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Controle optimal d'un four industriel

Jean-Pierre Yvon

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Jean-Pierre Yvon. Controle optimal d'un four industriel. [Rapport de recherche] IRIA-RR-022, IRIA. 1973, pp.79. hal-04715959

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en informatique
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Contrôle optimal
d'un four industriel

799

J.P Yvon

Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
78150 - Le Chesnay
Tél. 954.90.20

Rapport de Recherche n°22
juillet 1973
CONTROLE OPTIMAL D'UN FOUR INDUSTRIEL

J.P. Yvon

RESUME

On étudie dans cet article la commande optimale d'un four métallurgique. De manière plus précise on cherche à déterminer les courbes de chauffage en fonction du temps de pièces de métal destinées à être laminées à leur sortie du four.

Le modèle étudié prend en considération de nombreux paramètres et aboutit à un problème de contrôle optimal d'un système d'équations aux dérivées partielles non linéaires. La variable de contrôle est le débit de combustible fourni aux brûleurs à chaque instant l'observation étant la carte des températures de la charge.

ABSTRACT

In this work we study the optimal control of a metallurgical furnace.

Actually we want to determine the optimal heating of slabs before rolling.

The model we have studied leads to a problem of optimal control for
a system governed by a set of two non linear partial differential equations.
The control variable is the input of fuel at each time and the observation
is the temperature of slabs.
# CONTROLE OPTIMAL D'UN FOUR INDUSTRIEL

J.P. YVON

## I - LE PROBLEME PHYSIQUE.

### 1.1 HYPOTHESES FONDAMENTALES. NOTATIONS.

L'objet de ce travail est d'étudier le chauffage optimal d'un four servant au réchauffage de pièces de métal destinées à passer dans un train de laminage.

Le système physique que nous étudions est donc constitué de trois types d'éléments :

* La paroi du four,

* Les gaz circulant dans le four et les fumées évacuées,

* Les pièces de métal.

Le principe essentiel du modèle étudié est de considérer les températures des trois parties précédentes comme les *inconnues* du problème.

#### 1.1.1 Hypothèses sur les pièces de métal.

Notons tout d'abord que nous nous bornerons à exposer le modèle dans le cas où la charge est réduite à une seule pièce de métal. Il est évident que cette simplification ne modifie absolument pas le principe même du modèle mais elle facilitera l'exposé (1).

<footnote>(1) En fait on verra qu'on pourra généraliser très facilement au cas où tous les lingots se comportent de façon identique.</footnote>
On désignera par $y_l(x,t)$ la température du lingot au point $x$ et à l'instant $t$. En supposant le lingot de forme parallélépédique, on considérera la température comme uniforme sur chaque face. Pratiquement cette hypothèse conduit à prendre la température de la pièce comme uniforme sur l'ensemble de sa surface extérieure. Pour simplifier c'est ce que nous supposerons dans toute la suite. On posera donc :

$$y_l(x,t) = \alpha_l(t)$$

pour $x$ parcourant la surface du lingot. On désignera par $k_l$ la conductivité calorifique du métal. On doit prendre normalement $k_l$ fonction de $x$ et de $y_l$ mais dans ce qui va suivre on le prendra fonction de $x$ uniquement. Le fait de supprimer cette non linéarité simplifie l'exposé mais il est très facile d'en tenir compte, pour des résultats dans ce sens cf. LEROY-YVON (2)

$$y_l \rightarrow k_l(y_l)$$

### 1.1.2 Les parois du four.

Différentes hypothèses peuvent être faites :

i) On considère un modèle tri-dimensionnel (Figure 1)

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 1</figcaption></figure>

Dans ce cas il faut considérer les températures comme : uniformes sur chacune des faces internes (1,2,3) de la paroi avec un traitement particulier pour le rôle du four. Ce modèle est assez compliqué car il nécessite la prise en compte de la répartition spatiale des brûleurs etc...
ii) Le modèle est bi-dimensionnel (Figure 2)

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 2</figcaption></figure>

On considère la longueur du four grande par rapport à sa section. On se limite alors à étudier les échanges de chaleur dans le plan A.B. Spatialement le système est alors représenté par la Figure 3.
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 3</figcaption></figure>

Nous noterons $y_2(x,t)$ la température de la paroi P au point $x$ et à l'instant $t$ que nous prendrons uniforme sur les surfaces extérieures et intérieures. Nous poserons donc

$\alpha_2(t) = y_2(x,t)$ pour $x$ parcourant la surface interne de P ($\Gamma_2$)

$\alpha'_2(t) = y_2(x,t)$ pour $x$ parcourant la surface externe de P (S)

Les différentes constantes physiques intervenant seront

$k_2(x)$ conductibilité calorifique de la paroi

$\rho_2(x)$ poids spécifiques des éléments composant la paroi

$C_2(x)$ chaleurs spécifiques des éléments composant la paroi

### 1.1.3 Les fumées.

Les fumées traversant le four sont supposées avoir une température $\lambda(t)$ uniforme en espace. Elles sont chauffées par des brûleurs et s'échappent ensuite du four en créant des fuites de calories vers l'extérieur.
## 1.2 LE MODELE.

### 1.2.1 Hypothèses générales. Bilan thermique.

On considérera que les seules pertes proviennent des parois et de l'évacuation des fumées hors du four. On supposera que les échanges d'énergie entre les différentes parties du système se font par rayonnement ou par convection.

Compte tenu des hypothèses simplificatrices déjà faites on écrira que la quantité de chaleur reçue par le système est donnée par :

$$ (1.1) \qquad w(t) = h_g v(t) + C_a T_a W_a(t) $$

avec,

$h_g$ puissance calorifique du combustible

$v$ débit-poids du combustible

$C_a$ chaleur spécifique de l'air (comburant)

$T_a$ température d'entrée de l'air

$W_a$ débit d'air.

On admettra que le débit d'entrée de l'air est proportionnel au débit de combustible : on aura donc

$$ (1.2) \qquad W_a(t) = \eta_v(t). $$

Les fumées circulant dans le four (à la température $\lambda(t)$) fournissent de l'énergie au système par rayonnement

$$ (1.3) \qquad .W_R(t) = S_1 \sigma F_{\lambda 1} (\lambda^4(t) - \alpha_1^4(t)) + S_2 \sigma F_{\lambda 2} (\lambda^4(t) - \alpha_2^4(t)) $$

et par convection

$$ (1.4) \qquad W_c(t) = S_1 \mu_1 (\lambda(t) - \alpha_1(t)) + S_2 \mu_2 (\lambda(t) - \alpha_2(t)) $$

avec

$$ \left. \begin{array}{l} S_1 \\ S_2 \end{array} \right\} \begin{array}{l} \text{ surfaces latérales du } \\ \text{ lingot} \\ \text{ four} \end{array} $$
$$
\left\{
\begin{array}{l}
F_{\lambda 1} \\
F_{\lambda 2}
\end{array}
\right.
\quad \text{coefficients de forme pour le rayonnement entre fumées et}
\quad
\left\{
\begin{array}{l}
\text{lingot} \\
\text{four}
\end{array}
\right.
$$

$\sigma$ constante de Boltzmann

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\mu_1 \\
\mu_2
\end{array}
\right.
\quad
\left\{
\begin{array}{l}
\text{coefficients d'action pour la convection} \\
\text{fumées sortant du four s'écrivent}
\end{array}
\right.
$$

$$
(1.5) \qquad W_f(t) = C_f T_f(t) W_f(t)
$$

(avec des notations identiques à $C_a, T_a, W_a$ mais pour les fumées)

Si l'on désigne par $\theta$ la température de flamme des brûleurs on peut écrire
empiriquement que la température du gaz dans le four est une combinaison
linéaire convexe de la température de flamme $\theta$ et de la température de
sortie des fumées $T_f$, d'où la relation

$$
(1.6) \qquad \lambda(t) = \bar{\sigma} \theta + (1-\bar{\sigma}) T_f(t) \quad \text{avec} \quad 0 < \bar{\sigma} < 1
$$

$\sigma$ étant un coefficient sans dimension indépendant du temps, de $\theta$ et de $T_f$.
Enfin on écrira que le débit $W_f$ de fumées hors du four est donné par

$$
(1.7) \qquad W_f(t) = (W_a(t) + v) = (1 + \eta) v(t)
$$

compte tenu de (1.2).

Ecrivons maintenant l'équation d'équilibre énergétique pour les fumées circulant dans le four.

$$
(1.8) \qquad W(t) = W_R(t) + W_C(t) + W_F(t)
$$

ce qui, compte tenu des relations, (1.1)...(1.7) s'écrit

$$
\left\{
\begin{aligned}
& S_1 (\sigma F_{\lambda 1} (\lambda^4(t) - \alpha_1^4(t)) + \mu_1 (\lambda(t) - \alpha_1(t))) + \\
& \qquad + S_2 (\sigma F_{\lambda 2} (\lambda^4(t) - \alpha_2^4(t)) + \mu_2 (\lambda(t) - \alpha_2(t))) = \\
& = v(t) \left[ h_g + C_a T_a \eta + C_f \frac{\bar{\sigma}\theta}{1-\bar{\sigma}} (1+\eta) - C_f \frac{1+\eta}{1-\bar{\sigma}} \lambda(t) \right]. \blacksquare
\end{aligned}
\right.
$$
### 1.2.2 Les équations de diffusions.

Il ne reste plus maintenant qu'à écrire les équations de la cha- leur pour le lingot

$$ (1.10) \qquad \rho_1 c_1 \frac{\partial y_1}{\partial t} - \sum_{i=1}^{2} \frac{\partial}{\partial x_i} (k_1(x) \frac{\partial y_1}{\partial x_i}) = 0 $$

$$ (1.11) \qquad y_1(x,0) = y_{10}(x) $$

et pour la paroi

$$ (1.12) \qquad \rho_2 c_2 \frac{\partial y_2}{\partial t} - \sum_{i=1}^{2} \frac{\partial}{\partial x_i} (k_2(x) \frac{\partial y_2}{\partial x_i}) = 0 $$

$$ (1.13) \qquad y_2(x,0) = y_{20}(x) $$

avec les notations

$\rho_i$ poids spécifique

$C_i$ chaleur spécifique

$k_i(x)$ conductivité calorifique.

Equations auxquelles il faut ajouter les conditions aux limites suivantes :
Désignons par $\Gamma_1$ la surface extérieure du lingot, $\Gamma_2$ et $S$ les surfaces intérieures et extérieures de la paroi du four. (voir Figure3).

Alors on aura

$$ (1.14) \qquad \int_{\Gamma_1} k_1(x) \frac{\partial y_1}{\partial n_1}(x,t) dx = S_1 \left[ \sigma F_{\lambda_1}(\lambda_1^4(t) - \alpha_1^4(t)) + \mu_1(\lambda(t) - \alpha_1(t)) \right] + S_1 \sigma F_{12}(\alpha_2^4(t) - \alpha_1^4(t)). $$

$$ (1.15) \qquad \int_{\Gamma_2} k_2(x) \frac{\partial y_2}{\partial n_2}(x,t) dx = S_2 \left[ \sigma F_{\lambda_2}(\lambda_2^4(t) - \alpha_2^4(t)) + \mu_2(\lambda(t) - \alpha_2(t)) \right] + S_2 \sigma F_{12}(\alpha_2^4(t) - \alpha_1^4(t)). $$

et

$$ (1.16) \qquad k_2(x) \frac{\partial y_2}{\partial n_2}(x,t) + \mu_{\text{ex}} (y_2(x,t) - T_{\text{ex}}) = 0 \quad \text{x parcourant S} $$
avec

$F_{12}$ coefficients de forme pour le rayonnement entre paroi et lingot

$\mu_{ex}$ coefficient d'action pour la convection à la surface extérieure du four

$T_{ex}$ température extérieure.

### Remarque 1.1

Le fait de ne considérer qu'un lingot ne nuit absolument pas à la généralité du modèle. On aurait pu d'ailleurs considérer le cas où tous les lingots évoluaient de façon analogue pendant le chauffage, ceci peut se faire en ajoutant un facteur multiplicatif dans les conditions aux limites et dans les formules (1.3) et (1.4). ■

### Remarque 1.2

L'équation (1.16) traduit simplement le fait que les échanges de chaleur entre la paroi et l'extérieur se font uniquement par convection. ■

## 1.3 LA COMMANDE ET LES CRITERES.

### 1.3.1 La commande

Les deux seuls moyens d'agir sur le système sont le temps de chauffage et le débit de combustible à chaque instant.

Le problème de temps optimal n'a pas été abordé dans cette étude. En général le débit de métal prêt à être laminé est imposé lors de la conception d'un four du type étudié ici, ceci implique donc que le temps de chauffage est fixé.

La commande se réduira donc au choix du débit de combustible pour la période de chauffage considérée. Pratiquement ce débit est doublement borné :

- inférieurement car il y a un débit en deça duquel les brûleurs ne sauraient fonctionner. (Pratiquement on prendra comme borne inférieure zéro car elle sera peu importante).

- supérieurement puisque le débit maximum des brûleurs est fixé.
### Remarque 1.3

Pour d'autre types de fours tels que les fours poussants on peut être amené à considérer comme identiques la température des fumées internes et la température des parois du four. De plus un système de régulateurs règle directement le débit de combustible de façon à maintenir la température du four à un niveau désiré. Dans ce cas les équations données précédemment se simplifient légèrement et on peut prendre comme variable de commande la température du four à l'instant $t$. ■

### 1.3.2 Observation et critère.

L'observation est bien évidemment la distribution de température dans le métal. En général on veut réaliser trois objectifs :

i) Amener le corps à une température moyenne donnée

ii) Atteindre un état homogène en température, par exemple

$$y_{1\max}(T) - y_{1\min}(T) \le 10^\circ C$$

ce qui nécessitera, en fin de chauffage, une période "d'égalisation":

iii) Réaliser i) et ii) au coût minimum en combustible. Pratiquement le point ii) sera réalisé en même temps que le point i) en donnant un état désiré $zd(x,t)$ qui tienne compte de ces deux impératifs. On prendra alors comme critère (1)

$$(1.17) \qquad J(v) = \int_0^T \int_{\Omega_1} |y_1(x,t;v) - zd(x,t)|^2 dxdt$$

auquel on ajoutera éventuellement un terme de coût

$$(1.18) \qquad \nu \int_0^T |v(t)|^2 dt$$

$\nu$ étant un paramètre positif ou nul qu'on déterminera en fonction de l'importance accordée aux prix de revient du chauffage. Il faut remarquer au sujet du terme (1.18) que le fait de prendre une valeur en moyenne quadra-tique (et non pas en moyenne) n'est pas fondamental du fait que la pondération à effectuer entre (1.17) et (1.18) n'est pas toujours définissable de manière précise.

<footnote>(1) On écrit $y_1(x,t;v)$ $y_1$ étant la solution (dépendant de $v$) de l'ensemble des équations (1.9)...(1.16) et $\Omega_1$ désigne la surface géométrique représentant la pièce de métal.</footnote>
### Remarque 1.4

En fait il serait "physiquement" plus correct de garder le point ii) comme une contrainte sur l'état et de ne prendre comme critère que (1.18). Cf à ce sujet MURAT [1].

### Remarque 1.5

Il faudrait, de plus, considérer des contraintes sur la température du four et sur celle des lingots. En effet d'une part la température du four doit être bornée supérieurement car certaines pièces ne peuvent supporter de trop hautes températures. D'autre part il faut éviter que les lingots ne se liquéfient.

## 1.4 HYPOTHESES SIMPLIFICATRICES. ORIENTATION.

Comme il a déjà été dit au § 1.1, le fait de considérer que toutes les surfaces du lingot sont chauffées par rayonnement et ont une température uniforme implique que le modèle est bi-dimensionnel et que l'on travaille sur une "section du four". Des considérations analogues conduisent à ne considérer qu'un transfert unidimensionnel de chaleur dans la paroi, transfert ne s'effectuant que normalement aux surfaces extérieures et intérieures (1).

