## Sur la recherche d'une condition de planeité d'un arc simple de Jordan.

Par

Georges Bouligand (Poitiers).

1. Soient, dans l'espace euclidien à trois dimensions, les axes Oxyz. Soit d'autre part le continu jordanien défini par les équations

$$x=f(t) \quad y=g(t) \quad z=h(t).$$

Une condition pour sa planeité est la suivante, ou condition A:

Il existe trois constantes a, b, c telles que la fonction

$$\varphi(t) = af(t) + bg(t) + ch(t)$$

ait, d'un côté déterminé, la droite par exemple, ses nombres dérivés de signes contraires, lorsque chacun diffère de zéro.

Cet énoncé est un corollaire immédiat de ce théorème.

Si l'on sait que les deux nombres dérivés à droite d'une fonction $\varphi(t)$ ne sont jamais simultanément différents de zéro et de même signe, la fonction est constante <fnref n="1" />).

2. Cet énoncé faisant intervenir la représentation paramétrique, j'ai cherché une condition intrinsèque de planeité, applicable à un arc simple <fnref n="2" />). En chaque point M d'un tel arc AB, je prends le système des demi-tangentes à la portion MB postérieure à M <fnref n="3" />),

système auquel j'ai donné, en raison de son utilité fréquente, le nom de contingent: une demi-droite MT fait partie du contingent d'un ensemble ponctuel E en un point d'accumulation M de E, si tout cône circulaire droit, de sommet M et d'axe MT enferme quelque point de E distinct de M (d'où résulte aussitôt que le contingent est fermé).

3. Dans mon article cité du *Bulletin des Sciences Mathématiques*, j'ai énoncé que l'arc simple AB est plan si l'on sait qu'il existe un plan Π tel qu'en chaque point N de AB, le contingent de la portion MB postérieure à M englobe toujours une demi-droite parallèle à Π. Mais ma démonstration est défectueuse et cette condition B, aussi bien que les conséquences C, D qui en sont données dans la section II de ma note aux *Comptes Rendus* (30 nov. 1930, t, 191, p. 822—823) doivent être considérées comme faisant l'objet d'autant de questions demeurant en suspens. La condition B n'est d'ailleurs pas réductible à la condition A: en prenant Π pour plan des xy, B signifie que zéro est l'une des valeurs limites possibles de $\frac{h(t+\epsilon) - h(t)}{\sqrt{[f(t+\epsilon) - f(t)]^2 + [g(t+\epsilon) - g(t)]^2}}$ pour $\epsilon > 0$ tendant vers zéro; A exprime dans le cas envisagé la même propriété pour $\frac{h(t+\epsilon) - h(t)}{\epsilon}$

dans les mêmes conditions, l'existence d'un demi-plan osculateur de chaque côté résulte du même principe, et de son côté M. Gaston Rabaté en a étendu aussi le champ d'applications. Voir pour toutes ces questions son mémoire développé qui paraîtra incessamment aux Annales de Toulouse, et en attendant, mon article *Sur quelques points de Méthodologie Géométrique* — Revue Générale des Sciences. 15 novembre 1930.

<footnote n="1">¹) Lebesgue, *L'œufs sur l'Intégration*, 2ᵉ édition, p. 77.</footnote>

<footnote n="2">²) Sur une condition de planeité d'un arc simple. Bull. des Scienc. Math. Mai 1930.</footnote>

<footnote n="3">³) C'est de ce système que je me suis servi, t. XV, 1930, p. 215—318, du présent recueil, pour démontrer l'existence des demi-tangentes à une courbe simple de Jordan, lorsque tout plan la coupe en un nombre fini de points. J'ai prouvé que</footnote>