# Couches limites en mécanique des fluides : quelques avancées récentes

Anne-Laure Dalibard

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Anne-Laure Dalibard. Couches limites en mécanique des fluides: quelques avancées récentes. La Gazette de la Société mathématique de France, 2025, 186, pp.7-17. hal-05289100

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# Couches limites en mécanique des fluides :
quelques avancées récentes

Anne-Laure Dalibard *

29 septembre 2025

## Résumé

On s'intéresse ici au comportement de fluides faiblement visqueux au voisinage d'un obstacle. Ludwig Prandtl a prédit en 1904 qu'une couche limite se forme près de la paroi. Dans cette zone, la composante tangentielle de la vitesse varie de façon très abrupte, et est régie par un jeu d'équations spécifiques (dites équations de Prandtl). Sur le plan mathématique, plusieurs questions se posent alors : le système de Prandtl admet-il une unique solution ? Si oui, dans quel espace fonctionnel ? Peut-on alors justifier rigoureusement, par un résultat de convergence, la prédiction de Prandtl ?

Ces questions ont été l'objet de recherches très actives récemment, et le but de cet article est de dresser un panorama de l'état de l'art dans ce domaine.

## 1 Introduction

Pour décrire la dynamique des fluides incompressibles, deux modèles sont fréquemment utilisés :
— Les **fluides visqueux** sont régis par l'équation de Navier–Stokes

$$ 
\begin{array}{l}
\partial_t u + (u \cdot \nabla)u + \nabla p - \nu \Delta u = 0, \quad t > 0, x \in \Omega \\
\text{div } u = 0, \quad t > 0, x \in \Omega \\
u|_{t=0} = u^0.
\end{array} 
\quad (1) 
$$

Ici, $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ avec $d = 2, 3$ est le domaine occupé par le fluide, $u : \mathbb{R}_+ \times \Omega \to \mathbb{R}^d$ est la vitesse, et $p : \mathbb{R}_+ \times \Omega \to \mathbb{R}$ est la pression, qui sont toutes deux inconnues. On notera qu'il n'y a pas d'équation d'évolution à proprement parler sur la pression ; cependant, lorsque $u$ et $p$ sont régulières et suffisamment décroissantes à l'infini, la pression se déduit du champ de vitesse en résolvant l'équation elliptique

$$ -\Delta p = \text{div}((u \cdot \nabla)u). $$

On considère fréquemment (au moins d'un point de vue formel) la pression comme un multiplicateur de Lagrange associé à la condition de divergence nulle. Dans toute la suite, on supposera pour simplifier que $\Omega$ est un ouvert connexe de classe $C^\infty$. Le domaine $\Omega$ peut être borné ou non ; des hypothèses plus spécifiques seront faites dans la suite du texte.

Le paramètre $\nu$ est un nombre réel strictement positif. Si l'on écrit l'équation de Navier–Stokes dans des variables « adimensionnées », c'est-à-dire en choisissant au préalable des échelles de temps et d'espace typiques de l'écoulement, alors $\nu^{-1}$ est appelé « nombre de Reynolds », et est défini par $\nu^{-1} = \rho V L / \eta$, où $\rho$ est la masse volumique du fluide, $V$ (resp. $L$) la vitesse (resp. la longueur) « typique » de l'écoulement, et $\eta$ sa viscosité cinématique. Les valeurs de $V$ et $L$ découlent d'un choix de modélisation : par exemple, $L$ correspond à

<footnote>*Sorbonne Université, Université Paris Cité, CNRS, Laboratoire Jacques-Louis Lions, LJLL, F-75005 Paris, France, anne-laure.dalibard@sorbonne-universite.fr</footnote>

<footnote n="1">1. On dit qu'un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^d$ est de classe $C^k$ si pour tout $x \in \partial\Omega$ il existe un voisinage $V$ de $x$ dans $\mathbb{R}^d$ et un $C^k$ difféomorphisme $\phi : B(0, 1) \to U$ tel que $\phi(B(0, 1) \cap \{x_d > 0\}) = U \cap \Omega$ et $\phi(B(0, 1) \cap \{x_d = 0\}) = U \cap \partial\Omega$.</footnote>
l'échelle spatiale à laquelle on observe le fluide, et V à la vitesse moyenne mesurée à cette échelle.

Il faut également munir le système (1) d'une condition au bord; plusieurs choix sont possibles, en fonction de la nature de la paroi et du phénomène que l'on cherche à modéliser. Ici, on s'intéressera au cas où la vitesse vérifie une condition de non glissement sur la paroi, également appelée condition de Dirichlet :

$$u|_{\partial\Omega} = 0. \qquad (2)$$

— Les fluides non visqueux sont décrits par l'équation d'Euler, qui correspond au cas où $\nu = 0$ dans (1) :

$$\begin{align}
\partial_t u + (u \cdot \nabla) u + \nabla p &= 0, \quad t > 0, x \in \Omega \nonumber \\
\operatorname{div} u &= 0, \quad t > 0, x \in \Omega \tag{3} \\
u|_{t=0} &= u^0. \nonumber
\end{align}$$

On munit cette équation d'une condition dite de non pénétration

$$u \cdot n = 0 \quad \text{sur } \partial\Omega, \qquad (4)$$

où n est la normale (sortante) à Ω. Cette condition signifie que la vitesse est tangente au bord du domaine.

On remarquera que l'on n'impose pas la nullité de la vitesse tangentielle sur le bord. On reviendra ultérieurement sur ce point, qui sera central dans la description du comportement de fluides faiblement visqueux près de la paroi.

## Quelques résultats sur (1) et (3)

Le premier résultat d'existence globale de solutions du système (1) avec $\nu > 0$ est dû à Jean Leray [35] dans le cas $\Omega = \mathbb{R}^3$: pour toute donnée initiale $u^0$ de carré intégrable et à divergence nulle, il existe une solution de (1) dans un sens « faible » (typiquement, au sens des distributions) dans l'espace des fonctions de $L^\infty(\mathbb{R}_+, L^2(\mathbb{R}^3))$ dont le gradient est de carré intégrable sur $\mathbb{R}_+ \times \Omega$. Ces solutions sont définies en tout temps $t > 0$. La preuve s'étend facilement au cas où $\Omega = \mathbb{R}^2$, et Hopf [25] l'a ensuite généralisée au cas de domaines bornés, avec la condition au bord (2). Lorsque le domaine $\Omega$ est quelconque (et en particulier non borné, comme dans le cas qui nous intéresse), on renvoie à [6, Chapitre 2] pour une preuve d'existence. Par ailleurs, en dimension deux, ces solutions, dites de Leray-Hopf, sont uniques [36]. En dimension trois, la question de l'unicité est un problème ouvert majeur en mécanique des fluides, sur lequel des progrès très récents ont toutefois été accomplis (voir [1] dans le cas avec terme source). Cependant, lorsque la donnée initiale appartient à $H^{1/2}(\mathbb{R}^3)$, il existe une unique solution locale en temps (dite solution forte) dans $C([0, T], H^{1/2}(\mathbb{R}^3)) \cap L^2([0, T], H^{3/2}(\mathbb{R}^3))$ pour un certain $T > 0$ [15]. De surcroît, toute solution de Leray-Hopf coïncide avec l'unique solution forte sur le temps d'existence de cette dernière.

