En désignant par $(k)_p^n$ le coéfficient de $\alpha^p$ dans le développement de $(1+a+a^2+...+a^k)^n$, où $a$ est une variable numérique, $k$ un nombre entier positif, et $p$ un nombre entier positif au plus égal à $nk$, nous avons l'identité

$$ (1) \qquad \Delta_{(k+1)\times\omega}^n f(x) = \sum_{i=0}^{t=mk} (k)_i^n \Delta_{\omega}^n f(x+i\times\omega). $$

Cette identité, dont nous ferons usage par la suite, a été obtenue par A. Marchaud<fnref n="1" />) dans le domaine des nombres réels. La démonstration de M. Marchaud s'étend sans difficulté au cas où les variables et les fonctions sont les éléments des groupes $G$ et $G'$.

2. Nous appelerons polynôme, tout opérateur $f(x)$ vérifiant, quels que soient $x$ et $\omega$, l'équation fonctionnelle

$$ (2) \qquad \Delta_{\omega}^{n+1} f(x) = 0. $$

Le degré du polynôme est la plus petite valeur de $n$ pour laquelle une équation de la forme (2) est identiquement vérifiée. Des polynômes définis d'une manière analogue ont été étudiés dans les espaces vectoriels, principalement par M. M. Fréchet<fnref n="2" />) et par MM. S. Mazur et W. Orlicz<fnref n="3" />).

Nous appelerons monôme, tout opérateur $f(x)$ vérifiant, quels que soient $x$ et $\omega$, l'équation fonctionnelle

$$ (3) \qquad \Delta_{\omega}^{n} f(x) = n! \times f(\omega). $$

On voit aisément que si $f(x)$ n'est pas identiquement nul, il ne peut exister qu'une seule valeur de $n$ pour laquelle l'équation (3) soit vérifiée. Cette valeur s'appelle le degré du monôme, et il est évident qu'un monôme de degré $n$ est aussi un polynôme de degré $n$.

3. Théorème 1. Si $f(x)$ est un polynôme de degré $n$, et si $k$ est un nombre entier positif, nous avons, quels que soient $x$ et $\omega$,

$$ \Delta_{k \times \omega}^{n} f(x) = k^n \times \Delta_{\omega}^{n} f(x). $$

La définition fonctionnelle des polynômes dans les groupes abéliens.

Par

G. Vander Lijn (Bruxelles).

1. Soient $G$ et $G'$ deux groupes abéliens abstraits. Les éléments du groupe $G$ seront représentés par les lettres $x, y, ..., \omega, ...$; ceux du groupe $G'$ par les lettres $f, g, ..., \Delta, ...$. La loi de composition de deux éléments est commutative; elle sera représentée par le symbole $+$ de l'addition. L'élément-unité est représenté par le symbole $0$, et l'inverse d'un élément $a$ de l'un ou l'autre groupe, par le symbole $-a$. Le symbole $n \times a$, où $n$ désigne un nombre entier positif, représente la somme $a+a+...+a$ de $n$ éléments égaux à $a$.

Nous supposerons que le groupe $G'$ ne contient pas d'élément d'ordre fini, c'est à dire que l'équation $n \times f = 0$ n'est possible que pour $f=0$.

Soit $f(x)$ un opérateur défini pour tout élément $x$ du groupe $G$, et dont la valeur $f$ est un élément du groupe $G'$. Suivant la notation habituelle du calcul des différences, posons, de proche en proche,

$$ \Delta_{\omega} f(x) = f(x + \omega) - f(x), \quad \Delta_{\omega}^{2} f(x) = \Delta_{\omega} \Delta_{\omega} f(x), \quad \dots, \quad \Delta_{\omega}^{n} f(x) = \Delta_{\omega} \Delta_{\omega}^{-1} f(x). $$

On a la relation

$$ \Delta_{\omega}^{n} f(x) = \sum_{l=0}^{l=n} (-1)^{l} \binom{n}{i} \times f(x + \overline{n - i} \times \omega) $$

où les coéfficients $\binom{n}{i}$ sont les coéfficients biniomiaux $\frac{n!}{i!(n-i)!}$.

