## 8.4 - INFLUENCE DU BRUIT.

### 8.4.1 - Bruit haute fréquence.

Considérons, en premier lieu, le cas du bruit haute fréquence (Cf § 8.1.2).

Le Tableau 8.9 indique les paramètres intervenant dans les essais effectués :

<table><caption>Tableau 8.9</caption><thead><tr><th></th><th></th><th>Essai 3</th><th>Essai 4</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="2">Répartition à identifier σ<sub>ex</sub></td><td>σ<sup>(1)</sup></td><td>σ<sup>(2)</sup></td></tr><tr><td rowspan="2">Impulsion</td><td>durée</td><td>140 ms</td><td>100 ms</td></tr><tr><td>valeur moyenne de h</td><td>≠ 0</td><td>= 0</td></tr><tr><td></td><td>Pas Δt</td><td>2 ms</td><td>4 ms</td></tr><tr><td rowspan="3">Observation</td><td>Y<sub>d</sub></td><td>Y<sub>HF</sub><sup>(1)</sup></td><td>Y<sub>HF</sub><sup>(2)</sup></td></tr><tr><td>durée T</td><td>2,24 sec</td><td>2,40 sec</td></tr><tr><td>niveau de bruit α</td><td>α = 50 %</td><td>α = 5 à 50 %</td></tr><tr><td colspan="2">Domaine d'optimisation (contient σ<sub>ex</sub>)</td><td></td><td></td></tr><tr><td colspan="2">.largeur d'une couche ΔX</td><td>7 ms</td><td>4 ms</td></tr><tr><td colspan="2">.nombre de couches N</td><td>160</td><td>300</td></tr><tr><td colspan="2">.valeur moyenne de σ connue</td><td>non</td><td>non</td></tr><tr><td colspan="2">.borne sur la variation</td><td>non</td><td>seul<sup>t</sup> pour α=50%</td></tr><tr><td colspan="2">Critère d'optimisation</td><td>moindres carrés (8.12)</td><td>moindres carrés (8.12)</td></tr><tr><td colspan="2">Répartition initiale</td><td>constante</td><td>constante</td></tr></tbody></table>

- Essai 3.

La répartition calculée σ₁₈₀₀ est bonne (Figure 8.26). On constate que, d'une part, les "sauts" importants sont parfaitement restitués, et que, d'autre part, de légères oscillations apparaissent sur les paliers. L'écart relatif moyen sur les impédances est de 4 % (cas sans bruit : 1 %).

<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>Figure 8.26 - Répartition obtenue à l'essai 3.</figcaption></figure>
L'écart relatif moyen sur les sismogrammes est de 4 %. Cet écart porte essentiellement sur les 14 premières millisecondes du sismogramme.

Ceci tient au fait que, pendant cette durée, on a, indépendamment de $\sigma$,

$$Y(\sigma) = Y^{(1)} \neq Y_{\text{HF}}^{(1)}.$$

### - Essai 4.

Considérons d'abord le cas de niveaux de bruit faibles à moyens :
$\alpha = 5 \%$, $\alpha = 10 \%$, $\alpha = 20 \%$, et $\alpha = 40 \%$.

La Figure 8.27 donne les répartitions de coefficients de réflexion obtenues ; on constate que le bruit altère surtout les grandes et les très faibles profondeurs.

Le Tableau 8.10 donne les erreurs obtenus pour les différentes valeurs de $\alpha$.

<table><thead><tr><td>niveau de bruit $\alpha$</td><td>$\Delta Y$</td><td>$\Delta r$</td></tr></thead><tbody><tr><td>$\alpha = 5 \%$</td><td>0,7 %</td><td>18 %</td></tr><tr><td>$\alpha = 10 \%$</td><td>1,2 %</td><td>32 %</td></tr><tr><td>$\alpha = 20 \%$</td><td>2,4 %</td><td>60 %</td></tr><tr><td>$\alpha = 40 \%$</td><td>4,9 %</td><td>110 %</td></tr></tbody></table>

### Tableau 8.10

On va maintenant s'intéresser à l'erreur commise sur les huit plus forts coefficients de réflexion (\%). Ces coefficients de réflexion sont situés aux points A, B, C, D, E, F, G, H, représentés sur la Figure 8.3. Le Tableau 8.11 donne l'erreur relative commise sur ces coefficients de réflexion.

