<figure><img src="image_1.png" /></figure>

HAL
open science

# Certaines constructions liées aux foncteurs de Mackey cohomologiques

Mouny Samy Modeliar

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

## To cite this version:

Mouny Samy Modeliar. Certaines constructions liées aux foncteurs de Mackey cohomologiques. Topologie algébrique [math.AT]. Paris 7, 2005. Français. NNT: tel-04427460

HAL Id: tel-04427460

https://hal.science/tel-04427460

Submitted on 30 Jan 2024

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

Public Domain
THÈSE DE DOCTORAT

présentée par

MOUNY SAMY MODELIAR

pour obtenir le grade de

Docteur de Mathématiques de l'Université Paris 7

Certaines constructions liées aux foncteurs de Mackey
cohomologiques

soutenue le 16 septembre 2005

devant le jury composé de Messieurs :

<table><tr><td>Serge Bouc</td><td>Directeur de thèse</td></tr><tr><td>Michel Broué</td><td>Président du jury et Professeur à l'université Paris 7</td></tr><tr><td>Michel Enguehard</td><td>Professeur à l'université Paris 8</td></tr><tr><td>Jacques Thévenaz</td><td>Professeur à l'EPFL</td></tr><tr><td>Alexander Zimmermann</td><td>Professeur à l'université d'Amiens</td></tr></table>

Rapporteurs :

<table><tr><td>Peter Symonds</td><td>Professeur à l'université de Manchester</td></tr><tr><td>Peter Webb</td><td>Professeur à l'université du Minnesota</td></tr></table>
<figure><img src="image_3.png" /></figure>
# Table des matières

<table><tr><td>Introduction</td><td>vii</td></tr><tr><td>I Rappels et définitions</td><td>1</td></tr><tr><td>1 Foncteurs de Mackey</td><td>3</td></tr><tr><td>1.1 Notations</td><td>8</td></tr><tr><td>2 Un théorème de Thévenaz et Webb</td><td>11</td></tr><tr><td>II Résultats généraux</td><td>15</td></tr><tr><td>3 Quotients de Brauer et constructions classiques</td><td>17</td></tr><tr><td>3.1 Produit tensoriel, Restriction, Induction et Inflation</td><td>17</td></tr><tr><td>3.1.1 Suites superexactes et produit tensoriel</td><td>17</td></tr><tr><td>3.1.2 Quotients de Brauer et restriction</td><td>23</td></tr><tr><td>3.1.3 Quotients de Brauer et induction</td><td>24</td></tr><tr><td>3.1.4 Quotients de Brauer et Inflation</td><td>25</td></tr><tr><td>3.2 Quotients de Brauer et extension scalaire</td><td>27</td></tr><tr><td>3.3 Quotients de Brauer et groupe de Frattini</td><td>34</td></tr><tr><td>4 Restriction à un p-sous-groupe de Sylow</td><td>37</td></tr><tr><td>5 Suite exacte courte</td><td>41</td></tr><tr><td>6 Une expression du quotient de Brauer supérieur</td><td>45</td></tr><tr><td>6.1 Lien avec les foncteurs Tor<sub>i</sub><sup>coµ(G)</sup></td><td>46</td></tr><tr><td>6.2 Lien avec les foncteurs Ext<sub>coµ(G)</sub><sup>i</sup></td><td>51</td></tr></table>
Remerciements

Je tiens à exprimer toute ma gratitude à Monsieur Serge Bouc qui,
à l'issue de mon stage de D.E.A, a accepté de diriger cette thèse.

Sa disponibilité constante, sa rigueur exigeante et ses nombreuses re-
marques, toujours stimulantes, m'ont été d'un précieux secours pour réaliser
ce travail dans les meilleures conditions.

Je remercie Peter Symonds et Peter Webb qui m'ont fait l'honneur
d'être rapporteurs pour ce travail.

Je remercie Michel Broué, Michel Enguehard, Jacques Thévenaz et
Alexander Zimmermann pour avoir accepté d'être membres du jury.

Je remercie également Olga, mon épouse, tant pour son soutien moral
que pour son aide essentielle au cours de mes études.

Enfin je remercie pour sa bonne humeur quotidienne mon fils Rama
qui a vu le jour durant l'élaboration de cette thèse.
<figure><img src="image_4.png" /></figure>
# Introduction

Soit $G$ un groupe fini et $R$ un anneau commutatif unitaire. Cette thèse est consacrée à la définition et à l'étude des quotients de Brauer supérieurs des RG-modules. Cette construction utilise la théorie des foncteurs de Mackey dont l'étude a commencé il y a une trentaine d'années par une série d'articles (Green, Dress, Yoshida, Thévenaz et Webb). On utilise plus particulièrement un très joli résultat de Jacques Thévenaz et Peter Webb sur les foncteurs de Mackey cohomologiques projectifs [10].

Un foncteur de Mackey $M$ pour un groupe $G$ est dit *cohomologique* si pour tous sous-groupes $H \subseteq K$ de $G$ on a

$$t_H^K r_H^K = |K : H| \cdot \mathrm{Id}_{M(H)}$$

où $t_H^K$ et $r_H^K$ sont respectivement les morphismes de transfert et de restriction du foncteur de Mackey.

Soit $R$ un anneau. Une suite de RG-modules

$$L \to M \to N$$

sera dite *G-superexacte* en $M$, si pour tout sous-groupe $H$ de $G$ la suite

$$L^H \to M^H \to N^H$$

est exacte.

Une suite de RG-modules

$$\dots \to V_n \to \dots \to V_0 \to 0$$

sera dite “G-superexacte” si elle est G-superexacte en tous les $V_i$.

On définit de manière analogue une G-superrésolution d'un RG-module. Dans cette thèse, nous réserverons cette appellation à des suites formées de facteurs de permutation, c'est-à-dire à des facteurs directs de modules de permutation.

Un RG-morphisme $f$ est dit *G-supersurjectif* si pour tout sous-groupe $H$ de $G$, le morphisme $f^H$ est surjectif. Si il n'y a pas d'ambiguïté, on dira simplement suite superexacte, superrésolution et morphisme supersurjectif.
Jacques Thévenaz et Peter Webb ont montré dans [10], p 1929, théorème 16.5 que tout foncteur de Mackey cohomologique projectif est un foncteur de point fixes $FP_V$ où $V$ est un facteur de permutation. Ce qui amène au corollaire 16.7 du même article :

Si $R$ est un anneau commutatif, si $G$ un groupe fini, et si $V$ est un RG-module alors il existe une superrésolution

$$ \dots \to V_n \to \dots \to V \to 0 $$

où tous les $V_i$ sont des facteurs de permutation.

De plus, une telle suite est unique à homotopie près.

Soit $V[H]$ le quotient de Brauer de $V$. Dans ces conditions, la suite

$$ V_1[H] \to V_0[H] \to V[H] \to 0 $$

est exacte pour tout sous-groupe $H$ de $G$.

Donc le premier groupe d'homologie du complexe

$$ \dots \to V_2[H] \to V_1[H] \to V_0[H] $$

est isomorphe à $V[H]$. On définit donc le $i^{ème}$ quotient de Brauer supérieur $V[i, H]$ comme étant le $i^{ème}$ groupe d'homologie de ce complexe.

Après une première partie consacrée au détail de ces rappels et définitions, j'énoncerai et démontrerai dans une seconde partie des résultats généraux sur les quotients de Brauer supérieurs : nous verrons d'abord l'influence de constructions classiques ces quotients de Brauer. Par exemple,

$$ (\mathrm{Res}_H^G V) [i, H] \simeq V [i, H] $$

Toujours dans cette partie, nous nous intéresserons aux informations que peuvent nous donner les *p*-sous-groupes de Sylow de $G$ sur le calcul de superrésolutions de $V$.

Ensuite nous verrons une expression du quotient de Brauer supérieur indépendante du choix d'une superrésolution pour $V$.

Dans la partie 3, nous donnerons deux procédés de construction de superrésolutions de $V$: l'un est l'analogue de la construction barre des RG-module, l'autre permet au moins en principe d'obtenir une superrésolution minimum de $V$, lorsque $G$ est un $p$-groupe, et $R$ un corps de caractéristique $p$.

On note

$$ V[[H]] = V^H / \left( \sum \mathrm{Res}_H^S V^S + \mathrm{Tr}_Q^H V^Q \right) $$
Si $G$ est un $p$-groupe et $k$ un corps de caractéristique $p$ alors la couverture projective du foncteur $FP_V$ pour un $kG$-module $V$ est isomorphe à $FP_U$, où

$$U \simeq \bigoplus_{\substack{Q \subseteq G \\ \mod G}} k(G/Q) \otimes V [[Q]]_{N_G(Q)}$$

Grâce à cela, nous obtiendrons une caractérisation des modules de permutation et une superrésolution minimale de $V$. Cette construction se fait par récurrence et est programmable sur le logiciel G.A.P. Un programme est donné en annexe. Il semble difficile d'obtenir une expression théorique de $V[i, H]$ grâce à cela.

Nous essaierons alors de prendre pour le premier module de la superrésolution, un module “plus gros” mais “plus simple” :

$$\bigoplus_{\substack{Q \subseteq G \\ \mod G}} k(G/Q) \otimes V^Q$$

et comme

$$V^Q \simeq \operatorname{Hom}_{G-\text{ens}}(G/Q, V)$$

alors nous considèrerons

$$\mathcal{F}(\Omega, V) = \{ f : \Omega \to V \mid \forall \omega \in \Omega, f(\omega) \in V^{G_\omega} \}$$

où $\Omega = \bigcup_{H \leq G} G/H$.

Nous montrerons que la flèche naturelle

$$\begin{array}{ccc} \mathcal{F}(\Omega, V) & \to & V \\ f & \mapsto & \sum_{\omega \in \Omega} f(\omega) \end{array}$$

est supersurjective et que $\mathcal{F}(\Omega, V)$ est un module de permutation. Cette re marque nous permettra de construire une superrésolution d'un $kG$-module, analogue de la résolution barre en (co)homologie des groupes.

Dans la quatrième partie nous étudierons les cas des $kC_{p^n}$-modules et des $k(C_2 \times C_2)$-modules.

Enfin le dernier chapitre généralisera, dans le cas des foncteurs de Mackey cohomologiques et en utilisant les résultats de cette thèse, le calcul fait par Thévenaz et Webb (théorème 14.3 de [10]) des groupes

$$\mathrm{Ext}^1_{\mathrm{co}\mu(P)}(S_{Q,k}, S_{H,k})$$

où $Q$ et $H$ sont des sous-groupes d'un $p$-groupe $P$ et où $S_{Q,k}$ désigne le foncteur de Mackey simple qui est égal à $k$ sur les conjugués de $Q$ et 0 ailleurs.
<figure><img src="image_5.png" /></figure>
Première partie

Rappels et définitions
<figure><img src="image_6.png" /></figure>
# Chapitre 1

## Foncteurs de Mackey

On peut définir de multiples manières les foncteurs de Mackey. Je n’en donnerai ici que trois. On peut en trouver une autre due à Lindner [7] qui utilise les diagrammes.

**Première définition des foncteurs de Mackey (Green [5])** Soit $R$ un anneau commutatif et $G$ un groupe fini, on appelle foncteur de Mackey sur $R$ pour le groupe $G$ une application

$$ M : \{\text{sous-groupes de } G\} \to R\text{-mod} $$

avec, pour $K \le H$ et $g \in G$, les morphismes

$$ t_K^H : M(K) \to M(H) $$

$$ r_K^H : M(H) \to M(K) $$

$$ c_g : M(H) \to M({}^g H) $$

tels que

1. $t_H^H = r_H^H = c_h = \text{Id}_{M(H)}$ pour tout $h \in H$.

2. $r_J^K r_K^H = r_J^H$ pour tous les sous-groupes $J \le K \le H$.

3. $t_K^H t_J^K = t_J^H$ pour tous les sous-groupes $J \le K \le H$.

4. $c_g c_h = c_{gh}$ pour tous $g, h \in G$.

5. $r_{gK}^{gH} c_g = c_g r_K^H$ pour tous sous-groupes $K \le H$ et $g \in G$.

6. $t_{gK}^{gH} c_g = c_g t_K^H$ pour tous sous-groupes $K \le H$ et $g \in G$.

7. $r_J^H t_K^H = \sum_{x \in [J \setminus H/K]} t_{J \cap {}^g K}^K c_x r_{J \cap K}^K$ pour tous les sous-groupes $J$ et $K$ de $H$.

Le morphisme $r_K^H$ est appelé restriction, le morphisme $t_K^H$ induction ou transfert et le morphisme $c_g$ conjugaison. L'axiome 7 est appelé Axiome de Mackey.
**Seconde définition des foncteurs de Mackey (Dress [4])** Soit $G$ un groupe et $R$ un anneau commutatif. On note $G$-ens la catégorie où les objets sont les $G$-ensembles et les morphismes sont les applications $G$-équivariantes. Un foncteur de Mackey pour $G$ sur $R$ est un foncteur bivariant

$$M = (M_*, M^*) : G\text{-ens} \to R\text{-mod}$$

où $M_*$ est covariant et $M^*$ contravariant et satisfaisant aux deux conditions suivantes :

1. Pour tout diagramme cartésien de $G$-ensembles

$$ \begin{array}{ccc} X_1 & \xrightarrow{\alpha} & X_2 \\ \downarrow\beta & & \downarrow\gamma \\ X_3 & \xrightarrow{\delta} & X_4 \end{array} $$

on a $M^*(\delta) M_*(\gamma) = M_*(\beta) M^*(\alpha)$.

2. Les inclusions canoniques

$$X \to X \sqcup Y \leftarrow Y$$

donnent, via $M_*$, un isomorphisme

$$M(X \sqcup Y) \simeq M(X) \oplus M(Y)$$

**Troisième définition des foncteurs de Mackey (Thévenaz-Webb [9])**

Soit $G$ un groupe et $R$ un anneau commutatif.

Considérons l'algèbre associative unitaire libre engendrée par des éléments

$$I_H^K, R_H^K \text{ et } c_{x,H}$$

$$\text{où } H \leq K \leq G \text{ et } x \in G.$$

**L'algèbre de Mackey** $\mu_R(G)$ est un quotient de cette algèbre par l'idéal engendré par les relations

1. $I_H^H = R_H^H = c_{h,H}$ pour tout $h \in H$.

2. $R_J^K R_K^H = R_J^H$ pour tous sous-groupes $J \leq K \leq H$.

3. $I_K^H I_J^K = I_J^H$ pour tous sous-groupes $J \leq K \leq H$.

4. $c_{g,h,K} c_{h,K} = c_{gh,H}$ pour tout $g, h \in G$ et $K$ sous-groupe de $G$.

5. $R_{g,K}^g c_{g,H} = c_{g,H} R_K^H$ pour tous sous-groupes $K \leq H$ et $g \in G$.

6. $I_{g,K}^g c_{g,H} = c_{g,H} I_K^H$ pour tous sous-groupes $K \leq H$ et $g \in G$.
7. $R_J^H I_K^H = \sum_{x \in [J \setminus H/K]} I_{J \cap x K}^J \cdot c_{x, J \cap x K} \cdot R_{J \cap x K}^K$ pour tous les sous-groupes $J$ et $K$ de $H$.

8. $\sum_{H \le G} I_H^H = 1$

9. Tout autre produit des éléments $I_H^L$, $R_J^K$ et $c_{h,Q}$ est nul pour $H \le L \le G \ge K \ge J$ et $Q \le G$ et $h \in G$.

Un foncteur de Mackey pour $G$ sur $R$ est un $\mu_R(G)$-module.

Ces trois définitions sont équivalentes ( [10] ) . J'utiliserai, suivant le cas, l'une ou l'autre de ces définitions.

**Définition 1.0.1** Soit $M$ et $N$ deux foncteurs de Mackey pour un groupe $G$ sur un anneau $R$. On appelle homomorphisme de foncteurs de Mackey

$f : M \to N$

une famille d'homomorphismes de $R$-modules

$f_H : M(H) \to N(H)$

pour les sous-groupes $H$ de $G$ qui commutent avec les morphismes de restriction, transfert et conjugaison.

La catégorie dont les objets sont les foncteurs de Mackey pour un groupe $G$ sur un anneau $R$ et les flèches les homomorphismes de foncteurs de Mackey pour $G$ sur $R$ est appelée catégorie des foncteurs de Mackey et se note $Mack_R(G)$.

**Définition 1.0.2** Un foncteur de Mackey $M$ sera dit **cohomologique** si pour tous les sous-groupes $H$ et $K$ de $G$ tels que $K \le H$ on a

$t_K^H r_K^H = |H:K| \cdot \mathrm{Id}_{M(H)}$

On notera $\coim_R(G)$ la sous-catégorie pleine de $Mack_R(G)$ dont les objets sont les foncteurs de Mackey cohomologiques.

Lorsque cela ne prêtera pas à confusion, on notera simplement $\coim(G)$.

**Définition 1.0.3** On notera $\tilde{\mu}_R(G)$ le quotient de l'algèbre de Mackey obtenu en imposant les relations suivantes

$I_K^H R_K^H = |H:K| \cdot I_H^H.$

pour tout $K \subseteq H \subseteq G$.

On l'appellera **algèbre de Mackey cohomologique**.
**Théorème 1.0.4** Les foncteurs de Mackey cohomologiques sont exactement les modules sur $\tilde{\mu}_R(G)$.

**Preuve.** cf [11] page 16. ■

Yoshida [13] montre que la catégorie des foncteurs de Mackey co-homologiques est équivalente à la catégorie des modules sur une algèbre à priori différente de l'algèbre de Mackey cohomologique. En fait, cette algèbre est isomorphe à $\tilde{\mu}_R(G)$, mais son travail a été réalisé 12 ans avant celui de Thévenaz et Webb.

**Définition 1.0.5** On appellera **foncteur de points fixes** et on notera $FP_V$ le foncteur de Mackey tel que pour tout $K \le H \le G$

$$FP_V(H) = V^H$$

où $V^H$ désigne les éléments de $V$ fixes par $H$

$$\mathrm{Res}_K^H : V^H \to V^K \text{ est l'inclusion canonique}$$

$$\text{et } \mathrm{Tr}_K^H : \left\{ \begin{array}{ccc} V^K & \to & V^H \\ x & \mapsto & \sum_{h \in [H/K]} h \cdot x \end{array} \right.$$

**Définition 1.0.6** Soit $M$ un foncteur de Mackey sur $R$ pour $G$. Pour un sous-groupe $H$ de $G$, on appelle résidu de $M$ en $H$, et on note $\overline{M}(H)$, le quotient défini par

$$\overline{M}(H) = M(H) / \sum_{Q \subset H} t_Q^H M(Q)$$

**Proposition 1.0.7** Soit $H$ un sous-groupe de $G$. La correspondance

$$M \to \overline{M}(H)$$

est un foncteur exact à droite de $Mack_R(G)$ vers la catégorie des $R(N_G(H)/H)$-modules.

**Preuve.** Comme $c_{x,H}$ agit trivialement sur $M(H)$ pour tout $x \in H$ alors $\overline{M}(H)$ est un $R(N_G(H)/H)$-module.

Ainsi, il est clair que la correspondance

$$M \to \overline{M}(H)$$

est un foncteur de $Mack_R(G)$ vers la catégorie des $R(N_G(H)/H)$-modules.
Soit

$$M_2 \xrightarrow{g} M_1 \xrightarrow{f} M_0 \to 0$$

une suite exacte de foncteurs de Mackey sur $R$ pour $G$.

Comme $f$ est un morphisme de foncteurs de Mackey alors $f$ commute avec les morphismes de transfert de $M_0$ et $M_1$.

Ainsi on peut définir le morphisme

$$\bar{f}(H) : \left\{ \begin{array}{rcl} \overline{M_1}(H) & \to & \overline{M_0}(H) \\ \bar{x} & \mapsto & \widetilde{f_H(x)} \end{array} \right.$$

où $\bar{x}$ désigne la classe de $x \in M_1(H)$ dans $\overline{M_1}(H)$ et $\tilde{y}$ désigne la classe de $y \in M_0(H)$ dans $\overline{M_0}(H)$.

Comme $f_H$ est surjective alors $\bar{f}(H)$ est surjective. Il reste donc à montrer que le noyau de $f$ est égal à l'image de $g$.

Pour $K \le H \le G$ on notera $(t_K^H)_{K \le H \le G}$ et $(\tau_K^H)_{K \le H \le G}$ les morphismes de transfert respectifs de $M_0$ et $M_1$.

Il est clair que $\mathrm{Im}(\bar{g}(H)) \subseteq \mathrm{ker}(\bar{f}(H))$. Il ne reste donc qu'à montrer l'inclusion inverse.

Soit $\bar{y} \in \mathrm{ker}(\bar{f}(H))$ alors

$$f_H(y) \in \sum_{Q \subset H} t_Q^H(M_0(Q))$$

donc, pour tout $Q < H$, il existe $x_Q \in M_0(Q)$ tels que

$$f_H(y) = \sum_{Q \subset H} t_Q^H(x_Q).$$

Comme $f$ est surjective alors, pour tout $Q < H$, il existe $y_Q \in M_1(Q)$ tels que

$$x_Q = f_Q(y_Q).$$

Ainsi

$$ \begin{align*} f_H(y) &= \sum_{Q \subset H} t_Q^H(f_Q(y_Q)) \\ &= \sum_{Q \subset H} f_H(\tau_Q^H(y_Q)) \quad (\text{par (1)}) \\ &= f_H\left(\sum_{Q \subset H} \tau_Q^H(y_Q)\right). \end{align*} $$
Donc

$$y - \sum_{Q \subset H} \tau_Q^H (y_Q) \in \ker (f_H) = \mathrm{Im} (g_H).$$

Il existe donc $z \in M_2(H)$ tel que

$$g_H(z) = y - \sum_{Q \subset H} \tau_Q^H (y_Q)$$

et donc

$$\overline{g_H(z)} = \bar{y}.$$

Ainsi $\bar{y} \in \mathrm{Im}(\overline{g}(H))$.

Ainsi la suite

$$\overline{M_2}(H) \xrightarrow{\overline{g}(H)} \overline{M_1}(H) \xrightarrow{\overline{f}(H)} \overline{M_0}(H) \to 0$$

est exacte. ■

# 1.1 Notations

Je vais fixer dans cette section les notations que j'utiliserai tout au long de cette thèse.

## Notation 1.1.1

* p désignera un nombre premier.

* R désignera un anneau commutatif.

* G désignera un groupe fini.

* P désignera un p-groupe fini.

* V désignera un RG-module à gauche ou un kG-module à gauche.

* k désignera un corps de caractéristique p.

* M désignera un foncteur de Mackey pour G sur R ou k dont les mor-
phismes seront notés $t_H^K$, $r_H^K$ et $c_x$ lorsqu'on considérera la première
définition des foncteurs de Mackey.

* $\text{co}\mu_R(G)$ désignera la catégorie des foncteurs de Mackey cohomologique pour le groupe G. Et si il n'y a pas d'ambiguité, on la notera simplement $\text{co}\mu(G)$.

* RG-mod désignera la catégorie des RG-modules.

* R-mod désignera la catégorie des R-modules.

* Pour un R-module U, on note

$$U^* = \operatorname{Hom}_R(U, R).$$
* Pour deux sous-groupes $H$ et $Q$ de $G$, on désignera par $T_G(H,Q)$ le transporteur de $H$ dans $Q$, c'est à dire l'ensemble

$$ \{x \in G \text{ tel que } H^x \subseteq Q\}. $$

De plus, on notera

$$ \bar{T}_G(H, Q) = N_G(H) \setminus T_G(H, Q) / N_G(Q). $$

* Si $n$ et $m$ sont deux entiers naturels avec $m > 0$ alors $n \% m$ désignera le reste de la division euclidienne de $n$ par $m$.

* Si $H$ et $K$ sont deux sous-groupes de $G$ alors on notera

$$ H =_G K $$

si $H$ et $K$ sont conjugués dans $G$.

**Définition 1.1.2** On notera $S_{G,R}^G$ le foncteur de Mackey pour $G$ sur $R$ qui est nul sur tout les sous-groupe propres de $G$ et qui est égal à $R$ en $G$.

Lorsqu'il n'y aura pas d'ambiguité on notera simplement $S_{G,R}$.

**Définition 1.1.3** Soit $M$ et $N$ des foncteurs de Mackey pour $G$ sur $R$. Alors on note

$$ (M \hat{\otimes} N)(H) := (\bigoplus_{K \subseteq H} M(K) \otimes_R N(K)) / \mathcal{J} $$

où $\mathcal{J}$ est le $R$-module engendré par

$$ t_K^L m \otimes_R n - m \otimes_R r_K^L n \text{ pour } K \subseteq L \subseteq H, m \in M(K), n \in N(L) $$

$$ m \otimes_R t_K^L n - r_K^L m \otimes_R n \text{ pour } K \subseteq L \subseteq H, m \in M(L), n \in N(K) $$

$$ hm \otimes_R hn - m \otimes_R n \text{ pour } K \subseteq H, m \in M(K), n \in N(K), h \in H. $$

Soit $[m \otimes n]_K$ l'image dans $(M \hat{\otimes} N)(H)$ de $m \otimes n \in M(K) \otimes_R N(K)$. Alors

- Si $H \subseteq H' \supseteq K$, on notera ( par abus )

$$ r_H^{H'} ([m \otimes n]_K) = \sum_{x \in [H \setminus H']/K} [x r_{H^{x} \cap K}^K m \otimes x r_{H^{x} \cap K}^K n]_{H \cap x K}. $$

- Si $K \subseteq H \subseteq H'$, on notera

$$ t_H^{H'} ([m \otimes n]_K) = [m \otimes n]_K. $$

- Si $x \in G$, on notera

$$ {}^x([m \otimes n]_K) = [{}^x m \otimes {}^x n]_{xK}. $$
Muni de ces morphismes $M\hat{\otimes}N$ est un foncteur de Mackey pour $G$ sur $R$, appelé produit tensoriel de $M$ et $N$.

Ce produit est commutatif et associatif.

Pour $N$ fixé, la correspondance $M \mapsto M\hat{\otimes}N$ est un endo foncteur de la catégorie des foncteurs de Mackey pour $G$ sur $R$, et ce foncteur est exact à droite.
# Chapitre 2

## Un théorème de Thévenaz et Webb

Dans ce chapitre, je vais énoncer un théorème de Jacques Thévenaz et Peter Webb. Celui-ci me permettra de définir les quotients de Brauer supérieurs dont cette thèse fait l'étude.

**Définition 2.0.4** *Un RG-module de permutation est un RG-module possédant une R-base G-stable.*

**Définition 2.0.5** *On appelle RG-facteur de permutation un RG-module facteur direct d'un RG-module de permutation.*

Voici le résultat dû à Jacques Thévenaz et Peter Webb ( [10] Théorème (16.5), page 1929 ) sur lequel est basé cette thèse.

**Théorème 2.0.6** *Un foncteur de Mackey pour G sur R est projectif dans coµ<sub>R</sub>(G) si et seulement si il est isomorphe à un foncteur de points fixes FP<sub>U</sub>, où U est un RG-facteur de permutation.*

En prenant une résolution projective dans coµ<sub>R</sub>(G) du foncteur FP<sub>V</sub>, on obtient une résolution

$$ \dots \to FP_{V_n} \to \dots \to FP_{V_0} \to FP_V \to 0 $$

où tous les modules $V_i$ sont des RG-facteurs de permutation.

**Corollaire 2.0.7** *Soit V un RG-module. Alors il existe une résolution*

$$ \dots \to V_n \to \dots \to V_0 \to V \to 0 \qquad (1) $$
où tous les modules $V_i$ sont des facteurs de permutation et tels que, pour tout sous-groupe $H$ de $G$, le complexe de $R$-modules

$$ \dots \to V_n^H \to \dots \to V_0^H \to V^H \to 0 $$

est exact. De plus une telle résolution est unique à homotopie près.

Les définitions suivantes viennent donc naturellement :

**Définition 2.0.8** On dira qu'une suite de RG-modules

$$ L \to M \to N $$

est G-superexacte en $M$ si pour tout $H \le G$, la suite de $R$-modules

$$ L^H \to M^H \to N^H $$

est exacte.

**Définition 2.0.9** On dira qu'une suite de RG-modules

$$ \dots \to V_n \to \dots \to V_0 \to 0 $$

est G-superexacte si elle est G-superexacte en tous les $V_i$.

**Définition 2.0.10** Soit $V$ un RG-module. On dira que

$$ \dots \to V_n \to \dots \to V_0 \to V \to 0 $$

est une G-superrésolution de $V$, si cette suite est G-superexacte et si pour tout $i \ge 0$, le module $V_i$ est un RG-facteur de permutation.

**Définition 2.0.11** On dira qu'un morphisme

$$ f : M \to N $$

de RG-modules est G-supersurjectif si la suite

$$ M \xrightarrow{f} N \to 0 $$

est superexacte, c'est-à-dire, si pour tout sous-groupe $H$ de $G$, le morphisme de $R$-modules

$$ f^H : M^H \to N^H $$

est surjectif.
**Remarque 2.0.12** Lorsqu'il n'y aura pas d'ambiguïté on dira simplement *superexacte*, *superrésolution de V*, *et supersurjectif*.

Si $H$ est un sous-groupe de $G$, on note $V[H]$ le quotient de Brauer d'un $RG$-module $V$ en $H$, défini par

$$V[H] = V^H / \left( \sum_{Q \subset H} \mathrm{Tr}_Q^H (V^Q) \right).$$

L'application qui à un $RG$-module $V$ associe $V[H]$ et à un $RG$-morphisme $f$ associe $f[H]$ est un foncteur de la catégorie des $RG$-modules vers la catégorie des $R(N_G(H)/H)$-modules.

Ainsi, grâce à ce foncteur, on peut définir le complexe déduit de (1)

$$\dots \to V_n[H] \to \dots \to V_0[H] \to V[H] \to 0.$$

Le quotient de Brauer $V[H]$ est nul si $H$ a au moins deux facteurs premiers distincts, ou encore $H$ est un $p$-groupe pour un nombre premier $p$ tel que $R = pR$.

Dans ces cas le complexe précédent sera donc constitué de modules nuls.

**Proposition 2.0.13** Si la suite

$$V_1 \to V_0 \to V \to 0$$

est une suite superexacte de $RG$-modules alors la suite

$$V_1[H] \to V_0[H] \to V[H] \to 0$$

est exacte.

**Preuve.** On sait, d'après la proposition 1.0.7, que pour un foncteur de Mac- key $M$, le foncteur $M \to \overline{M}(H)$ est exact à droite.

De plus, pour un $kG$-module $V$ on a

$$\overline{FP_V}(H) = V[H].$$

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

On en conclut que dans le complexe

$$\dots \to V_n[H] \to \dots \to V_0[H]$$

le premier groupe d'homologie est isomorphe au quotient de Brauer $V[H]$. Ce qui amène à la définition suivante :
**Définition 2.0.14** On appelle *i-ème quotient de Brauer supérieur d'un RG-module V en H et on note $V[i, H]$ le ième groupe d'homologie du complexe*

$$ \dots \to V_n[H] \to \dots \to V_0[H] $$

où

$$ \dots \to V_n \to \dots \to V_0 \to V \to 0 $$

est une superrésolution de V.

**Remarque 2.0.15** Le quotient de Brauer supérieur ne dépend que de $V$, $i$ et $H$, et non de la résolution choisie. En effet, une superrésolution est unique à homotopie près, et l'image d'une équivalence d'homotopie par le foncteur "quotient de Brauer" est une équivalence d'homotopie. Donc le choix d'une superrésolution ne change pas les groupes d'homologie.

**Proposition 2.0.16** Pour un entier naturel $i$ et un sous-groupe $H$ de $G$, la construction

$$ V \mapsto V[i, H] $$

est un foncteur de RG-mod vers $R(N_G(H)/H)$-mod.

**Preuve.** Considérons le foncteur $FP$, qui à un RG-module $V$ associe le foncteur de point fixes $FP_V$.

Considérons le foncteur $B_H$ qui à un foncteur de Mackey $M$ associe $\overline{M}(H)$. Ce foncteur est exact à droite et on peut considérer ses foncteurs dérivés à gauche.

Considérons enfin le foncteur $D_i$ qui à un foncteur exact à droite associe son ième foncteur dérivé à gauche.

On a alors $D_i \circ B_H(FP(V)) = V[i, H]$.

Ainsi la construction

$$ V \mapsto V[i, H] $$

est fonctorielle. $\blacksquare$

**Remarque 2.0.17** On peut se demander pourquoi, la définition du quotient de Brauer supérieur est faite dans le cas d'un RG-module alors qu'il serait possible de la faire dans le cas d'un foncteur de Mackey cohomologique. En fait, la propositon 5.0.9 montre que les translatés de Heller $\Omega^i(M)$ d'un foncteur de Mackey cohomologique $M$ sont des foncteurs de points fixes dès que $i \ge 2$.
Deuxième partie

Résultats généraux
<figure><img src="image_8.png" /></figure>
# Chapitre 3

## Quotients de Brauer et constructions classiques

Dans ce chapitre, nous allons voir que les relations entre le quotient de Brauer et certaines constructions peuvent se généraliser aux quotients de Brauer supérieurs.

### 3.1 Produit tensoriel, Restriction, Induction et Inflation

Si $G$ et $H$ sont des groupes, un $(H, G)$-biensemble $U$ est un ensemble doté d'une action de $H$ à gauche, d'une action de $G$ à droite et telles que ces deux actions commutent.

#### 3.1.1 Suites superexactes et produit tensoriel

**Théorème 3.1.1** *Soit $G$ et $H$ deux groupes finis, soit $V$ un RG-module et $U$ un $(H, G)$-bi-ensemble $G$-libre.*

*Si*

$$ \dots \to L_1 \to L_0 \to V \to 0 $$

*est une G-superrésolution de $V$ alors*

$$ \dots \to RU \otimes_{RG} L_1 \to RU \otimes_{RG} L_0 \to RU \otimes_{RG} V \to 0 $$

*est une H-superrésolution de $RU \otimes_{RG} V$.*
## Preuve.

- Montrons que si $L$ est un $RG$-module de permutation alors $RU \otimes_{RG} L$ est un $RH$-module de permutation.

Soit $X$ un $G$-ensemble tel que $L = RX$ alors

$$ RU \otimes_{RG} RX \simeq R\underbrace{(U \times_G X)}_{H\text{-ensemble}}. $$

En effet, l'application

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} RU \times RX & \to & R(U \times_G X) \\ \left( \sum_{u \in U} a_u \cdot u ; \sum_{x \in X} b_x \cdot x \right) & \mapsto & \sum_{\substack{u \in U \\ x \in X}} a_u b_x (u, x) \end{array} \right. $$

est bilinéaire.

L'application $h$ définie par

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

est clairement un isomorphisme de $RG$-modules.

Ainsi $RU \otimes_{RG} RX$ est un $RG$-module de permutation.

Donc si $L$ est un facteur de permutation alors $RU \otimes_{RG} L$ est un facteur de permutation.

