# Problèmes de dépouillements

P. Dufresne

► To cite this version:

P. Dufresne. Problèmes de dépouillements. Annales de l'ISUP, 1956, V (2), pp.75-89. hal-04095362

HAL Id: hal-04095362

https://hal.science/hal-04095362

Submitted on 11 May 2023

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
# PROBLÈMES DE DÉPOUILLEMENTS

par

P. DUFRESNE

## NOUVELLE EXTENSION DU PROBLÈME DE SCRUTIN

Probabilité pour que le nombre des bulletins extraits au nom d'un candidat soit constamment supérieur à k fois le nombre des bulletins extraits au nom d'un autre candidat.

Nous nous proposons de rechercher la probabilité pour que durant tout le dépouillement le nombre des bulletins extraits portant le nom du candidat A soit constamment supérieur à k fois le nombre des bulletins extraits portant le nom du candidat B.

Le problème n'a un sens que si k est un nombre positif, nous sous-entendrons toujours cette condition. Nous garderons les notations a, b, N(a,b) avec les mêmes sens que précédemment.

Je désignerai par N(a,b)A > kB le nombre des différents dépouillements qu'il est possible de constituer avec a bulletins A et b bulletins B et dans lesquels le nombre des bulletins extraits au nom de A est toujours supérieur à k fois le nombre des bulletins extraits au nom de B

et par P(a,b)A > kB la probabilité cherchée.

Conséquence immédiate des définitions :

$$P(a,b)A > kB = \frac{N(a,b)A > kB}{\frac{(a+b)!}{a! b!}}$$

Lemme : Si $a + b > 1$ et $a > kb$

$$N(a,b)A > kB = N'(a-1)A > kB + N(a,b-1)A > kB$$

La démonstration est identique à celle des lemmes précédents.

Théorème : Si $a \ge kb$ et si k est un nombre entier $N(a,b)A > B = \frac{a-kb}{a+b} \frac{(a+b)!}{a! b!}$

Si $a < kb$ il est clair que $N(a,b)A > kB = 0$, la formule donnerait un résultat négatif donc absurde.

Si $a = kb$ il est encore clair que $N(a,b)A > kB = 0$ la formule proposée donne bien un résultat nul.
Nous supposons $a > kb$

La proposition est exacte pour $\theta = 1$ ; en effet, en vertu de l'hypothèse $a > kb$ le seul bulletin existant ne peut être qu'un bulletin A, il y a donc un dépouillement favorable et un seul, résultat qui serait donné par la formule.

Nous emploierons un mode de raisonnement par récurrence et nous établirons que la proposition est exacte lorsque le nombre des bulletins est $\theta_A$ si elle est exacte lorsque le nombre des bulletins est $\theta_A - 1$.

En vertu du lemme :

$$N(a_{\Lambda} b_{\Lambda})A > kB = N(a_{\Lambda} - 1, b_{\Lambda})A > kB + N(a_{1}, b_{1} - 1)A > kB$$

et en supposant la proposition exacte lorsque $\theta = \theta_{\Lambda} - 1$

$$N(a_{\Lambda} - 1, b_{\Lambda}) = \frac{a_{\Lambda} - kb_{\Lambda} - 1}{a_{\Lambda} + b_{\Lambda} - 1} \frac{(a_{\Lambda} + b_{\Lambda} - 1)}{(a_{\Lambda} - 1)! b_{\Lambda}!}$$

(du fait que $a_1 > kb_1$, il en résulte forcément que $a_1 \ge kb_1 + 1$)

$$N(a_1, b_1 - 1)A > kB = \frac{a_{\Lambda} - kb_{\Lambda} + k}{a_{\Lambda} + b_{\Lambda} - 1} \frac{(a_1 + b_1 - 1)!}{a_1! (b_1 - 1)!}$$

donc

$$ \begin{align*} N(a_1 b_1)A > kB &= \frac{a_{\Lambda} - kb_{\Lambda} - 1}{a_{\Lambda} + b_{\Lambda} - 1} \frac{(a_1 + b_1 - 1)!}{(a_1 - 1)! b_1!} + \frac{a_1 - kb_1 + k}{a_1 + b_1 - 1} \frac{(a_1 + b_1 - 1)!}{a_1! (b_1 - 1)!} \\ &= \left( \frac{a_1 - kb_1 - 1}{a_1 + b_1 - 1} \frac{a_1}{a_1 + b_1} + \frac{a_1 - kb_1 + k}{a_1 + b_1 - 1} \frac{b_1}{a_1 + b_1} \right) \frac{(a_1 + b_1)!}{a_1! b_1!} \\ &= \frac{(a_1 - kb_1) a_1 - a_1 + (a_1 - kb_1) b_1 + kb_1}{(a_1 + b_1 - 1)(a_1 + b_1)} \frac{(a_1 + b_1)}{a_1! b_1!} \\ &= \frac{a_{\Lambda} - kb_{\Lambda}}{a_{\Lambda} + b_{\Lambda}} \frac{(a_{\Lambda} + b_{\Lambda})}{a_{\Lambda}! b_{\Lambda}!} \end{align*} $$

ce qu'il fallait démontrer.

