Fatigue

M.L.M. François

► To cite this version:

M.L.M. François. Fatigue. Master. Module XMS3PE713 Comportements dissipatifs Cours VI/VI Fatigue, Nantes, France. 2025, pp.67. hal-05457091

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# Fatigue

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Version 2025-2026

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Marc François
# Introduction
## I.1 L'histoire de la fatigue mécanique

La fatigue affecte les pièces mécaniques soumises à un chargement cyclique. Première présomptions suite à l'enquête qui a suivi le déraillement du train à Meudon en 1842 (55 morts).

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Un ingénieur anglais, Joseph Locke, a mis en évidence le rôle d'une concentration de contraintes et la propagation de fissure qui a suivi.

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## 1.2 Des problèmes toujours actuels...

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Erika (1975-99)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Vol 611 China Airlines (2002)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Catastrophe d'Eschede
(Allemagne, 1998)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Un Boeing 737 de la compagnie aérienne américaine Southwest a connu, mardi 17 avril (2018), peu après son décollage de New York...
Le Monde</figcaption></figure>

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Bretigny (2013)</figcaption></figure>
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# Des fissures bloquent toujours la remise en service de deux réacteurs belges

Jean-Claude Bourbon, le 01/10/2015 à 15h14

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Envoyer par email

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L'Autorité de sûreté n'a toujours pas donné son autorisation au

United Airlines 328 flight, 20th February 2021 (Denver - Honolulu)

En Complément

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Centrale nucléaire, à Tihange, en Belgique. / ERIC LALMAND/AFP

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France

Transition énergétique, le retard français
## 1.3 Les essais de fatigue

Machines d'essais spéciales.

À 1Hz, $10^8$ cycles = 3 ans de test...

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

$$F = F_0 + \Delta F \cos(\omega t)$$

Si $F_0=0$, test équilibré.

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<figure><img src="image_32.png" /></figure>
## 1.4 La courbe «SN» de Wöhler [1843]

C'est la courbe maitresse en fatigue. Elle est en 1D, traction-compression.

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

La limite d'endurance peut être ~10x plus basse que la limite élastique !
Beaucoup de bruit de mesure : il faut faire de la statistique

<figure><img src="image_34.png" /></figure>
Des essais chers, peu de courbes « publiques »...

<figure><img src="image_35.png" /></figure>
<figure><img src="image_36.png" /></figure>

La «hiérarchie» des matériaux est bousculée.

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

Les règlements de construction
utilisent des courbes lissées et
pessimistes
En fatigue oligocyclique (à faible nombre de cycle à rupture) la matière entre en plasticité à chaque cycle :

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

Au contraire, à grand nombre de cycles, la matière reste (globalement) en élasticité.

<figure><img src="image_40.png" /></figure>
Même à grand nombre de cycle, on mesure qu'il y a néanmoins des effets dissipatifs (plasticité...) localisés, grâce à leur signature thermique :

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

[1] Oligocyclique : nombreux foyers de plasticité

[2] Grand nombre de cycles : quelques foyers

Poncelet (LMT-Cachan)

Chrisochoos (LMGC Montpellier)
<figure><img src="image_42.png" /></figure>

Sous contrainte. Dans les laboratoires, les pièces automobiles sont soumises à rude épreuve. Objectif : prévoir la manière dont elles vont évoluer au fil du temps. Cette image révèle les contraintes exercées sur une pièce soumise à un chargement cyclique. On y voit des variations extrêmement faibles de température : 0,05 °C maximum sur cette image !
## 1.5 Les phases de la fatigue

Pour un chargement cyclique on constate :

Une phase d'amorçage
durant laquelle il n'y a
pas de fissure

Une phase de propagation
durant laquelle la fissure
se propage en laissant des
stries de fatigue

Une phase de rupture
brutale en un cycle.

La phase d'amorçage représente jusqu'à 90% de la durée de vie.

Nécessité d'inspections !

<figure><img src="image_43.png" /></figure>
La fatigue peut avoir d'autres origines que le chargement mécanique :

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

N. Haddar,
thèse ENSMP,
2003

Fissures de faïençage thermique,
Tuyauterie de refroidissement de la centrale nucléaire Civaux-1
<figure><img src="image_45.png" /></figure>

On observe, sur un essai de traction :

Cetim

amorçage

fissure à 90°

à 45° :

ouverture en mode 1 :

cisaillement

contrainte principale maximale

maximal

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

a) Amorçage de microfissures, dû à des glissements alternés et à la formation d'intrusions et d'extrusions.

b) Formation d'une fissure principale à partir de microfissures.

c) Aspect des intrusions et des extrusions à la surface d'une éprouvette de fatigue de cuivre.
2 Cycles et comptage de cycles
## 2.1 Les cycles

Les machine réalisent souvent des cycles.

