ML : ouais, encore...

A : non, non on est trop loin là, donc c'est notre volume qui cloche, non, c'est notre hauteur

M : mais non, mais oui c'est notre hauteur parce que notre volume

ML : sur notre dessin on trouve combien à peu près de hauteur ?

M : sur le dessin, attends...

ML : il reste plus beaucoup de temps maintenant ; on devrait faire le dessin sur le compte-rendu pour dire qu'on a trouvé

A : la base est pas bonne parce qu'on n'a pas la bonne hauteur

M : ben si, la base est forcément bonne, c'est la hauteur qu'est pas bonne ; mais si, la base est bonne

A : mais non, si la hauteur est pas bonne, la base va pas rester

M : non, mais tu as raison

ML : oui, oui

[...]

M : tu as raison parce que la base elle va augmenter en fonction de la hauteur

A : obligatoirement ça va pas être proportionnel, si c'était un parallélogramme, un rectangle

M : ouais. Parce que nous, le 1120 on l'a obtenu avec une base...

A : en fait, il faudrait calculer une base qui se trouve comme ça

M : moi, je suis partie sur des produits en croix ; donc en fait ça x va être sur la ..., c'est ça en fait entre 6 et 8 mais...

[ coupure ]

M : faut trouver l'aire tu crois ?

A : l'aire de ça, non ça m'étonnerait

ML : ça augmente au fur et à mesure qu'on monte

Les quatre variables sont isolées et hiérarchisées, d'abord en reconsidérant le système puis en changeant de point de vue sur la représentation géométrique, deux d'entre elles, la hauteur et la grande base, sont représentées par des lettres et la recherche des variations est lancée. Les élèves poursuivent ainsi, évoluant dans les cadres géométrique, algébrique et numérique. La représentation des variations conjointes de ces deux variables se fait dans le cadre numérique :

A : en fait ça monte de 2

M : entre 0 et 4 ! la hauteur elle monte de 0 à 4, en fait ce sera plus grand que 0 et plus petit que 4, la hauteur elle sera forcément comme ça

A : oui

M : et la base, elle va varier entre 6 et 8

A : en fait sur 4 ça va augmenter de 2, là en fait par rapport à ça tu rajoutes 2...

Enfin, le groupe s'engage dans la recherche d'une représentation des variations de la grande base en fonction de celles de la hauteur en s'appuyant sur les trois cadres déjà mentionnés. Les élèves identifient alors, numériquement, le processus en jeu :

M : alors, comment ça va varier ? S'il avait dit de déterminer la hauteur par exemple...par exemple pour x=1 y va être égal à 6,5 ; pour x=1 y=6,5 ; x=2 y=7 ; ah oui, regarde

A : ah, ça augmente de 0,5 tous les cm

M : ça augmente de 0,5 tous les 1 cm

A : ouais, parce que sur 4 ça t'en prend 2

M : pour x=2 tu auras y=7 ; pour x=3 tu auras y=7,5 ; pour x=4 tu auras y=8 ; tu comprends, donc à chaque fois que x augmente de 1 cm y il prendra 0,5

A : ça j'ai compris

M : pour x=2, tu auras y=6+1 ; 0,5 fois 2 ; donc en fait il y a une proportion.

Les cadres en jeu dans les deux dernières phases du travail du groupe, rejet de la seconde version du modèle erroné et recherche des variations de la grande base en fonction de celles de la hauteur sont les mêmes ; c'est leur fonctionnement qui est différent. Mais nous formons l'hypothèse que la mise en place de ces jeux de cadres, lors du premier épisode, a permis la production, dans le mode de pensée fonctionnel, d'une nouvelle modélisation du système prenant appui sur ces cadres.
## Groupe N°2

La plus grande part du travail de ce groupe, s'est déroulée dans le mode de pensée arithmétique. L'utilisation des écritures numériques sous la forme d'une échelle pour représenter les résultats obtenus ainsi que l'usage d'un échantillonnage discret de la hauteur pour déterminer les volumes correspondants nous ont conduit à faire cette hypothèse.

Dans un premier temps, les élèves produisent le modèle erroné ( figure 7 ). Cette phase débute par une modélisation correcte de la situation abreuoir plein dans le cadre géométrique, l'exploitation de celle-ci mène au calcul juste du volume total de l'abreuvoir. Les élèves recherchent les volumes associés aux hauteurs 1, 2 et 3 dm en se basant sur la même modélisation, c'est à dire en conservant la grande base. Ils aboutissent à une représentation fausse des variations du volume et de la hauteur. Cette proportionnalité supposée les conduit à une graduation fausse.

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>**Figure 7** : Nous avons représenté : par les flèches en traits pleins la modélisation de l'abreuvoir plein, par celles en traits discontinus l'extension de cette modélisation aux autres valeurs entières de la hauteur et par celles en pointillés l'élaboration du modèle proportionnel dans le cadre numérique ( cf. le brouillon de Kelly en annexe 5 )</figcaption></figure>

Ils corrigent ce premier modèle en découpant le trapèze en un rectangle central et deux triangles rectangles latéraux ( figure 8 ). Ils construisent toujours leur échelle mais en déterminant la grande base du trapèze, considérée comme une inconnue, par l'application du théorème de Thalès dans l'un des triangles.

Leur modèle corrigé aboutit à l'établissement juste d'un échantillon de valeurs du volume de l'abreuvoir pour quatre hauteurs d'eau entières. La représentation des résultats par une échelle leur permet de contrôler le fait que les variations du volume ne sont pas proportionnelles à celles de la hauteur mais elle ne les aide pas à imaginer leur nature. Cette situation déstabilise le groupe.

Au cours de ce travail, les élèves n'ont considéré que deux variables, le volume de l'abreuvoir et la hauteur de l'eau. La grande base du trapèze n'a pas ce statut, elle est une inconnue à déterminer pour pouvoir calculer le volume. Ce statut s'élèvera en obstacle lorsque Kelly recherchera une expression
algébrique des variations du volume en fonction de celles de la hauteur ou lorsque Romain tentera de reposer le problème dans le cadre algébrique.

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

**Figure 8 :** Nous avons introduit le registre discursif du cadre géométrique et le cadre algébrique pour représenter l'application du théorème de Thalès. Il n'y a pas de chronologie car le schéma est appliqué trois fois mais il est clair que la modélisation produite dans le cadre numérique est la résultante de ce travail.

## Groupe N°3

Nous supposons que ces élèves ont fonctionné dans le mode de pensée fonctionnel. Nous nous appuyons, pour cela, sur le fait qu'ils ont repéré les quantités variables du problème et qu'ils ont cherché à modéliser les variations. De plus, et même s'ils ont engagé la résolution d'une équation dans le cas où le volume est de 100 l, ils ont, le plus souvent, utilisé le langage des fonctions pour décrire le phénomène. D'autre part, le recours au cadre graphique et son exploitation en termes de variations, pour découvrir la nature du lien entre hauteur et grande base, renforcent notre hypothèse.

Ce mode de pensée fonctionnel et le rappel de situations antérieures analogues leur ont permis de construire un modèle correct du système abreuvoir (figure 9).
<figure><img src="image_26.png" /></figure>

Figure 9 : Nous n'avons pas explicitement inclus les registres dans ce schéma pour ne pas le surcharger mais nous y sommes revenu dans les questions transversales. Nous représentons par les flèches en trait plein la modélisation géométrique qui conduit au calcul exact du volume total, par les flèches en traits discontinus le repérage des variables et la représentation des variations dans le cadre graphique et par les flèches en pointillés la détermination de ces variations.

La représentation correcte du système dans le cadre géométrique entraîne le calcul exact du volume total de l'abreuvoir dans le cadre numérique. La traduction de la problématique dans le cadre algébrique, par une équation, et sa mise en rapport avec la modélisation géométrique du système favorisent l'identification des variables et notamment celle de la grande base du trapèze. Les élèves se retrouvent bloqués devant une équation à deux inconnues et choisissent de représenter graphiquement l'arête oblique de la base trapézoïdale de l'abreuvoir dans un repère orthonormal.

L : pour 0 c'est égal à 6 et pour 4 c'est égal à 8, c'est joli

[...]

AC : tu vas faire quoi, un graphique ?

L : [inaudible] quelque chose à faire

AC : avec deux points ça va être pratique

L : pour x=0 y=6

F : ça s'arrête à 8

L : ah oui, ça s'arrête à 8, n'importe quoi ; entre les deux ça passe par là ; quand c'est égal à 2 c'est égal à 7, c'est fantastique ; mais on n'a pas le droit de le mettre parce qu'on voit pas du tout comment il faut faire et puis ça on peut pas le mettre, c'est une mesure graphique et c'est...

Ils travaillent dans les trois cadres géométrique, algébrique et graphique. Le groupe détermine ensuite la nature des variations en passant du cadre graphique au cadre numérique et les exprime en retournant dans le cadre algébrique. A l'issue de cette phase, la modélisation de la situation se présente, pour ce qui est de l'écrit, sous la forme d'une équation du second degré à une inconnue, la hauteur de l'eau.

En fait, les élèves semblent être conscients d'avoir traité un cas général, et, ils cherchent une méthode générale pour obtenir la hauteur d'eau connaissant le volume contenu dans l'abreuvoir. La réduction du nombre de variables de trois à deux associée au fait de n'envisager les variations que dans le cadre numérique, les mène à un modèle erroné de la fonction réciproque ( figure 10 ).
<figure><img src="image_27.png" /></figure>

Figure 10 : Nous avons représenté par la flèche en trait plein le modèle proportionnel de la fonction réciproque, par les flèches en pointillés sa disqualification directe et par les flèches en traits discontinus son rejet par l'utilisation du modèle algébrique.

Franck propose une disqualification directe de ce modèle en s'appuyant sur la représentation géométrique du système alors que Lauren obtient une disqualification indirecte en substituant, dans l'équation obtenue auparavant, à h la valeur supposée exacte.

Pr : alors, comment vous avez fait ?

L : on a remplacé les h par ça en espérant que ça nous donne 5 ; 5 ça doit être l'équivalent pour 100

Pr : d'accord, et alors est-ce que ça donne 5 ?

L : 4 virgule quelque chose ; 4,42 non 4,31 quand j'ai fait

Pr : oui, et ça signifie quoi alors ?

F : c'est pas bon

Pr : quoi, c'est pas bon ?

F : il y a un chiffre qu'est pas bon

L : non, c'est ça qu'est pas bon.

Ils finissent par la recherche d'une solution graphique au problème, dans un premier temps en utilisant une machine graphique puis en traçant, à la main, la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal ( figure 11 ).

<figure><img src="image_28.png" /></figure>
**Figure 11 :** Nous avons représenté par une flèche en trait plein la modélisation fonctionnelle et par des flèches en pointillés l'élaboration de la courbe représentative de la fonction.

Le système est modélisé par une expression algébrique, la substitution de valeurs numériques à h permet de calculer le volume correspondant puis de construire la courbe représentative de la fonction en plaçant suffisamment de points dans le repère orthogonal. Un travail dans le registre graphique du cadre fonctionnel devait permettre de conclure.

## Groupe N°4

Les élèves constituant ce groupe ont résolu le problème dans le mode de pensée algébrique. Cette affirmation repose sur le récit de la modélisation par Ludovic, récit au cours duquel il interprète la situation en termes d'inconnues, de nombre d'inconnues à réduire et d'équation à résoudre. D'autre part, son découpage de la figure géométrique semble traduire une vision statique du phénomène, la hauteur et la largeur représentées ayant valeur de cas général.

L'ensemble du travail est schématisé par la figure 12.

Dans la première partie, les élèves établissent une représentation du système dans le cadre géométrique pour calculer le volume total de l'abreuvoir dans le cadre numérique. Dans un deuxième temps, cette représentation et l'assimilation du phénomène remplissage de l'abreuvoir conduisent les élèves à l'identification de trois inconnues : la hauteur, la largeur et le volume.

* Pr : alors, vous avez trouvé ?

* M : le volume

* Pr : qu'est-ce qu'on en fait du volume ?

* L : et bien, moi j'avais proposé quelque chose mais il y a deux inconnues

* Pr : ah, bien, il y a deux inconnues

* L : et même trois avec le volume

* Pr : oui

* L : faut que je trouve un rapport...avec cette longueur là et cette hauteur là

* F : et on peut faire un rectangle

* Pr : peut-être oui qu'on peut faire avec un rectangle

<figure><img src="image_29.png" /></figure>
Figure 12 : Par les flèches en trait plein, nous avons représenté la modélisation géométrique du système et le calcul du volume total, par celles en pointillés, la modélisation algébrique et par celles en trait discontinu l'élaboration de la solution.