**Théorème :** Si $a \ge kb$ et si $k$ est un nombre (positif) quelconque $\frac{a - kb}{a + b} \frac{(a+b)!}{a! b!} \le N(a,b)A > kB \le \frac{a-jb}{a+b} \frac{(a+b)!}{a! b!}$ j désignant un nombre entier immédiatement inférieur à $k$.

Il est clair que $N(a,b)A > kB \le N(a,b)A > jB$ or,

$$N(a,b)>jB = \frac{a-jb}{a+b} \frac{(a+b)!}{a!b!}$$

donc

$$N(a,b)A > kB \le \frac{a-jb}{a+b} \frac{(a+b)!}{a!b!}$$

Il reste à démontrer que

$$\frac{a - kb}{a + b} \frac{(a+b)!}{a! b!} \le N(a,b)A > kB$$
il suffit de le faire pour $a > kB$ car lorsque $a = kB$, $k$ est obligatoirement un nombre entier et le cas $a$ été traité précédemment.

Nous supposons donc $a > kb$

Nous employerons un raisonnement par récurrence :

Nous constatons d'abord que la relation est exacte pour la plus petite valeur possible de $\theta$ c'est-à-dire pour $\theta = 1$. En vertu de l'hypothèse $a > kb$ le seul bulletin existant ne peut être qu'un bulletin A ; il y a donc un dépouillement favorable possible et c'est le résultat qui serait donné par la formule.

Nous établirons que la proposition est exacte lorsque le nombre des bulletins est $\theta$, si elle est exacte lorsque le nombre des bulletins est $\theta_A - 1$. Deux cas sont à considérer :

$$1^\circ) \quad a_i \ge kb + 1 \quad (\text{ou } a_i - 1 \ge kb_i)$$

en supposant la relation exacte pour $\theta = \theta_1 - 1$, on obtient :

$$N(a_\Lambda, b_\Lambda - 1)A > B \ge \frac{a_1 - kb_1 + 1}{a_1 + b_1 - 1} \frac{(a_1 + b_1 - 1)!}{a_1! (b_1 - 1)!}$$

$$N(a_i - 1, b_i)A > B \ge \frac{a_1 - kb_i - 1}{a_1 + b_i - 1} \frac{(a_1 + b_i - 1)!}{(a_i - 1)! b_i!}$$

et comme en vertu du lemme :

$$N(a,b_1)A > kB = N(a_1,b_1-1)A > kB + N(a_{i-1},b_1)A > kB$$

$$N(a,b_1)A > kB \ge \frac{a_1 - kb_1}{a_1 + b_1} \frac{(a_1 + b_1)!}{a_1! b_1!}$$

suivant un calcul déjà effectué

$$2^\circ) \quad a_i < kb_i + 1 \quad (\text{ou } a_i - 1 < kb_i)$$

$$\text{Il est clair que } N(a_i - 1, b_i)A > kB = 0$$

donc en vertu du lemme,

$$N(a_i, b_i)A > kB = N(a_i, b_i - 1)A > kB$$

et, en supposant la proposition exacte pour $\theta = \theta_1 - 1$

$$N(a,b)A > kB = N(a,b-1)A > kB \ge \frac{a_1 - kb_1 + k}{a_1 + b_1 - 1} \frac{(a_1 + b_1 - 1)!}{a_1! (b_1 - 1)!}$$

mais, il a été établi précédemment que :

$$\frac{a_1 - kb_1 + k}{a_1 + b_1 - 1} \frac{(a_1 + b_1 - 1)!}{a_1! (b_1 - 1)!} + \frac{a_1 - kb_1 - 1}{a_1 + b_1 - 1} \frac{(a_1 + b_1 - 1)!}{(a_1 - b_1)!} = \frac{a_1 - kb_1}{a_1 + b_1} \frac{(a_1 + b_1)!}{a_1! b_1!}$$

et comme $a_i - kb_i - 1$ est négatif

$$\frac{a_\Lambda - kb_\Lambda + 1}{a_\Lambda + b_\Lambda - 1} \frac{(a_\Lambda + b_\Lambda - 1)!}{a_\Lambda! (b_\Lambda - 1)!} \ge \frac{a_\Lambda - kb_\Lambda}{a_\Lambda + b_\Lambda} \frac{(a_\Lambda + b_\Lambda)!}{a_\Lambda! b_\Lambda!}$$
d'où il résulte que

$$N(a_1, b_1)A > kB \ge \frac{a_1 - kb_1}{a_1 + b_1} \frac{(a_1 + b_1)!}{a_1! b_1!}$$

