Sur le produit de composition de deux fonctions continues

par

V. JARNÍK (Praha).

Par I nous allons désigner ou bien l'intervalle fermé $\langle 0, t_0 \rangle$, où $0 < t_0 < +\infty$, ou bien l'intervalle $\langle 0, +\infty \rangle$. L'ensemble de toutes les fonctions réelles et continues dans I sera désigné par $C(I)$. On définit le produit de composition $z=xy$ de deux fonctions $x \in C(I)$, $y \in C(I)$ par l'équation

$$z(t) = \int_{0}^{t} x(t-\tau)y(\tau)d\tau \quad (t \in I).$$

On a $z \in C(I)$, car

$$(1) \qquad z(t+h) - z(t) = \int_{t}^{t+h} x(t+h-\tau)y(\tau)d\tau + \int_{0}^{t} (x(t+h-\tau)-x(t-\tau))y(\tau)d\tau.$$

1. M. MIKUSIŃSKI a posé la question, s'il existe deux fonctions $x \in C(I)$, $y \in C(I)$ telles que la fonction $z=xy$ soit dépourvue de dérivée dans chaque point intérieur de I. Je vais donner une réponse affirmative à cette question.

Lemme 1. Soit $x \in C(I)$, $y \in C(I)$, $z=xy$; supposons qu'il existe trois nombres $K, L_1, L_2$ tels que

$$(2) \quad |x(t_1)-x(t_2)| \le K |t_1-t_2|, \quad |x(t_1)| \le L_1, \quad |y(t_1)| \le L_2$$

pour $t_1 \in I, t_2 \in I$; on a alors, pour $t \in I, t+h \in I,$

$$(3) \quad |z(t+h) - z(t)| \le (L_1 + Kt)L_2|h|.$$

Démonstration. Voir (1).

Lemme 2. Soit $a>0, b>0$. Définissons une fonction $x=x_{a,b}$, continue dans l'intervalle $(-\infty, +\infty)$, de la manière suivante:

$$x_{a,b}(t) = 2abt - \frac{1}{2}b \quad \text{pour } 0 \le t \le 1/2a;$$

$$x_{a,b}(-t) = x_{a,b}(t), \quad x_{a,b}(t) = x_{a,b}(t+1/a),$$

donc

$$(4) \quad \Max |x_{a,b}(t)| = \frac{1}{2}b, \quad |x_{a,b}(t_1) - x_{a,b}(t_2)| \le 2ab |t_1 - t_2|.$$

Posons $z=x_{a,b} \cdot x_{a,b}$. Alors, si $q$ est un nombre naturel, on a

$$(5) \qquad z\left(\frac{q}{2a}\right) = (-1)^q \frac{qb^2}{24a}.$$

Démonstration. On voit facilement que $x(1/2a-t)=-x(t)$. Soit $k \ge 0$ un nombre entier. Alors

$$z\left(\frac{2k}{2a}\right) = \int_{0}^{kla} x\left(\frac{k}{a} - \tau\right)x(\tau)d\tau = \int_{0}^{k/a} x^2(\tau)d\tau \\ = 4k \int_{0}^{1/4a} x^2(\tau)d\tau = \frac{2kb^2}{24a}.$$

$$z\left(\frac{2k+1}{2a}\right) = \int_{0}^{(2k+1)/(2a)} x\left(\frac{2k+1}{2a} - \tau\right)x(\tau)d\tau = \int_{0}^{(2k+1)/(2a)} x\left(\frac{1}{2a} - \tau\right)x(\tau)d\tau \\ = -\int_{0}^{(2k+1)/(2a)} x^2(\tau)d\tau = -(4k+2)\int_{0}^{1/4a} x^2(\tau)d\tau = -\frac{(2k+1)b^2}{24a}.$$

Lemme 3. Soit $t$ un nombre, $z$ une fonction réelle. Supposons qu'il existe deux suites de nombres $v_n, w_n$ telles que

$$v_n \le t \le w_n, \quad v_n < w_n, \quad \lim_{n \to \infty} v_n = \lim_{n \to \infty} w_n = t,$$

$$(6) \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{z(w_n) - z(v_n)}{w_n - v_n} = +\infty.$$

Alors

$$(7) \qquad \limsup_{h \to 0} \frac{z(t+h) - z(t)}{h} = +\infty.$$

On a un résultat analogue avec $-\infty$ au lieu de $+\infty$. Démonstration. Evidente et bien connue.