Nous poserons $\Delta_{\omega}^{0} f(x) = f(x)$.

<footnote n="1">1) A. Marchaud, *Sur les dérivées et sur les différences des fonctions de variables réelles*, Journal de Mathématique 6 (1927), p. 337.</footnote>

<footnote n="2">2) M. Fréchet, *Les polynômes abstraits*, Journal de Mathématique 8 (1929), p. 71.</footnote>

<footnote n="3">3) S. Mazur und W. Orlicz, *Grundlegende Eigenschaften der polynomiischen Operationen*, Studia Mathematica 5 (1934), p. 50 et 179.</footnote>
En effet, en remplaçant $x$ par $x+\overline{i-1}\times\omega$ dans l'équation (2), nous avons

$$\Delta_{\omega}^{n+1} f(x+\overline{i-1}\times\omega) = 0.$$

Mais nous avons par définition

$$\Delta_{\omega}^{n+1} f(x+\overline{i-1}\times\omega) = \Delta_{\omega}^{n} f(x+\overline{i}\times\omega) - \Delta_{\omega}^{n} f(x+\overline{i-1}\times\omega).$$

Nous avons donc

$$\Delta_{\omega}^{n} f(x+\overline{i}\times\omega) = \Delta_{\omega}^{n} f(x+\overline{i-1}\times\omega),$$

et cette relation étant vérifiée quel que soit le nombre entier positif $i$, nous avons, de proche en proche,

$$\Delta_{\omega}^{n} f(x+\overline{i}\times\omega) = \Delta_{\omega}^{n} f(x+\overline{i-1}\times\omega) = \Delta_{\omega}^{n} f(x+\overline{i-2}\times\omega) = \dots = \Delta_{\omega}^{n} f(x).$$

En remplaçant $k$ par $k-1$ dans l'identité (1), nous avons donc

$$\Delta_{k \times \omega}^{n} f(x) = \left[ \sum_{i=0}^{n(k-1)} (k-1)! \right]^{n} \times \Delta_{\omega}^{n} f(x) = k! \times \Delta_{\omega}^{n} f(x),$$

ce qui démontre le théorème.

**Corollaire.** Si $f(x)$ est un monôme de degré $n$, on a identiquement

$$f(k \times x) = k^n \times f(x).$$

En effet, en tenant compte de la relation (3), nous pouvons, dans la formule démontrée au théorème, remplacer $\Delta_{k \times \omega}^{n} f(x)$ par $n! \times f(k \times \omega)$ et $\Delta_{\omega}^{n} f(x)$ par $n! \times f(\omega)$. Nous obtenons ainsi

$$n! \times f(k \times \omega) = k^n n! \times f(\omega)$$

ou encore

$$n! \times [f(k \times \omega) - k^n \times f(\omega)] = 0.$$

Le corollaire résulte de cette relation et du fait que le groupe $G'$ ne contient pas d'élément d'ordre fini.

**Théorème II.** Si la différence d'ordre $n$, $\Delta_{\omega}^{n} f(x)$, d'un opérateur $f(x)$ est un opérateur $\varphi(\omega)$ indépendant de $x$, l'opérateur $\varphi(\omega)$ est un monôme de degré $n$ en $\omega$.

En effet, $j$ étant un nombre entier au plus égal à $n$, remplaçons $x$ par 0, et $\omega$ par $x+\overline{n-j}\times\omega$ dans la relation

$$\varphi(\omega) = \Delta_{\omega}^{n} f(x).$$

Nous obtenons ainsi l'équation

$$\varphi(x+n-j \times \omega) = \sum_{i=0}^{l=n} (-1)^i \binom{n}{i} \times f(\overline{n-i} \times [x+\overline{n-j} \times \omega]).$$

Multipions les deux membres de cette équation par $(-1)^j \binom{n}{j}$.

