# ESPACES DE TRAVAIL MATHÉMATIQUE ET EPISTÉMOGRAPHIE HOMMAGE À JEAN-PHILIPPE DROUHARD

Alain Kuzniak

Université Paris Diderot, Laboratoire de Didactique André Revuz (EA 4344)

alain.kuzniak

alain.kuzniak@univ-paris-diderot.fr

## Abstract

The main purpose of this article is to define the specific role of tools and instruments in mathematical work. Based on the initial approach developed by Drouhard in his epistemography of knowledge, a multidimensional perspective on tools and instruments is adopted. Related to the three dimensions of MWS theory, it combines semiotic, instrumental and discursive genesis to achieve a complete and coherent mathematical work. Two examples, in probability and algebra, show how this perspective can be used to describe and shape mathematical work in schooling.

**Keywords:** Instrument, tool, Mathematical Working Spaces, multidimensional approach

## Résumé

Le but principal de cet article est de définir le rôle spécifique des outils et instruments dans le travail mathématique. En s'appuyant sur l'approche initialement développée par Drouhard dans son épistémographie des connaissances, une perspective multidimensionnelle sur les outils et les instruments est adoptée. Reliée aux trois dimensions de la théorie des ETM, elle associe la genèse sémiotique, instrumentale et discursive pour réaliser un travail mathématique complet et cohérent. Deux exemples, en probabilité et en algèbre,

montrent comment cette perspective peut être utilisée pour décrire et façonner le travail mathématique dans l'enseignement.

**Mots-clés:** Instrument, outil, Espaces de Travail Mathématique, approche multidimensionnelle

## 1. Introduction

Un des intérêts du cadre théorique et méthodologique des Espaces de Travail Mathématique (ETM), qui explique en partie son succès, est sa capacité d'adaptation et d'interaction avec d'autres approches théoriques. Je souhaiterais ici illustrer cette particularité en revenant sur ma collaboration avec Jean-Philippe Drouhard, qui s'est, malheureusement, brutalement terminée peu avant le symposium ETM5 à Florina. Jean-Philippe en était membre du comité scientifique. De cette manière, je souhaite aussi rendre hommage à un chercheur particulièrement original, dont l'acuité et la finesse d'analyse manquent aujourd'hui à la communauté didactique.

De manière plus précise, cet article propose une mise au point sur l'usage, dans le cadre des Espaces de Travail Mathématique, des notions d'outil et d'instrument. Cette mise au point prend appui sur une approche multidimensionnelle développée par Jean-Philippe Drouhard dans son épistémographie des savoirs pour la didactique (Drouhard, 2012 ; Drouhard et
Panizza, 2012). Pour Drouhard, les mathématiques sont constituées « d'objets » dont il ne s'agit pas tant de comprendre le statut ontologique mais plutôt d'analyser le réseau des savoirs mathématiques qui leurs sont associés. Pour cela, il introduit différentes dimensions relatives à ces savoirs : *notionnelle* qui porte sur les définitions et les propriétés des objets, *sémiolinguistique* qui porte sur les jeux d'écriture sur les objets, *instrumentale* qui renvoie aux opérations possibles sur les objets. Cette vision multidimensionnelle s'accorde particulièrement bien avec les différentes dimensions — discursive, sémiotique, instrumentale — constitutives du travail mathématique tel qu'il est modélisé dans les ETM.

Après une brève présentation de la théorie des ETM (section 2), nous précisons ce que nous entendons par outils et instruments dans nos recherches en relation avec l'épistémographie des savoirs (section 3). Nous illustrons sur deux exemples l'intérêt de notre définition : le premier (section 4) relève du domaine des probabilités et le second (section 5) de l'algèbre. Ces deux exemples nous permettent d'introduire l'idée de travail mathématique complet et cohérent et, aussi, de montrer la polyvalence des objets mathématiques qui, suivant les points de vue adoptés par leur usager, peuvent être considérés comme des outils sémiotiques, technologiques ou théoriques.

## 2. Espace de Travail Mathématique (ETM)

La théorie des ETM bénéficie des symposiums ETM pour assurer à la fois son

développement et sa diffusion. Elle a ainsi fait l'objet de présentations diverses tant dans ces symposiums que dans des articles en différentes langues comme le français (Kuzniak, 2011), l'anglais (Kuzniak, Tanguay et Iliada, 2016) ou encore l'espagnol (Gómez-Chacón, Kuzniak et Vivier, 2016). Par ailleurs, en 2014, un numéro trilingue de la revue Relime lui a été entièrement consacré.

