<figure><img src="image_1.png" /></figure>

BLAISE PASCAL

AMNA DABAA

Comportement asymptotique des solutions d'un système
d'équations de Schrödinger-Poisson sur un domaine borné
de R³

Volume 17, n° 1 (2010), p. 199-232.

<http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2010__17_1_199_0>

© Annales mathématiques Blaise Pascal, 2010, tous droits réservés.

L'accès aux articles de la revue « Annales mathématiques Blaise Pascal » (http://ambp.cedram.org/), implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://ambp.cedram.org/legal/). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

Publication éditée par le laboratoire de mathématiques
de l'université Blaise-Pascal, UMR 6620 du CNRS
Clermont-Ferrand — France
# Comportement asymptotique des solutions d'un système d'équations de Schrödinger-Poisson sur un domaine borné de $\mathbb{R}^3$

## AMNA DABAA

### Résumé

Nous étudions le comportement pour les grands temps de l'équation de Schrödinger-Poisson (NLSP) avec un terme de force extérieure supplémentaire et un terme de dissipation d'ordre zéro, la variable d'espace $x$ étant dans un domaine borné $\Omega$ de $\mathbb{R}^3$. Nous démontrons que ce comportement est décrit par un attracteur global de dimension de Hausdorff finie pour la topologie forte de $H_0^1(\Omega)$.

## 1. Introduction

Nous étudions le comportement asymptotique lorsque le temps tend vers l'infini des solutions des équations de Schrödinger-Poisson (NLSP) avec non linéarité cubique en présence d'un terme de force et d'un terme de dissipation, la variable d'espace $x$ étant dans un domaine borné $\Omega$ de $\mathbb{R}^3$.

Ce modèle intervient en mécanique quantique pour les très petits dispositifs semi-conducteurs (nous pensons ici aux nanostructures) où la structure quantique doit être prise en compte (cf [10], [7], [11], [8]).

Nous démontrons que ce comportement est décrit par un attracteur qui attire toutes les trajectoires dans $H_0^1(\Omega)$. De plus on montre que notre attracteur est de dimension de Hausdorff finie dans $H_0^1(\Omega)$.

L'équation de Schrödinger-Poisson, appelée aussi équation de Hartree, présentée avec amortissement et force extérieure,

$$ \begin{cases} u_t + \gamma u + i\Delta u + iu\phi = f, \\ \pm \Delta \phi = |u|^2, \end{cases} \qquad (1.1) $$

<footnote>Mots-clés: Équations de Schrödinger, Attracteurs.</footnote>

<footnote>Classification math.: 35B41, 35Q55.</footnote>
A. DABAA

avec des conditions aux limites $\phi = u = 0$ sur $\partial\Omega$. L'équation $\pm\Delta\phi = |u|^2$ avec le signe -, i.e $-\Delta\phi = |u|^2$ correspond au cas focalisant, avec le signe + correspond au cas défocalisant.

La force extérieure $f$ est supposée dans $L^2(\Omega)$ et $\gamma > 0$ est le paramètre d'amortissement.

L'inconnue $u(t,x)$ est une fonction à valeurs complexes; dans la suite $u(t) = u(t, \cdot) \in H_0^1(\Omega)$.

Par l'injection de Sobolev $H_0^1(\Omega) \hookrightarrow L^6(\Omega)$, le potentiel $\phi$ vérifie $\Delta\phi \in L^3(\Omega)$ et par conséquent $\phi \in W^{2,3}(\Omega)$.

On définit la condition de Cauchy associée à cette équation par

$$u(0) = u_0 \quad \text{dans} \quad H_0^1(\Omega).$$

Nous énonçons maintenant notre résultat principal

**Théorème 1.1.** *Les systèmes dynamiques sur $H_0^1(\Omega)$ définis par (1.1) respectivement dans le cas focalisant ou défocalisant possèdent un attracteur global compact qui est de dimension finie dans $H_0^1(\Omega)$.*

Notre article est alors organisé comme suit.

La section 2 est consacrée à démontrer que $u_0 \to u(t)$ définit bien un semi-groupe, i.e. à montrer l'existence d'une solution globale en temps et l'unicité de la solution par rapport à la donnée initiale (cf [3], [9], [6]).
Au passage, nous prouvons la dissipativité du dit semi-groupe, i.e. l'existence d'un borné absorbant (cf [4], [9]).

Dans la section 3, nous démontrons l'existence d'un attracteur global $\mathcal{A}$ pour (NLSP) dans $H_0^1(\Omega)$ (cf [4], [2]).

Dans la section 4, nous démontrons que cet attracteur est de dimension de Hausdorff finie dans $H_0^1(\Omega)$ (cf [5], [12]).

## 2. Définir un semi-groupe

### 2.1. Problème de Cauchy

Nous étudions le problème de Cauchy associé à l'équation (1.1), avec $x$ dans un domaine borné $\Omega$ de $\mathbb{R}^3$.

Pour $u_0$ donnée dans $H_0^1(\Omega)$ et $T \ge 0$, on définit $E = \mathbf{C}([0, T]; H_0^1(\Omega))$ muni de la norme

$$\|u\|_E = \sup_{[0,T]} ||u(t)||_{H_0^1}.$$
## COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES SOLUTIONS

Pour $f \in L^2(\Omega)$, on peut écrire l'équation (1.1) sous la forme suivante

$$u_t + (\gamma + i\Delta)u = f - iu\phi. \quad (2.1)$$

En intégrant l'équation (2.1) sur $[0,t]$, nous obtenons la formulation "mild" de l'équation

$$u(t) = e^{-tK}u_0 - i \int_0^t e^{-(t-s)K} F(u(s))ds, \quad (2.2)$$

tel que $K = (\gamma + i\Delta)$. En posant $U(t) = e^{-tK}$ et $F(u(s)) = f - iu(s)\phi(s)$, on peut écrire l'équation (1.1) sous la forme suivante

$$u(t) = U(t)u_0 - i \int_0^t U(t-s)F(u(s))ds. \quad (2.3)$$

On pose

$$\psi(u(t)) = U(t)u_0 - i \int_0^t U(t-s)F(u(s))ds. \quad (2.4)$$

D'une part le groupe libre $e^{-tK}$ est contractant sur $H_0^1(\Omega)$ (de norme $e^{-\gamma t}$), d'autre part $u \mapsto F(u)$ est une application localement lipschitzienne sur $H_0^1(\Omega)$ (ce point sera démontré en fin de cette section). Par conséquent, on peut faire un point fixe dans $E$ et construire une solution "mild" (qui est alors une solution faible classique).

**Proposition 2.1.** Pour $u_0$ donné dans $H_0^1(\Omega)$, avec $\Omega$ est un domaine borné de $\mathbb{R}^3$, il existe une solution locale $u \in \mathbf{C}([0,T]; H_0^1(\Omega))$ où $T$ une fonction décroissante de $||u_0||_{H_0^1}$, et le semi-groupe $S(t) : u_0 \mapsto u(t)$ est continu sur $H_0^1(\Omega)$.

La démonstration de la Proposition 2.1 est analogue à celle du Théorème 7.4.1 dans [3].

Pour être complet nous énonçons et démontrons que la non linéarité est une application localement lipschitzienne.

**Lemme 2.2.** Soit $u \mapsto \phi$, $\phi$ vérifie l'équation suivante

$$\left\{ \begin{array}{l} \pm \Delta \phi = |u|^2 \\ \phi = 0 \quad \partial \Omega. \end{array} \right. \quad (2.5)$$

Alors on a bien, si $||u||_{H_0^1} \le R$,

$$||\phi||_{H_0^1} \le cR^2.$$
A. DABAA

Démonstration. En utilisant l'injection de Sobolev $H_0^1 \hookrightarrow L^4$ ; et l'inégalité
de Poincaré, il vient

$$
\begin{align*}
\| \nabla \phi \|_{L^2}^2 &= \mp \int |u|^2 \phi \\
&\le \| \phi \|_{L^2} \| u \|_{L^4}^2 \\
&\le c \| \nabla \phi \|_{L^2} \| \nabla u \|_{L^2}^2.
\end{align*}
$$

Ce qui donne

$$
\begin{aligned}
\| \nabla \phi \|_{L^2} &\le c \| \nabla u \|_{L^2}^2 \\
&\le c R^2.
\end{aligned}
$$

□

**Lemme 2.3.** *Soit u ↦→ φ_u ; v ↦→ φ_v, deux fonctions qui vérifient les équations suivantes*

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\pm \Delta \phi_u = |u|^2 \\
\phi_u = 0 \quad \partial \Omega,
\end{array}
\right.
\qquad (2.6)
$$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\pm \Delta \phi_v = |v|^2 \\
\phi_v = 0 \quad \partial \Omega.
\end{array}
\right.
\qquad (2.7)
$$

Alors on a bien

$$
\|\phi_u - \phi_v\|_{L^\infty} \le cR \|u - v\|_{H_0^1}.
$$

Démonstration. En utilisant les injections de Sobolev $W^{2,3} \hookrightarrow L^\infty$, et $H_0^1 \hookrightarrow L^6$, on a

$$
\begin{align*}
\| \phi_u - \phi_v \|_{L^\infty} &\le c \| \phi_u - \phi_v \|_{W^{2,3}} \\
&\le c \| \Delta (\phi_u - \phi_v) \|_{L^3} \\
&\le c \| |u|^2 - |v|^2 \|_{L^3} \\
&\le c \| |u - v| \|_{L^6} \| |u| + |v| \|_{L^6} \\
&\le c R \| |u - v| \|_{H_0^1}.
\end{align*}
$$

□

En dimension 3, le problème est que $H_0^1(\Omega)$ n'est pas une algèbre.
Il faut montrer que $u \mapsto \phi u$ est localement lipschitzienne sur $H_0^1(\Omega)$.

Soient $u, v$ sont dans $H_0^1(\Omega)$, tel que $\|u\|_{H_0^1(\Omega)} \le R$, $\|v\|_{H_0^1(\Omega)} \le R$.

Alors on a $u, v \in L^6(\Omega)$, ainsi $|u|^2, |v|^2 \in L^3(\Omega)$, et par suite $\phi_u, \phi_v \in W^{2,3}(\Omega)$.
**Lemme 2.4.** La fonction $u \mapsto u\phi$ où $\phi$ définie par $\pm\Delta\phi = |u|^2$ est localement lipschitzienne sur les bornés de $H_0^1(\Omega)$.

