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# Sur les fondements des critères statistiques

Lucien Feraud

► To cite this version:

Lucien Feraud. Sur les fondements des critères statistiques. Annales de l'ISUP, 1961, X (2), pp.155-183. hal-04092372

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Submitted on 9 May 2023

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# SUR LES FONDEMENTS DES CRITÈRES STATISTIQUES (1)

Lucien FERAUD
(Genève)

I. La théorie des critères est devenue une branche de la statistique dont la richesse s'accroît sans cesse, si bien qu'elle a pu paraître digne d'être l'objet d'un enseignement qui lui est propre (2), distinct de l'étude de la théorie de l'estimation.

L'étude des fondements de la théorie - ou des théories - des critères statistiques paraît indispensable lorsqu'on a constaté les divergences et les ambiguités qui subsistent jusque dans l'emploi des critères les plus usuels. Nous en donnerons quelques exemples :

H. Cramer (Mathematical methods of statistics. Princeton University Press) prend soin d'avertir le lecteur que la théorie générale des critères est l'objet de controverses (3).

L. J. Savage (The foundations of statistics. Wiley) ne voit pas l'utilité de l'estimation par intervalle - laquelle peut être reliée à la théorie des critères (4).

L'existence de points de vue divergents est encore mise en évidence par la tentative de conciliation de B. de Finetti : "Recent suggestions for the reconciliation of theories of probability". Proceedings of the second Berkeley Symposium on mathematical statistics and probability. University of California Press 1951.

(1) Cette étude fait partie des travaux accomplis dans le cadre du Centre de recherches de la Faculté des sciences économiques et sociales de l'université de Genève. Mes remerciements vont plus particulièrement à Monsieur Luigi Solari, attaché au Centre de recherches, qui a bien voulu lire le manuscrit et le discuter.

(2) Notamment à l'Institut de Statistique de l'Université de Paris où cet enseignement est donné par le Prof. G. Morlat.

(3) p. 473 et p. 525, (Edition 1946) "A considerable part of the topics treated in these chapters are highly controversial, and the relative merits of the various concepts and methods discussed here are subject to divided opinions in the literature". Voir aussi p. 182 les commentaires sur le caractère conventionnel du "principe des moindres carrés".

(4) p. 261 (Edition 1954). I can cite no important behavioralistic interpretation of interval estimation... In short not being convinced myself. I am in no position to present convincing evidence for the usefulness of interval estimation as a direct step in decision.
Un exemple plus frappant encore a été fourni par "l'Enquête statistique sur l'estimation des paramètres" effectuée à l'instigation de l'Institut international de statistique. La question était ainsi posée : "un événement E a été observé r fois dans n épreuves. Sachant ou admettant que E y avait une probabilité constante (mais inconnue) p, que peut-on dire sur la valeur inconnue de p, connaissant seulement n et le nombre r de répétitions de E (ou sa fréquence $f = r/n$) ?"

C'est la recherche de la composition d'une urne à 2 couleurs en s'appuyant sur le résultat d'un certain nombre de tirages. Le problème est en apparence fort simple et se pose tous les jours dans la vie courante où il est résolu intuitivement. Il paraît assez curieux, et même inquiétant, qu'un problème aussi simple ait pu être soumis à l'attention des probabilistes et statisticiens et encore davantage qu'il ait été l'objet de 16 réponses desquelles ne se dégage pas une méthode unaniment reconnue la meilleure - ainsi qu'il ressort des solutions proposées et encore mieux du Rapport de M. Maurice Fréchet (1)

Plus récemment, dans un ouvrage entièrement consacré à la théorie des critères "Testing Statistical Hypotheses", (Wiley 1959) E. L. Lehmann, après avoir reconnu les succès obtenus par la méthode du maximum de vraisemblance, ajoute que, toutefois, dans certains cas, elle est pire qu'inutile (2).

Ces citations visent à entraîner la conviction que "tout ne va pas pour le mieux dans le meilleur des mondes" dans le domaine des critères (3). On trouve souvent dans les ouvrages de statistique - même les plus classiques - d'une part, une collection de critères usuels et d'autre part dans un ou plusieurs chapitres séparés, la théorie générale des critères qui ne paraît pas, de loin, aboutir à la justification de tous les critères usuellement employés. Il y a donc une sorte de hiatus entre la théorie et les applications qui ne peut être comblé que par l'étude des fondements. Dans l'état actuel des choses on pourrait même avoir l'impression que les critères sont de moins en moins satisfaisants au fur et à mesure que l'on consulte un ouvrage plus avancé - tout paraît simple dans les traîtés élémentaires, mais les doutes apparaissent lorsque l'on approfondit. On esquive quelquefois les difficultés en se contentant de préparer le critère, jusqu'aux tables inclusivement, mais en s'ar-

(1) Proceedings of the international statistical conference, Washington 1947, Vol. III, Part A, International statistical Institute pp. 363-422.

(2) "worse than useless", p. 16.

(3) On pourrait encore citer d'autres désaccords et même des polémiques.
rétant en deça de son application ; il est à remarquer que certains instruments de la statistique ne seraient que des curiosités s'ils ne devaient pas constituer l'appareil technique d'un critère - il en serait ainsi en particulier des distributions classiques de Student, de Darmois, de Behrens-Fisher, de Fisher-Snedecor.

L'examen des fondements apparaît encore plus nécessaire si l'on se souvient des critiques si souvent adressées par les mathématiciens aux applications du calcul des probabilités. Pour en trouver un exemple, on pourra se reporter à un article d'André Weil (¹) dont nous reproduisons le début et la fin :

> "La théorie des probabilités qui a fourni le sujet de quelques-uns des travaux les plus pénétrants de l'analyse moderne a donné l'occasion aussi, plus peut-être qu'aucune autre branche des mathématiques (sans en excepter même la logique ni la théorie des ensembles) d'énoncer des non sens et des absurdités".

> "Et à la vérité, sans méconnaître les services considérables que la statistique mathématique a rendus à la science (et en particulier aux sciences biologiques), il faut bien constater que les ouvrages de statistique se réduisent en définitive à des collections de recettes et de préceptes que nous voulons croire heureusement choisis, mais qui, se trouvant sous forme hautement algébrique et comportant même parfois l'emploi de logarithmes, d'exponentielles et d'intégrales, jouissent aux yeux des profanes, de tout le prestige de l'exactitude mathématique, alors que les soi-disant "démonstrations" dont on les entoure, si hautement techniques qu'elles soient, n'ont le plus souvent aucun sens pour le mathématicien et consistent simplement en considérations heuristiques plus ou moins probantes. La statistique moderne paraît avoir enfin résolu le problème légendaire qui consistait, connaissant la longueur du navire et la durée de la traversée (du temps de la navigation à voiles on y ajoutait la hauteur du grand mât) à calculer l'âge du capitaine. Transmettez ce problème à n'importe quel institut spécialisé, et l'on vous adressera bientôt un savant mémoire, où, non sans tableaux de chiffres et graphiques, seront calculés tous les coefficients de corrélation entre les variances ci-dessus. Nous ne disons pas que tout cela soit inutile ni dépourvu de sens : mais il serait grandement à souhaiter que les problèmes posés par la statistique et par les "probabilités des causes" fussent bientôt élucidés en toute rigueur, d'une manière entièrement satisfaisante pour le mathématicien, en se plaçant sur le terrain d'une théorie axiomatique correcte, et séparant ce qui est susceptible de démonstration et ce qui est purement conventionnel.

<footnote>(1) Revue Scientifique (Revue rose illustrée) Avril 1940, p. 201-208.</footnote>
Si l'on se tourne du côté des "usagers", la consolidation de la théorie des critères paraît tout autant indispensable : dans la plupart des cas, le critère élaboré par le statisticien sera soumis à une confrontation immédiate avec les règles empiriques tirées de l'intuition, qui sont souvent fort satisfaisantes et il serait désastreux que les critères théoriques le fussent moins (1).

L'analyse des fondements que nous allons faire ne conduira pas à des résultats nouveaux, mais pourra peut-être contribuer à une meilleure compréhension des critères connus et permettre de les ranger dans une classification systématique. Si elle n'apporte rien de nouveau aux théoriciens, elle pourra avoir au moins un intérêt pédagogique et acheminer vers une présentation "avec un minimum de formules et de détails techniques, ... à la portée de ceux qui voudraient en faire usage" (2).

De plus, et nous tenons à le dire explicitement, l'exposé qui suit n'est ni en faveur ni en défaveur de telle ou telle méthode. Nous nous sommes efforcés de mettre en lumière les fondements des diverses méthodes en nous défendant de marquer une préférence pour l'une quelconque d'entre elles. Cette objectivité est indispensable à notre conclusion essentielle qui relève et souligne qu'un critère quelconque contiendra inéluctablement une part d'arbitraire ; qu'il ne sera donc jamais contraignant, et que l'opportunité d'appliquer celui-ci plutôt que celui-là dépendra de la manière de poser le problème, c'est-à-dire du point de vue auquel on se place (3). Cette conclusion implique immédiatement qu'il est indispensable de mieux poser les problèmes de recherche d'un critère, d'abord en précisant l'énoncé et ensuite, en indiquant explicitement le point de vue qui a conduit à l'adopter et par suite qui le justifie. Notre travail vise à attirer l'attention sur la nécessité de mieux mettre en évidence ces précisions et pourra peut-être aider à les formuler, au moins dans les cas simples (4).

