# Éloges des lauréats du congrès international des mathématiciens de 2022

Nicolas Bacaër, Patrick Cégielski, Antoine Chambert-Loir, Aurélien Djament, Emeric Gioan, Rémy Mahfouf

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

## To cite this version:

Nicolas Bacaër, Patrick Cégielski, Antoine Chambert-Loir, Aurélien Djament, Emeric Gioan, et al. Éloges des lauréats du congrès international des mathématiciens de 2022. 2024. hal-04825660

HAL Id: hal-04825660

https://hal.science/hal-04825660v1

Submitted on 8 Dec 2024

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
# ÉLOGES DES LAURÉATS DU CONGRÈS INTERNATIONAL DES MATHÉMATICIENS DE 2022

Traduits par Nicolas BACAËR

avec l'aide de Patrick CÉGIELSKI, Antoine CHAMBERT-LOIR, Aurélien DJAMENT, Emeric GIOAN, Rémy MAHFOUF...

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
<figure><img src="image_4.png" /></figure>
ÉLOGES DES LAURÉATS
DU CONGRÈS INTERNATIONAL
DES MATHÉMATICIENS DE 2022

Traduits par Nicolas BACAËR

avec l'aide de Patrick CÉGIELSKI, Antoine CHAMBERT-LOIR, Aurélien DJAMENT, Emeric GIOAN, Rémy MAHFOUF...
Textes sources :

www.mathunion.org ou dx.doi.org/10.4171/ICM2022

BELIAEV (Dmitry) et SMIRNOV (Stanislav), *International Congress of Mathematicians 2022*, vol. I, Berlin, EMS Press, 2023.

© 2023 Union mathématique internationale

Les textes ont été traduits automatiquement avec le logiciel DeepL puis
relus et corrigés.

Pour la traduction :

Nicolas BACAËR

(Institut de recherche pour le développement, Bondy)

nicolas.bacaer@ird.fr

→ relecture des textes sur Maryna Viazovska et Nikolaï Andreïev

Patrick CÉGIELSKI

(Université Paris-XII, Fontainebleau)

→ relecture du texte sur Mark Braverman

Antoine CHAMBERT-LOIR

(Université Paris-Cité)

→ relecture du texte sur June Huh

Aurélien DJAMENT

(Centre national de la recherche scientifique, Villetaneuse)

→ relecture du texte sur Barry Mazur

Emeric GIOAN

(Centre national de la recherche scientifique, Montpellier)

→ relecture du texte sur June Huh

Rémy MAHFOUF

(Université de Genève)

→ relecture du texte sur Hugo Duminil-Copin

Couverture : médaille Fields (Archimède et une citation en latin de Marcus Manilius « S'élever au-dessus de soi-même et conquérir le monde »).

Paris, Licence CC-BY-4.0

Dépôt légal : janvier 2025

ISBN : 979-10-426-5384-2
# Introduction

> « Si celui dont j'étudie la langue ne respecte pas la mienne, parler sa langue cesse d'être un geste d'ouverture, il devient un acte d'allégeance et de soumission. »

Amin MAALOUF, *Les Identités meurtrières*

Les 5 940 pages des actes du congrès international des mathématiciens de 2022 ont été publiées en décembre 2023 par l'Union mathématique internationale et les presses de la Société mathématique européenne en accès libre au format PDF sous licence Creative Commons CC-BY-4.0 (« attribution »). Cela signifie que l'on peut utiliser librement ces textes à condition simplement de citer les noms des auteurs. Il est possible en particulier de les traduire en français. Certains fichiers sources en LATEX sont par ailleurs disponibles sur le site arXiv, ce qui évite notamment d'avoir à retaper les formules mathématiques. On peut enfin utiliser un traducteur automatique tel que DeepL pour accélérer la traduction. Mais il faut évidemment relire pour s'assurer que les termes techniques ont été bien traduits, ce qui n'est pas toujours facile puisque ce congrès international rapporte les avancées de la recherche les plus récentes.

On trouvera dans ce recueil les traductions des éloges des lauréats de la médaille Fields, de la médaille de l'abaque, de la médaille Chern, du prix Gauss et du prix Llāvati. Ces éloges se trouvent dans le premier volume des actes (p. 26-162). Rappelons que certains textes de vulgarisation « grand public », qui figurent également dans ce premier volume (p. 548-570), ont déjà été traduits en français dans un autre recueil<fnref n="1" />.

Des hyperliens renvoient vers des articles de Wikipédia à la première apparition d'un terme ou d'un nom dans le recueil. La liste de ces hyperliens figure en index. Les renvois à une partie d'un article et non à un article complet apparaissent en italique dans l'index.

Pour éviter d'avoir des dizaines de pages de bibliographie, on a limité les références au minimum nécessaire pour pouvoir les retrouver.

<footnote n="1">1. *Les lauréats des prix de l'Union mathématique internationale* (1998-2022), hal.science/hal-04491414.</footnote>
Dans un esprit un peu similaire à ce recueil, on rappelle l'existence
des cinq volumes de *Leçons de mathématiques d'aujourd'hui*, publiés entre
2000 et 2019 par les éditions Cassini.

On remercie Jean-Louis Colliot-Thélène pour la relecture du texte
sur James Maynard, Rupert Frank et Mathieu Lewin pour celle du texte
sur Elliott Lieb, ainsi que Pierre McKenzie pour les précisions apportées
pour la traduction de certains termes dans le texte sur Mark Braverman.

Nicolas BACAËR
Paris, décembre 2024
# Sommaire

<table><tbody><tr><td><strong>Les travaux d'Hugo Duminil-Copin (par Martin HAIRER)</strong></td><td><strong>1</strong></td></tr><tr><td>1 Introduction</td><td>1</td></tr><tr><td>1.1 La percolation de Bernoulli</td><td>3</td></tr><tr><td>1.2 Le modèle d'Ising</td><td>6</td></tr><tr><td>1.3 Une vue d'ensemble</td><td>8</td></tr><tr><td>2 (Dis)continuité des transitions de phase</td><td>10</td></tr><tr><td>3 Trivialité de Φ<sub>4</sub><sup>4</sup></td><td>16</td></tr><tr><td>4 Invariance par rotation pour les modèles FK critiques</td><td>23</td></tr><tr><td>Bibliographie</td><td>28</td></tr><tr><td><strong>Les travaux de June Huh (par Gil KALAI)</strong></td><td><strong>30</strong></td></tr><tr><td>1 Graphes, polynômes chromatiques et conjecture de Read</td><td>32</td></tr><tr><td>1.1 La conjecture des quatre couleurs et les polynômes chromatiques</td><td>32</td></tr><tr><td>1.2 La conjecture de Read</td><td>33</td></tr><tr><td>2 Les matroïdes et la conjecture de Heron-Rota-Welsh</td><td>34</td></tr><tr><td>2.1 Les matroïdes</td><td>34</td></tr><tr><td>2.2 Des graphes aux matroïdes</td><td>35</td></tr><tr><td>2.3 Fonction rang, polynômes caractéristiques et conjecture de Heron-Rota-Welsh</td><td>36</td></tr><tr><td>3 La conjecture de Dowling-Wilson</td><td>38</td></tr><tr><td>3.1 Le contexte : les théorèmes de De Bruijn-Erdős, Motzkin, Greene et la démonstration par l'algèbre linéaire de Ryser</td><td>38</td></tr><tr><td>3.2 Démonstration de la conjecture de Dowling-Wilson</td><td>40</td></tr><tr><td>4 Le lien avec la théorie de Hodge et la géométrie algébrique</td><td>40</td></tr><tr><td>4.1 Trois idées fondamentales et autres ingrédients de la démonstration de la conjecture de Heron-Rota-Welsh</td><td>40</td></tr><tr><td>4.2 Dualité de Poincaré, théorème de Lefschetz difficile et relations de Hodge-Riemann</td><td>42</td></tr><tr><td>5 Conjecture forte de Mason (sur les nombres d'indépendants), développements associés et applications</td><td>43</td></tr><tr><td>5.1 La conjecture de Mason et ses versions forte et ultra-forte</td><td>43</td></tr><tr><td>5.2 La conjecture de Mihail-Vazirani</td><td>44</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td>9 La conjecture de Fontaine-Mazur</td><td>128</td></tr><tr><td>10 Déformations des représentations galoisiennes</td><td>128</td></tr><tr><td>11 Géométrie diophantienne</td><td>129</td></tr><tr><td>12 Systèmes d'Euler et domaines connexes</td><td>130</td></tr><tr><td>13 Vulgarisation</td><td>131</td></tr><tr><td>14 Un mentor</td><td>132</td></tr><tr><td>Bibliographie</td><td>132</td></tr><tr><td><strong>Les travaux d'Elliott Lieb (par Rupert L. FRANK)</strong></td><td><strong>137</strong></td></tr><tr><td>1 Les systèmes quantiques coulombiens</td><td>138</td></tr><tr><td>1.1 La stabilité de la matière</td><td>139</td></tr><tr><td>1.2 L'existence de la limite thermodynamique pour la matière réelle avec des forces coulombiennes</td><td>141</td></tr><tr><td>1.3 Le modèle de Thomas-Fermi et la théorie de la fonctionnelle de la densité</td><td>142</td></tr><tr><td>1.4 Les inégalités de Lieb-Thirring</td><td>144</td></tr><tr><td>1.5 Le problème de l'ionisation</td><td>146</td></tr><tr><td>1.6 Les systèmes bosoniques</td><td>148</td></tr><tr><td>2 Les inégalités fonctionnelles</td><td>148</td></tr><tr><td>2.1 Le théorème de concavité de Lieb et la sous-additivité forte</td><td>149</td></tr><tr><td>2.2 Les inégalités de Brascamp-Lieb</td><td>150</td></tr><tr><td>2.3 L'inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev optimale</td><td>151</td></tr><tr><td>3 Sujets non couverts</td><td>153</td></tr><tr><td>Bibliographie</td><td>155</td></tr><tr><td><strong>Nikolaï Andreïev et l'art de l'animation mathématique et de la construction de modèles (par Tadashi TOKIEDA)</strong></td><td><strong>157</strong></td></tr><tr><td>Bibliographie</td><td>159</td></tr><tr><td><strong>Index</strong></td><td><strong>160</strong></td></tr></tbody></table>
# Les travaux d'Hugo Duminil-Copin
(par Martin HAIRER)

La dernière décennie a vu d'énormes progrès dans notre compréhension du comportement de nombreux modèles probabilistes au voisinage du « point critique ». Le 5 juillet 2022, Hugo Duminil-Copin a reçu la médaille Fields pour le rôle crucial qu'il a joué dans un bon nombre de ces développements. Dans ce court article de synthèse, nous tenterons de replacer ses travaux dans leur contexte et de présenter une petite sélection de ses résultats.

## 1 Introduction

Hugo Duminil-Copin s'est vu décerner la médaille Fields à Helsinki lors de la cérémonie d'ouverture du congrès international des mathématiciens virtuel de 2022. Dans cette courte note, je vais essayer de replacer son travail dans son contexte et de donner au lecteur un aperçu des raisons pour lesquelles les questions qu'il aborde sont non seulement très intéressantes d'un point de vue purement mathématique, mais contribuent également à approfondir notre compréhension de la nature à un niveau fondamental. Je commencerai tout d'abord par un avertissement. Hugo Duminil-Copin est un mathématicien avec une capacité extraordinaire à résoudre des problèmes. Bien que ses centres d'intérêt s'inscrivent clairement dans le domaine général de la théorie des probabilités et se focalisent en particulier sur les problèmes probabilistes qui se posent lors de l'étude de modèles microscopiques en physique statistique, je ne serai pas en mesure de rendre justice à l'ampleur de ses contributions. En outre, mon propre domaine d'expérimente est quelque peu tangent à celui de Duminil-Copin, de sorte que cette note doit être considérée comme le point de vue d'une personne extérieure intéressée. En particulier, toute représentation erronée de ses résultats ou de ses techniques sera entièrement due à ma propre ignorance.

Au sens large, la physique statistique classique peut être considérée comme l'étude du comportement global des « grands » systèmes (de

<footnote>HAIRER (Martin), « The work of Hugo Duminil-Copin », dans *Proc. Int. Cong. Math. 2022*, vol. I, p. 26-49. DOI 10.4171/ICM2022/210</footnote>
« taille » N ≫ 1) qui sont constitués de nombreux « petits » sous-systèmes identiques qui interagissent les uns avec les autres. On indexe généralement les sous-systèmes par un ensemble discret $\Lambda_N$ avec $\lim_{N \to \infty} |\Lambda_N| = \infty$ et l'on s'intéresse aux quantités qui sont stables lorsque $N \to \infty$. Dans de nombreux cas intéressants, on a $\Lambda_N \subset \Lambda$, où $\Lambda$ est un sous-ensemble discret de l'espace euclidien (typiquement un réseau régulier). Ses éléments s'interprètent comme les positions physiques du sous-système correspondant. L'interaction entre les sous-systèmes peut alors dépendre de leurs positions. Dans la plupart des modèles, ils ne dépendent en fait que de leurs positions relatives, une notion qui se généralise très bien aux positions qui prennent des valeurs dans des espaces symétriques plus généraux.

Notons S l'espace d'état d'un seul de ces sous-systèmes. L'espace d'état du système complet est $S_N \stackrel{\text{def}}{=} S^{\Lambda_N}$. En physique statistique à l'équilibre, nous supposons en outre que S est muni d'une mesure de probabilité de « référence » $\mu$ (il faut penser à $\mu$ comme à une mesure de comptage normalisée si S est un ensemble fini, une mesure de volume normalisée s'il s'agit d'une variété compacte, etc.) et que notre système est décrit par une fonction d'énergie $H^{(N)}: S_N \to \mathbb{R}$, qui comprend généralement une contribution de chaque sous-système, ainsi que des termes d'interaction supplémentaires. En toute généralité, on obtiendrait quelque chose comme

$$H^{(N)}(\sigma) = \sum_{A \subset S_N} H_A(\sigma_A), \quad (1)$$

où $\sigma_A$ désigne la restriction de $\sigma \in S^{\Lambda_N}$ à $S^A$, et où la fonction $H_A$ ne dépend généralement que de la « forme » du sous-ensemble A et vérifie donc les propriétés naturelles d'invariance par translation et éventuellement par réflexion ou rotation discrète. Dans de nombreux modèles classiques, les seuls termes non nuls dans (1) sont ceux avec $|A| \le 2$.

Étant donné une telle fonction d'énergie, nous obtenons une mesure de probabilité $\mu_{\beta,N}$ sur $S_N$ en posant

$$\mu_{\beta,N}(d\sigma) = Z_{\beta,N}^{-1} \exp(-\beta H^{(N)}(\sigma)) \prod_{u \in \Lambda_N} \mu(d\sigma_u), \quad (2)$$

où $Z_{\beta,N}$ est choisi de telle sorte que $\mu_{\beta,N}(S_N) = 1$. Physiquement, le paramètre $\beta > 0$ qui apparaît dans cette expression est l'inverse de la température du système. Dans une large mesure, la physique
statistique (à l'équilibre) est l'étude de $\mu_{\beta,N}$ lorsque $N \to \infty$, avec une attention particulière pour le comportement sous $\mu_{\beta,N}$ des observables qui prennent en compte un nombre « macroscopique » (de l'ordre de la taille de $\Lambda_N$) ou « mésoscopique » (qui tend vers l'infini lorsque $N \to \infty$ mais beaucoup plus petit que $|\Lambda_N|$) de composantes de $\sigma$.

## 1.1 La percolation de Bernoulli

L'exemple le plus simple est celui où $S = \{-1, 1\}$, $H_N = 0$ et $\mu(\{-1\}) = \mu(\{1\}) = \frac{1}{2}$. En ce qui concerne l'ensemble d'indices $\Lambda_N$, nous considérons le cas des éléments pairs d'une grande boîte dans $\mathbb{Z}^2$, à savoir $\Lambda_N = \{u \in \{-N, \dots, N\}^2 : u_1 + u_2 \text{ pair}\}^1$.

L'un des types les plus simples d'observables « globaux » pour ce système est donné par le type suivant de statistique linéaire. Étant donné une fonction lisse $\varphi: [-1, 1]^2 \to \mathbb{R}$, on définit $I_{\varphi}^N: S_N \to \mathbb{R}$ par

$$I_{\varphi}^{N}(\sigma) = N^{-\alpha} \sum_{u \in \Lambda_N} \sigma_u \varphi(u/N). \qquad (3)$$

Notons que ceci est exhaustif : pour tout $N$ fixé, si nous connaissons $I_{\varphi}^N(\sigma)$ pour toute fonction lisse $\varphi$, alors nous pouvons en principe retrouver l'argument $\sigma$ lui-même. Une version du théorème central limite donne alors immédiatement le résultat suivant :

**Théorème 1.** En fixant $\alpha = 1$, la loi jointe de $I_{\varphi}^N(\sigma)$ pour tout ensemble fini de fonctions test $\varphi$ comme ci-dessus converge lorsque $N \to \infty$ vers la loi d'un ensemble de variables aléatoires gaussiennes centrées jointes $I_{\varphi}^N$ telles que

$$\mathbb{E}I_{\varphi} I_{\psi} = \frac{1}{2} \int_{[-1,1]^2} \varphi(x) \psi(x) dx .$$

Le facteur $\frac{1}{2}$ qui apparaît ici provient du fait que la densité locale de $\Lambda_N$ dans $\mathbb{Z}^2$ est $\frac{1}{2}$.

Les propriétés de connectivité de $\sigma$, étudiées pour la première fois par Broadbent et Hammersley [12], sont un type d'observable globale beaucoup plus intéressant. Ces propriétés sont cependant beaucoup plus difficiles à analyser. Même si le modèle que nous venons de décrire semble à première vue quelque peu trivial, la plupart des résultats à

<footnote n="1">1. La raison pour laquelle nous faisons ce choix étrange au lieu de prendre simplement tous les éléments de $\{-N, \dots, N\}^2$ deviendra bientôt claire.</footnote>
son sujet nous conduisent déjà directement dans les mathématiques du xxiᵉ siècle. Afin de décrire ce que nous entendons par « connectivité » dans ce contexte, au lieu d’interpréter les éléments $u \in \Lambda_N$ comme des points dans $\mathbb{Z}^2$, nous les interprétons comme les arêtes les plus proches d’un sous-réseau approprié de $\mathbb{Z}^2$ en associant à $u$ l’unique arête $e_u$ de $\mathbb{Z}_{pair} \times \mathbb{Z}_{impair}$ avec comme milieu $u$. Nous noterons par ailleurs $e_u^*$ l’arête de $\mathbb{Z}_{impair} \times \mathbb{Z}_{pair}$ avec comme milieu $u$. En d’autres termes, nous définissons

$$e_u = \begin{cases} (u_{\downarrow}, u_{\uparrow}) & \text{si } u_1 \text{ est pair,} \\ (u_{\leftarrow}, u_{\rightarrow}) & \text{si } u_1 \text{ est impair,} \end{cases}$$

$$e_u^* = \begin{cases} (u_{\leftarrow}, u_{\rightarrow}) & \text{si } u_1 \text{ est pair,} \\ (u_{\downarrow}, u_{\uparrow}) & \text{si } u_1 \text{ est impair.} \end{cases}$$

Ici, étant donné $u = (u_1, u_2) \in \mathbb{Z}^2$, on écrit $u_{\leftarrow} = (u_1 - 1, u_2)$, etc. Les extrémités de ces arêtes appartiennent bien aux sous-réseaux indiqués de $\mathbb{Z}^2$ puisque $u_1 + u_2$ est pair, donc soit $u_1$ et $u_2$ sont pairs, soit ils sont impairs.

Étant donné une configuration $\sigma \in S_N$, nous interprétons les arêtes $e_u$ avec $\sigma_u = -1$ comme « ouvertes » et les dessinons en noir, tandis que les autres arêtes sont considérées comme « fermées » et sont dessinées en gris clair. On obtient ainsi une image comme celle présentée à gauche dans la figure 1. On peut alors se demander par exemple quelle est la probabilité $p_N$ qu’il soit possible d’aller du bord gauche du graphe gris clair au bord droit (le « bord » est ici constitué des extrémités des arêtes pendantes) en ne traversant que des arêtes noires. Il s’avère que cette probabilité prend des valeurs non triviales même pour de grandes valeurs de N. En fait, elle est indépendante de N comme le montre le résultat classique suivant (voir par exemple [36, lemme 11.21]).

**Théorème 2.** On a $p_N = \frac{1}{2}$ pour tout N.

*Démonstration.* L’astuce consiste à observer qu’étant donné une configuration $\sigma \in S_N$, si nous dessinons la configuration duale $\sigma^* \in S_N$ définie par $\sigma_u^* = -\sigma_u$ en coloriant (disons en gris) les arêtes $e_u^*$ avec $\sigma_u^* = -1$, alors nous obtenons un dessin ayant la propriété que les arêtes grises ne touchent jamais les arêtes noires. Par conséquent, il est possible de traverser le carré de gauche à droite en ne passant que par des arêtes noires si et seulement s’il n’est pas possible de le traverser de haut en bas en ne passant que par des arêtes grises (voir fig. 1). D’autre part, la loi de l’ensemble des arêtes grises est la même que celle de l’ensemble
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIG. 1 – À gauche, on dessine une configuration de percolation typique pour N = 11. À droite, la même configuration est dessinée avec sa configuration duale en gris.</figcaption></figure>

des arêtes noires, mais tournée de 90°, de sorte que nous devons avoir $p_N = 1 - p_N$ comme annoncé. □

**Remarque 1.** Si, au lieu de choisir des arêtes ouvertes avec une probabilité $\frac{1}{2}$, nous les choisissons ouvertes avec une probabilité $p$, alors nous avons $p_N \to 1$ pour $p > \frac{1}{2}$ et $p_N \to 0$ pour $p < \frac{1}{2}$. Il s'agit d'un exemple de transition de phase : un changement abrupt dans le comportement de certaines observables globales lorsqu'un paramètre du modèle varie de manière continue. Dans cet exemple particulier, nous avons pu déterminer la valeur critique $p_c = \frac{1}{2}$ explicitement en exploitant une dualité exacte.

Il est également possible d'obtenir un large ensemble d'observables globales intéressantes en prenant une forme $\mathcal{U} \subset [-1, 1]^2$ difféomorphe à un carré et en considérant l'événement analogue $A_{\mathcal{U}}^{(N)} \subset S_N$ en demandant s'il est possible de relier les bords gauche et droit de $N\mathcal{U}$ (sans jamais quitter $N\mathcal{U}$) par un chemin qui suit uniquement les arêtes ouvertes d'une configuration donnée $\sigma \in S_N$. Encore une fois, la connaissance de ces événements est une statistique exhaustive pour toute valeur fixe donnée de N. On sait en outre que, pour tout nombre fini de ces formes $\{\mathcal{U}_i\}_{i \in I}$ (pour I un ensemble d'indices fini), les variables aléatoires $\{[A_{\mathcal{U}_i}^{(N)}]\}_{i \in I}$ convergent en loi vers une limite non dégénérée $\{[A_{\mathcal{U}_i}]\}_{i \in I}$ lorsque $N \to \infty$ [56] (la notation [A] désigne ici la fonction
indicatrice d'un événement A). Un fait étonnant est que cette limite d'échelle est invariante par transformation conforme : si $\varphi: D \to D'$ est une application conforme entre deux domaines lisses simplement connexes D et D' $\subset C$ tels que $[-1,1]^2 \subset D$ et $V_i \stackrel{\text{déf}}{=} \varphi(U_i) \subset [-1,1]^2$, alors la loi jointe des variables aléatoires $\{[A_{V_i}]\}_{i \in I}$ est la même que celle de $\{[A_{u_i}]\}_{i \in I}$.

Cette invariance conforme s'avère être une caractéristique cruciale des limites d'échelle de nombreux modèles de physique statistique à l'équilibre en deux dimensions. Elle établit un lien avec la théorie conforme des champs, qui peut être considérée à un niveau purement mathématique comme l'étude des représentations irréductibles des algèbres de Virasoro. En particulier, elle suggère fortement que les comportements possibles à grande échelle que l'on peut observer pour les modèles à l'équilibre à deux dimensions se présentent sous la forme d'une famille à un paramètre de « classes d'universalité » paramétrées par la charge centrale de la théorie conforme des champs correspondante. Dans le cas de la percolation, il s'avère que cette charge centrale est donnée par $c = 0$.

## 1.2 Le modèle d'Ising

Le modèle suivant « le plus simple » en physique statistique dans la catégorie des modèles à l'équilibre décrits ci-dessus est le modèle d'Ising [41, 43] (voir également l'article de synthèse [16] qui donne un compte rendu plus détaillé des divers développements suscités par ce modèle). Dans ce cas, l'ensemble d'indices est donné par $\Lambda_N = \{-N, ..., N\}^d$ avec $d \ge 1$, la mesure de référence $\mu$ et l'espace d'état local S sont les mêmes que ci-dessus, mais $H_A = 0$ sauf si $A = \{u, v\}$ avec $u$ et $v \in \mathbb{Z}^d$ tels que $|u - v| = 1$, auquel cas on pose $H_A(\sigma) = -\sigma_u \sigma_v$. Cette fois, le modèle a une dépendance non triviale par rapport au paramètre $\beta$ dans (2), qui joue un rôle quelque peu similaire au paramètre $p$ qui figurait dans la remarque 1.

À un niveau très qualitatif, la situation est similaire à ce qui se passe dans le cas de la percolation : pour toute dimension $d \ge 2$, il existe une valeur critique $\beta_c$ qui dépend de la dimension et qui délimite deux régimes différents. À « haute température », c'est-à-dire pour $\beta < \beta_c$, l'aimantation spontanée, à savoir la quantité aléatoire $N^{-d} \sum_{i \in \Lambda_N} \sigma_i$ converge en probabilité vers 0 lorsque $N \to \infty$. Pour $\beta > \beta_c$, elle converge en probabilité vers une variable aléatoire limite qui peut prendre exactement deux valeurs possibles $\pm h_\beta \ne 0$ avec des probabilités
égales. La valeur exacte de $\beta_c$ n'est connue qu'en dimension 2 [50] où elle est égale à

$$ \beta_c = \log \sqrt{1 + \sqrt{2}}. $$

Il n'y a pas de transition de phase du tout en dimension 1 : l'aimantation spontanée disparaît toujours, donc en un certain sens $\beta_c = +\infty$ dans ce cas.