Théorème : Si $a \ge kb$ si $k$ est un nombre entier

$$P(a,b)A > kB = \frac{a - kb}{a + b}$$

Si $a \ge kb$ et si $k$ est un nombre quelconque (positif)

$$\frac{a - kb}{a + b} \le P(a,b)A > kB \le \frac{a - jb}{a + b}$$

<table><thead><tr><th>b</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th></tr></thead><tbody><tr><th>1</th><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>2</th><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>3</th><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>4</th><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>5</th><td>1</td><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>6</th><td>1</td><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>7</th><td>1</td><td>4</td><td>3</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>8</th><td>1</td><td>5</td><td>7</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>9</th><td>1</td><td>6</td><td>12</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>10</th><td>1</td><td>7</td><td>18</td><td>12</td><td></td><td></td></tr><tr><th>11</th><td>1</td><td>8</td><td>25</td><td>30</td><td></td><td></td></tr><tr><th>12</th><td>1</td><td>9</td><td>33</td><td>55</td><td></td><td></td></tr><tr><th>13</th><td>1</td><td>10</td><td>42</td><td>88</td><td>55</td><td></td></tr></tbody></table>

Ce tableau donne, en fonction de et de $b$ les valeurs de $N(a,b)A > 2B$

On sait que si $a \ge 2b$

$$N(a,b)A > 2B = \frac{a-2b(a+b)!}{a+b(a!b)!}$$

pour $\theta = 11, a = 9, b = 2$

$$N = \frac{5}{11} \frac{11!}{9! 2!} = 25$$

<table><thead><tr><th>b</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th><th>8</th><th>9</th></tr></thead><tbody><tr><th>1</th><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>2</th><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>3</th><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>4</th><td>1</td><td>3</td><td>3</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>5</th><td>1</td><td>4</td><td>6</td><td>4</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>6</th><td>1</td><td>5</td><td>10</td><td>10</td><td>4</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>7</th><td>1</td><td>6</td><td>15</td><td>20</td><td>14</td><td>4</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>8</th><td>1</td><td>7</td><td>21</td><td>35</td><td>34</td><td>18</td><td>4</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>9</th><td>1</td><td>8</td><td>28</td><td>56</td><td>69</td><td>52</td><td>22</td><td>4</td><td></td><td></td></tr><tr><th>10</th><td>1</td><td>9</td><td>36</td><td>84</td><td>125</td><td>121</td><td>74</td><td>26</td><td></td><td></td></tr><tr><th>11</th><td>1</td><td>10</td><td>45</td><td>120</td><td>209</td><td>246</td><td>195</td><td>100</td><td>26</td><td></td></tr><tr><th>12</th><td>1</td><td>11</td><td>55</td><td>165</td><td>329</td><td>455</td><td>441</td><td>295</td><td>126</td><td>26</td></tr></tbody></table>
Ce tableau donne en fonction de $\theta$ et de b les valeurs de $N(a,b)A > B/4$.
On sait que si $a \ge kb$

$$ \frac{a-kb}{a+b} \frac{(a+b)!}{a! b!} \le N(a,b)A > kb \le \frac{a-jb}{a+b} \frac{(a+b)!}{a! b!} $$

et comme ici $k = \frac{1}{4}$ et $j = 0$

$$ \frac{a-b/4}{a+b} \frac{(a+b)!}{a! b!} \le N(a,b)A > \frac{B}{4} \le \frac{a}{a+b} \frac{(a+b)!}{a! b!} $$

ainsi pour $\theta = 11, a = b, b = 5$

$$ \frac{19}{44} \frac{11!}{6! 5!} \le N(6,5)A > \frac{B}{4} \le \frac{24}{44} \frac{11!}{6! 5!} $$

$$ 199,5 \le N(6,5)A > B/4 \le 252 $$

en réalité $N(6,5)A > \frac{B}{4} = 246$

<table><thead><tr><th>θ</th><th>b</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>3</td><td>1</td><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>4</td><td>1</td><td>4</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>5</td><td>1</td><td>5</td><td>4</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>6</td><td>1</td><td>6</td><td>9</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>7</td><td>1</td><td>7</td><td>15</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>8</td><td>1</td><td>8</td><td>22</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>9</td><td>1</td><td>9</td><td>30</td><td>22</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>10</td><td>1</td><td>10</td><td>39</td><td>52</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>11</td><td>1</td><td>11</td><td>49</td><td>91</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Ce tableau donne en fonction de $\theta$ et de b les valeurs de $N(a,b)A > 3B-4$.
c'est-à-dire les nombres des différents dépouillements qu'il est possible
de constituer avec a bulletins A et b bulletins B et dans lesquels à tout
moment le nombre des bulletins A extraits est à quatre unités près cons-
tamment supérieur à trois fois le nombre des bulletins B extraits.

