und $\mathfrak{D}$ aus $\mathfrak{S}_2$ ist etwas umständlicher. Eine gewisse Schwierigkeit verursacht übrigens nur das Postulat $\mathfrak{D}$. Es kommt darauf an, um zu zeigen, dass jede von $0$ verschiedene Menge $X \in \mathfrak{R}$ eine „atomistische“ Untermenge enthält, d. h. solch eine andere, ebenfalls von $0$ verschiedene Menge $Y \in \mathfrak{R}$, welche keine anderen Mengen der Klasse $\mathfrak{R}$ umfasst, als $0$ und sich selbst. Zu diesem Zweck betrachten wir ein beliebiges Element $x \in X$ und setzen: $Y = \mathbb{P} \cap Z$; $x \in Z$ und $Z \in \mathfrak{R}$

auf Grund von (1) und (2) ist es nicht schwer zu beweisen, dass die Menge $Y$ gerade solch eine „atomistische“ Menge ist $^a$). Der Satz ist also bewiesen.

Den Sinn des Satzes 8 könnte man in folgender Weise ausdrücken: das atomistische System der Boole'schen Algebra ist mit dem gewöhnlichen Klassenkalkül isomorph. In diesem Satz ist ausserdem eine ziemlich interessante Tatsache aus dem Gebiet der Mengenlehre enthalten: jede Klasse von Mengen $\mathfrak{R}$, welche die Bedingungen (1) und (2) des Postulats $\mathfrak{S}_2$ erfüllt (d. h. in Bezug auf die Operationen der Komplementbildung und der unbegrenzten Addition abgeschlossen ist), ist bezüglich der Inklusions beziehung mit der Klasse aller Untermengen einer gewissen Menge $E$ isomorph.

## Sur la séparabilité multiple des ensembles.

Par
Stanisław Ruziewicz (Lwów).

Soit $K$ une classe donnée, formée d'éléments quelconques et soit $\Phi$ une famille donnée de sous-ensembles de $K$. La famille $\Phi$ sera dite (*simplement*) additive (resp. multiplicative) si, $E_1$ et $E_2$ étant deux ensembles de la famille $\Phi$, leur somme $E_1 + E_2$ (resp. leur produit $E_1 \times E_2$) appartient encore à $\Phi$.

Nous dirons que la famille $\Phi$ admet le second principe de M. Lusin si $E_1$ et $E_2$ étant deux ensembles de la famille $\Phi$, il existe deux ensembles $H_1$ et $H_2$, tels que $H_1 H_2 = 0$, $E_1 - E_2 \subset H_1$, $E_2 - E_1 \subset H_2$, $K - H_1 \in \Phi$ et $K - H_2 \in \Phi$.

Nous dirons que la famille $\Phi$ admet le second principe de M. Lusin généralisé si, étant donné un nombre fini d'ensembles de la famille $\Phi$, $E_1, E_2, \dots, E_n$, il existe des ensembles $H_1, H_2, \dots, H_n$, tels que $H_1 H_2 \dots H_n = 0$ et que $K - H_1 \in \Phi$ et $E_1 - E_2 \dots E_n \subset H_1$ pour $i = 1, 2, \dots, n$ $^1)$. Si cela a lieu pour un nombre $n$ fixe d'ensembles, nous dirons que la famille $\Phi$ jouit de la propriété $P_n$.

Le but de cette Note est de démontrer le théorème suivant:

**Théorème.** Si la famille $\Phi$ (de sous-ensembles d'une classe $K$ quelconque) est (*simplement*) additive et multiplicative et si elle admet le second principe de M. Lusin, elle admet le second principe de M. Lusin généralisé.