Par ailleurs, en dimension deux, lorsque le domaine $\Omega$ est borné et régulier et lorsque la vitesse initiale $u^0$ est telle que div $u^0 = 0$ et curl $u^0 := \partial_1 u^2 - \partial_2 u^0 \in L^\infty$, l'équation d'Euler (3)-(4) admet une unique solution globale [53]. Ce résultat reste vrai dans l'espace entier sous des hypothèses supplémentaires de décroissance en l'infini pour la vorticité initiale curl $u^0$: une hypothèse usuelle est curl $u^0 \in L^1(\mathbb{R}^2)$ (voir par exemple [40, Chapitre 3]). Ce résultat s'étend ensuite aisément au cas du demi-plan $\Omega = \mathbb{R} \times ]0, +\infty[$ par un argument de symétrie.

On se concentre à présent sur le cas où $d = 2$ et $\Omega = \mathbb{R} \times ]0, +\infty[$. On suppose que la donnée initiale $u^0$, à divergence nulle, est suffisamment régulière, disons de classe $W^{1,\infty} \cap W^{1,1}(\Omega)$. On notera alors $u_\nu$, l'unique solution de Leray-Hopf du système de Navier-Stokes (1)-(2), et $\bar{u}$ celle du système d'Euler (3)-(4).

La question est alors la suivante : est-ce que $\lim_{\nu \to 0} u_\nu = \bar{u}$, et si oui, dans quel espace ? Par exemple, on voit immédiatement qu'il est illusoire d'espérer une telle convergence dans $L^\infty([0, T] \times \Omega)$, où $T > 0$ est fixé. En effet, la solution $\bar{u}$ de l'équation d'Euler est en générale non nulle sur le bord $^2$, tandis que $u_\nu$ vérifie (2).

<footnote n="2">2. Notons que tout champ de vitesse du type $(U_s(y), 0)$ est solution de (3)-(4). De telles solutions sont appelées « flots de cisaillement » et jouent un rôle important dans l'analyse des propriétés de l'équation. Elles fournissent en particulier des exemples de solutions de (3) ne vérifiant pas (2).</footnote>
FIGURE 1 – Vue en coupe de la vitesse tangentielle. Dans une région d'épaisseur $\sqrt{\nu}$ au voisinage de la paroi, la vitesse varie fortement.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Cela suggère que des phénomènes particuliers ont lieu près du bord. Ludwig Prandtl [46] a conjecturé en 1904 une approximation faisant intervenir plusieurs échelles dans la direction normale à la paroi. Cette prédiction, appelée « Ansatz » en allemand, porte son nom et prend la forme suivante :

— Lorsque $y \gg \sqrt{\nu}$, $u_\nu(t, x, y) \simeq \bar{u}(t, x, y)$;

— Lorsque $y \lesssim \sqrt{\nu}$,

$$u_{\nu}(t, x, y) \approx \begin{pmatrix} U_1 \left(t, x, \frac{y}{\sqrt{\nu}}\right) \\ \sqrt{\nu} U_2 \left(t, x, \frac{y}{\sqrt{\nu}}\right) \end{pmatrix} \qquad (5)$$

où $(U_1, U_2)$ vérifient le système suivant, appelé système de Prandtl :

$$\begin{align} (\partial_t + U_1 \partial_x + U_2 \partial_Y)U_1 - \partial_{YY}U_1 &= -\frac{\partial \bar{p}}{\partial x}(t, x, 0), \notag \\ \partial_x U_1 + \partial_Y U_2 &= 0, \notag \\ U_1(t, x, 0) = U_2(t, x, 0) &= 0, \tag{6} \\ \lim_{Y \to \infty} U_1(t, x, Y) &= \bar{u}_1(t, x, 0), \notag \\ U_1(0, x, Y) &= U_1^0(x, Y). \notag \end{align}$$

Dans le système précédent, $Y$ représente la quantité $y/\sqrt{\nu}$ — autrement dit, la distance à la paroi après mise à l'échelle. La vitesse à l'infini $\bar{u}_1(t, x, 0)$ et le champ de pression $\bar{p}$ sont supposés connus : $(\bar{u}, \bar{p})$ est l'unique solution du système d'Euler.

Cela signifie que la différence entre $\bar{u}_1(t, x, 0)$ et $u_{\nu,1}(t, x, 0) = 0$ crée une couche limite, de taille typique $\sqrt{\nu}$, au sein de laquelle la vitesse tangentielle du fluide varie fortement.

L'Ansatz proposé par Prandtl soulève les questions suivantes :

1. Dans quels espaces fonctionnels le système de Prandtl (6) est-il bien posé<fnref n="3" />?

2. Dans les cas où le système de Prandtl est bien posé, peut-on justifier rigoureusement l'Ansatz (5) ? Autrement dit, peut-on tout d'abord construire une fonction $u_\nu^{\text{app}}$, dite « solution approchée », telle que

$$\begin{align*} u_{\nu}^{\text{app}} &\approx \bar{u} \text{ lorsque } y \gg \sqrt{\nu}, \\ u_{\nu}^{\text{app}}(t, x, y) &\approx (U_1, \sqrt{\nu} U_2)(t, x, y/\sqrt{\nu}) \\ \text{lorsque } y &\lesssim \sqrt{\nu}, \end{align*}$$

puis montrer que $\lim_{\nu \to 0} \|u_\nu - u_\nu^{\text{app}}\| = 0$ dans un espace fonctionnel bien choisi ?

<footnote n="3">3. Autrement dit : Dans quels espaces fonctionnels le système de Prandtl admet-il une unique solution, dépendant continûment de la donnée initiale ? Lorsque cette solution n'est définie que sur un intervalle de temps borné, on dit que le problème est localement bien posé. Lorsqu'elle est définie sur l'intervalle $[0, +\infty[$, on dit que le problème est globalement bien posé.</footnote>
Il est important de souligner ici que l'identification d'un « bon » espace fonctionnel est cruciale. De fait, comme on le verra par la suite, les réponses à chacune des questions ci-dessus dépendent de l'espace considéré : elles peuvent être positives dans certains espaces, et négatives dans d'autres.

Le but de cette note est de dresser un panorama des réponses obtenues à ces deux questions par de nombreux auteurs au cours des dernières décennies. Pour ce faire, nous serons amenés à distinguer le cas non stationnaire, qui correspond au problème de Cauchy (6), du cas stationnaire, pour lequel on s'intéresse à des solutions de (1), (3) ou (6) indépendantes du temps. Une partie des résultats exposés ici a été généralisée au cas tridimensionnel, mais nous ne les décrirons pas en détail par souci de concision.

Avant de décrire les résultats autour du système de Prandtl, mentionnons un théorème remarquable dû à Kato [30] : pour tout temps $T > 0$, la famille $(u_ν)_{ν>0}$ converge vers $\bar{u}$ dans $L^∞([0, T], L^2(Ω))$ si et seulement si pour toute constante $c > 0$,

$$ \lim_{ν \to 0} \int_0^T \int_{\mathbb{R}^3 \times (0, cν)} ν|\nabla u_ν|^2 = 0. $$

Autrement dit, pour que la limite non visqueuse du système de Navier-Stokes vers celui d'Euler soit valide, seule compte l'énergie dissipée au sein d'une bande de taille $O(ν)$, donc beaucoup plus petite que celle prédite par l'Ansatz de Prandtl. Ce résultat intrigant, sur lequel nous reviendrons, suggère que plusieurs échelles spatiales peuvent intervenir dans la description de la limite non visqueuse.

