# Complétion de données par méthode inverse en élasticité linéaire

Franck Delvare, Jean-Luc Hanus

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Franck Delvare, Jean-Luc Hanus. Complétion de données par méthode inverse en élasticité linéaire. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01812986

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Complétion de données par méthode inverse
en élasticité linéaire

Franck Delvare* — Jean-Luc Hanus*

*Laboratoire Energétique Explosions Structures,
ENSI de Bourges et Université d'Orléans
10 boulevard Lahitolle, F-18020 Bourges Cedex
{franck.delvare, jean-luc.hanus,}@ensi-bourges.fr

RÉSUMÉ. Il est possible de classifier les méthodes inverses en deux grandes familles : les méthodes probabilistes et les méthodes déterministes. Parmi ces dernières, on trouve la méthode de quasi-réservibilité [LAT 67] qui consiste à remplacer le problème inverse par un problème bien posé au sens d'Hadamard et à rechercher des quasi-solutions mais aussi les méthodes de type régularisation qui stabilisent les solutions du problème inverse vis-à-vis de faibles variations des données [TIK 77], [ENG 96]. L'objectif de cette communication est de présenter l'extension à l'élasticité linéaire d'une stratégie pour la résolution des problèmes inverses de type Cauchy [CIM 01] développée initialement pour l'équation de Laplace. Sur un exemple retenu par Marin et al. [MAR 01], nous comparons les propriétés de convergence et de stabilité de l'approche proposée à celles de l'algorithme itératif de Kozlov et al. [KOZ 91].

ABSTRACT. The inverse methods can be divided in two great families: probabilistic methods and deterministic methods. Among these last, one finds the quasi-reserviability methods [LAT 67] which consists in replacing the inverse problem by a well posed problem posed within the meaning of Hadamard and to seek quasi-solutions but also the regularization type methods which stabilize the solutions of the inverse problem with respect to weak variations of the data [TIK 77], [ENG 96]. The objective of this communication is to present the extension to the linear elasticity of a strategy for the resolution of Cauchy-type inverse problems [CIM 01] previously developed for the Laplace equation. Using an example retained by Marin et al. [MAR 01], we compare the properties of convergence and stability of the suggested approach with those of the iterative algorithm with proposed by Kozlov. et al. [KOZ 91].

MOTS-CLÉS : problème inverse, élasticité linéaire, méthode des éléments finis

KEYWORDS: inverse problem, linear elasticity, finite element method
# 1. Introduction

De nombreux auteurs se sont intéressés aux problèmes inverses fréquemment ren-
contrés en mécanique des solides (voir entre autres [AND 99], [BUI 93] et [OFT 99]).
Différentes approches existent pour les résoudre, comme les méthodes probabilistes
[TAR 87] et les méthodes déterministes ([LAT 67], [TIK 77]).

L'objet des problèmes inverses de type Cauchy est d'identifier des conditions aux limites à partir de données surabondantes [MAR 01],[BUI 93]. Une stratégie de ré-solution de ce type de problèmes a été mise en œuvre pour l'équation de Laplace [CIM 01]. L'objectif de cette communication est d'étendre cette stratégie à l'élasticité linéaire. Celle ci permet l'identification des déplacements et des efforts surfaciques au niveau d'un bord inaccessible à partir de conditions aux limites surabondantes sur la partie complémentaire de la frontière.

# 2. Présentation de la méthode inverse

## 2.1. Le problème modèle

Pour simplifier, le problème est présenté en dimension deux. Soit Ω un domaine borné de R², de frontière Γ = Γd ∪ Γi et de normale extérieure n. Soient φd et ψd deux champs de vecteur donnés sur Γd. On se propose de résoudre le problème de Cauchy (1) suivant :

$$
\begin{align}
L(u) &= 0 && \text{dans } \Omega \nonumber \\
u &= \phi_d && \text{sur } \Gamma_d \tag{1} \\
F(u) &= \sigma(u).n = \psi_d && \text{sur } \Gamma_d \nonumber
\end{align}
$$

où **L** désigne l'opérateur de Lamé

Le problème ci-dessus n'admet pas toujours de solution. On parle dans la suite de données $\phi_d$ et $\psi_d$ compatibles lorsqu'il existe un champ de déplacement $u$ défini sur $\Omega$ tel que $\psi_d$ (respectivement $\psi_d$) correspond à la trace de $u$ (respectivement à $F(u) = \sigma(u).n$) sur $\Gamma_d$. Ce problème est très sensible aux faibles perturbations sur les données $\phi_d$ et $\psi_d$. Les méthodes disponibles pour le résoudre utilisent pour la plupart des techniques de régularisation [ENG 96] qui permettent d'approcher le problème (1) par un problème moins sensible. Cependant, ces façons de procéder présentent l'inconvénient de modifier le problème (1).

