplans $\Sigma_x$ sont bien sûr les hyperplans de support.

**Propriété 3.1.1.** Soit $K \subset \mathbb{R}^n$ un corps convexe centré en zéro dont la fonction de support est $h: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$. Alors la famille des hyperplans $\Sigma_u = \{y \in \mathbb{R}^n \text{ tel que } \langle x(u)|y \rangle = 1\}$ est (à difféomorphisme près de la sphère $\mathbb{S}^{n-1}$) une famille d'**hyperplans co-orientés**.

**Démonstration.** Considérons $x: \mathbb{S}^{n-1} \to \partial K$ le paramétrage du bord $\partial K$ vu comme un hérisson, ainsi que $h: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$ sa fonction de support. Commençons par considérer les fonctions suivantes sur $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ :

$$ \sigma(w) = \frac{1}{\sqrt{\langle w|w \rangle}} \quad \text{et} \quad \mathcal{N}(w) = \sigma(w)w $$

Si $\vec{W} \in \mathbb{R}^n$ est un vecteur, alors on a $d_w \sigma \cdot \vec{W} = -\sigma(w)^3 \langle w | \vec{W} \rangle$ et $d_w \mathcal{N} \cdot \vec{W} = \sigma(w) [\vec{W} - \sigma(w)^2 \langle w | \vec{W} \rangle w]$. À présent, considérons l'application $\nu: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{S}^{n-1}$ définie par l'expression suivante :

$$ \nu(u) = \mathcal{N} \circ x(u) = k(u)x(u) \quad \text{avec} \quad k(u) = \sigma \circ x(u) \qquad (3.1.1.3) $$

D'abord, remarquons que le corps $K$ étant centré en zéro, $x(u)$ n'est jamais nul et donc l'application $\nu$ est bien définie. Ensuite, on calcule :

$$ d_u \nu \cdot \vec{W} = k(u) \left[ d_u x \cdot \vec{W} - k(u)^2 \langle x(u) | d_u x \cdot \vec{W} \rangle x(u) \right] \qquad (3.1.1.4) $$

Considérons un vecteur $\vec{W} \neq 0$. L'application $x: \mathbb{S}^{n-1} \to \partial K$ étant un $\mathcal{C}^\infty$-difféomorphisme, alors $d_u x \cdot \vec{W}$ est non nul. De plus, comme le corps $K$ est centré en zéro, la fonction de support $h$ n'est jamais nulle. Donc, la famille formée par les éléments $x(u)$ et $d_u x \cdot \vec{W}$ est linéairement libre. En particulier, la différentielle $d_u \nu \cdot \vec{W}$ ne peut être nulle. On sait donc que l'application $\nu$ est un difféomorphisme local en tout point. Toujours du fait que la fonction de support n'est jamais nulle, elle est donc strictement positive (car la fonction de support d'un corps convexe est toujours positive) et ainsi :

$$ \forall u \in \mathbb{S}^{n-1}, \quad \langle \nu(u) | u \rangle = k(u)h(u) > 0 $$

Mais alors la fonction $\nu$ est forcément de degré 1 (voir annexe G pour des rappels sur le degré de Brouwer) et ainsi c'est un difféomorphisme. Pour finir, il suffit de constater que pour chaque $u \in \mathbb{S}^{n-1}$, la droite $\mathbb{R}\nu(u)$ est orthogonale à l'**hyperplan** $\Sigma_u$. Ainsi, la famille $(\Sigma_{\nu^{-1}(u)})_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$ est une famille d'**hyperplans co-orientés** et de fonction de support $k$. $\square$

**Propriété 3.1.2.** Soit $K \subset \mathbb{R}^n$ un corps convexe centré en zéro dont la fonction de support est $h: \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$. Alors, son dual polaire par rapport à la sphère $\mathbb{S}^{n-1}$ est un corps convexe dont le bord $\partial K^\circ$ est paramétré par l'application $x^\circ: \mathbb{S}^{n-1} \to \partial K^\circ$ telle que :

$$ x^\circ(u) = \frac{1}{h(u)}u \qquad (3.1.1.5) $$

En particulier, son bidual $(K^\circ)^\circ$ vérifie la relation d'involution $(K^\circ)^\circ = K$, ce qui justifie que l'on parle de dualité sur les corps convexes.
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIGURE 3.1 – Dual polaire d'un corps convexe.</figcaption></figure>

**Note.** Pour rappel, et par souci de clarté, depuis l'avertissement 1.1.2 à la page 29, nous tra- vaillons uniquement avec des corps convexes de classe $C_+^\infty$.