Théorème 1. Il existe une fonction $x$, continue dans $\langle 0, +\infty \rangle$ et telle que la fonction $z=xx$ satisfasse, pour chaque $t>0$, aux équations

$$(8) \quad \limsup_{h \to 0} \frac{z(t+h) - z(t)}{h} = +\infty, \quad \liminf_{h \to 0} \frac{z(t+h) - z(t)}{h} = -\infty.$$
Démonstration. Posons

$$ (9) \quad c_1=2, c_{n+1}=c_n^3=2^{3n}; y_n=x_{a,b}, \text{ où } a=c_n^3, b=1/c_n $$

$(x_{a,b}$ est la fonction du Lemme 2). On a donc

$$ (10) \quad |y_n(t_1)| \le 1/2 c_n, \quad |y_n(t_2)-y_n(t_1)| \le 2c_n^2|t_2-t_1|, $$

$$ (11) \quad \sum_{k=1}^{n} c_k < 2c_n, \quad \sum_{k=1}^{\infty} 1/c_k < 2/c_n. $$

La série $x(t)=y_1(t)+y_2(t)+...$ est donc absolument et unifor-
mément convergente. En posant $z_{k,m}=y_k y_m=z_{m,k}$, $z=xx$ (produit
de composition), on a pour tout $t \ge 0$

$$ (12) \quad z(t) = \sum_{m, k=1}^{\infty} z_{m, k}(t). $$

Soit $t$ un nombre positif quelconque, qui sera fixe dans ce qui
suit. A chaque nombre naturel $n$ suffisamment grand, on peut
faire correspondre un nombre pair $p_n>0$ et un nombre impair
$q_n>0$, tels que

$$ (13) \quad r_n = \frac{p_n}{2c_n^3} \le t < \frac{p_n+2}{2c_n^3}, \quad v_n = \frac{q_n}{2c_n^3} \le t < \frac{q_n+2}{2c_n^3}. $$

Posons encore

$$ s_n = \frac{p_n + 3}{2c_n^3} > t, \quad w_n = \frac{q_n + 3}{2c_n^3} > t, $$

d'où

$$ \lim r_n = \lim s_n = \lim v_n = \lim w_n = t. $$

D'après (5) on a alors

$$ z_{n,n}(r_n) > 0, \quad z_{n,n}(v_n) < 0, $$

$$ z_{n,n}(s_n) = -\frac{p_n+3}{24c_n^5} < -\frac{t}{12c_n^2}, \quad z_{n,n}(w_n) > \frac{t}{12c_n^2}; $$

donc

$$ (14) \quad \frac{z_{n,n}(s_n) - z_{n,n}(r_n)}{s_n - r_n} < -\frac{tc_n}{18}, \quad \frac{z_{n,n}(w_n) - z_{n,n}(v_n)}{w_n - v_n} > \frac{tc_n}{18}. $$

Si $k<n$, $m>0$, on a d'après (10) et d'après le lemme 1

$$ \left| \frac{z_{k,m}(s_n) - z_{k,m}(r_n)}{s_n - r_n} \right| \le \left( \frac{1}{2c_k} + 2c_k^2 t \right) \frac{1}{2c_m} \le \frac{1}{4c_m c_k} + \frac{c_k c_{n-1}}{c_m} t. $$

La somme de toutes ces expressions pour $k=1,2,...,n-1$, $m=1,2,...$ est, d'après (9) et (11), plus petite que

$$ (15) \quad \frac{1}{4} + 2c_{n-1}^2 t = \frac{1}{4} + 2c_n^2 t. $$

Si $k>n$, $m>0$, on a d'après (10)

$$ \left| \frac{z_{k,m}(s_n) - z_{k,m}(r_n)}{s_n - r_n} \right| \le \frac{2c_n^3}{3} \cdot \frac{1}{4c_k c_m} (s_n + r_n) < \frac{c_n^2 (t+1)}{3c_k c_m}. $$

