# Identification d'une diffusion stochastique

François Delebecque, Jean-Pierre Quadrat

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François Delebecque, Jean-Pierre Quadrat. Identification d'une diffusion stochastique. [Rapport de recherche] IRIA-RR-121, IRIA. 1975, pp.49. hal-04716096

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F

Identification
d'une diffusion stochastique.

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F. Delebecque, J.P. Quadrat

Rapport de Recherche n° 121

Mai 1975
# IDENTIFICATION D'UNE DIFFUSION STOCHASTIQUE

F. Delebecque, J.P. Quadrat

## RESUME :

Nous présentons ici une méthode d'identification des coefficients inconnus b et σ d'une diffusion stochastique sur $R : dx_t = b(t,x_t)dt + \sigma(t,x_t)dw_t$.

Nous nous intéressons essentiellement au cas non linéaire et nous donnons une approximation des deux fonctions b et σ par des fonctions en escalier ainsi qu'une estimation de l'erreur commise.

## ABSTRACT :

We present here a method of identification of the unknown coefficients b and σ of a stochastic diffusion : $dx_t = b(t,x_t)dt + \sigma(t,x_t)dw_t$ where $x_t \in R$.

We study especially the non linear case ; we give an approximation of the two functions b and σ by step functions and we give also an estimation of the error.
# IDENTIFICATION D'UNE DIFFUSION STOCHASTIQUE

(F. DELEBECQUE - J.P. QUADRAT)

Une large classe de processus peut être représentée par une diffusion. On en trouve des exemples concrets dans des domaines très variés :
- Evolution d'une population microbienne - diffusion d'une information dans le public - séries temporelles - météorologie etc... De même, dans de nombreux problèmes de contrôle stochastique l'évolution du système est représentée par une équation d'état qui est une diffusion. L'étude qualitative du processus envisagé ou son contrôle dépendent donc de façon cruciale de la plus ou moins bonne connaissance qu'on a des fonctions ou paramètres inconnus qui interviennent dans l'équation de diffusion. On se propose ici de donner des estimateurs de ces fonctions au vu de trajectoires observées sur le processus, de donner des propriétés stochastiques précises sur ces estimateurs et de montrer sur un exemple concret l'utilisation qu'on peut faire de ces méthodes.

Dans le cas où la diffusion est linéaire stationnaire on dispose de techniques utilisant essentiellement l'équation d'évolution de la moyenne et de la fonction d'auto-correlation FAURRE [3] BOX et JENKINS [11] RISSANEN [8] etc... Ces techniques ne se généralisent pas simplement au cas non linéaire. Nous nous intéressons essentiellement ici à ce dernier cas.

Une autre approche possible et d'utiliser le théorème de Cameron Martin qui donne une expression de la densité de probabilité de la diffusion par rapport à une mesure dépendant uniquement du terme de diffusion. La méthode du maximum de vraisemblance permet alors d'identifier des coefficients apparaissant dans la dérive. Cette approche a été utilisée par LIPCHER-SHIRAEV [5] pour identifier un coefficient multiplicatif sur la dérive, par LE BRETON [4] dans le cas vectoriel linéaire, par SOLER [9] comme exemple de structure exponentielle en dimension infinie. Nous utiliserons ici cette méthode pour estimer une approximation en escalier du terme de dérive. Nous montrerons que cet estimateur est optimum, suivant la méthode de LIPCHER SHIRAEV [5], lorsque la dérive est effectivement une fonction en escalier et que le terme de diffusion est constant. Dans les autres cas nous évaluerons la vitesse de convergence de cet estimateur, grâce au théorème du logarithme itéré appliqué aux martingales.

Pour identifier le terme de diffusion nous utiliserons le théorème indiquant que la variation quadratique d'une martingale est égale à son processus croissant. Et nous construirons une approximation de cette variation quadratique dont on pourra étudier la qualité au moins dans les zones où le terme de diffusion est constant, ou lorsque le coefficient à identifier apparaît multiplicativement, le terme de dérive étant connu. Cette méthode nous permettra de construire également une approximation en escalier du terme de diffusion.

