# Gauchissement non-uniforme avec prise en compte des effets de torsion et d'effort tranchant

Rached El Fatmi

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Rached El Fatmi. Gauchissement non-uniforme avec prise en compte des effets de torsion et d'effort tranchant. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. hal-01504284

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# Gauchissement non-uniforme avec prise en compte des effets de torsion et d'effort tranchant

## Théorie de poutre et applications

Rached El Fatmi

Laboratoire de Génie Civil, Ecole Nationale d'Ingénieurs de Tunis
B.P. 37, 1002 Le Belvédère, Tunis, Tunisie.

rached.elfatmi@enit.rnu.tn

RÉSUMÉ. Une théorie de gauchissement non uniforme prenant en compte les effets de la torsion et des efforts tranchants est présentée. Cette théorie de poutre est basée sur un modèle cinématique utilisant trois paramètres de gauchissement associés aux trois fonctions de gauchissement de torsion et d'efforts tranchants de St Venant. La comparaison aux résultats de St Venant permet aussitôt de dégager les effets induits par la non-uniformité du gauchissement. En particulier, cette théorie permet de préciser la contribution de chacun des efforts intérieurs et l'effet de la non-symétrie de la section sur le comportement mécanique de la poutre. Les applications présentées traitent de la torsion ou de la flexion-simple de poutre consoles; elles sont effectuées pour différents types de section.

ABSTRACT. A non-uniform warping beam theory including the effects of torsion and shear forces is presented. The theory is based on a displacement model using three warping parameters associated to the three St Venant warping functions corresponding to torsion and shear forces. The additional effects due to the non-uniformity of the warping are highlighted by comparison with St Venant beam theory. The closed form results obtained for the stresses show the contribution of each internal forces, and the effect of the non-symmetry of the cross-section on the structural behavior of the beam is specified. The theory is applied to analyze torsion and shear-bending of cantilever beams made of different kind of cross-sections.

MOTS-CLÉS : gauchissement, torsion, effort tranchant, St Venant, couplage, contrainte axiale, cisaillement.

KEYWORDS: warping, torsion, shear force, St Venant, coupling, axial stress, shear.
# 1. Introduction

Dans la plupart des théories du gauchissement non-uniforme (GNU) de poutre, les effets de torsion et d'effort tranchant sont traités séparément. Il est par ailleurs admis, dans ces travaux, que les modes naturels de gauchissement de section sont bien représentés par les fonctions de gauchissement associées à la solution du problème de St Venant : $\psi^x$ pour la torsion et $(\psi^y, \psi^z)$ pour les efforts tranchants $(x$ et $(y, z)$ étant relatifs à l'axe de la poutre et aux axes d'inertie de la section). Toutefois, ces fonctions de gauchissement de St Venant n'étant généralement accessibles que numériquement, des approximations sont consenties. Ces théories de poutre, dites d'ordre supérieur sont basées sur une modélisation du déplacement $(\xi)$ sous la forme : $\xi(\mathbf{v}, \boldsymbol{\theta}, \eta)=\mathbf{v}(x) + \boldsymbol{\theta}(x) \wedge \mathbf{X} + \eta(x)\phi(\mathbf{X})\mathbf{x}$, où $\mathbf{X}$ est un vecteur de section, $\mathbf{x}$ le vecteur unitaire de l'axe de la poutre, $\eta$ le paramètre de gauchissement, et $\phi$ un mode de gauchissement censé représenter $\psi^x$, $\psi^y$ ou $\psi^z$. Par ailleurs, le paramètre de gauchissement $\eta$ y est considéré indépendant ou bien lié aux déformations associées à $(\mathbf{v}, \boldsymbol{\theta})$, ce qui permet réduire le nombre des degrès de liberté (e.g., pour la torsion, $\eta$ est choisi comme le taux de rotation $(\theta'_x)$ (Vlasov, 1961), et pour la flexion-simple dans le plan $(x, y)$, $\eta$ est représenté par la déformation d'effort tranchant $(\gamma_z = v'_z + \theta_y)$ (Dufort L., 2001)).