(1) Par exemple :
On remarque ou l'on croit remarquer qu'au jeu de la roulette un des nu-
méros sort plus souvent que les autres ; à partir de quelles observations
conclura-t-on que la roulette est truquée et décidera-t-on d'appeler la po-
lice ? Est-il préférable de se fier à son intuition ou d'appliquer tel ou tel
critère ?

(2) A. Weil, loc. cit.

(3) M. G. Morlat dans son mémoire "Sur quelques points de la théorie des tests". (Publications de l'Institut de Statistique de l'Université de Paris) dont je n'ai eu connaissance qu'après la rédaction du présent travail, paraît bien adopter, en fin d'analyse, la même position.

(4) Il va de soi que notre analyse peut avoir des prolongements vers la théo-
rie de la connaissance, mais nous nous abstiendrons d'en poursuivre
l'étude dans ce travail.
II. Nous nous proposons d'étudier non pas la technique des critères mais le bien-fondé de leur application, c'est-à-dire leur signification et leur portée et aussi dans quelles conditions, avec quelles hypothèses, sous quelles réserves, ils aboutissent à un choix nécessaire, contraignant ou au contraire à une indication, une préférence, une orientation. Nous devrons donc partir des applications ou aller jusqu'aux applications ; celles-ci interviendront dans nos raisonnements sous la désignation d''expérience'' (1) prise dans un sens très large.

Nous distinguerons deux modes de raisonnement: probabilitaire et non probabilitaire. Dans le raisonnement non probabilitaire l'expérience considérée interviendra par l'ensemble R de ses résultats possibles :

$$x \in R$$

Dans le raisonnement probabilitaire, l'expérience considérée ëinterviendra à la fois par l'ensemble R de ses résultats possibles et par une probabilisation de cet ensemble ; l'un et l'autre se trouvent groupées dans une distribution D que nous désignerons souvent comme une hypothèse H.

De la distribution D complètement déterminée, on peut tirer à l'aide de la "convention terminale de Cournot" de multiples conclusions dont certaines pourront être utiles en particulier parce qu'elles permettront de faire l'économie d'une expérience. La recherche de conclusions de ce genre à partir d'une distribution D parfaitement déterminée repose essentiellement sur la "convention terminale de Cournot" y compris sa "règle d'application" et quelquefois par l'intermédiaire du principe de Bernoulli (2). Les problèmes que l'on y traite forment une première catégorie que l'on peut distinguer des autres en disant qu'ils sont "du type C" ou encore qu'ils constituent la "statistique conventionnelle".

Dans de nombreux autres problèmes, la probabilisation est ou partiellement ou totalement indéterminée - le cas le plus simple est celui où la distribution D dépend d'un seul paramètre indéterminé. Deux situations peuvent alors se présenter.

<footnote>(1) Sur le concept d'expérience voir Revue de métaphysique et de morale. Avril 1948, pp. 113-114.</footnote>

<footnote>(2) Sur la convention terminale de Cournot et sa règle d'application voir Revue de métaphysique et de morale, loc. cit. p. 122 et suivantes et Dialectica. Vol. 8, n° 2, 1954, p. 131 et encore Bulletin de l'Association des actuaires suisses. Vol. 60, fasc. 1, 1960, pp. 71-85.</footnote>
1) on applique la convention de Cournot ou le principe de Bernoulli en se passant du ou des paramètres indéterminés - alors en dépit de l'apparence, le problème appartient au type C ;

2) on veut se servir de la connaissance d'un résultat (1) de l'expérience, pour préciser, au moins dans une certaine mesure, le ou les paramètres de D qui sont indéterminés, ou plus généralement pour réduire l'indétermination dont D est entachée. Les problèmes qui apparaissent sont totalement différents de ceux du type C ; nous le rappellerons en disant qu'ils sont "du type A" ou en-core qu'ils constituent la "statistique amplifiante" (2).

Dans les articles cités au bas de la page précédente ont été analysés les fondements du raisonnement qui permet de résoudre les problèmes du type C ; il nous reste dans celui-ci à étudier la struc-ture et les fondements des raisonnements auxquels on recourt dans les problèmes du type A dont nous allons désormais nous occuper exclusivement.

La probabilisation de l'ensemble des résultats possibles est quelquefois tirée de la décision de ne marquer aucune préférence entre les divers éléments, c'est-à-dire d'une indifférence, d'une symétrie comme dans le jeu de pile ou face ou le jeu de dés ou les tirages dans une urne de composition connue. Dans tous les autres cas on la tire de raisons théoriques par exemple, par analogie avec ce qui a réussi pour une autre expérience ; mais dans la plupart de ces cas, la probabilisation n'est pas entièrement déterminée et on s'efforce de faire disparaître l'indétermination qui subsiste en s'appuyant sur l'observation des résultats - c'est ce que l'on fait par exemple, pour les tirages dans une urne de composition incon-nue, pour la théorie probabilitaire de la mortalité et plus générale-ment c'est l'objet de tous les sondages. Ainsi, sauf dans des cas particuliers, la recherche de la distribution associée à une expé-rience implique la résolution d'un problème du type A.

Ces problèmes peuvent être abordés de deux manières diffé-rentes :

1) On a au préalable observé un résultat. Quelle est la pro-babilisation qui en résulte ?

<footnote>(1) On peut considérer les résultats de n répétitions d'une expérience comme un seul résultat d'une expérience.</footnote>

<footnote>(2) Cette dénomination va être expliquée : elle équivaut grosso modo à "infé-rence statistique" et comprend au moins une bonne partie de la "théorie de la décision".</footnote>
Par exemple, à partir du résultat d'une série de tirages, qu'elle est la composition de l'urne ? A partir d'une série de mesures d'une grandeur entachées d'écarts accidentels, quelle est la "vraie" grandeur ?

C'est le "problème de l'estimation".

2) L'indétermination qui subsiste - sans laquelle aucun problème ne se poserait - est interprétée comme un choix à faire entre plusieurs hypothèses ou plusieurs ensembles d'hypothèses. Il s'agit de trouver une règle faisant correspondre aux divers résultats possibles les diverses hypothèses admissibles. Cette correspondance pourra être partielle, c'est-à-dire ne pas s'appliquer à certains ensembles de résultats pour lesquels l'indétermination subsiste. Une règle, étant admise, elle constitue un "critère statistique". Il faut naturellement la poser avant de connaître les résultats de la série d'observations que l'on se propose d'enregistrer.

Ayant ainsi séparé les deux catégories de problèmes, nous allons nous occuper exclusivement de la recherche des critères, à l'exclusion des problèmes d'estimation.

Avant d'entrer dans l'étude des critères, quelques remarques générales paraissent nécessaires. Soit une hypothèse $H_0$ définissant un ensemble $R_0$ de résultats possibles

On écrit : $H = H_0 \rightarrow x \in R_0$

d'où l'on tire en raisonnant par l'absurde l'inverse de la réciproque (la contrapositive) :

$$x \notin R_0 \rightarrow H \neq H_0$$

Ce raisonnement non probabilitaire peut-il être étendu au cas probabilitaire ? La réponse est négative. Une hypothèse $H_0$ probabilité définit non seulement $R_0$ mais une probabilisation de $R_0$. La convention terminale de Cournot permet d'en tirer

$$H = H_0 \rightarrow x \notin V_0$$

c'est-à-dire

$$H = H_0 \rightarrow x \in \bar{V}_0$$

$V_0$ étant un sous-ensemble de $R_0$ de probabilité "suffisamment petite" $\epsilon$, et $\bar{V}_0$ soit complémentaire par rapport à $R_0$. Il existera en général (1) une infinité de manières de prendre $V_0$ pour un même $\epsilon$.

-----------------

(1) On exclut des cas ne pouvant se présenter que lorsque la probabilisation est discontinue.
Soient $V_0$ et $V'_0$ deux d'entre eux. Ou bien $V_0 \cap V'_0 = \emptyset$, $V_0$ et $V'_0$ sont disjoints, ou bien on peut substituer à $V_0$ et $V'_0$ les intersections $V_0 \cap V'_0$ et $V_0 \cap \bar{V}'_0$ qui seront disjointes. ($\bar{V}'_0$ étant le complémentaire de $V'_0$ par rapport à $R_0$). Dans les deux cas, on pourra exclure soit l'un soit l'autre de deux ensembles disjoints et la réunion de leurs complémentaires couvrira tout $R_0$. Il s'ensuit que $H_0$ ne pourra être exclue pour aucun des résultats observés, car le résultat observé sera toujours compris dans l'un au moins des complémentaires.

