Zav. oj 1999

RR 53

RIA
laboria

laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

Contrôle optimal
de systèmes gouvernés
par des
inéquations variationnelles

J.P. Yvon

Institut de Recherche
d'Informatique
et d'Automatique

Domaine de Voluceau
Rocquencourt
78150 - Le Chesnay
Tél. 954.90.20

Rapport de Recherche n° 53

Février 1974
CONTROLE OPTIMAL DE SYSTEMES GOUVERNÉS
PAR DES INÉQUATIONS VARIATIONNELLES

J.P. Yvon

RESUME

Le but de ce travail est de donner quelques méthodes et exemples de résolution de problèmes de contrôle pour des systèmes gouvernés par des inéquations variationnelles. Le principe général des méthodes présentées est de se ramener au cas, plus classique, des systèmes gouvernés par des équations variationnelles (aux dérivées partielles; elliptiques etc...) Dans cette optique nous donnons ici l'application de la régularisation-pénalisation et de la dualité.

ABSTRACT

This work is devoted to the solution of optimal control problems
for systems governed by variational inequalities. The general principle
of methods presented here is to reduce the problem to a family of (classi-
cal) optimal control problems of systems governed by variational equations
(elliptic, parabolic P.D.E.). In this scope we give here penalization-
regularization and duality techniques.
QUELQUES METHODES DE RESOLUTION

DE

PROBLEMES DE CONTROLE OPTIMAL

DE SYSTEMES GOUVERNES PAR DES

INEQUATIONS VARIATIONNELLES
# INTRODUCTION

Dans un grand nombre d'exemples physiques (milieux semi-perméables, milieux élasto-plastiques etc...) les phénomènes ne sont pas régis par des équations mais par des inéquations (cf. par ex. DUVAUT-LIONS (1) ). Le contrôle de tels phénomènes se pose de façon aussi naturelle que dans ce cas des systèmes gouvernés par des équations. Cependant de nombreuses difficultés théoriques et numériques apparaissent dans l'étude de tels systèmes en raison de la non-différentiabilité de l'application contrôle → état

En particulier le contrôle des inéquations variationnelles conduit à des problèmes d'optimisation non différentiable ce qui rend difficile l'obtention de conditions nécessaires d'optimalité et interdit l'utilisation de méthodes du type "gradient" pour la résolution.

Pour ce qui concerne l'étude d'éventuelles équations adjointes nous renvoyons à F. MIGNOT (1) . Le but de ce travail a été d'étendre des méthodes de régularisation-pénalisation (cf. A. BENSOUSSAN - P. KENNETH (1) DUVAUT-LIONS (loc.cit.)) et des méthodes de dualité (cf. CEA-GLOWINSKI-NEDELEC (1), BEGIS-GLOWINSKI(1))à la résolution du problème de contrôle optimal. Ces méthodes ont été appliquées à la résolution d'un problème concrêt provenant de la biochimie.
# I - CONTROLE OPTIMAL DES INEQUATIONS ELLIPTIQUES.

## 1.1 FORMULATION DU PROBLEME.

Les données sont les suivantes :

V,H espace de Hilbert réels, $V \subset H$ V dense dans H,

$$ (1.1) \qquad \left\{ \begin{array}{l} a(\varphi, \psi) \text{ une forme bilinéaire continue sur V monotone :} \\ a(\varphi, \varphi) \ge 0 & \forall \varphi \in V, \end{array} \right. $$

(1.2) $j(\varphi)$ une fonctionnelle convexe semi-continue inférieurement sur V,

(1.3) K convexe fermé de V.

De plus on donne :

(1.4) $u$ espace de Hilbert,

(1.5) $u_{ad}$ convexe fermé de $u$,

(1.6) $B \in \mathcal{L}(u;V')$.

On considère alors le :

### Problème 0

Soit $f$ donné dans $V'$ et $v$ dans $u_{ad}$ trouver $y(v) \in K$ solution de

$$ (1.7) \qquad a(y, \varphi - y) + j(\varphi) - j(y) \ge (f+Bv, \varphi - y) \quad \forall \varphi \in K $$

Nous faisons alors l'hypothèse :

### Hypothèse HO

On a l'une des deux propriétés suivantes :

i) K est borné, j est strictement convexe

ii) la forme bilinéaire $a(\varphi, \psi)$ vérifie

$$ a(\varphi, \psi) \ge \alpha ||\varphi||_V^2 \quad \forall \varphi \in V $$
On a alors le résultat suivant :

**Proposition 1.1**

Pour l'hypothèse HO le Problème O admet une solution unique. Démonstration cf., par exemple, BREZIS [1], LIONS-STAMPACCHIA [1], TREMOLIERES [1]. ■

Soit, maintenant $\mathcal{H}$ un espace de Hilbert et les opérateurs linéaires :

$$ (1.8) \qquad C \in \mathcal{L}(V; \mathcal{H}) $$

$$ (1.9) \qquad N \in \mathcal{L}(u; u) $$

posons alors le

**Problème 1**

Pour $v$ donné dans $u_{ad}$ définissons

$$ (1.10) \qquad J(v) = \|Cy(v) - z_d\|_{\mathcal{H}}^2 + (Nv,v) $$

où $z_d$ est donné dans $\mathcal{H}$ et $y(v)$ est solution du Problème O. On cherche alors $u \in u_{ad}$ tel que :

$$ (1.11) \qquad J(u) \le J(v) \quad \forall v \in u_{ad}. $$

Pour pouvoir obtenir l'existence d'un contrôle optimal nous faisons les hypothèses suivantes :

**Hypothèse H1**

j) Si $\varphi_n \to \varphi$ faiblement dans $V$ et $v_n \to v$ faiblement dans $u$ alors

$$ (1.12) \qquad \lim sup (Bv_n, \varphi_n) \le (Bv, \varphi) $$

jj) $u_{ad}$ est borné (ou de façon équivalente $N$ est coerçif sur $u$).

On a alors la

**Proposition 1.2**

Sous les hypothèses HO), H1) le Problème 1 admet au moins une solution.
Démonstration.

Soit $v_n$ une suite minimisante de J, d'après H1) jj) elle est bornée.
Posons alors

$$
y_n = y(v_n)
$$

Montrons tout d'abord que la suite $y_n$ est bornée. Dans le cas HO-i)
c'est trivial. Dans l'autre cas on a :

$$
(1.13) \quad a(y_n - z, y_n - z) \le j(z) - j(y_n) + (f + Bv_n, z - y_n) + a(z, y_n - z).
$$

D'après une propriété classique des fonctions convexes on sait que la
fonction

$$
(1.14) \qquad \Theta(\varphi) = \frac{j(z) - j(\varphi)}{\|z - \varphi\|}
$$

est une fonction décroissante de $||z-\varphi||$. En utilisant (1.13) et l'hypothèse HO-ii) on obtient

$$
\alpha ||y_n - z|| \le \Theta(y_n) + \frac{||f+Bv_n||_*}{||y_n - z||} + \frac{|a(y_n, z)|}{||y_n - z||}
$$

d'après la continuité de $a(\varphi, \psi)$ on déduit facilement que la suite $y_n$ est
bornée dans V. On peut donc extraire des sous suites

$u_n' \rightarrow u$ dans $\mathcal{U}$-faible

$y_n', \rightarrow y$ dans $V$-faible

D'après (1.1) et H1-j) on a

$$
(1.15) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \liminf a(y_n', y_n') \ge a(y, y) \\[2ex]
\displaystyle \liminf (-Bv_n', y_n') \ge (-Bv, y)
\end{array}
\right.
$$

relations qui permettent de passer à la limite dans (1.13) donc y=y(u).

La suite $v_n$ étant minimisante et d'après la forme de J on a :

$$
J(u) \le \liminf_{n' \to \infty} J(v_n') = \inf_{v \in \mathcal{U}_{ad}} J(v)
$$
donc $u$ est un contrôle optimal. ■

### Remarque 1.1

L'hypothèse H1-j) est satisfaite si on a un "résultat de compacité" du type suivant.

Soit $L$ un espace de Hilbert et $D \in \mathcal{L}(V;L)$ compact. Définissons alors
$$ (Bv,y)_{VV'} = (\tilde{B}v,Dy)_L $$

où $\tilde{B} \in \mathcal{L}(U;L)$, alors l'hypothèse H1-j) est vérifiée. ■

## 1.2 LA METHODE_DE_REGULARISATION.

En général la fonctionnelle $j(\varphi)$ n'est pas différentiable ce qui entraîne à fortiori que $J(v)$ ne l'est pas non plus. Pour pouvoir résoudre le Problème 1 plus facilement nous allons régulariser le Problème 0 (cf. DUVAUT-LIONS [1]).

Nous allons faire les

### Hypothèses H2

$$ (1.16) \qquad \begin{cases} \text{Il existe une suite } j_{\varepsilon}(\cdot) \text{ de fonctionnelle convexes sur } V \\ \text{de classe } C^2 \text{ telle que} \end{cases} $$

$$ (1.17) \qquad \lim_{\varepsilon \to 0} j_{\varepsilon}(\varphi) = j(\varphi) \quad \forall \varphi \in V $$

vérifiant, de plus, les propriétés suivantes

$$ (1.18) \qquad \begin{cases} \text{si } y_{\varepsilon} \to y \text{ dans } V \text{ faible lorsque } \varepsilon \to 0 \text{ alors,} \\ j(y) \le \liminf_{\varepsilon \to 0} j_{\varepsilon}(y_{\varepsilon}). \end{cases} $$

$$ (1.19) \qquad \begin{cases} \text{Il existe une suite } z_{\varepsilon} \text{ bornée dans } V \text{ telle que :} \\ \left| j'_{\varepsilon}(z_{\varepsilon}) \cdot \varphi \right| \le k \|\varphi\| \\ k \text{ indépendante de } \varphi \text{ et de } \varepsilon. \end{cases} $$
Ces données permettent de définir le

**Problème** O<sub>ε</sub>

Trouver $y_{\epsilon}(v)$ solution de

$$a(y,\varphi-y) + (j'_{\epsilon}(y),\varphi-y) \geq (f+Bv,\varphi-y) \quad \forall \varphi \in K$$

**Remarque** 1.2

La régularisation effectuée n'enlève qu'une partie des difficultés (i.e. la non différentiabilité), il reste celles liées au convexe K. ■

**Proposition** 1.3

Sous les hypothèses HO-ii) et (1.16) le problème O<sub>ε</sub> admet une solution unique y<sub>ε</sub> (v).