*Démonstration.* En utilisant l'injection de Sobolev $H_0^1 \hookrightarrow L^6$, on obtient l'estimation suivante

$$
\begin{align*}
\|\phi_u u - \phi_v v\|_{H_0^1} &= \|\phi_u u - \phi_u v + \phi_u v - \phi_v v\|_{H_0^1} \\
&= \|\phi_u(u-v) + v(\phi_u - \phi_v)\|_{H_0^1} \\
&\le \|\phi_u(u-v)\|_{H_0^1} + \|v(\phi_u - \phi_v)\|_{H_0^1} \\
&\le \|\nabla(\phi_u(u-v))\|_{L^2} + \|\nabla(v(\phi_u - \phi_v))\|_{L^2} \\
&\le \|\phi_u \nabla(u-v)\|_{L^2} + \|\nabla \phi_u(u-v)\|_{L^2} + \\
&\phantom{\le} \quad \|v \nabla(\phi_u - \phi_v)\|_{L^2} + \|\nabla v(\phi_u - \phi_v)\|_{L^2} \\
&\le \|\phi_u\|_{L^\infty} \|u-v\|_{H_0^1} + \|\nabla \phi_u\|_{L^3} \|u-v\|_{L^6} \\
&\quad + \|v\|_{L^6} \|\nabla(\phi_u - \phi_v)\|_{L^3} + \|v\|_{H_0^1} \|\phi_u - \phi_v\|_{L^\infty} \\
&\le c \|\phi_u\|_{W^{2,3}} \|u-v\|_{H_0^1} + c \|\Delta\phi_u\|_{L^3} \|u-v\|_{H_0^1} \\
&\quad + c \|v\|_{H_0^1} \|\Delta[\phi_u - \phi_v]\|_{L^3} + c R \|v\|_{H_0^1} \|u-v\|_{H_0^1} \\
&\le c \|u\|_{H_0^1}^2 \|u-v\|_{H_0^1} + c R \|v\|_{H_0^1} \|u-v\|_{H_0^1} \\
&\le C R^2 \|u-v\|_{H_0^1}.
\end{align*}
$$

□

## 2.2. Dissipativité du semi-groupe

Nous commençons par établir l'existence d'un borné absorbant dans $L^2(\Omega)$.

**Lemme 2.5.** Soit $u$ une solution de (1.1). Alors

$$ \|u\|_{L^2}^2 \le e^{-\gamma t} \|u_0\|_{L^2}^2 + \frac{\|f\|_{L^2}^2}{\gamma^2} (1 - e^{-\gamma t}). $$

*Démonstration.* On multiplie la première équation du système (1.1) par $\bar{u}$, et en prenant la partie réelle de cette quantité, il vient

$$ \frac{1}{2} \frac{d}{dt} \|u\|_{L^2}^2 + \gamma \|u\|_{L^2}^2 \le \frac{1}{2\gamma} \|f\|_{L^2}^2 + \frac{\gamma}{2} \|u\|_{L^2}^2 $$
ainsi

$$
\begin{align*}
\frac{1}{2} \frac{d}{dt} \|u\|_{L^2}^2 &\le \frac{1}{2\gamma} \|f\|_{L^2}^2 + \frac{\gamma}{2} \|u\|_{L^2}^2 - \gamma \|u\|_{L^2}^2 \\
&\le \frac{1}{2\gamma} \|f\|_{L^2}^2 + \gamma \|u\|_{L^2}^2 (\frac{1}{2} - 1) \\
&\le \frac{1}{2\gamma} \|f\|_{L^2}^2 - \frac{\gamma}{2} \|u\|_{L^2}^2,
\end{align*}
$$

et par suite

$$
\frac{d}{dt} \|u\|_{L^2}^2 \le \frac{1}{\gamma} \|f\|_{L^2}^2 - \gamma \|u\|_{L^2}^2.
$$

En appliquant le lemme de Gronwall on obtient

$$
\|u\|_{L^2}^2 \le e^{-\gamma t} \|u_0\|_{L^2}^2 + \frac{\|f\|_{L^2}^2}{\gamma^2} (1 - e^{-\gamma t}). \quad (2.8)
$$

☐

Nous établissons maintenant une égalité d'énergie

**Lemme 2.6.** Soit $u$ une solution de (1.1). Si

$$
\mathbf{J}(u) = \|\nabla u\|_{L^2}^2 \pm \frac{1}{2} \|\nabla \phi\|_{L^2}^2 + 2Im \int f \bar{u},
$$

et

$$
\mathbf{F}(u) = \|\nabla u\|_{L^2}^2 \pm \|\nabla \phi\|_{L^2}^2 + \mathrm{Im} \int f \bar{u}.
$$

Alors

$$
\frac{d}{dt} \mathbf{J}(u) + 2\gamma \mathbf{F}(u) = 0.
$$

Démonstration. On multiplie la première équation du système (1.1) par
$i(\bar{u}_t + \gamma\bar{u})$, et en prenant la partie réelle de cette quantité, il vient alors

$$
- \frac{1}{2} \frac{d}{dt} ||\nabla u||_{L^2}^2 - \gamma ||\nabla u||_{L^2}^2 \mp \gamma ||\nabla \phi||_{L^2}^2 \mp \\
\frac{1}{4} \frac{d}{dt} ||\nabla \phi||_{L^2}^2 - \frac{d}{dt} \mathrm{Im} \int f \bar{u} - \gamma \mathrm{Im} \int f \bar{u} = 0,
$$
d'où

$$
\begin{aligned}
& \frac{d}{dt} \left( \|\nabla u\|_{L^2}^2 \pm \frac{1}{2} \|\nabla \phi\|_{L^2}^2 + 2Im \int f \bar{u} \right) \\
& \qquad + 2\gamma \left( \|\nabla u\|_{L^2}^2 \pm \|\nabla \phi\|_{L^2}^2 + Im \int f \bar{u} \right) = 0.
\end{aligned}
$$

On pose

$$
\mathbf{J}(u) = \|\nabla u\|_{L^2}^2 \pm \frac{1}{2} \|\nabla \phi\|_{L^2}^2 + 2Im \int f \bar{u},
$$

et

$$
\mathbf{F}(u) = \|\nabla u\|_{L^2}^2 \pm \|\nabla \phi\|_{L^2}^2 + Im \int f \bar{u}.
$$

Finalement

$$
\frac{d}{dt} \mathbf{J}(u) + 2\gamma \mathbf{F}(u) = 0.
$$

☐

Nous distinguons maintenant les cas focalisant et défocalisant

**Cas focalisant** $\pm = -$ . Les fonctionnelles impliquées dans l'égalité d'énergie s'écrivent alors.

$$
\mathbf{J}(u) = \|\nabla u\|_{L^2}^2 - \frac{1}{2} \|\nabla \phi\|_{L^2}^2 + 2Im \int f \bar{u}.
$$

$$
\mathbf{F}(u) = \|\nabla u\|_{L^2}^2 - \|\nabla \phi\|_{L^2}^2 + Im \int f \bar{u}.
$$

**Proposition 2.7.** *Dans le cas focalisant la solution est globale.*

Démonstration. On va établir une relation entre J(u) et F(u),

$$
\mathbf{J}(u) - \mathbf{F}(u) \le \frac{1}{2} \|\nabla \phi\|_{L^2}^2 + \|f\|_{L^2} \|u\|_{L^2}.
$$

En multipliant par $2\gamma$, on obtient

$$
2\gamma \mathbf{J}(u) - 2\gamma \mathbf{F}(u) \leq \gamma \|\nabla \phi\|_{L^2}^2 + \gamma (\|f\|_{L^2}^2 + \|u\|_{L^2}^2),
$$

donc on a

$$
-2\gamma \mathbf{F}(u) \leq -2\gamma \mathbf{J}(u) + \gamma \|\nabla \phi\|_{L^2}^2 + \gamma (\|f\|_{L^2}^2 + \|u\|_{L^2}^2),
$$

ce qui donne

$$
\frac{d}{dt} \mathbf{J}(u) \le -2\gamma \mathbf{J}(u) + \gamma \|\nabla \phi\|_{L^2}^2 + \gamma (\|f\|_{L^2}^2 + \|u\|_{L^2}^2). \quad (2.9)
$$
A. DABAA

Il faut estimer $\nabla\phi$, $\nabla\phi_0$ en norme $L^2$, afin de contrôler le membre de droite de (2.9).

On a

$$ \Delta\phi = -|u|^2, \\ \|\Delta\phi\|_{L^1} = \|u\|_{L^2}^2 \le L, \text{ où } L = \max \left( \|u_0\|_{L^2}^2, \frac{\|f\|_{L^2}^2}{\gamma^2} \right). $$

Par l'injection de Sobolev

$$ W^{1,1} \hookrightarrow L^{\frac{3}{2}}, $$

on a

$$ \|\nabla\phi\|_{L^{\frac{3}{2}}} \le c\|u\|_{L^2}^2 \le cL; $$

et par l'injection de Sobolev

$$ W^{1, \frac{3}{2}} \hookrightarrow L^3, $$

on a

$$ \|\phi\|_{L^3} \le c\|u\|_{L^2}^2 \le cL; $$

d'où

$$ \int \phi \Delta \phi = \pm \int \phi |u|^2, $$

$$ \int |\nabla \phi|^2 = \mp \int \phi |u|^2; $$

ainsi

$$ \begin{aligned} \|\nabla\phi\|_{L^2}^2 &\le c\|\phi\|_{L^3}\|u\|_{L^3}^2 \\ &\le cL\|u\|_{L^3}^2 \\ &\le cL\|u\|_{L^2}\|u\|_{L^6} \\ &\le cL^{\frac{3}{2}}\|u\|_{L^6} \\ &\le cL^{\frac{3}{2}}\|\nabla u\|_{L^2}. \end{aligned} $$

D'autre part

$$ \begin{aligned} \mathbf{J}(u) &= \|\nabla u\|_{L^2}^2 - \frac{1}{2}\|\nabla\phi\|_{L^2}^2 + 2Im \int f\bar{u} \\ &\ge \|\nabla u\|_{L^2}^2 - \frac{cL^{\frac{3}{2}}}{2}\|\nabla u\|_{L^2}^2 + 2Im \int f\bar{u}; \end{aligned} $$
par l'inégalité de Young, on a

$$ \frac{cL^{\frac{3}{2}}}{2} \|\nabla u\|_{L^2} \le \frac{1}{2} \|\nabla u\|_{L^2}^2 + \frac{c^2 L^3}{4}, $$

on en déduit que

$$ \mathbf{J}(u) \ge \frac{1}{2} \|\nabla u\|_{L^2}^2 - \frac{c^2 L^3}{4} + 2 \operatorname{Im} \int f \bar{u}. $$