- Montrons que si

$$ A \to B \to C $$

est une suite de $RG$-modules $G$-superexacte alors la suite

$$ RU \otimes_{RG} A \to RU \otimes_{RG} B \to RU \otimes_{RG} C $$

est $H$-superexacte.

- Montrons que

$$ RU \otimes_{RG} A = \bigoplus_{u \in [U/G]} u \otimes A. $$

Comme $U$ est un $G$-ensemble alors

$$ U \simeq \bigsqcup_{u \in [U/G]} G/G_u $$

où $G_u$ désigne le stabilisateur de $u$ dans $G$.
Donc

$$
RU \simeq \bigoplus_{u \in [U/G]} R(G/G_u).
$$

De plus

$$
R(G/G_u) \simeq R \otimes_{RG_u} RG
$$

donc

$$
RU \simeq \bigoplus_{u \in [U/G]} R \otimes_{RG_u} RG
$$

ainsi

$$
\begin{align*}
RU \otimes_{RG} A &\simeq \bigoplus_{u \in [U/G]} (R \otimes_{RG_u} RG) \otimes_{RG} A \\
&\simeq \bigoplus_{u \in [U/G]} R \otimes_{RG_u} \underbrace{(RG \otimes_{RG} A)}_{A} \\
&\simeq \bigoplus_{u \in [U/G]} R \otimes_{RG_u} A \\
&\simeq \bigoplus_{u \in [U/G]} A_{G_u} \\
&\simeq \bigoplus_{u \in [U/G]} u \otimes A_{G_u}.
\end{align*}
$$

Comme $U$ est $G$-libre alors $G_u = \{e\}$ donc

$$
RU \otimes_{RG} A = \bigoplus_{u \in [U/G]} u \otimes A.
$$

On fixe un système de représentant $[U/G]$ des orbites de $G$ sur $U$.
Alors $\forall h \in H, \forall u \in [U/G], \exists! \sigma_h(u) \in [U/G]$ et $\exists! \gamma_{h,u} \in G$ tels que

$$
h.u = \sigma_h(u) \cdot \gamma_{h,u}.
$$

On vérifie très simplement que $\forall (h, h') \in H^2$ et $\forall u \in [U/G]$

$$
\sigma_{hh'}(u) = \sigma_h(\sigma_{h'}(u)) \quad (1)
$$

et que

$$
\gamma_{hh',u} = \gamma_{h,\sigma_{h'}(u)} \cdot \gamma_{h',u} . \quad (2)
$$
– Montrons que pour $K \le H$

$$ \sum_{u \in [U/G]} u \otimes a_u \in (RU \otimes_{RG} A)^K \iff \forall u \in [K \setminus U/G], a_u \in A^{K(u)} $$

où $K(u)$ est l'ensemble des $\gamma_{h,u}$ pour $h \in K$ et tel que $\sigma_h(u) = u$. Comme $K(u)$ est la projection du stabilisateur sur $G$ de $u$ dans $H \times G$ alors $K(u)$ est un sous-groupe de $H \times G$.

$$ \text{Soit } v = \sum_{u \in [U/G]} u \otimes a_u \in \bigoplus_{u \in [U/G]} u \otimes A = RU \otimes_{RG} A. $$

Si $v \in (RU \otimes_{RG} A)^K$, pour tout $h \in K$, on a

$$ v = h.v $$

donc

$$ \sum_{u' \in [U/G]} u' \otimes a_{u'} = \sum_{u \in [U/G]} \sigma_h(u) \otimes \gamma_{h,u} \cdot a_u $$

$$ \text{donc } \forall u \in [U/G], $$

$$ a_{\sigma_h(u)} = \gamma_{h,u} \cdot a_u. $$

Ainsi

$$ \sum_{u \in [U/G]} u \otimes a_u \in (kU \otimes_{RG} A)^K \iff \forall h \in K \text{ et } \forall u \in [U/G], a_{\sigma_h(u)} = \gamma_{h,u} \cdot a_u. $$

Grâce aux relations (1) et (2), on obtient facilement que pour $h \in K$ et $u \in [U/G]$

$$ a_{\sigma_h(\sigma_{h'}(u))} = \gamma_{h,\sigma_{h'}(u)} \cdot \gamma_{h',u} a_u $$

donc

$$ \forall h \in K \text{ et } \forall u \in [U/G], a_{\sigma_h(u)} = \gamma_{h,u} \cdot a_u \iff \forall h \in K \text{ et } \forall u \in [K \setminus U/G], a_{\sigma_h(u)} = \gamma_{h,u} \cdot a_u. $$

– Montrons que $(RU \otimes_{kG} A)^K \simeq \bigoplus_{u \in [H \setminus U/G]} A^{K(u)}$.

Considérons l'application

$$ \phi: \left\{ \begin{array}{rcl} (RU \otimes_{kG} A)^K & \to & \bigoplus_{u \in [K \setminus U/G]} A^{K(u)} \\ \sum_{u \in [U/G]} u \otimes a_u & \mapsto & \sum_{u \in [K \setminus U/G]} a_u \end{array} \right. . $$

Soit $\sum_{u \in [U/G]} u \otimes a_u \in (kU \otimes_{kG} A)^K$. Alors $\forall h \in K$ et $\forall u \in [K \setminus U/G]$,

$$ a_{\sigma_h(u)} = \gamma_{h,u} \cdot a_u. $$
Donc, si $\gamma_{h,u} \in K(u)$ alors $\sigma_h(u) = u$ donc

$$a_u = \gamma_{h,u} \cdot a_u.$$

Ainsi

$$a_u \in A^{K(u)}.$$

Donc $\phi$ est bien définie.

Considérons l'application

$$\psi : \left\{ \begin{array}{c} \oplus_{u \in [K \setminus U/G]} A^{K(u)} \\ \sum_{u \in [K \setminus U/G]} a_u \end{array} \right. \to (RU \otimes_{kG} A)^K \\ \mapsto \sum_{u \in [U/G]} u \otimes b_u$$

où $(b_u)_{u \in [U/G]}$ est définie de la manière suivante :

- si $u \in [K \setminus U/G]$, $b_u = a_u$.

- Si $u \notin [K \setminus U/G]$ alors $\exists! u' \in [K \setminus U/G]$ et $\exists h \in K$ tels que $u = \sigma_h(u')$. On pose alors $b_u = \gamma_{h,u'} a_{u'}$.

Pour montrer que $b_u$ est bien défini dans ce cas il faut montrer que si $h' \in K$ tel que

$$\sigma_h(u') = \sigma_{h'}(u')$$

alors

$$\gamma_{h,u'} a_{u'} = \gamma_{h',u'} a_{u'}.$$

Or $\sigma_h(u') = \sigma_{h'}(u') \Rightarrow \sigma_{h^{-1}h'}(u') = u'$.

Ainsi

$$\gamma_{h^{-1}h',u'} a_{u'} = a_{u'}$$

c'est-à-dire

$$\gamma_{h^{-1},\sigma_{h^{-1}}(u')} \cdot \gamma_{h',u'} a_{u'} = a_{u'}.$$

Comme

$$\begin{aligned} \gamma_{h^{-1},\sigma_{h^{-1}}(u')} \cdot \gamma_{h,u'} &= \gamma_{1,u'} \\ &= 1 \end{aligned}$$

alors

$$\gamma_{h,u'} a_{u'} = \gamma_{h',u'} a_{u'}.$$

Soit $u \in [U/G]$ et $h \in K$.

Si $u \in [K \setminus U/G]$ et $\sigma_h(u) \neq u$, alors par définition

$$\begin{aligned} b_{\sigma_h(u)} &= \gamma_{h,u} a_u \\ &= \gamma_{h,u} \cdot b_u. \end{aligned}$$
Si $u \in [K\backslash U/G]$ et $\sigma_h(u) = u$, alors par définition

$$ 
\begin{align*}
b_{\sigma_h(u)} &= b_u \\
&= a_u \\
&= \gamma_{h,u} a_u \\
&= \gamma_{h,u} b_u.
\end{align*}
$$

Ainsi

$$ \sum_{u \in [U/G]} u \otimes b_u \in (kU \otimes_{kG} A)^K. $$

Il est clair que $\phi \circ \psi = \mathrm{Id}$.

Soit $\sum_{u \in [U/G]} u \otimes a_u \in (kU \otimes_{kG} A)^K$ alors

$$ 
\begin{align*}
\psi \circ \phi \left( \sum_{u \in [U/G]} u \otimes a_u \right) &= \psi \left( \sum_{u \in [K\backslash U/G]} a_u \right) \\
&= \sum_{u \in [U/G]} u \otimes b_u.
\end{align*}
$$

Par définition, si $u \in [K\backslash U/G]$ alors

$$ a_u = b_u $$

et si $u \notin [K\backslash U/G]$ alors $\exists (u', h) \in [K\backslash U/G] \times H$ tels que $u = \sigma_h(u')$.
On a alors

$$ 
\begin{align*}
b_u &= \gamma_{h,u'} a_{u'} \\
&= a_{\sigma_h(u')} \\
&= a_u.
\end{align*}
$$

Donc $\psi \circ \phi = \mathrm{Id}$.

Ainsi, on a l'isomorphisme fonctoriel en $A$

$$ (kU \otimes_{kG} A)^K \simeq \bigoplus_{u \in [K\backslash U/G]} A^{K(u)}. $$

– Comme

$$ A \to B \to C $$

est superexacte alors $\forall u \in [K\backslash U/G]$,

$$ A^{K(u)} \to B^{K(u)} \to C^{K(u)} $$

est exacte.
Donc

$$ \bigoplus_{u \in [H \setminus U/G]} A^{K(u)} \to \bigoplus_{u \in [H \setminus U/G]} B^{K(u)} \to \bigoplus_{u \in [H \setminus U/G]} C^{K(u)} $$

est exacte.

Ainsi

$$ (RU \otimes_{RG} A)^K \to (RU \otimes_{RG} B)^K \to (RU \otimes_{RG} C)^K $$

est exacte.

■

## 3.1.2 Quotients de Brauer et restriction

**Proposition 3.1.2** *Soit un RG-module V. Alors pour tout sous-groupe H de G et i un entier naturel on a*

$$ (\mathrm{Res}_H^G V) [i, H] \simeq V [i, H]. $$

**Preuve.** En posant $U =_H G_G$, on a un $(H, G)$-bi-ensemble libre à droite, et

$$ RU \otimes_{RG} V = \mathrm{Res}_H^G V $$

donc, grâce au théorème précédent, si

$$ \dots \to P_1 \to P_0 \to V \to 0 $$

est une $G$-superrésolution de $V$ alors

$$ \dots \to \mathrm{Res}_H^G P_1 \to \mathrm{Res}_H^G P_0 \to \mathrm{Res}_H^G V \to 0 $$

est une $H$-superrésolution de $\mathrm{Res}_H^G V$.

Pour un $kG$-module $M$ quelconque et un sous-groupe $Q$ de $H$, on a

$$ (\mathrm{Res}_H^G M) [H] \simeq M [H]. $$

Ainsi les complexes

$$ \dots \to (\mathrm{Res}_H^G P_1) [H] \to (\mathrm{Res}_H^G P_0) [H] \to (\mathrm{Res}_H^G V) [H] \to 0 $$

et

$$ \dots \to P_1 [H] \to P_0 [H] \to V [H] \to 0 $$

sont isomorphes.

Donc

$$ (\mathrm{Res}_H^G V) [i, H] = V [i, H]. $$

■
### 3.1.3 Quotients de Brauer et induction

**Proposition 3.1.3** Soit $V$ un RG-module. Alors pour tous sous-groupes $H$ et $Q$ de $G$ et $i$ entier naturel on a

$$ (\mathrm{Ind}_H^G V)[i, Q] \simeq \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{si } Q \not\subset H \\ \sum_{x \in \bar{T}_G(Q, H)} \mathrm{Ind}_{N_{H^{x-1}}(Q)}^{N_G(Q)} (V[i, Q^x]^{x-1}) & \text{si } Q \subset H \end{array} \right. . $$

**Preuve.** En posant $U = {}_H G_G$, on a un $(H, G)$-bi-ensemble libre à droite, et

$$ RU \otimes_{RH} V = \mathrm{Ind}_H^G V $$

donc, grâce au théorème précédent, si

$$ ... \to P_1 \to P_0 \to V \to 0 $$

est une $H$-superrésolution de $V$ alors

$$ ... \to \mathrm{Ind}_H^G P_1 \to \mathrm{Ind}_H^G P_0 \to \mathrm{Ind}_H^G V \to 0 $$

est une $G$-superrésolution de $\mathrm{Ind}_H^G V$.

Pour un RG-module $M$ quelconque et un sous-groupe $Q$ de $G$, on a [[2],
lemme 3 p 414]

$$ (\mathrm{Ind}_H^G V)[Q] = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{si } Q \not\subset H \\ \sum_{x \in \bar{T}_G(Q, H)} \mathrm{Ind}_{N_{H^{x-1}}(Q)}^{N_G(Q)} (V[Q^x]^{x-1}) & \text{si } Q \subset H \end{array} \right. $$

Si $Q \not\subset H$ alors $\forall i \ge 0$,

$$ (\mathrm{Ind}_H^G P_i)[Q] = 0 $$

donc $(\mathrm{Ind}_H^G V)[i, Q] = 0$.

Si $Q \subset H$ alors le complexe

$$ ... \to (\mathrm{Ind}_H^G P_1)[Q] \to (\mathrm{Ind}_H^G P_0)[Q] \to 0 $$

est égal au complexe

$$ ... \to \sum_{x \in \bar{T}_G(Q, H)} \mathrm{Ind}_{N_{H^{x-1}}(Q)}^{N_G(Q)} (P_1[Q^x]^{x-1}) \to \sum_{x \in \bar{T}_G(Q, H)} \mathrm{Ind}_{N_{H^{x-1}}(Q)}^{N_G(Q)} (P_0[Q^x]^{x-1}) \to 0 $$

dont les groupes d'homologie sont les $(\mathrm{Ind}_H^G V)[i, Q]$.
Comme les groupes d'homologie du complexe

$$ \dots \to P_1[Q] \to P_0[Q] \to 0 $$

sont les $V[i, Q]$ et comme l'induction est un foncteur exact alors, pour $i \ge 0$

$$ (\mathrm{Ind}_H^G V)[i, Q] = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{si } Q \not\subset H \\ \sum_{x \in \bar{T}_G(Q, H)} \mathrm{Ind}_{N_{H^{x-1}}(Q)}^{N_G(Q)} (V[i, Q^x]^{x-1}) & \text{si } Q \subset H \end{array} \right. . $$

■

### 3.1.4 Quotients de Brauer et Inflation

**Proposition 3.1.4** Soit $N$ un sous-groupe distingué de $G$ et $V$ un $R(G/N)$-module. Alors pour tout $p$-sous-groupe non trivial $Q$ de $G$ et pour un entier $i$ plus grand que 1, si $N \subseteq \Phi(Q)$ ou si $(N \subseteq Q \text{ et } R = k \text{ avec } \mathrm{car}(k) = p)$ on a

$$ (\mathrm{Inf}_{G/N}^G V)[i, Q] \simeq V[i, Q/N]. $$

**Preuve.** Posons $H = G/N$ et $U = H$, le groupe $G$ agit à gauche sur $U$ par projection et multiplication et $H$ agit à droite sur $U$ par multiplication. Ainsi $U$ est un $(H, G)$-bi-ensemble libre à droite, et

$$ RU \otimes_{kH} V = \mathrm{Inf}_H^G V $$

donc, grâce au théorème précédent, si

$$ \dots \to P_1 \to P_0 \to V \to 0 $$

est une $H$-superrésolution de $V$ alors

$$ \dots \to \mathrm{Inf}_H^G P_1 \to \mathrm{Inf}_H^G P_0 \to \mathrm{Inf}_H^G V \to 0 $$

est une $G$-superrésolution de $\mathrm{Inf}_H^G V$.

Pour tout $RH$-module $M$, on a clairement

$$ (\mathrm{Inf}_{G/N}^G M)^Q \simeq M^{QN/N}. $$

Donc si $N \subseteq Q$ alors

$$ (\mathrm{Inf}_{G/N}^G M)^Q \simeq M^{Q/N}. $$

On a

$$ (\mathrm{Inf}_{G/N}^G M)[Q] = (\mathrm{Inf}_{G/N}^G M)^Q / \sum_{S \subseteq \mathrm{max}Q} \mathrm{Tr}_S^Q((\mathrm{Inf}_{G/N}^G M)^S). $$
Si $N \subseteq \Phi(Q)$ alors pour tout sous-groupe maximal $S$ de $Q$

$$N \subseteq S$$

donc

$$(\mathrm{Inf}_{G/N}^{G} M)[Q] = M[Q/N].$$

Si $R = k$ alors

$$(\mathrm{Inf}_{G/N}^{G} M)[Q] = (\mathrm{Inf}_{G/N}^{G} M)^{Q} / \sum_{S \subseteq \mathrm{max}Q} \mathrm{Tr}_{S}^{Q}(M^{SN/N}).$$

Soit $S$ un sous-groupe maximal de $Q$.

Si $N \subseteq S$ alors

$$\mathrm{Tr}_{S}^{Q}(M^{SN/N}) = \mathrm{Tr}_{S}^{Q}(M^{S/N}).$$

Si $N \not\subseteq S$ alors $S \subset SN$.

Comme $|Q : S| = p$ alors $S \leq Q$ donc $SN$ est un groupe.

Par maximalité de $S$, on a alors

$$SN = Q.$$

Ainsi

$$ \begin{aligned} \mathrm{Tr}_S^Q (M^{SN/N}) &= pM^{Q/N} \\ &= 0. \end{aligned} $$

Donc

$$(\mathrm{Inf}_{G/N}^{G} M)[Q] = M[Q/N].$$

Les complexes

$$\dots \to (\mathrm{Inf}_{G/N}^{G} P_1)[Q] \to (\mathrm{Inf}_{G/N}^{G} P_0)[Q] \to 0$$

et

$$\dots \to P_1[Q/N] \to P_0[Q/N] \to 0$$

sont égaux.

Donc leurs groupes d'homologie sont égaux.

Ainsi

$$(\mathrm{Inf}_{G/N}^{G} V)[i, Q] = V[i, Q/N].$$

<figure><img src="image_10.png" /></figure>
## 3.2 Quotients de Brauer et extension scalaire

**Théorème 3.2.1** Soit $R'$ un anneau et $R \to R'$ un morphisme tel que $R'$ soit un $R$-module plat. Pour tout RG-module V la flèche naturelle

$$R' \otimes_R (V^G) \to (R' \otimes_R V)^G$$

est un isomorphisme.

**Preuve.** Montrons le résultat pour le dual de Pontrjagin

$$V = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}((RG)^{(I)}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$$

où $I$ est un ensemble quelconque.

**Proposition 3.2.2** On a

$$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}((RG)^{(I)}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(R^{(I)}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \otimes_R RG.$$

**Preuve.** Considérons l'application

$$\phi: \left\{ \begin{array}{rcl} \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}((RG)^{(I)}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) & \to & \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(R^{(I)}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \otimes_R RG \\ f & \mapsto & \sum_{g \in G} f_g \otimes g \end{array} \right.$$

où $\forall g \in G$, on a

$$f_g: \left\{ \begin{array}{rcl} R^{(I)} & \to & \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \\ \sum_{i \in I} r_i g & \mapsto & f\left(\sum_{i \in I} (r_i \cdot g)\right) \end{array} \right. .$$

Soit $s$ le $R$-morphisme de $RG$ dans $R$ tel que pour $g \in G$

$$s(g) = \begin{cases} 1 & \text{si } g = 1 \\ 0 & \text{si } g \neq 1 \end{cases}.$$

Par extension on considère

$$s_{(I)}: \left\{ \begin{array}{rcl} (RG)^{(I)} & \to & R^{(I)} \\ \sum_{i \in I} r_i g & \mapsto & \sum_{i \in I} s(r_i \cdot g) \end{array} \right. .$$

Posons

$$\psi: \left\{ \begin{array}{rcl} \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(R^{(I)}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \otimes_R RG & \to & \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}((RG)^{(I)}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \\ f \otimes 1 & \mapsto & f \circ s_{(I)} \end{array} \right. .$$
Cette définition sous entend qu’à un élément

$$f \otimes g$$

de

$$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(R^{(I)}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \otimes_{R} RG$$

le morphisme $\psi$ associe le morphisme qui envoie

$$\sum_{i \in I} u_i \in (RG)^{(I)}$$

sur

$$f \circ s_{(I)} \left( \sum_{i \in I} g^{-1} \cdot u_i \right).$$

Montrons que $\phi$ et $\psi$ sont des RG-morphismes, puis qu'ils sont inverses l'un de l'autre.

Soit $g' \in G$ alors

$$\begin{align*}
\phi(g'f) &= \sum_{g \in G} (g'f)_g \otimes g \\
&= \sum_{g \in G} f_{(g')^{-1}g} \otimes g \\
&= \sum_{g \in G} f_g \otimes g'g \\
&= g' \cdot \phi(f).
\end{align*}$$

De plus, $\psi$ est un RG-morphisme par construction.

Soit $f \in \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}((RG)^{(I)}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ alors

$$\begin{align*}
\psi \circ \phi(f) &= \psi \left( \sum_{g \in G} f_g \otimes g \right) \\
&= \sum_{g \in G} \psi(f_g \otimes g) \\
&= \sum_{g \in G} g \cdot (f_g \circ s_{(I)})
\end{align*}$$
Soit $\sum_{i \in I} u_i \in (RG)^{(I)}$ avec $u_i = \sum_{g \in G} a_{g,i} \cdot g$ pour tout $i \in I$ alors

$$ 
\begin{align*}
\sum_{g \in G} g \cdot (f \circ s_{(I)}) \left( \sum_{i \in I} u_i \right) &= \sum_{g \in G} (f_g \circ s_{(I)}) \left( \sum_{i \in I} g^{-1} u_i \right) \\
&= \sum_{g \in G} (f_g \circ s_{(I)}) \left( \sum_{i \in I} \sum_{g' \in G} a_{g',i} \cdot g^{-1} g' \right) \\
&= \sum_{g \in G} f_g \left( \sum_{i \in I} a_{g,i} \right)
\end{align*}
$$

Donc par définition de $f_g$

$$ 
\begin{align*}
\sum_{g \in G} g \cdot (f \circ s_{(I)}) \left( \sum_{i \in I} u_i \right) &= \sum_{g \in G} f \left( \sum_{i \in I} a_{g,i} \cdot g \right) \\
&= f \left( \sum_{g \in G} \sum_{i \in I} a_{g,i} \cdot g \right) \\
&= f \left( \sum_{i \in I} \sum_{g \in G} a_{g,i} \cdot g \right) \\
&= f \left( \sum_{i \in I} u_i \right).
\end{align*}
$$

Donc $\psi \circ \phi = \text{Id}$.

Soit $f \otimes 1 \in \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(R^{(I)}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \otimes_R RG$ alors

$$ 
\begin{align*}
\phi \circ \psi (f \otimes 1) &= \phi (f \circ s_{(I)}) \\
&= \sum_{g \in G} (f \circ s_{(I)})_g \otimes g.
\end{align*}
$$

Or pour $\sum_{i \in I} r_i \in R^{(I)}$

$$ (f \circ s_{(I)})_g \left( \sum_{i \in I} r_i \right) = f \circ s_{(I)} \left( \sum_{i \in I} r_i \cdot g \right) $$

Donc $(f \circ s_{(I)})_g = 0$ si $g \neq 1$ et $(f \circ s_{(I)})_g = f$ si $g = 1$.

Ainsi

$$ \phi \circ \psi (f \otimes 1) = f. $$

Donc $\phi \circ \psi = \text{Id}$. $\blacksquare$
**Proposition 3.2.3** Si $M$ est un $R$-module alors

$$ \mu : \left\{ \begin{array}{rcl} M & \to & (M \otimes_R RG)^G \\ m & \mapsto & m \otimes \sum_{g \in G} g \end{array} \right. $$

est un isomorphisme.

**Preuve.** On a le RG-isomorphisme

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} \bigoplus_{g \in G} M \otimes g & \to & M \otimes_R RG \\ \sum_{g \in G} m_g \otimes g & \mapsto & \sum_{g \in G} m_g \otimes g . \end{array} \right. $$

Ainsi

$$ (M \otimes_R RG)^G \simeq \left( \bigoplus_{g \in G} M \otimes g \right)^G . $$

Soit $\sum_{g \in G} m_g \otimes g \in (\bigoplus_{g \in G} M \otimes g)^G$ alors pour tout $g' \in G$

$$ \begin{aligned} \sum_{g \in G} m_g \otimes g'g &= \sum_{g \in G} m_{(g')^{-1}g} \otimes g \\ &= \sum_{g \in G} m_g \otimes g. \end{aligned} $$

Ainsi pour tout $(g, g') \in G^2$

$$ m_g = m_{g'} $$

ainsi, tout élément de

$$ \left( \bigoplus_{g \in G} M \otimes g \right)^G $$

peut se mettre sous la forme $\sum_{g \in G} m \otimes g = m \left( \sum_{g \in G} 1 \otimes g \right)$ où $m \in M$.

Il est clair que $m$ détermine de manière unique cet élément donc, on a l'isomorphisme

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} M & \to & \left( \bigoplus_{g \in G} M \otimes g \right)^G \\ m & \mapsto & \sum_{g \in G} m \otimes g \end{array} \right. . $$

Donc par composition d'isomorphismes on a le résultat. ■

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

En posant $V = \operatorname{Hom}_Z((RG)^{\otimes I}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ et $M = \operatorname{Hom}_Z(R^{\otimes I}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$, on a une composition d'isomorphismes
<figure><img src="image_12.png" /></figure>

Ainsi pour $V = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}((RG)^{(I)}, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ la flèche naturelle

$$R' \otimes_R (V^G) \to (R' \otimes_R V)^G$$

est une composition d'isomorphismes donc un isomorphisme.

Suposons maintenant que $V$ est un $RG$-module quelconque.

Comme tout $RG$-module est sous-module du dual de Pontrjagin d'un $RG$-module libre, il existe des $RG$-modules libres $L$ et $L'$ et une suite exacte de la forme

$$0 \to V \to I \to J$$

avec $I = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(L, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ et $J = \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(L', \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$.

Comme $R'$ est $R$-plat et que le foncteur $\bullet^G$ est exact à gauche alors on a les suites exactes

$$0 \to R' \otimes_R V^G \to R' \otimes_R I^G \to R' \otimes_R J^G$$

et

$$0 \to (R' \otimes_R V)^G \to (R' \otimes_R I)^G \to (R' \otimes_R J)^G$$

On a de plus un diagramme commutatif de suites exactes

$$\begin{array}{ccc} 0 & \to & R' \otimes_R V^G \to R' \otimes_R I^G \to R' \otimes_R J^G \\ & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 0 & \to & (R' \otimes_R V)^G & \to (R' \otimes_R I)^G \to (R' \otimes_R J)^G \end{array}$$

où les deux flèches verticales de droite sont des isomorphismes.

Ainsi il en résulte que

$$R' \otimes_R (V^G) \to (R' \otimes_R V)^G$$

est un isomorphisme. ■
**Remarque 3.2.4** *Ce résultat est faux sans l'hypothèse de platitude sur R.*

**Proposition 3.2.5** *Soit $R'$ un anneau et $R \to R'$ un morphisme tel que $R'$ soit un $R$-module plat. Pour tout RG-module $V$ et tout entier $i$, on a*

$$R' \otimes_R (V[i, G]) \simeq (R' \otimes_R V)[i, G].$$

**Preuve.** Considérons une superrésolution

$$\to P_2 \to P_1 \to P_0 \to V \to 0$$

de $V$.

Pour tout $Q \leq G$, la suite

$$\to P_2^Q \to P_1^Q \to P_0^Q \to V^Q \to 0$$

est exacte.

Comme $R'$ est un $R$-module plat alors la suite

$$\to R' \otimes_R P_2^Q \to R' \otimes_R P_1^Q \to R' \otimes_R P_0^Q \to R' \otimes_R V^Q \to 0$$

est exacte.

En appliquant la proposition précédente, la suite

$$\to (R' \otimes_R P_2)^Q \to (R' \otimes_R P_1)^Q \to (R' \otimes_R P_0)^Q \to (R' \otimes_R V)^Q \to 0$$

est exacte, donc la suite

$$\to R' \otimes_R P_2 \to R' \otimes_R P_1 \to R' \otimes_R P_0 \to R' \otimes_R V \to 0$$

est superexacte.

De plus, les $R'$-modules

$R' \otimes_R P_i$

sont des $R'G$-facteurs de permutation si les $R$-modules $P_i$ sont des RG-facteurs de permutation.

Montrons que

$$R' \otimes_R (V[G]) \simeq (R' \otimes V)[G]$$

On considère le diagramme commutatif

$$\begin{tikzcd}[column sep=2.8em, row sep=2.8em]
0 \arrow[r] \arrow[d, "a"] & R' \otimes_R \text{ker } Br \arrow[r, "\text{id} \otimes Br"] & R' \otimes_R V^G \arrow[r, "\text{id} \otimes Br"] & R' \otimes_R V[G] \arrow[r] \arrow[d, "b"] & 0 \\
0 \arrow[r] & \text{ker } Br' \arrow[r, "(R' \otimes_R V)^G"] & (R' \otimes_R V)^G \arrow[r, "\text{Br}'"] & (R' \otimes_R V)[G] \arrow[r] \arrow[d, "c"] & 0
\end{tikzcd}$$
où $Br$ et $Br'$ sont respectivement les surjections canoniques et où $a$ et $b$ sont les flèches naturelles.

Comme $id \otimes Br$ est surjective alors il existe un morphisme

$$c : R' \otimes_R V [G] \to (R' \otimes_R V) [G]$$

rendant commutatif le diagramme précédent.

Par ailleurs, la suite du haut est exacte car $R'$ est un $R$-module plat, et la suite du bas est exacte par définition.

D'après le lemme du serpent, on a une suite exacte

$$0 \to \ker a \to \ker b \to \ker c \to \operatorname{coker} a \to \operatorname{coker} b \to \operatorname{coker} c \to 0.$$

Comme $b$ est un isomorphisme (Théorème 3.2.1) alors

$$\ker c \simeq \operatorname{coker} a \quad \text{et} \quad \operatorname{coker} c = 0.$$

Ainsi, si $a$ est surjective alors $c$ est un isomorphisme.

Soit $x \in \ker (Br')$ alors

$$x \in \sum_{H<G} \operatorname{Tr}_H^G \left( (R' \otimes_R V)^H \right)$$

ainsi

$$\begin{align*} b^{-1}(x) \in \sum_{H<G} \operatorname{Tr}_H^G (R' \otimes_R V^H) &= \sum_{H<G} R' \otimes_R \operatorname{Tr}_H^G (V^H) \\ &= R' \otimes_R \sum_{H<G} \operatorname{Tr}_H^G (V^H) \subseteq R' \otimes_R \ker Br \end{align*}$$

donc $a$ est surjective et donc

$$R' \otimes_R (V [G]) \simeq (R' \otimes V) [G].$$

Ainsi pour tout entier $i$, on a

$$R' \otimes_R (V [i, G]) \simeq (R' \otimes_R V) [i, G].$$

<figure><img src="image_13.png" /></figure>
## 3.3 Quotients de Brauer et groupe de Fratini

Le groupe de Frattini d'un groupe $G$ sera noté $\Phi(G)$.

**Proposition 3.3.1** *Soit $V$ un $kG$-module. Alors pour $i \ge 0$ on a*

$$V[i, G] \simeq V^{\Phi(G)}[i, G/\Phi(G)].$$

**Preuve.** Soit

$$... \to L_2 \to L_1 \to L_0 \to V \to 0$$

une superrésolution de $V$.

Pour un $kG$-module $M$, un sous groupe $H$ de $G$ contenant $\Phi(G)$ et si on considère $M^{\Phi(G)}$ comme un $k(G/\Phi(G))$-module alors

$$(M^{\Phi(G)})^{(H/\Phi(G))} = M^H.$$

De plus, si $L$ est un $kG$-facteur de permutation alors $L^{\Phi(G)}$ est un facteur de permutation donc le complexe

$$... \to L_2^{\Phi(G)} \to L_1^{\Phi(G)} \to L_0^{\Phi(G)} \to V^{\Phi(G)} \to 0$$

est une $(G/\Phi(G))$-superrésolution de $V^{\Phi(G)}$. De plus, cela implique que

$$M^{\Phi(G)}[G/\Phi(G)] = M^G / \sum_{\Phi(G) \subseteq H \subset G} \mathrm{Tr}_H^G(M^H).$$

Comme les sous-groupes maximaux de $G$ contiennent tous $\Phi(G)$ et comme tout sous-groupe propre est contenu dans un sous-groupe maximal alors

$$M^{\Phi(G)}[G/\Phi(G)] = M^G / \sum_{H \subseteq G, \max} \mathrm{Tr}_H^G(M^H).$$

Ainsi les complexes

$$... \to L_2^{\Phi(G)}[G/\Phi(G)] \to L_1^{\Phi(G)}[G/\Phi(G)] \to L_0^{\Phi(G)}[G/\Phi(G)] \to 0$$

et

$$... \to L_2[G] \to L_1[G] \to L_0[G] \to 0$$

sont isomorphes, donc pour $i \ge 0$

$$V[i, G] = V^{\Phi(G)}[i, G/\Phi(G)].$$

■
**Application 3.3.2** Si $G = C_{p^n}$ avec $n \ge 1$ alors $\Phi(G) = C_{p^{n-1}}$ donc $G/\Phi(G) \simeq C_p$

Ainsi, pour un $kC_{p^n}$-module V on a

$$V[i, C_{p^{n-1}}] = V^{C_{p^{n-1}}}[i, C_p]$$

où $V^{C_{p^{n-1}}}$ est considéré comme un $kC_p$-module.

**Application 3.3.3** Si $G$ est un 2-groupe non cyclique engendré par deux éléments alors

$$G/\Phi(G) \simeq C_2 \times C_2.$$

Donc si $V$ est un $kG$-module alors

$$V[i, G] = V^{\Phi(G)}[i, C_2 \times C_2]$$

où $V^{\Phi(G)}$ est considéré comme un $k(C_2 \times C_2)$-module.

L'étude des quotients de Brauer supérieurs pour le groupe de Klein permet donc de trouver les modules $V[i, G]$ pour un 2-groupe G non cyclique engendré par deux éléments.
<figure><img src="image_14.png" /></figure>
# Chapitre 4

## Restriction à un *p*-sous-groupe
de Sylow

Dans ce chapitre, il s'agit d'adapter des résultats très classiques à notre contexte. En fait, les résultats qui suivent viennent du fait que les foncteurs de Mackey cohomologiques sont projectifs par rapport aux *p*-groupes (proposition 7.2 dans [11]). C'est pour cela que la preuve données est succinte.

