# Modélisation numérique de l'écaillage des barrières thermiques avec un modèle de zone cohésive thermo-mécanique couplé

Noémie Rakotomalala, Frédéric Feyel, Arjen Roos, Arnaud Longuet

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Noémie Rakotomalala, Frédéric Feyel, Arjen Roos, Arnaud Longuet. Modélisation numérique de l'écaillage des barrières thermiques avec un modèle de zone cohésive thermo-mécanique couplé. 11e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2013, Giens, France. hal-01717029

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# Modélisation numérique de l'écaillage des barrières thermiques avec un modèle de zone cohésive thermo-mécanique couplé.

Noémie RAKOTOMALALA <fnref n="1" />,<fnref n="2" />, Frédéric FEYEL<fnref n="1" />, Arjen ROOS <fnref n="1" />, Arnaud LONGUET<fnref n="2" />

**Résumé** — En vue de modéliser l'écaillage des barrières thermiques dans les aubes de turbine aéronautique, un modèle éléments finis incluant un couplage entre les problèmes mécanique et thermique est proposé. L'insertion d'éléments de zone cohésive mécanique et thermique au niveau de l'interface barrière-thermique/sous-couche permet de tenir compte simultanément de la diminution de la ténacité de l'interface et de la dégradation de sa conductance thermique en fonction du temps de vieillissement au cours d'un calcul thermo-mécanique couplé. Le modèle numérique couplé est présenté ainsi qu'un cas d'application.

## 1 Introduction

Les systèmes barrières thermiques (BT) sont des revêtements multi-couches déposés à la surface des aubes de turbine aéronautique afin de réduire les flux de chaleur passant à travers le revêtement mais également pour protéger le substrat des dégradations environnementales telles que l'oxydation et la corrosion. L'utilisation de ces systèmes permet d'augmenter considérablement la tenue mécanique des aubes sous conditions extrêmes. La barrière thermique est déposée à la surface du substrat monocristallin base Nickel AM1 constitutif de l'aube préalablement recouverte d'une sous-couche (couche de liaison) qui assure l'accrochage de la céramique.

Le mode de dégradation dominant dans ces systèmes est la création de fissures qui résultent de l'accroissement des ondulations hors-plan d'une couche intermédiaire d'oxyde formée en service entre la céramique et la sous-couche. La disparité des dilatations thermiques des différentes couches constituant le système favorise l'accroissement des ondulations hors-plan de la couche d'oxyde soumise à de fortes contraintes de compression au cours de la phase de refroidissement du cycle du moteur. Cette couche d'oxyde comprimée et ondulée est le siège de l'amorçage et de la propagation de fissures pouvant conduire à l'écaillage de la barrière thermique.

Dans le but d'améliorer la performance et la fiabilité de ces systèmes multi-couches, il est donc primordial d'accéder à une compréhension fine des aspects thermo-mécaniques conduisant à l'écaillage de la BT. A cet effet, des outils numériques permettant de réaliser un calcul 3D par éléments finis thermo-mécanique couplé de l'aube revêtue sont développés au sein du code de calcul par éléments finis Z-set [11].

Le délaminage de la BT est pris en compte à travers l'utilisation d'un modèle de zone cohésive inséré à l'interface BT/sous-couche. En vue de résoudre le problème thermique associé, un modèle de zone cohésive thermique capable de représenter la dégradation de la conductance thermique liée à l'endommagement mécanique de l'interface au cours des cycles du moteur est développé. Dans un premier temps, la méthodologie numérique est détaillée. Ensuite, un premier cas d'application est présenté.

