# Sur les fonctions caractéristiques de lois de probabilité

R. Cairoli

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R. Cairoli. Sur les fonctions caractéristiques de lois de probabilité. Annales de l'ISUP, 1964, XIII (1), pp.45-53. hal-04085125

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Submitted on 28 Apr 2023

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# SUR LES FONCTIONS CARACTÉRISTIQUES DE LOIS DE PROBABILITÉ

## R. CAIROLI

## 1 - INTRODUCTION

Dans le présent travail nous établirons quelques conditions nécessaires pour que certaines fonctions méromorphes puissent être considérées comme fonctions caractéristiques de lois de probabilité. Ce travail entre donc dans le cadre des études consacrées aux fonctions caractéristiques analytiques. Un des résultats les plus importants dans ce domaine a été établi par Marcinkiewicz [4], qui donne une condition nécessaire pour qu'une fonction entière, d'ordre fini, soit une fonction caractéristique. Des généralisations du théorème de Marcinkiewicz ont été formulées par Lukacs [3] et Christensen [1]. Dans le présent travail, la condition de Marcinkiewicz sera généralisée au cas des fonctions méromorphes, holomorphes dans un demi-plan. La première démonstration présentée repose sur un lemme établi par Lukacs [3] que nous citerons sans démonstration. En outre, nous utiliserons, sans commentaire, quelques éléments de la théorie de Nevanlinna sur les fonctions méromorphes [5].

Je tiens à témoigner ma plus vive gratitude à Messieurs les professeurs Dr. E. Lukacs et Dr. W. Saxer pour leurs précieuses suggestions.

## 2 - RESULTATS AUXILIAIRES

Il est bien connu que, si $f(z)$ est une fonction méromorphe d'ordre fini $\lambda$, pour chaque $\varepsilon > 0$, l'inégalité

$$ \max_{|z|=r} \left| \frac{1}{f(z) - a} \right| < \exp(r^{\lambda+\varepsilon}), \quad a \neq \infty, \quad (2,1) $$

est satisfaite pour une infinité de valeurs arbitrairement grandes de r. Si on pose $a = 0$ dans (2,1), on obtient :
$$ \max_{|z|=r} \frac{1}{|f(z)|} = \frac{1}{\min_{|z|=r} |f(z)|} < \exp(r^{\lambda+\epsilon}) $$

D'où le théorème suivant :

**THEOREME 2.1** : Si $f(z)$ est une fonction méromorphe d'ordre fini $\lambda$, pour chaque $\epsilon > 0$, l'inégalité

$$ |f(r \exp(i\varphi))| > \exp(-r^{\lambda+\epsilon}) \quad (2,2) $$

est satisfaite pour une suite $\{r_\nu\}$ de nombres positifs, telle que $r_\nu \to \infty$.

Nous utiliserons le théorème suivant dû à Borel (pour la démonstration cf. [6], page 57) :

**THEOREME 2.2** : Soit $P(z) = \prod_{\nu=1}^{\infty} E(\frac{z}{c_\nu}, p)$, le produit canonique des zéros $c_\nu$, $p$ et $\rho$ soient son genre resp. son ordre. On considère en chaque point $c_\nu$, tel que $r_\nu = |c_\nu| > 1$, un cercle de rayon $r_\nu^h$ ($h > \rho$). Dans la domaine obtenu en excluant ces cercles du plan, l'inégalité

$$ |P(r \exp(i\varphi))| > \exp(-r^{\rho+\epsilon}) $$

sera vérifiée, pour tout $\epsilon > 0$, dès que $r > r_\epsilon$.

Une fonction caractéristique analytique est holomorphe dans une bande horizontale contenant l'axe réel : la bande de régularité. Le théorème suivant est bien connu :

**THEOREME 2.3** : Si $f(z)$ est une fonction caractéristique analytique de la variable $z = t + iy$, alors

$$ |f(t' + iy)| \le |f(iy)| $$

pour tout $y$ à l'intérieur de la bande de régularité de $f(z)$.