**Théorème 4.0.4** *Soit V un kG-module de type fini et S un p-sous groupe de Sylow de G. Si*

$$ \dots \to L_2 \to L_1 \to L_0 \to \mathrm{Res}_S^G V \to 0 $$

est une superrésolution de $\mathrm{Res}_S^G V$ alors il existe une superrésolution de $V$ qui est facteur direct de la superrésolution

$$ \dots \to \mathrm{Ind}_S^G (L_2) \to \mathrm{Ind}_S^G (L_1) \to \mathrm{Ind}_S^G (L_0) \to \mathrm{Ind}_S^G \mathrm{Res}_S^G V \to 0. $$

**Schéma de preuve.** Considérons les $kG$-morphismes $\phi$ et $\psi$ définis par

$$ \left\{ \begin{array}{ccc} \mathrm{Ind}_S^G \mathrm{Res}_S^G V & \to & V \\ g \otimes v & \xmapsto{\phi} & g \cdot v \\ \displaystyle\frac{1}{|G:S|} \sum_{g \in [G:S]} g \cdot v & \leftarrow \psi & v \end{array} \right. . $$

On a

$$ \phi \circ \psi = \mathrm{Id}_V $$

donc en particulier $\phi$ est surjective et $\psi$ est injective.
Considérons le morphisme

$$E := \psi \circ \phi.$$

On a

$$E^2 = E$$

et

$$\mathrm{Im} E \simeq V.$$

Le $kG$-morphisme $E$ induit un morphisme de foncteur de Mackey $e$ de $FP_{\mathrm{Ind}_S^G \mathrm{Res}_S^G V}$ dans $FP_{\mathrm{Ind}_S^G \mathrm{Res}_S^G V}$ que l'on peut relever de la manière suivante

$$ \begin{tikzcd} & \mathrm{Ind}_S^G L_2 \arrow[r, "d_2"] \arrow[d, "E_2"'] & \mathrm{Ind}_S^G L_1 \arrow[r, "d_1"] \arrow[d, "E_1"'] & \mathrm{Ind}_S^G L_0 \arrow[r, "d_0"] \arrow[d, "E_0"'] & \mathrm{Ind}_S^G \mathrm{Res}_S^G V \arrow[d, "e"] \\ & \dots \arrow[r, "d_{i-1}"] & \dots \arrow[r, "d_i"] & \dots \arrow[r, "d_{i+1}"] & \dots \arrow[d, "e"] \end{tikzcd} $$

avec

$$((E_i)^2)_{i \ge 0} \text{ homotope à } (E_i)_{i \ge 0}.$$

Comme $V$ est de type fini, tous les $L_i$ sont de type finie sur le corps $k$.

A $n$ fixé, notons $l_n$ l'indice de $E_n$, c'est à dire l'entier tel que $\forall m \ge l_n$,

$$ \begin{array}{l} \mathrm{Im} (E_n)^m = \mathrm{Im} (E_n)^{m+1} \\ \text{et} \\ \ker (E_n)^m = \ker (E_n)^{m+1}. \end{array} $$

Posons

$$ \begin{align*} F_n &= (E_n)^{l_n} \\ I_n &= \mathrm{Im} (E_n)^{l_n} \\ K_n &= \ker (E_n)^{l_n}. \end{align*} $$

On a alors

$$ \begin{array}{l} \mathrm{Im} F_n = \mathrm{Im} (F_n)^2 \\ \text{et} \\ \ker F_n = \ker (F_n)^2 \end{array} $$

et

$$I_n \cap K_n = \{0\}.$$

Donc $I_n$ et $K_n$ sont en somme directe, de plus

$$ \begin{align*} \dim_k I_n + \dim_k K_n &= \dim_k (\mathrm{Im} (E_n)^{l_n}) + \dim_k (\ker (E_n)^{l_n}) \\ &= \dim_k (\mathrm{Ind}_S^G L_n). \end{align*} $$
Donc

$$I_n \oplus K_n = \mathrm{Ind}_S^G L_n.$$

Il est clair que

$$ \begin{aligned} I_n &= \bigcap_{m \ge 0} \mathrm{Im} (E_n)^m \\ K_n &= \bigcup_{m \ge 0} \mathrm{ker} (E_n)^m. \end{aligned} $$

On a

$$d_n(I_n) \subseteq I_{n-1}.$$

et

$$d_n(K_n) \subseteq K_{n-1}.$$

Ainsi la somme directe des complexes

$$ \dots \to I_{n+1} \to I_n \to I_{n-1} \to \dots \to I_0 \to \underbrace{\mathrm{Im} \, e}_{\simeq V} \to 0 $$

et

$$ \dots \to K_{n+1} \to K_n \to K_{n-1} \to \dots \to K_0 \to \mathrm{ker} \, e \to 0 $$

est

$$ \dots \to \mathrm{Ind}_S^G (L_2) \to \mathrm{Ind}_S^G (L_1) \to \mathrm{Ind}_S^G (L_0) \to \mathrm{Ind}_S^G \mathrm{Res}_S^G V \to 0. $$

Autement dit le complexe

$$ \dots \to I_{n+1} \to I_n \to I_{n-1} \to \dots \to I_0 \to \underbrace{\mathrm{Im} \, e}_{\simeq V} \to 0 $$

est facteur direct du complexe

$$ \dots \to \mathrm{Ind}_S^G (L_2) \to \mathrm{Ind}_S^G (L_1) \to \mathrm{Ind}_S^G (L_0) \to \mathrm{Ind}_S^G \mathrm{Res}_S^G V \to 0. $$

Ainsi

$$ \dots \to I_{n+1} \to I_n \to I_{n-1} \to \dots \to I_0 \to \underbrace{\mathrm{Im} \, e}_{\simeq V} \to 0 $$

est une superrésolution de V. ■

**Remarque 4.0.5** L'intérêt du Théorème 4.0.4 est qu'il permet en particulier d'évaluer le taux de croissance d'une superrésolution minimale d'un kG-module en se ramenant à un p-sous-groupe de Sylow de G. En particulier, le fait qu'un kG-module admette une superrésolution polynômiale (i.e telle que la dimension du module de rang n soit majorée par une puissance fixe de n) peut se lire sur un p-sous-groupe de Sylow.
<figure><img src="image_15.png" /></figure>
# Chapitre 5

## Suite exacte courte

Le théorème suivant donne une manière efficace pour déterminer les quotients de Brauer supérieurs à partir d'une suite superexacte courte.

Il s'agit d'une traduction dans notre contexte du procédé classique de "décalage".

**Théorème 5.0.6** Soit $V$, $W$ et $X$ des RG-modules tels que la suite

$$0 \to X \to W \to V \to 0$$

soit superexacte et que $W$ soit un facteur de permutation. Alors pour tout $H \le G$, la suite

$$0 \to V[1, H] \to X[H] \to W[H] \to V[H] \to 0$$

est exacte et pour $i \ge 1$ on a

$$V[i+1, H] \simeq X[i, H].$$

**Preuve.** la suite

$$0 \to FP_X \to FP_W \to FP_V \to 0$$

est exacte.

D'après la proposition 2.0.16, la construction $V \to V[i, H]$ est fonctionnelle.

Ainsi, on a la suite exacte longue

$$\dots \to X[i, H] \to W[i, H] \to V[i, H] \to \dots$$

$$\dots \to X[0, H] \to W[0, H] \to V[0, H] \to 0.$$
et comme $W$ est un facteur de permutation alors cette suite exacte est égale à la suite

$$ \dots \to X[i, H] \to 0 \to V[i, H] \to \dots \\ \dots \to X[0, H] \to W[0, H] \to V[0, H] \to 0. $$

Ainsi, la suite

$$ 0 \to V[1, H] \to X[H] \to W[H] \to V[H] \to 0 $$

est exacte et pour $i \ge 1$ on a

$$ V[i+1, H] \simeq X[i, H]. $$

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

**Corollaire 5.0.7** Soient $U$ et $V$ des RG-modules et $f$ un morphisme de RG-modules supersurjectif de $U$ sur $V$. Si $V$ est un facteur de permutation alors, pour tout $H \le G$, la suite

$$ 0 \to U[1, H] \to \ker f[H] \to V[H] \to U[H] \to 0 $$

est exacte, et pour $i \ge 1$

$$ U[i+1, H] \simeq \ker f[i, H]. $$

**Preuve.** Il suffit de montrer que la suite

$$ 0 \to \ker f \to V \to U \to 0 $$

est superexacte.

**Lemme 5.0.8** Soient $U$ et $V$ deux RG-modules. Alors

$$ \ker (FP_U \xrightarrow{f} FP_V) = FP_{\ker f_{\{e\}}} $$

**Preuve.** Posons $M = \ker (FP_U \xrightarrow{f} FP_V)$.

On a, pour tout $H \le G$,

$$ \begin{align*} x \in M(H) &\Leftrightarrow f_H(x) = 0 \\ &\Leftrightarrow x \in \ker f_H \\ &\Leftrightarrow x \in (\ker f_{\{e\}})^H \end{align*} $$
donc, pour tout $H \le G$,

$$M(H) = (\ker f_{\{e\}})^H.$$

Les morphismes de $M$ sont “hérités” de ceux de $FP_U$ donc

$$\ker (FP_U \xrightarrow{f} FP_V) = FP_{\ker f_{\{e\}}}.$$

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

La suite de foncteurs de Mackey

$$0 \to \ker (FP_U \xrightarrow{f} FP_V) \to FP_V \xrightarrow{f} FP_U \to 0$$

est exacte.

D'après le lemme on a la suite exacte

$$0 \to FP_{\ker f} \to FP_V \xrightarrow{f} FP_U \to 0$$

donc la suite

$$0 \to \ker f \to V \to U \to 0$$

est superexacte.

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Du lemme 5.0.8, on peut tirer une proposition intéressante.

**Proposition 5.0.9** *Soit $M$ un foncteur de Mackey cohomologique pour $G$ sur $R$. Il existe trois RG-modules $U$, $V$ et $W$ tels que la suite*

$$0 \to FP_W \to FP_V \to FP_U \to M \to 0$$

soit exacte et où $U$ et $V$ sont des facteurs de permutation.

**Preuve.** Il existe un facteur de permutation $U$ tel que $FP_U$ soit la couverture projective de $M$.

on a la suite exacte

$$0 \to K \to FP_U \to M \to 0$$

où $K$ est le noyau de $FP_U \to M$.

La couverture projective de $K$ est de la forme $FP_V$, où $V$ est un facteur de permutation.

On a la suite exacte

$$0 \to K' \to FP_V \to K \to 0.$$
où $K'$ est le noyau de $FP_V \to K$.

Mais comme $K$ se plonge dans $FP_U$ alors $K'$ est le noyau de $FP_V \to FP_U$.

Donc par le lemme 5.0.8, le foncteur $K'$ est un foncteur de points fixes.

Ainsi $M$ admet une résolution de la forme

$$0 \to FP_W \to FP_V \to FP_U \to M \to 0$$

où $W$ est un RG-module. ■

**Remarque 5.0.10** Cette proposition montre que l'étude des foncteurs de points fixes permet de connaître les résolutions projectives des foncteurs de Mackey cohomologiques à partir du quatrième terme. En particulier, pour étudier le taux de croissance des résolutions projectives des foncteurs de Mackey cohomologies, il suffit de considérer les foncteurs de points fixes.

**Remarque 5.0.11** Si $W$ a une superrésolution finie ou périodique alors $M$ a une résolution projective finie ou périodique.
# Chapitre 6

## Une expression du quotient de Brauer supérieur

Pour calculer les quotients de Brauer supérieurs de $V$ avec ce qui précède, il faut d'abord choisir une superrésolution de $V$. Or, les quotients de Brauer supérieurs de $V$ sont indépendants du choix de cette résolution.

Le but de ce chapitre est de trouver une expression de $V[i, H]$ indépendante du choix d'une superrésolution de $V$.

**Proposition 6.0.12** Soit $M$ et $N$ deux foncteurs de Mackey pour $G$ sur $R$. Si $M$ est cohomologique, alors $M \hat{\otimes} N$ est un foncteur de Mackey cohomologique pour $G$ sur $R$.

**Preuve.** Soit $H$, $H'$ et $K$ des sous-groupes de $G$ tels que $H \subseteq H' \supseteq K$ et $m \otimes n \in M(K) \otimes_R N(K)$. Alors

$$ 
\begin{align*}
t_H^{H'} r_H^{H'} ([m \otimes n]_K) &= t_H^{H'} r_H^{H'} ([m \otimes n]_K) \\
&= t_H^{H'} \left( \sum_{x \in [H \setminus H'/K]} \frac{[x r_{H^x \cap K}^K m \otimes x r_{H^x \cap K}^K n]_{H^x \cap K}}{\left( \sum_{n \in M \hat{\otimes} N(H)} [x r_{H^x \cap K}^K m \otimes x r_{H^x \cap K}^K n]_{H^x \cap K} \right)} \right)
\end{align*}
$$

Donc

$$ 
\begin{align*}
t_H^{H'} r_H^{H'} ([m \otimes n]_K) &= \sum_{x \in [H \setminus H'/K]} \frac{x [r_{H^x \cap K}^K m \otimes r_{H^x \cap K}^K n]_{H^x \cap K}}{\left( \sum_{n \in M \hat{\otimes} N(H')} [x r_{H^x \cap K}^K m \otimes x r_{H^x \cap K}^K n]_{H^x \cap K} \right)} \\
&= \sum_{x \in [H \setminus H'/K]} x [t_{H^x \cap K}^K r_{H^x \cap K}^K m \otimes n]_K \\
&= \sum_{x \in [H \setminus H'/K]} x [|K : H^x \cap K| \cdot m \otimes n]_K
\end{align*}
$$
Ainsi

$$
\begin{align*}
t_H^{H'} r_H^{H'} ([m \otimes n]_K) &= \sum_{x \in [H \setminus H'/K]} |K : H^x \cap K| \cdot {}^x [m \otimes n]_K \\
&= \sum_{x \in [H \setminus H'/K]} |K : H^x \cap K| \cdot [m \otimes n]_K.
\end{align*}
$$

Il ne reste donc qu’à montrer que

$$
\sum_{x \in [H \setminus H'/K]} |K : H^x \cap K| = |H' : H|.
$$

Pour cela on pose $X = H\backslash H'$ et on fait agir $K$ sur $X$ par produit à droite.
Soit $x$ un élément de $H'$, on a $Hxk = Hx$ si et seulement si $k \in H^x$.

Ainsi

$K_x = H^x \cap K.$

En appliquant la formule des classes à X, on obtient

$$
\begin{align*}
|X| &= \sum_{x \in [X/K]} \frac{|K|}{|K_x|} \\
    &= \sum_{x \in [X/K]} \frac{|K|}{|H^x \cap K|}.
\end{align*}
$$

Donc

$$
|H' : H| = \sum_{x \in [H \setminus H'/K]} |K : H^x \cap K|.
$$

Ainsi $M \hat{\otimes} N$ est un foncteur de Mackey cohomologique pour $G$ sur $R$. $\blacksquare$

6.1 Lien avec les foncteurs Tor coµ(G) i

**Définition 6.1.1** On notera $\Sigma_{G,R}^G$ le foncteur de Mackey pour $G$ sur $R$ tel que

$$
\Sigma_{G,R}^{G}(G) = \frac{R}{\sum_{H \subset G} |G : H| \cdot R}
$$

et pour $H < G$

$$
\Sigma_{G,R}^{G}(H) = 0.
$$
C'est un foncteur de Mackey cohomologique car pour $K < H < G$

$$t_K^H \cdot r_K^H = 0 = \mathrm{id}_{\Sigma_{G,R}^G}(H)$$

et

$$ \begin{aligned} t_H^G \cdot r_H^G &= 0 \\ &= 0 \cdot \mathrm{id}_{\Sigma_{G,R}^G}(G) \\ &= |G : H| \cdot \mathrm{id}_{\Sigma_{G,R}^G}(G). \end{aligned} $$

**Remarque 6.1.2** Si $G$ n'est pas un $p$-groupe pour un nombre premier $p$ alors

$$R / \sum_{H < G} |G : H| \cdot R = 0.$$

Et si $G$ est un $p$-groupe alors

$$R / \sum_{H < G} |G : H| \cdot R = R / pR.$$

Si de plus $R$ est un corps de caractéristique $p$ alors $\Sigma_{G,R}^G$ est égal au foncteur de Mackey simple $S_{G,R}^G$.

**Proposition 6.1.3** Soit $M$ un foncteur de Mackey cohomologique pour $G$ sur $R$. Alors

$$(M \hat{\otimes}_R \Sigma_{G,R}^G)(G) \simeq \overline{M}(G).$$

**Preuve.** Montrons dans un premier temps que pour un foncteur de Mackey $M$ quelconque

$$(M \hat{\otimes}_R S_{G,R}^G)(G) \simeq \overline{M}(G)$$

On a

$$(M \hat{\otimes}_R S_{G,R}^G)(G) = (M(G) \otimes R) / J$$

où $J$ est engendré par les éléments

$$t_L^G m \otimes_R n$$

où $m \in M(L)$ pour $L < G$ et $n \in R$.

Donc

$$J = \langle t_L^G m \otimes_R 1 \setminus m \in M(L), L \subset G \rangle_R$$
Ainsi

$$ (M \hat{\otimes}_R S_{G,R}^G)(G) \simeq M(G) / \langle t_L^G m \mid m \in M(L), L \subset G \rangle_R. $$

Donc

$$ (M \hat{\otimes}_R S_{G,R}^G)(G) \simeq \overline{M}(G). $$

D'après [3] Lemme 8.1, on sait que

$$ M \hat{\otimes} FP_R $$

est le plus grand quotient cohomologique de $M$, donc si $M$ est cohomologique alors

$$ M \simeq M \hat{\otimes} FP_R. $$

Ainsi

$$ M \hat{\otimes} S_{G,R} \simeq (M \hat{\otimes} FP_R) \hat{\otimes} S_{G,R} \simeq M \hat{\otimes} (S_{G,R} \hat{\otimes} FP_R). $$

D'après ce qui précède

$$ \begin{aligned} S_{G,R} \hat{\otimes} FP_R (G) &= \overline{FP_R} (G) \\ &= \Sigma_{G,R}^G (G) \end{aligned} $$

et pour tout sous-groupe $H \subset G$

$$ S_{G,R} \hat{\otimes} FP_R (H) = 0. $$

Donc

$$ S_{G,R} \hat{\otimes} FP_R = \Sigma_{G,R}^G. $$

Ainsi

$$ M \hat{\otimes} S_{G,R} \simeq M \hat{\otimes} \Sigma_{G,R}^G. $$

Donc

$$ (M \hat{\otimes}_R \Sigma_{G,R}^G)(G) \simeq \overline{M}(G). $$

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

**Théorème 6.1.4** Soit i un entier naturel alors

$$ \mathrm{Tor}_i^{\mathrm{co}\mu(G)}(FP_V, \Sigma_{G,R}^G)(G) \simeq V[i, G]. $$
**Preuve.** En appliquant la proposition précédente à $M = FP_V$, on obtient

$$ (FP_V \hat{\otimes} \Sigma_{G,R}^G) (G) = V[G]. $$

Le résultat est donc vrai pour $i = 0$.

Montrons le résultat pour $i \ge 1$.

Si $V$ est un $kG$-module de permutation alors $FP_V$ est un foncteur de Mackey cohomologique projectif donc pour $i \ge 0$

$$ \mathrm{Tor}_i^{\mathrm{copu}(G)} (FP_V, \Sigma_{G,R}^G) = 0. $$

Supposons maintenant que $V$ est un $kG$-module quelconque. Il existe un $kG$-module de permutation $L$ et un $kG$-module $W$ tels que la suite

$$ 0 \to FP_W \to FP_L \to FP_V \to 0 $$

est exacte.

On a la suite exacte longue

$$ \dots \to FP_W \hat{\otimes} \Sigma_{G,R}^G \to FP_L \hat{\otimes} \Sigma_{G,R}^G \to FP_V \hat{\otimes} \Sigma_{G,R}^G \to 0 $$

$$ \dots \to \mathrm{Tor}_1^{\mathrm{copu}(G)} (FP_L, \Sigma_{G,R}^G) \to \mathrm{Tor}_1^{\mathrm{copu}(G)} (FP_V, \Sigma_{G,R}^G) \to \dots $$

Or $L$ est un module de permutation donc pour $i > 0$

$$ \mathrm{Tor}_i^{\mathrm{copu}(G)} (FP_L, \Sigma_{G,R}^G) = 0. $$

Ainsi on a la suite exacte

$$ 0 \to \mathrm{Tor}_1^{\mathrm{copu}(G)} (FP_V, \Sigma_{G,R}^G) \to FP_W \hat{\otimes} \Sigma_{G,R}^G \to FP_L \hat{\otimes} \Sigma_{G,R}^G \to FP_V \hat{\otimes} \Sigma_{G,R}^G \to 0 $$

et donc la suite exacte

$$ 0 \to \mathrm{Tor}_1^{\mathrm{copu}(G)} (FP_V, \Sigma_{G,R}^G) (G) \to FP_W \hat{\otimes} \Sigma_{G,R}^G (G) \to FP_L \hat{\otimes} \Sigma_{G,R}^G (G) \to FP_V \hat{\otimes} \Sigma_{G,R}^G (G) \to 0. $$

Notons $f$ et $g$ les morphismes de la suite superexacte

$$ 0 \to W \xrightarrow{g} L \xrightarrow{f} V \to 0. $$

Notons

$$ \overline{f \otimes 1} $$

le morphisme de

$$ FP_V \hat{\otimes} \Sigma_{G,R}^G (G) $$
50

vers

$$FP_L \hat{\otimes} \Sigma_{G,R}^G (G)$$

qui, pour

$$v \in V^G$$

associe à la classe de l'élément

$$v \otimes 1$$

de $FP_V \hat{\otimes} \Sigma_{G,R}^G (G)$ la classe de

$$f(m) \otimes 1$$

dans $FP_L \hat{\otimes} \Sigma_{G,R}^G (G)$.

On définit de même $\overline{g \otimes 1}$.

Ainsi les suites exactes

$$0 \to V[1, G] \to W[G] \xrightarrow{g[G]} L[G] \xrightarrow{f[G]} V[G] \to 0$$

et

$$0 \to \operatorname{Tor}_1^{\operatorname{co}\mu(G)} (FP_V, \Sigma_{G,R}^G) (G) \to FP_W \hat{\otimes} \Sigma_{G,R}^G (G) \xrightarrow{g[1]} FP_L \hat{\otimes} \Sigma_{G,R}^G (G) \xrightarrow{f[1]} FP_V \hat{\otimes} \Sigma_{G,R}^G (G) \to 0$$

sont isomorphes.

Donc

$$\operatorname{Tor}_1^{\operatorname{co}\mu(G)} (FP_V, \Sigma_{G,R}^G) \simeq V[1, G].$$

Le résultat est donc vrai pour $i=1$.

Supposons le résultat vrai jusqu'à l'ordre $N$, où $N$ est un entier plus grand que 1.

On sait que pour $i \ge 2$

$$\operatorname{Tor}_i^{\operatorname{co}\mu(G)} (FP_L, \Sigma_{G,R}^G) = 0$$

donc pour $i \ge 2$, on a la suite exacte

$$0 \to \operatorname{Tor}_i^{\operatorname{co}\mu(G)} (FP_V, \Sigma_{G,R}^G) \to \operatorname{Tor}_{i-1}^{\operatorname{co}\mu(G)} (FP_W, \Sigma_{G,R}^G) \to 0.$$

Ainsi, pour $i \ge 2$

$$\operatorname{Tor}_i^{\operatorname{co}\mu(G)} (FP_V, \Sigma_{G,R}^G) \simeq \operatorname{Tor}_{i-1}^{\operatorname{co}\mu(G)} (FP_W, \Sigma_{G,R}^G).$$

De même pour $j \ge 1$

$$L[j, G] = 0$$

donc pour $i \ge 2$

$$V[i, G] \simeq W[i-1, G].$$
Par hypothèse de récurrence

$$ \mathrm{Tor}_{N-1}^{\mathrm{co}\mu(G)} (FP_W, \Sigma_{G,R}^G) (G) \simeq W[N-1, G] $$

donc

$$ \mathrm{Tor}_N^{\mathrm{co}\mu(G)} (FP_V, \Sigma_{G,R}^G) (G) \simeq V[N, G]. $$

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

**Remarque 6.1.5** Cet isomorphisme donne une expression de $V[i, G]$ indépendante d'une résolution choisie pour $V$. En effet,

$$ \mathrm{Tor}_i^{\mathrm{co}\mu(G)} (FP_V, \Sigma_{G,R}^G) (G) \simeq \mathrm{Tor}_i^{\mathrm{co}\mu(G)} (\Sigma_{G,R}^G, FP_V) (G) $$

et ceci ne dépend que d'une résolution projective de $\Sigma_{G,R}^G$.

**Remarque 6.1.6** D'après la proposition 3.1.2 on sait que pour tout sous-groupe $H$ de $G$ et pour tout entier naturel $i$ on a

$$ (\mathrm{Res}_H^G V) [i, H] \simeq V [i, H]. $$

Donc le quotient de Brauer supérieur en $G$ permet de déterminer tous les quotients de Brauer supérieurs sur les sous-groupes de $G$.

On a donc

$$ \begin{align*} V[i, H] &\simeq (\mathrm{Res}_H^G V) [i, H] \\ &\simeq \mathrm{Tor}_i^{\mathrm{co}\mu(H)} (FP_{\mathrm{Res}_H^G V}, \Sigma_{H,R}^H) (H) \\ &\simeq \mathrm{Tor}_i^{\mathrm{co}\mu(H)} (\mathrm{Res}_H^G FP_V, \Sigma_{H,R}^H) (H) \\ &\simeq \mathrm{Tor}_i^{\mathrm{co}\mu(G)} (FP_V, \mathrm{Ind}_H^G \Sigma_{H,R}^H) (H) \end{align*} $$

ainsi

$$ V[i, H] \simeq \mathrm{Tor}_i^{\mathrm{co}\mu(G)} (FP_V, \mathrm{Ind}_H^G \Sigma_{H,R}^H) (H) $$

## 6.2 Lien avec les foncteurs $\mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(G)}^i$

Le résultat qui suit est une version duale du théorème précédent :

**Théorème 6.2.1** Soit $i$ un entier naturel. Alors

$$ \mathrm{Hom}_R (V[i, G], \Sigma_{G,R}^G (G)) \simeq \mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(G)}^i (FP_V, \Sigma_{G,R}^G). $$
**Preuve.** La démonstration est analogue à la précédente.

Soit $(f_H)_{H \le G} \in \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(G)}(FP_V, \Sigma_{G,R}^G)$ alors pour $Q \le G$, on a le diagramme commutatif

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

Puisque

$$f_G \circ t_Q^G = 0$$

alors on peut définir le morphisme

$$\bar{f}_G : \left\{ \begin{array}{rcl} V[G] & \to & \Sigma_{G,R}^G(G) \\ \bar{x} & \mapsto & f(x) \end{array} \right.$$

où $\bar{x}$ désigne la classe de $x \in V^G$ dans $V[G]$.

On peut donc définir le morphisme

$$\phi : \left\{ \begin{array}{rcl} \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(G)}(FP_V, \Sigma_{G,R}^G) & \to & \operatorname{Hom}_R(V[G], \Sigma_{G,R}^G(G)) \\ (f_H)_{H \le G} & \mapsto & f \end{array} \right.$$

et

$$\psi : \left\{ \begin{array}{rcl} \operatorname{Hom}_R(V[G], \Sigma_{G,R}^G(G)) & \to & \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(G)}(FP_V, \Sigma_{G,R}^G) \\ f & \mapsto & (f_H)_{H \le G} \end{array} \right.$$

où

$$f_H = 0 \quad \text{si } H \neq G$$

et

$$f_G : \left\{ \begin{array}{rcl} V^G & \to & \Sigma_{G,R}^G(G) \\ x & \mapsto & f(\bar{x}) \end{array} \right.$$

Ces deux applications sont clairement inverses l'une de l'autre.

Donc

$$\operatorname{Hom}_R(V[G], \Sigma_{G,R}^G(G)) \simeq \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(G)}(FP_V, \Sigma_{G,R}^G).$$

Le résultat est donc vrai pour $i=0$.

Montrons le résultat pour $i \ge 1$.

Si $V$ est un $RG$-module de permutation alors

$$V[i, G] = 0$$

et $FP_V$ est un foncteur de Mackey cohomologique projectif donc pour $i \ge 0$

$$\operatorname{Ext}_{\operatorname{co}\mu(G)}^i(FP_V, \Sigma_{G,R}^G) = 0$$
donc le résultat est vrai pour les modules de permutation.

Supposons maintenant que $V$ est un $RG$-module quelconque, il existe un $RG$-module $L$ de permutation, un $RG$-module $W$ et deux $RG$-morphismes $f$ et $g$ tels que la suite

$$0 \to FP_W \xrightarrow{g} FP_L \xrightarrow{f} FP_V \to 0$$

est exacte.

On a la suite exacte

$$ \begin{aligned} 0 &\to \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(G)}(FP_V, \Sigma_{G,R}^G) \to \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(G)}(FP_L, \Sigma_{G,R}^G) \to \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(G)}(FP_W, \Sigma_{G,R}^G) \to \dots \\ &\to \operatorname{Ext}^1_{\operatorname{co}\mu(G)}(FP_V, \Sigma_{G,R}^G) \to \operatorname{Ext}^1_{\operatorname{co}\mu(G)}(FP_L, \Sigma_{G,R}^G) \to \operatorname{Ext}^1_{\operatorname{co}\mu(G)}(FP_W, \Sigma_{G,R}^G) \to \dots \\ &\dots \\ &\to \operatorname{Ext}^i_{\operatorname{co}\mu(G)}(FP_V, \Sigma_{G,R}^G) \to \operatorname{Ext}^i_{\operatorname{co}\mu(G)}(FP_L, \Sigma_{G,R}^G) \to \operatorname{Ext}^i_{\operatorname{co}\mu(G)}(FP_W, \Sigma_{G,R}^G) \to \dots \end{aligned} $$

Or $L$ est un module de permutation donc pour $i > 0$

$$\operatorname{Ext}^i_{\operatorname{co}\mu(G)}(FP_L, \Sigma_{G,R}^G) = 0.$$

Ainsi

$$ \begin{aligned} 0 &\to \underbrace{\operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(G)}(FP_V, \Sigma_{G,R}^G)}_{\operatorname{Hom}_R(V[G], \Sigma_{G,R}^G)} \xrightarrow{\operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(G)}(g, \Sigma_{G,R}^G)} \underbrace{\operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(G)}(FP_L, \Sigma_{G,R}^G)}_{\operatorname{Hom}_R(V[L], \Sigma_{G,R}^G)} \xrightarrow{\operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(G)}(f, \Sigma_{G,R}^G)} \dots \\ \dots &\to \underbrace{\operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(G)}(FP_W, \Sigma_{G,R}^G)}_{\operatorname{Hom}_R(W[G], \Sigma_{G,R}^G)} \to \operatorname{Ext}^1_{\operatorname{co}\mu(G)}(FP_V, \Sigma_{G,R}^G) \to 0 \end{aligned} $$

et pour $i \ge 2$

$$\operatorname{Ext}^i_{\operatorname{co}\mu(G)}(FP_V, \Sigma_{G,R}^G) \simeq \operatorname{Ext}^{i-1}_{\operatorname{co}\mu(G)}(FP_W, \Sigma_{G,R}^G). \quad (1)$$

D'autre part comme la suite

$$0 \to FP_W \to FP_L \to FP_V \to 0$$

est exacte, on a la suite exacte

$$0 \to V[1, G] \to W[G] \to L[G] \to V[G] \to 0$$

et pour $i \ge 2$

$$V[i, G] \simeq W[i-1, G].$$
Donc, la suite

$$
\begin{array}{r@{\;}c@{\;}l@{\quad}l@{\quad}l@{\quad}l}
0 & \to & \operatorname{Hom}_R(V[G], \Sigma_{G,R}^G(G)) &
    \operatorname{Hom}_R(g[G], \Sigma_{G,R}^G(G)) &
    \operatorname{Hom}_R(V[L], \Sigma_{G,R}^G(G)) &
    \operatorname{Hom}_R(f[G], \Sigma_{G,R}^G(G)) \\
\dots & \to & \operatorname{Hom}_R(W[G], \Sigma_{G,R}^G(G)) &
    \to & \operatorname{Hom}_R(V[1,G], \Sigma_{G,R}^G(G)) & \to 0
\end{array}
$$

est exacte.

L'isomorphisme démontré précédemment en degré 0 induit un isomor-
phisme des deux suites exactes

$$
\begin{array}{rcl}
0 & \to & \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(G)} (FP_V, \Sigma_{G,R}^G) \to \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(G)} (FP_L, \Sigma_{G,R}^G) \to \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(G)} (FP_W, \Sigma_{G,R}^G) \to \dots \\
& \to & \operatorname{Ext}^1_{\operatorname{co}\mu(G)} (FP_V, \Sigma_{G,R}^G) \to 0
\end{array}
$$

et

$$
\begin{array}{rcl}
0 & \to & \operatorname{Hom}_R (V[G], \Sigma_{G,R}^G (G)) \to \operatorname{Hom}_R (L[G], \Sigma_{G,R}^G (G)) \to \dots \\
\dots & \to & \operatorname{Hom}_R (W[G], \Sigma_{G,R}^G (G)) \to \operatorname{Hom}_R (V[1,G], \Sigma_{G,R}^G (G)) \to 0
\end{array}
$$

dont on déduit l'isomorphisme suivant :

$$
\operatorname{Hom}_R (V[1, G], \Sigma_{G,R}^G (G)) \simeq \operatorname{Ext}^1_{\operatorname{co}\mu(G)} (FP_V, \Sigma_{G,R}^G).
$$

Le résultat est donc vrai pour $i = 1$.

Supposons le résultat vrai jusqu’à l’ordre N.