Le modèle théorique et méthodologique des Espaces de Travail Mathématique (ETM) se propose de décrire les formes du travail mathématique effectué par les élèves dans le cadre scolaire. Comme son nom l'indique, il place le travail mathématique au centre de la réflexion sur l'enseignement et l'apprentissage. Dans ce contexte, les institutions scolaires et les professeurs ont pour finalité première de développer un environnement qui puisse permettre aux élèves de résoudre de manière adaptée des problèmes mathématiques.

Il est possible d'envisager les ETM à partir de deux diagrammes (Figures 1 et 2) qui en structurent l'approche théorique et fournissent un cadre méthodologique aux études qui s'inscrivent dans ce courant de recherche.
<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Figures 1 et 2 : Diagrammes associés aux ETM</figcaption></figure>

L'organisation des ETM en deux niveaux, épistémologique et cognitif, vise à décrire le travail des élèves confrontés à un ensemble de tâches ayant une finalité de type mathématique. Dans cette optique, le plan épistémologique définit les attentes *a priori* sur les tâches proposées par rapport aux exigences de la discipline même. Pour l'étudier, nous avons identifié trois composantes caractéristiques du travail mathématique :

- un ensemble de *representamen* concrets et tangibles, qui pourront être des figures et des dessins en géométrie ou des graphiques, des tableaux de variations, des écritures de fonctions en analyse, différentes écritures des nombres, ... ;

- un ensemble d'artefacts matériels tels que des instruments de dessin ou des dés, ou symboliques comme des techniques routinisées ou des algorithmes dont certains peuvent être mis en œuvre dans les calculatrices et des logiciels;

- un référentiel théorique qui est un système de référence basé sur des définitions et des propriétés.

Il est également essentiel de comprendre comment des communautés d'individus, mais aussi des individus particuliers, s'approprient et utilisent les connaissances mathématiques dans la pratique de la discipline. Le plan cognitif rend compte du travail mené par l'élève pendant la résolution d'un problème. Nous avons retenu trois processus cognitifs en interaction :

- un processus de visualisation qui s'appuie sur l'identification, la reconnaissance et le traitement des différents signes utilisés ;

- un processus de construction déterminé par les instruments (règles, compas, logiciel, etc.) et les techniques utilisés, et qui produit des configurations géométriques ou des résultats de calculs ;

- un processus discursif, qui produit des preuves écrites ou exprimées oralement dans un langage mathématique.

Grâce aux diagrammes des figures 1 et 2, il est possible de mettre en évidence des manières de faire et des cheminements de pensée qui se manifestent dans la résolution des problèmes de mathématiques proposés
dans l'enseignement. Le travail mathématique se donne ainsi à voir à travers l'usage, plus ou moins coordonné, par un individu de signes (representamen), d'artefacts et d'éléments du référentiel théorique constitutifs du plan épistémologique. Un des points de la recherche entamée avec Jean-Philippe Drouhard portait précisément sur la compréhension, ou tout au moins sur la description, du processus de coordination entre tous ces objets aux statuts et rôles différents dans la constitution de l'activité mathématique par les élèves. Cela a conduit à privilégier un regard multidimensionnel sur les objets mathématiques intégrant :

- un point de vue sémiotique relatif aux signes constitutifs de l'objet ;

- un point de vue technologique, articulé sur l'usage d'un certain nombre d'artefacts en relation avec l'objet ;

- et enfin un point de vue théorique orienté vers la preuve discursive, où l'objet apparaît comme une notion mathématique intégrée dans un corpus théorique qui sert de référence.

## 3. Outil et instrument du travail mathématique

Privilégier l'étude du travail mathématique en didactique des mathématiques force à considérer l'emploi et l'usage comme outil des différents objets mathématiques, et à s'interroger sur leur appropriation effective par des individus. Différentes notions sont reliées en didactique à des termes comme artefacts, outils ou instruments et je vais tenter de les distinguer.

### 3.1 Définitions traditionnelles

Conformément à l'usage des préhistoriens ou des archéologues, l'artefact est un objet transformé par l'homme avec une certaine finalité. Il s'agit a priori d'un terme neutre dont les usages restent à spécifier, notamment dans une perspective technologique.

