<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIG. 4.2 – Observation des NCS</figcaption></figure>

La formulation suivante sera celle utilisée pour l’analyse :

$$ \dot{\xi} = f_{\xi}(t, \xi, e, z, w) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \qquad (4.22) $$

$$ \dot{z} = f_z(t, \xi, e, z, w) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \qquad (4.23) $$

$$ \dot{e} = g(t, \xi, e, z, w) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \qquad (4.24) $$

$$ \xi(t_i^+) = \xi(t_i) \qquad (4.25) $$

$$ z(t_i^+) = z(t_i) \qquad (4.26) $$

$$ e(t_i^+) = h(i, e(t_i), z(t_i)), \qquad (4.27) $$

où $\xi = x - \bar{x} \in \mathbb{R}^{n_{\xi}}$ ($n_{\xi} = n_x$) est le vecteur d’erreur d’observation, $e = \hat{y} - y \in \mathbb{R}^{n_e}$ ($n_e = n_y$) l’erreur induite par le réseau et

$$ f_{\xi}(t, \xi, e, z, w) = f_{P}(t, \xi + h_{O}(t, z), w) - \frac{\partial h_{O}}{\partial t}(t, z) - \frac{\partial h_{O}}{\partial z}(t, z) f_{O}(t, z, e + h_{P}(t, \xi + h_{O}(t, z)), w) $$

$$ g(t, \xi, e, z, w) = \hat{f}_{P}(t, e + h_{P}(t, \xi + h_{O}(t, z)), z, w) - \frac{\partial h_{P}}{\partial t}(t, \xi + h_{O}(t, z)) - \frac{\partial h_{P}}{\partial x}(t, \xi + h_{O}(t, z)) f_{P}(t, \xi + h_{O}(t, z), w) $$

$$ f_z(t, \xi, e, z, w) = f_O(t, z, e + h_P(t, \xi + h_O(t, z)), w). \qquad (4.28) $$

L’équation (4.22) représente les dynamiques de l’erreur d’observation et (4.23) celles de l’état de l’observateur $z$ dans les nouvelles coordonnées. Les variables $\xi$ et $z$ auraient pu être réunies en un même vecteur (comme dans [151]), toutefois nous devrons les distinguer car nous ne
sommes pas intéressés par les même propriétés. En effet, contrairement à $\xi$, aucune propriété de convergence n’est désirée pour $z$ mais seulement son existence ou sa bornitude.

On remarque qu’en prenant $e = 0$, la première étape de l’approche est retrouvée i.e. l’observation du système sans contrainte de communication.

Comme dans §4.2.1, la fonction $h$, qui définit le protocole, est typiquement telle que, si le nœud $j \in \{1, \dots, l\}$ a accès au réseau, le sous-vecteur de l’erreur associée est initialisée à zéro. Les fonctions de blocage et les protocoles joueront un rôle clef dans l’analyse.

## Protocoles

Plusieurs exemples de protocoles d’ordonnancement communément rencontrés sont définis.

**Round-Robin (RR).** Le protocole RR est donc la configuration la plus simple puisque chaque nœud transmet ses données avec une période $l$, l’ordre étant préalablement fixé. Ce type d’ordonnancement a été largement étudié, cf. [78, 84, 113] par exemple, et sa stabilité a été analysée pour la première fois dans [151]. En décomposant le vecteur $e$ en $(e_1, \dots, e_l)$, où $e_j = \hat{y}_j - y_j \in \mathbb{R}^{n_j}$, la fonction $h$ est définie, pour $i \in \mathbb{Z}_{>0}$ et $e \in \mathbb{R}^{n_e}$, par :

$$h(i,e) = (\mathbb{I} - \Delta(i))e, \qquad (4.29)$$

où $\Delta(i) = \text{diag}(\Delta_1(i), \dots, \Delta_l(i))$, $\Delta_j(i) = \delta_j(i) \mathbb{I}_{n_j}$, $j \in \{1, \dots, l\}$, avec

$$\delta_j(i) = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j + kl, k \in \mathbb{Z}_{\ge 0} \\ 0 & \text{autrement.} \end{cases} \qquad (4.30)$$

Il est montré dans [151] que le protocole RR est UGES (Proposition 4). Pour voir cela, définissons la fonction

$$W(i,e) = \sqrt{\sum_{j=i}^{\infty} |\phi(j,i,e)|^2} \qquad (4.31)$$

où $\phi(j,i,e)$ est la solution du système discret (4.27) à l'instant $j$, avec pour condition initiale $e$ au temps $i$. La fonction $V = W^2$ est introduite. On remarque que pour tout $e \in \mathbb{R}^{n_e}$, $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, $|e|^2 = \phi^2(i,i,e) \le V(i,e)$. De plus, puisque $\phi(t + i,i,e) = 0$ pour tout $t \ge l$ et $|h(i,e)| \le |e|$, on constate que $V(i,e) \le l|e|^2$. D'autre part, nous avons

$$\begin{align*} V(i+1,h(i,e)) &= V(i,e) + \sum_{k=i+1}^{\infty} |\phi(k,i,e)|^2 - \sum_{k=i}^{\infty} |\phi(k,i,e)|^2 \\ &= V(i,e) + \sum_{k=i+1}^{\infty} |\phi(k,i,e)|^2 - \sum_{k=i+1}^{\infty} |\phi(k,i,e)|^2 - |e|^2 \\ &= V(i,e) - |e|^2 \\ &= \frac{l-1}{l} V(i,e). \end{align*} \qquad (4.32)$$
On déduit que le protocole RR est UGES avec $a_1 = 1$, $a_2 = \sqrt{l}$ et $\rho = \sqrt{\frac{l-1}{l}}$.

**RR modifié.** Ce protocole a été proposé dans [152] et est, comme son nom l'indique, une alternative au RR « classique ». Son intérêt réside dans le fait que, lorsque l'erreur $e$ devient faible, la fréquence des transmissions est réduite afin de diminuer le transfert d'information. La fonction est définie par :

$$h(i,e) = (\mathbb{I} - \Delta(i,e))e, \qquad (4.33)$$

où $\Delta(i,e) = \text{diag}(\Delta_1(i,e), \dots, \Delta_l(i,e))$, $\Delta_j(i,e) = \delta_j(i,e)\mathbb{I}_{n_j}$, $j \in \{1, \dots, l\}$, avec, $(i,e) \in \mathbb{Z}_{\ge 0} \times \mathbb{R}^{n_e}$,

$$\delta_j(i,e) = \begin{cases} 1 & \text{si } |e| > 0, i = \lfloor \frac{1}{\text{sat}(|e|)} \rfloor (j + il), \\ 0 & \text{autrement.} \end{cases} \qquad (4.34)$$

pour tout $s \in \mathbb{R}_{\ge 0}\text{sat}(s) = \min(s,1)$ et $\lfloor \cdot \rfloor$ représente la fonction partie entière par défaut. Pour $|e| > 1$ le protocole se comporte exactement comme le RR et pour de plus faibles valeurs de $|e|$ il transmet beaucoup moins fréquemment. Par exemple, lorsque $|e| \in (\frac{1}{11}, \frac{1}{10}]$ la fréquence de transmission est dix fois plus petite que celle du RR classique. Ce ralentissement des transferts des données a une conséquence importante sur les propriétés de stabilité du protocole puisque celui-ci n'est pas UGES mais UGAS ([152]):

**Définition 4.3.1 (Protocole UGAS)** Le protocole (4.27) est UGAS s'il existe une fonction de Lyapunov $W: \mathbb{Z}_{\ge 0} \times \mathbb{R}^{n_e} \to \mathbb{R}_{\ge 0}$, $\alpha_1, \alpha_2 \in K_\infty$ et $\rho \in [0,1)$ tels que, pour tout $e \in \mathbb{R}^{n_e}$ et $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$:

$$\alpha_1(|e|) \le W(i,e) \le \alpha_2(|e|) \qquad (4.35)$$

$$W(i+1,h(i,e)) \le \rho W(i,e). \qquad (4.36)$$

Pour montrer qu'un protocole est UGAS, il est souvent plus aisé de prouver l'inégalité suivante plutôt que (4.36):

$$W(i+1,h(i,e)) \le W(i,e) - \alpha_3(W(i,e)), \qquad (4.37)$$

où $\alpha_3 \in K$ telle que $\alpha_3(s) \le s$, $s \in \mathbb{R}_{\ge 0}$. La proposition suivante nous indique que (4.35) et (4.37) suffisent à prouver que le protocole est UGAS.

**Proposition 4.3.1** Supposons qu'il existe $W: \mathbb{Z}_{\ge 0} \times \mathbb{R}^{n_e} \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ continue en $e$ et uniformément en $i$ telle que (4.35) et (4.37) soient vérifiées, alors il existe $\rho \in K_\infty \cap C^1(\mathbb{R}_{\ge 0}, \mathbb{R}_{\ge 0})$ telle que $U = \rho \circ W$ satisfait les conditions de la Définition 4.3.1.

La preuve de la Proposition 4.3.1 est fournie dans l'Annexe C. Cette proposition est la version discrète d'un cas particulier de la Proposition 13 dans [165].

**Remarque 4.3.5** De toute évidence, si le protocole est UGAS alors il est UGES, la réciproque étant fausse puisque les dynamiques du système sont non linéaires.
**Try-Once-Discard (TOD).** Le protocole TOD a été utilisé pour la première fois dans [199].
Ce protocole garantit l'accès au nœud $j \in \{1, \dots, l\}$, pour lequel l'erreur $|e_j|$ est la plus grande,
ainsi pour $e \in \mathbb{R}^{n_e}$:

$$h(e) = (\mathbb{I} - \Psi(e)) e, \tag{4.38}$$

et $\Psi(e) = \text{diag}(\Psi_1(e)\mathbb{I}_{n_1}, \dots, \Psi_l(e)\mathbb{I}_{n_l})$ avec :

$$\Psi_j(e) = \begin{cases} 1 & \text{si } j = \arg \max_{i \in \{1, \dots, l\}} |e_i| \\ 0 & \text{autrement.} \end{cases} \tag{4.39}$$

A chaque instant de transmission, tous les nœuds de capteurs tentent de transmettre leur paquet composé de l'indice de priorité et des données. La partie hardware du réseau choisit le nœud présentant l'erreur la plus importante et transmet ces données à tous les nœuds de capteurs ainsi qu'au nœud passif. Si plusieurs nœuds ont la même erreur, un ordre préétabli est respecté afin d'éviter les collisions.

La procédure décrite nécessite des dispositifs d'hardware implémentables sur les CAN, voir [199], ainsi que sur d'autres réseaux câblés après certaines modifications. Le protocole TOD n'est toutefois pas utilisable sur les réseaux sans fil [190].

Contrairement au RR, le TOD requiert l'emploi de capteurs intelligents ayant suffisamment de capacités de calculs pour accueillir une copie de l'observateur placé au nœud passif lorsque les fonctions de blocage Pred sont implémentées notamment. De cette manière, à chaque nœud $j \in \{1, \dots, l+1\}$ (où l'indice $l+1$ correspond au nœud passif), l'observateur ci-dessous est implémenté :

$$\dot{z}^j = f_O(t, z^j, \hat{y}, w) \tag{4.40}$$

$$\bar{x}^j = h_O(t, z^j). \tag{4.41}$$

Les $l+1$ observateurs sont synchronisés ($z^j(t) = z^k(t)$ pour tout $t$ et $(j,k) \in \{1, \dots, l+1\}^2$) en supposant qu'ils soient initialisés avec les mêmes valeurs et grâce à la procédure d'ordonnancement (cf. Figure 4.3). La désignation du nœud émetteur est modélisée par une fonction constante par morceaux $\sigma: \mathbb{R}_{\ge 0} \to \{1, \dots, l\}$, ainsi, lorsque le nœud $k$ a été choisi à l'instant $t_i$, $\sigma(t) = k$ pour $t \in [t_i, t_{i+1})$, et $y_{\sigma(t_i)}(t_i) = y_k(t_i)$. De cette manière, au temps $t \in [t_i, t_{i+1})$, les signaux suivants sont disponibles pour :

- le nœud de capteurs $j \in \{1, \dots, l\}$ : $\sigma(t_i), y_{\sigma(t_i)}(t_i), y_j(t)$ et $z^j(t)$;

- le nœud passif : $\sigma(t_i), y_{\sigma(t_i)}(t_i), z^{l+1}(t)$.

Puisque tous les observateurs reçoivent $y_{\sigma(t_i)}(t_i)$, ils ont tous à disposition le même vecteur d'entrée $\hat{y}(t)$ et sont ainsi synchronisés (à moins qu'une défaillance numérique ou électronique n'apparaisse). L'indice $j$ dans (4.40)-(4.41) peut par conséquent être omis.

**Remarque 4.3.6** Dans [42], le protocole TOD est différent puisque l'erreur considérée est celle entre la copie de la sortie de l'observateur, $\bar{y}_j = h_P^j(t, \bar{x})$ ($h_P = (h_P^1, \dots, h_P^l)$), et celle
<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>FIG. 4.3 – *Implémentation du protocole TOD pour l’observation des NCS avec des bloqueurs Pred*</figcaption></figure>
mesurée. Nous n'étudierons pas ce protocole dans cette thèse, mais c'est une possibilité d'ex-
tension.

Nous allons montrer que le protocole TOD est UGES, d'après la Proposition 5 dans [151].
Soit la fonction

$$
W(e) = |e|, \tag{4.42}
$$

l'équation (4.9) est satisfaite avec $a_1 = a_2 = 1$. Prenons $e \in \mathbb{R}^{n_e}$ quelconque et supposons,
sans perte de généralité, que $|e_1| \ge \max_{j \in \{2, \dots, l\}} |e_j|$ et $h_1(i,e) = 0$. On a :

$$
|e_1|^2 = \max_{j \in \{1, \dots, l\}} |e_j|^2 \ge \frac{1}{l} \sum_{j \in \{1, \dots, l\}} |e_j|^2 = \frac{1}{l} |e|^2. \quad (4.43)
$$

D'autre part,

$$
|h(i,e)|^2 = \sum_{j \in \{2, \dots, l\}} |h_j(i,e)|^2 = \sum_{j \in \{2, \dots, l\}} |e_j|^2 = |e|^2 - |e_1|^2. \quad (4.44)
$$

Par conséquent, d'après (4.43) et (4.44),

$$
W(i+1,h(i,e)) = |h(i,e)| \le \sqrt{|e|^2 - \frac{1}{l}|e|^2} = \sqrt{\frac{l-1}{l}}|e| = \sqrt{\frac{l-1}{l}}W(i,e).
$$

Le protocole TOD est donc bien UGES, d'après la Définition 4.2.1, avec $\rho = \sqrt{\frac{l-1}{l}}$.

**TOD modifié.** A l'instar du RR modifié, il est possible de changer la procédure de com-
munication du TOD afin de réduire dans ce cas les quantités de données transmises lorsque
l'erreur *e* est faible. Des protocoles dits *TOD modifiés* peuvent alors être proposés, comme
dans [152]. Un nouveau TOD modifié est ici introduit, pour lequel les fonctions Ψ<sub>j</sub>'s sont
définies par :

$$
\Psi_j(e) = \begin{cases} \text{sat}(\sqrt{l}|e_j|) & \text{si } j = \min(\arg \max_{i \in \{1, \dots, l\}} |e_i|) \\ 0 & \text{autrement.} \end{cases} \tag{4.45}
$$

Protocoles TOD classique et modifié se confondent pour de larges valeurs de |e|, tandis que
lorsque l'erreur approche de zéro, l'amplitude des sauts est réduite. Pour ces raisons, le TOD
modifié n'est pas UGES mais UGAS comme nous le montrons dans l'Annexe E.

Fonctions de blocage

Deux exemples de fonctions de blocage sont donnés, mais de nombreuses autres bloqueurs peuvent être considérés comme ceux d'ordre multiple par exemple.

Bloqueur d'ordre zéro (en anglais zero-order-hold (ZOH)). Les ZOH maintiennent constant
le vecteur ŷ entre deux instants de transmission successifs. Ces bloqueurs sont largement
utilisés pour les systèmes à données échantillonnées. Dans ce cas :

$$
\hat{f}_P(t, \hat{y}, z, w) = 0. \tag{4.46}
$$
Lorsqu’un nœud envoie son paquet, le sous-vecteur de $\hat{y}$ correspondant prend ses nouvelles valeurs jusqu’à ce que ce nœud transmette de nouveau, i.e. s’il s’agit du nœud $j$ à l’instant $t_i$:

$$ \hat{y}_k(t_i^+) = \begin{cases} \hat{y}_k(t_i) & \text{si } k \neq j \\ y_j(t_i) & \text{si } k = j \end{cases} \quad \forall k \in \{1, \dots, l\}. \qquad (4.47) $$

**Bloqueur prédictif (Pred).** Plus complexes que les bloqueurs couramment utilisés, le Pred consiste à prédire le vecteur de sortie du système à l'aide de la variable $\hat{y}$ qui évolue le long des mêmes champs de vecteur que $y$. Ainsi, une sorte de copie de la sortie du système est utilisée par l'observateur entre deux instants de transmission. Ce qui se traduit par :

$$ \hat{f}_P(t, \hat{y}, z, w) = \frac{\partial h_P}{\partial t}(t, h_O(t, z)) + \frac{\partial h_P}{\partial x}(t, h_O(t, z)) f_P(t, h_O(t, z), w). \qquad (4.48) $$

La condition intiale $\hat{y}(t_0)$ est arbitraire et, à chaque instant de transmission $t_i$ ($i \in \mathbb{Z}_{>0}$), l'équation différentielle ordinaire (4.48) est réinitialisée avec les nouvelles mesures reçues. Cette technique a été développée pour la synthèse d'observateurs à données échantillonnées dans [92] pour les systèmes monosorties. Des idées similaires sont utilisées pour la conception de protocoles de quantification dynamiques dans [116, 118] et la compensation de retards dans [32].

## Observateurs pour les systèmes à données échantillonnées

Il est important de remarquer que le modèle (4.22)-(4.27) recouvre le cas des observateurs de systèmes à données échantillonnées. Il suffit pour cela de réduire le nombre de capteurs $l$ à 1 : tous les capteurs communiquent leurs données en même temps. La fonction $h$ est alors :

$$ h = 0, \qquad (4.49) $$

puisque les erreurs induites par le réseau sont annulées à chaque instant de transmission. Par conséquent, la fonction de Lyapunov $W(e) = |e|$ permet de montrer que ce protocole particulier est UGES avec $a_1 = a_2 = 1$ et $\rho = 0$.

Nous proposons ainsi un nouveau cadre d'étude pour les observateurs par émulation de systèmes pour lesquels les mesures sont échantillonnées, qui peut être vu comme une alternative à celui proposé dans [9] basé sur des modèles approximés discrets. Le problème est ici traité d'un point de vue hybride: les dynamiques continues de l'observateur sont affectées par des sauts aux instants d'échantillonnage (comme dans [44, 92, 138] par exemple). Les deux approches sont différentes et fournissent des résultats complémentaires.

Les observateurs développés dans [92] entrent dans notre cadre si l'on interprète la variable auxiliaire introduite comme un cas particulier de fonction de blocage: le Pred. Les travaux présentés dans la suite de cette partie permettent d'étendre cette étude aux systèmes
multisorties ainsi qu’à d’autres types de fonctions de blocage, le tout à l’aide de conditions différentes.

**Remarque 4.3.7** *Notons que lorsque la structure de l'observateur est modifié, afin de prendre en compte l'effet de l'échantillonnage, par rapport à une structure continue connue (comme dans [44, 138] et [3] pour les observateurs adaptatifs), notre modèle devra être adapté pour pouvoir analyser les propriétés de convergence.*

### 4.3.3 Travaux de thèse

Soulignons que le cadre d'étude présenté est une contribution en soi puisqu'il offre pour la première fois une modélisation générale pour l'étude des observateurs de NCS par émulation. On peut imaginer étudier d'autres constructions d'observateurs et protocoles d'ordonnance-ment à partir de celui-ci ou de variations si nécessaires.

Dans cette seconde partie de thèse, une série d'outils pour l'analyse de stabilité des ob-servateurs déterministes émulés est présentée.

#### Conditions suffisantes pour l'émulation d'observateurs pour les NCS

Au Chapitre 5, à partir de la modélisation proposée dans §4.3.2, un ensemble de conditions suffisantes est donné qui garantit la convergence de l'erreur d'observation lorsque les mesures du système sont transmises via le réseau. L'observateur connu satisfait des propriétés de stabilité entrée-état ou entrée-sortie par rapport aux perturbations de mesures avec des gains linéaires. Cette hypothèse signifie en quelque sorte que la structure disponible est suffisamment robuste aux erreurs induites par le réseau. Nous verrons que les observateurs linéaires et à grand gain vérifient ces hypothèses. Nous supposerons dans ce chapitre que les protocoles étudiés sont UGES. Considérant le problème comme l'interconnexion de trois sous-systèmes ayant pour variable d'état respective l'erreur d'observation, l'état de l'observateur et le vecteur d'erreurs induites par le réseau, une version atypique du théorème du petit gain inspirée de [86] est invoquée afin de garantir la convergence de l'erreur d'observation et le bon comportement du système global. Les résultats obtenus permettront ensuite de déduire des bornes explicites sur le MATI pour les observateurs linéaires et à grand gain pour différentes configurations du réseau. Le cas des observateurs de systèmes à données échantillonnées est également traité. Rarement étudié pour la commande des NCS, nous verrons au travers d'exemples que les fonctions de blocage peuvent avoir un impact important sur les performances des observateurs.

#### Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris

Dans [92], une nouvelle méthode de synthèse d'observateurs pour les systèmes non linéaires à données échantillonnées est développée. La synthèse repose sur la connaissance d'un obser-vateur continu satisfaisant des propriétés de robustesse vis-à-vis des perturbations de mesure.
L'idée principale consiste à remplacer la sortie du système, indisponible entre deux instants d'échantillonnage, par une variable qui évolue le long des même champs de vecteurs et dont la trajectoire est corrigée lorsque des mesures sont reçues. Nous avons montré dans §4.3.2 qu'il s'agit en fait d'un type particulier de fonction de blocage. Au Chapitre 6, nous étendrons ces résultats aux NCS. Cette étude peut au premier abord paraître redondante avec le Chapitre 5, toutefois les hypothèses considérées ainsi que les outils d'analyse sont différents. A partir de l'analyse des trajectoires, un théorème du petit gain initialement développé pour les systèmes hybrides ne vérifiant pas la propriété de semi-groupe (ce qui n'est pas le cas ici) est utilisé. Il nous permettra de conclure quant à la convergence de l'observateur et de déduire des bornes sur le MATI différentes de celles du Chapitre 5. En résumé, lorsque la fonction de blocage choisie est Pred, nous offrons deux méthodes d'analyse, l'une au Chapitre 5, l'autre au 6 permettant de déduire des bornes sur le MATI à partir d'hypothèses différentes, qui sont comparées pour divers exemples. A noter que le Chapitre 6 permet l'étude d'une nouvelle classe de protocoles dits à excitation persistante contrairement au précédent.

## Convergence semiglobale pratique d'observateurs émulés pour les NCS

Il est supposé au Chapitre 5 que toutes les hypothèses de type stabilité entrée-état/entrée-sortie soient vérifiées avec des gains linéaires. Bien que ces conditions soient assurées par les observateurs linéaires et à grand gain, c'est-à-dire les observateurs globalement Lipschitziens, ce n'est pas le cas d'autres conceptions comme les observateurs par injection de sortie ou critère du cercle [8, 50]. En effet, il est possible de prouver que pour ces derniers, ces conditions sont satisfaites mais avec des gains non linéaires (sous certaines conditions). Au Chapitre 7, nous étendrons les hypothèses du Chapitre 5 afin de pouvoir analyser de plus larges classes de systèmes. De plus, nous étudierons des protocoles UGAS et non plus exclusivement UGES. Ces hypothèses auront pour conséquence de ne plus garantir des propriétés de convergence globale de l'observateur mais semiglobale (la borne sur le MATI dépend de la région où se situent les conditions initiales) et pratique. Toujours à partir de l'analyse des trajectoires, un nouveau théorème du petit gain est utilisé, cf. Annexe D. Ce théorème est différent de celui employé au Chapitre 5, puisqu'il permet de prouver la convergence semiglobale pratique de l'erreur d'observation. Cette étude présente l'avantage d'être plus générale que celle du Chapitre 5 mais soulève des difficultés techniques supplémentaires.
# Chapitre 5

## Conditions suffisantes pour l'émulation d'observateurs pour les NCS

### 5.1 Introduction

Au chapitre précédent, un premier pas pour l'étude des observateurs émulés pour les NCS a été fait puisque le cadre d'étude développé offre pour la première fois une formulation générale du problème. Reste alors à savoir sous quelles conditions l'observateur convergera effective-ment, lorsque les mesures du système sont transmises par l'intermédiaire d'un réseau. Dans ce chapitre, un ensemble de conditions suffisantes sur l'observateur continu et le protocole d'ordonnancement sont établies afin d'assurer la convergence globale de l'erreur d'observation. Il est ainsi supposé que l'observateur continu vérifie des propriétés de stabilité entrée-état ou entrée-sortie vis-à-vis des perturbations de mesures comme dans [92, 117, 174]. Cette condition assure que l'observateur est suffisamment robuste aux erreurs induites par le réseau. Les protocoles d'ordonnancement étudiés seront exclusivement UGES, voir Chapitre 4, où nous avons vu des exemples satisfaisant cette propriété de stabilité. Nous insisterons également sur le rôle des fonctions de blocage. Rarement étudiées pour la commande des NCS, nous verrons en quelle mesure elles influent sur les propriétés de stabilité.

La stabilité est analysée à l'aide de bornes sur les trajectoires et repose sur l'utilisation d'un théorème du petit gain atypique. En effet, nous considérons le problème comme l'interconnexion de trois sous-systèmes dont les variables d'état sont respectivement l'erreur d'observation, l'état de l'observateur et l'erreur induite par le réseau. Puisque l'état de l'observateur n'a a priori aucune raison de converger, le théorème du petit gain classique [86] ne permet pas de conclure dans le cas général. Nous verrons en quelle mesure nous sommes capables de quantifier l'évolution de l'erreur d'observation.

Cette étude peut être considérée comme le dual de [151], où un cadre pour la commande
par émulation des NCS est développé. Comme dans [151], toutes les conditions de type stable entrée-état ou entrée-sortie sont supposées vérifiées avec des gains linéaires. De telles hypothèses nous permettrons de déduire des propriétés de stabilité globale et des bornes sur le MATI explicites facilement calculables. Nous verrons que les observateurs linéaires et à grand gain vérifient ces conditions. Le cas plus général où les gains sont non linéaires est traité au Chapitre 7. Les propriétés ne seront alors plus globales mais semiglobales : le MATI dépend de la boule où se situent les conditions initiales.

Ce chapitre est organisé de la façon suivante. Dans un premier temps, les hypothèses sont présentées et les résultats de stabilité donnés dans §5.2. Nous montrerons ensuite que ces conditions sont satisfaites par les observateurs linéaires et à grand gain dans §5.3. Enfin nous conclurons.

## 5.2 Hypothèses et analyse de stabilité

Cette section est divisée en deux parties. Dans un premier temps, les conditions les plus générales sont considérées qui nous permettent d'affirmer que l'erreur d'observation converge pratiquement vers l'origine lorsque le MATI satisfait certaines conditions. Puis, lorsque des hypothèses plus fortes sont respectées, la convergence asymptotique est assurée. Le lien entre ces hypothèses et les configurations du réseau (protocol et fonction de blocage) est réalisé à la section suivante sur des classes particulières de systèmes.

### 5.2.1 Convergence pratique

Le système étudié est donc de la forme :

$$ \dot{\xi} = f_{\xi}(t, \xi, e, z, w) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \qquad (5.1) $$

$$ \dot{z} = f_z(t, \xi, e, z, w) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \qquad (5.2) $$

$$ \dot{e} = g(t, \xi, e, z, w) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \qquad (5.3) $$

$$ \xi(t_i^+) = \xi(t_i) \qquad (5.4) $$

$$ z(t_i^+) = z(t_i) \qquad (5.5) $$

$$ e(t_i^+) = h(i, e(t_j), z(t_i)), \qquad (5.6) $$

où $\xi \in \mathbb{R}^{n_{\xi}}$ représente l'erreur d'observation, $z \in \mathbb{R}^{n_z}$ l'état de l'observateur, $e \in \mathbb{R}^{n_e}$ l'erreur induite par le réseau et $w \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_w}$ un vecteur de signaux de perturbations. La séquence d'instants de transmission $\{t_i\}_{i \in \mathbb{Z}_{>0}}$ vérifie :

$$ v \le t_i - t_{i-1} \le \tau \quad \forall i \in \mathbb{Z}_{>0}, \qquad (5.7) $$

avec $\tau \in [v, \infty)$ et $t_0 \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ l'instant initial.
L'observateur continu est supposé robuste aux perturbations de mesures d'après l'hy-
pothèse ci-dessous.

**Hypothèse 5.2.1** Le système (5.1)-(5.2) est stable entrée-sortie de $(e,w)$ à $\xi$ avec des gains linéaires, i.e. il existe $\beta_1 \in \mathcal{KL}$, $\gamma_1^e, \gamma_1^w \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ tels que, pour tout $(\xi_0,z_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_z}$, $(e,w) \in \mathcal{L}_\infty^{n_e+n_w}$, les solutions de (5.1)-(5.2) vérifient :

$$
|\xi(t)| \le \beta_1(|(\xi_0, z_0)|, t - t_0) + \gamma_1^e \|e\|_{[t_0, t)} + \gamma_1^w \|w\|_{[t_0, t)} \quad \forall t \ge t_0 \ge 0. \quad (5.8)
$$

Plusieurs études ont déjà eu recours à ce type de conditions pour la synthèse d'observa-
teurs pour les systèmes à données échantillonnées, en réseau ou quantifiés [92, 117] qui sont
similaires aux hypothèses invoquées pour la commande des NCS dans [151] (condition 2 du
Théorème 7) et des NCS avec quantification dans [148] (condition (i) du Théorème 1). Cette
hypothèse peut être vérifiée à l'aide de la Proposition B.2.1.

Nous concentrons notre attention sur la classe de protocoles UGES suivante.

**Hypothèse 5.2.2** Le protocole (5.6) est UGES avec une fonction de Lyapunov $W: \mathbb{Z}_{\ge 0} \times \mathbb{R}^{n_e} \rightarrow \mathbb{R}_{\ge 0}$ qui est localement Lipschitzienne en $e$ et uniformément en $i$.

La condition suivante rappelle (27) dans [151] et (12) dans [148]. En la combinant avec l'Hypothèse 5.2.2, on montrera que le système (5.3) est stable entrée-état vis-à-vis de $(\xi,z,w)$ avec des gains linéaires.

**Hypothèse 5.2.3** Il existe $L, \gamma_2^\xi, \gamma_2^z, \gamma_2^w \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ tels que pour tout $(i,t,\xi,z,w) \in \mathbb{Z}_{\ge 0} \times [t_0,\infty) \times \mathbb{R}^{n_\xi+n_z+n_w}$ et presque tout $e \in \mathbb{R}^{n_e}$ :

$$
\left\langle \frac{\partial W(i,e)}{\partial e}, g(t,\xi,e,z,w) \right\rangle \leq LW(i,e) + \gamma_2^\xi |\xi| + \gamma_2^z |z| + \gamma_2^w |w|. \quad (5.9)
$$

L'Hypothèse 5.2.3 est souvent vérifiée à l'aide des conditions suivantes :

(i) il existe $L_1 \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ tel que, pour presque tout $e \in \mathbb{R}^{n_e}$ et tout $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, on a :

$$
\left| \frac{\partial W(i, e)}{\partial e} \right| \le L_1, \qquad (5.10)
$$

(ii) il existe $L_2, \tilde{\gamma}_2^\xi, \tilde{\gamma}_2^z, \tilde{\gamma}_2^w \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ tels que pour tout $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, $t \in [t_i, t_{i+1}]$, $(\xi, e, z, w) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_e+n_z+n_w}$ :

$$
|g(t, \xi, e, z, w)| \le L_2 |e| + \tilde{\gamma}_2^\xi |\xi| + \tilde{\gamma}_2^z |z| + \tilde{\gamma}_2^w |w|. \quad (5.11)
$$

Ainsi, (5.9) est satisfait avec $L = L_1 L_2$, $\gamma_2^\xi = L_1 \tilde{\gamma}_2^\xi$, $\gamma_2^z = L_1 \tilde{\gamma}_2^z$ et $\gamma_2^w = L_1 \tilde{\gamma}_2^w$. La condition (i) est équivalente au fait que $W$ est globalement Lipschitzienne en $e$ et uniformément en $i$, d'après le théorème de la valeur moyenne de Lebourg (cf. Théorème 2.3.7 dans [36]). Nous verrons que les fonctions de Lyapunov des protocoles étudiés vérifient de telles propriétés.
Le résultat ci-dessous est une conséquence de la Proposition 6 dans [151].

