# Plans d'expériences optimaux d'essais de ténacité

Anthony Quintin, Cécile Mattrand, Rudy Chocat, Tom Petit, Jean-Marc Bourinet

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Anthony Quintin, Cécile Mattrand, Rudy Chocat, Tom Petit, Jean-Marc Bourinet. Plans d'expériences optimaux d'essais de ténacité. 26e Congrès Français de Mécanique, Laboratoire d'Etude des Microstructures et de Mécanique des Matériaux (LEM3 - UMR CNRS 7239), Aug 2025, Metz, France. hal-05313107

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Submitted on 14 Oct 2025

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# Plans d'expériences optimaux d'essais de ténacité

A. Quintin<sup>a*</sup>, C. Mattrand<sup>b</sup>, R. Chocat<sup>a</sup>, T. Petit<sup>c,d</sup>, J-M. Bourinet<sup>e</sup>

a. Université Paris-Saclay, CEA, Service de Génie Logiciel pour la Simulation, Gif-sur-Yvette, F-91191, France, anthony.quintin@cea.fr, rudy.chocat@cea.fr

b. Université Clermont Auvergne, Clermont Auvergne INP, CNRS, Institut Pascal, Clermont-Ferrand, F-63000, France, cecile.mattrand@sigma-clermont.fr

c. Université Paris-Saclay, CEA, DES - Service d'Étude des Matériaux Irradiés, Gif-sur-Yvette, F-91191, France, tom.petit@cea.fr

d. CEA, DAM, Gramat, F-46500 Gramat, France, tom.petit@cea.fr

e. Université Clermont Auvergne, Clermont Auvergne INP, CNRS, LIMOS, Clermont-Ferrand, F-63000, France, jean-marc.bourinet@sigma-clermont.fr

## Résumé

La conception expérimentale optimale bayésienne (Bayesian Optimal Experimental Design) permet de planifier des expériences en optimisant une fonction d'utilité qui intègre l'incertitude a priori sur les paramètres d'un modèle statistique. Lorsque les données expérimentales sont coûteuses ou limitées, l'identification d'un plan optimisé selon une fonction d'utilité adaptée aux objectifs expérimentaux permet de réduire l'incertitude sur l'estimation de ces paramètres. Le présent travail s'inscrit dans ce contexte, pour estimer la température de transition ductile-fragile $T_0$ à partir d'un nombre restreint d'essais de ténacité réalisés selon la norme Master Curve (ASTM E1921). L'objectif est de déterminer une séquence optimale de températures d'essais parmi un ensemble discret de valeurs admissibles, afin de minimiser la variance totale de l'estimateur de $T_0$. La stratégie de résolution formulée ici consiste à optimiser des probabilités de transition d'une chaîne de Markov qui modélise les séquences de températures. Les résultats obtenus sur un exemple illustratif montrent le potentiel de la stratégie proposée.

## Plans d'expériences optimaux ; Master Curve ; Ténacité ; Bayésien

### 1 Introduction

Afin de simuler fidèlement des phénomènes physiques, il est nécessaire de disposer de modèles mathématiques suffisamment précis pour décrire les relations fonctionnelles considérées entre des quantités d'entrée $x$ et de sortie $y$. Ces modèles sont très souvent paramétriques, et dans certains cas, chaque observation $y \in \mathbb{R}^n$ est modélisée comme une réalisation d'un vecteur aléatoire $Y$ suivant une loi $p(y | x, \theta)$, avec $x \in \mathcal{X}$ un vecteur de variables de conception où $\mathcal{X}$ est un ensemble fini discret ou un intervalle borné, et $\theta \in \mathbb{R}^{n_\theta}$ un vecteur de paramètres inconnus. L'objectif d'identification de modèles, $p$, se restreint alors à celui de ses paramètres $\theta$. Les données y étant parfois coûteuses et délicates à obtenir à partir d'essais en laboratoire, elles sont ainsi disponibles en nombre limité uniquement. Dans ce contexte, concevoir un plan de conception optimisé de $N_s$ expériences, noté $\{x^{(s)}\}_{s=1}^{N_s}$, selon certains critères appropriés, peut considérablement aider à réduire les incertitudes associées à l'estimation des paramètres $\theta$.
La conception expérimentale optimale bayésienne, Bayesian Optimal Experimental Design (BOED), fournit un cadre rigoureux pour planifier des expériences en intégrant l'incertitude sur les paramètres $\theta$, modélisée par une distribution a priori [1, 2]. Cette incertitude est intégrée dans une fonction objectif, appelée fonction d'utilité dans ce contexte, dont l'optimisation guide le choix des conditions expérimentales. Plusieurs fonctions d'utilité ont été proposées dans la littérature selon les objectifs visés. Par exemple, les critères d'A- et D-optimalité bayésiens visent à réduire l'incertitude a posteriori sur $\theta$ [2, 3]. L'A-optimalité consiste à minimiser la trace de la matrice de covariance, ce qui revient à réduire la variance moyenne des paramètres $\theta$ estimés, tandis que la D-optimalité minimise son déterminant, réduisant ainsi le volume de l'ellipsoïde de confiance associé à la distribution a posteriori de $\theta$.