**Remarque 1.** L'équation (6) est une équation scalaire : la seule inconnue est la vitesse tangentielle $U_1$, puisque la vitesse $U_2$ est obtenue en intégrant la condition de divergence nulle :

$$ U_2(t, x, Y) = - \int_0^Y \partial_x U_1(t, x, Y') \, dY'. $$

Au cours de l'analyse de l'équation de Prandtl, de nombreuses difficultés proviennent du terme de transport $U_2\partial_Y U_1$ : celui-ci est non local (en raison de l'intégration verticale dans la définition de $U_2$) et présente une perte de dérivée. En effet, en passant à la limite lorsque $ν \to 0$, on a abandonné dans (6) la diffusion dans la variable tangentielle à la paroi. Le contrôle de la dérivée tangentielle $\partial_x U_1$ n'est donc pas acquis.

# 2 Le cas non stationnaire

## 2.1 Résultats positifs

Les premiers résultats de caractère bien posé pour l'équation (6) remontent aux travaux d'Olga Oleinik [43, 44, 45] : si la donnée initiale $U_1^0$ est strictement croissante en $Y$, alors l'équation de Prandtl (6) est localement bien posée dans $C^3$ (voir également [38] dans le cas $d = 3$). La preuve originelle d'Oleinik reposait sur un changement de variables (transformation de Crocco), mais d'autres auteurs ont donné plus récemment une autre démonstration de ce résultat [41, 2], reposant sur des estimations d'énergie dans des espaces de Sobolev à poids polynomiaux, et sur l'introduction d'une nouvelle inconnue tirant parti de la monotonie des solutions. L'intérêt de cette nouvelle inconnue réside dans le fait qu'elle vérifie une équation sans perte de dérivée (voir la Remarque 1) : en effectuant des combinaisons linéaires astucieuses, les termes avec le plus grand nombre de dérivées en $x$ disparaissent. Par exemple (voir [41]), lorsque la vorticité $4 \partial_Y U_1$ reste strictement positive, on peut vérifier que la quantité

$$ g_1 := \partial_x \partial_Y U_1 - \frac{\partial_x U_1 \partial_Y^2 U_1}{\partial_Y U_1} = \partial_Y \left( \frac{\partial_x U_1}{\partial_Y U_1} \right) \partial_Y U_1 $$

<footnote n="4">4. Pour un fluide bi-dimensionnel dont la vitesse est $u$, la vorticité est généralement définie par $\omega = \partial_x u_2 - \partial_y u_1$. Cependant, à l'intérieur de la couche limite, si $u(t, x, y) = (U_1, \sqrt{\nu}U_2)(t, x, y/\sqrt{\nu})$, alors $\omega(t, x, y) = (\nu^{1/2}\partial_x U_2 - \nu^{-1/2}\partial_Y U_1)(t, x, y/\sqrt{\nu})$. Puisque $\nu \ll 1$, on appellera par abus de langage vorticité la quantité $\partial_Y U_1$ lorsque $U_1$ est solution du système de Prandtl (6).</footnote>
(ou des quantités similaires d'ordre supérieur, impliquant des dérivées en $x$ d'ordre $s \ge 2$) vérifie une équation du type

$$ (\partial_t + U_1 \partial_x + U_2 \partial_Y - \partial_{YY}) g_1 = \left( 2 \partial_Y \frac{\partial^2 U_1}{\partial_Y \partial U_1} - \partial_x U_1 \right) g_1. $$

Les termes $\partial_x U_1$, $\frac{\partial^2 U_1}{\partial_Y \partial U_1}$ au membre de droite sont ensuite contrôlés par des combinaisons de $g_1$ et de la vorticité $\partial_Y U_1$. La preuve de [2] s'appuie sur l'introduction d'une quantité analogue.

Dans ce contexte, autour de flots monotones et concaves, Gérard-Varet, Maekawa et Masmoudi ont montré (voir [18] pour le cas des flots de cisaillement et [19] pour le cas général) la validité de l'Ansatz de Prandtl (5), dans des espaces de régularité Gevrey 2 en $x$ et Sobolev en $Y$.

Par ailleurs, Sammartino et Caflisch [47, 48] ont établi que l'équation de Prandtl (6) est localement bien posée dans l'espace des fonctions analytiques sur $\Omega$, et ont justifié l'Ansatz de Prandtl dans ce cadre. Cette hypothèse d'analyticité a été affaiblie par la suite dans une succession de travaux, que nous ne nommerons pas tous ici. Mentionnons simplement que la régularité optimale dans la variable $x$ (Gevrey 2), sur laquelle nous reviendrons plus tard, a été obtenue par Dietert et Gérard-Varet dans [11]. La preuve de Sammartino et Caflisch s'appuie sur l'idée suivante : on commence par relever les conditions aux bord en posant $U_1 = \bar{u}_1(t, x, 0) + U_H + \tilde{U}_1$, où $U_H$ vérifie $(\partial_t - \partial_{YY})U_H = 0$ et $U_H(t, x, 0) = -\bar{u}_1(t, x, 0)$, $\lim_{Y \to \infty} U_H(\cdot, Y) = 0$. En notant alors $S_H$ le semi-groupe de la chaleur associé à une condition de Dirichlet homogène en $Y = 0$, on en déduit que $\tilde{U}_1$ vérifie

$$ \tilde{U}_1(t) = \int_0^t S_H(t-s)F(s)ds, $$

où $F = -U_1\partial_x(U_H + \tilde{U}_1) - (U_H + \tilde{U}_1)\partial_x\bar{u}_1(t, x, 0) - U_2\partial_Y U_1$. On applique ensuite une variante du théorème de Cauchy-Kovalevskaya à cette expression.

Maekawa a également démontré un résultat connexe à ceux énoncés ci-dessus, portant sur la vorticité du fluide, c'est-à-dire sur la quantité $\omega_\nu = \partial_y u_{1,\nu} - \partial_x u_{2,\nu}$ [39] : si le support de la vorticité se situe initialement à une distance strictement positive du bord du domaine, alors la solution du système de Prandtl existe sur un temps court et l'Ansatz de Prandtl peut être justifié. Il convient de souligner que l'annulation de la vorticité est liée à des propriétés d'analyticité de la solution. En effet, puisque $u_\nu$ est à divergence nulle, il existe une fonction scalaire $\psi_\nu$, appelée fonction courant, telle que $u_\nu = (-\partial_y\psi_\nu, \partial_x\psi_\nu)$. La vorticité s'écrit alors $\omega_\nu = \Delta\psi_\nu$, et sa nullité dans un voisinage du bord entraîne l'harmonicité (et donc l'analyticité) de $\psi_\nu$ à l'intérieur de ce domaine. Le résultat de [39] s'apparente donc à ceux de Sammartino et Caflisch.

## 2.2 Résultats négatifs

Si la donnée initiale ne vérifie pas l'une des hypothèses mentionnées au paragraphe précédent (monotonie en $Y$ ou régularité Gevrey en $x$ inférieure ou égale à deux), alors en général, de fortes instabilités spectrales apparaissent : l'équation linéarisée autour d'une solution bien choisie possède des solutions qui croissent exponentiellement en temps, dits modes instables.