Ces deux techniques nous permettront d'obtenir dans tous les cas, dérive et terme de diffusion étant des fonctions continues quelconques, des résultats d'approximation, dont on saura que, dans certains cas particuliers, ils sont optimaux.
On verra ainsi que la qualité de l'estimation de la dérive dans une zone
dépend essentiellement du temps passé par la trajectoire observée dans cette zone.
Au contraire la qualité de l'estimation du terme de diffusion dans une zone ne dépend
que de la fréquence d'échantillonnage de l'observation dans cette zone, le temps
passé n'intervenant pas pourvu, bien sur, que ce temps ne soit pas nul. D'autre part
la qualité de l'approximation dans une zone dépendra de la taille de l'escalier
correspondant. En pratique il y aura donc un compromis à faire entre la taille
des escaliers et le temps [ resp la fréquence] d'observation sur cet escalier.
I, l'évaluation des intervalles de confiance sera très utile pour établir ce compromis.

Dans la première partie nous ferons des rappels de statistiques et essaierons
de donner des idées intuitives sur le problème discret. Dans la seconde partie nous
ferons l'étude de cas continu. Dans la troisième partie nous donnerons quelques
résultats numériques ainsi qu'une application à l'identification des apports d'eau
dans un barrage. Nous donnons en annexe les résultats théoriques sur les diffusions
nécessaires essentiellement à la seconde partie.

Nous suivons donc le plan suivant :

# CHAPITRE I - RAPPELS DE STATISTIQUE ET ETUDE DU CAS DISCRET

## § 1 - RAPPELS

1.1 - Estimation sans biais

1.2 - Maximum de vraisemblance

1.3 - Estimation Bayésienne

## § 2 - CAS DISCRET

2.1 - Estimation de la dérive

2.2 - Estimation du terme de diffusion

# CHAPITRE II - IDENTIFICATION DE DIFFUSIONS STOCHASTIQUES (Cas continu)

## Introduction

## § 1 - IDENTIFICATION DE LA DERIVE b , LE TERME DE DIFFUSION σ ETANT CONSTANT

1.1 - Cas général b = Σθᵢψᵢ

1.2 - Cas des fonctions ψᵢ à supports disjoints

1.3 - Approximation de b par des fonctions

## § 2 - IDENTIFICATION DU TERME DE DIFFUSION, LA DERIVE ETANT CONNUE

2.1 - σ constant sur A

2.2 - Approximation de σ sur A

## § 3 - IDENTIFICATION DES TERMES DE DERIVE ET DE DIFFUSION, AUCUN DES DEUX N'ETANT CONNUS

3.1 - Terme de dérive

3.2 - Terme de diffusion

## Conclusion
# CHAPITRE III - ESSAIS NUMERIQUES ET EXEMPLE D'APPLICATION

## § 1 - ESSAIS NUMERIQUES

1.1 - Estimations de fonctions constantes

1.2 - Approximation par des fonctions en escalier

## § 2 - EXEMPLE D'APPLICATION

### Conclusion

## ANNEXE

A.1 - Définition d'une diffusion

A.2 - Formule de Cameron-Martin

A.3 - Inégalité de Cramer-Rao

A.4 - Variation quadratique d'une martingale continue

A.5 - Théorème du Logarithme itéré

### Bibliographie
# CHAPITRE I

## RAPPELS DE STATISTIQUE ET ETUDE DU CAS DISCRET

### 1 - RAPPELS

On appelle structure statistique $(\Omega, \mathcal{A}, P_\theta, \theta, \mathcal{E}(\mathcal{H}))$ la donnée d'un espace probabilisé par $(\Omega, \mathcal{A})$ et d'une famille de probabilité $P_\theta$ sur cet espace.

$\theta$ est un paramètre inconnu $\mathcal{E}(\mathcal{H})$. On cherchera à estimer $\theta$ au vu d'une observation $x \in \Omega$. Dans le cas de l'estimation d'une diffusion $\Omega$ est un espace fonctionnel $(\mathbb{R}_+, \mathbb{R})$ et $P_\theta = P_{b,\sigma}$ est la loi engendrée sur $\Omega$ par la diffusion

$$dx(t) = b(t, x(t))dt + \sigma(t, x(t))dw(t)$$

où les fonctions $b$ et $\sigma$ sont inconnues, ou dépendent de paramètres inconnus.

Pour introduire naturellement une structure statistique nous avons adopté comme définition la formulation faible qui est donnée en annexe.

Nous rappelons maintenant quelques résultats classiques de statistique sur $\mathbb{R}^n$■

#### 1.1 - L'estimation sans biais

On cherche à estimer $g(\theta)$ par un estimateur $T(\cdot)$ défini sur $\Omega$. Si on se restreint à la classe des estimateurs sans biais $deg(\theta)$, le critère d'efficacité habituel, écart quadratique moyen $E_{\theta}(T-g(\theta))^2$, devient égal à la variance $V.T.$

$\theta$

Le théorème suivant montre qu'il n'est pas possible d'abaisser la variance $VT$ en dessous d'un certain seuil indépendant de l'estimateur choisi $T$.