La somme de toutes ces expressions pour $k=n+1, n+2,...$, $m=1,2,...$, est, d'après (9) et (11), plus petite que

$$ (16) \quad \frac{2}{3} \frac{c_n^3}{c_{n+1}} (t+1) = \frac{2}{3} (t+1). $$

De (15), (16), on conclut immédiatement que

$$ (17) \quad \left| \frac{z(s_n) - z(r_n)}{s_n - r_n} - \frac{z_{n,n}(s_n) - z_{n,n}(r_n)}{s_n - r_n} \right| < \frac{1}{2} + \frac{4c_n^{2/3}t}{3} + \frac{4}{3}(t+1) < \frac{1}{36}c_n t, $$

si $n$ est assez grand; et l'on a, évidemment, la même relation avec
$v_n$, $w_n$ au lieu de $r_n$, $s_n$. Mais (14) et (17) donnent

$$ \frac{z(s_n) - z(r_n)}{s_n - r_n} < -\frac{1}{36} c_n t \to -\infty \quad \text{pour } n \to \infty, $$

et d'une manière analoque

$$ \frac{z(w_n) - z(v_n)}{w_n - v_n} > \frac{1}{36} c_n t \to +\infty \quad \text{pour } n \to \infty. $$

L'application du Lemme 3 achève la démonstration du Théorème 1.

2. Je vais donner encore un autre théorème de ce genre. Pour simplifier, je pose dans la suite $I=(0,1)$, $C(I)=C$. Nous introduisons dans C la métrique habituelle:

$$ \rho(x_1, x_2) = \begin{cases} 1 & |x_1(t) - x_2(t)| \\ 0 & t \le t \le 1 \end{cases}. $$

Le produit combinatoire $C^2=C \times C$ est l'ensemble de tous les couples $[x,y]$, où $x \in C$, $y \in C$. La métrique dans $C^2$ soit donnée par la formule

$$ \rho_2([x_1, x_2], [y_1, y_2]) = \max \{ \rho(x_1, y_1), \rho(x_2, y_2) \}. $$
Lemme 4. Soit $x_n \in C$, $y_n \in C$, $\lim_{n \to \infty} x_n = x$, $\lim_{n \to \infty} y_n = y$; alors
$\lim_{n \to \infty} x_n y_n = xy$.

Démonstration. Pour $0 \le t \le 1$, on a

$$
\begin{align*}
& \left| \int_0^t (x_n(t-\tau)y_n(\tau) - x(t-\tau)y(\tau)) \, d\tau \right| \\
\le & \int_0^t |x_n(t-\tau)| |y_n(\tau) - y(\tau)| \, d\tau + \int_0^t |y(\tau)| |x_n(t-\tau) - x(t-\tau)| \, d\tau \\
\le & (\varrho(x,0) + \varrho(x_n,x)) \varrho(y_n,y) + \varrho(y,0) \varrho(x_n,x),
\end{align*}
$$

et la dernière expression est indépendante de $t$ et tend vers zéro.

Théorème 2. Il existe un ensemble $M \subset C^2$ jouissant des propriétés suivantes:

1. $C^2-M$ est un ensemble de première catégorie dans $C^2$ (donc $M \neq \emptyset$, car $C^2$ est complet);

2. si $x \in M$, $y \in M$, $xy=z$, alors on a (8) pour chaque $t$ de l'intervalle ouvert (0,1).

Démonstration. Pour chaque nombre entier $n>0$, soit $G_n$ l'ensemble de tous les points $[x,y] \in C^2$ jouissant de la propriété suivante: à chaque $t \in (1/n, 1-1/n)$ correspondent deux nombres $r, s$ tels que l'on ait (en posant $z=xy$)

$$
(18) \quad t - \frac{1}{n} \le r \le t \le s \le t + \frac{1}{n}, \quad r < s, \quad \frac{z(s) - z(r)}{s - r} > n.
$$

