# Résumés des exposés au Congrès international des mathématiciens de 2022

Nicolas Bacaër

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## To cite this version:

Nicolas Bacaër. Résumés des exposés au Congrès international des mathématiciens de 2022. 2025. hal-05125413

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Submitted on 23 Jun 2025

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# RÉSUMÉS DES EXPOSÉS
AU CONGRÈS INTERNATIONAL
DES MATHÉMATICIENS DE 2022

Traduits par Nicolas BACAËR

avec l'aide de

Jean-Baptiste AUBIN, Patrick CÉGIELSKI, Aurélien DJAMENT...

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# Résumés des exposés
au Congrès international
des mathématiciens de 2022

Traduits par Nicolas BACAËR

avec l'aide de

Jean-Baptiste AUBIN, Patrick CÉGIELSKI, Aurélien DJAMENT...
Textes sources :

dx.doi.org/10.4171/ICM2022

BELIAEV (Dmitry) et SMIRNOV (Stanislav), *International Congress of Mathematicians 2022*, Berlin, EMS Press, 2023.

© 2023 Union mathématique internationale

Les textes ont été traduits automatiquement avec le logiciel DeepL puis relus et corrigés.

Pour la traduction :

Nicolas BACAËR (IRD, Paris)

nicolas.bacaer@ird.fr

Jean-Baptiste AUBIN (INSA Lyon)

→ statistique et analyse des données

Patrick CÉGIELSKI (université Paris-XII)

→ logique, mathématiques pour l'informatique

Aurélien DJAMENT (CNRS, Villetaneuse)

→ topologie

Relecteur anonyme

→ théorie des nombres

Paris, 2025

Licence CC-BY-4.0
Introduction

« La guerre des mots est aussi une guerre économique. »

Claude HAGÈGE, *Le français et les siècles*

Ce recueil rassemble les traductions en français des résumés de tous les exposés présentés lors du Congrès international des mathématiciens de 2022, qui devait avoir lieu à Saint-Pétersbourg mais qui s'est finalement déroulé en ligne. Ces résumés font partie des actes en sept volumes du congrès, qui ont été publiés sous une licence CC-BY (attribution) par l'Union mathématique internationale en décembre 2023. Rappelons que d'autres parties de ces actes ont déjà fait l'objet d'une traduction en français : les éloges des lauréats<fnref n="1" /> et quelques textes de vulgarisation pour le grand public<fnref n="2" />.

Les exposés qualifiés de « conférences spéciales » sont marqués dans ce recueil par un astérisque à la fin du titre. Des hyperliens renvoient vers des articles de Wikipédia ou vers des parties d'articles (ces derniers liens figurent alors en italique dans l'index en fin de volume). Il n'y a qu'un seul hyperlien pour chacune des grandes sections des mathématiques, indiquées en gras dans l'index. En fin de volume se trouve un glossaire de termes qui ne sont pas expliqués dans la version française de Wikipédia mais pour lesquels on a trouvé une autre source d'explications en ligne.

Pour les auteurs avec un nom chinois, japonais, coréen, vietnamien ou hongrois, on a préféré mettre le nom avant le prénom comme c'est la norme dans ces langues, indépendamment d'autres considérations.

On remercie Francis Bach, Cyril Houdayer, Karol Kozlowski, Mikael de la Salle et Olivier Wittenberg pour la correction de leurs résumés, Jérôme Garnier-Brun et Gabriel Vigny pour la traduction de termes isolés, ainsi que Isabelle Gallagher, Élise Goujard et Marie-France Vignyas pour la confirmation de la traduction de leurs résumés.

Nicolas BACAËR
Paris, mai 2025

<footnote n="1">1. https://hal.science/hal-04825660</footnote>

<footnote n="2">2. https://hal.science/hal-04491414</footnote>
# Sommaire

<table><tr><td>Les travaux des lauréats de la médaille Fields et des prix de l'Union mathématique internationale</td><td>1</td></tr><tr><td>Conférences des lauréats</td><td>4</td></tr><tr><td>Exposés de vulgarisation</td><td>7</td></tr><tr><td>Résumés des travaux des lauréats</td><td>9</td></tr><tr><td>Conférences plénières</td><td>11</td></tr><tr><td>Logique</td><td>20</td></tr><tr><td>Algèbre</td><td>23</td></tr><tr><td>Théorie des nombres</td><td>25</td></tr><tr><td>Géométrie algébrique et géométrie complexe</td><td>31</td></tr><tr><td>Géométrie</td><td>35</td></tr><tr><td>Topologie</td><td>40</td></tr><tr><td>Théorie de Lie et généralisations</td><td>43</td></tr><tr><td>Analyse</td><td>46</td></tr><tr><td>Systèmes dynamiques</td><td>51</td></tr><tr><td>Équations aux dérivées partielles</td><td>55</td></tr><tr><td>Physique mathématique</td><td>61</td></tr><tr><td>Probabilités</td><td>65</td></tr><tr><td>Combinatoire</td><td>71</td></tr><tr><td>Mathématiques pour l'informatique</td><td>76</td></tr></table>
<table><tr><td>Analyse numérique et calcul scientifique</td><td>81</td></tr><tr><td>Théorie du contrôle et optimisation</td><td>86</td></tr><tr><td>Statistique et analyse des données</td><td>91</td></tr><tr><td>Modélisation stochastique ou différentielle</td><td>95</td></tr><tr><td>Didactique et vulgarisation des mathématiques</td><td>98</td></tr><tr><td>Histoire des mathématiques</td><td>99</td></tr><tr><td>Index</td><td>101</td></tr><tr><td>Glossaire</td><td>110</td></tr></table>
# Les travaux des lauréats de la médaille Fields et des prix de l'Union mathématique internationale

## Les travaux d'Hugo Duminil-Copin

(Martin HAIRER)

La dernière décennie a vu d'énormes progrès dans notre compréhension du comportement de nombreux modèles probabilistes au voisinage du « point critique ». Le 5 juillet 2022, Hugo Duminil-Copin a reçu la médaille Fields pour le rôle crucial qu'il a joué dans bon nombre de ces développements. Dans ce court article de synthèse, on tentera de replacer ses travaux dans leur contexte et de présenter une petite sélection de ses résultats.

## Les travaux de Huh June

(Gil KALAI)

Huh June<fnref n="1" /> a trouvé des liens étonnants entre la géométrie algébrique et la combinatoire, résolu des problèmes centraux en combinatoire qui étaient restés ouverts pendant des décennies, et développé une théorie d'une grande importance pour les deux domaines. Il a reçu la médaille Fields en 2022 « pour avoir apporté les idées de la théorie de Hodge à la combinatoire, pour la démonstration de la conjecture de Dowling-Wilson pour les treillis géométriques, pour la démonstration de la conjecture de Heron-Rota-Welsh pour les matroïdes, pour le développement de la théorie des polynômes lorentziens et pour la démonstration de la conjecture forte de Mason ». Dans cet article, je passerai en revue certaines des contributions de Huh June.

## Les travaux de James Maynard

(Kannan SOUNDARARAJAN)

<footnote n="1">1. N.D.T. Le nom est avant le prénom. On peut aussi écrire « Hů Jun-i » ou « Heo Jun-i ».</footnote>
On présente brièvement quelques-uns des résultats les plus spectaculaires obtenus par James Maynard, qui lui ont valu la médaille Fields.

## Les travaux de Maryna Viazovska

(Henry COHN)

Le 5 juillet 2022, Maryna Viazovska a reçu une médaille Fields pour la résolution du problème de l'empilement de sphères en dimension 8, ainsi que pour d'autres contributions à des problèmes extrémaux et à des problèmes d'interpolation en analyse harmonique. Cet article explique à un public mathématicien certaines des idées qui sous-tendent ses travaux.

## Les travaux de Mark Braverman

(Ran RAZ)

Mark Braverman a reçu la « médaille de l'abaque » de l'Union mathématique internationale en 2022 pour ses travaux sur la complexité de l'information et pour d'autres travaux complémentaires. Mark est un spécialiste reconnu de la complexité de l'information et ses travaux comptent parmi les plus influents dans ce domaine de recherche. Il a des centres d'intérêt variés. Ses travaux dans plusieurs autres domaines de recherche ont permis dans certains cas de résoudre des problèmes restés pendant longtemps ouverts. On décrit certains de ses travaux en se concentrant essentiellement sur sa contribution à la complexité de l'information et aux sujets connexes à l'interface de la théorie de la complexité algorithmique et de la théorie de l'information.

## Les travaux de Barry Mazur

(Henri DARMON)

Barry Mazur reçoit la médaille Chern en 2022 « pour ses découvertes profondes en topologie, en géométrie arithmétique et en théorie des nombres, ainsi que pour son rôle moteur et sa générosité dans la formation de la prochaine génération ». Cet éloge passe en revue quelques-uns des faits marquants de la remarquable carrière mathématique de Mazur.
# Les travaux d'Elliott Lieb

(Rupert L. FRANK)

À l'occasion de l'attribution du prix Gauss à Elliott Lieb, on donne un aperçu non technique de certains de ses travaux fondamentaux en physique mathématique. On met l'accent en particulier sur ses travaux sur les systèmes coulombiens à plusieurs corps et sur les inégalités fonctionnelles.

# Nikolaï Andreïev et l'art de l'animation mathématique et de la construction de modèles

(TOKIEDA Tadashi)

Le prix Līlāvatī de l'Union mathématique internationale a été décerné lors du Congrès international des mathématiciens de 2022 à Nikolaï Andreïev pour avoir développé l'animation mathématique et la construction de modèles mathématiques dans un style qui inspire les jeunes et les moins jeunes et que les mathématiciens du monde entier peuvent adapter à leurs diverses utilisations, ainsi que pour ses efforts inlassables pour vulgariser des mathématiques sérieuses auprès du grand public.
# Conférences des lauréats

## Cent ans de modèle d'Ising (critique) sur le réseau hypercubique

*(Hugo DUMINIL-COPIN)*

On profite de cet article pour passer en revue cent ans d'étude physique et mathématique du modèle d'Ising. Ce modèle, introduit par Lenz en 1920, a été la pierre angulaire de nombreuses révolutions majeures en physique statistique. On souhaite donner un aperçu historique de certains de ces développements étonnants. On limite notre attention au modèle ferromagnétique du plus proche voisin sur le réseau hypercubique. On se concentre essentiellement sur ce qui se passe au point critique ou à proximité de celui-ci.

## La combinatoire et la théorie de Hodge

*(HUH June)*

Je raconterai deux histoires interdépendantes qui illustrent les interactions fructueuses entre la combinatoire et la théorie de Hodge. La première est celle des polynômes lorentziens, basée sur mes travaux en collaboration avec Petter Brändén. Ils relient l'analyse convexe continue et l'analyse convexe discrète *via* la géométrie tropicale, et révèlent des informations subtiles sur les graphes, les corps convexes, les variétés projectives, les fonctions de partition du modèle de Potts, les polynômes log-concaves et les représentations de plus haut poids des groupes linéaires. La deuxième histoire est celle de la cohomologie d'intersection des matroïdes, basée sur mes travaux en collaboration avec Tom Bränden, Jacob Matherne, Nick Proudfoot et Wang Botong. Ils montrent un parallèle surprenant entre la théorie des polytopes convexes, les groupes de Coxeter et les matroïdes. Après avoir donné un aperçu de ce parallèle, je présenterai les démonstrations de deux conjectures combina-toires sur les matroïdes, la conjecture de positivité pour leurs coefficients de Kazhdan-Lusztig et la conjecture « top-heavy » pour le treillis des fermés.
## Compter les nombres premiers

(James MAYNARD)

On passe en revue les techniques utilisées pour détecter les nombres premiers dans les ensembles, en soulignant les points forts et les limites des techniques actuelles.

## Sur les ensembles discrets d'unicité de Fourier dans l'espace euclidien

(Maryna VIAZOVSKA)

Cet article présente une nouvelle construction d'un ensemble discret d'unicité de Fourier dans l'espace euclidien.

## La complexité de la communication et la complexité de l'information

(Mark BRAVERMAN)

La complexité de la communication est un domaine de la théorie de la complexité algorithmique qui étudie la quantité de communication nécessaire à l'accomplissement d'une tâche algorithmique. La complexité de la communication nous fournit certaines des techniques les plus efficaces pour démontrer des résultats d'impossibilité pour des tâches algorithmiques.

La complexité de l'information relie la complexité de la communication à la théorie classique de l'information de Shannon. Elle traite l'information révélée ou transmise comme une ressource à conserver. D'une part, la complexité de l'information conduit à des généralisations de la théorie classique de l'information et de la théorie des codes à des scénarios interactifs. D'autre part, elle nous fournit des outils pour répondre aux questions ouvertes sur la complexité de la communication et les domaines connexes. Cette note donne un aperçu de la complexité de la communication et de certains développements récents en matière de complexité de l'information à deux parties et d'applications. Elle se base sur un exposé donné par l'auteur au Congrès international des mathématiciens de 2022. Elle développe certains thèmes de l'exposé et fournit également des références qui ont été omises lors de l'exposé.
Vulgarisation des mathématiques : un aperçu des projets et
des traditions russes

(Nikolaï ANDREİEV)

On propose une visite guidée des traditions russes originales en matière de vulgarisation des mathématiques. Si nombre d'entre elles sont déjà intégrées à la pratique mondiale, d'autres n'ont pas encore emboité le pas. Ce qui les unit, c'est le désir de ne pas se contenter d'amuser les gens en résolvant des énigmes astucieuses, mais d'expliquer les mathématiques qui les sous-tendent.

Représentations des groupes *p*-adiques sur les anneaux commutatifs

(Marie-France VIGNÉRAS)

Motivée par le programme de Langlands en théorie des représentations, en théorie des nombres et en géométrie, la théorie des représentations d'un groupe réductif *p*-adique, à l'origine dans des espaces vectoriels complexes, a été largement développée dans des modules sur un anneau commutatif au cours des deux dernières décennies. Cet article passe en revue les résultats fondamentaux obtenus au cours de cette période en supposant une certaine familiarité avec la théorie des représentations liée au programme de Langlands. S'adressant à un public assez large, la conférence Noether du Congrès international des mathématiciens de 2022 devrait être accessible sans prérequis et transmettre l'intuition des résultats les plus marquants.
# Exposés de vulgarisation

## Le modèle d'Ising dans notre dimension et à notre époque

(Andreï OKOUNKOV)

Bien que l'auteur soit un mathématicien professionnel, il n'est en aucun cas un expert dans le domaine couvert par ces notes. Le but de ces notes est de partager l'enthousiasme personnel de l'auteur pour certains résultats d'Hugo Duminil-Copin avec les amateurs de mathématiques de tous âges, en utilisant un langage mathématique extrêmement accessible mais précis. Aucune tentative n'a été faite pour présenter une vue d'ensemble de l'état actuel du domaine, de son histoire, ou pour placer ce récit dans un contexte scientifique ou social plus large. Voir les références de la section 5 pour des études spécialisées et des articles de vulgarisation scientifique qui permettront certainement au lecteur d'acquérir une compréhension plus large et plus profonde du sujet.

## La géométrie combinatoire en tête

(Andreï OKOUNKOV)

Bien que l'auteur soit un mathématicien professionnel, il n'est en aucun cas un expert dans le domaine couvert par ces notes. L'objectif de ces notes est de partager l'enthousiasme personnel de l'auteur pour certains résultats de Huh June avec des passionnés de mathématiques de tous âges, en utilisant un langage mathématique extrêmement accessible mais précis. Aucune tentative n'a été faite pour présenter une vue d'ensemble de l'état actuel du domaine, de son histoire, ou pour placer ce récit dans un contexte scientifique ou social plus large. Voir les références de la section 9 pour des études spécialisées et des comptes rendus de vulgarisation scientifique qui permettront certainement au lecteur d'acquérir une compréhension plus large et plus profonde du sujet.

## Des rimes dans les nombres premiers

(Andreï OKOUNKOV)
Bien que l'auteur soit un mathématicien professionnel, il n'est en aucun cas un expert dans le domaine couvert par ces notes. Le but de ces notes est de partager l'enthousiasme personnel de l'auteur pour certains résultats de James Maynard avec les amateurs de mathématiques de tous âges, en utilisant un langage mathématique aussi accessible que possible, mais précis. Aucune tentative n'a été faite pour présenter une vue d'ensemble de l'état actuel du domaine, de son histoire, ou pour placer ce récit dans un contexte scientifique ou social plus large. Voir les références de la section 11 pour des études spécialisées et des articles de vulgarisation scientifique qui permettront certainement au lecteur d'acquérir une compréhension plus large et plus profonde du sujet.

## La magie de 8 et 24

(Andreï OKOUNKOV)

Bien que l'auteur soit un mathématicien professionnel, il n'est en aucun cas un expert dans le domaine couvert par ces notes. Le but de ces notes est de partager l'enthousiasme personnel de l'auteur pour certains résultats de Maryna Viazovska avec les amateurs de mathématiques de tous âges, en utilisant un langage mathématique extrêmement accessible mais précis. Aucune tentative n'a été faite pour présenter une vue d'ensemble de l'état actuel du domaine, de son histoire, ou pour placer ce récit dans un contexte scientifique ou social plus large. Voir les références de la section 5 pour des études spécialisées et des articles de vulgarisation scientifique qui permettront certainement au lecteur d'acquérir une compréhension plus large et plus profonde du sujet.
# Résumés des travaux des lauréats

## Médaille de l'abaque : Mark Braverman

(Allyn JACKSON)

Cet article décrit les travaux de Mark Braverman, lauréat de la médaille de l'abaque (anciennement connue sous le nom de *prix Rolf-Nevanlinna*) décernée par l'Union mathématique internationale lors du Congrès international des mathématiciens de 2022. La médaille de l'abaque récompense des contributions exceptionnelles aux aspects mathématiques des *sciences de l'information*, notamment en *information théorique*.

## Médaille Chern : Barry Mazur

(Allyn JACKSON)

Cet article décrit les travaux de Barry Mazur, lauréat de la médaille Chern décernée par l'Union mathématique internationale lors du Congrès international des mathématiciens de 2022. La médaille Chern récompense une personne de tout âge et de toute profession dont les travaux méritent le plus haut niveau de reconnaissance pour des réalisations exceptionnelles dans le domaine des mathématiques.

## Prix Gauss : Elliott H. Lieb

(Allyn JACKSON)

Cet article décrit les travaux d'Elliott H. Lieb, lauréat du prix Carl-Friedrich-Gauss décerné par l'Union mathématique internationale lors du Congrès international des mathématiciens de 2022. Le prix Gauss récompense les scientifiques dont les recherches mathématiques ont eu un impact en dehors des mathématiques, que ce soit dans le domaine de la technologie, des affaires ou tout simplement dans la vie quotidienne des gens.
## Prix Līlāvatī : Nikolaï Andreïev

(Allyn JACKSON)

Cet article décrit les travaux de Nikolaï Andreïev, lauréat du prix Līlāvatī décerné par l'Union mathématique internationale lors du Congrès international des mathématiciens de 2022. Le prix Līlāvatī récompense les contributions exceptionnelles à la sensibilisation du public aux mathématiques en tant que discipline intellectuelle et au rôle crucial qu'elles jouent dans diverses activités humaines.
# Conférences plénières

## Quel est l'intérêt des ordinateurs ? Une question pour les mathématiciens purs*

(Kevin BUZZARD)

On se demande si les ordinateurs pourraient bientôt aider les mathé-
maticiens à démontrer des théorèmes dans des domaines où ils n'ont
pas été utiles jusqu'à présent. De plus, on soutient l'idée que ces mêmes
outils informatiques nous aideront également pour la communication et
l'enseignement des mathématiques.

## La réciprocité dans le programme de Langlands depuis le dernier théorème de Fermat*

(Frank CALEGARI)

La conjecture de réciprocité du programme de Langlands relie les motifs aux formes automorphes. La démonstration du dernier théorème de Fermat par Wiles (Taylor et Wiles, 1995 ; Wiles, 1995) a introduit de nouveaux outils pour étudier la réciprocité. La présente note rend compte des développements issus de ces idées (et de leurs généralisations) au cours des trois dernières décennies.

## Un aperçu des ondes gravitationnelles*

(Frans PRETORIUS)

On fait le point sur l'état de l'astrophysique des ondes gravitationnelles en présentant les défis, les observations actuelles et les perspectives d'avenir dans le contexte des prédictions de la théorie de la relativité générale d'Einstein.

## Les actions de groupes sur les espaces hyperboliques

(Mladen BESTVINA)

Ceci est un aperçu (très subjectif) pour les non-spécialistes qui couvre les actions de groupes sur les espaces hyperboliques de Gromov.
La première section traite des groupes hyperboliques eux-mêmes. Le reste de l'article se concentre sur les groupes de *difféotopies*, sur le groupe $Out(F_n)$ et sur la manière de comprendre leur géométrie à grande échelle en utilisant leurs actions sur divers espaces hyperboliques construits à l'aide de complexes de projection. La compréhension du groupe $Out(F_n)$ est très en retard par rapport à celle des groupes de *difféotopies*. L'article se termine par quelques questions ouvertes.

## La géométrie algébrique en caractéristique mixte

(Bhargav BHATT)

Soit $p$ un nombre premier. On présente quelques développements récents en géométrie algébrique (au sens large) sur des anneaux commutatifs $p$-adiquement complets. Ces développements comprennent des avancées fondamentales dans le domaine ainsi que des applications externes.

## La dynamique des gaz dilués : une approche statistique

(Thierry BODINEAU, Isabelle GALLAGHER, Laure SAINT-RAYMOND et Sergio SIMONELLA)

L'évolution d'un gaz peut être décrite par différents modèles en fonction de l'échelle d'observation. Une question naturelle, soulevée par Hilbert dans son sixième problème, est de savoir si ces modèles fournissent des prédictions cohérentes. En particulier, pour les gaz raréfiés, on s'attend à ce que les lois de la théorie cinétique puissent s'obtenir directement à partir de la dynamique moléculaire régie par les principes fondamentaux de la mécanique.

Dans le cas des gaz de sphères dures, Lanford (1975) a montré que l'équation de Boltzmann apparaissait comme la loi des grands nombres dans la limite des faibles densités, au moins pour des temps très courts. L'objectif de cette étude est de présenter les progrès récents dans la compréhension de ce processus de passage à la limite en fournissant une description statistique complète.

## Les fonctions automorphes sur les espaces de modules de fibrés sur des courbes sur des corps locaux : un aperçu

(Alexander BRAVERMAN et David KAZHDAN)
Cet article est la version écrite de la conférence plénière de D. Kazhdan au Congrès international des mathématiciens de 2022. Il expose des résultats récents et surtout des conjectures qui tentent de construire un analogue de la théorie des fonctions automorphes sur les espaces de modules de fibrés sur des courbes définies sur des corps locaux (archimédiens ou non archimédiens). L'exposé est basé sur les travaux en collaboration de D. Kazhdan avec A. Braverman, P. Etingof, E. Frenkel et A. Polishchuk.

## L'évolution de la forme et de l'aspect

(Tobias Holck COLDING)

L'évolution de la forme et de l'aspect peut être décrite par des équations différentielles. Beaucoup de ces équations ont pour origine diverses branches des sciences et de l'ingénierie. Elles sont fondamentales et en un sens canonique. Le fait qu'elles aient un sens géométrique signifie qu'elles sont pertinentes partout et qu'elles ont des propriétés fondamentales qui apparaissent à maintes reprises dans de nombreux contextes. Pour les comprendre, il faut avoir une vision simultanée de l'analyse et de la géométrie ainsi que de l'interaction entre ces deux domaines.