Le présent article traite d'un problème d'inférence d'un paramètre scalaire $\theta$ dans un contexte où les observations $\{y^{(s)}\}_{s=1}^{N_s}$ sont stochastiques, le nombre d'essais $N_s$ est très limité (de l'ordre d'une dizaine), et la variable de conception scalaire $x$ est choisie à chaque essai dans un ensemble discret de valeurs admissibles. Plus précisément, l'étude porte sur l'estimation de la température de transition ductile-fragile, notée $T_0$, définie dans le cadre de la Master Curve de la norme ASTM E1921 [4]. L'objectif est d'identifier une séquence optimale de températures d'essais $T_{test}^{1:N_s*}$ permettant de minimiser la variance de l'estimateur de $T_0$. Une planification statique sur un espace discret de températures d'essais est ici proposée, et l'optimisation est résolue en ayant recours à la méthode d'entropie-croisée [5, 6].

# 2 Formulation numérique du problème d'optimisation

## 2.1 Contexte d'estimation de $T_0$ par Master Curve

Considérons un problème d'inférence bayésienne où un paramètre inconnu $\theta \in \mathbb{R}$ doit être estimé à partir d'une séquence d'observations stochastiques $\{y^{(s)}\}_{s=1}^{N_s}$, obtenues pour différentes valeurs d'une variable de conception $x$ (ici scalaire). Dans cette présente étude, le paramètre $\theta$ à inférer est la température de transition ductile-fragile $T_0$. Les observations $y$ sont des mesures de ténacité apparente $K_{J_c}$. La variable de conception $x$ est la température d'essai $T_{test} \in \mathcal{T}$ où $\mathcal{T}$ est l'ensemble discret de températures d'essais admis. Conformément à la théorie Master Curve décrite dans la norme ASTM E1921 [4], la ténacité d'une éprouvette de référence CT-1T est modélisée par une loi de Weibull à trois paramètres. La fonction de répartition associée à cette loi est donnée par Eq. (1):

$$P_f = 1 - \exp \left[ - \left( \frac{K_{J_c} - K_{\min}}{K_0(T_{test}, T_0) - K_{\min}} \right)^k \right] \quad (1)$$

$$\text{où } K_{\min} = 20\text{MPa}\sqrt{\text{m}}, k = 4 \text{ et } K_0(T_{test}, T_0) = 31 + 77 \exp [0.019(T_{test} - T_0)].$$

