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# CH₀-trivialité universelle d'hypersurfaces cubiques presque diagonales

Jean-Louis Colliot-Thélène

## ABSTRACT

If a smooth cubic hypersurface of dimension at least 2 over the complex field is defined by the vanishing of a sum of cubic forms in independent variables and each of these forms involves at most three variables, then the cubic hypersurface is universally CH₀-trivial: there is an integral Chow decomposition of the diagonal.

## 1. Introduction

Pour $X$ une variété propre sur un corps on note $CH_0(X)$ le groupe de Chow des zéro-cycles de $X$ modulo l'équivalence rationnelle et on note $A_0(X) \subset CH_0(X)$ le sous-groupe des classes de zéro-cycles de degré zéro.

On dit [ACTP17, CTP16] qu'une $\mathbb{C}$-variété projective et lisse $X$ est universellement $CH_0$-triviale si, pour tout corps $F$ contenant $\mathbb{C}$ (et l'on ne considérera désormais que de tels corps), l'homomorphisme $\deg_F: CH_0(X_F) \to \mathbb{Z}$ est un isomorphisme, soit encore $A_0(X_F) = 0$.

Si $X$ est rationnelle, ou stablement rationnelle, ou rétractilement rationnelle, alors $X$ est universellement $CH_0$-triviale [CTP16, Lemme 1.5]. Ceci a été utilisé dans divers travaux récents pour infirmer la rationalité stable de certaines variétés (voir le rapport [Pir16]).

La question de la rationalité (stable) des hypersurfaces cubiques lisses $X \subset \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^n$ ($n \ge 3$) a fait et continue à faire l'objet de nombreux travaux. Pour tout $n \ge 3$ impair, on connaît depuis longtemps des familles de telles hypersurfaces dans $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^n$ qui sont rationnelles. Certaines sont classiques, d'autres, dans $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5$, ont été obtenues par B. Hassett [Has99]. Pour $n \ge 4$ pair, on ne connaît aucune hypersurface cubique lisse dans $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^n$ qui soit rationnelle, ou même seulement rétractilement rationnelle. On doute que toutes soient (stablement) rationnelles.

On dit qu'une variété irréductible $X$ sur $\mathbb{C}$ de dimension $m$ est unirationnelle de degré $d$ s'il existe une application rationnelle, dominante, de degré $d$, de $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^m$ vers $X$. On sait que toute hypersurface cubique lisse $X \subset \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^n$ ($n \ge 3$) est unirationnelle de degré 2. Faute d'établir la rationalité d'une telle hypersurface $X$, on s'intéresse à la question de l'unirationalité de degré impair de $X$, qui entraîne que $X$ est universellement $CH_0$-triviale. Ceci a été établi pour certaines familles d'hypersurfaces cubiques dans $\mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5$ [HT01, § 7] et [Has16].

C. Voisin [Voi17] a récemment étudié la question de la $CH_0$-trivialité universelle des hypersurfaces cubiques. Pour $X$ de dimension 3, elle a donné un critère [Voi17, Corollary 4.4] en termes de la classe minimale sur la jacobienne intermédiaire. Cela lui permet [Voi17, Theorem 4.5] de

<footnote>Received 1 August 2016, accepted in final form 13 November 2016.</footnote>

<footnote n="2010">2010 Mathematics Subject Classification 14E08, 14M20, 14C15.</footnote>

<footnote>Keywords: Chow group of zero-cycles, decomposition of the diagonal, cubic hypersurfaces.</footnote>

<footnote>This journal is © Foundation Compositio Mathematica 2017. This article is distributed with Open Access under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License, which permits non-commercial reuse, distribution, and reproduction in any medium, provided that the original work is properly cited. For commercial re-use, please contact the Foundation Compositio Mathematica.</footnote>
montrer l'existence de telles hypersurfaces $X \subset \mathbf{P}_C^4$, dont l'hypersurface de Fermat, qui sont universellement $CH_0$-triviales. Par ailleurs, elle établit [Voi17, Theorem 5.6] la $CH_0$-trivialité universelle pour beaucoup d'hypersurfaces cubiques lisses $X \subset \mathbf{P}_C^5$ qui sont spéciales au sens de Hassett [Has00].

Dans cet article, je montre de façon élémentaire : *Pour tout entier $n \ge 4$, toute hypersurface cubique $X$ lisse dans $\mathbf{P}_C^n$ dont l'équation s'écrit $\sum_i \Phi_i$, où les $\Phi_i$ sont des formes homogènes à variables séparées et chacune a au plus trois variables, est universellement $CH_0$-triviale.*

Il existe donc des hypersurfaces cubiques lisses $X$ de toute dimension supérieure ou égale à 2 qui sont universellement $CH_0$-triviales, ce qui ne semblait pas connu pour $X$ de dimension impaire au moins égale à 5.

