# Ajustement automatique de la permeabilite et (ou) de la porosite dans un gisement monophasique regi par une equation parabolique quasi-lineaire

Mohamed Benahmed

► To cite this version:

Mohamed Benahmed. Ajustement automatique de la permeabilite et (ou) de la porosite dans un gisement monophasique regi par une equation parabolique quasi-lineaire. [Rapport de recherche] IRIA-RR-244, IRIA. 1977, pp.60. hal-04716442

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AJUSTEMENT AUTOMATIQUE
DE LA PERMÉABILITÉ
ET (OU) DE LA
POROSITÉ DANS UN
GISEMENT MONOPHASIQUE
RÉGI PAR UNE
ÉQUATION PARABOLIQUE
QUASI-LINÉAIRE

Mohamed BENAHMED

Rapport de Recherche N° 244

Août 1977

60P
AJUSTEMENT AUTOMATIQUE DE LA PERMÉABILITÉ ET (OU) DE LA POROSITÉ DANS UN GISEMENT MONOPHASIQUE RÉGI PAR UNE ÉQUATION PARABOLIQUE QUASI-LINÉAIRE APPLICATION A UN PROBLEME RÉEL

Mohamed Benahmed

Résumé :

On présente dans ce rapport une méthode d'ajustement automatique de la perméabilité et (ou) de la porosité dans un gisement monophasique régi par une équation parabolique quasi-linéaire (la densité et la viscosité dépendent de l'état (la pression) du système).

On pose le problème d'ajustement comme un problème de contrôle et on calcule (formellement) le gradient du critère par rapport aux paramètres à identifier.

On présente l'algorithme utilisé et on en donne une application numérique sur un problème réel.

Abstract :

In this paper we present an algorithm establishing a permeability and (or) porosity distribution in a monophasic field governed by a quasilinear parabolic equation : (density and viscosity are depending on the pressure).

We stated the problem as a control one, and use the optimal control theory in order to calculate the derivative of a non quadratic criteria with respect to the unknowns parameters.

For the minimization problem we used a steepest-descent method. The algorithms is tested on a realistic problem, and the numerical results are presented.
- R E M E R C I E M E N T S -

Je tiens à remercier particulièrement P. LEMONNIER (IFP), A. ROBERT, G. CILIGOT-TRAVAIN et F. IEGY (SNEA) pour toute l'aide qu'ils ont bien voulu m'accorder au cours de l'implémentation de cet algorithme.
<figure><img src="image_3.png" /></figure>

# INTRODUCTION

L'objet de ce rapport est de présenter les résultats obtenus, grâce à un algorithme d'identification utilisant la méthode du contrôle optimal, dans l'ajustement automatique de la perméabilité et/ou de la porosité dans un gisement monophasique de gaz.

L'intérêt de cette étude réside dans le fait que l'algorithme a été testé sur un problème avec des données réelles soumis par la Société Nationale ELF-AQUITAINE (Production) dans le cadre d'une Convention de recherche avec l'IRIA*.

On constatera que par rapport aux méthodes d'ajustement "à la main" et de calage, la méthode permet d'obtenir des résultats très intéressants et une amélioration de l'erreur globale et par puits, malgré un nombre très limité de puits et un nombre aussi limité d'observations de la pression.

Ainsi l'efficience de la méthode est démontrée, ce qui permet d'envisager de l'appliquer même dans des cas réels peu favorables.
# I. - POSITION DU PROBLEME

On considère un gisement monophasique produisant par décompression du gaz en place. On supposera que ce gisement est fermé, c'est-à-dire que les frontières sont imperméables.

Contrairement au cas de l'huile, la loi de Darcy et la loi d'écoulement conduisent à une équation parabolique quasi-linéaire, la densité et la viscosité dependant de la pression.

Le modèle mathématique décrivant l'évolution de la pression est le suivant :

Soit $\Omega$, un ouvert borné de $\mathbb{R}^2$, de frontière $\Gamma$. On désigne par $Q$ le cylindre $\Omega \times ]0, T[$ et par $\Sigma = \Gamma \times ]0, T[$, l'intervalle $]0, T[$ couvre l'historique de la production du gisement.

Pour tout $x \in \Omega$ et $t \in ]0, T[$, la pression $p(x,t)$ est donnée par le système suivant :

$$ (1) \quad \left\{ \begin{array}{ll} h \varphi(x) \frac{\partial p}{\partial t} - \text{div} \left( h k(x) \frac{\partial}{\partial \mu} (p) \text{grad } p \right) = - \sum_{j=1}^{K} \chi_j(x) Q_j(t) & \forall s \in \Gamma \text{ et } t \in ]0, T[ \text{ dans } Q \\ h k \frac{\partial p}{\partial v} = \tau(s) (p - p_{\text{ext}}) & s \in \Gamma \text{ et } t \in ]0, T[ \text{ dans } \Omega \\ p(x,0) = p_0(x) & \text{dans } \Omega \end{array} \right. $$

où $h$ est la hauteur du réservoir, $\varphi$ la porosité du milieu, $k$ sa perméabilité, $\rho$ la densité du fluide, $\mu$ sa viscosité.

$\tau$ est la transmisivité entre le milieu extérieur et le gisement.

On supposera qu'il y a $K$ puits dans le gisement.

$Q_j$ représente le débit soutiré au puit n° $j$.

$\chi_j$ est la masse de Dirac du jème puits

$\chi_j(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \notin \mathcal{J}_j^e \text{ puits} \\ \infty & \text{si } x \in \mathcal{J}_j^e \text{ puits} \end{cases}$

avec $\int_{\Omega} \chi_j(x) \, dx = 1$
La dérivée normale apparaissant dans (1) est définie par :

$$ (2) \quad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{\partial p}{\partial v} = \sum_{i=1}^{r} \frac{\partial p}{\partial x_i} \cos (\vec{n}, \vec{x}_i) \quad \text{sur } \Gamma \\[1.5ex] \vec{n} = \text{normale à } \Gamma \text{ extérieure à } \Omega. \end{array} \right. $$

Le problème est d'identifier la perméabilité $h k(x)$ et/ou la porosité $h \varphi(x)$ et/ou $\tau(S)$ sur le vu d'une série d'observations de la pression et de mesures du débit aux puits.

Dans une première phase on a considéré comme inconnues les perméabilités, en supposant que la carte des porosités est donnée, et la condition aux bords du type Neumam homogène, i.e :

$$ (3) \quad \frac{\partial p}{\partial v} (x,t) = 0 \quad \text{sur } \Sigma $$

**Remarque 1** : Contrairement aux exemples traités dans [3] et [5] il s'agit d'une équation quasiparabolique (à cause de l'apparition d'un terme non linéaire dans l'argument de la divergence).

**Remarque 2** : Nous laisserons de côté les démonstrations de l'existence et de l'unicité d'une solution du système (1), ainsi que la justification de la dérivation de la fonctionnelle des moindres carrés qu'on définira plus loin. Cf Chavent-Lemonnier [4].
## II. - METHODE D'IDENTIFICATION

Nous allons utiliser les résultats d'une méthode due à G. Chavent [1] dont l'idée centrale est de minimiser une fonctionnelle des moindres carrés en utilisant une méthode de gradient, et ce, en introduisant un état adjoint. Nous allons considérer le problème général de l'identification de $h\varphi$, $h\kappa$ et $\tau$.

Soient $\overline{hk}$ et $\overline{\tau}$ les valeurs exactes des transmisivités et $\overline{h\varphi}(x)$ la porosité exacte du problème (1) (elles sont pour l'instant inconnues). L'estimation des $\overline{hk}$, $\overline{\tau}$, $\overline{h\varphi}$ exige la connaissance de l'historique de la pression en chaque puits.

