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# Etude mathematique et numerique d'un probleme inverse pour l'equation des ondes a une dimension

Alain Bamberger, Guy Chavent, Patrick Lailly

► To cite this version:

Alain Bamberger, Guy Chavent, Patrick Lailly. Etude mathematique et numerique d'un probleme inverse pour l'equation des ondes a une dimension. [Rapport de recherche] IRIA-RR-226, IRIA. 1977, pp.169. hal-04716429

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Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
B. P. 105 78150 - Le Chesnay
France
Tél.: 954 90 20

laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

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ÉTUDE
MATHÉMATIQUE ET NUMÉRIQUE
D'UN PROBLÈME INVERSE
POUR L'ÉQUATION
DES ONDES A UNE DIMENSION

Alain BAMBERGER
Guy CHAVENT
Patrick LAILLY

Rapport de Recherche N° 226

Avril 1977
13/11/1992
# ÉTUDE MATHÉMATIQUE ET NUMÉRIQUE
D'UN PROBLEME INVERSE
POUR L'ÉQUATION DES ONDES A UNE DIMENSION

Alain Bamberger*, Guy Chavent**, Patrick Lailly**

## Résumé :

On s'intéresse ici à la détermination du coefficient $\sigma(x)$ (impédance acoustique) d'une équation des ondes à une dimension d'espace, à partir de la connaissance de la valeur de la solution et de sa dérivée au bord ($x = 0$) sur une période $[0, T]$.

On étudie l'application directe qui, au coefficient, fait correspondre la réponse du modèle. On présente différents résultats de continuité et d'injectivité, et on met en évidence leur conséquence sur le problème inverse.

La méthode de résolution numérique consiste à appliquer la théorie du contrôle à la détermination des coefficients inconnus d'une équation aux dérivées partielles. L'algorithme utilisé est une version de la méthode du gradient conjugué.

Les résultats numériques obtenus correspondent à des exemples simulés. On étudie, plus particulièrement, le cas où l'observation est perturbée par un bruit.

## Abstract :

We study the problem of determination of the unknown parameter $\sigma(x)$ (acoustical impedance) in the 1-D wave equation, from the knowledge of the values of the state, and of its space derivative at the boundary ($x = 0$), over a finite time period.

We study the direct application which makes the model answer correspond to the reflection coefficients sequence. We present different results of continuity and injectivity for this application, and we bring in light their consequences for the inverse problem.

In order to solve numerically the inverse problem, we use the control theory applied to the determination of the unknown parameters of a partial differential equation. We use a type of the conjugate gradient algorithm and we present numerical results using noisy simulated data.

<footnote>* Ecole Polytechnique - Centre de Mathématiques Appliquées
91128 Palaiseau Cédex (France) - Tél. 941 82 00</footnote>

<footnote>** IRIA-LABORIA - B.P. 105
78150 Le Chesnay (France) - Tél. 954 90 20.</footnote>
AVERTISSEMENT

Ce rapport fait le point de recherches sur le problème inverse
à une dimension dans l'équation des ondes, entreprises au LABORIA par
les auteurs, dans le projet "Estimation de paramètres et applications
industrielles".

L'étude mathématique (1ère partie du rapport) est due à
A. BAMBERGER.

L'étude numérique (2ème partie du rapport) a pu être menée à
bien grâce à une convention de recherche avec l'Institut Français du
Pétrole (Division Géophysique).
INTRODUCTION

Le but d'une expérience de sismique-réflexion (Cf Figure 0) est
de déterminer des coefficients physiques ($\rho(z)$, $\mu(z)$), qui dépendent de
la profondeur $z$, à partir d'enregistrements à la surface ($z=0$).

L'expérience consiste à provoquer une explosion et à enregistrer
l'ébranlement $Y_d(t)$ à la surface (sismogramme). L'onde émise se propage
et se réfléchit aux surfaces de discontinuité des coefficients : on suppose
que le sous-sol est formé de couches planes homogènes. L'explosion étant
connue (ceci n'est qu'une première approximation), on chercher à déterminer,
à partir de l'observation $Y_d(t)$ sur une période $[0, T]$, la suite des
coefficients $(\rho_k, \mu_k)_{k=1}^N$. On montrera qu'en fait, seule l'impédance
acoustique $(\sigma_k = (\rho_k \mu_k)^{1/2})_{k=1}^N$ est susceptible d'être identifiée, et ce,
en fonction du temps de parcours.

Le modèle mathématique ((1.10), (1.11), (1.12)), retenu pour décrire
le phénomène, est le plus simple possible : il correspond à l'hypothèse
d'ondes planes à incidence normale.

Ce problème a déjà été étudié par de nombreux auteurs, tant du
point de vue mathématique, que du point de vue numérique.

Pour ce qui concerne la résolution numérique, nous mentionnerons
trois approches :

- Méthode de KUNETZ [9] : elle consiste à déterminer successivement
en partant de la surface, chacun des coefficients de réflexion, grâce à la
réponse impulsionnelle. Cette méthode (Cf Remarque 6.3) n'est pas stable
dans le cas d'observation bruitée.

- Méthode de GOPINATH-SONDHI [7] : elle repose sur un résultat théorique intéressant (Théorème 5.1), montrant qu'il est possible de reconstituer la suite des coefficients inconnus à partir de la connaissance d'un opérateur
qui porte sur les quantités connues et observées. Toutefois, nous n'avons
pas mis en oeuvre cette méthode car, d'une part, elle suppose connue la
réponse impulsionnelle, et d'autre part, il semble impossible de tenir compte
d'informations a priori sur les coefficients à identifier.

- Méthode de B. GJEVIK, A. NILSEN et J. HÔYEN [7] : elle consiste
à transformer l'équation en opérant certaines linéarisations. Cette méthode
n'a pas encore été appliquée au cas d'observations bruitées.

Quant à l'étude mathématique, signalons l'article de GERVER [6] ,
qui traite le cas de coefficients périodiques par des techniques spectrales,
et qui montre la nécessité d'introduire une borne sur la variation des
coefficients pour bien poser le problème inverse.

La méthode de résolution numérique, que nous avons utilisée,
consiste à poser le problème d'identification comme un problème de moindres
carrés : trouver les coefficients tels que l'écart entre la réponse du modèle
correspondant et l'observation soit minimale. C'est une méthode globale :

- elle est lourde à mettre en oeuvre, car, à chaque itération de
l'algorithme d'optimisation, on doit résoudre l'équation d'état et une équation
adjointe de même type ;

- elle présente, par contre, l'avantage de travailler directement
sur les coefficients, et permet ainsi d'intégrer toutes les informations
a priori sur les coefficients.

De premiers résultats concernant l'application de cette méthode
à des exemples académiques figurent dans [1].

Les exemples numériques, traités dans ce rapport, utilisent des
données fournies par l'Institut Français du Pétrole : la répartition à
identifier est une répartition réelle, l'observation est obtenue par simulation
et incorpore un bruit de mesure, ayant des propriétés statistiques et un
niveau réalistes.
Ces essais numériques ont été effectués dans le cadre d'une
convention de recherche (*) entre l'IRIA et l'IFP.

Nous étudions, dans la partie théorique, la continuité de
l'application directe (coefficients → réponse du modèle).

Nous définissons, sur l'ensemble Σ des coefficients, une distance
qui rend cette application continue et Σ compact. Le problème inverse
est donc un problème bien posé sur Σ muni de cette distance. On en déduit
qu'il est difficile d'identifier des répartitions fortement oscillantes :
on régularise alors le problème en restreignant la classe des paramètres
dans lequel on cherche une solution à ceux dont la variation est inférieure
à une certaine borne suggérée par des considérations physiques.

<footnote>(*) Convention IRIA/IFP (division Géophysique) - Réf. IRIA : 5/77.</footnote>
<figure><img src="image_6.png" /></figure>

CONNU (ou supposé tel...) : L'EXPLOSION.

INCONNU : LA REPARTITION D'IMPEDANCE ACOUSTIQUE = ($\sigma_1, \sigma_2, ..., \sigma_{300}$) en fonction du temps de parcours.

OBSERVE : LE SISMOGRAMME $Y_d$, qui est un enregistrement bruité de l'état vibratoire Y à la surface.

<caption>Figure 0 - Expérience de sismique-réflexion.</caption>
PLAN

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

1 - Position du problème

9

1ère partie : ETUDE MATHEMATIQUE DU PROBLEME.

2 - Etude de l'équation hyperbolique dans le cas général

25

3 - Continuité de la solution y en fonction des paramètres ρ
et μ : conséquences sur le problème d'identification

47

4 - Etude de l'équation hyperbolique mise sous forme de système :
on suppose les coefficients (ρ, μ) dérivables.

69

5 - Reconstitution de σ à partir de l'opérateur symétrisé de H,
où H est l'opérateur qui, à g = - ∂y/∂x(0, t), fait correspondre
d = ∂y/∂t(0, t).

93

6 - Etude du problème pour les fonctions σ constantes sur des intervalles de longueur égale.

101

7 - Conclusions de la partie théorique : récapitulation des résultats sur le problème d'identification.

121

2ème partie : ETUDE NUMERIQUE.

8 - Résultats numériques : présentation des essais effectués -
Efficacité de la méthode dans le cas d'une observation non
bruitée - Influence de l'impulsion - Influence du bruit -
Temps de calcul - Conclusions.

125
<figure><img src="image_8.png" /></figure>
# 1 - POSITION DU PROBLÈME.

## - Résumé :

Dans ce chapitre, nous présentons le modèle mathématique que nous avons retenu pour décrire le phénomène physique. Ce modèle, qui constitue la base de toute notre étude, est à une dimension d'espace. Nous énonçons le problème inverse dans toute sa généralité, et présentons la formulation que nous avons adoptée : recherche des paramètres $\rho$ et $\mu$ qui minimisent l'écart quadratique entre le sismogramme observé, d'une part, et le sismogramme synthétique correspondant à $\rho$ et $\mu$, d'autre part. Nous mettons en évidence le fait, bien connu, que seule l'impédance acoustique $\sigma$ est susceptible d'être identifiée, et ce, en fonction du temps de parcours et sur une longueur en temps de parcours égale à la moitié du temps d'observation. Nous rappelons, enfin, quelques propriétés des coefficients de réflexion, afin de mieux faire comprendre la spécificité du problème traité...

## - Notations :

On adopte les notations habituelles suivantes :

(1.1) $z$ : désigne la profondeur ; $z$ est positif ou nul.

(1.2) $t$ : désigne le temps ; $t$ est positif ou nul.

(1.3) $y(z,t)$ : désigne l'ébranlement à la profondeur $z$ à l'instant $t$.

(1.4) $\rho(z)$ : désigne la densité du milieu à la profondeur $z$.

(1.5) $\mu(z)$ : désigne le coefficient d'élasticité du milieu à la profondeur $z$.

(1.6) $\sigma(z)$ : $\sigma(z) = (\rho(z) \ \mu(z))^{\frac{1}{2}}$ désigne l'impédance acoustique du milieu à la profondeur $z$.

(1.7) $v(z)$ : $v(z) = (\mu(z) \rho^{-1}(z))^{\frac{1}{2}}$ désigne la vitesse de propagation de l'ébranlement dans le milieu à la profondeur $z$.

(1.8) $x(z)$ : $x(z) = \int_{0}^{z} v^{-1}(z') dz'$ représente le temps de parcours : c'est le temps mis par un ébranlement pour se propager de la profondeur $0$ à la profondeur $z$.

(1.9) $\sigma(x)$ : désigne l'impédance acoustique du milieu en fonction du temps de parcours.
## 1.1 - EQUATIONS D'ETAT.

On suppose que l'ébranlement $y(z, t)$ est la solution de

$$ (1.10) \qquad \rho(z) \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - \frac{\partial}{\partial z} (\mu(z) \frac{\partial y}{\partial z}) = 0 \quad \text{pour tout } t > 0 \text{ et } z > 0, $$

avec les conditions initiales (*) :

$$ (1.11) \qquad \begin{cases} y(z, 0) = 0 \\ \frac{\partial y}{\partial t}(z, 0) = 0 \end{cases} \quad \text{pour } z > 0, $$

(on suppose le milieu au repos à l'instant initial $t = 0$), et avec la condition aux limites :

$$ (1.12) \qquad - \mu(0) \frac{\partial y}{\partial z}(0, t) = g(t) \quad \text{pour } t > 0, $$

où $g(t)$ représente l'impulsion en pression que l'on communique au milieu, en surface, à chaque instant $t$.

Ce modèle est le plus simple possible, car c'est un modèle à une dimension d'espace, et les termes d'amortissement y sont négligés.

On notera (I) le système formé par les équations (1.10), (1.11) et (1.12).

## 1.2 - FORMULATION DU PROBLEME INVERSE.

On dispose d'une observation $Y_d(t)$, représentant l'état vibratoire en surface $Y(t)$, éventuellement perturbé par un bruit $\eta(t)$, pour des instants $t \in [0, T]$.

$$ (1.13) \qquad Y_d(t) = Y(t) + \eta(t), $$

$$ (1.14) \qquad Y(t) = y(0, t), $$

où $y(z, t)$ est solution de (I).

$$ (1.11)\text{bis} \qquad \begin{cases} y(z, 0) = y_0(z) \\ \frac{\partial y}{\partial t}(z, 0) = y_1(z) \end{cases} \quad \text{pour } z > 0. $$

<footnote>(*) Pour l'étude mathématique du système d'équations, il est utile d'introduire les conditions initiales générales (1.11)bis :</footnote>
Naturellement, $Y(t)$ dépend des fonctions $\rho$ et $\mu$ (caractéristiques du milieu) et de l'excitation $g$ ; on notera donc

$$ (1.15) \qquad Y(t) = Y(\rho, \mu, g, t) . $$

Dans toute la suite, $g$ sera supposée connue (en réalité $g$ n'est connue qu'approximativement).

Le problème inverse, dans toute sa généralité, se formule alors ainsi :

Quelles informations sur les coefficients $\rho(z)$ et $\mu(z)$ peut-on tirer de connaissance de l'observation $Y_d(t)$, des caractéristiques du bruit $\eta(t)$ et de l'excitation $g(t)$ ?

Afin d'obtenir des résultats numériques, on posera le problème sous la forme suivante :

Trouver les couples de paramètres $(\rho, \mu) \in \Sigma$ qui minimisent l'écart quadratique moyen $J(\rho, \mu)$ entre la réponse $Y(\rho, \mu, g, t)$ (Cf (1.14), (1.15)) à l'impulsion $g(t)$ du système (1.10), (1.11), (1.12) correspondant à $(\rho, \mu)$, et l'observation $Y_d(t)$ :

$$ (1.16) \qquad J(\rho, \mu) = \int_0^T (Y(\rho, \mu, g, t) - Y_d(t))^2 dt . $$

$$ (1.17) \qquad \Sigma \text{ est un ensemble de paramètres } (\rho, \mu) \text{, qui prend en compte le maximum d'informations a priori.} $$

Dans les cas où l'on disposera d'informations sur le bruit $\eta$,
on remplacera la fonctionnelle à minimiser (1.16) par

$$ (1.18) \qquad J(\rho, \mu) = \int_0^T \int_0^T K(t, t')(Y(\rho, \mu, g, t) - Y_d(t))(Y(\rho, \mu, g, t') - Y_d(t')) dt dt' \quad \text{où} $$

$$ (1.19) \qquad K(t, t') \text{ est le noyau de l'opérateur inverse de l'opérateur de co-variance du bruit } \eta. $$

La fonctionnelle (1.16) correspond au cas du bruit blanc.
On peut interpréter la formulation (1.16) ou (1.18) comme la recherche d'estimateurs du maximum de vraisemblance.

### 1.3 - EQUATION EN VARIABLE TEMPS DE PARCOURS.

Montrons que l'on ne peut identifier à la fois les coefficients $\rho(z)$ et $\mu(z)$ : nous allons pour cela réécrire les équations (I) en variable temps de parcours. Considérons, d'abord, le fait, bien connu, que la solution $y$ de (I) en tout point $M$ dépend des coefficients $\rho(z)$ et $\mu(z)$, ainsi que des conditions initiales et aux limites, uniquement par leur valeur dans le domaine d'influence du point $M$, domaine délimité par les caractéristiques issues de ce point :

$$ (1.20) \quad \left\{ \begin{array}{l} \text{Equation de la caractéristique } C^+ \text{ issue de } M \\ \frac{dz}{dt} = v(z) \ ; \ z(t_M) = z_M \ ; \\[1em] \text{Equation de la caractéristique } C^- \text{ issue de } M \\ \frac{dz}{dt} = -v(z) \ ; \ z(t_M) = z_M . \end{array} \right. $$

Pour l'exemple de la figure 1.1, la solution $y$ au point $M$ dépend uniquement de

i) $\rho(z)$ et $\mu(z)$ pour $z \in [0, M_1]$

ii) $y_0(z) = y(z, 0)$ et $y_1(z) = \frac{\partial y}{\partial t}(z, 0)$ pour $z \in [0, M_1]$

iii) $g(t)$ pour $t \in [0, N_0]$

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 1.1</figcaption></figure>
**Remarque** : Dans le cas particulier, qui nous importe, les conditions initiales sont à support compact :

$$y_0(z) = y_1(z) = 0 \quad \text{p.p.} \quad z \ge l$$;

la solution $y(z, t)$ de (I) correspondante est nulle dans le domaine D (Cf Figure 1.2).

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure 1.2</figcaption></figure>

De plus, le domaine d'influence (hachuré sur la Figure 1.2), du point $(z = 0, t = T)$, a son sommet $M_T$, d'abscisse $l_T$ définie par

$$x(l) + 2(x(l_T) - x(l)) = T,$$

soit encore

$$(1.21) \qquad x(l_T) = \frac{T}{2} + \frac{x(l)}{2}.$$

Introduisons, de façon très classique, l'équation (II) obtenue à partir de (I) par changement de la variable profondeur $z$ en la variable temps de parcours $x$, défini par (1.8). L'équation (II) est équivalente à (1.22), (1.23), (1.24) :

$$(1.22) \qquad \sigma(x) \frac{\partial^2 y(x,t)}{\partial t^2} - \frac{\partial}{\partial x} \sigma(x) \frac{\partial y(x,t)}{\partial x} = 0 \quad \text{pour } x > 0 \text{ et } t > 0,$$

avec les conditions initiales

$$(1.23) \qquad \left\{ \begin{array}{l} y(x, 0) = 0 \\ \frac{\partial y}{\partial t}(x, 0) = 0 \end{array} \right. \quad \text{pour } x \ge 0,$$
et avec la condition aux limites

$$
(1.24) \qquad - \sigma(0) \frac{\partial y}{\partial x}(0, t) = g(t) \quad \text{pour } t > 0.
$$

Dans le plan (x, t) un ébranlement se propage avec une célérité
égale à 1, indépendante donc de σ ; les caractéristiques sont alors des
droites de pente ± 1.

$$
\begin{equation} \tag{1.25}
\left\{
\begin{aligned}
& \text{Equation de la caractéristique } C^+ \text{ issue de } M \\
& \quad \frac{dx}{dt} = +1 \quad ; \quad x(t_M) = x_M ; \\[1em]
& \text{Equation de la caractéristique } C^- \text{ issue de } M \\
& \quad \frac{dx}{dt} = -1 \quad ; \quad x(t_M) = x_M .
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
$$

Pour l'exemple de la Figure 1.3, la solution y au point M
dépend uniquement de

$$
\text{(1.26)} \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\text{i)} & \sigma(x) \quad \text{pour } x \in [0, M_1] ; \\[\medskipamount]
\text{ii)} & y_0(x) \quad \text{et } y_1(x) \quad \text{pour } x \in [0, M_1] ; \\[\medskipamount]
\text{iii)} & g(t) \quad \text{pour } t \in [0, N_0]
\end{array}
\right.
$$

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 1.3</figcaption></figure>

Dans le cas où les conditions initiales sont à support compact, c'est-à-dire

$$
y_0(x) = y_1(x) = 0 \quad \text{pour } x \ge d,
$$
on peut, dans i) et ii) de (1.26), remplacer $M_1$ par $M_2$, défini sur la
Figure 1.4.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 1.4</figcaption></figure>

En fait, dans le problème physique, on suppose que les conditions initiales sont nulles : la réponse $Y(t)$ pour $t \in [0, T]$ dépend donc uniquement de

$$ (1.27) \quad \begin{cases} i) \sigma(x) & \text{pour } x \in [0, \frac{T}{2}] \\ ii) g(t) & \text{pour } t \in [0, T] \end{cases} $$

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 1.5</figcaption></figure>

## 1.4 - DETERMINATION DE CLASSES DE COUPLES ($\rho$, $\mu$) QUI DONNENT EXACTEMENT LA MEME REPONSE $Y(\rho, \mu, g, t)$ : REFORMULATION DU PROBLEME INVERSE.

Il est essentiel de remarquer que la réponse $Y(t)$, soit encore l'ébranlement à la surface, est donné par
$$
(1.28) \qquad Y(t) = y(0, t),
$$

où y est la solution soit de (I) soit de (II) ; en effet, x(0) = 0.
La réponse Y(t) = Y(ρ, µ, g, t) ne dépend que de la fonction σ(x) ; on
écrira donc

$$
(1.29) \qquad Y(t) = Y(\sigma, g, t) .
$$

Il n'est, par conséquent, pas possible d'identifier $\rho(z)$ et $\mu(z)$
à la fois. Seule l'impédance acoustique $\sigma$ est susceptible d'être identifiée
mais

. comme fonction du temps de parcours

. sur une longueur en temps de parcours égale à la moitié du temps d'observation.

On peut, alors, reposer le problème inverse sous la forme

Trouver les paramètres σ ∈ Σ qui minimisent l'écart quadratique
moyen J(σ) entre la réponse Y(σ, g, t) (Cf (1.28), (1.29)) à l'impulsion
g(t) du système (1.22), (1.23), (1.24), et l'observation Y_d(t) :

$$
(1.30) \qquad J(\sigma) = \int_{0}^{T} (Y(\sigma, g, t) - Y_d(t))^2 dt ;
$$

$$
(1.31) \qquad \Sigma \text{ est un ensemble de paramètres } \sigma \text{ définis sur } [0, \frac{T}{2}] \text{ et respectant certaines contraintes imposées par la physique du problème.}
$$

Ainsi, on imposera toujours des contraintes de borne sur l'amplitude
de σ et on supposera donc que l'on a

$$
(1.32) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \Sigma \subset \Sigma(\sigma_{-}, \sigma_{+}) \\[1em]
\text{où} \\[1em]
\qquad \Sigma(\sigma_{-}, \sigma_{+}) = \{ \sigma \mid 0 < \sigma_{-} \le \sigma(x) \le \sigma_{+} < +\infty \quad \text{p.p. } x, 0 \le x \le x_{0} \} .
\end{array}
\right.
$$

Le temps de parcours reste indéterminé en fonction de la profondeur,
sauf si l'on connait l'un des paramètres ρ(z) ou μ(z), ou une combinaison
des deux, v(z) par exemple.
**Exemple** : On connait $\sigma(x)$ et $\rho(z)$ : $x \to z(x)$ est déterminé par

$$ egin{cases} \rho(z) \, dz = \sigma(x) \, dx \\ z(0) = 0 \end{cases} $$

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Figure 1.6</figcaption></figure>

Ceci nous conduit, tout naturellement, à introduire la relation d'équivalence qui groupe dans une même classe tous les couples $(\rho, \mu)$ auxquels correspond le même $\sigma$.

On dira que deux couples $(\rho_1, \mu_1)$ et $(\rho_2, \mu_2)$ sont $R_i$ équivalents (i comme impédance) si, et seulement si,

$$ (1.33) \qquad \sigma_1(x) = \sigma_2(x) , \quad \forall x \ge 0, $$

c'est-à-dire, de façon très précise, si l'on a

$$ (1.34) \qquad \left\{ \begin{array}{l} (\rho_1(z_1(x)) \mu_1(z_1(x)))^{\frac{1}{2}} = (\rho_2(z_2(x)) \mu_2(z_2(x)))^{\frac{1}{2}} , \quad \forall x \ge 0, \\ \text{avec } z_j(x) , j = 1, 2 , \text{ définis par} \\ \displaystyle\int_0^{z_j(x)} v_j^{-1}(z') \, dz' = x , \quad j = 1, 2 . \end{array} \right. $$

On peut encore écrire (1.34) sous la forme symétrique suivante :

$$ (\rho_1, \mu_1) R_i (\rho_2, \mu_2) \iff \left\{ \begin{array}{ll} z_1 & \text{et } z_2 \text{ liés par (1.35) } \Rightarrow (1.36) \\ \text{ou} & \\ z_1 & \text{et } z_2 \text{ liés par (1.35) } \Rightarrow (1.36) \end{array} \right. $$
$$
(1.35) \qquad \int_0^{z_1} \rho_1(z) \, dz = \int_0^{z_2} \rho_2(z) \, dz ;
$$

$$
(1.36) \qquad \int_0^{z_1} \frac{dz}{\mu_1(z)} = \int_0^{z_2} \frac{dz}{\mu_2(z)} .
$$

Comme nous sommes intéressés par l'égalité des réponses $Y_j(t)$,
$j = 1, 2$, correspondant à $(\rho_j, \mu_j)$, $j=1, 2$ , uniquement sur la période $[0,$
nous introduisons aussi la relation d'équivalence $R_{i,T}$ :

$$
(1.37) \quad (\rho_1, \mu_1) R_{i,T} (\rho_2, \mu_2) \iff \sigma_1(x) = \sigma_2(x), \forall x \in [0, \frac{T}{2}].
$$

Notons que, dans chaque classe d'équivalence, on ne trouve qu'un
seul couple de la forme (σ, σ) : ceci est une conséquence immédiate de la
définition (1.32). L'impédance acoustique σ peut servir de représentant
"canonique" de la classe correspondante, et l'ensemble Σ des classes
d'équivalence de Σ par la relation Rᵢ ou Rᵢ,ₜ, peut être assimilé
à un ensemble de fonctions σ.

1.5 - RAPPEL DE LA DEFINITION D'UN COEFFICIENT DE REFLEXION.

La notion de coefficient de réflexion s'introduit pour des répar-
titions σ(x) constantes par morceaux.

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 1.7</figcaption></figure>

Les coefficients de réflexion sont définis aux points $x_i$, $i = 1, 2$.
de discontinuité de la fonction $\sigma(x)$ (Cf Figure 1.7) par

$$
(1.38) \qquad r_i = \frac{\sigma_i - \sigma_{i+1}}{\sigma_i + \sigma_{i+1}} \quad \text{en } x = x_i .
$$
Tout coefficient de réflexion vérifie l'inégalité

$$
(1.39) \qquad |r_i| < 1 .
$$

Deux cas limites sont à envisager :

$$
(1.40) \quad r_i = +1 \quad \text{: ce cas correspond à la condition aux limites :} \quad \sigma_i \frac{\partial y}{\partial x}(x_i, t) = 0, \forall t > 0.
$$

$$
(1.41) \quad r_i = -1 \quad \text{: ce cas correspond à la condition aux limites :} \quad \frac{\partial y}{\partial t}(x_i, t) = 0, \forall t > 0.
$$

Nous mettons en évidence, sur un exemple, les propriétés caractéris-
tiques d'un coefficient de réflexion. Pour cela, considérons la répartition
σ(x) de la Figure 1.8 : elle présente, au point d'abscisse x = L , un coefficient
de réflexion r positif :

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 1.8</figcaption></figure>

Déterminons la réponse Y(σ, g<sub>τ</sub>, t) où g<sub>τ</sub> est l'impulsion
représentée sur la Figure 1.9 :

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Figure 1.9</figcaption></figure>

<caption>Figure 1.10</caption>

on a posé $\bar{g}_{\tau}(t) = \frac{1}{\sigma_1} \int_{0}^{t} g_{\tau}(s) ds .$
La réponse $Y(\sigma, g_T, t)$ (Cf Figure 1.11) se compose d'une série de réflexions, qui arrivent aux temps $t_k = 2kL$ avec $k = 1, 2, \dots$, et qui sont proportionnelles à $\bar{g}_T(t)$ avec un coefficient $\lambda_k$.

Les coefficients $\lambda_k$ décroissent exponentiellement en fonction de $k$: $\lambda_k = 2^k r^k$. On a

$$Y(\sigma, g_T, t) = \lambda_k \bar{g}_T(t - t_k), \forall t, t_k \le t < t_{k+1}, \forall k = 1, \dots$$

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Figure 1.11</figcaption></figure>

Dans le cas d'une répartition σ constante ($\sigma_1 = \sigma_2$), le coefficient de réflexion r est égal à 0 : il n'y a pas de réflexions

$$\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_k = 0.$$

**Commentaire :** *Conséquences sur le problème d'identification.*

Une telle répartition se laisse aisément identifier au vu de $Y(\sigma, g_T, t)$ ; en effet :

i) les temps d'arrivée $t_k$ permettent de déterminer l'abscisse L du saut d'impédance.

ii) Les coefficients $\lambda_k$ permettent de déterminer le coefficient de réflexion au point d'abscisse $x = L$.
Nous verrons (Cf Remarque 6.3) comment, à partir de cette idée,
a été developpée (Cf KUNETZ [9]) une méthode de détermination progressive
des coefficients de réflexion, dans le cas d'une répartition σ constante
sur des intervalles de longueur égale. Cette méthode, de par son caractère
progressif, n'est pas stable vis à vis de perturbations sur l'observation
de la réponse Y .
<figure><img src="image_19.png" /></figure>
# 1ÈRE PARTIE : ÉTUDE MATHÉMATIQUE DU PROBLÈME,

On étudie ici le problème d'identification (1.30), (1.31), du point de vue théorique : existence d'une solution, unicité, continuité. Nous posons le problème, successivement, sur trois ensembles $\Sigma$, de régularité croissante. On s'intéresse, d'abord, au problème le plus général, en choisissant $\Sigma$ égal à $\Sigma_1$, ensemble des fonctions $\sigma$ comprises entre deux bornes (Chapitres 2 et 3). On considère, ensuite, le problème sur l'ensemble $\Sigma_2$ des fonctions de $\Sigma_1$, dont la dérivée est de carré intégrable (Chapitres 4 et 5). On envisage, enfin, l'ensemble $\Sigma_3$ des fonctions de $\Sigma_1$ constantes, sur des intervalles de longueur égale (Chapitre 6).

Dans chacun des cas, on commence par étudier l'équation hyperbolique : en particulier, on essaie de cerner quelles sont les hypothèses minimales sur $g$ qui assurent, d'une part, l'existence d'une solution, et d'autre part, la continuité en temps de l'énergie. On met en évidence certaines propriétés de l'opérateur $H(\sigma)$ qui, à $g = -\frac{\partial y}{\partial x}(0,t)$, fait correspondre la dérivée $d = \frac{\partial y}{\partial t}(0,t)$, et porte donc sur des quantités observables : on énonce, pour $\Sigma = \Sigma_2$ et $\Sigma_3$, des résultats d'injectivité de l'application $\sigma \to H(\sigma)$, dûs à GOPINATH et SONDHI.

On étudie, ensuite, la dépendance de la solution de l'équation en fonction du paramètre $\sigma$. Ainsi, le Chapitre 3 est entièrement consacré à la recherche de la topologie la plus fine sur $\Sigma_1$ qui rende continu le critère $J(\sigma)$, (1.30) : c'est, dans la partie théorique, le point qui a le plus retenu notre attention.

On apporte, enfin, quelques justifications au choix qui a été fait de $\Sigma_3$ pour résoudre numériquement le problème.
<figure><img src="image_20.png" /></figure>
2 - ÉTUDE DE L'ÉQUATION HYPERBOLIQUE DANS LE CAS GÉNÉRAL.

- Résumé :

Nous étudions l'équation hyperbolique sans faire d'hypothèse de dérivabilité sur les coefficients $\rho$ et $\mu$. Dans ce cas, pour avoir une estimation sur l'énergie, on suppose que l'excitation $g(t)$ appartient à $W^1,1(0,T)$.

Nous présentons des résultats de régularité de la solution et de l'énergie, en fonction de la régularité des données $y_0, y_1, g$. Pour l'étude de l'énergie, nous donnons deux approches : l'une se généralise pour certaines équations non linéaires ou à coefficients dépendant du temps, l'autre utilise la décomposition de la solution sur la base de vecteurs propres.

Enfin, nous énonçons les propriétés de l'opérateur $G$, qui à toute excitation $g$ fait correspondre la réponse $Y(\rho, \mu, g, t)$ du modèle (les conditions initiales sont alors supposées nulles).