## 2. Rappels

Le lemme suivant est un cas facile de [CTP16, proposition 1.8], dont il résulte par considération de la projection $X \times_C Y \to Y$.

**LEMME 2.1.** Soient $X$ et $Y$ deux variétés connexes projectives et lisses sur $\mathbb{C}$. Si $X$ est universellement $CH_0$-triviale, alors, pour tout corps $F$, la projection $CH_0(X_F \times_F Y_F) \to CH_0(Y_F)$ est un isomorphisme, et, pour tout choix d'un point $P \in X(\mathbb{C})$, le morphisme $Y \to X \times Y$ donné par $M \mapsto (P, M)$ induit un isomorphisme $CH_0(Y_F) \to CH_0(X_F \times_F Y_F)$.

**PROPOSITION 2.2.** Soient $n \ge 2$ et $m \ge 2$ des entiers et $f(x_1, \dots, x_n)$ et $g(y_1, \dots, y_m)$ des formes homogènes de même degré $d$, à coefficients dans un corps $k$ de caractéristique première à $d$, dont l'annulation définit des hypersurfaces lisses. Soient $X_f \subset \mathbf{P}_k^n$ et $X_g \subset \mathbf{P}_k^m$ les hypersurfaces lisses définies par $f(x_1, \dots, x_n) + x_0^d = 0$ et $g(y_1, \dots, y_m) + y_0^d = 0$, respectivement. L'application rationnelle de $\mathbf{P}_k^n \times_k \mathbf{P}_k^m$ vers $\mathbf{P}_k^{n+m-1}$ envoyant le point de coordonnées bihomogènes $(x_0, \dots, x_n; y_0, \dots, y_m)$ sur le point de coordonnées homogènes $(x_1/x_0, \dots, x_n/x_0, y_1/y_0, \dots, y_m/y_0)$ induit une application rationnelle dominante de degré $d$ de $X_f \times_k X_g$ sur l'hypersurface lisse dans $\mathbf{P}_k^{n+m-1}$ définie par l'équation

$$f(z_1, \dots, z_n) - g(z_{n+1}, \dots, z_{n+m}) = 0.$$

Ce fait a été utilisé par T. Shioda et T. Katsura [SK79] dans l'étude des conjectures de Hodge et de Tate pour les hypersurfaces diagonales.

**PROPOSITION 2.3.** Soit $X \subset \mathbf{P}_C^n$ avec $n \ge 3$ une hypersurface cubique lisse.

(i) La variété $X$ est unirationnelle de degré 2.

(ii) Pour tout corps $F$, on a $2A_0(X_F) = 0$.

C'est bien connu. Pour la partie (i), voir [ACTP17, Theorem 2.2]. Pour la partie (ii), voir [ACTP17, Corollary 2.3].

## 3. Hypersurfaces cubiques presque diagonales

**PROPOSITION 3.1.** Soit $Y \subset \mathbf{P}_C^n$ avec $n \ge 3$ une hypersurface cubique lisse d'équation

$$f(x_0, \dots, x_{n-1}) + x_n^3 = 0.$$
Supposons que $Y$ est unirationnelle de degré $d$. Alors toute hypersurface cubique lisse $X \subset \mathbf{P}_{\mathbb{C}}^{n+2}$ d'équation

$$f(x_0, \dots, x_{n-1}) - h(x_n, x_{n+1}, x_{n+2}) = 0$$

est unirationnelle de degré $3d$.

*Démonstration.* Comme la surface cubique lisse de $\mathbf{P}_{\mathbb{C}}^3$ d'équation $h(y_0, y_1, y_2) + y_4^3 = 0$ est, comme toute surface cubique lisse sur $\mathbb{C}$, rationnelle, l'énoncé résulte de la proposition 2.2. $\square$

Convenons qu'une forme non singulière en $s$ variables est de type $(a_1, \dots, a_r)$ si elle est somme de $r$ formes $\Phi_i$ à variables séparées, que $a_i$ est le nombre de variables de $\Phi_i$, et $s = \sum_i a_i$.

**THÉORÈME 3.2.** Soit $m \ge 1$.

(i) Toute hypersurface cubique lisse $X$ dans $\mathbf{P}_{\mathbb{C}}^{6m-1}$ de type $(3, \dots, 3)$ est unirationnelle de degré une puissance de 3.