Comme pour $i \ge 2$

$$
V[i, G] \simeq W[i-1, G]
$$

alors

$$
\operatorname{Hom}_R (V[i, G], \Sigma_{G,R}^G (G)) \simeq \operatorname{Hom}_R (W[i-1, G], \Sigma_{G,R}^G (G)).
$$

Par hypothèse de récurrence

$$
\operatorname{Hom}_R (W[N, G], \Sigma_{G,R}^G (G)) \simeq \operatorname{Ext}^N_{\operatorname{co}\mu(G)} (FP_W, \Sigma_{G,R}^G)
$$

donc par (1)

$$
\operatorname{Hom}_R (V[N+1, G], \Sigma_{G,R}^G (G)) \simeq \operatorname{Ext}^{N+1}_{\operatorname{co}\mu(G)} (FP_V, \Sigma_{G,R}^G).
$$

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

**Remarque 6.2.2** *Comme me l’a fait remarqué Peter Webb, ces résultats peuvent s’interpréter à partir des foncteurs ( introduits dans [12] )*

$$
\Delta_{H,U} = \mathrm{Ind}_{N(H)}^{G} \left( \mathrm{Inf}_{\overline{N(H)}}^{N(H)} FQ_U \right)
$$
et

$$ \nabla_{H,U} = \mathrm{Ind}_{N(H)}^{G} \left( \mathrm{Inf}_{\overline{N}(H)}^{N(H)} F P_{U} \right). $$

Dans le cas où M est un foncteur de Mackey cohomologique, G est un p-groupe, H un sous-groupe de G et i un entier naturel, on obtient en effet :

$$ \Delta_{H, \mathrm{Ind}_H^{N(H)} R} \otimes_{\mu_R(G)} M \simeq \overline{M}(H) $$

ce qui en définissant le quotient de Brauer supérieur pour les foncteurs de Mackey cohomologiques, donne le résultat

$$ \mathrm{Tor}_i(M, \Delta_{H, \mathrm{Ind}_H^{N(H)} R}) \simeq M[i, H]. $$

De manière similaire, on obtiendrait

$$ \mathrm{Hom}_R(M[i, H], R) \simeq \mathrm{Ext}^i_{\mathrm{co}\mu(G)}(M, \mathrm{Ind}_H^G \nabla_{H,U}). $$

Ces résultats n'ont de sen à proprement parler que si H est ju p-groupe car en général S$_{H,R}$ n'est pas cohomologique pour un groupe quelconque. Dans le cas contraire toutefois, les quotients de Brauer sont nuls. Ces formules sont donc plus générales. Cependant, le lemme 5.0.9 montre que dans une large mesure, l'étude des foncteurs de points fixes est suffisante.
<figure><img src="image_23.png" /></figure>
# Troisième partie

## Constructions de superrésolutions
<figure><img src="image_24.png" /></figure>
# Chapitre 7

## Une construction explicite de $V[i, H]$

L'expression trouvée dans la partie précédent ne donne pas une construction explicite pour $V[i, H]$.

Le but de cette partie est de trouver une telle construction.

Nous introduirons pour cela un analogue de la “résolution barre” en co-homologie des groupes.

### 7.1 Construction d'une suite superexacte

Dans cette section $R$ est un anneau quelconque et $V$ un $RG$-module quelconque.

**Définition 7.1.1 On pose**

$$ \Omega = \bigsqcup_{H \leq G} G/H $$

et

$$ \mathcal{F}(\Omega, V) = \{ f : \Omega \to V \mid \forall \omega \in \Omega, f(\omega) \in V^{G_{\omega}} \}. $$

**Définition 7.1.2 Soit $\omega \in \Omega$ et $v \in V^{G_\omega}$. Alors, pour $\omega' \in \Omega$ on pose**

$$ \delta_{\omega,v}(\omega') = \begin{cases} v & \text{si } \omega = \omega' \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}. $$

Il est clair dans ces conditions que $\delta_{\omega,v} \in \mathcal{F}(\Omega, V)$.

**Définition 7.1.3 Pour $\omega \in \Omega$, on pose $W_\omega := \langle \delta_{\omega,v}, v \in V^{G_\omega} \rangle_R \subseteq \mathcal{F}(\Omega, V)$**.
On va faire agir $G$ sur $\mathcal{F}(\Omega, V)$ : soit $x \in G$, $f \in \mathcal{F}(\Omega, V)$ et $\omega \in \Omega$ on pose

$$ (xf)(\omega) := xf(x^{-1}\omega). $$

**Proposition 7.1.4** *Cette définition fait de $\mathcal{F}(\Omega, V)$ un RG-module.*

**Preuve.** Il est clair que $\mathcal{F}(\Omega, V)$ est un $R$-module.

Soit $x \in G$ et $f \in \mathcal{F}(\Omega, V)$. Il faut montrer que

$$ xf \in \mathcal{F}(\Omega, V). $$

Soit $\omega \in \Omega$ et $y \in G_\omega$. Alors $y\omega = \omega$, donc

$$ \begin{aligned} x^{-1}yxx^{-1}\omega &= x^{-1}y\omega \\ &= x^{-1}\omega. \end{aligned} $$

ainsi

$$ x^{-1}yx \in G_{x^{-1}\omega}. $$

Il vient

$$ x^{-1}yxf(x^{-1}\omega) = f(x^{-1}\omega). $$

Ainsi

$$ \begin{aligned} y[(xf)(\omega)] &= yxf(x^{-1}\omega) \\ &= xf(x^{-1}\omega) \\ &= (xf)(\omega). \end{aligned} $$

De plus, il est clair que l'application $f \to xf$ est $R$-linéaire pour tout $x \in G$. ■

**Définition 7.1.5** Soit $s_V$ l'application définie de la manière suivante

$$ s_V : \begin{cases} \mathcal{F}(\Omega, V) & \to V \\ f & \mapsto \sum_{\omega \in \Omega} f(\omega) \end{cases}. $$

**Remarque 7.1.6** Il est clair avec les définitions précédentes que pour $g \in G$, $\omega \in \Omega$ et $v \in V^{G_\omega}$ on a

$$ g \cdot \delta_{\omega, v} = \delta_{g\omega, gv} $$
**Proposition 7.1.7** $s_V$ est un RG-morphisme supersurjectif.

**Preuve.**

- $s_V$ est un RG-morphisme : il est clair que $s_V$ est R-linéaire en $f$.

Soit $x \in G$ et $f \in \mathcal{F}(\Omega, V)$ alors

$$ 
\begin{align*}
s_V(xf) &= \sum_{\omega \in \Omega} (xf)(\omega) \\
&= \sum_{\omega \in \Omega} xf(x^{-1}\omega) \\
&= \sum_{\omega \in x^{-1}\Omega} xf(\omega) \\
&= \sum_{\omega \in \Omega} xf(\omega).
\end{align*}
$$

Donc $s_V(xf) = xs_V(f)$.

- $s_V$ est supersurjective : soit $H$ un sous-groupe de $G$ et $v$ un élément de $V^H$.

En considérant $H$ comme un élément de $G/H \subseteq \Omega$, on a

$$ s_V(\delta_{H,v}) = v. $$

De plus $\forall h \in H$,

$$ 
\begin{align*}
h\delta_{H,v} &= \delta_{hH,hv} \\
&= \delta_{H,v}.
\end{align*}
$$

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

Puisque $s_V : \mathcal{F}(\Omega, V) \to V$ est supersurjective, on construit par récurrence une suite superexacte de la manière suivante :

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

On regarde le noyau de $s_V$ puis on cherche une flèche supersurjective arrivant dans ce noyau, le morphisme $s_{\ker s_V}$ convient. On a ainsi le second module d'une suite superexacte commençant en $V$.

**Définition 7.1.8** On notera $\mathbb{F}(\Omega, V)$ la suite superexacte ainsi obtenue.
**Définition 7.1.9** Pour tout $n$ au moins égal à 1, on note

$$ \mathcal{F}_n (\Omega, V) $$

l'ensemble des applications

$$ \gamma : \Omega^n \to V $$

telles que $\forall \omega \in \Omega, (i, j) \in [1, n] \times [2, n]$

$$ \sum_{\omega \in \Omega} \gamma(-, \dots, -, \underset{j \text{ème}}{\omega}, -, \dots, -) = 0 $$

et $\forall (\omega_1, \dots, \omega_n) \in \Omega^n, \forall x \in G,$

$$ x.\omega_i = \omega_i \Rightarrow x\gamma(\omega_1, \dots, \omega_i, x^{-1}\omega_{i+1}, \dots, x^{-1}\omega_n) = \gamma(\omega_1, \dots, \omega_n). $$

**Définition 7.1.10** Pour tout $n$ au moins égal à 1, on note

$$ \mathcal{K}_n (\Omega, V) $$

l'ensemble des applications

$$ \gamma : \Omega^n \to V $$

telles que $\forall \omega \in \Omega \text{ et } i \in [1, n]$

$$ \sum_{\omega \in \Omega} \gamma(-, \dots, -, \underset{i \text{ème}}{\omega}, -, \dots, -) = 0 $$

**Définition 7.1.11** Pour tout entier $n > 1$.

$$ s_n \left\{ \begin{array}{lcl} \mathcal{F}_n (\Omega, V) & \to & \mathcal{F}_{n-1} (\Omega, V) \\ \gamma (-, \dots, -) & \mapsto & \sum_{\omega \in \Omega} \gamma (\omega, -, \dots, -) \end{array} \right. . $$

Avec ces définitions $\mathcal{F}_1 (\Omega, V)$ s'identifie à $\mathcal{F} (\Omega, V)$ et $s_1$ s'identifie à $s_V$.
On fait agir $G$ sur ces ensembles de la manière suivante :

Soit $x \in G, (\omega_1, \dots, \omega_n) \in \Omega^n \text{ et } \gamma \in \mathcal{F}_n (\Omega, V) \text{ ou } \mathcal{K}_n (\Omega, V) \text{ alors}$

$$ (x\gamma)(\omega_1, \dots, \omega_n) = x\gamma(x^{-1}\omega_1, \dots, x^{-1}\omega_n). $$

Vérifions que cela définit bien une action : soit $x \in G$, soit $(\omega_1, \dots, \omega_n) \in \Omega^n$ et $\gamma \in \mathcal{F}_n (\Omega, V)$ ou $\mathcal{K}_n (\Omega, V)$ alors
– pour $j \in [1, n]$

$$ 
\begin{aligned}
\sum_{\omega_j \in \Omega} (x\gamma)(\omega_1, \dots, \omega_j, \dots, \omega_n) &= x \cdot \sum_{\omega_j \in \Omega} \gamma(x^{-1}\omega_1, \dots, x^{-1}\omega_j, \dots, x^{-1}\omega_n) \\
&= x \cdot \sum_{\omega_j \in \Omega} \gamma(x^{-1}\omega_1, \dots, \omega_j, \dots, x^{-1}\omega_n)
\end{aligned}
$$

donc si

$$ \sum_{\omega \in \Omega} \gamma(-, \dots, -, \underset{j \text{ème}}{\omega \uparrow}, -, \dots, -) = 0 $$

alors

$$ \sum_{\omega \in \Omega} (x\gamma)(-, \dots, -, \underset{j \text{ème}}{\omega \uparrow}, -, \dots, -) = 0. $$

– Supposons que $i \in [1, n]$ et $\forall y \in G$, $y.\omega_i = \omega_i$ alors, en posant $z = x^{-1}yx$,
on a

$$ 
\begin{aligned}
y(x\gamma)(\omega_1, \dots, \omega_i, y^{-1}\omega_{i+1}, \dots, y^{-1}\omega_n) &= y\gamma(x^{-1}\omega_1, \dots, x^{-1}\omega_i, x^{-1}y^{-1}\omega_{i+1}, \dots, x^{-1}y^{-1}\omega_n) \\
&= y\gamma(x^{-1}\omega_1, \dots, x^{-1}\omega_i, z^{-1}x^{-1}\omega_{i+1}, \dots, z^{-1}x^{-1}\omega_n).
\end{aligned}
$$

Or

$$ y.\omega_i = \omega_i \Rightarrow \underbrace{x^{-1}yx.x^{-1}\omega_i}_{z} = x^{-1}\omega_i. $$

Donc

$$ z.\gamma(x^{-1}\omega_1, \dots, x^{-1}\omega_i, z^{-1}x^{-1}\omega_{i+1}, \dots, z^{-1}x^{-1}\omega_n) = \gamma(x^{-1}\omega_1, \dots, x^{-1}\omega_i, x^{-1}\omega_{i+1}, \dots, x^{-1}\omega_n) $$

Ainsi

$$ 
\begin{aligned}
yx.\gamma(x^{-1}\omega_1, \dots, x^{-1}\omega_i, z^{-1}x^{-1}\omega_{i+1}, \dots, z^{-1}x^{-1}\omega_n) &= x\gamma(x^{-1}\omega_1, \dots, x^{-1}\omega_i, x^{-1}\omega_{i+1}, \dots, x^{-1}\omega_n) \\
&= (x\gamma)(\omega_1, \dots, \omega_n).
\end{aligned}
$$

Donc

$$ y(x\gamma)(\omega_1, \dots, \omega_i, y^{-1}\omega_{i+1}, \dots, y^{-1}\omega_n) = (x\gamma)(\omega_1, \dots, \omega_n). $$

Ainsi $\mathcal{F}_n(\Omega, V)$ et $\mathcal{K}_n(\Omega, V)$ sont munis d'une structure de RG-module.

**Théorème 7.1.12** *Le complexe $\mathbb{F}(\Omega, V)$ est isomorphe au complexe*

$$ \dots \to \mathcal{F}_n(\Omega, V) \xrightarrow{s_n} \mathcal{F}_{n-1}(\Omega, V) \to \dots \to \mathcal{F}_1(\Omega, V) \to V \to 0 $$

$$ \text{où } s_n : \gamma(-, \dots, -) \to \sum_{\omega \in \Omega} \gamma(\omega, -, \dots, -). $$
**Preuve.** Pour tout entier $n \ge 1$, notons $M_n$ le $n^{\text{ième}}$ module du complexe $\mathbb{F}(\Omega, V)$ et $t_{n+1}$ le morphisme de $M_{n+1}$ dans $M_n$.

On va construire par récurrence une suite de RG-isomorphismes $(\phi_n)_{n \ge 0}$ telle que pour tout entier $n \ge 0$, le diagramme

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

soit commutatif.

Comme

$$s = s_1$$

et

$$\mathcal{F}_1(\Omega, V) = \mathcal{F}(\Omega, V)$$

alors le diagramme

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

est commutatif.

Soit $N$ un entier tel que l'on ait des RG-isomorphismes $(\phi_n)_{n \le N}$ et tel que le diagramme

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

soit commutatif.

Posons $K = \ker(t_N)$.

On a

$$M_{N+1} = \mathcal{F}(\Omega, K)$$

et

$$t_{N+1} = s_{M_N}.$$

Posons

$$\phi_{N+1} : \left\{ \begin{array}{rcl} \mathcal{F}(\Omega, K) & \to & \mathcal{F}_{N+1}(\Omega, V) \\ f & \mapsto & (\omega_1, \dots, \omega_{N+1}) \mapsto \phi_N(f(\omega_1))(\omega_2, \dots, \omega_{N+1}) \end{array} \right. .$$
Comme

$f(\omega_1) \in K$

alors

$\phi_N(f(\omega_1)) \in \ker(s_N).$

Donc

$\phi_{N+1}(f) \in \mathcal{F}_{N+1}(\Omega, V).$

Soit $f \in \mathcal{F}(\Omega, K)$ et $g \in G$ alors

$$
\begin{align*}
\phi_{N+1}(gf)(\omega_1, \dots, \omega_{N+1}) &= \phi_N(g.f(g^{-1}\omega_1))(\omega_2, \dots, \omega_{N+1}) \\
&= g.\phi_N(f(g^{-1}\omega_1))(\omega_2, \dots, \omega_{N+1}) \\
&= \phi_N(f(g^{-1}\omega_1))(g^{-1}\omega_2, \dots, g^{-1}\omega_{N+1}) \\
&= (g\phi_{N+1})(\omega_1, \dots, \omega_{N+1}).
\end{align*}
$$

Soit $f \in \mathcal{F}_{N+1}(\Omega, V)$ alors $\forall \omega \in \Omega$

$f(\omega, -, \dots, -) \in \mathcal{F}_N(\Omega, V).$

On peut donc considérer le RG-morphisme

$$
\left\{
\begin{array}{rcl}
\mathcal{F}_{N+1}(\Omega, V) & \to & \mathcal{F}(\Omega, K) \\
f & \mapsto & \omega \mapsto \phi_N^{-1}(f(\omega, -, \dots, -)).
\end{array}
\right.
$$

qui est clairement l'application inverse de $\phi_{N+1}$.

Ainsi $\phi_{N+1}$ est un RG-isomorphisme et $\phi_{N+1}$ est construite de manière à ce que le diagramme

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

soit commutatif. ■

Dans la suite de cette partie, nous aurons besoin du résultat suivant

**Proposition 7.1.13** *Soit V un RG-module alors*

$$
\mathcal{F}(\Omega, V) \simeq_{RG} \bigoplus_{Q \le G} R(G/Q) \otimes_R V^Q.
$$
**Preuve.** Considérons les applications $\phi$ et $\psi$

$$ \phi: \left\{ \begin{array}{rcl} \mathcal{F}(\Omega, V) & \to & \bigoplus_{Q \le G} R(G/Q) \otimes_R V^Q \\ f & \mapsto & \sum_{Q \le G} \sum_{g \in [G/Q]} gQ \otimes g^{-1} \cdot f(gQ) \end{array} \right. $$

et

$$ \psi: \left\{ \begin{array}{rcl} \bigoplus_{Q \le G} R(G/Q) \otimes_R V^Q & \to & \mathcal{F}(\Omega, V) \\ gQ \otimes v & \mapsto & \delta_{gQ, gv} \end{array} \right. . $$

On sait que

$$ f(gQ) \in V^{G_{gQ}} = gV^Q $$

donc $\phi$ est bien définie et ne dépend pas des systèmes de représentants des classes $G/Q$ choisis dans la définition.

Montrons que $\phi$ et $\psi$ sont des RG-morphismes.

Soit $g' \in G$ et $f \in \mathcal{F}(\Omega, V)$ alors

$$ \begin{align*} \phi(g'f) &= \sum_{Q \le G} \sum_{g \in [G/Q]} gQ \otimes g^{-1} g'. f((g')^{-1} gQ) \\ &= \sum_{Q \le G} \sum_{g \in [G/Q]} g' gQ \otimes g^{-1} f(gQ) \\ &= g'. \phi(f). \end{align*} $$

Soit $Q \le G$ et $gQ \otimes v \in R(G/Q) \otimes_R V^Q$ alors

$$ \begin{align*} \psi(g'gQ \otimes v) &= \delta_{g'gQ, g'gv} \\ &= g' \delta_{gQ, gv} \\ &= g' \psi(gQ \otimes v). \end{align*} $$

Montrons à présent que $\phi$ et $\psi$ sont inverses l'un de l'autre.

Soit $f \in \mathcal{F}(\Omega, V)$ alors

$$ \begin{align*} \psi \circ \phi(f) &= \psi \left( \sum_{Q \le G} \sum_{g \in [G/Q]} gQ \otimes g^{-1} \cdot f(gQ) \right) \\ &= \sum_{Q \le G} \sum_{g \in [G/Q]} \delta_{gQ, f(gQ)} \\ &= f. \end{align*} $$

Enfin, soit $Q \le G$ et $gQ \otimes v \in R(G/Q) \otimes_R V^Q$ alors

$$ \begin{align*} \phi \circ \psi (gQ \otimes v) &= \phi (\delta_{gQ, gv}) \\ &= \sum_{Q \le G} \sum_{g' \in [G/Q]} g'Q \otimes (g')^{-1} \delta_{gQ, gv} (g'Q) \end{align*} $$
Or $\delta_{gQ, gv}$ est non nul pour $g'Q = gQ$ donc

$$ \begin{aligned} \phi \circ \psi (gQ \otimes v) &= gQ \otimes (g)^{-1} \cdot \delta_{gQ, gv} (gQ) \\ &= gQ \otimes (g)^{-1} \cdot gv \\ &= gQ \otimes v. \end{aligned} $$

■

## 7.2 Cas des points fixes $R$-plats

Dans cette section, on se placera dans le cas d'un $p$-groupe et je vais montrer que sous certaines hypothèses le $i$-ème groupe d'homologie de la suite superexacte précédente est isomorphe à $V[i, P]$.

**Lemme 7.2.1** *Soit $U$ un $RP$-module. Si $U^P$ est un module $R$-plat alors*

$$ \mathcal{F}(\Omega, U)[i, P] = 0. $$

**Preuve.** On sait d'après la proposition précédente

$$ \mathcal{F}(\Omega, U) \simeq_{RP} \bigoplus_{Q \leq P} R(P/Q) \otimes_R U^Q. $$

Or

$$ \bigoplus_{Q \leq P} R(P/Q) \otimes_R U^Q = \mathrm{Ind}_Q^P U^Q. $$

Rappelons la formule d'induction : pour tout $RG$-module $V$, pour tous sous-groupes $H$ et $Q$ de $G$ et pour tout entier naturel $i$ on a

$$ (\mathrm{Ind}_H^G V)[i, Q] \simeq \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \text{si } Q \not\subset H \\ \sum_{x \in \bar{T}_G(Q, H)} \mathrm{Ind}_{N_{H^{x-1}}(Q)}^{N_G(Q)} (V[i, Q^x]^{x-1}) & \text{si } Q \subset H. \end{array} \right. $$

Ce qui donne, pour tout entier $i$ et pour $Q < P$

$$ (\mathrm{Ind}_Q^P U^Q)[i, P] = 0. $$

Il ne reste donc que le cas $Q = P$.

Le groupe $P$ agit trivialment sur le $RP$-module $V^P$ donc n'importe quelle résolution de $V^P$ par des $R$-modules libres va constituer une superrésolution de $V^P$ comme $RP$-module.
Soit

$$ \rightarrow R_2 \rightarrow R_1 \rightarrow R_0 \rightarrow V^P \rightarrow 0 $$

une telle résolution.

Le module $V[i, H]$ est par définition le $i$-ème module d'homologie du complexe

$$ \dots \rightarrow R_2[P] \rightarrow R_1[P] \rightarrow R_0[P] \rightarrow 0. $$

Ce complexe est isomorphe au complexe

$$ \rightarrow R_2 \otimes (R/pR) \rightarrow R_1 \otimes (R/pR) \rightarrow R_0 \otimes (R/pR) \rightarrow 0. $$

Donc,

$$ V^P[i, P] \simeq \operatorname{Tor}_i^R(V^P, R/pR). $$

Et comme $V^P$ est un $R$-module $R$-plat alors $\operatorname{Tor}_i^R(V^P, R/pR) = 0$ donc

$$ V^P[i, P] = 0. $$

Et donc

$$ \mathcal{F}(\Omega, U)[i, P] = 0. $$

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

**Lemme 7.2.2** Soit $U$ un $RP$-module. Supposons que pour tout sous-groupe $Q$ de $P$, le $R$-module $U^Q$ est $R$-plat. Soit $K$ le noyau de $\mathcal{F}(\Omega, U) \rightarrow U$. Alors la suite

$$ 0 \rightarrow K \rightarrow \mathcal{F}(\Omega, U) \rightarrow U \rightarrow 0 $$

est superexacte et pour tout sous-groupe $Q$ de $P$, le $R$-module $K^Q$ est $R$-plat.

**Preuve.** On sait que

$$ \mathcal{F}(\Omega, U) \simeq_{RP} \bigoplus_{Q \leq P} R(P/Q) \otimes_R U^Q. $$

Comme pour tout sous-groupe $Q$ de $P$ le module $U^Q$ est $R$-plat alors d'après le théorème 3.2.1,

$$ \mathcal{F}(\Omega, U)^Q \simeq_{RP} \bigoplus_{Q' \le P} (R(P/Q'))^Q \otimes_R U^{Q'} $$

Le $R$-module $(R(P/Q'))^Q$ est un $R$-module libre de base $[Q\setminus P/Q']$, donc on a un isomorphisme de $R$-modules

$$ (R(P/Q'))^Q \otimes_R U^{Q'} = \bigoplus_{1}^{[Q\setminus P/Q'] } U^{Q'}. $$
Comme pour tout sous-groupe $Q'$ de $P$, le $R$-module $U^{Q'}$ est $R$-plat, alors $(R(P/Q'))^Q \otimes_R U^{Q'}$ est $R$-plat donc

$$ \bigoplus_{Q' \le P} (R(P/Q'))^Q \otimes_R U^{Q'} \text{ est } R\text{-plat} $$

et donc

$$ \mathcal{F}(\Omega, U)^Q \text{ est } R\text{-plat.} $$

D'après le lemme 7.2.2 la suite

$$ 0 \to K \to \mathcal{F}(\Omega, U) \to U \to 0 $$

est superexacte. Alors pour tout sous-groupe $Q$ de $P$, la suite

$$ 0 \to K^Q \to \mathcal{F}(\Omega, U)^Q \to U^Q \to 0 $$

est exacte.

Pour conclure, il suffit d'utiliser le lemme suivant :

**Lemme 7.2.3** Soit $A, B$ et $C$ trois $R$-modules tels que $A$ et $B$ soient $R$-plats. Supposons qu'il existe une suite exacte de $R$-modules

$$ 0 \to C \to B \to A \to 0 $$

alors $C$ est $R$-plat.

**Preuve.** A partir de cette suite exacte courte, pour tout $R$-module $W$ on a la suite exacte longue d'homologie suivante

$$ \dots \to C \otimes_R W \to B \otimes_R W \to A \otimes_R W \to 0 \\ \dots \to \operatorname{Tor}_2^R(A, W) \to \operatorname{Tor}_1^R(C, W) \to \operatorname{Tor}_1^R(B, W) \to \operatorname{Tor}_1^R(A, W) \to \dots $$

Comme $A$ et $B$ sont $R$-plats alors pour tout entier $i \ge 1$, on a

$$ \operatorname{Tor}_i^R(A, W) = \operatorname{Tor}_i^R(B, W) = 0. $$

Et donc pour tout entier $i \ge 1$, on a $\operatorname{Tor}_i^R(C, W) = 0$ donc $C$ est $R$-plat.

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

Comme $U^Q$ et $\mathcal{F}(\Omega, U)^Q$ sont $R$-plats alors pour tout sous-groupe $Q$ de $P$, le $R$-module $K^Q$ est $R$-plat.

Comme pour tout entier $n \ge 0$, on a

$$ \mathcal{F}(\Omega, \mathcal{K}_n(\Omega, V)) \simeq_{RP} \mathcal{F}_{n+1}(\Omega, V) $$

alors par récurrence

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \forall i \in \mathbb{N}^*, \text{ on a } \mathcal{F}_n(\Omega, V)[i, P] = 0. $$

Ainsi le $i$-ème groupe d'homologie du complexe ( théorème 7.5 [6] )

$$ \dots \to \mathcal{F}_1(\Omega, V) \to \mathcal{F}_0(\Omega, V) \to V \to 0 $$

est isomorphe à $V[i, P]$.
## 7.3 Cas d'un module projectif pour un anneau héréditaire

**Proposition 7.3.1** *Soit $R$ un anneau héréditaire et $V$ un RP-module $R$-projectif. Alors pour tout entier $n \ge 0$,*

*$\mathcal{F}_n(\Omega, V)$ est un RP-facteur de permutation.*

**Preuve.** Dans un premier temps montrons que $\mathcal{F}(\Omega, V)$ est un RP-facteur de permutation.

On a

$$ \mathcal{F}(\Omega, V) \simeq_{RP} \bigoplus_{Q \le P} R(P/Q) \otimes_R V^Q. $$

Comme $V$ est $R$-projectif et comme $R$ est héréditaire alors tout sous-module de $V$ est $R$-projectif donc pour tout sous-groupe $Q$ de $P$ le $R$-module $V^Q$ est $R$-projectif.

Ainsi, pour tout $Q \le P$, il existe un $R$-module libre $L_Q$ tel que $V^Q$ est un facteur direct de $L_Q$.

Ainsi

$$ R(P/Q) \otimes_R V^Q $$

est facteur direct en tant que RP-module de

$$ R(P/Q) \otimes_R L_Q $$

qui est un RP-module de permutation.

Donc $\mathcal{F}(\Omega, V)$ est un RP-facteur de permutation.

Soit $K$ le noyau de la flèche naturelle

$$ \mathcal{F}(\Omega, V) \to V. $$

Comme $\mathcal{F}(\Omega, V)$ est un RP-facteur de permutation, il est en particulier $R$-projectif.

Ainsi tout sous-module de $\mathcal{F}(\Omega, V)$ est $R$-projectif, en particulier $K$.

Comme pour tout entier $n \ge 0$, on a

$$ \mathcal{F}(\Omega, K_n(\Omega, V)) \simeq_{RP} \mathcal{F}_{n+1}(\Omega, V) $$

alors par récurrence, pour tout entier $n > 0$,

*$\mathcal{F}_n(\Omega, V)$ est un RP-facteur de permutation.*

■
## 7.4 Cas où $R$ est un corps

Dans cette section $R = k$.

**Proposition 7.4.1** *L'ensemble $\mathcal{A} = \{\delta_{\omega,v} , \omega \in \Omega \text{ et } v \in B (V^{P_{\omega}}) \}$, où $B (V^{P_{\omega}})$ est une $k$-base de $V^{P_{\omega}}$, est une $k$-base de $\mathcal{F} (\Omega, V)$.*

**Preuve.** Montrons que $\mathcal{A}$ est une $k$-base de $\mathcal{F}(\Omega, V)$

1. $\mathcal{A}$ engendre $\mathcal{F}(\Omega, V)$ : soit $f \in \mathcal{F}(\Omega, V)$ alors $f(\omega) \in V^{P_{\omega}}$. Ainsi il existe $(\alpha_{\omega,1}, \dots, \alpha_{\omega,n}) \in k^n$ et $(v_{\omega,1}, \dots, v_{\omega,n}) \in (V^{P_{\omega}})^n$ tels que $f(\omega) = \sum_{i=1}^n \alpha_{\omega,i} v_{\omega,i}$.
Donc $f = \sum_{\omega \in \Omega} \sum_{i=1}^n \alpha_{\omega,i} \delta_{\omega, v_{\omega,i}}$.

2. $\mathcal{A}$ est une famille libre : Soit $(\alpha_1, \dots, \alpha_n, \omega_1, \dots, \omega_n) \in k^n \times \Omega^n$. Soient $\Omega'$ une partie de $\Omega$ et pour tout $\omega \in \Omega'$, $v_{\omega,1}, \dots, v_{\omega,n_{\omega}}$ des éléments distincts de $B(V^{P_{\omega}})$ et $\alpha_{\omega,1}, \dots, \alpha_{\omega,n_{\omega}}$ des éléments de $R$.
Supposons que

$$ \sum_{\omega \in \Omega'} \sum_{i=1}^{n_{\omega}} \alpha_{\omega,i} \delta_{\omega, v_{\omega,i}} = 0 \\ \text{donc } \forall \omega \in \Omega' \qquad \sum_{i=1}^{n_{\omega}} \alpha_{\omega,i} v_{\omega,i} = 0. $$

Comme $v_{\omega,1}, \dots, v_{\omega,n_{\omega}}$ sont des éléments distincts de $B(V^{P_{\omega}})$, qui est une $k$-base de $V^{P_{\omega}}$ alors pour $1 \le i \le n_{\omega}$

$\alpha_{\omega,i} = 0.$

■

**Proposition 7.4.2** *$\mathcal{F}(\Omega, V)$ est un $kP$-module de permutation de $k$-base* $$ \{g\delta_{\omega,v} / \omega \in [P\setminus\Omega], g \in [P/P_{\omega}] \text{ et } v \in B(V^{P_{\omega}})\}. $$

**Preuve.** Utilisons pour cela le $kP$-isomorphisme

$$ \phi \left\{ \begin{array}{rcl} \mathcal{F}(\Omega, V) & \to & \bigoplus_{Q \le P} k(P/Q) \otimes_k V^Q \\ f & \mapsto & \sum_{Q \le P} \sum_{g \in [P/Q]} gQ \otimes g^{-1} \cdot f(gQ) \end{array} \right. . $$

L'ensemble

$$ \{g\delta_{\omega,v} / \omega \in [P\setminus\Omega], g \in [P/P_{\omega}] \text{ et } v \in B(V^{P_{\omega}})\} $$
est envoyé par $\phi$ sur

$$ \{ gQ \otimes_k v \setminus g \in [P/Q] \text{ et } v \in B(V^Q) \} $$

qui est clairement invariant par $P$.

Ainsi $\mathcal{F}(\Omega, V)$ est un module de permutation. ■

**Théorème 7.4.3** *Pour tout entier naturel $i$, on a*

$$ V[i, P] = \{ g \in \mathcal{K}_i(\Omega, V)^P / g(P, \bullet, \dots, \bullet) = 0 \} / \{ l(P, \bullet, \dots, \bullet) / l \in \mathcal{K}_{i+1}(\Omega, V)^P \}. $$

**Preuve.** On a l'isomorphisme

$$ \phi \left\{ \begin{array}{rcl} \mathcal{F}(\Omega, V) & \to & \bigoplus_{Q \le P} k(P/Q) \otimes_k V^Q \\ f & \mapsto & \sum_{Q \le P} \sum_{g \in [P/Q]} gQ \otimes g^{-1} \cdot f(gQ) \end{array} \right. . $$

Comme

$$ k(P/Q) \otimes_k V^Q = \mathrm{Ind}_Q^P (V^Q) $$

alors

$$ \left( \bigoplus_{Q \le P} k(P/Q) \otimes_k V^Q \right) [P] = (k \otimes_k V^P) [P] \\ = k \otimes_k V^P \simeq V^P $$

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

On a donc l'isomorphisme

$$ \begin{array}{rcl} \mathcal{F}(\Omega, V)[P] & \to & k \otimes_k V^P \to V^P \\ \bar{f} & \to & P \otimes_{kP} f(P) \to f(P) \end{array} . $$

et on peut définir le morphisme inverse

$$ \begin{array}{rcl} V^P & \to & k \otimes_k V^P \to \mathcal{F}(\Omega, V)[P] \\ v & \to & P \otimes_{kP} v \to \frac{\bar{f}}{\delta_{P,v}} \end{array} $$

Ce qui donne

$$ \begin{array}{rcl} \mathcal{F}(\Omega, V)[P] & \to & V^P \\ \bar{f} & \to & f(P) \\ \frac{\bar{f}}{\delta_{P,v}} & \to & v \end{array} $$
Reportons cela dans la résolution de $V[P]$.

$$ \dots \rightarrow \mathcal{F}(\Omega, \mathcal{K}_{n-1})[P] \simeq \mathcal{F}_n(\Omega, V)[P] \rightarrow \mathcal{F}\left(\frac{\Omega, \mathcal{K}_{n-2}}{\delta_{P,g}}\right)[P] \simeq \mathcal{F}_{n-1}(\Omega, V)[P] \rightarrow \dots \\ \rightarrow \sum_{\omega \in \Omega} \delta_{P,g}(\omega) = \delta_{P,g}(P) = \bar{g} \\ \\ \dots \rightarrow \underset{\substack{\uparrow \\ \mathcal{K}_{n-1}^P \\ g}}{\rightarrow} \underset{\substack{\downarrow \\ \mathcal{K}_{n-2}^P \\ g(P, \cdot, \dots, \cdot)}}{\rightarrow} \dots $$

On a donc

$$ V[i, P] = \{g \in \mathcal{K}_i^P \mid g(P, \cdot, \dots, \cdot) = 0\} / \{l(P, \cdot, \dots, \cdot) \mid l \in \mathcal{K}_{i+1}^P\}. $$
<figure><img src="image_34.png" /></figure>
# Chapitre 8

## Construction d'une superrésolution minimale

Dans ce chapitre, on considérera le groupe $P$ et l'anneau de base sera le corps $k$. Le $kP$-module $V$ sera supposé de type fini, c'est-à-dire de dimension finie sur $k$.

Dans ces conditions, la notion de superrésolution minimale de $V$ a un sens.

