# Modélisation de la propagation de délaminage dans les matériaux composites en présence d'endommagement intralaminaire par des éléments d'interface

Cédric Huchette, Thomas Vandellos, Nicolas Carrère

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Cédric Huchette, Thomas Vandellos, Nicolas Carrère. Modélisation de la propagation de délaminage dans les matériaux composites en présence d'endommagement intralaminaire par des éléments d'interface. 9e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2009, Giens, France. hal-01408411

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# Modélisation de la propagation de délaminage dans les matériaux composites en présence d'endommagement intralaminaire par des éléments d'interface

C. Huchette¹, T. Vandellos¹, N. Carrère¹

¹ ONERA – Département Matériaux et Structures Composites

BP 72, F-92322 Châtillon Cedex

{cedric.huchette,Thomas.Vandellos,nicolas.carrere}@onera.fr

**Résumé** – Dans ce travail, un modèle utilisant une formulation non locale est proposé afin de simuler par éléments finis la propagation du délaminage à l'endommagement des plis adjacents constaté lors d'une récente campagne expérimentale. Une confrontation essais/simulation permet une validation partielle des lois de comportements (du pli et de l'interface) présentées.

**Mots clés** – Composite à matrice organique, délaminage, endommagement

## 1 Introduction

L'endommagement et la rupture des matériaux composites sont conduits par des mécanismes complexes et souvent couplés. Par exemple, le délaminage reste à l'heure actuelle un point dur du point de vue de la compréhension du phénomène physique. En particulier, plusieurs études théoriques [4,6] soulignent que la présence de microdélaminage en pointe de fissure transverse peut avoir un effet sur la propagation du délaminage (couplages).

Afin de démontrer expérimentalement ce couplage, mais surtout permettre de proposer une méthode d'identification des paramètres de modèle prenant en compte ces phénomènes, une approche expérimentale a été proposée et mise en œuvre récemment à l'Onera [3]. En effet, les essais classiques de la mécanique de la rupture pour l'étude de la propagation du délaminage (DCB, ENF, ELS,...) se prêtent difficilement à une phase préliminaire d'endommagement de plis par la présence d'amorce de fissure prévue dès la fabrication de l'échantillon. Pour pallier la limitation des essais classiques de propagation de fissure, un protocole expérimental a été proposé. Son principe est illustré schématiquement sur la Figure 1.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1 – Principe de l'essai de traction sur plaque entaillée pour l'étude de la propagation du délaminage en présence d'endommagement dans les plis adjacents</figcaption></figure>

Cet essai est en fait une succession de deux sollicitations de traction. Lors de la première phase, le pli central de l'éprouvette de stratification croisée est endommagé à un niveau désiré en terme de fissuration transverse et de microdélaminage en s'appuyant sur les résultats d'études antérieures [2] pour le matériau utilisé (T700/M21). L'exploitation de ces essais par
une campagne d'essais numériques [3] utilisant (i) des éléments de zones cohésives [9] pour la modélisation de la propagation du délaminage et (ii) le comportement équivalent des plis endommagés, ont permis de démontrer la dégradation des propriétés mécaniques de l'interface en présence d'endommagement intralaminaire (Figure 2).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2 – Evolution de la dégradation des ténacités apparentes en mode I et II de l'interface 0°/90° en fonction de l'endommagement du pli à 90° d'une stratification croisée</figcaption></figure>

Cette étude souligne donc la nécessité de prendre en compte un couplage entre le comportement endommageable du pli et celui de l'interface. Lier le comportement de deux éléments différents dans une simulation par éléments finis n'est cependant pas trivial dans l'approche classique de la méthode des éléments finis. L'utilisation du formalisme non local nous permet un partage de l'information entre les éléments volumiques, simulant le comportement endommageable des plis et ceux surfaciques, simulant le délaminage. Dans une première partie nous présenterons le formalisme de la méthode non locale retenue et détaillerons les modèles de comportement développés et implémentés dans le code ZéBuLoN pour prendre en compte l'influence de l'endommagement des plis sur la propagation du délaminage. Nous démontrerons l'apport de cette formulation par la simulation de l'essai de traction sur éprouvette entaillée dans la deuxième partie de ce travail.