## La théorie de la régularité pour la fonctionnelle d'aire (en théorie géométrique de la mesure)

(Camillo DE LELLIS)

L'objectif de cet article est de présenter un compte rendu assez complet mais non technique de la naissance de la théorie de la régularité pour les surfaces minimales généralisées, de ses diverses ramifications au fil des décennies, des développements les plus récents et de certains des défis qui restent à relever.

## Une perspective mathématique sur l'apprentissage automatique

(E Weinan)

Ce qui est au cœur de l'apprentissage automatique moderne basé sur les réseaux de neurones, c'est la capacité d'approcher des fonctions en très grande dimension avec une bonne précision. Cela ouvre
deux grandes voies de recherche. La première consiste à développer des algorithmes basés sur l'apprentissage automatique pour les problèmes scientifiques qui souffrent du fléau de la dimension. La seconde consiste à construire un cadre théorique qui nous aide à établir une meilleure base pour l'apprentissage automatique. Pour ce dernier point, les questions les plus importantes qui doivent être abordées sont les suivantes. Pourquoi les modèles de réseaux de neurones fonctionnent-ils si bien en grande dimension ? Pourquoi leurs performances dépendent-elles de manière aussi sensible du choix des hyperparamètres ? Pouvons-nous développer de nouveaux modèles et algorithmes d'apprentissage automatique plus robustes et tout aussi précis ? Dans cet article, on passe en revue quelques-uns des principaux progrès réalisés dans ces directions.

## Le chiffrement homomorphe : une étude mathématique

(Craig GENTRY)

Si la première chose qui vous vient à l'esprit lorsque vous entendez le mot « chiffrement » est la machine Enigma, vous pourriez penser que le chiffrement est compliqué et sans intérêt sur le plan mathématique. En réalité, de nombreux systèmes de chiffrement modernes sont assez simples d'un point de vue mathématique, en particulier les systèmes de chiffrement homomorphe. Dans ces systèmes, le point de départ est un homomorphisme qui respecte une ou plusieurs opérations binaires telles que $+ \text{ ou } \times$. En représentant cet homomorphisme par un diagramme commutatif rectangulaire, les objets du niveau supérieur du diagramme sont appelés « textes chiffrés » et les objets du niveau inférieur sont appelés « messages » ou « textes clairs ». Les flèches vers le bas du diagramme représentent l'homomorphisme, que nous appellenons « déchiffrement ». Les flèches vers la droite représentent l'opération ou les opérations. Le déchiffrement commute avec les opérations. Au diagramme commutatif, on ajoute un ingrédient supplémentaire, la complexité algorithmique. Plus précisément, il faut qu'il soit facile (avec un temps polynomial) pour quiconque de calculer les flèches vers la droite du diagramme, mais qu'il soit difficile d'apprendre à calculer les flèches vers le bas (déchiffrement), sauf avec certaines informations spéciales que l'on appellera une « clé secrète ». En bref, le chiffrement homomorphe est simplement un homomorphisme qui a été « renforcé » dans le sens de la théorie de la complexité. Le chiffrement homomorphe permet à quiconque de calculer sur des données chiffrées sans avoir besoin (ou sans pouvoir) les déchiffrer, ce qui donne lieu à de nom-
breuses applications passionnantes. Des systèmes de chiffrement totalement homomorphe, qui permettent un ensemble riche (fonctionnement complet) d'opérations, ont finalement été découverts en 2009. Mais tous les systèmes de chiffrement totalement homomorphe que l'on a découverts jusqu'à présent suivent le même schéma. On se demande encore s'il existe d'autres façons de construire des systèmes de chiffrement totalement homomorphe. Cette étude présente le chiffrement homomorphe d'un point de vue mathématique, en illustrant à l'aide de plusieurs exemples comment partir d'un homomorphisme et comment le renforcer pour l'adapter à la cryptographie, en signalant les pièges et les attaques à éviter, en exposant le plan actuel du chiffrement totalement homomorphe et (je l'espère) en servant d'inspiration et de guide utile pour le développement de nouvelles approches pour le chiffrement totalement homomorphe.

## Les événements rares dans la théorie des matrices aléatoires

(Alice GUIONNET)

Les modèles de matrices aléatoires sont utilisés dans de nombreux domaines des mathématiques, de la physique et de l'informatique. En conséquence, la théorie des grandes matrices aléatoires s'est diversifiée et a mûri au cours des quarante dernières années, en apportant des réponses à des questions de plus en plus sophistiquées. Dans ces actes, on examine les applications des techniques de grandes déviations dans la théorie des matrices aléatoires.

## Des estimations de découplage en analyse de Fourier

(Larry GUTH)

Le découplage est un développement récent de l'analyse de Fourier, qui a des applications en analyse harmonique, pour les équations aux dérivées partielles et en théorie des nombres. On passe en revue quelques applications du découplage et quelques idées de la démonstration.

## Les opérateurs quasi périodiques unidimensionnels : théorie globale, dualité et analyse fine des petits dénominateurs

(Svetlana JITOMIRSKAYA)
La théorie spectrale des opérateurs de Schrödinger unidimensionnels discrets à fréquence unique est un domaine qui trouve ses origines en physique et qui entretient des liens étroits avec celle-ci. Elle met en évidence une compétition fascinante entre le hasard (l'ergodicité) et l'ordre (la périodicité), qui est souvent résolue à un niveau arithmétique profond. Cela conduit à un spectre particulièrement riche de phénomènes, dont beaucoup commencent à peine à être compris. L'analyse correspondante implique en particulier de traiter des problèmes de petits dénominateurs. Elle a conduit au développement de méthodes non liées à KAM dans ce domaine traditionnellement lié à KAM, et à des résultats complètement inaccessibles par les anciennes techniques, également dans un certain nombre d'autres contextes. Cet article accompagne la conférence de l'auteur au Congrès international des mathématiciens de 2022. Il couvre plusieurs développements récents connexes.

## Les systèmes de pôles abéliens et les problèmes de type Riemann-Schottky

(Igor KRICHEVER)

Dans ce panorama des travaux sur la caractérisation des jacobiennes et des variétés de Prym parmi les variétés abéliennes principalement polarisées indécomposables *via* la théorie des solitons, on se concentre sur un certain cercle d'idées et de méthodes qui montrent que la caractérisation des jacobiennes comme des variétés abéliennes principalement polarisées dont la variété de Kummer admet une trisécante et la caractérisation des variétés de Prym comme des variétés abéliennes principalement polarisées dont la variété de Kummer admet une paire de quadrisécantes symétriques peuvent être vues comme une version abélienne des systèmes de pôles qui apparaissent dans la théorie des solutions elliptiques pour les principales hiérarchies d'équations de solitons. On présente aussi des résultats récents dans cette direction sur la caractérisation des jacobiennes des courbes munies d'une involution, qui ont été motivés par la théorie des hiérarchies intégrables bidimensionnelles avec des symétries.

## Les décompositions semi-orthogonales en familles

(Alexander KUZNETSOV)
On examine les développements récents dans l'étude des décompositions semi-orthogonales de variétés algébriques en mettant l'accent sur leur comportement en familles.

Tout d'abord, on présente de nouveaux résultats concernant la dualité projective homologique.

On introduit ensuite les catégories résiduelles, on examine leur relation avec la petite cohomologie quantique et l'on calcule les dimensions de Serre des catégories résiduelles d'intersections complètes. On définit ensuite les résolutions simultanées de singularités et l'on décrit une construction qui fonctionne en particulier pour les dégénérescences nodales des variétés de dimension paire.

On introduit enfin le concept d'absorption des singularités qui fonctionne sous des hypothèses appropriées pour les dégénérescences nodales des variétés de dimension impaire.

## Qu'est-ce qu'une surface aléatoire ?

(Scott SHEFFIELD)

Étant donné $2n$ triangles équilatéraux de côté 1, il existe un nombre fini de façons de recoller chaque arête à une autre arête. On obtient une surface aléatoire homéomorphe à la sphère en échantillonnant uniformément les recollements qui produisent une sphère topologique. Lorsque $n \to \infty$, ces surfaces aléatoires (convenablement mises à l'échelle) convergent en loi. La limite est une surface aléatoire « canonique » homéomorphe à une sphère, de la même manière que le mouvement brownien est une trajectoire aléatoire canonique.

Selon la façon dont l'espace de la surface et la topologie de convergence sont spécifiés, la limite est la sphère brownienne, la sphère de Peano, la sphère de la gravité quantique pure de Liouville ou une certaine théorie conforme des champs. Tous ces objets ont des définitions concises et sont d'une certaine manière équivalents, mais l'équivalence n'est pas triviale et s'appuie sur des centaines d'articles de mathématiques et de physique publiés au cours des cinquante dernières années.

Plus généralement, la « surface aléatoire continue plongée dans un espace euclidien de dimension $d$ » a un sens pour $d \in ]-\infty, 25[$ même lorsque $d$ n'est pas un entier strictement positif. Cela peut être étendu à des surfaces de genre plus élevé, à des surfaces à bord et à des surfaces avec des points marqués ou avec d'autres décorations.

Ces constructions ont des racines profondes à la fois en mathématiques et en physique. Elles s'inspirent de la théorie classique des
graphes, de l'analyse complexe, de la théorie des probabilités et de la
théorie des représentations ainsi que de la théorie des cordes, de la phy-
sique statistique planaire, de la théorie des matrices aléatoires et d'un
modèle simple pour la gravité quantique en deux dimensions.

On présente ici une vue d'ensemble informelle du sujet, du niveau
d'un colloque, qui espérons-le sera accessible à la fois aux nouveaux
venus et aux experts. On cherche à répondre de la manière la plus
claire possible à la question fondamentale : qu'est-ce qu'une surface
aléatoire ?

La distribution des valeurs des fonctions zêta et L

(Kannan SOUNDARARAJAN)

On passe en revue les progrès récents dans la compréhension de la
distribution des valeurs de fonctions zêta et L. On examine en particu-
lier le problème des moments de |ζ(½ + it)| et des moments des valeurs
centrales de fonctions L en familles. Les vingt-cinq dernières années ont
conduit à une compréhension conjecturale du comportement asympto-
tique de ces moments ainsi qu'à des progrès dans l'obtention de bons
majorants et minorants dans de nombreuses situations.

Catégorification : invariants d'enchévêtement et théorie quantique des champs topologique

(Catharina STROPPEL)

À partir de différents points de vue sur le polynôme de Jones, on passe en revue les invariants d'entrelacs et d'enchévêtements catégorifiés issus de la théorie des représentations. On les unifie dans un cadre combinatoire commun et on les relie par la théorie des bimodules de Soergel. On examine l'influence de ces catégorifications sur le développement de la théorie des 2-représentations et l'interaction entre les invariants topologiques et les structures 2-catégoriques. On indique enfin comment les représentations catégorifiées des groupes quantiques d'une part et les 2-catégories monoïdales de bimodules de Soergel d'autre part pourraient conduire à de nouvelles théories quantiques de champs topologiques de dimension 4 intéressantes.
Les résolutions crépantes non commutatives : un aperçu

(Michel VAN DEN BERGH)

Les résolutions crépantes non commutatives sont des analogues non
commutatifs des résolutions crépantes habituelles qui apparaissent en
géométrie algébrique. Dans cet article, on passe en revue quelques résul-
tats concernant les résolutions crépantes non commutatives.

Les interactions entre la théorie de la complexité algorithmique et les mathématiques

(Avi WIGDERSON)

On passe en revue quelques domaines concrets d'interaction entre
la théorie de la complexité algorithmique et différents domaines des
mathématiques. On espère mettre en évidence que pratiquement aucun
domaine des mathématiques modernes n'est épargné par ce lien, qui
dans certains cas est tout à fait naturel et dans d'autres peut sembler
tout à fait surprenant. L'ampleur, la profondeur, la beauté et la nou-
veauté de ces liens sont une source d'inspiration et laissent entrevoir un
grand potentiel pour de futures interactions (qui en effet se développent
rapidement). On vise la variété. On donne des descriptions courtes et
simples sans démonstrations ni détails techniques d'idées, de motiva-
tions, de résultats et de liens, ce qui espérons-le incitera le lecteur à
approfondir la question. Chaque point se concentre sur un seul sujet
au sein d'un vaste domaine mathématique et se veut illustratif plutôt
qu'exhaustif. On couvre les domaines suivants :

— théorie des nombres : les tests de primalité ;

— géométrie combinatoire : les structures d'incidence avec des points et des droites ;

— théorie des opérateurs : le problème de Kadison-Singer ;

— géométrie métrique : la distorsion de plongements ;

— théorie des groupes : la génération et la génération aléatoire ;

— physique statistique : la méthode de Monte-Carlo par chaînes de Markov ;

— analyse et probabilités : la stabilité par rapport à du bruit ;

— théorie des réseaux : les vecteurs courts ;

— théorie des invariants : les actions de groupe sur les uplets de matrices (et au-delà).
# Logique

## La modération en géométrie et en arithmétique : au-delà de l'o-minimalité

(Gal BINYAMINI et Dmitry NOVIKOV)

La théorie des structures o-minimales fournit un cadre puissant pour l'étude des structures géométriquement modérées. Au cours des deux dernières décennies, un lien profond reliant l'o-minimalité à la géométrie algébrique et à la géométrie arithmétique s'est développé. Il est cependant apparu clairement que les axiomes de l'o-minimalité ne rendent pas pleinement compte de certains aspects algébro-arithmétiques de la modération auxquels on peut s'attendre dans les structures issues de la géométrie. On propose une notion de structures fortement o-minimales qui raffine les axiomes standard de l'o-minimalité, et l'on décrit à travers des conjectures et divers résultats partiels le développement potentiel de cette théorie en parallèle avec la théorie standard.

On illustre quelques applications de cette théorie émergente dans deux directions principales. Tout d'abord, on montre comment elle peut être utilisée pour obtenir des bornes inférieures pour la taille de l'orbite de Galois, notamment dans des contextes non abéliens où les méthodes de transcendance standard ne s'appliquent pas. Deuxième-ment, on montre comment on peut l'utiliser pour obtenir des résultats d'effectivité et de calculabilité (en temps polynomial) pour divers pro-blèmes d'intersection peu probable autour des conjectures de Manin-Mumford, d'André-Oort et de Zilber-Pink.

## Théorie de Ramsey des structures homogènes : tendances actuelles et problèmes ouverts

(Natasha DOBRINEN)

Cet article met en lumière les progrès notables de la théorie des partitions des structures relationnelles homogènes dénombrables et présente les travaux récents, les tendances actuelles et les problèmes ouverts. Parmi les développements récents les plus intéressants figurent de nouvelles méthodes faisant appel à la logique, aux espaces topolo-giques de Ramsey et à la théorie des catégories. L'article se concentre
sur les grands degrés de Ramsey, en présentant leur structure essentielle lorsqu'elle est connue et en soulignant les domaines à développer. Des domaines connexes, notamment la théorie de Ramsey de dimension infinie des structures homogènes et la théorie des partitions des structures non dénombrables, sont également abordés.

## La combinatoire des graphes mesurables

(Andrew S. MARKS)

On passe en revue quelques résultats récents en combinatoire des graphes mesurables. On examine également leurs applications à l'étude de l'hyperfinitude et des équidécompositions mesurables.

## Le principe de Paris-Harrington et l'arithmétique du second ordre, un pont entre les théorèmes de Ramsey fini et infini

(YOKOYAMA Keita)

Le principe de Paris-Harrington (PH) est connu comme l'un des premiers exemples d'énoncés « mathématiques » indépendants de l'axiomatisation standard des entiers naturels appelée « arithmétique de Peano ». Dans cet article, on examine diverses variantes de PH et les relations entre les théorèmes de Ramsey fini et infini et les systèmes arithmétiques.

## Le problème de satisfaction de contraintes : ce qui rend le problème facile

(Dmitriy ZHUK)

Le problème de satisfaction de contraintes consiste à décider s'il existe une affectation à un ensemble de variables avec certaines contraintes spécifiées. Les systèmes linéaires d'équations, la coloration de graphe et de nombreux autres problèmes combinatoires peuvent s'exprimer comme problèmes de satisfaction de contraintes pour un certain langage de contraintes. En 1993, on a conjecturé que pour tout langage par contraintes, le problème est soit résoluble en temps polynomial, soit NP-complet. Pendant de nombreuses années, cette conjecture a été la principale question ouverte dans le domaine. Après la résolution de cette conjecture en 2017, on peut enfin dire quand le problème
est difficile et quand le problème est facile. Dans la première partie de l'article, on présente une introduction élémentaire au domaine, en expliquant comment la classification complète est apparue et pourquoi elle est formulée en termes de polymorphismes. On examine ce qui rend le problème NP-difficile, ce qui rend le problème résoluble par vérification de cohérence locale, et l'on explique brièvement l'idée principale de l'une des deux démonstrations de la conjecture. La deuxième partie de l'article est consacrée à l'extension du problème de satisfaction de contraintes, appelé problème de satisfaction de contraintes quantifiées, dans lequel on autorise l'utilisation de quantificateurs universels et existentiels. On examine enfin brièvement d'autres variantes du problème de satisfaction de contraintes ainsi que de quelques questions ouvertes qui s'y rapportent.
# Algèbre

Une invitation totalement discontinue aux groupes localement compacts

(Pierre-Emmanuel CAPRACE et George A. WILLIS)

On présente une sélection de résultats contribuant à une théorie structurelle des groupes localement compacts totalement discontinus.

Le problème d'annulation de Zariski et les problèmes connexes en géométrie algébrique affine

(Neena GUPTA)

On examine dans cet article la solution du problème d'annulation de Zariski en caractéristique strictement positive, les diverses approches adoptées jusqu'à présent en vue d'une solution possible en caractéristique nulle et plusieurs autres questions liées à ce problème.

Le modèle formel des variétés de drapeaux semi-infinis

(KATO Syu)

Le modèle formel d'une variété de drapeaux semi-infinis est une variante d'une variété de drapeaux affine qui a été identifiée dans les années quatre-vingt, mais qui n'a pas été étudiée de manière approfondie avant la fin des années 2010. Dans cette note, on expose des constructions et des idées apparues dans notre étude récente du modèle formel de la variété de drapeaux semi-infinis d'un groupe algébrique simple. Nos résultats ont des implications pour la théorie des fonctions rationnelles d'une droite projective vers des variétés de drapeaux partiels, et aussi sur les structures de cohomologies quantiques et de K-groupes quantiques des variétés de drapeaux partiels.

Estimations des caractères pour les groupes finis simples et applications

(Michael J. LARSEN)
Soit G un groupe fini simple, $\chi$ un caractère complexe irréductible et $g$ un élément de G. Il est souvent souhaitable d'avoir des majorations pour $|\chi(g)|$ en fonction de $\chi(1)$ et d'une certaine mesure de la régularité de $g$. Cet article passe en revue ce qui est connu dans cette direction et présente des applications typiques de telles majorations : pour démontrer que certains produits de classes de conjugaison couvrent G, pour résoudre des équation en mots sur G, et pour compter les homomorphismes d'un groupe fuchsien vers G.

## Les approximations finies comme outil d'étude des catégories triangulées

(Amnon NEEMAN)

Les petites entités finies sont plus faciles et plus simples à manipuler que les entités infinies gigantesques. Par conséquent, des pans entiers des mathématiques sont consacrés à des méthodes qui réduisent l'étude de grands objets compliqués à une analyse de leurs éléments constitutifs finis. La manifestation de ce modèle général dans l'étude des catégories dérivées ou triangulées remonte presque aux débuts du sujet, plus précisément aux articles d'Illusie dans SGA6 au début des années soixante-dix.

Ce qui est nouveau, du moins dans le monde des catégories dérivées et triangulées, c'est que l'on obtient des résultats supplémentaires en analysant plus attentivement et en quantifiant plus précisément l'efficacité avec laquelle on peut estimer des objets infinis par des objets finis. Cela nous conduit à l'étude de distances sur les catégories triangulées et de la précision avec laquelle un objet peut être approché par des objets finis de tailles bornées.

## Syzygies sur un anneau de polynômes

(Irena PEEVA)

On examine les résultats et les problèmes ouverts relatifs aux résolutions graduées libres minimales sur des anneaux de polynômes.
# Théorie des nombres

## Exposé général sur la dynamique arithmétique*

(Joseph H. SILVERMAN)

La dynamique arithmétique est un domaine relativement nouveau dans lequel les problèmes classiques de la théorie des nombres et de la géométrie algébrique sont reformulés dans le cadre de systèmes dynamiques. Par exemple, les points rationnels sur des variétés algébriques deviennent des points rationnels dans des orbites, et les points de torsion sur des variétés abéliennes deviennent des points ayant des orbites finies. Des problèmes de modules apparaissent également : par exemple, les points de multiplication complexe d'un espace de modules de variétés abéliennes correspondent aux points postcritiquement finis dans l'espace de modules des applications rationnelles. Dans cet article, on donne un aperçu de certains des problèmes majeurs qui motivent le domaine de la dynamique arithmétique et de certains des progrès réalisés au cours des vingt dernières années.

## Formules des traces relatives et conjectures de Gan-Gross-Prasad

(Raphaël BEUZART-PLESSIS)

Cet article fait état de certains progrès récents concernant les « conjectures de Gan-Gross-Prasad » grâce à l'utilisation de formules des traces relatives. Dans leurs aspects globaux, ces conjectures et certains raffinements proposés pour la première fois par Ichino et Ikeda donnent des relations précises entre les valeurs centrales de fonctions L généralisées et des périodes automorphes. Il existe également des contreparties locales qui décrivent des lois de branchement entre des représentations de groupes classiques. Dans les deux cas, les approches par les formules des traces relatives se sont avérées très fructueuses et ont même conduit à des démonstrations complètes, du moins dans le cas des groupes unitaires. Les travaux menant à ces résultats précis ont également été l'occasion d'acquérir de nouvelles connaissances sur ces outils fondamentaux du programme de Langlands relatif encore en voie d'émergence.
La cohomologie des variétés de Shimura avec des coefficients
de torsion

(Ana CARAIANI)

Dans cet article, on passe en revue les travaux récents sur certaines conjectures d'annulation pour la cohomologie des variétés de Shimura avec des coefficients de torsion, avec des conditions à la fois locales et globales. On examine la géométrie p-adique des variétés de Shimura et le morphisme de périodes de Hodge-Tate associé. On explique comment on peut les utiliser pour progresser sur ces conjectures. On décrit enfin quelques applications de ces résultats, en particulier la démonstration de la conjecture de Satō-Tate pour les courbes elliptiques sur les corps à multiplication complexe.

Sur la conjecture de Brumer-Stark et ses raffinements

(Samit DASGUPTA et Mahesh KAKDE)

On énonce la conjecture de Brumer-Stark, que l'on motive de deux
points de vue. Le point de vue de Stark est né de ses tentatives de
généraliser la formule classique du nombre de classes de Dirichlet pour
le premier terme de la fonction zêta de Dedekind en s = 1 (ou de
manière équivalente en s = 0). Le point de vue de Brumer est né de
la généralisation des travaux de Stickelberger sur la factorisation des
sommes de Gauss et l'annulation des groupes des classes des corps
cyclotomiques. Ces points de vue ont été synthétisés par Tate, qui a
énoncé la conjecture de Brumer-Stark sous sa forme actuelle.

La conjecture considère un corps totalement réel F et une extension
abélienne finie H/F de type CM. Elle énonce l'existence de p-unités dans
H dont les valuations aux places au-dessus de p sont liées aux valeurs
spéciales des fonctions L de l'extension H/F en s = 0. De manière essen-
tiellement équivalente, la conjecture énonce qu'un élément de Stickel-
berger associé à H/F annule le groupe des classes (convenablement lissé)
de H.