Démonstration identique à celle de la Proposition 1.1. On considère alors la fonctionnelle

$$(1.20) \qquad J_{\epsilon}(v) = \|Cy_{\epsilon}(v) - z_{d}\|_{H}^{2} + (Nv,v)u$$

et le

**Problème** 1

Trouver $u_{\epsilon} \in u_{ad}$ tel que :

$$(1.21) \qquad J_{\epsilon}(u_{\epsilon}) \leq J_{\epsilon}(v) \quad \forall v \in u_{ad}.$$

**Proposition** 1.4

Sous les hypothèses de la proposition précédente et H1, le problème 1<sub>ε</sub> admet au moins une solution

On a alors le

**Théorème** 1.1'

Sous les hypothèses précédentes et H2, lorsque $\epsilon \to 0$, on peut extraire de la suite $u_{\epsilon}$ définie par (1.21) une sous suite $u_{\epsilon}'$ convergeant vers une solution du Problème 1.
Démonstration

a) Posons pour simplifier $y_{\varepsilon} = y(u_{\varepsilon})$. La suite $u_{\varepsilon}$ est bornée et on a par définition :

$$
(1.22) \quad a(y_{\varepsilon}, z - y_{\varepsilon}) + (j_{\varepsilon}'(y_{\varepsilon}), z - y_{\varepsilon}) \ge (f + B u_{\varepsilon}, z - y_{\varepsilon}) \quad \forall z \in K.
$$

Prenons alors dans (1.22) $z=z_{\varepsilon}$ satisfaisant (1.19), on obtient

$$
a(y_{\varepsilon}, y_{\varepsilon} - z_{\varepsilon}) + (j_{\varepsilon}'(y_{\varepsilon}) - j_{\varepsilon}'(z_{\varepsilon}), y_{\varepsilon} - z_{\varepsilon}) \le (f + B u_{\varepsilon}, y_{\varepsilon} - z_{\varepsilon}) + (j_{\varepsilon}'(z_{\varepsilon}), y_{\varepsilon} - z_{\varepsilon}).
$$

En utilisant alors la monotonie de $j_{\varepsilon}'$, (1.19) et la coercivité de $a(\cdot, \cdot)$
on a

$$
\alpha \| y_{\varepsilon} \|^2 \le a(y_{\varepsilon}, y_{\varepsilon}) \le \| f + B u_{\varepsilon} \|_{*} \| y_{\varepsilon} - z_{\varepsilon} \| + k \| y_{\varepsilon} - z_{\varepsilon} \| + a(y_{\varepsilon}, z_{\varepsilon})
$$

d'où on déduit facilement que $y_{\varepsilon}$ est borné dans V.

On peut donc extraire des sous suites $y_{\varepsilon}', u_{\varepsilon}'$ telle que

$y_{\varepsilon}' \to y$ dans V-faible

$u_{\varepsilon}' \to u$ dans $\mathcal{U}$-faible.

D'après les hypothèses H1 et H2 on a

$$
\limsup - a(y_{\varepsilon}, y_{\varepsilon}) \le -a(y, y)
$$

$$
\lim \inf (-B u_{\varepsilon}, y_{\varepsilon}) \ge (By, v)
$$

et

$$
\limsup - j_{\varepsilon}(y_{\varepsilon}) \le j(y)
$$

relations qui permettent de passer à la limite dans l'expression

$$
a(y_{\varepsilon}, z - y_{\varepsilon}) + j(z) - j(y_{\varepsilon}) \ge (f + B u_{\varepsilon}, z - y_{\varepsilon})
$$

d'ou $y=y(u)$.

b) Pour pouvoir conclure nous utiliserons le

Lemme 1.1

Soit v donné dans $u_{ad}$ et $y_{\varepsilon}(v)$ solution du Problème 0. Alors

$$
\lim_{\epsilon \to 0} y_{\epsilon}(v) = y(v) \quad \text{dans} \quad V \quad \text{fort.}
$$
Supposons ce lemme acquis on a :

$$
(1.23) \quad \| Cy_\varepsilon - z_d \|_{H}^{2} + (Nu_\varepsilon, u_\varepsilon)_{u} \le \| Cy_\varepsilon(v) - z_d \|_{H}^{2} + (Nv, v) \quad \forall v \in u_{ad}
$$

en appliquant le Lemme 1.1 on obtient

$$
\begin{equation} \tag{1.24}
\begin{aligned
& J(u) \le \liminf_{\epsilon' \to 0} \| Cy_\epsilon, -z_d \|_{H}^{2} + (Nu_\epsilon, u_\epsilon') \\
& \le \lim_{\epsilon' \to 0} \| Cy_\epsilon, (v)-z_d \|_{H}^{2} + (Nv, v) = J(v) \quad \forall v \in u_{ad}
\end{aligned}
\end{equation}
$$

donc u est un contrôle optimal. ■

Démonstration du Lemme 1.1

La convergence faible de y<sub>ε</sub>(v) vers y(v) se démontre d'une façon ana-
logue à la partie a) de la démonstration ci-dessus, la convergence de toute
la suite étant simplement dû au fait que y(v) est unique. La convergence
forte se démontre de la façon suivante. De la définition de y<sub>ε</sub>(v) on tire
la relation suivante

$$
a(y_{\epsilon}(v)-y(v),y_{\epsilon}(v)-y(v)) \le J_{\epsilon}(y(v))-J_{\epsilon}(y(v))-(f+Bv,y(v)-y_{\epsilon}(v))-a(y(v),y_{\epsilon}(v)-y(v)).
$$

D'où

$$
\begin{align*}
& 0 \le \liminf \alpha \| y_{\varepsilon}(v) - y(v) \|^2 \\
& \le \limsup \{ j_{\varepsilon}(y(v)) - j_{\varepsilon}(y_{\varepsilon}(v)) \} \\
& \quad + \lim \{ (f+Bv, y_{\varepsilon}(v)-y(v)) - a(y(v), y_{\varepsilon}(v)-y(v)) \} \\
& \le 0
\end{align*}
$$

d'après la convergence faible. D'où le Lemme. ■

Cas sans contrainte

Si l'on suppose K=V le problème (1.24) se réduit à l'équation variation-
nelle :

$$
a(y, \varphi) + (j'(y), \varphi) = (f+Bv, \varphi) \quad \forall \varphi \in V
$$
Le problème 1 est alors un problème de contrôle classique. En introduisant les isonorphismes canoniques :

$$ \Lambda : \mathfrak{H} \to \mathfrak{H}' $$

$$ \Lambda : u \to u' $$

on peut définir $\ell'$

### Etat adjoint

C'est l'élément $p_\epsilon \in V$ solution de

$$ (1.23) \qquad a(p_\epsilon, \varphi) + (j''(y_\epsilon(u_\epsilon))^*; p_\epsilon, \varphi) = (C^* \Lambda(Cy_\epsilon - z_d), \varphi) $$

La condition nécessaire d'optimalité de $u_\epsilon$ s'écrivant

$$ (1.24) \qquad (\Lambda^{-1} B^* p_\epsilon + N U_\epsilon, v - u_\epsilon) \ge 0 \quad \forall v \in u_{ad} $$

On a alors le

### Lemme 1.2

$p_\epsilon$ étant l'état adjoint du problème 1 défini par (1.23) on a

$$ \| p_{\epsilon} \|_{V} \leq C \quad \forall \epsilon \quad 0 < \epsilon < \epsilon_{0} $$

(C ne dépendant que de $\epsilon_0$).

### Démonstration

C'est immédiat en prenant dans (1.24), $\varphi = p_\epsilon$ : on a

$$ a(p_{\epsilon}, p_{\epsilon}) + j''(y_{\epsilon}; p_{\epsilon}, p_{\epsilon}) = (C^{*} \Lambda(Cy_{\epsilon} - z_{d}), p_{\epsilon}) $$

Or $j_\epsilon$ étant convexe on a

$$ j''(y_\epsilon; \varphi, \varphi) \geq 0 \quad \forall \varphi \in V $$

d'où

$$ \| p_{\epsilon} \|_{V} \le \frac{\| C^{*} \Lambda \|}{\alpha} \| \mathcal{L}(\mathfrak{H}; V') \|_{\mathfrak{H}} \| Cy_{\epsilon} - z_{d} \|_{\mathfrak{H}} $$

Comme d'après la démonstration du théorème 1.1 on a

$$ \| y_{\epsilon} \| \le Cte \text{ dès que } \epsilon < \epsilon_{0} \text{ on obtient le résultat. } \blacksquare $$
**Exemple 1.1**

Considérons la fonction réelle

$$
(1.25) \quad Z(\lambda) = \begin{cases} 0 & \text{si } \lambda \le h \\ \frac{k}{2}(\lambda^2 - h^2) & \text{si } \lambda \ge h \end{cases} \quad h > 0
$$

$$
\text{posons alors pour } \varphi \in V = H^1(\Omega)
$$

$$
(1.26) \quad j(\varphi) = \int_{\Gamma} Z(\varphi(\gamma)) d\gamma
$$

Cette fonctionnelle convexe sur V peut être régularisée de la façon
suivante. On pose

$$
F_{\varepsilon}(\lambda) = \begin{cases} 0 & \text{si } \lambda \le h - \varepsilon \\ \frac{k}{\varepsilon}(\lambda - h + \varepsilon)^2 & \text{[}(\varepsilon - 2h)\lambda + 2h^2] \\ \text{si } h - \varepsilon \le \lambda \le h \\ h\lambda & \text{si } \lambda \ge h \end{cases}
$$

et

$$
(1.27) \quad Z_{\varepsilon}(\lambda) = \begin{cases} 0 & \text{si } \lambda \le h-\varepsilon \\ \int_{0}^{\lambda} F_{\varepsilon}(\sigma) d\sigma & \text{si } h \ge h-\varepsilon. \end{cases}
$$

On définira alors $j_\varepsilon$ par

$$
(1.28) \quad j_{\varepsilon}(\varphi) = \int_{\Gamma} Z_{\varepsilon}(\varphi(\gamma)) d\gamma
$$

Les graphes de Z et Z_ε sont représentés sur la Figure 1 .
<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Nous nous proposons de vérifier les hypothèses H2.

a) Vérification de (1.17).

On a

$$
(1.29) \quad 0 \le j_{\varepsilon}(\varphi) - j(\varphi) = \int_{\Gamma} [Z_{\varepsilon}(\varphi(\gamma)) - Z(\varphi(\gamma))] d\gamma
$$

Définissons

$$
\Gamma_{\varepsilon} = \{ x \in \Gamma \mid \varphi(x) \le h - \varepsilon \text{ p.p.} \}
$$

La deuxième membre de (1.29) se découpe en deux termes :

$$
\int_{\Gamma_{\varepsilon}} [Z_{\varepsilon}(\varphi(\gamma)) - Z(\varphi(\gamma))] d\gamma = 0
$$
et

$$
\begin{align*}
\int_{\Gamma - \Gamma_{\varepsilon}} [Z'_{\varepsilon}(\varphi(\gamma)) - Z(\varphi(\gamma))] d\gamma &\le \int_{\Gamma - \Gamma_{\varepsilon}} \frac{k}{12} \varepsilon (6h - \varepsilon) d\gamma \\
&= \frac{k}{12} \varepsilon (6h - \varepsilon) \text{mes} (\Gamma - \Gamma_{\varepsilon}) \quad \rightarrow \quad 0 \\
\text{quand } \varepsilon \rightarrow 0
\end{align*}
$$
b) Vérification de (1.18)

On a
$$
\int_{\Gamma} z_{\varepsilon}[y_{\varepsilon}(\gamma)] d\gamma = \int_{\Gamma} Z(y_{\varepsilon}(\gamma)) d\gamma + \int_{\Gamma} [Z_{\varepsilon}(y_{\varepsilon}(\gamma)) - Z(y_{\varepsilon}(\gamma))] d\gamma
$$

or
$$
0 \le \int_{\Gamma} \{Z_{\epsilon}[y_{\epsilon}(\gamma)] - Z[y_{\epsilon}(\gamma)]\} d\gamma \le \frac{k}{12} \epsilon (6h-\epsilon)\text{mes}(\Gamma)
$$

D'où

$$
\liminf_{\epsilon} j_{\epsilon}(y_{\epsilon}) = \liminf_{\epsilon} \int_{\Gamma} Z[y_{\epsilon}(\gamma)] d\gamma \ge \int_{\Gamma} Z(y(\gamma)) d\gamma
$$

car $y_{\epsilon} \to y$ faiblement dans $L^2(\Gamma)$.

(En fait on a mieux $y_{\epsilon} \to y$ fortement).

c) Vérification de (1.19).

