# Temps d'arrêt d'une fonction aléatoire: Relations d'équivalence associées et propriétés de décomposition

Philippe Courrèges, Pierre Priouret

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Philippe Courrèges, Pierre Priouret. Temps d'arrêt d'une fonction aléatoire: Relations d'équivalence associées et propriétés de décomposition. Annales de l'ISUP, 1965, XIV, pp.245-274. hal-04084828

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D

# TEMPS D'ARRÊT D'UNE FONCTION ALÉATOIRE : RELATIONS D'ÉQUIVALENCE ASSOCIÉES ET PROPRIÉTÉS DE DÉCOMPOSITION

Philippe COURRÈGE et Pierre PRIOURET

## Introduction

Les résultats principaux de ce travail, bien qu'ils soient présentés ici de façon quasi autonome -en particulier indépendante de la théorie des processus de Markov- ont été établis comme instruments pour résoudre les divers problèmes de mesurabilité posés par le recollement des processus de Markov (voir Courrège et Priouret [5] et [6]).

Etant donnée une fonction aléatoire(1) continue à droite ($X_s$) à valeurs dans un espace localement compact à base dénombrable, les temps de sortie des ouverts sont des temps d'arrêt de la famille de tribus ($\hat{F}_t$) obtenue en prenant, pour chaque $t$ la complétée universelle $\hat{F}_t$ de la tribu $F_t$ engendrée par les $X_s$, $s \le t$ (voir l'appendice 2, n° 2). Désignant alors par $T$ un temps d'arrêt de cette famille, il s'agissait d'abord d'obtenir un critère commode de $F_T$-mesurabilité formalisant la notion intuitive selon laquelle les événements de $\hat{F}_T$ sont ceux qui ne dépendent que des valeurs de $X_s$ pour $s \le T$: l'introduction de la relation d'équivalence $R_T^x$ (n° 1.1) et le critère de $\hat{F}_T$-mesurabilité par saturation pour $R_T^x$ dans $\hat{F}_\infty$ (théorème 1.4) répondent à cette première question.

Il s'agissait ensuite de trouver un système de générateurs de la tribu $\hat{F}_T$: Les ensembles $\{X_s \in \Gamma\}$ où $X^T$ est la fonction aléatoire arrêtée à l'instant $T$ déduite de $X$ forment un tel système (théorème 2.4)(2).

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<figure><img src="image_3.png" /></figure>

<footnote>(1) Voir le n° 0.3 ci-dessous.</footnote>

<footnote>(2) Un résultat de ce type pour la famille ($F_t^x$) figure déjà dans Ito et McKean [8] page 86.</footnote>
Il s'agissait enfin de décomposer chaque fonction h, mesurable par rapport à la tribu $\hat{F}_{\omega}$ en une "partie antérieure à T", et une "partie postérieure à T": la relation $h(\omega) = \bar{h}(\omega, \theta_T(\omega))$ où h est $\hat{F}_T \otimes \hat{F}_{\omega}$-mesurable exprime une telle décomposition (théorème 4.4 et corollaires).

En outre, lorsque $h(\omega) = V(\omega) - T(\omega)$, où $V \ge T$ est un temps d'arrêt de la famille $(F_{t+})$, la fonction $\bar{h}(\omega, \omega')$ obtenue est, pour chaque $\omega$, un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_{t+})$ en $\omega'$ (théorème 5.3). Cette propriété est très utile pour déduire la propriété de Markov forte avant $T+S_o \theta_T$ (où S est un autre temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_t)$) de celles avant T et avant S (voir [5] et [6]).

Nous remercions ici P.A. Meyer dont les critiques et suggestions, à la suite d'une première rédaction de ce travail, nous ont permis de le simplifier et le compléter.
Table des matières

<table><thead><tr><th></th><th>Pages</th></tr></thead><tbody><tr><td>Parag. 0 - Terminologie et notations</td><td>248</td></tr><tr><td>Parag. 1 - Tribu F&#770;<sup>x</sup><sub>t</sub> et relation d'équivalence R<sup>x</sup><sub>t</sub></td><td>250</td></tr><tr><td>Parag. 2 - Tribu F&#770;<sup>x</sup><sub>t</sub> et fonction aléatoire arrêtée à l'inst- tant T</td><td>253</td></tr><tr><td>Parag. 3 - Tribu F&#770;<sup>x</sup><sub>t+</sub> et relation d'équivalence R<sup>x</sup><sub>t+</sub></td><td>256</td></tr><tr><td>Parag. 4 - Décomposition de la tribu F&#770;<sup>x</sup><sub>&infin;</sub> relativement à un temps d'arrêt</td><td>259</td></tr><tr><td>Parag. 5 - Décomposition d'un temps d'arrêt par rapport à un autre temps d'arrêt</td><td>263</td></tr><tr><td>Appendice 1 - Fonctions aléatoires typiques</td><td>267</td></tr><tr><td>Appendice 2 - Exemples de temps d'arrêt des familles (F<sup>x</sup><sub>t</sub>), (F&#770;<sup>x</sup><sub>t</sub>) et (F&#770;<sup>x</sup><sub>t+</sub>) : temps de sortie</td><td>270</td></tr><tr><td>Appendice 3 - Evènements postérieurs à T et relation d'équivalence &theta;<sup>-1</sup><sub>t</sub>(R<sup>x</sup><sub>&infin;</sub>)</td><td>272</td></tr></tbody></table>
# 0. - Terminologie et notations

**0.1 Extensions de tribus.** - Soit $\Omega$ un ensemble. Si $(F_i)_{i \in I}$ est une famille de tribus sur $\Omega$, on note $\bigvee_{i \in I} F_i$ la tribu sur $\Omega$ engendrée par $\bigcup_{i \in I} F_i$ ; en particulier, $F_1 \vee F_2$ désigne la tribu engendrée par $F_1 \cup F_2$. Si $F$ est une tribu sur $\Omega$, la tribu complétée universelle de $F$ est notée $\bar{F}$ : $\bar{F}$ est l'ensemble des $A \subset \Omega$ tels que, pour toute mesure de probabilité $P$ sur $F$ il existe deux ensembles $A'$ et $A''$ de $F$ pour lesquels :

$$A' \subset A \subset A'' \quad \text{et} \quad P(A'' \setminus A') = 0.$$

On a $\overline{\bar{F}} = \bar{F}$, et, si $\Phi$ est une application mesurable de $(\Omega, F)$ dans l'espace mesurable $(\Omega', F')$, $\Phi$ est aussi mesurable de $(\Omega, \bar{F})$ dans $(\Omega', \bar{F}')$.

**0.2 Temps d'arrêt d'une famille de tribu.-** $(F_t)_{t \in \mathbb{R}_+}$ étant une famille croissante ($t < u \Rightarrow F_t \subset F_u$) de tribus sur $\Omega'$, un temps d'arrêt de la famille $(F_t)$ est une application $T$ de $\Omega$ dans $\bar{R}_+ = [0, +\infty)$ telle que $\{T \le t\} \in F_t$ pour tout $t \in \mathbb{R}_+$. On désigne alors par $F_t$ la tribu sur $\Omega$ des événements antérieurs à $T$ :

$$A \in F_t \iff \forall t \in \mathbb{R}_+, A \cap \{T \le t\} \in F_t.$$

Si $S$ et $T$ sont deux temps d'arrêt de $(F_t)$, $A \cap \{S \le T\} \in F_t$, pour tout $A \in F_s$ ; en particulier $S \le T$ entraîne $F_s \subset F_t$.

**0.3 Fonctions aléatoires à cimetière.-** Soient $(E, \mathcal{B})$ un espace mesurable, $\delta$ un terme n'appartenant pas à $E^{(1)}$, $E_\delta = E \cup \{\delta\}$, et $\mathcal{B}_\delta$ la tribu sur $E_\delta$ engendrée par $\mathcal{B}$.

(1) $\delta$ est un terme tel que $\delta \notin E$, quelconque mais fixé en même temps que $E$. Si, par exemple, $E$ est un espace localement compact à base dénombrable, et $\mathcal{B} = \mathcal{B}_\delta$ sa tribu borélienne, $\delta$ est, comme d'ordonnateur, le point à l'infinie de $E$, $E_\delta$ son compactifié d'Alexandroff, et $\mathcal{B}_\delta$ la tribu borélienne de l'espace compact $E_\delta$ (voir à ce sujet l'appendice 1).

0.1, 0.2, 0.3.
Une fonction aléatoire (1) à cimetière (2) à valeurs dans (E, $\mathcal{B}$) est un terme $X = (\Omega, \omega_\delta, (X_t)_{t \in \mathbb{R}_+}, E, \mathcal{B}, \delta)$ où $\Omega$ est un ensemble, $(X_t)_{t \in \mathbb{R}_+)$ (3) une famille d'applications de $\Omega$ dans $E_\delta$ telle que, pour tout $\omega \in \Omega$, l'ensemble $\{t | t \in \mathbb{R}_+ \text{ et } X_t(\omega) = \delta\}$ est un intervalle de la forme $[a, +\infty \text{ [où } a \in [0, +\infty))$, et $\omega_\delta$ un élément de $\Omega$ tel que $X_t(\omega_\delta) = \delta$ pour tout $t \in \mathbb{R}_+$.

La donnée de $E, \mathcal{B}, \delta$ fait partie, en toute rigueur, de la donnée de $X$ ; toutefois, la mention "a valeurs dans $(E, \mathcal{B})$" pour $X$ permet d'écrire, sans ambiguïté : $X = (\Omega, \omega_\delta, (X_t)_{t \in \mathbb{R}_+})$, ce que nous ferons le plus souvent par la suite.

Pour chaque $t \in [0, +\infty]$, on désigne par $F_t^\chi$ la plus petite tribu sur $\Omega$ rendant mesurables les applications $X_s$ ($s \le t$) à valeurs dans $(E_\delta, \mathcal{B}_\delta)$, et par $\hat{F}_t^\chi$ la complétée universelle $\overline{F}_t^\chi$ de $F_t^\chi$. $(F_t^\chi)_{t \in [0, +\infty]}$ (resp. $(\hat{F}_t^\chi)_{t \in [0, +\infty]}$) est la famille de tribus (resp. la famille de tribus complétées) engendrée par $X^{(4)}$.

**0.4-Opérateurs de translation et d'arrêt** - Une famille $(\theta_t)_{t \in \mathbb{R}_+}$ (resp. $(\chi_t)_{t \in \mathbb{R}_+)$ d'applications de $\Omega$ dans $\Omega$ telle que, pour tout $\omega \in \Omega$, $t \in \mathbb{R}_+$ et $s \in \mathbb{R}_+$, $X_s(\theta_t(\omega)) = X_{s+t}(\omega)$ (resp. $X_s(\alpha_t(\omega)) = X_{s+\alpha t}(\omega)^{(5)}$, est appelée *famille d'opérateurs de translation* (resp. *d'arrêt*) de la fonction aléatoire $X^{(6)}$.

