# Mathématiques et profondeur

Gabriella Crocco

► To cite this version:

Gabriella Crocco. Mathématiques et profondeur. Doctorat. La Philosophie de la pratique Mathématique, France. 2024, pp.30. hal-05476879

HAL Id: hal-05476879

https://hal.science/hal-05476879v1

Submitted on 26 Jan 2026

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons CC BY 4.0 - Attribution - International License
Mathématiques et profondeur :
la philosophie mathématique et le problème de l'histoire

Gabriella Crocco

Iméra, Institut d'Etudes Avancées d'Aix-Marseille
Centre Gilles Gaston Granger UMR 7304
Aix-Marseille Université

Séminaire : La philosophie de la pratique des mathématiques
Collège de France 25/11/2024
# Introduction : l'énigme de départ

La profondeur : une notion généralement utilisée par les mathématiciens pour qualifier certains problèmes ou résultats de leur discipline

La profondeur : un thème généralement absent de la réflexion de la plupart des traditions épistémologiques en philosophie des mathématiques

- la tradition d'inspiration analytique

- la tradition phénoménologique

- la tradition historiciste en philosophie des sciences (Lakatos, Kuhn, ou la sociologie des sciences moderne)
# Un constat

- Gilles Gaston Granger (1920-2016)

**What is a profound result in Mathematics ?**

Dans E. Agazzi, G. Darvas *Philosophy of Mathematics today* Kluwer 1997, pp 89-100

- Alain Michel (1946-2017)

**Mathématique et « profondeur » : l’exemple de la théorie des nombres**

Conférence en hommage à J. T. Desanti Bastia Juin 1997 dans G. Ravis-Giordani, *Jean Toussant Desanti, une pensée et son site* Editions CNRS 2000, pp181-1999.

- *La philosophie mathématique : inspirations and suggestions from Brunschvicg to Granger, Annals of mathematics and philosophy, édité par G. Crocco et F. Jaëck*
La « philosophie mathématique » : Une tradition de l'épistémologie française (Cavaillès et Lautman 1939, Société française de philosophie)

* Analyser le « devenir » des mathématiques

* S'attacher à la compréhension effective de la pratique mathématique (l'expérience mathématique)

* Poser au cœur de l'enquête épistémologique la question du sens de ce devenir

Philosophie mathématique ≠ philosophie des mathématiques
Léon Brunschvicg (1869-1944)

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Jean Cavaillès (1903-1944)

Albert Lautman (1908-1944)

[George Canguilhem (1904-1991)]

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

J. Desanti (1914-2002)

J. Vuillemin (1920-2001)

G. G. Granger (1920-2016)

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Alain Michel (1948-2017)

{André Weil (1906-1998)}
# Plan

## Introduction

### I. Contexte et enjeux du problème

* La « profondeur » et l'épistémologie spontanée des mathématiciens

* Les conditions de possibilité d'une enquête épistémologique sur le thème de la profondeur

### II. La profondeur mathématique dans les analyse de Granger et Michel

* Granger, l'opacité et la nécessité

* Michel, la contingence des jugements historique

## III. Conclusion
# I. Contexte et enjeux du problème
Contexte d'usage du terme « profondeur »

1. Profondeur, beauté, élégance et puissance, apparaissent souvent dans les commentaires des mathématiciens à propos de certains travaux de leurs confrères

2. Le terme « profondeur » sert généralement à indiquer :

• Un fait, un problème inattendu, mystérieux (Euler lettre à Goldbach 1741)

• Un problème aboutissant à un résultat qui occupe une place clef dans la discipline (Fermat, Lettre à Carcavi 1659)

• Un résultat fécond (André Weil, *Number theory an approach through history*, 1983)

3. Il est l'indice d'une analyse « épistémologique spontanée » des mathématiciens comportant au moins trois dimensions: diachronique, synchronique et heuristique
Les deux questions de Granger et Michel à propos de la
« profondeur » des mathématiciens

a) Est-il possible de saisir conceptuellement (au-delà de l'usage dans tel ou tel texte donné par tel ou tel mathématicien) les caractéristiques de la profondeur mathématique ?