*Démonstration.* Soit $K$ un corps convexe de classe $C_+^\infty$, de fonction de support $h$ et de pa- ramétrage du bord (vu comme hérisson) $x$. On sait par la propriété 3.1.1 que la famille d'hy- perplans duals $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$, définie par $\Sigma_u = \{y \in \mathbb{R}^n \text{ tel que } \langle y|x(u) \rangle = 1\}$, est co-orientée. En particulier :

$$ \Sigma_u = k(u)\nu(u) + \langle \nu(u) \rangle^\perp $$

avec $\nu$ et $k$ que nous avons définis à l'expression (3.1.1.3). Il nous faut vérifier que $x^\circ$ est le paramétrage de l'enveloppe de la famille $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$. Il est clair que $x^\circ(u) \in \Sigma_u$. De plus, on observe que :

$$ \langle x(u) | d_u x^\circ \cdot \vec{W} \rangle = - \frac{1}{h(u)} \langle \vec{\nabla} h(u) | \vec{W} \rangle + \frac{1}{h(u)} \langle \vec{\nabla} h(u) | \vec{W} \rangle = 0 $$

Ainsi, $x^\circ \circ \nu^{-1}: \mathbb{S}^{n-1} \to \partial K^\circ$ est le paramétrage du hérisson engendré par la famille d'hy- perplans $(\Sigma_u)_{u \in \mathbb{S}^{n-1}}$ et aussi :

$$ \|d_u x^\circ \cdot \vec{W}\|^2 = \frac{\langle \vec{\nabla} h(u) | \vec{W} \rangle^2}{h(u)^4} + \frac{\| \vec{W} \|^2}{h(u)^2} $$

Et donc, nécessairement $(\partial K^\circ, \nu \circ (x^\circ)^{-1})$ est le bord d'un corps convexe de classe $C_+^\infty$. En particulier, on sait que $\nu$ correspond bien à la normale sortante car, par construction, si $t > 0$, alors $x^\circ(u) + t\nu(u) \in \mathbb{R}^n \setminus K^\circ$. Pour finir, afin de montrer que $(K^\circ)^\circ = K$, il suffit de constater que l'hyperplan polaire $\Gamma_u$ du point $x^\circ(u)$ est défini de la manière suivante :

$$ \Gamma_u = \{y \in \mathbb{R}^n \text{ tel que } \langle y | x^\circ(u) \rangle = 1\} = h(u)u + \langle u \rangle^\perp $$

ce qui nous donne le résultat recherché.

□

Dans un cadre bien plus large, nous retrouvons les mêmes relations que celles que nous venons d'obtenir à la propriété 4.3.3 de l'annexe D. En effet, nous y étudions les propriétés de convexité du dual polaire de corps convexes qui ne sont pas forcément de classe $C_+^\infty$.

On peut également définir le dual polaire du bord $\partial K$ d'un corps, qui est alors une hyper- surface orientée, en considérant l'enveloppe de la famille d'hyperplans $(\Sigma_x)_{x \in \partial K}$, avec $\Sigma_x$, pour tout point $x \in \partial K$, correspondant à l'hyperplan polaire du point $x$ tel que nous l'avons défini par l'expression (3.1.1.2). Il est alors intéressant de remarquer que le dual polaire du bord d'un corps convexe correspond bien sûr au bord d'un corps convexe. Mais nous verrons que ce n'est pas
vrai pour le dual d'un hérisson en général. En effet, nous avons vu dans la propriété 3.1.1 que la famille des hyperplans polaires du bord d'un corps $K$ est co-orientée du fait que le paramétrage de $\partial K$ est un difféomorphisme.

### 3.1.2 Dualité projective

La dualité projective est un concept moins courant dans l'étude des corps convexes, mais nous nous baserons dessus pour définir une notion de dualité pour les hérissons. Il convient de commencer par quelques définitions et notations. Nous nous plaçons dans $\mathbb{R}^{n+1}$ et considérons le point $e = (0, \dots, 0, 1) \in \mathbb{S}^n$. Nous introduisons alors les éléments suivants :

1. L'espace projectif $\mathbb{P}_n = \mathcal{P}(\mathbb{R}^{n+1})$ correspondant à l'espace vectoriel $\mathbb{R}^{n+1}$, où $\mathcal{P} : \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0\} \to \mathbb{P}_n$ est la projection projective (que nous noterons parfois simplement $p$). Nous désignerons par $\bar{\delta}$ tout point de $\mathbb{P}_n$ qui correspond à une droite $\delta \subset \mathbb{R}^{n+1}$.