---

(1) On distingue ici systématiquement la notion de fonction aléatoire de celle de *processus stochastique* qui comporte, en plus, la donnée d'une mesure de probabilité.

(2) Toute fonction aléatoire (sans cimetière) $(\Omega, \mathcal{F}, (X_t)_{t \in \mathbb{R}_+})$ à valeurs dans $(E, \mathcal{B})$ peut être transformée en fonction aléatoire à cimetière par adjonction à $\Omega$ d'un point $\omega_\delta$. On peut donc ne considérer que des fonctions aléatoires à cimetière, et sous entendre le qualificatif "à cimetière", ce que nous ferons le plus souvent dans la suite.

(3) $R_+$ désigne l'ensemble $[0, +\infty[$ des nombres réels $\ge 0$ (finis).

(4) On pourrait faire figurer aussi, dans la donnée de $X$, une tribu $\mathcal{F}$ sur $\Omega$ rendant mesurables les $X_t(t \in \mathbb{R}_+)$ ; une telle tribu est inutile ici car seules joueront un rôle les tribus $F_\infty^\chi$ ou $\overline{F}_\infty^\chi$ (n° 0.1) qui sont canoniquement associées à $X$.

(5) $s \wedge t = \inf(s, t)$.

(6) Les fonctions aléatoires courantes à valeurs dans un espace LCD admettent de telles familles d'opérateurs ; voir l'appendice 1.
On prolonge ces définitions en posant $X_\infty(\omega) = \delta$, $\theta_\infty(\omega) = \omega_3$ et $\alpha_\infty(\omega) = \omega$ pour chaque $\omega \in \Omega$, et, si $H$ est une application de $\Omega$ dans $[0, +\infty]$, on définit, comme d'habitude, les applications $X_H$, $\theta_H$, $\alpha_H$ en posant :

$$X_H(\omega) = X_{H(\omega)}(\omega), \quad \theta_H(\omega) = \theta_{H(\omega)}(\omega), \quad \alpha_H(\omega) = \alpha_{H(\omega)}(\omega)$$

pour chaque $\omega \in \Omega$. On a alors : $X_s \circ \theta_H = X_{s+H}$ si $0 \le s \le +\infty$, et $X_s \circ \alpha_H = X_{s\wedge H}$ si $0 \le s < +\infty$ (1).

**0.5** - La fonction aléatoire $X$ est mesurable, si l'application $(t, \omega) \to X_t(\omega)$ de $R_+ \times \Omega$ dans $E$ est $\mathcal{B}_{R_+} \otimes \mathcal{F}_\infty^x$-mesurable. La fonction aléatoire $X$ est *progressivement mesurable* si, pour chaque $t \in R_+$, l'application $(s, \omega) \to X_{s\wedge t}(\omega)$ de $R_+ \times \Omega$ dans $E$ est $\mathcal{B}_{R_+} \otimes \mathcal{F}_t^x$-mesurable.

**0.6** - Dans toute la suite, sauf mention expresse du contraire, on désignera par $(E, \mathcal{B})$ un espace mesurable (quelconque), et par $X = (\Omega, \omega_\delta, (X_t)_{t \in R_+})$ une fonction aléatoire (à cimetière) à valeurs dans $(E, \mathcal{B})$ possédant une famille $(\alpha_t)_{t \in R_+}$ d'opérateurs d'arrêt (n° 0.4).

# 1. Tribu $F_t^x$ et relation d'équivalence $R_t^x$ (2)

**1.1.** - Relation d'équivalence $R_H^x$ - Soit $H$ une application de $\Omega$ dans $[0, +\infty]$. On définit la relation d'équivalence $R_H^x$ sur $\Omega$ en posant :

$$\omega \sim \omega'(R_H^x) \iff H(\omega) = H(\omega') \quad \text{et} \quad X_s(\omega) = X_s(\omega') \quad \text{pour tout} \quad s \le H(\omega).$$

Le lemme suivant illustre immédiatement cette définition :

(1) Par contre, en général $X_\infty \circ \alpha_H \neq X_{\infty \wedge H} = X_H$.

(2) Voir le n° 0.6.

0.5, 0.6, 1.1.
### 1.2-Tribu $\hat{F}_t^x(1)$ et équivalence $R_t^x$ -

LEMME - Pour tout $t \in [0, +\infty]$, la tribu $\hat{F}_t^x$ (resp. $F_t^x$) est égale à l'ensemble des événements de $\hat{F}_\infty^x$ (resp. $F_\infty^x$) qui sont saturés pour $R_t^x$.

En effet, remarquons que, pour chaque $t \in [0, +\infty]$, d'une part $\alpha_t$ est une application mesurable de $(\Omega, F_t^x)$ dans $(\Omega, F_\infty^x)$ (relation $X_s \circ \alpha_t = X_s \wedge t$), donc aussi de $(\Omega, \hat{F}_t^x)$ dans $(\Omega, \hat{F}_\infty^x)$ (n° 0-1) ; d'autre part, pour chaque $\omega \in \Omega$, $\alpha_t(\omega) \sim \omega(R_t^x)$.

Soit alors $A \in \hat{F}_\infty^x$ (resp. $A \in F_\infty^x$) saturé pour $R_t^x$ ; on a $\alpha_t^{-1}(A) = A$, donc $A \in \hat{F}_t^x$ (resp. $A \in F_t^x$).

Inversement, montrons que tout $A \in \hat{F}_t^x$ est saturé pour $R_t^x$: supposons d'abord que $A \in F_t^x$ ; A est saturé pour $R_t^x$ car l'ensemble des événements de $F_\infty^x$ qui sont saturés pour $R_t^x$ est une tribu qui contient les ensembles $\{X_s \in \Gamma\} (0 \le s \le t)$. Supposons ensuite que $A \in \hat{F}_t^x$, et soient $\omega \in A$ et $\omega' \sim \omega(R_t^x)$ ; désignons par P la mesure discrète $-\frac{1}{2}(\varepsilon_\omega + \varepsilon_{\omega'})$ sur $\Omega$ ; il existe deux ensembles $A_1$ et $A_2$ de $F_t^x$ tels que $A_1 \subset A \subset A_2$ et $P(A_2 \setminus A_1) = 0$ ; autrement dit,

$$1_{A_1}(\omega) = 1_A(\omega) = 1_{A_2}(\omega) \quad \text{et} \quad 1_{A_1}(\omega') = 1_A(\omega') = 1_{A_2}(\omega') ;$$

mais $A_1$ appartenant à $F_t^x$ est $R_t^x$ saturé d'après ce qui précède, donc $1_{A_1}(\omega) = 1_{A_1}(\omega')$ ; et aussi $1_A(\omega') = 1_A(\omega) = 1$ ; d'où $\omega' \in A$ et le résultat.

### 1.3-Caractérisations des temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_t^x)$ -

THÉORÈME - Pour qu'une application $T$ de $\Omega$ dans $[0, +\infty]$ soit un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_t^x)$ (resp. $(F_t^x)$) il faut et il suffit que $T$ soit $\hat{F}_\infty^x$-mesurable (resp. $F_\infty^x$-mesurable) et que, pour tout $t \in \mathbb{R}_+$, $\omega \in \Omega$, $\omega' \in \Omega$ :

<footnote>(1) On rappelle que l'on a posé (n° 0.3) $\hat{F}_t^x = \overline{\hat{F}_t^x}$ ($t \in [0, +\infty]$), ceci afin d'éviter des notations ambigues comme $\overline{F_t^x}$ (T temps d'arrêt de la famille $(\overline{F_t^x})$). On utilisera cependant parfois la notation $\overline{F_\infty^x}$ au lieu de $\hat{F}_\infty^x$.</footnote>
$$T(\omega) \le t \quad \text{et} \quad \omega' \sim \omega (R_t^x) \implies T(\omega') = T(\omega).$$

COROLLAIRE 1 - Si $T$ est un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_t^x)$, la relation $X_s(\omega) = X_s(\omega')$ pour tout $s \le T(\omega)$ entraîne que $T(\omega') = T(\omega)$ et par conséquent que $\omega' \sim \omega (R_T^x)$.

COROLLAIRE 2 - Pour tout $\omega \in \Omega$, $\alpha_T(\omega) \sim \omega (R_T^x)$.

COROLLAIRE 3 - $\omega \sim \omega'(R_T^x)$ entraîne $\alpha_T(\omega) \sim \alpha_T(\omega')(R_\infty^x)$.

En effet, supposons que $T$ soit un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_t^x)$, et soient $t, \omega, \omega'$ tels que $T(\omega) \le t$ et $\omega' \sim \omega (R_T^x)$ ; posons $u = T(\omega)$ ; on a $\omega \in \{T = u\}$, $\omega' \sim \omega (R_u^x)$ et $\{T = u\} \in \hat{F}_T^x$ ; donc $\omega' \in \{T = u\}$ d'après le lemme 1.2, c'est-à-dire $T(\omega') = T(\omega)$.

Inversement, supposons que $T$ soit $\hat{F}_\infty^x$-mesurable et que $T(\omega) \le t$ et $\omega' \sim \omega (R_T^x) \implies T(\omega') = T(\omega)$ ; alors $\{T \le t\} \in \hat{F}_\infty^x$, et $\{T \le t\}$ est $R_T^x$ saturé, d'où le résultat, encore d'après le lemme 1.2. Procédure analogue pour $(\hat{F}_T^x)$.

### 1.4 - THEOREME (1)
Si $T$ est un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_t^x)$ (resp. $F_t^x$)), la tribu $\hat{F}_T^x$ (resp. $F_T^x$) est identique à l'ensemble des événements de $\hat{F}_\infty^x$ (resp. $F_\infty^x$) saturés pour $R_T^x$.

En effet, supposons que $T$ soit un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_t^x)$, et soient $A \in \hat{F}_T^x$, $\omega \in A$ et $\omega' \sim \omega (R_T^x)$. Si $u = T(\omega) = T(\omega')$, on a $\omega \in A \cap \{T \le u\}$ et $\omega' \sim \omega (R_u^x)$ ; donc, d'après le lemme 1.2, $\omega' \in A \cap \{T \le u\}$ ; ce qui établit que $A$ est saturé pour $R_T^x$.

Inversement, supposons que $A \in \hat{F}_\infty^x$ soit $R_T^x$ saturé, et soient $t \in R_+$, $\omega \in A \cap \{T \le t\}$ et $\omega' \sim \omega (R_T^x)$. D'après le théorème 1.3, $\omega' \sim \omega (R_T^x)$ ; donc $\omega' \in A \cap \{T \le t\}$ et cet ensemble est $R_T^x$ saturé ; d'où $A \in \hat{F}_T^x$ d'après le lemme 1.2. Le théorème est établi.