$\theta$

On suppose que la famille $P_\theta$ est absolument continue par rapport à une mesure fixe :

$$d P_{\theta} = \mathcal{L}(\theta, \omega) d\mu$$

Sous diverses hypothèses de régularité concernant $\mathcal{L}$ on a alors en posant

$B(\theta) = E_{\theta}(T-g(\theta))$ l'inégalité (Cramer-Rao)

$$\forall \theta \quad E(T-g(\theta))^2 \ge \frac{\left(\frac{d}{d\theta}(B(\theta)+g(\theta))\right)^2}{E\left(\frac{\theta}{f_{\theta}}\right)^2} + B^2(\theta)$$

donc si $\hat{\theta}$ est un estimateur sans biais ($B(\theta) = \theta$) de $\theta$

On a

$$(1) \qquad V_{\theta} \hat{\theta} \ge \frac{1}{E\left(\frac{\theta}{f_{\theta}}\right)^2}$$
Un estimateur sans biais sera dit _optimal_ (ou d'efficacité maximale), s'il vérifie (1) à l'égalité ■

**Exemple** : Si on considère la structure statistique associée aux tirages indépendants de n v.a gaussiennes $P(m, \sigma)$, les v.a moyenne empirique et variance empirique (m connu) sont des estimateurs sans biais optimaux de m et $\hat{\sigma}^2$ ■

## 1.2 - Maximum de vraisemblance

On se place encore dans le cas où la famille $P_\theta$ admet une densité $f(\omega, \theta)$ par rapport à une mesure fixe (indépendante de $\theta$).

La méthode du maximum de vraisemblance consiste à choisir $\theta(.)$, estimateur de $\theta$ par :

$$ \hat{\theta}(\omega) = \arg \max_{\theta} f(\omega, \theta) $$

Lorsque la structure statistique est associée à des tirages _indépendants_ on peut montrer que les estimateurs ainsi obtenus sont, sous des hypothèses assez générales, consistants, asymptotiquement gaussiens et asymptotiquement d'efficacité optimale ■

## 1.3 - Estimation Bayésienne :

On suppose que le paramètre $\theta$ à estimer est une variable aléatoire dont on se donne une loi "à priori" $Q(d\theta)$ et la famille $P_\theta$ s'interprète alors comme une famille de transitions de Probabilité $P(d\omega|\theta)$. On connaît alors la loi de $\omega$ dans $\Omega$, loi marginale de $P(d\omega|\theta) = P(d\omega|\theta)Q(d\theta)$. Etant donnée une fonction de risque, on choisit alors comme estimateur de $\theta$, la v.a $\overline{g}(\theta)$ ($\cdot$) qui minimise l'espérance du risque ■
## 2 - ETUDE DU CAS DISCRET

Nous exposons ici, dans le cadre le plus simple possible, les deux méthodes qui nous donnerons les estimateurs $\hat{b}$ et $\hat{\sigma}$ dans le cadre général.

### 2.1 - Estimation de la dérive b

Soit deux fonctions $b^\theta(t, x)$ et $w(t, x)$ où $b^\theta$ dépend d'un paramètre inconnu $\theta$ et $w_t$ un brownien standard. Nous approximons la diffusion $x_t$ solution de

$$ (1) \quad \begin{cases} d\hat{x}_t = b^\theta(t, x_t) dt + \sigma(t, x_t) dW_t \\ x(0) = x_0 \quad \text{donné} \end{cases} $$

par une suite de v.a. $(x_{t1}, \dots, x_{tn})$ définie comme suit :

$(t_0, t_1, \dots, t_n)$ est une suite d'instants avec $t_0 = 0$

$\xi_i, i = 1, \dots, n$ est une suite de v.a. gaussiennes indépendantes centrées réduites

$$ (2) \quad \begin{cases} x_{t0} = x_0 \\ x_{t_i n} = x_{t_i} + b^\theta(t_i, x_{t_i})(t_{i+1} - t_i) + \sigma(t_i, x_{t_i}) \sqrt{t_{i+1} - t_i} \times \varepsilon_i \end{cases} $$