**Proposition 5.2.1** Si les Hypothèses 5.2.2 et 5.2.3 sont vérifiées et $\tau \in [v, \tau_0)$ où

$$ \tau_0 = \frac{1}{L} \ln\left(\frac{1}{\rho}\right) \qquad (5.12) $$

si $L=0$,

$$ \tau_0 = \lim_{L \to 0} \frac{1}{L} \ln \left( \frac{1}{\rho} \right) = \infty, \qquad (5.13) $$

alors, il existe $\beta_2 \in \exp -KL$ tel que pour tout $e_0 \in \mathbb{R}^{n_e}$, $(\xi, z, w) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_{\xi}+n_z+n_w}$, le long des solutions de (5.3) et (5.6) :

$$ |e(t)| \le \beta_2(|e_0|, t - t_0) + \zeta(\tau) \left( \gamma_2^{\xi} \|\xi\|_{[t_0, t)} + \gamma_2^{z} \|z\|_{[t_0, t)} + \gamma_2^w \|w\|_{[t_0, t)} \right) \quad \forall t \ge t_0 \ge 0, \qquad (5.14) $$

où $\zeta(\tau) = \frac{\exp(L\tau)-1}{a_1 L(1-\rho\exp(L\tau))}$ et $a_1 \in \mathbb{R}_{>0}$ est défini dans (4.9).

**Preuve.** Soient $e_0 \in \mathbb{R}^{n_e}$, $(\xi, z, w) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_{\xi}+n_z+n_w}$ et $\tau \in [v, \tau_0)$. Dans un premier temps, nous allons montrer par récurrence que pour tout $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, $t \in [t_i, t_{i+1}]$, le long des solutions de (5.3) et (5.6) :

$$ \begin{aligned} |W(i,e(t))| \le & \rho^i \exp((i+1)L\tau)W(0,e(t_0)) \\ & + (\gamma_2^{\xi} \|\xi\|_{[t_0,t)} + \gamma_2^{z} \|z\|_{[t_0,t)} + \gamma_2^w \|w\|_{[t_0,t)}) \frac{1}{L} [\exp(L\tau) - 1] \\ & \times \sum_{j \in \{0, \dots, i\}} (\rho \exp(L\tau))^j. \end{aligned} \qquad (5.15) $$

Cas $i=0$. Afin de lever tout ambiguïté à propos de la non-dérivabilité potentielle de $W$, il est préférable de rappeler les explications fournies dans [151]. Puisque $W$ est localement Lipschitzienne en $e$, $\dot{W}$ existe et est égale pour presque tout $t$ à la dérivée directionnelle. De plus, on sait que la dérivée directionnelle généralisée de Clarke, $W^\circ(e; g(t, \xi, e, z, w))$, majore la dérivée directionnelle. Ainsi, d'après la condition 5 page 100 dans [194], si $\frac{\partial W(i,e)}{\partial i} + \frac{\partial W(i,e)}{\partial e}g(t, \xi, e, z, w) \le LW(i,e) + \gamma_2^\xi |\xi| + \gamma_2^z |z| + \gamma_2^w |w|$ pour tout $t, \xi, z, w$ et presque tout $e$, alors, pour tout $i$ et presque tout $t$ on a $\dot{W}(i,e(t)) \le W^\circ(e; g(t, \xi, e, z, w)) \le LW(i,e(t)) + \gamma_2^\xi |\xi| + \gamma_2^z |z| + \gamma_2^w |w|$. Par conséquent, d'après le principe de comparaison, en vu de l'Hypothèse 5.2.3, on obtient, pour tout $t \in [t_0, t_1]$ :

$$ |W(0,e(t))| \le \exp(L\tau)W(0,e(t_0)) + (\gamma_2^{\xi} \|\xi\|_{[t_0,t)} + \gamma_2^{z} \|z\|_{[t_0,t)} + \gamma_2^w \|w\|_{[t_0,t)}) \frac{1}{L} [\exp(L\tau) - 1]. \qquad (5.16) $$

L'inégalité (5.15) est donc vérifiée pour $i=0$.

$i \Rightarrow i+1$. On suppose que (5.15) soit vérifiée pour $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$. D'après le principe de comparaison et l'Hypothèse 5.2.3, pour tout $t \in [t_{i+1}, t_{i+2}]$ :

$$ \begin{aligned} |W(i+1,e(t))| \le & \exp(L\tau)W(i+1,e(t_{i+1}^+)) \\ & + (\gamma_2^{\xi} \|\xi\|_{[t_{i+1},t)} + \gamma_2^{z} \|z\|_{[t_{i+1},t)} + \gamma_2^w \|w\|_{[t_{i+1},t)}) \frac{1}{L} [\exp(L\tau) - 1]. \end{aligned} \qquad (5.17) $$
Puisque (5.15) est satisfaite pour $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, que le protocole est UGES et que la condition
(4.10) est vérifiée, pour tout $t \in [t_{i+1}, t_{i+2}]$:

$$
\begin{align*}
|W(i+1,e(t))| & \le \rho \exp(L\tau) W(i,e(t_{i+1})) \\
& \phantom{\le} + (\gamma_2^\xi \|\xi\|_{[t_i,t)} + \gamma_2^z \|z\|_{[t_i,t)} + \gamma_2^w \|w\|_{[t_i,t)}) \frac{1}{L} [\exp(L\tau) - 1] \\
& \le \rho \exp(L\tau) [\rho^i \exp((i+1)L\tau)W(0,e(t_0)) \\
& \phantom{\le} + (\gamma_2^\xi \|\xi\|_{[t_0,t)} + \gamma_2^z \|z\|_{[t_0,t)} + \gamma_2^w \|w\|_{[t_0,t)}) \frac{1}{L} [\exp(L\tau) - 1] \\
& \phantom{\le} \qquad \times \sum_{j \in \{0, \dots, i\}} (\rho \exp(L\tau))^j] \\
& \phantom{\le} + (\gamma_2^\xi \|\xi\|_{[t_0,t)} + \gamma_2^z \|z\|_{[t_0,t)} + \gamma_2^w \|w\|_{[t_0,t)}) \frac{1}{L} [\exp(L\tau) - 1] \\
& \le \rho^{i+1} \exp((i+2)L\tau)W(0,e(t_0)) \\
& \phantom{\le} + (\gamma_2^\xi \|\xi\|_{[t_0,t)} + \gamma_2^z \|z\|_{[t_0,t)} + \gamma_2^w \|w\|_{[t_0,t)}) \frac{1}{L} [\exp(L\tau) - 1] \\
& \phantom{\le} \qquad \times \sum_{j \in \{0, \dots, i+1\}} (\rho \exp(L\tau))^j.
\end{align*}
$$

L'inégalité (5.15) est bien vérifiée pour $i+1$, ainsi elle l'est pour tout $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$. On en déduit
que pour tout $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, $t \in [t_i, t_{i+1}]$:

$$
|W(i,e(t))| = \rho^i \exp((i+1)L\tau)W(0,e(t_0)) \\
\qquad + (\gamma_2^\xi \|\xi\|_{[t_0,t)} + \gamma_2^z \|z\|_{[t_0,t)} + \gamma_2^w \|w\|_{[t_0,t)}) a_1 \zeta(\tau), \quad (5.19)
$$

avec $\zeta(\tau) = \frac{\exp(L\tau)-1}{a_1 L(1-\rho\exp(L\tau))}$. Si $\rho=0$, d'après (4.9), (5.14) est satisfaite avec n'importe quelle fonction $\beta_2 \in \exp(-KL)$. Dans le cas où $\rho \ne 0$, pour tout $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, $t \in [t_i, t_{i+1}]$, puisque $\tau < \tau_0$ et que donc $\ln(\rho \exp(L\tau)) < 0$, et que $\frac{t-t_0}{\tau} \le i+1$ :

$$
\begin{align}
\rho^i \exp((i+1)L\tau) &= \frac{1}{\rho} \exp\left(\ln(\rho \exp(L\tau))(i+1)\right) \nonumber \\
&\le \frac{1}{\rho} \exp\left(\ln(\rho \exp(L\tau))\frac{t-t_0}{\tau}\right). \tag{5.20}
\end{align}
$$

Ainsi,

$$
|W(i,e(t))| \le \frac{1}{\rho} \exp \left( \ln(\rho \exp(L\tau)) \frac{t-t_0}{\tau} \right) W(0,e(t_0)) \\
+ \left( \gamma_2^\xi \|\xi\|_{[t_0,t)} + \gamma_2^z \|z\|_{[t_0,t)} + \gamma_2^w \|w\|_{[t_0,t)} \right) \frac{1}{L} [\exp(L\tau) - 1] a_1 \zeta(\tau), \quad (5.21)
$$

d'après (4.9),

$$
|e(t)| \le \frac{a_2}{a_1 \rho} \exp \left( \ln(\rho \exp(L\tau)) \frac{t-t_0}{\tau} \right) |e(t_0)| \\
+ \zeta(\tau) \left( \gamma_2^\xi \|\xi\|_{[t_0,t)} + \gamma_2^z \|z\|_{[t_0,t)} + \gamma_2^w \|w\|_{[t_0,t)} \right) \frac{1}{L} [\exp(L\tau) - 1]. \quad (5.22)
$$

En nommant $\beta_2 : (s,t) \mapsto \frac{a_2}{a_1\rho} \exp\left(\ln(\rho \exp(L\tau))\frac{t}{\tau}\right)$ s qui est une fonction de classe $\exp(-KL)$
le résultat désiré est obtenu. $\square$

**Remarque 5.2.1** En réalité, la fonction $\beta_2$ est de classe $\mathcal{K}$ en $\tau$. Ainsi lorsque $\tau$ tend vers 0 (oubliens momentanément le paradoxe de Zénon), on obtient $W = 0$ puisque $\zeta(0) = 0$, ce qui
est en accord avec le fait que le problème est résolu lorsque les contraintes de communication sont ignorées ($e = 0$). Afin de soulager les notations, nous avons choisi d'omettre cette dépendance. Dans la suite de l'analyse, nous prendrons implicitement $\beta_2$ qui dépend, non pas de $\tau$, mais des bornes sur $\tau$ indiquées dans les énoncés des théorèmes et corollaires.

**Remarque 5.2.2** On remarque que $\zeta \in \mathcal{K}$, puisque cette fonction continue est strictement croissante sur $[0, \frac{1}{L} \ln(\frac{1}{\rho}))$ et $\zeta(0) = 0$.

L'hypothèse de stabilité suivante sur le système (5.2) garantira la bornitude des états du système (5.1)-(5.6).

**Hypothèse 5.2.4** Le système (5.2) est UEBEB avec pour entrée $(\xi,e,w)$ et des gains linéaires, i.e. il existe $\alpha \in \mathcal{K}$ et $\gamma_3^\xi, \gamma_3^e, \gamma_3^w \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ tels que, pour tout $z_0 \in \mathbb{R}^{n_z}, (\xi,e,w) \in \mathcal{L}_\infty^{n_\xi+n_e+n_w}$, les propriétés suivantes sont satisfaites par les solutions de (5.2):

$$|z(t)| \le \alpha(|z_0|) + \gamma_3^\xi \|\xi\|_{[t_0,t)} + \gamma_3^e \|e\|_{[t_0,t)} + \gamma_3^w \|w\|_{[t_0,t)} \quad \forall t \ge t_0 \ge 0. \quad (5.23)$$

**Remarque 5.2.3** Tout au long de cette étude, les gains des perturbations exogènes, $\gamma_i^w$ où $i \in \{1,2,3\}$, sont supposés linéaires uniquement afin de simplifier l'exposé. En effet, tous les résultats s'appliquent immédiatement pour des gains non linéaires $\gamma_i^w \in \mathcal{K}$.

Le théorème principal peut maintenant être énoncé.

**Théorème 5.2.1** Supposons que les Hypothèses 5.2.1-5.2.4 soient vérifiées, si $\tau \in [\upsilon, \tau_1)$ où

$$\tau_1 = \frac{1}{L} \ln \left( \frac{La_1 + [\gamma_1^e(\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi) + \gamma_2^z \gamma_3^e]}{L\rho a_1 + [\gamma_1^e(\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi) + \gamma_2^z \gamma_3^e]} \right), \quad (5.24)$$

si $L = 0$,

$$\tau_1 = \lim_{L \to 0} \frac{1}{L} \ln \left( \frac{La_1 + [\gamma_1^e(\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi) + \gamma_2^z \gamma_3^e]}{L\rho a_1 + [\gamma_1^e(\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi) + \gamma_2^z \gamma_3^e]} \right) = \frac{a_1(1-\rho)}{\gamma_1^e(\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi) + \gamma_2^z \gamma_3^e}, \quad (5.25)$$

alors le système (5.1)-(5.6) est UEBEB avec $w$ comme entrée et il existe $\beta \in \mathcal{KL}$, $\sigma \in \mathcal{K}$, $\bar{\sigma}, \varepsilon \in \mathcal{KK}$ tels que, pour tout $\Delta \in \mathbb{R}_{\ge 0}, (\xi_0, e_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_e+n_z}$ avec $|(\xi_0, e_0, z_0)| < \Delta$, $w \in \mathcal{L}_\infty^{n_w}$:

$$| (\xi(t), e(t)) | \le \beta ( | (\xi_0, e_0, z_0) |, t - t_0 ) + \sigma ( \| w \|_{\infty} ) + \bar{\sigma} ( \tau, \| w \|_{\infty} ) + \varepsilon ( \tau, \Delta ) \quad \forall t \ge t_0 \ge 0. \quad (5.26)$$

**Preuve.** Dans un premier temps, il est prouvé que le système (5.1)-(5.6) est positivement complet pour toute perturbation $w \in \mathcal{L}_\infty^{n_w}$. La bornitude des variables $\xi, e$ et $z$ est ensuite déduite. Finalement, la propriété de convergence désirée (5.26) est obtenue.

### Etape 1: Compléture positive.

Soient $(\xi_0, e_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_e+n_z}$, $w \in \mathcal{L}_\infty^{n_w}$ et $\tau \in [\upsilon, \tau_1)$. Soit $[t_0, t_{\max})$ l'intervalle d'existence maximal du système (5.1)-(5.6), où $t_{\max} \in (t_0, \infty]$. Notons que la Proposition 5.2.1 peut
bien être invoquée puisque $\tau_1 \le \tau_0$ (il suffit, pour le voir, d'utiliser le fait que $\rho < 1$). Soit $t \in [t_0, t_{\max})$, d'après les Hypothèses 5.2.1, 5.2.4 et la Proposition 5.2.1, on a:

$$
\begin{align}
\|e\|_{[t_0, t)} & \le \beta_2(|e_0|, 0) + \zeta(\tau) (\gamma_2^\xi \|\xi\|_{[t_0, t)} + \gamma_2^z \|z\|_{[t_0, t)} + \gamma_2^w \|w\|_\infty) \nonumber \\
& \le \beta_2(|e_0|, 0) + \zeta(\tau) \left( [\gamma_1^e (\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi) + \gamma_2^z \gamma_3^e] \|e\|_{[t_0, t)} + (\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi) \beta_1(|(\xi_0, z_0)|, 0) \right. \nonumber \\
& \phantom{\le \beta_2(|e_0|, 0) + \zeta(\tau) \left( \right.} \left. + \gamma_2^z \alpha(|z_0|) + [(\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi) \gamma_1^w + \gamma_2^w + \gamma_2^z \gamma_3^w] \|w\|_\infty) \right). \tag{5.27}
\end{align}
$$

Définissons $d(\tau) = 1 - \zeta(\tau) [\gamma_1^e(\gamma_2^\xi + \gamma_2^z\gamma_3^\xi) + \gamma_2^z\gamma_3^e]$ qui satisfait $d(\tau) > 0$ puisque $\tau \in [\upsilon, \tau_1)$,

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\|e\|_{[t_0, t)} & \le \frac{1}{d(\tau)} \beta_2(|e_0|, 0) + \frac{\zeta(\tau)}{d(\tau)} \left[ (\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi) \beta_1(|(\xi_0, z_0)|, 0) + \gamma_2^z \alpha(|z_0|) \right. \\
& \phantom{\le \frac{1}{d(\tau)} \beta_2(|e_0|, 0) + \frac{\zeta(\tau)}{d(\tau)} \left[} \left. + [(\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi) \gamma_1^w + \gamma_2^w + \gamma_2^z \gamma_3^w] \|w\|_\infty \right].
\end{aligned}
\tag{5.28}
\end{equation}
$$

Puisque les termes de droite de (5.28) sont indépendants du temps, $e(t)$ est borné sur $[t_0, t_{\max})$ et tel est $\xi(t)$, d'après l'Hypothèse 5.2.1. Par conséquent, en vu de l'Hypothèse 5.2.4, on peut montrer par l'absurde que $t_{\max} = \infty$.

### Étape 2 : Stabilité UEBEB.

Pour tout $t \in [t_0, \infty)$, d'après (5.28) et les Hypothèses 5.2.1, 5.2.4, on a :

$$ |e(t)| \leq M_e(\tau, \xi_0, e_0, z_0, \|w\|_{\infty}) \quad (5.29) $$

$$ |\xi(t)| \leq M_{\xi}(\tau, \xi_0, e_0, z_0, \|w\|_{\infty}) \quad (5.30) $$

$$ |z(t)| \leq M_z(\tau, \xi_0, e_0, z_0, \|w\|_{\infty}), \quad (5.31) $$

où

$$
\begin{align}
M_e(\tau, \xi_0, e_0, z_0, \|w\|_{\infty}) &= \frac{1}{d(\tau)} \beta_2(|e_0|, 0) + \frac{\zeta(\tau)}{d(\tau)} \left[ (\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi) \beta_1(|(\xi_0, z_0)|, 0) + \gamma_2^z \alpha(|z_0|) \right. \nonumber \\
& \phantom{=} \left. + [(\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi) \gamma_1^w + \gamma_2^w + \gamma_2^z \gamma_3^w] \|w\|_{\infty} \right] \nonumber \\
M_{\xi}(\tau, \xi_0, e_0, z_0, \|w\|_{\infty}) &= \beta_1(|(\xi_0, z_0)|, 0) + \gamma_1^e M_e(\tau, \xi_0, e_0, z_0, \|w\|_{\infty}) + \gamma_1^w \|w\|_{\infty} \nonumber \\
M_{z}(\tau, \xi_0, e_0, z_0, \|w\|_{\infty}) &= \alpha(|z_0|) + \gamma_3^e M_{\xi}(\tau, \xi_0, e_0, z_0, \|w\|_{\infty}) + \gamma_3^w M_e(\tau, \xi_0, e_0, z_0, \|w\|_{\infty}) \nonumber \\
& \phantom{=} + \gamma_3^w \|w\|_{\infty}. \tag{5.32}
\end{align}
$$

Nous noterons les fonctions $M_\xi$, $M_e$ et $M_z$ sans préciser leurs dépendances dans la suite de la preuve. Il s'en suit, pour tout $t \in [t_0, \infty)$ :

$$
\begin{align}
| (\xi(t), e(t), z(t)) | &\le M_{\xi} + M_{e} + M_{z} \nonumber \\
&\le \bar{\alpha}(|(\xi_0, e_0, z_0)|) + \bar{\sigma}(\tau) \|w\|_{\infty}, \tag{5.33}
\end{align}
$$

où, pour $s \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ :

$$
\begin{align*}
\bar{\alpha}(s) &= \left[ 1 + \gamma_1^e + \gamma_3^e + \gamma_3^\xi \gamma_1^e \right] \left[ \frac{1}{d(\tau)} \beta_2(s, 0) + \frac{\zeta(\tau)}{d(\tau)} \left( (\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi) \beta_1(s, 0) + \gamma_2^z \alpha(s) \right) \right] \\
&\quad + (1 + \gamma_3^\xi) \beta_1(s, 0) + \alpha(s) \\
\bar{\sigma}(\tau) &= \left[ 1 + \gamma_1^e + \gamma_3^e + \gamma_3^\xi \gamma_1^e \right] \frac{\zeta(\tau)}{d(\tau)} \left[ (\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi) \gamma_1^w + \gamma_2^w + \gamma_2^z \gamma_3^w \right] + (1 + \gamma_3^\xi) \gamma_1^w + \gamma_3^w,
\end{align*}
$$
ainsi, puisque $\bar{\alpha}, \bar{\sigma} \in \mathcal{K}$, le système (5.1)-(5.6) est UEBEB avec $w$ comme entrée et un gain linéaire d'après la Définition B.2.1.

### Etape 3: Propriété (5.26).

Pour tout $t_0 \le t_{10} \le t_{20} \le t_{11} \le t_{21}$, en utilisant l'invariance et la causalité des inégalités (5.8) et (5.14), on obtient :

$$ 
\begin{aligned}
|\xi(t_{11})| & \le \beta_1(|(\xi(t_{10}),z(t_{10}))|,t_{11}-t_{10}) + \gamma_1^e \|e\|_{[t_{10},t_{11})} + \gamma_1^w \|w\|_{\infty}, \\
|e(t_{21})| & \le \beta_2(|e(t_{20})|,t_{21}-t_{20}) + \zeta(\tau)(\gamma_2^\xi \|\xi\|_{[t_{20},t_{21})} + \gamma_2^z \|z\|_{\infty} + \gamma_2^w \|w\|_{\infty}).
\end{aligned} 
\quad (5.34) $$

Soit $t \in [t_0, \infty)$, prenons $t_{10} = \frac{t-t_0}{4} + t_0$, $t_{20} = \frac{t-t_0}{2} + t_0$, $t_{21} = t$, $t_{11} \in [\frac{t-t_0}{2} + t_0, t]$, d'après (5.29), (5.30), (5.31) et (5.34) :

$$ 
\begin{aligned}
|e(t)| & \le \beta_2(M_e, \frac{t-t_0}{2}) + \zeta(\tau)(\gamma_2^z \|z\|_{\infty} + \gamma_2^w \|w\|_{\infty} + \gamma_2^\xi \beta_1(M_\xi + M_z, \frac{t-t_0}{4}) \\
& \qquad + \gamma_2^\xi \gamma_1^e \|e\|_{[\frac{t-t_0}{4}+t_0, \infty)} + \gamma_2^\xi \gamma_1^w \|w\|_{\infty}) \\
& \le \beta_2(M_e + M_\xi + M_z, \frac{t-t_0}{2}) + \zeta(\tau^*)\gamma_2^\xi \beta_1(M_e + M_\xi + M_z, \frac{t-t_0}{4}) \\
& \qquad + \zeta(\tau)(\gamma_2^\xi \gamma_1^e \|e\|_{[\frac{t-t_0}{4}+t_0, \infty)} + \gamma_2^z \|z\|_{\infty} + [\gamma_2^\xi \gamma_1^w + \gamma_2^w] \|w\|_{\infty}).
\end{aligned} 
\quad (5.35) $$

En remarquant que $\zeta(\tau)\gamma_1^e\gamma_2^\xi < 1$ (puisque $\tau_1 \le \tau_0$ et $\rho < 1$), le Lemme A.1 dans [86] peut être utilisé pour (5.35) (avec $z(t) = |e(t)|$, $\beta = \beta_2(s, \frac{t}{2}) + \zeta(\tau^*)\gamma_2^\xi \beta_1(s, \frac{t}{4})$, $s = M_e + M_\xi + M_z$, $\rho(s) = \zeta(\tau)\gamma_1^e\gamma_2^\xi s$, $d = \zeta(\tau)(\gamma_2^z \|z\|_{\infty} + \gamma_2^\xi[\gamma_1^w + \gamma_2^w]\|w\|_{\infty})$ et $\mu = \frac{1}{4}$, $(s,t) \in \mathbb{R}^2_{\ge 0}$) pour montrer qu'il existe $\tilde{\beta}_2 \in \mathcal{KL}$ et $\lambda_2 \in (1, \infty)$ tels que :

$$ 
|e(t)| \le \tilde{\beta}_2 (M_e + M_\xi + M_z, t - t_0) + \frac{\lambda_2 \zeta(\tau)}{1 - \zeta(\tau) \gamma_1^e \gamma_2^\xi} (\gamma_2^z \|z\|_{\infty} + [\gamma_2^\xi \gamma_1^w + \gamma_2^w] \|w\|_{\infty}). 
\quad (5.36) $$

Parallèlement, d'après l'Hypothèse 5.2.1 et la Proposition 5.2.1, on peut montrer qu'il existe $\tilde{\beta}_1 \in \mathcal{KL}$ et $\lambda_1 \in (1, \infty)$ tels que :

$$ 
|\xi(t)| \le \tilde{\beta}_1 (M_e + M_\xi + M_z, t - t_0) + \frac{\lambda_1}{1 - \zeta(\tau) \gamma_1^e \gamma_2^\xi} (\zeta(\tau) \gamma_1^e \gamma_2^z \|z\|_{\infty} \\
+ [\gamma_1^w + \zeta(\tau) \gamma_1^e \gamma_2^w] \|w\|_{\infty}). 
\quad (5.37) $$

En combinant (5.36) et (5.37), avec $\tilde{\beta} = \tilde{\beta}_1 + \tilde{\beta}_2$, il s'en suit :

$$ 
|(\xi(t),e(t))| \le \tilde{\beta} (M_e + M_\xi + M_z, t - t_0) + \frac{\gamma_2^z \zeta(\tau)}{1 - \zeta(\tau) \gamma_1^e \gamma_2^\xi} [\lambda_1 \gamma_1^e + \lambda_2] \|z\|_{\infty} + \frac{1}{1 - \zeta(\tau) \gamma_1^e \gamma_2^\xi} \\
\times ([\lambda_1 + \lambda_2 \gamma_2^\xi \zeta(\tau)] \gamma_1^w + [\lambda_2 + \lambda_1 \gamma_1^e] \zeta(\tau) \gamma_2^w) \|w\|_{\infty}. 
\quad (5.38) $$
D'après (5.32),

$$
\begin{align}
\tilde{\beta}(M_e + M_\xi + M_z, t - t_0) &\le \tilde{\beta} \left( [1 + \gamma_3^e + \gamma_1^e + \gamma_1^e \gamma_3^\xi] M_e + (1 + \gamma_3^\xi) \beta_1(|(\xi_0, z_0)|, 0) + \alpha(|z_0|) \right. \nonumber \\
&\qquad \left. + [\gamma_1^w + \gamma_3^w + \gamma_3^\xi \gamma_1^w] \|w\|_\infty, t - t_0 \right) \nonumber \\
&\le \tilde{\beta} \left( [1 + \gamma_3^e + \gamma_1^e + \gamma_1^e \gamma_3^\xi] \frac{1}{d(\tau)} [\beta_2(|e_0|, 0) + \zeta(\tau)(\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi) \right. \nonumber \\
&\qquad \left. \times \beta_1(|(\xi_0, z_0)|, 0) + \zeta(\tau)\gamma_2^z \alpha(|z_0|) \right] + [1 + \gamma_3^e + \gamma_1^e + \gamma_1^e \gamma_3^\xi] \frac{\zeta(\tau)}{d(\tau)} \right. \nonumber \\
&\qquad \left. \times [(\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi)\gamma_1^w + \gamma_2^w + \gamma_2^z \gamma_3^w] \|w\|_\infty \right. \nonumber \\
&\qquad \left. + (1 + \gamma_3^\xi)\beta_1(|(\xi_0, z_0)|, 0) + \alpha(|z_0|) \right. \nonumber \\
&\qquad \left. + [\gamma_1^w + \gamma_3^w + \gamma_3^\xi \gamma_1^w] \|w\|_\infty, t - t_0 \right), \tag{5.39}
\end{align}
$$

en utilisant le Lemme A.1.2,

$$
\begin{equation}
\begin{split}
\tilde{\beta}(M_e + M_\xi + M_z, t - t_0) \le {}& \tilde{\beta} \left( 2 \left[ 1 + \gamma_3^e + \gamma_1^e + \gamma_1^e \gamma_3^\xi \right] \right. \\
& \left. \qquad \times \frac{1}{d(\tau)} [\beta_2(|e_0|,0) + \zeta(\tau)(\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi)\beta_1(|(\xi_0,z_0)|,0) \right. \right. \\
& \left. \qquad \left. + \zeta(\tau)\gamma_2^z \alpha(|z_0|) \right] + 2(1+\gamma_3^\xi)\beta_1(|(\xi_0,z_0)|,0) + 2\alpha(|z_0|), t-t_0 \right) \\
& + \tilde{\beta} \left( \left( 2 \left[ 1 + \gamma_3^e + \gamma_1^e + \gamma_1^e \gamma_3^\xi \right] \frac{\zeta(\tau)}{d(\tau)} [(\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi)\gamma_1^w \right. \right. \\
& \left. \qquad \left. + \gamma_2^w + \gamma_2^z \gamma_3^w \right] + 2\gamma_1^w + 2\gamma_3^w + 2\gamma_3^\xi \gamma_1^w \right) \|w\|_\infty, 0 \right).
\end{split}
\tag{5.40}
\end{equation}
$$

D'autre part, en invoquant (5.31), (5.32),

$$
\begin{align}
\|z\|_{\infty} &\le \alpha(|z_0|) + \gamma_3^\xi M_\xi + +\gamma_3^e M_e + \gamma_3^w \|w\|_{\infty} \nonumber \\
&\le \left[ (\gamma_3^\xi \gamma_1^e + \gamma_3^e)(\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi) \frac{\zeta(\tau)}{d(\tau)} + \gamma_3^\xi \right] \beta_1(|(\xi_0, z_0)|, 0) \nonumber \\
&\quad + (\gamma_3^\xi \gamma_1^e + \gamma_3^e) \frac{1}{d(\tau)} \beta_2(|e_0|, 0) + \left[ 1 + (\gamma_3^\xi \gamma_1^e + \gamma_3^e) \frac{\zeta(\tau)}{d(\tau)} \gamma_2^z \right] \alpha(|z_0|) \tag{5.41} \\
&\quad + \left[ \gamma_3^\xi + (\gamma_3^\xi \gamma_1^e + \gamma_3^e)(\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi) \frac{\zeta(\tau)}{d(\tau)} \right] \gamma_1^w + (\gamma_3^\xi \gamma_1^e + \gamma_3^e) \frac{\zeta(\tau)}{d(\tau)} \gamma_2^w \nonumber \\
&\quad + \left[ 1 + (\gamma_3^\xi \gamma_1^e + \gamma_3^e) \frac{\zeta(\tau)}{d(\tau)} \gamma_2^z \right] \gamma_3^w \|w\|_{\infty}. \nonumber
\end{align}
$$

Par conséquent, en utilisant (5.38), (5.40) et (5.41), on déduit qu'il existe $\beta \in \mathcal{KL}$ tel que,
pour tout $|(\xi_0, e_0, z_0)| < \Delta$, $t \in [t_0, \infty)$ :

$$
| (\xi(t), e(t)) | \le \beta ( |(\xi_0, e_0, z_0)|, t - t_0 ) + \sigma ( \|w\|_{\infty} ) + \bar{\sigma} ( \tau, \|w\|_{\infty} ) + \varepsilon ( \tau, \Delta ),
$$
où, pour $s \in \mathbb{R}_{\ge 0}$, selon le Lemme A.1.2, en écrivant $\frac{1}{1-\zeta(\tau)\gamma_1^e\gamma_2^\xi} = 1 + \frac{\zeta(\tau)\gamma_1^e\gamma_2^\xi}{1-\zeta(\tau)\gamma_1^e\gamma_2^\xi}$,

$$
\begin{align}
\sigma(s) &= \lambda_1 \gamma_1^w s + \tilde{\beta}(4\gamma_1^w s + 4\gamma_3^w s + 4\gamma_3^\xi \gamma_1^w s, 0) \nonumber \\
\bar{\sigma}(\tau,s) &= \frac{\zeta(\tau)\gamma_1^e \gamma_2^\xi}{1-\zeta(\tau)\gamma_1^e \gamma_2^\xi} \lambda_1 \gamma_1^w s + \frac{\zeta(\tau)}{1-\zeta(\tau)\gamma_1^e \gamma_2^\xi} \left( \lambda_2 \gamma_2^\xi \gamma_1^w s + (\lambda_2 + \lambda_1 \gamma_1^e) \gamma_2^w s \right) \nonumber \\
&\quad + \frac{\gamma_3^z \zeta(\tau)}{1-\zeta(\tau)\gamma_1^e \gamma_2^\xi} [\lambda_1 \gamma_1^e + \lambda_2] \left( \left[ \gamma_3^\xi + (\gamma_3^\xi \gamma_1^e + \gamma_3^e)(\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi) \frac{\zeta(\tau)}{d(\tau)} \right] \gamma_1^w s \right. \nonumber \\
&\quad \left. + (\gamma_3^\xi \gamma_1^e + \gamma_3^e) \frac{\zeta(\tau)}{d(\tau)} \gamma_2^w s + \left[ 1 + (\gamma_3^\xi \gamma_1^e + \gamma_3^e) \frac{\zeta(\tau)}{d(\tau)} \gamma_2^z \right] \gamma_3^w s \right) \tag{5.42} \\
&\quad + \tilde{\beta} \left( 4 \left[ 1 + \gamma_3^e + \gamma_1^e + \gamma_1^e \gamma_3^\xi \right] \frac{\zeta(\tau)}{d(\tau)} \left[ (\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi) \gamma_1^w s + \gamma_2^w s + \gamma_2^z \gamma_3^w s \right], 0 \right) \nonumber \\
\varepsilon(\tau, \Delta) &= \frac{\gamma_3^z \zeta(\tau)}{1-\zeta(\tau)\gamma_1^e \gamma_2^\xi} [\lambda_1 \gamma_1^e + \lambda_2] \left( \left[ (\gamma_3^\xi \gamma_1^e + \gamma_3^e)(\gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^\xi) \frac{\zeta(\tau)}{d(\tau)} + \gamma_3^\xi \right] \beta_1(s, 0) \right. \nonumber \\
&\quad \left. + (\gamma_3^\xi \gamma_1^e + \gamma_3^e) \frac{1}{d(\tau)} \beta_2(s, 0) + \left[ 1 + (\gamma_3^\xi \gamma_1^e + \gamma_3^e) \frac{\zeta(\tau)}{d(\tau)} \gamma_2^z \right] \alpha(s) \right). \nonumber
\end{align}
$$

On constate que $\sigma \in \mathcal{K}$ et, en fixant $\tau \in [0,\tau_1)$, que $\bar{\sigma}(\tau,\cdot) \in \mathcal{K}$. En effet, soit $s \in \mathbb{R}_{\ge 0}$, $\bar{\sigma}(\cdot,s)$ est continue sur $[0,\tau_1)$ et égale à 0 en 0 (puisque $\zeta$ et $d$ sont continues sur $[0,\tau_1)$ et $\zeta(0) = 0$, $d(0) = 1)$. De plus, puisque $\zeta$ est strictement croissante sur $[0,\tau_1)$, telles sont $\tau \mapsto \frac{\zeta(\tau)}{1-\zeta(\tau)\gamma_1^e\gamma_2^\xi}$, $\tau \mapsto \frac{\zeta(\tau)}{d(\tau)}$ et $\tau \mapsto \frac{1}{d(\tau)}$, on en déduit que $\bar{\sigma}(\cdot,s),\varepsilon(\cdot,s) \in \mathcal{K}$. $\square$

**Remarque 5.2.4** *Les conditions initiales sont bornées par $\Delta$ dans l'énoncé du Théorème 5.2.1 uniquement afin d'obtenir une dépendance de la fonction $\varepsilon$ uniforme et croissante en le rayon de la boule de conditions initiales étudiée. Le MATI ne dépend pas de $\Delta$.*

D'après le Théorème 5.2.1, lorsque $w=0$, l'erreur d'observation ne converge pas asymptotiquement vers l'origine mais la boule centrée en 0 de rayon $\varepsilon(\tau,\Delta)$. Il est montré dans §5.2.2 que la convergence asymptotique vers l'origine est garantie lorsque $\gamma_2^z = 0$ (et l'Hypothèse 5.2.4 peut être relaxée). Le cas où $\gamma_2^z \neq 0$ apparaît typiquement lorsque qu'un bloqueur d'ordre zéro est employé, comme nous le montrerons dans §5.3. En effet, dans ce cas, l'observateur reçoit les mesures avec un retard à temps variant, $t - t_i$, qui affecte périodiquement sa convergence. On remarque également que l'on retrouve les propriétés du continu lorsque $\tau$ tend vers zéro.