Ce théorème est une généralisation d'une proposition démontrée par M. N. Lusin d'après laquelle la famille de tous les ensembles analytiques jouit de la propriété $P_3$ $^2)$. Il est à remarquer que notre

<footnote>$^a$) Vergl. meine Arbeit: *Sur les classes d'ensembles closes par rapport à certaines opérations élémentaires*, Fund. Math., vol. 16, pp. 235 ff.</footnote>

<footnote>$^1$) W. Sierpiński, *Fund. Math.* t. 23, p. 293.</footnote>

<footnote>$^2$) N. Lusin, *C. R. de l'Acad. des Sc. de l'URSS* vol. II, p: 282 (séance du 19. IV. 1934).</footnote>
théorème permet de déduire le théorème III de M. Sierpiński, démontré dans le t. XXIII des *Fundamenta Mathematicae*, p. 300-303 (que la famille $\Phi_\alpha$ de tous les ensembles $Q^\alpha$ admet le second principe de M. Lusin généralisé), immédiatement du théorème que M. Sierpiński a démontré dans *Mathematica* (Cluj 1932), vol. VI, p. 117 (que la famille $\Phi_\alpha$ admet le second principe de M. Lusin). Il est aussi à remarquer que notre théorème ne peut pas être généralisé pour une suite infinie d'ensembles $E_1, E_2, E_3, \dots$, ce qui résulte d'une remarque de M. Sierpiński, *Fund. Math.* t. XXIII, p. 303.

## Démonstration.

Nous démontrerons notre théorème par l'induction. D'après la condition de notre théorème, la famille $\Phi$ jouit de la propriété $P_2$. Il suffira donc de démontrer que si la famille $\Phi$ (de sous-ensembles d'une classe K) est (simplement) additive et multiplicative et si elle jouit (pour un nombre naturel $n > 2$) de la propriété $P_k$, pour $2 \le k \le n - 1$, elle jouit aussi de la propriété $P_n$.

**Lemme I.** $E_1, E_2, \dots, E_n$ étant des ensembles quelconques (où $n > 1$), on a l'identité

$$ (1) \quad \begin{aligned} E_1 - E_1 E_2 \dots E_n = & (E_1 - E_2)(E_1 - E_n) + (E_1 - E_3)(E_1 - E_n) + \\ & \dots + (E_1 - E_{n-1})(E_1 - E_n) + (E_1 - E_n)(E_{n-1} - E_n) + \\ & + (E_1 - E_2)(E_n - E_2) + (E_1 - E_3)(E_n - E_3) + \\ & \dots + (E_1 - E_{n-1})(E_n - E_{n-1}). \end{aligned} $$

Démonstration. Soit $p \in E_1 - E_2 - E_3 \dots E_n$. On a donc $p \in E_1$ et $p$ non $\in E_l$, où $i$ est un indice, tel que $2 \le i \le n$. Distinguons deux cas :

1) $p \in E_n$. Dans ce cas on a $p$ non $\in E_l$, où $2 \le i \le n - 1$, donc $p \in (E_1 - E_l)(E_n - E_l)$.

2) $p$ non $\in E_n$. Si $p \in E_{n-1}$, on a $p \in (E_1 - E_n)(E_{n-1} - E_n)$, et si $p$ non $\in E_{n-1}$, on a $p \in (E_1 - E_{n-1})(E_1 - E_n)$.

Donc, si $p$ appartient au côté gauche de la formule (1), $p$ appartient aussi au côté droit de cette formule. Or, il est évident que si $p$ appartient au côté droit de la formule (1), on a $p \in E_1$ et $p$ n'appartient pas à un au moins des ensembles $E_2, E_3, \dots, E_n$: on a donc $p \in E_1 - E_2 - E_3 \dots E_n$.

L'identité (1) est ainsi établie.