Gérard-Varet et Dormy [16] ont ainsi établi que l'hypothèse de monotonie est nécessaire pour que l'équation soit localement bien posée dans des espaces de Sobolev (voir [37] dans le cas $d = 3$). Pour cela, ils ont analysé l'équation de Prandtl linéarisée autour d'une solution de la forme $(U_s(Y), 0)$, appelée « flot de cisaillement », où $U_s$ admet un point critique non dégénéré (et n'est donc pas monotone !) Ils ont établi l'existence de modes instables dont le $k$-ième mode de Fourier en $x$ croît comme $\exp(\gamma\sqrt{|k|t})$ pour un certain $\gamma > 0$. En particulier, ces solutions n'appartiennent pas à $L^2(\Omega)$ pour $t > 0$. Cette croissance exponentielle montre par ailleurs que le résultat de Dietert et Gérard-Varet [11] (l'équation de Prandtl est localement bien posée pour des données initiales $H^2$ en $Y$ et Gevrey 2 en $x$) est optimal$^5$, du moins quant à la régularité en $x$. Le point remarquable dans [16] est l'articulation entre l'opérateur de transport $U_s\partial_x - \partial_Y U_s \int_0^Y \partial_x$ et l'opérateur de diffusion : le premier fait apparaître des modes fortement oscillants en temps, tandis que le second engendre l'instabilité.

<footnote n="5">5. Une fonction $f \in L^2(\mathbb{T})$ appartient à la classe de Gevrey $G^s(\mathbb{T})$ si et seulement s'il existe $C, c > 0$, tels que $|\hat{f}(k)| \le C \exp(-c|k|^{1/s})$ pour tout $k \in \mathbb{Z}$.</footnote>
Une autre direction possible est d'analyser la formation de singularités dans l'espace physique (sans travailler en Fourier). Un des premiers résultats dans ce sens est dû à E et Engquist [14] qui montrent, par des arguments proches d'une méthode du viriel, que pour certaines données initiales de (6), les normes de Sobolev d'ordre suffisamment élevées explosent en temps fini. Ces résultats ont ensuite été revisités dans [31], et récemment, Collot, Ghoul, Ibrahim et Masmoudi [7] ont donné une description quantitative d'un scénario d'explosion.

On pourrait raisonnablement espérer que ces instabilités ou singularités soient gommées lorsque l'on considère le couplage entre la couche limite et l'intérieur du domaine à un ordre plus élevé, par exemple lorsque l'on conserve les termes d'ordre $\sqrt{\nu}$ dans le système de couche limite. L'in- tuition serait alors que les termes de diffusion dans l'équation de Navier-Stokes joueraient un rôle régularisant. Ce raisonnement a conduit plusieurs auteurs (voir par exemple [5, 34, 4]) à proposer des systèmes de couche limite alternatifs, rendant compte de la rétroaction de la couche limite sur le flot intérieur : il s'agit de systèmes d'équations aux dérivées partielles, voisins mais différents du système de Prandtl, et cherchant à décrire le comportement du fluide au voisinage de la paroi. On renvoie à [32] pour une présentation générale de ces systèmes, en particulier le système dit de « couche limite interactive » et le système du « triple pont ». Malheureusement, plusieurs travaux viennent contredire cette intuition : dans [8], Dietert, Gérard-Varet, Marbach et l'autrice montrent un résultat d'instabilité pour le système de couche limite interactive linéarisé autour d'un flot de cisaillement. Un résultat analogue a été obtenu par Dietert et Gérard-Varet [12] pour le système du triple pont.

On peut enfin s'intéresser au comportement du système de Navier-Stokes (1) au voisinage d'un profil de couche limite. Les premiers résultats rigoureux dans cette direction sont dûs aux travaux pionniers de Grenier [21]. En considérant le système de Navier-Stokes (1) linéarisé autour d'un flot de cisaillement ($U_s(t, y/\sqrt{\nu})$, 0) tel que $U_s(t = 0)$ possède des points d'inflexion, il a établi l'existence de solutions fortement oscillantes et croissant exponentiellement vite, de la forme

$$ \exp(\gamma t\nu^{-1/2} + ix\nu^{-1/2})v_{\nu}(y/\sqrt{\nu}) \text{ avec } \gamma > 0. $$

Ces résultats ont ensuite été repris et étendus par Grenier, Guo et Nguyen [22], qui ont établi rigoureusement la présence d'instabilités prédites par Tollmien et Schlichting [52, 49] (voir également la présentation dans [13]). Donnons quelques éléments sur la stratégie de preuve. On cherche des solutions de l'équation (1) linéarisée autour d'un flot de cisaillement, pouvant s'écrire

$$ u_{\nu}(t, x, y) = \exp(i\alpha\nu^{-1/2}(x - ct)) \begin{pmatrix} -\psi'_{\nu} \\ i\alpha\psi_{\nu} \end{pmatrix} (y/\sqrt{\nu}), $$

où $\psi_{\nu}$ est la fonction courant. On vérifie alors aisément que $\psi_{\nu}$ est solution de l'équation d'Orr-Sommerfeld

$$ \frac{\sqrt{\nu}}{i\alpha} (\partial_Y^2 - \alpha^2)^2 \psi_{\nu} = (U_s - c)(\partial_Y^2 - \alpha^2)\psi_{\nu} - U_s''\psi_{\nu} =: \text{Ra} \psi_{\nu} \quad (7) $$