Appelons $\overline{Z}_j(t)$ la pression mesurée au jème puits à l'instant $t$ de $]0, T[$

$$ (4) \qquad \overline{Z}_j(t) = \int_{\Omega} \chi_j(x) \overline{p(x,t)} \, dx + \varepsilon_j(t) \qquad j = 1, 2, \dots, K, $$

où $\overline{p}(x,t)$ est la valeur exacte de la pression dans le réservoir (i.e. solution de (1), avec la valeur $\overline{h\varphi}$ et les valeurs $\overline{hk}$ et $\overline{\tau}$), $\varepsilon_j(t)$ étant la mesure de l'erreur.

Considérons la fonctionnelle :

$$ (5) \qquad J(h\varphi, h\kappa, \tau) = \sum_{j=1}^{K} \int_{I_j} (p(x_j, t) - \overline{Z}_j(t))^2 dt $$

où $\overline{Z}_j(t)$ est définie par (4) et $p(x_j, t)$ est la pression calculée à partir de (1) avec les valeurs $h\varphi$, $h\kappa$ et $\tau$.

$I_j$ est l'ensemble des instants $t$ où l'on effectue une observation $\overline{Z}_j(t)$

**Remarque 3** : La fonctionnelle $J$ définie en (5) n'est pas quadratique en $h\varphi$, $h\kappa$, et $\tau$, l'application :

$$ (h\varphi, h\kappa, \tau) \rightarrow p $$

n'étant pas linéaire.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>
Définissons un espace $\mathcal{S}$ des fonctions $h\phi, hk$ et $\tau$.
Nous allons supposer que les bornes supérieures et inférieures de
la porosité et des transmissivités $hk$ et $\tau$ sont connues, on définit
alors :

$$
(6) \quad \mathcal{S}_{ad} = \{ (h\phi, hk, \tau) \in \mathcal{S} \mid
\begin{aligned}[t]
& h\phi_\_ < h\phi < h\phi^+ , \quad hk_\_ \leq hk \leq hk^+ , \\
& \tau_\_ \leq \tau \leq \tau^+ \}
\quad \text{p.p.}
\}
$$

$\mathcal{S}_{ad}$ est l'ensemble des paramètres admissibles dans lequel doit être
trouvée la solution du système (1).

Le problème d'identification est alors équivalent à un problème de
minimisation ainsi formulé :

$$
(7) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\text{chercher } \bar{h}\phi, \bar{h}k, \bar{\tau} \in \mathcal{S}_{ad} & \text{tel que} \\
\phantom{\text{chercher }} J(\bar{h}\phi, \bar{h}k, \tau) \le J(h\phi, hk, \tau) & \forall (h\phi, hk, \tau) \in \mathcal{S}_{ad}.
\end{array}
\right.
$$
### III. - CALCUL DU GRADIENT

Calculons formellement le gradient de $J(h\varphi, hk, \tau)$.
En donnant une variation $\delta h\varphi$, $\delta hk$, $\delta \tau$ aux paramètres à identifier,
il va correspondre une variation $\delta J$ de la fonctionnelle définie en
(5).

$$ (8) \qquad \delta J = 2 \sum_{j=1}^{K} \int_{I_j} \delta p(x_j, t) (p(x_j, t) - \bar{z}_j(t)) dt $$

où $\delta p(x,t)$ est la variation de la solution de (1) pour une variation $\delta h\varphi$, $\delta hk$, $\delta \tau$ des paramètres.

En différentiant (1) on obtient :

$$ (9) \quad \left\{ \begin{array}{l} h\varphi \frac{\partial \delta p}{\partial t} - \operatorname{div} \left( hk \frac{\rho}{\mu}(p) \operatorname{grad} \delta p \right) - \operatorname{div} \left( hk \left(\frac{\rho}{\mu}\right)' \delta p \operatorname{grad} p \right) = \\ \qquad - \delta h\varphi \frac{\partial p}{\partial t} + \operatorname{div} \left( \delta hk \frac{\rho}{\mu}(p) \operatorname{grad} p \right) \quad \text{dans } Q \\[2ex] hk \frac{\rho}{\mu} \frac{\partial \delta p}{\partial v} + hk \left(\frac{p}{\mu}\right)' \delta p \frac{\partial p}{\partial v} - \tau \delta p = \delta hk \frac{\rho}{\mu} \frac{\partial p}{\partial v} + \delta \tau (p - p_{\text{ext}}) \quad \text{sur } \Sigma \\[2ex] \delta p(x, 0) = 0 \quad \text{dans } \Omega \end{array} \right. $$

Introduisons l'état adjoint $q$ solution du système suivant :

$$ (10) \quad \left\{ \begin{array}{l} -h\varphi(x) \frac{\partial q}{\partial t} - \frac{\rho}{\mu}(p) \operatorname{div} (hk(x)\operatorname{grad} q) = -2 \sum_{j=1}^{K} \chi_{I_j}(t) \delta(x-x_j) \\[2ex] \qquad (p(x_j,t) - \bar{z}_j(t)) \quad \text{dans } Q \\[2ex] \qquad h k \frac{\rho}{\mu} \frac{\partial q}{\partial v} = \tau(s) q \quad \forall (s,t) \in \Gamma \times ]0, T[ \\[2ex] \qquad q(x,T) = 0 \quad \text{dans } \Omega. \end{array} \right. $$

où $\delta(x - x_j)$ est la masse de Dirac au point $x_j$

$\chi_{I_j}$ est la fonction caractéristique de l'intervalle $I_j$.
Alors $\delta J$ s'écrit :

$$ (11) \qquad \delta J = - \int_Q \left( -h\varphi(x) \frac{\partial p}{\partial t} - \frac{\rho}{\mu}(p) \operatorname{div} (hk \operatorname{grad} q) \right) \delta p(x,t) \, dx \, dt $$

En utilisant la formule de Green, en tenant compte de (9) et des conditions aux limites de (9) on obtient à partir de (11) :

$$ (12) \quad \left\{ \begin{aligned} \delta J = & - \int_Q \left[ q h\varphi \frac{\partial \delta p}{\partial t} - \operatorname{div} (hk \frac{\rho}{\mu}(p) \operatorname{grad} \delta p) - \operatorname{div} (hk(\frac{\rho}{\mu})' \delta p \operatorname{grad} p) \right] dx dt \\ & + \int_{\Omega} h\varphi(q \delta p) |_{t=T} dx - \int_{\Omega} h\varphi(q \delta p) |_{t=0} dx \\ & + \int_{\Sigma} h k \frac{\rho}{\mu} \frac{\partial q}{\partial \nu} \delta p \, d\sigma \, dt - \int_{\Sigma} h k q \frac{\partial}{\partial \nu} (\frac{\rho}{\mu} \delta p) \, d\sigma \, dt \end{aligned} \right. $$

Les conditions initiale et finale de (9) et (10) annulent les intégrales de la deuxième ligne de (12). (12) peut s'écrire sous la forme :

$$ (13) \quad \left\{ \begin{aligned} \delta J = & \int_Q q(\delta h\varphi \frac{\partial p}{\partial t} - \operatorname{div} (\delta h k \frac{\rho}{\mu}(p) \operatorname{grad} p)) \, dx \, dt \\ & + \int_{\Sigma} \tau q \delta p \, d\sigma \, dt - \int_{\Sigma} q[\tau \delta p + \frac{\rho}{\mu} \times \delta h k \frac{\partial p}{\partial \nu} + \delta \tau(p - p_{\text{ext}})] \, d\sigma \, dt \end{aligned} \right. $$

et sous la forme, après utilisation de la formule de Green,:

$$ (14) \quad \left\{ \begin{aligned} \delta J = & \int_{\Omega} \delta h\varphi(x) \int_{0}^{T} \frac{\partial p}{\partial t} q \, dt \, dx + \int_{\Omega} \delta h k(x) \left[ \int_{0}^{T} \frac{\rho}{\mu}(p) (\operatorname{grad} p, \operatorname{grad} q) \, dt \right] dx \\ & + \int_{\Gamma} \delta \tau(\sigma) \left[ - \int_{0}^{T} q(p - p_{\text{ext}}) \, dt \right] d\sigma \end{aligned} \right. $$