Le découpage du dessin représentant une coupe de l'abreuvoir associé à une astucieuse décomposition du volume total, l'ensemble s'exprimant dans le cadre algébrique, permet au groupe d'aboutir à une modélisation algébrique du système.

Au cours de la dernière phase, les élèves recherchent, dans le cadre algébrique, la solution au problème en résolvant une première équation du second degré. Ils s'engagent dans cette démarche en en ayant perçu la généralité :

E : quand tu fais le volume égal à 100 c'est heu...tu peux le faire égal à 200 ça fera la même chose

L : non ça fait quelque chose d'un peu plus grand

E : oui, si tu parles du résultat mais faut...ça revient au même

L : oui, ça [inaudible].

Sur son brouillon, Ludovic détaille la résolution de l'équation dans le cas où $V=100$ puis pose l'équation, sous forme canonique, dans le cas où $V=200$ et écrit directement les résultats exacts dans les autres cas. Le travail s'achève par la détermination des valeurs numériques approchées et par leur représentation en une graduation à l'échelle ¼.

## Questions transversales

Dans cette dernière partie, nous revenons, à partir de l'analyse des travaux des différents groupes, sur la notion de modélisation et sur les phases de transition entre modes de pensée. Nous fournissons en annexe 6, un montage des brouillons des élèves que nous avons exploités dans la seconde partie de ce paragraphe.

## A propos de la notion de modélisation

La première phase de la modélisation consiste en le repérage des aspects pertinents du système. Il semble, dans cette expérimentation, que celui-ci dépende du mode de pensée dans lequel s'effectue l'analyse de la situation. Ainsi, on a vu les élèves abordant le problème dans le mode de pensée arithmétique, produire une modélisation géométrique du système abreuoir ne prenant en compte que deux grandeurs variables, la hauteur et le volume. Cette modélisation mène ensuite à l'élaboration d'un modèle numérique erroné. La détermination des autres aspects pertinents du système proviendra de la correction de ce modèle proportionnel et conduira à une modélisation, arithmétique, algébrique ou fonctionnelle, juste.

La situation de l'abreuvoir nous permet de revenir sur la propriété de récurrence du concept de modélisation. En effet, le système abreuoir est, dans un premier temps, modélisé dans le cadre géométrique. Ce premier modèle, dans le rôle d'un nouveau système, est à son tour modélisé et ce, dans cette expérience, de trois manières différentes. Il peut s'agir d'une fonction représentée dans différents registres sémiotiques, d'une modélisation algébrique par une équation du second degré comportant un paramètre ou d'un modèle arithmétique articulant algorithme de calcul et représentation des résultats numériques.

La réversibilité est la seconde propriété importante de la notion de modélisation. Dans notre cas, elle peut s'illustrer soit entre le second modèle et le système abreuoir, soit entre le second modèle et le premier modèle géométrique jouant alors le rôle de système ( ce que nous noterons alors système géométrique ) soit encore, entre le modèle géométrique et le système initial.

La première constatation que nous pouvons faire concerne les trois groupes d'élèves N°s 2, 3 et 4, qui ont achevé la seconde modélisation. Nous remarquons, dans ces trois cas, que le dernier modèle est directement mis en rapport avec le système abreuoir. Dans le groupe N°2, la modélisation arithmétique, rapportée au système abreuoir, ne peut être exploitée pour produire la graduation de la jauge ; dans le groupe N°3, le modèle fonctionnel est utilisé directement pour résoudre le problème et le lien avec le système géométrique s'évanouit ; dans le groupe N°4, une fois la modélisation algébrique obtenue, le
système géométrique est oublié au profit du système abreuvoir et de l'obtention de la graduation de la jauge.

Par contre, lorsque le second modèle est remis en cause, il y a, dans un premier temps, repli sur le système géométrique dont il est issu.

Nous l'avons observé, lors de la réfutation de la première version du modèle erroné et lors des trois vérifications portant sur sa seconde version, dans le travail du groupe N°1 ; elles reprennent soit leurs calculs numériques, contrôlant ainsi leur travail dans le modèle erroné, soit l'application de leur formule du volume, retoumant alors sur leur seconde modélisation, soit finalement leur système géométrique ce qui les conduira à rectifier leur première modélisation du système abreuvoir. De même, le rejet du modèle erroné de la fonction réciproque, dans le cas du groupe N°3, s'effectue par substitution dans la formule, seconde modélisation du système abreuvoir, liant le volume de l'abreuvoir et la hauteur d'eau. La mise en échec du modèle proportionnel par le groupe N°2 mène ces élèves à une reprise de leur modélisation du système géométrique ; il en est de même pour Kelly, lorsqu'elle abandonne son modèle arithmétique, c'est le système géométrique qu'elle cherche à modéliser autrement.

Nous reviendrons sur ce jeu complexe entre modèle et système dans la conclusion.

## A propos des phases de transition entre modes de pensée

Au cours de cette séance, nous avons observé deux transitions du mode de pensée arithmétique au mode de pensée fonctionnel et une transition du mode de pensée algébrique au mode de pensée fonctionnel. Les deux premières ont eut lieu dans le fonctionnement des élèves du groupe N°1 et sur la fin du travail de Kelly du groupe N°2. La troisième s'est déroulée au cours de la phase de détermination de la solution par Ludovic du groupe N°4, puis dans un travail complémentaire.

Nous supposons que les leviers sur lesquels elles prennent appui sont de trois types : une modélisation géométrique du système abreuvoir qui intègre les variations de la grande base et celles de la hauteur, la coordination de plusieurs cadres mathématiques pour les représenter et identifier leur fonctionnement et le repérage d'un processus dans la répétition d'une suite d'opérations. Ils jouent sur un changement de statut des grandeurs géométriques ou algébriques qui s'observe dans le choix des lettres, le langage employé et les formes d'écriture et de représentations utilisées.

Dans les exemples de transitions entre mode de pensée arithmétique et mode de pensée fonctionnel, celui du groupe N°1 semble constituer un succès alors que Kelly échoue dans sa tentative.

Dans le premier cas, les élèves s'appuient sur une modélisation géométrique dynamique du système abreuvoir dans laquelle les quatre variables, hauteur, grande base, aire du trapèze et volume sont identifiées et hiérarchisées. Le choix des lettres pour représenter la hauteur et la grande base procède d'un double langage :

Pr : il y a un y, il y a un x, c'est quoi le x ? (arête oblique du trapèze)

M : x c'est la hauteur, ce qu'on cherche en fait

[...]

Pr : voilà donc c'est ça x

M : et ça ça va varier entre 6 et 8

Pr : il faut voir comment

M : ben, en fonction de x

[...]

ML : tu as appelé y...

M : y c'est la base qu'on recherche quand x c'est la hauteur, c'est ce qu'on veut.

Ainsi, la lettre x symbolise à la fois une inconnue, le but final du problème n'est pas oublié, et une variable. De même, la lettre y possède cette double personnalité, elle symbolise une variable dépendante de la variable x mais aussi une inconnue à déterminer lorsque l'on connaît la hauteur. Les élèves effectuent donc plutôt un passage du cadre géométrique dans le cadre algébrique.
Elles traduisent les termes « varier entre » par les inégalités « 0 < x < 4 » et « 6 < y < 8 ». Ces écritures semblent d'une part renforcer le statut de variable des deux grandeurs et d'autre part intégrer la continuité des variables. Il est clair pour nous que cette continuité s'entend au sens propre du terme et traduit la continuité physique du phénomène de remplissage.

La détermination des variations passe par une présentation de données numériques issues du cadre géométrique sous une forme qui évoque à la fois un tableau de valeurs et un processus permettant d'obtenir la valeur de y à partir de celle de x. La première écriture de ce genre se trouve sur le brouillon de Magali, elle écrit :

« x=4 qd y=8 ; pour x=1 y=6,5 ; x=2 → y=7 ; x=3 → y=7,5 ».

Elle marque une évolution, par le choix des termes et des symboles ; le « quand » utilisé au début inverse la dépendance des variables puis elle est rétablie par l'emploi de « pour » pour le second couple de valeurs et des flèches qui, pour les deux derniers couples de valeurs remplacent les mots, matérialisant ainsi le processus en jeu.

Le choix d'un échantillonnage discret de la hauteur, outre son efficacité pour extraire des valeurs numériques du dessin du trapèze, rappelle le fonctionnement initial des élèves dans le mode de pensée arithmétique.

Pour identifier la nature du processus, elles reprennent les écritures précédentes qu'elles transforment dans le cadre numérique pour isoler, dans les variations de la grande base, la valeur constante 6 de la partie variable. Toujours sur le brouillon de Magali, il est écrit :

« pour x=1 cm y=6+0,5 ; pour x=2 y=6+1 »

et dans le même temps, elle explique à ses camarades :

M : pour x=2, tu auras y=6+1 ; 0,5 fois 2 ; donc en fait il y a une proportion.

La séance s'achevant sur ce résultat, elles écrivent sur leur compte-rendu une solution hybride :

« pour x=1 y=6,5 ; pour x=2 y=6,5+0,5=7 ; pour x=3 y=7+0,5=7,5 ».

La seconde transition du mode de pensée arithmétique au mode de pensée fonctionnel est moins explicite et elle est le fait d'une seule élève du groupe N°2.

Seules, les deux variables hauteur d'eau et volume de l'abreuvoir ont été identifiées, la grande base du trapèze étant assimilée à une inconnue qu'il fallait déterminer pour pouvoir calculer le volume. Le registre de représentation des valeurs numériques des volumes correspondant aux valeurs discrètes de la hauteur est constitué d'une échelle graduée sur laquelle Kelly calcule l'ampleur des variations associées au parallélépipède rectangle central et aux prismes à base triangulaire latéraux de son modèle géométrique. Elle constate alors la proportionnalité dans le cas du parallélépipède rectangle central :

« je fais la même chose qu'avant mais j'ai coupé le trapèze en trois. Ca va toujours être proportionnel au rectangle ».

Puis elle fait la distinction entre proportionnel et non proportionnel et recherche l'expression algébrique du volume en fonction de la hauteur en mobilisant le registre graphique.

Kelly symbolise par la lettre x la hauteur de l'eau mais elle l'écrit en légende d'un trait joignant les deux bases de la face trapézoïdale de l'abreuvoir. Cette disposition nous fait penser qu'elle représente alors la hauteur en tant qu'inconnue. Il nous semble aussi qu'elle envisage une hauteur variable, car, la lettre x apparaît comme en représentant une lorsque Kelly imagine la représentation graphique de la fonction. Ainsi, comme pour le groupe N°1, cette lettre aurait un double statut.

Le volume est symbolisé soit par la lettre y soit par la lettre V, les deux symboles semblant coexister, Kelly s'adresse ainsi aux autres membres du groupe et à l'enseignant :
« j'ai trouvé y=24x, c'est pour tracer la droite mais il y a plus quelque chose que j'arrive pas à trouver ».

Elle désigne, en disant cela, une expression algébrique incomplète du volume en fonction de la hauteur
qui s'écrit sous la forme suivante : « $V = \frac{( + 6)x}{2} * 40$ ». La lettre y paraît être attribuée à la
symbolisation du volume lorsque Kelly évoque la représentation graphique de la fonction et la lettre V
joue ce rôle dans l'élaboration de l'expression algébrique.

Dans les traces d'écritures exécutées au crayon mine puis effacées, on décèle une expression algébrique
de la fonction linéaire du modèle erroné ; elle est écrite sous la forme $V=$, mais le $V$ est précédé d'un y
raturé. Cela renforce notre hypothèse sur les rôles respectifs de ces deux lettres.
On trouve aussi la lettre y gommée, à la place du trou, dans l'expression algébrique incomplète du
volume en fonction de la hauteur. Nous supposons que Kelly l'avait introduite pour symboliser ce « plus
quelque chose » qu'elle ne parvenait pas à découvrir.