où l'opérateur différentiel Ra s'appelle opérateur de Rayleigh. Ce dernier intervient naturellement dans l'analyse de stabilité du profil de cisaillement $U_s$ pour l'équation d'Euler. Le cas le plus simple est celui où le profil $U_s$ est instable pour l'équation de Rayleigh : autrement dit, il existe $\alpha \in \mathbb{R}$, $c \in \mathbb{C}$ avec $\Im(\alpha c) > 0$, tels que l'équation $\text{Ra} \psi = 0$, munie de conditions au bord ad hoc, admet une solution non triviale. Le terme visqueux au membre de gauche de (7) est alors traité perturbativement, en ajoutant une nouvelle couche limite d'épaisseur négligeable devant $\sqrt{\nu}$. Lorsque le profil $U_s$ est stable pour l'équation de Rayleigh, l'analyse est nettement plus délicate. Dans ce cas, Grenier, Guo et Nguyen montrent que pour tout profil de cisaillement $U_s$ tel que $U_s'(0) > 0$, il existe un intervalle $\alpha \in [\alpha_{\text{low}}(\nu), \alpha_{\text{up}}(\nu)]$, avec $\alpha_{\text{low}}(\nu)/\sqrt{\nu} \propto \nu^{-3/8}$, telles que l'équation (7) admette des solutions non triviales avec $\alpha \Im(c)\nu^{-1/2} \propto \nu^{-1/4}$ pour $\nu$ suffisamment petit, ce qui conduit donc à une croissance de cette solution modale en $\exp(\gamma t\nu^{-1/4})$. La construction repose sur une analyse fine des opérateurs de Rayleigh et d'Airy, ce dernier étant défini par $\text{Ai} := \epsilon\partial_Y^4 - (U_s - c + 2\epsilon\alpha^2)\partial_Y^2$ avec $\epsilon = \sqrt{\nu}/(i\alpha)$. Remarquons que tous les modes instables décrits dans le paragraphe précédent correspondent à des longueurs d'ondes tangentielles $k = \alpha/\sqrt{\nu}$ très grandes, se comportant comme $\nu^{-a}$ avec $a > 0$ ($a = 1/2$ dans [21] et $a \ge 3/8$ dans [22]). De petites échelles apparaissent donc dans la variable tangentielle à la paroi (la variable $x$), et pas uniquement dans la variable normale $y$, comme postulé par Prandtl.
La présence de ces modes instables, dont la taille croît exponentiellement en temps, entraîne l'invalidité de l'Ansatz de Prandtl [21, 23, 3]. Plus précisément, il existe une solution $u_ν$ du système (1) de la forme $u_ν(t, x, y) = (U_s(t, y/\sqrt{\nu}), 0)$, ainsi qu'une donnée initiale $v_ν^0$ et un terme source $F_ν$ tels que $\|v_ν^0 - u_ν(t = 0)\|_{H^s(\Omega)} \le \nu^N$, $\|F_ν\|_{L^\infty(\mathbb{R}_+, H^s)} \le \nu^N$, où les entiers $s$ et $N$ peuvent être choisis arbitrairement grands, possédant la propriété suivante. Si on note $v_ν$ la solution de (1) avec donnée initiale $v_ν(t = 0) = v_ν^0$ et terme source $F_ν$, alors il existe un temps $T_ν = O(\nu^{1/2}|\ln \nu|)$ tel que $\|(u_ν - v_ν)(t = T_ν)\|_{L^\infty} \gtrsim 1^6$. De façon remarquable, les auteurs de [23, 3] exhibent une cascade de petites échelles : l'instabilité du mode principal engendre une « sous-couche visqueuse ». Cette dernière est localisée dans une couche d'épaisseur $\nu^{3/4}$ (donc beaucoup plus mince que la couche de Prandtl d'épaisseur $\sqrt{\nu}$), possède une longueur d'onde tangentielle plus grande que le mode principal (ce qui signifie que son échelle spatiale tangentielle de variation est plus petite), et croît exponentiellement en temps. Lorsque la sous-couche visqueuse a atteint une taille suffisante (et l'un des enjeux de l'analyse mathématique est précisément de quantifier cette « taille suffisante » !), elle excite une instabilité à une échelle spatiale encore inférieure, etc. On voit donc apparaître au fil du temps une famille de couches limites emboîtées les unes dans les autres. Chaque couche contient le support d'un mode instable non nul. Enfin, les taux de croissance exponentielle des différents modes instables sont distincts les uns des autres. Les auteurs de [23, 3] ont identifié les premiers éléments de cette famille, mais il est possible que leur méthodologie puisse être raffinée pour en construire encore d'autres. Il s'agit d'une description quantitative, en termes mathématiques, de la transition du fluide vers un état turbulent. Soulignons que l'apparition de ces échelles de taille inférieure n'est pas sans rappeler le résultat de Kato [30], qui faisait intervenir une couche de taille $\nu$.

L'ensemble de ces résultats montre que pour des données initiales quelconques, de petites échelles en $x$ apparaissent dans la solution de (1). Ces petites échelles correspondent à des tourbillons microscopiques qui se forment près de la paroi. L'Ansatz de Prandtl (5), qui repose sur une séparation des échelles en $x$ et en $y$, n'est donc pas valide. La question de savoir si on peut remplacer (5) par une autre description asymptotique, prenant en compte ces petites échelles, est un problème ouvert.

## 3 Le cas stationnaire

On s'intéresse maintenant aux solutions stationnaires de (1), (3) et (6), qui vérifient donc

$$ 
\begin{align} 
U_1 \partial_x U_1 + U_2 \partial_y U_1 - \partial_{YY} U_1 &= -\frac{\partial \bar{p}}{\partial x}(x, 0), \nonumber \\ 
\partial_x U_1 + \partial_Y U_2 &= 0, \tag{8} \\ 
U_1(x, 0) &= U_2(x, 0) = 0, \nonumber \\ 
\lim_{Y \to \infty} U_1(x, Y) &= \bar{u}_1(x, 0), \nonumber 
\end{align} 
$$

où $(\bar{u}, \bar{p})$ est une solution stationnaire du système d'Euler (3).

Les questions auxquelles on souhaite répondre demeurent celles énoncées à la fin de l'introduction (caractère bien posé de l'équation de Prandtl stationnaire (8) et justification de l'Ansatz de Prandtl (5)). Cependant nous verrons que les résultats et méthodes diffèrent du cas non stationnaire.

### 3.1 Le cas « sans recirculation »

On commence par s'intéresser à des familles de solutions de (6) qui gardent un signe constant (disons positif) dans le domaine considéré, ce signe étant égal à celui du flot d'Euler $\bar{u}_1(x, 0)$. Un tel scénario est dit « sans recirculation ». Inversement, un sous-domaine dans lequel $U_1$ prend un signe opposé à celui de $\bar{u}_1(x, 0)$ sera appelé « bulle de recirculation ».

Dans le cas sans recirculation, on peut voir l'équation de Prandtl stationnaire (8) comme une équation d'évolution en $x$, non linéaire, de nature parabolique. On est donc amené à prescrire

<footnote n="6">6. Le résultat cité ici correspond à une construction autour de modes instables pour l'équation d'Euler [23]. Pour le cas d'une construction autour de flots de cisaillement généraux, on aura une minoration légèrement plus faible : $\|(u - v)(t = C\nu^{1/4} |\ln \nu|)\|_{L^\infty} \gtrsim \nu^{\frac{1}{4}+\delta}$ avec $\delta > 0$ arbitrairement petit.</footnote>
l'écoulement « entrant », par exemple en $x = 0$ (disons $U_{1|x=0} = U_1^0$), et à résoudre l'équation pour $x > 0$.

Le premier résultat rigoureux sur cette équation a été obtenu par Oleinik [45]. La première étape de la stratégie consiste à changer de variable pour se ramener à une équation parabolique non linéaire, de type milieux poreux. Plus précisément, en posant

$$w = U_1^2, \quad \psi = \int_0^Y U_1,$$

on peut vérifier que $w = w(x, \psi)$ est solution de l'équation

$$ 
\begin{aligned}
\partial_x w - \sqrt{w} \partial_\psi^2 w &= -2 \frac{\partial \bar{p}}{\partial x}(x, 0), \quad x > 0, \psi > 0, \\
w|_{x=0} &= (U_1^0)^2,
\end{aligned} 
\quad (9) \\
w|_{\psi=0} = 0, \quad \lim_{\psi \to \infty} w(x, \psi) = \bar{u}_1(x, 0)^2.
$$

L'équation (9) est une équation parabolique dégénérée, pour laquelle les outils paraboliques classiques (principe du maximum, méthodes de sur- et sous-solutions) sont utilisables. Grâce à cette observation, Oleinik a démontré l'existence locale de solutions régulières pour des données entrantes $U_1^0 \in C^{2,\alpha}(\mathbb{R}_+)$ avec $\alpha > 0$, bornées, vérifiant $U_1^0(Y) > 0$ pour tout $Y > 0$ et $\partial_Y U_1^0(0) > 0$. Ces solutions sont globales (autrement dit, elles existent sur tout l'intervalle $[0, +\infty[$) lorsque le gradient de pression est favorable : $\frac{\partial \bar{p}(x,0)}{\partial x} \le 0$ pour tout $x > 0$.

