<figure><img src="image_1.png" /></figure>

HAL
open science

Uniformisation des surfaces de Riemann

Alexis Marin Bozonat

► To cite this version:

Alexis Marin Bozonat. Uniformisation des surfaces de Riemann. 2025. hal-05349428

HAL Id: hal-05349428

https://hal.science/hal-05349428v1

Preprint submitted on 5 Nov 2025

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

Public Domain
Uniformisation des surfaces de Riemann

par Alexis Marin, illustrations de Dorothea Vienne-Pollak

Mythe

(qui fut)

contemporain

d'après une idée originale de

J.-P.-A. Douaillŷ Jr.
Classification de l'A.M.S. : 30-00, 30F10, 30C20, 57N05.

Classification de la librairie du congrès :

Mythologie profane.

Invertissement analytico-algèbrique.

Divertissement holomorphe.

Exercice de style géométrique.

Résumé

De moulte lemmes, corollaires, cocorollaires*, defemmes, decofaires** subreptissement
sorités dans les appendices, les lèvres humides et l'esprit clarifié, l'uniformisation, délaissant
la savante analyse, sa Théorie du potentiel et ses Equations aux dérivées partielles, cède aux
charmes « élémentaires » de la naïve, mais efficace, règle des signes :

$$
\text{Pour } m \text{ et } n \text{ entiers } (-1)^m (-1)^n = (-1)^{m+n}
$$

Eénnodrooque, Hétérolution, ainsi que la plupart des termes
du glossaire sont des barbarismes déposés dont l'emploi est
soumis à l'obtention d'une licence.

En attendant que les conditions d'abonnement et les cer-
tificats correspondants soient disponibles dans les bureaux
de tabac, une tolérance est accordée pour usage exclusif de
compliment et/ou quolibet de cour de récréation.

Pour tout autre usage, public ou privé, même licencieux ou
domestique, les demandes d'abonnement s'obtiennaient
(jusqu'au Mon, 1 Mar 2004 19:06:59 +0100)

par courier électronique à :

"Annales de l'Institut Fourier (Monique Vitter et Nathalie Catrain)"

annalif@ujf-grenoble.fr

<footnote>* c.a.d. corollaire d'un corollaire.</footnote>

<footnote>** c.a.d. énoncés intégrant lemme ou corollaire à une définition le nécessitant.</footnote>
Aperçu sur quatre paragraphes
et autant d'appendices

réduisant

le théorème de Koebe à celui de Riemann dans le plan

Une *surface de Riemann* $\mathcal{S}$, i.e. variété holomorphe séparée de dimension
complexe 1, est *simplement connexe* si tous ses revêtements sont triviaux.

Plan complexe, disque unité et sphère de Riemann sont des surfaces de Riemann connexes et simplement connexes. Le théorème d'uniformisation affirme :

A *isomorphisme*, i.e. homéomorphisme holomorphe, près ce sont les seules.

Ce résultat énoncé par Riemann au §XXI de sa dissertation de 1851, mais
avec une démonstration qui n'a été pleinement justifiée par Hilbert qu'en 1909,
est usuellement attribué indépendamment à Poincaré et à Koebe dans deux art-
ticles de 1907 et a fait couler beaucoup d'encre⁹ Sans prétendre, comme le dit
Hermann Weyl de Koebe, avoir, la vie entière «darauf verwendet, das Problem
der Uniformisierung nach allen Richtungen und mit den verschiedensten Meth-
oden durchzudenken»¹ le présent texte déduit le théorème d'uniformisation du
«théorème de Riemann dans le plan» de tous les manuels d'analyse complexe² :

THÉORÈME 0. — *Un ouvert connexe strict du plan complexe, sur lequel toute fonction holomorphe ne prenant pas la valeur zéro a une racine carrée holomorphe, est isomorphe au disque unité.*

Un énoncé de Jordan³ caractérise donc les *domaines de Jordan*, i.e. intérieurs de sous-variété topologique du plan de bord connexe non vide :

COROLLAIRE 0. — *Un domaine de Jordan est isomorphe au disque unité.*

La réduction ici proposée est «élémentaire», en le sens que d'une part elle ne nécessite pas d'outil homologique, ni de triangulation (elle donne en particulier la paracompacité⁴ des surfaces de Riemann) et d'autre part, contrairement aux différents traités modernes sur les surfaces de Riemann⁵, la seule analyse qu'elle utilise sont les résultats de base sur les fonctions holomorphes.
# La preuve et ses sept énoncés

## Le cas compact

Le §1 établit une première caractérisation de la sphère de Riemann :

LEMME A. — Une surface de Riemann compacte $\mathcal{S}$ union de deux ouverts isomorphes au disque unité est isomorphe à la sphère de Riemann.

Ici la seule hypothèse de nature topologique sur la surface de Riemann $\mathcal{S}$ est la compacité et il n'y a pas d'hypothèse de régularité de la frontière. Il n'en sera pas de même pour caractériser dans les surfaces de Riemann les ouverts isomorphes au disque, ici dénommés *élémentaires*, ou ceux, dits *standards*, dont les composantes connexes sont isomorphes au disque ou à la sphère de Riemann :

Un *cycle analytique* (ou $\omega$-cycle) de $\mathcal{S}$ est un fermé $\Gamma$ de $\mathcal{S}$, union localement finie d'une famille $(\beta_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ d'arcs analytiques réels tel que tout point $p \in \Gamma$ est extrémité d'un nombre pair des $\beta_\lambda$. Un *polygone analytique (ouvert)* (ou $\omega$-polyone (ouvert)) est un ouvert de $\mathcal{S}$, intérieur de sa fermeture, et de frontière un $\omega$-cycle.

Une surface de Riemann est *planaire* si tout $\omega$-cycle compact la sépare.

La construction, dans l'appendice 1, du revêtement double associé à un $\omega$-cycle établit qu'une surface de Riemann simplement connexe est planaire.

Le §2 démontre l'analogue du Lemme A pour les $\omega$-polygones planaires :

LEMME C. — Un polygone analytique relativement compact $\Omega$ dans une surface de Riemann planaire $\mathcal{P}$, de fermeture $\bar{\Omega}$ recouverte par deux ouverts standards $U_1$ et $U_2$, et d'intérieur du complémentaire $\mathcal{P}\setminus\bar{\Omega}$ connexe, est standard.

qui, au §4, implique une seconde caractérisation de la sphère de Riemann :

THÉORÈME 1. — Une surface de Riemann compacte connexe planaire $\mathcal{P}$ est isomorphe à la sphère de Riemann.

d'où le cas compact du théorème d'uniformisation.
Arrondissement des brisures du bord et le cas général

Le §2 utilise l'extension, aux $\omega$-polygones, du *double de Klein* d'une surface de Riemann à bord $\mathbf{R}$, une surface de Riemann $\mathfrak{DR} \supset \mathbf{R}$ la contenant et munie d'une *hétérolution*, i.e. involution conforme nulle part holomorphe, $\sigma_{\mathbf{R}}$ d'ensemble des points fixes $\text{Fix } \sigma_{\mathbf{R}} = \partial\mathbf{R}$ le bord de $\mathbf{R}$ et ayant $\mathbf{R}$ pour domaine fondamental. Le cas usuel rappelé dans l'appendice 2, cette extension occupe l'appendice 3 :

Un *bord* $\beta$ d'un $\omega$-polygone $U$ est une courbe paramétrée $\beta : B \to \text{Fr } U$ de sa frontière, dont tout paramètre $s \in B$ a un voisinage d'image par $\beta$ l'union de deux arcs non séparées près de $\beta(s)$ par le complémentaire de $U$ et analytique injective hors de $\beta^{-1}(\Delta_U)$, ses *coins*, préimage du discret ensemble $\Delta_U$ des sommets de $U$.

Il y a un bord d'image $\text{Fr } U$, le *bord* $\partial U$ de $U$, et pour tout bord $\beta$ de $U$, une surface de Riemann $\mathfrak{D}_{\beta} U$, le *double* de l'-$\omega$-polygone $U$ sur le bord $\beta$, munie de $\sigma_{\beta}$ et $i_{\beta} : U_{\beta} \to U_{a_{\beta}}$, hétérolution et homéomorphisme, holomorphe sur $U$, de

$$ U_{\beta} = (U \cup (\beta(B) \setminus \Delta_U)) \cap B / \{\beta(s) \sim s \text{ si } s \in B \text{ et } \beta(s) \notin \Delta_U\} $$

sur une sous-surface de Riemann à bord $U_{a_{\beta}}$ de $\mathfrak{D}_{\beta} U$, dite *arrondie de U sur β*, et dont $(\mathfrak{D}_{\beta} U, U_{a_{\beta}}, \sigma_{\beta})$ est double de Klein usuel.

Le double d'un $\omega$-polygone élémentaire sur un arc non dense de sa frontière étant élémentaire, le Lemme A donne une caractérisation du disque unité, le Lemme B, d'énoncé utilisant le vocabulaire ouvrant le §2, et dont l'application récurrente établira le Lemme C et, au §3, la structure des composantes compactes de bord permettant de «boucher» les surfaces de Riemann compactes à bord :

LEMME D. — Une composante compacte $X$ du bord $\partial \mathbf{R}$ d'une surface de Riemann à bord $\mathbf{R}$ a un voisinage dans $\mathbf{R}$ isomorphe à un voisinage dans le disque unité fermé, de son bord, le cercle unité.

COROLLAIRE D. — Une surface de Riemann à bord compacte $\mathbf{R}$ est isomorphe à une sous-surface $\mathbf{S}$ d'une surface de Riemann compacte $\mathfrak{S}$ avec $\mathfrak{S} \setminus \mathbf{S}$ standard.

Tout compact d'une surface de Riemann $\mathfrak{Q}$, étant inclus dans un $\omega$-polygone relativement compact, a donc un voisinage isomorphe à un ouvert $U$ d'une surface de Riemann compacte $\mathfrak{S}$, planaire si $\mathfrak{Q}$ l'est. Au §4 le critère de Montel, exposé à l'appendice 4 (et utilisé aussi aux §1 et 3), justifiera la terminologie «planaire» :

THÉORÈME 2. — Une surface de Riemann connexe planaire $\mathfrak{Q}$ est isomorphe à un ouvert de la sphère de Riemann.

qui ramène le théorème d'uniformisation au théorème de Riemann dans le plan.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Les appendices soritteront alors vers commentaires, références, notes, index, table des matières et générique de fin : épilogue d'une histoire dont, avant de la plus habiller, il convient de présenter les personnages :
Objets et morphismes usuels dans le plan et la sphère

Les modèles et quelques morphismes et isomorphismes tant algébriques que conformes.

N, Z, *Entiers naturels et relatifs*, (mo-, an-)neau des deux premières opérations + et ×.

$\mathbb{F}_2 = \{0, 1\}$, *Corps à deux éléments isomorphe au corps $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ des entiers modulo 2.*

$\mathbb{C} = \{x + iy; x \text{ et } y \text{ réels}\}$, *Plan complexe*, un corps étendant celui des réels où $i^2 = -1$.

$\mathbb{R} = \{x + i0; x \text{ réel}\} \subset \mathbb{C}$, *Axe réel*, un sous-corps de $\mathbb{C}$.

$\mathbb{C}^* = \mathbb{C}\setminus\{0\}$, *Plan complexe épointé*, groupe multiplicatif du corps $\mathbb{C}$.

$\mathbb{R}^* = \mathbb{R}\setminus\{0\}$, *Axe réel épointé*, groupe multiplicatif du sous-corps $\mathbb{R}$ de $\mathbb{C}$.

$\mu_2 = \{\pm\} = \{\pm1\} \subset \mathbb{R}^* \subset \mathbb{C}^*$, *Doublon des signes*, sous-groupe des racines carrées de l'unité.

$\mathbb{R}_\epsilon = \{x + i0; \epsilon x \ge 0\}$, pour $\epsilon \in \mu_2$, *Demi-axes positif* si $\epsilon = +$, *négatif* si $\epsilon = -$.

$\Re, \Im : \mathbb{C} \to \mathbb{R}$, *Parties réelle et imaginaire* associant à $z = x + iy, \Re z = x$ et $\Im z = y$.

conj, *Conjugaison complexe* : isomorphisme de corps $z = \Re z + i \Im z \mapsto \bar{z} = \Re z - i \Im z$.

$|\cdot| : \mathbb{C} \to \mathbb{R}_+, \text{ Module, } z \mapsto \sqrt{z\bar{z}} = \sqrt{(\Re z)^2 + (\Im z)^2}$, il est multiplicatif : $|z z'| = |z||z'|$.

$D = \{z \in \mathbb{C}; |z| < 1\}$, *Disque (unité (centré en l'origine 0), ou central)*.

$D^* = D \setminus \{0\}$, *Disque (unité) épointé*.

$D_+ = \{z \in \mathbb{C}; |z| < 1, \Im z \ge 0\}$, *Demi-disque (Nord unité)*, de bord l'intervalle $]-1, 1[$.

$S^1 = \{z \in \mathbb{C}; |z| = 1\}$, *Cercle unité*. Sous- groupe compact de $\mathbb{C}^*$, y ayant pour voisinage :

$A_r = \{z \in \mathbb{C}; r < |z| < r^{-1}\}$, où $0 < r < 1$, *Anneau invariant (de rayon intérieur r)*.

$\bar{D} = \{z \in \mathbb{C}; |z| \le 1\}$, $(\bar{D}^* = \bar{D} \setminus \{0\})$, *Disque unité fermé (épointé)*, de bord $S^1$.

$H = \{z \in \mathbb{C}; \Im z > 0\}$, *Demi-plan de Poincaré*.

$D_{z,r} = z + rD$, pour $z \in \mathbb{C}, r > 0$, *Disque de centre z et rayon r, sans centre* $D_r = D_{0,r}$.

$\bar{D}_{z,r} = z + r\bar{D}$, pour $z \in \mathbb{C}, r > 0$, *Disque fermé de centre z et rayon r*, $\bar{D}_r = \bar{D}_{0,r}$.

$S_{z,r} = z + rS^1$, pour $z \in \mathbb{C}, r > 0$, *Cercle de centre z et rayon r, sans centre* $S_r = S_{0,r}$.

$P_1(\mathbb{C}) = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$, *Sphère de Riemann*, contenant les espaces précédents et où, selon la coutume [si $u \in \mathbb{C}, v \in \mathbb{C}^*$ alors $\infty + u = \infty, v \infty = \infty, v = \infty, \frac{v}{\infty} = \infty, \frac{\bar{v}}{\infty} = 0, \overline{\infty} = \infty$], agissent $\text{homo } z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}$ et $\text{hétéro } z \mapsto \frac{\bar{a}\bar{z}+b}{c\bar{z}+d}$ graphies $[a, b, c, d \in \mathbb{C}, ad - bc \neq 0]$. Une graphie commutte à conj si et seulement si elle est réelle, i.e. a un représentant avec $a, b, c, d \in \mathbb{R}$.

$L_\epsilon = \{z \in \mathbb{C}; \epsilon \Re z > 0\}, \epsilon \in \mu_2$, *Demi-plan latéraux*. *Symétrie polaire* $\iota : z \mapsto -z^{-1}$ (centrée aux pôles $\{\pm i\}$) échange demi-plan *Est* $L_+$ et *Ouest* $L_-$, chacun isomorphe au disque central *D* par l'*$\epsilon$-rétrograde en $\epsilon$ i quart de tour polaire, $\vartheta_\epsilon : L_\epsilon \to D$, $\vartheta_\epsilon(z) = (\frac{z-1}{z+1})^\epsilon$.

$I = [0, 1] \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$, *Intervalle unité*, d'intérieur formel $\tilde{I} = I \setminus \{0, 1\}$ ayant pour voisinages

$P_{N,h} = \{z \in \mathbb{C}; h |\Im z| < (\Re z - |z|^2)^{N+1}\}$, pour $h > 0$ et $N$ pair, *Perle* $(N, h)$-fine sur $I$.

$\exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}^*$, $z \mapsto \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$, *Exponentielle*, morphisme $2\pi i$-périodique $\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_{-}$-scindé par :

$\log : \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_{-} \to \{z \in \mathbb{C}; |\Im z| < \pi\}$, isomorphisme *Détermination principale du logarithme*.