Ces deux échecs, celui-ci et celui du modèle arithmétique ont des origines à la fois communes et
différentes. Leur point commun réside dans le fait de n'envisager que deux grandeurs variables dans le
système abreuvoir. Mais, dans le modèle arithmétique, cette situation aurait pu évoluer favorablement en
choisissant de représenter graphiquement les résultats obtenus. Ce registre aurait peut-être orienté les
membres de ce groupe vers la construction complète de la représentation et donc le calcul d'autres
valeurs. La répétition de la suite d'opérations associée à la représentation graphique d'une courbe aurait
pu alors faciliter la transition vers le mode de pensée fonctionnel. Alors que la seconde voie semble être
sans issue car elle impose la remise en cause du modèle géométrique du système abreuvoir pour
introduire la variable manquante.

L'exemple de transition du mode de pensée algébrique vers le mode de pensée fonctionnel est
celui du travail de Ludovic du groupe N°4 dans deux situations : dans la première, il résout les onze
équations du second degré permettant d'obtenir la solution au problème en intériorisant le processus de
résolution, dans la seconde il cherche une autre solution au problème.

Dans le premier cas, Ludovic travaille sur son modèle algébrique du système abreuvoir qui est
représenté par une équation du second degré à une inconnue, la hauteur d'eau, et un paramètre, le
volume d'eau contenu dans l'abreuvoir. Dans un premier temps, il obtient la solution du cas $V=100$ l en
transposant, en factorisant par 10 et en écrivant le trinôme en facteur sous la forme canonique. La
résolution de l'équation occupe alors douze lignes de calculs algébriques.
Puis il reprend cette résolution du début, en conservant la valeur du volume du côté droit de l'égalité, en
divisant par 10 puis en écrivant sous la forme canonique le trinôme situé à gauche du signe égal.
L'écriture de la solution ne prend plus que quatre lignes de calculs algébriques.
Il répète ces quatre lignes dans le cas $V=200$ ; cela lui permet de repérer définitivement ce qui varie dans
le processus de résolution et comment cela varie. Pour déterminer les autres valeurs de la hauteur,
Ludovic applique ces variations.

Nous formons l'hypothèse qu'un tel travail suppose une transition vers le mode de pensée fonctionnel, car, la réduction du nombre de pas de calcul et la détermination de l'influence du changement de la valeur du paramètre sur la résolution de l'équation relèvent de la recherche, de la structuration et de l'identification d'un processus général comportant une entrée et une sortie clairement distinguées. La présentation des valeurs numériques des résultats sous la forme d'un tableau renforce cette hypothèse.

Dans le second cas, Ludovic, après avoir entendu que la table voisine recherchait une solution graphique, choisit de représenter l'arête oblique de la base trapézoïdale de l'abreuvoir dans un repère orthonormal.

L : sur le graphique tu mets x en abscisse [inaudible] ça te fait cette forme là

M : [inaudible]

L : dans l'autre sens ce serait peut-être mieux ; oui dans l'autre sens ce sera plus pratique
Depuis le début de la séance, il désigne par la lettre h la hauteur de l'eau, par la lettre V le volume d'eau contenu dans l'abreuvoir et par la lettre x la grande base du trapèze. Le choix des lettres traduit l'identification et la représentation dans le cadre algébrique des deux inconnues principales qui sont la hauteur et le volume et d'une inconnue secondaire dont il faut s'affranchir par substitution.

Ce choix de la lettre x pour symboliser la grande base du trapèze peut l'avoir conduit, par association avec la dénomination des abscisses, à représenter l'arête « à l'envers » dans le repère orthonormal. Ludovic corrige alors sa représentation graphique et en déduit l'expression algébrique des variations de la grande base en fonction de celles de la hauteur. Pour ce faire, il change de lettres pour désigner les variables. Il désigne par x la hauteur, figurant en abscisse sur la représentation graphique et par y la grande base du trapèze, figurant elle en ordonnée. Il écrit donc d'abord l'équation réduite de la droite. Dans un second temps, Ludovic reprend ses lettres d'origine pour désigner la hauteur et la longueur de la grande base.

L : monsieur, on trouvait en cinq minutes avec ça

Pr : pardon ?

L : on trouvait en cinq minutes avec ça, cette longueur là en fonction [inaudible] du graphique on trouvait directement x égal à ...

Pr : oui

Il a alors recours à l'expression « en fonction de » pour désigner la relation obtenue.

Nous pensons que le jeu des lettres lors du passage du registre graphique, dans lequel est tracée la courbe représentative de la fonction qui modélise les variations de la grande base du trapèze en fonction de celles de la hauteur, au registre des expressions algébriques marque effectivement une conversion entre ces deux registres sémiotiques de représentation d'une fonction. Cette conversion et l'emploi de l'expression « en fonction de » pour décrire le résultat obtenu, alors que jusqu'à présent Ludovic parlait de « rapport entre ça et ça », nous amène à former l'hypothèse qu'il a explicitement identifié la fonction en question.

Cependant, l'usage du cadre graphique résultant d'une « fuite », nous ne pouvons pas être assuré du rôle de l'élaboration d'un processus lors de la résolution des équations sur ce passage au mode de pensée fonctionnel.

Nous avons observé un phénomène similaire dans la première partie du travail du groupe N°3. Sur le brouillon de Lauren, l'écriture des formules géométriques montre l'usage des lettres b, B et h pour symboliser les petite base, grande base et hauteur du trapèze. La longueur de l'abreuvoir figure sous la forme numérique, 40 dm, pour marquer la conversion :

L : je pense que c'est ça, donc c'est petite base plus grande base fois hauteur divisé par deux multiplié par 40 parce que c'est des dm, c'est pas ça ?

Le problème est ensuite modélisé par une équation à deux inconnues, dénommées x et y, les lettres sont introduites dans l'ordre où les grandeurs se présentent dans l'écriture de l'équation :

$$ \frac{(6+x)y}{2} * 40 = 100 $$, et l'expression algébrique est décrite dans le même ordre sous la forme verbale :

L : 6 plus x fois...ça aussi ça change...fois y divisé par 2 fois 40 égale 100 ; on peut pas trouver comme ça.

La lettre x représente alors la grande base inconnue du trapèze et la lettre y la hauteur, elle aussi inconnue. Cette démarche est rapidement abandonnée au profit d'une voie fonctionnelle s'appuyant sur le repérage des variations de la grande base :

L : de toutes façons ça peut pas être plus petit que 6

AC : pourquoi ?

L : ben, plus petit que 6
F : la base est comprise entre 6 et 8.

Les deux variables sont désignées dans leur rapport de dépendance :

« Soit x la hauteur soit y la longueur de la base »

et les couples de valeurs extrêmes de la fonction écrits sous une forme qui traduit ce rapport :

« si $x=0 \rightarrow y=6$ ; si $x=4 \rightarrow y=8$ ».

Cette présentation des données couplée à l'introduction de la représentation graphique de l'arête oblique de la base trapézoïdale de l'abreuvoir dans un repère orthonormal pour identifier la nature des variations, détermine, à notre avis, la recherche d'un processus.

Elle aboutit grâce à une conversion établie entre le registre graphique et celui des écritures numériques.

Les variations sont analysées à partir de la représentation graphique :

L : regarde là, la hauteur elle augmente de 4 et ça ça augmente de 2 ; on l'avait sur le graphique !

puis énoncées verbalement et écrites sous forme numérique :

« $\rightarrow$ pour $2 \rightarrow 1$ ; pour $1 \rightarrow 0,5$ »

L : la grande base augmente de 2 donc pour 2...1 et 1...0,5 donc...je me demande à quoi ça sert qu'on ait trouvé cela.

La conversion s'achève par le dessin d'une flèche symbolisant cette variation et partant du point « ordonnée à l'origine » sur la représentation graphique. La fonction affine est entièrement déterminée et son expression algébrique n'est pas écrite sur le brouillon, il y a directement substitution dans l'équation avec un changement de lettres pour désigner la variable indépendante par un h :

L : attend, moi j'aime bien avec les x y mais là on va prendre h la hauteur donc 6 plus 6 plus ½ de h fois h divisé par 2 fois 40 égal 100.

L'expression algébrique obtenue après développement et réduction est, pour Lauren, celle d'une fonction et la suite du problème repose sur la recherche de la fonction réciproque :

L : là tu cherches juste comment exprimer la hauteur en fonction du volume en fait

Elle conservera ce point de vue lorsque le groupe obtiendra la formule générale sous la forme :

$$12h + \frac{1}{2}h^2 = \frac{V}{20}.$$

Au dessus de cette expression, alors précédée de « ou » et sur son brouillon, Franck a noté :

$10h^2 + 240h = V$. Il s'agit donc de la première forme qu'il ait déterminée. C'est peut-être cette double écriture qui lui permet d'affirmer que la formule donne le volume en fonction de la hauteur :

Pr : qu'est-ce qu'elle nous dit la formule par rapport au problème ?

L : elle nous dit que...

F : elle nous dit que le volume, il varie en fonction de la hauteur.

Ainsi, la lecture de cette expression s'effectuerait de la manière suivante : à gauche du signe égal, j'ai une expression contenant du h, je calcule et j'obtient à droite un volume. Elle exprimerait le mode de fonctionnement arithmétique. Alors que si nous reprenons le raisonnement de Lauren sur la première expression :
L : logiquement on doit pouvoir remplacer le V là par 100 et que ça nous donne la hauteur

nous pouvons interpréter la position de la lettre V à droite du signe égal comme l'expression du rôle de
paramètre du volume. Le positionnement à gauche du signe égal de l'expression en h signifierait alors
que cette formule a le statut d'équation.

Conclusion

Les outils d'analyse développés à l'occasion de cette recherche, en particulier la représentation des épisodes du travail des groupes par un schéma intégrant le système, les cadres mathématiques et les registres sémiotiques de représentation au sein de ceux-ci, nous ont notamment permis : de repérer le rôle du travail de conversion entre les registres figuratif, discursif et celui des formules dans le cadre géométrique lors de la détermination du volume total de l'abreuvoir ou de la modélisation géométrique du système abreuvoir, de distinguer la conversion du registre graphique au registre des expressions algébriques du changement de cadre correspondant et aussi d'observer le jeu système-modèle au travers des cadres mobilisés.

Nous avons ainsi noté que la résolution du problème suppose plusieurs modélisations consécutives et que l'identification des systèmes et modèles successifs n'est pas évidente pour les élèves, particulièrement au cours de la phase de validation du modèle.

Nous avons aussi remarqué que le cadre graphique a été plus facilement utilisé, dans cette expérience, pour représenter la situation et en déduire l'expression algébrique de la fonction alors que le recours à la représentation graphique de la fonction pour obtenir les graduations de la jauge n'a pas semblé convaincant aux élèves.
# CONCLUSION DU MEMOIRE

Notre thème d'étude portait sur l'enseignement de la notion de fonction en classe de seconde et, plus précisément, sur un enseignement intégrant l'aspect outil de cette notion. Nous nous sommes donc intéressé à ce que nous avons appelé des situations fonctionnelles, d'un point de vue théorique en recherchant leurs caractéristiques dans les ouvrages de mathématiques de seconde et d'un point de vue expérimental en observant deux groupes d'élèves lors de la résolution de deux problèmes fonctionnels.

L'étude des manuels, basée sur le repérage et le codage de certaines caractéristiques des situations fonctionnelles, a mis en valeur plusieurs faits. Tout d'abord, la fermeture des énoncés, puisque le choix des variables indépendante et dépendante principale est déjà effectué dans 97% des cas. Le retour sur la situation initiale dépend de la présence d'un ou plusieurs thèmes d'étude et de la nature de ceux-ci plutôt que de l'origine extra ou intra mathématique du problème. La prédominance de l'expression algébrique et de la représentation graphique, isolées ou associées, comme registres sémiotiques de représentation de la fonction. Les thèmes d'étude portent majoritairement sur le partage, et alors la situation comporte une représentation graphique, et établissent ainsi le lien avec l'algèbre du collège par la résolution d'équations et d'inéquations. Les autres thèmes d'étude retenus dans notre recherche, détermination d'un extremum et étude des variations de la fonction, un peu en retrait dans les manuels de seconde, deviendront certainement l'objet essentiel des situations fonctionnelles en classe de première.
Ainsi, nous pouvons en conclure que le mode de pensée fonctionnel est imposé et demeure lié à la résolution d'équations.