## 2 Modélisation non locale

Les premières approches concernant les méthodes non locales ont été proposées par Pijaudier-Cabot et Bazant [8]. Cependant le formalisme étant difficile à mettre en œuvre dans un code aux éléments finis, nous avons retenu le formalisme à gradient implicite proposé par Peerlings [7] mieux adapté et repris par Germain [1] pour les composites. Cette approche revient à résoudre les équations classiques de la mécanique et d'ajouter aux traditionnelles inconnues nodales, des degrés de liberté supplémentaires dits variables non locales ($f_{nl}$), dont l'évolution est régie par une équation de diffusion les reliant à des variables locales ($f_l$) (calculées en chaque point de Gauss par la loi de comportement) et par une condition de flux nul sur le bord du domaine $\Omega$ :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} f_{nl} - c \nabla^2 f_{nl} = f_l & \text{sur } \Omega \\ \frac{\partial f_{nl}}{\partial n} = 0 & \text{sur } \partial \Omega \end{array} \right. \qquad (1) $$

Ce type de formalisme permet d'éviter les problèmes de dépendance au maillage et de localisation lors de l'usage de loi de comportement adoucissante mais demande l'identification d'un paramètre matériau supplémentaire $c$ correspondant au carré d'une longueur caractéristique. Dans notre approche, nous utilisons ce formalisme plus pour sa facilité de partage de l'information entre élément que pour éviter les problèmes de localisation.
Afin de développer un modèle couplant la propagation du délaminage à l'endommagement des plis adjacents, nous nous sommes basés sur un précédent modèle de pli permettant la prévision du taux de délaminage locale ($\bar{\mu}$) et du taux de fissuration transverse réduit du pli ($\bar{\rho}$) [2]. Connaissant l'endommagement dans les plis adjacents à l'interface et plus particulièrement le taux de délaminage local due au microdélaminage, nous avons défini la variable d'endommagement de l'interface effective $\tilde{\lambda}$ comme :

$$ \tilde{\lambda} = \lambda + \bar{\mu} \qquad (2) $$

avec $\lambda$ la variable d'endommagement classiquement calculée dans la loi de comportement de l'interface et $\bar{\mu}$ le taux de délaminage déterminé à partir du comportement non local des éléments volumiques adjacents à l'interface. Il est donc nécessaire dans une première étape de réécrire le précédent modèle de comportement du pli dans un formalisme non local puis de proposer une formulation non locale du comportement de l'interface.

## 2.1 Modélisation du comportement du pli

Bien que le précédent modèle prenait en compte le comportement viscoélastique du pli, nous considérons le pli, dans une première approche, comme étant élastique isotrope transverse. La matrice de souplesse équivalente associée est définie comme une fonction de taux de fissuration :

$$ \tilde{S} = S^0 + \bar{\rho} \underline{H}_1^\rho + \bar{\rho}^2 \underline{H}_2^\rho $$

avec $S^0$ le tenseur de souplesse initiale du pli et $\underline{H}_i^\rho$ des tenseurs d'effet de l'endommagement définie par la relation suivante :

$$ \underline{H}_i^\rho = \begin{bmatrix} h_{11}^{\rho i} S_{11}^0 & h_{12}^{\rho i} S_{12}^0 & h_{13}^{\rho i} S_{13}^0 \\ h_{21}^{\rho i} S_{21}^0 & h_{22}^{\rho i} S_{22}^0 & h_{23}^{\rho i} S_{23}^0 \\ h_{31}^{\rho i} S_{31}^0 & h_{32}^{\rho i} S_{32}^0 & h_{33}^{\rho i} S_{33}^0 \end{bmatrix} \begin{array}{c} h_{44}^{\rho i} S_{44}^0 \\ h_{55}^{\rho i} S_{55}^0 \\ h_{66}^{\rho i} S_{66}^0 \end{array} $$

Les termes $h_{ij}^{\rho i}$ sont des paramètres identifiés par essais numériques sur cellules périodiques [2]. L'évolution de la variable d'endommagement $\bar{\rho}$ est définie par la relation suivante :

$$ \bar{\rho} = K \sqrt{Y_{\bar{\rho}}} $$

avec $K$ un paramètre matériau et $Y_{\bar{\rho}}$ la variable non locale reliée par la relation (1) à la force thermodynamique $y_{\bar{\rho}}$ calculée localement par la relation suivante :

$$ y_{\bar{\rho}} = \gamma_{\bar{\rho}} \left\langle \sqrt{y_{\rho I}} - \sqrt{y_{\rho I}^S} \right\rangle_+ + (1 - \gamma_{\bar{\rho}}) \left\langle \sqrt{y_{\rho II}} - \sqrt{y_{\rho II}^S} \right\rangle_+ $$

