# Programme Paris-Caen : artifaille pour la palindromisation et ses 23 bacouettes

David Pigeon

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Preprint submitted on 30 Jan 2025

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# Programme Paris-Caen : artifaille pour la palindromisation et ses 23 bacouettes

David Pigeon*

29 janvier 2025

**Keywords** : décomposition en base, programme Paris-Caen, artifaille, palindromisation, nombres miroir, nombres normands, nombres celtes, nombres bretons, trisk, triskèle, nombres québecois, nombres siciliens, ducs, elingard, riboutins, bacouettes.

## Résumé

Ce texte présente un algorithme de palindromisation appliqué aux entiers naturels selon leur décomposition en base. On désigne par "nombres normands" ceux pour lesquels l'algorithme converge. On développe un artifaille<fnref n="1" /> possible pour l'étude de cet algorithme. En s'appuyant sur des simulations informatiques, plusieurs bacouettes sont formulées. L'ensemble de ces bacouettes forme le Programme Paris-Caen.

## Table des matières

<table><tr><td>Introduction</td><td>3</td></tr><tr><td>Légende normande palindromique</td><td>3</td></tr><tr><td>La Basse-Normandie de Rollor</td><td>3</td></tr><tr><td>La Haute-Normandie de Nollon</td><td>4</td></tr><tr><td>Quelques explications pour les non-normands</td><td>6</td></tr><tr><td>Deux exemples simples</td><td>6</td></tr><tr><td>Contexte</td><td>8</td></tr><tr><td>A tantôt pour d'autres legendes normandes</td><td>9</td></tr><tr><td>1 Décomposition en base arithmétique</td><td>11</td></tr><tr><td>1.1 Ensembles $N_a^b$</td><td>11</td></tr><tr><td>1.2 Le Rollon</td><td>12</td></tr><tr><td>1.3 Outils de base</td><td>12</td></tr><tr><td>1.4 Théorèmes</td><td>14</td></tr><tr><td>1.5 Addition en base b</td><td>20</td></tr><tr><td>1.6 Artifaille en Python</td><td>21</td></tr><tr><td>2 Artifaille pour la palindromisation</td><td>27</td></tr><tr><td>2.1 Opération de réduction</td><td>27</td></tr><tr><td>2.2 Opération miroir</td><td>31</td></tr><tr><td>2.3 Opération palindromique</td><td>33</td></tr><tr><td>2.4 Artifaille en Python</td><td>36</td></tr></table>

<footnote>*https://sites.google.com/view/davidpigeon/</footnote>

<footnote n="1">1. Ensemble des outils d'un artisan.</footnote>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td><b>3</b></td>
      <td><b>Artifaille du normand</b></td>
      <td><b>39</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1</td>
      <td>Opération normande</td>
      <td>39</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2</td>
      <td>Suite normande en base b</td>
      <td>39</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3</td>
      <td>Cas des normands en base b</td>
      <td>40</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4</td>
      <td>Cas des celtes en base b</td>
      <td>41</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5</td>
      <td>Cas des québecois en base b</td>
      <td>43</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.6</td>
      <td>Cas des siciliens en base b</td>
      <td>44</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.7</td>
      <td>Artifaille en Python</td>
      <td>44</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>4</b></td>
      <td><b>Stratégies de groupes</b></td>
      <td><b>48</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.1</td>
      <td>Profondeur du rêve</td>
      <td>48</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2</td>
      <td>Opération elingard</td>
      <td>48</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3</td>
      <td>Opérations duc et duc elingard</td>
      <td>51</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4</td>
      <td>Ensemble des ducs quasi-elingards</td>
      <td>54</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.5</td>
      <td>Opérations riboutines</td>
      <td>55</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.6</td>
      <td>Résultat fondamental</td>
      <td>57</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.7</td>
      <td>De Nollon à Rollor</td>
      <td>60</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.8</td>
      <td>Applications à la base 2</td>
      <td>62</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.9</td>
      <td>Artifaille en Python</td>
      <td>62</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>5</b></td>
      <td><b>Les bacouettes</b></td>
      <td><b>71</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1</td>
      <td>Etude de la palindromisation</td>
      <td>71</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2</td>
      <td>Etude du degré de la suite normande</td>
      <td>72</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3</td>
      <td>Etude de la longueur d'un triskèle</td>
      <td>72</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.4</td>
      <td>Etude des riboutins</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.5</td>
      <td>Etude de $B_{1,b} \subset N_b$</td>
      <td>74</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.6</td>
      <td>Etude sur la densité</td>
      <td>75</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.7</td>
      <td>Etude de $N_b = \mathbb{N}_\bullet$ pour b petit</td>
      <td>75</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.8</td>
      <td>Etude de $N_b \neq \mathbb{N}_\bullet$</td>
      <td>76</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>6</b></td>
      <td><b>Les extensions et variantes</b></td>
      <td><b>78</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.1</td>
      <td>Changer l'opération de réduction</td>
      <td>78</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2</td>
      <td>Changer l'opération de palindromisation</td>
      <td>78</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3</td>
      <td>Divisions euclidiennes dans $\mathbb{R}_+^*$</td>
      <td>79</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4</td>
      <td>Divisions euclidiennes dans un anneau euclidien</td>
      <td>79</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>A</b></td>
      <td><b>Etudes informatiques</b></td>
      <td><b>80</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.1</td>
      <td>Cas $B_{d,b} \subset N_b$</td>
      <td>80</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.2</td>
      <td>Cas des bases avec triskèle</td>
      <td>82</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.3</td>
      <td>Nombres celtes inférieurs à $10^4$</td>
      <td>88</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.4</td>
      <td>Nombres bretons et nombres multiceltes</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.5</td>
      <td>Nombres siciliens en base 66</td>
      <td>92</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>A.6</td>
      <td>Nombres celtes et siciliens de degré 1</td>
      <td>94</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>B</b></td>
      <td><b>Artifaille en Python</b></td>
      <td><b>96</b></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
# Introduction

## Légende normande palindromique

Tout commença en l'An Zéro. Le Premier Jour (de l'an un), le Dieu Rollon et ses dieux sortirent de la glace.

Le Deuxième Jour, le Dieu Rollon créa La Normandie.

*Quant Rou a Roen arriva*
*Qui de north homes amena*
*Cil furent Normant apelé*
*Por ceu que de north furent né*
*(...) E de Normanz est apelee*
*Normendie que il unt poplee.*

*Quand Rollon arriva à Rouen,*
*Amenant des hommes du nord,*
*Ceux-ci furent appelés Normands*
*Parce qu'ils étaient nés dans le Nord*
*(...) Et la Normandie a reçu ce nom*
*Des Normands qui l'ont peuplée.*

Wace<fnref n="2" />, Roman de Rou<fnref n="3" />

La Normandie, se sentant seule, Rollon créa, le Troisième Jour, autour de la Normandie, les pays celtes (en particulier les Bretagnes), et dans des contrées plus lointaines, la Sicile (appelée aussi la Normandie du soleil), et à l'autre bout du monde, le Québec (appelé aussi la Normandie lointaine).

Le Quatrième Jour, la Normandie enfanta deux enfants : Rollor et Nollon, les demi-dieux palindromiques. Ils prenaient la forme de léopards <fnref n="4" /> :

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Le Cinquième Jour, Rollon ordonna à ses fils de peupler cette terre normande. Les deux fils n'étaient pas d'accord sur la manière de peupler la Normandie.

Alors, le Sixième Jour, Rollon sépara la Normandie en deux : la Basse-Normandie pour Rollor et la Haute-Normandie pour Nollon.

Après avoir travaillé durant six jours, Rollon se reposa et contempla ses fils peupler la Normandie jusqu'à la fin des temps.

Dans la suite, on rappelle les jeux proposés par Rollor et Nollon pour peupler la Basse-Normandie et la Haute-Normandie.

### La Basse-Normandie de Rollor

Rollor s'implanta non loin de la mer, dans une ville appelée Cathim<fnref n="5" />. Le terrain de jeu bas-normand était créé. Voici le jeu que Rollor proposa à son père Rollon. Rollor décida de ne rien créer la première année. Le jeu commencerait la deuxième année ($n := 2$). Il créa cette deuxième année la base $b := 2$. Il la plaça dans une région non loin de la Normandie, appelée Lutèce<fnref n="6" />.

Chaque début d'année $n$ (à partir de la deuxième année), Rollor créera une nouvelle base $b := n$. Ainsi, à une année $n$, il y aura au début de l'année $n-1$ bases déjà créées. Chaque base existante a

<footnote n="2">2. Poète normand du XIIème siècle.</footnote>

<footnote n="3">3. De nombreux autres textes en normand se trouvent sur le site de la Fédération des Associations pour la Langue normandE (FALE) : https://www.fale-normandie.fr/.</footnote>

<footnote n="4">4. Source Wikipedia : Drapeau_normand</footnote>

<footnote n="5">5. Caen.</footnote>

<footnote n="6">6. Paris.</footnote>
la possibilité, chaque année, de partir de Lutèce pour le grand air bas-normand, celte ou québecois.
Rollor leur donna la possibilité de voyager dans le temps (dans le passé ou le futur) durant leurs rêves.

Pour cela, chaque base *b* doit décomposer l'année *n* (dans sa base *b*) en une suite finie de petits blocs d'entiers naturels inférieurs à *b* − 1. Durant son rêve, la base *b* a ainsi la possibilité de voyager à une autre année *n* de deux façons différentes :

⊗ Si le premier bloc est égal au dernier bloc, elle peut les supprimer, obtenant ainsi une suite avec deux blocs de moins, correspondant à une autre année *n*′ plus petite que l'année *n*;

⊗ Sinon, elle peut ajouter à sa suite de blocs l'année miroir de cette suite et obtenir ainsi une nouvelle suite de blocs, correspondant à une année *n*′ plus grande que l'année *n*, dans l'objectif d'obtenir une année de plus en plus palindromique.

Elle peut continuer avec les suites de blocs qu'elle obtient. Il se produit alors trois possibilités :

⊕ Si une base *b* réussit à supprimer tous ses blocs durant ses rêves successifs et obtient ce que Rollor appelle l'année Rollon • (l'année sans bloc, Rollor l'appela ainsi en hommage à son père), elle devient bas-normande jusqu'à la fin de l'année *n*. Elle pourra alors passer la fin de l'année *n* en Basse-Normandie et profiter des plaisirs bas-normands, rejoignant les bases heureuses comme elle;

⊕ Si elle revient sur une suite qu'elle a déjà rencontrée, elle pourra tourner autour de la Basse-Normandie et passer la fin de l'année dans une des contrées celtes. On dit que son rêve forme un triskèle. Un cas particulier surviendra si elle revient dans ses rêves sur elle-même : elle ira directement en Bretagne, ce qui n'est pas mal non plus;

⊕ Si elle n'est dans aucun de ces cas, elle sera envoyée à l'infini, ce que les habitants de Lutèce appellent le Québec, à l'autre bout du monde, dans le froid.

Malheureusement, si elle ne parvient pas à savoir où elle doit aller, elle restera à Lutèce, où les places se font chères, la population de Lutèce augmentant chaque année de une base $b := n$ supplémentaire.

Dans cette première ébauche de jeu, Rollon remarqua que son fils avait négligé la possibilité que certaines bases n'auraient pas le temps de savoir dans leurs rêves où elles voyageraient. Rollor modifia donc les règles et, pour ces bases, malgré tous les efforts qu'elles déploieraient, il fut décidé qu'elles seraient envoyées au soleil sicilien.

Une fois arrivées dans leurs contrées normandes ou celtes, Rollor donna la possibilité à ces bases *b* d'éviter le retour à Lutèce pour l'année *n* + 1. Pour cela, elles devaient dans leurs contrées respectives rêver et se transformer, pour l'année *n* + 1, en l'année lumière (elles partent ou restent en Basse-Normandie) ou en un triskèle (elles partent ou restent en pays celtes). Toutes les autres seraient obligées de rentrer à Lutèce avant la fin de l'année *n*.

C'est ainsi que de grands voyages, de grands mouvements de bases se déroulaient chaque année.
La Basse-Normandie se peuplait ainsi de bases autochtones. Elles cueillaient et cultivaient les délices
créés par Rollon.

"Que la nature est prévoyante !

Elle fait pousser les pommes en Normandie

Sachant que les indigènes de cette province ne boivent que du cidre."

Henry Bonaventure Monnier (1799 - 1877)

Ce jeu fut proposé à Rollon par Rollor pour la Basse-Normandie. Rollon l'accepta.

La Haute-Normandie de Nollon

Jaloux de son frère, Nollon s'implanta dans une ville appelée Roen<fnref n="7" />. Le deuxième terrain de jeu était ainsi créé. Par orgueil, Nollon décida de créer une infinité de petits êtres : les entiers naturels,

<footnote n="7">7. Rouen.</footnote>
rangés du plus petit au plus grand. Il plaça ces entiers dans une zone non loin de Lutèce, Versalias<fnref n="8" />. Désireux de grands espaces, Nollon leur créa un jeu à partir de la deuxième année.

Chaque année *b*, un entier *n* avait la possibilité de partir de Versalias pour respirer l'air pur normand, celte ou québecois. Pour cela, Nollon copia l'idée de Rollor et leur donna, selon l'année *b*, la possibilité, durant leurs rêves, de se décomposer en une suite finie de petits blocs d'entiers naturels inférieurs à *b* − 1. Durant leurs rêves, ils avaient la possibilité de se transformer en un autre entier de deux manières différentes :

⊗ Si le premier bloc est égal au dernier bloc, ils pouvaient les supprimer, obtenant ainsi une suite avec deux blocs en moins, correspondant à un autre entier naturel *n'* plus petit que lui;

⊗ Sinon, ils pouvaient ajouter à leur suite de blocs l'entier miroir de cette suite, dans l'objectif d'obtenir un entier de plus en plus palindromique.

Ils pouvaient continuer ainsi avec les suites de blocs obtenues. Il y avait alors trois possibilités :

⊕ Si un entier *n* réussissait à supprimer tous ses blocs durant ses rêves successifs et obtenait ce que Nollon appelait l'entier Rollon ● (l'entier sans bloc, nommé ainsi en hommage à son père comme l'avait fait son frère Rollor), il devenait haut-normand jusqu'à la fin de l'année *b*. Il pourrait alors passer la fin de l'année *b* en Haute-Normandie, profiter des plaisirs hauts-normands et rejoindre les heureux entiers comme lui;

⊕ S'il revenait sur une suite qu'il avait déjà rencontrée, il pourrait tourner autour de la Normandie et passer la fin de l'année dans une des contrées celtes. Un cas particulier se présenterait s'il revenait sur lui-même dans ses rêves : il irait directement en Bretagne, ce qui n'est pas mal non plus;

⊕ S'il ne se trouvait dans aucun de ces cas, il serait envoyé au Québec.

Encore une fois, s'il ne parvenait pas à savoir où il devait aller, il resterait à Lutèce, où les places se faisaient chères.

Ayant pris en compte la remarque que Rollon avait faite à son frère Rollor, Nollon ajouta une règle pour les entiers qui, malgré tous leurs efforts, n'avaient pas le temps de décider où ils voyageraient. Il décida qu'ils seraient envoyés au soleil sicilien.

Une fois arrivés dans leurs contrées normandes ou celtes, Nollon donna la possibilité à ces entiers *b* d'éviter le retour à Lutèce pour l'année *b* + 1. Pour cela, ils devaient, dans leurs contrées, rêver et se transformer, l'année *b* + 1, en entier lumière (ils partent ou restent en Haute-Normandie) ou en un cycle (ils partent ou restent en pays celtes). Toutes les autres seraient obligées de retourner à Lutèce avant la fin de l'année *b*.

C'est ainsi que de grands voyages, de grands mouvements d'entiers se déroulaient chaque année. La Haute-Normandie se peuplait ainsi d'entiers autochtones. Ils cueillaient et cultivaient les délices créés par Rollon.

Ce jeu fut proposé à Rollon par Nollon pour la Haute-Normandie. Rollon l'accepta.

C'est ainsi que les bases et les entiers se mirent à faire des mathématiques.
Le programe Paris-Caen était créé.

Comme on dit en Normandie depuis le moyen-âge :

Hora!

<footnote n="8">8. Versailles</footnote>
Dauns men prechi

Dans mon parler

Coumbyin de feis m'assyisaunt lenreit aù hâot de la tablle

Combien de fois m'asseyant là au bout de la table

Coume hiyi coume à c'sei, tenaunt ma taête à pouégnie

Comme hier, comme ce soir, tenant ma tête entre mes mains

J'érais vouli ichin dire dé dequei d'indisablle

J'aurais voulu ici dire quelque chose d'indisable

Et je restais en jé n'sais. Je viyais touot s'alouégni

Mais je restai bloqué, je voyais tout s'éloigner

Dauns mon loceis normaund pique ch'est ainchin qu'je prêche

Dans ma langue normande, puisque c'est comme ça que je m'exprime

J'guette d'eun bord et de l'âote et touot me viynt coume i deit

Je regarde d'un côté et de l'autre, et tout me vient comme il faut

Touot m'arrive en débord, touot s'mêle et touot se vouêche

Tout m'arrive en cascade, tout s'emmêle, tout s'agite,

Dauns le loceis de tcheu nous, jé n'sis brin à l'étreit

Dans la langue de chez nous, je ne suis pas à l'étroit

Côtis-Capel (1915 - 1986)<fnref n="9" />, Raz-bannes

## Quelques explications pour les non-normands

Comme nous le verrons, nous définirons une méthode permettant à un entier $n$ de devenir normand en base $b$ en appliquant deux opérations possibles sur les décompositions de $n$ en base $b$ : la réduction et la palindromisation. Mais comme le suggèrent Rollor et Nollon, il existe deux façons de concevoir les choses.

⊙ Pour Rollor, le jeu fixe une année $n$ (c'est-à-dire un entier naturel) et observe les bases $b$ entre 2 et $n$. Autrement dit, pour un $n$ fixé, plus grand que 2 (le jeu commence à la deuxième année), on considère les bases :

$$ \{2, \dots, n\}. $$

Il ne prend pas en compte les bases plus grandes que $n$, car Rollor a compris que ces bases n'auraient pas de jeu à faire, puisque leurs décompositions n'auraient qu'un seul bloc. En effet, tout entier $n$ se décompose en base $b > n$ avec un seul bloc.

⊙ Pour Nollon, le jeu fixe une année $b$ (c'est-à-dire un entier naturel supérieur à 2, appelé base) et observe les entiers $n$ de 0 à l'infini. Autrement dit, pour une base $b$ fixée, plus grande que 2 (le jeu commence lui aussi à la deuxième année), on considère les entiers :

$$ N := \{0, 1, 2, \dots\}. $$

## Deux exemples simples

Commençons avec l'entier $n_0 := 149823$ en base $b := 10$. Il se décompose en blocs :

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 & 4 & 9 & 8 & 2 & 3 \\ \hline \end{array} $$

(1) Le premier et le dernier bloc de $n_0$ sont différents. On ajoute donc à $n_0$ son "miroir", soit les blocs mis dans l'autre sens $\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 3 & 2 & 8 & 9 & 4 & 1 \\ \hline \end{array}$. On obtient :

$$ n_1 := \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} & 1 & 4 & 9 & 8 & 2 & 3 \\ + & 3 & 2 & 8 & 9 & 4 & 1 \\ \hline & \color{red}{4} & 7 & 8 & 7 & 6 & \color{red}{4} \\ \end{array} $$

<footnote n="9">9. Ecrivain et prêtre normand.</footnote>
(2) Le nombre $n_1$ a le même premier et dernier bloc. On le simplifie alors en supprimant ces deux chiffres extrêmes :

$$n_2 := \begin{bmatrix} 7 & 8 & 7 & 6 \end{bmatrix}.$$

(3) Les blocs extrêmes de $n_2$ sont différents. On lui ajoute donc son miroir $\begin{bmatrix} 6 & 7 & 8 & 7 \end{bmatrix}$ :

$$n_3 := \begin{bmatrix} + & \begin{matrix} 7 & 8 & 7 & 6 \\ 6 & 7 & 8 & 7 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 1 & 4 & 6 & 6 \\ 4 & 6 & 6 & 3 \end{matrix} \end{bmatrix}.$$

(4) De même, les blocs extrêmes de $n_3$ sont différents. On lui ajoute son miroir $\begin{bmatrix} 3 & 6 & 6 & 4 & 1 \end{bmatrix}$ :

$$n_4 := \begin{bmatrix} 1 & 4 & 6 & 6 & 3 \\ + & 3 & 6 & 6 & 1 \\ \begin{matrix} 5 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 4 \end{matrix} \end{bmatrix}.$$

(5) Les chiffres extrêmes de $n_4$ sont encore différents. On lui ajoute son miroir $\begin{bmatrix} 4 & 0 & 3 & 1 & 5 \end{bmatrix}$ :

$$n_5 := \begin{bmatrix} 5 & 1 & 3 & 0 & 4 \\ + & 4 & 0 & 3 & 5 \\ \begin{matrix} 9 & 1 & 6 & 1 & 9 \end{matrix} \end{bmatrix}.$$

(6) Le nombre $n_5$ est palindromique *id est* la lecture dans les deux sens donne le même nombre. On le simplifie en supprimant tous ses blocs. On obtient "un nombre sans bloc" que nous noterons :

$$n_6 := \bullet.$$

L'algorithme semble toujours finir sur le symbole $\bullet$ et ce quel que soit l'entier naturel $n$ de départ. Mais il s'avère que cela n'est pas vrai si on change de base $b$. Pour simplifier la notation, le nombre $n_0 := 149\,823$ est écrit en base 10 par :

$$(1 \mid 4 \mid 9 \mid 8 \mid 2 \mid 3)_{10}.$$

Pour obtenir cette écriture, on remarque que :

$$149\,823 = \textcolor{red}{1} \times 10^5 + \textcolor{red}{4} \times 10^4 + \textcolor{red}{9} \times 10^3 + \textcolor{red}{8} \times 10^2 + \textcolor{red}{2} \times 10^1 + \textcolor{red}{3} \times 10^0.$$

Les blocs de $n_0$ seront maintenant appelés **chiffres**.

Prenons maintenant le nombre $n_0 := 143\,712$ avec $b := 11$. Comme :

$$\begin{align*} 143\,712 &= 13\,064 \times 11 + 8 \\ &= (1\,187 \times 11 + 7) \times 11 + 8 = 1\,187 \times 11^2 + 7 \times 11 + 8 \\ &= (107 \times 11 + 10) \times 11^2 + 7 \times 11 + 8 = 107 \times 11^3 + 10 \times 11^2 + 7 \times 11 + 8 \\ &= (9 \times 11 + 8) \times 11^3 + 10 \times 11^2 + 7 \times 11 + 8 \\ &= \textcolor{red}{9} \times 11^4 + \textcolor{red}{8} \times 11^3 + \textcolor{red}{10} \times 11^2 + \textcolor{red}{7} \times 11^1 + \textcolor{red}{8} \times 11^0 \end{align*}$$

on le notera :

$$n_0 = (9 \mid 8 \mid 10 \mid 7 \mid 8)_{11}.$$

Appliquons alors l'algorithme à ce nombre.

(1) Le premier et le dernier chiffre de $n_0$ sont différents. On ajoute donc à $n_0$ son "miroir", soit $(8 \mid 7 \mid 10 \mid 8 \mid 9)_{11}$ (le nombre formé en inversant l'ordre des chiffres de $n_0$ en base 11). On obtient :

$$n_1 := (9 \mid 8 \mid 10 \mid 7 \mid 8)_{11} + (8 \mid 7 \mid 10 \mid 8 \mid 9)_{11} = (1 \mid 7 \mid 5 \mid 10 \mid 5 \mid 6)_{11}.$$
L'addition se fait de la même manière qu'en base 10, sauf que la retenue n'apparaît que si la somme chiffre par chiffre dépasse 11 et non 10 comme en base 10. Reprenons la somme ci dessus, on a (les 1 en rouge sont les retenues) :

$$ \begin{array}{r|rrrrr} & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{1}} & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{1}} & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{1}} & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{1}} & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{1}} \\ & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{9}} & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{8}} & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{10}} & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{7}} & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{8}} \\ + & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{8}} & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{7}} & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{10}} & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{8}} & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{9}} \\ \hline n_1 := & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{1}} & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{7}} & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{5}} & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{10}} & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{5}} & \multicolumn{1}{c}{\color{red}{6}} \end{array} $$

(2) Les chiffres extrêmes de $n_1$ sont différents. On lui ajoute donc son miroir $(6 \mid 5 \mid 10 \mid 5 \mid 7 \mid 1)_{11}$ :

$$ n_2 := (1 \mid 7 \mid 5 \mid 10 \mid 5 \mid 6)_{11} + (6 \mid 5 \mid 10 \mid 5 \mid 7 \mid 1)_{11} = (8 \mid 2 \mid 5 \mid 5 \mid 1 \mid 7)_{11}. $$

(3) Les chiffres extrêmes de $n_2$ sont différents. On lui ajoute donc son miroir $(7 \mid 1 \mid 5 \mid 5 \mid 2 \mid 8)_{11}$ :

$$ n_3 := (8 \mid 2 \mid 5 \mid 5 \mid 1 \mid 7)_{11} + (7 \mid 1 \mid 5 \mid 5 \mid 2 \mid 8)_{11} = (1 \mid 4 \mid 3 \mid 10 \mid 10 \mid 4 \mid 4)_{11}. $$

(4) Les chiffres extrêmes de $n_3$ sont différents. On lui ajoute donc son miroir $(4 \mid 4 \mid 10 \mid 10 \mid 3 \mid 4 \mid 1)_{11}$ :

$$ n_4 := (1 \mid 4 \mid 3 \mid 10 \mid 10 \mid 4 \mid 4)_{11} + (4 \mid 4 \mid 10 \mid 10 \mid 3 \mid 4 \mid 1)_{11} = (5 \mid 9 \mid 3 \mid 10 \mid 2 \mid 8 \mid 5)_{11}. $$

(5) Le nombre $n_4$ a le même premier et dernier chiffre. On le simplifie alors en supprimant ces deux chiffres extrêmes :

$$ n_5 := (9 \mid 3 \mid 10 \mid 2 \mid 8)_{11}. $$

(6) Les chiffres extrêmes de $n_5$ sont différents. On lui ajoute donc son miroir $(8 \mid 2 \mid 10 \mid 3 \mid 9)_{11}$ :

$$ n_6 := (9 \mid 3 \mid 10 \mid 2 \mid 8)_{11} + (8 \mid 2 \mid 10 \mid 3 \mid 9)_{11} = (1 \mid 6 \mid 6 \mid 9 \mid 6 \mid 6)_{11}. $$

(7) Les chiffres extrêmes de $n_6$ sont différents. On lui ajoute donc son miroir $(6 \mid 6 \mid 9 \mid 6 \mid 6 \mid 1)_{11}$ :

$$ n_7 := (1 \mid 6 \mid 6 \mid 9 \mid 6 \mid 6)_{11} + (6 \mid 6 \mid 9 \mid 6 \mid 6 \mid 1)_{11} = (8 \mid 2 \mid 5 \mid 5 \mid 1 \mid 7)_{11} = n_2. $$

On remarque alors que :

$$ n_7 = n_2 $$

Ainsi l'algorithme ne terminera pas sur • pour $n_0$, il finit sur un cycle de longueur 5.

On étudie informatiquement dans ce texte, les bases qui contiennent des cycles comme la base 11 et des bases qui semblent ne pas en contenir comme la base 10. On donne plusieurs conjectures. Dans les sections suivantes, nous explorerons ces conjectures. Nous définirons ainsi les notions clés dans une base quelconque et présenterons des *bacouettes*<fnref n="10" /> appuyées par des simulations informatiques. Des programmes en Python sont disponibles dans le texte pour tester cet algorithme et tester la véracité des *bacouettes*.

On finit le texte avec des extensions et variantes.

## Contexte

Le titre évoque cinq aspects particuliers.

⊗ J'ai imaginé cette conjecture en 2018, lorsque j'enseignais à Paris (Lutèce) tout en résidant à Caen (Cathim). J'ai passé de longues heures à réfléchir à cet algorithme lors de mes trajets en train entre Caen et Paris, je n'avais alors que vaguement l'idée des problèmes rencontrés. L'idée d'écrire ce texte en 2024 vient de mes élèves qui ont montré un intérêt à ce jeu mathématique, c'est en ce début d'année scolaire 2024-2025 que j'ai inventé cet imaginaire.

<footnote n="10">10. Bacouetter ou "faire la bacouette" signifie bavarder. Une **bacouette** est pour le texte, un problème ouvert, une question, un exercice ou un énoncé pour faire la bacouette. On réunira dans la dernière section toutes nos bacouettes. Si ce texte permet à certains de bacouetter en vrai des mathématiques plutôt que derrière un écran, ca fera mon *bonhour*.</footnote>
⊗ À l'instar du fameux "Paris-Brest", dessert créé par des pâtissiers sur la course cycliste mythique Paris-Brest-Paris, le titre "Lutèce-Cathim" soit "Paris-Caen" pour les contemporain s'imposait naturellement. Etant normand<fnref n="11" />, ce nom est donc un clin d'œil à cette croûte ronde<fnref n="12" />.

⊗ Le titre fait un écho à la légendaire conjecture de Syracuse, du nom de l'université américaine où Collatz a popularisé son célèbre algorithme. J'emprunte nombre d'idées et de notations.

⊗ Le mot "Programme" fait référence au célèbre Programme de Langlands des géomètres arithméticiens. Ici à un bien moindre niveau, il y a possiblité de s'amuser avec des bases arithmétiques bien choisies. A chacun son programme : sa base (son arithmétique) et sa Normandie (sa géométrie).

⊗ Enfin, le nombre 23 fait référence aux célèbres 23 problèmes de Hilbert. En réalité, je n'avais pas 23 bacouettes, mais étant si proche de ce nombre, j'en ai créer de nouvelles.

Assez ! Passons aux mathématiques normandes et aux bacouettes de notre Programme Paris-Caen.

## A tantôt pour d'autres legendes normandes

Deux autres légendes normandes vont bientôt paraître :

★ Programme Pommeau : artifaille pour la calendonisation. Comme un bon repas normand, c'est avec un bon pommeau et un bon camembert. On étudiera dans ce texte, le partage d'un *calendo*<fnref n="13" />. On définiera ainsi le notion de polygones multiréguliers, de graphe et de polynôme cyclotomique associés à un tel polygone. On regardera le cas des graphes à boucles, on aura ainsi de belles fractales. On apprendra ainsi à tracer de jolis calendos suivant sa gourmandise. On donne à nouveaux de nombreuses bacouettes, elles forment le programme Pommeau.

★ Programme Bourdelot : artifaille pour la normandisation. Comme un Bourdelot se déguste avec de bonnes pommes bien de chez nous<fnref n="14" />. Il est impensable de mettre du beurre<fnref n="15" /> pour un bourdelot sur une pomme non normande. Chercher la bonne pomme, c'est une aventure qui nous fera voyager dans le temps normand avec ses légendes. Les pommes en Normandie c'est comme les nombres premiers en mathématiques, elles sont là depuis toujours<fnref n="16" /> et ont structuré la langue normande par leurs importances. On étudie ainsi dans ce texte les bonnes pommes (les bases mathématiques) qui donneront une belles langues normandes, la normandisation (de jolies mathématiques). On donne de nombreuses bacouettes, elles forment le programme Bourdelot.

<footnote n="11">11. A vrai dire, je suis breton de mère et normand de père.</footnote>

<footnote n="12">12. Croûte ronde à trou.</footnote>

<footnote n="13">13. Camembert.</footnote>

<footnote n="14">14. Les amis du *Verger de sauvegarde de Maltot* (au sud de Caen) font perdurer plus de 800 variétés de pommes et poires que nos aîeux ont méticuleusement sélectionnées pour leurs saveurs.</footnote>

<footnote n="15">15. Le beurre normand est par définition toujours salé, sinon c'est une crème barrattée.</footnote>

<footnote n="16">16. Les pommes sont originaires d'Asie Centrale et Occidentale (Kazakhstan).</footnote>
"O vous tous!
Braves Normands des îles de la Manche,
Qui rougissez de parler comme ont parlé vos pères
Et qui faites enseigner l'anglais à vos fils,
Vous qui ôtez à vos rues leurs vieux noms français...
Sachez que votre « patois » est vénérable;
Votre « patois » est sacré;
Car c'est de lui qu'est sortie comme la fleur de la racine,
Cette langue française qui demain sera la langue de l'Europe.
Votre patois vos pères de Normandie sont morts pour le répandre
En Angleterre, Sicile, en Judée, à Londres, à Naples et jusque sur le tombeau du Christ.
Car ils savaient que perdre sa langue c'est perdre sa nationalité,
Et qu'en apportant leur idiome, ils portaient avec eux la patrie.
Oui votre « patois » est vénérable,
Car le premier poète qui l'a parlé a été le premier des poètes français."

François-Victor Hugo (1828 - 1873)<fnref n="17" />, *La Normandie inconnue*

<footnote n="17">17. Ecrivain français et fils de Victor Hugo.</footnote>
## 1 Décomposition en base arithmétique

On définit dans cette section, l'artifaille usuel pour la décomposition en base.

### 1.1 Ensembles $\mathbb{N}_a^b$

On note $\mathbb{N}$, l'ensemble des entiers naturels id est :

$$ \mathbb{N} := \{0, 1, 2, 3, \dots\}. \qquad (1) $$

Pour tous $a, b \in \mathbb{N}$ tels que $a \le b$, on note :

$$ \mathbb{N}_a := \mathbb{N} \cap [a, +\infty[ = \{k \in \mathbb{N}, k \ge a\} = \{a, a+1, \dots\} \qquad (2) $$

$$ [[a, b]] := \mathbb{N} \cap [a, b] = \{k \in \mathbb{N}, a \le k \le b\} = \{a, a+1, \dots, b-1, b\} \qquad (3) $$

#### Exemple 1.1.1

On a pour tout $a \in \mathbb{N}$ :

$$ \mathbb{N} = \mathbb{N}_0, \quad \mathbb{N}_* := \mathbb{N} - \{0\} = \mathbb{N}_1, \quad [[a, a]] = \{a\}. $$

et :

$$ [[0, a]] = \mathbb{N} \cap [0, a] = \{0, 1, \dots, a-1, a\}. $$

On étend la notation (3), en posant pour tous $a, b \in \mathbb{N}$ tels que $a > b$ :

$$ [[a, b]] := \emptyset. \qquad (4) $$

#### Définition 1.1.2

Une base est un élément de $\mathbb{N}_2$ id est un entier supérieur ou égal à 2.

