# Simulation numérique par éléments finis de la croissance cristalline

Benoit Serre, Claire Maurice, Roland Fortunier

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Benoit Serre, Claire Maurice, Roland Fortunier. Simulation numérique par éléments finis de la croissance cristalline. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01813009

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Submitted on 12 Jun 2018

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Simulation numérique par éléments finis de
la croissance cristalline

Benoit Serre*, Claire Maurice*, Roland Fortunier**

* Département MMF, Centre SMS, ENSM-SE,
158, cours Fauriel, 42023 Saint-Étienne cedex 2 – France
{serre,maurice}@emse.fr

** Département PS2, Centre CMP-GC, ENSM-SE,
Avenue des Anémones, 13541 Gardanne – France
fortunier@emse.fr

RÉSUMÉ. Les propriétés mécaniques des matériaux granulaires dépendent en grande partie de leur microstructure. C'est pourquoi, il est intéressant de connaître et d'influencer leur évolution pour anticiper les propriétés finales de ces matériaux. Pour cela, nous avons développé dans le logiciel Z-set un modèle éléments finis de croissance cristalline. Ce modèle étudie le mouvement des joints de grains qui sont des interfaces entre deux réseaux cristallins d'orientations différentes. Dans notre cas, ce mouvement suit une dynamique de croissance normale. Enfin, nous avons testé ce modèle pour un joint de grain unique et sphérique.

ABSTRACT. The microstructure of granular material have a large influence on the mechanical properties. As a consequence, it is interesting to know and to monitor their evolution to anticipate the final properties of these materials. Then, we have developed a finite elements model of crystal growth in the Z-set software. This model predicts the motion of grain boundaries as interfaces between two crystal lattices with different orientations. In this model, the motion corresponds to normal grain growth. A working example is finally used to validate this model: a single spherical grain boundary.

MOTS-CLÉS : Croissance de grain, joints de grain, éléments finis, croissance normale, Z-set

KEYWORDS: Grain growth, grain boundary, finite elements, normal growth, Z-set
# 1. Introduction

La microstructure des matériaux granulaires peut être décrite comme un assemblage de cristaux de dimension finie et d'orientation particulière, appelés « grains ». Ils sont séparés, deux à deux, par des « joints de grains ». Ces joints possèdent une énergie surfacique due à la désorientation cristalline des grains. Sous l'effet de la température par exemple, les joints chercheront à minimiser leur surface et donc l'énergie globale de la microstructure. Suite aux travaux de [BUR 52] et de [TUR 51], la vitesse locale du joint sera normale et proportionnelle à une pression motrice elle-même reliée par une relation linéaire à la somme des courbures locales. A l'aide de ces hypothèses, une relation peut être établie entre la vitesse normale $v_n$ et la somme des courbures $\kappa$ du joint.

$$v_n = m\gamma\kappa \quad [1]$$

Le coefficient $m$ est la mobilité du joint et $\gamma$ est son énergie libre surfacique. Le mouvement des joints entraîne une évolution de la taille des grains, certains grossiront au détriment d'autres. On parle alors de croissance cristalline.

Les caractéristiques des grains (forme, taille, orientation, ...) ont une forte influence sur leurs propriétés globale du matériaux. Il est donc intéressant de pouvoir prévoir et de piloter l'évolution de sa microstructure. Plusieurs modèles existent déjà pour simuler la croissance cristalline ([COU 03], [KUP 00], [WEY 98]). Toutefois, le caractère tridimensionnel de l'évolution n'est pas souvent pris en compte et les outils développés ne permettent que difficilement l'incorporation de modèles physiques supplémentaires. De plus, ces outils profitent rarement de la puissance et de la modularité des codes de calcul aux éléments finis.

Dans ce document, nous décrivons les premières étapes de la mise en place dans le code éléments finis Z-set d'un modèle tridimensionnel d'évolution de la microstructure par croissance cristalline. Dans un premier temps, nous donnons les équations de base de ce modèle. Ensuite, nous validons l'implémentation de ces équations dans Z-set par l'étude d'un cas test simple : l'évolution d'un joint de grain sphérique.