avec $\gamma_{\bar{\rho}}$ un paramètre matériau permettant le couplage de mode, $y_{\rho I}^-$ et $y_{\rho II}^-$ les forces thermodynamiques pour le mode I et II, et $y_{\rho I}^S$ et $y_{\rho II}^S$ les seuils d'amorçage de
l'endommagement pour les mode I et II. $y_{\rho I}^{-}$, $y_{\rho II}^{-}$, $y_{\rho I}^{S}$ et $y_{\rho II}^{S}$ sont définis par les équations suivantes :

$$ \left\{ \begin{array}{l} y_{\rho I}^{-} = \frac{h_{22}^{\rho I}}{2} C_{22}^{0} \langle \epsilon_{22} \rangle_{+}^{2} \quad \text{et} \quad \left\{ \begin{array}{l} y_{\rho I}^{S} = \max \left[ \frac{y_{o_I}^{E}}{h}, y_{o_I}^{\sigma} \right] \\ y_{\rho II}^{S} = \max \left[ \frac{y_{o_{II}}^{E}}{h}, y_{o_{II}}^{\sigma} \right] \end{array} \right. \\ y_{\rho II}^{-} = h_{66}^{\rho I} C_{66}^{0} \epsilon_{12}^{2} \end{array} \right. \quad (3) $$

On remarquera que la relation (3) permet de prendre en compte les effets d'épaisseur classiquement constatés sur les composites stratifiés via un critère mixte énergie/contrainte [5] faisant intervenir l'épaisseur $h$ du pli.

## 2.2 Modélisation du comportement de l'interface

La loi de comportement non local développée est basée sur le modèle local proposé par Tvergaard [9]. Dans les modèles classiques de zones cohésives, la relation entre les sauts de déplacements (normaux $u_n$ et tangentiels $u_t$) et leurs efforts cohésifs correspondants ($T_n$ et $T_t$) peut se mettre sous la forme suivante en fonction de la variable d'endommagement $\lambda$ :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} T_n = E \frac{u_n}{\delta_n} F(\lambda) & \text{si } u_n \ge 0 \\ T_n = KE \frac{u_n}{\delta_n} & \text{si } u_n < 0 \end{array} \right. \quad \text{et} \quad T_t = \alpha E \frac{u_t}{\delta_t} F(\lambda) $$

$E$, $KE$ et $\alpha E$ sont les raideurs de l'interface en traction, compression et cisaillement. Dans le modèle de Tvergaard [9], la fonction $F$ et la variable d'endommagement $\lambda$ sont définies par la relation suivante dans laquelle $\langle \rangle$ sont les crochets de Mc Cauley :

$$ F(\lambda) = (1 - \lambda)^2 \quad \text{avec} \quad \lambda = \max_{\tau<t} \sqrt{\left\langle \frac{u_n}{\delta_n} \right\rangle^2 + \left(\frac{u_t}{\delta_t}\right)^2} $$

Dans notre modèle, nous ne modifions le modèle local qu'en remplaçant la variable d'endommagement $\lambda$ par $\tilde{\lambda}$ définie dans la relation (2). Il ne reste plus alors qu'à définir l'évolution de la variable $\bar{\mu}$ :

$$ \bar{\mu} = \max_{\tau<t} \left\{ 1 - e^{-\frac{Y_{\bar{\rho}}^{\text{eff}} \sqrt{Y_{\bar{\rho}}^{\text{eff}}}}{k}} \right\} $$

Relation dans laquelle $k$ est un paramètre matériau et $Y_{\bar{\rho}}^{\text{eff}}$ est la force thermodynamique non locale effective puisque l'interface peut être en contact avec deux plis endommagés. Pour des raisons de simplicité nous avons définis $Y_{\bar{\rho}}^{\text{eff}}$ comme :

$$ Y_{\bar{\rho}}^{\text{eff}} = \max(Y_{\bar{\rho}}^{\text{sup}}, Y_{\bar{\rho}}^{\text{inf}}) $$

La Figure 3 montre le comportement normal de l'interface en fonction du niveau de microdélaminage induit par l'endommagement des plis adjacents, ainsi que le schéma de
principe des éléments finis non locaux développés.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>a – Principe des éléments non locaux développés</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>b – Influence du microdélaminage sur le comportement de l'interface</figcaption></figure>

Figure 3 – Description schématique des éléments développés et comportement normal de l'interface en fonction du niveau de microdélaminage.