<footnote n="1">¹ Onera -The French Aerospace Lab, F-92322 Châtillon,France {noemie.rakotomalala, frederic.feyel, arjen.roos}@onera.fr</footnote>

<footnote n="2">² Snecma - Groupe SAFRAN, France, arnaud.longuet@snecma.fr</footnote>
## 2 Le problème thermo-mécanique

On modélise un système multi-couche chargé par un flux de chaleur externe supposé connu, variable dans l'espace et dans le temps. Du fait de ce chargement thermique, les fissures qui se forment au-dessus de la couche d'oxyde créent des discontinuités dans le champ de température et modifient donc le flux de chaleur puis la redistribution de la température dans la structure. La dilatation thermique de la pièce s'en trouve alors affectée de même que le comportement mécanique via la dépendance à la température de certaines propriétés mécaniques. Ainsi, une représentation incluant un couplage entre le problème mécanique et le problème thermique est indispensable afin de pouvoir considérer simultanément les changements dans le processus de transfert de charge (ex : création de nouvelles surfaces libres à la suite de la propagation de fissure ...) et les variations du flux de chaleur comme étant une conséquence directe de l'endommagement de l'interface. Pour cela, la résolution du problème mécanique à l'interface à l'aide d'un modèle de zone cohésive est un moyen d'accéder à la valeur de l'endommagement qui sera ensuite utilisée comme paramètre externe dans le problème thermique. La dégradation de la conductance effective de la zone cohésive peut ainsi être établie comme étant fonction de l'endommagement de l'interface. La résolution du problème thermique permet ensuite d'obtenir la modification du profil de température de la structure qui est par la suite utilisé dans le problème mécanique.

### 2.1 Modélisation des transferts de charge à l'interface

L'élément fini d'interface mixte proposé par Lorentz [5] a été choisi pour traiter le problème de l'écaillage car il permet un traitement exact de l'adhérence initiale parfaite et du contact (petits glissements), s'affranchissant ainsi des problèmes numériques des modèles cohésifs classiques. Sa formulation variationnelle repose sur un Lagrangien augmenté $L_r$ pour lequel les degrés de liberté de l'élément à considérer sont à la fois les déplacements et les contraintes cohésives des lèvres de la fissure. Le problème à résoudre consiste à trouver le point selle $(\mathbf{u}^*, \delta_m^*, \lambda_m^*)$ qui réalise :

$$ \max_{\lambda_m} \min_{\mathbf{u}} \min_{\delta_m} L_r(\mathbf{u}, \delta_m, \lambda_m) = \min_{\mathbf{u}} \max_{\lambda_m} \{E_p(\mathbf{u}, \delta_m) + \min_{\delta_m}[\lambda_m \cdot (\llbracket \mathbf{u} \rrbracket - \delta_m) + \frac{r}{2}(\llbracket \mathbf{u} \rrbracket - \delta_m)^2]\}. \quad (1) $$

avec

$$ E_p(\mathbf{u}, \delta_m) = \phi(\mathbf{u}) - W_{\text{ext}}(\mathbf{u}) + \int_{\Gamma} \Pi_m(\delta_m) d\Gamma \quad (2) $$

avec $\lambda_m$ le multiplicateur de Lagrange équivalent à la force nécessaire pour assurer l'égalité $[[\mathbf{u}]] = \delta_m$ dans lequel $[[\mathbf{u}]] = \mathbf{u}^+ - \mathbf{u}^-$ est le saut de déplacement entre deux points matériels initialement confondus et $\delta_m$ une discontinuité locale du déplacement. $r$ est un coefficient de pénalisation du Lagrangien augmenté ajusté de sorte à garantir la convexité de l'énergie potentielle $E_p$ de la structure, $E_p$ étant la somme de l'énergie de déformation $\phi$, du travail des forces externes $W_{\text{ext}}$ et d'une énergie cohésive surfacique définie sur un trajet de fissuration $\Gamma$ postulé comme étant l'interface BT/sous-couche. La densité d'énergie cohésive surfacique $\Pi_m$ est définie dans la loi d'interface. L'égalité $\delta_m = [[\mathbf{u}]]$ est ainsi traitée par dualisation (on lui associe des multiplicateurs de Lagrange $\lambda_m$). L'intégration de la loi de comportement consiste à résoudre le sous problème suivant aux points de Gauss :

$$ \delta_m^* = \arg \min_{\delta_m} [\lambda_m \cdot (\llbracket \mathbf{u} \rrbracket - \delta_m) + \frac{r}{2} (\llbracket \mathbf{u} \rrbracket - \delta_m)^2 + \Pi_m(\delta_m, \kappa)]. \quad (3) $$

Le caractère irréversible de la fissuration est pris en compte en introduisant une variable interne $\kappa$ qui mémorise la plus grande norme du saut de déplacement atteinte au cours du chargement. On fait le choix d'une loi cohésive de type bilinéaire munie d'une adhérence initiale parfaite (figure 1) avec décharge élastique, ce qui correspond à une densité d'énergie cohésive $\Pi_m$ non différentiable en $\delta_m = 0$ et quadratique en régime dissipatif.