Considérons maintenant la fonction $f(z) = \exp(P_m(z))$, où $z$ désigne, comme ce sera toujours le cas, dans la suite, la variable complexe $t + iy$ et où $P_m(z) = \sum_{\nu=1}^{m} c_\nu z^\nu$, $c_\nu = \alpha_\nu + i\beta_\nu$, $\alpha_\nu$ et $\beta_\nu$ réels, $c_m \ne 0$. Soit $\alpha(t, y)$ la partie réelle de $P_m(z)$. Posons $A(t, y) = \alpha(t, y) - \alpha(0, y)$. Le théorème suivant est dû à Lukacs (pour la démonstration cf. [3]):

**THEOREME 2.4** : Soit $m \ge 3$ un nombre entier. Si on distingue les deux cas : (1) $m > 3$ ou $m = 3$ et $\beta_3 = 0$, (2) $m = 3$ et $\beta_3 \ne 0$, il existe deux nombres $\xi \ge 0$ et $K > 0$, tels que $A(y\sqrt{\xi}, y) = K|y|^m(1 + o(1))$, dans le premier cas si $y \to \infty$, dans le deuxième si $(-\operatorname{sign} \beta_3)y \to \infty$.
### 3 - CONDITIONS NECESSAIRES POUR CERTAINES FONCTIONS MEROMORPHES, HOLOMORPHES DANS UN DEMI-PLAN

Considérons la fonction

$$f(z) = g(z) \exp(P_m(z)),$$

où $P_m(z)$ désigne le polynôme introduit dans le théorème 2.4 et $g(z)$ une fonction méromorphe d'ordre $\lambda < m$, holomorphe dans $y > -\alpha (\alpha > 0)$ et telle que $g(0) \neq 0$. En utilisant la représentation canonique de $g(z)$, on aura :

$$f(z) = \frac{\prod_{\nu=1}^{\infty} E\left(\frac{z}{a_{\nu}}, k_1\right)}{\prod_{\nu=1}^{\infty} E\left(\frac{z}{b_{\nu}}, k_2\right)} \exp(P(z) + P_m(z)),$$

où $E$ représente le facteur primaire de Weierstrass, $\prod_{\nu=1}^{\infty} E\left(\frac{z}{a_{\nu}}, k_1\right)$, $\prod_{\nu=1}^{\infty} E\left(\frac{z}{b_{\nu}}, k_2\right)$ les produits canoniques des zéros, et des pôles de $f$, $k_1$ et $k_2$ leurs genres, et où $P(z)$ désigne un polynôme de degré au plus égal à $\lambda$. Désignons les deux produits canoniques par $g_1(z)$, resp. $g_2(z)$ et leurs ordres par $\lambda_1 \le \le \lambda$, resp. $\lambda_2 \le \le \lambda$. On aura alors, $\epsilon$ étant un nombre positif, pour $r$ suffisamment grand :

$$\max_{0 \le \varphi \le \pi} | g_1(r \exp(i \varphi)) | < \exp(r^{\lambda_1 + \epsilon}),$$

et, d'après le théorème 2.2, puisque les $b_ν$ sont situés dans le demi-plan $y \le -\alpha$ :

$$| g_2(r \exp(i \varphi)) | > \exp(-r^{\lambda_2 + \epsilon}), \quad 0 \le \varphi \le \pi.$$

D'où :

$$| h(r \exp(i \varphi)) | = \left| \frac{g_1(r \exp(i \varphi))}{g_2(r \exp(i \varphi))} \right| < \frac{\exp(r^{\lambda_1 + \epsilon})}{\exp(-r^{\lambda_2 + \epsilon})} \le \exp(2r^{\lambda + \epsilon}),$$

$$0 \le \varphi \le \pi, \quad r > R.$$

En vertu de cette inégalité et du théorème 2.1, il existe, pour tout $\epsilon > 0$, une suite croissante de nombres positifs $\{r_ν\}$, telle que $r_ν \to \infty$ et que

$$\left| \frac{h(t + iy)}{h(iy)} \right| > \exp(-3 r_{\nu}^{\lambda + \epsilon}), \quad t^2 + y^2 = r_{\nu}^2,$$
dès que y est suffisamment grand. En utilisant les notations du théorème 2.4 pour le polynôme $P(z) + P_m(z)$ ($P(z)$ est de degré plus petit que $m$), on aura :

$$ \left| \frac{f(t + iy)}{f(iy)} \right| = \left| \frac{h(t + iy)}{h(iy)} \right| \exp[\alpha(t, y) - \alpha(0, y)] > \exp[-3 r_{\nu}^{\lambda+\epsilon} + A(t, y)]. $$