> Si rien n'est précisé, on fixe dans tout ce texte une base $b \in \mathbb{N}_2$.

On définit les notations suivantes.

★ On note pour tout $d \in \mathbb{N}$ :

$$ \mathcal{B}_{d,b} := [[0, b^{d+1} - 1]] = \{0, 1, \dots, b^{d+1} - 1\} \qquad (5) $$

★ On définit par récurrence pour tout $d \in \mathbb{N}$ :

$$ \mathcal{B}_{(0),b} := \mathcal{B}_{0,b} \qquad (6) $$

$$ \mathcal{B}_{(d+1),b} := \mathcal{B}_{d+1,b} - \mathcal{B}_{d,b} = \{b^{d+1}, b^{d+1} + 1, \dots, b^{d+2} - 1\} \qquad (7) $$

On notera simplement :

$$ \mathcal{B}_b := \mathcal{B}_{0,b} = \mathcal{B}_{(0),b} = [[0, b-1]] = \{0, 1, \dots, b-1\}. \qquad (8) $$

On a alors pour tout $d \in \mathbb{N}$ :

$$ \mathcal{B}_b = \mathcal{B}_{0,b} \subset \dots \subset \mathcal{B}_{d,b} \subset \mathcal{B}_{d+1,b} \subset \dots \subset \mathbb{N} \qquad (9) $$

$$ \mathbb{N} = \bigcup_{d \in \mathbb{N}} \mathcal{B}_{d,b} = \bigcup_{d \in \mathbb{N}} \mathcal{B}_{(d),b} \qquad (10) $$

$$ \mathrm{card} (\mathcal{B}_{d,b}) = b^{d+1} \qquad (11) $$

$$ \mathrm{card} (\mathcal{B}_{(d),b}) = b^{d+1} - b^d \qquad (12) $$

★ Pour tout sous-ensemble $\mathcal{A}_b$ de $\mathbb{N}$ dépendant de $b$ et tout $d \in \mathbb{N}$, on note :

$$ \mathcal{A}_{d,b} := \mathcal{A}_b \cap \mathcal{B}_{d,b} \qquad (13) $$

$$ \mathcal{A}_{(d),b} := \mathcal{A}_b \cap \mathcal{B}_{(d),b} \qquad (14) $$
## 1.2 Le Rollon

### Définition 1.2.1: Le Rollon

On définit le nombre • comme étant le nombre sans chiffre appelé le **Rollon**.

Il peut être vu comme étant le nombre obtenu en enlevant tous les chiffres à un nombre donné. On suppose que ce nombre • est unique dans le sens que quelque soit le nombre auquel on enlève tous ces chiffres, on obtient toujours le nombre •.

★ On note pour tout sous ensemble $I$ de $\mathbb{N}$ :

$$I_{\bullet} := I \cup \{\bullet\} \qquad (15)$$

En particulier pour tous $a, b \in \mathbb{N}$ tels que $a \le b$, on a :

$$\mathbb{N}_{\bullet} = \mathbb{N} \cup \{\bullet\} \qquad (16)$$

$$(\mathbb{N}_a)_{\bullet} = \{\bullet, a, a+1, \dots, \} \qquad (17)$$

$$[[0, b]]_{\bullet} = \{\bullet, 0, 1, \dots, b-1, b\} \qquad (18)$$

$$[[a, b]]_{\bullet} = \{\bullet, a, a+1, \dots, b-1, b\} \qquad (19)$$

On fera l'abus d'appeler encore les éléments de $\mathbb{N}_{\bullet}$ des **entiers** ou **nombres**.

★ On étend la relation d'ordre usuelle sur $\mathbb{N}$ à $\mathbb{N}_{\bullet}$, en posant pour tout entier $n \in \mathbb{N}$ :

$$\bullet < n \qquad (20)$$

Ainsi pour tout sous-ensemble $I$ de $\mathbb{N}$, on a :

$$\min I_{\bullet} = \bullet. \qquad (21)$$

★ On ne définit pas l'addition entre un entier et •, on note seulement :

$$\bullet + \bullet = \bullet \qquad (22)$$

cette relation sera utile pour l'opération palindromique.

## 1.3 Outils de base

On définit dans cette sous-section quatre outils utiles pour la suite du texte.

★ Puissance et composée.

### Définition 1.3.1

Soit $I$ un sous-ensemble de $\mathbb{N}_{\bullet}$ et $f$ une application de $I$ vers $I$. On note alors pour tout $k \in \mathbb{N}$, $f^k$ la composée $k$ fois de $f$ définie par la récurrence suivante :

$$f^0 := \mathrm{Id}_I \qquad (23)$$

$$\forall k \in \mathbb{N}, \quad f^{k+1} := f^k \circ f. \qquad (24)$$

On a pour tout $k \in \mathbb{N}$ :

$$\mathrm{Id}_I^k = \mathrm{Id}_I. \qquad (25)$$

★ Sous-ensemble stable.
### Définition 1.3.2

Soit $I$ un sous-ensemble de $\mathbb{N}_\bullet$ et $f$ une application de $\mathbb{N}_\bullet$ vers $\mathbb{N}_\bullet$. On dit que $I$ est **stable par f** si $f(I) \subset I$ id est pour tout $x \in I$ on a $f(x) \in I$.

Ainsi dans ce cas, pour tout $k \in \mathbb{N}$, on a $f^k(I) \subset I$ id est $I$ est stable par $f^k$.

★ **Relations d'équivalence.** On peut définir différents types de relations d'équivalence associées à une fonction $f$.

### Définition 1.3.3

Soit $I$ et $J$ des sous-ensembles de $\mathbb{N}_\bullet$, $f$ une application de $I$ vers $J$ et $g$ une application de $I$ vers $I$.

(i) On note $\triangleleft[f, I, J]$ la relation d'équivalence sur $I$ définie pour tous $m, n \in I$ par $\{m, n\} \triangleleft [f, I, J]$ si $f(m) = f(n)$.

On note alors $[f, I, J] \triangleright \{n\}$ la classe d'un élément de $n \in I$ :

$$ [f, I, J] \triangleright \{n\} := \{m \in I, \{m, n\} \triangleleft [f, I, J]\} = \{m \in I, f(m) = f(n)\}. \quad (26) $$

(ii) Soit $k \in \mathbb{N}_1$. On note $\triangleleft[k, g, I]$ la relation d'équivalence sur $I$ définie pour tous $m, n \in I$ par $\{m, n\} \triangleleft [k, g, I]$ si $g_k^l(m) = g_k^l(n)$.

On note alors $[k, g, I] \triangleright \{n\}$ la classe d'un élément de $n \in I$ :

$$ [f, I] \triangleright \{n\} := \{m \in I, \{m, n\} \triangleleft [k, g, I]\} = \{m \in I, g_k^l(m) = g_k^l(n)\}. \quad (27) $$

(iii) On note $\triangleleft[\infty, g, I]$ la relation d'équivalence sur $I$ définie pour tous $m, n \in I$ par $\{m, n\} \triangleleft [\infty, g, I]$ s'il existe $k, l \in \mathbb{N}$ tels que $g_k^l(m) = g_k^l(n)$.

On note alors $[\infty, g, I] \triangleright \{n\}$ la classe d'un élément de $n \in I$ :

$$ [\infty, g, I] \triangleright \{n\} := \{m \in I, \{m, n\} \triangleleft [\infty, g, I]\} = \{m \in I, \exists k, l \in \mathbb{N}, g_k^l(m) = g_k^l(n)\}. \quad (28) $$

On a donc pour tous $m, n \in I$ et tout $k \in \mathbb{N}_1$ :

$$ \{m, n\} \triangleleft [g, I] \implies \{m, n\} \triangleleft [k, g, I] \implies \{m, n\} \triangleleft [\infty, g, I] \quad (29) $$

★ **Densités.** On finit cette sous-section avec la densité d'un sous-ensemble de $\mathbb{N}_\bullet$.

### Définition 1.3.4

Soit $I$ et $J$ deux sous-ensembles de $\mathbb{N}_\bullet$.

(i) La **suite des $J$-densités de $I$** est la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :

$$ \delta_{(n,J)}(I) := \frac{\mathrm{card}(I \cap J \cap [0, n])}{\mathrm{card}(J \cap [0, n])} \in [0, 1]. $$

(ii) Supposons que la suite $(\delta_{(n,J)}(I))_{n \in \mathbb{N}}$ soit convergente. La **$J$-densité de $I$** est le réel défini par :

$$ \delta_J(I) := \lim_{n \to \infty} \delta_{(n,J)}(I). $$

Un cas particulier est quand $J := \mathbb{N}_k$ avec $k \in \mathbb{N}_\bullet$ et $I$ un sous-ensemble de $\mathbb{N}_k$. On note pour tout $n \in \mathbb{N}_k$ :

$$ \delta_{(n,k)}(I) := \delta_{(n,\mathbb{N}_k)}(I) := \frac{\mathrm{card}(I \cap [k, n])}{\mathrm{card}(\lfloor k, n \rfloor)} \in [0, 1]. \quad (30) $$
Supposons que la suite $(\delta_{(n,k)}(I))_{n \in \mathbb{N}_k}$ soit convergente. On note :

$$ \delta_k(I) := \delta_{\mathbb{N}_k}(I) := \lim_{n \to \infty} \delta_{(n,k)}(I). \qquad (31) $$

On a par exemple pour tout $k \in \mathbb{N}$ et tout $n \in \mathbb{N}_k$ :

$$ \delta_{(n,k)}(\llbracket k, n \rrbracket) = \frac{n-k+1}{n-k+1} = 1 \qquad (32) $$

et donc $\mathbb{N}_k$ a pour densité 1 dans $\mathbb{N}_k$.

## 1.4 Théorèmes

On a le théorème usuel sur la décomposition en base $b$.

### Théorème-Définition 1.4.1

Soit $n \in \mathbb{N}_1$. Il existe un unique entier $d \in \mathbb{N}$ et une unique suite $(a_0, \dots, a_d) \in (\mathcal{B}_b)^{d+1}$ tels que $a_d \neq 0$ et :

$$ n = \sum_{k=0}^{d} a_k b^k. $$

(i) Cette suite $(a_0, \dots, a_d)$ est appelée la **décomposition en base $b$ de $n$**, on note alors :

$$ (a_d | \dots | a_0)_{d,b} := n. $$

Les entiers $a_0, \dots, a_d$ sont appelés les **chiffres de $n$ en base $b$**.

(ii) L'entier $d$ est appelé le **degré de $n$ en base $b$**. On le note $d_b(n)$.

**Démonstration. Existence.** Notons :

$$ \Gamma := \{ n \in \mathbb{N}_1, \exists d \in \mathbb{N}, \exists (a_0, \dots, a_d) \in (\mathcal{B}_b)^{d+1}, a_d \neq 0 \wedge n = \sum_{k=0}^{d} a_k b^k \} \subset \mathbb{N}_1. $$

Raisonnons par l'absurde et supposons le contraire *id est* :

$$ (*) : \Gamma \notin \mathbb{N}_1 $$

*id est* $\mathbb{N}_1 - \Gamma$ est une partie non vide $\mathbb{N}_1$. Posons alors :

$$ n_0 := \min(\mathbb{N}_1 - \Gamma). $$

Comme $1 \in \Gamma$ (car $1 = 1 \times b^0$ et $0 < 1 < 2 \le b$), on a $n_0 \ge 2$ *id est* $n_0 - 1 \ge 1$ et $n_0 - 1 \in \Gamma$. Donc il existe $d \in \mathbb{N}$ et $(a_0, \dots, a_d) \in (\mathcal{B}_b)^{d+1}$ telle que $a_d \neq 0$ et :

$$ n_0 - 1 = \sum_{k=0}^{d} a_k b^k. $$

Montrons que nécessairement $a_k = b - 1$ pour tout $k \in \llbracket 0, d \rrbracket$. Raisonnons par l'absurde et supposons le contraire *id est* :

(**) : il existe alors un plus petit $k_0 \in \llbracket 0, d \rrbracket$ tel que $a_{k_0} \le b - 2$ et pour tout $k \in \llbracket 0, k_0 - 1 \rrbracket$, on ait $a_k = b - 1$ (si $k_0 := 0$, $\llbracket 0, k_0 - 1 \rrbracket = \emptyset$).

On a alors par télescopage :

$$ \begin{aligned} n_0 &= (n_0 - 1) + 1 \\ &= \sum_{k=0}^{d} a_k b^k + b^0 \end{aligned} $$
$$ 
\begin{aligned}
&= \sum_{k=0}^{k_0-1} (b-1)b^k + \sum_{k=k_0}^{d} a_k b^k + b^0 \\
&= \sum_{k=0}^{k_0-1} b^{k+1} - \sum_{k=0}^{k_0-1} b^k + \sum_{k=k_0}^{d} a_k b^k + b^0 \\
&= b^{k_0} + a_{k_0} b^{k_0} + \sum_{k=k_0+1}^{d} a_k b^k \\
&= (a_{k_0} + 1)b^{k_0} + \sum_{k=k_0+1}^{d} a_k b^k
\end{aligned}
$$

Comme $a_{k_0} + 1 \le b - 2 + 1 = b - 1$, on a donc une décomposition en base $b$ de $n_0$ id est $n_0 \in \Gamma$ (ce qui est contradictoire avec l'hypothèse $(*)$). Donc pour tout $k \in [0, d]$, $a_k = b - 1$. Ainsi on a par télescopage :

$$ 
\begin{aligned}
n_0 &= (n_0 - 1) + 1 \\
&= \sum_{k=0}^{d} a_k b^k + 1 \\
&= \sum_{k=0}^{d} (b-1)b^k + 1 \\
&= b^{d+1} - 1 + 1 \\
&= b^{d+1}
\end{aligned}
$$

id est $n_0 \in \Gamma$. Ce qui est contradictoire avec $(*)$. Ainsi $\Gamma = \mathbb{N}_1$.

**Unicité.** Soit $n \in \mathbb{N}_1$, $d, d' \in \mathbb{N}$, $(a_0, \dots, a_d) \in (\mathcal{B}_b)^{d+1}$ et $(a'_0, \dots, a'_{d'}) \in (\mathcal{B}_b)^{d'+1}$ tels que $a_d, a'_{d'} \neq 0$ et :

$$ n = \sum_{k=0}^{d} a_k b^k = \sum_{k=0}^{d'} a'_k b^k. $$

Par symétries des deux décompositions, on peut supposer que $d \le d'$. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe $k_0 \in [0, d]$ tel que :

$$ (\ast \ast \ast) : a_{k_0} \neq a'_{k_0} \wedge [\forall k \in [0, k_0 - 1], a_k = a'_k] $$

Alors on a :

$$ 
\begin{aligned}
0 &= \sum_{k=0}^{d} a_k b^k - \sum_{k=0}^{d'} a'_k b^k \\
&= \sum_{k=k_0}^{d} (a_k - a'_k)b^k - \sum_{k=d+1}^{d'} a'_k b^k
\end{aligned}
$$

D'où on a :

$$ 
\begin{aligned}
|a_{k_0} - a'_{k_0}| b^{k_0} &= \left| \sum_{k=k_0+1}^{d} (a_k - a'_k)b^k - \sum_{k=d+1}^{d'} a'_k b^k \right| \\
&= b^{k_0+1} \left| \sum_{k=k_0+1}^{d} (a_k - a'_k)b^{k-k_0-1} - \sum_{k=d+1}^{d'} a'_k b^{k-k_0-1} \right|
\end{aligned}
$$

id est on a en simplifiant par $b^{k_0}$ :

$$ |a_{k_0} - a'_{k_0}| = b \left| \sum_{k=k_0+1}^{d} (a_k - a'_k)b^{k-k_0-1} - \sum_{k=d+1}^{d'} a'_k b^{k-k_0-1} \right| \equiv 0[b]. $$

Comme $a_{k_0}, a'_{k_0} \in \mathcal{B}_b$, on a par le principe des tiroirs $|a_{k_0} - a'_{k_0}| \in \mathcal{B}_b$. Ainsi comme $|a_{k_0} - a'_{k_0}| = 0[b]$, on a $a_{k_0} = a'_{k_0}$. Ce qui est contradictoire avec $(\ast \ast \ast)$. Donc pour tout $k \in [0, d]$, $a_k = a'_k$.
Il ne reste plus qu’à montrer que $d = d' \text{ id est } d \ge d'$ (car $d \le d'').$ Raisonnons par l’absurde et supposons que $d \le d' - 1.$ Comme $a'_{d'} \ne 0,$ on a :

$$0 = n - n = \sum_{k=0}^{d} a_k b^k - \sum_{k=0}^{d'} a'_k b^k = \sum_{k=d+1}^{d'} a'_k b^k \ge a'_{d'} b^{d'} > 0$$

ce qui est contradictoire. Donc $d = d'$. D'où l'unicité.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

## Exemple 1.4.2

(1) On a vu dans l'introduction que :

$$149\,823 = \mathbf{1} \times 10^5 + \mathbf{4} \times 10^4 + \mathbf{9} \times 10^3 + \mathbf{8} \times 10^2 + \mathbf{2} \times 10^1 + \mathbf{3} \times 10^0 = (1 \mid 4 \mid 9 \mid 8 \mid 2 \mid 3)_{5,10}$$

$$143\,712 = \mathbf{9} \times 11^4 + \mathbf{8} \times 11^3 + \mathbf{10} \times 11^2 + \mathbf{7} \times 11^1 + \mathbf{8} \times 11^0 = (9 \mid 8 \mid 10 \mid 7 \mid 8)_{4,11}$$

(2) On peut prendre des bases très grandes. Par exemple avec $b := 2024$, on a :

$$123\,456\,789 = \mathbf{30} \times 2024^2 + \mathbf{276} \times 2024^1 + \mathbf{885} \times 2024^0 = (30 \mid 276 \mid 885)_{2,2024}$$

On a donc pour tout $d \in \mathbb{N}$ :

$$\mathcal{B}_{d,b} = \{n \in \mathbb{N}, d_b(n) \le d\} \qquad (33)$$

$$\mathcal{B}_{(d),b} = \{n \in \mathbb{N}, d_b(n) = d\}. \qquad (34)$$

On étend cette notation.

★ De la même façon que 124 et 00124 représentent le même nombre en base 10, on pourra mettre autant de 0 à gauche de la décomposition que l'on veut. On pose pour tout $k \in \mathbb{N}$ :

$$(0 \mid \cdots \mid 0 \mid a_d \mid \cdots \mid a_0)_{d+k,b} := (a_d \mid \cdots \mid a_0)_{d,b} \qquad (35)$$

en particulier :

$$(0 \mid a_d \mid \cdots \mid a_0)_{d+1,b} = (a_d \mid \cdots \mid a_0)_{d,b}$$

$$(0 \mid 0 \mid a_d \mid \cdots \mid a_0)_{d+2,b} = (a_d \mid \cdots \mid a_0)_{d,b}$$

★ On pose pour 0 :

$$(0)_b := 0 \qquad (36)$$

$$d_b(0) := 0 \qquad (37)$$

★ On pose pour le nombre $\bullet$ :

$$(\bullet)_b := \bullet \qquad (38)$$

$$d_b(\bullet) := -\infty. \qquad (39)$$

★ Pour $n := (a_d | \cdots | a_0)_{d,b}$, on note pour tout $k \in \mathbb{N}$, $[n]_{k,b}$ le chiffre en position $k$ de $n$ dans la décomposition en base $b$ de $n \text{ id est}$ :

$$[n]_{k,b} := \begin{cases} a_k & \text{si } k \in \llbracket 0, d \rrbracket \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \qquad (40)$$

On a donc pour tout $k \in \mathbb{N}$ :

$$n = ([n]_{d,b} | \cdots | [n]_{0,b})_{d,b} = ([n]_{d+k,b} | \cdots | [n]_{0,b})_{d+k,d}. \qquad (41)$$

On a pour tous $m, n \in \mathbb{N}$ :

$$m = n \iff \forall k \in \mathbb{N}, [m]_{k,b} = [n]_{k,b}. \qquad (42)$$

En particulier, on a pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$$n = 0 \iff \forall k \in \mathbb{N}, [n]_{k,b} = 0. \qquad (43)$$
★ Soit $n \in \mathbb{N}$. Comme la suite $([n]_{k,b})_{k \in \mathbb{N}}$ est nulle à partir d'un certain rang, on notera :

$$ \sum_{k \ge 0} [n]_{k,b} b^k = n. \qquad (44) $$

(l'avantage est de ne pas préciser le degré de $n$ s'il n'est pas utile à la compréhension).

★ On finit avec une dernière notation. Pour tout $m, n \in \mathcal{B}_b$ et tous $k, l \in \mathbb{N}_1$, on note :

$$ ((n)_k)_{k-1,b} = (n | \cdots | n)_{k-1,b} \\ ((m)_k | a_d | \cdots | a_0 | (n)_l)_{d+k+l,b} = (m | \cdots | m | a_d | \cdots | a_0 | n | \cdots | n)_{d+k+l,b} $$

On aurait pu démontrer le théorème précédent de décomposition en base $b$ en faisant des divisions euclidennes successives. Comme nous l'avons démontré sans, déduisons-le du théorème précédent.

## Corollaire 1.4.3: Théorème de la division euclidienne

Soit $n \in \mathbb{N}$. Alors il existe deux entiers naturels $q_b(n)$, $r_b(n)$ appelés respectivement **quotient** et **reste de la division euclidienne de $n$ par $b$ tels que :**

$$ n = q_b(n)b + r_b(n) \\ r_b(n) \in \mathcal{B}_b. $$

**Démonstration. Existence.** On a deux cas.

(1) Cas $n = 0$. On a $0 = 0b + 0$. D'où l'existence en posant :

$$ q_b(0) := 0, \quad r_b(0) := 0. $$

(2) Cas $n \neq 0$ id est $n \in \mathbb{N}_1$. Par le théorème précédent, il existe un unique entier $d \in \mathbb{N}$ et une unique suite $(a_0, \dots, a_d) \in (\mathcal{B}_b)^{d+1}$ tels que $a_d \neq 0$ et :

$$ n = \sum_{k=0}^{d} a_k b^k = \left( \sum_{k=1}^{d} a_k b^{k-1} \right) b + a_0. $$

D'où l'existence en posant :

$$ q_b(n) := \sum_{k=1}^{d} a_k b^{k-1}, \quad r_b(n) := a_0. $$

**Unicité.** Soit $n, q, q' \in \mathbb{N}$ et $r, r' \in \mathcal{B}_b$ tels que :

$$ n = qb + r = q'b + r'. $$

Alors on a :

$$ (*) : b(q - q') = r' - r $$

et donc $b$ divise $r' - r$. Par le principe des tiroirs, $|r' - r| \in \mathcal{B}_b$, on a $r' - r = 0 \text{ id est } r' = r$. Ainsi par $(*)$, on a $b(q - q') = 0 \text{ id est } q = q'$ car $b$ est non nul. D'où l'unicité. $\square$

On a donc pour tous $m, n \in \mathbb{N}$ :

$$ m = n \iff (r_b(m), q_b(m)) = (r_b(n), q_b(n)). \qquad (45) $$

## Exemple 1.4.4

(1) Comme $31 = 7 \times 4 + 3$, on a :

$$ (r_4(31), q_4(31)) = (3, 7). $$
(2) On a pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$$n = 0 \iff (r_b(n), q_b(n)) = (0, 0).$$

On en déduit alors une expression récursive des chiffres d'un entier dans une base $b$.

## Corollaire 1.4.5

Soit $n \in \mathbb{N}$. Alors on a pour tout $k \in \mathbb{N}$ :

$$[n]_{k,b} = r_b(q_b^k(n)).$$

*Démonstration.* Montrons le résultat par récurrence forte sur $n \in \mathbb{N}$ :

$$(\mathcal{P}_n) : \forall k \in \mathbb{N}, [n]_{k,b} = r_b(q_b^k(n)).$$

(i) Montrons par récurrence sur $k \in \mathbb{N}$ :

$$(\mathcal{Q}_n) : q_b^k(0) = 0.$$

(I) On a $q_b^0(0) = \text{Id}_{\mathbb{N}}(0) = 0$. Donc $(\mathcal{Q}_0)$ est vraie.

(II) Soit $k \in \mathbb{N}$. Supposons $(\mathcal{Q}_k)$ vraie. On a

$$q_b^{k+1}(0) = q_b(q_b^k(0)) = q_b(0) = 0.$$

Donc $(\mathcal{Q}_{k+1})$ est vraie.

(III) Par récurrence, $(\mathcal{Q}_k)$ est vraie pour tout $k \in \mathbb{N}$.

Ainsi on a :

$$\forall k \in \mathbb{N}, [0]_{k,b} = 0 = r_b(0) = r_b(q_b^k(0))$$

id est $(\mathcal{P}_0)$ est vraie.

(ii) Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons que $(\mathcal{P}_m)$ soit vraie pour tout $m \in [0, n]$. Posons $n' := q_b(n+1)$. Comme $n+1 > 0$, on a $n' \le n$. Comme $(\mathcal{P}_{n'})$ est vraie, on a pour tout $k \in \mathbb{N}$ :

$$r_b(q_b^{k+1}(n+1)) = r_b(q_b^k(q_b(n+1))) = r_b(q_b^k(n')) = [n']_{k,b}.$$

On a donc :

$$\begin{align*}
\sum_{k \ge 0} [n+1]_{k,b} b^k &= n+1 \\
&= n'b + r_b(n+1) \\
&= \left( \sum_{k \ge 0} [n']_{k,b} b^k \right) b + r_b(n+1) \\
&= \left( \sum_{k \ge 0} r_b(q_b^{k+1}(n+1)) b^k \right) b + r_b(q_b^0(n+1)) \\
&= \sum_{k \ge 0} r_b(q_b^{k+1}(n+1)) b^{k+1} + r_b(q_b^0(n+1)) \\
&= \sum_{k \ge 0} r_b(q_b^k(n+1)) b^k
\end{align*}$$

Par unicité de la décomposition en base $b$ de $n+1$, on a donc pour tout $k \in \mathbb{N}$ :

$$[n+1]_{k,b} = r_b(q_b^k(n+1)).$$

Donc $(\mathcal{P}_{n+1})$ est vraie.

(iii) Par récurrence forte, $(\mathcal{P}_n)$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

□

On finit cette section avec deux objets associés à une décomposition en base $b$.
## Définition 1.4.6

Soit $n \in \mathbb{N}$.

(i) Le polynome associé à $n$ en base $b$ est :

$$P_{n,b} := \begin{cases} \sum_{k=0}^{d_b(n)} [n]_k X^k & \text{si } n \in \mathbb{N} \\ \bullet & \text{si } n := \bullet. \end{cases}$$

(ii) La valuation de $n$ en base $b$ est :

$$\nu_b(n) := \begin{cases} \max\{k \in \mathbb{N}, b^k|n\} & \text{si } n \in \mathbb{N}_1 \\ +\infty & \text{si } n \in \{\bullet, 0\}. \end{cases}$$

## Exemple 1.4.7

Soit $n := 2528 = (2 | 1 | 3 | 2 | 0 | 0)_{5,4}$. Comme $d_4(n) = 5$, on a :

$$P_{n,4} = 2X^5 + X^4 + 3X^3 + 2X^2$$

et :

$$\nu_4(n) = \max\{k \in \mathbb{N}, 4^k|n\} = \max\{0, 1, 2\} = 2.$$

Posons :

$$m := \frac{n}{4^{\nu_4(n)}} = \frac{n}{4^2} = 158.$$

On a :

$$m = (2 | 1 | 3 | 2)_{3,4} \quad , \quad P_{m,5} = 2X^3 + X^2 + 3X + 2.$$

On a alors :

$$P_{n,4}(4) = n \quad , \quad P_{n,4} = X^{\nu_4(n)} P_{m,4} = X^{\nu_4(n)} P_{m,4}.$$

On généralise les résultats vus dans l'exemple.

## Lemme 1.4.8

Soit $n \in \mathbb{N}$.

(i) On a $P_{n,b}(b) = n$.

(ii) Posons :

$$m := \frac{n}{b^{\nu_b(n)}}.$$

On a :

$$P_{n,b} = X^{\nu_b(n)} P_{m,b}.$$

**Démonstration.** (i) On a :

$$P_{n,b}(b) = \sum_{k=0}^{d_b(n)} [n]_k b^k = n.$$

(ii) Comme :

$$\begin{align*} m &= \frac{n}{b^{\nu_b(n)}} = \frac{\sum_{k=0}^{d_b(n)} [n]_k b^k}{b^{\nu_b(n)}} \\ &= \frac{\sum_{k=\nu_b(n)}^{d_b(n)} [n]_k b^k}{b^{\nu_b(n)}} = \sum_{k=\nu_b(n)}^{d_b(n)} [n]_k b^{k-\nu_b(n)} \end{align*}$$
on a :

$$
\begin{align*}
P_{n,b} &= \sum_{k=0}^{d_b(n)} [n]_k X^k \\
&= \sum_{k=\nu_b(n)}^{d_b(n)} [n]_k X^k \\
&= X^{\nu_b(n)} \sum_{k=\nu_b(n)}^{d_b(n)} [n]_k X^{k-\nu_b(n)} \\
&= X^{\nu_b(n)} P_{m,b}
\end{align*}
$$

☐

## 1.5 Addition en base b

On regarde maintenant l'addition de deux entiers décomposés en base b. L'addition est similaire à celle en base 10 : il faut additionner les chiffres situés en même position avec une retenue, la seule différence est qu'il faut considérer le résultat modulo b et non modulo 10.

Soit $m, n \in \mathbb{N}$. Pour calculer la décomposition en base b de $m + n$ à partir de celles de m et n, on peut utiliser la suite auxiliaire $(\sigma(m,n)_k)_{k \in \mathbb{N}}$ définie pour tout $k \in \mathbb{N}_1$ par la relation de récurrence suivante :

$$ \sigma(m, n)_{0,b} := [m]_{0,b} + [n]_{0,b} \qquad (46) $$

$$ \sigma(m, n)_{k,b} := [m]_{k,b} + [n]_{k,b} + q_b(\sigma(m, n)_{k-1,b}) \quad (47) $$

On a alors pour tout $k \in \mathbb{N}$ :

$$ [m+n]_{k,b} = r_b(\sigma(m,n)_{k,b}). \qquad (48) $$

### Exemple 1.5.1

Soit $b := 4$ et :

$$ m := 2998 = (2 \mid 3 \mid 2 \mid 3 \mid 2 \mid 2)_{5,4} \quad , \quad n := 2603 = (2 \mid 2 \mid 0 \mid 2 \mid 2 \mid 3)_{5,4}. $$

On a le tableau suivant :

<table><thead><tr><th>k</th><th>6</th><th>5</th><th>4</th><th>3</th><th>2</th><th>1</th><th>0</th></tr></thead><tbody><tr><th>[m]<sub>k,4</sub></th><td>0</td><td>2</td><td>3</td><td>2</td><td>3</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><th>[n]<sub>k,4</sub></th><td>0</td><td>2</td><td>2</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td><td>3</td></tr><tr><th>[m]<sub>k,4</sub> + [n]<sub>k,4</sub></th><td>0</td><td>4</td><td>5</td><td>2</td><td>5</td><td>3</td><td>5</td></tr><tr><th>σ(m, n)<sub>k,4</sub></th><td>1</td><td>5</td><td>5</td><td>3</td><td>6</td><td>4</td><td>5</td></tr><tr><th>q<sub>4</sub>(σ(m, n)<sub>k,4</sub>)</th><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><th>[m + n]<sub>k,4</sub> = r<sub>b</sub>(σ(m, n)<sub>k,4</sub>)</th><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>3</td><td>2</td><td>0</td><td>1</td></tr></tbody></table>

id est

$$ (2 \mid 3 \mid 2 \mid 3 \mid 2 \mid 2)_{5,4} + (2 \mid 2 \mid 0 \mid 2 \mid 2 \mid 3)_{5,4} = (1 \mid 1 \mid 1 \mid 3 \mid 2 \mid 0 \mid 1)_{6,4} $$

ou encore en base 10 :

$$ 2998 + 2603 = 5601. $$

On en déduit alors la définition suivante.
## Définition 1.5.2: Suite des retenues

La suite des $(q_b(\sigma(m,n)_{k,b}))_{k \in \mathbb{N}}$ est appelée la **suite des retenues** dans l'addition de $m$ et $n$ en base $b$.

On a alors en posant pour tout $k \in \mathbb{N}$, $u_k := [m]_{k,b} + [n]_{k,b}$ :

$$
\begin{align*}
\sigma(m, n)_{0,b} &= u_0 \\
\sigma(m, n)_{1,b} &= u_1 + q_b(u_0) \\
\sigma(m, n)_{2,b} &= u_2 + q_b(u_1 + q_b(u_2)) \\
\sigma(m, n)_{3,b} &= u_3 + q_b(u_2 + q_b(u_1 + q_b(u_2))) \\
&\vdots
\end{align*}
$$

et donc :

$$
\begin{align*}
[m+n]_{0,b} &= r_b(\sigma(m,n)_{0,b}) = r_b(u_0) \\
[m+n]_{1,b} &= r_b(\sigma(m,n)_{1,b}) = r_b(u_1 + q_b(u_0)) \\
[m+n]_{2,b} &= r_b(\sigma(m,n)_{2,b}) = r_b(u_2 + q_b(u_1 + q_b(u_2))) \\
[m+n]_{3,b} &= r_b(\sigma(m,n)_{3,b}) = r_b(u_3 + q_b(u_2 + q_b(u_1 + q_b(u_2)))) \\
&\vdots
\end{align*}
$$

On voit qu'il n'y a pas de forme simple pour les chiffres de $m+n$. On a tout de même la propriété suivante.

## Lemme 1.5.3

Pour tout $k \in \mathbb{N}$, $\sigma(m,n)_{k,b} \in [0, 2b-1]$ et en particulier $q_b(\sigma(m,n)_{k,b}) \in \{0,1\}$.

*Démonstration.* Montrons le résultat par récurrence sur $k \in \mathbb{N}$ :

$$ (\mathcal{P}_k) : \sigma(m,n)_{k,b} \in [0, 2b-1]. $$

(i) Comme $[m]_{0,b}, [n]_{0,b} \in \mathcal{B}_b$, on a $\sigma(m,n)_{0,b} \in [0, 2b-2] \subset [0, 2b-1]$. Donc $(\mathcal{P}_0)$ est vraie.

(ii) Soit $k \in \mathbb{N}$. Supposons que $(\mathcal{P}_k)$ soit vraie. Comme $[m]_{k,b}, [n]_{k,b} \in \mathcal{B}_b$ et $q_b(\sigma(m,n)_{k,b}) \in \{0,1\}$, on a :

$$ \sigma(m,n)_{k+1,b} = [m]_{k+1,b} + [n]_{k+1,b} + q_b(\sigma(m,n)_{k,b}) \le 2(b-1) + 1 = 2b-1. $$

Donc $(\mathcal{P}_{k+1})$ est vraie.