Lorsque $\frac{\partial \bar{p}(x,0)}{\partial x} > 0$ sur un intervalle de $[0, +\infty[$, le gradient de pression est dit « adverse » sur cet intervalle. En ce cas, les solutions régulières construites par Oleinik ne sont que locales. Compte tenu des hypothèses du résultat d'Oleinik, l'abscisse maximale $x^*$ de définition des solutions doit nécessairement vérifier l'une des conditions suivantes :

— soit il existe $Y^* > 0$ tel que $U_1(x^*, Y^*) = 0$;

— soit $\partial_Y U_1(x^*, 0) = 0$.

Pour simplifier l'analyse mathématique, on suppose que la donnée entrante $U_1^0$ est strictement croissante en $Y$. On peut démontrer que cette propriété est propagée par l'équation, et par conséquent le premier cas ci-dessus ne se produit pas. L'abscisse maximale $x^*$ est alors caractérisée par la condition $\partial_Y U_1(x^*, 0) = 0$, et est appelée « point de séparation » dans la littérature physique. La zone $x < x^*$ se situe donc en amont de la séparation, et la zone $x > x^*$ en aval de celle-ci; on abordera au paragraphe suivant la construction de solutions en aval de la séparation.

Un premier enjeu est de comprendre le comportement des solutions dans un voisinage à gauche de $x^*$ (donc en amont de la séparation). En collaboration avec Nader Masmoudi [10], nous avons montré que pour une large classe de données entrantes et lorsque $\frac{\partial \bar{p}(x,0)}{\partial x} = 1$, l'abscisse maximale d'existence $x^*$ est finie, et $x^* = O(\partial_Y U_1^0(0)^2)$. De plus, il existe une constante $C$, dépendant de $U_1^0$, telle que

$$\partial_Y U_1(x, 0) \sim C \sqrt{x^* - x} \quad \text{lorsque } x \to x^*.$$

Le point important de ce résultat réside dans l'information quantitative sur le « taux de séparation » $\partial_Y U_1(x, 0)$. La loi en $\sqrt{x^* - x}$ avait déjà été prédite par Goldstein [20] puis Stewartson [51] en calculant un développement en série de la solution en fonction de variables auto-similaires bien choisies. Le même taux avait été conjecturé par Landau [33, Chapitre 4, §40] par un argument entièrement différent. Le résultat ci-dessus constitue donc une justification rigoureuse de ce qu'on appelle la *singularité de Goldstein*. On donne également dans [10] une description quantitative de la solution en amont de la séparation : plus précisément, $U(x, Y) \simeq C\sqrt{x^* - xY} + Y^2/2$ et $\partial_Y^2 U \simeq 1$ pour $Y \lesssim (x^* - x)^{1/6}$.

La preuve exploite une invariance par changement d'échelle de l'équation (8) et s'appuie sur les méthodes de modulation de variables introduites par Zakharov et Shabat [54], dont l'utilisation rigoureuse a été développée par Merle et Raphaël et leurs co-auteurs (voir par exemple [42]) dans divers contextes (équation de Schrödinger, de la chaleur non linéaire, de Keller-Segel...) Cette méthode permet de construire une solution approchée possédant de « bonnes » propriétés de stabilité. Il faut ensuite mettre à jour des propriétés de dissipation de l'équation de Prandtl (ou de sa version mise à l'échelle), et les utiliser au cœur d'un argument de bootstrap pour contrôler la différence
entre la vraie solution et la solution approchée. Notons qu'une partie des résultats de [10], comme le comportement de $\partial_Y U$ le long de la courbe $Y = (x^* - x)^{1/4}$, a été retrouvée dans [50] par d'autres méthodes.

Un des corollaires de [10] est que la vitesse verticale $U_2$ explose au point $x = x^*$, en raison de la singularité en $\sqrt{x - x^*}$ (rappelons que $U_2(x, Y) = -\int_0^Y \partial_x U_1)$. Cela signifie qu'une quantité infinie de fluide quitte la couche limite et pénètre à l'intérieur du fluide. Par conséquent, les hypothèses menant (formellement) à l'obtention du système (8) ne sont pas vérifiées. Le consensus en mécanique des fluides est que la singularité de Goldstein est un artefact des équations de Prandtl, et qu'une telle singularité n'est pas présente au niveau du système de Navier-Stokes [32]. Pour pallier ce problème, il est souvent proposé d'utiliser d'autres modèles de couche limite prenant en compte le couplage avec l'intérieur du fluide, comme le modèle du triple pont [32], déjà mentionné plus haut. Un aspect crucial de ce type de modèle réside dans l'introduction de petites échelles dans la variable tangentielle au bord, afin de « régulariser » la singularité de Goldstein. L'heuristique est la suivante : bien en amont de la séparation, le système de Prandtl devrait décrire correctement le comportement du fluide au sein de la couche limite. Au voisinage de la séparation, en revanche, le système de Prandtl ne fournit pas une bonne approximation des solutions du système de Navier-Stokes. Ce système est donc remplacé localement par celui du triple pont sur un domaine dont les deux dimensions dépendent du paramètre $\nu$. Puis, en aval de la séparation, le système de Prandtl pourrait devenir valide à nouveau.

Aujourd'hui, une preuve mathématique rigoureuse des lignes qui précèdent reste assez largement ouverte. Les principaux résultats disponibles portent sur la validité de l'Ansatz de Prandtl en amont de la séparation [17, 24, 27]. Le système du triple pont stationnaire a été analysé par Iyer et Maekawa dans [26]. En revanche, les autres aspects mentionnés ci-dessus (validité du système du triple pont au point de séparation, régularisation de la singularité de Goldstein, connexion avec le système de Prandtl en amont et en aval de la séparation) demeurent inexplorés.

## 3.2 Le cas « avec recirculation »

On se place à présent en aval du point de séparation, et on considère donc des solutions de (8) dont la composante tangentielle $U_1$ change de signe. Certaines solutions semi-explicites de (8) changeant de signe sont connues : il s'agit de la famille de solutions de Falkner-Skan, qui sont des solutions auto-similaires de la forme

$$U_1(x, Y) = x^m f'(\zeta), \qquad (10)$$

$$U_2(x, Y) = -Y^{-1}\zeta f(\zeta) - \frac{m-1}{m+1}Y^{-1}\zeta^2 f'(\zeta), \qquad (11)$$

où $\zeta := (\frac{m+1}{2})^{\frac{1}{2}}Yx^{\frac{m-1}{2}}$ est la variable auto-similaire, $m$ un paramètre réel, et $f$ la solution d'une équation différentielle dépendant de $m$. Pour certaines valeurs de $m$, la fonction $f$ change de signe, et la solution correspondante possède donc une « bulle de recirculation ».

