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BLAISE PASCAL

HACÈNE BELBACHIR ET FARID BENCHERIF

Développement asymptotique de la somme des inverses
d'une fonction arithmétique

Volume 16, n° 1 (2009), p. 93-99.

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# Développement asymptotique de la somme des inverses d'une fonction arithmétique

HACÈNE BELBACHIR

FARID BENCHERIF

## Résumé

La somme des puissances des inverses de $\pi(n)$, $\pi(x)$ désignant le nombre de nombres premiers n'excédant pas $x$, a fait l'objet de nombreux travaux. Nous généralisons, dans cet article, les formules asymptotiques obtenues par ces auteurs à toute une classe de fonctions arithmétiques.

## 1. Introduction

Pour tout entier $r \ge 1$, et pour tout réel $x \ge 2$, on note $S_r(x) := \sum_{2 \le n \le x} \left(\frac{1}{\pi(n)}\right)^r$, où $\pi(x) = \sum_{p \le x} 1$ est le nombre de nombres premiers p n'excédant pas $x$.

Le Théorème des nombres premiers affirme que $\pi(x) \sim \frac{x}{\log x} (x \to \infty)$.

Ce théorème permet de constater aisément que d'une part,

$$S_1(x) \sim \frac{1}{2} \log^2 x \quad (x \to \infty) \qquad (1.1)$$

et que d'autre part pour $r \ge 2$, la série $\sum_{n \ge 2} \left(\frac{1}{\pi(n)}\right)^r$ est convergente de somme $C_r$, et donc

$$S_r(x) \sim C_r \quad (x \to \infty). \qquad (1.2)$$

J.-M. De Koninck et A. Ivić [4, 1980], L. Panaitopol [5, 2000] et A. Ivić [3, 2002] ont donné des développements asymptotiques de $S_1(x)$ plus précis que l'évaluation (1.1), le dernier en date étant celui de A. Ivić.

**Théorème 1.1.** *Soit $(k_n)_{n \ge 1}$ la suite d'entiers définie par récurrence par la relation*

$$k_n + 1!k_{n-1} + 2!k_{n-2} + \cdots + (n-1)!k_1 = n \cdot n! \quad (n \ge 1). \qquad (1.3)$$

<footnote>Mots-clés: Théorème des nombres premiers, Formules asymptotiques.</footnote>

<footnote>Classification math.: 11N05.</footnote>
H. BELBACHIR ET F. BENCHERIF

Alors pour tout entier $m \ge 2$, on a pour $x \to \infty$

$$ \sum_{2 \le n \le x} \frac{1}{\pi(n)} = \frac{1}{2} \log^2 x - \log x - \log \log x + C + \frac{k_2}{\log x} + \frac{k_3}{2 \log^2 x} + \dots + \frac{k_m}{(m-1) \log^{m-1} x} + O\left(\frac{1}{\log^m x}\right), $$

où C est une constante absolue.

Dans le cas où $r \ge 2$, H. Belbachir et F. Bencherif [1, 2006] ont établi
le résultat suivant :

**Théorème 1.2.** Pour un entier $r \ge 2$, soient $(k_n)_{n \ge 1}$ la suite d'entiers définie par (1.3), $(\alpha_{r,n})_{n \ge 0}$ la suite de rationnels définie par l'égalité dans $R[[X]]$ :

$$ \left(1 - X - \sum_{n \ge 1} k_n X^{n+1}\right)^r = \sum_{n \ge 0} \alpha_{r,n} X^n, $$

$(\lambda_{r,k})_{0 \le k \le r}$ et $(\mu_{r,k})_{k \ge 1}$ les suites de rationnels définies par

$$ \lambda_{r,k} := - \sum_{s=k}^{r} \frac{s!}{k! (r-1)^{s-k+1}} \alpha_{r,r-s}, \quad \mu_{r,k} := \sum_{s=1}^{k} \frac{(k-1)!}{(s-1)! (1-r)^{k-s+1}} \alpha_{r,r+s}. $$

Alors pour tout entier $m \ge 2$, on a pour $x \to \infty$

$$ \sum_{2 \le n \le x} \left( \frac{1}{\pi(n)} \right)^r = C_r + \frac{1}{x^{r-1}} \left( \lambda_{r,r} \log^r x + \dots + \lambda_{r,2} \log^2 x \right. \\ \left. + \lambda_{r,1} \log x + \lambda_{r,0} + \frac{\mu_{r,1}}{\log x} \right. \\ \left. + \frac{\mu_{r,2}}{\log^2 x} + \dots + \frac{\mu_{r,m-1}}{\log^{m-1} x} + O\left( \frac{1}{\log^m x} \right) \right), $$

où $C_r$ est la constante absolue définie par (1.2).

