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# Fonctions convexes de polya

D. Dugué, M. Girault

► To cite this version:

D. Dugué, M. Girault. Fonctions convexes de polya. Annales de l'ISUP, 1955, IV (1), pp.3-10. hal-04095154

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Submitted on 11 May 2023

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# FONCTIONS CONVEXES DE POLYA

par

D. DUGUË & M. GIRAULT

Pola y a donné des conditions suffisantes simples pour qu'une fonction $\varphi(t)$ soit une fonction caractéristique (f.c.), (1)

Ces conditions sont les suivantes :

$$ (\text{cond. I}) \quad \left\{ \begin{array}{l} \varphi(t) \text{ réelle, définie continue pour toutes les valeurs réelles de t} \\ \varphi(0) = I \qquad \varphi(-t) = \varphi(t) \\ \lim_{t \to \infty} \text{ pour } t=\infty \text{ de } \varphi(t) = 0 \\ \varphi(t) \text{ convexe pour } t > 0 \end{array} \right. $$

C'est essentiellement cette dernière condition qui fait l'originalité de la catégorie des fonctions et signifie que la courbe représentant $\varphi(t)$ a sa concavité vers le haut ($\Delta\varphi'_{t} \ge 0$ pour $t > 0$). Les f.c. ainsi définies sont dites fonctions convexes.

## DÉMONSTRATION GÉOMÉTRIQUE DU THÉORÈME DE POLYA

Remarquons tout d'abord que si $\varphi(t)$, fonction convexe est f.c., elle définit une répartition continue admettant une densité $f(x)$ puisque $\varphi(\infty)=0$. Cette densité est donnée par la formule de Fourier.

$$ f(x) = \lim_{c \to \infty} \frac{1}{2\pi} \int_{-c}^{+c} e^{-itx} \varphi(t) dt $$

soit en tenant compte de la parité de $\varphi$

$$ (2) = \lim_{c \to \infty} \frac{1}{\pi} \int_{0}^{c} \varphi(t) \cos tx \, dt $$

Il reste à montrer que cette densité n'est jamais négative. La formule (2) montre que $f(x)$ est l'abscisse, dans le plan complexe (et à un

<footnote>(1) Remarks on characteristic functions - Proceedings of the Berkeley Symposium.</footnote>
coefficient positif près) du barycentre de "masses" enroulées sur le cercle trigonométrique. La densité curviligne de ces masses est $\frac{1}{x}\varphi(\frac{\alpha}{x})$ au point de coordonnée angulaire $\alpha = \text{tx}$.

X étant donné, décomposons l'intervalle de variation de t en éléments qui correspondent à l tour sur le cercle trigonométrique à partir de l'originale. Les intervalles partiels sont limités par les valeurs :

$$0, \frac{2\pi}{x}, 2 \frac{2\pi}{x}, \dots, \frac{N \cdot 2\pi}{x}; (N+1) \frac{2\pi}{x} \dots$$

Si t augmente de N. $\frac{2\pi}{x}$ à (N+1)$\frac{2\pi}{x}$, le point correspondant, d'abscisse angulaire tx fait l tour exactement et la densité décrot régulièrement comme le montre la figure 1. Montrons que l'abscisse du centre de gravité partiel de

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig. 1</figcaption></figure>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 2</figcaption></figure>

de ces masses est positif. En effet si l'on réunit ces masses sur le cercle supérieur ; on obtient en 2 points d'abscisses om et op les densités respectives.

$$m_1 + m_2 = 2 \text{ IM}$$

$$p_1 + p_2 = 2 \text{ IP}$$

Si la courbe $y = \varphi(t)$ est toujours convexe du côté de l'axe des t :

$$\text{IM} \ge \text{IP} \text{ si } cm < cp$$

C'est dire que la densité sur $\bar{CD}$ est régulièrement décroissante de C à D et par suite, le centre de gravité de ces masses est sur la partie positive OC.