Il est à nouveau possible de se poser les mêmes questions que dans le cas de la percolation de Bernoulli. Cette fois cependant, même l'analogue du théorème 1, qui était une conséquence essentiellement triviale du théorème central limite (ou du moins d'une version de celui-ci), est déjà fortement non trivial. Une série récente de travaux [13, 14] a montré que si l'on choisit $\beta = \beta_c$ et $\alpha = 15/8$ dans l'expression (3) en dimension $d = 2$, celle-ci converge en loi vers des variables aléatoires limites non triviales, conjointement pour tout nombre fixé de fonctions test. Mais les lois limites ne sont pas gaussiennes (elles présentent en fait un comportement avec une queue qui décroît encore plus rapidement). Notons que l'exposant $\alpha$ est étroitement lié au comportement de $E_c\sigma_u\sigma_v$ (où $E_c$ désigne l'espérance par rapport à la mesure de Gibbs (2) pour la valeur critique de la température inverse $\beta$) puisqu'on trouve, en supposant que $E_c\sigma_u\sigma_v \approx |u-v|^{-\delta}$,

$$ \begin{aligned} \mathbb{E}_c(\Gamma_{\varphi}^N(\sigma))^2 &= N^{-2\alpha} \sum_{u,v} \varphi(u/N)\varphi(v/N)\mathbb{E}_c\sigma_u\sigma_v \\ &\lesssim N^{-2\alpha} \sum_{u,v} |u-v|^{-\delta} \approx N^{2d-(\delta\wedge d)-2\alpha}, \end{aligned} $$

de sorte que l'on s'attend à la relation $\alpha = d - (\delta \wedge d)/2$, qui conduit (correctement) à la prédiction $\delta = \frac{1}{4}$. Ceci et un certain nombre d'autres propriétés du modèle d'Ising au point critique permettent de l'associer à la théorie conforme des champs avec une charge centrale $c = \frac{1}{2}$.

La situation en dimensions supérieures est cependant beaucoup moins claire. Pour $d \ge 5$, [1, 2, 29] ont montré que l'exposant d'échelle correct à utiliser dans (3) lorsque $\beta = \beta_c$ est $\alpha = 1 + \frac{d}{2}$ et que la limite est un champ libre gaussien, à savoir la loi gaussienne avec une fonction de corrélation donnée par la fonction de Green du laplacien (avec la condition aux limites de Neumann sur le carré). En dimension $d = 3$, on ne sait pratiquement rien de rigoureux sur le modèle d'Ising critique, pas même la valeur de ses exposants critiques, bien que de nombreux progrès aient été réalisés à un niveau non rigoureux avec le
développement du « bootstrap conforme » [23, 24]. En ce qui concerne
le cas $d = 4$, il n'était pas clair jusqu'à très récemment si le modèle
d'Ising au point critique devait être « trivial » (c'est-à-dire décrit par
des lois gaussiennes) ou non. Cette question a finalement été résolue
par Aizenman et Duminil-Copin dans leur article [3], dans lequel ils
montrent que toute limite d'une sous-suite pour les expressions de la
forme (3) lorsque $N \to \infty$ (et $\beta \to \beta_c$) est nécessairement gaussienne.

En fait, certains des résultats mentionnés ci-dessus sont démontrés
pour le « modèle $\Phi^4$ sur réseau » qui est le modèle à l'équilibre avec
$S = \mathbb{R}$,

$$
H_{[u]}(\sigma) = V(\sigma_u) \stackrel{\text{déf}}{=} \sigma_u^4 - \alpha \sigma_u^2, \quad H_{[u,v]}(\sigma) = \frac{1}{2}(\sigma_u - \sigma_v)^2,
$$

à condition que *u* et *v* soient des voisins directs et avec *α* qui est un
paramètre supplémentaire. Bien que ce modèle semble à première vue
très différent du modèle d'Ising, nous pouvons voir qu'il s'agit en fait
d'une généralisation de celui-ci : si la constante *α* est grande, alors le
potentiel *V* possède deux puits très profonds avec des minima situés
à ±√*α*, ce qui a pour effet d'imposer que *σ*<sub>*u*</sub> ≈ ±√*α* avec une forte
probabilité. La contribution principale vient alors du terme croisé dans
le développement du carré qui est le même que pour le modèle d'Ising.
Ces considérations nous amènent à penser que, puisque ces modèles
présentent des corrélations à longue portée à la température critique
(dans le sens où la corrélation ⟨*E*σ<sub>*x*</sub>σ<sub>*y*</sub> décroît lentement avec |*x* − *y*| comme nous l'avons déjà souligné), ce qui devrait en outre conduire
à une certaine forme d'auto-moyennisation, le modèle d'Ising et le
modèle Φ<sup>4</sup> présentent le même comportement à leurs températures
critiques respectives.

1.3 Une vue d'ensemble

La vue d'ensemble qui devrait maintenant se dégager de notre
discussion peut être résumée ainsi :

1. De nombreux systèmes locaux à l'équilibre parmi les plus simples présentent une transition de phase, c'est-à-dire qu'il existe une valeur critique $\beta_c$ à laquelle le comportement qualitatif à grande échelle du système change brusquement. Un système peut en général dépendre de paramètres supplémentaires, auquel cas on peut observer un *diagramme de phase* plus compliqué avec plusieurs régions dans l'espace des paramètres où le comportement global du système affiche un comportement qualitativement
différent. Dans tous les cas, on s'attend à ce que la phase « haute température » (avec $\beta$ petit) se comporte de telle manière que des régions bien séparées soient pratiquement indépendantes.

2. En dimension 2, beaucoup de ces systèmes semblent présenter une forme d'invariance conforme au point critique, même si aucune symétrie de rotation n'est intégrée *a priori* dans leur description. Lorsque cela se produit, le lien avec les théories conformes des champs en dimension 2 (et les objets probabilistes associés comme l'évolution de Schramm-Loewner [55], l'évolution de Loewner quantique [45], etc.) fournit un mécanisme extrêmement puissant pour prédire leur comportement et dans un certain nombre de cas pour le démontrer rigoureusement.

3. L'univers des modèles locaux en physique statistique peut être subdivisé en grandes classes de modèles qui présentent un comportement commun à grande échelle au point critique. Ces classes sont appelées « classes d'universalité ». Dans le cas des modèles à l'équilibre en dimension 2, on s'attend à ce qu'elles se présentent sous forme de familles paramétrées par un nombre réel, la charge centrale. Pour certaines valeurs de la charge centrale, on s'attend à avoir plusieurs « sous-classes », mais nous ne discuterons pas de ce genre de subtilité ici.

4. Bien que l'on s'attende toujours à une invariance conforme au point critique dans les dimensions supérieures, cette symétrie y est beaucoup plus contraignante et semble donc offrir un peu moins de renseignements<fnref n="2" />. On s'attend également à ce que la situation y soit plus rigide qu'en dimension 2, avec moins de classes d'universalité. Il est possible qu'il n'y ait qu'une famille discrète.

5. Les modèles qui ont des variantes « évidentes » dans toutes les dimensions ont généralement une dimension critique au-dessus de laquelle leur comportement au point critique est « trivial » : il présente un comportement gaussien, typiquement avec une fonction de corrélation donnée par la fonction de Green du laplacien. Cette dimension critique est 4 dans le cas de la classe d'universalité du modèle d'Ising et 6 dans le cas de la percolation de Bernoulli.

<footnote n="2">2. Voir toutefois la percée récente réalisée dans l'approximation des exposants critiques du modèle d'Ising en dimension 3 à l'aide du « bootstrap conforme » [23,24] déjà mentionné plus haut.</footnote>
Une branche importante de la théorie moderne des probabilités vise à donner à cette image générale une base mathématique rigoureuse. Le reste de cet article est consacré à un bref aperçu des nombreuses contributions d’Hugo Duminil-Copin à ce vaste programme. Cela ne représente bien sûr qu’une infime partie de son travail et en ignore des pans entiers. En présentant non pas une longue liste de résultats qu’il a démontrés et de conjectures qu’il a résolues, mais plutôt un aperçu de la stratégie de démonstration pour quelques résultats choisis, j’espère pouvoir transmettre l’une des caractéristiques de l’œuvre de Duminil-Copin, à savoir qu’il a le don de trouver la bonne façon d’aborder un problème, une façon souvent négligée. Dans de nombreux cas, cela n’apporte que de petites fissures dans l’armure du problème, qui requièrent encore une grande habileté technique pour être ouvertes. Mais dans certains cas, cela aboutit à des démonstrations étonnamment simples mais ingénieuses. Quoi qu’il en soit, je suis impatient d’en apprendre davantage grâce aux idées de Duminil-Copin dans les années à venir.

## 2 (Dis)continuité des transitions de phase

Une question très naturelle dans ce domaine est de savoir si l’on peut prendre la limite $N \to \infty$ dans l’équation (2). À ce stade, on remarque que la définition de $H^{(N)}$ donnée dans (1) n’est pas nécessairement la plus naturelle puisqu’elle restreint la somme sur les amas A qui sont contraints de se situer *entièrement* dans $S_N$. Une autre possibilité qui semble tout aussi naturelle consisterait à restreindre la somme sur les amas qui coupent simplement $S_N$, mais en spécifiant une « condition aux limites » fixe $\bar{\sigma} \in S^\Lambda$ qui serait utilisée pour calculer les valeurs de $H_A$ avec A qui coupe à la fois $\Lambda_N$ et $\Lambda \setminus \Lambda_N$: nous interprétons $\sigma_A$ dans (1) comme $\sigma_{A,x} = \sigma_x$ pour $x \in A \cap \Lambda_N$ et $\sigma_{A,x} = \bar{\sigma}_x$ sinon.

Dans de nombreux exemples intéressants (y compris dans le cas du modèle d’Ising mais *pas* dans le cas de la percolation), la mesure $\mu_\beta = \lim_{N\to\infty} \mu_{\beta,N}$ est bien définie (c’est-à-dire indépendante du choix des conditions aux limites) pour $\beta < \beta_c$ alors que l’on peut obtenir plusieurs limites différentes dans le cas $\beta > \beta_c$. La figure 2 montre des exemples typiques sous $\mu_\beta$ pour le modèle d’Ising avec $\bar{\sigma} \equiv 1$. Dans le cas où $\beta > \beta_c$, la configuration consiste en une « mer » de spins qui prennent la valeur dominante +1 (en gris foncé) avec de petits « îlots » de spins qui prennent la valeur -1 (en gris clair). Si nous avions fixé $\bar{\sigma} \equiv -1$, nous aurions obtenu un exemple au comportement opposé, ce
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIG. 2 – *Configurations typiques du modèle d’Ising pour $\beta < \beta_c$ (à gauche) et $\beta > \beta_c$ (à droite).*</figcaption></figure>

qui illustre la non-unicité de la mesure à volume infini $\mu_\beta$ dans ce cas. Dans le cas $\beta < \beta_c$ en revanche, chacune des deux valeurs possibles du spin est à peu près également représentée et la mesure est symétrique par rapport à la substitution $1 \leftrightarrow -1$, ce qui illustre l’unicité de $\mu_\beta$. C’est en fait un théorème dans le cas du modèle d’Ising : pour $\beta > \beta_c$, il existe exactement deux mesures à volume infini invariantes par translation $\mu_\beta^\pm$ qui correspondent aux conditions aux limites $\bar{\sigma} = \pm 1$ et toute limite de sous-suite des $\mu_{\beta,N}$ pour toute condition aux limites suffisamment homogène lorsque $N \to \infty$ est une combinaison convexe de $\mu_\beta^+$ et $\mu_\beta^-$.

Ceci soulève la question de l’unicité de $\mu_\beta$ à $\beta = \beta_c$. Si c’est le cas, on dit que la transition de phase est *continue*, sinon on dit qu’elle est *discontinue*. Cette terminologie vient du fait que la continuité en ce sens est équivalente à la continuité des applications $\beta \mapsto \mu_\beta^\pm$ à $\beta = \beta_c$. On sait depuis longtemps [5,60] que la transition de phase du modèle d’Ising est continue en dimension $d=1$ et $2$ ainsi qu’en dimension $d \ge 4$. La raison pour laquelle les dimensions $1$ et $2$ sont généralement beaucoup mieux comprises est que le modèle d’Ising est « résoluble » dans ces dimensions : on peut obtenir des expressions explicites pour l’espérance d’un grand nombre d’observables sous $\mu_{\beta,N}$ (cette solution est simple pour $d=1$ [41] où il n’y a pas de transition de phase, mais ce fut une avancée majeure lorsque Onsager obtint la solution exacte pour $d=2$ [50]). La dimension $d=4$ est en revanche la « dimension critique ».
supérieure » au-delà de laquelle le modèle est censé être « trivial », c'est-à-dire décrit par des variables aléatoires gaussiennes dans la limite d'échelle, ce qui permet d'utiliser un certain nombre de techniques puissantes, notamment le développement en lacets [39, 54].

Il reste donc le cas $d = 3$, qui est bien sûr le plus intéressant physique-ment puisque le modèle d'Ising est un modèle-jouet du ferromagnétisme et que ses dimensions représentent les dimensions spatiales habituelles. Des considérations heuristiques suggèrent que la transition de phase y est également continue, ce qui est cohérent avec les expériences physiques, en supposant que le modèle d'Ising appartienne à la même classe d'universalité que celle d'un véritable aimant physique. Dans l'article [4], Duminil-Copin et ses collaborateurs ont donné la première démonstration rigoureuse que c'est bien le cas. La démonstration repose sur l'introduction de la quantité

$$M(\beta) = \inf_{B \subset \mathbb{Z}^3} \frac{1}{|B|^2} \sum_{x,y \in B} \int \sigma_x \sigma_y \mu_{\beta}^0(d\sigma),$$

où $\mu_{\beta}^0$ désigne la limite de volume infini obtenue en utilisant des conditions « libres », ainsi que sur trois étapes principales. Tout d'abord, ils s'appuient sur des résultats de [30, 31] pour affirmer que la transformée de Fourier de $x \mapsto \int \sigma_0 \sigma_x \mu_{\beta}^0(d\sigma)$ se trouve dans $L^1$ lorsque $\beta = \beta_c$, ce qui implique que $M(\beta_c) = 0$. Ensuite, et c'est l'étape principale, ils montrent que le fait d'avoir $M(\beta) = 0$ implique qu'un certain modèle de percolation avec des corrélations à longue portée construit à partir du modèle d'Ising n'admet pas d'amas infini. Enfin, ils utilisent une variante du « lemme d'inversion » [35] pour montrer que la quantité $\int \sigma_0 \sigma_x \mu_{\beta}^+(d\sigma) - \int \sigma_0 \sigma_x \mu_{\beta}^0(d\sigma)$ est majorée par une fonction explicite multipliée par la probabilité que l'origine appartienne à un amas infini dans le modèle ci-dessus, et doit donc s'annuler en $\beta = \beta_c$. Une fois cela connu, il est facile de montrer que l'aimantation spontanée du modèle d'Ising au point critique doit s'annuler (on a $\in \sigma_0 \mu_{\beta_c}^+(d\sigma) = 0$), ce qui à son tour donne l'énoncé d'unicité souhaité.

Pour illustrer le fait que la continuité de la transition de phase, quelle que soit la dimension, est une propriété non triviale qui n'est pas nécessairement attendue en général, un bon exemple est celui du modèle de Potts [53]. Ce modèle est défini de manière similaire au modèle d'Ising, mais cette fois l'espace d'état local $S$ est donné par $S = \{1, ..., q\}$ pour un entier $q \ge 2$, doté à nouveau de la mesure de comptage normalisée comme mesure de référence. Comme pour le
modèle d'Ising, on pose $H_A = 0$ sauf si $A = \{u, v\}$ avec $u$ et $v \in \mathbb{Z}^d$ tels que $|u - v| = 1$, auquel cas on pose $H_A(\sigma) = \mathbf{1}_{\sigma_u = \sigma_v}$. Pour $q = 2$, ce modèle est équivalent au modèle d'Ising puisque leurs fonctionnelles d'énergie ne diffèrent que par une constante. Remarquons également qu'il existe un modèle essentiellement équivalent appelé « modèle d'amas aléatoire » ou parfois « modèle FK », d'après Fortuin et Kasteleyn qui l'ont introduit dans [28]. Dans ce modèle, on considère directement des partitions de $\mathbb{Z}^d$ en « amas » connexes, que l'on peut considérer comme les composantes reliées par des arêtes des ensembles $\{u : \sigma_u = i\}$ pour $i \in S$ et une configuration donnée $\sigma$ du modèle de Potts. Ce modèle a également un sens pour des valeurs non entières de $q \ge 1$. Dans le cas $q = 1$, le modèle FK se réduit en fait à une percolation de Bernoulli régulière. Voir (12) ci-dessous pour une définition plus précise de ce modèle.

Baxter a conjecturé dans les années soixante-dix [8,9] que le modèle de Potts sur $\mathbb{Z}^2$ présentait une transition de phase continue si et seulement si $q \le 4$. Les deux articles [17,21] de Duminil-Copin et de ses collaborateurs fournissent des démonstrations des deux sens de cette conjecture. Par souci de brièveté, nous ne commenterons pas les démonstrations en détail, mais nous remarquons que la démonstration de la continuité de la transition de phase pour $q \le 4$ est presque complètement disjointe de celle pour le modèle d'Ising en dimension 3. Une étape importante consiste à nouveau à montrer que le modèle au point critique avec des conditions aux limites égales à un élément fixe de $S$ n'admet pas d'amas infini. Cependant, la démonstration de ce fait (qui exploite une forme d'holomorphie discrète de certaines observables astucieusement choisies) et la démonstration de son équivalence avec l'unicité de la mesure à volume infini au point critique sont complètement différentes. En fait, elles montrent l'équivalence d'une liste de cinq propriétés bien distinctes qui sont d'un intérêt indépendant pour l'étude du modèle de Potts au point critique.

En ce qui concerne la démonstration de la discontinuité lorsque $q > 4$, l'outil principal est une relation étroite, d'abord découverte par Temperley et Lieb [59] dans un contexte restreint, puis par Baxter et ses collaborateurs [10] dans un contexte plus général, entre le modèle FK sur $\mathbb{Z}^2$ et le « modèle à six sommets ». Les configurations de ce dernier modèle peuvent être visualisées comme des puzzles où l'on assigne à chaque sommet de $\mathbb{Z}^2$ (ou à un sous-ensemble de celui-ci) l'une des six pièces (orientées)
<figure><img src="image_7.png" /></figure>

et où l'on applique la contrainte d'admissibilité selon laquelle les pièces s'emboîtent parfaitement. On postule en outre que la probabilité de voir une configuration admissible donnée est proportionnelle à $c^{\#p}$, où $\#p$ représente le nombre de pièces noires dans la configuration et c est une constante fixée. La relation entre le modèle à six sommets et le modèle FK critique vaut pour le choix particulier

$$c = \sqrt{2 + \sqrt{q}}.$$

L'avantage de cette relation est que le modèle à six sommets est « résoluble » dans un certain sens en utilisant le formalisme de la matrice de transfert. On n'est pas pour autant sorti d'affaire, car les matrices de transfert $V_N$ impliquées sont très grandes : elles agissent sur un espace vectoriel de dimension $2^N$, mais sont diagonales par blocs, chaque bloc $V_N^{[n]}$ agissant sur un sous-espace de dimension $\binom{n}{N}$. Chacun de ces blocs est irréductible avec des éléments strictement positifs et admet donc un vecteur propre de Perron-Frobenius. Le principal résultat technique de [21] est un résultat asymptotique très précis pour les valeurs propres de Perron-Frobenius de $V_N^{[N/2-r]}$ pour $r$ fixé lorsque $N \to \infty$. Il est intéressant de noter que les auteurs sont capables de démontrer que les rapports entre ces valeurs propres convergent vers des limites finies (et explicites, au moins sous forme de séries convergentes explicites) lorsque $N \to \infty$ et que les valeurs propres elles-mêmes divergent exponentiellement en fonction de N avec un exposant connu, mais le comportement commun d'ordre inférieur de cette divergence n'est pas connu. Ce résultat asymptotique est cependant suffisant pour obtenir un bon contrôle sur la fonction de partition du modèle à six sommets et pour l'exploiter afin d'obtenir une expression explicite pour l'inverse de la longueur de corrélation du modèle de Potts critique avec des conditions aux limites libres lorsque $q > 4$. La finitude de cette expression permet enfin de déduire la discontinuité de la transition de phase.

Pour conclure cette section, j'aimerais mentionner le magnifique article [20] qui, bien qu'il ne traite pas tout à fait de la question de la continuité de la transition de phase, a une saveur proche. La question est celle du caractère « abrupt » de la transition de phase, qui se formule dans ce cas particulier comme la question de savoir s'il est vrai que la
mesure $\mu_\beta$ a des corrélations qui décroissent exponentiellement (dans le sens où la covariance entre $f(\sigma_0)$ et $f(\sigma_x)$ décroît exponentiellement vite lorsque $|x| \to \infty$ pour toute fonction $f: S \to \mathbb{R}$ « suffisamment bonne ») pour tout $\beta < \beta_c$ et pas seulement pour des valeurs suffisamment petites où un argument de perturbation au voisinage de $\beta = 0$ (où $f(\sigma_0)$ et $f(\sigma_x)$ sont indépendants sous $\mu_0$ dès que $x \neq 0$) peut s'appliquer. Une difficulté avec ce type d'énoncé est que l'on ne connaît généralement pas d'expression explicite pour $\beta_c$: dans le cas du modèle FK sur le réseau carré, on peut obtenir une pareille expression par un argument de dualité [11], mais on n'en connaît pas pour des situations plus générales. Le résultat principal de [20] est que la transition de phase du modèle FK sur tout graphe infini sommet-transitif est abrupte.

L'outil principal de leur démonstration est une généralisation nouvelle et de grande portée de l'inégalité OSSS [49]. Le contexte est celui des variables aléatoires croissantes $f: \{0, 1\}^E \to [0, 1]$ (pour un ensemble fini E et pour l'ordre partiel naturel coordonnée par coordonnée sur $\{0, 1\}^E$), où $\{0, 1\}^E$ est en outre doté d'une mesure de probabilité $\mathbb{P}$ qui est elle-même monotone : pour tout $F \subset E$ et tout $e \in E \setminus F$, les probabilités conditionnelles $\mathbb{P}(w_e = 1 | \mathcal{F}_F)$ sont des fonctions croissantes (ici, $\mathcal{F}_F$ désigne la tribu engendrée par les applications $w \mapsto w_e$ pour $e \in F$). On considère alors tout algorithme qui révèle une par une les valeurs d'une entrée $w \in \{0, 1\}^E$ de telle sorte que la coordonnée à révéler ensuite dépende de manière déterministe de l'information glanée à partir de ce qui a été révélé jusqu'à ce point. En particulier, la première coordonnée à révéler est toujours la même puisqu'aucune information n'a encore été obtenue à ce stade. L'algorithme s'arrête lorsque les valeurs révélées sont suffisantes pour déterminer la valeur de $f(w)$, ce qui donne un ensemble aléatoire $\hat{\mathbb{E}} \subset E$ de valeurs révélées. Le résultat de [20] est alors que l'on a l'inégalité

$$ \mathrm{Var}(f) \leq \sum_{e \in \mathbb{E}} \mathbb{P}(e \in \hat{\mathbb{E}}) \mathrm{Cov}(f, w_e), \quad (4) $$

qui semble formellement identique au résultat de [49], mais l'hypothèse y était que la mesure $\mathbb{P}$ est simplement la mesure uniforme. Comme cette dernière est clairement monotone — elle est telle que $\mathbb{P}(w_e = 1 | \mathcal{F}_F)$ soit constante — les résultats de [49] en découlent comme un cas particulier.

En utilisant ce résultat, [20] obtient alors la dichotomie suivante qui donne le résultat souhaité relatif au caractère abrupt.
**Théorème 3.** Soit G un graphe transitif et soit $\mathbb{P}_{\beta,n}$ la mesure FK sur la boule $\Lambda_n$ de rayon $n$ dans G. Il existe alors $\beta_c \in \mathbb{R}$ tel que, pour tout $\beta < \beta_c$, il existe $c_\beta > 0$ tel que $\mathbb{P}_{\beta,n}(0 \leftrightarrow \partial\Lambda_n) \le e^{-c_\beta n}$, uniformément par rapport à $n$. Pour $\beta > \beta_c$ d'autre part, il existe $c > 0$ tel que $\mathbb{P}_{\beta,n}(0 \leftrightarrow \partial\Lambda_n) \ge c \min\{1, \beta - \beta_c\}$.

Une fois l'inégalité (4) connue, la démonstration est étonnamment simple et repose sur deux ingrédients. Premièrement, on peut montrer que les mesures $\mathbb{P}_{\beta,n}$ et la fonction $1_{0 \leftrightarrow \partial\Lambda_n}$ vérifient les hypothèses de l'inégalité (4). En fixant $\theta_n(\beta) = \mathbb{P}_{\beta,n}(0 \leftrightarrow \partial\Lambda_n)$, un choix astucieux d'algorithmes de recherche pour l'amas (potentiel) reliant l'origine 0 à $\partial\Lambda_n$ permet alors de montrer que l'on a l'inégalité

$$ \theta'_{n}(\beta) \geq \sum_{c \in E} \mathrm{Cov}_{\beta}(1_{0 \leftrightarrow \partial \Lambda_n}, w_c) \geq \frac{n}{8 \sum_{n}(\beta)} \theta_n(\beta)(1 - \theta_n(\beta)), \quad (5) $$

où $\Sigma_n = \sum_{k=0}^{n-1} \theta_n$. Le fait que la première inégalité soit valable est connu et peut être vérifié de manière élémentaire. Le second fait est que toute suite de fonctions $\beta \mapsto \theta_n(\beta)$ qui vérifie une inégalité différentielle de la forme (5) vérifie nécessairement une dichotomie du type qui apparaît dans l'énoncé du théorème 3. Comme nous ne nous intéressons pas au régime où $\theta_n$ est grand, nous pouvons réécrire (5) sous la forme $\theta'_n \ge \frac{c_n}{\sum_n} \theta_n$. Le fait que les fonctions $\theta_n$ doivent alors respecter une telle dichotomie est assez clair : si $\beta$ est tel qu'elles convergent vers une limite non nulle $\theta$, alors $\Sigma_n/n \sim \theta$ et on doit avoir $\theta' \ge c$. Si en revanche elles convergent vers 0 sur tout un intervalle $[a, b]$, alors cette convergence doit avoir lieu suffisamment rapidement pour que $\Sigma_n/n \gg \theta_n$ (car sinon l'argument précédent s'appliquerait). Puisque $\Sigma_n/n \sim \theta_n$ pour $\theta_n \sim n^{-\alpha}$ dès que $\alpha < 1$, il est alors plausible que pour tout $c < b$ on ait $\theta_n \ll n^{-1/2}$ (par exemple), ce qui implique $\theta'_n \ge \sqrt{n}\theta_n$ et donc $\theta_n \le e^{-\sqrt{n}(c-\beta)}$ pour $\beta < c$. Cela montre que la suite de fonctions $\Sigma_n$ est bornée pour $\beta < c$, ce qui conduit à $\theta'_n \ge n\theta_n$ et donc à une borne exponentiellement petite (par rapport à $n$), comme indiqué.

### 3 Trivialité de $\Phi_4^4$

Depuis les travaux novateurs d'Osterwalder et Schrader [51, 52], on sait que la construction d'une théorie quantique des champs (bosonique) qui vérifie les axiomes de Wightman est équivalente au moins dans certains cas à la construction d'une mesure de probabilité sur l'espace des distributions qui vérifie un certain nombre de propriétés naturelles.
L'un des sommets de ce champ de recherche a été la construction dans les années soixante-dix des mesures $\Phi_2^4$ et $\Phi_3^4$ [22, 25, 27, 33, 34, 47, 48, 57], qui correspondent au cas le plus simple d'une théorie d'interaction en deux ou trois dimensions d'espace-temps avec un seul type de boson.

