# Génération de données synthétiques de marche : application au cas de patients atteints de sclérose en plaques

K. Le Gall<fnref n="1" />, L. Bellanger<fnref n="1" />, A. Stamm<fnref n="1" />, D.A. Laplaud<fnref n="2" />

Klervi.Legall@univ-nantes.fr

## Résumé

L'objectif de ce travail est de générer des séries temporelles de quaternions synthétiques (QTS). L'approche proposée permet de construire un jeu de données synthétiques en mêlant ACP fonctionnelle et proches voisins et permet une bonne conservation de la géométrie des données. Nous montrerons la pertinence de notre approche à l'aide d'un échantillon de séries temporelles de quaternions issu de données de marche de 27 patients atteints de sclérose en plaques issu d'une étude clinique menée en collaboration avec l'équipe de neurologie du CHU de Nantes.

## Mots-clés

Analyse en Composantes Principales fonctionnelle, Séries temporelles de Quaternions unitaire, Marche, Sclérose en plaques, Données Synthétiques.

## Abstract

The objective of this work is to generate synthetic quaternion time series (QTS). The proposed approach allows to build a synthetic dataset by mixing functional PCA and nearest neighbours and allows a good preservation of the data geometry. We will show the relevance of our approach using a sample time series of quaternions from the gait data of 27 multiple sclerosis patients from a clinical study conducted in collaboration with the neurology team of the Nantes University Hospital.

## Keywords

Functional Principal Component Analysis, Unit Quaternion Time Series, Walking, Multiple Sclerosis, Synthetic Data.

## 1 Introduction

Les séries temporelles de quaternions unitaires (QTS) permettent de caractériser les rotations et sont donc présentes dans de nombreux domaines tels que la robotique, les jeux vidéo ou la santé. L'un des principaux défis dans certains domaines tels que la médecine est la taille réduite des échantillons en raison de la difficulté à mener de nombreuses expériences coûteuses. A ce jour, il n'existe pas de méthode pour générer des séries temporelles de quaternions unitaires proches des données originales. La création

de données synthétiques permet remédier à ce problème. Les données synthétiques sont "toute donnée de production applicable à une situation donnée qui n'est pas obtenue par mesure directe", selon le McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms [7].

L'approche que nous proposons pour générer des QTS synthétique est inspirée de la méthode avatar [6], une méthode d'anonymisation de données basée sur l'individu et ses proches voisins, qui nous permet de respecter la géométrie de nos données. La méthode proposée peut également servir de méthode d'anonymisation des données afin de respecter le Règlement général sur la protection des données (RGPD) et ainsi protéger les données personnelles des individus.

Nous illustrerons notre approche en utilisant un échantillon de 27 patients atteints de sclérose en plaques issus d'une étude clinique menée en collaboration avec l'équipe de neurologie du CHU de Nantes pour lesquels nous avons mesuré un biomarqueur appelé Individual Gait Pattern qui caractérise la rotation de la hanche d'un individu au cours d'un cycle de marche moyen en utilisant des séries temporelles de quaternions unitaires. L'augmentation de notre ensemble de données nous permettra également de tester la robustesse des algorithmes de classification précédemment mis en œuvre.

## 2 Méthode de génération de séries temporelles de quaternions unitaires synthétiques

### 2.1 Séries temporelles de quaternions unitaires

Un quaternion est un élément $(w,x,y,z) \in \mathbb{R}^4$, qui est une extension des nombres complexe et qui s'écrit comme suit :

$$ \mathbf{q} = (w, x, y, z)^{\top} = w + ix + jy + kz \in \mathbb{R}^4 \quad (1) $$

où $i, j$ et $k$ respectent $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$. [12]

Les quaternions unitaires sont ceux pour lesquels $||\mathbf{q}|| = w^2 + x^2 + y^2 + z^2 = 1$ de sorte que leur norme soit égale à 1. Le groupe des quaternions unitaires $\mathbb{H}_u$ forme un groupe de Lie isomorphe au groupe unitaire spécial $SU(2)$

<footnote n="1">¹ Laboratoire de Mathématique Jean Leray, UMR CNRS 6629, Nantes Université, France</footnote>

<footnote n="2">² CR2TI, INSERM U1064, CHU de Nantes, Nantes Université, France</footnote>
qui couvre deux fois le groupe des matrices de rotations en 3-Dimensions [2].