Donnons à $j$ successivement les valeurs 0,1,2,...,n, et additionnons membre à membre les $n+1$ équations ainsi obtenues. En groupant les termes où $i$ a la même valeur, nous obtenons ainsi la relation

$$\Delta_{\omega}^{n} \varphi(x) = \sum_{l=0}^{l=n} \left[ (-1)^l \binom{n}{l} \times \sum_{j=0}^{j=n} (-1)^j \binom{n}{j} \times f(\overline{n-l} \times [x+\overline{n-j} \times \omega]) \right].$$

En observant que l'on a

$$\overline{n-i} \times [x+\overline{n-j} \times \omega] = \overline{n-i} \times x + (n-j) \times \overline{n-i} \times \omega,$$

et que $\varphi(\overline{n-i} \times \omega) = \Delta_{\overline{n-i} \times \omega}^{n}(\overline{n-i} \times x)$, cette relation devient

$$(4) \qquad \Delta_{\omega}^{n} \varphi(x) = \sum_{l=0}^{l=n} (-1)^l \binom{n}{l} \times \varphi(\overline{n-l} \times \omega).$$

D'autre part, nous avons, quels que soient $x$ et $\omega$,

$$\Delta_{\omega}^{n+1} f(x) = \Delta_{\omega}^{n} f(x+\omega) - \Delta_{\omega}^{n} f(x) = \varphi(\omega) - \varphi(\omega) = 0.$$

L'opérateur $f(x)$ est donc un polynôme de degré $n$ au plus, et nous avons, en vertu du théorème I,

$$\varphi(\overline{n-i} \times \omega) = \overline{n-i} \times \varphi(\omega).$$

En tenant compte de cette formule, la relation (4) devient

$$\Delta_{\omega}^{n} \varphi(x) = \left[ \sum_{l=0}^{l=n} (-1)^l \binom{n}{l} (n-l)^n \right] \times \varphi(\omega) = [\Delta_{\omega}^{n} \alpha^n] \times \varphi(\omega)$$

où $\alpha$ désigne une variable numérique. Nous avons donc

$$\Delta_{\omega}^{n} \varphi(x) = n! \times \varphi(\omega),$$

ce qui démontre le théorème.

**Théorème III.** Si $f(x)$ est un polynôme de degré $n$, la différence $\Delta_{\omega}^{n} f(x)$ est indépendante de $x$.
En effet, soient $x_0$ et $x_1$ deux éléments quelconques du groupe $G$. Posons $x_1 - x_0 = \xi$, et soient $x_0, x_1, x_2, \dots, x_i = x_0 + i \times \xi, \dots, x_{k+1} + 2$ éléments du groupe $G$, en progression arithmétique de raison $\xi$.

Soient $j$ et $p$ deux nombres entiers non négatifs. Dans l'équation (2), remplaçons $x$ par $x_{n+1} + n + 1 + p \times j \times \omega$, et $\omega$ par $-(\xi + j \times \omega)$. Nous obtenons, en développant,

$$ \sum_{l=0}^{n+1} (-1)^l \binom{n+1}{i} \times f(x_l + \overline{i+p} \cdot j \times \omega) = 0. $$

Multiplions les deux membres de cette équation par $(-1)^l \binom{n}{j}$.

Donnons à $j$ successivement les valeurs $0, 1, 2, \dots, n$ et additionnons membre à membre les équations ainsi obtenues. En groupant les termes où $i$ a la même valeur, nous obtenons la relation

$$ \sum_{l=0}^{n+1} \left[ (-1)^l \binom{n+1}{i} \times \Delta_{i+p}^{n} f(x_l) \right] = 0, $$

ou encore, en tenant compte du théorème I,

$$ \sum_{l=0}^{n+1} \left\{ (-1)^l \binom{n+1}{i} (i+p)^n \times \Delta_{\omega}^{n} f(x_l) \right\} = 0. $$