(iii) Par récurrence, $(\mathcal{P}_k)$ est vraie pour tout $k \in \mathbb{N}$.

□

## 1.6 Artifaille en Python

On importe deux modules en Python :

```python
import math as ma
from typing import List, Tuple, Union, Dict
```

On note une décomposition en base $b$ en Python par :

$$ (B, b) := ([B[0], \dots, B[d]], b) := (B[d] | \dots | B[0])_{d,b} \quad (49) $$

et :

$$ [] := \bullet. \qquad (50) $$
On a par exemple :

$$ ([4, 4, 3, 5, 5, 1], 6) = (1 | 5 | 5 | 3 | 4 | 4)_{5,6} = 15472 \qquad (51) $$

$$ (\emptyset, 3) = (\bullet)_{3} = \bullet \qquad (52) $$

On définit deux nouveaux types IntB et Base :

```
Base = int
IntB = Tuple List[int], Base
```

♣ Le programme `int_to_base(n, b)` prend en entrée un entier `n` et une base `b`. Il renvoie la décomposition $N = (B, b)$ de type `IntB` de l'entier `n` dans la base `b`.

## Python 1.6.1

```python
def int_to_base(n: int, b: Base) -> IntB:
    if n == []:
        return ([], b)
    elif n == 0:
        return ([0], b)
    else:
        B = []
        k = n
        while k > 0:
            B.append(k % b)
            k // = b
        return (B, b)
```

## Exemple 1.6.2

```python
>>> int_to_base([], 3)
([], 3)
>>> int_to_base(0, 4)
([0], 4)
>>> int_to_base(15472, 6)
([4, 4, 3, 5, 5, 1], 6)
```

♣ Le programme `base_to_int(N)` prend en entrée un entier `N` de type `IntB` écrit en base `b`. Il renvoie l'entier `n` tel que `int_to_base(n, b) = N`.

## Python 1.6.3

```python
def base_to_int(N: IntB) -> int:
    B, b = N
    if B == []:
        return []
    else:
        s = 0
        p = 1
        for c in B:
            s += c * p
```
```
p *= b
return s
```

## Exemple 1.6.4

```python
>>> base_to_int([[], 3])
[]
>>> base_to_int([0, 4])
0
>>> base_to_int([4, 4, 3, 5, 5, 1], 6))
15472
```

♣ Le programme `deg_base(N)` prend en entrée un entier N de type `IntB` écrit dans une base b. Il renvoie le degré de N de type `int` ou `float` (`ma.inf` est de type `float`).

## Python 1.6.5

```python
def deg_base(N: IntB) -> int | float:
    B, _ = N
    if B == []:
        return -ma.inf
    elif len(B) == 1:
        return 0
    else:
        d = len(B) - 1
        while B[d] == 0:
            d -= 1
        return d
```

## Exemple 1.6.6

```python
>>> type(ma.inf)
<class 'float'>
>>> deg_base([], 5)
-inf
>>> deg_base([0], 5)
0
>>> deg_base([3, 4, 2, 0], 5)
2
>>> deg_base([3, 4, 2, 1], 5)
3
```

♣ Le programme `val_base(N)` prend en entrée un entier N de type `IntB` écrit dans une base b. Il renvoie la valuation de N de type `int` ou `float`.
## Python 1.6.7

```python
def val_base(N: IntB) -> int | float:
    B, _ = N
    if B == [] or B == [0]:
        return ma.inf
    else:
        v = 0
        while B[v] == 0:
            v += 1
        return v
```

## Exemple 1.6.8

```python
>>> val_base([], 5)
inf
>>> val_base([0, 5])
inf
>>> val_base([0, 0, 3, 4, 2, 0], 5)
2
>>> val_base([3, 4, 2, 1], 5)
0
```

♣ Le programme plus_1(N) prend en entrée un entier N de type IntB écrit dans une base b. Il renvoie l'entier N + 1 de type IntB écrit dans la même base b.

## Python 1.6.9

```python
def plus_1(N: IntB) -> IntB:
    B, b = N
    c = 1
    for i in range(len(B)):
        B[i] += c
        if B[i] < b:
            return (B, b)
        B[i] = 0
    B.append(1)
    return (B, b)
```

## Exemple 1.6.10

```python
>>> plus_1([1, 3], 4)
([2, 3], 4)
>>> plus_1([3, 3, 3], 4)
([0, 0, 0, 1], 4)
```

♣ Le programme compare_base(N, M) prend en entrée deux entiers N et M de type IntB écrits dans une même base. Il renvoie True si $N \le M$ et False sinon. On pourrait faire ce programme simplement
en posant :

```
compare_base_bis(N, M) := base_to_int(N) <= base_to_int(M).
```

Pour limiter le nombre d'opérations de comparaisons, on préfèrera ce programme :

## Python 1.6.11

```python
def compare_base(N: IntB, M: IntB) -> bool: # N <= M?
    B, C = N[0], M[0]
    if len(B) != len(C):
        return len(B) < len(C)
    for i in range(len(B) - 1, -1, -1):
        if B[i] > C[i]:
            return False
        elif B[i] < C[i]:
            return True
    return True
```

## Exemple 1.6.12

```python
>>> compare_base([0, 5], 6), ((), 6)
False
>>> compare_base([1, 3, 2], 4), ([3, 1, 2], 4)
True
>>> compare_base([1, 1, 2, 1], 4), ([3, 1, 2], 4)
True
```

♣ Le programme `add_base(N, M)` prend en entrée deux entiers $N$ et $M$ de type `IntB` écrits dans une même base $b$ et de même longueur de décomposition $id \ est \ len(N[0]) = len(M[0])$. Il renvoie la somme $N+M$ de type `IntB` dans la même base $b$. Une méthode simple est de faire la somme en base 10 mais elle est plus couteuse en temps $id \ est$ :

```
add_base(M, N) := int_to_base(base_to_int(M) + base_to_int(N), N[1]).
```

Pour limiter le nombre d'opérations d'additions, on préfèrera ce programme :

## Python 1.6.13

```python
def add_base(N: IntB, M: IntB) -> IntB: # len(N[0]) = len(M[0])
    R, b, B, C, s = [], N[1], N[0], M[0], 0
    for i in range(len(B)):
        s = B[i] + C[i] + s
        R = R + [s % b]
        s = s // b
    return (R + (s * [1]), b)
```

## Exemple 1.6.14

```python
>>> add_base((), 3), ((), 3)
((), 3)
>>> add_base([0], 4), ([0], 4)
([0], 4)
```
```python
>>> add_base([[3, 3, 5], 6], ([3, 1, 2], 6))
([0, 5, 1, 1], 6)
```

On finit cette sous-section avec deux programmes pour transformer un entier ou une liste d'entier dans une base en code latex.

♣ Le programme `latex_intB(N)` prend en entrée un entier $N$ de type `IntB` écrit dans une même base $b$. Il renvoie le code Latex de $(N$ de type `str`.

## Python 1.6.15

```python
def latex_intB(N: IntB) -> str:
    B, b = N
    s = '\\ |\| \'.join([str(B[-i-1]) for i in range(len(B))])
    return '\\left(' + s + '\\right)_{'} + str(len(B) - 1) + ', ' + str(b) + '}'
```

## Exemple 1.6.16

```python
>>> latex_intB([[2, 14, 1, 12], 24])
'\\left(12\ |\| 1\ |\| 14\ |\| 2\right)_{3, 24}'
>>> print(latex_intB([[2, 14, 1, 12], 24]))
\left(12\ |\ 1\ |\ 14\ |\ 2\right)_{3, 24}
```

♣ Le programme `latex_list_intB(L, b)` prend en entrée une liste de liste d'entiers $L$ et une base $b$. Il renvoie le code Latex de la liste $L$ de type `str` séparé par une virgule.

## Python 1.6.17

```python
def latex_list_intB(L: List List[int]], b, Base) -> str:
    return ', '.join([latex_intB((x, b)) for x in L])
```

## Exemple 1.6.18

```python
>>> L = [[2, 14, 1, 12], [1, 12], [2, 14, 1], [2, 14, 1, 12, 0]]

>>> latex_list_IntB(L, 24)
'\\left(12\ |\| 1\ |\| 14\ |\| 2\right)_{3, 24},\|\ \\left(12\ |\ 1\ |\right)_{1, 24},\|\ \\left(1\ |\| 14\ |\| 2\right)_{2, 24},\|\ \\left(0\ |\| 12\ |\| 1\ |\| 14\ |\| 2\right)_{4, 24}'

>>> print(latex_list_IntB(L, 24))
\left(12\ |\ 1\ |\ 14\ |\ 2\right)_{3, 24},\ \left(12\ |\ 1\right)_{1, 24},\ \left(1\ |\ 14\ |\ 2\right)_{2, 24},\ \left(0\ |\ 12\ |\ 1\ |\ 14\ |\ 2\right)_{4, 24}
```
# 2 Artifaille pour la palindromisation

En additionnant un entier $n$ avec son miroir, on espère rendre cette somme plus "palindromique" que $n$ et augmenter les chances de réductions. Dans cette section, on donne les définitions et les premières propriétés qui permettent de comprendre cette intuition.

## 2.1 Opération de réduction

L'opération de réduction vue dans l'introduction consiste si un entier a le même premier et dernier "chiffre" en base $b$ à supprimer ces deux chiffres extremaux.

### Définition 2.1.1

Soit $n \in \mathbb{N}$ de degré $d$ en base $b$. Le rang de réduction en base $b$ de $n$ est défini par :

$$ \mathrm{rg}_b(n) := \max \{r \in \mathbb{N}, \forall k \in [0, r-1], k \le d-k \wedge [n]_{k,b} = [n]_{d-k,b} \}. $$

Dans le cas où $n \in \mathbb{N}$ de degré $d$ en base $b$ est tel que $[n]_{0,b} \neq [n]_{d,b}$, on a :

$$ \mathrm{rg}_b(n) = \max \{0\} = 0. \qquad (53) $$

### Exemple 2.1.2

On a :

$$ \begin{aligned} \mathrm{rg}_4 ((1)_{0,4}) &= 1 \\ \mathrm{rg}_4 ((2 \mid 2)_{1,4}) &= 1 \\ \mathrm{rg}_4 ((2 \mid 1)_{1,4}) &= 0 \\ \mathrm{rg}_4 ((2 \mid 1 \mid 3 \mid 1 \mid 2)_{4,4}) &= 3 \\ \mathrm{rg}_4 ((2 \mid 2 \mid 2 \mid 0 \mid 2 \mid 2)_{5,4}) &= 2 \end{aligned} $$

### Définition 2.1.3

(i) (a) Soit $r \in \mathbb{N}_1$ et $n \in \mathbb{N}$ de degré $d \in \mathbb{N}_{2r-2}$ en base $b$. On dit que $n$ est **réductible de rang $r$ en base $b$** si $\mathrm{rg}_b(n) = r$. On note $\mathcal{R}_b^r$ l'ensemble des nombres réductibles de rang $r$ en base $b$.

(b) Soit $n \in \mathbb{N}$. On dit que $n$ est **réductible en base $b$** s'il existe $r \in \mathbb{N}_1$ tel que $n \in \mathcal{R}_b^r$. On note $\mathcal{R}_b$ l'ensemble des nombres réductibles en base $b$.

(ii) Soit $n \in \mathcal{R}_b^r$ de degré $d \in \mathbb{N}$. La **réduction de $n$ en base $b$** est :

$$ \rho_b(n) := \begin{cases} \bullet & \text{si } d = 2r-2 \\ ([n]_{d-r,b} | \cdots | [n]_{r,b})_{d-2r,b} & \text{sinon} \end{cases} $$

On note :

$$ \mathcal{R}_b^0 := \mathbb{N}_\bullet - \mathcal{R}_b \qquad (54) $$

On a donc :

$$ \mathcal{R}_b = \bigcup_{r \in \mathbb{N}_1} \mathcal{R}_b^r \qquad (55) $$

$$ \mathbb{N}_\bullet = \bigcup_{r \in \mathbb{N}} \mathcal{R}_b^r \qquad (56) $$

En particulier pour tout nombre $n$ de degré $0$, on a $n \in \mathcal{R}_b$. On suppose que $\bullet$ n'est pas réductible :

$$ \bullet \in \mathcal{R}_b^0. \qquad (57) $$
Pour tout $n \in \mathbb{R}_b^r$ (avec $r \in \mathbb{N}_1$), on a donc :

$$n = ([n]_{d,b} | \dots | [n]_{d-r+1,b} | [n]_{d-r,b} | \dots | [n]_{r,b} | [n]_{r-1,b} | \dots | [n]_{0,b})_{d,b} \quad (58)$$

$$= ([n]_{0,b} | \dots | [n]_{r-1,b} | [n]_{d-r,b} | \dots | [n]_{r,b} | [n]_{r-1,b} | \dots | [n]_{0,b})_{d,b} \quad (59)$$

et ainsi :

$$\rho_b(n) = ([n]_{d-r,b} | \dots | [n]_{r,b})_{d,b}. \quad (60)$$

## Définition 2.1.4

L'opération de réduction en base $b$ est l'application $\rho_b$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}_\bullet$ :

$$\rho_b(n) := \begin{cases} \rho_b(n) & \text{si } n \in \mathbb{R}_b \\ n & \text{sinon.} \end{cases}$$

### Exemple 2.1.5

On a :

$$\rho_b((3 \mid 1 \mid 2 \mid 4 \mid 3 \mid 2)_{5,6}) = (3 \mid 1 \mid 2 \mid 4 \mid 3 \mid 2)_{5,6}$$

$$\rho_b((3 \mid \textcolor{red}{1} \mid 2 \mid 4 \mid \textcolor{red}{1} \mid 3)_{5,6}) = (2 \mid 4)_{1,6}$$

$$\rho_b((3 \mid 2 \mid 3)_{2,5}) = \bullet$$

$$\rho_b((3)_{0,5}) = \bullet$$

$$\rho_b(\bullet) = \bullet$$

On a un cas particulier, c'est quand l'entier est réductible au "maximum", c'est à dire qu'il se lit dans un sens ou dans l'autre, on dit qu'il est palidromique.

## Définition 2.1.6

Soit $n \in \mathbb{N}$. On dit que $n$ est un **palindrome en base $b$** ou **est palindromique en base $b$** si $\rho_b(n) = \bullet$. On note $\mathcal{P}_b$ l'ensemble des palindromes en base $b$.

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ de degré $d := 2d' + \delta$ avec $\delta \in \{0, 1\}$, on a donc équivalence entre :

$$n \in \mathcal{P}_b \iff \rho_b(n) = \bullet \iff n \in \mathbb{R}_b^{d'+1}. \quad (61)$$

Dans les deux exemples qui suivent, on voit le rôle de $d'$ et $\delta$ et la raison du $d' + 1$ dans $\mathbb{R}_b^{d'+1}$.

### Exemple 2.1.7

(1) Pour $n := (2 \mid 3 \mid 2)_{2,4}$, on a $d_4(n) = 2 = 2 \times 1 + 0$ ($d' := 1$ et $\delta := 0$). On a :

$$\text{rg}_4(n) = 2 = d' + 1, \quad n \in \mathbb{R}_4^2 = \mathbb{R}_4^{d'+1}.$$

(2) Pour $n := (2 \mid 3 \mid 3 \mid 2)_{3,4}$, on a $d_4(n) = 3 = 2 \times 1 + 1$ ($d' := 1$ et $\delta := 1$). On a :

$$\text{rg}_4(n) = 2 = d' + 1, \quad n \in \mathbb{R}_4^2 = \mathbb{R}_4^{d'+1}.$$

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ de degré $d$ en base $b$, on a en posant $r := \text{rg}_b(n)$ :

$$\rho_b(n) = \sum_{k=0}^{d} [n]_{k,b} b^{k-r} = \sum_{k=r}^{d-r} [n]_{k,b} b^{k-r} = \sum_{l=0}^{d-2r} [n]_{l+r,b} b^l \quad (62)$$
et ainsi :

$$d_b(\rho_b(n)) = \begin{cases} -\infty & \text{si } n \in \mathcal{P}_b \\ d_b(n) - 2\mathrm{rg}_b(n) & \text{sinon.} \end{cases} \qquad (63)$$

### Proposition 2.1.8

Soit $r \in \mathbb{N}_1$ et $n \in \mathcal{R}_b^r$ tel que $d_b(n) \ge 2r$. On a :

$$\frac{n - b^{d-r+2} + b^d - b^r + 1}{b^r} \le \rho_b(n) \le \frac{n - b^{d_b(n)}}{b^r}.$$

Les bornes sont de plus optimales.

*Démonstration.* On a :

$$\rho_b(n) = \sum_{k=r}^{d-r} [n]_{k,b} b^{k-r} = \frac{n - \sum_{k=0}^{r-1} ([n]_{d-k,b} b^{d-k} + [n]_{k,b} b^k)}{b^r}.$$

Montrons les deux inégalités séparement.

(1) On a :

$$\rho_b(n) = \frac{n - \sum_{k=0}^{r-1} ([n]_{d-k,b} b^{d-k} + [n]_{k,b} b^k)}{b^r} \le \frac{n - b^d - 1}{b^r}.$$

La borne supérieure est optimale car pour $n := (1 \mid (0)_{r-1} \mid 1 \mid 0 \mid (0)_{r-1} \mid 1)_{2r+1,b}$ (donc $d := 2r+1$), on a :

$$n = b^{2r+1} + b^r + 1$$

et donc :

$$\rho_b(n) = (1 \mid 0)_{1,b} = b = \frac{(b^{2r+1} + b^r + 1) - b^{2r+1} - 1}{b^r} = \frac{n - b^d - 1}{b^r}.$$

(2) On a :

$$\begin{align*} \rho_b(n) &= \frac{n - \sum_{k=0}^{r-1} ([n]_{d-k,b} b^{d-k} + [n]_{k,b} b^k)}{b^r} \\ &\ge \frac{n - \sum_{k=0}^{r-1} ((b-1)b^{d-k} + (b-1)b^k)}{b^r} \\ &= \frac{n - \sum_{k=0}^{r-1} (b^{d+1-k} - b^{d-k} + b^{k+1} - b^k)}{b^r} \\ &= \frac{n - b^{d-r+2} + b^d - b^r + 1}{b^r} \end{align*}$$

La borne inférieure est optimale car pour $n := ((b-1)_r \mid 1 \mid 0 \mid (b-1)_r)_{2r+1,b}$ (donc $d := 2r+1$), on a :

$$\begin{align*} n &= \sum_{k=0}^{r-1} (b-1)b^{2r+1-k} + 1 \times b^{r+1} + 0 \times b^r + \sum_{k=0}^{r-1} (b-1)b^k \\ &= b^{r+3} - b^{2r+1} + b^{r+1} + b^r - 1 \end{align*}$$

et ainsi :

$$\begin{align*} \rho_b(n) &= (1 | 0)_{1,b} = b \\ &= \frac{(b^{r+3} - b^{2r+1} + b^{r+1} + b^r - 1) - b^{r+3} + b^{2r+1} - b^r + 1}{b^r} \\ &= \frac{n - b^{d-r+2} + b^d - b^r + 1}{b^r} \end{align*}$$

□
Finissons cette sous-section avec des calculs de cardinaux. Pour cela notons pour tous éléments $x, y \in \mathbb{N}$ :

$$ \delta_{x,y} := \begin{cases} 1 & \text{si } x = y; \\ 0 & \text{si } x \neq y \end{cases} $$

appelé **symbole de Kronecker de x et y**.

### Proposition 2.1.9

Soit $d, r \in \mathbb{N}$. On a :

$$ \mathrm{card}(\mathcal{R}_{d,b}^r) = \begin{cases} 0 & \text{si } d \le 2r-3 \text{ ou } d = 2r; \\ b^{r-1}(b-1) + \delta_{r,1}\delta_{d,0} & \text{si } d \in \{2r-2, 2r-1\}; \\ (b-1)^2 b^{d-r-1} & \text{si } d \ge 2r+1 \end{cases} $$

**Démonstration.** Traitons six cas séparément.

(1) **Cas $d \le 2r-3$.** Alors les éléments de $\mathcal{B}_{d,b}$ n'ont pas assez de chiffres en base $b$ pour être réductible de rang $r$ en base $b$ id est $\mathcal{R}_{d,b}^r = \emptyset$.

(2) **Cas $d = 2r$.** Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe $n \in \mathcal{R}_{2r,b}^r$. Alors $d_b(\rho_b(n)) = 0$ et ainsi $\rho_b(n)$ est encore réductible en base $b$. Ce qui est contradictoire id est $\mathcal{R}_{2r,b}^r = \emptyset$.

(3) **Cas $d = 0$ et $r = 1$.** Alors on a $\mathcal{R}_{0,b}^1 = \mathcal{B}_b$ et donc

$$ \mathrm{card}(\mathcal{R}_{0,b}^1) = b = b^{1-1}(b-1) + \delta_{r,1}\delta_{d,0}. $$

(4) **Cas $d = 2r-2$ et $r \neq 1$.** Alors $n$ est palindromique en base $b$ et est du type :

$$ n = ([n]_{0,b} | [n]_{1,b} | \cdots | [n]_{r-2,b} | [n]_{r-1,b} | [n]_{r-2,b} | \cdots | [n]_{1,b} | [n]_{0,b})_{2r-2,b}. $$

Choisir un élément $n$ de $\mathcal{R}_{2r-2,b}^r$ revient donc à choisir :

$$ \begin{gathered} [n]_{0,b} \in [1, b-1] \\ \forall k \in [1, r-1], \ [n]_{k,b} \in \mathcal{B}_b \end{gathered} $$

Et ainsi :

$$ \mathrm{card}(\mathcal{R}_{2r-2,b}^r) = \mathrm{card}([1, b-1]) \prod_{k=1}^{r-1} \mathrm{card}(\mathcal{B}_b) = b^{r-1}(b-1). $$

(5) **Cas $d = 2r-1$.** Il est similaire au cas précédent, $n$ est palindromique en base $b$ et est donc du type :

$$ n = ([n]_{0,b} | [n]_{1,b} | \cdots | [n]_{r-2,b} | [n]_{r-1,b} | [n]_{r-1,b} | [n]_{r-2,b} | \cdots | [n]_{1,b} | [n]_{0,b})_{2r-1,b}. $$

Choisir un élément $n$ de $\mathcal{R}_{2r-1,b}^r$ revient donc à choisir :

$$ \begin{gathered} [n]_{0,b} \in [1, b-1] \\ \forall k \in [1, r-1], \ [n]_{k,b} \in \mathcal{B}_b \end{gathered} $$

Et ainsi :

$$ \mathrm{card}(\mathcal{R}_{2r-1,b}^r) = \mathrm{card}([1, b-1]) \prod_{k=1}^{r-1} \mathrm{card}(\mathcal{B}_b) = b^{r-1}(b-1). $$

(6) **Cas $d \ge 2r+1$.** Alors $n$ est du type :

$$ n = ([n]_{0,b} | \cdots | [n]_{r-1,b} | [n]_{d-r,b} | \cdots | [n]_{r,b} | [n]_{r-1,b} | \cdots | [n]_{0,b})_{2r-1,b}. $$
Choisir un élément $n$ de $\mathcal{R}_{d,b}^r$ revient donc à choisir :

$$
\begin{align*}
& [n]_{0,b} \in \llbracket 1, b-1 \rrbracket \\
& \forall k \in \llbracket 1, r-1 \rrbracket, [n]_{k,b} \in \mathcal{B}_b \\
& [n]_{r,b} \in \mathcal{B}_b \wedge [n]_{d-r,b} \in \mathcal{B}_b - \{[n]_{r,b}\} \\
& \forall k \in \llbracket r+1, d-r-1 \rrbracket, [n]_{k,b} \in \mathcal{B}_b
\end{align*}
$$

Et ainsi :

$$
\begin{align*}
\mathrm{card} ( \mathcal{R}_{d,b}^r ) &= \mathrm{card} ( \llbracket 1, b-1 \rrbracket ) \left( \prod_{k=1}^{r-1} \mathrm{card} ( \mathcal{B}_b ) \right) \mathrm{card} ( \llbracket 1, b-1 \rrbracket ) \mathrm{card} ( \mathcal{B}_b ) \prod_{k=r+1}^{d-r-1} \mathrm{card} ( \mathcal{B}_b ) \\
&= (b-1)b^{r-1}(b-1)bb^{d-2r-1} \\
&= (b-1)^2 b^{d-r-1}.
\end{align*}
$$

□

2.2 Opération miroir

L'opération miroir vue dans l'introduction consiste à inverser l'ordre des chiffres dans la décomposi-
tion d'un entier en base b. Bien que nous appliquerons l'application miroir à des entiers non-réductibles,
on définit cette opération pour tout élément de $\mathbb{N}$.

Démonstration 2.2.1

Soit $n \in \mathbb{N}$ de degré $d \in \mathbb{N}$.

(i) Le miroir en base b de n est définie par :

$$
\mu_b(n) := ([n]_{0,b} | \cdots | [n]_{d,b})_{d,b}.
$$

(ii) Pour tout $k \in [0, d]$, $[n]_{d-k,b}$ est appelé le **chiffre miroir de $[n]_{k,b}$ associé à $n$ en base $b$**.

Exemple 2.2.2

On a :

$$
\begin{align*}
\mu_b((3)_{0,4}) &= (3)_{0,4} \\
\mu_b((3 \mid 1 \mid 2 \mid 4 \mid 3 \mid 2)_{5,8}) &= (2 \mid 3 \mid 4 \mid 2 \mid 1 \mid 3)_{5,8}
\end{align*}
$$

On a donc pour tout $n \in \mathbb{N}_1$ :

$$
\mu_b(n) = ([n]_{0,b} | \dots | [n]_{d_b(n),b})_{d_b(n),b} = ([n]_{\nu_b(n),b} | \dots | [n]_{d_b(n),b})_{d_b(n)-\nu_b(n),b} \quad (64)
$$

id est on a :

$$
d_b(\mu_b(n)) = d_b(n) - \nu_b(n) \tag{65}
$$

et ainsi :

$$
\mu_b(n) = \sum_{k=0}^{d_b(n)-\nu_b(n)} [n]_{d_b(n)-k,b} b^k. \quad (66)
$$
## Définition 2.2.3

L'opération miroir en base $b$ est l'application $\mu_b$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}_\bullet$ :

$$ \mu_b(n) := \begin{cases} \bullet & \text{si } n := \bullet \\ \mu_b(n) & \text{sinon} \end{cases} $$

On a donc pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$$ n \in \mathcal{P}_b \iff \mu_b(n) = n. \qquad (67) $$

L'application $\mu_b$ n'est pas injective car $b \neq 1$ et :

$$ \mu_b(b) = \mu_b((1 \mid 0)_{1,b}) = (0 \mid 1)_{1,b} = (1)_{0,b} = \mu_b((1)_{0,b}) = \mu_b(1). \qquad (68) $$

On en déduit le résultat suivant.

## Proposition 2.2.4

(i) Soit $m, n \in \mathbb{N}$. On a :

$$ \mu_b(m) = \mu_b(n) \iff b^{\nu_b(n)}m = b^{\nu_b(m)}n. $$

En particulier, pour tout $k \in \mathbb{N}$ :

$$ \mu_b(b^k n) = \mu_b(n). $$

(ii) On a pour tout $k \in \mathbb{N}$ :

$$ \mu_b(b^k n) = \mu_b(n). $$

(iii) On a :

$$ b^{\nu_b(n)} \mu_b^2(n) = n. $$

(iv) Soit $n \in \mathbb{N}_1$. On a :

$$ P_{\mu_b(n),b} = X^{d_b(n)} P_{n,b} \left( \frac{1}{X} \right). $$

**Démonstration.** (i) On a deux cas.

(1) **Cas $m := 0$ ou $n := 0$.** Par symétrie de $m$ et $n$, supposons que $m := 0$. Alors on a :

$$ 0 = \mu_b(m) = \mu_b(n) \iff n = 0 = m. $$

(2) **Cas $m, n \neq 0$.** Posons :

$$ m' := \frac{m}{b^{\nu_b(m)}}, \quad n' := \frac{m}{b^{\nu_b(n)}}. $$

Il faut donc démontrer que :

$$ \mu_b(m) = \mu_b(n) \iff m' = n'. $$

Comme $\mu_b(m') = \mu_b(m)$, $\mu_b(n') = \mu_b(n)$ et $\nu_b(m') = \nu_b(n') = 0$, on a :

$$ \begin{align*} \mu_b(m) &= \mu_b(n) \\ \iff \mu_b(m') &= \mu_b(n') \\ \iff d_b(\mu_b(m')) &= d_b(\mu_b(n')) \quad \forall k \in [0, d_b(\mu_b(m'))], \quad [\mu_b(m')]_{k,b} = [\mu_b(n')]_{k,b} \\ \iff d_b(m') &= d_b(n') \quad \forall k \in [0, d_b(m')], \quad [m']_{d_b(m')-k,b} = [n']_{d_b(n')-k,b} \\ \iff m' &= n' \end{align*} $$
(ii) On a :

$$
\begin{align*}
b^{\nu_b(n)} \mu_b^2(n) &= b^{\nu_b(n)} \mu_b \left( \sum_{k=0}^{d_b(n)-\nu_b(n)} [n]_{d_b(n)-k,b} b^k \right) \\
&= b^{\nu_b(n)} \left( \sum_{k=0}^{d_b(n)-\nu_b(n)} [n]_{k+\nu_b(n),b} b^k \right) \\
&= \sum_{k=0}^{d_b(n)-\nu_b(n)} [n]_{k+\nu_b(n),b} b^{k+\nu_b(n)} \\
&= \sum_{l=\nu_b(n)}^{d_b(n)} [n]_{l,b} b^l \\
&= n
\end{align*}
$$

(iii) On a :

$$
\begin{align*}
X^{d_b(n)} P_{n,b} \left( \frac{1}{X} \right) &= X^{d_b(n)} \left( \sum_{k=\nu_b(n)}^{d_b(n)} [n]_{k,b} \frac{1}{X^k} \right) \\
&= \sum_{k=\nu_b(n)}^{d_b(n)} [n]_{k,b} X^{d_b(n)-k} \\
&= \sum_{l=0}^{d_b(n)-\nu_b(n)} [n]_{d_b(n)-l,b} X^l \\
&= P_{\mu_b(n),b}.
\end{align*}
$$

□

2.3 Opération palindromique

L'opération palindromique vue dans l'introduction consiste a ajouter à un entier son miroir en base
b. Comme pour l'application miroir, on ne l'appliquera qu'à des entiers non-réductibles, on la définit
tout de même pour tout élément de $\mathbb{N}_{\bullet}$.

Définition 2.3.1

L'opération palindromique en base b est l'application $\pi_b$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}_\bullet$ par :

$$
\pi_b(n) := n + \mu_b(n).
$$

On appelle $\pi_b(n)$ le pseudo-palindrome associé à $n$ en base $b$.

Par définition, on a donc que le pseudo-palindrome d'un entier est égal au pseudo-palindrome de
son miroir *id est* on a sur $\mathbb{N}_{\bullet}$ :

$$
\pi_b \circ \mu_b = \pi_b. \tag{69}
$$

Exemple 2.3.2

(1) Comme • + • = • , on a :

$$
\pi_b(\bullet) = \bullet + \mu_b(\bullet) = \bullet + \bullet = \bullet.
$$

(2) On a :

$$
\pi_b((0)_{0,6}) = (0)_{1,6} + (0)_{0,6} = (0)_{0,6}
$$
$$
\begin{align*}
\pi_b((3)_{0,6}) &= (3)_{1,6} + (3)_{0,6} = (1 \mid 1)_{1,6} \\
\pi_b((3 \mid 1 \mid 4)_{2,6}) &= (3 \mid 1 \mid 4)_{2,6} + (4 \mid 1 \mid 3)_{2,6} = (1 \mid 1 \mid 3 \mid 1)_{3,6} \\
\pi_b((2 \mid 1 \mid 3)_{2,6}) &= (2 \mid 1 \mid 3)_{2,6} + (3 \mid 1 \mid 2)_{2,6} = (5 \mid 2 \mid 5)_{2,6}
\end{align*}
$$

Sur le dernier exemple, on voit que si les sommes chiffres par chiffres entre un entier et son miroir ne dépassent pas $b-1$, alors son pseudo-palindrome est un palindrome (c'est cet argument qui justifie la définition). On verra dans la proposition suivante un argument plus général. On voit aussi sur les trois exemples, que le pseudo-palindrome d'un entier non nul est strictement plus grand que l'entier *id est* comme pour tout $n \in \mathbb{N}_1$, $\mu_b(n) > 0$, on a :

$$
\pi_b(n) > n \tag{70}
$$

Ainsi les seuls points fixes de $\pi_b$ sont $\bullet$ et $0$. Et pour tout $n \in \mathbb{N}_1$, on a :

$$
n < \pi_b(n) < 2 \max\{n, \mu_b(n)\}. \tag{71}
$$

En particulier, $d_b(\pi_b(n)) \le d_b(n) + 1$ et pour tout $k \in \mathbb{N}$ :

$$
d_b(\pi_b^k(n)) \le d_b(n) + k. \tag{72}
$$

On en déduit les résultats suivants.

Proposition 2.3.3

(i) Soit $n \in \mathbb{N}$ de degré $d := 2d' + \delta$ en base $b$ avec $\delta \in \{0, 1\}$. Supposons que pour tout $k \in [0, d']$ :

$$
[n]_{k,b} + [n]_{d-k,b} \le b - 1.
$$

Alors $\pi_b(n) \in \mathcal{P}_b$. En particulier, on a $\rho_b(\pi_b(n)) = \bullet$.

(ii) Soit $n, m \in \mathbb{N}_1$ de degré $d := 2d' + \delta$ en base $b$ avec $\delta \in \{0, 1\}$. Supposons que :

$$
\forall k \in [0, d'], [m]_{k,b} + [m]_{d-k,b} = [n]_{k,b} + [n]_{d-k,b}.
$$

Alors $\pi_b(m) = \pi_b(n)$.

Démonstration. (i) On veut montrer que $\pi_b(n) \in \mathcal{P}_b \text{ id est } \mu_b(\pi_b(n)) = \pi_b(n)$. Posons pour tout $k \in \mathbb{N}$ :

$$
s_k := \sigma(n, \mu_b(n))_{k,b}.
$$

Montrons par récurrence finie sur $k \in [0, d]$ :

$$
(\mathcal{P}_k) : s_k = [n]_{k,b} + [n]_{d-k,b}.
$$

(I) On a par définition $s_0 = [n]_{0,b} + [\mu_b(n)]_{0,b}$. Donc $(\mathcal{P}_0)$ est vraie.