<footnote>(\%) Ces coefficients de réflexion sont ceux supérieurs à 0,1, en valeur absolue.</footnote>
<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>Figure 8.27 - Coefficients de réflexion obtenus pour les différents niveaux de bruit α .</figcaption></figure>
<table><thead><tr><th>emplacement du<br>coefficient de<br>réflexion</th><th>profondeur du coef-<br>ficient de réflexion<br>(ms temps de parcours)</th><th>α = 50 %</th><th>α = 10 %</th><th>α = 20 %</th><th>α = 40 %</th></tr></thead><tbody><tr><td>A</td><td>68</td><td>12 %</td><td>10 %</td><td>24 %</td><td>67 %</td></tr><tr><td>B</td><td>284</td><td>4 %</td><td>9 %</td><td>14 %</td><td>42 %</td></tr><tr><td>C</td><td>500</td><td>8 %</td><td>12 %</td><td>2 %</td><td>25 %</td></tr><tr><td>D</td><td>824</td><td>2 %</td><td>14 %</td><td>1 %</td><td>14 %</td></tr><tr><td>E</td><td>944</td><td>10 %</td><td>23 %</td><td>28 %</td><td>19 %</td></tr><tr><td>F</td><td>1 036</td><td>0 %</td><td>22 %</td><td>7 %</td><td>96 %</td></tr><tr><td>G</td><td>1 088</td><td>29 %</td><td>46 %</td><td>23 %</td><td>50 %</td></tr><tr><td>H</td><td>1 100</td><td>23 %</td><td>25 %</td><td>47 %</td><td>140 %</td></tr></tbody></table>

Tableau 8.11

On voit donc que les grands coefficients de réflexion sont bien rendus quel que soit le niveau de bruit de 5 à 40 %, pour les profondeurs moyennes (300 - 1000 ms).

La Figure 8.28 montre que la forme des répartitions d'impédance obtenues est semblable à celle de la répartition $\sigma^{(2)}$. Comme dans le cas sans bruit (§ 8.3.2), on ne retrouve pas la valeur moyenne de l'impédance car $h$ a une valeur moyenne nulle.
<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>Figure 8.28 - Répartitions d'impédance obtenues pour les différents niveaux de bruit $\alpha$.</figcaption></figure>
Les essais qui suivent correspondent au cas $\alpha = 50 \%$ : l'observation est le sismogramme $Y_{HF}^{(2)}$ de la Figure 8.12. On va tenter de montrer l'influence de l'introduction de contraintes sur la variation (Cf § 8.1.3) :

$$ (8.21) \qquad \text{var } \sigma \le \text{var}_{\text{max}}. $$

Un essai sans contrainte montre (Figure 8.29) que la variation a tendance à croître, au cours des itérations, bien au dessus de la variation $\text{var}(\sigma_{ex}) \approx 25 000$ de la répartition $\sigma^{(2)}$.

On a donc fait une série d'essais (Tableau 8.12) avec une borne supérieure $\text{var}_{\text{max}}$ de la variation de plus en plus petite, jusqu'à une valeur de l'ordre de celle de la variation de la répartition $\sigma^{(2)}$.

<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>Figure 8.29 - Variation des répartitions obtenues au cours des itérations (sans contrainte)</figcaption></figure>

<table><caption>Tableau 8.12</caption><thead><tr><th>var<sub>max</sub></th><th>ΔY</th><th>Δr</th><th>Δσ</th></tr></thead><tbody><tr><td>80 000</td><td>7,2 %</td><td>100 %</td><td>57 %</td></tr><tr><td>40 000</td><td>7,4 %</td><td>70 %</td><td>26 %</td></tr><tr><td>36 000</td><td>7,6 %</td><td>65 %</td><td>20 %</td></tr><tr><td>29 000</td><td>7,8 %</td><td>60 %</td><td>17 %</td></tr></tbody></table>
La Figure 8.30 donne les répartitions d'impédance obtenues.

<figure><img src="image_97.png" /></figure>

sans borne sur la variation : var σ = 80 000.

<figure><img src="image_98.png" /></figure>

avec borne sur la variation : var σ = 29 000.

Figure 8.30 - Répartitions d'impédance obtenues sans et avec contrainte sur la variation ; α = 50 %.
- En conclusion, l'introduction de bornes sur la variation permet de traiter le cas de sismogrammes très bruités (50 % de bruit), avec une erreur comparable à celle qui est obtenue dans le cas d'un niveau de bruit de 20 % sans cette contrainte.