En développant $(i+p)^n$ suivant la formule du binôme, et en groupant les termes contenant une même puissance $k$ de $p$, la dernière équation peut s'écrire

$$ \sum_{k=0}^{n} \left[ \binom{n}{k} p^k \times \sum_{l=0}^{k+1} (-1)^l \binom{n+1}{i} i^{n-k} \times \Delta_{\omega}^{n} f(x_l) \right] = 0. $$

Le premier membre de cette équation est un polynôme, au sens élémentaire du terme, de degré $n$ en $p$, les coéfficients de ce polynôme étant des éléments du groupe $G'$. Il est facile de voir qu'un tel polynôme ne peut être nul pour $n+1$ valeurs distinctes de $p$ que si ses coéfficients sont tous nuls. Le polynôme étant nul pour toutes les valeurs entières et positives de $p$, nous avons donc les $n+1$ équations

$$ \sum_{l=0}^{n+1} (-1)^l \binom{n+1}{i} i^{n-k} \times \Delta_{\omega}^{n} f(x_l) = 0 \quad (k=0,1,\dots,n). $$

Considérons ces équations comme formant un système de $n+1$ équations linéaires et non homogènes, définissant les $n+1$ inconues $\Delta_{\omega}^{n} f(x_1), \Delta_{\omega}^{n} f(x_2), \dots, \Delta_{\omega}^{n} f(x_{n+1})$ en fonction de $\Delta_{\omega}^{n} f(x_0)$. Le déterminant de ce système est égal à un déterminant de Vandermonde multiplié par le produit $\pm \binom{n+1}{1} \binom{n+1}{2} \dots \binom{n+1}{n+1}$. Il est donc différent de 0 et le système admet une solution unique. On vérifie aisément que la solution est

$$ \Delta_{\omega}^{n} f(x_1) = \Delta_{\omega}^{n} f(x_2) = \dots = \Delta_{\omega}^{n} f(x_{n+1}) = \Delta_{\omega}^{n} f(x_0), $$

puisque, en portant en valeurs dans les équations, celles-ci deviennent

$$ [\Delta_{1}^{n+1} \alpha^{n-k}] \times \Delta_{\omega}^{n} f(x_{0}) = 0 \quad (k=0,1,\dots,n), $$

où $\alpha$ est une variable numérique.

Nous avons donc en particulier $\Delta_{\omega}^{n} f(x_1) = \Delta_{\omega}^{n} f(x_0)$, ce qui démontre le théorème.

**Corollaire.** Si $f(x)$ est un polynôme de degré $n$, la différence mélée d'ordre $k$,

$$ \Delta_{\omega_k} \Delta_{\omega_{k-1}} \dots \Delta_{\omega_1} f(x) $$

est un polynôme de degré $n-k$ en $x$.

En effet, il résulte du théorème que $\Delta_{\omega}^{n} f(x)$ est indépendant de $x$. Nous avons donc $\Delta_{\omega}^{n} f(x+\omega_1) = \Delta_{\omega}^{n} f(x)$, et par conséquent

$$ \Delta_{\omega}^{n} \Delta_{\omega_1} f(x) = \Delta_{\omega}^{n} [f(x+\omega_1) - f(x)] = 0. $$

Cette relation étant vérifiée quels que soient $\omega$ et $x$, la différence $\Delta_{\omega_1} f(x)$, où $\omega_1$ est constant mais arbitraire, est un polynôme de degré $n-1$ en $x$.

En répétant le même raisonnement sur le polynôme $\Delta_{\omega_1} f(x)$, on montrera que $\Delta_{\omega_2} \Delta_{\omega_1} f(x)$ est un polynôme de degré $n-2$, et en continuant ainsi de proche en proche, au montrera que $\Delta_{\omega_3} \Delta_{\omega_2} \Delta_{\omega_1} f(x)$, ..., $\Delta_{\omega_k} \Delta_{\omega_{k-1}} \dots \Delta_{\omega_1} f(x)$ sont respectivement des polynômes de degré $n-3, \dots, n-k$ en $x$, ce qui démontre le corollaire.