Il est facile de démontrer que si $a \ge 3b-4$ et b différent de zéro

$$ N(a,b)A > 3B - 4 = \frac{a+4-3b}{a+4+b} \frac{(a+b+4)!}{(A+4)3!} $$

ainsi pour $\theta = 11, a = 8, b = 3$.

$$ N(a,b)A > 3B-4 = \frac{3}{15} \frac{15!}{12! 3!} = 91 $$
LA MÉTHODE DES CASES D'ENTRÉE

Contrairement à la méthode des erreurs qui permet la recherche de
nouvelles formules, la méthode des cases d'entrée est seulement un moyen
de vérification de formules déjà établies censées donner en fonction de
paramètres, θ et b par exemple, les nombres des dépouillements satisfai-
sant toujours telle condition déterminée ou tel ensemble de conditions
déterminées.

Encore est-il nécessaire que ces formules ne soient pas quelconques
mais qu'elles se présentent comme des sommes algébriques de termes de
la forme

$$
\pm \frac{(\theta-1)!}{(b+k)!(\theta-b-k-1)!}
$$

(ou encore de la forme : $\frac{\theta!}{(b+k)!(\theta-b-k)!}$ ce qui revient au même puisque :

$$
\frac{\theta!}{(b+k)! (\theta-b-k)!} = \frac{(\theta-1)!}{(b+k)! (\theta-b-k-1)!} + \frac{(\theta-1)!}{(b+k-1)! (\theta-b-k)!}
$$

Nous savons que les nombres de dépouillements qui satisfont toujours
une condition déterminée ou un ensemble de conditions déterminées peuvent
être calculés de proche en proche à partir d'un nombre générateur : on
établit un tableau en fonction de deux paramètres θ et b par exemple, on
détermine les cases de ce tableau qui correspondent à des couples de
valeurs de θ et de b satisfaisant aux conditions imposées (nous appellerons
surface intérieure la surface de l'ensemble de ces cases, le reste du
tableau formant la surface extérieure), on détermine le ou les nombres
générateurs (qui ne peuvent être que les nombres 1 placés dans les cases
θ = 1, b= 0 et θ = 1, b= 1) enfin on calcule les nombres des dépouillements
favorables pour les différentes valeurs possibles de θ et de b à partir des
résultats de la ligne précédente.

Il nous est toujours possible de composer un deuxième tableau donnant
en fonction des paramètres θ et b les valeurs d'une expression qui serait
la somme algébrique de termes de la forme

$$
\frac{(\theta-1)!}{(b+k)!(\theta-b-k-1)!} \text{ ou de la forme : } - \frac{(\theta-1)!}{(b+k)!(\theta-b-k-1)!}
$$

En effet les valeurs de chacun de ces termes (pour les différentes
valeurs de θ et de b) sont celles d'un triangle de Pascal dont le nombre
générateur est le nombre 1 ou le nombre -1 placé dans la case θ = 1,
b = -k. Il suffirait donc de reproduire un certain nombre de triangles de
Pascal dont les nombres générateurs (+1 ou -1) sont tous placés sur la
ligne θ = 1 et dans des colonnes dépendant des différentes valeurs de k et
de faire le total des nombres qui tombent dans les mêmes cases. Il sera
encore plus simple, après avoir inscrit sur la ligne θ = 1 les nombres
générateurs des différents triangles de calculer les nombres des autres
lignes en commençant par celles qui correspondent aux plus petites valeurs
de θ, un nombre d'une case étant la somme des deux nombres situés sur
la ligne supérieure l'un dans la même colonne et l'autre dans la colonne
immédiatement à gauche.
Sur ce deuxième tableau, nous distinguerons encore une surface intérieure composée exactement des mêmes cases que celles de la surface intérieure du premier tableau et une ou plusieurs surfaces extérieures composées des autres cases.

Il s'agit d'examiner si les nombres placés dans les surfaces intérieures des deux tableaux sont identiques.

Cela se produira lorsque les deux conditions suivantes seront remplies.

1°) Les nombres générateurs situés dans les surfaces intérieures des deux tableaux sont identiques et placés dans les mêmes cases.

2°) Aucun nombre de la surface extérieure du deuxième tableau n'entre en ligne de compte pour le calcul d'un nombre de la surface intérieure du même tableau.

Revenons sur ces deux conditions :

**Première condition** : identité des nombres générateurs situés dans les surfaces intérieures.

Les nombres générateurs du premier tableau sont déterminés directement ; trois solutions à envisager selon que pour $\theta = 1$ les deux dépouillements possibles (celui qui correspond à $b = 0$ et celui qui correspond à $b = 1$) satisfont aux conditions imposées ou qu'un seul de ces dépouillements y satisfait.

