# Estimation par méthode inverse du flux absorbé par une plaque en fonte destinée à la cuisson solaire

G. GUILLET (*), J. GASPAR, T. FASQUELLE, S. BARBOSA, B. KADOCH, Y. PIZZO, F. RIGOLLET, C. LE NILIOT, J.-L. GARDAREIN

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## CONTEXTE

Dans le cadre du projet « Conception de Restaurants Optimisés pour la Cuisine Solaire » (CROCS) en collaboration avec la société Le Présage, un cuiseur à concentration de type Scheffler et son intégration dans un restaurant à haute qualité environnementale sont étudiés. L'étude des performances du système nécessite de connaître le flux solaire reçu $\varphi_{inc}$ sur la plaque de cuisson. Or, mesurer un flux radiatif incident sans le perturber peut être complexe, d'autant plus lorsqu'il est inhomogène et de forte intensité. C'est pourquoi les techniques inverses représentent une solution intéressante pour estimer le flux absorbé $\varphi_{abs} = \varepsilon \varphi_{inc}$ à l'aide d'une instrumentation adaptée.

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## MÉTHODE

### Banc d'expérimentation

**Protocole expérimental :**

* Mesure du flux total reçu avec un flux commercial ponctuel

* Application d'un créneau de puissance radiative et mesure du champ de température de l'autre côté de la plaque

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### A priori : flux incident $\varphi_{inc}$ de forme gaussienne

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Calcul radiatif utilisant les facteurs de forme</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Mesures du fluxmètre commercial</figcaption></figure>

### Modèle direct

Température à l'instant $t$ du point $M(x, y, z)$ de la plaque : $T(x, y, z, t)$

Température de l'environnement supposé corps noir : $T_{amb}$

Masse volumique $\rho(T)$, capacité thermique $c_p(T)$, conductivité $\lambda(T)$, émissivité (= absorptivité) totale $\varepsilon$, facteur de forme $F_{\Gamma_1 \to \text{amb}}$ de $\Gamma_1$ vers amb, coefficient convectif $h(T)$, flux incident $\varphi_{inc}(x, y, t)$, flux absorbé $\varphi_{abs}(x, y, t)$

**Transferts thermiques au sein de la plaque :** $\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} - \nabla \cdot (\lambda \nabla T) = 0$.

**Condition initiale :** $T = T_{amb}$.

**Condition sur la surface exposée au flux $\Gamma_1$ pendant le dépôt de flux :**

$$-\lambda \frac{\partial T}{\partial \vec{n}} = -\varepsilon \varphi_{inc} + \varepsilon \sigma T^4 - F_{\Gamma_1 \to \text{amb}} \varepsilon \sigma T_{amb}^4 + h(T - T_{amb}).$$

**Condition sur la surface non exposée $\Gamma_2$ et sur la surface exposée $\Gamma_1$ après le créneau :**

$$-\lambda \frac{\partial T}{\partial \vec{n}} = \varepsilon \sigma (T^4 - T_{amb}^4) + h(T - T_{amb}).$$

A priori de forme sur la distribution du flux absorbé $\varphi_{abs} = \varepsilon \varphi_{inc}$ :

$$\varphi_{abs}(x, y, t) = \varphi_{abs,max}(t) \exp(-(a(x - x_c)^2 + 2b(x - x_c)(y - y_c) + c(y - y_c)^2)),$$

$$\text{avec : } a = \frac{\cos^2(\theta)}{2\sigma_x^2} + \frac{\sin^2(\theta)}{2\sigma_y^2}, \quad b = \frac{\sin(2\theta)}{4\sigma_x^2} + \frac{\sin(2\theta)}{4\sigma_y^2}, \quad c = \frac{\sin^2(\theta)}{2\sigma_x^2} + \frac{\cos^2(\theta)}{2\sigma_y^2}.$$

### Problème inverse : estimation de $\varphi_{abs,max}(t)$, $x_c$, $y_c$, $\sigma_x$, $\sigma_y$ et $\theta$

* Problème direct non linéaire et problème inverse mal posé

* **Technique inverse :** méthode des moindres carrés et méthode des gradients conjugués couplée à l'état adjoint

* **Validation :** quatre cas numériques générés avec bruits d'écarts-types égaux à 0 °C ; 0,05 °C ; 0,1 °C et 1 °C

* **Résidu :** écart entre température mesurée et calculée

* **Fonction coût :** somme des carrés des résidus

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Convergence des fonctions coût des quatre cas numériques</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Flux $\varphi_{abs,max}(t)$ estimés superposés sur la sollicitation exacte</figcaption></figure>

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## RESULTATS ET INTERPRÉTATIONS

* Forme proche d'une courbe gaussienne axisymétrique

* Flux maximum moyen, position et forme qui correspondent à l'expérience

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Convergence de la fonction coût vers une valeur asymptotique quatre ordre de grandeur plus grande que le niveau de bruit</figcaption></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Flux $\varphi_{abs,max}(t)$ estimé Valeur du coefficient d'échange convectif cohérent car le flux estimé sur la phase de refroidissement est quasi-nul</figcaption></figure>

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## CONCLUSIONS

## PERSPECTIVES

* Concordance du flux estimé avec les valeurs du flux incident mesurées expérimentalement (à l'émissivité près)

* Caractéristiques du flux estimé cohérentes avec celles du calcul radiatif utilisant les facteurs de forme

* Evolution temporelle du flux absorbé maximum estimé conforme aux observations expérimentales

* Mesurer les caractéristiques thermophysiques de la plaque en fonte

* Améliorer la fiabilité de l'instrumentation : diminuer la sensibilité des capteurs à la qualité du contact et aux perturbations (thermocouples brasés), doubler les mesures (caméra infrarouge)

* Améliorer le modèle direct et diminuer le temps de calcul du programme d'inversion