Par définition de dérivées partielles fonctionnelles, on peut écrire :
$$
(15) \quad \left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial J}{\partial \varphi} &= J'(h\varphi, h\kappa, \tau) . (\delta h\varphi, \delta h\kappa, \delta \tau) \\
&= \int_{\Omega} \left[ \delta h\varphi \frac{\partial J}{\partial h\varphi} + \delta h\kappa \frac{\partial J}{\partial h\kappa} \right] dx + \int_{\Gamma} \delta \tau(\sigma) \frac{\partial J}{\partial \tau} d\sigma
\end{aligned}
\right.
$$

Ce qui donne, par comparaison avec (14) :

$$
(16) \quad \left\{
\begin{aligned}
\frac{\partial J}{\partial h\varphi}(x) &= \int_0^T \frac{\partial p}{\partial t}(x,t) q(x,t) \, dt \\
\frac{\partial J}{\partial h\kappa}(x) &= \int_0^T \frac{\partial p}{\partial \mu}(p)(\operatorname{grad} p(x,t), \operatorname{grad} q(x,t)) \, dt \\
\frac{\partial J}{\partial \tau}(\sigma) &= - \int_0^T q(p - p_{\text{ext}}) \, dt
\end{aligned}
\right.
$$
## IV. - ALGORITHME DE MINIMISATION

On donne aux paramètres à identifier des valeurs initiales, soit $h\varphi^0, h\kappa^0$, et $\tau^0$.

1.°) Connaissant $h\varphi^n, h\kappa^n$, et $\tau^n$, on résout le système direct (1) on obtient l'état $\mathbf{p}^n$.

2.°) Connaissant $\mathbf{p}^n$, on cherche l'état adjoint $\mathbf{q}^n$ en résolvant le système (10).

3.°) Connaissant $\mathbf{p}^n, \mathbf{q}^n$ on calcule les dérivées partielles fonctionnelles en utilisant les formules (16).

4.°) On utilise une méthode de gradient pour obtenir les nouvelles valeurs estimées des paramètres soit :

$$h\varphi^{n+1} = h\varphi^n - \rho \frac{\partial J^n}{\partial \varphi}$$

$$h\kappa^{n+1} = h\kappa^n - \rho \frac{\partial J^n}{\partial \kappa}$$

$$\tau^{n+1} = \tau^n - \rho \frac{\partial J^n}{\partial \tau}$$

où $\rho$ est positif.

On cherche le paramètre optimal $\rho$ à chaque itération en utilisant une méthode de dichotomie et une interpolation parabolique.

5.°) Si $|h\varphi^n - h\varphi^{n+1}| \le \varepsilon$ (ε valeur arbitrairement petite)

$$|h\kappa^n - h\kappa^{n+1}| \dots \text{STP}$$

sinon aller en l'0).

**Remarque 4** : Il est des cas où imposer au paramètre à identifier (disons $h\kappa(x)$) une forme paramétrique est licite, alors on peut poser :

$$h\kappa(x) = \sum_{i=0}^{m} \alpha_i w_i(x)$$
où les $w_i(x)$ sont des fonctions constituant une base de
l'espace dans lequel on recherche le paramètre $hk(x)$.

L'algorithme précédent n'est pas modifié, seul le calcul du gradient

$\frac{\partial J}{\partial hk}$ est légèrement modifié. En effet ce gradient s'écrit :

$$
(17) \quad \frac{\partial J}{\partial hk} = \sum_{i=0}^{m} w_i(x) \int_{\Omega} w_i(x) \left[ \int_{0}^{T} (\operatorname{grad} p(x,t), \operatorname{grad} q(x,t)) dt \right] dx
$$

Dans les exemples numériques, on a considéré la base suivante :

$w_0(x) = 1$

$$
(18) \quad w((i-1)m + j) = \sin(i \frac{\Pi x}{a}) \sin(j \frac{\Pi y}{b}) \quad 1 \le i, j \le m
$$

a est la largeur du domaine dans la direction des x

b est la largeur du domaine dans la direction des y

m le degré de la base.
V. - PROBLEME TRAITE

Nous avons considéré, tout d'abord, le problème de
l'ajustement automatique de la perméabilité dans un gisement de gaz
monophasique (cas réel du gisement de LEEUWARDEN (Hollande)). La
condition aux limites a été choisie du type (3). L'ajustement de la
porosité a été, ensuite, envisagé et enfin l'ajustement de la perméa-
bilité et de la porosité.

Tous les résultats donnent la variation de l'écart
quadratique moyen global (ou fit global) en fonction des itérations.

On a considéré K puits, $x_j$ la coordonnée du jème puits et $NJ(j)$
$j = 1, \dots, K$ le nombre de points de discrétisation en temps, où la
pression est connue au jème puits, on définit le fit moyen au jème puits,
$\delta_j$ par :

$$
(22) \quad \delta_j = \sqrt{\frac{1}{NJ(j)} \sum_{t=1}^{NJ(j)} |p(x_j, t_{NJ}) - Z_j(t_{NJ})|^2} \quad 1 \le j \le K
$$

et le fit global $\delta$ par :

$$
(23) \quad \delta = \sqrt{ \frac{1}{NJ(j)} \frac{1}{K} \sum_{j=1}^{K} \sum_{t=1}^{NJ(j)} |p(x_j, t_{NJ}) - Z_j(t_{NJ})|^2 }
$$

Remarque 5 : Au cours des différents essais, il a été constaté que les
fits moyens aux puits n'étaient pas uniformes.

Aussi nous a-t-il semblé intéressant d'introduire des poids pour accélérer
la convergence de l'algorithme. Ces poids sont introduits au voisinage des
puits où $\delta_j$ est assez grand.

La fonctionnelle des moindres carrés s'écrit alors

$$
(24) \quad J(hk) = \sum_{j=1}^{K} \alpha_j \int_{I_j} (p(x_j, t) - Z_j(t))^2 dt
$$
où les $\alpha_j$, $j=1,...,K$ sont des constantes positives attachées aux K puits. Le calcul du gradient reste inchangé, seul le second membre de l'équation (10) donnant l'état adjoint, change, en s'écrivant :

$$ (25) \quad -2 \sum_{j=1}^{K} \alpha_j \chi_{I_j}(t) \delta(x-x_j) (p(x_j,t) - Z_j(t)) $$

Pour l'introduction des poids on a procédé de deux manières :

α) dès le début du programme, pour les puits de fit moyen supérieur à 1, prendre $\alpha$ = fit au puits et $\alpha$ = 1 pour les autres puits.

β) Introduire un poids constant sur les puits dont le fit moyen reste grand dès que la différence entre deux fits globaux successifs est inférieure à une constante aussi petite que l'on veut.
## VI. - DISCRETISATION ET RESOLUTION NUMERIQUE

On considère le domaine représenté par la figure 1. On a choisi une méthode de différences finies pour le discrétiser. Le domaine discrétisé comprend 478 points de discrétisation, 6 puits et 3 mailles fermées. Les pas d'espace en y sont constants et égaux à 250 mètres, tandis que les pas dans la direction x sont de 250 mètres ou de 500 mètres. L'historique de la production couvre la période du 10 Octobre 1971 au 10 Septembre 1975, soit 1 432 jours.

Pour la discrétisation en temps nous avons pris des pas de temps variant de 5 à 25 jours, ce qui a donné 76 pas couvrant tout l'historique. D'autre part, outre le nombre de puits limités, le nombre de mesure de la pression aux puits est lui-même limité variant de 2 à 5. Le tableau suivant donne la liste des puits et le nombre d'observations :

<table><thead><tr><td>Numéro du puits</td><td>Nom du puits</td><td>Nombre d'observations</td></tr></thead><tbody><tr><td>puits n° 1</td><td>L W 7</td><td>5</td></tr><tr><td>puits n° 2</td><td>L W 10</td><td>3</td></tr><tr><td>puits n° 3</td><td>L W 3</td><td>3 dont 2 valeurs non stabilisées</td></tr><tr><td>puits n° 4</td><td>L W 11</td><td>2</td></tr><tr><td>puits n° 5</td><td>L W 8</td><td>4 dont 3 valeurs non stabilisées</td></tr><tr><td>puits n° 6</td><td>E W 1</td><td>2</td></tr></tbody></table>

Les essais ont été faits avec, pour la perméabilité, deux cartes initiales : l'une constituée par les valeurs calculées " à la main " au vu des résultats de la sismique (cette carte sera appelée avant calage) et la seconde constituée par les valeurs "calées" manuellement à l'aide du code de simulation "TRIGAZ" (cette carte sera appelée carte après calage).
Pour la porosité la seule carte utilisée comme valeurs initiales est celle "calée" manuellement par TRIGAZ.