Cette démonstration rend intuitif le lien entre la convexité de $\varphi(t)$ et le fait que $dF(x)$ soit positif ou nul. Elle montre aussi que la condition d'avoir un centre de gravité général d'abscisse positive, pour toute valeur de $x(\text{condition suffisante})$ est ici réalisée d'une manière particulièrement étroite. Les fonctions convexes sont donc une classe très spéciale de f.c.
**Remarque :** La condition : $\lim. \text{pour } t \to \infty \text{ de } \varphi(t) = 0$ est superflue. Elle peut être remplacée par la condition

$$ \varphi(t) \ge 0 $$

Désignons par (cond. II) le nouvel ensemble d'hypothèses. Si $\varphi(t)$ réalise les cond. I $\varphi_1(t) = p+q \varphi(t)$ est f.c. et réalise les conditions II. (p et q sont des entiers positifs de somme 1).

Réciproquement toute fonction $\varphi_1(t)$ satisfaisant aux conditions II peut se mettre sous la forme $p+q \varphi(t)$ où

$$ \begin{cases} p = \lim_{t \to \infty} q > 0 \text{ et} \end{cases} $$

$\varphi_1(t)$ est positif ou nul
$\varphi(t)$ satisfait aux conditions I

**Cas particulier :**

Un cas particulier très simple de fonctions convexes est constitué par des fonctions $k(\frac{t}{a})$

$$ k(\frac{t}{a}) = 1 - \left|\frac{t}{a}\right| \quad \text{pour } |t| < a $$

$$ k(\frac{t}{a}) = 0 \quad \text{pour } |t| > a $$

Cet exemple avait été donné par Khintchine.

Les fonctions $k(\frac{t}{a})$ jouent en quelque sorte le rôle de fonctions convexes élémentaires car à partir d'elles on peut de plusieurs manières former toutes les fonctions convexes : par mélange de lois et par produit.

## MÉLANGE DE LOIS CONVEXES $k(\frac{t}{a})$

Par mélange d'un nombre fini n de lois convexes ayant pour f.c. $k(\frac{t}{a})$ on obtient des lois ayant pour f.c. :

$$ \varphi(t) = p_1 k\left(\frac{t}{a_1}\right) + \cdots + p_n k\left(\frac{t}{a_n}\right) \\ \text{où } \sum p_n = 1 \quad p_n \ge 0 \text{ et } 0 < a_1 < a_2 < \cdots < a_n $$

On vérifie facilement que $\varphi$ est une f.c. convexe ; c'est un contour polygonal symétrique défini par ses sommets :

$$ t = a_n, \quad y = \varphi(a_n) = 0 $$

$$ t = a_{n-1}, \quad y = \varphi(a_{n-1}) = p_n k\left(\frac{a_{n-1}}{a_n}\right) = p_n\left(1 - \frac{a_{n-1}}{a_n}\right) $$

$$ (3) \quad \begin{aligned} t &= a_{n-2}, \quad y = \varphi(a_{n-2}) = p_{n-1} k\left(\frac{a_{n-2}}{a_{n-1}}\right) + p_n k\left(\frac{a_{n-2}}{a_n}\right) \\ &= p_{n-1}\left(1 - \frac{a_{n-2}}{a_{n-1}}\right) + p_n\left(1 - \frac{a_{n-2}}{a_n}\right) \end{aligned} $$

Réciproquement tout contour polygonal convexe réalisant les conditions I peut être obtenu de cette manière : les valeurs $a_i$ sont les abscisses des sommets et leurs ordonnées déterminent les $p_i$ par les relations (3) prises dans l'ordre indiqué.
On généralise immédiatement ce résultat au cas d'une fonction $\varphi(t)$ à dérivée continue, par limite d'un mélange infini de lois convexes $k(\frac{t}{a})$. Ainsi toute fonction caractéristique convexe est la limite d'un mélange infini de lois à f.c.k(\frac{t}{a})$.

I- Il est facile en utilisant un passage à la limite à partir du procédé précédent, de montrer qu'une loi convexe satisfaisant aux conditions 1 (c'est-à-dire telle que $\varphi(\infty) = 0$) est toujours le produit d'une variable de Khintchine par une autre variable.