<footnote>(1) Voir le n° 0.6.</footnote>
## 2. Tribu $\hat{F}_t^x$ et fonction aléatoire arrêtée à l'instant $T^{(1)}$

2.1 Fonction aléatoire $X^x$. - Soit $H$ une application de $\Omega$ dans $[0, +\infty]$. Posons $X_t^x = X_t \circ \alpha_H = X_{t \wedge H}$ pour tout $t \in \mathbb{R}_+$.

$$X^x = (\Omega, \omega_\delta, (X_t^x)_{t \in \mathbb{R}_+}, E, \mathcal{B}, \delta)$$

est encore une fonction aléatoire (à cimetière) à valeurs dans $(E, \mathcal{R})$ qui est appelée la fonction aléatoire arrêtée à l'instant $H$ déduite de $X$.

2.2 - LEMME - On suppose que la fonction aléatoire $X$ est mesurable (2), et on désigne par $H$ une application de $\Omega$ dans $[0, +\infty]$. Si $H$ est $F_\Omega^x$-mesurable, $\alpha_H$ est mesurable de $(\Omega, F_\Omega^x)$ dans $(\Omega, F_\Omega^x)$, et $A \in F_\Omega^x \iff A \in F_\Omega^x$ et $\alpha_H^{-1}(A) = A''(A \subset \Omega)$. Si $H$ est $\overline{F}_\Omega^x$-mesurable, $\alpha_H$ est mesurable de $(\Omega, \overline{F}_\Omega^x)$ dans $(\Omega, \overline{F}_\Omega^x)$, et $A \in \overline{F}_\Omega^x \iff A \in \overline{F}_\Omega^x$ et $\alpha_H^{-1}(A) = A''(A \subset \Omega)$.

En effet, supposons, par exemple, que $H$ soit $\overline{F}_\Omega^x$-mesurable. En vertu de la relation $X_t \circ \alpha_H = X_{t \wedge H} = X_t^x$, $\alpha_H$ est mesurable de $(\Omega, F_\Omega^x)$ dans $(\Omega, F_\Omega^x)$, donc aussi de $(\Omega, \overline{F}_\Omega^x)$ dans $(\Omega, \overline{F}_\Omega^x)$ (n° 0.1). En vertu de la mesurabilité de $X$, $X_{t \wedge H}$ est $\overline{F}_\Omega^x$-mesurable, (en effet $X_{t \wedge H}$ est composée de $\omega \to (t \wedge H(\omega), \omega)$ qui est mesurable de $(\Omega, F_\Omega^x)$ dans $(R_+ \times \Omega, \mathcal{R}_{R_+} \otimes F_\Omega^x)$, et de $(u, \omega) \to X_u(\omega)$ qui est $\mathcal{R}_{R_+} \otimes F_\Omega^x$-mesurable) ; donc, d'après la relation $X_t \circ \alpha_H = X_{t \wedge H}$, $\alpha_H$ est mesurable de $(\Omega, \overline{F}_\Omega^x)$ dans $(\Omega, F_\Omega^x)$, donc aussi (n° 0.1) de $(\Omega, \overline{F}_\Omega^x)$ dans lui-même.

Par ailleurs, $\alpha_H^{-1}(A) = A$ pour tout $A \in F_\Omega^x$ à cause de la relation $\alpha_H \circ \alpha_H = \alpha_H$.

<footnote>(1) Voir le n° 0.6.</footnote>

<footnote>(2) Voir le n° 0.5.</footnote>
Ainsi, $A \in F_{\omega}^{xH} \implies \alpha_{\tau}^{-1}(A) = A$ et $A \in \overline{F}_{\omega}^{x}, \overline{F}_{\omega}^{xH} \subset \overline{F}_{\omega}^{x}$, et,

$$ \alpha^{-1}(A) = A \quad \text{et} \quad A \in \overline{F}_{\omega}^{x} \implies A \in \overline{F}_{\omega}^{xH}. $$

Il reste à montrer que $A \in \overline{F}_{\omega}^{xH} \implies \alpha_{\tau}^{-1}(A) = A$.

Pour cela soient $A \in \overline{F}_{\omega}^{xH}$, $\omega \in A$, et $P = \frac{1}{2}(\epsilon_{\omega} + \epsilon_{\alpha_{\tau}(\omega)})$ (mesure discrète sur $\Omega$). Il existe deux ensembles $A'$ et $A''$ de $F_{\omega}^{xH}$ tels que $A' \subset A \subset A''$ et $P(A'' - A') = 0$ ; c'est-à-dire $1_{A'}(\omega) = 1_{A''}(\omega)$ et $1_{A'}(\alpha_{\tau}(\omega)) = 1_{A''}(\alpha_{\tau}(\omega))$. On a alors :

$$ 1_{A}(\omega) = 1_{A'}(\omega) = 1_{A''}(\alpha_{\tau}(\omega)) = 1_{A}(\alpha_{\tau}(\omega)) \text{ d'où le résultat.} $$

Procédure analogue mais plus simple dans le cas où $H$ est $F_{\omega}^{x}$-mesurable.

## 2.3 - $\hat{F}_{\tau}^{x}$-mesurabilité de l'application $\alpha_{\tau}$ -

LEMME - Si la fonction aléatoire $X$ est mesurable (1) et si $T$ est un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_{\tau}^{x}) (\text{resp. } F_{\tau}^{x})$, alors $\alpha_{\tau}$ est mesurable de $(\Omega, \hat{F}_{\tau}^{x})$ dans $(\Omega, \overline{F}_{\omega}^{x})$ (resp. de $(\Omega, \overline{F}_{\tau}^{x})$ dans $(\Omega, F_{\omega}^{x})$).

En effet, $T$ étant un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_{\tau}^{x})$, $T$ est $\overline{F}_{\omega}^x$-mesurable ; donc, d'après la mesurabilité de $X$ et le lemme 2.2., $\alpha_{\tau}$ est mesurable de $(\Omega, \overline{F}_{\omega}^{x})$ dans lui-même.

Il suffit donc d'établir que, si $A \in \overline{F}_{\omega}^{x}$ et $u \in R_{+}$, $\alpha_{\tau}^{-1}(A) \cap \{T \le u\}$ est $R_{u}^{x}$-saturé. Soient donc $\omega \in \alpha_{\tau}^{-1}(A) \cap \{T \le u\}$ et $\omega' \sim \omega (R_{u}^{x})$ ; d'après le corollaire 1 du théorème 1.3, $\omega' \sim \omega (R_{\tau}^{x})$ ; et, d'après le corollaire 3 du même théorème, $\alpha_{\tau}(\omega') \sim \alpha_{\tau}(\omega) (R_{\omega}^{x})$ ; d'où le résultat, puisque $A \in \overline{F}_{\omega}^{x}$ est saturé pour $R_{\omega}^{x}$ d'après le lemme 1.2. On peut alors énoncer :

## 2.4 - THEOREME - On suppose que la fonction aléatoire $X$ est mesurable (2'). Alors, si $T$ est un temps d'arrêt de la famille

(1) Voir le n° 0.5.

(2) Voir les n° 0.5 et 0.6.
$$ (\hat{F}_t^x) (\text{resp. } F_t^x)), \hat{F}_t^x = \overline{F_\infty^x}^T \quad (\text{resp. } F_t^x = \overline{F_\infty^x}^T) (1) $$

$$ \text{COROLLAIRE} \quad - \hat{F}_t^x = \alpha_t^{-1}(\overline{F_\infty^x}) \quad (\text{resp. } F_t^x = \alpha_t^{-1}(\overline{F_\infty^x})) . $$

En effet, supposons, par exemple, que $T$ soit un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_t^x)$ ; $T$ est $\overline{F_\infty^x}$-mesurable, donc $A \in \overline{F_\infty^x}$ entraîne $A = \alpha_t^{-1}(A)$, d'après le lemme 2.2, et donc aussi $A \in \overline{\hat{F}_t^x}$, d'après le lemme 2.3.

Inversement, $A \in \overline{\hat{F}_t^x}$ entraîne que $A \in \overline{F_\infty^x}$ et que $A$ est saturé pour $R_t^x$ (théorème 1.4), donc que $\alpha_t^{-1}(A) = A$ (corollaire 2 du théorème 1.3) ; donc finalement que $A \in \overline{F_\infty^x}$ d'après le lemme 2.2. ; d'où le théorème. Le corollaire en résulte, compte-tenu du lemme 2.2.

**2.5- Progréssive mesurabilité forte** - Le théorème suivant sera utile dans la suite (2).

**THEOREME** - On suppose que la fonction aléatoire $X$ est progressivement mesurable (3), et que $(G_t)_{t \in \mathbb{R}_+}$ est une famille croissante de tribus sur $\Omega$ à laquelle $X$ est adaptée $(F_t^x \subset G_t \text{ pour tout } t \in \mathbb{R}_+)$. Alors, pour tout temps d'arrêt $S$ de la famille $(G_t)$, l'application $(u, \omega) \to X_{u \in S}(\omega)$ est mesurable pour les tribus $\mathbb{B}_{S_t} \otimes G_S$ et $\mathbb{B}$.

En effet, soit $u \in \mathbb{R}_+$ ; l'application $(t, \omega) \to \alpha_t(\omega)$ de $[0, u] \times \Omega$ dans $\Omega$ est mesurable pour les tribus $\mathbb{B}_{[0, u]} \otimes F_u^x$ et $F_\infty^x$, d'après la progressive mesurabilité de $X$, donc aussi, puisque $F_u^x \subset G_u$, pour les tribus $\mathbb{B}_{[0, u]} \otimes G_u$ et $F_\infty^x$. L'application $\omega \to (S(\omega))_A u, \omega)$ de $\Omega$ dans $[0, u] \times \Omega$ est mesurable pour les tribus $G_u$ et $\mathbb{B}_{[0, u]} \otimes G_u$ ; donc, en composant, l'application $\omega \to \alpha_{S \cap U}(\omega)$ de $\Omega$ dans $\Omega$ est mesurable pour les tribus $G_u$ et $F_\infty^x$.

<footnote>(1) En particulier, la tribu $\hat{F}_t^x$ est identique à sa complétée universelle.</footnote>

<footnote>(2) Ce résultat est du à Chung (voir [2]), nous l'établissons ici, en supposant l'existence d'une famille d'opérateurs d'arrêt.</footnote>

<footnote>(3) Voir les n° 0.5 et 0.6.</footnote>
Autrement dit, si $A \in F_{\infty}^{\chi}$,

$$ \alpha_s^1(A) \cap \{S \le u\} = \alpha_{s \wedge u}^{-1}(A) \cap \{S \le u\} \in G_u. $$

u étant arbitraire, $\alpha_s$ est mesurable de $(\Omega, G_s)$ dans $(\Omega, F_{\infty}^{\chi})$.

On peut alors considérer l'application $(u, \omega) \to X_{u\Lambda S}(\omega)$ comme composée de $(u, \omega) \to (u, \alpha_s(\omega))$ qui est mesurable pour les tribus $\Lambda R_+ \otimes G_S$ et $\Lambda R_+ \otimes F_{\infty}$, et de $(u, \omega) \to X_u(\omega)$ qui est $\Lambda R_+ \otimes F_{\infty}^X$-mesurable d'après la (progressive) mesurabilité de $X$ ; d'où le théorème.

