# L'effet Casimir et les séries divergentes

Jean-Christophe Pain

Laboratoire de Physique Atomique des Plasmas,
Commissariat à l'Energie Atomique et aux Energies Alternatives,
CEA, DAM, DIF, F-91297 Arpajon

[jean-christophe.pain@cea.fr](mailto:jean-christophe.pain@cea.fr)

## RESUME

En physique classique, le vide désigne l'absence de matière et de champ électromagnétique. Cette définition n'est pas compatible avec la mécanique quantique, qui implique des fluctuations du champ et par conséquent une énergie dite « de point zéro » dans tout élément de volume. L'effet Casimir désigne le fait deux plaques conductrices placées dans le vide s'attirent avec une force qui décroît lorsque la distance entre les plaques augmente. Cette force, qui ne peut être comprise que dans le cadre de l'électrodynamique quantique, est due aux fluctuations de l'énergie de point zéro du vide entre les plaques. Le calcul de la force de Casimir est lié à la notion de somme de Ramanujan de la série divergente $1 + 2 + 3 + 4 + \cdots$. Ainsi, une série, somme d'une infinité de termes, peut être utile et avoir un sens même si elle ne converge pas vers une limite finie. Les physiciens l'ont constaté, les mathématiciens l'ont démontré.

## 1. INTRODUCTION

En 1881, Johannes Diderik Van Der Waals prédit l'existence d'une force attractive entre les molécules pour expliquer les déviations des propriétés des gaz réels par rapport à la loi des gaz parfaits. Fritz London montre que cette interaction, dite force de Van der Waals, est une interaction entre moments dipolaires des atomes et des molécules électriquement neutres [1]. C'est ce type de force qui explique la capacité des geckos à grimper sur les murs et aux plafonds.

Deux particules neutres ont des moments dipolaires qui fluctuent sous l'influence d'effets quantiques ou thermiques. Si une molécule acquiert un moment dipolaire, le champ électrique résultant polarise la molécule voisine qui acquiert un moment dipolaire induit. La force de van der Waals est une force à longue portée (de l'ordre du nanomètre), c'est-à-dire dont la portée est grande devant la taille des atomes. Un des collègues du physicien néerlandais Hendrik Casimir (1909-2000), Theodor Overbeek, se rend compte que la théorie de London des forces de Van der Waals n'explique pas correctement certaines mesures effectuées sur des colloïdes [2], lorsque la distance devient de l'ordre d'une fraction de micromètre. Il demande alors à Casimir d'étudier ce problème. Suite aux suggestions de Niels
Bohr, Casimir, qui est physicien théoricien aux laboratoires Phillips, a l'intuition, le problème apparaissant quand la distance entre les particules est de l'ordre du micromètre, c'est-à-dire comparable à la longueur d'onde des champs électromagnétiques impliqués, qu'il est indispensable de prendre en compte les propriétés dynamiques des champs eux-mêmes, et plus seulement celles des particules en interaction [3].

Casimir étudie alors deux miroirs - plutôt que deux molécules - dans le vide (voir figure 1). L'effet Casimir, prédit par le physicien en 1948 [4-9], est une force attractive entre deux plaques parallèles conductrices et non chargées. Il comprend que ces forces sont dues aux fluctuations du champ électromagnétique. On parle aujourd'hui des fluctuations quantiques du vide, qui sont des fluctuations du champ électromagnétique, décrit par la théorie de l'électrodynamique quantique. En physique classique, on peut considérer un objet dans un état de repos absolu, c'est-à-dire dont la vitesse est strictement nulle. C'est une extrapolation, car il existe des fluctuations résiduelles à température finie, appelées « fluctuations thermiques ». En physique quantique, cette extrapolation est impossible, car d'après le principe d'indétermination d'Heisenberg, la position et la vitesse d'une particule ont nécessairement des fluctuations, dont le produit est supérieur à une grandeur proportionnelle à la constante de Planck. Même à la limite d'une température nulle, il existe des fluctuations baptisées « fluctuations de point zéro », déjà envisagées par Planck, Einstein, Debye et d'autres dans les années 1910, avant l'éclosion de la mécanique quantique. Ces fluctuations s'appliquent aussi au champ électromagnétique, comme l'a prédit Walther Nernst des 1916, puisque chaque mode du champ électromagnétique (vibration particulière de ce dernier caractérisée par une fréquence, une direction de propagation et une polarisation) peut être assimilé à un ressort (modèle de l'oscillateur harmonique). L'absence absolue de mouvement est impossible pour le champ, comme elle est impossible pour les objets matériels. Ainsi, l'espace, même vide de toute matière, même au zéro absolu, est parcouru en permanence par des fluctuations du champ électromagnétique [10]. Expérimentalement, le vide absolu est inatteignable, et on devrait parler d'atmosphère raréfiée. Le « meilleur » vide obtenu, appelé « vide extrême » ou « ultravide », correspond à une pression de $10^{-11}$ mbar (c'est la pression à la surface de la Lune), enregistrée à l'intérieur des tubes intervenant dans le système de pompage du Grand Collisionneur de Hadrons (ou LHC pour Large Hadron Collider), l'accélérateur de particules du CERN (Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire) » [11]. De telles pressions correspondent à moins de 10000 particules par mètre cube, ou des libres parcours moyens (distance moyenne parcourue par une particule entre deux collisions) supérieurs à 100000 kilomètres !