La suite de ce travail consistera donc à :

- étudier (§2) les équations d'état du système (équation(1.9)...(1.16)

- étudier (§3) le problème de contrôle optimal :

minimiser $J(v)$ donné par (1.17) (1.18) pour $v$ appartenant à une classe de contrôles admissibles donnés par :

$$0 \le v(t) \le M$$

- présenter (§4) les résultats des essais numériques effectués sur un modèle simplifié comme il vient d'être dit. ■

<footnote>(1) Ces considérations n'interviendront absolument pas dans la formulation mathématique du problème.</footnote>
# II - ETUDE DES EQUATIONS REGISSANT LE SYSTEME.

## 2.1 FORMULATION MATHEMATIQUE.

### 2.1.1 Les équations.

Soient $\Omega_1$ et $\Omega_2$ deux ouverts de $\mathbb{R}^n$ représentant respectivement le lingot et la paroi du four. On désignera par $\Gamma_1$ la frontière de $\Omega_1$ et par $\Gamma_2$ et $S$ les frontières intérieures et extérieures de $\Omega_2$.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 4</figcaption></figure>

$$ 
\left. 
\begin{array}{l}
Q_i = \Omega_i \times ]0,T[ \\
\Sigma_i = \Gamma_i \times ]0,T[ \\
\Sigma = S \times ]0,T[
\end{array}
\right\} i=1,2
$$

#### Problème 0

On cherche

$y_1(x,t)$ (resp $y_2(x,t)$) défini sur $Q_1$ (resp $Q_2$) et $\lambda(t)$

fonction réelle définie sur $]0,T[$ satisfaisant les équations suivantes :

$$ (2.1) \qquad \frac{\partial y_1}{\partial t} + A_1(x)y_1 = 0 \qquad \text{p.p. sur } Q_1 $$

$$ (2.2) \qquad y_1(x,0) = y_{10}(x) \qquad \text{sur } \Omega_1 $$

$$ (2.3) \qquad \frac{\partial y_2}{\partial t} + A_2(x)y_2 = 0 \qquad \text{p.p. sur } Q_2 $$

$$ (2.4) \qquad y_2(x,0) = y_{20}(x) \qquad \text{sur } \Omega_2 $$
où $y_{10}$ et $y_{20}$ sont deux fonctions données dans $L^2(\Omega_1)$ et $L^2(\Omega_2)$.

On suppose que $y_1$ et $y_2$ sont constants sur $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$, donc on posera

$$ (2.5) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \alpha_1(t) = y_1(x,t) \mid \Gamma_1 \\ \\ \alpha_2(t) = y_2(x,t) \mid \Gamma_2 \end{array} \right. $$

On supposera que les opérateurs $A_i$ sont de la forme suivante :

$$ (2.6) \qquad \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_j} (a_j^i(x) \frac{\partial}{\partial x_j}) + a_o^i(x) $$

Les conditions aux limites sont :

$$ (2.7) \qquad \int_{\Gamma_1} \frac{\partial y_1}{\partial \nu_{A_1}} d\Gamma_1 + a(\alpha_1^4(t) - \lambda^4(t)) + c(\alpha_1^4(t) - \alpha_2^4(t)) + b(\alpha_1(t) - \lambda(t)) = 0 $$

$$ (2.8) \qquad \int_{\Gamma_2} \frac{\partial y_2}{\partial \nu_{A_2}} d\Gamma_2 + d(\alpha_2^4(t) - \lambda^4(t)) + c(\alpha_2^4(t) - \alpha_1^4(t)) + e(\alpha_2(t) - \lambda(t)) = 0 $$

$$ (2.9) \qquad \frac{\partial y_2(t)}{\partial \nu_{A_2}^S} + f(y_2(t) - t_a) = 0 $$

Enfin l'équation d'équilibre thermique (cf (1.9)) s'écrit :

$$ (2.10) \qquad a(\lambda^4(t) - \alpha_1^4(t)) + d(\lambda^4(t) - \alpha_2^4(t)) + \\ \qquad \qquad + b(\lambda(t) - \alpha_1(t)) + e(\lambda(t) - \alpha_2(t)) = v(t) (h-g \lambda(t)) $$

Dans toutes les expressions ci-dessus $a,b,c,d,e,f,g,h$ représentent des constantes (1) positives données ; $t_a$ est la température ambiante que l'on supposera fixée.

<footnote>(1) Le deuxième terme $a_o^i(x)$ de (2.6) n'existe pas dans les équations données par la physique mais on peut toujours l'introduire par un changement de variable $y \to y + e^{\lambda t}$, $a_o^i(x)$ serait alors une constante. Cependant ce changement de variable rendrait $a,b,c,...,h$ fonction du temps. Pour simplifier supposons donc $A_i$ déjà donné par (2.6).</footnote>
Les termes de (2.7) (2.8) (2.9) de la forme $\frac{\partial}{\partial v} A_i^j$ représent les dérivées co-normales associées aux opérateurs $A_i$ :

$$ \frac{\partial}{\partial v} A_i = \sum_{j=1}^{n} a_j^i(x) \cos(\vec{n} \cdot \vec{x}_j) \frac{\partial}{\partial x_j} $$

$\vec{n}$ représentant suivant les cas la normale extérieure à $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ ou S au point x.

Enfin $v(t)$, fonction du temps, représentera le contrôle. On supposera **dans toute la suite** :

$$ (2.11) \qquad v(t) \ge 0 \quad \text{p.p. sur } (0,T) $$

### Remarque 2.1

Les constantes physiques a,b,c,d,e,f,g,h peuvent se calculer aisément à partir des expressions données au §1.2. ■

#### 2.1.2 Formulation plus précise du Problème 0.

### Remarque 2.2

Les termes correspondant à la convection dans les équations (2.7) (2.8) et (2.10) (termes linéaires) n'ajoutent absolument rien à la difficulté du problème. Pour cette raison nous les négligerons dans toute la suite de façon à ne pas alourdir l'écriture. De plus, pour simplifier les raisonnements nous remplacerons la condition aux limites (2.9) par

$$ (2.9)' \qquad y_2(t)|_{S} = 0 $$

ce qui ne change en rien la nature des difficultés du problème. ■

Pour étudier le Problème 0 de manière plus commode nous allons le reformuler sous forme variationnelle. Pour cela multiplions formellement les équations (2.1) et (2.3) respectivement par $\varphi_1$ et $\varphi_2$, fonction régulières **constantes sur les frontières** $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ et S on obtient

$$ \int_{\Omega_1} \left( \frac{\partial y_1}{\partial t} + A_1 y_1 \right) \varphi_1 dx + \int_{\Omega_2} \left( \frac{\partial y_2}{\partial t} + A_2 y_2 \right) \varphi_2 dx = 0 $$
En intégrant par partie et compte tenu des relations (2.7) (2.8) (2.8)'
on a

$$
\begin{align*}
& \int_{\Omega_1} \left( \frac{\partial \varphi_1}{\partial t} , \varphi_1 \right) dx + \int_{\Omega_1} \sum_{j=1}^{n} a_j^1(x) \frac{\partial \varphi_1}{\partial x_j} \frac{\partial y_1}{\partial x_j} dx + \\
& + \int_{\Omega_2} \left( \frac{\partial \varphi_2}{\partial t} , \varphi_2 \right) dx + \int_{\Omega_2} \sum_{j=1}^{n} a_j^2(x) \frac{\partial \varphi_2}{\partial x_j} \frac{\partial y_2}{\partial x_j} dx + \\
& + ( \varphi_1 |_{\Gamma_1} ) \{ a( \alpha_1^4(t) - \lambda^4(t) ) + c( \alpha_1^4(t) - \alpha_a^4(t) ) \} \\
& + ( \varphi_2 |_{\Gamma_2} ) \{ d( \alpha_2^4(t) - \lambda^4(t) ) + c( \alpha_2^4(t) - \alpha_1^4(t) ) \} = 0
\end{align*}
$$

L'équation précédente est alors une équation **variationnelle associée aux**
équations (2.1)...(2.9). Plus précisément définissons les espaces de
Hilbert

$$
(2.12) \quad \left\{
\begin{array}{l}
V_1 = \{ \varphi_1 \in H^1(\Omega_1) \mid \varphi_1|_{\Gamma_1} = \text{cte} \} \\
V_2 = \{ \varphi_2 \in H^1(\Omega_2) \mid \varphi_2|_{\Gamma_2} = \text{cte} , \quad \varphi_2|_{S} = 0 \}
\end{array}
\right.
$$

respectivement munis des normes de $H^1(\Omega_1)$ et $H^1(\Omega_2)$.

Nous noterons

$$
\| \cdot \|_i \quad \text{la norme sur} \quad V_i, \qquad i=1,2
$$

et

$$
(2.13) \quad \langle \varphi_i \rangle = \frac{1}{\operatorname{mes}(\Gamma_i)} \int_{\Gamma_i} \varphi_i(\gamma) d\gamma \quad \text{pour } i=1,2.
$$

On donne alors sur $V_i$ une forme bilinéaire continue indépendante du temps

$$
(2.14) \quad a_i( \varphi_i, \psi_i ) = \int_{\Omega} \left( \sum_{j=1}^{n} a_j^i(x) \frac{\partial \varphi_i}{\partial x_j} \frac{\partial \psi_i}{\partial x_j} + a_o^i(x) \varphi_i \psi_i \right) dx \\
\qquad \qquad \text{pour } \varphi_i, \psi_i \in V_i \text{ et } i=1,2
$$

Compte tenu des définitions précédentes $a_i(\varphi_i, \psi_i)$ vérifie

$$
(2.15) \qquad a_i(\varphi_i, \varphi_i) \ge \alpha \|\varphi_i\|_i^2 \qquad \alpha > 0
$$
si on suppose que les $a_j^i$ et $a_o^i$ vérifient

$$ (2.16) \qquad a_j^i(x) \ge \alpha_j^i > 0 \quad \forall j = 0,1,\dots,n \text{ et } i=1,2 $$

Enfin nous noterons de la même façon la dualité entre $V_i$ et $V_i^\dagger$ et le produit scalaire dans $L^2(\Omega_i)$ par $\langle \cdot, \cdot \rangle_i$ pour $i=1,2$.

Nous pouvons alors définir le

**Problème 1**

$$ \begin{array}{@{}l@{\qquad}l@{}} \underset{\text{\underline{Etant donnée une fonction } v(t) \text{ dans } L^2(0,T),}}{\text{\underline{On cherche } } y_1(t), y_2(t), \lambda(t) \text{ \underline{vérifiant}}} & \\ \text{(2.17)} \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \displaystyle \frac{dy_1}{dt}(t) + \frac{dy_2}{dt}(t) + \phi_1 y_1(t) + \phi_2 y_2(t) + a_1(y_1(t), \phi_1) + a_2(y_2(t), \phi_2) + \\ \displaystyle \qquad <\phi_1> \{a(<y_1(t)>^4 - \lambda^4(t)) + c(<y_1(t)>^4 - <y_2(t)>^4)\} + \\ \displaystyle \qquad <\phi_2> \{d(<y_2(t)>^4 - \lambda^4(t)) + c(<y_2(t)>^4 - <y_1(t)>^4)\} = 0 \\ \\ \text{et.} \\ \displaystyle a(\lambda^4(t) - <y_1(t)>^4) + d(\lambda^4(t) - <y_2(t)>^4) = v(t) (h - g\lambda(t)) \\ \\ \text{quels que soient } (\phi_1, \phi_2) \text{ dans } V_1 \times V_2, \\ \\ (y_1(t), y_2(t)) \in V_1 \times V_2 \text{ pour presque tout } t \in ]0,T[ \text{ et satisfaisant les conditions initiales (2.2) et (2.4)} \end{array} \right. & \\ & \text{Nous allons maintenant démontrer l'existence et l'unicité de la solution du Problème 1.} \end{array} $$

## 2.2 EXISTENCE ET UNICITE POUR LE PROBLEME 1.

Tel que le Problème 1 est posé on ne peut pas obtenir directement d'estimations de $\langle y_1 \rangle \langle y_2 \rangle$ dans $L^5(0,T)$. Le numéro suivant a pour objet d'étudier un problème plus régulier de façon à surmonter cette difficulté qui sera complètement résolue par la suite.

### 2.2.1 Un problème modifié.

Nous allons commencer par étudier le
**Problème 2** $\epsilon$

Soit $\epsilon > 0$ un nombre réel donné, on cherche
$$y_1 \epsilon (t), y_2 \epsilon (t), \lambda_{\epsilon}(t)$$

tels que

$(y_{1\epsilon}(t), y_{2\epsilon}(t)) \in V_1 \times V_2$ pour presque tout $t \in ]0,T[$,

et satisfaisant à :

$$
\begin{align*}
& (y_{1\epsilon}'(t), \varphi_1) + (y_{2\epsilon}'(t), \varphi_2) + a_1(y_{1\epsilon}(t), \varphi_1) + a_2(y_{2\epsilon}(t), \varphi_2) + \\
& \qquad + \langle \varphi_1 \rangle [a(|\langle y_{1\epsilon}(t) \rangle|^3 \langle y_{1\epsilon}(t) \rangle - |\lambda_{\epsilon}(t)|^3 \lambda_{\epsilon}(t)) + \\
& \qquad + c (|\langle y_{1\epsilon}(t) \rangle|^3 \langle y_{1\epsilon}(t) \rangle - |\langle y_{2\epsilon}(t) \rangle|^3 \langle y_{2\epsilon}(t) \rangle)] + \\
& (2.18) \quad + \langle \varphi_2 \rangle [d(|\langle y_{2\epsilon}(t) \rangle|^3 \langle y_{2\epsilon}(t) \rangle - |\lambda_{\epsilon}(t)|^3 \lambda_{\epsilon}(t)) + \\
& \qquad + c(|\langle y_{2\epsilon}(t) \rangle|^3 \langle y_{2\epsilon}(t) \rangle - |\langle y_{1\epsilon}(t) \rangle|^3 \langle y_{1\epsilon}(t) \rangle)] = 0 \\
& \qquad \text{quels que soient } (\varphi_1, \varphi_2) \in V_1 \times V_2 \\
& \qquad \qquad \epsilon |\lambda_{\epsilon}(t)|^3 \lambda_{\epsilon}(t) + a(|\lambda_{\epsilon}(t)|^3 \lambda_{\epsilon}(t) - |\langle y_{1\epsilon}(t) \rangle|^3 \langle y_{1\epsilon}(t) \rangle) + \\
& \qquad + d(|\lambda_{\epsilon}(t)|^3 \lambda_{\epsilon}(t) - |\langle y_{2\epsilon}(t) \rangle|^3 \langle y_{2\epsilon}(t) \rangle) = v(t) (h - g \lambda(t))
\end{align*}
$$

et aux conditions initiales

$$
(2.19) \qquad y_{i\epsilon}(0) = y_{i0} \qquad i = 1,2 \qquad \blacksquare
$$

**Théorème 2.1**

$\epsilon > 0$ étant fixé le problème 2$_{\epsilon}$ admet au moins une solution $y_{1\epsilon}, y_{2\epsilon}, \lambda_{\epsilon}$ telle que :

$$
(2.20) \qquad y_{i\epsilon} \in L^\infty(0,T; L^2(\Omega_i)) \cap L^2(0,T; H^1(\Omega_i)) \quad i=1,2
$$

$$
(2.21) \qquad \langle y_{1\epsilon}(\cdot) \rangle, \langle y_{2\epsilon}(\cdot) \rangle \text{ et } \lambda_{\epsilon}(\cdot) \text{ sont dans } L^5(0,T)
$$
## Démonstration.

Dans la démonstration qui suit, $\epsilon$ est fixé; on l'omettra donc afin d'alléger les écritures.