Dans la partie expérimentale, notre analyse s'appuyait sur différents cadres théoriques : la dialectique outil / objet et les jeux de cadres, le concept de modélisation, le rôle des registres sémiotiques de représentation et la distinction entre les statuts « procédural » et « structural » de la notion de fonction. Ceux-ci nous ont conduit à développer des outils d'analyse intégrant des moyens existants, changements de cadre et conversions entre registres, dans des graphes synthétisant des épisodes du travail des groupes d'élèves. Ces schémas soulignent ainsi les rôles différents des cadres mathématiques et des registres sémiotiques de représentation dans l'activité des élèves et permettent d'exhiber les modélisations successivement produites. Notons d'ailleurs que les différents modèles sont produits dans différents cadres, liés au mode de pensée dominant, et ne sont pas toujours directement de nature fonctionnelle. De plus, ces graphes nous fournissent des moyens d'analyse de la construction de modèles erronés par les élèves dans deux situations assez différentes. Nous pensons donc qu'ils pourront être réexploités lors de l'analyse d'autres expérimentations.

Dans la mise en rapport des deux expériences, apparaît comme résultat la similarité des modes de pensée arithmétique, algébrique et fonctionnel en œuvre dans la résolution des deux problèmes, malgré la suggestion du mode de pensée fonctionnel dans le premier. C'est pourtant durant le travail sur la seconde situation que des phases de transition vers le mode de pensée fonctionnel s'expriment le plus nettement. L'autonomie des élèves dans le choix de l'outillage mathématique a peut-être favorisé l'émergence de ce type de comportement. Il y a aussi un changement de contrat entre les deux situations fonctionnelles : dans la première, les élèves se donnent pour contrat de « faire de l'algèbre » alors que dans la seconde, même en rendant le problème difficile, la question globale a permis l'instauration d'un jeu complexe entre système et modèle. Dans le premier cas, le mode de pensée fonctionnel émerge peu et pas facilement ; la question directe de la recherche de l'expression algébrique de la fonction sans envisager les variations de la figure géométrique, a peut-être favorisé ce fonctionnement dans le mode de pensée algébrique. Dans le second cas, le mode de pensée fonctionnel semble s'imposer, directement ou au cours de la recherche, pour une partie des élèves ; la transition résulte du travail de modélisation de la situation. Le problème de la validation ou de la réfutation du modèle demeure cependant à la charge de l'enseignant. Il paraît alors nécessaire, pour accroître l'autonomie et l'efficacité des élèves dans la résolution de problèmes, de trouver un langage qui permette de prendre en compte le lien système-modèle résultant de l'activité de modélisation. On a pu aussi constater le rôle important du vécu dans le mécanisme de transition, il permet le raccrochage de la situation à du connu facilitant ainsi la mobilisation de connaissances antérieures.
Dans les deux expériences, les transitions prennent du temps, l'évolution est lente. Elles
s'effectuent par des jeux sur les lettres et sur les différentes représentations des objets en rapport avec
les cadres mathématiques sur lesquels s'appuie l'activité de modélisation ; les symboles utilisés par les
élèves lors des phases de transition vers le mode de pensée fonctionnel soutiennent cette activité. En
paraphrasant Y CHEVALLARD, (CHEVALLARD, 1989), nous disons qu'il y a un développement de
l'épaisseur sémiotique, la production du modèle fonctionnel conduisant ensuite au resserrement de cette
épaisseur autour de l'expression algébrique de la fonction.
BIBLIOGRAPHIE

BREINDENBACH D, DUBINSKY E, HAWKS J, NICHOLS D : ( 1992 ) « Development of the process conception of function », *Educationnal studies in mathematics*, N°23, P247-285, Kluwer academic publishers

CHEVALLARD Y : ( 1984 ) « Le passage de l'arithmétique à l'algébrique. L'évolution de la transposition didactique », *Petit x*, N°5, P51-95, IREM de Grenoble

CHEVALLARD Y : ( 1989 ) « Le passage de l'arithmétique à l'algébrique. Perspectives curriculaires : la notion de modélisation », *Petit x*, N°19, P43-72, IREM de Grenoble

CHEVALLARD Y : ( 1990 ) « Le passage de l'arithmétique à l'algébrique. Voies d'attaques et problèmes didactiques », *Petit x*, N°23, P5-38, IREM de Grenoble

DOUADY R : ( 1986 ) « Jeux de cadres et dialectique outil-objet », *Recherches en didactique des mathématiques*, Vol 7 N°2, P5-31, Grenoble

DUVAL R : ( 1993 ) « Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée », *Annales de didactique et de sciences cognitives*, N°5, P37-65, IREM de Strasbourg

DUVAL R : ( 1994 ) « Les différents fonctionnements d'une figure dans une démarche géométrique », *Repères-IREM*, N°17, P121-138, Topiques éditions

ROBERT A : ( 1988 ) « Réflexions sur l'analyse des textes d'exercices des manuels », *Cahier de didactique des mathématiques*, N°51, Université Paris VII

ROBERT A et ROBINET J : ( 1989 ) « Enoncés d'exercices de manuels de seconde et représentations des auteurs de manuels », *Cahier de DIDIREM didactique des mathématiques*, N°4, Université Paris VII

SFARD A : ( 1991 ) « On the dual nature of mathematical conceptions : reflections on processes and objects as different sides of the same coin », *Educationnal studies in mathematics*, N°22, P1-36, Kluwer academic publishers
# ANNEXES

Annexe N°1 : Exemples de tâches extraites des ouvrages

Annexe N°2 : Grilles de lecture des manuels et grilles bilans

Annexe N°3 : Feuille d'observation et un exemple de notes d'observateur

Annexe N°4 : Productions d'élèves de la première expérimentation

Annexe N°5 : Travaux d'élèves de la seconde expérience

Annexe N°6 : Montage de brouillons d'élèves de la seconde séance
Annexe N°1
<figure><img src="image_30.png" /></figure>
1. Exprimer, en fonction de $x = OM$, l'aire $A(x)$ et le périmètre $p(x)$ du triangle OMI.

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

3. Une boîte sans couvercle, de contenance $\frac{1}{2}$ litre, a la forme du pavé droit ci-contre ($x$ et $h$ sont exprimés en centimètre).

Exprimer en fonction de $x$ la hauteur $h$ et l'aire extérieure $A(x)$ (fond plus parois latérales).

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

2. Qu'importe le flacon...

Un flacon a la forme d'un pavé droit (hauteur : 12 cm ; section carrée de 9 cm de côté) surmonté d'un goulot (hauteur : 12 cm ; section carrée de 3 cm de côté).

Lorsqu'on remplit le flacon jusqu'à la hauteur $x$, on note $f(x)$ le volume obtenu (en cL).

a) Exprimer $f(x)$ en fonction de $x$.

Distinguer :

$0 \le x \le 12$

$$\text{et } 12 \le x \le 24.$$

b) Représenter graphiquement $f$.

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

Exercice résolu Déterminer la position des points $M_1$ et $M_2$ sur le pourtour du rectangle ABCD de manière à obtenir trois domaines de même aire (le point O est donné).

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>Fig. 13</figcaption></figure>

## Méthode suggérée

Étant donné un point $M$ sur le pourtour du rectangle ABCD, on désigne par :

- $x$ la longueur du trajet d'origine $A$ et d'extrémité $M$ (en vert sur la figure ci-contre);

- $f(x)$ l'aire du domaine correspondant.

Expliciter $f(x)$ en fonction de $x$ et utiliser la représentation graphique de $f$ pour résoudre le problème posé.

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

(Unité de longueur : le côté d'un carreau du quadrillage.)

<caption>Fig. 14</caption>

## 1. Explicitons $f(x)$

Les schémas ci-après font comprendre que quatre cas sont à l'étude et comment est conduit le calcul de l'aire dans chacun d'eux (les nombres 3, 11 et 20 sont les aires des parties sablées) :

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>Fig. 15</figcaption></figure>
En résumé, et après avoir réduit et simplifié, la fonction $f$ est définie sur $[0, 20]$ par :

$$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & \text{pour } 0 \le x \le 6 \\ 2x - 9 & \text{pour } 6 < x \le 10 \\ \frac{3}{2}x - 4 & \text{pour } 10 < x \le 16 \\ x + 4 & \text{pour } 16 < x \le 20. \end{cases}$$

La fonction $f$ est une fonction *affine* par morceaux dont la représentation graphique (cf. figure 16) nous fait voir, sans nous surprendre, une fonction croissante et « bien raccordée ».

## 2. Venons-en au problème initial

L'aire du rectangle étant égale à 24, les points $M_1$ et $M_2$, qui partagent ce rectangle en trois domaines de même aire, sont donc les points associés aux réels $x_1$ et $x_2$ tels que $f(x_1) = 8$ (un tiers de l'aire) et $f(x_2) = 16$ (deux-tiers, bien sûr).

La résolution graphique (cf. T. P. A) révèle les solutions, donne des valeurs approchées si l'on veut, mais surtout les « bonnes » équations à résoudre.

* Le graphique localise sans éventque $x_1$ entre 6 et 10, ce qui montre que $x_1$ est solution de l'équation $2x - 9 = 8$.

$$D'où \quad x_1 = 8,5^{(1)}.$$

* La même démarche livre $x_2$ comme solution de l'équation $-\frac{3}{2}x - 4 = 16$.

$$\text{Soit } x_2 = \frac{40}{3} \quad (13,33 \text{ environ}).$$

Placer les points correspondants sur le rectangle est enfantin : nous le laissons à faire.

<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>Fig. 16</figcaption></figure>

TP
3

L'unité de longueur étant le côté d'un carreau du quadrillage, pour $0 \le x \le 9$, on désigne par $f(x)$ l'aire du domaine coloré :

1° Calculer $f(0)$, $f(3)$, $f(7)$ et $f(9)$.

2° Donner l'expression de $f(x)$ sur chacun des intervalles $[0, 3]$, $[3, 7]$ et $[7, 9]$.

3° Représenter graphiquement la fonction $f$.

4° Résoudre graphiquement les équations :

$$a) f(x) = 10 ; \quad b) f(x) = 20.$$

Contrôler à l'aide du calcul.

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

### 37 L'aire la plus grande

ABC est un triangle isocèle dans lequel $AB = AC = 10$ cm.

Comment varie l'aire de ce triangle quand on modifie la longueur de la base [BC] ? Cette aire passe-t-elle par un maximum ?

**Consignes** : Effectuer un travail de recherche personnel, utiliser tous les outils disponibles (calculatrice, graphiques, théorème de géométrie...) et donner une solution la plus complète, la plus rigoureuse, et la plus précise possible.

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

Source : PLOT n° 38

<footnote>(1) On a bien $6 < 8,5 < 10$. Cette vérification, a priori inutile, permet de rectifier les erreurs que l'on aurait commises lors de la représentation graphique.</footnote>
### 38 Problèmes de robinets

Les six récipients ci-dessous ont la même hauteur : 80 cm et la même capacité : 100 litres.
On les remplit successivement, en utilisant un robinet à débit constant de 1/3 litre par seconde.
Les graphiques représentent, pour chacun des récipients, la hauteur de la colonne d'eau dans le récipient en fonction du temps écoulé depuis le début du remplissage.
Retrouver la courbe correspondant à chaque récipient.

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

<figure><img src="image_47.png" /></figure>

<figure><img src="image_48.png" /></figure>

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

Source : PLOT, 1981

17 On considère un triangle ABC et H le pied de la hauteur issue de A. M est un point du segment [BC]. On donne $AH = 4$. $BC = 7$ et $BM = x$.

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

a) Graphiquement.

b) Par le calcul.

c) Géométriquement.

44. Un cône droit de sommet A a pour hauteur 15 cm et pour base un disque de rayon 6 cm et de centre O. Soit M un point du segment [AO] tel que : $AM = x$. Le plan parallèle à la base du cône contenant M coupe le cône suivant un cercle de centre M et de rayon r.

a. Calculer l'aire S du disque de base.

b. Exprimer le rayon r, puis l'aire $f(x)$ du disque de centre M et de rayon r, en fonction de x.

c. Représenter graphiquement la fonction $f$ pour $x$ variant sur l'intervalle $[0 ; 15]$.

Déterminer graphiquement une valeur approchée du nombre réel $x$ vérifiant : $f(x) = \frac{1}{2} S$.

Calculer sa valeur exacte.

<figure><img src="image_52.png" /></figure>

<footnote n="1">1. On note $\angle(x)$ l'aire du triangle ABM. Exprimer $\angle(x)$ en fonction de x et représenter graphiquement la fonction $\angle(x)$.</footnote>

<footnote n="2">2. On note $\mathcal{B}(x)$ l'aire du triangle ACM. Exprimer $\mathcal{B}(x)$ en fonction de x et représenter la fonction $\mathcal{B}$ sur le même graphique que A.</footnote>

<footnote n="3">3. Résoudre l'équation $\sin(x) = \cos(x)$.</footnote>
**46. a.** Un abreuvoir a la forme d'un prisme droit de longueur 4 m dont les extrémités intérieures sont deux traîpèzes isocèles isométriques de petite base 6 dm, de grande base 8 dm et de hauteur 4 dm.