En particulier, nous avons $\Delta_{\omega_{n+1}} \Delta_{\omega_n} \Delta_{\omega_{n-1}} \dots \Delta_{\omega_1} f(x) = 0$, quels que soient $\omega_{n+1}, \omega_n, \dots, \omega_1$ et $x$. Cette dernière propriété a été prise par Mr. Fréchet pour sa définition des polynômes abstraits.
**Théorème IV.** Le produit d'un polynôme de degré n par le nombre entier $v_n=n!(n-1)!(n-2)!...2!1!$ est une somme de monômes de degrés au plus égaux à n. La formule de décomposition est unique, les termes de même degré étant supposés groupés en un seul.

Soit $f(x)$ un polynôme de degré $n$. En vertu du théorème III, la différence $\Delta_{\omega}^{n}f(x)$ est indépendante de $x$. En posant $\varphi_{n}(\omega) = \Delta_{\omega}^{n}f(x)$, il résulte donc du théorème II que l'opérateur $\varphi_{n}(x)$ est un monôme de degré $n$. Posons

$$ (5) \qquad n! \times f(x) = \varphi_n(x) + \psi_{n-1}(x). $$

Nous avons, par suite de la relation (3),

$$ \Delta_{\omega}^{n} \varphi_{n}(x) = n! \times \varphi_{n}(\omega), $$

d'où, par suite de la définition même de $\varphi_n(\omega)$,

$$ \Delta_{\omega}^{n} \varphi_{n}(x) = n! \times \Delta_{\omega}^{n} f(x). $$

Nous avons donc $\Delta_{\omega}^{n}[n! \times f(x) - \varphi_{n}(x)] = 0$ ou encore

$$ \Delta_{\omega}^{n} \psi_{n-1}(x) = 0. $$

Cette relation étant vérifiée quels que soient $x$ et $\omega$, l'opérateur $\psi_{n-1}(x)$ est un polynôme de degré $n-1$. En raisonnant sur le polynôme $\psi_{n-1}(x)$ comme nous l'avons fait sur le polynôme $f(x)$, et en répétant le raisonnement de proche en proche, nous obtiendrons les formules de décomposition

$$ \begin{array}{l} (n-1)! \times \psi_{n-1}(x) = \varphi_{n-1}(x) + \psi_{n-2}(x), \\ (n-2)! \times \psi_{n-2}(x) = \varphi_{n-2}(x) + \psi_{n-3}(x), \\ \hfill \dots \\ 2! \times \psi_{2}(x) = \varphi_{2}(x) + \psi_{1}(x), \\ \hfill \psi_{1}(x) = \varphi_{1}(x) + \psi_{0}(x), \end{array} $$

où les opérateurs $\varphi_{n-1}, \varphi_{n-2}, \dots, \varphi_{2}, \varphi_{1}$ et $\psi_{n-1}, \psi_{n-2}, \dots, \psi_{2}, \psi_{1}$ sont respectivement des monômes et des polynômes de degré $n-1, n-2, \dots, 2, 1$, et où $\psi_{0}(x)$ est un polynôme de degré 0, c'est à dire une constante. Multiplions les deux membres de l'équation (5) par le nombre $v_{n-1}$, et ceux des équations (6) par les nombres $v_{n-2}, v_{n-3}, \dots, v_{1}$ et $v_{0}=1$. Additionnons membre à membre les équations ainsi obtenues; nous avons alors la relation

(7) $v_n \times f(x) = v_{n-1} \times \varphi_n(x) + v_{n-2} \times \varphi_{n-1}(x) + \dots + v_0 \times \varphi_1(x) + \psi_0(x)$,
qui est la formule de décomposition annoncée.