# 2. Construction d'un modèle éléments finis de croissance de grains

## 2.1. Equation du mouvement

Pour établir notre modèle, nous nous basons sur le modèle de [KAW 89] qui décrit le mouvement des joints par un mouvement dans un milieux visqueux. L'énergie dissipé par les joints provient de la réduction de l'énergie de surface. Cette dernière notée $L$ est l'intégrale de l'énergie libre surfacique $\gamma$ sur toute la surface du joint : $L = \int_S \gamma ds$. De plus, pour traduire le frottement visqueux du joint sur les réseaux cristallins, on introduit un potentiel dissipatif de Rayleigh : $D = \int_S \frac{v_n^2}{2m} ds$. Ainsi,
la formulation variationnelle de l'équation de Lagrange pour les systèmes dissipatifs associée à un maillage de n noeuds s'écrit sous la forme suivante :

$$ \sum_{i=1}^{n_v} \left( \frac{\partial D}{\partial \mathbf{v}_i} + \frac{\partial L}{\partial \mathbf{x}_i} \right) \delta \mathbf{v}_i = 0 \quad \forall \mathbf{v}_i \text{ CA} \qquad [2] $$

Dans le cas d'un joint de grain isolé, l'hypothèse de vitesse normale est valable pour tous les noeuds : $\mathbf{v}_i = v_{n_i} \mathbf{n}_i$. La normale au noeud $\mathbf{n}_i$ est calculée comme la moyenne des produits entre les normales et les surfaces des éléments auxquels appartient le noeud. Dans ce cas, nous avons à résoudre pour l'ensemble des noeuds $i$ sans conditions cinématiques :

$$ \frac{\partial D}{\partial \mathbf{v}_i} \cdot \mathbf{n}_i + \frac{\partial L}{\partial \mathbf{x}_i} \cdot \mathbf{n}_i = 0 \quad \forall i \in [1, n_v] \qquad [3] $$

## 2.2. Forces et viscosités élémentaires

Les grandeurs globales que sont le potentiel dissipatif (D) et l'énergie libre (L) peuvent être écrites sous la forme de sommes de grandeurs élémentaires. Pour chaque élément, nous avons alors un potentiel dissipatif noté $D^e$ et une énergie libre notée $L^e$. Si nous nous plaçons dans le cas d'un élément plan à $k$ noeuds et de normale $\mathbf{n}^e$, le calcul des quantités élémentaires donne :

$$ \frac{\partial L^e}{\partial \mathbf{x}_i} \cdot \mathbf{n}_i = \frac{1}{2} \gamma [(\mathbf{x}_{i+1} - \mathbf{x}_{i+k-1}) \wedge \mathbf{n}^e] \cdot \mathbf{n}_i \qquad [4] $$

$$ \frac{\partial D^e}{\partial \mathbf{v}_i} \cdot \mathbf{n}_i = \sum_{j=1}^{k} \left[ \int_{S^e} \frac{1}{m} (N_i \mathbf{n}_i \cdot \mathbf{n}^e) (N_j \mathbf{n}_j \cdot \mathbf{n}^e) ds^e \right] v_{nj} \qquad [5] $$

L'équation 4 est homogène à une force, on notera alors $f_{n_i}^e = -\frac{\partial L^e}{\partial \mathbf{x}_i} \cdot \mathbf{n}_i$. $f_{n_i}^e$ est la force motrice générée par l'élément $e$ au noeud $i$. Cette force est nulle si la normale au noeud est colinéaire à celle de l'élément, c'est-à-dire quand la partie du joint contenant cet élément est plane.