À un niveau heuristique, la mesure $\Phi_d^4$ est la mesure $\mu^{(d)}$ sur l'espace des distributions de Schwartz $S'(\mathbb{R}^d)$ (ou sur le tore de dimension $d$) donnée par

$$Z^{-1} \exp \left( -\frac{1}{2} \int \left( |\nabla \Phi(x)|^2 - C \Phi^2(x) + \Phi^4(x) \right) dx \right) d\Phi,$$

où « $d\Phi$ » désigne la mesure de Lebesgue en dimension infinie sur $S'(\mathbb{R}^d)$. Cette expression est bien sûr problématique à plusieurs niveaux : la mesure de Lebesgue en dimension infinie n'existe pas, les distributions ne peuvent pas être élevées au carré, etc. S'il n'y avait que le terme $|\nabla\Phi|^2$, on pourrait raisonnablement interpréter cette expression comme la mesure gaussienne $\mu_0$ avec un opérateur de covariance donné par la fonction de Green du laplacien, qui est une mesure de probabilité bien définie (à l'exception de détails techniques liés au mode constant qui peuvent être facilement corrigés). La mesure $\mu_0$ est appelée « champ libre gaussien », car elle correspond à une théorie quantique des champs dans laquelle les particules sont libres, c'est-à-dire qu'elles n'interagissent pas du tout entre elles.

Ceci suggère qu'une interprétation plus fine de la mesure $\Phi_d^4$ pourrait être donnée par

$$\mu^{(d)}(d\Phi) = Z^{-1} \exp \left( -\frac{1}{2} \int \Phi^4(x) dx \right) \mu_0(d\Phi). \quad (6)$$

Ceci est encore mal défini puisque le champ libre gaussien a comme support des distributions plutôt que des fonctions pour toute dimension $d \ge 2$. Cependant, en posant $\Phi_\epsilon = \rho_\epsilon \star \Phi$, la puissance de Wick

$$:\Phi^4: = \lim_{\epsilon \to 0} (\Phi_\epsilon^4 - 3\Phi_\epsilon^2 \mathbb{E}\Phi_\epsilon^2) \quad (7)$$

s'avère être une distribution de Schwartz aléatoire bien définie (c'est-à-dire que la limite existe et elle est indépendante du choix de $\rho_\epsilon$) en dimension $d < 4$. En dimension 2, Nelson a montré dans [47] que le facteur de Radon-Nikodym qui apparaît dans (6) avec $\Phi^4$ remplacé par $:\Phi^4$: donne une variable aléatoire intégrable, ce qui conduit à une définition de $\mu^{(2)}$. En particulier, la mesure $\Phi_2^4$ est équivalente au champ
libre gaussien. En dimension 3, il s'avère que ce n'est pas le cas, mais il est encore possible de montrer que la mesure $\mu^{(3)}(d\Phi)$ égale à

$$ \lim_{\epsilon \to 0} Z_{\epsilon}^{-1} \exp \left( -\frac{1}{2} \int \Phi_{\epsilon}^{4}(x) - C_{\epsilon} \Phi_{\epsilon}^{2}(x) dx \right) \mu_{0}(d\Phi) \quad (8) $$

est bien définie pour un choix approprié de la constante $C_\epsilon$ qui diffère du choix $3\mathbb{E}\Phi_\epsilon^2 \sim \epsilon^{-1}$ suggéré par (7) par un terme qui diverge logarithmiquement. Une autre construction de cette mesure a été récemment obtenue par des techniques complètement différentes dans [37, 38, 46].

Cette discussion soulève la question de savoir ce qui se passe pour $d \ge 4$ et en particulier lorsque $d = 4$ qui est le cas physiquement le plus intéressant du point de vue de la théorie quantique des champs (rappelons que la dimension correspond ici à l'espace-temps). En ce qui concerne le cas $d > 4$, Aizenman et Fröhlich ont déjà montré dans les années quatre-vingt [1, 2, 29] que pratiquement toute définition « raisonnable » de la mesure $\Phi_d^4$ coïncide en fait avec le champ libre gaussien. Il reste le cas $d = 4$ qui a toujours été considéré comme le cas le plus difficile, car il est « critique » dans le sens où, au moins à un niveau formel, les termes $\Phi^4$ et $|\nabla\Phi|^2$ ont le même ordre de grandeur dans le sens suivant. En écrivant $S_\lambda$ pour la transformation $(S_\lambda F)(x) = F(\lambda x)$, le champ libre gaussien possède la propriété d'autosimilarité

$$ S_{\lambda} \Psi \stackrel{\text{loi}}{=} \lambda^{\frac{2-d}{2}} \Psi $$

pour $\Psi$ tiré de $\mu_0$. En supposant que $\Psi$ se comporte comme une fonction (même s'il s'agit en réalité d'une distribution aléatoire), on en déduit que

$$ S_{\lambda} |\nabla \Psi|^2 = \lambda^{-2} |\nabla S_{\lambda} \Psi|^2 \stackrel{\text{loi}}{=} \lambda^{-d} |\nabla \Psi|^2, $$

$$ S_{\lambda}(\Psi^4) = (S_{\lambda}\Psi)^4 \stackrel{\text{loi}}{=} \lambda^{4-2d}\Psi^4. $$

Ces exposants sont en effet égaux si et seulement si $d = 4$. Un calcul heuristique suggère en fait qu'à l'ordre suivant, le terme $|\nabla\Psi|^2$ domine le terme $\Psi^4$ à grande échelle. Des variantes de cette observation ont été rendues rigoureuses dans un certain nombre de travaux [26, 32, 40], y compris tout récemment dans une série impressionnante de travaux de Bauerschmidt-Brydges-Slade (voir [6, 7] et les références qui s'y trouvent).

Une façon de formuler l'un de leurs principaux résultats est le cadre donné dans notre introduction avec $S = \mathbb{R}$, $\mu$ étant la mesure de
Lebesgue, $H_{[x]}(\varphi) = \frac{g}{4}\varphi_x^4 + \frac{\nu}{2}\varphi_x^2$, $H_{[x,y]}(\varphi) = |\varphi_x - \varphi_y|^2$ lorsque $x$ et $y$ sont des sites voisins du réseau $\mathbb{Z}^4$, et $H_A = 0$ sinon. Ce modèle se comporte d'une manière très similaire au modèle d'Ising, en lequel il dégénère dans le régime $g \to \infty$ et $\nu = -g$. On considère traditionnellement le modèle $\Phi^4$ avec $\beta = 1$, puisqu'on peut toujours se ramener à ce cas en ajustant $g$ et $\nu$, et éventuellement en changeant l'échelle des $\varphi_x$ par un facteur. On considère généralement que $g$ est fixé. C'est donc le paramètre $\nu$ qui est ajustable et joue le rôle d'une « température » dans ce modèle. Tout comme pour le modèle d'Ising, il présente une transition de phase à une certaine valeur $v_c \in \mathbb{R}$ : pour $\nu > v_c$, il existe une unique mesure en volume infini qui est symétrique par rapport à la transformation $\varphi \mapsto -\varphi$. Pour $\nu < v_c$ en revanche, on trouve deux mesures en volume infini distinctes (ainsi que leurs combinaisons convexes) selon les conditions aux limites que l'on choisit.

Un état $\varphi \in S^{\Lambda_N}$ avec $\Lambda_N = \{-N, \dots, N\}^4$ est vu comme une distribution $\iota\varphi$ sur le tore (de dimension 2) en posant, pour toute fonction test lisse $f: \mathbb{T}^4 \to \mathbb{R}$,

$$ (\iota\varphi)(f) = \sum_{x \in \Lambda_N} \sigma_N \varphi_x f(x/N) $$

pour une suite de valeurs $\sigma_N$ choisies de telle sorte que $E((\iota\varphi)(1)^2) = 1$. [6] montre alors que si $g$ est suffisamment petit et si $\nu$ est choisi de manière appropriée (proche mais pas tout à fait égal à la valeur critique $v_c$), alors $\iota\varphi$ converge vers un champ libre gaussien massif, à savoir le champ gaussien dont la covariance est donnée par $(m^2 - \Delta)^{-1}$ pour un certain $m \in \mathbb{R}$ (qui dépend de la manière particulière avec laquelle $\nu$ est réglé pour approcher $v_c$ quand $N \to \infty$).

Bien que ce résultat suggère fortement qu'il n'existe pas de mesure $\Phi_4^4$ non triviale, il n'exclut pas la possibilité d'avoir une limite d'échelle non triviale pour le champ discret que nous venons de décrire au point (ou près du point) critique lorsque la constante $g$ est suffisamment grande (en d'autres termes « avec un couplage fort »). La technique de démonstration de [6] a consisté à mettre en œuvre une version rigoureuse de la « technique du groupe de renormalisation », qui repose sur une analyse subtile du comportement de l'application de renormalisation au voisinage du point fixe donné par le champ libre gaussien. Cette technique est malheureusement perturbative par nature et n'a donc que peu d'espoir de pouvoir traiter des $g$ arbitraires. Dans un travail récent [3] cependant, Aizenman et Duminil-Copin ont finalement réussi à montrer le résultat suivant.
**Théorème 4.** Pour toute manière d'ajuster $g = g_N$ et $v = v_N$ quand $N \to \infty$ de sorte que $v_N \ge v_{c,N}$, pour tout $M_N \to \infty$ avec $1 \ll M_N \ll N$ et pour toute fonction test lisse à support compact $f$, la loi de $\xi_N^f = \sum_{x \in \Lambda_N} \varphi_x f(x/M_N)$, normalisée de sorte que sa variance soit égale à un, converge vers une loi normale.

**Remarque 2.** La condition $v_N \ge v_{c,N}$ peut en fait être légèrement relaxée, mais pas trop. En effet, dans le régime des « basses températures » et avec des conditions aux limites libres (ou périodiques), on s'attendrait à ce que la loi de $\xi_N^f$ converge vers une variable aléatoire de Bernoulli plutôt que vers une gaussienne.

À un niveau supérieur, la principale raison pour laquelle [3] peut traiter des couplages arbitraires est que l'on peut considérer que leur cadre est plus proche de la « perturbation autour de $g = \infty$ » qu'autour de $g = 0$. Dans le cadre de l'introduction, ils commencent par considérer le modèle d'Ising tel qu'il y est décrit, c'est-à-dire avec $\mu = \frac{1}{2}(\delta_1 + \delta_{-1})$, mais ils étendent ensuite leur classe de modèles pour permettre à chaque site de représenter un ensemble de spins avec des interactions ferromagnétiques arbitraires au sein d'un site, au lieu d'un seul spin. Ceci a pour effet de remplacer $\mu$ par toute mesure qui peut être obtenue comme la loi de $\delta \sum_{i=1}^K s_i$ pour un certain $\delta > 0$ et $K \in \mathbb{N}$, et où les $s_i \in \{-1, 1\}$ sont des variables aléatoires dont la loi jointe est proportionnelle à $\exp(-\sum_{ij} a_{ij} s_i s_j)$ avec des coefficients $a_{ij}$ arbitraires mais strictement positifs. Comme on l'a déjà montré dans les années soixante-dix [58, théorème 1], toutes les mesures de probabilité sur $\mathbb{R}$ du type $Z^{-1} \exp(cx^2 - gx^4) dx$ peuvent s'obtenir comme limites de telles mesures, de sorte que le modèle $\Phi_4^4$ discret peut être considéré comme une limite des modèles à blocs de spins.

Rappelons que pour montrer qu'un ensemble $\{X_a\}_{a \in A}$ de variables aléatoires à valeurs réelles a une loi jointe gaussienne, il suffit de montrer que tous les cumulants joints d'ordre quatre $E_c\{X_{a_1}, \dots, X_{a_4}\}$ avec $a_i \in A$ s'annulent. Il n'est donc pas surprenant que les cumulants d'ordre quatre des variables de spin jouent un rôle important dans toute démonstration du caractère gaussien des modèles de type Ising. En dimension $d \ge 5$, la démonstration dans [2] s'appuie sur deux observations très importantes. Premièrement, en notant $C(x, y) = E(\sigma_x \sigma_y)$ la fonction de corrélation de spin, on montre que pour toute température et toute interaction
ferromagnétique, on a l'inégalité

$$ \left| \mathbb{E}_c \{ \sigma_{x_1}, \dots, \sigma_{x_4} \} \right| \le 2 \sum_{y \in \mathbb{Z}^d} C(x_1, y) \cdots C(x_4, y) . \quad (9) $$

On observe alors que la fonction C est bornée à la température critique par

$$ C(x, y) \le |x - y|^{2-d} . \quad (10) $$

Considérons maintenant quatre fonctions test lisses à support compact $f_i$ et posons

$$ X_i = \sum_{x \in \mathbb{Z}^d} \sigma_x f_i(x/M) . $$

En particulier, la somme s'étend sur $O(M^d)$ sites. Si l'on suppose que (10) est optimal, on s'attend à avoir $EX_i^2 \approx M^{d+2}$, de sorte que la normalisation « correcte » pour que les $X_i$ aient une variance égale à 1 devrait être $\xi_i = M^{-d/2} X_i$. D'autre part, en combinant la borne sur la covariance avec la borne sur le cumulant d'ordre quatre, un argument de comptage de puissance montre que $\mathbb{E}_c\{\xi_1, \dots, \xi_4\} \le M^{-2(d+2)} M^{d+8} = M^{4-d}$, qui converge effectivement vers 0 quand $M \to \infty$ pour $d > 4$, ce qui montre que les $\xi_i$ ont une loi jointe gaussienne à la limite.

Il est clair que ce calcul ne nous permet pas de conclure quoi que ce soit lorsque $d = 4$. La principale contribution de [3] est de montrer que l'inégalité (9) peut en fait être améliorée en une inégalité du type

$$ \left| \mathbb{E}_c \{ \sigma_{x_1}, \dots, \sigma_{x_4} \} \right| \le \frac{\sum_{y \in \mathbb{Z}^d} C(x_1, y) \cdots C(x_4, y)}{\left( \sum_{|x| \le M} C(0, x)^2 \right)^c} \quad (11) $$

pour un certain $c > 0$ (éventuellement très petit). On suppose ici que les $x_i$ sont tous à des distances au moins M les uns des autres.

**Remarque 3.** Si l'on pense que la borne (10) représente le comportement correct de C au point critique, alors le dénominateur qui apparaît dans l'inégalité (11) est d'ordre ($\log M)^c$ en dimension 4. Ceci n'est cependant pas connu et n'est pas non plus utilisé par [3], que ce soit pour obtenir l'inégalité (11) ou pour en déduire le théorème 4.

La démonstration de l'inégalité (11) repose sur la représentation en « courants aléatoires » du modèle d'Ising dans laquelle l'espace de configuration est constitué de « courants », à savoir d'applications n: $E \to \mathbb{N}$ où E désigne l'ensemble des paires de plus proches voisins
(non orientées) dans notre réseau. La mesure d'Ising conduit alors naturellement à un poids $w$ sur les courants défini par $w(\mathbf{n}) = \prod_{e \in E} \frac{\beta^{n(e)}}{n(e)!}$ ainsi qu'à la notion de « source » d'un courant définie par

$$ \partial \mathbf{n} \stackrel{\text{déf}}{=} \left\{ x : \sum_{e \in \mathcal{N}(x)} \mathbf{n}(e) \text{ est impair} \right\}. $$

Le lien entre les courants et le modèle d'Ising est donné la formule suivante : étant donné un ensemble fini $A \subset \mathbb{Z}^d$, on a

$$ \mathbb{E} \prod_{a \in A} \sigma_a = \frac{\sum_{\mathbf{n}: \partial \mathbf{n}=A} w(\mathbf{n})}{\sum_{\mathbf{n}: \partial \mathbf{n}=\emptyset} w(\mathbf{n})}. $$

Une notion naturelle est alors celle de « courant aléatoire de source A » pour lequel la probabilité de voir un courant donné $\mathbf{n}$ est non nulle seulement lorsque $\partial \mathbf{n} = A$, auquel cas elle est proportionnelle à $w(\mathbf{n})$. Lorsque $A = \{x, y\}$, un courant $\mathbf{n}$ avec une source A peut être interprété (mais pas de manière unique!) comme la mesure d'occupation d'un ensemble de boucles dans $\mathbb{Z}^d$, ainsi qu'un chemin sans auto-intersection joignant $x$ et $y$. En particulier, la restriction de $\mathbf{n}$ à l'ensemble de boucles qui sont reliées (directement ou indirectement par d'autres boucles) au chemin joignant $x$ et $y$ peut être considérée comme la mesure d'occupation d'un seul chemin aléatoire joignant $x$ à $y$.

L'inégalité (11) peut alors être reformulée en termes de propriétés d'intersection de ces chemins aléatoires. D'un point de vue heuristique, il est très utile de considérer ces trajectoires aléatoires comme de simples trajectoires de marche aléatoire. Notons que la dimension 4 est critique pour la question de savoir si les traces de deux trajectoires se croisent ou non : pour $d < 4$, les trajectoires de deux marches aléatoires indépendantes avec deux points de départ quelconques se croisent presque sûrement. En revanche, pour $d > 4$, elles ne se croisent qu'avec une probabilité strictement positive (qui tend vers 0 lorsque les deux points de départ sont pris éloignés l'un de l'autre); si elles se croisent, elles n'ont qu'un nombre fini de points d'intersection. En dimension $d = 4$, la probabilité que deux marches aléatoires qui démarrent à une distance d'ordre M l'une de l'autre se croisent décroît comme $1/\log M$, mais l'espérance du nombre de fois où elles se croisent reste d'ordre $1$ lorsque $M \to \infty$. Cela montre que si elles se croisent, le nombre de points d'intersection est généralement assez grand, de l'ordre de $\log M$.

L'essentiel du travail effectué dans [3] consiste à montrer que les chemins aléatoires issus de la représentation en amas aléatoires du
modèle d'Ising au point critique présentent un comportement similaire, mais avec log M remplacé par une quantité de taille au moins égale à (log M)$^c$ pour un certain $c > 0$. L'argumentation est un chef-d'œuvre qui combine une analyse multi-échelle délicate, des arguments topologiques et un raisonnement probabiliste. L'un des principaux problèmes que les auteurs ont dû surmonter est le fait que ces chemins aléatoires sont très loin d'être de simples marches aléatoires et ne satisfont qu'une version spatiale de la propriété de Markov.

# 4 Invariance par rotation pour les modèles FK critiques

Comme on l'a déjà mentionné à plusieurs reprises, une caractéris-
tique cruciale de la physique statistique à l'équilibre en dimension 2
est le fait que la plupart des modèles sont censés obéir à une forme
d'invariance conforme (ou d'équivariance) lorsqu'on considère les
observables à grande échelle à la température critique. Cette attente et
le lien qui en résulte avec le monde bien étudié des théories conformes
des champs en dimension 2 permettent de formuler une multitude
de conjectures sur le comportement à grande échelle de ces modèles,
mais ces conjectures sont souvent extrêmement difficiles à démontrer.
Considérons par exemple la marche aléatoire auto-évitante à N pas en
dimension 2 qui est simplement la mesure uniforme sur toutes les fonc-
tions $h: \{0, ..., N\} \rightarrow \mathbb{Z}^2$ telles que $h(0) = 0$ et telles que $|h(i+1) - h(i)| = 1$
pour tout $i < N$. En exploitant l'invariance conforme attendue de sa
limite pour N grand convenablement normalisée, on s'attend à ce que la
taille de $h(N)$ soit d'ordre $N^{3/4}$ et que sa mise à l'échelle en divisant par
$N^{3/4}$ converge vers une courbe aléatoire continue particulière, à savoir
SLE$_{8/3}$ [42]. D'un point de vue rigoureux, on ne sait presque rien de
non trivial : bien que le diamètre de l'image de $h$ doive trivialement être
au moins $\sqrt{N/\pi}$, la meilleure minoration actuelle sur le point d'arrivée
ne correspond même pas à cela ! Au lieu de cela, on ne connaît que l'in-
égalité ($\mathbb{E}[|h(N)|^p]^{1/p} \ge \frac{1}{6}N^{p/(2p+2)}$ récemment obtenue par Madras [44].
De même, alors que l'inégalité $|h(N)| \le N$ est triviale, la meilleure
majoration non triviale est pratiquement la plus faible amélioration
possible, à savoir que pour tout $p \ge 1$ on a $\lim_{N\to\infty} N^{-1}(\mathbb{E}[|h(N)|^p]^{1/p} = 0$,
obtenue à peu près au même moment par Duminil-Copin et Ham-
mond [18]. L'un des principaux obstacles est qu'il n'existe actuellement
aucune démonstration qui montre que la marche aléatoire auto-évitante
présente une invariance conforme à grande échelle.

Bien que cela illustre l'importance de montrer que les modèles
statistiques présentent une invariance conforme (ou au moins une invariance par rotation, première étape cruciale) au point critique, la stratégie de démonstration de ces affirmations s'est jusqu'à présent principalement appuyée sur la recherche d'un ensemble suffisamment important d'observables qui vérifient un analogue discret de l'invariance conforme, généralement en résolvant un analogue discret des équations de Cauchy-Riemann. Voir par exemple la démonstration par Chelkak et Smirnov de l'invariance conforme pour le modèle d'Ising sur les graphes isoradiaux [15] et la démonstration par Smirnov de l'invariance conforme pour la percolation critique [56]. Le modèle FK en dimension $2 \text{ avec } q \le 4$ déjà mentionné dans la section 2 est l'un des modèles les plus simples où l'invariance conforme au point critique est attendue, mais où l'on ne sait pas comment l'obtenir à partir d'une invariance conforme discrète convenable. Dans un travail récent [19], Duminil-Copin et ses collaborateurs ont montré que le comportement à grande échelle de ces modèles est invariant par rotation.

Pour définir la notion de « comportement à grande échelle », rappeons que l'espace des configurations du modèle FK est le même que celui de la percolation régulière (voir figure 1). Une telle configuration peut également être décrite comme un ensemble de boucles sans auto-intersection qui séparent les amas de percolation des amas de la configuration duale<fnref n="3" />. Étant donné deux ensembles $\mathcal{F}$ et $\tilde{\mathcal{F}}$ de boucles sans auto-intersection dans le plan, on définit alors une distance entre elles de la manière suivante. Étant donné $\eta > 0$ (petit), on note $\mathcal{B}_{\eta} \subset \mathbb{R}^2$ un grand morceau d'un réseau fin dans $\mathbb{R}^2$, par exemple $\mathcal{B}_{\eta} = \eta\mathbb{Z}^2 \cap [-\eta^{-1}, \eta^{-1}]^2$. Étant donné une boucle $\gamma$ et en supposant que son image ne coupe pas l'ensemble $\mathcal{B}_{\eta}$, on désigne alors par $[\eta]_{\gamma}$ sa classe d'homotopie dans $\mathbb{R}^2 \setminus \mathcal{B}_{\eta}$. On postule alors que $d_H(\tilde{\mathcal{F}}, \mathcal{F}) \le \eta$ si et seulement si, pour tout $\gamma \in \tilde{\mathcal{F}}$ qui contient au moins deux éléments de $\mathcal{B}_{\eta}$ mais pas tous, il existe $\tilde{\gamma} \in \tilde{\mathcal{F}}$ tel que $[\gamma]_{\eta} = [\tilde{\gamma}]_{\eta}$ et vice versa. Le H signifie ici « homotopie ».

Étant donné un espace métrique (M, d), la distance d se relève naturellement en une distance sur l'espace des mesures de probabilité sur M qui respecte la topologie de la convergence faible (au moins quand M est « gentil », par exemple polonais). Cela se fait en considérant la distance de Wasserstein (dite aussi de Kantorovitch-Rubinstein ou

<footnote n="3">3. En fait, elle produit naturellement deux ensembles de boucles, selon que la boucle entoure un amas de percolation de la configuration primaire ou de la configuration duale, mais nous ne tiendrons pas compte de ce détail dans le cadre de notre exposé.</footnote>
de Monge-Kantorovitch)

$$d(\mu, \nu) = \inf_{\mathbb{P} \in C(\mu, \nu)} \int d(x, y) \mathbb{P}(dx, dy),$$

où $C(\mu_1, \mu_2)$ désigne l'ensemble de tous les couplages entre $\mu_1$ et $\mu_2$, c'est-à-dire les mesures de probabilité sur $\mathbb{M}^2$ dont la i-ième marginale est égale à $\mu_i$. Notons qu'avec cette définition, l'application qui à $x$ associe la mesure de probabilité $\delta_x$ concentrée en $x$ est une isométrie.

Fixons maintenant une fois pour toutes $q \in [1, 4]$ et considérons un domaine lisse, borné et simplement connexe $\Omega \subset \mathbb{R}^2$. Pour $\varepsilon > 0$, on note $\mathbb{P}_{\varepsilon, \Omega}$ la mesure FK critique (vue comme une mesure sur des ensembles de boucles) sur $\varepsilon\mathbb{Z}^2 \cap \Omega$ avec des conditions aux limites libres. Notons également $\mathbb{P}_{\varepsilon}$ la limite de $\mathbb{P}_{\varepsilon, \Omega}$ lorsque $\Omega \to \mathbb{R}^2$. Étant donné un angle $\theta \in \mathbb{R}$, notons également $\mathbb{R}_{\theta}$ la rotation de $\theta$, qui agit naturellement sur les boucles dans $\mathbb{R}^2$. L'invariance par rotation à grande échelle du modèle FK critique peut alors être formulée comme suit.

**Théorème 5.** Pour tout domaine $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ comme ci-dessus et tout angle $\theta$, on a

$$\lim_{\varepsilon \to 0} d_{\mathbb{H}}(\mathbb{R}_{\theta}^{*} \mathbb{P}_{\varepsilon, \Omega}, \mathbb{P}_{\varepsilon, \mathbb{R}_{\theta} \Omega}) = 0.$$

$$\textit{De plus, } \lim_{\varepsilon \to 0} d_{\mathbb{H}}(\mathbb{R}_{\theta}^{*} \mathbb{P}_{\varepsilon}, \mathbb{P}_{\varepsilon}) = 0.$$

Nous nous concentrons uniquement sur le second énoncé, car il s'avère que le premier peut s'en déduire sans trop d'efforts. En fait, les auteurs de [19] montrent un type d'énoncé d'universalité pour le modèle FK sur les réseaux rectangulaires, mais sa formulation nécessite une certaine préparation. Nous commençons par définir une classe particulière de plongements isoradiaux du réseau carré bidimensionnel dans le plan. Rappelons qu'un graphe planaire plongé dans le plan est isoradial si, pour toute face $f$, il existe un cercle de rayon 1 qui contient tous les sommets de $f$. Par exemple, le plongement canonique du réseau carré est isoradial.