En pratique, l'Hypothèse 5.2.4 peut être difficile à vérifier. Bien qu'une caractérisation de Lyapunov soit disponible pour la stabilité UEBEB [14], dans certains cas, il est plus avantageux de tirer parti de la stabilité supposée du système à observer (4.14)-(4.15) afin d'obtenir des conditions similaires sur $|z(t)|$. Supposons que le système (4.14) soit UEBEB avec $w$ comme entrée et un gain linéaire, i.e. il existe $\alpha_0 \in \mathcal{K}$, $\sigma_0 \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ tels que pour tout $x_0 \in \mathbb{R}^{n_x}$ et $w \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_w}$,

$$
|x(t)| \le \alpha_0(|x_0|) + \sigma_0 \|w\|_{[t_0,t)} \quad \forall t \ge t_0 \ge 0, \tag{5.43}
$$

et supposons qu'il existe $\beta_3 \in \mathcal{KL}$, $\gamma_3^x, \gamma_3^e, \tilde{\gamma}_3^w \in \mathbb{R}_{>0}$ tels que, le long des solutions de (5.2), pour tout $z_0 \in \mathbb{R}^{n_z}$, $(x,e,w) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_x+n_e+n_w}$ :

$$
|z(t)| \le \beta_3(|z_0|, t - t_0) + \gamma_3^x \|x\|_{[t_0, t)} + \gamma_3^e \|e\|_{[t_0, t)} + \tilde{\gamma}_3^w \|w\|_{[t_0, t)} \quad \forall t \ge t_0 \ge 0. \quad (5.44)
$$
**Remarque 5.2.5** La condition (5.44) est satisfaite dans de nombreux cas, cf. §5.3, elle peut être vérifiée à l'aide de l'Hypothèse 5.2.1 et du fait que $\xi = x - h_O(t,z)$.

Ainsi, combinant (5.43) et (5.44), pour tout $(x_0,z_0) \in \mathbb{R}^{n_x+n_z}$, $(e,w) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_e+n_w}$, le long des solutions de (5.2), on a, pour tout $t \ge t_0 \ge 0$:

$$|z(t)| \le \beta_3(|z_0|,t-t_0) + \gamma_3^x \alpha_0(|x_0|) + \gamma_3^x \sigma_0 \|w\|_{[t_0,t)} + \gamma_3^e \|e\|_{[t_0,t)} + \tilde{\gamma}_3^w \|w\|_{[t_0,t)}. \quad (5.45)$$

En écrivant $\xi = x - h_O(t,z)$ et en invoquant la Lemme A.1.2, nous obtenons que, pour tout $(\xi_0,z_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_z}$:

$$\begin{aligned} \alpha_0(|x_0|) &= \alpha_0(|\xi_0 + h_O(t,z_0)|) \\ &\le \alpha_0(2|\xi_0|) + \alpha_0(2|h_O(t,z_0)|). \end{aligned} \quad (5.46)$$

De plus, supposons qu'il existe $\zeta \in \mathcal{K}$ tel que $|h_O(t,z)| \le \zeta(|z|)$ pour tout $(t,z) \in \mathbb{R}_{\ge 0} \times \mathbb{R}^{n_z}$, on a:

$$\alpha_0(2|h_O(t,z_0)|) \le \alpha_0(2\zeta(|z_0|)) = \tilde{\alpha}_0(|z_0|). \quad (5.47)$$

De cette manière, définissons $\alpha(s) = \beta_3(s,0) + \gamma_3^x [\alpha_0(2s) + \tilde{\alpha}_0(s)]$ pour $s \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ et $\gamma_3^w = \tilde{\gamma}_3^w + \gamma_3^x \sigma_0$, pour tout $(x_0,z_0) \in \mathbb{R}^{n_x+n_z}$, $(e,w) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_e+n_w}$, le long des solutions de (5.2):

$$|z(t)| \le \alpha(|(\xi_0, z_0)|, 0) + \gamma_3^e \|e\|_{[t_0,t)} + \gamma_3^w \|w\|_{[t_0,t)} \quad \forall t \ge t_0 \ge 0. \quad (5.48)$$

La condition (5.48) ne nous permet pas de conclure quant à la stabilité UEBEB de (5.2) avec comme entrée $\xi, e, w$ au sens de la Définition B.2.1, toutefois, elle est suffisante pour déduire des propriétés de convergence pour l'erreur d'observation comme nous le montrons dans le corollaire ci-dessous dont la preuve rejoint celle du Théorème 5.2.1.

**Corollaire 5.2.1** Supposons que les Hypothèses 5.2.1-5.2.3 soient vérifiées, si la condition (5.48) est satisfaite et si $\tau \in [\upsilon, \tilde{\tau}_1)$ où

$$\tilde{\tau}_1 = \frac{1}{L} \ln \left( \frac{L a_1 + \gamma_1^e \gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^e}{L \rho a_1 + \gamma_1^e \gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^e} \right), \quad (5.49)$$

si $L = 0$,

$$\tilde{\tau}_1 = \lim_{L \to 0} \frac{1}{L} \ln \left( \frac{L a_1 + \gamma_1^e \gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^e}{L \rho a_1 + \gamma_1^e \gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^e} \right) = \frac{a_1(1-\rho)}{\gamma_1^e \gamma_2^\xi + \gamma_2^z \gamma_3^e}, \quad (5.50)$$

alors le système (5.1)-(5.6) est UEBEB avec $w$ comme entrée et il existe $\beta \in \mathcal{KL}$, $\sigma \in \mathcal{K}$, $\bar{\sigma}, \varepsilon \in \mathcal{KK}$ tels que, pour tout $\Delta \in \mathbb{R}_{\ge 0}$, $(\xi_0, e_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_e+n_z}$ avec $|(\xi_0, e_0, z_0)| < \Delta$, $w \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_w}$:

$$|(\xi(t),e(t))| \le \beta (|(\xi_0,e_0,z_0)|,t-t_0) + \sigma(\|w\|_{\infty}) + \bar{\sigma}(\tau, \|w\|_{\infty}) + \varepsilon(\tau,\Delta) \quad \forall t \ge t_0 \ge 0. \quad (5.51)$$

**Remarque 5.2.6** Les fonctions $\alpha_0, \alpha$ et la constante $\sigma_0$ n'ont pas besoin d'être connues pour pouvoir appliquer le Corollaire 5.2.1.
## 5.2.2 Convergence asymptotique

Dans certains cas, une propriété de robustesse plus forte que l'Hypothèse 5.2.1 est garantie par l'observateur.

**Hypothèse 5.2.5** Il existe $\beta_1 \in \mathcal{KL}$, $\gamma_1^e, \gamma_1^w \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ tels que, pour tout $\xi_0 \in \mathbb{R}^{n_\xi}$, $(e, w) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_e+n_w}$ et $z(t)$ défini pour tout $t \in \mathbb{R}_{\ge 0}$, les solutions de (5.1) vérifient :

$$|\xi(t)| \le \beta_1(|\xi_0|, t - t_0) + \gamma_1^e \|e\|_{[t_0, t)} + \gamma_1^w \|w\|_{[t_0, t)} \quad \forall t \ge t_0 \ge 0. \quad (5.52)$$

**Remarque 5.2.7** L'Hypothèse 5.2.5 implique que le système (5.1) est stable entrée-état vis-à-vis de $(z,e,w)$ et peut être vérifiée à l'aide de la Proposition B.2.2. La condition « $z(t)$ défini pour tout $t \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ » signifie que la variable $z$ n'a pas besoin d'être globalement bornée mais simplement définie pour tout $t \in \mathbb{R}_{\ge 0}$.

Lorsque l'Hypothèse 5.2.3 est satisfaite avec $\gamma_2^z = 0$, la stabilité des systèmes (5.1),(5.4) d'une part et (5.3),(5.6) de l'autre, peut être analysée séparément du système global (5.1)-(5.6) à l'aide du théorème du petit gain classique de [86]. De cette manière, aucune condition de bornitude n'est désormais nécessaire pour étudier le système (5.1)-(5.6), l'Hypothèse 5.2.4 est alors relaxée comme suit.

**Hypothèse 5.2.6** Le système (5.2) est uniformément positivement complet pour les entrées $(\xi,e,w) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_\xi+n_e+n_w}$ i.e. il existe $\nu_1, \nu_2, \nu_3 \in \mathcal{K}$ et $c \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ tels que, pour tout $z_0 \in \mathbb{R}^{n_z}$, $(\xi,e,w) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_e+n_\xi+n_w}$, les solutions de (5.2) satisfont :

$$|z(t)| \le \nu_1(t - t_0) + \nu_2(|z_0|) + \nu_3(\| (\xi, e, w) \|_{[t_0, t)}) + c \quad \forall t \ge t_0 \ge 0. \quad (5.53)$$

Le théorème suivant peut alors être énoncé.

**Théorème 5.2.2** Supposons que les Hypothèses 5.2.2,5.2.5,5.2.6 soient satisfaites et que l'Hypothèse 5.2.3 soit garantie avec $\gamma_2^z = 0$, si $\tau \in [\nu, \tau_2)$ où :

$$\tau_2 = \frac{1}{L} \ln \left( \frac{La_1 + \gamma_2^\xi \gamma_1^e}{L \rho a_1 + \gamma_2^\xi \gamma_1^e} \right), \quad (5.54)$$

si $L = 0$,

$$\tau_2 = \lim_{L \to 0} \frac{1}{L} \ln \left( \frac{La_1 + \gamma_2^\xi \gamma_1^e}{L \rho a_1 + \gamma_2^\xi \gamma_1^e} \right) = \frac{a_1(1-\rho)}{\gamma_1^e \gamma_2^\xi}, \quad (5.55)$$

alors le système (5.1)-(5.6) est uniformément positivement complet avec $w \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_w}$ comme entrée et il existe $\beta \in \mathcal{KL}$, $\sigma \in \mathcal{K}$, $\bar{\sigma} \in \mathcal{KK}$ tels que, pour tout $(\xi_0, e_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_e}$, $w \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_w}$ :

$$| (\xi(t), e(t)) | \le \beta ( | (\xi_0, e_0) |, t - t_0 ) + \sigma ( \| w \|_{\infty} ) + \bar{\sigma} ( \tau, \| w \|_{\infty} ) \quad \forall t \ge t_0 \ge 0. \quad (5.56)$$

**Preuve.** Le preuve suit les mêmes lignes que celles du Théorème 5.2.1. La complétude positive est prouvée en invoquant la Proposition 5.2.1, les Hypothèses 5.2.5 et 5.2.6, en exploitant le fait que $\gamma_2^z = 0$ et que $\beta_1$ dépende uniquement de $|\xi_0|$ et en appliquant la condition de petit gain induite par $\tau < \tau_2$. La propriété de convergence (5.56) est démontrée de la même manière que (5.26) avec ici $\gamma_2^z = 0$. Ainsi $\varepsilon$ dans (5.42) est égal à 0 ici et $\bar{\sigma}$ et $\sigma$ sont obtenus en remplaçant $\gamma_2^z$ par 0 dans (5.42).
## 5.3 Applications

Dans cette section, plusieurs classes d'observateurs émulés pour les NCS combinés avec les protocoles RR, TOD et les fonctions de blocage ZOH et Pred sont étudiés (voir §4.3.2). Il est prouvé que les hypothèses de §5.2 sont vérifiées. Des bornes explicites sur le MATI sont obtenues et des résultats de convergence déduits. Le cas où les mesures sont simplement échantillonnées est également traité.

### 5.3.1 Observateurs linéaires

Considérons les systèmes linéaires de la forme :

$$ \dot{x} = Ax \tag{5.57} $$

$$ y = Cx, \tag{5.58} $$

où $x \in \mathbb{R}^{n_x}$, $y \in \mathbb{R}^{n_y}$, A et C sont des matrices réelles de dimensions appropriées telles que $(A,C)$ est détectable. L'observateur de Luenberger suivant est étudié :

$$ \dot{\bar{x}} = A\bar{x} + \Lambda(y - \bar{y}) \tag{5.59} $$

$$ \bar{y} = C\bar{x}, \tag{5.60} $$

où $\bar{x} \in \mathbb{R}^{n_x}$, $\bar{y} \in \mathbb{R}^{n_y}$ et $\Lambda$ est une matrice réelle telle que $(A - \Lambda C)$ est Hurwitz. Considérons la séquence d'instants de transmission $\{t_i\}_{i \in \mathbb{Z}_{>0}}$ telle que $v \le t_i - t_{i-1} \le \tau$ pour tout $i \in \mathbb{Z}_{>0}$ et $v, \tau \in \mathbb{R}_{>0}$ ($t_0 \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ est l'instant initial). D'après le modèle (5.1)-(5.6), le système (5.57)-(5.60) s'écrit

$$ \dot{\xi} = (A - \Lambda C)\xi - \Lambda e \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \tag{5.61} $$

$$ \dot{z} = Az + \Lambda(e + C\xi) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \tag{5.62} $$

$$ \dot{e} = \hat{f}_P(z) - CA(\xi + z) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \tag{5.63} $$

$$ \xi(t_i^+) = \xi(t_i) \tag{5.64} $$

$$ z(t_i^+) = z(t_i) \tag{5.65} $$

$$ e(t_i^+) = h(i, e(t_i)), \tag{5.66} $$

où $z = \bar{x}$, $\hat{f}_P$ est définie par (4.46) ou (4.48) et $h$ par (4.29), (4.38) ou (4.49).

Le lemme suivant nous permet d'affirmer que l'Hypothèse 5.2.5 (et de manière équivalente l'Hypothèse 5.2.1) est garantie.

**Lemme 5.3.1** Le système (5.61) est stable entrée-état vis-à-vis de $e$ avec un gain linéaire $\gamma_1^e \in \mathbb{R}_{>0}$.

Il existe plusieurs approches pour prouver ce lemme, nous en présentons deux : l'une basée sur l'utilisation de fonctions de Lyapunov, l'autre sur la solution analytique du système. Le gain
$\gamma_1^e \in \mathbb{R}_{>0}$ obtenu est différent selon la méthode employée, or celui-ci a une grande influence sur le MATI. Puisqu'il est difficile d'affirmer que l'une ou l'autre méthode fournit l'estimé le plus précis, nous préférons laisser le choix à l'utilisateur.

**Preuve.** Soient $\xi_0 \in \mathbb{R}^{n_\xi}$ et $e \in \mathcal{L}_\infty^{n_e}$.

## 1. Analyse à l'aide de fonctions de Lyapunov

Puisque $(A - \Lambda C)$ est Hurwitz, pour toute matrice $Q$ réelle symétrique et définie positive, il existe une matrice $P$ ayant les mêmes propriétés telle que : $(A - \Lambda C)^T P + P(A - \Lambda C) = -Q$ (cf. Théorème 4.6 dans [98]). Dérivons $V(\xi) = \xi^T P \xi$ le long de (5.61) :

$$ 
\begin{aligned}
\dot{V} & \leq -\lambda_{\min}(Q)|\xi|^2 + 2|\xi||P\Lambda||e| \\
& \leq -\frac{\lambda_{\min}(Q)}{\lambda_{\max}(P)}V + 2\frac{|P\Lambda|}{\sqrt{\lambda_{\min}(P)}}|e|\sqrt{V}.
\end{aligned}
\qquad (5.67) $$

Soit $\tilde{V} = \sqrt{V}$, (5.67) donne :

$$ \dot{\tilde{V}} \leq - \frac{\lambda_{\min}(Q)}{2\lambda_{\max}(P)} \tilde{V} + \frac{|P\Lambda|}{\sqrt{\lambda_{\min}(P)}} |e|, $$

ainsi, en invoquant le principe de comparaison (Lemme 3.4 dans [98]), on peut montrer que, pour tout $t \geq t_0 \geq 0$ :

$$ \tilde{V}(t) = \sqrt{V(t)} \leq \exp\left(-\frac{\lambda_{\min}(Q)}{2\lambda_{\max}(P)}(t-t_0)\right) \sqrt{V(t_0)} + \frac{2\lambda_{\max}(P)}{\sqrt{\lambda_{\min}(P)\lambda_{\min}(Q)}} |P\Lambda| \|e\|_{[t_0,t)}, $$

ainsi,

$$ |\xi(t)| \leq \sqrt{\frac{\lambda_{\max}(P)}{\lambda_{\min}(P)}} \exp\left(-\frac{\lambda_{\min}(Q)}{2\lambda_{\max}(P)}(t-t_0)\right) |\xi_0| + 2\frac{\lambda_{\max}(P)}{\lambda_{\min}(P)\lambda_{\min}(Q)} |P\Lambda| \|e\|_{[t_0,t)}. \quad (5.68) $$

Le résultat désiré est obtenu avec :

$$ \gamma_1^e = 2 \frac{\lambda_{\max}(P)}{\lambda_{\min}(P)\lambda_{\min}(Q)} |P\Lambda|. \qquad (5.69) $$

## 2. Analyse basée sur la solution analytique

On peut directement obtenir la propriété de stabilité entrée-état en intégrant le système (5.61). En effet, lorsque la condition initiale est $\xi_0 \in \mathbb{R}^{n_\xi}$, la solution de (5.61) est :

$$ \xi(t) = \exp(t(A - \Lambda C)) \xi_0 - \int_0^t \exp((t-s)(A - \Lambda C)) \Lambda e(s) \, ds. \qquad (5.70) $$

Par conséquent,

$$ 
\begin{aligned}
|\xi(t)| & \leq |\exp(t(A - \Lambda C)) \xi_0| + \left|\int_0^t \exp((t-s)(A - \Lambda C)) \Lambda e(s) \, ds\right| \\
& \leq |\exp(t(A - \Lambda C)) \xi_0| + \left(\int_0^t |\exp((t-s)(A - \Lambda C)) \Lambda| \, ds\right) \|e\|_{[0,t)}.
\end{aligned}
\qquad (5.71) $$

Il suffit alors de borner $\int_0^t |\exp((t-s)(A - \Lambda C)) \Lambda| \, ds$ pour obtenir $\gamma_1^e$. $\square$

<figure><img src="image_22.png" /></figure>
On peut vérifier que les fonctions de Lyapunov données dans §4.3.2 pour les protocoles RR, TOD et le cas échantillonné satisfont les conditions de l'Hypothèse 5.2.2.

Nous nous intéressons maintenant à l'Hypothèse 5.2.3. Seul le protocole RR est considéré : les résultats pour le TOD et le cas échantillonné suivent directement en utilisant $W(e) = |e|$, pour $e \in \mathbb{R}^{n_e}$. Notons que, puisque le protocole RR est dead-beat stable en $l$ pas, la fonction $W$ de §4.3.2 peut être écrit, pour $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ et $e \in \mathbb{R}^{n_e}$,

$$W(i,e) = \sqrt{\sum_{j \in \{1, \dots, l\}} a_j^2(i) |e_j|^2} = |D(i)e|, \qquad (5.72)$$

où $D(i) = \text{diag}(a_1(i)\mathbb{I}_{n_1}, \dots, a_l(i)\mathbb{I}_{n_l})$ avec $a_j(i)$ des coefficients à temps variant tels que pour tout $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ et $j \in \{1, \dots, l\}$ il existe un unique $k \in \{1, \dots, l\}$ tel que $a_j^2(i) = k$. On en déduit alors que $|D(i)| = \sqrt{l}$, ainsi, pour $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$ et $e \in \mathbb{R}^{n_e}$,

$$ \left\langle \frac{\partial W(i,e)}{\partial e}, g(t, \xi, e, z) \right\rangle \le |D(i)e| \\ = |D(i) (\hat{f}_P(z) - CA(\xi + z))|, $$

pour le bloqueur d'ordre zéro, on a :

$$ \left\langle \frac{\partial W(i,e)}{\partial e}, g(t, \xi, e, z) \right\rangle \le \sqrt{l} |CA|(|\xi| + |z|), $$

pour la fonction de blocage de type Pred, i.e. $\hat{f}_P(z) = CAz$, le terme en $z$ est éliminé :

$$ \left\langle \frac{\partial W(i,e)}{\partial e}, g(t, \xi, e, z) \right\rangle \le \sqrt{l} |CA| |\xi|. $$

Nous constatons que l'Hypothèse 5.2.3 est satisfaite pour le protocole RR avec les bloqueurs ZOH et Pred. Les coefficients obtenus pour les différentes configurations de réseau sont résumés dans le Tableau 5.1. Il faut ajouter que dans certains cas spécifiques, des coefficients plus précis peuvent être déduits en tirant parti des possibles particularités de la structure de CA (cf. discussion dans l'Exemple 3 dans [151]).

Puisque nous supposerons, dans un premier temps, que le système (5.57) est stable, la dernière condition à vérifier avant de pouvoir appliquer le Corollaire 5.2.1 est (5.48). En écrivant $\xi = x - z$, il est montré que le système (5.62) est stable entrée-état vis-à-vis de $(x,e)$ avec des gains linéaires, l'équation (5.48) sera alors obtenue d'après §5.2. Le système (5.62) peut être écrit sous la forme :

$$ \dot{z} = (A - \Lambda C)z + \Lambda(e + Cx). \qquad (5.73) $$

On en déduit, parallèlement au Lemme 5.3.1, qu'il existe $\beta_3 \in \mathcal{KL}$ tel que, pour tout $z_0 \in \mathbb{R}^{n_z}$, $(x,e) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_x+n_e}$ :

$$ |z(t)| \le \beta_3(|z_0|, t - t_0) + \gamma_1^e \|e\|_{[t_0, t)} + \gamma_1^e |C| \|x\|_{[t_0, t)} \quad \forall t \ge t_0 \ge 0, \qquad (5.74) $$
<table><caption>TAB. 5.1 – *Coefficients de l'Hypothèse 5.2.3 pour le système (5.63)*</caption><thead><tr><th></th><th>ZOH</th><th>Pred</th></tr></thead><tbody><tr><td>RR</td><td>L = 0, γ<sub>2</sub><sup>ξ</sup> = √l|CA|,<br>γ<sub>2</sub><sup>z</sup> = √l|CA|</td><td>L = 0, γ<sub>2</sub><sup>ξ</sup> = √l|CA|,<br>γ<sub>2</sub><sup>z</sup> = 0</td></tr><tr><td>TOD</td><td>L = 0, γ<sub>2</sub><sup>ξ</sup> = |CA|,<br>γ<sub>2</sub><sup>z</sup> = |CA|</td><td>L = 0, γ<sub>2</sub><sup>ξ</sup> = |CA|,<br>γ<sub>2</sub><sup>z</sup> = 0</td></tr><tr><td>Echantillonné</td><td>L = 0, γ<sub>2</sub><sup>ξ</sup> = |CA|,<br>γ<sub>2</sub><sup>z</sup> = |CA|</td><td>L = 0, γ<sub>2</sub><sup>ξ</sup> = |CA|,<br>γ<sub>2</sub><sup>z</sup> = 0</td></tr></tbody></table>

par conséquent la condition (5.44) est vérifiée. Il suffit alors de suivre §5.2 pour obtenir (5.48).

Nous sommes prêts pour appliquer les résultats de §5.2. La première proposition est une conséquence directe du Corollaire 5.2.1.

**Proposition 5.3.1** *Supposons que le système (5.57) soit stable, considérons (5.61)-(5.66) avec un bloqueur d'ordre zéro, pour le :*

(i) protocole RR, si $\tau \in [v, \tilde{\tau}_{1,RR})$ où

$$ \tilde{\tau}_{1,RR} = \frac{\sqrt{l} - \sqrt{l-1}}{2l\gamma_1^e|CA|}; \qquad (5.75) $$

(ii) protocole TOD, si $\tau \in [v, \tilde{\tau}_{1,TOD})$ où

$$ \tilde{\tau}_{1,TOD} = \frac{\sqrt{l} - \sqrt{l-1}}{2\sqrt{l}\gamma_1^e|CA|}; \qquad (5.76) $$

(iii) le cas échantillonné, si $\tau \in [v, \tilde{\tau}_{1,SD})$ où

$$ \tilde{\tau}_{1,SD} = \frac{1}{2\gamma_1^e|CA|}; \qquad (5.77) $$

alors le système (5.61)-(5.66) est UGS et la propriété de convergence (5.51) est vérifiée.

Puisque le système (5.63) est linéaire, l'Hypothèse 5.2.6 est toujours satisfaite. La proposition suivante découle du Théorème 5.2.2.

**Proposition 5.3.2** *Considérons le système (5.61)-(5.66) avec le bloqueur Pred, pour le*

(i) protocole RR, si $\tau \in [v, \tau_{2,RR})$ où

$$ \tau_{2,RR} = \frac{\sqrt{l} - \sqrt{l-1}}{l\gamma_1^e|CA|}; \qquad (5.78) $$

(ii) protocole TOD, si $\tau \in [v, \tau_{2,TOD})$ où

$$ \tau_{2,TOD} = \frac{\sqrt{l} - \sqrt{l-1}}{\sqrt{l}\gamma_1^e|CA|}; \qquad (5.79) $$
(iii) le cas échantillonné, si $\tau \in [v, \tau_{2,SD})$ où

$$ \tau_{2,SD} = \frac{1}{\gamma_1^e |CA|}; \qquad (5.80) $$

alors le système (5.61)-(5.66) est positivement complet et la propriété de convergence (5.56) est garantie.

Les Propositions 5.3.1 et 5.3.2 nous indiquent qu'en fonction du bloqueur implémenté, la nature de la convergence de l'observateur est différente puisque dans un cas elle est de type pratique et dans l'autre asymptotique. Ce constat demande toutefois à être nuancé, sachant que l'analyse repose sur des conditions suffisantes, rien ne nous permet d'affirmer que le bloqueur ZOH ne garantisse la convergence asymptotique. Nous verrons cependant que les simulations dans §6.6 confirment cette différence (le retard induit affecte bien la précision de l'observateur), justifiant ainsi l'intérêt pour les fonctions de blocage complexes de type Pred.

**Remarque 5.3.1** Pour le cas échantillonné, les MATI des Propositions 5.3.1 et 5.3.2 correspondent à ceux des protocoles RR et TOD en prenant $l = 1$.

**Remarque 5.3.2** Pour les deux types de fonctions de blocage, le MATI est strictement plus grand lorsque l'on considère le protocole TOD (pour $l > 1$). Même si ces faits sont généralement confirmés en simulation, nous ne pouvons affirmer formellement que le TOD fournira de meilleures performances pour de grands MATI puisque l'analyse est basée sur l'utilisation de fonctions de Lyapunov. Par conséquent, un autre choix de fonctions nous donnerait des expressions différentes du MATI. Les mêmes remarques s'appliquent lorsque l'on constate que, pour $l \ge 4$, TOD et ZOH fournissent de plus grands MATI que RR et Pred.

## 5.3.2 Observateurs à grand gain

Nous montrons ici qu'une classe générale d'observateurs à grand gain pour des systèmes multisorties satisfait les conditions du Corollaire 5.2.1 ou du Théorème 5.2.2 pour les mêmes configurations de réseau que dans §5.3.1. Des résultats similaires peuvent être déduits pour d'autres types d'observateurs à grand gain ou globalement Lipschitziens comme ceux dans [1, 46, 49, 99, 160, 210], comme nous le verrons sur un exemple dans §6.6.2 pour [160].

Le observateurs continus développés dans [51] sont considérés pour la classe de systèmes suivante :

$$ \dot{x} = Ax + \phi(x) \qquad (5.81) $$

$$ y = Cx, \qquad (5.82) $$
où $x = (x_1, \dots, x_p) \in \mathbb{R}^{pn}, x_i \in \mathbb{R}^n$ et

$$A = \begin{bmatrix} 0 & \mathbb{I}_n & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & 0 & \mathbb{I}_n & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & & 0 & \mathbb{I}_n & 0 \\ 0 & \dots & \dots & \dots & 0 \end{bmatrix},$$

$C = [\mathbb{I}_n 0 \dots 0] \in \mathbb{R}^{n \times np}, \phi(x) = (\phi_1(x_1), \phi_2(x_2), \dots, \phi_p(x))$ avec $\phi_i$ globalement Lipschitzienne de constante $k_{\phi_i} \in \mathbb{R}_{>0}, i \in \{1, \dots, p\}, p \in \mathbb{Z}_{>0}$.

**Remarque 5.3.3** Dans [51], il est expliqué sous quelles conditions une classe de systèmes non linéaires peut être transformée en (5.81)-(5.82), à l'aide de changements de coordonnées appropriés.

L'observateur continu est de la forme :

$$\dot{\bar{x}} = A\bar{x} + \phi(\bar{x}) + \theta\Delta_{\theta}^{-1}S^{-1}C^{T}(y - \bar{y}) \quad (5.83)$$

$$\bar{y} = C\bar{x}, \quad (5.84)$$

où $\Delta_{\theta} = \text{diag}(\mathbb{I}_n, \frac{1}{\theta}\mathbb{I}_n, \dots, \frac{1}{\theta^{p-1}}\mathbb{I}_n)$, $\theta \in \mathbb{R}_{>0}$, la matrice $S$ est l'unique solution de l'équation algébrique de Lyapunov :

$$S + A^T S + SA - C^T C = 0. \quad (5.85)$$

Considérons la séquence d'instants de transmission $\{t_i\}_{i \in \mathbb{Z}_{>0}}$ telle que $v \le t_i - t_{i-1} \le \tau$ pour tout $i \in \mathbb{Z}_{>0}$, $v, \tau \in \mathbb{R}_{>0}$ et $t_0 \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ est l'instant initial. Le système (5.81)-(5.84) est écrit dans les coordonnées $(\xi, z, e)$ :

$$\dot{\xi} = (A - \theta \Delta_{\theta}^{-1} S^{-1} C^{T} C) \xi - \theta \Delta_{\theta}^{-1} S^{-1} C^{T} e + \phi(\xi + z) - \phi(z) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \quad (5.86)$$

$$\dot{z} = Az + \phi(z) + \theta \Delta_{\theta}^{-1} S^{-1} C^{T} (C\xi + e) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \quad (5.87)$$

$$\dot{e} = \hat{f}_P(z) - CA(\xi + z) - C\phi(\xi + z) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \quad (5.88)$$

$$\xi(t_i^+) = \xi(t_i) \quad (5.89)$$

$$z(t_i^+) = z(t_i) \quad (5.90)$$

$$e(t_i^+) = h(i, e(t_i)), \quad (5.91)$$

où $z = \bar{x}, \hat{f}_P$ est soit défini par (4.46) soit (4.48) et $h$ par (4.29), (4.38) ou (4.49).