Or, le nombre 1 situé dans la case $\theta = 1, b = 0$ est le nombre générateur du triangle de Pascal représentatif de l'expression

$$ \frac{(\theta-1)!}{b!(\theta-b-1)!} $$

Le nombre 1 situé dans la case $\theta = 1, b = 1$ est le nombre générateur du triangle de Pascal représentatif de l'expression :

$$ \frac{(\theta-1)!}{(b-1)!(\theta-b)!} $$

Conclusion : la première condition est vérifiée :

a) si les deux dépouillements ($\theta = 1, b = 0$ et $\theta = 1, b = 1$) sont compatibles avec les conditions imposées et que la formule proposée contient à la fois

les deux termes $\frac{(\theta-1)!}{b!(\theta-b-1)!}$ et $\frac{(\theta-1)}{(b-1)!(\theta-b)!}$ ou ce qui revient au même, le terme $\frac{\theta!}{b!(\theta-b)!}$

b) Si seul le dépouillement $\theta = 1, b = 0$ est compatible et que la formule proposée contient le terme : $\frac{(\theta-1)!}{b!(\theta-b-1)!}$

c) Si seul le dépouillement $\theta = 1, b = 1$ est compatible et que la formule proposée contient le terme : $\frac{(\theta-1)!}{(b-1)!(\theta-b)!}$

**Deuxième condition** : les nombres de la surface extérieure sont sans influence sur ceux de la surface intérieure (deuxième tableau).

Il est facile de déterminer les cases de la surface extérieure dont les nombres entrent directement dans le calcul de ceux de la surface intérieure.
Ce sont celles qui sont situées sur une ligne supérieure immédiatement
au-dessus ou immédiatement à gauche des cases appartenant à la surface
intérieure.

Nous les appellerons des cases d'entrée - d'où le nom de la méthode -
car ce sont elles qui donnent accès à la surface intérieure.

Pour que la deuxième condition soit remplie il importe que les nombres à inscrire dans ces cases soient systématiquement nuls.

Nouvelle démonstration de la formule :

$$N_{A> B-m} = \frac{(a+b)!}{a! b!} - \frac{(a+b)!}{(a+m)!(b-m)!}$$

Cette formule a été établie dans les hypothèses suivantes que nous
conserverons : $b \ge m \ge 1$ et $a \ge b-m$.

Nous n'examinerons pas le cas $b=m=1$ nous supposerons donc $m>1$.
**Etablissement du premier tableau.** Pour $\theta = 1$, les deux dépouillements possibles : un objet de la famille A ou un objet de la famille B sont favorables. Il y aura donc deux nombres générateurs : les nombres 1 placés dans les cases $\theta = 1, b = 0$ et $\theta = 1, b = 1$.

Aucune difficulté pour tracer la ligne de démarcation entre la surface
intérieure et la surface extérieure : d'un côté de cette ligne seront les
cases pour lesquelles $a > b-m$ ou $\theta > 2b-m$, de l'autre côté les autres
cases.

<table><caption>TABLEAU 1

donnant en fonction de $\theta$ et de $b$
les valeurs de $N(a,b)A > B-4$</caption><thead><tr><th>θ</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th></tr></thead><tbody><tr><th>1</th><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>2</th><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>3</th><td>1</td><td>3</td><td>3</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>4</th><td>1</td><td>4</td><td>6</td><td>4</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>5</th><td>1</td><td>5</td><td>10</td><td>10</td><td>4</td><td></td><td></td></tr><tr><th>6</th><td>1</td><td>6</td><td>15</td><td>20</td><td>14</td><td></td><td></td></tr><tr><th>7</th><td>1</td><td>7</td><td>21</td><td>35</td><td>34</td><td>14</td><td></td></tr><tr><th>8</th><td>1</td><td>8</td><td>28</td><td>56</td><td>69</td><td>48</td><td></td></tr><tr><th>9</th><td>1</td><td>9</td><td>36</td><td>84</td><td>125</td><td>117</td><td>48</td></tr><tr><th>10</th><td>1</td><td>10</td><td>45</td><td>120</td><td>209</td><td>242</td><td>165</td></tr></tbody></table>
<caption>TABLEAU 2</caption>

donnant en fonction de $\frac{\theta!}{a! b!}$ et de $\frac{\theta!}{(a+4)!(b-4)!}$ de la somme