- Hypothèses sur les coefficients ($\rho, \mu$) :

On supposera, dans toute la suite, que les coefficients $(\rho(z), \mu(z))$ appartiennent à la classe $\Sigma(\rho-, \rho+, \mu-, \mu+)$ (*) définie par

$$ (2.1) \qquad \Sigma(\rho-, \rho+, \mu-, \mu+) = \{ (\rho, \mu) \in L^\infty(R+) \times L^\infty(R+) \text{ et vérifient (2.2) et (2.3)} \} $$

$$ (2.2) \qquad 0 < \rho_- \le \rho(z) \le \rho_+ < +\infty \quad \text{p.p.} \ z \ge 0; $$

$$ (2.3) \qquad 0 < \mu_- \le \mu(z) \le \mu_+ < +\infty \quad \text{p.p.} \ z \ge 0; $$

On ne fait aucune hypothèse de dérivabilité sur les coefficients.

- Hypothèses sur les conditions initiales $y_0, y_1$ :

On supposera que les conditions initiales sont à support compact inclus dans $[0, \ell]$ (Rappelons que dans le problème physique, on prend $\ell = 0$). D'après la remarque 1.1, on ne modifie pas la réponse $Y(\rho, \mu, g, t)$ sur la période $[0, T]$ en imposant la condition aux limites :

$$ (2.4) \qquad y(\ell_T, t) = 0, \quad \forall t \in [0, T], $$

où $\ell_T$ est défini par (1.21). En utilisant (1.7) et (1.8), (1.21) s'écrit :

$$ (2.5) \qquad \int_0^{\ell_T} \rho^{\frac{1}{2}}(z) \mu^{-\frac{1}{2}}(z) \, dz = \frac{1}{2} T + \frac{1}{2} \int_0^{\ell} \rho^{\frac{1}{2}}(z) \mu^{-\frac{1}{2}}(z) \, dz. $$

Pour $(\rho, \mu)$ appartenant à $\Sigma$, on peut majorer $\ell_T$ :

$$ (2.6) \qquad \ell_T \le z_0 = \frac{1}{2} \left(\frac{\mu_+}{\rho_-}\right)^{\frac{1}{2}} T + \frac{1}{2} \left(\frac{\mu_+}{\mu_-}\right)^{\frac{1}{2}} \left(\frac{\rho_+}{\rho_-}\right)^{\frac{1}{2}} \ell. $$

Il est donc loisible, si on restreint l'étude de la réponse au bord $Y(\rho, \mu, g, t)$ à l'intervalle de temps $[0, T]$, de supposer que l'on a, en $z = z_0$, la condition aux limites

$$ (2.7) \qquad y(z_0, t) = 0, \quad \forall t \in [0, T]. $$

Ceci présente l'avantage de pouvoir étudier le système (I) d'équations (1.10) (1.11), (1.12) dans un domaine d'espace $\Omega$ de longueur finie et indépendant du temps. On a posé

$$ (2.8) \qquad \Omega = [0, z_0]. $$

<footnote>(*) Nous écrirons presque toujours $\Sigma$ au lieu de $\Sigma(\rho-, \rho+, \mu-, \mu+)$.</footnote>
## 2.1 - ÉTUDE DE L'EXISTENCE ET DE L'UNICITE D'UNE SOLUTION.

### 2.1.1 - Cadre fonctionnel, notations et hypothèses.

On introduit les espaces de Hilbert $H$ et $V$ :

$$ (2.9) \qquad H = L^2(\Omega) $$

$$ (2.10) \qquad V = \{ v \mid v \in H^1(\Omega) ; v(z_0) = 0 \} . $$

L'injection de $V$ dans $H$ est compacte, $V$ est dense dans $H$ et est séparable. Identifiant $H$ à son dual et $V'$ désignant le dual de $V$, on a

$$ V \subset H \subset V' \quad \text{et} \quad V \subset C^0(\bar{\Omega}) $$

On note par

$$ (2.11) \qquad \left\{ \begin{array}{ll} . & \| \| , \text{ la norme dans } V ; \\[1em] . & \|v\| = \left( \int_{\Omega} \left(\frac{dv}{dz}\right)^2 \right)^{\frac{1}{2}} ; \\[1em] . & | |(\cdot, \cdot)| , \text{ la norme et le produit scalaire dans } H . \end{array} \right. $$

L'inégalité de Poincaré permet d'écrire

$$ (2.12) \qquad |v| \le z_0 \quad \|v\|, \forall v \in V; $$

$$ (2.13) \qquad |v|_{C^0(\bar{\Omega})} \le z_0 \quad \|v\|, \forall v \in V. $$

Pour tout couple $(\rho, \mu)$ appartenant à $\Sigma$, on définit

$$ (2.14) \qquad (v_1, v_2)_\rho = \int_\Omega \rho(z) v_1(z) v_2(z) dz, \quad \forall v_1, v_2 \in H; \\ |v|_\rho = (v, v)^{\frac{1}{2}} \rho, \quad \forall \rho \in V; $$

$$ (2.15) \qquad a_\mu(v_1, v_2) = \int_\Omega \mu(z) \frac{dv_1}{dz} \frac{dv_2}{dz} dz, \quad \forall v_1, v_2 \in V. $$

De l'inégalité (2.13) et de la définition de $\Sigma$, on tire

$$ (2.16) \qquad |v|_{C^0(\bar{\Omega})} \le C_0 (a_\mu(v, v))^{\frac{1}{2}}; \quad \forall v \in V, \text{ avec } C_0 = z_0^{\frac{1}{2}} \mu^{-\frac{1}{2}}. $$
On définit aussi l'opérateur $A_μ$ appartenant à $\mathcal{L}(V, V')$ :

$$ (A_{\mu}^{V, W})_{V', V} = a_{\mu}(V, W) \quad \text{pour } V \in V; W \in V. $$

### 2.1.2 - Un résultat d'existence et d'unicité.

On pose le système (I) sous la forme du problème d'évolution suivant :

Trouver $y$ vérifiant

$$ (2.17) \qquad y \in L^2(0, T; V) ; \frac{dy}{dt} \in L^2(0, T; H) ; $$

$$ (2.18) \qquad \rho \frac{d^2 y}{dt^2} + A_\mu y = L(g) \quad \text{dans } L^2(0, T; V') , $$

avec les conditions initiales

$$ (2.19) \qquad \begin{cases} y(0) = y_0, & y_0 \text{ donné } (*) \text{ dans } V; \\ \frac{dy}{dt}(0) = y_1, & y_1 \text{ donné } (*) \text{ dans } H. \end{cases} $$

$L(g)$ est l'élément de $L^2(0, T; V')$ défini par

$$ (2.20) \qquad (L(g))(z) = \int_0^T g(s) z(0,s) ds, \quad \forall z \in L^2(0, T; V), $$

où on fait sur $g$ l'hypothèse :

$$ (2.21) \qquad g(t) \in W^{1,1}(0,T) = \{g \mid g \in L^1(0,T) ; \frac{dg}{dt} \in L^1(0,T)\} ; $$

rappelons que l'on a

$$ W^{1,1}(0,T) \subset C^0(0,T) . $$

**Remarque 2.1** : Il résulte de l'équation (2.18) que

$$ \rho \frac{d y}{dt} = L(g) - A_{\mu} y \in L^{2}(0, T; V') , $$

et donc, en particulier, que $\rho \frac{dy}{dt}$ est (p.p. égale à) une fonction continue de $[0, T]$ dans $V'$ ; de plus, d'après (2.17), $y$ est aussi continue de $[0,T]$ dans $H$. Donc (2.19) a un sens.

(*) On suppose en plus que (2.6) est vérifiée.
Nous allons démontrer le

**THEOREME 2.1** : Sous l'hypothèse (2.21), le système (2.17), (2.18), (2.19) admet une solution unique. L'application

$$
(2.22) \qquad \{ g, y_0, y_1 \} \to \{ y, \frac{dy}{dt} \}
$$

est linéaire continue de

$$
W^{1,1}(0,T) \times V \times H \rightarrow L^2(0,T; V) \times L^2(0,T; H).
$$

On désignera aussi par système (I) le système d'équations (2.17), (2.18), (2.19).

Ce théorème n'est qu'une variante du Théorème 1.1 (p. 294) de
LIONS [11]. La différence porte sur la régularité du second membre : ici,
le second membre, défini par (2.20), appartient à L²(0,T ; V') et non pas
à L²(0,T ; H), comme dans le Théorème 1.1 de [11]. Nous reprenons le schéma
de la démonstration exposée dans LIONS [11], en détaillant uniquement
l'obtention de l'estimation a priori qui permet de passer à la limite.

2.1.3 - Démonstration de l'existence.

- Construction d'une solution approchée.

Soit $w_1, w_2, \dots, w_m$ une base de $V$. On introduit $y_{0m}$ et $y_{1m}$ approximations de $y_0$ et $y_1$ :

$$
(2.23) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
y_{0m} = \sum_{i=1}^{m} \xi_{im}^{0} w_i ; \quad y_{0m} \to y_0 \text{ dans } V, \text{ quand } m \to +\infty ; \\
y_{1m} = \sum_{i=1}^{m} \xi_{im}^{1} w_i ; \quad y_{1m} \to y_1 \text{ dans } H, \text{ quand } m \to +\infty .
\end{array}
\right.
$$

On définit $y_m(t)$, solution approchée du problème, par

$$
(2.24) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{d^2}{dt^2} (y_m(t), w_j)_{\rho} + a_{\mu}(y_m(t), w_j) = g(t) w_j(0) \quad \text{pour } 1 \le j \le m ; \\[2ex]
\displaystyle y_m(t) = \sum_{i=1}^{m} \xi_{im}(t) w_i ; \\[2ex]
\displaystyle y_m(0) = y_{0m} ; \\[2ex]
\displaystyle y_m'(1) = y_{1m} .
\end{array}
\right.
$$
Ce système de m équations différentielles ordinaires admet une solution unique.

- Estimation a priori.

On obtient une estimation a priori sur $y_m(t)$ en multipliant la première
équation de (2.24) par $\xi'_{mj}(t)$ et en sommant sur $j$ :

$$
(y''_{m}(t), y'_{m}(t))_{\rho} + a_{\mu}(y_{m}, y'_{m}) = g(t) y'_{m}(0, t),
$$

ce qui peut encore s'écrire

$$
(2.25) \qquad \frac{d I_m(t)}{dt} = g(t) y'_m(0,t),
$$

en posant

$$
(2.26) \qquad I_m(t) = \frac{1}{2} \{ |y'_m(t)|^2 + a_\mu(y_m, y_m) \} .
$$

Intégrons en temps l'équation (2.25) :

$$
I_m(t) = I_m(0) + \int_0^t g(s) y'_m(0,s) \, ds,
$$

que l'on transforme en *intégrant par partie* :

$$
(2.27) \qquad I_m(t) = I_m(0) - \int_0^t g'(s) y_m(0,s) \, ds + y_m(0,t) g(t) - y_{0m}(0) g(0) .
$$

Utilisons l'inégalité (2.16) :

$$
I_m(t) \le I_m(0) + C_0 \int_0^t |g'(s)| I_m^{\frac{1}{2}}(s) ds + C_0 I_m^{\frac{1}{2}}(t) |g|_{C^0} + |y_{0m}(0)| |g|_{C^0} .
$$

En transformant le dernier membre de l'inégalité par les techniques habituelles,
on obtient :

$$
\[
(2.28) \qquad \left\{
\begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
  \text{avec} &
  \begin{aligned}[t]
    I_m(t) &\le C_1 \int_0^t |g'(s)| I_m(s) \,ds + C_2, \\
    C_1 &= 2 C_0, \\
    C_2 &= 2 \rho_+ |y_1|^2 + 2 \mu_+ \|y_0\|^2 + |y_0(0)|^2 + (1+C_0^2) \|g\|^2_{W^{1,1}};
  \end{aligned}
\end{array}
\right.
\]
$$
en utilisant le Lemme 2.1, on en déduit l'estimation a priori (*) :

$$
(2.29) \quad I_m(t) \le C \left\{ \rho_+ |y_1|^2 + \mu_+ \|y_0\|^2 + |y_0(0)|^2 + (1+z_0 \mu_-^{-1}) \|g\|^2_{W^{1,1}} \right\}; \forall t \in [0,T];
$$

LEMME 2.1 : Soit une fonction x(t) vérifiant

$$
(2.30) \quad x(t) \le C_1 \int_0^t d(s) x^{\frac{1}{2}}(s) ds + C_2, \quad \forall t \in [0, T],
$$

avec $d(s) \in L^1(0,T)$ ; $d(s) \ge 0$, $\forall s \in [0,T]$, et $C_1, C_2$ deux constantes
positives. On a alors

$$
(2.31) \quad x(t) \le (C_2^{\frac{1}{2}} + 0,5) C_1 \int_0^t (d(s) ds)^2, \quad \forall t \in [0, T]. \quad \blacksquare
$$

Ce lemme, analogue au Lemme de Gronwall, peut se démontrer ainsi :

Posons

$$
X(t) = C_1 \int_0^t d(s) x^{\frac{1}{2}}(s) ds + C_2 ;
$$

l'inégalité (2.30) s'écrit alors

$$
x^{-1}(t) \left( \frac{dX(t)}{dt} \right)^2 \le c_1^2 X(t) .
$$

Elevée à la puissance $\frac{1}{2}$, puis intégrée en temps, cette inégalité devient

$$
x^{\frac{1}{2}}(t) \le x^{\frac{1}{2}}(0) + 0,5 C_1 \int_0^t d(s) ds .
$$

Remarque 2.2 : On peut affaiblir l'hypothèse (2.21) en supposant seulement
qu'il existe un nombre fini de points $t_i$

$$
0 < t_1 < t_2 < \dots < t_i < t_{i+1} < \dots < t_{N-1} < t_N = T,
$$

tel que la restriction de $g(t)$ à chaque intervalle $]t_i, t_{i+1}[$ appartienne
à $W^{1,1}(t_i, t_{i+1})$: c'est-à-dire, que l'on admet les fonctions discontinues
en $t_i$. Pour ces fonctions, on pose

$$
(2.32) \quad d_i = |g^+(t_i) - g^-(t_i)|, \quad i = 1, 2, \dots, N-1.
$$

(*) les C désignent des constantes.
En utilisant le Lemme 2.1 sur chacun des intervalles $[t_i, t_{i+1}]$, on montre
que l'on a

$$
I_m(t) \le K_i \quad \text{pour } t \in [t_i, t_{i+1}],
$$

avec

$$
K_{i+1} = \left\{ \left( K_i + d_i K_i^{\frac{1}{2}} \right)^{\frac{1}{2}} + J_i^{i+1} \right\}^2 \quad \text{pour } i = 0, 1, \dots, N-1;
$$

$$
K_0 = C_2 \quad t_{i+1}
$$

$$
J_i^{i+1} = C_1 \int_{t_i}^{t_{i+1}} |g'(s)| ds .
$$

On en déduit l'estimation a priori correspondante :

$$
(2.33) \quad I_m(t) \le C (d_1, d_i, d_{N-1}) \times C(\Sigma) \times \left\{ \|y_0\|^2 + |y_1|^2 + \sum_{i=0}^{N-1} \|g\|^2_{W^{1,1}(t_i, t_{i+1})} \right\}
$$

Remarque 2.3 : Dans le cas où y₀ et y₁ sont nuls tous les deux, on
peut améliorer l'estimation (2.29), en utilisant les propriétés (1.21).

Définissons $\ell(t)$ comme la distance parcourue par un ébranlement
pendant le temps $t$ :

$$
(2.34) \qquad x(\ell(t)) = t.
$$

On a alors

$$
|y(0,t)| \le C \ell^{\frac{1}{2}}(t) I^{\frac{1}{2}}(t),
$$

d'où l'on déduit

$$
(2.35) \quad I(t) \le C(\Sigma) \left\{ \int_0^t \ell^{\frac{1}{2}}(s) |g'(s)| ds + \sup_{s \in [0,t]} \ell(s) |g(s)| \right\}^2 .
$$

- Les estimations a priori permettent de montrer des propriétés de régularité supplémentaire de la solution : en plus de (2.17), on a

$$
(2.36) \quad y \in L^\infty(0,T; V) ; \quad \frac{dy}{dt} \in L^\infty(0,T; H) .
$$

D'autre part

$$
(2.37) \quad \begin{cases} \cdot \quad y \in C_s(0,T; V) \\ \cdot \quad \frac{dy}{dt} \in C_s(0,T; H), \end{cases}
$$
où $C_s(0,T; W)$ désigne l'espace des fonctions $f \in L^\infty(0,T; W)$, qui sont
scalairement continues de $[0,T]$ dans $W$. En effet,

$$
\text{i)} \quad \left. \begin{array}{l} y \in C^0(0,T; H) \\ y \in L^\infty(0,T; V) \end{array} \right\} \Rightarrow y \in C_s(0,T; V)
$$

d'après le Lemme 8.1. (p. 297) de LIONS-MAGENES [T.1].

De même,

$$
\text{ii)} \quad \left. \begin{array}{l} \rho \frac{dy}{dt} \in C^0(0,T; V') \\ \rho \frac{dy}{dt} \in L^\infty(0,T; H) \end{array} \right\} \Rightarrow \rho \frac{dy}{dt} \in C_s(0,T; H) .
$$

2.2 - ÉTUDE DE LA REGULARITE EN TEMPS DE L'ENERGIE.

L'énergie I(t) du système est donnée par

$$
(2.38) \quad I(t) = \frac{1}{2} \int_{\Omega} \rho(z) \left( \frac{\partial y}{\partial t} (z, t) \right)^2 dz + \frac{1}{2} \int_{\Omega} \mu(z) \left( \frac{\partial y}{\partial z} (z, t) \right)^2 dz .
$$

Démontrons le

THEOREME 2.2 : Pour presque tout $t_1$ et $t_2$ appartenant à $[0,T]$, on a

$$
(2.39) \quad I(t_2) - I(t_1) = g(t_2) y(0, t_2) - g(t_1) y(0, t_1) - \int_{t_1}^{t_2} g'(s) y(0, s) ds .
$$

L'énergie I(t) est continue en t = 0 . De plus, l'énergie I_m(t)
correspondant à la solution approchée y_m(t) (Cf (2.24)) vérifie

$$
(2.40) \qquad I_m(t) \to I(t) \quad \text{dans } L(0,T) \quad \text{faible} *
$$

$$
(2.41) \quad \underline{\lim} \ I_m(t) = I(t) \ p.p. \ t \in [0,T] .
$$

Notons que ce théorème n'implique pas la continuité de l'énergie
sur $[0,T]$. On peut, en effet, seulement en déduire le
**Corollaire 2.1** : Si $y(0,t)$ est continue, alors $I(t)$ est continue, et

$$
(2.42) \qquad \begin{cases} y(t) \in C^0(0,T; V) \\ \frac{dy}{dt}(t) \in C^0(0,T; H). \end{cases} \qquad \blacksquare
$$

Nous ne savons pas si, sous les seules hypothèses

$(\rho, \mu) \in \Sigma$ et $g \in W^{1,1}(0,T)$,

la fonction $y(0,t)$, et par conséquent, l'énergie $I(t)$, est continue.

Nous donnerons deux conditions suffisantes, l'une portant sur
la régularité de $(\rho, \mu)$, l'autre sur la régularité de $g$, pour que $y(0,t)$
soit continue :

- Première condition suffisante : (Théorème 4.1)

$$
(2.43) \qquad (\rho, \mu) \in \Sigma \cap H^1(]0, \varepsilon[) \text{ avec } \varepsilon > 0.
$$

- Deuxième condition suffisante : (Théorème 4.2)

$$
(2.44) \qquad g(t) \in W^{2,1}(0,T).
$$

**Démonstration du Corollaire 2.1** : La continuité de $I(t)$ est une conséquence immédiate de l'hypothèse et de la relation (2.39). Pour démontrer les régularités (2.42), considérons une suite $t_n$ tendant vers $t$, la suite $D_n$ définie par :

$$
D_n = \left| \frac{dy}{dt}(t_n) - \frac{dy}{dt}(t) \right|_{\rho}^2 + a_{\mu}(y(t_n) - y(t), y(t_n) - y(t))
$$

tend vers zéro. Ceci résulte de la régularité (2.37) de la solution et de la
continuité de I(t).

**Démonstration de (2.39)** : Nous allons donner une démonstration qui s'applique telle quelle aux équations hyperboliques, avec des coefficients $\rho$ et $\mu$ dépendant du temps $(\rho(z, \cdot), \mu(z, \cdot) \in C^1(0,T)$ ; p.p. z), ou aux équations hyperboliques non linéaires, de la forme
$$
\left\{
\begin{array}{ll}
\rho(z) \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - \frac{\partial}{\partial z} \mu(z) \frac{\partial y}{\partial z} + \psi(y) = f, & z > 0; t > 0; \\
\\
-\mu(0) \frac{\partial y}{\partial z} = g; \\
\\
\left\{
\begin{array}{l}
y(z,0) = y_0(z) \\
\\
\frac{\partial y}{\partial t}(z,0) = y_1(z)
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
$$

où $\lambda \to \psi(\lambda)$ est une fonction continue, croissante.

Une autre démonstration de (2.39) est donnée en 2.4 : elle est
beaucoup plus courte, mais applicable uniquement au cas linéaire.

Soulignons d'abord la difficulté. Premièrement, on ne peut obtenir
(2.39) en passant à la limite dans (2.25). Deuxièmement, le calcul qui consis
à multiplier l'équation (2.18) par $\frac{dy}{dt}$ et à intégrer, est formel car le proc
$(\rho \frac{d^2 y}{dt^2} \cdot \frac{dy}{dt})$ n'a pas de sens.

Nous allons montrer que, pour toute fonction $\theta(t) \in C^1(0,T)$, à
support compact dans $]0,T[$, on a l'égalité

$$
(2.45) \qquad - \int_0^T \theta'(t) I(t) \, dt = - \int_0^T \frac{d}{dt} (g \cdot \theta) y(0,t) \, dt ;
$$

il est alors facile d'en déduire (2.39).

La démonstration va consister à multiplier l'équation (2.18) par
une quantité qui approxime $\theta \frac{dy}{dt}$, et à passer à la limite : la technique
utilisée est en fait celle de MIGNOT [12].

1) - Introduisons

$$
(2.46) \qquad x_k = \int_k^T \left( \rho \frac{d^2 y}{dt^2} + \frac{y(t)-y(t-k)}{k} \right) \theta(t) \, dt .
$$

Pour k assez petit (par rapport à la distance du support de θ à 0 et 1)
on a

$$
x_k = - \frac{1}{k} \int_k^T \left( \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dy}{dt}(t) - \frac{dy}{dt}(t-k) \right) \rho(t) \, dt - \int_k^T \left( \frac{dy}{dt} \cdot \frac{y(t)-y(t-k)}{k} \right) \theta'(t) \, dt
$$

Utilisons l'égalité $b(b-a) = \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}(b-a)^2$ ;
$$
X_k = -\frac{1}{k} \left\{ \frac{1}{2} \int_k^T \left| \frac{dy}{dt}(t) \right|^2 \theta(t) dt - \frac{1}{2} \int_k^T \left| \frac{dy}{dt}(t-k) \right|^2 \theta(t) dt + \frac{1}{2} \int_k^T \left| \frac{dy}{dt}(t) - \frac{dy}{dt}(t-k) \right|^2 \theta(t) dt \right\} \\
- \int_k^T \left( \frac{dy}{dt} \cdot \frac{y(t)-y(t-k)}{k} \right) \theta'(t) dt .
$$

Regroupons les deux premiers termes :

$$
X_k = -\frac{1}{k} \left\{ \frac{1}{2} \int_k^{T-k} \left| \frac{dy}{dt}(t) \right|^2 \theta(t) - \theta(t+k) \right\} - \int_k^T \left( \frac{dy}{dt} \cdot \frac{y(t)-y(t-k)}{k} \right) \theta'(t) dt - \frac{1}{2k} \int_k^T \left| \frac{dy}{dt}(t) - \frac{dy}{dt}(t-k) \right|^2 \theta(t) dt
$$

On peut donc écrire $X_k$ sous la forme

$$
X_k = X_k^{(1)} - X_k^{(2)},
$$

avec

$$
X_k^{(2)} = \frac{1}{2k} \int_k^T \left| \frac{dy}{dt}(t) - \frac{dy}{dt}(t-k) \right|^2 \theta(t) \, dt
$$

et

$$
\lim_{k \to 0} X_k^{(1)} = - \frac{1}{2} \int_{0}^{T} \left| \frac{dy}{dt} \right|^2 \theta'(t) dt .
$$

2) Introduisons, de même,

$$
(2.47) \qquad Y_k = \int_k^T a_\mu \left( y(t), \frac{y(t)-y(t-k)}{k} \right) \theta(t) \, dt .
$$

$a_μ$ est une forme bilinéaire symétrique : on a donc

$$
Y_k = \frac{1}{2k} \left\{ \int_k^T a_\mu(y(t), y(t)) \theta(t) dt - \int_k^T a_\mu(y(t-k), y(t-k)) \theta(t) dt + \int_k^T a_\mu(y(t), y(t-k), y(t)-y(t-k)) \theta(t) dt \right\}
$$

Pour $k$ assez petit,

$$
Y_k = \frac{1}{2k} \left\{ \int_k^T a_\mu(y(t), y(t))(\theta(t) - \theta(t+k))dt + \int_k^T a_\mu(y(t)-y(t-k), y(t)-y(t-k))\theta(t)dt \right\} .
$$

On peut donc écrire $Y_k$ sous la forme

$$
Y_k = Y_k^{(1)} + Y_k^{(2)},
$$
avec

$$Y_k^{(2)} = \frac{1}{2k} \int_0^T a_\mu(y(t-k) - y(t), y(t-k) - y(t)) \theta(t) dt,$$

et

$$\lim_{k \to 0} Y_k^{(1)} = -\frac{1}{2} \int_0^T a_\mu(y(t), y(t)) \theta'(t) dt.$$

### 3) Introduisons enfin

$$X'_{k} = \int_{0}^{T-k} \left( \rho \frac{d y}{dt} , \frac{y(t+k)-y(t)}{k} \right) \theta(t+k) dt$$

et

$$Y'_{k} = \int_{0}^{T-k} a_{\mu}\left(y(t), \frac{y(t+k)-y(t)}{k}\right) \theta(t+k) dt.$$

En faisant sur $X'_k$ et $Y'_k$ la même suite de calculs que pour $X_k$ et $Y_k$ on obtient

$$X'_{k} = X'_{k}^{(1)} + X'_{k}^{(2)},$$

avec

$$X_k^{(2)} = X_k^{(2)}$$

et

$$\lim_{k \to 0} X_k^{(1)} = -\frac{1}{2} \int_0^T \left| \frac{dy}{dt} \right|^2 \rho \theta'(t) dt ;$$

et aussi

$$Y'_{k} = Y'_{k}^{(1)} + Y'_{k}^{(2)},$$

avec

$$Y_k^{(2)} = Y_k^{(2)}$$

et

$$\lim_{k \to 0} Y_k^{(1)} = -\frac{1}{2} \int_0^T a_\mu(y(t), y(t)) \theta'(t) dt.$$

### 4) Regroupons les résultats obtenus

$$(X_k + X'_k) + (Y_k + Y'_k) = (X_k^{(1)} + X'_k^{(1)}) + (Y_k^{(1)} + Y'_k^{(1)}),$$

et donc

$$(2.48) \quad \lim_{k \to 0} (X_k + X'_k) + (Y_k + Y'_k) = - \int_0^T \left| \frac{dy}{dt} \right|^2 \rho \theta(t) dt - \int_0^T a_\mu(y(t), y(t)) \theta(t) dt.$$
5) Utilisons maintenant l'équation vérifiée par y :

$$
\begin{array}{l}
(2.49) \quad \lim_{k \to 0} (X_k + Y_k) = \displaystyle\int_0^T y(0,t) \frac{d}{dt} (g.\theta) \, dt ; \\
\text{d'où} \\
\quad X_k + Y_k = \displaystyle\int_k^T g(t) \left( \frac{y(0,t)-y(0,t-k)}{k} \right) \theta(t) \, dt , \\
\text{de même} \\
\quad \lim_{k \to 0} (X'_k + Y'_k) = \displaystyle\int_0^T y(0,t) \frac{d}{dt} (g.\theta) \, dt .
\end{array}
$$

En égalant les deux résultats (2.48) et (2.49), on a

$$
\frac{1}{2} \int_0^T \left\{ \left| \frac{dy}{dt} \right|^2_\rho + a_\mu(y(t), y(t)) \right\} \theta'(t) \, dt = \int_0^T y(0,t) \frac{d}{dt} (g.\theta) \, dt . \blacksquare
$$

Fin de la démonstration du Théorème 2.2 :

i) Soient $y^{(1)}$ et $y^{(2)}$ les solutions de (I), avec, respectivement,
comme conditions initiales et aux limites :

$$
y^{(1)} \leftrightarrow \begin{cases} C.I \{ 0 \\ 0 \} \\ C.L: g \end{cases} ; \quad y^{(2)} \leftrightarrow \begin{cases} C.I \{ y_0 \\ y_1 \} \\ C.L: 0 \end{cases} .
$$

On a

$$
y = y^{(1)} + y^{(2)} .
$$

. L'énergie correspondant à $y^{(2)}$ est constante : $y^{(2)}$ possède la régularité (2.42), d'après le Corollaire 2.1.

. L'énergie correspondant à y(1) est continue en t = 0 ; ceci est
une conséquence de la Remarque 2.3.

On en déduit alors facilement que l'énergie I(t) est continue
en t = 0.

ii) La suite $I_m(t)$ est bornée dans $L^\infty(0,T)$. On peut donc en extraire une sous-suite, telle que

$$
(2.50) \qquad I_m(t) \to I^*(t) \quad \text{dans } L^\infty(0, T) \text{ faible}^*.
$$
Notons que l'on a

$$
(2.51) \qquad \lim_{t \to \infty} I_m(t) \ge I(t),
$$
où $I(t)$ désigne l'énergie correspondant à la limite $y(t)$ de $y_m(t)$. Passons
à la limite dans la relation (2.27) :

$$
I^*(t) = I_0 - \int_0^t g'(s) y(0,s) ds + y(0,t) g(t) - y_0(0) g(0) .
$$

Or, d'après i), l'énergie I(t) est continue en t = 0 ; on peut alors
choisir t₁ = 0 dans (2.39). En comparant l'égalité obtenue avec la précédem-
on en déduit

$I^*(t) = I(t).$

iii) Enfin, on déduit (2.41) de la suite d'inégalités :

$$
\begin{gather*}
\int_0^T I^*(t) \, dt = \int_0^T I(t) \, dt \le \int_{t_0}^T \left\langle \lim_{m \to \infty} I_m(t) \right\rangle \, dt \le \left\langle \lim_{m \to \infty} I_m(t) \right\rangle \, dt = \int_0^T I^*(t) \, dt \\
\text{inégalité (2.51) - Lemme de Fatou - Convergence (2.50)}
\end{gather*}
$$

2.3 - REGULARITE DE LA SOLUTION Y EN FONCTION DE LA REGULARITE
DES DONNEES y₀, y₁, g.

THEOREME 2.3 : Pour des données y₀, y₁, g , satisfaisant les hypothèses
de régularité :

$$
(2.52) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
y_0 \in V \ ; \quad \mu(z) \frac{dy_0}{dz} \in V \ ; \\
y_1 \in H \ ; \quad \frac{dy_1}{dz} \in H \ ; \\
g \in W^{2,1}(O,T),
\end{array}
\right.
$$

et l'hypothèse de raccordement

$$
(2.53) \qquad - \mu(0) \frac{dy_0}{dz}(0) = g(0),
$$

la solution y du système (I) vérifie :
$$
2.54) \quad y \in C^0(0,T; V);
$$

$$
2.55) \quad \frac{dy}{dt} \in C^0(0,T; H) \cap L^\infty(0,T; V);
$$

$$
2.56) \quad \frac{d^2 y}{dt^2} \in L^\infty(0, T; H),
$$

d'où l'on déduit, en particulier,

$$
2.57) \qquad \frac{d I(t)}{dt} = g(t) \frac{dy}{dt} (0,t) .
$$

De plus, la dérivée dy/dt est solution du système (I) pour les données suivantes :

- Conditions initiales :

$$
(2.58) \quad \begin{cases} \frac{dy}{dt}(z,0) = y_1(z); \\ \frac{d^2 y}{dt^2}(z,0) = \rho^{-1}(z) \frac{d}{dz} \left( \mu(z) \frac{dy}{dz} \right) . \end{cases}
$$

- Conditions aux limites :

$$
(2.59) \qquad - \mu(0) \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{dy}{dt} (0,t) \right) = \frac{dg}{dt} .
$$

**Démonstration du Théorème 2.3** : La démonstration consiste à appliquer les résultats du Théorème 2.1 à l'équation dérivée en temps. Pour cela, on raisonne sur l'équation approchée (2.24), qui elle, est dérivable en temps.