**Remarque 5.3.4** Le système (5.86)-(5.91) est en réalité une famille paramétrée de systèmes en le gain $\theta$. Bien que les résultats de §5.2 ne soient pas énoncés pour de tels systèmes, nous verrons que l'on peut bien les appliquer.
Les conditions du Corollaire 5.2.1 et du Théorème 5.2.2 sont maintenant vérifiées. Le lemme suivant prouve que l'Hypothèse 5.2.5 est assurée (de manière équivalente l'Hypothèse 5.2.1) pour le système (5.86), sous certaines conditions sur $\theta$.

**Lemme 5.3.2** *Il existe $\theta_0, \lambda_1 \in [1, \infty)$ tel que, pour tout $\theta > \theta_0$, $\xi_0 \in \mathbb{R}^{n_\xi}$, $e \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_\xi}$, le long des solutions de (5.86),*

$$|\xi(t)| \leq \lambda_1 \exp\left(-\frac{\theta-\theta_0}{2}(t-t_0)\right) |\xi_0| + \gamma_1(\theta) \|e\|_{[t_0,t)} \quad \forall t \geq t_0 \geq 0, \quad (5.92)$$

avec $\gamma_1(\theta) = \frac{2\theta^p}{\lambda_{\min}(S)(\theta-\theta_0)}$.

*Preuve.* Soit $\theta \in \mathbb{R}_{>0}$, définissons $\bar{\xi} = \Delta_{\theta}\xi$, d'après (5.86) et le fait que $A = \theta \Delta_{\theta}^{-1} A \Delta_{\theta}$, $C^{\mathrm{T}}C = C^{\mathrm{T}}C \Delta_{\theta}$, on peut montrer que :

$$\dot{\bar{\xi}} = \theta (A - S^{-1}C^{\mathrm{T}}C) \bar{\xi} + \Delta_{\theta} (\phi(\xi + z) - \phi(z)) - \theta S^{-1}C^{\mathrm{T}}e. \quad (5.93)$$

Considérons $V(\bar{\xi}) = \bar{\xi}^{\mathrm{T}}S\bar{\xi}$, le long des solutions de (5.93), et d'après (5.85),

$$\begin{aligned} \dot{V} &= \theta (2\bar{\xi}^{\mathrm{T}}SA\bar{\xi} - 2\bar{\xi}C^{\mathrm{T}}C\bar{\xi}) + 2\bar{\xi}^{\mathrm{T}}S\Delta_{\theta} (\phi(\xi + z) - \phi(z)) - 2\theta\bar{\xi}^{\mathrm{T}}C^{\mathrm{T}}e \\ &= -\theta V - \bar{\xi}^{\mathrm{T}}C^{\mathrm{T}}C\bar{\xi} + 2\bar{\xi}^{\mathrm{T}}S\Delta_{\theta} (\phi(\xi + z) - \phi(z)) - 2\theta\bar{\xi}^{\mathrm{T}}C^{\mathrm{T}}e. \end{aligned}$$

Sachant que $\theta \geq 1$, que $\phi$ est globalement Lipschitzienne et possède une structure triangulaire :

$$\| \Delta_{\theta} (\phi(\xi + z) - \phi(z)) \| \leq c |\bar{\xi}|, \quad (5.94)$$

où $c = \max_{i \in \{1, \dots, p\}} \{k_{\phi_i}\} \sqrt{p}$, par conséquent, d'après (5.94),

$$\begin{aligned} \dot{V} &\leq -\theta V + 2c|\bar{\xi}|^2 \lambda_{\max}(S) + 2\theta|\bar{\xi}||e| \\ &\leq -\theta V + 2c \frac{\lambda_{\max}(S)}{\lambda_{\min}(S)} V + \frac{2}{\sqrt{\lambda_{\min}(S)}} \theta |e| \sqrt{V}. \end{aligned}$$

Soit $\theta > \theta_0$ avec $\theta_0 = \max\{1, 2c \frac{\lambda_{\max}(S)}{\lambda_{\min}(S)}\}$ et $W = \sqrt{V}$, grâce à (5.95) on obtient :

$$\dot{W} \leq -\frac{\theta-\theta_0}{2}W + \frac{\theta}{\sqrt{\lambda_{\min}(S)}}|e|,$$

en invoquant le principe de comparaison (Lemme 3.4 dans [98]), on a, pour tout $t \geq t_0 \geq 0$ :

$$\sqrt{V(t)} \leq \exp\left(-\frac{\theta-\theta_0}{2}(t-t_0)\right) \sqrt{V(t_0)} + \frac{2\theta}{\sqrt{\lambda_{\min}(S)(\theta-\theta_0)}} \|e\|_{[t_0,t)}.$$

Ainsi,

$$|\bar{\xi}(t)| \leq \sqrt{\frac{\lambda_{\max}(S)}{\lambda_{\min}(S)}} \exp\left(-\frac{\theta-\theta_0}{2}(t-t_0)\right) |\bar{\xi}(t_0)| + \frac{2\theta}{\lambda_{\min}(S)(\theta-\theta_0)} \|e\|_{[t_0,t)}.$$

En remarquant que $|\bar{\xi}(t)| \leq |\xi(t)| \leq \theta^{p-1}|\bar{\xi}(t)|$,

$$|\xi(t)| \leq \theta^{p-1} \sqrt{\frac{\lambda_{\max}(S)}{\lambda_{\min}(S)}} \exp\left(-\frac{\theta-\theta_0}{2}(t-t_0)\right) |\xi(t_0)| + \frac{2\theta^p}{\lambda_{\min}(S)(\theta-\theta_0)} \|e\|_{[t_0,t)}.$$
<table><caption>TAB. 5.2 – *Coefficients de l'Hypothèse 5.2.3 pour le système (5.88)*</caption><thead><tr><th></th><th>ZOH</th><th>Pred</th></tr></thead><tbody><tr><td>RR</td><td>L = 0, γ<sub>2</sub><sup>ξ</sup> = √l (1 + k<sub>φ<sub>1</sub></sub>),<br>γ<sub>2</sub><sup>z</sup> = √l (1 + k<sub>φ<sub>1</sub></sub>)</td><td>L = 0, γ<sub>2</sub><sup>ξ</sup> = √l (1 + k<sub>φ<sub>1</sub></sub>),<br>γ<sub>2</sub><sup>z</sup> = 0</td></tr><tr><td>TOD</td><td>L = 0, γ<sub>2</sub><sup>ξ</sup> = 1 + k<sub>φ<sub>1</sub></sub>,<br>γ<sub>2</sub><sup>z</sup> = 1 + k<sub>φ<sub>1</sub></sub></td><td>L = 0, γ<sub>2</sub><sup>ξ</sup> = 1 + k<sub>φ<sub>1</sub></sub>,<br>γ<sub>2</sub><sup>z</sup> = 0</td></tr><tr><td>Echantillonné</td><td>L = 0, γ<sub>2</sub><sup>ξ</sup> = 1 + k<sub>φ<sub>1</sub></sub>,<br>γ<sub>2</sub><sup>z</sup> = 1 + k<sub>φ<sub>1</sub></sub></td><td>L = 0, γ<sub>2</sub><sup>ξ</sup> = 1 + k<sub>φ<sub>1</sub></sub>,<br>γ<sub>2</sub><sup>z</sup> = 0</td></tr></tbody></table>

En notant $\lambda_1 = \theta^{p-1}\sqrt{\frac{\lambda_{\max}(S)}{\lambda_{\min}(S)}}$ et $\gamma_1(\theta) = \frac{2\theta^p}{\lambda_{\min}(S)(\theta-\theta_0)}$, le résultat désiré est obtenu. $\square$

On peut montrer que l'Hypothèse 5.2.3 est vérifiée pour les différentes configurations de réseau pour tout $\theta \in \mathbb{R}_{>0}$ de la même manière que dans §5.3.1. Les coefficients correspondants sont donnés dans le Tableau 5.2.

Parallèlement au Lemme 5.3.2, il peut être déduit que le système (5.88) est stable entrée-état vis-à-vis de $(x,e)$ avec des gains linéaires, en écrivant $z = x - \xi$, i.e. pour tout $\theta > \theta_0$ le long des solutions de (5.88), pour tout $(e,x) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_e+n_x}$,

$$|z(t)| \leq \lambda_1 \exp\left(-\frac{\theta-\theta_0}{2}(t-t_0)\right) |z_0| + \gamma_1(\theta) \|e\|_{[t_0,t)} + \gamma_1(\theta) |C| \|x\|_{[t_0,t)} \quad \forall t \geq t_0 \geq 0, \quad (5.95)$$

ainsi, la condition (5.44) est satisfaite et lorsque le système (5.81) est UGS, (5.48) peut être déduite. Les propriétés de convergence de l'erreur d'observation ainsi que les bornes sur le MATI sont obtenues à l'aide du Corollaire 5.2.1. En effet, puisque le seul gain affecté par la paramétrisation en $\theta$ est $\gamma_1(\theta)$ et que celui-ci est continu et strictement croissant en $\theta$ pour $\theta > \theta_0$, les résultats de §5.2 sont valides.

**Proposition 5.3.3** *Supposons que le système (5.81) soit UGS, soit $\theta > \theta_0$ (où $\theta_0$ est défini dans le Lemme 5.3.2), lorsqu'un bloqueur ZOH est implémenté, pour*

(i) le protocole RR, si $\tau \in [v, \tilde{\tau}_{1,RR}(\theta))$ où

$$\tilde{\tau}_{1,RR}(\theta) = \frac{(\sqrt{l} - \sqrt{l-1})\lambda_{\min}(S) \frac{\theta - \theta_0}{\theta^p}}{4l(1 + k_{\phi_1})}; \quad (5.96)$$

(ii) le protocole TOD, si $\tau \in [v, \tilde{\tau}_{1,TOD}(\theta))$ où

$$\tilde{\tau}_{1,TOD}(\theta) = \frac{(\sqrt{l} - \sqrt{l-1})\lambda_{\min}(S) \frac{\theta - \theta_0}{\theta^p}}{4\sqrt{l}(1 + k_{\phi_1})}; \quad (5.97)$$

(iii) le cas échantillonné, si $\tau \in [v, \tilde{\tau}_{1,SD}(\theta))$ où

$$\tilde{\tau}_{1,SD}(\theta) = \frac{\lambda_{\min}(S) \frac{\theta - \theta_0}{\theta^p}}{4(1 + k_{\phi_1})}; \quad (5.98)$$
alors le système (5.86)-(5.91) est UGS et la propriété de convergence (5.51) est vérifiée.

Les dynamiques du système (5.88) sont composées d'un terme linéaire et d'un autre globalement Lipschitzien par conséquent l'Hypothèse 5.2.6 est satisfaite pour tout $\theta \in \mathbb{R}_{>0}$ (cf. Théorème 3.2 dans [98]), la proposition suivante découle du Théorème 5.2.2.

**Proposition 5.3.4** Soit $\theta > \theta_0$, considérons le système (5.86)-(5.91) avec le bloqueur Pred ($\hat{f}_P(z) = CAz + C\phi(z)$), pour

(i) le protocole RR, si $\tau \in [\nu, \tau_{2,RR}(\theta))$ où

$$ \tau_{2,RR}(\theta) = \frac{(\sqrt{l}-\sqrt{l-1})\lambda_{\min}(S) \theta - \theta_0}{2l(1+k_{\phi_1}) \theta^p}; \quad (5.99) $$

(ii) le protocole TOD, si $\tau \in [\nu, \tau_{2,TOD}(\theta))$ où

$$ \tau_{2,TOD}(\theta) = \frac{(\sqrt{l}-\sqrt{l-1})\lambda_{\min}(S) \theta - \theta_0}{2\sqrt{l}(1+k_{\phi_1}) \theta^p}; \quad (5.100) $$

(iii) le cas échantillonné, si $\tau \in [\nu, \tau_{2,SD}(\theta))$ où

$$ \tau_{2,SD}(\theta) = \frac{\lambda_{\min}(S) \theta - \theta_0}{2(1+k_{\phi_1}) \theta^p}; \quad (5.101) $$

alors le système (5.86)-(5.91) est positivement complet et (5.56) est garanti.

Nous retrouvons la même situation que pour les observateurs linéaires : la fonction de blocage Pred assure a priori des propriétés de convergence plus fortes que le ZOH.

**Remarque 5.3.5** Pour ce qui est des bornes sur le MATI, les mêmes remarques que dans §5.3.1 s'appliquent, on constate, de plus, que celles-ci sont maximisées pour $\theta = \frac{p}{p-1}\theta_0 > \theta_0$ ($p > 1$).

## 5.4 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons vu comment le cadre d'étude de §4.3.2 peut être utilisé pour déduire des conditions suffisantes garantissant le bon fonctionnement de l'observateur lorsque les données du système sont transmises par l'intermédiaire d'un réseau ordonnancé. Les hypothèses développées sont vérifiées par les observateurs linéaires et à grand gain pour différentes configurations de réseau usuelles. Pour la première fois, des bornes sur le MATI explicites ont ainsi pu être établies. Nous avons montré que le choix des fonctions de blocage peut se révéler primordiale : le Pred permet de déduire des propriétés de stabilité plus fortes qu'un simple bloqueur d'ordre zéro. Des simulations sont proposées au chapitre suivant afin de vérifier les résultats théoriques obtenus. La linéarité des gains considérés dans ce chapitre sera relaxée au Chapitre 7 afin d'étudier de plus larges classes de systèmes.
# Chapitre 6

## Extension des observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS

### 6.1 Introduction

La synthèse d'observateurs pour les systèmes à données échantillonnées non linéaires a été l'objet de nombreuses publications. L'essentiel des travaux repose sur une approche discrète : un observateur est synthétisé pour le modèle discrétisé exact ou approximé du système continu, voir par exemple [19, 22, 30, 35, 39, 110, 157, 207]. Un cadre méthodologique est d'ailleurs proposé dans [9] pour la conception d'observateurs à partir de modèles approximés discrets. Un des inconvénients de ces méthodes est de ne pas prendre en compte le comportement du système entre deux instants d'échantillonnage. D'autre part, puisque l'expression analytique du discrétisé exact n'est généralement pas disponible, les schémas d'approximations utilisés sont souvent à l'origine d'incertitudes qui peuvent affecter la convergence de l'observateur. Une autre approche consiste à utiliser des techniques d'optimisation [2, 21, 137, 168, 214]. Ces méthodes dépendent grandement des mesures disponibles et de leur qualité. Sensibles donc aux bruits de mesures, elles requièrent la manipulation de grandes quantités de données et donc d'importantes capacités de mémoire et de calculs.

Lorsque les vitesses de calculs disponibles sont suffisamment rapides par rapport aux constantes de temps du système ou de la fréquence d'échantillonnage des capteurs, il peut être raisonnable et judicieux de répondre au problème d'un point de vue hybride : les dynamiques de l'observateur sont continues entre deux instants d'échantillonnage et affectées par des sauts lorsque les mesures sont reçues. Dans [44], un observateur à grand gain dit *continu-discret* est proposé. Il ne s'agit pas d'émuler un observateur continu mais de modifier sa structure en fonction de l'échantillonnage. De nombreuses études ont par la suite contribué à améliorer ou élargir cette méthode toujours pour des observateurs de type grand gain ou pour des systèmes affines en l'état, voir [71, 72, 138, 139] et [3] pour une extension à l'adaptatif. Récemment, un nouveau type d'observateurs hybrides fut développé pour une classe plus
générale de systèmes [92]. Le principe est le suivant. Considérant un observateur continu, une variable auxiliaire est introduite afin de remplacer le vecteur de mesures indisponible entre deux instants d’échantillonnage. Celle-ci évoluera le long des mêmes champs de vecteurs que la sortie du système et sera réinitialisée lorsque les mesures sont reçues. On nommera ces structures *observateurs de Karafyllis-Kravaris*.

L'objectif de cette étude est d'étendre les observateurs de Karafyllis-Kravaris aux NCS. Nous avons vu au Chapitre 4, que cette construction correspond à l'émulation d'un observateur continu associé à une fonction de blocage particulière, Pred. Ce chapitre offre ainsi une alternative au Chapitre 5 pour l'utilisation de bloqueurs Pred, puisque d'autres conditions sont considérées et que la convergence de l'observateur est analysée à l'aide d'outils différents. Nous en déduirons par conséquent de nouvelles bornes sur le MATI. Nous montrerons que les conditions requises sont également satisfaites par les observateurs linéaires et à grand gain. Des comparaisons des MATI obtenus à l'aide des deux méthodes sont présentées sur deux exemples.

Ce chapitre est organisé de la façon suivante. Après avoir rappelé quelques définitions et résultats de stabilité dans §6.2, le principe des observateurs de Karafyllis-Kravaris est rappelé dans §6.3 pour les systèmes à données échantillonnées. Dans §6.4, le problème est réécrit dans les mêmes coordonnées qu'aux Chapitres 4 et 5 pour les NCS, afin de comparer les hypothèses avec celles précédemment considérées. L'extension aux NCS est ensuite présentée pour un nouvelle classe de protocoles dite à *excitation persistante* qui inclut le protocole RR et les protocoles dynamiques TOD. Il est montré que les observateurs linéaires et à grand gain satisfont les hypothèses requises dans §6.5. Ces résultats sont ensuite appliqués à un exemple numérique et étendu à un observateur pour un robot flexible dans §6.6.

## 6.2 Préliminaires

Dans son livre [181], Eduardo Sontag définit un système comme un objet mathématique qui satisfait notamment la propriété de semi-groupe (Définition 2.1.2), i.e. pour un système décrit par une équation différentielle ordinaire, toute solution $x(\cdot, t_0, x_0)$ coïncide avec celle ayant pour condition initiale $x(t_1, t_0, x_0)$ pour tout $t \ge t_1 > t_0$ (que l'on note $\tilde{x}(\cdot, t_1, x(t_1, t_0, x_0))$). L'intérêt grandissant pour les systèmes hybrides a amené les automaticiens à rencontrer des « systèmes » qui ne vérifient plus cette propriété (voir Exemple 2.7 dans [91]). Afin de combler ce vide, un cadre théorique a été développé dans [89, 90] pour l'analyse des systèmes vérifiant une propriété de semi-groupe dite faible, qui fut par la suite le point de départ de plusieurs études dont [91] où un théorème du petit gain est proposé. Celui-ci présente notamment la particularité de ne pas nécessiter la bornitude des états du système contrairement aux formulations classiques [86, 184]. C'est ce théorème qui est utilisé dans [92] pour prouver la convergence des observateurs à données échantillonnées et que nous utiliserons dans ce chapitre.
La classe de systèmes considérée dans cette étude vérifie bien la propriété de semi-groupe. Nous rappelons tout de même quelques notions introduites dans [89] afin de présenter le théorème du petit gain de [91] qui nous permettra d'étendre certaines hypothèses par rapport au chapitre précédent.

Considérons la classe de systèmes hybrides suivante :

$$ \dot{x} = f(t,x,u) \qquad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \qquad (6.1) $$

$$ y = h(t,x,u) \qquad (6.2) $$

$$ x(t_i^+) = \tilde{f}(t_i, x(t_i), u(t_i)), \qquad (6.3) $$

où $x \in \mathbb{R}^{n_x}$, $y \in \mathbb{R}^{n_y}$, $u \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_u}$, $f, \tilde{f} : \mathbb{R}_{\ge 0} \times \mathbb{R}^{n_x} \times \mathbb{R}^{n_u} \to \mathbb{R}^{n_x}$, $h : \mathbb{R}_{\ge 0} \times \mathbb{R}^{n_x} \times \mathbb{R}^{n_u} \to \mathbb{R}^{n_y}$, $n_x, n_u, n_y \in \mathbb{Z}_{>0}$. L'instant initial est noté $t_0 \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ et la condition initiale $x_0 = x(t_0) \in \mathbb{R}^{n_x}$.
La séquence de sauts $\{t_i\}_{i \in \mathbb{Z}_{>0}}$ vérifie :

$$ v \le t_i - t_{i-1} \le \tau \qquad \forall i \in \mathbb{Z}_{>0}, \qquad (6.4) $$

avec $v, \tau \in \mathbb{R}_{>0}$ fixés indépendamment des états du système ($v$ est toujours introduit afin d'éviter le paradoxe de Zénon), $t_0 \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ est l'instant initial.

**Remarque 6.2.1** Nous avons choisi de considérer une classe de systèmes moins vaste que celle étudiée dans [89, 90], qui inclut les systèmes de la forme (4.22)-(4.27) afin de simplifier l'énoncé des définitions et résultats suivants.

**Définition 6.2.1 (Complétude robuste positive)** Le système (6.1)-(6.3) est robustement positivement complet (RFC) vis-à-vis de $u$, s'il existe $\mu \in C(\mathbb{R}_{\ge 0}, \mathbb{R}_{\ge 0})$, $a \in K_{\infty}$ et $\gamma \in K$, tels que pour tout $x_0 \in \mathbb{R}^{n_x}$, $u \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_u}$, les solutions de (6.1)-(6.3) vérifient, pour tout $t \ge t_0 \ge 0$ :

$$ |x(t)| \le \mu(t - t_0) (a(|x_0|) + \gamma (\|u\|)_{[t_0, t)}). \qquad (6.5) $$

**Remarque 6.2.2** Pour les systèmes décrits par des équations différentielles ordinaires, la complétude robuste positive est très similaire à la complétude positive uniforme d'après la Définition A.2.3 et l'équivalence des bornes sous forme d'addition et de maximum (cf. Position A.1.2), à la différence près que a doit être non bornée ici.

**Définition 6.2.2 (Bornitude-Implique-Continuation (BIC))** Le système (6.1)-(6.3) est BIC, si pour tout $(t_0, x_0, u) \in \mathbb{R}_{\ge 0} \times \mathbb{R}^{n_x} \times \mathcal{L}_{\infty}^{n_u}$ il existe $t_{\max} \in (t_0, \infty]$ (l'intervalle maximal d'existence des solutions) tel que les solutions de (6.1)-(6.3), $x(\cdot, t_0, x_0, u)$ existent sur $[t_0, t_{\max})$. De plus, si $t_{\max} < \infty$, alors pour tout $c \in \mathbb{R}_{>0}$, il existe $t \in [t_0, t_{\max})$ tel que $|x(t, t_0, x_0, u)| > c$.
**Remarque 6.2.3** Si le système (6.1)-(6.3) est robustement positivement complet, on peut alors montrer, compte tenu de sa régularité, d'après [89], qu'il a la propriété BIC ([92]).

Un cas particulier et simplifié du Théorème 3.1 de [91] est énoncé pour le système (6.1)-(6.3).

**Théorème 6.2.1** Supposons que le système (6.1)-(6.3) satisfasse bien la propriété BIC et qu'il existe $V_i : \mathbb{R}_{\ge 0} \times \mathbb{R}^{n_x} \times \mathbb{R}^{n_u} \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ tels que $V_i(t,0,0) = 0$ pour tout $t \in \mathbb{R}_{\ge 0}$, $i \in \{1,2\}$, et:

(H1) pour tout $i \in \{1,2\}$ il existe $\sigma_i \in \mathcal{KL}$, $\mu_i \in C(\mathbb{R}_{\ge 0}, \mathbb{R}_{\ge 0})$, $\gamma_i, \gamma_i^u, a_i, p_i, p_i^u \in \mathcal{K}$, $L_i$ : $\mathbb{R}_{\ge 0} \times \mathbb{R}^{n_x} \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ avec $L_i(t,0) = 0$ pour tout $t \ge 0$, tel que pour tout $(t_0,x_0,u) \in \mathbb{R}_{\ge 0} \times \mathbb{R}^{n_x} \times \mathcal{L}_{\infty}^{n_u}$, $t \mapsto V_i(t,\phi(t,t_0,x_0,u),u(t))$ est localement bornée sur $[t_0,t_{\max})$ (l'intervalle d'existence maximal) et pour tout $t \in [t_0,t_{\max})$, avec $j \in \{1,2\}\setminus\{i\}$, les solutions de (6.1)-(6.3) :

$$ 
\begin{aligned}
V_i(t,x(t,t_0,x_0,u),u(t)) &\le \sigma_i(L_i(t_0,x_0),t-t_0) + \gamma_i(\|V_j\|_{[t_0,t)}) + \gamma_i^u(\|u\|_{[t_0,t)}) \\
L_i(t,x(t,t_0,x_0,u)) &\le \max\{\mu_i(t-t_0),a_i(|x_0|),p_i(\|V_j\|_{[t_0,t)}),p_i^u(\|u\|_{[t_0,t)})\};
\end{aligned} 
\quad (6.6) $$

(H2) il existe $\rho \in \mathcal{K}_{\infty}$ tel que :

$$ g_1 \circ g_2(s) \le s \quad \forall s \in \mathbb{R}_{\ge 0} \quad (6.7) $$

$$ \text{où } g_i(s) = \gamma_i(s) + \rho(\gamma_i(s)), i \in \{1,2\}; $$

(H3) il existe $a \in \mathcal{K}$ tel que, pour tout $(t,x,u) \in \mathbb{R}_{\ge 0} \times \mathbb{R}^{n_x} \times \mathcal{L}_{\infty}^{n_u}$ :

$$ |h(t,x,u)| \le a(V_1(t,x,u) + \gamma_1(V_2(t,x,u))); \quad (6.8) $$

(H4) il existe $b \in \mathcal{K}$ tel que, pour tout $(t,x) \in \mathbb{R}_{\ge 0} \times \mathbb{R}^{n_x}$ :

$$ 
\begin{aligned}
|x| &\le b(L_1(t,x) + L_2(t,x)) \\
\max\{L_1(t,x), L_2(t,x)\} &\le b(|x|);
\end{aligned} 
\quad (6.9) $$

alors, le système (6.1)-(6.3) est RFC et stable entrée-sortie de $u$ à $y$.

Comme nous l'avons déjà évoqué, l'intérêt de ce théorème du petit gain, par rapport aux précédentes formulations, réside notamment dans le fait qu'il ne repose pas sur la bornitude des états du système, grâce notamment aux conditions (H4).

**Remarque 6.2.4** Dans [91], les auteurs n'utilisent pas de fonctions de classe $\mathcal{K}$ mais de classe $\mathcal{N}$ (définie positive, continue et non-décroissante de $\mathbb{R}_{\ge 0}$ dans $\mathbb{R}_{\ge 0}$). Nous avons choisi de ne pas considérer la nuance entre ces deux classes et de ne parler que de fonctions de classe $\mathcal{K}$ dans les énoncés (sans en affecter la validité) dans un souci de consistance avec l'ensemble des travaux de cette partie.
## 6.3 Observateurs pour les systèmes à données échantillonnées

Nous rappelons dans cette section les grandes lignes de [92] de manière informelle. Soit le système :

$$ \dot{x} = f_P(x) \qquad (6.10) $$

$$ y = h_P(x) + \varepsilon, \qquad (6.11) $$

où $x \in \mathbb{R}^{n_x}$ est l'état du système, $y \in \mathbb{R}^{n_y}$ la sortie, $\varepsilon \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_y}$ le vecteur des perturbations de mesure, $f_P \in C^1(\mathbb{R}^{n_x}, \mathbb{R}^{n_x})$, $h \in C^1(\mathbb{R}^{n_x}, \mathbb{R}^{n_y})$ avec $f_P(0,0) = 0$ et $h_P(0) = 0$, $n_x, n_y \in \mathbb{Z}_{>0}$. L'instant initial est $t_0 = 0$, sans perte de généralité, et le vecteur d'état initial est noté $x_0 \in \mathbb{R}^{n_x}$. Afin d'éviter tout phénomène d'explosion en temps fini, le système (6.10)-(6.11) est supposé RFC.

**Remarque 6.3.1** *Bien que [92] traite uniquement de systèmes monosorties, l'extension au cas multisortie est immédiate.*

Un observateur continu est disponible :

$$ \dot{z} = f_O(z,y) \qquad (6.12) $$

$$ \bar{x} = h_O(z), \qquad (6.13) $$

où $z \in \mathbb{R}^{n_z}$ est l'état de l'observateur, $\bar{x} \in \mathbb{R}^{n_x}$ l'estimé du vecteur d'état $x$, $f_O \in C^1(\mathbb{R}^{n_z+n_y}, \mathbb{R}^{n_z})$, $h_O \in C^1(\mathbb{R}^{n_z}, \mathbb{R}^{n_x})$ avec $f_O(0,0) = 0$ et $h_O(0) = 0$. L'observateur (6.12)-(6.13) est supposé suffisamment robuste aux perturbations de mesures, $\varepsilon$, en ce sens que l'erreur d'observation, $\xi = x - \bar{x}$, vérifie le long des solutions de (6.10)-(6.11), (6.12)-(6.13) :

$$ |\xi(t)| \leq \sigma(|x_0| + |z_0|,t) + \gamma(\|\varepsilon\|_{[0,t]}), \qquad (6.14) $$

où $\sigma \in \mathcal{KL}$ et $\gamma \in \mathcal{K}$. De plus, il est supposé que :

$$ |z(t)| \leq \mu(t) (a(|x_0| + |z_0|) + p(\|\varepsilon\|_{[0,t]})), \qquad (6.15) $$

où $\mu \in C(\mathbb{R}_{\geq 0}, \mathbb{R}_{\geq 0})$, $a \in \mathcal{K}_{\infty}$ et $p \in \mathcal{K}$. On remarque que (6.14) ne permet a priori pas de déduire une des caractéristiques habituelles des observateurs : pour toute condition initiale du système $x_0$, il existe $z_0$ qui garantit la synchronisation de l'observateur et du système, c'est-à-dire :

$$ \bar{x}(t) = x(t) \quad \forall t \in \mathbb{R}_{\geq 0}. \qquad (6.16) $$

C'est la raison pour laquelle cette propriété est supposée directement vérifiée par (6.12)-(6.13) dans [92].

Considérons désormais le cas où les mesures du système sont échantillonnées. Soit la séquence d'instants de transmission strictement croissante et non bornée $\{t_i\}_{i \in \mathbb{Z}_{>0}} \subset \mathbb{R}_{\geq 0}$ qui vérifie :

$$ v \leq t_i - t_{i-1} \leq \tau \quad \forall i \in \mathbb{Z}_{>0}, \qquad (6.17) $$
où $\tau \in [\upsilon, \infty)$ représente la période d'échantillonnage maximale admissible, $\upsilon \in \mathbb{R}_{>0}$ et $t_0 = 0$. D'éventuelles perturbations sur l'échantillonnage sont considérées :

$$t_i = t_{i-1} + \tau \exp(-d(t_{i-1})) \quad \forall i \in \mathbb{Z}_{>0}, \qquad (6.18)$$

où $d \in \mathcal{L}_{\infty}^1$ est inconnue et $d(t) \ge 0$ pour tout $t \in \mathbb{R}_{\ge 0}$. La structure d'observation proposée est la suivante :

$$ \begin{aligned} \dot{z} &= f_O(z, \hat{y}) & \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \\ \bar{x} &= h_O(z) \\ \dot{\hat{y}} &= L_{f_P} h_P(\bar{x}) & \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \\ \hat{y}(t_i^+) &= y(t_i), \end{aligned} \qquad (6.19) $$

où $\hat{y}$ est une variable auxiliaire qui remplace la sortie du système (qui correspond à la fonction de blocage Pred). La dernière condition requise sur l'observateur continu, qui sera le point de départ de l'analyse de stabilité, est que le long des solutions de (6.10)-(6.11) et (6.12)-(6.13) pour tout $t \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ :

$$|L_{f_P} h_P(\bar{x}) - L_{f_P} h_P(x)| \le \bar{\sigma}(|x_0| + |z_0|, t) + K \|\varepsilon\|_{[0,t)}, \qquad (6.20)$$

où $\bar{\sigma} \in \mathcal{KL}$ et $K \in \mathbb{R}_{>0}$. Il est important de souligner que (6.20) est une propriété de l'observateur continu et non de (6.19). A l'aide du Théorème 6.2.1, il est montré que si la période d'échantillonnage maximale satisfait :

$$\tau K < 1, \qquad (6.21)$$

alors, les solutions de l'observateur (6.19) sont bien définies pour tout $t \in [0, \infty)$, il existe bien des conditions initiales assurant la synchronisation de l'estimé avec le vecteur d'état pour tout instant et il existe $\tilde{\sigma} \in \mathcal{KL}$ et $\gamma \in \mathcal{K}$ tels que, le long des solutions de (6.10)-(6.11) et (6.19), pour tout $t \in [0, \infty)$, $(x_0, z_0, w_0) \in \mathbb{R}^{n_x+n_z+n_y}$ :

$$|\xi(t)| \le \tilde{\sigma}(|x_0| + |z_0| + |w_0|, t) + \gamma(\|\varepsilon\|_{[0,t)}). \qquad (6.22)$$

Par conséquent, l'observateur (6.19) permet bien de reconstruire asymptotiquement l'état du système lorsque les mesures sont échantillonnées et que la période d'échantillonnage maximale vérifie (6.21).