### 8.4.2 - Bruit basse fréquence.

On va reprendre les essais du § 8.4.1, mais dans le cas du bruit basse fréquence. Le critère d'optimisation utilisé est celui des moindres carrés. On donnera, au paragraphe suivant, un exemple d'utilisation du critère de maximum de vraisemblance, pour l'inversion de sismogrammes bruités basse fréquence.

Le Tableau 8.13 indique la valeur des paramètres dans les différents essais effectués.

<table><thead><tr><th></th><th></th><th>Essai 5</th><th>Essai 6</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="2">Répartition à identifier σ<sub>ex</sub></td><td>σ<sup>(1)</sup></td><td>σ<sup>(2)</sup></td></tr><tr><td rowspan="2">Impulsion</td><td>durée</td><td>140 ms</td><td>100 ms</td></tr><tr><td>valeur moyenne de h</td><td>0</td><td>= 0</td></tr><tr><td></td><td>pas Δt</td><td>2 ms</td><td>4 ms</td></tr><tr><td>Observation</td><td>Y<sub>d</sub> niveau de bruit α</td><td>Y<sub>BF</sub><sup>(1)</sup> 60 %</td><td>Y<sub>BF</sub><sup>(2)</sup> α = de 5 à 60 %</td></tr><tr><td colspan="2">Domaine d'optimisation (contient σ<sub>ex</sub>)</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>largeur d'une couche ΔX</td><td>7 ms</td><td>4 ms</td></tr><tr><td></td><td>valeur moyenne de σ connue</td><td>non</td><td>non</td></tr><tr><td></td><td>borne sur la variation</td><td>non</td><td>seul<sup>t</sup> pour α=60 %</td></tr><tr><td colspan="2">Critère d'optimisation</td><td>moindres carrés</td><td>moindres carrés</td></tr><tr><td colspan="2">Répartition initiale</td><td>1 saut : 1 500 puis 3 000</td><td>constante</td></tr></tbody></table>

### Tableau 8.13

#### - Essai 5.

La répartition obtenue (Figure 8.31) a une allure semblable à celle de la répartition σ<sup>(1)</sup>. La différence entre ces deux répartitions porte, essentiellement, sur les composantes basse fréquence de la transformée de Fourier.
De plus, le bruit a rendu différentes les valeurs moyennes de la répartition $\sigma^{(1)}$ et de la répartition trouvée (Figure 8.32). L'erreur $\Delta Y$ est de 4 %. Cette erreur porte essentiellement sur les 14 premières millisecondes, comme nous l'avons expliqué au § 8.4.1.

<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>Figure 8.31 - Répartition obtenue à l'essai 5.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>Figure 8.32 - Evolution au cours des itérations de l'écart entre les valeurs moyennes de la répartition $\sigma^{(1)}$ et de la répartition trouvée.</figcaption></figure>
# - Essai 6.

Considérons, d'abord, le cas de niveaux de bruit faibles à moyens :

α = 5 %, α = 10 %, α = 20 %, α = 40 %.

## - Essais sans contrainte sur la valeur moyenne de l'impédance.

La Figure 8.33 donne les répartitions de coefficients de réflexion obtenues ; comme dans le cas du bruit haute fréquence, précédemment étudié, l'altération du résultat porte surtout sur les grandes et les très faibles profondeurs.

<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>Figure 8.33 - Coefficients de réflexion obtenus pour les différents niveaux de bruit α.</figcaption></figure>
Le Tableau 8.14 donne les erreurs obtenues $\Delta Y$ et $\Delta r$ pour les différentes valeurs de $\alpha$ :

<table><thead><tr><th>niveau de bruit α</th><th>ΔY</th><th>Δr</th></tr></thead><tbody><tr><td>α = 5 %</td><td>ΔY = 0,3 %</td><td>Δr = 20 %</td></tr><tr><td>α = 10 %</td><td>ΔY = 0,7 %</td><td>Δr = 30 %</td></tr><tr><td>α = 20 %</td><td>ΔY = 2,8 %</td><td>Δr = 78 %</td></tr><tr><td>α = 40 %</td><td>ΔY = 4,3 %</td><td>Δr = 98 %</td></tr></tbody></table>

Tableau 8.14

Le Tableau 8.15 donne l'erreur relative sur les coefficients de réflexion situés aux points A, B, C, D, E, F, G, H, de la Figure 8.3.