On décrit nos démonstrations récentes de la conjecture de Brumer-Stark pour p ≠ 2. La conjecture a été raffinée par de nombreux auteurs dans de multiples directions. On présente certains de ces raffinements et les résultats qu’on en a tirés. La technique clé dans les démonstrations est la méthode de Ribet.
L'un des raffinements que l'on examine est une formule analytique *p*-adique exacte pour les unités de Brumer-Stark, énoncée par le premier auteur et ses collaborateurs. On décrit cette formule et l'on souligne quelques points saillants de sa démonstration. Puisque les unités de Brumer-Stark ainsi que d'autres éléments faciles à décrire engendrent l'extension abélienne maximale d'un corps totalement réel, nos résultats peuvent être considérés comme une théorie des corps de classes explicite pour de tels corps. Ceci peut être considéré comme une version *p*-adique du douzième problème de Hilbert.

## Arithmétique et dynamique sur les variétés de type Markov

(Alexander GAMBURD)

L'équation de Markov $x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz$, qui est apparue dans sa remarquable thèse en 1879, est omniprésente dans une grande variété de contextes. Après avoir passé en revue certains de ces contextes, on examine le principe de Hasse, le comportement asymptotique des points entiers et en particulier les progrès récents pour démontrer des formes d'approximation forte sur les variétés de type Markov, ainsi que les implications diophantiennes et dynamiques qui en découlent.

## Le nombre de points rationnels sur une courbe de genre supérieur ou égal à deux

(Philipp HABEGGER)

La conjecture de Mordell énonce qu'une courbe projective lisse de genre supérieur ou égal à 2 définie sur un corps de nombres F n'admet qu'un nombre fini de points F-rationnels. Cette conjecture a été démontrée par Faltings dans les années quatre-vingt et à nouveau par Vojta en utilisant une stratégie différente. Malgré ces deux démonstrations différentes de la conjecture de Mordell, de nombreuses questions importantes sur l'ensemble des points F-rationnels restent ouvertes. Cette étude porte sur les développements récents en vue d'obtenir des majorations sur le nombre de points rationnels en lien avec une question de Mazur.

## Relèvement thêta et fonctorialité de Langlands

(ICHINO Atsushi)
On passe en revue divers aspects du relèvement thêta et son rôle dans l'étude de la *fonctorialité de Langlands*. En particulier, on examine les réalisations de la *correspondance de Jacquet-Langlands* et de la *correspondance de Shimura-Waldspurger* en termes de relèvement thêta et leurs applications arithmétiques.

## Approximations rationnelles de nombres irrationnels

(Dimítris KOUKOULOPOULOS)

Étant donné des nombres $\Delta_1, \Delta_2, \dots \ge 0$, un problème fondamental pour l'approximation diophantienne est de comprendre quels nombres irrationnels $x$ ont une infinité d'approximations rationnelles réduites $a/q$ telles que $|x-a/q| < \Delta_q$. Selon le choix de $\Delta_q$ et de $x$, cette question peut être très difficile. Duffin et Schaeffer ont conjecturé en 1941 que, si l'on adopte un point de vue « métrique », la question était régie par une simple loi du zéro-un : en notant $\phi$ l'indicatrice d'Euler, on a soit $\sum_{q=1}^{\infty} \phi(q)\Delta_q = \infty$ et alors presque tous les nombres irrationnels (au sens de Lebesgue) sont approximables, soit $\sum_{q=1}^{\infty} \phi(q)\Delta_q < \infty$ et alors presque aucun irrationnel n'est approximable. On présentera l'histoire de la conjecture de Duffin-Schaeffer et les idées principales derrière les travaux récents de Koukoulopoulos et Maynard qui l'ont résolue.

## Systèmes d'Euler et conjecture de Bloch-Kato pour les représentations galoisiennes automorphes

(David LOEFFLER et Sarah Livia ZERBES)

On passe en revue les progrès récents sur la *conjecture de Bloch-Kato*, qui relie des valeurs spéciales des fonctions L à la cohomologie des représentations galoisiennes *via* la machinerie des systèmes d'Euler. Ceci inclut de nouvelles techniques pour la construction de systèmes d'Euler *via* la cohomologie étale des variétés de Shimura, et de nouvelles méthodes pour démontrer des lois de réciprocité explicites qui relient les systèmes d'Euler à des valeurs critiques de fonctions L. Ces techniques ont récemment été utilisées pour démontrer la conjecture de Bloch-Kato pour des valeurs critiques de la fonction L de degré 4 de $GSp_4$. On passe en revue les travaux en cours qui cherchent à appliquer ce résultat à la *conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer* pour les surfaces abéliennes modulaires et à le généraliser à plusieurs autres fonctions L automorphes.
## Problèmes de dénombrement : les groupes des classes, les nombres premiers et les corps de nombres

(Lillian B. PIERCE)

À tout corps de nombres est associé un groupe abélien fini, le groupe des classes, qui enregistre certaines propriétés de l'arithmétique dans l'anneau des entiers du corps. Le groupe des classes est très étudié mais reste mystérieux. Une conjecture centrale de Brumer et Silverman affirme que pour tout nombre premier $\ell$, tout corps de nombres a la propriété que son groupe des classes a très peu d'éléments d'ordre $\ell$, où « très peu » est mesuré par rapport au discriminant absolu du corps. Cet article passe en revue les progrès récents sur cette conjecture et souligne ses liens étroits avec le dénombrement des nombres premiers, le dénombrement des corps de nombres de discriminant donné et le dénombrement des corps de nombres de discriminant borné.

## Les points sur les variétés de Shimura modulo un nombre premier

(SHIN Sug Woo)

On passe en revue des développements récents sur la conjecture de Langlands-Rapoport pour les variétés de Shimura modulo un nombre premier et sur une conjecture analogue pour les variétés d'Igusa. On examine leurs implications pour la décomposition automorphe des fonctions zêta de Hasse-Weil et pour la cohomologie $\ell$-adique des variétés de Shimura, ainsi que d'autres applications à la correspondance de Langlands et à des problèmes connexes.

## Le problème des nombres congruents et les courbes elliptiques

(TIAN Ye)

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer et la conjecture de Goldfeld sont des problèmes fondamentaux de l'arithmétique des courbes elliptiques. Le problème des nombres congruents est l'un des plus anciens problèmes de la théorie des nombres. Il s'agit de trouver pour tout entier $n$ tous les triangles rectangles à côtés rationnels d'aire $n$. Cela équivaut à trouver tous les points rationnels sur la courbe elliptique $E^{(n)}: ny^2 = x^3 - x$. La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer pour $E^{(n)}$ résout le problème des nombres congruents, tandis que la
conjecture de Goldfeld pour cette famille de courbes elliptiques résout
le problème des nombres congruents pour tous les nombres entiers
avec une probabilité un. Dans cet article, on présente quelques pro-
grès récents sur ces conjectures et problèmes.

Le programme de Langlands arithmétique et géométrique

(ZHU Xinwen)

On explique comment le programme de Langlands géométrique ins-
pire de nouvelles perspectives pour le programme de Langlands arith-
métique classique et conduit à la résolution de certains problèmes de
géométrie arithmétique.
# Géométrie algébrique et géométrie complexe

## La cohomologie motivique*

*(Marc LEVINE)*

On donne un aperçu du développement de la *cohomologie motivique*, des catégories motiviques et de certains de leurs descendants récents.

## Les invariants homologiques de nœuds issus de la symétrie miroir

*(Mina AGANAGIĆ)*

Khovanov a démontré en 1999 qu'un invariant d'entrelacs connu sous le nom de polynôme de Jones était la caractéristique d'Euler d'une théorie homologique. Le problème de la catégorification des nœuds consiste à trouver une construction générale de groupes d'homologie de nœuds et à expliquer leur signification : de quoi sont-ils les homologies ?

La symétrie miroir homologique, formulée par Kontsevitch en 1994, produit naturellement une multitude d'invariants homologiques. Cependant, elle conduit généralement à des invariants qui n'ont pas d'intérêt particulier en dehors du problème en question.

J'ai montré récemment qu'il existe une nouvelle famille de paires miroirs de variétés, pour lesquelles la symétrie miroir homologique conduit à des invariants intéressants et résout le problème de la catégorification des nœuds. Les invariants qui en résultent sont calculables explicitement pour toute algèbre de Lie simple et pour certaines superalgèbres de Lie.

## Les fibrés vectoriels sur les variétés algébriques

*(Aravind ASOK et Jean FASEL)*

On passe en revue des développements récents liés au problème de la classification des fibrés vectoriels sur les variétés algébriques. On se concentre sur les analogies frappantes entre la topologie et la géométrie
algébrique et sur la façon dont la catégorie de l'homotopie motivique de Morel-Voïevodski peut être utilisée pour exploiter ces analogies.

## L'efficacité déraisonnable des traversées de murs en géométrie algébrique

(Arend BAYER et Emanuele MACRÌ)

On passe en revue des applications des conditions de stabilité de Bridgeland en géométrie algébrique et on l'on examine des questions ouvertes pour la recherche à venir.

## Dénombrement des points d'un réseau dans les espaces de modules de différentielles quadratiques

(Vincent DELECROIX, Élise GOUJARD, Peter ZOGRAF et Anton ZORICH)

On montre comment compter les points d'un réseau représentés par des surfaces à petits carreaux dans les espaces de modules des différentielles quadratiques méromorphes avec des pôles simples sur des courbes algébriques complexes. On démontre la versatilité du comptage des points d'un réseau sur trois exemples différents, notamment pour l'évaluation des volumes de Masur-Veech des espaces de modules de différentielles quadratiques, le calcul des fréquences asymptotiques des multicourbes géodésiques sur les surfaces hyperboliques, et l'énumération asymptotique des méandres avec un nombre fixe d'arcs minimaux.

## La K-théorie des grandes catégories

(Alexander I. EFIMOV)

On donne un bref aperçu de la notion nouvelle de K-théorie continue, qui est définie pour une certaine classe de grandes catégories triangulées (augmentées). Pour les catégories triangulées compactement engendrées, cette K-théorie continue donne la K-théorie non connective habituelle de la catégorie des objets compacts. On formule un théorème général sur le calcul de la K-théorie continue pour la catégorie des faisceaux (de modules) sur un espace séparé localement compact. Ce résultat donne déjà une réponse surprenante pour la catégorie des faisceaux sur la droite réelle.
La symétrie miroir améliorée pour les systèmes de Hitchin duaux de Langlands

(HAUSEL Tamás)

La première partie de cet article est un aperçu de résultats mathé-
matiques sur les phénomènes de **symétrie miroir** entre des **systèmes de Hitchin** pour des **groupes duaux de Langlands**. La deuxième partie introduit et examine les algèbres de multiplicité du système de Hitchin sur des **lagrangiennes** et considère les structures conjecturales corres-
pondantes sur leur miroir.

La théorie de Hodge, entre algébricité et transcendance

(Bruno KLINGLER)

La théorie de Hodge des variétés algébriques complexes est essentiel-
lement une comparaison transcendante de deux structures algébriques.
On passe en revue les avancées récentes qui limitent cette transcen-
dance, principalement grâce à l'introduction de la **géométrie o-minimale**
en tant que cadre naturel pour la théorie de Hodge.

Les métriques kählériennes canoniques et la stabilité des varié-
tés algébriques

(LI Chi)

On passe en revue quelques développements récents dans l'étude des métriques **kählériennes** canoniques sur les **variétés algébriques** et leur relation avec la stabilité en géométrie algébrique.

La formule des cycles de double ramification

(Aaron PIXTON)

Le cycle de double ramification DR<sub>g</sub>(A) = DR<sub>g</sub>(μ, ν) est un cycle dans l'espace de modules des courbes stables qui paramètre des courbes de genre g admettant une application vers P<sup>1</sup> avec des profils de ramification spécifiés μ et ν sur deux points. En 2016, Janda, Pandharipande, Zvonkine et l'auteur ont démontré une formule qui exprime le cycle de double ramification en termes de classes tautologiques de base, répondant ainsi à une question d'Eliashberg qui datait de 2001. Cette formule
a an aspect combinatoire sophistiqué qui implique une manière inha-
bituelle de sommer des séries divergentes en utilisant l’interpolation
polynomiale. On motive ici l’origine de cette formule en la reliant à la
fois à une formule partielle plus ancienne de Hain et à l’action de la
R-matrice de Givental sur les théories cohomologiques des champs.

Des résultats effectifs dans le programme du modèle minimal
en dimension 3

(Yuri PROKHOROV)

On présente un bref aperçu de développements récents dans le pro-
gramme du modèle minimal en dimension 3.

Quelques aspects des points rationnels et des courbes rationnelles

(Olivier WITTENBERG)

Diverses méthodes ont été utilisées pour construire des points
rationnels et des courbes rationnelles sur les variétés algébriques ration-
nellement connexes. On passe en revue des avancées récentes dans deux
d'entre elles, la méthode de la descente et la méthode des fibrations,
dans un contexte de théorie des nombres (points rationnels sur les corps
de nombres) et dans un contexte algébro-géométrique (courbes ration-
nelles sur les variétés réelles). On discute aussi la question des points
rationnels sur les corps de fonctions de courbes p-adiques.
# Géométrie

## Des développements sur le flot de Ricci en dimension 3 depuis Perelman*

(Bruce KLEINER)

Ceci est un rapport sur les progrès réalisés sur le flot de Ricci en dimension 3 depuis les travaux de Perelman il y a vingt ans.

## Un aperçu sur les billards*

(Richard Evan SCHWARTZ)

Dans cet article de synthèse sur les billards, j'aborderai différents sujets : les billards polygonaux rationnels, les billards polygonaux irrationnels, les billards polygonaux extérieurs, les billards dans des ovales lisses et un peu les billards dans des tables avec des diffuseurs.

## Quelques développements récents sur le flot de Ricci

(Richard H. BAMLER)

Dans cet article, on passe en revue quelques-uns des développements récents sur le flot de Ricci. On présente une nouvelle théorie des flots de Ricci tridimensionnels faibles « à travers les singularités », que l'on peut considérer comme une amélioration du flot de Ricci avec des chирurgies de Perelman. On souligne deux applications topologiques : la résolution de la conjecture de Smale généralisée concernant les groupes de difféomorphismes des variétés de dimension 3 et la résolution d'une conjecture concernant l'espace des métriques à courbure scalaire positive sur les variétés de dimension 3. On décrit également les recherches en cours sur la formation de singularités en dimensions supérieures, qui pourraient donner lieu à d'autres applications intéressantes à l'avenir.

## La géométrie complexe émergente

(Robert J. BERMAN)
Ceci est un exposé d'une part sur la construction probabiliste des métriques d'Einstein-Kähler sur une variété algébrique projective complexe X, où la métrique d'Einstein-Kähler émerge d'un processus ponctuel aléatoire canonique sur X, d'autre part sur l'approche variationnelle pour la conjecture de Yau-Tian-Donaldson, qui met en évidence leurs liens. La dernière section présente un travail en cours en collaboration avec Sébastien Boucksom et Mattias Jonsson sur la façon dont la géométrie non archimédienne de X (relative à la valeur absolue triviale) émerge également du cadre probabiliste.

## Les saucisses

(Danny CALEGARI)

Le lieu de conjugaison à un décalage est l'espace des polynômes normalisés à une variable complexe pour lesquels tout point critique se trouve dans le bassin d'attraction de l'infini. La méthode des saucisses donne une décomposition (canonique) du lieu de conjugaison à un décalage pour tout degré en (un nombre dénombrable de) sous-variétés de codimension 0, chacune étant homéomorphe à une variété algébrique complexe. Dans cet article, on explique la méthode des saucisses et certaines de ses conséquences.

## Les fonctionnelles associées aux multiplicateurs de Lagrange et leurs applications en géométrie symplectique et en topologie des cordes

(Kai CIELIEBAK)

Cette note traite du rôle des fonctionnelles associées aux multiplicateurs de Lagrange en mathématiques et en physique. L'accent est mis sur la fonctionnelle d'action de Rabinowitz et sur son utilisation en géométrie symplectique, ainsi que sur des applications récentes en topologie des cordes et dans l'étude des géodésiques fermées.

## La théorie de Gromov-Witten réelle

(Penka GEORGIEVA)

Dans cette note, on passe en revue certains développements récents de la théorie de Gromov-Witten réelle. En particulier, on examine les
principales difficultés de la construction et d'importants résultats struc-
turels.

Classes Gamma et cohomologie quantique

(IRITANI Hiroshi)

La classe $\hat{\Gamma}$ est une **classe caractéristique** pour des **variétés complexes** avec des coefficients transcendants. Elle définit une structure entière de **cohomologie quantique** ou plus précisément un réseau d'entiers dans l'espace des **sections** plates de la **connexion quantique**. On présente plusieurs conjectures (les conjectures $\hat{\Gamma}$) sur cette structure, en nous concentrant particulièrement sur le **problème de Riemann-Hilbert** qu'elle pose. On examine aussi une possible **fonctorialité** de la cohomologie quantique par des transformations **birationnelles**.

Les variétés kählériennes avec une courbure minorée

(LIU Gang)

Ceci est un article de synthèse sur certaines variétés kählériennes dont la courbure est minorée. Les thèmes abordés sont les suivants : la conjecture d'uniformisation de Yau et des problèmes reliés ; la compactification de certaines variétés kählériennes à courbure positive ou nulle ; les limites de Gromov-Hausdorff des variétés kählériennes.

L'action des groupes à l'infini

(Kathryn MANN)

On dit que l'**action d'un groupe** sur un **espace topologique** est rigide si de petites perturbations de l'action n'ont pas d'influence significative sur sa dynamique globale. De nombreux exemples d'actions rigides proviennent de considérations géométriques. Cette étude introductive décrit l'idée de « regarder vers l'infini » comme source à la fois d'exemples rigides et de démonstrations de rigidité, en commençant par un historique puis en passant rapidement aux développements récents de la rigidité topologique des actions de groupe. Parmi les exemples considérés, il y a les actions des groupes des variétés **hyperboliques** sur le **bord visuel** de leur **revêtement universel**, les groupes d'automorphismes
des **groupes de surfaces**, les actions aux bords des **groupes hyperboliques** au sens de **Gromov**, et les actions de groupes associées aux **flots d'Anossov** sur les **variétés de dimension 3**.

## Cohomologie de Floer, singularités et géométrie birationnelle

(Mark MCLEAN)

On explique quelques résultats récents concernant l'application de diverses théories de Floer à des sujets de géométrie algébrique, notamment à la théorie des singularités et à la géométrie birationnelle. On énonce également des conjectures et des problèmes ouverts liés à ces résultats. On commence par une interprétation purement dynamique de la discrépance minimale d'une singularité isolée et l'on explique comment la théorie de Floer s'intègre dans cette histoire. En utilisant des idées similaires, on explique comment l'on peut démontrer une partie de la correspondance cohomologique de McKay en calculant un groupe de cohomologie de Floer de deux manières différentes. Enfin, on illustre comment la cohomologie de Floer hamiltonienne peut être utilisée pour démontrer que les variétés de Calabi-Yau birationnelles ont les mêmes algèbres de petite cohomologie quantique, et l'on spécule sur la façon dont cela pourrait se généraliser aux orbifolds.

## Les surfaces *via* les spineurs et les équations de solitons

(Iskander A. TAIMANOV)

Cet article passe en revue la représentation de Weierstrass des surfaces dans les espaces de dimension 3 ou 4, en mettant l'accent sur sa relation avec la fonctionnelle de Willmore. On décrit également une application de cette représentation à la construction d'un nouveau type de solutions pour l'équation II de Davey-Stewartson. Elles ont des données initiales régulières, forment des singularités en un point à certains instants du temps et se prolongent en des solutions lisses pour les temps restants.

## L'entropie dans le mouvement par courbure moyenne

(WANG Lu)

L'entropie d'une hypersurface se définit comme la borne supérieure sur toutes les intégrales gaussiennes avec un centre et une échelle qui
varient. Elle est donc invariante par les déplacements et les homothéties, et mesure la complexité géométrique. Elle est motivée par l'étude du mouvement par courbure moyenne. On passera en revue les progrès récents sur les conjectures de Colding-Ilmanen-Minicozzi-White concernant un minorant optimal pour l'entropie des hypersurfaces ainsi que leurs généralisations.

## Composer et décomposer des surfaces et des fonctions

(Robert J. YOUNG)

En mathématiques, on est souvent attiré par ce qui est simple ou élégant, mais qu'en est-il à l'autre bout du spectre ? Comment construire et étudier des objets complexes ? Comment les décomposer ? Dans cette note, on décrira quelques outils qui permettent de construire des fonctions et des surfaces avec une structure à plusieurs échelles différentes et, inversement, des outils qui permettent de décomposer des objets complexes en éléments simples. Ces méthodes sont basées sur des idées de la théorie géométrique de la mesure et de l'analyse harmonique. On donnera quelques applications à la géométrie métrique et à la géométrie quantitative.

## Courbure moyenne et théorie variationnelle

(ZHOU Xin)

Dans cet article, on passe en revue les progrès récents de la théorie variationnelle liée à la courbure moyenne. On examinera la théorie de Morse des hypersurfaces minimales en mettant l'accent sur la conjecture de multiplicité un, sur des distributions spatiales génériques d'hypersurfaces minimales, sur la théorie variationnelle pour les surfaces à courbure moyenne constante et sur la théorie variationnelle pour les surfaces minimales avec un bord libre.

## Le flot de Kähler-Ricci sur les variétés de Fano

(ZHU Xiaohua)

Ceci est un article introductif. On examinera quelques développements récents dans le domaine des flots de Kähler-Ricci sur les variétés de Fano.
# Topologie

## Cobordisme homologique, concordance des nœuds et homologie de Heegaard-Floer

(Jennifer HOM)

On passe en revue quelques résultats récents sur la concordance des *nœuds* et le *cobordisme homologique*. Les démonstrations s’appuient sur diverses formes d’homologie de Heegaard-Floer. On examine également des problèmes ouverts reliés.

## Les groupes d’homotopie stable des sphères et la théorie de l’homotopie motivique

(Daniel C. ISAKSEN, WANG Guozhen et XU Zhouli)

On examine le problème du calcul des *groupes d’homotopie stable des sphères* et l’on en fournit un historique et des applications. On décrit une nouvelle technique qui permet des calculs simplifiés jusqu’à la dimension 61 et qui donne de nouveaux résultats jusqu’à la dimension 90, à quelques exceptions près. On examine des questions et des conjectures pour des études ultérieures, notamment une nouvelle approche pour le calcul des groupes d’homotopie motivique stable sur des corps de base arbitraires. On fournit des diagrammes complets pour la suite spectrale d’*Adams* jusqu’à la dimension 90.

## Automorphismes de surfaces et recouvrements finis

(LIU Yi)

Cet article fait le point sur des progrès récents concernant des propriétés virtuelles des automorphismes de surfaces.

## Aspects homotopiques de la théorie des groupes

(Roman MIKHAILOV)

Ceci est un article de synthèse. Le sujet principal est la nature homotopique ou homologique de certaines structures qui apparaissent
dans des problèmes classiques pour les groupes, les anneaux de Lie et les **algèbres d'un groupe fini**. Il est bien connu que les sous-groupes de dimension (généralisée) ont une combinatoire compliquée. Dans cet article, on montre que dans certains cas cette complexité a une nature **homotopique**. Les foncteurs dérivés de foncteurs non additifs, les **groupes d'homotopie des sphères**, l'**homologie des groupes**, etc., apparaissent naturellement dans les problèmes formulés en termes de pure **théorie des groupes**. La variété des structures qui apparaissent dans le contexte considéré est très riche. Afin de l'illustrer, on présente cette étude comme un voyage à travers des exemples possédant une nature commune.