# 6.4 Observateurs pour les NCS

## 6.4.1 Modélisation et hypothèses

Tout d'abord le problème est réécrit à l'aide du formalisme proposé au Chapitre 4, puis les hypothèses sont présentées et comparées à celles du chapitre précédent.
Lorsque les données du système sont transmises via un réseau ordonnancé, d'après le Chapitre 4, le problème peut s'écrire sous la forme :

$$ \dot{\xi} = f_{\xi}(\xi, e, z) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \qquad (6.23) $$

$$ \dot{z} = f_z(\xi, e, z) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \qquad (6.24) $$

$$ \dot{e} = g(\xi, e, z) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \qquad (6.25) $$

$$ \xi(t_i^+) = \xi(t_i) \qquad (6.26) $$

$$ z(t_i^+) = z(t_i) \qquad (6.27) $$

$$ e(t_i^+) = h(i, e(t_i), z(t_i)), \qquad (6.28) $$

où $\xi \in \mathbb{R}^{n_{\xi}}$ représente l'erreur d'observation, $z \in \mathbb{R}^{n_{z}}$ l'état de l'observateur, $e \in \mathbb{R}^{n_{e}}$ l'erreur induite par le réseau et $g$ est défini par (4.28) et (4.48). La séquence d'instants de transmission $\{t_i\}_{i \in \mathbb{Z}_{>0}}$ vérifie :

$$ v \leq t_i - t_{i-1} \leq \tau \quad \forall i \in \mathbb{Z}_{>0}, \qquad (6.29) $$

avec $\tau \in [v, \infty)$ et $t_0 = 0$. Les perturbations sur les instants de transmission considérées dans (6.18) peuvent toujours être prises en compte du moment que (6.29) est satisfait. Les perturbations de mesures, $\varepsilon$, sont ignorées dans (6.23)-(6.28) puisqu'elles sont uniquement introduites dans §6.3 afin de quantifier la robustesse de l'observateur aux incertitudes de mesures, ce que nous ferons ici à l'aide de la variable $e$.

**Remarque 6.4.1** Les dépendances au temps et aux perturbations $w$ sont omises dans ce chapitre, uniquement afin de simplifier l'exposé.

**Hypothèse 6.4.1** Le système (6.23)-(6.24) est RFC vis-à-vis de $e$, i.e. il existe $\tilde{\mu} \in C(\mathbb{R}_{\ge 0}, \mathbb{R}_{\ge 0})$, $\tilde{\alpha} \in K_{\infty}$, $\tilde{\gamma} \in K$ telles que pour tout $(\xi_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_{\xi}+n_{z}}$ et $e \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_{e}}$, le long des solutions de (6.24), pour tout $t \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ :

$$ |z(t)| \le \tilde{\mu}(t) (\tilde{\alpha}(|\xi_0| + |z_0|) + \tilde{\gamma}(\|e\|_{[0,t]})). \qquad (6.30) $$

Lorsque le problème est écrit dans les coordonnées $(\xi, z, e)$, il n'est plus nécessaire de poser que le système (6.10) soit positivement complet : l'hypothèse ci-dessus et la suivante l'impliquent. On remarque que l'Hypothèse 6.4.1 permet de considérer des gains non linéaires contrairement à l'Hypothèse 5.2.6.

**Hypothèse 6.4.2** Le système (6.23)-(6.24) est stable entrée-sortie de $e$ à $\xi$, i.e. il existe $\sigma \in K\mathcal{L}$ et $\gamma \in K$ telles que, les solutions de (6.23)-(6.24) vérifient, pour tout $(\xi_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_{\xi}+n_{z}}$, $e \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_{e}}$ et $t \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ :

$$ |\xi(t)| \le \sigma(|\xi_0| + |z_0|, t) + \gamma(\|e\|_{[0,t]}). \qquad (6.31) $$
Cette hypothèse, qui correspond à l'Hypothèse 5.2.1 mais avec des gains non linéaires, est équivalente à (6.14). En effet, supposons que l'Hypothèse 6.4.2 soit vérifiée, sachant que $\xi = x - \bar{x} = x - h_O(z)$, alors pour tout $(\xi_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_z}$, $e \in \mathcal{L}_\infty^{n_e}$ et $t \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ :

$$ 
\begin{aligned}
|\xi(t)| & \le \sigma(|\xi_0| + |z_0|,t) + \gamma(\|e\|_{[0,t)}) \\
& \le \sigma(|x_0| + |h_O(z_0)| + |z_0|,t) + \gamma(\|e\|_{[0,t)}).
\end{aligned} 
\quad (6.32) $$

Puisque $h_O(0) = 0$ et que $h_O$ est continue, il existe $\alpha \in \mathcal{K}$ telle que $|h_O(z)| \le \alpha(|z|)$ pour $z \in \mathbb{R}^{n_z}$ (par exemple $\alpha(s) = \sup_{|x| \le s} |h_O(x)| + s)$, par conséquent :

$$ 
\begin{aligned}
|\xi(t)| & \le \sigma(|x_0| + \alpha(|z_0|) + |z_0|,t) + \gamma(\|e\|_{[0,t)}) \\
& \le \sigma((\mathbb{I} + \alpha)(|x_0| + |z_0|),t) + \gamma(\|e\|_{[0,t)}).
\end{aligned} 
\quad (6.33) $$

En rappelant que $\varepsilon$ correspond à $e$ ici, (6.14) est bien satisfaite. A l'inverse, on peut montrer que (6.14) implique l'Hypothèse 6.4.2. Ainsi, il n'est plus nécessaire de supposer séparément qu'il existe des conditions initiales assurant la synchronisation pour tout temps de $x$ et $\bar{x}$ comme dans §6.3 : l'Hypothèse 6.4.2 le garantit.

Revenons au cas des NCS. Le vecteur de sortie, $y$, est décomposé en $l$ sous-vecteurs $(y = (y_1, \dots, y_l))$, où $l$ est le nombre de nœuds, ainsi $h_p = (h_p^1, \dots, h_p^l)$. L'hypothèse suivante jouera le rôle de (6.20).

**Hypothèse 6.4.3** Il existe $\bar{\sigma}_j \in \mathcal{KL}$ et $K_j \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ tels que le long des solutions de (6.23)-(6.24), pour tout $j \in \{1, \dots, l\}$, $(\xi_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_x+n_z}$ et $e \in \mathcal{L}_\infty^{n_e}$ :

$$ |L_{f_P} h_P^j(h_O(z)) - L_{f_P} h_P^j(h_O(z) + \xi)| \le \bar{\sigma}_j(|\xi_0| + |z_0|,t) + K_j \|e\|_{[t_0,t)}. \quad (6.34) $$

**Remarque 6.4.2** On note que $|\dot{e}_j| = |L_{f_P} h_P^j(h_O(z)) - L_{f_P} h_P^j(h_O(z) + \xi)|$, $j \in \{1, \dots, l\}$ ($e = (e_1, \dots, e_l)$).

Cette hypothèse peut être interprétée comme une propriété de stabilité entrée-sortie du système (6.23)-(6.24) avec $e$ comme entrée et $\tilde{y} = L_{f_P} h_P^i(h_O(z)) - L_{f_P} h_P^i(h_O(z) + \xi)$ comme sortie. Contrairement au Chapitre 5, l'interconnexion ne repose plus sur les variables $(\xi, z, e)$ mais $(\tilde{y}, z, e)$. Cette différence n'est pas la seule entre les deux études, comme nous le constaterons lors de l'analyse de stabilité.

**Remarque 6.4.3** Il est possible d'adapter les résultats du Chapitre 5 à ce type d'interconnexion sous des hypothèses supplémentaires. De nouvelles bornes sur le MATI sont alors obtenues. Nous avons choisi de présenter différents types d'interconnexion dans ce mémoire afin de souligner la maléabilité des résultats exposés. Nous considérerons ultérieurement ce type d'interconnexion dans l'article de revue correspondant au Chapitre 5.
**Remarque 6.4.4** De la même manière que (6.14) et l'Hypothèse 6.4.2 sont équivalentes, on peut montrer que (6.34) l'est avec :

$$|L_{f_P} h_P^i(h_O(z)) - L_{f_P} h_P^i(h_O(z) + \xi)| \le \bar{\sigma}_i(|x_0| + |z_0|, t) + K_i \|e\|_{[t_0, t)}, \quad (6.35)$$

ce qui permet de faire le lien entre l'Hypothèse 6.4.3 et (6.20).

## 6.4.2 Pour des protocoles à excitation persistante

On se concentre dans cette sous-section sur les protocoles définis ci-dessous. La séquence de transmission $\{t_i\}_{i \in \mathbb{Z}_{>0}} \subset \mathbb{R}_{\ge 0}$ est définie comme dans §6.3. On nomme $\{t_i^j\}_{i \in \mathbb{Z}_{>0}} \subset \mathbb{R}_{\ge 0}$ la sous-séquence d'instants auxquels le nœud $j \in \{1, \dots, l\}$ a accès au réseau.

**Définition 6.4.1** On appelle protocole à excitation persistante tout protocole qui satisfait les propriétés suivantes :

(i) chaque séquence $\{t_i^j\}_{i \in \mathbb{Z}_{>0}}$ est non bornée ;

(ii) pour tout $j \in \{1, \dots, l\}$ il existe $v_j \in \mathbb{R}_{>0}$, $\tau_j \in [v, \infty)$ tels que $v_j \le t_{i+1}^j - t_i^j \le \tau_j$ pour tout $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$.

Les instants de transmission d'un même nœud ne sont donc plus périodiques. La condition (i) assure qu'aucun nœud n'est ignoré après un temps donné, tandis que (ii) garantit l'existence d'une borne supérieure sur l'intervalle de temps séparant deux instants de transmission d'un même nœud. Ces deux propriétés évitent que l'information d'un nœud soit ou tende à être oubliée avec le temps. Ce type de protocoles a été étudié dans [190]. On constate que le protocole RR est bien à excitation persistante tandis que rien ne garantit a priori que le TOD le soit. Concernant la stabilité éventuelle de tels protocoles, il est difficile de statuer de manière générale puisqu'ils ne sont pas définis par leur comportement à chaque instant de transmission mais sur un intervalle de temps, à la différence des Définitions 4.2.1 et 4.3.1. De plus, dans ce chapitre contrairement au précédent, l'analyse ne repose pas sur la stabilité du protocole.

**Théorème 6.4.1** Supposons que les Hypothèses 6.4.1-6.4.3 soient vérifiées, pour les protocoles à excitation persistante, si

$$\sum_{j=1}^{l} \tau_j K_j < 1 \qquad (6.36)$$

alors le système (6.23)-(6.28) est RFC et il existe $\beta \in \mathcal{KL}$ tel que, pour tout $(\xi_0, z_0, e_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_z+n_e}$ :

$$| (\xi(t), e(t)) | \le \beta ( |\xi_0| + |z_0| + |e_0|, t ). \qquad (6.37)$$
**Preuve.** Soit $(\xi_0, z_0, e_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_z+n_e}$. D'après (6.34), soit $j \in \{1, \dots, l\}$, pour tout $t \in [0, t_{\max})$ (où $[0, t_{\max})$ est l'intervalle d'existence maximal de (6.23)-(6.28), $t_{\max} \in \mathbb{R}_{>0} \cup \{\infty\}$) :

$$|L_{f_P} h_P^j(h_O(z)) - L_{f_P} h_P^j(h_O(z) + \xi)| \le \bar{\sigma}_j(|\xi_0| + |z_0|, t) + K_j \|e\|_{[0,t)}. \quad (6.38)$$

Soit $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, pour tout $t \in [\tau_i^j, \tau_{i+1}^j) \cap [0, t_{\max})$, de par (6.38) on a :

$$|e_j(t)| = \left| \int_{\tau_i^j}^t \left( L_{f_P} h_P^j(h_O(z(s))) - L_{f_P} h_P^j(h_O(z(s)) + \xi(s)) \right) ds \right| \\ \le \tau_j \bar{\sigma}_j(|\xi_0| + |z_0|, \tau_i^j) + \tau_j K_j \|e\|_{[0,t)}.$$

Considérons $t \in [0, \tau_0^j) \cap [0, t_{\max})$ :

$$|e_j(t)| = \left| e_j(0) + \int_0^t \left( L_{f_P} h_P^j(h_O(z(s))) - L_{f_P} h_P^j(h_O(z(s)) + \xi(s)) \right) ds \right| \\ \le |e_j(0)| + \tau_0^j \bar{\sigma}_j(|\xi_0| + |z_0|, 0) + \tau_0^j K_j \|e\|_{[0,t)}.$$

Définissons la fonction de classe $KL$ :

$$\hat{\sigma}_j(s,t) = \begin{cases} (\tau_j \bar{\sigma}_j(s,0) + s) e^{\tau_j - t} & \text{si } t < \tau_j \\ \tau_j \bar{\sigma}_j(s,t - \tau_j) + s e^{\tau_j - t} & \text{si } t \ge \tau_j. \end{cases} \quad (6.39)$$

Pour tout $t \in [0, t_{\max})$,

$$|e_j(t)| \le \hat{\sigma}_j(|\xi_0| + |z_0| + |e_0|, t) + \tau_j K_j \|e\|_{[0,t)}. \quad (6.40)$$

Sachant que $|e| \le \sum_{j=1}^l |e_j|$, on déduit de (6.40) que, pour tout $t \in [0, t_{\max})$ :

$$|e(t)| \le \hat{\sigma}(|\xi_0| + |z_0| + |e_0|, t) + \sum_{j=1}^{l} \tau_j K_j \|e\|_{[0,t)}, \quad (6.41)$$

où $\hat{\sigma} = \sum_{j=1}^n \hat{\sigma}_j \in KL$. Ainsi, puisque $\sum_{j=1}^l \tau_j K_j < 1$,

$$\|e\|_{[0,t)} \le \frac{1}{1 - \sum_{j=1}^{l} \tau_j K_j} \hat{\sigma}(|\xi_0| + |z_0| + |e_0|, 0). \quad (6.42)$$

D'autre part, pour tout $t \in [0, t_{\max})$, d'après l'Hypothèse 6.4.2 :

$$|\xi(t)| \le \sigma(|\xi_0| + |z_0|, t) + \gamma(\|e\|_{[0,t)}), \quad (6.43)$$
en conséquence, selon l'Hypothèse 6.4.1 et les Propositions A.1.1 et A.1.2, pour $t \in [0,t_{\max})$ :

$$ |\xi(t)| + |z(t)| + |e(t)| \le \sigma(|\xi_0| + |z_0|,0) + \tilde{\mu}(t)\tilde{\alpha}(|\xi_0| + |z_0|) + \check{\sigma} \left( t, \frac{1}{1 - \sum_{j=1}^{l} \tau_j K_j} \hat{\sigma}(|\xi_0| + |z_0| + |e_0|,0) \right) \quad (6.44) $$

$$ |(\xi(t),z(t),e(t))| \le \sigma(2|(\xi_0,z_0,e_0)|,0) + \tilde{\mu}(t)\tilde{\alpha}(2|(\xi_0,z_0,e_0)|) + \check{\sigma} \left( t, \frac{1}{1 - \sum_{j=1}^{l} \tau_j K_j} \hat{\sigma}(3|(\xi_0,z_0,e_0)|,0) \right), \quad (6.45) $$

où $\check{\sigma}(t,s) = s + \gamma(s) + \tilde{\mu}(t)\tilde{\gamma}(s)$, pour $s,t \in \mathbb{R}_{\ge 0}$. En majorant la fonction $\vartheta: s \mapsto \sigma(2s,0) + \tilde{\mu}(t)\tilde{\alpha}(2s) + \check{\sigma} \left( t, \frac{1}{1-\sum_{j=1}^l \tau_j K_j} \hat{\sigma}(3s,0) \right) \in \mathcal{K}$ par une fonction $\mathcal{K}_{\infty}$ (par exemple $s \mapsto s+\vartheta(s)$), on déduit que le système (6.23)-(6.28) est RFC d'après la Définition 6.2.1 ($a = \vartheta+\mathbb{I}$ et $\mu = \tilde{\mu}+1$). De plus, d'après (6.44),

$$ \begin{aligned} |\xi(t)| + |z(t)| + |e(t)| &\le \sigma(|\xi_0| + |z_0|,0) + \tilde{\mu}^2(t) + \frac{1}{2}\tilde{\alpha}^2(|\xi_0| + |z_0|) \\ &\quad + \check{\sigma} \left( \frac{1}{1 - \sum_{j=1}^{l} \tau_j K_j} \hat{\sigma}(|\xi_0| + |z_0| + |e_0|,0) \right) \\ &\le \max \left\{ 2\sigma(|\xi_0| + |z_0|,0) + \tilde{\alpha}^2(|\xi_0| + |z_0|) \right. \\ &\qquad \left. + 2\check{\sigma} \left( \frac{1}{1 - \sum_{j=1}^{l} \tau_j K_j} \hat{\sigma}(|\xi_0| + |z_0| + |e_0|,0) \right), 2\tilde{\mu}^2(t) \right\}, \quad (6.46) \end{aligned} $$

où $\check{\sigma}(t,s) = s + \gamma(s) + \frac{1}{2}\tilde{\gamma}(s)^2$. Tous les éléments sont désormais réunis pour pouvoir appliquer le Théorème 6.2.1. Grâce à la régularité des champs de vecteurs considérés et l'occurence des sauts indépendante des états du système, on peut montrer que le système (6.23)-(6.28) est BIC [89, 92]. D'après le Théorème 6.2.1, on identifie pour $i \in \{1,2\}$ et $j \in \{1,2\} \setminus \{i\}$, $V_i(t,\phi(t,t_0,x_0,u),u(t)) = |e|$, $\sigma_i = \hat{\sigma}$, $L_i(t,x) = |\xi| + |z| + |e|$, $\gamma_i = \sum_{l=1}^l \tau_l K_l \mathbb{I}$, $V_j = V_i$, $\gamma_i^u = 0$, $\mu_i = 2\tilde{\mu}^2$, $a_i(s) = 2\sigma(2s,0) + \tilde{\alpha}^2(2s) + 2\check{\sigma} \left( \frac{1}{1-\sum_{i=1}^l \tau_i K_i} \hat{\sigma}(3s,0) \right)$ ($s \in \mathbb{R}_{\ge 0}$), $p_i = 0$, $p_i^u = 0$, $\rho = \eta \mathbb{I}$ où $\eta$ est une constante arbitrairement petite, $y = e$, $a = \mathbb{I}$, $b = 3\mathbb{I}$. Ainsi, (6.6) est vérifiée d'après (6.41) et (6.46), (6.7) puisque $\sum_{j=1}^l \tau_j K_j < 1$, (6.8) et (6.9) d'après les fonctions
identifiées. Par conséquent, le Théorème 6.2.1 nous informe qu'il existe $\tilde{\sigma} \in \mathcal{KL}$ telle que, pour tout $(\xi_0, z_0, e_0) \in \mathbb{R}^{n_{\xi}+n_z+n_e}$, le long des solutions de (6.23)-(6.28), pour tout $t \in [0, \infty)$:

$$|e(t)| \le \tilde{\sigma}(|\xi_0| + |z_0| + |e_0|, t). \qquad (6.47)$$

Finalement, toujours à l'aide du Théorème 6.2.1 et d'arguments similaires, d'après (6.43), (6.46), (6.47), on montre qu'il existe $\tilde{\sigma} \in \mathcal{KL}$ telle que pour tout $(\xi_0, z_0, e_0) \in \mathbb{R}^{n_{\xi}+n_z+n_e}$, le long des solutions de (6.23)-(6.28), pour tout $t \in [0, \infty)$:

$$|\xi(t)| \le \tilde{\sigma}(|\xi_0| + |z_0| + |e_0|, t). \qquad (6.48)$$

Le résultat désiré est obtenu. □

Alors que les analyses conduites au Chapitre 5 reposent sur les propriétés de stabilité intrinsèques des protocoles, le problème est ici traité différemment, au cas par cas. Des hypothèses similaires à celles utilisées au Théorème 5.2.2 permettent d'assurer la convergence asymptotique de l'erreur d'observation (ainsi que de l'erreur induite par le réseau) vers l'origine, lorsqu'aucune perturbation n'affecte le système. Les différences entre les conditions requises sont de deux ordres. Premièrement, il n'est pas nécessaire que le système (6.23) soit stable entrée-état vis-à-vis de $e$ avec un gain linéaire mais que (6.23)-(6.24) soit stable entrée-sortie de $e$ à $\xi$ avec des gains non linéaires, ce qui est moins restrictif. On doit cette extension au fait que le théorème du petit gain de [91] ne requiert pas la bornitude des états du système (on rappelle que lorsque la stabilité est entrée-sortie au Chapitre 5, il est nécessaire de supposer le système (6.24) soit UEBEB, tandis que la complétude robuste positive suffit ici). D'autre part, la stabilité du sous-système (6.25)-(6.28) est analysée différemment, en intégrant (6.34) ce qui permet de le considérer comme étant en interconnexion avec lui-même, et non pas avec (6.23),(6.26), (6.24),(6.27) comme au Chapitre 5. Les bornes sur le MATI de cette étude sont en conséquence différentes des précédentes et ne dépendent que des gains de l'Hypothèse 6.4.3.

Il est difficile d'affirmer qu'une méthode est plus précise que l'autre puisque les conditions sur les trajectoires et donc les gains sont différents. Nous ferons ce travail numériquement sur des exemples à la fin du chapitre.

Les deux résultats suivants sont des conséquences directes du Théorème 6.4.1.

**Corollaire 6.4.1** *Supposons que les Hypothèses 6.4.1-6.4.3 soient vérifiées, pour le protocole RR, si*

$$\sum_{j=1}^{l} \tau K_j < 1 \qquad (6.49)$$

alors le système (6.23)-(6.28) est RFC et (6.37) est garanti.
**Corollaire 6.4.2** Supposons que les Hypothèses 6.4.1-6.4.2 soient vérifiées et qu'il existe $\bar{\sigma}_j \in \mathcal{KL}$ et $K_j \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ tels que le long des solutions de (6.23)-(6.24), pour tout $j \in \{1, \dots, l\}$, $(\xi_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_z}$ et $e \in \mathcal{L}_\infty^{n_e}$, pour tout $t \in \mathbb{R}_{\ge 0}$:

$$|L_{f_P} h_P^j(h_O(z)) - L_{f_P} h_P^j(h_O(z) + \xi)| \le \bar{\sigma}_j(|\xi_0| + |z_0|, t) + K_j \|e_j\|_{[t_0, t)}, \quad (6.50)$$

pour tout protocole à excitation persistante, si pour tout $j \in \{1, \dots, l\}$

$$\tau_j K_j < 1, \quad (6.51)$$

alors le système (6.23)-(6.28) est RFC et (6.37) est garanti.

**Remarque 6.4.5** La condition (6.50) est moins générale que (6.34) puisque le terme de droite ne dépend que du sous-vecteur $e_j$. Cela signifie, en général, que le système est composé de l sous-systèmes indépendants les uns des autres, correspondant à chaque nœud. Dans de tels cas, les bornes sur le MATI obtenues sont moins restrictives que celle du Théorème 6.4.1.

## 6.4.3 Pour des protocoles TOD

L'ordonnancement du réseau par un protocole TOD est maintenant étudié. On nomme $\zeta$ la fonction qui attribue l'accès au réseau à un nœud, $\zeta: \mathbb{R}_{\ge 0} \times \mathbb{R}^{n_e} \to \{1, \dots, l\}$ constante par morceaux, lorsque le nœud $j$ a été choisi à l'instant $t_i$, $\zeta(t,e) = j$ pour $t \in [t_i, t_{i+1})$, et $e_j(t_i) = 0$.

Un résultat technique préliminaire est nécessaire à l'analyse.

**Lemme 6.4.1** Supposons que les Hypothèses 6.4.1-6.4.3 soient vérifiées, pour le protocole TOD, pour tout $(\xi_0, z_0, e_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_z+n_e}$, $e \in \mathcal{L}_\infty^{n_e}$, $j \in \{1, \dots, l\}$, $i \ge l-1$, $t \in [\tau_i, \tau_{i+1}) \cap [0, t_{\max})$ ($0, t_{\max}$) est l'intervalle maximal d'existence des solutions, $t_{\max} \in \mathbb{R}_{>0} \cup \{\infty\}$), les solutions de (6.23)-(6.28) vérifient:

$$|e_j(t)| \le l\tau \sum_{k=1}^{l} \bar{\sigma}_k(|\xi_0| + |z_0|, \tau_{i-l+1}) + l\tau \max_{k \in \{1, \dots, l\}} \{K_k\} \|e\|_{[0,t)} \quad (6.52)$$

**Preuve.** Soient $(\xi_0, z_0, e_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_z+n_e}$, $e \in \mathcal{L}_\infty^{n_e}$, $j \in \{1, \dots, l\}$ et $i \ge l-1$. Si $\zeta_j(\tau_i, e(\tau_i^-)) = j$, (6.52) est vérifié. Concentrons-nous sur le cas où $\zeta_j(\tau_i, e(\tau_i^-)) \ne j$. Pour tout $t \in [\tau_i, \tau_{i+1}) \cap [0, t_{\max})$, d'après (6.34):

$$|e_j(t)| \le \tau \bar{\sigma}_j(|\xi_0| + |z_0|, \tau_i) + \tau K_j \|e\|_{[0,t)} + |e_j(\tau_i)|. \quad (6.53)$$

Deux cas doivent être distingués.

(a) Pour tout $k \in \{i-l+1, \dots, i\}$, $\zeta_j(\tau_k, e(\tau_k^-)) \ne j$, alors, puisque $i \ge l-1$, au moins un
nœud $j_0$ a eu accès au réseau au moins deux fois sur $[\tau_{i-l+1}, \tau_i]$ aux instants notés $k_1 < k_2$.
Par conséquent, pour $t \in [\tau_{k_2}, \tau_{k_2+1}) \cap [0, t_{\max})$,

$$ 
\begin{aligned}
|e_j(t)| & \le |e_j(\tau_{k_2})| + \tau \bar{\sigma}_j(|\xi_0| + |z_0|, \tau_{k_2}) + \tau K_j \|e\|_{[0,t)} \\
& \le |e_{j_0}(\tau_{k_2}^-)| + \tau \bar{\sigma}_j(|\xi_0| + |z_0|, \tau_{k_2}) + \tau K_j \|e\|_{[0,t)}.
\end{aligned} 
\quad (6.54) $$

D'autre part, pour $t \in [\tau_{k_2-1}, \tau_{k_2}) \cap [0, t_{\max})$,

$$ |e_{j_0}(t)| \le \tau \sum_{q=k_1}^{k_2-1} \bar{\sigma}_{j_0}(|\xi_0| + |z_0|, \tau_q) + (k_2 - k_1) \tau K_{j_0} \|e\|_{[0,t)}, \quad (6.55) $$

en conséquence, pour $t \in [\tau_{k_2}, \tau_{k_2+1}) \cap [0, t_{\max})$,

$$ 
\begin{aligned}
|e_j(t)| & \le \tau \sum_{q=k_1}^{k_2-1} \bar{\sigma}_{j_0}(|\xi_0| + |z_0|, \tau_q) + (k_2 - k_1) \tau K_{j_0} \|e\|_{[0,t)} + \tau \bar{\sigma}_j(|\xi_0| + |z_0|, \tau_{k_2}) \\
& \phantom{\le} + \tau K_j \|e\|_{[0,t)}.
\end{aligned} 
\quad (6.56) $$

Soit $t \in [\tau_i, \tau_{i+1}) \cap [0, t_{\max})$, d'après (6.53), si $k_2 < i$,

$$ 
\begin{aligned}
|e_j(t)| & \le \tau \bar{\sigma}_j(|\xi_0| + |z_0|, \tau_i) + \tau K_j \|e\|_{[0,t)} + \tau \sum_{q=k_1}^{k_2-1} \bar{\sigma}_{j_0}(|\xi_0| + |z_0|, \tau_q) \\
& \phantom{\le} + (k_2 - k_1) \tau K_{j_0} \|e\|_{[0,t)} + \tau \sum_{q=k_2}^{i-1} \bar{\sigma}_j(|\xi_0| + |z_0|, \tau_q) + \tau K_j (i - k_2) \|e\|_{[0,t)} \\
& \le l \tau \sum_{k=1}^{l} \bar{\sigma}_k(|\xi_0| + |z_0|, \tau_{i-l+1}) + l \tau \max_{k \in \{1, \dots, l\}} \{K_k\} \|e\|_{[0,t)}.
\end{aligned} 
\quad (6.57) $$

Si $k_2 = i$,

$$ 
\begin{aligned}
|e_j(t)| & \le \tau \bar{\sigma}_j(|\xi_0| + |z_0|, \tau_i) + \tau K_j \|e\|_{[0,t)} + \tau \sum_{q=k_1}^{i-1} \bar{\sigma}_{j_0}(|\xi_0| + |z_0|, \tau_q) \\
& \phantom{\le} + (i - k_1) \tau K_{j_0} \|e\|_{[0,t)}.
\end{aligned} 
$$

Dans les deux cas, le résultat désiré est satisfait.

(b) Il existe $k \in \{i-l+1, \dots, i-1\}$ tel que $\zeta_j(\tau_k, e(\tau_k^-)) = j$ pour tout $t \in [\tau_k, \tau_{k+1}) \cap [0, t_{\max})$,

$$ |e_j(t)| \le \tau \bar{\sigma}_j(|\xi_0| + |z_0|, \tau_k) + \tau K_j \|e\|_{[0,t)}, $$

alors, pour $t \in [\tau_i, \tau_{i+1}) \cap [0, t_{\max})$,

$$ |e_j(t)| \le \sum_{q=k}^{i-1} \tau \bar{\sigma}_j(|\xi_0| + |z_0|, \tau_q) + (i-k) \tau \|e\|_{[0,t)}. \quad (6.58) $$

Tous les cas possibles ont été étudiés, (6.52) est bien satisfait. □

<figure><img src="image_23.png" /></figure>
**Théorème 6.4.2** *Supposons que les Hypothèses 6.4.1-6.4.3 soient vérifiées, pour le protocole TOD, si*

$$ \tau l^{\frac{3}{2}} \max_{j \in \{1, \dots, l\}} \{K_j\} < 1 \qquad (6.59) $$

alors le système (6.23)-(6.28) est RFC et (6.37) est garanti.

*Preuve.* Soit $(\xi_0, z_0, e_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_z+n_e}$. D'après le Lemme 6.4.1, pour tout $t \in [\tau_i, \tau_{i+1}) \cap [0, t_{\max})$, $i \ge l-1$, on peut montrer que :

$$ |e(t)| \le l^{\frac{3}{2}} \tau \sum_{k=1}^{l} \bar{\sigma}_k(|\xi_0| + |z_0|, \tau_{i-l+1}) + l^{\frac{3}{2}} \tau \max_{k \in \{1, \dots, l\}} \{K_k\} \|e\|_{[0,t)} \qquad (6.60) $$

Pour $t \in [0, \tau_{l-1}) \cap [0, t_{\max})$, la borne suivante est déduite pour tout $j \in \{1, \dots, l\}$ :

$$ |e_j(t)| \le l\tau\bar{\sigma}_j(|\xi_0| + |z_0|,0) + l\tau K_j \|e\|_{[0,t)} + |e_j(0)| \qquad (6.61) $$

Ainsi, pour tout $t \in [0, \tau_{l-1}) \cap [0, t_{\max})$,

$$ |e(t)| \le l^{\frac{3}{2}} \tau \sum_{k=1}^{l} \bar{\sigma}_k(|\xi_0| + |z_0|, 0) + l^{\frac{3}{2}} \tau \max_{k \in \{1, \dots, l\}} \{K_k\} \|e\|_{[0,t)} + \sqrt{l} |e_0|, \qquad (6.62) $$

où

$$ \check{\sigma}(s,t) = \begin{cases} \sqrt{l} \left( l\tau \sum_{j=1}^{l} \bar{\sigma}_j(s,0) + s \right) e^{l\tau-t} & \text{si } t < l\tau \\ \sqrt{l} \left( l\tau \sum_{j=1}^{l} \bar{\sigma}_j(s,t-l\tau) + s e^{l\tau-t} \right) & \text{si } t \ge l\tau. \end{cases} \qquad (6.63) $$

Pour tout $t \in [0, t_{\max})$ :

$$ |e(t)| \le \check{\sigma}(|\xi_0| + |z_0| + |e_0|, t) + l^{\frac{3}{2}} \tau \max_{k \in \{1, \dots, l\}} \{K_k\} \|e\|_{[0,t)}. \qquad (6.64) $$

La preuve se conclut de la même façon que celle du Théorème 6.4.1 en invoquant à plusieurs reprises le Théorème 6.2.1, sachant que $\tau l^{\frac{3}{2}} \max_{j \in \{1, \dots, l\}} K_j < 1$ $\square$

Il est intéressant de remarquer que les bornes sur le MATI pour le RR généralisé et le TOD ne diffèrent pas en terme de gain, comme c'est le cas au Chapitre 5, mais en terme de formulation. L'analyse étant adaptée au protocole, la borne sur le MATI obtenue est caractéristique de la méthode suivie. Il est par conséquent difficile d'affirmer que l'un ou l'autre des protocoles permet de considérer de plus grands MATI à partir des expressions présentées. Nous verrons en simulation que le TOD confirme le plus souvent nos attentes en prouvant sa supériorité pour de grands MATI.

Le résultat suivant est une conséquence directe du Théorème 6.4.2.
**Corollaire 6.4.3** Supposons que les Hypothèses 6.4.1-6.4.2 et que (6.50) soient vérifiées pour le protocole TOD, si

$$ \tau \max_{j \in \{1, \dots, l\}} \{K_j\} < 1 \qquad (6.65) $$

alors le système (6.23)-(6.28) est RFC et (6.37) est garanti.