(II) Soit $k \in \mathbb{N}_1^d$. Supposons $(\mathcal{P}_{k-1})$ vraie. Comme $[n]_{k-1,b} + [n]_{d-k+1,b} \le b-1$, on a :

$$
q_b(s_{k-1}) = q_b([n]_{k-1,b} + [n]_{d-k+1,b}) = 0
$$

et ainsi :

$$
s_k = [n]_{k,b} + [\mu_b(n)]_{k,b} + q_b(s_{k-1}) = [n]_{k,b} + [n]_{d-k,b}.
$$

Donc $(\mathcal{P}_k)$ est vraie.

(III) Par récurrence finie, $(\mathcal{P}_k)$ est vraie pour tout $k \in [0, d]$.
Ainsi on a pour tout $k \in [0, d]$ :

$$
\begin{align*}
[\pi_b(n)]_{k,b} &= s_k \\
&= [n]_{k,b} + [n]_{d-k,b} \\
&= [n]_{d-k,b} + [n]_{k,b} \\
&= [\pi_b(n)]_{d-k,b}
\end{align*}
$$

(ii) Posons pour tout $k \in \mathbb{N}$ :

$$
s_k := \sigma(m, \mu_b(m))_{k,b} \quad , \quad s'_k := \sigma(n, \mu_b(n))_{k,b}.
$$

Montrons par récurrence finie sur $k \in [0, d]$ :

$$
(\mathcal{P}_k) : s_k = s'_k.
$$

(I) On a :

$$
\begin{align*}
s_0 &= [m]_{0,b} + [\pi_b(m)]_{0,b} = [m]_{0,b} + [m]_{d,b} \\
&= [n]_{0,b} + [n]_{d,b} = [n]_{0,b} + [\pi_b(n)]_{d,b} \\
&= s'_0
\end{align*}
$$

Donc $(\mathcal{P}_0)$ est vraie.

(II) Soit $k \in \mathbb{N}_1^d$. Supposons $(\mathcal{P}_{k-1})$ vraie. On a :

$$
\begin{align*}
s_k &= [m]_{k,b} + [\pi_b(m)]_{k,b} + q_b(s_{k-1}) \\
&= [n]_{k,b} + [\pi_b(n)]_{k,b} + q_b(s'_{k-1}) \\
&= s'_k
\end{align*}
$$

Donc $(\mathcal{P}_k)$ est vraie.

(III) Par récurrence finie, $(\mathcal{P}_k)$ est vraie pour tout $k \in [0, d]$.

Donc on a pour tout $k \in \mathbb{N}$ :

$$
\begin{align*}
[\pi_b(m)]_{k,b} &= [m + \mu_b(m)]_{k,b} \\
&= r_b(s_k) \\
&= r_b(s'_k) \\
&= [n + \mu_b(n)]_{k,b} \\
&= [\pi_b(n)]_{k,b}.
\end{align*}
$$

□

Exemple 2.3.4

On a :

$$
\begin{align*}
(1 \mid 1 \mid 3 \mid 1)_{3,6} &= \pi_6((3 \mid 1 \mid 4)_{2,6}) = \pi_6((4 \mid 1 \mid 3)_{2,6}) = \pi_6((2 \mid 1 \mid 5)_{2,6}) = \pi_6((5 \mid 1 \mid 2)_{2,6}) \\
(1 \mid 1 \mid 1 \mid 1)_{3,6} &= \pi_6((3 \mid 0 \mid 4)_{2,6}) = \pi_6((4 \mid 0 \mid 3)_{2,6}) = \pi_6((2 \mid 0 \mid 5)_{2,6}) \\
&= \pi_6((5 \mid 0 \mid 2)_{2,6})
\end{align*}
$$

Il s'avère que le point (ii) de la proposition précédente 2.3.3 est une équivalence, nous n'en aurons
pas besoin. On peut se demander si la propriété tient toujours si *n* et *m* ne sont pas de même degré.
La réponse est non car on a par exemple :

$$
(1 | 1 | 1 | 1)_{3,6} = \pi_6((1 | 1 | 0 | 0)_{3,6}) = \pi_6((5 | 0 | 2)_{2,6}). \quad (73)
$$

On remet cela pour les bacouettes (voir la sous-section 5.1).
## 2.4 Artifaille en Python

♣ Le programme `est_red(N)` prend en entrée un entier $N$ de type `IntB` écrit dans une base $b$. Il renvoie `True` si $N$ est réductible et `False` sinon.

### Python 2.4.1

```python
def est_red(N: IntB) -> bool:
    B, _ = N
    if B == []:
        return False
    return B[0] == B[-1]
```

### Exemple 2.4.2

```python
>>> est_red([1, 3, 2], 5)
False
>>> est_red([1, 3, 1], 5)
True
>>> est_red([], 5)
False
```

♣ Le programme `rg_red(N)` prend en entrée un entier $N$ de type `IntB` écrit dans une base $b$. Il renvoie le rang de $N$ en base $b$.

### Python 2.4.3

```python
def rg_red(N: IntB) -> int:
    if len(N[0]) <= 2:
        return int est_red(N)
    elif est_red(N):
        return 1 + rg_red((N[0][1: -1], N[1]))
    else:
        return 0
```

### Exemple 2.4.4

```python
>>> rg_red([1, 3, 2], 5)
0
>>> rg_red([1, 3, 1], 5)
2
>>> rg_red([], 5)
0
```

♣ Le programme `est_pal(N)` prend en entrée un entier $N$ de type `IntB` écrit dans une base $b$. Il renvoie `True` si $N$ est palindromique et `False` sinon.
### Python 2.4.5

```python
def est_pal(N: IntB) -> bool:
    B, _ = N
    if B == []:
        return False
    return B == B[: : -1]
```

### Exemple 2.4.6

```python
>>> est_pal([1, 3, 1], 5)
True
>>> est_pal([1, 3, 2], 5)
False
>>> est_pal([], 5)
False
```

♣ Le programme `rho_fct(N)` prend en entrée un entier $N$ de type `IntB` écrit dans une base $b$. Il renvoie $\rho_b(N)$ de type `IntB` dans la même base $b$.

### Python 2.4.7

```python
def rho_fct(N: IntB) -> IntB:
    r = rg_red(N)
    return (N[0][r: len(N[0]) - r], N[1])
```

### Exemple 2.4.8

```python
>>> rho_fct([4, 3, 3, 1, 3], 5)
([4, 3, 3, 1, 3], 5)
>>> rho_fct([1, 3, 1], 5)
([], 5)
```

♣ Le programme `mu_fct(N)` prend en entrée un entier $N$ de type `IntB` écrit dans une base $b$. Il renvoie $\mu_b(N)$ de type `IntB` dans la même base $b$.

### Python 2.4.9

```python
def mu_fct(N: IntB) -> IntB:
    return (N[0][:: -1], N[1])
```

### Exemple 2.4.10

```python
>>> mu_fct([1, 3, 2], 5)
([2, 3, 1], 5)
>>> mu_fct([], 5)
([], 5)
```
♣ Le programme pi_fct(N) prend en entrée un entier N de type IntB écrit dans une base b. Il renvoie π<sub>b</sub>(N) de type IntB dans la même base b.

Python 2.4.11

def pi_fct(N: IntB) -> IntB:
    B, b = N
    R, s = [], 0
    for k in range(len(B)):
        s = B[k] + B[-k - 1] + s
        R.append(s % b)
        s //=
    if s:
        R.append(1)
    return (R, b)

Exemple 2.4.12

>>> pi_fct([4, 3, 3, 1, 3], 5)
([2, 0, 2, 0, 3, 1], 5)
>>> pi_fct([1, 3, 2], 5)
([3, 1, 4], 5)
>>> pi_fct([], 5)
[],
# 3 Artifaille du normand

Dans cette section, on donne l'artifaille nécessaire pour comprendre la suite normande en base b associée à un entier.

## 3.1 Opération normande

L'opération normande consiste soit à réduire un entier s'il est réductible soit à calculer le pseudo-palindrome sinon.

**Définition 3.1.1**

L'opération normande en base b est définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par :

$$ \gamma_b(n) := \begin{cases} \rho_b(n) & \text{si } n \in \mathcal{R}_b \\ \pi_b(n) & \text{si } n \in \mathcal{R}_b^0 \end{cases} $$

On a en particulier :

$$ \gamma_b(\bullet) = \pi_b(\bullet) = \bullet. \qquad (74) $$

**Lemme 3.1.2**

Le seul point fixe de $\gamma_b$ est $\bullet$.

*Démonstration.* On a $\gamma_b(\bullet) = \bullet$. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $\gamma_b(n) = n$. On a deux cas.

(1) **Cas** $n \in \mathcal{R}_b$. Donc $n = \gamma_b(n) = \rho_b(n) < n$, ce qui est contradictoire.

(2) **Cas** $n \in \mathcal{R}_b^0$. Donc $n = \gamma_b(n) = \pi_b(n) > n$, ce qui est contradictoire.

D'où le résultat.

## 3.2 Suite normande en base b

En itérant l'opération normande en base b sur un entier, on obtient sa suite normande en base b.

**Définition 3.2.1**

La suite normande associée à n en base b est la suite :

$$ \Gamma_b(n) := (\gamma_b^k(n))_{k \in \mathbb{N}}. $$

On pose pour tout $N \in \mathbb{N}$ :

$$ \Gamma_{N,b}(n) := (\gamma_b^k(n))_{k \in \mathbb{N}} = (\gamma_b^0(n), \dots, \gamma_b^N(n)). \qquad (75) $$

On a alors trois cas possibles pour $\Gamma_b(n)$ avec $n \in \mathbb{N}$.

(Cas I) : La suite $\Gamma_b(n)$ est bornée et converge. Elle converge donc vers $\bullet$ (le seul point fixe de $\gamma_b$).

(Cas II) : La suite $\Gamma_b(n)$ est bornée et diverge. Elle est périodique à partir d'un certain rang.

(Cas III) : La suite $\Gamma_b(n)$ diverge vers $+\infty$.

On en déduit alors ces définitions.
## Définition 3.2.2

Soit $n \in \mathbb{N}_\bullet$.

(i) On dit que $n$ est **normand en base $b$** s'il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que :

$$ \gamma_b^k(n) = \bullet. $$

On note $\mathcal{N}_b$ l'ensemble des entiers normands en base $b$.

(ii) On dit que $n$ est **celte en base $b$** s'il existe $k,l \in \mathbb{N}$ distincts tels que :

$$ \gamma_b^k(n) \neq \bullet \wedge \gamma_b^k(n) = \gamma_b^l(n). $$

On note $\mathcal{C}_b$ l'ensemble des entiers celtes en base $b$.

(iii) On dit que $n$ est **québecois en base $b$** si $n$ n'est ni normand ni celte en base $b$. On note $\mathcal{Q}_b$ l'ensemble des entiers québecois en base $b$.

On a donc :

$$ \mathbb{N}_\bullet = \mathcal{N}_b \sqcup \mathcal{C}_b \sqcup \mathcal{Q}_b. \qquad (76) $$

Pour l'étude statistique par informatique, il pourra être utile de regarder trois choses :

(1) pour un entier normand en base $b$, le nombre d'étapes pour "arriver" à l'entier $\bullet$;

(2) pour un entier celte en base $b$, le nombre d'étapes pour "arriver" au cycle et la longueur du cycle;

(3) pour un entier québecois en base $b$, l'évolution des degrés de la suite $\Gamma_{b,N}(n)$ pour $N$ assez grand id est l'étude de la suite :

$$ (d_b(\gamma_b^k(n)))_{k \in [0,N]}. $$

Pour cela définissons l'identité d'une $\gamma_b$-suite comme étant le nombre de fois où pour passer d'un élément de la suite au suivant, on a appliqué $\pi_b$ ou $\rho_b$.

## Définition 3.2.3

Soit $N \in \mathbb{N}_1$.

(i) On dit qu'une suite fini d'entiers $\mathcal{A} := (a_0, \dots, a_N)$ d'entiers naturels est une **$\gamma_b$-suite** s'il existe $n \in \mathbb{N}$ tel que $\mathcal{A} = \Gamma_{N,b}(n)$.

(ii) Soit une $\gamma_b$-suite $\mathcal{A} := \Gamma_{N,b}(n)$ avec $n \in \mathbb{N}$. Posons :

$$ \lambda_{\rho,b}(\mathcal{A}) := \mathrm{card}\{k \in \mathbb{N}_1^N, \gamma_b^k(n) = \rho_b(\gamma_b^{k-1}(n))\} $$

$$ \lambda_{\pi,b}(\mathcal{A}) := \mathrm{card}\{k \in \mathbb{N}_1^N, \gamma_b^k(n) = \pi_b(\gamma_b^{k-1}(n))\} $$

L'identité de $\mathcal{A}$ en base $b$ est le couple défini par :

$$ \mathrm{Id}_b(\mathcal{A}) := (\lambda_{\rho,b}(\mathcal{A}), \lambda_{\pi,b}(\mathcal{A})). $$

## 3.3 Cas des normands en base $b$

On définit dans cette sous-section les définitions autour des nombres normands en base $b$.

### Définition 3.3.1

Soit $n \in \mathcal{N}_b$.

(i) La **profondeur du rève de $n$ en base $b$** est définie par :

$$ \beta_b(n) := \min\{k \in \mathbb{N}, \gamma_b^k(n) = \bullet\}. $$
(ii) L'identité de $n$ en base $b$ est :

$$ \mathrm{Id}_b(n) := \mathrm{Id}_b(\Gamma_{b,\beta_b(n)}(n)). $$

On notera aussi :

$$ \lambda_{\rho,b}(n) := \lambda_{\rho,b}(\Gamma_{b,\beta_b(n)}(n)) $$

$$ \lambda_{\pi,b}(n) := \lambda_{\pi,b}(\Gamma_{b,\beta_b(n)}(n)). $$

On a alors :

$$ \beta_b(n) = \lambda_{\rho,b}(n) + \lambda_{\pi,b}(n). \qquad (77) $$

### Exemple 3.3.2

Dans l'introduction, on a montré que l'entier $n := 149\,823$ est normand en base 10. On a :

$$ \gamma_{10}(n) = \pi_{10}(149\,823) = 478\,764 $$

$$ \gamma_{10}^{2}(n) = \rho_{10}(478\,764) = 7\,876 $$

$$ \gamma_{10}^{3}(n) = \pi_{10}(7\,876) = 14\,663 $$

$$ \gamma_{10}^{4}(n) = \pi_{10}(14\,663) = 51\,304 $$

$$ \gamma_{10}^{5}(n) = \pi_{10}(51\,304) = 91\,619 $$

$$ \gamma_{10}^{6}(n) = \rho_{10}(91\,619) = \bullet $$

et ainsi :

$$ \lambda_{\rho,10}(n) = 2, \quad \lambda_{\pi,10}(n) = 4, \quad \beta_{10}(n) = 6, \quad \mathrm{Id}_b(n) = (2,4). $$

## 3.4 Cas des celtes en base $b$

On définit dans cette sous-section les définitions autour des nombres celtes en base $b$. La suite normande en base $b$ d'un celte en base $b$ sera séparée en deux sous-suites : le voyage en rêve et le rêve cyclique (le *triskèle*<fnref n="18" />).

### Définition 3.4.1

Soit $n \in \mathcal{C}_b$.

(i) La profondeur du rève de $n$ en base $b$ est définie par :

$$ \beta_b(n) := \min\{k \in \mathbb{N}, \exists l \in \mathbb{N}_{k+1}, \gamma_b^k(n) = \gamma_b^l(n)\}. $$

(ii) La longueur du triskèle de $n$ en base $b$ est définie par :

$$ \beta_b^\dagger(n) := \min\{k \in \mathbb{N}_1, \gamma_b^{\beta_b(n)+k}(n) = \gamma_b^{\beta_b(n)}(n)\}. $$

Le trisk de $n$ en base $b$ est défini par :

$$ \tau_b(n) := \min\{\gamma_b^k(n), k \in \mathbb{N}_{\beta_b(n)}\} $$

et le triskèle de $n$ en base $b$ est défini par :

$$ \mathcal{T}_b(n) := \{\gamma_b^k(n), \beta_b(n) \le k \le \beta_b(n) + \beta_b^\dagger(n) - 1\}. $$

(iii) L'identité de $n$ en base $b$ est :

$$ \mathrm{Id}_b(n) := \left( \mathrm{Id}_b(\Gamma_{b,\beta_b(n)}(n)), \mathrm{Id}_b\left(\Gamma_{b,\beta_b^\dagger(n)}(\gamma^{\beta_b(n)}(n))\right) \right). $$

<footnote n="18">18. ☞ Symbole existant depuis le néolitique, le triskèle est utilisé par les milieux druidiques à la fin du XIXème siècle, il est le symbole des celtes pour ce texte.</footnote>
On pourrait mettre dans un même cadre les nombres normands et celtes en base $b$, en disant qu’un nombre normand est un nombre celte qui arrive sur un triskèle de longeur 1 réduit à •.

Le trisk de $n$ en base $b$ est donc un générateur du triskèle de $n$ en base $b$ :

$$ \mathcal{T}_b(n) = \{\gamma_b^k(\tau_b(n)), 0 \le k \le \beta_b^\dagger(n) - 1\}. \qquad (78) $$

Un cas particulier est quand la profondeur du rêve d'un nombre $n$ celte en base $b$ est nulle. La suite normande associée à $n$ en base $b$ est simplement un triskèle, on appelle ces entiers bretons, un tel triskèle est uniquement déterminé par son plus petit élément id est son trisk en base $b$, d'où les définitions suivantes.

### Exemple 3.4.2

(1) Soit une suite $\mathcal{A} := \Gamma_{N,b}(n)$ avec $n \in \mathbb{N}$ et $N \in \mathbb{N}_1$. On dit que la suite $\mathcal{A}$ est **bretonne en base b** si la suite $\mathcal{A}$ est une suite d'éléments distincts de $\mathbb{N}$ telle que :

$$ \gamma_b^{N+1}(n) = n $$

id est si :

$$ \mathcal{A} = \mathcal{T}_b(n). $$

(a) Dans ce cas, la **longueur de A en base b** est :

$$ \beta_b^\dagger(\mathcal{A}) := N. $$

(b) Dans ce cas, le **trisk de A en base b** est :

$$ \tau_b(\mathcal{A}) := \min\{\gamma_b^k(n), k \in [0, N]\}. $$

(c) Dans ce cas, l'**identité de A en base b** est $\mathrm{Id}_b(\mathcal{A})$.

(2) Soit $n \in \mathcal{C}_b$. On dit que $n$ est **breton en base b** si $\beta_b(n) = 0$ id est il existe $N \in \mathbb{N}_1$ tel que la suite $\Gamma_{N,b}(n)$ soit bretonne en base $b$.

On note $\mathcal{C}_b^\dagger$ l'ensemble des nombres bretons en base $b$. Ainsi la longueur de $n$ en base $b$ est :

$$ \beta_b^\dagger(n) = \beta_b^\dagger(\Gamma_{N,b}(n)) = N $$

le trisk de $n$ en base $b$ est :

$$ \tau_b(n) := \tau_b(\Gamma_{N,b}(n)). $$

et l'identité de $n$ en base $b$ est :

$$ \mathrm{Id}_b(n) := \mathrm{Id}_b(\Gamma_{N,b}(n)). $$

On a donc :

$$ \mathcal{C}_b^\dagger \subset \mathcal{C}_b. \qquad (79) $$

On notera pour tout nombre $n$ celte en base $b$ :

$$ \mathrm{Id}_b^\dagger(n) := \mathrm{Id}_b(\tau_b(n)). \qquad (80) $$

l'identité de son trisk en base $b$.
Exemple 3.4.3

Dans l'introduction, on a montré que l'entier $n := (9 | 8 | 10 | 7 | 8)_{4,11}$ est celte en base 11. On a :

$$
\gamma_{11}(n) = \pi_{11}((9 \mid 8 \mid 10 \mid 7 \mid 8)_{4,11}) = (1 \mid 7 \mid 5 \mid 10 \mid 5 \mid 6)_{5,11}
$$

$$
\gamma_{11}^{2}(n) = \pi_{11}((1 \mid 7 \mid 5 \mid 10 \mid 5 \mid 6)_{5,11}) = (8 \mid 2 \mid 5 \mid 5 \mid 1 \mid 7)_{5,11}
$$

$$
\gamma_{11}^{3}(n) = \pi_{11}((8 \mid 2 \mid 5 \mid 5 \mid 1 \mid 7)_{5,11}) = (1 \mid 4 \mid 3 \mid 10 \mid 10 \mid 4 \mid 4)_{6,11}
$$

$$
\gamma_{11}^{4}(n) = \pi_{11}((1 \mid 4 \mid 3 \mid 10 \mid 10 \mid 4 \mid 4)_{6,11}) = (5 \mid 9 \mid 3 \mid 10 \mid 2 \mid 8 \mid 5)_{6,11}
$$

$$
\gamma_{11}^{5}(n) = \rho_{11}((5 \mid 9 \mid 3 \mid 10 \mid 2 \mid 8 \mid 5)_{6,11}) = (9 \mid 3 \mid 10 \mid 2 \mid 8)_{4,11}
$$

$$
\gamma_{11}^{6}(n) = \pi_{11}((9 \mid 3 \mid 10 \mid 2 \mid 8)_{4,11}) = (1 \mid 6 \mid 6 \mid 9 \mid 6 \mid 6)_{5,11}
$$

$$
\gamma_{11}^{7}(n) = \pi_{11}((1 \mid 6 \mid 6 \mid 9 \mid 6 \mid 6)_{5,11}) = (8 \mid 2 \mid 5 \mid 5 \mid 1 \mid 7)_{5,11} = \gamma_{11}^{2}(n)
$$

et ainsi :

$$
\beta_{11}(n) = 2, \quad \beta_{11}^{\dagger}(n) = 5, \quad \tau_b(n) = (9 \mid 3 \mid 10 \mid 2 \mid 8)_{4,11}, \quad \text{Id}_b(n) = ((0,2), (1,4)).
$$

3.5 Cas des québécois en base b

On définit dans cette sous-section les notions autour des nombres québécois. On commence par un
lemme.

Lemme 3.5.1

Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons que $n$ ne soit ni normand ni celte en base $b$. Alors :

$$
\lim_{k \to \infty} \gamma_b^k(n) = \infty.
$$

Démonstration. Montrons que pour tout $N \in \mathbb{N}$, il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que :

$$
(*) : \quad \forall l \in \mathbb{N}_k, \gamma_b^l(n) > N.
$$

Raisonnons par l'absurde. Supposons qu'il existe $N_0 \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $k \in \mathbb{N}$, il existe $l \in \mathbb{N}_k$ tel que
$\gamma_b^l(n) \le N_0$. On construit alors la suite $(l_i)_{i \in \mathbb{N}}$ suivante par récurrence :

$l_0 \in \mathbb{N}, \gamma_b^{l_0}(n) \le N_0$

$$
l_{i+1} \in \mathbb{N}_{l_i+1}, \gamma_b^{l_{i+1}}(n) \le N_0
$$

Ainsi la suite infinie $(\gamma_b^{l_i}(n))_{i \in \mathbb{N}}$ est une suite de $[0, N_0]$. Par le principe des tiroirs, il existe $i, j \in \mathbb{N}$ distincts tels que $\gamma_b^{l_i}(n) = \gamma_b^{l_j}(n)$. Et ainsi $n$ est celte en base $b$. Ce qui est contradictoire avec l'hypothèse faite sur $n$. Ainsi en passant à la limite sur $N \in \mathbb{N}$ dans $(*)$, on a le résultat. $\square$

Les nombres québécois en base *b* sont donc les nombres dont la suite normande en base *b* diverge vers +∞. Pour ces nombres, il pourra alors être intéréssant de calculer la suite des degrés de sa suite normande en base *b* *id est* la suite :

$$
(d_b(\gamma_b^k(n)))_{k \in \mathbb{N}}. \tag{81}
$$

On a alors les équivalences :

$$
n \in \mathcal{Q}_b \iff \lim_{k \in \mathbb{N}} \gamma_b^k(n) = +\infty \iff \lim_{k \in \mathbb{N}} d_b(\gamma_b^k(n)) = +\infty. \quad (82)
$$

Je n'ai pas réussi à trouver un nombre québécois dans une base *b* donnée. En annexe, on verra de
possibles nombres québécois. A la vue de cette difficulté, on définit une dernière classe d'entiers en
base *b* dans la section suivante, les nombres siciliens.
## 3.6 Cas des siciliens en base $b$

Dans cette sous-section, on définit les nombres siciliens dans une base $b$ qui sont des nombres dont on arrive pas "encore" ou on n'arrivera "jamais" à dire s'ils sont normands, celtes ou québecois dans un base $b$ donnée.

**Définition 3.6.1**

Soit $n \in \mathbb{N}$.

(i) On dit que $n$ est **sicilien en base $b$ d'ordre $N \in \mathbb{N}$** si l'étude de la suite $\Gamma_{b,N}(n)$ ne nous permet pas de dire s'il est normand ou celte en base $b$. On note $\mathcal{S}_b^N$ l'ensemble des entiers siciliens en base $b$ d'ordre $N$.

(ii) On dit que $n$ est **sicilien en base $b$** si le problème de savoir si $n \in \mathcal{N}_b$ ou $n \in \mathcal{C}_b$ ou $n \in \mathcal{Q}_b$ est indécidable. On note $\mathcal{S}_b^\dagger$ l'ensemble des entiers siciliens en base $b$ d'ordre $N$.

Comme il a été dit en fin de sous-section précédente. Je n'ai pas trouvé de nombres québecois dans une base $b$ donnée. Par une étude informatique, en regardant la suite $(d_b(\gamma_b^k(n)))_{k \in \llbracket 0, N \rrbracket}$ associée à un entier $n \in \mathbb{N}$ pour un entier $N$ suffisamment grand (de l'ordre de $10^5$), on trouvera des nombres siciliens d'ordre $N$ qui sont de possibles nombres québecois. Mais rien n'empêche pour de tel nombre d'avoir une suite $(d_b(\gamma_b^k(n)))_{k \in \llbracket 0, N \rrbracket}$ visuellement croissante et de décoitre à partir d'un entier $N'$ très grand devant $N$ vers $\bullet$ ou vers un triskèle.

J'ignore encore plus s'il existe des nombres siciliens en base $b$ id est des nombres pour lesquels la convergence de leurs suites normandes est indécidable.

## 3.7 Artifaille en Python

♣ Le programme `gamma_fct(N)` prend en entrée un entier $N$ de type `IntB` écrit dans une base $b$. Il renvoie $\gamma_b(N)$ de type `IntB` dans la même base $b$.

**Python 3.7.1**

```python
def gamma_fct(N: IntB) -> IntB:
    if est_red(N):
        return rho_fct((N[0][1: -1], N[1]))
    else:
        return pi_fct(N)
```

**Exemple 3.7.2**

```python
>>> gamma_fct([([1, 3, 2], 5)])
([3, 1, 4], 5)
>>> gamma_fct([([4, 3, 1, 3, 3, 4], 5)])
([1, 3], 5)
>>> gamma_fct([[], 5])
[]
```

♣ Le programme `suite_normande(N, VOL, ID, LIST, INF, INF_DEG)` prend en entrée un entier $N$ de type `IntB` écrit dans une base $b$, trois booléens `VOL`, `ID` et `LIST` mis par défaut à `False`, un triplet
d'entiers INF mis par défaut à (10 ** 3, 0, 10) et un triplet d'entiers INF_DEG mis par défaut à (1, 10 ** 3, 100) :

★ N = (B, b) : l'entier de type IntB dont on souhaite calculer la suite normande en base b;

★ VOL : ce paramètre sert pour les nombres normands en base b. S'il vaut False le programme s'arrêtera s'il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $\gamma_b^k(N) = []$, et s'il vaut True le programme s'arrêtera s'il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $d_b(\gamma_b^k(N)) < d_b(N)$.

★ ID : ce paramètre sert à détailler l'identité de N. S'il vaut False le programme renverra simplement l'identité de N et s'il vaut True, il renverra en plus une liste de 0 et de 1 (on met un 0 quand on a utilisé l'application $\rho_b$ et 1 pour l'application $\pi_b$);

★ LIST : pour afficher les détails de la suite normande sous forme d'une liste de décompositions sans préciser la base;

★ INF : c'est un triplet (a, b, c) pour les nombres siciliens avec a la longueur de la suite normande calculée, (b, c) un slice pour l'affichage de la liste si LIST = True

★ INF_DEG : c'est un slice du type (a, b, c) pour afficher la suite des degrés de la suite normande associée à N de a à b-1 avec un pas de c.

Il renvoie un couple de type `Tuple[Unionowi, float], Dict]` la suite normande associée à N avec tous ces détails suivant la valeur des trois booléens (voir les exemples pour plus de détails).

Python 3.7.3

```python
def suite_normande(N, VOL=False, ID=False, LIST=False,
                    INF=(10 ** 4, 0, 10),
                    INF_DEG = (1, 10 ** 4, 1000)) -> Tuple[Unionowi, float], Dict:
    B, b = N
    S = [B]
    t_ID = []
    D = {'b': b}

    for i in range(1, INF[0]):
        if est_red((B, b)):
            B, _ = rho_fct((B[1: -1], b))
            t_ID.append(0)
        else:
            B, _ = pi_fct((B, b))
            t_ID.append(1)
        if B in S:
            l = [S.index(B), i - S.index(B)]
            v_ID, c_ID = t_ID[: S.index(B)], t_ID[S.index(B):]
            D['id'] = {'V': (1[0], (v_ID.count(0), v_ID.count(1))) + ID * (v_ID,)}
            D['id'][ 'C'] = (1[1], (c_ID.count(0), c_ID.count(1))) + ID * (c_ID,)
            D['min_c'] = min(S[S.index(B):], key=lambda x: base_to_int((x, b)))
        if LIST:
            D.update({'V': S[: S.index(B)], 'C': S[S.index(B):]})
            return (False, D)
        elif (VOL and B ==[]) or (not VOL and len(B) < len(N[0])):
            S.append []
            D['id'] = (i, ((t_ID.count(0), t_ID.count(1)))) + ID * (t_ID,)
        if LIST:
            D.update({'S': S})
            return (True, D)
        else:
            S.append(B)
```
```R
D['id'] = (i, (t_ID.count(0), t_ID.count(1)))
if LIST:
    D.update({'V': S[INF[1]: INF[2]], 'inf': INF})
if INF_DEG:
    D['deg'] = (INF_DEG, [len(x) for x in S[slice(*INF_DEG)]])
return (ma.inf, D)
```

### Exemple 3.7.4

(1) Prenons le nombre normand en base 40 :

$$ (0 \mid 22 \mid 36)_{2,40}. $$

On a :

```R
>>> suite_normande([36, 22, 0], 40)
(True, {'b': 40, 'id': (6, (1, 5))})

>>> suite_normande([36, 22, 0], 40), False, True, True
(True, {'b': 24, 'id': (7, (1, 6), [1, 1, 1, 1, 1, 1, 0]), 'S': [[8, 23, 2],
[10, 22, 11], [21, 20, 22], [19, 17, 20, 1], [20, 13, 14, 21],
[17, 4, 4, 18, 1], [18, 22, 8, 22, 18], []}]
```

(2) Prenons le nombre celte en base 40 :

$$ (1 \mid 22 \mid 36)_{2,40}. $$

On a :

```R
>>> suite_normande([36, 22, 1], 40)
(False, {'b': 40, 'id': {'V': (3, (0, 3)), 'C': (5, (1, 4))},
'min_c': [36, 4, 5, 37]})

>>> suite_normande([36, 22, 1], 40), False, True, True
(False, {'b': 40, 'id': {'V': (3, (0, 3), [1, 1, 1]), 'C': (5, (1, 4),
[1, 1, 1, 1, 1, 0])}, 'min_c': [36, 4, 5, 37], 'V': [[36, 22, 1], [37, 4, 38],
[35, 9, 35, 1]], 'C': [[36, 4, 5, 37], [33, 10, 9, 33, 1], [34, 3, 19, 3, 35],
[29, 7, 38, 6, 29, 1], [30, 36, 4, 5, 37, 30]]})
```

(3) Prenons le nombre celte en base 24 :

$$ (3 \mid 23 \mid 8)_{2,24}. $$

On a :

```R
>>> suite_normande([8, 23, 3], 24), True, True, True
(False, {'b': 24, 'id': {'V': (5, (1, 4), [1, 1, 1, 1, 0]), 'C': (9, (1, 8),
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0])}, 'min_c': [21, 16, 22], 'V': [[8, 23, 3],
[11, 22, 12], [23, 20, 0, 1], [0, 21, 20, 0, 1], [1, 21, 16, 22, 1]],
'C': [[21, 16, 22], [19, 9, 20, 1], [20, 5, 6, 21], [17, 12, 11, 17, 1],
[18, 5, 23, 5, 19], [13, 11, 22, 11, 13, 1], [14, 0, 10, 10, 1, 15],
[5, 2, 20, 20, 1, 5, 1], [6, 7, 21, 16, 22, 7, 6]])
```

(4) Prenons le nombre sicilien en base 66 :

$$ (64 \mid 34 \mid 0)_{2,66}. $$

On a :
>>> suite_normande([0, 34, 64], 66)
(inf, {'b': 66, 'id': (999, (0, 999)), 'deg': ((1, 1000, 100),
[3, 53, 103, 153, 203, 253, 303, 353, 403, 453])})

>>> suite_normande([0, 34, 64], 66, True, True, True)
(inf, {'b': 66, 'id': (999, (0, 999)), 'V': [[0, 34, 64], [64, 2, 65],
[63, 5, 63, 1], [64, 2, 3, 65], [63, 6, 5, 63, 1], [64, 3, 11, 3, 65],
[63, 7, 22, 6, 63, 1], [64, 4, 29, 28, 4, 65], [63, 9, 57, 57, 8, 63, 1],
[64, 6, 0, 49, 0, 7, 65]], 'inf': (1000, 0, 10), 'deg': ((1, 1000, 100),
[3, 53, 103, 153, 203, 253, 303, 353, 403, 453]))

>>> suite_normande([0, 34, 64], 66, True, True, True, (10 ** 3, 0, 10),
(1, 10 ** 3, 100))
(inf, {'b': 66, 'id': (999, (0, 999)), 'V': [[0, 34, 64], [64, 2, 65],
[63, 5, 63, 1], [64, 2, 3, 65], [63, 6, 5, 63, 1], [64, 3, 11, 3, 65],
[63, 7, 22, 6, 63, 1], [64, 4, 29, 28, 4, 65], [63, 9, 57, 57, 8, 63, 1],
[64, 6, 0, 49, 0, 7, 65]], 'inf': (1000, 0, 10), 'deg': ((1, 1000, 100),
[3, 53, 103, 153, 203, 253, 303, 353, 403, 453]))
# 4 Stratégies de groupes

Les entiers pour vérifier s'ils sont normands, celtes ou québécois dans une certaine base ont commencé à faire des mathématiques plus poussées. Ils se rendent compte qu'ils peuvent se regrouper par petits groupes que ces mêmes petits groupes forment de plus grands groupes. L'idée est que si un élément du groupe est normand dans une certaine base tous les autres le seront automatiquement.