2. On considère l'hyperplan affine $T_e = e + \langle e \rangle^{\perp}$ ainsi que $\vec{T}_e = \langle e \rangle^{\perp}$, son hyperplan directeur que nous identifierons naturellement avec $\mathbb{R}^n$. De plus, nous considérons l'hyperplan projectif $H_e = \mathcal{P}(\langle e \rangle^{\perp})$, qui correspond à la projection de l'hyperplan vectoriel $\vec{T}_e$.

3. Afin de ne pas alourdir notre texte, nous considérerons le point $e$ aussi bien sur $\mathbb{P}_n$ que sur $\mathbb{S}^n$. C'est-à-dire que nous confondrons volontairement $p(e)$ et $e$ tant que cela n'entraîne pas de confusion.

4. Nous noterons $\mathcal{H}(\mathbb{R}^n)$ l'ensemble des hyperplans affines de $\mathbb{R}^n$ et $\mathcal{H}(\mathbb{P}_n)$ l'ensemble des hyperplans projectifs de $\mathbb{P}_n$. En particulier, on définit :

$$ \mathcal{H}_e(\mathbb{P}_n) = \{H \in \mathcal{H}(\mathbb{P}_n) \text{ tel que } e \notin H\} \qquad (3.1.2.6) $$

et qui correspond aux hyperplans vectoriels de $\mathbb{R}^{n+1}$ dont l'orthogonal intersectent $T_e$.

5. On définit, relativement au point $e$, la demi-sphère nord $\Omega_e = \{v \in \mathbb{S}^n \text{ tel que } \langle v|e \rangle > 0\}$.

6. Nous appellerons **carte projective en e** le difféomorphisme $\bar{\varphi}_e : \mathbb{P}_n \setminus H_e \to \vec{T}_e$, défini par le passage au quotient de l'application $\varphi_e : \mathbb{R}^{n+1} \setminus \vec{T}_e \to \vec{T}_e$ telle que :

$$ \varphi_e(x) = \sigma_e(x)x - e \text{ avec } \sigma_e(x) = \frac{1}{\langle x|e \rangle} \qquad (3.1.2.7) $$

Lorsqu'il n'y aura pas de risque de confusion, nous aurons l'habitude de confondre les notations $\varphi_e$ et $\bar{\varphi}_e$. De plus, nous considérerons souvent l'application $\varphi_e$ restreinte à la demi-sphère $\Omega_e$. En particulier, il est utile de noter que la restriction $\varphi_e : \Omega_e \to \vec{T}_e$ est un difféomorphisme.

Pour discuter de la notion de dualité projective des corps convexes et des hérissons, nous devons d'abord définir la dualité entre les points et les hyperplans. Il est important de savoir que les définitions que nous allons énoncer ne correspondent pas exactement à celles traditionnellement considérées en matière de dualité, mais elles seront suffisantes pour la suite. Pour plus d'informations, on peut se référer à la section 4.2.1 de l'annexe D, où sont présentées les définitions correspondant à ce qui est couramment mentionné dans la littérature.

**Définition 3.1.1.** Soit $x \in \mathbb{R}^n$ et $L \subset \mathbb{R}^n$, un point et un hyperplan affine. Nous définissons leurs duaux $x^*$ et $L^*$ dans $\mathbb{P}_n$ de la manière suivante :

$$ x^* = \mathcal{P}(\langle e + x \rangle^{\perp}) \text{ et } L^* = \mathcal{P}(\langle e + L \rangle^{\perp}) \qquad (3.1.2.8) $$
avec $\langle e + x \rangle^{\perp}$ et $\langle e + L \rangle^{\perp}$ étant l'orthogonal de la droite $\langle e + x \rangle$ et de l'hyperplan $\langle e + L \rangle$ dans $\mathbb{R}^{n+1}$ pour le produit scalaire usuel.

**Note.** Il est important de noter que pour tout point $x \in \mathbb{R}^n$ et hyperplan $L \subset \mathbb{R}^n$, les duaux $x^*$ et $L^*$ sont respectivement dans $\mathcal{H}_e(\mathbb{P}_n)$ et $\mathbb{P}_n \setminus \{e\}$.