### 2.2 Modélisation des transferts de chaleur à l'interface

La transposition de la notion de zone cohésive au problème thermique tire sa justification des similitudes observées entre la thermique et la mécanique du solide. En mécanique élastique linéaire de la rupture,
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig. 1 – Loi cohésive bilinéaire avec adhérence initiale parfaite et décharge élastique. $T_n$ et $T_t$ correspondent aux composantes du vecteur contrainte agissant sur les lèvres de la fissure, $\delta_n$ et $\delta_t$ sont les sauts de déplacement correspondants.</figcaption></figure>

on décrit la contrainte en pointe de fissure d'un solide élastique soumis à des sollicitations mécaniques par une singularité en racine carrée $\sigma \sim K/\sqrt{r}$, où r désigne la distance à la pointe de la fissure. On y introduit également la notion de facteur d'intensité des contraintes K. Cette singularité, considérée comme peu physique au sens où la contrainte devrait être finie en tout point du solide, est évitée dans l'approche cohésive grâce à l'introduction de la notion de process zone. La séparation matérielle peut alors être décrite par une relation à définir entre le saut de déplacement des surfaces cohésives et les contraintes cohésives bornées par la contrainte maximale supportable par l'interface avant le début de l'endommagement. De la même manière, on montre dans [10] qu'en présence d'un flux thermique, l'intensité du flux de chaleur par unité de surface q en pointe de fissure est caractérisée par une singularité en racine carrée de $r: q \sim H_0/\sqrt{r}$, où $H_0$ représente un facteur d'intensité des flux de chaleur et quantifie l'énergie thermique cumulée au voisinage de la pointe de fissure. Par analogie avec la mécanique, il est donc envisageable de remplacer la singularité du flux de chaleur en pointe de fissure par une modélisation plus physique en introduisant la notion de zone cohésive thermique. En effet, la cinématique engendrée par l'amorçage et la propagation d'une fissure crée une séparation matérielle qui provoque un saut de température et affecte donc le profil de température du solide par une redistribution de celle-ci.

Dans la littérature, on retrouve divers travaux basés sur l'étude thermo-mécanique couplée de l'accroissement d'une fissure dans une structure chargée par un flux de chaleur. Une description thermo-mécanique de l'interface est proposée dans [9] dans le cadre de la thermodynamique des milieux continus en vue d'étudier l'effet de températures élevées sur des matériaux hétérogènes. Certains aspects relatifs à l'implantation numérique sont évoqués dans [4]. Parallèlement à cela, [1] propose un modèle de zone cohésive thermo-mécanique basé sur des considérations prises à l'échelle microscopique en vue de l'étude d'un composite à matrice céramique. De même, un modèle de zone cohésive thermo-mécanique adapté à l'étude de solide hétérogène incluant du contact et des interactions entre les constituants est proposé dans [6]. Par ailleurs, d'autres travaux tels que [3] et [2] se penchent sur des représentations plus ou moins complexes de la dégradation du flux de chaleur à travers l'interface.

Le flux de chaleur à travers la zone cohésive, $q_{CZ}$ est décrit comme étant le produit du saut de température $[[\theta]]$ entre les surfaces cohésives et la conductance de la zone cohésive $k_{CZ}$. De même qu'un saut de déplacement en mécanique, $[[\theta]] = [[\theta]]\vec{m}$ est la différence de température entre deux points matériels (+ et -) initialement confondus : $[[\theta]] = \theta^+ - \theta^-$. $\vec{m}$ est un vecteur unitaire dirigé le long d'une ligne reliant ces deux points.

