# Évaluation des divers modèles analytiques pour les structures sandwich viscoélastiques

Heng Hu, Salim Belouettar, El Mostafa Daya, Michel Potier-Ferry

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Heng Hu, Salim Belouettar, El Mostafa Daya, Michel Potier-Ferry. Évaluation des divers modèles analytiques pour les structures sandwich viscoélastiques. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01812952

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Submitted on 12 Jun 2018

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# Évaluation des divers modèles analytiques pour les structures sandwich viscoélastiques

H. Hu, S. Belouettar, E.M. Daya & M. Potier-Ferry

Laboratoire de Physique et Mécanique des Matériaux
UMR CNRS 7554, I.S.G.M.P., Université de Metz
Ile du Saulcy, 57045 Metz Cedex 01, France
hu@lpmm.univ-metz.fr

RÉSUMÉ. Le but de cet article est de proposer et d'évaluer les modèles analytiques pour les structures sandwich à trois couches (élastique/viscoélastique/élastique). Certains modèles sont basés sur la cinématique de Kirchhoff-Love, de Mindlin, de Reddy ou de Touratier, les autres selon le principe de zigzag (Rao, Daya&Potier-Ferry...). La validité de ces modèles est étudiée dans le domaine statique (flexion à trois points) et le domaine dynamique (vibration libre), les solutions numériques par éléments finis sont considérées comme solutions de référence pour les comparaisons. Les paramètres de comparaisons incluent le déplacement transversal, la contrainte normale, la contrainte transversale de cisaillement, les fréquences naturelles et les facteurs de perte.

ABSTRACT. The aim of this article is to propose and to evaluate analytical models for sandwich structures with three layers (elastic/viscoelastic/elastic). Some models are based on the kinematics of Kirchhoff-Love, Mindlin, Reddy or Touratier, the others on the zigzag principle (Rao, Daya&Potier-Ferry...). The accuracy of these models is studied in the static field (inflection of three points) and the dynamic field (free vibration), for which a Finite-Element-based solution is considered as reference. The parameters of comparisons include vertical deflection, normal strain, transverse shear strain, natural frequencies and loss factors.

MOTS-CLÉS : Structures sandwich, modèles analytiques, amortissement, viscoélasticité.

KEYWORDS: Sandwich structures, analytical models, damping, viscoelasticity.
# 1. Introduction

De nos jours, le contrôle du bruit et des vibrations est devenu l'un des préoccupations majeures dans plusieurs domaines (aéronautique, automobile, électroménager...). En effet, la réduction du bruit et des vibrations permet d'éviter les dégâts matériels et les nuisances sonores. Parmi les solutions passives, on trouve l'utilisation industrielle des tôles sandwichs avec un cœur à fort pouvoir amortissant. Ce genre de structure offre d'importants avantages technologiques (faible poids, grande rigidité, automatisation facile de la fabrication...). En général, ces tôles se présentent sous la forme d'une fine couche viscoélastique intercalée entre deux parements élastiques. Le matériau viscoélastique permet d'introduire la fonction amortissante de la tôle. Dans cette situation, l'amortissement est dû principalement à l'écart entre les déplacements longitudinaux des couches élastiques. De point de vue de l'ingénieur, les propriétés amortissantes de ces tôles sont caractérisées par deux quantités modales, à savoir le facteur de perte (amortissement) et la fréquence propre. Le calcul numérique de ces quantités pose un problème qui est lié au modèle qui devrait être capable de rendre compte du cisaillement dans la couche centrale, en permettant des modélisations avec un coût de calcul raisonnable. De plus, les codes de calcul industriel ne permettent pas de déterminer de manière directe et exacte l'amortissement. Le but de ce travail est d'établir le modèle pour calculer le plus précisément possible les propriétés amortissantes (fréquences et amortissements) des structures sandwich viscoélastiques quel que soit le rapport des rigidités et des dimensions des couches.

# 2. Cinématique des modèles

Considérons la poutre sandwich présentée sur la figure 1, L'axe *x* étant la ligne de moyenne de la poutre, *z* est l'axe transversal.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1. Poutre Sandwich</figcaption></figure>

$H_c$ et $E_c$ sont respectivement l'épaisseur et le module de Young du cœur. $H_f$ et $E_f$ sont respectivement l'épaisseur et le module de Young de la face, $\eta_c$ est le facteur de perte du cœur. La longueur et l'épaisseur de poutre sont $L$ et $H_t$. Les hypothèses classiques de calcul des sandwichs sont considérées à savoir:

- Tous les points sur une normale ont le même déplacement transversal.
Evaluation des divers modèles analytiques pour les structures sandwich viscoélastiques

– Le déplacement est continu aux interfaces.