## 4.1 Profondeur du rêve

Dans la conjecture de Syracuse, il est défini le temps de vol d'un entier comme le premier temps où la suite de Syracuse associée à cet entier a un élément strictement inférieur à l'entier de départ. Ici nous pouvons définir l'équivalent du "temps de vol" associé à un entier. On a alors deux possiblités : soit comme le premier moment où sa suite normande a un entier strictement plus petit que l'entier de départ, comme le premier moment où sa suite normande a un entier de degré strictement plus petit que l'entier de départ.

### Définition 4.1.1

Soit $n \in \mathbb{N}$.

(i) (a) Le **voyage en base b de n** est l'ensemble :

$$ \mathcal{V}_b(n) := \{k \in \mathbb{N}, \gamma_b^k(n) \geq n\} \subset \mathbb{N}. $$

(b) On dit que $n$ a un **voyage fini en base b** si $\mathcal{V}_b(n) \neq \mathbb{N}$ id est il existe $k \in \mathbb{N}_1$ tel que :

$$ \gamma_b^k(n) < n. $$

On note alors :

$$ \omega_b(n) := \min\{k \in \mathbb{N}_1, \gamma_b^k(n) < n\} $$

et $\mathcal{V}_b$ l'ensemble des entiers ayant un voyage fini en base b.

(ii) (a) Le **voyage en degré en base b de n** est l'ensemble :

$$ \mathcal{V}_b^{\dagger}(n) := \{k \in \mathbb{N}, d_b(\gamma_b^k(n)) \geq d_b(n)\} \subset \mathbb{N}. $$

(b) On dit que $n$ a un **voyage fini en degré en base b** si $\mathcal{V}_b^{\dagger}(n) \neq \mathbb{N}$ id est 'il existe $k \in \mathbb{N}_1$ tel que :

$$ d_b(\gamma_b^k(n)) < d_b(n). $$

On note alors :

$$ \omega_b^{\dagger}(n) := \min\{k \in \mathbb{N}_1, d_b(\gamma_b^k(n)) < d_b(n)\} $$

et $\mathcal{V}_b^{\dagger}$ l'ensemble des entiers ayant un voyage en degré fini en base b.

## 4.2 Opération elingard

La notion d'elingard<fnref n="19" /> pour les nombres non réductibles nous servira pour la sous-section suivante.

<footnote n="19">19. Fluet, mince et grand.</footnote>
Définition 4.2.1

Soit $n, m \in \mathbb{R}_b^0$.

(i) On dit que $n$ est l'elingard en base $b$ associé à $m$ s'il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $n = \pi_b^k(m)$ et si :

$$
\begin{gather*}
d_b(n) = d_b(m) \\
d_b(\pi_b(n)) = d_b(m) + 1 \\
\forall l \in [1, k+1], \pi_b^l(m) \in \mathcal{R}_b^0
\end{gather*}
$$

L'entier $k$ vérifiant ces relations est appelé le **dégradé de $m$ en base $b$**, noté $dg_b(m)$ :

On pose :

$$
\epsilon_b(m) := n.
$$

On note alors $\mathscr{E}_b$ l'ensemble des entiers admettant un elingard en base $b$.

(ii) On dit que $n$ est **elingard en base $b$** si $dg_b(n) = 0$ id est $d_b(\pi_b(n)) = d_b(n) + 1$. On note alors $\mathscr{E}_b^\dagger$ l'ensemble des elingards en base $b$.

En particulier, on a pour tout $m \in \mathscr{E}$ :

$$
\epsilon_b(m) \in \mathcal{R}_b^0. \tag{83}
$$

La condition $\pi_b^{k+1}(m) \in \mathbb{R}_b^0$ id est $\pi_b(n) \in \mathbb{R}_b^0$ dans le point (i) permet d'enlever les nombres du type :

$$
n := (b-1 | \cdots | 2)_{d,b} \tag{84}
$$

avec $b \neq 3$ et $d \in \mathbb{N}_2^{20}$. Comme $\pi_b(n) = (1 | \cdots | 1)_{d+1,b}$, ainsi $\pi_b(n)$ est réductible.

On a donc pour tout $n \in \mathscr{E}_b$ :

$$
\operatorname{dg}_b(n) = \max \left\{ k \in \mathbb{N} \mid \operatorname{d}_b(\pi_b^k(n)) = \operatorname{d}_b(n) \wedge \operatorname{d}_b(\pi_b^{k+1}(n)) = \operatorname{d}_b(n) + 1 \wedge \forall l \in [0, k+1] \wedge \pi_b^l(n) \notin \mathcal{R}_b \right\}. \tag{85}
$$

et pour tout $n \in \mathscr{E}_b^\dagger$ :

$$
\epsilon_b(n) = n. \tag{86}
$$

Exemple 4.2.2

(1) Prenons $n := 172 \in \mathbb{R}_{10}^0$. On a :

$$
\pi_{10}^2((1 \mid 7 \mid 2)_{2,10}) = \pi_b((4 \mid 4 \mid 3)_{2,10}) = (7 \mid 8 \mid 7)_{2,10} \in \mathbb{R}_{10}
$$

id est $n \in \mathbb{R}_{10}^0 - \mathscr{E}_{10}$.

(2) Prenons $n := 192 \in \mathbb{R}_{10}^0$. On a :

$$
\pi_{10}^2((1 | 9 | 2)_{2,10}) = \pi_{10}((4 | 8 | 3)_{2,10}) = (8 | 6 | 7)_{2,10}
$$

$$
\pi_{10}((8 | 6 | 7)_{2,10}) = (1 | 6 | 3 | 5)_{3,10}
$$

id est $n \in \mathscr{E}_{10}$ et donc 867 est l'elingard de $n$ en base 10 (donc 867 $\in \mathscr{E}_{10}^\dagger$) et :

$$
\mathrm{dg}_{10}(n) = 2.
$$

(3) Soit $n := (2 | 2^k - 1 | 1)_{2,2^k}$ avec $k \in \mathbb{N}_3$. On a :

$$
\pi_{2^k}(n) = (4 | 2^k - 2 | 3)_{2,2^k} = (2^{1+1} | 2^k - 2^1 | 2^{1+1} - 1)_{2,2^k}
$$

<footnote n="20">20. On a exlu le cas $b := 3$ car on a dans ce cas $n := (2 | \cdots | 2)_{d,3}$ qui n'est pas elingard en base 3 car réductible en base 3.</footnote>
$$
\begin{align*}
\pi_{2^k}^2(n) &= (8 \mid 2^k - 4 \mid 7)_{2,2^k} = (2^{2+1} \mid 2^k - 2^2 \mid 2^{2+1} - 1)_{2,2^k} \\
&\vdots
\end{align*}
$$

et donc par récurrence simple finie, on a pour tout $l \in [0, k-2]$ :

$$
\pi_{2^k}^l(n) = (2^{l+1} | 2^k - 2^l | 2^{l+1} - 1)_{2,2^k}.
$$

En particulier, on a :

$$
\pi_{2^k}^{k-2}(n) = (2^{k-1} | 3 \cdot 2^{k-2} | 2^{k-1} - 1)_{2,2^k}
$$

Et ainsi on a :

$$
\pi_{2^k}^{k-1}(n) = (1 \mid 0 \mid 2^{k-1} \mid 2^k - 1)_{3,2^k} \in \mathcal{R}_{2^k}, \quad \mathrm{dg}_{2^k}(n) = k - 2.
$$

Définition 4.2.3

L'opération elingard en base b est l'application ε_b qui à tout n ∈ E_b associe ε_b(n).

On a la propriété suivante.

Proposition 4.2.4

Soit $n \in \mathscr{E}_b$ de degré $d$ et $k \in \mathbb{N}_1$. Posons $u := [n]_0 + [n]_d$. On a équivalence entre :

$$
\mathrm{dg}_b(n) = k \iff 2^{k-1}(u+1) + 1 \le b \le 2^k(u+1) + q_b(\sigma(\pi_b^k(n), \mu_b(\pi_b^k(n)))_{d,b}) - 1.
$$

Démonstration. (i) Supposons $dg_b(n) = k$. Montrons par récurrence finie sur $l \in [1, k]$ :

$$
(\mathcal{P}_l) : \pi_b^l(n) = (2^{l-1}(u+1) \mid \cdots \mid 2^{l-1}(u+1)-1)_{d,b}.
$$

(I) Comme $\pi_b^1(n) \in \mathcal{R}_b^0$, on a nécéssairement $\pi_b^1(n) = (u+1 | \cdots | u)_{d,b}$ (on remarque que $u+1 < b$ car sinon $dg_b(n) = k = 0$, et $[\pi_b^1(n)]_{d,b} = u+1$ car si $[\pi_b^1(n)]_{d,b} = u$ alors $u \in \mathcal{R}_b$). Donc $(\mathcal{P}_1)$ est vraie.

(II) Soit $l \in [1, k-1]$. Supposons $(\mathcal{P}_l)$ vraie. On a donc :

$$
\begin{align*}
\pi_b^{l+1}(n) &= \pi_b((2^{l-1}(u+1) | \dots | 2^{l-1}(u+1)-1)_{d,b}) \\
&= (2^{l-1}(u+1) + 2^{l-1}(u+1)-1+1 | \dots | 2^{l-1}(u+1) + 2^{l-1}(u+1)-1)_{d,b} \\
&= (2^l(u+1) | \dots | 2^l(u+1)-1)_{d,b}
\end{align*}
$$

Donc $(\mathcal{P}_{l+1})$ est vraie.

(III) Par récurrence finie, $(\mathcal{P}_l)$ est vraie pour tout $l \in [1, k]$.

Donc on a en particulier :

$$
\pi_b^k(n) = (2^{k-1}(u+1) \mid \dots \mid 2^{k-1}(u+1) - 1)_{d,b}
$$

et ainsi $2^{k-1}(u+1) \le b-1$ id est :

$$
b \ge 2^{k-1}(u+1) + 1.
$$

Comme $dg_b(n) = k$, on doit avoir :

$$
2^{k-1}(u+1) + 2^{k-1}(u+1) - 1 + q_b(\sigma(\pi_b^k(n), \mu_b(\pi_b^k(n)))_{d,b}) \geq b
$$

id est :

$$
b \le 2^k(u+1) + q_b(\sigma(\pi_b^k(n), \mu_b(\pi_b^k(n)))_{d,b}) - 1.
$$
(ii) Supposons $2^{k-1}(u+1) + 1 \le b \le 2^k(u+1) + q_b(\sigma(\pi_b^k(n), \mu_b(\pi_b^k(n))_{d,b}) - 1$. Par le raisonnement précédent et comme $2^{k-1}(u+1) \le b-1$, on a donc :

$$ \pi_b^k(n) = (2^{k-1}(u+1) | \dots | 2^{k-1}(u+1) - 1)_{d,b} $$

et donc $dg_b(n) \ge k$. Comme $2^k(u+1) + q_b(\sigma(\pi_b^k(n), \mu_b(\pi_b^k(n))_{d,b}) - 1 \ge b$, on a :

$$ \pi_b^{k+1}(n) = (1 | r_b(2^k(u+1) + q_b(\sigma(\pi_b^k(n), \mu_b(\pi_b^k(n))_{d,b}) - 1) | \dots | r_b(2^k(u+1) - 1))_{d+1,b}. $$

Ainsi $dg_b(n) = k$.

□

## 4.3 Opérations duc et duc elingard

Le duc associé à un entier non réducible en base $b$ peut être vu comme l'entier ayant le même pseudo-palindrome en base $b$ mais avec les chiffres à gauche ayant les valeurs les plus grandes possibles vis à vis de leurs chiffres miroirs à droite. Le coeur de cette définition est le point (ii) de la proposition 2.3.3.

### Définition 4.3.1

Soit $n \in \mathbb{N}_1$ de degré $d := d_b(n) = 2d' - \delta$ avec $\delta \in \{0, 1\}$ et $d \in \mathbb{N}$. Le duc associé à $n$ en base $b$ est l'entier $\kappa_b(n)$ de degré inférieur à $d$ défini pour tout $k \in [0, d' - 1]$ par :

$$ \begin{aligned} [\kappa_b(n)]_{d-k,b} &:= \min\{[n]_{k,b} + [n]_{d-k,b}, b-1\} \\ [\kappa_b(n)]_{k,b} &:= \max\{[n]_{k,b} + [n]_{d-k,b} - b + 1, 0\} \end{aligned} $$

et si $\delta = 0$ :

$$ [\kappa_b(n)]_{d',b} := [n]_{d',b}. $$

On a pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$$ \kappa_b(n) = n \iff n \in \mathcal{B}_b. \qquad (87) $$

en particulier :

$$ \kappa_b(0) = 0. \qquad (88) $$

Commençons par un lemme qui justifie la notation.

### Lemme 4.3.2

Soit $n \in \mathbb{N}$.

(i) Supposons que $[n]_{0,b} + [n]_{d(n),b} \ll [1, 2b - 3]$ et $d_b(n) \in \mathbb{N}_1$. Alors $\kappa_b(n) \in \mathcal{R}_b^0$. En particulier si $n \in \mathcal{R}_b^0$ alors $\kappa_b(n) \in \mathcal{R}_b^0$.

(ii) On a :

$$ d_b(\kappa_b(n)) = d_b(n). $$

(iii) On a :

$$ \pi_b(\kappa_b(n)) = \pi_b(n). $$

*Démonstration.* Posons $d := d_b(n) = 2d' - \delta$ avec $\delta \in \{0, 1\}$.

(i) Montrons que $[\kappa_b(n)]_{d,b} \neq [\kappa_b(n)]_{0,b}$. Comme :

$$ [\kappa_b(n)]_{0,b} = \max\{[n]_{0,b} + [n]_{d,b} - b + 1, 0\} \le \max\{2b - 3 - b + 1, 0\} = b - 2 $$

on a :

$$ [\kappa_b(n)]_{d,b} = \min\{[n]_{0,b} + [n]_{d,b}, b - 1\} \ge b - 1 > [\kappa_b(n)]_{0,b}. $$

D'où le résultat.
(ii) Par définition, on a $d_b(\kappa_b(n)) \le d_b(n)$. On a deux cas.

(1) **Cas $n=0$**. On a $\kappa_b(0) = \kappa_b(0) = 0$ (donc ils ont en particulier le même degré).

(2) **Cas $n \neq 0$**. Comme $n > 0$, on a $[n]_d > 0$ et ainsi :

$$[\kappa_b(n)]_d = \min\{[n]_{0,b} + [n]_{d,b}, b-1\} \ge [n]_{0,b} + [n]_{d,b} \ge [n]_{d,b} > 0.$$

D'où le résultat dans ce cas aussi.

(iii) Comme pour tous $x, y \in \mathbb{N}$ :

$$\min\{x, y\} = \frac{x+y}{2} - \frac{|x-y|}{2} \quad , \quad \max\{x, y\} = \frac{x+y}{2} + \frac{|x-y|}{2}$$

on a donc pour tout $k \in [0, d' - 1]$ :

$$\begin{align*}
& [\kappa_b(n)]_{k,b} + [\kappa_b(n)]_{d-k,b} \\
&= \max\{[n]_{k,b} + [n]_{d-k,b} - b + 1, 0\} + \min\{[n]_{k,b} + [n]_{d-k,b}, b-1\} \\
&= \frac{[n]_{k,b} + [n]_{d-k,b} - b + 1}{2} + \frac{|[n]_{k,b} + [n]_{d-k,b} - b + 1|}{2} + \frac{[n]_{k,b} + [n]_{d-k,b} + b - 1}{2} - \frac{|[n]_{k,b} + [n]_{d-k,b} - b + 1|}{2} \\
&= [n]_{k,b} + [n]_{d-k,b}
\end{align*}$$

□

La réciproque du point (i) est fausse car par exemple :

$$(1 \mid 1)_{1,3} \in \mathbb{R}_3 \wedge \pi_3((1 \mid 1)_{1,3}) = (2 \mid 0)_{1,3} \in \mathbb{R}_3^0. \qquad (89)$$

En particulier, on a pour tout :

$$[\pi_b, \mathbb{N}_\bullet] \triangleright \{\kappa_b(n)\} = [\pi_b, \mathbb{N}_\bullet] \triangleright \{n\}. \qquad (90)$$

Ainsi $\kappa_b(n)$ est un représentant privilégié de la classe $[\pi_b, \mathbb{N}_\bullet] \triangleright \{n\}$ associée à $n$.

### Définition 4.3.3

L'opération duc en base $b$ est l'application $\kappa_b$ qui à $n \in \mathbb{N}$ associe $\kappa_b(n)$.

### Exemple 4.3.4

On a :

$$\kappa_6((3 \mid 3 \mid 4 \mid 4 \mid 2)_{4,6}) = (5 \mid 5 \mid 4 \mid 2 \mid 0)_{4,6}$$

$$\kappa_6((5 \mid 5 \mid 2 \mid 0)_{3,6}) = (5 \mid 5 \mid 2 \mid 0)_{3,6}$$

On se restreint maintenant aux entiers non réductibles.

### Définition 4.3.5

Soit $n \in \mathbb{R}_b^0$. On dit que $n$ est un **duc en base $b$** si $\kappa_b(n) = n$. On note $\mathcal{D}_b$ l'ensemble des ducs en base $b$.

L'application $\kappa_b$ induit une application de $\mathbb{R}_b^0$ dans $\mathcal{D}_b$.

On définit deux ensembles auxiliaires :

$$\mathcal{A}_b := \{ (\min\{j, b-1\}, \max\{0, j-b+1\}), j \in [0, 2b-2] \} \qquad (91)$$

$$\mathcal{A}'_b := \{ (\min\{j, b-1\}, \max\{0, j-b+1\}), j \in [0, 2b-3] \} \qquad (92)$$
On a alors pour tout $d \in \mathbb{N}_1$ (cela dépend de la parité de $d$) :

$$ \mathcal{D}_{(0),b} = \emptyset \qquad (93) $$

$$ \mathcal{D}_{(2d),b} = \{ (a_{2d} | \cdots | a_0)_{2d,b}, a_d \in \mathcal{B}_b \wedge (a_0, a_{2d}) \in \mathcal{A}_b' \wedge \forall i \in [1, d-1], (a_i, a_{2d-i}) \in \mathcal{A}_b \} \quad (94) $$

$$ \mathcal{D}_{(2d-1),b} = \{ (a_{2d-1} | \cdots | a_0)_{2d-1,b}, (a_0, a_{2d-1}) \in \mathcal{A}_b' \wedge \forall i \in [1, d-1], (a_i, a_{2d-1-i}) \in \mathcal{A}_b \} \quad (95) $$

On peut alors calculer les cardinaux de $\mathcal{D}_{(d),b}$ en dénombrant.

### Proposition 4.3.6

Soit $d \in \mathbb{N}_1$. On a :

$$ \mathrm{card}(\mathcal{D}_{(d),b}) = 2(b-1)b^{r_2(d+1)}(2b-1)^{q_2(d)-1}. $$

*Démonstration.* On remarque d'abord que :

$$ \mathrm{card}(\mathcal{A}_b) = 2b - 1 $$

$$ \mathrm{card}(\mathcal{A}_b') = 2b - 2. $$

On a deux cas.

(1) Cas $d := 2d' (d' \in \mathbb{N}_1)$. On a donc :

$$ \begin{aligned} \mathrm{card}(\mathcal{D}_{(d),b}) &= \mathrm{card}(\mathcal{B}_b) \mathrm{card}(\mathcal{A}_b') \mathrm{card}(\mathcal{A}_b)^{d'-1} \\ &= 2(b-1)b(2b-1)^{d'-1} \\ &= 2(b-1)b^{r_2(d+1)}(2b-1)^{q_2(d)-1}. \end{aligned} $$

(2) Cas $d := 2d' - 1 (d' \in \mathbb{N}_1)$. On a donc :

$$ \begin{aligned} \mathrm{card}(\mathcal{D}_{(d),b}) &= \mathrm{card}(\mathcal{A}_b') \mathrm{card}(\mathcal{A}_b)^{d'-1} \\ &= 2(b-1)(2b-1)^{d'-1} \\ &= 2(b-1)b^{r_2(d+1)}(2b-1)^{q_2(d)-1} \end{aligned} $$

□

### Exemple 4.3.7

Par l'exemple 4.9.31, on a :

$$ \mathrm{card}(\mathcal{D}_{4,10}) = 3420 = 2 \times 9 \times 10^1 \times 19^1. $$

### Définition 4.3.8

(i) Soit $n \in \mathcal{R}_b^0$. On dit que $n$ est un **duc elingard en base $b$** si $n$ est elingard en base $b$ et un duc en base $b$. On note $\mathcal{D}_b^\dagger$ l'ensemble des ducs elingards en base $b$.

(ii) L'**opération duc elingard en base $b$** est l'application $\kappa_b^\dagger$ définie pour tout $n \in \mathcal{E}_b$ par :

$$ \kappa_b^\dagger(n) := \kappa_b(\varepsilon_b(n)(n)). $$

Donc on a :

$$ \mathcal{D}_b^\dagger = \mathcal{D}_b \cap \mathcal{E}_b^\dagger. \qquad (96) $$

Ainsi l'application $\kappa_b^\dagger$ est une application de $\mathcal{E}_b$ dans $\mathcal{D}_b^\dagger$ et l'application $\kappa_b$ induit une application de $\mathcal{E}_b$ dans $\mathcal{D}_b^\dagger$.
## 4.4 Ensemble des ducs quasi-elingards

Je n'ai pas trouvé de critère simple pour les ducs elingards en base $b$ qui permettent d'en faire la liste rapidement en informatique. Cette sous-section est surtout pour la programation. On va définir un ensemble contenant les ducs elingards avec très peu d'éléments supplémentaires. C'est l'objet de cette sous-section. Commençons par un exemple.

### Exemple 4.4.1

Dans l'exemple 4.9.31, on a trouvé les cardinaux suivants :

$$ \mathrm{card}(\mathcal{B}_{4,10}) = 90\,000 $$

$$ \mathrm{card}(\mathcal{R}_{4,10}^0) = 81\,000 $$

$$ \mathrm{card}(\mathcal{E}_{4,10}^\dagger) = 36\,500 $$

$$ \mathrm{card}(\mathcal{D}_{4,10}) = 3\,450 $$

$$ \mathrm{card}(\mathcal{D}_{4,10}^\dagger) = 1\,425 $$

Le cardinal des ducs quasi-elingards de degré 4 en base 10 est

$$ \mathrm{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{4,10}) = 1\,520. $$

On s'apperçoit qu'il est légèrement supérieur à celui des ducs elingards. D'où l'intérêt de ce nouvel ensemble.

On définit maintenant l'ensemble des ducs quasi-elingards.

### Définition 4.4.2

On définit pour tout $d \in \mathbb{N}$, l'ensemble $\tilde{\mathcal{D}}_{(d),b}$ des ducs quasi-elingards de degré $d$ en base $b$. Pour cela, on définit deux ensembles auxiliaires :

$$ \begin{aligned} \mathcal{A}_b &= \{ (\min\{j, b-1\}, \max\{0, j-b+1\}), j \in \llbracket 0, 2b-2 \rrbracket \} \\ \mathcal{A}_b'' &= \{ (\min\{j, b-1\}, \max\{0, j-b+1\}), j \in \llbracket b-1, 2b-3 \rrbracket \wedge j-b+1 \neq 2 \} \end{aligned} $$

On a alors pour tout $d \in \mathbb{N}$ (cela dépend de la parité de $d$) :

$$ \begin{aligned} \tilde{\mathcal{D}}_{(0),b} &:= \emptyset \\ \tilde{\mathcal{D}}_{(2d),b} &:= \{ (a_{2d} | \cdots | a_0)_{2d,b}, a_d \in \mathcal{B}_b \wedge (a_0, a_{2d}) \in \mathcal{A}_b'' \wedge \forall i \in \llbracket 1, d-1 \rrbracket, (a_i, a_{2d-i}) \in \mathcal{A}_b \} \\ \tilde{\mathcal{D}}_{(2d-1),b} &:= \{ (a_{2d-1} | \cdots | a_0)_{2d-1,b}, (a_0, a_{2d-1}) \in \mathcal{A}_b'' \wedge \forall i \in \llbracket 1, d-1 \rrbracket, (a_i, a_{2d-i}) \in \mathcal{A}_b \} \end{aligned} $$

Un autre avantage de cet ensemble est que son cardinal est facile à calculer. En reprenant la preuve de la proposition 4.3.6, on a pour tout $d \in \mathbb{N}_1$ :

$$ \mathrm{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{(d),b}) = (b-2)b^{r_2(d+1)}(2b-1)^{q_2(d)-1}. \qquad (97) $$

On voit aussi que les éléments $n$ de $\mathcal{D}_{(d),b}$ que l'on a enlevés pour construire $\tilde{\mathcal{D}}_{(d),b}$ ne sont pas elingard en base $b$ car ils sont tels que $[n]_{0,b} + [n]_{d,b} < b-1$ et ainsi $d_b(\pi_b(n)) = d_b(n)$. Ainsi on a :

$$ \mathcal{D}_{(d),b}^{\dagger} \subset \tilde{\mathcal{D}}_{(d),b} \subset \mathcal{D}_{(d),b}. \qquad (98) $$

On a donc en particulier :

$$ \mathcal{D}_{(d),b}^{\dagger} = \mathcal{D}_{(d),b} \cap \mathcal{E}_{(d),b}^{\dagger} = \tilde{\mathcal{D}}_{(d),b} \cap \mathcal{E}_{(d),b}^{\dagger}. \qquad (99) $$
Exemple 4.4.3

(1) Par l'exemple 4.9.31, on a :

$$
\mathrm{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{(4),10}) = 1520 = 8 \times 10^1 \times 19^1.
$$

(2) On a :

$$
\tilde{\mathcal{D}}_{(1),b} = \{(a \mid a')_{1,b}, (a, a') \in \mathcal{A}'_b\}
$$

$$
\tilde{\mathcal{D}}_{(2),b} = \{(a \mid a' \mid a'')_{2,b}, (a, a'') \in \mathcal{A}'_b, a' \in \mathcal{B}_d\}
$$

(3) Pour $b:= 5$, on a :

$$
\mathcal{A}_5 = \{ (\min\{j, 4\}, \max\{0, j-4\}), j \in [0, 7] \}
$$

$$
= \{(0,0), (1,0), (2,0), (3,0), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3)\}
$$

$$
\mathcal{A}'_5 = \{(\min\{j, 4\}, \max\{0, j-4\}), j \in [4, 8] \wedge j \neq 6\}
$$

$$
= \{(4,0), (4,1), (4,3)\}
$$

et donc on a :

$$
\tilde{\mathcal{D}}_{(1),5} = \{(4 \mid 0)_{1,b}, (4 \mid 1)_{1,b}, (4 \mid 3)_{1,b}, \}
$$

$$
\begin{align*}
\tilde{\mathcal{D}}_{(2),5} = {}& \{(4 \mid 0 \mid 0)_{2,b}, (4 \mid 1 \mid 0)_{2,b}, (4 \mid 2 \mid 0)_{2,b}, (4 \mid 3 \mid 0)_{2,b} \\
& \qquad (4 \mid 4 \mid 0)_{2,b}, \\
& \qquad (4 \mid 0 \mid 1)_{2,b}, (4 \mid 1 \mid 1)_{2,b}, (4 \mid 2 \mid 1)_{2,b}, (4 \mid 3 \mid 1)_{2,b} \\
& \qquad (4 \mid 4 \mid 1)_{2,b}, \\
& \qquad (4 \mid 0 \mid 3)_{2,b}, (4 \mid 1 \mid 3)_{2,b}, (4 \mid 2 \mid 3)_{2,b}, (4 \mid 3 \mid 3)_{2,b} \\
& \qquad (4 \mid 4 \mid 3)_{2,b}\}
\end{align*}
$$

Comme $\mathcal{D}_{(2),5}^{\dagger}$ est un sous-ensemble de $\tilde{\mathcal{D}}_{(2),5}$, il suffit de regarder ceux qui sont elingards en base 5. On a :

$$
\begin{align*}
\mathcal{D}_{(2),5}^{\dagger} = {}& \{(4 \mid 3 \mid 0)_{2,b} (4 \mid 4 \mid 0)_{2,b}, (4 \mid 0 \mid 1)_{2,b}, (4 \mid 1 \mid 1)_{2,b}, (4 \mid 2 \mid 1)_{2,b}, \\
& \qquad (4 \mid 3 \mid 1)_{2,b}, (4 \mid 4 \mid 1)_{2,b}, (4 \mid 0 \mid 3)_{2,b}, (4 \mid 1 \mid 3)_{2,b}, (4 \mid 2 \mid 3)_{2,b}, \\
& \qquad (4 \mid 3 \mid 3)_{2,b}, (4 \mid 4 \mid 3)_{2,b}\}
\end{align*}
$$

4.5 Opérations riboutines

Le duc elingard associé à un entier non réductible en base $b$ est le plus grand dans un sens qu’on a définit dans la sous-section précédente mais il n’est pas aussi grand qu’on le voudrait : plusieurs ducs elingards peuvent avoir la même valeur par $\gamma_b^k$ avec le degré qui augmente au plus de 1. Le *riboutin*<fnref n="21" /> sera mieux. Commençons par un exemple.

Exemple 4.5.1

Regardons les entiers ducs elingards en base 4 :

$$
m := (3 \mid 2 \mid 0 \mid 1)_{3,4} = 225, \quad n := (3 \mid 3 \mid 2 \mid 1)_{3,4} = 245.
$$

On a :

$$
\gamma_4(m) = \pi_4(m) = (1 \mid 0 \mid 2 \mid 3 \mid 0)_{4,4}
$$

$$
\gamma_4(m) = \pi_4(n) = (1 \mid 1 \mid 2 \mid 2 \mid 0)_{4,4}
$$

<footnote n="21">21. Roitelet, petit passereau de nos campagnes normandes à tête jaune et huppe orange, le mot est sans doute issu du mot latin *rex* (roi).</footnote>
$$
\gamma_4^2(m) = \pi_4^2(m) = \pi_4^2(n) = (2 \mid 0 \mid 0 \mid 3 \mid 1)_{4,4}
$$

On voit donc que $\gamma_4^2(m) = \gamma_4^2(n)$. A priori si tout se passe bien pour $m$ tout se passera bien pour $n$.

On en déduit alors un sous-ensemble des elingards en base $b$ : les riboutins en base $b$.

Définition 4.5.2

Soit $n \in \mathcal{D}_{(d),b}^{\dagger}$ (donc $d \in \mathbb{N}_1$) et $k \in \mathbb{N}$.

(i) Le tin d'ordre k en base b de n est :

$$
t_b^k(n) := \max \{ l \in \mathbb{N} \mid d_b(\pi_b^l(n)) \le d_b(n) + k \}.
$$

(ii) On dit que $n$ est un **boutin d'ordre $k$ en base $b$** ou **est boutin d'ordre $k$ en base $b$**
si :

$$
\forall l \in [1, t_b^k(n)], \pi_b^l(n) \in \mathcal{R}_b^0.
$$

On note $\tilde{\mathfrak{R}}_{(d),b}^k$ l'ensemble des boutins d'ordre $k$ et de degré $d$ en base $b$.

(iii) Supposons que $n \in \tilde{\mathfrak{R}}_{(d),b}^k$.

(a) Le **riboutin d'ordre k en base b associé à n** est :

$$
\Psi_b^k(n) := \max \left\{ m \in \tilde{\mathfrak{R}}_{(d),b}^k, \pi_b^{t_b^k(m)}(m) = \pi_b^{t_b^k(n)}(n) \right\}.
$$

(b) On dit que $n$ est un **riboutin d'ordre $k$ en base $b$** ou **est riboutin d'ordre $k$ en base $b$** si $\Psi_b^k(n) = n$.

On note $\mathfrak{R}_{(d),b}^k$ l'ensemble des riboutins d'ordre $k$ et de degré $d$ en base $b$.

On remarque que dans les points (ii) et (iii), on peut remplacer la fonction $\pi_b$ par $\gamma_b$ mais pas dans
le point (i).

On pose :

$$
\tilde{\mathfrak{R}}_b^k := \bigsqcup_{d \in \mathbb{N}_1} \tilde{\mathfrak{R}}_{(d),b}^k \qquad (100)
$$

$$
\mathfrak{R}_b^k := \bigsqcup_{d \in \mathbb{N}_1} \mathfrak{R}_{(d),b}^k \qquad (101)
$$

On a pour tout $n \in \mathcal{D}_{(d),b}^{\dagger}$ :

$$
t_b^0(n) = 0 \tag{102}
$$

et ainsi :

$$
\tilde{\mathfrak{R}}_{(d),b}^{0} = \mathfrak{R}_{(d),b}^{0} = \mathcal{D}_{(d),b}^{\dagger}. \qquad (103)
$$

On a les suites d'inclusion pour tout $k \in \mathbb{N}$ et tout $d \in \mathbb{N}_1$ :

$$
\tilde{\mathfrak{R}}_{(d),b}^{k+1} \subset \tilde{\mathfrak{R}}_{(d),b}^{k} \cdots \subset \tilde{\mathfrak{R}}_{(d),b}^{0} = \mathcal{D}_{(d),b}^{\dagger}.
$$

On verra dans notre résultat principal 4.6.1 que le cas $k := 1$ est particulièrement intéressant.
Définition 4.5.3

Soit $k \in \mathbb{N}$. L'opération ribroutine d'ordre $k$ en base $b$ est l'application $\Psi_b^k$ qui à $n \in \mathbb{N}_b^k$ associe $\Psi_b^k(n)$.