## Les homomorphismes de Frobenius en algèbre supérieure

(Thomas NIKOLAUS)

On examine des versions de l'**endomorphisme de Frobenius** pour un **spectre d'anneau R** : le frobenius à valeurs dans la torsion de Tate $R \to R^{tC_p}$ et le frobenius sur l'**homologie de Hochschild** topologique $\text{THH}(R) \to \text{THH}(R)^{tC_p}$. Comme en algèbre ordinaire, ces morphismes jouent un rôle important en algèbre supérieure et sont liés à divers concepts de la **théorie de l'homotopie stable** et de la **K-théorie algébrique**. On examine la notion de perfection, quand ces morphismes sont des équivalences, et l'on relie cette notion à la conjecture de Segal, à la conjecture de « décalage vers le rouge » et à la classification des espaces par des données stables.

## Les difféomorphismes des disques

(Oscar RANDAL-WILLIAMS)

Je décris ce que l'on sait actuellement pour $d \ge 5$ sur le type d'**homotopie rationnelle** du groupe des difféomorphismes d'un disque de dimension $d$ par rapport à son bord, et du groupe étroitement lié des homéomorphismes de l'espace euclidien à $d$ dimensions.

## L'homologie de Floer des variétés de dimension 3 à bord torique

(Jacob RASMUSSEN)
Les variétés à bord torique jouent un rôle particulier dans l'étude de l'homologie de Floer pour les variétés de dimension 3 depuis les débuts de ce sujet. En collaboration avec Jonathan Hanselman et Liam Watson, nous avons défini un invariant géométrique de Heegaard-Floer pour les variétés de dimension 3 à bord torique. L'invariant est une reformulation de l'homologie de Floer à bord de Lipshitz, Ozsváth et Thurston, et prend la forme d'une collection de courbes fermées immergées (éventuellement décorées de systèmes locaux) dans un revêtement du tore épointé. On examine brièvement la construction de l'invariant et quelques applications à la conjecture de l'espace L de Boyer-Gordon-Watson et Juhász. On décrit ensuite une généralisation aux variétés à bord suturé et quelques applications à l'étude des nœuds satellites.

**La stabilité homologique : un outil de calcul**

(Nathalie WAHL)

La stabilité homologique s'est révélée être un outil puissant pour le calcul de l'homologie de familles de groupes tels que les groupes linéaires, les difféotopies ou les automorphismes des groupes libres. On passe ici en revue les outils et les techniques qui permettent de démontrer les théorèmes de stabilité homologique et de calculer l'homologie stable. On illustre la méthode par le calcul de l'homologie des groupes de Higman-Thompson.
# Théorie de Lie et généralisations

## Dégénérescences de PBW, grassmanniennes de carquois et variétés toriques

*(Evgeny FEIGIN)*

On présente une synthèse sur le lien récemment découvert entre la théorie de Lie, la théorie des grassmanniennes de carquois et diverses dégénérescences de variétés de drapeaux. Notre point de départ est la filtration de Poincaré-Birkhoff-Witt induite sur les représentations de plus haut poids et les variétés de drapeaux dégénérés de PBW correspondantes.

## Représentations de groupes réductifs sur des corps locaux

*(Tasho KALETHA)*

On examine les progrès réalisés pour la classification des représentations irréductibles admissibles des groupes réductifs sur des corps locaux non archimédiens et pour la correspondance de Langlands locale.

## Les bases parfaites dans la théorie des représentations : trois montagnes et leurs sources

*(Joel KAMNITZER)*

Afin de donner une description combinatoire des multiplicités des produits tensoriels pour les groupes semi-simples, il est utile de trouver des bases pour les représentations qui sont compatibles avec les actions des générateurs de Chevalley de l'algèbre de Lie. Il existe trois exemples connus de telles bases, chacun découlant de la montagne géométrique ou algébrique. De manière remarquable, chaque montagne donne la même ombre combinatoire : le cristal $B(\infty)$ et les polytopes de Mirković-Vilonen. Afin de distinguer les trois bases, on introduit des mesures dont le support est dans ces polytopes. On présente aussi l'interaction de ces bases avec la structure amassée sur l'anneau des coordonnées du sous-groupe unipotent maximal.
Variétés sphériques, fonctorialité et quantification

(Yiannis SAKELLARIDIS)

On examine des généralisations du programme de Langlands, des groupes réductifs aux spectres automorphes et locaux des variétés sphériques puis à des représentations plus générales issues de « quantifications » d'espaces hamiltoniens appropriés. À une G-variété sphérique X, on associe un groupe dual $L^G_X$ et une valeur d'une fonction L (codée dans une représentation de $L^G_X$), qui décrivent de manière conjecturale les spectres automorphes et locaux de la variété. Cela pose un problème de fonctorialité, pour tout morphisme $L^G_X \to L^G_Y$ entre des groupes duaux. On passe en revue et on généralise l'approche de Langlands « au-delà de l'endoscopie » pour ce problème. On décrit ensuite les fibrés cotangents des champs quotients de la formule des traces relative et l'on montre que les opérateurs de transfert de fonctorialité entre les formules des traces relatives de rang 1 peuvent s'interpréter comme un changement de « quantification géométrique » pour ces champs cotangents.

La catégorification et ses applications

(SHAN Peng)

On passe en revue quelques nouveaux développements pour la catégorification des groupes quantiques et leurs applications dans la théorie des représentations.

La correspondance thêta et la méthode des orbites

(SUN Bin-yong et ZHU Chen-bo)

La théorie de la correspondance thêta, initiée par R. Howe, fournit une méthode puissante pour construire des représentations irréductibles admissibles de groupes classiques sur des corps locaux. Pour les corps locaux archimédiens, un principe de grande importance est la méthode des orbites introduite par A. A. Kirillov, qui cherche à décrire les représentations irréductibles unitaires d'un groupe de Lie par ses orbites coadjointes. Dans cet article, on examine les implications de la théorie de Howe pour la méthode des orbites et la théorie des représentations unitaires en nous concentrant sur un travail récent de Barbasch, Ma et des auteurs sur la construction et la classification de représentations
unipotentes particulières de groupes classiques réels (au sens d'Arthur et Barbasch-Vogan).

## Les paires symétriques quantiques

(WANG Wei-qiang)

Ceci est un aperçu des progrès récents sur les paires symétriques quantiques et leurs applications. Parmi les sujets abordés figurent les quasi-K-matrices, la *l*-dualité de Schur, les bases canoniques, la super-théorie de Kazhdan-Lusztig, les *l*-algèbres de Hall, les présentations actuelles pour les *l*-groupes quantiques affines et les actions des groupes de tresses.
# Analyse

La géométrie convexe et ses liens avec l'analyse harmonique, l'analyse fonctionnelle et la théorie des probabilités*

(Keith BALL)

La géométrie convexe et l'analyse ont des liens avec de nombreux domaines des mathématiques : les équations aux dérivées partielles, la géométrie discrète, l'optimisation, l'informatique théorique et l'économie mathématique. Il serait impossible d'effleurer ne serait-ce que la surface de tous ces domaines dans un seul article. Au lieu de cela, on commencera par décrire comment le développement du sujet a été influencé au cours des cinquante dernières années par deux autres domaines, l'analyse harmonique et l'analyse fonctionnelle, puis on examinera de quelle manière subtile et encore un peu mystérieuse les domaines convexes présentent des propriétés que l'on s'attend normalement à voir dans le cadre de la théorie des probabilités.

## Les méthodes des moments sur les groupes compacts : le calcul de Weingarten et ses applications

(Benoît COLLINS)

Une propriété fondamentale des groupes compacts et des groupes quantiques compacts est l'existence et l'unicité d'une probabilité invariante à gauche et à droite, la mesure de Haar. Il s'agit d'un terrain de jeu très naturel pour les probabilités classiques et quantiques, à condition qu'il soit possible de calculer leurs moments. Le calcul de Weingarten aborde cette question de manière systématique. Le but de ce texte est de passer en revue les développements récents, de décrire quelques propriétés théoriques importantes des fonctions de Weingarten, ainsi que les applications de ce calcul à la théorie des matrices aléatoires, aux probabilités quantiques et à l'algèbre quantique, à la physique mathématique et aux algèbres d'opérateurs.

## Analyse sur les groupes de Lie simples et sur les réseaux

(Mikael DE LA SALLE)
On présente un outil simple pour faire de l'analyse avec des groupes tels que $SL_n(\mathbb{R})$ et $SL_n(\mathbb{Z})$, qui a été introduit par Vincent Lafforgue dans son étude des représentations non unitaires et de la propriété (T) renforcée en lien avec la conjecture de Baum-Connes. Cet outil a ensuite été appliqué dans divers contextes : aux algèbres d'opérateurs, à l'analyse harmonique, à la géométrie des espaces de Banach et aux systèmes dynamiques. L'idée est d'abord de se restreindre aux sous-groupes compacts, puis d'exploiter la façon dont ils s'ordonnent à l'intérieur du groupe entier.

# Estimations de l'extension de Fourier pondérée et applications

*(Du Xiumin)*

On décrit quelques résultats récents sur des estimations de l'extension de Fourier pondérée et leurs applications aux équations aux dérivées partielles et à la théorie géométrique de la mesure.

# Théorie ergodique non commutative des réseaux de rang supérieur

*(Cyril HOUDAYER)*

On passe en revue des résultats récents concernant l'étude des propriétés dynamiques de l'espace des fonctions de type positif et des caractères des réseaux de rang supérieur. Ces résultats ont plusieurs applications à la théorie ergodique, à la dynamique topologique, à la théorie des représentations unitaires et aux algèbres d'opérateurs. La principale nouveauté de notre travail est un théorème de dichotomie dynamique pour les applications équivariantes fidèles, normales, unitères et complètement positives entre les algèbres de von Neumann non commutatives et l'espace des fonctions mesurables bornées définies sur la frontière de Poisson des groupes de Lie semi-simples.

# Quelques propriétés des ensembles clairsemés : une synthèse

*(Malabika PRAMANIK)*

Les ensembles clairsemés sont par définition des ensembles de petite taille, que ce soit en termes de cardinalité, de mesure, de dimension ou de densité. Les courbes, les surfaces et les autres sous-variétés sont
des exemples classiques d'ensembles clairsemés dans l'espace euclidien. Cependant, de nombreux ensembles clairsemés qui apparaissent naturellement en théorie ergodique et en théorie géométrique de la mesure tels que les ensembles de Cantor ou les fractales autosimilaires n'ont pas la régularité des objets précédents. Malgré cette lacune, de nombreux ensembles clairsemés sont riches en propriétés arithmétiques, géométriques et analytiques qui peuvent être considérées comme des substituts pratiques de la régularité. Cela a conduit à une série de recherches sur les principes qui régissent certains phénomènes typiquement associés aux sous-variétés et qui pourraient être omniprésents dans des contextes beaucoup plus généraux. Les propriétés structurelles et analytiques des ensembles clairsemés, qu'ils soient discrets ou continus, sont au centre de nombreux problèmes d'analyse harmonique, de géométrie fractale, de combinatoire et de théorie des nombres. Cet exposé est un aperçu de quelques problèmes de ce type sur lesquels l'auteur a travaillé.

## Le nombre d'idéaux fermés dans l'algèbre des opérateurs bornés sur des espaces de Lebesgue

(Gideon SCHECHTMAN)

On passe en revue certains des progrès récents dans la détermination du nombre d'idéaux bilatères fermés dans les algèbres de Banach d'opérateurs linéaires bornés sur les espaces de Lebesgue $L^p([0, 1])$. En particulier, on examine deux résultats récents : le premier, de Johnson, Pisier et l'auteur, montre que l'ensemble de ces idéaux a la puissance du continu dans le cas $p = 1$ ; le second résultat, de Johnson et l'auteur, montre dans le cas où $1 < p < \infty$ et $p \neq 2$ que le cardinal de l'ensemble de ces idéaux est 2 puissance le cardinal du continu.

## Tranches et distances : deux problèmes de Furstenberg et Falconer

(Pablo SHMERKIN)

On passe en revue l'histoire et les développements récents autour de deux problèmes vieux de plusieurs décennies qui continuent à susciter beaucoup d'intérêt : la conjecture sur la multiplication par 2 et par 3 de H. Furstenberg en théorie ergodique et le problème de l'ensemble des
distances en théorie géométrique de la mesure introduit par K. Falconer. On examine quelques idées derrière notre solution de la conjecture de Furstenberg et les progrès récents dans le problème de Falconer. Bien que ces deux problèmes soient à première vue assez différents, on insistera sur certains thèmes communs dans notre approche : l'analyse de fractales à travers une description combinatoire avec des « nombres de branchement », et l'examen des problèmes à travers une lentille de « projection multiéchelle ».

## Inversibilité quantitative des matrices aléatoires non hermitiennes

(Konstantin TIKHOMIROV)

Le problème de l'estimation de la plus petite valeur singulière des matrices aléatoires carrées est important pour les calculs matriciels et pour l'analyse de la distribution spectrale. Dans cette étude, on considère les développements récents dans l'étude de l'inversibilité quantitative dans le cadre non hermitien et l'on passe en revue quelques applications de cette piste de recherche.

## Des théorèmes abstraits de classification pour les $C^*-\text{algèbres moyennables}$

(Stuart WHITE)

Les algèbres d'opérateurs sont des sous-algèbres d'opérateurs bornés sur un espace de Hilbert. Elles se divisent en deux classes : les $C^*-\text{algèbres}$ et les algèbres de von Neumann, selon qu'elles sont fermées pour la topologie de la norme ou pour la topologie faible des opérateurs. Dans les années soixante-dix, Alain Connes a identifié la notion appropriée de moyennabilité pour les algèbres de von Neumann et l'a utilisée pour obtenir une profonde structure d'approximations internes de dimensions finies pour ces algèbres. Cette structure est exactement ce qui est nécessaire pour la classification. L'une des nombreuses conséquences du théorème de Connes a été l'unicité des facteurs $\Pi_1$ moyennables, et par la suite une classification complète de toutes les algèbres de von Neumann moyennables simples agissant sur des espaces de Hilbert séparables.

Le programme de classification d'Elliott vise à obtenir des résultats de structure et de classification comparables pour les $C^*-\text{algèbres}$ en
utilisant la **K-théorie** des opérateurs et les traces. Le théorème final de classification unitaire a été obtenu en 2015. Il s'agit d'une combinaison du théorème de Kirchberg-Phillips et de l'activité à grande échelle dans le cas stablement fini de nombreux chercheurs au cours des quinze à vingt dernières années. Le théorème classifie les $C^*-\text{algèbres unifères}$ qui sont moyennables, séparables et simples et qui vérifient deux hypothèses supplémentaires : un théorème des coefficients universels qui calcule la **KK-théorie** en termes de K-théorie et une hypothèse de régularité qui exclut les comportements exotiques en grande dimension. Aujourd'hui, l'hypothèse de régularité peut être décrite en termes de produits tensoriels (Z-stabilité). Ces hypothèses sont abstraites et il existe des outils profonds pour vérifier le théorème des coefficients universels et la Z-stabilité dans des exemples.

Cet article décrit le théorème de classification unitaire, son histoire et son contexte, ainsi que la nouvelle approche abstraite de ce résultat développée en collaboration avec Carrión, Gabe, Schafhauser et Tikuisis. Cette méthode établit un lien direct avec les résultats algébriques de von Neumann et ne nécessite pas l'obtention d'une quelconque structure d'approximation à l'intérieur des $C^*-\text{algèbres}$ sur le chemin de la classification. Un autre article de synthèse (White, en préparation) se concentre sur le rôle de l'hypothèse de Z-stabilité et sur le travail associé sur la « régularité ».

## Comportements asymptotiques des marches aléatoires sur les groupes dénombrables

(ZHENG Tianyi)

Dans cette note, on passe en revue quelques thèmes concernant les **marches aléatoires** sur les **groupes dénombrables**. L'accent est mis sur les estimations quantitatives des caractéristiques des **marches aléatoires** sur les **groupes moyennables** en relation avec les propriétés géométriques et algébriques des **groupes sous-jacents**.
# Systèmes dynamiques

## Un problème curieux et ses conséquences

(ABÉRT Miklós)

Cette note raconte l'histoire d'un problème ouvert sur le compor-
tement asymptotique du nombre minimal de générateurs de certains
groupes qui a motivé plusieurs de mes axes de recherche.

## L'action de sous-groupes de réseaux sur des variétés

(Aaron BROWN)

On examine les progrès récents dans la compréhension des propriétés
de rigidité des actions lisses des réseaux de rang supérieur. On aborde
principalement les questions d'existence en petite dimension (conjecture
de Zimmer), de classification dans la plus petite dimension possible et
de classification plus poussée en supposant des propriétés dynamiques
de l'action. Deux thèmes communs apparaissent dans les démonstra-
tions : (1) les propriétés dynamiques de l'action du réseau sont imitées
par certaines mesures sur un G-espace induit ; (2) de telles mesures pré-
sentent souvent des propriétés de rigidité supplémentaires. Tout au long
de l'exposé, on présente quelques problèmes ouverts et des directions
possibles pour les recherches à venir.

## Le flot horocyclique sur l'espace de modules des surfaces de translation

(Jon CHAIKA et Barak WEISS)

On passe en revue quelques résultats sur la dynamique du flot horo-
cyclique sur l'espace de modules des surfaces de translation. On pré-
sente les démonstrations de certains résultats récents obtenus par les
auteurs en collaboration avec John Smillie et l'on signale quelques ques-
tions ouvertes.
## Entropie topologique et pression pour les billards de Sinaï à horizon fini

(Mark F. DEMERS)

Ce bref article de synthèse décrit les progrès récents dans notre compréhension des différents états d'équilibre pour les « billards » dispersifs à horizon fini en dimension 2. En particulier, on passe en revue les formulations de l'entropie topologique et de la pression topologique pour la famille de potentiels géométriques $-t \log J^u T$, où $J^u T$ désigne le jacobien instable de l'application et où $t \in \mathbb{R}$. On résume les résultats récents qui démontrent l'existence et l'unicité des états d'équilibre correspondants pour un certain intervalle de $t \ge 0$ qui inclut $[0, 1]$. Dans cette famille, $t=0$ correspond à la mesure d'entropie maximale, tandis que $t=1$ correspond à la mesure invariante lisse pour l'application « billard ». En outre, on présente des principes variationnels qui expriment les notions topologiques de pression et d'entropie comme la borne supérieure de leurs homologues en théorie de la mesure.

## Méthodes géométriques en dynamique holomorphe

(Romain DUJARDIN)

Dans ce texte, on passe en revue certains thèmes de recherche contemporains dans le domaine de la dynamique holomorphe. Parmi les principaux sujets abordés, il y a les courants géométriques (laminaires ou tissés) et leurs applications, la théorie des bifurcations à une ou plusieurs variables et le problème des composantes de Fatou errantes.

## Rigidité, réseaux et mesures invariantes au-delà de la dynamique homogène

(David FISHER)

Cet article présente deux travaux récents de l'auteur, l'un avec Brown et Hurtado sur la conjecture de Zimmer et l'autre avec Bader, Miller et Stover sur les sous-variétés totalement géodésiques des variétés hyperboliques réelles ou complexes. L'objectif principal de la juxtaposition de ces deux ensembles de résultats très disparates dans un seul article est de souligner un aspect commun : l'étude des mesures invariantes ou partiellement invariantes en dehors du cadre homogène est importante pour les questions relatives à la rigidité en géométrie et en
dynamique. J'examinerai également quelques questions ouvertes, dont
certaines semblent particulièrement intéressantes à la lumière de cette
juxtaposition.

Disjonction de Furstenberg, propriétés de Ratner et conjec-
ture de Sarnak

(Mariusz LEMAŃCZYK)

On examine les progrès récents concernant la **conjecture de Sar-nak** sur l'orthogonalité par rapport à la **fonction de Möbius**, en mettant l'accent sur la démonstration de la conjecture de Veech et sur ses conséquences.

Analyse finitaire dans les espaces homogènes

(Amir MOHAMMADI)

Dans cet article, on donne un aperçu de développements récents concernant les aspects quantitatifs de la dynamique des actions de groupe sur des espaces homogènes.

Stabilité et solutions récurrentes dans les EDP hamiltoniennes

(Michela PROCESI)

Dans cet article de synthèse, on considère des **équations aux dérivées partielles dispersives** hamiltoniennes sur des **variétés compactes**. On étudie l'existence près d'un **point fixe elliptique** de solutions récurrentes particulières, qui sont des superpositions de mouvements oscillants, et leurs propriétés de stabilité ou d'instabilité. On peut envisager ces équations comme des chaînes d'**oscillateurs harmoniques** couplés à une petite non-linéarité. On s'attend donc à une interaction complexe entre les phénomènes **chaotiques** et de récurrence dus aux résonances et aux **petits diviseurs**, qui sont étudiés à l'aide de méthodes issues de la **théorie KAM**.

On s'intéressera principalement aux propriétés de stabilité du point
fixe ainsi qu'à l'existence et à la stabilité de solutions quasi périodiques
ou presque périodiques. Après avoir donné un aperçu de la littérature
sur le sujet, on présentera quelques résultats récents et prometteurs et
l'on évoquera des généralisations possibles et des problèmes ouverts.
Dynamique et « arithmétique » des flots sur les surfaces de
genre supérieur

(Corinna ULCIGRAI)

On passe en revue quelques avancées récentes dans l'étude des flots (qui préservent les aires) sur les surfaces, en particulier les propriétés dynamiques, ergodiques et spectrales typiques des flots lisses qui préservent les aires (ou localement hamiltoniens), ainsi que les percées récentes sur les questions de linéarisation et de rigidité en genre supérieur. On s'intéresse en particulier aux conditions diophantiennes qui sont nécessaires pour démontrer ces résultats et qui peuvent être considérées comme une généralisation des conditions arithmétiques pour les flots sur les tores et pour les difféomorphismes du cercle. On expliquera comment ces conditions sur les flots en genre supérieur et leurs sections de Poincaré (à savoir des échanges d'intervalles généralisés) peuvent être imposées en contrôlant une dynamique de renormalisation, mais elles sont d'une nature plus subtile qu'en genre 1 puisqu'elles exploitent souvent des caractéristiques qui proviennent de l'hyperbolicité non uniforme de la renormalisation.

Ensembles autosimilaires et mesures sur la droite

(VARJÚ Péter)

On examine le problème de la détermination de la dimension des ensembles et des mesures autosimilaires sur $\mathbb{R}$. On se concentre sur les développements des quatre dernières années. À la fin de l'article, on passe en revue les résultats récents concernant d'autres aspects des mesures autosimilaires, notamment la décroissance de leur transformée de Fourier et leur continuité absolue.
# Équations aux dérivées partielles

## Formation et développement de singularités pour les équations d'Euler compressibles

(Tristan BUCKMASTER, Theodore D. DRIVAS, Steve SHKOLLER et Vlad VICOL)

Dans cet article, on résume le travail récent des auteurs (Buckmaster, Drivas, Shkoller, Vicol, prépublication en 2021), qui donne une description complète de la formation et du développement de singularités pour les équations d'Euler compressibles en deux dimensions d'espace avec une symétrie azimutale. Ceci résout un problème ouvert posé par Landau et Lifchits, qui était auparavant ouvert même en une dimension d'espace. La démonstration s'applique mutatis mutandis aux situations nettement plus simples des écoulements unidimensionnels ou des écoulements multidimensionnels à symétrie radiale. On démontre que pour des données initiales lisses et génériques avec une symétrie azimutale, les équations d'Euler compressibles en dimension 2 produisent une solution lisse localement en temps, qui en temps fini forme une singularité dans le premier gradient appelée « pré-choc $C^{1/3}$ ». On montre ensuite qu'une onde de choc discontinue produisant de l'entropie se développe instantanément à partir du pré-choc. Simultanément au développement du choc, deux autres surfaces caractéristiques de singularités cuspidales d'ordre supérieur émergent du pré-choc. Landau et Lifchits (1987, chapitre IX, §96) ont appelé ces surfaces des « discontinuités faibles » et ont conjecturé leur existence. On démontre qu'une discontinuité de contact faible se forme le long de la surface caractéristique se déplaçant avec le fluide, tandis qu'une onde de raréfaction faible émerge le long de la surface la plus lente du problème. La solution construite est l'unique solution des équations d'Euler dans une certaine classe de solutions faibles produisant de l'entropie avec une symétrie azimutale et avec une régularité déterminée par le fait de provenir d'un pré-choc générique.