On peut démontrer qu'il est impossible d'atteindre une conclusion probabilitaire, c'est-à-dire d'énoncer une conclusion valable avec un certain degré de probabilité, en l'absence de toute indication sur la probabilité de $H_0$ dite "probabilité a priori". S'il existait un critère.

$$x \in X_0 \rightarrow H = H_0, X_0 \subset R_0$$

valable avec un certain degré de probabilité, il équivaudrait à assujettir la probabilité conditionnelle $Pr(H_0/X_0)$ à l'inégalité

$$Pr(H_0/X_0) > 1 - \varepsilon.$$

Soit $p$ la probabilité a priori de $H_0$ et $q = 1-p$ la probabilité a priori d'un ensemble d'autres hypothèses sur lequel nous ne savons rien, si l'on désigne la probabilité de $X_0$ selon l'hypothèse $H_0$,

par $Pr_0(X_0) = 1-\alpha$ et par $Pr_1(X_0) = \beta$ la probabilité de $X_0$ selon une des autres hypothèses

$$Pr(H_0/X_0) = \frac{q(1-\alpha)}{q(1-\alpha) + p\beta} < \frac{q(1-\alpha)}{q(1-\alpha) + p\beta'}$$

en désignant par $\beta'$ la borne supérieure des $\beta$ d'où il est nécessaire que

$$\frac{q(1-\alpha)}{q(1-\alpha) + p\beta'} > 1 - \varepsilon$$

qui s'écrit

$$p < \frac{(1-\alpha)\varepsilon}{(1-\alpha)\varepsilon + \beta' (1-\varepsilon)}$$

ce qui est une condition imposée à la probabilité a priori $p$.

Ainsi tout critère conduisant à une conclusion valable avec une certaine probabilité, implique une condition imposée aux probabi-
lités a priori. Par conséquent si l'on postule l'ignorance totale des probabilités a priori on ne peut avoir aucun critère conduisant à une conclusion valable avec une certaine probabilité.

On se heurte donc à une difficulté de principe : d'une manière générale pour les problèmes du type A, il n'existe aucune solution ni certaine ni probable.

Cette constatation est très importante (1) parce qu'elle implique que toute solution de notre problème qui pourra être envisagée dépendra nécessairement d'un facteur supplémentaire (condition, restriction, réserve, etc.) qu'il sera indispensable d'introduire pour sortir de l'impasse où l'on se trouve en l'absence de toute solution. Il s'ensuivra que ce facteur supplémentaire aura un caractère arbitraire, subjectif, duquel dépendront implicitement toutes les conclusions que l'on tirera du critère. Ainsi nous abandonnons l'espoir d'obtenir des critères universels, contraignants, pour nous contenter de critères dont la validité ne pourra être justifiée que si l'on admet certaines conditions, restrictions, réserves, c'est-à-dire si l'on décide arbitrairement de se placer à tel ou tel point de vue, ainsi qu'il apparaîtra dans ce qui suit.

III. Le premier point de vue auquel nous nous placerons sera dit "pragmatique". Devant l'impossibilité de trouver un critère donnant une signification intrinsèque au choix entre les hypothèses, nous introduisons une restriction considérable en substituant à un choix absolu un choix (relatif) dont la justification ne sera entreprise qu'à l'égard de l'une de ses conséquences. Ce qui va être précisé.

Nous mettrons le problème sous sa forme la plus simple en supposant que le choix ne porte que sur deux hypothèses que nous désignerons par H₀ et H₁.

(1) On pouvait la pressentir. En effet dans les problèmes du type C on se borne à tirer de la distribution D, connue, telle ou telle conclusion : en quelque sorte ces conclusions préexistent dans D, il suffit de les extraire sous forme explicite. Au contraire dans un problème du type A si l'on parvenait à déterminer complètement la distribution D à l'aide de la connaissance d'un ou de quelques résultats, on pourrait en tirer ensuite une infinité de conclusions : on passerait donc de la connaissance d'un ou de quelques résultats à la connaissance d'une infinité de résultats. C'est précisément ce que l'on appelle l'induction amplifiante et l'on sait depuis longtemps qu'elle ne peut être régie par aucune méthode, qu'elle implique toujours une part d'arbitraire, qu'elle est toujours une "aventure", un "saut dans l'inconnu". Voir la critique des Tables de Bacon et des Canons de Stuart Mill dans A. Lalande. Les théories de l'induction et l'expérimentation, Boivin Paris. Voir aussi E. Goblot, Traité de logique. Colin, Paris pp. 294.. Ainsi apparaît la différence fondamentale entre les deux types de problèmes et l'opportunité de les distinguer.
Il s'agit bien entendu d'obtenir un critère s'appliquant lorsque le résultat tombe à l'intérieur de la partie commune $R_c$ des deux ensembles de résultats possibles $R_0$ et $R_1$.

Supposons qu'il existe un critère

$$x \in X_0 \rightarrow H = H_0 \text{ pour } X_0 \subset R_c$$

qui pourra être dit "unilatéral" parce qu'il ne permet de conclure qu'en faveur d'une seule des deux hypothèses.

Nous chercherons à apprécier la valeur de ce critère en nous bornant à considérer ce que l'on peut en tirer à l'égard des résultats d'une expérience $\mathcal{Y}$ (qui peut être en particulier une répétition de $\mathcal{X}$) à laquelle s'associe encore ou $H_0$ ou $H_1$.

Pour abréger notons

$$P_0(x \in X_0) = 1 - \alpha, \quad P_1(x \in X_0) = \beta$$

et les probabilités conditionnelles

$$P_0(y \in C/x \in X_0) = c_0, \quad P_1(y \in C/x \in X_0) = c_1$$

où $C$ est un sous-ensemble de l'ensemble des résultats possibles de $\mathcal{Y}$.

La probabilité conditionnelle de $y \in C$ lorsque $x \in X_0$

$$Pr(y \in C/x \in X_0) = \pi = \frac{q(1-\alpha)c_0 + p\beta c_1}{q(1-\alpha) + p\beta}$$

q et p étant les probabilités a priori *inconnues* de $H_0$ et de $H_1$.

Si l'on peut affirmer que $\pi$ est si voisin de $c_0$ qu'ils peuvent être confondus, le résultat $y \in C$ à la même probabilité lorsque $x \in X_0$ que si l'on était assuré de $H = H_0$ : on obtient ainsi une justification du critère unilatéral posé ci-dessus, justification partielle puisqu'elle n'est valable qu'à l'égard de la conclusion $y \in C$ portant sur les résultats de $\mathcal{Y}$.

Examinons de plus près cette justification partielle. On écrit

$$\pi = \frac{p c_1 + (1-p) \lambda c_0}{p + (1-p) \lambda}$$

en posant
$$\lambda = \frac{1 - \alpha}{\beta}$$
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig. 1</figcaption></figure>

Soit $c_0 > c_1$. Lorsque $p$ varie de 0 à 1, $\pi$ décrit un arc d'hyperbole placé comme l'indique le trait plein sur la figure 1 lorsque $\lambda > 1$, et comme l'indique le trait pointillé lorsque $\lambda < 1$.

Lorsque $\lambda$ est grand l'arc d'hyperbole se rapproche du contour $c_0 \gamma_0 \gamma_1 c$ est-à-dire $\pi$ est voisin de $c_0$ sauf pour des valeurs de $p$ voisines de 1. On arrive donc à la justification partielle du critère unilatéral telle

qu'elle a été annoncée mais on voit qu'elle n'est qu'approximative, d'autant meilleure que $\lambda$ est grand, et encore qu'elle n'est pas valable pour des valeurs de $p$ voisines de 1.

En langage ordinaire on pourra considérer $x \in X_0$ comme un critère de $H_0$ sauf si la probabilité a priori de $H_0$ est trop petite. La figure 1 se rapporte au cas $c_0 > c_1$, mais la conclusion serait la même dans le cas $c_0 < c_1$ ; il suffirait de renverser de bas en haut le rectangle $c_0 \gamma_0 \gamma_1 c_1$ (1).

D'une manière analogue, soit

$$X_1 \subset R_c$$

et

$$P_0(x \in X_1) = \alpha'$$

$$P_1(x \in X_1) = 1 - \beta'$$

on aura

$$\Pr(y \in C/x \in X_1) = \pi' = \frac{q \alpha' c_0' + p(1 - \beta') c_1'}{q \alpha' + p(1 - \beta')}$$

et en posant

$$\lambda' = \frac{\alpha'}{1 - \beta'}$$

<footnote>(1) Lorsque $c_0$ et $c_1$ sont voisins, le critère n'a plus guère de signification mais alors il importe peu de choisir entre les deux hypothèses qui conduisent à peu près à la même conclusion.</footnote>
$$ \pi' = \frac{pc'_{1} + (1-p) \lambda' c'_{0}}{p + (1-p) \lambda'} $$

La figure ci-dessus dans laquelle on substitue $c'_{0}$ à $c_{0}$ et $c'_{1}$ à $c_{1}$ montre encore que lorsque $\lambda'$ est petit, voisin de 0, l'arc d'hyperbole en pointillé se rapproche du contour $c'_{0}c'_{1}\gamma_{1}$, c'est-à-dire $\pi'$ est voisin de $c_{1}$ sauf pour des valeurs de $p$ voisines de 0.