Les résultats générés par ces théories restent fortement liés au type de section étudié, au choix du mode de gauchissement et au choix du paramètre de gauchissement (indépendant ou pas). Par ailleurs, ces travaux qui séparent torsion et effort tranchant ne peuvent apporter de réponse quant à un éventuel couplage des différents gauchissements. A ce propos, (Kim et al., 2005) montre qu'il existe, pour une section non-symétrique, un couplage torsion-flexion dû au GNU.

L'objectif de cette communication et de présenter, pour une section homogène, élastique, isotrope et de forme quelconque, une théorie générale du GNU prenant simultanément en compte les effets de torsion et des efforts tranchants. Pour cela, la modélisation du déplacement est la suivante :

$$ \xi(\mathbf{u}, \boldsymbol{\theta}, \eta) = \mathbf{v}(x) + \boldsymbol{\theta}(x) \wedge \mathbf{X} + (\eta_x(x)\psi^x(\mathbf{X}) + \eta_y(x)\psi^y(\mathbf{X}) + \eta_z(x)\psi^z(\mathbf{X})) \mathbf{x} $$ où les trois paramètres de gauchissement $(\eta = [\eta_x, \eta_y, \eta_z])$ sont respectivement associés aux trois fonctions de gauchissement $(\psi^x, \psi^y, \psi^z)$ qui sont exactement celles de St Venant. Pour les applications numériques, cette théorie nécessite au péalable de disposer, pour une section donnée, des fonctions de gauchissements de St Venant et de toutes les constantes classiques de section. Ces calculs de section sont assurés par le programme SECOPE (SECTIONAL OPErators) qui utilise le code déléments finis CAS-TEM. SECOPE a été développé conformément à la méthode numérique proposée par (El-Fatmi et al., 2004) pour le calcul de la solution de St Venant dans le cadre de la théorie exacte des poutres établies par (Ladevèze et al., 1998).

# 2. Rappel : solution 3D du problème de St Venant

Le problème de référence Figure-1 concerne l'équilibre 3D linéarisé d'une poutre de longueur $L$, soumise aux forces surfaciques $H_0$ et $H_L$ appliquées sur les sections
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 1.** Probleme de r´ef´erence</figcaption></figure>

extrˆemes S$_{0}$ et S$_{L}$ . Le mat´eriau est homog`ene elastique isotrope : E et G sont les modules de Young et de cisaillement (pour simplifier, le coefficient de Poisson est suppos´e nul). Pour donner l’expression de la solution de St Venant, il est commode d’introduire les notations suivantes :

– La position d’un point est rep´er´e par M=xx+X , o` u X appartient `a S .

– Soient h un vecteur de S et ( y$_{c}$, z$_{c}$ ) les coordonn´ees de C , on d´efinit :

$$
\langle (\cdot) \rangle = \int_S (\cdot) \, dS \quad \text{and} \quad \begin{cases} \bar{X} = (0, (y-y_c), (z-z_c)) \\ \bar{m}(h) = (\langle (y-y_c) \rangle h^z - (z-z_c)h^y, \langle zh^x \rangle, \langle -yh^x \rangle) \end{cases}
$$

– $\boldsymbol{\sigma}$ désignant le tenseur contrainte, on introduit les actions intérieures ($\boldsymbol{R}$, $\boldsymbol{M}$) définies par : $\boldsymbol{R} = \langle \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{x} \rangle = (N, T^y, T^z)$ et $\boldsymbol{M} = \bar{\boldsymbol{m}}(\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{x}) = (M^x, M^y, M^z)$. $(N, T^y, T^z)$ sont l’effort normal et les efforts tranchants, $M^x$ est le moment de torsion exprimé par rapport au centre de cisaillement $C$ et $(M^y, M^z)$ sont les moments de flexions exprimés par rapport au centre d’inertie $G$ de la section.

La solution de St Venant est donn´ee par :

$$
\begin{equation}
\begin{split}
\boldsymbol{\xi}^{sv} ={}& \mathbf{u}(x) + \omega_x(x)\mathbf{x} \wedge \overline{\mathbf{X}} + (\omega_y(x)\mathbf{y} + \omega_z(x)\mathbf{z}) \wedge \mathbf{X} + \\
& \qquad (M^x \phi^x(\mathbf{X}) + T^y \phi^y(\mathbf{X}) + T^z \phi^z(\mathbf{X})) \mathbf{x}
\end{split}
\tag{1}
\end{equation}
$$