Étant donné une suite bi-infinie $\alpha: \mathbb{Z} \to ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$, nous considérons l'application $\iota_{\alpha}: \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{R}^2$ donnée par

$$\iota_{\alpha}: (x, y) \mapsto (x + s_{y}, c_{y}),$$

$$s_y = \sum_{k \in ]0, y]} \sin(\alpha_k), \quad c_y = \sum_{k \in ]0, y]} \cos(\alpha_k),$$
avec la convention que pour $y < 0$, $\sum_{[0,y]} = -\sum_{[y,0]}$. Ceci définit un graphe isoradial $L(\alpha)$ en considérant le plongement de $\{(x,y) : x + y \text{ pair}\}$ (joints par des arêtes diagonales) par $l_\alpha$ (voir figure 3). Le graphe dual $L^*(\alpha)$ de $L(\alpha)$ est alors donné par le plongement de $\{(x,y) : x+y \text{ impair}\}$. Le « graphe en losanges » associé a pour sommets à la fois les sommets de $L(\alpha)$ et les centres de ses faces, et ses arêtes sont données par toutes les paires $(v, f)$ avec $v$ un sommet et $f$ une face telle que $v \in f$. Le graphe en losanges est simplement donné par le plongement du réseau habituel $\mathbb{Z}^2$ avec les arêtes les plus proches par $l_\alpha$.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIG. 3 – Exemples de graphes $L(\alpha)$. À gauche se trouve un $\alpha$ générique, tandis qu’à droite $\alpha$ est constant mais non nul. Le graphe lui-même est en noir, les sommets de son graphe dual sont en blanc, et le graphe en losange associé est en gris clair. En pointillé, on a tracé l’un des axes de symétrie du second graphe.</figcaption></figure>

Il est crucial à ce stade de noter que le modèle FK critique sur $L(\alpha)$ n’est pas donné en considérant simplement l’image du modèle FK critique sur $\mathbb{Z}^2$ par l’application $l_\alpha$. Au lieu de cela, on repondère chaque arête du graphe d’une manière très particulière qui dépend de la longueur de l’arête. Plus précisément, si l’on considère une configuration du modèle FK comme un sous-ensemble $\omega \subset E$ de l’ensemble des arêtes du graphe (fini) sur lequel le modèle est considéré, la probabilité de voir une configuration donnée $\omega$ est proportionnelle à

$$ \left(\prod_{e \in \omega} p_e\right) \left(\prod_{e \in E \setminus \omega} (1-p_e)\right) q^{k(\omega)}, \qquad (12) $$

où $k(\omega)$ représente le nombre de composantes connexes du sous-
graphe $\omega$. La formule pour $p_e$ en fonction de $q$ et de la longueur de l'arête $e$ est explicite mais n'est pas pertinente dans le cadre de cette discussion.

L'étape la plus importante de la démonstration est de montrer que les propriétés de connectivité à grande échelle du modèle FK critique sur $L(\alpha)$ sont très proches de celles du modèle sur $L(T_j\alpha)$, où $T_j$ échange la $j$-ième et la $(j+1)$-ième composante :

$$ (T_j\alpha)_k = \begin{cases} \alpha_{j+1} & \text{si } k = j, \\ \alpha_j & \text{si } k = j+1, \\ \alpha_k & \text{sinon.} \end{cases} $$

En outre, il existe un couplage naturel entre les mesures FK sur les deux réseaux qui met en œuvre cette « fermeture ». Cette partie de la démonstration exploite le lien avec le modèle à six sommets et sa « résolubilité » à l'aide du formalisme des matrices de transfert. On en déduit alors que le modèle sur le réseau standard $L(0)$ est très proche de celui sur un réseau rectangulaire tourné $L(\alpha)$ avec $k \mapsto \alpha_k$ constant (voir la moitié droite de la figure 3). Cela fonctionne en fixant un grand $N > 0$ (qui est ensuite envoyé à l'infini) et en partant de $\alpha_k^{(i)} = \alpha \mathbf{1}_{k \ge N}$, puis en échangeant les composantes de manière à déplacer certaines des composantes non nulles vers le bas jusqu'à ce que l'on obtienne $\alpha_k^{(f)} = \alpha(\mathbf{1}_{|k| \le N} + \mathbf{1}_{k > 3N})$. Comme on a $L(0) \approx L(\alpha^{(i)})$ et $L(\alpha) \approx L(\alpha^{(f)})$, l'énoncé s'ensuit si l'on peut contrôler l'erreur commise à chaque étape de l'algorithme. Cela s'avère extrêmement délicat et il faut exploiter de subtiles annulations stochastiques en cours de route. Une astuce consiste à permettre aux sommets de l'ensemble $B_\eta$ autour duquel les classes d'homotopie sont calculées de se déplacer un peu à chaque application d'un opérateur de permutation $T_j$ et de montrer que ce mouvement finit par être diffusif (et donc « lent ») plutôt que balistique.

Une fois que l'on sait que

$$ \lim_{\epsilon \to 0} d_H(\mathbb{P}_{\epsilon,L(0)}, \mathbb{P}_{\epsilon,L(\alpha)}) = 0, $$

la seconde partie du théorème 5 s'ensuit immédiatement. L'idée est simplement de noter que $L(\alpha)$ est invariant par réflexion le long d'une droite d'angle $\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{2}$, mais que l'effet de cette réflexion sur $L(0)$ est le même que celui d'une rotation d'angle $\alpha$ (puisqu'il est lui-même
invariant par réflexion le long d'une droite d'angle $\frac{\pi}{4}$), de sorte que

$$d_H(\mathbb{P}_{\varepsilon}, \mathbb{R}_{\alpha}^* \mathbb{P}_{\varepsilon}) \le d_H(\mathbb{P}_{\varepsilon,L(0)}, \mathbb{P}_{\varepsilon,L(\alpha)}) + d_H(\mathbb{P}_{\varepsilon,L(\alpha)}, \mathbb{R}_{\alpha}^* \mathbb{P}_{\varepsilon,L(0)}) \\ = 2d_H(\mathbb{P}_{\varepsilon,L(0)}, \mathbb{P}_{\varepsilon,L(\alpha)}).$$

L'affirmation s'ensuit.

**Financement.** Ce travail a été partiellement soutenu par la Société royale de Londres grâce à une chaire de recherche.

**Bibliographie**

[1] Phys. Rev. Lett., n° 47, 1981, p. 1-4.

[2] Commun. Math. Phys., n° 86, 1982, p. 1-48.

[3] Ann. Math., n° 194, 2021, p. 163-235.

[4] Commun. Math. Phys., n° 334, 2015, p. 719-742.

[5] J. Stat. Phys., n° 44, 1986, p. 393-454.

[6] J. Stat. Phys., n° 157, 2014, p. 692-742.

[7] J. Stat. Phys., n° 159, 2015, p. 492-529.

[8] Stud. Appl. Math., n° 50, 1971, p. 51-69.

[9] J. Phys. C - Solid State, n° 6, 1973, p. L445-L448.

[10] J. Phys. A - Math. Gen., n° 9, 1976, p. 397-406.

[11] Probab. Theory Rel. Fields, n° 153, 2012, p. 511-542.

[12] Math. Proc. Cambridge, n° 53, 1957, p. 629-641.

[13] Ann. Probab., n° 43, 2015, p. 528-571.

[14] Ann. inst. H. Poincaré - Probab., n° 52, 2016, p. 146-161.

[15] Invent. math., n° 189, 2012, p. 515-580.

[16] DUMINIL-COPIN (Hugo), « 100 years of the (critical) Ising model on the hypercubic lattice », dans Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berlin, EMS Press, 2022, vol. I, p. 164-210.

[17] Ann. sci. Éc. norm. supér., n° 54, 2021, p. 1363-1413.

[18] Commun. Math. Phys., n° 324, 2013, p. 401-423.

[19] arXiv, 2012.11672.

[20] Ann. Math., n° 189, 2019, p. 75-99.

[21] Commun. Math. Phys., n° 349, 2017, p. 47-107.

[22] Helv. Phys. Acta, n° 44, 1971, p. 884-909.

[23] Phys. Rev. D, n° 86, 2012, article 025022.

[24] J. Stat. Phys., n° 157, 2014, p. 869-914.

[25] Commun. Math. Phys., n° 37, 1974, p. 93-120.

[26] Commun. Math. Phys., n° 109, 1987, p. 437-480.
[27] *Ann. Phys.*, n° 97, 1976, p. 80-135.

[28] *Physica*, n° 57, 1972, p. 536-564.

[29] *Nuclear Phys. B*, n° 200, 1982, p. 281-296.

[30] *Commun. Math. Phys.*, n° 62, 1978, p. 1-34.

[31] *Commun. Math. Phys.*, n° 50, 1976, p. 79-95.

[32] *Phys. Rev. Lett.*, n° 54, 1985, p. 92-94.

[33] *Commun. Math. Phys.*, n° 10, 1968, p. 1-47.

[34] *Fortschr. Physik*, n° 21, 1973, p. 327-376.

[35] *J. Math. Phys.*, n° 11, 1970, p. 790-795.

[36] GRIMMETT (Geoffrey), *Percolation*, 2ᵉ éd., Springer, 1999.

[37] *Invent. math.*, n° 198, 2014, p. 269-504.

[38] *Ann. inst. H. Poincaré - Probab.*, n° 54, 2018, p. 1314-1340.

[39] *Probability and Phase Transition*, Dordrecht, Kluwer, 1994, p. 87-122.

[40] *J. Stat. Phys.*, n° 47, 1987, p. 99-121.

[41] *Z. Phys.*, n° 31, 1925, p. 253-258.

[42] *Fractal Geometry and Applications : A Jubilee of Benoît Mandelbrot, Part 2*, American Mathematical Society, 2004, p. 339-364.

[43] *Z. Phys.*, n° 21, 1920, p. 613-615.

[44] *Canad. Math. Bull.*, n° 57, 2014, p. 113-118.

[45] *Duke Math. J.*, n° 165, 2016, p. 3241-3378.

[46] *Commun. Pur. Appl. Math.*, n° 73, 2020, p. 2519-2555.

[47] *Mathematical Theory of Elementary Particles*, MIT Press, 1966, p. 69-73.

[48] *J. Funct. Anal.*, n° 12, 1973, p. 97-112.

[49] *46<sup>th</sup> Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science*, 2005, p. 31-39.

[50] *Phys. Rev.*, n° 65, 1944, p. 117-149.

[51] *Commun. Math. Phys.*, n° 31, 1973, p. 83-112.

[52] *Commun. Math. Phys.*, n° 42, 1973, p. 281-305.

[53] *Proc. Cambridge Philos. Soc.*, n° 48, 1952, p. 106-109.

[54] *Commun. Math. Phys.*, n° 272, 2007, p. 283-344.

[55] *Israel J. Math.*, n° 118, 2000, p. 221-288.

[56] *Ann. Probab.*, n° 39, 2011, p. 1768-1814.

[57] SIMON (Barry), *The P(φ)₂ Euclidean (quantum) field theory*. Princeton University Press, 1974.

[58] *Commun. Math. Phys.*, n° 33, 1973, p. 145-164.

[59] *Proc. Roy. Soc. London Ser. A*, n° 322, 1971, p. 251-280.

[60] *Phys. Rev.*, n° 85, 1952, p. 808-816.
Les travaux de June Huh (par Gil KALAI)

June Huh<fnref n="1" /> a trouvé des liens étonnants entre la géométrie algébrique et la combinatoire, résolu des problèmes centraux en combinatoire qui étaient restés ouverts pendant des décennies, et développé une théorie d'une grande importance pour les deux domaines. June Huh a reçu la médaille Fields 2022 « pour avoir apporté les idées de la théorie de Hodge à la combinatoire, pour la démonstration de la conjecture de Dowling-Wilson pour les treillis géométriques, pour la démonstration de la conjecture de Heron-Rota-Welsh pour les matroïdes, pour le développement de la théorie des polynômes lorentziens et pour la démonstration de la conjecture forte de Mason ». Dans cet article, je passerai en revue certaines des contributions de June Huh.

June Huh a apporté des contributions fondamentales à la combina-
toire et à la géométrie algébrique. Ses travaux ont permis d'établir des
liens profonds entre ces deux domaines. Ce document décrit certaines
des principales réalisations de Huh et donne quelques informations
générales principalement sur les aspects combinatoires de son travail.

La conjecture d'unimodalité de Heron-Rota-Welsh [33,55,63] affirme
que les coefficients du polynôme caractéristique d'un matroïde forment
une suite log-concave. Cela implique que la suite des coefficients est
unimodale. Un cas particulier de cette conjecture est une conjecture
antérieure de Read, qui affirmait que les coefficients du polynôme
chromatique d'un graphe sont unimodaux. En 2009, June Huh a utilisé
la géométrie algébrique pour démontrer la conjecture d'unimodalité de
Read [34] pour les graphes et la conjecture plus générale de Heron-Rota-
Welsh pour les matroïdes représentés sur un corps de caractéristique
nulle. Le cas des matroïdes représentables sur un corps de caractéris-
tique non nulle et le cas des matroïdes généraux restaient ouverts. June
Huh et Eric Katz [37] ont trouvé en 2010 une approche différente par
la géométrie algébrique et ont résolu le cas des matroïdes représen-
tables sur un corps de caractéristique quelconque. La conjecture de
Heron-Rota-Welsh a été finalement démontrée en toute généralité en

<footnote>KALAI (Gil), « The work of June Huh », dans *Proc. Int. Cong. Math. 2022*, vol. I, p. 50-65.
DOI 10.4171/ICM2022/211</footnote>

<footnote n="1">1. NDT. Avec le nom avant le prénom, on peut aussi écrire « Hõ Jun-i » ou « Heo Jun-i », où le *u* se prononce *ou*.</footnote>
2015 par Karim Adiprasito, June Huh et Eric Katz [2]. Pour ce faire, il était nécessaire d'étendre des théorèmes de géométrie algébrique (principalement les relations de Hodge-Riemann et le théorème de Lefschetz « difficile »<fnref n="2" />) à des cas qui dépassaient largement le cadre de la géométrie algébrique. Huh et ses coauteurs ont développé une théorie entièrement nouvelle d'un grand intérêt et d'une grande importance.

June Huh et Botong Wang<fnref n="3" /> [39] ont utilisé des liens avec la géométrie algébrique pour démontrer la conjecture de Dowling-Wilson. Considérons une configuration P de n points qui engendrent un espace de dimension d. Soit $w_i$ le nombre d'espaces vectoriels de dimension i engendrés par les points.

Motzkin a conjecturé dans sa thèse de doctorat de 1936 et démontré dans le cadre du corps des nombres réels en 1951 [49] que $w_1 \le w_{d-1}$. Le cas $d=3$ (dans une formulation de plan affine) a été démontré en 1948 par De Bruijn et Erdős. Leur démonstration combinatoire abstraite s'applique pour toute caractéristique.

La conjecture « top heavy » de Dowling-Wilson [22] affirme que

$$w_i \le w_{d-i} \quad \text{si} \quad i \le \lfloor d/2 \rfloor.$$

Tom Braden, June Huh, Jacob Matherne, Nicholas Proudfoot et Botong Wang [12] ont démontré une généralisation de la conjecture de Dowling-Wilson pour des matroïdes arbitraires (de rang $d$).

La conjecture de Mason (sur les nombres d'indépendants) affirme [44] que la suite des nombres d'ensembles indépendants de taille $k$ de matroïdes généraux est log-concave. Elle se décline en plusieurs niveaux. Suite au premier résultat de Huh, Mathias Lenz [42] a démontré la conjecture pour les matroïdes représentables sur les réels. Adiprasito [2] l'a démontrée pour les matroïdes généraux. June Huh, Benjamin Schröter et Botong Wang [38] ont démontré la conjecture de Mason forte pour les matroïdes arbitraires en s'appuyant sur [2].

Ces travaux ont conduit à d'autres avancées par plusieurs groupes de chercheurs. Je voudrais en particulier mentionner la solution par Anari, Oveis Gharan et Vinzant [4] de la conjecture de Mihail-Vazirani sur la constante d'expansion et le mélange rapide pour les marches aléatoires sur les matroïdes, ainsi que les travaux de Brändén et Huh [13] sur les inégalités de corrélation pour le modèle de Potts.

Nous discutons dans la section 1 des polynômes chromatiques et de la conjecture de Read, dans la section 2 des matroïdes et de la

<footnote n="2">2. NDT. Également appelé « théorème de Lefschetz vache ».</footnote>

<footnote n="3">3. NDT. Le prénom est ici avant le nom, contrairement à la règle en chinois.</footnote>
conjecture de Heron-Rota-Welsh, dans la section 3 de la conjecture de Dowling-Wilson. La section 4 est consacrée à la géométrie algébrique, à la théorie de Hodge et aux conjectures standard de Grothendieck. Dans la section 5, nous discutons des conjectures de Mason, de quelques applications et de liens récents. Andreï Okounkov [50] a écrit récemment un article de synthèse destiné au grand public sur les travaux de Huh et sur leur contexte mathématique.

# 1 Graphes, polynômes chromatiques et conjecture de Read

## 1.1 La conjecture des quatre couleurs et les polynômes chromatiques

Une coloration d'un graphe G est une coloration des sommets de G telle que deux sommets adjacents quelconques soient colorés avec des couleurs différentes. La coloration des graphes est d'une importance capitale dans la théorie des graphes et dans les algorithmes de graphes.

**Théorème 1** (théorème des quatre couleurs, Appel et Haken, 1976). *Tout graphe planaire peut être coloré avec quatre couleurs.*

La conjecture des quatre couleurs a été proposée (sous une forme duale pour les cartes planaires) par Francis Guthrie en 1852 et démontrée par Kenneth Appel et Wolfgang Haken en 1976.

Pour un graphe G, soit $\chi_G(k)$ le nombre de colorations de G avec k couleurs. On appelle $\chi_G(k)$ le polynôme chromatique du graphe G. Les polynômes chromatiques ont été introduits par George Birkhoff pour les cartes planaires comme outil possible pour l'étude de la conjecture des quatre couleurs. Hassler Whitney a étendu par la suite la définition aux graphes quelconques. William Tutte a trouvé une généralisation d'une grande portée, aujourd'hui appelée polynôme de Tutte. Il a également introduit les invariants de Tutte-Grothendieck pour les graphes, qui peuvent être considérés comme un pont précoce entre la théorie des graphes et la géométrie algébrique. Les opérations de suppression-contraction constituent l'un des points de départ des travaux de Tutte. Pour un graphe G et une arête e de G, désignons par $G\setminus e$ le graphe obtenu en supprimant l'arête e, et par $G/e$ le graphe obtenu en contractant l'arête e, c'est-à-dire en fusionnant ses deux sommets en un seul sommet adjacent aux voisins des deux sommets. Il y a une relation fondamentale pour les polynômes chromatiques :

$$ \chi_G(k) + \chi_{G\setminus e}(k) = \chi_{G\setminus e}(k). $$
Cette relation conduit à une démonstration par récurrence facile du fait que le polynôme chromatique est bien un polynôme. Un graphe H est appelé un mineur d'un graphe G s'il peut être obtenu à partir de G par une suite de suppressions et de contractions. Richard Stanley a démontré [58] que $\chi_G(-1)$ est égal au nombre d'orientations acycliques de G.

## 1.2 La conjecture de Read

Ronald Read a proposé en 1968 la conjecture suivante. Si

$$ \chi_G(x) = a_n x^n - a_{n-1} x^{n-1} + \dots + (-1)^i a_{n-i} x^{n-i} + \dots, $$

alors la suite $a_0, a_1, \dots, a_n$ est unimodale.

Une conjecture beaucoup plus générale a été émise peu de temps après par Andrew Heron, Gian-Carlo Rota et Dominic Welsh. Ils ont également conjecturé une affirmation plus forte, à savoir que la suite des coefficients est en fait log-concave :

$$ (a_k)^2 \ge a_{k-1} a_{k+1}, \quad k = 1, 2, \dots, n-1. $$

**Théorème 2** (June Huh [34]). La suite des coefficients du polynôme chromatique $\chi_G(x)$ de tout graphe G est log-concave.

De nombreux chercheurs ont étudié l'unimodalité et la log-concavité de suites issues de la combinatoire et de l'algèbre. Dans ce contexte, j'aimerais renvoyer le lecteur aux articles de synthèse [15, 16, 61]. Une propriété plus forte que la log-concavité des coefficients des polynômes réels est celle de n'avoir que des racines réelles. Ce n'est pas le cas des polynômes chromatiques des graphes en général (mais la localisation des racines reste un sujet fascinant). L'unimodalité des nombres d'éléments en fonction de leur hauteur dans les ensembles partiellement ordonnés gradués généraux est également liée à l'importante « propriété de Sperner » des ensembles partiellement ordonnés. Remarquons qu'il existe des cas où l'unimodalité attendue ne s'est pas vérifiée, par exemple l'unimodalité des nombres de faces des polytopes [11] et des treillis de Young [62].

J'ai entendu parler pour la première fois de la démonstration surprenante de Huh de la conjecture de Read dans un article de 2011 de Jiří Matoušek [45], qui considérait ce résultat parmi quelques autres comme le début d'une nouvelle ère en géométrie discrète et qui écrivait :
« Pour moi, 2010 ressemble à une année miraculeuse dans plusieurs domaines parmi mes centres d'intérêt en mathématiques. J'énumère ci-dessous sept faits marquants et percées, principalement dans le domaine de la géométrie discrète, en espérant partager un peu de mon émerveillement et de mon plaisir avec les lecteurs. »

La démonstration de Huh s'appuie sur des liens entre le problème et les singularités des fonctions localement analytiques, et finalement les multiplicités mixtes de certains idéaux. Dans sa démonstration, Huh a relié les coefficients du polynôme chromatique aux nombres de Milnor d'un arrangement d'hyperplans complexes associé au graphe G. Comme nous le verrons dans la section suivante, sa démonstration se généralise à des arrangements d'hyperplans complexes arbitraires. Le lien établi par Huh entre les polynômes chromatiques des graphes et la géométrie algébrique a été d'une part une surprise totale, mais il était lié d'autre part à plusieurs développements autour de la combinatoire algébrique qui dataient du milieu des années soixante-dix. Les découvertes ultérieures de Huh, où il a appliqué la géométrie algébrique et en particulier la théorie de Hodge à la combinatoire, ont magnifiquement combiné des idées nouvelles et anciennes.

# 2 Les matroïdes et la conjecture de Heron-Rota-Welsh

## 2.1 Les matroïdes

Soit $X = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$ un ensemble de points dans un espace vectoriel quelconque. On peut associer à $X$ :

- l'ensemble des indépendants (c'est-à-dire des sous-ensembles linéairement indépendants) de $X$;

- l'ensemble des bases de $X$ (une base est un ensemble indépendant maximal);

- l'ensemble des circuits de $X$ (un circuit est un ensemble dépendant minimal);

- l'ensemble des fermés<fnref n="4" /> de $X$ (un fermé est un sous-ensemble qui est stable par combinaison linéaire);

<footnote n="4">4. NDT. Voir : GIOAN (Emeric) et RAMÍREZ ALFONSÍN (Jorge), « Éléments de théorie des matroides et matroides orientés », dans Informatique mathématique : une photographie en 2013, Presses universitaires de Perpignan, 2013. On peut trouver également en français « l'ensemble des plats ».</footnote>
— la fonction rang qui associe à un sous-ensemble Y de X la dimension de l'espace vectoriel engendré par Y.

Les matroïdes ont été introduits par Hassler Whitney [65] comme une généralisation des configurations de points dans les espaces vectoriels ou comme une abstraction de la notion de dépendance linéaire. La théorie des matroïdes est un exemple d'abstraction très réussie et une source d'exemples très utiles et explicites. La théorie des matroïdes a plusieurs liens avec la théorie des algorithmes, avec l'optimisation, ainsi qu'avec la logique mathématique.

Chacune des cinq notions que nous avons mentionnées plus haut (les indépendants, les bases, les circuits, les fermés et la fonction rang) donne lieu à une définition axiomatique des matroïdes. Toutes ces définitions axiomatiques sont équivalentes. La définition des matroïdes basée sur les indépendants est donnée par les propriétés suivantes :

1. Les sous-ensembles d'indépendants sont eux-mêmes indépendants.

2. Pour tout sous-ensemble Y de X, tous les indépendants maximaux de Y ont le même cardinal.

La première propriété signifie que l'ensemble des indépendants est un complexe simplicial abstrait, tandis que la seconde affirme que, pour tout sous-ensemble Y de l'ensemble X, le complexe induit sur Y est pur.

Pour un complexe simplicial abstrait K sur un ensemble X, nous pouvons définir son dual

$$K^* = \{S \subset X : X \setminus S \not\subset M\}.$$

Si M est un matroïde, nous pouvons définir son dual comme le matroïde dont le complexe d'indépendants est le dual du complexe d'indépendants de M.

## 2.2 Des graphes aux matroïdes

Soit G un graphe (connexe) à n sommets $\{v_1, v_2, \dots, v_n\}$. Supposons que $e_1, e_2, \dots, e_n$ soit la base standard dans un espace vectoriel de dimension n sur un corps F. Nous associons à chaque arête $e = \{v_i, v_j\}$ avec $i < j$ le vecteur $e_i - e_j$. De manière remarquable, nous obtenons le même matroïde quel que soit le corps avec lequel nous commençons. Ce matroïde est appelé le matroïde graphique associé à G. Il est facile de voir dans ce cas que les bases correspondent à des arbres couvrants, que les circuits correspondent à des cycles élémentaires, que les indépendants
correspondent à des forêts couvrantes, et que la fonction rang pour le sous-graphe H qui correspond à un ensemble d'arêtes vaut *n* moins le nombre de composantes connexes de H.

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>FIG. 1 – Des classes importantes de matroïdes. À droite : Les matroïdes fournissent également une abstraction de la notion de dépendance algébrique. La grande et mystérieuse classe des matroïdes algébriques se compose de matroïdes qui peuvent être représentés par des relations de dépendance algébrique sur un certain corps. À gauche : Tutte a caractérisé les matroïdes graphiques en termes de mineurs interdits. Les matroïdes réguliers sont les matroïdes qui peuvent être représentés sur tous les corps ; Paul Seymour [57] a développé une théorie structurelle pour cette classe. Jim Geelen, Bert Gerards et Geoff Whittle (voir [28]) ont récemment démontré que, pour tout corps fini, les matroïdes représentés sur ce corps sont caractérisés par une liste finie de mineurs interdits.</figcaption></figure>

Si M est un matroïde graphique, le matroïde dual peut ne pas être graphique. Pour les graphes planaires cependant, le matroïde dual est le matroïde associé au graphe dual. Les notions de suppression et de contraction se généralisent de la théorie des graphes à la théorie des matroïdes. Ces deux opérations sont en effet duales dans le cadre de la dualité des matroïdes.

## 2.3 Fonction rang, polynômes caractéristiques et conjecture de Heron-Rota-Welsh

La fonction rang d'un matroïde associe un entier positif ou nul $r(Y)$ à chaque sous-ensemble $Y \subset X$, avec les propriétés suivantes :

$$ (i) r(\emptyset) = 0, $$
$$
(ii) r(A \cup B) \le r(A) + r(B) - r(A \cap B),
$$

$$
(iii) r(A) \le r(A \cup \{b\}) \le r(A) + 1.
$$

Le polynôme caractéristique d’un matroïde M sur un ensemble X est défini par

$$
\chi_M(\lambda) := \sum_{S \subseteq E} (-1)^{|S|} \lambda^{r(M)-r(S)}. \quad (1)
$$

Si M est un matroïde graphique pour le graphe G, alors $\chi_M(\lambda)$ est le polynôme chromatique de G.

**Théorème 3** (Adiprasito, Huh et Katz [2]). *Les coefficients du polynôme caractéristique d’un matroïde M sont log-concaves.*

June Huh [34] a démontré les résultats pour les matroïdes (considérés comme des arrangements d'hyperplans) représentables sur un corps de caractéristique nulle. Comme nous l'avons mentionné plus haut, la démonstration utilise les nombres de Milnor de l'arrangement. La démonstration de Huh et Katz [37] pour le cas d'une caractéristique quelconque repose sur la théorie de l'intersection de la « compactification magnifique » définie par Corrado De Concini et Claudio Procesi [21] pour les complémentaires d'arrangements d'hyperplans, combinée à une inégalité d'Askold Khovanskii et Bernard Teissier.