### 3. Tribu $\hat{F}_{t_+}^X$ et relation d'équivalence $R_{t_+}^X$ (1)

On pose, comme d'habitude,

$$ F_{t_+}^{\chi} = \bigcap_{u>t} F_u^{\chi} \quad \text{et} \quad \hat{F}_{t_+}^{\chi} = \bigcap_{u>t} \hat{F}_u^{\chi} \quad (t \in R_+). $$

#### 3.1- Relation d'équivalence $R_{H+}^X$. - Soit $H$ une application de $\Omega$ dans $[0, +\infty]$. On définit la relation d'équivalence $R_{H+}^X$ sur $\Omega$ en posant :

$$ \begin{gathered} \omega \sim \omega'(R_{H+}^X) \iff H(\omega) = H(\omega') \quad \text{et il existe } \varepsilon > 0 \quad \text{tel que} \\ X_s(\omega) = X_s(\omega') \quad \text{pour tout } s < H(\omega) + \varepsilon. \end{gathered} $$

Autrement dit, (n° 1.1), $\omega \sim \omega'(R_{H+}^X) \iff$ il existe $\varepsilon > 0$ tel que $\omega \sim \omega'(R_{H+}^X)$.

#### 3.2- Tribu $\hat{F}_{t_+}^X$ et équivalence $R_{t_+}^X$ -

**LEMME** - Pour tout $t \in R_+$, la tribu $\hat{F}_{t_+}^X$ (resp. $F_{t_+}^X$) est égale à l'ensemble des événements de $\hat{F}_{\infty}^X$ (resp. $F_{\infty}^X$) qui sont saturés pour $R_{t_+}^X$.

(1) Voir le n° 0.6.

(2) On a : $\overline{\hat{F}_{t_+}^X} = \hat{F}_{t_+}^X$ pour tout $t \in R_+$.
Démonstration immédiate à partir du lemme 1.2 et des définitions.

### 3.3-Caractérisation des temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_{t+}^x)^{(1)}$

**THEOREME** - Pour qu'une application $T$ de $\Omega$ dans $[0, +\infty]$ soit un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_{t+}^x)$ (resp. $F_{t+}^x$)), il faut et il suffit que $T$ soit $\hat{F}_\infty^x$-mesurable (resp. $F_\infty^x$-mesurable) et que, pour tous $t \in \mathbb{R}_+$, $\omega \in \Omega$, $\omega' \in \Omega$,

$$T(\omega) < t \quad \text{et} \quad \omega' \sim \omega(R_t^x) \underset{5}{\implies} T(\omega') = T(\omega).$$

En effet, supposons que $T$ soit un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_{t+}^x)$ : $T$ est $\hat{F}_\infty^x$-mesurable, et la relation annoncée résulte du lemme 1.2 et de ce que $\{T < t\} \in \hat{F}_{t+}^x$ (2). Inversement, si $T$ est $\hat{F}_\infty^x$-mesurable, et si cette relation est satisfaite, $\{T < t\} \in \hat{F}_\infty^x$ et $\{T < t\}$ est $R_t^x$ saturé, d'où $\{T < t\} \in \hat{F}_{t+}^x$ (lemme 1.2) et le résultat.

### 3.4 - THEOREME - Si $T$ est un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_{t+}^x)$ (resp. $(F_{t+}^x)$), la tribu $\hat{F}_{t+}^x$ (resp. $F_{t+}^x$) est identique à l'ensemble des événements de $\hat{F}_\infty^x$ (resp. $F_\infty^x$) saturés pour $R_{t+}^x$.

Démonstration tout à fait analogue à celle du théorème 1.4 en remplaçant $\{T \le t\}$ par $\{T < t\}$.

### 3.5 - THEOREME - On suppose que la fonction aléatoire $X$ est mesurable (3). Alors, si $T$ est un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_{t+}^x)$ (resp. $F_{t+}^x$),

$$\hat{F}_{t+}^x = \bigcap_{\epsilon>0} \overline{F_\infty^{x^{T+\epsilon}}} \quad (\text{resp. } F^x = \bigcap_{\epsilon>0} F_\infty^{x^{T+\epsilon}}) \quad (4)$$

(1) Cette caractérisation des temps d'arrêt (pour la famille $(F_{t+}^x)$) a déjà été établie par A.R. Galmarino ; voir à ce sujet Ito et Mc Kean [8] page 85 et Mc Kean et Tanaka [9] page 483.

(2) Pour que $T$ soit un temps d'arrêt de la famille $(F_{t+}^x)$ il faut et il suffit que $\{T < t\} \in F_t$ pour tout $t$.

(3) Voir le n° 0.5.

(4) Voir à ce sujet Ito et Mc Kean [8], page 86.
En effet, supposons que T soit un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_{t+}^x)$. Remaquons d'abord que, pour chaque $\varepsilon > 0$, $\alpha_{t+\varepsilon}^x(\omega) \sim \omega (R_{t+\varepsilon}^x)$ : soient $\omega' = \alpha_{t+\varepsilon}^x(\omega)$, $t = T(\omega) + \varepsilon$ (1) et $\varepsilon' < \varepsilon$; on a $T(\omega) + \varepsilon' < t$, et $X_s(\omega') = X_s(\omega)$ pour tous $s \le t$; donc

$$T(\omega') + \varepsilon' = T(\omega) + \varepsilon'$$

d'après le théorème 3.3, puisque $T + \varepsilon'$ est un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_{t+}^x)$ en même temps que $T$ (d'après ce même théorème, entre autre) ; on a donc aussi $T(\omega') + \varepsilon = T(\omega) + \varepsilon$, et le résultat annoncé.

Soient maintenant $A \in \hat{F}_{t+}^x$, $\omega \in A$, $\varepsilon > 0$ et $\omega' \sim \omega (R_{t+\varepsilon}^x)$; par définition de $R_{t+}^x$ (n° 3.1), $\omega' \sim \omega (R_{t+}^x)$; donc, d'après le théorème 3.4, $\omega' \in A$, et $A$ est saturé pour $R_{t+\varepsilon}^x$; on a donc $\alpha_{t+\varepsilon}^{-1}(A) = A$ d'après la remarque préliminaire, et, comme $A \in \overline{F_\omega^{x+\varepsilon}}$, $A \in \overline{F_\omega^{x+\varepsilon}}$ d'après le lemme 2.2. Ainsi, $\hat{F}_{t+}^x \subset \bigcap_{\varepsilon>0} \overline{F_\omega^{x+\varepsilon}}$.

Inversement, supposons que $A \in \bigcap_{\varepsilon>0} \overline{F_\omega^{x+\varepsilon}}$, et soient $\omega \in A$ et $\omega' \sim \omega (R_{t+}^x)$; il existe $\varepsilon > 0$ tel que $\omega' \sim \omega (R_{t+\varepsilon}^x)$; on a alors, d'une part, $\alpha_{t+\varepsilon}^x(\omega') \sim \alpha_{t+\varepsilon}^x(\omega) (R_\omega^x)$; d'autre part, puisque $A \in \overline{F_\omega^{x+\varepsilon}}$, $\alpha_{t+\varepsilon}^{-1}(A) = A$ (lemme 2.2) ; on en déduit, A étant dans $\overline{F_\omega^x}$, donc $R_\omega^x$ saturé, (lemme 1.2), que $1_A(\omega') = 1_A(\alpha_{t+\varepsilon}^x(\omega')) = 1_A(\alpha_{t+\varepsilon}^x(\omega)) = 1_A(\omega) = 1$; d'où le résultat cherché.

**3.6 - REMARQUE.** - Si T est un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_{t+}^x)$, en général, la tribu $\hat{F}_{t+}^x$ est différente de la tribu $\overline{F_\omega^{x+\varepsilon}}$. Il suffit pour s'en convaincre de considérer la fonction aléatoire continue à droite typique (App. 1 n° 3) à valeurs dans la droite réelle R, et de prendre pour T le temps de sortie (2) d'un intervalle fermé. T est un temps d'arrêt de la famille $F_{t+}^x$, mais il existe des trajectoires $\omega$ pour lesquelles $T(\omega) < +\infty$ et $T(\alpha_t(\omega)) = +\infty$ ; au-triment dit $T \neq T_0 \alpha_t$ ; ce qui montre, en vertu du lemme 2.2,

<footnote>(1) Si $T(\omega) = +\infty$, $\omega' = \omega$; on peut donc supposer $T(\omega) < +\infty$, et alors $t \in R_+$.</footnote>

<footnote>(2) Voir l'appendice 2 ci-dessous.</footnote>
que T n'est pas $\overline{F}_{\infty}^{xT}$-mesurable ; donc que $\overline{F}_{\infty}^{xT} \neq \hat{F}_{T+}^{x}$, puisque
T est $\hat{F}_{T+}^{x}$-mesurable.

Par contre, si on prend pour X la fonction aléatoire continue
à droite typique (App. 1, n° 3) à valeurs dans un espace LCD E,
et si on considère sur (Ω, F_∞^x) une famille (P_x)_{x∈E_β} de mesures
de probabilités qui font de (X, (P_x)) un processus fortement mar-
kovien, on peut montrer (voir Blumenthal et Getoor [1]) que la
relation F_∞^x = F_{T+}^x est vérifiée à condition de remplacer la com-
plétion universelle par celle qui consiste à adjoindre tous les sous-
ensembles des événements de F_∞^x P_μ-négligeables pour toute ré-
partition initiale μ.

4. Décomposition de la tribu $\hat{F}_{\infty}^{x}$ relativement à un temps d'arrêt

Dans ce paragraphe, on suppose que la fonction aléatoire X possède, en plus de la famille ($\alpha_t$)$_{t \in \mathbb{R}_+$} d'opérateurs d'arrêt (n° 0.6), une famille ($\theta_t$)$_{t \in \mathbb{R}_+$} d'opérateurs de translation(1).

4.1 - LEMME - Si la fonction aléatoire X est mesurable(2), et si H
est une application de Ω dans [0, +∞], $\overline{F}_{\infty}^{x}$-mesurable (resp. $F_{\infty}^{x}$-mesurable), alors $\theta_{H}$ est mesurable de $(\Omega, \overline{F}_{\infty}^{x})$ (resp. $(\Omega, F_{\infty}^{x})$) dans lui-même.

En effet, en vertu de la mesurabilité de H, de celle de X
et de la relation X_s ∝ θ_H = X_{s+H} , θ_H est mesurable de (Ω, F_∞^x)
(resp. (Ω, F_∞^x)) dans (Ω, F_∞^x) ; donc aussi (n° 0.1) de (Ω, F_∞^x)
dans (Ω, F_∞^x).