## VI.1. - **Discrétisation du système direct**

Le système direct (19) a été approché par différences finies, de façon classique, en utilisant un schéma de Cranck-Nicolson.

### a/ **Discrétisation en espace**

En appelant $h_x$ et $h_y$ les pas d'espace dans la direction x et la direction y, on obtient le système discrétisé suivant :

$$ (26) \quad \left\{ \begin{array}{ll} h\varphi|_{ij} - \frac{\partial p_{ij}}{\partial t} - \frac{1}{hx^2} \left( a(p_{i-\frac{1}{2},j}) p_{i-1,j} - (a(p_{i-\frac{1}{2},j}) + a(p_{i+\frac{1}{2},j})) p_{ij} \right. & \\ \left. \qquad + a(p_{i+\frac{1}{2},j}) p_{i+1,j} \right) & = f_{ij} & 1 \le i \le Nx \\ \\ - \frac{1}{hy^2} \left( a(p_{i,j-\frac{1}{2}}) p_{i,j-1} - (a(p_{i,j-\frac{1}}) + a(p_{i,j+\frac{1}})) p_{ij} \right. & \\ \left. \qquad + a(p_{i,j+\frac{1}}) p_{i,j+1} \right) & = f_{ij} & 1 \le j \le Ny \\ \\ p_{o,j} = p_{l,j} & \\ p_{i,o} = p_{i,l} & \\ p_{Nx+l,j} = p_{Nx,j} & \\ p_{i,Ny+l} = p_{i,Ny} & \end{array} \right. $$

On prendra pour $a(p)$ le produit $hk(x) \frac{\rho}{\mu}(p)$ $\forall x \in \Omega$
et comme approximation de $a(p_{i+\frac{1}{2},j})$
$$
(27) \quad a\left(p_{i+\frac{1}{2},j}\right) = a\left(\frac{1}{2}\left(p_{i,j} + p_{i+1,j}\right)\right)
$$

où $p_{i,j}$ est la valeur de la pression au point $i,j$ du réseau.

b/ Discrétisation en temps

L'équation (19) est non linéaire, on peut penser utiliser
le schéma suivant du type prédicteur-correcteur. En prenant l'intervalle
de temps [0,1], le pas de temps Δt est défini par 1/Nt, Nt étant le nombre
de points intérieurs, on a donc :

$$
(28) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{\hat{p} - p^n}{\Delta t} - \frac{\partial}{\partial x} \left( a(p^n) \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{p^n}{2} + \hat{p} \right) \right) - \frac{\partial}{\partial y} \left( a(p^n) \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{p^n}{2} + \hat{p} \right) \right) = f^{n+\frac{1}{2}} & \\
\\
\displaystyle \frac{p^{n+1} - p^n}{\Delta t} - \frac{\partial}{\partial x} \left( a\left(\frac{p^n + \hat{p}}{2}\right) \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{p^n + p^{n+1}}{2} \right) \right) - \frac{\partial}{\partial y} \left( a(p^n) \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{p^n + p^{n+1}}{2} \right) \right) = f^{n+\frac{1}{2}} & \\
\\
p^o = p(x, o) \quad \text{donné} \quad \forall x \in \Omega & o \le n \le Nt
\end{array}
\right.
$$

Dans les applications on s'est aperçu qu'on peut se contenter du pas
de prédiction, sans correction et cela, sans diminuer la précision de
la solution. En général f(x,y ; t) n'est pas connu à l'instant n + 1/2,
on prendra alors comme approximation :

$$
(29) \quad f^{n+\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(f^n + f^{n+1})
$$

VI.2. - *Discrétisation du système adjoint*

La discrétisation de l'équation adjointe (20) donne

a/ discrétisation en espace

L'équation adjointe est linéaire, discrétisée par des différences finies,
elle s'écrit :
$$
\left.
\begin{array}{l}
- h\varphi_{i,j} \frac{\partial q_{i,j}}{\partial t} - \frac{1}{hx^2} \rho_{\mu}(p_{i,j}) \left\{ h\kappa_{i-\frac{1}{2},j} q_{i-1,j} - (h\kappa_{i-\frac{1}{2},j} + h\kappa_{i+\frac{1}{2},j}) q_{i,j} \right. \\
\left. \qquad + h\kappa_{i+\frac{1}{2},j} q_{i+1,j} \right\} \\
\\
\quad - \frac{1}{hy^2} \rho_{\mu}(p_{i,j}) \left\{ h\kappa_{i,j-\frac{1}{2}} q_{i,j-1} - (h\kappa_{i,j-\frac{1}{2}} + h\kappa_{i,j+\frac{1}{2}}) q_{i,j} \right. \\
\left. \qquad + h\kappa_{i,j+\frac{1}{2}} q_{i,j+1} \right\} \\
\\
\qquad \left. \begin{array}{l} 1 \le i \le Nx \\ 1 \le j \le Ny \end{array} \right. \\
\\
\qquad = -2 (p_i - Z_i) \\
\\
q_{o,j} = q_{l,j} \\
q_{i,o} = q_{i,l} \\
q_{Nx+1,j} = q_{Nx,j} \\
q_{i,Ny+1} = q_{i,Ny}
\end{array}
\right\}
\quad (30)
$$

b/ la discrétisation en temps :

Le schéma de Cranck-Nicolson appliqué à l'équation adjointe permet
d'obtenir :

$$
\left.
\begin{aligned}
& \frac{q^{n+1} - q^n}{\Delta t} - \frac{1}{2} \rho_{\mu} \left( \frac{p^n + p^{n+1}}{2} \right) \left[ \frac{\partial}{\partial x} (h\kappa(x,y)) \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{q^n + q^{n+1}}{2} \right) \right. \\
& \qquad \left. + \frac{\partial}{\partial y} (h\kappa(x,y)) \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{q^n + q^{n+1}}{2} \right) \right] \\
& = - \left( p^n + p^{n+1} - z^n - z^{n+1} \right) \\
& q_{i,j}^{Nt} = 0
\end{aligned}
\right\}
\quad (31)
$$
**Remarque 6** : En discrétisant l'opérateur elliptique quasi-linéaire dans le domaine, on obtient une matrice A symétrique définie positive, mais non pentadiagonale. Pour la résolution numérique du problème, il nous a paru bon de rendre cette matrice pentadiagonale, afin de ne plus garder en mémoire que trois diagonales de A. La matrice étant bande, on choisira une méthode de résolution des systèmes linéaires qui tienne compte de cette structure.

Pour cela on a inclus le domaine dans un rectangle contenant 19 × 38 = 722 points intérieurs. Pour les points intérieurs au rectangle et n'appartenant pas au domaine on introduit dans la matrice un terme diagonal strictement positif, les autres termes étant nuls, le second membre correspondant sera lui aussi nul. On obtient ainsi l'équivalence entre le système résolu sur un rectangle et le système résolu dans le domaine.

La matrice varie avec le temps à cause de la non-linéarité $(\rho_{\mu}(p))$ il faudra donc, assembler la matrice à chaque pas de temps.

La méthode utilisée pour résoudre le système linéaire est une méthode de Cholesky adaptée à la structure bande de la matrice.

Cette méthode nous a semblé plus intéressante qu'une méthode itérative du type sur-relaxation.

**Remarque 7** : La perméabilité $hk(x)$ a été identifiée sur le même réseau de discrétisation que les pressions $(p)$ et les débits $(Q)$, ce qui est physiquement comprehensible. Ainsi donc la perméabilité est déterminée sur chaque pavé de dimension $hx \times hy$.