## Quelques thèmes sur les jeux à champ moyen

(Pierre CARDALIAGUET et François DELARUE)
La théorie des jeux à champ moyen a vu le jour il y a un peu plus de quinze ans dans le but de simplifier la recherche des équilibres de Nash dans les jeux avec un grand nombre de joueurs qui interagissent faiblement. Depuis lors, on a bien avancé. De nombreux résultats d'existence d'équilibres ont été obtenus en utilisant différentes caractérisations et dans des contextes variés. L'analyse de l'équation maîtresse, qui décrit l'évolution de la valeur du jeu, a également connu des progrès significatifs, qui ont par exemple permis d'établir dans certains cas la convergence des jeux avec un nombre fini de joueurs. Les jeux à champ moyen restent cependant d'une nature complexe. Par exemple, l'absence typique d'unicité des solutions soulève des problèmes de sélection qui sont encore mal compris. L'objectif de cette note est de présenter certaines des dernières avancées ainsi que des pistes pour aborder d'autres questions difficiles.

## Limites macroscopiques des fonctions propres chaotiques

(Semyon DYATLOV)

On donne un aperçu de l'interaction entre le comportement des fonctions propres de haute énergie du laplacien sur une variété riemannienne compacte et les propriétés dynamiques du flot géodésique sur cette variété. Cela inclut le théorème d'ergodicité quantique, la conjecture d'unique ergodicité quantique, des inégalités d'entropie et des minors uniformes pour la masse des fonctions propres. Les résultats ci-dessus appartiennent au domaine du chaos quantique et utilisent l'analyse microlocale, qui est une théorie sous-jacente à la correspondance classique-quantique ou onde-corpuscule en physique. On examine également les modèles jouets que sont les chats d'Arnold quantiques et les défis qu'ils posent pour l'unique ergodicité quantique.

## L'homogénéisation variationnelle : de l'ancien et du nouveau

(Rita FERREIRA, Irene FONSECA et Raghavendra VENKATRAMAN)

Cette note est un résumé des contributions des auteurs au point de vue variationnel sur l'homogénéisation. Après avoir présenté le contexte général, on examine en détail deux projets récents : l'un concerne le comportement à grande échelle des quasi-cristaux, l'autre implique des transitions de phase dans des milieux périodiquement hétérogènes.
Inégalités de Lieb-Thirring et autres inégalités fonctionnelles
pour les systèmes orthonormés

(Rupert L. FRANK)

On passe en revue des résultats récents sur les inégalités fonctionnelles pour les familles orthonormales de fonctions. La principale conclusion est que l'orthonormalité conduit pour divers opérateurs à un gain par rapport à une simple application de l'inégalité triangulaire. Les opérateurs considérés sont soit liés à des inégalités de type Sobolev, soit à des inégalités de type « restriction de Fourier ».

Sur la stabilité non linéaire des écoulements de cisaillement
et des tourbillons

(Alexandru D. IONESCU et JIA Hao)

Dans cet article, on présente certaines des idées principales de
nos travaux récents sur la stabilité asymptotique des écoulements de
cisaillement et des tourbillons parmi les solutions des équations d'Euler
en dimension 2. Plus précisément, on examine les résultats suivants :

— un théorème sur la stabilité asymptotique non linéaire d'une
grande classe d'écoulements de cisaillement (b(y), 0) dans un
canal fini T × [0, 1], définis par des fonctions b strictement crois-
santes de classe de Gevrey, qui sont linéaires à l'extérieur d'un
sous-ensemble compact de l'intervalle ]0, 1[ et qui vérifient cer-
taines conditions spectrales;

— un théorème sur la stabilité asymptotique non linéaire des solu-
tions des équations d'Euler dans R² qui sont des tourbillons
ponctuels;

— une analyse heuristique montrant que le mécanisme d'amortissement non visqueux n'est pas susceptible de produire des solutions globales de l'équation quasi géostrophique surfacique généralisée d'exposant $\alpha$ en dimension 2, quel que soit le paramètre $\alpha > 0$.

Les limites de champ moyen pour les systèmes quantiques et
les mesures de Gibbs non linéaires

(Mathieu LEWIN)
On considère l'équation de Schrödinger linéaire qui décrit N particules quantiques (bosoniques) à l'équilibre et l'on étudie son comportement lorsque N tend vers l'infini. On place le système dans le régime du champ moyen, dans lequel les particules sont très serrées mais interagissent faiblement. Dans cette limite, on démontre qu'elles deviennent essentiellement indépendantes et identiquement distribuées selon une équation aux dérivées partielles non linéaire. Notre principal outil est le théorème de de Finetti quantique, un résultat abstrait sur la façon dont l'indépendance peut apparaître en raison de la symétrie dans de tels systèmes.

En augmentant considérablement le caractère aléatoire du système, on peut également obtenir des mesures de Gibbs non linéaires. Il s'agit de mesures de probabilité sur un espace de dimension infinie, qui jouent un rôle majeur dans différents domaines des mathématiques. Les cas à deux ou trois dimensions sont particulièrement difficiles en raison de la nécessité d'utiliser une procédure de renormalisation pour éliminer les divergences.

## Dynamique globale autour ou loin des solitons

(NAKANISHI Kenji)

Cet article passe en revue certains résultats ainsi que des questions ouvertes sur le comportement global de solutions générales pour des équations dispersives non linéaires, en mettant l'accent sur les transitions des solutions autour des solitons en fonction de l'évolution temporelle et de la perturbation initiale.

## Diversité des laplaciens fractionnaires

(Alexander I. NAZAROV)

Cet article est un survol des résultats récents sur la comparaison des différents laplaciens fractionnaires.

## Formation de singularités dans les EDP dispersives non linéaires

(Galina PERELMAN)

Cette contribution aborde le problème de la formation de singularités dans les équations dispersives non linéaires. Malgré les progrès
significatifs réalisés au cours des vingt dernières années, notre compréhension de la question est loin d'être complète pour la plupart des modèles canoniques, même parmi les plus simples. Le but de cette note est de présenter une série de résultats et de questions ouvertes qui illustrent l'état actuel du problème dans le contexte de quelques équations modèles de base, principalement de type Schrödinger, telles que les équations de Schrödinger semi-linéaires et les applications de Schrödinger, en mettant l'accent sur le rôle des solitons dans les mécanismes de formation des singularités.

## Comportement asymptotique des minimiseurs de la fonctionnelle de Donaldson dans la théorie de Teichmüller

(Gabriella TARANTELLO)

On examine le comportement asymptotique des minimiseurs d'une fonctionnelle de Donaldson qui présente un intérêt dans la théorie de Teichmüller. De tels minimiseurs permettent par exemple de paramétrer l'espace de modules des immersions à courbure moyenne constante d'une surface fermée S de genre $g \ge 2$ dans une variété de dimension 3 de courbure sectionnelle $-1$ par des éléments du fibré tangent de l'espace de Teichmüller de S. Les minimiseurs sont gouvernés par un système d'équations aux dérivées partielles qui comprend une équation de Gauss du type « équation de Liouville » et une $\kappa$-différentielle holomorphe.

Dans notre analyse asymptotique, on se heurte à la difficulté de décrire l'explosion possible des minimiseurs, en particulier lorsqu'elle se produit en un point où différents zéros de la $\kappa$-différentielle holomorphe coïncident. Dans ce cas, on doit par conséquent rechercher des estimations précises du profil d'explosion des solutions pour des équations de type Liouville.

## Stabilité hydrodynamique à nombre de Reynolds élevé

(WEI Dongyi et ZHANG Zhifei)

La théorie de la stabilité hydrodynamique s'intéresse principalement à la manière dont les écoulements laminaires deviennent instables et virent à la turbulence lorsque le nombre de Reynolds croît. Pour expliquer le mécanisme de transition, Trefethen et ses collaborateurs [Science, vol. 261, 1993] ont proposé le problème du seuil de stabilité :
quelle amplitude de perturbation conduira à l'instabilité de l'écoulement et à la dépendance de la perturbation par rapport au nombre de Reynolds. De nombreux effets tels que le soulèvement tridimensionnel, l'amortissement non visqueux, la dissipation accélérée et les couches limites jouent un rôle crucial dans la détermination du seuil de stabilité. Dans cette note, on commencera par passer en revue les progrès importants réalisés dans le domaine de l'amortissement linéaire non visqueux et de la dissipation accrue pour les écoulements de cisaillement. On présentera ensuite les ingrédients clés de notre démonstration du seuil de stabilité pour l'écoulement de Couette tridimensionnel dans un canal de taille finie.
# Physique mathématique

## Progrès récents en relativité générale*

(Peter HINTZ et Gustav HOLZEGEL)

On passe en revue les progrès récents dans le domaine de la *relativité générale*. Après une brève introduction à certaines des principales caractéristiques analytiques et géométriques de l'équation d'Einstein, on s'intéresse à deux aspects principaux : la stabilité des solutions de type « trou noir » ; la formation, la structure et la stabilité dynamique des singularités.

## Les systèmes de spins à symétrie hyperbolique : un aperçu

(Roland BAUERSCHMIDT et Tyler HELMUTH)

Les systèmes de spins à symétrie hyperbolique sont apparus comme des modèles simplifiés pour la *transition d'Anderson* entre une phase métallique et une phase isolante. Il s'est avéré par la suite qu'ils décrivaient exactement des modèles probabilistes de *marches linéairement renforcées* et de *forêts aléatoires*. Dans cet article de synthèse, on présente ces modèles, on examine leurs origines et leurs principales caractéristiques, certains outils disponibles pour leur étude, des résultats probabilistes récents et les relations avec d'autres modèles probabilistes bien étudiés. En cours de route, on examine quelques-unes des nombreuses questions ouvertes qui subsistent.

## Le modèle de Kac : variations sur un thème

(Federico BONETTO, Eric CARLEN et Michael LOSS)

L'équation maîtresse de Kac fournit un cadre simple pour comprendre les systèmes de particules qui interagissent avec des collisions par paires. Cet article est une brève synthèse de résultats, dont le principal est l'approche vers l'équilibre pour un gaz de particules qui subissent des collisions préservant l'énergie et la quantité de mouvement, ainsi que des résultats sur la décroissance de l'entropie et de l'information pour un système de Kac unidimensionnel couplé à un réservoir. Les principes
qui sous-tendent l'équation maîtresse de Kac peuvent être généralisés à une équation maîtresse quantique dans laquelle l'évolution temporelle agit sur les *matrices densités* en étant une *application complète positive* qui préserve la *trace*. Il existe un riche ensemble d'états d'équilibre ainsi qu'une notion de propagation du chaos qui conduit à l'équation de Kac-Boltzmann quantique. De même, le trou spectral du générateur de l'équation maîtresse quantique peut être calculé dans certains cas particuliers.

## Sur l'énergie des gaz de Bose dilués

(Søren FOURNAIS et Jan Philip SOLOVEJ)

Un problème fondamental de la *mécanique quantique* est de comprendre la structure et l'énergie des *états fondamentaux* des systèmes de particules en interaction. Les corrélations quantiques dans les états fondamentaux ou les états de basse énergie sont censés expliquer des phénomènes tels que la *superfluidité* ou la *supraconductivité*.

Une vieille conjecture de la physique mathématique demandait d'obtenir une formule asymptotique universelle à deux termes pour l'énergie de l'état fondamental d'un système de bosons dans la limite diluée de faible densité telle qu'elle est prédite par la théorie de la superfluidité. On présente ici une démonstration récente de cette formule.

## Limites d'échelle et universalité des modèles d'Ising et des modèles de dimères

(Alessandro GIULIANI)

Après avoir introduit la notion d'universalité en physique statistique et son importance pour notre compréhension du comportement macroscopique des systèmes en interaction, on passe en revue les progrès récents dans la compréhension des limites d'échelle des modèles sur réseaux dans le cas critique, notamment une caractérisation quantitative de la loi limite et de la robustesse de la limite par rapport à des perturbations du hamiltonien microscopique. Plus précisément, on se concentre sur deux classes de systèmes bidimensionnels qui ne sont pas intégrables : les *modèles d'Ising* non planaires et les *dimères* en interaction. Dans les deux cas, on décrit les conjectures sur la structure attendue de la limite d'échelle, on passe en revue les progrès réalisés en vue de leur démonstration et l'on énonce certains résultats récents.
sur l'universalité de la limite auxquels on a contribué. On expose enfin les idées et les méthodes mises en œuvre dans les démonstrations, on décrit certaines des perspectives ouvertes par ces résultats et l'on propose plusieurs problèmes ouverts.

## Des systèmes quantiques avec un trou spectral : du théorème de Lieb-Schultz-Mattis en dimension supérieure à l'effet Hall quantique

(Matthew B. HASTINGS)

On considère des systèmes quantiques à plusieurs corps sur un réseau fini, où l'espace de Hilbert est le produit tensoriel d'espaces de Hilbert de dimensions finies associés à chaque site et où le hamiltonien du système est une somme de termes locaux. On souhaite démontrer des inégalités uniformes pour diverses propriétés lorsque la taille du réseau tend vers l'infini. Un cas important est celui où il existe un trou spectral entre l'état le plus bas et le reste du spectre qui persiste dans cette limite, ce qui correspond à ce que les physiciens appellent une « phase de matière ». Dans ce cas, la combinaison de l'analyse harmonique élémentaire avec la technique des inégalités de Lieb-Robinson (inégalités sur la vitesse de propagation) est étonnamment puissante. On l'utilise pour démontrer la décroissance exponentielle des fonctions de corrélation, un théorème de Lieb-Schultz-Mattis en dimension supérieure et un théorème de quantification de la conductance de Hall pour des électrons en interaction avec du désordre.

## L'approche bootstrap pour les théories quantiques des champs intégrables à 1+1 dimensions : le cas du modèle sinh-Gordon

(Karol Kajetan KOZLOWSKI)

Les théories quantiques des champs intégrables à 1 + 1 dimensions correspondent à un sous-ensemble restreint de théories quantiques des champs où le calcul d'observables physiquement intéressantes peut être ramené à des expressions explicites et gérables grâce à la factorisabilité des matrices S qui régissent la diffusion dans ces modèles. En particulier, les fonctions de corrélation s'expriment sous forme de séries explicites d'intégrales multiples, et ce de manière non perturbative pour toutes les valeurs du couplage. La question de la convergence de ces séries, et donc de la bonne définition mathématique de ces fonctions
de corrélation, reste cependant largement ouverte. Cet article passe en revue le cadre général utilisé pour formuler de tels modèles et examine les progrès récents relatifs à la résolution des problèmes de convergence dans le cas de la théorie quantique des champs « sinh-Gordon » intégrable massive à 1 + 1 dimensions.

## Les singularités en relativité générale

(Jonathan LUK)

On passe en revue les progrès mathématiques récents dans la compréhension des singularités qui apparaissent dans les solutions de l'équation d'Einstein. Après quelques indications rapides sur le contexte, on se concentre sur les trois sujets suivants :

- la construction de solutions singulières pour l'équation d'Einstein dans le vide;

- la structure des singularités à l'intérieur des trous noirs dynamiques génériques et la relation avec la conjecture de la censure cosmique forte;

- la formation de surfaces piégées, les instabilités pour les équations d'Einstein dans le vide et la relation avec les singularités.

## Classification des phases de l'état fondamental avec un trou spectral dans les systèmes de spins quantiques

(OGATA Yoshiko)

Récemment, les problèmes de classification des phases de l'état fondamental avec un trou spectral ont attiré beaucoup d'attention en mécanique statistique quantique. On explique notre approche de ces problèmes, qui utilise des algèbres d'opérateurs.
# Probabilités

## La statistique combinatoire et les sciences*

(Elchanan MOSSEL)

La statistique combinatoire étudie l'inférence dans les modèles stochastiques discrets. L'inférence dans ces modèles joue un rôle important dans les sciences. On résume les recherches en statistique combinatoire en lien avec le processus de transmission sur arbre. On passe en revue les questions mathématiques qui se posent dans l'analyse de ce processus et pour son inférence *via* la « propagation des convictions ». On examine les liens mathématiques avec la physique statistique, les sciences sociales, les sciences biologiques et l'informatique théorique.

## Théorèmes limites KPZ

(BAIK Jinho)

Les systèmes unidimensionnels de particules en interaction, les modèles 1+1 de croissance aléatoire et les polymères dirigés en dimension 2 définissent des champs de hauteur bidimensionnels. La conjecture d'universalité de Kardar-Parisi-Zhang postule qu'une fonction de hauteur à l'échelle appropriée converge pour une grande classe de modèles vers un champ aléatoire universel indépendant du modèle. On examine les théorèmes limites pour quelques modèles et les modifications qui surviennent dans différents domaines. En particulier, on présente des résultats récents pour les domaines périodiques. On examine aussi des modèles de probabilités intégrables, des équations différentielles intégrables et l'universalité.

## Introduction à la métrique de la gravité quantique de Liouville

(DING Jian, Julien DUBÉDAT et Ewain GWYNNE)

La gravité quantique de Liouville est une famille de modèles de surfaces fractales aléatoires à un paramètre qui est apparue pour la première fois en physique dans les années quatre-vingt. Des travaux récents ont permis de construire une métrique (une distance) sur une
surface quantique au sens de la gravité quantique de Liouville. On donne un aperçu de la construction de cette métrique et l'on examine certaines de ses propriétés les plus importantes telles que le comportement des géodésiques et la formule de Knizhnik-Polyakov-Zamolodtchikov. On examine aussi les principales techniques pour démontrer des énoncés sur cette métrique, on donne des exemples de leur utilisation et l'on présente quelques problèmes ouverts.

## L'analyse des lois de probabilité en grande dimension à l'aide de méthodes trajectorielles

(Ronen ELDAN)

L'objectif de cette note est de présenter une méthode émergente dans l'analyse des lois de probabilité en grande dimension, qui présente des applications dans plusieurs domaines des mathématiques tels que l'analyse fonctionnelle, la géométrie convexe ou discrète, la combina-toire et la physique mathématique. La méthode est basée sur l'analyse trajectorielle : on construit un processus stochastique dirigé par un mouvement brownien, qui est associé à la loi de probabilité en grande dimension dont on dispose. Les quantités intéressantes liées à la loi telles que la covariance, l'entropie et le trou spectral s'expriment à travers des propriétés correspondantes du processus stochastique telles que la variation quadratique, ce qui rend les premières abordables par le biais de l'analyse des secondes. On se concentre sur une manifestation particulière de cette approche, le processus de « localisation stochas-tique ». On passe en revue plusieurs résultats qui peuvent être obte-nus à l'aide de la localisation stochastique et l'on décrit les principales étapes de leur démonstration. Ce faisant, on essaie de mettre en évi-dence certaines idées et certains avantages de l'approche trajectorielle. On se concentre sur deux types de résultats pertinents pour les lois de probabilité en grande dimension. Le premier concerne des inégali-tés de concentration indépendantes de la dimension, qui se manifestent par des inégalités fonctionnelles qui ne dépendent pas explicitement de la dimension. On se concentre principalement sur la conjecture de Kannan-Lovász-Simonovits, qui concerne l'isopérimétrie des mesures log-concaves en grande dimension. En outre, on examine des inégali-tés de concentration pour les modèles d'Ising et des majorations de la croissance pour les ensembles analytiques complexes. Le deuxième type de résultat concerne la décomposition d'une mesure en grande dimen-sion en un mélange de mesures ayant une structure simple, avec des
applications aux approximations de champ moyen.

## La sélection naturelle dans les populations structurées spatialement

(Alison ETHERIDGE)

Les modèles mathématiques jouent un rôle fondamental comme outil théorique en génétique des populations. Inversement, la génétique des populations offre une multitude de défis mathématiques. On l'illustre ici en utilisant des caricatures mathématiques de l'évolution de types génétiques dans une population répartie spatialement pour démontrer l'interaction complexe entre la structure spatiale, la sélection naturelle et ce que l'on appelle la dérive génétique (le caractère aléatoire dû à la reproduction dans une population finie). En particulier, on met en évidence le rôle que la forme du domaine habité par la population peut jouer pour l'interaction entre les différentes forces de l'évolution.

## La limite hydrodynamique et les EDP stochastiques liées au mouvement d'une interface

(FUNAKI Tadahisa)

La **limite hydrodynamique** établit un lien entre les systèmes microscopiques et macroscopiques par le biais d'un changement d'échelle dans l'espace-temps. Sa principale caractéristique est l'effet de moyennisation dû à l'ergodicité locale dans les équilibres locaux. Dans cet article, on considère comme système microscopique plusieurs types de systèmes de particules en interaction, dans lesquels les particules effectuent des **marches aléatoires** avec des interactions. On obtient trois objets différents dans la limite hydrodynamique ou dans la limite de fluctuation non linéaire : le mouvement par courbure moyenne, le problème de frontière libre de Stefan et l'équation de Kardar-Parisi-Zhang couplée. Tous ces objets sont liés au mouvement de l'interface. Le principe de Boltzmann-Gibbs joue un rôle fondamental. On examine l'équation de Kardar-Parisi-Zhang couplée du point de vue des **équations aux dérivées partielles stochastiques** singulières et des renormalisations. Le modèle $\nabla\phi$ d'interface de Ginzburg-Landau, le mouvement par courbure moyenne stochastique et le modèle à huit sommets stochastique sont également brièvement évoqués.
# Sur l'universalité des systèmes de particules en interaction

*(Patrícia GONÇALVES)*

Dans ces quelques pages, on passe en revue des résultats récents concernant le comportement limite des fluctuations autour de l'équilibre de systèmes de particules en interaction avec une ou plusieurs quantités conservées. On considère deux classes principales de modèles : premièrement, le *processus d'exclusion simple* faiblement asymétrique, un modèle avec une seule loi de conservation et dont les fluctuations passent de la classe d'universalité d'Edwards-Wilkinson à la classe d'universalité de Kardar-Parisi-Zhang; deuxièmement, une classe de systèmes *hamiltoniens* perturbés par un bruit où deux quantités sont conservées. Dans le cas d'un potentiel exponentiel, il y a une transition d'un comportement diffusif à un comportement fractionnaire d'exposant $\frac{5}{3}$. Pour un potentiel harmonique, les fluctuations passent d'un comportement diffusif à un comportement *fractionnaire* d'exposant $\frac{3}{2}$. On examine deux méthodes différentes qui démontrent rigoureusement certains de ces résultats.

# Temps de mélange et coupure pour les systèmes de particules unidimensionnels

*(Hubert LACOIN)*

On passe en revue des résultats récents concernant le *temps de mélange* relatif à la *variation totale* du *processus d'exclusion simple* (symétrique ou asymétrique) sur le segment et de son analogue continu, la *marche aléatoire* simple sur le *simplexe*, en mettant l'accent sur les résultats de coupure. On dit qu'une chaîne de Markov présente une coupure si la distance à l'équilibre passe brusquement de 1 à 0 sur une certaine échelle de temps. On passe également en revue quelques techniques utilisées pour obtenir ces résultats en exposant et en commentant certains éléments de démonstration.

# De l'ultramétrique dans les verres de spin

*(Dmitry PANCHENKO)*

Le caractère *ultramétrique* de la mesure de Gibbs est une caractéristique fondamentale de la solution de Parisi du modèle de Sherrington-Kirkpatrick pour les verres de spin. On commencera par décrire une
origine du caractère ultramétrique d'une manière qui ne nécessite pas de connaissances particulières, puis on passera en revue quelques éléments de contexte et l'on examinera quelques applications.