$$
\sigma_{xx}^{sv} = \frac{N}{A} + \frac{M^y}{I_y} z - \frac{M^z}{I_z} y \quad [2]
$$

$$
\boldsymbol{\tau}^{\mathrm{sv}} = \sigma_{xy}^{\mathrm{sv}} \mathbf{y} + \sigma_{xz}^{\mathrm{sv}} \mathbf{z} = M^x \boldsymbol{\tau}^x + T^y \boldsymbol{\tau}^y + T^z \boldsymbol{\tau}^z
$$

$$
\gamma_x = \frac{N}{EA} \quad \gamma_y = \frac{T_y}{GA_y} \quad \gamma_z = \frac{T_z}{GA_z} \quad \chi_x = \frac{M^x}{GJ} \quad \chi_y = \frac{M^y}{EI_y} \quad \chi_z = \frac{M^z}{EI_z} \quad [3]
$$

o` u ( γ = u ′ + x ∧ ω , χ = ω ′ ) sont les d´eformations g´en´eralis´es, ( A, A$_{y}$, A$_{z}$, I$_{y}$, I$_{z}$, J ) les constantes de section et ( φ $^{i}$, τ $^{i}$, les fonctions de gauchissement de St Venant et les cisaillements de St Venant. Dans cette solution, ( R , M ) sont suppos´es v´erifier les ´equations d’´equilibre 1D ( R ′ =0; M ′ + x ∧ R =0) et sont reli´es `a ( γ , χ ) par le comportement (Eq.(3)). L’´equilibre 1D, le comportement 1D et les conditions aux limites sur S$_{0}$ et S$_{L}$ forment le probl`eme 1D qui d´efinit la th´eorie de poutre (TP-SV) associ´ee `a la solution 3D de St Venant.

3. Th´eorie de gauchissement non-uniforme

La th´eorie est bas´ee sur le mod`ele de d´eplacement (similaire `a Eq.(1))
$$
\xi(\mathbf{v}, \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\eta}) = \mathbf{v}(x) + \theta_x(x) \mathbf{x} \wedge \bar{\mathbf{X}} + (\theta_y(x) \mathbf{y} + \theta_z(x) \mathbf{z}) \wedge \mathbf{X} + \eta_i(x) \cdot \psi^i(\mathbf{X}) \mathbf{x} \quad [4]
$$

où la somme $\eta_i \psi^i$ utilise la convention des indices répétés ($i \in \{x, y, z\}$). ($\mathbf{v}, \boldsymbol{\theta}$) sont les déplacements de section, $\eta_i$ ($\boldsymbol{\eta}=(\eta_x, \eta_y, \eta_z)$) les paramètres de gauchissement, et $\psi^i$ les fonctions de gauchissement de torsion et des efforts tranchant reliés à celles de St Venant par : $\psi^x=GJ\phi^x$, $\psi^y=GA_y\phi^y$ and $\psi^z=GA_z\phi^z$. La théorie associée à cette cinématique parametrée par ($\mathbf{v}, \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\eta}$) est établie de manière classique en utilisant le principe des travaux virtuels. Soit $\hat{\boldsymbol{\xi}} = \boldsymbol{\xi}(\hat{\mathbf{v}}, \hat{\boldsymbol{\theta}}, \hat{\boldsymbol{\eta}})$ un déplacement virtuel ; les composantes non nulles du tenseur de déformation associé $\hat{\boldsymbol{\varepsilon}} = \boldsymbol{\varepsilon}(\hat{\boldsymbol{\xi}})$ s'écrivent :

$$
\hat{\epsilon}_{xx} = \hat{\gamma}_x + z\hat{\chi}_y - y\hat{\chi}_z + \hat{\eta}'_i \psi^i \quad \begin{bmatrix} 2\hat{\epsilon}_{xy} \\ 2\hat{\epsilon}_{xz} \end{bmatrix} = \hat{\gamma}_y \mathbf{y} + \hat{\gamma}_z \mathbf{z} + \hat{\chi}_x (\mathbf{x} \wedge \bar{\mathbf{X}}) + \hat{\eta}_i \nabla \psi^i \quad [5]
$$