**Preuve.** La preuve suit le même cheminement que celle du Théorème 6.4.2 mais en appliquant le théorème du petit gain non pas à $|e|$ mais $\max_{j \in \{1, \dots, l\}} |e_j|$. $\square$

**Remarque 6.4.6** D'après la Remarque 6.4.5, lorsque (6.50) est satisfait et que le système à observer est effectivement composé de l sous-systèmes indépendants, l'implémentation décrite dans §4.3.2 peut être allégée en plaçant uniquement l'observateur correspondant au sous-système à chaque nœud.

## 6.5 Applications

Comme au Chapitre 5, nous montrons que les observateurs linéaires et à grand gain satisfont les hypothèses considérées et des bornes explicites sur le MATI sont données lorsque la fonction de blocage Pred est couplée aux protocoles RR, TOD ainsi qu'au cas échantillonné.

### 6.5.1 Observateurs linéaires

Soit le système linéaire :

$$ \dot{x} = Ax \qquad (6.66) $$

$$ y = Cx, \qquad (6.67) $$

où $x \in \mathbb{R}^{n_x}$, $y \in \mathbb{R}^{n_y}$, A et C = $\begin{bmatrix} C_1 \\ C_2 \\ C_3 \end{bmatrix}$ sont des matrices réelles de dimensions appropriées telles que $(A,C)$ est détectable. L'observateur de Luenberger suivant est étudié :

$$ \dot{\bar{x}} = A\bar{x} + \Lambda(y - \bar{y}) \qquad (6.68) $$

$$ \bar{y} = C\bar{x}. \qquad (6.69) $$

Nous avons vu au Chapitre 5 que le problème peut s'écrire sous la forme :

$$ \dot{\xi} = (A - \Lambda C)\xi - \Lambda e \qquad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \qquad (6.70) $$

$$ \dot{z} = Az + \Lambda(e + C\xi) \qquad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \qquad (6.71) $$

$$ \dot{e} = -CA\xi \qquad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \qquad (6.72) $$

$$ \xi(t_i^+) = \xi(t_i) \qquad (6.73) $$

$$ z(t_i^+) = z(t_i) \qquad (6.74) $$

$$ e(t_i^+) = h(i, e(t_i)), \qquad (6.75) $$
où $z = \bar{x}$, $h$ est défini par (4.29), (4.38) ou (4.49) et où la séquence d'instants de transmission $\{t_i\}_{i \in \mathbb{Z}_{>0}}$ est telle que $v \le t_i - t_{i-1} \le \tau$ pour tout $i \in \mathbb{Z}_{>0}$, $v \in \mathbb{R}_{>0}$, $\tau \in [v, \infty)$ et $t_0 = 0$. L'Hypothèse 6.4.1 est satisfaite puisque le système est linéaire. Le Lemme 5.3.1 permet d'affirmer que l'Hypothèse 6.4.2 est vérifiée. La seule condition à étudier est celle de l'Hypothèse 6.4.3. De la même manière qu'au Lemme 5.3.1, sachant que $|L_{f_P}h_P^j(\bar{x}) - L_{f_P}h_P^j(x)| = |C_j A \xi|$, on peut montrer qu'il existe $\bar{\sigma}_j \in \mathcal{KL}$ et $K_j \in \mathbb{R}_{>0}$, $j \in \{1,2,3\}$, tels que, pour tout $(\xi_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_z}$ et $e \in \mathcal{L}_\infty^{n_e}$:

$$|C_j A \xi(t)| \le \bar{\sigma}_j(|x_0| + |z_0|,t) + K_j \|e\|_{[0,t)}. \quad (6.76)$$

Deux expressions possibles des $K_j$ se déduisent de la preuve du Lemme 5.3.1 : $|C_j A|\gamma_1^e$ ou à l'aide d'une borne de $\int_0^t |C_j A \exp((t-s)(A - \Lambda C))\Lambda| ds$. On notera $K$ le gain correspondant pour l'inégalité (6.20) qui s'obtient en remplaçant $C_j$ par $C$.

La proposition ci-dessous est une application du Corollaire 6.4.1, du Théorème 6.4.2 et de §6.3.

**Proposition 6.5.1** *Considérons le système (6.70)-(6.75), pour*

(i) le protocole RR, si $\tau \in [v, \bar{\tau}_{RR})$ où

$$\bar{\tau}_{RR} = \frac{1}{3(K_1+K_2+K_3)}; \quad (6.77)$$

(ii) le protocole TOD, si $\tau \in [v, \bar{\tau}_{TOD})$ où

$$\bar{\tau}_{TOD} = \frac{1}{3^{\frac{3}{2}} \max_{j \in \{1, \dots, 3\}} \{K_j\}}; \quad (6.78)$$

(iii) le cas échantillonné, si $\tau \in [v, \bar{\tau}_{SD})$ où

$$\bar{\tau}_{SD} = \frac{1}{K}; \quad (6.79)$$

alors le système est RFC et (6.37) est satisfait.

Nous retrouvons donc la même propriété de stabilité qu'au Chapitre 5 lorsque le bloqueur Pred est implémenté, mais sous des conditions sur le MATI différentes.

## 6.5.2 Observateurs à grand gain

A l'instar du Chapitre 5, les observateurs à grand gain pour des systèmes multisorties de [51] sont étudiés. Des résultats similaires sont vérifiées pour d'autres observateurs globalement Lipschitziens, comme nous le verrons sur un exemple dans §6.6.2.

Soit le système :

$$\dot{x} = Ax + \phi(x) \quad (6.80)$$

$$y = Cx, \quad (6.81)$$
où $x = (x_1, \dots, x_p) \in \mathbb{R}^{pn}, x_i \in \mathbb{R}^n$ et

$$A = \begin{bmatrix} 0 & \mathbb{I}_n & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & 0 & \mathbb{I}_n & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & & 0 & \mathbb{I}_n & 0 \\ 0 & \dots & \dots & \dots & 0 \end{bmatrix},$$

$C = [\mathbb{I}_n \ 0 \ \dots \ 0] \in \mathbb{R}^{n \times np}, \phi(x) = (\phi_1(x_1), \phi_2(x_2), \dots, \phi_p(x))$ avec $\phi_i$ globalement Lipschitzienne de constante $k_{\phi_i} \in \mathbb{R}_{>0}$, $i \in \{1, \dots, p\}$, $p \in \mathbb{Z}_{>0}$. Lorsque les mesures du système sont transmises par l'intermédiaire d'un réseau, le problème s'écrit :

$$\dot{\xi} = (A - \theta \Delta_{\theta}^{-1} S^{-1} C^{\mathrm{T}} C) \xi - \theta \Delta_{\theta}^{-1} S^{-1} C^{\mathrm{T}} e + \phi(\xi + z) - \phi(z) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \quad (6.82)$$

$$\dot{z} = Az + \phi(z) + \theta \Delta_{\theta}^{-1} S^{-1} C^{\mathrm{T}} (C\xi + e) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \quad (6.83)$$

$$\dot{e} = -CA\xi + C(\phi(z) - \phi(\xi + z)) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \quad (6.84)$$

$$\xi(t_i^+) = \xi(t_i) \quad (6.85)$$

$$z(t_i^+) = z(t_i) \quad (6.86)$$

$$e(t_i^+) = h(i, e(t_i)), \quad (6.87)$$

où $z = \bar{x}$, $h$ est défini par (4.29), (4.38) ou (4.49), où la séquence d'instants de transmission $\{t_i\}_{i \in \mathbb{Z}_{>0}}$ est telle que $v \le t_i - t_{i-1} \le \tau$, $v \in \mathbb{R}_{>0}$, $\tau \in [v, \infty)$, $t_0 = 0$. Pour les mêmes raisons qu'au Chapitre 5, nos résultats s'appliquent à cette classe de systèmes paramétrés en $\theta$. Les Hypothèses 6.4.1 et 6.4.2 sont vérifiées d'après §5.3.2. Le Lemme 5.3.2 nous indique que l'Hypothèse 6.4.3 est également satisfaite avec $K_j(\theta) = (|C_j A| + k_{\phi_j})\gamma_1(\theta)$ et $K(\theta) = (|C A| + k_{\phi})\gamma_1(\theta)$ pour (6.20). La proposition suivante est une application du Corollaire 6.4.1, du Théorème 6.4.2 et de §6.3.

**Proposition 6.5.2** *Considérons le système (6.82)-(6.87), pour tout $\theta > \theta_0$ (où $\theta_0$ est défini dans le Lemme 5.3.2) pour*

(i) le protocole RR, si $\tau \in [v, \hat{\tau}_{RR}(\theta))$ où

$$\hat{\tau}_{RR}(\theta) = \frac{1}{3(K_1(\theta) + K_2(\theta) + K_3(\theta))}; \quad (6.88)$$

(ii) le protocole TOD, si $\tau \in [v, \hat{\tau}_{TOD}(\theta))$ où

$$\hat{\tau}_{TOD}(\theta) = \frac{1}{3^2 \max_{j \in \{1, \dots, 3\}} \{K_j(\theta)\}}; \quad (6.89)$$

(iii) le cas échantillonné, si $\tau \in [v, \hat{\tau}_{SD}(\theta))$ où

$$\hat{\tau}_{SD}(\theta) = \frac{1}{K(\theta)}; \quad (6.90)$$

alors le système est RFC et (6.37) est satisfait.

La même remarque que pour les observateurs linéaires s'appliquent : on retrouve les mêmes propriétés de stabilité qu'au chapitre précédent mais avec des bornes nouvelles sur le MATI.
## 6.6 Simulations

Dans cette section, différents exemples d'émulation d'observateurs sont étudiés. Les configurations du réseau sont celles évoquées au Chapitre 5 : les protocoles RR, TOD et le cas échantillonné, ainsi que les bloqueurs ZOH et Pred. On rappelle que les travaux de ce chapitre ne permettent pas d'étudier les bloqueurs ZOH. Nous comparerons les bornes sur le MATI déduites aux Chapitres 5 et 6 et commenterons certaines hypothèses.

### 6.6.1 Exemple numérique

Soit le système :

$$ \dot{x} = Ax \tag{6.91} $$

$$ y = Cx, \tag{6.92} $$

avec

$$ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}. $$

L'origine $x = 0$ est stable pour le système (6.91), puisque les pôles de $A$ sont $\{-1, -1, -1, -i, i\}$. La paire $(A, C)$ est observable. Un observateur continu est synthétisé :

$$ \dot{x} = A\bar{x} + \Lambda(y - C\bar{x}), \tag{6.93} $$

où $\Lambda \in \mathbb{R}^{5 \times 3}$ est telle que les pôles de $(A - \Lambda C)$ sont $(-1.4, -1.4, -1.4, -1.4, -1.4)$. Lorsque le système transmet ses mesures par l'intermédiaire d'un réseau ordonnancé, le vecteur de sortie est décomposé en trois nœuds : $y = (y_1, y_2, y_3)$, où

$$ y_1 = x_2 + x_3 = C_1 x $$

$$ y_2 = x_3 + x_4 = C_2 x $$

$$ y_3 = x_4 + x_5 = C_3 x. $$

On remarque que les informations des trois nœuds sont indispensables à l'estimation du vecteur d'état puisque aucune paire $(A, C_i)$ ou $(A, \begin{bmatrix} C_i \\ C_j \end{bmatrix})$, $(i, j) \in \{1, 2, 3\}^2$ n'est observable.

Les bornes sur le MATI obtenues à l'aide des Propositions 5.3.1 (pour le bloqueur ZOH), 5.3.2 et 6.5.1 (pour le Pred), pour les différentes configurations de réseau, sont résumées dans le Tableau 6.1 (le système (6.91) étant stable, la Proposition 5.3.1 peut bien être appliquée). Les MATI constatés en simulation y sont également indiqués, mais uniquement pour le Pred : la convergence étant pratique avec le ZOH, il est difficile de déterminer une valeur limite
<table><caption>TAB. 6.1 – Bornes sur le MATI pour l'observation de (6.91)-(6.92) via le réseau</caption><thead><tr><th></th><th></th><th>RR</th><th>TOD</th><th>Echantillonné</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">ZOH</td><td>Proposition 5.3.1 (Lyapunov)</td><td>0.0014</td><td>0.0024</td><td>0.013</td></tr><tr><td>Proposition 5.3.1 (solution analytique)</td><td>0.0022</td><td>0.0038</td><td>0.021</td></tr><tr><td rowspan="4">Pred</td><td>Proposition 5.3.1 (Lyapunov)</td><td>0.0028</td><td>0.0049</td><td>0.027</td></tr><tr><td>Proposition 6.5.1 (Lyapunov)</td><td>0.0038</td><td>0.0066</td><td>0.027</td></tr><tr><td>Proposition 5.3.1 (solution analytique)</td><td>0.0043</td><td>0.0075</td><td>0.041</td></tr><tr><td>Proposition 6.5.1 (solution analytique)</td><td>0.0253</td><td>0.0347</td><td>0.128</td></tr><tr><td></td><td>Simulation</td><td>0.65</td><td>2.48</td><td>très grand</td></tr></tbody></table>

compte tenu de la stabilité de l'observateur. Nous distinguons dans ce tableau les bornes pour lesquelles les coefficients du Lemme 5.3.1 sont dérivées à l'aide de fonctions de Lyapunov ou de la solution analytique (cf. preuve dudit lemme). Pour l'analyse de Lyapunov, le coefficient dépend évidemment de la fonction choisie. Afin de maximiser le MATI, une procédure d'optimisation sous contraintes a été utilisée. Nous ne pouvons prétendre avoir obtenu les valeurs minimales puisque rien ne nous indique que celles-ci existent. C'est la raison pour laquelle, l'optimisation a été lancée pour un millier de conditions initiales différentes afin d'obtenir un MATI aussi grand que possible.

On constate, dans un premier temps, que les bornes obtenues à l'aide des solutions analytiques sont plus grandes et donc plus précises que celles faisant appel à des fonctions de Lyapunov. Les différentes majorations nécessaires pour cette dernière approche peuvent justifier cet écart. Nous devons cependant nuancer ce constat car seul un échantillon (bien qu'issuede procédures d'optimisation) de fonctions de Lyapunov a été testé. D'autre part, la Proposition 6.5.1 fournit des estimations généralement plus larges que la Proposition 5.3.1. On peut l'expliquer par le fait que les travaux de ce chapitre sont adaptés à chaque protocole, contrairement au Chapitre 5 qui se veut plus universel. Ainsi, il est plausible que les analyses proposées offrent une meilleure description du problème et permettent d'obtenir de meilleurs MATI pour le bloqueur Pred. Il faut également remarquer que les hiérarchies entre ZOH/Pred et RR/TOD/échantillonné s'avèrent respecter aussi bien par les bornes estimées que constatées. En effet, pour un même protocole, le bloqueur Pred permet d'élargir le MATI par rapport au ZOH. Cela semble logique puisque le Pred a pour but de compenser, en quelque sorte, l'absence d'information sur les mesures du système tandis que le ZOH se contente de fournir des données retardées. De même, pour une fonction de blocage donnée, le protocole TOD se révèle supérieur au RR pour de grands MATI. Le cas échantillonné est bien sûr à part, puisque tous les capteurs communiquent aux mêmes instants, le MATI est donc beaucoup plus grand. On peut noter que le meilleur rapport MATI en simulation sur MATI estimé est de 25 pour le protocole RR combiné au bloqueur Pred. D'autre part, on remarque que le bloqueur Pred s'avère très stable puisqu'il permet de considérer de larges MATI, en particulier pour le
cas échantillonné.

Des simulations ont été réalisées avec les conditions initiales suivantes : $x_0 = (10,10,10,10,10)$, $\bar{x}_0 = (0,0,0,0,0)$ et $\hat{y}_0 = (0,0,0)$. L'évolution des états du système est représentée Figure 6.1. Les tracés des erreurs d'observation sont proposés aux Figures 6.2, 6.4, 6.6 pour, respectivement, les protocoles RR, TOD et l'échantillonné, pour des périodes de transmission inférieures aux bornes estimées. Il est important de constater que lorsque le bloqueur est de type ZOH, la convergence de l'erreur d'observation n'est pas asymptotique vers l'origine mais pratique, comme l'indique les résultats du Chapitre 5, voir Figures 6.3, 6.5 et 6.7. Notre analyse est donc fidèle au comportement réel du système dans ce cas.

**Remarque 6.6.1** Nous avons choisi un système oscillant afin de mettre en évidence la non convergence vers l'origine à l'aide du bloqueur ZOH. Pour des systèmes dont les états convergent vers une valeur constante, on devine que ces écarts pourront disparaître : l'effet du retard induit par le bloqueur diminuant au fil du temps.

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIG. 6.1 – Etats du système (6.91)-(6.92)</figcaption></figure>

## Cas d'un système linéaire instable

Avant de passer à l'observation de robots flexibles, nous nous intéressons brièvement au cas où le système linéaire à observer n'est pas stable afin de vérifier si l'Hypothèse 5.2.4 et la
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIG. 6.2 – Errurs d'observation pour le protocole RR avec τ = 0.0022</figcaption></figure>

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIG. 6.3 – Zoom sur les erreurs d'observation pour le protocole RR avec τ = 0.0022</figcaption></figure>
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIG. 6.4 – Errurs d'observation pour le protocole TOD avec τ = 0.0038</figcaption></figure>

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIG. 6.5 – Zoom sur les erreurs d'observation pour le protocole TOD avec τ = 0.0038</figcaption></figure>
<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>FIG. 6.6 – Errurs d'observation pour le cas échantillonné avec τ = 0.021</figcaption></figure>

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>FIG. 6.7 – Zoom sur les erreurs d'observation pour le cas échantillonné avec τ = 0.021</figcaption></figure>
<table><caption>TAB. 6.2 – Bornes sur le MATI pour l'observation de (6.94)-(6.95) via le réseau</caption><thead><tr><th></th><th></th><th>RR</th><th>TOD</th><th>Echantillonné</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">Pred</td><td>Proposition 5.3.1 (Lyapunov)</td><td>0.0001</td><td>0.0002</td><td>0.001</td></tr><tr><td>Proposition 6.5.1 (Lyapunov)</td><td>0.0002</td><td>0.0004</td><td>0.001</td></tr><tr><td>Proposition 5.3.1 (solution analytique)</td><td>0.0003</td><td>0.0006</td><td>0.003</td></tr><tr><td>Proposition 6.5.1 (solution analytique)</td><td>0.0006</td><td>0.0007</td><td>0.002</td></tr><tr><td></td><td>Simulation</td><td>0.2</td><td>0.3</td><td>0.7</td></tr></tbody></table>

condition (5.48) s'avèrent justifiées. Soit le système instable suivant :

$$ \dot{x} = Ax \tag{6.94} $$

$$ y = Cx, \tag{6.95} $$

avec

$$ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}. $$

Les pôles de $A$ sont $\{1,1,1,i,-i\}$ et la paire $(A,C)$ est bien observable. Un observateur du type (6.93) est synthétisé. Les bornes sur le MATI obtenues pour le bloqueur Pred sont données dans le Tableau 6.2 (aucun de nos résultats ne permet d’en calculer pour le ZOH puisqu’une des hypothèses est violée).

Des simulations sont réalisées pour les mêmes conditions initiales que précédemment. On constate, d’après la Figure 6.8, que pour un intervalle de transmission petit ($\tau = 0.002$), l’émulation de l’observateur à l’aide de bloqueurs ZOH diverge, alors qu’avec le Pred la convergence de l’erreur d’observation est assurée. L’hypothèse de stabilité du système à observer, lorsque le bloqueur est d’ordre zéro, semble donc justifier pour ce système linéaire. Nous ne pouvons être catégorique car il faudrait pour cela étudier le comportement du système pour $\tau$ qui tend vers 0.

### 6.6.2 Robot flexible

Nous étudions les observateurs pour robots flexibles développés dans [160], qui sont une extension de [1]. Le modèle du système sans entrée de [187] est :

$$ \dot{x} = Ax + \phi(x) \tag{6.96} $$

$$ y = Cx, \tag{6.97} $$

où $x = (\theta_m, \omega_m, \theta_1, \omega_1)$, $\theta_m, \omega_m$ sont respectivement la position et la vitesse angulaire et du moteur, $\theta_1, \omega_1$ la position et la vitesse de la liaison, $\phi(x) = (0,0,0, -3.33 \sin(x_3))$ est donc
<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>FIG. 6.8 – Erreurs d'observation pour le protocole TOD avec $\tau = 0.002$</figcaption></figure>

globalement Lipschitzienne de constante $k_\phi = 3.33$,

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -48.6 & -1.25 & 48.6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 19.5 & 0 & -19.5 & 0 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

L'observateur suivant est synthétisé :

$$\dot{x} = A\bar{x} + \phi(\bar{x}) + \Lambda(y - \bar{y}) \quad (6.98)$$

$$\bar{y} = C\bar{x} \quad (6.99)$$

$$\Lambda = \Lambda_1 + \frac{\tilde{k}_{\phi}^2 + \varepsilon}{|CT|^2} T \Lambda_2, \quad (6.100)$$

où $\Lambda_1 \in \mathbb{R}^{4 \times 2}$ est tel que $A - \Lambda_1 C$ est Hurwitz :

$$\Lambda_1 = \begin{bmatrix} 9.3275 & 1 \\ -48.7804 & 22.1136 \\ -0.0524 & 3.1994 \\ 19.4066 & -0.9032 \end{bmatrix}. \quad (6.101)$$

La matrice $\Lambda_2 \in \mathbb{R}^{4 \times 2}$ est un autre gain d'observation défini par

$$\Lambda_2 = \frac{1}{2} P^{-1} T C^T, \quad (6.102)$$
où P est la matrice réelle définie positive symétrique :

$$
P = \begin{bmatrix}
18.6546 & -0.0234 & 0.0396 & 0.0012 \\
-0.0234 & 5.9522 & -12.5731 & 1.9503 \\
0.0396 & -12.5731 & 30.8320 & -8.8656 \\
0.0012 & 1.9503 & -8.8656 & 9.7302
\end{bmatrix}
$$

qui satisfait l'équation de Riccati algébrique :

$$
(T^{-1}(A - \Lambda_1 C)T)^T P + P (T^{-1}(A - \Lambda_1 C)T) + P^2 + (\tilde{k}_{\phi}^2 + \eta)\mathbb{I} - \frac{\tilde{k}_{\phi}^2 + \epsilon}{|CT|^2} TC^TCT = 0, \quad (6.103)
$$

où $T = \text{diag}(1,1,1,10)$ est une matrice de changement de coordonnées et $\varepsilon \ge -k_{\phi}^2$, $\varepsilon = 0.1111$, $\tilde{k}_{\phi} = 0.333$, $\eta = 0.1211$, ainsi

$$
\Lambda_2 = \begin{bmatrix} 0.0268 & 0.0003 \\ 0.0003 & 1.1392 \\ 0.0001 & 0.5405 \\ 0 & 0.2641 \end{bmatrix} .
$$

L'observateur (6.98)-(6.100) est développé en deux étapes dans [160]. Dans un premier temps,
le gain $\Lambda_1$ est déterminé, puis un changement de coordonnées est opéré afin de satisfaire
certaines conditions non-présentées ici (en rapport avec la distance à l'inobservabilité du
système notamment) d'où la matrice $T$. Afin d'obtenir des bornes sur le MATI les plus
grandes possibles, nous choisissons de réécrire le problème de l'observation lorsque les capteurs
transmettent leurs données par l'intermédiaire d'un réseau partagé, dans les coordonnées $\tilde{\xi}, \tilde{z}, e$
où $\tilde{\xi} = T^{-1}\xi$ et $\tilde{z} = T^{-1}z$ (puisque les sorties du système sont $x_1$ et $x_2$, le changement de
coordonnées n'affecte pas $e = \begin{bmatrix} \hat{y}_1 - y_1 \\ \hat{y}_2 - y_2 \end{bmatrix}$ compte tenu de la définition de $T$). Un nœud
est associé à chaque composante du vecteur de sortie, $l = 2$. Le problème devient dans les
coordonnées $(\tilde{\xi}, \tilde{z}, e)$ :

$$
\begin{align}
\dot{\tilde{\xi}} &= T^{-1}(A - \Lambda C)T\tilde{\xi} - T^{-1}\Lambda e + T^{-1}\phi(T\tilde{\xi} + T\tilde{z}) \nonumber \\
&\quad - T^{-1}\phi(T\tilde{z}) \tag{6.104} \\
\dot{\tilde{z}} &= T^{-1}AT\tilde{z} + T^{-1}\phi(T\tilde{z}) + T^{-1}\Lambda e + T^{-1}\Lambda CT\tilde{\xi} \nonumber
\end{align}
$$

$$
\dot{\tilde{z}} = T^{-1}AT\tilde{z} + T^{-1}\phi(T\tilde{z}) + T^{-1}\Lambda e + T^{-1}\Lambda CT\tilde{\xi} \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \quad (6.105)
$$

$$
\dot{e} = \hat{f}_P(z) - CA(T\tilde{\xi} + T\tilde{z}) - C\phi(T\tilde{\xi} + T\tilde{z}) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \quad (6.106)
$$

$$
\tilde{\xi}(t_i^+) = \tilde{\xi}(t_i) \tag{6.107}
$$

$$
\tilde{z}(t_i^+) = \tilde{z}(t_i) \tag{6.108}
$$

$$
e(t_i^+) = h(i, e(t_i)). \tag{6.109}
$$

On peut montrer de la même manière qu'au Lemme 5.3.2 en utilisant (6.103), que pour tout
$\tilde{\xi}_0 \in \mathbb{R}^4$ and $e \in \mathcal{L}_\infty$, les solutions de (6.104) vérifient :

$$
|\tilde{\xi}(t)| \le \sqrt{\frac{\lambda_{\max}(P)}{\lambda_{\min}(P)}} \exp\left(-\frac{\eta}{2\lambda_{\max}(P)}(t-t_0)\right) |\tilde{\xi}(0)| + 2 \frac{\lambda_{\max}(P)}{\eta\lambda_{\min}(P)} |PT^{-1}\Lambda| \|e\|_{[t_0,t)}. \quad (6.110)
$$
<table><caption>TAB. 6.3 – Bornes sur le MATI pour le système (6.104)-(6.109)</caption><thead><tr><th></th><th></th><th>RR</th><th>TOD</th><th>Echantillonné</th></tr></thead><tbody><tr><td>ZOH</td><td>Proposition 5.3.1</td><td>1.12 × 10<sup>-9</sup></td><td>1.58 × 10<sup>-9</sup></td><td>5.39 × 10<sup>-9</sup></td></tr><tr><td rowspan="3">Pred</td><td>Proposition 5.3.2</td><td>2.73 × 10<sup>-9</sup></td><td>3.16 × 10<sup>-9</sup></td><td>1.08 × 10<sup>-8</sup></td></tr><tr><td>Théorème 6.4.2</td><td>5.34 × 10<sup>-9</sup></td><td>3.83 × 10<sup>-9</sup></td><td>1.08 × 10<sup>-8</sup></td></tr><tr><td>Simulation</td><td>0.30</td><td>0.28</td><td>1.2</td></tr></tbody></table>

Par conséquent, les Hypothèses 5.2.5 et 6.4.2 sont satisfaites. L'Hypothèse 5.2.3 est vérifiée pour les protocoles RR, TOD et le cas échantillonné et les bloqueurs ZOH et Pred, comme nous l'avons vu dans §5.3.2. Parallèlement à (6.110) on a, pour tout $\tilde{z}_0 \in \mathbb{R}^4$ et $(x,e) \in \mathcal{L}_\infty^6$,

$$|\tilde{z}(t)| \le \sqrt{\frac{\lambda_{\max}(P)}{\lambda_{\min}(P)}} \exp\left(-\frac{\eta}{2\lambda_{\max}(P)}(t-t_0)\right) |\tilde{z}(0)| + 2\frac{\lambda_{\max}(P)}{\eta\lambda_{\min}(P)} [|PT^{-1}\Lambda C| \|x\|_{[t_0,t)} + |PT^{-1}\Lambda| \|e\|_{[t_0,t)}]. \quad (6.111)$$

En remarquant que le système (6.96) est stable ([187]), (5.48) est garantie d'après (6.111). Le Corollaire 5.2.1 peut ainsi être appliqué, (5.51) est par conséquent assurée lorsque le bloqueur ZOH est implémenté et pour des periodes de transmission inférieures à celles données dans le Tableau 6.3. Les conditions du Théorème 5.2.2 sont également vérifiées, (5.56) est donc garantie. On peut montrer, de la même manière que dans §6.5.2, que l'Hypothèse 6.4.3 est bien vérifiée avec $K_i = 2|C_iA|\frac{\lambda_{\max}(P)}{\eta\lambda_{\min}(P)}|PT^{-1}\Lambda|$ et (6.20) avec $K = 2|CA|\frac{\lambda_{\max}(P)}{\eta\lambda_{\min}(P)}|PT^{-1}\Lambda|$. Par conséquent, (6.37) est assurée d'après le Corollaire 6.4.1 et le Théorème 6.4.2, selon le protocole considéré. Les bornes sur le MATI sont résumées dans le Tableau 6.3.

Contrairement à §6.6.1, les gains sont uniquement calculés à l'aide de fonctions de Lyapunov. Nous pensons que c'est la une des raisons principales des faibles valeurs de MATI obtenues. Nous constatons en effet une très grande différence entre MATI estimés et obtenus en simulation. Une des pistes pour améliorer ces résultats serait de faire varier la fonction de Lyapunov, i.e. $P$, et le gain d'observation $\Lambda_1$ afin de maximiser le MATI. Cette procédure d'optimisation s'avère beaucoup plus délicate que pour les observateurs linéaires, puisque $P$ doit garantir des conditions supplémentaires en termes de matrice de changement de coordonnées et de distance à l'inobservabilité en fonction de $\Lambda_1$ (cf. [1, 160]) qui nécessitent des développements supplémentaires. Nous retrouvons la même hiérarchie entre bloqueurs ZOH/Pred et protocoles RR/TOD/échantillonné pour les MATI estimés, qui n'est toutefois pas toujours fidèle au comportement réel du système puisque l'on constate que le protocole RR est plus efficace que le TOD, pour les bloqueurs Pred, pour de larges MATI. Cette différence inattendue se justifie par le faible nombre de nœuds du réseau qui ne permet visiblement pas de tirer profit des capacités du TOD.
## 6.7 Conclusion

Une analyse différente de celle du Chapitre 5 a été proposée pour l'étude d'observateurs émulés pour les NCS avec des bloqueurs Pred et des protocoles à excitation persistante et TOD. A partir des travaux de [92], d'autres hypothèses sont déduites et de nouvelles bornes sur le MATI obtenues. Il est montré, tout comme au chapitre précédent, que les résultats s'appliquent aux observateurs linéaires et à grand gain. La stabilité du problème fait appel à un récent théorème du petit gain [91] qui permet d'étendre certaines conditions de bornitude évoquées au chapitre précédent. Les deux approches ont été comparées sur deux exemples et nous avons pu constaté que les bornes sur le MATI dérivées dans ce chapitre sont généralement plus précises que celles du chapitre précédent.
# Chapitre 7

## Convergence semiglobale pratique
d'observateurs émulés pour les NCS

### 7.1 Introduction

Nous avons vu aux Chapitres 5 et 6 qu'il est possible d'analyser la convergence des observateurs émulés linéaires et à grand gain pour les NCS ordonnancés. Les méthodes développées reposent grandement sur la linéarité de certains voire de tous les gains des hypothèses. Lorsque les observateurs ne sont plus globalement Lipschitziens, il y a peu de chances que de telles conditions soient respectées, en particulier pour ceux par injection de sortie [20, 102] ou par critère du cercle [8, 50]. L'objectif de ce chapitre est d'étendre les hypothèses du Chapitre 5 à l'aide de gains non linéaires, afin d'étudier de plus grandes classes de systèmes et de protocoles. Cet élargissement a pour conséquence de ne plus garantir de propriétés de stabilité globale pour l'erreur d'observation mais semi-globale : le MATI dépend (notamment) de la zone où se situent les conditions initiales. D'un point de vue technique, la méthode est la même qu'au Chapitre 5 : le système est décomposé en sous-systèmes interconnectés, puis la stabilité est analysée à l'aide du théorème du petit gain. La différence majeure provient ici de la nature de ce théorème, puisqu'il permet de déduire des propriétés de stabilité semiglobale (et pratique). L'obtention d'une borne sur le MATI étant un nos objectifs, il est nécessaire de déterminer explicitement les relations entre boules de conditions initiales et de convergence et les bornes de l'intervalle sur lequel la condition du petit gain est satisfaite. Aucune formulation du théorème du petit gain disponible dans la littérature n'offre une telle expression. C'est la raison pour laquelle nous avons été amenés à développer de nouveaux théorèmes pour les systèmes paramétrés (en le MATI), cf. Annexe D. Le fait que l'émulation ne garantisse plus de propriétés de stabilité globale (et asymptotique) est bien connu pour la commande par émulation des systèmes non linéaires à données échantillonnées [150] et des NCS [152]. Intuitivement, si les gradients des champs de vecteurs ne sont pas bornées uniformément dans l'espace d'état, on ne peut imaginer obtenir une borne sur le MATI qui assure la convergence
de l'erreur d'observation pour n'importe quelle condition initiale grâce à l'émulation : celle-ci devra s'adapter aux régions de l'espace d'état visitées.