(ii) Toute hypersurface cubique lisse $X$ dans $\mathbf{P}_{\mathbb{C}}^{6m+1}$ de type $(3, \dots, 3, 2)$ est unirationnelle de degré une puissance de 3.

(iii) Toute hypersurface cubique lisse $X$ dans $\mathbf{P}_{\mathbb{C}}^{6m+3}$ de type $(3, \dots, 3, 1)$ est unirationnelle de degré une puissance de 3.

(iv) Dans chacun de ces cas, on a $A_0(X_F) = 0$ pour tout corps $F$.

*Démonstration.* (i), (ii) et (iii) : C'est une conséquence combinatoire de la proposition 3.1. L'hypersurface de type (3,1) est rationnelle. De (3,1) et (3,1) on obtient (3,3). On a donc (3,2,1). De (3,2,1) et (3,1) on obtient (3,3,2). On a donc (3,3,1,1). De (3,3,1,1) et (3,1) on obtient (3,3,3,1). Puis (3,3,3,3), etc.

(iv) Compte tenu de la proposition 2.3, le pgcd des degrés d'unirationalité des hypersurfaces $X$ dans les énoncés (i), (ii) et (iii) est égal à 1. Ceci implique $A_0(X_F) = 0$ pour tout corps $F$. $\square$

*Remarque 3.3.* On confrontera les théorèmes 3.2 et 3.8 ci-après avec le fait classique que toute hypersurface cubique lisse $X \subset \mathbf{P}_{\mathbb{C}}^{2n-1}$ de type $(2, \dots, 2)$, c'est-à-dire, d'équation $\sum_{i=1}^n f_i(u_i, v_i) = 0$, est rationnelle, car elle contient deux espaces linéaires $\mathbf{P}_{\mathbb{C}}^{n-1}$ sans point commun.

*Remarque 3.4.* Le théorème 3.2 s'applique en particulier aux hypersurfaces cubiques lisses de dimension 4 données dans $\mathbf{P}_{\mathbb{C}}^5$ par une équation

$$f(x_0, x_1, x_2) + g(x_3, x_4, x_5) = 0.$$

Suivant une suggestion de C. Voisin, montrons que toute telle hypersurface est en fait rationnelle.

Soient $S \subset \mathbf{P}_{\mathbb{C}}^3$ la surface cubique lisse d'équation

$$f(x_0, x_1, x_2) - t^3 = 0$$

et $T \subset \mathbf{P}_{\mathbb{C}}^3$ la surface cubique lisse d'équation

$$g(x_3, x_4, x_5) - t^3 = 0.$$

Le plan $t = 0$ découpe une cubique lisse $C \subset S$, et de même $D \subset T$. Chacune des 27 droites de $S$ peut être décrite par un morphisme de $\mathbf{P}_{\mathbb{C}}^1$ vers $S$ donné par un système de formes linéaires $(a(u, t), b(u, t), c(u, t), t)$. Les 27 droites de $S$ viennent ainsi par groupes de trois droites coplanaires ayant même point d'intersection avec $t = 0$, qui est un point de Eckardt de la surface cubique $S$. Ceci détermine ainsi neuf points de la cubique $C$. De même chacune des 27 droites de $T$ peut être décrite par un morphisme de $\mathbf{P}_{\mathbb{C}}^1$ vers $T$ donné par un système de formes linéaires
(d(v, t), e(v, t), h(v, t), t). Le produit d'une droite $l$ de $S$ et d'une droite $m$ de $T$ s'envoie par l'application rationnelle de $S \times T$ vers $X$ de la proposition 2.2 sur un 2-plan $\Pi_{l,m} \subset X \subset \mathbf{P}_{\mathbb{C}}^5$ donné par le morphisme de $\mathbf{P}_{\mathbb{C}}^2$ vers $\mathbf{P}_{\mathbb{C}}^5$ défini par

$$ (a(u, t), b(u, t), c(u, t), d(v, t), e(v, t), h(v, t)). $$

Fixons les droites $l \subset S$ et $m \subset T$. Soit $l_1 \subset S$ une droite qui ne rencontre pas $l$. Soit $m_1 \subset T$ une droite qui rencontre $m$ en un point non situé sur $t = 0$. On vérifie alors que les deux plans $\Pi_{l,m} \subset X \subset \mathbf{P}_{\mathbb{C}}^5$ et $\Pi_{l_1,m_1} \subset X \subset \mathbf{P}_{\mathbb{C}}^5$ ne se rencontrent pas. Ceci implique que l'hypersurface cubique $X \subset \mathbf{P}_{\mathbb{C}}^5$ est rationnelle.