### 8.1 Construction

Le chapitre précédent donne une construction explicite des quotients de Brauer supérieurs. Cependant, les espaces qui apparaissent dans cette formule sont assez “gros”. Cela vient du fait que la résolution $\mathbb{F}(\Omega, V)$ n’est généralement pas minimale. Il semble difficile de calculer sur un exemple précis les quotients de Brauer supérieurs par cette méthode. Le but de ce chapitre est de fournir une construction permettant de calculer une superrésolution minimale de $V$.

Le but de cette construction est donc de trouver un $P$-ensemble $X$ de taille minimale tel que la flèche

$$kX \to V$$

soit supersurjective.

**Définition 8.1.1** Pour un foncteur de Mackey $M$ sur $P$ et pour un sous-groupe $Q$ de $P$, on pose

$$M[[Q]] = M(Q) / \left\{ \sum_{K \subset Q} t_K^Q M(K) + \sum_{Q \subset S} r_Q^S M(S) \right\}.$$
Par abus et pour un $kP$-module $V$ on note

$$ 
\begin{aligned}
V[[Q]] &= FP_V[[Q]] \\
&= V^Q / \left\{ \sum_{K \subset Q} \mathrm{Tr}_K^Q V^K + \sum_{Q \subset S} \mathrm{Res}_Q^S V^S \right\}
\end{aligned}
$$

**Lemme 8.1.2** Soit $M$ un foncteur de Mackey cohomologique et $Q$ un sous-groupe de $P$.

Soient $\{f_H\}_{H \le P}$ des applications telles que pour tout $H \le P$ on a

$$ f_H \in \mathrm{Hom}_k(M(H), S_{Q,k}(H)). $$

Alors $(f_H)_{H \le P} \in \mathrm{Hom}_{\mathrm{co}\mu(P)}(M, S_{Q,k})$ si et seulement si pour tous sous-groupes $S$ et $T$ tels que $S < Q < T \le P$ on a

$$ - f_Q(t_S^Q(M(S))) = 0 $$

$$ - f_T(r_Q^T(M(T))) = 0 $$

$$ - \text{pour } x \in P \text{ et } v \in M(Q) $$

$$ 
\begin{aligned}
f_{xQ}(x.v) &= f_{xQ}(c_x(v)) \\
&= f_Q(v).
\end{aligned}
$$

**Preuve.** Par [10] p 1922 lemme 15-1 et pour $H \le P$ on a

$S_{Q,k}(H) = k$ si $Q$ est un $p$-sous-groupe de Sylow de $H$ à conjugaison près

et $S_{Q,k}(H) = 0$ sinon.

Comme $P$ est un $p$-groupe alors cela donne

$$ S_{Q,k}(H) = k \text{ si } Q \text{ est conjugué à } H $$

et

$$ S_{Q,k}(H) = 0 \text{ sinon.} $$

Ainsi $\{f_H\}_{H \le P} \in \mathrm{Hom}_{\mathrm{co}\mu(P)}(M, S_{Q,k})$ si et seulement si les diagrammes suivants sont commutatifs

$$ 
\begin{tikzcd}
M(Q) \arrow[r, "f_Q"] \arrow[d, "t_S^Q"] & k \arrow[d, "0"] \\
M(S) \arrow[r, "f_S"] & 0
\end{tikzcd}
$$
<figure><img src="image_35.png" /></figure>

et pour $x \in P$

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

La commutativité de ces diagrammes est équivalente à

$$f_Q(t_S^Q(M(S))) = 0$$

$$f_T(r_Q^T(M(T))) = 0$$

et pour $x \in P$ et $v \in M(Q)$

$$ \begin{aligned} f_{xQ}(x.v) &= f_{xQ}(c_x(v)) \\ &= f_Q(v). \end{aligned} $$

■

**Proposition 8.1.3** *Soit M un foncteur de Mackey cohomologique et $Q \le P$, alors*

$$ \operatorname{Hom}_{co\mu(P)}(M, S_{Q,k}) \simeq (M[[Q]]_{N_P(Q)})^* . $$

**Preuve.** D'après lemme précédent si $(f_H)_{H \le P} \in \operatorname{Hom}_{co\mu(P)}(M, S_{Q,k})$ alors il existe un unique morphisme $\bar{f}_Q$ tel que le diagramme suivant soit commutatif

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

où $s$ est la surjection canonique.

On peut donc définir le morphisme

$$ \alpha : \left\{ \begin{array}{rcl} \operatorname{Hom}_{co\mu(P)}(M, S_{Q,k}) & \to & (M[[Q]]_{N_P(Q)})^* \\ f & \mapsto & \bar{f}_Q \end{array} \right. $$
Soit $\phi \in (M[[Q]]_{N_P(Q)})^*$.

Pour $x \in P$, posons

$$ (\tilde{\phi})_{xQ} : \left\{ \begin{array}{ccc} M({}^x Q) & \to & k \\ v & \mapsto & (\tilde{\phi})_Q (x^{-1} \cdot v) \end{array} \right. $$

et pour $H \neq_P Q$

$$ (\tilde{\phi})_H = 0. $$

Pour $x \in P$, le morphisme $(\tilde{\phi})_{xQ}$ est bien défini puisque si $y \in P$ et ${}^x Q = {}^y Q$ alors $xy^{-1} \in N_P(Q)$ donc pour $v \in M(Q)$ on a

$$ \begin{aligned} s(x.v) &= s(xy^{-1} \cdot y.v) \\ &= s(y.v). \end{aligned} $$

On a

$$ \begin{aligned} \phi \circ s \left( t_S^Q (M(S)) \right) &= \phi(0) \\ &= 0 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \phi \circ s \left( r_Q^T (M(T)) \right) &= \phi(0) \\ &= 0 \end{aligned} $$

et pour $x \in N_P(Q)$ et $v \in M(Q)$

$$ \begin{aligned} \phi \circ s (x.v) &= \phi \circ s (c_x(v)) \\ &= \phi \circ s (v). \end{aligned} $$

Ainsi, par le lemme précédent

$$ ((\tilde{\phi})_H)_{H \leq P} \in \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(P)} (M, S_{Q,k}). $$

On définit donc le morphisme

$$ \beta : \left\{ \begin{array}{ccc} (M[[Q]]_{N_P(Q)})^* & \to & \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(P)}(M, S_{Q,k}) \\ \phi & \mapsto & ((\tilde{\phi})_H)_{H \leq P} \end{array} \right. . $$

Montrons que $\beta \circ \alpha = \mathrm{Id}$.

Soit $f \in \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(P)}(M, S_{Q,k})$ et $x \in P$.
On a

$$ (\overline{\tilde{f}_Q})_{xQ} : \left\{ \begin{array}{rcl} M(^xQ) & \rightarrow & k \\ v & \mapsto & \overline{f_Q}(x^{-1} \cdot v) = f_Q(x^{-1} \cdot v) \end{array} \right. $$

donc

$$ (\overline{\tilde{f}_Q})_{xQ} = f_{xQ} $$

et pour $H \neq P$ $Q$

$$ (\overline{\tilde{f}_Q})_H = 0 = f_H. $$

Ainsi

$$ \beta \circ \alpha(f) = f. $$

Montrons que $\alpha \circ \beta = \mathrm{Id}$.

Soit $\phi \in (M[[Q]]_{N_P(Q)})^*$.

on a

$$ (\tilde{\phi})_Q : \left\{ \begin{array}{rcl} M(Q) & \rightarrow & k \\ v & \mapsto & \phi \circ s(v) \end{array} \right. $$

donc

$$ \overline{(\tilde{\phi})}_Q : \left\{ \begin{array}{rcl} M[[Q]]_{N_P(Q)} & \rightarrow & k \\ s(v) & \mapsto & \phi(s(v)) \end{array} \right. $$

ainsi

$$ \begin{aligned} \alpha \circ \beta(\phi) &= \overline{(\tilde{\phi})}_Q \\ &= \phi. \end{aligned} $$

Donc

$$ \mathrm{Hom}_{\mathrm{co}\mu(P)}(M, S_{Q,k}) \simeq (M[[Q]]_{N_P(Q)})^*. $$

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

**Corollaire 8.1.4** Soient $Q$ et $H$ deux sous-groupes de $P$. Alors si $M = \mathrm{FP}_{k(P/Q)}$ on a

$$ M[[Q]]_{N_P(Q)} \simeq k $$

et pour $H \neq P$ $Q$

$$ M[[H]]_{N_P(H)} = 0. $$
**Preuve.** D'après [10], on sait que pour $M = FP_{k(P/Q)}$

$$ \begin{aligned} \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(P)}(M, S_{Q,k}) &\simeq S_{Q,k}(Q) \\ &\simeq k \end{aligned} $$

et pour $H \neq_P Q$

$$ \begin{aligned} \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(P)}(M, S_{H,k}) &\simeq S_{Q,k}(H) \\ &\simeq 0. \end{aligned} $$

Ainsi par la proposition précédente

$$ M[[Q]]_{N_P(Q)} \simeq k $$

et pour $H \neq_P Q$

$$ M[[R]]_{N_P(H)} = 0. $$

■

**Lemme 8.1.5** *Soit $M$ un foncteur de Mackey cohomologique sur $k$ pour $P$. Alors $\forall Q \leq P$,*

$$ (S_{Q,k} \hat{\otimes} M)(P) \simeq M[[Q]]_{N_P(Q)}. $$

**Preuve.** On sait que pour $H \leq P$ on a

$$ S_{Q,k}(H) = \begin{cases} 0 & \text{si } H \neq_P Q \\ k & \text{si } H = Q \end{cases}. $$

Ainsi

$$ (S_{Q,k} \hat{\otimes} M)(P) = \bigoplus_{H=PQ} (k \otimes M(H)) / J $$

où $J$ est engendré par les éléments

$$ 1 \otimes r_H^L n \text{ pour } H \subset L \subseteq P \text{ et } n \in M(L) $$

$$ 1 \otimes t_K^H n \text{ pour } K \subset H \text{ et } n \in M(K) $$

$$ 1 \otimes g.n - 1 \otimes n \text{ pour } g \in P \text{ et } n \in M(H). $$

La dernière condition implique que

$$ (S_{Q,k} \hat{\otimes} M)(P) \simeq (k \otimes M(Q)) / J' $$

où $J'$ est engendré par les éléments

$$ 1 \otimes r_Q^L n \text{ pour } Q \subset L \subseteq P \text{ et } n \in M(L) $$

$$ 1 \otimes t_H^Q n \text{ pour } H \subset Q \text{ et } n \in M(H) $$

$$ 1 \otimes h.n - 1 \otimes n \text{ pour } h \in N_P(Q) \text{ et } n \in M(Q). $$
Ainsi

$$ (S_{Q,k} \hat{\otimes} M)(P) \simeq M[[Q]]_{N_P(Q)}. $$

■

**Remarque 8.1.6** La proposition 6.1.3 donne cette formule dans le cas où $R = k$ et $Q = P$.

**Lemme 8.1.7** Soit $M$, $N$ et $L$ trois foncteurs de Mackey cohomologiques sur $k$ pour $P$. Si la suite

$$ M \to N \to L \to 0 $$

est exacte, alors la suite

$$ M[[Q]]_{N_P(Q)} \to N[[Q]]_{N_P(Q)} \to L[[Q]]_{N_P(Q)} \to 0 $$

est exacte.

**Preuve.** Le foncteur $S_{Q,k} \hat{\otimes} -$ est exact à droite et le foncteur $-(P)$ est exact donc le foncteur

$$ M \mapsto (S_{Q,k} \hat{\otimes} M)(P) $$

est exact à droite.

D'après le lemme précédent

$$ (S_{Q,k} \hat{\otimes} M)(P) \simeq M[[Q]]_{N_P(Q)}. $$

Donc

$$ M[[Q]]_{N_P(Q)} \to N[[Q]]_{N_P(Q)} \to L[[Q]]_{N_P(Q)} \to 0 $$

est exacte.

■

**Corollaire 8.1.8** Soit $f$ un morphisme de foncteurs de Mackey cohomologiques alors pour $Q \le P$

$$ \mathrm{coker}(f)[[Q]]_{N_P(Q)} \simeq \mathrm{coker}(f[[Q]]_{N_P(Q)}). $$

**Proposition 8.1.9** Soit $A$ une $k$-algèbre de dimension finie et $V$ un $A$-module non trivial. Alors $V$ a un quotient $A$-simple (non nul).

**Preuve.** Il suffit de montrer que si pour tout $A$-module simple $S$ on a

$$ \mathrm{Hom}_A(V, S) = 0 $$

alors

$$ V = 0. $$
– Montrons que

$$ \operatorname{Hom}_A(V, A^*) \simeq \operatorname{Hom}_k(V, k). $$

Considérons

$$ f : \left\{ \begin{array}{ccc} \operatorname{Hom}_A(V, A^*) & \to & \operatorname{Hom}_k(V, k) \\ \phi & \mapsto & (m \mapsto \phi(m)(1)) \end{array} \right. $$

et

$$ g : \left\{ \begin{array}{ccc} \operatorname{Hom}_k(V, k) & \to & \operatorname{Hom}_A(V, A^*) \\ \psi & \mapsto & (a \mapsto \phi(am)) \end{array} \right. . $$

Les morphismes $f$ et $g$ sont inverses l'un de l'autre donc

$$ \operatorname{Hom}_A(V, A^*) \simeq \operatorname{Hom}_k(V, k). $$

– Montrons que

$$ \operatorname{Hom}_A(V, A^*) = 0. $$

On sait que $A^*$ est de dimension finie sur $k$, donc $A^*$ a une longueur finie $n$ comme $A$-module.

Ainsi il existe $n$ $A$-modules $A_0, \dots, A_{n-1}$ tels que si on pose $A_n = A^*$ et $A_{-1} = 0$ alors on a

$$ A_{-1} = 0 \subseteq A_0 \subseteq A_1 \subseteq \dots \subseteq A_{n-1} \subseteq A_n = A^* $$

et pour $0 \le i \le n$

$A_i/A_{i-1}$ est un $A$-module simple.

Comme $A_0$ est un $A$-module simple alors

$$ \operatorname{Hom}_A(V, A_0) = 0. $$

Comme $A_1/A_0$ est un $A$-module simple alors

$$ \operatorname{Hom}_A\left(V, \frac{A_1}{A_0}\right) = 0. $$

Donc

$$ \operatorname{Hom}_A(V, A_1) = 0. $$

Par récurrence, on a donc

$$ \operatorname{Hom}_A(V, A^*) = 0. $$

Ainsi

$$ \operatorname{Hom}_k(V, k) = 0 $$

et donc

$$ V = 0. $$
■

**Proposition 8.1.10** *Soit V un kP-module de permutation alors*

$$V = 0 \iff \forall Q \le P, V [[Q]]_{N_P(Q)} = 0.$$

**Preuve.** La condition est évidemment nécessaire.

$$\text{Si } \forall Q \le P, V [[Q]]_{N_P(Q)} = 0 \text{ alors}$$

$$(V [[Q]]_{N_P(Q)})^* = 0$$

donc pour tout $Q \le P$

$$\mathrm{Hom}_{\mathrm{co}\mu(P)}(FP_V, S_{Q,k}) = 0.$$

Ainsi d'après la proposition précédente $FP_V = 0$ donc $V = 0$. ■

**Proposition 8.1.11** *Soient M et N deux foncteurs de Mackey cohomologiques sur k pour P et f un morphisme de M dans N. Alors*

$$f \text{ est surjective} \iff \forall Q \le P, f [[Q]]_{N_P(Q)} \text{ est surjective.}$$

**Preuve.**

$$\begin{align*}
f \text{ est surjective} &\iff \operatorname{coker}(f) = 0 \\
&\iff \forall Q \le P, \operatorname{coker}(f) [[Q]]_{N_P(Q)} = 0 \\
&\iff \forall Q \le P, \operatorname{coker}(f [[Q]]_{N_P(Q)}) = 0 \\
&\iff \forall Q \le P, f [[Q]]_{N_P(Q)} \text{ est surjective.}
\end{align*}$$

■

**Proposition 8.1.12** *Soit X un P-ensemble et V un kP-module de type fini.*

*Pour un sous-groupe H de P, soit $n_H$ le nombre de P-orbites d'éléments de X dont le stabilisateur est conjugué de H dans P. Alors*

$$X \simeq \bigsqcup_{H \mod P} (P/H)^{n_H}.$$

*Si il existe un kP-morphisme supersurjectif de kX dans V alors $\forall Q \le_P P$*

$$n_Q \ge \dim_k (V [[Q]]_{N_P(Q)}).$$
**Preuve.** Soit $f$ un morphisme de $kX$ dans $V$.

On a

$f$ surjectif $\iff \forall Q \leq P, f[[Q]]_{N_P(Q)}$ est surjective.

Or d'après le corollaire 8.1.4,

$$ \forall Q \leq_P P, \quad kX[[Q]]_{N_P(Q)} \simeq k^{n_Q}. $$

Ainsi $\forall Q \leq_P P$,

$$ n_Q \geq \dim_k \left( V [[Q]]_{N_P(Q)} \right). $$

■

**Notation 8.1.13** Si $V$ est un $kP$-module de permutation alors je noterai $E_Q$ un relevé dans $V^Q$ d'une $k$-base de $V[[Q]]_{N_P(Q)}$.

**Proposition 8.1.14** Le morphisme

$$ \bigoplus_{Q \mod P} k(P/Q \times E_Q) \xrightarrow{f} V \\ (xQ, e) \mapsto x.e $$

est supersurjectif et $\bigoplus_{Q \mod P} k(P/Q \times E_Q)$ est un $kP$-module de permutation de dimension minimale pour cette propriété.

**Preuve.** On a

$f$ est $P$-supersurjective $\iff \forall Q \leq P, f[[Q]]_{N_P(Q)}$ est surjective.

Pour $Q \leq P$, on a

$$ k \times E_Q \xrightarrow{f[[Q]]_{N_P(Q)}} V[[Q]]_{N_P(Q)}. \\ (1, e) \mapsto s(e) $$

Comme $s(E_Q)$ est une $k$-base de $V[[Q]]_{N_P(Q)}$ alors $f[[Q]]_{N_P(Q)}$ est surjective.

On a

$$ |E_Q| = \dim_k \left( V [[Q]]_{N_P(Q)} \right) $$

donc la dimension de $\bigoplus_{Q \mod P} k(P/Q \times E_Q)$ est minimale. ■
**Corollaire 8.1.15** Soit $V$ un $kP$-module.

On pose

$$U = \bigoplus_{\substack{Q \subseteq P \\ Q \text{ mod } P}} k(P/Q) \otimes_k V [[Q]]_{N_P(Q)}.$$

Alors $FP_U$ est une couverture projective de $FP_V$.

**Preuve.** Par définition de $E_Q$, on a clairement

$$k(P/Q \times E_Q) \simeq k(P/Q) \otimes_k V [[Q]]_{N_P(Q)}.$$

■

**Remarque 8.1.16** On retrouve ainsi un résultat classique :

Soit $k$ un corps, $A$ une algèbre de dimension finie sur $k$ et $V$ un $A$-module de dimension finie sur $k$ alors la couverture projective de $V$ est

$$P = \bigoplus_{S \text{ simple}} (P_S)^{\dim_k(\operatorname{Hom}_A(V, S)) / \dim_k(\operatorname{End}_A(S))}$$

où $P_S$ est la couverture projective de $S$.

Dans notre cas,

$$S = S_{Q,k}^{(P)}$$

et

$$M = FP_V.$$

Par [10],

$$P_S = \operatorname{Ind}_Q^P FP_k \simeq FP_{\operatorname{Ind}_Q^P k}$$

et par le lemme 8.1.3,

$$\operatorname{Hom}_{co\mu(P)} (FP_V, S_{Q,k}^{(P)}) \simeq \operatorname{Hom}_k (V [[Q]]_{N_P(Q)}, k).$$

De plus,

$$\dim_k (\operatorname{End}_A (S_{Q,k}^{(P)})) = 1$$

Ainsi, en appliquant le résultat précédent, la couverture projective de $FP_V$ est

$$\begin{align*}
P &= \bigoplus_{\substack{Q \subseteq P \\ Q \text{ mod } P}} (\operatorname{Ind}_Q^P FP_k)^{\operatorname{Hom}_{co\mu(P)}(FP_V, S_{Q,k}^{(P)})} \\
&= FP_U
\end{align*}$$
où

$$
\begin{align*}
U &= \bigoplus_{\substack{Q \subseteq P \\ Q \bmod P}} \mathrm{Ind}_Q^P k \otimes_k \mathrm{Hom}_k \left( V [[Q]]_{N_P(Q)}, k \right) \\
&\approx \bigoplus_{\substack{Q \subseteq P \\ Q \bmod P}} k (P/Q) \otimes_k V [[Q]]_{N_P(Q)}.
\end{align*}
$$

**Remarque 8.1.17** On peut généraliser ce résultat au cas d'un groupe fini *G* quelconque. Le *kG*-module *U* serait alors exprimé en fonction des *kG*-modules de *p*-permutations indécomposables, et d'ensembles d'homomorphismes ayant certaines propriétés. Malheureusement, en général, on ne connaît pas explicitement les modules de *p*-permutation indécomposables, et le calcul des ensembles d'homomorphismes en question est lui aussi difficile.

Par contre, le cas où $G$ est un $p$- groupe est particulièrement agréable et peut être explicité complètement.

8.2 Caractérisation des modules de permuta-
tion

Cette section a pour but d'utiliser les résultats précédents afin d'obtenir
une caractérisation des modules de permutations.

**Proposition 8.2.1** *Pour tout kP-module V de dimension finie sur k*

$$
\dim_k V \le \sum_{\substack{Q \subseteq P \\ Q \bmod P}} |P : Q| \cdot \dim_k \left( V [[Q]]_{N_P(Q)} \right).
$$

**Preuve.** D'après le corollaire précédent, on sait qu'il existe une flèche sur-
jective

$$
\bigoplus_{\substack{Q \subseteq P \\ Q \bmod P}} k(P/Q) \otimes_k V[[Q]]_{N_P(Q)} \to V.
$$

Ainsi

$$
\dim_k V \le \dim_k \left( \bigoplus_{\substack{Q \subseteq P \\ Q \bmod P}} k(P/Q) \otimes_k V[[Q]]_{N_P(Q)} \right).
$$
De plus,

$$ \dim_k \left( \bigoplus_{\substack{Q \subseteq P \\ Q \bmod P}} k(P/Q) \otimes_k V[[Q]]_{N_P(Q)} \right) = \sum_{Q \bmod P} |P:Q| \cdot \dim_k \left( V[[Q]]_{N_P(Q)} \right). $$

■

**Théorème 8.2.2** Un $kP$-module $V$ de dimension finie sur $k$ est un $kP$-module de permutation si et seulement si

$$ \dim_k V = \sum_{\substack{Q \subseteq P \\ Q \bmod P}} |P:Q| \cdot \dim_k \left( V[[Q]]_{N_P(Q)} \right). $$

**Preuve.** Si $V$ est un $kP$-module de permutation alors la suite

$$ \dots \to 0 \to 0 \to \dots \to 0 \to V \to V \to 0 $$

est une superrésolution de $V$.

D'après le corollaire précédent

$$ V \simeq \bigoplus_{\substack{Q \subseteq P \\ Q \bmod P}} k(P/Q) \otimes_k V[[Q]]_{N_P(Q)}. $$

Donc

$$ \dim_k V = \sum_{\substack{Q \subseteq P \\ Q \bmod P}} |P:Q| \cdot \dim_k \left( V[[Q]]_{N_P(Q)} \right). $$

Supposons maintenant que

$$ \dim_k V = \sum_{\substack{Q \subseteq P \\ Q \bmod P}} |P:Q| \cdot \dim_k \left( V[[Q]]_{N_P(Q)} \right). $$

Inversement, pour tout $kP$-module $V$, il existe un morphisme surjectif de

$$ \bigoplus_{\substack{Q \subseteq P \\ Q \bmod P}} k(P/Q) \otimes_k V[[Q]]_{N_P(Q)} $$

sur $V$.

Comme ces deux modules ont la même dimension alors

$$ V \simeq \bigoplus_{\substack{Q \subseteq P \\ Q \bmod P}} k(P/Q) \otimes_k V[[Q]]_{N_P(Q)}. $$

Donc $V$ est un $kP$-module de permutation. ■
<figure><img src="image_39.png" /></figure>
Quatrième partie

Etude de cas particuliers
<figure><img src="image_40.png" /></figure>
# Chapitre 9

## Cas des groupes cycliques

Dans ce chapitre l'anneau de base sera le corps $k$ de caractéristique $p$.

### 9.1 Cas du groupe $C_{p^n}$

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 1. Les $kC_{p^n}$-modules indécomposables sont les $k$-espaces vectoriels de dimension $d$ (avec $d \le p^n$) tels que l'action de $C_{p^n}$ est la suivante : supposons que $C_{p^n}$ est engendré par un élément $x$, on pose alors dans $kC_{p^n}$

$$y = x - 1.$$

Soit $u$ un élément du $k$-espace vectoriel de dimension $d$, dans une certaine

base on peut le noter $\begin{pmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix}$ alors

$$y.u := \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & 0 & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1 \\ \vdots \\ \vdots \\ \vdots \\ u_d \end{pmatrix}.$$

On notera $E_d^{(C_{p^n})}$ ces modules ou simplement $E_d$, s'il n'y a pas d'ambiguïté.

Pour une base de $E_d$ choisie et $1 \le i \le d$, on notera $e_i$ le $i$-ième vecteur de base de $E_d$.

En particulier, pour $d \ge i > 1$ on a $y.e_i = e_{i-1}$.
Les cas $G = C_p$ et $G = C_{p^n}$ pour $n \ge 2$ doivent être traités séparément.
Dans un premier temps traitons le cas $G = C_p$.

### 9.1.1 Cas $G = C_p$

**Proposition 9.1.1** *L'application*

$$ \phi : \left\{ \begin{array}{lclcl} k & \oplus & kC_p & \rightarrow & E_d \\ 1 & & \mapsto & & e_1 \\ u & & \mapsto & & u \cdot e_d \end{array} \right. $$

est supersujective et $\ker \phi \simeq_{kC_p} E_{p+1-d}$.

**Preuve.** Montrons que $\phi$ est surjective.

Comme pour $1 < i \le d$ on a

$$ y \cdot e_i = e_{i-1} $$

alors pour $k < d$

$$ y^k \cdot e_d = e_{d-k} $$

De plus,

$$ \phi(1_{C_p}) = e_d. $$

Donc $\phi$ est surjective.

Montrons que $\phi^{C_p}$ est surjective.

Soit $\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_d \end{pmatrix} \in E_d$.

On a

$$ \phi^{C_p} : k \oplus (kC_p)^{C_p} \rightarrow (E_d)^{C_p}. $$

Comme

$$ x \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + x_2 \\ \vdots \\ x_{d-1} + x_d \\ x_d \end{pmatrix} $$

alors

$$ \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_d \end{pmatrix} \in (E_d)^{C_p} \iff \begin{pmatrix} x_2 \\ \vdots \\ x_d \\ 0 \end{pmatrix} = 0 $$
donc

$$ (E_d)^{C_p} = \langle e_1 \rangle_k \simeq k. $$

Or

$$ (kC_P)^{C_p} = \langle 1 + x + ..x^{p-1} \rangle_{kC_P} \simeq k. $$

donc

$$ \phi^P : \begin{cases} k \oplus k & \to k \\ 1 & \mapsto e_1 \end{cases} $$

donc $\phi^P$ est surjective.

Le $kC_p$-morphisme $\phi$ est $C_p$-supersurjectif.

On a donc la suite superexacte

$$ 0 \to \ker \phi \to k \oplus kC_p \to E_d \to 0. \quad (1) $$

Comme

$$ \dim(E_d) = d $$

et

$$ \dim(k \oplus kC_p) = p + 1 $$

alors

$$ \dim(\ker \phi) = p + 1 - d. $$

Par (1), on a la suite exacte

$$ 0 \to (\ker \phi)^{C_p} \to k \oplus k \to k \to 0 $$

Donc

$$ \dim((\ker \phi)^{C_p}) = 1 $$

ainsi

$$ (\ker \phi)^{C_p} \simeq k $$

donc $\ker \phi$ est un $kC_p$-module indécomposable : en effet, supposons qu'il existe deux $kC_p$-modules $W_1$ et $W_2$ tels que

$$ \ker \phi = W_1 \oplus W_2 $$

alors

$$ (\ker \phi)^{C_p} = W_1^{C_p} \oplus W_2^{C_p}. $$

Ainsi, on a par exemple $W_1^{C_p} = 0$ et comme $C_p$ est un $p$-groupe on a $W_1 = 0$ ([8], lemme 4 p 149)

Donc $\ker \phi$ est un $kC_p$-module indécomposable, il est de dimension $p+1-d$ donc

$$ \ker \phi \simeq E_{p+1-d}. $$

■
**Proposition 9.1.2** *Pour $i \ge 1$, on a*

$$
1. \text{ Si } 1 < d < p \text{ alors } E_d[i, C_p] \cong k
$$

$$
2. \text{ pour } d=1 \text{ ou } d=p, E_p[i, C_p] \cong E_1[i, C_p] \cong 0
$$

**Preuve.** D’après la proposition précédente on a la suite superexacte

$$
0 \to E_{p+1-d} \to k \oplus kC_p \to E_d \to 0.
$$

Comme $k \oplus kC_p$ est un $kC_p$-module de permutation alors d'après le théorème 5.0.6, on a la suite superexacte

$$
0 \to E_d[1, C_p] \to E_{p+1-d}[C_p] \to (k \oplus kC_p)[C_p] \to E_d[C_p] \to 0
$$

et pour $i \ge 1$

$$
E_{p+1-d}[i, C_p] \cong E_d[i+1, C_p].
$$

On a $E_d^{C_p} \simeq k$. D'autre part,

$$
\begin{align*}
1 + x + \dots + x^{p-1} &= 1 + (y+1) + \dots + (y+1)^{p-1} \\
&= \sum_{i=0}^{p-1} \sum_{k=0}^{i} \binom{i}{k} y^k \\
&= \sum_{k=0}^{p-1} \left( \sum_{i=k}^{p-1} \binom{i}{k} \right) y^k \\
&= \sum_{k=0}^{p-1} \binom{p}{k+1} y^k
\end{align*}
$$

or pour $k+1 \neq p$, on a $p|\binom{p}{k+1}$ donc

$$
1 + x + \dots + x^{p-1} = y^{p-1}.
$$

Donc si $d < p$ alors

$E_d[C_p] \simeq k$

et si $d = p$ alors

$E_d[C_p] = 0.$

De plus

$$
(k \oplus kC_p)^{C_p} \cong k \oplus k
$$

et

$$
\mathrm{Tr}_{\{e\}}^{C_p} (k \oplus kC_p) = k
$$
donc

$$ (k \oplus kC_p) [C_p] = k. $$

Ainsi pour $d > 1$ on a la suite exacte

$$ 0 \to E_d[1, C_p] \to k \to k \to E_d[C_p] \to 0 $$

donc $E_d[1, C_p] \simeq k$, si $1 < d < p$.

Si $1 < d < p$ alors $E_{p+1-d}[1, C_p] = k$ et par décalage

$$ \text{pour } i \ge 1, \quad E_d[i, C_p] \simeq k $$

Les modules $E_1$ et $E_p$ sont des modules de permutation donc pour $i \ge 1$

$$ E_p[i, C_p] \simeq E_1[i, C_p] \simeq 0. $$

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

Traitons maintenant le cas $G = C_{p^n}$ pour $n \ge 2$

### 9.1.2 Cas $G = C_{p^n}$ avec $n \ge 2$

On peut remarquer d'abord que si $d \le p^{n-1}$ alors le sous-groupe $N$ d'ordre $p$ de $G$ opère trivialment sur $E_d$. En effet, $N = \langle x^{p^{n-1}} \rangle$ et $y^{p^{n-1}} = 0$ puisque $d \le p^{n-1}$.

On a donc

$$ E_d^{(P)} \simeq \mathrm{Inf}_{P/N} E_d^{(P/N)} $$

Comme

$$ P/N \simeq C_{p^{n-1}} $$

alors par itération on peut se ramener au cas où $d > p^{n-1}$.

**Lemme 9.1.3** Soit $H \le P$ et $d \ge p^{n-1}$ alors

- Si $|H| > p$ alors $E_d[H] = 0$.

- Si $|H| = p$ alors $E_d[H] = \begin{cases} \overline{\langle e_1, \dots, e_{p^{n-1}} \rangle} & \text{si } d \le p^n - p^{n-1} \\ \overline{\langle e_{d-p^n+p^{n-1}+1}, \dots, e_{p^{n-1}} \rangle} & \text{si } p^n - p^{n-1} < d < p^n \\ 0 & \text{si } d = p^n \end{cases}$ où $\bar{z}$ désigne la classe d'un élément de $z \in E_d^H$ dans $E_d[H]$.

**Preuve.** Soit $H \le G$ alors il existe $l \le n$ tel que $|H| = p^{n-l}$ et $H = \langle x^{p^l} \rangle$.

Comme $\mathrm{car}(k) = p$ alors $y^{p^l} = 1 + x^{p^l}$, donc $u \in E_d^H$ si et seulement si $y^{p^l}.u = 0$.
Comme $y^i \cdot e_d = e_{d-i}$ alors

$$E_d^H = \begin{cases} \langle e_1, \dots, e_{p^l} \rangle & \text{si } p^l \le d \\ \langle e_1, \dots, e_d \rangle & \text{si } p^l \ge d \end{cases}$$

or, on a supposé que $d \ge p^{n-1}$ donc $d \ge p^l$ ainsi $E_d^H = \langle e_1, \dots, e_d \rangle$. Comme $H$ est un $p$-groupe cyclique alors

$$\Phi(H) = \langle x^{p^{l+1}} \rangle.$$

Si $H \neq 1$ alors

$$\begin{align*} \mathrm{Tr}_{\Phi(H)}^H &= 1 + x^{p^l} + \dots + x^{(p-1)p^l} \\ &= \sum_{j=0}^{p-1} (1+z)^{j.p^l} \\ &= \sum_{j=0}^{p-1} \left( (1+z)^{p^l} \right)^j \\ &= \sum_{j=0}^{p-1} \sum_{i=0}^{j} \binom{j}{i} z^{i.p^l} \\ &= \underbrace{\sum_{i=0}^{p-1} \sum_{j=i}^{p-1} \binom{j}{i} z^{i.p^l}}_{a_i} \\ &= \sum_{i=0}^{p-1} a_i \cdot z^{ip^l}. \end{align*}$$

Or

$$\begin{align*} \sum_{j=i}^{p-1} \binom{j}{i} &= 1 + \sum_{j=i+1}^{p-1} \binom{j}{i} \\ &= 1 + \sum_{j=i+1}^{p-1} \binom{j-1}{i} + \binom{j-1}{i-1} \\ &= 1 + \sum_{j=i+1}^{p-1} \binom{j-1}{i} + \sum_{j=i+1}^{p-1} \binom{j-1}{i-1} \\ &= \sum_{j=i}^{p-2} \binom{j}{i} + \sum_{j=i-1}^{p-2} \binom{j}{i-1}. \end{align*}$$
Comme

$$ \binom{p}{i} = \binom{p-1}{i-1} + \binom{p-1}{i} $$

alors par récurrence sur $p$ on a

$$ a_i = \binom{p}{i+1}. $$

Or, pour $0 < i < p$, on a

$$ \binom{p}{i} \equiv 0 \pmod{p} $$

donc pour $i \neq p-1$, $a_i = 0$.