Si $x \in \mathbb{R}^n$ et $L \subset \mathbb{R}^n$ sont respectivement un point et un hyperplan affine, alors nous appellerons $x^*$ l'**hyperplan dual du point x** et $L^*$ le **point dual de l'hyperplan L**. Remarquons maintenant que pour tout point $x \in \mathbb{P}_n \setminus \{e\}$ et hyperplan projectif $H \in \mathcal{H}_e(\mathbb{P}_n)$, par construction, on a que $x = \bar{\delta}$ et $H = \mathcal{P}(\Sigma)$, avec $\delta$ et $\Sigma$ étant respectivement une droite vectorielle et un hyperplan vectoriel de $\mathbb{R}^{n+1}$ vérifiant que $\delta^{\perp} \cap T_e \neq \emptyset$ et $\Sigma^{\perp} \cap T_e \neq \emptyset$. Ainsi, nous pouvons proposer la définition suivante :

**Définition 3.1.2.** Soit $x \in \mathbb{P}_n \setminus \{e\}$ et $H \in \mathcal{H}_e(\mathbb{P}_n)$ étant respectivement un point et un hyperplan projectif. Alors on définit leurs duaux $x^* \in \mathcal{H}(\mathbb{R}^n)$ et $H^* \in \mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}^n$ tel que :

$$x = \mathcal{P}(\langle e + x^* \rangle^{\perp}) \quad \text{et} \quad H = \mathcal{P}(\langle e + H^* \rangle^{\perp}) \qquad (3.1.2.9)$$

De même, si $x \in \mathbb{P}_n \setminus \{e\}$ et $H \in \mathcal{H}_e(\mathbb{P}_n)$ sont respectivement un point et un hyperplan projectif, alors nous appellerons $x^*$ l'**hyperplan dual du point x** et $H^*$ le **point dual de l'hyperplan H**. Il est alors clair que pour tout point $x \in \mathbb{R}^n$ et hyperplan affine $L \in \mathcal{H}(\mathbb{R}^n)$, nous retrouvons la relation de bidualité suivante :

$$(x^*)^* = x \text{ et } (L^*)^* = L \qquad (3.1.2.10)$$

et il en serait de même si nous considérions nos points et hyperplans sur $\mathbb{P}_n \setminus \{e\}$ et $\mathcal{H}_e(\mathbb{P}_n)$. En particulier, cette relation justifie que nous parlions de dualité. De plus, il n'est pas difficile de constater que pour tous points $x$ et $y$, nous avons la relation suivante :

$$x \in y^* \iff y \in x^* \qquad (3.1.2.11)$$

et cela, que nous considérions nos points sur $\mathbb{R}^n$ pour $x$ et $\mathbb{P}_n \setminus \{e\}$ pour $y$ ou inversement. En effet, nous pouvons vérifier ces relations en remarquant que pour tout point $u \in \mathbb{S}^n$ et $v \in \mathbb{S}^n$ de la sphère, alors on a toujours $u \in \langle v \rangle^{\perp} \Leftrightarrow v \in \langle u \rangle^{\perp}$.

Il est alors naturel de définir le dual projectif d'un corps convexe comme étant le dual de ses hyperplans de support (pour le bord du dual) et de tous les hyperplans qui sont à l'extérieur du corps (pour l'intérieur du dual). Considérons donc la définition suivante :

**Définition 3.1.3.** Soit $K \subset \mathbb{R}^n$ un corps convexe centré en zéro. Nous appellerons **dual projectif de K** la partie $K^* \subset \mathbb{P}_n$ définie telle que :

$$K^* = \mathrm{Ad}\{L^* \text{ tel que } L \in \mathcal{H}(\mathbb{R}^n) \text{ et } K \cap L = \emptyset\} \qquad (3.1.2.12)$$

On peut également remarquer que pour tout corps convexe $K \subset \mathbb{R}^n$, le dual projectif $K^*$ est fermé dans $\mathbb{P}_n$ (et donc compact) et est compris dans $\mathbb{P}_n \setminus H_e$. Ensuite, via l'identification de $\mathbb{P}_n \setminus H_e$ avec $\mathbb{R}^n$ par la carte projective en $e$, nous pouvons définir une notion de corps convexe telle que : $K \subset \mathbb{P}_n \setminus H_e$ est un **corps convexe** si et seulement si c'est aussi un corps convexe sur $\mathbb{R}^n$ (via l'identification). Ainsi, nous considérons la définition suivante :
**Définition 3.1.4.** Soit $K \subset \mathbb{P}_n \setminus H_e$ un corps convexe centré en $e$ (c'est-à-dire que $e \in \text{Int}(K)$). Alors nous appellerons **dual projectif de K** la partie $K^* \subset \mathbb{R}^n$ définie telle que :

$$ K^* = \mathrm{Ad}\{H^* \text{ tel que } H \in \mathcal{H}_e(\mathbb{P}_n) \text{ et } H \cap K = \emptyset\} \quad (3.1.2.13) $$