On désigne par $x$ la hauteur de l'eau dans l'abreuvoir. $x$ varie de 0 à 4 ; 4 dm étant la hauteur de l'abreuvoir.

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

α. En utilisant la propriété de Thalès, calculer en fonction de $x$ l'aire hachurée.

β. Si $x$ est la hauteur, exprimée en décimètres, de l'eau dans l'abreuvoir, calculer le volume d'eau exprimé en litres, noté $v(x)$. Vérifier que l'on obtient $v(x) = 240x + 10x^2$.

b. Une jauge est placée verticalement contre l'un des traîpèzes.

On se propose de la graduer, c'est-à-dire, de préciser les niveaux de liquide correspondant à 100, 200, 300, ... litres.

Pour graduer la jauge de l'abreuvoir, on veut tracer la représentation graphique de la fonction $v$ définie sur $[0 ; 4]$ par $v(x) = 240x + 10x^2$.

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

α. Programmer la calculatrice et compléter le tableau de valeurs suivant :

<table><tr><td>x</td><td>0</td><td>0,5</td><td>1</td><td>1,5</td><td>2</td><td>2,5</td><td>3</td><td>3,5</td><td>4</td></tr><tr><td>v(x)</td><td>0</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>1120</td></tr></table>

Représenter les points de coordonnées $(x ; v(x))$ dans un repère orthogonal convenablement choisi.

Relier les points obtenus par une courbe régulière (on affinera éventuellement le tracé en calculant des valeurs intermédiaires).

On a ainsi représenté la fonction $v$ sur l'intervalle $[0 ; 4]$.

β. Utiliser la courbe pour lire des valeurs approchées du nombre $x$ correspondant aux valeurs suivantes de $v(x)$ : 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1 000, 1 100.

Établir à l'échelle 1/2, la graduation à tracer sur la jauge de l'abreuvoir.

c. Un utilisateur, peu mathématicien, a constitué la jauge de la manière suivante :

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

puis il a gradué régulièrement le segment [VP].

α. Quel est le nombre $w(x)$ marqué à la distance $x$ (en dm) du point $V$ ?

Représenter, sur le graphique de la question b. de l'activité, la fonction $x \mapsto w(x)$.

Prouver que l'erreur $e(x) = w(x) - v(x)$ commise pour chaque valeur de $x$ est $e(x) = 10x (4 - x)$.

Indiquer comment il est possible de la lire graphiquement.

β. Représenter graphiquement la fonction $x \mapsto e(x)$ sur le même graphique que celui utilisé pour les fonctions $v$ et $w$. Lire graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle l'erreur est maximale. Justifier ensuite par le calcul le résultat obtenu graphiquement.

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

**69** **THÈMES :** Plans parallèles. Prismes droits. Volumes. Étude de fonctions. Lectures graphiques.

ASCDEFGH est un cube de côté 1 et M est un point quelconque du segment [EG], distinct de E et de G.

On désigne par P le plan parallèle au plan (BDHF) et qu'il passe par M. On pose EM = $x$.

Lorsque M est un point du segment [EO], le plan P coupe [AD] en I, [AB] en J, [EH] en L, et [EF] en K.

Lorsque M est un point du segment [OG], le plan P coupe [DC] en I', [BC] en J', [HG] en L', et [FG] en K'.

On note $V(x)$ le volume du prisme droit AIJELK lorsque M est un point de [EO], du prisme droit ADI'J'BEHL'K' lorsque M est un point de [OG].

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

A. Calcul de $V(x)$

1. On suppose que $x$ est un nombre de l'intervalle $[0; \frac{\sqrt{2}}{2}]$.

a. Montrez que la droite (FH) est parallèle à la droite (KL).

b. Déduisez-en que le triangle ELK est isocèle.

c. Montrez que $V(x) = x^2$.

2. On suppose que $x$ est un nombre de l'intervalle $[\frac{\sqrt{2}}{2}; \sqrt{2}]$. Montrez que $V(x) = 1 - (x - \sqrt{2})^2$.

B. Étude de la fonction $V$

$V(x)$ a des expressions différentes sur $[0; \frac{\sqrt{2}}{2}]$ et $[\frac{\sqrt{2}}{2}; \sqrt{2}]$. On étudie donc $V$ sur chacun de ces intervalles.

1. Tracez, dans un repère orthonormal $(O; \vec{i}, \vec{j})$, la courbe représentative de la fonction $V$ sur $[0; \frac{\sqrt{2}}{2}]$.

2. a. a et b sont des nombres de $[\frac{\sqrt{2}}{2}; \sqrt{2}]$ tels que $a < b$. Complétez par l'un des signes "<" ou ">" :

$$a - \sqrt{2} \le b - \sqrt{2}; \quad (a - \sqrt{2})^2 \le (b - \sqrt{2})^2$$

$$-(a - \sqrt{2})^2 \le -(b - \sqrt{2})^2; \quad 1 - (a - \sqrt{2})^2 \le 1 - (b - \sqrt{2})^2$$

b. Déduisez de la question précédente que la fonction

est strictement croissante sur $[\frac{\sqrt{2}}{2}; \sqrt{2}]$.

c. Tracez la courbe représentative de la fonction $V$ sur $[\frac{\sqrt{2}}{2}; \sqrt{2}]$, dans le repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$.