Ainsi

$$ \mathrm{Tr}_{\Phi(H)}^{H} = z^{(p-1)p^l}. $$

- Si $|H| > p$ alors $l \leq n-2$ donc $p^{l+1} \leq p^{n-1} \leq d$ donc

$$ E_d^{\Phi(H)} = \langle e_1, \dots, e_{p^{l+1}} \rangle $$

or pour $0 \leq i \leq p^l - 1$

$$ \begin{aligned} \mathrm{Tr}_{\Phi(H)}^{H} e_{p^{l+1}-i} &= z^{(p-1)p^l} e_{p^{l+1}-i} \\ &= e_{p^{l+1}-i-p^{l+1}+p^l} \\ &= e_{p^l-i}. \end{aligned} $$

Donc

$$ \mathrm{Tr}_{\Phi(H)}^{H} (E_{d}^{\Phi(H)}) = \langle e_1, \dots, e_{p^l} \rangle = E_{d}^{H}. $$

Ainsi

$$ E_d^H [H] = 0. $$

- Si $|H| = p$ alors $H = C_p$ (c'est possible puisque $n \geq 2$ et $d \geq p^{n-1}$).

On sait que

$$ E_d^H = \langle e_1, \dots, e_{p^{n-1}} \rangle $$

et comme $\Phi(H) = \{e\}$ alors

$$ E_d^{\Phi(H)} = E_d = \langle e_1, \dots, e_d \rangle. $$

Soit $l \in \mathbb{N}$ tel que $d = p^{n-1} + l$.
- Si $d \le p^{n-1}(p-1)$ alors, pour $1 \le i \le d$

$$ \mathrm{Tr}_{\Phi(H)}^{H}(e_i) = y^{p^{n-1}(p-1)}e_i = 0 $$

donc

$$ E_d[H] = \langle e_1, \dots, e_{p^{n-1}} \rangle. $$

- Si $p^{n-1}(p-1) < d \le p^n$ alors, pour $p^n - p^{n-1} + 1 \le i \le d$

$$ \mathrm{Tr}_{\Phi(H)}^{H}(e_i) = y^{p^{n-1}(p-1)}e_i = e_{i-p^{n-1}(p-1)}. $$

Donc

$$ \mathrm{Tr}_{\Phi(H)}^{H}(E_d) = \langle e_1, \dots, e_{d-p^{n-1}(p-1)} \rangle. $$

Ainsi si $d \neq p^n$ alors

$$ E_d[H] = \langle \overline{e_{d-p^n+p^{n-1}+1}}, \dots, \overline{e_{p^{n-1}}} \rangle $$

et si $d = p^n$ alors

$$ E_d[H] = 0. $$

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

**Proposition 9.1.4** Si $n \ge 2$ et $d > p^{n-1}$ et

$$ f: \left\{ \begin{array}{lclcl} E_{p^{n-1}} & \oplus & kC_{p^n} & \rightarrow & E_d \\ u & & \mapsto & & u \\ g & & \mapsto & & g.e_d \end{array} \right. $$

où la première application est l'inclusion de $E_{p^{n-1}}$ dans $E_d$. Alors $f$ est supersurjective.

**Preuve.** Par abus, je noterai $e_i$ pour $E_{p^{n-1}}$ et $E_d$ le vecteur dont la $i$-ème coordonnée est 1 et dont les autres sont nulles.

Le morphisme $f$ est surjectif car $y^i.e_d = e_{d-i}$.

Soit $H < G$ alors $H = \langle x^{p^l} \rangle$ avec $l \le n-1$

On a

$$ f^H: \left\{ \begin{array}{lclcl} E_{p^{n-1}}^H & \oplus & (kC_{p^n})^H & \rightarrow & E_d^H \\ u & & \mapsto & & u \\ g & & \mapsto & & g.e_d \end{array} \right. . $$

Comme $d > p^{n-1} \ge p^l$ alors d'après ce qui précède

$$ E_d^H = E_{p^{n-1}}^H = \langle e_1, \dots, e_{p^l} \rangle $$

Ainsi $f^H$ est surjective. ■

<figure><img src="image_43.png" /></figure>
**Proposition 9.1.5** *Pour $d > p^{n-1}$. La suite*

$$0 \to E_{p^n+p^{n-1}-d} \to E_{p^{n-1}} \oplus E_{p^n} \to E_d \to 0$$

est superexacte.

**Preuve.** D'après la proposition précédente, on a la suite superexacte

$$0 \to \ker f \to E_{p^{n-1}} \oplus E_{p^n} \xrightarrow{f} E_d \to 0.$$

Ainsi $\ker f$ est un $kG$-module de dimension $p^n + p^{n-1} - d$.

De plus, la suite

$$0 \to (\ker f)^{C_{p^n}} \to \underbrace{(E_{p^{n-1}} \oplus E_{p^n})^{C_{p^n}}}_{k \oplus k} \to \underbrace{E_d^{C_{p^n}}}_{k} \to 0$$

est exacte. Donc $(\ker f)^{C_{p^n}} \simeq k$.

Ainsi $\ker f$ est indécomposable donc $\ker f \simeq E_{p^n+p^{n-1}-d}$. ■

**Proposition 9.1.6** *1. Si $d$ est une puissance de $p$ alors $E_d$ est un module de permutation.*

2. Sinon soit $l$ l'entier tel que $p^{l-1} < d < p^l$ alors il existe une suite superexacte de la forme

$$0 \to E_{p^l+p^{l-1}-d} \to E_{p^l} \oplus E_{p^{l-1}} \to E_d \to 0.$$

**Preuve.**

1. Si $d$ est une puissance de $p$ alors il existe un module de permutation indécomposable de dimension $d$. Comme $E_d$ est, à isomorphisme près, le seul module indécomposable de dimension $d$ (pour $G$) alors $E_d$ est un module de permutation.

2. On a

$$p^{l-1} < d < p^l.$$

Le sous-groupe $N$ de $P$ d'ordre $p^{n-l}$ opère trivialment sur $E_d^{(P)}$.

Donc

$$E_d^{(P)} = \mathrm{Inf}_{P/N}^P (E_d^{(P/N)}).$$

D'après la proposition précédente, la suite

$$0 \to E_{p^l+p^{l-1}-d}^{(P/N)} \to E_{p^l}^{(P/N)} \oplus E_{p^{l-1}}^{(P/N)} \to E_d^{(P/N)} \to 0$$
est superexacte.

D'après la preuve de la proposition 3.1.4, la suite

$$0 \to \operatorname{Inf}_{P/N} (E_{p^l+p^{l-1}-d}^{(P/N)}) \to \operatorname{Inf}_{P/N} (E_{p^l}^{(P/N)} \oplus E_{p^{l-1}}^{(P/N)}) \to \operatorname{Inf}_{P/N} (E_d^{(P/N)}) \to 0$$

est superexacte.

Et comme

$$p^{l-1} < p^l + p^{l-1} - d < p^l$$

alors

$$E_{p^l+p^{l-1}-d}^{(P)} = \operatorname{Inf}_{P/N} (E_{p^l+p^{l-1}-d}^{(P/N)})$$

donc la suite

$$0 \to E_{p^l+p^{l-1}-d}^{(P)} \to E_{p^l}^{(P)} \oplus E_{p^{l-1}}^{(P)} \to E_d^{(P)} \to 0$$

est superexacte.

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

**Proposition 9.1.7** *Soit $l \in \{1, ..., n\}$ et soit $Q$ le sous-groupe de $P$ d'ordre $p^l$. On suppose que $d \ge p^{n-l}$.*

*On note*

$$a = 1 + (d-1) \% p^{n-l} \\ b = p^{n-l} - 1 - (d-1) \% p^{n-l}$$

et

$$s = \operatorname{Ent} \left( \frac{d-1}{p^{n-l}} \right)$$

alors

$$\operatorname{Res}_Q^P (E_d^{(P)}) \simeq a E_{s+1}^{(Q)} + b E_s^{(Q)}$$

*en convenant que $E_0^{(Q)} = 0$.*

**Preuve.** Posons $r = (d-1) \% p^{n-l}$ et

$$\forall u \in \{0, ..., r\}, \quad F_u = \langle e_{d-u-vp^{n-l}}, v \in \{0, ..., s\} \rangle$$

et

$$\forall u \in \{1, ..., p^{n-l}-1-r\}, \quad G_u = \langle e_{d-r-u-vp^{n-l}}, v \in \{0, ..., s-1\} \rangle.$$

Les modules $F_u$ et $G_u$ sont stables par l'action de $Q$ donc, étant données leurs dimensions et le type de l'action de $Q$

$$\forall u \in \{0, ..., r\}, \quad F_u \simeq E_{s+1}$$
et

$$ \forall u \in \{1, \dots, p^{n-l} - 1 - r\}, \quad G_u \simeq E_s. $$

Pour conclure il suffit de montrer que les vecteurs {$e_1, ..., e_d$} apparaissent dans l'ensemble de ces modules et que chaque vecteur n'appartient qu'à un de ces modules.

Soit $e_{i_0} \in \{e_1, ..., e_d\}$.

Supposons que $e_{i_0} \in F_u \cap F_{u'}$ pour $(u, u') \in \{0, ..., r\}^2$ alors il existe $(v, v') \in \{0, ..., s\}^2$ tels que

$$ i_0 = d - u - vp^{n-l} = d - u' - v'p^{n-l} $$

donc

$$ u \equiv u' [p^{n-l}] $$

or

$$ u \le r < p^{n-l} $$

et

$$ u' \le r < p^{n-l} $$

donc

$$ u = u'. $$

De même si $e_{i_0} \in F_u \cap G_{u'}$ pour $(u, u') \in \{0, ..., r\} \times \{1, ..., p^{n-l} - 1 - r\}$

alors

$$ u \equiv u' + r [p^{n-l}] $$

donc

$$ u = r + u' > r $$

ce qui est impossible.

Enfin si $e_{i_0} \in G_u \cap G_{u'}$ pour $(u, u') \in \{1, ..., p^{n-l} - 1 - r\} \times \{1, ..., p^{n-l} - 1 - r\}$

alors

$$ u \equiv u' [p^{n-l}] $$

donc

$$ u = u'. $$

Il suffit maintenant de montrer que tout vecteur $e_{i_0}$ est dans l'un de ces modules.

Si $d - r \le i_0 \le d$ alors

$$ e_{i_0} \in F_{d-i_0} $$

et si $d - p^{n-l} + 1 \le i_0 < d - r$ alors

$$ e_{i_0} \in G_{d-r-i_0}. $$
Comme $d - (d - p^{n-l} + 1) = p^{n-l} - 1$ alors pour tout $i_0 \in \{1, ..., d\}$ il existe $a \in \{d - p^{n-l} + 1, ..., d\}$ tel que

$$i_0 \equiv a \ [p^{n-l}]$$

ce qui nous ramène aux cas précédents. ■

**Remarque 9.1.8** Si $d < p^{n-l}$ alors $Q$ agit trivialment sur $\text{Res}_Q^P(E_d^{(P)})$ donc

$$\text{Res}_Q^P(E_d^{(P)}) \simeq k^d.$$

La proposition précédente permet de restreindre le calcul des quotients
de Brauer supérieurs

$$E_d^{(P)}[i, H]$$

au cas où $H = P$ en appliquant la proposition 3.1.2 :

$$(\text{Res}_H^G V)[i, H] \simeq V[i, H].$$

**Proposition 9.1.9** Pour tout entier naturel $i \ge 1$,

$$E_d^{(P)}[i, P] \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } d \ge p \text{ ou } d=1 \\ k & \text{si } 1 < d < p \end{cases}.$$

**Preuve.** D'après la proposition 3.1.2,

$$E_d^{(P)}[i, P] \simeq E_d^{(\Phi^{(P)})}[i, P/\Phi(P)].$$

On sait que $\Phi(P)$ est le sous-groupe de $P$ d'ordre $p^{n-1}$ et que

$$E_d^{(\Phi(P))} = \begin{cases} \langle e_1, \dots, e_p \rangle & \text{si } d \ge p \text{ ou } d=1 \\ \langle e_1, \dots, e_d \rangle & \text{si } 1 < d < p \end{cases}.$$

donc

$$E_d^{(\Phi(P))} \simeq \begin{cases} E_p^{(C_p)} & \text{si } d \ge p \text{ ou } d=1 \\ E_d^{(C_p)} & \text{si } 1 < d \le p \end{cases}.$$

alors d'après la proposition 9.1.2,

$$E_d^{(P)}[i, P] \simeq E_p^{(C_p)}[i, C_p] \simeq \begin{cases} 0 & \text{si } d \ge p \text{ ou } d=1 \\ k & \text{si } 1 < d < p \end{cases}.$$

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

Ces deux propositions permettent de déterminer le groupe

$$E_d^{(P)}[i, H]$$

pour tout entier $i$ et pour tout sous-groupe $H$ de $P$.
## 9.2 Exemple de superrésolutions finies non triviales

Dans la section précédente, on montre que dans le cas d'un *p*-groupe cyclique *P*, les seuls *kP*-modules admettant une superrésolution finie sont les *kP*-modules de permutation. Les résultats suivants constituent en quelques sortes des réciproques.

**Théorème 9.2.1** Soit $G$ un groupe fini et $X$ un $G$-ensemble. Si on note $V$ le $\mathbb{Z}G$-module $\mathbb{Z}X/\mathbb{Z}$, alors la suite

$$0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}X \to V \to 0$$

est $G$-superexacte.

**Preuve.** La suite

$$0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}X \to V \to 0$$

est exacte par construction.

Soit $K$ un sous-groupe de $G$. On a la suite exacte longue de cohomologie

$$0 \to \mathbb{Z} \to (\mathbb{Z}X)^K \to V^K \to H^1(K, \mathbb{Z}) \to \dots$$

et

$$H^1(K, \mathbb{Z}) \cong \operatorname{Hom}(K, \mathbb{Z}) = 0.$$

Donc la suite

$$0 \to \mathbb{Z} \to (\mathbb{Z}X)^K \to V^K \to 0$$

est exacte, ce qui prouve le résultat annoncé. ■

**Théorème 9.2.2** Soit $G$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe propre de $G$. Soit $X$ le $G$-ensemble $G/H$, soit $V$ le quotient $\mathbb{Z}X/\mathbb{Z}$. Alors la suite

$$0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}X \to V \to 0.$$

est $G$-superexacte non scindée.

**Preuve.** D'après le théorème 9.2.1, il suffit de montrer que cette suite est non scindée.

Pour cela, utilisons le lemme suivant :
**Lemme 9.2.3** Soit $X$ un $G$-ensemble fini et $i$ le $\mathbb{Z}G$-morphisme de $\mathbb{Z}$ sur $\mathbb{Z}X$ qui envoie 1 sur

$$a := \sum_{x \in X} x$$

alors

$$i \text{ est une injection directe} \Leftrightarrow \text{pgcd } \{[G : G_x]_{x \in X}\} = 1$$

**Preuve.** Notons d'abord que si $x' = gx$ alors

$$G_{x'} = {}^g (G_x)$$

donc

$$[G : G_x] = [G : G_{x'}].$$

Ainsi

$$\text{pgcd } \{[G : G_x], x \in X\} = \text{pgcd } \{[G : G_x], x \in [G \setminus X]\}.$$

Si $i$ est une injection directe alors il existe un $\mathbb{Z}G$-morphisme

$$j : \mathbb{Z}X \to \mathbb{Z}$$

tel que

$$j \circ i = \text{Id}_{\mathbb{Z}}.$$

Ainsi $j(a) = 1$ or

$$\begin{align*} j(a) &= j\left(\sum_{x \in X} x\right) \\ &= \sum_{x \in X} j(x) \\ &= \sum_{x \in [G \setminus X]} \sum_{g \in G/G_x} j(gx) \\ &= \sum_{x \in [G \setminus X]} \sum_{g \in G/G_x} g \cdot j(x). \end{align*}$$

Comme l'action de $G$ sur $\mathbb{Z}$ est triviale, on a

$$j(a) = \sum_{x \in [G \setminus X]} \sum_{g \in G/G_x} j(x).$$

On a

$$j(a) = \sum_{x \in [G \setminus X]} [G : G_x] j(x) = 1$$
donc par le théorème de Bezout

$$ \mathrm{pgcd}\{[G : G_x]_{x \in X}\} = 1. $$

Inversement si $\mathrm{pgcd}\{[G : G_x]_{x \in X}\} = 1$ alors le théorème de Bezout donne que pour tout $x \in X$, il existe $n_x \in \mathbb{Z}$ tel que

$$ \sum_{x \in [G \setminus X]} [G : G_x] n_x = 1. $$

Prenons

$$ j(x') = n_x $$

pour $x'$ dans l'orbite de $x$ et $x$ quelconque dans $[G\setminus X]$.

Ceci définit bien un $\mathbb{Z}G$-morphisme de $\mathbb{Z}X$ dans $\mathbb{Z}$.

De plus

$$ j(a) = \sum_{x \in [G \setminus X]} [G : G_x] n_x = 1 $$

donc

$$ j \circ i = \mathrm{Id}_{\mathbb{Z}}. $$

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

Soit $gH = x \in X$ alors

$$ G_x = {}^g H. $$

Comme $H$ est un sous-groupe propre de $G$ alors

$$ [G : G_x] = \frac{|G|}{|H|} \neq 1. $$

Donc la suite est exacte non scindée. ■

<figure><img src="image_47.png" /></figure>

**Théorème 9.2.4** Soit $G$ un groupe fini, et $k$ un corps de caractéristique $p > 0$.

Si les $p$-sous-groupes de $Sylow$ de $G$ ne sont pas cycliques, il existe un $kG$-module $V$, un $G$-ensemble fini $X$, et une suite $G$-superexacte non scindée de la forme

$$ 0 \to k \to kX \to V \to 0. $$

**Preuve.** En prenant

$$ X = \mathop{\mathrm{\underline{\hspace{2cm}}}} \mathop{\mathrm{\underline{\hspace{2cm}}}} G/C $$
C cyclique
maximal de G

et

$$ a := \sum_{x \in X} x $$
nous allons montrer que la suite

$$0 \rightarrow k \xrightarrow{i} kX \xrightarrow{s} kX/k.a \rightarrow 0$$
$$1 \rightarrow a$$

où $s$ est la surjection canonique, est superexacte et non scindée.

Cette suite est clairement exacte.

Comme le foncteur $V \rightarrow FP_V$ est un foncteur exact à gauche alors la suite

$$0 \rightarrow k \rightarrow kX \rightarrow kX/k.a$$

est superexacte.

Il suffit donc de montrer que $s$ est supersurjective.

Soit $H$ un sous-groupe de $G$.

Montrons que $s^H$ est surjective.

Soit $\bar{\iota} \in (kX/k.a)^H$ avec $t \in kX$.

Alors

$$\forall h \in H, \exists m_h \in k \text{ tel que } h.t - t = m_h.a.$$

Comme $t \in kX$ alors

$$t = \sum_{x \in X} \lambda_x.x$$

où $\lambda_x \in k$.

On a

$$\begin{align*}
h.t &= \sum_{x \in X} \lambda_x.hx \\
&= \sum_{x \in h^{-1}X} \lambda_{h^{-1}x}.x \\
&= \sum_{x \in X} \lambda_{h^{-1}x}.x.
\end{align*}$$

Ainsi

$$\begin{align*}
h.t - t &= \sum_{x \in X} (\lambda_{h^{-1}x} - \lambda_x).x \\
&= m_h \sum_{x \in X} x
\end{align*}$$

donc

$$\forall x \in X, \lambda_{h^{-1}x} - \lambda_x = m_h.$$
Supposons que

$$ \forall h \in H, \exists x \in X \text{ tel que } hx = x. \quad (*) $$

Dans ce cas

$$ \forall h \in H, \quad m_h = 0 $$

et donc

$$ ht = t. $$

Ce qui implique que

$$ t \in (kX)^H $$

donc $s^H$ est surjective et $s$ supersurjective.

Montrons que (*) est vraie :

Soit $g \in G$ alors $\exists C$ groupe cyclique maximal dans $G$ tel que

$$ \langle g \rangle \subset C. $$

On a

$$ C \in G/C \subset X \text{ et } gC = C. $$

Donc (*) est vraie.

Il reste à montrer que la suite est non scindée.

Montrons dans un premier temps que

$$ p \mid |G : G_x| $$

pour tout $x$ élément de $X$.

$$ \text{Soit } x = gC \in X. $$

Comme $G$ a un $p$-Sylow non cyclique alors $G$ a tous ses $p$-Sylows non cycliques car les $p$-Sylows sont conjugés dans $G$.

On a

$$ \begin{aligned} G_x &= G_{gC} \\ &= {}^gC. \end{aligned} $$

Donc

$$ |G : G_x| = \frac{|G|}{|C|}. $$

Il existe quatre entiers naturels $m, n, l$ et $h$ tels que

$$ |G| = p^n m $$

et

$$ |C| = p^h l $$
où $p \wedge m = 1$, $h \le n$ et $l|m$.

Si $h = n$ alors $C$ contient un $p$-sous-groupe de Sylow de cardinal $p^n$.

Comme $C$ est cyclique alors ce $p$-sous-groupe de Sylow est cyclique, ce
qui est contraire aux hypothèses.

Ainsi $h < n$.

On a

$$
|G : G_x| = p^{n-h} \frac{m}{l}
$$

donc

$p| |G : G_x|$

pour tout $x$ élément de $X$.

Raisonnons maintenant par l'aburde.

Si $i$ est une injection directe alors il existe un $kG$-morphisme

$j : kX \to k$

tel que

$j \circ i = \mathrm{Id}_k.$

Ainsi $j(a) = 1$ or

$$
\begin{align*}
j(a) &= j\left(\sum_{x \in X} x\right) \\
&= \sum_{x \in X} j(x) \\
&= \sum_{x \in [G \setminus X]} \sum_{g \in G/G_x} j(gx) \\
&= \sum_{x \in [G \setminus X]} \sum_{g \in G/G_x} g \cdot j(x).
\end{align*}
$$

Comme l'action de $G$ sur $k$ est triviale, on a

$$
j(a) = \sum_{x \in [G \setminus X]} \sum_{g \in G/G_x} j(x).
$$

On a

$$
j(a) = \sum_{x \in [G \setminus X]} [G : G_x] j(x) = 1
$$

Mais comme $k$ est de caractéristique $p$ alors $0 = 1$.

Ainsi, la suite est non scindée.

<figure><img src="image_48.png" /></figure>
# Chapitre 10

## Cas du groupe $C_2 \times C_2$

Dans toute cette partie $k$ désignera un corps algébriquement clos de caractéristique 2. Le groupe $G$ sera égal au groupe $C_2 \times C_2$.

On notera $a$ et $b$ deux éléments de $G$ tels que $G = \langle a, b \rangle$ et $c = ab$.

Dans $kG$, on pose

$$x = 1 + a$$

et

$$y = 1 + b$$

### 10.1 Superrésolutions pour le groupe $C_2 \times C_2$

#### 10.1.1 Classification des $k(C_2 \times C_2)$-modules indécomposables

Pour $\lambda \in k$, on notera $\begin{array}{c} \bullet e_1 \\ \lambda \end{array} \diagup \begin{array}{c} \bullet e_2 \\ \lambda \end{array}$ un $kG$-module de base $\{e_1; e_2\}$ telle que

$$xe_1 = e_2$$

$$ye_1 = \lambda e_2$$

$$xe_2 = ye_2 = 0.$$

Pour $\lambda = 0$, ce module sera noté $\bullet e_1 \diagup \bullet e_2$ et pour $\lambda = 1$, il sera noté $\bullet e_1 \diagup \bullet e_2$.

De même, on notera $\bullet e_1 \diagup \bullet e_2$ un $kG$-module de base $\{e_1; e_2\}$ telle que

$$ye_1 = e_2$$

$$xe_1 = xe_2 = ye_2 = 0.$$

La classification suivante est donnée par [1] p111.
**Théorème 10.1.1** Les $k(C_2 \times C_2)$-modules indécomposables sont le module trivial et le module libre de rang 1 et pour $n \ge 1$ et $\lambda \in k$, les modules ayant l'une des représentations suivantes

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

Les modules de permutation indécomposables sont

$kG, \quad k(G/\langle a \rangle), \quad k(G/\langle b \rangle), \quad k(G/\langle c \rangle), \text{ et } k.$

En prenant pour $kG$, la base $\{1, 1+a, 1+b, 1+c\}$ on a la représentation suivante

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

En prenant pour $k(G/\langle a \rangle)$, la base $\{1, 1+b\}$ on obtient la représentation

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

De même, $k(G/\langle b \rangle)$ a la représentation

<figure><img src="image_52.png" /></figure>

et $k(G/\langle c \rangle)$ a la représentation

<figure><img src="image_53.png" /></figure>
### 10.1.2 Superrésolutions des $k(C_2 \times C_2)$-modules indécomposables

**Théorème 10.1.2** Pour $n \ge 2$, il existe une suite superexacte de la forme

$$ 0 \to (n-1)^{\begin{smallmatrix} \bullet & / & \bullet \\ & \ddots & \\ & & \bullet \end{smallmatrix}} \to n \bullet \oplus (n-1)^{\begin{smallmatrix} \bullet & / & \bullet \\ & \ddots & \\ & & \bullet \end{smallmatrix}} \to \begin{smallmatrix} \bullet & / & \bullet \\ & \ddots & \\ & & \bullet \end{smallmatrix}_{1} \otimes \begin{smallmatrix} \bullet & / & \bullet \\ & \ddots & \\ & & \bullet \end{smallmatrix}_{n} \to 0 $$

**Preuve.** Soit $V$ un $k(C_2 \times C_2)$-module ayant la représentation

$$ \begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center), scale=0.5, every node/.style={scale=0.5}] 
\node (n) at (0,0) {$\bullet$};
\node (e1) at (0,1) {$\bullet$};
\node (e2) at (0,-1) {$\bullet$};
\draw (n) -- (e1) node[left] {$\bullet$};
\draw (n) -- (e2) node[right] {$\bullet$};
\draw (e1) -- (e2) node[right] {$\bullet$};
\node at (0.5,0) {$\bullet$};
\node at (0.5,1) {$\bullet$};
\node at (0.5,-1) {$\bullet$};
\draw (0.5,0) -- (0.5,1) node[left] {$\bullet$};
\draw (0.5,0) -- (0.5,-1) node[right] {$\bullet$};
\draw (0.5,0) -- (0.5,0.5) node[right] {$\bullet$};
\draw (0.5,1) -- (0.5,1.5) node[right] {$\bullet$};
\draw (0.5,-1) -- (0.5,-0.5) node[right] {$\bullet$};
\draw (0.5,0.5) -- (0.5,1.5) node[right] {$\bullet$};
\draw (0.5,-0.5) -- (0.5,-1.5) node[right] {$\bullet$};
\node at (0.5,0.25) {$\bullet$};
\node at (0.5,1.25) {$\bullet$};
\node at (0.5,-1.25) {$\bullet$};
\draw (0.5,0.25) -- (0.5,1.25) node[right] {$\bullet$};
\draw (0.5,-1.25) -- (0.5,-0.25) node[left] {$\bullet$};
\draw (0.5,0.25) -- (0.5,-1.25) node[left] {$\bullet$};
\draw (0.5,-1.25) -- (0.5,0.25) node[right] {$\bullet$};
\end{tikzpicture} $$

Soit $\{e_1, \dots, e_{2n-1}\}$ une base de $V$ dont les vecteurs correspondent aux sommets du graphe précédent et sont disposés de la manière suivante :

$$ \begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center), scale=0.5, every node/.style={scale=0.5}] 
\node (n) at (0,0) {$\bullet$};
\node (e1) at (0,1) {$\bullet$};
\node (e2) at (0,-1) {$\bullet$};
\draw (n) -- (e1) node[left] {$\bullet$};
\draw (n) -- (e2) node[right] {$\bullet$};
\draw (e1) -- (e2) node[right] {$\bullet$};
\node at (0.5,0) {$\bullet$};
\node at (0.5,1) {$\bullet$};
\node at (0.5,-1) {$\bullet$};
\draw (0.5,0) -- (0.5,1) node[left] {$\bullet$};
\draw (0.5,0) -- (0.5,-1) node[right] {$\bullet$};
\draw (0.5,0) -- (0.5,0.5) node[right] {$\bullet$};
\draw (0.5,1) -- (0.5,1.5) node[right] {$\bullet$};
\draw (0.5,-1) -- (0.5,-0.5) node[left] {$\bullet$};
\draw (0.5,0.5) -- (0.5,1.5) node[right] {$\bullet$};
\draw (0.5,-0.5) -- (0.5,-1.5) node[left] {$\bullet$};
\node at (0.5,0.25) {$\bullet$};
\node at (0.5,1.25) {$\bullet$};
\node at (0.5,-1.25) {$\bullet$};
\draw (0.5,0.25) -- (0.5,1.25) node[right] {$\bullet$};
\draw (0.5,-1.25) -- (0.5,-0.25) node[left] {$\bullet$};
\draw (0.5,0.25) -- (0.5,-1.25) node[left] {$\bullet$};
\draw (0.5,-1.25) -- (0.5,0.25) node[right] {$\bullet$};
\end{tikzpicture} $$

Calculons les éléments fixes par les sous-groupes de $G$.

Notons $A = \langle e_{n+1}, \dots, e_{2n-1} \rangle$ et $B = \langle e_1, \dots, e_n \rangle$.

Notons $i$ le morphisme de $A$ dans $B$ dont la matrice dans les bases $\{e_{n+1}, \dots, e_{2n-1}\}$ et $\{e_1, \dots, e_n\}$ est

$$ \begin{pmatrix} 0 & & & & 0 \\ 1 & \ddots & & & \\ & & \ddots & & \\ & & & \ddots & 0 \\ 0 & & & & 1 \end{pmatrix} $$

et $j$ le morphisme de $A$ dans $B$ dont la matrice dans les bases $\{e_{n+1}, \dots, e_{2n-1}\}$ et $\{e_1, \dots, e_n\}$ est

$$ \begin{pmatrix} 1 & & & & 0 \\ 0 & \ddots & & & \\ & & \ddots & & \\ & & & \ddots & 1 \\ 0 & & & & 0 \end{pmatrix}. $$

Soit $a \in A$ et $b \in B$ alors

$$ x. (a, b) = (0, i(a)) $$

$$ y. (a, b) = (0, j(a)). $$
Comme $i$ et $j$ ont des matrices de rang $n-1$ alors $i$ et $j$ sont injectives donc

$$ \ker x = \ker y \\ = B. $$

De plus

$$ (x+y)(a,b) = (0, (i+j)(a)). $$

et la matrice de $i+j$ est

$$ \begin{pmatrix} 1 & & & & 0 \\ 1 & \ddots & & & \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & \ddots & 1 \\ 0 & & & 1 \end{pmatrix}. $$

Cette matrice est de rang $n-1$ donc $i+j$ est injective donc

$$ \ker (x+y) = B. $$

Donc

$$ V^{\langle a \rangle} = V^{\langle b \rangle} = V^{\langle ab \rangle} = V^P = \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k. $$

On peut représenter cela par

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

Ainsi

$$ \begin{align*} V[P] &= V^P / (yV^{\langle a \rangle} + xV^{\langle b \rangle} + xV^{\langle ab \rangle}) \\ &= V^P \\ &= \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k. \end{align*} $$

Donc avec la notation 8.1.13, on peut prendre

$$ E_P = \{e_1, \dots, e_n\}. $$

Ce qui donne $n$ morphismes

<figure><img src="image_55.png" /></figure>
Si on note $f_i$ un vecteur de base de $\bullet$, alors $f_i$ est envoyé sur $e_i$ pour $1 \le i \le n$.

Comme $V^{\langle a \rangle} = V^{\langle b \rangle} = V^{\langle ab \rangle} = \text{Res}_{\langle a \rangle}^P V^P = \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k$ alors

$$V[[\langle a \rangle]]_{N_P(\langle a \rangle)} = V[[\langle b \rangle]]_{N_P(\langle b \rangle)} = V[[\langle ab \rangle]]_{N_P(\langle ab \rangle)} = 0$$

Ainsi

$$E_{\langle a \rangle} = E_{\langle b \rangle} = E_{\langle ab \rangle} = \emptyset.$$

De plus,

$$\sum_{\{e\}<H\le P} \text{Res}_{\{e\}}^{H} (V^H) = \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k.$$

Ainsi

$$V[[\{e\}]]_P = (\langle e_{n+1}, \dots, e_{2n-1} \rangle_k / \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k)_P.$$

Donc

$$E_{\{e\}} = \langle e_{n+1}, \dots, e_{2n-1} \rangle_k.$$

Ce qui donne $n-1$ morphisme(s)

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

Pour les $n-1$ module(s) $\bullet/\bullet$ et $i \in [1; n-1]$, notons $h_i$, $h_{i+n-1}$, $h_{2n-2+i}$ et $h_{3n-3+i}$, les vecteurs tels que

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

alors le morphisme pour ce module est donné par

$$\begin{align*} h_i &\mapsto e_{n+i} \\ h_{i+n-1} &\mapsto e_i \\ h_{2n-2+i} &\mapsto e_{i+1} \\ h_{3n-3+i} &\mapsto 0. \end{align*}$$

Ceci donne le morphisme annoncé.

Trouvons le noyau de ce morphisme.
La dimension du noyau est

$$n + 4(n - 1) - 2n + 1 = 3n - 3.$$

Afin de trouver le noyau, il suffit donc de trouver $3(n-1)$ vecteurs indépendants dans le noyau.

Les vecteurs

$$ \begin{aligned} f_1 + h_n, \dots, f_{n-1} + h_{2n-2} \\ f_2 + h_{2n-1}, \dots, f_n + h_{3n-3} \\ h_{3n-2}, \dots, h_{4n-4} \end{aligned} $$

sont $3(n-1)$ vecteurs du noyau. Ils sont indépendants car chaque vecteur comporte un élément d'une base n'apparaissant qu'une fois dans cette liste.