Soit

$$ \{w_{1j}, w_{2j}\} \qquad j=1,2,3,... $$

une base de $V_1 \times V_2$

Pour $m$ entier positif on cherche

$$ y_{1m}(t) = \sum_{j=1}^{m} g_{1j}(t) w_{mj} $$

$$ y_{2m}(t) = \sum_{j=1}^{m} g_{2j}(t) w_{mj} $$

$$ \lambda_m(t) $$

satisfaisant

- les équations (2.18) avec $\varphi_i \in \{w_{i1}, w_{i2}, \dots, w_{im}\}$ (espace engendré par $\{w_{ij}\}_{j=1}^m$)

- les conditions initiales suivantes

$$ (2.22) \qquad \left\{ \begin{array}{l} y_{1m}(0) = y_{10m} \\ y_{2m}(0) = y_{20m} \\ \text{où } y_{im} \underset{im}{\longrightarrow} y_{io} \quad \text{dans } L^2(\Omega_i) \text{ lorsque } m \to \infty \end{array} \right. $$

Compte tenu des hypothèses faites sur les formes bilinéaires $a_i(\varphi_i, \psi_i)$, il existe une solution $y_{1m}$, $y_{2m}$, $\lambda_m$ sur un intervalle $[0, t_o[$.

Le point fondamental est d'obtenir des estimations à priori sur la solution approchée et c'est pour cette raison que l'on a introduit le paramètre $\epsilon$.

Prenons dans la première équation de (2.18) $\varphi_i = y_{im}$ pour $i=1,2$.

Multiplions la seconde équation de (2.18) par $\lambda_m(t)$ et ajoutons les deux expressions ainsi obtenues. On a alors :
$$
(2.23) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |y_{1m}(t)|_1^2 + \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |y_{2m}(t)|_2^2 + a_1(y_{1m}(t), y_{1m}(t)) + a_2(y_{2m}(t), y_{2m}(t)) + \\
& \quad + (a+c) |\langle y_{1m}(t) \rangle|^5 - \langle y_{1m}(t) \rangle \{ a |\lambda_m(t)|^3 \lambda_m(t) + c |\langle y_{1m}(t) \rangle|^3 \langle y_{1m}(t) \rangle \} + \\
& \quad + (c+d) |\langle y_{2m}(t) \rangle|^5 - \langle y_{2m}(t) \rangle \{ d |\lambda_m(t)|^3 \lambda_m(t) + c |\langle y_{2m}(t) \rangle|^3 \langle y_{2m}(t) \rangle \} + \\
& \quad + (a+d+\epsilon) |\lambda_m(t)|^5 - \lambda_m(t) \{ a |\langle y_{1m}(t) \rangle|^3 \langle y_{1m}(t) \rangle + d |\langle y_{2m}(t) \rangle|^3 \langle y_{2m}(t) \rangle \} \\
& \quad + g |\lambda_m(t)|^2 = v(t)h \lambda_m(t)
\end{aligned}
\right.
$$

En utilisant dans (2.23) la relation

$$
(2.24) \qquad \alpha |\beta|^3 \le \frac{|\alpha|^5}{5} + \frac{4 |\beta|^5}{5}
$$

on obtient (en omettant d'écrire la variable de temps t)

$$
(2.25) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |y_{1m}(t)|_1^2 + \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |y_{2m}(t)|_2^2 + a_1(y_{1m}, y_{1m}) + a_2(y_{2m}, y_{2m}) + \\
& \quad + (a+c) |\langle y_{1m}(t) \rangle|^5 - a\left(\frac{|\langle y_{1m}(t) \rangle|^5}{5} + \frac{4}{5} |\lambda_m(t)|^5\right) - c\left(\frac{|\langle y_{1m}(t) \rangle|^5}{5} + \frac{4}{5} |\langle y_{2m}(t) \rangle|^5\right) + \\
& \quad + (c+d) |\langle y_{2m}(t) \rangle|^5 - d\left(\frac{|\langle y_{2m}(t) \rangle|^5}{5} + \frac{4}{5} |\lambda_m(t)|^5\right) - c\left(\frac{|\langle y_{2m}(t) \rangle|^5}{5} + \frac{4}{5} |\langle y_{1m}(t) \rangle|^5\right) + \\
& \quad + (a+d+\epsilon) |\lambda_m(t)|^5 - a\left(\frac{|\lambda_m(t)|^5}{5} + \frac{4 |\langle y_{1m}(t) \rangle|^5}{5}\right) - d\left(\frac{|\lambda_{1m}(t)|^5}{5} + \frac{4 |\langle y_{2m}(t) \rangle|^5}{5}\right) \\
& \quad + g |\lambda_m(t)|^2 \le h |v(t)| |\lambda_m(t)|
\end{aligned}
\right.
$$

En intégrant sur $[0,t]$ la relation (2.25) et compte tenu des termes qui se simplifient on obtient

$$
(2.26) \quad \left\{
\begin{aligned}
& |y_{1m}(t)|_1^2 + |y_{2m}(t)|_2^2 + 2 \int_0^t a_1(y_{1m}(\sigma), y_{1m}(\sigma)) d\sigma + 2 \int_0^t a_2(y_{2m}(\sigma), y_{2m}(\sigma)) d\sigma + \\
& \quad + 2 \int_0^t \epsilon |\lambda_m(\sigma)|^5 d\sigma + 2 \int_0^t g |\lambda_m(\sigma)|^2 d\sigma \le 2h \int_0^t |v(\sigma)| |\lambda_m(\sigma)| d\sigma + |y_{10m}|_1^2 + \\
& \quad + |y_{20m}|_2^2
\end{aligned}
\right.
$$
De (2.26) on déduit de façon classique que

$$
(2.27) \qquad y_{im} \text{ est borné dans } L^\infty(0,T; L^2(\Omega_i) \cap L^2(0,T; V_i)) \quad i=1,2.
$$

$$
(2.28) \qquad \lambda_m \text{ est borné dans } L^5(0,T).
$$

Alors (2.26) (2.27) (2.28) entraînent

$$
(2.29) \qquad \langle y_{im} \rangle \text{ est borné dans } L^5(0,T) \quad i=1,2
$$

L'utilisation de ces estimations permet, lorsque m→∞, d'extraire
des sous suites (encore notée de la même façon) telle que

$$
(2.30) \quad \left\{
\begin{array}{l@{\quad}c@{\quad}l@{\quad}l}
y_{im} & \rightarrow & y_i & \text{dans } L^2(0,T;V_i) \text{ faible.} \\
\lambda_m & \rightarrow & \lambda & \text{dans } L^5(0,T) \text{ faible.} \\
\langle y_{im} \rangle & \rightarrow & \chi_i & \text{dans } L^5(0,T) \text{ faible}
\end{array}
\right.
$$

Pour pouvoir passer à la limite il faut utiliser une estimation sur
$y'_m := (y'_1, y'_2)$ dans $L^2(0,T;V')$ (1)

$$
(y'_{m}, w_{j}) = a(y_{m}, w_{j}) + L(\langle y_{m} \rangle, \langle w_{j} \rangle)
$$

où L symbolise les termes de (1.28) contenant les traces. On peut
alors définir un prolongement de y'_{m} à L^{2}(0,T;V') par

$$
(y'_m, \varphi)_{VV'} = (y'_m, \pi_m \varphi)_{V_m V'_m}
$$

où $\pi_m$ est le projecteur de $V$ sur $V_m$.

Compte tenu des estimations (2.30) on déduit immédiatement que

$y'_m$ est borné dans $L^2(0,T;V')$

<footnote>(1) On a posé pour un instant $V = V_1 \times V_2$</footnote>
et donc (en extrayant éventuellement une autre non suite) que

$$
(2.31) \qquad y'_{im} \to y'_{i} \quad \text{dans } L^2(0,T; V_i^!)\text{-faible.} \blacksquare
$$

Etablissons maintenant les deux Lemmes de compacité suivants :

Lemme 2.1

Pour $i = 1,2$ l'application

$$
(2.32) \qquad y_i \longrightarrow <y_i> \text{ de } L^2(0,T;V_i) \longrightarrow L^2(0,T)
$$

est compacte.

Démonstration.

En utilisant (2,27) (2.31) et le Théorème 5.2 du Chapitre 1
de LIONS [1] on a l'injection de L²(0,T;H¹) dans L²(0,T;H¹⁻²) est compacte.
Le Lemme suit alors directement du fait que l'application

$$
\varphi \to \varphi|_{\Gamma} \text{ de } L^2(0,T;H^{1-\epsilon}) \longrightarrow L^2(0,T;H^{1-\frac{1}{2}-\epsilon})
$$

est continue. ■

Lemme 2.2

Soit $I$ un intervalle borné de $\mathbb{R}$, $g_m$ et $g$ en fonction de $L^q(I)$
$1<q<\infty$ telle que :

$$
\| g_m \|_{L^q(I)} \le c
$$
D'après les propriétés des bases hilbertiennes on a donc bien (2.18). En
utilisant un raisonnement classique dans le cas linéaire on a (2.19) grâce
à (2.22). Notons finalement que la solution ainsi trouvée dépend de ε . ■

Remarque 2.3

L'estimation (2.26) ne suffisant pas pour passer à la limite quand
ε → 0, il faut quelques hypothèses supplémentaires, non gênantes pour les
applications, pour obtenir de nouvelles estimations grâce au principe du
maximum. ■

Théorème 2.2

Sous les hypothèses

$$
(2.35) \qquad \text{y}_{i0} \text{ est donné dans } L^\infty(\Omega_i) \text{ pour } i=1,2
\text{ et}
$$

$$
(2.36) \quad \max \left\{ \sup_{x \in \Omega_1} y_{10}(x), \sup_{x \in \Omega_2} y_{20}(x) \right\} < \frac{\hbar}{g} \quad \text{et} \quad \frac{\hbar}{g} > 0
$$

\underline{Alors quel que soit} \qquad $\varepsilon > 0$ \qquad \underline{toute solution} $(y_{1\varepsilon}, y_{2\varepsilon}, \lambda_\varepsilon)$ \qquad \underline{du Problème} $2_\varepsilon$

\underline{vérifie}
$$

$$
(2.37) \qquad y_{i\epsilon} \text{ est borné dans } L^\infty(Q_i) \text{ pour } i=1,2
$$

$$
(2.38) \qquad \langle y_{1\varepsilon} \rangle, \langle y_{2\varepsilon} \rangle, \lambda_{\varepsilon} \text{ sont bornés dans } L^{\infty}(0,T) \\
\qquad \qquad \text{les bornes étant indépendantes de } \varepsilon.
$$

Démonstration

La Démonstration reposant sur l'utilisation du principe du ma-
ximum va se faire en deux parties de manière à obtenir des bornes supérieures
puis des bornes inférieures. Pour alléger l'écriture nous supprimerons
l'indice ε au cours de cette Démonstration.

Première Partie.

Soit $\gamma > 0$ nombre réel quelconque pour le moment. Prenons
dans (2.18)

$$
\varphi_1(x,t) = (y_1(x,t) - \gamma)^+ \quad \varphi_2(x,t) = (y_2(x,t) - \gamma)^+
$$
et intégrons sur $(0,t_0)$ on obtient (1)

(1) On posera pour $\varphi(t)$ fonction réelle

$$
\varphi^{+}(t) = \sup(0, \varphi(t)) \text{ et } \varphi^{-}(t) = \inf(0, \varphi(t))
$$
$$
(2.39) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\displaystyle \int_0^t \frac{\partial y_1}{\partial t}(t) (y_1(t) - \gamma)^+ dt + \int_0^t \frac{\partial y_2}{\partial t}(t) (y_2(t) - \gamma)^+ dt + \\[1em]
\displaystyle + \int_0^t a_1(y_1(t), (y_1(t) - \gamma)^+) dt + \int_0^t a_2(y_2(t), (y_2(t) - \gamma)^+) dt + \\[1em]
\displaystyle + \int_0^t X(t) = \int_0^t (\lambda(t) - \gamma)^+ (h-g \lambda(t))v(t)dt
\end{array}
\right.
$$

avec (1)

$$
(2.40) \quad \left\{
\begin{aligned}
X(t) &= \langle (y_1(t) - \gamma)^+ \rangle \left\{ a\left( \left| \langle y_1(t) \rangle \right|^3 \langle y_1(t) \rangle - \left| \lambda(t) \right|^3 \lambda(t) \right) + \right. \\
&\quad + c\left( \left| \langle y_1(t) \rangle \right|^3 \langle y_1(t) \rangle - \left| \langle y_2(t) \rangle \right|^3 \langle y_2(t) \rangle \right) + \\
&\quad + \langle (y_2(t) - \gamma)^+ \rangle \left\{ d\left( \left| \langle y_2(t) \rangle \right|^3 \langle y_2(t) \rangle - \left| \lambda(t) \right|^3 \lambda(t) \right) + \right. \\
&\quad + c\left( \left| \langle y_2(t) \rangle \right|^3 \langle y_2(t) \rangle - \left| \langle y_1(t) \rangle \right|^3 \langle y_1(t) \rangle \right) + \\
&\quad + \left( \lambda(t) - \gamma \right)^+ \left\{ \varepsilon \left| \lambda(t) \right|^3 \lambda(t) + a\left( \left| \lambda(t) \right|^3 \lambda(t) - \left| \langle y_1(t) \rangle \right|^3 \langle y_1(t) \rangle \right) + \right. \\
&\quad + d\left( \left| \lambda(t) \right|^3 \lambda(t) - \left| \langle y_2(t) \rangle \right|^3 \langle y_2(t) \rangle \right) \}
\end{aligned}
\right.
$$

Le point essentiel de la Démonstration est alors fourni par le

Lemme 2.3

a) <u>Sous l'hypothèse</u> $\gamma \ge 0$ <u>alors on a</u>

$$
(2.41) \qquad X(t) \ge 0 \quad \text{quel que soit} \quad \varepsilon \ge 0 \quad X \text{ défini par } (2.40)
$$

b) Si dans (2.40) on remplace les termes du type $\langle . - \gamma \rangle^+$ par des termes du type

$$
(2.42) \qquad \langle . - \sigma \rangle^{-} \\
\qquad \text{alors sous l'hypothèse } \sigma \le 0 \text{ on a encore (2.41). } \blacksquare
$$

Appliquons le Lemme précédent à (2.39), on obtient, compte tenu de résul-
tats classiques

<footnote>(1) Noter que l'on a sommé les deux équations de (2.18) après avoir multi-
plié la seconde par $(\lambda(t)-\gamma)^+$</footnote>
$$
(2.43) \quad \left\{
\begin{aligned}
& |(y_1(t_o) - \gamma)^2|_1^2 + |(y_2(t_o) - \gamma)^2|_2^2 + 2 \int_0^{t_o} a_1((y_1(t) - \gamma)^2, (y_2(t) - \gamma)^2) dt + \\
& \quad + 2 \int_0^{t_o} a_2((y_2(t) - \gamma)^2, (y_1(t) - \gamma)^2) dt \le \\
& \le 2 \int_0^{t_o} (\lambda(t) - \gamma)^2 (h-g \lambda(t)) v(t) dt + |(y_{10} - \lambda)^2|_1^2 + |(y_{20} - \gamma)^2|_1^2
\end{aligned}
\right.
$$

D'après les propriétés de $a_1$ et $a_2$ le premier membre de (2.43) est positif et en prenant $\gamma = \frac{h}{g}$ (qui est positif d'après (2.36)) on obtient

$$
(2.44) \qquad 0 \le \int_0^{t_o} \left( \lambda(t) - \frac{h}{g} \right)^2 v(t) (h-g \lambda(t)) dt
$$

d'après la première partie de (2.36), on obtient donc

$$
(2.44) \qquad 0 \le -g \int_0^{t_o} v(t) \left( \lambda(t) - \frac{h}{g} \right)^2 (\lambda(t) - \frac{h}{g}) dt
$$

$$
\text{Soit } I = \{ t \in [0,T] \mid \lambda(t) \ge \frac{h}{g} \}
$$

alors de (2.44) on tire

$$
(2.45) \quad 0 \le -g \int_{I \cap [0, t_o]} v(t) \left| \lambda(t) - \frac{h}{g} \right|^2 dt
$$

Or le deuxième membre de (2.45) est négatif puisque d'après (2.11) $v(t)$ est positif p.p. sur $(0,T)$ donc :

$$
(2.46) \quad \text{mes} (I \cap [0, t_o]) = 0 \quad \text{quel que soit} \quad t_o \in (0, T).
$$

De (2.46) on tire alors les majorations suivantes :

$$
(2.47) \qquad \lambda(t) \le \frac{h}{g} \quad \text{p.p.}
$$

Ceci joint à (2.39) implique que le premier membre de (2.39) est nul

d'où

$$
(2.48) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
y_1 \le \frac{h}{g} & \text{p.p. dans } Q_1 \\
y_2 \le \frac{h}{g} & \text{p.p. dans } Q_2
\end{array}
\right.
$$
Enfin comme $X(t) = 0 \quad \text{p.p. sur } (0,T) \text{ on obtient}$

$$
(2.49) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\langle y_1(t) \rangle \le \frac{h}{g} & \text{p.p. sur } (0,T) \\[1em]
\langle y_2(t) \rangle \le \frac{h}{g} & \text{p.p. sur } (0,T)
\end{array}
\right.
$$

Deuxième partie.