3. D'après le graphique, existe-t-il M tel que $V(x) = 1,2$ ? Expliquez géométriquement ce résultat.
Annexe N°2
<table><caption>Tableau de synthèse des 6 manuels étudiés</caption><thead><tr><th rowspan="2">manuel</th><th rowspan="2">chapitre</th><th colspan="12">place dans le chapitre</th><th colspan="2">origine situation</th><th colspan="2">données</th><th colspan="2">outillage</th><th colspan="2">thème</th><th colspan="2">dégré de liberté</th><th colspan="2">nb var</th><th colspan="2">nature de la variable indépendante</th><th rowspan="2"> titre</th><th rowspan="2">revoir situation</th></tr><tr><th>act</th><th>cort</th><th>tp</th><th>ex</th><th>pb</th><th>real</th><th>géom</th><th>phys</th><th>des</th><th>text</th><th>form</th><th>tab</th><th>grap</th><th>ext</th><th>par</th><th>var</th><th>var</th><th>var ind</th><th>discrete</th><th>continu géom</th><th>continu phys</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">Fractale</td><td>fonctions généralités</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>7</td><td>2</td><td>7</td><td>1</td><td>6</td><td>10</td><td>10</td><td>3</td><td>8</td><td>1</td><td>4</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>3.3</td><td>0</td><td>0</td><td>7</td><td>3</td><td>4</td><td>4</td></tr><tr><td>valeurs absolues</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>5.0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>fonctions usuelles</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>8</td><td>0</td><td>9</td><td>0</td><td>1</td><td>9</td><td>9</td><td>0</td><td>9</td><td>2</td><td>1</td><td>9</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>5.1</td><td>0</td><td>0</td><td>9</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td></td><td>orthogonalité espace</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>5.0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td colspan="2">Bilan du manuel :</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>16</td><td>3</td><td>17</td><td>1</td><td>9</td><td>21</td><td>21</td><td>4</td><td>18</td><td>4</td><td>5</td><td>9</td><td>0</td><td>0</td><td>4.2</td><td>0</td><td>18</td><td>3</td><td>6</td><td>8</td></tr><tr><td rowspan="3">Terracher</td><td>ordre et valeur absolue</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>3.0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>fonctions généralités</td><td>3</td><td>2</td><td>1</td><td>9</td><td>4</td><td>10</td><td>9</td><td>0</td><td>12</td><td>19</td><td>13</td><td>0</td><td>7</td><td>5</td><td>6</td><td>5</td><td>3</td><td>3</td><td>2.7</td><td>0</td><td>11</td><td>8</td><td>10</td><td>9</td></tr><tr><td>fonctions usuelles</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>4</td><td>6</td><td>6</td><td>6</td><td>2</td><td>7</td><td>14</td><td>10</td><td>6</td><td>11</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>2.6</td><td>0</td><td>6</td><td>8</td><td>9</td><td>8</td></tr><tr><td></td><td>trigonométrie</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>4</td><td>0</td><td>8</td><td>0</td><td>7</td><td>8</td><td>7</td><td>0</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>3.4</td><td>0</td><td>8</td><td>5</td><td>6</td><td>6</td></tr><tr><td></td><td>configurations espace</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>4.0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td colspan="2">Bilan du manuel :</td><td>5</td><td>4</td><td>4</td><td>15</td><td>17</td><td>24</td><td>2</td><td>27</td><td>3</td><td>32</td><td>6</td><td>20</td><td>12</td><td>11</td><td>8</td><td>4</td><td>4</td><td>2.8</td><td>0</td><td>27</td><td>16</td><td>25</td><td>25</td></tr><tr><td rowspan="3">Belin</td><td>notion de fonction</td><td>3</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>2</td><td>1</td><td>6</td><td>0</td><td>5</td><td>7</td><td>7</td><td>5</td><td>7</td><td>3</td><td>4</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>3.1</td><td>1</td><td>6</td><td>0</td><td>5</td><td>6</td></tr><tr><td>fonctions affines</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>5</td><td>3</td><td>2</td><td>1</td><td>4</td><td>6</td><td>6</td><td>2</td><td>4</td><td>2</td><td>3</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>3.2</td><td>0</td><td>2</td><td>4</td><td>1</td><td>6</td></tr><tr><td>fonctions carré et cube</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>3</td><td>1</td><td>3</td><td>0</td><td>2</td><td>4</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>3.3</td><td>0</td><td>3</td><td>1</td><td>1</td><td>4</td><td>3</td></tr><tr><td></td><td>fonctions de référence</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td><td>3</td><td>0</td><td>3</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>3.3</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td></tr><tr><td></td><td>orthogonalité espace</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>3.0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td colspan="2">Bilan du manuel :</td><td>4</td><td>0</td><td>3</td><td>0</td><td>14</td><td>7</td><td>13</td><td>1</td><td>12</td><td>21</td><td>21</td><td>9</td><td>18</td><td>10</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>3.2</td><td>1</td><td>18</td><td>7</td><td>7</td><td>1</td></tr><tr><td rowspan="3">Transmath</td><td>départ numérique</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2.0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>inégalités inéquations</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>3.5</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>2</td><td>1</td></tr><tr><td>notions fonctions</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>8</td><td>1</td><td>3</td><td>8</td><td>0</td><td>6</td><td>11</td><td>11</td><td>0</td><td>10</td><td>0</td><td>8</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>3.0</td><td>0</td><td>9</td><td>2</td><td>4</td><td>7</td></tr><tr><td></td><td>fonctions usuelles</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td><td>5</td><td>2</td><td>2</td><td>7</td><td>1</td><td>6</td><td>10</td><td>10</td><td>3</td><td>9</td><td>3</td><td>4</td><td>7</td><td>0</td><td>0</td><td>3.2</td><td>1</td><td>7</td><td>2</td><td>9</td><td>9</td></tr><tr><td></td><td>angles de vecteurs</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>3.5</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td></tr><tr><td></td><td>droites plans espace</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>3</td><td>0</td><td>3</td><td>3</td><td>3</td><td>0</td><td>3</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>3.0</td><td>0</td><td>3</td><td>0</td><td>3</td><td>3</td></tr><tr><td></td><td>départ géométrique</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>0</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>4.0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td></tr><tr><td></td><td>l'outil vectoriel</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>4.5</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td></tr><tr><td></td><td>symétries translation</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>4.0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td colspan="2">Bilan du manuel :</td><td>1</td><td>0</td><td>7</td><td>13</td><td>13</td><td>7</td><td>26</td><td>1</td><td>25</td><td>34</td><td>34</td><td>4</td><td>28</td><td>8</td><td>20</td><td>11</td><td>0</td><td>0</td><td>3.3</td><td>1</td><td>27</td><td>6</td><td>26</td><td>28</td></tr><tr><td rowspan="3">Déclic</td><td>fonctions graphiques</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>5</td><td>1</td><td>4</td><td>0</td><td>4</td><td>5</td><td>4</td><td>1</td><td>5</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>3.0</td><td>0</td><td>4</td><td>1</td><td>0</td><td>3</td><td>3</td></tr><tr><td>fonctions usuelles</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>11</td><td>11</td><td>11</td><td>10</td><td>1</td><td>12</td><td>22</td><td>22</td><td>0</td><td>21</td><td>6</td><td>3</td><td>6</td><td>0</td><td>0</td><td>3.0</td><td>3</td><td>10</td><td>9</td><td>0</td><td>16</td></tr><tr><td>équations inéquations</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>0</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>3.0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td></tr><tr><td></td><td>dans un repère</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2.0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td></td><td>angles orientés</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>3.0</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td colspan="2">Bilan du manuel :</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>11</td><td>21</td><td>13</td><td>18</td><td>1</td><td>20</td><td>32</td><td>30</td><td>2</td><td>29</td><td>8</td><td>4</td><td>9</td><td>0</td><td>0</td><td>3.0</td><td>3</td><td>18</td><td>11</td><td>1</td><td>23</td></tr><tr><td rowspan="3">Dimathème</td><td>notion de fonction</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>3</td><td>5</td><td>2</td><td>7</td><td>0</td><td>8</td><td>9</td><td>5</td><td>2</td><td>8</td><td>2</td><td>5</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>3.9</td><td>1</td><td>7</td><td>1</td><td>4</td><td>7</td></tr><tr><td>fonctions affines</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>7</td><td>7</td><td>2</td><td>0</td><td>4</td><td>9</td><td>7</td><td>0</td><td>8</td><td>0</td><td>7</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>3.7</td><td>0</td><td>2</td><td>7</td><td>6</td><td>8</td></tr><tr><td>fonctions classiques</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>3</td><td>3</td><td>3</td><td>1</td><td>3</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>4.3</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td></tr><tr><td></td><td>fonctions trigo</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>3.0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td colspan="2">Bilan du manuel :</td><td>1</td><td>0</td><td>2</td><td>3</td><td>16</td><td>10</td><td>10</td><td>2</td><td>16</td><td>22</td><td>15</td><td>4</td><td>20</td><td>3</td><td>14</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>3.6</td><td>2</td><td>10</td><td>10</td><td>13</td><td>18</td></tr><tr><td colspan="2">Bilan global des manuels :</td><td>12</td><td>6</td><td>18</td><td>42</td><td>35</td><td>58</td><td>108</td><td>8</td><td>109</td><td>173</td><td>153</td><td>29</td><td>133</td><td>45</td><td>64</td><td>41</td><td>5</td><td>5</td><td>3.3</td><td>7</td><td>113</td><td>53</td><td>78</td><td>122</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Nom du manuel : FRACTALE SECONDE</caption><thead><tr><th rowspan="2">chapitre</th><th colspan="2">place dans le chapitre</th><th colspan="2">origine situation</th><th colspan="2">données</th><th colspan="2">outillage</th><th colspan="2">thème</th><th colspan="2">degré de liberté</th><th colspan="2">nb var</th><th colspan="2">nature de la variable indépendante</th><th rowspan="2"> titre</th><th rowspan="2">retour situation</th></tr><tr><th>act</th><th>corr</th><th>tp</th><th>ex</th><th>pb</th><th>real géom</th><th>phys</th><th>text</th><th>form</th><th>tab</th><th>grap</th><th>ext</th><th>par</th><th>var</th><th>var</th><th>var ind</th><th>discrète</th><th>continu géom</th><th>continu phys</th></tr></thead><tbody><tr><td>Fonctions</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Généralités</td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>5 sur 15</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Bilan chapitre :</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>7</td><td>2</td><td>7</td><td>1</td><td>1</td><td>6</td><td>10</td><td>3</td><td>8</td><td>1</td><td>4</td><td>0</td><td>0</td><td>3,3</td><td>0</td><td>3</td><td>4</td></tr><tr><td>Valeurs absolues</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>6 sur 15</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Bilan chapitre :</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>5,0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>Fonctions</td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>usuelles</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>8 sur 15</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Bilan chapitre :</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>8</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>9</td><td>9</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>1</td><td>9</td><td>0</td><td>0</td><td>5,1</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>Orthogonalité dans l'espace 15 sur 15</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Bilan chapitre :</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>5,0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td></tr><tr><td>Bilan du manuel :</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>0</td><td>16</td><td>3</td><td>17</td><td>1</td><td>9</td><td>21</td><td>21</td><td>4</td><td>18</td><td>4</td><td>5</td><td>9</td><td>0</td><td>0</td><td>4,2</td><td>0</td><td>18</td><td>3</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Nom du manuel: Mathématiques seconde (Collection Dimathème)</caption><thead><tr><th rowspan="2">chapitre</th><th colspan="2">place dans le chapitre</th><th colspan="2">origine situation</th><th colspan="2">données</th><th colspan="2">outillage</th><th colspan="2">thème</th><th colspan="2">dégré de liberté</th><th colspan="2">nb var</th><th colspan="2">nature de la variable indépendante</th><th colspan="2">retour situation</th></tr><tr><th>act</th><th>corr</th><th>tp</th><th>ex</th><th>pb</th><th>réal</th><th>géom</th><th>phys</th><th>text</th><th>form</th><th>tab</th><th>grap</th><th>ext</th><th>part</th><th>var</th><th>var ind</th><th>discrète</th><th>continu géom</th><th>continu phys</th><th>ftre</th><th>retour situation</th></tr></thead><tbody><tr><td>Vers la notion de fonction</td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>oui</td><td>oui</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>oui</td><td>non</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>4</td><td></td><td></td><td></td><td>non</td><td>oui</td></tr><tr><td>1 sur 14</td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>5</td><td></td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>oui</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>5</td><td></td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>oui</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>3</td><td></td><td></td><td>non</td><td>oui</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>4</td><td></td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>oui</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>oui</td><td>3</td><td></td><td>1</td><td></td><td>oui</td><td>oui</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>7</td><td></td><td></td><td>1</td><td>oui</td><td>oui</td></tr><tr><td>Bilan chapitre :</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>3</td><td>5</td><td>2</td><td>7</td><td>0</td><td>8</td><td>9</td><td>5</td><td>2</td><td>8</td><td>2</td><td>5</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>3,9</td><td>1</td><td>4</td><td>7</td></tr><tr><td>Fonctions affines</td><td>1</td><td></td><td>1</td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>3</td><td></td><td></td><td>1</td><td>oui</td><td>oui</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>4</td><td></td><td></td><td>1</td><td>oui</td><td>oui</td></tr><tr><td>4 sur 14</td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>4</td><td></td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>oui</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>3</td><td></td><td></td><td>1</td><td>oui</td><td>oui</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>4</td><td></td><td></td><td>1</td><td>oui</td><td>oui</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>3</td><td></td><td></td><td>1</td><td>oui</td><td>oui</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>5</td><td></td><td></td><td>1</td><td>oui</td><td>oui</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>3</td><td></td><td></td><td>1</td><td>oui</td><td>oui</td></tr><tr><td>Bilan chapitre :</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>3</td><td>7</td><td>4</td><td>2</td><td>0</td><td>4</td><td>9</td><td>7</td><td>0</td><td>8</td><td>0</td><td>7</td><td>0</td><td>0</td><td>3,4</td><td>0</td><td>2</td><td>7</td></tr><tr><td>Fonctions classiques</td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>5</td><td></td><td></td><td>1</td><td>oui</td><td>oui</td></tr><tr><td>6 sur 14</td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>4</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>oui</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>4</td><td></td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>oui</td></tr><tr><td>Bilan chapitre :</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>3</td><td>3</td><td>3</td><td>1</td><td>3</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>4,3</td><td>1</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>Fonctions trigonométriques 7 sur 14</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>non</td><td>3</td><td></td><td></td><td>1</td><td>oui</td><td>oui</td></tr><tr><td>Bilan chapitre :</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>3,0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>Bilan du manuel :</td><td>1</td><td>0</td><td>2</td><td>3</td><td>16</td><td>10</td><td>10</td><td>2</td><td>16</td><td>22</td><td>15</td><td>4</td><td>20</td><td>3</td><td>14</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>3,8</td><td>2</td><td>10</td><td>13</td></tr></tbody></table>
<table><caption>tableau de synthèse par place dans le chapitre</caption><thead><tr><th rowspan="2">place</th><th colspan="2">origine situation</th><th colspan="2">données</th><th colspan="2">outillage</th><th colspan="2">thème</th><th colspan="2">degré de liberté</th><th colspan="2">nb var</th><th colspan="2">nature de la variable indépendante</th><th rowspan="2"> titre</th><th rowspan="2">retour situation</th></tr><tr><th>real</th><th>géom</th><th>phys</th><th>dess</th><th>text</th><th>form</th><th>tab</th><th>grap</th><th>ext</th><th>par</th><th>var</th><th>var</th><th>var ind</th><th>discrète</th><th>continu géom</th><th>continu phys</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="10">activités</td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="10">corrigés</td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="10">TP</td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
Annexe N°3
<figure><img src="image_58.png" /></figure>
Tema 1

élève 1

élève 2

élève 3

élève 4

professeur
s'adressant
au groupe

professeur
s'adressant
à la classe
Groupe 1

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

③
④

Jemmis
13h45

17h45

13h50

(calendrier AC et AO)

à tout moment,

$$
\sqrt{8} = \sqrt{2 \times 4} = 2\sqrt{2}
$$

diago d'un centre = V2

(bordures: je reprends pas)

élève 1

Méd.

élève 2

Anne.

à Marcel

à Cristina
Oepris de l'élève
2x2 = 0 M = N.

à Cristina

2x2 = 0 et x = 0

cet M = A et M = N.

à Marcel

V2 = 4 x 2 = 8
A0 = 0 C = V2

élève 3

Cristina

(en huitième).

Je fais le copie reduite.

élève 4

Renard.

à Anne

$$
\sqrt{8} = 2\sqrt{2}
$$

Je ne veux pas faire qu'un

à Marcel

à Anou

"mou mout mout"

c'est plus facile ou est
Non c'est possible

professeur
s'adressant
au groupe

Le brouillon individuel
est un brouillon comen
c'est plus facile ou est
Non c'est possible

Pour le calcul de
l'âtre d'un
est tig la m
formel

professeur
s'adressant
à la classe

1 copie reduite par gfr
+ 1 brouillon / le love
sans effacer
5 min ou plus sans s'endre
Distribution

14h00

(Aire du ∆ A PA)

Tu ne peux pas ceduler
l'âtre : tu n'as pas de
valoir 5

Quel est le part.

à Marcel
Comment ceduler si
l'âtre d'un ∆ réel
Marcel : c'est un
lect isocèle

Pour rediger
je marquera (explicite)
puis enleu.