De plus, on note $a_{ij}^e = \int_{S^e} \frac{1}{m^e} (N_i \mathbf{n}_i \cdot \mathbf{n}^e) (N_j \mathbf{n}_j \cdot \mathbf{n}^e) ds^e$. Ce terme est la viscosité vue par l'élément $e$ dans la direction définie par les noeuds $i$ et $j$.
## 2.3. Résolution et implémentation de notre modèle dans le code Z-set

A partir des grandeurs élémentaires $a_{ij}^e$ et $f_{n_i}^e$, on construit un système matri-
ciel constitué d'une matrice de viscosité $[A(t)]$ et d'un vecteur des forces extérieures
$\{F(t)\}$, $[A(t)]$ et $\{F(t)\}$ dépendent du temps car ils sont fonctions de la géométrie du
joint étudié. On note aussi $\{V_n\}$ le vecteur des vitesses normales aux noeuds. Ainsi, à
chaque instant, pour connaître le champs de vitesse des noeuds, nous devons résoudre :

$$[A(t)]\{V_n\} = \{F(t)\} \qquad [6]$$

Une méthode explicite d'Euler est utilisée pour intégrer les positions au cours du temps. Entre $t$ et $t + \Delta t$, la vitesse des noeuds est supposée constante et égale à celle calculée à l'instant $t$. Le déplacement de chaque noeud $i$ du maillage, entre $t$ et $t + \Delta t$, sera écrit sous la forme : $\mathbf{u}_i(t + \Delta t) = v_{n_i}(t)\mathbf{n}_i\Delta t$.

Pour mieux suivre l'évolution de notre structure, le pas de temps $\Delta t$ est réajusté automatiquement. Ce pas de temps est choisi tel que le déplacement de chaque noeud $i$ ne soit pas trop important par rapport aux dimensions de l'ensemble des éléments $e$ contenant ce noeud. Après le calcul des vitesses normales, nous déterminons un pas de temps respectant l'équation suivante : $|v_{n_i}|\Delta t = \beta\sqrt{S^e}$. Le choix du paramètre $\beta$ doit permettre de conserver une évolution stable de la structure. Finalement, nous avons implémenté ce modèle éléments finis de croissance cristalline ainsi que le contrôle automatique du pas de temps dans le code Z-set.

# 3. Etude d'un cas test : un joint de grain sphérique

## 3.1. Solution analytique

Pour vérifier le comportement de ce modèle, nous avons décidé de le tester dans un cas où une solution analytique existe. Si nous nous plaçons dans le cas d'un joint de grain isolé et sphérique, sa vitesse normale peut être calculée analytiquement.

Si $R(t)$ est le rayon du joint, l'équation 1 donne pour la vitesse normale du joint :
$$\forall t \quad V(t) = m\gamma \frac{2}{R(t)}$$

Aussi, la vitesse normale sera l'opposé de la dérivée du rayon par rapport au temps pour avoir une réduction de la surface. Nous obtenons alors une équation différentielle du premier ordre. Si on appelle $R_0$ le rayon initial de notre joint sphérique, les solutions sont :

$$V(t) = \frac{2m\gamma}{\sqrt{R_0^2 - 4m\gamma t}} \quad \text{et} \quad S(t) = 4\pi(R_0^2 - 4m\gamma t) \qquad [7]$$
Nous pouvons noter que l'évolution de la surface est linéaire en temps ce qui permet de déterminer l'intervalle de temps nécessaire au joint pour se placer à l'équilibre, c'est-à-dire quand sa surface est nulle.

## 3.2. Comparaison avec les résultats numériques

Pour limiter le nombre de degrés de libertés, nous avons maillé un huitième de sphère. De plus, nous imposons aux normales des noeuds situés sur les bords de rester dans des plans particuliers. Ainsi, les sommets qui appartiennent à deux bords ont des normales imposées car elles appartiennent à deux plans.