$\epsilon : \mathbb{Z} \to \mu_2$, *Parisigne*, morphisme $n \mapsto (-1)^n$, induit l'isomorphisme $\epsilon : (\mathbb{F}_2, +) \to \mu_2$.
D'autres homo (et hétéro) graphies utiles.

Id, *Identité* $z \mapsto z$ de $P_1(\mathbb{C})$.

$i_\lambda$, pour $\lambda \in \mathbb{C}^*$, est l'involution holomorphe $z \mapsto -\frac{\lambda}{z}$, donc $i_1 = i$ est *Symétrie polaire*.

$\sigma_t$, pour $t \in \mathbb{R}^*$, est l'hétérolution $\sigma_t = \text{conj} \circ i_{-t}$, libre si et seulement si $t < 0$, pamis elles :
$\sigma_{-1}$, *Antipode*.

$\sigma_r 2$, *Inversion fixant (le cercle)* $S_r$, sans préciser, *Inversion* est $\sigma_1$.

$\varphi_\alpha : D \to D$, pour $\alpha \in D$, est $z \mapsto \frac{z-\alpha}{1-\bar{\alpha}z}$, elle est inversible d'inverse $\varphi_{-\alpha}$.

$h_\lambda$, *Similitude de rapport complexe* $\lambda \in \mathbb{C}^*$ est $z \mapsto \lambda z$.

$h_t$, *Homothétie de rapport* $t$ si $t \in \mathbb{R}^*$.

$\tau_v$, *Translation de vecteur* $v \in \mathbb{C}$ est $z \mapsto z + v$.

Et les triviales

$c_k$, Applications constantes sur $P_1(\mathbb{C})$ d'image le singleton $\{k\}$.

Opérations et invariants topologiques

$X \amalg Y$, *Espace somme* (disjointe) des espaces topologiques $X$ et $Y$.

$\Pi_{\lambda \in \Lambda} X_\lambda = \{(x, \lambda) \in X \times \Lambda; x \in X_\lambda\}$ somme disjointe d'une famille de sous-espaces de $X$.

$\bar{A}$, *Fermeture* d'une partie $A \subset X$ d'un espace topologique $X$.

$\text{Int } A = \mathring{A}$, *Intérieur* d'une partie $A \subset X$ d'un espace topologique $X$.

$\text{Int}_Y A = \mathring{A} \cap Y$, *Intérieur relatif* dans un sous-espace $Y$ d'une partie $A$ de l'espace $X$.

$C(X, Y)$, *Ensemble des applications continues* d'un espace $X$ dans un espace $Y$.

$\text{incl}_A^X$ (ou $A \hookrightarrow X \in C(A, X)$), *Inclusion* du sous-espace $A$ dans l'espace $X$.

$cX = \text{card } cX$, *Connexité de X*, cardinal des composantes connexes, sous-espace dense de $\bar{c}X = \mathfrak{X}A(X)$, *Compact des caractères* de $A(X)$, c.a.d. morphismes d'anneau sur $\mathbb{F}_2$ où $A(X) = C(X, \mathbb{F}_2)$, *Algèbre des $\mathbb{F}_2$- constantes locales* de $X$, de groupe additif isomorphe à $\mathfrak{C}X = C(X, \mu_2)$, *Groupe des signes locaux*, fini si et seulement si $cX$ l'est, en ce cas

$$cX = \dim_{\mathbb{F}_2} \mathfrak{C}X$$

Lemmes $A$ à $D$, Théorèmes 0 à 2, Corollaires 0 et $D$, déjà évoqués, sont désormais ainsi dénommés, mais le $m^{\text{ième}}$ énoncé de l'appendice $n$ sera cité, éventuellement précédé d'un «nom d'auteur», par **n.m.** en caractères gras.

Le chiffre arabe $n$ en exposant d'un mot$^n$, comme les $0$ à $5$ apparus page i, indique au lecteur que le fait ou l'argument évoqué par ce mot est justifié par une Blitzbeweis, ou une référence, dans la $n^{\text{ième}}$ des notes, en bout de texte, p. II à IV.
<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Planche a

Démonstration du Lemme A
Déroulement de la preuve

1 Démonstration du Lemme A. — Soient $U$ et $V$ les deux ouverts élémentaires qui recouvrent $\mathfrak{S}$ et $\varphi : D \to U$ un isomorphisme. Puisque $U$ n’est pas compact, mais $\mathfrak{S}$ l’est, il y a un point $z_0$ hors de $U$.

Pour $r \in ]0, 1[$, comme $\mathfrak{S}$ est séparée, $\bar{D}_r$ compact et $\varphi$ continue, le complémentaire $\mathfrak{S}_r = \mathfrak{S} \setminus \varphi(\bar{D}_r)$ de $\varphi(\bar{D}_r)$ est ouvert dans $\mathfrak{S}$.

Soit $\mathcal{R}$ l'ensemble des $r \in ]0, 1[$ tels qu'il y a un isomorphisme $\psi_r$ de $\mathfrak{S}_r$ sur $D$. Si $r \in \mathcal{R}$ l'isomorphisme $\zeta_r = \varphi_{\psi_r(z_0)} \circ \psi_r : \mathfrak{S}_r \to D$ vérifie $\zeta_r(z_0) = 0$.

i) $\mathcal{R}$ est non vide. — En effet le compact $\mathfrak{S} \setminus V$ de $U = \varphi(D)$ est inclus dans $\varphi(D_r)$ pour $r$ assez proche de 1. En ce cas, $\varphi$ étant⁶ ouverte, $\bar{\mathfrak{S}}_r = \mathfrak{S} \setminus \varphi(D_r)$ est une sous-variété compacte de $V$ d'intérieur $\mathfrak{S}_r$ et de bord, égal à sa frontière $\text{Fr} \mathfrak{S}_r = \text{Fr} \varphi(D_r) = \varphi(S_r)$, connexe. Ainsi l'ω-polygone $\mathfrak{S}_r \subset V \simeq D \subset \mathbb{C}$, isomorphe à un domaine de Jordan, est élémentaire par le COROLLAIRE 0. $\square$

ii) $\mathcal{R}$ est stable par $r \mapsto r^2$. — L'isomorphisme $\zeta_r : \mathfrak{S}_r \to D$ a, par le principe de symétrie⁷,⁷' de Schwarz, une extension holomorphe injective $\xi : \mathfrak{S}_{r^2} \to \mathbb{C}$.

Son image $\xi(\mathfrak{S}_{r^2})$ est⁶ ouverte, distincte du plan complexe $\mathbb{C}$ puisque, sinon, le théorème⁸,⁸' des singularités inexistantes étendrait à la sphère de Riemann $P_1(\mathbb{C}) = \mathbb{C} \cup \{\infty\}$ l'inverse $\xi^{-1} : \mathbb{C} \to \mathfrak{S}_{r^2} \subset \mathfrak{S}$ de $\xi$ en une application holomorphe, qui n'étant pas constante est d'image dans $\mathfrak{S}$ à la fois compacte et⁶ ouverte, contredisant que $\bar{\mathfrak{S}}_{r^2} = \mathfrak{S} \setminus \varphi(D_{r^2})$ n'est pas ouvert.

L'ouvert $\xi(\mathfrak{S}_{r^2})$, union de $\xi(\mathfrak{S}_{r^2} \setminus \bar{\mathfrak{S}}_r) = \xi \circ \varphi(D_r \setminus \bar{D}_{r^2})$, homoméomorphe à un anneau semi-fermé, et du disque fermé $\bar{D} = \xi(\mathfrak{S}_r)$, satisfait aussi⁹ à la dernière hypothèse du THÉORÈME 0, ainsi $\xi(\mathfrak{S}_{r^2})$ est isomorphe à $D$ et $r^2$ est dans $\mathcal{R}$. $\square$

Le critère de Montel 4.1 donne, si $r$ est dans $\mathcal{R}$, un isomorphisme

$$ \psi : \mathfrak{S} \setminus \varphi^{-1}(0) = \bigcup_{n=1}^{\infty} \mathfrak{S}_{r^{2n}} \to W \subset \mathbb{C} $$

de $\mathfrak{S} \setminus \varphi^{-1}(0)$ sur un ouvert $W$ de $\mathbb{C}$ qui, d'après le théorème⁸,⁸" des singularités inexistantes, s'étend en $\Psi : \mathfrak{S} \to P_1(\mathbb{C})$ holomorphe injective, donc isomorphisme puisque $\mathfrak{S}$ est compacte et la sphère de Riemann $P_1(\mathbb{C})$ est séparée et connexe. $\square$

■
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Planche b
Le Lemme B et Affirmation 1</figcaption></figure>
**2 Le Lemme B et démonstration du Lemme C.** — Un $\omega$-polygone fermé $F$ est la fermeture $F = \bar{U} = U \cup \text{Fr } U$ d'un $\omega$-polygone ouvert $U$ (son intérieur).

Le bord $\partial F$ d'un $\omega$-polygone fermé $F$ est $\partial F = \partial \text{Int } F$, celui de son intérieur.

Un $\omega$-polygone (ouvert ou fermé) $X$ est régulier (resp. simple) si son bord est injectif (resp. et d'image connexe). Le bord $\partial X$ s'identifie alors à son image $\text{Fr } X$.

Une cellule est un $\omega$-polygone compact simple d'intérieur élémentaire.

Une cellule $E \subset F$ est périphérique dans un $\omega$-polygone fermé $F$ la contenant si l'intersection des images de leurs bords est un arc fermé non réduit à un point.

**LEMME B.** — Un polygone analytique compact et simple $K$ union des intérieurs relatifs de deux de ses cellules périphériques $E_1$ et $E_2$ est une cellule.

*Démonstration.* — Soit $U = \text{Int } K$ et $\beta_i = \partial E_i \setminus \overline{U} \cap \partial E_i$. La surface de Riemann $\mathcal{S} = \mathfrak{D}_{\partial U} U$ double de $U$ sur $\partial U$ (voir l'appendice 3) est compacte et recouverte par les doubles $\mathfrak{D}_{\beta_i}$ ($\text{Int } E_i$) des intérieurs des cellules $E_i$ sur les arcs $\beta_i$, deux disques par **3.6**. Ainsi $\mathcal{S}$ est, d'après le LEMME A, isomorphe à $P_1(\mathbb{C})$.

Toute hétérolution non libre de $P_1(\mathbb{C})$ étant¹⁰ conjuguée à l'inversion $\sigma_1$, l'intérieur $U$ du polygone analytique compact $K$, isomorphe à une des composantes du complémentaire $\mathfrak{D}_{\partial U} U \setminus \text{Fix } \sigma_{\partial U}$, est élémentaire, donc $K$ est une cellule. ■

*Démonstration du LEMME C.* — L'union du connexe $\mathfrak{P} \setminus \Omega$ et des composantes non fermées de $\Omega$, sauf au plus une, étant connexe à complémentaire connexe dans la composante de $\mathfrak{P} \setminus \Omega$ dans $\mathfrak{P}$, la preuve pour $\Omega$ connexe suffit. En ce cas :

**AFFIRMATION 1.** — Le polygone analytique relativement compact $\Omega$ est simple.

*Démonstration.* — Sinon sa frontière contiendrait strictement une courbe simple fermée $\gamma$ de complémentaire $\mathfrak{P} \setminus \gamma = (\Omega \cup (\text{Fr } \Omega \setminus \gamma)) \cup ((\text{Fr } \Omega \setminus \gamma) \cup (\mathfrak{P} \setminus \bar{\Omega}))$ connexe, car union de deux connexes non disjoints, contredisant la planarité de $\mathfrak{P}$. ■

Si l'une des composantes de l'un des ouverts $U_k$ rencontre $\Omega$ et est compacte, elle serait composante connexe isomorphe à $P_1(\mathbb{C})$ de $\mathfrak{P}$ contenant le $\omega$-polygone simple $\Omega$. Ce dernier serait donc, par le COROLLAIRE 0, standard. □

Sinon chaque composante des $U_k$ est élémentaire, et :

**AFFIRMATION 2.** — Il y a des cellules $E_{k,h}$, $k=1, 2$, $h=1, \dots, n_k$ telles que :

(i) Les intérieurs $U_{k,h}$ des cellules $E_{k,h}$ recouvrent $\bar{\Omega}$.

(ii) À $k$ fixé les cellules $E_{k,h}$ sont deux à deux disjointes.

(iii) Les composantes de $\partial E_{k,h} \cap \Omega$ sont $\alpha_{k,l}$, $l=1, \dots, m_k$, en nombre fini, et leurs fermetures $\beta_{k,l} = \overline{\alpha_{k,l}}$ sont deux à deux disjointes.

(iv) Aucune sous-famille stricte des $E_{k,h}$ n'a les propriétés (i), (ii) et (iii).
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Planche c
fin de démonstration du Lemme C</figcaption></figure>
Démonstration. — Le compact $\bar{\Omega}$ est inclus dans l’union d’une famille finie, dont aucune sous-famille ne le recouvre, de composantes $U_{k,h}$ des $U_k$ munies d’isomorphismes $\varphi_{k,h}: D \to U_{k,h}$. Pour $r < 1$ assez proche de 1, les $\varphi_{k,h}(D_r)$ recouvrent $\bar{\Omega}$ et leurs bord $\varphi_{k,h}(S_r)$ ne passent par aucun sommet de $\Omega$ et sont transverses aux arcs analytiques dont Fr $\Omega$ est l’union.

Les cellules $E_{k,h} = \varphi_{k,h}(\bar{D}_r)$ satisfont donc à (i), (ii) et (iv), les $\alpha_{k,l}$ sont en nombre fini et, à $k$ fixé, leur frontières dans $\partial E_{k,h} = \partial U_{k,h}$ ainsi que les $\beta_{k,l}$ sont disjoints. Ainsi (iii) est aussi vérifiée, car $\beta_{k,l} \subset \bar{\Omega}$, pour $k=1, 2$ et tout $l$ mais
$$ \beta_{1,l_1} \cap \beta_{2,l_2} \subset \partial E_{1,h_1} \cap \partial E_{2,h_2} \subset \mathfrak{P} \setminus \cup \varphi_{k,h}(D_r) \subset \mathfrak{P} \setminus \bar{\Omega} $$

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Si $\alpha_{k,l}$ est simple fermée, donc bord $\alpha_{k,l} = \partial E_{k,h}$ d’une des cellules, elle est incluse dans un $U_{k',h'}$ (où $k'=3-k$). Or, par (iv), $U_{k,h} \not\subset U_{k',h'}$, et $U_{k,h}$ rencontre, donc contient, la frontière Fr $U_{k',h'}$. Ainsi $\Omega$, de frontière connexe, est inclus dans la composante compacte de $\mathfrak{P}$, union des deux ouverts élémentaires $U_{k,h}$ et $U_{k',h'}$. Par LEMME A et COROLLAIRE 0, le $\omega$-polygone simple $\Omega$ est donc standard. $\square$

Sinon chaque $\beta_{k,l}$ joint deux points du bord $\partial\Omega$ de $\Omega$. Une induction sur le cardinal $m$ de la famille $\mathcal{B} = \{\beta_j ; j = 1, \dots, m\}$ de ces arcs conclura, grâce à l’

AFFIRMATION 3. — Soit $\theta_j^{(\eta)}$, pour $\eta \in \mu_2$, les deux arcs joignant les extrèmités de $\beta_j$ dans le bord $\partial\Omega$. Chaque $\alpha_j$ sépare $\Omega$ en deux $\omega$-polygones connexe $\Omega_j^{(\eta)}$ de bord les $\omega$-courbes simples fermées $\delta_j^{(\eta)}$ union de l’arc $\beta_j$ et de $\theta_j^{(\eta)}$.

Démonstration. — Selon **1.3**(ii), la $\omega$-courbe simple fermée $\delta_j^{(\eta)}$ disjointe du connexe $X^{(\eta)} = (\mathfrak{P}\setminus\bar{\Omega}) \cup \check{\theta}_j^{(-\eta)}$ sépare le planaire $\mathfrak{P}$ en deux $\omega$-polygones connexes :
L’un $\Omega_j^{(\eta)} \supsetneq X^{(\eta)}$ contient $X^{(\eta)}$ et l’autre $\Omega_j^{(\eta)} \subset \Omega$ est inclus dans $\Omega$.