L'équation dérivée est exactement la même que l'équation d'origine :
les seules différences portent sur le second membre et les conditions initiales.
Il est donc aisé d'obtenir des estimations a priori sur cette équation dérivée :
la seule difficulté est de borner dans H le terme

$$
\frac{d^2 y_m}{dt^2} (0) .
$$

Pour cela, écrivons l'équation (2.24) en $t=0$ :

$$
(2.60) \quad \left( \frac{d^2 y_m}{dt^2} (0) , w_j \right)_\rho + a_\mu (y_{0m}, w_j) = g(0) w_j(0) .
$$

Si l'on a

$$
(2.61) \quad a_\mu (y_{0m}, w_j) - g(0) w_j(0) = (\varphi_m, w_j), \forall j=1,2,\dots,m, \text{ avec } |\varphi_m| \le c \text{ indépendant de } m,
$$
on en déduira

$$
\left( \frac{d^2 y_m}{dt^2} (0) , w_j \right)_{\rho} = (\phi_m, w_j) , \forall j = 1, 2 \dots m , \qquad (2.
$$

et donc

$$
(2.62) \qquad \left| \frac{d^2 y_m}{dt^2} \right| \le c \quad \text{indépendant de } m .
$$

Mais (2.61) n'est rien d'autre qu'une condition de raccordement : en effet,
on a, pour y₀ vérifiant (2.52),

(2)

$$
a_{\mu}(y_0, w) + \mu(0) \frac{dy_0}{dz}(0) w(0) = - \int_{\Omega} \frac{d}{dz} \mu(z) \frac{dy_0}{dz} w(z) dz, \forall w \in V,
$$

ce qui, avec l'hypothèse (2.53), donne

$$
(2.63) \quad a_{\mu}(y_0, w) - g(0) w(0) = - \int_{\Omega} \frac{d}{dz} \mu(z) \frac{dy_0}{dz} w(z) dz, \forall w \in V.
$$

Il est possible de construire des approximés vérifiant (2.61). ■

2.4 - ETUDE DE L'EQUATION (I) PAR DECOMPOSITION SUR LA BASE DE
VECTEURS PROPRES.

Cette approche, propre au cas linéaire, permet d'obtenir plus
rapidement la relation (2.39). Nous pensons, d'autre part, que cette approche
doit permettre de montrer, à l'aide de contre-exemples, que

i) la condition $g'(t) \in L^1(0,T)$ est nécessaire pour que l'énergie soit bornée

ii) la condition $\rho(z), \mu(z) \in H^1[0,\varepsilon[$, pour $\varepsilon>0$, est nécessaire pour que l'énergie soit continue.

2.4.1 - Introduction de la base de vecteurs propres.

Il est bien connu qu'il existe une suite de fonctions w_n(z)
appartenant à H¹(0,z₀), vérifiant les équations (2.64), (2.65), (2.66) :

$$
(2.64) \qquad - \frac{d}{dz} \mu(z) \frac{dw_n}{dz} = \lambda_n \rho(z) w_n ; \quad z \in ]0, z_0[ ;
$$
(2.65)

$$ - \mu(0) \frac{dw_n}{dz}(0) = 0 \quad \text{et} \quad w_n(z_0) = 0 ; $$

(2.66)

$$ \int_{\Omega} \rho(z) w_n^2(z) dz = +1 , $$

et formant une base orthonormale de $L^2(0, z_0)$ pour le produit scalaire $()_\rho$.

Les valeurs propres $\lambda_n$ tendent vers l'infini comme $n^2$ :

(2.67)

$$ C_1(\mu_-, \rho_+) z_0^{-2} \le \frac{\lambda_n}{n^2} \le C_2(\mu_+, \rho_-) z_0^{-2} , \forall n \ge 1 . $$

### 2.4.2 - Construction d'une solution approchée dans cette base.

Grâce à la propriété (2.64), le système d'équations (2.24) devient diagonal (on applique Galerkin dans la base formée des valeurs propres) :

(2.68)

$$ \left\{ \begin{aligned} \frac{d^2 \xi_{km}}{dt^2} + \lambda_k \xi_{km} &= g(t) w_k(0) , \\ \xi_{km}(0) &= \xi_{0k} , \\ \frac{d\xi_{km}}{dt}(0) &= \xi_{1k} , \end{aligned} \right. \qquad k = 1, 2, \dots, m . $$

avec

(2.69)

$$ \left\{ \begin{aligned} y_0 &= \sum_{k=1}^{+\infty} \xi_{0k} w_k ; & \sum_{k=1}^{+\infty} \lambda_k |\xi_{0k}|^2 &< \infty & \text{car } y_0 \in V, \\ y_1 &= \sum_{k=1}^{+\infty} \xi_{1k} w_k ; & \sum_{k=1}^{+\infty} \lambda_k |\xi_{1k}|^2 &< \infty & \text{car } y_1 \in H. \end{aligned} \right. $$

La composante $\xi_{km}(t)$ ne dépend pas de $m$. On peut donc supprimer l'indice $m$, et noter

(2.70)

$$ y_m(t) = \sum_{k=1}^{m} \xi_k(t) w_k , $$

où

(2.71)

$$ \xi_k(t) = \xi_{km}(t) . $$

L'estimation a priori (2.29) reste, bien sûr, valable dans ce cas particulier :

(2.72)

$$ I_m(t) = \sum_{k=1}^{m} \left\{ \left( \frac{d\xi_k}{dt} \right)^2 + \lambda_k \xi_k^2 \right\} \le C , \forall t \in [0,T] ; \forall m . $$
On en déduit

$$
(2.73) \qquad y_m(t) \rightarrow y(t) = \sum_{k=1}^{+\infty} \xi_k(t) w_k \quad \text{dans } V;
$$

$$
(2.74) \qquad I_m(t) \rightarrow I(t) = \sum_{k=1}^{+\infty} \left\{ \left( \frac{d\xi_k}{dt} \right)^2 + \lambda_k \xi_k^2 \right\},
$$

et donc (2.30), directement, par passage à la limite dans (2.25).

2.4.3 - Condition nécessaire pour que l'énergie soit bornée
lorsque g appartient uniquement à L¹(0,T).

Montrons le

LEMME 2.2 : Une condition nécessaire pour que l'on ait

$$
(2.75) \qquad I(t) \le C |g| \quad , \forall g \in L^1(0,T), \forall t \in [0,T], \\
\qquad \qquad \qquad \text{L}^1(0,T)
$$

est que

$$
(2.76) \qquad |w_k(0)| \le C , \quad \forall k = 1, 2, \dots \qquad \blacksquare
$$

Nous ne savons pas s'il existe un couple (ρ, μ) appartenant à Σ tel que (2.76) ne soit pas vérifié. Le Lemme 2.3 indique que si un tel couple existe, la fonction σ²(z) = ρ(z) μ(z) n'est pas dérivable au voisinage de z = 0. Nous montrerons, enfin, au Chapitre V, que si σ(z) est dérivable au voisinage de z = 0, l'énergie est continue et vérifie l'estimation (2.75).

Démonstration du Lemme 2.2 : Supposons que (2.76) ne soit pas vérifiée :
il existe une sous-suite w_k(0) qui tend vers +∞ . Considérons la solution
y_k(t) , ainsi que son énergie I_k(t) , correspondant à g_k :

$$
g_k = \sin \lambda_k^{\frac{1}{2}} t .
$$

On peut minorer $I_k$ :

$$
I_k(t) \geq \frac{1}{2} \lambda_k |\xi_k(t)|^2 ,
$$

où $\xi_k$ , solution de (2.70), est égale à
$$
(2.77) \quad \xi_k(t) = - w_k(0) \frac{\cos \lambda_k^{\frac{1}{2}}(t)}{2 \lambda_k^{\frac{1}{2}}} t + \xi_{k0} \cos \lambda_k t + \frac{\xi_{k1}}{\lambda_k^{\frac{1}{2}}} \sin \lambda_k^{\frac{1}{2}} t .
$$

Mais, il est clair, d'après (2.77), que

$$
\sup_k \left\{ \sup_{t \in [0,T]} \xi_k^2(t) \right\} = +\infty,
$$

ce qui est en contradiction avec (2.75). ■

LEMME 2.3 : Soit w(z, λ) solution de

$$
(2.78) \quad \begin{cases} - \frac{d}{dz} \mu(z) \frac{dw}{dz} = \lambda \rho(z) w, & \text{pour } z \in [0, z_0] ; \\ - \mu(0) \frac{dw}{dz} (0, \lambda) = 0 ; & w(z_0, \lambda) = 0 ; \end{cases}
$$

s'il existe $z_1$ et $z_2$ tel que

$$
(2.79) \qquad \frac{d}{dz} (\rho(z) \mu(z)) \in L^\infty[z_1, z_2] ,
$$

alors, on a

$$
(2.80) \quad |w(z_0, \lambda)| \le C, \forall z \in [z_1, z_2], \forall \lambda \ge 0.
$$

Ce Lemme n'est qu'une variante du Théorème 3 (p. 334) de COURANT-HILBERT [T. 1].

2.5 - PROPRIETES DE L'OPERATEUR LINEAIRE G.

Définissons, pour $\rho$ et $\mu$ fixés, $G$ comme l'opérateur linéaire
continu qui, à $g$, fait correspondre $Y(t) = y(0,t)$, où $y$ est la solution de
(I) avec $y_0 = y_1 = 0$.

$$
(2.81) \qquad g(t) \in W^{1,1}(O,T) \xrightarrow{G} Y(t) \in L^{\infty}(O,T).
$$

Enonçons quelques propriétés de l'opérateur G.
**THEOREME 2.4 :**

• G est *injectif* ;

. G est invariant par rapport au temps ;

$$
(2.82) \quad (G(g))(t) = g(0) Y_0(t) + \int_0^t g'(s) Y_0(t-s) ds, \forall t \in [0,T], \forall g \in W^{1,1}, Y_0=G(1),
$$

. G est compact de H¹(0,T) dans L°(0,T).

Démonstration du Théorème 2.4 :

1) G est injectif : soit g tel que G g = 0 , montrons que g = 0 .
De (2.39), on déduit que l'énergie I(t) de la solution y , correspondant
à g , vérifie

$$
I(t) = I_0 = 0, \forall t \in [0,T];
$$

on a donc

$$
y(z,t) = C = 0 \quad (\text{à cause de } y(0,t) = 0).
$$

En revenant à l'équation (2.18), on déduit

g = 0.

2) G est invariant par rapport au temps : ceci tient au fait que les
coefficients ρ et μ de l'équation (2.18) sont indépendants du temps.
Montrons, de façon très classique, que l'on en déduit (2.82) : en effet, pour
toute fonction g(t) appartenant à W¹,¹(0,T), on peut construire une suite
g(N)(t) de fonctions en escalier, constantes sur des intervalles de longueur
k = I/N, et vérifiant :

$$
(2.83) \quad \left\{
\begin{array}{l}
g^{(N)}(t) \quad \rightarrow g(t) \quad \text{dans } L^1(0,T); \\
\displaystyle\frac{g^{(N)}(t+k) - g^{(N)}(t)}{k} \quad \rightarrow \frac{dg}{dt}(t) \quad \text{dans } L^1(0,T).
\end{array}
\right.
$$

Posons $t_i = k \times i$ et $g^{(N)}(t) = g_i^{(N)}$ sur $[t_{i-1}, t_i[$ ;

$$
g^{(N)}(t) = g_{1}^{(N)} \quad \underbrace{1}_{[t_0, T[} \quad \sum_{i=1}^{N-1} \quad (g_{i+1}^{(N)} - g_i^{(N)}) \quad \underbrace{G(1)}_{[t_i, T[} \quad ;
$$
appliquons $G$ ; nous obtenons

$$
G(g^{(N)}) = g_{1}^{(N)} G \left( 1_{[t_0, T]} + \sum_{i=1}^{N-1} (g_{i+1}^{(N)} - g_i^{(N)}) G \left( 1_{[t_i, T]} \right) \right,
$$

mais grâce à l'invariance de $G$ par rapport au temps, on a

$$
G \left( 1_{[t_i, T]} (t) \right) = G \left( 1_{[0, T]} (t-t_i) \right).
$$

Reportons cette relation dans la dernière égalité et utilisons la notation (2.82)

$$
G(g^{(N)}) = g_{1}^{(N)} Y_{0} + k \sum_{i=1}^{N-1} \frac{g_{i+1}^{(N)} - g_{i}^{(N)}}{k} Y_{0}(t-t_{i}).
$$

Faisons tendre $N$ vers l'infini : la continuité de $G$, et les hypothèses (2.83) entraînent (2.82).

3) Soit $g_n$ une suite de fonctions appartenant à un borné de $H^1(0,T)$.

Posons

$$
G_n = G(g_n) = G_{n_1} + G_{n_2}
$$

avec

$$
G_{n_1} = g_n(0) Y_0(t),
$$

$$
G_{n_2} = \int_0^t g'_n(s) Y_0(t-s) ds .
$$

On peut, de $g_n$, extraire une sous-suite telle que $g_n(0)$ converge, et
donc, telle que $G_{n_1}$ converge dans $L^\infty(0,T)$. La suite $G_{n_2}$ forme un
ensemble de fonctions uniformément équicontinues : en effet, un calcul simple
montre que l'on a

$$
|G_{n_2}(t_2) - G_{n_2}(t_1)| \le |g'_n| \int_{L^2(0,T)} \left\{ (t_2-t_1)^{\frac{1}{2}} |Y_0| \int_{L^\infty(0,T)} \left( \int_0^T |Y_0(t_2-t_1+s) - Y_0(s)|^2 \right)^{\frac{1}{2}} \right\} ds.
$$

d'après le Théorème d'Ascoli, on peut donc extraire une sous-suite $G_{n_2}'$ qui
converge dans $C^0(0,T)$. ■
<figure><img src="image_21.png" /></figure>
### 3 - CONTINUITÉ DE LA SOLUTION Y EN FONCTION DES PARAMÈTRES

ρ ET μ : CONSÉQUENCES SUR LE PROBLÈME D'IDENTIFICATION.

#### - Résumé

Dans ce chapitre, nous étudions la continuité de la solution y de (I) en fonction des paramètres ρ et μ.

Nous donnons, d'abord, un résultat de convergence forte de y lorsque ρ et 1/μ convergent faiblement : nous illustrons numériquement ce résultat, et nous en déduisons l'existence d'une solution au problème d'identification posé sous la forme (1.16).

Nous montrons, ensuite, que l'application $(\rho, \mu) \to Y(\rho, \mu, g, t)$ est lipschitzienne pour une distance d définie, en fait, sur les classes d'équivalence de $\Sigma$, introduites par la relation d'équivalence (1.30) : nous en concluons que le problème inverse, formulé dans toute sa généralité, est un problème mal posé.

Nous mettons enfin en évidence le fait qu'à un couple de coefficients $(\rho, \mu)$, fortement oscillants, correspond une vitesse de propagation apparente inférieure à la vitesse de propagation réelle : de tels coefficients seront donc difficiles à identifier.

#### 3.1 - UN RESULTAT DE CONVERGENCE.

##### 3.1.1 - Enoncé et démonstration du résultat.

On suppose, dans tout ce chapitre, que

$$ (3.1) \qquad y_0 = y_1 = 0. $$

On note $y(\rho, \mu, g, t)$ la solution du système I, c'est-à-dire des équations (2.17), (2.18) et (2.19), correspondant à la condition aux limites $g$ et aux conditions initiales (3.1). La réponse au bord est notée :

$$ (3.2) \qquad Y(\rho, \mu, g, t) = y(\rho, \mu, g, 0, t). $$

Montrons le résultat de convergence suivant :

##### THEOREME 3.1 : Sous l'hypothèse

$$ (3.3) \qquad g \in W^{2,1}(0,T) ; g(0) = 0, $$

pour toute suite $(\rho_n, \mu_n) \in \Sigma(\rho_-, \rho_+, \mu_-, \mu_+, z_0)$ (Cf 2.1), telle que

$$ (3.4) \qquad \rho_n \to \rho^* \text{ dans } L^\infty(\Omega) \text{ faible}^*, $$

$$ (3.5) \qquad \frac{1}{\mu_n} \to \bar{\mu} \text{ dans } L^\infty(\Omega) \text{ faible}^*, $$

alors,

$$ (3.6) \qquad Y(\rho_n, \mu_n, g, z, t) \to Y(\rho^*, \bar{\mu}, g, z, t) \text{ dans } C^0(0,T; V). $$
$$ (3.7) \qquad v_L \le \bar{v} \le v^* \quad \text{p.p. z dans } \Omega. $$

**Démonstration de la Remarque 3.2** : De l'inégalité de Cauchy-Schwartz, on déduire

$$ (b-a)^2 \left( \int_a^b \mu_n^{\frac{1}{2}} \rho_n^{-\frac{1}{2}} dz \right)^{\frac{1}{2}} \le \int_a^b \rho_n^{\frac{1}{2}} \mu_n^{-\frac{1}{2}} dz \le \left( \int_a^b \rho_n dz \right)^{\frac{1}{2}} \left( \int_a^b \mu_n^{-1} dz \right)^{\frac{1}{2}}, \forall a,b, 0 \le a \le b \le z $$

Passons à la limite dans cette inégalité et divisons par (b-a) : l'inégalité devient

$$ \left( \frac{1}{b-a} \int_a^b v^*(z) dz \right)^{-1} \le \frac{1}{b-a} \int_a^b \bar{v}^{-1}(z) dz \le \left( \frac{1}{b-a} \int_a^b \rho^*(z) dz \right)^{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{b-a} \int_a^b \bar{\mu}^{-1}(z) dz \right)^{\frac{1}{2}} $$

En faisant tendre (b-a) vers zéro, on obtient, pour tout point de Lebesgue de $v^*, \bar{v}$ et $v_L$ :

$$ \frac{1}{v^*(z)} \le \frac{1}{\bar{v}(z)} \le \frac{1}{v_L(z)} \quad \text{p.p. } z \in \Omega. $$

**Démonstration du Théorème 3.1** : On note

$$ y_n = y(\rho_n, \mu_n, g, z, t). $$

D'après le Théorème 2.3, applicable grâce à l'hypothèse (3.3), on a les estimations

* $y_n$ est borné dans $C^0(0,T; V)$ ;

* $\frac{dy_n}{dt}$ est borné dans $L^\infty(0,T; V) \cap C^0(0,T; H)$ ;

* $\frac{d^2 y_n}{dt^2}$ est borné dans $L^\infty(0,T; H)$ ,
et en posant

(3.8)

$$ \delta_n = \mu_n \frac{\partial y_n}{\partial z}, $$

• $\delta_n$ est borné dans $L^\infty(0,T; V)$ ;

• $\frac{d\delta_n}{dt}$ est borné dans $L^\infty(0,T; H)$,

on peut donc extraire une sous-suite $y_n$ telle que

(3.9)

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \cdot \quad y_n' \to y & \text{dans } C^0(0,T; V) ; \\ \cdot \quad \frac{dy_n'}{dt} \to \frac{dy}{dt} & \text{dans } C^0(0,T; H) \text{ et } L^\infty(0,T; V) \text{ faible*} ; \\ \cdot \quad \frac{d^2 y_n'}{dt^2} \to \frac{d^2 y}{dt} & \text{dans } L^\infty(0,T; H) \text{ faible*} ; \\ \cdot \quad \delta_n' \to \delta & \text{dans } C^0(0,T; H) ; \\ \cdot \quad \frac{d\delta_n'}{dt} \to \frac{d\delta}{dt} & \text{dans } L^\infty(0,T; H) \text{ faible*} ; \end{array} \right. $$

De la relation (3.8), on tire

(3.10)

$$ \frac{\partial y_n'}{\partial z} = \frac{1}{\mu_n} \delta_n' . $$

On peut, grâce à (3.5) et (3.9), passer à la limite dans (3.10) :

$$ \frac{\partial y}{\partial z} = \frac{1}{\mu} \delta, $$

soit encore,

(3.11)

$$ \delta = \bar{\mu} \frac{\partial y}{\partial z} . $$

Le passage à la limite, dans l'équation (2.18), est immédiat.

De plus, la limite étant définie de façon unique, c'est en fait toute la suite qui converge vers $y(\rho^*, \bar{\mu}, g, z, t)$.

### 3.1.2 - Illustration numérique du Théorème 3.1.

On considère la suite $(\rho_n, \mu_n)$, telle que

$$ \rho_n(x) = \mu_n(x) = \sigma_n(x), $$

où $\sigma_n(x)$ est définie par
$$
\begin{cases}
\sigma_n(x) = \sigma_2, & \forall x \in [x_{2i}, x_{2i+1}] \\
\sigma_n(x) = \sigma_1, & \forall x \in [x_{2i+1}, x_{2i+2}]
\end{cases}
\quad i = 0, 1, \dots, n-1
$$

avec

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Figure 3.1</figcaption></figure>

$$
x_i = i \cdot \Delta x \quad \text{et} \quad \Delta x = \frac{L}{2n} .
$$

De plus, en $x = L$, on a supposé qu'il y avait reflexion totale (coefficient
de reflexion égal à +1), ce qui se traduit par

$$
\sigma(x_0) \frac{\partial y}{\partial x}(x_0, t) = 0 ; \forall t > 0 .
$$

Il est facile de vérifier que l'on a

$$
(3.12) \quad \sigma_n \to \sigma^* \quad \text{dans } L^\infty(\Omega) \text{ faible}^*, \text{ avec } \sigma^* = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2} ;
$$

$$
(3.13) \quad \frac{1}{\sigma_n} \to \frac{1}{\bar{\sigma}} \quad \text{dans } L^\infty(\Omega) \text{ faible}^*, \text{ avec } \bar{\sigma} = 2 \frac{\sigma_1 \sigma_2}{\sigma_1 + \sigma_2} .
$$

Le couple $(\sigma^*, \bar{\sigma})$ est équivalent, au sens (1.30), au couple
$(\hat{\sigma}, \hat{\sigma})$ :

$$
(3.14) \qquad \hat{\sigma} = (\sigma^* \ \bar{\sigma})^{\frac{1}{2}} = (\sigma_1 \ \sigma_2)^{\frac{1}{2}},
$$

$\hat{\sigma}$ étant défini sur $[0, \hat{x}_L]$, avec

$$
(3.15) \qquad \hat{x}_L = \frac{1}{2} \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{(\sigma_1 \sigma_2)^{\frac{1}{2}}} L .
$$

Notons que $\hat{x}_L$ est supérieur ou égal à $L$, l'égalité n'ayant lieu que
dans le cas $\sigma_1 = \sigma_2$.

Comparons aussi, pour cet exemple, la limite des vitesses de
propagation $v^*$ et la vitesse de propagation limite $v_L$ :

$$
v_n(x) = 1,
$$

et donc

$$
\bar{v}(x) = v^*(x) = 1.
$$

D'autre part,

$$
(3.16) \qquad v_L(x) = 2 \frac{(\sigma_1 \sigma_2)^{\frac{1}{2}}}{\sigma_1 + \sigma_2} \le \bar{v}(x) = v^*(x) = 1;
$$

l'égalité dans (3.16) n'a lieu que si $\sigma_1 = \sigma_2$.
On peut appliquer à la suite $(\sigma_n, \sigma_{n+1})$ les résultats du Théorème 3.1.

La convergence est illustrée sur la Figure 3.2 :

ILLUSTRATION DE LA CONVERGENCE

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Figure 3.2 - Illustration de la convergence.</figcaption></figure>
### 3.1.3 - Existence d'une solution au problème d'identification

posé sous la forme (1.16) ou (1.30).

L'existence d'une solution au problème (1.16) ou (1.30) est une conséquence immédiate du Théorème 3.1 :

**THEOREME 3.2** : Sous l'hypothèse

$$g \in W^2,^1(0,T) \ ; \ g(0) = 0,$$

i) le problème (1.16) posé sur $\Sigma = \Sigma(\rho_-, \rho_+, \mu_-, \mu_+)$ (Cf 2.1))

ii) le problème (1.30) posé sur $\Sigma = \Sigma(\sigma_-, \sigma_+)$ (Cf (1.32))

admettent au moins une solution.

**Démonstration du Théorème 3.2** : Montrons, par exemple, ii). Pour cela, considérons une suite $\sigma_n$ appartenant à $\Sigma(\sigma_-, \sigma_+)$ et minimisante pour le critère $J$ défini par (1.30). Grâce aux propriétés de $\Sigma(\sigma_-, \sigma_+)$, on peut extraire une sous-suite $\sigma_n$ qui vérifie (3.4) et (3.4) :

$$\sigma_n \to \sigma^* \quad \text{dans } L^\infty(\Omega) \text{ faible*;}$$

$$\frac{1}{\sigma_n} \to \frac{1}{\sigma} \quad \text{dans } L^\infty(\Omega) \text{ faible*}.$$

D'après le Théorème 3.1, la convergence (3.6) est assurée, et donc

$$\lim_{n \to +\infty} J(\sigma_n) = J(\sigma^*, \bar{\sigma}) = \inf_{\sigma \in \Sigma(\sigma_-, \sigma_+)} J(\sigma).$$

Utilisons la relation d'équivalence définie en (1.37) :

$$(\sigma^*, \bar{\sigma}) \in \mathbb{R}_{i, \hat{T}}(\hat{\sigma}, \sigma),$$

avec

$$\hat{\sigma} = (\sigma^* \bar{\sigma})^{\frac{1}{2}}$$

$$\hat{T} = \int_{0}^{T/2} \left( \frac{\sigma^*}{\bar{\sigma}} \right)^{\frac{1}{2}} dx .$$

Mais on a

$$\hat{\sigma} \in \Sigma(\sigma_-, \sigma_+) \text{, d'après la Remarque 3.1 ;}$$

$$\hat{T} \ge \frac{T}{2} \text{, d'après la Remarque 3.2,}$$
ce qui entraîne

$$
Y(\hat{\sigma}, g, t) = Y(\sigma^*, \bar{\sigma}, g, t) \quad \text{pour } t \in [0,T],
$$

et donc aussi

$$
(3.17) \qquad J(\hat{\sigma}) = \inf_{\sigma \in \Sigma} J(\sigma) ; \quad \hat{\sigma} \in \Sigma(\sigma_-, \sigma_+).
$$

3.2 - L'APPLICATION ($\rho, \mu) \to Y(\rho, \mu, g, \cdot)$ EST LIPSCHITZIENNE POUR UNE DISTANCE DEFINIE SUR L'ENSEMBLE $\Sigma$ DES CLASSES D'EQUIVALENCE.

3.2.1 - Définition d'une distance sur Σ .

A tout couple (ρ, μ) appartenant à Σ, associons la fonction
R_{ρ, μ}(z') définie par

$$
(3.18) \qquad \begin{cases} \hat{z}(z') \\ \int_0^1 \frac{dz}{\mu(z)} \end{cases} = \begin{cases} \hat{z}(z') \\ \int_0^1 \rho(z) dz, \text{où } \hat{z}(z') \text{ est déterminé par} \end{cases}.
$$

Notons que $\hat{z}(z')$ est homogène à une longueur.

Les fonctions $R_{\rho,\mu}(z')$ interviennent dans le

**THEOREME 3.3** : Soient deux couples $(\rho_i, \mu_i)_{i=1,2}$ appartenant à $\dot{\Sigma}$. Posons,
pour $z'_T$ positif quelconque,

$$
(3.19) \qquad d((\rho_1, \mu_1), (\rho_2, \mu_2)) = \sup_{z' \in [0, z'_T]} \left| R_{\rho_1, \mu_1}(z') - R_{\rho_2, \mu_2}(z') \right| .
$$

L'application d définit une distance sur les classes d'équivalence $\dot{\Sigma}$.
Pour cette distance, $\dot{\Sigma}$ est compacte.

On illustre, sur la Figure 3.3, la définition de la distance d.
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Figure 3.3 - Définition de la distance d : illustration.</figcaption></figure>

$$d((\rho_1, \mu_1), (\rho_2, \mu_2)) = \sup_{0 \le z' \le z_T} |R_{\rho_1 \mu_1}(z') - R_{\rho_2 \mu_2}(z')| ;$$

$$d(\sigma_1, \sigma_2) = d((\sigma_1, \sigma_1), (\sigma_2, \sigma_2)).$$

Démonstration du Théorème 3.3 :

i) d définit une distance sur $\Sigma$ : c'est une conséquence directe de (1.32) et (1.33).
ii) $\dot{\Sigma}$ est compacte pour cette distance : en effet, d'après (3.18),
pour une suite $(\rho_n, \mu_n)$ de $\Sigma$, les suites $\hat{z}_n(z')$ et $R_{\rho_n, \mu_n}(z')$
restent dans un borné de $H^1$ et donc dans un compact de $C^0$.

Explicitons la distance (3.19) sur les représentants canoniques $\sigma$
des classes d'équivalence.

$$
(3.20) \qquad d(\sigma_1, \sigma_2) = \sup_{z' \in [0, z_T]} \left| \int_0^{z'} \sigma_1(z) \, dz - \int_0^{z'} \sigma_2(z) \, dz \right|
$$

avec

$$
(3.21) \qquad z' = \int_0^z \sigma^{-1}(z) \, dz, \quad j = 1, 2.
$$

Donnons enfin une majoration de $d((\rho_1, \mu_1), (\rho_2, \mu_2))$, non invariante,
par la relation d'équivalence $R_i$, mais aisément calculable.

**LEMME 3.1** : Pour tout couple $(\rho_i, \mu_i)_{i=1,2}$ appartenant à $\Sigma$, on a la majoration

$$
(3.22) \quad d((\rho_1, \mu_1), (\rho_2, \mu_2)) \le \sup_{z \in [0, z_T]} \left| \int_0^z (\rho_1(\xi) - \rho_2(\xi)) d\xi \right| + (\rho_+, \mu_+) \cdot \sup_{z \in [0, z_T]} \left| \int_0^z (\mu_1^{-1}(\xi) - \mu_2^{-1}(\xi)) d\xi \right|
$$

avec

$$
(3.23) \qquad z_T = \frac{\mu_+}{\mu_-} \left( \frac{\mu_+}{\rho_-} \right)^{\frac{1}{2}} \frac{T}{2} . \quad \blacksquare
$$

**_Démonstration du Lemme 3.1_ : Posons**

$$
R_i(z') = R_{\rho_i, \mu_i}(z') , \quad i = 1, 2 ,
$$

et évaluons $R_1(z') - R_2(z')$, en se plaçant dans le cas

$$
\hat{z}_1(z') \ge \hat{z}_2(z') ;
$$

on a

$$
\hat{z}_1(z') \qquad \hat{z}_2(z') \\
R_1(z') - R_2(z') = \int_0^z (\rho_1(z) - \rho_2(z)) \, dz + \int_{\hat{z}_1(z')} \rho_1(z) \, dz , \\
\hat{z}_1(z')
$$

d'où la majoration

$$
(3.24) \quad \left|R_1(z) - R_2(z)\right| \le \left|\int_0^z (\rho_1(z) - \rho_2(z)) \, dz\right| + \rho_+ \left|\hat{z}_2(z') - \hat{z}_1(z')\right| ;
$$
mais, d'après (3.19),

$$
\begin{gather*}
\hat{z}_1(z') \quad \hat{z}_2(z') \quad \hat{z}_2(z') \\
\int \mu_1^{-1}(z) \, dz = \int \mu_2^{-1}(z) \, dz - \int \mu_1^{-1}(z) \, dz ,
\end{gather*}
$$

d'où l'on tire

$$
(3.25) \quad \frac{1}{\mu_{+}} \left| \hat{z}_{1}(z') - \hat{z}_{2}(z') \right| \le \left| \int_{0}^{\infty} \mu_{2}^{-1}(z) \, dz - \int_{0}^{\infty} \mu_{1}^{-1}(z) \, dz \right| .
$$

D'autre part, toujours d'après (3.19), on a

$$
(3.26) \qquad \hat{z}_j(z') \le \mu_+ z' , \text{ pour } j = 1, 2.
$$

En reportant les inégalités (3.25) et (3.26) dans (3.24), on obtient (3.23),
(3.24). ■

3.2.2 - Enoncé et démonstration du Théorème 3.4.

Le Théorème 3.4 montre le caractère lipschitzien de l'application

$$
(3.27) \qquad (\rho, \mu) \to \mathcal{Y}(\rho, \mu, g, \dots)
$$

THEOREME 3.4 : Avec les hypothèses

$$
(3.28) \qquad g \in W^{3,1}(0,T)
$$

$$
(3.29) \qquad g(0) = g'(0) = 0 \quad (\text{conditions de raccordement en } t=0),
$$

on a, pour tout couple $(\rho_1, \mu_1)$ et $(\rho_2, \mu_2)$, appartenant à $\Sigma(\rho_-, \rho_+, \mu_-, \mu_+)$
$$
\left\| Y(\rho_2, \mu_2, g, \dots) - Y(\rho_1, \mu_1, g, \dots) \right\|_{C^0(0,T)} \le c(\Sigma) \cdot c(T) \|g\|_{W^{3,1}(0,T)} \cdot d((\rho_1, \mu_1), (\rho_2, \mu_2))
$$
où la distance d porte sur $]0, z'_T[$ avec

$$
(3.31) \qquad z'_{T} = \frac{1}{\mu_{-}} \left(\frac{\mu_{+}}{\rho_{-}}\right)^{\frac{1}{2}} \frac{T}{2} .
$$

Nous avons supposé que les fonctions $(\rho, \mu)$ de $\Sigma$ étaient définies
sur un intervalle $]0, z(\Sigma, T)[$ avec

$$
z(\Sigma, T) \geq \left( \frac{\mu_+}{\mu_-} \right) \left( \frac{\mu_+}{\rho_-} \right)^{\frac{1}{2}} \frac{T}{2} .
$$
## Démonstration du Théorème 3.4 :

1) Réduction du problème par changement de variable.