Ce qui justifie partiellement - au sens indiqué - le critère

$$ x \in X_{1} \rightarrow H = H_{1} $$

sauf pour des valeurs de $p$ voisines de 0.

En langage ordinaire $x \in X_{1}$ sera un critère de $H_{1}$ sauf si la probabilité a priori de $H_{1}$ est trop petite.

La conclusion est la même dans le cas $c_{0} < c_{1}$.

Ainsi pour $\lambda$ grand et $\lambda'$ petit on a une justification partielle du critère bilatéral.

$$ x \in X_{0} \rightarrow H = H_{0} $$

$$ x \in X_{1} \rightarrow H = H_{1} $$

$X_{0}$ et $X_{1}$ étant disjoints.

Dans le cas d'un critère bilatéral dichotomique, c'est-à-dire lorsque $X_{0} \cup X_{1} = R_{c}$ en supposant $P_{0}(R_{c}) = P_{1}(R_{c}) = 1$,

$$ \text{on a} \qquad \alpha' = \alpha \qquad \beta' = \beta \qquad \text{et} \qquad \lambda' = \frac{\alpha}{1 - \beta} $$

Les conditions $\lambda$ grand et $\lambda'$ petit se réduisent à

$$ \frac{\beta}{1 - \alpha} \text{ et } \frac{\alpha}{1 - \beta} \text{ petits} $$

ce qui implique $\alpha$ et $\beta$ petits (1).

Pour un critère bilatéral non dichotomique $\alpha' \le \alpha$, $\beta' \ge \beta$. Il peut se faire qu'un critère non dichotomique soit supérieur au critère.

<footnote>(1) On verra, dans les paragraphes qui suivent, différentes manières d'interpréter cette double condition et dans quelle mesure elle peut être satisfaite.</footnote>
tère dichotomique au sens que pour un même $\lambda$ on ait un $\lambda'$ plus petit.

Soit par exemple, $\beta' = \alpha$ et $\alpha' < \beta < \alpha < \frac{1}{2}$

$$ \lambda' = \frac{\alpha'}{1 - \beta'} \le \frac{\beta}{1 - \alpha} < \frac{\alpha}{1 - \beta} $$

d'où $\lambda' < \lambda$.

**Autre interprétation.**

On peut définir la probabilité a posteriori, lorsque $x \in X_0$,

$$ \mathrm{Pr}_{\text{post}}(H_0) = \frac{q\lambda}{p+q\lambda} $$

et remarquer que cette probabilité a posteriori est plus grande que la probabilité a priori $q$ lorsque $\lambda > 1$. Cette amélioration de la probabilité due à l'introduction de la condition $x \in X_0$ pourrait à elle seule justifier le critère (1). On achève le raisonnement en partant de $q < 1 - \varepsilon$ pour atteindre $\mathrm{Pr}(H_0) > 1 - \varepsilon$ qui permet de tirer $H = H_0$ de la convention de Cournot. post

On procède de même lorsque $x \in X_1$ en définissant

$$ \mathrm{Pr}_{\text{post}}(H_1) = \frac{p}{p+q\lambda} $$

et remarquant que cette probabilité a posteriori est plus grande que la probabilité a priori $p$ lorsque $\lambda < 1$, par conséquent que la probabilité est améliorée par l'introduction de la condition $x \in X_1$. On achève le raisonnement en partant de $p < 1 - \varepsilon$ pour atteindre $\mathrm{Pr}(H_1) > 1 - \varepsilon$ qui permet de tirer $H = H_1$ de la convention de Cournot.

La justification du critère bilatéral en résulte. Celui-ci conduit donc à confondre avec l'unité, d'une part la probabilité a posteriori de $H_0$ lorsque $x \in X_0$ et d'autre part la probabilité a posteriori de $H_1$ lorsque $x \in X_1$.

<footnote>(1) Cf. G. Darmois: 25 th Session of the International statistical Institute. Proceedings of the International statistical Conferences. Vol. III, Part A, pp. 409-410.</footnote>
#### IV. Au paragraphe précédent, nous avons vu pour le problème simple considéré que le critère bilatéral dichotomique était d'autant meilleur que $\alpha$ et $\beta$ étaient petits. Ces deux probabilités ne sont pas indépendantes puisque dès que l'on choisit $X_0$, $\alpha$ et $\beta$ sont tous deux déterminés. On voit de plus qu'en agrandissant $X_0$ aux dépens de $X_1$, on diminue $\alpha$ mais on augmente $\beta$ ; pour $X_0 = R_c$ on aurait $\alpha = 0$, $\beta = 1$ et pour $X_0 = \emptyset$, $\alpha = 1$ et $\beta = 0$. Il faudra donc recourir à une sorte de compromis entre l'opportunité de réduire $\alpha$ et celle de réduire $\beta$ qui s'opposent.

Chacun des critères dichotomiques dont il s'agit est défini par $X_0$ (duquel résulte $X_1$) qui détermine $\alpha$ et $\beta$ : on peut donc faire correspondre à chacun des critères un point de coordonnées $(\alpha, \beta)^{(1)}$. On est ainsi amené à étudier de plus près la comparaison des critères, c'est-à-dire à préciser ce que l'on entend en disant que le critère est d'autant meilleur que $\alpha$ et $\beta$ sont petits.

### Comparaison de deux critères dichotomiques.

De deux critères $(\alpha, \beta)$ et $(\alpha', \beta')$ tels que $\alpha < \alpha'$ et $\beta \le \beta'$ avec au moins une inégalité, le premier est "meilleur" que le second.

Cette définition du "meilleur" de deux critères peut être considérée comme une conséquence de ce qui a été vu au paragraphe 3.

Selon la méthode la plus connue, la recherche des meilleurs critères se fait en se plaçant au point de vue de Neyman-Pearson. On fixe la valeur de $\alpha$, et il s'agit de déterminer le critère qui, pour cette valeur de $\alpha$, donne à $\beta$ la plus petite valeur ; en d'autres termes on détermine sur chaque verticale le point le plus bas de l'ensemble des $(\alpha, \beta)$.

Selon la terminologie introduite par les initiateurs :

$P_0(X_1) = \alpha$ = probabilité de l'erreur de première espèce = probabilité pour que, $H_0$ étant vraie, on conclut en faveur de $H_1$ = probabilité pour que, $H_0$ étant vraie, on la rejette.

$P_1(X_0) = \beta$ = probabilité de l'erreur de deuxième espèce = probabilité pour que, $H_1$ étant vraie, on conclut en faveur de $H_0$ = probabilité pour que, $H_0$ étant fausse, on l'accepte.

<footnote>(1) A deux critères différents peut correspondre un seul point.</footnote>
La probabilité $\alpha$ est dite le niveau, le degré ou la taille du critère et la probabilité $1 - \beta$ est dite la puissance du critère (pour un $\alpha$ déterminé).

Pour $\alpha$ donné, le critère pour lequel $\beta$ est le plus petit est le critère "le plus puissant de taille $\alpha$". La recherche du critère le plus puissant de taille $\alpha$ repose sur ce que l'on appelle le Lemme fondamental de Neyman-Pearson dont l'énoncé et la démonstration se trouvent maintenant dans tous les ouvrages qui traitent des critères statistiques.

Nous nous bornerons à rappeler cet énoncé sous sa forme la plus simple (qui n'est pas la plus générale) (1) :

Lorsque :

$H_0$ est une distribution de fonction de fréquence $f(x)$ définie sur $R_c$

$H_1$ est une distribution de fonction de fréquence $g(x)$ définie sur $R_c$

pour choisir entre ces deux hypothèses il existe un critère dicho-
tomique le plus puissant pour toute valeur de $\alpha$ et la partition de
$R_c$ qui le définit est donnée par $g(x) \geq c f(x)$ où $c$ est déterminé de
telle sorte que le critère soit de taille $\alpha$ ($0 < c \leq 1$).

Remarques sur la région des points $\alpha, \beta$.