Supposons qu'il existe une autre décomposition analogue, à savoir une relation de la forme

$$ (8) \qquad v_n \times f(x) = \Phi_n(x) + \Phi_{n-1}(x) + \dots + \Phi_1(x) + \Phi_0(x) $$

où les opérateurs $\Phi_n, \Phi_{n-1}, \dots, \Phi_1, \Phi_0$ sont des monômes de degré $n, n-1, \dots, 1, 0$ respectivement.

En égalant les seconds membres des relations (7) et (8), et en remplaçant $x$ par $k \times x$, où $k$ est un nombre entier positif, nous avons la relation

$$ \sum_{l=0}^{l=n} v_{l-1} \times \varphi_l(k \times x) = \sum_{l=0}^{l=n} \Phi_l(k \times x), $$

ou, en faisant usage du corollaire du théorème I,

$$ \sum_{l=0}^{l=n} k^l v_{l-1} \times \varphi_l(x) = \sum_{l=0}^{l=n} k^l \times \Phi_l(x). $$

Cette relation n'est possible pour $n+1$ valeurs distinctes de $k$, que si l'on a identiquement, quel que soit $i=0, 1, \dots, n,$

$$ v_{l-1} \times \varphi_l(x) = \Phi_l(x). $$

L'unicité de la formule de décomposition se trouve ainsi démontrée.

4). Supposons à présent que la variable $x$ ainsi que la fonction $f(x)$ varient dans le domaine des nombres réels. Dans ce cas, pour que la différence $\Delta_{\omega}^{n}f(x)$ soit identiquement nulle dans un intervalle $\langle a, b \rangle$, il suffit que la différence divisée $\frac{1}{\omega^n} \Delta_{\omega}^{n}f(x)$ tende uniformément vers 0 avec $\omega$ dans cet intervalle.

En effet, quels que soient $\omega$ et $\varepsilon>0$, il existe dans ce cas un entier $k$ suffisamment grand pour que l'on ait $\left|\left(\frac{k+1}{\omega}\right)^n \frac{\Delta_{\omega}^n f(x)}{k+1}\right| < \varepsilon$, pourvu que les points $x+i \frac{\omega}{k+1}$ ($i=0, 1, \dots, n$) soient dans l'intervalle $\langle a, b \rangle$.

<footnote n="4">⁴) Ce paragraphe est le fruit de la suggestion, que je dois à M. Saks, de généraliser un théorème de M. Iyer en gय.</footnote>
L'identité

$$ \Delta_{\omega}^{n} f(x) = \sum_{l=0}^{nk} (k)_{l}^{n} \frac{\Delta_{\omega}^{n}}{k+1} f\left(x+i\frac{\omega}{k+1}\right), $$

divisée par $\left(\frac{\omega}{k+1}\right)^n$, nous donne donc

$$ \left|\left(\frac{k+1}{\omega}\right)^n \Delta_{\omega}^n f(x)\right| \le \epsilon \sum_{l=0}^{nk} (k)_{l}^{n} = (k+1)^n \epsilon, $$

d'où $|\Delta_{\omega}^n f(x)| \le \epsilon|\omega|^n$ et par suite, $\epsilon$ étant arbitraire, $\Delta_{\omega}^n f(x) = 0$.

La fonction $f(x)$ est donc un polynôme suivant la définition donnée p. 43. Cependant, si l'on n'impose aucune condition supplémentaire à cette fonction, celle-ci n'est pas, en général, un polynôme au sens classique du terme, ainsi que le montre l'exemple bien connu, donné par G. Hamel, d'une solution discontinue de l'équation $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Il en sera pourtant ainsi lorsque la fonction $f(x)$ possède la propriété de Baire<fnref n="5" />) ou bien est bornée ou mesurable<fnref n="6" />). On arrivera encore au même résultat en supposant seulement que le module de la fonction $f(x)$ est majoré par une fonction mesurable $\varphi(x)$. En effet, la démonstration de T. Popoviciu<fnref n="6" />) conduit à une inégalité de la forme $|f(\xi+\gamma\omega)|>A$. On aura donc, dans les mêmes conditions, $\varphi(\xi+\gamma\omega)>A$ et, la fonction $\varphi(x)$ étant mesurable, la démonstration se poursuivra comme dans le texte de M. Popoviciu, en y remplaçant $f(x)$ par $\varphi(x)$.