Sur l'exemple de [6] et de [3], on définit un modèle simplifié de la conductance de la zone cohésive qui dépend notamment de la fraction entre matière et air dûe à la présence de microcavités. Cela signifie que plus on endommage, plus la fraction matière/air diminue. Par conséquent, la conductance effective de la zone cohésive diminue à cause de la perte de matière conductrice. Le vecteur flux de chaleur $q_{CZ}$ transporté d'une face à une autre s'écrit :
$$ q_{CZ} = -k_{CZ}(d)[[\theta]] \qquad (4) $$

Cette relation de type Fourier peut être vue comme l'équivalent thermique de la relation entre les contraintes cohésives et le saut de déplacement en mécanique. La conductance de la zone cohésive est une grandeur définie par sa dépendance à la température, au saut de déplacement et aux contraintes cohésives. Le mo-dèle de conductance de la zone cohésive est irréversible par rapport au chargement mécanique par sa dépendance à l'endommagement *d* de l'interface. Pour une interface mécaniquement intacte (adhérence parfaite, *d* = 0), l'interface est parfaitement conductrice. Dans le cas d'une interface endommagée, il est essentiel de prendre en compte chaque phénomène pouvant survenir à l'interface (contact, radiation ...) qui peut affecter le transfert de chaleur d'une face à l'autre de la fissure.

De même que [6], on fait l'hypothèse que le flux de chaleur à travers l'air contenu dans les microcavi-tés ne contribue que dans la composante normale du flux de chaleur à travers l'interface. Les composantes suivant les directions normale $\vec{n}$ et tangentielles $\vec{t}$ du vecteur flux de chaleur $q_{CZ}$ peuvent donc s'écrire :

$$ q_n = -((1-d)k_s + k_a)[[\theta]]\vec{m} \cdot \vec{n} \qquad (5) $$

$$ q_t = -(1-d)k_s[[\theta]]\vec{m} \cdot \vec{t} \qquad (6) $$

$k_a$ représente la conductance thermique de l'air tandis que $k_s$ représente à la conductance thermique effective du solide. Dans la mesure où une surface cohésive n'a pas d'épaisseur, $k_s$ est donc un coefficient de conductance thermique qui quantifie le flux de chaleur transporté d'une face à une autre de la fissure, il est proportionnel à la conductivité de l'interphase et inversement proportionnel à son épaisseur.

Une autre situation à considérer est celle du contact entre les lèvres de la fissure. Si la fissure se referme, le flux de chaleur à travers l'interface dépend de la conductance de contact dont la surface de contact est limitée par la rugosité de la fissure. De même que [1], [3] et [6], on choisit une conductance de contact de la zone cohésive, proportionnelle à la pression de contact et inversement proportionnelle à la rugosité des surfaces cohésives.

Lorsque la fissure est ouverte, les flux de chaleur issus de la chambre de combustion sont susceptibles de pénétrer dans la fissure et chauffer directement le substrat. La température attendue au niveau de l'interface devrait donc être proche de celle de la peau externe de la barrière thermique. Dans le but de reproduire numériquement ce phénomène, la procédure mise en place consiste à appliquer le même flux de chaleur externe $\Phi$ sur la barrière thermique et le substrat lorsque la fissure est jugée suffisamment ouverte (figure 2). Un dernier mode de transfert de la chaleur qui peut exister est la radiation entre les lèvres de la fissure. Cependant, elle est souvent considérée comme négligeable dans la littérature et ne sera donc pas considérée dans le cadre de notre étude.

$$ \Phi_{substrat} = f_{cz}(d, [[u_n]]) \cdot \Phi_{BT} \qquad (7) $$

$f_{cz}$ est une fonction scalaire qui dépend de l'endommagement mécanique *d* ainsi que de l'ouverture normale [[*u*<sub>n</sub>]] de la fissure. Elle varie de $f_{cz} = 0$ (fissure fermée) à $f_{cz} = 1$ (fissure ouverte).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig. 2 – Conditions aux limites lors de l'ouverture de la fissure</figcaption></figure>