Soit un critère défini par une partition de $R_c$ :

$$
X_0 \cup X_1 = R_c \text{ et } P_0(X_0) = 1 - \alpha, P_1(X_0) = \beta.
$$

Considérons une autre partition de $R_c$ :

$$
X'_{0} \cup X'_{1} = R_{c} \text{ avec } X_{0} \subset X'_{0} \text{ et en conséquence } X'_{1} \subset X_{1} :
$$

$$
P_0(X'_0) = 1 - \alpha', \alpha' \le \alpha
$$

$$
P_1(X'_0) = \beta', \quad \beta' \ge \beta.
$$

<footnote>(1) Pour un énoncé général et la démonstration voir en particulier D. A. S. Fraser. Non parametric methods in statistics, p. 73-75, Wiley 1957 et E. L. Lehmann.Testing statistical hypotheses, pp. 65-67 et pp. 83-87, Wiley 1959.</footnote>
Ainsi, de tout critère $\alpha, \beta$ on peut passer à un critère $\alpha' \beta'$ dont le point représentatif sera dans le deuxième ou le quatrième quadrant des parallèles aux axes menés par $\alpha, \beta$. Il s'ensuit que, lorsque $R_e$ est un domaine continu et que $H_0$ et $H_1$ définissent sur le domaine des densités de probabilités, différentes de 0 en tous les points de $R_e$, à tout point $\alpha, \beta$ pourra être associé un point infini-ment voisin situé dans le deuxième ou le quatrième quadrant. Il en résulte que la région des points $\alpha, \beta$ sera limitée par une frontière dont la tangente ne sera jamais ascendante, c'est-à-dire qui sera non croissante. La région des points $\alpha, \beta$, sera donc comprise à l'intérieur de 2 courbes non croissantes.

On en conclut immédiatement que les "meilleurs critères" au sens qui vient d'être défini sont représentés par les points de la frontière inférieure, qui est aussi la frontière gauche de la région des points $(\alpha, \beta)$.

**Remarque :**

1) Le couple $\alpha, \beta$ qui rend $\lambda$ maximum (voir paragraphe précédent) s'obtient en menant du point $\alpha = 1 \beta = 0$ la tangente à la frontière inférieure de la région des points $(\alpha, \beta)$.

2) Nous avons vu au paragraphe précédent que le critère uni-latéral était d'autant meilleur que $\lambda$ était grand ou que $\frac{\beta}{1-\alpha}$ était petit. On devra donc prendre le point $(\alpha, \beta)$ sur la frontière infé-rieure et il sera opportun que cette frontière soit incurvée vers les axes.

Exemple. Lorsque $H_0$ et $H_1$ sont deux distributions normales de même écart quadratique moyen $\sigma$ et de moyennes $-m$ et $+m$ respective-ment, pour que la frontière inférieure soit proche des axes, il faut et il suffit que $\frac{m}{\sigma}$ soit assez grand, pour fixer les idées, supérieur à 3 ; lorsque $\frac{m}{\sigma}$ est petit les deux distributions sont voisines et il importe moins de les distinguer.

V. Pour le même problème, nous allons encore considérer les critères dichotomiques mais cette fois pour les insérer dans la théorie de la décision, ce qui permettra de donner à leur compa-raison un fondement plus naturel, plus satisfaisant à certains égards et aussi de pousser plus loin cette comparaison.
Nous introduirons les conséquences du choix auquel conduit le critère, telles qu'elles sont résumées dans le tableau suivant :

<table><thead><tr><th>Hypothèse retenue</th><th>H<sub>0</sub></th><th>H<sub>1</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>x ∈ X<sub>0</sub> → H = H<sub>0</sub></td><td>a</td><td>c</td></tr><tr><td>x ∈ X<sub>1</sub> → H = H<sub>1</sub></td><td>d</td><td>b</td></tr></tbody></table>

a, b, c, d, sont les gains ($\ge 0$) qui résultent du choix dans les quatre éventualités possibles.

On peut admettre que l'expérimentateur a intérêt à ne pas se tromper, c'est-à-dire que a et b sont l'un et l'autre supérieurs à la fois à c et à d.

L'espérance mathématique de l'expérimentateur sera donc :

$$E_0 = a(1 - \alpha) + d\alpha \quad \text{si } H_0 \text{ est vraie}$$

$$E_1 = b(1 - \beta) + c\beta \quad \text{si } H_1 \text{ est vraie.}$$

α et β étant les probabilités définies aux paragraphes précédents.

En vertu du principe de Bernoulli l'expérimentateur considère son espérance mathématique comme le gain qu'il réaliserait "à la longue", c'est-à-dire si son choix était répété un grand nombre de fois. Il sait alors que son gain sera $E_0$ ou $E_1$ et selon la méthode habituelle en théorie de la décision il peut chercher à atteindre le **maximin** de son gain.

Remarquons d'ailleurs qu'en procédant ainsi il adopte le point de vue pragmatique considéré jusqu'ici en choisissant le critère eu égard à ses conséquences - il s'agit maintenant des conséquences "à la longue" lorsque la matrice des gains est définie par a, b, c, d.

L'expérimentateur peut tout d'abord, conformément à la méthode de Neyman-Pearson, fixer la valeur de α, c'est-à-dire fixer $E_0$ et le problème se ramène à chercher la plus grande valeur de $E_1$, ce qui est donné par la plus petite valeur de β. Ainsi, de nouveau, la théorie de la décision conduit à la méthode de Neyman-Pearson.
L'expérimentateur peut aussi, sans fixer $\alpha$, rechercher la valeur du couple $(\alpha, \beta)$ qui donne le **maximin** des espérances mathématiques. Il est bien évident que pour une même valeur de $\alpha$, il aura intérêt à prendre la plus petite valeur de $\beta$, c'est-à-dire le critère le plus puissant. On doit donc chercher la solution parmi les critères les plus puissants au sens de Neyman-Pearson.

Dans le cas envisagé au paragraphe précédent où le lieu des meilleurs critères est une courbe non croissante, soit $\beta = \varphi(\alpha)$, $E_0$ est une fonction décroissante de $\alpha$

$E_1$ est une fonction décroissante de $\beta$ donc une fonction non décroissante de $\alpha$.

Le **maximin** des deux fonctions

$$a(1 - \alpha) + d\alpha$$

$$b[1 - \varphi(\alpha)] + c\varphi(\alpha)$$

a lieu lorsqu'elles sont égales, c'est-à-dire à l'intersection de la courbe $\beta = \varphi(\alpha)$ et de la droite

$$\beta = \frac{a - d}{b - c} \quad \alpha + \frac{b - a}{b - c}.$$

Si au lieu de considérer seulement, comme on l'a fait jusqu'ici, des stratégies pures on introduit des stratégies mixtes (une stratégie mixte consiste, par exemple si $x \in X_0$, à accepter $H = H_0$ avec une probabilité $1-u$ et $H = H_1$ avec une probabilité $u$) on peut traiter en même temps le cas où il n'existe qu'un nombre fini de stratégies possibles (c'est-à-dire de points $(\alpha, \beta)$ et le cas où il en existe un ensemble continu. De plus l'ensemble des $(\alpha, \beta)$ devient convexe, ce qui permet d'établir et d'énoncer plus facilement des propriétés générales.

En définitive à partir du point de vue pragmatique selon lequel il s'agit d'atteindre le meilleur point à la longue, on peut aborder le problème des deux manières suivantes :

1) fixer $\alpha$- chercher à rendre $\beta$ le plus petit possible : on obtient ainsi une solution $(\alpha, \beta)$ optimum pour chaque $\alpha$.

2) chercher le **maximin** de $E_0$, $E_1$ : on obtient un couple $(\alpha, \beta)$ optimum.
VI. Jusqu'ici dans les paragraphes III, IV et V nous n'avons envisagé qu'un problème extrêmement simple dans lequel le choix ne portait que sur deux hypothèses. Ce problème peut être très utile pour exposer les méthodes, mais on ne le rencontre que rarement dans les applications pratiques.

Pour considérer d'une manière générale les critères comme des règles permettant de choisir entre plusieurs ensembles d'hypothèses, nous aurons recours aux définitions habituelles : une hypothèse est dite "simple" lorsqu'elle détermine complètement la probabilité de l'ensemble des résultats possibles, une hypothèse "composite" est un ensemble d'hypothèses simples.

Mais nous aurons aussi à considérer des hypothèses "non spécifiées"(1) sur lesquelles on ne saura rien sauf qu'elles diffèrent de telle hypothèse simple ou de telle hypothèse composite.

On est ainsi amené à classer les problèmes de recherche des critères en cinq catégories qui ressortent du tableau suivant.