La notion d'outil se démarque de celle d'artefact parce qu'elle est plus dirigée vers la réalisation d'une activité productrice ; ainsi, un gâteau est un artefact mais n'est pas un outil.

Les valeurs sémantiques du mot instrument sont très variées mais, selon son acception standard dans le domaine scientifique, il s'agit d'un objet fabriqué pour permettre de réaliser une technique ou favoriser une opération (observation, mesure...). Dans le langage ordinaire, on peut donc y voir un outil particulier et performant, dont la conception et la réalisation sont le fruit d'une anticipation importante.

### 3.2 Définitions dans le cadre des ETM

La notion d'instrument a acquis une signification particulière dans les travaux didactiques à la suite de l'influence de Rabardel (1995) et, plus largement, de l'importation de certains concepts de la théorie de l'activité dans les études en éducation. Dans ce contexte, un instrument résulte d'une construction de schèmes par le sujet mis en activité, et il devient ainsi le fruit d'une genèse cognitive. Pour reprendre la distinction de Rabardel, l'instrument n'est pas un donné mais il doit être élaboré par le sujet. Un instrument est alors formé de deux composantes : un artefact, matériel ou
symbolique, et des schèmes d'utilisation associés.

Dans la suite de ce chapitre et chaque fois que cela sera utile, je réserverai le terme d'outil aux objets du plan épistémologique ayant un usage potentiel déterminé dans le cadre de la résolution d'un problème. L'emploi du mot instrument sera privilégié dès lors qu'une interaction existera entre un sujet (élève, étudiant ou professeur) et l'outil qu'il faudra mettre à contribution pour résoudre effectivement la tâche proposée. Par contre, nous n'intégrerons pas l'idée psychologique de schèmes d'utilisation si ce n'est à travers l'observation de la mise en œuvre de certaines techniques d'utilisation des outils. De la même façon, le terme d'artefact gardera la seule signification qui lui est généralement attribué.

## 3.3 Une vision dynamique et multidimensionnelle

Pour tenter de comprendre l'usage effectif et la dynamique des outils et instruments dans le travail mathématique, nous nous sommes appuyés sur le point de vue multidimensionnel introduit par Drouhard (2012) dans son épistémographie des savoirs mathématiques. En relation avec les différents pôles du plan épistémologique et les différentes dimensions du travail mathématique, il est possible de considérer, a priori, trois types d'outils et d'instruments : des outils et instruments sémiotiques comme les algorithmes de traitement à l'intérieur des registres de représentation sémiotique ; des outils et instruments théoriques comme les théorèmes nécessaires pour valider certains raisonnements ; des outils et instruments technologiques comme les calculatrices.

En un sens proche d'Engeström (2015), Drouhard introduit un second niveau avec la notion de méta-instrument, en référence à des savoirs stratégiques sur les usages des instruments de premier niveau.

Ce point de vue multidimensionnel sur la notion d'outils et d'instruments rejoint ainsi les préoccupations de chercheurs utilisant le cadre des ETM en didactique de l'algèbre, de l'analyse ou de la géométrie (Montoya-Delgadillo, Mena-Lorca et Mena-Lorca, 2012). Ces derniers ont développé la notion d'artefact symbolique pour décrire l'usage particulier, dans le raisonnement mathématique, de certains théorèmes comme le théorème des valeurs intermédiaires ou le théorème de Pythagore, ou bien de techniques algébriques comme les règles de factorisation ou de développement. Finalement, les distinctions suivantes ont été retenues dans l'article de Kuzniak, Nechache et Drouhard (2016, p. 864) pour caractériser trois types d'outils en relation avec les trois dimensions sémiotique, instrumentale et discursive du modèle des ETM :

* Semiotic tools are non-material tools for operating on semiotic representations of mathematical objects;

* Technological tools are artifacts like drawing tools or routinized techniques based on algorithms or calculators with implemented calculation algorithms;

* Theoretical tools are non-material tools for mathematical reasoning based on the logical and mathematical properties of mathematical objects.
## 3.4 La question étudiée