## 2.2. Principe de la méthode inverse

Nous considérons désormais que les données sont compatibles, c'est à dire qu'il existe une unique solution au problème (1). Nous utilisons, ici, le principe de la mé-
thode inverse introduite par Cimetière et al [CIM 01]. La solution de ce problème est recherchée dans l'espace $H(\Omega)$ défini par :

$$H(\Omega) = \{v \in [H^{\frac{3}{2}}(\Omega)]^2 \text{ vérifiant } L(v) = 0 \text{ dans } \Omega)$$

On définit ensuite $H(\Gamma)$, l'espace composé des traces sur $\Gamma$ des éléments $v$ de $H(\Omega)$ et des $F(v)$ associés. Etant donné $\Phi_d = (\phi_d, \psi_d)$, une formulation équivalente au problème (1) est :

$$\left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } U = (u, F(u)) \in H(\Gamma) \text{ tel que :} \\ U = \Phi_d \text{ sur } \Gamma_d \end{array} \right. \qquad (2)$$

L'algorithme itératif suivant est introduit pour résoudre (1). Il reprend l'esprit de la méthode itérative de Tikhonov. Etant donné $c > 0$ et $U^0 \in H(\Gamma)$,

$$\left\{ \begin{array}{l} \text{trouver } U^{k+1} \in H(\Gamma) \text{ tel que :} \\ J_c^k(U^{k+1}) \le J_c^k(V) \quad \forall V \in H(\Gamma) \text{ avec :} \\ J_c^k(V) = \|V - \Phi_d\|_{\Gamma_d}^2 + c\|V - U^k\|_{\Gamma}^2 \end{array} \right. \qquad (3)$$

Pour des données compatibles, la preuve de la convergence de l'algorithme est similaire à celle établie dans [CIM 01] pour le problème de Cauchy associé à l'équation de Laplace. L'atout principal de la méthode est que le système d'équations aux dérivées partielles du problème est pris en charge de manière exacte par le fait qu'à chaque itération la recherche de l'élément optimal se fait dans l'espace $H(\Gamma)$.

## 2.3. Mise en oeuvre numérique dans le cadre de la méthode des éléments finis

La discrétisation de l'algorithme est faite en utilisant la méthode des éléments finis de manière classique. Nous utilisons toutefois une technique de condensation sur la frontière qui permet d'éliminer les degrés de liberté à l'intérieur du domaine et d'obtenir un système linéaire reliant uniquement les valeurs discrètes des déplacements et des efforts sur la frontière du domaine. Ce système linéaire caractérise de manière discrète les éléments de $H(\Gamma)$.

L'algorithme itératif discrétisé fait intervenir à chaque itération un problème d'optimisation linéaire sous contraintes égalités. Celles ci sont gérées par l'intermédiaire de multiplicateurs de Lagrange. La recherche de l'élément optimal discrétisé se ramène à la résolution d'un système linéaire pour lequel la matrice ne dépend pas de l'indice d'itération. Le vecteur inconnu du système fait intervenir les valeurs des déplacements et des efforts sur la frontière ainsi que des multiplicateurs de Lagrange introduits pour tenir compte des contraintes égalités. Le second membre est quant à lui fonction des données sur la portion $\Gamma_d$ et des valeurs, obtenues à l'itération précédente, des déplacements et des efforts sur la totalité de la frontière $\Gamma$.

L'atout principal de la méthode est que le système d'équations aux dérivées partielles du problème est pris en charge par les contraintes égalités.
### 3. Comparaison sur un exemple de la stratégie proposée avec celle retenue par Marin et al [MAR 01]

Marin et al. [MAR 01] étudient, par la méthode des éléments de frontière, la réponse d'un disque soumis à une pression hydrostatique uniforme $p$ (fig. 1). La stratégie retenue par les auteurs repose sur l'utilisation de l'algorithme proposé par Kozlov et al. [KOZ 91] où est introduit un facteur de relaxation [MER 99]. Les figures 2 et 3

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 1.** *Définition du problème*</figcaption></figure>