L'enjeu ici est donc de construire des solutions du système de Prandtl stationnaire (8) au voisinage de ces solutions (ou d'autres solutions de référence dont la composante $U_1$ change de signe), entre deux abscisses $x_0$ et $x_1$ arbitraires, telles que $x^* < x_0 < x_1$. Puisque le système de Prandtl a un comportement parabolique lorsque $U_1 > 0$, son comportement lorsque $U_1$ change de signe est de nature « forward-backward » (ou « direct-rétrograde »), c'est-à-dire parabolique dans la zone où $U_1 > 0$, et parabolique rétrograde dans la zone où $U_1 < 0$. On munit donc comme précédemment le système de conditions latérales entrantes, autrement dit sur $\{x = x_0\} \cap \{U_1 > 0\}$ et sur $\{x = x_1\} \cap \{U_1 < 0\}$. Soulignons que le système change de nature le long de la courbe $\{U_1 = 0\}$, qui est une frontière libre.

Ce problème a été analysé par Iyer et Masmoudi dans [29, 28], ainsi que par l'autrice, Frédéric Marbach et Jean Rax dans [9]. La première étape est de redresser la courbe $\{U_1 = 0\}$ afin que la courbe de changement de type de l'équation soit une ligne droite horizontale. Dans les nouvelles variables, dans la zone de recirculation, l'équation linéarisée sur la vortivité $\omega$ s'écrit

$$z \partial_x \omega - \partial_{zz}(\alpha \omega) = f,$$

où $\alpha$ est un coefficient strictement positif dépendant de la solution de référence. Cette équation est posée sur un domaine du type $]x_0, x_1[ \times [-\delta, \delta[$, et munie de conditions aux bords en $z = \pm \delta$ et
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Vues en coupe de la vitesse tangentielle dans la couche limite en différentes abscisses. Pour $x > x^*$, le flot possède une bulle de recirculation près de la paroi.</figcaption></figure>

sur les bords latéraux $\{x_0\} \times ]0, \delta[ \text{ et } \{x_1\} \times ]-\delta, 0[$. Une difficulté inattendue apparaît alors : même lorsque les données (terme source $f$ et données aux bords) sont très régulières, génériquement la solution $\omega$ de l'équation linéaire précédente possède des singularités près des points $(x, z) = (x_0, 0)$ et $(x_1, 0)$. Pour éviter ces singularités, il faut supposer que les données appartiennent à un espace vectoriel de codimension finie dans $H^1([x_0, x_1[, H^2(-\delta, \delta)) \times H_0^2(x_0, x_1)^2 \times H_0^5(0, \delta) \times H_0^5(-\delta, 0)$. Dans le cadre non linéaire du système de Prandtl, on peut ainsi montrer l'existence de solutions avec une bulle de recirculation, au voisinage d'un flot de référence, pourvu que les données du problème appartiennent à une variété de codimension finie dans un produit d'espaces de Sobolev.

Sur le plan de la modélisation, une telle hypothèse n'est pas raisonnable : en effet, l'appartenance à une variété de codimension finie n'est pas stable par perturbation, ce qui signifie que des singularités pourraient apparaître aux abscisses $x = x_0$ et $x = x_1$ si les conditions entrantes étaient légèrement modifiées. Dans la mesure où ces abscisses ont été choisies de façon arbitraire, de telles singularités n'ont pas de pertinence physique. Cela suggère que le modèle avec conditions aux bords entrantes n'est sans doute pas le bon pour décrire des modèles de couche limite avec recirculation. Il faudrait par exemple modifier les conditions sur les bords latéraux afin de prendre en compte le couplage avec le fluide en dehors de la zone $(x_0, x_1)$, et ainsi éviter les singularités mentionnées précédemment ; cependant, une fois encore, l'identification même d'un modèle pertinent est largement ouverte.

## Remerciements

Ce travail a reçu le soutien du projet BOURGEONS, bourse ANR-23-CE40-0014-01 de l'Agence nationale de recherche (ANR), ainsi que celui de l'Institut Universitaire de France.

## Références

[1] Dallas Albritton, Elia Brué, and Maria Colombo. Non-uniqueness of leray solutions of the forced navier–stokes equations. *Annals of Mathematics*, 196(1):415–455, 2022.

[2] Radjesvarane Alexandre, Y-G Wang, C-J Xu, and Tong Yang. Well-posedness of the prandtl equation in sobolev spaces. *Journal of the American Mathematical Society*, 28(3):745–784, 2015.

[3] Dongfen Bian and Emmanuel Grenier. Instability of shear layers and prandtl's boundary layers. *arXiv preprint arXiv:2401.15679*, 2024.

[4] James Carter. Solutions for laminar boundary layers with separation and reattachment. *7th Fluid and PlasmaDynamics Conference*, 06 1974.

[5] David Catherall and Kurt Mangler. The integration of the two-dimensional laminar boundary-layer equations past the point of vanishing skin friction. *Journal of Fluid Mechanics*, 26(1):163–182, 1966.
[6] Jean-Yves Chemin, Benoit Desjardins, Isabelle Gallagher, and Emmanuel Grenier. *Mathematical geophysics: An introduction to rotating fluids and the Navier-Stokes equations*, volume 32. Clarendon Press, 2006.

[7] Charles Collot, Tej-Eddine Ghoul, Slim Ibrahim, and Nader Masmoudi. On singularity formation for the two-dimensional unsteady prandtl system around the axis. *Journal of the European Mathematical Society*, 24(11):3703–3800, 2022.

[8] Anne-Laure Dalibard, Helge Dietert, David Gérard-Varet, and Frédéric Marbach. High frequency analysis of the unsteady interactive boundary layer model. *SIAM Journal on Mathematical Analysis*, 50(4):4203–4245, 2018.

[9] Anne-Laure Dalibard, Frédéric Marbach, and Jean Rax. Linear and nonlinear parabolic forward-backward problems. *Memoirs of the EMS*, 2025. arXiv preprint arXiv:2203.11067.

[10] Anne-Laure Dalibard and Nader Masmoudi. Separation for the stationary prandtl equation. *Publications mathématiques de l'IHÉS*, 130(1):187–297, 2019.

[11] Helge Dietert and David Gérard-Varet. Well-posedness of the prandtl equations without any structural assumption. *Annals of PDE*, 5(1):8, 2019.

[12] Helge Dietert and David Gérard-Varet. On the ill-posedness of the triple deck model. *SIAM Journal on Mathematical Analysis*, 54(2):2611–2633, 2022.

[13] Philip G Drazin and William Hill Reid. *Hydrodynamic stability*. Cambridge university press, 2004.

[14] Weinan E and Bjorn Engquist. Blowup of solutions of the unsteady prandtl's equation. *Comm. Pure Appl. Math*, 50(12):1287–1293, 1997.

[15] Hiroshi Fujita and Tosio Kato. On the navier–stokes initial value problem. i. *Archive for Rational Mechanics and Analysis*, 16(4):269–315, 1964.

[16] David Gérard-Varet and Emmanuel Dormy. On the ill-posedness of the prandtl equation. *Journal of the American Mathematical Society*, 23(2):591–609, 2010.

[17] David Gérard-Varet and Yasunori Maekawa. Sobolev stability of prandtl expansions for the steady navier–stokes equations. *Archive for Rational Mechanics and Analysis*, 233(3):1319–1382, 2019.