Exemple 4.5.4

Pour $n := (4 \mid 4 \mid 0 \mid 2 \mid 3)_{4,5} \in \mathcal{D}_{(4),5}^{\dagger}$, on a :

$$
\pi_5(n) = (3 \mid 0 \mid 3 \mid 2 \mid 0 \mid 4)_{5,5} \in \mathcal{R}_5^0
$$

$$
\pi_5^2(n) = (3 \mid 0 \mid 3 \mid 2 \mid 0 \mid 4)_{5,5} \in \mathcal{R}_5^0
$$

et donc $t_5^2(n) = 2$. On peut montrer que :

$$
\Psi_5^2(n) = \max \{(4 \mid 4 \mid 0 \mid 2 \mid 3)_{4,5}, (4 \mid 4 \mid 2 \mid 2 \mid 3)_{4,5}, (4 \mid 2 \mid 0 \mid 0 \mid 3)_{4,5}\} = (4 \mid 4 \mid 2 \mid 2 \mid 3)_{4,5}.
$$

4.6 Résultat fondamental

On a un résultat analogue à celui qu'on peut retrouver dans la conjecture de Syracuse.

Théorème 4.6.1

Soit $d \in \mathbb{N}_1$. Alors on a équivalence entre :

$$
(i) \mathcal{B}_{d,b} \subset \mathcal{N}_b;
$$

(ii) $\mathcal{B}_{d,b} \subset \mathcal{V}_b$;

$$
(iii) \mathcal{D}_{d,b} \subset \mathcal{V}_b^{\dagger};
$$

$$
(iv) \mathfrak{R}_{d,b}^{0} = \mathfrak{D}_{d,b}^{\dagger} \subset \mathfrak{V}_{b}^{\dagger}.
$$

(v) $\mathfrak{R}_{d,b}^1 \subset \mathfrak{V}_b^\dagger$.

Démonstration. On a les inclusions suivantes :

$$
(1) \qquad \mathcal{N}_b - \{\bullet\} \subset \mathcal{V}_b
$$

$$
(2) \qquad \Psi_{d,b}^{1} \subset \mathcal{D}_{d,b}^{\dagger} \subset \mathcal{D}_{d,b}
$$

• (i) = ⇒ (ii). Supposons le point (i). Par (1), on a :

$$
\mathcal{B}_{d,b} \subset \mathcal{N}_b - \{\bullet\} \subset \mathcal{V}_b.
$$

• (ii) = ⇒ (i). Supposons le point (ii). Montrons par récurrence forte finie sur $k \in \mathcal{B}_{d,b} = [0, b^d - 1]$ :

$$
(\mathcal{P}_k) : k \in \mathcal{N}_b.
$$

(I) On a $\gamma_b((0)_b) = \rho_b((0)_b) = \bullet$. Donc $0 \in \mathcal{N}_b$ id est $(\mathcal{P}_0)$ est vraie.

(II) Soit $k \in [0, b^d - 2]$. Supposons que $(\mathcal{P}_{k'})$ soit vraie pour tout $k' \in [0, k]$. Par le point (ii), il existe $l \in \mathbb{N}_1$ tel que $k' := \gamma_b^l(k+1) < k+1$. Comme $k' \in [0, k]$, par $(\mathcal{P}_{k'})$, il existe $l' \in \mathbb{N}$ tel que $\gamma_b^{l'}(k') = \bullet$. On a donc :

$$
\gamma_b^{l+l'} (k+1) = \bullet
$$

id est $k+1 \in \mathcal{N}_b$. Donc $(\mathcal{P}_{k+1})$ est vraie.

(III) Par récurrence forte finie, $(\mathcal{P}_k)$ est vraie pour tout $k \in \mathcal{B}_{d,b}$.
• (i) $\implies$ (iii). Supposons le point (i). Soit $n \in \mathbb{D}_{d,b} \subset \mathbb{B}_{d,b}$. Donc $n \in \mathcal{N}_b$ id est il existe $k \in \mathbb{N}_1$ tel que $\gamma_b^k(n) = \bullet$. Donc on a :

$$-\infty = d_b(\bullet) = d_b(\gamma_b^k(n)) < d_b(n)$$

et ainsi $n \in \mathcal{Y}_b^\dagger$.

• (iii) $\implies$ (iv). Supposons le point (iii). Par (2), on a :

$$\mathcal{D}_{d,b}^{\dagger} \subset \mathcal{D}_{d,b} \subset \mathcal{Y}_{b}^{\dagger}.$$

• (iv) $\implies$ (v). Supposons le point (iv). Par (2), on a :

$$\mathfrak{R}_{d,b}^{1} \subset \mathfrak{R}_{d,b}^{0} = \mathcal{D}_{d,b}^{\dagger} \subset \mathcal{Y}_{b}^{\dagger}.$$

• (v) $\implies$ (i). Supposons le point (v). Montrons par récurrence forte finie sur $k \in \mathcal{B}_{d,b} = [[0, b^d - 1]]$ :

$$(\mathcal{P}_k) : k \in \mathcal{N}_b.$$

(I) On a $\gamma_b((0)_b) = \rho_b((0)_b) = \bullet$. Donc $0 \in \mathcal{N}_b$ id est $(\mathcal{P}_0)$ est vraie.

(II) Soit $k \in [[0, b^d - 2]]$ de degré $d' \in [[0, d]]$. Supposons que $(\mathcal{P}_{k'})$ soit vraie pour tout $k' \in [[0, k]]$. On a trois cas.

(a) **Cas** $k+1 \in \mathcal{E}_{(d'),b}$. Alors il existe $l \in \mathbb{N}$ tel que :

$$\gamma_b^l(k+1) = \pi_b^l(k+1) \in \mathcal{E}_{(d'),b}^{\dagger}$$

et donc :

$$m := \kappa_b^{\dagger}(\gamma_b^l(k+1)) \in \mathcal{D}_{(d'),b}^{\dagger} \subset \mathcal{B}_{d,b}.$$

On a alors trois sous-cas.

(1) **Cas** $m \in \mathfrak{R}_{(d'),b}^1$. Par le point (v), on a $m \in \mathcal{Y}_b^\dagger$ id est il existe donc $l' \in \mathbb{N}_2$ ($l' \neq 1$ car $m \in \mathcal{E}_{(d'),b}^\dagger$) tel que :

$$d_b(m') < d_b(m) = d_b(k+1) = d'$$

avec :

$$m' := \gamma_b^{l'}(m) \in \mathcal{B}_{d'-1,b}.$$

Comme $d_b(m') < d_b(k+1)$, on a $m' < k+1$ id est $m' \in [[0, k]]$. Ainsi par $(\mathcal{P}_{m'})$, il existe $l'' \in \mathbb{N}$ tel que $\gamma_b^{l''}(m') = \bullet$. Comme $l' \in \mathbb{N}_2$, on a :

$$\begin{align*}
\gamma_b^{l+l'+l''}(k+1) &= \gamma_b^{l''}(\gamma_b^{l'-1}(\gamma_b(\gamma_b^l(k+1)))) \\
&= \gamma_b^{l''}(\gamma_b^{l'-1}(\pi_b(\gamma_b^l(k+1)))) \\
&= \gamma_b^{l''}(\gamma_b^{l'-1}(\pi_b(\kappa_b^\dagger(\gamma_b^l(k+1))))) \\
&= \gamma_b^{l''}(\gamma_b^{l'-1}(\pi_b(m))) \\
&= \gamma_b^{l''}(\gamma_b^l(m)) \\
&= \gamma_b^{l''}(m') \\
&= \bullet.
\end{align*}$$

(2) **Cas** $m \in \tilde{\mathfrak{R}}_{(d'),b}^1 - \mathfrak{R}_{(d'),b}^1$. Comme $m' := \Psi_b^1(n) \in \mathfrak{R}_{(d'),b}^1$, alors par le cas (1), $m' \in \mathcal{N}_b$ id est il existe $l' \in \mathbb{N}_{\max\{t_b^1(m), t_b^1(m')\}}$ tel que $\gamma_b^{l'}(m') = \bullet$. Et ainsi on a :

$$\begin{align*}
\gamma_b^{l+l'}(k+1) &= \gamma^{l'-1}(\gamma_b(\gamma_b^l(k+1))) \\
&= \gamma^{l'-1}(\pi_b(\gamma_b^l(k+1)))
\end{align*}$$
$$
\begin{align*}
&= \gamma^{l'-1}(\pi_b(\kappa_b^\dagger(\gamma_b^l(k+1)))) \\
&= \gamma^{l'-1}(\pi_b(m)) \\
&= \gamma^l(m) \\
&= \gamma^{l'-t_b^1(m)}(\gamma_b^{t_b^1}(m)(m)) \\
&= \gamma^{l'-t_b^1(m')}(\gamma_b^{t_b^1(m')}(m')) \\
&= \gamma^l(m') \\
&= \bullet
\end{align*}
$$

(3) **Cas $m \notin \tilde{\mathfrak{R}}_{(d'),b}^1$ id est il existe $l' \in \mathbb{N}$ tel que $\gamma_b^{l'}(m) = \pi_b^{l'}(m) \in \mathcal{R}_b$ et $d_b(\pi_b^{l'}(m)) = d_b(m) + 1$. Posons :

$$
m' := \gamma_b^{l'+1}(m) = \rho_b(\pi_b'(m)).
$$

On a donc :

$$
d_b(m') \le d_b(m) - 1 = d_b(k + 1) - 1
$$

en particulier $m' < k + 1$ id est $k' \in [0, k]$. Ainsi par $(\mathcal{P}_{m'})$, il existe $l'' \in \mathbb{N}$ tel que
$\gamma_b^{l''}(m') = \bullet$. On a donc :

$$
\begin{align*}
\gamma_b^{l+l'+l''+1}(k+1) &= \gamma^{l''}(\gamma_b^{l'}(\gamma_b^l(k+1))) \\
&= \gamma^{l''}(\pi_b^{l'+1}(\gamma_b^l(k+1))) \\
&= \gamma^{l''}(\pi_b^{l'+1}(\kappa_b^\dagger(\gamma_b^l(k+1)))) \\
&= \gamma^{l''}(\pi_b^{l'+1}(m)) \\
&= \gamma^{l''}(m') \\
&= \bullet
\end{align*}
$$

(b) **Cas $k+1 \notin \mathcal{E}_{d',b}$.** Alors il existe $l \in \mathbb{N}$ tels que :

$$
\begin{align*}
k' &:= \gamma_b^{l+1}(k+1) = \rho_b(\pi_b^l(k+1)) \\
d_b(\pi_b^l(k+1)) &= d_b(k+1)
\end{align*}
$$

Donc on a :

$$
d_b(k') < d_b(\pi_b^l(k+1)) = d_b(k+1)
$$

en particulier $k' < k + 1$ id est $k' \in [0, k]$. Par $(\mathcal{P}_{k'})$, il existe $l' \in \mathbb{N}$ tel que $\gamma_b^{l'}(k') = \bullet$. On a
donc :

$$
\gamma_b^{l+l'}(k+1) = \bullet
$$

id est $k + 1 \in \mathcal{N}_b$ dans ce cas.

Donc $(\mathcal{P}_{k+1})$ est vraie dans tous les cas.

(III) Par récurrence forte finie, $(\mathcal{P}_k)$ est vraie pour tout $k \in \mathcal{B}_{d,b}$.

☐

Dit autrement, on a équivalence entre :

(i) tous les nombres de degré inférieur à *d* en base *b* sont normands en base *b*;

(ii) tous les nombres de degré inférieur à *d* en base *b* ont un voyage en base *b* fini;

(iii) tous les ducs en base *b* de degré inférieur à *d* en base *b* ont un voyage en degré en base *b* fini;

(iv) tous les ducs elingard en base *b* de degré inférieur à *d* en base *b* ont un voyage en degré en base *b* fini.

(v) tous les riboutinsd'ordre 1 en base b de degré inférieur à d en base b ont un voyage en degré en base b fini.

En passant à la limite sur $d \in \mathbb{N}$, on en déduit le corollaire suivant.
Corollaire 4.6.2

On a équivalence entre :

(i) $\mathcal{N}_b = \mathbb{N}_\bullet$;

(ii) $\mathbb{N} \subset \mathcal{Y}_b$.

(iii) $\mathcal{D}_b \subset \mathcal{Y}_b^\dagger$;

(iv) $\mathfrak{R}_b^0 = \mathcal{D}_b^\dagger \subset \mathcal{Y}_b^\dagger$;

(v) $\mathfrak{R}_b^1 \subset \mathcal{Y}_b^\dagger$.

Démonstration. Comme :

$$ \mathbb{N} = \bigcup_{d \in \mathbb{N}} \mathcal{B}_{d,b} , \quad \mathcal{D}_b = \bigcup_{d \in \mathbb{N}} \mathcal{D}_{d,b} , \quad \mathcal{D}_b^\dagger = \bigcup_{d \in \mathbb{N}} \mathcal{D}_{d,b}^\dagger $$

on a les équivances suivantes par le théorème 4.6.1 :

$$
\begin{align*}
(i) \quad \mathcal{N}_b = \mathbb{N}_\bullet &\iff \mathbb{N} \subset \mathcal{N}_b \iff \forall d \in \mathbb{N}, \mathcal{B}_{d,b} \subset \mathcal{N}_b \\
&\iff \forall d \in \mathbb{N}, \mathcal{B}_{d,b} \subset \mathcal{Y}_b \iff (ii) \quad : \mathbb{N} \subset \mathcal{Y}_b \\
&\iff \forall d \in \mathbb{N}, \mathcal{D}_{d,b} \subset \mathcal{Y}_b^\dagger \iff (iii) \quad : \mathcal{D}_b \subset \mathcal{Y}_b^\dagger \\
&\iff \forall d \in \mathbb{N}, \mathcal{D}_{d,b}^\dagger \subset \mathcal{Y}_b^\dagger \iff (iv) \quad : \mathcal{D}_b^\dagger \subset \mathcal{Y}_b^\dagger \\
&\iff \forall d \in \mathbb{N}, \mathfrak{R}_{d,b}^1 \subset \mathcal{Y}_b^\dagger \iff (v) \quad : \mathfrak{R}_b^1 \subset \mathcal{Y}_b^\dagger
\end{align*}
$$

□

Dit autrement, on a équivalence entre :

(i) tous les entiers sont normands en base $b$;

(ii) tous les entiers ont un voyage en base $b$ fini;

(iii) tous les ducs en base $b$ ont un voyage en degré en base $b$ fini;

(iv) tous les ducs elingard en base $b$ ont un voyage en degré en base $b$ fini;

(v) tous les riboutins d'ordre 1 en base $b$ ont un voyage en degré en base $b$ fini.

On pourrait se demander si on peut rajouter l'équivalence avec :

$$ \mathfrak{R}_b^2 \subset \mathcal{Y}_b^\dagger. \qquad (104) $$

La réponse est non, il suffit de prendre un triskèle en base $b$ de longueur 5. Par exemple, le triskèle $\mathcal{T}_{11}(n)$ associé au nombre $n := (9 \mid 3 \mid 10 \mid 2 \mid 8)_{4,11}$ breton en base 11 :

$$ \mathcal{T}_{11}(n) = \{ (9 \mid 3 \mid 10 \mid 2 \mid 8)_{4,11}, (1 \mid 6 \mid 6 \mid 9 \mid 6 \mid 6)_{5,11}, (8 \mid 2 \mid 5 \mid 5 \mid 1 \mid 7)_{5,11}, (1 \mid 4 \mid 3 \mid 10 \mid 10 \mid 4 \mid 4)_{6,11}, (5 \mid 9 \mid 3 \mid 10 \mid 2 \mid 8 \mid 5)_{6,11} \}. $$

Posons :

$$ m := \kappa_{11}(n) = (10 \mid 5 \mid 10 \mid 0 \mid 7)_{4,11} \in \mathcal{D}_{(4),11}^{\dagger} $$

On a $m \in \mathfrak{R}_b^1 - \mathfrak{R}_b^2$ car

$$ \gamma_{11}^4(m) = \gamma_{11}^5(n) = (5 \mid 9 \mid 3 \mid 10 \mid 2 \mid 8 \mid 5)_{6,11} \in \mathfrak{R}_{11}. $$

4.7 De Nollon à Rollor

Depuis le début de ce texte, on a essentiellement travaillé avec une base $b$ fixée. On peut aussi à la manière de Rollor, travailler avec un entier $n$ fixé et faire varier la base $b$. On pose alors pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$$ \mathcal{M}_n := \{b \in \mathbb{N}_2, n \in \mathcal{N}_b\}. \qquad (105) $$

On commence par un lemme.
### Lemme 4.7.1

(i) Pour toute base $b$, on a $\mathcal{B}_b \subset \mathcal{N}_b$.

(ii) On a : $\mathbb{N}_n \subset \mathcal{M}_n$.

*Démonstration.* (i) Soit $n \in \mathcal{B}_b$. On a $n = (n)_b$ et donc $\rho_b(n) = \bullet$. Ainsi $\gamma_b(n) = \bullet \text{ id est } n \in \mathcal{N}_b$.

(ii) Comme pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a :
$$ \forall b \in \mathbb{N}_{n+1}, (n)_{0,b}. $$

Ainsi on a $\mathbb{N}_{n+1} \subset \mathcal{M}_n$. Comme $n = (1 | 0)_{1,n}$ et que :

$$ \gamma_n^2(n) = \gamma_n(\pi_n((1 | 0)_{1,n})) = \gamma_n((1 | 1)_{1,n}) = \rho_n((1 | 1)_{1,n}) = \bullet $$

on a $n \in \mathcal{M}_n$. D'où le résultat.

□

On a le lemme suivant qui améliore le point (ii) du lemme précédent 4.7.1.

### Lemme 4.7.2

Soit $n \in \mathbb{N}$. On a :
$$ \{b \in \mathbb{N}_2, r_b(n) + q_b(n) \le b - 1\} \subset \mathcal{M}_n. $$

*Démonstration.* Soit $b \in \mathbb{N}_2$ telle que $b(b-1) \ge n$ (donc $d_b(n) \le 1$). On a trois cas.

(1) **Cas $b > n$ id est $n \in \mathcal{B}_b$.** Alors on a $n = (n)_{0,b}$ et ainsi :
$$ \gamma_b(n) = \rho_b(n) = \bullet $$

(2) **Cas $b \le n \le b(b-1)$ et $n \in \mathcal{R}_b$.** Comme $n = (q_b(n) | r_b(n))_{1,b}$, on a $q_b(n) = r_b(n)$ id est $n = (r_b(n) | r_b(n))_{1,b}$. Ainsi on a :
$$ \gamma_b(n) = \rho_b(n) = \bullet $$

(3) **Cas $b \le n \le b(b-1)$ et $n \notin \mathcal{R}_b$.** On a :
$$ \gamma_b^2(n) = \gamma_b(\pi_b(n)) = \gamma_b((r_b(n) + q_b(n) | r_b(n) + q_b(n))_{1,b}) = \bullet. $$

Ainsi dans tous les cas, on a $n \in \mathcal{N}_b$.

□

Comme pour tout $n \in \mathbb{N}$ :

$$ \{b \in \mathbb{N}_2, n \le 2(b-2)\} \subset \{b \in \mathbb{N}_2, r_b(n) + q_b(n) \le b - 1\} $$

on a :

$$ \{b \in \mathbb{N}_2, n \le 2(b-2)\} \subset \mathcal{M}_n. \qquad (106) $$

Ce point de vue semble tout de même délicat car il n'existe pas de méthode simple pour un entier $n$ pour changer la base de décomposition de $n$ : déduire les chiffres $[n]_{k,b}$ en fonction des chiffres $[n]_{l,b'}$ pour deux bases $b$ et $b'$ distinctes.

On a une densité facile à calculer.

### Proposition 4.7.3

Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a :
$$ \delta_2(\mathcal{M}_n) = 1. $$
Démonstration. Par la point (ii) du lemme 4.7.1, on a :

$$
\mathbb{N}_n \subset \mathcal{M}_n
$$

et ainsi pour tout $m \in \mathbb{N}_n$ :

$$
\frac{m-n+1}{m-1} \le \delta_{(m,2)} (\mathcal{M}_n) \le 1
$$

D'où le résultat en passant à la limite sur $m$ :

$$
\delta_k(\mathcal{M}_n) = \lim_{n \to \infty} \delta_{(n,k)}(\mathcal{M}_n) = 1.
$$

☐

4.8 Applications à la base 2

Le premier résultat simple est que tous les entiers sont normands en base 2. Cela permet sur un exemple simple de pratiquer les notations et résultats précédents.

Théorème 4.8.1

On a :

$$
\mathcal{N}_2 = \mathbb{N}_{\bullet}.
$$

Démonstration. D'après le corollaire 4.6.2, il suffit de montrer que tous les ducs elingards en base 2 ont un voyage fini en degré en base 2. Montrons que $\mathcal{B}_{2,2} \subset \mathcal{N}_2 \text{ id est } \mathcal{D}_{2,2}^{\dagger} \subset \mathcal{V}_2^{\dagger}$ par le théorème 4.6.1.
On a :

$$
\mathcal{D}_{2,2}^{\dagger} = \{6 := (1 \mid 1 \mid 0)_{2,2}\}.
$$

et

$$
\begin{align*}
\gamma_2^2(6) &= \gamma_2^2((1 \mid 1 \mid 0)_{2,2}) = \gamma_2(\pi_2((1 \mid 1 \mid 0)_{2,2})) = \gamma_2((1 \mid 0 \mid 0 \mid 1)_{3,2}) \\
&= \rho_2((1 \mid 0 \mid 0 \mid 1)_{3,2}) = (0 \mid 0)_{1,2}
\end{align*}
$$

Donc $\mathcal{D}_{2,2}^{\dagger} \subset \mathcal{V}_{2}^{\dagger}$.

Soit $n \in \mathcal{D}_b^\dagger$ tel que $d := d_2(n) \ge 3$. Alors $n$ s'écrit :

$$
n := (1 \mid a \mid \cdots \mid a' \mid 0)_{d,2}
$$

avec $a, a' \in \{0, 1\}$ et $a \ge a'$. Il existe $a'', \delta \in \{0, 1\}$ (suivant qu'on ait une retenue ou pas) tels que :

$$
\begin{align*}
\gamma_2(n) &= \pi_2(n) \\
&= n + \mu_2(n) \\
&= (1 \mid a \mid \cdots \mid a' \mid 0)_{2,d} + (0 \mid a' \mid \cdots \mid a \mid 1)_{2,d} \\
&= (1 \mid a'' \mid \cdots \mid r_2(a + a') \mid 1)_{2,d+\delta}
\end{align*}
$$

Et donc :

$$
\gamma_2^2(n) = \rho_2(\pi_2(n)) = \rho_b((1 \mid a'' \mid \cdots \mid r_2(a+a') \mid 1)_{d+\delta,2}) = (a'' \mid \cdots \mid r_2(a+a'))_{d-2+\delta,2}
$$

et ainsi :

$$
d_2(\gamma_2^2(n)) = d - 2 + \delta < d = d_2(n).
$$

Ainsi on a :

$$
\mathcal{D}_2^\dagger \subset \mathcal{V}_2^\dagger.
$$

☐

4.9 Artifaille en Python

♣ Le programme est_elingard(N) prend en entrée un entier N de type IntB écrit dans une base b. Il renvoie True si N est elingard et False sinon.
Python 4.9.1

```python
def est_elingard(N: IntB) -> bool:
    if est_red(N):
        return False
    else:
        B, b = N
        d = len(B)
        B, b = pi_fct((list(B), b))
        return len(B) > d and not est_red((B, b))
```

Exemple 4.9.2

```python
>>> est_elingard([1, 3, 2], 5))
False
>>> est_elingard([4, 3, 2], 5))
False
>>> est_elingard([4, 3, 1], 5))
True
```

♣ Le programme `elingard_fct(N)` prend en entrée un entier $N$ de type `IntB` écrit dans une base $b$. Il renvoie $\varepsilon_b(N)$ de type `IntB` dans la même base $b$ si $N$ est elingard et `False` sinon.

Python 4.9.3

```python
def elingard_fct(N: IntB) -> IntB:
    if est_red(N):
        return False
    else:
        d = len(N[0])
        while len(N[0]) == d:
            NO = list(N)
            N = pi_fct(N)
    if est_elingard(NO):
        return NO
    else:
        return False
```

Exemple 4.9.4

```python
>>> elingard_fct([4, 3, 2], 5))
False
>>> elingard_fct([4, 3, 1], 5))
[[4, 3, 1], 5]
>>> elingard_fct([1, 3, 2], 5))
[[3, 1, 4], 5]
```

♣ Le programme `est_duc(N)` prend en entrée un entier $N$ de type `IntB` écrit dans une base $b$. Il renvoie `True` si $N$ est duc et `False` sinon.
Python 4.9.5

```python
def est_duc(N: IntB) -> bool:
    return kappa_fct((list(N[0]), N[1])) == N
```

Exemple 4.9.6

```python
>>> est_duc([1, 3, 2], 5))
False
```

```python
>>> est_duc([1, 3, 4], 5))
True
```

♣ Le programme `est_duc_elingard(N)` prend en entrée un entier $N$ de type `IntB` écrit dans une base $b$. Il renvoie `True` si $N$ est duc elingard et `False` sinon.

Python 4.9.7

```python
def est_duc_elingard(N: IntB) -> bool:
    return est_elingard(N) and est_duc(N)
```

Exemple 4.9.8

```python
>>> est_duc_elingard([1, 3, 4], 5))
True
```

♣ Le programme `kappa_fct(N)` prend en entrée un entier $N$ de type `IntB` écrit dans une base $b$. Il renvoie $\kappa_b(N)$ de type `IntB` dans la même base $b$.

Python 4.9.9

```python
def kappa_fct(N: IntB) -> IntB:
    B, b = N
    for k in range(len(B) // 2):
        a = B[k] + B[-k - 1]
        B[k], B[-k - 1] = max(0, a - b + 1), min(a, b - 1)
    return (B, b)
```

Exemple 4.9.10

```python
>>> kappa_fct([1, 1, 0, 8, 2, 9, 1, 5, 0, 0, 0, 10])
([1, 1, 0, 9, 3, 9, 0, 4, 0, 0, 0, 10])
```

♣ Le programme `kappaDag_fct(N)` prend en entrée un entier $N$ de type `IntB` écrit dans une base $b$. Il renvoie $\kappa_b^\dagger(N)$ de type `IntB` dans la même base $b$.

Python 4.9.11

```python
def kappaDag_fct(N: IntB) -> IntB:
    B, b = N
d = len(B)
while True:
```
```python
if est_red((B, b)):
    return False
B0, _ = pi_fct((B, b))
if len(B0) > d:
    return kappa_fct((B, b))
B = list(B0)
```

### Exemple 4.9.12

```python
>>> kappaDag_fct([1, 1, 0, 8, 2, 9, 1, 5, 0, 0, 0], 10)
([9, 9, 9, 9, 9, 7, 3, 2, 1, 7, 7], 10)
>>> kappaDag_fct([1, 1, 0, 3, 5, 0, 0, 0], 10)
False
```

♣ Le programme `tin(N, k)` prend en entrée un entier *N* de type `IntB` écrit dans une base *b* et un entier *k*. Il renvoie l'entier $t_b^k(N)$.

### Python 4.9.13

```python
def tin(N: IntB, k:int) -> int:
    B, b = N
    d = len(B)
    i = 0
    while len(B) <= d + k:
        B, _ = pi_fct((B, b))
        i += 1
    return i - 1
```

### Exemple 4.9.14

```python
>>> tin([4, 2], 5), 0
0
>>> tin([4, 2], 5), 1
2
>>> tin([4, 2], 5), 2
3
```

♣ Le programme `est_boutin(N, k)` prend en entrée un entier *N* de type `IntB` écrit dans une base *b* et un entier *k*. Il renvoie l'entier *True* si *N* est un boutin d'ordre *k* en base *b*.

### Python 4.9.15

```python
def est_boutin(N: IntB, k:int) -> bool:
    B, b = N
d = len(B)
while len(B) <= d + k:
    if est_red((B, b)):
        return False
    B, _ = pi_fct((B, b))
```
return True

Exemple 4.9.16

>>> est_boutin([([4, 2], 5), 0])
True

>>> est_boutin([([4, 2], 5), 1])
False

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Le programme liste_B_db(d, b) prend en entrée un entier d et une base b. Il renvoie la liste :

$$
\mathcal{B}_{(d),b}.
$$

Python 4.9.17

def liste_B_db(d: int, b: base) -> List List[int]]:
    L = [[i] for i in range(d != 0, b)]
    for _ in range(d):
        L = [[i] + x for i in range(b) for x in L]
    return L

Exemple 4.9.18

>>> liste_B_db(2, 4)
[[0, 0, 1], [0, 0, 2], [0, 0, 3], [0, 1, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 3], [0, 2, 1],
[0, 2, 2], [0, 2, 3], [0, 3, 1], [0, 3, 2], [0, 3, 3], [1, 0, 1], [1, 0, 2],
[1, 0, 3], [1, 1, 1], [1, 1, 2], [1, 1, 3], [1, 2, 1], [1, 2, 2], [1, 2, 3],
[1, 3, 1], [1, 3, 2], [1, 3, 3], [2, 0, 1], [2, 0, 2], [2, 0, 3], [2, 1, 1],
[2, 1, 2], [2, 1, 3], [2, 2, 1], [2, 2, 2], [2, 2, 3], [2, 3, 1], [2, 3, 2],
[2, 3, 3], [3, 0, 1], [3, 0, 2], [3, 0, 3], [3, 1, 1], [3, 1, 2], [3, 1, 3],
[3, 2, 1], [3, 2, 2], [3, 2, 3], [3, 3, 1], [3, 3, 2], [3, 3, 3]]

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Le programme liste_Ro0(d, b) prend en entrée un entier d et une base b. Il renvoie la liste :

$$
\mathcal{R}_{(d),b}^{0}.
$$

Python 4.9.19

def liste_Ro0(d: int, b: base) -> List List[int]]:
    if d == 0:
        return []
    else:
        L = [[i] for i in range(1, b)]
        for _ in range(d - 1):
            L = [[i] + x for i in range(b) for x in L]
        L = [[i] + x for i in range(b) for x in L if i != x[-1]]
        return L

On aurait pu faire :

liste_Ro0(d, b) = [x for x in liste_B_db(d, b) if not est_red((x, b))]

mais cette méthode est plus lente.
Exemple 4.9.20

>>> liste_Ro0(2, 4)
[[0, 0, 1], [0, 0, 2], [0, 0, 3], [0, 1, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 3], [0, 2, 1],
[0, 2, 2], [0, 2, 3], [0, 3, 1], [0, 3, 2], [0, 3, 3], [1, 0, 2], [1, 0, 3],
[1, 1, 2], [1, 1, 3], [1, 2, 2], [1, 2, 3], [1, 3, 2], [1, 3, 3], [2, 0, 1],
[2, 0, 3], [2, 1, 1], [2, 1, 3], [2, 2, 1], [2, 2, 3], [2, 3, 1], [2, 3, 3],
[3, 0, 1], [3, 0, 2], [3, 1, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1], [3, 2, 2], [3, 3, 1],
[3, 3, 2]]

♣ Le programme liste_elingard(d, b) prend en entrée un entier d et une base b. Il renvoie la
liste :

$$
\mathcal{E}^{\dagger}_{(d),b}.
$$

Python 4.9.21

def liste_elingard(d: int, b: base) -> List List[int]]:
    return [x for x in liste_Ro0(d, b) if est_elingard((list(x), b))]

Exemple 4.9.22

>>> liste_elingard(2, 4)
[[0, 2, 3], [0, 3, 3], [1, 0, 3], [1, 1, 3], [1, 2, 2], [1, 2, 3], [1, 3, 2],
[1, 3, 3], [2, 2, 1], [2, 3, 1], [3, 0, 1], [3, 1, 1], [3, 2, 1], [3, 3, 1]]

♣ Le programme liste_duc(d, b) prend en entrée un entier d et une base b. Il renvoie la liste :

$$
\mathcal{D}_{(d),b}.
$$

Python 4.9.23

def liste_duc(d: int, b: base) -> List List[int]]:
    return [x for x in liste_B_db(d, b) if est_duc((list(x), b))]

Exemple 4.9.24

>>> liste_duc(2, 4)
[[0, 0, 1], [0, 0, 2], [0, 0, 3], [0, 1, 1], [0, 1, 2], [0, 1, 3], [0, 2, 1],
[0, 2, 2], [0, 2, 3], [0, 3, 1], [0, 3, 2], [0, 3, 3], [1, 0, 3], [1, 1, 3],
[1, 2, 3], [1, 3, 3], [2, 0, 3], [2, 1, 3], [2, 2, 3], [2, 3, 3], [3, 0, 3],
[3, 1, 3], [3, 2, 3], [3, 3, 3]]

♣ Le programme liste_duc_quasi_elingard(d, b) prend en entrée un entier d et une base b.
Il renvoie la liste :

$$
\mathcal{D}^{\dagger}_{(d),b}.
$$

Python 4.9.25

def liste_duc_elingard(d: int, b: base) -> List List[int]]:
    return [x for x in liste_duc_quasi_elingard(d, b) if
              x[0] + x[-1] >= b or est_elingard((list(x), b))]
Exemple 4.9.26

>>> liste_duc_elingard(2, 4)
[ [0, 2, 3], [0, 3, 3], [1, 0, 3], [1, 1, 3], [1, 2, 3], [1, 3, 3] ]

On aurait pu faire :

liste_duc_elingard_bis(d, b) = [x for x in liste_Ro0(d, b) if est_duc_elingard((list(x), b))].