Nous faisons l'hypothèse que la prise en compte du caractère multidimensionnel des instruments mathématiques permet de préciser et de comprendre la nature des interactions existant dans les ETM entre chacun des éléments du plan épistémologique, en relation avec les genèses associées : genèses sémiotique, instrumentale et discursive. Nous illustrerons cette approche par l'étude de la fonction et des usages, dans l'espace de travail, de différents objets utilisés en mathématiques. Il s'agira plus particulièrement d'expliciter leur rôle dans la circulation du savoir mathématique. La modélisation des Espace de Travail Mathématique retenue dans Kuzniak et Richard (2014) met en exergue trois plans principaux d'interaction : [Sem-Ins], [Ins-Dis] et [Sem-Dis] (Figure 2). Grâce à ces trois plans, il est possible de rendre compte de la circulation du savoir au cours de l'activité mathématique et de dégager la notion de travail mathématique complet (Kuzniak, Nechache et Drouhard, 2016, p. 862). Pour ces auteurs, le travail mathématique est considéré comme complet lorsque les conditions suivantes sont remplies :

A) Une réelle relation entre les plans épistémologique et cognitif. Cet aspect signifie que les élèves sont capables de choisir les outils pertinents pour résoudre un problème puis de les utiliser de manière appropriée comme instruments pour résoudre la tâche donnée.

B) Une articulation d'une riche diversité entre les différents genèses et les plans verticaux qui apparaissent

dans le diagramme des ETM (fig. 2). Il s'agit cette fois de vérifier que les différentes genèses du travail liées aux signes, aux artefacts et aux propriétés sont prises en compte.

Nous essaierons notamment de voir dans quelle mesure certains des objets peuvent intervenir en tant qu'instrument dans toutes ces interactions et constituer de ce fait ce que nous appellerons un *instrument mathématique*.

Dans cet article, je ne donnerai que deux des exemples étudiés dans Drouhard et Kuzniak (2015) : les arbres en probabilités comme exemple d'outil initialement purement sémiotique, et le calcul algébrique littéral comme exemple d'outil symbolique pour favoriser le calcul. Dans l'article précité, nous avions aussi envisagé le théorème de Thalès en géométrie comme objet du référentiel théorique et, enfin, le compas comme artefact matériel.

## 4. Arbres probabilistes, ou la complétude du travail mathématique idoine

Dans cette section, j'explore le statut particulier de l'arbre probabiliste dans le travail mathématique scolaire mise en place à la fin du secondaire français. J'explicite son rôle éventuel d'instrument sémiotique, puis d'instrument mathématique dans le sens introduit dans le paragraphe précédent. Les arbres dont il est question sont des arbres probabilistes. Ils dérivent des arbres ensemblistes de façon à favoriser les calculs et les raisonnements dans les problèmes impliquant les probabilités conditionnelles. Il y a ainsi une évolution d'un premier type de représentation essentiellement descriptif à
un second type qui remplit des fonctions de
preuves.

Comme le souligne Parzysz (1993), les arbres ont longtemps fait l'objet d'un usage spontané, avec des règles de fonctionnement implicites laissées à l'initiative de leur utilisateur. Il s'agit alors essentiellement d'un outil de modélisation qui permet de représenter et de mémoriser des situations ensemblistes de dénombrement faisant intervenir des choix, d'où les bifurcations en branches qui représentent les alternatives. Grâce aux travaux didactiques entrepris dans les années 90, on assiste à la transformation progressive de cet outil sémiotique en un outil mathématique autonome assurant ainsi un travail mathématique complet dans le sens défini précédemment (3.4). En effet, nous allons voir qu'il devient possible d'utiliser les arbres pour calculer les valeurs des probabilités (outil technologique) et fonder une validation discursive basée sur le seul emploi des arbres (outil théorique).

Cette transformation d'un pur diagramme représentatif en un outil mathématique passe par différents états intermédiaires (arbre de choix et d'occurrence, arbre pondéré, arbre probabiliste à marges) avec des règles de calcul et d'usage ad hoc. L'arbre peut être ainsi considéré comme un outil technologique (artefact) produisant un résultat à partir de calculs. De ce fait, les dimensions sémiotiques et instrumentales du travail mathématique sont clairement concernées. Mais, une argumentation fondée sur le seul usage des arbres peut-elle être considérée comme légitime ? Nous allons discuter cette question dans le cas des programmes du lycée français actuels, implantés en 2010. L'introduction des arbres

y est proposée de manière graduelle et elle suit la construction sémiotique et technologique que nous avons dégagée plus haut. Les arbres sont tout d'abord un outil de modélisation parmi d'autres (arbres, diagrammes, tableaux) en classe de seconde (Grade 10), puis en classe de première (Grade 11), un lien étroit s'établit avec les arbres de choix dans le cas d'un tirage de Bernoulli. Les arbres servent alors de support à loi binomiale et à la définition des coefficients binomiaux vus comme le nombre de chemins donnant *k* succès dans une épreuve à *n* tirages.