<table><thead><tr><th>b<br>θ</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th><th>8</th></tr></thead><tbody><tr><th>1</th><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td>-1</td><td>-1</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>2</th><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td></td><td>-1</td><td>-2</td><td>-1</td><td></td><td></td></tr><tr><th>3</th><td>1</td><td>3</td><td>3</td><td>1</td><td>-1</td><td>-3</td><td>-3</td><td>-1</td><td></td></tr><tr><th>4</th><td>1</td><td>4</td><td>6</td><td>4</td><td>0</td><td>-4</td><td>-6</td><td>-4</td><td>-1</td></tr><tr><th>5</th><td>1</td><td>5</td><td>10</td><td>10</td><td>4</td><td>-4</td><td>-10</td><td>-10</td><td>-5</td></tr><tr><th>6</th><td>1</td><td>6</td><td>15</td><td>20</td><td>14</td><td>0</td><td>-14</td><td>-20</td><td>-15</td></tr><tr><th>7</th><td>1</td><td>7</td><td>21</td><td>35</td><td>34</td><td>14</td><td>-14</td><td>-34</td><td>-35</td></tr><tr><th>8</th><td>1</td><td>8</td><td>28</td><td>56</td><td>69</td><td>48</td><td>0</td><td>-48</td><td>-69</td></tr><tr><th>9</th><td>1</td><td>9</td><td>36</td><td>84</td><td>125</td><td>117</td><td>48</td><td>-48</td><td>-69</td></tr><tr><th>10</th><td>1</td><td>10</td><td>45</td><td>120</td><td>209</td><td>242</td><td>165</td><td>0</td><td>-165</td></tr></tbody></table>

Établissement du deuxième tableau : nous reproduisons la ligne de démar- cation entre la surface intérieure et la surface extérieure. Nous inscrivons les nombres générateurs de $\frac{(a+b)!}{a! b!}$

Ce sont les nombres 1 qui tombent dans les cases $\theta = 1, b = 0$ et $\theta = 1, b = 1$ et de $-\frac{(a+b)!}{(a+m)!(b-m)!}$

Ce sont les nombres -1 qui tombent dans les cases $\theta = 1, b = m$ et $\theta = 1, b = m+1$.

Les nombres générateurs tombant dans les surfaces intérieures des deux tableaux sont identiques, la première condition est donc remplie.

Soient $\theta_\Lambda$ et $b_\Lambda$ les indices d'une case d'entrée.

Deux cas sont à considérer :

- le nombre influencé de la surface intérieure se trouve immédiatement en-dessous et ses indices sont $\theta_\Lambda + 1$ et $b_\Lambda$.

- le nombre influencé de la surface intérieure se trouve sur la ligne suivante et dans la colonne de droite et ses indices sont $\theta_\Lambda + 1$ et $b_\Lambda + 1$.

mais, ce dernier cas ne peut se produire : en effet $\theta$ et $b$ étant les indices d'une case de la surface extérieure

$$ \theta_{\Lambda} \le 2b_{\Lambda} - m $$

et cette inégalité est incompatible avec l'inégalité

$$ \theta_{\Lambda} + 1 > 2b_{\Lambda} - m + 2 $$
qui résulterait du fait que $θ_λ + 1$ et $b + 1$ seraient les indices d'une case de la surface intérieure.

Reste le premier cas :

Nous avons toujours $θ_λ ≤ 2b_λ - m$

et en outre $θ_λ + 1 > 2b_λ - m$

puisque $θ_λ + 1$ et $b_λ$ sont les indices d'une case de la surface intérieure.

Pour que ces deux inégalités soient vérifiées il est nécessaire que $θ_λ = 2b_λ - m$ ou ce qui revient au même $a_λ = b_λ - m$

Mais si $a = b - m$ la différence : $\frac{(a_λ + b_λ)!}{a_λ! b_λ!} - \frac{(a_λ + b)!}{(a_λ + m)! (b_λ - m)!}$ est nulle

Les cases d'entrée ne contiennent donc que des nombres nuls ce qui vérifie la deuxième condition.

### Nouvelle démonstration de la formule

$$N(a,b) = \begin{array}{c|l} A > B - m & \\ B > A - r = \frac{(a+b)!}{a! b!} & - S(a,b) + T(a,b) - U(a,b) + V(a,b) \end{array}$$

Cette formule a été établie dans les hypothèses suivantes que nous conserverons : $a ≥ b - m$, $b ≥ a - r$, $m ≥ 1$ et $r ≥ 1$.

Etablissement du premier tableau. Pour $θ = 1$ les deux dépouillements possibles : un objet de la famille A ou un objet de la famille B sont favorables et il y aura deux nombres générateurs : les nombres 1 placés dans les cases $θ = 1$, $b = 0$ et $θ = 1$, $b = 1$. Il n'y a d'exception que si $m = 1$ auquel cas le nombre générateur est le nombre 1 placé dans la case $θ = 1$, $b = 0$ et si $r = 1$ auquel cas le nombre générateur est le nombre 1 placé dans la case $θ = 1$, $b = 1$. Si $m = r = 1$ il n'y a pas de dépouillement favorable donc aucun nombre générateur.