On peut envisager la détermination de $hk$ sur un réseau décalé de $\frac{hx}{2} \quad \frac{hy}{2}$, afin d'avoir une meilleure approximation des termes $hk(x)\rho_{\mu}(p)\frac{\partial p}{\partial x}$.

## VI.3. - Résultats numériques

L'identification a porté d'abord sur la perméabilité, ensuite sur la porosité, enfin sur les deux à la fois.
1°/ Pour l'identification de la perméabilité, nous avons considéré les 4 cas suivants :

α) recherche de hk sous forme libre partout, valeurs initiales de hk sont les données avant calage.

β) recherche de hk sous forme libre avec comme valeurs initiales de hk les valeurs obtenues après calage (à l'aide du package TRIGAZ).

γ) recherche de hk à puits bloqués avec les même valeurs initiales que β (les valeurs aux puits restant constantes au fil des itérations).

δ) recherche à puits bloqués avec valeurs initiales constantes (5 m d).

2°/ Pour l'identification de la porosité nous avons considéré deux cas :

a) recherche à puits bloqués avec les valeurs initiales de β

b) recherche à puits bloqués avec valeurs initiales constantes (17 %)
Ce dernier essai a fait l'objet d'un stage organisé par l'Ecole Polytechnique (Paris) chez la SNEA(P) cf [6].

3°/ Pour l'identification de la porosité et de la perméabilité nous avons effectué une recherche à puits bloqués avec comme valeurs initiales, les valeurs de $h_p$ et de hk obtenus après calage.

Les figures 2 et 3 représentent les équipotentialles des perméabilités respectivement avec données avant calage et données après calage. Les figures 4 et 5 représentent les courbes de niveau correspondantes.

## VI.3.1. - Identification de la perméabilité hk

i) Nous nous plaçons dans le cas β) les résultats obtenus sont encouragants, le fit global passant de 2.26 à .92. Le tableau 1 montre les résultats puits par puits au fil des itérations.
La figure 6 représente les équipotentielles des perméabilités à la
9e itération.

La figure 7 donne les courbes de niveau de $hk$ sur le domaine à l'itération 9.

ii) Avec les données du cas α) les résultats sont aussi intéressants que pour le cas précédent. En effet le fit global passe de 4.29 à 1.06 en 9 itérations.

La figure 8 montre les équipotentielles de la perméabilité à l'itération 9.

La figure 9 montre les courbes de niveau de la perméabilité à l'itération 9.

iii) Le tableau 3 résume les résultats obtenus avec les données du type γ.

On remarquera que dans ce cas, les résultats de la 7e itération sont meilleurs que la 9e itération de l'exemple i).

La figure 10 représente les équipotentielles, et la figure 11 les courbes de niveau de la perméabilité pour la même itération.

**Remarque 8** : Pour les trois exemples précédents, nous constatons que les fits aux puits 2, 4 et 6 sont assez bons, en général inférieurs à 0,5 kg/cm² alors que les fits aux autres puits sont supérieurs à 1 kg/cm², le puits n° 1 restant celui qui a le plus grand fit.

Le meilleur puits est le sixième puisque le fit y passe de 3.64 à 0.30 pour le cas i), de 9.172 à .287 pour le cas ii) en 9 itérations et de 3.64 à .31 pour le cas iii) en 8 itérations.

iv) Les données du type γ sont les plus intéressantes, car elles correspondent au cas le plus défavorable, et ce, en partant d'une valeur constante partout, sauf aux puits.
Les résultats obtenus sont intéressants, ils sont représentés dans
le tableau 4.

Les figures 12 et 13 représentent successivement les équipotentielles
et les courbes de niveau de la perméabilité à l'itération 15.

On constate que pour ce cas le nombre d'itérations est
supérieur à celui des cas précédents et cela était tout à fait prévisible.
Nous remarquerons que dans les zones frontières les valeurs de $hk$ ne
bougent pas trop, le gradient $y$ est très faible (voisin de zéro).

### VI.3.2. - Identification de la porosité

Les cas a) et b) ont été envisagés, les résultats
correspondants sont présentés dans les tableaux 5 et 6.

On constate qu'au bout de 9 itérations on aboutit à des fits globaux
comparables (1.119 pour le cas a) et 1.142 pour le cas b).

Pour le cas a), la figure 16 présente les courbes de porosité initiales
tandis que la figure 17 celles des porosités identifiées correspondantes
à la 9e itération.

Les figures 14 et 15 représentent respectivement les équipotentielles de
la porosité initiale et celle de la porosité identifiée (9e itération).

Pour le cas b), on a présenté, dans la figure 19 les courbes des porosités
identifiées à la 9e itération.

Les équipotentielles des porosités identifiées sont représentées par
la figure 18.

**Remarque 9** : Des figures 15 et 18 nous pouvons déduire que les résultats obtenus dans l'un et l'autre cas sont assez satisfaisants dans les régions voisines des puits, par contre pour les zones frontières, et en général, celles éloignées des puits, les résultats peuvent être assez différents, cela étant du au fait que le gradient $y$ est petit, ce sont des zones de faible influence sur le critère, et que les valeurs initiales, par conséquent, n'y bougent pas de façon significative.
### VI.3.3. - Identification de la perméabilité et de la porosité

En partant des valeurs de $hk$ et de $hφ$ après calage (données ELF) nous avons cherché à identifier, à la fois, la perméabilité et la porosité. Le calcul du gradient restant le même, à chaque itération nous avons minimisé successivement dans une direction, puis dans l'autre.

Le temps d'exécution d'une itération, dans ce cas, est plus important que dans les cas précédents.

Par contre, nous remarquons que le fit global diminue plus sensiblement que dans le cas d'une identification de la seule perméabilité ou porosité. En 5 itérations le fit global passe de 2.26 à 0.99 ce qui représente en temps d'exécution l'équivalent de 9 à 10 itérations simples.

Les figures 20 et 21 montrent les équipotentielles de la perméabilité et de la porosité, elles sont à comparer avec les figures 10 et 15 car la recherche des paramètres s'est effectuée à puits bloqués.

Le tableau 7 montre l'évolution des fits globaux et ceux des puits au cours des itérations. On y remarquera, que le puits n° 5 a le meilleur fit.

Les figures 22 et 23 représentent les courbes de niveau de $hk$ et de $hφ$ sont à rapprocher aux figures 11 et 17.

### VI.4. - Nouveaux essais

A la fin des précédents essais nous avons eu un nouvel historique portant sur 1849 jours, soit 417 jours de plus que le précédent. Nous avons introduit 14 nouveaux pas de temps, ce qui porte leur nombre total à 90. Pour les observations de la pression aux puits, leur nombre respectif a augmenté d'une unité à chaque puits.

Nous avons fait des simulations pour cet historique avec les cartes initiales de la perméabilité et de la porosité ainsi qu'avec les cartes obtenues après identification. Les résultats sont présentés dans le tableau 8.

D'autre part, en partant des cartes de $hφ$ et de $hk$ après calage, nous avons fait tourner l'algorithme en vue d'identifier simultanément $hφ$ et $hk$ pour ce nouvel historique. Les résultats sont consignés dans le tableau 9 et les figures 24 et 25 montrent les équipotentielles planes et en perspective de la porosité et de la perméabilité.
## VII. - CONCLUSION

Les divers ajustements effectués permettent d'affirmer que l'algorithme est assez efficace. Il permet de donner des résultats très satisfaisants, en effet le gain enregistré en fit global est de l'ordre de 3.25 kg/cm² dans le cas où la carte initiale de la perméabilité est constituée de valeurs avant calage et de 1.33 kg/cm³ dans le cas où on part de valeurs "calées". Dans le cas d'une identification de la porosité et de la perméabilité le gain est de 1.26 kg/cm² en pression.

Ces résultats sont encourageants bien que le nombre de puits soit assez limité (6) et surtout les points d'observation très peu nombreux (entre 2 et 5 observations pour 76 pas de temps).