En pratique, le nombre total d'essais $N_s$ est imposé par la disponibilité des éprouvettes CT. Les essais de ténacité sont réalisés séquentiellement : pour chaque essai $s$, l'expert choisit une température d'essai $T_{test}^{(s)}$ dans l'ensemble discret $\mathcal{T} = \{T_1, T_2, \dots, T_{N_T}\}$, où $N_T$ désigne le nombre de températures candidates. À l'issue du $s$-ième essai, la ténacité apparente, notée $K_{J_c}^{(s)}$, doit satisfaire aux prescriptions de la norme ASTM E1921 [4]. Les valeurs initialement déterminées selon une géométrie d'éprouvette sont converties en équivalent CT-1T. Par ailleurs, la ténacité apparente ne peut excéder une limite théorique notée $K_{J_c,\text{lim}}$ fonction des propriétés matérielles et de la température d'essai [4]. Lorsque $K_{J_c}^{(s)} > K_{J_c,\text{lim}}$, l'essai est dit censuré et la valeur est alors remplacée par $K_{J_c,\text{lim}}$. Pour davantage de précisions, notamment concernant les essais censurés ou les températures invalides intervenant dans l'estimation de $T_0$, le lecteur est invité à se référer à la norme ASTM E1921 [4].
Une fois l'ensemble des essais réalisés et les données traitées conformément aux exigences de la norme ASTM E1921, les résultats expérimentaux sont représentés sous la forme d'une séquence ordonnée regroupant les températures d'essais $T_{test}^{1:N_s} = (T_{test}^{(1)}, \dots, T_{test}^{(N_s)})$ et les valeurs correspondantes de ténacité $K_{J_c}^{1:N_s} = (K_{J_c}^{(1)}, \dots, K_{J_c}^{(N_s)})$. À partir de cet ensemble d'observations, la température de transition ductile-fragile $T_0$ est estimée par la méthode du maximum de vraisemblance avec censure à droite [4].

## 2.2 Formulation du problème d'optimisation à résoudre

Le cadre BOED vise à déterminer les conditions expérimentales optimales permettant de maximiser la qualité de l'inférence du paramètre inconnu, ici $T_0$. L'objectif dans cette étude est de sélectionner le plan expérimental optimal $T_{test}^{1:N_s^*}$ qui minimise la variance totale de $T_0$, notée $\text{Var}(T_0 | T_{test}^{1:N_s})$, sur l'espace des observations potentielles du plan considéré. La stratégie de planification est décrite ici comme un problème d'optimisation combinatoire. La méthode d'entropie-croisée [5, 6] est utilisée pour résoudre ce problème. Les séquences de températures d'essais sont vues comme des réalisations d'une chaîne de Markov homogène de premier ordre, de matrice de transition **Q** et de loi de l'état initial $q(\cdot, \mathbf{v})$ de paramètres **v**. Il s'agit de trouver les meilleurs paramètres (**Q**, **v**) de la chaîne de Markov qui minimisent la fonction objectif, appelée fonction d'utilité ici. Ces paramètres (**Q**, **v**) sont ajustés itérativement par un algorithme multi-niveaux noté MN-EC.

Pour évaluer la fonction d'utilité, un modèle numérique est développé pour générer des données d'essais virtuels représentatives d'un comportement de l'acier 16MND5 non irradié et pour une géométrie d'éprouvette donnée. La Fig. 1 résume la modélisation proposée dans [7], qui décrit le plan expérimental $T_{test}^{1:N_s}$ fixé, la génération de $N_c$ campagnes de réalisations $\{K_{J_c}^{1:N_s^{(c)}}\}_{c=1}^{N_c}$, jusqu'au calcul de la variance totale.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1: Schéma synthétique du modèle numérique pour évaluer la variance totale associée au plan expérimental $T_{test}^{1:N_s}$, à partir des $N_c$ campagnes de réalisations $\{K_{J_c}^{1:N_s^{(c)}}\}_{c=1}^{N_c}$.</figcaption></figure>

## 3 Stratégie d'optimisation d'essais de ténacité

Les simulations sont ici menées sur des éprouvettes mini-CT. Pour illustrer la démarche, le nombre total d'essais est fixé à $N_s = 16$, et le nombre de températures admissibles est fixé $N_T = 7$, à savoir
$T = \{-160, -150, \dots, -100\}$ °C. Cette discrétisation assure une exploration de l'espace de conception cohérente en pratique.

Les résultats de l’algorithme MN-EC sont présentés à travers trois visualisations illustrant la dynamique d’optimisation et l’évolution des distributions génératrices de séquences. La Fig. 2 illustre pour quelques itérations $\tau$, l’évolution du couple $(\hat{Q}_{\tau}, \hat{v}_{\tau})$. À l’itération $\tau = 1$, la matrice $\hat{Q}_1$ et le vecteur $\hat{v}_1$ sont initialisés de manière uniforme sur l’ensemble des états. Itérativement, les probabilités se concentrent sur les transitions favorables à la minimisation de la variance totale. La convergence est atteinte pour $\tau = 130$, donnant la matrice de transition optimale $\hat{Q}^*$ et le vecteur optimal de paramètres de la loi de l’état initial $\hat{v}^*$.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2: Évolution de la matrice de transition $\hat{Q}_{\tau}$ et du vecteur de paramètres de la loi de l'état initial $\hat{v}_{\tau}$ au cours de l'algorithme MN-EC. Les trois premières matrices correspondent respectivement aux itérations $\tau = 1, \tau = 2$ et $\tau = 3$. La matrice du bas représente la solution convergée $(\hat{Q}^*, \hat{v}^*)$ à l'itération $\tau = 130$.</figcaption></figure>