Le signal d'intérêt est ici la contrainte ous la déformation. La fatigue se concentre aux endroit où la contrainte est maximale.

Si l'on considère que la fatigue est associée à la plasticité la forme du cycle n'intervient pas. On peut se contenter des max et min.

<figure><img src="image_47.png" /></figure>
# Ordres de grandeurs des nombres de cycles

Machines à zéro cycle : emballages, explosifs...

Pas de fatigue

Un structure de Génie Civil en sismique :
10 à 100 cycles.

Oligocyclique

Un axe de perceuse (non professionnelle) :
1h à 3000 trs/min = 180.000 cycles.

Grand nombre de cycles

La houle sur une plate-forme de forage :
signal aléatoire : on ne peut pas vraiment
parler de cycles...

~0,1 cycle/sec / 20 ans = 62 Mcycles.
mais s

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

<figure><img src="image_49.png" /></figure>
Un ressort de soupape d'automobile :
2000h à 2000 trs/min = 120 Mcycles

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

Un essieu de wagon :
10 ans, 1tr/sec = 315 Mcycles

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

Un alternateur de centrale
nucléaire :
10 ans, 3000 trs/min =
150 Gcycles

<figure><img src="image_52.png" /></figure>

general electric (Belfort)
# Grandeurs caractéristiques d'un cycle

la contrainte moyenne : $\bar{\sigma} = \frac{\sigma_{max} + \sigma_{min}}{2}$

l'amplitude des contraintes : $\Delta\sigma = \sigma_{max} - \sigma_{min}$

ou : $\sigma_a = \frac{\sigma_{max} - \sigma_{min}}{2}$

Le rapport de charge : $R_{\sigma} = \frac{\sigma_{min}}{\sigma_{max}}$

<figure><img src="image_53.png" /></figure>
## 2.2 Les blocs de cycles

Si le temps n'intervient pas (en plasticité par exemple), on peut regrouper les cycles identiques par blocs.

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

Les méthodes de calcul en fatigue utilisées actuellement dans l'industrie font cette hypothèse.

Les cycles sont regroupés par blocs afin de simplifier les calculs. Le nombre de blocs dépend de la tolérance que l'on se donne.
## 2.3 Le comptage de cycles pour les chargements aléatoires

Dans certains cas le chargement n'est pas une succession de cycles répétitifs mais une fonction aléatoire. Par exemple la contrainte dans une élément de suspension d'automobile est aléatoire.

On peut définir des signaux de référence issus de données d'essais. Par ex. le signal CARLOSS est utilisé pour simuler les contraintes issues du roulement des automobiles. On a alors un signal périodique, mais de très longue période.

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>Élément de suspension automobile (BMW-Bilstein)</figcaption></figure>
# Méthode rainflow

Afin de transformer un chargement aléatoire en blocs de cycles, on utilise la méthode de comptage rainflow (Endo and Matsuishi, 1968).

On commence par ne conserver que les pics, puis on fait « couler de l'eau » selon t. On identifie les 1/2 cycles en traction entre le pic en compression et le premier point d'écoulement puis idem pour les cycles en compression, puis on apparie.

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>Figure 3; Rainflow cycle counting process.</figcaption></figure>

## Algorithmes freeware en ligne.

[Marsh, 2014]
Exemple :

Comptage des 1/2 cycles :
en compression (lignes bleues)
entre le pic en traction et
le point d'écoulement

Comptage des 1/2 cycles en
traction (lignes rouges)
entre le pic de compression
et le point d'écoulement

Ici on identifie un cycle complet
et deux 1/2 cycles dépareillés

<figure><img src="image_57.png" /></figure>
Exercice :

1/2 cycles en compression :

AB

CB'

EF

GH

1/2 cycles en traction

BC

DE

FE'

HG'

Appariement des cycles :

BCB', EFE', GHG'

Et ADI, le cycle majeur

<figure><img src="image_58.png" /></figure>
## 2.4 Règle de Miner

Une fois les cycles comptés, on peut calculer le dommage qu'ils cumulent selon la règle de Miner :

$$ \sum_{i} \frac{N_i}{N_i^F} = 1 $$

et en déduire la durée de vie de la pièce.