Soient deux couples $(\rho_1, \mu_1)$ et $(\rho_2, \mu_2)$ appartenant à $\Sigma$ ;
introduisons les changements de variable :

$$ (3.32) \qquad \begin{cases} \frac{dz'_{j}}{dz} = \frac{1}{\mu_{j}(z)} & ; \quad j = 1, 2 ; \\ z'_{j}(0) = 0 & , \end{cases} $$

et les paramètres $r'_{j}(z'_{j})$ :

$$ (3.33) \qquad r'_{j}(z'_{j}) = \rho_{j}(z) \mu_{j}(z) ; \quad j = 1, 2 . $$

Un changement de notations, dans (3.32) et (3.33), conduit à définir aussi

$$ (3.34) \qquad r_j(z') = \rho_j(z_j) \mu_j(z_j) ; \quad j = 1, 2 , $$

avec

$$ (3.35) \qquad \begin{cases} \frac{dz'}{dz_j} = \frac{1}{\mu_j(z_j)} & ; \quad j = 1, 2 ; \\ z_j(0) = 0 & . \end{cases} $$

Ces changements de variable laissant l'origine invariante, on a

$$ (3.36) \qquad Y(\rho_j, \mu_j, g, t) = Y(r'_j, 1, g, t) = Y(r_j, 1, g, t) ; \quad j = 1, 2 . $$

Nous voulons comparer les réponses $Y_j$ sur une période $[0, T]$ :
évaluons une borne de l'intervalle en $z'$, $[0, z'_T]$, sur lequel nous devons
comparer les paramètres $r_j(z')$, en utilisant l'hypothèse que les couples
$(\rho_j, \mu_j)$ appartiennent à $\Sigma$. Un calcul, similaire au calcul (2.5), donne

$$ z'_{T} = \frac{1}{\mu_{-}} \left( \frac{\mu_{+}}{\rho_{-}} \right)^{\frac{1}{2}} \frac{T}{2} . $$

On a donc réduit le problème initial à celui de la

2) comparaison des solutions correspondant à deux couples $(r_1, \mu_1)$ et $(r_2, \mu_2)$ avec

$$ \mu_1 = \mu_2 = 1 . $$
Soient $y_j(z, t)*$, pour $j = 1, 2$, les solutions de

$$
(3.37) \quad \left\{
\begin{array}{l}
r_j(z) \frac{\partial^2 y_j}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 y_j}{\partial z^2} = 0, \quad z > 0; \ t > 0; \\
\\
\frac{\partial y_j}{\partial z} (0, t) = 0 \quad ; \ t > 0; \\
\\
y_j(z, 0) = \frac{\partial y_j}{\partial t} (z, 0) = 0 \quad ; \ z > 0.
\end{array}
\right.
$$

Formons le système obtenu par différence :

$$
(3.38) \quad \left\{
\begin{array}{l}
r_1 \frac{\partial^2}{\partial t^2} (y_2 - y_1) - \frac{\partial^2}{\partial z^2} (y_2 - y_1) = (r_1 - r_2) \frac{\partial^2 y_2}{\partial t^2} ; \quad z > 0 ; t > 0 \\
\\
\frac{\partial}{\partial z} (y_2 - y_1) (0, t) = 0 ; \quad t > 0 ; \\
\\
(y_2 - y_1) (z, 0) = 0 ; \quad \frac{\partial}{\partial t} (y_2 - y_1) (z, 0) = 0 ; \quad z > 0 .
\end{array}
\right.
$$

Il s'agit maintenant d'obtenir une estimation sur $(y_2 - y_1)$, solution de (3.3)
en fonction d'estimations sur $(r_2 - r_1)$ et $\frac{\partial^2 y_2}{\partial t^2}$. Pour cela, multiplions
la première équation de (3.38) par $\frac{\partial}{\partial t} (y_2 - y_1)$, et intégrons sur $\Omega_T \times ]0,t[$

$$
(3.39) \quad \frac{1}{2} \int_{\Omega_T} \left( \left( \frac{\partial}{\partial t} (y_2-y_1) \right)^2 \right) dz + \frac{1}{2} \int_{\Omega_T} \left( \left( \frac{\partial}{\partial z} (y_2-y_1) \right)^2 \right) dz = \int_0^t \int_{\Omega_T} (r_1-r_2) \frac{\partial^2 y_2}{\partial t^2} \cdot \frac{\partial}{\partial t} (y_2-y_1) dz dt,
$$

que nous réécrivons sous la forme

$$
(3.40) \qquad I_{12}(t) = J(t),
$$

en posant

$$
I_{12}(t) = \frac{1}{2} \int_{\Omega_T} \left( \left( \frac{\partial}{\partial t} (y_2 - y_1) \right)^2 \right) dz + \frac{1}{2} \int_{\Omega_T} \left( \left( \frac{\partial}{\partial z} (y_2 - y_1) \right)^2 \right) dz ,
$$

et

$$
J(t) = \int_{0}^{t} \int_{\Omega_{T}} (r_{1} - r_{2}) \frac{\partial^{2} y_{2}}{\partial t^{2}} \cdot \frac{\partial}{\partial t} (y_{2} - y_{1}) \, dz \, dt .
$$

Nous transformons le terme $J(t)$, de façon à

i) faire apparaître *la primitive* en z de $(r_1 - r_2)$;

ii) Ne faire apparaître que des termes en $\frac{\partial}{\partial t} (y_2 - y_1)$ ou $\frac{\partial}{\partial z} (y_2 - y_1)$.

$$
\Omega_T = ]0, z'_T[ .
$$

<footnote>(*) Afin de simplifier les notations dans ce 2), nous avons changé z' en z,
et posé</footnote>
Toutes les intégrations par partie, que nous effectuons, se justifient grâce aux hypothèses faites sur $g$ et les régularités que ces hypothèses entraînent sur les solutions $y_i$, régularités que l'on démontre par application répétée du Théorème 2.3.

Posons donc :

$$R_{12}(z) = \int_0^z (r_1(\xi) - r_2(\xi)) d\xi ;$$

$$y_{12} = y_2 - y_1 ;$$

$$v = \frac{\partial^2 y_2}{\partial t^2} ;$$

on a

$$J(t) = \int_0^t \int_{\Omega_T} R_{12}(z) \frac{\partial v}{\partial z} \frac{\partial y_{12}}{\partial t} dz dt - \int_0^t \int_{\Omega_T} R_{12}(z) v \frac{\partial^2 y_{12}}{\partial z \partial t} dz dt ;$$

on a utilisé le fait que :

$$R_{12}(0) = 0 \quad \text{et} \quad y_{12}(z_0, t) = 0$$

Ecrivons :

$$-J(t) = J_{1}(t) + J_{2}(t)$$

avec :

$$\left\{ \begin{aligned} J_1(t) &= \int_0^t \int_{\Omega_T} R_{12}(z) \frac{\partial v}{\partial z} \frac{\partial y_{12}}{\partial t} dz dt ; \\ J_2(t) &= \int_0^t \int_{\Omega_T} R_{12}(z) v \frac{\partial^2 y_{12}}{\partial z \partial t} dz dt . \end{aligned} \right.$$

Majorons $J_1(t)$ :

$$(3.42) \qquad |J_1(t)| \le |R_{12}|_{L^\infty(\Omega_T)} \left\| \frac{\partial v}{\partial z} \right\|_{L^\infty(0,T; L^2(\Omega_T))} \int_0^t \left| \frac{\partial y_{12}}{\partial t} \right|_{L^2(\Omega_T)} dt.$$

Pour majorer $J_2(t)$, intégrons d'abord par partie en temps :

$$J_2(t) = - \int_0^t \int_{\Omega_T} R_{12}(z) \frac{\partial v}{\partial t} \frac{\partial y_{12}}{\partial z} dz dt + \int_{\Omega_T} R_{12}(z) v \frac{\partial y_{12}}{\partial z} dz \Big|_{t} ;$$

$$(3.43) \qquad |J_2(t)| \le |R_{12}|_{L^\infty(\Omega_T)} \left\| \frac{\partial v}{\partial t} \right\|_{L^\infty(0,T; L^2(\Omega_T))} \int_0^t \left| \frac{\partial y_{12}}{\partial z} \right|_{L^2(\Omega_T)} dt + |R_{12}|_{L^\infty(\Omega_T)} \left\| v \right\|_{L^\infty(0,T; L^2(\Omega_T))} \left| \frac{\partial y_{12}}{\partial z} \right|_{L^2(\Omega_T)}.$$
avec

$$
\frac{\partial v}{\partial t} = \frac{\partial^3 y}{\partial t^3} \quad \text{et} \quad \frac{\partial v}{\partial z} = \frac{\partial^3 y}{\partial z \partial t^2} .
$$

Mais une généralisation immédiate du Théorème 2.2 montre que, sous les
hypothèses (3.28) et (2.39), on a

$$
(3.44) \quad \left\{
\begin{array}{lll}
\left\| \frac{\partial^3 y}{\partial t^3} \right\|_{L^\infty(0,T; L^2(\Omega))} & \le c(\Sigma) \quad \|g\|_{W^{3,1}(0,T)} & ; \\[1em]
\left\| \frac{\partial^3 y}{\partial z \partial t^2} \right\|_{L^\infty(0,T; L^2(\Omega))} & \le c(\Sigma) \quad \|g\|_{W^{3,1}(0,T)} & .
\end{array}
\right.
$$

Reportons les inégalités (3.42) et (3.43) dans (3.40), et utilisons les estimations (3.44) :

$$
(3.45) \quad I_{12}(t) \le c(\Sigma) \|g\|_{W^{3,1}(0,T)} |R_{12}|_{L}^{\infty} \left\{ \int_{0}^{t} I_{12}^{\frac{1}{2}}(s) ds + I_{12}^{\frac{1}{2}}(t) \right\}.
$$

On déduit de l'inégalité (3.45), en utilisant les techniques habituelles
et le Lemme 2.1,

$$
(3.46) \quad I_{12}(t) \le c(T) \cdot c(\Sigma) \|g\|_{W^{3,1}(0,T)} |R_{12}|_{L}^{\infty}(\Omega), \quad \forall t \in [0, T],
$$

d'où l'on tire, grâce à (2.12),

$$
(3.47) \quad \left| Y(r_1, 1, g, t) - Y(r_2, 1, g, t) \right| \le c(T) c(\Sigma) \|g\|_{W^{3,1}(0,T)} |R_{12}|_{L}^{\infty}(\Omega)
$$

avec

$$
(3.48) \quad R_{12}(z) = \int_0^z (r_1(\xi) - r_2(\xi)) \, d\xi . \quad \blacksquare
$$

3.2.3 - Conséquences du Théorème 3.3 sur le problème
d'identification.

Considérons l'ensemble Σ muni de la distance d. Il est clair
que cette distance est très faible par rapport à la distance L² :

i) elle porte sur la *primitive* de ρ et μ (Cf (3.19), (3.20)) ;

ii) elle est définie à partir de *classes d'équivalence*.
Illustrons ce commentaire par le

**COROLLAIRE 3.1** : Soient $\sigma_0$ et $\sigma_1$ appartenant à $\Sigma \cap C^1(\Omega)$. Il est possible de construire une fonction $\sigma(x)$ telle que la fonction $\sigma_{0\epsilon}$ définie pour $\epsilon > 0$ par

$$ |(3.49) \qquad \begin{cases} \sigma_{0\epsilon}(x) = \sigma_0(x) & \text{pour } x \in [2k, \infty), (2k+1)\epsilon \in [\Omega, \Omega'), k=1,2,\dots \\ \sigma_{0\epsilon}(x) = \sigma(x) & \text{pour } x \in [(2k+1)\epsilon, (2k+2)\epsilon] \in [\Omega, \Omega'), k=1,2,\dots \end{cases} $$

vérifie

$$ |(3.50) \qquad d(\sigma_1, \sigma_{0\epsilon}) \le c(\Sigma) |\sigma_0|_{C^1} |\sigma_1|_{C^1} \epsilon. \blacksquare $$

En d'autre termes, ce corollaire montre que, pour $\sigma_0$ et $\sigma_1$ quelconques, il est possible de construire une suite $\sigma_{0\epsilon}$, oscillant entre $\sigma_0$ et une fonction $\sigma$, avec une fréquence $\frac{1}{\epsilon}$ et telle que $d(\sigma_{0\epsilon}, \sigma_1) = \sigma(\epsilon)$.

**Schéma de démonstration du Corollaire 3.2 :**

On montre d'abord que

$$ d((\sigma_{0\epsilon}, \sigma_{0\epsilon}), (\frac{\sigma_0 + \sigma}{2}, 2 \frac{\sigma_0 - \sigma}{\sigma_0 + \sigma})) \le c(\Sigma) |\sigma_0|_{C^1} |\sigma|_{C^1} \epsilon; $$

Un calcul simple montre, ensuite, qu'une condition nécessaire et suffisante pour que l'on ait

$$ (\frac{\sigma_0 + \sigma}{2}, 2 \frac{\sigma_0 - \sigma}{\sigma_0 + \sigma}) R_i(\sigma_1, \sigma_1), $$

est que $\sigma$ soit solution du système (3.51) :

$$ |(3.51) \qquad \begin{cases} \frac{dx'}{dx} = \frac{\sigma_0^2(x) + \sigma_1^2(x')}{2\sigma_0(x)\sigma_1(x')} ; x'(0) = 0 ; \\ \sigma(x) = \frac{\sigma_1^2(x')}{\sigma_0(x)} . \end{cases} $$

Ce système admet une solution unique. On en déduit alors (3.50). ■
Pour $g$ régulière, l'application directe

$$ (\rho, \mu) \rightarrow Y(\rho, \mu, g, \dots) $$

est donc continue sur $\dot{\Sigma}$ pour une distance très faible, par rapport à la distance $L^2$: en ce sens, on peut dire que le problème inverse est mal posé sur $\dot{\Sigma}$, et, a fortiori, sur $\Sigma$.

Nous allons montrer (Lemme 3.2) que, sur l'intersection de $\Sigma$ avec un compact de $L^2$, la topologie engendrée par $d$ est plus fine que celle engendrée par la norme $L^2$. On a donc intérêt à restreindre le problème à un compact de $L^2$.

Introduisons donc

$$ (3.52) \qquad \Sigma_K = \Sigma \cap K, $$

où $K$ est un compact de $L^2(\Omega)$ : par exemple,

i) Soit

$$ (3.53) \qquad K = \left\{ \sigma \mid \int_{\Omega} \left| \frac{d\sigma}{dx} \right|^2 dx \le c \right\}. $$

ii) Soit

$$ (3.54) \qquad K = \left\{ \sigma \mid \text{var}(\sigma) \le c \right\}, $$

la variation de $\sigma$ sur $]0, L[$ étant, rappelons-le, définie par

$$ \operatorname{var}(\sigma) = \sup_{(x_i)} \sum_{i=0}^{N-1} \left| \sigma(x_{i+1}) - \sigma(x_i) \right|, \quad \text{pour } (x_i) \ 0 \le x_0 \le \dots \le x_{i-1} \le \dots \le x_N \le x_i $$

On a alors le

**LEMME 3.2** : Quel que soit $\varepsilon > 0$, il existe $\eta$ tel que, pour $\sigma_1, \sigma_2$ quelconques, appartenant à $\Sigma_K$,

$$ d(\sigma_1, \sigma_2) \le \eta \Rightarrow \left| \sigma_1 - \sigma_2 \right| \le \varepsilon. \quad \blacksquare $$

**Démonstration du Lemme 3.2** : On raisonne par l'absurde. On suppose que le Lemme 3.2 n'est pas vérifié : alors, il existe $\varepsilon_0 > 0$ et $\sigma_{1n}, \sigma_{2n}$, tels que
$$
(3.55) \quad d(\sigma_{1n}, \sigma_{2n}) \le \frac{1}{n} \quad \text{et} \quad \left|\sigma_{1n} - \sigma_{2n}\right| \ge \varepsilon_0 .
$$

Mais $\Sigma_K$ est compact dans $L^2(\Omega)$ : on peut donc extraire de $\sigma_{1n}$ (et,
respectivement, de $\sigma_{2n}$) une sous-suite $\sigma_{1n'}$ ($\sigma_{2n'}$) qui converge dans
$L^2(\Omega)$ vers $\sigma_1$ ($\sigma_2$). De (3.55), on déduit, par passage à la limite,

$$
(3.56) \quad d(\sigma_1, \sigma_2) = 0 \quad \text{avec} \quad \left|\sigma_1 - \sigma_2\right| \ge \varepsilon_0 \quad \text{ sur } L^2(\Omega)
$$

ce qui constitue une contradiction. ■

3.3 - VITESSE APPARENTE.

3.3.1 - Approximation d'un couple (ρ, μ) quelconque par
un couple (ρh, μh) constant sur des intervalles
de longueur égale à h.

Soit un couple (ρ, μ) quelconque, appartenant à Σ. On cherche
à déterminer un couple (ρh, μh) constant sur les intervalles I_j :

$$
(3.60) \quad I_j = \left[ \sum_{k=j}^{j+1} z_k, \sum_{k=j}^{j+1} z_k \right[ , \text{ avec } z_k = j \quad \text{pour } k=1,2,\dots,N;
$$

$$
(3.61) \quad \rho_h(z) = \rho_j, \quad \mu_h(z) = \mu_j \quad \text{pour } z \in I_j ; \quad j = 1, 2, \dots, N,
$$

de telle sorte que la réponse $Y(\rho_h, \mu_h, g, \dots)$ soit proche en norme uniforme
de $Y(\rho, \mu, g, \dots)$ sur la période $[0, T]$, pour une grande classe de
fonctions $g$. Pour cela, en utilisant la distance $d$ définie par (3.20), nous
obtenons le

**LEMME 3.3** : Soit le couple $(\rho_h, \mu_h)$ égal à

$$
(3.62) \quad \rho_j = \frac{1}{z_{j+1} - z_j} \int_{z_j}^{z_{j+1}} \rho(z) \, dz ,
$$
$$
\text{pour } j = 1, 2, \dots, N,
$$

$$
(3.63) \quad \mu_j^{-1} = \frac{1}{z_{j+1} - z_j} \int_{z_j}^{z_{j+1}} \mu^1(z) \, dz ,
$$
on a

on a

$$
(3.64) \qquad (\rho_h, \mu_h) \in \Sigma,
$$

et

$$
(3.65) \quad d((\rho, \mu), (\rho_h, \mu_h)) \le (2 \rho_+ \mu_+) \cdot h .
$$
Avec le Théorème 3.3, ce lemme montre qu'il est possible d'appro-
ximer, au sens de la réponse, tout couple $(\rho, \mu)$ par un couple $(\rho_h, \mu_h)$
constant sur des intervalles de longueur égale à $h$, et ce, uniformément
sur $\Sigma$ (Cf (3.65)) (h tendant vers 0 si on veut une approximation de mieux
en mieux !).

Nous dirons que les coefficients $(\rho_j, \mu_j)$ sont les coefficients
constants équivalents à $(\rho, \mu)$ sur l'intervalle $I_j$.

3.3.2 - Vitesse apparente : retard dû à des répartitions
d'impédance fortement oscillantes.

Comparons, sur les intervalles $I_j$, la vitesse de propagation
équivalente $v_j$, définie par (3.66), et la moyenne de la vitesse de
propagation :

$$
(3.66) \qquad v_j = \frac{\mu_j}{\rho_j} ;
$$

$$
(3.67) \qquad v_j \le \left( \frac{1}{z_{j+1} - z_j} \int_{z_j}^{z_{j+1}} v^{-1}(z) \, dz \right)^{-1} \le \frac{1}{z_{j+1} - z_j} \int_{z_j}^{z_{j+1}} v(z) \, dz .
$$

La deuxième inégalité est stricte, sauf dans le cas où $v(z)$ est constante sur l'intervalle $I_j$ (Démonstration : Cf Remarque 3.2).

Lorsque la distance $d((\rho, \mu), (\rho_h, \mu_h))$ est petite, par exemple,
lorsque $h$ est petit, la réponse correspondant au milieu $(\rho, \mu)$ est proche
de la réponse correspondant au milieu $(\rho_h, \mu_h)$, qui a une vitesse de propa-
gation $v_h$ strictement inférieure (Cf (3.66)) à la vitesse moyenne : on
appelera aussi $v_h$ la vitesse apparente de propagation.

**Exemple 3.1** : Dans ce cas particulier, on a

$$
(3.68) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\rho_j = \rho_a \\
\mu_j = \mu_a \\
v_j = v_a,
\end{array}
\right. \qquad \text{pour } j = 1, 2, \dots, N
$$
avec

$$
(3.69) \quad \rho_a = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{2} ; \quad \mu_a = 2 \frac{\sigma_1 \sigma_2}{\sigma_1 + \sigma_2} ; \quad v_a = 2 \frac{(\sigma_1 \sigma_2)^{\frac{1}{2}}}{\sigma_1 + \sigma_2} ; \quad v_a = 2 \frac{q^{\frac{1}{2}}}{1+q} \quad \text{avec } q = \frac{\sigma_2}{\sigma_1} .
$$

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

<table><caption>Figure 3.3</caption>
  <thead>
    <tr>
      <th>q</th>
      <th>v<sub>a</sub>(q)</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <td>0.1</td>
      <td>0.58</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0.2</td>
      <td>0.76</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0.3</td>
      <td>0.84</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0.4</td>
      <td>0.90</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0.5</td>
      <td>0.94</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0.6</td>
      <td>0.96</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0.7</td>
      <td>0.98</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0.8</td>
      <td>0.98</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0.9</td>
      <td>1.00</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1.0</td>
      <td>1.00</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

Vitesse apparente en fonction de q.

On a aussi

$$
v_a \left(\frac{1}{q}\right) = v_a(q) , \quad \forall q > 0 .
$$

Il est important, pour la pratique, de constater que la vitesse apparente $v_a(q)$
reste voisine de 1 pour une très large bande de $q$ : ainsi, on a, pour

$$
0.4 \le q \le 2.5 ;
$$

$$
0.9 \le v_a(q) \le 1.0 .
$$

3.3.3 - Illustration numérique de la vitesse apparente.

La simulation numérique porte sur le même exemple. On met la
vitesse apparente en évidence d'une première façon (Figure 3.4), en comparant
les réponses en des points d'espace différents, ce qui permet de constater
un *retard* de l'arrivée de l'excitation, retard proportionnel à la profondeur
du point considéré.

On met en évidence la vitesse apparente d'une seconde façon (Figure 3.5)
en observant la réponse au bord. On constate, alors, un retard à l'arrivée de la réflexion totale sur le mur en L.

### 3.3.4 - Conséquence sur le problème d'identification.

L'exemple de la Figure 3.5 montre que la réponse sur [0, 100] ne dépend (pratiquement) pas des valeurs de $\sigma$ de 40 à 50 : il est donc impossible d'identifier ces valeurs, si on observe sur la période [0, 100].

On peut donc dire que de fortes oscillations jouent le rôle de cache (Cf aussi la Remarque 6.2).

ILLUSTRATION DE LA VITESSE APPARENTE

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>Figure 3.4 - Illustration de la vitesse apparente.</figcaption></figure>
ILLUSTRATION DE LA VITESSE APPARENTE

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

VITESSE APPARENTE sur [0,100]:
$V_a = 0.8$

L'échelle en temps est double de l'échelle en espace.

EXCITATION : g(t) (Fig. 8.5)

<caption>Figure 3.5 - Illustration de la vitesse apparente.</caption>
<figure><img src="image_33.png" /></figure>
# 4 - ÉTUDE DE L'ÉQUATION HYPERBOLIQUE MISE SOUS FORME DE SYSTÈME :
ON SUPPOSE LES COEFFICIENTS $(\rho, \mu)$ DÉRIVABLES.

## - Résumé :

Dans ce Chapitre, on étudie l'équation hyperbolique mise sous forme de système : on suppose le coefficient $\sigma$ dérivable. Cette hypothèse permet de montrer que l'énergie est bornée, en supposant seulement que $g$ appartient à $L^2(0,T)$. La comparaison avec le résultat du Chapitre 2 montre donc que, pour avoir une estimation sur l'énergie, il suffit d'avoir une régularité, soit sur la fonction $g$, soit sur le coefficient $\sigma$.

Le résultat d'existence et d'unicité est démontré, par les techniques usuelles, pour ces systèmes :

* démonstration de l'existence d'une solution pour des données continues, en écrivant le système sous forme intégrale ;

* estimation a priori dans les espaces $L^2$ pour des données $L^2$ régulatrices ;

* passage à la limite.

On étudie, ensuite, l'opérateur $H$, qui à $g = -\frac{\partial y}{\partial x} (0,t)$, fait correspondre $d = \frac{\partial y}{\partial t} (0,t)$ : $H$ ne fait donc intervenir que les valeurs au bord de la fonction.

Le Théorème 4.2, qui donne les propriétés de l'opérateur $H$, est énoncé dans GOPINATH et SONDHI. Nous l'avons généralisé au cas $\sigma$ appartenant à $H^1$ (Dans [8], $\sigma$ appartient à $C^1$), et nous en présentons une démonstration détaillée.

## 4.1 - TRANSFORMATION DE L'ÉQUATION HYPERBOLIQUE SOUS FORME D'UN SYSTEME.

Réécrivons l'équation hyperbolique en variable temps de parcours :

$$ (4.1) \qquad \sigma(x) \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - \frac{\partial}{\partial x} \sigma(x) \frac{\partial y}{\partial x} = 0, \text{ pour } x > 0 \text{ et } t > 0, $$

avec la condition aux limites :

$$ (4.2) \qquad - \sigma(0) \frac{\partial y}{\partial x}(0,t) = g(t), \text{ pour } t > 0, $$

et les conditions initiales :

$$ (4.3) \qquad \begin{cases} y(x,0) = y_0(x), \\ \frac{\partial y}{\partial t}(x,0) = y_1(x). \end{cases. \text{ pour } x > 0, $$
Transformons le système d'équations (4.1), (4.2), (4.3), en un système hyperbolique, par changement d'inconnues. Pour cela, introduisons

$$
(4.4) \qquad u(x, t) = \left(\frac{\sigma(x)}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \left(\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial y}{\partial x}\right) ;
$$

$$
(4.5) \qquad v(x, t) = \left(\frac{\sigma(x)}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \left(\frac{\partial y}{\partial t} - \frac{\partial y}{\partial x}\right) .
$$

On peut exprimer $\frac{\partial y}{\partial t}$ et $\frac{\partial y}{\partial x}$ à partir de $u$ et $v$ :

$$
(4.6) \qquad \frac{\partial y}{\partial t} = \frac{1}{(2\sigma)^{\frac{1}{2}}} (u + v) ;
$$

$$
(4.7) \qquad \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{1}{(2\sigma)^{\frac{1}{2}}} (u - v) .
$$

Le facteur $(\frac{\sigma}{2})^{\frac{1}{2}}$ dans (4.4) et (4.5) entraîne l'égalité

$$
(4.8) \qquad I(t) = \frac{1}{2} \int_{R_+} \left\{ \sigma \left( \frac{\partial y}{\partial t} \right)^2 + \sigma \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)^2 \right\} dx = \frac{1}{2} \int_{R_+} (u^2 + v^2) dx .
$$

**LEMME 4.1** : Avec les inconnues $u$ et $v$, définies par (4.4) et (4.5), le système d'équations (4.1), (4.2), (4.3), s'écrit :

$$
(4.9) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\sigma'(x)}{2\sigma(x)} v = 0 , \\[1em]
\displaystyle \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\sigma'(x)}{2\sigma(x)} u = 0 ,
\end{array}
\right. \quad \text{pour } x > 0 \text{ et } t > 0 ,
$$

avec la condition aux limites

$$
(4.10) \qquad - \left( \frac{\sigma(0)}{2} \right)^{\frac{1}{2}} (u-v) \bigg|_{x=0} = g(t) , \quad \text{pour } t > 0 ,
$$

et les conditions initiales

$$
(4.11) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
u(x, 0) = u_0(x) = \left(\frac{\sigma}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \left(y_1 + \frac{dy_0}{dx}\right), \\
v(x, 0) = v_0(x) = \left(\frac{\sigma}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \left(y_1 - \frac{dy_0}{dx}\right) .
\end{array}
\right.
\qquad \blacksquare
$$

**Remarque 4.1** : Pour écrire les équations sous la forme (4.9) et (4.10), il est essentiel de supposer que $\sigma(x)$ est dérivable.
Démonstration du Lemme 4.1 : L'équation (4.1) s'écrit

$$
(12) \qquad \sigma^{\frac{1}{2}} \frac{\partial}{\partial t} (u + v) - \frac{\partial}{\partial x} \sigma^{\frac{1}{2}} (u - v) = 0.
$$

Mais, u et v sont aussi reliés par la relation que l'on déduit de

$$
\frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial y}{\partial t} \right) ,
$$

soit

$$
(13) \qquad \frac{1}{\sigma_{\frac{1}{2}}} \frac{\partial}{\partial t} (u - v) - \frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{\sigma_{\frac{1}{2}}} (u + v) = 0.
$$

Dèveloppons, dans (4.12) et (4.13), les dérivées en x :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} (u + v) - \frac{\partial}{\partial x} (u - v) - \frac{\sigma'}{2\sigma} (u - v) = 0 ; \\[1em]
\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} (u - v) - \frac{\partial}{\partial x} (u + v) - \frac{\sigma'}{2\sigma} (u + v) = 0 .
\end{array}
\right.
$$

On obtient un système équivalent au précédent en formant le système des
équations somme et différence, soit (4.9).

Nous ferons, dans toute la suite, l'hypothèse que les fonctions

u₀(x) et v₀(x) sont à support compact.

$$
(4.14) \qquad u_0(x) = v_0(x) = 0, \text{ p.p. } x \ge L;
$$

alors, on sait (Cf Remarque 4.3) que la solution (u, v) de (4.9), (4.10)

(4.11) est nulle dans le domaine D :

$$
(4.14 \text{ bis}) \qquad D = \left\{ (x,t) ; x - t \ge L \right\},
$$

en particulier,

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

$$
u(x_0, t) = v(x_0, t) = 0, \text{ pour } 0 \le t \le x_0, \text{ avec } x_0 = L + T.
$$

En conclusion, le problème initial, posé sur toute la demi-droite,
se ramène donc à un problème posé sur un intervalle fini [0, x₀] lorsque
l'on étudie la solution sur [0, T]. On a l'inégalité
x₀ ≥ T,
avec égalité, si et seulement si les conditions initiales sont nulles.
## 4.2 - ÉTUDE DE L'EXISTENCE ET DE L'UNICITE D'UNE SOLUTION.

### 4.2.1 - Cadre fonctionnel, notations, hypothèses.

On désigne par $\Omega$ l'intervalle ouvert $]0, x_0[$, et par $\mathbb{Q}$ l'ouvert $]0, x_0[x]0, T[$.

On pose

$$ (4.15) \qquad \begin{aligned} x' &= \frac{1}{\sqrt{2}} (t+x); \\ t' &= \frac{1}{\sqrt{2}} (t-x). \end{aligned} $$

(x, t) s'exprime, en fonction de (x', t') par

$$ (4.16) \qquad \begin{aligned} x &= \frac{1}{\sqrt{2}} (x'-t'); \\ t &= \frac{1}{\sqrt{2}} (x'+t'). \end{aligned} $$

On introduit les espaces de Banach

$$ (4.17) \qquad V_{t'} = \{ u \mid u \in L^2(\Omega) \ ; \ \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial u}{\partial x} \in L^1(\Omega) \} $$

$$ (4.18) \qquad V_{x'} = \{ v \mid v \in L^2(\Omega) \ ; \ \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x} \in L^1(\Omega) \} $$

Le choix de $L^1(\Omega)$ est déterminé par le fait que, dans les équations (4.30) et (4.31), les termes a.v et a.u, sous l'hypothèse (4.27), appartiennent à priori à $L^1(\Omega)$. Remarquons qu'il est équivalent de définir $V_{t'}$ et $V_{x'}$ par

$$ (4.19) \qquad V_{t'} = \{ u \mid u \in L^2(\Omega) \ ; \ \frac{\partial u}{\partial t'} \in L^1(\Omega) \} $$

$$ (4.20) \qquad V_{x'} = \{ u \mid u \in L^2(\Omega) \ ; \ \frac{\partial u}{\partial x'} \in L^1(\Omega) \} $$

Enonçons quelques propriétés des espaces $V_{t'}$ et $V_{x'}$ :

**LEMME 4.2** : Pour tout segment $[A, B]$ vérifiant

$$ (4.21) \qquad [A, B] \subset \bar{Q} \ ; \ \text{pente } [A, B] \neq -1, $$

$$ (4.21 \text{ bis}) \qquad [A, B] \subset \bar{Q} \ ; \ \text{pente } [A, B] \neq +1, $$

l'application trace sur $[A, B]$, définie sur $\mathcal{D}(\bar{Q})$ par

$$ \forall u \in \mathcal{D}(\bar{Q}), \quad \gamma_{AB} u(M) = u(M), \quad \forall M \in [A, B], $$
se prolonge en une application linéaire continue de

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

**COROLLAIRE 4.1 :**

$$ (23) \qquad V_{t'}, V_{x'} \subset C^0(0,T; L^1(0, x_0)) \cap C^0(0, x_0; L^1(0, T)). \blacksquare $$

La démonstration du Lemme 4.2 et du corollaire 4.1 est la même que celle des propriétés correspondantes des espaces de Sobolev.