En effet, soit $\varphi(x)$ une fonction convexe dont la limite est nulle pour $t$ infini. $\varphi(x)$ a toujours une dérivée à gauche et une dérivée à droite. Apelons $\varphi_G(x)$ la dérivée à gauche. On a en intégrant par partie :

$$ 
\begin{aligned}
& \int_t^{+\infty} \left(1-\frac{t}{x}\right) d\left[1-\varphi(x)+x\varphi'_G(x)\right] = \\
& \lim_{x \to \infty} \left(1-\frac{t}{x}\right) \left[1-\varphi(x)+x\varphi'_G(x)\right] - t \int_t^{+\infty} \frac{1-\varphi(x)+x\varphi'_G(x)}{x^2} dx \\
&= \lim_{x \to \infty} \left(1-\frac{t}{x}\right) \left[1-\varphi(x)+x\varphi'_G(x)\right] + t \left[\frac{1}{x}\right]_t^{+\infty} - t \int_t^{+\infty} \left[\frac{d_G}{dx}\frac{\varphi(x)}{x}\right] dx
\end{aligned}
$$

$\varphi(x) - x\varphi'_G(x)$ est l'ordonnée à l'origine de la tangente à gauche à la courbe $y = \varphi(x)$ au point d'abscisse $x$. Cette quantité est non croissante puisque $\varphi(x)$ est convexe. D'autre part $\varphi(x) - x\varphi'_G(x)$ tend vers 0 quand $x$ augmente indéfiniment puisque $\varphi(\infty) = 0$. De plus $\frac{d_G}{dx}\frac{\varphi(x)}{x}$ étant bornée on a:

$$ \int_t^{+\infty} \frac{d_G}{dx}\left(\frac{\varphi(x)}{x}\right) dx = \left[\frac{\varphi(x)}{x}\right]_t^{+\infty} $$

il en résulte que :

$$ \int_t^{+\infty} \left(1-\frac{t}{x}\right) d\left[1-\varphi(x)+x\varphi'_G(x)\right] = \varphi(t) $$

et finalement en utilisant la fonction $k(t)$ définie plus haut :

$$ \varphi(t) = \int_{0}^{+\infty} k\left(\frac{t}{x}\right) dF(x) \text{ en posant } F(x) = 1 - \varphi(x) + x\varphi'_{G}(x) $$

$F(x)$ non décroissante est telle que $F(0) = 0$ et $F(\infty) = 1$ est une fonction de probabilité totale.

On a, puisque $k(t)$ est fonction caractéristique :

$$ k(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ity} dk(y) \quad \text{Etant une fonction de probabilité totale,} $$
et par suite

$$ \varphi(t) = \int_{0}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{it\frac{x}{\alpha}} dk(y) dF(x) $$

$\varphi(t)$ est la fonction caractéristique du quotient de 2 variables indépendantes, la variable numérateur étant une variable de Khintchine. C'est bien ce qui avait été annoncé.

Dans le même ordre d'idée, si $\varphi(t)$ est une fonction caractéristique convexe et $F(x)$ une loi de probabilité totale, la fonction

$$ \Phi(t) = \int \varphi(tx) dF(x) $$

dont il est bien connu qu'elle est caractéristique est une fonction convexe. En effet, par définition :

$$ \varphi(\alpha t_1 + \beta t_2) < \alpha \varphi(t_1) + \beta \varphi(t_2) \text{ avec } \alpha, \beta > 0 \text{ et } \alpha + \beta = 1 $$

Ce qui entraîne la même inégalité pour $\Phi(t)$

Donc si une variable aléatoire a pour fonction caractéristique une fonction convexe, le produit de cette variable aléatoire par une variable aléatoire indépendante quelconque a aussi pour fonction caractéristique une fonction convexe.

On peut généraliser le résultat sur la variable de Khintchine sous la forme suivante. Si $\varphi(x)$ est une fonction telle que $1 - \varphi(x) + \frac{x}{\alpha} \varphi'_a(x)$ croisse de 0 à 1, quand $x$ varie de 0 à $+\infty$ et si $\alpha$ est un nombre positif inférieur à 1, la variable dont la fonction caractéristique est $\varphi(t)$, est le produit d'une variable dont la fonction caractéristique est $1 - |t|^{\alpha}$ pour $|t| < 1$ et zéro pour $|t| > 1$ par une autre variable indépendante.

C'est la conséquence du fait que par les hypothèses indiquées :

$$ \varphi(t) = \int_{t}^{+\infty} \left[1 - \left(\frac{t}{x}\right)^{\alpha}\right] d \left[1 - \varphi(x) + \frac{x}{\alpha} \varphi'_{a}(x)\right] $$

et que $1 - \varphi(x) + \frac{x}{\alpha} \varphi'_a(x)$ est sur les mêmes hypothèses une loi de probabilité totale.