Le Théorème 1.2 constitue une extension naturelle du Théorème 1.1 d'Ivić. A part la constante $C_r$ qui peut être évaluée avec l'approximation que l'on veut, les constantes qui y figurent sont des rationnels, explicitement donnés et facilement calculables. Ainsi pour $r = 3$ et $m = 6$, on
obtient

$$
\sum_{2 \le n \le x} \left( \frac{1}{\pi(n)} \right)^3 = C_3 + \frac{1}{x^2} \left( -\frac{1}{2} \log^3 x + \frac{3}{4} \log^2 x + \frac{3}{4} \log x \right. \\
\left. \qquad + \frac{19}{8} + \frac{21}{2 \log x} + \frac{237}{4 \log^2 x} + \frac{1583}{4 \log^3 x} \right. \\
\left. \qquad + \frac{24219}{8 \log^4 x} + \frac{104091}{4 \log^5 x} + O \left( \frac{1}{\log^6 x} \right) \right).
$$

Le théorème qui suit généralise les deux précédents et constitue le prin-
cipal résultat de cet article.

2. Enoncé du Théorème

Précisons tout d'abord quelques notations.

Pour toute série formelle $T(X) := \sum_{n \ge 0} t_n X^n \in \mathbf{R}[[X]]$ de valuation nulle, et pour tout entier $r \ge 1$, la série formelle $(T(X))^r$ est inversible et le coefficient de $X^n$ dans $(T(X))^{-r}$ ne dépend que de $t_0, t_1, \dots, t_n$ et $r$. Désignons-le par $A_n(t_0, t_1, \dots, t_n; r)$. Autrement dit

$$
(T(X))^{-r} = \sum_{n \ge 0} A_n(t_0, t_1, \dots, t_n; r) X^n.
$$

Un simple calcul donne

$$
A_0(t_0; r) = \frac{1}{t_0^r} \quad \text{et} \quad A_1(t_0, t_1; r) = -r \frac{t_1}{t_0^{r+1}},
$$

et en particulier pour $r=1$, on a (voir [2])

$$
A_n(t_0, t_1, \dots, t_n; 1) = \frac{(-1)^n}{t_o^{n+1}} \left| \begin{array}{cccc} t_1 & t_2 & \cdots & t_n \\ t_0 & t_1 & \cdots & t_{n-1} \\ 0 & t_0 & t_1 & \cdots & t_{n-2} \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & t_0 & t_1 \end{array} \right| \quad (n \ge 1).
$$

Avec ces notations, on obtient le

**Théorème 2.1.** Soient $q \ge 1$, $r \ge 1$, $s \ge 1$ des entiers, $(a_k)_{k \ge 0}$ une suite de réels telle que $a_0 > 0$ et $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction arithmétique
H. BELBACHIR ET F. BENCHEIRIF

admettant pour tout entier $m \ge 1$ un développement asymptotique, pour
$n \to \infty$, s'écrivant

$$
f(n) = \frac{n^s}{\log^n n} \left( a_0 + \frac{a_1}{\log n} + \dots + \frac{a_{m-1}}{\log^{m-1} n} + O\left( \frac{1}{\log^m n} \right) \right).
$$

Soit $\sum_{n \le x} \left(\frac{1}{f(n)}\right)^r$ une sommation étendue aux seuls entiers $n \le x$ vérifiant $f(n) \ne 0$.

Dans le cas où $rs = 1$, on a pour tout entier $m \ge 1$

$$
\begin{align*}
\sum_{n \le x} \frac{1}{f(n)} &= \frac{b_0}{q+1} \log^{q+1} x + \frac{b_1}{q} \log^q x + \dots + \frac{b_q}{1} \log x \\
&\quad + b_{q+1} \log \log x + C - \frac{b_{q+2}}{\log x} \\
&\quad - \frac{b_{q+3}}{2 \log^2 x} - \dots - \frac{b_{q+m}}{(m-1) \log^{m-1} x} + O\left(\frac{1}{\log^m x}\right),
\end{align*}
$$

C étant une constante absolue indépendante de m et, pour 0 ≤ k ≤ q + m,
b_k = A_k (a_0, a_1, \dots, a_k; 1).