De nouveau, l'ordre des cycles n'est pas pris en compte et la méthode est nativement 1D.

On la passe en 3D en utilisant la contrainte équivalente de Von Mises :

$$ \sigma_{eq} = \sqrt{\frac{2}{3}} ||\sigma^D|| $$

C'est la méthode la plus utilisée dans l'industrie.
## 2.5 Chargement 3D, proportionnel ou non proportionnel

Jusque'à présent on a raisonné en 1D. Mais la déformation est un tenseur, on ne se limite pas au cas des poutres.

Le chargement peut être proportionnel (colinéaire)

$$ \boldsymbol{\sigma} = \sigma(t)\mathbf{N} $$

ou pas :

$$ \sigma_{ij}(t) $$

Les méthodes que nous verrons par la suite utilisent les deux invariants (cours de calcul tensoriel) suivants :

$$ \sigma^{\text{eq}} = \sqrt{3/2} \|\boldsymbol{\sigma}^{\text{D}}\| \qquad \bar{\sigma} = \frac{1}{3} \text{trace}(\boldsymbol{\sigma}) $$
3 La fatigue oligocyclique
(faible nombre de cycles)
## 3.1 Définition de la fatigue oligocyclique

Littéralement : faible nombre de cycles.

Sur la courbe de Wöhler : début non linéaire (en log)

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

**Définition** : chaque cycle entraine une déformation plastique mesurable.
## 3.2 Loi de Manson-Coffin (1953)

Base expérimentale.

$$ \frac{\Delta \varepsilon^p}{2} = \varepsilon'_{f} (2N_R)^c $$

<figure><img src="image_60.png" /></figure>

$N_R$ nombre de cycle à rupture

$\varepsilon'_{f}$ ductilité en fatigue et $-0,5<c<-1$ : paramètres

<figure><img src="image_61.png" /></figure>
Forme équivalente exprimée en endommagement (Lemaitre et Chaboche, 1977) :

$$ \frac{dd}{dN} = \left( \frac{\Delta \varepsilon^p}{C} \right)^{\gamma} $$

$$ \text{car} \qquad d = \left( \frac{\Delta \varepsilon^p}{C} \right)^{\gamma} N $$

$$ \text{à rupture :} \qquad 1 = \left( \frac{\Delta \varepsilon^p}{C} \right)^{\gamma} N_R $$

$$ N_R = \left( \frac{\Delta \varepsilon^p}{C} \right)^{-\gamma} $$

$$ N_R^{-\frac{1}{\gamma}} = \frac{\Delta \varepsilon^p}{C} $$

donc on décrit bien l'effet de Manson-Coffin. 
expérimentalement $1 < \gamma < 2$
## 3.3 Modèles élastoplastiques endommageables

Pour un chargement 3D complet, on utilisera de préférence un modèle élastoplastique endommageable (c.f. cours d'endommagement précédent. On rappelle :

$$ \text{EVOD} \quad \dot{d} = \frac{Y}{S} H(p - p_d)\dot{p} $$

Reprend le concept de Manson-Coffin.

Une fois $p_d$ atteint l'endommagement commence (on peut prendre $p_d = 0$). Ensuite, à $d = 1$ (ou $d = d_c$) on considère que la fissure est initiée.

Revoir le cours d'endommagent (chapitre élasto-plasticité endommageable) à ce sujet.
4 Fatigue à grand nombre de cycles
## 4.1 Définition de la fatigue à grand nombre de cycles

Sur la courbe de Wöhler : c'est la partie linéaire en log

<figure><img src="image_62.png" /></figure>

Il n'y a pas de déformation plastique mesurable. La structure conserve globalement une réponse élastique linéaire.
## 4.2 Loi de Wöhler

La courbe de Wöhler est établie pour des cycles équilibrés en traction-compression (R=-1) donc $\bar{\sigma} = 0$.