On voit de cette façon que toutes variables aléatoires dont la fonction caractéristique $1 - |t|^{\alpha}$ pour $|t| < 1$ et $0 < |t| > 1$ sont le produit d'une variable aléatoire dont la fonction caractéristique est $1 - |t|^{\beta}$ pour $|t| < 1$ et $0 < |t| > 1$ ($\alpha$ et $\beta$ étant inférieurs à 1) par une autre v.a. indépendante.

II- Les variables aléatoires ayant pour loi de probabilité des fonctions convexes donnent lieu à ce que nous proposons d'appeler le phénomène de Khintchine (voir par exemple P. Lévy-Théorie d'addition des variables aléatoires p. 194 8°) et qui est le fait que deux variables aléatoires peuvent avoir des fonctions caractéristiques coincidant sur un segment entourant l'origine sans coincider sur tout l'axe réel. C'est à peu près évident, car on peut très bien imaginer 2 fonctions convexes coincidant sur un segment entourant l'origine et distinctes hors de ce segment.
Nous allons établir maintenant le résultat suivant : une fonction $\varphi(t)$ égale à 1 pour $t = 0$, réelle et symétrique, qui dans l'intervalle (oh) est convexe et qui est périodique de période 2 h (voir figure) est une fonction caractéristique.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Il suffira d'établir, si l'on appelle à l'ordonnée minimum de $\varphi(t)$ que $\varphi_1(t) = (1/1-a)(\varphi(t)-a)$ est une fonction caractéristique, car alors (1-a) $\varphi_1(t) + a$ le sera aussi. Considérons la fonction $\varphi_2(t)$ qui coincide avec $\varphi_1(t)$ entre -h et +h et qui est nulle en dehors de cet intervalle. Elle est convexe donc caractéristique d'après le théorème de Polya. On a :

$$ \lim_{c \to \infty} \frac{1}{2\pi} \int_{-c}^{c} e^{itx} \varphi_2(t) dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-h}^{+h} e^{-itx} \varphi_1(t) dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-h}^{+h} \cos tx \varphi_1(t) dt $$

Puisque $\varphi_2(t)$ est une fonction caractéristique l'expression de gauche tend vers une valeur positive ou nulle quel que soit $x$. En particulier pour toutes les valeurs de $x$ de la forme $\frac{2\pi}{2h}$ on a :

$$ A_n = \int_{-h}^{h} \cos \frac{2\pi}{2h} nt \varphi_1(t) dt \geq 0 $$

Or les quantités $\frac{A_n}{h}$ sont les coefficients de Fourier de $\varphi_1(t)$ pris entre -h et +h pour les cosinus ; ceux relatifs aux sinus dans le même intervalle sont nuls à cause de la parité de $\varphi_1(t)$. Or $\varphi_1(t)$ est continue et monotone donc égale à la somme de sa série de Fourier.

Par conséquent :

$$ \varphi_1(t) = \frac{A_0}{2h} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{A_n}{h} \cos \frac{2\pi}{2h} t $$

ce qui montre que $\varphi_1(t)$ est fonction caractéristique. C'est la généralisation pour la loi de Polya de ce qu'avait établi Khintchine pour 1 - (t).

Le produit de deux fonctions caractéristiques de Polya est une fonction caractéristique de Polya. Mais l'axiome de simplification n'est pas valable.

Autrement dit si $\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3$ sont trois fonctions caractéristiques de Polya l'égalité $\varphi_1 = \varphi_2 = \varphi_3$ n'entraine pas $\varphi_2 = \varphi_3$. Il suffit que $\varphi_1$ soit nul pour t supérieur en valeur absolue à h et que $\varphi_2$ et $\varphi_3$ coincident de -h à +h et différent ailleurs.

Donc l'ensemble des lois de Polya n'est pas un semi groupe au sens de l'algébre.
## FORMATION DE f.c. NON CONVEXES A PARTIR DES FONCTIONS K(t/a)

Le produit de composition appliquée à des fonctions définies positives (f.d.p.) permet de construire de nouvelles f.d.p. (Voir M. GIRAULT note aux comptes rendus Ac. Sc. t 237, p 20-22, séance du 6 juillet 1953).