Le travail virtuel intérieur $W_i = - \int_L \langle \boldsymbol{\sigma} : \boldsymbol{\varepsilon}(\hat{\boldsymbol{\xi}}) \rangle dx$ peut se mettre sous la forme :

$$
W_i = - \int_L (R \cdot \hat{\gamma} + M \cdot \hat{\chi} + M_{\psi} \cdot \hat{\eta}' + M_s \cdot \hat{\eta}) \, dx = \int_L \left( R' \cdot (\hat{v} + \mathbf{x} \wedge \hat{\theta}) \right. \\
\left. + M' \cdot \hat{\theta} + (M'_{\psi} - M_s) \cdot \hat{\eta} \right) \, dx - \left[ R \cdot \hat{v} + M \cdot \hat{\theta} + M_{\psi} \cdot \hat{\eta} \right]_0^L \quad [6]
$$

où $R=\langle\boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{x}\rangle$, $M=\overline{m}(\boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{x})$, $M_{\psi}=\langle\sigma_{xx}\psi^i\rangle\mathbf{x}_i$ et $M_s=\langle\sigma_{xy}\psi^i\rangle_+ + \sigma_{xz}\psi^i\rangle_-$, $\mathbf{x}_i \in \{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}\}$. Ceci définit les actions intérieures $R, M, M_{\psi}$ et $M_s$. Les deux derniers termes dont les composantes seront notées $M_{\psi}=(M_{\psi}^x, M_{\psi}^y, M_{\psi}^z)$ et $M_s=(M_s^x, T_s^y, T_s^z)$ définissent le vecteur *bimoment* et le vecteur des actions *secondeires*<fnref n="1" />. Le travail virtuel extérieur $W_e=\int_{S_0} H_0 \cdot \hat{\boldsymbol{\xi}} \, dS+\int_{S_L} H_L \cdot \hat{\boldsymbol{\xi}} \, dS$. s'écrit :

$$
W_e = P_0 \cdot \hat{v}_0 + C_0 \cdot \hat{\theta}_0 + Q_0 \cdot \hat{\eta}_0 + P_L \cdot \hat{v}_L + C_L \cdot \hat{\theta}_L + Q_L \cdot \hat{\eta}_L \quad [7]
$$

où $(P_I=\langle H_I \rangle; C_I=\overline{m}(H_I); Q_I=\langle H_I^x \psi^x \rangle \mathbf{x} + \langle H_I^x \psi^y \rangle \mathbf{y} + \langle H_I^x \psi^z \rangle \mathbf{z})$ définissent,
pour la théorie 1D, les actions extérieures associées aux actions $H_I, I \in \{0, L\}$.
Grace au principe des travaux virtuels les Eqs.(6)-(7) permettent de déduire les
équations d'équilibre et les conditions aux limites suivantes :

$$
\begin{array}{l@{\qquad}l}
\mathbf{R}'=0 & x=0: \quad \{\mathbf{R}, \mathbf{M}, \mathbf{M}_{\psi}\}_0= -\{\mathbf{P}_0, \mathbf{C}_0, \mathbf{Q}_0\} \\
\mathbf{M}'+\mathbf{x} \wedge \mathbf{R}=0 & x=L: \quad \{\mathbf{R}, \mathbf{M}, \mathbf{M}_{\psi}\}_L= \{\mathbf{P}_L, \mathbf{C}_L, \mathbf{Q}_L\} \\
\mathbf{M}'_{\psi}-\mathbf{M}_s=0 &
\end{array}
\qquad [8]
$$

En partant de l'énergie de déformation élastique pour le probleme 3D :
$W_{el}^{3D}(\boldsymbol{\varepsilon}(\boldsymbol{\xi}(\mathbf{v}, \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\eta}))) = \frac{1}{2} \int_L \langle E \varepsilon_{xx}^2 + 4G(\varepsilon_{xy}^2 + \varepsilon_{xz}^2) \rangle dx$, on peut déduire que le com-
portement 1D s'écrit sous la forme découplée suivante : :

$$
\begin{bmatrix} N \\ M^y \\ M^z \\ M^x_{\psi} \\ M^y_{\psi} \\ M^z_{\psi} \end{bmatrix} = E \begin{bmatrix} A & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ & I_y & 0 & 0 & 0 & 0 \\ & & I_z & 0 & 0 & 0 \\ & & & I_{\psi}^{xx} & I_{\psi}^{xy} & I_{\psi}^{xz} \\ & & & & I_{\psi}^{yy} & I_{\psi}^{yz} \\ & & & & & I_{\psi}^{zz} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \gamma_x \\ \chi_y \\ \chi_z \\ \eta'_x \\ \eta'_y \\ \eta'_z \end{bmatrix} \quad [9]
$$