4.2 - LEMME - On suppose que T est un temps d'arrêt de la famille ($\hat{F}_t^x$), et que S et U sont des applications de Ω dans [0, +∞]. Alors, pour tout ω ∈ Ω tel que U(ω) = T(ω) + S(θ_T(ω)), on a

<footnote>(1) Les fonctions aléatoires courantes à valeurs dans un espace LCD sa-
tisfont à ces hypothèses (voir l'appendice 1).</footnote>

<footnote>(2) Voir n° 0.5.</footnote>
$$ \alpha_s(\theta_T(\omega)) \sim \theta_T(\alpha_u(\omega)) \quad (R_\omega^X)^{(1)}. $$

En effet, si $s \in \mathbb{R}_+$,

$$
\begin{align*}
X_s \circ \alpha_s \circ \theta_T(\omega) &= X_{s \wedge S(\theta_T(\omega))}(\theta_T(\omega)) = X_{s \wedge S(\theta_T(\omega)) + T(\omega)}(\omega) \\
&= X_{[s+T(\omega)] \wedge U(\omega)}(\omega) = X_{[s+T(\alpha_u(\omega))] \wedge U(\omega)}(\omega) \\
&= X_{s+T}(\alpha_u(\omega)) = X_s \circ \theta_T \circ \alpha_u(\omega),
\end{align*}
$$

puisque $T(\omega) = T(\alpha_u(\omega))$ en vertu du théorème 1.3 et des relations $T(\omega) \le U(\omega)$ et $X_s(\alpha_u(\omega)) = X_s(\omega)$ pour tout $s \le U(\omega)$.

### 4.3- Temps d'arrêt $U = T + S \circ \theta_T$ -

LEMME - On suppose que la fonction aléatoire $X$ est mesurable. Alors, si $T$ et $S$ sont des temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_t^X)$ (resp. $F_t^X$), et si on pose $U = T + S \circ \theta_T$, $U$ est aussi un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_t^X)$ (resp. $(F_t^X)$).

En effet, d'après le lemme 4.1, $U$ est $\overline{F}_\omega^X$-mesurable (resp. $F_\omega^X$-mesurable) ; il suffit donc de montrer (lemme 1.2), que, pour chaque $u \in \mathbb{R}_+$, $\{U < u\}$ est $\mathbb{R}_+$-saturé : soit donc $\omega \in \Omega$ tel que $U(\omega) \le u$, et $\omega' \sim \omega$ ($\mathbb{R}_+^X$) ; comme $T \le U$, on a $T(\omega') = T(\omega)$ (théorème 1.3). Posons $T(\omega) = t$. On a

$$ \theta_t(\omega') \sim \theta_t(\omega) \quad (\mathbb{R}_{u-t}^X), \quad \text{et} \quad S(\theta_t(\omega)) = U(\omega) - T(\omega) \le u - t, $$

donc (théorème 1.3), $S(\theta_t(\omega)) = S(\theta_t(\omega'))$ ; et finalement

$$ U(\omega') = U(\omega) \le u. $$

<footnote>(1) En particulier, $\alpha_s(\theta_t(\omega)) \sim \theta_t(\alpha_{t+s}(\omega)) (\mathbb{R}_\omega^X)$ ($s, t \in \mathbb{R}_+$).</footnote>
### 4.4 - Décomposition de $F_{\infty}^x$ -

**THEOREME (1)** - Si la fonction aléatoire X est mesurable, et si T est un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_t^x)$, alors

$$F_{\infty}^{x} \subset \hat{F}_{t}^{x} \vee \theta_{t}^{-1}(F_{\infty}^{x}).$$

**COROLLAIRE 1** - La famille, stable par intersections finies, des sous-ensembles de $\Omega$ de la forme $\alpha_t^{-1}(A) \cap \theta_t^{-1}(B)$ où $A \in \bar{F}_{\infty}^x$ et $B \in F_{\infty}^x$ engendre une tribu sur $\Omega$ contenant $F_{\infty}^x$.

**COROLLAIRE 2** - Pour toute application $h$ de $\Omega$ dans

$$[a, b] \subset [-\infty, +\infty], \hat{F}_t^x \vee F_{\infty}^x \text{-mesurable},$$

il existe une application $\bar{h}$ de $\Omega \times \Omega$ dans $[a, b]$ telle que

(a) $\bar{h}$ est $\hat{F}_t^x \otimes F_{\infty}^x$-mesurable.

(b) $h(\omega) = \bar{h}(\omega, \theta_t(\omega)) = \bar{h}(\alpha_t(\omega), \theta_t(\omega))$ pour tout $\omega \in \Omega$.

(c) $\bar{h}$ a une valeur constante (arbitraire) sur l'ensemble

$$\{\omega, \omega' | \omega, \omega' \in \Omega \times \Omega \text{ et } X_{\tau}(\omega) \neq X_{\omega}(\omega')\}^{(2)}$$

Pour établir le théorème, il suffit de vérifier que si $f$ est une fonction (numérique) $\mathcal{B}_s$-mesurable sur $E_s$, et si $t \in R_+$, $f \circ X_t$ est $\hat{F}_t^x \vee \theta_t^{-1}(F_{\infty}^x)$-mesurable. Or

$$f \circ X_t = f \circ X_t \ 1_{\{t \leq \tau\}} + f \circ X_t \ 1_{\{\tau < t\}}.$$

Le premier terme est $\hat{F}_t^x$-mesurable ; étudions le deuxième: on a,

$$f \circ X_t(\omega) 1_{\{\tau < t\}}(\omega) = f(X_{\{t-\tau(\omega)\}+} \theta_t(\omega))) 1_{\{\tau < t\}}(\omega) (\omega \in \Omega);$$

d'où le résultat en remarquant que l'application

-----------------

(1) Voir le début de ce paragraphe.

(2) Voir le n° 5.2.
$$ \omega \longrightarrow ((t - T(\omega))^+, \theta_T(\omega)) $$

est mesurable pour les tribus $\hat{F}_T^x \vee \theta_T^{-1}(F_\infty^x)$ et $\mathcal{R}_{R_+} \otimes F_\infty^x$, et que l'application $(s, \omega) \longrightarrow X_s(\omega)$ est $\mathcal{R}_{R_+} \otimes F_\infty^x$-mesurable d'après la mesurabilité de X.

Le corollaire 1 résulte directement du théorème ainsi que l'existence d'une fonction $\bar{h}$ ayant les propriétés (a) et (b) (corollaire 2) ; on en déduit une fonction $\bar{h}$ ayant aussi la propriété (c) puisque $X_T(\omega) = X_o(\theta_T(\omega))$ et que

$$ \{\omega, \omega' | X_T(\omega) \neq X_o(\omega')\} \in \hat{F}_T^x \otimes F_\infty^x. $$

### 4.5- Décomposition de $\hat{F}_T^x$ -

THEOREME (1) - On suppose que la fonction aléatoire X est progressivement mesurable (2), et que S et T sont des temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_T^x) (\text{resp. } (F_T^x))$. Alors, si on désigne par U le temps d'arrêt $T+S \circ \theta_T$, on a

$$ \hat{F}_U^x = \overline{\hat{F}_T^x \vee \theta_T^{-1}(\hat{F}_S^x)} \quad (3) \quad (\text{resp. } F_U^x = F_T^x \vee \theta_T^{-1}(F_S^x)). $$

En effet, en vertu du théorème 2.4, il suffit de montrer que $F_\infty^x \subset \hat{F}_T^x \vee \theta_T^{-1}(\hat{F}_S^x)$, ou encore que si $t \in R_+$ et si $f$ est une fonction (numérique) $\mathcal{R}_\delta$-mesurable sur $E_\delta$, $f \circ X_t^U$ est $\hat{F}_T^x \vee \theta_T^{-1}(\hat{F}_S^x)$-mesurable. Or :

$$ f \circ X_t^U = f \circ X_t \ 1_{\{t \le T\}} + f \circ X_t^U \ 1_{\{T < t\}}. $$

Le premier terme est $\hat{F}_T^x$-mesurable ; quant au deuxième, remarquons que, si $t > T(\omega)$ :

$$ \begin{aligned} X_{[t-T(\omega)] \wedge S(\theta_T(\omega))} (\theta_T(\omega)) &= X_{[(t-T(\omega)) \wedge S(\theta_T(\omega))] + T(\omega)} (\omega) \\ &= X_t \wedge U(\omega) (\omega) = X_t^U(\omega). \end{aligned} $$

Ainsi,

(1) Voir le début de ce paragraphe.

(2) Voir le n° 0.5.

(3) Voir le n° 0.1.
$$f \circ X_t^\mu(\omega) \quad 1_{\{\tau < t\}}(\omega) = f(X_{[t-\tau(\omega)]^+} \wedge s_{\theta_T(\omega)})(\theta_T(\omega)) \quad 1_{\{\tau < t\}}(\omega).$$

Or, l'application $\omega \to X_{[t-T(\omega)]^+ \wedge S(\theta_T(\omega))}(\theta_T(\omega))$ est composée de $\omega \to ((t-T(\omega))^+ , \theta_T(\omega))$ qui est mesurable de $(\Omega, \hat{F}^\chi \vee \theta_T^{-1}(\hat{F}_S^\chi))$ dans $(R_+ \times \Omega, \mathcal{B}_{R_+} \otimes \hat{F}_S^\chi)$, et de l'application $(u, \omega) \to X_{u \wedge S(\omega)}(\omega)$ qui est mesurable de $(R_+ \times \Omega, \mathcal{B}_{R_+} \otimes \hat{F}_S^\chi)$ dans $(E, \mathcal{B})$, d'après le théorème 2.5 et la progressive mesurabilité de $X$ ; d'où le résultat dans le cas de la famille $(\hat{F}_t^\chi)$, et par une procédure analogue dans celui de la famille $(F_t^\chi)$.

## 5. Décomposition d'un temps d'arrêt par rapport à un autre temps d'arrêt

On suppose, dans ce paragraphe, comme dans le précédent que la fonction aléatoire $X$ admet une famille $(\alpha_t)$ d'opérateurs d'arrêt et une famille $(\theta_t)$ d'opérateurs de translation(1).

5.1- On dit que la fonction aléatoire $X$ possède la propriété de raccordement si pour tout $t \in R_+$, $\omega \in \Omega$ et $\omega' \in \Omega$ tels que $X_0(\omega') = X_t(\omega)$, il existe $\omega'' \in \Omega$ tel que :

$$\omega'' \sim \omega (R_t^\chi) \text{ et } \theta_t(\omega'') \sim \omega' (R_0^\chi).$$

5.2- Sous les hypothèses du théorème 4.4, la propriété de raccordement entraîne que la fonction $\bar{h}$ introduite dans le corollaire 2 de ce théorème est déterminée de façon unique par les conditions (a), (b), (c) : en effet, pour tout $(\omega, \omega') \in \Omega \times \Omega$, tel que $X_0(\omega') = X_t(\omega)$, il existe, d'après la propriété de raccordement et le théorème 1.3, une trajectoire $\omega'' \in \Omega$ telle que $\omega'' \sim \omega (R_t^\chi)$ et $\theta_T(\omega'') \sim \omega' (R_0^\chi)$ ; il en résulte, en vertu de la $\hat{F}_T^\chi \otimes F_\alpha^\chi$-mesurabilité de $\bar{h}$, que $\bar{h}(\omega, \omega') = \bar{h}(\omega'', \theta_T(\omega'')) = h(\omega'')$ ; d'où l'unicité annoncée, compte-tenu de la propriété (c).