**Propriété 3.1.3.** Soit $K \subset \mathbb{R}^n$ un corps convexe centré en zéro et de fonction de support $h : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}$. Alors son dual projectif $K^* \subset \mathbb{P}_n$ est un corps convexe dans $\mathbb{P}_n \setminus H_e$, centré en $e$, dont le bord topologique $\partial K^*$ est paramétré (via l'identification entre $\mathbb{P}_n \setminus H_e$ et $\mathbb{R}^n$) par l'application $x^* : \mathbb{S}^{n-1} \to \mathbb{R}^n$ définie telle que :

$$ x^*(u) = -\frac{1}{h(u)}u \quad (3.1.2.14) $$

et de plus, son bidual vérifie $(K^*)^* = K$.

**Note.** Il en est de même pour les corps convexes de $\mathbb{P}_n \setminus H_e$. Si $K \subset \mathbb{P}_n \setminus H_e$ est un corps convexe centré en $e$ et de fonction de support $h$, alors son dual $K^*$ est un corps convexe de $\mathbb{R}^n$ centré en zéro dont le paramétrage du bord topologique vérifie la relation (3.1.2.14).

**Démonstration.** Pour commencer, nous allons réexprimer, via l'identification $\mathbb{P}_n \setminus H_e \sim \vec{T}_e \sim \mathbb{R}^n$, les notions de dualité que nous avons introduites à la définition 3.1.2 entre les points et les hyperplans. Ainsi, nous allons définir une relation de dualité entre les points et les hyperplans affines de $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ telle que si $\Sigma = \lambda u + \langle u \rangle^{\perp} \subset \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ est un hyperplan affine et $x = \eta v \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ est un point, alors on définit respectivement le point dual et l'hyperplan dual comme :

$$ \Sigma^* = -\frac{1}{\lambda}u \text{ et } x^* = -\frac{1}{\eta}v + \langle v \rangle^{\perp} \quad (3.1.2.15) $$

avec bien sûr $\lambda$ et $\eta$ non nuls ainsi que $u$ et $v$ dans $\mathbb{S}^{n-1}$.

On peut vérifier que la notion de dualité de la définition 3.1.2 correspond bien, via la carte projective, aux expressions de (3.1.2.15). En effet, considérons $\Sigma = \lambda u + \langle u \rangle^{\perp} \subset \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ un hyperplan affine. On rappelle que via la carte projective $\bar{\varphi}_e : \mathbb{P}_n \setminus H_e \mapsto \vec{T}_e$, nous identifions $\mathbb{P}_n \setminus H_e$ avec $\vec{T}_e \sim \mathbb{R}^n$. Et donc, si $y = \bar{\varphi}_e(\alpha)$ (avec $\alpha$ correspondant au dual projectif de $\Sigma$ selon la définition 3.1.2), par construction, on a que :

$$ \left\{ \begin{array}{l} e + \Sigma = T_e \cap (\mathbb{R}(e + \lambda u) \oplus \langle u \rangle^{\perp}) \\ \mathbb{R}(e + y) \perp \mathbb{R}(e + \lambda u) \oplus \langle u \rangle^{\perp} \end{array} \right. $$

Par conséquent, le point $y$ est nécessairement de la forme $y = ku$, tel que $\langle e + y | e + \lambda u \rangle = 1 + k\lambda = 0$ et donc on obtient bien que $y = -\frac{1}{\lambda}u$. L'exercice reste le même pour le dual d'un point.

Ensuite, nous pouvons remarquer que nous retrouvons facilement les relations (3.1.2.10) et (3.1.2.11), relations qui sont élémentaires lorsque l'on parle de dualité. Aussi, considérons $\Sigma \subset \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ un hyperplan affine. Alors on choisit l'unique vecteur $u \in \mathbb{S}^{n-1}$ orthonormal à l'hyperplan $\Sigma$ tel que :

$$ \Sigma = \lambda u + \langle u \rangle^{\perp} \text{ avec } \lambda > 0 $$

et ainsi on définit les demi-espaces, respectivement positif et négatif, comme ci-dessous :