Un cas particulier de ces transformations permet d'énoncer le théorème suivant :

### Théorème

Si $\varphi(t)$ est la f.c. réelle d'une distribution admettant partout une densité :

$$ \Phi(t)=2 \varphi(t) + \varphi(t+h) + \varphi(t-h) $$

est f.d.p. quel que soit h, c'est-à-dire une f.c. à un coefficient positif près.

La densité de la répartition est donnée par :

$$ \text{(4)} \quad \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-itx} \Phi(t) dt \\ \text{or si } \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-itx} \varphi(t) dt = r(x) \ge 0 $$

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-itx} \varphi(t+h) dt = e^{ihx} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i(t+h)x} \varphi(t+h) d(t+h) = e^{ihx} r(x) $$

$$ \text{et de même } \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-itx} \varphi(t-h) dt = e^{-ihx} r(x) $$

$$ \text{L'intégrale (4) vaut donc } 2r(x)(1+\cos hx) \ge 0 $$

Ces calculs ont, comme la démonstration de Polya une interprétation géométrique simple par des considérations de barycentres de masses $\varphi(t)$

Pour obtenir la densité qui correspond à $\Phi(t)$, il faut envisager le barycentre des masses $\varphi(t)$ enroulées sur le cercle trigonométrique.

Soit alors une valeur donnée de $x$ ; $\varphi(t)$ a un barycentre $M$ sur l'axe réel à une distance $r = OM$ du centre. La répartition $\varphi(t+h)$ se déduit de la précédente par une rotation d'angle $hx$ ; son barycentre $M'$ est donc sur un même cercle que $M$ centré à l'origine et $\varphi(t-h)$ a pour barycentre $M''$ sysmétrique de $M'$ toujours sur le même cercle. On est ramené à une répartition de 3 masses + 2 m en $M$, + m en $M'$ et + m en $M''$ dont le centre de gravité est sur la partie positive de l'axe réel.
LES CONTOURS POLYGONAUX DÉFINIS A PARTIR DES COEFFICIENTS DES BINOMES $(a+b)^2$ n SONT DES f.d.p.

On entend par là les fonctions $f_n(t)$ définies par les valeurs suivantes

$$ \text{pour } |t| \ge n+1 \qquad f_n = 0 $$

$$ \text{pour } t = \pm n \qquad f_n = C_{2n}^0 = 1 $$

$$ \text{pour } t = \pm n-k \qquad f_n = C_{2n}^k \text{ k entier positif inférieur ou égal à } n $$

La fonction $f_n$ est interpolée linéairement entre ces valeurs.

Soit la fonction $F_0$ de ce type définie par les valeurs 0,1,0 pour $t = -1,0,+1$ c'est la fonction convexe $k(t)$ et formons

$$ F_1 = 2 F_0(t) + F_0(t+1) + F_0(t-1) $$

elles prennent successivement les valeurs :

$$ \begin{array}{c c c c c} F_0 (t-1) & 0 & 1 & 0 & \\ 2 F_0 (t) & & 0 & 2 & 0 \\ F_0 (t+1) & & & 0 & 1 \underline{\quad 0} \\ F_1 & 0 & 1 & 2 & 1 \underline{\quad 0} \end{array} $$

Puis à partir de $F_1$ on peut former :

$$ F_2 = F_1(t-1) + 2 F_1(t) + F_1(t+1) $$

dont les valeurs successives sont :

$$ \begin{array}{c c c c c c} 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & \\ 0 & 2 & 4 & 2 & 0 & \\ 0 & 1 & 2 & 1 & 0 & \\ \hline F_2 & 0 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \end{array} $$

coefficients du développement de $(a+b)^4$

On reconnaît dans ce procédé la formation des coefficients successifs du binôme pour des ordres 2 n pairs, car en effet :

$$ C_{n+2}^p = C_n^{p-2} + 2 C_n^{p-1} + C_n^p $$

Donc tous ces contours polygonaux représentent des f.d.p. et si, par affinité on rend $F(0)$ : 1 ce sont des fonctions caractéristiques, dont aucune à partir de $F_2$ n'est convexe.

Si n tend vers l'infini, la fonction $\varphi(t) = \frac{\sqrt{n\pi}}{2^{2n}} F_n \frac{t}{\sqrt{n}}$ tend vers la f.c. d'une loi normale. Ce qui démontre directement que $e^{-t^2}$ est une fonction caractéristique.