Dans le cas où $rs \ge 2$, $\sum_{n \ge 0} \left(\frac{1}{f(n)}\right)^r$ est convergente et on a pour tout entier $m \ge 1$

$$
\sum_{n>x} \left(\frac{1}{f(n)}\right)^r = \frac{\log^{qr} x}{x^{rs-1}} \left( c_0 + \frac{c_1}{\log x} + \dots + \frac{c_{m-1}}{\log^{m-1} x} + O\left(\frac{1}{\log^m x}\right) \right),
$$

avec

$$
c_k = \sum_{j=0}^{k} \frac{(qr-j)!}{(qr-k)!} (rs-1)^{j-k-1} A_j (a_0, a_1, \dots, a_j; r), \quad (0 \le k \le m-1).
$$

Remarque 2.2. Comme pour tout entier $m \ge 1$, on a

$$
\pi(n) = \frac{n}{\log n} \left( \sum_{k=0}^{m-1} \frac{k!}{\log^k n} + O\left( \frac{1}{\log^m n} \right) \right),
$$

on peut choisir $f(n) = \pi(n)$ avec dans ce cas particulier $q = s = 1$ et $a_k = k!$ pour $k \ge 0$; on retrouve alors les résultats de J.-M. De Koninck et A. Ivić, L. Panaitopol, A. Ivić, et de H. Belbachir et F. Bencherif.
### 3. Démonstration du théorème principal

La démonstration du théorème principal repose sur les deux lemmes suivants :

**Lemme 3.1.** Soient $m \ge 1$, $q \ge 1$, des entiers, $(b_k)_{k \ge 0}$ une suite de réels. Alors en posant

$$T_m(x) := \frac{\log^q x}{x} \left( b_0 + \frac{b_1}{\log x} + \dots + \frac{b_{m+q}}{\log^{m+q} x} \right)$$

et

$$U_m(x) := \frac{b_0}{q+1} \log^{q+1} x + \frac{b_1}{q} \log^q x + \dots + \frac{b_q}{1} \log x + b_{q+1} \log \log x - \frac{b_{q+2}}{\log x} - \frac{b_{q+3}}{2 \log^2 x} - \dots - \frac{b_{q+m}}{(m-1) \log^{m-1} x},$$

on a $U'_m(x) = T_m(x)$.

**Lemme 3.2.** Soient $m \ge 0$, $u \ge 1$, $v \ge 2$, des entiers, $(\alpha_k)_{0 \le k \le m}$ et $(\beta_k)_{0 \le k \le m}$ des réels tels que

$$\beta_k = \sum_{j=0}^{k} \frac{(u-j)!(v-1)^{j-k-1}}{(u-k)!} \alpha_j.$$

Alors, en posant

$$V_m(x) := \frac{\log^u x}{x^v} \left( \alpha_0 + \frac{\alpha_1}{\log x} + \dots + \frac{\alpha_m}{\log^m x} \right)$$

et

$$W_m(x) := - \frac{\log^u x}{x^{v-1}} \left( \beta_0 + \frac{\beta_1}{\log x} + \dots + \frac{\beta_m}{\log^m x} \right),$$

on a

$$W'_m(x) = V_m(x) + \frac{(m-u)\beta_m}{x^v \log^{m+1-u} x}.$$

*Preuve des lemmes.* La preuve du Lemme 3.1 est immédiate, alors que celle du Lemme 3.2 nécessite le calcul suivant. On a

$$W'_{m}(x) = \frac{\log^{u} x}{x^{v}} \left( (v-1)\beta_{0} + \sum_{j=1}^{m} \frac{(v-1)\beta_{j} + (j-1-u)\beta_{j-1}}{\log^{j} x} + \frac{m-u}{\log^{m+1} x} \beta_{m} \right).$$
H. BELBACHIR ET F. BENCHERIF

On vérifie que $\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_m$ satisfont les relations

$$ \left\{ \begin{array}{l} (v-1)\beta_0 = \alpha_0 \\ (v-1)\beta_j + (j-1-u)\beta_{j-1} = \alpha_j \quad (1 \le j \le m). \end{array} \right. $$