Ainsi $\Omega_j^{(\eta)} \subset \Omega_j^{(-\eta)}$ et l’union $\Omega_j^{(-)} \cup \alpha_j \cup \Omega_j^{(+)}$ disjointe, fermée dans $\Omega$ et, contenant un voisinage de $\alpha_j$, aussi ouverte donc égale à $\Omega$ car $\Omega$ est connexe. $\blacksquare$

Induction finale. — Si $m \le 1$ l’arc éventuel $\beta_j$ de $\mathcal{B}$ est inclus dans un $U_{k,h}$ rencontrant $\Omega$, mais $\partial U_{k,h}$ est disjoint de $\Omega$. L’ouvert simple $\Omega$ est donc inclus dans $U_{k,h}$ donc, par le COROLLAIRE 0, élémentaire. $\square$

Sinon $\mathcal{B}$ a deux arcs distincts $\beta_j$, $j = 1, 2$. Soit $\Omega^{(j)}$ la composante de $\Omega\setminus\beta_j$ de fermeture $F^{(j)} = \bar{\Omega}^{(j)}$ contenant $\beta_{3-j}$ et $\Omega^{(j)}$ l’autre composante.

Comme $\mathfrak{P}\setminus\bar{\Omega}^{(j)} = (\mathfrak{P}\setminus\bar{\Omega} \cup (\partial\Omega\setminus\partial\Omega^{(j)})) \cup ((\partial\Omega\setminus\partial\Omega^{(j)}) \cup \Omega^{(j)})$ est connexe, et (i) à (iv) de l’AFFIRMATION 2 pour $\Omega^{(j)}$ sont satisfaites par une partie de la famille des $E_{k,h}$ avec un nombre d’arcs $m^{(j)} < m$ inférieur, $F^{(j)}$ est une cellule.

Les intérieurs relatifs de deux cellules $F^{(j)}$ recouvrant le compact régulier $\bar{\Omega}$ et y étant périphériques, $\bar{\Omega}$ est, par le LEMME B, une cellule. Ainsi $\Omega$ est élémentaire. $\square$

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

<figure><img src="image_8.png" /></figure>
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Planche d
Démonstration du Lemme D</figcaption></figure>
**3 Démonstration des Lemme D et Corollaire D.** — La composante compacte $X$ de $\partial\mathbb{R}$ est recouverte par les intérieurs $U_k$ de $N$ cellules $E_k$ du double $\mathfrak{DR}$, invariantes par $\sigma_{\mathbb{R}}$, avec de plus : (1) $N-1$ des $U_k$ ne recouvrent pas $X$.

En les prenant suffisamment petites, on a en outre $N > 2$ et :

(2) Si deux de ces cellules s'intersectent, elles sont incluses dans une carte.

Pour $k = 1, \dots, N$ soit $\psi_k : (\bar{D}, D, D_+; \text{conj}) \to (E_k, U_k, U_k \cap \mathbb{R}; \sigma_{\mathbb{R}})$, isomorphimes de triple conjuguant conj aux restrictions de $\sigma_{\mathbb{R}}$, et $\psi_{N+1} = \psi_1$. Quitte à remplacer $E_k$ par $\psi_k(\bar{D}_r)$ [et $\psi_k$ par $\psi_k \circ h_r$], pour $r < 1$ assez proche de 1,

(3) Les $\psi_k$ ont des extensions holomorphes injectives définies sur des voisinages de $\bar{D}$ et les intervalles $I_k = E_k \cap X = \psi_k([-1, 1])$ sont, pour $k \le N$ de bords disjoints.

Alors, $X$ étant connexe, **2.1** renumérote les $I_k$ de sorte qu'orientés par les $\psi_k$ et avec $I_{N+1} = I_1$, les intersections $I_k \cap I_{k+1}$ sont, pour $k \le N$, des sous-intervalles fermés stricts de $I_k$ et de $I_{k+1}$, de bord l'extrémité finale de $I_k$ et l'origine de $I_{k+1}$, les autres intersections $I_k \cap I_l = \emptyset$ étant vides.

La cellule $C_h = \tau_{-1} \circ h_2(\bar{P}_{0,h}) = \{z \in \bar{D} ; |z+\eta ih|^2 \le 1+h^2 \text{ pour } \eta \in \mu_2\}$, est un voisinage de $]-1, 1[$ de bord deux arcs lisses et transverses à $\mathbb{R}$, mais tendant vers $[-1, 1]$ dans la topologie $C^1$ quand la finesse $h$ tend vers l'infini.

Par récurrence sur $k = 1, \dots, N$, il y a $h_k > 0$, tels que, si $t \ge 1$, $k \le N$, les cellules $F_k^t = \psi_k(C_t h_k)$ et $F_{N+1}^t = F_1^t$ vérifient :

(i) L'intersection $\partial F_k^t \cap \partial F_{k+1}^t$ est transverse et réduite à deux points.

(ii) Si $1 < |k-l| < N-1$, les cellules $F_k^t$ et $F_l^t$ sont disjointes.

L'union $G = G_1 \cup \dots \cup G_N$, où $G_k = \text{Int} F_k^1$ est un ouvert, $\sigma$- (i.e. invariant par $\sigma = \sigma_{\mathbb{R}|G}$)-voisinage de $X$ dans de $\mathfrak{DR}$. Notant $\bar{n}$ le représentant dans $\{1, \dots, N\}$ de la classe de l'entier $n \in \mathbb{Z}$ modulo $N$, soit dans $G \times \mathbb{Z}$ l'ouvert

$$U = \{(x, n) \in G \times \mathbb{Z} ; x \in G_{\bar{n}}\}$$

et $\tau_U, \sigma_U : U \to U$ les restrictions à $U$ de $(x, n) \mapsto (x, n+N)$ et $\sigma \times \text{Id}_{\mathbb{Z}}$.

Sur $U$ est définie l'équivalence $\sim$ par $(x, n) \sim (y, m)$ si et seulement si

$$x = y \text{ et } |n - m| \le 1$$

La restriction $P$ à $U$ de $\text{pr}_1 : G \times \mathbb{Z} \to G$ se factorise $P = p \circ \pi$ en $\pi$, application quotient de $U$ sur l'espace quotient $G = U/\sim$, et la projection $p$.

L'espace $\mathcal{G}$ est, car$^{12} N \ge 3$, séparé. La relation $\sim$ étant ouverte et la composante $U_n = G_{\bar{n}} \times \{n\}$ de $P^{-1}(G_{\bar{n}})$ homéomorphe par $P$ à $G_{\bar{n}}$, les ouverts $U_n$ de $U$ sont homéomorphes, par la restriction de $\pi$, aux ouverts $\mathcal{G}_n = \pi(U_n)$ de $\mathcal{G}$.

En décrétant $p$ holomorphe, cette surface séparée $\mathcal{G}$ devient, une surface de Riemann $\mathfrak{G}$, munie de l'hétérolution $\sigma_{\mathfrak{G}}$ quotient de $\sigma_U$ et de l'action holomorphe propre libre et d'orbites les préimages de $p$, du groupe cyclique infini engendré par l'isomorphisme $\tau_{\mathfrak{G}}$ induit par $\tau_U$. Ainsi $p$ descend en $\bar{p} : \mathfrak{G}/\langle\tau_{\mathfrak{G}}\rangle \to G$, isomorphisme équivariant de la surface de Riemann quotient sur un $\sigma$-voisinage de $X$.
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Planche e
Démonstration du Corollaire D</figcaption></figure>
Soit $q_n$ l'inverse de l'isomorphisme de $\mathfrak{G}_n \cup \mathfrak{G}_{n+1}$ sur $G_{\bar{n}} \cup G_{\bar{n}+1}$ que $p$ induit. Pour $t > 1$ l'union $K_k^t = F_k^t \cup F_{k+1}^t$, $\omega$-polygone (3.1(iv)) compact simple de $G$, est par (2) et COROLLAIRE 0, une cellule, d'image par $q_n$ notée $B_n^t = q_n(K_{\bar{n}}^t)$.

Si $t > 1$, la suite $H_{2m}^t = \bigcup_{j=-m}^m B_j^t$, $H_{2m+1}^t = \bigcup_{j=-m}^{m+1} B_j^t$, de $\omega$-polygones (3.1(iv)) compacts, débute par la cellule $H_0^t$, puis $H_{p+1}^t$ est union des intérieurs relatifs, de $H_p^t$ coupant $\partial H_{p+1}^t$ en un arc, et de la cellule périphérique $B_q^t$ où $q = (-1)^p [\frac{p+2}{2}]$.

Par LEMME B, les $H_p^t$ sont de proche en proche des cellules. L'union de leurs intérieurs $\mathfrak{G}^t$, est $\sigma$-invariante, et élémentaire par Montel 4.1 et Liouville¹¹'.

L'image $G^t = p(\mathfrak{G}^t)$, voisinage $\sigma_R$-invariant de $X$ dans $\mathfrak{D}R$, est alors équivariament¹³' isomorphe au quotient de $D$ par une¹³ homographie réelle $\theta$ libre de $D$, équivariament¹³'' conjugué à une l'homothétie $h_t$ de rapport $t > 1$ de $L_+$.

Il suffit de remarquer que, si $r = e^{-\frac{\pi^2}{\log t}}$, le quotient $(L_+/h_t, \text{conj})$ est, par $\exp \circ h_{\frac{2\pi i}{\log t}} \circ \log$, équivariament isomorphe à l'anneau invariant $(A_r, \sigma_1)$ de rayon intérieur $r$, un voisinage invariant de $S^1$ dans $(P_1(\mathbb{C}), \text{conj}) \simeq (\mathfrak{D}\bar{D}, \sigma_{\bar{D}})$. ■

**Démonstration du COROLLAIRE D.** — Soit $X_i$, pour $i$ dans un ensemble fini $I$, les composantes de $\partial R$. Le LEMME D donne, sur des voisinages $V_i$ dans $\mathfrak{D}R$, deux à deux disjoints des $X_i$, des isomorphisme $\phi_i: V_i \to A_{r_i}$, avec $\phi_i(V_i \cap R) = A_{r_i} \cap \bar{D}$ et équivariants. Soit $V = \cup_{i \in I} V_i$, alors $R$ a $W = V \cup R$ pour voisinage dans $\mathfrak{D}R$. Dans $I \times P_1(\mathbb{C})$, soit l'ouvert $S_I = \{(i, z) \in I \times P_1(\mathbb{C}) ; |z| > r_i\}$.

L'application quotient de l'équivalence $\sim$ sur $S = W \amalg S_I$ définie par :

$$W \supset V_i \ni p \sim (i, \phi_i(p)) \in \{i\} \times A_{r_i} \subset S_I$$

est notée $\pi: S \to S$. Comme $\sim$ est triviale sur $W$ et sur $S_I$, et les $\phi_i$ holomorphes, le quotient est une variété holomorphe. Elle est séparée car un point de $\pi(W)$ et un point de $\pi(S_I)$, non tous deux dans l'un de ces deux ouverts séparés, sont respectivement dans $\pi(R \setminus \partial R)$ et $\pi(I \times (P_1(\mathbb{C}) \setminus \bar{D}))$, deux ouverts disjoints.

Cette surface de Riemann $\mathfrak{S}$ contient, $S = \pi(R)$, sous-surface de Riemann isomorphe, par $\pi$ à $R$. L'ouvert complémentaire $\mathfrak{S}\setminus S$ est standard car ses composantes sont isomorphes à $D$, par les $(\pi \circ (c_i \times \iota))^{-1} : T_i = \pi(\{i\} \times P_1(\mathbb{C}) \setminus \bar{D}) \to D$. ■

**COCOROLLAIRE D.** — Si la surface de Riemann compacte à bord $R$ est d'intérieur $U = R \setminus \partial R$ planaire alors la surface de Riemann compacte $\mathfrak{S}$ construite par le COROLLAIRE D est planaire.

**Démonstration.** — Soit $T_i$, $i \in I$ les composantes de $\mathfrak{S}\setminus S$. Pour tout choix de voisinages $\omega_i$ dans $(\mathfrak{S}\setminus S) \cup V$ de points $p_i \in \bar{T}_i$ il y a un homéomorphisme $H$ analytique par morceaux¹⁴ de $\mathfrak{S}$ à support dans $(\mathfrak{S}\setminus S) \cup V$ avec $H(\mathfrak{S} \setminus (\cup \omega_i)) \subset S \setminus \partial S$.

Ainsi tout $\omega$-cycle compact $\gamma$ de $\mathfrak{S}$ sépare $\mathfrak{S}$, puisque, en choisissant les $\omega_i$ disjoints de $\gamma$, le $\omega$-cycle compact $\beta = H(\gamma)$ sépare l'ouvert planaire $U$. ■
# 4 Démonstration des théorèmes

Démonstration du THÉORÈME 1. — La surface de Riemann $\mathfrak{P}$ étant compacte, un nombre fini d'isomorphismes $\psi_i : D \to U_i$, $i = 0, \dots, N$ de D sont d'images recouvrant $\mathfrak{P}$. Soit $r < 1$ tel que les $V_i = \psi_i(D_r)$ couvrent encore $\mathfrak{P}$ et $r_n = \frac{r+n}{1+n}$.

Comme $\mathfrak{P}$ est connexe les $V_i$ se renumérotent dans $I = \{1, \dots, N\}$ de sorte que si $0 < i \le N$ l'intersection $V_i \cap (\cup_{j<i} V_j) \ne \emptyset$ est non vide.

Si $i \in I$ et $n$ entier, la cellule $E_i^n = \psi_i(\bar{D}_{r_n})$ contient $V_i$ et $V_i^n = \psi_i(D_{r_n})$. Ainsi, d'après **3.1**(iv) pour $p \le N$, l'union $F_p = \cup_{i<N-p} E_i^p$ est un $\omega$-polygone fermé d'intérieur connexe et la fermeture $\bar{\Omega}_p$ de l'\text{$\omega$-polygone complémentaire $\Omega_p$} = $\mathfrak{P} \setminus F_p$ est incluse dans l'union de $V_{N-p}^p$ et $\Omega_{p-1}$ (où par convention $\Omega_{-1} = V_N$).

Les $V_i^p$ étant standards, une application inductive du LEMME C révèle comme standards tous les $\Omega_p$. En particulier la surface de Riemann $\mathfrak{P} = \Omega_N$ est standard, étant connexe et compacte, elle est isomorphe à $P_1(\mathbb{C})$. ■

Démonstration du THÉORÈME 2. — Tout compact de $\mathfrak{D}$ se couvre de l'intérieur d'une union finie de cellules, un $\omega$-polygone (par **3.1**(iv)) relativement compact.

Ainsi la famille $\mathcal{URC} = (U_i)_{i \in I}$ des $\omega$-polygones relativement compacts de $\mathfrak{D}$ est filtrante et recouvre $\mathfrak{D}$.

Chaque $U_i$ de $\mathcal{URC}$ est planaire¹⁵; isomorphe à l'intérieur de son arrondie, il est, d'après le COCOROLLAIRE D isomorphe à un ouvert $V_i$ d'une surface de Riemann compacte planaire $\mathfrak{S}_i$ dont chaque composante $\mathfrak{S}_{i,j}$ de $\mathfrak{S}_i$ est, d'après le THÉORÈME 1, isomorphe à $P_1(\mathbb{C})$.

Si $\mathfrak{D}$ est compact le THÉORÈME 1 conclut.

Sinon aucune des $\mathfrak{S}_{i,j}$, $j = 1, \dots, n_i$, n'est incluse dans l'ouvert $V_i$.