<table><thead><tr><th>emplacement du<br>coef.de réflexion</th><th>α = 5 %</th><th>α = 10 %</th><th>α = 20 %</th><th>α = 40 %</th></tr></thead><tbody><tr><td>A</td><td>11 %</td><td>9 %</td><td>10 %</td><td>14 %</td></tr><tr><td>B</td><td>12 %</td><td>10 %</td><td>24 %</td><td>42 %</td></tr><tr><td>C</td><td>12 %</td><td>10 %</td><td>28 %</td><td>26 %</td></tr><tr><td>D</td><td>3 %</td><td>2 %</td><td>11 %</td><td>8 %</td></tr><tr><td>E</td><td>2 %</td><td>9 %</td><td>53 %</td><td>19 %</td></tr><tr><td>F</td><td>2 %</td><td>9 %</td><td>26 %</td><td>98 %</td></tr><tr><td>G</td><td>35 %</td><td>29 %</td><td>4 %</td><td>9 %</td></tr><tr><td>H</td><td>36 %</td><td>31 %</td><td>70 %</td><td>184 %</td></tr></tbody></table>

Tableau 8.15

-- Essais avec prise en compte de la valeur moyenne de la répartition $\sigma^{(2)}$. On a repris les exemples précédents, dans les cas $\alpha = 10 \%$ et $\alpha = 20 \%$, en supposant connue la valeur moyenne de la répartition $\sigma^{(2)}$.

Le Tableau 8.16 illustre les résultats obtenus :

<table><thead><tr><th>niveau de bruit α</th><th>erreur ΔY</th><th>erreur Δr</th><th>erreur Δσ</th></tr></thead><tbody><tr><td>α = 10 %</td><td>0,7 %</td><td>54 %</td><td>17,3 %</td></tr><tr><td>α = 20 %</td><td>3 %</td><td>85 %</td><td>18,4 %</td></tr></tbody></table>

Tableau 8.16
Comme au § 8.3.2, on constate que l'erreur $\Delta r$ est supérieure à celle qui a été obtenue sans tenir compte des informations sur la valeur moyenne de la répartition $\sigma^{(2)}$ (comparer avec le Tableau 8.14).

La Figure 8.34 donne les répartitions d'impédance obtenues.

<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>Figure 8.34 - Répartitions d'impédance obtenues avec prise en compte de la valeur moyenne.</figcaption></figure>
Les essais qui suivent correspondent au cas $\alpha = 60 \%$.

L'observation est le sismogramme $Y_{BF}^{(2)}$ de la Figure 8.11.

On va montrer l'influence de l'introduction de contraintes sur la variation. On a rajouté une contrainte sur les répartitions d'impédance admissibles en supposant connue la valeur moyenne de la répartition $\sigma^{(2)}$.

Comme dans le cas du bruit haute fréquence (essai 4, $\alpha = 50 \%$), la variation a tendance à croître exagérément au cours des itérations si on ne lui impose pas de contraintes de borne. Le Tableau 8.17 donne les erreurs obtenues pour les différentes bornes sur la variation introduite.

<table><caption>Tableau 8.17</caption><thead><tr><th>var<sub>max</sub></th><th>ΔY</th><th>Δr</th><th>Δσ</th></tr></thead><tbody><tr><td>62 000 (*)</td><td>8,7 %</td><td>9 000 %</td><td>27 %</td></tr><tr><td>29 000</td><td>9,3 %</td><td>72 %</td><td>18 %</td></tr><tr><td>26 000</td><td>9,5 %</td><td>70 %</td><td>23 %</td></tr></tbody></table>

(*) On rappelle que ces essais ont été effectués en introduisant une contrainte sur la valeur moyenne des répartitions d'impédance. Ceci explique que les résultats correspondant à cet essai (sans borne pour la variation) soient très différents de ceux de l'essai analogue du § 8.4.1 :

- la variation de la répartition obtenue ($var_{max}$) est plus faible car la valeur moyenne de la répartition est plus petite ;

- l'erreur $\Delta r$ est considérablement supérieure car l'introduction d'une contrainte sur la valeur moyenne altère les résultats sur les coefficients de réflexion (Cf § 8.3.2) ;

- en revanche, cette contrainte diminue $\Delta \sigma$.