La probabilité de transition $P(x_{t_i+1} | x_{t_i})$ est une loi normale de moyenne $x_{t_i} + b^\theta(t_i, x_{t_i})(t_{i+1} - t_i)$ et d'écart-type $\sigma(t_i, x_{t_i})\sqrt{t_{i+1} - t_i}$ et la loi du n-uple $X = (x_{t_i}, \dots, x_{t_n})$ admet une densité $q_\theta(t_0; x_0; t_i, \dots, t_n, x_n)$ par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^n$ donnée par :

$$ (3) \quad q_\theta(x) = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{(2n)^{-1/2}}{\sigma(t_i, x_i)\sqrt{t_{i+1}-t_i}} \exp - \frac{(x_i x_{i+1} - x_i - b^\theta(t_i, x_i)(t_{i+1}-t_i))^2}{2 \sigma^2(t_i, x_i)(t_{i+1}-t_i)} $$

De même soit $P(t_0, y_0, \dots, t_n, y_n)$ la densité d'un n-uple analogue approximant la diffusion

$$ dy_t = \sigma(t, y_t) dW_t . $$

On voit alors facilement que $q_\theta(\cdot)$ s'écrit simplement en fonction de $P(\cdot)$ :

$$ q_{\theta}(t_0, x_0; \dots, t_n, x_n) = \exp \left\{ \sum_i \frac{b^{\theta}(t_i, x_i)(x_{i+1}-x_i)}{\sigma^2(t_i, x_i)} - \frac{1}{2} \sum_i \frac{b^{\theta}(t_i, x_i)^2 (t_{i+1}-t_i)}{\sigma^2(t_i, x_i)} \right\} \times P(t_0, x_0; \dots, t_n, x_n) $$

On en déduit que la loi de $X(q_\theta = q_\theta dx)$, est absolument continue par rapport à la loi de $Y(P = p dx)$, et admet pour densité par rapport à P :

$$ \frac{d q_{\theta}}{d P} = \theta(\theta) = \exp \left\{ \sum_i \frac{b^{\theta}(t_i, x_i)(x_{i+1}-x_i)}{\sigma^2(t_i, x_i)} - \frac{1}{2} \sum_i \frac{b^{\theta}(t_i, x_i)^2 (t_{i+1}-t_i)}{\sigma^2(t_i, x_i)} \right\} $$
La mesure de probabilité P ne dépendant pas de θ, on peut alors calculer les estimateurs de maximum de vraisemblance de θ en maximisant $\hat{\theta}(\theta)$ par rapport à θ.

Dans le cas particulier où $b^\theta(\cdot) = \theta \cdot b(\cdot)$ (b connu) on peut mener le calcul à terme. En effet on a :

$$ \hat{\theta}(\theta) = \exp \left\{ \sum_i \frac{b(t_i, x_i)(x_{i+1} - x_i)}{\sigma^2(t_i, x_i)} - \frac{1}{2} \theta^2 \sum_i \frac{b^2(t_i, x_i)(t_{i+1} - t_i)}{\sigma^2(t_i, x_i)} \right\} $$

$$ \text{d'où} \quad \sum_{i=0}^{n-1} \frac{b(t_i, x_i)(x_{i+1} - x_i)}{\sigma^2(t_i, x_i)} $$

$$ (4) \qquad \hat{\theta}_n = \frac{\sum_{i=0}^{n-1} \frac{b^2(t_i, x_i)(t_{i+1} - t_i)}{\sigma^2(t_i, x_i)}}{\sum_{i=0}^{n-1} \frac{b^2(t_i, x_i)(t_{i+1} - t_i)}{\sigma^2(t_i, x_i)}} $$

Remarque 1 - $\hat{\theta}_n$ s'écrit aussi en utilisant (2)

$$ \hat{\theta}_n = \theta + \frac{\sum_i \frac{b(t_i, x_i)}{\sigma(t_i, x_i)} \xi_i}{\sum_i \frac{b^2(t_i, x_i)}{\sigma^2(t_i, x_i)} (t_{i+1} - t_i)} = \theta + \frac{M_n}{\langle M_n \rangle} $$

Mn étant la martingale $\sum_{i=0}^{n-1} \frac{b(t_i, x_i)}{\sigma(t_i, x_i)} \xi_i$, de processus croissant

$$ \langle M_n \rangle = \sum_{i=0}^{n-1} \frac{b^2(t_i, x_i)}{\sigma^2(t_i, x_i)} (t_{i+1} - t_i) $$