Isomorphe à une union disjointe de $n_i$ ouverts de disques, complémentaires dans $\mathfrak{S}_{i,j} \simeq P_1(\mathbb{C})$ d'un disque fermé disjoint de l'ouvert $V_i$, chaque ouvert $U_i$ est donc une carte de $\mathfrak{D}$. Ainsi, d'après le critère de Montel **4.1**, la surface de Riemann connexe $\mathfrak{D}$ est isomorphe à un ouvert de $P_1(\mathbb{C})$. ■
# Appendices

## 1 Arcs analytiques, duplicatas et séparation par les $\omega$-graphes

Une carte (en un point $p \in \mathfrak{S}$) d'une surface de Riemann $\mathfrak{S}$ est un ouvert $C \subset \mathfrak{S}$ isomorphe par $\zeta : C \to V$, dit coordonnée (en $p$, centrée si $\zeta(p) = 0$) de $C$, à un ouvert $V$ de $\mathbb{C}$. L'inverse $\gamma = \zeta^{-1}$ de $\zeta$ est l'eénnodrooque (en $p$ associée à $\zeta$).

Un arc analytique [ou $\omega$-arc] (dans $\mathfrak{S}$) paramétré par $\gamma$, d'extrémités, initiale ou origine $p$ et finale $q$), est l'image $\beta$ de l'intervalle $I=[0, 1]$ par une eénnodrooque $\gamma : V \to C$ définie sur un voisinage $V$ de $I$ (avec $\gamma(0)=p$ et $\gamma(1)=q$), et $\tilde{I}=[0, 1[$.

L'intérieur (formel) et le bord de l'-$\omega$-arc $\beta = \gamma(I)$ sont $\tilde{\beta} = \gamma(\tilde{I})$ et $\partial\beta = \beta \setminus \tilde{\beta}$.

Un $\omega$-graphe de $\mathfrak{S}$ est une famille $\mathcal{B} = (\beta_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ localement finie, de $\omega$-arcs dans $\mathfrak{S}$, ses arêtes, avec, pour $\lambda \neq \mu$, $\beta_\lambda \cap \beta_\mu$ vide ou une extrémité commune.

La valence de $p \in \mathfrak{S}$ dans $\mathcal{B}$ est $v_{\mathfrak{B}}(p) = \text{card}\{\lambda \in \Lambda; p \text{ extrémité de } \beta_{\lambda}\}$.

L'union des arêtes $\beta_\lambda$ de $\mathcal{B}$, son support $\Gamma_{\mathfrak{B}}$, est partitioné par les intérieurs d'arêtes $\tilde{\beta}_\lambda$ et son, discret, ensemble $\Delta_{\mathfrak{B}} = \{p \in \Gamma_{\mathfrak{B}}; v_p \neq 0\}$ de sommets.

Une $\omega$-chaîne (resp. un $\omega$-cycle) de $\mathfrak{S}$ est une union localement finie, de $\omega$-arcs dans $\mathfrak{S}$, (resp. où tout point est extrémité d'un nombre pair de ces arcs). Ainsi

L'union de deux $\omega$-chaînes (resp. cycles) est une $\omega$-chaîne (resp. un $\omega$-cycle).

Un $\omega$-graphe est fermé si tout $p \in \mathfrak{S}$ est de valence $v_{\mathfrak{B}}(p)$ paire, $\Gamma_{\mathfrak{B}}$ est alors un cycle et (trivialement si $\Gamma = \emptyset$, par$^{16}$ sinon) réciproquement :

Une chaîne $\Gamma$ est support d'un graphe, qui est fermé si $\Gamma$ est un cycle.

Soit $\zeta$ une coordonnée centrée au sommet $s \in \Delta_{\mathfrak{B}}$ et, par locale finitude de $\mathcal{B}$, un voisinage $U_r$ de $s$ ne rencontrant que les arêtes $\beta_k$, $k = 1, \dots, v_{\mathfrak{B}}(s)$ dont une extrémité est en $s$, n'en contenant aucune et avec $\zeta(U_r) = D_r$.

Le semi-arc $\alpha_k = \zeta(\beta'_k)$ image de la composante $\beta'_k$ de $s$ dans $U_r \cap \beta_k$ est paramétré par $f_k : [0, 1[ \to \alpha_k$ avec $f_k(0) = 0$ et $f'_k(0) \neq 0$. Ainsi, pour $\epsilon > 0$ petit, l'intersection $S_\epsilon \cap \zeta(\beta_k \cap U_r)$ est transverse, réduite à un unique point $z_k \in \text{Im } f_k :$

### 1.0 DÉFEMME. — Soit $\Gamma$ une $\omega$-chaîne d'une surface de Riemann $\mathfrak{S}$.

Alors tout $s \in \mathfrak{S}$ est centre d'une eénnodrooque $\gamma$ dite $\Gamma$-normale, c.a.d. définie près de $\bar{D}$ avec, pour $\beta'_{\gamma,k}$ des arcs initiaux des arêtes $\beta_{\gamma,k}$ issues de $s$ d'un graphe $\mathcal{B}$ dont $\Gamma$ est support, $\gamma(\bar{D}) \cap \Gamma = \bigcup_{k=1}^{v_{\mathfrak{B}}(p)} \beta'_{\gamma,k}$ (en particulier $\gamma(\bar{D}) \cap \Gamma = \emptyset$ si $v_{\mathfrak{B}}(s) = 0$) et $\text{card}(\beta_{\gamma,k} \cap \gamma(S_\rho)) = 1$ pour tout $\rho \in [0, 1]$ et $1 \le k \le v_{\mathfrak{B}}(p)$. ■

Si $\mathcal{B} = (\beta_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ est un $\omega$-graphe il y a $h_\lambda > 0$ et $N_\lambda$ entier tel qu'une paramétrisation $\gamma_\lambda$ de $\beta_\lambda$ est définie sur la perle $P_\lambda = P_{N_\lambda, h_\lambda}$ et les images $\mathfrak{p}_\lambda = \gamma_\lambda(P_\lambda)$ sont deux à deux disjointes$^{17}$ et couvrent un voisinage $\mathfrak{P}$ de $\Gamma_{\mathfrak{B}} \setminus \Delta_{\mathfrak{B}}$.
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Planche f
Colliers, éennodroques, duplicata,...</figcaption></figure>
Un collier [paramétré] de la chaîne $\Gamma_B$ de $\mathcal{B}$ (resp. -e perle [-e] sur l'arête $\beta_\lambda$) est un tel voisinage $\mathfrak{P}$ [$\gamma_\mathfrak{P} = \Pi\gamma_{\lambda|P_\lambda}\{(\lambda, z) \in \Lambda \times \mathbb{C}; z \in P_\lambda\} \to \mathfrak{P}$] (resp. $\mathfrak{p}_\lambda$ [$\gamma_{\lambda|C_\lambda}$]).

L'application $(\mathrm{incl}_{\mathfrak{p}}^{\mathcal{G}} \amalg \mathrm{incl}_{\mathcal{S}\setminus\Gamma}^{\mathcal{G}}) \circ \mathrm{pr}_2$ induit, de $W_B = \mu_2 \times (\mathfrak{p} \amalg \mathcal{S} \setminus \Gamma_B)$, sur
$\Omega_B = W_B / \{(\eta, z) \sim (\eta \eta', z') \text{ si } \mathrm{incl}_{\mathfrak{p}}^{\mathcal{G}}(z) = \mathrm{incl}_{\mathcal{S}\setminus\Gamma_B}^{\mathcal{G}}(z') \text{ et } \eta' \mathfrak{S} \mathrm{pr}_2(\gamma_{\mathfrak{p}}^{-1}(z)) > 0\}$
en un duplicata, c.a.d. revêtement double, $\pi_B : \Omega_B \to \mathcal{S} \setminus \Delta_B$, trivial sur $\mathcal{S} \setminus \Gamma_B$.

**1.1 DÉFEMME.** — L'ensemble bord $\partial\Gamma = \{s \in \Gamma_B; v_B(s) \equiv 1 \mod 2\}$ des sommets près desquels $\pi_B$ est non trivial, ne dépend que de $\Gamma = \Gamma_B$ et $\pi_B$ est étendu par le duplicata (ramifié sur $\partial\Gamma$ si $\partial\Gamma$ est non vide) $\pi_\Gamma : \mathcal{S}_\Gamma \to \mathcal{S}$ de $\mathcal{S}$ sur $\Gamma$.

**Démonstration.** — Soit $\gamma = \zeta^{-1}$ une eénnodrooque $\Gamma$-normale $\gamma$ centrée en $s \in \mathcal{S}$.

Qui décrit $S^1$ va $v_B(s)$ fois, par $\zeta(\mathfrak{p}_\lambda)$ d'une composante d'un $\zeta(\mathfrak{p}_\lambda \setminus \beta_\lambda)$) à l'autre et $\zeta \circ \pi_B$ induit un duplicata trivial de $S^1$ seulement si $v_B(s)$ est paire.

En ce cas $(\zeta \circ \pi_B)^{-1}(\bar{D}^*)$ se recolle avec $\mu_2 \times (P_1(\mathbb{C}) \setminus D)$ en un duplicata de $P_1(\mathbb{C}) \setminus \{0\} \simeq \mathbb{C}$. Ce dernier trivial, $\pi_B$ l'est près de $s$, d'où puisque, ensemble des $s$ ayant dans $\Gamma$ une base de voisinages $(U_n)_{n \in \mathbb{N}}$ avec $c(U_n) \equiv c(U_n^*) \mod 2$ (ou $U_n^* = U_n \setminus \{s\}$), le bord de $\partial\Gamma$ dépend que de $\Gamma$, la première partie.

La seconde suit de la classification¹⁹ des duplicatas de $D^*$

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Une section de $\pi_{\Gamma|\mathcal{S}\setminus\Gamma}$ correspond à un $\eta \in \mathfrak{C}(\mathcal{S}\setminus\Gamma_B)$ et $\pi_\Gamma$ est isomorphe au duplicata $\pi_{\Gamma^\eta}$ sur le $\omega$-cycle $\Gamma^\eta$ du signe $\eta$, union des $\beta_\lambda$ avec $\eta$ constant sur $c_\lambda \setminus \beta_\lambda$.

Un tel $\Gamma^{\eta_m}$ est minimal pour la coïnclusion si et seulement si il ne sépare aucune composante connexe de $\mathcal{S}$. La coïnclusion étant bon ordre sur les $\omega$-cycles de signe, $\Gamma_B$ contient un $\omega$-cycle de signe minimal et ce d'une façon relative :

**1.2 DÉCOFAIRE.** — (i) Soit $\Gamma_U \subset \bar{U} \cap \Gamma_B$ le support d'un sous-graphe de $\mathcal{B}$ inclus dans la fermeture d'un $\omega$-polygone $U$ de $\mathcal{S}$ avec $\pi_{\Gamma_B}$ trivial sur $U \setminus \Gamma_U$. Alors $\pi_{\Gamma_B}$ est isomorphe à $\pi_{\Gamma_U^{\eta_m}}$ où le $(U, \Gamma_U)$-support réduit $\Gamma_U^{\eta_m}$ de $\Gamma_B$ est minimal et vérifie

$$ \Gamma_B \supset \Gamma_U^{\eta_m} \supset \Gamma_U^{\eta_m} \cap U \subset \Gamma_U \cap U $$

la dernière inclusion étant une égalité si $U \setminus \Gamma_U$ est connexe.

(ii) Un (et tout) tel $\Gamma_U^{\eta_m} = \emptyset$ est vide et seulement si $\pi_\Gamma$ est trivial.

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

Une courbe simple (fermée) est le support d'un $\omega$-graphe connexe (compact) de sommets de valence 2, un cycle ne contenant pas de sous-cycle strict.

Tout cycle d'une surface de Riemann $\mathcal{S}$ contient une courbe simple, d'où le

**1.3 COROLLAIRE.** — (i) Une surface de Riemann connexe mais sans duplicata connexe est séparée par toute courbe simple en deux composantes connexes.

(ii) Une surface de Riemann $\mathcal{S}$ est planaire connexe si et seulement toute courbe simple fermée $\gamma$ de $\mathcal{S}$ a son complémentaire de connexité $c(\mathcal{S} \setminus \gamma) = 2$. ■
Une surface de Riemann, vérifiant la conclusion [resp. l'hypothèse] de **1.3** (i), est *Jordan-simplement connexe* [resp. *acyclique*], l'énoncé de Jordan³ cité p. i est

**1.4 LEMME.** — Un $\omega$-polygone $U$ simple non co-compact de $\mathbb{C}$ est acyclique.

*Démonstration.* — Soit $\mathfrak{p}_\lambda$, $\lambda \in \Lambda$ et $\gamma_s$, $s \in \Delta = \Delta_U$ des familles de perles d'un $\omega$-graphe $\mathcal{B}$ de support $\Gamma_B = \text{Fr } U$ et d'éennodrooques $\Gamma_B$-normales centrées aux sommets de $U$ d'images disjointes et $p : \Omega \to U$ un duplicata de $U$.

La composante $\mathfrak{p}_\lambda^* \cap U$ de $\mathfrak{p}_\lambda^* = \mathfrak{p}_\lambda \setminus \beta_\lambda$ est (Weyl-) simplement connexe [c.a.d. tous ses revêtements sont triviaux], donc un duplicata $\bar{p} : E \to \bar{U} \setminus \Delta_U$ étend $p$.

Ainsi $\bar{p}$ induit, pour $0 < \epsilon < 1$, un duplicata $\bar{p}^\epsilon$ de la fermeture $\bar{U}_\epsilon$ de l'ouvert $U_\epsilon = U \setminus \cup_{s \in \Delta_U} \gamma_s(D_\epsilon)$, un $\omega$-polygone simple de $\mathbb{C}$.

**AFFIRMATION.** — *Ce duplicata $\bar{p}^\epsilon$ est restriction d'un duplicata $\pi^\epsilon$ de $\mathbb{C}$.*

Si, sur $\text{Fr } U_\epsilon, \bar{p}^\epsilon$ est trivial, $\pi^\epsilon$ est recollé de $\text{pr}_2 : \mu_2 \times \mathbb{C} \setminus U_\epsilon \to \mathbb{C} \setminus U_\epsilon$ à $\bar{p}^\epsilon$.
Sinon $\text{Fr } U_\epsilon$ est une courbe simple fermée que connecte à $\infty$, car $\mathbb{C}\setminus U_\epsilon$ non compact, une demi-droite $d \subset \mathbb{C} \setminus \bar{U}_\epsilon$. Pour une topologie de sa source, $\bar{p}^\epsilon \cap \pi_d = \pi^\epsilon$. $\square$

Duplicata d'un simplement connexe, $\pi^\epsilon$ a deux sections sur le connexe $U_\epsilon$. Elles se prolongent à $U = \cup U_\epsilon$, en deux sections trivialisant le duplicata $p$. $\square$

**1.5 PROPOSITION.** — *L'implication (i) de 1.3 est en fait une équivalence.*

*Démonstration.* — Soit $(\gamma_j)_{j \in J}$ une famille d'éennodrooques normales d'images couvrant $\mathcal{S}$ et, pour une partie $\phi \subset J$ finie, le $\omega$-polygone relativement compact $U_\phi = \cup_{j \in \phi} \gamma_j(D)$, et $\Gamma_\phi = \cup_{j \in \phi} \bar{\gamma}_j(S^1) \subset \bar{U}_\phi$, support d'un $\omega$-graphe fini $\mathcal{B}_\phi$.

L'ensemble des parties finies non vides $\phi \subset J$ avec $U_\phi$ connexe est noté $\Phi$.
Un duplicata $p$ de $\mathcal{S}$, étant trivial sur chaque $\gamma_j(D)$, a sa restriction à $U_\phi$, pour $\phi \in \Phi$ isomorphe au duplicata sur le support d'un sous $\omega$-graphe fermé $\mathcal{B}_\phi^p$ de $\mathcal{B}_\phi$.

Selon **1.2** et le lemme des mariages<sup>20, 20'</sup> il y a un $\omega$-graphe $\mathcal{B}$ de $\mathcal{S}$ de support l'union de réduits de $\Gamma_{\mathcal{B}}^p$ et dont le duplicata $\pi_{\Gamma_{\mathcal{B}}}$ est isomorphe à $p$.

Soient $\gamma_s$ des éennodrooques $\Gamma_B$-normales centrées en les sommets $s \in \Delta$ de $\mathcal{B}$ avec les $\bar{\gamma}_s(\bar{D})$ disjointes. D'après **1.2** le duplicata $p$ est isomorphe à $\pi_\Gamma$, celui d'un support réduit $\Gamma$ de l'-$\omega$-graphe $\Gamma' = (\Gamma_B \cup \cup_{s \in \Delta} \gamma_s(D)) \cup_{s \in \Delta} \gamma_s(S^1)$.