La loi de Wöhler est un fit de la courbe éponyme :

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

$$ \sigma_a = a - b \log(N) $$
La loi de Basquin

$$N\sigma_a^p = C$$

est le même fit de la courbe de Wöhler, pour

$$a = \frac{\ln(C)}{p} \qquad b = \frac{1}{p}$$

mais on observe que $p \approx 0,12$ pour la plupart des matériaux métalliques.
## 4.3 Cycles ID identiques à contrainte moyenne non nulle

Les essais montrent une influence non négligeable de $R_σ = \frac{\sigma_{min}}{\sigma_{max}}$

<figure><img src="image_64.png" /></figure>
Diagramme de Haigh :

<figure><img src="image_65.png" /></figure>
Modèles de :

Goodman (ex. SNCF)

$$ \sigma_a = \sigma_l \left( 1 - \frac{\bar{\sigma}}{\sigma_r} \right) $$

Söderberg

$$ \sigma_a = \sigma_l \left( 1 - \frac{\bar{\sigma}}{\sigma_y} \right) $$

Gerber

$$ \sigma_a = \sigma_l \left( 1 - \left( \frac{\bar{\sigma}}{\sigma_r} \right)^2 \right) $$

Weibull (fonctionne près de la limite d'endurance)

$$ \sigma_a = \frac{C}{N} + \bar{\sigma} $$

<figure><img src="image_66.png" /></figure>
On peut aussi tenir compte du signe de la contrainte moyenne :
si elle est en compression, la durée de vie se trouve augmentée :

<figure><img src="image_67.png" /></figure>

ou tenir compte de coefficients de sécurité :

<figure><img src="image_68.png" /></figure>
Construction du diagramme de Haig
connaissant σ<sub>D</sub> , R<sub>e</sub> et R<sub>m</sub>

<figure><img src="image_69.png" /></figure>

σ_D est la limite en fatigue à R=-1 donnée par le diagramme
de Wöhler, pour le nombre de cycles considéré.
On peut faire figurer sur le diagramme de Haigh le nombre de
cycles à rupture pour différentes durées de vie :

<figure><img src="image_70.png" /></figure>

On peut aussi faire figurer les iso-probabilité de rupture (50%,
90%,...).
Le diagramme de Goodman donne l'amplitude de variation de la contrainte en fonction de la contrainte moyenne, pour N cycles.

exemple :

<figure><img src="image_71.png" /></figure>
Cette représentation inclut les informations des deux diagrammes de Haigh et Goodman :

$\sigma_{max}$

<figure><img src="image_72.png" /></figure>

$\sigma_{min}$
## 4.4 Règle du cumul linéaire de Miner

Lorsque l'on a des blocs de cycles, les méthodes précédentes ne s'appliquent plus. Par ex. quelle est la durée de vie d'une pièce soumise à deux types de cycles différents ?

<figure><img src="image_73.png" /></figure>

Palmgren (1924) et Miner (1945) on trouvé la règle de cumul linéaire : si on fait $N_i$ cycles à un niveau de contrainte pour lequel le nombre de cycles à rupture est $N_i^F$ alors la rupture a lieu quand :

$$ \sum_i \frac{N_i}{N_i^F} = 1 $$
Cette règle est une des bases de la théorie de l'endommagement ductile. Dans ce formalisme, elle s'écrit :

$$d_i = \frac{N_i}{N_i^F} \quad \text{et rupture quand} \quad d = \sum_{i} d_i = 1$$

Remarque : la règle de cumul linéaire induit implicitement que l'odre des blocs n'intervient pas. On sait depuis que ce n'est pas exact.

<figure><img src="image_74.png" /></figure>
## 4.5 Multiaxial : utilisation des invariants

On peut se ramener simplement à un chargement équivalent de traction-compression à l'aide du critère de Von Mises et le trace. Pour les métaux on a :

### Critère de Crossland

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} \|\sigma^D\| + \alpha \max_t \left( \frac{1}{3} \text{trace}(\sigma) \right) \le \beta \quad \forall t $$

### Critère de Sines

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} \|\sigma^D\| + \alpha \left( \frac{1}{3} \overline{\text{trace}(\sigma)} \right) \le \beta \quad \forall t $$

Les constantes dépendent du nombre de cycles retenu :

$\alpha(N), \beta(N)$
Une comparaison (pour un matériau donné) :

<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>Critère de Sines et Crossland pour la traction-torsion alternée (Lemaitre et Chaboche)</figcaption></figure>

Pour les élastomères, on peut utiliser un critère en contrainte principale maximale [André, 1998, Saintier, 2001].
Ces méthodes fonctionnent raisonnablement bien pour les chargements proportionnels : $\boldsymbol{\sigma} = \sigma(t)\mathbf{N}$

Dans les cas de forte non proportionnalité les $\sigma_{ij}(t)$ sont des fonctions très découplées. Les méthodes précédentes fonctionnent moins bien.

<figure><img src="image_76.png" /></figure>

Exemple de chargement non proportionnel : la contrainte dans une chaussée au passage d'une charge roulante (UGE).
## 4.6 Approches à plan critique

Base : critère de glissement de Schmid (M1).