V2 c'est la
nordic de 2V2

Dg la 2° fil
Il y a la fois an+
PHA est il isocèle

Aire : 1/2 + A/2 =
" ou t'aurait comme
Aire : A/2 + A/2 = A

Voir son passage
de question
Puis tout pis
si on reprend pas
puis tout

14h05
<table><tbody><tr><td>élève 1</td><td>15h13</td><td>15h20</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>Nicolas</td><td></td><td></td><td>Plus x augmenté<br/>Plus fix) augmenté<br/>au titre</td><td></td><td></td></tr><tr><td>élève 2</td><td>Annexe</td><td>Annexe sont le sujet<br/>de l'exercice<br/>Elle a tôt à 2 épreuves<br/>(act 2) porté par<br/>quell sur Joly<br/>(août !)</td><td>Au profit<br/>Est-ce que sont<br/>2 méthodes ?</td><td></td><td></td></tr><tr><td>élève 3</td><td>Annexe<br/>Cristina</td><td>A Annexe<br/>Pour B-1 a<br/>"Est-ce que tu as<br/>des expositions ?"<br/>Annexe : oui</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>élève 4</td><td>Reçu</td><td>Reçu : addition<br/>O n'est pas compris</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>professeur<br/>s'adressant<br/>au groupe</td><td></td><td>Savoir : mais ce<br/>qu'est un sens<br/>le variation<br/>(d'une fd).</td><td>Lisez bien l'encore<br/>qui précise qu'elle<br/>sont les 2 façons.</td><td></td><td></td></tr><tr><td>professeur<br/>s'adressant<br/>à la classe</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_60.png" /></figure>
Annexe N°4
Borathm

1. J'aimerai faire ce exercice car je n'ai pas de la force pour faire des exercices de mathématique

et $2\sqrt{2} = AC$ pas compris car m'appuient ni à A ni à C

2. $f(x) = \frac{AP \times AG}{2} \cdot \frac{PA \times AG}{2}$
une marche que pour les extrêmes

$\sqrt{2}AP = PQ$

<figure><img src="image_61.png" /></figure>

$$ 
\begin{aligned}
f(x) &= \frac{\text{PQ} \times \text{AM}}{2} \\
&= \frac{\text{PQ} \times \text{EC}}{2} \\
&= \frac{\text{EC} \times \text{PQ}}{2}
\end{aligned}
$$

$$ 
\begin{aligned}
f(x) &= \frac{5 \times h}{2} \\
&= \frac{\text{PQ} \times \text{AM}}{2} \\
&= \frac{\text{PQ} \times \sqrt{2}}{2} \\
&= \frac{\sqrt{2} \times h}{2} \\
&= \frac{\sqrt{2} \times 2h}{2} \\
&= \frac{\sqrt{2} \times 2h - h^2}{2}
\end{aligned}
$$

$$f(x) = \sqrt{2} \sqrt{x^2} - x^2$$

3. $f(x) = \sqrt{2}x^2$ est strictement croissante car $\sqrt{2} > 0$ et $\sqrt{2} \neq 0$

$$ a > b \quad \text{Si } a \text{ est unzahl, b eine zahl, und } a \le 0 \le b$$

4. $f(x) = x^2$ et $f(a) > f(b)$
d'où elle est strictement croissante

<figure><img src="image_62.png" /></figure>
<figure><img src="image_63.png" /></figure>

$$ \frac{PQ \times AM}{2} $$

$$ \frac{PQ \times x}{2} $$

<figure><img src="image_64.png" /></figure>

$$ 2 \times (2x)^2 $$

$$ \frac{(4\sqrt{2} - 2x) \times x}{2} $$

$$ \frac{4\sqrt{2}x - 2x^2}{2} $$

$$ H(x) = -x^2 + 2\sqrt{2}x $$

$$ \lim_{x \to 0} \left( \frac{Bx+6}{x} \right) - \frac{B \times h}{2} $$

$$ \lim_{x \to 0} \left( 2x + \frac{x(2^2+x)}{2} \right) + 2x^2 $$

$$ \lim_{x \to 0} x \left( \frac{PQ \times AM}{2} + \frac{PQ \times x}{2} + \frac{4\sqrt{2}x - 2x^2}{2} \right) $$

$B^2/4x^2$ est le coefficient T par I] 0.2] $f(x)=x^2$
2 > 0.32 > 56
$\sqrt{2}/2 \approx 0.7142$ est le rapport $\sqrt{2}/2 \approx 1.0816$
Verbaeghe Sandrine

Gastine Bruce

Golebiowski Mickaël

groupe d'2

Maths.

A. D'après Pythagore:

$$DB^2 = AD^2 + AB^2$$

$$DB^2 = 2^2 + 2^2$$

$$DB^2 = 4 + 4$$

$$DB^2 : 8$$

$$DB = \sqrt{8}$$

$$DB = 2\sqrt{2}$$

Dans un carré, les diagonales sont égales
d'où DB est égal à AC

Une aire ne peut jamais être négative donc
$f(x)>0$.

On sait que l'aire de APQ ne peut être > à
DB donc l'aire est inférieure à $2\sqrt{2}$. soit x
appartient à $[\text{inter valle } ]0; 2\sqrt{2}]$
① Dans un carré, les diagonales se coupent en deux milieux.

Soit O le point d'intersection des diagonales.

$$OD = OB = OC = OA$$

Si on remplace O par M(M juillet sur AO)

$$MD : MB : MC : MA$$

$$décenc MP : MC : QA : MA$$

$$AP^2 : MP^2 + MA^2$$

$$AP^2 : MC^2 + MA^2$$

$$AP^2 : AC^2 + OC^2$$

$$AP^2 : x^4$$

$$AP : \sqrt{AC}$$

$$AP : x^2$$

D'après l'enonce, Pet Q sont 2 pts de (d) qui est la parallèle de (BD).

$$décenc DP : BQ et PA : QA$$

$$On sait que PA = x^2$$

$$\frac{1}{2}(x)^2 : PA^2 + QA^2$$

$$\frac{1}{2}(x)^2 : AC^2 + OC^2$$

$$\frac{1}{2}(x^2) : x^4$$

$$\frac{1}{2}(x)^2 : \sqrt{x^4}$$

$$\frac{1}{2}(x^2) : x^2$$
$AB = ?$

$BC = ?$

$CD = ?$

$DA = ?$

$CA = CB + BA$

$CA^2 = 2^2 + 2^2$

$CA^2 = 8$

$CA = \sqrt{8}$

$CA = \frac{3}{2} \sqrt{8}$

$CA = 4\sqrt{4}$

$CA = 2\sqrt{2} = 2,82$

$BA - QA = DA - PA$

$2 - QA = 2 - PA$

$\sqrt{2} = 1,414$

$\frac{2 \times \sqrt{2}}{2}$

$\frac{AB}{AQ} = \frac{AD}{AP}$ $\Rightarrow 2\sqrt{2} \Rightarrow CA$

Si $x \in [0, 2\sqrt{2}]$ alors $f(x) = x^2$
on en déclut que $f > 0$

$2\sqrt{2} = 2\sqrt{\frac{2}{2}}$

$AC = AO$

$2\sqrt{2} = AC$ donc $\sqrt{2} = AO$

Sachant que les 2 coté $AQ$ et $AP$ sont égaux
on en déclut que : $x^2 = x^2$

$\text{Soient } x \in [0, \sqrt{2}]$ alors $f(x) = x^2 + 2\sqrt{2}$

$S_i x \in AC (\text{段 AB, 2}\sqrt{2})$ l'intervale $[0, \sqrt{2}]$ est inutile nous obtenons alors

$-3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = -2$

et nous MUT x par x on obtient $-x^2 + 2\sqrt{2}$.

Bij

Comme l' longueur ne peut
& être négative, il ne peut être que
croissante

$x^2 =$

<figure><img src="image_65.png" /></figure>

<figure><img src="image_66.png" /></figure>

1/2 :)

1/2 :)

<figure><img src="image_67.png" /></figure>
G banking A]

<figure><img src="image_68.png" /></figure>

1) P est de finir sur l'intervalle $[0, 2\sqrt{2}]$ parce il est distinuer de O (centre des diagonales [DB] et [EA])

<figure><img src="image_69.png" /></figure>

2) si $x \in [0 ; \sqrt{2}] \rightarrow p(x) = x^2

<figure><img src="image_70.png" /></figure>

1 = 2, $\frac{2 \times 1}{2} = 1$
esemple $\sin \alpha = 0,5$ dans base = 1

$$
\cos[\Lambda E] = [PE] = EQ
A = \frac{b \times h}{2} \rightarrow h = \frac{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}
$$

<figure><img src="image_71.png" /></figure>

$$
A = \frac{1 \times 0,5}{2} = 0,25
$$

$$
DC = 0,5^2 = 0,25
$$

$$
\text{Phytagore : } DA^2 + AB^2 = DB^2
$$

$$
2^2 + 2^2 = DB^2
$$

4 + 4 = DB^2

$$
\sqrt{8} = DB
$$

$$
\text{Aire } \triangle \text{DB } \frac{bh}{2} = \frac{\sqrt{8} \times \sqrt{4}}{2} = \frac{2\sqrt{8}}{2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
$$

$$
\sqrt{4} \frac{\sqrt{8} \times \sqrt{4}}{2} = \sqrt{4}
$$

$$
\sqrt{2}^2 = 2\sqrt{4}
$$
Module
de Math

A)

1)

ABCD est un carré de 2cm de côté

$x = AH$

$F(x) = \text{aire de APQ}$

$(d) \parallel [BD]$

(d) est contenu dans ABCD

des diagonales de ABCD valent $2\sqrt{2}$ chacune

→ la fonction évolue donc sur l'intervale $[0, 2\sqrt{2}]$

$$2) \ ABCD = \frac{AB \times BC}{2} = \frac{2 \times \sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \ (\text{Aire de ABD})$$

$2 \times AO = AC$

$2 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

$F(x) = x^2$

$\sin x = \sqrt{2}$

$F(x) = (\sqrt{2})^2 = 2$

Donc si $x \in ]0, \sqrt{2}]$ alors $F(x) = (\sqrt{2})^2 = 2$

$3) \ Fx = PH \times x$

$MC = 2\sqrt{2} - x$
f(x) = ax² + bx + c

$ac = AD$

$A. 1) F.B.D. = \text{hyp.}$

doublé la twice

2nde 1

(d) est confirmé de ABCO - la diagonale de ACD = 2√2

→ La fonction évolue sur l'intervalle $[0, 2\sqrt{2}]$

$$2) ABD = \frac{AB \times 2}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 2 \text{ cm}^2$$

$$2 \times PO = AC$$

$$2 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$

$$f(x) = x^2$$

$$si x = \sqrt{2}$$

$$f(x) \{ \sqrt{2} \}^2 = 2$$

donc si $x \in ]0; \sqrt{2}]$ alors $f(x) = x^2$

$$3) -x^2 + 2\sqrt{2x} \\ 2\sqrt{2} \times \sqrt{2} - (\sqrt{2})^2$$

$$4) -2 = 2$$

$$PO = 2 \times HC$$

$$PO = 2 \times (2\sqrt{2} - 2)$$

$$PO \times AC =$$

$$(PO \times AC) - CPQ \\ \approx 2\sqrt{2} \left( 2 \times [2\sqrt{2} - x] \right) \\ 2\sqrt{2} \left[ 2 \times (2\sqrt{2} - x) \right] - \left( \frac{2\sqrt{2} - 2x}{2} \right) \\ 2\sqrt{2} (4\sqrt{2} - 2x)$$

$$CH^2 = (2\sqrt{2} - x)^2$$

$$2\sqrt{2} (4\sqrt{2} - 2x)$$

$$PO = 2 \times (2\sqrt{2} - x)$$

$$8\sqrt{2} - 2x$$

$$AM = x$$

$$AC = 2\sqrt{2}$$

$$2\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2x \times 2\sqrt{2} \\ 8\sqrt{2} - 4\sqrt{2}x + \left[ \frac{(2\sqrt{2} - 2x)}{2} \right]$$

$$(8\sqrt{2} - 4\sqrt{2}x) - (\sqrt{2} - 2x)$$

$$8\sqrt{2} - 4\sqrt{2}x - \sqrt{2} + 2x$$

$$7\sqrt{2} - 4\sqrt{2}x + 2x$$

$$PC = PM \times x$$

$$HC = 2\sqrt{2} - x$$

$$AM = AC$$

$$(2\sqrt{2} + x) \times x$$

$$2\sqrt{2}x - x^2$$
Annexe N°5
<figure><img src="image_72.png" /></figure>
Poulet Hagali

page 1

Grapin Marie-Liane

Mulot Adeline

Le problème de P'abreuvoir.

$$
\begin{align*}
\text{dire trapèze} &= \frac{B+b}{2} \times h \\
&= \frac{8+6}{2} \times 4 \\
&= 7 \times 4 \\
&= 28 \, \text{dm}^2
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
u &= B \times h \\
&= 28 \times 40 \\
&= 1120 \, \text{dm}^3
\end{align*}
$$

lP = l dm³ donc 1120 dm³ = 1120 P.