b) Cette notion peut-elle nous donner des informations pour la connaissance interne des mathématiques, si importante pour le philosophe qui s'intéresse à élaborer une théorie de la raison ?
Les conditions de possibilité d'une analyse épistémologique de
la notion de profondeur

a) Distinguer dans l'analyse épistémologique des problèmes,
conjectures ou théorèmes mathématiques dits profonds :

leur référence = leur valeur de vérité

leur sens = ce qui est dit, leur contenu conceptuel
b) Distinguer trois aspects de la notion de sens dans l'analyse des problèmes dits profonds

Sens 1 : Génétique, le chemin concret par lequel un résultat est construit ou appréhendé

Sens 2 : Structural, la place que ce résultat occupe dans les mathématiques contemporaines

Sens 3: Evaluatif, la portée (la valeur) de ce résultat pour le progrès des mathématiques
## II. La profondeur mathématique dans les analyse de Granger et Michel

a) Est-il possible de saisir conceptuellement (au-delà de l'usage dans tel ou tel texte donné par tel ou tel mathématicien) les caractéristiques de la profondeur mathématique ?

b) Que nous dit l'usage de ce terme dans les commentaires des mathématiciens sur la nature du progrès des mathématiques et donc sur le travail de la raison dans son développement?
# Réponse de Granger à la première question :

Deux thèmes associés aux remarques des mathématiciens :

1) Le thème de l'imprévisibilité et de l'opacité

2) Le thème du fondement

Trois figures typiques de la profondeur

1) La fonction ζ d'Euler à Riemann (opacité et imprévisibilité)

2) La formule de Stokes : $\int_{\partial c} \omega = \int_c d\omega$ (fondement)

3) La théorie des idéaux de Kummer à Dedekind (imprévisibilité, opacité et fondement)
### 3. Le thème de l'imprévisibilité et du fondement réunis : les idéaux de Kummer à Dedekind

Les entiers cyclotomiques :

$$a_0 + a_1\alpha + \dots + a_n\alpha^n \text{ avec } \alpha \neq 1 \text{ et } \alpha^n = 1$$

Pb Pour un nombre premier donné $n$, décomposer les entiers premiers $p$, tels que $p \equiv 1 \pmod n$, en produit de $n-1$ entiers cyclotomiques.

Kummer réussit à le faire pour $n \le 19$ et $p \le 1000$.

Pour $n = 23$ et $p=47$, on a bien $47 \equiv 1 \pmod{23}$, mais on ne peut pas le décomposer en 22 entiers cyclotomiques.
Le problème général : la non unicité de la décomposition

Ex: $a+b\sqrt{-5}$ (a et b entiers naturels) de l'anneau $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$

$6=2.3= (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$

$9=3.3= (2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5})$

$21=3.7= (4+\sqrt{-5})(4-\sqrt{-5}) \dots$

Les facteurs 2, 3, 7 sont *irréductibles* (n'admettent que la décomposition triviale)

Mais ils ne jouissent pas de la propriété, dite de Gauss, de ne pas diviser un
produit sans diviser au moins un de ses facteurs

2, divise 6 sans diviser ni $(1+\sqrt{-5})$ ni $(1-\sqrt{-5})$

3 divise 9 sans diviser ni $(2+\sqrt{-5})$ ni $(2-\sqrt{-5})$

7 divise 21 sans diviser ni $(4+\sqrt{-5})$ ni $(4-\sqrt{-5})$ ...
Le phénomène inattendu constaté par Kummer :
Échec de la factorisation unique valide pour les entiers ordinaires

Pb de Kummer : décomposer un entier cyclotomique en ses facteurs premiers. Dans le cas où ces facteurs n'existent pas introduire des facteurs premiers idéaux.

Sa solution : définir implicitement les facteurs premiers idéaux. Kummer définit quand un nombre est divisible par un idéal en donnant des critères de congruence entre idéaux.

Pb de Dedekind : donner une définition explicite des idéaux afin de définir les idéaux pour toute extension algébrique du corps des rationnels.