<table><thead><tr><th></th><th colspan="3">Première hypothèse</th></tr><tr><th></th><th>simple</th><th>composite</th><th>non spécifiée</th></tr></thead><tbody><tr><th>Deuxième<br>Hypothèse</th><td>simple<br>composite<br>non spécifiée</td><td>2<br>2'<br>1</td><td>2'<br>2"<br>1'<br>aucun problème</td></tr></tbody></table>

Nous dirons qu'il existe cinq "problèmes-cadres" et nous les numéroterons de la manière suivante :

A. 1 On oppose à une hypothèse simple $H_0$ d'autres hypothèses non spécifiées $\mathcal{H}_0$

A. 1' On oppose à une hypothèse composite $\mathcal{H}_0$ d'autres hypothèses non spécifiées $\mathcal{H}_1$

A. 2 On oppose à une hypothèse simple $H_0$ une autre hypothèse simple $H_1$

A. 2' On oppose à une hypothèse simple $H_0$ une hypothèse composite $\mathcal{H}_0$

A. 2'' On oppose à une hypothèse composite $\mathcal{H}_0$ une autre hypothèse composite $\mathcal{H}_1$
Il est opportun pour poser et pour classer les problèmes-cadres d'introduire la notion d'hypothèse "non spécifiée". Il ne s'agit pas toujours de choisir parmi une classe, même vaste, d'hypothèses bien définies, par exemple la vérification de la loi de Newton n'a pas été faite en l'opposant à telle ou telle autre hypothèse, par exemple on peut opposer le fonctionnement normal d'un organisme d'une machine à son dérèglement sans être en mesure de prévoir en aucune manière ce dérèglement. D'une manière générale on rejette une hypothèse lorsque les résultats observés s'écartent des résultats théoriques. Nous verrons que dans les problèmes A. 1 et 1' les critères permettront seulement de rejeter $H_0$ et jamais de l'accepter (1). Il est vrai toutefois que dans la plupart des problèmes pour lesquels on fait appel aux statisticiens la classe des hypothèses parmi lesquelles il faut choisir est spécifiée, au moins partiellement, par exemple, on peut souvent, en vertu du "théorème central limite", admettre que la distribution est normale.

Le problème envisagé jusqu'ici n'est autre que le problème cadre A. 2. Il est bien clair que l'on devrait reprendre tout ce qui a été vu aux paragraphes III, IV et V pour le seul problème A. 2 pour l'étendre aux autres problèmes. Nous ne le ferons pas parce que nous serions ainsi conduits à traiter la totalité de ce qu'on appelle la "théorie générale des critères" ce qui dépasserait nos forces et ce qui nous apprendrait relativement peu sur notre sujet : l'étude des fondements de la théorie des critères.

Les problèmes cadres qui viennent d'être posés nous paraissent présenter un intérêt tout particulier. En effet, la recherche des critères comporte en général, pour commencer, une transformation de la distribution des variables initiales qui permet de passer de celle-ci à la distribution d'une fonction de ces variables (on dit d'une statistique). On peut considérer cette transformation comme une opération "technique" qui relève du calcul des distributions et qui consiste à calculer les probabilités associées à une famille de sous-ensembles. Après ces opérations "techniques" le problème entre dans sa phase finale qui n'est autre chose que la résolution d'un des problèmes-cadres.

Dans les paragraphes III, IV et V, nous avons envisagé pour le problème cadre A. 2 différentes solutions qui relèvent toutes du point de vue pragmatique, mais qui se distinguent par la conséquence pour laquelle on s'efforce de trouver un optimum et par l'énoncé de cet optimum. Il n'y a pas lieu d'opposer ces différentes solutions - nous avons même vu qu'elles coïncidaient partiellement - qui relèvent de différents aspects d'une même question; mais de leur

(1) C'est une situation connue dans la théorie de l'induction : "Une question bien posée est une question à laquelle la nature peut répondre. Elle ne répond jamais que non. Le fait favorable à l'hypothèse n'est pas une réponse affirmative de la nature, c'est l'absence d'une réponse négative : on peut poursuivre la recherche". Goblot. Traité de Logique. A. Colin, Paris 1941, p. 296.
pluralité il suit qu'aucune d'elles ne s'impose, n'a un caractère de nécessité. On pourra préférer faire appel à l'une ou à l'autre, sous réserve de justifier cette préférence par la signification du critère, c'est-à-dire par la conséquence qu'implique dans chacun d'eux une décision en faveur de l'une des hypothèses. La même remarque s'appliquerait aux solutions que l'on obtiendrait pour les autres problèmes-cadres.

- Etant donné qu'aucune des solutions envisagées ne s'impose ;

- que les solutions envisagées aux paragraphes IV et V ne s'appliquent pas aux problèmes-cadres A.1 et A.1';

- que la théorie générale des critères, en dépit d'un développement prodigieux, n'aboutit pas à une justification satisfaisante de tous les critères usuellement employés et que lui échappent même certains critères fort simples et souvent employés,

nous allons chercher une justification des critères en nous plaçant à un point de vue tout à fait différent du point de vue "pragmatique" adopté jusqu'ici. Par opposition, le nouveau point de vue sera dit "dialectique".

VII. Au numéro II, nous avons mis en évidence la nécessité d'introduire quelque condition (restriction) et c'est ce que nous avons fait en nous plaçant au point de vue pragmatique.

Nous n'échapperons pas à la même nécessité en nous plaçant au point de vue dialectique. Nous admettrons d'abord qu'une hypothèse n'est acceptée que pour s'en servir (1) et l'on ne peut se servir d'une hypothèse probabilitaire qu'en appliquant la convention de Cournot. D'une manière plus précise nous supposerons que l'acceptation d'une quelconque des hypothèses considérées, soit $H^i$ conduit à l'exclusion d'un sous-ensemble $V^i$ et nous supposerons que ce sous-ensemble nous est connu(2). Nous représenterons(3) par $H^i$ soit une hypothèse simple soit un membre de la famille d'hypothèses qui constitue une hypothèse composite (une hypothèse non spécifiée ne conduit à aucune exclusion).

<footnote>(1) Cette assertion peut être discutée mais sa discussion relèverait essentiellement de la théorie de la connaissance et ne sera pas entreprise ici.</footnote>

<footnote>(2) Nous reviendrons aux n° IX et X sur le choix de $V^i$.</footnote>

<footnote>(3) On utilise un indice supérieur parce que $H^i$ pourra désigner une hypothèse appartenant aussi bien à $H_0$ qu'à $H_1$.</footnote>
Un critère

$$x = x^* \rightarrow H = H^i$$

sera dit "en défaut" si

$$x^* \in V^i$$

Pour tout $x^* \in V^i$ on peut considérer que l'ensemble du critère et de la conséquence que l'on en tirerait, comporterait une contradiction :

$$x = x^* \rightarrow H = H^i \rightarrow x^* \notin V^i$$

La notion de critère "en défaut" peut être présentée de différentes manières et son application pratique peut être discutée. Nous nous bornerons ici à en donner une seule interprétation.

Si l'hypothèse est une consigne à donner à un exécutant, celui-ci recevrait les deux instructions suivantes :

$$(\text{critère}) \qquad x = x^* \rightarrow H = H^i$$

$$(\text{consigne}) \qquad H = H^i \rightarrow x \notin V^i$$

Lorsque $x^* \in V^i$ l'exécutant pourrait considérer les instructions qu'il reçoit comme contradictoires bien qu'applicables l'une et l'autre.

La condition supplémentaire qu'introduit le point de vue dialectique consiste à éviter les critères "en défaut", ce qui conduit aux conséquences développées dans le numéro suivant.

VIII. La résolution des problèmes cadres du point de vue dialectique ne présente aucune difficulté et peut être considérée comme une suite d'exercices qui peuvent être illustrés par des exemples. Nous nous bornerons ici à rappeler les critères auxquels on aboutit pour le problème A. 2" qui est le plus général et dont les autres peuvent être regardés comme des cas particuliers.

Nous désignerons par

$$\cap \bar{V}_0 \text{ l'intersection de tous les } \bar{V}_0 \text{ de } \mathcal{H}_0$$

$$\cap V_0 \text{ l'intersection de tous les } V_0 \text{ de } \mathcal{H}_0$$
$C_0$ le complémentaire des deux premiers ($\cap \bar{V}_0 + \cap V_0 + C_0 = R_0$) et d'une manière analogue, à l'égard de $\mathcal{H}_1$, nous définirons $\cap \bar{V}_1, \cap V_1, C_1$.

Les neuf cas qui peuvent se présenter apparaissent dans le tableau suivant :

<table><thead><tr><th></th><th>∩V̄<sub>0</sub></th><th>C<sub>0</sub></th><th>∩V<sub>0</sub></th></tr></thead><tbody><tr><th rowspan="2">∩V̄<sub>1</sub></th><td>\e_0 jamais</td><td>\e<sub>0</sub> quelquefois<sup>f</sup></td><td>\e<sub>0</sub> toujours<sup>F</sup></td></tr><tr><td>\e<sub>1</sub> jamais</td><td>\e<sub>1</sub>, jamais</td><td>\e<sub>1</sub>, jamais</td></tr><tr><th rowspan="2">C<sub>1</sub></th><td>\e<sub>0</sub> jamais<sup>f</sup></td><td>\e<sub>0</sub> quelquefois</td><td>\e<sub>0</sub> toujours<sup>f</sup></td></tr><tr><td>\e<sub>1</sub>, quelquefois</td><td>\e<sub>1</sub>, quelquefois</td><td>\e<sub>1</sub>, quelquefois</td></tr><tr><th rowspan="2">∩V<sub>1</sub></th><td>\e<sub>0</sub> jamais<sup>F</sup></td><td>\e<sub>0</sub>, quelquefois<sup>f</sup></td><td>\e<sub>0</sub> toujours</td></tr><tr><td>\e<sub>1</sub>, toujours</td><td>\e<sub>1</sub>, toujours</td><td>\e<sub>1</sub>, toujours</td></tr></tbody></table>

où l'on sous-entend à la suite de "jamais", "quelquefois", "toujours" les mots "le critère est en défaut" et où "jamais" et "toujours" ont pour extension "quelle que soit l'hypothèse simple de $\mathcal{H}_0$ ou de $\mathcal{H}_1$", tandis que "quelquefois" signifie pour certaines des hypothèses simples de $\mathcal{H}_0$ ou de $\mathcal{H}_1$ et non pas pour les autres.