## Des processus stochastiques en interaction sur des graphes aléatoires creux

(Kavita RAMANAN)

De grands ensembles de particules en interaction évoluant de manière stochastique décrivent des phénomènes dans divers domaines, notamment en physique statistique, en neurosciences, en biologie et en ingénierie. Dans ces systèmes, l'évolution infinitésimale de chaque particule ne dépend que de son propre état (ou de son histoire) et de l'état (ou de l'histoire) des particules voisines selon un **graphe d'interaction** sous-jacent, éventuellement aléatoire. Bien que ces processus en grande dimension soient généralement trop complexes pour se prêter à une analyse exacte, leur dynamique est assez bien comprise lorsque le **graphe d'interaction** est le **graphe complet**. Dans ce cas, des théorèmes classiques montrent dans la limite où le nombre de particules tend vers l'infini que la dynamique de la **mesure empirique** et la loi d'une particule typique coïncident et peuvent être caractérisées par un système dynamique de dimension réduite beaucoup plus facile à traiter, appelé « limite de champ moyen ». En revanche, on ne savait pas grand-chose jusqu'à récemment des résultats de convergence correspondants dans le cas complémentaire où le **graphe d'interaction** est **creux** (c'est-à-dire avec un **degré moyen** uniformément borné). Cet article donne un bref aperçu des travaux classiques et décrit ensuite les progrès récents sur le régime creux qui s'appuient sur une combinaison de techniques de la théorie des **graphes aléatoires**, des **champs aléatoires de Markov** et du **calcul stochastique**. L'article conclut en examinant des ramifications pour les applications et en posant plusieurs problèmes ouverts.

## Fluctuations intégrables dans la classe d'universalité KPZ

(Daniel REMENIK)

Le **point fixe KPZ** est un **processus de Markov** invariant par changement d'échelle qui apparaît comme la limite d'échelle universelle d'une grande classe de modèles de croissance aléatoire d'interfaces en dimension 1, la **classe d'universalité KPZ** en dimension 1. Dans cet article
de synthèse, on passe en revue la construction du point fixe KPZ et une partie de l'histoire qui y a conduit, en particulier à travers la solution exacte du processus d'exclusion simple totalement asymétrique, un modèle particulier résoluble dans cette classe. On explique aussi comment la construction révèle que le point fixe KPZ est un système intégrable stochastique et comment il s'ensuit que ses lois de dimensions finies vérifient une équation aux dérivées partielles dispersive intégrable classique, l'équation de Kadomtsev-Petviashvili.

## Estimations des noyaux de la chaleur sur les variétés de Harnack et au-delà

(Laurent SALOFF-COSTE)

Sur une variété riemannienne M, le noyau de la chaleur est une fonction lisse $(t, x, y) \mapsto p(t, x, y)$ sur $]0, +\infty[ \times M \times M$. La forme de cette fonction dépend des propriétés de M. Cet article porte une attestation particulière au comportement asymptotique et à grande échelle du noyau de la chaleur et à sa relation avec la géométrie globale de M. Quand le noyau de la chaleur ressemble-t-il à une courbe en cloche ? Si ce n'est pas le cas, à quoi ressemble-t-il et pourquoi ? Pour répondre à ces questions, on a besoin d'outils qui permettent d'obtenir des encadrements précis pour le noyau de la chaleur en fonction de la variable temporelle $t > 0$ et de quantités géométriques de base qui dépendent de $x$ et $y \in M$. Avec quelles hypothèses sur M peut-on espérer obtenir de tels encadrements ?
# Combinatoire

## Théorie des probabilités pour les groupes aléatoires issus de la théorie des nombres*

(Melanie MATCHETT WOOD)

On considère la théorie des probabilités et en particulier le problème des moments et les théorèmes d'universalité pour les groupes aléatoires du type de ceux qui apparaissent ou qui sont conjecturés en théorie des nombres et dans des contextes similaires en topologie et en combina-toire. Parmi les lois de probabilité pour les groupes aléatoires que l'on aborde, il y a celles des conjectures de Cohen-Lenstra-Martinet pour les groupes de classes des corps de nombres ainsi que celles de générali-sations non abéliennes, et celles qui sont conjecturées pour les groupes de Selmer des courbes elliptiques aléatoires. Pour ces types de lois de probabilité sur des groupes finis et profinis, on passe en revue ce qui est connu sur le problème des moments et sur l'universalité, on donne quelques nouveaux résultats, y compris de nouvelles applications, et l'on suggère des problèmes ouverts.

## La géométrie des géométries : la théorie des matroïdes, de l'ancien et du nouveau

(Federico ARDILA-MANTILLA)

La théorie des matroïdes ou géométrie combinatoire trouve son orig-gine dans l'algèbre linéaire et dans la théorie des graphes et entretient des liens étroits avec de nombreux autres domaines, notamment la théo-rie des corps, la théorie du couplage, l'optimisation sous-modulaire, la combinatoire de Lie et la positivité totale. Les matroïdes saisissent l'es-sence combinatoire commune à ces différents domaines.

Ces dernières années, les racines géométriques (classiques, poly-édriques, algébriques et tropicales) du domaine se sont considéra-blement approfondies et ont porté de nouveaux fruits. On passe en revue quelques succès récents issus de trois modèles géométriques d'un matroïde : le polytope des bases d'un matroïde, l'éventail de Bergman et l'éventail conormal.
# L'empilement de graphes et d'hypergraphes

(Julia BÖTTCHER)

Les problèmes d'empilement en combinatoire concernent le plongement avec des arêtes disjointes d'une famille de graphes ou d'hypergraphes dans un graphe ou hypergraphe hôte donné. Les questions de ce type sont intimement liées à la théorie du *design* combinatoire et ont plusieurs applications notables. Le domaine a connu d'importants progrès au cours des deux dernières décennies avec le développement d'un certain nombre de nouvelles méthodes puissantes. On passera ici en revue quelques résultats majeurs qui ont contribué à ces progrès, le contexte et quelques idées sur les méthodes impliquées.

# L'influence de KKL sur moi

(Ehud FRIEDGUT)

Kahn, Kalai et Linial ont publié en 1988 un article qui a fait date. Dans cet article, ils trouvent un minorant pour l'influence maximale de variables sur une fonction booléenne. En utilisant l'analyse harmo-nique pour résoudre la question, et en particulier en introduisant une inégalité d'hypерcontr activity (due à Bonami, Beckner et Gross), ils ont façonné l'étude des fonctions booléennes et grandement influencé la combinatoire et l'informatique théorique.

Dans cet article, j'examine comment mes propres travaux ont été influencés par leur approche à travers un ensemble de problèmes divers que j'ai abordés au fil des ans.

# Le calcul de Schubert et les variétés de carquois

(Allen KNUTSON)

La règle de Littlewood-Richardson (1934) est un moyen combinatoire (et en particulier manifestement positif) de calculer les constantes de structure de deux anneaux *a priori* sans liens : l'anneau des représentations de $GL_k(\mathbb{C})$ et l'anneau de cohomologie de la grassmannienne $Gr(k, \mathbb{C}^n)$. On rappelle les nombreuses généralisations de ce dernier anneau (en changeant l'espace, la théorie de cohomologie ou la base), qui ont toutes des règles de calcul non manifestement positives, appelées aujourd'hui leur calcul de Schubert. Jusqu'à ce siècle, très peu de ces
constantes de structure avaient des règles combinatoires pour leur calcul, bien qu'on ait démontré (de manière inefficace) que de nombreuses constantes de structure sont positives ou nulles.

Ces dernières années, la similitude formelle de l'une de ces règles (la règle du « puzzle » de Knutson-Tao pour la *cohomologie équiva-riante*) avec les systèmes quantiques intégrables a été rattachée à la géométrie des variétés de carquois, une classe parmi laquelle on trouve les *fibrés cotangents* des grassmanniennes. Cela a permis de découvrir et de démontrer des règles pour de nombreux problèmes de calcul de Schubert non résolus jusque-là et d'établir de nouveaux liens avec la *théorie des représentations*.

## Progrès récents vers la conjecture de Hadwiger

(Sergey NORIN)

En 1943, Hadwiger a émis la conjecture suivante : quel que soit $t \ge 1$, tout graphe ne contenant pas de mineur $K_t$ peut être coloré avec $t-1$ couleurs. La conjecture de Hadwiger généralise le théorème des quatre couleurs et fait partie des problèmes les plus étudiés en théorie des graphes.

Dans cet article, on passe en revue les idées qui sous-tendent les progrès récents sur cette conjecture, qui ont permis en particulier la première amélioration asymptotique depuis les années quatre-vingt du nombre de couleurs suffisantes pour colorer tous les graphes ne contenant pas de mineur $K_t$.

## Nombre de faces : le côté majorant de l'histoire

(Isabella NOVIK)

On passe en revue la théorie des nombres de faces des complexes simpliciaux sous l'angle des résultats de majoration et du voisinage. On se concentre sur les classes de polytopes, de sphères simpliciales et de variétés simpliciales, ainsi que sur les classes de polytopes à symétrie centrale et de sphères simpliciales à symétrie centrale. En cours de route, on esquisse quelques-unes des idées et des méthodes utilisées dans les démonstrations. On présente également quelques-uns des nombreux problèmes ouverts dans le domaine.
# Des problèmes restreints en combinatoire extrémale

*(Mathias SCHACHT)*

La combinatoire extrémale est un domaine de recherche central des mathématiques discrètes. Ce domaine remonte aux travaux de Turán et a été développé par Erdős grâce à ses contributions fondamentales et à ses innombrables suggestions. Depuis lors, c'est devenu une discipline importante qui entretient des liens étroits avec d'autres domaines des mathématiques tels que l'informatique théorique, la théorie des nombres et la théorie ergodique.

On se concentre sur les problèmes extrémaux pour les hypergraphes, qui ont été introduits par Turán. Après avoir résolu la question analogue pour les graphes, Turán a demandé de déterminer le cardinal maximal d'un ensemble E de sous-ensembles à 3 éléments d'un ensemble donné V à n éléments tel que, pour tout quadruplet d'éléments de V, il manque au moins un triplet dans E. Ce problème d'apparence innocente est toujours ouvert. Malgré de nombreux efforts au cours des quatre-vingts dernières années, nos connaissances sont encore quelque peu limitées. On considère une variante du problème en imposant des restrictions supplémentaires sur la distribution des sous-ensembles à 3 éléments dans E. Ces hypothèses supplémentaires permettent un contrôle plus fin du problème extrémal correspondant. En fait, cela conduit à de nombreux problèmes intéressants et plus faciles à gérer, dont certains ont déjà été examinés par Erdős et Sós dans les années quatre-vingt. Les hypothèses supplémentaires sur la distribution des sous-ensembles à trois éléments sont étroitement liées à la théorie des structures discrètes quasi aléatoires, dont Szemerédi a été le pionnier et qui est devenue un thème central dans le domaine. En effet, les généralisations aux hypergraphes du lemme de régularité par Gowers et par Rödl et ses collaborateurs fournissent des outils essentiels pour cette piste de recherche.

# Les graphes à grand nombre chromatique

*(Alex SCOTT)*

Le nombre chromatique est un sujet d'étude fondamental dans la théorie des graphes depuis plus de cent cinquante ans. La coloration de graphe fait l'objet d'une théorie combinatoire approfondie et intéresse à la fois les mathématiques et l'informatique, comme c'est le cas
pour de nombreux problèmes NP-difficiles. Un défi important consiste à comprendre les graphes dont le nombre chromatique est très grand. Le nombre chromatique nous indique quelque chose de global sur la structure d'un graphe : si G a un petit nombre chromatique, il peut être divisé en quelques morceaux très simples. Mais qu'en est-il si G a un nombre chromatique qui est grand ? Pouvons-nous dire quelque chose sur sa structure locale ? En particulier, existe-t-il des sous-structures particulières qu'il doit contenir ? Dans cet article, on examinera les progrès récents et les problèmes ouverts dans ce domaine.

## Combinatoire locale ou combinatoire globale

*(Asaf SHAPIRA)*

La plupart des problèmes ouverts les plus remarquables en combinatoire concernent les propriétés locales ou globales de grandes structures discrètes. La recherche visant à résoudre ces questions a conduit à certains des développements les plus importants dans ce domaine ainsi que dans des domaines connexes tels que l'informatique théorique, la théorie additive des nombres et l'analyse harmonique. Dans cet article, on examine certaines de ces avancées et l'on mentionne plusieurs problèmes ouverts.

## La grassmannienne positive, l'amplituèdre et les algèbres amassées

*(Lauren K. WILLIAMS)*

La grassmannienne positive $Gr_{k,n}^{\ge 0}$ est le sous-ensemble de la grassmannienne réelle où toutes les coordonnées plückeriennes sont positives ou nulles. Elle possède une belle structure combinatoire ainsi que des liens avec la physique statistique, les systèmes intégrables et les amplitudes de diffusion des ondes. L'amplituèdre $A_{n,k,m}(Z)$ est l'image de la grassmannienne positive $Gr_{k,n}^{\ge 0}$ par une application linéaire positive $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{k+m}$. On expliquera comment les idées issues des matroïdes orientés, de la géométrie tropicale et des algèbres amassées éclairent la structure de la grassmannienne positive et de l'amplituèdre.
# Mathématiques pour l'informatique

## Confidentialité différentielle : obtenir plus avec moins*

(Cynthia DWORK)

La clé du succès de la confidentialité différentielle, qui est aujourd'hui l'étalon-or de l'analyse de données préservant la vie privée, est la capacité à quantifier et à raisonner sur la perte cumulative de confidentialité sur un grand nombre d'interactions différentiellement privées. Lorsque les bornes supérieures sur la perte de confidentialité sont lâches, le déploiement des algorithmes est par définition conservateur. Lorsque les niveaux de composition sont élevés, une grande partie de l'utilité potentielle est perdue. On examine deux approches générales pour obtenir plus d'utilité : les méthodes d'amplification de la confidentialité, qui sont algorithmiques, et les méthodes définitionnelles, qui admettent une classe plus large d'algorithmes et conduisent à des analyses plus rigoureuses des algorithmes existants.

## L'obscurcissement indistinguishable*

(Aayush JAIN, LIN Huijia et Amit SAHAI)

Au moins depuis la première proposition publique de cryptographie à clé publique fondée sur des conjectures de difficulté de calcul (Diffie et Hellman, 1976), les cryptographes ont envisagé la possibilité d'un « compilateur à sens unique » qui traduise les programmes informatiques en des formes « incompréhensibles » mais équivalentes. Pourtant, la recherche d'un tel « compilateur à sens unique » est restée hors d'atteinte pendant des décennies. On examine une formalisation de ce concept avec la notion d'obscurcissement indistinguishable. En gros, l'obscurcissement indistinguishable exige que les versions compilées de deux programmes équivalents (ayant la même taille et le même temps d'exécution) soient indistinguishables pour tout adversaire efficace. Enfin, on montre comment construire l'obscurcissement indistinguishable de telle sorte que l'on puisse prouver la sécurité de notre schéma d'obscurcissement indistinguishable en se basant sur des conjectures de difficulté de calcul bien étudiées dans le domaine de la cryptographie.
La recherche par simulation*

(David SILVER et Andre BARRETO)

La planification est l'un des problèmes les plus anciens et les plus
importants étudiés par l'intelligence artificielle. Les algorithmes de
recherche par simulation, tels qu'AlphaZero, ont atteint des perfor-
mances herculéennes aux échecs et au jeu de go et sont largement
utilisés dans les applications de planification du monde réel. Dans cet
article, on fournit un cadre unifié pour la recherche par simulation. Les
algorithmes dans ce cadre intègrent des opérateurs pour l'évaluation de
la politique (meilleure estimation de la fonction valeur de la politique
actuelle) et l'amélioration de la politique (utilisation de la fonction
valeur pour former une meilleure politique). Ces opérateurs sont appli-
qués aux états et aux actions qui sont échantillonnés dans des trajec-
toires séquentielles et qui peuvent se ramifier de manière récursive dans
d'autres trajectoires échantillonnées. La fonction valeur et la politique
peuvent également être représentées par un approximateur de fonction.
Notre cadre inclut une large famille d'algorithmes de recherche, y com-
pris la recherche arborescente Monte-Carlo, l'acquisition comprimée, la
recherche Monte-Carlo imbriquée, l'itération de la politique basée sur
la classification et AlphaZero.

Au-delà de l'algèbre linéaire*

(Bernd STURMFELS)

Notre titre met le lecteur au défi de s'aventurer au-delà de l'algèbre linéaire dans la conception de modèles et dans la réflexion sur les algorithmes numériques pour identifier des solutions. Cet article accompagne la conférence de l'auteur au Congrès international des mathématiciens de 2022. Il examine les avancées récentes dans l'étude des équations de point critique en optimisation et en statistique, et explore le rôle de l'algèbre non linéaire pour les équations aux dérivées partielles linéaires à coefficients constants.

Nulle part où aller si ce n'est en haut : une perspective sur les expanseurs en grande dimension

(Roy GOTLIB et Tali KAUFMAN)
« Nulle part où aller si ce n’est à l’intérieur » est une citation bien connue d’Osho. Osho voulait dire qu’on devait obtenir les réponses à toutes nos questions en regardant à l’intérieur de nous-mêmes. En paraphrasant la citation d’Osho, nous disons « nulle part où aller si ce n’est en haut ». Ceci a pour but de mettre en évidence que pour divers sujets et questions apparemment sans rapports, la seule façon d’obtenir des progrès significatifs est de passer par le prisme d’une nouvelle philosophie (d’un nouveau domaine) appelée l’expansion en grande dimension. Dans cette note, on présente la philosophie de l’expansion en grande dimension et l’on explique comment elle s’est avérée utile récemment pour faire progresser diverses questions dans des domaines apparemment sans rapports entre eux.

## Quarante ans d’éléments fréquents

(Jelani NELSON)

On passe en revue les quarante dernières années de développement d’algorithmes pour la recherche d’éléments fréquents dans les flux de données, une piste de travail qui a abouti de manière étonnante au développement de nouveaux outils pour la théorie de l’information, les suites pseudoaléatoires, les méthodes de chaînage pour estimer les bornes supérieures des processus stochastiques, et la théorie spectrale des graphes.

## Quelques questions relatives au théorème de Minkowski inverse

(Oded REGEV)

Dans cet article de synthèse, on donne un aperçu de certains résultats récents de type « théorème de Minkowski inverse » sur la géométrie des réseaux. Ces résultats fournissent des bornes supérieures pour le nombre de vecteurs courts qu’un réseau peut avoir en supposant qu’il n’a pas de sous-réseau avec un déterminant petit. On décrit aussi brièvement les idées de la démonstration et l’on mentionne quelques questions ouvertes.
Les mathématiques pour l'informatique sous l'angle des équations linéaires et des réseaux

(Shmuel SAFRA)

Les mathématiques pour l'informatique et en particulier la théorie de la complexité algorithmique constituent un domaine de recherche fondamental à l'intersection de l'informatique et des mathématiques.

Ce domaine s'articule autour de la classification des problèmes algorithmiques comme étant réalisables ou pas, généralement dans le pire des cas.

Dans certains domaines connexes, et de manière encore plus évidente dans la pratique, la notion de complexité en moyenne est omniprésente.

La cryptographie est un excellent exemple où la preuve de la sécurité des protocoles ou des primitives nécessite souvent des hypothèses de difficulté de type « cas moyen ».

On a choisi ici d'analyser ces notions à travers le prisme de l'algèbre linéaire. Cette perspective nous permet de présenter en douceur d'importantes directions de recherche et de proposer des conjectures qui établissent une feuille de route pour les progrès à venir.

L'objectif de cette étude est de rendre plus accessible la recherche au cœur de l'informatique. De plus, elle nous donne l'occasion d'énoncer naturellement des questions ouvertes concernant les réseaux dont la solution transformerait notre perception de l'informatique, non seulement d'un point de vue scientifique, mais aussi d'un point de vue pratique.

Techniques polyédriques en optimisation combinatoire : des couplages et des tournées

(Ola SVENSSON)

On passe en revue des progrès récents sur deux des problèmes les plus classiques de l'optimisation combinatoire, à savoir le problème du couplage et le problème du voyageur de commerce. On se concentre sur les algorithmes parallèles déterministes pour le problème du couplage parfait et sur le premier algorithme avec un facteur d'approximation constant pour le problème du voyageur de commerce asymétrique.

Bien que ces questions posent des défis apparemment différents, des progrès récents ont été réalisés en utilisant des techniques polyédriques
similaires. En particulier, on utilise pour les deux problèmes des formu-
lations par programmation linéaire, y compris des formulations de taille
exponentielle, pour extraire la structure de certains problèmes afin de
guider la conception des algorithmes.

MIP\* = RE : une solution négative au problème du plongement de Connes et au problème de Tsirelson

(Thomas VIDICK)

Le **problème de plongement de Connes** est une question profonde sur
la possibilité d'approcher certaines **algèbres de von Neumann** munies
d'une **trace** par des **algèbres de matrices de dimensions finies**. On étu-
die les liens entre les **algèbres d'opérateurs**, l'**information quantique** et
l'**informatique théorique** qui ont permis la résolution récente de ce pro-
blème. La résolution passe par une formulation équivalente (connue sous
le nom de **problème de Tsirelson**) en termes de **séparation d'ensembles
convexes** dont la définition est motivée par l'étude de la non-localité
en mécanique quantique. On construit un hyperplan d'appui explicite
en utilisant la **théorie des jeux à deux joueurs** issue de la **théorie de la
complexité**.
# Analyse numérique et calcul scientifique

## Analyse mathématique et méthodes numériques pour les problèmes de diffusion inverse

(BAO Gang)

Les problèmes de diffusion inverse se posent dans divers domaines d'application tels que la prospection géophysique, la détection sous-marine, l'imagerie en champ proche, la nano-optique et l'imagerie médi-cale. Pour une onde incidente donnée dans un milieu qui se trouve dans un domaine borné, le problème de diffusion (directe) consiste à déterminer le champ diffusé ou la distribution d'énergie pour un dif-fuseur connu. Le problème de diffusion inverse consiste à déterminer le diffuseur à partir de mesures des champs aux bords. Bien que des progrès significatifs aient été réalisés récemment dans la résolution des problèmes inverses, de nombreuses questions mathématiques et numé-riques difficiles n'ont toujours pas été résolues. En particulier, les pro-blèmes mal posés ont jusqu'à présent limité les applications pratiques des méthodes de résolution des problèmes inverses. Cet article traite de l'analyse mathématique et des méthodes numériques pour résoudre les problèmes de diffusion inverse d'intérêt général. Sur la base de données multifréquences, on présente des approches mathématiques et numé-riques efficaces pour surmonter le caractère mal posé des problèmes inverses. On trouvera un bref aperçu de ces approches et de leurs résul-tats. Une attention particulière est accordée aux problèmes du milieu inverse, de l'obstacle inverse et de la source inverse. On mentionne éga-lement des sujets connexes et des problèmes ouverts.

## Vers des simulations adaptatives de la propagation d'un tsunami dispersif dû à l'impact d'un astéroïde

(Marsha J. BERGER et Randall J. LEVEQUE)

L'objectif à long terme de ce travail est le développement d'outils de simulation performants pour la propagation des tsunamis dispersifs. Un modèle dispersif est particulièrement important pour les phéno-mènes avec de courtes longueurs d'onde tels que l'impact d'un astéroïde dans l'océan. C'est également important pour la modélisation d'autres
événements où les équations en eau peu profonde, plus simples, sont insuffisantes. Les simulations adaptatives sont crucales pour passer de l'échelle de l'océan profond à celle de l'inondation, mais elles ont des difficultés avec le système implicite d'équations qui résulte des modèles dispersifs. On propose un schéma à pas fractionnaire qui fait progresser la solution sur des zones séparées avec des résolutions spatiales et des pas de temps différents. On montre une simulation avec sept niveaux de maillage adaptatif et une inondation terrestre résultant d'un impact d'astéroïde simulé au large de la côte de Washington. On examine enfin un certain nombre de questions de recherche ouvertes qui doivent être résolues pour obtenir des simulations de grande qualité.