D'autre part

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dt} \mathbf{J}(u) + 2\gamma \mathbf{J}(u) &\le \gamma \|\nabla \phi\|_{L^2}^2 + \gamma (\|f\|_{L^2}^2 + L) \\ &\le \gamma c L^{\frac{3}{2}} \|\nabla u\|_{L^2} + \gamma (\|f\|_{L^2}^2 + L) \\ &\le \gamma \mathbf{J}(u) + M_3(L). \end{aligned} $$

Finalement

$$ \frac{d}{dt} \mathbf{J}(u) + \gamma \mathbf{J}(u) \le M_3(L). $$

En appliquant le lemme de Gronwall on obtient

$$ \mathbf{J}(u) \le \mathbf{J}(u_0)e^{-\gamma t} + \frac{M_3(L)}{\gamma}(1 - e^{-\gamma t}). \quad (2.10) $$

Remarque 2.8.

$$ J(u_0) = \|\nabla u_0\|_{L^2}^2 - \frac{1}{2}\|\nabla \phi_0\|_{L^2}^2 + 2\operatorname{Im} \int f \bar{u}_0 \le \|\nabla u_0\|_{L^2}^2 + 2\|f\|_{L^2}^2 \|u_0\|_{L^2}^2. $$

D'après cette remarque on en déduit que $\mathbf{J}(u)$ est borné. De plus

$$ \|\nabla u\|_{L^2}^2 \le \mathbf{J}(u) + \frac{1}{2}\|\nabla u\|_{L^2}^2 + \frac{c^2}{8}L^3 + \|f\|_{L^2}^2 + L. $$

On déduit que

$$ \|\nabla u\|_{L^2}^2 \le 2\mathbf{J}(u) + \frac{c^2}{4}L^3 + 2\|f\|_{L^2}^2 + 2L. $$

Ce qui donne la solution est globale.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
**Cas défocalisant** $\pm = +$. Dans ce cas les fonctionnelles impliquées dans l'égalité d'énergie s'écrivent alors.

$$ \mathbf{J}(u) = ||\nabla u||_{L^2}^2 + \frac{1}{2}||\nabla \phi||_{L^2}^2 + 2Im \int f \bar{u}. $$

$$ \mathbf{F}(u) = ||\nabla u||_{L^2}^2 + ||\nabla \phi||_{L^2}^2 + Im \int f \bar{u}. $$

**Proposition 2.9.** Dans le cas défocalisant la solution est globale.

*Démonstration.* On a

$$ \mathbf{F}(u) \geq \mathbf{J}(u) - Im \int f \bar{u} $$

en multipliant par $-2\gamma$, on obtient

$$ -2\gamma \mathbf{F}(u) \leq -2\gamma \mathbf{J}(u) + 2\gamma \mathrm{Im} \int f \bar{u} $$

d'où

$$ \frac{d}{dt} \mathbf{J}(u) + 2\gamma \mathbf{F}(u) = 0. \qquad (2.11) $$

on obtient

$$ \frac{d}{dt} \mathbf{J}(u) + 2\gamma \mathbf{J}(u) \leq \gamma (||f||_{L^2}^2 + ||u||_{L^2}^2). \qquad (2.12) $$

En utilisant l'équation (2.8) on déduit de (2.12)

$$ \frac{d}{dt} \mathbf{J}(u) + 2\gamma \mathbf{J}(u) \leq \gamma (||f||_{L^2}^2 + L) = M_4(L). $$

En appliquant le lemme de Gronwall on obtient

$$ \mathbf{J}(u) \leq \mathbf{J}(u_0)e^{-2\gamma t} + \frac{M_4(L)}{2\gamma}(1 - e^{-2\gamma t}). \qquad (2.13) $$

D'après l'estimation de $\nabla\phi$, $\nabla\phi_0$ en norme $L^2$ qui est identique au cas focalisant, on trouve que $\mathbf{J}(u)$ est borné. De plus

$$ ||\nabla u||_{L^2}^2 \leq M(f, \gamma). $$

Ce qui donne la solution est globale.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
## 2.3. Existence d'un borné absorbant $\mathcal{B}_0$ dans $H_0^1(\Omega)$

Nous obtenons la proposition suivante.

**Proposition 2.10.** Il existe un sous ensemble borné $\mathcal{B}_0$ satisfaisant

$$S(t)\mathcal{B}_0 \subset \mathcal{B}_0, \quad t \ge 0,$$

et tel que, pour tout ensemble borné $\mathcal{B}$ de $H_0^1(\Omega)$, il existe $t_0(\mathcal{B}) > 0$ tel que

$$S(t)\mathcal{B} \subset \mathcal{B}_0, \quad t \ge t_0(\mathcal{B}).$$

*Démonstration.* On a vérifié dans les Propositions 2.7 et 2.9 que

$$\|u(t)\|_{H_0^1}^2 \le e^{-2\gamma t} \mathbf{J}(u_0) + N(L),$$

tel que $N(L)$ une constante qui depend de $\gamma, f$ et qui change d'un cas à l'autre.

Donc

$$\|u(t)\|_{H_0^1}^2 \le \tilde{N}(\gamma, f) \quad \forall t \ge t_0,$$

où

$$t_0 = \frac{1}{\gamma} \log \frac{\mathbf{J}(u_0)}{N(L)}.$$

□

*Remarque 2.11.* Il est alors classique d'obtenir un contrôle pour $u_t$ en norme $H^{-1}$ en se reportant à l'équation. Ce contrôle s'écrit pour $t \ge t_0$, on a

$$\|u_t\|_{H^{-1}}^2 \le \tilde{N}'(\gamma, f).$$

## 3. Existence de l'attracteur $\mathcal{A}$

On commence par donner la définition d'un attracteur (cf [12]).

**Définition 3.1.** On appelle un attracteur global du système dynamique $(S(t))_{t \ge 0}$, un ensemble $\mathcal{A}$ de $H_0^1$ qui vérifie les propriétés suivantes

(1) $\mathcal{A}$ est compact dans $H_0^1$,

(2) $S(t)\mathcal{A} = \mathcal{A}, \forall t \ge 0$ (propriété d'invariance),

(3) Pour tout borné $\mathcal{B}$ de $H_0^1$,

$$\mathrm{dist}(S(t)\mathcal{B}, \mathcal{A}) = \sup_{b \in \mathcal{B}} \inf_{a \in \mathcal{A}} \|S(t)b - a\|_{H_0^1} \to 0,$$

quand $t$ tend vers $+\infty$.
A. DABAA

On va vérifier tout d'abord la continuité faible de $S(t)$.

**Lemme 3.2.** Le semi-groupe $S(t)$ est continu sur les bornés de $H_0^1(\Omega)$ pour la topologie forte de $L^2(\Omega)$.

*Démonstration.* Soient $u$ et $v$ deux solutions de l'équation (1.1) avec $u_0, v_0$ dans $H_0^1(\Omega)$, telles que $u(t) = S(t)u_0$, $v(t) = S(t)v_0$. On veut montrer que si

$$u_0 \to v_0 \text{ dans } L^2 \quad \text{alors} \quad u(t) = S(t)u_0 \to v(t) = S(t)v_0 \text{ dans } L^2.$$

En utilisant la formulation intégrale on obtient

$$ \begin{aligned} & ||u(t) - v(t)||_{L^2} \\ & \le ||U(t)(u_0 - v_0)||_{L^2} + \int_0^t ||U(t-s)[u(s)\phi_u(s) - v(s)\phi_v(s)]||_{L^2} ds \\ & \le ||u_0 - v_0||_{L^2} + \underbrace{\int_0^t ||u(s)\phi_u(s) - v(s)\phi_v(s)||_{L^2} ds}_{A(t)}. \end{aligned} $$

En utilisant les injections continues $H^2 \hookrightarrow L^\infty$, $W^{2,1} \hookrightarrow L^3$, et $H_0^1 \hookrightarrow L^6$, il vient alors

$$ \begin{aligned} A(t) & \le \int_0^t ||u(s) - v(s)||_{L^2} ||\phi_u(s)||_{L^\infty} ds + \\ & \phantom{\le} \int_0^t ||v(s)||_{L^6} ||\phi_u(s) - \phi_v(s)||_{L^3} ds \\ & \le \int_0^t ||u(s) - v(s)||_{L^2} ||\Delta^{-1}(|u(s)|^2)||_{L^\infty} ds + \\ & \phantom{\le} \int_0^t ||v(s)||_{L^6} ||\Delta^{-1}(|u(s)|^2 - |v(s)|^2)||_{L^3} ds \\ & \le c \int_0^t ||u(s) - v(s)||_{L^2} ||\Delta^{-1}(|u(s)|^2)||_{H^2} ds + \\ & \phantom{\le} c \int_0^t ||v(s)||_{L^6} ||\Delta^{-1}(|u(s)|^2 - |v(s)|^2)||_{W^{2,1}} ds \\ & \le c \int_0^t ||u(s) - v(s)||_{L^2} ||u(s)|^2||_{L^2} ds + \\ & \phantom{\le} c \int_0^t ||v(s)||_{L^6} ||u(s)|^2 - |v(s)|^2||_{L^1} ds; \end{aligned} $$
d'une part

$$
\begin{align*}
& \int_0^t ||v(s)||_{L^6} |||u(s)|^2 - |v(s)|^2||_{L^1} ds \\
& \le \int_0^t ||v(s)||_{L^6} ||u(s) - v(s)||_{L^2} ||u(s) + v(s)||_{L^2} ds \\
& \le cR \int_0^t ||v(s)||_{H_0^1} ||u(s) - v(s)||_{L^2} ds \\
& \le cR^2 \int_0^t ||(u - v)(s)||_{L^2} ds.
\end{align*}
$$

D'autre part

$$
\begin{align*}
\int_0^t ||u(s) - v(s)||_{L^2} |||u(s)|^2||_{L^2} ds &\le c \int_0^t ||u(s) - v(s)||_{L^2} ||u(s)||_{L^4}^2 ds \\
&\le c \int_0^t ||u(s) - v(s)||_{L^2} ||u(s)||_{H_0^1}^2 ds \\
&\le c R^2 \int_0^t ||(u - v)(s)||_{L^2} ds.
\end{align*}
$$