σ est maintenant un nombre réel négatif on réécrit (2.39) et
(2.40) en remplacant les termes du type (.-γ)+ par (.-σ)-.

En appliquant le Lemme ii) on obtient

$$
(2.50) \quad 0 \le \int_0^t (\lambda(t) - \sigma)^{-} v(t) (h-g\lambda(t))dt + |(y_{10} - \sigma)^{-}|^2 + |(y_{20} - \sigma)^{-}|^2
$$

$O_r$ on peut toujours supposer

$$
(2.51) \quad \sigma \le 0 \quad \text{et} \quad \sigma \le \min \left\{ \begin{array}{l} \inf_{x \in \Omega_1} y_{10}(x), \inf_{x \in \Omega_2} y_{20}(x) \end{array} \right\}
$$

donc on a

$$
0 \le -g \int_0^t (\lambda(t) - \sigma)^{-} v(t) (\lambda(t) - \frac{h}{g}) dt
$$

Soit $J = \{t \in (0,T) \mid \lambda(t) \le \sigma\}$ alors on obtient

$$
(2.52) \quad 0 \le -g \int_{J \cap [0, t_0]} (\lambda(t) - \sigma) v(t) (\lambda(t) - \frac{h}{g}) dt .
$$

Or $(\lambda(t) - \frac{h}{g}) \le 0$ d'après (2.47), d'où

$$
( \lambda(t) - \sigma ) v(t) ( \lambda(t) - \frac{h}{g} ) \ge 0 \quad \text{sur } J \quad \text{donc on a} \quad (1)
$$

soit

$$
\lambda(t) = \frac{h}{g}
$$

soit

$$
\lambda(t) \ge \sigma
$$

D'où finalement

$$
(2.53) \qquad \lambda(t) \ge \sigma \qquad \text{p.p. sur } (0,T)
$$

et comme précédemment

$$
(2.54) \quad y_1 \ge \sigma \quad \text{p.p. dans } Q_1 \text{ et } y_2 \ge \sigma \quad \text{p.p. dans } Q_2
$$

<footnote>(1) Le cas $v(t) = 0$ sur un intervalle de mesure non nulle $[t_0, t_1]$ se traite en montrant que la solution est bornée par la condition initiale en $t_0$</footnote>
$$
(2.55) \qquad \langle y_1(t) \rangle \ge \sigma \qquad \langle y_2(t) \rangle \ge \sigma \qquad \text{p.p. sur } (0,T)
$$

Le Théorème suit donc des relations (2.47)(2.48)(2.49) et (2.53) (2.54)(2.55)
en remarquant que les estimations ont été obtenues **indépendemment de ε** .

Démonstration du Lemme 2.3

Démonstration du point i).

Il faut examiner tous les cas suivant les valeurs (1) de y₁, y₂, λ
par rapport à σ.

a) $y_1 \ge \gamma$ \quad $y_2 \ge \gamma$ \quad $\lambda \ge \gamma$

on a

$$
\begin{align*}
X ={}& (\lambda - \gamma) \epsilon |\lambda|^5 + (a+c) |y_1|^5 + (c+d) |y_2|^5 + (a+d) |\lambda|^5 \\
      & - a y_1 |\lambda|^3 \lambda - c y_1 |y_2|^3 y_2 - d y_2 |\lambda|^3 \lambda - c y_2 |y_1|^3 y_1 \\
      & - a \lambda |y_1|^3 y_1 - d \lambda |y_2|^3 y_2
\end{align*}
$$

en utilisant l'inégalité (2.24) on obtient

$$
x \ge (\lambda - \gamma) \varepsilon |\lambda|^5 \ge 0
$$

b) $y_1 \ge \gamma$ \quad $y_2 \ge \gamma$ \quad $\lambda \le \gamma$

Dans ce cas X vérifie

$$
X \ge c(y_1 - \gamma)(|y_1|^3 y_1 - |y_2|^3 y_2) + c(y_2 - \gamma)(|y_2|^3 y_2 - |y_1|^3 y_1)
$$

des termes pouvant être éliminés dans (2.40) car

$y_1 \ge \lambda \qquad y_2 \ge \lambda$

c) $y_1 \ge \gamma$ \quad $y_2 \le \gamma$

Le cas $\lambda < \gamma$ est trivial. Soit donc $\lambda \ge \gamma$ alors on a

$$
\begin{align*}
X \ge & a(y_1 - \gamma)(|y_1|^3 y_1 - |\lambda|^3 \lambda) + (\lambda - \gamma)[\varepsilon|\lambda|^3 + a(|\lambda|^3 \lambda - |y_1|^3 y_1)] \\
      = & a|y_1|^5 + a|\lambda|^5 - a y_1 |\lambda|^3 \lambda - a \lambda |y_1|^3 y_1 + (\lambda - \gamma) \varepsilon |\lambda|^3 \lambda
\end{align*}
$$

donc

$$
(2.56) \qquad X \ge (\lambda - \gamma) \epsilon |\lambda|^3 \lambda \ge 0 \quad \text{car} \quad \gamma \ge 0 \quad \text{par hypothèse.}
$$

<footnote>(1) Pour alléger l'écriture on écrira $y_1$ à la place de $\langle y_1(t) \rangle$ etc...</footnote>
### Démonstration du point ii)

a) $y_1 \le \sigma$, $y_2 \le \sigma$, $\lambda \le \sigma$
même raisonnement qu'au point i) a)

b) $y_1 \le \sigma \qquad y_2 \le \sigma \qquad \lambda \le \sigma$
Alors X vérifie

$$X \ge c(y_1 - \sigma)(|y_1|^3 y_1 - |y_2|^3 y_2) + c(y_2 - \sigma)(|y_1|^3 y_1 - |y_2|^3 y_2)$$
en utilisant (2.24) le résultat suit

c) $y_1 \le \sigma \qquad y_2 \ge \sigma$
Seul le cas $\lambda \le \sigma$ est non trivial. On obtient

$$X \ge a(y_1 - \sigma)(|y_1|^3 y_1 - |\lambda|^3 \lambda) + a(\lambda - \sigma)\{\varepsilon|\lambda|^3 \lambda + a(|\lambda|^3 \lambda - |y_1|^3 y_1)\}$$
dou

$$(2.57) \qquad X \ge (\lambda - \sigma) \varepsilon |\lambda|^3 \lambda \ge 0 \quad \text{car} \quad \sigma \le 0 \quad \text{par hypothèse.} \blacksquare$$

La Démonstration précédente donne en fait un résultat plus précis :

### Lemme 2.4

Si dans le Lemme 2.2 on a $\varepsilon = 0$ alors
$X(t) \ge 0 \quad \text{p.p. sur } (0,T) \text{ quelles que soient les valeurs de } \gamma \text{ et } \sigma$.

En effet les relations (2.56) et (2.57) sont alors vraies quels que soient
$\gamma$ et $\sigma$. ■

### 2.2.2 Existence d'une solution du Problème 1.

Compte tenu des estimations du Théorème 2.2 on va pouvoir passer
à la limite lorsque $\varepsilon$ tend vers 0.

On se place toujours dans le cadre des hypothèses (2.35) et (2.36) alors
lorsque $\varepsilon \to 0$ on a

$y_1$ est borné dans $L^\infty(Q_1) \cap L^2(0,T;H^1(\Omega_1))$

$y_2$ est borné dans $L^\infty(Q_2) \cap L^2(0,T;H^1(\Omega_2))$

$\langle y_1 \rangle, \langle y_2 \rangle, \lambda$ sont bornés dans $L^\infty(0,T)$
de plus

$y'_{1\epsilon}$ est borné dans $L^2(0,T;V'_1)$

$y'_{2\epsilon}$ est borné dans $L^2(0,T;V'_2)$

donc on peut extraire des sous suites telles que

$$
(2.58) \quad y_{i\epsilon} \xrightarrow{i=1,2} y_i \quad \text{faiblement dans} \quad L^2(0,T;V_i)
$$

$$
(2.59) \quad y'_{1\epsilon} \xrightarrow{i=1,2} y'_i \quad \text{dans} \quad L^2(0,T;V_i')
$$

et

$$
(2.60) \quad \langle y_{i\epsilon} \rangle \xrightarrow{\chi_i} \chi_i \quad \text{dans} \quad L^\infty(0,T) \text{ faible-}\ast \quad i=1,2
$$

$$
(2.61) \quad \lambda_{\epsilon} \xrightarrow{\lambda} \lambda \quad \text{dans} \quad L^{\infty}(0,T) \text{ faible-}\ast.
$$

Comme dans le Théorème 2.1 (2.58)(2.59) et le Lemme 2.1 permettent d'ex-
traire une sous suite encore notée $y_{1\epsilon}$ telle que

$$
\langle y_{i\epsilon} \rangle \xrightarrow{\sim} \langle y_i \rangle \quad \text{p.p. sur } [0,T]
$$

donc en appliquant toujours le Lemme on en déduit que pour i=1,2

$$
| \langle y_{i\epsilon} \rangle |^3 | \langle y_{i\epsilon} \rangle| \xrightarrow{\sim} | \langle y_i \rangle |^3 | \langle y_i \rangle| \text{ faiblement dans } L^{5/4}(0,T)
$$

en terminant par un raisonnement identique à la fin de la démonstration du
Théorème 2.1 on obtient le

Théorème 2.3

Sous les hypothèses

$$
(2.62) \qquad v(t) \ge 0 \quad \text{p.p. sur } (0,T)
$$

$$
(2.63) \quad \text{pour } i=1,2 \quad y_{io} \text{ est donné dans } L^\infty(\Omega_i)
$$

et

$$
(2.64) \quad \max \left\{ \sup_{x \in \Omega_1} y_{10}(x) \middle| \sup_{x \in \Omega_2} y_{20}(x) \right\} \le \frac{h}{g}
$$

il existe au moins une solution $(y_1, y_2, \lambda)$ pour le

Problème 2 (Problème 2_ε avec ε = 0 dans (2.18)).

■

Pour obtenir l'existence d'une solution au Probème 1 il suffit de démon-
trer que la solution $(y_1,y_2,\lambda)$ du Problème 2 est positive p.p. Pour
cela il faut faire une hypothèse supplémentaire vérifiée dans la pratique.
**Théorème 2.4**

$$
\text{Sous les hypothèses (2.62)(2.63)(2.64) et}
$$
$$
\begin{array}{l}
y_{10}(x) \ge 0 \quad \text{p.p. dans } \Omega_1 \\
y_{20}(x) \ge 0 \quad \text{p.p. dans } \Omega_2
\end{array}
$$
$$
\textit{il existe au moins une solution } (y_1,y_2,\lambda) \textit{ au problème 1, vérifiant de}
$$
\begin{array}{l}
0 \le y_i(x,t) \le \frac{h}{g} \quad \text{p.p. dans } Q_i
\end{array}
$$
$$
\begin{array}{l}
0 \le \langle y_1(t) \rangle \le \frac{h}{g} \\
0 \le \langle y_2(t) \rangle \le \frac{h}{g} \\
0 \le \lambda(t) \le \frac{h}{g}
\end{array}
$$

Démonstration.

Reprenons la Démonstration du Théorème 2.2. Etant donné une solution $(y_1, y_2, \lambda)$ du Problème 2, les inégalités de droite des expressions (2.66) et (2.67) sont bien vérifiées. Pour les inégalités de gauche il suffit d'utiliser (2.53) (2.54) (2.55) avec $\sigma = 0$, ce qui est licite car
$$0 \le \min \left\{ \inf_{x \in \Omega_1} y_{10}(x), \inf_{x \in \Omega_2} y_{20}(x) \right\} \text{ d'après (2.66).}$$

Donc

$$
\langle y_1(t) \rangle \ge 0 \quad \langle y_2(t) \rangle \ge 0 \quad \lambda(t) \ge 0 \quad \text{p.p. sur } [0,T].
$$

On peut donc supprimer les valeurs absolues dans (2.18) et on obtient bien
ainsi (2.17). ■

Remarque 2.4

Tous les résultats précédents ont été démontrés avec la condition à
la limite (2.9)' mais restent encore valables sous la condition (2.9).
De plus, si dans (2.9) on suppose $0 < t_a < \frac{h}{g}$, alors on obtient au lieu des
relations (2.66)(2.67) :
$$
\sigma \le y_i(x,t) \le \frac{h}{g} \quad \text{p.p. dans } Q_i
$$

$$
\sigma \le \langle y_i(t) \rangle \le \frac{h}{g} \quad \text{p.p. sur } [0,T]
$$

$$
\sigma \le \lambda(t) \le \frac{h}{g} \quad \text{p.p. sur } [0,T]
$$

avec

$$
\sigma = \min \left( t_a, \inf_{x \in \Omega_1} y_{10}(x), \inf_{x \in \Omega_2} y_{20}(x) \right)
$$

ceci dans le cas où $v(t)$ n'est pas identiquement nul. ■

2.23 **Unicité.**

La Démonstration de l'unicité utilise essentiellement les résultats
2.67) et (2.68) c'est à dire des estimations dans $L^\infty$.

Théorème 2.5

La solution du Problème 1 est unique sous les hypothèses du Théorème 2.

Démonstration.

En effet soient deux solution $(y_1,y_2,\lambda)$ et $(\tilde{y}_1,\tilde{y}_2,\tilde{\lambda})$ du
Problème 1. Posons

$$
z_1 = y_1 - \tilde{y}_1 \qquad z_2 = y_2 - \tilde{y}_2
$$

Reprenons (2.17) en faisant

$$
\varphi_1 = z_1 \qquad \varphi_2 = z_2, \text{ on obtient}
$$

$$
\begin{align*}
& \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |z_1(t)|_1^2 + \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |z_2(t)|_2^2 + a_1(z_1, z_1) + a_2(z_2, z_2) = \\
& = - \langle z_1(t) \rangle \{ a(\langle y_1(t) \rangle^4 - \langle \tilde{y}_1(t) \rangle^4 - \lambda(t)^4 + \tilde{\lambda}(t)^4) + \\
& \phantom{=} + c(\langle y_1(t) \rangle^4 - \langle \tilde{y}_1(t) \rangle^4 - \langle y_2(t) \rangle^4 + \langle \tilde{y}_2(t) \rangle^4) \} - \\
& \phantom{=} - \langle z_2(t) \rangle \{ d(\langle y_2(t) \rangle^4 - \langle \tilde{y}_2(t) \rangle^4 - \lambda(t)^4 + \tilde{\lambda}(t)^4) + \\
& \phantom{=} + c(\langle y_2(t) \rangle^4 - \langle \tilde{y}_2(t) \rangle^4 - \langle y_1(t) \rangle^4 + \langle \tilde{y}_1(t) \rangle^4) \}
\end{align*}
$$

en effet l'équation algébrique peut être supprimée de (2.17).
Compte tenu de (2.66) et (2.67) on obtient

$$
(2.70) \quad \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |z_1(t)|_1^2 + \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |z_2(t)|_2^2 + a_1(z_1(t), z_1(t)) + a_2(z_2(t), z_2(t)) \\
\leq K_1 \langle -z_1(t) \rangle^2 + K_2 \langle z_2(t) \rangle^2
$$

avec $K_1 \ge 0$ et $K_2 \ge 0$

En utilisant le résultat

$$
\| u \|_{L^2(\Gamma)}^2 \le \delta \| \nabla u \|_{L^2(\Omega)}^2 + C(\delta) \| u \|_{L^2(\Omega)}^2
$$

On obtient

$$
\frac{d}{dt} |z_1(t)|_1^2 + \frac{d}{dt} |z_2(t)|_2^2 \le C_1 |z_1(t)|_1^2 + C_2 |z_2(t)|_2^2
$$

En appliquant l'inégalité de Gronwall on obtient

$$
|z_1(t)|_1 = 0 \quad |z_2(t)|_2 = 0 \quad \text{pour tout } t \in [0, T]
$$

d'où l'unicité. ■
### III - LE PROBLEME DE CONTROLE OPTIMAL.