De l'identité (1) on tire $n - 1$ nouvelles identités en échangeant successivement les indices 1 et 2, puis 1 et 3, ..., enfin 1 et $n$. On obtient ainsi avec (1) les $n$ identités

$$ (2) \quad \left\{ \begin{array}{l} E_1 - E_1 E_2 \dots E_n = (E_1 - E_2)(E_1 - E_n) + (E_1 - E_3)(E_1 - E_n) + \\ \quad \dots + (E_1 - E_{n-1})(E_1 - E_n) + (E_1 - E_n)(E_{n-1} - E_n) + \\ \quad + (E_1 - E_2)(E_n - E_2) + \dots + (E_1 - E_{n-1})(E_n - E_{n-1}), \\ \\ E_2 - E_1 E_2 \dots E_n = (E_2 - E_1)(E_2 - E_n) + (E_2 - E_3)(E_2 - E_n) + \\ \quad \dots + (E_2 - E_{n-1})(E_2 - E_n) + (E_2 - E_n)(E_{n-1} - E_n) + \\ \quad + (E_2 - E_1)(E_n - E_1) + \dots + (E_2 - E_{n-1})(E_n - E_{n-1}), \\ \\ E_n - E_1 E_2 \dots E_n = (E_n - E_2)(E_n - E_1) + (E_n - E_3)(E_n - E_1) + \\ \quad \dots + (E_n - E_{n-1})(E_n - E_1) + (E_n - E_1)(E_{n-1} - E_1) + \\ \quad + (E_n - E_2)(E_1 - E_2) + \dots + (E_n - E_{n-1})(E_1 - E_{n-1}). \end{array} \right. $$

Nous allons maintenant à définir (pour $n \ge 3$) les ensembles $H_l(j)$ ($i \ne j$; $i = 1, 2, \dots, n$; $j = 1, 2, \dots, n$) comme il suit.

Soient $i$ et $j$, deux indices donnés différents $\le n$.

D'après l'hypothèse, la famille $\Phi$ jouit de la propriété $P_k$ pour $2 \le k \le n - 1$, donc, en particulier, de la propriété $P_2$ (puisque $n \ge 3$).

Il existe donc deux ensembles disjoints $H_l(j)$ et $H_j(i)$, dont les complémentaires (par rapport à $K$) appartiennent à la famille $\Phi$ et telles que

$$ (3) \quad E_l - E_l E_j \subset H_l(j) \quad \text{et} \quad E_j - E_l E_j \subset H_j(i). $$

Si $n > 3$, la famille $\Phi$ jouit (d'après l'hypothèse) de la propriété $P_3$ et il existe pour tout nombre naturel $s$, où $1 \le s \le n$, $s \ne i$ et $s \ne j$, trois ensembles $H_l(j, s)$, $H_j(i, s)$, $H_s(i, j)$, dont le produit est vide et dont les complémentaires appartiennent à $\Phi$ et tels que

$$ E_l - E_l E_j E_s \subset H_l(j, s), \quad E_j - E_l E_j E_s \subset H_j(i, s), \quad E_s - E_l E_j E_s \subset H_s(i, j). $$

Généralement (si $n > 3$), $r$ étant un indice $\le n - 3$ (la famille $\Phi$ jouissant de la propriété $P_k$ pour $k \le n - 1$), il existe pour tout système $s_1, s_2, \dots, s_r$ de $r$ nombres de la suite $1, 2, \dots, n$, distincts de $i$ et de $j$, $r + 2$ ensembles

$$ H_l(j, s_1, s_2, \dots, s_r), H_j(i, s_1, s_2, \dots, s_r), H_s(i, j, s_1, \dots, s_r), \\ \dots, H_{s_1}(i, j, s_1, s_2, \dots, s_{r-1}), H_{s_2}(i, j, s_1, \dots, s_{r-1}), \dots, H_{s_r}(i, j, s_1, \dots, s_{r-1}). $$
dont le produit est vide et dont les complémentaires appartiennent à $\emptyset$, et tels que

$$E_l - E_l E_j E_{s_1} E_{s_2} \dots E_{s_r} \subset H_l(j, s_1, s_2, \dots, s_r),$$

$$E_j - E_l E_j E_{s_1} E_{s_2} \dots E_{s_r} \subset H_j(i, s_1, s_2, \dots, s_r),$$

$$E_{s_1} - E_l E_j E_{s_1} E_{s_2} \dots E_{s_r} \subset H_{s_1}(i, j, s_2, \dots, s_r),$$

$$E_{s_l} - E_l E_j E_{s_1} E_{s_2} \dots E_{s_r} \subset H_{s_l}(i, j, s_1, \dots, s_{l-1}, s_{l+1}, \dots, s_r),$$

$$E_{s_r} - E_l E_j E_{s_1} E_{s_2} \dots E_{s_r} \subset H_{s_r}(i, j, s_1, \dots, s_{r-1}).$$