Sa solution : définir l'idéal par l'ensemble des nombres qu'il divise. L'idéal devient ainsi le sous-ensemble d'un corps stable par addition et multiplication latérale.
« Bien que Kummer n'ait pas, à proprement parler, déterminé la nature de ces nouveaux objets, il les caractérise opérationnellement et en quelque sorte indirectement, à l'aide des congruences, par leurs propriétés arithmétiques : produit, divisibilité, etc. **Ainsi s'ouvre un nouveau domaine qu'il appartient à Dedekind de décrire formellement.** Non seulement un statut est clairement reconnu aux nouveaux objets, en tant que classes structurées (ou "modules") de nombres au sens ancien, mais les notions intuitivement transposées par Kummer du domaine des anciens nombres au domaine des nombres algébriques sont précisément établies. Dedekind introduit ainsi le concept général de "corps", de "module", et donne une définition du concept généralisé d'anneau d'entiers d'un corps de nombres algébriques, où, comme dans le cas kummérien, on n'observe pas nécessairement l'unicité de la décomposition en entiers premiers, mais seulement l'unicité de la décomposition en idéaux premiers.

" (Granger *What is a profound result in mathematics*, p 99)
Réponse de Granger à la deuxième question

1) La notion de profondeur révèlerait « l'épaisseur des virtualités mathématiques qui s'actualisent dans des réalités, une fois qu'une forme leur est donnée par le travail mathématique, une fois que le génie des mathématiciens les a créés et découvertes ». (p 100)

- Les virtualités opératoires d'un domaine précèdent et fondent des nouveaux objets

- Ces objets trouvent leur « réalités » par leur insertion dans un nouveau système opératoire

« Le nombre irrationnel, par exemple, est d'abord un objet irréel mais dont le système opératoire arithmétique **exige l'existence**, et qui sera plus tard intégré comme membre légitime du nouveau système cohérent des nombres réels. Cette cohérence, aspect logique de la **nécessité d'existence**, n'est souvent obtenu qu'après coup. Ce n'est point d'elle que procède l'aspect efficace et fécond de cette nécessité d'existence, mais de la **systématicité dans laquelle l'objet a un sens opératoire**.

Lorsque naît le calcul infinitésimal, par exemple dans sa version leibnizienne, les grandeurs infinitésimales sont nécessairement introduites pour donner un sens aux opérations d'intégration et de différentiation. Le nouveau calcul forme système, opératoirement quoique non encore logiquement cohérent, et c'est de cette inclusion dans un système que vient la nécessité des liaisons entre ces nouveaux objets et leur propre existence comme virtualité nécessaires. » Granger
*Déterminisme et nécessité*, 2001 (p. 15)
2. La question de la profondeur en mathématique appartient à la stylistique, car elle concerne le travail par lequel une forme et un contenu se trouvent être créés et mis en relation

Dans le domaine de la philosophie des mathématiques il y a une relation précise entre enquête historique, enquête épistémologique et enquête stylistique

« Reste enfin la direction de la stylistique. C'est alors la création et l'usage des structures qui sont en vedette. Non pas, certes, le déroulement historique qui conduit aux inventions, mais le rapport de la forme à la matière latent ou explicité, clair ou confus, qui conditionne, accompagne, limite, l'institution d'une structure et son usage effectif. Une telle analyse s'applique à tous les grands moments de la pensée mathématique ; elle nous semble tout particulièrement indispensable dans les cas nombreux où une même structure apparaît sous différents modes, introduite et utilisée selon différents styles. Tels par exemple le calcul des fluxions newtonien et l'analyse infinitésimale leibnizienne. Mais dans tous les cas c'est le point de vue stylistique qui peut donner à une philosophie mathématique la dimension rationnelle concrète, celle d'un travail essentiel, que l'analyse des systèmes évidemment néglige, et dont l'analyse historique ne peut donner qu'une vision cavalière souvent trompeuse ». Seconde édition de son *Essai d'une philosophie du style* (1988) (p298)
Retour sur les trois aspects de la notion de sens par rapport à l'analyse de Granger

Sens 1 la profondeur en tant que sentiment « subjectif » de mystère propre à la conscience du mathématicien au travail face à des objets opaques

Sens 2 l'émergence d'une nouvelle structure, qui élimine provisoirement le mystère (mais les structures sont instables, car des nouvelles virtualités et donc des nouveaux mystères émergent de nouvelles structures)

Sens 3 Etant donnée la nécessité des structures, le jugement historique sur la profondeur d'un résultat mathématique peut prétendre à l'objectivité
# Réponse de Michel à la première question