Donc l'estimateur $\hat{\theta}$ est consistant d'après la proposition de l'annexe, appliquée à la martingale Mn, dès que $\langle M_\infty \rangle = 0$, donc en pratique lorsque la durée d'observation tend vers l'infini ■

Remarque 2 - Si la martingale Mn avait ses accroissements p.s bornés on pourrait utiliser le théorème du logarithme itéré discret (A.5) qui nous donnerait

exactement la vitesse de convergence $\left( \lim_{n \to \infty} \frac{|M_n|}{\sqrt{2 \langle M_n \rangle \log \log \langle M_n \rangle}} \right) = 1$ . Malheureusement ici cette hypothèse n'est pas vérifiée. Dans le cas continu on verra qu'elle est inutile et ce même théorème précisera alors le comportement asymptotique de l'estimateur ■
**Remarque 3** - L'estimateur $\hat{\theta}_n$ est en général biaisé ($E(M_n/M) \neq 0$) mais il est possiblable d'introduire un estimateur analogue à (4) qui est _sans biais et optimal_, grâce à un changement de temps :

Soit h un pas de temps tel que $nh:H$, durée d'observation. Introduisons les n temps d'arrêt $\tau_i$, $i = 1, \dots, n$ à l'aide des formules de récurrences suivantes :

$$ \begin{cases} \tau_0 = t_0 \\ \tau_{i+1} = \tau_i + \frac{\sigma^2 (\tau_i, x_{\hat{\tau}_i})}{b^2 (\tau_i, x_{\tau_i})} h \end{cases} $$

où les $x_{\tau_i}$ sont définis comme précédemment

$$ \begin{cases} x_{\tau_0} = x_0 \\ x_{\tau_i+1} = x_{\tau_i} + b^\theta (\tau_i, x_{\tau_i}) (\tau_i+1 - \tau_i) + \sigma (\tau_i, x_{\tau_i}) \sqrt{\tau_i+1 - \tau_i} \quad \epsilon_i \end{cases} $$

Associé aux observations $(x_{\tau_i}, \dots, x_{\tau_n})$, l'estimateur précédent s'écrit :

$$ \hat{\theta}_n = \frac{\sum_{i=0}^{n-1} \frac{b(\tau_i, x_{\tau_i})(x_{\tau_{i+1}} - x_{\tau_i})}{\sigma^2(\tau_i, x_{\tau_i})}}{\sum_{i=0}^{n-1} \frac{b^2(\tau_i, x_{\tau_i})(\tau_{i+1} - \tau_i)}{\sigma^2(\tau_i, x_{\tau_i})}} = \frac{n h}{n} $$

ou encore :

$$ \hat{\theta}_n = \theta + \frac{\sum_{i=0}^{n-1} \sqrt{h} \epsilon_i}{nh} $$

Il est clair que $\hat{\theta}_n$ est sans biais et gaussien. Sa variance vaut $\frac{n h}{n^2 h^2} = \frac{1}{h}$. On montrera dans le cas continu que c'est la borne inférieure de l'inégalité de Cramer-Rao : Cet estimateur est donc optimal ■

## 2.2 - Estimation du terme de diffusion

La méthode du maximum de vraisemblance peut s'appliquer. Supposons b et σ connus, θ inconnu intervenant linéairement

$dx_t = b(t, x_t) dt + \theta \sigma(t, x_t) dW_t, x_0$ donné, et soit $(x_{t_1}, \dots, x_{t_n})$ une approximation discrète définie comme au § précédent.

La densité du n-uple $(x_{t_1}, x_{t_2}, \dots, x_{t_n})$ s'écrit :

$$ d\theta(t_1, x_1; t_2, x_2; \dots; t_n, x_n) = \prod_{i=0}^{n-1} \frac{(2\pi)^{-1/2} \theta^{\sigma(t_i, x_i)}}{\sigma(t_i, x_i) \sqrt{t_{i+1} - t_i}} \exp \left( - \frac{[x_{i+1} - x_i - b(t_i, x_i)(t_{i+1} - t_i)]^2}{2\theta^2 \sigma^2(t_i, x_i)(t_{i+1} - t_i)} \right) $$
et la maximisation de $\log d_{\theta}$ donne :

$$ \hat{\theta}_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{((x_{t_{i+1}} - x_{t_i}) - b(x_i, x_{i+1})(t_{i+1} - t_i))^2}{\sigma^2(x_i, x_{i+1})(t_{i+1} - t_i)} $$

et $\hat{\theta}_n^2$ se réécrit :

$$ \hat{\theta}_n^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \theta^2 \xi_i^2 \quad \text{(en utilisant (2))} $$

et donc $\hat{\theta}_n^2$ est sans biais de variance $\frac{\theta^4}{n^2} \times 2 = \frac{2\theta^4}{n}$ et de plus $\frac{\hat{\theta}_n^2}{\theta^2}$ suit une loi du $\chi^2$ à n degrés de libertés d'où la convergence de $\hat{\theta}_n^2$ vers $\theta$ lorsque n augmente $t_n = T$ fixé. La vitesse de convergence est donc fonction de la fréquence d'observation et non pas de la durée d'observation.