-----------------

<footnote>(1) Les fonctions aléatoires courantes à valeurs dans un espace LCD satisfait à ces hypothèses (voir l'appendice 1).</footnote>
## 5.3 - Décomposition d'un temps d'arrêt -

THEOREME - On suppose que la fonction aléatoire X est mesurable et possède la propriété de raccordement (1). Alors, si T est un temps d'arrêt de la famille ($\hat{F}_t^X$) (resp. ($F_t^X$)), et V un temps d'arrêt de la famille ($F_{t+}^X$) (2), il existe une application $\bar{V}$ de $\Omega \times \Omega$ dans $[0, +\infty]$ et une seule ayant les propriétés suivantes :

a) $\bar{V}$ est $\hat{F}_t^X \otimes F_\infty^X$-mesurable (resp. $F_t^X \otimes F_\infty^X$-mesurable).

b) $T(\omega) \vee V(\omega) = T(\omega) + V(\omega, \theta_T(\omega))$ pour tout $\omega \in \Omega$.

c) $\bar{V}(\omega, \omega') = 0$ si $T(\omega) = +\infty$ et $X_o(\omega') = X_T(\omega)$; et $\bar{V}(\omega, \omega') = +\infty$ si $X_o(\omega') \neq X_T(\omega)$ (3).

En outre, pour chaque $\omega \in \Omega$, l'application $\omega' \to \bar{V}(\omega, \omega')$ est un temps d'arrêt de la famille ($F_{t+}^X$) (2).

En effet, posons $V'(\omega) = T(\omega) \vee V(\omega) - T(\omega)$ si $T(\omega) < +\infty$, et $V'(\omega) = 0$ si $T(\omega) = +\infty$. $V'$ est $\hat{F}_t^X \vee F_\infty^X$-mesurable ; donc, d'après le corollaire 2 du théorème 4.4, et le n° 5.2 ci-dessus, il existe une application $\bar{V}$ de $\Omega \times \Omega$ dans $[0, +\infty]$ et une seule, $\hat{F}_t^X \otimes F_\infty^X$-mesurable et telle que $V'(\omega) = \bar{V}(\omega, \theta_T(\omega))$ pour tout $\omega \in \Omega$ et $\bar{V}(\omega, \omega') = +\infty$ (3) si $X_o(\omega') \neq X_T(\omega)$. On en déduit d'abord que

$$T(\omega) \vee V(\omega) = T(\omega) + \bar{V}(\omega, \theta_T(\omega))$$

pour tout $\omega \in \Omega$, et que $\bar{V}(\omega, \theta_T(\omega)) = 0$ si $T(\omega) = +\infty$ ; mais, si $X_o(\omega') = X_T(\omega)$, et $T(\omega) = +\infty$, on a $X_T(\omega) = \delta$, donc

$$\theta_T(\omega) = \omega_\delta, X_o(\omega') = \delta, \text{ et } \omega' \sim \omega_\delta (R_\infty^X);$$

d'où $\bar{V}(\omega, \omega') = \bar{V}(\omega, \theta_T(\omega)) = 0$ d'après la $F_\infty^X$-mesurabilité de $\bar{V}(\omega, \cdot)$ et le lemme 1.2.

Ainsi $\bar{V}$ possède les propriétés (a), (b), (c), et il reste

(1) En plus des hypothèses faites au début du paragraphe.

(2) Sans chapeau (voir la remarque 5.6 ci-dessous). Le théorème subsiste si on remplace la famille ($\hat{F}_t^X$) par la famille ($F_t^X$).

(3) On peut ici remplacer $+\infty$ par $0$.
seulement à établir que $\overline{V}(\omega, \cdot)$ est un temps d'arrêt de la famille $(F_t^\chi)$ ; ou encore, d'après le théorème 3.3, que, pour $\omega \in \Omega$ et $t \in \mathbb{R}_+$,

$$ (1) \quad \overline{V}(\omega, \omega_1) < t \quad \text{et} \quad \omega_2 \sim \omega_1 (R_t^\chi) \Longrightarrow \overline{V}(\omega, \omega_2) = \overline{V}(\omega, \omega_1). $$

Supposons donc que $\overline{V}(\omega, \omega_1) < t$ et $\omega_2 \sim \omega_1 (R_t^\chi)$. Si $T(\omega) = +\infty$, la conclusion est immédiate car $\omega_2 \sim \omega_1 (R_t^\chi)$ entraîne $X_o(\omega_2) = X_o(\omega_1)$. Supposons donc que $T(\omega) < +\infty$ et soit $u = T(\omega)$. D'après la propriété de raccordement, il existe $\overline{\omega}_1$ et $\overline{\omega}_2$ dans $\Omega$ tels que :

$$ (2) \qquad \overline{\omega}_i \sim \omega (R_u^\chi) \qquad (i = 1, 2). $$

$$ (3) \qquad \theta_u(\overline{\omega}_i) \sim \omega_i (R_\infty) $$

De la relation (2) résulte que $T(\overline{\omega}_i) = T(\omega) = u$ (théorème 1.3) et que $\overline{V}(\overline{\omega}_i, \cdot) = \overline{V}(\omega, \cdot)$ (théorème 1.4) ; et il résulte alors de la relation (3) que :

$$ \theta_{\tau}(\overline{\omega}_{i}) \sim \omega_{i} (R_{\infty}^{\chi}), \text{ donc que, pour } i = 1, 2, $$

$$ (4) \qquad \overline{V}(\omega, \omega_i) = \overline{V}(\overline{\omega}_i, \theta_{\tau}(\overline{\omega}_i)) = \overline{V}(\overline{\omega}_i) - T(\overline{\omega}_i). $$

Par ailleurs, les relations (2) et (3), jointes à l'hypothèse $\omega_2 \sim \omega_1 (R_t^\chi)$ entraînent que :

$$ (5) \qquad \overline{\omega}_2 \sim \overline{\omega}_1 (R_{t+u}^\chi). $$

Comme $V(\overline{\omega}_1) < t + u$ d'après l'hypothèse $\overline{V}(\omega, \omega_1) < t$, le théorème 3.3 entraîne que $\overline{V}(\overline{\omega}_2) = V(\overline{\omega}_1)$ ; d'où le résultat, d'après (4).

5.4 - Sous les hypothèses du théorème 5.3 sur X et T, l'application $V \longrightarrow \overline{V}$ a la propriété suivante qui résulte immédiatement de l'unicité :

COROLLAIRE - Si $(V_n)$ est une suite croissante de temps d'arrêt de la famille $(F_{t+}^\chi)$, et si $V = \sup_n V_n$, on a aussi $\overline{V} = \sup_n \overline{V}_n$.
**5.5** - Signalons enfin l'extension suivante qui est utile (1) pour étudier le temps d'arrêt V entre deux temps d'arrêt T et U = T + S. θ<sub>T</sub> :

COROLLAIRE - Soient S un deuxième temps d'arrêt de la famille (F̂<sup>x</sup><sub>t</sub>) et U le temps d'arrêt T + S. θ<sub>T</sub> (n° 4.3).

$$
\text{Posons} \quad V^*(\omega) = V(\omega) \quad \text{si} \quad \omega \in \{T \le V < U\},
$$

$$
\text{et} \quad V^*(\omega) = +\infty \quad \text{si} \quad \omega \notin \{T \le V < U\};
$$

$$
\bar{V}^*(\omega, \omega') = \bar{V}(\omega, \omega') \quad \text{si} \quad \omega \in \{T \le V\} \text{ et } \bar{V}(\omega, \omega') < S(\omega'),
$$

$$
\text{et} \quad \bar{V}^*(\omega, \omega') = +\infty \quad \text{si} \quad \omega \notin \{T \le V\} \text{ ou } \bar{V}(\omega, \omega') \ge S(\omega').
$$

Alors $V^*$ est un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_{t+}^x)$, et on a les
propriétés suivantes :

$$
(a^*) \quad \bar{V}^* \text{ est } \hat{F}_T^x \otimes \hat{F}_\infty^x\text{-mesurable.}
$$

$$
(b^*) \quad V^*(\omega) = T(\omega) + \bar{V}^*(\omega, \theta_T(\omega)) \quad \text{pour tout} \quad \omega \in \Omega.
$$

$$
(c^*) \quad \{T \le V\} \in \hat{F}_T^x, \text{ et } \{T \le V^* < U\} = \{V^* < +\infty\} \\
\qquad = \{T \le V\} \cap \{\omega \mid \bar{V}(\omega, \theta_T(\omega)) < S(\theta_T(\omega))\} \\
\qquad = \{T \le V\} \cap \{\omega \mid \bar{V}^*(\omega, \theta_T(\omega)) < +\infty\}.
$$

$$
(d^*) \quad \text{Pour chaque } \omega \in \Omega, \bar{V}^*(\omega, \cdot) \text{ est un temps d'arrêt de la famille } (\hat{F}_{t+}^x).
$$

$$
(e^*) \text{ Soit h une fonction numérique sur } \Omega, F_{v+}^x \text{-mesurable, et } \bar{h} \\
\text{l'unique (2) fonction numérique sur } \Omega \times \Omega \text{ réalisant la décom-} \\
\text{position de h par rapport au temps d'arrêt T (corollaire 2} \\
\text{du théorème 4.4) et nulle sur } \{\omega, \omega' \mid X_T(\omega) \neq X_\omega(\omega')\}. \text{ Alors,} \\
\text{pour tout } \omega \in \Omega, \text{ la fonction numérique}
$$

$$
\omega_1 \rightarrow 1_{\{\overline{\nu^*}(\omega, \cdot) < s\}} (\omega_1) \bar{f}(\omega, \omega_1) \text{ est } \hat{F}_{\overline{\nu^*}(\omega, \cdot), s}^{-} \text{-mesurable.}
$$

Que $V^*$ soit un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_{t+}^x)$ est un
résultat classique puisque $\{T \le V < U\} \in \hat{F}_{v+}^x$ ; on peut aussi le dé-

<footnote>(1) Voir à ce sujet Courrège et Priouret [6], n° 1.3.5.</footnote>

<footnote>(2) Voir le n° 5.2.</footnote>
duire du théorème 3.3. Que $\{T \le V\}$ appartienne à $\hat{F}_T^\chi$ est une conséquence de ce même théorème et du théorème 3.4 en considérant l'ensemble $\{V < T\}$. On en déduit que $\bar{V}^*$ est $\hat{F}_T^\chi \otimes \hat{F}_\omega^\chi$-mesurable, puisque $\bar{V}$ l'est ainsi que

$$M = (\{T \le V\} \times \Omega) \cap \{\omega, \omega' | \bar{V}(\omega, \omega') < S(\omega')\}.$$

La relation $V^*(\omega) = T(\omega) + \bar{V}^*(\omega, \theta_T(\omega))$ résulte de la propriété (b) de $\bar{V}$ (théorème 5.3) si $\omega \in \{T \le V < U\}$; elle est aussi vérifiée si $\omega \notin \{T \le V < U\}$ et $T(\omega) = +\infty$ ou si $\omega \notin \{T \le V\}$. Enfin, si $V(\omega) \ge U(\omega)$ et $T(\omega) < +\infty$, on a $\bar{V}(\omega, \theta_T(\omega)) \ge S(\theta_T(\omega))$, d'où la propriété (b*) par définition de $\bar{V}^*$. La propriété (c*) peut être établie de façon analogue, et la propriété (d*) est classique (elle peut aussi être déduite du théorème 3.3).