**Hypothèses sur la fonction $\sigma(x)$ :** On suppose que $\sigma(x)$ est uniformément borné

$$ (4.24) \qquad 0 < \sigma_+ \le \sigma(x) \le \sigma_- < +\infty, \text{ p.p. } x \in ]0, x_0[, $$
et possède, en plus, la régularité

$$ (4.25) \qquad \frac{d\sigma(x)}{dx} \in L^2(0, x_0). $$

On désigne par $\Sigma_d$ l'ensemble

$$ (4.26) \qquad \Sigma_d = \left\{ \sigma \mid \sigma \text{ vérifie (4.24) et } \left| \frac{d\sigma}{dx} \right|_{L^2} \le M \right\} \text{ avec } M>0 \text{ donné.} $$
Les éléments de $\Sigma_d$ sont des fonctions absolument continues.

On pose enfin

$$ (4.27) \qquad a(x) = \frac{\sigma'(x)}{2\sigma(x)}, $$

pour $\sigma(x)$ appartenant à $\Sigma_d$

$$ (4.28) \qquad a(x) \in L^2(0, x_0). $$

### 4.2.2 - Position du problème : un résultat d'existence et d'unicité.

On pose le système d'équations (4.9), (4.10), (4.11) sous la forme du problème d'évolution suivant :
Trouver $(u, v)$ vérifiant

$$
(4.29) \qquad u \in V_t, \quad v \in V_{x'}
$$

$$
(4.30) \qquad \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial u}{\partial x} + a(x) v = 0, \quad \text{dans } Q,
$$

$$
(4.31) \qquad \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x} - a(x) u = 0,
$$

avec les conditions aux limites

$$
(4.32) \qquad (v - u) \Big|_{x=0} = 2^{\frac{1}{2}} g(t) , \quad g(t) \text{ donné dans } L^2(0, t_0),
$$

$$
(4.33) \qquad (v - u) \Big|_{x=x_0} = \sigma ;
$$

et avec les conditions initiales

$$
\begin{array}{l}
u(x, 0) = u_0(x) , \quad u_0 \text{ donné dans } L^2(0, x_0) , \\
v(x, 0) = v_0(x) , \quad v_0 \text{ donné dans } L^2(0, x_0) .
\end{array}
\qquad (4.34)
$$

**Remarque 4.2** : Grâce à (4.29), on peut appliquer le corollaire (4.1), et donc (4.32), (4.33), (4.34) ont un sens.

La comparaison de (4.10) et (4.32) montre qu'implicitement, on
a fait l'hypothèse

$\sigma(0) = 1 .$

On notera *système III* le système d'équations (4.29), (4.30) ... (4.34).

Nous allons démontrer le

**THEOREME 4.1** : Le système (4.29), (4.30), ... (4.34) admet une solution unique.

L'application

$(u_0, v_0, g) \rightarrow (u, v)$

est linéaire continue de

$$
L^2(\Omega) \times L^2(\Omega) \times L^2(0,T) \rightarrow V_{t'} \times V_{x'} .
$$
De plus, la solution $(u, v)$ possède les régularités

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

$$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} u^2(x(t), t) \, dt \le c \quad \text{où} \quad \frac{dx(t)}{dt} = k \quad \text{avec } k \ne -1, \\ \\ \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v^2(x(t), t) \, dt \le c \quad \text{où} \quad \frac{dx(t)}{dt} = k \quad \text{avec } k \ne +1, \end{array} \right. $$

où $c$ dépend des données $(u_0, v_0, g)$ et aussi de $\Sigma_d$

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

$$ u, v \in C^0(0,T; L^2(\Omega)) , $$

et l'énergie $I(t)$, définie en (4.8), vérifie

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

$$ I(t_2) = I(t_1) + 2^{-\frac{1}{2}} \int_{t_1}^{t_2} g(s) (u(0,s) + v(0,s)) \, ds, \quad \forall t_1, t_2, 0 \le t_1 \le t_2 \le T. $$

Comparons ce théorème avec le Théorème 2.1. Les différences portent sur les hypothèses de régularité faites sur $\sigma$ et $g$, qui sont résumées dans le tableau ci-dessous

<table><thead><tr><th></th><th>Théorème 2.1</th><th>Théorème 4.1</th></tr></thead><tbody><tr><td>Hypothèses sur σ</td><td>• σ<sub>-</sub> ≤ σ(x) ≤ σ<sub>+</sub></td><td>• σ<sub>-</sub> ≤ σ(x) ≤ σ<sub>+</sub><br>• dσ/dx ∈ L<sup>2</sup>(Ω)</td></tr><tr><td>Hypothèses sur g</td><td>• g ∈ L<sup>1</sup>(0,T)<br>• dg/dt ∈ L<sup>1</sup>(0,T)</td><td>• g ∈ L<sup>2</sup>(0,T)</td></tr></tbody></table>

On peut donc dire que, pour avoir une estimation sur l'énergie, il suffit d'avoir une hypothèse de régularité, soit sur $g$, soit sur $\sigma$.

### 4.2.3 - Démonstration de l'existence et de l'unicité d'une solution.

1) Cas de données $(a, u_0, v_0, g)$ continues.

Supposons que $a, g, u_0, v_0$, vérifient
$$
(4.38) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
. \quad a(x) \in C^0(\Omega) \ ; \ u_0(x), v_0(x) \in C^0(\Omega) \ ; \ g(t) \in C^0(0,T) \ ; \\
\text{et les conditions de raccordement} \\
. \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\ g(0) = v_0(0) - u_0(0) \quad \text{en } x=0 \ , \\
\ 0 = v_0(x_0) - u_0(x_0) \quad \text{en } x=x_0 \ .
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.
$$

Montrons qu'avec ces hypothèses, le système III admet une solution unique sur un intervalle $[0,\tau]$ pour $\tau$ assez petit. Ecrivons, pour cela, le système sous forme intégrale.

Introduisons, d'abord, l'opérateur $K$ qui, à tout élément $(u, v)$ appartenant à $C^0(\bar{Q}_\tau) \times C^0(\bar{Q}_\tau)$, où $\bar{Q}_\tau$ désigne l'ouvert $]0, x_0[ \times ]0, \tau[$ fait correspondre l'élément $(u', v')$, appartenant à $C^0(\bar{Q}_\tau) \times C^0(\bar{Q}_\tau)$, défini par les formules (4.39).

On utilise les domaines $D_1(\tau)$ et $D_2(\tau)$, indiqués sur la figure

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

ci-dessous :

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

$$
(4.39) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
\text{. Pour } (x, t) \in D_1(\tau), & \begin{array}{@{}l@{}}
\displaystyle\int_0^t a(x+t-s) \cdot v(x+t-s, s) \, ds \ ;
\end{array} \\
\text{. pour } (x, t) \in D_2(\tau), & \displaystyle\int_0^t a(x-t+s) \cdot u(x-t+s, s) \, ds \ ; \\
\text{v}'(x, t) = v_0(x-t) + \int_0^t a(x-t+s) \cdot u(x-t+s, s) \, ds \ ; \\
\text{. pour } x=x_0, & u'(x_0, t) = v'(x_0, t) \ ; \\
\text{. pour } (x, t) \in D_1^C(\tau), & \displaystyle\int_{x+t-x_0}^t a(x+t-s) \cdot v(x+t-s, s) \, ds \ ; \\
\text{u}'(x, t) = u'(x_0,x+t-x_0) - \int_{x+t-x_0}^t a(x+t-s) \cdot u(x-t+s, s) \, ds \ ; \\
\text{. pour } x=0, & v'(0,t) = u'(0,t) + 2^{\frac{1}{2}} g(t) \ ; \\
\text{. pour } (x, t) \in D_2^C(\tau), & \displaystyle\int_{t-x}^t a(x-t+s) \cdot v'(0, t-x) \, ds \ .
\end{array}
\right.
$$
Grâce aux hypothèses (4.38), on a

$$ (u', v') = K(u, v) \in C^0(\bar{Q}_T) \times C^0(\bar{Q}_T). $$

Avec ces notations, le système III est équivalent à

$$ (u, v) = K(u, v). $$

Désignons par $|\cdot|$ la norme dans $C^0(\bar{Q}_T) \times C^0(\bar{Q}_T)$. Un calcul simple montre que l'opérateur affine $K$ vérifie

$$ |K(u_1, v_1) - K(u_2, v_2)| \le C \cdot \tau \cdot |a|_{C^0(\bar{\Omega})} |(u_1, v_1) - (u_2, v_2)|, \forall (u_1, v_1), (u_2, v_2) \in C^0(\bar{Q}_T) \times C^0(\bar{Q}_T). $$

L'application $K$ est donc contractante pour $\tau$ assez petit ($\tau \le \tau_0$) : ceci entraîne que l'équation (4.40) admet une solution, unique, sur $[0, \tau_0]$. Mais $\tau_0$ ne dépend que de $x_0$ et de $|a|_{C^0(\bar{\Omega})}$ : par conséquent, on peut itérer la construction et montrer l'existence et l'unicité d'une solution sur $[0, T]$.

2) Cas de données $(a, u_0, v_0, g)$ appartenant à $L^2$.

Montrons, en utilisant les résultats de 1), l'existence d'une solution approchée pour des données $a, u_0, v_0, g$, vérifiant les hypothèses du Théorème 4.1, à savoir

$$ \left\{ \begin{array}{ll} . & a(x) \in L^2(\Omega); \\ . & u_0(x), v_0(x) \in L^2(\Omega); \\ . & g(t) \in L^2(0,T). \end{array} \right. $$

En effet, on peut construire une suite de fonctions $a_\epsilon, u_0, v_0, g_\epsilon$, vérifiant (4.38) et approximant $a, u_0, v_0, g$ : c'est-à-dire, lorsque tend vers zéro, on a

$$ \left\{ \begin{array}{ll} . & a_{\epsilon} \to a \text{ dans } L^2(\Omega); \\ . & u_{0\epsilon} \to u_0 \text{ et } v_{0\epsilon} \to v_0 \text{ dans } L^2(\Omega); \\ . & g_{\epsilon} \to g \text{ dans } L^2(0,T). \end{array} \right. $$
On note $(u_\epsilon, v_\epsilon)$ la solution de III, correspondant aux données $(a_\epsilon, g_\epsilon, u_\epsilon, v_\epsilon)$ cette solution existe et est unique, d'après 1).

Etablissons des estimations a priori sur $(u_\epsilon, v_\epsilon)$. Démontrons, sur l'énergie, l'estimation

$$ (4.44) \qquad I_{\epsilon}(t) \le c(T) \left|a|_{L^2}^2 \left\{ I_0 + \int_0^T g^2(s) ds \right\} , \quad \forall t \in [0, T] ; \forall \epsilon > 0 \right. . $$

Pour cela, multiplions l'équation (4.30) par $u_\epsilon$, l'équation (4.31) par $v_\epsilon$, intégrons sur $]0, x_0[ \times ]0, T[$, et sommons. On obtient, en utilisant (4.33),

$$ I_{\epsilon}(t) = I_{\epsilon 0} + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} (v_{\epsilon}^{2}(0,s) - u_{\epsilon}^{2}(0,s)) ds , . $$

et, en se servant de (4.32),

$$ I_{\epsilon}(t) = I_{\epsilon 0} + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} g_{\epsilon}^{2}(s) ds + 2^{\frac{1}{2}} \int_{0}^{t} g_{\epsilon}(s) u_{\epsilon}(0,s) ds , $$

et, en majorant,

$$ (4.45) \qquad I_{\epsilon}(t) \le I_{\epsilon 0} + c \int_{0}^{t} g_{\epsilon}^{2}(s) ds + c \int_{0}^{t} u_{\epsilon}^{2}(0,s) ds . $$

Nous utilisons, maintenant, les équations (4.30) et (4.31) pour majorer l'intégrale au bord :

$$ \int_{0}^{t} u_{\epsilon}^{2}(0,s) ds . $$

En effet, d'après (4.31), on a

$$ \begin{gather*} u_{\epsilon}(0, \tau) = u_{0\epsilon}(\tau) - \int_{0\tau}^{\tau} a_{\epsilon}(\tau-s) v_{\epsilon}(\tau-s, s) ds ; \\ u_{\epsilon}^2(0, \tau) \le 2 u_{0\epsilon}^2(\tau) + 2 \left( \int_{0}^{\tau} a_{\epsilon}^2(\tau-s) ds \right) \left( \int_{0}^{\tau} v_{\epsilon}^2(\tau-s, s) ds \right) , \end{gather*} $$

d'où la majoration

$$ (4.46) \qquad \int_{0}^{t} u_{\epsilon}^{2}(0, \tau) d\tau \le 2 \int_{0}^{t} u_{0\epsilon}^{2}(x) dx + 2 \left( \int_{0}^{t} a_{\epsilon}^{2}(x) dx \right) \left( \int_{00}^{t\tau} v_{\epsilon}^{2}(\tau-s, s) d\tau ds \right) . $$

Reportons (4.46) dans (4.45) :

$$ (4.47) \qquad I_{\epsilon}(t) \le c \left\{ I_{\epsilon 0} + \int_{0}^{t} g_{\epsilon}^{2}(s) ds + |a_{\epsilon}|_{L^2(\Omega)}^{2} \int_{0}^{t} I_{\epsilon}(s) ds \right\} . $$
On en déduit (4.44), grâce au Lemme de Gronwall et aux hypothèses (4.42).

De l'estimation (4.44), on déduit, en utilisant les mêmes techniques,
que

$$
\text{(4.48)} \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \int_{t_1}^{t_2} u_{\varepsilon}^2(x(t), t) \, dt \le c \quad \text{où} \quad \frac{dx(t)}{dt} = k \text{, avec } k = -1 \text{ ;} \\[2ex]
\displaystyle \int_{t_1}^{t_2} v_{\varepsilon}^2(x(t), t) \, dt \le c \quad \text{où} \quad \frac{dx(t)}{dt} = k \text{, avec } k \ne +1 \text{.}
\end{array}
\right.
$$

Passons, maintenant, à la limite. De la suite $(u_\epsilon, v_\epsilon)$, on peut
extraire une sous-suite, toujours notée $(u_\epsilon, v_\epsilon)$, telle que

$$
\text{(4.49)} \quad \left\{
\begin{array}{l@{\quad}l@{\quad}l}
u_{\epsilon} & \rightarrow & u \\
v_{\epsilon} & \rightarrow & v
\end{array}
\right.
\quad \text{dans } L^2(Q) \text{ faible.}
$$

D'autre part, les estimations (4.44) et (4.48) restent vraies à la limite :
d'où les inégalités (4.35). On effectue le passage à la limite dans les
équations (4.30) et (4.31) de façon très classique, en utilisant la formulation
faible. Pour tout couple $(\varphi, \psi) \in \mathcal{V}(\bar{Q}) \times \mathcal{D}(\bar{Q})$, on a

$$
\text{(4.50)} \quad \begin{aligned}
& \int_Q u_\epsilon \left(-\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \frac{\partial \varphi}{\partial x}\right) dx dt + \int_Q v_\epsilon \left(-\frac{\partial \psi}{\partial t} - \frac{\partial \psi}{\partial x}\right) dx dt + \int_Q a_\epsilon (v_\epsilon \varphi - u_\epsilon \psi) dx dt = \\
&= \int_{B_0} (u_\epsilon \varphi + v_\epsilon \psi) dx - \int_{A_0} (u_\epsilon \varphi + v_\epsilon \psi) dx + \int_{A_0} (u_\epsilon \varphi - v_\epsilon \psi) dt + \int_{A_1} (-u_\epsilon \varphi + v_\epsilon \psi) dt.
\end{aligned}
$$

On a posé

$$
A_0 \leftrightarrow (x = 0, t = 0) \ ; \ B_0 \leftrightarrow (x = 0, t = T) \ ;
$$

$$
A_1 \leftrightarrow (x=x_0, t=0) ; B_1 \leftrightarrow (x=x_0, t=T) .
$$

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

i) On choisit, d'abord, φ et ψ ∈ D(Q), de sorte que le deuxième membre de (4.50) est nul. Faisons tendre, alors, ε vers zéro : la convergence (4.49) entraîne (4.30) et (4.31).
ii) Mais, à partir de (4.30) et (4.31), on déduit, sur $(u, v)$, la formule (4.50 bis), obtenue à partir de (4.50) en enlevant l'indice $\epsilon$. Par identification des termes aux limites, on montre (4.32), (4.33), et, (4.35). ■

**Remarque 4.3** : Considérons le cas où $u_0$ et $v_0$ vérifient (4.14). La solution $(u, v)$ est nulle dans $D_u \times D_v$.

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

Une façon de le montrer est de considérer $(u, v)$ comme la limite de la suite $(u^{(n)}, v^{(n)})$, définie par

$$ (u^{(n+1)}, v^{(n+1)}) = K (u^{(n)}, v^{(n)}) $$

$$ (u^{(0)}, v^{(0)}) = (0, 0). $$

La solution $y$ est donc nulle dans le domaine $D$, défini par (4.14 bis). Ce résultat est vrai, même lorsque $\sigma$ n'est pas dérivable : on peut le déduire du résultat précédent, par régularisation et passage à la limite.

### 4.2.4 - Démonstration de la continuité de l'énergie.

Montrons que l'on a (4.37) :

1) la fonction $a.u.v$ appartient à $L^1(\Omega)$ :

$$ (4.51) \qquad \int_{\Omega} a |u| |v| \, dx \, dt \le c \int_{\Omega} |a(x)| \, dx < \infty. $$

(4.51) est une conséquence immédiate de

$$ (4.52) \qquad \int_{0}^{T} (u^2(x, s) + v^2(x, s)) \, ds \le c, \text{ p.p. } x \in \Omega. $$

Cette inégalité est un cas particulier de (4.35).
2) Multiplions (4.30) par $u$, (4.31) par $v$, intégrons les relations obtenues sur $Q_t = ]0,x_0[ \times ]t_1,t_2[$, et sommons : on obtient (4.37). Mais, ce calcul est formel, car les produits $(\frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial u}{\partial x}) u$ et $(\frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x}) v$ n'ont pas de sens. Il faut donc prendre la précaution de tronquer $u$ et $v$ avant de multiplier. Introduisons, pour $M$ appartenant à $R^+$, la fonction $h_M(\lambda)$ :

$$h_M(\lambda) = \lambda, \forall \lambda, |\lambda| \le M;$$

$$h_M(\lambda) = 0, \forall \lambda, |\lambda| > M.$$

et, notons $H_M(\lambda)$, la primitive de $h_M(\lambda)$, nulle pour $\lambda = 0$ :

$$H_M(\lambda) = \frac{\lambda}{2}, \forall \lambda, |\lambda| \le M;$$

$$H_M(\lambda) = \frac{M^2}{2}, \forall \lambda, |\lambda| > M.$$

Multiplions (4.30) par $u$, (4.31) par $v$, intégrons les relations obtenues sur $Q_t$, et sommons :

$$\int_{Q_t} \left( \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial u}{\partial x} \right) h_M(u) \, dx \, ds + \int_{Q_t} \left( \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x} \right) h_M(v) \, dx \, ds = \int_{Q_t} a(x) (v h_M(u) - u h_M(v)) \, dx \, ds;$$

transformons cette égalité, en utilisant la fonction $H_M$,

$$\int_{0}^{x_0} \left\{ H_M(u(x,t)) + H_M(v(x,t)) \right\} dx - \int_{0}^{x_0} \left\{ H_M(u_0(x)) + H_M(v_0(x)) \right\} dx + \int_{t_1}^{t_2} \left\{ H_M(u(0,s)) - H_M(v(0,s)) \right\} ds + \int_{t_1}^{t_2} \left\{ H_M(v(x_0,s)) - H_M(u(x_0,s)) \right\} ds =$$

$$= \int_{Q_t} \left( \int_{\{|u| \le M\} \cap \{|v| \ge M\}} a.v.u \, dx \, ds - \int_{Q_t} \left( \int_{\{|u| \ge M\} \cap \{|v| \le M\}} a.u.v \, ds \, dx \right) \right)$$

Faisons tendre $M$ vers + l'infini dans cette dernière égalité : grâce à (4.51), le second membre tend vers zéro, et on obtient (4.37). ■

### 4.2.5 - Démonstration de la régularité (4.36).

Il faut montrer que

$$\lim_{t_2 \to t_1} \left| u(t_2) - u(t_1) \right|_{L^2(\Omega)} = 0;$$
pour cela, on utilise les équations (4.30) et (4.31), et on applique les techniques habituelles de majoration...

$$4.3 - \underset{\text{\underline{\textbf{H}}}}{\text{\underline{\textbf{ETUDE DE L'OPERATEUR}}}} \text{\underline{\textbf{H}}} \underset{\text{\underline{\textbf{A}}}}{\text{\underline{\textbf{QUI A}}}} \text{\underline{\textbf{g}}} = - \frac{\partial \text{\underline{\textbf{y}}}}{\partial x}(0,t) \text{\underline{\textbf{FAIT CORRESPONDRE}}}
d = \frac{\partial \text{\underline{\textbf{y}}}}{\partial t}(0,t) .$$

On étudie, dans ce paragraphe, l'opérateur $\text{H}$, défini par

$$(4.53) \qquad \text{H g} = d = \frac{\partial \text{y}}{\partial t}(0, t),$$

avec $g$ appartenant à $L^2(0,T)$ et $d$ égale à

$$(4.54) \qquad d(t) = 2^{-\frac{1}{2}} \left\{ u(0, t) + v(0, t) \right\} \quad \text{pour } t \in [0, T],$$

où $(u(x, t), v(x, t))$ est solution du système III, pour les données $(g, u_0 = 0, v_0 = 0)$.

L'opérateur $\text{H}$ est un opérateur linéaire de $L^2(0,T)$ dans $L^2(0,T)$.

Nous allons généraliser, au cas $\sigma$ appartenant à $H^1$, le Théorème 4.2 démontré par GOPINATH et SONDHI, dans le cas $\sigma$ appartenant à $C^1$ :

**THEOREME 4.2** : L'opérateur $\text{H}$, défini en (4.53), est un opérateur défini positif de $L^2$ dans $L^2$, qui vérifie

$$(4.55) \qquad \int_{0}^{T} H g \cdot H g \, dt \geq \alpha_{1} \int_{0}^{T} g^{2}(t) \, dt, \forall g \in L^{2}(0,T), \text{ avec } \alpha_{1} > 0 ;$$

$$(4.56) \qquad \int_{0}^{T} H g \cdot g \, dt \geq \alpha_{2} \int_{0}^{T} g^{2}(t) \, dt, \forall g \in L^{2}(0,T), \text{ avec } \alpha_{2} > 0.$$

Pour toute fonction $g$, on a

$$(4.57) \qquad (H g)(t) = g(t) + \int_{0}^{t} h(t-s) g(s) \, ds, \text{ où } h \in L^{2}(0,T),$$

$\text{H}$ est donc un opérateur invariant par rapport au temps, c'est-à-dire, commutte avec les translations sur le temps. Il s'écrit

$$(4.58) \qquad \text{H} = \text{I} + \text{H}_{0},$$

où $H_0$ est compact de $L^2(0,T)$ dans $C^1(0,T)$.
4.3.1 - H est un opérateur défini positif de L²(0,T) dans L²(0,T).

La formule (4.37) donne, pour $t_1 = 0$ et $t_2 = T$,

(4.59)

$$ \int_0^T H g \cdot g \, dt = \int_{\Omega} (u^2(x, T) + v^2(x, T)) \, dx ; $$

on en déduit

$$ \int_0^T H g \cdot g \, dt \ge 0 \quad ; \forall g \in L^2(0, T) $$

et

$$ \int_0^T H g \cdot g \, dt = 0 \Rightarrow u(x,T) = v(x,T) = 0, \text{ p.p. } x \in \Omega. $$

Montrons que l'on a l'implication

(4.60)

$$ u(x,T) = v(x,T) = 0, \text{ p.p. } x \in \Omega \Rightarrow g(t) = 0, \text{ pour } x \in ]0,T[. $$

### i) Les équations (4.30) et (4.31) sont réversibles

en temps (il faut alors intervertir $u$ et $v$) :

la condition finale $u(x,T) = v(x,T) = 0$ entraîne

$$ u = v = 0 \text{ dans } B_0 \subset C_0 \subset B_2, $$

d'où, en particulier,

$$ v = 0 \text{ sur } B_0 \subset C_0. $$

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

### ii) Soit donc $(u, v)$ vérifiant (4.30), (4.31), dans le triangle $A_0 B_0 C_0$,
et tel que

$$ u = 0 \text{ sur } A_0 \subset C_0 \quad \text{et} \quad v = 0 \text{ sur } B_0 \subset C_0. $$

Toujours à l'aide des mêmes techniques, on montre que

$$ \int_A^B (u^2 + v^2) \, dt \le c \left( \int_x^{x_0} a^2(x') \, dx' \right) \int_{A \cap C_0} (u^2 + v^2) \, dx \, dt, $$

d'où l'on déduit, grâce au Lemme de Gronwall,

$$ \int_A^B (u^2 + v^2) \, dt = 0, \text{ p.p. } x \in [0, \frac{T}{2}]. $$
On a bien

$$
\int_0^T H g \cdot g \, dt = 0 \Rightarrow g = 0 \text{ sur } ]0, T[ .
$$

Montrons que l'opérateur H est surjectif. Soit d(t) appartenant
à L²(0,T) . Considérons le système III bis, obtenu à partir du système III
en remplaçant (4.32) par (4.32 bis) :

$$
(4.32 \text{ bis}) \qquad (v + u)|_{x=0} = d(t) .
$$

On a, alors, l'analogue du Théorème 4.1. Si on pose

$$
g = (v - u)|_{x=0},
$$

où (u, v) est la solution de III bis, d'après l'unicité d'une solution au
système III, on a

$$
d = H g .
$$

4.3.2 - $H = I + H_0 \underline{\underline{\text{avec}}} H_0 \underline{\underline{\text{compact de}}} L^2(0,T) \underline{\underline{\text{dans}}} C^0(0,T)$

Par définition,

$$
H g(t) = (v(0,t) + u(0,t)) 2^{-\frac{1}{2}} ;
$$

$$
H g(t) = g(t) + 2^{\frac{1}{2}} u(0,t) ,
$$

en utilisant 4.32). On peut donc écrire H sous la forme

$$
(4.61) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
H = I + H_0 \\
\text{avec} \\
(H_0 g)(t) = 2^{\frac{1}{2}} u(0,t).
\end{array}
\right.
$$

1) Montrons que $H_0$ opère de $L^2(0,T)$ dans $L^\infty(0,T)$ :

$$
(4.62) \qquad |u(0,t)| \le c |g|_{L^2(0,T)} \quad \text{p.p. } t \in [0, T].
$$

En effet, d'après l'équation (4.30), on a

$$
u(0,t) = \begin{cases} t/2 & a(s) v(s, t-s) \ ds, \\ 0 & \end{cases}
$$
car $u$ est nul dans $D = \{(x, t) | x-t \ge 0\}$ :

$$ u(0,t) \le \left( \int_0^{t/2} a^2(s) \, ds \right)^{1/2} \quad \left( \int_0^{t/2} v^2(s, t-s) \, ds \right)^{1/2}, $$

d'où (4.62), en utilisant (4.35) et l'hypothèse sur $a$.

2) $H_0$ est un opérateur invariant par rapport au temps : ceci tient au fait que le coefficient $a$ dans les équations (4.30), (4.31), ne dépend pas du temps, et, que les conditions initiales $u_0, v_0$ sont supposées nulles.

3) Opérateur adjoint de $H_0$ : il est bien connu que, pour tout opérateur $H_0$, linéaire, continu de $L^2(0,T)$ dans lui-même, invariant par rapport au temps, on a

$$ (4.63) \qquad \int_0^T H_0 g_1 \cdot g_2 \, dt = \int_0^T g_1(\tilde{H}_0 \tilde{g}_2) \, dt, \quad \forall g_1, g_2 \in L^2(0,T), \\ \text{où } \tilde{g} \to \tilde{g} \text{ est l'opérateur de symétrie par rapport à } T/2 \text{ :} $$

$$ (4.64) \qquad \tilde{g}(t) = g(T-t), \text{ p.p. } t \in ]0,T[. $$

Si on désigne par $H_0^*$ l'adjoint de $H_0$, on a alors :

$$ (4.65) \qquad H_0^* g = (\tilde{H}_0 \tilde{g}) . $$

4) On a

$$ H_0 g(t) = \int_0^t h(t-s) g(s) \, ds, \text{ avec } h \in L^2(0,T). $$

Considérons la suite $g_\epsilon$ définie par

$$ g_\epsilon(t) = \begin{cases} \frac{1}{\epsilon} & \text{pour } t \in ]0, \epsilon[, \\ 0 & \text{pour } t \in [\epsilon, T[. \end{cases} $$

D'après (4.63), on a

$$ (4.66) \qquad \int_0^T (\tilde{H}_0 g_\epsilon) \cdot g \, dt = \int_0^T g_\epsilon (\tilde{H}_0 \tilde{g}) \, dt, \quad \forall g \in L^2(0,T); $$
utilisons alors (4.62) :

$$|H_0 \tilde{g}|_{L^\infty(0,T)} \le c |g|_{L^2(0,T)};$$

on a donc

$$\left| \int_0^T (H_0 g_\varepsilon) g \, dt \right| \le c |g|_{L^2(0,T)}, \quad \forall g \in L^2(0,T).$$

On en déduit

$$|H_0 g_\varepsilon|_{L^2} \le c, \quad \forall \varepsilon > 0. \tag{4.67}$$

De la suite $h_\varepsilon = H_0 g_\varepsilon$, on peut extraire une sous-suite qui converge faiblement dans $L^2(0,T)$ vers une fonction $h$. Réécrivons (4.66) en prenant comme borne d'intégration $t$ quelconque, et en changeant $g$ en $h$ :

Faisons tendre $\varepsilon$ vers zéro : pour tout point de Lebesgue $t$ de la fonction $H_0 g$, on a

$$(4.68) \qquad H_0 g(t) = \int_0^t h(t-s) g(s) \, ds, \text{ p.p. } t \in ]0, T[$$

Sous cette forme, il est facile de vérifier que $H_0$ est compact de $L^2(0,T)$ dans $C^0(0,T)$.

### 4.3.3 - H est un opérateur inversible et coercif.

L'inégalité (4.55) traduit le fait que l'inverse de l'opérateur $H$ est continue, car toute application linéaire continue bijective d'un espace de Banach dans un autre admet un inverse continu (Théorème du graphe fermé).

La coercivité de $H$ résulte de sa positivité et de sa forme (4.58).

En effet, posons :

$$J(g) = \int_0^T H g \cdot g \, dt;$$
soit $j^*$ le minimum de $J$ sur la boule unité :

$$ j^* = \inf_{|g|_{L^2(0,T)} = 1} J(g) , $$

et soit $g_n$ une suite minimisante

$$ |g_n|_{L^2(0,T)} = 1 ; \quad J(g_n) \downarrow j^* . $$

De la suite $g_n$ , on peut extraire une sous-suite telle que

$$ g_n \to g^* \text{ dans } L^2(0,T) \text{ faible ;} $$

$$ H_0 g_n \to H_0 g^* \text{ dans } L^2(0,T) \text{ fort .} $$

Considérons alors

$$ J(g_n) = \int_0^T g_n^2 dt + \int_0^T H_0 g_n g_n dt . $$

On a

$$ j^* = \lim_{n \to +\infty} J(g_n) = 1 + \int_0^T H_0 g^* \cdot g^* dt \ge \int_0^T (g^*)^2 dt + \int_0^T H_0 g^* \cdot g^* dt . $$

Il faut envisager deux cas :

- cas 1 : $g^* = 0$. On a alors

$$ H_0 g^* = 0 , $$

et

$$ j^* = 1 . $$

- cas 2 : $g^* \ne 0$. On a alors

$$ j^* \ge J(g^*) > 0 . $$

On a donc montré que

$$ j^* > 0 , $$

d'où il résulte que

$$ J(g) \ge j^* |g|^2_{L^2(0,T)} , \quad \forall g \in L^2(0,T) . $$
## 4.4 - EXISTENCE D'UNE SOLUTION AU PROBLEME D'IDENTIFICATION.