#### 3.1 EXPOSE DU PROBLEME.

Nous allons traiter un problème type dont la résolution numérique sera donnée au § 4. Parmi toutes les possibilités d'observation du système nous avons choisi un cas relativement simple ne comportant pas de contraintes sur l'état.

Posons

$$ (3.1) \qquad u = L^\infty(0,T) $$

$$ (3.2) \qquad u_{ad} = \{v \in u \mid \alpha \le v(t) \le \beta \quad \text{p.p. sur } [0,T]\} $$

avec

$$ (3.3) \qquad 0 \le \alpha \le \beta \le +\infty $$

Pour $z_d$ donné dans $L^2(Q_1)$ on considère

$$ (3.4) \qquad J(v) = \|y_1(v) - z_d\|_{L^2(Q_1)}^2 + \nu \|v\|_{L^2(0,T)}^2 $$

avec $\nu \ge 0$ constante donnée et $y_1(v)$ solution du **Problème 1** (défini au Numéro 2.1)

Le problème de contrôle optimal consiste à trouver $u \in u_{ad}$ tel que :

$$ (3.5) \qquad \begin{gathered} J(u) = \inf J(v) \\ v \in u_{ad} \end{gathered} $$

**Remarque 3.1**

Comme nous l'avons déjà dit au §1 il faudrait, pour être en accord avec la réalité physique du problème, considérer des contraintes sur l'état. Cependant afin de dégager les propriétés essentielles du problème nous nous bornerons à l'étudier tel qu'il vient d'être défini.

#### 3.2 QUELQUES RESULTATS PRELIMINAIRES.

##### Orientation

Nous rappelons que le contrôle optimal intervient dans les équations d'état par la relation
$$
(3.6) \quad (a+d) \lambda^4(t) - a \langle y_1(t) \rangle^4 - d \langle y_2(t) \rangle^4 = v(t) (h-g \lambda(t))
$$

(On néglige les termes linéaires pour simplifier l'exposé.)

D'après le <u>Théorème 2.4</u> on sait que

$$
(3.7) \quad h - g \lambda(t) \ge 0 \quad \text{p.p. sur } [0,T],
$$

or, pour la suite, il va être utile de replacer (3.7) par une inégalité
stricte. Avant de démontrer ce résultat nous allons donner une inégalité
du même type mais dans un cas plus simple.
■

**Proposition 3.1**

Soit Ω = ]0,1[ et T fixé. Considérons y solution de

$$
(3.8) \quad \frac{\partial y}{\partial t} - \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = 0 \quad \text{dans } Q = \Omega \times ]0,T[
$$

$$
(3.9) \quad - \frac{\partial y}{\partial x}(0,t) + \alpha y(0,t) = g_o(t) \quad ; \quad \frac{\partial y}{\partial x}(1,t) + \alpha y(1,t) = g_1(t)
$$

$$
y(0) = 0 \qquad \text{dans } \Omega
$$

avec $\alpha$ nombre positif donné et $g$ donnée dans $L^\infty(\Sigma)^{(1)}$, positive p.p..

Alors pour $T$ fini on a

$$
(3.11) \quad y(x,t) < \sigma = \frac{\sup_{\alpha} g}{\alpha} \quad \text{p.p. dans } \bar{Q}
$$

Démonstration.

Il est facile de démontrer (principe du maximum) que $y(x,t)$

vérifie :

$$
y(x,t) \le \sigma \qquad \text{p.p. dans } \bar{Q}
$$

Pour démontrer (3.11) on va construire une fonction $\varphi$ telle que

$$
(3.12) \quad y(x,t) \le \varphi(x,t) < \sigma
$$

Définissons

$$
\varphi(x,t) = a(x^2 - x + 1)e^{-\rho t} + \sigma(1-e^{-\rho t})
$$

avec

$$
(3.13) \quad a = \frac{\bar{g}}{1+\alpha} \quad (\bar{g} = \sup_{\alpha} g)
$$

et $\rho > 0$ quelconque pour le moment.

$$
(1) \quad \Sigma := ]0,T[ \times ]0,T[, \quad g = (g_0, g_1).
$$
Vérifions tout d'abord que

$$ \varphi(x,t) \le ae^{-\rho t} + \sigma(1-e^{-\rho t}) < \sigma e^{-\rho t} + \sigma(1-e^{-\rho t}) = \sigma $$

puisque d'après (3.13) on a

$$ a < \frac{\bar{g}}{\alpha} = \sigma $$

Pour démontrer l'inégalité de gauche de (3.12) il suffit de vérifier que l'on a

$$ (3.14) \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial t} - \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} \ge 0 \qquad \text{p.p. dans } Q $$

$$ (3.15) \qquad \frac{\partial \varphi}{\partial n} + \alpha \varphi \ge \bar{g} \qquad \text{pour } x=0 \text{ et } x=1 $$

$$ (3.16) \qquad y(x,0) \ge 0 \qquad \text{p.p. dans } \Omega \cdot $$

En effet grâce au principe du maximum on démontrera que

$$ \varphi - y \ge 0 \qquad \text{p.p. dans } Q. $$

Vérifions (3.14)(3.15)(3.16), on a :

$$ \frac{\partial \varphi}{\partial t} - \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} = -a \rho (x^2 - x + 1) e^{-\rho t} + \rho \sigma e^{-\rho t} - 2 a e^{-\rho t} \ge (-a\rho + \rho\sigma - 2a)e^{-\rho t} $$

il suffit donc de prendre

$$ \rho \ge \frac{2a}{\sigma-a} > 0 \text{ d'après (3.13).} $$

D'autre part on a

$$ \begin{aligned} \frac{\partial \varphi}{\partial n} + \alpha \varphi &= ae^{-\rho t} + \alpha(ae^{-\rho t} + \sigma(1-e^{-\rho t})) \\ &= \bar{g} + e^{-\rho t}(a+\alpha a - \sigma) = \bar{g} \end{aligned} $$

Enfin on vérifie que

$$ y(x;0) = a(x^2 - x + 1) \ge \frac{3}{4} a > 0 \quad \blacksquare $$

### Remarque 3.2

La proposition qui vient d'être démontrée a un caractère tout à fait général et nous l'avons donnée en détails car nous allons maintenant utiliser la même méthode pour démontrer le résultat suivant. ■
**Proposition 3.2**

Soit $v(t)$ donné dans $u_{ad}$, alors la solution $(y_1,y_2,\lambda)$ du **Problème** vérifie

$$
(3.17) \qquad y_i(x,t) \le \bar{\sigma} < \sigma = \frac{h}{g} \quad \text{p.p. dans } \bar{Q}_i \quad \text{pour } i=1,2
$$

$$
(3.18) \qquad \lambda(t) \le \bar{\sigma} \quad \text{p.p. sur } [0,T]
$$

Démonstration

Pour simplifier supposons que dans (2.2)(2.4) on a

$$
y_{io}(x) = 0 \qquad i=1,2,
$$

de plus nous prendrons dans les équations d'état

$$
a = c = d = 1 \quad (1)
$$

Construisons donc trois fonctions $z_1, z_2$ et $\mu$ vérifiant

$$
(3.19) \qquad y_i(x,t) \le z_i(x,t) < \sigma \quad \text{dans } \bar{Q}_i, i=1,2
$$

$$
(3.20) \qquad \lambda(t) \le \mu(t) < \sigma \quad \text{sur } [0,T]
$$

i) Construction de ces fonctions

Posons

$$
\begin{align*}
(3.21) \qquad \alpha(t) &= (\delta - \gamma)e^{-\rho t} \\
\beta(t) &= \left( \sigma^4 - \delta e^{-\rho t} \right)^{\frac{1}{4}}
\end{align*}
$$

avec $\gamma, \delta, \rho$ constantes positives et on définit alors

$$
(3.22) \qquad z_1(x,t) = -\frac{3}{2} \alpha(t) x_1(x_1 - 1) x_2(x_2 - 1) + \beta(t)
$$

$$
(3.23) \qquad z_2(x,t) = -\alpha(t) x(1-x) + \beta(t)
$$

$$
(3.24) \qquad \mu(t) = \left( \sigma^4 - \gamma e^{-\rho t} \right)^{\frac{1}{4}}
$$

En supposant

$$
\gamma < \delta < \sigma^4
$$

Les inégalités de droite de (3.19) et (3.20) sont vérifiées.

<footnote>(1) ceci pour ne pas alourdir les notations mais la Démonstration pourrait se faire dans le cas général.</footnote>
## ii) Propriétés de $z_1, z_2$ et $\mu$

Tout d'abord on a

$$z_1(x,0) = -\frac{3}{2}(\delta - \gamma)(x_1^2 - x_1)(x_2^2 - x_2) + (\sigma^4 - \delta)^{\frac{1}{4}} \geq -\frac{3}{32}(\delta - \gamma) + (\sigma^4 - \delta)^{\frac{1}{4}}$$

expression qui est positive pour $\delta$ suffisamment petit. De même

$$z_2(x,0) = -(\delta - \gamma)(x-x^2) + \beta(t) \geq -\frac{1}{4}(\delta - \gamma) + (\sigma^4 - \delta)^4$$

est positive pour $\delta$ suffisamment petit. Donc :

$$(3.25) \qquad z_i(x,0) \geq 0 \quad \text{p.p. dans } \Omega_i \quad \text{pour } i=1,2$$

Ensuite évaluons

$$\begin{aligned} \int_{\Gamma_1} \frac{\partial z_1}{\partial n} + 2 \langle z_1(t) \rangle^4 - \langle z_2(t) \rangle^4 - \mu^4(t) &= \alpha(t) + \beta^4(t) - \mu^4(t) = 0 \end{aligned}$$

On obtiendrait un résultat identique pour $z_2$.

Calculons maintenant

$$\begin{aligned} \frac{\partial z_1}{\partial t} - \Delta z_1 &= \frac{3}{2} \rho (\delta - \gamma) (x_1^2 - x_1)(x_2^2 - x_2)e^{-\rho t} + \frac{1}{4} \delta \rho e^{-\rho t} (\sigma^4 - \delta e^{-\rho t}) - \frac{3}{4} + \\ & \quad + 3(\delta - \gamma) e^{-\rho t} (x_1^2 - x_1 + y_1^2 - y_1) \\ & \geq \\ & \geq \frac{1}{4} \delta \rho e^{-\rho t} (\sigma^4 - \delta e^{-\rho t}) - \frac{3}{4} - \frac{3}{2}(\delta - \gamma) e^{-\rho t} \\ & \geq \\ & \geq \frac{1}{4} \left[ \frac{\delta \rho}{\sigma^3} - 6(\delta - \gamma) \right] e^{-\rho t} \end{aligned}$$

expression qui est positive si l'on prend $\rho \geq \frac{6\sigma^3(\delta-\gamma)}{\delta}$. Un raisonnement identique peut être fait pour $z_2$.

Finalement remarquons que

$$2 \mu^4 - \langle z_1 \rangle^4 - \langle z_2 \rangle^4 - \text{gv}(\sigma - \mu) = 2(\delta - \gamma)e^{-\rho t} - \text{gv}(\sigma - (\sigma^4 - \gamma e^{-\rho t})^4)$$

est positive si $\gamma$ est choisi suffisamment petit.

## iii) Démonstration de (3.19) et (3.20).

On vient de voir qu'en choisissant bien les constantes $\rho, \gamma$ et $\delta$ les fonctions
$$ \varphi_1 = z_1 - y_1 $$

$$ \varphi_2 = z_2 - y_2 $$

$$ \theta = \mu - \lambda $$

vérifient

$$ \frac{\partial \varphi_1}{\partial t} - \Delta \varphi_1 = f_1 \qquad f_1 \ge 0 \text{ p.p. dans } Q_1 $$

$$ \Gamma_1 \frac{\partial \varphi_2}{\partial t} + 2A \langle \varphi_1 \rangle - B \langle \varphi_2 \rangle - C\theta = 0 $$

$$ \frac{\partial \varphi_2}{\partial t} - \Delta \varphi_2 - f_2 \qquad f_2 \ge 0 \text{ p.p. dans } Q_2 $$

$$ (3.26) \quad \int_{\Gamma_2} \frac{\partial \varphi_2}{\partial n} + 2B \langle \varphi_2 \rangle - A \langle \varphi_1 \rangle - C\theta = 0 $$

$$ \varphi_1(0) = \varphi_{10} \ge 0 $$

$$ \varphi_2(0) = \varphi_{20} \ge 0 $$

$$ \varphi_2|_S = \varphi_{2S} \ge 0 $$

et

$$ 2C \theta^4 - A \langle \varphi_1 \rangle^4 - B \langle \varphi_2 \rangle^4 + gv \theta = f_3 \quad f_3 > 0 \text{ p.p. sur } (0,T) $$

avec

$$ A = \langle z_1 \rangle^3 + \langle z_1 \rangle^2 \langle y_1 \rangle + \langle z_1 \rangle \langle y_1 \rangle^2 + \langle y_1 \rangle^3 \ge 0 \text{ p.p.} $$

$$ B = \langle z_2 \rangle^3 + \langle z_2 \rangle^2 \langle y_2 \rangle + \langle y_2 \rangle \langle y_2 \rangle^2 + \langle y_2 \rangle^3 \ge 0 \text{ p.p.} $$

$$ C = \mu^3 + \mu^2 \lambda + \mu \lambda^2 + \lambda^3 \ge 0 \text{ p.p.} $$

La Démonstration sera alors terminée si l'on montre que $\varphi_1, \varphi_2$ et $\theta$ sont positives p.p. Pour cela on commence par faire dans les équations (3.26) le changement de variable

$$ \varphi_i = \psi_i e^{\chi t} \qquad \theta = \omega e^{\chi t} $$

En multipliant les différentes équations de (3.26) par $\bar{\psi}_1 \bar{\psi}_2$ et $\bar{\omega}$
$$
\text{on obtient}^{(1)}
\begin{align*}
& \left\{
\begin{aligned}
& \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |\psi_1^-|_1^2 + |\nabla \psi_1^-|_1^2 + \chi |\psi_1^-|_1^2 + \frac{1}{2} \frac{d}{dt} |\psi_2^-|_2^2 + |\nabla \psi_2^-|_2^2 + \chi |\psi_2^-|_2^2 + \\
& \qquad + \psi_1^- \{2A \langle \psi_1^- \rangle - B \langle \psi_2^- \rangle - C \omega \} + \\
& \qquad + \psi_2^- \{2B \langle \psi_2^- \rangle - A \langle \psi_1^- \rangle - C \omega \} + \\
& \qquad + \omega^- \{2C \omega - A \langle \psi_1^- \rangle - B \langle \psi_2^- \rangle + \tilde{g} \nu \} = \\
& \qquad = (\tilde{f}_1, \psi_1^-)_1 + (\tilde{f}_2, \psi_2^-)_2 + \tilde{f}_3 \omega^-
\end{aligned}
\right\}
\end{align*}
$$

En intégrant (3.27) sur $(O,t)$ et en minorant le premier membre de (3.42) on a

$$
\text{(3.28)} \quad \left\{
\begin{aligned}
& \frac{1}{2} |\psi_1^-|_1^2 + \int_0^t |\nabla \psi_1^- (s)|_1^2 ds + \chi \int_0^t |\psi_1^- (s)|_1^2 ds + \frac{1}{2} |\psi_2^- (t)|_2^2 + \int_0^t |\nabla \psi_2^- (s)|_2^2 ds + \\
& \qquad + \int_0^t \chi |\psi_2^- (s)|_2^2 ds + \int_0^t \left(A - \frac{B}{2} - \frac{C}{2}\right) \langle \psi_1^- (s) \rangle^2 ds + \int_0^t \left(B - \frac{A}{2} - \frac{e}{2}\right) \langle \psi_2^- (s) \rangle^2 ds + \\
& \qquad + \int_0^t \left(C - \frac{A}{2} - \frac{B}{2} + \tilde{g}v\right) \langle \omega^- (s) \rangle^2 ds \le \int_0^t (\tilde{f}_1^- (s), \psi_1^- (s)) ds + \int_0^t (\tilde{f}_2^- (s), \psi_2^- (s))_2 ds \\
& \qquad + \int_0^t \tilde{f}_3^- (s) \omega^- (s) ds + \frac{1}{2} |\psi_1^- (0)|_1^2 + \frac{1}{2} |\psi_2^- (0)|_2^2
\end{aligned}
\right.
$$

Remarquons tout d'abord que l'on a par construction

$$
\langle \varphi_i(t) \rangle \le \mu(t) \quad \text{p.p. sur } (0,T)
$$

et que

$$
\langle y_i(t) \rangle \le \theta(t)
$$

(résultat qu'on peut obtenir facilement en reprenant la démonstration du
Théorème 2.2),

Ce qui implique $C - \frac{A}{2} - \frac{B}{2} \ge 0$ .