D'autre part, nous noterons l'importance du champ initial, l'algorithme n'étant pas à même d'ajuster les valeurs aux points éloignés de zones des puits. Pour améliorer les fits, il serait bon d'envisager, lorsque cela sera possible, d'autres contraintes que celles déjà imposées aux valeurs aux puits des paramètres à identifier.

Nous remarquerons aussi que dans le cas de la perméabilité ainsi que dans le cas de la porosité les cartes obtenues, à partir d'une carte initiale "calée" ou d'une carte constante, sont assez ressemblantes. Par ailleurs, dans le cas de l'ajustement de la porosité, un calcul des réserves totales a été fait avec les valeurs obtenues après 9 itérations avec deux répartitions initiales différentes a permis de confirmer les résultats initialement prévus par le calcul statique à 1‰ près (de l'ordre de 8,7 milliards de m³).

Ces bons résultats montrent que la méthode est fiable, et qu'elle peut facilement être appliquée à d'autres cas réels aussi peu favorables. Néanmoins une contrainte peut limiter cette extension, c'est le temps de calcul : en effet pour le premier et le second cas une itération (il en faut, en général une dizaine) prend un peu plus de 100 secondes (soit pour une identification totale près de 1 000 secondes) sur un CDC 7 600 et entre 60 et 70 mn par itération (soit près de 12 heures (!) pour tout le problème) sur un CII IRIS 80.
En se contentant de 5 itérations pour le troisième cas, on aboutirait à des temps de calcul comparables.
BIBLIOGRAPHIE

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G. CHAVENT
Analyse fonctionnelle et identification de coefficients
répartis dans les équations aux dérivées partielles
Thèse - Paris 1971.

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G. CHAVENT
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ed
3 IFAC - symposium - The Hague/DELFT (NETHERLANDS) June 1973

[ 3 ]
G. CHAVENT ; M. DUPUY ; P. LEMONNIER
"History Matching by use of Optimal Control Theory"
Paper SPE 4627. SPE-AIME 48th Annual
Fall Meeting Las Vegas Sept 30 - Oct 3 - 1973

[ 4 ]
G. CHAVENT ; P. LEMONNIER
Identification de la non-linéarité d'une équation paraboline quasi-linéaire.
Rapport Laboria n°45 - Décembre 1973.

[ 5 ]
W.H. CHEN ; G.R. GAVALAS ; J.H. SEINFELD ; M.L. WASSERMAN
A new algorithm for automatic history matching
SPE Journal Dec 1974 (pp 593-608)
Trans. AIME VOL 257.

[ 6 ]
D. BURSAUX ; L. SYBILLE
Identification de la porosité dans un gisement monophasique.
Rapport de stage - Ecole Polytechnique
France - Janvier 1977
Tableau 1

valeurs initiales de hk après calage

Identification de hk sous forme libre

<table><thead><tr><th></th><th>Itération 0</th><th>Itération 1</th><th>Itération 2</th><th>Itération 3</th><th>Itération 4</th><th>Itération 5</th><th>Itération 6</th><th>Itération 7</th><th>Itération 8</th><th>Itération 9</th></tr></thead><tbody><tr><td>Fit global</td><td>2.261</td><td>1.707</td><td>1.632</td><td>1.435</td><td>1.373</td><td>1.126</td><td>1.079</td><td>.968</td><td>.952</td><td>.928</td></tr><tr><td>Fit au puits 1</td><td>1.874</td><td>1.852</td><td>1.765</td><td>1.754</td><td>1.629</td><td>1.623</td><td>1.508</td><td>1.503</td><td>1.428</td><td>1.426</td></tr><tr><td>Fit au puits 2</td><td>3.402</td><td>3.276</td><td>2.638</td><td>2.568</td><td>1.568</td><td>1.538</td><td>.841</td><td>.826</td><td>.581</td><td>.577</td></tr><tr><td>Fit au puits 3</td><td>.737</td><td>.740</td><td>.757</td><td>.760</td><td>.824</td><td>.827</td><td>.919</td><td>.924</td><td>1.031</td><td>1.037</td></tr><tr><td>Fit au puits 4</td><td>.376</td><td>.445</td><td>.488</td><td>.430</td><td>.455</td><td>.401</td><td>.407</td><td>.372</td><td>.360</td><td>.343</td></tr><tr><td>Fit au puits 5</td><td>1.281</td><td>1.287</td><td>1.288</td><td>1.284</td><td>1.278</td><td>1.274</td><td>1.260</td><td>1.256</td><td>1.235</td><td>1.233</td></tr><tr><td>Fit au puits 6</td><td>3.642</td><td>.960</td><td>1.851</td><td>.516</td><td>1.917</td><td>.372</td><td>1.187</td><td>.331</td><td>.590</td><td>.309</td></tr></tbody></table>
Tableau 2

<table><caption>valeurs initiales de hk avant calage</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="12">Identification de hk sous forme libre</th><th rowspan="2">Introduction des poids</th><th rowspan="2">Itération</th><th rowspan="2">Itération</th></tr><tr><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th><th>8</th><th>9</th><th>10</th></tr></thead><tbody><tr><td>Fit global</td><td>4.293</td><td>3.069</td><td>2.296</td><td>1.956</td><td>1.851</td><td>1.353</td><td>1.322</td><td>1.120</td><td>1.092</td><td>1.059</td><td>1.043</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Fit au puits 1</td><td>1.723</td><td>1.679</td><td>1.653</td><td>1.628</td><td>1.422</td><td>1.420</td><td>1.377</td><td>1.379</td><td>1.367</td><td>1.365</td><td>1.368</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Fit au puits 2</td><td>4.603</td><td>4.246</td><td>4.121</td><td>4.002</td><td>2.2551</td><td>2.223</td><td>1.212</td><td>1.098</td><td>1.023</td><td>.772</td><td>.689</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Fit au puits 3</td><td>.754</td><td>.798</td><td>.827</td><td>.858</td><td>1.285</td><td>1.289</td><td>1.423</td><td>1.430</td><td>1.436</td><td>1.454</td><td>1.460</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Fit au puits 4</td><td>.340</td><td>.983</td><td>1.068</td><td>1.032</td><td>.572</td><td>.611</td><td>.508</td><td>.525</td><td>.509</td><td>.486</td><td>.473</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Fit au puits 5</td><td>1.261</td><td>1.473</td><td>1.518</td><td>1.501</td><td>1.400</td><td>1.390</td><td>1.391</td><td>1.373</td><td>1.373</td><td>1.353</td><td>1.348</td><td></td><td></td></tr><tr><td>Fit au puits 6</td><td>9.172</td><td>5.648</td><td>2.793</td><td>.485</td><td>3.087</td><td>.236</td><td>1.705</td><td>.498</td><td>.161</td><td>.287</td><td>.102</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
valeurs initiales de hk après calage

<table><tr><td>Identification de hk à puits bloqués</td></tr></table>

<table><thead><tr><th rowspan="2"></th><th colspan="10">introduction de poids</th></tr><tr><th>Itération 0</th><th>Itération 1</th><th>Itération 2</th><th>Itération 3</th><th>Itération 4</th><th>Itération 5</th><th>Itération 6</th><th>Itération 7</th><th>Itération 8</th></tr></thead><tbody><tr><td>Fit global</td><td>2.261</td><td>1.780</td><td>1.62</td><td>1.59</td><td>1.038</td><td>1.014</td><td>.935</td><td>.925</td><td>.922</td></tr><tr><td>Fit au puits 1</td><td>1.874</td><td>1.859</td><td>1.827</td><td>1.825</td><td>1.522</td><td>1.521</td><td>1.426</td><td>1.407</td><td>1.408</td></tr><tr><td>Fit au puits 2</td><td>3.402</td><td>3.297</td><td>3.079</td><td>3.064</td><td>1.109</td><td>1.105</td><td>.511</td><td>.482</td><td>.477</td></tr><tr><td>Fit au puits 3</td><td>.737</td><td>.739</td><td>.743</td><td>.743</td><td>.864</td><td>.864</td><td>.976</td><td>1.045</td><td>1.074</td></tr><tr><td>Fit au puits 4</td><td>.376</td><td>.492</td><td>.531</td><td>.518</td><td>.494</td><td>.479</td><td>.446</td><td>.437</td><td>.419</td></tr><tr><td>Fit au puits 5</td><td>1.281</td><td>1.304</td><td>1.306</td><td>1.305</td><td>1.257</td><td>1.256</td><td>1.232</td><td>1.218</td><td>1.211</td></tr><tr><td>Fit au puits 6</td><td>3.642</td><td>1.484</td><td>.620</td><td>.313</td><td>.593</td><td>.291</td><td>.533</td><td>.398</td><td>.314</td></tr></tbody></table>
Identification de hk à puits bloqués