Considérons la suite $\{(t_ν, y_ν)\}$, où $t_ν = y_ν \sqrt{\xi}$, $t_ν^2 + y_ν^2 = r_ν^2$, $y_ν > 0$ et où $\xi$ est le nombre défini par le théorème 1.4. En vertu de ce théorème on aura :

$$ A(t_ν, y_ν) = K y_ν^m (1 + o(1)), \quad v \to \infty. $$

Donc, si $\varepsilon + \lambda < m$, puisque $y_ν = r_ν(1 + \xi)^{-1/2}$ :

$$ \begin{aligned} \left| \frac{f(t_\nu + iy_\nu)}{f(iy_\nu)} \right| &> \exp[-3 r_\nu^{\lambda+\epsilon} + K(1 + \xi)^{-m/2} r_\nu^m (1 + o(1))] \\ & = \exp[K_1 r_\nu^m (1 + o(1))], \quad K_1 > 0, \quad v \to \infty. \end{aligned} $$

Pour $v$ suffisamment grand, cette relation donne :

$$ \left| \frac{f(t_\nu + iy_\nu)}{f(iy_\nu)} \right| > 1 $$

En admettant que $f(z)$ soit une fonction caractéristique, cette inégalité contredirait le théorème 2.3. Remarquons que la méthode utilisée pour arriver à la contradiction est due à Lukacs [3]. Puisque dans le cas où $g(0) = 0$, $f(z)$ ne peut être en aucun cas une fonction caractéristique, on obtient le théorème suivant :

**THEOREME 3.1:** La fonction $f(z) = g(z) \exp(P_m(z))$, où $g(z)$ est une fonction méromorphe d'ordre $\lambda$, holomorphe dans le demi-plan $y > -\alpha$ ($\alpha > 0$) et où $P_m(z) = \sum_{\nu=1}^{m} (\alpha_\nu + i\beta_\nu) z^\nu$, $\alpha_m + i\beta_m \neq 0$, ne peut pas être une fonction caractéristique, si l'une des deux conditions suivantes est remplie: (1) $\lambda < m$ et $m > 3$ ; (2) $\lambda < m$, $m = 3$ et $\beta_3 \le 0$.

Considérons maintenant une fonction méromorphe $f(z)$ d'ordre fini $\lambda > 3$, holomorphe dans $y > -\alpha$ ($\alpha > 0$), telle que les exposants de convergence de ses zéros $\lambda_1$ et de ses pôles $\lambda_2$ soient plus petits que $\lambda$. Supposons que cette fonction soit une fonction caractéristique. Elle est alors différente de zéro au point $z = 0$ et admet la représentation

$$ f(z) = \frac{g_1(z)}{g_2(z)} \exp(P_m(z)), $$
où $g_1, g_2$ et $P_m$ désignent les mêmes fonctions que précédemment et $m \le \lambda$. Puisque $\lambda \le \max(\lambda_1, \lambda_2, \dots, m)$ et $\max(\lambda_1, \lambda_2) < \lambda$, on a aussi $m \ge \lambda$. D'où : $m = \lambda$. D'autre part, l'ordre de $g_1, \dots, g_m$ étant $\lambda_1, \dots, \lambda_m$, resp. $\lambda_2, \dots, \lambda_m$, l'ordre $\lambda_9$ de $g_1/g_2$ sera au plus égal à $\max(\lambda_1, \lambda_2)$. On en déduit : $\lambda_9 < \lambda = m$. Le théorème précédent étant donc applicable, $f(z)$ ne peut pas être une fonction caractéristique, ce qui contredit l'hypothèse. Il en suit le théorème suivant :

**THEOREME 3.2** : Une fonction méromorphe d'ordre fini $\lambda$, holomorphe dans le demi-plan $y > -\alpha (\alpha > 0)$, telle que les exposants de convergence de ses zéros $\lambda_1$ et de ses pôles $\lambda_2$ soient plus petits que $\lambda$, ne peut pas être une fonction caractéristique si $\lambda > 3$.

## 4 - LE CAS $\lambda = 3$

Le théorème 3.2 reste vrai même si $\lambda = 3$, à condition que le coefficient $\beta_3$ de $P_3(z)$ ne soit pas positif, le théorème 3.1 étant encore applicable. Nous démontrerons que si $|f(iy)|$ est bornée pour $y \ge 0$, alors $\beta_3$ ne peut pas être positif.

**THEOREME 4.1** : Une fonction méromorphe d'ordre 3, holomorphe dans le demi-plan $y > -\alpha (\alpha > 0)$, telle que son module soit borné sur l'axe des y positifs, ne peut pas être une fonction caractéristique si les exposants de convergence de ses zéros $\lambda_1$ et de ses pôles $\lambda_2$ sont plus petits que 3.