On obtient

$$
A(t) \leq c R^2 \int_0^t ||(u-v)(s)||_{L^2} ds.
$$

Il en résulte

$$
\|u(t) - v(t)\|_{L^2} \le \|u_0 - v_0\|_{L^2} + cR^2 \int_0^t \|(u-v)(s)\|_{L^2} ds.
$$

On pose $Q(t) = \int_0^t ||(u-v)(s)||_{L^2} ds$, alors elle vérifie

$$
\frac{d}{dt} Q(t) \leq \|u_0 - v_0\|_{L^2} + cR^2 Q(t),
$$

il vient alors

$$
\frac{d}{dt} [Q(t)e^{-cR^2t}] \leq e^{-cR^2t} ||u_0 - v_0||_{L^2},
$$

en intégrant sur $[0, t]$, on a

$$
Q(t)e^{-cR^2t} - \underbrace{Q(0)}_{=0} \le ||u_0 - v_0||_{L^2} \left[ \frac{e^{-cR^2t} - 1}{-cR^2} \right],
$$
puis

$$Q(t)e^{-cR^2t} \leq \frac{\|u_0 - v_0\|_{L^2}}{cR^2} (1 - e^{-cR^2t}),$$

et par suite

$$Q(t) \leq \frac{\|u_0 - v_0\|_{L^2}}{cR^2} (e^{cR^2t} - 1).$$

On déduit

$$\|u(t) - v(t)\|_{L^2} \le \|u_0 - v_0\|_{L^2} (1 + K(e^{cR^2t} - 1)).$$

D'où le résultat voulu.

□

**Proposition 3.3.** *Le semi-groupe $S(t)$ est faiblement continu sur $H_0^1$.*

*Démonstration.* Soit $u_n$ une suite dans $H_0^1$ telle que

$$u_n \to u \text{ faiblement dans } H_0^1.$$

En utilisant l'injection compacte

$$H_0^1(\Omega) \hookrightarrow L^2(\Omega), \quad n = 3,$$

on obtient qu'il existe une sous-suite $u_{n'}$ telle que

$$u_{n'} \to u, \text{ fortement dans } L^2(\Omega).$$

D'après la continuité forte de $S(t)$ sur $L^2$ obtenue au Lemme 3.2, on obtient

$$S(t)u_{n'} \to S(t)u \text{ fortement dans } L^2(\Omega). \quad (3.1)$$

Comme $u_{n'}$ est bornée dans $H_0^1(\Omega)$, et d'après la continuité forte de $S(t)$ sur $H_0^1(\Omega)$

$$S(t)u_{n'} \text{ est borné dans } H_0^1(\Omega).$$

Ce qui donne

$$S(t)u_{n'} \to v \text{ dans } H_0^1(\Omega).$$

D'où $S(t)u_{n'}$ a une unique valeur d'adhérence dans $H_0^1$ faible, donc

$$S(t)u_{n'} \to v \text{ dans } H_0^1(\Omega).$$

En utilisant l'injection compacte

$$H_0^1(\Omega) \hookrightarrow L^2(\Omega) \quad \text{si } n = 3.$$

On obtient

$$S(t)u_{n'} \to v \text{ fortement dans } L^2(\Omega). \quad (3.2)$$

De (3.1), (3.2), et par l'unicité de la limite, on obtient

$$v = S(t)u,$$
et par suite

$S(t)u_{n'} \to S(t)u$ faiblement dans $H_0^1(\Omega)$.

□

On rappelle ensuite la définition d'un ensemble $\omega$-limite.

**Définition 3.4.** Ensemble $\omega$-limite

$$ 
\begin{aligned}
\omega(E) &= \bigcap_{s \ge 0} \overline{\bigcup_{t \ge s} S(t)X} \\
&= \{a \in E; \exists t_n \to +\infty \text{ et } b_n \in X; S(t_n)b_n \to a\},
\end{aligned}
$$

avec $E$ est un espace de Banach, $X$ est une partie de $E$.

**Proposition 3.5.** On considère l'ensemble

$$ \omega(\mathcal{B}_0) = \bigcap_{s \ge 0} \overline{\bigcup_{t \ge s} S(t)\mathcal{B}_0} $$

où l'adhérence est prise par rapport à la topologie faible de $H_0^1$, $\omega(\mathcal{B}_0)$ vérifie les propriétés suivantes :

(1) $\omega(\mathcal{B}_0)$ est un ensemble non vide, fermé et compact pour la topologie faible de $H_0^1$,

(2) $\omega(\mathcal{B}_0) \subset \mathcal{B}_0$,

(3) $S(t)\omega(\mathcal{B}_0) = \omega(\mathcal{B}_0) \quad \forall t \ge 0$.

(4) Pour tout borné $\mathcal{B}$ de $H_0^1(\Omega)$

$$ \lim_{t \to +\infty} \mathrm{dist}(S(t)\mathcal{B}, \omega(\mathcal{B}_0)) = 0. $$

*Démonstration.* (1) $\omega(\mathcal{B}_0) \neq \emptyset$, et il est clair que $\omega(\mathcal{B}_0)$ est une intersection décroissantes d'ensembles fermés et compacts pour la topologie faible de $H_0^1$, donc c'est un fermé compact faible.

(2) Comme

$$ \omega(\mathcal{B}_0) = \bigcap_{s \ge t_0(\mathcal{B}_0)} \overline{\bigcup_{t \ge s} S(t)\mathcal{B}_0} $$

et puisque $\mathcal{B}_0$ est un borné absorbant de $H_0^1$ alors,

$$ S(t)\mathcal{B}_0 \subset \mathcal{B}_0, $$
ce qui donne

$$ \bigcup_{t \ge s} S(t)\mathcal{B}_0 \subset \bar{\mathcal{B}}_0 = \mathcal{B}_0, $$

et par suite

$$ \bigcap_{s \ge 0} \bigcup_{t \ge s} S(t)\mathcal{B}_0 \subset \mathcal{B}_0, $$

il vient alors

$$ \omega(\mathcal{B}_0) \subset \mathcal{B}_0. $$

(3) Soit $a \in S(t)\omega(\mathcal{B}_0)$, donc il s'écrit comme suit

$$ a = S(t)b, \quad b \in \omega(\mathcal{B}_0); \tag{3.3} $$

par définition d'un ensemble $\omega$-limite

$$ \exists (t_n)_{n \in \mathbb{N}} \to +\infty, b_n \in \mathcal{B}_0, $$

tel que $S(t_n)b_n \to b$ faiblement dans $H_0^1$.

D'après la continuité faible de $S(t)$ sur $H_0^1$ on déduit que

$$ S(t_n + t)b_n = S(t)S(t_n)b_n \to S(t)b \quad \text{faiblement dans } H_0^1. $$

En utilisant (3.3), on déduit que

$$ S(t_n + t)b_n \to a \quad \text{faiblement dans } \omega(\mathcal{B}_0), $$

ce qui donne $a \in \omega(\mathcal{B}_0)$; on obtient par conséquent

$$ S(t)\omega(\mathcal{B}_0) \subset \omega(\mathcal{B}_0). \tag{3.4} $$

Pour montrer l'inclusion réciproque, on prend $\tilde{b} \in \omega(\mathcal{B}_0)$, donc par définition d'un ensemble $\omega$-limite, on trouve que

$$ \exists t_n \to +\infty, \text{ et } \tilde{b}_n \in \mathcal{B}_0 $$

tel que

$$ S(t_n)\tilde{b}_n \to \tilde{b} \quad \text{faiblement dans } H_0^1. \tag{3.5} $$

On note $\mathcal{B}_1 = (\tilde{b}_n)_{n \ge 0}$; $\mathcal{B}_1$ un borné de $H_0^1(\Omega)$, alors

$$ \exists T_1(\mathcal{B}_1); S(t)\mathcal{B}_1 \subset \mathcal{B}_0 \quad \forall t \ge T_1(\mathcal{B}_1), $$

et pour $t \in \mathbb{R}$, $\exists n_0 \in \mathbb{N}$ tel que $t_n - t > T_1(\mathcal{B}_1) \quad \forall n \ge n_0$.
Il est clair que

$$S(t_n - t)\tilde{b}_n \in \bigcup_{t \ge s} S(t)\mathcal{B}_0.$$

Il vient alors

$$S(t_n - t)\tilde{b}_n \rightharpoonup a \in \omega(\mathcal{B}_0) \quad \text{faiblement dans } H_0^1(\Omega).$$

D'après la continuité faible de $S(t)$ sur $H_0^1(\Omega)$, on obtient

$$S(t_n)\tilde{b}_n \rightharpoonup S(t)a \quad \text{faiblement dans } H_0^1(\Omega). \quad (3.6)$$

D'après (3.5), (3.6), et par l'unicité de la limite, on déduit que

$$S(t)a = \tilde{b}, \quad a \in \omega(\mathcal{B}_0).$$

Finalement

$$\omega(\mathcal{B}_0) \subset S(t)\omega(\mathcal{B}_0). \quad (3.7)$$

De (3.4), (3.7), on obtient

$$\omega(\mathcal{B}_0) = S(t)\omega(\mathcal{B}_0).$$

(4) On va montrer cette propriété par l'absurde comme suit;
on suppose qu'il existe $\delta > 0$, $t_n \to +\infty$, et; $\mathcal{B}_1$ un borné de $H_0^1(\Omega)$, tel que

$$\mathrm{dist}(S(t)\mathcal{B}_1, \omega(\mathcal{B}_0) \geq \delta > 0.$$

On déduit qu'il existe $b_n \in \mathcal{B}_1$, tel que

$$\mathrm{dist}(S(t)b_n, \omega(\mathcal{B}_0) \geq \frac{\delta}{2} > 0). \quad (3.8)$$

$(b_n)_n$ est une suite bornée de $\mathcal{B}_1$, alors il existe $T_1(\mathcal{B}_1)$, $n_0 \le n$ tel que

$$S(t_n)b_n \in \mathcal{B}_0 \quad \forall t \ge T_1(\mathcal{B}_1).$$

D'autre part, $\mathcal{B}_0$ est compact faible de $H_0^1(\Omega)$, alors

$$S(t_n)b_n \rightharpoonup b \in \mathcal{B}_0,$$

puisque

$$S(t_n)b_n = S(t_n - t_0) \underbrace{S(t_0)b_n}_{\in \mathcal{B}_0},$$

donc

$$S(t_n - t_0)S(t_0)b_n \in \omega(\mathcal{B}_0).$$
Si on fait tendre $t_n$ vers $+\infty$ on trouvera que

$$S(t_n - t_0)S(t_0)b_n \to a \in \omega(\mathcal{B}_0),$$

ce qui nous donne

$$\mathrm{dist}(S(t)b_n, \omega(\mathcal{B}_0)) = 0.$$

Ce qui contredit l'hypothèse (3.8). □

A ce stade, nous pouvons énoncer

**Proposition 3.6.** L'ensemble $\mathcal{A}_\omega = \omega(\mathcal{B}_0)$ est un attracteur faible pour NLSP dans $H_0^1(\Omega)$.