<table><thead><tr><th></th><th>Itération 0</th><th>Itération 1</th><th>Itération 2</th><th>Itération 3</th><th>Itération 4</th><th>Itération 5</th><th>Itération 6</th><th>Itération 8</th><th>Itération 10</th><th>Itération 13</th><th>Itération 15</th></tr></thead><tbody><tr><td>Fit global</td><td>3.672</td><td>3.003</td><td>2.283</td><td>1.992</td><td>1.395</td><td>1.385</td><td>1.345</td><td>1.258</td><td>1.229</td><td>1.128</td><td>1.118</td></tr><tr><td>Fit au puits 1</td><td>1.560</td><td>1.531</td><td>1.515</td><td>1.500</td><td>1.468</td><td>1.473</td><td>1.475</td><td>1.534</td><td>1.536</td><td>1.523</td><td>1.507</td></tr><tr><td>Fit au puits 2</td><td>2.976</td><td>2.642</td><td>2.433</td><td>2.219</td><td>.471</td><td>.363</td><td>.366</td><td>.364</td><td>.348</td><td>.643</td><td>.549</td></tr><tr><td>Fit au puits 3</td><td>.945</td><td>.967</td><td>.983</td><td>1.001</td><td>1.192</td><td>1.223</td><td>1.237</td><td>1.401</td><td>1.408</td><td>1.469</td><td>1.456</td></tr><tr><td>Fit au puits 4</td><td>4.195</td><td>3.953</td><td>3.774</td><td>3.402</td><td>1.940</td><td>1.875</td><td>1.830</td><td>1.326</td><td>1.294</td><td>.631</td><td>.620</td></tr><tr><td>Fit au puits 5</td><td>1.872</td><td>1.871</td><td>1.885</td><td>1.888</td><td>1.918</td><td>1.872</td><td>1.860</td><td>1.663</td><td>1.650</td><td>1.510</td><td>1.507</td></tr><tr><td>Fit au puits 6</td><td>6.899</td><td>4.972</td><td>2.074</td><td>.696</td><td>.659</td><td>.830</td><td>.454</td><td>.727</td><td>.460</td><td>.258</td><td>.382</td></tr></tbody></table>
valeur initiale de hp après calage

<table><caption>Identification de hp à puits bloqués</caption><thead><tr><th></th><th>Itération 0</th><th>Itération 1</th><th>Itération 2</th><th>Itération 3</th><th>Itération 4</th><th>Itération 5</th><th>Itération 6</th><th>Itération 7</th><th>Itération 8</th><th>Itération 9</th></tr></thead><tbody><tr><td>Fit global</td><td>2.261</td><td>1.900</td><td>1.729</td><td>1.614</td><td>1.448</td><td>1.336</td><td>1.203</td><td>1.182</td><td>1.124</td><td>1.119</td></tr><tr><td>Fit au puits 1</td><td>1.874</td><td>1.477</td><td>1.413</td><td>1.330</td><td>1.414</td><td>1.333</td><td>1.441</td><td>1.478</td><td>1.236</td><td>1.238</td></tr><tr><td>Fit au puits 2</td><td>3.402</td><td>2.818</td><td>1.919</td><td>2.125</td><td>1.589</td><td>1.385</td><td>1.077</td><td>.942</td><td>1.406</td><td>1.383</td></tr><tr><td>Fit au puits 3</td><td>.737</td><td>1.321</td><td>2.363</td><td>1.466</td><td>1.970</td><td>1.281</td><td>1.545</td><td>1.565</td><td>.891</td><td>.894</td></tr><tr><td>Fit au puits 4</td><td>.376</td><td>.786</td><td>1.480</td><td>.483</td><td>1.052</td><td>.252</td><td>.672</td><td>.679</td><td>.340</td><td>.345</td></tr><tr><td>Fit au puits 5</td><td>1.281</td><td>1.370</td><td>1.807</td><td>1.368</td><td>1.472</td><td>1.532</td><td>1.420</td><td>1.419</td><td>1.444</td><td>1.442</td></tr><tr><td>Fit au puits 6</td><td>3.642</td><td>2.700</td><td>1.107</td><td>2.253</td><td>.948</td><td>1.721</td><td>.765</td><td>.628</td><td>1.043</td><td>1.034</td></tr></tbody></table>

introduction des poids
valeurs initiales constantes 17 %

<table><tr><td>Identification de hø à puits bloqués</td></tr></table>

<table><thead><tr><th></th><th>Itération 0</th><th>Itération 1</th><th>Itération 2</th><th>Itération 3</th><th>Itération 4</th><th>Itération 5</th><th>Itération 6</th><th>Itération 7</th><th>Itération 8</th><th>Itération 9</th></tr></thead><tbody><tr><td>Fit global</td><td>2.730</td><td>1.739</td><td>1.670</td><td>1.562</td><td>1.502</td><td>1.401</td><td>1.327</td><td>1.252</td><td>1.220</td><td>1.142</td></tr><tr><td>Fit au puits 1</td><td>2.388</td><td>1.371</td><td>1.341</td><td>1.506</td><td>1.446</td><td>1.535</td><td>1.432</td><td>1.521</td><td>1.562</td><td>1.406</td></tr><tr><td>Fit au puits 2</td><td>3.533</td><td>1.819</td><td>2.314</td><td>1.443</td><td>1.515</td><td>1.266</td><td>1.280</td><td>1.079</td><td>.912</td><td>.951</td></tr><tr><td>Fit au puits 3</td><td>2.076</td><td>1.144</td><td>1.775</td><td>1.804</td><td>1.533</td><td>1.699</td><td>1.300</td><td>1.463</td><td>1.471</td><td>1.091</td></tr><tr><td>Fit au puits 4</td><td>.901</td><td>2.508</td><td>.762</td><td>1.815</td><td>1.017</td><td>1.426</td><td>.688</td><td>.972</td><td>1.071</td><td>.485</td></tr><tr><td>Fit au puits 5</td><td>1.348</td><td>2.002</td><td>1.366</td><td>1.535</td><td>1.450</td><td>1.444</td><td>1.566</td><td>1.464</td><td>1.439</td><td>1.563</td></tr><tr><td>Fit au puits 6</td><td>4.427</td><td>1.164</td><td>.696</td><td>1.178</td><td>1.896</td><td>.899</td><td>1.501</td><td>.831</td><td>.531</td><td>1.038</td></tr></tbody></table>
Tableau 7

