# Produit de fonctions caractéristiques et indépendance de variables aléatoires

M. Girault

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M. Girault. Produit de fonctions caractéristiques et indépendance de variables aléatoires. Annales de l'ISUP, 1956, V (1), pp.29-31. hal-04095314

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Submitted on 11 May 2023

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# PRODUIT DE FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES

## ET INDÉPENDANCE DE VARIABLES ALÉATOIRES

par

M. GIRAULT

### OBJET DE L'ÉTUDE

On considère les variables aléatoires X, Y et Z = X+Y et soient $\varphi_x(t)$, $\varphi_y(t)$, $\varphi_z(t)$ les fonctions caractéristiques associées. On sait que si X et Y sont indépendantes : $\varphi_x(t) = \varphi_x(t) \varphi_y(t)$. Nous voudrions attirer l'attention sur le fait que la réciproque n'est pas exacte ; et plus généralement sur le fait que les lois de répartition de X ; de Y (lois marginales) et de (X + Y) ne déterminent pas complètement la loi du couple (X, Y).

On notera en particulier que si X, Y et Z suivent des lois du $\mathcal{X}^2$ à n₁, n₂ et (n₁ + n₂) degrés de liberté, cela n'entraîne nullement l'indépendance de X et de Y.

### DÉVELOPPEMENT

Soit donc le couple aléatoire (X,Y) et désignons par $F_{(X)}$ et $G_{(Y)}$ les fonctions de répartition marginales de X et de Y.

Si les variables X et Y sont indépendantes, la fonction de répartition $H_{(Z)}$ de Z = X+Y est obtenue par produit de composition de $F_{(X)}$ et de $G_{(Y)}$.

$$ (1) \qquad H(z) = F(x) * G(y) \quad \text{soit} \quad H(z) = \int F(z-y) \, dG(y) $$

D'autre part un résultat maintenant classique (¶) nous apprend qu'il y a équivalence entre la relation (1) et la relation (2) suivante pour les fonctions caractéristiques :

$$ (2) \qquad \varphi_{(X)}(t) = \varphi_{(X)}(t) \varphi_{(Y)}(t) $$

Si $\Phi_{(RS)} = E[e^{i(rX+sy)}]$ est la f.c. du couple (X,Y), la relation (1) entraîne (3) :

$$ (3) \qquad \Phi(t,t) = \Phi(t,o) \cdot \Phi(o,t) $$

<footnote>(1) Voir H. ROBBINS. Mixture of distributions. Annals of Math. Stat. Vol XIX, n°3 Sept. 1948, p. 365; et M. GIRAULT. Les fonctions caractéristiques et leurs transformations. Publications I.S.U.P. 1955.</footnote>
puisque $\varphi_z(t) = \Phi(t,t)$ et que les f. c. des distributions marginales sont
$\Phi(r,o)$ et $\Phi(o,s)$

Réciproquement, la relation (3) entraine (1) mais elle n'implique pas l'indépendance de X et de Y.

La condition nécessaire et suffisante d'indépendance de X et de Y relativement à Φ(r,s) est

$$
(4) \qquad \Phi(r,s) = \Phi(r,o) \cdot \Phi(o,s)
$$

et cela pour toutes les valeurs de r et de s. Or la relation (3) indique
seulement que (4) est satisfaite sur la droite r = s et non dans tout le plan.
Il n'y a donc pas nécessairement indépendance stochastique.

En d'autres termes, on peut avoir la relation (1) pour certaines dis-
tributions de variables liées.

En effet, partons d'une répartition de v.a. indépendantes X et Y ; les
fonctions de répartition de X de Y et de X + Y réalisent

$H = F * G$

Ajoutons une "pseudo répartition" de masses positives et négatives
réalisant les conditions suivantes :

$$
I \left\{
\begin{array}{lcll}
& \text{masse nulle sur tout intervalle } \Delta x & & \\
" & " & " & \Delta y \\
" & " & " & \Delta (x+y)
\end{array}
\right.
$$

De plus, on imposera à la nouvelle répartition d'être partout à mesure
positive.

Il est bien clair que la nouvelle répartition admet encore F, G et H
pour fonctions de répartition de X de Y et de (X + Y) et par suite on a
encore : H = F * G d'où φz(t) = φx(t) φy(t)

Il est facile de montrer que réciproquement, si une distribution réalise
H = F * G, elle est la somme d'une distribution de v.a. indépendantes et
d'une distribution de masses réelles réalisant les conditions (I).

Des exemples ont été donnés par H. Cramer (Mathematical Methods of Statistics 1946. Exercice p. 317, n° 2) et H. Robbins (Annals of Math. Stat. Sept. 1948). Dans ces exemples les conditions indiquées ici sont réalisées très simplement.

Voici à titre d'illustration l'exemple de H. Robbins :

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
Répartition uniforme de densité 2 dans les parties hachurées du carré (fig. I).

Les répartitions de X de Y et de Z sont les mêmes que celles données par une répartition uniforme dans tout le carré.

Ajoutons que la transformation indiquée par les conditions I est toujours possible dès que les répartitions de X et de Y ont au moins trois valeurs possibles : x, x₂, x₃, y, y₂, y₃, réalisant :

$$x_2 - x_1 = y_2 - y_1$$

$$x_3 - x_2 = y_3 - y_2$$

A partir de la répartition indépendante, on ajoutera aux points (xᵢyⱼ) les masses o, +c ou -c conformément à la figure II.

$$\text{où } c \le \min. \text{ prob} \left\{ \begin{array}{l} X = x_i \\ Y = y_j \end{array} \right\} \quad i, j = 1, 2 \text{ ou } 3$$

Si la distribution est continue, les points (xᵢyⱼ) seront remplacés par des éléments dx dy et c par une densité.

En résumé les relations (1) ou (2) entrainent l'indépendance dans le seul cas où X et Y ne peuvent pas prendre l'un et l'autre au moins 3 valeurs ayant deux à deux des différences égales.
est une opération de la forme $X$ et $Y$ ne peuvent pas être l'opposé de l'autre. En résumant les relations (1) ou (2) entre les opérations entre les éléments de $\mathfrak{H}$ et $\mathfrak{H}$ est une densité.

Si la distribution est continue, les points $(x_i)$ sont approximés par

$$ \lim_{\epsilon \to 0} \text{prop} \left\{ X = x_i \right\} \quad (i \in \mathbb{N}, s \text{ ou } t) $$

les points $0, +c$ ou $-c$ contenant $f$ la limite $\infty$.

Voir la répartition indépendante, on conclut aux points $(x_i)$

$$ x_i^2 - x_i^4 - x_i^3 - x_i $$

$$ x_i^3 - x_i^2 - x_i^2 - x_i $$

Pour les bornes $i, j, k, l, m, n, o, p$ reprendre :
les bornes de due répartition de $X$ et de $Y$ ont des mêmes valeurs entre toutes les conditions l'ont reprises.

Les répartitions de $X$ et de $Y$ sont les mêmes que celles données

(16.1).

La répartition uniforme de densité $\rho$ dans les parties successives du cas est