Posons $M_1 = \prod_{n=1}^{\infty} G_n$ et soit $M_2$ l'ensemble de tous les points $[x,y]$ tels que $[-x,y] \in M_1$. Soit $M = M_1 M_2$. D'après (18) et d'après le Lemme 3, il est évident que $M$ possède la propriété 2º. Pour achever la démonstration du théorème 2, il suffit donc de démontrer les deux propositions suivantes:

I. $G_n$ est ouvert, c'est-à-dire que $F_n=C^2-G_n$ est fermé dans $C^2$.

II. $G_n$ est dense dans $C^2$.

En effet, I et II entraînent que $C^2 - M_1$ est de première catégorie; on voit immédiatement qu'alors $C^2 - M_2$ est, lui aussi, de première catégorie; donc, il en est de même de l'ensemble

$$
C^2 - M = (C^2 - M_1) + (C^2 - M_2).
$$

Démonstration de I. Soit donné un nombre entier $n>0$. Soit $[x,y] \in F_n$ pour $v=1,2,...$ et soit $\lim_{v \to \infty} [x_v,y_v]=[x,y]$. Il faut démontrer que $[x,y] \in F_n$.

Posons $x_v y_v = z_v$, $xy = \bar{z}$. D'après la définition de $G_n$ et de $F_n$, il existe, pour chaque $v$, un nombre $t_v \in (1/n, 1-1/n)$ jouissant de la propriété suivante: chaque couple de nombres $r_v, s_v$ tel que l'on ait

$$
(19) \quad t_v - \frac{1}{n} \le r_v \le t_v \le s_v \le t_v + \frac{1}{n}, \quad r_v < s_v,
$$

satisfait à l'inégalité

$$
(20) \qquad \frac{z_v(s_v) - z_v(r_v)}{s_v - r_v} \le n.
$$

En passant à une suite partielle, on peut supposer qu'il existe
$\lim_{v \to \infty} t_v = t$. On a $t \in (1/n, 1-1/n)$. Prenons deux nombres $r, s$ tels que

$$
(21) \quad t - \frac{1}{n} \le r \le t \le s \le t + \frac{1}{n}, \quad r < s,
$$

et définisons les nombres $r_v, s_v$ par les équations $r_v - r = s_v - s = t_v - t$.
On a donc (19), donc (20). Mais, en vertu du Lemme 4, on a
(car $\lim_{r_v=r} \lim_{s_v=s}$)

$$
\frac{z(s) - z(r)}{s - r} = \lim_{r \to \infty} \frac{z_v(s_v) - z_v(r_v)}{s_v - r_v} \le n.
$$

Ceci étant vrai pour chaque couple $r, s$ satisfaisant aux conditions
(21), on a $[x, y] \in C^2 - G_n = F_n$.

Démonstration de II. Soit donné un nombre $n>0$ entier. Soit $[\xi, \eta] \in C^2$; soit $0<\varepsilon<1$. Il faut démontrer l'existence d'un point $[x, y] \in G_n$ tel que $\varrho(x, \xi) < \varepsilon$, $\varrho(y, \eta) < \varepsilon$.

Il existe deux fonctions $\xi_1 \in C$, $\eta_1 \in C$ avec $\varrho(\xi, \xi_1) < \frac{1}{2}\varepsilon$, $\varrho(\eta, \eta_1) < \frac{1}{2}\varepsilon$, dont les diagrammes sont composés d'un nombre fini de segments de droites. Choisissons $\xi_1$, $\eta_1$ de cette façon. On peut alors choisir un nombre $A>1$ tel que

$$
(22) \quad \begin{gather*}
|\xi_1(t)| \le A, \quad |\eta_1(t)| \le A, \quad |\xi_1(t) - \xi_1(u)| \le A |t-u|, \\
|\eta_1(t) - \eta_1(u)| \le A |t-u| \quad \text{pour } 0 \le t \le 1, \ 0 \le u \le 1.
\end{gather*}
$$

Choisissons ensuite un nombre entier $m$ tel que

$$
(23) \quad \frac{me^2}{30n} - 4A^2 > n, \quad \text{donc} \quad m > 30n,
$$
et posons $x=\xi_1+x_{m,\epsilon}$, $y=\eta_1+x_{m,\epsilon}$ (où $x_{m,\epsilon}$ est la fonction du
Lemme 2). On a $|x_{m,\epsilon}(t)|\le\frac{1}{2}\epsilon$, donc $\varrho(\xi,x)<\epsilon$, $\varrho(\eta,y)<\epsilon$. Il suf-
fit donc de démontrer que $[x,y]\epsilon G_n$.