– Tous les points des couches élastiques sur une normale ont les mêmes rotations.

## 2.1. Modèles non-zigzag

La cinématique des modèles non-zigzag peut être exprimée par l'expression générale suivante :

$$U(x, z, t) = U_0(x, t) - z \frac{\partial w(x, t)}{\partial x} + f(z)\beta(x, t). \quad (1)$$

$U(x, z, t)$ est le déplacement longitudinal, et $U_0(x, t)$ est le déplacement de la ligne médiane du cœur. $w(x, t)$ est la flèche, $\beta(x, t)$ représente la rotation additionnelle de la normale à la ligne médiane, $f(z)$ peut être considéré comme la “fonction de cisaillement”, ici les expressions considérées pour $f(z)$ sont:

– Modèle-1: $f(z) = 0$, Kirchhoff-Love;

– Modèle-2: $f(z) = z$, Mindlin;

– Modèle-3: $f(z) = z - 4z^3 / (3H_t^2)$, (Reddy, 1984);

– Modèle-4: $f(z) = H_t \sin(\pi z / H_t) / \pi$, (Touratier, 1991).

## 2.2. Modèles zigzag

Pour les modèles zigzag, la fonction du déplacement longitudinal est décomposée en 3 parties :

$$\left\{
\begin{array}{ll}
U_1(x, z, t) = U_1^0(x, t) - \left(z - \frac{H_c + H_f}{2}\right) \frac{\partial w(x, t)}{\partial x}, & \frac{H_c}{2} < z \le \frac{H_f}{2} \\
\\
U_2(x, z, t) = U_2^0(x, t) - z \frac{\partial w(x, t)}{\partial x} + \sum_{i=1}^{n} f_i(z) \beta_i(x, t), & -\frac{H_c}{2} \le z \le \frac{H_c}{2} \\
\\
U_3(x, z, t) = U_3^0(x, t) - \left(z + \frac{H_c + H_f}{2}\right) \frac{\partial w(x, t)}{\partial x}, & -\frac{H_f}{2} \le z < -\frac{H_c}{2}
\end{array}
\right.
\quad (2)$$

$U_1^0(x, t), U_2^0(x, t), U_3^0(x, t)$ sont le déplacement longitudinal axial du plan moyen des trois couches. Le modèle de Kirchhoff-Love est affecté aux faces, et trois modèles sont considérés pour le cœur:

– Modèle-6: $n = 1, f_1(z) = z$, Modèle de Mindlin dans le cœur (Rao, 1978, Daya&Potier-Ferry, 2002);

– Modèle-6: $n = 1, f_1(z) = z - 4z^3 / (3H_c^2)$, Modèle de Reddy dans le cœur;

– Modèle-7: $n = 2, f_1(z) = z, f_2(z) = z^3$, Modèle mixte.
### 3. Equations d'équilibres

Les équations principales de sandwich peuvent être obtenues à partir du principe des puissances virtuelles:

$$ \delta P_{\text{ext}} + \delta P_{\text{int}} = \delta P_{\text{acc}} \quad (3) $$

On se limite ici d'établir les équations d'équilibre pour des modèles zigzag.

En considérant les conditions de raccord aux interfaces, les déplacements indépendants sont réduits à $U_2^0(x,z,t), w(x,t)$ et $\beta_i(x,t)$. A partir de (3), on obtient une équation de la forme suivante :

$$ \int_0^L \left[ (M_1 + M_2 + M_3) - \frac{H_c + H_f}{2} (N_1 - N_3) \right] \frac{\partial^2 \delta w}{\partial x^2} dx - F \frac{\partial w}{\partial t} (L/2) = 0, \quad (4) $$

pour le problème de flexion à trois points, et pour le problème de vibration libre l'équation suivante :

$$ \int_0^L \left[ (M_1 + M_2 + M_3) - \frac{H_c + H_f}{2} (N_1 - N_3) \right] \frac{\partial^2 \delta w}{\partial x^2} dx - \int_0^L \left( 2\rho_f S_f + \rho_c S_c \right) \frac{\partial^2 w}{\partial t^2} \delta w dx = 0. \quad (5) $$