**THEOREME 4.3** : Sous l'hypothèse

$$ (4.69) \qquad g \in H^1(0,T), $$

le problème d'identification, posé pour la forme (1.30) dans l'ensemble $\Sigma_d$, défini en (4.26), admet au moins une solution.

**Démonstration du Théorème 4.3** : Soit $\sigma_n$ une suite minimisante de $J(\sigma)$ : d'après le Lemme 4.3, il existe une sous-suite $\sigma_{n,0}$ vérifiant (4.70). Mais

$$ Y(\sigma_{n,0}, g, t) = \int_0^t H(\sigma_{n,0}) g(s) ds, $$

et donc

$$ Y(\sigma_{n,0}, g, t) \to Y(\sigma^*, g, t) \text{ dans } C^0(0,T), $$

ce qui entraîne

$$ J(\sigma_{n,0}) \to J(\sigma^*) = \inf_{\sigma \in \Sigma_d} J(\sigma). \quad \blacksquare $$

Nous avons utilisé le

**LEMME 4.3** : Pour toute fonction $g$ vérifiant

$$ g \in H^1(0,T), $$

on peut, de toute suite $\sigma_n$ bornée de $\Sigma_d$, extraire une sous-suite $\sigma_{n,0}$ telle qu'

$$ (4.70) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \sigma_{n,0} \to \sigma^* \text{ dans } H^1(0, x_0) \text{ faible} \\ H(\sigma^*)g \to H(\sigma^*)g \text{ dans } C^0(0,T). \blacksquare \end{array} \right. $$

**Démonstration du Lemme 4.3** :

1) Soit $\sigma_n$ une suite bornée de $\Sigma_d$: on peut en extraire une sous-suite, toujours notée $\sigma_n$, telle que (*) :

<footnote>(*) On a posé $x_0 = \frac{T}{2}$</footnote>
$$ (.71) \quad \left\{ \begin{array}{rcl} \sigma_n & \to & \sigma^* \quad \text{dans } C^0(0, x_0) \ ; \\ \frac{d\sigma_n}{dx} & \to & \frac{d\sigma^*}{dx} \quad \text{dans } L^2(0, x_0) \quad \text{faible.} \end{array} \right. $$

On a alors, bien sûr,

$$ (.72) \quad a_n = \frac{1}{2\sigma_n} \frac{d\sigma_n}{dx} \to a^* = \frac{1}{2\sigma^*} \frac{d\sigma^*}{dx} \quad \text{dans } L^2(0, x_0) \text{ faible.} $$

2) le passage à la limite, dans les équations (4.30) et (4.31), nécessite la convergence des termes $a_n v_n$ et $-a_n u_n$. Or, un des facteurs de chaque produit converge faiblement (Cf 4.72)) ; pour être assuré de la convergence du produit, il faut donc, pratiquement, que l'autre facteur converge fortement.

Avec la seule hypothèse sur $g$

$$ (.73) \quad g \in L^2(0,T), $$

on peut simplement montrer le

**LEMME 4.4** : La solution $(u, v)$ du système III, avec les conditions initiales nulles, vérifie

$$ (.74) \quad \begin{array}{l} \displaystyle\int_0^{t_0} |v(x'+\Delta x', t') - v(x', t')|^2 dt' \le o(\Delta x'), \\ \forall x'; 0 \le x' \le x_0; \end{array} $$

$$ (.75) \quad \begin{array}{l} \displaystyle\int_0^{x'} |u(x', t'+\Delta t') - u(x', t')|^2 dx' \le o(\Delta t'), \\ \forall t'; 0 \le t' \le t_0; \end{array} $$

avec

$$ (.76) \quad \left\{ \begin{array}{ll} \lim_{\Delta x' \to 0} o(\Delta x') = 0 & ; \\ \Delta x' \to 0 & \text{uniformément dans } a(x) \text{ lorsque a reste dans un} \\ \\ \lim_{\Delta t' \to 0} o(\Delta t') = 0 & ; \\ \Delta t' \to 0 & \text{borné de } L^2(0, x_0). \end{array} \right. $$

On a prolongé $u$ et $v$ par 0 dans le triangle $A_0 B_0 D_0$.

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>Figure 4.1</figcaption></figure>

**Démonstration du Lemme 4.4** :

i) On a
$$ v(M'_1) - v(M_1) = \left( \int_{M_1}^{M'_1} a(M) v(M) \, dM \right)^{2^{-\frac{1}{2}}}. $$
Mais, d'après (4.62),

$$|u(M)| \le c \quad , \forall M \in A_0 B_0 C_0 \quad \text{et} \quad \forall a ; \quad |a|_{L^2(0,x_0)} \le c .$$

On a donc

$$|v(M') - v(M_1)| \le c \int_{M_1}^{M_1'} |a(M)| \, dM \le c (M_1 M_1')^{\frac{1}{2}} \left( \int_{M_1}^{M_1'} a^2(M) \, dM \right)^{\frac{1}{2}}.$$

Elevons cette inégalité au carré, et intégrons-la sur $B_1 C_1$ :

$$(4.77) \qquad \int_{C_1}^{B_1} |v(M'_1) - v(M_1)|^2 \, dM_1 \le c (C_1 C'_1)^2.$$

D'autre part, on a aussi

$$(4.78) \qquad \int_{B_1}^{B_1'} v^2(M'_1) \, dM'_1 \le c (C_1 C'_1)^2 + \int_{B_1}^{B_1'} v^2(B) \, dB, \\ \qquad \int_{B_1}^{B_1'} \left( \int_{B_1}^{B_1'} v^2(M'_1) \, dM'_1 \right) \le c \left\{ (C_1 C'_1)^2 + |C_1 C'_1| + \int_{B_1}^{B_1'} g^2(B) \, dB \right\},$$

en utilisant la condition aux limites (4.32).

En regroupant (4.77) et (4.78), on obtient (4.74). Notons bien que, dans (4.74), $g$ est supposé fixé : par contre, la fonction $a$ peut varier dans un borné de $L^2(0, x_0)$.

ii) Faisons un raisonnement analogue pour démontrer (4.75).

Pour cela, partons de

$$u(P_1) - u(P'_1) = - \left( \int_{P_1}^{P_1'} a(P) v(P) \, dP \right)^2 \cdot$$

D'après l'équation (4.30), $v(x, t)$ s'écrit

$$v(x, t) = v_0(x, t) + g(t - x),$$

avec

$$|v_0(M)| \le c \quad , \forall M \in A_0 B_0 C_0 , \text{ et ce } \forall a ; \quad |a|_{L^2(0, x_0)} \le c .$$

On a donc

$$|u(P_1) - u(P'_1)| \le c \left( \int_{P_1}^{P_1'} a^2(P) \, dP \right)^{\frac{1}{2}} \times \left\{ (P_1 P'_1)^{\frac{1}{2}} + \int_{B_1}^{B_1'} g^2(B) \, dB \right\}.$$

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

<figure><img src="image_47.png" /></figure>
d'où l'on tire

(.79)

$$ \int_{B_1}^{C_1} |u(P_1) - u(P'_1)|^2 dP_1 \le \sigma(C_1 C'_1) . $$

D'autre part, on a aussi

(.80)

$$ \int_{B_1}^{B'_1} u^2(P'_1) \, dP'_1 \le \sigma(C_1 C'_1) . $$

En regroupant (4.79) et (4.80), on obtient (4.75). ■

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

Avec les hypothèses (4.72) et (4.73), le Lemme 4.4 montre que

$u_n$ est une suite équicontinue de $C^0(0, t'_0; L^2(0, x'_0))$ ;

(.81)

$v_n$ est une suite équicontinue de $C^0(0, x'_0; L^2(0, t'_0))$ .

ce qui n'est pas suffisant pour pouvoir passer à la limite dans $a_n v_n$ et
$-a_n u_n$ .

3) Nous sommes donc amenés à faire sur $g$ l'hypothèse (4.69). On montre alors facilement le résultat de régularité, énoncé dans le

**LEMME 4.5** : Sous l'hypothèse (4.69), la solution $(u, v)$ du système III, avec les conditions initiales nulles, possède dans le triangle $T_0$ (Figure 4.1) les régularités :

(.82)

$$ u, v \in H^1(T_0) ; $$

(.83)

$$ \frac{\partial u}{\partial t} \in C^0(\bar{T}_0) . \quad \blacksquare $$

Ce lemme permet de terminer la démonstration du Lemme 4.3. En effet, grâce à (4.82), on peut supposer que l'on a

(.84)

$$ (u_n, v_n) \to (u^*, v^*) \text{ dans } L^2(T_0), $$

où $(u^*, v^*)$ est la solution du système III, correspondant à $\sigma^*$.
D'autre part, l'estimation a priori (4.62), appliquée à l'équation
dérivée en temps, montre que l'on peut aussi supposer :

$$
d_n = H(\sigma_n) g \rightarrow d^* \text{ dans } C^0(0, T).
$$

Mais (4.84) permet d'identifier la limite $d^*$ :

$$
d^* = H(\sigma^*) g .
$$
5 - RECONSTITUTION DE σ À PARTIR DE L'OPÉRATEUR SYMÉTRISÉ DE H,
OÙ H EST L'OPÉRATEUR QUI, À $g = -\frac{\partial y}{\partial x}(0,t)$ FAIT CORRESPONDRE
$d = \frac{\partial y}{\partial t}(0,t)$.

- Résumé :

Nous exposons, dans ce chapitre, un résultat dû à GOPINATH et SONDHI,
que nous généralisons un peu (dans [7], σ appartient à C¹, ici σ appartient
à H¹), et dont nous donnons une démonstration détaillée.

Ce résultat montre qu'il est possible de reconstituer la fonction σ
à partir de l'opérateur H(σ), qui, à l'excitation g(-∂y/∂x(0,t) = g(t)), fait
correspondre la réponse du système :
(Hg) (t) = ∂y/∂t(0,t) ;
H opère sur des quantités observables.

Pour obtenir ce résultat, il est essentiel de supposer σ régulière.
En théorie, donc, si l'on connaît l'opérateur H, on connaît la fonction σ.

Ce résultat fournit une méthode de résolution du problème inverse :
en fin de chapitre, nous expliquons pourquoi, dans un premier temps, nous n'avons
pas retenu cette méthode.

5.1 - PROPRIETES DE L'OPERATEUR SYMETRISE $H_S$ DE $H$.

Soit $H$ l'opérateur défini en (4.53), et $H_s$ son symétrisé :

$$
(5.1) \qquad H_s = \frac{1}{2} (H + H^*),
$$

où $H^*$ est l'adjoint de $H$.

Il est facile, à partir du Théorème 4.2, de montrer le

**LEMME 5.1** : L'opérateur $H_s$ est symétrique, défini positif de $L^2$ dans $L^2$.
Pour toute fonction $g$, on a

$$
(5.2) \qquad (H_s g)(t) = g(t) + \int_0^T h_s(t - t') g(t') \, dt' ,
\qquad \text{avec}
$$

$$
(5.3) \qquad h_s(t) = \frac{1}{2} h(t) \quad \text{pour } t \ge 0; \quad h_s(t) = \frac{1}{2} h(-t) \quad \text{pour } t < 0.
$$

L'opérateur $H_s$ est coercif :

$$
(5.4) \qquad \int_0^T H_s g \cdot g \, dt \ge \alpha_2 \int_0^T g^2(t) \, dt ; \forall g \in L^2(0,T), \text{ avec } \alpha_2 > 0.
$$

L'opérateur $H_s$ est inversible : son inverse est continu :

$$
(5.5) \qquad \int_0^T H_s g \cdot H_s dt \ge \alpha_3 \int_0^T g^2(t) dt ; \forall g \in L^2(0,T), \text{ avec } \alpha_3 > 0. \blacksquare
$$
Nous aurons besoin du

**LEMME 5.2** : Soit $g$ la solution de

$$
(5.6) \qquad H_{sg} = d, \text{ où } d \in L^2(0,T).
$$

On a l'implication

$$
(5.7) \qquad d = \tilde{d} \Rightarrow g = \tilde{g}.
$$

Démonstration du Lemme 5.2 : Notons bien que, d'après le Lemme 5.1, l'équation

(5.6) admet bien une solution et une seule :

$$
H_{sg} = \frac{1}{2} (H + H^*) g = \frac{1}{2} H g + \frac{1}{2} (H \tilde{g}) = d.
$$

Prenons les symétriques des deux membres de la dernière égalité :

$$
\frac{1}{2} \tilde{H} g + \frac{1}{2} \tilde{H} \tilde{g} = \tilde{d} ;
$$

or, par hypothèse, $d = \tilde{d}$ ; on a donc

$$
\frac{1}{2} \tilde{H} g + \frac{1}{2} \tilde{H} \tilde{g} = H_s \tilde{g} = d .
$$

Mais $H_s$ est injectif, et

$$
g = \tilde{g}. \quad \blacksquare
$$

5.2 - **RECONSTITUTION DE σ A PARTIR DE H.**

L'opérateur $H$ dépend de $\sigma$, par l'intermédiaire de $a (*)$ :
il en est de même de l'opérateur symétrisé $H_s$. Le Théorème 5.1, dû à
GOPINATH et SONDHI, montre que l'on peut reconstituer $\sigma$ à partir de
l'opérateur $H_s$.

<footnote>(*) Quand nous voudrons indiquer cette dépendance, nous noterons H, H(σ).</footnote>
### 5.2.1 - Énoncé du théorème.

De façon précise, on a le

**THEOREME 5.1** : Soit $g_{\tau}$ la solution de

(5.8)

$$H_s g_{\tau} = {}^1[0, \tau]$$

où $H_s$ opère de $L^2(0, \tau)$ dans $L^2(0, \tau)$.

Alors, on a

(5.9)

$$\int_0^{\tau/2} \sigma(x) \, dx = \int_0^{\tau/2} g_{\tau}(t) \, dt, \forall \tau \in [0, T].$$

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

Du Théorème 5.1, on déduit le

**THEOREME 5.2** : L'application

(5.10)

$$\sigma \rightarrow H(\sigma)$$

qui opère de

(5.11)

$$\Sigma_d \rightarrow L[L^2(0,T), L^2(0,T)]$$

où $\Sigma_d$ est défini en (4.26), est injective.

**Remarque 5.1** : Le théorème 5.1 repose sur le fait que la connaissance sur $A_{\tau} \subset B_{\tau}$ de u et v, détermine (u, v) dans $T_{\tau}$, c'est-à-dire, exprimé en y, le système d'équations (5.12), (5.13), (5.14) :

(5.12)

$$\sigma(x) \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - \frac{\partial}{\partial x} \sigma(x) \frac{\partial y}{\partial x} = 0 \text{ dans } T_{\tau};$$

(5.13)

$$- \sigma(0) \frac{\partial y}{\partial x}(0,t) = g(t) \text{ sur } A_{\tau} \subset B_{\tau};$$

(5.14)

$$y(0,t) = Y(t) \text{ sur } A_{\tau} \subset B_{\tau},$$

admet une solution unique dans $T_{\tau}$.

<figure><img src="image_50.png" /></figure>
Mais, l'obtention d'une estimation sur l'énergie dans (5.12), avec les conditions aux limites (5.13), (5.14), requiert l'hypothèse (4.25) de régularité sur σ. C'est pourquoi, le Chapitre II ne contient pas de théorème équivalent.

### 5.2.2 - Conséquence du Théorème 5.1 pour le problème d'identification.

Il est bien connu qu'un opérateur $H$ de convolution, vérifiant (4.55), est entièrement déterminé par la donnée d'une fonction $g$ et de son image $Hg$. De façon rigoureuse,

$$ (5.15) \qquad (g; Hg) \text{ détermine } H, $$
si le support de $g$ contient $0$,

$$ (5.16) \qquad 0 \in \text{supp}(g). $$

On peut toujours supposer (quitte à changer l'origine des temps !) que l'hypothèse (5.16) est vérifiée.

**COROLLAIRE 5.1** : Si l'on connait un couple $(g, Hg)$, on connait théoriquement la fonction $\sigma$.

On peut donc envisager d'utiliser le Théorème 5.1 comme méthode constructive de résolution du problème inverse. Elle possède l'avantage d'être une méthode directe : elle ne nécessite pas la résolution de l'équation aux dérivées partielles. Nous ne l'avons pas encore testée, car elle présente a priori, deux inconvénients :

i) Le calcul de l'opérateur $H$, à partir d'un couple $(g, Hg)$, est un problème non trivial, car il correspond à une déconvolution.

ii) Il semble difficile de tenir compte des informations dont on dispose sur
## 5.3 - DEMONSTRATION DU THEOREME 5.1.

1) Associons à $g_{\tau}$, défini par (5.8), la solution $(u_{\tau}, v_{\tau})$ du système III, correspondant à $g_{\tau}$, c'est-à-dire, la solution de (5.17), (5.18), (5.19), (5.20), (5.21) :

$$ (5.17) \qquad u \in V_{\tau}^{T}(T_{\tau}) ; \quad v \in V_{\tau}^{T}(T_{\tau}) ; $$

$$ (5.18) \qquad \frac{\partial u}{\partial t} - \frac{\partial u}{\partial x} + a v = 0 ; $$

$$ (5.19) \qquad \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x} - a u = 0 ; $$

$$ (5.20) \qquad v(0, t) - u(0, t) = 2^{\frac{1}{2}} g_{\tau} ; $$

$$ (5.21) \qquad u = 0 \quad \text{sur} \quad A_{\tau} \times C_{\tau} . $$

Posons

$$ d_{\tau} = H g_{\tau} = (v_{\tau}(0,t) + u_{\tau}(0,t)) 2^{-\frac{1}{2}} ; $$

on a

$$ H_s g_{\tau} = \frac{1}{2} \left\{ H g_{\tau} + (\tilde{H} \tilde{g}_{\tau}) \right\} = 1 ; $$

d'après le Lemme 5.2, $g_{\tau}$ est symétrique. On a donc

$$ \frac{1}{2} (d_{\tau} + \tilde{d}_{\tau}) = 1 . $$

Introduisons $u_{\tau}(x, t)$ et $v_{\tau}(x, t)$ :

$$ (5.22) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \tilde{u}_{\tau}(x, t) = u_{\tau}(x, \tau - t) \\ \tilde{v}_{\tau}(x, t) = v_{\tau}(x, \tau - t) \end{array} \right. \qquad \text{pour } (x, t) \in T_{\tau} . $$

On remarque, immédiatement, que $v_{\tau}$ vérifie (5.19), et $u_{\tau}$, (5.18). Posons, alors,

$$ (5.23) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \bar{u}_{\tau} = \frac{1}{2} (u_{\tau} + \tilde{v}_{\tau}) : \bar{u}_{\tau} \text{ vérifie (5.18)} ; \\ \bar{v}_{\tau} = \frac{1}{2} (v_{\tau} + \tilde{u}_{\tau}) : \bar{v}_{\tau} \text{ vérifie (5.19)}. \end{array} \right. $$

Examinons les valeurs de $(\bar{u}_{\tau}, \bar{v}_{\tau})$ au bord :
$$
(5.24) \qquad \bar{v}_{\tau}(0,t) + \bar{u}_{\tau}(0,t) = 2^{-\frac{1}{2}}(d_{\tau} + \tilde{d}_{\tau}) = 2^{\frac{1}{2}};
$$

$$
(5.25) \qquad \bar{v}_{\tau}(0,t) - \bar{u}_{\tau}(0,t) = 2^{-\frac{1}{2}}(g_{\tau} - \tilde{g}_{\tau}) = 0.
$$

2) La démonstration repose sur le fait que l'on connait explicitement
la solution $(\bar{u}_{\tau}, \bar{v}_{\tau})$ dans le domaine $T_{\tau}$.

En effet, il est facile de vérifier que le couple (u, v) défini
par (5.26), satisfait (5.18) et (5.19) dans $T_{\tau}$, d'une part, et les conditions
aux limites (5.24) et (5.25), sur $A_{\tau} \subset B_{\tau}$, d'autre part :

$$
(5.26) \qquad u(x,t) = v(x,t) = 2^{-\frac{1}{2}} \exp \int_0^x a(x') \, dx' , \text{ pour } (x,t) \in T_{\tau} ,
$$
soit encore, d'après (4.27) et l'hypothèse $\sigma(0) = 1$ :

$$
(5.27) \qquad u(x,t) = v(x,t) = \left(\frac{\sigma(x)}{2}\right)^{\frac{1}{2}}, \quad \text{pour } (x,t) \in T_{\tau}.
$$

Or, le système d'équations (5.17), (5.18), (5.19), (5.20), (5.21),
admet une solution unique (Cf 4.3.1 ii)). On a donc

$$
(5.28) \qquad \bar{u}_{\tau}(x,t) = \bar{v}_{\tau}(x,t) = \left(\frac{\sigma(x)}{2}\right)^{\frac{1}{2}}, \quad \text{pour } (x,t) \in T_{\tau}.
$$

On en déduit, en particulier,

$$
(5.29) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
u_{\tau}(x, \frac{\tau}{2}) = \bar{u}_{\tau}(x, \frac{\tau}{2}) = \left(\frac{\sigma(x)}{2}\right)^{\frac{1}{2}}, \\
v_{\tau}(x, \frac{\tau}{2}) = \bar{v}_{\tau}(x, \frac{\tau}{2}) = \left(\frac{\sigma(x)}{2}\right)^{\frac{1}{2}}.
\end{array}
\right.
\qquad \text{pour } 0 \le x \le \frac{\tau}{2};
$$

3) La relation (5.10) va s'introduire, grâce au

LEMME 5.3 : La solution (u, v) du système III vérifie

$$
(5.30) \quad \int_{\Omega} \left(\frac{\sigma}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \{u(x,t) + v(x,t)\} \, dx = \int_{\Omega} \left(\frac{\sigma}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \{u_0(x) + v_0(x)\} \, dx + \int_{0}^{t} g(s) \, ds, \forall t \in [0, \tau]
$$

Démonstration du Lemme 5.3 : Elle consiste à justifier, sur (u, v), le calcul
suivant que nous opérons sur y :
$$J = \int_0^t \int_\Omega \left( \sigma \cdot \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - \frac{\partial}{\partial x} \sigma \frac{\partial y}{\partial x} \right) dx dt = 0 .$$

Mais, en intégrant respectivement une fois en temps, et une fois, en x ; on obtient

$$J = \int_{\Omega} \sigma \frac{\partial y}{\partial t} \, dx \Big|_{0}^{t} - \int_{0}^{t} g(s) \, ds,$$

d'où la relation (5.30), en repassant en (u, v). ■

Appliquons le Lemme 5.3 à la solution $(u_τ, v_τ)$ ; dans ce cas, la relation (5.30) donne, pour $t = τ/2$,

$$(5.31) \qquad \int_0^{\tau/2} \left( \frac{\sigma}{2} \right)^{\frac{1}{2}} \left\{ u_{\tau}(x, \frac{\tau}{2}) + v_{\tau}(x, \frac{\tau}{2}) \right\} dx = \int_0^{\tau/2} g_{\tau}(s) ds .$$

4) Regroupons les résultats (5.29) et (5.31). On obtient :

$$(5.32) \qquad \int_0^{\tau/2} \sigma(x) \, dx = \int_0^{\tau/2} g_{\tau}(s) \, ds.$$

Rappelons que l'on avait supposé $\sigma(0) = 1$ : un calcul simple montre que (5.32) est vrai dans le cas général. ■
<figure><img src="image_51.png" /></figure>
# 6 - ÉTUDE DU PROBLÈME POUR LES FONCTIONS σ CONSTANTES SUR DES INTERVALLES DE LONGUEUR ÉGALE.

## Résumé :

Dans ce Chapitre, on étudie le cas particulier important où la fonction σ est constante sur des intervalles de longueur égale. La résolution des équations se ramène alors à celle d'un système d'équations portant sur un nombre fini d'inconnues, qui sont les valeurs de la fonction cherchée aux noeuds d'un réseau de caractéristiques. L'opérateur H possède une forme simple, et présente, donc, de nombreuses propriétés.

On montre, enfin, qu'il est possible d'approximer, au sens de la réponse du modèle, toute fonction σ par une fonction σ<sub>c</sub> constante sur des intervalles de longueur égale, et ce, uniformément sur Σ. Ce dernier résultat justifie, sur le plan théorique, le choix de ce dernier type de fonctions pour la résolution numérique.

On s'intéresse, dans ce chapitre, aux fonctions σ constantes sur des intervalles ou "couches" I<sub>k</sub>, de longueur égale à Δx :

$$ (6.1) \qquad \sigma(x) = \sigma_k ; \forall x \in I_k = ]x_k, x_{k+1}] \text{, pour } k = 1, 2, \dots, N $$
avec

$$ (6.2) \qquad x_k = k \cdot \Delta x $$

## Notations :

On notera D<sub>k</sub> le domaine du plan (x, t), défini par

$$ (6.3) \qquad D_k = \{ (x, t) \mid x_{k-1} < x < x_k \text{ et } 0 < t \}, $$
et Δ<sub>k</sub>, la demi-droite :

$$ (6.4) \qquad \Delta_k = \{ (x, t) \mid x = x_k \text{ et } t > 0 \}. $$

<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>Figure 6.1</figcaption></figure>

<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>Figure 6.2</figcaption></figure>

Désignons par $y_k(x,t)$ la restriction de $y(x,t)$ au domaine $D_k$, et définissons, dans chaque domaine $D_k$, les fonctions $u_k(x,t)$ et $v_k(x,t)$ par

$$ (6.5) \qquad \left. \begin{array}{l} u_k = \frac{\partial y_k}{\partial t} + \frac{\partial y_k}{\partial x} \\ v_k = \frac{\partial y_k}{\partial t} - \frac{\partial y_k}{\partial x} \end{array} \right\} $$

Attention ! la définition n'est pas exactement la même que celle du Ch. 5 (Cf (4.4), (4.5)).
Nous noterons $u$ et $v$ les fonctions dont les restrictions
à chaque domaine $D_k$ sont, respectivement, $u_k$ et $v_k$. Nous posons,
comme en (4.53),

$$
(6.7) \qquad Hg(t) = \frac{\partial y}{\partial t}(0, t) = \frac{u(0, t) + v(0, t)}{2} .
$$

Avec l'hypothèse non restrictive, que nous ferons dans tout ce chapitre,

$$
(6.8) \qquad \sigma_1 = 1,
$$

la formule de définition (6.7) s'écrit :

$$
(6.9) \qquad Hg(t) = g(t) + u(0, t) .
$$

6.1 - ETUDE DE L'OPERATEUR H.

Montrons le

THEOREME 6.1 : L'image, par l'opérateur H, défini en (6.7), d'une fonction g quelconque, s'écrit

$$
(6.10) \qquad Hg = \left( \sum_{k=0}^{N} \lambda_k \delta(t - t_k) \right) * g ,
$$

soit encore,

Hg(t) = Σk λk (g(t - t_k), pour t_k ≤ t, ∀ t ∈ [0, T],
avec

$$
(6.11) \qquad t_k = 2k \Delta x, \quad k = 0, 1, 2, \dots, N.
$$

Les coefficients $(\lambda_k)_{k=1}^N$ sont la solution du système d'équations (6.41),
(6.42), ..., (6.48).

D'autre part, l'opérateur H est une bijection de L²(0,T) sur
L²(0,T), et l'on a

$$
(6.12) \qquad \int_0^T Hg \cdot Hg \, dt \ge \gamma_1 \int_0^T g^2(t) \, dt ; \forall g \in L(0,T), \text{ avec } \gamma_1 > 0 ;
$$

$$
(6.13) \qquad \int_0^T Hg \cdot Hg \, dt \ge \gamma_2 \int_0^T g^2(t) \, dt ; \forall g \in L(0,T), \text{ avec } \gamma_2 > 0 .
$$
Enfin, l'application $\sigma \to H(\sigma)$ est continue et injective : il est possible de reconstituer $\sigma$ à partir de $H(\sigma)$ (Cf Théorème 5.1).

**Remarque 6.1** : La propriété (6.10) repose sur le fait que la distance est constante entre les points $x_k$, où les coefficients de réflexion sont non nuls. Grâce à cette propriété, toutes les réflexions sur $\Delta_k$, provenant d'une excitation émise en $x=0$ à l'instant $\tau$, arrivent en $x=0$, aux instants $\tau_k = \tau + 2k \Delta x$, avec $k=1, 2, ...$

**Démonstration du Théorème 6.1** :

1) Dans chaque domaine $D_k$, écrivons les équations (4.30) et (4.31), en utilisant les caractéristiques :

$$ (6.14) \qquad \frac{du_k}{dt} (x(t), t) = 0 \quad \text{avec} \quad \frac{dx_k(t)}{dt} = -1 \; ; $$

$$ (6.15) \qquad \frac{dv_k}{dt} (x(t), t) = 0 \quad \text{avec} \quad \frac{dx_k}{dt} = +1 \; . $$

Sur chacune des demi-droites $\Delta_k$, on a les conditions de raccordement (6.16) et (6.17) sur les dérivées de $y$ :

$$ (6.16) \qquad \frac{\partial y_k}{\partial t} (M_k) = \frac{\partial y_{k+1}}{\partial t} (M_k) , \quad \forall M_k \in \Delta_k ; \quad k = 1, 2, \dots, N ; $$

$$ (6.17) \qquad \sigma_k \frac{\partial y_k}{\partial x} (M_k) = \sigma_{k+1} \frac{\partial y_{k+1}}{\partial x} (M_k) , \quad \forall M_k \in \Delta_k ; \quad k = 1, 2, \dots, N, $$

qui, sur $(u, v)$, s'expriment par

$$ (6.18) \qquad \frac{u_k(M_k) + v_k(M_k)}{2} = \frac{u_{k+1}(M_k) + v_{k+1}(M_k)}{2} \quad ; \quad \forall M_k \in \Delta_k ; \quad k = 1, 2, \dots, N ; $$

$$ (6.19) \qquad \sigma_k \frac{u_k(M_k) - v_k(M_k)}{2} = \sigma_{k+1} \frac{u_{k+1}(M_k) - v_{k+1}(M_k)}{2} \quad ; \quad \forall M_k \in \Delta_k ; \quad k = 1, 2, \dots, N. $$

La condition aux limites (1.24), sur $\Delta_0$, devient

$$ (6.20) \qquad \frac{v_1(M_0) - u_1(M_0)}{2} = g(M_0) ; \quad \forall M_0 \in \Delta_0. $$

Enfin, les conditions initiales sont supposées nulles :
$$
(6.21) \qquad \begin{cases} u(x, 0) = u_0(x) = 0, & \text{pour } x \ge 0; \\ v(x, 0) = v_0(x) = 0, & \text{pour } x \ge 0, \end{cases}
$$

ce qui entraîne

$$
(6.22) \qquad u(x, t) = v(x, t) = 0, \text{ pour } x \ge 0 \text{ et } t - x \ge 0.
$$

Les fonctions (u, v) sont donc solutions du système d'équations
(6.14), (6.15), (6.18), (6.19), (6.20), (6.21).

2) Définissons, pour tout point $O_T$ de l'axe des temps, un réseau $\mathbb{R}(O_T)$ constitué par la demi-droite caractéristique $C_T^+$, de pente + 1, issue de $O_T$ et ses réfléchies multiples sur les demi-droites $\Delta_k$. Les "noeuds" du réseau sont les points d'intersection de deux droites quelconques du réseau.

<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>Figure 6.3</figcaption></figure>

Réseau $\mathbb{R}(O_T)$ ; Noeuds du réseau :

■ noeud $O_T$ ;

• noeuds intérieurs ;

□ noeuds de l'axe des t. On les note $T_{Tk}$ : $t(T_{Tk}) = \tau + 2k \Delta x$.

○ noeuds de la caractéristique $C_T^+$ issue de $O_T$ ; on note ces noeuds $C_{Tk}$ :

$$
\begin{cases}
x(C_{Tk}) = k \Delta x; \\
t(C_{Tk}) = \tau + 2k \Delta x.
\end{cases}
$$

D'après l'équation (6.14), la fonction u est constante sur les segments de pente - 1, joignant deux noeuds adjacents. De même, d'après l'équation (6.15), la fonction v est constante sur les segments de pente + joignant deux noeuds adjacents.