Pour $i \in [1; n-1]$, on note

$$ \begin{aligned} \alpha_i &= f_i + h_{n-1+i} \\ \beta_i &= f_{i+1} + h_{2n-2+i} \\ \text{et } \gamma_i &= h_{3n-3+i} . \end{aligned} $$

On remarque que, pour $i \in [1; n-1]$, on a

$$ \begin{aligned} x\alpha_i &= \gamma_i \text{ et } y\alpha_i = 0 \\ x\beta_i &= 0 \text{ et } y\beta_i = \gamma_i \\ x\gamma_i &= y\gamma_i = 0. \end{aligned} $$

Ce que l'on peut représenter par

<figure><img src="image_58.png" /></figure>

Ainsi, le noyau est

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

<figure><img src="image_60.png" /></figure>
Comme $i$ a une matrice de rang $n$ alors

$$ \ker x = B. $$

Si $\lambda \neq 0$ alors la matrice de $j$ est de rang $n$ et donc

$$ \ker x = B. $$

Si $\lambda = 0$ alors la matrice de $j$ est de rang $n-1$ et $e_{n-1} \in \ker x$ donc

$$ \ker y = \langle B, e_{n+1} \rangle. $$

De plus

$$ (x + y)(a, b) = (0, (i + j)(a)). $$

et la matrice de $i+j$ est

$$ \begin{pmatrix} \lambda + 1 & 1 & & 0 \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ 0 & & & \lambda + 1 \end{pmatrix}. $$

Si $\lambda \neq 1$ alors cette matrice est de rang $n$ donc $i+j$ est injective donc

$$ \ker (x + y) = B. $$

Si $\lambda = 1$ alors cette matrice est de rang $n-1$ et le vecteur $e_{n+1}$ appartient à $\ker y$ donc

$$ \ker (x + y) = \langle B, e_{n+1} \rangle. $$

Ainsi,
pour $\lambda \neq 1$

$$ V^{\langle ab \rangle} = \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k. $$

On peut représenter cela par

$$ \begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center), scale=0.5, every node/.style={scale=0.5}] 
  \node[circle, fill, inner sep=1pt] (A) at (0,0) {};
  \node[circle, fill, inner sep=1pt] (B) at (2,0) {};
  \draw[->] (A) -- (B) node权利[above] {$\circlearrowleft$};
  \node[above] at (A) {};
  \node[above] at (B) {};
  \node[left] at (0,0) {$\bullet$};
  \node[right] at (2,0) {$\bullet$};
\end{tikzpicture} \quad \begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center), scale=0.5, every node/.style={scale=0.5}] 
  \node[circle, fill, inner sep=1pt] (A) at (0,0) {};
  \node[circle, fill, inner sep=1pt] (B) at (2,0) {};
  \draw[->] (A) -- (B) node权利[above] {$\circlearrowleft$};
  \node[above] at (A) {};
  \node[above] at (B) {};
  \node[left] at (0,0) {$\bullet$};
  \node[right] at (2,0) {$\bullet$};
\end{tikzpicture} \quad \begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center), scale=0.5, every node/.style={scale=0.5}] 
  \node[circle, fill, inner sep=1pt] (A) at (0,0) {};
  \node[circle, fill, inner sep=1pt] (B) at (2,0) {};
  \draw[->] (A) -- (B) node权利[above] {$\circlearrowleft$};
  \node[above] at (A) {};
  \node[above] at (B) {};
  \node[left] at (0,0) {$\bullet$};
  \node[right] at (2,0) {$\bullet$};
\end{tikzpicture} \quad \begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center), scale=0.5, every node/.style={scale=0.5}] 
  \node[circle, fill, inner sep=1pt] (A) at (0,0) {};
  \node[circle, fill, inner sep=1pt] (B) at (2,0) {};
  \draw[->] (A) -- (B) node权利[above] {$\circlearrowleft$};
  \node[above] at (A) {};
  \node[above] at (B) {};
  \node[left] at (0,0) {$\bullet$};
  \node[right] at (2,0) {$\bullet$};
\end{tikzpicture} $$

et pour $\lambda = 1$

$$ V^{\langle ab \rangle} = \langle e_1, \dots, e_n, e_{n+1} \rangle_k. $$

On peut représenter ce module par

$$ \bullet \textcircled{[} \bullet \bullet \dots \bullet \textcircled{]} $$
Pour $\lambda = 0$

$$V^{\langle b \rangle} = \langle e_1, \dots, e_{n+1} \rangle_k.$$

Ce que l'on peut représenter par

<figure><img src="image_61.png" /></figure>

et pour $\lambda \neq 0$

$$V^{\langle b \rangle} = \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k.$$

Appliquons la construction de superrésolution minimale de la partie 3.

Pour $\lambda \neq 0$ et $\lambda \neq 1$

$$ \begin{aligned} V[P] &= V^P / (yV^{\langle a \rangle} + xV^{\langle b \rangle} + xV^{\langle ab \rangle}) \\ &= V^P / 0 \\ &= \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k / 0. \end{aligned} $$

Donc on peut prendre $E_P = \{e_1, \dots, e_n\}$.

Ce qui donne $n$ morphismes

<figure><img src="image_62.png" /></figure>

Si on note $f_i$ un vecteur de base de $\bullet$, alors $f_i$ est envoyé sur $e_i$ pour $1 \le i \le n$.

Pour $\lambda = 0$ ou $\lambda = 1$

$$ \begin{aligned} V[P] &= V^P / (yV^{\langle a \rangle} + xV^{\langle b \rangle} + xV^{\langle ab \rangle}) \\ &= \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k / \langle e_1 \rangle_k. \end{aligned} $$

Donc on peut prendre $E_P = \{e_2, \dots, e_n\}$.

Ce qui donne $n-1$ morphisme(s)

<figure><img src="image_63.png" /></figure>

Si on note $f_i$ un vecteur de base de $\bullet$, alors $f_i$ est envoyé sur $e_{i+1}$ pour $1 \le i \le n-1$.

Comme $V^{\langle a \rangle} = V^P$ alors

$$V[[\langle a \rangle]]_{N_P(\langle a \rangle)} = 0.$$
Donc $E_{\langle a \rangle} = \emptyset$.

On a $\mathrm{Res}_{\langle a \rangle}^P V^P = \mathrm{Tr}_{\{e\}}^{\langle a \rangle} V = \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k$.

Donc pour $\lambda \neq 0$

$$ 
\begin{align*} 
V[[\langle b \rangle]]_{N_P(\langle b \rangle)} &= (\langle e_1, \dots, e_n \rangle_k / \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k)_{N_P(\langle b \rangle)} \\ 
&= 0. 
\end{align*} 
$$

Ainsi $E_{\langle b \rangle} = \emptyset$.

Pour $\lambda = 0$

$$ V[[\langle b \rangle]]_{N_P(\langle b \rangle)} = (\langle e_1, \dots, e_{n+1} \rangle_k / \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k)_{N_P(\langle b \rangle)}. $$

Ainsi on peut prendre $E_{\langle b \rangle} = \{e_{n+1}\}$.

Ce qui donne un morphisme

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

Si on note $g_1$ et $g_2$ les deux vecteurs tels que

<figure><img src="image_65.png" /></figure>

alors $g_1$ est envoyé sur $e_{n+1}$ et $g_2$ sur $e_1$.

Pour $\lambda \neq 1$, $V^{\langle ab \rangle} = \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k$ et $\mathrm{Res}_{\langle a \rangle}^P V^P = \mathrm{Tr}_{\{e\}}^{\langle a \rangle} V = \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k$ alors

$$ V[[\langle ab \rangle]]_{N_P(\langle ab \rangle)} = 0. $$

Donc $E_{\langle ab \rangle} = \{0\}$.

Pour $\lambda = 1$, $V^{\langle ab \rangle} = \langle e_1, \dots, e_{n+1} \rangle_k$ et $\mathrm{Res}_{\langle a \rangle}^P V^P = \mathrm{Tr}_{\{e\}}^{\langle a \rangle} V = \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k$ alors

$$ V[[\langle ab \rangle]]_{N_P(\langle ab \rangle)} = (\langle e_1, \dots, e_{n+1} \rangle_k / \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k)_{N_P(\langle ab \rangle)}. $$

Donc on peut prendre $E_{\langle ab \rangle} = \{e_{n+1}\}$.

Ce qui donne un morphisme

<figure><img src="image_66.png" /></figure>

Si on note $g'_1$ et $g'_2$ les deux vecteurs de base tels que

<figure><img src="image_67.png" /></figure>
alors $g'_1$ est envoyé sur $e_{n+1}$ et $g'_2$ sur $e_1$.

Pour $\lambda \neq 0$ et $\lambda \neq 1$,

Comme $\mathrm{Res}_{\{e\}}^P V^P + V^{\langle a \rangle} + V^{\langle b \rangle} + V^{\langle ab \rangle} = \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k$ alors

$$V[[\{e\}]]_{N_P(\{e\})} = (\langle e_1, \dots, e_{2n} \rangle_k / \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k)_{N_P(\{e\})}.$$

Donc on peut prendre $E_{\{e\}} = \{e_{n+1}, \dots, e_{2n}\}$.

Ce qui donne $n$ morphismes

<figure><img src="image_68.png" /></figure>

Pour les $n-1$ module(s) $\bullet / \bullet$ et $i \in [1; n-1]$, notons $h_i$, $h_{i+n}$, $h_{2n+i}$ et $h_{3n+i}$, les vecteurs tels que

<figure><img src="image_69.png" /></figure>

alors le morphisme pour ce module est donné pour $2 \le i \le n$ par

$$\begin{align*} h_i &\mapsto e_{n+i} \\ h_{i+n} &\mapsto e_{i-1} + \lambda e_i \\ h_{2n+i} &\mapsto e_i \\ h_{3n+i} &\mapsto 0 \end{align*}$$

et

$$\begin{align*} h_1 &\mapsto e_{n+1} \\ h_{1+n} &\mapsto \lambda e_1 \\ h_{2n+1} &\mapsto e_1 \\ h_{3n+i} &\mapsto 0 \end{align*}$$

Pour $\lambda = 1$ ou $\lambda = 0$, $\mathrm{Res}_{\{e\}}^P V^P + V^{\langle a \rangle} + V^{\langle b \rangle} + V^{\langle ab \rangle} = \langle e_1, \dots, e_{n+1} \rangle_k$ alors

$$V[[\{e\}]]_{N_P(\{e\})} = (\langle e_1, \dots, e_{2n} \rangle_k / \langle e_1, \dots, e_{n+1} \rangle_k)_{N_P(\{e\})}.$$
Donc on peut prendre $E_{\{e\}} = \{e_{n+2}, \dots, e_{2n}\}$.
Ce qui donne $n-1$ morphisme(s)

<figure><img src="image_70.png" /></figure>

Pour les $n-1$ module(s) $\bullet \diagup \bullet \bullet$ et $i \in [1; n-1]$, notons $h_i$, $h_{i+n-1}$, $h_{2n-2+i}$ et $h_{3n-3+i}$, les vecteurs tels que

<figure><img src="image_71.png" /></figure>

alors le morphisme pour ce module est déterminé pour $1 \le i \le n-1$ par

$$ 
\begin{align*}
h_i &\mapsto e_{n+i+1} \\
h_{i+n} &\mapsto e_i + \lambda e_{i+1} \\
h_{2n+i} &\mapsto e_i \\
h_{3n-3+i} &\mapsto 0.
\end{align*}
$$

Pour $\lambda \neq 0$ et $\lambda \neq 1$, la dimension du noyau est $5n - 2n = 3n$
Pour $2 \le i \le n$, les vecteurs

$$ 
\begin{align*}
\alpha_i &= h_{i+n} + f_{i-1} + \lambda f_i \\
\beta_i &= h_{2n+i} + f_i \\
\gamma_i &= h_{3n+i}
\end{align*}
$$

et

$$ 
\begin{align*}
\alpha_1 &= h_1 + \lambda f_1 \\
\beta_1 &= h_{2n+1} + f_1 \\
\gamma_1 &= h_{3n+1}
\end{align*}
$$

sont $3n$ vecteurs indépendants du noyau.
On remarque que, pour $1 \le i \le n$

$$ 
\begin{align*}
x\alpha_i &= y\beta_i = \gamma_i \\
y\alpha_i &= x\beta_i = x\gamma_i = y\gamma_i = 0
\end{align*}
$$
ce que l'on peut représenter par

<figure><img src="image_72.png" /></figure>

Le noyau est donc

<figure><img src="image_73.png" /></figure>

Pour $\lambda = 0$, la dimension du noyau est $4(n-1) + 2 + (n-1) - 2n = 3n - 3 = 3(n - 1)$.

Pour $2 \le i \le n-1$, les vecteurs

$$ \alpha_i = h_{n-1+i} + f_{i-1} $$

$$ \beta_i = h_{2n-1+i} + f_i $$

$$ \gamma_i = h_{3n-3+i} $$

et

$$ \alpha_1 = g_2 + h_n $$

$$ \beta_1 = h_{2n} + f_1 $$

$$ \gamma_1 = h_{3n-2} $$

sont $3(n-1)$ vecteurs indépendants du noyau.

On remarque que, pour $1 \le i \le n-1$

$$ x\alpha_i = y\beta_i = \gamma_i $$

$$ y\alpha_i = x\beta_i = x\gamma_i = y\gamma_i = 0 $$

ce que l'on peut représenter par

<figure><img src="image_74.png" /></figure>

Le noyau est donc

<figure><img src="image_75.png" /></figure>
Pour $\lambda = 1$, la dimension du noyau est

$$4(n-1) + 2 + (n-1) - 2n = 3n - 3 = 3(n-1).$$

Pour $2 \le i \le n-1$, les vecteurs

$$\alpha_i = h_{n-1+i} + f_{i-1} + f_i$$

$$\beta_i = h_{2n-1+i} + f_i$$

$$\gamma_i = h_{3n-3+i}$$

et

$$\alpha_1 = g_2 + h_n$$

$$\beta_1 = h_{2n} + f_1$$

$$\gamma_1 = h_{3n-2}$$

sont $3(n-1)$ vecteurs indépendants du noyau.

On remarque que, pour $1 \le i \le n-1$

$$x\alpha_i = y\beta_i = \gamma_i$$

$$y\alpha_i = x\beta_i = x\gamma_i = y\gamma_i = 0$$

ce que l'on peut représenter par

<figure><img src="image_76.png" /></figure>

Le noyau est donc

<figure><img src="image_77.png" /></figure>

<figure><img src="image_78.png" /></figure>

**Théorème 10.1.4** *Il existe une suite superexacte de la forme*

$$0 \rightarrow (n-1) \bullet \rightarrow (n-1) \bullet \oplus \bullet \rightarrow (n-1) \bullet \rightarrow \bullet \rightarrow \bullet \rightarrow \bullet \rightarrow 0$$
**Preuve.** Soit $V$ un $k(C_2 \times C_2)$-module ayant la représentation

<figure><img src="image_79.png" /></figure>

Soit $\{e_1, \dots, e_{2n}\}$ une base de $V$ dont les vecteurs correspondent aux sommets du graphe précédent et sont disposés de la manière suivante :

<figure><img src="image_80.png" /></figure>

Calculons les éléments fixes par les sous-groupes de $G$.

Notons $A = \langle e_{n+1}, \dots, e_{2n} \rangle$ et $B = \langle e_1, \dots, e_n \rangle$.

Notons $i$ le morphisme de $A$ dans $B$ dont la matrice dans la base $\{e_{n+1}, \dots, e_{2n}\}$ vers la base $\{e_1, \dots, e_n\}$ est

$$ \begin{pmatrix} 0 & & & 0 \\ 1 & \ddots & & \\ & \ddots & 0 & \\ & & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

et $j$ le morphisme de $A$ dans $B$ dont la matrice dans les bases $\{e_{n+1}, \dots, e_{2n}\}$ et $\{e_1, \dots, e_n\}$ est

$$ \begin{pmatrix} 1 & & & 0 \\ 0 & \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & \\ 0 & & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$

Soit $a \in A$ et $b \in B$ alors

$$ x. (a, b) = (0, i(a)) $$

$$ y. (a, b) = (0, j(a)). $$

Comme $i$ a une matrice de rang $n-1$ alors $\dim \ker x = n+1$.

Or $e_{2n} \in \ker x$ donc

$$ \ker x = \langle B, e_{2n} \rangle. $$

Le rang de la matrice de $j$ est $n$ donc $j$ est injective donc

$$ \ker y = B. $$
Si on note $f_i$ un vecteur de base de $\bullet$, alors $f_i$ est envoyé sur $e_i$ pour
$1 \le i \le n - 1$

On a

$$
\begin{align*}
\mathrm{Tr}_{\{e\}}^{\langle a \rangle} V &= (1+b) \cdot V \\
&= yV \\
&= \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k .
\end{align*}
$$

et

$$
\begin{align*}
\mathrm{Res}_{\langle a \rangle}^P (V^P) &= \mathrm{Res}_{\langle b \rangle}^P (V^P) \\
&= \mathrm{Res}_{\langle ab \rangle}^P (V^P) \\
&= \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k .
\end{align*}
$$

donc

$$
V[[\langle a \rangle]]_{N_P(\langle a \rangle)} = \langle \overline{e_{2n}} \rangle_k .
$$

Ainsi $E_{\langle a \rangle} = \{e_{2n}\}$.

Ce qui donne un morphisme

<figure><img src="image_81.png" /></figure>

Si on note $g_1$ et $g_2$ les deux vecteurs de base tels que

<figure><img src="image_82.png" /></figure>

alors $g_1$ est envoyé sur $e_{2n}$ et $g_2$ sur $e_n$.

De même,

$$
\begin{align*}
\mathrm{Tr}_{\{e\}}^{\langle b \rangle} V &= (1+a) \cdot V \\
&= x \cdot V \\
&= \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k
\end{align*}
$$

et

$$
\begin{align*}
\mathrm{Tr}_{\{e\}}^{\langle ab \rangle} V &= (1+a) \cdot V \\
&= x \cdot V \\
&= \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k
\end{align*}
$$

donc

$$
V[[\langle b \rangle]] = V[[\langle ab \rangle]] = 0.
$$
Ainsi $E_{\langle b \rangle} = E_{\langle ab \rangle} = \emptyset$.

De plus,

$$ \sum_{\{e\}<H \leq P} R_{\{e\}}^{H} (V^{H}) = \langle e_1, \dots, e_n, e_{2n} \rangle_{\kappa}. $$

Ainsi

$$ V[\{e\}]_P = \langle \overline{e_{n+1}}, \dots, \overline{e_{2n-1}} \rangle_k. $$

Donc

$$ E_{\{e\}} = \{e_{n+1}, \dots, e_{2n-1}\}. $$

Ce qui donne $n-1$ morphisme(s)

<figure><img src="image_83.png" /></figure>

Pour les $n-1$ module(s) $\bullet \quad \bullet \quad \bullet$ et $i \in [1; n-1]$, notons $h_i$, $h_{i+n-1}$, $h_{2n-2+i}$ et $h_{3n-3+i}$, les vecteurs tels que

<figure><img src="image_84.png" /></figure>

alors le morphisme pour ce module est donné par

$$ h_i \mapsto e_{n+i} $$

$$ h_{i+n-1} \mapsto e_i $$

$$ h_{2n-2+i} \mapsto e_{i+1} $$

$$ h_{3n-3+i} \mapsto 0. $$

Trouvons le noyau de ce morphisme.

La dimension du noyau est

$$ n - 1 + 2 + 4(n-1) - 2n = 3n - 3. $$

Afin de trouver le noyau, il suffit donc de trouver $3(n-1)$ vecteurs indépendants dans le noyau.
Les vecteurs

$$f_1 + h_n, \dots, f_{n-1} + h_{2n-2}$$

$$f_2 + h_{2n}, \dots, f_{n-1} + h_{3n-3}$$

$$h_{3n-2}, \dots, h_{4n-4}$$

$$g_2 + h_{3n-3}$$

sont 3 ($n-1$) vecteurs du noyau. Ils sont indépendants car chaque vecteur comporte un élément d'une base n'apparaissant qu'une fois dans cette liste.
Pour $i \in [1; n-2]$, on pose

$$\alpha_i = f_i + h_{n-1+i}$$

$$\beta_i = f_{i+1} + h_{2n-1+i}$$

$$\text{et } \gamma_i = h_{3n-3+i}$$

et

$$\alpha_{n-1} = f_{n-1} + h_{3n-3}, \quad \beta_{n-1} = g_2 + h_{3n-3} \text{ et } \gamma_{n-1} = h_{4n-4}.$$

On remarque que, pour $i \in [1; n-1]$, on a

$$x\alpha_i = \gamma_i \text{ et } y\alpha_i = 0$$

$$x\beta_i = 0 \text{ et } y\beta_i = \gamma_i$$

$$x\gamma_i = y\gamma_i = 0.$$

Ce que l'on peut représenter par

<figure><img src="image_85.png" /></figure>

Ainsi, le noyau est

<figure><img src="image_86.png" /></figure>

<figure><img src="image_87.png" /></figure>

**Théorème 10.1.5** *Il existe une suite superexacte de la forme*

<figure><img src="image_88.png" /></figure>
où

$$a = \max((n-3); 0), \ b = \max((n-2); 0), \ c = \max((n-2); 0)$$

$$d = \begin{cases} 1 & \text{sin } n = 2 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$

$$e = \begin{cases} 1 & \text{sin } n = 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$

est superexacte.

**Preuve.** Soit $V$ un $k(C_2 \times C_2)$-module ayant la représentation

<figure><img src="image_89.png" /></figure>

Soit $\{e_1, ..., e_{2n+1}\}$ une base de $V$ dont les vecteurs correspondent aux sommets du graphe précédent et sont disposés de la manière suivante :

<figure><img src="image_90.png" /></figure>

Calculons les éléments fixes par les sous-groupes de $G$.

$$\text{Notons } A = \langle e_{n+1}, ..., e_{2n+1} \rangle \text{ et } B = \langle e_1, ..., e_n \rangle.$$

Notons $i$ le morphisme de $A$ dans $B$ dont la matrice dans les bases $\{e_{n+1}, ..., e_{2n+1}\}$ et $\{e_1, ..., e_n\}$ est

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & & & 0 \\ & \ddots & & & \ddots \\ & & \ddots & & \ddots \\ 0 & & & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

et $j$ le morphisme de $A$ dans $B$ dont la matrice dans les bases $\{e_{n+1}, ..., e_{2n-1}\}$ et $\{e_1, ..., e_n\}$ est

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & & & 0 \\ & \ddots & & & \ddots \\ & & \ddots & & \ddots \\ 0 & & & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
Soit $a \in A$ et $b \in B$ alors

$$x. (a, b) = (0, i(a))$$

$$y. (a, b) = (0, j(a)).$$

Comme $i$ a une matrice de rang $n$ alors dim $\ker x = n + 1$. Or $e_{2n+1} \in \ker x$ donc

$$\ker x = \langle B, e_{2n+1} \rangle.$$

Le rang de la matrice de $j$ est $n$ donc dim $\ker y = n + 1$. Or $e_{n+1} \in \ker y$ donc

$$\ker y = \langle B, e_{n+1} \rangle.$$

De plus

$$(x + y)(a, b) = (0, (i + j)(a)).$$

et la matrice de $i + j$ est

$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & & & 0 \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 1 & 1 \\ 0 & & & & 1 \end{pmatrix}.$$

Cette matrice est de rang $n$ donc dim $\ker (x + y) = n + 1$. Si note $u = e_{n+1} + \dots + e_{2n+1}$, alors $u \in \ker (x + y)$ donc

$$\ker (x + y) = \langle B, u \rangle.$$

ainsi

$$V^{\langle a \rangle} = \langle e_1, \dots, e_n, e_{2n+1} \rangle_k.$$

on peut représenter cela par

$$\bullet \ \dots \ \bullet \ \bullet \ \bullet$$

et

$$V^{\langle b \rangle} = \langle e_1, \dots, e_{n+1} \rangle_k.$$

ce que l'on peut représenter par

$$\bullet \ \bullet \ \dots \ \bullet$$
De plus,

$$V^{\langle ab \rangle} = \langle e_1, \dots, e_n, u \rangle_k.$$

Enfin

$$V^P = \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k.$$

Ainsi

$$ \begin{aligned} V[P] &= V^P / (yV^{\langle a \rangle} + xV^{\langle b \rangle} + xV^{\langle ab \rangle}) \\ &= V^P / \left( \langle e_n \rangle_k + \langle e_1 \rangle_k + \sum_{i=1}^n e_i \right). \end{aligned} $$

Donc si $n=2$ ou $n=3$ alors $E_P = \emptyset$.

Et pour $n \ge 4$, on peut donc prendre $E_P = \{e_2, \dots, e_{n-2}\}$.

Ce qui donne $n-3$ morphismes

<figure><img src="image_91.png" /></figure>

Si on note $f_i$ un vecteur de base de $\bullet$, alors $f_i$ est envoyé sur $e_{i+1}$ pour $1 \le i \le n-3$.

On a

$$ \begin{aligned} \mathrm{Tr}_{\{e\}}^{\langle a \rangle} V &= (1+b) \cdot V \\ &= yV \\ &= \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k, \end{aligned} $$

et

$$ \begin{aligned} \mathrm{Res}_{\langle a \rangle}^P (V^P) &= \mathrm{Res}_{\langle b \rangle}^P (V^P) \\ &= \mathrm{Res}_{\langle ab \rangle}^P (V^P) \\ &= \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k \end{aligned} $$

donc

$$V^{[\langle a \rangle]}_{N_P(\langle a \rangle)} = \langle \overline{e_{2n+1}} \rangle_k.$$

Ainsi on peut prendre $E_{\langle a \rangle} = \{e_{2n}\}$.

Ce qui donne un morphisme

<figure><img src="image_92.png" /></figure>
Si on note $l_1$ et $l_2$ les deux vecteurs tels que

$$ \bullet_{l_1} / \bullet_{l_2} $$

alors $l_1$ est envoyé sur $e_{2n+1}$ et $l_1$ sur $e_n$.

On a $\mathrm{Res}_{\langle a \rangle}^P V^P = \mathrm{Tr}_{\{e\}}^{\langle a \rangle} V = \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k$ donc

$$ V[[\langle b \rangle]]_{N_P(\langle b \rangle)} = (\langle e_1, \dots, e_n, e_{n+1} \rangle_k / \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k)_{N_P(\langle b \rangle)}. $$

Ainsi on peut prendre $E_{\langle b \rangle} = \{e_{n+1}\}$.

Ce qui donne un morphisme

$$ \bullet \xrightarrow{\bullet} \bullet \xrightarrow{\bullet} \bullet \xrightarrow{\bullet} \bullet \xrightarrow{\bullet} \bullet \xrightarrow{\bullet} \bullet $$

Si on note $g_1$ et $g_2$ les deux vecteurs tels que

$$ \bullet_{g_1} \diagup \bullet_{g_2} $$

alors $g_1$ est envoyé sur $e_{n+1}$ et $g_2$ sur $e_1$.

On a $\mathrm{Res}_{\langle ab \rangle}^P V^P + \mathrm{Tr}_{\{e\}}^{\langle ab \rangle} V = \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k$ donc

$$ V[[\langle ab \rangle]]_{N_P(\langle ab \rangle)} = (\langle e_1, \dots, e_n, u \rangle_k / \langle e_1, \dots, e_n \rangle_k)_{N_P(\langle ab \rangle)}. $$

Donc on peut prendre $E_{\langle ab \rangle} = \{u\}$.

Ce qui donne un morphisme

$$ \bullet \xrightarrow{\bullet} \bullet \xrightarrow{\bullet} \bullet \xrightarrow{\bullet} \bullet \xrightarrow{\bullet} \bullet \xrightarrow{\bullet} \bullet $$

Si on note $k_1$ et $k_2$ les deux vecteurs tels que

$$ \bullet_{k_1} \diagup \bullet_{k_2} $$

alors $k_1$ est envoyé sur $u$ et $k_2$ sur $xu = \sum_{i=1}^n e_i$.

De plus,

$$ \sum_{\{e\}<H \le P} \mathrm{Res}_{\{e\}}^H (V^H) = \langle e_1, \dots, e_n, e_{n+1}, u, e_{2n+1} \rangle_k $$
Ainsi pour $n = 1$ ou $n = 2$ alors $V[[\{e\}]]_P = 0$ et donc on peut prendre $E_{\{e\}} = 0$.

Et pour $n \ge 3$

$$V[\{e\}]_P = \langle \overline{e_{n+2}}, \dots, \overline{e_{2n-1}} \rangle_k.$$

Donc

$$E_{\{e\}} = \{e_{n+2}, \dots, e_{2n-1}\}.$$

Ce qui donne dans ce cas $n - 2$ morphisme(s)

<figure><img src="image_93.png" /></figure>

Pour les $n - 2$ module(s) et $i \in [1; n - 2]$, notons $h_i$, $h_{i+n-2}$, $h_{2n-4+i}$ et $h_{3n-6+i}$, les vecteurs tels que

<figure><img src="image_94.png" /></figure>

alors le morphisme pour ce module est donné par

$$\begin{align*} h_i &\mapsto e_{n+1+i} \\ h_{i+n-2} &\mapsto e_i \\ h_{2n-4+i} &\mapsto e_{i+1} \\ h_{3n-6+i} &\mapsto 0. \end{align*}$$

Ceci donne bien le morphisme annoncé.

Trouvons le noyau de ce morphisme.

Pour $n = 1$ la dimension du noyau est $2 + 2 + 2 - 3 = 3$.

Or si on note $\alpha = g_1 + l_1 + k_1$, $\beta = l_2 + k_2$ et $\gamma = g_2 + k_2$ alors on a trois vecteurs indépendants dans le noyau et comme

$$\begin{align*} x\alpha &= \gamma \\ y\alpha &= \beta \\ \text{et } x\gamma &= y\gamma = x\beta = y\beta = 0 \end{align*}$$
on peut représenter le noyau par

<figure><img src="image_95.png" /></figure>

Pour $n = 2$ la dimension du noyau est $2 + 2 + 2 - 5 = 1$.

Le vecteur $g_2 + k_2 + l_2$ est un vecteur du noyau, on peut représenter le noyau par

<figure><img src="image_96.png" /></figure>

Pour $n \ge 3$, la dimension du noyau est

$$n - 3 + 2 + 2 + 2 + 4(n - 2) - 2n - 1 = 3n - 6$$

Afin de trouver le noyau, il suffit donc de trouver $3(n-2)$ vecteurs indépendants dans le noyau.

Les vecteurs

$$f_1 + h_n, \dots, f_{n-4} + h_{2n-5}$$

$$f_1 + h_{2n-3}, \dots, f_{n-3} + h_{3n-7}$$

$$h_{3n-5}, \dots, h_{6n-8}$$

$$g_2 + h_{n-1}$$

$$h_{2n-4} + f_{n-3}$$

$$k_2 + g_2 + \sum_{i=1}^{n-3} f_i + h_{3n-6} + l_2$$

sont $3(n-2)$ vecteurs du noyau. Ils sont indépendants car chaque vecteur comporte un élément d'une base n'apparaissant qu'une fois dans cette liste.

Pour $i \in [2; n-3]$, on note

$$\alpha_i = f_i + h_{n-1+i}$$

$$\beta_i = f_i + h_{2n-4+i}$$

$$\text{et } \gamma_i = h_{3n-6+i}$$

$$\alpha_1 = g_2 + h_{n-1}, \quad \beta_1 = f_1 + h_{2n-3} \text{ et } \gamma_1 = h_{3n-5}$$

et

$$\alpha_{n-2} = h_{2n-4} + f_{n-3}$$

$$\beta_{n-2} = k_2 + g_2 + \sum_{i=1}^{n-3} f_i + h_{3n-6} + l_2$$

$$\gamma_{n-2} = h_{6n-8}.$$
On remarque que pour $i \in [1; n-2]$

$$x\alpha_i = \gamma_i = y\beta_i \text{ et}$$

$$x\beta_i = x\gamma_i = y\gamma_i = y\alpha_i = 0.$$

Ce que l'on peut représenter par

<figure><img src="image_97.png" /></figure>

Ceci donne donc le résultat annoncé. ■

**Remarque 10.1.6** Le cas $n=2$ est particulièrement intéressant. En effet, le théorème précédent donne que la suite

$$0 \to \bullet \to \bullet \otimes \{\bullet\} \otimes \bullet \to \bullet \otimes \bullet \to 0$$

est une superrésolution de $\bullet \otimes \bullet \otimes \bullet$.

On sait que si $V$ est un module de permutation alors sa superrésolution est finie. Ce contre-exemple montre que la réciproque de cette proposition est fausse.

On vérifie facilement qu'il s'agit d'un cas particulier du théorème 9.2.4 dans le cas du groupe $C_2 \times C_2$.

**Remarque 10.1.7** Les superrésolutions pour le groupe $C_2 \times C_2$ sont périodiques à partir d'une certain rang.

Ainsi, d'après la proposition 5.0.9, tout foncteur de Mackey cohomologique pour le groupe $C_2 \times C_2$ admet une résolution projective périodique à partir d'un certain rang.
# Chapitre 11

## Extension de degré 1

Le but de cette partie est de calculer $\text{Ext}_{\text{co}\mu(P)}^1(S_{H,k}, S_{Q,k})$ où $H$ et $Q$ sont deux sous-groupes d'un $p$-groupe $P$.

En notant,

$$ \overline{N}_P(Q) = N_P(Q)/Q $$

nous allons montrer que le groupe

$$ \text{Ext}_{\text{mack}(P)}^1(S_{Q,k}, S_{H,k}) $$

est isomorphe à

$$
\left\{
\begin{array}{lll@{\qquad}ll}
  & \bigoplus & k_y & \text{où } k_y = k & \text{si } |Q| > p|H| \text{ ou } |H| > p|Q| \\
  & \bigoplus & k_y & \text{où } k_y = k & \text{si } |Q| = p|H| \\
  \text{y\textsubscript{en }$[N_P(H)\backslash T_P(H, Q)/N_P(Q)]$} & & & & \\
  \text{y\textsubscript{en }$[N_P(Q)\backslash T_P(Q, H)/N_P(P)]$} & & & & \\
  \text{Hom}(\overline{N}_P(Q)/\Phi(\overline{N}_P(Q)), k) & \text{si} & |H| = p|Q| & & \\
  \text{Hom}(\overline{N}_P(Q)/\Phi(\overline{N}_P(Q))\Omega_p(\overline{N}_P(Q)), k) & \text{si} & Q=P H \text{ et } p \text{ impair} & & \\
\end{array}
\right.
$$

### 11.1 Réduction au cas où $Q$ est normal dans

$$ P \text{ et où } |H| \leq |Q|. $$

On peut remarquer dans un premier temps que puisque

$$ \forall Q \leq P, \quad S_Q^{(P)} \simeq (S_Q^{(P)})^* $$
alors pour tous sous-groupes $Q$ et $H$ de $P$

$$ \mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(P)}^{1}(S_{H,k}^{(P)}, S_{Q,k}^{(P)}) \simeq \mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(P)}^{1}(S_{Q,k}^{(P)}, S_{H,k}^{(P)}). $$

Ainsi, on peut se contenter d'étudier le cas $|H| \le |Q|$.