Ces explications n'interviennent pas pour les deux autres essais présentés, car la contrainte sur la valeur moyenne est, en grande partie, redondante, avec les bornes sur la variation introduites.
La Figure 8.35 donne les répartitions d'impédance obtenues. Comme dans le cas du bruit haute fréquence, on peut conclure que l'introduction de contraintes de borne sur la variation permet de traiter le cas de sismogrammes très bruités (60 % de bruit), avec une erreur comparable à celle qui est obtenue dans le cas d'un niveau de bruit de 20 % sans l'introduction de cette contrainte.

<figure><img src="image_103.png" /></figure>

<figure><img src="image_104.png" /><figcaption>Figure 8.35 - Répartitions d'impédance obtenues sans et avec contrainte sur la variation ; niveau de bruit = 60 %.</figcaption></figure>
### 8.4.3 - Bruit basse fréquence ; utilisation d'un critère de maximum de vraisemblance.

Le critère de maximum de vraisemblance correspond à une formulation plus exacte du problème : étant données l'impulsion g et l'observation Y, quelle est la répartition dont la réponse à g est, le plus vraisemblablement, la différence de Y et d'un bruit ayant certaines propriétés ?

On a vu (cf(8.13)) la forme explicite de ce critère en fonction de la matrice de variance-covariance pour un bruit gaussien. Ce critère ne sera donc utilisable que si l'on dispose d'informations sur la nature statistique du bruit. Ce critère se distinguera essentiellement du critère des moindres carrés pour un bruit fortement corrélé, par exemple, le bruit basse fréquence.

On va présenter des essais sur l'inversion du sismogramme $Y_{BF}^{(1)}$.

Ces résultats sont à comparer avec ceux de l'essai 5.

- Essai sans borne sur la variation.

La répartition obtenue (Figure 8.36) a une variation trop importante.

<figure><img src="image_105.png" /><figcaption>Figure 8.36 - Répartition d'impédance obtenue.</figcaption></figure>
- Essai avec borne sur la variation.

La fonctionnelle $J_2$ (Cf (8.13)) décroit peu au cours des itérations (Figure 8.37). La répartition obtenue (Figure 8.38) est très bonne, surtout dans la première moitié. La réponse à cette répartition (Figure 8.39) est très différente des sismogrammes $Y^{(1)}$ (Figure 8.7) et $Y_{BF}^{(1)}$ (Figure 8.9).

On pourrait croire, vu l'importance de l'écart entre le sismogramme obtenu et l'observation $Y_{BF}^{(1)}$ que l'algorithme nous a donné un minimum local.

En particulier, on pourrait s'attendre à ce que la solution obtenue par le critère des moindres carrés, qui annulait presque ce critère, soit une solution plus vraisemblable. On a vérifié qu'il n'en était rien : en prenant, comme répartition initiale, la solution obtenue par le critère des moindres carrés (Essai 4), l'algorithme conduit à la solution précédente. Par ce procédé, on a également vérifié que la répartition $\sigma^{(1)}$ est moins vraisemblable que la solution obtenue.

<figure><img src="image_106.png" /><figcaption>Figure 8.37 - Evolution de la fonctionnelle au cours des itérations.</figcaption></figure>

Enfin, on a constaté qu'avec d'autres réalisations du bruit, le critère de maximum de vraisemblance donnait des solutions comparables.

En conclusion, on voit, sur cet exemple, que le critère de maximum de vraisemblance permet d'améliorer les résultats dans la moitié de terrain la plus superficielle, en présence de bruit important et fortement corrélé.
<figure><img src="image_107.png" /><figcaption>Figure 8.38 - Répartition d'impédance obtenue.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_108.png" /><figcaption>Figure 8.39 - Sismogramme correspondant (réponse) à la répartition obtenue.</figcaption></figure>
## 8.5 - TEMPS CALCUL.

La résolution d'un problème de la taille de l'exemple, correspondant à la répartition $\sigma^{(2)}$, nécessite de 500 à 1 500 itérations de gradient (soit 4 à 12 mn de CDC 7600 (*)), suivant que l'on introduit ou non des contraintes sur la répartition de l'impédance cherchée. Ces temps correspondent à l'utilisation du critère des moindres carrés ; ils sont légèrement supérieurs lorsque l'on utilise le critère de maximum de vraisemblance (il faut résoudre, à chaque itération, un système linéaire de matrice $A$ (Cf (8.13)).