Aucune difficulté pour tracer les lignes de démarcation entre la surface intérieure et les deux surfaces extérieures ; une ligne marquera la séparation entre les cases pour lesquelles $a > b - m$ ou $θ > 2b - m$ et les autres cases ; une autre ligne marquera la séparation entre les cases pour lesquelles $b > a - r$ ou $θ > 2a - r$ et les autres cases. La surface intérieure sera comprise entre ces deux lignes, les surfaces extérieures de part et d'autre.

### Etablissement du deuxième tableau.
Nous reproduirons les lignes de démarcation entre la surface intérieure et les surfaces extérieures.

Nous inscrivons les nombres générateurs de $\frac{(a+b)!}{a! b!}$ ce sont les nombres 1 qui tombent dans les cases $θ = 1$, $b = 0$ et $θ = 1$, $b = 1$ ainsi que les nombres générateurs de tous les autres termes qui sont de la forme : plus ou moins $\frac{(a+b)!}{(a+h)!(b-h)!}$

Ce sont les nombres 1 ou -1 qui sont à inscrire dans les cases : $θ = 1$, $b = h$ et $θ = 1$, $b = h + 1$.

Nous remarquerons que les nombres générateurs de $\frac{(a+b)!}{a! b!}$ sont tous les deux dans la surface intérieure sauf si $m = 1$ ou le seul nombre géné-
rateur tombant dans la surface intérieure est celui de la case $\theta = 1$, $b = 0$ et si $r = 1$ ou le seul nombre générateur tombant dans la surface intérieure est celui de la case $\theta = 1$, $b = 1$. Si $n = r = 1$ il n'y a pas de surface intérieure.

Il y a donc identité entre les nombres générateurs tombant dans les surfaces intérieures des deux tableaux, la première condition est donc remplie.

Un raisonnement identique à celui qui a été fait pour la démonstration précédente montrerait que les cases d'entrée sont celles pour lesquelles les indices $\theta, b, a$ représentent entre eux une des relations suivantes :

soit $a = b - m$ qui peut s'écrire $\theta = 2b - m$

soit $b = a - r$ qui peut s'écrire $\theta = 2a - r$

Mais si $a = b - m$ la somme $\frac{(a+b)!}{a!b!} - S(a,b) + T(a,b) - U(a,b) + V(a,b)$ est nulle car :

$$T(b-m,b) = U(b-m,b)$$

$$\text{et } S(b-m,b) = \frac{(2b-m)!}{(b-m)!b!} + V(b-m,b)$$

cette somme, pour des raisons analogues est encore nulle si $b = a - r$.

Les cases d'entrée ne contiennent donc que des nombres nuls ce qui vérifie la deuxième condition.

<table><caption>TABLEAU 1</caption><thead><tr><th>θ</th><th>b</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th><th>8</th><th>9</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>2</td><td></td><td>2</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>3</td><td></td><td></td><td>2</td><td>3</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>4</td><td></td><td></td><td></td><td>5</td><td>4</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>5</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>5</td><td>9</td><td>4</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>6</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>14</td><td>13</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>7</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>14</td><td>27</td><td>13</td><td></td><td></td></tr><tr><td>8</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>41</td><td>40</td><td></td><td></td></tr><tr><td>9</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>41</td><td>81</td><td>40</td></tr><tr><td>10</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>122</td><td>121</td></tr><tr><td>11</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>122</td><td>243</td></tr><tr><td>12</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>365</td><td>364</td></tr><tr><td>13</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>365</td><td>729</td></tr><tr><td>14</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>1094</td><td>1093</td></tr></tbody></table>

donnant en fonction de $\theta$ et de $b$ les valeurs de

$$ \begin{array}{c|c} N(a,b) & A > B - 4 \\ & B > A - 2 \end{array} $$
## Nouvelle démonstration de la formule

$$N(a,b)A > kB = \frac{a-kb}{a+b} \frac{(a+b)!}{a!b!} \quad \text{si } a \ge kb \text{ et si } k \text{ est un nombre entier.}$$

Cette formule peut encore s'écrire si b est différent de zéro, ce que nous supposerons :

$$N(a,b)A > kB = \frac{(a+b-1)!}{(a-b)!b!} - k \frac{(a+b-1)!}{a!(b-1)!}$$

Etablissement du premier tableau. Pour $\theta = 1$ un seul dépouillement favorable possible : il faut que ce soit un objet de la famille A qui soit sorti. Donc un seul nombre générateur : le nombre 1 situé dans la case $\theta = 1$, $b = 0$.

Aucune difficulté pour tracer la ligne brisée de démarcation entre la surface intérieure et la surface extérieure : d'un côté de cette ligne seront les cases pour lesquelles $a > kb$ ou $\theta > (k+1)b$, de l'autre côté les autres cases.