Trois thèmes typiques de la profondeur

1) L'imprévisibilité

2) La généralisation abstractive

3) La fécondité

Un seul cas d'étude : la théorie des nombres de Fermat à Dedekind et Kronecker, en passant par Kummer

a) La méthode de la descente infinie comme exemplification de l'imprévisibilité des méthodes et non pas de l'opacité des objets

b) Les nombres idéaux de Kummer comme exemplification de la généralité abstractive et la profondeur comme geste opératoire

c) La fécondité : la bifurcation possible entre Kronecker et Dedekind
# La bifurcation possible entre Kronecker et Dedekind

Pb de Dedekind : donner une définition explicite des idéaux afin de définir les idéaux pour toute extension algébrique du corps des rationnels.

Sa solution : définir l'idéal par l'ensemble des nombres qu'il divise. L'idéal devient ainsi le sous-ensemble d'un corps stable par addition et multiplication latérale.

Pb de Kronecker : généraliser ce que Kummer a fait dans le cas des entiers cyclotomiques pour toute extension algébrique du corps des rationnels en vue de développer une géométrie algébrique arithmétique

Sa solution : Construire une théorie des diviseurs, et définir un algorithme pour calculer avec : « étant donné un ensemble $a_1, ..., a_k$ de générateurs de nombres algébriques, déterminer si un élément donné du corps appartient ou non à l'idéal engendré par les nombres $a_1, ..., ak$ »
Michel *Mathématiques et profondeur* p193-4
Le but de Kronecker

« Il s'agissait [pour Kronecker] d'exposer une nouvelle branche des mathématiques, susceptible de contenir à la fois la théorie des nombres et la géométrie algébrique comme des branches particulières [...], en ouvrant un vaste champ aux recherches : le développement d'une géométrie algébrique arithmétique - une conception véritablement grandiose, qui donne à son tour son véritable sens à son projet d'une arithmétique générale (allgemeine Arithmetik). C'est cette connexion entre théorie des nombres et géométrie algébrique qui sous-tend ce qu'on appelle parfois avec justesse le «programme de Kronecker». Et, alors même que le point de vue «algébrique» de Kronecker paraît étroit aux yeux d'un moderne, on se rend compte aujourd'hui (après les efforts de compréhension déployés par quelques-uns des plus grands mathématiciens du siècle : E. Hecke, H. Weyl, C. L. Siegel, A. Weil) qu'il comprend en fait tous les cas susceptibles d'être traités par des méthodes algébriques. C'est ce qu'a souligné A. Weil: en dépit de l'insistance, dans la géométrie algébrique moderne, sur l'usage de corps de base arbitraires, il y a un sens très réel dans lequel tout théorème accessible aux méthodes algébriques (en tant que distinctes des méthodes analytiques ou topologiques) est pensable comme un théorème sur des corps de base qui sont soit finis soit des corps de nombres algébriques (ce sont les corps «absolument algébriques» de Weil). Telle est précisément la signification du point de vue de Kronecker : les corps « absolument algébriques » sont les corps de base naturels de la géométrie algébrique » (p. 192-3)
Réponse de Michel à la deuxième question : Deux points de désaccord avec Granger

a) Il n'y a pas différence de Style mais de conceptualisation entre Kronecker et Dedekind

"Choisir comme le fait Dedekind de donner la priorité à des définitions non constructives, faisant intervenir des ensembles infinis en acte, plutôt que choisir de définir implicitement les objets, par la donnée de critères effectifs et algorithmique d'équivalence ou de congruence, comme le fait Kronecker, ne relève pas du style, mais de préférences philosophiques, qui doivent être évaluées non pas tellement par rapport à ce que ces mathématiciens disent, mais rapports à ce qu'ils font, mathématiquement."

b) L'histoire n'est pas « cavalière » et « trompeuse » dans ses analyses lorsque l'on cherche la « dimension rationnelle concrète » des mathématiques. Au contraire c'est un instrument puissant de mise à l'épreuve des thèses épistémologiques