Pour réduire encore le calcul, nous aurons besoin du lemme suivant

**Lemme 11.1.1** *Pour tout sous-groupe $Q \le P$,*

$$ \mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(P)}^{1}(S_{Q,k}^{(P)}, S_{H,k}^{(P)}) \simeq \bigoplus_{x \in [N_P(H) \setminus T_P(H, N_P(Q))/N_P(Q)]} \mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(N_P(Q))}^{1}(S_{Q,k}^{(N_P(Q))}, S_{H^x,k}^{(N_P(Q))}). $$

**Preuve.** Montrons dans un premier temps que pour tout groupe fini $G$,

$$ \mathrm{Res}_{N_P(Q)}^{G} S_H^{(G)} = \bigoplus_{x \in [N_G(H) \setminus T_G(H, N_G(Q))/N_G(Q)]} S_{H^x}^{(N_G(Q))}. $$

On a

$$ S_H^{(G)} = \mathrm{Ind}_{N_G(H)}^{G} S_H^{(N_G(H))} $$

donc

$$ \mathrm{Res}_{N_G(Q)}^G S_H^{(G)} = \mathrm{Res}_{N_G(Q)}^G \mathrm{Ind}_{N_G(H)}^G S_H^{(N_G(H))}. $$

D'après la formule de Mackey

$$ \begin{aligned} \mathrm{Res}_{N_G(Q)}^G S_H^{(G)} &= \bigoplus_{x \in [N_G(H) \setminus P/N_G(Q)]} \mathrm{Ind}_{N_G(H^x) \cap N_G(Q)}^{N_G(Q)} \mathrm{Res}_{N_G(H^x) \cap N_G(Q)}^{N_G(H^x)} S_{H^x}^{N_G(H^x)} \\ &= \bigoplus_{\substack{x \in [N_G(H) \setminus G/N_G(Q)] \\ H^x \subseteq N_G(Q)}} \mathrm{Ind}_{N_G(H^x) \cap N_G(Q)}^{N_G(Q)} \mathrm{Res}_{N_G(H^x) \cap N_G(Q)}^{N_G(H^x)} S_{H^x}^{N_G(H^x)} \end{aligned} $$

Or

$$ \mathrm{Res}_{N_G(H^x) \cap N_G(Q)}^{N_G(H^x)} S_{H^x}^{N_G(H^x)} $$

est non nul uniquement en $H^x$ et y est égal à $k$. Donc,

$$ \mathrm{Res}_{N_G(H^x) \cap N_G(Q)}^{N_G(H^x)} S_{H^x}^{N_G(H^x)} = S_{H^x}^{(N_G(H^x) \cap N_G(Q))} $$

Ainsi,

$$ \begin{aligned} \mathrm{Res}_{N_G(Q)}^G S_H^{(G)} &= \bigoplus_{\substack{x \in [N_G(H) \setminus G/N_G(Q)] \\ H^x \subseteq N_G(Q)}} \mathrm{Ind}_{N_G(H^x) \cap N_G(Q)}^{N_G(Q)} S_{H^x}^{(N_G(H^x) \cap N_G(Q))} \\ &= \bigoplus_{\substack{x \in [N_G(H) \setminus G/N_G(Q)] \\ H^x \subseteq N_G(Q)}} S_{H^x}^{(N_G(Q))} \\ &= \bigoplus_{x \in [N_G(H) \setminus T_G(H, N_G(Q))/N_G(Q)]} S_{H^x}^{(N_G(Q))}. \end{aligned} $$
Comme.

$$S_{Q,k}^{(P)} = \mathrm{Ind}_{N_P(Q)}^{P} S_{Q,k}^{(N_P(Q))}$$

alors

$$\mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(P)}^{1}(S_{Q,k}^{(P)}, S_{R,k}^{(P)}) = \mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(P)}^{1}(\mathrm{Ind}_{N_P(Q)}^{P} S_{Q,k}^{(N_P(Q))}, S_{H,k}^{(P)})$$

donc

$$ \begin{align*} \mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(P)}^{1}(S_{Q,k}^{(P)}, S_{H,k}^{(P)}) &\simeq \mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(P)}^{1}(S_{Q,k}^{(N_P(Q))}, \mathrm{Res}_{N_P(Q)}^{P} S_{H,k}^{(P)}) \\ &\simeq \mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(P)}^{1}\left(S_{Q,k}^{N_P(Q)}, \bigoplus_{x \in [N_P(H) \setminus T_P(R, N_P(Q))/N_P(Q)]} S_{H^x,k}^{(N_P(Q))}\right) \\ &\simeq \bigoplus_{x \in [N_P(H) \setminus T_P(R, N_P(Q))/N_P(Q)]} \mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(N_P(Q))}^{1}(S_{Q,k}^{(N_P(Q))}, S_{H^x,k}^{(N_P(Q))}). \end{align*} $$

<figure><img src="image_98.png" /></figure>

On peut donc se restreindre au cas où $Q$ est normal dans $P$.

Dans toute la suite de cette section, sauf mention contraire, le sous-groupe $H$ de $P$ sera tel que

$$|H| \leq |Q|.$$

et $Q$ sera normal dans $P$.

On sait ([10], Théorème 16.10 p 1931) que le foncteur de Mackey cohomologique $FP_{k(P/Q)}$ est la couverture projective de $S_{Q, k}$. Notons $\phi$ le morphisme de foncteurs de Mackey de $FP_{k(P/Q)}$ dans $S_{Q, k}$ dont la composante sur $Q$ est l'augmentation

$$ \left\{ \begin{array}{lcl} k(P/Q) & \to & k \\ gQ & \mapsto & 1 \end{array} \right. $$

$$L = \ker (FP_{k(P/Q)} \xrightarrow{\phi} S_{Q, k}).$$

Ainsi la suite

$$0 \to L \to FP_{k(P/Q)} \to S_{Q, k} \to 0$$

est exacte.

Comme $FP_{k(P/Q)}$ est un foncteur de Mackey projectif alors

$$\mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(P)}^{1}(FP_{k(P/Q)}, S_{H,k}) = 0.$$

Ainsi, on a la suite exacte

$$0 \to \operatorname{Hom}_{\mathrm{co}\mu(P)}(S_{Q, k}, S_{H, k}) \to \operatorname{Hom}_{\mathrm{co}\mu(P)}(FP_{k(P/Q)}, S_{H, k}) \to \dots$$

$$\dots \to \operatorname{Hom}_{\mathrm{co}\mu(P)}(L, S_{H,k}) \to \mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(P)}^{1}(S_{Q,k}, S_{H,k}) \to 0.$$
Si $H \neq Q$ alors

$$ \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(P)}(FP_{k(P/Q)}, S_{H,k}) = 0 $$

donc

$$ \operatorname{Ext}^1_{\operatorname{co}\mu(P)}(S_{Q, k}, S_{H,k}) \simeq \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(P)}(L, S_{H,k}) $$

Si $H = Q$ alors

$$ \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(P)}(FP_{k(P/Q)}, S_{Q,k}) \simeq k \simeq \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(P)}(S_{Q, k}, S_{Q,k}) $$

donc

$$ \operatorname{Ext}^1_{\operatorname{co}\mu(P)}(S_{Q, k}, S_{Q,k}) \simeq \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(P)}(L, S_{Q,k}). $$

Ainsi dans tous les cas

$$ \operatorname{Ext}^1_{\operatorname{co}\mu(P)}(S_{Q, k}, S_{H,k}) \simeq \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(P)}(L, S_{H,k}). $$

Or d'après la proposition 8.1.3

$$ \operatorname{Hom}_{\operatorname{co}\mu(P)}(L, S_{H,k}) \simeq (L[[H]]_{N_P(H)})^* $$

donc

$$ \operatorname{Ext}^1_{\operatorname{co}\mu(P)}(S_{Q, k}, S_{H,k}) \simeq (L[[H]]_{N_P(H)})^* . $$

Comme pour $H \neq P Q$,

$$ L(H) \simeq (k(P/Q))^H $$

dans la suite de cette partie nous aurons besoin du lemme suivant ( on se place toujours dans le cas où $Q$ est normal dans $P$ et $|H| \leq |Q|$ )

**Lemme 11.1.2** Le $kP$-module $(k(P/Q))^H$ est engendré par les éléments

$$ \{ \operatorname{Tr}_{H \cap Q}^H (xQ) \setminus x \in [H \setminus P/Q] \}. $$

**Preuve.** Soit

$$ \sum_{g \in P/Q} \lambda_g \cdot g $$

un élément de $(k(P/Q))^H$ où pout tout $g \in P/Q$, $\lambda_g \in k$.

Pour tout $h \in H$, on a

$$ \begin{align*} h \sum_{g \in P/Q} \lambda_g \cdot g &= \sum_{g \in P/Q} \lambda_g \cdot hg \\ &= \sum_{g \in P/Q} \lambda_{h^{-1}g} \cdot g. \end{align*} $$
Donc $\forall h \in H, \forall g \in P/Q$

$$ \lambda_{hg} = \lambda_g. $$

Ainsi

$$ \begin{align*} \sum_{g \in P/Q} \lambda_g \cdot g &= \sum_{x \in [H \setminus P/Q]} \sum_{h \in H/H_{xQ}} \lambda_{hxQ} \cdot hxQ \\ &= \sum_{x \in [H \setminus P/Q]} \sum_{h \in H/H \cap Q} \lambda_{xQ} \cdot hxQ \\ &= \sum_{x \in [H \setminus P/Q]} \lambda_{xQ} \operatorname{Tr}_{H \cap Q}^{H}(xQ). \end{align*} $$

■

## 11.2 Cas $H \not\subseteq Q$

Dans cette sous-section nous supposerons que $H \not\subseteq Q$.

Si $H \cap Q = Q$ alors $Q \subseteq H$ et comme $|H| \le |Q|$ alors

$$ H = Q $$

ce qui est contraire à l'hypothèse.

Donc $H \cap Q \neq Q$.

Ainsi pour $x \in [H \setminus P/Q]$ on a

$$ xQ \in L(H \cap Q) = (k(P/Q))^{H \cap Q} $$

ce qui implique

$$ \operatorname{Tr}_{H \cap Q}^{H}(xQ) \in \operatorname{Tr}_{H \cap Q}^{H}(L(H \cap Q)). $$

Donc si $H \not\subseteq Q$ alors

$$ L([H])_{N_P(H)} = 0. $$

## 11.3 Cas $H \subset Q$ et $|Q : H| \ge p^2$

Si $H \subset Q$ et $|Q : H| \ge p^2$ alors il existe un sous-groupe $S$ de $P$ tel que

$$ H \subset S \subset Q. $$

Le module $L(H)$ est engendré par les éléments

$$ \operatorname{Tr}_{H \cap Q}^{H}(xQ) = xQ \quad \text{pour } x \in [H \setminus P/Q]. $$
Or, pour $x \in [H\setminus P/Q]$

$$xQ = \operatorname{Res}_H^S \underbrace{\operatorname{Res}_S^Q (xQ)}_{\in (k(P/Q))^S = L(S)}$$

Ainsi, pour $H \subset Q$ et $|Q: H| \ge p^2$

$$L[[H]]_{N_P(H)} = 0.$$

## 11.4 Cas $|Q| = p|H|$ et $H \subset Q$

Plaçons nous dans le cas où $|Q| = p|H|$ et $H \subset Q$.

Comme précédemment, $L(H)$ est engendré par les éléments

$$xQ \quad \text{pour } x \in [H\setminus P/Q].$$

Si $S \subset H$ et $|S: H| = p$ alors $H$ agit trivialment sur $L(S)$ donc

$$\operatorname{Tr}_S^H (L(S)) = 0$$

Soit $z \in P$ alors

$$zQ - Q \in L(Q)$$

donc

$$zQ - Q \in \operatorname{Res}_H^Q (L(Q))$$

ainsi $zQ - Q$ a pour image 0 dans $L[[H]]_{N_P(H)}$.

Comme

$$Q \notin L(Q)$$

alors

$$Q \notin \operatorname{Res}_H^Q (L(Q)).$$

Si $H \subset S$ et $|S: H| = p$ avec $S \ne Q$ alors $L(S)$ est engendré par les éléments

$$\operatorname{Tr}_{S \cap Q}^S (xQ) = \operatorname{Tr}_H^S (xQ) \quad \text{pour } x \in [S\setminus P/Q]$$

donc $\operatorname{Res}_H^S (L(S))$ est engendré par les éléments

$$\operatorname{Res}_H^S \operatorname{Tr}_H^S (xQ).$$
Pour $v \in L(H)$ on a

$$
\begin{align*}
\mathrm{Tr}_H^S (v) &= \sum_{x \in [S/H]} xv \\
&= \sum_{x \in [S/H]} xv - |S : H| \cdot v \\
&= \sum_{x \in [S/H]} (xv - v).
\end{align*}
$$

Or $S \subseteq N_P(H)$, donc les éléments $\mathrm{Tr}_H^S(v)$ s'écrivent comme une somme d'éléments $xv - v$ avec $x \in N_P(H)$.

Ainsi $L([H])_{N_P(H)}$ est engendré par $Q$ (comme élément de $P/Q$) donc

$L([H])_{N_P(H)} \simeq k.$

11.5 Cas où $Q = H$

Dans cette sous section, nous supposerons que $Q = H$.

Il s'agit donc de calculer

$L([Q])_P .$

Comme $Q$ opère trivalement sur $k(P/Q)$ alors, on a la suite exacte

$$
0 \longrightarrow L(Q) \longrightarrow k(P/Q) \longrightarrow k \longrightarrow 0.
$$

Donc $L(Q)$ est le noyau de

$$
\left\{
\begin{array}{rcl}
k(P/Q) & \rightarrow & k \\
gQ & \mapsto & 1
\end{array}
\right.
.
$$

Ainsi $L(Q)$ est engendré par les éléments

$gQ - Q \ , \ g \in P.$

Comme $Q$ opère trivalement sur $k(P/Q)$ alors pour tout sous-groupe $S$ de $Q$

$$
\mathrm{Tr}_S^Q (L(S)) = 0.
$$

Si $P \supseteq T \supset Q$ alors $L(T)$ est engendré par les éléments

$$
\mathrm{Tr}_Q^T (xQ) \ , \ \text{où } x \in [T \setminus P/Q].
$$
Donc, en utilisant la formule de Mackey, $\mathrm{Res}_Q^T(L(T))$ est engendré par les éléments

$$ \sum_{y \in [T/Q]} \mathrm{Tr}_Q^Q \mathrm{Res}_Q^Q (xQ) = \sum_{y \in [T/Q]} yxQ = x \cdot \mathrm{Tr}_Q^{xT}(Q), \text{ où } x \in [T \setminus P/Q] $$

Comme $Q$ est normal dans $P$ en considérant le groupe $P/Q$, on peut supposer $Q = 1$.

Ainsi on est ramené au calcul du $k$-module

$$ \Omega_P / J $$

où $\Omega_P$ est le noyau de

$$ \left\{ \begin{array}{ll} kP & \rightarrow k \\ g \in P & \mapsto 1 \end{array} \right. $$

et où $J$ est engendré par les éléments

$$ x \mathrm{Tr}_1^S (1) \quad \text{pour } x \in P \text{ et } 1 \subset S \subseteq P $$

et

$$ xu - u \quad \text{où } x \in P \text{ et } u \in \Omega_P. $$

Dans un premier temps, nous aurons besoin du lemme suivant

**Lemme 11.5.1** *Soit $G$ un $p$-groupe et $\lambda$ un homomorphisme de groupes de $G$ dans le groupe additif d'un corps $k$ de caractéristique $p$, alors*

$$ \sum_{x \in G} \lambda(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \lambda(z) & si \\ 0 & sinon \end{array} \right. \quad G \simeq C_2 \text{ et } z \in G - \{1\}. $$

**Preuve.** Si $G$ est trivial, il n'y a rien à démontrer. Sinon, il existe un sous-groupe $Z$ de $G$ d'ordre $p$.

On a

$$ \begin{align*} \sum_{x \in G} \lambda(x) &= \sum_{\substack{y \in G/Z \\ z \in Z}} \lambda(yz) \\ &= \sum_{\substack{y \in G/Z \\ z \in Z}} (\lambda(y) + \lambda(z)) \\ &= \sum_{\substack{y \in G/Z \\ z \in Z}} \lambda(y) + \sum_{\substack{y \in G/Z \\ z \in Z}} \lambda(z) \\ &= |Z| \sum_{y \in G/Z} \lambda(y) + |G/Z| \sum_{z \in Z} \lambda(z). \\ &= |G/Z| \sum_{z \in Z} \lambda(z). \end{align*} $$
Soit $z \in Z - \{1\}$ alors

$$ 
\begin{aligned}
\sum_{x \in G} \lambda(x) &= |G/Z| \sum_{k=1}^{p} \lambda(z^k) \\
&= |G/Z| \binom{p}{2} \lambda(z).
\end{aligned}
$$

Donc si $G \neq Z$ ou si $p$ est impair alors

$$ \sum_{x \in G} \lambda(x) = 0. $$

Il reste donc $G = C_2$ et dans ce cas

$$ \sum_{x \in G} \lambda(x) = \lambda(z). $$

<figure><img src="image_99.png" /></figure>

Ainsi, on doit distinguer deux cas : $p = 2$ ou $p$ impair

Le module $\Omega_P$ est engendré par les éléments $g - 1$ où $g \in P$.

Notons $I_p$ le sous-groupe de $P$ réduit à 1 élément si $p$ est impair et engendré par les éléments d'ordre 2 si $p = 2$.

Considérons donc les morphismes

$$ \phi : \left\{ \begin{array}{ccc} (\Omega_P / J)^* & \to & \operatorname{Hom}(P / (\Phi(P) I_p), k) \\ f & \mapsto & (\tilde{g} \mapsto f(\overline{g-1})) \end{array} \right. $$

où pour $g \in P$, $\overline{g-1}$ désigne la classe de $g-1$ dans $\Omega_P / J$, $\tilde{g}$ désigne la classe de $g$ dans $P/\Phi(P)I_p$ et

$$ \psi : \left\{ \begin{array}{ccc} \operatorname{Hom}(P / (\Phi(P) I_p), k) & \to & (\Omega_P / J)^* \\ m & \mapsto & (\overline{g-1} \mapsto m(\tilde{g})) \end{array} \right. . $$

Cette définition implique que pour $f \in (\Omega_P / J)^*$

$$ 
\begin{aligned}
\phi(f)(\tilde{1}) &= f(\overline{0}) \\
&= 0.
\end{aligned}
$$

Et pour $m \in \operatorname{Hom}(P / (\Phi(P) I_p), k)$

$$ 
\begin{aligned}
\psi(m)(\overline{0}) &= m(\tilde{1}) \\
&= 0.
\end{aligned}
$$
Montrons dans un premier temps que $\phi$ et $\psi$ sont bien définies.
Soit $g \in P$ et $h \in P$ alors

$$gh - 1 = g(h - 1) + g - 1$$

donc

$$f(\overline{gh - 1}) = f(\overline{g(h-1)}) + f(\overline{g-1})$$

ainsi

$$\phi(f)(\tilde{gh}) = \phi(f)(\tilde{g}) + \phi(f)(\tilde{h}).$$

Comme $P$ est un $p$-groupe alors $\Phi(P)$ est engendré par les éléments

$t^p \text{ où } t \in P$

et

$xyx^{-1}y^{-1} \text{ où } x \in P \text{ et } y \in P.$

D'après la relation précédente, ces éléments s'envoient sur 0 par $\phi(f)$.

Si $p = 2$, considérons $t$ un élément d'ordre 2 dans $P$.

On a

$$\begin{aligned} t - 1 &= 1 + t \\ &= \mathrm{Tr}_{1}^{\langle t \rangle} (1) \end{aligned}$$

ainsi

$$\overline{t - 1} = \overline{0}$$

donc

$$\begin{aligned} f(\overline{t-1}) &= f(\overline{0}) \\ &= 0. \end{aligned}$$

Ainsi $\phi$ est un morphisme bien défini.

Soit $(x, g)^2 \in P^2$ et $m \in \operatorname{Hom}(P/\langle\Phi(P)I_p\rangle, k)$ alors

$$\begin{align*} \psi(m) \left( \overline{x(g-1)} - \overline{g-1} \right) &= \psi(m) \left( \overline{xg-1} - \overline{(x-1)} - \overline{(g-1)} \right) \\ &= m(\tilde{xg}) - m(\tilde{x}) - m(\tilde{y}) \\ &= 0. \end{align*}$$

De plus, pour $1 \subset S \subseteq P$

$$\phi(m) \left( \mathrm{Tr}_{1}^{S}(1) \right) = \sum_{x \in S} m(\tilde{x}).$$
Comme

$$ \left\{ \begin{array}{rcl} S & \to & k \\ x & \mapsto & m(\tilde{x}) \end{array} \right. $$

est un morphisme alors d'après le lemme précédent, si $p$ est impair ou $S \not\cong C_2$

$$ \phi(m) (\overline{\mathrm{Tr}_1^S(1)}) = 0 $$

et si $S = \langle t \rangle \simeq C_2$ alors

$$ \tilde{t} = \tilde{0} $$

et

$$ \begin{align*} \phi(m) (\overline{\mathrm{Tr}_1^S(1)}) &= m(\tilde{t}) \\ &= m(\tilde{0}) \\ &= 0. \end{align*} $$

Ainsi $\psi$ est un morphisme bien défini. on a clairement

$$ \phi \circ \psi = \mathrm{Id} $$

et

$$ \psi \circ \phi = \mathrm{Id}. $$

Donc

$$ (\Omega_P / J)^* \simeq \mathrm{Hom} (P / (\Phi(P) I_p), k). $$

Ainsi

$$ L([1])_P \simeq \mathrm{Hom} (P / (\Phi(P) I_p), k). $$

Finalement, si $p$ est impair alors

$$ L([1])_P \simeq \mathrm{Hom} (P/\Phi(P), k). $$

et si $p = 2$ alors

$$ L([1])_P \simeq \mathrm{Hom} (P / (\Phi(P) \Omega^p(P)), k). $$
## 11.6 Cas général

Revenons au cas général.

Supposons $Q$ et $H$ quelconques.

On a

$$ \mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(P)}^{1}(S_{Q,k}^{(P)}, S_{H,k}^{(P)}) \simeq \bigoplus_{x \in [N_P(H) \setminus T_P(H, N_P(Q))/N_P(Q)]} \mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(N_P(Q))}^{1}(S_{Q,k}^{N_P(Q)}, S_{H^x,k}^{N_P(Q)}) $$

Donc si $|Q| > p|H|$ ou $|H| > p|Q|$ alors

$$ \mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(P)}^{1}(S_{Q,k}^{(P)}, S_{H,k}^{(P)}) = 0. $$

Si $|Q| = p|H|$ alors

$$ \mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(N_P(Q))}^{1}(S_{Q,k}^{N_P(Q)}, S_{H^x,k}^{N_P(Q)}) \simeq k $$

donc

$$ \mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(P)}^{1}(S_{Q,k}^{(P)}, S_{H,k}^{(P)}) \simeq \bigoplus_{y \in [N_P(H) \setminus T_P(H,Q)/N_P(Q)]} k_y \quad \text{où } k_y = k. $$

Si $|H| = p|Q|$, il suffit de permuter $H$ et $Q$ dans la formule précédente.

Si $Q =_P H$ alors $[N_P(H) \setminus T_P(H, Q) / N_P(Q)]$ est réduit à 1 élément donc si $p$ est impair

$$ \mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(P)}^{1}(S_{Q,k}^{(P)}, S_{Q,k}^{(P)}) \simeq \mathrm{Hom}(\overline{N}_P(Q) / \Phi(\overline{N}_P(Q)), k). $$

Si $Q =_P H$ et $p = 2$ alors $[N_P(H) \setminus T_P(H, Q) / N_P(Q)]$ est réduit à 1 élément donc

$$ \mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(P)}^{1}(S_{Q,k}^{(P)}, S_{Q,k}^{(P)}) \simeq \mathrm{Hom}(\overline{N}_P(Q) / \Phi(\overline{N}_P(Q)) \Omega_p(\overline{N}_P(Q)), k). $$

**Remarque 11.6.1** En particulier si le groupe $P$ est non trivial, le groupe

$$ \mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(P)}^{1}(S_{P,k}, S_{P,k}) $$

est nul si et seulement si $p = 2$ et $P$ est engendré par ses involutions.

**Remarque 11.6.2** Il est intéressant de noter que les groupes $\mathrm{Ext}_{\mathrm{co}\mu(P)}^{1}(S_{Q,k}, S_{H,k})$ sont déterminés par la connaissance de la catégorie dérivée de $\mathrm{co}\mu(G)$, et de la place des modules simples dans cette catégorie. Le résultat précédent indique que cette seule information donne des renseignements très forts sur la combinatoire et la géométrie du groupe.
Cinquième partie

Conjectures
<figure><img src="image_100.png" /></figure>
1. On sait que si $V$ est un RG-facteur de permutation alors pour tout sous-groupe $H$ de $G$ et pour tout entier $i \ge 1$, on a $V[i, H] = 0$. On peut se demander si la réciproque de cette proposition est vraie. Dans les exemples étudiés aucun module qui n'est pas un facteur de permutation n'a ses quotients de Brauer tous nuls. En fait, au mieux seuls les quotients de Brauer d'ordre 0 et 1 sont non nuls. On peut donc se demander même si le simple fait que $V[1, H]$ soit nul pour tout sous-groupe $H$ de $G$ ne suffirait pas à entraîner que $V$ est un facteur de permutation.

On pourrait croire que la proposition 9.1.9 répond à ces questions. Mais, comme le montre la proposition 9.1.7, le fait que $E_d[i, P]$ soit nul n'entraîne pas la nullité de tous les $\text{Res}_H^P(E_d)[i, H]$.

2. Dans le même esprit, si $V$ est un module d'endopermutation alors $\text{End}_k V$ a une superrésolution finie. Inversement, si $\text{End}_k V$ a une superrésolution finie, $V$ est-il nécessairement un module d'endopermutation. Et si cela est faux, que peut-on dire de $V$ dans ce cas ?

3. Les foncteurs de Mackey cohomologiques sur un corps $k$ de caractéristique $p$, pour les $p$-groupes cycliques, ou pour le groupe de Klein lorsque $p = 2$, ont des résolutions périodiques après un certain rang. Il semble que ce résultat ne s'étende pas à des $p$-groupes plus compliqués : pour les $p$-groupes abéliens élémentaires de rang 2 ( si $p$ est impair ) ou 3 ( si $p = 2$ ), le calcul avec G.A.P semble montrer qu'il existe des $kP$-modules admettant des résolutions mimimales qui sont mêmes non polynômiales.
<figure><img src="image_101.png" /></figure>
Bibliographie

[1] Dave Benson. *Representations and Cohomology*. Cambridge studies in advanced mathematics, Cambridge University Press edition.

[2] Serge Bouc. Projecteurs dans l'anneau de Burnside, Projecteurs de Green, et Modules de Steinberg Généralisés. *Journal of Algebra*, 139(2):395-445, 1991.

[3] Serge Bouc. Non-Additive Exact Functors and Tensor Induction for Mackey Functors. *Memoirs of the American Mathematical Society*, 144(683), mars 2000.

[4] Andreas Dress. *Contributions to the Theory of Induced Representations*, volume 342. Lecture Notes in Mathematics. pp 183-240, Springer-Verlag edition, 1973.

[5] James Green. Axiomatic Representation Theory for Finite Groups. *Journal of Pure and Applied Algebra*, 1:41-77, 1971.

[6] Birger Iversen. *Cohomology of Sheaves*. Springer Universitext, 1986.

[7] Harald Lindner. A remark on Mackey functors. *Manuscripta Math.*, 18:273-278, 1976.

[8] Jean-Pierre Serre. *Corps Locaux*. Hermann, quatrième edition.

[9] Jacques Thévenaz and Peter Webb. Simple Mackey functors. *Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo*, 23:299-300, 1990.

[10] Jacques Thévenaz and Peter Webb. The Structure of Mackey Functors. *Transactions of the American Mathematical Society*, 347(6):1865-1961, Juin 1995.

[11] Peter Webb. A Guide to Mackey Functors. *Handbook of Algebra*, 2:805-836, 2000.

[12] Peter Webb. Stratifications and Mackey Functors I : Functors for a Single Group. *Proceeding of the London Mathematical society*, 82:299-336, 2001.

[13] Tomoyuki Yoshida. On $G$-Functors II : Hecke Operators and $G$-Functors. *Math.Soc.Japan*, 35:179-190, 1983.
<figure><img src="image_102.png" /></figure>
# Annexe A

## Algorithme de superrésolution minimale sous GAP

```R
# Programme pour gap4r2 fix8
#
# Calcul du début de la résolution minimale d'un foncteur de Mackey
# cohomologique, sous foncteur d'un foncteur de points fixes,
# pour un p-groupe, sur un corps de caractéristique p
#
##########
# Une représentation d'un groupe est un "record" contenant :
# - groupe : le groupe
# - gen : un système de générateurs du groupe
# - corps : le corps de base
# - dim : la dimension
# - hom : un morphisme du groupe vers le groupe linéaire correspondant
#
representation :=function(g,h,corps)
# Représentation de permutations de g sur les classes modulo h
# sur le corps "corps"
#
local f,ind,mgg,gl,s;
s :=GeneratorsOfGroup(g);
f :=FactorCosetAction(g,h);
ind :=Index(g,h);
gl :=GeneralLinearGroup(ind,Size corps));
mgg :=List(s,x->PermutationMat(Image(f,x),ind,corps));
f :=GroupHomomorphismByImagesNC(g,gl,s,mgg);
# un test de cohérence
```
```pascal
if f=fail then
  Print("ERRR\n");
fi;

return rec(groupe:=g,gen:=s,corps:=corps dim:=ind,hom:=f);
end;

###########
enveloppe :=function(clat,mack,r)
  # clat est une liste des sous-groupes du groupe g=r.groupe, à conjugaison près,
  # et par ordre décroissant
  #
  # mack est un foncteur de Mackey cohomologique, sous-foncteur d'un foncteur
  # de points fixes
  #
  # r est la représentation de g sur mack(1)
  #
  # La fonction retourne une représentation de permutations de g, et une
  # supersurjection vers le foncteur de Mackey.
  #
local vecq,prem,y,q,rq,vq,l,kerbr,kergen,s,c,m,clatq,g,u,ns,v,iq,is,e,br,w,gs,t,d,k,gen,
mgen,deja,mat,a,b,j,ind,h,vs,f,gl,rr;
y :=r.hom;g :=r.groupe;
prem :=PrimePowersInt(Size(g));
prem :=prem[1];
e :=[];
for iq in [1..Length(clat)] do
  q :=clat[iq];
  vecq :=mack[iq];
  vq :=BasisVectors(Basis(vecq));
  l :=MaximalNormalSubgroups(q);
  kergen :=[];
  kerbr :=Subspace(vecq,kergen);
  for s in l do
    if Size(s)>1 then
      gs :=GeneratorsOfGroup(s);
    else
      gs :=[One(s)];
fi;
h :=Normalizer(g,s);
c :=RightCosets(g,h);
c :=List(c,x->Representative(x));
v :=fail;
```
```pascal
for u in c do
  v := Position(clat, s^u);
  if v <> fail then
    break;
  fi;
  od;

# un test
  if v = fail then
    Print("problème...\n");
  fi;

#
  vs := Basis(mack[v]);
  vs := BasisVectors(vs);
  u := Image(y, u^(-1));
  vs := vs*m;
  c := RightCosets(q, s);
  c := List(c, x->Representative(x));
  m := Sum(c, x->Image(y, x));
  for w in vs do
    u := w*m;
    if not(u in kerbr) then
      Add(kergen, u);
    kerbr := Subspace(vecq, kergen, "basis");
    fi;
  od;
  od;
  clatq := Filtered(clat, x->Size(x)>Size(q));
  for s in clatq do
    is := Position(clat, s);
    if e[is] <> [] then
      ns := Normalizer(g, s);
      c := RightCosets(g, ns);
      c := List(c, x->Representative(x));
      for u in c do
        if IsSubgroup(s^u, q) then
          for v in ns do
            for w in e[is] do
              t := w*Image(y, v*u);
              if not(t in kerbr) then
                Add(kergen, t);
# un test
```
```c
if not t in vecq then
    Print(t,"
");
    Print(BasisVectors(Basis(vecq)),"
");
fi;

#
    kerbr :=Subspace(vecq,kergen,"basis");
    fi;
    od;
    od;
    fi;
    od;
    fi;
    od;
    ns :=Normalizer(g,q);
    for v in vq do
        for u in GeneratorsOfGroup(ns) do
            w :=v*Image(y,u)-v;
            if not(w in kerbr) then
                Add(kergen,w);
                kerbr :=Subspace(vecq,kergen,"basis");
            fi;
            od;
            od;
    Print("\rmultiplicité :",Dimension(vecq)-Dimension(kerbr),"");
    br :=NaturalHomomorphismBySubspace(vecq,kerbr);
    u :=Basis(Image(br));
    u :=BasisVectors(u);
    u :=List(u,x->Representative(PreImages(br,x)));
    e[iq] :=u;
    od;
    d :=Sum([1..Length(clat)],x->Length(e[x])*Index(g,clat[x]));
    k :=d-r.dim;
    gen :=GeneratorsOfGroup(g);
    mgen :=List(gen,x->NullMat(d,d,r.corps));
    deja :=0;
    mat :=[];
    for iq in [1..Length(clat)] do
        if e[iq]<>[] then
            q :=clat[iq];
            f :=FactorCosetAction(g,q);
```
ind :=Index(g,q);
for is in [1..Length(gen)] do
    m :=PermutationMat(Image(f,gen[is]),ind,r.corps);
    for j in deja+ind*[0..(Length(e[iq])-1)] do
        for a in [1..ind] do
            for b in [1..ind] do
                mgen[is][j+a][j+b] :=m[a][b];
            od;
        od;
    od;
    c :=RightCosets(g,q);
    c :=List(c,x->Representative(x));
    for w in e[iq] do
        Append mat, List(c,z->w*Image(y,z));
    od;
    deja :=deja+ind*Length(e[iq]);
fi;
od;
gl :=GeneralLinearGroup(d,Size(r.corps));
h :=GroupHomomorphismByImagesNC(g,gl,gen,mgen);
rr :=rec(groupe :=r.groupe,gen :=gen,corps :=r.corps,dim :=d,hom :=h);
return [rr,mat, List([1..Length(clat)],x->Length(e[x]))];
end;

##################
omegaperm :=function(clat,mack,r)
    # le noyau du morphisme depuis l'enveloppe de permutations
#
local env,denv,reso,ker,bker,gl,gen,mker,g,f;
reso :=enveloppe(clat,mack,r);
Print("\rMultiplicités : ",reso[3],"\n");
env :=reso[1];
g :=r.groupe;
Print("\rDimension de l'enveloppe :",Sum([1..Length(clat)],x->reso[3][x]*Index(g,clat[x]),"\t");
denv :=Length(reso[2]);
ker :=NullspaceMat(reso[2]);
ker :=SubspaceNC(FullRowSpace(r.corps,denv),ker,"basis");
bker :=Basis(ker);
gen :=r.gen;
if Dimension(ker)=0 then
    Print("Dimension de Omega = 0\n");