Désignons cette fonction par $f(z)$ et supposons qu'elle soit une fonction caractéristique. Elle satisfait alors à la relation

$$f(z) = \overline{f(-\bar{z})} \quad (4,1)$$

La partie exponentielle $\exp(P_3(z))$ de la représentation canonique devant aussi satisfaire à cette relation, il s'ensuit que $\alpha_1 = \beta_2 = \alpha_3 = 0$. En outre, sans restreindre la généralité, nous pouvons supposer $\beta_1 = 0$, de manière que $P_3(z)$ ait la forme : $P_3(z) = \alpha_2 z^2 + i\beta_3 z^3$, $\beta_3 \ne 0$. Soit $\epsilon$ un nombre positif, tel que $\lambda_9 + \epsilon < 3$. Il existe alors, d'après le théorème 2.1, une suite $\{y_\nu\}$, qui tend vers l'infini, telle que

$$|f(iy_\nu)| = |g(iy_\nu)| \left| \exp[\alpha_2(iy_\nu)^2 + i\beta_3(iy_\nu)^3] \right| > \\ > \exp[-y_\nu^{\lambda_9+\epsilon} + \beta_3 y_\nu^3 - \alpha_2 y_\nu^2] = \exp[\beta_3 y_\nu^3(1+o(1))], \quad \nu \to \infty.$$

Il résulte que $\beta_3$ doit être négatif, sinon l'hypothèse sur le module de $f$ ne serait pas satisfaite. Le théorème 3.1 étant donc applicable, le théorème 4.1 est démontré.
**THEOREME 4.2** : Soit $\mathfrak{g}(z)$ une fonction méromorphe d'ordre $\lambda < 2$, holomorphe dans le demi-plan $y > -\alpha$ ($\alpha > 0$) et $P_3(z) = \sum_{\nu=1}^{3} (\alpha_{\nu} + i\beta_{\nu}) z^{\nu}$, $\alpha_3 + i\beta_3 \neq 0$. Si $\beta_3$ est positif, pour que $f(z) = \mathfrak{g}(z) \exp(P_3(z))$ soit une fonction caractéristique, il faut que $\beta_3 \le \frac{|\alpha_2|}{3\alpha}$.

Remarquons d'abord que Christensen [1], en s'appuyant sur certaines propriétés des fonctions caractéristiques analytiques, a obtenu la même condition, pour le cas particulier $g(z) = (1 - \frac{iz}{\alpha})^{-\chi}$, $\alpha > 0$, $\chi > 0$. En passant à la démonstration, supposons que $f(z)$ soit une fonction caractéristique et $\beta_3 > \frac{|\alpha_2|}{3\alpha}$. En utilisant la représentation canonique de $g(z)$, on aura : $f(z) = h(z) \exp[P(z) + P_3(z)]$, où $h(z)$ désigne une fonction méromorphe d'ordre $\lambda_h < 2$ et $P(z)$ un polynôme de degré au plus égal à 1. D'après (4,1), on aura donc : $P(z) + P_3(z) = i\beta_1^2 z + \alpha_2 z^2 + i\beta_3 z^3$. En supposant, comme plus haut, $\beta_1 = 0$, on obtient :

$$P(t + iy) + P_3(t + iy) = \alpha_2(t^2 - y^2 + i2ty) + i\beta_3(t^3 + i3t^2y - 3ty^2 - iy^3),$$
ce qui entraîne :

$$A(t, y) = t^2(\alpha_2 - 3\beta_3 y).$$

La fonction $|f(t)|$ étant bornée, il en résulte que $\alpha_2 \le 0$. L'hypothèse $\beta_3 > |\alpha_2|/3\alpha$ pouvant alors s'exprimer sous la forme $\alpha_2 + 3\beta_3\alpha > 0$, il sera possible de choisir un $y_0 > -\alpha$, tel que $\alpha_2 - 3\beta_3 y_0 > 0$. Donnons nous maintenant un $\varepsilon > 0$, tel que $\lambda_h + \varepsilon < 2$. En raison du théorème 2.1, il existe, sur la droite $y = y_0$ de la bande de régularité de $f$, une suite $\{ (t_\nu, y_0) \}$, $|t_\nu| \to \infty$, telle que $|h(t_\nu + iy_0)| > \exp(-r_\nu^{\lambda_h + \varepsilon})$, $t_\nu^2 + y_0^2 = r_\nu^2$. Cette inégalité donne :

$$ \begin{aligned} \left| \frac{f(t_\nu + iy_0)}{f(iy_0)} \right| &= \left| \frac{h(t_\nu + iy_0)}{f(iy_0)} \right| \exp[A(t_\nu, y_0)] > \\ &> K_1 \exp[-r_\nu^{\lambda_h + \varepsilon} + t_\nu^2(\alpha_2 - 3\beta_3 y_0)] = K_1 \exp[K_2 r_\nu^2(1 + o(1))], \end{aligned} $$
$$ K_1, K_2 > 0, \quad \nu \to \infty. $$

Pour $\nu$ suffisamment grand, cette relation contredit le théorème 2.3, ce qui achève la démonstration.