□

Démonstration du Théorème 3. a) Si $rs = 1$, c'est à dire $r = s = 1$, alors

$$ \begin{align*} \frac{1}{f(n)} &= \frac{\log^q n}{n} \left( a_0 + \frac{a_1}{\log n} + \dots + \frac{a_{m+q}}{\log^{m+q} n} + O\left( \frac{1}{\log^{m+q+1} n} \right) \right)^{-1} \\ &= \frac{\log^q n}{n} \left( b_0 + \frac{b_1}{\log n} + \dots + \frac{b_{m+q}}{\log^{m+q} n} \right) + O\left( \frac{1}{n \log^{m+1} n} \right) \\ &= T_m(n) + O\left( \frac{1}{n \log^{m+1} n} \right). \end{align*} $$

On a donc, à la lumière du Lemme 3.1

$$ \begin{align*} \sum_{n \le x} \frac{1}{f(n)} &= C_1 + \sum_{n \le x} U'_m(n) + O\left(\frac{1}{\log^m x}\right) \\ &= C + U_m(x) + O\left(\frac{\log^q x}{x}\right) + O\left(\frac{1}{\log^m x}\right) \\ &= C + U_m(x) + O\left(\frac{1}{\log^m x}\right). \end{align*} $$

b) Si $rs \ge 2$, alors avec $\alpha_k = A_k(a_0, a_1, \dots, a_k; r)$ pour $0 \le k \le m-1$, $u = qr$ et $v = rs$, on a

$$ \left(\frac{1}{f(n)}\right)^r = \frac{\log^u n}{n^v} \left(\alpha_0 + \frac{\alpha_1}{\log n} + \dots + \frac{\alpha_{m-1}}{\log^{m-1} n} + O\left(\frac{1}{\log^m n}\right)\right). $$

Comme $f(n)^{-r} \sim a_0^{-r} n^{-v} \log^u n$ avec $v \ge 2$, $\sum_{n \ge 0} f(n)^{-r}$ converge, et l'on a, à l'aide du Lemme 3.2 (on omet de justifier certains passages
classiques)

$$
\begin{align*}
\sum_{n>x}' \left( \frac{1}{f(n)} \right)^r &= \sum_{n>x} \left( V_{m-1}(n) + O\left( \frac{\log^u n}{n^v \log^m n} \right) \right) \\
&= \sum_{n>x} W'_{m-1}(n) + O\left( \frac{\log^u x}{x^{v-1} \log^m x} \right) \\
&= \int_x^\infty W'_m(t) dt + O\left( \frac{\log^u x}{x^v} \right) + O\left( \frac{\log^u x}{x^{v-1} \log^m x} \right) \\
&= -W_{m-1}(x) + O\left( \frac{\log^{qr} x}{x^{rs-1} \log^m x} \right),
\end{align*}
$$

ce qui complète la preuve du Théorème 2.1.

□

Références

[1] H. BELBACHIR & F. BENCHERIF – « On a sum involving powers of the prime counting function », *Univ. Beograd. Publikac. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat.* **17** (2006), p. 45–51.

[2] L. COMTET – *Analyse Combinatoire*, Puf, Coll. Sup., Paris, Vol. 1 & 2, 1970.

[3] A. IVIĆ – « On a sum involving the prime counting function $\pi(x)$ », *Univ. Beograd. Publikac. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat.* **13** (2002), p. 85–88.

[4] J.-M. D. KONINCK & A. IVIĆ – *Topics in Arithmetical Functions*, vol. 43, North Holland, Amsterdam, New-York, Oxford, 1980.

[5] L. PANAITOPOL – « A formula for $\pi(x)$ applied to a result of Koninck-Ivić », *Nieuw Archief Woor Wiskunde* **5/1** (2000), p. 55–56.

HACÈNE BELBACHIR
USTHB, Faculté de Mathématiques,
PB 32, El Alia, Alger, Algérie.
hbelbachir@usthb.dz
hacenebelbachir@gmail.com

FARID BENCHERIF
USTHB, Faculté de Mathématiques,
PB 32, El Alia, Alger, Algérie.
fbencherif@usthb.dz
fbencherif@gmail.com