Nous poserons :

$$ (4) \quad H_{l,j} = H_l(j) \cdot \prod_{s_1} H_l(j, s_1) \cdot \prod_{t_1, t_2} H_l(j, t_1, t_2) \dots \prod_{x_1, x_2, \dots, x_{n-3}} H_l(j, z_1, z_2, \dots, z_{n-3}), $$

où $\prod_{l_1, l_2, \dots, l_k} H_l(j, l_1, l_2, \dots, l_k)$ désigne (pour $k \le n-3$) le produit de tous les ensembles $H_l(j, l_1, l_2, \dots, l_k)$ correspondant à tous les systèmes de $k$ nombres $l_1, l_2, \dots, l_k$ de la suite $1, 2, \dots, n$ distinct de $i$ et de $j^1$.

Il résulte tout de suite de (3) et (4) que

$$ (5) \qquad E_l - E_j \subset H_{l,j}. $$

Soit maintenant $a_1, a_2, \dots, a_k$, où $k \le n-1$, une suite croissante de nombres naturels. Nous dirons que les ensembles

$$ H_{a_1 b_1}, H_{a_2 b_2}, \dots, H_{a_k b_k} \quad (\text{où } a_i \neq b_i \text{ pour } i=1, 2, \dots, k) $$

forment un cycle, si $b_1, b_2, \dots, b_k$ sont des nombres de la suite $a_1, a_2, \dots, a_k$ (pas nécessairement distincts).

**Lemme II.** Le produit des ensembles formant un cycle est (pour $k \le n-1$) un ensemble vide.

**Démonstration.** L'ensemble

$$ (6) \qquad H_{a_1 b_1} H_{a_2 b_2} \dots H_{a_k b_k} $$

contient, comme il résulte de la définition des ensembles $H_{l,j}$ (formule (4)), le facteur

$$ (7) \quad H_{a_1}(b_1, s_1, s_2, \dots, s_{k-2}) H_{a_2}(b_2, t_1, t_2, \dots, t_{k-2}) \dots H_{a_k}(b_k, z_1, z_2, \dots, z_{k-2}) $$

où $s_1, s_2, \dots, s_{k-2}$ sont tous les nombres de la suite $a_1, a_2, \dots, a_k$ autres que $a_1, b_1$, puis, $t_1, t_2, \dots, t_{k-2}$ sont tous les nombres de la suite $a_1, a_2, \dots, a_k$, autres que $a_2$ et $b_2$, enfin $z_1, z_2, \dots, z_{k-2}$ sont tous les nombres de la suite $a_1, a_2, \dots, a_k$ autres que $a_k$ et $b_k$. D'après la définition des ensembles $H_l(j, s_1, s_2, \dots, s_r)$ le produit (7) est donc vide. L'ensemble (6), en tant que contenant un facteur vide, est donc vide et le lemme II est démontré.