Adiprasito, Huh et Katz [2] ont démontré le résultat complet. Cela a nécessité une extension considérable des résultats de la géométrie algébrique aux anneaux de cohomologie de variétés algébriques qui n'existent pas. Voici la description de l'une des premières étapes de l'argumentation : la définition originale de De Concini et Procesi de la « compactification magnifique » s'appliquait aux matroïdes réalisables, mais Feichtner et Yuzvinsky ont défini en 2004 [25] un anneau commutatif associé à un matroïde arbitraire qui se réduit à l'anneau de cohomologie d'une compactification magnifique dans le cas réalisable.
Citons un extrait de [2] :

« Après l'achèvement de [37], on s'est progressivement
rendu compte que la validité des relations de Hodge-
Riemann pour l'anneau de Chow de M était un ingrédient
vital pour la démonstration des conjectures de log-concavité.
Alors que l'anneau de Chow de M pouvait être défini pour
un [matroïde] M arbitraire, la manière de formuler et de
démontrer les relations de Hodge-Riemann n'était pas claire.
Du point de vue de [25], l'anneau A*(M)R est l'anneau de
Chow d'une variété torique lisse mais non compacte X(ΣM).
Il n'y a pas de moyen évident de se ramener au cas classique des variétés projectives. »

Nous discuterons de certains aspects liés à la géométrie algébrique dans la section 4. Remarquons que les résultats algébriques de [2] s'appliquent en fait à des objets géométriques plus généraux, bien au-delà des matroïdes.

# 3 La conjecture de Dowling-Wilson

## 3.1 Le contexte : les théorèmes de De Bruijn-Erdős, Motzkin, Greene et la démonstration par l'algèbre linéaire de Ryser

**Théorème 4.** *Un ensemble de $n$ points du plan qui ne sont pas tous sur la même droite détermine au moins $n$ droites.*

On dit ici qu'une configuration de points détermine une droite $ℓ$ si la droite contient deux points (distincts) de la configuration.

*Démonstration.* D'après le théorème de Sylvester-Gallai, il existe une droite qui contient exactement deux points de la configuration. Le théorème en résulte par récurrence lorsque l'on supprime l'un de ces deux points de la configuration. □

Le théorème de Sylvester-Gallai ne s'applique pas en caractéristique deux, comme le montre le plan de Fano. Il ne s'applique pas non plus au plan complexe. En revanche, la démonstration de Nicolaas De Bruijn et Paul Erdős utilise un raisonnement combinatoire abstrait qui ne repose que sur le tout premier axiome d'Euclide : « par deux points distincts, il passe une droite et une seule. » Herbert Ryser [53] a donné une démonstration algébrique du théorème, que voici.

*Démonstration.* Considérons la matrice d'incidence (avec des 0 et des 1) dont les lignes correspondent aux points de la configuration et les colonnes aux droites déterminées par ces points. Notons $c_1, c_2, \dots, c_m$ les colonnes de la matrice d'incidence. Remarquons que le produit scalaire de deux lignes distinctes est égal à 1. Notons $b_i = \langle c_i, c_i \rangle$ le nombre de points sur la i-ième ligne ($b_i > 1$). Supposons

$$ \sum \alpha_i c_i = 0. $$

On écrit

$$ 0 = \langle \sum \alpha_i c_i, \sum \alpha_i c_i \rangle = \sum \alpha_i^2 (b_i - 1) + (\sum \alpha_i)^2. $$
<figure><img src="image_10.png" /></figure>

FIG. 2 – Des exemples importants de matroïdes. De gauche à droite : le matroïde de Fano, le matroïde de Vámos et le matroïde non-Pappus. Les points du plan de Fano violent le théorème de Sylvester-Gallai et ne sont donc pas représentables sur les réels. En fait, le matroïde de Fano est représentable sur un corps F si et seulement si la caractéristique de F est 2. Le matroïde de Vámos n’est pas algébrique. L’antique théorème de Pappus implique que le matroïde non-Pappus n’est représentable sur aucun corps. Bernt Lindström a démontré qu’il est algébrique. Images de Wikipédia et du blogue matroidunion.org.

On en déduit que les lignes sont linéairement indépendantes et donc
que l'on doit avoir $m \le n$. $\square$

La démonstration de Ryser a été le point de départ de nombreuses
démonstrations algébriques en combinatoire. Nous laissons comme
exercice de montrer qu'elle implique qu'il existe une bijection $\psi(p)$ des
points vers les droites telle que $p \in \psi(p)$.

Theodore Motzkin a étudié le théorème en dimensions supérieures.
Il a conjecturé (déjà dans sa thèse de 1936) que *n* points dans un
espace de dimension *d* qui engendrent de manière affine l'espace
engendrent au moins *n* hyperplans. Motzkin lui-même a démontré le
résultat ainsi qu'une généralisation du théorème de Sylvester-Gallai
pour les configurations dans les espaces vectoriels réels de dimensions
supérieures [49]. Curtis Greene [30] a démontré un théorème plus
fort : il existe une bijection $\psi$ de chaque point $p$ vers un hyperplan qui
contient $p$.

Passons maintenant aux matroïdes de rang *d* (notons que la dépendance affine des points dans un espace vectoriel de dimension *d* décrit un matroïde de rang *d* + 1). En 1974, Thomas Dowling et Richard Wilson
ont conjecturé que

$$w_i \le w_{d-i} \text{ si } i < d - i.$$

Cette conjecture est appelée « conjecture top-heavy ».

## 3.2 Démonstration de la conjecture de Dowling-Wilson

**Théorème 5** (Braden, Huh, Matherne, Proudfoot et Wang, 2020 [12]).
Soit $M$ un matroïde. Soit $\mathcal{L}^k(M)$ l'ensemble des fermés de rang $k$ de $M$. Alors pour tout $k$ et tout $j$ tels que $k \le j \le \text{rang}(M) - k$,

1. Le cardinal de $\mathcal{L}^k(M)$ est au plus égal au cardinal de $\mathcal{L}^j(M)$.

2. Il existe une injection $\psi$ de $\mathcal{L}^k(M)$ dans $\mathcal{L}^j(M)$ qui vérifie $F \subset \psi(F)$.

Un résultat supplémentaire du même article affirme que si $\Gamma$ est un groupe quelconque agissant sur $M$, alors

3. Il existe une injection $\psi$ de $\mathcal{QL}^k(M)$ dans $\mathcal{QL}^j(M)$ de représentations de permutation de $\Gamma$.

Le cas des matroïdes représentables a été démontré plus tôt par Huh et Wang en 2017 [39]. L'article [12] donne également des conséquences pour les polynômes de Kazhdan-Lusztig de matroïdes (introduits par Elias et Proudfoot).

Notons que la question de savoir si la suite $w_1, w_2, \dots, w_n$ est log-concave reste ouverte, même pour les matroïdes représentables. On ne sait même pas pour les matroïdes de rang 3 si

$$w_2^2 \ge w_1 w_3.$$

C'est ce que l'on appelle la conjecture « points-droites-plans ». Une forme plus forte de cette conjecture (due à Mason) affirme que

$$w_2^2 \ge \frac{3}{2} \frac{w_1 - 1}{w_1 - 2} w_1 w_3.$$

En 1982, Paul Seymour [56] a démontré cette conjecture pour les matroïdes n'ayant pas cinq points sur une droite.

# 4 Le lien avec la théorie de Hodge et la géométrie algébrique

## 4.1 Trois idées fondamentales et autres ingrédients de la démonstration de la conjecture de Heron-Rota-Welsh

Lors d'une conférence à l'ICERM<fnref n="5" /> en 2015, June Huh a déclaré :

<footnote n="5">5. NDT. « Institut de recherche numérique et expérimentale en mathématiques ».</footnote>
« J'aime la solution encore plus que le problème. »

Dans cette conférence (voir aussi [36]), June Huh a expliqué trois idées fondamentales qui ont été utilisées dans la démonstration de la conjecture générale de Heron-Rota-Welsh :

1. L'idée de Bernd Sturmfels selon laquelle un matroïde peut être considéré comme un espace vectoriel tropical.

La géométrie tropicale a en effet fourni à la fois un cadre nécessaire et des indications sur la solution. En bref, les mathématiques tropicales remplacent l'addition traditionnelle par l'opération qui consiste à « prendre le minimum » et la multiplication par l'addition ordinaire. Cette idée est apparue dans plusieurs domaines des mathématiques et de la physique. Elle a joué un rôle important en géométrie énumérative (pour plus de détails, voir [36], la section 5.4 et l'appendice C de [50]).

2. L'idée de Richard Stanley selon laquelle une structure de Hodge polarisée sur la cohomologie des variétés toriques projectives conduit à d'importantes inégalités combinatoires.

Le principal exemple est le théorème *g* pour les polytopes convexes, pour lequel Stanley a utilisé le théorème de Lefschetz difficile pour l'anneau de cohomologie. Un autre exemple notable est la démonstration par Stanley de la conjecture d'Erdős-Moser.

3. L'idée de Peter McMullen selon laquelle la conjecture *g* peut être démontrée entièrement dans le cadre de la théorie des polytopes convexes en utilisant la « connexité par *flips* » des polytopes simpliciaux d'une dimension donnée.

Deux polytopes simpliciaux quelconques sont reliés par une suite de *flips* (également connus sous le nom de « mouvements de Pachner »). McMullen a démontré que la validité du théorème de Lefschetz difficile et des relations de Hodge-Riemann est préservée par les *flips*.

Dans la même conférence, June Huh a mentionné d'autres idées de personnes qui travaillent en combinatoire algébrique et en géométrie algébrique qui ont joué un rôle dans la démonstration. Nous avons déjà mentionné Tessier, Khovanskii, De Concini et Procesi, ainsi que Fleischer et Yuzvinsky. Huh a également mentionné Federico Ardila et Caroline Klivans [6], Angela Gibney et Diane Maclagan [29], Kalle Karu [40], et William Fulton et Robert MacPherson [26,27]. Bien entendu, la démonstration a impliqué un grand nombre d'idées originales supplémentaires (parfois folles) de la part d'Adiprasito, Huh et Katz eux-mêmes.
## 4.2 Dualité de Poincaré, théorème de Lefschetz difficile et relations de Hodge-Riemann

La théorie de Hodge donne lieu à trois conjectures, (DP), (LD) et (HR), appelées conjectures standard, pour certaines algèbres associées à des objets géométriques et combinatoires :

- (DP) signifie « dualité de Poincaré » et affirme que certains espaces vectoriels $A_i$ et $A_{d-i}$ sont duaux (et ont donc la même dimension);

- (LD) signifie « théorème de Lefschetz difficile » et affirme que certaines applications linéaires $\varphi_k$ de $A_k$ dans $A_{k+1}$ ont la propriété que leur composition de $A_i$ jusqu'à $A_{d-i}$ est une injection;

- (HR) signifie « relations de Hodge-Riemann ». (DP) et (LD) impliquent qu'une certaine forme bilinéaire est non dégénérée. (HR) est l'affirmation plus forte que cette forme est définie.

Dans le cas d'une variété algébrique projective lisse $M$, on peut considérer son anneau de cohomologie $A_i = H^{2i}(M)$. Pour le cas des variétés algébriques singulières, qui entrent en jeu dans les versions les plus fortes de la conjecture de Dowling-Wilson, il faut utiliser la cohomologie d'intersection.

June Huh a considéré dans [35] cinq exemples (nous sommes quelque peu imprécis ici) : la cohomologie d'une variété kählerienne compacte, l'anneau des cycles algébriques modulo l'équivalence homologique sur une variété projective lisse, l'algèbre de McMullen engendrée par les sommes de Minkowski d'un polytope convexe simple, la cohomologie d'intersection dans un cadre combinatoire d'un polytope convexe, le bimodule réduit de Soergel d'un élément d'un groupe de Coxeter, et l'anneau de Chow d'un matroïde. Le seul cas parmi ces exemples où les conjectures standard ne sont pas connues est leur apparition originale dans le travail de Grothendieck [31] sur les conjectures de Weil. L'exemple des bimodules de Soergel est lié à la célèbre solution en 2014 de la conjecture de Kazhdan-Lusztig pour les groupes de Coxeter généraux par Ben Elias et Geordie Williamson [23]. S'il est peut-être prématuré de l'attendre, il n'est pas prématuré d'espérer que des liens seront trouvés entre les apparitions combinatoires des conjectures standard et leurs apparitions en théorie des représentations et en théorie des nombres.

Remarques :

1. La démonstration de la conjecture de Heron-Rota-Welsh par June Huh et ses collaborateurs exploite largement la « positivité », à
savoir les relations de Hodge-Riemann. Pour un autre problème central de la combinatoire algébrique, la « conjecture g pour les sphères », la positivité n'est plus disponible. Des techniques remarquables pour la remplacer et ainsi démontrer la conjecture ont été récemment développées d'abord par Adiprasito [1] (la « propriété de Hall-Laman », puis par Stavros Argyrios Papadakis et Vasiliki Petrotou [52] (la « propriété d'anisotropie ») et finalement par Adiprasito, Papadakis et Petrotou [3] (voir également Kalle Karu et Elizabeth Xiao [41] pour une démonstration simplifiée).

2. Les travaux de Karu [40] sur un théorème de Lefschetz difficile pour les polytopes généraux, ceux d'Elias et Williamson [23] sur la conjecture de Kazhdan-Lusztig et ceux de Braden, Huh, Matherne, Proudfoot et Wang [12] sur la conjecture de Dowling-Wilson s'appuient sur (LD) et (HR), non pas pour les extensions combinatoires de l'homologie ordinaire mais pour les extensions combinatoires de l'homologie d'intersection de Goresky et MacPherson.

# 5 Conjecture forte de Mason (sur les nombres d'indépendants), développements associés et applications

## 5.1 La conjecture de Mason et ses versions forte et ultra-forte

Soit M un matroïde à n éléments et soit $i_k(M)$ le nombre d'indépendants de M de taille k. La conjecture de Mason [44] se présente sous plusieurs formes :

— la conjecture de Mason

$$i_k^2(M) \geq i_{k-1}(M) i_{k+1}(M);$$

— la conjecture forte de Mason

$$i_k^2(M) \geq \left(1 + \frac{1}{k}\right) i_{k-1}(M) i_{k+1}(M);$$

— la conjecture ultra-forte de Mason

$$i_k^2(M) \geq \left(1 + \frac{1}{k}\right) \left(1 + \frac{1}{n-k}\right) i_{k-1}(M) i_{k+1}(M).$$

Mathias Lenz a montré [42] comment obtenir la conjecture de Mason pour les matroïdes représentables en se basant sur les travaux de Huh et Katz. Adiprasito, Huh et Katz ont montré comment obtenir
la conjecture de Mason à partir de leurs techniques de théorie de Hodge. Huh, Schröter et Wang ont étendu ces techniques pour démontrer la conjecture de Mason forte. La conjecture ultra-forte a été démontrée en parallèle par Nima Anari, Kuikui Liu, Shayan Oveis Gharan et Cynthia Vinzant [5] avec un raisonnement combinatoire direct et par Brändén et Huh [13, 14] en s’appuyant sur la théorie de Hodge.

Les résultats obtenus par June Huh au cours de la dernière décennie ont donné lieu à de nombreuses recherches sur l’unimodalité et la log-concavité de diverses suites issues de la combinatoire. Dans certains cas, on a trouvé de nouvelles démonstrations combinatoires. On renvoie le lecteur aux articles récents de Swee Hong Chan et Igor Pak [19, 20].

## 5.2 La conjecture de Mihail-Vazirani

Pour un matroïde M sur un ensemble X, considérons un graphe dont les sommets sont toutes les bases de ce matroïde et tel que deux bases soient adjacentes si leur différence symétrique a deux éléments. Milena Mihail et Umesh Vazirani ont conjecturé que pour tout ensemble Y de sommets dans ce graphe, le nombre d’arêtes entre Y et son complémentaire $\tilde{Y}$ est au moins $\min(|Y|, |\tilde{Y}|)$.

Si M est constitué des éléments de la base standard dans $\mathbb{R}^d$ et de leurs opposés, alors le graphe que nous obtenons est le graphe du cube discret à n dimensions et l’assertion de la conjecture de Mihail-Vazirani est une inégalité isopérimétrique bien connue pour le cube discret.

Dans un article pionnier en 1992, Tomás Feder et Milena Mihail [24] ont démontré la conjecture pour les matroïdes équilibrés. Nima Anari, Shayan Oveis Gharan et Cynthia Vinzant [4] ont démontré en 2018 la conjecture de Mihail-Vazirani. Leur démonstration s’appuie sur l’article d’Adiprasito, Huh et Katz mais ils ont pu trouver progressivement des démonstrations élémentaires qui ne dépendent pas de la théorie de Hodge pour les inégalités crucales dont ils avaient besoin. Leur résultat conduit à un algorithme en temps polynomial pour approcher le nombre de bases dans un matroïde.

**Conclusion.** Dans mon compte rendu, je me suis naturellement concentré sur l’aspect combinatoire de l’histoire. Je n’ai pas décrit le lien avec la géométrie tropicale, un domaine majeur à la fois en combinatoire algébrique et en géométrie algébrique. Le lecteur est également invité à consulter les articles de Huh pour en savoir plus sur la théorie des « polynômes lorentziens » développée par June Huh et
ses coauteurs.

C'est un grand plaisir de féliciter June Huh pour ses travaux spectaculaires.

**Financement.** Soutenu par la subvention 834735 du Conseil européen de la recherche et par la subvention ISF 2669/21.

**Bibliographie**

[1] arXiv, 1812.10454.

[2] Ann. Math., n° 188, 2018, p. 381-452.

[3] arXiv, 2101.07245.

[4] Duke Math. J., n° 170, 2021, p. 3459-3504.

[5] arXiv, 1811.01600.

[6] J. Comb. Theory B, n° 96, 2006, p. 38-49.

[7] J. Am. Math. Soc., n° 36, 2023, p. 727-794.

[8] APPEL (Kenneth) et HAKEN (Wolfgang), *Every Planar Map is Four Colorable*, American Mathematical Society, 1985.

[9] *Tohoku Math. J.*, n° 57, 2005, p. 273-292.

[10] *J. Comb. Theory A*, n° 31, 1981, p. 237-255.

[11] *Bull. Am. Math. Soc.*, n° 4, 1981, p. 187-188.

[12] arXiv, 2010.06088.

[13] arXiv, 1811.01696.

[14] arXiv, 1902.03719.

[15] BRENTI (Francesco), *Unimodal, Log-concave and Pólya Frequency Sequences in Combinatorics*, American Mathematical Society, 1989.

[16] *Jerusalem Combinatorics '93*, American Mathematical Society, 1994, p. 71-89.

[17] *Indiana U. Math. J.*, n° 54, 2005, p. 263-307.

[18] *Ann. Math.*, n° 14, 1912, p. 42-46.

[19] arXiv, 2110.10740.

[20] arXiv, 2203.01533.

[21] Sel. Math., n° 12, 1995, 459-494.

[22] Proc. Am. Math. Soc., n° 47, 1975, p. 504-512.

[23] *Ann. Math.*, n° 180, 2014, p. 1089-1136.

[24] *Proceedings of the 24th Annual ACM Symposium on Theory of Computing*, ACM Press, 1992, p. 26-38.

[25] Invent. math., n° 155, 2004, p. 515-536.

[26] *J. Algebraic Geom.*, n° 4, 1995, p. 181-193.

[27] *Topology*, n° 36, 1997, p. 335-353.

[28] *Not. Am. Math. Soc.*, n° 61, 2014, p. 736-743.
[29] *Int. Math. Res. Notices*, n° 14, 2012, p. 3224-3255.

[30] *J. Comb. Theory*, n° 9, 1970, p. 357-364.

[31] *Algebraic Geometry*, Oxford University Press, 1969, p. 193-199.

[32] *J. Comb. Theory B*, n° 47, 1989, p. 146-152.

[33] *Combinatorics*, Institute of Mathematics and Its Applications, 1972, p. 164-202.

[34] *J. Am. Math. Soc.*, n° 25, 2012, p. 907-927.

[35] *Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Singapour, World Scientific*, 2018, vol. IV, p. 3093-3111.

[36] *Current Developments in Mathematics 2016*, Somerville, International Press, 2018, p. 1-46.

[37] *Math. Ann.*, n° 354, 2012, p. 1103-1116.

[38] *J. Eur. Math. Soc.*, n° 24, 2022, p. 1335-1351.

[39] *Acta Math.*, n° 218, 2017, p. 297-317.

[40] *Invent. math.*, n° 157, 2004, p. 419-447.

[41] *arXiv*, 2204.07758.

[42] *Adv. Appl. Math.*, n° 51, 2013, p. 543-545.

[43] *J. Comb. Theory B*, n° 28, 1980, p. 208-236.

[44] *Combinatorics*, Institute of Mathematics and its Applications, 1972, p. 207-220.

[45] *MATOUŠEK (Jiří), « The dawn of an algebraic era in discrete geometry? », dans Proceedings of the 27th European Workshop on Computational Geometry (EuroCG 2011).*

[46] *Israel J. Math.*, n° 9, 1971, p. 559-570.

[47] *Invent. math.*, n° 113, 1993, p. 419-444.

[48] *Discrete Comput. Geom.*, n° 15, 1996, p. 363-388.

[49] *Trans. Am. Math. Soc.*, n° 70, 1951, p. 451-464.

[50] *Okounkov (Andrei), « Combinatorial geometry takes the lead », dans Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berlin, EMS Press, 2022, vol. I, p. 414-458.*

[51] *Oxley (James), *Matroid Theory*, Oxford University Press, 2011.

[52] *arXiv*, 2012.09815.

[53] *J. Algebra*, n° 10, 1968, p. 246-261.

[54] *J. Combin. Theory*, n° 4, 1968, p. 52-71.

[55] *Actes du congrès international des mathématiciens, Paris, Gauthier-Villars, 1971, tome III*, p. 229-233.

[56] *J. Combin. Theory B*, n° 33, 1982, p. 17-26.

[57] *J. Combin. Theory B*, n° 28, 1980, p. 305-359.

[58] *Discrete Math.*, n° 5, 1973, p. 171-178.

[59] *Adv. Math.*, n° 35, 1980, p. 236-238.

[60] *Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Varsovie, PWN, 1984*, vol. I-II, p. 447-453.

[61] *Graph Theory and its Applications : East and West*, New York Academy of sciences, 1989, p. 500-535.

[62] *J. Combin. Theory A*, n° 54, 1990, p. 41-53.
[63] *Combinatorial Mathematics and its Applications*, Londres, Academic Press, 1971, p. 291-306.

[64] WELSH (Dominic), *Matroid Theory*, Londres, Academic Press, 1976.

[65] *Am. J. Math.*, n° 57, 1935, p. 509-533.
# Les travaux de James Maynard
(par Kannan SOUNDARARAJAN)

Nous présentons brièvement quelques-uns des résultats les plus spectaculaires obtenus par James Maynard, qui lui ont valu la médaille Fields.

James Maynard a obtenu plusieurs résultats spectaculaires en théorie analytique des nombres. Bien que les démonstrations de ces résultats fassent appel à de nombreuses idées profondes, leurs énoncés sont remarquables par leur simplicité et leur élégance. Pour illustrer notre propos, nous énonçons deux de ces résultats frappants de Maynard sur les nombres premiers, avant de les replacer dans leur contexte.

**Théorème 1** (Maynard [32]). *Pour tout entier naturel $m \ge 2$, il existe un entier strictement positif $C(m)$ avec la propriété suivante : il existe une infinité d'entiers naturels $n$ tels que l'intervalle $[n, n + C(m)]$ contienne au moins $m$ nombres premiers.*

**Théorème 2** (Maynard [36]). *Il existe une infinité de nombres premiers $p$ dont l'écriture décimale ne contient pas le chiffre 7.*

## 1 Le contexte

Pour replacer ces résultats dans leur contexte, rappelons que le théorème des nombres premiers donne le comportement asymptotique du nombre $\pi(x)$ de nombres premiers inférieurs ou égaux à $x$, à savoir

$$ \pi(x) \sim \text{li}(x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\log t}. $$

Nous pouvons considérer que ce résultat asymptotique revient à dire que la « probabilité » qu'un nombre $n$ soit premier est d'environ $1/\log n$. L'un des thèmes principaux de la théorie analytique des nombres peut être formulé comme ceci : en quoi la suite des nombres premiers ressemble-t-elle ou diffère-t-elle d'une suite aléatoire d'entiers où chaque

<footnote>SOUNDARARAJAN (Kannan), « The work of James Maynard », dans Proc. Int. Cong. Math. 2022, vol. I, p. 66-80. DOI 10.4171/ICM2022/212</footnote>
entier $n \ge 3$ serait choisi indépendamment pour faire partie de la suite aléatoire avec une probabilité $1/\log n$. Ceci est également connu sous le nom de « modèle de Cramér ». Une différence évidente est que tous les nombres premiers strictement supérieurs à 2 doivent être impairs, alors qu'une suite aléatoire contiendrait certainement de nombreux nombres pairs. Mais si nous pouvions tenir compte de la divisibilité par de petits nombres premiers (tels que 2 dans notre exemple), un modèle aléatoire modifié décrirait-il avec précision le comportement des nombres premiers ?

Il existe de nombreuses façons d'essayer de préciser ce thème. Par exemple, l'hypothèse de Riemann prédit que $|\pi(x) - \text{li}(x)|$ est borné par $C(\epsilon)x^{\frac{1}{2}+\epsilon}$ pour tout $\epsilon > 0$ et pour une certaine constante $C(\epsilon)$. Des fluctuations dont la taille est de l'ordre de $\sqrt{x}$ sont en effet ce à quoi on peut s'attendre si l'on choisit des ensembles aléatoires d'entiers avec $n \ge 3$, inclus dans l'ensemble avec une probabilité $1/\log n$. L'hypothèse de Riemann est ainsi compatible à un niveau rudimentaire avec un modèle aléatoire des nombres premiers. Si nous examinions le terme d'erreur $\pi(x) - \text{li}(x)$ plus en détail, l'influence des zéros de la fonction $\zeta(s)$ serait alors visible et de telles caractéristiques s'écarteraient (de manière faible mais significative) du modèle aléatoire.

Lors du congrès international des mathématiciens de 1912, Landau a mentionné quatre problèmes « inattaquables » sur les nombres premiers :

1. La conjecture de Goldbach selon laquelle tout nombre entier pair strictement supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers.

2. Le problème des nombres premiers jumeaux selon lequel il existe une infinité de paires de nombres premiers $(n, n+2)$.