[18] David Gérard-Varet, Yasunori Maekawa, and Nader Masmoudi. Gevrey stability of prandtl expansions for 2-dimensional navier–stokes flows. *Duke Mathematical Journal*, 167(13):2531, 2018.

[19] David Gérard-Varet, Yasunori Maekawa, and Nader Masmoudi. Optimal prandtl expansion around a concave boundary layer. *Analysis & PDE*, 17(9):3125–3187, 2024.

[20] S. Goldstein. On laminar boundary-layer flow near a position of separation. *Quart. J. Mech. Appl. Math.*, 1:43–69, 1948.

[21] Emmanuel Grenier. On the nonlinear instability of euler and prandtl equations. *Communications on Pure and Applied Mathematics: A Journal Issued by the Courant Institute of Mathematical Sciences*, 53(9):1067–1091, 2000.

[22] Emmanuel Grenier, Yan Guo, and Toan T Nguyen. Spectral instability of characteristic boundary layer flows. *Duke Mathematical Journal*, 165(16):3085–3146, 2016.

[23] Emmanuel Grenier and Toan T Nguyen. $l^\infty$ instability of prandtl layers. *Annals of PDE*, 5(2):18, 2019.

[24] Yan Guo and Sameer Iyer. Validity of steady prandtl layer expansions. *Communications on Pure and Applied Mathematics*, 76(11):3150–3232, 2023.

[25] Eberhard Hopf. Über die anfangswertaufgabe für die hydrodynamischen grundgleichungen. erhard schmidt zu seinem 75. geburtstag gewidmet. *Mathematische Nachrichten*, 4(1-6):213–231, 1950.

[26] Sameer Iyer and Yasunori Maekawa. Local rigidity of the couette flow for the stationary triple-deck equations. *arXiv preprint arXiv:2405.10532*, 2024.

[27] Sameer Iyer and Nader Masmoudi. Global-in-$x$ stability of steady prandtl expansions for 2d navier–stokes flows. *arXiv preprint arXiv:2008.12347*, 2020.
[28] Sameer Iyer and Nader Masmoudi. Higher regularity theory for a mixed-type parabolic equation. *arXiv preprint arXiv:2212.08735*, 2022.

[29] Sameer Iyer and Nader Masmoudi. Reversal in the stationary prandtl equations. *arXiv preprint arXiv:2203.02845*, 2022.

[30] Tosio Kato. Remarks on zero viscosity limit for nonstationary navier–stokes flows with boundary. In *Seminar on nonlinear partial differential equations*, pages 85–98. Springer, 1984.

[31] Igor Kukavica, Vlad Vicol, and Fei Wang. The van dommelen and shen singularity in the prandtl equations. *Advances in Mathematics*, 307:288–311, 2017.

[32] Pierre-Yves Lagrée. Interactive boundary layer (IBL). In *Asymptotic methods in fluid mechanics: survey and recent advances*, volume 523 of *CISM Courses and Lect.*, pages 247–286. SpringerWienNewYork, Vienna, 2010.

[33] L. D. Landau and E. M. Lifshitz. *Fluid mechanics*. Translated from the Russian by J. B. Sykes and W. H. Reid. Course of Theoretical Physics, Vol. 6. Pergamon Press, London-Paris-Frankfurt; Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1959.

[34] Jean-Claude Le Balleur. *Numerical Viscous-Inviscid Interaction in Steady and Unsteady Flows*, pages 259–284. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg, 1984.

[35] Jean Leray. Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace. *Acta mathematica*, 63(1):193–248, 1934.

[36] Jacques-Louis Lions and Giovanni Prodi. Un théorème d'existence et unicité dans les équations de Navier–Stokes en dimension 2. *C. R. Acad. Sci., Paris*, 248:3519–3521, 1959.

[37] Cheng-Jie Liu, Ya-Guang Wang, and Tong Yang. On the ill-posedness of the prandtl equations in three-dimensional space. *Archive for Rational Mechanics and Analysis*, 220(1):83–108, 2016.

[38] Cheng-Jie Liu, Ya-Guang Wang, and Tong Yang. A well-posedness theory for the prandtl equations in three space variables. *Advances in Mathematics*, 308:1074–1126, 2017.

[39] Yasunori Maekawa. On the inviscid limit problem of the vorticity equations for viscous incompressible flows in the half-plane. *Communications on Pure and Applied Mathematics*, 67(7):1045–1128, 2014.

[40] Carlo Marchioro and Mario Pulvirenti. *Vortex methods in two-dimensional fluid dynamics*. Springer, 1984.

[41] Nader Masmoudi and Tak Kwong Wong. Local-in-time existence and uniqueness of solutions to the prandtl equations by energy methods. *Communications on Pure and Applied Mathematics*, 68(10):1683–1741, 2015.

[42] Frank Merle and Pierre Raphael. The blow-up dynamic and upper bound on the blow-up rate for critical nonlinear Schrödinger equation. *Ann. of Math. (2)*, 161(1):157–222, 2005.

[43] Olga Arsen'evna Oleinik. On the system of prandtl equations in boundary-layer theory. In *Doklady Akademii Nauk*, volume 150, pages 28–31. Russian Academy of Sciences, 1963.

[44] Olga Arsen'evna Oleinik. On the mathematical theory of boundary layer for an unsteady flow of incompressible fluid. *Journal of Applied Mathematics and Mechanics*, 30(5):951–974, 1966.

[45] Olga Arsenievna Oleinik and Viacheslav Nikolaevich Samokhin. *Mathematical models in boundary layer theory*, volume 15. CRC Press, 1999.

[46] Ludwig Prandtl. Über flussigkeitsbewegung bei sehr kleiner reibung. *Verhandl. 3rd Int. Math. Kongr. Heidelberg (1904)*, Leipzig, 1905.

[47] Marco Sammartino and Russel E Caflisch. Zero viscosity limit for analytic solutions of the Navier–Stokes equation on a half-space. i. existence for euler and prandtl equations. *Communications in mathematical physics*, 192(2):433–461, 1998.

[48] Marco Sammartino and Russel E Caflisch. Zero viscosity limit for analytic solutions of the navier-stokes equation on a half-space. ii. construction of the navier-stokes solution. *Communications in mathematical physics*, 192(2):463–491, 1998.

[49] Herman Schlichting. Berechnung der anfachung kleiner störungen bei der plattenströmung. *ZAMM*, 13(171-174):50, 1933.
[50] Weiming Shen, Yue Wang, and Zhifei Zhang. Boundary layer separation and local behavior for the steady prandtl equation. *Advances in Mathematics*, 389:107896, 2021.

[51] K. Stewartson. On Goldstein's theory of laminar separation. *Quart. J. Mech. Appl. Math.*, 11, 1958.

[52] Walter Tollmien. Über die entstehung der turbulenz. In *Vorträge aus dem Gebiete der Aero-dynamik und verwandter Gebiete : Aachen 1929*, pages 18–21. Springer, 1930.

[53] VI Yudovich. Non-stationary flows of an ideal incompressible fluid. *Ž. Vyčisl. Mat. i Mat. Fiz.*, 3:1032, 1963.

[54] V. E. Zakharov and A. B. Shabat. Exact theory of two-dimensional self-focusing and one-dimensional self-modulation of waves in nonlinear media. *Ž. Èksper. Teoret. Fiz.*, 61(1):118–134, 1971.