Une équation supplémentaire est également obtenue à partir de (3),valable pour les deux problèmes :

$$ \begin{aligned} & \frac{H_c + H_f}{2} E_j H_j \frac{\partial^3 w}{\partial x^3} - 2 E_j H_j f_k \left(\frac{H_c}{2}\right) f_j \left(\frac{H_c}{2}\right) \frac{\partial^2 \beta_j}{\partial x^2} + E_c \int_{-\frac{H_c}{2}}^{\frac{H_c}{2}} z f_k(z) dz \frac{\partial^3 w}{\partial x^3} && (6) \\ & - E_c \int_{-\frac{H_c}{2}}^{\frac{H_c}{2}} z f_k(z) f_j(z) dz \frac{\partial^2 \beta_j}{\partial x^2} + G_c \int_{-\frac{H_c}{2}}^{\frac{H_c}{2}} z \frac{\partial f_k(z)}{\partial z} \frac{\partial f_j(z)}{\partial z} dz \beta_j = 0 \quad (k, j = 1, 2, \dots, n) \end{aligned} $$

Aussi, on obtient les conditions aux limites suivantes, valables pour les deux extrémités de la poutre :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\partial(M_1 + M_2 + M_3)}{\partial x} - \frac{H_c + H_f}{2} \frac{\partial(N_1 - N_3)}{\partial x} = 0 & \text{ou } w = 0 \\ (M_1 + M_2 + M_3) - \frac{H_c + H_f}{2} (N_1 - N_3) = 0 & \text{ou } \frac{\partial w}{\partial x} = 0 \\ f_j \left(\frac{H_c}{2}\right) (N_1 - N_3) - \int_{S_i}^{S_f} \sigma_{xx} f_j(z) dS_c = 0 & \text{ou } \beta_j = 0 \quad (j = 1, 2, \dots, n) \end{array} \right. \quad (7) $$

$M_i$ est le moment de flexion et $N_i$ est la force axiale dans la couche $i$.
## 4. Résultats et comparaisons

Pour comparer les différents modèles sandwich établis, en résolvant les Eq(4), (5) et (6), des études analytiques ont été effectuées sur deux poutres, qui diffèrent principalement par le rapport de rigidité des couches et l'élancement. Les paramètres principaux des poutres sont donnés dans le tableau 1. Pour valider les résultats, une solution par éléments finis (code ANSYS 7.1) a été réalisée en utilisant un élément 2D quadrangle à 8 noeuds. Les résultats numériques sont montrés dans les tableaux 2, 3.

<table><caption>Tableau 1. Propriétés et dimensions de poutre sandwich</caption><tr><td>Module de Young des peaux</td><td>E<sub>f</sub> = 6.9 e10 Pa</td></tr><tr><td>Coefficient de Poisson</td><td>ν<sub>f</sub>=ν<sub>c</sub>=0.3</td></tr><tr><td>Facteur de perte du cœur</td><td>η<sub>c</sub> = 0.3</td></tr><tr><td>Densité de masse</td><td>ρ<sub>c</sub> = 968 kg / m<sup>3</sup>, ρ<sub>f</sub> = 2770 kg / m<sup>3</sup></td></tr><tr><td>Epaisseur</td><td>H<sub>t</sub> = 0.01 m</td></tr></table>

## 5. Conclusions

A partir de ces comparaisons et d'autres non présentées ici, il apparaît que les modèles zigzag sont toujours plus précis et plus stables que les modèles non-zigzag. Ces derniers sont imprécis et incorrects pour la description des cœurs mous car ils ne sont pas sensibles au rapport de rigidité. On note que le modèle de Rao est limité à la modélisation des sandwichs à cœur mou et que l'utilisation du modèle Mindlin au cœur donne des résultats satisfaisants dans tous les cas. Ainsi, il n'est pas utile d'enrichir la cinématique au cœur (Modèle-6 et Modèle-7).