L'observateur continu connu sera donc supposé stable entrée-sortie ou entrée-état vis-à-vis des perturbations de mesures. Nous montrerons que les observateurs par critère du cercle et par extension par injection de sortie vérifient cette propriété sous de légères conditions. Les protocoles d'ordonnancement considérés ne seront plus exclusivement UGES mais UGAS (cf. Definition 4.3.1), permettant ainsi de réduire le flux de données ou la fréquence de transmission lorsque l'erreur induite par le réseau approche de zéro (cf §4.3.2). Nous écrirons toutes les bornes sur les trajectoires sous forme de maximum et non de somme afin de soulager l'analyse (cf. Annexe B). On note que les résultats du Chapitre 5 peuvent être considérés comme un cas particulier de ceux présentés.

Ce chapitre est organisé de la façon suivante. Les hypothèses et l'analyse de stabilité sont présentées dans §7.2. L'application aux observateurs par critère du cercle est ensuite proposée dans §7.3. Dans §7.4, les hypothèses sur la robustesse de l'observateur vis-à-vis des perturbations sur les sorties sont commentées.

## 7.2 Hypothèses et analyse de stabilité

Dans cette section, les hypothèses du Chapitre 5 sont relaxées en considérant des gains non linéaires. Pour rappel, le problème peut s'écrire sous la forme :

$$ \dot{\xi} = f_{\xi}(t, \xi, e, z, w) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \qquad (7.1) $$

$$ \dot{z} = f_z(t, \xi, e, z, w) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \qquad (7.2) $$

$$ \dot{e} = g(t, \xi, e, z, w) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \qquad (7.3) $$

$$ \xi(t_i^+) = \xi(t_i) \qquad (7.4) $$

$$ z(t_i^+) = z(t_i) \qquad (7.5) $$

$$ e(t_i^+) = h(i, e(t_j), z(t_i)), \qquad (7.6) $$

où $\xi \in \mathbb{R}^{n_{\xi}}$ représente l'erreur d'observation, $z \in \mathbb{R}^{n_z}$ l'état de l'observateur, $e \in \mathbb{R}^{n_e}$ l'erreur induite par le réseau et $w \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_w}$ un vecteur de signaux de perturbations. La séquence d'instants de transmission $\{t_i\}_{i \in \mathbb{Z}_{>0}}$ vérifie :

$$ v \le t_i - t_{i-1} \le \tau \quad \forall i \in \mathbb{Z}_{>0}, \qquad (7.7) $$

avec $\tau \in [v, \infty)$, $t_0 \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ l'instant initial.

Nous nous concentrerons sur les protocoles UGAS qui satisfont l'hypothèse ci-dessous.

**Hypothèse 7.2.1** Le protocole (7.6) est UGAS avec une fonction de Lyapunov $W : \mathbb{Z}_{\ge 0} \times \mathbb{R}^{n_e} \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ localement Lipschitzienne en $e$ et uniformément en $i$.
L'Hypothèse 5.2.3 est étendue de la façon suivante.

**Hypothèse 7.2.2** Il existe $L \in \mathbb{R}_{\ge 0}$, $\gamma_1^\xi, \gamma_1^z, \gamma_1^w \in \mathcal{K}$ tels que, pour tout $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, $t \in [t_0, \infty)$, $(\xi, z, w) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_z+n_w}$ et presque tout $e \in \mathbb{R}^{n_e}$:

$$ \left\langle \frac{\partial W(i,e)}{\partial e}, g(t,e,\xi,z) \right\rangle \leq LW(i,e) + \gamma_1^\xi(|\xi|) + \gamma_1^z(|z|) + \gamma_1^w(|w|). \quad (7.8) $$

On remarque que seul le gain $L$ n'a pas été « non linéarisé ». Il se trouve que pour tous les exemples étudiés dans cette thèse, il est égal à zéro. Nous n'avons ainsi pas jugé nécessaire de relaxer cette condition qui serait à l'origine de difficultés techniques majeures.

L'Hypothèse 7.2.2 est souvent vérifiée à l'aide des conditions suivantes :

(i) il existe $L_1 \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ tel que, pour presque tout $e \in \mathbb{R}^{n_e}$ et tout $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, on a :

$$ \left| \frac{\partial W(i,e)}{\partial e} \right| \le L_1, \quad (7.9) $$

(ii) il existe $L_2 \in \mathbb{R}_{\ge 0}$, $\tilde{\gamma}_1^\xi, \tilde{\gamma}_1^z, \tilde{\gamma}_1^w \in \mathcal{K}$ tels que pour tout $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$, $t \in [t_i, t_{i+1}]$, $(\xi, e, z, w) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_e+n_z+n_w}$ :

$$ |g(t,\xi,e,z,w)| \le L_2 |W(i,e)| + \tilde{\gamma}_1^\xi(|\xi|) + \tilde{\gamma}_1^z(|z|) + \tilde{\gamma}_1^w(|w|). \quad (7.10) $$

Ainsi, (7.8) est satisfait avec $L = L_1 L_2$, $\gamma_1^\xi = L_1 \tilde{\gamma}_1^\xi$, $\gamma_1^z = L_1 \tilde{\gamma}_1^z$ et $\gamma_1^w = L_1 \tilde{\gamma}_1^w$. La condition (i) est équivalente au fait que $W$ est globalement Lipschitzienne en $e$ et uniformément en $i$, d'après le théorème de la valeur moyenne de Lebourg (cf. Théorème 2.3.7 dans [36]).

Lorsque les Hypothèses 7.2.1 et 7.2.2 sont vérifiées, la propriété suivante peut être établie. Elle est l'équivalente de la Propriété 5.2.1 avec des gains non linéaires et une borne sous forme de maximum.

**Remarque 7.2.1** Dans la suite $W(t)$ correspond à $W(i,e(t))$ pour tout $t \in [t_i, t_{i+1}]$, $i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}$.

**Proposition 7.2.1** Si les Hypothèses 7.2.1 et 7.2.2 sont vérifiées et $\tau \in [\nu, \tau_0)$ où

$$ \tau_0 = \frac{1}{L} \ln\left(\frac{1}{\rho}\right) \quad (7.11) $$

si $L=0$,

$$ \tau_0 = \lim_{L \to 0} \frac{1}{L} \ln \left( \frac{1}{\rho} \right) = \infty, \quad (7.12) $$

alors, il existe $\beta_1 \in \mathcal{KL}$ telle que pour tout $e_0 \in \mathbb{R}^{n_e}$, $(\xi, z, w) \in \mathcal{L}_\infty^{n_\xi+n_z+n_w}$, les solutions de (7.3) et (7.6) vérifient, pour tout $t \ge t_0 \ge 0$ :

$$ W(t) \le \max \left\{ \beta_1(|W(t_0)|, t - t_0), \zeta(\tau)\tilde{\gamma}_1^\xi(\|\xi\|_{[t_0,t)}), \zeta(\tau)\tilde{\gamma}_1^z(\|z\|_{[t_0,t)}), \zeta(\tau)\tilde{\gamma}_1^w(\|w\|_{[t_0,t)}) \right\}, \quad (7.13) $$
où, pour $(\tau,s,t) \in [0,\tau_0) \times \mathbb{R}_{\ge 0}^2$, avec $\mu \in \mathbb{R}_{>0}$,
$$ \zeta(\tau) = \frac{\exp(L\tau) - 1}{L(1 - \rho\exp(L\tau))} $$
$$ \tilde{\gamma}_1^{\xi}(s) = (1 + \mu)\gamma_1^{\xi}(s) $$
$$ \tilde{\gamma}_1^{z}(s) = (2 + \mu + \mu^{-1})\gamma_1^{z}(s) $$
$$ \tilde{\gamma}_1^{w}(s) = (3 + \mu + 3\mu^{-1} + \mu^{-2})\gamma_1^{w}(s). $$

**Preuve.** Soient $e_0 \in \mathbb{R}^{n_e}$, $(\xi,z,w) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_{\xi}+n_z+n_w}$ et $\tau \in [\upsilon,\tau_0)$. D'après la preuve de la Proposition 5.2.1, pour tout $t \ge t_0 \ge 0$:

$$ |W(t)| \le \tilde{\beta}_1(\tau, |W(t_0)|, t - t_0) + \zeta(\tau)(\gamma_1^{\xi}(\|\xi\|_{[t_0,t)}) + \gamma_1^{z}(\|z\|_{[t_0,t)}) + \gamma_1^{w}(\|w\|_{[t_0,t]})), \quad (7.14) $$
où $\tilde{\beta}_1(\tau, \cdot, \cdot) \in \mathcal{KL}$. Il suffit pour conclure d'appliquer à plusieurs reprises la Proposition A.1.2 à (7.14). $\square$

**Remarque 7.2.2** On remarque que $\zeta \in \mathcal{K}$, puisque cette fonction continue est strictement croissante sur $[0, \frac{1}{L} \ln(\frac{1}{\rho}))$ et $\zeta(0) = 0$. Pour la dépendance de $\beta_1$ en $\tau$, voir Remarque 5.2.1.

La robustesse de l'observateur continu aux perturbations sur la sortie est supposée telle que la condition suivante est vérifiée.

**Hypothèse 7.2.3** Le système (7.1)-(7.2) est stable entrée-sortie de $(e,w)$ à $\xi$, i.e. il existe $\beta_2 \in \mathcal{KL}$, $\gamma_2^e, \gamma_2^w \in \mathcal{K}$ tels que, pour tout $(\xi_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_{\xi}+n_z}$, $(e,w) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_e+n_w}$, les solutions de (7.1)-(7.2) satisfont :

$$ |\xi(t)| \le \max \left\{ \beta_2(|(\xi_0, z_0)|, t - t_0), \gamma_2^e(\|e\|_{[t_0,t)}), \gamma_2^w(\|w\|_{[t_0,t)}) \right\} \quad \forall t \ge t_0 \ge 0. \quad (7.15) $$

Il est montré dans l'Annexe B (cf. Propositions B.2.1 et B.2.2) que la stabilité entrée-sortie ou entrée-état formulée sous la forme « $\max$ » est équivalente à la forme « + » mais avec des gains différents. Cette hypothèse peut ainsi être vérifiée à l'aide de la Proposition B.2.1.

La condition suivante assurera la bornitude des états du système global (7.1)-(7.6).

**Hypothèse 7.2.4** Le système (7.2) est UEBEB avec pour entrée $(\xi,e,w)$, i.e. il existe $\alpha_2, \eta_2^e, \eta_2^w, \eta_2 \in \mathcal{K}$ tels que, pour tout $z_0 \in \mathbb{R}^{n_z}$, $(\xi,e,w) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_{\xi}+n_e+n_w}$, les solutions de (7.2) vérifient :

$$ |z(t)| \le \max \left\{ \alpha_2(|z_0|), \eta_2^e(\|\xi\|_{[t_0,t)}), \eta_2^e(\|e\|_{[t_0,t)}), \eta_2^w(\|w\|_{[t_0,t)}) \right\} \quad \forall t \ge t_0 \ge 0. \quad (7.16) $$

Considérant le problème comme étant paramétré en $\tau$, (l'intervalle de temps entre deux transmissions) il est montré que les conditions du Théorème D.3.2 sont satisfaites pour le système (7.1)-(7.6). Les propriétés de stabilité pour l'erreur d'observation sont alors immédia-tement déduites. L'analyse repose sur les variables $\xi, z$ et $W$ (et non $\xi,z,e$ comme au Chapitre 5), ainsi, d'après (4.35), (7.15) devient pour tout $(\xi_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_{\xi}+n_z}$ et $(W,w) \in \mathcal{L}_{\infty}^{1+n_w}$ :

$$ |\xi(t)| \le \max \left\{ \beta_2(|(\xi_0, z_0)|, t - t_0), \gamma_2^W(\|W\|_{[t_0,t)}), \gamma_2^w(\|w\|_{[t_0,t)}) \right\} \quad \forall t \ge t_0 \ge 0, \quad (7.17) $$
avec $\gamma_2^W = \gamma_2^e \circ \alpha_1^{-1}$ où $\alpha_1$ provient de (4.35) dans la Définition 4.3.1. De même (7.16) permet d'obtenir pour tout $z_0 \in \mathbb{R}^{n_z}$ et $(\xi, W, w) \in \mathcal{L}_\infty^{n_\xi+1+n_w}$:

$$|z(t)| \le \max \left\{ \alpha_2(|z_0|), \eta_2^\xi (\|\xi\|_{[t_0,t)}), \eta_2^W (\|W\|_{[t_0,t)}), \eta_2^w (\|w\|_{[t_0,t)}) \right\} \quad \forall t \ge t_0 \ge 0, \quad (7.18)$$

avec $\eta_2^W = \eta_2^e \circ \alpha_1^{-1}$.

**Théorème 7.2.1** *Supposons que les Hypothèses 7.2.1-7.2.4 soient vérifiées, pour tout $\Delta, \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$ il existe $\tau^*(\varepsilon, \Delta) \in [v, \tau_0)$ (défini dans (7.22)) tel que :*

1. pour tout $\tau \in [v, \tau^*(\varepsilon, \Delta))$, $(\xi_0, e_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_e+n_z}$ et $w \in \mathcal{L}_\infty^{n_w}$ avec $\max \{|\xi_0|,|e_0|,|z_0|, \|w\|_\infty\} < \Delta$, il existe $\mu \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ tel que, le long des solutions de (7.1)-(7.6):

$$|(|\xi(t),z(t),e(t)|) \le \mu \quad \forall t \ge t_0 \ge 0; \quad (7.19)$$

2. il existe $\beta \in \mathcal{KL}$, $\sigma \in \mathcal{K}$, $\bar{\sigma}, \delta \in \mathcal{KK}$, tels que pour tout $\tau \in [v, \tau^*(\varepsilon, \Delta))$, $(\xi_0, e_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_e+n_z}$ et $w \in \mathcal{L}_\infty^{n_w}$ avec $\max \{|\xi_0|,|e_0|,|z_0|, \|w\|_\infty\} < \Delta$, les solutions de (7.1)-(7.6) satisfont, pour tout $t \ge t_0 \ge 0$,

$$|(|\xi(t),e(t)|) \le \max \{\beta(|(\xi_0,e_0,z_0)|,t-t_0),\sigma(\|w\|_{[t_0,\infty)}),\bar{\sigma}(\tau^*,\|w\|_{[t_0,\infty)}),\delta(\tau^*,\Delta),\varepsilon\}. \quad (7.20)$$

**Preuve.** Il suffit de montrer que le système (7.1)-(7.6) satisfait les conditions du Théorème D.3.2. On identifie $x_1 = e$, $x_2 = (\xi, z)$, $\omega_1(x_1) = W$, $\omega_2^a(x_2) = \xi$, $\omega_2^b(x_2) = z$. On peut voir que (D.50) et (D.51) sont assurées avec $\rho_1(s) = \alpha_2(s)$ (où $\alpha_2 \in \mathcal{K}$ provient de (4.35)), $\underline{\rho}_2(s) = \bar{\rho}_2(s) = s$, pour $s \in \mathbb{R}_{\ge 0}$.

Soit $\bar{\tau} \in [v, \tau_0)$, les inégalités (D.159), (D.160), (D.161), (D.162) sont vérifiées pour tout $(\xi_0, e_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_e+n_z}$, $w \in \mathcal{L}_\infty^{n_w}$ et $\tau \in [v, \bar{\tau})$, en identifiant $u_1 = u_2 = w$, d'après (7.13), (7.17) et (7.18) en identifiant, pour $(\tau, s) \in [v, \bar{\tau}) \times \mathbb{R}_{\ge 0}$ (les fonctions ayant la même notation
que dans le Théorème D.3.2 ne sont pas précisées) :

$$
\begin{align*}
\gamma_1^{\omega_2^a}(\tau,s) &= \zeta(\tau)\tilde{\gamma}_1^\xi(s) \\
\gamma_1^{\omega_2^b}(\tau,s) &= \zeta(\tau)\tilde{\gamma}_1^z(s) \\
\gamma_1^u(\tau,s) &= \zeta(\tau)\tilde{\gamma}_1^w(s) \\
\gamma_2^{\omega_1}(\tau,s) &= \gamma_2^W(s) \\
\gamma_2^u(\tau,s) &= \gamma_2^w(s) \\
\eta_2^{\omega_1}(\tau,s) &= \eta_2^W(s) \\
\eta_2^{\omega_2^a}(\tau,s) &= \eta_2^\xi(s) \\
\eta_2^u(\tau,s) &= \eta_2^w(s) \\
\alpha_1(s) &= \alpha_1^{-1}(\beta_1(\alpha_2(s),0)) \\
\eta_1^{\omega_1}(\tau,s) &= 0 \\
\eta_1^{\omega_2^a}(\tau,s) &= \alpha_1^{-1}(\zeta(\tau)\tilde{\gamma}_1^\xi(s)) \\
\eta_1^{\omega_2^b}(\tau,s) &= \alpha_1^{-1}(\zeta(\tau)\tilde{\gamma}_1^z(s)) \\
\eta_1^u(\tau,s) &= \alpha_1^{-1}(\zeta(\tau)\tilde{\gamma}_1^w(s)).
\end{align*}
$$

Soient $\Delta, \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$, on définit $m, M$ (qui dépendent de $\Delta$ et $\varepsilon$) tels que (D.163) est satisfait,
et $\bar{\gamma} \in \mathcal{KK}$ comme, pour $(\tau, s) \in [\upsilon, \bar{\tau}) \times \mathbb{R}_{\ge 0}$,

$$
\bar{\gamma}(\tau,s) = \max \left\{ \begin{array}{l} \zeta(\tau)\tilde{\gamma}_1^\xi \circ \gamma_2^W(s), \zeta(\tau)\tilde{\gamma}_1^z \circ \eta_2^\xi \circ \gamma_2^W(s), \zeta(\tau)\tilde{\gamma}_1^z \circ \eta_2^W(s), \gamma_2^W(\zeta(\tau)\tilde{\gamma}_1^\xi(s)), \\ \qquad \gamma_2^W(\zeta(\tau)\tilde{\gamma}_1^z(\eta_2^\xi(s))), \gamma_2^W(\zeta(\tau)\tilde{\gamma}_1^z(\eta_2^W(s))) \end{array} \right\}. \quad (7.21)
$$

Soit $\bar{\gamma}^{-1}$ l'inverse de $\bar{\gamma}$ par rapport à sa première variable avec la convention $\bar{\gamma}^{-1}(s) = \infty$
si $s \ge \tau_0$. En prenant :

$$
\tau^* = \min \left\{ \bar{\tau}, \min_{s \in [m,M]} \bar{\gamma}^{-1}(s) \right\}, \quad (7.22)
$$

on a

$$
\bar{\gamma}(\tau^*, s) < s \quad \forall s \in [m, M], \tag{7.23}
$$

et la condition (D.164) est assurée. Finalement, en invoquant le Théorème D.3.2, les résultats
désirés sont obtenus. $\square$

**Remarque 7.2.3** La constante $\bar{\tau}$ définit en quelque sorte un dépassement maximal pour les variables du système. Elle est nécessaire à l'obtention de $\tau^*$ qui garantit les propriétés de stabilité établies (pour plus de détails voir Annexe D). La détermination de la paire $(\bar{\tau}, \tau^*)$ qui permet de considérer le plus large MATI reste un problème ouvert.

La propriété de stabilité obtenue (7.20) est similaire à celle du Théorème 5.2.1, à la précision de convergence $\varepsilon$ près, avec un MATI qui dépend de $\Delta$.

**Remarque 7.2.4** Nous aurions pu regroupé $\delta(\tau^*,\Delta)$ et $\varepsilon$ en un seul terme, cependant nous avons choisi de les distinguer afin de souligner les similitudes avec le Théorème 5.2.1.
Parallèlement au Chapitre 5, l'Hypothèse 7.2.4 peut être difficile à vérifier. Supposons que le système (4.14) soit UEBEB avec $w$ comme entrée, i.e. il existe $\alpha_0, \sigma_0 \in \mathcal{K}$, tels que pour tout $x_0 \in \mathbb{R}^{n_x}$ et $w \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_w}$,

$$|x(t)| \le \max\{\alpha_0(|x_0|), \sigma_0(\|w\|_{[t_0,t)})\} \quad t \ge t_0 \ge 0, \qquad (7.24)$$

et supposons qu'il existe $\beta_3 \in \mathcal{KL}$, $\gamma_3^x, \gamma_3^e, \gamma_3^w \in \mathcal{K}$ tels que, le long des solutions de (7.2), pour tout $z_0 \in \mathbb{R}^{n_z}$, $(x,e,w) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_x+n_e+n_w}$:

$$|z(t)| \le \max\{\beta_3(|z_0|,t-t_0),\gamma_3^x(\|x\|_{[t_0,t)}),\gamma_3^e(\|e\|_{[t_0,t)}),\gamma_3^w(\|w\|_{[t_0,t)})\} \quad \forall t \ge t_0 \ge 0. \qquad (7.25)$$

**Remarque 7.2.5** La condition (7.25) est satisfaite dans de nombreux cas, cf. § 7.3, elle peut être vérifiée à l'aide de l'Hypothèse 7.2.3 et du fait que $\xi = x - h_O(t,z)$.

Ainsi, en combinant (7.24) et (7.25), pour tout $(x_0,z_0) \in \mathbb{R}^{n_x+n_z}$, $(e,w) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_e+n_w}$, le long des solutions de (4.16), on a, pour tout $t \ge t_0 \ge 0$:

$$|z(t)| \le \max\{\beta_3(|z_0|,t-t_0),\gamma_3^x \circ \alpha_0(|x_0|),\gamma_3^x \circ \sigma_0(\|w\|_{[t_0,t)}),\gamma_3^e(\|e\|_{[t_0,t)}),\gamma_3^w(\|w\|_{[t_0,t)})\}. \qquad (7.26)$$

En écrivant $\xi = x - h_O(t,z)$, puis en utilisant la Proposition A.1.2 (avec $\mu = 1$), nous obtenons, pour $(\xi_0,z_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_z}$:

$$\begin{aligned} \alpha_0(|x_0|) &= \alpha_0(|\xi_0 + h_O(t,z_0)|) \\ &\le \max\{\alpha_0(2|\xi_0|),\alpha_0(2|h_O(t,z_0)|)\}. \end{aligned} \qquad (7.27)$$

De plus, supposons qu'il existe $\zeta \in \mathcal{K}$ tel que $|h_O(t,z)| \le \zeta(|z|)$ pour tout $(t,z) \in \mathbb{R}^{1+n_z}$, on a:

$$\alpha_0(2|h_O(t,z_0)|) \le \alpha_0(2\zeta(|z_0|)) = \tilde{\alpha}_0(|z_0|). \qquad (7.28)$$

De cette manière, définissons, pour $s \in \mathbb{R}_{\ge 0}$, $\alpha_2(s) = \max\{\beta_3(s,0),\gamma_3^x \circ \alpha_0(2s),\gamma_3^e \circ \tilde{\alpha}_0(s)\}$, $\eta_2^w(s) = \max\{\gamma_3^w(s),\gamma_3^x \circ \sigma_0(s)\}$ et $\eta_2^e(s) = \gamma_3^e(s)$, pour tout $(x_0,z_0) \in \mathbb{R}^{n_x+n_z}$, $(e,w) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_e+n_w}$, le long des solutions de (7.2), pour tout $t \ge t_0 \ge 0$:

$$\begin{aligned} |z(t)| &\le \max\{\alpha_2(|(\xi_0,z_0)|,0),\eta_2^e(\|e\|_{[t_0,t)}),\eta_2^w(\|w\|_{[t_0,t)})\} \\ &\le \max\{\alpha_2(|(\xi_0,z_0)|,0),\eta_2^W(\|W\|_{[t_0,t)}),\eta_2^w(\|w\|_{[t_0,t)})\}, \end{aligned} \qquad (7.29)$$

où $\eta_2^W = \eta_2^e \circ \alpha_1^{-1}$. La condition (7.29) ne nous permet pas de conclure quant à la stabilité UEBEB de (7.2) avec comme entrée $\xi, e, w$, toutefois, elle est suffisante pour déduire des propriétés de convergence pour l'erreur d'observation comme nous le montrons dans le corollaire ci-dessous dont la preuve rejoint celle du Théorème 7.2.1.

**Corollaire 7.2.1** Supposons que les Hypothèses 7.2.1-7.2.3 et (7.29) soient vérifiées, pour tout $\Delta, \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$ il existe $\tau^*(\varepsilon, \Delta) \in [v, \tau_0)$ tel que:

1. pour tout $\tau \in [v, \tau^*(\varepsilon, \Delta))$, $(\xi_0, e_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_e+n_z}$ et $w \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_w}$ avec $\max\{|\xi_0|,|e_0|,|z_0|,\|w\|_{\infty}\} < \Delta$, il existe $\mu \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ tel que, le long des solutions de (7.1)-(7.6), pour tout $t \in [t_0, \infty)$:

$$|(\xi(t),z(t),e(t))| \le \mu; \qquad (7.30)$$
2. il existe $\beta \in \mathcal{KL}$, $\sigma \in K$, $\bar{\sigma}, \delta \in KK$, tel que pour tout $\tau \in [\upsilon, \tau^*(\varepsilon, \Delta))$, $(\xi_0, e_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_{\xi}+n_e+n_z}$ et $w \in \mathcal{L}_{\infty}^{nw}$ avec $\max \{|\xi_0|,|e_0|,|z_0|, \|w\|_{\infty}\} < \Delta$, les solutions de (7.1)-(7.6) satisfont, pour tout $t \ge t_0 \ge 0$,

$$ |(\xi(t),e(t))| \le \max \{\beta(|(\xi_0,e_0,z_0)|,t-t_0),\sigma(\|w\|_{[t_0,\infty)}),\bar{\sigma}(\tau^*,\|w\|_{[t_0,\infty)}),\delta(\tau^*,\Delta),\varepsilon\}. \quad (7.31) $$

D'après le Théorème D.3.2, la fonction $\delta$ dans (7.20) et (7.31) s'annule lorsque $\gamma_2^z = 0$. Nous nous intéressons à ce cas dans la suite de cette section. L'hypothèse suivante est plus restrictive que l'Hypothèse 7.2.3.

**Hypothèse 7.2.5** Il existe $\beta_2 \in \mathcal{KL}$, $\gamma_2^e, \gamma_2^w \in K$ tels que, pour tout $\xi_0 \in \mathbb{R}^{n_{\xi}}$, $(e, w) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_e+n_w}$ et $z(t)$ défini pour tout $t \in \mathbb{R}_{\ge 0}$, les solutions de (7.1) satisfont :

$$ |\xi(t)| \le \max \left\{ \beta_2(|\xi_0|, t - t_0), \gamma_2^e (\|e\|_{[t_0, t)}), \gamma_2^w (\|w\|_{[t_0, t)}) \right\} \quad \forall t \ge t_0 \ge 0, \quad (7.32) $$

$$ |\xi(t)| \le \max \left\{ \beta_2(|\xi_0|, t - t_0), \gamma_2^W (\|W\|_{[t_0, t)}), \gamma_2^w (\|w\|_{[t_0, t)}) \right\} \quad \forall t \ge t_0 \ge 0, \quad (7.33) $$

**Remarque 7.2.6** L'Hypothèse 7.2.5 implique que le système (7.1) est stable entrée-état vis-à-vis de $(z,e,w)$ et peut donc être vérifiée à l'aide de la Proposition B.2.2. Pour reprendre la Remarque 5.2.7, $z$ doit juste être défini pour tout $t \in \mathbb{R}_{\ge 0}$.

Lorsque l'Hypothèse 7.2.2 est satisfaite avec $\gamma_2^z = 0$, il n'est plus nécessaire de supposer le système (7.2) UEBEB vis-à-vis de $(\xi,e,w)$, mais simplement uniformément positivement complet par rapport à ces entrées.

**Hypothèse 7.2.6** Le système (7.2) est uniformément positivement complet pour les entrées $(\xi,e,w) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_{\xi}+n_e+n_w}$, i.e. il existe $\alpha_2, \eta_2^t, \eta_2^\xi, \eta_2^e, \eta_2^w \in K$ tels que, pour tout $z_0 \in \mathbb{R}^{n_z}$, $(\xi,e,w) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_{\xi}+n_e+n_w}$, les solutions de (7.2) vérifient, pour tout $t \ge t_0 \ge 0$ :

$$ |z(t)| \le \max \left\{ \alpha_2(|z_0|), \eta_2^t(t - t_0), \eta_2^\xi(\|\xi\|_{[t_0, t)}), \eta_2^e(\|e\|_{[t_0, t)}), \eta_2^w(\|w\|_{[t_0, t)}) \right\}, \quad (7.34) $$

$$ |z(t)| \le \max \left\{ \alpha_2(|z_0|), \eta_2^t(t - t_0), \eta_2^\xi(\|\xi\|_{[t_0, t)}), \eta_2^W(\|W\|_{[t_0, t)}), \eta_2^w(\|w\|_{[t_0, t)}) \right\}, \quad (7.35) $$

**Théorème 7.2.2** Supposons que les Hypothèses 7.2.1, 7.2.5, 7.2.6 soient vérifiées et que l'Hypothèse 7.2.2 soit garantie avec $\gamma_1^z = 0$, pour tout $\Delta, \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$, il existe $\tau^*(\varepsilon, \Delta) \in [\upsilon, \tau_0)$ (défini dans (7.38)) tel que :

1. pour tout $\tau \in [\upsilon, \tau^*(\varepsilon, \Delta))$, $(\xi_0, e_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_{\xi}+n_e+n_z}$ et $w \in \mathcal{L}_{\infty}^{nw}$ avec $\max \{|\xi_0|,|e_0|, \|w\|_{\infty}\} < \Delta$, le système (7.1)-(7.6) est uniformément positivement complet;
2. il existe $\beta \in \mathcal{KL}$, $\sigma \in K$, $\bar{\sigma} \in KK$, tels que pour tout $\tau \in [v, \tau^*(\varepsilon, \Delta))$, $(\xi_0, e_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_e+n_z}$ et $w \in \mathcal{L}_\infty^{nw}$ avec $\max\{|\xi_0|,|e_0|, \|w\|_\infty\} < \Delta$, les solutions de (7.1)-(7.6) satisfont, pour tout $t \ge t_0 \ge 0$ :

$$ |(\xi(t),e(t))| \le \max \{\beta(|(\xi_0,e_0)|,t-t_0),\sigma(\|w\|_{[t_0,\infty)}),\bar{\sigma}(\tau^*,\|w\|_{[t_0,\infty)}),\varepsilon\}. \quad (7.36) $$

**Preuve.** Il suffit de montrer que le (7.1)-(7.6) satisfait les conditions du Théorème D.3.1. On identifie $x_1 = e$, $x_2 = (\xi, z)$, $\omega_1(x_1) = W$, $\omega_2^a(x_2) = \xi$, $\omega_2^b(x_2) = z$, on peut voir que (D.50) et (D.51) sont assurées avec $\rho_1(s) = \alpha_2(s)$, $\underline{\rho}_2(s) = \bar{\rho}_2(s) = s$, pour $s \in \mathbb{R}_{\ge 0}$.

Soit $\bar{\tau} \in [v, \tau_0)$, les inégalités (D.127), (D.128), (D.129), (D.130) sont vérifiées pour tout $(\xi_0, e_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_e+n_z}$, $w \in \mathcal{L}_\infty^{nw}$ et $\tau \in [v, \bar{\tau})$, en identifiant $u_1 = u_2 = w$, d'après (7.13), (7.33) et (7.35) en identifiant, pour $(\tau, s) \in [v, \bar{\tau}) \times \mathbb{R}_{\ge 0}$ (les fonctions ayant la même notation que dans le Théorème D.3.1 ne sont pas précisées) :

$$
\begin{align*}
\gamma_1^{\omega_2^a}(\tau,s) &= \zeta(\tau)\tilde{\gamma}_1^{\xi}(s) \\
\gamma_1^u(\tau,s) &= \zeta(\tau)\tilde{\gamma}_1^w(s) \\
\gamma_2^{\omega_1^1}(\tau,s) &= \gamma_2^W(s) \\
\gamma_2^u(\tau,s) &= \gamma_2^w(s) \\
\eta_2^{\omega_1^1}(\tau,s) &= \eta_2^W(s) \\
\eta_2^{\omega_2^a}(\tau,s) &= \eta_2^\xi(s) \\
\eta_2^u(\tau,s) &= \eta_2^w(s) \\
\alpha_1(s) &= \alpha_1^{-1}(\beta_1(\alpha_2(s),0)) \\
\eta_1^{\omega_1^1}(\tau,s) &= 0 \\
\eta_1^{\omega_2^a}(\tau,s) &= \alpha_1^{-1}(\zeta(\tau)\tilde{\gamma}_1^\xi(s)) \\
\eta_1^{\omega_2^b}(\tau,s) &= 0 \\
\eta_1^u(\tau,s) &= \alpha_1^{-1}(\zeta(\tau)\tilde{\gamma}_1^w(s)).
\end{align*}
$$

Soient $\Delta, \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$, on définit $m, M$ (qui dépendent de $\Delta$ et $\varepsilon$) tels que (D.163), et $\bar{\gamma} \in KK$ comme, pour $(\tau, s) \in [v, \bar{\tau}) \times \mathbb{R}_{\ge 0}$,

$$ \bar{\gamma}(\tau,s) = \max \{\gamma_1^\xi(\tau, \gamma_2^W(s)), \gamma_2^W(\gamma_1^\xi(\tau,s))\}. \quad (7.37) $$

Soit $\bar{\gamma}^{-1}$ l'inverse de $\bar{\gamma}$ par rapport à sa première variable avec la convention $\bar{\gamma}^{-1}(s) = \infty$ si $s \ge \tau_0$. En prenant :

$$ \tau^* = \min \left\{ \bar{\tau}, \min_{s \in [m,M]} \bar{\gamma}^{-1}(s) \right\}, \quad (7.38) $$

on a

$$ \bar{\gamma}(\tau^*,s) < s \quad \forall s \in [m,M], \quad (7.39) $$

et la condition (D.132) est assurée. Finalement, en invoquant le Théorème D.3.1, les résultats désirés sont obtenus. $\square$
Alors que le Théorème 5.2.2 assure la convergence globale et asymptotique de l'erreur d'observation en l'absence de perturbations, le Théorème 7.2.2 garantit la convergence semi-globale et pratique. On remarque que contrairement au Théorème 7.2.1 et au Corollaire 7.2.1, aucune condition sur $z_0$ n'est requise dans le Théorème 7.2.2.