Posons xy=z, ξ₁η₁=z₁, ξ₁x_{m,ε} =z₂, η₁x_{m,ε} =z₃, x_{m,ε}x_{m,ε} =z₄,
done z=z₁+z₂+z₃+z₄. Si 0≤t≤1, 0≤u≤1, t≠u, on a, d'après
le Lemme 1,

$$
(24) \quad \left| \sum_{i=1}^{3} \frac{z_i(t) - z_i(u)}{t-u} \right| \le 2A \cdot A + 2A \cdot \frac{1}{2} \varepsilon + 2A \cdot \frac{1}{2} \varepsilon < 4A^2.
$$

Soit maintenant $1/n \le t \le 1 - 1/n$. Choisissons $r, s$ comme il suit. Il existe un nombre entier $k$ tel que

$$
\frac{2k+1}{2m} \le t < \frac{2k+3}{2m};
$$

on a $k>0$, car $3/2m<1/n \le t$; posons

$$
r = \frac{2k+1}{2m}, \quad s = \frac{2k+6}{2m},
$$

donc $0<\text{Max}(s-t, t-r) \le s-r=5/2m < 1/n$, d'où $0<r \le t < s<1$. Le
Lemme 2 donne

$$
(25) \quad \frac{z_4(s) - z_4(r)}{s-r} = \varepsilon^2 \left( \frac{2k+6}{24m} + \frac{2k+1}{24m} \right) \cdot \frac{2m}{5} > \varepsilon^2 \cdot \frac{t}{12} \cdot \frac{2m}{5} \ge \frac{me^2}{30n}.
$$

Or, (24), (25), (23) donnent

$$
\frac{z(s)-z(r)}{s-r} > \frac{m\epsilon^2}{30n} - 4A^2 > n,
$$

ce qui démontre que $[x, y]\epsilon G_n$.

(Reçu par la Rédaction le 2. 5. 1950).

On the ergodic theorems (I)

(Generalized ergodic theorems)

by

C. RYLL-NARDZEWSKI (Wroclaw).

1. Introduction.

In this paper <fnref n="1" />) we understand by *space* a fixed abstract set *X*
with a *σ*-finite *σ*-measure *μ* defined in a *σ*-field *M* of subsets of *X*.
By *sets* we always understand sets belonging to *M*. The letter *φ*
will be used for a transformation of *X* into itself and we shall assume
*φ*⁻<fnref n="1" />*E* ∈ *M* for *E* ∈ *M* and *μ*(*φ*⁻<fnref n="1" />*E*)=0 if *μ*(*E*)=0. By *functions* we
understand only the real-valued functions defined on *X*, and mea-
surable with respect to *M*. The letters *f* and *g*, with indices if ne-
cessary, will always denote functions. The class of all *f* integrable
with respect to *μ* will be denoted by *L*(*μ*). The symbol ∫ always
denotes the integral over the whole space. The symbol [*μ*] placed
after an equality or an inequality means that it is fulfilled almost
everywhere (with respect to *μ*).

The individual and mean ergodic theorems of BIRKHOFF and
v. NEUMANN (generalized by F. RIESZ [6]) state that if φ is measure-
preserving (i.e. if μ(φ⁻¹E) = μ(E)), then

(B) for each $f \in L(\mu)$ there is a $g \in L(\mu)$ such that

$$
\lim_{n} \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f(\varphi^{i}(x)) = g(x) [\mu],
$$

and (if $\mu(X) < \infty$)

(N) for each $f \in L(\mu)$ there is a $g \in L(\mu)$ such that

$$
\lim_{n} \int \left| \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f(\varphi^i(x)) - g(x) \right| d\mu = 0.
$$

<footnote n="1">1) Presented to the Polish Mathematical Society, Wrocław Section, on
March 10, 1950. Cf. [5].</footnote>