Enfin, l'institutionnalisation comme un outil mathématique complet autonome s'effectue en Terminale (Grade 12), où les arbres pondérés sont les outils de représentation privilégiés pour étudier les probabilités conditionnelles. Leur statut d'outil et d'instrument légitimes est explicité dans les programmes de terminales scientifiques en 2012 par le travail qu'il est nécessaire d'effectuer avec eux :

- Outil de représentation : on représente une situation à l'aide d'un arbre pondéré ou d'un tableau.

- Règle d'usage : on énonce et on justifie les règles de construction et d'utilisation des arbres pondérés.

- Rôle de preuve : un arbre pondéré correctement construit constitue une preuve.

Cette institutionnalisation des arbres comme outil légitime du travail mathématique en probabilité entraîne leur usage dans les manuels et dans les classes, avec un certain nombre de variations sur leur statut suivant ces manuels et classes. Ainsi, certains manuels introduisent des règles de construction et des règles de
fonctionnement pour un arbre, en les mettant
parfois en relation avec le substrat
ensembliste.

Par exemple dans le manuel *Transmath*
(Aimani et al., 2012, p. 353), trois règles sont
données :

1. La somme des probabilités sur les branches partant d'un même noeud est 1 (loi des noeuds).

2. La probabilité d'un événement représenté par un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin (loi des chemins).

3. La probabilité d'un événement *E* est la somme des probabilités des événements associés aux chemins qui mènent à *E*.

Par la suite, dans le même manuel, les
solutions d'exercices proposées font
explicitement référence à ces règles. Ainsi
une rhétorique interne au registre des arbres
se met en place et l'arbre devient un outil
mathématique complet et à part entière de
l'ETM proposé.

Ce premier exemple montre l'apparition
récente d'un outil sémiotique qui s'est
transformé par la suite en outil
mathématique de l'ETM. Cet outil permet la
représentation d'un type de problèmes, il est
aussi un outil de calcul et, in fine, il est
reconnu comme un support légitime de
preuve. Il permet ainsi a priori un travail
mathématique complet dans l'ETM idoine du
lycée, et des études didactiques comme
celle de Nechache (2017) s'attachent à
observer l'usage effectif de cet outil dans les
classes et sa transformation en instrument
au niveau des ETM personnels des élèves.
Nechache montre que les difficultés de ce
passage de l'outil à l'instrument sont dues en

grande partie au fait que les professeurs
proposent souvent des tâches simples qui
tendent à confiner le travail mathématique
des élèves dans une seule genèse ou un
seul plan de l'ETM.

5. Calcul algébrique

Dans cette partie, j'aborde une question qui était au cœur de ma collaboration avec Jean-Philippe et qui concerne spécifiquement la place du calcul algébrique, et plus largement du calcul symbolique, dans le travail mathématique. Pour avancer sur cette question relativement technique, nous avons utilisé des éléments de l'analyse épistémographique (Drouhard, 2012) spécifiquement dédiée à l'étude de l'algèbre. Dans la suite, je reprends des éléments de Drouhard et Kuzniak (2015) et les applique à un exemple issu des recherches actuelles de Hoppenot (Hoppenot et al., 2017) sur l'étude, par des étudiants non mathématiciens, des domaines de définition de fonctions composées. Plus particulièrement, je considérerai la question du domaine de définition de ln (f(x)), avec comme cas particulier f(x) = x² - 10x + 20. D'après Hoppenot, les étudiants ont tendance à gommer la particularité de la fonction f en concluant immédiatement que le domaine de définition est ]0, +∞ [, comme pour le logarithme. Il est possible aussi qu'ils considèrent que le domaine de définition est l'intersection des deux domaines de définition comme on peut le vérifier lorsque f est une fonction rationnelle. Cet exemple ne mobilise pas le seul domaine de l'algèbre mais aussi celui de l'analyse. Cette implication de l'algèbre en tant qu'outil dans d'autres domaines mathématiques est
fréquente et en constitue sans doute une
des particularités les plus saillantes.