Ces raisonnements sont aussi applicables au cas où la fonction $f(z)$ est holomorphe dans une bande $-\alpha < y < \beta$ ($\alpha, \beta > 0$). Les
conditions s'expriment alors de la manière suivante : $\beta_3 \le \frac{|\alpha_2|}{3\alpha}$, si $\beta_3 > 0$ et $|\beta_3| \le \frac{|\alpha_2|}{3\beta}$, si $\beta_3 < 0$. On en déduit le théorème suivant:

**THEOREME 4.3 :** Si $\underline{g}(z)$ désigne une fonction méromorphe d'ordre $\lambda < 2$, holomorphe dans la bande $-\alpha < y < \beta$ ($\alpha, \beta > 0$) et $P_3(z)$ le polynôme du théorème précédent, pour que $f(z) = \underline{g}(z) \exp(P_3(z))$ soit une fonction caractéristique, il faut que $|\beta_3| \le \frac{|\alpha_2|}{3 \min(\alpha, \beta)}$.

Comme corollaire du résultat, on obtient le

**THEOREME 4.4 :** Si $\underline{g}(z)$ désigne la même fonction que dans le théorème précédent et $a, b$ des nombres complexes ($b \ne 0$), la fonction $f(z) = \underline{g}(z) \exp(az + bz^3)$ ne peut pas être une fonction caractéristique.

## 5 - GENERALISATION

Le théorème 4.3 peut être généralisé à des fonctions méromorphes d'ordre supérieur à 3. Considérons, en effet, la fonction $f(z) = g(z) \exp(P_{2n+1}(z))$ ($n = 1, 2, ...$), où $h(z)$ désigne une fonction méromorphe d'ordre $\lambda < 2n$ holomorphe dans la bande $-\alpha < y < \beta$ ($\alpha, \beta > 0$) et où $P_{2n+1}(z) = \sum_{\nu=1}^{\infty} (\alpha_{\nu} + i\beta_{\nu})z^{\nu}$, $\alpha_{2n+1} + i\beta_{2n+1} \ne 0$. Sup-

posons que $f(z)$ soit une fonction caractéristique. Par les mêmes raisonnements qu'au paragraphe précédent, on trouve $\beta_{2n} = \alpha_{2n+1} = 0$. De cette façon $P_{2n+1}(z)$ prend alors la forme : $P_{2n+1}(z) = c_1z + c_2z^2 + \dots + c_{2n-1}z^{2n-1} + \alpha_{2n}z^{2n} + i\beta_{2n+1}z^{2n+1}$, où les $c_\nu$ sont des nombres complexes, $\beta_{2n+1} \ne 0$ et $\alpha_{2n} \le 0$. En introduisant $t + iy$, on obtient :

$$ 
\begin{aligned}
P_{2n+1}(t + iy) = & \dots + \alpha_{2n} (t^{2n} + i2nt^{2n-1}y + \dots + (-1)^n y^{2n}) + \\ 
& + i\beta_{2n+1} (t^{2n+1} + i(2n+1)t^{2n}y + \dots + (-1)^n iy^{2n+1}) ; \quad \alpha(t, y) = \\ 
= & \dots + \alpha_{2n} (t^{2n} - \binom{2n}{2} t^{2n-2} y^2 + \dots (-1)^n y^{2n}) + \beta_{2n+1} (-(2n+1)t^{2n}y + \\ 
& \qquad \dots + (-1)^{n+1} y^{2n+1}).
\end{aligned}
$$

La fonction $A(t,y)$, ordonnée selon les puissances décroissantes de $t$, aura la forme : $A(t,y) = \alpha(t,y) - \alpha(0,y) = t^{2n}(\alpha_{2n} - (2n+1)\beta_{2n+1}y) + \dots$