Soient deux grandes plaques métalliques planes de surface $S$, parallèles entre elles, et séparées par une distance $L$. On suppose que, si les plaques sont rectangulaires avec $S = D \times H$, l'espacement entre elles est petit par rapport à la largeur $D$ et la longueur $H$ du rectangle.
On fait également l'hypothèse que les plaques se comportent comme des miroirs parfaitement réfléchissants. En pratique, expérimentalement, ce n'est bien sûr pas le cas. Les miroirs utilisés dans les expériences de précision sont en général recouverts d'une couche d'or, cette couche étant suffisamment épaisse pour bien réfléchir la lumière dans le domaine visible du spectre électromagnétique. On peut alors calculer une force par unité de surface en négligeant les effets de bord. On suppose de plus que les plaques sont des conducteurs parfaits (de conductivité électrique infinie), et qu'elles ne sont pas chargées. Il est possible de prendre en compte l'effet des différences entre les approximations faites par Casimir et la réalité (température non nulle, propriétés des miroirs, etc.) pour tous les modes du champ impliqués dans le calcul. Les calculs sont à peu près en accord avec les mesures, même si des écarts subsistent, dus à la prise en compte des fluctuations thermiques. La force de Casimir correspond à une pression de 1 milliPascal à une distance de 1 micromètre. Les mesures les plus précises sont réalisées avec des capteurs électromécaniques fabriqués à partir de matériaux semi-conducteurs (MEMS pour « Micro Electro Mechanical Systems ») : une balance micrométrique oscille sous l'action de deux électrodes. Une bille, fixée à une fibre optique, est approchée à une distance connue grâce au faisceau lumineux. Une force de Casimir s'exerce entre la bille et la balançoire, ce qui modifie sa fréquence d'oscillation. La mesure de cette fréquence conduit à la valeur de la force de Casimir [10, 12].

Une particule virtuelle est une fluctuation quantique transitoire, dont les caractéristiques sont proches de celles d'une particule ordinaire, mais dont la durée de vie est limitée du fait du principe d'indétermination d'Heisenberg. En théorie quantique des champs, les interactions entre particules ordinaires sont décrites en termes d'échanges de particules virtuelles. Pour une fluctuation du vide, par exemple, il n'y a aucune particule au départ, puis une particule apparaît avec une certaine énergie avant de disparaître. La conservation de l'énergie est donc violée pendant une durée très courte.