Les quaternions unitaires décrivent une rotation d'un angle $\theta$ autour d'un axe $\mathbf{u} = (u_x, u_y, u_z)^{\top} \in \mathbb{S}^2$ où $\mathbb{S}^2$ est la 2-sphère qui peut être exprimée comme suit :

$$ \mathbf{q} = \left( \cos \frac{\theta}{2} + \mathbf{u}_x \sin \frac{\theta}{2} i + \mathbf{u}_y \sin \frac{\theta}{2} j + \mathbf{u}_z \sin \frac{\theta}{2} k \right)^{\top} \quad (2) $$

## Série temporelle de quaternion unitaires

Une série temporelle de quaternions unitaires (QTS) est un ensemble de quaternions unitaires suivant une grille temporelle $t_{i,1}, \dots, t_{i,n}$. On note une QTS comme : $\mathbf{Q}_i = (\mathbf{q}_{i,1}, \dots, \mathbf{q}_{i,n})$. Elle représente des rotations 3D consécutives dans le temps.

## 2.2 Génération de QTS synthétiques

Le logarithme d'un quaternion unitaire est déterminé à partir de sa forme polaire :

$$ \ln(\mathbf{q}) = \ln(\exp(\tilde{\mathbf{u}} \frac{\theta}{2})) = \tilde{\mathbf{u}} \frac{\theta}{2} = (0, u_x \frac{\theta}{2}, u_y \frac{\theta}{2}, u_z \frac{\theta}{2})^{\top} \quad (3) $$

Cette transformation logarithmique est une application entre l'espace des quaternions unitaires et l'espace tangent au point $q = (1, 0, 0, 0)$ [8]. Cela signifie que si les données sont préalablement centrées, on peut les traiter dans $\mathbb{R}^3$. Cet outil est particulièrement intéressant lorsque les points dans $\mathbb{H}_u$ sont proches les uns des autres, cela garanti une conservation suffisante des distances entre les points dans l'espace tangent.

En centrant les séries temporelles de quaternions et appliquant cette transformation logarithmique, nous obtenons trois séries temporelles qui peuvent être traitées comme des données fonctionnelles.

Lorsque l'on travaille avec des données fonctionnelles, les observations sont des fonctions qui varient selon certaines variables continues, par exemple le temps. L'ensemble de données est alors une collection de $n$ fonctions $X_i(t)$, $i = 1, \dots, n$.

La méthode que nous proposons repose sur la possibilité de décomposer des données fonctionnelles sous forme de fonctions et de scores à l'aide d'une analyse en composantes principales fonctionnelle multivariée (MFCPA) [9] tel que :

$$ X_i(t) = \sum_{k=1}^{K} F_i^k \mathbf{u}_k(t) \quad (4) $$

Ainsi, pour chaque individu $i$, à chaque temps $t$, on peut décomposer une log-série temporelle de quaternions selon trois fonctions $\mathbf{u}_k(t) \in \mathbb{R}^3$ et un score $F_i^k \in \mathbb{R}$ pour chaque composante principale $k \in 1 : K$.

Cette formule nous permet donc également d'obtenir de nouvelles données, en changeant le score $F_i^k$, mais en conservant les fonctions principales.

Dans la méthode proposée, de nouveaux scores synthétiques $F_{i new}^k$ sont calculés pour chaque individu $i$. A partir des scores obtenus par MFPCA, on détermine les $L$ plus proches voisins de l'individu $i$ sur les $T \le K$ premières composantes.

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Génération d'une série temporelle de quaternions unitaires synthétique</figcaption></figure>

composantes. Les scores de ces voisins sont ensuite pondérés en prenant compte d'une distribution aléatoire et la distance à l'individu $i$ et ses $L$ voisins afin d'obtenir ce score synthétique.

Les données sont ensuite recomposées pour obtenir des séries temporelles de quaternions unitaires $\mathbf{Q}_{i new}$ tel que :

$$ \mathbf{Q}_{i new} = \exp\left(\sum_{k=1}^{K} (F_{i new}^k \mathbf{u}_k(t))\right) \quad (5) $$

Enfin, les séries temporelles de quaternions unitaires sont décentrées.

Nous proposons également des métriques qui permettent de contrôler la qualité des QTS synthétiques obtenues. Afin de vérifier le respect de la géométrie, nous calculons des distances de Frobenius entre les matrices d'adjacences des graphes des plus proches voisins [1, 5]. La conservation des des informations est indiquée par le coefficient RV [10], et si la méthode est utilisée pour de l'anonymisation, le risque de ré-identification est évaluée par le local cloaking [6]. La figure 1 illustre la méthode proposée.

## 3 Application aux données de marche

Les données sur lesquelles nous nous appuyons sont issues d'une étude menée en partenariat avec l'équipe de neurologie du Centre d'Investigation Clinique de Nantes, prenant le Pr. Laplaud, (Neurologue et PU-PH au CHU de Nantes) et le Pr. Gourraud (PU-PH au CHU de Nantes). L'étude MYO porte sur le signal nerveux des patients atteints par la sclérose en plaques (SEP) mesuré par le bracelet électronique MYO en 2018 et un amendement a permis d'ajouter à cette étude principale une étude ancillaire pour mesurer la marche des patients via un capteur positionné à la hanche droite. Nous avons pu recueillir des données pour 27 patients.