La condition généralisée s'exprimera alors de la manière suivante : $|\beta_{2n+1}| \le \frac{|\alpha_{2n}|}{(2n+1) \min(\alpha, \beta)}$ ; car, si cette inégalité n'était pas satis-
faite, on pourrait choisir sur une droite horizontale $y = y_0$ de la bande de régularité de $f(z)$ une suite $\{(t_ν, y_0)\}$, telle que

$$ \left| \frac{f(t_ν + iy_0)}{f(iy_0)} \right| = K_1 \exp[K_2 r_ν^{2n} (1 + o(1))], \quad K_1, K_2 > 0, \text{ si } ν \to \infty, $$

en contradiction avec le théorème 2.3. On en déduit le

**THEOREME 5.1** : Soit $\mathfrak{g}(z)$ une fonction méromorphe d'ordre $\lambda < 2n$ ($n=1, 2, 2^{n+1}$), holomorphe dans la bande $-\alpha < y < \beta$ ($\alpha, \beta > 0$) et $P_{2n+1}(z) =$ $= \sum_{ν=1} (\alpha_ν + iβ_ν)z^ν$, $\alpha_{2n+1} + iβ_{2n+1} \neq 0$. Pour que $f(z) = \mathfrak{g}(z) \exp[P_{2n+1}(z)]$

soit une fonction caractéristique, il faut que $|β_{2n+1}| \le \frac{|α_{2n}|}{(2n+1)\min(α,β)}$

Comme corollaire, on obtient le

**THEOREME 5.2** : Si $\mathfrak{g}(z)$ désigne la même fonction que dans le théorème précédent et $a, b, \dots, p, q$ des nombres complexes ($q \neq 0$), la fonction $f(z) = \mathfrak{g}(z) \exp(az + bz^2 + \dots + pq^{2n-1} + qz^{2n+1})$ ne peut pas être une fonction caractéristique.

## 6 - CONCLUSIONS

Le problème de la généralisation du théorème de Marcinkiewicz aux fonctions méromorphes d'ordre fini, holomorphes dans une bande horizontale, reste ouvert ; serait-il vrai qu'une telle fonction ne puisse être une fonction caractéristique si l'ordre est plus grand que 2 et les exposants de convergence de ses zéros et de ses pôles sont plus petits que l'ordre ? Les méthodes utilisées au cours de ce travail ne permettent pas d'aborder le problème de la même façon. On devra probablement s'appuyer sur d'autres propriétés des fonctions méromorphes que celles utilisées ici.

## BIBLIOGRAPHIE

[1] CHRISTENSEN I.F. - Some further extensions of a theorem of Marcinkiewicz. A paraître.

[2] LUKACS E. - *Characteristic functions*. London, Charles Griffin & Co., (1960).
[3] LUKACS E. - Some extensions of a theorem of Marcinkiewicz. Pacific J. of Math., 8, (1958), 487-501.

[4] MARCINKIEWICZ J. - Sur une propriété de la loi de Gauss. Math. Zeitschrift, 44, (1938), 612-618.

[5] NEVANLINNA R. - *Le théorème de Picar-Borel et la théorie des fonctions méromorphes*, Paris, Gauthier-Villars & Cie., (1929).

[6] VALIRON G. - *Integral Functions*. Toulouse, Imprimerie et Librairie Edouard Privat, (1923).

École Polytechnique Fédérale, Zurich

Reçu le 15 Avril 1963
## 1. INTRODUCTION

(1) CHARTERED ENGINEER, a graduate of the Royal Engineering College, London, and a civil engineer.

(2) MARCHMILLER, "Theory of Stress," 2nd ed., Macmillan, London, 1908.

(3) HAYNES, "Handbook of Engineering Mathematics," 3rd ed., McGraw-Hill, New York, 1967.

(4) VALTON, "Theory of Stresses," 2nd ed., Macmillan, London, 1908.

(5) HAYNES, "Handbook of Engineering Mathematics," 3rd ed., McGraw-Hill, New York, 1967.

## 2. CONCLUSIONS

The problems of stress distribution in beams and columns have been the subject of much study. The present paper is an attempt to bring together the results of the various methods of analysis, and to show their relationship to each other. It is the aim of the present paper to show that the results of the various methods of analysis are in agreement.

## 3. CONCLUSIONS

The problems of stress distribution in beams and columns have been the subject of much study. The present paper is an attempt to bring together the results of the various methods of analysis, and to show their relationship to each other. It is the aim of the present paper to show that the results of the various methods of analysis are in agreement.

## 4. BIBLIOGRAPHY

(1) CHARTERED ENGINEER, a graduate of the Royal Engineering College, London, and a civil engineer.

(2) LURACO E., "Comprehensive Fortification, London, Charles Group, 1908.