Les sommets de $\Gamma'$ étant de valence 3 et le support $\Gamma$ un cycle d'après **1.1**, ce dernier, s'il est non vide, a ses sommets de valence 2 donc est une courbe.

En ce cas $\mathcal{S}$ non séparée par le réduit $\Gamma$ donc par chaque composante, une courbe simple, la surface de Riemann $\mathcal{S}$ n'est pas Jordan-simplement connexe.

Sinon $\Gamma = \emptyset$ et, isomorphe à $\pi_\emptyset = \text{pr}_2 : \mu_2 \times \mathcal{S} \to \mathcal{S}$, le duplicata $p$ est trivial. Le début de preuve ayant pris ce dernier arbitraire, la réciproque de (i) est établie. $\blacksquare$
## 2 Surfaces de Riemann à bord et double de Klein usuel

Une *surface de Riemann à bord* **R** est une variété séparée modelée sur les ouverts de $D_+$ et de changements de cartes des restrictions d'applications holomorphes injectives définies sur des ouverts de $D$.

Si $p \in C \subset \mathbf{R}$ est un point d'une carte, de coordonnée $\zeta : C \to V \subset D_+$, d'une surface de Riemann à bord $\mathbf{R}$ est d'image $\zeta(p) = t \in \mathbb{R}$ réelle, par le théorème[^6] de l'application ouverte, il en sera de même pour toute coordonnée en $p$.

L'ensemble des tels points est le *bord* $\partial \mathbf{R}$ de la surface de Riemann $\mathbf{R}$.

Par prolongement analytique[^18], une extension holomorphe $f$ d'un changement de carte sur un disque, centré en l'image $t = \zeta(p)$ d'un point du bord par une coordonnée vérifie la relation de commutation $f = \text{conj} \circ f \circ \text{conj}$.

Ainsi le *double* de $\mathbf{R}$, quotient de $\mathbf{R} \times \mu_2$ par la relation d'équivalence identifiant $(p, -1)$ à $(p, 1)$ si $p \in \partial \mathbf{R}$, muni des coordonnées définies sur les doubles des cartes $C_i, i \in I$ d'un atlas holomorphe $(\zeta_i : C_i \to V_i \subset D_+)^{i \in I}$ de $\mathbf{R}$ par la coordonnée correspondante $\zeta_i \circ \text{pr}_1$ sur $C_i \times \{1\}$ et conj $\circ \zeta_i \circ \text{pr}_1$ sur $C_i \times \{-1\}$ est une surface de Riemann $\mathfrak{D}\mathbf{R}$, la *surface de Riemann double* de la surface de Riemann à bord $\mathbf{R}$, qui, si $\pi : \mathbf{R} \times \mu_2 \to \mathfrak{D}\mathbf{R}$ désigne l'application quotient :

Contient la copie $\pi(\mathbf{R} \times \{1\})$ de $\mathbf{R}$, encore notée $\mathbf{R} \subset \mathfrak{D}\mathbf{R}$.

Et est munie de l'hétérolution $\sigma_{\mathbf{R}}$ définie par $\sigma_{\mathbf{R}}(\pi(q, \epsilon)) = \pi(q, -\epsilon)$.

Cette conjugaison (de double) $\sigma_{\mathbf{R}}$ a $\mathbf{R}$, comme domaine fondamental, et la courbe analytique réelle $\partial \mathbf{R} = \text{Fix} \sigma_{\mathbf{R}}$ de $\mathfrak{D}\mathbf{R}$, comme ensemble de points fixe.

Le *double de Klein* de $\mathbf{R}$ est le triplet $(\mathfrak{D}\mathbf{R}, \mathbf{R}, \sigma_{\mathbf{R}})$.

Une carte de $\mathbf{R}$ est *élémentaire* si elle est de double élémentaire. En ce cas elle a[^13] elle a un coordonnée, dite *élémentaire*, d'image $D_+$. Les bords de paires de cartes élémentaires ont quatre configurations possibles:

2.1 LEMME. — Soit $X = \partial C_- \cap \partial C_+$ l'intersection des bords de deux cartes d'une surface de Riemann à bord $\mathbf{R}$, sources, pour $\eta \in \mu_2$, des coordonnées élémentaires $\zeta_\eta : C_\eta \to D_+$ et $h = \zeta_+|X \circ (\zeta_-|X)^{-1} : \zeta_- (X) \to \zeta_+ (X)$. Alors $X$ est soit

i) vide.

ii) inclus dans le bord de l'une des deux cartes.

iii) connexe à complémentaire, dans chaque $\partial C_\eta$, connexe et non vide.

Quitte à renuméroter, il y a $a_-, b_+ \in ]-1, 1[$ tels que la fonction $h$ est un homéomorphisme croissant de $]a_-, 1[$ $= \zeta_-(X)$ sur $]-1, b_+[$ $= \zeta_+(X)$.

iv) d'image par chacune, $\zeta_\eta$, $\eta \in \mu_2$ des deux coordonnées, $]-1, 1[$ $\setminus [b_\eta, a_\eta]$ le complémentaire d'un intervalle compact de $]-1, 1[$.

En ce cas, qui arrive si et seulement si l'union $C_1 \cup C_2$ des deux cartes a pour bord une composante compacte de $\partial \mathbf{R}$, la fonction $h$ induit deux homéomorphismes croissants de $]-1, b_-[$ et $]a_-, 1[$ sur $]a_+, 1[$ et $]-1, b_[$ respectivement.
Démonstration. — Supposons que le cas *i*) ne se produit pas. Soit $Y$ une composante connexe de $X = \partial C_- \cap \partial C_+$, d'image par $\zeta_\eta$, pour $\eta \in \mu_2$, un intervalle $I_\eta =]a_\eta, b_\eta[$ de $I =] -1, 1[$. Comme la fonction $h$ est restriction d'une application holomorphe injective envoyant l'intervalle réel $I_-$ sur l'intervalle rèel $I_+$ et des points proches dans $D_+\setminus I$ dans des points de $D_+\setminus I$, sa dérivée est$^{21}$, sur $I_-$ non nulle et réelle positive, ainsi $h$ est une bijection croisante de $I_-$ sur $I_+$.

Si le cas *ii*) n'a pas lieu non plus, l'une des extrémités $c_- \in \{a_-, b_\-\}$ de $I_-$ est un point de $I$. Puisque $h$ est croissante bornée $h(t)$ a, quand $t$ tend vers $c_-$, une limite $c_+ \in \bar{I} = I \cup \{-1, 1\}$. Ce point $c_+ \notin I$ n'est pas dans l'intervalle $I$ car, sinon, les points $x_\eta = \zeta_{\eta|_X}^{-1}(c_\eta)$ pour $\eta \in \mu_2$ seraient deux points de $\mathbf{R}$ distincts (car situés respectivement dans les ensembles disjoints $C_- \setminus C_+$ et $C_+ \setminus C_-$) et sans voisinages disjoints, contredisant la séparation de $\mathbf{R}$. Ainsi, comme $h$ est continue strictement croissante et $I_+ = h(I_-)$ strictement inclus dans $I$, car le cas *ii*) est supposé exclu, l'autre extrémité $d_- \in \{a_-, b_\-\} \setminus \{c_\-\}$ de $I_-$ n'est pas dans l'intervalle $I$ et $\zeta_1(Y)$ est une des deux composantes connexes de $I \setminus \{c_\-\}$.

Comme trois telles sections d'un intervalle ont une intersection non vide et la fonction $h$ est strictement croissante sur chaque composante connexe, soit $X = Y$ est connexe, c'est le cas *iii*), sinon $X$ a deux composantes connexes : le cas *iv*).

■
### 3 bord et double de Klein des $\omega$-polygones

**3.1 LEMME.** — Soit $\mathfrak{S}$ une surface de Riemann alors (i) Un ouvert $U$ de $\mathfrak{S}$ est un $\omega$-polygone ouvert de $\mathfrak{S}$ si et seulement si $\mathfrak{S}\backslash U$ est un $\omega$-polygone fermé de $\mathfrak{S}$.

(ii) Si $U$ est ouvert intérieur de sa fermeture et de frontière une $\omega$-chaîne $\Gamma$ chacune de ses composantes connexes $U_i$ et $U$ sont des $\omega$-polygones ouverts.

(iii) L'ensemble des $\omega$-polygones ouverts de $\mathfrak{S}$ est stable par intersection finie.

(iv) L'ensemble des $\omega$-polygones fermés de $\mathfrak{S}$ est stable par réunion finie.

(v) Le complémentaire d'un $\omega$-polygone fermé dans un $\omega$-polygone ouvert est un $\omega$-polygone ouvert.

**Démonstration.** — (i) Soit $V=\text{Int}(\mathfrak{S}\backslash U)$ alors la condition portant sur l'intérieur $U = \text{Int}\bar{U}$ (resp. $V = \text{Int}\bar{V}$) pour que $U$ (resp. $V$) soit un $\omega$-polygone ouvert, est (ou n'est pas) simultanément remplie par $U$ et $V$ car équivalente à $\text{Fr}U = \text{Fr}V$, qui remplie, donne aussi la symétrie de l'autre condition : la frontière est un $\omega$-cycle.

(ii) Soit $\mathcal{B}$ un $\omega$-graphe de support $\Gamma$ et $\mathfrak{p}$ un collier de $\mathcal{B}$. Si $\beta_\lambda$ est une arête de $\mathcal{B}$, la perle percée $\mathfrak{p}_\lambda \setminus \beta_\lambda$ est disjointe de $\text{Fr}U$ ainsi, comme $\text{Int}\bar{U} = U$, une de ses composantes est disjointe de $U$ et l'autre incluse dans $U$ donc dans une composante $U_{i_\lambda}$ de $U$. Chaque $\Gamma_i = \text{Fr}U_i$ est donc support d'un sous-$\omega$-graphe $\mathcal{B}^i$ de $\partial U$. Les signes $\eta \in \mathfrak{E}(\mathfrak{S}\backslash\Gamma)$ et $\eta_i \in \mathfrak{E}(\mathfrak{S}\backslash\Gamma_i)$, définis par $\eta^{-1}(1) = U$ et $\eta_i^{-1}(1) = U_i$, scindant $\pi_\Gamma$ et $\pi_{\Gamma_i}$, ces duplicatas sont non ramifiés et, selon **1.1**, $\text{Fr}U = \partial\Gamma = \emptyset = \partial\Gamma_i = \text{Fr}U_i$. Ainsi $\Gamma$ et $\Gamma_j$ sont des $\omega$-cycles. D'autre part comme

$$U_i \subset \text{Int}\bar{U}_i \subset \text{Int}\bar{U} \cap \bar{U}_i \subset U \cap \bar{U}_i = (\Pi_{j \in J} U_j) \cap \bar{U}_i = U_i$$

la première condition $U_i = \bar{U}_i$ est aussi vérifiée et $U_i$ est un $\omega$-polygone ouvert.

(v) suit de (i) et (iii), ce dernier, d'après (i), équivalent à (iv), il suffit d'établir que l'intersection de deux $\omega$-polygones ouverts $U$ et $V$ est un $\omega$-polygone ouvert :

$$U \cap V \subset \text{Int}(\bar{U} \cap \bar{V}) \subset \text{Int}(\bar{U} \cap \bar{V}) \subset \text{Int}\bar{U} \cap \text{Int}\bar{V} \subset U \cap V \text{ et } U \cap V = \text{Int}(\bar{U} \cap \bar{V})$$

Les $\omega$-arcs de $\partial U$ et $\partial V$ se coupant deux à deux en un, deux $\omega$-arcs, ou un ensemble fini, la frontière $\text{Fr}(U \cap V) \subset \text{Fr}(U) \cup \text{Fr}(V)$ est une $\omega$-chaîne $\Gamma$ et (ii) conclut. $\blacksquare$

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

**3.2 DÉCOFAIRE.** — Soit $U$ un $\omega$-polygone ouvert, $\mathcal{B}$ un $\omega$-graphe de support $\partial U$ et $\gamma$ une eénnodrooque $\partial U$-normale en un point $p \in \partial U$, alors pour tout $\epsilon \in ]0, 1[$ :

(i) La $(\epsilon, \gamma)$-étoile de $U$ en $p$ est le $\omega$-polygone $U \cap \gamma(D_\epsilon) = U_\epsilon(= U_{\epsilon, \gamma})$.

(ii) L'$(\epsilon, \gamma)$-étoile en $p$ a $\frac{v_\mathcal{B}(p)}{2}$ composantes connexes $U_{\epsilon, \gamma, i}$, $1 \le i \le \frac{v_\mathcal{B}(p)}{2}$, $\omega$-polygones simples, dits (($\epsilon, \gamma$)-)secteurs de $U$ en $p$, avec $U_{\epsilon', \gamma, i} \subset U_{\epsilon, \gamma, i}$ si $\epsilon' < \epsilon$.

**Démonstration.** — $U$ et $\gamma(D_\epsilon)$ étant des $\omega$-polygones ouverts, (i) suit de **3.1**(iii). Chaque $U \cap \gamma(S_\eta)$, pour $0 < \eta < \epsilon$ est, par normalité de $\gamma$ union de $\frac{v_\mathcal{B}(p)}{2}$ arcs ouverts deux à deux disjoints d'extrémités sur les $v_\mathcal{B}(p)$ arrêtes de $\partial U \cap U_\epsilon$ d'où (ii). $\blacksquare$

<figure><img src="image_15.png" /></figure>
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Planche g
bord et double de Klein des ω-polygones</figcaption></figure>
**3.3 PROPOSITION.** — Soit $K$ une cellule d'intérieur $U$, alors tout isomorphisme $\varphi : U \to D$ s'étend en un homéomorphisme $\Phi : K \to \bar{D}$.

**Démonstration.** — Soit $X \subset \partial K$ l'ensemble fini des sommets du bord. D'après le principe de symmétrie de Schwarz⁷", $\varphi$ a un prolongement $\varphi_l$ holomorphe injectif défini sur un voisinage de l'ensemble $K_l = K \setminus X$ des points lisses de $K$.

D'après **3.2**(ii) (ici les valences valent 2) l'ensemble d'accumulation de $\varphi$ sur les filtres des voisinages d'un sommet $x \in X$ est connexe, donc un arc de cercle $\omega_x$, $x \in X$. Comme $\varphi_l$ est injective sur $\partial K_l$ ces arcs sont disjoints et, la fermeture de l'image de $\varphi$ étant $\bar{D} \supset S^1$, ils recouvrent le complémentaire $S^1 \setminus \varphi_l(\partial K_l)$.

Si l'intérieur $\alpha$ dans $S^1$ de l'un, $\omega_x$, de ces arcs est non vide alors $U = \mathbb{C}\setminus(S^1\setminus\alpha)$ est un ouvert connexe de $\mathbb{C}$ et l'application $f : U \to S$ définie par $f(z) = \varphi^{-1}(z)$, si $z$ est dans $D$ et $f(z) = x$, sinon est continue et holomorphe sur le complémentaire de l'arc $\alpha$. Le Corollaire de Morera²²' assure qu'elle est holomorphe sur $U$, contredisant le prolongement analytique¹⁸ puisque $f$ est non constante sur l'ouvert connexe $U$, mais sa restriction à l'ouvert $\mathbb{C} \setminus \bar{D}$ l'est.

Ainsi, l'ensemble d'accumulation $\omega_x = \{\theta_x\}$ est réduit à un point et $x \mapsto \theta_x$ étend $\varphi_l$ en l'homéomorphisme $\Phi$ cherché. ■

**3.4 COROLLAIRE.** — Soit $U_{\epsilon, \gamma, i}$ un secteur en un point $p \in \text{Fr } F$ frontière d'un $\omega$-polygone fermé $F$ d'une surface de Riemann $S$.