Tout d'abord on va donner la définition d'un attracteur faible.

**Définition 3.7.** On appelle un attracteur faible $\mathcal{A}_\omega$ du système dynamique $S(t)$, est un ensemble de $H_0^1(\Omega)$ qui vérifie les propriétés suivantes :

(1) $\mathcal{A}_\omega$ est borné, donc compact pour la topologie faible de $H_0^1(\Omega)$,

(2) $S(t)\mathcal{A}_\omega = \mathcal{A}_\omega$ pour $t > 0$ (invariance),

(3) Pour tout borné $\mathcal{B}$ de $H_0^1$,

$$\mathrm{dist}(S(t)\mathcal{B}, \mathcal{A}_\omega) = \sup_{b \in \mathcal{B}} \inf_{a \in \mathcal{A}_\omega} \mathrm{dist}_{H_0^1 \text{ faible}}(S(t)b, a) \to 0,$$

quand $t$ tend vers $+\infty$.

Les trois propriétés ont été déjà démontrées dans la Proposition 3.5. Finalement

$$\mathcal{A}_\omega = \omega(\mathcal{B}_0)$$

est un attracteur faible pour NLSP dans $H_0^1(\Omega)$. □

**Théorème 3.8.** L'attracteur faible est un attracteur fort.

*Démonstration.* On multiplie l'équation (1.1) par $i(\overline{u_t + \gamma u})$, et en prenant la partie réelle de cette quantité, il vient

$$\frac{d}{dt} \mathbf{J}(u) + 2\gamma \mathbf{J}(u) = \mathbf{F}(u), \quad (3.9)$$

où $\mathbf{J}, \mathbf{F}$ sont définies par

$$\mathbf{J}(u) = \|\nabla u\|_{L^2}^2 \pm \frac{1}{2} \|\nabla \phi\|_{L^2}^2 + 2 \mathrm{Im} \int f \bar{u}, \quad (3.10)$$
$$ \mathbf{F}(u) = 2\gamma \operatorname{Im} \int f \bar{u} \mp \gamma \|\nabla \phi\|_{L^2}^2. \quad (3.11) $$

En intégrant (3.9) entre 0 et $t$, on obtient

$$ \mathbf{J}(u(t)) = e^{-2\gamma t} \mathbf{J}(u_0) + \int_0^t e^{2\gamma(s-t)} \mathbf{F}(u(s))ds. $$

On pose $u(t) = S(t)u_0$, il vient

$$ \mathbf{J}(S(t)u_0) = e^{-2\gamma t} \mathbf{J}(u_0) + \int_0^t e^{2\gamma(s-t)} \mathbf{F}(S(s)u_0)ds. \quad (3.12) $$

Observons tout d'abord que si $u_n \to u$ faiblement dans $H_0^1(\Omega)$, alors $\mathbf{F}(u_n) \to \mathbf{F}(u)$ dans $\Omega$, car l'injection de $H_0^1(\Omega)$ dans $L^2(\Omega)$ est compacte. De même $\mathbf{J}(u) - \|\nabla u\|_{L^2}^2$ est une application continue sur $H_0^1(\Omega)$ muni de la topologie faible.

Vérifions tout d'abord qu'en fait $\mathcal{A}_\omega$ attire les bornés pour la topologie forte de $H_0^1(\Omega)$. Nous allons engager une démonstration par l'absurde pour démontrer la troisième assertion dans la définition d'un attracteur :
en supposant qu'il existe $\delta > 0$, $t_n \to +\infty$, $b_n \in \mathcal{B}_0$;

$$ \forall a \in \mathcal{A}_\omega; \quad \|S(t)b_n - a\|_{H_0^1} \ge \delta > 0. $$

Par définition d'un attracteur faible, on sait qu'il existe $a \in \mathcal{A}_\omega$ tel que

$$ S(t_n)b_n \to a \quad \text{faiblement dans } H_0^1(\Omega). \quad (3.13) $$

On veut montrer que

$$ S(t_n)b_n \to a \quad \text{fortement dans } H_0^1(\Omega). $$

Soit $t = T > 0$ et $u_0 = S(t_n - T)b_n$, en remplaçant $t$ par $T$ et $u_0$ par $S(t_n - T)b_n$ dans l'équation (3.12), il vient

$$ \mathbf{J}(S(T)S(t_n - T)b_n) = e^{-2\gamma T} \mathbf{J}(S(t_n - T)b_n) + \int_0^T e^{2\gamma(s-T)} \mathbf{F}(S(s)S(t_n - T)b_n)ds, $$

donc

$$ \mathbf{J}(S(t_n)b_n) = e^{-2\gamma T} \mathbf{J}(S(t_n - T)b_n) + \int_0^T e^{2\gamma(s-T)} \mathbf{F}(S(s + t_n - T)b_n)ds. $$

Si on fait tendre $n$ vers $+\infty$, on a $S(t_n)b_n \to a$ faiblement dans $H_0^1(\Omega)$, en utilisant la continuité de $S(t)$ sur $H_0^1(\Omega)$ faible, on a

$$ S(s+t_n-T)b_n = S(s-T)S(t_n)b_n \to S(s-T)a \quad \text{faiblement dans } H_0^1(\Omega). $$
A. DABAA

Par convergence dominée, en utilisant la continuité de $\mathbf{F}$ sur $H_0^1(\Omega)$ faible, on montre alors

$$ \lim_{n \to +\infty} \int_0^T e^{2\gamma(s-T)} \mathbf{F}(S(s+t_n-T)b_n)ds = \int_0^T e^{2\gamma(s-T)} \mathbf{F}(S(s-T)a)ds $$

et en utilisant aussi que $S(t_n - T)b_n \in B_0$, donc pour $n$ assez grand il existe $K$ tel que $\mathbf{J}(S(t_n - T)b_n) \le K$.

On obtient alors

$$ \lim_{n \to +\infty} \sup \mathbf{J}(S(t_n)b_n) \le K e^{-2\gamma T} + \int_0^T e^{2\gamma(s-T)} \mathbf{F}(S(s-T)a)ds. \quad (3.14) $$

D'après l'équation (3.12), en faisant un changement de variables comme suit :

$$ u_0 = S(-T)a, \quad t = T, \text{ on obtient} $$

$$ \mathbf{J}(S(T)S(-T)a) = e^{-2\gamma T}\mathbf{J}(S(-T)a) + \int_{0}^{T} e^{2\gamma(s-T)}\mathbf{F}(S(s)S(-T)a)ds, $$

donc

$$ \mathbf{J}(a) = e^{-2\gamma T}\mathbf{J}(S(-T)a) + \int_{0}^{T} e^{2\gamma(s-T)}\mathbf{F}(S(s-T)a)ds, $$

ainsi

$$ \int_0^T e^{2\gamma(s-T)} \mathbf{F}(S(s-T)a)ds = \mathbf{J}(a) - e^{-2\gamma T} \mathbf{J}(S(-T)a) \le \mathbf{J}(a). \quad (3.15) $$

En utilisant (3.14) et (3.15), il vient

$$ \lim_{n \to +\infty} \sup (\mathbf{J}(S(t_n)b_n)) \le K e^{-2\gamma T} + \mathbf{J}(a), $$

on fait tendre $T$ vers $+\infty$, il vient

$$ \lim_{n \to +\infty} \sup (\mathbf{J}S(t_n)b_n) \le \mathbf{J}(a). $$

On a utilisé ici que $S(-T)a \in \mathcal{A}_\omega$. Comme $\mathbf{J}(u) - ||\nabla u||_{L^2}^2$ est une application continue sur $H_0^1(\Omega)$ muni de la topologie faible, il vient alors

$$ \lim_{n \to +\infty} \sup ||S(t_n)b_n||_{H_0^1(\Omega)} \le ||a||_{H_0^1(\Omega)}. \quad (3.16) $$

De (3.13) et (3.16), on obtient

$$ S(t_n)b_n \to a \text{ fortement dans } H_0^1(\Omega), $$

ce qui contredit l'hypothèse avant (3.13). $\square$
## COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES SOLUTIONS

Il reste à montrer la compacité (forte) de $\mathcal{A}_\omega$ dans $H_0^1(\Omega)$. Nous savons que $\mathcal{A}_\omega$ est compact pour la topologie faible. Soit donc une suite $a_n$ à valeurs dans $\mathcal{A}_\omega$ qui converge faiblement vers $a$ autre élément de l'attracteur i.e.

$$a_n \to a \text{ faiblement dans } H_0^1(\Omega). \quad (3.17)$$

On veut montrer que

$$a_n \to a \text{ fortement dans } H_0^1(\Omega).$$

Soit $t = T > 0$ et $u_0 = S(-T)a_n$, en remplaçant $t$ par $T$ et $u_0$ par $S(-T)a_n$ dans l'équation (3.12), il vient

$$\mathbf{J}(S(T)S(-T)a_n) = e^{-2\gamma T}\mathbf{J}(S(-T)a_n) + \int_0^T e^{2\gamma(s-T)}\mathbf{F}(S(s)S(-T)a_n)ds,$$

donc

$$\mathbf{J}(a_n) = e^{-2\gamma T}\mathbf{J}(S(-T)a_n) + \int_0^T e^{2\gamma(s-T)}\mathbf{F}(S(s-T)a_n)ds.$$

Si on fait tendre $n$ vers $+\infty$, on a $a_n \to a$ faiblement dans $H_0^1(\Omega)$, en utilisant la continuité de $S(t)$ sur $H_0^1(\Omega)$ faible, on a

$$S(s-T)a_n \to S(s-T)a \text{ faiblement dans } H_0^1(\Omega).$$

Par convergence dominée, en utilisant la continuité de $\mathbf{F}$ sur $H_0^1(\Omega)$ faible, on obtient

$$\lim_{n \to +\infty} \int_0^T e^{2\gamma(s-T)} \mathbf{F}(S(s-T)a_n)ds = \int_0^T e^{2\gamma(s-T)} \mathbf{F}(S(s-T)a)ds$$

en utilisant aussi que $a_n \in \mathcal{A}_\omega$, donc pour $n$ assez grand il existe $K$ tel que $\mathbf{J}(S(-T)a_n) \le K$.