<footnote n="1">1. $M_s^x$ est homogène à un moment et $(T_s^y, T_s^z)$ sont homogènes à des forces.</footnote>
$$
\begin{bmatrix} M^x \\ M_s^x \\ T^y \\ T_s^y \\ T^z \\ T_s^z \end{bmatrix} = G \begin{bmatrix} I_x & J - I_x & z_c A & -z_c A & -y_c A & y_c A \\ & I_x - J & -z_c A & z_c A & y_c A & -y_c A \\ & & A & A_y - A & 0 & 0 \\ & & & A - A_y & 0 & 0 \\ & & & & A & A_z - A \\ & & & & & A - A_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \chi_x \\ \eta_x \\ \gamma_y \\ \eta_y \\ \gamma_z \\ \eta_z \end{bmatrix} \quad [10]
$$

où les constantes de sections $I_{\psi}^{ij} = \langle \psi^i \psi^j \rangle$ definissent la *matrice de gauchissement* notée $I_{\psi}$, et $I_x=I_y+I_z+A(y_c^2 + z_c^2)$. Ce comportement 1D montre que, pour une section quelconque, les mouvements de torsion et de flexion se retrouvent couplés. Cela est dû à la non symétrie de la section caractérisée ici par les constantes ($I_{\psi}^{xy}$, $I_{\psi}^{xz}$, $I_{\psi}^{yz}$) et ($y_c$, $z_c$).

Contraintes. Les expressions des déformations (Eq.(5)) et les relations inverses du comportement 1D (Eq.(9)-(10)) permettent de déduire l’expression des contraintes en fonction des efforts généralisés. L’expression ci-dessous, qui concerne les sections bi-symétriques, montre clairement les contraintes additionnelles dûes au caractère non uniforme du gauchissement et indique la contribution de nouveaux efforts intérieurs qu’il introduit.

$$
\sigma_{xx}^{GNU} = \sigma_{xx}^{sv} + \frac{M_{\psi}^{x}}{I_{\psi}^{xx}} \psi^{x} + \frac{M_{\psi}^{y}}{I_{\psi}^{yy}} \psi^{y} + \frac{M_{\psi}^{z}}{I_{\psi}^{zz}} \psi^{z}
$$

$$
\tau^{GNU} = \tau^{sv} + \frac{M_s^x}{(I_x - J)} (I_x \tau^x - \mathbf{x} \wedge \mathbf{X}) + \frac{T_s^y}{(A - A_y)} (A \tau^y - \mathbf{y}) + \frac{T_s^z}{(A - A_z)} (A \tau^z - \mathbf{z})
$$

4. Applications : quelques résultats numériques

On considère une poutre console encastrée en $S_0$ et chargée en $S_L$ par un couple de torsion ou un effort transversal. Les sections considérées sont rectangulaire pleine ($S_1$), mince ouverte en I ($S_2$) et mono-symétrique (en U) afin d’illustrer le couplage torsion-flexion. La Figure-2 donne les gauchissements de torsion et d’efforts tranchants pour $S_1$ et $S_2$. Les tableaux 1 et 2 comparent respectivement pour le cas de la torsion et de la flexion simple, les valeurs extrêmes des contraintes axiales obtenues au droit de l’encastrement calculées par éléments finis tridimensionnels (3D-FEM, 3D) et par la présente théorie (TP-GNU, 1D). La Figure-3 concerne la torsion de la

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2. Gauchissements de St Venant des sections $S_2$ et $S_2$.</figcaption></figure>
<table><caption>**Tableau 1.** Torsion : comparaison 3D-FEM/TP-GNU de σ<sub>xx</sub><sup>max</sup>.</caption><thead><tr><th></th><th>σ<sup>3D</sup><sub>xx</sub></th><th>σ<sup>1D</sup><sub>xx</sub></th><th>|(σ<sup>1D</sup><sub>xx</sub> - σ<sup>3D</sup><sub>xx</sub>)/σ<sup>3D</sup><sub>xx</sub>|%</th></tr></thead><tbody><tr><td>S<sub>1</sub></td><td>29.104</td><td>20.690</td><td>28.91</td></tr><tr><td>S<sub>3</sub></td><td>1499.8</td><td>1234.0</td><td>15.10</td></tr></tbody></table>