Réduction d'ordre d'un modèle préservant la structure pour
les systèmes hamiltoniens

(Jan S. HESTHAVEN, Cecilia PAGLIANTINI et Nicolò RIPAMONTI)

On examine les développements récents pour les techniques de
réduction d'ordre des modèles basées sur la projection et axées sur les
problèmes hamiltoniens. Le principe de Hamilton caractérise complè-
tement de nombreux modèles de grande dimension en physique mathé-
matique, ce qui donne lieu à de riches structures géométriques avec des
exemples en dynamique des fluides, en mécanique quantique, dans les
systèmes optiques et dans les modèles épidémiologiques. La réduction
d'ordre des modèles réduit la quantité de calculs associée à l'approxima-
tion de systèmes complexes en introduisant des modèles de substitution
de faible dimension, ce qui permet des simulations numériques multi-
requêtes efficaces. Cependant, les approches de réduction standard ne
garantissent pas la conservation de la dynamique sensible des problèmes
hamiltoniens, ce qui se traduit par des modèles réduits en proie à l'in-
stabilité ou à la perte de précision au fil du temps. En abordant le
processus de réduction du point de vue géométrique des variétés sym-
plectiques, les modèles réduits qui en résultent héritent des propriétés
de stabilité et de conservation des formulations en grande dimension.
On commence par introduire les principes généraux de la géométrie
symplectique, notamment les espaces vectoriels symplectiques, le théo-
rème de Darboux et les champs de vecteurs hamiltoniens. Ces notions
sont ensuite utilisées comme point de départ pour développer différents
algorithmes de base réduite qui préservent la structure, notamment des
approches basées sur la décomposition en valeurs singulières et sur des
techniques gloutonnes. On conclut cette étude en abordant la réduction
des problèmes qui ne sont pas linéairement réductibles ou qui ont une
forme hamiltonienne non canonique.

Stabilité numérique des algorithmes à des échelles extrêmes
et avec une faible précision

(Nicholas J. HIGHAM)

Les plus grands systèmes linéaires denses que l'on peut résoudre de
nos jours sont d'ordre $n = 10^7$. L'arithmétique en simple précision, qui
a un arrondi unitaire $u \approx 10^{-8}$, est très utilisée pour le calcul scienti-
fique. L'arithmétique en demi-précision, avec un arrondi $u \approx 10^{-4}$, est
de plus en plus exploitée à mesure qu'elle devient plus facilement dispo-
nible dans le matériel. Les majorations standard des erreurs d'arrondi
pour les algorithmes de l'algèbre linéaire sont proportionnelles à $p(n)u$,
où $p$ croît au moins linéairement avec $n$. Par conséquent, on en est au
stade où ces majorations des erreurs d'arrondi ne sont pas en mesure de
garantir la précision ou la stabilité des résultats pour certains calculs
à une échelle extrême ou de faible précision. On explique comment on
peut obtenir des majorations des erreurs d'arrondi avec des constantes
beaucoup plus petites. Les algorithmes par blocs, qui divisent les don-
nées en blocs de taille $b$, permettent de réduire les constantes d'erreur
d'un facteur $b$ ou plus. Deux caractéristiques structurelles réduisent
également les constantes d'erreur : les registres à précision étendue et
les opérations de multiplication-addition fusionnées, soit au niveau sca-
laire, soit sous forme de blocs à précision mixte. On examine également
une nouvelle approche probabiliste de l'analyse des erreurs d'arrondi
qui fournit des constantes d'erreur qui sont les racines carrées de celles
des majorations dans le pire des cas. La combinaison de ces différentes
considérations permet de mieux comprendre la stabilité numérique des
calculs à une échelle extrême et à faible précision en algèbre linéaire
numérique.

Les mathématiques de l'intelligence artificielle

(Gitta KUTYNIOK)

On assiste actuellement au succès spectaculaire de l'intelligence arti-
ficielle, tant dans le domaine scientifique que dans la vie publique.
Cependant, le développement d'une base mathématique rigoureuse n'en
est qu'à ses débuts. Dans cet article, on s'intéressera en particulier au
« cheval de bataille » actuel de l'intelligence artificielle, à savoir les réseaux de neurones profonds. On présentera les principales orientations théoriques et plusieurs résultats exemplaires, et l'on mentionnera les principaux problèmes ouverts.

## L'algorithm du gradient stochastique : quand l'optimisation rencontre l'apprentissage automatique

(Rachel WARD)

L'algorithm du gradient stochastique est l'algorithm d'optimisation de facto pour l'entraînement des réseaux de neurones dans l'apprentissage automatique moderne grâce à sa capacité unique à s'adapter à des problèmes dont les points de données, le nombre de points de données et le nombre de paramètres libres à optimiser sont de l'ordre de plusieurs milliards. D'une part, de nombreux fondements mathématiques de l'algorithm du gradient stochastique ont été développés des décennies avant l'avènement de l'apprentissage profond moderne, de l'approximation stochastique à l'algorithme aléatoire de Kaczmarz pour la résolution de systèmes linéaires. D'autre part, l'omni-présence de l'algorithm du gradient stochastique dans l'apprentissage automatique moderne et l'importance qui en résulte pour l'optimisation des performances de l'algorithm dans des contextes pratiques ont motivé de nouvelles conceptions d'algorithmes et des percées mathématiques. Dans cette note, on rappelle un peu l'histoire et l'état de l'art de la théorie de la convergence pour l'algorithm du gradient stochastique, qui est très utile dans les applications modernes. On examine les percées récentes dans les variantes de l'algorithm du gradient stochastique avec un gradient adaptatif, qui permettent de remédier à l'un des points les plus faibles : la sensibilité et la dépendance par rapport aux hyperparamètres, notamment au choix de la taille des pas.

## Résolution de problèmes inverses avec l'apprentissage profond

(YING Lexing)

On examine certains travaux récents sur l'application de l'apprentissage profond aux problèmes inverses. Sur le plan algorithmique, on propose deux nouveaux modules de réseaux de neurones, BCR-Net et Switch-Net, motivés par les opérateurs pseudodifférentiels et les opérateurs intégraux de Fourier qui apparaissent couramment
ment dans l'étude des problèmes inverses. Du côté des applications, on propose des réseaux de neurones pour les applications inverses dans cinq domaines : la tomographie d'impédance électrique, la tomographie optique, la diffusion acoustique inverse, l'imagerie sismique et la tomographie du temps de parcours. Pour chaque application, l'architecture est motivée par la théorie des perturbations et la rétroprojection filtrée et mise en œuvre à l'aide des nouveaux modules et de couches de convolution. Lorsque les équivariances de translation et de rotation sont disponibles, des reparamétrages appropriés dans les données et dans les domaines du modèle permettent d'obtenir des architectures convolutives à la fois générales et efficaces. Ces applications démontrent que notre approche permet de combiner de manière transparente la structure mathématique des problèmes inverses avec la puissance des réseaux de neurones profonds.
# Théorie du contrôle et optimisation

## Théorie de la discrépance et algorithmes associés*

(Nikhil BANSAL)

On passe en revue certains résultats et certaines techniques classiques de la théorie de la discrépance ainsi que les progrès récents visant à transformer ces techniques en algorithmes. Les méthodes précédentes étaient typiquement basées sur des approches non constructives telles que le principe des tiroirs et des arguments de dénombrement qui impliquaient un nombre exponentiel d'objets et le volume de corps convexes. Les méthodes algorithmiques récentes sont basées sur une interaction intéressante entre des méthodes issues du mouvement brownien discret, de la géométrie convexe, de l'optimisation et de l'analyse matricielle. Leur étude a conduit à de nouveaux liens intéressants et à des progrès à la fois pour la conception de la discrépance et pour la conception d'algorithmes.

## Les extensions : un pont entre la monotonie maximale et la convexité

(Regina S. BURACHIK)

Le lien le plus important entre les opérateurs maximaux monotones et les fonctions convexes est peut-être le fait que le sous-différentiel d'une fonction convexe est maximal monotone. Cela relie les fonctions convexes à un sous-ensemble strict des opérateurs maximaux monotones (à savoir aux opérateurs cycliquement monotones). Notre objectif est d'explorer les applications qui vont dans la direction opposée, à savoir celles qui relient une application maximale monotone arbitraire à des fonctions convexes. Dans cette étude, on présente des résultats qui montrent comment les extensions d'un opérateur maximal monotone T permettent d'établir ce lien. En particulier, on rappelle que la famille des extensions est en fait en correspondance bijective avec toute une famille de fonctions convexes. De plus, chaque élément de l'une ou l'autre de ces familles définit T de manière univoque. On montre également que les extensions ne sont pas de simples artifices théoriques,
mais qu'elles présentent des avantages concrets et des applications, puis-
qu'elles ont d'une certaine manière un meilleur comportement que T
lui-même. Les extensions permettent de mieux comprendre les outils
existants liés aux fonctions convexes. Un exemple récent est l'utilisa-
tion des extensions pour définir une *distance* entre deux applications
multivaluées, l'une d'entre elles étant maximale monotone. On rappelle
ici cette nouvelle distance et l'on illustre brièvement ses applications
dans la caractérisation des solutions de problèmes variationnels.

Problèmes de valeurs propres non linéaires pour des semi-
normes et applications

(Martin BURGER)

L'objectif de cet article est d'examiner les progrès récents sur les
problèmes de valeurs propres non linéaires pour les semi-normes (c'est-
à-dire les fonctionnelles convexes absolument homogènes de degré 1),
qui ont de nombreuses applications en science des données, pour les pro-
blèmes inverses et dans le traitement d'images. On présente un point de
vue unifié sur la notion de vecteurs singuliers et de vecteurs propres non
linéaires pour les opérateurs non linéaires ou les fonctionnelles homo-
gènes. On examine en particulier les états fondamentaux, c'est-à-dire
le premier vecteur propre ou la première fonction propre. En outre, on
passe en revue une approche récente de l'analyse des vecteurs propres
basée sur la dualité, qui a des implications pour le calcul éventuel des
décompositions spectrales, c'est-à-dire des développements linéaires du
signal dans une base de vecteurs propres.

En outre, on examine certaines implications pertinentes telles que
l'analyse raffinée des méthodes de régularisation variationnelle et de
leur biais, ainsi que l'analyse de méthodes d'itération et de flots continus
en temps. On présente enfin des applications plus directes des problèmes
de valeurs propres non linéaires comme le partitionnement spectral non
linéaire sur des graphes.

La complexité d'évaluation de la recherche de minimiseurs
d'ordres élevés dans le cadre de l'optimisation non convexe

(Coralia CARTIS, Nicholas I. M. GOULD et Philippe L. TOINT)

On introduit le concept de minimiseurs forts avec une approxima-
tion d'ordre élevé pour les problèmes d'optimisation non convexes. Ces
minimiseurs sont utiles à la fois dans des contextes lisses standard et non lisses composés, et autorisent en outre des contraintes convexes ou peu coûteuses. On propose ensuite un algorithme de régularisation adaptatif pour trouver de tels minimiseurs approchés. Sous des hypothèses appropriées de continuité lipschitzienne, on étudie la complexité d'évaluation de cet algorithme. Les bornes obtenues ne fournissent pas seulement, à notre connaissance, le premier résultat connu pour les problèmes composés (sans contrainte ou avec des contraintes peu coûteuses) pour des ordres d'optimalité supérieurs à un, mais donnent également les premières bornes précises pour les minimiseurs forts avec une approximation d'ordre $q$ de problèmes lisses standard (sans contrainte ou avec des contraintes peu coûteuses), complétant ainsi les résultats connus pour les minimiseurs faibles.

## Un panorama de l'optimisation non linéaire

(DAI Yuhong)

L'optimisation non linéaire est issue du calcul infinitésimal. Elle est devenue un sujet indépendant suite à la formulation des conditions d'optimalité de Karush-Kuhn-Tucker. Le nombre croissant d'applications et l'explosion de la puissance de calcul orientent la recherche sur l'optimisation non linéaire dans des directions nouvelles et passionnantes. Dans cet article, je donnerai un bref aperçu de l'optimisation non linéaire, principalement de l'optimisation sans contrainte, de l'optimisation sous contrainte et de l'optimisation avec minimisation de la violation des contraintes.

## Théorie du contrôle des systèmes stochastiques à paramètres distribués : progrès récents et problèmes ouverts

(LÜ Qi)

Ces dernières années, des progrès importants ont été réalisés dans la théorie du contrôle des systèmes stochastiques à paramètres distribués (SSPD). La théorie est cependant loin d'être complète. La principale difficulté réside dans le fait que de nombreux outils et de nombreuses méthodes efficaces pour les systèmes déterministes à paramètres distribués et pour les systèmes stochastiques de dimension finie ne fonctionnent plus pour les SSPD. Il faut développer de nouveaux outils mathématiques tels que la méthode de transposition stochastique et
l'inégalité de Carleman stochastique, même pour certains SSPD très simples. Les objectifs de cet article sont de fournir de nouveaux résultats, de montrer de nouveaux phénomènes, d'expliquer les nouvelles difficultés et de présenter de nouvelles méthodes pour la théorie du contrôle des SSPD. On se concentre principalement sur nos travaux concernant la commandabilité des équations hyperboliques stochastiques et sur le principe du maximum du type de Pontriaguine pour les équations d'évolution stochastiques contrôlées. On présente enfin un certain nombre de questions ouvertes et d'orientations futures pour la recherche.

## L'apprentissage indépendant dans les jeux stochastiques

(Asuman OZDAGLAR, Muhammed O. SAYIN et ZHANG Kaiqing)

L'apprentissage par renforcement a récemment connu un succès retentissant dans de nombreuses applications de l'intelligence artificielle. De nombreuses applications de pointe de l'apprentissage par renforcement impliquent plusieurs agents, comme par exemple dans les jeux d'échecs et de go, la conduite autonome et la robotique. Malheureusement, le cadre sur lequel s'appuie l'apprentissage par renforcement classique n'est pas adapté à l'apprentissage multiagent, car il suppose que l'environnement d'un agent soit stationnaire et puisqu'il ne tient pas compte de l'adaptabilité des autres agents. Dans cet article de synthèse, on présente le modèle des jeux stochastiques de Shapley (1953) pour l'apprentissage multiagent dans des environnements dynamiques. On s'intéresse au développement d'une dynamique d'apprentissage simple et indépendant pour les jeux stochastiques : chaque agent est myope et choisit des actions de type « meilleure réponse » à la stratégie des autres agents sans aucune coordination avec son adversaire. Le développement de dynamiques convergentes d'apprentissage indépendant de type « meilleure réponse » pour les jeux stochastiques a peu progressé. On présente notre dynamique d'apprentissage simple et indépendant, proposée récemment, qui garantit la convergence dans les jeux stochastiques à somme nulle, ainsi qu'un examen d'autres algorithmes contemporains pour l'apprentissage dynamique multiagent dans ce cadre. En cours de route, on réexamine également certains résultats classiques de la théorie des jeux et de la littérature sur l'apprentissage par renforcement pour situer à la fois les contributions conceptuelles de notre dynamique d'apprentissage indépendant et les nouveaux mathématiques de notre analyse. On espère que cet article servira
d'impulsion à la résurgence de l'étude des dynamiques d'apprentissage
indépendant et naturel dans la théorie des jeux pour les contextes plus
difficiles avec un environnement dynamique.

États accessibles pour les systèmes linéaires en dimension infinie : de l'ancien et du nouveau

(Marius TUCSNAK)

Ce travail décrit quelques résultats récents sur les espaces accessibles pour les systèmes linéaires autonomes en dimension infinie. L'accent est mis sur les systèmes décrits par l'équation de la chaleur à coefficients constants, où l'on montre que la question est intimement liée à la théorie des espaces de Hilbert de fonctions analytiques.
# Statistique et analyse des données

## Algorithme du gradient sur des réseaux de neurones infini-ment grands : convergence globale et généralisation

(Francis BACH et Lénaïc CHIZAT)

De nombreuses méthodes d'apprentissage automatique supervisé se présentent naturellement comme des problèmes d'optimisation. Pour les modèles de prédiction qui sont linéaires par rapport à leurs paramètres, cela conduit souvent à des problèmes convexes pour lesquels il existe de nombreuses garanties mathématiques. Les modèles non linéaires par rapport à leurs paramètres, tels que les réseaux de neurones, conduisent à des problèmes d'optimisation non convexes pour lesquels il est plus difficile d'obtenir des garanties. Dans cet article, nous considérons des réseaux de neurones à deux couches avec des fonctions d'activation homogènes où le nombre de neurones cachés tend vers l'infini. Nous montrons comment obtenir des garanties qualitatives de convergence.

## La modélisation mathématique dans la reconstruction d'images et au-delà

(DONG Bin)

L'imagerie a joué un rôle essentiel dans le développement des sciences naturelles. Les progrès sur les capteurs, la technologie de l'information et les ordinateurs ont encore élargi le champ d'influence de l'imagerie, faisant de l'image numérique un élément essentiel de notre vie quotidienne. La reconstruction d'images est l'un des problèmes les plus fondamentaux de l'imagerie. Au cours des trois dernières décennies, on a assisté à un développement phénoménal des modèles mathématiques et des algorithmes de reconstruction d'images. Dans cet article, on passera d'abord en revue les progrès des deux approches mathématiques dominantes, à savoir les approches basées sur les ondelettes et celles basées sur les équations aux dérivées partielles pour la reconstruction d'images. Il sera question des liens entre les deux approches ainsi que des implications et de l'impact de ces liens. En outre, on examinera comment l'étude des liens entre les deux approches conduit à une compréhension mathématique des réseaux de neurones convolutifs
profonds, ce qui conduit à de nouveaux développements dans la modélisation et la conception algorithmique de l'apprentissage profond et à de nouvelles applications de l'apprentissage automatique pour le calcul scientifique.

## Théorie des réseaux de neurones graphiques : représentation et apprentissage

(Stefanie JEGELKA)

Les réseaux de neurones graphiques, des architectures de réseaux de neurones destinées à l'apprentissage des représentations de graphes, sont devenus un modèle d'apprentissage populaire pour les tâches de prédiction sur les sommets, les graphes et les configurations de points, avec un grand succès dans la pratique. Cet article résume une sélection de résultats théoriques émergents sur les propriétés d'approximation et d'apprentissage des réseaux de neurones graphiques à passage de messages et des réseaux de neurones graphiques d'ordre supérieur, qui sont très utilisés, en se concentrant sur la représentation, la généralisation et l'extrapolation. Il résume également des relations mathématiques générales.

## Théorie de l'estimation adaptative

(Oleg V. LEPSKI)

Cet article est une introduction à la théorie moderne de l'estimation adaptative. On introduit une procédure d'estimation universelle basée sur un choix aléatoire parmi des collections d'estimateurs qui vérifient quelques hypothèses très générales. Dans le cadre d'un modèle statistique abstrait, on présente un majorant pour le risque de l'estimateur proposé (inégalité d'oracle). Les outils techniques de base sont une propriété de commutativité de certains opérateurs et des fonctions majorantes pour des fonctions aléatoires positives. Comme le résultat obtenu n'est pas lié à un schéma d'observation particulier, on peut tirer de la simple inégalité d'oracle de nombreuses conclusions pour divers problèmes dans différents modèles statistiques.

## Estimation de la moyenne en grande dimension

(LUGOSI Gábor)
Dans cette note, on examine le problème statistique de l'estimation de la moyenne d'un vecteur aléatoire à partir de données indépendantes et identiquement distribuées. Ce problème classique a récemment attiré beaucoup d'attention tant en statistique mathématique qu'en information théorique. De nombreuses subtilités sont apparues. On examine certaines des avancées récentes en nous concentrant sur les aspects liés à la grande dimension.

## Quelques aspects liés à la théorie de l'information dans les problèmes statistiques inverses non linéaires

(Richard NICKL et Gabriel P. PATERNAIN)

On passe en revue les résultats obtenus par Van der Vaart (1991) en statistique semi-paramétrique au sujet de l'existence d'une information de Fisher non nulle dans le cadre de la régression gaussienne non linéaire en dimension infinie. Une inférence optimale du point de vue de la théorie de l'information sur certains aspects du paramètre inconnu est possible si et seulement si l'adjoint de la linéarisation de l'application de régression vérifie une certaine condition sur son image. On montre que cette condition sur l'image peut ne pas être remplie dans un problème inverse elliptique couramment étudié avec une équation sous forme de divergence (le « problème de Darcy ») et qu'une grande classe de fonctionnelles linéaires lisses du paramètre de conductivité ne peuvent pas être estimées efficacement dans ce cas. En particulier, les approximations gaussiennes de type « Bernstein-von Mises » pour les distributions bayésiennes a posteriori ne sont pas valables dans ce contexte.

## De l'apprentissage statistique à l'apprentissage causal

(Bernhard SCHÖLKOPF et Julius VON KÜGELGEN)

On décrit les idées de base qui sous-tendent la construction et la compréhension des systèmes artificiels intelligents, des approches symboliques via l'apprentissage statistique aux modèles interventionnels qui s'appuient sur des concepts de causalité. Certains problèmes difficiles de l'apprentissage automatique et de l'intelligence artificielle sont intrinsèquement liés à la causalité. Les progrès peuvent nécessiter des avancées dans notre compréhension de la manière de modéliser et d'inférer la causalité à partir des données.
# Inégalités d'anticoncentration gaussienne d'ordre 2 ou plus et bornes d'erreur dans le théorème de comparaison de Slepian

(ZHANG Cun-hui)

Cet article présente quelques inégalités d'anticoncentration gaussienne d'ordre 2 ou plus en grande dimension et des bornes d'erreur dans le théorème de comparaison de Slepian pour les fonctions de répartition des maxima de deux vecteurs gaussiens. Les théorèmes d'anticoncentration sont présentés comme des majorants pour la somme des valeurs absolues des dérivées partielles d'un certain ordre de la fonction de répartition conjointe d'un vecteur gaussien ou pour des sommes pondérées de ces valeurs absolues. Par rapport aux résultats existants où la matrice de covariance du vecteur gaussien entier doit être inversible, les bornes pour les dérivées $m$-ièmes développées dans cet article ne requièrent que l'inversibilité des matrices de covariance de tous les sous-ensembles de $m$ variables aléatoires. On utilise l'inégalité d'anticoncentration d'ordre 2 pour obtenir des théorèmes de comparaison pour les fonctions de répartition conjointes des vecteurs gaussiens ou, de manière équivalente, pour les fonctions de répartition univariées de leurs maxima *via* l'interpolation de Slepian. Les inégalités d'anticoncentration d'ordre 3 ou d'ordre supérieur sont motivées par des avancées récentes relatives au théorème central limite et à la consistance des techniques de bootstrap pour la composante maximale d'une somme de vecteurs aléatoires indépendants en grande dimension, et par des applications connexes pour l'inférence statistique et pour l'apprentissage automatique.
# Modélisation stochastique ou différentielle

## Des minorants pour les exposants de Liapounov des équations différentielles stochastiques

(Jacob BEDROSSIAN, Alex BLUMENTHAL et Sam PUNSHON-SMITH)

Dans cet article, on passe en revue les méthodes introduites récemment pour obtenir des minorants strictement positifs pour le premier exposant de Liapounov d'équations différentielles stochastiques en grande dimension telles que le modèle L96 faiblement amorti de Lorenz ou les troncatures de Galerkine des équations de Navier-Stokes en dimension 2. Cette caractéristique du chaos a été observée depuis longtemps dans ces modèles, mais aucune démonstration mathématique n'avait été fournie dans le cas d'un forçage déterministe ou stochastique.