Pour tout noeud M intérieur du réseau, nous introduisons certaines
notations, que nous indiquons sur la Figure 6.4.
<figure><img src="image_55.png" /></figure>

$$
\begin{cases}
u_M^+ = (1-r_M)u_M^- + r_M v_M^- ; \\
v_M^+ = - r_M u_M^- + (1+r_M)v_M^- .
\end{cases}
$$

<caption>Figure 6.4</caption>

Au noeud M, on fait correspondre
les noeuds : M₁, M₁⁺, M₂, M₂⁺.

Au noeud M, on associe aussi les
quatre valeurs u_M^-, u_M^+, v_M^-, v_M^+ :

$$
(6.23) \quad \left\{
\begin{array}{lll}
u = u_M^- & \text{sur } M_1^- M ; \\
u = u_M^+ & \text{sur } M M_1^+ ; \\
v = v_M^- & \text{sur } M_2^- M ; \\
v = v_M^+ & \text{sur } M M_2^+ .
\end{array}
\right.
$$

Remarque : Aux noeuds de l'axe des t
seuls sont définis M₂, M₁ et u_M⁻, v_M⁺.

3) Ecrivons alors, avec ces notations, les relations (6.18) et (6.19) :

(6.24)

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{u_M^+ + v_M^-}{2} = \frac{u_M^- + v_M^+}{2} ; \\[1em]
\sigma_g \frac{u_M^+ - v_M^-}{2} = \sigma_d \frac{u_M^- - v_M^+}{2} .
\end{array}
\right.
$$

On a posé :

(6.25)

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\sigma_g = \text{valeur de } \sigma \text{ à gauche de } M; \\
\sigma_d = \text{valeur de } \sigma \text{ à droite de } M.
\end{array}
\right.
$$

Exprimons $u_M^+$ et $v_M^+$ en fonction de $u_M^-$ et $v_M^-$ :

(6.26)

$$
\left\{
\begin{array}{l}
u_M^+ = \frac{2 \sigma_d}{\sigma_g + \sigma_d} \quad u_M^- + \frac{\sigma_g - \sigma_d}{\sigma_g + \sigma_d} \quad v_M^- ; \\
v_M^+ = \frac{\sigma_d - \sigma_g}{\sigma_g + \sigma_d} \quad u_M^- + \frac{2 \sigma_g}{\sigma_g + \sigma_d} \quad v_M^- .
\end{array}
\right.
$$

On en déduit le

**LEMME 6.1** : Pour tout noeud M du réseau $\mathbb{R}(O_T)$, non situé sur l'axe des t,
les valeurs $u_M^-$, $u_M^+$, $v_M^-$, $v_M^+$, définies en (6.23), sont reliées par les
équations :

(6.27)

$$
\left\{
\begin{array}{l}
u_M^+ = (1 - r_M) u_M^- + r_M v_M^- ; \\
v_M^+ = - r_M u_M^- + (1 + r_M) v_M^- ,
\end{array}
\right.
$$

(6.28)
où $r_M$ est le coefficient de réflexion au point M :

$$ (6.29) \qquad r_M = \frac{\sigma_g - \sigma_d}{\sigma_g + \sigma_d} ; \quad |r_M| < 1 . \quad \blacksquare $$

Il est immédiat de vérifier le

**COROLLAIRE 6.1** : Les valeurs de $(u, v)$, sur le réseau $R(O_T)$, sont entièrement déterminées par des valeurs de $u$ et $v$ aux noeuds frontières, de façon précise par les valeurs de

$$ (6.30) \qquad . \ u^{-} \quad \text{aux noeuds } C_{Tk} ; \ k = 0, 1, \dots, N ; $$

$$ (6.31) \qquad . \ \frac{v^{+} - u^{-}}{2} = g \quad \text{aux noeuds } T_{Tk} ; \ k = 0, 1, \dots, N . \blacksquare $$

4) Considèrons, alors, le système d'équations (6.14)..., (6.21). Pour résoudre le système, il est nécessaire et suffisant de déterminer la solution sur les réseaux $R(O_T)$, avec

$$ (6.32) \qquad 0 \le \tau < 2 \Delta x = t_1 . $$

Mais, pour tous les réseaux vérifiant (6.32), les valeurs de $u$ aux noeuds $C_{Tk}$ sont nulles. En effet, il est facile de déduire, de l'hypothèse (6.21), en utilisant les équations (6.14) et (6.15), que la solution $u$ est nulle dans la région représentée en noir sur la Figure 6.5.

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>Figure 6.5</figcaption></figure>

Sur chaque réseau $R(O_T)$, on a donc à résoudre le système d'équation (6.27), (6.28), avec les conditions aux limites :

$$ (6.33) \qquad . \ u^{-} (C_{Tk}) = 0 ; \qquad \forall k \ge 0 ; $$

$$ (6.34) \qquad . \ \frac{v^{+} (T_{Tk}) - u^{-} (T_{Tk})}{2} = g(\tau + t_k) ; \quad \forall k \ge 0 . $$
5) Construisons, enfin, sur le réseau $\mathbb{R}(0)$, la solution $(u, v)$ du système d'équations (6.27), (6.28), avec les conditions aux limites :

$$ (6.35) \qquad \cdot u^{-}(c_k) = 0 ; \quad \forall k \ge 0 ; $$

$$ (6.36) \qquad \frac{v^{+}(T_k) - u^{-}(T_k)}{2} = \begin{cases} 1 & \text{pour } k = 0 ; \\ 0 & \text{pour } k \ge 1 , \end{cases} $$

et notons

$$ (6.37) \qquad \lambda_k = \frac{v^{+}(T_k) + u^{-}(T_k)}{2} ; \quad k = 0, 1, \dots $$

Remarquons que l'on a bien

$$ (6.38) \qquad \lambda_0 = 1 . $$

Il est clair qu'étant donné la linéarité des équations et leur invariance dans le temps, on a, pour la solution de (6.27), (6.28), (6.33), (6.34),

$$ (6.39) \qquad H g (\tau + t_k) = \frac{v^+(T_k) + u^-(T_k)}{2} = \sum_{k'=0}^{k} \lambda_{k'} g(\tau + t_k - t_{k'}) . $$

La relation (6.39) est vraie pour tout $\tau$ vérifiant (6.32) : l'égalité (6.13) est donc démontrée. ■

6) Réécrivons les équations qui déterminent les coefficients $\lambda_k$, sous une forme directement programmable sur ordinateur, en introduisant les notations

indiquées sur la Figure 6.6.

A tout point $M_{ki}$ du réseau $\mathbb{R}(0)$,

on associe les valeurs :

$$ (6.40) \qquad \begin{cases} u(k, i) = u^+(M_{k,i}) ; \\ v(k, i) = v^+(M_{k,i}) . \end{cases} $$

<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>Figure 6.6</figcaption></figure>

Avec ces notations, les équations d'état (6.27) et (6.28) s'écrivent :

$$ (6.41) \qquad u(k, i) = (1 - r_{k-i}) u(k, i-1) + r_{k-i} v(k-1, i) ; $$

$$ (6.42) \qquad v(k, i) = - r_{k-i} u(k, i-1) + (1 + r_{k-i}) v(k-1, i) . $$
Les relations (6.41) et (6.42) sont vraies pour

$$
(6.43) \qquad 1 \le k \le N \quad \text{et} \quad 0 \le i \le k,
$$

si on prend la précaution de poser

$$
(6.44) \qquad r_0 = 0,
$$

et d'écrire les conditions aux limites (6.35) et (6.36) sous la forme :

$$
(6.45) \qquad u(k, -1) = 0 ; \quad k = 1, 2, \dots, N ;
$$

$$
(6.46) \qquad \frac{v(k-1,k)-u(k,k)}{2} = 0 ; \quad k = 1, 2, \dots, N,
$$

avec, aussi,

$$
(6.47) \qquad v(0, 0) = 2 ; u(0, 0) = 0.
$$

On a alors

$$
(6.48) \qquad \lambda_k = \frac{v(k-1,k) + u(k,k)}{2} ; \quad k = 1, 2, \dots, N.
$$

7) Démonstration de (6.12) et (6.13) : notons, d'abord, que la démonstration du caractère bijectif est la même que celle correspondante du Théorème 4.2.

Par contre, la démonstration de la coercivité de H, faite en 4.4.3, ne s'applique plus, car H, donné par (6.10), ne s'écrit pas sous la forme (4.56) L'opérateur H est défini positif : pour montrer (6.13), il suffit de montrer que

$$
(6.49) \quad \lim_{n \to +\infty} \int_0^T H g_n \cdot g_n \, dt = 0 \Rightarrow \lim_{n \to +\infty} \int_0^T g_n^2 \, dt = 0.
$$

Pour cela, écrivons

$$
(6.50) \quad \int_0^T H g_n \cdot g_n \, dt = \int_0^{t_1} g_n^2 \, dt + \int_{t_2}^{t_1} (g_n + \lambda_1 g_n (t-t_1))^2 \, dt + \int_{t_1}^{t_N} (g_n + \lambda_1 g_n (t-t_1) + \dots + \lambda_{N-1} g_n (t-t_{N-1}))^2 \, dt + \dots
$$

Supposons, maintenant, que l'on ait :

$$
(6.51) \qquad \lim_{n \to +\infty} \int_0^T H g_n \cdot g_n \, dt = 0.
$$
Alors, d'après (6.50), il est clair que l'on a

$$ \lim_{n \to +\infty} \int_0^{t_1} g_n^2 dt = 0 ; $$

mais (6.52) et (6.51), joints à (6.50), entraînent

$$ \lim_{n \to +\infty} \int_{t_1}^{t_2} g_n^2 dt = 0 , $$

et ainsi de suite, par récurrence, jusqu'à

$$ \lim_{n \to +\infty} \int_{t_{N-1}}^{t_N} g_n^2 dt = 0 , $$

d'où l'implication (6.49), et par voie de conséquence, (6.13). ■

8) Il est possible de reconstituer $\sigma$ à partir de $H(\sigma)$. En effet, le Théorème 5.1 s'applique aussi pour les fonctions $\sigma$ vérifiant (6.1). Le seul point à vérifier est la bijectivité de l'opérateur symétrisé $H_s$ de $H :$ mais, celle-ci est une conséquence de la coercivité de $H$ (Cf (6.13)). ■

## 6.2 - ÉTUDE DE L'APPLICATION $\Lambda$.

Nous définissons $\Lambda$ comme étant l'application qui, aux coefficients de réflexion $(r_1, r_2, \dots, r_N)$, fait correspondre la réponse impulsionnelle $(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_N)$, solution du système d'équations (6.41), (6.42), ..., (6.48) :

$$ (r_1, r_2, \dots, r_N) \stackrel{\Lambda}{\to} (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_N) . $$

**Remarque 6.2** : Les coefficients $(r_1, r_2, \dots, r_N)$ dépendent de $(\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_N, \sigma_{N+1})$ ; mais, lorsque l'on multiplie les impédances $\sigma_i$ par un même facteur, on ne change pas les coefficients de réflexion $r_i$. On peut donc toujours supposer que $\sigma_1$ est égal à 1, ce qui entraine que $\lambda_0$ est

égal à 1. Il est alors naturel d'introduire l'application $\Lambda$ définie par (6.53).

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>Figure 6.7</figcaption></figure>
### 6.2.1 - Injectivité de $\Lambda$.

Le Théorème 6.2 montre que l'on peut expliciter la dépendance de $\lambda_k$ par rapport à $r_k$ :

**THEOREME 6.2** : Les coefficients $\lambda_k$ s'écrivent sous la forme :

$$ \lambda_1 = 2 r_1 ; $$

$$ (6.54) \qquad \lambda_k = 2 \left( \prod_{i=1}^{k-1} (1 - r_i^2) \right) r_k + f_k (r_1, r_2, \dots, r_{k-1}) , \quad \forall k \ge 2, $$

où les $f_k$ désignent des fonctions de $(r_1, \dots, r_{k-1})$.

L'application $\Lambda$, définie par (6.53), est injective.

La méthode de Kunetz (décrite en 6.2.5) de détermination progressive coefficients de réflexion repose sur cette propriété d'injectivité de l'applica

$$ \sigma \to H(\sigma) . $$

**Remarque 6.2** : D'après la formule (6.54), on a

$$ (6.55) \qquad \frac{\partial \lambda_k}{\partial r_k} = 2 \prod_{i=1}^{k-1} (1 - r_i^2) . $$

Cette formule met bien en évidence la conclusion du paragraphe 3.3, à savoir que, plus une répartition est oscillante, plus elle est difficile à identifier. Ainsi, si les coefficients de réflexion vérifient

$$ |r_i| \approx r \quad \text{pour } i = 1, \dots, k-1, $$

on a

$$ \frac{\partial \lambda_k}{\partial r_k} \approx 2 (1 - r^2)^{k-1} , $$

et donc

$$ \frac{\partial \lambda_k}{\partial r_k} \nmid 0, \text{ quand } r \nearrow 1. $$
## Démonstration du Théorème 6.2 :

1) D'après les formules (6.27) et (6.28), on a (Of Figure 6.7) :

$$ egin{cases} u^+(C_k) = r_k & v^-(C_{k-1}) ; \\ v^-(C_k) = (1+r_k) & v^-(C_{k-1}) ; \end{cases} $$

en utilisant le fait que

$$ egin{cases} u^+(C_0) = 0 ; \\ v^-(C_0) = 2 ; \end{cases} \quad C_0 = 0 ! $$

on en déduit

$$ egin{cases} u^+(C_k) = 2 (1+r_1) \times \dots \times (1+r_{k-1}) r_k ; & \forall k \ge 1 ; \\ v^-(C_k) = 2 (1+r_1) \times \dots \times (1+r_{k-1})(1+r_k) ; & \forall k \le 1 . \end{cases} $$

Intégrons alors les relations (6.27) le long de la caractéristique de pente -1, issue de $C_k$. On obtient (6.55).

2) Soient $(r_1, r_2, \dots, r_N)$ et $r'_1, r'_2, \dots, r'_N)$ tels que

$$ \Lambda(r_1, r_2, \dots, r_N) = \Lambda(r'_1, r'_2, \dots, r'_N) . $$

Montrons par récurrence que l'on a

$$ (r_1, r_2, \dots, r_N) = (r'_1, r'_2, \dots, r'_N) . $$

En effet,

$$ i) \quad r_1 = r'_1 = \lambda_1, \text{ d'après (6.54).} $$

ii) Supposons, maintenant que l'on ait

$$ r_i = r'_i ; i = 1, \dots, k-1 . $$

La relation (6.55), appliquée à $(r_k)$ et $(r'_k)$, montre que l'on a, alors,

$$ 2(1 - r_1^2) \dots (1 - r_{k-1}^2) (r_k - r'_k) = 0 ; $$
or, on suppose que

$$
(6.56) \qquad |r_k|, |r'_k| < 1, \quad \forall k = 1, 2, \dots, N.
$$

On en déduit

$$
r_k = r'_k . \blacksquare
$$

On a donc, dans le cas envisagé ici, une autre démonstration, plus
simple que celle du chapitre 5, de l'injectivité de l'application

$$
\sigma \rightarrow H(\sigma).
$$

6.2.2 - Exemple de l'application $(r_1, r_2) \rightarrow (\lambda_1, \lambda_2)$.

Nous étudions ici les propriétés de l'image par l'application $\Lambda$
de l'ensemble $C_{12}(r)$ :

$$
(6.57) \qquad C_{12}(r) = \left\{ (r_1, r_2) \mid \begin{array}{l} |r_1| \le r \\ |r_2| \le r \end{array} \right\}, \text{avec } 0 < r < 1.
$$

Nous noterons $\Lambda_{12}(r)$ l'image de $C_{12}(r)$ par $\Lambda$ :

$$
(6.58) \qquad \Lambda_{12}(r) = \left\{ (\lambda_1(r_1, r_2), \lambda_2(r_1, r_2)) \mid (r_1, r_2) \in C_{12}(r) \right\}.
$$

L'ensemble $\Lambda_{12}(r)$ n'est pas convexe (Cf Figure 6.7). Un calcul simple donne
en effet :

$$
(6.59) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
0,5 \quad \lambda_1 = r_1 ; \\
0,5 \quad \lambda_2 = r_2 (1 - r_1^2) + r_1^2 .
\end{array}
\right.
$$

Il y a discontinuité de la projection orthogonale sur $\Lambda_{12}(r)$ à
travers la demi-droite $[R, +\infty[$. Par contre, dans tout le voisinage de
$\Lambda_{12}(r)$ qui ne contient pas $[R, +\infty[$, la projection orthogonale sur $\Lambda_{12}(r)$
est définie de façon unique, et, est continue.

Notons, enfin, que les projections orthogonales des régions (II) et
(IV) sont, respectivement, $P_1$ et $P_2$.
<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>Figure 6.8</figcaption></figure>

tous les points d'une même région
(I, II, III, IV, V) se projettent
sur une même arc de la courbe frontière
de $\Lambda_{12},r$.

$$
6.2.3 - \underset{\text{Montrons le}}{\text{Calcul du gradient}} \left( \frac{\partial \lambda_{k_0}}{\partial r_k} \right)_{k=1}^{N} .
$$

Montrons le

THEOREME 6.3 : On a

$$
\[
\frac{\partial \lambda_{k_0}}{\partial r_k} = \sum_{i=0}^{k_0-k} (v(i+k-1, i) - u(i+k, i-1)) (p(i+k, i) + q(i+k, i)), \text{ pour } k=1,2,\dots,N.
\]
\text{où}
$$

$$
(6.61) \quad (u, v) \text{ est la solution des équations d'état (6.41), \dots, (6.47).}
$$

$$
(6.62) \quad (p, q) \text{ est la solution des équations adjointes (6.74), \dots, (6.77).}
$$

On retrouve bien que

$$
\frac{\partial \lambda_{k_0}}{\partial r_k} = 0, \text{ pour } k = k_0 + 1, \dots, N. \tag{6.63}
$$

On a indiqué, sur les deux figures ci-dessous, pour les équations
d'état, d'une part, et les équations adjointes, d'autre part :

. les points où sont fixées les conditions aux limites ;

. les sens d'intégration des équations.

<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>Figure 6.9</figcaption></figure>

<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>Figure 6.10</figcaption></figure>
**Remarque 6.4** : On peut généraliser le Théorème 6.3 au calcul du gradient d'une fonctionnelle quelconque de $\lambda$, par exemple, quadratique :

$$ (6.64) \qquad J(\lambda) = \frac{1}{2} \langle Q(\lambda - \lambda_d) |(\lambda - \lambda_d)| \rangle_{\mathbb{R}^N} ; $$

$$ (6.65) \qquad \frac{\partial J}{\partial \lambda_k} = \sum_{k=0}^{N-k} (v(i+k-1, i) - u(i+k, i-1)) (p(i+k, i) + q(i+k, i)), \quad k = 1, 2, \dots, N, \\ \text{où} $$

• (u, v) est la solution des équations d'état (6.41), ..., (6.47) ;

• (p, q) est la solution des équations adjointes (6.74), (6.76 bis), (6.77),

avec

$$ (6.76 \text{ bis}) \qquad p(k, k) - q(k, k) = (Q(\lambda - \lambda_d))_k, \quad k = 1, 2, \dots, N. $$

**Démonstration du Théorème 6.3** : Notons, en premier lieu, que l'application est différentiable à tous les ordres : en effet, les $(\lambda_k)$ sont solutions du système d'équations (6.41), (6.42), ..., (6.48), équations dont les coefficients dépendent de façon $C^\infty$ des $(r_k)$.

Soit (u, v) la solution de (6.41), ..., (6.47) : introduisons la dérivée $\frac{\partial}{\partial t} (u', v')$ de (u, v) dans la direction $s = (s_k)_{k=1}^N$. La dérivée $\frac{\partial}{\partial t} (u', v')$ est la solution du système des équations linéarisées.

### . Equations linéarisées.

$$ (6.66) \qquad u'(k,i) = (1-r_{k-i}) u'(k,i-1) + r_{k-i} v'(k-1,i) + s_{k-i} (v(k-1,i) - u(k,i-1)); $$

$$ (6.67) \qquad v'(k,i) = -r_{k-i} u'(k,i-1) + (1+r_{k-i}) v'(k-1,i) + s_{k-i} (v(k-1,i) - u(k,i-1)), \\ \text{pour } (k, i) \text{ vérifiant } (6.59). $$

Les conditions aux limites sont :

$$ (6.68) \qquad u'(k, -1) = 0, \quad k = 1, 2, \dots, N; $$

$$ (6.69) \qquad \frac{v'(k-1,k) - u'(k,k)}{2} = 0, \quad k = 1, 2, \dots, N; $$

$$ (6.70) \qquad v'(0, 0) = 0; \quad u'(0, 0) = 0. $$
On a alors :

|,71)

$$
\lambda'_{k} = \frac{v'(k-1, k) + u'(k, k)}{2} .
$$

Multiplions les équations (6.66) par $p(k, i)$, les équations (6.67) par $q(k, i)$, et sommons les relations obtenues :

$$
\begin{align*}
& \sum_{k=1}^{N} \sum_{i=0}^{k} \left\{ p(k, i) [u'(k, i) - (1-r_{k-i}) u'((k, i-1) - r_{k-i} v'(k-1, i))] \right. \\
& \qquad \left. + q(k, i) [v'(k, i) + r_{k-i} u'((k, i-1) - (1+r_{k-i}) v'(k-1, i))] \right\} \\
& \sum_{k=1}^{N} \sum_{i=0}^{k} s_{k-i} (v(k-1, i) - u(k, i-1) (p(k, i) + q(k, i)) ,
\end{align*}
$$

égalité que l'on peut condenser sous la forme

|,72)

$$
M_1 = M_2 .
$$

Regroupons, dans $M_1$, les termes contenant en facteur soit le terme $u'(k, i)$, soit le terme $v'(k, i)$ :

|,73)

$$
\begin{align*}
M_1 &= \sum_{k=1}^{N} \sum_{i=0}^{k-1} u'(k,i) \left\{ p(k,i) - (1-r_{k-(i+1)}) p(k,i+1) + r_{k-(i+1)} q(k,i+1) \right\} + \sum_{k=1}^{N} p(k,k) u'(k,k) \\
&\quad + N-1 \sum_{k=1}^{N} \sum_{i=0}^{k-1} v'(k,i) \left\{ q(k,i) - r_{k+1-i} p(k,i+1) + (1+r_{k+1-i}) q(k+1,i) \right\} \\
&\quad - \sum_{k=1}^{N} q(k,k) v'(k-1,k) + \sum_{i=0}^{N} q(N,i) v'(N,i).
\end{align*}
$$

. Equations adjointes.

Imposons, sur (p, q), les relations

$$
(6.74) \quad p(k,i) = (1-r_{k-(i+1)}) p(k,i+1) + r_{k-(i+1)} q(k,i+1), \quad k=1,2,\dots,N \quad \text{et} \quad i=0,1,\dots,k-1
$$

$$
(6.75) \quad q(k,i) = r_{k+1-i} p(k+1,i) + (1+r_{k+1-i}) q(k+1,i), \quad k=1,2,\dots,N-1 \quad \text{et} \quad i=0,1,\dots,k-1
$$

et les conditions aux limites :

(6.76)

$$
p(k, k) - q(k, k) = \begin{cases} 1 & \text{pour } k = k_0 ; \\ 0 & \text{pour } k = N-1, \dots, 1, 0 \text{ différent de } k_0 . \end{cases}
$$

(6.77)

$$
q(N, i) = 0 ; \quad i = 0, 1, \dots, N .
$$
Le système d'équations (6.74), (6.77) admet une solution unique. Pour (p, q),
solution du système, l'égalité (6.72) s'écrit

$$
\lambda'_{k_0} = M_2,
$$

soit encore

$$
\lambda'_{k_0} = \sum_{k=0}^{N} s_k \left[ \sum_{i=0}^{N-k} (v(i+k-1, i) - u(i+k, i-1)) (p(i+k, i) + q(i+k, i)) \right] ,
$$
d'où (6.60), puisque la relation précédente est vérifiée, quelque soit
$$
s = (s_k)_{k=1}^N . \quad \blacksquare
$$

6.2.4 - Illustration numérique du Théorème 6.3.

On a calculé le gradient (6.60) correspondant aux répartitions σ⁽¹⁾ et σ⁽²⁾, qui étaient les répartitions à identifier dans les simulations numériques effectuées (Cf Chapitre 8, § 8.1.2).

Sur chacune des courbes de la Figure 6.11, on peut lire les valeurs
de $\frac{\partial \lambda_{k_0}}{\partial r_k}$ en fonction de $k, k_0$ étant fixé. Pour les deux répartitions $\sigma^{(1)}$ et $\sigma^{(2)}$, on constate que

$$
(6.78) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\cdot \frac{\partial \lambda_{k_0}}{\partial r_k} \sim 2 ; \\[1em]
\cdot 0 \le \left| \frac{\partial \lambda_{k_0}}{\partial r_k} \right| \le 0,5 , \text{ pour } k = 1, 2, \dots, k_0-1 .
\end{array}
\right.
$$

$$
(6.79) \qquad \frac{1}{k_0 - 1} \left( \sum_{k=1}^{k_0 - 1} \left| \frac{\partial \lambda_{k_0}}{\partial r_k} \right| \right) \approx 0,2 .
$$

En conclusion, on ne peut négliger l'ensemble des coefficients $\frac{\partial \lambda_{k_0}}{\partial r_k}$, $k < k_0$ devant $\frac{\partial \lambda_{k_0}}{\partial r_{k_0}}$.

6.2.5 - La méthode de Kunetz.

Elle est fondée sur l'injectivité de l'application $\Lambda$ (Cf Théorème 6.2).
Elle consiste à déterminer progressivement chacun des coefficients $r_k$, en
utilisant les équations (6.41), ..., (6.48), ainsi que les relations (6.54), (6.55).
Calcul de $r_1$ : $\lambda_1 \to r_1$ ;

calcul de $r_2$ : $r_1 \to f_2(r_1)$ ;
$\lambda_1 - f_2(r_1) \to r_2$ ;

calcul de $r_k$ : $(r_1, \dots, r_{k-1}) \to f_k(r_1, \dots, r_{k-1})$ ;
$\lambda_k - f_k(r_1, \dots, r_{k-1}) \to r_k$ .

Cette méthode est directe ; elle présente, toutefois l'inconvénient d'être sensible à de légères perturbations sur le domaine $(\lambda_k)_{k=1}^N$ . En effet, au cours de la détermination successive de chacun des $r_k$ , l'erreur s'amplifie avec $k$ : les deux exemples numériques de 6.2.4 montrent (Cf (6.78) et (6.79)) que $\lambda_{k_0}$ dépend de tous les coefficients $r_k$ , pour $k = 1, \dots, k_0$ .

<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>Figure 6.11</figcaption></figure>

Répartition $\sigma^{(2)} \to r^{(2)}$ :

$\frac{\partial \lambda_{k_0}}{\partial r_k} (r^{(2)})$ ; $k_0 = 190$ ;
$k = 1, 2, \dots, k_0$ .

Répartition $\sigma^{(1)} \to r^{(1)}$ :

$\frac{\partial \lambda_{k_0}}{\partial r_k} (r^{(1)})$ ; $k_0 = 104$ ;
$k = 1, 2, \dots, k_0$ ;
## 6.3 - APPROXIMATION D'UNE FONCTION $\sigma$ QUELCONQUE PAR UNE FONCTION $\sigma_c$ CONSTANTE SUR DES INTERVALLES DE LONGUEUR EGALE.

Soit une fonction $\sigma(x)$ telle que

$$ (6.80) \qquad \sigma_{-} \le \sigma(x) \le \sigma_{+}, \text{ p.p. } x \ge 0. $$

On cherche à déterminer une fonction $\sigma_c$, vérifiant (6.1) et (6.2), avec

$$ (6.81) \qquad \sigma_c = (\sigma_k^N)_{k=1}^N, $$

de telle sorte que la réponse $Y(\sigma_c, g, t)$ soit proche de $Y(\sigma, g, t)$ sur la période $[0,T]$, avec $T = 2N \Delta x$, pour une grande classe de fonctions $g$. Pour cela, nous utilisons le résultat du Théorème 3.3, ainsi que la distance $d$ définie par (3.21), (3.22). Montrons le

**THEOREME 6.4** : *Les systèmes d'équations*

$$ \begin{array}{@{}l@{\qquad}l@{}} \text{(6.82)} & \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \displaystyle \int_{k}^{x'} \sigma(x) \, dx = \Delta x \sigma_k \\ \displaystyle \int_{k-1}^{x'} \sigma_k \, dx = \Delta x \sigma_k \end{array} \right. \\ \text{(6.83)} & \left\{ \begin{array}{@{}l@{}} \displaystyle \int_{k}^{x'} \frac{d}{\sigma(x)} \, dx = \frac{\Delta x}{\sigma_k} \\ \displaystyle \int_{k-1}^{x'} \frac{d}{\sigma_k(x)} \, dx = \frac{\Delta x}{\sigma_k} \end{array} \right. \qquad \text{pour } k = 1, 2, \dots, N, \\ \multicolumn{2}{@{}l@{}}{\text{définissent une fonction } \sigma_c = (\sigma_k^N)_{k=1}^N, \text{ qui vérifie } \sigma_- \le \sigma_k \le \sigma_+, \text{ k=1,2,...,N. On}} \end{array} $$

$$ (6.84) \qquad d(\sigma, \sigma_c) \le 2 \left( \frac{\sigma_+}{\sigma_-} \right) \Delta x . $$

**Démonstration du Théorème 6.4** :

i) Le système d'équations (6.85) et (6.86), avec les inconnues $x_1$ et $\sigma_1$

$$ \begin{array}{@{}l@{\qquad}l@{}} \text{(6.85)} & \displaystyle \int_{0}^{x_1} \sigma(x) \, dx = \Delta x \cdot \sigma_1 ; \\ \text{(6.86)} & \displaystyle \int_{0}^{x_1} \frac{dx}{\sigma(x)} \, dx = \frac{\Delta x}{\sigma_1} , \end{array} $$

admet une solution unique.
En effet, formons le produit des deux équations (6.82) et (6.83) ; on obtient :

$$ \int_{0}^{x_1'} \sigma(x) \, dx \quad \int_{0}^{x_1'} \frac{dx}{\sigma(x)} = (\Delta x)^2 ; $$

cette dernière équation s'écrit :

(.87)

$$ h(x_1') = (\Delta x)^2 , $$

en introduisant la fonction :

$$ h(x) = \int_{0}^{x} \sigma(x') \, dx' \quad \int_{0}^{x} \frac{dx'}{\sigma(x')} . $$

La fonction $h(x)$ est continue, dérivable, strictement croissante, et vérifie :

$$ x^2 \le h(x) \le \left(\frac{\sigma_+}{\sigma_-}\right) x^2 ; $$

L'équation (6.87) admet donc une solution unique $x_1'$, telle que :

$$ \left(\frac{\sigma_-}{\sigma_+}\right)^{\frac{1}{2}} \Delta x \le x_1' \le \Delta x . $$

En reprenant l'équation (6.85), on en déduit la valeur de $\sigma_1$ :

$$ \sigma_- \le \sigma_1 \le \sigma_+ . $$

ii) On peut définir, de proche en proche, les solutions $(\sigma_i, x_i')$ des systèmes (6.82) et (6.83). Appliquons, maintenant, la définition (3.27) aux fonctions $\sigma$ et $\sigma_c$ : remarquons bien que l'on a, par construction de $\sigma_c$ :

(.88)

$$ \left\{ \begin{array}{l} z_k = \displaystyle\int_0^{x_k'} \frac{dx}{\sigma(x)} = \displaystyle\int_0^{x_k} \frac{dx}{\sigma_c(x)} \quad , \text{grâce à (6.83), et} \\ \hat{z}(z_k) \quad \hat{z}_c(z_k) \\ \displaystyle\int_0^{\sigma(x)} dx = \displaystyle\int_0^{\sigma_c(x)} dx \quad , \text{grâce à (6.82).} \end{array} \right. $$

On en déduit :

$$ d(\sigma, \sigma_c) \le \max \left| \int_0^\sigma \sigma(x) \, dx - \int_{\sigma_c(x)}^\sigma \sigma(x) \, dx \right| , \text{ avec } z_{k-1} \le z \le z_k , \\ \text{et donc} $$

(.89)

$$ d(\sigma, \sigma_c) \le 2 \left(\frac{\sigma_+}{\sigma_-}\right) \Delta x . \quad \blacksquare $$
<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>Figure 6.12 - Définition de l'approximation $\sigma_c$ : illustration.</figcaption></figure>

La fonction $\sigma_c$ vérifie

$$ \sigma_- \le \sigma_c(x) \le \sigma_+ \quad \text{p.p. } x \ge 0, $$

et on a

$$ \left(\frac{\sigma_-}{\sigma_+}\right)^{\frac{1}{2}} \Delta x \le x'_k - x'_{k-1} \le \Delta x, \quad k = 1, 2, \dots, N. \quad \blacksquare $$
# 7 - CONCLUSIONS DE LA PARTIE THÉORIQUE : RÉCAPITULATION DES RÉSULTATS SUR LE PROBLÈME D'IDENTIFICATION.