La Fig. 3 présente l'évolution des estimations de la variance totale obtenues à partir de séquences générées par les chaînes de Markov de paramètres $(\hat{Q}_{\tau}, \hat{v}_{\tau})$. La diminution progressive de la variance témoigne de l'optimisation itérative du couple $(\hat{Q}_{\tau}, \hat{v}_{\tau})$ qui tend à privilégier des séquences conduisant à un plan d'expériences plus optimal. À partir de l'itération $\tau = 130$, aucune évolution significative n'est observée, indiquant la convergence vers les paramètres optimaux $(\hat{Q}^*, \hat{v}^*)$ illustrées en Fig. 2.

La Fig. 4 illustre les variances de $T_0$, obtenues par simulations, pour chaque plan d'expériences généré à partir des chaînes de Markov de paramètres $(\hat{Q}^*, \hat{v}^*)$. Le couple optimal $(\hat{Q}^*, \hat{v}^*)$ conduit ici à 8 matrices de températures. On définit une *matrice de températures* comme le plan de répartition des essais par niveau de température sans tenir compte de l'ordre, noté sous la forme $\{N_{T_{test}} \times T_{test}\}$. Cette mise en forme de la séquence se justifie par l'hypothèse d'indépendance des observations qui rend les
métriques (vraisemblance, postérieur, variance) insensibles à la permutation des essais. Dans ce cadre de planification statique, il existe donc plusieurs séquences équivalentes pour une même matrice de températures.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3: Diagramme en violon des estimations de la variance totale obtenues à chaque itération $\tau$ de l'algorithme MN-EC à partir de séquences générées selon le couple $(\hat{Q}_{\tau}, \hat{v}_{\tau})$.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4: Histogrammes des variances totales de $T_0$ obtenues à partir des paramètres optimaux $(\hat{Q}^*, \hat{v}^*)$, regroupées selon leurs matrices de températures respectives.</figcaption></figure>
Ainsi, le couple optimal ($\hat{Q}^*, \hat{v}^*$) génère plusieurs matrices de températures distinctes, illustrées en Fig. 4. Parmi celles-ci, la configuration optimale représentée en bleu correspond à la matrice de température $\{4 \times -160 \,^\circ\text{C}, 4 \times -150 \,^\circ\text{C}, 8 \times -120 \,^\circ\text{C}\}$. Les autres matrices (illustrées en orange, vert, etc.) sont des solutions résiduelles issues de la nature probabiliste du problème.

L'objectif étant de fournir aux experts une séquence d'essais directement exploitable en laboratoire, on extrait une séquence optimale $T_{test}^{1:N_s^*}$ qui minimise la variance totale de $T_0$ à partir des solutions finales. L'exemple traité ici conduit à :

$$-150 \,^\circ\text{C} \rightarrow -120 \,^\circ\text{C} \rightarrow -160 \,^\circ\text{C} \rightarrow -120 \,^\circ\text{C} \rightarrow -160 \,^\circ\text{C} \rightarrow -120 \,^\circ\text{C} \rightarrow -150 \,^\circ\text{C} \rightarrow -120 \,^\circ\text{C} \rightarrow \\ -160 \,^\circ\text{C} \rightarrow -120 \,^\circ\text{C} \rightarrow -150 \,^\circ\text{C} \rightarrow -120 \,^\circ\text{C} \rightarrow -150 \,^\circ\text{C} \rightarrow -120 \,^\circ\text{C} \rightarrow -160 \,^\circ\text{C} \rightarrow -120 \,^\circ\text{C}.$$

Une estimation asymptotique de $T_0$ à partir de $10^6$ essais simulés avec un plan d'expériences uniformément répartis entre -160 et -100 °C conduit à $T_0^\infty = -105.4$ °C. Il est important de noter que dans le contexte de la Master Curve, cette valeur asymptotique ne peut pas être interprétée comme valeur exacte ou véritable de $T_0$, celle-ci restant intrinsèquement inconnue. Néanmoins cette valeur est ici utilisée pour vérifier que la séquence optimale ne présente pas de biais significatif.