Il y a un voisinage ouvert $\omega$ de $p$ dans la fermeture $\bar{U}_{\epsilon, \gamma, i}$ homéomorphe à $D_+$ par $\Psi : (\omega, p) \to (D_+, 0)$, holomorphe sur $U_{\epsilon, \gamma, i}$ et telle que $\Psi(\omega \cap \text{Fr } F) =] -1, 1[$.

**Démonstration.** — Le secteur fermé $\bar{U}_{\epsilon, \gamma, i}$ est, par **3.2**(ii) et COROLLAIRE 0, une cellule. Soit $\Phi : \bar{U}_{\epsilon, \gamma, i} \to \bar{D}$ l'homéomorphisme, holomorphe sur $U_{\epsilon, \gamma, i}$ de **3.3**.

Si $q_-, q_+ \in \bar{U}_{\epsilon, \gamma, i} \cap \gamma(S_\epsilon)$ sont les sommets de $\bar{U}_{\epsilon, \gamma, i}$ distinct de $p$, l'homéomorphisme $\Psi$ est la restriction à $V = \Phi^{-1}(D_+)$ de $\phi \circ \Phi$ où $\phi$ est l'homographie telle que $\mathfrak{F}\phi(0) > 0$, $\phi(\Phi(p)) = 0$ et $\{\phi(\Phi(q_+)), \phi(\Phi(q_-))\} = \{-1, 1\}$. ■

Soit $\Upsilon$ un ensemble indiçant tous les homéomorphismes $\Psi$ que **3.4** donne. Sur le quotient $B$ du produit $\Upsilon \times] -1, 1[$ par l'équivalence identifiant $(v, t)$ à $(v', t)$ si et seulement si $\Psi_v(t) = \Psi_{v'}(t')$ est définie le bord du $\omega$-polygone $U$ :

$$ \beta = \partial U : B \to \text{Fr } U, \quad (\overline{v}, t) \mapsto \Psi_v(t) $$

Si $\Upsilon_\beta = \{v \in \Upsilon; \omega_v \cap \text{Fr } F \subset \beta(B)\}$ où $\beta : B \to \text{Fr } U$ est un bord d'un $\omega$-polygone ouvert $U$, le quotient de l'union disjointe $\mathcal{U}_\beta = U \amalg_{v \in \Upsilon_\beta} \omega_v$ par l'équivalence identifiant $v \in \omega_v$ à $u \in U$ si $\text{incl}_{\omega_v}^{\mathcal{G}}(v) = \text{incl}_U^{\mathcal{G}}(u)$ est noté $\rho_\beta : \mathcal{U}_\beta \to U_\beta$, une surface topologique séparée de bord $B = U_\beta \setminus \rho_\beta(U)$ et contenant $\Omega_v = \rho_\beta(\omega_v)$.

Sur le produit $U_\beta \times \mu_2$ l'équivalence $\sim$ identifiant chaque point $(x, \epsilon) \in B \times \{\epsilon\}$ de la courbe $B$ de la copie d'indice $\epsilon \in \mu_2$ à son homologue $(x, -\epsilon) \in B \times \{-\epsilon\}$ dans l'autre copie et $\pi_\beta : U_\beta \times \mu_2 \to \mathfrak{D}_\beta U = U_\beta \times \mu_2 / \sim$ l'application quotient.
Si $p = \rho_{\beta}(v) \in \Omega_{v}$ alors $\Phi(\rho_{\beta}(v, \epsilon)) = \text{conj}^{\frac{1-\epsilon}{2}} \circ \Psi_{v}(v)$ définit un homéo-morphisme $\Phi_{v}$ du voisinage $\mathfrak{D}_{\partial\Omega_{v}} \cap \Omega_{v}$ de $\pi_{\beta}(p, \epsilon)$ dans $\mathfrak{D}_{\beta}U$ sur le disque unité.

Ces coordonnées donnent les structures de surface de Riemann transportées par $\pi_{\beta}$, sur les $\pi(\text{Int} \Omega_{v} \times \{1\})$ et $\pi(\text{Int} \Omega_{v} \times \{-1\})$ de celle de $\mathcal{S}$ et respectivement la structure conjuguée. D'où un atlas holomorphe sur $\mathfrak{D}_{\beta}U$ car, par le Corollaire de Morera$^{22'}$, elles sont aussi holomorphiquement compatibles entre elles.

L'application $\sigma_{\beta}: \mathfrak{D}_{\beta}U \to \mathfrak{D}_{\beta}U$ définie par $\sigma_{\beta}(\pi_{\beta}(z, \epsilon)) = \pi_{\beta}(z, -\epsilon)$ est, pour cette structure holomorphe, une hétérolution et a pour ensemble de points fixe et domaine fondamental les sous-variétés analytiques images de $B$ et $U_{\beta}$ par l'application continue injective et holomorphe sur $\rho_{\beta}(U)$ :

$$i_{\beta}: U_{\beta} \to \mathfrak{D}_{\beta}U, \quad i_{\beta}(z) = \pi_{\beta}(z, 1)$$

Le *double de Klein* de l'ω-polygone ouvert $U$ muni du bord $\beta$ est le triplet $(\mathfrak{D}_{\beta}U, U_{a\beta}, \sigma_{\beta})$, double de Klein de $U_{a\beta} = i_{\beta}(U_{\beta})$, la *surface de Riemann à bord arrondie de U sur C*. Le Corollaire de Morera$^{22'}$ en donne la caractérisation :

**3.5 PROPOSITION.** — Si $\mathcal{S}$ est une surface de Riemann munie de $\sigma$, une hétérolution et si $f: U_{\beta} \to \mathcal{S}$ est continue, holomorphe sur $U$ et telle que $f(B) \subset \text{Fix} \sigma$, alors il y a une unique application $F: \mathfrak{D}_{\beta}U \to \mathcal{S}$ holomorphe, $(\sigma_{\beta}, \sigma)$-invariante (i.e. $\sigma \circ F = F \circ \sigma_{\beta}$) telle que $F \circ i_{\beta} = f$. ■

D'où, puisque le complémentaire dans la sphère de Riemann $P_{1}(\mathbb{C}) \setminus I$ d'un intervalle fermé non réduit à un point $I$ de $P_{1}(\mathbb{R})$ est isomorphe au disque unité :

**3.6 COROLLAIRE.** — Le double d'une carte simple régulière sur un arc ouvert non dense de sa frontière est équivariament isomorphe à $(D, D_{+}, \text{conj})$, le disque unité muni du demi-disque Nord et de la conjuguaison complexe. ■
## 4 Une caractérisation de carte dans les surfaces de Riemann

Une famille $(C_i)_{i \in I}$ de parties de $\mathfrak{S}$ est filtrante si pour toute paire $\{C_i, C_j\}$ de ces parties, il y a dans la famille une $C_k \supset C_i \cup C_j$ les contenant toutes deux.

**4.1 CRITÈRE DE MONTEL.** — Soit dans une surface de Riemann $\mathfrak{S}$ un ouvert connexe $U$ union d'une famille filtrante $(C_i)_{i \in I}$ de cartes de $\mathfrak{S}$ alors $U$ est une carte de $\mathfrak{S}$ qui, si chaque $C_i$ est isomorphe à $D$, est isomorphe à $D$ ou à $\mathbb{C}$.

*Démonstration.* — Soit $p_0 \in C_0 \subset \mathfrak{S}$ fixé, $\varphi : 5D \to U_1$ un isomorphisme sur un voisinage de $p_0$, avec $\varphi(0) = p_0$ et $U^0 = U \setminus \varphi(\bar{D})$. Comme $(C_i)_{i \in I}$ est filtrante, il y a $J \subset I$ tel que $(C_j)_{j \in J}$, est filtrante, recouvre $U$, et chaque $C_j$ contient $\varphi(4D) = U_0$.

Si $j \in J$ soit $\zeta'_j : C_j \to V_j \subset \mathbb{C}$ une coordonnée avec $\zeta_j(p_0) = 0$. Il y a $t > 0$ tel que $\zeta_j = h_t \circ \zeta'_j$ vérifie $\zeta_j(C_j \setminus \varphi(\bar{D})) \subset \mathbb{C} \setminus \bar{D}$ mais $\zeta_j(q_j) = \theta_j \in S^1$, pour un point $q_j = \varphi(\eta_j) \in \varphi(S^1)$. D'après le théorème de Montel$^{23}$, les restrictions

$$ \zeta_{j|U^0} : U^0 \to \mathbb{C} \setminus \bar{D} \subset P_1(\mathbb{C}) \setminus \bar{D} \xrightarrow{\eta} D $$

des $\zeta_j$ à $U^0$ forment une famille normale de fonctions méromorphes.

Il y a donc $K \subset J$, cofinale pour l'ordre sur $J$ d'inclusion des $C_j, j \in J$, telle que $(\zeta_k)_{k \in K}$ converge suivant le filtre des sections de $K$, uniformément sur tout compact de $U^0$, vers $\zeta : U^0 \to \{\infty\} \cup \mathbb{C} \setminus \bar{D}$. Limite uniforme sur tout compact de fonctions holomorphes, $\zeta$ est méromorphe$^{8'''}$ et n'est pas une constante $c_v$ car :

i) si $v \neq \infty$ la formule de Cauchy$^{24}$, exprimant $f_j = \zeta_j \circ \varphi|_{D_2} : D_2 \to \mathbb{C}$ par des intégrales sur $S_3$, donnerait que les restrictions $\zeta_{j|\varphi(D_2)}$ convergent uniformément sur tout compact vers $c_v$, contredisant $\zeta_j(p_0) = 0$ et $|\zeta_j(q_j)| = 1$.

ii) si $v = \infty$ le principe de l'argument$^{25}$, donne $j \in J$ tel que $g_j(D_2) \supsetneq g_0(\bar{D}_2)$, où $g_j = \zeta_j \circ \varphi$. Alors $f = h_{\frac{1}{2}\eta_j} \circ g_j^{-1} \circ h_{\frac{\theta_j}{\theta_0}} \circ g_0 \circ h_{2\eta_0}$, holomorphe non sujective de $D$ dans $D$, violerait le lemme de Schwarz$^{26}$, puisque $f(0) = 0$ et $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

L'infini n'étant dans l'image des $\zeta_j$, le principe de l'argument assure que $\infty$ n'est pas valeur de $\zeta$. La formule de Cauchy donne la convergence uniforme sur tout compact de $\varphi(D_2)$. Ainsi les $\zeta_j, j \in J$, holomorphes injectives, convergent uniformément sur tout compact de $U$ vers une fonction holomorphe $\zeta$ qui n'étant pas constante est$^{27}$ un isomorphisme holomorphe de $U$ sur un ouvert de $\mathbb{C}$. $\square$

La dernière assertion suit du THÉORÈME 0, car une union $V$ filtrante d'ouverts $V_i$ de $\mathbb{C}$ vérifiant les hypothèses du THÉORÈME 0 en vérifie$^{28}$ la dernière. $\square$

*Remarque.* — Théorème 0 s'évite : Choisir $V_i = D_{R_i}$, le Lemme de Schwarz$^{26}$ assure $R_i \leq R_j$ si $C_i \subset C_j$. Ainsi $(D_{R_k})_{k \in K}$ est filtrante d'union $\cup D_{R_i} = D_R$, où $R = \sup R_i \in ]0, \infty[$ et on convient $D_\infty = \mathbb{C}$. Partie de l'argument précédent donne $L \subset K$ cofinale telle que les $\chi_l = \zeta \circ \zeta_l^{-1} : D_{R_l} \to \mathbb{C}$ convergent suivant le filtre des sections de $L$ vers $\chi : D_R \to \mathbb{C}$. Par prolongement analytique$^{18}$, étant l'inclusion au voisinage de 0, $\chi$ est $D_R \hookrightarrow \mathbb{C}$ donc $\dots$ $\square$
# Epilogue

## Commentaires sur littérature et tradition orale

A l'automne 1989, J.-P. Demailly [Dŷ] racontait ainsi l'uniformisation :

Une surface de Riemann simplement connexe non compacte $\mathcal{S}$ se couvre des composantes relativement compactes $U_\gamma$ du complémentaire de courbes simples fermées $\gamma$ analytiques réelles. La surface de Riemann compacte simplement connexe à bord $U_\gamma \cup \gamma$, a pour double une surface de Riemann compacte simplement connexe isomorphe (par Riemann-Roch) à la droite projective, ainsi $U_\gamma$ est isomorphe au disque et grâce à Montel $\mathcal{S}$ est isomorphe au disque ou au plan.

L'analyse était donc éliminée du théorème d'uniformisation puisque Riemann Roch ne nécessite rien de plus que le théorème de compacité de Montel.

Des idées issues de la topologie géométrique ([Dy] et [Ss]) donnèrent le Lemme A, l'extension dans la catégorie des surfaces de Riemann de la caractérisation topologique, attribuée à Brown, mais qu'on ne trouve que dans [Dy], de la sphère comme seule variété compacte couverte par deux disques permettant d'obtenir, sans Riemann-Roch ni géométrie analytique, le cas compact de l'uniformisation ([Mn]).

La preuve utilisait un engoufrement par symétrie de Schwarz dans une triangulation de la surface, procédé qui, bien auparavant (Cf. [Wn], [Cy]) fourni à B.L. van der Waerden le théorème d'uniformisation, en supposant la triangulabilité, avec un minimum d'analyse, préfigurant l'énoncé moderne ([Me], [Be-Sn]):

Les surfaces de Riemann sans composante compacte sont des variétés de Stein mais faisait disparaître la belle idée de double gardée dans le présent texte.

La théorie d'Eilenberg dans le plan donne que si $\varphi : C \to V \subset \mathbb{C} \subset P_1(\mathbb{C})$ est une carte connexe dans une surface de Riemann planaire connexe $\mathfrak{P}$ alors les composantes connexes $E_i$, $i \in I$ de $\mathfrak{P} \setminus C$ ont dans $\mathfrak{P}$ des voisinages $U_i$ deux à deux disjoints tels que pour chaque $i \in I$ il y a une composante $F_i$ de $P_1(\mathbb{C}) \setminus V$ avec $\cup_{i \in I} F_i = P_1(\mathbb{C}) \setminus V$ et $\varphi(C \cap U_i) \cup F_i$ est un voisinage de $F_i$ dans $P_1(\mathbb{C})$. Ceci permit d'obtenir par une induction nécessitant un ordre de séparation sur les composantes du complémentaire des composantes d'une carte l'énoncé :

Une surface de Riemann planaire compacte couverte de deux cartes est isomorphe à $P_1(\mathbb{C})$.

Le double d'un $\omega$-polygone simple relativement compact dans une surface de Riemann planaire $\mathfrak{P}$ vérifiant les hypothèses de cet énoncé, le Théorème 1 en découle, par une modification de la preuve donnée p.10. Le théorème d'uniformisation vient alors par la réduction de Demailly.

Ceci (conté en 1999) évite Lemmes B et C mais exige plus de topologie : Une des composantes du complémentaire d'une courbe simple fermée dans une surface de Riemann simplement connexe est relativement compacte et le double d'un $\omega$-polygone simple dans une surface de Riemann planaire est planaire. Bien qu'il n'en soit rien dit dans [Mn] ces deux dernières « assertions évidentes » sont non triviales, surtout dans une surface non encore sue paracompacte.

Implicites dans toutes ces approches est une arithmétique de la séparation dans les surfaces, précisément énoncée et établie par Jordan ([Jn]) et dont l'Appendice 1 donne une version pour les surfaces de Riemann qui avec des modifications mineures s'applique aux surfaces analytiques non nécessairement paracompacts²⁹. Mystérieusement ce « calcul de Jordan » est bien moins cité que le « Théorème de Jordan » prouvé dans [Jn] mais n'y ayant pas le statut d'énoncé.

L'alternative choisie dans le texte réduit la topologie nécessaire à la partie facile de cette « topologie de Jordan » (l'appendice 1 sans 1.5) et retrouve le Satz 1 de [Be-Sn] :

Un ouvert relativement compact d'une surface de Riemann est isomorphe à un ouvert à complémentaire standard dans une surface de Riemann compacte.

où il y avait une idée proche de celle du double (et la base des constructions de l'appendice 1) :

Pour inciser le long d'arêtes et « recoller en croix des lèvres de la plaie » sans besoin d'applications quasi-conformes assurant l'inexistence de singularité aux sommets, Benke et Stein se limitent aux surfaces de Riemann étalées sur $P_1(\mathbb{C})$ et aux triangles préimages de triangles de côté arcs de cercle-droites : les recollements, sinon l'identité comme dans le cas du double, sont des homographies et l'uniformisation d'un voisinage épointé du sommet se donne explicitement.
Références

[Be-Sn] BENKE H., STEIN K. — Entwicklung analytischer Funktionen auf Riemannschen Flächen., Math. Annalen, **120**, 430-461, (1948).