## 3 Applications

Nous avons appliqué notre modèle à la simulation de l'essai de traction sur plaque entaillée dont le principe est décrit sur la Figure 1 pour un composite stratifié croisé [0<sub>2</sub>/90<sub>2</sub>]<sub>s</sub>. Dans une première étape, le calcul simule le pré-endommagement des plis à 90° de l'échantillon par un essai de traction. Dans une seconde étape, un chargement de traction à déplacement imposé est de nouveau réalisé mais avec la prise en compte de l'entaille dans les plis à 0° via l'utilisation d'une technique de « remove element ». Ces simulations montrent que le couplage fissuration transverse/délaminage, introduit dans notre approche, induit un amorçage plus tôt et une propagation plus rapide du délaminage (Figure 4 a).

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>a – Influence de l'endommagement du pli sur la cinétique du délaminage simulé</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>b – Comparaison simulation/essai pour un déplacement imposé de 0.52mm</figcaption></figure>

Figure 4 – Evolution du délaminage en fonction de l'endommagement du pli et du déplacement imposé.

Une comparaison partielle entre les résultats issus de la simulation et ceux de la campagne expérimentale est présentée sur la Figure 4 b. Cette figure trace l'évolution de la longueur de délaminage en fonction du niveau d'endommagement présent dans les plis pour un déplacement imposé. La différence entre les résultats de la simulation et ceux expérimentaux s'explique par l'hypothèse des petits déplacements retenus dans le calcul. En effet, les éléments non locaux développés dans le code ZéBuLoN ne prennent actuellement pas en compte les grands déplacements. Cependant ces résultats permettent de démontrer au moins de manière qualitative
l'apport de la prise en compte d'un couplage fissuration transverse/délaminage et de la formulation proposée.

## 4 Conclusion

Dans cet article, un modèle non local de pli et d'interface est proposé afin de prendre en compte l'influence de l'endommagement des plis sur l'amorçage et la propagation du délaminage. Le comportement du pli est modélisé par une formulation non locale développée à sur la base de précédent travaux de l'Onera [2] et permet de prendre ne compte les effets d'épaisseur. Le comportement de l'interface est quand à lui basé sur la formulation de Tvergaard [9] et ne modifie que la définition de la variable d'endommagement du modèle originel. Pour cela, une variable d'endommagement de l'interface effective est définie simplement comme la somme de l'endommagement classiquement calculé et du microdélaminage induit par l'endommagement des plis adjacents. C'est par le caractère non local de notre formulation qu'il est possible de connaître le niveau de microdélaminage au niveau de l'interface.

L'application de ce modèle pour la simulation de la propagation du délaminage dans une éprouvette montre que le modèle permet de reproduire de manière qualitative l'endommagement de l'interface observé expérimentalement. La prise en compte des grands déplacements dans le modèle et la comparaison avec cette campagne expérimentale devraient permettre d'identifier tous les paramètres de couplage introduits et de valider cette approche.

## Références

[1] Germain N., Modélisation non locale de l'endommagement dans les structures composites. *thèse de l' École Nationale Supérieure des Mines de Paris*, 2006.

[2] Huchette C., Sur la complémentarité des approches expérimentales et numériques pour la modélisation des mécanismes d'endommagement des composites stratifiés. *thèse de l' Université Paris 6*, 2005.

[3] Huchette C., Guinot F. Experimental and numerical analysis on delamination growth in damaged composite material, *Proceeding of 13th European Conference on Composite Material (ECCM13)*, ID 524, 2008

[4] Ladevèze P., Lubineau G., Marsal D. Towards a Bridge Between the Micro-and Mesomechanics of Delamination for Laminated Composites. *Composites Science and Technology*, 2006;66:698-712.

[5] Leguillon D. Strength or Toughness? A Criterion for Crack Onset at a Notch. *European Journal of Mechanics - A/Solids*, 2002;21 6:61-72.

[6] Okabe T., Nishikawa M., Takeda N. Numerical Modeling of Progressive Damage in Fiber Reinforced Plastic Cross-Ply Laminates. *Composites Science and Technology*, 2008;68:2282-2289.

[7] Peerlings R.H.J., De Borst R., Brekelmans W.A.M., De Vree J.H.P. Gradient Enhanced Damage for Quasi-Brittle Materials. *International Journal for Numerical Methods in Engineering*, 1996;39:3391-3403.

[8] Pijaudier-Cabot G., Bazant Z.P. Nonlocal Damage Theory. *Journal of Engineering Mechanics*, 1987;113:1512-1533.

[9] Tvergaard V. Effect of Fibre Debonding in a Whisker-Reinforced Metal. *Materials Science and Engineering A*, 1990;125 6:203-213.