Conformément à la méthodologie dans [7], un post-traitement des campagnes numériques réalisées par la séquence optimale $T_{test}^{1:N_s^*}$ fournit une distribution des estimations de $T_0$ obtenues par la méthode du maximum de vraisemblance. La moyenne empirique obtenue, $\bar{T}_0 = -103.1$ °C, suggère que l'estimation est ici peu biaisée, environ 2.3 °C. De plus, cette valeur de $\bar{T}_0$ est cohérente avec les résultats expérimentaux disponibles dans la littérature, notamment ceux de Petit [8], qui rapporte une estimation expérimentale de $T_0 = -102.9$ °C pour l'acier 16MND5 non irradié, identique à celui considéré ici.

L'ensemble de ces premiers résultats montrent ainsi le potentiel de la stratégie proposée pour générer des séquences d'essais optimales et exploitables en laboratoire.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 5: Distribution des estimations de $T_0$ obtenues par maximum de vraisemblance à partir de campagnes numériques simulées selon la séquence optimale $T_{test}^{1:N_s^*}$.</figcaption></figure>
# 4 Conclusion

Dans cet article, une planification BOED a été développée pour optimiser l’inférence d’un paramètre incertain à partir d’essais stochastiques en nombre limité, avec une variable de conception discrète et réplicable. L’approche a été appliquée à l’estimation de la température de transition $T_0$ dans le cadre de la Master Curve, à partir d’essais de ténacité sur éprouvettes miniaturisées. La stratégie repose sur la minimisation de la variance totale de $T_0$ sur un espace discret de températures d’essai. Les résultats obtenus valident la stratégie d’identification des plans d’expériences optimaux proposée et ouvrent des perspectives vers des planifications de type séquentiel.

# References

[1] D. V. Lindley. "1. Bayesian Statistics a Review". In: *Bayesian Statistics*, pp. 1-74. DOI: 10.1137/1.9781611970654.ch1.

[2] K. Chaloner and I. Verdinelli. "Bayesian Experimental Design: A Review". In: *Statistical Science* 10.3 (1995), pp. 273-304. DOI: 10.1214/ss/1177009939.

[3] E. G. Ryan, C. C. Drovandi, J. M. McGree, and A. N. Pettitt. "A Review of Modern Computational Algorithms for Bayesian Optimal Design". In: *International Statistical Review* 84.1 (2016), pp. 128-154. DOI: https://doi.org/10.1111/insr.12107.

[4] ASTM E1921-22a. In: *Standard test method for determination of reference temperature T0 for ferritic steels in the transition range* (2022), USA. DOI: 10.1520/E1921-22A.

[5] R. Rubinstein. "The Cross-Entropy Method for Combinatorial and Continuous Optimization". In: *Methodology and Computing in Applied Probability* 1.2 (1999), pp. 127-190. ISSN: 1573-7713. DOI: 10.1023/A:1010091220143. URL: https://doi.org/10.1023/A:1010091220143.

[6] P.-T. de Boer, D. P. Kroese, S. Mannor, and R. Y. Rubinstein. "A Tutorial on the Cross-Entropy Method". In: *Annals of Operations Research* 134.1 (2005), pp. 19-67. ISSN: 1572-9338. DOI: 10.1007/s10479-005-5724-z.

[7] A. Quintin, T. Petit, R. Chocat, C. Mattrand, and J.-M. Bourinet. "Uncertainty quantification of the reference temperature T0 of 16MND5 steel from experimental and numerical fracture toughness tests". In: *Engineering Fracture Mechanics* 315 (2025), p. 110755. ISSN: 0013-7944. DOI: https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2024.110755.

[8] T. Petit, B. Tanguy, P. Wident, and A. Parrot. "Application of mini-CT for determination of the master curve and DBTT of a highly irradiated steel". In: *Proceedings of the International Conference on Structural Integrity*. Sept. 2022. URL: https://www.researchgate.net/publication/369370859.