<table><caption>**Tableau 2.** Flexion-simple : comparaison 3D-FEM/TP-GNU de σ<sub>xx</sub><sup>max</sup>.</caption><thead><tr><th>3D-FEM</th><th>σ<sup>3D</sup><sub>xx</sub></th><th>σ<sup>sv</sup><sub>xx</sub></th><th>(σ<sup>3D</sup><sub>xx</sub>)<sup>w</sup></th><th>(σ<sup>3D</sup><sub>xx</sub>)<sup>w</sup> / σ<sup>sv</sup><sub>xx</sub> %</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>S<sub>1</sub></td><td>34.306</td><td>30.000</td><td>4.306</td><td>14.35</td><td rowspan="2">|(σ<sup>1D</sup><sub>xx</sub> - σ<sup>3D</sup><sub>xx</sub>)/σ<sup>3D</sup><sub>xx</sub>| %</td></tr><tr><td>S<sub>2</sub></td><td>122.720</td><td>87.234</td><td>35.486</td><td>40.68</td></tr></tbody><thead><tr><th>TP-GNU</th><th>σ<sup>1D</sup><sub>xx</sub></th><th>σ<sup>sv</sup><sub>xx</sub></th><th>(σ<sup>1D</sup><sub>xx</sub>)<sup>w</sup></th><th>(σ<sup>1D</sup><sub>xx</sub>)<sup>w</sup> / σ<sup>sv</sup><sub>xx</sub> %</th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>S<sub>1</sub></td><td>33.346</td><td>30.000</td><td>3.346</td><td>11.15</td><td rowspan="2">2.80</td></tr><tr><td>S<sub>2</sub></td><td>135.909</td><td>87.234</td><td>48.675</td><td>55.77</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>x (m)</th><th></th><th>6</th><th>12</th><th>18</th></tr></thead><tbody><tr><td>TP-SV</td><td>θ<sub>x</sub></td><td>14.443</td><td>28.887</td><td>43.330</td></tr><tr><td>Vlasov</td><td>θ<sub>x</sub></td><td>0.617</td><td>2.144</td><td>4.119</td></tr><tr><td>Kim</td><td>θ<sub>x</sub></td><td>0.669</td><td>2.233</td><td>4.236</td></tr><tr><td></td><td>v<sub>y</sub></td><td>0.762</td><td>1.475</td><td>2.163</td></tr><tr><td>TP-GNU</td><td>θ<sub>x</sub></td><td>0.648</td><td>2.203</td><td>4.203</td></tr><tr><td></td><td>v<sub>y</sub></td><td>0.835</td><td>1.615</td><td>2.369</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 3.** Torsion d'une poutre console de longueur L=18m et de section en U.</figcaption></figure>

poutre console en U traitée par (Kim et al., 2005)). Le tableau qui y figure compare les rotations θ<sub>x</sub> et les déplacements v<sub>y</sub> obtenus par les diiférentes théories : St Venant (TP-SV), Vlasov, Kim et la présente théorie (TP-GNU).

**5. Bibliographie**

Dufort L. Drapier S. G. M., « Closed-form solution for the cross-section warping in short beams under three-point bending », *Composite Structures*, vol. 52, p. 233-246, 2001.

El-Fatmi R., Zenzri H., « A numerical method for the exact elastic beam theory. Applications to homogeneous and composite beams », *Int. J. of Sol. and Struct.*, vol. 41, p. 2521-2537, 2004.

Kim N., Kim M., « Exact dynamic/static stifness matrices of non symmetric thin-walled beams considering coupled shear deformation effects », *Thin-Walled Structures*, vol. 43, p. 701-734, 2005.

Ladevèze P., Simmonds J., « New concepts for linear beam theory with arbitrary geometry and loading », *Eur. J. of Mechanics*, vol. 17, n° 3, p. 377-402, 1998.

Vlasov V., *Thin walled elastic beams*, Israel Program for Scientific Transactions, 1961.