De (2) et (5) on tire les formules :

$$ (8) \quad \left\{ \begin{array}{l} E_3 - E_1 E_2 \dots E_n \subset H_{1,2} H_{1,n} + H_{1,3} H_{1,n} + \dots + H_{1,n-1} H_{1,n} + \\ \qquad + H_{1,n} H_{n-1,n} + H_{1,2} H_{n,2} + H_{1,3} H_{n,3} + \dots + H_{1,n-1} H_{n,n-1}, \\[2ex] E_2 - E_1 E_2 \dots E_n \subset H_{2,1} H_{2,n} + H_{2,3} H_{2,n} + \dots + H_{2,n-1} H_{2,n} + \\ \qquad + H_{2,n} H_{n-1,n} + H_{2,1} H_{n,1} + H_{2,3} H_{n,3} + \dots + H_{2,n-1} H_{n,n-1}, \\[2ex] E_k - E_1 E_2 \dots E_n \subset H_{k,2} H_{k,n} + H_{k,3} H_{k,n} + \dots + H_{k,n-1} H_{k,n} + \\ \qquad + H_{k,n} H_{n-1,n} + H_{k,2} H_{n,2} + H_{k,3} H_{n,3} + \dots + H_{k,n-1} H_{n,n-1} \\[2ex] E_{n-1} - E_1 E_2 \dots E_n \subset H_{n-1,2} H_{n-1,n} + H_{n-1,3} H_{n-1,n} + \dots + H_{n-1,1} H_{n-1,n} + \\ \qquad + H_{n-1,n} H_{1,n} + H_{n-1,2} H_{n,2} + H_{n-1,3} H_{n,3} + \dots + H_{n-1,1} H_{n,1}, \\[2ex] E_n - E_1 E_2 \dots E_n \subset H_{n,2} H_{n,1} + H_{n,3} H_{n,1} + \dots + H_{n,n-1} H_{n,1} + \\ \qquad + H_{n,1} H_{n-1,1} + H_{n,2} H_{n,1} + H_{n,3} H_{n,1} + \dots + H_{n,n-1} H_{n,1} \end{array} \right. $$

Divisons les $2n-3$ termes du côté droit de chaque ligne de formule (8) en trois groupes, en rangeant dans le premier groupe les $n-2$ premiers termes, dans le deuxième groupe un seul terme suivant et dans le troisième groupe les $n-2$ termes qui restent.

Nous démontrerons maintenant que le produit des côtés droits des formules (8) est vide.

Considérons donc un terme $F$ de $(2n-3)^n$ termes de ce produit.

Supposons que $F$ contient comme facteurs du 1er groupe

$$ (9) \qquad H_{a_1 b_1} H_{a_2 b_2} \dots H_{a_r b_r} H_{a_{r+1} e} $$

où $\epsilon = n$ si $a_r < n$, et $\epsilon = 1$ si $a_r = n$; comme facteurs du troisième groupe

$$ (10) \qquad H_{c_1 d_1} H_{c_2 d_2} H_{c_3 d_3} \dots H_{c_r d_r} H_{a_{r+1} e} $$

et supposons que les $n-r-s$ facteurs restants appartiennent au deuxième groupe aux lignes $g_1, g_2, \dots, g_{n-r-s}$: ces facteurs sont de la

<footnote n="1">¹) On peut admettre que $l_1 < l_2 < \dots < l_k$, les ensembles $H_l(j, l_1, l_2, \dots, l_k)$ étant égaux pour toutes les permutations du système donné $l_1, l_2, \dots, l_k$.</footnote>
forme $H_{g_1,n} H_{n-1,n}$ si $g_1 < n - 1$, de la forme $H_{1,n} H_{n-1,n}$ si $g_1 = n - 1$ et de la forme $H_{g_1,1} H_{n-1,1}$, si $g_1 = n$.

La suite de $n$ nombres

$$a_1, a_2, \dots, a_r, c_1, c_2, \dots, c_s, g_1, g_2, \dots, g_{n-r-s}$$

ne diffère que peut être par l'orde de leur termes de la suite $1, 2, 3, \dots, n$.

I) Supposons d'abord que $r > 0$, $s > 0$, $n - r - s > 0$, c'est-à-dire que le produit $F$ contient effectivement les facteurs de chacun de nos trois groupes.

Distinguons ici les cas suivants:

1) Tous les nombres $d_l$ sont pris parmis les $c_1, c_2, \dots, c_s$. Dans ce cas (d'après $s < n$) les premiers facteurs des ensembles (10) forment un cycle: leur produit est donc vide, d'où $F = 0$.