On constate :

1) si $x \in \cap \bar{V}_1 \cap \cap V_0$ on sera toujours en défaut si l'on accepte $\mathcal{H}_0$ et jamais si l'on accepte $\mathcal{H}_1$ : on préférera donc accepter $\mathcal{H}_1$,

si $x \in \cap V_1 \cap \cap \bar{V}_0$ d'une manière analogue on préférera accepter $\mathcal{H}_0$ ;

2) dans les trois cases sur la diagonale descendante $\mathcal{H}_0$ et $\mathcal{H}_1$ conduisent à la même situation : aucune préférence ne sera marquée ;

3) si $x \in \cap \bar{V}_1 \cap C_0$ on sera en défaut, si l'on accepte $\mathcal{H}_0$ pour certaines des hypothèses simples de $\mathcal{H}_0$ et pas pour les autres, tandis que l'on ne sera jamais en défaut si l'on accepte $\mathcal{H}_1$ : on peut concevoir que l'on préfère accepter $\mathcal{H}_1$,

si $x \in \cap \bar{V}_0 \cap C_1$ d'une manière analogue on pourra marquer une préférence pour $\mathcal{H}_0$ ;
4) si $x \in \bigcap V_i \cap \bigcup_0$ on sera, si l'on accepte $\mathfrak{H}_0$, en défaut pour certaines des hypothèses simples de $\mathfrak{H}_0$ et pas pour les autres, tandis que l'on sera toujours en défaut si l'on accepte $\mathfrak{H}_1$, on peut en tirer une préférence pour $\mathfrak{H}_0$

si $x \in \bigcap V_0 \cap \bigcup_1$ d'une manière analogue, on peut être conduit à une préférence pour $\mathfrak{H}_1$.

Dans le tableau ci-dessus sont soulignées les hypothèses auxquelles on est, dans divers cas, conduit à accorder une préférence.

On peut remarquer que la préférence accordée à une hypothèse provient d'une des oppositions suivantes "jamais-toujours", "jamais-quelquefois", "quelquefois-toujours" et dire que la première donne un critère fort et les autres des critères faibles.

Il suffirait d'ailleurs d'assimiler "quelquefois" à "toujours", c'est-à-dire de considérer que le critère est en défaut en appliquant une hypothèse composite dès qu'il l'est pour une des hypothèses simples constituantes pour que le tableau ci-dessus se réduise au suivant où ne figurent plus que deux critères forts :

<table><thead><tr><th></th><th>∩V&#773;<sub>0</sub></th><th>U V<sub>0</sub></th></tr></thead><tbody><tr><th>∩V<sub>1</sub></th><td><div style="text-align: center;"><div style="border-bottom: 1px solid black; padding-bottom: 2px;">H<sub>0</sub> jamais</div><div>H<sub>1</sub> jamais</div></div></td><td><div style="text-align: center;"><div style="border-bottom: 1px solid black; padding-bottom: 2px;">H<sub>0</sub> toujours<sup>F</sup></div><div>H<sub>1</sub> jamais</div></div></td></tr><tr><th>U V<sub>1</sub></th><td><div style="text-align: center;"><div style="border-bottom: 1px solid black; padding-bottom: 2px;">H<sub>0</sub> jamais<sup>F</sup></div><div>H<sub>1</sub> toujours</div></div></td><td><div style="text-align: center;"><div style="border-bottom: 1px solid black; padding-bottom: 2px;">H<sub>0</sub> toujours</div><div>H<sub>1</sub> toujours</div></div></td></tr></tbody></table>

En raisonnant ainsi on établit les critères applicables aux cinq problèmes cadres qui sont résumés ci-dessous :

A. 1 : $H_0 \leftrightarrow \mathfrak{K}^{(1)}$ $x \in V_0 \rightarrow H \in \mathfrak{K}$ fort

A. 1' : $\mathfrak{X}_0 \leftrightarrow \mathfrak{K}$ $x \in \bigcap V_0 \rightarrow H \in \mathfrak{K}$ fort
$x \in \bigcup_0 \rightarrow H \in \mathfrak{K}$ faible

A. 2 : $H_0 \leftrightarrow H_1$ $x \in \bar{V}_0 \cap V_1 \rightarrow H = H_0$ fort
$x \in V_0 \cap \bar{V}_1 \rightarrow H = H_1$ fort

<footnote>(1) Le signe $\leftrightarrow$ sépare les deux hypothèses (simples ou composées) que l'on oppose.</footnote>
$$
\begin{array}{ll}
\text{A. 2' :} & H_0 \leftrightarrow \mathcal{H}_0, \quad x \in \bar{V}_0 \cap \bigcap V_1 \rightarrow H = H_0 \quad \text{fort} \\
& x \in V_0 \cap \bigcap \bar{V}_1 \rightarrow H \in \mathcal{H}_1 \quad \text{fort} \\
& x \in \bar{V}_0 \cap \bigcup C_1 \rightarrow H = H_0 \quad \text{faible} \\
& x \in V_0 \cap \bigcup C_1 \rightarrow H \in \mathcal{H}_1 \quad \text{faible}
\end{array}
$$

$$
\text{A. 2'' :} \quad \mathcal{H}_0 \leftrightarrow \mathcal{H}_1, \quad
\begin{array}{ll}
x \in \bigcap \bar{V}_0 \cap \bigcap V_1 \rightarrow H \in \mathcal{H}_0 & \text{fort} \\
x \in \bigcap V_0 \cap \bigcap \bar{V}_1 \rightarrow H \in \mathcal{H}_1 & \text{fort} \\
x \in \bigcap \bar{V}_0 \cap \bigcup C_1 \rightarrow H \in \mathcal{H}_0 & \text{faible} \\
x \in \bigcap \bar{V}_1 \cap \bigcup C_0 \rightarrow H \in \mathcal{H}_1 & \text{faible} \\
x \in \bigcap V_1 \cap \bigcup C_0 \rightarrow H \in \mathcal{H}_0 & \text{faible} \\
x \in \bigcap V_0 \cap \bigcup C_1 \rightarrow H \in \mathcal{H}_1 & \text{faible}
\end{array}
$$

Dans tous les cas ne figurant pas dans ce tableau, il y a doute,
aucune préférence pour l'une ou l'autre des hypothèses. Il peut se
faire que certains des critères disparaissent parce que les sous-
ensembles auxquels ils se rapportent sont vides.

En considérant que le critère est en défaut dès qu'il l'est pour
une des hypothèses simples constituantes, on n'obtient plus que des
critères forts et le tableau ci-dessus devient plus simple :

A. 1 : sans changement

A. 1' : $x \in \cup V_0 \rightarrow H \in \mathcal{H}$

A. 2 : sans changement

A. 2' : $x \in \bar{V}_0 \cap \cup V_1 \rightarrow H = H_0$
$x \in V_0 \cap \bigcap \bar{V}_1 \rightarrow H \in \mathcal{H}_1$

A. 2'' : $x \in \bigcap \bar{V}_0 \cap \cup V_1 \rightarrow H \in \mathcal{H}_0$
$x \in \bigcap \bar{V}_1 \cap \cup V_0 \rightarrow H \in \mathcal{H}_1$

IX. On objectera sans doute au point de vue dialectique, tel
qu'il vient d'être introduit, les deux arbitraires qui interviennent
dans la convention de Cournot. Dans les problèmes du type C ces
deux arbitraires ne soulèvent aucune difficulté, on peut les choisir à
son gré et il en résulte différentes conclusions probabilitaires.
Au contraire dans les problèmes du type A envisagés du point de
vue dialectique et plus particulièrement, dans la recherche des cri-
tères, le choix de V<sup>i</sup> pour chaque hypothèse H<sup>i</sup> détermine dans une
large mesure le critère. Pour un même problème, on pourra abou-
tir à une multitude de critères. Il semble que l'agrément général
dont jouissent les critères usuels provient de choix de V⁴ qui ré-
sultent non d'arguments rationnels, mais d'habitudes, de l'enseigne-
ment reçu et dans une large mesure d'intuitions. On n'insistera guère
en général sur le choix du degré de probabilité α car l'on est ha-
bitué dans les problèmes du type C à le laisser indéterminé, c'est-
à-dire à la disposition de celui qui applique la convention de Cournot.
Il faut donc examiner de plus près le choix de V⁴ parmi tous les
sous-ensembles de Rₑ portant une probabilité α.