C'est immédiat il suffit de prendre $z_{\epsilon} \equiv 0 \forall \epsilon$ par exemple. $\blacksquare$

Supposons $a(\varphi, \psi)$ défini par

$$
(1.30) \qquad a(\varphi, \psi) = \int_{\Omega} \nabla \varphi \cdot \nabla \psi \, dx + \int_{\Omega} \varphi \psi \, dx.
$$

$$
(1.31) \qquad H=L^2(\Omega), \quad f \text{ donné dans } H \text{ et } B \in \mathcal{L}(\mu; H).
$$

Le Problème O correspondant aux données (1.26), (1.30) et (1.31) s'inter-
prête ainsi

$$
(1.32) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
- \Delta y(v) + y(v) = f + Bv \\
\\
\frac{\partial y}{\partial n} + F(y) = 0 \quad \text{sur } \Gamma
\end{array}
\right.
$$

avec $F(y)$ donné par

$$
(1.33) \quad F(\lambda) = \begin{cases} 0 & \text{si } \lambda < h \\ -k\lambda & \text{si } \lambda > h. \end{cases}
$$
(On remarquera que l'injection de V dans H étant compacte les hypothèse H1 sont vérifiées).

Le problème (1.32) est du type paroi semi perméable. cf. DUVAUT-LIONS (loc.c).

## 1.3 LA METHODE DE PENALISATION.

Nous supposons maintenant que la fonctionnelle $j$ est de classe $C^2$ et que $K \neq V$. Nous allons introduire le Problème pénalisé correspondant au Problème 0, de façon à rendre la fonctionnelle $J(v)$ différentiable.
Nous n'insisterons pas sur les détails. Cette méthode étant très similaire à la précédente.

Commençons par introduire l'opérateur de projection

$$ (1.34) \qquad P : V \to K $$

défini par

$$ y = P \varphi \quad \varphi \in V \quad \text{si} \quad y \in K $$

$$ \| y - \varphi \| \le \| z - \varphi \| \quad \forall z \in K. $$

On définit le

**Problème** PO$_{\varepsilon}$

Trouver $y_{\varepsilon} \in V$ tel que

$$ (1.35) \qquad a(y_{\varepsilon}, z - y_{\varepsilon}) + j(z) - j(y_{\varepsilon}) + \frac{1}{\varepsilon} \|Pz - z\|^2 - \frac{1}{\varepsilon} \|Py_{\varepsilon} - y\|^2 \ge (f+Bv, z - y_{\varepsilon}) \quad \forall z \in V $$

**Proposition 1.5**

Sous l'hypothèse HO le Problème PO$_{\varepsilon}$ admet une solution unique.

**Démonstration**

D'après une propriété classique de la projection sur un ensemble convexe la fonctionnelle :

$$ y \to \|Py-y\|^2 $$

est convexe, d'où la Proposition. ■
Définissons alors la fonctionnelle

$$
(1.36) \quad \tilde{J}_{\varepsilon}(v) = \| Cy(v) - z_d \|_{H}^{2} + (Nv, v)_{U}
$$

et le

Problème P1
$\varepsilon$

Trouver $u_{\varepsilon} \in u_{\text{ad}}$ tel que

$$
(1.37) \qquad \tilde{J}_{\varepsilon}(u_{\varepsilon}) \le \tilde{J}_{\varepsilon}(v) \quad \forall v \in u_{\text{ad}}.
$$

Proposition 1.6

Sous l'hypothèse H1 le **Problème P1** $\varepsilon$ admet une solution au moins.

Ce résultat résulte directement de la Proposition 1.2. $\blacksquare$

Théorème 1.2

De toute suite $u_\varepsilon$ solution de (1.37) peut extraire, lorsque $\varepsilon$ tend vers zéro, une sous-suite convergent vers une solution du Problème 1.

Démonstration

a) Estimation a priori.

Le convexe K étant non vide on peut prendre dans (1.35) z ∈ K, en
utilisant le fait que uε est borné (hypothèse H1) on déduit immédiatement
que

$$
(1.38) \qquad y_{\varepsilon} = y_{\varepsilon}(u_{\varepsilon}) \quad \text{est borné dans } V
$$

$$
(1.39) \qquad \frac{1}{\epsilon} \| Py_{\epsilon} - y_{\epsilon} \|^2 \text{ est borné.}
$$

On peut donc extraire des sous suites telle que :

$$
(1.40) \qquad y_{\epsilon} \to y \quad \text{dans } V \text{ faible}
$$

$$
(1.41) \qquad u_{\epsilon} \to u \quad \text{dans } U \text{ faible}
$$

$$
(1.42) \qquad \| Py_{\epsilon} - y_{\epsilon} \| \to 0 \quad \text{d'où} \quad y \in K
$$
$$
(1.43) \quad \frac{1}{\epsilon} \| \mathbf{P}y_{\epsilon} - y_{\epsilon} \|^2 \to \chi \ge 0
$$

Soit alors z dans K, de (1.40)...(1.43) on déduit

$$
(1.44) \quad \left\{
\begin{array}{l}
a(y,z-y)+j(z)-j(y) - \chi \\
\ge \limsup \{a(y_\epsilon,z-y_\epsilon)+j(z)-j(y_\epsilon) - \frac{1}{\epsilon} \|\mathbf{P}y - y_\epsilon\|^2\} \\
\ge \liminf \{f+Bu_\epsilon,z-y_\epsilon\} \\
\ge (f+Bu,z-y) \quad \text{(on utilise H1)}
\end{array}
\right.
$$

En prenant dans (1.44) $z=y$ ce qui est loisible d'après (1.42) on obtient

$\chi \le 0$

ce qui joint à (1.43) entraîne $y=y(u)$.

b) $u$ est un contrôle optimal

On procède exactement comme dans la démonstration du Théorème 1.2 en
utilisant le

Lemme 1.3

Pour $v$ donné dans $U$ on a

$y_{\epsilon}(v) \rightarrow y(v)$ **fortement dans** $V$ **quand** $\epsilon \rightarrow 0$
$y_{\epsilon}(y)$ **solution du Problème** $PO_{\epsilon}$.

Démonstration du Lemme

La convergence faible se démontre comme pour la partie a) du théorème
1.2 et la convergence forte résulte de (1.43) avec $\chi = 0$. ■

L'intérêt de la Pénalisation est justifiée par le

Lemme 1.4

Soit V un espace de Hilbert, K un convexe fermé de V et P(.)
l'opérateur de Projection de V sur K alors la fonctionnelle

$$
m(y) = \|P(y) - y\|^2
$$
est différentiable au sens de Gateaux, de dérivée donnée :

$$
(1.45) \qquad (m'(y), \varphi) = (y - P(y), \varphi)
$$

Démonstration

Soit y et φ ∈ V pour θ donné dans R posons

$$
y_{\theta} = y + \Theta \varphi
$$

et

$$
N_{\theta} = m(y_{\theta}) - m(y).
$$

Par définition on a

$$
(1.46) \quad \| P(y_\theta) - y_\theta \|^2 \le \| z - y_\theta \|^2 \quad \forall z \in K
$$

$$
(1.47) \qquad \| P(y) - y \|^2 \le \| z - y \|^2 \qquad \forall z \in K
$$

Prenons z=P(y) dans (1.47) on obtient :

$$
m(y_{\theta}) \le \|P(y)-y_{\theta}\|^2 = \|P(y)-y\|^2 + \theta^2 \|\varphi\|^2 - 2\theta(\varphi, P(y)-y)
$$

d'où

$$
(1.48) \qquad N(\theta) \le \theta^2 \|\varphi\|^2 - 2\theta(\varphi, P(y)-y)
$$

Prenons alors dans (1.47) z=P(y) on obtient

$$
m(y) \le \|P(y_{\theta}) - y\|^2 = \|P(y_{\theta}) - (y - \theta\varphi) + \theta\varphi\|^2 = \|P(y_{\theta}) - y_{\theta}\|^2 + \theta^2 \|\varphi\|^2 + 2\theta(\varphi, P(y_{\theta}) - y_{\theta})
$$

D'où

$$
N_{\theta} \ge - \theta^2 ||\varphi||^2 - 2\theta(\varphi, P(y_{\theta}) - y_{\theta})
$$

Relation qui, jointe à (1.48), donne

$$
(1.49) \quad \theta^2 \|\varphi\|^2 + 2\theta(\varphi, y_{\theta} - P(y_{\theta})) \le N_{\theta} \le \theta^2 \|\varphi\|^2 + 2\theta(\varphi, y - P(y)).
$$

En utilisant (1.49) et la continuité de l'application

$z \to P(z).$

On déduit facilement (1.45) ■
### Remarque 1.3

Compte tenu du résultat du Lemme 1.3 l'inéquation variationnelle (1.35) est donc en fait une équation variationnelle ce qui simplifie considérablement sa résolution. Pour que la méthode puisse être complètement efficace il est nécessaire que l'application

$$v \to y_{\varepsilon}(v)$$

soit différentiable. Ceci n'est pas vrai en général si l'on ne possède pas de propriétés de régularité sur le convexe K. Cependant, on peut contourner la difficulté en prenant comme terme pénalisateur un terme du type

$$\| P(y) - y \|^4 . \blacksquare$$

### Remarque 1.4

Dans le cas où le convexe K est également un convexe fermé de H on peut prendre comme terme pénalisateur :

$$| \tilde{P}(y) - y |^2_H$$

où $\tilde{P}$ est l'opérateur de projection de H dans K (Cf. Remarque 5.2 Chap III de LIONS [1]). ■

## 1.4 METHODES DE DUALITE.

De façon à donner une présentation simple de la méthode nous allons restreindre au cas où le Problème O est un problème de calcul des variations du type :

$$\text{Min}_{\varphi \in K} \quad \frac{1}{2} a(\varphi, \varphi) + j(\varphi) - (f+Bv, \varphi)$$

où $a(\varphi, \psi)$ est symétrique.

### 1.4.1 - La dualité

Nous reprenons ici les idées de CEA-GLOWINSKI-NEDELEC [1].

Soient $h_o(\varphi)$ et $j(\varphi)$ deux fonctionnelles sur un espace de Hilbert V convexes et s.c.i. telles que
$$
(1.50) \quad \lim_{\|\varphi\| \to \infty} \frac{h_o(\varphi)}{\|\varphi\|} = +\infty \quad \text{(i.e. $h_o$ coercive)}
$$

**Proposition 1.7**

Soit K un convexe fermé de V alors le problème

$$
(1.51) \quad \inf_{\varphi \in K} h_o(\varphi) + j(\varphi)
$$

admet une solution au moins.