On obtient alors

$$\lim_{n \to +\infty} \sup \mathbf{J}(a_n) \le K e^{-2\gamma T} + \int_0^T e^{2\gamma(s-T)} \mathbf{F}(S(s-T)a)ds. \quad (3.18)$$

En utilisant (3.15) et (3.18), il vient

$$\lim_{n \to +\infty} \sup \mathbf{J}(a_n) \le K e^{-2\gamma T} + \mathbf{J}(a)$$

on fait tendre $T$ vers $+\infty$, il vient

$$\lim_{n \to +\infty} \sup \mathbf{J}(a_n) \le \mathbf{J}(a).$$

On déduit que

$$\lim_{n \to +\infty} \sup \|a_n\|_{H_0^1(\Omega)} \le \|a\|_{H_0^1(\Omega)}. \quad (3.19)$$
De (3.17) et (3.19), on obtient

$a_n \to a$ fortement dans $H_0^1(\Omega)$,

On a ainsi vérifié que $\mathcal{A}_\omega$ étant en fait un attracteur fort dans $H_0^1(\Omega)$.
Ceci termine la démonstration du théorème.

□

## 4. Dimension de l'attracteur.

Dans cette section on va prouver que $\mathcal{A}$ est de dimension de Hausdorff finie. Nous démontrons en première partie que le semi-groupe $S(t)$ est différentiable sur les bornés de $H_0^1$, en seconde partie nous prouvons pour $m$ assez grand que ce semi-groupe contracte les $m$ volumes. Et par conséquent nous montrons que la dimension de $\mathcal{A}$ est finie.

### 4.1. La différentiabilité du semi-groupe

On suppose que la deuxième équation du système (1.1) se réécrit comme suit

$\phi = \pm E(\rho)$ si et seulement si

$$ \begin{cases} \Delta\phi = \pm\rho & \Omega \\ \phi = 0 & \partial\Omega. \end{cases} \qquad (4.1) $$

Soit $u(t) = S(t)u_0$ solution de (1.1) sur $H_0^1$. On se propose de démontrer que $v(t) = DS(t)u_0.h$ est une solution de l'équation suivante

$$ \left\{ \begin{array}{l} v_t + \gamma v + i\Delta v \pm 2iE (\operatorname{Re}(\bar{u}v)) u \pm iE(|u|^2)v = 0, \\ v(0) = h \\ v = 0 \quad \partial\Omega. \end{array} \right. \qquad (4.2) $$

**Proposition 4.1.** *Le problème de Cauchy associé à (4.2) est localement bien posé dans $H_0^1(\Omega)$. De plus pour $T > 0$ on a*

$$ \|v(t)\|_{H_0^1}^2 \le C(T) \|h\|_{H_0^1}^2. \qquad (4.3) $$

*Démonstration.* Comme nous travaillons sur des intervalles de temps fini, nous pouvons supposer $\gamma = 0$ (quitte à remplacer $v$ par $ve^{\gamma t}$). Il est clair que le problème de Cauchy associé à (4.2) est localement bien posé dans $H_0^1(\Omega)$.
## COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES SOLUTIONS

Pour démontrer l'égalité (4.3), on multiplie l'équation (4.2) par $\Delta \bar{v}$, et on intègre sur $\Omega$ en prenant la partie réelle de cette quantité, il vient

$$ \frac{1}{2} \frac{d}{dt} ||v(t)||_{H_0^1}^2 = \pm \operatorname{Im} \int E(|u|^2) v \Delta \bar{v} \pm 2 \operatorname{Im} \int E(\operatorname{Re}(\bar{u}v)) u \Delta \bar{v}. \quad (4.4) $$

On intègre le premier terme du membre de droite de (4.4) par parties, il vient alors

$$ \begin{aligned} \pm \operatorname{Im} \int E(|u|^2) v \Delta \bar{v} &= \mp \operatorname{Im} \int v \nabla \bar{v} E(\nabla (|u|^2)) \\ &\leq \left| \int v \nabla \bar{v} E(\nabla (|u|^2)) \right| \\ &\leq c ||v||_{L^6} ||\nabla v||_{L^2} ||\Delta^{-1} \nabla (|u|^2)||_{L^3}. \end{aligned} $$

D'une part

$$ ||v||_{L^6} \leq c ||v||_{H_0^1} \quad \text{par injection de Sobolev.} $$

D'autre part

$$ \text{comme } H_0^1 \hookrightarrow L^q \quad \forall q \in [2, 6], \text{ on obtient,} $$

$$ \begin{aligned} ||\Delta^{-1} \nabla (|u|^2)||_{L^3} &\leq c||\Delta^{-1} \nabla (|u|^2)||_{H_0^1} \\ &\leq c|||u|^2||_{L^2} \\ &\leq c||u||_{L^4}^2 \\ &\leq c||u||_{H_0^1}^2 \\ &\leq cR^2. \end{aligned} $$

Il en résulte

$$ \pm \operatorname{Im} \int E(|u|^2) v \Delta \bar{v} \leq K^* ||v||_{H_0^1}^2 \quad \text{où } K^* = c \left( \sup_{[0,T]} ||u||_{H_0^1} \right). $$

L'autre terme dans le membre de droite de (4.4) s'écrit comme suit (après intégration par parties)

$$ \begin{aligned} \pm 2 \operatorname{Im} \int E(\operatorname{Re}(\bar{u}v)) u \Delta \bar{v} &= \mp 2 \operatorname{Im} \int E(\operatorname{Re}(\bar{u} \nabla v)) u \nabla \bar{v} \\ \mp 2 \operatorname{Im} \int E(\operatorname{Re}(\bar{v} \nabla u)) u \nabla \bar{v} &= \mp 2 \operatorname{Im} \int E(\operatorname{Re}(\bar{u}v)) \nabla u \nabla \bar{v}. \end{aligned} \quad (4.5) $$
A. DABAA

Le premier terme dans (4.5) se traite comme suit

$$
\begin{align*}
\mp 2 \operatorname{Im} \int E(\operatorname{Re}(\bar{u} \nabla v)) u \nabla \bar{v} &\leq |2 \operatorname{Im} \int E(\operatorname{Re}(\bar{u} \nabla v)) u \nabla \bar{v}| \\
&\leq c ||u||_{L^6} ||\nabla v||_{L^2} ||E(\operatorname{Re}(\bar{u} \nabla v))||_{L^3}
\end{align*}
$$

en procédant comme dans le calcul précédant, il vient alors

$$
\begin{align*}
\mp 2 \operatorname{Im} \int E(\operatorname{Re}(\bar{u}\nabla v)) u \nabla \bar{v} &\le c||u||_{H_0^1} ||v||_{H_0^1} ||\nabla E(\operatorname{Re}(\bar{u}\nabla v))||_{L^2} \\
&\le c||u||_{H_0^1} ||v||_{H_0^1} ||uv||_{L^2} \\
&\le K^* ||v||_{H_0^1}^2.
\end{align*}
$$

De la même manière on peut majorer les deux autres termes dans (4.5).
D'où

$$
\frac{1}{2} \frac{d}{dt} ||v||_{H_0^1}^2 \leq K^* ||v||_{H_0^1}^2.
$$

En appliquant le lemme de Gronwall, on obtient

$$
\|v\|_{H_0^1}^2 \leq e^{2K^*t} \|h\|_{H_0^1}^2. \quad (4.6)
$$

□

Pour démontrer la différentiabilité de $S(t)$ il faut démontrer la chose suivante

**Proposition 4.2.**

$$
\text{Soit } \left\{
\begin{array}{l}
\tilde{u}(t) = S(t)(u_0 + h), \\
u(t) = S(t)u_0, \\
v(t) = DS(t)u_0.h.
\end{array}
\right.
\qquad (4.7)
$$

Alors pour $T > 0$ il existe $K'(t)$ et $\delta > 0$ tel que

$$
\|S(t)(u_0 + h) - S(t)u_0 - DS(t)u_0.h\|_{H_0^1} \le K'(T)\|h\|_{H_0^1}^{1+\delta}. \quad (4.8)
$$

Démonstration. Soit $w(t) = \tilde{u}(t) - u(t) - v(t)$, solution de l'équation suivante

$$
\left\{
\begin{array}{l}
w_t + i\Delta w \pm i[(u+v+w)E(|u+v+w|^2) \mp uE(|u|^2) \\
\qquad \mp 2uE[Re(\bar{u}v)] \mp vE(|u|^2)] = 0, \\
w(0) = 0 \\
w = 0, \quad \partial\Omega.
\end{array}
\right.
\qquad (4.9)
$$
## COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES SOLUTIONS

Nous avons supposé que $\gamma = 0$ ( quitte à remplacer $w(t)$ par $w(t)e^{\gamma t}$). L'équation (4.9) se réécrit aussi en

$$ w_t + i\Delta w \pm i(u+v)E(|u+v+w|^2 - |u+v|^2) \pm 2ivE(Re(\bar{u}v)) \\ \pm iwE(|u+v+w|^2) \pm iuE(|v|^2) \pm ivE(|v|^2) = 0, \quad (4.10) $$

avec la condition initiale $w(0) = 0$, et la condition aux limites $w = 0$ sur $\partial\Omega$. Car

$$ |u+v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2(Re(\bar{u}v)). $$

On va contôler $w$ en norme $H_0^1$. On multiplie l'équation (4.10) par $\Delta \bar{w}$, il vient

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} \frac{d}{dt} ||w||_{H_0^1}^2 = & \pm Im \int \Delta \bar{w} (u+v) E(|u+v+w|^2 - |u+v|^2) \\ & \pm 2Im \int \Delta \bar{w} v E(Re(\bar{u}v)) \pm Im \int w \Delta \bar{w} E(|u+v+w|^2) \\ & \pm Im \int \Delta \bar{w} u E(|v|^2) \pm Im \int \Delta \bar{w} v E(|v|^2). \end{aligned} $$