valeurs initiales après calage

Identification de hcp et hp à puits bloqués

<table><thead><tr><th></th><th>Itération 0</th><th>Itération 1</th><th>Itération 2</th><th>Itération 3</th><th>Itération 4</th><th>Itération 5</th><th>Itération 6</th></tr></thead><tbody><tr><td>Fit global</td><td>2.261</td><td>1.632</td><td>1.462</td><td>1.093</td><td>1.071</td><td>.994</td><td>.993</td></tr><tr><td>Fit au puits 1</td><td>1.874</td><td>.616</td><td>1.409</td><td>1.358</td><td>1.351</td><td>1.334</td><td>1.333</td></tr><tr><td>Fit au puits 2</td><td>3.402</td><td>2.996</td><td>1.743</td><td>1.411</td><td>1.337</td><td>.921</td><td>.917</td></tr><tr><td>Fit au puits 3</td><td>.737</td><td>.962</td><td>2.366</td><td>.897</td><td>.896</td><td>.956</td><td>.960</td></tr><tr><td>Fit au puits 4</td><td>.376</td><td>.479</td><td>.469</td><td>.803</td><td>.791</td><td>.746</td><td>.744</td></tr><tr><td>Fit au puits 5</td><td>1.281</td><td>1.288</td><td>1.295</td><td>1.362</td><td>1.354</td><td>1.342</td><td>1.342</td></tr><tr><td>Fit au puits 6</td><td>3.642</td><td>1.242</td><td>.559</td><td>.172</td><td>.039</td><td>.176</td><td>.174</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Simulations avec données nouvel historique et différentes cartes bp et hk</caption><thead><tr><th></th><th>valeurs après<br>calage</th><th>- id -</th><th>- id -</th><th>- id -</th><th>- id -</th><th>- id -</th><th>- id -</th><th>- id -</th><th>- id -</th></tr><tr><th></th><th>valeurs avant<br>calage</th><th>- id -</th><th>valeurs après<br>calage</th><th>- id -</th><th>- id -</th><th>- id -</th><th>- id -</th><th>- id -</th><th>- id -</th></tr><tr><th></th><th>identification<br>itération</th><th>hk sous forme<br>libre<br>itération 9</th><th>itération 0</th><th>hk sous forme<br>libre<br>itération 9</th><th>hk à puits<br>bloqués<br>itération 9</th><th>bp à puits<br>bloqués<br>itération 9</th><th>hk+bp à puits<br>bloqués<br>itération 9</th><th>hk+bp à puits<br>bloqués<br>itération 9</th><th>hk+bp à puits<br>bloqués<br>itération 9</th></tr></thead><tbody><tr><th>porosité</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>perméabilité</th><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>identification<br>itération</th><td>itération 0</td><td>2.237</td><td>3.623</td><td>2.288</td><td>2.283</td><td>2.456</td><td>2.168</td><td></td><td></td></tr><tr><th>Fit global</th><td>5.352</td><td>2.758</td><td>1.949</td><td>2.838</td><td>2.052</td><td>1.832</td><td>1.929</td><td></td><td></td></tr><tr><th>Fit au puits 1</th><td>2.758</td><td>2.758</td><td>1.949</td><td>2.838</td><td>2.052</td><td>1.832</td><td>1.929</td><td></td><td></td></tr><tr><th>Fit au puits 2</th><td>6.231</td><td>6.231</td><td>2.914</td><td>5.033</td><td>2.373</td><td>1.123</td><td>3.093</td><td>2.657</td><td></td></tr><tr><th>Fit au puits 3</th><td>.676</td><td>.676</td><td>1.306</td><td>.702</td><td>.923</td><td>.948</td><td>.782</td><td>.830</td><td></td></tr><tr><th>Fit au puits 4</th><td>1.715</td><td>1.715</td><td>1.615</td><td>1.687</td><td>1.712</td><td>1.717</td><td>1.662</td><td>1.445</td><td></td></tr><tr><th>Fit au puits 5</th><td>2.159</td><td>2.159</td><td>2.243</td><td>2.219</td><td>2.248</td><td>2.242</td><td>2.394</td><td>2.055</td><td></td></tr><tr><th>Fit au puits 6</th><td>10.385</td><td>10.385</td><td>2.897</td><td>6.091</td><td>3.570</td><td>3.774</td><td>3.761</td><td>3.228</td><td></td></tr></tbody></table>
Identification de PHI et de hk à puits bloqués

nouvel historique

<table><thead><tr><th></th><th>Itération 0</th><th>Itération 1</th><th>Itération 2</th><th>Itération 4</th><th>Itération 6</th><th>Itération 8</th><th>Itération 10</th><th>Itération 11</th><th>Itération 12</th></tr></thead><tbody><tr><td>Fit global</td><td>3.623</td><td>2.393</td><td>2.113</td><td>1.895</td><td>1.759</td><td>1.577</td><td>1.491</td><td>1.477</td><td>1.474</td></tr><tr><td>Fit au puits 1</td><td>2.838</td><td>1.772</td><td>1.829</td><td>1.698</td><td>1.660</td><td>1.638</td><td>1.642</td><td>1.637</td><td>1.643</td></tr><tr><td>Fit au puits 2</td><td>5.033</td><td>2.358</td><td>3.020</td><td>2.417</td><td>1.938</td><td>1.710</td><td>1.662</td><td>1.665</td><td>1.519</td></tr><tr><td>Fit au puits 3</td><td>.702</td><td>3.459</td><td>1.213</td><td>1.209</td><td>.958</td><td>1.092</td><td>1.092</td><td>1.023</td><td>1.022</td></tr><tr><td>Fit au puits 4</td><td>1.687</td><td>1.730</td><td>1.652</td><td>1.557</td><td>1.427</td><td>1.357</td><td>1.274</td><td>1.231</td><td>1.236</td></tr><tr><td>Fit au puits 5</td><td>2.219</td><td>2.231</td><td>2.123</td><td>1.994</td><td>1.886</td><td>1.839</td><td>1.824</td><td>1.819</td><td>1.800</td></tr><tr><td>Fit au puits 6</td><td>6.091</td><td>2.390</td><td>2.371</td><td>2.225</td><td>2.354</td><td>1.703</td><td>1.523</td><td>1.327</td><td>1.487</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. 1 : domaine discrétisé</figcaption></figure>
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Fig. 2 : Equipotentielles de la perméabilité (données avant calage)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Fig. 3 : Equipotentielles de la perméabilité (données après calage)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Fig. 4 : Vue en perspective de la perméabilité (données avant calage)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Fig. 5 : Vue en perspective de la perméabilité (données après calage)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Fig. 6 : Equipotentielles des perméabilités identifiées (données initiales après calage - 9e itération)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Fig. 7 : Vue en perspective de la perméabilité identifiée (données après calage)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Fig. 8 : Equipotentielles des perméabilités identifiées (données initiales avant calage - 9e itération)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Fig. 9 : Vue en perspective de la perméabilité identifiée (données avant calage)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Fig. 10 : Equipotentielles des perméabilités identifiées (données après calage-recherche à puits bloqués -itération)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Fig. 11 : Vue en perspective de la perméabilité identifiée à puits bloqués (données après calage)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Fig. 12 : Equipotentielles des perméabilités identifiées à puits bloqués
(valeur initiale constante = 5 md)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Fig. 13 : Vue en perspective de la perméabilité identifiée à puits bloqués
(valeur initiale constante = 5 md)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Fig. 14 : Equipotentielles de la porosité (données "après calage")</figcaption></figure>
<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Fig. 15 : Equipotentielles de la porosité identifiée à puits bloqués (données "après calage" - itération 9)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Fig. 16 : Vue en perspective de la porosité initiale (données après calage)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Fig. 17 : Courbes des porosités identifiées à puits bloqués (valeurs initiales "après calage") 9e itération</figcaption></figure>
<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Fig. 18 : Equipotentielles de la porosité identifiée à puits bloqués à partir d'une valeur constante = 17 % itération 9</figcaption></figure>
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Fig. 19 : Vue en perspective de la porosité identifiée à puits bloqués (valeurs initiales constantes = 17 %)- 9e itération</figcaption></figure>
<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Fig. 20 : Equipotentielles de la perméabilité identifiée à puits bloqués (identification simultanée) 5e itération</figcaption></figure>
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>Fig. 21 : Equipotentielles de la porosité identifiée à puits bloqués (identification simultanée) 5e itération</figcaption></figure>
<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Fig. 22 : Vue en perspective de la perméabilité identifiée (identification simultanée)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Fig. 23 : Vue en perspective de la porosité identifiée (identification simultanée)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Fig. 24 : Equipotentielles de la perméabilité identifiée (nouvel historique)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>Fig. 25 : Equipotentielles de la porosité identifiée (nouvel historique)</figcaption></figure>