Nous travaillons sur l'analyse des données de ce capteur afin de comprendre les troubles de la marche dans le contexte de la sclérose en plaques. Le système de capteurs transmet le vecteur d'orientation absolue du dispositif sous la forme d'un quaternion unitaire toutes les 0,01 secondes, une série temporelle de quaternions unitaires est donc recueillie pour chaque patient. Ces données brutes sont ensuite segmentées en cycles de marche et la signature de marche (SdM) d'un individu correspond au centre
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Signatures de marche des 27 patients de l'étude ancillaire MYO et signatures de marches synthétiques obtenues à partir de ces données avec $L = 4$ et $T = 10$</figcaption></figure>

des cycles de marche détectés, ce centre est obtenu avec une méthode de k-means alignement [11] pour lequel le nombre de cluster est égal à 1. La série temporelle est ensuite exprimée en pourcentage de la durée totale. Le temps 1 (0%) est la référence à partir de laquelle les orientations observées pendant le cycle de marche sont calculées. Cela permet d'obtenir une SdM dont le premier et le dernier élément sont des quaternions identité **q** = (1, 0, 0, 0). Ces SdM sont des QTS unitaires et décrivent les rotations "moyennes" de la hanche pendant un cycle de marche [4].

La figure 2 représente les SdM des patients de l'étude ancillaire MYO, ainsi qu'une génération de données synthétiques possible à partir de ces SdM.

Deux éléments se dégagent de cette figure, on remarque tout d'abord que les données sont davantage centrées, cela est lié à la pondération des proches voisins pour créer les scores synthétiques qui permet de donner moins d'importance à de potentiels cas extrêmes. On observe également des groupes d'amplitudes différentes, en partie expliqués par la pathologie. Le coefficient RV est de 0.75, ce qui montre une bonne conservation des données, la géométrie a également été vérifiée.

Cette approche pourra aussi permettre de tester la robustesse des algorithmes de classification précédemment mis en œuvre [3].

## Remerciements

Les auteurs remercient la fondation ARSEP (fondation pour l'Aide à la Recherche sur la Sclérose En Plaques) et l'AMIES (Agence pour les Mathématiques en Interaction avec l'Entreprise et la Société) pour le financement des études cliniques qui ont menées à l'obtention des données ainsi que le groupe de l'Observatoire Français de la Sclérose en Plaques (OFSEP) et les CHU de Rennes et de Nantes. Ce travail s'inscrit dans une thèse co-financée par l'ANR AIBY4 (ANR-20-THIA-0011) ainsi que Nantes Université.

## Références

[1] R. Balakrishnan, K. Ranganathan, *A Textbook of Graph Theory*, Springer New York, 2012.

[2] M.S. Dijkhuizen, *The double covering of the quantum group SOq(3)*, Proceedings of the Winter School "Geometry and Physics". Circolo Matematico di Palermo, Vol. 37, pp. 47-57, 1994.

[3] P. Drouin, A. Stamm, L. Chevreuil et al, *Semi-supervised clustering of quaternion time series : application to gait analysis in multiple sclerosis using motion sensor data*, accepted, 2022.

[4] P. Drouin, A. Stamm, L. Chevreuil et al, *Gait impairment monitoring in multiple sclerosis using a wearable motion sensor*, Medical Case reports and Reviews, Vol. 5, pp. 1-5, 2022.

[5] D.Eppstein, M.S Paterson, F.F Yao, *Discrete and Computational Geometry*, Springer New York, pp. 263-282, 1997.

[6] M. Guillaudeux, O. Rousseau, J. Petot et al, *Patient-centric synthetic data generation, no reason to risk re-identification in the analysis of biomedical pseudonymised data*, PREPRINT(V1), 2022.

[7] S.P. Parker, *McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms*. 7e éd., Cambridge University Press, 2009.

[8] M. Piórek, « Analysis of Chaos for Quaternion Time Series » In : *Analysis of Chaotic Behavior in Non-linear Dynamical Systems*, Springer, pp. 73-88, 2019.

[9] J.O. Ramsay, B.W. Silverman, « Principal components analysis for functional data » In : *Functional Data Analysis*, Springer, pp. 147-172, 2005.

[10] P. Robert, Y. Escoufier, *A Unifying Tool for Linear Multivariate Statistical Methods : The RV- Coefficient*, Journal of the Royal Statistical Society. Series C (Applied Statistics), Vol.25, 1976.

[11] L.M Sangalli, P. Secchi, S. Vantini et al, *k-mean alignment for curve clustering*, Computational Statistics Data Analysis, Vol. 54, pp. 1219-1233, 2010.

[12] J. Voight, *Quaternion Algebras*, Springer Nature, 2005.