Démonstration

C'est une conséquence directe du Théorème de HAHN-BANACH :

H a ∈ V' et β ∈ ℝ tel que

$$
j(\varphi) \geq a(\varphi) + \beta \quad \forall \varphi \in \mathbb{R}
$$

donc la fonctionnelle $h_o+j$ est coercive, d'où le résultat. Nous faisons
maintenant les

Hypothèses $D_o$

i) Il existe un espace de Banach L,G un opérateur (non nécessairement linéaire de) de V → L et Λ un convexe fermé borné de L' contenant l'origine tel que l'application

$$
(1.53) \qquad \varphi \to < \mu, G(\varphi) > \qquad (1)
$$

soit convexe s.c.i. $\forall \mu \in \Lambda$

ii) On suppose qu'il existe $j_o$ fonctionnelle convexe sur V telle que

$$
(1.54) \quad \forall \varphi \in V \quad j(\varphi) = j_o(\varphi) + \sup_{\mu \in \Lambda} \langle \mu, G(\varphi) \rangle
$$

En posant

$$
h(\varphi) = h_o(\varphi) + j_o(\varphi)
$$

le problème (1.51) se réécrit sous la forme

(1) <,> désigne la dualité entre L et L'.
### Problème primal

Trouver $y \in K$ réalisant

$$ \operatorname{Inf}_{\varphi \in K} \{ h(\varphi) + \sup_{\mu \in \Lambda} \langle \mu, G(\varphi) \rangle \} $$

Introduisons alors de façon naturelle

$$ (1.55) \qquad \mathcal{L}(\varphi, \mu) = h(\varphi) + \langle \mu, G(\varphi) \rangle $$

fonctionnelle définie sur $V \times L'$. On a alors le

### Théorème 1.3

Sous les hypothèses $D_0$ et (1.50) il existe $(y, \lambda) \in K \times \Lambda$ vérifiant

$$ \mathcal{L}(y, \mu) \le \mathcal{L}(y, \lambda) \le \mathcal{L}(z, \lambda) \quad \forall \mu \in \Lambda \text{ et } z \in K $$

### Démonstration

Pour $M > 0$ donné posons

$$ K_M = \{ \varphi \in K \mid \|\varphi\| \le M \} $$

D'après le Théorème de KI-FAN et SION, le Lagrangien (1.55) admet un point de selle sur $K_M \times \Lambda$. On a donc

$$ (1.56) \qquad \mathcal{L}(y_M, \mu) \le \mathcal{L}(y_M, \lambda_M) \le \mathcal{L}(z, \lambda_M) \quad \forall z \in K_M, \mu \in \Lambda_M $$

En prenant $\mu=0$ dans (1.56) on déduit que

$$ \langle \lambda_M, G(y_M) \rangle \ge 0 $$

et, en utilisant l'inégalité de droite de (1.56) :

$$ h(y_M) \le h(z) + \langle \lambda_M, G(z) \rangle $$

$$ \le H(z) + \| \lambda_M \|_{L^1} + \| G(z) \|_{L^1} \le h(z) + C_1 \| G(z) \|_{L^1} $$

car $\Lambda$ est borné dans $L'$. D'après (1.50) la suite $y_M$ est bornée, donc pour $M$ suffisamment grand ($y_M, \lambda_M$) est un point de selle du Lagrangien. ■
Il est alors naturel d'associer au Problème Primal le

**Problème dual**

Trouver $\lambda \in \Lambda$ réalisant

$$ (1.57) \qquad \sup_{\mu \in \Lambda} \left\{ \inf_{\varphi \in K} h(\varphi) + \langle \mu, G(\varphi) \rangle \right\} $$

**Proposition 1.8**

Sous les hypothèses du Théorème 1.3 le Problème dual admet au moins une solution

**Démonstration**

Pour $\mu$ fixé dans $\Lambda$ il existe $y_\mu \in K$ réalisant

$$ \inf_{\varphi \in K} h(\varphi) + \langle \mu, G(\varphi) \rangle $$

(se démontre comme dans la Proposition 1.6)

Posons

$$ M(\mu) = \inf_{\varphi \in K} h(\varphi) + \langle \mu, G(\varphi) \rangle $$

La fonction

$$ \mu \to M(\mu) $$

est concave s.c.s. comme enveloppe de fonctions convexes s.c.s. comme $\Lambda$ est un convexe fermé borné de L' on déduit immédiatement qu'il existe $\lambda \in \Lambda$ tel que

$$ M(\lambda) = \sup_{\mu \in \Lambda} M(\mu) $$

d'où le résultat. ■

**Proposition 1.9**

On suppose en plus de (1.50) et des hypothèses $D_0$ que :

$$ (1.58) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \text{Pour tout } \mu \in L', \text{ si } y_n \to y \text{ dans } V \text{ faible alors} \\ < \mu, G(y_n) > \to < \mu, G(y) > \end{array} \right. $$
Alors la fonctionnelle

$$
(1.59) \quad \mathcal{M}(\lambda) = h(y_\lambda) + \langle \lambda, G(y_\lambda) \rangle = \min_{\varphi \in K} h(\varphi) + \langle \lambda, G(\varphi) \rangle
\quad \text{est différentiable au sens de Gateaux sur } \Lambda, \text{ de dérivée donnée par}
$$

$$
(1.60) \qquad M'(\lambda) \cdot \mu = \langle \mu, G(y_\lambda) \rangle
$$

Démonstration

Soit $\mu \in L'$ tel que $\lambda + \theta \mu \in \Lambda, \forall \theta \ 0 \le \theta \le \theta_1$

Posons pour $0 \le \theta \le \theta_1$

$$
\Delta_{\theta} = h(y_{\lambda} + \theta_{\mu}) + \langle \lambda + \theta_{\mu}, G(y_{\lambda} + \theta_{\mu}) \rangle - h(y_{\lambda}) - \langle \lambda, G(y_{\lambda}) \rangle
$$

En utilisant les définitions de $y_\lambda$ et $y_{\lambda+\theta_\mu}$ par (1.59), on obtient
facilement que

$$
(1.61) \quad \theta < \mu, G(y_{\lambda+\theta_{\mu}}) > \le \Delta_{\theta} \le \theta < \mu, G(y_{\lambda}) >
$$

Démontrons que la suite $y_{\lambda+\theta_{\mu}}$ est bornée lorsque $\theta \to 0$. Pour cela
on utilise l'hypothèse de coercivité (1.50) :

$\forall A \ge 0, \exists M_0(A) \text{ telle que } \|\varphi\| \ge M_0 \Rightarrow h(\varphi) + \langle \lambda, G(\varphi) \rangle \ge A$
et

$\forall A \ge 0 \quad \exists M_1(A) \quad \text{telle que} \quad \|\varphi\| \ge M_1 \Rightarrow h(\varphi) + \langle \lambda + \theta_1, \mu, G(\varphi) \rangle \ge A$
D'où

$$
(1.62) \quad \forall A, \quad \|\varphi\| \ge \operatorname{Max} \{M_0, M_1\} \quad \Rightarrow \quad h(\varphi) + \alpha \langle \lambda + G(\varphi) \rangle + (1-\alpha) \langle \lambda + \theta_1, G(\varphi) \rangle \ge A
$$
Prenons dans (1.62)

$$
\alpha = \frac{\theta_1 - \theta}{\theta_1} \quad (\ge 0)
$$

on déduit alors que

$$
(1.63) \quad \forall A, \quad \exists M \quad \text{telle que} \quad \|\varphi\| \ge M \Rightarrow h(\varphi) + \langle \lambda + \theta_{\mu}, G(\varphi) \rangle \ge A \\
\text{Or on a}
$$

$$
(1.64) \quad h(y_{\lambda+\theta_{\mu}}) + \langle \lambda + \theta_{\mu}, G(y_{\lambda+\theta_{\mu}}) \rangle \le h(z) + \langle \lambda + \theta_{\mu}, G(z) \rangle \le h(z) + C \|G(z)\|_{L} = \text{Cte}
$$
donc d'après (1.63) la suite $y_{\lambda+\theta\mu}$ est bornée, on peut donc en extraire
une sous-suite $y_{\lambda+\theta'\mu}$ telle que

$$
y_{\lambda+\theta'\mu} \to \tilde{y} \text{ dans } V \text{ faible}
$$

or d'après 1'hypothèse (1.58) on peut passer à la limite dans (1.64) d'où
$\tilde{y}$ vérifie

$$
h(\tilde{y}) + \langle \lambda, G(\tilde{y}) \rangle \le h(z) + \langle \lambda, G(z) \rangle \quad \forall z \in K
$$

d'où $\tilde{y}=y_λ$ et toute la suite converge.

Ce résultat appliqué à (1.61) donne finalement

$$
\lim_{\theta \to 0} \frac{\Delta_{\theta}}{\theta} = \langle \mu, G(y_{\lambda}) \rangle \\
\theta < \theta_{1}
$$

Cette limite étant linéaire par rapport à μ on déduit (1.60). ■

Corollaire 1.1

Une condition nécessaire est suffisante pour que $\lambda$ soit solution du
Problème dual et que :

$$
(1.65) \qquad \langle \lambda - \mu, G(y_\lambda) \rangle \ge 0 \quad \forall \mu \in \Lambda .
$$

1.4.2 - *Application aux inéquations*.

On applique directement ce n° précédent avec

$$
(1.66) \qquad h_o(\varphi) = h_o(\varphi; v) = a(\varphi, \varphi) - 2(f+Bv, \varphi)
$$

On suppose alors qu'il existe L et un opérateur G satisfaisant les
hypothèses $D_o$ ainsi qu'une fonctionnelle $j_o$ tels que :

$$
j(\varphi) = \sup_{\lambda \in \Lambda} \langle \lambda, G(\varphi) \rangle + j_o(\varphi) .
$$

Le Problème de contrôle se formule donc de la façon suivante :

Problème 1

Pour $\mu$ donné dans $\Lambda$ on définit

$$
(1.67) \qquad \ell(\varphi, \mu; v) = a(\varphi, \varphi) - 2(f+Bv, \varphi) + j_o(\varphi) + \langle \mu, G(\varphi) \rangle
$$
et on cherche $y(\mu;v)$ réalisant

$$
(1.68) \qquad \Min_{\varphi \in K} \mathcal{L}(\varphi, \mu; v)
$$

On cherche alors $\lambda(v) \in \Lambda$ tel que :

$$
(1.69) \quad \langle \lambda - \mu, G(y(\lambda;v)) \rangle \ge 0 \quad \forall \mu \in \Lambda
$$

alors $y(v) = y(\lambda(v);v)$ est solution du Problème 0.

On définit alors $J(v)$ par

$$
(1.70) \quad J(v) = \| Cy(v) - z_d \|_{H}^{2} + (Nv, u)_{u}
$$

et on cherche $u \in u_{ad}$ réalisant

$$
(1.71) \quad J(u) = \inf_{v \in u_{ad}} J(v)
$$

En utilisant une idée de BEGIS-GLOWINSKI [1] on peut associer au Problème 1 un autre problème obtenu en permutant la détermination de $\lambda(v)$ et $u$ :

Problème 1*

Pour $\mu$ donné dans $\Lambda$, on définit $y(\mu;v)$, réalisant

$$
(1.68)' \quad \mathcal{L}(y(\mu;v), \mu; v) \le \mathcal{L}(\varphi, \mu; v) \quad \forall \varphi \in K
$$

Définissons alors

$$
(1.70)' \quad J(v;\mu) = \| Cy(\mu;v) - z_d \|^2 + (Nv,u)
$$

et $u(\mu)$ par

$$
(1.71)' \quad J(u(\mu);\mu) \le J(v,\mu) \quad \forall v \in u_{ad}
$$

et enfin on cherche $\lambda \in \Lambda$ tel que :

$$
(1.69)' \quad \langle \lambda - \mu, G[y(\lambda;u(\lambda))] \rangle \ge 0 \quad \forall \mu \in u_{ad}.
\blacksquare
$$

Un résultat d'existence de $\lambda$ solution de (1.69)' est donné par le

Théorème 1.4

Hypothèses et notations précédentes et les hypothèses supplémentaires
<u>suivantes</u> :
$$
(1.72) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\text{Il existe } b \in V' \text{ et } \beta \in R \text{ tels que :} \\
\forall \lambda \in \Lambda \text{ et } \varphi \in V \text{ on a } \langle \lambda, G(\varphi) \rangle \ge (b, \varphi) + \beta
\end{array}
\right.
$$

$$
(1.73) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
\text{Si } \lambda_n \to \lambda \quad \underline{\text{dans}} \ L' \ \underline{\text{faible}} \ast \ \underline{\text{et}} \ y_n \to y \quad \underline{\text{dans}} \ V \ \underline{\text{faible}} \\
\text{alors } \liminf (\lambda_n, G(y_n)) \ge (\lambda, G(y)) (\lambda_n, \lambda \in \Lambda)
\end{array}
\right.
$$