Établissons un énoncé d'intérêt général.

**PROPOSITION 3.5.** Soit $X/\mathbb{C}$ une variété projective et lisse telle que $A_0(X) = 0$. S'il existe une courbe $\Gamma$ projective, lisse, connexe et un morphisme $\Gamma \to X$ tels que, pour tout corps $F$, l'application induite $\mathrm{CH}_0(\Gamma_F) \to \mathrm{CH}_0(X_F)$ soit surjective, alors, pour tout corps $F$, l'application $\mathrm{deg}_F: \mathrm{CH}_0(X_F) \to \mathbb{Z}$ est un isomorphisme; en d'autres termes, $X$ est universellement $\mathrm{CH}_0$-triviale.

**Démonstration.** Soit $J$ la jacobienne de $\Gamma$. Pour tout corps $F$, on a $A_0(\Gamma_F) = J(F)$. Notons $K = \mathbb{C}(X)$ le corps des fonctions de $X$. L'hypothèse $A_0(X) = 0$ implique que la variété d'Albanese de $X$ est triviale, comme on peut voir de diverses façons. Par exemple, la combinaison de [ACTP17, Lemma 1.7] et des résultats rassemblés dans [ACTP17, Proposition 1.8] donne $H^1(X, \mathcal{O}_X) = 0$. Un point de $J(\mathbb{C}(X))$ définit une application rationnelle de $X$ dans $J$, donc un morphisme de $X$ dans $J$ car une application rationnelle d'une variété lisse dans une variété abélienne est partout définie. Mais comme la variété d'Albanese de $X$ est triviale, tout tel morphisme est constant. On a donc $J(\mathbb{C}) = J(\mathbb{C}(X))$. Ainsi l'image de $A_0(\Gamma_K)$ dans $A_0(X_K)$ est dans l'image de l'application composée

$$ J(\mathbb{C}) = A_0(\Gamma) \to A_0(X) \to A_0(X_K), $$

et donc est nulle car $A_0(X) = 0$. Par hypothèse, l'application $A_0(\Gamma_K) \to A_0(X_K)$ est surjective. On a donc $A_0(X_{\mathbb{C}(X)}) = A_0(X_K) = 0$. Ainsi [ACTP17, Lemma 1.3] la diagonale se décompose dans $X \times_{\mathbb{C}} X$ et, pour tout corps $F$, on a $A_0(X_F) = 0$. $\square$

**Remarque 3.6.** Soit $X$ une $\mathbb{C}$-variété projective et lisse, géométriquement connexe. Soit $\delta(X)$ le plus petit entier $\delta \le \dim(X)$ pour lequel il existe une $\mathbb{C}$-variété projective lisse connexe $Y$ de dimension $\delta$ et un morphisme $\phi: Y \to X$ tels que, pour tout corps $F$, l'application $\phi_{F,*}: \mathrm{CH}_0(Y_F) \to \mathrm{CH}_0(X_F)$ soit surjective. Pour $X$ hypersurface cubique lisse de dimension au moins 3 **très générale**, C. Voisin [Voi17, Theorem 5.3] montre que $\delta(X) < \dim(X)$ implique $\delta(X) = 0$. La proposition 3.5 peut se reformuler ainsi : *Pour toute variété $X$ projective et lisse telle que $A_0(X) = 0$, $\delta(X) \le 1$ implique $\delta(X) = 0$.*

**PROPOSITION 3.7.** Soit $Y \subset \mathbf{P}_{\mathbb{C}}^n$ avec $n \ge 3$ une hypersurface cubique lisse d'équation

$$ f(x_0, \dots, x_{n-1}) + x_n^3 = 0. $$

Supposons que $Y$ est universellement $\mathrm{CH}_0$-triviale. On a les propriétés suivantes.

(i) Toute hypersurface cubique lisse $X \subset \mathbf{P}_{\mathbb{C}}^{n+1}$ d'équation

$$ f(x_0, \dots, x_{n-1}) - g(x_n, x_{n+1}) = 0 $$

est universellement $\mathrm{CH}_0$-triviale.
CH₀-TRIVIALITÉ D'HYPERSURFACES CUBIQUES

(ii) Toute hypersurface cubique lisse $X \subset \mathbf{P}_{\mathbb{C}}^{n+2}$ d'équation

$$f(x_0, \dots, x_{n-1}) - h(x_n, x_{n+1}, x_{n+2}) = 0$$

est universellement $\mathrm{CH}_0$-triviale.