3. Il existe toujours un nombre premier entre deux carrés consécutifs.

4. Il existe une infinité de nombres premiers de la forme $n^2 + 1$.

Ces quatre problèmes restent ouverts aujourd'hui. Tous les énoncés correspondent exactement à ce que l'on attendrait de suites aléatoires. Par exemple, le modèle de Cramér suggère que la probabilité que $n$ et $n+2$ soient tous deux premiers est d'environ $[1/\log n] \times [1/\log(n+2)]$, ce qui permettrait de prédire environ $x/(\log x)^2$ nombres premiers jumeaux inférieurs à $x$. Il faut bien sûr faire attention, car on pourrait faire la même prédiction pour $n$ et $n+1$ premiers. Nous y reviendrons. On peut s'attendre de même à ce qu'un nombre pair N ait environ $N/(\log N)^2$ représentations en tant que somme de deux nombres premiers, ce qui rend la conjecture de Goldbach très plausible. Des arguments similaires suggèrent également les deux derniers problèmes de Landau.
Pour le troisième problème de Landau sur le nombre de nombres premiers entre $n^2$ et $(n+1)^2$, le modèle aléatoire prédit déjà ce que nous croyons être la bonne réponse, à savoir qu'il devrait y avoir environ $(2n+1)/\log(n^2) \approx n/\log n$ nombres premiers dans cet intervalle. Pour les trois autres problèmes, des modifications doivent être apportées au modèle de Cramér afin de prendre en compte les caractéristiques déterministes de ces problèmes en ce qui concerne la divisibilité par de petits nombres premiers. Des conjectures précises pour ces problèmes ont été formulées pour la première fois par Hardy et Littlewood, motivés par leurs travaux sur la méthode du cercle. Ces conjectures sont généralement considérées comme plausibles et sont étayées par de nombreuses observations heuristiques et numériques. Hardy et Littlewood ont par exemple formulé la conjecture suivante pour le nombre de nombres premiers jumeaux inférieurs à $x$ :

$$ \#\{n \le x : n, n+2 \text{ premiers}\} \sim \mathfrak{Z}(\{0,2\}) \int_2^x \frac{dt}{(\log t)^2}. $$

Ici, $\int_2^x dt/(\log t)^2$ vaut asymptotiquement $x/(\log x)^2$ et correspond à la prédiction du modèle de Cramér, tandis que $\mathfrak{Z}(\{0,2\})$ est un facteur de correction appelé « série singulière » :

$$ \mathfrak{Z}(\{0,2\}) = 2 \prod_{p \ge 3} \left(1 - \frac{2}{p}\right) \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{-2} \approx 1,32... $$

La constante $\mathfrak{Z}(\{0,2\})$ a une interprétation probabiliste convaincante : c'est un produit sur tous les nombres premiers $p$ (le premier facteur $2$ correspond au nombre premier $p=2$), avec le facteur correspondant à $p$ qui suit le rapport entre la probabilité que $n$ et $n+2$ ne soient pas divisibles par $p$ et la probabilité que deux nombres aléatoires ne soient pas divisibles par $p$. Ainsi, pour $p=2$, la probabilité que $n$ et $n+2$ ne soient pas divisibles par $2$ est $(1-1/2)$ ($n$ doit être impair), tandis que la probabilité que deux nombres aléatoires ne soient pas divisibles par $2$ est $(1-1/2)^2 = 1/4$; le rapport de ces probabilités donne le facteur de correction 2. Pour les nombres premiers $p \ge 3$, la probabilité que $n$ et $n+2$ ne soient pas divisibles par $p$ est $(1-2/p)$ alors que la probabilité que deux nombres aléatoires ne soient pas divisibles par $p$ est $(1-1/p)^2$; nous voyons le facteur de correction correspondant dans la définition de $\mathfrak{Z}(\{0,2\})$.

On peut faire des conjectures similaires pour le problème de Goldbach ou pour le nombre de nombres premiers de la forme $n^2 + 1$ en
modifiant et en corrigeant les prédictions naïves du modèle de Cramér. Pour illustrer notre propos, donnons une généralisation de la conjecture des nombres premiers jumeaux pour le comptage de k-uplets premiers : étant donné des entiers distincts $h_1, h_2, \dots, h_k$, combien y a-t-il (pour $x$ grand) d'entiers $n \le x$ avec $n + h_1, \dots, n + h_k$ qui sont tous premiers. La conjecture de Hardy-Littlewood prédit ici que

$$ \#\{n \le x : n + h_1, \dots, n + h_k \text{ tous premiers}\} \sim \mathfrak{Z}(\{h_1, \dots, h_k\}) \int_2^x \frac{dt}{(\log t)^k} $$
où, avec $\mathcal{H} = \{h_1, \dots, h_k\}$,

$$ \mathfrak{Z}(\mathcal{H}) = \prod_p \left(1 - \frac{v(\mathcal{H}, p)}{p}\right) \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{-k} \quad (1) $$

et $v(\mathcal{H}, p)$ désigne le nombre de classes de résidus distinctes occupées par l'ensemble $\mathcal{H}$ vu modulo $p$. Puisque $v(\mathcal{H}, p) = k$ si $p$ est plus grand que $\max|h_i - h_j|$, le produit qui définit $\mathfrak{Z}(\mathcal{H})$ converge absolument vers un nombre réel positif ou nul, qui n'est égal à zéro que si $v(\mathcal{H}, p) = p$ pour un certain nombre premier $p$. Si $v(\mathcal{H}, p) = p$, alors pour tout entier $n$, au moins un des nombres $n + h_1, \dots, n + h_k$ est un multiple de $p$, donc il ne peut y avoir qu'un nombre fini d'entiers $n$ avec $n + h_1, \dots, n + h_k$ tous premiers. Par exemple, c'est ce qui se passe si nous demandons que $n$ et $n + 1$ soient premiers, ou que $n, n + 2, n + 4$ soient tous premiers. Lorsqu'il n'y a pas d'obstacle de divisibilité à ce que $n + h_1, \dots, n + h_k$ soient premiers, la conjecture de Hardy-Littlewood prédit un grand nombre de k-uplets premiers. C'est peut-être la question la plus centrale de la théorie des nombres premiers. Elle reste ouverte dans toutes les situations où $\mathfrak{Z}(\mathcal{H})$ est non nul.

## 2 Théorie des cribles

Nous avons décrit rapidement certaines des principales questions qui motivent la théorie des nombres premiers. L'une des principales sources de progrès vers ces questions est la théorie des cribles. Une grande partie du travail de Maynard se situe essentiellement dans ce domaine. Un problème typique de la théorie des cribles est de majorer ou minorer la taille des ensembles d'entiers $\mathcal{A}$ dont les éléments sont contraints d'omettre $v(p)$ classes de résidus modulo $p$ pour des nombres premiers $p$. Par exemple, le problème des nombres premiers jumeaux
est de cette forme puisque nous cherchons à trouver des entiers *n* qui ne sont congrus ni à 0 ni à -2 modulo *p* pour tous les nombres premiers *p* ≤ √*n* + 2 (de sorte que *n* et *n* + 2 seraient tous les deux premiers). En général, les méthodes de crible peuvent produire des majorants de l'ordre de grandeur conjecturé. On peut montrer par exemple que le nombre de nombres premiers jumeaux inférieurs à *x* n'est pas plus de 4 fois l'asymptotique de Hardy-Littlewood conjecturée. L'obtention de minorants correspondants s'est avérée être un problème beaucoup plus difficile, mais les méthodes de crible ont conduit à des résultats partiels frappants tels que le théorème de Chen selon lequel il existe de nombreux nombres premiers *p* pour lesquels *p* + 2 a au plus deux facteurs premiers, ou le théorème d'Iwaniec selon lequel il existe de nombreux nombres *n* pour lesquels *n*² + 1 a au plus deux facteurs premiers. Pour un traitement complet du sujet, voir [14].

Le théorème de Chen et le théorème d'Iwaniec mettent en évidence une limitation des méthodes traditionnelles de crible, connue sous le nom de *problème de parité*, qui nous empêche souvent de connaître la parité des éléments non criblés et donc d'obtenir des nombres premiers. Mais les méthodes de crible, en conjonction avec d'autres apports analytiques, ont permis d'obtenir des nombres premiers dans certains cas particuliers. Par exemple pour *x* grand, Baker, Harman et Pintz [2] ont montré que l'intervalle [*x*, *x* + *x*⁰] contient au moins *cx⁰/ log x* nombres premiers, où *c* > 0 est une constante et *θ* = 0.525. Le problème de Landau pour trouver des nombres premiers entre des carrés consécutifs correspond à des intervalles avec *θ* = 1/2. Un autre exemple spectaculaire est dû à Friedlander et Iwaniec [13], qui ont établi une formule asymptotique pour le nombre de nombres premiers inférieurs à *x* qui peuvent être écrits sous la forme *n*² + *m*⁴, une approximation du problème de Landau relatif aux nombres premiers de la forme *n*² + 1. Un résultat très proche de Heath-Brown et Li [25] donne une formule asymptotique pour les nombres premiers de la forme *n*² + *p*⁴, où *p* est un nombre premier. Un autre beau résultat dû à Heath-Brown [24] établit une formule asymptotique pour le nombre de nombres premiers inférieurs à *x* de la forme *n*³ + 2*m*³ avec *m*, *n* ∈ N. Le résultat de Heath-Brown peut être considéré comme une approximation du problème qui consiste à obtenir des nombres premiers de la forme *n*³ + 2. Mais avant ses travaux, on ne savait même pas s'il existait un nombre infini de nombres premiers qui étaient la somme de trois cubes d'entiers naturels! Une caractéristique cruciale de ces résultats est qu'ils traitent des nombres premiers représentés par des cas particuliers
de normes. Le résultat de Friedlander et Iwaniec concerne la norme $x^2 + y^2 = N(x + iy)$ associée au corps $\mathbb{Q}(i)$ dans le cas particulier où $y$ est un carré. Le résultat de Heath-Brown concerne la norme $N(x + y\alpha + z\alpha^2)$, qui prend la norme sur le corps $\mathbb{Q}(\alpha)$ avec $\alpha = 2^{\frac{1}{3}}$, dans le cas particulier où $z$ est égal à 0. Les résultats de Friedlander et Iwaniec et de Heath-Brown ont donné les premiers exemples de suites « fines » (au sens où le nombre d'entiers inférieurs à $X$ dans la suite est $\le X^{1-\delta}$ pour un certain $\delta > 0$) de valeurs polynomiales en deux variables ou plus qui représentent une infinité de nombres premiers. On ne connaît aucun exemple de polynôme en une variable de degré supérieur à 1 qui représente une infinité de nombres premiers.

Le travail de Maynard [40] donne une généralisation substantielle de l'approche de Heath-Brown et produit de nombreux autres exemples de suites fines de valeurs polynomiales en plusieurs variables qui représentent des nombres premiers. Considérons un nombre algébrique $\omega \in \mathbb{C}$ de degré $n$ et notons $K$ le corps $\mathbb{Q}(\omega)$. On peut lui associer la norme $N(\sum_{i=1}^n x_i \omega^{i-1})$, qui est un polynôme homogène de degré $n$ en les variables $x_1, \dots, x_n$. On obtiendrait un polynôme fin en plusieurs variables en spécialisant certaines des variables de cette norme pour qu'elles soient nulles. En fixant par exemple $x_{n-k+1}, \dots, x_n = 0$, le nombre d'entiers inférieurs à $\omega$ représentés par une telle norme incomplète serait d'environ $x^{1-k/n}$. Dans l'intervalle $n \ge 4k$, Maynard a établi une formule asymptotique pour le nombre de nombres premiers représentés par une telle norme incomplète lorsque les variables $x_1, \dots, x_{n-k}$ prennent des valeurs entières dans l'intervalle $[1, X]$.

### 3 La méthode du cercle

Outre la théorie des cribles, une autre source importante de progrès dans la résolution de problèmes sur les nombres premiers est la méthode du cercle, qui a été comme nous l'avons déjà mentionné la motivation initiale de Hardy et Littlewood dans la formulation de leurs conjectures. Pour illustrer cela, considérons le problème de Goldbach qui consiste à représenter un entier pair $N$ comme une somme de deux nombres premiers. En utilisant l'analyse harmonique, le nombre de telles représentations de $N$ peut être écrit sous la forme

$$r(N) = \int_{0}^{1} S(\alpha)^2 e^{-2\pi i N \alpha} d\alpha, \quad \text{où} \quad S(\alpha) = \sum_{p \le N} e^{2\pi i p \alpha}. \qquad (2)$$
L'idée de la méthode du cercle est que les fonctions génératrices telles que $S(a)$ ont tendance à être grandes près des nombres rationnels à petit dénominateur (les arcs majeurs) et petites loin d'eux (les arcs mineurs).

Si la méthode du cercle n'a pas permis de résoudre le problème de Goldbach ou le problème des nombres premiers jumeaux, elle s'est avérée extrêmement efficace dans les problèmes où l'on dispose d'un peu plus de liberté. Par exemple, la conjecture faible de Goldbach demande de représenter les nombres impairs comme une somme de trois nombres premiers. Il y a ici une variable supplémentaire avec laquelle jouer. Vinogradov a utilisé la méthode du cercle pour montrer que tous les grands nombres impairs sont la somme de trois nombres premiers. Helfgott [26] a étendu cette méthode pour montrer que tous les nombres impairs plus grands que 5 peuvent être représentés de cette manière. Nous pouvons mentionner ici un résultat impressionnant de Matomäki, Maynard et Shao [30] qui montre que les grands nombres impairs $n$ peuvent s'écrire sous la forme $p_1 + p_2 + p_3$, où les trois nombres premiers $p_i$ se trouvent dans un court intervalle $[n/3 - n^\theta, n/3 + n^\theta]$ pour n'importe quel $\theta > 11/20$. Nous avons mentionné précédemment les travaux de Baker, Harman et Pintz [2] qui montrent l'existence de nombres premiers dans des intervalles courts $[x, x + x^{0.525}]$. Les résultats de [30] sont remarquables pour résoudre la conjecture faible de Goldbach en utilisant des nombres premiers dans des intervalles à peine plus longs.

Un deuxième exemple de ce que pourrait signifier un degré de liberté supplémentaire est le théorème de Green-Tao selon lequel l'ensemble des nombres premiers contient des progressions arithmétiques arbitrairement longues $n, n+d, \dots, n+(k-1)d$. La conjecture de Hardy-Littlewood prédit une version « unidimensionnelle » plus forte de ce résultat avec des choix particuliers pour la raison $d$. Par exemple, il devrait y avoir une infinité de $k$-uplets premiers de la forme $n, n + k!$, $n + 2 \cdot k!$, $\dots, n + (k-1) \cdot k!$. Les travaux de Green, Tao et Ziegler [19–21] peuvent être considérés comme une généralisation de grande portée de la méthode du cercle qui permet d'obtenir des formules asymptotiques pour le nombre de solutions en nombres premiers de systèmes linéaires avec « au moins deux degrés de liberté ».

Le magnifique résultat de Maynard sur les nombres premiers avec des chiffres manquants (théorème 2 ci-dessus) est un cas rare où la méthode du cercle peut être utilisée pour résoudre un problème binaire. Soit $M$ l'ensemble des entiers naturels sans 7 dans leur écriture décimale (on pourrait naturellement omettre n'importe quel autre chiffre au lieu
de 7). Le nombre d'entiers jusqu'à N qui sont dans $\mathcal{M}$ est environ $N^{\log 9/\log 10} = N^{1-\delta}$ avec $\delta = 0,046...$, de sorte que $\mathcal{M}$ est un ensemble fin,
ce qui rend difficile le problème de trouver des nombres premiers dans
cet ensemble. Avant les travaux de Maynard, Dartyge et Mauduit [7,8]
avaient utilisé la théorie des cribles pour montrer que $\mathcal{M}$ contient une
infinité d'entiers avec au plus deux facteurs premiers. Pour compter
le nombre de facteurs premiers dans $\mathcal{M}$ jusqu'à N, on utilise l'analyse
harmonique pour écrire

$$
\sum_{\substack{p \le N \\ p \in \mathcal{M}}} 1 = \int_0^1 S(\alpha) M(-\alpha) d\alpha,
$$

où $S(\alpha)$ est la somme exponentielle sur les nombres premiers définie
en (2) et où

$$
M(\alpha) = \sum_{m \le N, m \in \mathcal{M}} e^{2\pi i \alpha}
$$

est la somme exponentielle correspondante sur l'ensemble M. Il est
habituellement impossible de s'attaquer à un tel problème binaire par la
méthode du cercle. Car même en étant le plus optimiste possible, nous
ne pouvons espérer qu'une « compensation en racine carrée » dans les
sommes exponentielles S(α) et M(-α) pour un α générique. Même cela
produirait un intégrande de taille N½ × N½(1-δ), ce qui est plus grand
que le terme principal attendu d'une taille d'environ N¹⁻⁶/ log N. Une
caractéristique cruciale de ce problème est que l'ensemble M a une
structure très commode qui fait que la somme exponentielle M(α) est
souvent anormalement petite. Maynard a par exemple démontré que
sa norme L¹ vérifie

$$
\int_0^1 |M(\alpha)| d\alpha \ll N^{0,32},
$$

le point essentiel étant que l'exposant 0,32 est même plus petit que
(1 − δ)/2, ce qui correspond à la compensation optimiste en racine
carrée que nous avons mentionnée. De telles estimations permettent
d'espérer attaquer le théorème 2. On peut voir l'idée principale de
manière transparente dans l'article de Maynard [35], où il démontre
une version plus facile du théorème 2 qui traite les nombres premiers
auxquels il manque un chiffre en base b, avec b suffisamment grand.
L'ensemble des entiers jusqu'à N auxquels il manque un chiffre en base b
a une taille d'environ N^(log(b-1)/log b). Le problème devient donc plus facile
lorsque la base *b* devient plus grande. Ramener la base à 10 s'est avéré être un problème d'une difficulté abominable, ce qui est sans doute plus important sur le plan psychologique que pour une quelconque raison mathématique. Maynard [36] s'est attaqué brillamment à ce problème en introduisant un certain nombre d'idées nouvelles, notamment des idées issues de la géométrie des nombres, différents aspects de la théorie des cribles et des comparaisons avec un processus de Markov. On peut s'attendre à ce que, même en base 3, il y ait une infinité de nombres premiers auxquels il manque un chiffre donné. En base 2, le seul chiffre qui pourrait être omis est 0; nous nous retrouvons face au problème de savoir s'il y a une infinité de nombres de Mersenne premiers, qui échappe aux mathématiques actuelles. Nous terminons cette discussion en signalant deux autres beaux résultats sur les chiffres des nombres premiers qui ont des éléments en commun avec les travaux de Maynard, à savoir les travaux de Mauduit et Rivat [31] qui montrent notamment que la somme des chiffres décimaux des nombres premiers a la même probabilité d'être paire ou impaire, et les travaux de Bourgain [6] qui permettent de spécifier une petite proportion des chiffres binaires des nombres premiers.

## 4 Les écarts entre nombres premiers

Nous allons maintenant discuter du résultat le plus spectaculaire de Maynard, le soleil parmi les petites étoiles, à savoir le théorème 1 ci-dessus sur la recherche de nombreux nombres premiers dans des intervalles bornés. Pour décrire l'histoire récente de ce problème, examinons d'abord comment les nombres premiers sont typiquement espacés. Le théorème des nombres premiers nous dit que le *n*-ième nombre premier $p_n$ vaut environ $n \log n$, de sorte que l'écart moyen entre deux nombres premiers consécutifs, $p_{n+1} - p_n$, est environ $\log p_n$. Quelle est la distribution des écarts normalisés $(p_{n+1} - p_n)/\log p_n$ ? Le modèle aléatoire de Cramér pour les nombres premiers prédit que ces écarts normalisés devraient se comporter comme un processus de Poisson et que pour tout intervalle fixé $[\alpha, \beta] \in \mathbb{R}_{\ge 0}$,

$$ \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \# \left\{ n \le N : \frac{p_{n+1} - p_n}{\log p_n} \in [\alpha, \beta] \right\} = \int_{\alpha}^{\beta} e^{-t} dt = e^{-\alpha} - e^{-\beta}. \quad (3) $$

Gallagher [16] a montré que cette prédiction découle également des conjectures plus raffinées de Hardy-Littlewood, le point clé étant que
les constantes des séries singulières $\mathfrak{E}(\mathcal{H})$ (voir (1)) valent approximativement 1 (ce qui correspond au modèle naïf de Cramér) en moyenne sur les ensembles $\mathcal{H}$ à $k$ éléments.

Cette conjecture sur les écarts normalisés entre les nombres premiers est très ouverte. En effet, si l'on désigne par $\mathcal{L}$ l'ensemble des points d'accumulation de $(p_{n+1} - p_n)/\log p_n$, alors même l'affirmation qualitative selon laquelle $\mathcal{L} = [0, \infty]$, qui découle immédiatement de (3), est actuellement inconnue. En créant de longues chaînes de nombres composés, Westzynthius a démontré que $\mathcal{L}$ contient $\infty$, mais pendant longtemps aucun autre point d'accumulation n'était connu bien qu'Erdős et Ricci aient démontré que $\mathcal{L}$ a une mesure de Lebesgue strictement positive. Des progrès spectaculaires ont été accomplis en 2005 grâce aux travaux novateurs de Goldston, Pintz et Yıldırım [17], qui ont démontré que, pour tout $\varepsilon > 0$, il y a une infinité de $n$ tels que $p_{n+1} - p_n \le \varepsilon \log p_n$. Ainsi, les écarts entre les nombres premiers sont faibles par rapport à la moyenne. On sait maintenant que 0 se trouve dans $\mathcal{L}$. Avant les travaux de Goldston, Pintz et Yıldırım, on savait seulement que la différence entre les nombres premiers consécutifs devenait inférieure à environ $\frac{1}{4}$ de l'espacement moyen. Leurs travaux ont ouvert la voie à des avancées ultérieures, notamment au théorème 1 de Maynard.

Supposons que $h_1, \dots, h_k$ soient des entiers distincts avec $\mathfrak{E}(|h_1, \dots, h_k|) > 0$. De tels $k$-uplets sont dits *admissibles*. Par exemple, $\{k!, 2 \cdot k!, \dots, k \cdot k!\}$ est admissible. La conjecture de Hardy-Littlewood prédit qu'il existe une infinité de $n$ avec $n + h_1, \dots, n + h_k$ tous premiers. Au lieu de vouloir que ces $k$ nombres soient premiers, que se passerait-il si nous demandions seulement qu'au moins deux d'entre eux soient premiers ? Cela montrerait déjà qu'il y a infiniment souvent des écarts bornés entre des nombres premiers consécutifs. Supposons que nous puissions trouver des poids positifs ou nuls $w(n)$ avec la propriété que pour $x$ grand et tout $j = 1, \dots, k$,

$$ \sum_{\substack{x \le n \le 2x \\ n+h_j \text{ premier}}} w(n) > \frac{1}{k} \sum_{x \le n \le 2x} w(n). \quad (4) $$

En additionnant (4) sur tous les $j = 1, \dots, k$, nous obtiendrions

$$ \sum_{x \le n \le 2x} \#\{1 \le j \le k : n + h_j \text{ premier}\} w(n) > \sum_{x \le n \le 2x} w(n), \quad (5) $$

d'où il découlerait qu'il doit y avoir un certain $n$ avec au moins deux nombres premiers parmi $n + h_1, \dots, n + h_k$. En considérant les poids
comme une mesure de probabilité sur $x \le n \le 2x$, nous pouvons interpréter (5) comme disant que le nombre attendu de nombres premiers parmi les $n+h_j$ est strictement supérieur à 1, de sorte qu'il doit y avoir des $n$ avec au moins deux nombres premiers dans ce $k$-uplet.

Le problème difficile est de construire des poids qui vérifient (4). Des choix naturels pour de tels poids sont suggérés par la théorie des cribles, en particulier par la théorie du crible de Selberg. Le choix standard des poids du crible de Selberg (qui sont utilisés pour majorer le nombre de $k$-uplets premiers $n+h_1, \dots, n+h_k$) prend la forme

$$w(n) = \left( \sum_{\substack{d|(n+h_1)\cdots(n+h_k) \\ d \le R}} \mu(d) \left( \frac{\log R/d}{\log R} \right)^k \right)^2$$

Il est clair qu'on a toujours $w(n) \ge 0$. En développant la somme, le second membre de (4) (la somme sur tous les $n \in [x, 2x]$) peut être évalué asymptotiquement tant que $R^2 \le x^{1-\epsilon}$. Le premier membre de (4) est plus complexe et repose sur la compréhension de la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques avec la raison de la progression allant jusqu'à $R^2$. Le théorème de Bombieri-Vinogradov permet une telle compréhension (à un niveau comparable à celui que donnerait l'hypothèse de Riemann généralisée) tant que $R^2 \le x^{\frac{1}{2}-\epsilon}$, de sorte que R est maintenant contraint d'être $\le x^{\frac{1}{4}-\epsilon}$. Pour ce choix de poids, le nombre attendu de nombres premiers parmi les $n+h_j$ est d'environ $(2k/(k+1)) \log R / \log x$, de sorte qu'avec $R \le x^{1/4-\epsilon}$ on ne s'attend à trouver que $\frac{1}{2}$ nombre premier dans le $k$-uplet.

Bien que les poids du crible de Selberg décrits ci-dessus aient été optimisés pour les majorants du problème des $k$-uplets premiers, Goldston, Pintz et Yıldırım ont fait la découverte surprenante qu'il existe de meilleurs choix de poids pour optimiser le rapport des sommes dans (4). Ils ont considéré des poids de la forme

$$w(n) = \left( \sum_{\substack{d|(n+h_1)\cdots(n+h_k) \\ d \le R}} \mu(d) \left( \frac{\log R/d}{\log R} \right)^{k+\ell} \right)^2,$$

pour un paramètre $\ell$ convenable, qui s'avère dans le cas optimal être autour de $\sqrt{k}$. Avec ce choix de poids, ils ont constaté que le nombre attendu de nombres premiers parmi les $n+h_j$ est environ deux fois plus
grand qu'auparavant, soit $(4 + O(1/k^{\frac{1}{2}})) \log R / \log x$. Avec $R = x^{\frac{1}{4}-\epsilon}$, on ne parvient pas à obtenir la relation (4) souhaitée. Cela ne permet donc pas d'établir l'existence d'écarts bornés entre les nombres premiers. En considérant un nombre premier supplémentaire possible $n + h$ pour $1 \le h \le \epsilon \log x$, Goldston, Pintz, Yıldırım ont pu déduire de cet argument qu'il y a une infinité de $n$ avec $p_{n+1} - p_n \le \epsilon \log n$. Pour une discussion plus détaillée de ces idées, voir [47].

Si l'on pouvait prendre $R$ comme étant $x^{\frac{1}{4}+\delta}$ avec un $\delta > 0$, alors l'argument de Goldston, Pintz et Yıldırım donnerait des écarts bornés entre les nombres premiers. Pour prendre une telle valeur pour $R$, il faudrait comprendre la distribution des nombres premiers jusqu'à $x$ dans les progressions arithmétiques lorsque la raison de la progression est aussi grande que $x^{\frac{1}{2}+2\delta}$. Les conjectures d'Elliott-Halberstam prédissent que de tels résultats devraient être valables (en moyenne) lorsque la raison est aussi grande que $x^{1-\epsilon}$. Des progrès partiels vers de telles extensions du théorème de Bombieri-Vinogradov ont été réalisés par Fouvry et Iwaniec [12] et par Bombieri, Friedlander et Iwaniec [5]. Mais ces résultats ne s'appliquaient pas immédiatement au problème de la démonstration d'écarts bornés entre les nombres premiers. En avril 2013, Yitang Zhang [49] a fait une percée spectaculaire en établissant une version du théorème de Bombieri-Vinogradov dans un intervalle élargi qui était suffisant pour la méthode de Goldston, Pintz et Yıldırım. Zhang a démontré que si $k > 3,5 \times 10^6$, alors pour tout $k$-uplet admissible $h_1, \dots, h_k$, il existe une infinité de $n$ pour lesquels au moins deux des $n + h_i$ sont des nombres premiers. Cela implique qu'il y a un nombre infini de cas où l'écart entre deux nombres premiers consécutifs est inférieur à 70 millions. Le projet Polymath [46] a raffiné les travaux de Zhang sur l'équidistribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. On trouve d'autres raffinements qualitatifs et quantitatifs de ces résultats dans les articles récents de Maynard [37-39].