Alors si L' est séparable le Problème l* admet au moins une solution.
Démonstration

On va utiliser la méthode de Galerkin. Soit donc Λ₁, Λ₂, ..., Λ_m une
suite de convexes fermés bornés tels que Λ₁ ⊂ Λ₂... ⊂ Λ_m, Λ_m contenu
dans un espace de dimension finie ≤ m et

$$
\bigcup_{i \ge 1} \Lambda_i \quad \text{dense dans} \quad \Lambda
$$

De façon à alléger les notations on posera

$$
y(\mu) = y(\mu; v(\mu)).
$$

On commence par résoudre l'inéquation approchée

$$
(1.74) \quad \langle \lambda_m - \mu, G(y(\lambda_m)) \rangle \ge 0 \quad \forall \mu \in \Lambda_m .
$$

Soit donc $L'_m$ l'espace de dimension $\le m$ contenant $K_m$, que l'on munit
d'une structure hilbertienne $[\cdot, \cdot]$. Donc si $g \in L$ on définit $\pi \in \mathcal{L}(L, L'_m)$

$$
(\varphi, g) = [\varphi, \pi g] \qquad \pi g \in L'_m .
$$

Mais alors (1.74) équivaut à la recherche de $\lambda_m$ vérifiant

$$
(1.75) \qquad \lambda_m = P_m \left[ \lambda_m + \pi G(y(\lambda_m; u(\lambda_m))) \right]
$$

$P_m$ étant l'opérateur de Projection de $L'_m$ sur $\Lambda_m$. Pour prouver l'existence
d'un tel $\lambda_m$ vérifiant (1.75) on applique le Théorème de point fixe de
Bronwer mais pour cela il faut démontrer la continuité de

$$
\lambda \rightarrow P_m \left[ \lambda + \pi G(y(\lambda; u(\lambda))) \right]
$$
cela résulte du

**Lemme 1.4**

L'application

$$ \lambda \rightarrow y(\lambda; u(\lambda)) $$

est continue de L' faible→ faible dans V faible.

Démonstration

Soit $\lambda_n \to \lambda$ dans L' faible→ donc bornée dans L'. La suite $u(\lambda_n)$ donnée par (1.71)' est bornée. Le point important peut alors montrer que la suite

$$ y_n = y(u(\lambda_n); \lambda_n) $$

est bornée.

Or par définition on a

$$ (1.76) \qquad a(y_n, y_n) - 2(f+Bu(\lambda_n), y_n) + j_o(y_n) + \langle \lambda_n, G(y_n) \rangle \le a(z, z) - 2(f+Bu_n, z) + j_o(z) + \langle \lambda_n, G(z) \rangle \quad \forall z \in K $$

En utilisant alors l'hypothèse (1.72) on déduit que

$$ a(y_n, y_n) - 2(f+Bu(\lambda_n), y_n) + j_o(y_n) + (b, y_n) + \beta \le \text{au premier membre de (1.75)} $$

d'où, par des arguments déjà utilisés précédemment, on obtient

$$ y_n \text{ borné dans } V $$

Alors on peut extraire des sous-suites (notées de la même façon)

$$ \begin{cases} u(\lambda_n) & \rightarrow u \text{ dans } u \text{ faible} \\ y_n & \rightarrow y \text{ dans } V \text{ faible} \end{cases} $$

Grâce à l'hypothèse (1.73) on peut alors facilement passer à la limite dans (1.76). Le point final du raisonnement consistant à montrer que :

$$ u = u(\lambda) $$
Pour cela il suffit de voir que si $\lambda_n \to \lambda$ dans L' faible* alors

$y(\lambda_n;v) \to y(\lambda;v)$ dans V fort.

La convergence faible se démontre comme précédemment et la convergence
forte se déduit en remarquant qu'on a :

$$
\begin{align*}
a(y_n - y, y_n - y) &\le 2 a(y, y) + 2(f+Bv, y-y_n) + \langle \lambda_n, G(y) \rangle - \langle \lambda_n, G(y_n) \rangle \\
&\quad - 2 a(y, y_n) + j_o(y) - j_o(y_n)
\end{align*}
$$

et on utilise (1.73).

Fin de la démonstration du Lemme.

Compte tenu des hypothèses faites sur G on obtient donc que

$$
\lambda \to G(y(\lambda))
$$

est continue de L' faible* dans L faible, donc on obtient l'existence
d'un point fixe.

De la suite $\lambda_m$ on peut donc extraire une sous-suite $\lambda_{m'}$ telle que

$$
\lambda_{m'} \to \lambda \text{ dans } L' \text{ faible-}\*
$$

Grâce au Lemme 1.4 on a :

$$
y(\lambda_m', u(\lambda_m,)) \to y(\lambda; u(\lambda))
$$

dans V faible. L'hypothèse (1.73) permet alors de passer à la limite
dans (1.74) :

$$
(\lambda - \mu, G(y(\lambda))) > 0 \quad \forall \mu \in \Lambda_m
$$

L'hypothèse de densité de U Λ_m permet d'achever la démonstration. ■
m≥|

Remarque 1.5

Le théorème précédent ne signifie absolument pas que $u(\lambda)$ est solution
du Problème 1. Le contre exemple suivant le montre:
Soit $y(v) \in \mathbb{R}$ solution de

$$
(1.77) \quad \text{Min}_{\varphi \in \mathbb{R}} \varphi^2 - 2\varphi + 2v \quad |\varphi|
$$

pour $v \in \mathcal{U}_{ad} = [0, +\infty[$

alors $y(v)$ solution de (1.77) est

$$
y(v) = \begin{cases} 1-v & \text{si } v \le 1 \\ 0 & \text{si } v \ge 1 \end{cases}
$$

Posons

$$
J(v) = |y(v)+2|^2 + v^2
$$

Alors le problème

$$
(1.78) \quad \text{Inf}_{v \in \mathcal{U}_{\text{ad}}} J(v)
$$

admet comme solution $u=1$.

Le problème (1.77) sous sa forme dualisée s'écrit

$$
\begin{array}{lll}
\text{Max} & \text{Min} & \varphi^2 - 2\varphi + 2v\mu\varphi \\
\mu \in \Lambda & \varphi \in \mathbb{R} &
\end{array}
$$

avec

$$
\Lambda = [-1, +1]
$$

La condition d'optimalité de $\lambda(v)$ s'écrivant

$$
(1.79) \quad (\lambda(v) - \mu)(2vy(v)) \ge 0 \quad \forall \mu \in \Lambda.
$$

En appliquant les notations du Problème 1* on a

$$
y(\mu; v) = 1 - v \mu
$$

est solution de

$$
\text{Inf}_{\varphi \in \mathbb{R}} \varphi^2 - 2\varphi + 2 v \mu \varphi
$$
et $u(\mu)$ solution de

$$ \inf_{v \in \mathcal{U}_{ad}} |y(\mu;v) + 2|^2 + v^2 $$

est donné par

$$ u(\mu) = \begin{cases} 0 & \text{si } \mu \le 0 \\ \frac{2\mu}{1+\mu^2} & \text{si } \mu \ge 0 \end{cases} $$

d'où

$$ y(\mu; u(\mu)) = \begin{cases} 1 & \text{si } \mu \le 0 \\ \frac{1-2\mu^2}{1+\mu^2} & \text{si } \mu \ge 0 \end{cases} $$

L'inéquation variationnelle donnant $\lambda$ s'écrit

$$ (\lambda - \mu)[2u(\lambda)y(\lambda; u(\lambda))] \ge 0 \quad \forall \mu \in [-1, +1] $$

c'est à dire ou bien

$$ (1.80) \qquad (\lambda - \mu) \left( \frac{1-2\lambda^2}{1+\lambda^2} \right) \ge 0 \qquad \forall \mu \in \Lambda, $$

ou bien

$$ (1.81) \qquad \lambda \in [-1,0] \quad \text{avec } u_{\lambda}=0, y_{\lambda}=1 $$

La solution de (1.80) est

$$ \lambda = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Les solutions possibles de (1.80) et (1.81) sont

$$ \lambda \in [-1,0] \quad \text{et} \quad u(\lambda) = 0 \quad J(u(\lambda)) = 9 $$

$$ \lambda = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{et} \quad u(\lambda) = \sqrt{2} \quad J(u(\lambda)) = 6 $$

Donc la solution du Problème $\lambda^*$ est

$$ \lambda = \frac{\sqrt{2}}{2} \qquad u(\lambda) = \sqrt{2} $$

$u(\lambda)$ n'étant pas le contrôle optimal du Problème (1.78).
Exemple 1.2

On reprend la fonctionnelle de l'exemple 1.1

$$
J(\varphi) = \int_{\Gamma} Z(\varphi(\gamma)) d\gamma
$$

avec

$$
Z(\lambda) = \begin{cases} 0 & \text{si } \lambda \le h \\ \frac{k}{2}(\lambda^2 - h^2) & \text{si } \lambda \ge h \end{cases}
$$

Alors on prend

$$
L=L^1(\Gamma) \quad L'=L^{\infty}(\Gamma)
$$

$$
\Lambda = \{ \mu \in L^{\infty}(\Gamma') \mid 0 \le \mu(\gamma) \le 1 \text{ p.p. sur } \Gamma \}
$$

et

$$
G(\varphi) = \frac{k}{2}(\varphi^2(\gamma) - h^2)
$$

(on a $j_o(\varphi)$ de (1.51) est nulle)

Les hypothèses $D_o$ sont vérifiées. L'hypothèse (1.72) du Théorème 1.4 est
satisfaites car

$$
\langle \lambda, G(\varphi) \rangle \geq - \frac{kh^2}{2} \quad \forall \varphi \in V = H^1(\Omega)
$$

D'autre part si

$$
y_n \to y \text{ dans } V \text{ faible}
$$

d'après la compacité de l'application trace on déduit que

$$
y_n \to y \text{ dans } L^2(\Gamma) \text{ fort}
$$

d'où la propriété(1.73).

Enfin l'espace $L^\infty(\Gamma)$ est séparable muni de la topologie faible* et le
convexe $\Lambda$ étant d'intérieur non vide on peut utiliser, pour démontrer
l'existence d'une solution du Problème 1*, la même démonstration que celle
du Théorème 1.4. $\blacksquare$
II - CONTROLE D'INEQUATIONS D'EVOLUTION PARABOLIQUES.

2.1 RAPPELS SUR LES INEQUATIONS D'EVOLUTION.

Tout ce n° est emprunté à H. BREZIS [1].

On se donne :

i) V espace de Banach réflexif, H un espace de Hilbert tels que
$$V \subset H \subset V'$$

avec injections continues et denses. On désignera par $\| \|_1$ la norme sur $V$ et $\| \|_H$ la norme sur $H$.

ii) Une fonctionnelle convexe $j$ s.c.i. sur $V$ à valeurs dans $]-\infty, +\infty[$ non identiquement égale à $+\infty$ et on pose

$$
(2.1) \qquad D(j) = \{ \varphi \in V \mid j(\varphi) < +\infty \}
$$

Sur $L^P(O,T;V)$ on définit alors une fonctionnelle $j$ par

$$
(2.2) \qquad j(\varphi) = \begin{cases} \int_0^T j(\varphi) dt & \text{si } j(\varphi) \in L^1(O,T;\mathbb{R}) \\ +\infty & \text{sinon} \end{cases}
$$

on pose

$$
(2.3) \qquad D(j) = \{ \varphi \in L^p(O,T;V) \mid j(\varphi) < +\infty \}
$$

on a alors le

Lemme 2.1

La fonctionnelle $j(\varphi)$ définie par (2.2) est convexe s.c.i. sur $L^P(O,T;V)$.
Pour la démonstration cf. BREZIS [1], Appendice I. On se donne de plus A
un opérateur pseudo-monotone de $L^P(O,T;V) \to L^{P'}(O,T;V')$ et borné.