Par analogie avec le problème mécanique, on fait le choix d'une formulation de l'élément de zone cohé-sive thermique en Lagrangien augmenté :

$$ L_r(\theta, \delta_t, \lambda_t) = I(\theta, \delta_t) + \int_{\Gamma} \lambda_t([\theta] - \delta_t)d\Gamma + \int_{\Gamma} \frac{r}{2}([\theta] - \delta_t)^2 d\Gamma \qquad (8) $$

avec

$$ I(\theta, \delta_t) = \frac{1}{2} \int_V \rho C_v \dot{\theta} \theta dV + \frac{1}{2} \int_V \mathbf{q} \cdot \nabla \theta dV - \int_{\Gamma_q} \bar{q} \theta d\Gamma - \int_{\Gamma} \Pi_t(\delta_t) d\Gamma \qquad (9) $$
On associe l'indice *t* aux variables du problème thermique, par opposition à l'indice *m* utilisé dans la partie mécanique. *ρ* est la densité massique, *C*<sub>v</sub> est la capacité calorifique, *q̄* est un flux de chaleur appliqué à la frontière Γ<sub>q</sub> du domaine V. Le terme Π<sub>t</sub>([[δ<sub>t</sub>]]) représente la contribution énergétique de la zone cohésive. On ramène donc le problème de minimisation classique à une recherche du point selle (θ, δ<sub>t</sub>, λ<sub>t</sub>). Ce procédé est similaire au modèle de zone cohésive de [5] également utilisé pour la résolution de la partie mécanique du problème couplé. λ<sub>t</sub> est un multiplicateur de Lagrange et représente une quantité de chaleur qui traverse la zone cohésive. À convergence δ<sub>t</sub> = [[θ]]. Enfin, on introduit un paramètre d'augmentation *r* pour assurer la convexité du problème. Après discrétisation de l'espace, les degrés de liberté à considérer dans la résolution du problème sont le saut de température [[θ]] et la quantité de chaleur *q*<sub>cz</sub> = || **q**<sub>CZ</sub> || transportée d'une face à une autre de la fissure.

## 3 Simulation numérique

Considérons un tube cylindrique de longueur 140 mm, de diamètre interne constant $D_{int} = 14$ mm et de diamètre externe variable. Le tube est recouvert d'une barrière thermique d'épaisseur $h_{BT} = 150$ µm sur une zone marquée en rouge sur la figure 3. La discrétisation élément fini du volume est réalisée à l'aide d'éléments héxaédriques quadratiques réguliers. Des éléments finis d'interface mixtes sont insérés entre la BT et le substrat et le même maillage est utilisé dans la résolution des deux sous-problèmes mécanique et thermique.

Les paramètres matériaux utilisés ont été approximés par rapport aux valeurs issues de la littérature. Le substrat est muni d'une loi anisotrope en plasticité cristalline [8] dont les paramètres tels que le coefficient de dilatation thermique dépendent de la température. La BT est modélisée à l'aide d'une loi élastique isotrope de paramètre E = 30000 MPa et v = 0,1, de coefficient de conductivité thermique k = 2 Wm⁻¹K⁻¹ et de coefficient de dilatation thermique constant α = 1.10⁻⁵ K⁻¹. Les paramètres de la loi cohésive mécanique sont le taux de restitution d'énergie critique $G_c = 0,1$ J m⁻² et l'ouverture critique δ<sub>c</sub> = 10⁻³ mm. Les paramètres de la loi cohésive thermique sont $k_s = 250$ Wm⁻²K⁻¹, $k_a = 0,013$ Wm⁻²K⁻¹. Les déplacements $u_y$ sont bloqués au niveau de l'extrémité inférieure tandis qu'une pression est appliquée à l'extrémité supérieure dans la direction y orientée dans la direction longitudinale.

On applique un flux convectif $q_{int} = h(T - T_e)$ sur la paroi interne, muni des paramètres $h = 0,8$ Wm⁻²K⁻¹ et $T_e = 20°C$, afin de modéliser un refroidissement interne par un fluide. Un flux de chaleur surfacique $\bar{q} = \exp(-\frac{(y-70.)^2}{100.})q_0$ est appliqué sur la paroi externe de sorte à ce que le centre du tube corresponde à la zone la plus chaude. Les valeurs de $q_0$ à différents instants sont données dans le tableau 1. La température des deux extrémités du tube sont fixées à 0°C.