En intégrant l'équation précédente par parties, on obtient

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} \frac{d}{dt} ||w||_{H_0^1}^2 = & \mp Im \int \nabla \bar{w} \nabla [(u+v)E(|u+v+w|^2 - |u+v|^2)] \\ & \mp 2Im \int \nabla \bar{w} \nabla [vE(Re(\bar{u}v))] \mp Im \int \nabla \bar{w} \nabla [wE(|u+v+w|^2)] \\ & \mp Im \int \nabla \bar{w} \nabla [uE(|v|^2)] \mp Im \int \nabla \bar{w} \nabla [vE(|v|^2)]. \end{aligned} \quad (4.11) $$
A. DABAA

On contrôle le premier terme dans le membre de droite de l'équation (4.11) comme suit

$$
\begin{align*}
|a| & \leq \left| \mathrm{Im} \int \nabla \bar{w} \nabla [(u+v)E(|u+v+w|^2 - |u+v|^2)] \right| \\
& \leq \int |\nabla \bar{w}| |\nabla (u+v)| |E(|u+v+w|^2 - |u+v|^2)| \\
& \quad + \int |\nabla \bar{w}| |u+v| |\nabla E(|u+v+w|^2 - |u+v|^2)| \\
& \leq c |\nabla w|_{L^2} |\nabla (u+v)|_{L^2} |E(|u+v+w|^2 - |u+v|^2)|_{L^\infty} \\
& \quad + c |\nabla w|_{L^2} |u+v|_{L^6} |\nabla E(|u+v+w|^2 - |u+v|^2)|_{L^3} \\
& \leq c |\nabla w|_{L^2} |\nabla (u+v)|_{L^2} |u+v+w|^2 - |u+v|^2|_{L^2} \\
& \leq c |\nabla w|_{L^2} |\nabla (u+v)|_{L^2} |\bar{w}(2u+2v+w)|_{L^2} \\
& \leq K |w|_{H_0^1}^2.
\end{align*}
$$

Où K est une constante qui dépend de $\sup_{t \in [0,T]} ||u(t)||_{H_0^1}$.

Dans la suite K désigne une telle constante qui peut changer de valeur
de ligne en ligne.

Maintenant on contrôle le second terme dans le membre de droite dans
l'équation (4.11) comme suit

$$
\begin{align*}
|b| & \leq \left| 2 \mathrm{Im} \int \nabla \bar{w} \nabla [v E(\mathrm{Re}(\bar{u}v))] \right| \\
& \leq 2 \int |\nabla \bar{w}| |\nabla v| |E(\mathrm{Re}(\bar{u}v))]| + 2 \int |\nabla \bar{w}| |v| |\nabla E(\mathrm{Re}(\bar{u}v))]| \\
& \leq c |\nabla w|_{L^2} |\nabla v|_{L^2} |E(\mathrm{Re}(\bar{u}v))]|_{L^\infty} \\
& \quad + c |\nabla w|_{L^2} |v|_{L^6} |\nabla (\mathrm{Re}(\bar{u}v))]|_{L^3}.
\end{align*}
$$

Il vient donc comme $H^2 \hookrightarrow L^\infty$, on obtient

$$
||E(Re(\bar{u}v))||_{L^{\infty}} \leq c||\bar{u}v||_{L^2} \leq c||v||_{H_0^1}.
$$

Par ailleurs

$$
||\nabla(Re(\bar{u}v))||_{L^3} \leq c||\bar{u}v||_{L^2} \leq c||v||_{H_0^1}.
$$

Finalement ce second terme se contrôle en

$$
\begin{align*}
\left| 2 \operatorname{Im} \int \nabla \bar{w} \nabla [v E(\operatorname{Re}(\bar{u}v))] \right| &\le K ||w||_{H_0^1} ||v||_{H_0^1}^2 \\
&\le \frac{\gamma}{2} ||w||_{H_0^1}^2 + K ||v||_{H_0^1}^4.
\end{align*}
$$
## COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES SOLUTIONS

Et par suite on estime le troisième terme dans le membre de droite dans l'équation (4.11) comme suit

$$
\begin{align*}
|c| & \le \left| \mathrm{Im} \int \nabla \bar{w} \nabla [w E (|u+v+w|^2)] \right| \\
& \le \int |\nabla \bar{w}| |\nabla w| |E(|u+v+w|^2)| + \int |\nabla \bar{w}| |w| |\nabla E(|u+v+w|^2)| \\
& \le c ||\nabla w||_{L^2} [||\nabla w||_{L^2} ||E(|u+v+w|^2)||_{L^\infty} \\
& \phantom{\le c ||\nabla w||_{L^2} [} + ||w||_{L^6} ||E(|u+v+w|^2)||_{L^3}] \\
& \le c ||w||_{H_0^1}^2 |||u+v+w|^2||_{L^2} \\
& \le c ||w||_{H_0^1}^2 ||u+v+w||_{L^4}^2 \\
& \le K ||w||_{H_0^1}^2.
\end{align*}
$$

Et puis on estime le quatrième terme dans le membre de droite dans l'équation (4.11) comme suit

$$
\begin{align*}
|d| & \le \left| \mathrm{Im} \int \nabla \bar{w} \nabla [w E (|v|^2)] \right| \\
& \le \int |\nabla \bar{w}| |\nabla u| |E(|v|^2)| + \int |\nabla \bar{w}| |u| |\nabla E (|v|^2)| \\
& \le c ||\nabla w||_{L^2} [||\nabla u||_{L^2} ||E(|v|^2)||_{L^\infty} + ||u||_{L^6} ||\nabla E (|v|^2)||_{L^3}] \\
& \le K^* ||w||_{H_0^1} |||v|^2||_{L^2} \\
& \le K ||w||_{H_0^1}^2 + K' ||v||_{H_0^1}^4.
\end{align*}
$$

Enfin on estime le dernier terme dans le membre de droite dans l'équation (4.11)
$$
\begin{align*}
|e| & \le |\mathrm{Im} \int \nabla \bar{w} \nabla [vE(|v|^2)]| \\
& \le \int |\nabla \bar{w}||\nabla v||E(|v|^2)| + \int |\nabla \bar{w}||v||\nabla E(|v|^2)| \\
& \le c||\nabla w||_{L^2} [||\nabla v||_{L^2} ||E(|v|^2)||_{L^\infty} + ||v||_{L^6} ||\nabla E(|v|^2)||_{L^3}] \\
& \le K^* ||w||_{H_0^1} ||v||_{H_0^1}^3 \\
& \le K ||w||_{H_0^1}^2 + K' ||v||_{H_0^1}^6.
\end{align*}
$$

Il en résulte

$$
\frac{d}{dt} \|w\|_{H_0^1}^2 \le K_1 \|w\|_{H_0^1}^2 + K_2 \|v\|_{H_0^1}^4 + K_3 \|v\|_{H_0^1}^6,
$$

où $K_1, K_2 K_3$ sont des constantes qui dépendent de $\sup_{t \in [0,T]} ||u(t)||_{H_0^1}$.

En appliquant le lemme de Gronwall, on obtient

$$
\|w\|_{H_0^1}^2 \le \tilde{C} e^{kt} [\|v\|_{H_0^1}^4 + \|v\|_{H_0^1}^6]. \quad (4.12)
$$

D'où la démonstration de la Proposition 4.2 est complète.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

4.2. Contraction du volume

On va montrer le théorème suivant

**Théorème 4.3.** *Si la force f est dans $L^2(\Omega)$ alors l'attracteur $\mathcal{A}$ est de dimension de Hausdorff finie dans $H_0^1(\Omega)$.*

Démonstration. On va montrer que les opérateurs $DS(t)u_0.h$ contractent les $m$ volumes dans $H_0^1$. Soient $h_1, \dots, h_m$ sont $m$ éléments dans $H_0^1$, on définit le déterminant de Gram $G_m$ comme suit

$$
G_m = \operatorname{Gram}(v_1, \dots, v_m) = \det_{1 \le i,j \ge m} (v_i(t), v_j(t)), v_i(t) = (DS(t)u_0)h_i.
$$

On note que les vecteurs $v_1, \dots, v_m$ sont solutions de l'équation suivante

$$
\left\{
\begin{array}{l}
v_{it} + \gamma v_i + i\Delta v_i + 2iE(\mathrm{Re}(\bar{u}v_i)) u + iE(|u|^2)v_i = 0, \\
v_i(0) = h,
\end{array}
\right.
\qquad (4.13)
$$

avec des conditions aux limites

$$
\phi = v_i = 0 \text{ sur } \partial\Omega.
$$

On va montrer pour $m$ assez grand, le déterminant de Gram décroît
exponentiellement quand $t \to +\infty$.
On considère $v(t) = DS(t)u_0.h$ solution de l'équation (4.13) on multi-
plie par $\Delta\bar{v}$, et en prenant la partie réelle alors on a

$$
\frac{1}{2} \frac{d}{dt} \mathbf{G}(v) - \gamma \mathbf{G}(v) = Im \int E(|u|^2) v \Delta \bar{v} + 2Im \int E(\mathrm{Re}(\bar{u}v)u \Delta \bar{v}) , \quad (4.14)
$$

où $\mathbf{G}(v) = ||v||^2_{H_0^1}$.

On définit le produit scalaire associé à **G**

$$
\beta(v, w) = \frac{\mathbf{G}(v + w) - \mathbf{G}(v - w)}{4}.
$$

On introduit le déterminant de Gram

$$
G_m(t) = \det_{1 \le i,j \le m} (\beta(v_i(t), v_j(t))).
$$

**Proposition 4.4.** *Pour $u_0$ dans $\mathcal{A}$ et $m$ assez grand, les vecteurs $v_i(t) = (DS(t)u_0)_i$ satisfont que $G_m$ décroît exponentiellement.*

Démonstration. Tout d'abord on dérive le déterminant de Gram

$$
\begin{align*}
\frac{dG_m}{dt} &= \frac{d}{dt} [\det(C_1(t), \dots, C_m(t))] \\
&= \sum_{k=1}^{m} \det \left( C_1(t), \dots, \frac{dC_k(t)}{dt}, \dots, C_m(t) \right),
\end{align*}
$$

tel que $C_i(t)$ sont des vecteurs colonnes

$$
C_k(t) = \begin{pmatrix} \beta(v_1(t), v_k(t)) \\ \vdots \\ \beta(v_i(t), v_k(t)) \\ \vdots \\ \beta(v_m(t), v_k(t)) \end{pmatrix} .
$$

On note $Z(v)$ le membre de droite de (4.14), on suppose que

$$
\nu(v, v) = Z(v),
$$

avec

$$
\nu(v, w) = \frac{Z(v + w) - Z(v - w)}{4}.
$$

En appliquant le lemme classique suivant

**Lemme 4.5.** *Il existe S matrice symétrique $m \times m$ qui dépend de $t$ et $m$ tel que*

$$
\nu(v, w) = \beta(Sv, w).
$$
*Démonstration.* Voir [1].