## 6. Bibliographie

* Reddy. J.N, « A simple higher-order theory of laminated composite plate», *Journal of Applied Mechanics*, Volume 51, 745-752, 1984

* Touratier. M, «An efficient standard plate theory», *International Journal of Engineering Science*, Volume 29, Issue 8, 901-916,1991

* Rao D.K, «Frequency and loss factor of sandwich beams under various boundary conditions», *Journal of Mechanical Engineering Sciences*, 20(5), 271-282, 19

* E.M.Daya, M.Potier-Ferry, «A shell element for viscoelastically damped sandwich structures», *Revue européenne des éléments finis*, Volume 11-n°1, 39-56, 2002
<table><caption>**Tableau 2.** Résultats de flexion aux trois points (q = 100N/m)</caption><thead><tr><th colspan="2">H<sub>c</sub> / H<sub>f</sub> = 1</th><th>Kirchhoff</th><th>Reddy</th><th>Touratier</th><th>Reddy<br>au coeur</th><th>Mindlin<br>au coeur</th><th>Mix<br>au coeur</th><th>ANSYS</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">L / H<sub>t</sub> = 20<br>E<sub>c</sub> / E<sub>f</sub> = 0.001</td><td>w(L / 2,0) (m)</td><td>-3,01E-06</td><td>-3,06E-06</td><td>-3,07E-06</td><td>-1,00E-05</td><td>-1,11E-05</td><td>-1,11E-05</td><td>-1,12E-05</td></tr><tr><td>τ<sub>xx</sub> (L / 4,0) (Pa)</td><td>0,00E+00</td><td>-1,77E+01</td><td>-1,96E+01</td><td>-6,92E+03</td><td>-5,30E+03</td><td>-5,30E+03</td><td>-5,33E+03</td></tr><tr><td>σ<sub>xx</sub> (L / 4, H<sub>t</sub> / 2) (Pa)</td><td>-1,56E+05</td><td>-1,56E+05</td><td>-1,56E+05</td><td>-2,15E+05</td><td>-2,29E+05</td><td>-2,29E+05</td><td>-2,30E+05</td></tr><tr><td rowspan="3">L / H<sub>t</sub> = 50<br>E<sub>c</sub> / E<sub>f</sub> = 0.1</td><td>w(L / 2,0) (m)</td><td>-4,69E-05</td><td>-4,70E-05</td><td>-4,70E-05</td><td>-4,71E-05</td><td>-4,72E-05</td><td>-4,72E-05</td><td>-4,72E-05</td></tr><tr><td>τ<sub>xx</sub> (L / 4,0) (Pa)</td><td>0,00E+00</td><td>-1,56E+03</td><td>-1,70E+03</td><td>-8,71E+03</td><td>-6,95E+03</td><td>-6,95E+03</td><td>-7,00E+03</td></tr><tr><td>σ<sub>xx</sub> (L / 4, H<sub>t</sub> / 2) (Pa)</td><td>-3,88E+05</td><td>-3,88E+05</td><td>-3,88E+05</td><td>-3,88E+05</td><td>-3,88E+05</td><td>-3,88E+05</td><td>-3,88E+05</td></tr></tbody></table>

<table><caption>**Tableau 3.** Résultats de vibration libre de poutre en appui simple</caption><thead><tr><th colspan="2">H<sub>c</sub> / H<sub>f</sub> = 1</th><th>Kirchhoff</th><th>Reddy</th><th>Rao</th><th>Reddy<br>au coeur</th><th>Mindlin<br>au coeur</th><th>Mix<br>au coeur</th><th>ANSYS</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">L / H<sub>t</sub> = 20<br>E<sub>c</sub> / E<sub>f</sub> = 0.001</td><td>ω<sub>0</sub> (Hz)</td><td>627,72</td><td>623,23</td><td>333,33</td><td>351,39</td><td>333,50</td><td>333,50</td><td>330,23</td></tr><tr><td>η / η<sub>c</sub></td><td>0,000</td><td>0,000</td><td>0,557</td><td>0,552</td><td>0,557</td><td>0,557</td><td></td></tr><tr><td rowspan="2">L / H<sub>t</sub> = 50<br>E<sub>c</sub> / E<sub>f</sub> = 0.1</td><td>ω<sub>0</sub> (Hz)</td><td>100,63</td><td>100,52</td><td>100,14</td><td>100,42</td><td>100,38</td><td>100,38</td><td>100,26</td></tr><tr><td>η / η<sub>c</sub></td><td>0,004</td><td>0,001</td><td>0,005</td><td>0,008</td><td>0,009</td><td>0,009</td><td></td></tr></tbody></table>