L'énergie du « vide » entre deux plaques se calcule en tenant compte uniquement des photons, y compris des photons virtuels, dont les longueurs d'onde divisent exactement la distance entre les deux plaques $L = n\lambda$, où n est un entier positif et $\lambda$ la longueur d'onde d'un photon. Ceci implique que la densité d'énergie du vide entre ces deux plaques est fonction du nombre de photons qui peuvent exister entre elles. Plus les plaques sont proches, moins nombreux sont les photons obéissant à la règle, car sont exclus les photons dont la longueur d'onde est supérieure à L. La densité d'énergie diminue et la force entre ces deux plaques, à savoir la dérivée de l'énergie par rapport à L, est donc attractive. Il est généralement admis que la force de Casimir est conservative, c'est-à-dire qu'elle dérive d'un potentiel. Si on considère que la source d'énergie provident de l'énergie des atomes constituant la matière des miroirs, alors le système est fermé, et le caractère conservatif paraît naturel. En revanche, si on considère que la source d'énergie est constituée par l'énergie de point zéro des champs dans le vide entre les deux plaques, ce qui est le point de vue développé ici, le caractère conservatif est moins évident. Il le serait si les champs étaient statiques, car il serait possible de faire l'analogie avec un système fermé, mais le caractère dynamique des fluctuations rend
les choses plus complexes. C'est l'équilibre thermique entre les miroirs et l'environnement, c'est-à-dire le fait de négliger les échanges thermiques entre eux, qui nous permet de justifier que la force totale résulte de la somme des deux champs créés par le miroir et l'environnement. Dans la pratique, cela signifie que le temps de mesure est beaucoup plus petit que le temps nécessaire au miroir pour se « thermaliser » avec l'environnement. Cette dernière hypothèse est pour l'instant non vérifiée dans la situation expérimentale considérée et reste à démontrer. Le caractère conservatif ou non de la force de Casimir est un problème toujours ouvert [13] ; nous l'admettons ici.

On sait que les modes de vibrations du champ électromagnétique quantique dans le vide se comportent chacun comme un oscillateur harmonique quantique, et que – contrairement à un oscillateur classique – l'état de plus basse énergie possède une énergie non nulle. Les modes du champ qui peuvent exister entre les plaques correspondent aux énergies

$$E = \left(N + \frac{1}{2}\right) \hbar\omega = \left(N + \frac{1}{2}\right) \hbar kc$$

où N est le nombre de photons associé à un mode donné. $\hbar$ est la constante de Planck réduite, c la vitesse de la lumière, $\omega$ la pulsation du photon et $k = 2\pi/\lambda$ son vecteur d'onde. A suffisamment basse température, $N = 0$. En considérant deux polarisations possibles pour l'onde électromagnétique associée au photon, on a, pour un mode :

$$k^2 = \frac{n^2\pi^2}{L^2} + \frac{m^2\pi^2}{D^2} + \frac{p^2\pi^2}{H^2}$$

Avec $(n, m, p)$ entiers naturels. L'énergie s'écrit donc

$$E = 2 \times \frac{\hbar c}{2} \times \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{p=0}^{\infty} \sqrt{\frac{n^2\pi^2}{L^2} + \frac{m^2\pi^2}{D^2} + \frac{p^2\pi^2}{H^2}}$$

le premier facteur 2 étant dû à la prise en compte des deux polarisations. En dimension 1, en ne conservant que la largeur $L$ ($L \ll D, H$), on a :

$$E = \frac{\pi \hbar c}{L} \sum_{n=0}^{\infty} n = \frac{\pi \hbar c}{L} S_c$$

Malheureusement $S_c$ semble être la somme d'une série divergente [14]...

Le chapitre VIII du livre de Poincaré intitulé « Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste » (paru en 1892) commence par le commentaire suivant : « Il y a entre les géomètres et les astronomers une sorte de malentendu au sujet de la signification du mot convergence. Les géomètres [...] disent qu'une série est convergente quand la somme des termes tend vers une limite déterminée, quand bien même les premiers termes diminueraient très lentement.
Les astronomers, au contraire, ont coutume de dire qu'une série converge quand les vingt premiers termes, par exemple, diminuent très rapidement, quand même les termes suivants devraient croître indéfiniment. [...] Les deux règles sont légitimes : la première, dans les recherches théoriques, la seconde, dans les applications numériques. » [15].

Les séries des astronomers auxquelles Poincaré fait allusion (et dont il a été le premier à montrer le caractère divergent « au sens des géomètres ») sont les développements en série de perturbation de la mécanique céleste, ceux-là même grâce auxquels Le Verrier était devenu célèbre en prédisant l'existence de Neptune.

Plus près de nous, les développements en série de perturbation de l'électrodynamique quantique, dont l'invention en 1948 a valu le prix Nobel à Feynman, Schwinger et Tomonaga, sont des séries divergentes [16] de puissances de la constante de structure fine [17]. Et pourtant, en ne gardant de ces séries que les trois ou quatre premiers termes, on obtient un très bon accord avec l'expérience (précisons que le calcul des termes suivants serait d'une grande complexité), ce qui a amené Feynman à écrire : « c'est comme si on déterminait la distance entre New York et San Francisco à l'épaisseur d'un cheveu près ! ».