En utilisant alors l'inégalité

$$
(3.29) \qquad \left| \varphi \right|_{L^2(\Gamma)}^2 \le \delta \left| \nabla \varphi \right|_{L^2(\Omega)}^2 + C(\delta) \left| \varphi \right|_{L^2(\Omega)}^2
$$

(1) on a posé

$$
\tilde{g} = ge^{-\chi t} \qquad \tilde{f}_i = f_i e^{-\chi t} \qquad \text{etc...}
$$
$$
(3.28) \text{ conduit à}
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \left\{
  \begin{aligned}
  & \left|\psi_1^-(t)\right|^2 + \int_0^t \left|\nabla\psi_1^-(s)\right|^2 \left(1-\delta\left|A-\frac{B}{2}-\frac{C}{2}\right|\right)ds + \int_0^t \left|\psi_1^-(s)\right|^2 \chi\left(c(\delta)\left|A-\frac{B}{2}\right|\right)ds+ \\
  & + \left|\psi_2^-(t)\right|^2 + \int_0^t \left|\nabla\psi_2^-(s)\right|^2 \left(1-\delta\left|B-\frac{A}{2}-\frac{C}{2}\right|\right)ds + \int_0^t \left|\psi_2^-(s)\right|^2 \chi\left(c(\delta)\left|B-\frac{A}{2}\right|\right)ds \le \\
  & \le \int_0^t (\tilde{f}_1(s), \psi_1^-(s))_1 ds + \int_0^t (\tilde{f}_2(s), \psi_2^-(s))_2 ds + \int_0^t (\tilde{f}_3(s), \omega^-(s))_3 ds
  \end{aligned}
\right\} \\
& \text{En prenant dans (3.30) } \delta \text{ suffisamment petit et } \chi \text{ assez grand on obtient finalement}
\end{aligned}
\end{equation}
$$

En prenant dans (3.30) $\delta$ suffisamment petit et $\chi$ assez grand on obtient finalement

$$
0 \le \int_0^t (\tilde{f}_1(s), \psi_1^-(s))_1 ds + \int_0^t (\tilde{f}_2(s), \psi_2^-(s))_2 ds + \int_0^t (\tilde{f}_3(s), \omega^-(s))_3 ds
$$

ce qui implique que

$$
\psi_i^- = 0 \quad \text{p.p. dans } Q_i
$$

et

$$
\theta^{-} = 0 \quad \text{p.p. sur } (0,T)
$$

ce qui achève la Démonstration.

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

3.3 **EXISTENCE D'UN CONTROLE OPTIMAL.**

Remarque 3.3

Notons tout d'abord qu'on ne peut utiliser les méthodes classiques de
Démonstrations d'existence dans les problèmes de contrôle optimal de systèmes
distribués.

En effet lorsqu'on utilise une suite minimisante $v_n$ le passage à la limite dans les équations d'état se fait habituellement en utilisant un résultat de compacité. Ce raisonnement ne peut être fait ici car nous ne possédons aucun résultat de régularité sur $\lambda(t)$, cette fonction étant déterminée uniquement par des équations algébriques. Le passage à la limite va donc se faire en utilisant une méthode différente, dont le type est déjà bien connu dans le cas des systèmes à constantes réparties (équations différentielles).

Soit donc $v_n$ une suite minimisante pour $J(v)$ donné par (3.4). En utilisant les résultats déjà obtenus pour le Problème 1 on a :
$v_n$ borné dans $L^\infty(0,T)$

$y_{in} = y_i(v_n)$ bornés dans $L^\infty(Q_i) \cap L^2(0,T;V_i)$

$y'_i$ borné dans $L^2(0,T;V_i)$

$\langle y_{in} \rangle$ borné dans $L^\infty(0,T)$

$\lambda_n = \lambda(v_n)$ borné dans $L^\infty(0,T)$.

On peut donc extraire des sous suites encore notées de la même façon telle que :

$$ (3.31) \qquad v_n \xrightarrow{v} v \quad \text{dans } L^\infty(0,T) - \text{faible } * $$

$$ (3.32) \qquad \left\{ \begin{array}{l} y_{in} \xrightarrow{y_i} y_i \quad \text{dans } L^2(Q_i) - \text{fort et p.p.} \\ y'_{in} \xrightarrow{y'_i} y'_i \quad \text{dans } L^2(0,T;V_i) - \text{faible} \end{array} \right. $$

$$ (3.33) \qquad \langle y_{in} \rangle \xrightarrow{\sim} \langle y_i \rangle \quad \text{dans } L^2(0,T) - \text{fort et p.p.} $$

$$ (3.34) \qquad \lambda_n^4 \xrightarrow{\lambda^4} \lambda^4 \quad \text{dans } L^\infty(0,T) - \text{faible } * \quad (1) $$

Les résultats (3.32)(3.33)(3.34) permettent de passer à la limite dans la première équation de (2.18). Toute la difficulté est donc concentrée dans le passage à la limite dans (3.6). Notons tout d'abord que l'on a :

$$ (3.35) \qquad v_n = \frac{(a+d) \lambda_n^4 - a \langle y_{1n} \rangle^4 - d \langle y_{2n} \rangle^4}{h-g} $$

D'autre part on a le :

**Lemme 3.1**

On a :

$$ \lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} \frac{(a+d) \lambda_n^4 - a \langle y_1 \rangle^4 - d \langle y_2 \rangle^4}{h-g \lambda_n} $$

(1) Evidemment ce qu'il faut démontrer est que :

$\lambda_n \xrightarrow{\lambda} \lambda$ dans $L^\infty(0,T)$ faible *
### Démonstration.

C'est une conséquence immédiate de la Proposition 3.2. ■

On a alors la

### Proposition 3.3

$$ (3.36) \qquad \text{Posons} \qquad w = \frac{(a+d) \lambda^4 - a \langle y_1 \rangle^4 - d \langle y_2 \rangle^4}{h-g \lambda} $$

avec $y_1, y_2, \lambda$ limites dans (3.32)...(3.34).

Alors on a

$$ (3.37) \qquad w(t) \le \lim_{\lambda \to \infty} v_n(t) \quad \text{faible} \quad \text{*} $$

Avant de démontrer cette proposition (1) rappelons le

### Théorème 3.1

Soit $f_n$ une suite de fonctions de $L^\infty(0,T;Y)$ où $Y$ est une partie de $\mathbb{R}^n$ telle que

$$ f_n \underset{\lambda \to \infty}{\longrightarrow} f \quad \text{dans} \quad L^\infty(0,T;\mathbb{R}^n) \quad \text{faible} \quad \text{*} $$

alors

$$ f \in L^\infty(0,T;Y) $$

en notant $\hat{Y}$ l'enveloppe convexe de $Y$.

### Démonstration du théorème 3.1

Comme la topologie de $L^\infty(0,T)$ est plus fine que celle de $L^1(0,T)$ on a évidemment

$$ f_n \underset{\lambda \to \infty}{\longrightarrow} f \quad \text{dans} \quad L^1(0,T;\mathbb{R}^n) \quad \text{faible.} $$

D'après le théorème de MAZUR (2) on sait qu'il existe des compromis de $f_n$

<footnote>(1) L'idée d'utiliser un tel type de raisonnement m'a été suggérée par L. TARTAR.</footnote>

<footnote>(2) Cf. YOSIDA [1]</footnote>
soient

$$
F_N = \sum_{i>N} \alpha_i f_n \quad \sum_{i>N} \alpha_i = 1, \alpha_i \ge 0,
$$

(i parcourant un ensemble fini)

tels que

$$
F_N \longrightarrow f \text{ dans } L^1(0,T; \mathbb{R}^n)\text{-fort}
$$

donc il existe une sous-suite $F_N$, tel que

$$
F_N(t) \to f(t) \quad \text{p.p. sur } (0,T)
$$

f(t) est donc limite p.p. de combinaisons convexes d'éléments de Y d'où
le résultat. ■

Démonstration de la Proposition 3.3

Compte tenu du **Lemme 3.1** on s'intéresse donc à l'expression

$$
(3.38) \qquad \Phi(\rho) = \frac{B\rho - A}{\frac{1}{h-g} \rho^4}
$$

avec

$$
A = a \langle y_1 \rangle^4 + d \langle y_2 \rangle^4
$$

$B = a+d$

Pour pouvoir appliquer le Théorème 3.1 il faut montrer que

$$
\rho \to \Phi(\rho) \text{ est convexe sur } [0, \bar{\rho}] \quad (1)
$$

Pour cela calculons

$$
\Phi''(\rho) = \frac{1}{16} \frac{-3g^2 B \rho - \frac{1}{2} + 5hg B \rho - \frac{3}{4} - 5Ag^2 \rho - \frac{3}{2} + 3Agh \rho - \frac{7}{4}}{(h-g \rho)^4}
$$

<footnote>(1) Rappelons (Prop3.2) que $\bar{\rho} < \sigma = \frac{h}{g}$.</footnote>
On veut donc étudier le signe de

$$ - 3gB \rho^5 + 5hB \rho^4 - 5Ag \rho + 3Ah $$

pour $\rho$ parcourant l'intervalle $[0, \bar{\rho}]$.

En faisant un changement de variable on se ramène à l'étude de

$$ X(\theta) = - 3 \theta^5 + 5 \theta^4 - 5m \theta + 3m $$

avec

$$ 0 \le \theta \le 1 \quad \text{et} \quad 0 \le m \le 1. $$

On peut voir que $X(\theta)$ est convexe sur $[0,1]$ et $y$ admet un minimum en un point $\bar{\theta}$ solution de

$$ (3.39) \qquad - 3 \bar{\theta}^4 + 4 \bar{\theta}^3 - 5m = 0. $$

On peut alors, en utilisant (3.39), supprimer dans $X(\bar{\theta})$ les deux termes de plus hauts degrés, on obtient :

$$ (3.40) \qquad \begin{cases} X(\bar{\theta}) = \frac{4}{3} (\bar{\theta}^3 - 3m\bar{\theta} + 2m) \\ \bar{\theta} \text{ satisfaisant } (3.39) \end{cases} $$

Or on peut voir que $X(\bar{\theta})$ donnée par (3.40) est en fait positif quelque soit $\bar{\theta} \in [0,1]$ et $m \in [0,1]$. Donc $\Phi''(\rho)$ est positive.

Considérons $f_n(t)$ définie par

$$ f_n(t) = \{ \lambda_n^4(t), \quad \phi(\lambda_n^4(t)) \}. $$

On a

$$ \lambda_n^4(t) \longrightarrow \lambda^4(t) \quad \text{dans } L^\infty(0,T)-\text{faible}^* $$

$$ \phi(\lambda_n^4(t)) \longrightarrow \psi(t) \quad \text{dans } L^\infty(0,T)-\text{faible}^* $$

On a donc

$$ f_n(t) \longrightarrow (\lambda_n^4(t), \psi(t)) \quad \text{dans } L^\infty(0,T; \mathbb{R}^2) $$

$$ \text{faible car } L^\infty(0,T) \times L^\infty(0,T) \subset L^\infty(0,T; \mathbb{R}^2) $$
en appliquant le théorème 3.1 on déduit que

$$ (\lambda^4(t), \psi(t)) \in \text{épigraphe } \Phi $$

car epi $\Phi$ est convexe.

Comme

$$ (\lambda^4(t), \Phi(\lambda^4(t))) \in \text{graphe } \Phi $$

on a donc

$$ w(t) = \Phi(\lambda^4(t)) \le \psi(t) = \lim_{n \to \infty} v_n(t). \\ \qquad \text{L}^\infty(0,T) \text{ faible}^* \\ \qquad n \to \infty $$

On peut alors démontrer le

**Théorème 3.2**

Sous les hypothèses (3.1)...(3.4) il existe un contrôle optimal solution du problème (3.5)

**Démonstration.**

Soit $v_n$ une suite minimisante pour $J(v)$. En utilisant les résultats (3.31)...(3.34) et la **proposition 3.3** on obtient l'existence de

$(y_1, y_2, w)$ solution du Problème 1.

et

$y_{1n} \rightarrow y_1$ dans $L^2(Q_1)$ - fort et p.p.

$$ (3.41) \qquad w \le \lim_{n \to \infty} v_n \quad \text{dans } \text{L}^\infty \text{ - faible}^* $$

On a donc

$$ (3.42) \quad J(w) = \|y_1(w) - zd\|_{L^2(Q_1)}^2 + v \|w\|_{L^2(0,T)}^2 \le \lim_{n \to \infty} \{ \|y_{1n} - zd\|_{L^2(Q)}^2 + v \|v_n\|_{L^2(0,T)}^2 \} $$
D'après la définition d'une suite minimisante on a donc en fait l'égalité dans (3.42) et w est un contrôle optimal, ce qui implique que (en supposant $v > 0$):

$$ (3.43) \qquad \left\|w\right\|_{L^2(0,T)}^2 = \lim_{n \to \infty} \left\|v_n\right\|_{L^2(0,T)} $$

Posons

$$ v = \lim_{n \to \infty} v_n \quad \text{dans } L^\infty(0,T) - \text{faible}^* $$

D'après (3.43) $v$ vérifie

$$ (3.44) \qquad \left\|w\right\|_{L^2(0,T)}^2 = \lim_{n \to \infty} \left\|v_n\right\|^2 \ge \left\|v\right\|^2 $$

et (3.41) implique

$$ 0 \le w \le v \qquad \text{p.p. sur } (0,T) $$

donc en utilisant (3.44)

$$ 0 \ge \int_0^T (w^2(t) - v^2(t))dt = \left\|w\right\|^2_{L^2(0,T)} - \left\|v\right\|^2_{L^2(0,T)} \ge 0 $$

$$ \text{d'où} \qquad v(t) = w(t) \qquad \text{p.p. sur } (0,T) $$

Comme

$$ v_n \underset{\sim}{\to} v \quad \text{faiblement dans } L^2(0,T) \text{ et} $$

$$ \left\|v_n\right\|_{L^2(0,T)} \underset{\sim}{\to} \left\|v\right\|_{L^2(0,T)} $$

on déduit finalement que

$$ v_n \underset{\sim}{\to} v \quad \text{dans } L^2(0,T) - \text{fort.} \quad \blacksquare $$

Notons le résultat supplémentaire aussi obtenu

**Corollaire 3.1**

Supposons $v > 0$ dans (3.4),

Alors de toute suite minimisante $v_n$ on peut extraire une sous suite qui converge fortement dans $L^2(0,T)$ vers un contrôle optimal. ■
Remarque 3.4

Le contrôle optimal n'étant pas unique on ne peut espérer une con-
vergence de toute la suite minimisante mais le résultat du Corollaire 3.1
est néanmoins important pour les applications numériques. On trouvera d'autres
situations analogues dans BIDAUT [1] , EKELAND [1] .
IV - RESOLUTION NUMERIQUE DU PROBLEME DE CONTROLE.