Enfin, la propriété (e*) réclame une simple vérification à partir du théorème 3.4, en utilisant la propriété de raccordement comme au n° 5.3

### 5.6 - REMARQUE
Le corollaire 5.5 tire son intérêt du fait que le théorème 5.3 ne permet d'associer une fonction $\bar{V}$, $\hat{F}_T^\chi \otimes \hat{F}_\omega^\chi$-mesurable, qu'à un temps d'arrêt V de la famille $(F_{t+}^\chi)$ (sans chapeau). Si $T$ et $S$ sont des temps d'arrêt de la famille $(F_t^\chi)$, cette difficulté parait, et il suffit d'appliquer le théorème 5.3 au temps d'arrêt $V^*$.

# APPENDICE I

## Fonction aléatoires typiques

Al.1 - Le présent appendice a pour but de situer dans le cadre employé ici, les fonctions aléatoires pour lesquelles les éléments de l'ensemble $\Omega$ sont exactement des applications de $R_+$ dans $E$. Ce sont ces fonctions aléatoires qui seront appelées typiques (voir le n° Al.3 ci-dessous).

Al.2 - La fonction aléatoire canonique a cimetière - $(E, \mathcal{B})$ étant un espace mesurable, et $(E_\delta, \mathcal{B}_\delta)$ étant défini comme au n° 0.3, on considère l'espace $E_\delta^{R_+}$ de toutes les applications de $R_+$ dans $E_\delta$, et on désigne, pour chaque $t \in R_+$, par $X_t^{(E)}$ la projection $\varphi \to \varphi(t)$ de $E_\delta^{R_+}$ sur $E_\delta$, et par $\theta_t^{(E)}$ et $\alpha_t^{(E)}$ les opérateurs

5.6, Al.2.
de translation et d'arrêt sur $E_δ^{R_+}$ entièrement définis par

$$X_s^{(E)} \circ \Theta_t^{(E)} = X_{s+t}^{(E)} \quad \text{et} \quad X_s^{(E)} \circ \alpha_t^{(E)} = X_{s \wedge t}^{(E)} \quad (s \in R_+);$$

on désigne enfin par $\omega_δ^{(E)}$ la trajectoire constante en $\delta$, et par $\Omega^{(E)}$ le sous-ensemble de $E_δ^{R_+}$ formé des trajectoires $\varphi$ telles que $\{t | t \in R_+ \text{ et } \varphi(t) = \delta\}$ est un intervalle de la forme

$$[a, +\infty [ \text{ (où } a \in [0, +\infty)).$$

Pour chaque $t \in R_+$, $\Theta_t^{(E)}$ et $\alpha_t^{(E)}$ appliquent $\Omega^{(E)}$ dans lui. même ; il en résulte que le terme :

$$X^{(E)} = (\Omega^{(E)}, \omega_{\delta}^{(E)}, (X_t^{(E)})_{t \in R_+}, E, \mathcal{B}, \delta)$$

est une fonction aléatoire (à cimetière) à valeurs dans $(E, \mathcal{B})$ admettant comme familles d'opérateurs de translation et d'arrêt les restrictions à $\Omega^{(E)}$ des familles $(\Theta_t^{(E)})$ et $(\alpha_t^{(E)})$. En outre, $X^{(E)}$ possède la propriété de raccordement (n° 5.1).

Conformément à la terminologie de Dynkin, $X^{(E)}$ est la fonction aléatoire canonique (à cimetière) à valeurs dans $(E, \mathcal{B})$.

**A1.3 - Fonctions aléatoires typiques** - Une fonction aléatoire (à cimetière) $X = (\Omega, \mathcal{F}, \omega_\delta, (X_t))$ à valeurs dans $(E, \mathcal{B})$ est dite typique si elle possède la propriété de raccordement et si elle est induite par $X^{(E)}$ au sens suivant : $\Omega$ est un sous-ensemble de $\Omega^{(E)}$ invariant par $\Theta_t^{(E)}$ et $\alpha_t^{(E)}$ pour chaque $t \in R_+ ; X_t$ est, pour chaque $t \in R_+$, la restriction de $X^{(E)}$ à $\Omega$, et $\omega_\delta = \omega_\delta^{(E)}$.

Les restrictions à $\Omega$ des familles $(\Theta_t^{(E)})$ et $(\alpha_t^{(E)})$ constituent alors des familles d'opérateurs de translation et d'arrêt de $X$ (les seules possibles d'ailleurs).

**A1.4 - Exemples** - On suppose que $E$ est un espace localement compact à base dénombrable, que $\mathcal{B} = \mathcal{B}_E$ est sa tribu borélienne et que $E_\delta$ est le compactifié d'Aléxandrov de $E$.

**Ier exemple.** Fonction aléatoire de Hunt - $\Omega$ est le sous-ensemble de $\Omega^{(E)}$ formé des trajectoires $\omega$ continues à droite pourvues d'une limite à gauche en tout point $t \in R_+$ tel que $X_t^{(E)}(\omega) \neq \delta$.
**2ème exemple.** Fonction aléatoire continue - $\Omega$ est le sous-ensemble de $\Omega^{(E)}$ formé des trajectoires $\omega$ continues en tout point $t \in \mathbb{R}_+$ tel que $X_t^{(E)}(\omega) \neq \delta$.

**3ème exemple.** Fonction aléatoire en gradins (1) - $\Omega$ est le sous-ensemble de $\Omega^{(E)}$ formé des trajectoires $\omega$ pour lesquelles il existe une suite croissante $(t_n)_{n \ge 0}$ de nombres $\ge 0$ et une suite $(a_n)_{n \ge 0}$ d'éléments de $E_\delta$ tels que :

$$ - t_o = 0, \quad \text{Sup}_n t_n = \sigma_E^x(\omega) (2); $$

$$ - X_t(\omega) = a_n \quad \text{pour tout } n \ge 0 \text{ et } t \in [t_n, t_{n+1}]. $$

(de telles trajectoires sont continues à droite).

**A1.5 - Transformation canonique d'une fonction aléatoire ; type d'une fonction aléatoire** - $X = (\Omega, \omega_\delta, (X_t))$ désignant une fonction aléatoire à valeur dans $(E, \mathcal{B})$, on définit une application $\gamma_x$ de $\Omega$ dans $\Omega^{(E)}$ au moyen des relations : $X_t^{(E)} \circ \gamma_x = X_t \circ (t \in \mathbb{R}_+)$ : $\gamma_x$ est la transformation canonique de la fonction aléatoire $X$.

Si $X$ admet des familles d'opérateurs de translation et d'arrêt $(\theta_t)$ et $(\alpha_t)$, et possède la propriété de raccordement, on a

$$ \theta^{(E)} \circ \gamma_x = \gamma_x \circ \theta_t, \quad \alpha_t^{(E)} \circ \gamma_x = \gamma_x \circ \alpha_t \quad (t \in \mathbb{R}_+), $$

et la fonction aléatoire induite sur $\gamma_x(\Omega)$ par $X^{(E)}$ est typique (n° A1.3 ci-dessus).

Plus généralement, soient $X = (\Omega, \omega_\delta, (X_t))$ une fonction aléatoire à cimetière (a priori quelconque) et $X^0 = (\Omega^0, \omega_\delta^{(E)}, (X_t^0))$ une fonction aléatoire typique à valeurs toutes deux dans $(E, \mathcal{B})$. On peut exprimer la relation $\gamma_x(\Omega) \subset \Omega^0$ (autrement dit, pour tout $\omega \in \Omega$, la trajectoire $t \to X_t(\omega)$ de $\omega$ appartient à $\Omega^0$) en disant que $X$ est de type $X^0$. (Par exemple si $X^c$ est la fonction aléatoire typique continue (n° A1.4, ex. 2), les assertions "X est continue" et "X est de type $X^c$" sont équivalentes).

<footnote>(1) Voir Dynkin [7], parag. 3.13.</footnote>

<footnote>(2) $\sigma_E^x$ désigne la durée de vie de $X$ (autrement dit, le temps de sortie de $E$ pour $X$, voir l'appendice 2).</footnote>
Notons enfin que, la fonction aléatoire $X$ étant donné, il existe une fonction aléatoire typique $X^m = (\Omega^m, \omega_\delta^{(E)}, (X_t^m))$ à valeurs dans $(E, \mathcal{B})$, et une seule, telle que pour toute fonction aléatoire typique $X^0 = (\Omega^0, \omega_\delta^{(E)}, (X_t^0))$ à valeurs dans $(E, \mathcal{B})$, on ait :

$X$ est du type $X^0 \Longleftrightarrow \Omega^m \subset \Omega^0$.

(En effet, il est facile de vérifier que si $(X_t^i)_{i \in I}$ est une famille de fonctions aléatoires typiques à valeurs dans $(E, \mathcal{B})$

$(X_t = (\Omega^i, \omega_\delta^{(E)}, (X_t^i)), i \in I)$ et si on pose,
$$ \bar{\Omega} = \bigcap_t \Omega^i, \quad \bar{X}_t(\omega) = X_t^{(E)}(\omega) \quad (t \in R_+, \omega \in \bar{\Omega}), $$

$\bar{X} = (\bar{\Omega}, \omega_\delta^{(E)}, (\bar{X}_t))$ est aussi une fonction aléatoire typique à valeurs dans $(E, \mathcal{B})$.

On pourrait appeler $X^m$ le type de $X$.

# APPENDICE II

## Exemples de temps d'arrêt des familles $(F_t^x), (\hat{F}_t^x)$ et $(\hat{F}_t^{x,+})$: temps de sortie (1)

Pour chaque sous-ensemble $\Gamma$ de $E$, on désigne par $\sigma_t^x$ le temps de sortie de $\Gamma$ pour $X$ :

$\sigma_{\Gamma}^{x}(\omega) = \inf \{t \mid t \in [0, +\infty] \text{ et } X_t(\omega) \notin \Gamma\} \quad (\omega \in \Omega).$

**A2.1 - THEOREME** - On suppose que la fonction aléatoire $X$ est mesurable (2). Alors, pour tout $\Gamma \in \mathcal{B}$, $\sigma_\Gamma^x$ est un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_{t+}^x)$.