## 2. CALCUL DE LA SOMME DE LA SERIE DIVERGENTE

### 2.1. Calcul direct

Soit la fonction :

$$f(x) = x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + 5x^5 + \dots$$

On s'intéresse à la valeur de la fonction $f$ en $x = 1$, car c'est elle qui va nous donner la valeur de la somme infinie des entiers : $S_c = f(1)$. On a :

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} nx^n = x \frac{\partial}{\partial x} \sum_{n=0}^{\infty} x^n = x \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{1-x} \right) = \frac{x}{(1-x)^2}$$

On peut voir les choses différemment, et écrire :

$$ \begin{aligned} & 1 \times f(x) &+& x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + 5x^5 + \dots \\ & -x \times f(x) &-& x^2 - 2x^3 - 3x^4 - 4x^5 - \dots \\ & \hline & (1-x) \times f(x) &+& x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + \dots \end{aligned} $$

et par conséquent : $(1-x) \times f(x) = \frac{x}{1-x}$

ou encore $f(x) = \frac{x}{(1-x)^2}$

Par ailleurs : $f(x) + f(-x) = 4x^2 + 8x^4 + 12x^6 + \dots = 4f(x^2)$

soit $4f(x^2) - f(x) = f(-x) = -\frac{x}{(1+x)^2}$

qui donne, pour $x = 1$ (puisque nous avons vu que la somme infinie des entier $S_c$ est égale à $f(1)) : $4f(1) - f(1) = 3f(1) = f(-1) = -\frac{1}{4}$.
La somme que nous recherchons vaudrait donc

$$S_c = \sum_{n=0}^{\infty} n = f(1) = -\frac{1}{12}$$

En fait, nous n'avons pas le droit d'appliquer l'expression $f(x) = \frac{x}{(1-x)^2}$ en $x = 1$, car elle n'est vraie stricto sensu que si $|x| < 1$.

Ce que nous enseigne le calcul ci-dessus, c'est qu'il faut être extrêmement prudent et rigoureux lorsqu'on manipule des quantités infinies.

La somme des entiers possède, en effet, un sens mathématique précis, qui n'est pas celui que l'intuition immédiate voudrait lui donner. La manipulation des sommes infinies doit être effectuée selon des règles mathématiques bien précises, si l'on veut éviter d'écrire des choses incohérentes.

Il n'est pas possible de donner tous les détails dans cet article, mais on peut tout de même mentionner qu'un détour par les nombres dit « *p*-adiques » - un nombre *p*-adique est une suite de chiffres en base *p*, éventuellement infinie à gauche de la virgule, mais toujours finie à droite de la virgule ; l'addition et la multiplication de ces nombres procèdent comme pour les nombres décimaux usuels - permet de saisir l'idée qu'une même expression peut avoir des sens différents. Initialement l'intérêt des nombres *p*-adiques était de pouvoir utiliser les techniques des séries entières en théorie des nombres, mais leur utilité dépasse maintenant largement ce cadre.

L'égalité $\sum_{n=0}^{\infty} n = -1/12$ est donc erronée, au sens où elle n'est pas vraie si on interprète le signe « Somme » de manière usuelle, intuitive, traduction mathématique du comptage d'objets dénombrables auquel nous sommes habitués dans la vie de tous les jours.

C'est la définition de la somme qui est en jeu ici. En fait, pour les séries divergentes, il est important de préciser comment la somme est effectuée, c'est-à-dire dans quel ordre les termes sont ajoutés.

Le mathématicien Émile Borel a généralisé la notion usuelle de somme d'une série. En particulier, il donne une définition d'une grandeur qui se comporte par de nombreux aspects comme la somme, même lorsque la série est divergente. Ce concept est notamment très utile en théorie des perturbations, très utilisée dans les calculs de physique.

Si on admet une autre signification de la somme, on peut noter :

$$\sum_{n=0}^{R} n = -\frac{1}{12}$$

L'indice supérieur *R* étant introduit en hommage à Ramanujan et à ce type d'identités appelées communément « sommes de Ramanujan ».

Cette somme a en effet été calculée par le génial mathématicien indien Srinivasa Ramanujan [18-20], qui l'a envoyée par courrier au mathématicien Godfrey Harold Hardy, qui y a immédiatement vu un sujet de réflexion intéressant.
Le mathématicien John Edenson Littlewood a écrit « tous les entiers entre 1 et 10 000 sont les amis personnels de Ramanujan ».