**Démonstration.** (i) Soit $\Gamma \subset \mathbf{P}_{\mathbb{C}}^2$ la courbe d'équation $g(u, v) + w^3 = 0$. La proposition 2.2 fournit une application rationnelle dominante, de degré 3, de $Y \times_{\mathbb{C}} \Gamma$ vers $X$. Il existe une variété $W$ projective et lisse avec un morphisme birationnel $W \to Y \times_{\mathbb{C}} \Gamma$ induisant un morphisme $f: W \to X$ dominant, génériquement fini de degré 3. Il existe un point $P \in Y(\mathbb{C})$ tel que le morphisme $\Gamma \to Y \times_{\mathbb{C}} \Gamma$ donné par $M \mapsto (P, M)$ se relève en un morphisme $\Gamma \to W$. Soit $F$ un corps contenant $\mathbb{C}$. Considérons les applications induites sur les groupes de Chow des zéro-cycles au-dessus de $F$ :

$$\mathrm{CH}_0(\Gamma_F) \to \mathrm{CH}_0(W_F) \to \mathrm{CH}_0(Y_F \times_F \Gamma_F).$$

La seconde application est un isomorphisme par invariance birationnelle du groupe de Chow des zéro-cycles sur les variétés projectives et lisses. L'application composée est un isomorphisme par application du lemme 2.1. Ainsi l'application $\mathrm{CH}_0(\Gamma_F) \to \mathrm{CH}_0(W_F)$ est un isomorphisme. Comme le morphisme $W \to X$ est génériquement fini de degré 3, le groupe $3A_0(X_F) \subset A_0(X_F)$ est dans l'image de $A_0(W_F)$, et donc dans l'image de $A_0(\Gamma_F) \to A_0(X_F)$ via l'application composée $\Gamma \to W \to X$. D'après la proposition 2.3, on a $2A_0(X_F) = 0$. Ainsi le groupe $A_0(X_F)$ est dans l'image de $A_0(\Gamma_F)$. La proposition 3.5 donne alors $A_0(X_F) = 0$.

(ii) La démonstration est plus simple. La courbe $\Gamma$ est remplacée par la surface cubique lisse $S$ d'équation $g(u, v, t) + w^3 = 0$, qui comme toute surface cubique lisse est une surface rationnelle, et donc satisfait $A_0(S_F) = 0$ pour tout corps $F$. $\square$

**THÉORÈME 3.8.** Toute hypersurface cubique lisse $X \subset \mathbf{P}_{\mathbb{C}}^n$ de dimension au moins 2 dont l'équation est donnée par une forme $\sum_i \Phi_i$, où les $\Phi_i$ sont à variables séparées et chacune a au plus trois variables, est universellement $\mathrm{CH}_0$-triviale.

**Démonstration.** Une forme de type (1, 1, 1, 1) définit une surface cubique lisse, donc rationnelle, donc universellement $\mathrm{CH}_0$-triviale. En appliquant de façon répétée le théorème 3.7(i), on obtient que toute forme non singulière diagonale, c'est-à-dire, de type (1, ..., 1), en au moins quatre variables définit une hypersurface lisse universellement $\mathrm{CH}_0$-triviale. En appliquant le théorème 3.7 de façon répétée, on peut ensuite remplacer chacun des 1 dans (1, ..., 1) par 2 ou par 3. $\square$

**Remarque 3.9.** C'est une question ouverte s'il existe une hypersurface cubique lisse $X \subset \mathbf{P}_{\mathbb{C}}^4$ avec une application rationnelle $\mathbf{P}_{\mathbb{C}}^3 \cdots \to X$ de degré impair. La démonstration de la proposition 3.7(i), via la proposition 3.5, mène à la question a priori plus facile : Pour $X \subset \mathbf{P}_{\mathbb{C}}^4$ hypersurface cubique lisse quelconque, existe-t-il une application rationnelle de degré impair $\Gamma \times_{\mathbb{C}} \mathbf{P}^2 \cdots \to X$, avec $\Gamma$ courbe convenable ?

## REMERCIEMENTS

Je remercie Claire Voisin pour diverses suggestions.

## REFERENCES

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Jean-Louis Colliot-Thélène jlct@math.u-psud.fr

Laboratoire de Mathématiques d'Orsay, Université Paris-Sud, CNRS, Université Paris-Saclay, 91405 Orsay, France