Contrainte normale
$$ \sigma_n(t) = \vec{n} \cdot \sigma(t) \cdot \vec{n} $$

Contraintes tangentielles
$$ \vec{\tau} \begin{Bmatrix} \tau_u(t) = \vec{n} \cdot \sigma(t) \cdot \vec{u} \\ \tau_v(t) = \vec{n} \cdot \sigma(t) \cdot \vec{v} \end{Bmatrix} $$

<figure><img src="image_77.png" /></figure>

Facteurs influents :

La contrainte normale moyenne $\bar{\sigma}_n$

Le cercle de rayon R excrit à $\vec{\tau}(t) - \bar{\vec{\tau}}$

<figure><img src="image_78.png" /></figure>

Thèse X. Pitoiset

Il faut calculer ces termes pour chaque normale n considérée (!). Dans la pratique, on travaille sur une tesselation d'au moins 30 plans, dont les normales sont réparties régulièrement sur la sphère unité.
Les critères globaux sont de la forme :

$$g(\sigma, T, N) \le 1$$

où T est la période des cycles. En général on retient :

$$g(\|\vec{\tau}(t) - \bar{\vec{\tau}}\|, \sigma_n(t), \bar{\sigma}_n, T, N) \le 1$$

on remarque que la moyenne du cisaillement n'intervient pas (expérience). La fonction est bien souvent une simple combinaison linéaire [Robert]. Voir [You, Lee] pour une bibliographie complète. Le modèle de Dang Van [1973, 87] est utilisé en limite de fatigue (prévision d'un nombre de cycles infini) à la SNCF.

<figure><img src="image_79.png" /></figure>

<figure><img src="image_80.png" /></figure>

Voir [Matake], [Finley]... Ces méthodes marchent mieux en non proportionnel que les précédentes, mais ont un coût !
## 4.7 Modèle à deux échelles

Au début des années 90, Lemaitre a émis l'hypothèse de l'existence de domaines «faibles» au sein des métaux, dans lesquels se concentrerai une plasticité localisée (et donc invisible à l'échelle macro). L'idée était d'appliquer les lois de fatigue oligocylique à ces domaines. Une fois d=1 atteint dans le domaine, il y a création de micro-fissure et donc début d'endommagement puis de rupture.

Postulat jusqu'à l'apparition des mesures thermiques (Chrisochoos, Poncelet, Doudart, Calloch...) qui révèlent la chaleur dissipée par les sites en plasticité :

<figure><img src="image_81.png" /></figure>
On fait l'hypothèse qu'il existe au sein du matériau une zone plus faible (un joint de grain, une inclusion...) : $\sigma_y < \Sigma_y$

<figure><img src="image_82.png" /></figure>

Au contraire, la zone locale plus faible est en élasto-plasticité.

La relation entre les deux domaines est donnée par la relation de localisation. La plus simple est celle de Lin-Taylor :

$$ \epsilon = \mathbf{E} $$
Ensuite on applique le chargement extérieur qui induit une
certaine plasticité Δp puis (au delà de p<sub>c</sub>) un certain dommage
Δd à chaque cycles à l'aide du modèle d'élastoplasticité
endommageable.

Le nombre de cycles à amorçage de fissure N est celui pour
lequel d=d<sub>c</sub>.

<figure><img src="image_83.png" /></figure>
## 4.8 Calcul des contraintes

En fatigue à grand nombre de cycles la fatigue ne change pas la réponse élastique globale de la structure.

La méthode temporelle consiste à calculer le champ de contrainte dans la structure à chaque pas de temps, en statique ou en dynamique. C'est la plus précise mais elle est rapidement coûteuse voire impossible à mener.

Dans le cas d'un chargement statique le champ de contrainte est linéairement proportionnel aux efforts appliqués. On peut exploiter la linéarité de la solution élastique : un calcul suffit par DDL des efforts extérieurs.

<figure><img src="image_84.png" /></figure>

$$ \boldsymbol{\sigma}(t) = F_1(t)\boxed{\boldsymbol{\sigma}(\vec{u}_1)} + F_2(t)\boxed{\boldsymbol{\sigma}(\vec{u}_2)} $$

Réponses unitaires à calculer
Dans le cas d'un chargement dynamique on passe généralement en méthode spectrale X. Pitoiset, A. Preumont, and A. Kernilis. Tools for a multiaxial fatigue analysis of structures submitted to random vibrations. ESA, 1999.