Ramanujan présente deux démonstrations de « 1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12 » au chapitre 8 de son premier cahier. Il a également calculé d'autres sommes de séries divergentes, comme la somme infinie des carrés des entiers, ou des cubes des entiers, etc.

Finalement, les paradoxes apparents autour d'égalités telles que celle de Ramanujan tiennent
avant tout à la confusion possible entre différentes manières d'effectuer la somme,
représentés par le même symbole Σ.

**2.2. Calcul par régularisation exponentielle**

Soit $\alpha > 0$ un paramètre de régularisation. Introduisons la série convergente :

$$
T(\alpha) = \sum_{n=0}^{\infty} ne^{-\alpha n} = -\frac{\partial}{\partial \alpha} \sum_{n=0}^{\infty} e^{-\alpha n} = -\frac{\partial}{\partial \alpha} \left( \frac{1}{1-e^{-\alpha}} \right) = \frac{1}{4 \sinh^2 \left( \frac{\alpha}{2} \right)}
$$

Lorsque $\alpha$ est très petit devant 1, on obtient le développement :

$$
T(\alpha) \approx \frac{1}{\alpha^2} - \frac{1}{12} + \epsilon(\alpha)
$$

avec $\lim_{\epsilon \to 0} \epsilon(\alpha) = 0$. D'une certaine manière, on peut donc écrire « avec des pincettes » que l'énergie et la largeur de la boîte (lorsque $\alpha$ tend vers 0) sont reliées par

$$
E = \frac{\hbar c \pi}{L} \left( \infty - \frac{1}{12} \right)
$$

En fait, la « partie infinie de l'énergie » est compensée par l'effet de ce qui se passe à
l'extérieur des deux plaques. La régularisation n'est pas une simple astuce mathématique,
mais traduit la diminution de conductivité du métal à partir d'une certaine fréquence. Afin de
donner une signification physique à la régularisation, on introduit un nombre critique n<sub>c</sub> de
photons dans le mode k associé à la coupure à haute fréquence :

$e^{-\alpha n} = e^{-n/n_c}$

On peut donc relier $n_c$ à un vecteur d'onde de coupure :

$$
k_c = n_c \frac{\pi}{L} \rightarrow \alpha = \frac{\pi}{k_c L}
$$

L'énergie totale dans la boîte à une dimension est :

$$
E = \frac{\pi}{L} \left( \frac{1}{\alpha^2} - \frac{1}{12} \right) = L \frac{k_c^2}{\pi} - \frac{\pi}{12L}
$$

La force de Casimir résulte de la variation d'énergie totale lorsque la largeur *L* varie. Imaginons que notre univers puisse être représenté par une large boîte de taille *b*.
Il existe des modes fondamentaux de photons dans les deux boîtes, l'une de largeur $L$, et l'autre de largeur $b - L$. L'énergie totale est $E = E_L + E_{b-L}$, soit

$$E = \frac{bk_c^2}{\pi} - \frac{\pi}{12L} + \frac{\pi}{12(b-L)}$$

Le premier terme est grand, et le troisième petit. Le premier terme ne joue aucun rôle dans le calcul de la force parce qu'il est constant. Le troisième terme peut être négligé puisque $b \gg L$. On peut également noter que la force, $F = -\partial E/\partial x$ est surestimée par rapport à ce qu'elle serait dans un modèle tridimensionnel plus réaliste (voir plus bas).

## 2.3. Régularisation par la fonction Zeta

La fonction $f(s) = \frac{1}{a_1^s} + \frac{1}{a_2^s} + \frac{1}{a_3^s} + \dots$

(les $a_i$ étant positifs) converge pour $s$ assez grand et peut être prolongée analytiquement sur la droite réelle vers $s = -1$.

Sa valeur en $s = -1$ est appelée la somme de la série « zêta-régularisée » $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$.

En mécanique quantique, les opérateurs hermitiens représentent les grandeurs physiques. Les valeurs propres (réelles) représentent les valeurs possibles de la grandeur et les fonctions propres (ou vecteurs) les états associés.