On se propose de résoudre les inéquations variationnelles du type suivant :

$$
(2.4) \qquad \left\{
\begin{array}{ll}
\left(\frac{dy}{dt} + Ay, z-y\right) + j(z) - j(y) \ge (f,z-y) & \quad \forall z \in D(j) \\
y(0) = y_0 &
\end{array}
\right.
$$
Définissons

$$
(2.5) \quad W_p(O,T) = \{\varphi \in L^p(O,T;V) \mid \frac{d}{dt} \in L^{p'}(O,T;V')\}
$$

Nous donnons maintenant deux résultats d'existence de solutions, le second
étant celui qui sera utile par la suite.

**Proposition 2.1**

Soit $A : \overline{D(j)} \to L^{p'}(O,T;V')$ un opérateur pseudo-monotone et borné.

On suppose qu'il existe $\varphi_o \in D(j) \cap W_p(O,T)$ tel que

$$
\lim_{\substack{\|\varphi\| \to \infty \\ \varphi \in D(j)}} \frac{\int_0^T (A\varphi, \varphi - \varphi_o) dt + j(\varphi)}{\|\varphi\|} = +\infty
$$

Alors pour tout $f \in L^{p'}(O,T;V')$ et tout $y_o \in \overline{D(j)}^H$ (1)
il existe

$$
y \in D(j) \cap C([0,T];H)
$$

vérifiant

$$
(2.7) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
  \displaystyle \int_0^T \left( \frac{dz}{dt} + Ay - z-y \right) dt + g(z) - g(y) \ge \int_0^T (f, z-y) - \frac{1}{2} |z(0)-y_0|^2 \\[1em]
  \quad \forall z \in D(j) \cap W_p(O,T).
\end{array}
\right.
\qquad \blacksquare
$$

**Remarque 2.1**

On a vu au (n°1 Hypothèse H1) qu'une propriété de compacité était nécessaire lorsqu'on voulait obtenir un contrôle optimal. Le résultat de la Proposition 3.1 n'est donc pas suffisant car il ne donne pas d'estimation sur $\frac{dy}{dt}$. ■

Remarque 2.2

On trouvera dans TREMOLIERES [ 1] Chap. III un résultat du même type
que ci-dessus. ■

**Proposition 2.2**

On suppose maintenant que $V$ est un espace de Hilbert et $A$ opérateur linéaire symétrique de $V \to V'$, coercif :

$$
(1) \quad \overline{D(j)}^H = \text{adhérence de } D(j) \text{ dans } H.
$$
$$
(2.8) \qquad (A\varphi, \varphi) \geq \alpha \|\varphi\|^2.
$$

Soit f donné dans $L^2(0,T;H)$ et $y_o$ donné dans $D(j)$ ($\mathcal{L}$) alors il existe une fonction unique $y \in C([0,T];V)$ telle que

$$
(2.9) \qquad \frac{dy}{dt} \in L^2(0,T;H)
$$

et vérifiant

$$
(2.10) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\frac{dy}{dt} \text{, } z-y) + (Ay,z-y) + j(z) - j(y) \ge (f,z-y) & \text{p.p. sur } 0,T \text{,} \\
y(0) = y_o & \forall z \in D(j)
\end{array}
\right.
$$

de plus on a

$$
(2.10)' \quad \left| \frac{dy}{dt} \right|^2 + \frac{d}{dt} \left[ \frac{1}{2}(Ay,y) + j(y) \right] = (f, \frac{dy}{dt}) \quad \text{p.p. sur } [0,T]
$$

Démonstration Corollaire II.2 p.92 dans BREZIS $[1]$.

Remarque 2.3

On obtient bien ainsi une solution "forte" du Problème (2.4); On trouve
vera dans DUVAUT-LIONS $[1]$ un résultat du même type :

$$
f, f' \in L^2(0, T; V') \Rightarrow \begin{cases} y \in L^2(0, T; V) & \text{et} \\ y' \in L^2(0, T; V) \cap L^\infty(0, T; H). & \end{cases} \blacksquare
$$

2.2 LE PROBLEME DE CONTROLE.

On se place dans les hypothèses et notations de la Proposition 3.2. Soit
$\mathcal{U}$ un espace de Hilbert, $\mathcal{U}_{\text{ad}}$ convexe fermé de $\mathcal{U}$ et

$$
(2.11) \qquad B \in \mathcal{L}(\mathcal{U}; L^2(0,T;H)).
$$

On définit alors le

Problème $P_0$

Pour $v$ donné dans $\mathcal{U}$, on cherche $y(v)$ tel que

<footnote>(1) Par abus de notation on écrit encore $j$ définie maintenant sur l'espace de Hilbert $V$.</footnote>
$$
(2.12) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \left( \frac{d}{dt} y(v) + Ay(v), z-y(v) \right) + j(z) - j(y(v)) \ge (f, z-y(v)) \\[1em]
\quad \forall z \in D(j).
\end{array}
\right.
$$

D'après la Proposition 3.2 le **Problème P**<sub>o</sub> admet une solution unique
y(v) ∈ C([0,T];V) vérifiant (2.9).

Soit maintenant $\mathcal{H}$ un espace de Hilbert, $z_d$ donné dans $\mathcal{H}$,
$C \in \mathcal{L}(L^2(0,T;V); \mathcal{H})$ et $N \in \mathcal{L}(u;u)$.

On définit

$$
(2.13) \quad J(v) = \|Cy(v) - z_d\|_{\mathcal{H}}^2 + (Nv,v)
$$

avec $y(v)$ solution de (2.12). On pose alors le

Problème P₁

Trouver $u \in u_{ad}$ tel que

$$
J(u) \le J(v) \quad \forall v \in u_{ad}.
$$

on a alors le

Théorème 2.1

Sous les hypothèses de la Proposition 2.2 et sous l'une des deux hypo-
thèses suivantes :

$$
(2.14) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\text{i)} & u_{ad} \text{ est borné,} \\
\text{ii)} & N \text{ vérifie } (Nv,v) \ge \alpha \|v\|^2 \quad \forall v \in u_{ad}.
\end{array}
\right.
$$

alors le **Problème P**₁ admet au moins une solution.

Démonstration
---

Soit $v_n$ une suite minimisante. Posons $y_n=y(v_n)$. On a

$$
(2.15) \quad (y_n' + Ay_n, z - y_n) + j(z) - j(y_n) \ge (f + Bv_n, z - y_n)
$$

en intégrant de 0 à t ce qui est loisible d'après la Proposition 3.3,on
obtient
$$
\frac{1}{2}|y_n(t) - z|^2 + \int_0^T (A(y_n-z), y_n-z) dt \le \int_0^T [j(z) - j(y_n)] dt + \\
+ \int_0^T (f+Bv_n, z-y_n) dt + \int_0^T (Az, z-y_n) dt + \frac{1}{2}|y(0) - z|^2
$$

D'où en utilisant la coercivité et le fait que $v_n$ est borné on a

$$
\alpha \int_0^T \|y_n - z\|^2 dt \le \int_0^T [j(z) - j(y_n)] dt + C_1 \int_0^T |z - y_n|^2 dt + \\
+ \int_0^T \|Az\|_* \|z - y_n\| dt + \frac{1}{2} |y(0) - z|^2
$$

En utilisant le fait que *g*(*φ*) définie par (2.2) est une fonction convexe
sur L²(0,T;V) et la propriété (1.14) des fonctions convexes on déduit
immédiatement de (2.16) (en divisant par ||y_n - z||² L²(0,T;V)) que :

$$
(2.17) \qquad y_n \text{ est borné dans } L^2(0,T;V)
$$

on peut donc extraire des sous-suites telles que :

$$
y_n \to y \text{ dans } L^2(0,T;V) \text{ faible}
$$

$$
v_n \to u \text{ dans } u \text{ faible.}
$$

Le Problème est alors d'obtenir une estimation sur y'.

D'après la Proposition 2.2 on sait que les expressions

$$
Z(y_n) = (Ay_n, y_n) + j(y_n) \in C[0,T],
$$

et sont bornée inférieurement sur (0,T) d'où en intégrant (2.10)'
on obtient

$$
\int_0^T \left| \frac{dy_n}{dt} \right|^2 dt + \frac{1}{2} Z(y_n(T)) = \int_0^T \left( f, \frac{dy_n}{dt} \right) dt + \frac{1}{2} Z(y_n(0))
$$

d'où

$$
(2.18) \qquad \frac{dy_n}{dt} \text{ est borné dans } L^2(0,T;H)
$$
En appliquant le Lemme de compacité de LIONS[1] Théorème 5.1 chap 1,
on obtient

$$
y_n \to y \text{ dans } L^2(0,T;H) \text{ fort}
$$

et

$$
\frac{dy_n}{dt} \rightarrow \frac{dy}{dt} \text{ dans } L^2(0,T;H) \text{ faible}
$$

on peut donc passer à la limite dans (2.15) et on obtient

$$
y = y(u).
$$

La fin de la démonstration est analogue à celle de la Proposition 1.2. ■

Exemple 2.1

Reprenons la fonctionnelle $j(\varphi)$ définie du §I :

$$
V = H^1(\Omega), H=L^2(\Omega), \text{ et pour } \varphi \in V \text{ on définit}
$$

$$
(2.19) \qquad j(\varphi) = \int_{\Gamma} Z[\varphi(\gamma)] d\gamma
$$

avec

$$
Z(\lambda) = \begin{cases} 0 & \text{si } \lambda \le h \\ \frac{k}{2}(\lambda^2 - h^2) & \text{si } \lambda \ge h \end{cases}
$$

Alors $D(j) = V$.

Prenons

$$
(2.20) \qquad (A\varphi, \psi) = \int_{\Omega} \operatorname{grad} \varphi \cdot \operatorname{grad} \psi \, dx + \int_{\Omega} \varphi \cdot \psi \, dx.
$$

Prenons par exemple :

$$
(2.21) \qquad u = L^2(0,T;H) \quad \text{et} \quad B = \text{b.I} \quad (I = \text{identité de } \mathfrak{U})
$$

En prenant $y_o$ dans $V$ les hypothèses de la Proposition 2.2 sont satis-
faites et la solution $y(v)$ de (2.12) peut s'interpréter de la façon suivante
$y(v)$ est solution de
$$
(2.22) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial t} - \Delta y + y = f + b \cdot v & \\
\\
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial n} = & \begin{cases} 0 & \text{si } y \le h \\ -ky & \text{sinon} \end{cases} \\
\\
y(0) = y_0
\end{array}
\right.
$$

Si nous introduisons la fonctionnelle

$$
(2.23) \quad J(v) = \int_0^T \int_\Gamma |y-z_d|^2 d\Gamma \, dt + \int_0^T |v(t)|^2 dt
$$

on obtient l'existence d'un contrôle optimal par application du Théorème 2.1.