2) Il existe deux indices $i$ et $j$, tels que $d_i = a_j$.

Le produit des ensembles (9) et (10) contient dans ce cas les facteurs $H_{a_j,n}$ et $H_{n,a_j}$, dont le produit est vide (puisque ces deux ensembles forment un cycle), d'où $F = 0$.

3) Il existe deux indices $i$ et $j$, tels que $d_i = g_j$. Dans ce cas on a $g_j < n$, le troisième groupe ne contenant pas le facteur $H_{n,n}$. Alors le produit des ensembles (10) par les facteurs du troisième groupe contient les facteurs $H_{n,g_j}$ et $H_{g_1,n}$, dont le produit est vide. On a donc $F' = 0$.

II) Supposons que $r = 0$, $s > 0$, $n - r - s > 0$. Dans ce cas ou bien tous les $d_l$ appartiennent à la suite $c_1, c_2, \dots, c_s$ et alors, d'après $s < n$, les premiers facteurs des ensembles (10) forment un cycle, d'où $F = 0$, ou bien un $d_l$ est un $g_j$, d'où, comme dans $I_s$, nous concluons que $F' = 0$.

III) Supposons que $n - r - s = 0$, $r \ge 0$, $s \ge 0$.

Considérons le produit de ces des ensembles (9) et (10) qui appartiennent au premières $n - 1$ lignes.

Ce produit contient les facteurs

$$H_{a_1 b_1} H_{a_2 b_2} \dots H_{a_{p_r} b_r} H_{c_1 d_1} H_{c_2 d_2} \dots H_{c_{s-1} d_{s-1}}$$

resp. les facteurs

$$H_{a_1 b_1} H_{a_2 b_2} \dots H_{a_{p_r-1} b_{r-1}} H_{c_1 d_1} H_{c_2 d_2} \dots H_{c_s d_s}$$

Dans les deux cas on a $a_i \le n - 1$, $b_i \le n - 1$, $c_i \le n - 1$, $d_i \le n - 1$ pour chaque $i$ correspondant à ces facteurs, et chacun de ces deux produits contient $n - 1$ facteurs du type $H_{i,j}$. Les facteurs de nos produits forment donc des cycles, d'où $F' = 0$.

IV) Supposons que $n - r - s = n$, donc que $r = 0$ et $s = 0$. Le produit $F$ contient dans ce cas comme facteurs tous et seulement les termes du deuxième groupe, Mais le premier terme de ce groupe est $H_{1,n} H_{n-1,n}$ et le dernier est $H_{n,1} H_{1,n-1,1}$, d'où, d'après $H_{1,n} H_{n,1} = 0$, nous concluons que $F = 0$.

V) Supposons enfin que $s = 0$, $r \ge 0$, $n - r - s \ge 0$.

Si $r = 0$, nous avons le cas IV), si $n - r - s = 0$, nous avons le cas III). Soit donc $r > 0$ et $n - r - s > 0$. Le terme $F$ contient alors comme facteurs seulement les ensembles du premier et du deuxième groupe. Mais chaque terme de la $1$re ligne du premier et du deuxième groupe contient le facteur $H_{1,n}$ et de la dernière ligne — le facteur $H_{n,1}$: on a donc encore dans ce cas $F = 0$.

Chacun de $(2n - 3)^n$ termes $F$ du point de côtes droits des formules (8) est donc vide, d'où il résulte que ce produit lui-même est un ensemble vide.

Nous avons donc démontré que les ensembles $E_l - E_1 E_2 \dots E_n$ sont contenus respectivement dans les ensembles $H_l (i = 1, 2, \dots, n)$, dont le produit est vide.

Or, il résulte sans peine des propriétés de la famille $\Phi$ et des formules de de Morgan que $K - H_l \in \Phi$ pour $i = 1, 2, \dots, n$.

Notre théorème est ainsi démontré.