Si les nombres $a_i$ sont les valeurs propres d'un opérateur hermitien $A$, dans ce cas $f(s)$ est la trace de $A^{-s}$. Par exemple, si $A$ admet comme valeurs propres 1, 2, 3, ... alors $f(s)$ est la fonction zêta de Riemann, $\zeta(s)$. Cette dernière intervient dans de nombreuses situations en physique : pour la loi de Stefan-Boltzmann pour le rayonnement du corps noir, dans le modèle de Debye en physique du solide ou encore dans l'expression de la température critique de condensation de Bose-Einstein. Il existe un lien entre les zéros de la fonction Zeta, la répartition des nombre premiers (conjecture de Montgomery) et la distribution des niveaux d'énergie en physique statistique [21]. La fonction Zeta peut être prolongée analytiquement pour les valeurs négatives de $s$ par la relation :

$$\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)$$

où $\Gamma$ est la fonction Gamma usuelle. La valeur de $\zeta$ en $s = -1$ vaut $-1/12$, ce qui permet de donner cette valeur à la série $1 + 2 + 3 + 4 + \dots$. D'autres valeurs de $s$ peuvent être données pour les séries divergentes

$$\zeta(-s) = \sum_{n=0}^{\infty} n^s = 1^s + 2^s + 3^s + \dots = -\frac{B_{s+1}}{s+1}$$

où $B_k$ est un nombre de Bernoulli (en particulier, $B_2 = \frac{1}{6}$). On obtient donc que l'énergie vaut
$$E = \frac{\hbar\pi c}{12L}$$

et la force s'exerçant entre les plaques :

$$F = -\frac{\partial E}{\partial L} = -\frac{\hbar\pi c}{12L^2}$$

### 3. GÉNÉRALISATION À TROIS DIMENSIONS

Il est possible d'aborder l'effet Casimir à partir de l'analyse dimensionnelle [22, 23], en invoquant le théorème Pi de Vaschy-Buckingham [24].

Considérons qu'un système physique soit décrit par $N$ grandeurs pertinentes : $N - 1$ paramètres (constantes physiques caractéristiques d'un système, conditions initiales, constantes universelles, etc.) et une $N^{\text{ième}}$ grandeur physique que l'on cherche à exprimer en fonction des $N - 1$ paramètres.

Le théorème de Rayleigh donne le nombre de grandeurs sans dimension, ou grandeurs réduites, que l'on peut construire à partir des $N$ grandeurs pertinentes sus-mentionnées $G_j$, $j = 1, ..., N$. Les équations aux dimensions de ces dernières font intervenir $n$ grandeurs fondamentales $F_k$ :

$$[G_j] = F_1^{\beta_{1,j}} F_2^{\beta_{2,j}} \dots F_n^{\beta_{n,j}}$$

Si $r$ est le rang de la matrice dimensionnelle formée par les exposants $\beta_{ij}$, le nombre des variables réduites est égal à $N - r$. Le théorème de Vaschy-Buckingham indique alors la forme de la loi reliant la variable physique aux $N - 1$ paramètres. En particulier, s'il existe une seule grandeur réduite, c'est une constante et par suite, la $N^{\text{ième}}$ grandeur est une fonction monôme des $N - 1$ paramètres : la loi recherchée est obtenue à un coefficient numérique près qui, d'après le principe de Jeans-Rayleigh, est de l'ordre de l'unité.

L'effet étant d'origine quantique et relativiste, on s'attend à ce que la force par unité de surface de Casimir dépende des deux constantes fondamentales : la vitesse de la lumière dans le vide la constante de Planck réduite De plus, il est plus que probable que l'effet dépende aussi de la distance entre les plaques.

On postule donc que la force par unité de surface s'écrit :

$$\frac{dF}{dS} = C_0 L^{\alpha} c^{\beta} \hbar^{\gamma}$$

où $C_0$ est un nombre sans dimension, et $\alpha, \beta, \gamma$ trois nombres à déterminer. L'analyse dimensionnelle conduit au système d'équations

$$\gamma = 1, \quad \alpha + \beta + 2\gamma = -1, \quad -\beta - \gamma = -2$$

dont l'unique solution est $\beta = \gamma = 1$ et $\alpha = -4$.
Le calcul exact, effectué par Casimir en 1948, donne une valeur non nulle négative de la constante :

$$ \frac{dF}{dS} = - \frac{\pi^2 \hbar c}{240 L^4} $$

Le signe moins indique que cette force est attractive. La constante peut également être obtenue à partir de la formule d'Euler-Mac Laurin mentionnée ci-dessus.