Les résultats présentés ont été obtenue avec un maillage composé de 64 éléments isoparamétriques surfaciques à trois noeuds à interpolation linéaire. La figure 1 donne l'évolution du joint sphérique au cours du temps.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 1.** Evolution d'un joint sphérique composé de 64 éléments</figcaption></figure>

Nous remarquons que la sphère se déforme de manière homothétique. Le caractère sphérique du joint est conservé. Si nous regardons plus précisement la distribution des vitesses normales au joint, l'écart entre les vitesses nodales et la vitesse moyenne ne dépasse pas 0,5% sauf à l'état initial pour les vitesses des sommets du joints. Dans ce dernier cas, l'écart est de l'ordre de 2,5%. Ainsi, la vitesse du joint est alors déduite à partir de celle d'un seul noeud.

Pour comparer nos résultats avec la solution analytique, nous pourrions regarder l'évolution de la vitesse du joint au cours du temps. Mais, l'évolution de la surface du joint est plus intéressante car elle doit être linéaire. Celle-ci est donnée sur la figure 2 dans le cas d'un calcul avec réajustement du pas de temps.

Nous remarquons que la surface évolue bien linéairement. De plus, l'écart entre la solution numérique et analytique reste constant. Il est égal à l'erreur faite, à l'origine, lors du calcul de la surface maillée par rapport à celle trouvée analytiquement. Cependant, on a arrêté le calcul avant d'obtenir une surface nulle. En effet, si la surface tend vers 0 alors la vitesse diverge et le pas de temps est limité par une valeur minimale. Dans ce cas, la stabilité de notre méthode n'est plus assurée.
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 2.** *Evolution de la surface d'un huitième de sphère*</figcaption></figure>

**4. Conclusions et perspectives**

Nous avons développé un modèle éléments finis de croissance de joint de grain.
Celui-ci a été implémenté dans le code Z-set et a été vérifié dans le cas d'un joint
unique et sphérique.

Cependant, pour passer du joint unique à une microstructure, il faudra que l’on
soit capable de gérer la connectivité de joints, de traiter des conditions périodiques.
De plus, il faudra prévoir la disparition de joint ce qui nécessitera de remailler notre
structure.

**5. Bibliographie**

[BUR 52] BURKE J. E., TURNBULL D., « Recrystallization and grain growth », *Progress in Metal Physics*, vol. 3, 1952, p. 220-244.

[COU 03] COUTURIER G., MAURICE C., FORTUNIER R., « Three-dimensional finite-element simulation of Zener pinning dynamics », *Philosophical Magazine*, vol. 83, n° 30, 2003, p. 3387-3405.

[KAW 89] KAWASAKI K., NAGAI T., NAKASHIMA K., « Vertex models for two-dimesional grain growth », *Phil. Mag. B*, vol. 60, 1989, p. 399-421.

[KUP 00] KUPRAT A., « Modeling Microstructure Evolution Using Gradient-Weighted Moving Finite Elements », *SISC*, vol. 22, 2000, page 535.

[TUR 51] TURNBULL D., « Theory of grain migration rates », *Transactions of the Metallurgical Society of AIME*, vol. 191, 1951, p. 661-665.

[WEY 98] WEYGAND D., BRÉCHET Y., LÉPINOUX J., « A vertex dynamics simulation of grain growth in two dimensions », *Philosophical Magazine B*, vol. 78, n° 4, 1998, p. 329-352.
# Annexe pour le service de fabrication

## Article pour les actes :

Giens 2005

## Auteurs :

Benoit Serre*, Claire Maurice*, Roland Fortunier**

## Titre de l'article :

Simulation numérique par éléments finis de la croissance cristalline

## Titre abrégé :

Simulation de la croissance cristalline

## Traduction du titre :

Numerical simulation by finite elements of cristal growth

## Date de cette version :

15 février 2005

## Coordonnées des auteurs :

- téléphone : +33.64.77.42.02.73

- télécopie : +33.64.77.42.02.49

- Email : serre@emse.fr

## Logiciel utilisé pour la préparation de cet article :

LATEX, avec le fichier de style article-hermes.cls,
version 1.10 du 1999/03/24.

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