2.3 LA REGULARISATION.

Les hypothèses sont les suivantes :

i) Il existe une suite $j_\varepsilon(\cdot)$ de fonctionnelles convexes sur V de classe $C^2$ telle que $D(j) = D(j_\varepsilon) \forall \varepsilon$ et satisfaisant

$$
(2.24) \quad j_{\varepsilon}(\varphi) + (A\varphi, \varphi) \geq \beta \quad \forall \varphi \in V \quad \text{indépendant de } \varepsilon
$$

$$
(2.25) \quad \lim_{\epsilon \to 0} j_{\epsilon}(\varphi) = j(\varphi) \quad \forall \varphi \in V
$$

ii) Si $y_{\varepsilon} \to y$ dans $L^2(0,T;V)$ faible lorsque $\varepsilon \to 0$ alors

$$
(2.26) \quad \int_0^T j(y(t))dt \le \liminf_{\epsilon \to 0} \int_0^T j_\epsilon(y_\epsilon(t))dt
$$

iii) Il existe une suite $z_\varepsilon$ bornée dans V telle que

$$
(2.27) \qquad j'(z_{\varepsilon}) = 0
$$

Définissons alors le

Problème POε

Trouver $y_{\varepsilon}(v)$ solution de

$$
(2.28) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{dy_\epsilon}{dt} - z - y_\epsilon + (Ay_2, z - y_\epsilon) + j_\epsilon(z) - j_\epsilon(y) \ge (f+Bv, z - y_\epsilon) & \\
\\
y_\epsilon(0) = y_0
\end{array}
\right.
$$
En prenant k suffisamment petit et en appliquant l'inégalité de Gronwall
on obtient

$$
(2.31) \qquad y_{\varepsilon} \text{ est borné dans } L^{\infty}(O,T;H) \cap L^2(O,T;V)
$$

2) Estimation sur $\displaystyle \frac{dy_\varepsilon}{dt}$

On utilise la relation (2.10)' de la proposition 2.2.

On a

$$
(2.32) \quad \left| \frac{dy_\epsilon}{dt} \right|^2 + \frac{d}{dt} \left[ \frac{1}{2} (Ay_\epsilon, y_\epsilon) + j_\epsilon(y_\epsilon) \right] = \left( f + Bu_\epsilon, \frac{dy_\epsilon}{dt} \right)
$$

On intègre (2.32) sur (0,T) et on utilise (2.24)

$$
\int_0^T \left| \frac{dy_\varepsilon}{dt} \right|^2 \le \beta + \int_0^T \left( (f+Bu_\varepsilon, \frac{dy_\varepsilon}{dt}) \right) dt + \frac{1}{2} A(y_\varepsilon(0), y_\varepsilon(0)) + j_\varepsilon(y_\varepsilon(0))
$$

Comme $Bu_\epsilon$ est borné dans $L^2(0,T;H)$ et $y_\epsilon(0) = y(0) \in D(j)$ on déduit immédiatement que

$$
(2.31) \qquad \frac{dy_\epsilon}{dt} \quad \text{est borné dans} \quad L^2(0,T;H).
$$

2) Passage à la limite

Des estimations (2.31) et (2.33) on tire immédiatement qu'il existe
des sous-suites :

$$
(2.32) \quad \left\{
\begin{array}{l@{\quad \rightarrow \quad}l}
u_{\epsilon'} & \text{u dans } \mathcal{U} \text{ faible} \\
y_{\epsilon'} & \text{y dans } L^2(0,T;H) \text{ fort et } L^2(0,T;V) \text{ faible}
\end{array}
\right.
$$

Utilisons alors la formulation faible de l'inéquation (2.28) :

$$
(2.33) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{\quad}l}
\displaystyle \int_0^T \left( \frac{dz}{dt} ; z - y_\epsilon \right) + \int_0^T (Ay_\epsilon, z - y_\epsilon) + j_\epsilon(z) - j_\epsilon(y) \ge (f+Bu_\epsilon, z - y_\epsilon) - \frac{1}{2} |z(.) - y_\epsilon|_\infty^2 & \\
\forall z \in D(g) \cap W_2(0,T) \quad (1) \\
\phantom{\forall z \in D(g) \cap W_2(0,T) \quad (1)} &
\end{array}
\right.
$$

Les estimations (2.32) et l'hypothèse (2.26) permettent de passer à la li-
mite dans (2.33) et on obtient finalement

(1) Nous rappelons que

$$
\langle \varphi \rangle = \int_0^T j(\varphi) dt \quad \mathcal{D}(g) = \{ \varphi \in L^2(0,T;V) ; g(\varphi) < +\infty \}
$$
$$ \int_0^T \left( \frac{dz}{dt} \bigg|_{z=y} dt + \int_0^T (Ay, z-y) + g(z) - g(y) \ge (f+Bu, z-y) - \frac{1}{2} |z(0) - y_0|^2 \right) dy $$

Compte tenu des hypothèses faites cette solution est également solution forte au sens de (2.28).

D'où $y = y(u)$

La fin de la démonstration du Théorème se fait comme celle du Théorème 1 on commence par démontrer que

$$ y_{\varepsilon}(v) \to y(v) \quad \text{dans} \quad L^2(0,T;V) \quad \text{fort lorsque} \quad \varepsilon \to 0 $$

ce qui permet de passer à la limite dans l'expression

$$ \| Cy_{\varepsilon}(u_{\varepsilon}) - z_{d} \|_{H}^{2} + (Nu_{\varepsilon}, u_{\varepsilon}) \le \| Cy_{\varepsilon}(v) - z_{d} \|_{H}^{2} + (Nv, v) \quad \blacksquare $$

### Exemple 2.2

On reprend l'exemple 2.1 et on approche $j(\varphi)$ par $j_{\varepsilon}(\varphi)$ comme au n°1.2 L'hypothèse (2.24) se vérifie facilement car

$$ j_{\varepsilon}(\varphi) + (A\varphi, \varphi) \ge 0 \quad \forall \varphi \in V. $$

La propriété (2.26) se vérifie de la même façon que l'hypothèse (1.18) du n°1.2. ■

### Remarque 2.4

Compte tenu des hypothèses faites sur les fonctionnelles $j_{\varepsilon}$ on peut introduire les équations adjointes du Problème $P_{j\varepsilon}$ :

$$ (2.34) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \left(-\frac{dp_{\varepsilon}}{dt}, \varphi\right) + (A p_{\varepsilon}, \varphi) + (j''(y_{\varepsilon})^* p_{\varepsilon}, \varphi) = C^* \Lambda(Cy_{\varepsilon} - z_d) \\[1em] \displaystyle p_{\varepsilon}(T) = 0 \qquad \forall \varphi \in V \end{array} \right. $$

La condition d'optimalité de $u_{\varepsilon}$ s'écrivant

$$ (\Lambda^{-1} B^* p_{\varepsilon} + N u_{\varepsilon}, v - u_{\varepsilon}) \ge 0 \quad \forall v \in u_{ad} $$

Comme on l'a déjà remarqué pour les Problèmes elliptiques on a :

$$ p_{\varepsilon} \text{ borné dans } L^2(0,T;V) \cap L^{\infty}(0,T;H) \text{ lorsque } \varepsilon \to 0. \quad \blacksquare $$
Remarque 2.5

On pourrait comme dans le cas elliptique étudier la pénélisation puis
la dualité appliqués à ce type de problème mais nous ne le ferons pas ici
car les méthodes sont du même type, à quelques détails techniques près. ■
### III - UN PROBLEME PROVENANT DE LA BIOCHIMIE.

#### 3.1 UN EXEMPLE MODELE.

Il s'agit d'une légère généralisation des exemples déjà donnés dans les
§I et II.

Soit $\Omega = ]0,1[ \text{ et } T > 0 \text{ fixé.}$

On pose

$$V = H'(\Omega) \qquad H = L^2(\Omega)$$

$$Q = \Omega \times ]0,T[ \qquad \Sigma = ]0,T[ \times ]0,T[ .$$

Pour $v$ donné dans $L^2(\Omega) = L^2(0,T;H)$, on cherche $y(v)$ solution de

$$(3.1) \qquad \frac{\partial y}{\partial t} - \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} + \sigma \frac{y}{1+|y|} = v \qquad \sigma > 0$$

$$(3.2) \qquad \begin{cases} -\frac{\partial y}{\partial x}(0,t) + R(y(0,t)) = 0 \\ \frac{\partial y}{\partial x}(1,t) + R(y(1,t)) = 0 \end{cases}$$

$$(3.3) \qquad y(x,0) = y_o(x) \text{ donné dans } V$$

avec

$$(3.4) \qquad R(\lambda) = \begin{cases} 0 & \text{si } \lambda > h \\ k\lambda & \text{si } \lambda < h \end{cases}$$

Le Problème (3.1)...(3.4) se reformule de la façon suivante :

**Problème 0**

Trouver $y \in L^2(0,T;V)$ solution de :

$$(3.5) \qquad \begin{cases} \frac{dy}{dt} + Ay + zy - j(z) - j(y) \geq (v,z-y) \\ y(0) = y_o \qquad \forall z \in V \end{cases}$$

où $A \in \mathcal{L}(V;V')$ est donné par

$$(3.6) \qquad (A\varphi, \psi) = \int_{\Omega} \frac{\partial \varphi}{\partial x} \frac{\partial \psi}{\partial x} dx$$
et

$$
(3.7) \quad j(\varphi) = Z(\varphi(0)) + Z(\varphi(1)) + \int_{\Omega} \{|\varphi| - \operatorname{Log}(1+|\varphi|) \} dx
$$

Avec

$$
(3.8) \quad Z(\alpha) = \begin{cases} 0 & \text{si } \alpha \le h \\ \frac{k}{2}(\alpha^2 - h^2) & \text{si } \alpha \ge h. \end{cases}
$$

Remarque 3.1

On peut donc appliquer la Proposition 2.2 avec cependant la difficulté
suivante : l'hypothèse (2.8) n'est pas vérifiée mais quelque soit $\lambda > 0$
on a

$$
(3.9) \quad (A\varphi,\varphi) + \lambda |\varphi|^2 \ge \alpha |\varphi|^2 \quad \forall \varphi \in V
$$

Or on peut montrer (cf. BREZIS [1] Remarque II.5) qu'en prenant pour espace
pivot L²(O,T;H) muni du produit scalaire

$$
\int_{0}^{T} (\varphi, \psi) e^{-2\lambda t} dt
$$

que la démonstration d'existence sont valables avec l'hypothèse (3.9). ■

On considère la fonction coût suivante

$$
(3.10) \quad J(v) = \int_0^T \left| \frac{\partial y}{\partial x}(0,t;v) - z_0(t) \right|^2 dx + \int_0^T \left| \frac{\partial y}{\partial x}(1,t;v) - z_1(t) \right|^2 dt + \\
\qquad + v \int_Q |v(x,t)|^2 dx dt.
$$

Remarque 3.2

On peut montrer (BREZIS loc. cit.) que $y(v)$ solution de (3.5)
est dans $L^2(O,T;H^2(\Omega))$ ce qui donne bien un sens à (3.10). $\blacksquare$

On a donc le

Théorème 3.1

Sous les hypothèses et notations précédentes il existe $u \in u_{ad}$
convexe fermé de $u = L^2(Q)$ réalisant
$$
J(u) = \inf_{v \in \mathcal{U}_{ad}} J(v) .
$$

Les résultats numériques de ce Problème sont donnés au n°3. ■

3.2 LE PROBLEME BIOCHIMIQUE.

Le modèle représente une réaction enzymatique dans un tissu cellulaire
réaction symbolisée par le schéma

$$
\text{substrat} + \text{activateur} \rightarrow \text{produit}
$$

La membrane ayant une épaisseur très petite par rapport aux autres
dimensions le phénomène est régit par des équations faisant intervenir
une seule dimension d'espace.