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

♣ Le programme liste_duc_quasi_elingard(d, b) prend en entrée un entier d et une base b.
Il renvoie la liste :

$$
\tilde{\mathcal{D}}_{(d),b}.
$$

Python 4.9.27

def liste_duc_quasi_elingard(d: int, b: base) -> List List[int]]:
    if d % 2 == 0:
        L = [[j] for j in range(b)]
    else:
        L = [[]]
    if d >= 1:
        A = [(max(0, j - b + 1), min(j, b - 1)) for j in range(2 * b - 1)]
        for _ in range((d + 1) // 2 - 1):
            L = [[a] + x + [b] for x in L for a, b in A]
            A = [(max(0, j - b + 1), min(j, b - 1))
                  for j in range(b - 1, 2 * b - 2) if j - b + 1 != 2]
            L = [[a] + x + [b] for x in L for a, b in A]
    return L

Exemple 4.9.28

>>> liste_duc_quasi_elingard(2, 4)
[ [0, 0, 3], [1, 0, 3], [3, 0, 3], [0, 1, 3], [1, 1, 3], [3, 1, 3], [0, 2, 3],
[1, 2, 3], [3, 2, 3], [0, 3, 3], [1, 3, 3], [3, 3, 3] ]

♣ Le programme liste_riboutin(d, b) prend en entrée un entier d et une base b. Il renvoie la
liste :

$$
\mathfrak{R}^k_{(d),b}.
$$

Python 4.9.29

def liste_riboutin(d: int, b: Base, k: int) -> List List[int]]:
    L = dict()
    i = 0
    for y in liste_quasi_duc_elingard(d, b):
        x = list(y)
        while len(x) <= d + 1 + k:
            B = list(x)
            if est_red((x, b)):
                B = False
                break
            x, _ = pi_fct((x, b))
        if B != False:
```python
B = tuple(B)
if B not in L or not compare_base((L[B], b), (B, b)) :
    i += 1
    L[B] = y
return list(L.values())
```

Exemple 4.9.30

```python
>>> liste_riboutin(5, 4, 1)
[[0, 1, 0, 0, 3, 3], [0, 2, 0, 0, 3, 3], [0, 3, 0, 0, 3, 3], [0, 1, 0, 1, 3, 3],
[0, 2, 0, 1, 3, 3], [0, 3, 0, 1, 3, 3], [0, 1, 0, 2, 3, 3], [0, 2, 0, 2, 3, 3],
[0, 3, 0, 2, 3, 3], [1, 0, 0, 3, 2, 3], [0, 1, 0, 3, 3, 3], [0, 2, 0, 3, 3, 3],
[0, 3, 0, 3, 3, 3], [0, 0, 1, 3, 3, 3], [0, 1, 1, 3, 3, 3], [0, 2, 1, 3, 3, 3],
[0, 3, 1, 3, 3, 3], [0, 0, 2, 3, 3, 3], [0, 1, 2, 3, 3, 3], [0, 2, 2, 3, 3, 3],
[0, 3, 2, 3, 3, 3], [0, 0, 3, 3, 3, 3], [0, 1, 3, 3, 3, 3], [0, 2, 3, 3, 3, 3],
[0, 3, 3, 3, 3, 3]]
```

```python
>>> liste_riboutin(5, 4, 2)
[[1, 0, 0, 3, 2, 3], [0, 3, 3, 3, 3, 3]]
```

```python
>>> liste_riboutin(5, 4, 3)
[[0, 3, 3, 3, 3, 3]]
```

```python
>>> liste_riboutin(5, 4, 4)
[]
```

On finit cette sous-section avec un exemple pour de grandes valeurs de *b* et *d*. Cela permet de se rendre compte qu'on a réduit significativement le nombre de tests à faire pour montrer que :

$$ \mathcal{B}(d), b \subset \mathcal{N}_b. $$

Exemple 4.9.31

```python
>>> d, b = 4, 10
>>> len(liste_B_db(d, b))
90000
>>> len(liste_RoØ(d, b))
81000
>>> len(liste_elingard(d, b))
36500
>>> len(liste_duc(d, b))
3420
>>> len(liste_duc_elingard(3, 5))
1425
>>> len(liste_duc_quasi_elingard(d, b))
1520
>>> len(liste_riboutin(d, b, 1))
```
365

>>> len(liste_riboutin(d, b, 2))

81

Donc pour montrer que les 90000 éléments de $\mathcal{B}_{(4),10}$ sont normands en base 10, il suffit de montrer que les 365 riboutins d'ordre 1 en base 10 de degré 4 sont normands en base 10.

Le problème du programme `liste_riboutin(d, b)` est qu'il est très lent pour de très grandes valeurs. J'ignore s'il existe une façon plus rapide de calculer la liste des riboutins de degré *d* en base *b*.
# 5 Les bacouettes

On enonce dans cette section, une liste de bacouettes. Le sens du mot bacouette est vague, il signifie dans le sens commun mathématique : exercice, conjecture, question, problème. Par exemple, la bacouette (BAC - 1) est un théorème à démontrer, la bacouette (BAC - 2) est un problème, la bacouette (BAC - 3) est une conjecture et la bacouette (BAC - 4) une question.

Une bacouette est surtout là pour faire parler, pour partager et pour permettre l'échange : pour faire la bacouette.

## 5.1 Etude de la palindromisation

Dans la proposition 2.3.3, on a montré que une implication pour l'étude de l'injectivité de $\pi_b$. Il s'avère que la proposition est une équivalence.

### Bacouette 5.1.1

(BAC - 1) Soit $n, m \in \mathbb{N}_1$ de degrés $d$ en base $b$. Alors on a équivalence entre :

(i) pour tout $k \in \{0, \dots, d\}$, on a :

$$[n]_{k,b} + [n]_{d-k,b} = [m]_{k,b} + [m]_{d-k,b};$$

$$ (ii) \pi_b(n) = \pi_b(m). $$

(BAC - 2) Etudier $\pi_b(n) = \pi_b(m)$ dans le cas d'entiers $n, m \in \mathbb{N}_1$ tels que $|d_b(n) - d_b(m)| \le 1$.

Pour la bacouette (BAC - 2), l'exemple suivant montre que $n$ et $m$ ne sont pas forcément de même degré :

$$(1 | 1 | 3 | 1)_{3,6} = \pi_6((3 | 1 | 4)_{2,6}) = \pi_6((1 | 1 | 0 | 0)_{3,6}).$$

On peut donner quelques propriétés pour la bacouette (BAC - 2). Supposons qu'il existe $n, m \in \mathbb{N}_1$ tels que $\pi_b(n) = \pi_b(m)$ et $d_b(n) = d_b(m) + 1$. Alors on a avec $d := d_b(m)$ :

(i) $n$ est du type :

$$n = (1 | \cdots | 0)_{d+1,b};$$

(ii) $\pi_b(n)$ est du type :

$$\pi_b(n) = (1 | \cdots)_{d+1,b}.$$

On a défini la palindromisation pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, ce qui permet de regarder des itérés de $\pi_b$ sans faire de réduction. On a alors les bacouettes naturelles suivantes.

### Bacouette 5.1.2

(BAC - 3) Soit $n \in \mathbb{N}$. Il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $\pi_b^k(n) \in \mathcal{R}_b$.

(BAC - 4) Soit $n \in \mathbb{N}$. Existe-t-il $k \in \mathbb{N}$ tel que $\pi_b^k(n) \in \mathcal{P}_b$ ?

En faisant des simulations informatiques, on peut chercher si le maximum des $k \in \mathbb{N}$ (dépendant de $b$ et indépendant de $n$) existe dans la bacouette (BAC - 3).

### Définition 5.1.3

(i) Soit $n \in \mathbb{N}$. On dit que $n$ est itérativement réductible en base $b$ s'il existe un entier
(nécéssairement unique) $\mathfrak{p}_b(n) \in \mathbb{N}$ tel que :

$$ \forall k \in [0, \mathfrak{p}_b(n) - 1], \pi_b^{\mathfrak{p}_b(n)}(n) \in \mathcal{R}_b^0 \wedge \pi_b^{\mathfrak{p}_b(n)}(n) \in \mathcal{R}_b. $$

(ii) On dit que $b$ est une **base itérativement réductive** si l'ensemble :

$$ \{\mathfrak{p}_b(n), n \in \mathbb{N}\} $$

est borné. On note alors dans ce cas :

$$ \mathfrak{p}_b := \max\{\mathfrak{p}_b(n), n \in \mathbb{N}\} $$

En reprenant la preuve du théorème 4.8.1, on a :

$$ \mathfrak{p}_2 = 1. $$

On a alors la bacouette suivante en testant informatiquement jusqu'à $n := 10^9$.

### Bacouette 5.1.4

(BAC - 5) On a le tableau suivant pour les valeurs de $\mathfrak{p}_b$ pour $b \in \mathbb{N}_3^{10}$ :

<table><tr><td>b</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>8</td><td>9</td><td>10</td></tr><tr><td>p<sub>b</sub></td><td>6</td><td>6</td><td>44</td><td>53</td><td>28</td><td>38</td><td>22</td><td>143</td></tr></table>

Les deux nombres inférieurs à $10^9$ en base 10 tel que $\mathfrak{p}_{10}(n) = 143$ sont :

$$ 899\,906\,080,\ 899\,951\,080. $$

On remarque que pour $b \in \{3, 4\}$, on a $\mathfrak{p}_b = 6$. On verra l'intérêt de cette bacouette dans la sous-section 5.7 pour ces deux bases.

## 5.2 Etude du degré de la suite normande

On a la bacouette suivante.

### Bacouette 5.2.1

(BAC - 6) Soit $n \in \mathbb{N}$. Alors on a pour tout $k \in \mathbb{N}_5$ :

$$ d_b(\gamma_b^{2k-2}(n)) \leq d_b(n) + k. $$

## 5.3 Etude de la longueur d'un triskèle

On a la proposition suivante sur la longueur d'un triskèle.

### Proposition 5.3.1

Soit $n \in \mathcal{C}_b^\dagger$. Alors :

$$ \beta_b^\dagger(n) \geq 4. $$

*Démonstration.* Soit $n \in \mathcal{R}_{(d),b}^0$ un triskè en base $b$ d'un triskèle de longueur $l$ ($n$ est donc l'élément le plus petit du triskèle et $n \in \mathcal{R}_b$). On a deux cas.
(1) **Cas** $d_b(\gamma_b^2(n)) \le d_b(n) + 1$. Alors on a $\gamma_b^3(n) = \pi_b^3(n)$ (car sinon $\gamma_b^3(n) = \rho_b(\pi_b^2(n))$ et ainsi $d_b(\gamma_b^3(n)) < d_b(n)$ ce qui est contradictoire avec la minimalité de $n$). Ainsi $l \ge 4$.

(2) **Cas** $d_b(\gamma_b^2(n)) = d_b(n) + 2$. Alors $\kappa_b(n)$ est du type $(b-2 | b-1 | \cdots | a | 1)_{d,b}$ avec $a \in \mathbb{N}_1$ (donc $d \in \mathbb{N}_3$). On a donc :

$$
\begin{align*}
\gamma_b^2(n) &= \pi_b(\pi_b(n)) = \pi_b(\pi_b(\kappa_b(n))) \\
&= \pi_b((1 | \cdots | b-1)_{d+1,b}) \\
&= (1 | \cdots | 0)_{d+2,b}
\end{align*}
$$

et ainsi :

$$
\gamma_b^3(n) = \pi_b(\gamma_b^2(n)) = (a' | \cdots | 1)_{d+2,b}.
$$

En particulier $l \ge 4$ dans ce cas aussi.

☐

Aux vues des simulations informatiques, il semble qu'on peut améliorer le résultat. Les valeurs de
$\beta_b^\dagger(n)$ qu'on a obtenu en regardant les bases jusqu'à 100 sont :

5 , 6 , 9 , 18 , 26 , 51 , 84 , 117.

La valeur 5 arrivent de nombreuses fois.

Bacouette 5.3.2

(BAC - 7) Soit $n \in \mathscr{C}_b^\dagger$. Alors :

$$
\beta_b^\dagger(n) \geq 5.
$$

id est on a :

$$
\{ \beta_b^\dagger(n), b \in \mathbb{N}_2 \wedge n \in \mathscr{C}_b^\dagger \} \subset \mathbb{N}_5.
$$

(BAC - 8) On a :

$$
\mathrm{card}\{(b,n) \in \mathbb{N}_2 \times \mathbb{N}, n \in \mathscr{C}^{\dagger} \wedge \beta_{b}^{\dagger}(n) = 5\} = +\infty.
$$

(BAC - 9) A-t-on :

$$
\{ \beta_b^\dagger(n), b \in \mathbb{N}_2 \wedge n \in \mathscr{C}_b^\dagger \} = \mathbb{N}_5 ?
$$

5.4 Etude des riboutins

On a calculé à la proposition 2.1.9, le cardinal de $\mathcal{R}^r_{(d),b}$ et à la proposition 4.3.6, le cardinal de $\mathcal{D}_{(d),b}$. On a alors cette bacouette.

Bacouette 5.4.1

(BAC - 10) Soit $d \in \mathbb{N}$. Calculer les cardinaux de :

$$
\begin{align*}
& \mathcal{R}_{d,b}^r, \mathcal{R}_{(d),b}^r, \mathcal{R}_{d,b}, \mathcal{R}_{(d),b}, \mathcal{P}_{d,b}, \mathcal{P}_{(d),b} \\
& \mathcal{E}_{(d),b}, \mathcal{E}_{d,b}, \mathcal{E}_{(d),b}^\dagger, \mathcal{E}_{d,b}^\dagger, \mathcal{D}_{(d),b}^\dagger, \mathcal{D}_{d,b}^\dagger, \mathfrak{R}_{(d),b}^1, \mathfrak{R}_{d,b}^1.
\end{align*}
$$

De ces cardinaux, on peut en tirer de nombreuses densités. On donne une liste de cardinaux possibles
(je les ai trouvés à la main avec de possibles erreurs) :

$$
\mathrm{card} \left( \mathcal{E}_{(2d+1),2b}^{\dagger} \right) = 2(2b)^{2d} (b-1)^2 + \frac{1}{2} (2b)^d (2b-1)^2 \left( \sum_{k=0}^{d-1} (2b)^k \right)
$$
$$= 2(2b)^{2d}(b-1)^2 + \frac{1}{2}(2b)^d(2b-1)^2 \frac{(2b)^d - 1}{2b}$$

$$\begin{align*} \mathrm{card}(\mathcal{E}_{(d),2b+1}^{\dagger}) &= 2(2b+1)^{d-1}(b^2-b+1) + b(2b-1)(2b+1)^{q_2(d-1)} \left( \sum_{k=0}^{q_2(d)-1} (2b+1)^k \right) \\ &= 2(2b+1)^{d-1}(b^2-b+1) + (2b-1)(2b+1)^{q_2(d-1)} \frac{(2b+1)^{q_2(d)} - 1}{2} \end{align*}$$

$$\begin{align*} \mathrm{card}(\mathcal{D}_{(2d+1),b}^{\dagger}) &= (b-3)(2b-1)^d + (b-1) \left( \sum_{k=0}^{d-1} (2b-1)^k \right) \\ &= (b-3)(2b-1)^d + \frac{(2b-1)^d - 1}{2} \\ &= \frac{1}{2} ((2b-5)(2b-1)^d - 1) \end{align*}$$

$$\begin{align*} \mathrm{card}(\mathcal{D}_{(2d),b}^{\dagger}) &= b(b-3)(2b-1)^{d-1} + b(b-1) \left( \sum_{k=0}^{d-2} (2b-1)^k \right) + q_2(b) \\ &= b(b-3)(2b-1)^{d-1} + b \frac{(2b-1)^{d-1} - 1}{2} + q_2(b) \\ &= \frac{b}{2} ((2b-5)(2b-1)^{d-1} - 1) + q_2(b) \end{align*}$$

Dans le programme de la sous-section 4.9, on a donné un programme pour calculer les riboutins. Ce programme calcule les riboutins de degré *d* en base *b* à partir de la liste des ducs quasi-elingards de degré *d* en base *b*. On peut se demander s'il n'existe pas une méthode plus rapide pour les calculer.

### Bacouette 5.4.2

(BAC - 11) Trouver un critère mathématique pour les riboutins de degré *d* en base *b* qui permettent de calculer l'ensemble $\mathcal{D}_{d,b}^{\dagger}$ plus facilement.

## 5.5 Etude de $\mathcal{B}_{1,b} \subset \mathcal{N}_b$

On a montré au lemme 4.7.1 que tout nombre de degré 0 en base *b* est normand en base *b*. On peut se demander si tout nombre de degré 1 en base *b* est normand en base *b*, et si oui, s'il existe une preuve simple du résultat.

Pour imaginer avoir une preuve simple, il faudrait que pour toute base *b*, l'entier :

$$\Lambda_{1,b} := \max \lambda_b (\mathcal{B}_{1,b})$$

soit petit, et même mieux soit majoré indépendement de la base *b*. Voici quelques valeurs de $\Lambda_{1,b}$ :

<table><tr><td>b</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>10</td><td>20</td><td>29</td><td>51</td><td>104</td><td>138</td><td>189</td></tr><tr><td>Λ<sub>1,b</sub></td><td>3</td><td>4</td><td>3</td><td>8</td><td>15</td><td>23</td><td>148</td><td>760</td><td>1158</td><td>2624</td><td>3875</td></tr></table>

Il semble à la vue du tableau, que $\Lambda_{1,b}$ ne soit pas majoré par une constante indépendant de *b*. Tout n'est pas perdu d'avance car pour "preque tout" $b \in \mathbb{N}_2^{2000}$ on a informatiquement que :

$$\lambda_b((b-1 | b-2)_{1,b}) = \Lambda_{b,2}$$

id est la valeur maximale de $\lambda_b$ sur $\mathcal{B}_{1,b}$ est en :

$$(b-1 | b-2)_{1,b}.$$

On conjecture alors les deux bacouettes suivantes.
Bacouette 5.5.1

(BAC - 12) On a :

$$
\delta_2 ( \{ b \in \mathbb{N}_2, \mathcal{B}_{2,b} \subset \mathcal{N}_b \} ) = 1.
$$

(BAC - 13) On a :

$$
\delta_2 ( \{ b \in \mathbb{N}_2, \lambda_b ( (b-1 | b-2)_{2,b} ) = \Lambda_{b,2} \} ) = 1.
$$

5.6 Etude sur la densité

On a montré à la proposition 4.7.3 que $\delta_2(\mathcal{M}_n) = 1$. On conjecture alors les deux bacouettes suivantes.

Bacouette 5.6.1

(BAC - 14) Pour toute base $b$, on a :

$$
\delta_{\bullet}(\mathcal{N}_b) = 1.
$$

(BAC - 15) On a :

$$
\delta_2 ( \{ b \in \mathbb{N}_2, \mathcal{N}_b = \mathbb{N}_\bullet \} ) = 1.
$$

5.7 Etude de N_b = N_• pour b petit

Il semblerait que $\mathcal{N}_b = \mathbb{N}_\bullet$ pour $b \in \{3,4\}$ puisse se montrer comme dans le cas $b := 2$ en étudiant simplement des cas mais cette fois-ci en faisant un programme informatique. Justifions cela.

Dans la sous-section5.1, on a étudié l'entier $\mathfrak{p}_b$ et montré qu'informatiquement pour $n \le 10^9$, $\mathfrak{p}_b = 6$.
On peut continuer l'étude. Posons pour tout $r \in \mathbb{N}_1$ (l'entier valant $+\infty$ dans le cas où l'ensemble est vide) :

$$
\mathfrak{p}_{r,b} := \max \left\{ k \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, \sum_{l=0}^{k} \mathrm{rg}_b(\gamma_b^l(n)) \le r \right\} \quad (107)
$$

On a le tableau suivant en étudiant les nombres jusqu'à 10⁹ :

$$
\tilde{\mathfrak{p}}_{r,b} := \max \left\{ k \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, \sum_{l=0}^{k} \mathrm{rg}_b(\gamma_b^l(n)) \le r \right\} \quad (108)
$$

<table>
  <thead>
    <tr>
      <th>r</th>
      <th>1</th>
      <th>2</th>
      <th>3</th>
      <th>4</th>
      <th>5</th>
      <th>6</th>
      <th>7</th>
      <th>8</th>
      <th>9</th>
      <th>10</th>
      <th>11</th>
      <th>12</th>
      <th>13</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <th>˜<i>p</i><sub>r,3</sub></th>
      <td>6</td>
      <td>11</td>
      <td>14</td>
      <td>14</td>
      <td>14</td>
      <td>14</td>
      <td>14</td>
      <td>14</td>
      <td>14</td>
      <td>14</td>
      <td>14</td>
      <td>14</td>
      <td>14</td>
    </tr>
    <tr>
      <th>˜<i>p</i><sub>r,4</sub></th>
      <td>6</td>
      <td>10</td>
      <td>11</td>
      <td>11</td>
      <td>11</td>
      <td>11</td>
      <td></td>
      <td></td>
      <td></td>
      <td></td>
      <td></td>
      <td></td>
      <td></td>
    </tr>
    <tr>
      <th>˜<i>p</i><sub>r,10</sub></th>
      <td>143</td>
      <td>143</td>
      <td>143</td>
      <td>143</td>
      <td>143</td>
      <td>143</td>
      <td>143</td>
      <td>143</td>
      <td>143</td>
      <td>143</td>
      <td>143</td>
      <td>143</td>
      <td>143</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

Bacouette 5.7.1

(BAC - 16) On peut montrer à l'aide d'un programme informatique que $\mathcal{N}_b = \mathbb{N}_\bullet$ pour $b \in \{3,4\}$.

(BAC - 17) On a $\mathfrak{p}_{r,3} = 14$ et $\mathfrak{p}_{r,4} = 11$ pour tout $r \in \mathbb{N}_3$ et $\mathfrak{p}_{r,10} = 143$ pour tout $r \in \mathbb{N}$.

On a la relation suivante entre les deux bacouettes.

Proposition 5.7.2

Les bacouettes (BAC - 6) et (BAC - 17) impliquent la bacouette (BAC - 16).
Dans le cas $b := 3$, on remarque qu'on peut simplifier le nombre de cas à étudier.

### Exemple 5.7.3

Soit $n \in \mathcal{D}_3^\dagger$. Alors on a que deux possiblités (avec $d \in \mathbb{N}_1$) :

$$n = (2 | \dots | 0)_{d,3}, \quad n = (2 | \dots | 1)_{d,3}.$$

Montrons que les cas difficiles du premier cas se ramène au second cas en remplaçant $d$ par $d+1$.

Cas $n = (2 | \dots | 0)_{d,3}$. On a alors quatre cas :

$$(1.a) \qquad n = (2 | 1 | \dots | 0 | 0)_{d,3}$$

$$(1.b) \qquad n = (2 | 2 | \dots | 0 | 0)_{d,3}$$

$$(1.c) \qquad n = (2 | 2 | \dots | 1 | 0)_{d,3}$$

$$(1.d) \qquad n = (2 | 2 | \dots | 2 | 0)_{d,3}$$

Pour le cas (1.a), on remarque qu'il a un voyage fini en degré car :

$$\gamma_3^2((2 | 1 | \dots | 0 | 0)_{d,3}) = \gamma_3((2 | a | \dots | 1 | 2)_{d,3}) = (a | \dots | 1)_{d-2,3}$$

Pour le cas (1.b), on a soit :

$$\gamma_3^2((2 | 2 | \dots | 0 | 0)_{d,3}) = \gamma_3((2 | 2 | \dots | 2 | 2)_{d,3}) = (\dots)_{d-4,3}$$

$$(1.b') \qquad \gamma_3((2 | 2 | \dots | 0 | 0)_{d,3}) = (1 | \dots | 2)_{d+1,3}$$

Pour les cas (1.c) et (1.d), on a (avec $a \in \{0, 1, 2\}$) :

$$\gamma_3((2 | 2 | \dots | a | 0)_{d,3}) = (1 | \dots | 2)_{d+1,3}.$$

Donc pour montrer les cas (1.b'), (1.c) et (1.d), il suffit de montrer le cas :

$$(2 | \dots | 1)_{d+1,3}.$$

Ainsi pour montrer que $\mathcal{D}_3^\dagger \subset \mathcal{V}_3^\dagger$, il suffit de montrer que pour tout $n := (2 | \dots | 1)_{d+1,3}$, il existe $k \in \mathbb{N}_1$ tel que :

$$d_3(\gamma_3^k(n)) < d.$$

## 5.8 Etude de $\mathcal{N}_b \neq \mathbb{N}_\bullet$

Dans cette sous-section, on donne les bacouettes concernant les bases $b$ où il existe des nombres non-nomands.

On commence par les bases $b$ contenant des nombres celtes.

### Bacouette 5.8.1

(BAC - 18) La première valeur de $b$ avec des entiers non normands id est $\mathcal{N}_b \neq \mathbb{N}_\bullet$ est $b := 9$ plus précisément, c'est la première valeur de $b$ avec des nombres bretons (ou celtes) :

$$\min\{b \in \mathbb{N}_2, \mathcal{N}_b \neq \mathbb{N}_\bullet\} = \min\{b \in \mathbb{N}_2, \mathcal{F}_b \neq \emptyset\} = 9.$$

(BAC - 19) La première valeur pair avec des nombres celtes est $b := 18 = 2 \times 9$.
On peut étudier ensuite la densité des entiers qui sont au moins celtes dans une base. En faisant des simulations informatiques, la courbe semble tendre vers une constante.

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

La courbe est :

$$n \in [0, 10^6] \mapsto \mathrm{card}(\{n \in \mathbb{N}, \exists b \in \mathbb{N}_2^{100}, n \in \mathscr{C}_b\}) \approx \frac{1}{200}. \quad (109)$$

On n'a pas pris des bases plus grandes que 100 contenant des nombres celtes pour faciliter le calcul et permettre d'avoir une simulation sur de plus grands entiers. A priori, la courbe exacte devrait être légèrement plus haute pour les grandes valeurs id est il existe certainement des entiers entre 1 et $10^6$ qui sont celtes pour une base $b > 100$.

### Bacouette 5.8.2

(BAC - 20) On a :

$$\mathrm{card}(\{n \in \mathbb{N}, \exists b \in \mathbb{N}_2, n \in \mathscr{C}_b\}) \approx \frac{1}{200}.$$

Aux vues de simulations informatiques en annexe A, il semble qu'il y ait des nombres québecois pour seulement certaines bases bien choisies.

### Bacouette 5.8.3

(BAC - 21) Les quatre premières valeurs de $b$ avec des nombres québecois de degré 1 sont :

$$258 = 2^8 + 2, \quad 512 = 2^9, \quad 1024 = 2^{10}, \quad 4096 = 2^{12}.$$

(BAC - 22) Les valeurs de $b$ avec des nombres québecois sont du type :

$$b := 2^{b'}, \quad b := 2^{b'} + 2 \quad (b' \in \mathbb{N}_6).$$

On finit cette section avec les nombres siciliens.

### Bacouette 5.8.4

(BAC - 23) Existe-t-il des nombres siciliens dans une base $b$ choisies ?
# 6 Les extensions et variantes

On finit le texte avec diverses extensions et variantes. On notera dans cette sous-section pour un entier $n_0$ et une base $b$ fixée :

$$ \forall k \in \mathbb{N}, n_k := \gamma_b^k(n_0). \qquad (110) $$

La suite normande associée à $n_0$ en base $b$ sera alors notée avec une flèche :

$$ n_0 \to n_1 \to \dots \qquad (111) $$

## 6.1 Changer l'opération de réduction

Regardons le nombre $n_0 := 305\,403$ en base 10. On a deux possibilités. On réduit soit totalement la partie palindromique 30 à gauche et 03 à droite en :

$$ n_0 := \textcolor{red}{305\,403} \to n_1 := 54 \to n_2 := 54 + 45 = \textcolor{blue}{99} \to n_3 := \textcolor{green}{\bullet} $$

soit on réduit une fois en (et on enlève les 0 à gauche) :

$$ n_0 := \textcolor{red}{305\,403} \to n_1 := \textcolor{blue}{0\,540} = 540 \to n_2 := 540 + 045 = \textcolor{green}{585} \to n_3 := \textcolor{red}{8} \to n_4 := \textcolor{green}{\bullet}. $$

Nous avons choisi la première option dans ce texte. L'autre pourrait tout à fait se jutifier. La raison pour laquelle j'ai choisi la première option est pour des nombres palindromiques du type $n_0 := 3\,075\,703$ avec la première option on a directement :

$$ n_0 := \textcolor{red}{3\,075\,703} \to n_1 := \textcolor{green}{\bullet} $$

alors qu'avec la deuxième option, on a :

$$ \begin{align*} n_0 := \textcolor{red}{3\,075\,703} & \to n_1 := \textcolor{blue}{0\,7570} = 7570 \to n_2 := 7570 + 757 = 8327 \to n_3 := 8327 + 7238 = 15565 \\ & \to n_4 := 15565 + 56551 = 72116 \to n_5 := 72116 + 61127 = 133243 \\ & \to n_6 := 133243 + 342331 = \textcolor{green}{475574} \to n_7 := \textcolor{red}{7557} \\ & \to n_8 := \textcolor{red}{55} \to n_9 := \textcolor{green}{\bullet}. \end{align*} $$

Dans les deux cas, le résultat final est le même. En testant informatiquement la deuxième option, on se rend compte que les bases $b$ inférieures à 100 avec des nombres celtes sont les mêmes. Une question est tout de même de se demander si les bases problématiques où on a des nombres celtes ou québecois restent les mêmes ?

## 6.2 Changer l'opération de palindromisation

Quand on ajoute à un nombre son miroir, on peut changer l'addition chiffre par chiffre et prendre ce qu'on appelle une loi de composition interne.

Reprenons par exemple $n_0 := 149\,823$ en base 10. Comme les chiffres extrêmes de $n_0$ sont différents, on lui "ajoute" (avec la multiplication) son miroir :

$$ \begin{array}{c} \textcolor{red}{1} \quad \textcolor{red}{7} \quad \textcolor{red}{7} \\ \textcolor{red}{1} \quad \textcolor{red}{4} \quad \textcolor{red}{9} \quad \textcolor{red}{8} \quad \textcolor{red}{2} \quad \textcolor{red}{3} \\ \textcolor{red}{\otimes} \quad \textcolor{red}{3} \quad \textcolor{red}{2} \quad \textcolor{red}{8} \quad \textcolor{red}{9} \quad \textcolor{red}{4} \quad \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{red}{4} \quad \textcolor{red}{5} \quad \textcolor{red}{9} \quad \textcolor{red}{2} \quad \textcolor{red}{8} \quad \textcolor{red}{3} \end{array} $$

On se rend compte que la retenue n'est plus forcément 0 ou 1 mais est un nombre inférieur à 9 (à $b-1$ dans le cas général). Et ainsi de suite, on a :

$$ \begin{array}{c} n_0 \to n_1 := 459\,283 \to \\ \text{\Large$\otimes$} \\ n_2 := \textcolor{red}{1} \quad \textcolor{red}{6} \quad \textcolor{red}{2} \quad \textcolor{red}{0} \quad \textcolor{red}{2} \quad \textcolor{red}{1} \quad \textcolor{red}{1} \\ \text{\Large$n_2 := 1$} \end{array} \to n_3 := 62\,021 \to \dots $$
## 6.3 Divisions euclidiennes dans $\mathbb{R}_+^*$

On peut étendre les décompositions en base rationnelle ou réelle à des rationnels ou à des réels. Par exemple, prenons $n_0 := 38.5$ en base $b := 2.1$. On a :

$$ 
\begin{aligned}
n_0 &= 18 \times 2.1 + 0.7 \\
&= (8 \times 2.1 + 1.2) \times 2.1 + 0.7 = 8 \times 2.1^2 + 1.2 \times 2.1 + 0.7 \\
&= (3 \times 2.1 + 1.7) \times 2.1^2 + 1.2 \times 2.1 + 0.7 = 3 \times 2.1^3 + 1.7 \times 2.1^2 + 1.2 \times 2.1 + 0.7 \\
&= (1 \times 2.1 + 0.7) \times 2.1^3 + 1.7 \times 2.1^2 + 1.2 \times 2.1 + 0.7 \\
&= \textcolor{red}{1} \times 2.1^4 + \textcolor{red}{0.7} \times 2.1^3 + \textcolor{red}{1.7} \times 2.1^2 + \textcolor{red}{1.2} \times 2.1^1 + \textcolor{red}{0.7} \times 2.1^0
\end{aligned}
$$

qu'on notera :

$$ n_0 = (1 \mid 0.7 \mid 1.7 \mid 1.2 \mid 0.7)_{4,2.1}. $$

On peut ensuite appliquer un algorithme similaire. Comme les chiffres extrêmes de $n_0$ sont différents, on lui ajoute son miroir :

$$ 
\begin{array}{c@{\hspace{1em}}r@{\hspace{1em}}r@{\hspace{1em}}r@{\hspace{1em}}r@{\hspace{1em}}r}
 & \multicolumn{1}{c}{\textcolor{red}{1}} & \multicolumn{1}{c}{\textcolor{red}{1}} & \multicolumn{1}{c}{\textcolor{red}{1}} & & \\
 & \multicolumn{1}{c}{\textcolor{red}{1}} & \multicolumn{1}{c}{0.7} & \multicolumn{1}{c}{1.7} & \multicolumn{1}{c}{1.2} & \multicolumn{1}{c}{0.7} & \\
+ & \multicolumn{1}{c}{0.7} & \multicolumn{1}{c}{1.2} & \multicolumn{1}{c}{1.7} & \multicolumn{1}{c}{0.7} & \multicolumn{1}{c}{1} & \\
\hline
n_1 := & \multicolumn{1}{c}{1} & \multicolumn{1}{c}{0.6} & \multicolumn{1}{c}{0.8} & \multicolumn{1}{c}{1.3} & \multicolumn{1}{c}{1.9} & \multicolumn{1}{c}{1.7}
\end{array}
$$

Et ainsi de suite, on peut étudier sa suite normande en base $b := 2.1$.

## 6.4 Divisions euclidiennes dans un anneau euclidien

On peut travailler sur un anneau euclidien quelconque. Par exemple, l'anneau des polynômes $\mathbb{R}[X]$ sur le corps des réels. On voit facilement que l'addition "chiffre" par "chiffre" n'est pas intéressante, mais la multiplication a tout son intérêt.
# A Etudes informatiques

On étudie dans cette section grâce à des programmes informatiques en Python ce qui se passe pour des petites bases.

## A.1 Cas $\mathcal{B}_{d,b} \subset \mathcal{N}_b$

Dans cette première sous-section, on étudie les bases $b$ entre 2 et 100 telles que :

$$ \mathcal{B}_{d,b} \subset \mathcal{N}_b $$

avec $d \in \mathbb{N}$ tel que :

$$ b^d - 1 \geq 10^9. $$

Le tableau comporte quatre colonnes :

* la première colonne est la base $b$ considérée;

* la deuxième colonne est l'entier $d$ considéré;

* la troisième colonne est la valeur de $b^d - 1$;

* la quatrième colonne est le cardinal de $\text{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b})$. Cela représente le nombre de ducs quasi-elingards en base $b$ dont on a montré qu'il avait un voyage fini en degré en base $b$ pour montrer que $\mathcal{B}_{d,b} \subset \mathcal{N}_b$.

Par exemple, pour $b := 3$, on a dû tester 7 812 499 ducs quasi-elingards en base 3 de degré inférieur à 19 pour montrer que tous les entiers entre 1 et 1 162 261 466 sont normands en base 3.