Elle nécessite trois hypothèses fortes :

— l'ordre des cycles n'intervient pas

— la structure possède est élastique et non amortie

Le signal d'entrée (force, densité de charge...) est représenté sous forme de densité spectrale. Ex. pour l'éolien off-shore, on utilise le spectre de JONSWAP [Hasselman, 73] :

hauteur de
vague

<figure><img src="image_85.png" /></figure>

pulsation
La réponse spectrale est obtenue par un produit de convolution : une simple multiplication dans l'espace de Fourier.

<figure><img src="image_86.png" /></figure>

Excitation

Fonction de transfert
de la structure

Spectre des
contraintes
## 4.9 Les limites des méthodes actuelles

Les calculs simplifiés (rainflow, approche spectrale) et les problèmes complexes (chargements aléatoires, non proportionnels) donnent encore aujourd'hui des écarts considérables avec les résultats d'essais. On est généralement trop conservatif facteurs x10 à ... x1000 !

a) Depuis la contrainte de Von Mises

b) Rainflow multiaxial

c) Approche en plan critique
[Pitoiset, 2011]

<figure><img src="image_87.png" /></figure>

<figure><img src="image_88.png" /></figure>

<figure><img src="image_89.png" /></figure>

Plus «réaliste» !

Mais 10 000 x plus long...

log10(d)

<figure><img src="image_90.png" /></figure>
5 Fatigue à très grand nombre de cycles
## 5.1 Définition de la fatigue à très grand nombre de cycles

Sur la courbe de Wöhler : c'est la partie finale. La contrainte se stabilise à la limite d'endurance.

<figure><img src="image_91.png" /></figure>

L'existence même de cette limite est sujette à caution...

Un point de mesure peut couter très cher :

1 an d'essai à 1Hz = 31 MCcyles “seulement”
## 5.2 Quelques valeurs de la limite d'endurance

(MPa)

<table><thead><tr><th></th><th>σ<sub>l</sub></th><th>σ<sub>r</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>acier C35</td><td>255</td><td>458</td></tr><tr><td>inox 316L</td><td>222</td><td>760</td></tr><tr><td>Maraging</td><td>310</td><td>2028</td></tr><tr><td>Inconel 718<br>(550°C)</td><td>600</td><td>1150</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_92.png" /></figure>

<figure><img src="image_93.png" /></figure>

<figure><img src="image_94.png" /></figure>

<figure><img src="image_95.png" /></figure>

La «hiérarchie» des matériaux est bousculée...
## 5.3 Abattement en fatigue

### L'abattement en fatigue

En l'absence de toute autre donnée la contrainte limite d'endurance (à $10^7$ cycles) peut grossièrement être comme :

Aciers : $\sigma_l = 50\%\sigma_r$

Alliages d'aluminium : $\sigma_l = 35\%\sigma_r$

<figure><img src="image_96.png" /></figure>

On le donne aussi parfois en fonction des procédés de fabrication (ex. soudage), des traitements de surface, comme correcteur de la courbe de Wöhler.

Par ex. (http://www.a3ts.org/)

Anodisation dure : abattement en fatigue de 50%

http://www.mxparts.fr

<figure><img src="image_97.png" /></figure>
## 5.4 Facteurs correcteurs

On peut tenir compte, pour la contrainte limite de fatigue, de :

$$ \sigma'_{l} = k_{a}k_{b}k_{c}k_{d}k_{e}k_{f}\sigma_{l} $$

où

k_a : facteur d'état de surface

k_b : facteur de taille de pièce

k_c : facteur de fiabilité

k_d : facteur de température

k_e : coefficient de concentration des contraintes

k_f : effets divers...
Bibliographie
Bathias et Pineau : Fatigue des matériaux et des structures 4
Traité MIM, série Matériaux et métallurgie

Flavenot : Comportement en fatigue des matériaux métalliques
Généralités (CETIM)

Brand, Flavenot, Gregoire, Tournier : Données Technologiques
sur La Fatigue (CETIM)
http://www.meca.insa-toulouse.fr/~paredes/Ressorts/Compression/Fatigue/fatigue.htm

http://mms2 ensmp.fr/mat_paris/duree/transparents/Amphi_Fatigue_2008.pdf

http://www.am.chalmers.se/~anek/teaching/fatfract/98-6.pdf

http://www.ux.uis.no/~hirpa/KdB/ME/S-N%20diagram.pdf

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International Journal of Fatigue