4.1. CALCUL DU GRADIENT DE LA FONCTION COUT.

Le problème linéarisé

Soit (y₁,y₂,λ) la solution du Problème 1 calculée pour une fonction
u ∈ Uad.

On cherche alors (ŷ₁(t), ů₂(t), λ̂(t)) ∈ V₁ × V₂ × IR tels que

$$
(4.1) \qquad \frac{\partial \hat{y}_1}{\partial t} + A_1 \hat{y}_1 = 0
$$

$$
(4.2) \qquad \frac{\partial \hat{y}_2}{\partial t} + A_2 \hat{y}_2 = 0
$$

$$
(4.3) \qquad \hat{y}_1(0) = 0 \quad ; \quad \hat{y}_2(0) = 0
$$

les conditions aux limites étant

$$
(4.4) \quad \int_{\Gamma_1} \frac{\partial \hat{y}_1}{\partial v_{A_1}} \, d\Gamma_1 + 4(a+c) \langle y_1 \rangle^3 \langle \hat{y}_1 \rangle - 4 a \lambda^3 \hat{\lambda} - 4 c \langle y_2 \rangle^3 \langle \hat{y}_2 \rangle = 0
$$

$$
(4.5) \quad \int_{\Gamma_2} \frac{\partial \hat{y}_2}{\partial v_{A_2}} \, d\Gamma_2 + 4(c+d) \langle y_2 \rangle^3 \langle \hat{y}_2 \rangle - 4 d \lambda^3 \hat{\lambda} - 4 c \langle y_1 \rangle^3 \langle \hat{y}_1 \rangle = 0
$$

$$
(4.6) \qquad \hat{y}_2 \big|_s = 0
$$

$$
(4.7) \quad 4(a+d) \lambda^3 \hat{\lambda} - 4a \langle y_1 \rangle^3 \langle \hat{y}_1 \rangle - 4d \langle y_2 \rangle^3 \langle \hat{y}_2 \rangle = -ug \hat{\lambda} + (h-g\lambda)v
$$

avec v vérifiant

$$
v(t) \ge 0 \quad \text{pp : sur } [0,T]
$$
**Proposition 4.1**

Pour v **donné dans** $U$ le problème linéarisé (4.1)...(4.7) admet une
solution unique $(\hat{y}_1(v), \hat{y}_2(v), \hat{\lambda}(v))$ telle que

$$
(4.8) \qquad \hat{y}_i(v) \in L^2(0,T; V_i) \cap L^\infty(0,T; H_i) \quad i=1,2
$$

$$
(4.9) \qquad \langle \hat{y}_i(v) \rangle \in L^2(0,T) \qquad i=1,2
$$

$$
(4.10) \qquad \hat{\lambda}(v) \in L^2(0,T)
$$

Démonstration.

Il faut d'abord reformuler le problème linéarisé sous forme variation-
nelle. Pour cela on procéde exactement comme pour le Problème 1 mais ici tout
est linéaire.

La seule chose à vérifier pour avoir l'existence d'une solution est la coerci-
vité de l'opérateur d'espace. Pour cela posons

$$
\hat{y}_i = \varphi_i e^{\sigma t} \qquad \hat{\lambda}(t) = \mu e^{\sigma t}
$$

le problème se ramène alors à la vérification de l'inégalité

$$
\[
\begin{array}{@{}l@{}}
\displaystyle \sum_{i=1}^{2} \left\{ a_i (\varphi_i, \varphi_i) + \sigma |\varphi_i|^2_{L^2(\Omega_i)} \right\} + 4(a+c) \langle y_1 \rangle^3 \langle \varphi_1 \rangle^2 - 4 a \lambda^3 \mu \langle \varphi_1 \rangle - \\
\quad - 4 c \langle y_2 \rangle^3 \langle \varphi_2 \rangle \langle \varphi_1 \rangle + 4(c+d) \langle y_2 \rangle^3 \langle \varphi_2 \rangle^2 - 4 d \lambda^3 \mu \langle \varphi_2 \rangle - \\
\quad - 4 c \langle y_1 \rangle^3 \langle \varphi_1 \rangle \langle \varphi_2 \rangle + 4(a+d) \lambda^3 \mu^2 + u g \mu^2 - 4 a \langle y_1 \rangle^3 \langle \varphi_1 \rangle \mu - \\
\quad - 4 d \langle y_2 \rangle^3 \langle \varphi_2 \rangle \mu \geq c ( \|\varphi_1\|_1^2 + \|\varphi_2\|_2^2 + \mu^2 ) .
\end{array}
\]
$$

(σ étant convenablement choisi).
Compte tenu des propriétés des formes bilinéaires $a_i(\cdot, \cdot)$ on peut minorer le
membre de gauche de (4.11) par

$$
(4.12) \quad \left\{
\begin{aligned}
& \sum_{i=1}^{2} \left\{ |\nabla_i \varphi_i|^2_{L^2(\Omega_i)} + \sigma |\varphi_i|^2_{L^2(\Omega_i)} \right\} + 2 \langle \varphi_1 \rangle^2 \left( (a+c) \langle y_1 \rangle^3 - a \lambda^3 - c \langle y_2 \rangle^3 \right) + \\
& \qquad + 2 \langle \varphi_2 \rangle^2 \left( (c+d) \langle y_2 \rangle^3 - d \lambda^3 - c \langle y_1 \rangle^3 \right) + 2 \mu^2 \left( (a+d) \lambda^3 - a \langle y_1 \rangle^3 - \right. \\
& \qquad \left. - d \langle y_2 \rangle^3 \right) + u \mu^2 .
\end{aligned}
\right.
$$

Remarquons tout d'abord que l'on a

$$
(4.13) \qquad (a+d) \lambda^3 - a \langle y_1 \rangle^3 - d \langle y_2 \rangle^3 + ug \ge A > 0
$$

En effet $y_1, y_2$ et vérifient l'équation

$$
(a+d) \lambda^4 - a \langle y_1 \rangle^4 - d \langle y_2 \rangle^4 + ug \lambda = uh.
$$

En supposant alors qu'on a $\lambda \le y_1$ $\lambda \le y_2$ (ce qui est le cas intérés-
sant sinon (4.13) est évident) on obtient (4.13) d'après les relations :

$$
(a+d) \lambda^4 - a \langle y_1 \rangle^3 \lambda - d \langle y_2 \rangle^3 \lambda + ug \lambda = uh + a \langle y_1 \rangle^3 (\langle y_1 \rangle - \lambda) + d \langle y_2 \rangle^3 (\langle y_2 \rangle - \lambda) \ge \\
\text{Finalement, } \lambda \text{ étant dans } L^\infty(0,T) \text{ (4.12) peut être minorée par l'expression} \\
\ge uh
$$

$$
X = \sum_{i=1}^{2} \left\{ |\nabla \varphi_i|^2_{L^2(\Omega_i)} + \sigma |\varphi_i|^2_{L^2(\Omega_i)} \right\} + A_1 \langle \varphi_1 \rangle^2 + A_2 \langle \varphi_2 \rangle^2 + A \mu^2
$$

avec (1) $A > 0$ et $A_1$ et $A_2$ de signes quelconques.

En utilisant alors l'inégalité de trace (3.29) on obtient

$$
(4.14) \quad X \ge (1-A_1\delta_1) |\nabla \varphi_1|^2_1 + (\sigma-A_1c_1(\delta_1)) |\varphi_1|^2_1 + (1-A_2\delta_2) |\nabla \varphi_2|^2_2 + \\
\qquad + (\sigma-A_2c_2(\delta_2)) |\varphi_2|^2_2 + A \mu^2 .
$$

<footnote>(1) le cas $u=0$ sur $(t_o, t_1)$ se traite, en fait, un peu différemment car on a
$A=0$.</footnote>
Prenons alors dans (4.14)

$$
\delta_i < \frac{1}{c_i} \text{ et } \sigma > \max_{i=1,2} \{ A_i c_i (\delta_i) \}
$$

ce qui donne (4.11). ■

Pour calculer la dérivée de J(v) par rapport à v nous allons chercher la
dérivée de Gateaux de J sur u<sub>ad</sub>.

**Proposition 4.2**

Soit $(\hat{y}_1, \hat{y}_2, \hat{\lambda})$ la solution du Problème linéarisé, alors on a

$$
(4.14) \qquad \hat{y}_1 = \left. \frac{d}{d\theta} y_1(u+\theta v) \right|_{\theta=0} \qquad (\theta > 0)
$$

<u>Ceci pour tout</u> v tel qu'il existe θ > 0 vérifiant

$$
u + \theta v \in u_{\text{ad}} .
$$

Démonstration
---

Posons

$$
y_i = y(u) \qquad y_{i\theta} = y(u+\theta v) \qquad z_{i\theta} = \frac{y_\theta - y}{\theta}
$$

$$
\lambda = \lambda(u) \qquad \lambda_{\theta} = \lambda(u+\theta v) \qquad \mu_{\theta} = \frac{\lambda_{\theta} - \lambda}{\theta}
$$

Enonçons alors l'équation satisfaité par (z<sub>1θ</sub>, z<sub>2θ</sub>, μ<sub>θ</sub>) :

$$
(4.15) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{dz_{1\theta}}{dt} + A_1 z_{1\theta} = 0 \qquad \frac{dz_{2\theta}}{dt} + A_2 z_{2\theta} = 0 \\[1em]
\qquad z_{1\theta}(0) = 0 \qquad \qquad z_{2\theta}(0) = 0 \qquad z_{2\theta}|_{S} = 0
\end{array}
\right.
$$

$$
(4.16) \quad \int_{\Gamma_1} \frac{\partial z_1}{\partial n} d\Gamma_1 + (a+c) c_{1\theta} z_{1\theta} - a c_{\theta} \mu_{\theta} - c c_{2\theta} z_{2\theta} = 0
$$
$$
(4.17) \quad \int_{\Gamma_2} \frac{\partial z_{2\theta}}{\partial n} d\Gamma_2 + (c+d) C_{2\theta} z_{2\theta} - d C_{\theta} \mu_{\theta} - c C_{1\theta} z_{1\theta} = 0
$$

$$
(4.18) \quad (a+d)C_{\theta} \mu_{\theta} - aC_{1\theta} z_{1\theta} - dC_{2\theta} z_{2\theta} = -ug \mu_{\theta} + v(h-g \lambda_{\theta})
$$

avec

$$
C_{i\theta} = \langle y_i \rangle^3 + \langle y_i \rangle^2 \langle y_{i\theta} \rangle + \langle y_i \rangle \langle y_{i\theta} \rangle^2 + \langle y_{i\theta} \rangle^3 .
$$

$$
C_{\theta} = \lambda^{3} + \lambda^{2}\lambda_{\theta} + \lambda_{\theta}^{2} + \lambda_{\theta}^{3} .
$$

En démontrant, comme pour le **Problème linéarisé**, la coercivité de l'opérateur linéaire on obtient des majorations à priori sur ($z_{1\theta}$, $z_{2\theta}$, $\lambda_\theta$) qui permettent de passer à la limite dans (4.15)-(4.18) et on obtient bien alors
le **Problème linéarisé** (4.1)-(4.7). ■

Définissons maintenant $\ell'$

Etat adjoint

Soit {$y_1(u), y_2(u), \lambda(u)$} la solution du Problème 1 avec $v=u$.
L'état adjoint $(p_1(u), p_2(u), \pi(u))$ est définit comme l'unique solution
de

$$
(4.19) \qquad (p_1(t), p_2(t), \pi(t)) \in V_1 \times V_2 \times \mathbb{R}
$$

$$
(4.20) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
- \frac{\partial p_1}{\partial t} + A_1^* p_1 = y_1 - z_d \\[1em]
\qquad p_1(T) = 0
\end{array}
\right.
$$

$$
(4.21) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
- \frac{\partial p_2}{\partial t} + A_2^* p_2 = 0 \\[1em]
\qquad p_2(T) = 0
\end{array}
\right.
$$

$$
(4.22) \qquad p_2|_S = 0
$$
$$
(4.23) \quad \int_{\Gamma_1} \frac{\partial p_1}{\partial \nu_{A_1}^*} \, d\Gamma_1 + 4(a+c) \langle y_1(u) \rangle^3 \langle p_1 \rangle - 4c \langle y_1(u) \rangle^3 \langle p_2 \rangle - 4 \alpha \langle y_1 \rangle^3 \pi = 0
$$

$$
(4.24) \quad \int_{\Gamma_2} \frac{\partial p_2}{\partial \nu_{A_2}^*} \, d\Gamma_2 + 4(c+d) \langle y_2(u) \rangle^3 \langle p_2 \rangle - 4 \alpha \langle y_2(u) \rangle^3 \langle p_1 \rangle - 4 d \langle y_2(u) \rangle^3 \pi = 0
$$

$$
(4.25) \quad (4(a+d) \lambda^3(u) + ug)\pi - 4a\lambda^3(u) \langle p_1 \rangle - 4d\lambda^3(u) \langle p_2 \rangle = 0
$$

Nous pouvons alors énoncer le

Théorème 4.1

La fonctionnelle J(v) définie par (3.5) est dérivable au sens de Gateaux
sur u_ad et sa dérivée est donnée par

$$
(4.26) \quad (J'(u),v) = 2 \int_0^T \{ (h-g \lambda(t;u)) \pi(t) + vu(t) \} v(t) \, dt
$$

Démonstration

D'après la définition de J on a :

$$
(J'(u).v) = 2 \int_{Q_1} (y_1 - z_d, \hat{y}_1) dx \, dt + 2\nu \int_0^T u(t)v(t) dt
$$

Compte tenu de la définition de l'état adjoint on a

$$
\int_Q (y_1 - z_d, \hat{y}_1) dx \, dt = \int_0^T (h-g \lambda(t;u)) \pi(t) \, dt
$$

d'où (4.36).

Remarque 4.1

On pourrait démontrer par un raisonnement analogue à ce qui vient d'être
fait que la fonctionnelle J(v) est différentiable au sens de FRECHET sur
u_ad, c'est à dire qu'il existe J'(u) ∈ ℒ (u, ℝ) telle que

$$
\lim_{\|v\| \to 0} | J(u+v) - J(u) - (J'(u),v) | = 0
$$

ceci pour tout v tel que u+v ∈ u_{ad} .
Il est à noter ici qu'on ne peut utiliser le Théorème de Fonctions implicites, comme il est fait dans CHAVENT (1) par exemple, car on ne peut plonger $u_{ad}$ dans un ouvert plus grand sur lequel J soit différentiable. En effet on ne sait pas trouver la solution du **Problème 1** pour $v < 0$. ■

## 4.2. LES ALGORITHMES D'OPTIMISATION.

En général dans les problèmes de contrôle optimal non linéaire il y existe très peu d'algorithmes efficaces. La principale difficulté est due au fait que les fonctionnelles re sont pas convexes.

Les algorithmes que nous avons essayés pour résoudre le problème de contrôle ont été de deux types :

- Les méthodes type "gradient"

- Les méthodes de linéarisation.

Nous allons donner un exposé succinct des méthodes pratiquement utilisées sans en donner de justification théorique.

### 4.2.1. Les Méthodes du type "gradient".

La remarque suivante est fondamentale en ce qui concerne l'utilisation des méthodes de descente en contrôle optimal.

#### Remarque 4.2

Toute méthode de descente élaborée (gradient conjugué par exemple) requiert à chaque itération une recherche de minimum de la fonction coût suivant une direction donnée. Cette recherche nécessite, pour les cas non quadratiques, l'utilisation d'un algorithme séquentiel ; ce qui implique à chaque itération un grand nombre d'évaluations de la fonction économique, donc un grand nombre d'intégrations des équations d'état. Cette phase de l'algorithme est en général très coûteuse en temps-machine et est donc à éliminer sauf dans certains cas particuliers. ■
Les méthodes utilisées ont été les suivantes :

### a) Le gradient

Comme on l'a vu l'état adjoint défini par les équations (4.20) permet de définir le gradient de J au point u.