<table><thead><tr><th>b</th><th>d</th><th>b<sup>d</sup> - 1</th><th>card(\tilde{\mathcal{D}}<sub>d,b</sub>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>3</td><td>19</td><td>3<sup>19</sup> - 1 = 1 162 261 466</td><td>7 812 499</td></tr><tr><td>4</td><td>17</td><td>4<sup>17</sup> - 1 = 17 179 869 183</td><td>19 216 004</td></tr><tr><td>5</td><td>15</td><td>5<sup>15</sup> - 1 = 30 517 578 124</td><td>17 936 135</td></tr><tr><td>6</td><td>13</td><td>6<sup>13</sup> - 1 = 13 060 694 015</td><td>7 440 558</td></tr><tr><td>7</td><td>12</td><td>7<sup>12</sup> - 1 = 13 841 287 200</td><td>4 331 754</td></tr><tr><td>8</td><td>12</td><td>8<sup>12</sup> - 1 = 68 719 476 735</td><td>9 980 360</td></tr><tr><td>10</td><td>11</td><td>10<sup>11</sup> - 1 = 99 999 999 999</td><td>15 131 720</td></tr><tr><td>12</td><td>9</td><td>12<sup>9</sup> - 1 = 5 159 780 351</td><td>3 637 932</td></tr><tr><td>14</td><td>8</td><td>14<sup>8</sup> - 1 = 1 475 789 055</td><td>807 002</td></tr><tr><td>15</td><td>10</td><td>15<sup>10</sup> - 1 = 576 650 390 624</td><td>16 671 630</td></tr><tr><td>16</td><td>8</td><td>16<sup>8</sup> - 1 = 4 294 967 295</td><td>1 400 176</td></tr><tr><td>20</td><td>7</td><td>20<sup>7</sup> - 1 = 1 279 999 999</td><td>1 245 698</td></tr><tr><td>21</td><td>8</td><td>21<sup>8</sup> - 1 = 37 822 859 360</td><td>2 243 388</td></tr><tr><td>22</td><td>8</td><td>22<sup>8</sup> - 1 = 54 875 873 535</td><td>2 707 034</td></tr><tr><td>23</td><td>8</td><td>23<sup>8</sup> - 1 = 78 310 985 280</td><td>3 239 090</td></tr><tr><td>27</td><td>7</td><td>27<sup>7</sup> - 1 = 10 460 353 202</td><td>2 164 455</td></tr><tr><td>29</td><td>7</td><td>29<sup>7</sup> - 1 = 17 249 876 308</td><td>2 877 119</td></tr><tr><td>30</td><td>7</td><td>30<sup>7</sup> - 1 = 21 869 999 999</td><td>3 293 160</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>b</th><th>d</th><th>b<sup>d</sup> - 1</th><th>card(\tilde{\mathcal{D}}<sub>d,b</sub>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>31</td><td>7</td><td>31<sup>7</sup> - 1 = 27 512 614 110</td><td>3 752 767</td></tr><tr><td>32</td><td>6</td><td>32<sup>6</sup> - 1 = 1 073 741 823</td><td>194 624</td></tr><tr><td>33</td><td>6</td><td>33<sup>6</sup> - 1 = 1 291 467 968</td><td>213 510</td></tr><tr><td>34</td><td>6</td><td>34<sup>6</sup> - 1 = 1 544 804 415</td><td>233 580</td></tr><tr><td>35</td><td>6</td><td>35<sup>6</sup> - 1 = 1 838 265 624</td><td>254 870</td></tr><tr><td>36</td><td>6</td><td>36<sup>6</sup> - 1 = 2 176 782 335</td><td>277 416</td></tr><tr><td>37</td><td>6</td><td>37<sup>6</sup> - 1 = 2 565 726 408</td><td>301 254</td></tr><tr><td>39</td><td>6</td><td>39<sup>6</sup> - 1 = 3 518 743 760</td><td>352 950</td></tr><tr><td>41</td><td>6</td><td>41<sup>6</sup> - 1 = 4 750 104 240</td><td>410 246</td></tr><tr><td>42</td><td>6</td><td>42<sup>6</sup> - 1 = 5 489 031 743</td><td>441 084</td></tr><tr><td>43</td><td>6</td><td>43<sup>6</sup> - 1 = 6 321 363 048</td><td>473 430</td></tr><tr><td>44</td><td>6</td><td>44<sup>6</sup> - 1 = 7 256 313 855</td><td>507 320</td></tr><tr><td>48</td><td>6</td><td>48<sup>6</sup> - 1 = 12 230 590 463</td><td>659 040</td></tr><tr><td>50</td><td>6</td><td>50<sup>6</sup> - 1 = 15 624 999 999</td><td>745 100</td></tr><tr><td>52</td><td>6</td><td>52<sup>6</sup> - 1 = 19 770 609 663</td><td>838 344</td></tr><tr><td>53</td><td>6</td><td>53<sup>6</sup> - 1 = 22 164 361 128</td><td>887 750</td></tr><tr><td>54</td><td>6</td><td>54<sup>6</sup> - 1 = 24 794 911 295</td><td>939 060</td></tr><tr><td>55</td><td>6</td><td>55<sup>6</sup> - 1 = 27 680 640 624</td><td>992 310</td></tr></tbody></table>
<table><thead><tr><th>b</th><th>d</th><th>b<sup>d</sup> - 1</th><th>card(\tilde{\mathcal{D}}<sub>d,b</sub>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>56</td><td>6</td><td>56<sup>6</sup> - 1 = 30 840 979 455</td><td>1 047 536</td></tr><tr><td>57</td><td>6</td><td>57<sup>6</sup> - 1 = 34 296 447 248</td><td>1 104 774</td></tr><tr><td>58</td><td>6</td><td>58<sup>6</sup> - 1 = 38 068 692 543</td><td>1 164 060</td></tr><tr><td>59</td><td>6</td><td>59<sup>6</sup> - 1 = 42 180 533 640</td><td>1 225 430</td></tr><tr><td>60</td><td>6</td><td>60<sup>6</sup> - 1 = 46 655 999 999</td><td>1 288 920</td></tr><tr><td>61</td><td>6</td><td>61<sup>6</sup> - 1 = 51 520 374 360</td><td>1 354 566</td></tr><tr><td>62</td><td>6</td><td>62<sup>6</sup> - 1 = 56 800 235 583</td><td>1 422 404</td></tr><tr><td>64</td><td>5</td><td>64<sup>5</sup> - 1 = 1 073 741 823</td><td>532 544</td></tr><tr><td>65</td><td>5</td><td>65<sup>5</sup> - 1 = 1 160 290 624</td><td>557 765</td></tr><tr><td>66</td><td>5</td><td>66<sup>5</sup> - 1 = 1 252 332 575</td><td>583 770</td></tr><tr><td>67</td><td>5</td><td>67<sup>5</sup> - 1 = 1 350 125 106</td><td>610 571</td></tr><tr><td>68</td><td>5</td><td>68<sup>5</sup> - 1 = 1 453 933 567</td><td>638 180</td></tr><tr><td>69</td><td>5</td><td>69<sup>5</sup> - 1 = 1 564 031 348</td><td>666 609</td></tr><tr><td>70</td><td>5</td><td>70<sup>5</sup> - 1 = 1 680 699 999</td><td>695 870</td></tr><tr><td>71</td><td>5</td><td>71<sup>5</sup> - 1 = 1 804 229 350</td><td>725 975</td></tr><tr><td>72</td><td>5</td><td>72<sup>5</sup> - 1 = 1 934 917 631</td><td>756 936</td></tr><tr><td>73</td><td>5</td><td>73<sup>5</sup> - 1 = 2 073 071 592</td><td>788 765</td></tr><tr><td>74</td><td>5</td><td>74<sup>5</sup> - 1 = 2 219 006 623</td><td>821 474</td></tr><tr><td>75</td><td>5</td><td>75<sup>5</sup> - 1 = 2 373 046 874</td><td>855 075</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>b</th><th>d</th><th>b<sup>d</sup> - 1</th><th>card(\tilde{\mathcal{D}}<sub>d,b</sub>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>76</td><td>5</td><td>76<sup>5</sup> - 1 = 2 535 525 375</td><td>889 580</td></tr><tr><td>77</td><td>5</td><td>77<sup>5</sup> - 1 = 2 706 784 156</td><td>925 001</td></tr><tr><td>78</td><td>5</td><td>78<sup>5</sup> - 1 = 2 887 174 367</td><td>961 350</td></tr><tr><td>79</td><td>5</td><td>79<sup>5</sup> - 1 = 3 077 056 398</td><td>998 639</td></tr><tr><td>81</td><td>5</td><td>81<sup>5</sup> - 1 = 3 486 784 400</td><td>1 076 085</td></tr><tr><td>82</td><td>5</td><td>82<sup>5</sup> - 1 = 3 707 398 431</td><td>1 116 266</td></tr><tr><td>84</td><td>5</td><td>84<sup>5</sup> - 1 = 4 182 119 423</td><td>1 199 604</td></tr><tr><td>85</td><td>5</td><td>85<sup>5</sup> - 1 = 4 437 053 124</td><td>1 242 785</td></tr><tr><td>87</td><td>5</td><td>87<sup>5</sup> - 1 = 4 984 209 206</td><td>1 332 231</td></tr><tr><td>88</td><td>5</td><td>88<sup>5</sup> - 1 = 5 277 319 167</td><td>1 378 520</td></tr><tr><td>90</td><td>5</td><td>90<sup>5</sup> - 1 = 5 904 899 999</td><td>1 474 290</td></tr><tr><td>91</td><td>5</td><td>91<sup>5</sup> - 1 = 6 240 321 450</td><td>1 523 795</td></tr><tr><td>93</td><td>5</td><td>93<sup>5</sup> - 1 = 6 956 883 692</td><td>1 626 105</td></tr><tr><td>94</td><td>5</td><td>94<sup>5</sup> - 1 = 7 339 040 223</td><td>1 678 934</td></tr><tr><td>95</td><td>5</td><td>95<sup>5</sup> - 1 = 7 737 809 374</td><td>1 732 895</td></tr><tr><td>96</td><td>5</td><td>96<sup>5</sup> - 1 = 8 153 726 975</td><td>1 788 000</td></tr><tr><td>98</td><td>5</td><td>98<sup>5</sup> - 1 = 9 039 207 967</td><td>1 901 690</td></tr><tr><td>99</td><td>5</td><td>99<sup>5</sup> - 1 = 9 509 900 498</td><td>1 960 299</td></tr><tr><td>100</td><td>5</td><td>100<sup>5</sup> - 1 = 9 999 999 999</td><td>3 999 700</td></tr></tbody></table>
## A.2 Cas des bases avec triskèle

On donne dans cette sous-section les bases $b$ inférieures à 100 contenant des nombres celtes. Voici comment on présente les résultats. Pour chaque base $b$, on donne :

(1) $d, b^d-1$, card($\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}$) : on a testé tous les entiers entre 1 et $b^d-1$. Cela a nécessité le test de card($\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}$) ducs quasi-elingards.

(2) $\blacklozenge$: pour chaque triskèle $\mathcal{T}$ en base $b$, on note $\mathfrak{b} := \tau_b(\mathcal{T}) = \min \mathcal{T}$ (le nombre breton en base $b$ qui est le minimum du triskèle $\mathcal{T}$), on donne son identité, le plus petits ducs elingards $n_b$ en base $b$ qui est celte en base $b$ et tel que $\mathfrak{b}$ soit son trisk, et le nombre $N_b$ de ducs elingards de même degré que $n_b$ ayant $\mathfrak{b}$ comme trisk.

$$ \spadesuit \ b = 9 $$

$$ d := 12, \ b^d - 1 = 9^{12} - 1 = 282\,429\,536\,480, \ \text{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 20\,765\,412 $$

$$ \blacklozenge \quad \mathfrak{b} = (8 \mid 2 \mid 8 \mid 6 \mid 2 \mid 0 \mid 2 \mid 7 \mid 0 \mid 2 \mid 7)_{10,9} = 29\,043\,268\,900 : $$

$$ \mathrm{Id}_{\mathfrak{b}}(\mathfrak{b}) = (18, (2, 16)), \ N_{\mathfrak{b}} = 38 $$

$$ n_{\mathfrak{b}} = (8 \mid 4 \mid 8 \mid 3 \mid 3 \mid 0 \mid 0 \mid 0 \mid 7)_{8,9} = 367\,954\,009 $$

$$ \spadesuit \ b = 11 $$

$$ d := 11, \ b^d - 1 = 11^{11} - 1 = 285\,311\,670\,610, \ \text{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 26\,955\,071 $$

$$ \blacklozenge \quad \mathfrak{b} = (9 \mid 3 \mid 10 \mid 2 \mid 8)_{4,11} = 137\,002 : $$

$$ \mathrm{Id}_{\mathfrak{b}}(\mathfrak{b}) = (5, (1, 4)), \ N_{\mathfrak{b}} = 1 $$

$$ n_{\mathfrak{b}} = (10 \mid 10 \mid 10 \mid 8)_{3,11} = 14\,638 $$

$$ \blacklozenge \quad \mathfrak{b} = (9 \mid 3 \mid 5 \mid 1 \mid 7 \mid 0 \mid 8 \mid 2 \mid 5 \mid 2 \mid 8)_{10,11} = 241\,614\,467\,410 : $$

$$ \mathrm{Id}_{\mathfrak{b}}(\mathfrak{b}) = (5, (1, 4)), \ N_{\mathfrak{b}} = 13 $$

$$ n_{\mathfrak{b}} = (10 \mid 5 \mid 10 \mid 2 \mid 0 \mid 0 \mid 0 \mid 0 \mid 8)_{9,11} = 24\,849\,686\,155 $$

$$ \blacklozenge \quad \mathfrak{b} = (9 \mid 3 \mid 10 \mid 2 \mid 8 \mid 5 \mid 5 \mid 9 \mid 3 \mid 10 \mid 2 \mid 8)_{11,11} = 2\,669\,791\,201\,404 : $$

$$ \mathrm{Id}_{\mathfrak{b}}(\mathfrak{b}) = (5, (1, 4)), \ N_{\mathfrak{b}} = 34 $$

$$ n_{\mathfrak{b}} = (10 \mid 5 \mid 10 \mid 3 \mid 0 \mid 0 \mid 0 \mid 0 \mid 0 \mid 8)_{10,11} = 273\,366\,034\,796 $$

$$ \spadesuit \ b = 13 $$

$$ d := 10, \ b^d - 1 = 13^{10} - 1 = 137\,858\,491\,848, \ \text{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 8\,040\,370 $$

$$ \blacklozenge \quad \mathfrak{b} = (10 \mid 5 \mid 7 \mid 4 \mid 7 \mid 4 \mid 9)_{6,13} = 50\,334\,514 : $$

$$ \mathrm{Id}_{\mathfrak{b}}(\mathfrak{b}) = (5, (1, 4)), \ N_{\mathfrak{b}} = 4 $$

$$ n_{\mathfrak{b}} = (12 \mid 7 \mid 2 \mid 0 \mid 10)_{4,13} = 358\,459 $$

$$ \blacklozenge \quad \mathfrak{b} = (12 \mid 2 \mid 11 \mid 12 \mid 2 \mid 11)_{5,13} = 4\,538\,870 : $$

$$ \mathrm{Id}_{\mathfrak{b}}(\mathfrak{b}) = (18, (2, 16)), \ N_{\mathfrak{b}} = 4 $$

$$ n_{\mathfrak{b}} = (12 \mid 7 \mid 2 \mid 0 \mid 11)_{4,13} = 358\,460 $$
$$
\vcenter{\hbox{\qquad\textbf{\texttt{\textbf{\textbf{\textbf{\textbf{\textbf{\textbf{b}}}}}}}}
\textbf{b} = (10 \mid 5 \mid 7 \mid 7 \mid 4 \mid 9)_{5,13} = 3\,872\,358 :
$$

$$
\begin{align*}
\mathrm{Id}_b(\mathfrak{b}) &= (5, (1, 4)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 4 \\
n_{\mathfrak{b}} &= (12 \mid 9 \mid 2 \mid 0 \mid 0 \mid 7)_{5,13} = 4\,716\,966
\end{align*}
$$

$$
\vcenter{\hbox{\qquad\textbf{\texttt{\textbf{\textbf{\textbf{b}}}}}}
\textbf{b} = (10 \mid 5 \mid 7 \mid 7 \mid 1 \mid 11 \mid 12 \mid 2 \mid 7 \mid 7 \mid 4 \mid 9)_{11,13} = 18\,690\,958\,382\,950 :
$$

$$
\begin{align*}
\mathrm{Id}_b(\mathfrak{b}) &= (5, (1, 4)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 4 \\
n_{\mathfrak{b}} &= (12 \mid 7 \mid 1 \mid 3 \mid 7 \mid 0 \mid 0 \mid 0 \mid 0 \mid 10)_{9,13} = 133\,043\,935\,528
\end{align*}
$$

$$
\text{\Large{\textbf{\textit{b}}}} \text{\Large{\textbf{b}} = 17}
$$

$$
d := 9, \quad b^d - 1 = 17^9 - 1 = 118\,587\,876\,496, \quad \mathrm{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 1\,134\,037\,777
$$

$$
\vcenter{\hbox{\qquad\textbf{\texttt{\textbf{\textbf{\textbf{b}}}}}}
\textbf{b} = (14 \mid 5 \mid 11 \mid 8 \mid 11 \mid 4 \mid 13)_{6,17} = 345\,986\,546 :
$$

$$
\begin{align*}
\mathrm{Id}_b(\mathfrak{b}) &= (5, (1, 4)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 44 \\
n_{\mathfrak{b}} &= (16 \mid 9 \mid 6 \mid 0 \mid 0 \mid 0 \mid 11)_{6,17} = 399\,480\,954
\end{align*}
$$

$$
\vcenter{\hbox{\qquad\textbf{\texttt{\textbf{\textbf{b}}}}}}
\textbf{b} = (14 \mid 5 \mid 11 \mid 12 \mid 12 \mid 11 \mid 4 \mid 13)_{7,17} = 5\,882\,112\,162 :
$$

$$
\begin{align*}
\mathrm{Id}_b(\mathfrak{b}) &= (5, (1, 4)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 8 \\
n_{\mathfrak{b}} &= (16 \mid 9 \mid 6 \mid 8 \mid 0 \mid 0 \mid 0 \mid 11)_{7,17} = 6\,791\,844\,210
\end{align*}
$$

$$
\text{\Large{\textbf{\textit{b}}}} \text{\Large{\textbf{\textit{b}}}} = 18
$$

$$
d := 9, \quad b^d - 1 = 18^9 - 1 = 198\,359\,290\,367, \quad \mathrm{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 15\,094\,530
$$

$$
\vcenter{\hbox{\qquad\textbf{\texttt{\textbf{\textbf{b}}}}}}
\textbf{b} = (17 \mid 4 \mid 4 \mid 5 \mid 4 \mid 16)_{5,18} = 32\,567\,596 :
$$

$$
\begin{align*}
\mathrm{Id}_b(\mathfrak{b}) &= (84, (6, 78)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 2 \\
n_{\mathfrak{b}} &= (17 \mid 14 \mid 8 \mid 0 \mid 16)_{4,18} = 1\,868\,848
\end{align*}
$$

$$
\text{\Large{\textbf{\textit{b}}}} \text{\Large{\textbf{\textit{b}}}} = 19
$$

$$
d := 9, \quad b^d - 1 = 19^9 - 1 = 322\,687\,697\,778, \quad \mathrm{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 19\,782\,819
$$

$$
\vcenter{\hbox{\qquad\textbf{\texttt{\textbf{\textbf{b}}}}}}
\textbf{b} = (16 \mid 5 \mid 13 \mid 13 \mid 4 \mid 15)_{5,19} = 40\,363\,140 :
$$

$$
\begin{align*}
\mathrm{Id}_b(\mathfrak{b}) &= (5, (1, 4)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 8 \\
n_{\mathfrak{b}} &= (18 \mid 8 \mid 7 \mid 0 \mid 15)_{4,19} = 2\,403\,192
\end{align*}
$$

$$
\text{\Large{\textbf{\textit{b}}}} \text{\Large{\textbf{\textit{b}}}} = 24
$$

$$
d := 7, \quad b^d - 1 = 24^7 - 1 = 4\,586\,471\,423, \quad \mathrm{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 1\,354\,224
$$

$$
\vcenter{\hbox{\qquad\textbf{\texttt{\textbf{\textbf{b}}}}}}
\textbf{b} = (22 \mid 16 \mid 21)_{2,24} = 13\,077 :
$$

$$
\begin{align*}
\mathrm{Id}_b(\mathfrak{b}) &= (9, (1, 8)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 2 \\
n_{\mathfrak{b}} &= (23 \mid 16 \mid 20)_{2,24} = 13\,652
\end{align*}
$$
$$ \spadesuit \ b = 25 $$

$$ d := 7, b^d - 1 = 25^7 - 1 = 6103515624, \text{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 1593175 $$

$$ \blacklozenge \quad \mathfrak{b} = (22 \mid 5 \mid 19 \mid 16 \mid 19 \mid 4 \mid 21)_{6,25} = 5427605746 : $$

$$ \mathrm{Id}_{\mathfrak{b}}(\mathfrak{b}) = (5, (1, 4)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 16 $$

$$ n_{\mathfrak{b}} = (24 \mid 8 \mid 17 \mid 0 \mid 0 \mid 21)_{5,25} = 237765646 $$

$$ \blacklozenge \quad \mathfrak{b} = (22 \mid 5 \mid 19 \mid 4 \mid 4 \mid 19 \mid 4 \mid 21)_{7,25} = 135685230746 : $$

$$ \mathrm{Id}_{\mathfrak{b}}(\mathfrak{b}) = (5, (1, 4)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 98 $$

$$ n_{\mathfrak{b}} = (24 \mid 11 \mid 17 \mid 6 \mid 0 \mid 0 \mid 20)_{6,25} = 5973531270 $$

$$ \spadesuit \ b = 26 $$

$$ d := 7, b^d - 1 = 26^7 - 1 = 8031810175, \text{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 1862432 $$

$$ \blacklozenge \quad \mathfrak{b} = (25 \mid 10 \mid 11 \mid 15 \mid 11 \mid 9 \mid 24)_{6,26} = 7847006230 : $$

$$ \mathrm{Id}_{\mathfrak{b}}(\mathfrak{b}) = (51, (7, 44)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 8 $$

$$ n_{\mathfrak{b}} = (25 \mid 19 \mid 10 \mid 2 \mid 0 \mid 0 \mid 24)_{6,26} = 7953245480 $$

$$ \spadesuit \ b = 28 $$

$$ d := 7, b^d - 1 = 28^7 - 1 = 13492928511, \text{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 2501800 $$

$$ \blacklozenge \quad \mathfrak{b} = (22 \mid 10 \mid 9 \mid 21)_{3,28} = 491057 : $$

$$ \mathrm{Id}_{\mathfrak{b}}(\mathfrak{b}) = (5, (1, 4)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 1 $$

$$ n_{\mathfrak{b}} = (27 \mid 8 \mid 21)_{2,28} = 21413 $$

$$ \blacklozenge \quad \mathfrak{b} = (25 \mid 5 \mid 1 \mid 26 \mid 27 \mid 2 \mid 4 \mid 24)_{7,28} = 339766450152 : $$

$$ \mathrm{Id}_{\mathfrak{b}}(\mathfrak{b}) = (5, (1, 4)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 4 $$

$$ n_{\mathfrak{b}} = (27 \mid 8 \mid 21 \mid 16 \mid 0 \mid 0 \mid 24)_{6,28} = 13161980184 $$

$$ \spadesuit \ b = 38 $$

$$ d := 6, b^d - 1 = 38^6 - 1 = 3010936383, \text{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 326420 $$

$$ \blacklozenge \quad \mathfrak{b} = (35 \mid 18 \mid 33 \mid 17 \mid 34)_{4,38} = 74015788 : $$

$$ \mathrm{Id}_{\mathfrak{b}}(\mathfrak{b}) = (9, (1, 8)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 2 $$

$$ n_{\mathfrak{b}} = (37 \mid 35 \mid 33 \mid 0 \mid 32)_{4,38} = 79118236 $$

$$ \spadesuit \ b = 40 $$

$$ d := 6, b^d - 1 = 40^6 - 1 = 4095999999, \text{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 380880 $$
$$
\vcenter{\hbox{\qquad\textbf{\texttt{b = (37 | 5 | 4 | 36)$_{3,40}$ = 2376 196 :}}\qquad}}
$$

$$
\mathrm{Id}_b(\mathfrak{b}) = (5, (1, 4)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 1
$$

$$
n_b = (39 | 4 | 36)_{2,40} = 62596
$$

$$
\text{♠} \quad b = 45
$$

$$
d := 6 , \quad b^d - 1 = 45^6 - 1 = 8303765624 , \quad \mathrm{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 542790
$$

$$
\text{\textbf{\texttt{b = (35 | 17 | 14 | 14 | 16 | 34)$_{5,45}$ = 6529499854 :}}}$$

$$
\mathrm{Id}_b(\mathfrak{b}) = (5, (1, 4)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 12
$$

$$
n_b = (44 | 15 | 37 | 0 | 0 | 42)_{5,45} = 8184118542
$$

$$
\text{♠} \quad b = 46
$$

$$
d := 6 , \quad b^d - 1 = 46^6 - 1 = 9474296895 , \quad \mathrm{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 579876
$$

$$
\text{\textbf{\texttt{b = (45 | 6 | 44)$_{2,46}$ = 95540 :}}}
$$

$$
\mathrm{Id}_b(\mathfrak{b}) = (117, (10, 107)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 1
$$

$$
n_b = (45 \mid 6 \mid 44)_{2,46} = 95540
$$

$$
\text{\textbf{\texttt{b = (44 | 22 | 21 | 43)$_{3,46}$ = 4330345 :}}}
$$

$$
\mathrm{Id}_b(\mathfrak{b}) = (9, (1, 8)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 1
$$

$$
n_b = (45 | 12 | 43)_{2,46} = 95815
$$

$$
\text{♠} \quad b = 47
$$

$$
d := 6 , \quad b^d - 1 = 47^6 - 1 = 10779215328 , \quad \mathrm{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 618614
$$

$$
\text{\textbf{\texttt{b = (40 | 41 | 39)$_{2,47}$ = 90326 :}}}
$$

$$
\mathrm{Id}_b(\mathfrak{b}) = (6, (1, 5)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 2
$$

$$
n_b = (46 | 18 | 33)_{2,47} = 102493
$$

$$
\text{\textbf{\texttt{b = (35 | 20 | 34 | 35 | 20 | 34)$_{5,47}$ = 8128277136 :}}}
$$

$$
\mathrm{Id}_b(\mathfrak{b}) = (5, (1, 4)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 6
$$

$$
n_b = (46 | 40 | 23 | 0 | 0 | 23)_{5,47} = 10747445514
$$

$$
\text{♠} \quad b = 49
$$

$$
d := 6 , \quad b^d - 1 = 49^6 - 1 = 13841287200 , \quad \mathrm{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 701190
$$

$$
\text{\textbf{\texttt{b = (46 | 5 | 7 | 7 | 4 | 45)$_{5,49}$ = 13023526050 :}}}
$$

$$
\mathrm{Id}_b(\mathfrak{b}) = (5, (1, 4)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 28
$$

$$
n_b = (48 | 17 | 16 | 0 | 0 | 42)_{4,49} = 278748939
$$
$$ \spadesuit \ b = 51 $$

$d := 6, b^d - 1 = 51^6 - 1 = 17596287800, \text{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 790806$

$$ \spadesuit \quad b = (44 \mid 12 \mid 11 \mid 43)_{3,51} = 5868460 : $$

$$ \mathrm{Id}_b(\mathfrak{b}) = (5, (1, 4)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 2 $$

$$ n_{\mathfrak{b}} = (50 \mid 22 \mid 43)_{2,51} = 131215 $$

$$ \spadesuit \ b = 63 $$

$d := 6, b^d - 1 = 63^6 - 1 = 62523502208, \text{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 1492470$

$$ \spadesuit \quad b = (47 \mid 27 \mid 46)_{2,63} = 188290 : $$

$$ \mathrm{Id}_b(\mathfrak{b}) = (5, (1, 4)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 3 $$

$$ n_{\mathfrak{b}} = (62 \mid 27 \mid 31)_{2,63} = 247810 $$

$$ \spadesuit \ b = 80 $$

$d := 5, b^d - 1 = 80^5 - 1 = 327679999, \text{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 1036880$

$$ \spadesuit \quad b = (1 \mid 57 \mid 58)_{2,80} = 11018 : $$

$$ \mathrm{Id}_b(\mathfrak{b}) = (5, (1, 4)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 1 $$

$$ n_{\mathfrak{b}} = (79 \mid 34 \mid 40)_{2,80} = 508360 $$

$$ \spadesuit \ b = 83 $$

$d := 5, b^d - 1 = 83^5 - 1 = 3939040642, \text{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 1157435$

$$ \spadesuit \quad b = (64 \mid 33 \mid 3 \mid 3 \mid 32 \mid 63)_{5,83} = 253666464492 : $$

$$ \mathrm{Id}_b(\mathfrak{b}) = (5, (1, 4)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 4 $$

$$ n_{\mathfrak{b}} = (82 \mid 52 \mid 37 \mid 0 \mid 63)_{4,83} = 3921570202 $$

$$ \spadesuit \ b = 86 $$

$d := 5, b^d - 1 = 86^5 - 1 = 4704270175, \text{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 1286990$

$$ \spadesuit \quad b = (85 \mid 18 \mid 17 \mid 84)_{3,86} = 54199434 : $$

$$ \mathrm{Id}_b(\mathfrak{b}) = (26, (4, 22)), \quad N_{\mathfrak{b}} = 1 $$

$$ n_{\mathfrak{b}} = (85 \mid 52 \mid 84)_{2,86} = 633216 $$

$$ \spadesuit \ b = 89 $$

$d := 5, b^d - 1 = 89^5 - 1 = 5584059448, \text{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 1425869$
$$ \mathbf{\star} \quad \mathfrak{b} = (71 \mid 31 \mid 30 \mid 70)_{3,89} = 50\,301\,090 : $$

$$ \mathrm{Id}_{\mathfrak{b}}(\mathfrak{b}) = (5, (1, 4)) , \quad N_{\mathfrak{b}} = 2 $$
$$ n_{\mathfrak{b}} = (88 \mid 61 \mid 0 \mid 53)_{3,89} = 62\,520\,506 $$

$$ \spadesuit \quad b = 92 $$

$$ d := 5 , \quad b^d - 1 = 92^5 - 1 = 6\,590\,815\,231 , \quad \mathrm{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 1\,574\,396 $$

$$ \mathbf{\star} \quad \mathfrak{b} = (90 \mid 74 \mid 73 \mid 89)_{3,92} = 70\,715\,061 : $$

$$ \mathrm{Id}_{\mathfrak{b}}(\mathfrak{b}) = (9, (1, 8)) , \quad N_{\mathfrak{b}} = 1 $$
$$ n_{\mathfrak{b}} = (91 \mid 38 \mid 89)_{2,92} = 773\,809 $$

$$ \spadesuit \quad b = 97 $$

$$ d := 5 , \quad b^d - 1 = 97^5 - 1 = 8\,587\,340\,256 , \quad \mathrm{card}(\tilde{\mathcal{D}}_{d,b}) = 1\,844\,261 $$

$$ \mathbf{\star} \quad \mathfrak{b} = (73 \mid 41 \mid 72)_{2,97} = 690\,906 : $$

$$ \mathrm{Id}_{\mathfrak{b}}(\mathfrak{b}) = (5, (1, 4)) , \quad N_{\mathfrak{b}} = 2 $$
$$ n_{\mathfrak{b}} = (96 \mid 41 \mid 49)_{2,97} = 907\,290 $$
## A.3 Nombres celtes inférieurs à $10^4$

On donne dans cette sous-section, tous les entiers $n$ inférieurs à $10^4$ qui sont celtes dans une base $b$. Le tableau comporte cinq colonnes :

* la première colonne est le numéro de l'entier (son classement);

* la deuxième colonne est la base considérée $b$;

* la troisième colonne est l'entier considéré $n$ et sa décomposition dans la base $b$;

* la quatrième colonne est le trisk associé à $n$ en base $b$;

* la quatrième colonne est l'identité du trisk associé à $n$ en base $b$.

On a mis d'une même couleur (en rouge et en bleu) des trisks qui reviennent souvent.

<table><thead><tr><th>N°</th><th>b</th><th>n</th><th>τ<sub>b</sub>(n)</th><th>Id<sub>b</sub><sup>†</sup>(n)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>24</td><td>1 076 = (1 | 20 | 20)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr><tr><td>2</td><td>24</td><td>1 113 = (1 | 22 | 9)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr><tr><td>3</td><td>24</td><td>1 126 = (1 | 22 | 22)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr><tr><td>4</td><td>24</td><td>1 138 = (1 | 23 | 10)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr><tr><td>5</td><td>24</td><td>1 651 = (2 | 20 | 19)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr><tr><td>6</td><td>24</td><td>1 688 = (2 | 22 | 8)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr><tr><td>7</td><td>24</td><td>1 701 = (2 | 22 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr><tr><td>8</td><td>24</td><td>1 713 = (2 | 23 | 9)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr><tr><td>9</td><td>24</td><td>2 226 = (3 | 20 | 18)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr><tr><td>10</td><td>24</td><td>2 263 = (3 | 22 | 7)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr><tr><td>11</td><td>24</td><td>2 276 = (3 | 22 | 20)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr><tr><td>12</td><td>24</td><td>2 288 = (3 | 23 | 8)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr><tr><td>13</td><td>40</td><td>2 516 = (1 | 22 | 36)<sub>2,40</sub></td><td>2 376 196 = (37 | 5 | 4 | 36)<sub>3,40</sub></td><td>(5, (1, 4))</td></tr><tr><td>14</td><td>24</td><td>2 801 = (4 | 20 | 17)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr><tr><td>15</td><td>24</td><td>2 838 = (4 | 22 | 6)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr><tr><td>16</td><td>24</td><td>2 851 = (4 | 22 | 19)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr><tr><td>17</td><td>40</td><td>2 857 = (1 | 31 | 17)<sub>2,40</sub></td><td>2 376 196 = (37 | 5 | 4 | 36)<sub>3,40</sub></td><td>(5, (1, 4))</td></tr><tr><td>18</td><td>24</td><td>2 863 = (4 | 23 | 7)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr><tr><td>19</td><td>46</td><td>3 355 = (1 | 26 | 43)<sub>2,46</sub></td><td>95 540 = (45 | 6 | 44)<sub>2,46</sub></td><td>(117, (10, 107))</td></tr><tr><td>20</td><td>24</td><td>3 376 = (5 | 20 | 16)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr><tr><td>21</td><td>24</td><td>3 426 = (5 | 22 | 18)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr><tr><td>22</td><td>24</td><td>3 438 = (5 | 23 | 6)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr><tr><td>23</td><td>24</td><td>3 951 = (6 | 20 | 15)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr><tr><td>24</td><td>24</td><td>3 988 = (6 | 22 | 4)<sub>2,24</sub></td><td>13 077 = (22 | 16 | 21)<sub>2,24</sub></td><td>(9, (1, 8))</td></tr></tbody></table>