Pour la résolution du problème thermo-mécanique couplé, on fait appel à un algorithme CSS sous-cyclé [7] à pas de couplage fixe $\Delta t = 10^{-1}$s. Les échanges ont lieu entre les deux maillages conformes. Le code mécanique envoie l'état d'endommagement mécanique *d* de l'interface et la cinématique de la structure au code thermique, tandis que le code thermique envoie le champ de température de la structure au code mécanique.

<table><caption>Tableau 1 – Chargement thermique externe</caption><tr><td>Temps (s)</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr><tr><td>$q_0(W \text{ mm}^{-2})$</td><td>0</td><td>300</td><td>300</td><td>0</td></tr></table>

L'évolution de l'endommagement à différents instants du calcul est représentée sur la figure 4 ainsi que la température de la paroi externe correspondante. Du fait de la symétrie du problème, l'endommagement démarre aux deux zones ou les gradients thermiques sont importants dans la direction longitudinale. Lorsque l'interface est rompue, le modèle doit rendre compte de l'échauffement du substrat consécutif à l'endommagement de l'interface si la fissure est suffisamment ouverte pour que les flux de chaleurs externes puissent impacter directement sur le substrat. Deux profils de température obtenus le long du substrat à l'issue d'un calcul incluant ou non la modélisation du flux externe appliqué sur le substrat lors
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 3 – Maillage du tube. La zone rouge représente la BT.</figcaption></figure>

de l'ouverture de la fissure sont comparés sur la figure 5. Les deux élévations de la température observées respectivement en y = 54 mm et y = 86 mm sur la courbe obtenue dans la simulation incluant la condition aux limites supplémentaire (2) correspondent à l'activation de celle-ci. L'affichage de l'endommagement *d* et du saut de déplacement normal [[u*n*]] à cet instant du calcul montre que les deux zones d'élévation de la température se situent dans des régions ou l'interface est effectivement ouverte (*d* = 1 et [[u*n*]] > 0). Les surfaces externes du substrat situées dans les régions où l'interface est rompue (*d* = 1) avec une zone de contact ([[u*n*]] = 0) sont chauffées au moyen la conduction de contact.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. 4 – Evolution de l'endommagement durant la montée en température (d = 0 pour une interface saine, d = 1 pour une interface rompue)(a), Champ de température (°C) (b) aux instants t = 0,2, 0,4, 0,6 et 1 s.</figcaption></figure>

# 4 Conclusion

Un modèle de zone cohésive thermo-mécanique couplé développé en vue de simuler l’écaillage des barrières thermiques a été présenté et testé sur un cas d’application. La résolution du sous-problème mécanique fournit l’état d’endommagement de l’interface qui peut affecter ensuite le champ de tempé-
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Fig. 5 – Température du substrat en fonction de la hauteur y, à t = 0,8s.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Fig. 6 – Endommagement d (a) et saut de déplacement normal [[u_n]] (b) de l'interface à t = 0,8 s.</figcaption></figure>

rature dans la structure. L'activation d'une condition aux limites supplémentaire de flux externe appliqué au substrat permet de rendre compte de son échauffement post-écaillage et justifie notamment l'intérêt d'une résolution thermo-mécanique couplée dans l'étude du phénomène d'écaillage. La prise en compte de cet aspect permet d'envisager d'une part l'étude des conséquences de l'échauffement du substrat sur l'évolution de l'endommagement de l'interface, d'autre part une étude précise de la durée de vie du substrat post-écaillage.

Diverses pistes peuvent être considérées pour améliorer le modèle. L'association d'un modèle énergétique de l'évolution de la ténacité interfaciale au cours des cycles de chargement au modèle de zone cohésive améliorera la prédicтивité du modèle numérique. La variation du taux de restitution d'énergie critique de l'interface en fonction de la mixité des modes de sollicitations en pointe de fissure devra être
intégrée. Par ailleurs, l'utilisation d'éléments de type coque pour discrétiser la barrière thermique est également envisagée pour réduire les coûts de calcul. Enfin, l'amélioration du modèle de zone cohésif thermique pourrait porter sur une étude expérimentale pouvant par exemple fournir des informations détaillées sur l'état de surface des lèvres de fissure, paramètres utiles dans la détermination de la surface de contact effective pouvant affecter les transferts thermiques par conduction de contact.

Références

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[11] Z-set, material and structure analysis suite, http://www.zset-software.com/