Les travaux de Zhang ont démontré le cas $m = 2$ du théorème 1. Cependant, même si l'on prenait le plus grand intervalle possible pour $R$, à savoir $R = x^{\frac{1}{2}-\epsilon}$ (ce qui serait autorisé par la conjecture d'Elliott-Halberstam), les poids de Goldston-Pintz-Yıldırım monteraient seulement que le nombre attendu de nombres premiers dans un $k$-uplet admissible est $\ge 2 - \epsilon$. En d'autres termes, même dans le cadre de la conjecture d'Elliott-Halberstam, on ne parviendrait pas à établir l'existence de trois nombres premiers dans des intervalles bornés.

La démonstration du théorème 1 repose sur un choix différent pour les poids $w(n)$, découvert quelques mois seulement après les travaux
de Zhang par Maynard (qui a annoncé les résultats dans un exposé mémorable à Oberwolfach en octobre 2013) et indépendamment par Tao (dans des travaux non publiés). Les poids de Maynard-Tao sont une extension multidimensionnelle des poids considérés précédemment et sont *grosso modo* de la forme

$$w(n) = \left( \sum_{\substack{d_1, \dots, d_k \\ d_i | n+h_i \\ \prod d_i \le R}} \prod_{i=1}^k \mu(d_i) F\left(\frac{\log d_1}{\log R}, \dots, \frac{\log d_k}{\log R}\right) \right)^2,$$

avec des fonctions lisses convenables $F: [0, 1]^k \to \mathbb{R}$. De façon surprenante, pour un choix approprié de $F$, le nombre attendu de nombres premiers parmi $n+h_1, \dots, n+h_k$ (rappelons (5) ci-dessus) est $\ge c \log k \frac{\log R}{\log x}$, avec une constante strictement positive $c$. En fait, $c$ peut être pris proche de 1 si $k$ est suffisamment grand. Le point clé est que le nombre attendu de nombres premiers dans les $k$-uplets tende vers l'infini avec $k$. En fait, il suffit que $R$ croisse comme n'importe quelle puissance de $x$ pour que la méthode réussisse, de sorte que Bombieri-Vinogradov qui permet $R = x^{\frac{1}{4}-\epsilon}$ est déjà suffisant ! Ainsi, on a la version plus précise suivante du théorème 1, ce qui peut être considéré comme un résultat partiel vers la conjecture de Hardy-Littlewood sur les $k$-uplets de nombres premiers.

**Théorème 3** (Maynard [32]). Soit $m \ge 2$ un entier naturel. Soit $k$ suffisamment grand par rapport à $m$. Soit $\mathcal{H} = \{h_1, \dots, h_k\}$ un ensemble de $k$ entiers avec $\#(\mathcal{H}) > 0$. Il existe alors une infinité de $n$ tels que le $k$-uplet $n + h_1, \dots, n + h_k$ contienne au moins $m$ nombres premiers.

Maynard a montré que $k$ peut être pris inférieur à $Cm^2e^{4m}$ pour une constante $C$ appropriée. D'autres raffinements (qui incorporent également le travail de Zhang) ont été obtenus dans le travail de Baker et Irving [3], qui ont montré qu'on peut prendre pour $k$ la valeur $C e^{3.815m}$. Le cas $m=2$ est particulièrement intéressant : le projet Polymath [45] a optimisé ces arguments pour établir que tout 50-uplet admissible contient deux nombres premiers infiniment souvent. En particulier, ils ont montré que $p_{n+1} - p_n \le 246$ infiniment souvent, et conditionnellement à la conjecture d'Elliot-Halberstam qu'il y a infiniment souvent au moins deux nombres premiers dans le triplet $n, n+2, n+6$. Mentionnons une autre variante uniforme de ces résultats : Maynard [33]
a montré par exemple qu'il existe au moins $cX \exp(-\sqrt{\log X})$ valeurs de $x \in [X, 2X]$ telles que l'intervalle $[x, x + \log X]$ contienne au moins $c \log \log X$ nombres premiers (ici $c$ est une constante strictement positive). Pour des exposés détaillés sur ces résultats de Zhang, Maynard et Tao, voir [18, 29].

Les poids de Maynard-Tao offrent une nouvelle méthode flexible pour étudier de nombreux problèmes sur les nombres premiers et les suites apparentées, et ont trouvé un certain nombre d'applications. Nous décrivons deux autres résultats qui utilisent ces poids, tous deux concernant des écarts entre des nombres premiers consécutifs. Nous avons déjà mentionné le résultat de Westzynthius sur les grands écarts entre nombres premiers consécutifs, qui montrait que $\infty$ se trouve dans l'ensemble $\mathcal{L}$ des points d'accumulation des écarts normalisés $(p_{n+1} - p_n)/ \log p_n$. Ceci a été quantifié dans les années trente par Erdős et Rankin qui ont montré que, pour une constante strictement positive C,

$$ \max_{p_n \le X} (p_{n+1} - p_n) \ge C \log X \frac{(\log \log X) \log \log \log \log X}{(\log \log \log X)^2}. \quad (6) $$

Le modèle aléatoire suggère que l'écart maximal entre les nombres premiers jusqu'à X devrait être d'environ $(\log X)^2$. C'est ce que l'on appelle la conjecture de Cramér. Bien que cette conjecture soit très délicate, on pense généralement que l'écart maximal ne dépasse pas $(\log X)^{2+\epsilon}$, bien que même cela dépasse de loin le problème inattaquable de Landau, à savoir l'existence d'un nombre premier entre deux carrés consécutifs. Erdős a attiré l'attention sur le problème de la recherche d'écarts plus grands entre des nombres premiers consécutifs, en offrant 10 000 dollars pour une borne qui remplacerait C dans (6) par une fonction qui tend vers $\infty$ avec X. Pendant plus de soixante-quinze ans, ce problème a résisté aux attaques, seules des améliorations de la constante C étant connues. Puis, par une coïncidence remarquable, deux techniques différentes sont apparues en 2014, qui ont démontré toutes deux l'inégalité (6) avec C remplacé par une fonction qui tend vers l'infini avec X. L'une des approches, celle de Ford, Green, Koniaguine et Tao [11], s'appuyait sur les travaux de Green-Tao sur les progressions arithmétiques de nombres premiers, tandis que l'autre approche, celle de Maynard [34], trouvait un moyen d'adapter les poids du crible de Maynard-Tao. La seconde approche était mieux adaptée pour quantifier les grands écarts qui se produisent. En joignant leurs forces, Ford, Green, Koniaguine, Maynard et Tao [10] ont démontré que, pour une certaine
constante $C > 0$,

$$ \max_{p_n \le X} (p_{n+1} - p_n) \ge C \log X \frac{(\log \log X) \log \log \log \log X}{\log \log \log X}, \quad (7) $$

améliorant ainsi l'inégalité (6) par un facteur $\log \log \log X$.

Les résultats sur les petits écarts et les grands écarts entre les nombres premiers consécutifs montrent que $0 \text{ et } \infty$ se trouvent dans l'ensemble $\mathcal{L}$ des points d'accumulation des écarts normalisés des nombres premiers. On ne connaît pas d'autres nombres explicites dans $\mathcal{L}$, bien que l'on s'attende à ce que $\mathcal{L}$ contienne tous les nombres réels positifs ou nuls. Suite à la percée de Zhang, Pintz [42] a montré que $\mathcal{L}$ contient un intervalle $[0, c]$ pour un certain $c > 0$, qui n'est cependant pas effectif et ne peut pas être calculé explicitement. En utilisant les poids du crible de Maynard-Tao, Banks, Freiberg et Maynard [4] ont obtenu le beau résultat suivant : si $\beta_1 \le \beta_2 \le \dots \le \beta_9$ sont neuf nombres réels quelconques, alors au moins une de leurs différences $\beta_j - \beta_i$ (avec $i < j$) doit être un élément de $\mathcal{L}$. Leur résultat a été affiné par Pintz [43] et Merikoski [41]. Merikoski montre que le même résultat s'applique si nous commençons avec seulement quatre nombres réels $\beta_1 \le \beta_2 \le \beta_3 \le \beta_4$. De plus, Merikoski a également montré que pour tout $T > 0$, l'ensemble $\mathcal{L} \cap [0, T]$ a une mesure d'au moins $T/3$.

## 5 La conjecture de Duffin-Schaeffer

Nous nous sommes concentrés jusqu'à présent sur les travaux de Maynard relatifs aux nombres premiers. Dans une direction très différente, Maynard a résolu en collaboration avec Koukoulopoulos [28] l'un des problèmes centraux de la théorie métrique de l'approximation diophantienne, connu sous le nom de conjecture de Duffin-Schaeffer.

L'approximation diophantienne consiste à trouver des approximations rationnelles $a/q$ d'un nombre irrationnel donné $\alpha$, en s'efforçant de rendre $|\alpha - a/q|$ petit par rapport à $q$. Le résultat le plus fondamental est le théorème de Dirichlet selon lequel pour tout nombre irrationnel $\alpha$, il existe une infinité d'approximations rationnelles $a/q$ avec $a \in \mathbb{Z}$, $q \in \mathbb{N}$ et $(a, q) = 1$ (de sorte que la fraction soit sous forme réduite) telles que $|\alpha - a/q| \le 1/q^2$. Pour les irrationnels quadratiques comme $\sqrt{2}$ ou le nombre d'or, le théorème de Dirichlet est essentiellement le meilleur possible. Pour tout $\alpha$ de ce type, il existe une constante strictement positive $C(\alpha)$ telle que $|\alpha - a/q| \ge C(\alpha)/q^2$ pour toute approximation
rationnelle $a/q$. Un résultat célèbre de Roth établit que, pour tout irrationnel algébrique $\alpha$ et tout $\varepsilon > 0$, on a $|\alpha - a/q| \ge C(\alpha, \varepsilon)/q^{2+\varepsilon}$ avec une constante strictement positive appropriée $C(\alpha, \varepsilon)$. Pour certains nombres transcendants intéressants tels que $\pi$, le problème de savoir avec quelle précision on peut les approcher par des nombres rationnels reste ouvert.

L'approximation diophantienne métrique s'intéresse aux problèmes d'approximation qui se posent pour *presque tous* les nombres rationnels $\alpha$, où « presque tous » doit être interprété dans le sens de la mesure de Lebesgue. Comme le problème de l'approximation de $\alpha$ par des rationnels est identique à celui de l'approximation de $\alpha + 1$, nous pouvons limiter notre attention aux nombres rationnels $\alpha \in [0, 1[$. Le problème le plus élémentaire est le suivant : supposons que $\psi : \mathbb{N} \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ soit une fonction donnée, que peut-on dire de la mesure de l'ensemble des $\alpha \in [0, 1[$ pour lesquels il existe une infinité de nombres rationnels $a/q$ sous forme réduite (c'est-à-dire tels que $(a, q) = 1$) avec $|\alpha - a/q| \le \psi(q)$. Le théorème de Dirichlet nous dit par exemple que si $\psi(q) = 1/q^2$, alors tous les nombres irrationnels $\alpha \in [0, 1[$ admettent une infinité de telles approximations rationnelles.

Soit $\mathcal{A}_q = \mathcal{A}_q(\psi)$ l'ensemble des $\alpha \in [0, 1[$ pour lesquels il existe une fraction réduite $a/q$ avec $|\alpha - a/q| \le \psi(q)$, et $\mathcal{A}$ l'ensemble des $\alpha \in [0, 1[$ qui se trouvent dans un nombre infini d'ensembles $\mathcal{A}_q$. Ainsi

$$ \mathcal{A} = \bigcap_{Q=1}^{\infty} \tilde{\mathcal{A}}(Q) \quad \text{avec} \quad \tilde{\mathcal{A}}(Q) = \bigcup_{q=Q}^{\infty} \mathcal{A}_q. $$

La mesure de $\mathcal{A}_q$ est $\le 2\varphi(q)\psi(q)$, puisqu'il y a $\varphi(q)$ choix possibles pour le numérateur $a$. Si $\psi(q) \le 1/(2q)$, de sorte que les intervalles pour différents $a$ ne se chevauchent pas, alors il y a égalité ici. Si $\sum_{q=1}^{\infty} \varphi(q)\psi(q)$ converge, alors la mesure de $\tilde{\mathcal{A}}(Q)$ est majorée par $2 \sum_{q=Q}^{\infty} \varphi(q)\psi(q)$, qui est le reste d'une série convergente et tend donc vers 0 lorsque $Q \to \infty$. Il s'ensuit que $\mathcal{A}$ a une mesure nulle. Cet argument est identique à la partie facile du théorème de Borel-Cantelli.

Duffin et Schaeffer ont émis en 1941 la conjecture remarquable que dans le cas complémentaire où $\sum_{q=1}^{\infty} \varphi(q)\psi(q)$ diverge, la mesure de $\mathcal{A}$ est 1. Depuis lors, la conjecture de Duffin-Schaeffer est restée l'une des questions centrales de la théorie métrique des approximations diophantiennes. Un certain nombre de résultats partiels pour cette conjecture ont été obtenus. Un beau résultat de Gallagher [15] a par exemple montré que la mesure de l'ensemble $\mathcal{A}(\psi)$ est toujours soit 0
soit 1. Les travaux d'Erdős [9] et de Vaaler [48] ont établi la conjecture lorsque $\psi(q)$ est d'ordre $O(1/q^2)$ pour tout $q$. Pollington et Vaughan [44] ont démontré des analogues de la conjecture en dimension supérieure. [1,22,23] ont démontré des versions plus faibles de la conjecture avec des conditions de divergence supplémentaires. Mais le problème complet a résisté jusqu'aux travaux récents de Koukoulópoulos et Maynard [28] :

**Théorème 4** (Koukoulópoulos et Maynard [28]). *Soit $\psi : \mathbb{N} \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ tel que $\sum_{q=1}^{\infty} \varphi(q)\psi(q)$ diverge. Alors l'ensemble des $\alpha \in [0,1]$ qui ont une infinité d'approximations rationnelles $|\alpha - a/q| \le \psi(q)$ avec $(a,q) = 1$ a une mesure de Lebesgue égale à 1. En d'autres termes, la conjecture de Duffin-Schaeffer est vérifiée.*

Nous renvoyons à l'exposé de Koukoulópoulos au congrès international des mathématiciens [27] pour une présentation plus détaillée de ce résultat et des idées qui sous-tendent sa démonstration.

Nous avons donné un aperçu de certains des travaux les plus spectaculaires de Maynard dans le domaine de la théorie analytique des nombres. Le travail de Maynard se caractérise par des idées ingénieuses mais simples, qui sont poussées très loin grâce à ses puissantes capacités techniques. Aussi impressionnant qu'ait été son travail jusqu'à présent, il ne marque peut-être qu'un début.

**Financement.** Ce travail a été partiellement soutenu par des subventions de la Fondation nationale des sciences et par une bourse de la fondation Simons.

**Bibliographie**

[1] *Adv. Math.*, n° 356, 2019, article 106808.

[2] *Proc. Lond. Math. Soc.*, n° 83, 2001, p. 532-562.

[3] *Math. Z.*, n° 286, 2017, p. 821-841.

[4] *Proc. Lond. Math. Soc.*, n° 113, 2016, p. 515-539.

[5] *Acta Math.*, n° 156, 1986, p. 203-251.

[6] *Israel J. Math.*, n° 206, 2015, p. 165-182.

[7] *J. Number Theory*, n° 81, 2000, p. 270-291.

[8] *J. Number Theory*, n° 91, 2001, p. 230-255.

[9] *J. Number Theory*, n° 2, 1970, p. 425-441.

[10] *J. Am. Math. Soc.*, n° 31, 2018, p. 65-105.

[11] *Ann. Math.*, n° 183, 2016, p. 935-974.

[12] *Mathematika*, n° 27, 1980, p. 135-152.
[13] *Ann. Math.*, n° 148, 1998, p. 945-1040.

[14] FRIEDLANDER (John) et IWANIEC (Henryk), *Opera de cribro*, American Mathematical Society, 2010.

[15] *J. Math. Soc. Japan*, n° 13, 1961, p. 342-345.

[16] *Mathematika*, n° 23, 1976, p. 4-9.

[17] *Ann. Math.*, n° 170, 2009, p. 819-862.

[18] *Bull. Am. Math. Soc. (N.S.)*, n° 52, 2015, p. 171-222.

[19] *Ann. Math.*, n° 171, 2010, p. 1753-1850.

[20] *Ann. Math.*, n° 175, 2012, p. 541-566.

[21] *Ann. Math.*, n° 176, 2012, p. 1231-1372.

[22] HARMAN (Glyn), *Metric Number Theory*, Oxford University Press, 1998.

[23] *Math. Ann.*, n° 353, 2012, p. 259-273.

[24] *Acta Math.*, n° 186, 2001, p. 1-84.

[25] *Invent. math.*, n° 208, 2017, p. 441-499.

[26] *Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Seoul, 2014)*, vol. II, p. 391-418.

[27] arXiv, 2109.11003.

[28] *Ann. Math.*, n° 192, 2020, p. 251-307.

[29] *Astérisque*, n° 367-368, 2015, p. 327-366.

[30] *Proc. Lond. Math. Soc.*, n° 115, 2017, p. 323-347.

[31] *Ann. Math.*, n° 171, 2010, p. 1591-1646.

[32] *Ann. Math.*, n° 181, 2015, p. 383-413.

[33] *Compos. Math.*, n° 152, 2016, p. 1517-1554.

[34] *Ann. Math.*, n° 183, 2016, p. 915-933.

[35] *European Congress of Mathematics* (Berlin, 2016), EMS Press, 2018, p. 641-661.

[36] *Invent. math.*, n° 217, 2019, p. 127-218.

[37] arXiv, 2006.06572.

[38] arXiv, 2006.07088.

[39] arXiv, 2006.08250.

[40] *Forum Math. Pi*, n° 8, 2020, article e3.

[41] *J. Lond. Math. Soc.*, n° 102, 2020, p. 99-124.

[42] *From Arithmetic to Zeta-Functions*, Springer, 2016, p. 367-384.

[43] *Acta Arith.*, n° 184, 2018, p. 413-418.

[44] *Mathematika*, n° 37, 1990, p. 190-200.

[45] *Algebr. Number Theory*, n° 8, 2014, p. 2067-2199.

[46] *Res. Math. Sci.*, n° 1, 2014, article 12.

[47] *Bull. Am. Math. Soc.*, n° 44, 2007, p. 1-18.

[48] *Pacific J. Math.*, n° 76, 1978, p. 527-539.

[49] *Ann. Math.*, n° 179, 2014, p. 1121-1174.
# Les travaux de Maryna Viazovska
(par Henry COHN)

Le 5 juillet 2022, Maryna Viazovska a reçu une médaille Fields pour la résolution du problème de l'empilement de sphères en dimension 8, ainsi que pour d'autres contributions à des problèmes extrémaux connexes et à des problèmes d'interpolation en analyse harmonique. Cet article explique à un public mathématicien certaines des idées qui sous-tendent ses travaux.

## 1 Introduction

Le problème de l'empilement de sphères consiste à déterminer comment remplir la fraction la plus grande possible de l'espace avec des sphères semblables, si elles ne peuvent se toucher que tangentiellement<fnref n="1" />. Ce problème se situe à l'interface de nombreuses branches des mathématiques et de la science en général, avec des liens allant de la science des matériaux à la théorie de l'information. L'empilement de sphères est un problème naturel de géométrie euclidienne, dont l'énoncé est simple. On pourrait s'attendre à une solution tout aussi élémentaire et autonome. Au lieu de cela, le sujet est dominé par des liens inattendus.

Avant les travaux révolutionnaires de Viazovska, la densité optimale d'empilement de sphères n'était connue qu'en dimension 1, 2 ou 3. En dimension 1, c'est trivial, car les intervalles peuvent recouvrir la droite réelle avec une densité égale à 1. En dimension 2, ce n'est pas trivial, mais Thue [26] a démontré que l'arrangement de six voisins autour de chaque disque est optimal, avec une densité $\pi/\sqrt{12} \approx 0,9068$. Le cas de la dimension 3 a été résolu par Hales [16] via une démonstration ingénieuse assistée par ordinateur, qui a depuis été formellement vérifiée [17]. La réponse sans surprise est illustrée dans la figure 1 : les

<footnote>COHN (Henry), « The work of Maryna Viazovska », dans Proc. Int. Cong. Math. 2022, vol. I, p. 82-105. DOI 10.4171/ICM2022/213</footnote>

<footnote n="1">1. Pour énoncer le problème avec précision, il faut expliquer ce que signifie « la fraction la plus grande possible ». Une façon de le faire est de prendre une limite du problème de l'empilement dans une région délimitée lorsque sa taille augmente par rapport au rayon de la sphère. Le problème de l'empilement de sphères s'avère être très robuste, dans le sens où à peu près toutes les formulations raisonnables sont équivalentes.</footnote>
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Fig. 1 – *Un empilement optimal de boulets de canon.*</figcaption></figure>

couches bidimensionnelles optimales sont imbriquées les unes dans les autres aussi densément que possible, pour atteindre la densité $\pi/\sqrt{18} \approx 0,7404$.

Ces résultats antérieurs donnent une image trompeuse de ce qui se passe dans les dimensions supérieures. L’empilement de couches optimales pour la dimension inférieure produit généralement des empilements sous-optimaux. Personne n’a la moindre idée de ce que pourraient être les empilements de sphères les plus denses dans la plupart des dimensions. Nous ne savons même pas s’ils doivent être cristallins ou désordonnés.

Les empilements en dimensions supérieures ne présentent pas seulement un intérêt en mathématiques pures. Ils sont également importants pour les applications pratiques, car les empilements de sphères sont des codes correcteurs pour un canal de communication continu (tel que la radio). Dans ce modèle, l’empilement se fait dans un espace de signal abstrait, dont la dimension est le nombre de mesures utilisées pour caractériser le signal; elle est généralement beaucoup plus grande que trois.

Il ne semble pas y avoir de motif simple dans les empilements optimaux qui persiste pour de nombreuses dimensions. Les meilleures majorations et minorations connues pour la densité optimale d’empilement dans $\mathbb{R}^d$ restent exponentiellement éloignées les unes des autres lorsque $d$ augmente. Une poignée de dimensions sortent néanmoins du lot, notamment les dimensions 8 et 24 qui présentent des empilements exceptionnels, à savoir le réseau $E_8$ et le réseau de Leech $\Lambda_{24}$, avec des symétries remarquables et de nombreux liens avec différentes branches
des mathématiques. Grâce aux travaux de Viazovska [10, 27], nous savons maintenant qu'ils sont véritablement optimaux. Le saut de la dimension 3 aux dimensions 8 et 24 dans les solutions connues est remarquable. Il illustre le caractère exceptionnel de ces empilements.

Le réseau $E_8$ et le réseau de Leech ont longtemps été considérés comme les candidats les plus convaincants pour trouver de nouvelles solutions au problème de l'empilement de sphères. Une démonstration géométrique directe semblait cependant impossible : il est naturel d'essayer de travailler avec une décomposition de l'espace en mailles, mais le fléau de la dimension signifie que nous sommes confrontés à un nombre ingérable de formes de mailles potentielles et de façons dont elles pourraient s'adjoindre les unes aux autres. Il existe peut-être une démonstration dans ce sens, mais personne n'a encore trouvé la bonne approche.

Au lieu de cela, Viazovska a démontré l'optimalité de $E_8$ grâce à un nouveau lien spectaculaire avec la théorie des formes modulaires, puis elle a étendu ses idées avec plusieurs collaborateurs au cas du réseau de Leech :

**Théorème 5** (Viazovska [27]). *Le réseau* $E_8$ *atteint la densité optimale d'empilement de sphères dans* $\mathbb{R}^8$, *à savoir* $\pi^4/384$.

**Théorème 6** (Cohn, Kumar, Miller, Radchenko et Viazovska [10]). *Le réseau de Leech* $\Lambda_{24}$ *atteint la densité optimale d'empilement dans* $\mathbb{R}^{24}$, *à savoir* $\pi^{12}/12!$.

Comme Peter Sarnak l'a remarqué à l'époque [19], l'article [27] est « étonnamment simple, comme le sont toutes les grandes choses ». Cette simplicité est caractéristique du travail de Viazovska : elle a le don de relier les concepts et de formuler des conjectures audacieuses. Ses idées la conduisent à des arguments saisissants. Ses démonstrations s'attaquent directement au cœur du problème, sans aucune complication extérieure. Bien entendu, la simplicité n'est pas synonyme de facilité. Ce qui rend son travail extraordinaire, c'est à quel point ses idées sont différentes de celles qui ont précédé.

Dans la suite de cet article, nous examinerons la démonstration de Viazovska de l'optimalité de $E_8$, ainsi que sa motivation et sa place dans les mathématiques de manière plus générale. En particulier, cet article peut servir d'introduction et de guide aux techniques de Viazovska, à côté d'autres exposés [6, 20]. Pour le contexte sur l'empilement de sphères et sur les réseaux, voir [12, 15, 25].
Bien sûr, nous devons garder à l'esprit que ce sujet ne représente qu'un volet des recherches de Viazovska. Par exemple, [3] est un article magnifique et décisif sur un sujet tout à fait différent. Pour quels travaux sera-t-elle connue dans vingt ou trente ans ? J'ai hâte de le découvrir.

## 2 Le contexte

Avant d'aborder la démonstration de Viazovska, nous avons besoin d'un peu de contexte. Dans cette section, nous allons construire le réseau $E_8$ et expliquer une méthode pour démontrer des majorations pour la densité d'empilement de sphères.

Les empilements de sphères peuvent être construits de nombreuses façons, parmi lesquelles les empilements en réseau constituent la possibilité la plus simple. Un empilement de sphères est centré sur les points d'un réseau $\Lambda$ dans $\mathbb{R}^d$, c'est-à-dire un sous-groupe discret de $\mathbb{R}^d$ de rang $d$, ou de manière équivalente un sous-groupe discret engendré par une base de $\mathbb{R}^d$. Il n'y a aucune raison a priori pour qu'un empilement optimal de sphères ait cette structure algébrique. Par exemple, le meilleur empilement de sphères connu dans $\mathbb{R}^{10}$ ne l'a pas. Plusieurs des meilleurs empilements de sphères connus en basse dimension sont néanmoins des empilements en réseau.