[Cy] CARATHEODORY C. — *Conformal representation*. , Cambridge tracts in Mathematics n°28, Cambridge University Press, (1941).

[Cy'] CARATHEODORY C. — *Theory of functions of a complex variable*, Vol 1 et 2, Chelsea, (1954).

[Dŷ] DEMAILLY J.-P. — *Comment réduire le théorème d'uniformisation au cas compact*, Conversation de comptoir, Gerland, Automne 1989.

[Dy] DOUADY A. — *Plongements de sphères (d’après Mazur et Brown)*, Exposé N° 205 du Séminaire Bourbaki, 1-6, W.A. Benjamin (1960-1961).

[Dy'] DOUADY A. — *Arrondissement des arêtes*, Exposé N° 3 du Séminaire H. Cartan, (1961-1962).

[Fr] FORSTER O. — *Riemannsche Flächen*, Heidelberger Taschenbücher 184, Springer-Verlag, (1977).

[Jn] JORDAN C. — *Cours d’analyse*, Gauthier-Villars, (1894).

[Me] MALGRANGE B. — *Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution*., Ann. Inst. Fourier **6**, 271-355, (1956).

[Mn] MARIN A. — *Le théorème d’uniformisation de Riemann d’après Demailly et Stallings*., Sem. di Geom. reale, Univ. Pisa, Dip. di Mat., Sez. di geom. e alg. 1.41, **560**, 35-36, (1990).

[Na] NEVANLINNA R. — *Uniformisierung*, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften LXIV, Springer-Verlag (1953).

[Ro] RADÓ T. — Über den Begriff der Riemannschen Fläche., Acta Szeged **2**, 101-121, (1925).

[Rn] RUDIN W. — *Real and Complex Analysis*, McGraw-Hill (1966), 2nd edition (1974).

[Sr] SPRINGER G. — *Introduction to Riemann surfaces*, Addison-Wesley (1957).

[Ss] STALLINGS J.R. — *The piecewise linear structure of Euclidean space*., Proc. camb. Phil. Soc. **58**, 481-488, (1962).

[Wn] VAN DER WAERDEN B.L. — *Topologie und Uniformisierung der Riemannschen Flächen*., Ber. sächs Akad. Wiss. Leipzig, math.-phys. Kl. **93**, 147-160, (1941).

[Wl] WEYL H. — *Die Idee der Riemannschen Fläche*, Teubner (1913) et 2nd ed. (1955).
Notes

0 et pas seulement voir [Dŷ]0', pour les textes, on consultera la bibliographie de [Na] ainsi que les références donnée par H. Weyl dans les notes du §20 de l'édition de 1955 [Wl] (p. 137-139).

0' à qui revient de porter le chapeau ^ de l'ajout du présent opuscule à la littérature.

1 p.137 de l'édition de 1955 de [Wl].

1' p. 142 de l'édition originale (1913) de [Wl].

² Cf. §315-323 de [Cy'], 14.8 de [Rn] ou la preuve de Koebe dans l'exercice 26 du chapitre 14 de ce dernier manuel, plus concis, choisi (édition de 1974) ici pour référer à l'analyse complexe élémentaire nécessitée : elle est incluse dans quatre chapitres de [Rn] : 10, 11, 12 et 14.

³ *Un domaine de Jordan n'a pas de revêtement double non trivial.*

Pour la preuve sous cette forme et l'équivalence du sens étymologique donné par Jordan à l'expression «simple connexité» à celui qu'elle a depuis [Wl] voir l'appendice 1. L'original est :

3' Lemme 511 (559) du t. II de la 2ième (3ième) èdition 1894 (tirage de 1959) de [Jn].

⁴ pour une preuve sans uniformisation voir §23 de [Fr] ou IV §3 de [Na]. Établie par Radó ([Ro]) en 1925 comme corollaire de l'uniformisation des surfaces des Riemann séparables, la paracompacité (équivalente à la séparabilité de chaque composante connexe) faisait, auparavant, partie de la définition des surfaces de Riemann (voir [Wl], et aussi 2.18 et 6.16 de [Na]).

⁵ sans être exhaustif on peut citer [Wl], [Na], [Sr], [Fr]. Le mémoire [Cy] évoqué dans les commentaires fait exception, mais utilise triangulations et topologie combinatoire.

⁶ par le théorème de l'application ouverte 10.32 de [Rn].

⁷ voir §341-342 de [Cy'], §141-145 de [Cy]. Les renvois primés adaptent 11.17 de [Rn] :

7' L'application $\Lambda : \mathfrak{S}_{r,2} \setminus \varphi(S_r) \to \mathbb{C}$, $\Lambda(z') = \zeta_r(z')$ si $z' \in \mathfrak{S}_r$ et $\Lambda(z) = \sigma_1 \circ \zeta_r \circ \varphi \circ \sigma_{r,2} \circ \varphi^{-1}(z)$ si $z \in \mathfrak{S}_{r,2} \setminus \tilde{\mathfrak{S}}_r$, est holomorphe injective et le logarithme de son module se prolonge en une fonction $\ell$ continue sur $\mathfrak{S}_{r,2}$ telle que, si $\psi$ et $\lambda = \log|\psi|$ sont définie sur un voisinage $V$ de $\mathbb{R}$, convexe et invariant par conjugaison comme composées de $\Lambda$ et $\ell$ avec $\varphi \circ h_r \circ \exp \circ h_i$ alors $\lambda$ a la propriété de la moyenne, puisqu'harmonique hors de $\mathbb{R}$ et vérifiant $\lambda \circ \text{conj} = -\lambda$, et est donc harmonique (11.16 de [Rn]). Ainsi $\lambda$ est partie imaginaire d'une fonction holomorphe (11.13 de [Rn]) $h$, que l'on peut choisir de sorte que $g = \exp \circ h$ soit égale à $\psi$ en un point de $V \cap H$, donc sur ce convexe et aussi sur $V \setminus \mathbb{R}$, puisque, pour $\phi = g$, $\psi$ on a $\phi \circ \text{conj} = \sigma_1 \circ \phi$. Ainsi $\exp \circ \ell$ est module d'une fonction holomorphe $\xi : \mathfrak{S}_{r,2} \to \mathbb{C}$ telle que $\xi \circ \varphi \circ \sigma_{r,2} \circ \varphi^{-1} = \sigma_1 \circ \xi$ et prolongeant $\Lambda$. Cette fonction $\xi$ est injective, puisque⁶, sur $\mathfrak{S}_{r,2} \setminus \varphi^{-1}(S_r)$, elle l'est.

7'' Soit $\alpha : D \to \mathfrak{S}$ une application holomorphe injective telle que $\alpha(D_+) = \text{un voisinage d'un point de } \partial K \setminus X$. L'argument de la note précédente 7' se déroule sur l'application $\psi : D \setminus \{-1, 1\} \to \mathbb{C}$ définie par $\psi(z) = \varphi \circ \alpha(z)$, si $\Im z > 0$ et $\psi(z) = \sigma_1 \circ \psi \circ \text{conj, sinon.}$

⁸ 10.20 de [Rn]. Dans les renvois primés, l'appliquer aux fonctions holomorphes bornées :

8' la composée $\varphi^{-1} \circ \xi^{-1} \circ \iota : \mathbb{C}^* \cap \iota(\xi(U)) \to D$.

8'' les composées $\iota \circ \psi \circ \varphi : D^* \to \mathbb{C}$ et $\varphi^{-1} \circ \psi^{-1} \circ \iota : \mathbb{C}^* \cap \iota(\psi(U)) \to D$.

8''' la composée $\iota \circ \zeta : U^0 \to P_1(\mathbb{C} \setminus \bar{D}) \to D$.

⁹ une fonction holomorphe $f$ ne s'annulant pas sur $\xi(\mathfrak{S}_{r,2})$ a une racine carrée holomorphe $g_0$ sur un disque, voisinage de $\bar{D}$ dans $\xi(\mathfrak{S}_{r,2})$, donc sur $U_0 = \bar{D} \cup \sigma_1 \circ \zeta_r \circ \varphi(D_r \setminus D_{r'})$ pour un $r' < r$, elle a aussi une racine carrée holomorphe $g_\epsilon$ sur $U_\epsilon = \sigma_1 \circ \zeta_r \circ \varphi(D \setminus (D_{r,2} \cup \mathbb{R}_\epsilon))$ pour $\epsilon \in \mu_2$, puisque ces ouverts sont élémentaires. Les intersections $U_0 \cap U_\epsilon$ pour $\epsilon \in \mu_2$ étant connexes, il y a $\eta_\epsilon \in \mu_2$ tel que $\eta_\epsilon g_\epsilon = g_0$ sur $U_0 \cap U_\epsilon$. Comme les deux composantes connexes de $U_- \cap U_+$ rencontrent $U_0 \cap U_1$, ces $\eta_\epsilon g_\epsilon$ se recollent avec $g_0$ en une racine carrée holomorphe de $f$.
10 Une hétérolution $\sigma$ de $P_1(\mathbb{C})$ est conjuguée à $\sigma_{-1}$ si elle est libre et à $\sigma_1$ sinon.

En effet, $c_\infty$ et Id n'étant des hétérolutions, il y a $z_1 \in \mathbb{C}$ avec $z_1 \neq \sigma(z_1) = z_2 \in \mathbb{C}$. Pour $\lambda \in \mathbb{C}^*$, soit $\varphi : z \mapsto \frac{z-z_1}{z-z_2}$, $\varphi_\lambda = h_\lambda \circ \varphi$ et $f_\epsilon, \lambda = \sigma_\epsilon \circ \varphi_\lambda \circ \sigma \circ \varphi_\lambda^{-1}$, isomorphisme de $P_1(\mathbb{C})$ fixant 0 et $\infty$, a en 0 pour dérivée $f'_{\epsilon, \lambda}(0) = \epsilon |\lambda|^{-2} f'_{1,1}(0)$, et il y a $f = f_\epsilon, \lambda$ avec $f'(0) = 1$.

Alors $z \mapsto \frac{\sigma_1 \circ f \circ \sigma_1^{-1}(z)}{z}$, est, par le théorème⁸ des singularités inexistantes, restriction d'une fonction entière tendant vers 1 quand z tend vers l'infini donc $c_1$, selon le théorème¹¹ de Liouville.
Ainsi $f = \text{Id}$ et $\sigma = \varphi_\lambda^{-1} \circ \sigma_\epsilon \circ \varphi_\lambda$ est conjuguée à $\sigma_\epsilon$.

11 **10.23 de [Rn].**

11' de fermeture incluse, si $1 < t' < t$, dans $\mathfrak{G}^{t'}$, ce domaine $\mathfrak{G}^t$ est isomorphe à un ouvert du complémentaire dans $\mathbb{C}$ d'un disque $\{|z-z_0| \le \epsilon\}$, sur lequel $\iota \circ \tau_{-z_0}$ est holomorphe bornée non constante. Il ne peut donc, par le théorème de Liouville¹¹ être isomorphe à $\mathbb{C}$.

12 Deux points distincts $\pi(x_1, n_1) \neq \pi(x_2, n_2)$ ont pour voisinages disjoints, $p^{-1}(\omega_i)$ pour $i=1, 2$ où $\omega_i$ sont des voisinages disjoints des $x_i$ si $x_1 \neq x_2$ et, si $x_1 = x_2$, les images par $\pi$ des ouverts saturés $((U_{n_i-1} \cap U_{n_i}) \times \{n_i-1\}) \cup (U_{n_i} \times \{n_i\}) \cup ((U_{\overline{n_i}} \cap U_{\overline{n_i+1}}) \times \{n_i+1\})$ qui sont disjoints car, comme $|n_1 - n_2| > 1$ la condition (ii) et le choix de $N$ donnent $|n_1 - n_2| \ge N > 2$.

13 les isomorphismes de $D$ sont (12.6 de [R]) les $h_\lambda \circ \varphi_\alpha$, pour $|\lambda| = 1$ (et $|\alpha| < 1$).

13' Une hétérolution $\zeta$ de $D$ est conjuguée à conj.

En effet¹³, $\zeta(\bar{z}) = h_\lambda \circ \varphi_\alpha(z)$, soit $t = \frac{1-\sqrt{1-|\alpha|^2}}{|\alpha|^2}$ et $\alpha' = t\bar{\alpha}$. Ainsi, pour $t \in [-1, 1]$ :

$$ \zeta(\alpha') = \zeta(t\bar{\alpha}) = \frac{t-1}{1-t|\alpha|^2} \lambda\alpha = \frac{1-t}{1-t|\alpha|^2} \zeta(\zeta(\bar{\alpha})) = \frac{1-t}{1-t|\alpha|^2} \bar{\alpha} = \alpha' $$

ainsi $\alpha'$ est point fixe de $\zeta$ et $\varphi_{\alpha'} \circ \zeta \circ \varphi_{\alpha'}^{-1} = \lambda' \bar{z}$, conjuguée à conj (par $h_\mu z$ si $\lambda' \mu^2 = 1$).

13'' par 13, $\theta = h_\lambda \circ \varphi_\alpha$ où $\alpha \in [-1, 1]$ et $\lambda \in \mu_2$, par équivalence $\theta \circ \text{conj} = \text{conj} \circ \theta$. Donc $\alpha \in [-1, 1]$ [0} \text{ car } \theta \text{ libre sur } D. \text{ Alors } -\frac{\alpha}{|\alpha|} \vartheta_+ \text{ conjugue } \theta \text{ à } h_{t|_{L_+}} : L_+ \to L_+ \text{ où } t = \frac{1+|\alpha|}{1-|\alpha|} > 1.$

14 Si $p_i = \pi(i, z_i)$ l'inverse $G = H^{-1}$ peut être donné par : si $x = \pi(i, \iota(u))$, où $|u| > \sqrt{r_i}$ alors $G(x) = \pi(i, \iota((\frac{r_i}{|u|})^{N_i-1} \iota(u) + (1 - (\frac{r_i}{|u|})^{N_i}) \iota(z_i)))$ pour un $N_i > 0$ grand et $G(x) = x$ sinon.

15 Si $\Gamma$, compact dans $U_i$, ouvert connexe de $\mathfrak{D}$, connexe et localement connexe et $C = U_i \setminus \Gamma$ est connexe, alors $\text{Fr } C \supset \text{Fr } U_i = \text{Fr}(\mathfrak{D} \setminus U_i) (\neq \emptyset \text{ si } U_i \neq \mathfrak{D})$ et $\mathfrak{D} \setminus \Gamma = C \cup (\mathfrak{D} \setminus U_i)$ est connexe.

16 Soit $\Gamma = \cup_{\lambda' \in \Lambda'} \beta'_{\lambda'}$ une chaîne et $\beta'_{\lambda'} \cap (\partial \beta'_{\lambda'} \cup \cup_{\lambda'' \neq \lambda'} \beta''_{\lambda''}) = \{\gamma_{\lambda'}(t_k^{\lambda'}) ; 0 = t_0^{\lambda'} < \cdots < t_{l_{\lambda'}}^{\lambda'} = 1\}$.

Pour $\lambda = (n, \lambda') \in \Lambda = \{(n, \lambda') \in \mathbb{N} \times \Lambda' ; 0 \le n < l_{\lambda'}\}$, soit $\gamma_\lambda = \gamma'_{\lambda'} \circ \tau_{t_n^{\lambda'}} \circ h_{t_{n+1}^{\lambda'}} - t_n^{\lambda'}$ et $\beta_\lambda = \gamma_\lambda(I)$. La famille $\mathcal{B} = (\beta_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ est un graphe d'union $\Gamma$, fermè si $\Gamma$ est un $\omega$-cycle.