Nous avons étudié le problème (1.30) et (1.31), successivement, pour trois ensembles compacts de fonctions $\sigma$ :

$$ \begin{array}{l} |1) \quad \Sigma_1 = \{ \sigma \mid 0 < \sigma_- \le \sigma(x) \le \sigma_+ < +\infty, \text{ p.p. } 0 \le x \le x_0 \}; \\ \Sigma_1 \text{ est muni de la distance d} \text{ définie en 3.2.1.} \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} |2) \quad \Sigma_2 = \{ \sigma \mid \sigma \in \Sigma_1 \text{ et } \int_0^{x_0} \left| \frac{d\sigma}{dx} \right|^2 dx \le M \}, \text{ avec } M > 0 \text{ donné}; \\ \Sigma_2 \text{ est muni de la distance induite par } L^2(0, x_0). \end{array} $$

$$ \begin{array}{l} |3) \quad \Sigma_3 = \{ \sigma \mid \sigma \in \Sigma_1 \text{ et } \sigma \text{ constante sur des intervalles de longueur } \Delta x \}; \\ \Sigma_3 \text{ est muni de la norme euclidienne.} \end{array} $$

Rappelons les chapitres dans lesquels chacun des cas a été étudié :

$\Sigma = \Sigma_1$: Chapitres 2 et 3 ; en fait $\Sigma_1 = \Sigma(\sigma_-, \sigma_+)$ défini en (1.32).

$\Sigma = \Sigma_2$: Chapitres 4 et 5 ; en fait $\Sigma_2 = \Sigma_d$, défini en (4.26).

$\Sigma = \Sigma_3$: Chapitre 6.

Pour avoir, dans l'équation hyperbolique (1.22), (1.23), (1.24), une estimation sur l'énergie $I(t)$ :

$$ |4) \quad I(t) = \frac{1}{2} \int_{0}^{x_0} \left\{ \sigma \left( \frac{\partial y}{\partial t} \right)^2 (x, t) + \sigma \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)^2 (x, t) \right\} dx, $$

et par la même, la démonstration de l'existence d'une solution, nous avons fait sur $g$ des hypothèses différentes, suivant la classe de $\sigma$ envisagée (Théorèmes 2.1, 4.1, 6.1).

Nous avons montré le

**THEOREME 7.1** : On a les estimations suivantes :

1) $\sigma \in \Sigma_1$

$I(t) \le c \|g\|_{W^{1,1}(0,T)}$, $\forall t \in [0,T]; \forall g \in W^{1,1}(0,T)$;

2) $\sigma \in \Sigma_2$ ou $\sigma \in \Sigma_3$

$I(t) \le c \|g\|_{L^2(0,T)}^2$, $\forall t \in [0,T]; \forall g \in L^2(0,T)$.
Nous avons, dans tous les cas, établi l'existence d'une solution
optimale du problème inverse (1.30), (1.31) (Théorèmes 3.2, 4.3, et 6.1).

**THEOREME 7.2** : Sous les hypothèses

$$
\begin{align*}
& g \in W^{2,1}(0,T) \quad \text{et} \quad g(0) = 0, \quad \text{pour } \Sigma = \Sigma_1 \\
(7.5) \quad & g \in H^1(0,T), \quad \text{pour } \Sigma = \Sigma_2 \\
& g \in L^2(0,T), \quad \text{pour } \Sigma = \Sigma_3
\end{align*}
$$

le problème inverse admet au moins une solution.

Nous n'avons pas de résultat d'unicité d'une solution optimale.
Seule a été démontrée (Théorèmes 5.1 et 6.2), l'injectivité de l'application

$$
\sigma \rightarrow H(\sigma) \quad \text{pour } \sigma \in \Sigma_2 \text{ ou } \sigma \in \Sigma_3,
$$

où, rappelons-le,

$$
H(\sigma) g = \frac{\partial y}{\partial t} (0,t) .
$$

De ce qui précède (Théorème 3.1, Lemme 4.3, Théorème 6.1), nous
pouvons aussi déduire un résultat de continuité du problème inverse. On a posé

$$
T = 2 x_0 .
$$

**THEOREME 7.3** : Soit $g$ vérifiant (7.5), et soit $\sigma_{\text{opt}}^{(n)}$ une suite de solutions optimales correspondant à $Y_d^{(n)}$. Si

$$
Y_d^{(n)} \to Y_d \text{ dans } L^2(0,T) \text{ fort ,}
$$

il existe au moins une sous-suite $\sigma_{\text{opt}}^{(n)}$ qui converge dans $\Sigma$, vers une
solution optimale $\sigma_{\text{opt}}$ correspondant à $Y_d$.

Le problème inverse sur $\Sigma_1$, muni de la métrique $L^2$, est un
problème mal posé, $\Sigma$ muni de la norme $L^2$ n'étant pas compact.
Pour bien poser le problème inverse, au sens de la métrique $L^2$,
on est conduit à restreindre la classe $\Sigma$, dans laquelle on cherche une
solution $\sigma$, à l'intersection de $\Sigma_1$, avec un compact de $L^2$ : par exemple,
$\Sigma_2$ ou $\Sigma_3$. Il est alors essentiel de ne pas perdre de vue qu'à partir de
toute solution régulière, on peut construire une solution, à $\varepsilon$ près, aussi
irrégulière que l'on veut (Corollaire 3.2).

En ce qui concerne l'aspect numérique du problème, nous avons
souligné que la résolution de l'équation hyperbolique est très simple,
pour la fonction $\sigma$ appartenant à $\Sigma_3$. Nous avons montré (Théorème 6.4)
qu'il est possible d'approximer uniformément, au sens de la réponse, toute
fonction $\sigma$ de $\Sigma_1$ par une fonction de $\Sigma_3$. Ce dernier résultat justifie,
sur le plan théorique, le choix de $\Sigma_3$ pour poser numériquement le problème
inverse.

En conclusion, nous dirons, pour condenser, en une seule formule,
les quelques résultats théoriques : plus une répartition $\sigma$ est compliquée,
plus elle est difficile à identifier !

En fait, l'intérêt de cette partie théorique est aussi de servir
de guide dans la résolution numérique du problème, et de fixer les limites de
ce que l'on peut espérer obtenir. Elle ne permet pas de prévoir les difficultés
rencontrées dans la résolution numérique du problème ainsi que la qualité des
résultats obtenus.
<figure><img src="image_64.png" /></figure>
2ÈME PARTIE : ÉTUDE NUMÉRIQUE.

La méthode de résolution numérique, que nous avons utilisée, consiste à poser le problème d'identification sous forme d'un problème de minimisation : trouver les coefficients qui rendent minimal l'écart entre la réponse du modèle correspondant et l'observation. On se ramène donc à un problème d'optimisation dans $IR^N$, qui possède les caractéristiques suivantes :

- le nombre des variables est relativement grand (N = 300) ;

- le critère à minimiser dépend des variables d'optimisation par l'intermédiaire d'une équation aux dérivées partielles, ayant ces variables comme coefficients ;

- les contraintes qui interviennent sont des contraintes de borne sur les valeurs extrêmes des variables, sur leur valeur moyenne, et sur leur variation totale (cette dernière contrainte est non différentiable).

Pour résoudre numériquement l'équation hyperbolique, on a utilisé la méthode des caractéristiques. L'algorithme d'optimisation mis en oeuvre est une version du gradient conjugué, applicable aux cas de fonctionnelles non différentiables : la contrainte sur la variation étant traitée par péna-lisation, cet algorithme a été mis au point par LEMARECHAL [10], à l'IRIA.

Comme cela a déjà été indiqué, les exemples numériques utilisent des données fournies par l'I.F.P. : la répartition à identifier est une répartition réelle, l'observation est obtenue par simulation, et incorpore un bruit de mesure ayant des propriétés statistiques et un niveau réalistes.
<figure><img src="image_65.png" /></figure>
# 8 - ÉTUDE NUMÉRIQUE,

## 8.1 - PRESENTATION DES ESSAIS EFFECTUÉS.

### 8.1.1 - Modèle retenu et résolution numérique des équations d'état.

- Modèle retenu.

Il s'agit du modèle, exprimé en variable temps de parcours, décrit par les équations (1.22), (1.23), (1.24). On a opté pour la variable temps de parcours, car, ainsi qu'il a été indiqué au Chapitre 1, seule l'impédance acoustique $\sigma$ est susceptible d'être identifiée, et ce, en fonction du temps de parcours.

- Résolution numérique des équations d'état.

On a envisagé uniquement des fonctions $\sigma$ constantes sur des intervalles ou couches de longueur (en temps de parcours) égale : ceci est toujours possible, moyennant une certaine approximation, qui a été estimée au § 6.3. Dans ce cas, la résolution numérique des équations est considérablement simplifiée, grâce à l'emploi des caractéristiques (Cf § 6.1).

### 8.1.2 - Les paramètres physiques.

- Les répartitions à identifier.

Tous les essais ont porté sur l'identification des deux répartitions $\sigma^{(1)}$ (Figure 8.1) et $\sigma^{(2)}$ (Figure 8.2). La répartition $\sigma^{(1)}$ est académique ; la répartition $\sigma^{(2)}$ a été relevée à Hassi-Bouzid, en Algérie (elle nous a été communiquée par l'IFP). Les fonctions $\sigma(\sigma^{(1)})$ et $\sigma(\sigma^{(2)})$ ont été considérées comme constantes sur des intervalles (ou couches) de longueur, en temps de parcours, égale à $\Delta X$. Le Tableau 8.1 résume les caractéristiques de ces deux répartitions, et donne, à titre de comparaison, celles d'une répartition correspondant à un exemple réel à "inverser".
<table><caption>Tableau 8.1</caption><thead><tr><th></th><th>σ<sup>(1)</sup></th><th>σ<sup>(2)</sup></th><th>Exemple réel</th></tr></thead><tbody><tr><td>Longueur totale en temps de parcours</td><td>1.12 sec</td><td>1.20 sec</td><td>2-3 sec</td></tr><tr><td>Epaisseur ΔX des couches</td><td>7 ms</td><td>4 ms</td><td>2-4 m s</td></tr><tr><td>Nombre des couches</td><td>160</td><td>300</td><td>500 à 1 500</td></tr><tr><td>Temps de parcours d'une couche-durée/impulsion</td><td>1/20</td><td>1/40</td><td>1/40</td></tr><tr><td>Variation totale (Cf 8.5)</td><td>15 000</td><td>25 000</td><td>40 000-60 000</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>Figure 8.1 - Répartition σ<sup>(1)</sup>.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>Figure 8.2 - Répartition σ<sup>(2)</sup>.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>Figure 8.3 - Coefficients de réflexion de la répartition $\sigma^{(2)}$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>Répartition $\sigma^{(1)}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_70.png" /><figcaption>Répartition $\sigma^{(2)}$</figcaption></figure>

<caption>Figure 8.4 - Transformée de Fourier des réponses impulsionnelles.</caption>
- L'impulsion.

On utilisera comme impulsion des fonctions d'un seul type. Il s'agit de fonctions qui sont les dérivées de signaux classiques de Ricker, caractérisés par leur durée et leur valeur moyenne. Le signal de Ricker, représenté sur la Figure 8.5, a une durée égale à 140 ms, et une valeur moyenne non nulle.

De façon générale, ce signal sera noté $h(t)$ :

(8.1)

$$h(t) = \int_{0}^{t} g(s) \, ds .$$

On a représenté, sur la Figure 8.6, le module de la transformée de Fourier de $g$ et de $h$. On voit que l'énergie est concentrée dans la bande de fréquences 0-50 Hz.

<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>Figure 8.5 - Signal de Ricker</figcaption></figure>

<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>Figure 8.6 - Module de la transformée de Fourier de $g$ (à gauche) et de $h$ (à droite).</figcaption></figure>
- Les sismogrammes observés.

Sismogrammes non bruités : ce sont les réponses $Y^{(i)}$ ($i=1, 2$), définies en (1.29). Elles ont été calculées ici par le schéma d'intégration numérique, exposé au Chapitre 6.

<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>Figure 8.7 - Sismogramme $Y^{(1)}$ et transformée de Fourier.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>Figure 8.8 - Sismogramme $Y^{(2)}$ et transformée de Fourier.</figcaption></figure>
Sismogrammes bruités : ils on été générés en ajoutant aux sismogrammes non bruités un bruit gaussien de moyenne nulle, que l'on a filtré par convolution avec l'impulsion g, soit avec sa primitive h. Deux types de bruit ont donc été envisagés :

- le premier, à "basse fréquence" : convolution avec h ;

- le second, à "haute fréquence" : convolution avec g.

On définit le rapport bruit/signal $\alpha$, comme le rapport de l'écart type du bruit à l'écart type du signal. Le Tableau 8.2 indique la valeur de $\alpha$ dans les différents cas.

<table><caption>Tableau 8.2</caption><thead><tr><th></th><th>bruit basse fréquence</th><th>bruit haute fréquence</th></tr></thead><tbody><tr><td>Sismogramme $\gamma^{(1)}$</td><td>$\alpha = 62 \%$</td><td>$\alpha = 60 \%$</td></tr><tr><td>Sismogramme $\gamma^{(2)}$</td><td>$\alpha = 58 \%$</td><td>$\alpha = 51 \%$</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_75.png" /><figcaption>Figure 8.9 : Sismogramme $\gamma^{(1)}_{BF}$ et transformée de Fourier.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>Figure 8.10 - Sismogramme $Y_{HF}^{(1)}$</figcaption></figure>

<figure><img src="image_77.png" /><figcaption>Figure 8.11 - Sismogramme $Y_{BF}^{(2)}$ et transformée de Fourier.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>Figure 8.12 - Sismogramme $Y_{HF}^{(2)}$ et transformée de Fourier.</figcaption></figure>
### 8.1.3 - Formulation du problème inverse.

On pose le problème inverse sous la forme d'un problème de minimisation (Cf (1.30)).

- L'ensemble sur lequel on minimise est formé des répartitions d'impédance $\sigma$ vérifiant les contraintes (8.5) et (8.6)

$$ (8.5) \qquad \sigma(x) = \sigma_i, \forall x \in ]x_i, x_{i+1}] \quad \text{pour } i=1, \dots, N, \text{ avec } x_i = i \Delta x; $$

$$ (8.6) \qquad \sigma_{-} \le \sigma_i \le \sigma_{+} \qquad \text{pour } i=1, 2, \dots, N. $$

En pratique, l'algorithme n'ayant jamais généré de valeurs de $\sigma$ trop grandes ou négatives, les contraintes (8.6) sont ignorées dans le programme d'optimisation.

Par contre, on a introduit, dans certains essais, comme le suggèrent les résultats théoriques de la première partie, une contrainte sur la variation de la forme

$$ (8.7) \qquad \text{var}(\sigma) \le \text{var}_{\max}, $$

où, rappelons-le, la variation de $\sigma$ est définie par

$$ (8.8) \qquad \text{var}(\sigma) = \sum_{i=1}^{N-1} |\sigma_{i+1} - \sigma_i|. $$

On a préféré introduire une contrainte sur la variation plutôt que sur la norme $L^2$ de la dérivée, de façon à autoriser des sauts brusques.

- Critère à minimiser.

On observe $Y_d(t)$, définie en (1.13) et (1.14), aux instants $t_k$ :

$$ (8.9) \qquad t_k = k \Delta t, \quad k = 1, \dots, N_t. $$

Dans les essais effectués, la largeur d'une couche $\Delta x$ et la moitié du pas d'échantillonage $\Delta t$ ont les ordres de grandeur relatifs suivants :

$$ (8.10) \qquad \frac{2 \Delta x}{\Delta t} = 2 \text{ à } 7. $$
On introduit $Y_d$ et $Y(\sigma)$, les deux vecteurs de $\mathbb{R}^{N_t}$ :

$$ Y_d = (Y_d(t_k))_{k=1}^{N_t} \quad ; \quad Y(\sigma) = Y(\sigma, t_k)_{k=1}^{N_t} . \tag{11} $$

On note (., .) le produit scalaire dans $\mathbb{R}^{N_t}$. On définit alors les deux fonctions coût $J_1$ et $J_2$ par

$$ J_1(\sigma) = (Y_d - Y(\sigma), Y_d - Y(\sigma)) ; \tag{12} $$

$$ J_2(\sigma) = (\Lambda^{-1}(Y_d - Y(\sigma)), Y_d - Y(\sigma)) , \tag{13} $$

où $\Lambda$ est la matrice de covariance du bruit.

On choisira comme critère à minimiser l'une des deux fonctionnelles $J_1$ ou $J_2$. Le choix de $J_1$ correspond à une méthode des moindres carrés ; il est justifié si l'on ne dispose d'aucune information sur le bruit. Le choix de $J_2$ correspond, dans l'hypothèse d'un bruit aléatoire gaussien, à une méthode de maximum de vraisemblance.

En conclusion, le problème ainsi formulé est un problème d'optimisation sur un convexe compact de $\mathbb{R}^N$.

## - Algorithme d'optimisation utilisé.

Il s'agit d'un algorithme de type gradient conjugué, dans une version mise au point par LEMARECHAL [10]. Cet algorithme génère une suite de répartitions d'impédances $\sigma_n$, qui converge vers un point stationnaire du critère. Une itération, c'est-à-dire, le passage de $\sigma_n$ à $\sigma_{n+1}$, nécessite

1. le calcul du gradient de $J$ : pour cela, on résoud des équations "adjointes" aux équations d'état (Cf § 6.2.3) ;

2. une minimisation monodimensionnelle qui, elle-même, requiert quelques évaluations du critère $J$, et donc les résolutions des équations d'état correspondantes.

La contrainte (8.7) est traitée par pénalisation, en ajoutant au critère $J_1$ ou $J_2$ (Cf (8.12) ou (8.13)), le terme

$$ \frac{1}{\epsilon} \beta(\sigma) = \frac{1}{\epsilon} (\text{var } \sigma - \text{var}_{\text{max}})^{+} . $$
L'algorithme d'optimisation utilisé permet de minimiser la fonction coût résultante, bien que celle-ci ne soit pas dérivable.

### 8.1.4 - Principe d'un essai numérique.

Ne disposant pas de toutes les données correspondant à un exemple réel, nous avons été amenés, pour les essais numériques, à ne procéder, dans un premier temps, qu'à des simulations. Donnons les différentes étapes d'une simulation.

#### - 1ère étape : calcul de l'observation.

Calcul de la réponse $Y(\sigma_{ex})$ du modèle à la répartition $\sigma_{ex}$ (ex comme exacte), à partir des données $\sigma_{ex}$ et de l'impulsion $g$.

Calcul de l'observation $Y_d$ : on génère une réalisation d'un bruit possédant les caractéristiques énoncées en 8.1.2.

#### - 2ème étape : choix du domaine de minimisation et du critère.

Deux paramètres, caractéristiques du domaine, sont à fixer :

(8.15) $\Delta X$ : largeur d'une couche ;

(8.16) $N$ : nombre de couches.

Comme le suggère la théorie, on a toujours réalisé :

(8.17) $$N \cdot \Delta X = \frac{1}{2} (N_t \cdot \Delta t) ;$$

$N \cdot \Delta X$ : Profondeur sur laquelle on identifie ;

$N_t \cdot \Delta t$ : Durée de l'observation.

Enfin, il faut indiquer la valeur de $\text{var max}$.

#### - 3ème étape : choix des paramètres de l'algorithme d'optimisation.

Choix d'une répartition initiale $\sigma_0$. Dans tous les essais, on a pris $\sigma_0$ soit égale à une fonction constante, soit égale à une fonction présentant un saut : le premier de la répartition exacte.

Choix du paramètre de pénalisation et du test d'arrêt.
- 4ème étape : analyse des résultats.

Il s'agit de comparer la répartition obtenue à l'itération n, σn, et la répartition σex. A cet effet, on donnera la valeur des quantités suivantes :

1. l'erreur relative moyenne sur l'impédance :

18)

$$ \Delta\sigma = \left[ \sum_{i=1}^{N} (\sigma_{n,i} - \sigma_{ex,i})^2 \right]^{\frac{1}{2}} \left[ \sum_{i=1}^{N} \sigma_{ex,i}^2 \right]^{-\frac{1}{2}} . $$

2. l'erreur relative moyenne sur les coefficients de réflexion :

19)

$$ \Delta r = \left[ \sum_{i=1}^{N-1} |r_{n,i} - r_{ex,i}| \right] \left[ \sum_{i=1}^{N-1} |r_{ex,i}| \right]^{-1}, $$

où les $r_{n,i}$ et $r_{ex,i}$ sont les coefficients de réflexion (Cf (6.29)).

On comparera aussi la réponse $Y(\sigma_n)$ à $Y_d$, en donnant

3. l'écart normalisé entre les sismogrammes :

20)

$$ \Delta Y = \left[ \sum_{k=1}^{N_t} (Y_k(\sigma_n) - Y_{dk})^2 \right]^{\frac{1}{2}} \left[ \sum_{k=1}^{N_t} Y_{dk}^2 \right]^{-\frac{1}{2}} . $$

Plusieurs essais ont été effectués, afin de mettre en évidence l'influence, sur la qualité des résultats obtenus, des facteurs suivants :

4. complexité de la répartition à identifier ;

5. largeur de l'impulsion ;

6. nature du bruit ;

7. paramètre de l'algorithme (critère retenu, coefficient de pénalisation).

## 8.2 - EFFICACITE DE LA METHODE DANS LE CAS D'UNE OBSERVATION NON BRUITEE.

On teste ici l'algorithme sur le problème inverse "simple", correspondant au cas d'une observation non bruitée ; il s'agit donc de déterminer une fonction σ à partir de la réponse $Y(\sigma)$.
<table><caption>Tableau 8.3</caption><thead><tr><th></th><th></th><th>Essai 1</th><th>Essai 2</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="2">Répartition à identifier σ<sub>ex</sub></td><td>σ<sup>(1)</sup></td><td>σ<sup>(2)</sup></td></tr><tr><td rowspan="2">Impulsion</td><td>durée θ</td><td>140 ms</td><td>140 ms</td></tr><tr><td>Pas Δt</td><td>2 ms</td><td>4 ms</td></tr><tr><td rowspan="2">Observation</td><td>durée Y<sub>T</sub><sup>d</sup></td><td>Y<sup>(1)</sup><br>2,24 sec</td><td>du<br>type Y<sup>(2)</sup><br>2,40 sec</td></tr><tr><td colspan="3">Domaine d'optimisation (contient σ<sub>ex</sub>)</td></tr><tr><td colspan="2">. largeur d'une couche ΔX</td><td>7 ms</td><td>4 ms</td></tr><tr><td colspan="2">. nombre de couches N</td><td>160</td><td>300</td></tr><tr><td colspan="2">. borne sur la variation var<sub>max</sub></td><td>+∞</td><td>+∞</td></tr><tr><td colspan="2">Critère d'optimisation</td><td>moindres carrés<br>(8.12)</td><td>moindres carrés<br>(8.12)</td></tr><tr><td colspan="2">Répartition initiale</td><td>constante</td><td>constante</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_79.png" /></figure>

— répartition exacte

..... itération 0

----- itération 1800

<caption>Figure 8.13 - Comparaison entre la répartition exacte et la répartition calculée. Essai 1.</caption>
<figure><img src="image_80.png" /><figcaption>Figure 8.14 - Comparaison entre la répartition exacte et la répartition calculée. Essai 2</figcaption></figure>

Le test est positif ainsi que le montrent les Figures 8.13 et 8.14.

Le tableau 8.4 donne les erreurs entre les valeurs exactes et les valeurs calculées (Cf (8.18) à (8.20))

<table><caption>Tableau 8.4</caption><thead><tr><th></th><th>Essai 1<br>(itér. 1800)</th><th>Essai 2<br>(itér. 2000)</th></tr></thead><tbody><tr><th>Δσ</th><td>1 %</td><td>3 %</td></tr><tr><th>Δr</th><td>3 %</td><td>16 %</td></tr><tr><th>ΔY</th><td>4 × 10<sup>-4</sup></td><td>2 × 10<sup>-4</sup></td></tr></tbody></table>
- Analysons le cheminement de l'algorithmme.

### Essai 1 :

<table><caption>Tableau 8.5</caption><thead><tr><th>ΔY (%)</th><th>nb itérations</th><th>Δσ (%)</th><th>Δr (%)</th></tr></thead><tbody><tr><td>42</td><td>1</td><td>53</td><td>63</td></tr><tr><td>40</td><td>3</td><td>53</td><td>63</td></tr><tr><td>30</td><td>9</td><td>51</td><td>60</td></tr><tr><td>20</td><td>14</td><td>50</td><td>66</td></tr><tr><td>10</td><td>40</td><td>49</td><td>51</td></tr><tr><td>5</td><td>100</td><td>43</td><td>39</td></tr><tr><td>1</td><td>500</td><td>6</td><td>15</td></tr><tr><td>0,5</td><td>900</td><td>6</td><td>12</td></tr><tr><td>0,1</td><td>1 300</td><td>5</td><td>6</td></tr><tr><td>0,04</td><td>1 800</td><td>1</td><td>3</td></tr></tbody></table>

### Essai 2 :

<table><caption>Tableau 8.6</caption><thead><tr><th>ΔY (%)</th><th>nb itérations</th><th>Δσ (%)</th><th>Δr (%)</th></tr></thead><tbody><tr><td>38</td><td>1</td><td>33</td><td>50</td></tr><tr><td>30</td><td>2</td><td>33</td><td>50</td></tr><tr><td>20</td><td>6</td><td>32</td><td>46</td></tr><tr><td>10</td><td>18</td><td>32</td><td>40</td></tr><tr><td>5</td><td>90</td><td>33</td><td>46</td></tr><tr><td>1</td><td>500</td><td>13</td><td>34</td></tr><tr><td>0,5</td><td>700</td><td>6</td><td>30</td></tr><tr><td>0,1</td><td>900</td><td>4</td><td>26</td></tr><tr><td>0,02</td><td>2 000</td><td>3</td><td>16</td></tr></tbody></table>

Les tableaux 8.5 et 8.6 montrent clairement que, si 100 itérations sont nécessaires pour réduire l'erreur relative moyenne sur le sismogramme ΔY (c'est-à-dire, la racine carrée de la fonction coût) d'un facteur 8 (0,40 à 0,05), il faut encore 400 itérations pour la réduire d'un facteur supplémentaire égale à 5 (0,05 à 0,01).

Or, c'est précisément lorsque l'erreur ΔY passe de 0,05 à 0,01 que l'erreur relative moyenne sur l'impédance Δσ commence à décroître
sensiblement : les Figures 8.15 et (8.16) illustrent le comportement de
cette dernière erreur, ainsi que de l'erreur $\Delta r$, en fonction de $\Delta Y$.

<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>Figure 8.15</figcaption></figure>

<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>Figure 8.16</figcaption></figure>

Sur les Figures 8.17 et 8.18, on a représenté les répartitions
obtenues à l'itération 600, c'est-à-dire lorsque l'erreur relative moyenne
sur le sismogramme $\Delta Y$ est de l'ordre de 1 % .
<figure><img src="image_83.png" /></figure>

—— répartition exacte

---- itération 600

<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>Figure 8.17 - Répartition obtenue à 1'itération 600.
Essai 1.</figcaption></figure>

—— répartition exacte

---- itération 600

<caption>Figure 8.18 - Répartition obtenue à 1'itération 600.
Essai 2.</caption>
## 8.3 - INFLUENCE DE L'IMPULSION.

### 8.3.1 - Considérons d'abord le cas de la même impulsion, mais dilatée ou contractée dans l'échelle des temps.

On garde, comme valeur des paramètres, celle de l'essai 2, et on fait varier $\theta$, durée de l'impulsion. On prendra successivement $\theta = \theta_1 = 70$ ms, $\theta = \theta_2 = 280$ ms et $\theta = \theta_4 = 560$ ms ($\theta = \theta_1 = 140$ ms correspond à l'essai 2). Les Figures (8.19) et (8.20) représentent les réponses de $\sigma^{(2)}$ aux impulsions de durée $\theta_1$ et $\theta_4$.

- On constate que

Pour $\theta = \theta_1/2$ (Figure 8.21), l'allure de la répartition calculée est bonne, mais celle-ci est décalée par rapport à la répartition exacte.

Pour $\theta = \theta_1$ (Figure (8.14), $\theta_2$, $\theta_4$ (Figure 8.22), la répartition calculée présente des oscillations haute fréquence d'amplitude faible (augmentant avec $\theta$) autour de la répartition exacte.

<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>Figure 8.19 - Réponse de $\sigma^{(2)}$ à l'impulsion de durée $\theta_1$.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_86.png" /><figcaption>Figure 8.20 - Réponse de $\sigma^{(2)}$ à l'impulsion de durée $\theta_4$.</figcaption></figure>

Le Tableau 8.7 quantifie cette constatation :

<table><thead><tr><th>Valeur de θ</th><th>Δσ (itér. 2000)</th><th>Δr (itér. 2000)</th><th>ΔY (itér. 2000)</th></tr></thead><tbody><tr><td>θ₁</td><td>18 %</td><td>8 %</td><td>0,8 %</td></tr><tr><td>θ₁</td><td>3 %</td><td>16 %</td><td>0,02 %</td></tr><tr><td>θ₂</td><td>6 %</td><td>38 %</td><td>0,03 %</td></tr><tr><td>θ₄</td><td>8 %</td><td>36 %</td><td>0,01 %</td></tr></tbody></table>

Tableau 8.7

$\theta_1$ donne les meilleurs résultats (à l'itération 2000), si on prend comme critère la demi-somme des erreurs relatives moyennes sur l'impédance, et les coefficients de réflexion.
<figure><img src="image_87.png" /><figcaption>Figure 8.21 - Comparaison entre la répartition exacte et la répartition calculée.
Cas sans bruit : durée de l'impulsion $\theta_1$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_88.png" /><figcaption>Figure 8.22 - Comparaison entre la répartition exacte et la répartition calculée.
Cas sans bruit : durée de l'impulsion $\theta_4$.</figcaption></figure>
- En ce qui concerne le cheminement de l'algorithme, on peut dire que

l'erreur sur les sismogrammes décroit d'autant plus rapidement que
est grand : ceci est une conséquence de la nature $L^2$ du critère de minimisation
D'autre part, c'est lorsque l'erreur sur le sismogramme passe de 5% à 10% que

l'erreur sur l'impédance, pour $\theta = \theta_1, \theta_2, \theta_4$, diminue d'un facteur compris entre 2 et 3.

l'erreur sur les coefficients de réflexion pour $\theta = \theta_{1/2}$, diminue d'un facteur 2.

### 8.3.2 - On envisage maintenant le cas d'une impulsion dont la primitive a une valeur moyenne nulle.

L'impulsion de type Ricker (Cf Figure 8.5) a une durée égale à 100 ms, comprise entre $\theta_1/2$ et $\theta_1$. L'observation utilisée est le sismogramme $Y^{(2)}$, Fig. 8.8.

- Les résultats obtenus sont résumés dans la première ligne du tableau 8.8.

l'erreur relative moyenne sur l'impédance est nettement plus grande que pour $\theta_1/2$ et $\theta_1$;

par contre, l'erreur relative moyenne sur les coefficients de réflexion est meilleure que pour $\theta_1/2$, et donc aussi pour $\theta_1$.

Les Figures 8.23 et 8.24 mettent bien en évidence le fait que l'algorithme n'a pas ajusté les très basses fréquences (0 à 2 Hz).

<table><caption>Tableau 8.8</caption><thead><tr><th>Prise en compte de la valeur moyenne de σ<sup>(2)</sup></th><th>ΔY</th><th>Δr</th><th>Δσ</th></tr></thead><tbody><tr><td>non</td><td>0,1 %</td><td>4 %</td><td>31 %</td></tr><tr><td>oui</td><td>0,3 %</td><td>18 %</td><td>9,5 %</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>Figure 8.23 - Répartition d'impédance obtenue avec une impulsion dont la primitive a une valeur moyenne nulle.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_90.png" /></figure>

<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>Figure 8.24 - Module de la transformée de Fourier de l'écart entre la répartition exacte et la répartition obtenue aux itérations 0 et 2000.</figcaption></figure>
- Supposons, maintenant, connue la valeur moyenne de la répartition cherchée.

On peut alors introduire cette information comme une contrainte dans le domaine d'optimisation. Le Tableau 8.8 montre que la prise en compte de cette information a permis d'améliorer l'erreur sur l'impédance au détriment de l'erreur sur les coefficients de réflexion. La Figure 8.25 illustre la qualité de la répartition d'impédance trouvée.

<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>Figure 8.25 - Répartition d'impédance obtenue avec une impulsion dont la primitive a une valeur moyenne nulle lorsque l'on prend en compte la valeur moyenne de la répartition exacte.</figcaption></figure>