## 5.1 Objets et savoirs algébriques

Les dimensions du travail mathématique sur les objets algébriques se sont pas réductibles les unes aux autres. Dans l'exemple, il s'agit d'étudier l'inéquation $x^2 - 10x + 20 > 0$. Celle-ci comporte une première dimension purement sémiotique (sémiolinguistique pour Drouhard) associée à la représentation des objets considérés, l'écriture « $x^2 - 10x + 20 > 0$ ». Le traitement de cette écriture s'effectue dans des registres de représentation sémiotique. Ils sont nécessaires pour pouvoir représenter les objets sur lesquels on travaille, en interpréter et en transformer les représentations. Ici, notamment, on s'appuie sur les règles de priorité des opérations et la manipulation de polynômes vus, le plus souvent, comme des sommes de monômes.

Mais le traitement purement sémiotique de cette inéquation ne suffit pas à en rendre compte, il faut y introduire une composante en lien avec le référentiel théorique, où vivent des objets bien définis en mathématiques : propriétés du corps ordonné des réels, intervalles de R, composition de fonctions... Dans notre exemple, il faudra aussi compter avec des propriétés de la fonction logarithme et de la fonction f, qui renvoient aussi à un ensemble de propriétés liées à l'analyse. Cet ensemble de propriétés nourrit la dimension discursive, associée à la preuve, qui doit normalement permettre aux élèves d'identifier que le domaine de définition de la fonction est l'ensemble des valeurs de x telles que $x^2 - 10x + 20 > 0$ et de manière plus subtile, de comprendre que c'est l'ensemble des

images de la fonction f qui est en jeu pour assurer la définition de la fonction logarithme. Cette identification relance alors le travail dans la dimension sémiotique avec des traitements possibles dans différents registres : purement algébriques, graphiques, tableaux de variations. Une dynamique du travail se met alors en place dans le plan [Sem-Dis].

Le travail doit également se poursuivre dans la dimension instrumentale par des calculs à partir des expressions algébriques, qui peuvent être faits avec une calculatrice formelle. Mais, indépendamment d'un traitement basé sur un artefact matériel, il faut aussi considérer les procédures générales que l'on peut mettre en œuvre pour réaliser les tâches souhaitées. Ici par exemple, ces deux décompositions permettent une résolution : transformer « $x^2 - 10x + 20$ » en « $(x-5)^2 - 5$ » ou en « $(x-(5-\boxed{5})) (x-(5+\boxed{5}))$ ». Ceci nécessite un certain nombre de savoirs sur les outils mathématiques pour mener à bien, en pratique, le travail mathématique. Ce sont, en quelque sorte, les modes d'emploi et les précautions d'usage de ces outils. Les savoirs instrumentaux se distinguent ici des deux autres types de savoirs, sémiotiques et théoriques, par le fait que leur énoncé s'accompagne toujours de la mention d'un but (plus ou moins explicite) comme : « Pour résoudre une équation qui ne se ramène pas immédiatement à un cas connu, on a souvent intérêt à la mettre sous forme factorisée ».

## 5.2 L'algèbre et les outils et instruments du travail algébrique

Il est ainsi possible de répondre à la question controversée de la nature de
l'algèbre, et de caractériser sa spécificité épistémologique dans les mathématiques en identifiant les outils et instruments du calcul algébrique. Comme domaine mathématique, l'algèbre est à la fois une science des nombres et de leurs structures, un art de la résolution des problèmes numériques, et un ensemble de systèmes de représentation sémiotiques. Ces représentations permettent d'exprimer d'une part, les problèmes numériques et leur résolution et d'autre part, les ensembles de nombres, avec leurs propriétés et structure, que ces problèmes mettent en jeu. Le travail algébrique se déploie dans l'entièreté des trois dimensions du plan épistémologique (notionnelle et référentielle, instrumentale et sémiotique).