## CONCLUSION

L'effet Casimir caractérise l'attraction de deux plaques conductrices placées dans le vide. La force associée, qui décroît lorsque la distance entre les plaques augmente, ne peut être comprise que dans le cadre de l'électrodynamique quantique.

Elle est due aux fluctuations de l'énergie de point zéro du vide entre les plaques.

Son calcul est lié à la notion de somme de Ramanujan d'une série divergente.

On retrouve en effet l'expression de la force de Casimir en admettant que la somme des entiers $1 + 2 + 3 + \cdots$ jusqu'à l'infini vaut $-1/12$.

Cette observation, qui peut surprendre n'est pas une simple curiosité, mais cache des notions mathématiques subtiles et complexes.

Elle est quoi qu'il en soit une belle illustration de l'importance des mathématiques en physique.

L'effet Casimir est toujours un domaine de recherche très actif, qui n'a pas encore révélé tous ses secrets. Ainsi, une équipe de l'université de Berkeley vient de mettre en évidence le fait que l'effet Casimir permettait la transmission de phonons à travers le vide ce qui révèle un nouveau mode de transfert thermique dans le vide [25].

Umar Mohideen et ses collègues de l'université de Californie ont vérifié en outre la prédiction théorique de Casimir avec une précision de l'ordre de 1 % [26].
BIBLIOGRAPHIE ET NETOGRAPHIE

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[13] R. L. DeBiase, « Are Casimir Forces Conservative? », Physics Procedia **38**, 18-33, 2012

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[16] F. J. Dyson, « Divergence of Perturbation Theory in Quantum Electrodynamics », Phys. Rev. **85**, 631-632 (1952).
[17] J.-C. Pain, « Fascinante constante de structure fine : de la numérologie à l'électrodynamique quantique », Bulletin de l'union des physiciens, vol. **112**, n° 1000, p. 239-248, janvier 2018.

[18] B. Randé, *Les carnets indiens de Srinivasa Ramanujan*, Paris, Cassini, 2002, 213 p.

[19] B. Rittaud, « La Somme des entiers positifs fait-elle vraiment -1/12 ? », CNRS et AuDiMATH (Autour de la Diffusion des Mathématiques) : https://www.youtube.com/watch?v=GnZQOb9YNV4

[20] K. Srinivasa Rao, « Ramanujan's Notebooks »: https://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/notebookindex.htm

[21] K. D. Thomas, From Prime Numbers to Nuclear Physics and Beyond, Institute of Advanced Study Letters, Spring 2013. https://www.ias.edu/ideas/2013/primes-random-matrices

[22] J. Sivardière : « Utilisation de l'analyse dimensionnelle », Bull. Un. Prof. Phys. Chim., vol. **82**, n° 702, pp. 295-308, mars 1988.

[23] J. Sivardière, « Grandeurs caractéristiques d'un système physique », Bull. Un. Prof. Phys. Chim., vol. **93**, n° 818, pp. 1619-1628, novembre 1999.

[24] E. Buckingham, « On physically similar systems: illustrations of the use of dimensional equations », Phys. Rev. **4**, 345-376 (1914).

[25] K. Y. Fong, H.-K. Li, R. Zhao, S. Yang, Y. Wang and X. Zhang, « Phonon heat transfer across a vacuum through quantum fluctuations », Nature **576**, 243-247 (2019).

[26] U. Mohideen and A. Roy, « Precision Measurement of the Casimir Force from 0.1 to 0.9 µm », Phys. Rev. Lett. **81**, 4549-4552 (1998).
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**Figure 1** : Le champ électromagnétique fluctue (présence d'ondes) même en l'absence de matière ; il oscille. Entre les deux miroirs, certaines oscillations sont amplifiées (ce sont les modes résonants) et d'autres sont diminuées (ce sont les modes anti-résonants) par rapport aux fluctuations à l'extérieur de la cavité ; les pressions exercées de l'extérieur l'emportent et les miroirs sont poussés l'un vers l'autre. Dans la représentation ci-dessus, plus la largeur d'une flèche violette est grande, plus la pression correspondante est importante.

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**Figure 2 :** H. Casimir

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**Figure 3 :** Extrait du premier cahier de Ramanujan, chapitre VIII - page 3.