En effet, pour chaque $t \in \mathbb{R}_+$, soit $A_t$ l'ensemble $\{(u, \omega) \mid u < t \text{ et } X_u(\omega) \in \Gamma\}$; en vertu de la mesurabilité de $X$, $A_t \in \mathcal{R}_{\mathbb{R}_+} \otimes F_m^x$,

<footnote>(1) Voir à ce sujet, Dynkin 7, chap. 4, Meyer 10 et Courrège 3.</footnote>

<footnote>(2) Voir les n° 0.5 et 0.6.</footnote>
si $\Gamma \in \mathcal{B}$. Mais $\{\sigma_{\Gamma}^x < t\}$ est la projection de $A_t$ sur $\Omega$ ; donc, d'après le théorème de projection des ensembles mesurables (voir Meyer [10], ou Courrège [3]), $\{\sigma_{\Gamma}^x < t\} \in \overline{F}_{\infty}^x$ ; autrement dit, $\sigma_{\Gamma}^x$ est $F_{\infty}^x$-mesurable ; le résultat annoncé est alors une conséquence immédiate du théorème 3.3.

### A2.2 - On suppose que $E$ est un espace topologique métrisable, que $\mathcal{B} = \mathcal{B}_E$ est sa tribu borélienne, et que la fonction aléatoire $X$ à valeurs dans $(E, \mathcal{B}_E)^{(1)}$ est continue à droite (2) (elle est alors mesurable). Alors :

(α) si $\Gamma$ est un fermé de $E$, $\sigma_{\Gamma}^x$ est un temps d'arrêt de la famille $(F_{t+}^x)$ (sans chapeau).

(β) si $\Gamma$ est un ouvert de $E$, $\sigma_{\Gamma}^x$ est un temps d'arrêt de la famille $(\hat{F}_t^x)$ ; si, de plus, $X$ est continue (App. 1, n° A1.4 ex. 2, et n° A1.5) $\sigma_{\Gamma}^x$ est un temps d'arrêt de la famille $(F_t^x)$.

(γ) si $X$ est une fonction aléatoire àgradins (App. 1, n° A1.4, ex. 3 et n° A1.5) pour chaque entier $n$, le temps du n-ième saut de $X$ est un temps d'arrêt de la famille $(F_t^x)$.

En effet, si $\Gamma$ est fermé, on a

$$ \{\sigma_{\Gamma}^{x} < t\} = \bigcup_{\substack{r \in \mathbb{Q}_{+} \\ r < t}} \{X, \notin \Gamma\} \quad (3), $$

d'où la propriété (α).

Supposons que $\Gamma$ soit ouvert ; $\sigma_{\Gamma}^x$ est $\overline{F}_{\infty}^x$-mesurable d'après le théorème A2.1. Utilisons le théorème 1.3 : soient $t, \omega, \omega'$, tels que $\sigma_{\Gamma}^x(\omega) \le t$ et $\omega' \sim \omega (R_t^x)$ ; si $\sigma_{\Gamma}^x(\omega) < t$, on a $\sigma_{\Gamma}^x(\omega') = \sigma_{\Gamma}^x(\omega)$ d'après les théorèmes A2.1 et 3.3 ; si $\sigma_{\Gamma}^x(\omega) = t$, on a $X_t(\omega) \notin \Gamma$, puisque $E_\delta \setminus \Gamma$ est fermé ; donc $X_t(\omega') \notin \Gamma$ ; et $\sigma_{\Gamma}^x(\omega') \le t$. D'où le résultat, puisque $\sigma_{\Gamma}^x(\omega') < t$ et $\omega' \sim \omega (R_t^x)$ contredirait l'hypothèse $\sigma_{\Gamma}^x(\omega) = t$ d'après le théorème 3.3. Si, de plus, $X$ est continu,

<footnote>(1) Voir le n° 0.6.</footnote>

<footnote>(2) Autrement dit, que, pour chaque $\omega \in \Omega$, l'application $t \to X_t(\omega)$ de l'intervalle $[0, \sigma_{\Gamma}^x(\omega)]$ [dans $E$ est continue à droite.</footnote>

<footnote>(3) Q, désigne l'ensemble des nombres rationnels $\ge 0$.</footnote>
nue, on a $\sigma_{\Gamma}^{x} = \sup_{n} \sigma_{K_n}^{x}$, où $(K_n)$ est une suite croissante de fermés dont la réunion est $\Gamma$. $\sigma_{\Gamma}^{x}$ est ainsi $F_{\infty}^{x}$-mesurable, d'après $(\alpha)$, donc un temps d'arrêt de $(F_{t}^{x})$ d'après le raisonnement précédent.

Supposons enfin que $X$ soit à gradins, et soit $T_n$ le temps du n-ième saut ($n \ge 1$) : par définition

$$T_1(\omega) = \inf \{ u \mid u \in [0, +\infty] \text{ et } X_u(\omega) \notin X_o(\omega) \}$$

et si $X_o(\omega) \notin \delta$ et $T_1(\omega) = +\infty$ si $X_o(\omega) = \delta$. Donc, si

$$t \in \mathbb{R}_+, \{T_1 \le t\} = \left( \bigcup_{r \in Q_+} \{X_r \notin X_o\} \right) \cup \{X_t \notin X_o\};$$

$T_1$ est donc un temps d'arrêt de la famille $(F_t^x)$ ; il en est de même de $T_n$ d'après le lemme 4.3, puisque $T_{n+1} = T_n + T_1 \circ \theta_{T_n} (n \ge 1)$.

# APPENDICE III

## Evènements postérieurs à $T$ et relation d'équivalence $\theta_t^{-1}(R_{\infty}^{x})$ (1)

**A3.1 - Relation d'équivalence $S_H^x$** - Soit $H$ une application de $\Omega$ dans $[0, +\infty]$ ; on définit la relation d'équivalence $S_H^x$ sur $\Omega$ en posant :

$$\omega \sim \omega' (S_H^x) \iff \theta_H(\omega) \sim \theta_H(\omega') (R_{\infty}^x).$$

Ainsi la relation $\omega \sim \omega'(S_H^x)$, équivaut à $X_{H+t}(\omega) = X_{H+t}(\omega')$ pour tout $t \in \mathbb{R}_+$ (ceci sans que l'on ait nécessairement $H(\omega) = H(\omega')$ ; voir le n° 3 ci-dessous à ce sujet).

**A3.2 - LEMME - Supposons que la fonction aléatoire $X$ est mesurable (2) et possède la propriété de raccordement (3), et soit $T$ un**

(1) Les hypothèses sur $X$ sont les mêmes qu'au paragraphe 4.

(2) N° 0.5.

(3) N° 5.1.
temps d'arrêt de la famille ($F_t^x$) ; alors la tribu $\theta_t^{-1}(F_\infty^x)$ est idéntique à l'ensemble des événements de $F_\infty^x$ qui sont saturés pour $S_t^x$.

En effet, d'après le lemme 4.1, $\theta_t^{-1}(F_\infty^x) \subset F_\infty^x$, d'une part ; et d'autre part tout événement A de la forme $\theta_t^{-1}(B)$ est saturé pour $S_t^x$. Inversement, supposons que $A \in F_\infty^x$ et que A soit saturé pour $S_t^x$. D'après le corollaire 2 du théorème 4.4, il existe une fonction numérique $\Phi$ sur $\Omega \times \Omega$, $F_t^x \otimes F_\infty^x$-mesurable et telle que $1_\lambda(\omega) = \Phi(\omega, \theta_t(\omega))$ pour tout $\omega \in \Omega$.

Pour chaque $\omega \in \Omega$, posons $\varphi(\omega) = \Phi(\alpha_o(\omega), \omega)$, et montrons que l'on a $1_\lambda = \varphi \circ \theta_t$ ; le lemme en résultera puisque $\varphi$ est $F_\infty^x$-mesurable. Il suffit d'établir que si $\omega_1, \omega_2$ et $\omega'$ sont tels que $X_T(\omega_1) = X_T(\omega_2) = X_o(\omega')$, alors $\Phi(\omega_1, \omega') = \Phi(\omega_2, \omega')$ (prendre $\omega_1 = \alpha_o(\theta_T(\omega))$, $\omega_2 = \omega$, et $\omega' = \theta_T(\omega)$). Or, la propriété de raccordement et le théorème 1.3 entraînent qu'il existe $\omega'_1$ et $\omega'_2$ tels que :

$$ \omega'_i \sim \omega_i (R_T^x) \quad \text{et} \quad \theta_T(\omega'_i) \sim \omega' (R_\infty^x) \quad (i = 1, 2, \dots). $$

On a donc :

$$ \Phi(\omega_i, \omega') = \Phi(\omega'_i, \theta_T(\omega'_i)) = 1_\lambda(\omega'_i) \quad (i = 1, 2, \dots); $$

d'où le résultat, puisque $\omega'_1 \sim \omega'_2 (S_T^x)$.

**A3.3** - REMARQUE - Soient T et S deux temps d'arrêt de la famille ($F_t^x$) et $U = T + S \circ \theta_T$. On a : $\theta_U = \theta_S \circ \theta_T$, donc :

$$ (1) \qquad \theta_U^{-1}(F_\infty^x) = \theta_T^{-1}(\theta_S^{-1}(F_\infty^x)), $$

et, en particulier :

$$ (2) \qquad \theta_U^{-1}(F_\infty^x) \subset \theta_T^{-1}(F_\infty^x), $$

ce qui peut s'exprimer en disant qu'un événement postérieur à U est aussi postérieur à T. Cette propriété ne subsiste pas pour un temps d'arrêt quelconque $U \ge T(1)$. Le théorème 5.3 permet de montrer que la relation (2) n'est vérifiée pour un temps d'arrêt $U \ge T$ que si U est de la forme $T + S \circ \theta_T$.

<footnote>(1) "Un événement postérieur à U peut dépendre du passé avant $T''$.</footnote>
Ce résultat ne contredit pas le lemme A3.2 : un événement saturé pour $S_u^x$ n'est pas nécessairement saturé pour $S_t^x (1)$.

BIBLIOGRAPHIE

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[8] ITO (K.) & MCKEAN (H.P.). - Diffusion processes and their sample paths. Berlin, Springer (1965).

[9] MCKEAN (H. P.) & TANAKA (H.). - Additive functionals of the Brownian path, *Memoirs Coll. Sci. Univ. Kyoto. Ser. A Math.*, 33 (1961), 476-506.

[10] MEYER (P. A.). - *Probabilité et Potentiel*. A paraître.

Institut Henri Poincaré
11, rue Pierre Curie
Paris (5ème), France

Reçu le 15 mai 1965

<footnote>(1) Dans le même ordre d'idée, on sait que T n'est pas, en général, $\theta_t^{-1}(F_\omega^x)$-mesurable.</footnote>