Ainsi, résoudre une inéquation suppose un travail mathématique de type algébrique avec :

- des règles de calcul littéral, qui ne sont pas autre chose que des jeux d'écritures (des « transformations de mouvement »),

- des propriétés mathématiques (telle que le fait que le produit de deux nombres négatifs est positif),

- et des considérations stratégiques qui décrivent la mise en œuvre instrumentale comme le fait que pour factoriser une différence telle que « 18 $x^2$ - 8 », on a fortement intérêt à commencer par une mise en facteurs communs (aboutissant à « 2(9$x^2$ - 4) ») avant d'appliquer la différence de deux carrés (aboutissant à « 2((3x + 2)(3x - 2)) »).

On retrouve ici les trois dimensions introduites dans l'approche en termes d'ETM et d'épistémographie. Plus précisément, les trois dimensions des outils et instruments du

travail algébrique correspondent aux trois dimensions des objets algébriques sur lesquels ces outils opèrent :

- la dimension sémiotique des outils et instruments du travail algébrique (« outils sémiotiques ») est celle des transformations dites de mouvement des écritures (Drouhard et Panizza, 2012),

- la dimension discursive associée à la preuve (« outils théoriques ») est celle des propriétés mathématiques utilisées comme outil de résolution,

- la dimension instrumentale sur des outils considérés comme des artefacts symboliques est celle des modes d'emploi de ces outils associés à des stratégies d'usage.

## 6. Conclusion

Dans cet article, j'ai réservé le terme « d'outil » aux objets du plan épistémologique de l'ETM ayant un usage défini dans le cadre des mathématiques. Sous ce terme générique, il est possible de distinguer des outils technologiques comme les artefacts matériels mais aussi certains algorithmes ou logiciels, des outils théoriques qui sont les théorèmes et les propriétés et enfin, des outils sémiotiques définis à partir de diagrammes, de symboles ou d'objets tangibles ayant un rôle de signe. Le terme d'instrument est retenu dès lors qu'une interaction existe entre un sujet et un outil pour résoudre effectivement une tâche proposée. De ce fait, les différentes dimensions — instrumentale, discursive, sémiotique — des ETM avec leurs genèses propres permettent d'analyser chacune des opérations cognitives particulières associées à la transformation d'un outil en instrument.
De cette manière, il est possible d'avoir un
point de vue multidimensionnel sur la
question des instruments en pointant des
différences entre instrument technologique,
instrument théorique et instrument
sémiotique. Nous réservons le terme
d'instrument mathématique aux outils dont la
maîtrise cognitive permet un travail
mathématique complet, et un jeu sur les
différentes dimensions cognitives du travail
dans son ensemble. Cette maîtrise pourra
passer par l'explicitation des savoirs
stratégiques nécessaires au bon usage des
différents outils.

Une fois dégagées ces précisions
terminologiques et conceptuelles, cette
approche multidimensionnelle a été utilisée
pour comprendre la nature très particulière
du calcul algébrique, qui se caractérise par
une proximité très forte des différentes
dimensions du plan épistémologique.
L'étude des arbres probabilistes a montré la
grande flexibilité des outils introduits en
mathématiques et la nécessité d'une prise
en compte précise de leur rôle pour en
assurer un emploi adéquat dans leur
domaine d'usage. Ainsi, un objet purement
sémiotique comme un arbre peut, à la suite
de certaines transformations, devenir un
instrument mathématique remplissant toutes
les fonctions attendues pour ce type
d'instrument. Cet éclaircissement des
différentes fonctions et usages des outils et
instruments dans le cadre des ETM,
entrepris avec l'appui de l'approche
épistémographique, permet une étude plus
fine du travail mathématique nécessaire
pour résoudre des situations mathématiques
complexes et guider un enseignement
prenant en compte la diversité cognitive de
ce travail.

Références

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Rabardel, P. (1995). *Les hommes et les technologies. Une approche cognitive des instruments contemporains*. Paris : Armand Colin.

## Brief Bio

Alain Kuzniak est professeur émérite de didactique des mathématiques à l'université Paris-Diderot à Paris. Ses recherches portent sur l'enseignement et l'apprentissage des mathématiques: géométrie, probabilités, analyse, modélisation. Il a contribué au développement de la théorie des Espaces de Travail Mathématique. Entre autres responsabilités internationales, il a été président du comité scientifique du colloque de l'Espace Mathématique Francophone à Dakar en 2009 et membre du conseil scientifique du colloque ICME12 à Hambourg. Il a été directeur de l'école doctorale Savoirs Scientifiques de l'université Paris-Diderot.