**Remarque 7.2.7** Il est important de constater que différents résultats peuvent être déduits des Théorèmes 7.2.2, 7.2.1 et du Corollaire 7.2.1. Par exemple,

- si $\min_{s \in [0, M]} \bar{\gamma}^{-1}(s) \in \mathbb{R}_{>0} \cup \{\infty\}$ (où $\bar{\gamma}$ est défini dans la preuve correspondante), alors on peut prendre $\varepsilon = 0$;

- si $\min_{s \in [m, \infty]} \bar{\gamma}^{-1}(s) \in \mathbb{R}_{>0} \cup \{\infty\}$, alors on peut choisir $\Delta = \infty$;

la combinaison de ces deux cas particuliers ($\min_{s \in [0, \infty]} \bar{\gamma}^{-1}(s) \in \mathbb{R}_{>0} \cup \{\infty\}$) permet de retrouver les résultats du Chapitre 5 mais des gains différents.

## 7.3 Applications aux observateurs par critère du cercle

Les observateurs par critère du cercle développés dans [50] (qui sont une extension de ceux de [8]) sont étudiés lorsque les mesures du système sont transmises via un réseau ordonnancé par un protocole RR, TOD ou TOD modifié (défini dans §4.3.2) et avec des bloqueurs ZOH ou Pred. Le cas du simple échantillonnage des sorties est également traité.

Considérons les systèmes de la forme :

$$ \dot{x} = Ax + G\gamma(Hx) + \phi(y) \quad (7.40) $$

$$ y = Cx, \quad (7.41) $$

où $x \in \mathbb{R}^{n_x}$, $y \in \mathbb{R}^{n_y}$, $G \in \mathbb{R}^{n_x \times n_H}$, $H \in \mathbb{R}^{n_H \times n_x}$, $\gamma \in C^1(\mathbb{R}^{n_H}, \mathbb{R}^{n_H})$ et $\phi: \mathbb{R}^{n_y} \to \mathbb{R}^{n_x}$.

**Remarque 7.3.1** Lorsque $\gamma = 0$, on retrouve les systèmes linéaires à une injection de sortie près.

La non-linéarité $\gamma$ satisfait, pour tout $s \in \mathbb{R}^{n_H}$ :

$$ \frac{\partial \gamma}{\partial s} + \left( \frac{\partial \gamma}{\partial s} \right)^T \geq 0. \quad (7.42) $$

**Hypothèse 7.3.1** Les fonctions $\phi$ et $\gamma$ sont uniformément continues respectivement sur $\mathbb{R}^{n_y}$ et $\mathbb{R}^{n_H}$ c'est-à-dire, d'après la Proposition A.2.1, qu'il existe $\theta_\phi, \theta_\gamma \in \mathcal{K}$ tels que pour tout a,b de dimensions appropriées :

$$ |\phi(a) - \phi(b)| \leq \theta_\phi(|a - b|) \quad (7.43) $$

$$ |\gamma(a) - \gamma(b)| \leq \theta_\gamma(|a - b|). \quad (7.44) $$
Dans [50], l'observateur ci-dessous est développé :

$$
\dot{x} = A\bar{x} + \Lambda(y - \bar{y}) + G\gamma(H\bar{x} + K(y - \bar{y})) + \phi(y) \quad (7.45)
$$

$$
\bar{y} = C\bar{x}, \tag{7.46}
$$

où $\bar{x} \in \mathbb{R}^{n_x}$, $\bar{y} \in \mathbb{R}^{n_y}$, $\Lambda$ est une matrice réelle de dimensions appropriées. Il est supposé qu'il existe une matrice réelle symétrique définie positive $P$ et $\nu \in \mathbb{R}_{>0}$ tels que :

$$
\left[
\begin{array}{cc}
(A - \Lambda C)^{\mathrm{T}} P + P(A - \Lambda C) + \nu \mathbb{I} & PG + (H - KC)^{\mathrm{T}} \\
G^{\mathrm{T}} P + (H - KC) & 0
\end{array}
\right] \le 0. \qquad (7.47)
$$

Lorsque les mesures du système sont transmises via un réseau ordonnancé avec comme séquence d'instants de transmission {$t_i$}$_{i \in \mathbb{Z}_{>0}}$ telle que $\nu \le t_i - t_{i-1} \le \tau$ pour tout $i \in \mathbb{Z}_{>0}$, $\nu, \tau \in \mathbb{R}_{>0}$ et $t_0 \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ l'instant initial. Le système (7.40)-(7.46) peut s'écrire sous la forme :

$$
\begin{align}
\dot{\xi} &= (A - \Lambda C)\xi - \Lambda e + G\gamma(H(\xi + z)) - G\gamma(Hz + K(C\xi + e)) \nonumber \\
&\quad + \phi(C(\xi + z)) - \phi(e + C(\xi + z)) \tag*{\forall t \in [t_{i-1}, t_i]} \label{eq:7.48} \\
\xi^+ &= \xi \tag*{\text{(7.51)}}
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
\dot{z} &= Az + \Lambda(e + C\xi) + G\gamma(Hz + K(e + C\xi)) \nonumber \\
&\quad + \phi(e + C(\xi + z)) \tag*{\forall t \in [t_{i-1}, t_i]} \tag{7.49}
\end{align}
$$

$$
\dot{e} = \hat{f}_P(z) - CA(\xi + z) - CG\gamma(H(\xi + z)) - C\phi(C(\xi + z)) \quad \forall t \in [t_{i-1}, t_i] \quad (7.50)
$$

$$
\xi^+ = \xi \tag{7.51}
$$

$$
z^+ = z \tag{7.52}
$$

$$
e^+ = h(i,e), \tag{7.53}
$$

où $z = \bar{x}$, $\hat{f}_P$ est défini par (4.46) ou (4.48) et $h$ par (4.29), (4.38), (E.1) ou (4.49). L'Hypothèse 7.2.3 est satisfaite d'après le lemme suivant.

**Lemme 7.3.1** Pour tout $\xi_0 \in \mathbb{R}^{n_\xi}$, $e \in \mathcal{L}_\infty^{n_e}$, les solutions de (7.48) vérifient, pour tout $t \ge t_0 \ge 0$ :

$$
|\xi(t)| \le \max \left\{ \beta_2(|\xi_0|, t - t_0), \gamma_2^e (\|e\|_{[t_0, t)}) \right\}, \quad (7.54)
$$

avec, pour $s,t \in \mathbb{R}_{\ge 0}$,

$$
\beta_2(s,t) = \sqrt{\frac{\lambda_{\max}(P)}{\lambda_{\min}(P)}} s \exp \left( -\frac{\nu}{4\lambda_{\max}(P)} t \right),
$$

$$
\gamma_2^e(s) = \frac{4}{\nu} \sqrt{\frac{\lambda_{\max}(P)}{\lambda_{\min}(P)}} \left[ |PG|\theta_{\gamma}(|K|s) + |P\Lambda|s + |P|\theta_{\phi}(s) \right].
$$

**Preuve.** Soient $\xi_0 \in \mathbb{R}^{n_\xi}$ et $e \in \mathcal{L}_\infty^{n_e}$. Considérons $V(\xi) = \xi^\mathrm{T} P \xi$, le long des solutions de (7.48) :

$$
\begin{align*}
\dot{V} ={}& \xi^\mathrm{T} [(A - \Lambda C)^\mathrm{T} P + P(A - \Lambda C)] \xi + 2\xi^\mathrm{T} PG [\gamma(H(\xi + z)) - \gamma(Hz + K(C\xi + e))] \\
& -2\xi^\mathrm{T} P \Lambda e + 2\xi^\mathrm{T} P [\phi(C(\xi + z)) - \phi(e + C(\xi + z))].
\end{align*}
$$
D'après (7.47),

$$
\begin{aligned}
\dot{V} \le {}& -\nu |\xi|^2 - 2\xi^\mathrm{T} [PG + (H - KC)^\mathrm{T}] [\gamma (H(\xi + z)) - \gamma (Hz + KC\xi)] \\
& +2\xi^\mathrm{T} PG [\gamma (H(\xi + z)) - \gamma (Hz + K(C\xi + e))] - 2\xi^\mathrm{T} P\Lambda e \\
& +2\xi^\mathrm{T} P [\phi (C(\xi + z)) - \phi (e + C(\xi + z))].
\end{aligned}
$$

On remarque que, d'après (7.42) :

$$
\begin{aligned}
\xi^\mathrm{T}(H - KC)^\mathrm{T} [\gamma(H(\xi + z)) - \gamma(Hz + KC\xi)] ={}& \\
& \frac{1}{2}\xi^\mathrm{T}(H - KC)^\mathrm{T} \int_0^1 \left(\frac{\partial\gamma}{\partial s} + \left(\frac{\partial\gamma}{\partial s}\right)^\mathrm{T}\right)_{s=H(\xi+z)-\lambda(H-KC)\xi} \mathrm{d}\lambda(H-KC)\xi \ge 0,
\end{aligned}
$$

on obtient :

$$
\begin{aligned}
\dot{V} \le {}& -\nu |\xi|^2 - 2\xi^\mathrm{T} [PG + (H - KC)^\mathrm{T}] [\gamma(H(\xi + z)) - \gamma(Hz + KC\xi)] \\
& +2\xi^\mathrm{T} PG [\gamma(H(\xi + z)) - \gamma(Hz + KC\xi)] \\
& +2\xi^\mathrm{T} PG [\gamma(Hz + KC\xi) - \gamma(Hz + K(C\xi + e))] \\
& -2\xi^\mathrm{T} P\Lambda e + 2\xi^\mathrm{T} P [\phi(C(\xi + z)) - \phi(e + C(\xi + z))] \\
\le {}& -\nu |\xi|^2 + 2\xi^\mathrm{T} PG [\gamma(Hz + KC\xi) - \gamma(Hz + K(C\xi + e))] - 2\xi^\mathrm{T} P\Lambda e \\
& +2\xi^\mathrm{T} P [\phi(C(\xi + z)) - \phi(e + C(\xi + z))].
\end{aligned}
\tag{7.55}
$$

En invoquant (7.43) et (7.44), on a :

$$
\dot{V} \le -\nu |\xi|^2 + 2|\xi| \left[ |PG|\theta_{\gamma}(|K||e|) + |P\Lambda||e| + |P|\theta_{\phi}(|e|) \right]. \quad (7.56)
$$

Par conséquent,

$$
\left( |\xi| \ge \frac{4}{\nu} \left[ |PG|\theta_{\gamma}(|K||e|) + |P\Lambda||e| + |P|\theta_{\phi}(|e|) \right] \right) \Rightarrow \left( \begin{array}{l} \dot{V} \le -\frac{\nu}{2} |\xi|^2 \\ \dot{V} \le -\frac{\nu}{2\lambda_{\max}(P)} V \end{array} \right). \quad (7.57)
$$

De cette manière, d’après (7.57), le principe de comparaison (cf. Lemme 3.4 dans [98]) et le
fait que $\lambda_{\min}(P)|\xi|^2 \le V(\xi) \le \lambda_{\max}(P)|\xi|^2$ pour $\xi \in \mathbb{R}^{n_x}$, on peut montrer que les solutions
de (7.48) satisfont :

$$
|\xi(t)| \le \max \left\{ \sqrt{\frac{\lambda_{\max}(P)}{\lambda_{\min}(P)}} |\xi_0| \exp \left( -\frac{\nu}{4\lambda_{\max}(P)} (t - t_0) \right), \right. \\
\left. \frac{4}{\nu} \sqrt{\frac{\lambda_{\max}(P)}{\lambda_{\min}(P)}} \left[ |PG|\theta_{\gamma}(|K| \|e\|_{[t_0,t)}) + |P\Lambda| \|e\|_{[t_0,t)} + |P|\theta_{\phi}(\|e\|_{[t_0,t)}) \right] \right\},
$$

ce qui conclut la preuve.

<figure><img src="image_32.png" /></figure>
La condition (7.17) est donc vérifiée avec, pour $(s,t) \in \mathbb{R}_{\ge 0}^2$,

$$ \beta_2(s,t) = \sqrt{\frac{\lambda_{\max}(P)}{\lambda_{\min}(P)}} s \exp\left(-\frac{\nu}{4\lambda_{\max}(P)}t\right) \qquad (7.58) $$

$$ \gamma_2^W(s) = \frac{4}{\nu} \sqrt{\frac{\lambda_{\max}(P)}{\lambda_{\min}(P)}} \left[ |PG|\theta_{\gamma}(|K|\alpha_1^{-1}(s)) + |P\Lambda|\alpha_1^{-1}(s) + |P|\theta_{\phi} \circ \alpha_1^{-1}(s) \right], \quad (7.59) $$

où $\alpha_1$ est défini selon le protocole d'après (4.9) ou (4.35).

Nous montrons maintenant que l'Hypothèse 7.2.2 est satisfaite pour le TOD modifié com-
biné aux différents bloqueurs. Considérons $\tilde{W}$ défini par (E.11), pour $\tilde{W}(e) \ge 1$,

$$ \left\langle \frac{\partial \tilde{W}(i,e)}{\partial e}, g(t,\xi,e,z) \right\rangle \le \left| \hat{f}_P(z) - CA(\xi + z) - CG\gamma(H(\xi + z)) - C\phi(C(\xi + z)) \right|, $$

pour $\tilde{W}(e) \le 1$,

$$ \left\langle \frac{\partial \tilde{W}(i,e)}{\partial e}, g(t, \xi, e, z) \right\rangle \le \varrho'(W(e)) \left| \hat{f}_P(z) - CA(\xi + z) - CG\gamma(H(\xi + z)) - C\phi(C(\xi + z)) \right|. \quad (7.60) $$

D'après la construction de $\tilde{W}$ proposée dans l'Annexe E, la preuve de la Proposition 4.3.1 (cf. Annexe C) et puisque $\varrho'$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_{\ge 0}$, on obtient :

$$ \left\langle \frac{\partial \tilde{W}(i,e)}{\partial e}, g(t, \xi, e, z) \right\rangle \le \varrho'(1) \left| \hat{f}_P(z) - CA(\xi + z) - CG\gamma(H(\xi + z)) - C\phi(C(\xi + z)) \right|. \quad (7.61) $$

A l'aide de (7.60) et (7.61), on obtient, avec $\vartheta = \max\{1, \varrho'(1)\}$ :

$$ \left\langle \frac{\partial \tilde{W}(i,e)}{\partial e}, g(t, \xi, e, z) \right\rangle \le \vartheta \left| \hat{f}_P(z) - CA(\xi + z) - CG\gamma(H(\xi + z)) - C\phi(C(\xi + z)) \right|. \quad (7.62) $$

Ainsi, pour le bloqueur d'ordre zéro, d'après (7.43) et (7.44),

$$ \left\langle \frac{\partial \tilde{W}(i,e)}{\partial e}, g(t, \xi, e, z) \right\rangle \le \vartheta \left[ |CA(|\xi| + |z|) + |CG|\theta_{\gamma}(|H|(|\xi| + |z|)) + |C|\theta_{\phi}(|C|(|\xi| + |z|)) \right], $$

d'après l'inégalité triangulaire faible (cf. Lemme A.1.2),

$$ \left\langle \frac{\partial \tilde{W}(i,e)}{\partial e}, g(t, \xi, e, z) \right\rangle \le \vartheta \left[ |CA(|\xi| + |z|) + |CG|(\theta_{\gamma}(2|H||\xi|) + \theta_{\gamma}(2|H||z|)) + |C|(\theta_{\phi}(2|C||\xi|) + \theta_{\phi}(2|C||z|)) \right], $$
<table><caption>TAB. 7.1 – *Coefficients et fonctions de l’Hypothèse 7.2.2 pour le système (7.50)*</caption><thead><tr><th></th><th>ZOH</th><th>Pred</th></tr></thead><tbody><tr><th>RR</th><td>L = 0, γ<sub>1</sub><sup>ξ</sup>(s) = √l̃γ(s),<br>γ̃<sub>1</sub><sup>z</sup>(s) = √l̃γ(s)</td><td>L = 0, γ<sub>1</sub><sup>ξ</sup>(s) = √l̃γ(s),<br>γ̃<sub>1</sub><sup>z</sup>(s) = 0</td></tr><tr><th>TOD</th><td>L = 0, γ<sub>1</sub><sup>ξ</sup>(s) = γ̃(s),<br>γ̃<sub>1</sub><sup>z</sup>(s) = γ̃(s)</td><td>L = 0, γ<sub>1</sub><sup>ξ</sup>(s) = γ̃(s),<br>γ̃<sub>1</sub><sup>z</sup>(s) = 0</td></tr><tr><th>TOD modifié</th><td>L = 0, γ<sub>1</sub><sup>ξ</sup>(s) = ϑγ̃(s),<br>γ̃<sub>1</sub><sup>z</sup>(s) = ϑγ̃(s)</td><td>L = 0, γ<sub>1</sub><sup>ξ</sup>(s) = ϑγ̃(s),<br>γ̃<sub>1</sub><sup>z</sup>(s) = 0</td></tr><tr><th>Echantillonné</th><td>L = 0, γ<sub>1</sub><sup>ξ</sup>(s) = γ̃(s),<br>γ̃<sub>1</sub><sup>z</sup>(s) = γ̃(s)</td><td>L = 0, γ<sub>1</sub><sup>ξ</sup>(s) = γ̃(s),<br>γ̃<sub>1</sub><sup>z</sup>(s) = 0</td></tr></tbody></table>

que l'on écrit,

$$ \left\langle \frac{\partial \tilde{W}(i,e)}{\partial e}, g(t,\xi,e,z) \right\rangle \leq \vartheta[\bar{\gamma}(|\xi|) + \bar{\gamma}(|z|)], $$

où $\tilde{\gamma}(s) = |CA|s + |CG|\theta_{\gamma}(2|H|s) + |C|\theta_{\phi}(2|C|s)$, $s \in \mathbb{R}_{\ge 0}$. Pour le Pred,

$$ \left\langle \frac{\partial \tilde{W}(i,e)}{\partial e}, g(t, \xi, e, z) \right\rangle \leq \vartheta \left[ |CA||\xi| + |CG|\theta_{\gamma}(|H||\xi|) + |C|\theta_{\phi}(|C||\xi|) \right] \\ = \vartheta \tilde{\gamma}(|\xi|), \qquad (7.63) $$

avec $\tilde{\gamma}(s) = |CA|s + |CG|\theta_{\gamma}(|H|s) + |C|\theta_{\phi}(|C|s)$, $s \in \mathbb{R}_{\ge 0}$. L'Hypothèse 7.2.2 est donc satisfaite pour le protocole TOD modifié avec les bloqueurs ZOH et Pred. On montre de la même manière que c'est le cas avec les protocoles RR, TOD et le cas échantillonné. Les coefficients et fonctions obtenus sont résumés dans le Tableau 7.1. Puisque $L = 0, \tau_0 = \infty$ (défini dans la Proposition 7.2.1), ainsi on choisit $\bar{\tau} \in [v, \infty)$ quelconque. La fonction $\beta_1$ de la Proposition 7.2.1 est quant à elle obtenue en considérant les coefficients $a_1, a_2, \rho$ de chaque protocole et en prenant $\tau = \bar{\tau}$.

Sachant que $z = x - \xi$, on peut montrer, de la même manière que pour le Lemme 7.3.1, que le système (7.49) est stable entrée-état vis-à-vis de $(x,e)$. Ainsi pour tout $\xi_0 \in \mathbb{R}^{n_\xi}$, $z(t)$ défini pour tout $t \in \mathbb{R}_{\ge 0}$, $(e,x) \in \mathcal{L}_{\infty}^{n_e+n_x}$, d'après le Lemme 7.3.1, les solutions de (7.50) vérifient :

$$ |z(t)| \leq \max \{ \beta_3(|\xi_0|, t - t_0), \gamma_3^e (\|e\|_{[t_0, t)}), \gamma_3^x \|x\|_{[t_0, t)} \}, \qquad (7.64) $$
où, pour $(s,t) \in \mathbb{R}_{\ge 0}^2$ :

$$ \beta_3(s,t) = \sqrt{\frac{\lambda_{\max}(P)}{\lambda_{\min}(P)}} s \exp\left(-\frac{\nu}{4\lambda_{\max}(P)}t\right) $$

$$ \gamma_3^e(s) = \frac{4}{\nu} \sqrt{\frac{\lambda_{\max}(P)}{\lambda_{\min}(P)}} [|PG|\theta_{\gamma}(|K|s) + |P\Lambda|s + |P|\theta_{\phi}(s)] $$

$$ \gamma_3^x(s) = \frac{4}{\nu} \sqrt{\frac{\lambda_{\max}(P)}{\lambda_{\min}(P)}} [|PG|\theta_{\gamma}(|KC|s) + |P\Lambda C|s + |P|\theta_{\phi}(|C|s)], $$

ce qui nous permet d'appliquer le Corollaire 7.2.1 lorsque (7.40) est UGS, d'où la proposition suivante.

**Proposition 7.3.1** Supposons que le système (7.40) soit UGS, pour tout $\Delta, \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$, lorsque des bloqueurs ZOH sont implémentés, pour chaque protocole (RR, TOD, TOD modifié, échantillonné) il existe un MATI approprié $\tau_1(\varepsilon, \Delta) \in [\nu, \infty)$ tel que :

(i) pour tout $\tau^* \in [\nu, \tau_1(\varepsilon, \Delta))$, $\max\{|\xi_0|,|e_0|,|z_0|\} < \Delta$, il existe $\mu \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ tel que, le long des solutions de (7.48)-(7.53) :

$$ |(\xi(t),z(t),e(t))| \le \mu \quad \forall t \ge t_0 \ge 0; \qquad (7.65) $$

(ii) il existe $\beta \in \mathcal{KL}$, $\delta \in \mathcal{KK}$, tels que pour tout $\tau \in [\nu, \tau^*(\varepsilon, \Delta))$, $(\xi_0, e_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_e+n_z}$ avec $\max\{|\xi_0|,|e_0|,|z_0|\} < \Delta$, les solutions de (7.48)-(7.53) satisfont, pour tout $t \ge t_0 \ge 0$,

$$ |(\xi(t),e(t))| \le \max \{\beta(|(\xi_0,e_0)|,t-t_0),\delta(\tau^*,\Delta),\varepsilon\} \quad \forall t \ge t_0 \ge 0. \qquad (7.66) $$

La proposition suivante est une conséquence du Théorème 7.2.2.

**Proposition 7.3.2** Considérons le système (7.48)-(7.53) avec des bloqueurs Pred, pour tout $\Delta, \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$, pour chaque protocole (RR, TOD, TOD modifié, échantillonné) il existe un MATI approprié $\tau_2(\varepsilon, \Delta) \in [\nu, \infty)$ tel que :

(i) pour tout $\tau^* \in [\nu, \tau_2(\varepsilon, \Delta))$, le système (7.48)-(7.53) est (uniformément) positivement complet pour tout $\max\{|\xi_0|,|e_0|\} < \Delta$;

(ii) il existe $\beta \in \mathcal{KL}$ tel que pour tout $\tau \in [\nu, \tau^*(\varepsilon, \Delta))$, $(\xi_0, e_0, z_0) \in \mathbb{R}^{n_\xi+n_e+n_z}$ avec $\max\{|\xi_0|,|e_0|\} < \Delta$, les solutions de (7.48)-(7.53) satisfont, pour tout $t \ge t_0 \ge 0$,

$$ |(\xi(t),e(t))| \le \max \{\beta(|(\xi_0,e_0)|,t-t_0),\varepsilon\} \quad \forall t \ge t_0 \ge 0. \qquad (7.67) $$

**Remarque 7.3.2** Les bornes sur le MATI des Propositions 7.3.1 et 7.3.2 sont données respectivement dans les preuves des Théorèmes 7.2.1 et 7.2.2 en remplaçant les fonctions considérées par celles données dans cette sous-section.
Comme au Chapitre 5, l'analyse nous indique le bloqueur Pred assure a priori une conver-
gence plus précise de l'erreur d'observation que le ZOH. En effet, celui-ci nous garantit que
l'erreur représentée par le terme $\delta$ dans la Proposition 7.3.1 n'est plus, lorsque la fonction de
blocage est de type Pred.

Etant donné les fonctions données dans le Tableau 7.1 et les expressions des MATI ob-
tenues dans le Corollaire 7.2.1 et le Théorème 7.2.2, on peut constater que les protocoles
TOD classique et modifié permettent de considérer de plus larges MATI que le RR. Il serait
intéressant à l'avenir d'étudier la relation entre $\bar{\tau}$ et $\tau^*$ afin d'augmenter autant que possible
le MATI.

7.4 Commentaires

Il est important de souligner que tous les observateurs ne garantissent pas les propriétés
de stabilité requises vis-à-vis des perturbations sur la sortie, que ce soit celles de ce chapitre
ou des précédents. De manière générale, contrairement à la commande (cf. [182] par exemple),
la robustesse aux perturbations de mesures des observateurs a été peu étudiée ou du moins
quantifiée dans la littérature. Une première piste pour étendre la validité de nos résultats
consistent à supposer que les hypothèses soient valables localement. Les gains des propriétés
de stabilité entrée-sortie et entrée-état dépendront alors du sous-ensemble de l'espace d'état
étudié. En prétant attention aux conditions initiales et à l'amplitude maximale des signaux de
perturbations considérés, nos résultats demeurent applicables. Une autre possibilité consiste
à s'intéresser à des propriétés de stabilité dérivées de la stabilité entrée-sortie ou entrée-état.
Par exemple, dans [174], la notion de quasi-stabilité entrée-état est introduite. Elle signifie
que le système, dont la variable d'état est l'erreur d'observation, est stable entrée-état vis-
à-vis des perturbations sur la sortie, à condition que les états et entrées du système soient
uniformément bornés. Il serait intéressant à l'avenir d'étudier ce type de propriétés.

7.5 Conclusion

Dans ce chapitre, les travaux du Chapitre 5 ont été étendus à de plus larges classes
de protocoles et de systèmes. L'extension des hypothèses a pour conséquence de ne plus
garantir de propriétés de stabilité globale pour l'erreur d'observation mais semiglobale (et
pratique) : pour n'importe quelles boules de conditions initiales et de convergence désirée,
il existe une borne sur le MATI appropriée. L'analyse de stabilité repose sur les théorèmes
du petit gain pour les systèmes paramétrés présentés dans l'Annexe D. Nous avons ensuite
montré que les observateurs par critère du cercle, et par conséquent ceux par injection de
sortie, vérifient les hypothèses requises sous certaines conditions. Leur implémentation sous
différentes configurations de réseau a ensuite été étudiée et des propriétés de stabilité ont été
dérivées pour l'erreur d'observation.
Annexes
<figure><img src="image_33.png" /></figure>
# Annexe A

## Rappels mathématiques

Quelques résultats d'algèbre et d'analyse utilisés dans cette thèse sont rappelés.

### A.1 Formules algébriques

**Proposition A.1.1** Pour tout $a,b \in \mathbb{R}$ et $\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$,

$$2ab \leq \frac{1}{\varepsilon}a^2 + \varepsilon b^2. \qquad (A.1)$$

*Preuve.* Soient $a,b \in \mathbb{R}$ et $\varepsilon \in \mathbb{R}_{>0}$,

$$(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}a - \sqrt{\varepsilon}b)^2 = \frac{1}{\varepsilon}a^2 + \varepsilon b^2 - 2ab, \qquad (A.2)$$

la preuve se conclut en notant que $(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}a - \sqrt{\varepsilon}b)^2 \geq 0$. $\square$

**Proposition A.1.2** Pour tout $a,b \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ et $\mu \in \mathbb{R}_{>0}$,

$$\begin{aligned} a+b &\leq \max\{(1+\mu)a,(1+\mu^{-1})b\} \\ \max\{a,b\} &\leq a+b. \end{aligned} \qquad (A.3)$$

*Preuve.* Soient $a,b \in \mathbb{R}_{\geq 0}$ et $\mu \in \mathbb{R}_{>0}$, supposons, sans perte de généralité, que $(1+\mu^{-1})b \leq (1+\mu)a$ ce qui est équivalent à $b \leq \mu a$, alors

$$a+b \leq a+\mu a = \max\{(1+\mu)a,(1+\mu^{-1})b\}. \qquad (A.4)$$

D'autre part, si $\max\{a,b\} = a$, on a bien $\max\{a,b\} \leq a+b$ (le même résultat est obtenu avec $\max\{a,b\} = b$). $\square$

Le résultat suivant correspond au Lemme 4.2 dans [98].

**Lemme A.1.1** Soient $\alpha_1, \alpha_2 \in \mathcal{K}$ sur $[0,a)$, $\alpha_3, \alpha_4 \in \mathcal{K}_\infty$ et $\beta \in \mathcal{KL}$. On a :
$$ - \alpha_1^{-1} \text{ est définie sur } [0,\alpha_1(a)) \text{ et est de classe de } \mathcal{K}; $$
$$ - \alpha_3^{-1} \in \mathcal{K}_{\infty}; $$

$$ - \alpha_1 \circ \alpha_2 \in \mathcal{K}; $$

$$ - \alpha_3 \circ \alpha_4 \in \mathcal{K}_{\infty}; $$

$$ - \sigma(r,s) = \alpha_1(\beta(\alpha_2(r),s)) \in \mathcal{KL}. $$

**Lemme A.1.2 (Inégalité triangulaire faible [86])** Pour tout $\gamma \in \mathcal{K}$ et toute fonction $\rho \in \mathcal{K}_{\infty}$ telle que $\rho - \mathbb{I} \in \mathcal{K}_{\infty}$, pour tout $a,b \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ on a :

$$ \gamma(a+b) \le \gamma \circ \rho(a) + \gamma \circ \rho \circ (\rho - \mathbb{I})^{-1}(b). \quad (A.5) $$

**Remarque A.1.1** L'inégalité triangulaire faible est généralement utilisée dans cette thèse en prenant $\rho = 2\mathbb{I}$.

**Proposition A.1.3 (Formule du multinôme de Newton)**

$$ \left(\sum_{i=0}^{r} a_i\right)^n = \sum_{\tilde{I}_r=n} \binom{n}{i_0 i_1 \dots i_r} a_0^{i_0} \dots a_r^{i_r} = \sum_{\tilde{I}_r=n} \frac{n!}{i_0! \dots i_r!} a_0^{i_0} \dots a_r^{i_r}, \quad (A.6) $$

on rappelle que $\tilde{I}_r = \sum_{j \in \{0, \dots, r\}} i_j$.

## A.2 Rappels d'analyse

**Définition A.2.1** Soit $D \subset \mathbb{R}^n$, on dit que la fonction $f: \mathbb{R}^{1+n} \to \mathbb{R}^m$ est globalement / uniformément (k-)Lipschitzienne par rapport à $x$ sur $[t_0,t_1) \times D$ ($t_0 \le t_1 \in \mathbb{R}$, $n,m \in \mathbb{Z}_{>0}$), s'il existe $k \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ tel que, pour tout $(t,x,y) \in [t_0,t_1) \times D^2$

$$ |f(t,x) - f(t,y)| \le k|x - y|. \quad (A.7) $$

On dit que la fonction $f$ est localement Lipschitzienne par rapport à $x$ sur $[t_0,t_1) \times D$, $t_1 \in (t_0,\infty]$, si, pour tout compact $M \subset D$, il existe $k_M \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ tel que, pour tout $(t,x,y) \in [t_0,t_1) \times M^2$,

$$ |f(t,x) - f(t,y)| \le k_M |x - y|. \quad (A.8) $$

**Remarque A.2.1** Dans ce mémoire, on dit que $f$ est globalement/localement Lipschitzienne en $x$ sans préciser d'ensemble lorsque $f$ l'est sur son ensemble de définition.

La proposition suivante fournit une caractérisation de type « Lipschitzienne non linéaire » de la continuité uniforme<fnref n="1" />.

**Proposition A.2.1** Soit $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$, $n,m \in \mathbb{Z}_{>0}$. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :

(i) $f$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}^n$, i.e.

$$ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{>0} \quad \exists \delta \in \mathbb{R}_{>0} \quad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2n} \quad (|x - y| \le \delta) \quad \Rightarrow \quad (|f(x) - f(y)| \le \varepsilon); \quad (A.9) $$

<footnote n="1">1. Je remercie Paolo Mason, Moussa Balde et Petri Kokkonen pour leur aide précieuse.</footnote>