En particulier, pour $n=2$, nous retrouvons le théorème suivant, récemment obtenu par M. Iyerengay<fnref n="7" />): si le module de la fonction $f(x)$ est majoré par une fonction mesurable, et si le rapport $\frac{1}{\omega^2}[f(x+\omega)-2f(x)+f(x-\omega)]$ tend uniformément vers 0 avec $\omega$ dans un intervalle $\langle a, b\rangle$, la fonction $f(x)$ est de la forme $Ax+B$, où A et B sont des constantes.

Ideale in vollständigen Mengenkörpern. II.

Von

Alfred Tarski (Warszawa)<fnref n="1" />).

§ 4. p-saturierte Ideale<fnref n="2" />).

Der Begriff des p-saturierten Ideals stellt eine Verallgemeinerung des Begriffs des Primideals dar.

*Definition 4.1. Ein Ideal I in einem Körper K wird p-saturiert genannt, in Zeichen $I \in \mathcal{S}_p(K)$, wenn jedes System $S \subset K - I$, derart, daß der Durchschnitt $X \cdot Y$ zweier verschiedener Mengen $X, Y \in S$ immer zu I gehört, eine Mächtigkeit $<p \text{ hat.}$*

Wir geben hier einige Sätze über p-saturierte Ideale, ohne sie genau zu beweisen.

*Korollar 4.2. Für jeden Körper K ist $\mathcal{S}_0(K)=0$, $\mathcal{S}_1(K)=\{K\}$ und $\mathcal{S}_2(K)=\mathcal{P}(K)+(K)$; ist $p \ge 2$, so ist $\mathcal{P}(K) \subset \mathcal{S}_p(K) \subset \mathcal{J}(K)$; ist $p > \overline{K}$, so ist $\mathcal{S}_p(K)=\mathcal{J}(K)$. [Nach 3.1, 4.1.]*

*Satz 4.3. Ist K ein vollständiger Körper, $\Sigma(\overline{K})=\binom{1}{2} \ge \mathcal{S}_0$ und $p \ge 2$, so ist $\mathcal{S}_p(\overline{K})=2^{2t}$. [Nach 2.29, 3.19, 4.2.]*

*Satz 4.4. Ist K ein beliebiger Körper und $p \le q$, so ist $\mathcal{S}_p(K) \subset \mathcal{S}_q(K)$. [Nach 4.1.]*

*Satz 4.5. Es sei $p=\mathcal{S}_0$ oder $\mathcal{S}_0 \le p^*<p$. Zu jedem Körper K und jedem Ideal $I \in \mathcal{S}_p(K)$ gibt es dann eine Zahl $q<p$, so daß $I \in \mathcal{S}_q(K)$.*

<footnote n="5">⁵) S. Mazuret et W. Orlicz, loc. cit., p. 182.</footnote>

<footnote n="6">⁶) T. Popoviciu, *Sur quelques propriétés des fonctions d'une ou de deux variables réelles*, Mathematica **8** (Cluj 1934), p. 56.</footnote>

<footnote n="7">⁷) K. S. K. Iyerengay, *A note on the symmetric first and second mean derivates of a continuous function*, C. R. Soc. Sci. Varsovie **31** (1938), p. 108.</footnote>

<footnote n="1">¹) Der I. Teil dieser Arbeit, d. i. §§ 1–3, ist in Fund. Math. **32** (1938), SS. 45–63, erschienen; dort sind also insbesondere die unten zitierten Sätze zu finden, deren Nummern mit 1, 2 oder 3 beginnen (z. B. 3.1 oder 2.29).</footnote>

<footnote n="2">²) Vgl. den I. Teil dieser Arbeit, S. 46, Anm. 1.</footnote>