La méthode que nous avons proposée combine deux ingrédients : une nouvelle identité qui relie les exposants de Liapounov à une information de Fisher de la mesure stationnaire du processus de Markov qui suit les directions tangentes (le « processus projectif ») ; une estimation $L^1$ de la régularité hypoelliptique pour montrer que cette information de Fisher (dégénérée) est un majorant pour une certaine régularité fractionnaire. Pour le modèle L96 et pour Galerkine-Navier-Stokes, on réduit ensuite le minorant pour le premier exposant de Liapounov en démontrant que le processus projectif vérifie la condition de Hörmander. On passe en revue les contributions récentes du premier et du troisième auteur sur la vérification de cette condition pour les équations de Galerkine-Navier-Stokes en dimension 2 dans une boîte rectangulaire et périodique de n'importe quelle taille. Enfin, on compare brièvement ce travail avec nos travaux antérieurs sur le chaos lagrangien dans les équations de Navier-Stokes stochastiques. On termine cet article de synthèse par un examen de quelques problèmes ouverts.

## Les modèles éco-évolutifs multiéchelles : des individus aux populations

(Nicolas CHAMPAGNAT, Sylvie MÉLÉARD et TRAN Viet Chi)

Motivés par des expériences biologiques récentes, on s'intéresse aux effets de petites populations aléatoires dans divers contextes biologiques
ou médicaux liés à l'évolution tels que l'invasion de cellules mutantes ou l'émergence de résistances aux antibiotiques. Notre principal défi mathématique est de quantifier ces effets sur des approximations macroscopiques. Les comportements individuels sont décrits par la moyenne de modèles stochastiques multiéchelles. Ces derniers convergent dans la limite d'une grande population et avec des hypothèses sur la taille et la fréquence des mutations vers différentes équations macroscopiques. Des mutations suffisamment rares entraînent une séparation des échelles de temps entre la compétition et la mutation. Dans ce cas, le processus stochastique à valeurs mesures à l'échelle de temps des mutations converge vers un processus de sauts qui décrit les invasions successives réussies de mutants. Le transfert de gènes peut avoir une incidence considérable sur les résultats de l'évolution. Pour des échelles de temps de mutation plus rapides, les simulations numériques indiquent que ces modèles présentent des comportements cycliques. Mathématiquement, les tailles de population et les temps sont considérés sur une échelle logarithmique pour garder une trace des petites sous-populations qui ont des tailles négligeables par rapport à la taille de la population résidente. On donne des critères explicites sur les paramètres du modèle pour caractériser les résultats évolutifs possibles. On étudie également l'impact de ces échelles de temps et de taille sur les approximations macroscopiques, ce qui conduit à une nouvelle classe d'équations de Hamilton-Jacobi avec des conditions aux bords de type « contrainte d'état ».

## Analyse quantitative de la concentration du champ en présence d'inclusions proches et très contrastées

(KANG Hyeon-bae)

Dans les matériaux composites constitués d'inclusions et d'une matrice de nature différente, certaines inclusions sont situées à proximité les unes des autres. Si les propriétés des inclusions sont très différentes de celles de la matrice, une concentration du champ se produit dans la région étroite entre les inclusions qui sont proches les unes des autres. Il est important de comprendre quantitativement la concentration du champ dans la théorie des matériaux composites et en imagerie, car elle représente une augmentation de la contrainte ou du champ. Les trente dernières années ont vu des progrès significatifs dans l'analyse de ce phénomène de concentration du champ : des estimations optimales et une caractérisation asymptotique qui saisissent la concentration du champ ont été obtenues dans le contexte de l'équation de la conduc-
tivité (ou de l'élasticité antiplan), du système de Lamé de l'élasticité linéaire et du système de Stokes. L'objectif de cet article est de passer en revue certaines d'entre elles de manière cohérente.
# Didactique et vulgarisation des mathématiques

## L'étreinte du scutoïde

(Clara I. GRIMA)

Cet article est un compte-rendu personnel de mes travaux sur la vulgarisation des mathématiques : comment j'ai commencé à faire de la vulgarisation mathématique, pourquoi je pense qu'il est important de faire ce genre de tâches, et finalement comment ce travail a pu conduire à des résultats fructueux en recherche pure qui n'étaient pas *a priori* liés à ce travail de vulgarisation.

## Le long chemin des mathématiques à l'enseignement des mathématiques : comment la recherche en didactique peut changer la vision que l'on a des mathématiques, de leur apprentissage et de leur enseignement

(Anna SFARD)

Les mathématiciens et les professeurs de mathématiques sont unis par leur profond intérêt pour les mathématiques. Cela dit, ils sont parfois comme des parents qui ont des idées divergentes sur ce qui est bon pour leur enfant. Afin d'améliorer la communication entre ces deux communautés, je raconte l'histoire de ma propre transformation, des mathématiques à l'enseignement des mathématiques. Dans ce récit, j'explique pourquoi j'ai été contrainte de revoir ma vision des mathématiques et comment je suis finalement arrivée à la conceptualisation « commognitive », selon laquelle les mathématiques sont une activité qui consiste à raconter des histoires qui produisent leurs propres objets. Ce changement de vision m'a permis d'acquérir de nombreuses connaissances sur l'apprentissage des mathématiques et sur les facteurs susceptibles de ralentir les progrès des élèves. J'illustre certains des avantages liés à la conceptualisation commognitive en montrant comment cette approche nous a permis, à mes collègues et à moi-même, d'apprêhender certains phénomènes liés à l'apprentissage qui ont longtemps laissé les mathématiciens et les enseignants perplexes.
# Histoire des mathématiques

## Le manuscrit oublié de George Birkhoff et son programme pour les systèmes dynamiques

(June BARROW-GREEN)

En 1912, George Birkhoff fit sensation en démontrant le « dernier théorème géométrique » de Poincaré. Ses articles ultérieurs sur « Le problème restreint à trois corps » (1915) et les « Systèmes dynamiques à deux degrés de liberté » (1917) furent récompensés par des prix. Bon nombre des idées essentielles de ces articles se retrouvent dans son livre intitulé *Systèmes dynamiques* (1927). À la fin des années 1920, Birkhoff a commencé à élaborer un programme de recherche sur les problèmes non résolus relatifs aux systèmes dynamiques. En 1941, il a présenté ses idées lors de la célébration du cinquantième anniversaire de l'université de Chicago. Un résumé de sa conférence a été publié peu après. À sa mort en 1944, il a laissé inachevé le manuscrit d'une version révisée et enrichie de sa conférence. Dans cet article, je décris le travail de Birkhoff qui a conduit à ce manuscrit avant de décrire le contenu du manuscrit lui-même.

## Quelques utilisations des mathématiques vues d'une perspectивistic historique lointaine

(Annette IMHAUSEN)

L'article présente l'évolution des mathématiques et de leurs diverses utilisations dans l'Égypte ancienne.

## L'histoire et l'historiographie de la découverte du calcul infinitésimal en Inde

(K. RAMASUBRAMANIAN)

L'émergence et la convergence de diverses idées mathématiques qui ont conduit à la découverte du calcul infinitésimal en Inde constituent une expérience passionnante pour les amateurs de mathématiques et de leur histoire. Cet article tente de retracer brièvement certaines étapes
du parcours des mathématiciens indiens à travers deux époques qui ont ouvert la voie à la découverte de séries infinies pour $\pi$ et de certaines fonctions trigonométriques en Inde vers le milieu du XIVe siècle. Dans la première partie, on abordera les développements de ce que l'on peut appeler la période classique, qui commence avec les travaux d'Āryabhaṭa (vers l'an 499) et s'étend jusqu'aux travaux de Nārāyaṇa Paṇḍita (vers 1350). Les travaux de l'école du Kerala à partir de Mādhava de Saṅgamagrāma (vers 1340), qui ont un rapport plus direct avec le calcul infinitésimal, seront traités dans la deuxième partie. Dans la troisième partie, on retrace l'histoire de la découverte au XIXe siècle par les Européens des travaux indiens sur les séries infinies, qui semble avoir été mal perçue par le public concerné en Europe, ce qui a eu de graves conséquences en cascade.
# Index

2-catégorie, 18

Abaque, 2

Absolue continuité, 54

Acquisition comprimée, 77

Action de groupe, 11, 19, 37, 45, 51, 53

Adams (Frank), 40

Affectation, 21

Aganagić (Mina), 31

**Algèbre**, 23

Algèbre d'opérateurs, 46, 47, 49, 64, 80

Algèbre d'un groupe fini, 41

Algèbre de Banach, 48

Algèbre de Hall, 45

Algèbre de Lie, 43

Algèbre de Lie simple, 31

Algèbre de von Neumann, 47, 49, 80

Algèbre linéaire, 71, 77, 79

Algèbre unifère, 50

Algorithme du gradient, 91

Algorithme du gradient stochastique, 84

Algorithme glouton, 82

AlphaZero, 77

Amplituèdre, 75

**Analyse**, 46

Analyse complexe, 18

Analyse convexe, 4

**Analyse des données**, 91

Analyse fonctionnelle, 46, 66

Analyse fractionnaire, 58, 68

Analyse harmonique, 2, 15, 39, 46–48, 63, 75

Analyse microlocale, 56

**Analyse numérique**, 81

André (Yves), 20

Anneau, 24

Anneau commutatif, 12

Anneau de cohomologie, 72

Anneau des entiers, 29

Application complètement positive, 47, 62

Application de Poincaré, 54

Application lipschitzienne, 88

Apprentissage automatique, 13, 84, 91–94

Apprentissage par renforcement, 89

Apprentissage profond, 84, 92

Approximation diophantienne, 28

Approximation quasi géostrophique, 57

Archimédien, 13, 36, 43, 44

Arête, 72

Åryabhaṭa, 100

Automorphisme, 37

Automorphisme extérieur, 12

Autosimilarité, 48, 54

Axiomes de Peano, 21

Bach (Francis), 91

Barrow-Green (June), 99

Base canonique, 45

Bassin d'attraction, 36

Bauerschmidt (Roland), 61

Bayer (Arend), 32

Berger (Marsha), 81

Bestvina (Mladen), 11

Bhatt (Bhargav), 12

Billard, 35, 52

Bimodule, 18

Birkhoff (George David), 99

Bodineau (Thierry), 12

Boltzmann (Ludwig), 62, 67

Bonami (Aline), 72

Bootstrap, 94

Borne supérieure et borne inférieure, 52

Boson, 62

Bouckson (Sébastien), 36

Braverman (Alexander), 12

Braverman (Mark), 2, 5, 9

Bridgeland (Tom), 32

Buzzard (Kevin), 11

C\*-algèbre, 49

Calcul de Schubert, 72

Calcul infinitésimal, 88, 99

**Calcul scientifique**, 81

Calcul stochastique, 69

Calegari (Danny), 36

Calegari (Frank), 11

Caprace (Pierre-Emmanuel), 23

Caractère, 47

Caractère d'un groupe fini, 24

Caractéristique d'Euler, 31
Caractéristique d'un anneau, 23

Caraiani (Ana), 26

Cardinalité, 47, 48

Carquois, 43, 73

Cartis (Coralia), 87

Catégorie dérivée, 24

Catégorie monoïdale, 18

Catégorie triangulée, 24, 32

Catégorification, 18, 31, 44

Censure cosmique, 64

Chaîne de Markov, 68

Champ aléatoire de Markov, 69

Champ de vecteurs hamiltonien, 82

Champ moyen, 58, 67, 69

Chaos quantique, 56

Chat d'Arnold, 56

Chiffrement, 14

Chiffrement homomorphe, 14

Chirurgie, 35

Classe caractéristique, 37

Classe de conjugaison, 24

Cobordisme, 40

Codimension, 36

Cohen (Henri), 71

Cohn (Henry), 2

Cohomologie étale, 28

Cohomologie motivique, 31

Cohomologie p-adique, 29

Colding (Tobias Holck), 13, 39

Coloration de graphe, 21, 73, 74

Combinatoire, 71

Combinatoire extrémale, 74

Commandabilité, 89

Compacité, 53, 56

Compactification, 37

Complétion (algèbre), 12

Complexe simplicial, 73

Complexité dans le pire des cas, 79

Complexité de la communication, 5

Complexité en moyenne des algorithmes, 79

Conditions de Karush-Kuhn-Tucker, 88

Confidentialité différentielle, 76

Configuration, 92

Congrès international des mathématiciens de 2022, iii

Conjecture de Baum-Connes, 47

Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, 29

Conjecture de Brumer-Stark, 26

Conjecture de Duffin-Schaeffer, 28

Conjecture de Hadwiger, 73

Conjecture de Mordell, 27

Conjecture de Satō-Tate, 26

Conjecture de Willmore, 38

Conjecture de Zimmer, 51, 52

Connes (Alain), 49

Connexion, 37

Convergence en loi, 17

Coordonnées plückeriennes, 75

Corps, 26, 71

Corps de fonctions, 34

Corps de nombres, 27, 29, 34, 71

Corps local, 13, 43, 44

Corps totalement réel, 26

Correspondance de Jacquet-Langlands, 28

Correspondance de Langlands géométrique, 30

Couche limite, 60

Couplage, 79

Couplage parfait, 79

Courbe algébrique, 32

Courbe elliptique, 26, 29, 71

Courbe stable, 33

Courbure, 37

Courbure moyenne, 39, 59

Courbure positive, 37

Courbure scalaire, 35

Courbure sectionnelle, 59

Covariance, 66

Cryptographie, 79

Cryptographie à clé publique, 76

Cycle, 33

Darcy (Henry), 93

Darmon (Henri), 2

De Lellis (Camillo), 13

Décomposition en valeurs singulières, 82

Déformation élastique, 97

Degré, 69

Delarue (François), 55

Déplacement, 39

Dérive génétique, 67

Dérivée partielle, 94

Dernier théorème de Fermat, 11

Design combinatoire, 72

Déterminant, 78

Diagramme commutatif, 14

Difféomorphisme, 35, 54
Difféotopie, 12, 42

Diffie (Whitfield), 76

Diffusion des ondes, 63, 75, 81

Dimension d'un espace vectoriel, 47

Dimension de Hausdorff, 54

Dimère, 62

Discrépance, 86

Discriminant d'un corps de nombres, 29

Distance, 24, 65, 87

Distance de Gromov-Hausdorff, 37

Distance ultramétrique, 68

Divergence, 93

Donaldson (Simon), 59

Douzième problème de Hilbert, 27

Drapeau, 43

Droite projective, 23

Dualité, 87

Dualité onde-corpuscule, 56

Dujardin (Romain), 52

Duminil-Copin (Hugo), 1, 4, 7

Dwork (Cynthia), 76

Dynamique holomorphe, 52

E (Weinan), 13

Économie mathématique, 46

Écoulement de cisaillement, 57, 60

Écoulement de Couette, 60

Écoulement laminaire, 59

Effet Hall quantique entier, 63

Efimov (Alexander I.), 32

Einstein (Albert), 11

Eliashberg (Yakov), 33

Empilement compact, 2

Endomorphisme de Frobenius, 41

Enigma, 14

Ensemble, 54

Ensemble de Cantor, 48

Ensemble dénombrable, 50

Entrelacs, 18, 31

Entropie, 66

Entropie topologique, 52

Équation aux dérivées partielles, 55

Équation aux dérivées partielles dispersive, 53, 58, 70

Équation aux dérivées partielles elliptique, 93

Équation aux dérivées partielles hyperbolique, 89

Équation d'Einstein, 61, 64

Équation de Boltzmann, 12

Équation de la chaleur, 90

Équation de Liouville, 59

Équation de Schrödinger, 58

Équation de Schrödinger semi-linéaire, 59

Équation différentielle, 13, 65

Équation différentielle stochastique, 95

Équation maîtresse, 56, 61

Équations d'Euler, 55, 57

Équations de Barré de Saint-Venant, 82

Équations de Gauss-Codazzi, 59

Équations de Hamilton-Jacobi, 96

Équations de Navier-Stokes, 95

Équilibre de Nash, 56

Équivariance, 47, 85

Erdős (Paul), 74

Erreur d'arrondi, 83

Espace de Banach, 47

Espace de Hilbert, 49, 63, 90

Espace de modules, 13, 25, 32, 33, 59

Espace de Teichmüller, 59

Espace euclidien, 17

Espace gradué, 24

Espace homogène, 53

Espace L¹, 95

Espace localement compact, 32

Espace L², 48

Espace métrique hyperbolique, 11, 12

Espace séparable, 49

Espace séparé, 32

Espace topologique, 20, 37

Espace vectoriel complexe, 6

Espace vectoriel symplectique, 82

Estimateur, 92

État fondamental, 62, 64

Etheridge (Alison), 67

Exposant de Liapounov, 95

Extension abélienne, 26

Extension cyclotomique, 26

Extension finie, 26

Extrapolation, 92

Facteur, 49

Faisceau (de modules), 32

Faltings (Gerd), 27

Famille orthonormale, 57

Fatou (Pierre), 52

Fermé, 48, 49

Fibré, 13

Fibré cotangent, 44, 73
Fibré tangent, 59
Fibré vectoriel, 31
Filtration, 43
Finetti (Bruno de), 58
Fléau de la dimension, 14
Floer (Andreas), 38
Flot, 54
Flot d'Anossov, 38
Flot géodésique, 56
Flux de données, 78
Foncteur, 28, 37, 44
Foncteur dérivé, 41
Fonction analytique, 90
Fonction booléenne, 72
Fonction bornée, 47
Fonction convexe, 86, 87
Fonction d'activation, 91
Fonction de Gauss, 38
Fonction de Möbius, 53
Fonction de partition, 4
Fonction de répartition, 94
Fonction holomorphe, 59
Fonction homogène, 87, 91
Fonction L, 18, 25, 26, 28, 44
Fonction logarithmiquement convexe, 4, 66
Fonction mesurable, 47
Fonction méromorphe, 32
Fonction presque périodique, 53
Fonction propre, 56, 87
Fonction quasi périodique, 53
Fonction rationnelle, 23
Fonction sous-modulaire, 71
Fonction zêta, 18
Fonction zêta de Dedekind, 26
Fonction zêta de Hasse-Weil, 29
Fonctionnelle, 59, 87, 93
Fonseca (Irene), 56
Forêt aléatoire, 61
*Format simple précision*, 83
Format virgule flottante demi-précision, 83
Forme automorphe, 11, 13, 28
Formule des traces de Selberg, 25
*Formule des traces relative*, 44
*Formule du nombre de classes de Dirichlet*, 26
Fourier (Joseph), 5, 15, 57
Fractale, 48, 49, 65
Frenkel (Edward), 13

Furstenberg (Hillel), 48, 53
Galerkine (Boris), 95
Gallagher (Isabelle), 12
Galois (Évariste), 20
*Générateur de Chevalley*, 43
Génétique des populations, 67
Genre, 17, 27, 33, 54, 59
Gentry (Craig), 14
Géodésique, 32, 66
Géodésique fermée, 36
*Géométrie*, 35
*Géométrie algébrique*, 31
Géométrie arithmétique, 2, 20, 30
Géométrie binationnelle, 37, 38
*Géométrie complexe*, 31
Géométrie discrète, 46, 66
Géométrie symplectique, 36, 82
Géométrie tropicale, 4
Gevrey (Maurice), 57
Gibbs (Josiah Willard), 67, 68
Goldfeld (Dorian), 29
Gordon (Walter), 64
Gowers (Timothy), 74
Graphe, 4, 18, 69, 72-74, 87, 92
Graphe aléatoire, 69
Graphe complet, 69
*Graphe creux*, 69
Grassmannienne, 43, 72, 75
Gravité quantique, 18, 65
Gromov (Mikháil), 11, 38
Gross (Benedict), 25
Groupe, 47, 50, 51
Groupe abélien fini, 29
Groupe algébrique, 23
Groupe classique, 25, 44
Groupe compact, 46, 47
Groupe de Coxeter, 4
Groupe de Lie, 44
*Groupe de tresses*, 45
Groupe des classes d'idéaux, 26, 29, 71
Groupe dual de Langlands, 33, 44
Groupe endoscopique, 44
Groupe fini, 24, 71
*Groupe fuchsien*, 24
Groupe général linéaire, 4, 42
Groupe hyperbolique, 12, 38
Groupe libre, 12, 42
Groupe localement compact, 23
Groupe moyennable, 49, 50
Groupe profini, 71
Groupe quantique, 18, 23, 44, 45
Groupe réductif, 6, 43, 44
Groupe semi-simple, 43, 47
Groupe simple, 23, 24
Groupe spécial linéaire, 47
Groupe totalement discontinu, 23
Groupe unitaire, 25
Groupes d'homotopie des sphères, 40, 41
Guionnet (Alice), 15
Gupta (Neena), 23
Guth (Larry), 15

Hadwiger (Hugo), 73
Hairer (Martin), 1
Hamilton (William R.), 82
Harnack (Axel), 70
Harrington (Leo), 21
Heegaard (Poul), 40, 42
Hellman (Martin), 76
Hermitien, 49
Higham (Nicholas J.), 83
Higman (Graham), 42
Hilbert (David), 12
**Histoire des mathématiques**, 99
Hodge (William Vallance Douglas), 26
Homéomorphisme, 17, 36
Homogénéisation, 56
Homologie de Floer, 38, 40, 42
Homologie de Hochschild, 41
Homologie des groupes, 41, 42
Homologie et cohomologie, 4, 26, 28, 31, 72
Homothétie, 39
Homotopie, 32, 41
Horocycle, 51
Houdayer (Cyril), 47
Howe (Robert E.), 44
Huh (June), 1, 4, 7
**Hyperbolicité**, 54
Hypergraphe, 72, 74
Hyperparamètre, 14, 84
Hypersurface, 38

Idéal, 48
Illusie (Luc), 24
Imagerie médicale, 81
Imhausen (Annette), 99
Immersion, 42
Indicatrice d'Euler, 28

Inégalité de Carleman, 89
Inégalité de concentration, 66
Inégalité triangulaire, 57
Inférence statistique, 65, 93, 94
Information de Fisher, 93, 95
Information quantique, 80
Informatique théorique, 9, 46, 65, 72, 74, 75, 93
Injections de Sobolev, 57
Intégrale multiple, 63
Intelligence artificielle, 77, 83, 89, 93
Interpolation polynomiale, 34
Involution, 16
Isopérimétrie, 66

*Jacobien*, 52
Jeu à somme nulle, 89
Jeux à champ moyen, 56
Jitomirskaya (Svetlana), 15

K-théorie, 32, 50
K-théorie algébrique, 41
Kac (Mark), 61
Kaczmarz (Stefan), 84
Kadison (Richard), 19
Kahn (Jeff), 72
Kalai (Gil), 1, 72
Kamnitzer (Joel), 43
Kardar (Mehran), 65, 68
Kazhdan (David), 12
Khovanov (Mikhail), 31
Kirillov (Alexandre A.), 44
Kleiner (Bruce), 35
Kontsevitch (Maxim), 31
Krichever (Igor), 16
Kutyniok (Gitta), 83
Kuznetsov (Alexander), 16

Lafforgue (Vincent), 47
Lamé (Gabriel), 97
Landau (Lev), 55
Lanford (Oscar Erasmus III), 12
Langlands (Robert), 28, 29, 44
Lebesgue (Henri), 28
Lemme de régularité de Szemerédi, 74
Lenstra (Hendrik), 71
Lenz (Wilhelm), 4
Levine (Marc), 31
Lewin (Mathieu), 57
Lie (Sophus), 43, 71