On peut d'abord admettre, et c'est ce que nous avons fait im-
plicitement jusqu'ici, que le choix de V⁴ pour chaque H⁴ est bien
déterminé, qu'il résulte par exemple d'une habitude, d'un préjugé et
qu'il est connu de l'expérimentateur. On peut remarquer notamment
qu'en appliquant la convention de Cournot, on a le plus souvent ten-
dance à obtenir une conclusion qui ressemble autant que possible à
celle que l'on tirerait d'une loi exacte ou d'une loi très approchée
- ce qui conduit à choisir pour $\overline{V}⁴$ un intervalle aussi petit que pos-
sible. Dans d'autres cas on choisit $\overline{V}⁴$ de telle sorte qu'il tende vers
0 lorsque le nombre de répétitions de l'expérience augmente indé-
finiment.

Dans d'autres cas le choix de V⁴ est déterminé par $P_t(\overline{V}⁴) = 1 - \alpha$
et par un optimum.

L'optimum qui se présente le plus naturellement consiste à
prendre $\overline{V}⁴$ de longueur minimum, ainsi qu'il vient d'être dit. Plus
généralement, on peut envisager un optimum défini par une autre
probabilisation du même Rₑ, c'est-à-dire par une condition $Q_i(\overline{V}⁴)$
maximum ou minimum s'adjoignant à $P_t(\overline{V}⁴) = 1 - \alpha$. Il en sera ainsi
par exemple lorsque l'on cherchera à recueillir dans $\overline{V}⁴$ à peu près
tous les résultats auxquels s'applique la probabilisation P et en
même temps aussi peu que possible des résultats auxquels s'applique
la probabilisation $Q^i$ ; ce qui se présentera lorsque chaque élément
de Rₑ portera deux caractères, l'un admettant la probabilisation P
et l'autre la probabilisation Q.

Application au problème A. 1.

L'ensemble Rₑ étant soit la droite indéfinie, soit une demi-
droite, soit un intervalle, considérons $V_0$ tel que $P_0(\overline{V}_0) = 1 - \alpha$ et
$Q(\overline{V}_0)$ minimum, $Q(\overline{V}_0)$ étant la probabilité associée à $V_0$ selon une
des hypothèses "autres" dont on ne sait rien : on pourrait dire dans
l'ignorance - que l'on postule - de la probabilisation Q, on substitue à
celle-ci la seule mesure de $\overline{V}_0$ dont on dispose, c'est-à-dire la lon-
gueur et l'on obtient de nouveau le choix de $\overline{V}_0$ de longueur minimum.
Application au problème A. 2

L'ensemble $R_e$ étant soit la droite indéfinie, soit une demi-droite, soit un intervalle, on pourrait tirer le choix des $V$ des optimaus suivants :

$$ \text{pour } \bar{V}_0 \qquad P_0(\bar{V}_0) = 1 - \alpha, P_1(\bar{V}_0) \text{ minimum} $$

$$ \text{pour } \bar{V}_1 \qquad P_1(\bar{V}_1) = 1 - \alpha, P_0(\bar{V}_1) \text{ minimum} $$

La détermination de $\bar{V}_0$ et de $\bar{V}_1$ résulte du Lemme de Neyman-Pearson. On obtient en général un critère différent du critère de Neyman-Pearson et qui n'est pas dichotomique.

Il faut remarquer toutefois qu'il n'y a en général aucune raison de supposer que le choix de $V_0$ et de $V_1$ se fera d'après les optimums ci-dessus qui conduisent aux critères les plus puissants. Le choix de $V^i$ correspondant à chaque $H^i$ sera guidé par les applications que l'on a en vue et non par la préoccupation d'améliorer le critère : c'est bien évident en particulier lorsqu'il s'agit d'aboutir à une consigne (voir n° VII).

X. On a supposé jusqu'ici qu'était connu l'intervalle $V^i$ associé à chacune des hypothèses $H^i$. On peut affaiblir cette contrainte en supposant que $V^i$, sans être connu, doit être pris dans une classe $\Gamma^i$ de sous-ensembles de $R_e$ telle que l'on connaisse à l'avance, pour tous les $V^i$ de $\Gamma^i$ tels que $P_i(V^i) = \alpha^i$, d'une part, l'intersection des $V^i$ et, d'autre, part, l'intersection de leurs complémentaires $V^i$, c'est-à-dire

$$ \cap_{\Gamma^i} V^i \quad \text{et} \quad \cap_{\Gamma^i} \bar{V}^i $$

$$ \text{On pose} \qquad \cap_{\Gamma^i} \bar{V}^i + \cap_{\Gamma^i} V^i + \int_{\Gamma^i} = R_e. $$

De la sorte

$$ x \in \cap_{\Gamma^i} \bar{V}^i \rightarrow H = H^i \text{ sera en défaut pour aucun choix de } V^i \text{ dans } \Gamma^i, $$

pour abréger nous dirons que le critère "ne risque pas" d'être pris en défaut ;

$$ x \in \cap_{\Gamma^i} V^i \rightarrow H = H^i \text{ sera en défaut pour tous les choix de } V^i \text{ dans } \Gamma^i, $$

pour abréger nous dirons que le critère sera toujours pris en défaut ;
$x \in \bigcup_{\Gamma^i} \rightarrow H = H^i$ sera en défaut pour certains choix de $V^i$ dans $\Gamma^i$ et ne sera pas pour les autres,

pour abréger nous dirons que le critère "risque" d'être pris en défaut.

On pourrait aussi considérer que le critère est en défaut dès qu'il l'est pour certains $V^i$ de $\Gamma^i$: il ne resterait plus que les conclusions

$x \in \bigcap_{\Gamma^i} \bar{V}^i \rightarrow H = H^i$ ne risque pas d'être en défaut

$x \in \bigcup_{\Gamma^i} V^i \rightarrow H = H^i$ risque d'être en défaut.

**Cas particulier :**

Un cas intéressant est celui où $R_c$ est la droite indéfinie et où, pour chaque $H^i$, l'ensemble $\bar{V}^i$ est un intervalle de cette droite tel que $P_i(\bar{V}^i) = 1 - \alpha$ avec $\alpha < \frac{1}{2}$. On voit aisément que $\bigcap_{\Gamma^i} \bar{V}^i$ est le segment a, b tel que $P(b, +\infty) = \alpha$ et $P(-\infty, a) = \alpha$.

On dit quelquefois qu'un tel segment est un "intervalle symétrique en probabilité".

On constate que $\bigcap_{\Gamma^i} V^i = \emptyset$

On pourra alors conclure

$x \in \bigcap_{\Gamma^i} \bar{V}^i \rightarrow H = H^i$ ne risque pas d'être en défaut

$x \in \bigcup_{\Gamma^i} V^i \rightarrow H = H^i$ risque d'être en défaut.

On peut donc recourir aux solutions des problèmes cadres décrits au n° VIII : il suffit de considérer que $\bigcap_{\Gamma^i} \bar{V}^i$ constitue un $\mathfrak{V}^i$ et que son complémentaire $\bigcup_{\Gamma^i} V^i$ constitue un $\mathfrak{V}^i$ et de substituer $\bar{\mathfrak{V}}^i$ et $\mathfrak{V}^i$ aux $\bar{V}^i$ et $V^i$ considérés précédemment.

Les mots "jamais", "quelquefois", "toujours" devront alors être pris aux sens suivants :

"jamais" = quelle que soit l'hypothèse simple de l'hypothèse composite retenue, ne risque pas d'être en défaut,

"toujours" = quelle que soit l'hypothèse simple de l'hypothèse composite retenue, risque d'être en défaut,
"quelquefois" = pour certaines hypothèses simples de l'hypothèse composite retenue risque d'être en défaut et pour les autres hypothèses simples de l'hypothèse composite retenue ne risque pas d'être en défaut.

Il va de soi qu'ici encore on pourra préférer "jamais" à "quelquefois" et "quelquefois" à "toujours".

Dans ce cas particulier lorsque chaque $H^i$ est définie par une distribution symétrique, l'intervalle $\bar{V}^i = \bigcap_{\Gamma^i} \bar{V}^i$ est non seulement symétrique en probabilité, mais effectivement symétrique. Il en est ainsi en particulier si les $H^i$ sont des distributions normales - ce qui justifie, dans une certaine mesure, le choix d'un intervalle $\bar{V}$ symétrique, auquel on a fréquemment recours en pratique.

**Remarque :**

Lorsque $R_c$ au lieu d'être la droite indéfinie est une demi-droite indéfinie ou un intervalle, l'intervalle $\bar{V}^i$ étant toujours tel que

$$P_i(\bar{V}^i) = 1 - \alpha > \frac{1}{2} \quad \text{on a encore} \quad \bigcap_{\Gamma^i} V^i = \emptyset$$

et pour

$$\bar{V}^i = \bigcap_{\Gamma^i} \bar{V}^i$$

un intervalle symétrique en probabilité. On pourra encore recourir aux solutions du n° VIII en procédant comme ci-dessus.

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