Etablissement du deuxième tableau. Nous reproduirons la ligne de démarcation entre les deux surfaces. Nous inscrivons le nombre générateur de $\frac{(a+b-1)!}{(a-1)!b!}$ c'est le nombre 1 placé dans la case $\theta = 1$, $b = 0$ et le nombre générateur de $-k \frac{(a+b-1)!}{a!(b-1)!}$ c'est le nombre $-k$ placé dans la case $\theta = 1$, $b = 1$.

## TABLEAU 1

donnant en fonction de $\theta$ et de $b$ les valeurs de $N(a,b)A > 3B$

<table><thead><tr><th>b<br>θ</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th></tr></thead><tbody><tr><th>1</th><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>2</th><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>3</th><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>4</th><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>5</th><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>6</th><td>1</td><td>2</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>7</th><td>1</td><td>3</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>8</th><td>1</td><td>4</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>9</th><td>1</td><td>5</td><td>4</td><td></td><td></td></tr><tr><th>10</th><td>1</td><td>6</td><td>9</td><td></td><td></td></tr><tr><th>11</th><td>1</td><td>7</td><td>15</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
TABLEAU 2

donnant en fonction de θ et de b les valeurs de la somme

$$ \frac{(a+b-1)!}{(a-1)!b!} - 3 \frac{(a+b-1)!}{a (b-1)!} $$

<table><thead><tr><th>θ</th><th>0</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th><th>8</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>-3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>2</td><td>1</td><td>-2</td><td>-3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>3</td><td>1</td><td>-1</td><td>-5</td><td>-3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>4</td><td>1</td><td>0</td><td>-6</td><td>-8</td><td>-3</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>5</td><td>1</td><td>1</td><td>-6</td><td>-14</td><td>-11</td><td>-3</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>6</td><td>1</td><td>2</td><td>-5</td><td>-20</td><td>-25</td><td>-14</td><td>-3</td><td></td><td></td></tr><tr><td>7</td><td>1</td><td>3</td><td>-5</td><td>-25</td><td>-45</td><td>-39</td><td>-17</td><td>-3</td><td></td></tr><tr><td>8</td><td>1</td><td>4</td><td>0</td><td>-28</td><td>-70</td><td>-84</td><td>-56</td><td>-20</td><td>-3</td></tr><tr><td>9</td><td>1</td><td>5</td><td>4</td><td>-28</td><td>-98</td><td>-154</td><td>-140</td><td>-76</td><td>-23</td></tr><tr><td>10</td><td>1</td><td>6</td><td>9</td><td>-24</td><td>-126</td><td>-252</td><td>-294</td><td>-216</td><td>-99</td></tr><tr><td>11</td><td>1</td><td>7</td><td>15</td><td>-15</td><td>-150</td><td>-378</td><td>-546</td><td>-510</td><td>-315</td></tr></tbody></table>

Il est clair que seul le premier de ces deux nombres générateurs tombe dans la surface intérieure.

Les nombres générateurs tombant dans les surfaces intérieures des deux tableaux sont identiques; la première condition est donc remplie.

Soient $θ_1$ et $b_1$ les indices d'une case d'entrée.

Deux cas sont à considérer :

- le nombre influencé de la surface intérieure se trouve immédiatement en-dessous et ses indices sont $θ_1 + 1$ et $b_1$,

- le nombre influencé de la surface intérieure se trouve sur la ligne suivante et dans la colonne de droite et ses indices sont $θ_1 + 1$ et $b_1 + 1$

mais, ce dernier cas ne peut se produire : en effet, $θ_1$ et $b_1$ étant les indices d'une case de la surface extérieure $θ_\Lambda \le (k+1)b_\Lambda$ et cette inégalité est incompatible avec l'inégalité

$$ θ_\Lambda + 1 > (k+1)b_\Lambda + k $$

Reste le premier cas.

L'inégalité $θ_\Lambda \le (k+1)b_\Lambda$ subsiste

et puisque $θ_\Lambda + 1$ et $b_\Lambda$ sont les indices d'une case intérieure

$$ θ_\Lambda + 1 > (k+1)b_\Lambda $$
Pour que les deux inégalités soient simultanément vérifiées, il est nécessaire que :

$\theta_\lambda = (k+1)b_\lambda$ ou ce qui revient au même : $a_\lambda = kb_\lambda$

Mais si $a = kb$ la différence

$$ \frac{(a_\lambda+b_\lambda-1)!}{(a_\lambda-1)!b_\lambda} - k \frac{(a_\lambda+b_\lambda-1)!}{a_\lambda!(b_\lambda-1)!} \text{ est nulle} $$

Les cases d'entrée ne contiennent que des nombres nuls ce qui vérifie la deuxième condition.

## BIBLIOGRAPHIE

* DUFRESNE, P. : Problèmes de dépouillements. GAZETA de MATEMATICA N° 44 - 45, Septembre 1950 ; N° 46, Décembre 1950 ; N° 47, Mars 1951 ; N° 51, Août 1952 ; N° 54, Avril 1953.