17 Soit $\beta_\mu$ avec $\emptyset \neq \beta_\mu \cap \beta_\lambda$, il y a pour $\nu \in \{\lambda, \mu\}$, quitte à changer certains $\gamma_\nu$ en $\gamma_\nu \circ \tau_1 \circ h_{-1}$, une paramétrisation $\gamma_\nu$ de $\beta_\nu$ avec $\{\gamma_\nu(0)\} = \{p\} = \beta_\mu \cap \beta_\lambda$. Soit $\sum_{m=1}^\infty a_m z^m$ (où $a_1 \neq 0$) le développement en 0 de l'isomorphisme local $\zeta_\lambda \circ \gamma_\mu$. Puisque $\beta_\lambda \neq \beta_\mu$, il y a, par analyticité¹⁸ un entier $m_\lambda, \mu$ avec $m_\lambda, \mu = 0$ si $a_1 < 0$, et sinon $\mathfrak{S} a_{m_\lambda, \mu} \neq 0$ mais $\mathfrak{S} a_m = 0$ pour $m < m_\lambda, \mu$. Soit $N_\lambda = 2 \max\{m_\lambda, \mu ; \beta_\mu \cap \beta_\lambda \neq \emptyset\}$ et $h'_\lambda > 0$ grand avec $\gamma_\lambda$ défini sur $P'_\lambda = P_{N_\lambda, h'_\lambda}$, il y a un voisinage $U$ de $\Delta_\mathfrak{S}$ disjoint, pour tout $\lambda \neq \mu$, de $\gamma_\lambda(P'_\lambda) \cap \gamma_\mu(P'_\mu)$. La famille $\mathcal{B}$ étant localement finie et, les $\gamma_\lambda(P_{N_\lambda}, h)$ décroissant en $h$ d'intersection les arcs ouverts deux à deux disjoints $\beta_\lambda \setminus \partial \beta_\lambda$, il y a des $h_\lambda \ge h'_\lambda$ tels que les $\mathfrak{p}_\lambda = \gamma_\lambda(P_{N_\lambda}, h)$ sont deux à deux disjoints.

18 **10.18 de [Rn].**
¹⁹ Un duplicata non trivial $p: X \to D^*$ est isomorphe au carré $q: D^* \to D^*$, $z \mapsto z^2$.

De source $L_-$ simplement connexe, $\tilde{p} = \exp|_{L_-} = p \circ \pi : L_- \to X \to D^*$ se factorise par $p$, ce dernier étant un duplicata, $\pi \circ \tau_{2\pi i} = \tau \circ \pi$ pour un isomorphisme $\tau : X \to X$ de $p$.

Ainsi $\pi \circ \tau_{2\pi i} = \pi \circ \tau_{2\pi i} \circ \tau_{2\pi i} = \tau^2 \circ \pi = \pi$, et $\pi \circ h_2 = \phi \circ \exp$ pour $\phi : D^* \to X$ holomorphe vérifiant $p \circ \phi = q$ et $p^{-1}(q(z)) = \{\phi(z), \tau(\phi(z)) = \phi(-z)\}$, si $z \in D^*$ car $\tau$ est libre, puisque $D^*$ est connexe et $p$ non trivial. Bijectif, l'holomorphisme $\phi$ est un isomorphisme. ■

²⁰ Une famille, indexée par les couples comparables $\phi < \phi' \in \Phi$ d'un ensemble bien ordonné filtrant, de désirs $\pi_\phi^{\phi'} : F_\phi^{\phi'} \to F_\phi$ surjectifs sur l'ensemble fini $F_\phi$ défini sur l'ensemble $F_\phi^{\phi'} \subset F_{\phi'}$ (le) prétendant (dans $F_{\phi'}$) est compatible (ou définit un désir systématique) si :

Pour tout $\phi < \phi' < \phi''$, alors $\pi_\phi^{\phi''} = \pi_\phi^{\phi'} \circ \pi_\phi^{\phi''}$. Sa limite projective $\varinjlim_{\phi \in \Phi} (F_\phi, \pi_\phi^{\phi'})$, ou ensemble de ses réalisations $\mathcal{R}$ est l'ensemble des $(f_\phi)_{\phi \in \Phi}$ tel que pour tout $\phi < \phi'$ la $\phi^{\text{ième}}$ composante $f_{\phi'} \in F_\phi^{\phi'}$ est un prétendant de désir $\pi_\phi^{\phi'}(f_{\phi'}) = f_\phi$.

**Lemme des mariages.** — Un désir systématique a des réalisations : $\mathcal{R} = \varinjlim_{\phi \in \Phi} (F_\phi, \pi_\phi^{\phi'}) \neq \emptyset$.

Car $\mathcal{R}$ est intersection fermée, avec propriété de l'intersection finie, du compact $\prod_{\phi \in \Phi} F_\phi$. ■

²⁰' Appliqué à la famille des $F_\phi = \{\Gamma^{\eta^m}; \text{supports réduits de } \Gamma_{\mathcal{B}_\phi^p}\}$, $\phi \in \Phi$ que **1.2** munit des désirs compatibles $\pi_\phi^{\phi'}$, $\Gamma^\eta \mapsto \Gamma^\eta \cap \bar{U}_\phi$ sur les prétendants $F_\phi^{\phi'} = \{\Gamma^\eta \in F_{\phi'}; \Gamma^\eta \cap \bar{U}_\phi \in F_\phi\}$.

²¹ **10.33** de [Rn].

²² **10.17** de [Rn], on en tire le « Petit principe⁷ de symétrie », dit aussi « Corollaire de Morera » :

²²' Une fonction continue, holomorphe hors d'une courbe analytique réelle, est holomorphe.

²³ **14.6** de [Rn].

²⁴ **10.15** de [Rn].

²⁵ Tout $w \in g_0(D_2)$ est, car $g_j \to \infty$ uniformément sur $S_2$, dans la composante de $0=g_j(0)$ de $\mathbb{C}g_j(S_2)$. Par **10.43** de [Rn], $f_w = \tau_{-w} \circ g_j$ a, dans $D_2$ autant de zéros que $f_0$, donc $w \in g_j(D_2)$.

²⁶ **12.2** de [Rn].

²⁷ voir le dernier paragraphe de la preuve de **14.8** dans [Rn].

²⁸ Si $g_{i,j}^2 = f|_{V_{i,j}}$, $i=1,2$ pour $f: V \to \mathbb{C}^*$ et $g_{i,j}$ holomorphes avec $g_{i_1}(z_0) = g_{i_2}(z_0)$, alors, sur $V_{i_1} \cap V_{i_2}$, $g_{i_1} = g_{i_2}$ car, sur le connexe $V_{i,j}$, $g_{i,j}$ est restriction de la racine carrée $g_k$ de $f|_{V_k}$ où $V_k \supset V_{i_1} \cup V_{i_2}$, vérifiant $g_k(z_0) = g_{i_1}(z_0) = g_{i_2}(z_0)$ : ces $g_i$ se recollent en une racine de $f$.

²⁹ Car si $\alpha:] - 1, 1[ \subset U \to \mathbb{R}^2$ est une courbe analytique réelle définie sur un voisinage simplement connexe de $]-1, 1[$, la primitive coïncidant avec $\alpha$ en 0, de l'application holomorphe $x + iy = z \mapsto \frac{\partial}{\partial x}\alpha(z) - \frac{\partial}{\partial y}\alpha(z)$, étend la restriction de $\alpha$ à $]-1, 1[$ et, si $\alpha|_{]-1, 1[$ est injective, est injective sur un voisinage de $]-1, 1[$.
<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Planche h
Le lemme des mariages</figcaption></figure>
# Glossaire

Sans reprendre les dénominations des objets et morphismes standards (p.iv et v), cette liste donne la localisation des définitions des « mots et symboles propres » du texte.

## Lexique

<table><tr><td>acyclique</td><td>15</td></tr><tr><td>arc analytique</td><td>12</td></tr><tr><td>arrondie</td><td>iii et 21</td></tr><tr><td>arête (d'un ω-graphe)</td><td>12</td></tr><tr><td>bord (d'une surface de Riemann)</td><td>16</td></tr><tr><td>bord (d'un ω-arc)</td><td>12</td></tr><tr><td>bord (d'un ω-polygone ouvert ou fermé)</td><td>iii et 19</td></tr><tr><td>carte</td><td>12</td></tr><tr><td>cellule</td><td>4</td></tr><tr><td>collier (paramétré) (d'une ω-chaîne)</td><td>13</td></tr><tr><td>coin</td><td>iii</td></tr><tr><td>conjugaison (de double)</td><td>16</td></tr><tr><td>connexité</td><td>v</td></tr><tr><td>courbe simple (fermée)</td><td>14</td></tr><tr><td>coordonnée (en un point d'une surface de Riemann)</td><td>11</td></tr><tr><td>cycle analytique</td><td>ii et 12</td></tr><tr><td>désir (systématique)</td><td>IV</td></tr><tr><td>domaine de Jordan</td><td>i</td></tr><tr><td>double (de Klein) (d'une surface de Riemann)</td><td>iii et 16</td></tr><tr><td>double (de Klein) (d'un ω-polygone sur un bord β)</td><td>iii et 19</td></tr><tr><td>duplicata</td><td>14</td></tr><tr><td>eénnodrooque</td><td>12</td></tr><tr><td>élémentaire (ouvert dans une surface de Riemann)</td><td>ii</td></tr><tr><td>élémentaire (carte ou coordonnée dans une surface de Riemann à bord)</td><td>16</td></tr><tr><td>fermé (ω-graphe)</td><td>12</td></tr><tr><td>filtrante (famille (de parties))</td><td>22</td></tr><tr><td>graphie</td><td>v</td></tr><tr><td>hétérographie</td><td>v</td></tr><tr><td>hétérolution</td><td>iii</td></tr><tr><td>homographie</td><td>v</td></tr><tr><td>intérieur formel (d'un ω-arc)</td><td>11</td></tr><tr><td>isomorphisme</td><td>i</td></tr><tr><td>Jordan-simplement connexe</td><td>15</td></tr><tr><td>limite projective (d'un désir systématique)</td><td>IV</td></tr><tr><td>normale (eénnodrooque Γ-normale)</td><td>12</td></tr><tr><td>périphérique (cellule dans un ω-polygone fermé)</td><td>4</td></tr><tr><td>perle</td><td>iv</td></tr></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>perle sur une arrête</td>
      <td>14</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>planaire (surface de Riemann)</td>
      <td>ii</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>polygone analytique (ouvert)</td>
      <td>ii</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>polygone analytique (fermé)</td>
      <td>4</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>prétendant</td>
      <td>IV</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>réalisation (d'un désir systématique)</td>
      <td>IV</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>réduit (support réduit d'un support de graphe)</td>
      <td>14</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>régulier (ω-polygone ouvert ou fermé)</td>
      <td>3</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>signe locaux (groupe des)</td>
      <td>v</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>simple (ω-polygone)</td>
      <td>4</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>simplement connexe</td>
      <td>i</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>simplement connexe (aux sens de Jordan)</td>
      <td>15</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>sommet (d'un ω-polygone et d'un ω-graphe)</td>
      <td>iii et 12</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>standard (ouvert dans une surface de Riemann)</td>
      <td>ii</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>support (d'un ω-graphe)</td>
      <td>12</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>surface de Riemann</td>
      <td>i</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>surface de Riemann à bord</td>
      <td>16</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>valence (d'un point dans un ω-graphe d'une surface de Riemann)</td>
      <td>12</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ω-arc</td>
      <td>12</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ω-chaîne</td>
      <td>12</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ω-cycle</td>
      <td>ii et 12</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ω-cycle d'un signe</td>
      <td>14</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ω-graphe</td>
      <td>12</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>ω-polygone (ouvert et fermé)</td>
      <td>ii et 3</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

symblolique

<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>∂R, ∂U</td>
      <td>16</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>i<sub>β</sub> (D<sub>β</sub> U, U<sub>aβ</sub>, σ<sub>β</sub>)</td>
      <td>21</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>B</td>
      <td>12</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Γ<sub>B</sub></td>
      <td>12</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Δ<sub>B</sub></td>
      <td>12</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>p, p<sub>λ</sub></td>
      <td>14</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>∂Γ</td>
      <td>14</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>π<sub>B</sub></td>
      <td>14</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>π<sub>Γ</sub></td>
      <td>14</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>G<sub>Γ</sub></td>
      <td>14</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Γ<sup>η</sup>, Γ<sup>η</sup><sub>U</sub></td>
      <td>14</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>U<sub>ε, γ, i</sub></td>
      <td>18</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
# Table des matières

## Préambule : Aperçu sur quatre paragraphes...

<table><tr><td>Introduction</td><td>i</td></tr><tr><td>La preuve et ses sept énoncés, le cas compact</td><td>ii</td></tr><tr><td>Arrondissement des brisures du bord et le cas général</td><td>iii</td></tr><tr><td>Objets et morphismes standards dans le plan et la sphère</td><td>iv</td></tr></table>

## Déroulement de la Démonstration

<table><tr><td>§1 Démonstration du Lemme A</td><td>2</td></tr><tr><td>§2 Le Lemme B et démonstration du Lemme C</td><td>4</td></tr><tr><td>§3 Démonstration du Lemme D et Corollaire D</td><td>8</td></tr><tr><td>§4 Démonstration des Théorèmes</td><td>11</td></tr></table>

## Appendices

<table><tr><td>1 Arcs analytiques, duplicatas et séparation par les ω-graphes</td><td>12</td></tr><tr><td>2 Surfaces de Riemann à bord et double de Klein usuel</td><td>16</td></tr><tr><td>3 Bord et double de Klein des ω-polygones</td><td>18</td></tr><tr><td>4 Une caractérisation de cartes dans les surfaces de Riemann</td><td>22</td></tr></table>

## Epilogue

<table><tr><td>Commentaires sur litérature et tradition orale</td><td>Ø</td></tr><tr><td>Références</td><td>I</td></tr><tr><td>Notes</td><td>II</td></tr><tr><td>Glossaire</td><td>VI</td></tr><tr><td>Table des matières</td><td>VIII</td></tr><tr><td>Générique de fin</td><td>IX</td></tr><tr><td>Contacts et affiliation</td><td>X</td></tr></table>
« Klein, Poincaré und Koebe ist es vor allem zu verdanken, wenn heute die Theorie der Uniformisierung, welche innerhalb der komplexen Funktiontheorie eine zentrale Stellung beanspruchen darf, als ein mathematisches Gebäude von bezonderer Harmonie und Großzügigkeit vor uns steht. »

H. Weyl, (Die Idee der Riemannschen Fläche¹′)

Les quatres paragraphes et autant d'appendices de ce texte n'existaient pas sans les œuvres explicitement ou implicitement citées, diverses demandes d'une réalisation de leur rédaction, ni la patience de L. Guillou pour nos balbutiements et son érudition communicative de cette « littérature mathématique » dont l'auteur, avant d'entreprendre sous sa direction ce T.E.R.* d'histoire des mathématiques, n'imaginaient pas l'existence.

L'auteur manifeste aussi sa sympathie aux doigts et à l'œil de monsieur Carreira, qui effectuèrent coifures, costumes, maquillages, et firent passer de nos lèvres à ce « manuscript frappé » une discrète couche de TEx.

« J'ai toujours regretté de ne pas l'avoir connu en pleine jeunesse quand, brun et basané à l'image d'un conquistador et tout frémissant des perspectives scientifiques qu'ouvreraient la psychologie du XIXe siècle, il était parti à la conquête spirituelle du nouveau monde »

C. Lèvi-Strauss, (Tristes tropiques)

(et de ses) non encore uniformisées

ante – Koebiennes Surfaces de Riemann

<footnote>* Travail d'étude et de recherche, exercice de style de nature initiatique, introduit et exigé chez des tribus extratropicales (bien au nord du Cancer et très à l'est de l'Amazonie) dès la fin du vingtième siècle, pour faire passer les licencieuses au statut de maîtresses de Mathématique.</footnote>
Metteur en scène et secrétaire : Alexis Marin Bozonat
courriel : alexis.charles.marin@gmail.com

Univ. Grenoble Alpes, CNRS, IF, 38100, Grenoble, France