En outre, l'information contenue dans la répartition d'impédance $\sigma_0$, choisie pour initialiser l'algorithme d'optimisation, était très faible (répartitions $\sigma_0$ en général constantes), de sorte que l'on peut espérer une diminution du nombre d'itérations de gradient nécessaires, lorsque l'on choisit pour $\sigma_0$ une répartition d'impédance tenant compte du maximum d'informations a priori (valeur moyenne, informations obtenues à l'aide d'autres traitements,...).

<footnote>(*) l'ordinateur utilisé était celui de FRANLAB, version FTN, OPT=1, août 1976.</footnote>
## 8.6 - CONCLUSIONS.

L'ensemble des techniques numériques, utilisées pour la résolution du problème d'optimisation, donne des performances qui semblent permettre la résolution de problèmes réels. Ces performances résultent de l'utilisation simultanée

- de la méthode des caractéristiques qui permet une intégration très rapide des équations d'état et des équations adjointes ;

- d'une contrainte sur la borne supérieure de la variation des répartitions cherchées, rendant le problème bien posé, et permettant ainsi de traiter des sismogrammes très bruités ;

- d'un algorithme d'optimisation performant (gradient conjugué) permettant une convergence rapide, malgré le nombre de variables et une fonctionnelle très plate. Cet algorithme sait aussi minimiser des fonctionnelles non différentiables, ce qui est nécessaire pour pouvoir prendre en compte la contrainte de borne sur la variation.

Le programme réalisé a une grande souplesse d'utilisation : il permet de tenir compte de n'importe quelle information a priori sur la répartition cherchée, en jouant sur la répartition initiale $σ_0$ et/ou sur les contraintes définissant le domaine d'optimisation.

Les essais en cours portent sur le traitement d'un exemple réel comportant une série de traces voisines, ainsi qu'un enregistrement direct du profil des vitesses ; ils permettront de tester la validité du modèle utilisé.
<figure><img src="image_109.png" /></figure>
BIBLIOGRAPHIE

[1] BAMBERGER, A., CHAVENT, G., LAILLY, P., *Une application de la théorie du contrôle à un problème inverse de sismique*, Rapport I.F.P. N° 23 767, fév. 1976, et Rapport LABORIA N° 172, à paraître dans "Annales de Géophysique", 3/1977.

[2] BARANOV, V., KUNETZ, G., *Film synthétique avec réflexions multiples. Théorie et calcul pratique*, Geophysical Prospecting, **8** (1960), 3.

[3] BOIS, P., GRAU, G., HEMON, Ch., LA PORTE, M., *Calcul automatique des sismogrammes synthétiques en ondes planes à incidence normale*, Revue de l'Institut Français du Pétrole, **17** (1962), 4.

[4] CHAVENT, G., *Identification of functional parameters in partial differential equations*, dans "Identification of Parameters in Distributed Systems", R.E. Goodson & M. Polis (ed.), A.S.M.E., New York, 1974.

[5] DETCHMENDY, D.M., *Attenuation and inverse problems in wave propagation*, (SWIEECO 68), Esso Production Research Co., Houston, Texas, 1968.

[6] GERVER, M.L., *The inverse problem for the vibrating string equation*, Izv. Acad. Sci. URSS, Physic Solid Earth, 1970-1971.

[7] GJEVIK, B., NILSEN, A., HÖYEN, J., *An attempt at the inversion of reflection data*, Geophysical Prospecting, **24** (1976), 492-505.

[8] GOPINATH, B., SONDHI, M.M., *Inversion of the telegraph equation and the synthesis of non uniform lines*, Proc. I.E.E.E., **59** (1971), 3.

[9] KUNETZ, G., *Quelques exemples d'analyse d'enregistrements sismiques*, Geophysical Prospecting, **11** (1963), 4.

[10] LEMARECHAL, C., *Non differentiable optimization subgradient and ε-subgradient methods*, Lect. Notes in Econ. & Math. Systems, Vol. 117, "Optimization and Operational Research", Springer Verlag, Berlin, 1976.

[11] LIONS, J.L., *Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles*, Dunod, Paris, 1968.

[12] MIGNOT, F., GRANGE, O., *Sur la résolution d'une équation et d'une inéquation parabolique non linéaires*, J. of Functional Analysis, **11** (1972), 93-110.

[13] ROMANOV, N.G., *Problème inverse pour l'équation des ondes*, Dakl. Acad. Sci. URSS, Tome 211, N° 5, 1973.

[14] WUENSCHEL, P.C., *Seismogram synthesis including multiples and transmission coefficients*, Geophysics, **25** (1960), 1, 106-129.