☐

La fonction $\beta$ satisfait l'équation suivante

$$ 
\begin{aligned}
\frac{d\beta(v_i(t), v_k(t))}{dt} &= \frac{d}{dt} \frac{\mathbf{G}(v_i(t) + v_k(t)) - \mathbf{G}(v_i(t) - v_k(t))}{4} \\
&= 2 \frac{Z(v_i(t) + v_k(t)) - Z(v_i(t) - v_k(t))}{4} \\
&\quad - 2\gamma \frac{\mathbf{G}(v_i(t) + v_k(t)) - \mathbf{G}(v_i(t) - v_k(t))}{4} \\
&= 2\nu(v_i(t), v_k(t)) - 2\gamma\beta(v_i(t), v_k(t)) \\
&= 2\beta(Sv_i(t), v_k(t)) - 2\gamma\beta(v_i(t), v_k(t)) \\
&= 2\beta \left( \sum_{j=1}^{m} (s_{ij}v_i(t), v_k(t)) \right) - 2\gamma\beta(v_i(t), v_k(t)) \\
&= -2\gamma C_k(t) + 2 \sum_{j=1}^{m} s_{kj} C_k(t).
\end{aligned}
$$

On en déduit

$$ \frac{dC_k(t)}{dt} = -2\gamma C_k(t) + 2 \sum_{j=1}^{m} s_{kj} C_k(t). $$

Alors on obtient

$$ 
\begin{aligned}
\frac{dG_m(t)}{dt} &= \sum_{k=1}^{m} \det \left( C_1(t), \dots, \frac{dC_k(t)}{dt}, \dots, C_m(t) \right) \\
&= \sum_{k=1}^{m} \left( -2\gamma G_m + 2 \sum_{j=1}^{m} s_{kj} \det \left[ \dots, C_{k-1}(t), C_j(t), C_{k+1}(t), \dots \right] \right) \\
&= \sum_{k=1}^{m} \left( -2\gamma G_m + 2 \sum_{k=1}^{m} s_{kk} G_m \right).
\end{aligned}
$$

Finalement on a

$$ \frac{dG_m}{dt} + 2(\gamma m - \mathrm{Tr} S)G_m = 0. $$
COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE DES SOLUTIONS

Pour montrer la décroissance de $G_m$, on va estimer $\text{TrS}$ en utilisant la
formule min max, alors

$$
\mathrm{TrS} \le \sup \left( \sum_{j=1}^{m} \frac{Z(v_j)}{\mathbf{G}(v_j)} \right).
$$

On sait que $\mathbf{G}(v_j) = ||v||_{H_0^1}^2$, $Z(v_j)$ s'écrit comme la somme de deux termes dans l'équation (4.14). On intègre l'équation (4.14) par parties, il vient alors

$$
\begin{align*}
\mathrm{Im} \int E(|u|^2) v \Delta \bar{v} &= -\mathrm{Im} \int v \nabla \bar{v} E(\nabla (|u|^2)) \\
&\leq \left| \int v \nabla \bar{v} E(\nabla (|u|^2)) \right| \\
&\leq c ||v||_{L^3} ||\nabla v||_{L^2} ||\Delta^{-1}(\nabla) |u|^2||_{L^6} \\
&\leq c R^2 ||v||_{L^3} ||v||_{H_0^1};
\end{align*}
$$

en utilisant l'injection continue $H^1 \hookrightarrow L^3$, on obtient

$$
\|v\|_{L^3} \leq c \|v\|_{H^{\frac{1}{2}}},
$$

et d'après l'inégalité d'interpolation, on a

$$
\|v\|_{H^{\frac{1}{2}}} \leq c \|v\|_{L^2}^{\frac{1}{2}} \|v\|_{H_0^1}^{\frac{1}{2}};
$$

on en déduit que

$$
\mathrm{Im} \int E(|u|^2) v \Delta \bar{v} \le c R^2 ||v||_{L^2}^{\frac{1}{2}} ||v||_{H_0^1}^{\frac{3}{2}}.
$$

Majorons maintenant le deuxième terme dans Z

$$
\begin{align*}
2\operatorname{Im} \int E(\operatorname{Re}(\bar{u}v)u\Delta\bar{v}) = & \\
& - 2\operatorname{Im} \int \nabla[E(\operatorname{Re}(\bar{u}v))u\nabla\bar{v}] - 2\operatorname{Im} \int E(\operatorname{Re}(\bar{u}v))\nabla u\nabla\bar{v}.
\end{align*}
$$
A. DABAA

D'une part

$$
\begin{aligned}
-2\operatorname{Im} \int \nabla[E(\operatorname{Re}(\bar{u}v))]u \nabla \bar{v} &\le 2\operatorname{Im} \int |\nabla[E(\operatorname{Re}(\bar{u}v))]| |u| |\nabla \bar{v}| \\
&\le |v|_{H_0^1} |u|_{L^3} |\nabla[E(\operatorname{Re}(\bar{u}v))]|_{L^6} \\
&\le cR|v|_{H_0^1} |uv|_{L^2} \\
&\le cR^2|v|_{H_0^1} |v|_{L^3} \\
&\le cR^2|v|_{L^2}^{\frac{1}{2}} |v|_{H_0^1}^{\frac{3}{2}}.
\end{aligned}
$$

D'autre part

$$
\begin{aligned}
-2\operatorname{Im} \int E(\operatorname{Re}(\bar{u}v)) \nabla u \nabla \bar{v} &\le 2\operatorname{Im} \int |E(\operatorname{Re}(\bar{u}v))| |\nabla u| |\nabla \bar{v}| \\
&\le |v|_{H_0^1} |u|_{H_0^1} |uv|_{L^2} \\
&\le cR^2 |v|_{H_0^1} |v|_{L^3} \\
&\le cR^2 |v|_{L^2}^{\frac{1}{2}} |v|_{H_0^1}^{\frac{3}{2}}.
\end{aligned}
$$

En utilisant la formule de Weyl on a que si $\lambda_j$ est la $j^{\text{ème}}$ valeur propre de $-\Delta$, alors

$$
\lambda_j \sim C(\Omega) j^{\frac{2}{3}}.
$$

Finalement on a

$$
\begin{aligned}
\mathrm{TrS} &\le \sup \left( \sum_{j=1}^{m} \frac{\|v_j\|_{L^2}^{\frac{1}{2}}}{\|v_j\|_{H_0^1}^{\frac{1}{2}}} \right) \\
&\le C(\Omega) \sup \left( \sum_{j=1}^{m} \frac{1}{\lambda_j^{\frac{1}{4}}} \right) \\
&\le C(\Omega) \sup \left( \sum_{j=1}^{m} \frac{1}{j^{\frac{1}{6}}} \right) \\
&\le C(\Omega) m^{\frac{5}{6}}.
\end{aligned}
$$
On conclut

$$ \gamma m - \operatorname{Tr} S \geq 0 \iff \gamma m^{\frac{5}{6}} \left( m^{\frac{1}{6}} - \frac{C(\Omega)}{\gamma} \right) \geq 0 \\ \iff m \geq \left( \frac{C(\Omega)}{\gamma} \right)^{6} \iff G_m \downarrow 0. \quad \square $$

On a alors décroissance des volumes $m$-dimensionnels.

Références

[1] N. AKROUNE – *Comportement asymptotique de certaines équations faiblement amorties*, Thèse, Université de Cergy-Pontoise, 2000.

[2] J. BALL – « Global attractors for damped semilinear wave equations. partial differential equations and applications », *Discrete Contin. Dyn. Syst* **10** (2004), p. 31–52.

[3] T. CAZENAVE & A. HARAUX – *Introduction aux problèmes d'évolution semi-linéaires*, Ellipses, Paris, 1990.

[4] J. GHIDAGLIA – « Finite dimensional behaviour for weakly damped driven schrodinger equations », *Ann. Inst. Henri Poincaré* **5** (1988), p. 365–405.

[5] ————, « Explicit upper and lower bounds on the number of degrees of freedom for damped and driven cubic schrodinger equations », *Discrete Contin. Dyn. Syst* **23**, n°3 (1989), p. 433–443.

[6] O. GOUBET & R. ROSA – « Asymptotic smoothing and the global attractor of a weakly damped kdv equation on the real line », *J. Differential Equations* **185** n°1 (2002), p. 25–53.

[7] R. ILLNER, O. KAVIAN & H. LANGE – « Stationary solutions of quasi-linear schrodinger-poisson systems », *J. Differential Equations* **145** (1998), p. 1–16.

[8] R. ILLNER, H. LANGE, B. TOOMIR & P. ZWEIFEL – « On quasi-linear schrodinger-poisson systems », *Math. Meth. Appl. Sci.* **20** (1997), p. 1223–1238.

[9] P. LAURENCOT – « Long-time behaviour for weakly damped driven nonlinear Schrödinger equations in $\mathbf{R}^N$, $N \le 3$ », *NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl.* **2** (1995), no. 3, p. 357–369.
[10] P. A. MARKOWICH, C. RINGHOFER & C. SCHMEISER – *Semiconductor equations*, Springer, Wien, 1990.

[11] F. NIER – « Schrodinger-poisson systems in dimension $d \le 3$, the whole space case », *Proceedings of the Royal Society of Edinburgh* **123A** (1993), p. 1179–1201.

[12] R. TEMAM – *Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics*, second éd., Applied Mathematical Sciences, vol. 68, Springer-Verlag, New York, 1997.

AMNA DABAA
LAMFA, CNRS UMR 6140
Laboratoire Amiénois de Mathématiques
Fondamentales et Appliquées,
Université de Picardie Jules Verne,
Faculté de Mathématiques et
d'Informatique,
33, rue Saint-Leu
80039 Amiens Cedex 1,
France.
amna.daaba@u-picardie.fr