Alliage de cuivre :

$$E = 9.79 \times 10^{10} Pa$$

$$\nu = 0.34$$

Données chargement :

$$p = 1.5 \times 10^{10} Pa$$

Solution analytique :

$$u_i = 1.5 \times 10^{10} p x_i$$

$\Gamma_i$ correspond au quart $\Gamma$ :

$$\text{i.e. } \theta/2\pi \in ]0.125, 0.375[$$

compartent les reconstructions du déplacement vertical $u_2$ et des efforts verticaux aux noeuds $p_2$ sur $\Gamma_i$ avec celles obtenues par Marin et al. [MAR 01]. Elles mettent en évidence la convergence de la stratégie avec le raffinement du maillage.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 2.** Comparaison des reconstruction de $u_2$ sur $\Gamma_i$ entre l'approche proposée (courbes FE) et celle de Marin et al. (courbes BE) pour un même nombre d'éléments sur la frontière</figcaption></figure>
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 3.** Comparaison des reconstructions de $f_2$ sur $\Gamma_i$ entre l'approche proposée (courbes FE) et celle de Marin et al. (courbes BE) pour un même nombre d'éléments sur la frontière</figcaption></figure>

**4. Etude de la stabilité par rapport à un bruit entachant les données de déplacement**

La frontière du domaine est discrétisée avec 320 éléments. La zone inconnue $\Gamma_i$ correspond à la moitié du domaine (i.e. $\theta/2\pi \in ]0, 0.5[$). Les données de déplacement sont entachées d'un bruit aléatoire de 0% à 5%. La figure 4 permet de comparer les reconstructions de $u_2$ sur $\Gamma$ avec la solution analytique.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Figure 4.** Reconstruction et débruitage de $u_2$ sur $\Gamma$ avec 320 éléments</figcaption></figure>
**5. Conclusion**

La méthode inverse présentée permet de reconstruire des conditions aux limites sur une partie de frontière, non accessible à la mesure, à partir de la donnée simultanée des déplacements et des contraintes surfaciques sur la partie complémentaire. Différentes améliorations sont actuellement développées, en utilisant comme dans [DEL 03] des termes d'ordre un. La méthode peut aussi être utilisée pour l'identification de paramètres comme le module d'Young et le coefficient de Poisson. Un couplage de la méthode inverse avec des techniques expérimentales de mesures de déplacements serait intéressante du point de vue industriel et pourrait trouver des applications dans le domaine du contrôle non destructif et de la sécurité industrielle.

**6. Bibliographie**

[AND 99] ANDRIEUX S., BEN ABDA A. AND BUI H. D., « Reciprocity principle and crack identification », *Inverse Problems*, vol. 15, n° 1, 1999, p. 59-65.

[BUI 93] BUI H. D., *Introduction aux problèmes inverses en mécanique des matériaux*, Eyrolles, Paris, 1993.

[CIM 01] CIMETIÈRE A., DELVARE F., JAOUA M., PONS F., « Solution of the Cauchy problem using iterated Tikhonov regularization », *Inverse Problems*, vol. 17, n° 3, 2001, p. 553-570.

[DEL 03] DELVARE F., CIMETIÈRE A., PONS F., « Une méthode inverse itérative d'ordre un », *Actes du sixième colloque national en calcul des structures*, Giens - Var, mai 2003, p. 145-152.

[DEL 05] DELVARE F., HANUS J., « Identification par méthode inverse de zones et de pressions de contact », *Congrès Français de Mécanique*, Université de Technologie de Troyes, août-septembre 2005.

[ENG 96] ENGL H., HANKE M., A. N., *Regularization of Inverse problems*, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1996.

[KOZ 91] KOZLOV V., MAZ'YA V., FOMIN A., « An iterative method for solving the Cauchy problem for elliptic equations », *Comput. Math. Phys.*, vol. 31, n° 1, 1991, p. 45-52.

[LAT 67] LATTÈS R., LIONS J.-L., *Méthode de quasi-réversibilité et applications*, Dunod, Paris, 1967.

[MAR 01] MARIN L., ELLIOTT L., INGHAM D., LESNIC D., « Boundary element method for the Cauchy problem in linear elasticity », *Engineering Anal. With Boundary Elements*, vol. 25, n° 9, 2001, p. 783-793.

[MER 99] MERA N., ELLIOTT L., INGHAM D., LESNIC D., « The effect of a variable relaxation factor on the rate of convergence in the Cauchy problem », *Boundary Element Technique*, Queen Mary and Westfield College, Univ. of London, 1999, p. 357-366.

[OFT 99] OFTA, *Problèmes inverses : de l'expérimentation à la modélisation*, vol. 22 de Arago, Tec et Doc, sous la coordination de M. BONNET, septembre 1999.

[TAR 87] TARANTOLA A., *Inverse problem theory*, Elsevier, Amsterdam, 1987.

[TIK 77] TIKHONOV A., ARSENINE V., *Méthode de résolution de problèmes mal posés*, Mir, Moscou, 1977.