Les équations du système sont les suivantes :

Concentration de l'activateur :

$$
(3.11) \qquad \frac{\partial a}{\partial t} - \frac{\partial^2 a}{\partial x^2} = 0 \qquad x \in \Omega = ]0,1[ \quad t \in ]0,T[
$$

$$
(3.12) \qquad \left\{ \begin{array}{l} a(0,t) = v_o(t) \\ a(1,t) = v_1(t) \end{array} \right. \qquad \text{contrôle} \qquad \sigma > 0
$$

$$
(3.13) \qquad a(n,0) = 0
$$

Concentration du substrat

$$
(3.14) \qquad \frac{\partial s}{\partial t} - \frac{\partial^2 s}{\partial x^2} + \sigma \frac{a}{1+|a|} \cdot \frac{s}{1+|s|} = 0
$$

$$
(3.15) \qquad \begin{cases} s(0,t) = \alpha \\ s(1,t) = \beta \end{cases}
$$

$$
(3.16) \qquad s(x,0) = 0
$$
Concentration du produit

$$
(3.17) \qquad \frac{\partial p}{\partial t} - \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} = \sigma \frac{a}{1+|a|} \cdot \frac{s}{1+|s|}
$$

$$
(3.18) \quad \left\{
\begin{array}{l}
- \frac{\partial p}{\partial x}(0,t) + R(p(0,t)) = 0 \\
\\
\frac{\partial p}{\partial x}(1,t) + R(p(1,t)) = 0
\end{array}
\right.
$$

avec

$$
(3.19) \qquad R(\lambda) = \begin{cases} 0 & \text{si } \lambda < h \\ k\lambda & \text{si } \lambda > h \end{cases} \qquad h > 0
$$

$$
(3.20) \qquad p(x,0) = 0
$$

**<u>Proposition 3.1</u>**

Dans les équations (3.12) on prend $v_o$ et $v_l$ dans $u_{ad}$ avec

$$
(3.21) \qquad u_{\text{ad}} = \{ v \in L^{\infty}(0,T) \mid 0 \le v(t) \le M \ p.p. \}
$$

alors il existe une solution $(a(v), s(v), p(v))$ unique.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de l'existence d'une solution aux équations
(3.11)...(3.16) [cf. KERNEVEZ [1]] et de la Proposition 2.2 ■

Définissons la fonction coût par

$$
(3.22) \quad J(v) = \int_0^T \left| \frac{\partial p}{\partial x} (0,t) + z_o(t) \right|^2 dt + \int_0^T \left| \frac{\partial p}{\partial x} (1,t) - z_l(t) \right|^2 dt \\
\text{et le} \\
\underline{\text{Problème } P}_l
$$

On définit toujours $u_{ad}$ par (3.21) et on cherche $u \in u_{ad}$ satisfaisant
$$ J(u) \le J(v) \quad \forall v \in u_{ad} $$

**Proposition 3.2**

Le Problème $P_1$ admet une solution $u$ au moins.
Démonstration

Soit $v_n$ une suite minimisante et posons

$$
a_n = a(v_n), \ s_n = s(v_n), \ p_n = p(v_n)
$$

et

$$
S(a,s) = \sigma \frac{a}{1+|a|} \cdot \frac{s}{1+|s|}
$$

Le point à démontrer est que

$$
(3.23) \quad S(a_n, s_n) \rightarrow S(a(v), s(v)) \quad \text{dans } L^2(Q).
$$

En appliquant les techniques classiques sur ce type de problème (cf. KERNEV loc. cit. PENEL et BRAUNER [1] ) On déduit (après extraction éventuelle de sous-suites) que

$$
v_n \to v \text{ dans } L^\infty(0,T)\text{faible } *
$$

$$
a_n \to a(v) \text{ dans } L^2(Q) \text{ fort}
$$

$$
s_n \to s(v) \text{ dans } L^2(Q) \text{ fort}
$$

d'où (3.23).

La démonstration s'achève en utilisant le théorème 2.1.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
# IV - <u>RESULTATS NUMERIQUES.</u>

## 4.1 L'exemple modŁle (n°3.1)

C'est sur cet exemple qu'ont ØtØ comparØes les mØthodes de dualitØ et
de rØgularisation. L'application des mØthodes de dualitØ et de rØgularisation
est immédiate comme on l'a dØjà montrØ sur les exemples 1.1, 1.2, etc...

### A - <u>DUALITE.</u>

Il faut adapter ici ce qui a ØtØ exposØ dans le cas stationnaire.

Pour cela on introduit :

$$L = L^1(0,T) \times L^1(0,T).$$

$$\Lambda = \{ (\mu_o, \mu_l) \in L^\infty(0,T) \mid 0 \le \mu_i(t) \le 1 \text{ p.p. } i=0,1 \}$$

Alors pour $\mu$ fixØ dans $\Lambda$ on considŁre le problŁme de contrôle suivant :

<u>Equation d'Øtat</u>

$$ (4.1) \quad \left\{ \begin{aligned} \frac{\partial y}{\partial t} - \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} + \sigma \frac{y}{1+|y|} &= v \\ -\frac{\partial y}{\partial x}(0,t) + \mu_o(t)k y(0,t) &= 0 \\ \frac{\partial y}{\partial x}(1,t) + \mu_l(t)k y(1,t) &= 1 \end{aligned} \right. $$

<u>CritŁre</u>

$$ (4.2) \quad \left\{ \begin{aligned} J_{\mu}(v) = & \int_{0}^{T} \left| \frac{\partial y}{\partial x} (0,t;v;\mu) - z_{o}(t) \right|^{2} dx dt + \int_{0}^{T} \left| \frac{\partial y}{\partial x} (1,t;v;\mu) - z_{l}(t) \right|^{2} dx dt + \\ & + v \int_{Q} |v(x,t)|^{2} dx dt \end{aligned} \right. $$

avec $y(x,t;v;\mu)$ solution de (4.1)

La rØsolution de ce problŁme fournit un contrôle optimal $u(\mu)$ auquel correspond l’Øtat $y(\mu)$.
Pour satisfaire les conditions d'optimalité en $\lambda$ on utilise alors
un algorithme type UZAWA (cf. par exemple UZAWA-ARROW-URWICZ[ 1 ],
CEA-GLOWINSKI [1] ).

On génère par récurrence une suite $\lambda^n$ par la relation

$$
(4.3) \qquad \lambda^{n+1} = \operatorname{Proj}_{\Lambda} \{ (\lambda_o^n + \rho A_o^n), (\lambda_1^n + \rho A_1^n) \}
$$

avec

$$
(4.4) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
A_1^n = \frac{k}{2} [y^2(0,t;\lambda^n) - h^2] \\[1em]
A_2^n = \frac{k}{2} [y^2(1,t;\lambda^n) - h^2] \\[1em]
\rho \text{ constante positive.}
\end{array}
\right.
$$

La convergence (non démontrée) de cet algorithme est assez rapide (de 5 à
8 itérations suivant les cas).

Nous avons représenté sur la Figure 1, le type de résultat obtenu sur
l'état avec v=0.

B - LA REGULARISATION.

Comme il est classique dans ce type de méthode, il faut utiliser un
algorithme itératif en $\varepsilon$. Le nombre d'itérations est beaucoup plus élevé
qu'en dualité (au total 30 ou 40 itérations). Cependant on aboutit à des
résultats meilleurs.

La figure 2 représente les états optimaux obtenus sur le même problème
par dualité et par régularisation. Les valeurs du coût optimal obtenues
sont les suivantes :

$$
\begin{array}{l}
\text{dualité : } 4,2 \ 10^{-2} \\
\text{régularisation : } 4 \ 10^{-3}
\end{array}
$$

Le caractère _sous optimal_ de la dualité est assez bien illustré par ce
résultat.
## 4.2 LE PROBLEME BIOCHIMIQUE

Compte-tenu du caractère nettement sous-optimal des méthodes de dualité, nous avons utilisé une technique de régularisation pour résoudre le problème de biochimie du §3.2.

Comme nous l'avons déjà dit on utilise des valeurs de $\epsilon$ en commençant par $\epsilon = 10^{-1}$ et prenant à $\epsilon = 10^{-5}$, les figures 4 et 5 représentent respectivement le contrôle et la trace de l'état (i.e. $p(o,t)$) pour les deux valeurs extrêmes de $\epsilon$.

La figure 6 donne le graphe de l'observation, c'est-à-dire $\frac{\partial y}{\partial x}(o,t)$, correspondant au contrôle de la figure 4 avec $\epsilon = 10^{-5}$.

Les valeurs numériques utilisées pour cet exemple sont les suivantes :

$$ 
\begin{array}{l}
\sigma = 700 \\
k = 1 \\
h = 0,5 \\
\nu = 0
\end{array}
 $$

## 4.3 REMARQUES GENERALES

L'étude de l'état adjoint des problèmes régularisés n'a pas été abordée. Pour des résultats dans ce domaine cf. MIGNOT F. [1].

D'autre part pour un exemple numérique utilisant la pénalisation voir SAGUEZ [1].

Enfin d'autres approches possibles de ces problèmes intervenant en contrôle stochastique voir BENSOUSSAN-LIONS [1], QUADRAT [1].
PROBLEME MODELE

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
PROBLEME MODELE

Etat désiré

Figure 2

Régularisation ($\epsilon = 10^{-4}$)

Dualité

<figure><img src="image_4.png" /></figure>
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>PROBLEME BIOCHIMIQUE ETAT
Figure 3</figcaption></figure>
PROBLEME DE BIOCHIMIE : CONTROLE

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 4</figcaption></figure>
<figure><img src="image_7.png" /></figure>

PROBLEME DE BIOCHIMIE : OBSERVATION

État atteint (ε = 10⁻⁵)

Figure 6

État désiré
BIBLIOGRAPHIE

ARROW-HURWICZ-UZAWA (1) Studies in linear and non linear programming
Stanford University press (1958).

A. BENSOUSSAN-J.L. LIONS (1) Notes au C.R.A.S. 1973.

A. BENSOUSSAN-P. KENNETH (1) "Analogie entre régularisation et pénalisation"
R.I.R.O. 13 (1969).

D. BEGIS-R. GLOWINSKI (1) "Dual numerical methods for some variational problems and application to an optimal control problem in thin plates theory."
Techniques of optimization. Acad. Press (1972).

P. PENEL-M. BRAUNER (1) Thèse de 3ème Cycle Paris (1971)

H. BREZIS (1) "Problèmes unilatéraux."
J. Math pures et appliquées n°51 (1972)

J. CEA-R. GLOWINSKI- J.C. NEDELEC (1) "Minimisation de fonctionnelles non différentiables."
Proceedings of the Dundee Num. Anal. Symposium (1971)

G. DUVAUT-J.L. LIONS (1) Inéquations en mécanique et en physique.
Dunod Paris (1972)

J.P. KERNEVEZ (1) Thèse Paris (1971)

J.L. LIONS (1) Quelques méthodes de résolution de problèmes non linéaires
Dunod Paris 1969).

J.L. LIONS (2) Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles
Dunod Paris (1968).

J.L. LIONS-G. STAMPACCHIA (1) "Variational inequalities."
Comm. on pure and applied math. Vol XX pp. 439-519 (1967)

F. MIGNOT (1) Séminaire LIONS-BREZIS Paris 1972-1973.

J.P. QUADRAT (1) A paraître.

C. SAGUEZ (1) Rapport LABORIA (à paraître).

R. TREMOLIERES (1) Thèse Paris 1972.