"La réception des travaux de Kummer par Dedekind et la reformulation qu'Hilbert donne des œuvres de Kummer et de Kronecker, ont, en un sens, éliminé de la scène mathématique (en le rendant de fait obsolète) le choix constructiviste de Kronecker et le point de vue algébriste qui le caractérisait. Il faudra attendre longtemps pour que ce jugement hâtif soit infléchi : voir les travaux de Erich Hecke, de Herman Weyl, de Karl Ludwig Siegel et de André Weil, à propos des études profondes des mathématiciens qui ont su lire et analyser les œuvres de Kronecker à contrecourant de la doxa. C'est que le formalisme même, dans lequel les mathématiques s'expriment, et la manière dans laquelle les mathématiques sont enseignées peuvent diriger notre regard en occultant d'autres possibilités de conceptualisation."
# Retour sur les trois aspects de la notion de sens dans l'analyse de Michel

## Sens 1 : l'analyse de la genèse est essentielle

* Mise à l'épreuve, par l'analyse historique, des thèses que les philosophie-épistémologues avancent pour expliquer « comment la mathématique se produit »

* Corroboration (ou infirmation) du fait qu'il existe un « inéliminable résidu » que le philosophie-épistémologue laisse échapper lorsqu'il analyse l'histoire des mathématiques

## Sens 2 : le sens structural n'est pas unique

* la systématicité des mathématiques admet des divergences à la marge

* les différentes conceptualisations sont un des moteurs du progrès mathématique

## Sens 3: les jugements historiques ne peuvent pas être considérés nécessaires

« [...] en histoire des mathématiques, comme en celle de toute autre science, il n'y a pas de jugement scientifique dernier. [...] Ce qu'on cherche, on ne sait comment on le trouvera, sans quoi ce serait déjà là, ou déjà en vue. Et c'est pour cela que l'histoire ne peut être écrite comme une téléologie, comme si elle tendait depuis son commencement vers sa fin, mais comme une aventure qu'elle est authentiquement.» A. Michel Jean Cavaillès dans l'héritage de Léon Brunschvicg, p. 32
III. Conclusion
# La philosophie mathématique et les trois notions de sens

Le point d'accord sur les deux premières notions de sens

a) l'histoire des mathématiques est le lieu privilégié dont dispose le philosophe pour construire une théorie de la raison

b) L'expérience mathématique, entendue comme système de gestes producteurs d'objets et de structures, doit faire l'objet de l'enquête épistémologique

c) Le point de désaccord : la troisième notion de sens

Ce qui sépare Cavaillès de Brunschvicg : la question du statut de la modalité du jugement historique : la nécessité selon Cavaillès, la possibilité selon Brunschvicg.

* Pour Cavaillès et Granger il est possible de parler d'une certaine nécessité dans le progrès des mathématiques mêmes. Ce progrès est nécessaire au sens où il n'est pas pluriel et il est inscrit dans les virtualités opératoires des structures.

* Pour Brunschvicg, (Canguilhem) et Desanti et Michel le progrès scientifique se fait par l'exploration d'un champ ouvert de possibilités où seulement un regard rétrospectif, téléologique et inattentif aux détails de l'analyse historique peut prétendre voir de la nécessité.
Le problème épistémologique de la profondeur dans la tradition épistémologique française

a) **Gilles Gaston Granger et Jean Cavaillès :**

« Cavaillès la montée vers Spinoza » (1947),

« Cavaillès et l'histoire des sciences » (1998)

« Cavaillès et Lautman, deux précurseurs » (2002)

b) **Alain Michel et l'héritage de Brunschvicg, Canguilhem et Desanti**

« Après Jean Cavaillès, l'histoire des mathématiques » *Philosophia Scientiae*,
3 (1), 1998

« Analyse épistémologique et histoire des mathématiques » dans *La Connaissance philosophique. Essais sur l'œuvre de Gilles-Gaston Granger*, 1995

« Jean Cavaillès dans l'héritage de Léon Brunschvicg : la philosophie des mathématiques et les problèmes de l'histoire » *Revue de Métaphysique et de Morale* n.1, 2020
La pluralité selon les mathématiciens ?

• H. Poincaré : les géomètres et les analystes (La valeur de la science, chapitre 1)

• A. Weil : les algébristes et les transcendants (De la métaphysique aux mathématiques, 1960 Œuvres complètes, pp 408-412)

Ces caractérisations des mathématiciens appartiennent-elles à :
la psychologie? la stylistique ? la philosophie ?

Elles impliquent un jugement de valeur et elles ont une portée heuristique
Elles explicitent la pluralité du sens 3.
Merci