Pour former un empilement à partir d'un réseau $\Lambda$, nous devons choisir le rayon de la sphère $r$ de manière à ce que les sphères voisines ne se chevauchent pas. Plus précisément, nous devons prendre

$$r = \frac{1}{2} \min_{x \in \Lambda \setminus \{0\}} |x|.$$

Le volume d'une sphère de rayon $r$ dans $\mathbb{R}^d$ est $\pi^{d/2} r^n / (d/2)!$, où $(d/2)!$ signifie $\Gamma(d/2 + 1)$ lorsque $d$ est impair. La densité de l'empilement global (c'est-à-dire la fraction d'espace couverte par les boules) est le volume de la sphère multiplié par le nombre de sphères par unité de volume dans l'espace. Soit $\text{vol}(\mathbb{R}^d/\Lambda)$ le covolume du réseau, c'est-à-dire le volume du tore quotient, ou de manière équivalente la valeur absolue du déterminant d'une base du réseau. Le nombre de sphères par unité de volume dans l'espace est alors de $1/\text{vol}(\mathbb{R}^d/\Lambda)$. La densité de l'empilement en réseau est donc

$$\frac{\pi^{d/2} r^n}{(d/2)! \text{vol}(\mathbb{R}^d/\Lambda)}.$$
L'un des réseaux les plus remarquables est le réseau $E_8$, qui trouve
son origine dans la théorie de Lie mais qui s'est depuis répandu dans
toutes les mathématiques. Nous verrons ci-dessous comment obtenir
$E_8$ en modifiant le réseau $D_d$, le réseau en damier en dimension $d$ défini
par

$$
D_d = \{(x_1, \dots, x_d) \in \mathbb{Z}^d : x_1 + \dots + x_d \text{ est pair}\}.
$$

En d'autres termes, $D_d$ omet simplement un point sur deux dans le réseau cubique $\mathbb{Z}^d$. Comme cas particulier, $D_3$ est le réseau cubique à faces centrées en dimension 3, pour lequel Hales a montré qu'il atteignait la densité optimale d'empilement de sphères [16]. Les réseaux $D_4$ et $D_5$ sont les meilleurs empilements connus dans leurs dimensions respectives, mais $D_d$ n'est pas optimal au-delà de la dimension 5.

Le problème de $D_d$ en dimensions supérieures est que ses trous sont trop grands. Un *trou* est un point de l'espace qui est un maximum local pour la distance au réseau. Il existe deux types de trous dans $D_d$: les trous peu profonds à une distance 1 du réseau tels que $(1,0,...,0)$, et les trous profonds à une distance $\sqrt{d}/4$ du réseau tels que $(\frac{1}{2},\frac{1}{2},...,\frac{1}{2})$. Lorsque $d \to \infty$, $\sqrt{d}/4$ fait de même : les trous profonds deviennent suffisamment grands pour accueillir un très grand nombre de sphères supplémentaires. En particulier, $D_d$ ne peut pas être optimal lorsque $d$ est grand.

Lorsque $d = 8$, quelque chose de magnifique se produit. La distance $\sqrt{8}/4$ entre un trou profond et le réseau est exactement égale à la distance $\sqrt{2}$ entre les points du réseau dans $D_8$, ce qui signifie que les trous profonds sont juste assez grands pour être remplis par des sphères supplémentaires. Si nous bouchons ces trous avec des sphères, alors l'empilement qui en résulte est l'union de $D_8$ et de son translaté $D_8 + (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{2})$. Il n'est pas difficile de vérifier que cet empilement est un réseau (cela revient à dire que $2 \cdot (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{2}) \in D_8$), appelé « réseau $E_8$ ».

Le réseau $E_8$ a un rayon $r = \sqrt{2}/2$ et un covolume $\text{vol}(\mathbb{R}^8/E_8) = \text{vol}(\mathbb{R}^8/D_8)/2 = 1$. Il a donc une densité égale à $\pi^4/384 \approx 0,2536$. Il n'est pas du tout évident que cette construction soit optimale. En fait, elle semble un peu *ad hoc*. Le réseau $E_8$ s'avère cependant être bien plus beau et symétrique que sa construction ne l'indique (voir par exemple la figure 2 pour une vue de $E_8$ avec une symétrie d'ordre 30). Il s'agit d'un cas courant avec les structures exceptionnelles en mathématiques : elles sont généralement obtenues en assemblant plusieurs sous-structures
qui ont chacune moins de symétrie individuellement.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>FIG. 2 – Coupe bidimensionnelle de $\mathbb{R}^8$ à travers un plan de Coxeter de $E_8$, colorée en fonction du carré de la distance au point de $E_8$ le plus proche (les couleurs sombres sont les plus proches) et inspirée de [22].</figcaption></figure>

Maintenant que nous disposons du réseau $E_8$, la question suivante est de savoir comment nous pourrions essayer d'obtenir un majorant pour la densité d'empilement de sphères en dimension 8. L'obtention d'un majorant semble totalement infaisable dans la plupart des dimensions. Mais dans quelques dimensions spéciales, les majorants basés sur l'analyse harmonique fonctionnent remarquablement bien. Cette idée, appelée « borne de programmation linéaire », remonte à un article fondamental de P. Delsarte [13] sur les codes correcteurs. La borne correspondante pour les empilements de sphères a été développée par Cohn et Elkies [7].

La borne de programmation linéaire est formulée en utilisant la transformée de Fourier $\hat{f}$ d'une fonction intégrable $f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{C}$,

$$ \hat{f}(y) = \int_{\mathbb{R}^d} f(x) e^{-2\pi i \langle x, y \rangle} dx, $$

où $\langle \cdot, \cdot \rangle$ est le produit scalaire habituel sur $\mathbb{R}^d$. Rappelons que la transfor-
mée de Fourier décompose $f$ en exponentielles complexes. En termes de traitement du signal, cela revient à identifier les fréquences qui apparaissent dans un signal et leurs amplitudes relatives. Cette décomposition conduit au théorème d'inversion de Fourier : si $\tilde{f}$ est également intégrable, alors

$$f(x) = \int_{\mathbb{R}^d} \tilde{f}(y) e^{2\pi i \langle x, y \rangle} dy.$$

En d'autres termes, la transformée de Fourier est presque son propre inverse, le changement de signe étant la seule différence. Notons que $\tilde{f}$ est généralement à valeurs complexes même si $f$ est à valeurs réelles. Mais $\tilde{f}$ est à valeurs réelles si $f$ est à valeurs réelles et si c'est une fonction paire.

Nous aurons également besoin de quelques types de fonctions qui se comportent bien. Une fonction $f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ est dite « à décroissance rapide » si $f(x) = O(|x|^{-c})$ quand $|x| \to \infty$ pour toute constante $c > 0$. Une fonction de Schwartz est une fonction lisse à décroissance rapide dont toutes les dérivées partielles (de tous les ordres) sont également à décroissance rapide. Les fonctions de Schwartz sont sans doute les fonctions avec le meilleur comportement en analyse harmonique. Une grande partie de ce que nous allons aborder peut être généralisée au-delà des fonctions de Schwartz, mais c'est tout ce dont Viazovska a eu besoin pour résoudre le problème de l'empilement de sphères.

Nous pouvons maintenant énoncer la borne de programmation linéaire pour l'empilement de sphères :

**Théorème 7** (Cohn et Elkies [7]). Soit $f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ une fonction de Schwartz paire et $r$ un nombre réel strictement positif. Si

1. $f(x) \le 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}^d$ tel que $|x| \ge r$,

2. $\tilde{f}(y) \ge 0$ pour tout $y \in \mathbb{R}^d$,

3. $f(0) = \tilde{f}(0) = 1,$

alors la densité optimale d'empilement de sphères dans $\mathbb{R}^d$ est inférieure ou égale à $\text{vol}(\mathbb{B}_{r/2}^d) = \pi^{d/2}(r/2)^d/(d/2)!$.

Ce théorème donne un majorant pour la densité optimale d'empilement à partir d'une fonction $f$ qui vérifie certaines inégalités, mais il ne dit rien sur la façon de choisir $f$ pour optimiser la borne. L'optimisation numérique peut produire de bons choix pour $f$, qui donnent les bornes indiquées dans la figure 3. Ces bornes sont rigoureuses, mais
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>FIG. 3 – Graphes de la borne de programmation linéaire calculée numériquement [1] et de la meilleure densité d'empilement de sphères actuellement connue [12].</figcaption></figure>

il est possible que d'autres fonctions produisent des bornes encore
meilleures.

Comme on peut le voir sur la figure 3, les bornes en dimension 8 et 24 semblent optimales. L'optimisation numérique ne permettra pas d'obtenir une borne exactement optimale, mais elle semble s'en approcher le plus possible. Sur la base de données de ce type et d'analogies avec d'autres problèmes de la théorie des codes, Cohn et Elkies ont conjecturé l'existence de *fonctions magiques f* qui résoudraient le problème de l'empilement de sphères de manière exacte dans $\mathbb{R}^8$ et $\mathbb{R}^{24}$, avec respectivement $r = \sqrt{2}$ et $r = 2$. Notons que ce n'est pas parce que la borne est plus basse dans ces dimensions, mais plutôt parce que les empilements optimaux l'atteignent. Aucune autre dimension supérieure à 2 ne semble avoir une borne de programmation linéaire optimale, mais aucune démonstration n'existe à ce sujet. La borne n'a été optimisée de manière exacte que pour $d = 1, 8$ et 24.

Le cœur de la percée de Viazovska réside dans la construction de
fonctions magiques. À quoi doit ressembler *f* si l'on veut obtenir une
borne optimale ? Il existe quelques critères simples, que nous pouvons
obtenir à partir de la démonstration du théorème 7. Nous examinerons une démonstration pour le cas particulier des réseaux, mais le théorème peut être démontré dans toute sa généralité en combinant la même technique avec un peu d'algèbre supplémentaire. L'argument est basé sur la formule sommatoire de Poisson : si $f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{C}$ est une fonction de Schwartz, si $\Lambda$ est un réseau dans $\mathbb{R}^d$, et si $\Lambda^*$ est son réseau dual (c'est à dire le réseau engendré par la base duale de toute base de $\Lambda$ par rapport au produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$), alors

$$ \sum_{x \in \Lambda} f(x) = \frac{1}{\mathrm{vol}(\mathbb{R}^d / \Lambda)} \sum_{y \in \Lambda^*} \widehat{f}(y). $$

Démonstration du théorème 7 pour les réseaux. Le problème de l'empilement de sphères est invariant par changement d'échelle. Nous pouvons donc utiliser des sphères de rayon $r/2$. Soit $\Lambda$ un empilement en réseau avec un rayon d'empilement $r/2$, ce qui signifie que $|x| \ge r$ pour $x \in \Lambda \setminus \{0\}$. Si $f$ vérifie les hypothèses du théorème 7, alors $f(x) \le 0$ pour $x \in \Lambda \setminus \{0\}$ et $\widehat{f}(y) \ge 0$ pour tout $y$, d'où il découle que

$$ 1 = f(0) \ge \sum_{x \in \Lambda} f(x) = \frac{1}{\mathrm{vol}(\mathbb{R}^d / \Lambda)} \sum_{y \in \Lambda^*} \widehat{f}(y) \ge \frac{\widehat{f}(0)}{\mathrm{vol}(\mathbb{R}^d / \Lambda)} = \frac{1}{\mathrm{vol}(\mathbb{R}^d / \Lambda)}. $$

Par conséquent, la densité d'empilement $\mathrm{vol}(\mathbb{B}_{r/2}^d) / \mathrm{vol}(\mathbb{R}^d / \Lambda)$ est majorée par $\mathrm{vol}(\mathbb{B}_{r/2}^d)$, comme souhaité. $\square$

Une première observation est que nous pouvons supposer sans perte de généralité que la fonction $f$ est radiale, c'est-à-dire que $f(x)$ ne dépend que de $|x|$. En effet, nous pouvons remplacer $f$ par la moyenne de ses rotations autour de l'origine, car toutes les contraintes sont linéaires et invariantes par rapport à la rotation. On pourrait se demander si les fonctions non radiales pourraient être utiles d'un point de vue conceptuel même si elles ne sont pas nécessaires, mais la réponse semble jusqu'à présent négative. Les travaux de Viazovska conduisent au contraire à une merveilleuse et nouvelle théorie de l'interpolation pour les fonctions radiales. Nous supposerons dorénavant que la fonction $f$ est radiale. Pour tout $t \in [0, \infty[$, nous noterons $f(t)$ la valeur commune de $f(x)$ pour $|x| = t$ et $f'(t)$ la dérivée radiale.

Si nous examinons maintenant l'inégalité centrale dans la démonstration du théorème 7 pour les réseaux, nous pouvons voir quand elle
pourrait être optimale. Pour obtenir une borne optimale, tous les termes écartés de l'inégalité doivent s'annuler : nous devons avoir $f(x) = 0$ pour tout $x \in \Lambda \setminus \{0\}$ et $\hat{f}(y) = 0$ pour tout $y \in \Lambda^* \setminus \{0\}$. En d'autres termes, $f$ doit s'annuler pour les distances non nulles sur les points du réseau, tandis que $\hat{f}$ doit s'annuler pour les distances non nulles sur les points du réseau dual.

On peut vérifier directement à partir de la construction de $E_8$ donnée ci-dessus que $E_8^* = E_8$ et que les longueurs des vecteurs dans $E_8$ sont toutes des racines carrées d'entiers pairs. De plus, il s'avère que chaque distance $\sqrt{2n}$ avec $n \ge 0$ se trouve effectivement dans $E_8$. Nous devrions donc avoir $r = \sqrt{2}$ dans le théorème 7. La fonction magique $f$ devrait changer de signe au rayon $\sqrt{2}$, avec des racines doubles en $\sqrt{2n}$ pour $n \ge 2$, comme indiqué dans la figure 4. En d'autres termes, nous souhaitons contrôler le comportement de $f$ et de $\hat{f}$ au second ordre en ces points, c'est-à-dire contrôler à la fois les valeurs $f(\sqrt{2n})$ et $\hat{f}(\sqrt{2n})$ et les dérivées radiales $f'(\sqrt{2n})$ et $\hat{f}'(\sqrt{2n})$.

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIG. 4 – Ce schéma, tiré de [6], présente les racines de la fonction magique $f$ et de sa transformée de Fourier $\hat{f}$ en dimension 8. Il ne s'agit pas du véritable tracé de la fonction, qui décroît très rapidement. Voir la figure 5 pour le véritable tracé.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIG. 5 – Deux tracés de la fonction magique de Viazovska en dimension 8. L'échelle du premier tracé est correcte, mais la décroissance est si rapide que les racines deviennent invisibles. Le second tracé introduit un changement d'échelle pour les rendre visibles, basé sur le taux de décroissance asymptotique.</figcaption></figure>

Comment peut-on construire une telle fonction $f$ ? La raison pour laquelle cette tâche est difficile est qu'elle implique de contrôler simul-
tanément $f$ et $\hat{f}$. Il est bien sûr facile de contrôler l'une ou l'autre de ces
fonctions, mais le fait de les contrôler toutes les deux en même temps
introduit de profondes difficultés. Le problème sous-jacent est le prin-
cipe d'incertitude de Heisenberg : en termes simples, chaque fois que
vous essayez de fixer $f$, vous perdez le contrôle de $\hat{f}$, et vice versa. Plus
précisément, nous nous heurtons au principe d'incertitude de Bourgain,
Clozel et Kahane pour le contrôle des signes des fonctions [4, 8]. Ces
inégalités apparemment simples sur $f$ et $\hat{f}$ se révèlent donc beaucoup
plus subtiles qu'il n'y paraît.

Lorsque Elkies et moi-même avons proposé cette méthode en 1999,
Viazovska était encore au lycée. Sans réaliser à quel point l'étape res-
tante était profondément difficile, j'ai imaginé que nous avions presque
résolu le problème de l'empilement de sphères pour les dimensions 8 et 24. Notre incapacité à trouver les fonctions magiques était extrêmement frustrante. Je craignais au début que quelqu'un d'autre ne trouvât une solution facile et que je me sentisse idiot de ne pas l'avoir trouvée moi-même. Au fil du temps, j'ai acquis la conviction que l'obtention de ces fonctions était en fait difficile. D'autres personnes sont parvenues à la même conclusion. Thomas Hales a par exemple déclaré : « J'avais l'impression qu'il faudrait un Ramanujan pour la trouver » [19]. Finalement, au lieu de m'inquiéter que quelqu'un d'autre résolve le problème, j'ai commencé à craindre que personne ne le résolve et que je meure un jour sans en connaître le résultat. Je suis reconnaissant à Viazovska d'avoir trouvé une solution aussi satisfaisante et belle, et d'avoir introduit de nouvelles idées merveilleuses à explorer par la communauté mathématique.

### 3 Les formes modulaires

La fonction magique de Viazovska est construite à l'aide de formes modulaires, des fonctions spéciales qui jouent un rôle important en théorie des nombres. La théorie des formes modulaires a la réputation d'être quelque peu rébarbative, mais les bases ne sont pas si difficiles. Or c'est tout ce qui est nécessaire pour la démonstration de Viazovska. Nous décrirons ici les grandes lignes de la théorie nécessaire. Pour une introduction concrète au cas de $SL_2(Z)$, voir le chapitre vii dans [24]. Pour des traitements plus détaillés et plus généraux, voir [5, 14, 28].

Nous commençons par un exemple de forme modulaire, à savoir la série d'Eisenstein. Rappelons que la fonction zêta de Riemann est définie par

$$ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} $$

lorsque cette somme converge, c'est-à-dire lorsque $\text{Re}(s) > 1$. Nous additionnons ici les puissances inverses de la progression arithmétique 1, 2... Euler a obtenu une formule exacte lorsque $s$ est un entier pair. Et si nous voulions additionner les puissances inverses d'un réseau dans le plan complexe ? En mettant de côté la question de savoir pourquoi nous voudrions faire cela (le résultat a une signification plus profonde qu'on ne pourrait le supposer), nous pourrions écrire le résultat sous la
forme de la série d'Eisenstein

$$E_k(z) = \frac{1}{2\zeta(k)} \sum_{(m,n) \in \mathbb{Z}^2 \setminus \{(0,0)\}} \frac{1}{(mz + n)^k} \quad (1)$$

pour Im z > 0, où l'on fait la somme sur le réseau $\{mz + n : m, n \in \mathbb{Z}\}$, à l'exception du point (0, 0) où la somme exploserait. À multiplication par un nombre complexe près, tous les réseaux bidimensionnels sont de cette forme.

Le facteur $1/(2\zeta(k))$ dans la définition est simplement un facteur de normalisation pratique, qui ne joue aucun rôle essentiel dans l'étude de $E_k$. La notation $E_k$ est malheureusement en conflit avec le nom du réseau $E_8$, mais cela ne causerait pas d'ambiguïté en pratique.

Nous limiterons notre attention aux entiers $k$ strictement positifs pour que $(mz + n)^k$ soit univoque. La série (1) converge absolument lorsque $k \ge 3$, mais n'est que semi-convergente lorsque $k = 2$. Pour $k$ impair, les termes $(m, n)$ et $(-m, -n)$ s'annulent et nous obtenons $E_k(z) = 0$. Donc seuls les cas pairs sont intéressants<fnref n="2" />. Nous nous concentrerons donc sur $E_k$ pour $k$ pair et au moins égal à 4.

À quoi ressemble une série d'Eisenstein ? La figure 6 représente $E_4$ : le noir représente zéro, le blanc l'infini et la couleur indique la phase complexe [21], les transitions nettes de couleur se produisant pour des valeurs réelles strictement positives. La structure fractale visible dans cette figure peut être expliquée à l'aide de deux équations fonctionnelles :

$$E_k(z + 1) = E_k(z) \quad \text{et} \quad E_k(-1/z) = z^k E_k(z).$$

Ces symétries découlent du réarrangement de la série (1) lorsque $k > 2$. Ce sont les équations centrales de la théorie des formes modulaires.

Les applications $z \mapsto z + 1$ et $z \mapsto -1/z$ qui apparaissent dans ces équations fonctionnelles engendrent un groupe discret de transformations homographiques du demi-plan supérieur $\mathcal{H} = \{z \in \mathbb{C} : \text{Im} z > 0\}$. Pour le situer dans le contexte plus large des groupes de matrices, nous pouvons considérer l'action de la matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ sur $\mathcal{H}$

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot z = \frac{az + b}{cz + d}.$$

<footnote n="2">2. Ce phénomène de parité est essentiellement le même que dans la formule d'Euler pour la fonction zêta aux entiers pairs, qui peut être vue comme le calcul explicite de $\sum_{n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}} n^{-k}$ pour tous les entiers $k > 1$.</footnote>
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIG. 6 – Tracé de la série d’Eisenstein $E_4(z)$ pour $-1 \le \operatorname{Re} z \le 1$ et $0 < \operatorname{Im} z \le 1$ (en haut) et le même tracé superposé à un pavage de $\mathcal{H}$ qui utilise des domaines fondamentaux pour l’action de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ (en bas).</figcaption></figure>

Les matrices $T = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $S = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ vérifient $T \cdot z = z + 1$ et $S \cdot z = -1/z$. Elles engendrent le groupe $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$.

L’action de poids $k$ de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ sur les fonctions $f: \mathcal{H} \to \mathbb{C}$ est définie par

$$ (f|_k\gamma)(z) = (cz + d)^{-k} f\left(\frac{az + b}{cz + d}\right) $$

si $\gamma = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$. Dans cette notation, les équations fonctionnelles $E_k(z+1) =$
$E_k(z)$ et $E_k(-1/z) = z^k E_k(z)$ impliquent que la série d'Eisenstein $E_k$ vérifie $E_{k|k}\gamma = E_k$ pour tout $\gamma \in SL_2(\mathbb{Z})$ lorsque $k > 2$.

Une forme modulaire de poids $k$ pour $SL_2(\mathbb{Z})$ est une fonction holomorphe $f: \mathcal{H} \to \mathbb{C}$ telle que $f_{|k}\gamma = f$ pour tout $\gamma \in SL_2(\mathbb{Z})$ et telle qu'une condition supplémentaire soit remplie, à savoir être holomorphe à l'infini. Pour énoncer cette condition, notons que prendre $\gamma = \mathbb{T}$ montre que $f(z+1) = f(z)$. Nous pouvons donc développer $f$ en série de Fourier

$$f(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n e^{2\pi i n z}.$$

On dit que $f$ est méromorphe à l'infini s'il n'y a qu'un nombre fini de coefficients non nuls $a_n$ avec $n < 0$, et holomorphe à l'infini si $a_n = 0$ pour tout $n < 0$. Le nom reflète le fait que cette série de Fourier régit le comportement de $f(z)$ lorsque $\mathrm{Im} z$ tend vers l'infini, car $e^{2\pi i n z} \to 0$ lorsque $\mathrm{Im} z \to \infty$. La série de Fourier d'une forme modulaire est souvent appelée « série en $q$ », avec $q = e^{2\pi i n z}$.

Le facteur de normalisation $1/(2\zeta(k))$ dans l'équation (1) garantit que la série en $q$ de $E_k$ a des coefficients rationnels, et même des coefficients entiers lorsque $k$ est petit. Par exemple, on peut montrer que

$$E_4(z) = 1 + 240 \sum_{n \ge 1} \sigma_3(n) q^n \quad \text{et} \quad E_6(z) = 1 - 504 \sum_{n \ge 1} \sigma_5(n) q^n,$$

où $\sigma_k(n)$ désigne la somme des puissances $k$-ièmes des diviseurs de $n$.

Le produit de formes modulaires de poids $k$ et $\ell$ est une forme modulaire de poids $k+\ell$; les formes modulaires forment donc un anneau gradué. Pour $SL_2(\mathbb{Z})$, on peut montrer que cet anneau est engendré par $E_4$ et $E_6$. En d'autres termes, l'espace vectoriel des formes modulaires de poids $k$ pour $SL_2(\mathbb{Z})$ est engendré par les formes modulaires $E_4^j E_6^\ell$ avec $4j + 6\ell = k$.

En plus d'utiliser directement les séries d'Eisenstein, Viazovska utilise également le *discriminant modulaire* $\Delta$, qui est donné par

$$\Delta(z) = \frac{E_4(z)^3 - E_6(z)^2}{1728} = q \prod_{n=1}^{\infty} (1 - q^n)^{24}. \qquad (2)$$

Sa principale propriété est qu'il ne s'annule pas dans le demi-plan supérieur, alors qu'il s'annule à l'infini (dans le sens où sa série en $q$ n'a pas de terme constant).

Turán a dit que les fonctions spéciales devraient plutôt être appelées fonctions utiles. Les formes modulaires ne font pas exception à ce
principe. La raison pour laquelle nous étudions les formes modulaires n'est pas que nous avons un amour particulier pour les séries d'Eisenstein, mais plutôt que les équations fonctionnelles $f(z + 1) = f(z)$ et $f(-1/z) = z^k f(z)$ se présentent bien plus souvent qu'on ne pourrait le croire. Par exemple, au réseau $E_8$ est associé une forme modulaire importante, à savoir sa fonction thêta

$$ \Theta_{E_8}(z) = \sum_{n=0}^{\infty} N_n e^{2\pi i n z}, $$

où $N_n = \#\{x \in E_8 : |x|^2 = 2n\}$. En d'autres termes, la fonction thêta est une série génératrice qui compte le nombre de vecteurs de chaque longueur dans $E_8$.

Cette fonction thêta vérifie deux équations fonctionnelles : $\Theta_{E_8}(z + 1) = \Theta_{E_8}(z)$ découle de la définition de $\Theta_{E_8}$ en tant que série de Fourier, tandis que $\Theta_{E_8}(-1/z) = z^4 \Theta_{E_8}$ correspond à la formule sommatoire de Poisson sur $E_8$ pour la fonction gaussienne complexe $x \mapsto e^{\pi i z |x|^2}$, dont la transformée de Fourier en dimension 8 est $y \mapsto z^{-4} e^{\pi i (-1/z) |y|^2}$. Ces équations fonctionnelles nous indiquent que $\Theta_{E_8}$ est une forme modulaire de poids 4 pour $SL_2(\mathbb{Z})$ et qu'elle doit donc être proportionnelle à $E_4$. En fait, $\Theta_{E_8} = E_4$ car $N_0 = 1$. On obtient ainsi la belle formule $240\sigma_3(n)$ pour le nombre de vecteurs dans $E_8$ dont le carré de la norme vaut $2n$.

La théorie des formes modulaires s'étend à d'autres groupes discrets, si l'on définit soigneusement ce que signifie être holomorphe à l'infini<fnref n="3" />. La démonstration de Viazovska fait appel à un groupe supplémentaire, à savoir

$$ \Gamma(2) = \left\{ \gamma \in SL_2(\mathbb{Z}) : \gamma \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod{2} \right\}, $$

qui est d'indice 6 dans $SL_2(\mathbb{Z})$. Si l'on pose

$$ U(z) = \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{\pi i n^2 z} \right)^4, $$

<footnote n="3">³. Si $\Gamma$ est un sous-groupe d'indice fini dans $SL_2(\mathbb{Z})$, alors la condition est que pour tout $\gamma \in SL_2(\mathbb{Z})$, $f_{|k|\gamma}$ doit être holomorphe à l'infini. Notons que $f_{|k|\gamma}$ ne doit pas nécessairement vérifier $(f_{|k|\gamma})(z+1) = (f_{|k|\gamma})(z)$, mais on peut remarquer qu'il vérifie toujours $(f_{|k|\gamma})(z+n) = (f_{|k|\gamma})(z)$ pour un entier strictement positif $n$ et qu'il a donc un développement de Fourier en $e^{2\pi i z/n} = q^{1/n}$.</footnote>