L'algorithme s'écrit alors

$$ (4.37) \qquad u^{n+1} = u^n - \rho^n g^n \qquad g^n = J'(u^n) $$

Le choix de $\rho^n$ peut se faire alors de plusieurs façons :

a) Steepest descent - $\rho^n$ est déterminé de façon à minimiser $J(u^{n+1})$

b) On choisit $\rho^n$ par des divers procédés (1) de façon à réaliser

$$ J(u^{n+1}) \le J(u^n) - \varepsilon $$

pour $\varepsilon$ fixé au début de l'algorithme.

### b) Le gradient conjugué

Nous ne rappelerons pas ici le principe de cette méthode mais nous insis- tons sur le fait qu'elle est à priori peu intéressante pour ce type de pro- blème étudié. En effet elle nécessite la recherche d'un pas optimal, opé- ration qui, comme nous l'avons déjà signalé, coûte très cher en temps-machine. Ceci nous a amenés à essayer d'approcher le $\rho$ optimal par des méthodes d'interpolation ou d'extrapolation, méthodes finalement peu précises en général.

### 4.2.2. La méthode de linéarisation.

C'est une méthode d'où dans le cas d'un critère quadratique est équivalente à la méthode de Newton-Raphson. Elle consiste à générer une suite de contrôle $u_n$ en linéarisant les équations d'état :

On définit ainsi $(\hat{y}_1(u_n), \hat{y}_n(u_n), \hat{\lambda}(u_n))$ solution des équations (4.1)...(4.7) avec dans le membre de droite de (4.7) u remplacé par $u_n$.

<footnote>(1) Nous ne détaillons pas ces procédés purement techniques.</footnote>
Le calcul de $u_{n+1}$ se fait en résolvant le Problème de contrôle

$$ (4.38) \qquad \overset{\sim}{J}(u_{n+1}) = \inf_{\{v \mid u_n + v \in u_{ad}\}} \overset{\sim}{J}(u_n + v) $$

où $\tilde{J}$ est donné par

$$ \tilde{J}(u_n + v) = |y_1(u_n) + \hat{y}_1(v) - z_d|^2 + v \quad \|u_n + v\|_u^2 $$

Cette méthode présente l'avantage de se ramener au cas quadratique à chaque itération (ce qui permet l'utilisation des techniques appropriées : gradient conjugué, méthode de FLETCHER et POWELL etc...).

Cependant sur ce problème précis elle s'est révélée plus lente que les méthodes de type gradient utilisées directement sur le problème initial.

On trouvera dans EL FATTAH (1) des exemples où cette méthode est mieux adaptée au problème traité.
# V - RESULTATS NUMERIQUES.

## 5.1. QUELQUES REMARQUES SUR L'INTEGRATION DES EQUATIONS D'ETAT.

Les deux outils essentiels sont constitués par la résolution

- des équations d'Etat

- des équations adjointes (Equations (4.19)...(4.25))

Nous avons étudié trois méthodes : schéma implicite, schéma "découplé" et schéma explicite.

### a) Schéma implicite

A chaque pas de temps on a un système non-linéaire à résoudre. Nous avons essayé plusieurs techniques :

- relaxation non linéaire ponctuelle,

- relaxation par bloc : on résout successivement les systèmes linéaires par rapport à $y_1$ et $y_2$ puis le système non-linéaire en $\{\alpha_1, \alpha_2, \lambda\}$.

La méthode par bloc s'est révélée être beaucoup plus rapide dans un rapport de 1 à 20 !

### b) Schéma découplé

Le principe consiste à décaler des points d'intégration en temps pour les systèmes en $y_1$ et $y_2$ :

On calcule $y_1$ aux temps 0, k, 2k,...,

et $y_2$ et $\lambda$ aux temps 0, $\frac{k}{2}$, $\frac{3k}{2}$,....,

On découple ainsi le système car pour chaque pas en temps on intègre de façon séparée les deux systèmes $y_1$ et $y_2$. L'équation $\lambda$ restant couplée au système $y_2$, par exemple.

Cette méthode donne des résultats moins précis mais est évidemment plus rapide que la méthode implicite.
### c) Schéma explicite

Sur les exemples pratiques traités numériquement, le rayon de stabilité étant relativement grand ($\approx 40$) nous avons pu utiliser dans certains cas la méthode explicite (avec cependant une résolution implicite des conditions aux limites). Cette méthode est la plus rapide.

#### Remarque 5.1

Il faut bien noter que les méthodes précédentes s'appliquent toutes très facilement dans le cas où l'opérateur d'espace est lui même non linéaire du type

$$ (5.1) \qquad \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \sigma(y) \frac{\partial y}{\partial x_i} \right) $$

car la fonction

$$ z \rightarrow \sigma(z) $$

est très régulière en pratique. On peut donc traiter la non linéarité de façon explicite i.e. à chaque pas de temps on résout

$$ \frac{y^{n+1} - y^n}{k} + \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \sigma(y^n) \frac{\partial y^{n+1}}{\partial x_i} \right) = f $$

pour le schéma implicite par exemple. ■

Nous donnons à titre indicatif quelques valeurs du temps de calcul correspondant aux différents schémas : Temps CII 10 070

<table><tr><td>Implicite</td><td>Relaxation ponctuelle</td><td>1mn 30s</td></tr><tr><td></td><td>Relaxation par bloc</td><td>12s</td></tr></table>

Schéma découplé : 6s

Schéma explicite : 4s

<figure><img src="image_8.png" /></figure>
## 5.2. LES EXEMPLES TRAITÉS.

Nous nous sommes efforcés d'étudier un exemple relativement réel. Plus précisément nous avons utilisé des données correspondant à la réalité bien que nous ayons, sans aucun doute, effectués de nombreuses simplifications. Nous avons traité trois séries d'exemples.

### A - Exemple test

Les coefficients utilisés dans les équations du système n'ont aucun rapport avec la réalité mais nous avons utilisé cet exemple pour tester les méthodes de résolution.

### B - Exemple avec des données réelles

Nous avons étudié le système avec des coefficients correspondant à la réalité. Notons simplement les simplifications suivantes :

1. On a pris la fonction $\sigma$ de l'équation (5.1) comme constante (valeur moyenne).

2. Les "coefficients de forme" des relations (1.3)(1.14)(1.15) sont sujets à caution car ils dépendent énormément des cas concrets en-visagés.

3. Nous avons considéré la paroi du four comme homogène ce qui conduit à prendre une densité et une conductivité thermique moyenne.

On trouvera dans LEROY-YVON (2) des résultats correspondant à des coefficients plus réalistes. Les valeurs des constantes utilisées sont données par le Tableau de la Figure 17, avec $0 < t_o$.

### B2 - Observation finale

Le critère est maintenant

$$ (5.3) \qquad J(v) = \int_{\Omega_1} |y_1(x,T;v) - z_1(x)|^2 dx + v \int_0^T |v(t)|^2 dt $$
Remarquons alors qu'en faisant tendre $v$ vers zéro dans l'expression (5.3) on résout en fait un problème avec contrainte sur l'état :

$$ (5.4) \qquad \Min_{v \in L^\infty(0,T)} \int_0^T |v(t)|^2 dt $$

sous la contrainte

$$ (5.5) \qquad y_1(x,T;v) = z_d(x). $$

Ce problème (5.4) (5.5) étant le plus intéressant car il correspond à des préoc- cupations pratiques évidentes (la contrainte d'homogénéité déjà signalée au §1.3.2. étant très importante pour le traitement métallurgique du lingot). Ce critère est d'ailleur classique cf. par exemple BUTKOVSKII (1). CAMBON et LE LETTY (1).

## 5.3. LES RESULTATS.

### A - Exemple test

Nous ne donnerons pas de détails sur les résultats comparatifs entre les différentes méthodes et nous renvoyons pour une étude générale à D. LEROY (1).

Nous avons simplement représenté sur la *Figure 5* les résultats obtenus par 3 méthodes différentes. Il y a une assez bonne concordance entre les différents contrôles obtenus, mais comme nous l'avons déjà signalé la méthode du gradient est la plus rapide.

### B - Exemple avec données réelles

Nous avons en général traité deux cas :

- 1 lingot de 6 x 0.5 x 0.5 m

- 12 lingots de 2 x 0.5 x 0.5 m

(les 12 lingots se comportant de façon identique bien entendu).
### Remarque 5.2

Pour chaque exemple traité nous avons toujours utilisé une méthode itérative sur $v$ pour obtenir en général un contrôle optimal avec $v = 10^{-5}$.

### Figure 6

(1 lingot) Cette figure représente les valeurs du contrôle optimal obtenu pour $v = 10^{-5}$ en prenant différentes valeurs pour $t_o$ dans le critère (5.2) avec $T=10h$. L'état désiré était donné par

$$z_d(x,t) = 40.t + 1150 \text{ (degrés K).}$$

### Figure 7

(1 lingot) Valeurs moyennes en espace de $y_1$ représentées en fonction du temps correspondant aux différents contrôles optimaux obtenus précédemment.
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 5</figcaption></figure>

Problème test

Observation répartie

Contrôle
(v=1)

Linéarisation + Ritz-Galerkin

Linéarisation + Grad. Conjugué

Gradient
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 6</figcaption></figure>
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 7</figcaption></figure>
### Figure 8

(12 lingots). Egalement observation répartie avec $T=10h$ et $t_o=1h$. On a tracé les valeurs de la température à coeur et températures de surface, ce qui permet de montrer le degré d'homogénéité obtenu pendant la dernière heure on a pris

$$z_d(x,t) = 1550 \ (°K).$$

### Figure 9

(12 lingots). Contrôle optimal correspondant à la figure précédente.

## B2 - Observation finale

Compte tenu du fait qu'à chaque fois nous avons fait tendre vers zéro nous avons résolu le Problème avec contrainte sur l'état final (5.4) (5.5).

Cette contrainte a toujours été prise de la forme suivante

$$(5.6) \qquad y(x,T,v) = 1550°K.$$

### Figure 10

(1 lingot). On a représenté les valeurs en fonction du temps de différents contrôles optimaux obtenus et ceci pour $T=4, 5, 6, 7$ heures.

### Figure 11

(1 lingot). Valeur de l'état pour $T=5h$.

### Figure 12

Profil en fonction de l'espace des températures finales du lingot (pour une section médiane) du gaz et des parois).

### Figure 13

(12 lingots). Contrôles optimaux obtenus pour différentes valeurs finales $T=5, 6, 10h$.

### Figure 14

(12 lingots). Etat correspondant au contrôle optimal $T=6h$.

### Figure 15

(12 lingots). Mêmes courbes que précédemment avec $T=10h$.
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 8</figcaption></figure>
<figure><img src="image_13.png" /></figure>
<figure><img src="image_14.png" /></figure>
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 11</figcaption></figure>
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 12</figcaption></figure>

<figure><img src="image_17.png" /></figure>
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Figure 13</figcaption></figure>
Observation finale (12 lingots)

TEMPS FINAL : 6h

ETAT

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure 14</figcaption></figure>
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Figure 15</figcaption></figure>
### 5.4. REMARQUES FINALES.

Les résultats sur les problèmes avec contrainte sur l'état final sont satisfaisants en ce sens que l'inhomogénéité finale de la température du lingot correspond aux normes requises dans la pratique. Notons que nous n'avons pas introduit de contraintes<sup>(1)</sup> sur le contrôle car celles-ci ne se sont pas avérées nécessaires, les résultats obtenus étant satisfaisants.

Les temps machine sont relativement élevés lorsqu'on utilise des méthodes de pénalisation. Avec un schéma explicite, par exemple, il faut compter 10 à 15 mn de 10 070 pour obtenir une bonne approximation du contrôle optimal. Cependant, compte tenu du fait que le problème est traité avec 2 dimensions d'espace ces temps ne paraissent pas excessifs. La conduite en temps réel de tels processus nécessite en général, une simplification considérable du modèle de façon à pouvoir utiliser un calculateur hybride.

La méthode du gradient donne des résultats satisfaisants bien qu'elle présente des inconvénients (bien connus) à proximité d'un optimum. On trouvera Figure 16 une courbe représentant les variations de la fonction économique en fonction des itérations. Il est à noter le gain très important réalisé dès les premières itérations sur la fonction coût ce qui indique bien la sensibilité de l'état par rapport au contrôle.

<footnote>(1) Autres que $u \ge 0$ évidemment!</footnote>
<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Figure 16</figcaption></figure>
- Figure 17 -

Charge

<table><tr><td>ρ<sub>1</sub></td><td>Masse spécifique</td><td>7.500kg/m<sup>3</sup></td></tr><tr><td>c<sub>1</sub></td><td>Chaleur massique</td><td>0,16keal/kg°C</td></tr><tr><td>k<sub>1</sub></td><td>Conductibilité thermique</td><td>30 keal/m-h-°c</td></tr></table>

Paroi

<table><tr><td>ρ<sub>2</sub></td><td>Masse spécifique moyenne</td><td>2.200 kg/m<sup>3</sup></td></tr><tr><td>c<sub>2</sub></td><td>Chaleur massique moyenne</td><td>0,20 keal/kg°C</td></tr><tr><td>k<sub>2</sub></td><td>Conductibilité thermique moyenne</td><td>1,2 keal/m-h-°c</td></tr></table>

Gaz-Fumées-Air

<table><tr><td>T<sub>a</sub></td><td>Température d'entrée de l'air</td><td>800°C</td></tr><tr><td>c<sub>a</sub></td><td>Chaleur spécifique de l'air</td><td>0,3 keal/kg°C</td></tr><tr><td>c<sub>f</sub></td><td>Chaleur spécifique des fumées</td><td>0,3 10<sup>-3</sup> keal/kg°C</td></tr><tr><td>θ</td><td>Température de flamme</td><td>2 000°C</td></tr><tr><td>σ</td><td>Coefficient de pondération dans (1.6)</td><td>0,5</td></tr><tr><td>η</td><td>Pouvoir comburivore du mazout</td><td>13,35 Nm<sup>3</sup>/kg</td></tr></table>

Coefficients de transfert

<table><tr><td>σ</td><td>Constante de Boltzmann</td><td>4,96 10<sup>-8</sup> keal/m-h-°K<sup>4</sup></td></tr><tr><td>F<sub>λ<sub>1</sub></sub></td><td>Coefficient de forme pour le rayonnement entre gaz et charge</td><td>0,1</td></tr><tr><td>F<sub>λ<sub>2</sub></sub></td><td>Coefficient de forme pour le rayonnement entre gaz et paroi</td><td>0,2</td></tr></table>
F₁₂
Coefficient de forme pour le rayonnement entre paroi et charge

μex
Coefficient d'action pour la convexion avec l'air ambiant

Tex
Température de l'air ambiant

Combustible

kg PCI du combustible 9.800 keal/kg
- BIBLIOGRAPHIE -

<table>
  <tr>
    <td>M.F. BIDAUT</td>
    <td>(1)</td>
    <td>Thèse Paris (1973).</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>A.G. BUTKOVSKIY</td>
    <td>(1)</td>
    <td>"Distributed Control Systems".</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>P. CAMBON</td>
    <td>(1)</td>
    <td>"Application des techniques de décomposition</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>L. LE LETTY</td>
    <td></td>
    <td>à la commande optimale de systèmes régis par<br>des équations aux dérivées partielles".<br>R.I.R.O. Décembre 1972.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>G. CHAVENT</td>
    <td>(1)</td>
    <td>Thèse Paris 1971.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>I. EKELAND</td>
    <td>(1)</td>
    <td>Thèse Paris 1970.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>EL FATTAH</td>
    <td>(1)</td>
    <td>Thèse Le Caire 1972.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>D. LEROY</td>
    <td>(1)</td>
    <td>Thèse de 3ème Cycle Paris 1972.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>D. LEROY</td>
    <td>(2)</td>
    <td>A paraître</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>J.P. YVON</td>
    <td></td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>J.L. LIONS</td>
    <td>(1)</td>
    <td>"Quelques méthodes de résolution des problèmes<br>aux limites non linéaires".<br>DUNOD Paris 1969.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>F. MURAT</td>
    <td>(1)</td>
    <td>Note au C.R.A.S. 1972.</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>K. YOSIDA</td>
    <td>(1)</td>
    <td>"Functionnal Analysis".<br>SPRINGER-VERLAG.</td>
  </tr>
</table>