0 < x < 4 et 6 < y < 8

Pour x = 1 y = 6,5

Soit x la hauteur recherchée et y la
base variant en fonction de la hauteur

Pour $x = 2$ $y = 6,5 + 0,5 = 7$

Pour $x = 3$ $y = 7 + 0,5 = 7,5$
Boucoud

Kellay

9²+1

4 dm

Aire du traèze

$$ \frac{(8+6) \times 4}{2} = 28 $$

maximal

$$ 28 \times 40 = 1120 \text{ dm}^3 = 1120 \text{ P} $$

1120 P → 4 dm = 40 cm

100 P —)

$$ \frac{(8+6) \times 3}{2} = 21 \qquad 1 \text{ dm} = 1 \times 80 \text{ P} $$

3 dm

$$ 21 \times 40 = 840 \text{ dm}^3 $$

$$ \frac{(8+6) \times 2}{2} = 14 $$

2 dm

$$ 14 \times 40 = 560 \text{ dm}^3 $$

$$ \frac{(8+6) \times 1}{2} = 7 $$
$$ 7 \times 40 = 280 \text{ P} $$

1 dm

<figure><img src="image_73.png" /></figure>

$a = \frac{280}{10}$

$a = 28$

$$ \times 280 = 1120 $$

$$ 10 = \frac{280}{a} $$

$$ x = \frac{100}{28} $$

Calculons pour 1 dm

Grouvons x en ce le Th. de Thales
$$ \frac{x}{1} = \frac{1}{4} $$

$$ 1 = 4x $$

$$ \begin{aligned} x &= \frac{1}{4} \\ &= 0,25 \end{aligned} $$

$$ A = \frac{(6 + 6,50) \times 1}{\text{Trapèze}} = 6,25 \text{ dm}^2 $$

$$ \begin{aligned} V &= 6,25 \times 40 \\ &= 250 \text{ P} \end{aligned} $$
$$ \text{Pour 2dm : } \frac{x}{1} = \frac{2}{4} $$

$$ 4x = 2 $$

$$ x = \frac{2}{4} = 0,5 $$

=) 7dm$$

$$ \frac{(6+7) \times 2}{2} = 13 \text{ dm} $$

$$ V = 15 \times 40 = 600 \text{ m}^3 \quad (\text{A}\times\text{B}) \quad 520 \text{ P} $$

$$ \text{Pour 3dm : } \frac{x}{1} = \frac{3}{4} $$

$$ 4x = 3 $$

$$ x = \frac{3}{4} = 0,75 $$

$$ \frac{(75+6) \times 3}{2} = 20,25 $$

$$ V = 20,25 \times 40 = 810 \text{ P} $$

$$ 250 \rightarrow 600 \rightarrow 810 $$

<figure><img src="image_74.png" /></figure>

$$ V_1 = 6 \times 4 \times 40 = 960 $$

$$ V_2 = 6 \times 1 \times 40 = 240 \text{ P} $$

$$ V_3 = 6 \times 2 \times 40 = 480 \text{ P} $$

$$ 250 \text{ P} - 240 = 10 \text{ P} $$

$$ \frac{240 + 480 + 720}{100 + 30 + 50 + 70} = 960 + 160 $$

$$ V_4 = 6 \times 3 \times 40 = 720 \text{ P} $$

$$ 100 = 24 \times + \dots $$

$$ (100 = 24 \times + \dots) $$

<figure><img src="image_75.png" /></figure>

<figure><img src="image_76.png" /></figure>
DE GUY
CAVAZZA
BÉRARD
PICARD

<figure><img src="image_77.png" /></figure>

$$V_{eau} = \left(xh - \frac{(x-6)(h)}{2}\right) \times 40$$

$$V_{eau} = \left(xh - \frac{xh-6h}{2}\right) \times 40$$

$$V_{eau} = \left(\frac{h}{2} + 3h\right) \times 40$$

$$V_{eau} = h(20x + 120)$$

/Tous les volumes
sont en dm³

$$V_{vide} = \left(16(4-h) - \frac{(8-x)(4-h)}{2}\right) \times 40$$

$$V_{vide} = \left(32 - 8h - \frac{32 - 8h - 4x + xh}{2}\right) \times 40$$

$$V_{vide} = (16 - 4h + 2x - \frac{yh}{2}) \times 40$$

$$V_{vide} = 640 - 160h + 80x - 20xh$$

$$V_{eau} + V_{vide} = V_{total}$$

$$h(20x+120) + (640 - 160h + 80x - 20xh) = V_{total}$$

$$20xh + 120h + 640 - 160h + 80x - 20xh = 1120 - 40h + 640 + 80x = 1120$$

$$80x = 1120 - 640 + 40h$$
$$x = 14 - 8 + \frac{h}{2}$$

$$x = 6 + \frac{h}{2}$$

$$V_{eau} = h \times (20x + 120)$$

Se remplace x par $6 + \frac{h}{2}$

$$V_{eau} = h \times (20 \left(6 + \frac{h}{2}\right) + 120)$$

$$V_{eau} = h \times (120 + 10h + 120)$$

$$V_{eau} = 240h + 10h^2$$

Se détermine la hauteur h pour $V_{eau} = 200l$.

$$240h + 10h^2 = 100$$

$$h^2 + 24h = 10$$

$$(h + 12)^2 - 144 = 10$$

$$(h + 12)^2 = 154$$

$$h + 12 = \sqrt{154}$$

$$h = \sqrt{154} - 12$$

<figure><img src="image_78.png" /></figure>
Annexe N°6
<figure><img src="image_79.png" /></figure>
## Extraits du brouillon de Nuyralie du groupe 1

<figure><img src="image_80.png" /></figure>

$$ 
\begin{array}{l}
x = 4 \quad \text{qd. } y = 8 \\
\text{par } x = 1 \text{. } y = 6,5
\end{array}
$$

$$ 
\begin{array}{l}
x = 2 \quad \rightarrow y = 7 \\
x = 3 \quad \rightarrow y = 7,5
\end{array}
$$

## Extraits du Brouillon de Kelly du groupe 2

<figure><img src="image_81.png" /></figure>

$$ 
\begin{array}{l}
v_1 = 6 \times 4 \times 40 = 960 \\
v_2 = 6 \times 1 \times 40 = 240 \text{ p} \\
v_3 = 6 \times 2 \times 40 = 480 \text{ p} \\
\quad + 240
\end{array}
$$

$$ \overline{1 + \frac{240 \times 480 \times 720}{10 \text{ cm} + 30 \text{ cm} + 50 \text{ cm} + 70 \text{ cm}}} = 960 \quad + 160 $$

$$ v_3 = 6 \times 3 \times 40 = 720 \text{ p} \quad (100 = 24 \times + \dots) $$

<figure><img src="image_82.png" /></figure>

$$ v = \frac{(9+6)x}{2} \times 40 $$

<figure><img src="image_83.png" /></figure>

→ gomme om le brouillon original et restituer
par l'avertissement.
Extrait du
Branne de l'ecriture
du groupe 4

$$240h + 10h^2 = 100$$

$$240h + 10h^2 = 100 = 0$$

$$10h^2 + 240h - 100 = 0$$

$$10(h^2 + 24h - 10) = 0$$

$$10(h^2 + 12 \times 2 \times h - 10) = 0$$

$$10(h^2 + 24h + 12^2 - 154) = 0$$

$$10(h + 12)^2 - 1540 = 0$$

$$10(h + 12)^2 = 1540$$

$$(h + 12)^2 = 154$$

$$h + 12 = \sqrt{154}$$

$$h = \sqrt{154} + 12$$

$$h = 12\sqrt{10} - 12$$

$$240h + 10h^2 = 100$$

$$240h + h^2 = 10$$

$$\frac{h^2 + 24h - 10}{(h+12)^2} = \frac{154}{0}$$

$$\frac{h^2 + 12h + 12}{h+12} = 154$$

$$h+12=\sqrt{154}$$

$$h = \sqrt{154} + 12$$

$$240h + 10h^2 = 200$$

$$h^2 + 24h = 20$$

$$(h^2 + 12)h - 144 = 20 \\ h = \sqrt{184} - 12 \quad 200$$

$$h = \sqrt{184} - 12 \quad 300 \quad 11,9$$

$$h = \sqrt{184} - 12 \quad 400 \quad 15,65$$

$$\sqrt{184} - 12 \quad 500 \quad 19,28$$

$$\sqrt{200} - 12 \quad 600 \quad 22,83$$

$$\sqrt{224} - 12 \quad 700 \quad 26,29$$

$$\sqrt{222} - 12 \quad 800 \quad 29,67$$

$$\sqrt{224} - 12 \quad 900 \quad 32,97$$

$$1000 \quad 36,2$$

$$240h + 10h^2 = 100$$

$$h^2 + 24h = 10$$

$$(h^2 + 12)^2 - 144 = 90$$

$$h = \sqrt{154} - 12$$

<figure><img src="image_84.png" /></figure>

$$y = \frac{1}{2}x + 6$$

$$x = \frac{1}{2}y + 6$$
SIGLER
louer
2nde 1

$$
\text{aire trapèze} = \frac{(b+\beta) \times h}{2}
$$

$$
\text{volume } \frac{(b+\beta) \times h}{2} \times 40 \text{ dm}^3
$$

$$
\frac{(8+6) \times 4}{2} = 28 \times 4 = 1120 \text{ dm}^3 = l
$$

$$
\frac{(6+x)y}{2} \times 40 = 100
$$

$$
\frac{6y+xy}{2} \times 40 = 100
$$

$$
\frac{3y+xz}{2} \times 40 = 100
$$

Soit x la hauteur de la base

Soit y la longueur

$$
\text{d'abord } x = \frac{0+6}{2} \text{ et } y = \frac{6}{2}
$$

$$
x + \frac{\text{d'abord } x = \frac{0+6}{2}}{\text{d'abord } y = \frac{6}{2}} = 4 \Rightarrow y = 8
$$

<figure><img src="image_85.png" /></figure>

Si la hauteur augmente de 4 dm la gale bas augmente de 2

D = pour ? -> 1
pour 1 -> 0,5
l'autre endroit

$$ \frac{(6+6+\frac{1}{2}h) \times h}{\frac{1}{2}} \times 40 = \text{c'est-à-dire} $$

$$ \frac{12h + \frac{1}{2}h^2}{\frac{1}{2}} \times 20 = \text{c'est-à-dire} $$

$$ \frac{12h + \frac{1}{2}h^2}{\frac{1}{2}} = 5 \quad \text{et since} \quad \frac{5}{2} = 0 $$

$$ L = \left[ \begin{array}{r|r} 6 & 20 \\ & 100 \end{array} \right. $$

$$ \boxed{0,3571428571 \text{ dm}} $$

$$ 2 \times \frac{110}{2} = \frac{1}{2}h^2 = \frac{5}{2} $$

$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{2}h^2 = 5 $$
<figure><img src="image_86.png" /></figure>

$$ \frac{(6 + 6 + \frac{1}{2}h)^2}{2} \times h \times 40 = 120 $$

$$ \frac{(6 + 6 + \frac{1}{2}h) \times h \times 40}{2} = \sqrt{120} $$

$$ \frac{12h + \frac{1}{2}h^2 \times 40}{2} = \sqrt{120} $$

$$ \frac{12h + \frac{1}{2}h^2 \times 20}{2} = \sqrt{120} $$

$$ 10h^2 + 240h = 78 $$

$$ \text{ar} - \frac{1}{2}h^2 + \frac{12h}{2} = \frac{78}{18} $$

$$ 28 + 56 = 84 $$

$$ 10h^2 = 240h = 100 $$

$$ \sqrt{10h^2} $$

$$ 100 = \frac{(646 + \frac{1}{2}h) \times h}{2} \times 40 $$
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IREM Université Paris 7
Case 7018
2 place Jussieu
75251 Paris cedex 05
TITRE :

L'entrée dans le monde de pensée fonctionnel en classe de seconde
DEA de Didactique des Disciplines.Didactique des Mathématiques

AUTEUR :

PIHOUE D

RESUME :

Ce cahier reprend un mémoire de DEA en didactique des mathématiques consacré à l'entrée dans la pensée fonctionnelle en classe de seconde. L'auteur précise d'abord sa problématique et les travaux antérieurs sur lesquels il s'appuie (Dubinsky, Sfard pour la distinction entre processus et objet, Chevallard pour la modélisation, Duval pour les registres sémiotiques, Douady pour la distinction outil / objet et la notion de cadre). Il analyse ensuite le rapport institutionnel à la notion de fonction en seconde, via les programmes et les principaux manuels en usage. Il en vient ensuite à la partie expérimentale du travail, basée sur l'observation fine du fonctionnement d'élèves, en fin de seconde, sur deux tâches spécifiques, l'une relativement scolaire, l'autre élaborée par l'auteur pour laisser réellement aux élèves la responsabilité du choix d'un modèle fonctionnel

MOTS CLES :

Didactique-mathématiques-lycée-seconde-fonctions-algèbre-processus/objet-outil/objet- cadres-
registres sémiotiques-modélisation fonctionnelle-analyse de manuels-observation d'élèves -

Editeur : IREM

Université PARIS 7-Denis Diderot

Directeur responsable de la

publication : M. ARTIGUE

Case 7018 - 2 Place Jussieu

75251 PARIS Cedex 05

Dépôt légal : 1997

ISBN : 2-86612-130-9