On appelle variation quadratique de la martingale $M_n$ le nombre

$$ \lim_{\sup |t_{i+1} - t_i| \to 0} \sum_i (M_{t_{i+1}} - M_{t_i})^2 $$

On vient d'utiliser, pour montrer la consistance de $\hat{\theta}^2$, le théorème général suivant :

La variation quadratique d'une martingale de carré intégrable, ici $W_t$, est égale à son processus croissant, ici $t$.

C'est ce théorème sur la variation quadratique d'une martingale de carré intégrable qui nous donnera le résultat dans le cas continu.
# CHAPITRE II

## IDENTIFICATION DES DIFFUSIONS STOCHASTIQUES (CAS CONTINU)

Etant donnés $W_t$, un mouvement brownien standard et deux fonctions b(t,x) et $\sigma(t,x) > 0$ de $\mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$, vérifiant certaines hypothèses de Lipschitz, on sait trouver un processus $x_t$ solution de l'équation différentielle stochastique

$$ (0_1) \quad d x_t = b(t, x_t) d t + \sigma(t, x_t) d W_t \quad x_0 \text{ donné} $$

On peut montrer alors que la mesure Q engendrée par $x_t$ est portée par les fonctions continues $\mathcal{C}(\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R})$ et est unique GIHMAN-SKOROHOD [23]. De plus

$$ \int_0^t \sigma(s, x_s) d W_s \text{ est une martingale de processus croissant } \int_0^t \sigma^2(s, x_s) ds. $$

On peut aussi donner un sens faible à l'équation (0_1) en n'imposant pas à priori le brownien $W_t$. Pour cela on introduit :

$$ \Omega = \mathcal{C}(\mathbb{R}_+; \mathbb{R}) \text{ (espace canonique de trajectoires)} $$

$$ F_\infty \text{ la tribu des boréliens de } \mathcal{C}(\mathbb{R}_+; \mathbb{R}) $$

$$ F_t = \text{la plus petite tribu rendant mesurables les applications coordonnées jusqu'à l'instant } t $$

On cherche alors une mesure Q sur $(\Omega, F_t, F)$ telle que :

$$ (0_2) \quad x_t - \int_0^t b(s, x_s) ds \quad \text{soit une martingale de processus croissant} \quad \int_0^t \sigma^2(s, x_s) ds, x_0 \text{ donné et avec } x_0 = \omega(t), $$

On peut montrer qu'une telle mesure Q existe et est unique (STROOK-VARADHAN [10]. Q est alors dite solution du problème de martingale $(x_0, b(s, x), \sigma^2(s, x))$. Seules sont nécessaires alors des propriétés de continuité et de bornitude sur les fonctions b et $\sigma$.

La martingale $(0_2)$ peut être représentée sous la forme $\int_0^t \sigma(s, x_s) d W'_s, W'_s$ étant un brownien sur $(\Omega, F_t, F, Q)$.

Nous nous plaçons ici du point de vue du statisticien dont les observations portent uniquement sur $X_t$ et qui veut donner un moyen commode de représenter la loi de $X_t$ en identifiant les deux fonctions b(t,x) et $\sigma(t,x)$. (De ce point de vue le brownien $W_t$ n'est qu'un intermédiaire qui sert à "paramétriser" Q). Dans ce cadre la formulation la plus concrète nous semble être la deuxième et c'est donc celle que nous adopterons dans la suite.
Notre problème est donc d'identifier les deux fonctions $b(t,x)$ et $\sigma(t,x)$. On sait SOLER [9] que c'est un problème impossible. On se contentera donc d'identifier des approximations, $b_n(t,x,\theta_1)$ et $\delta_n(t,x,\theta_2)$ en dimension finie, de ces deux fonctions.

On divisera ce chapitre en 3 parties. Dans la première partie on supposera connu $\sigma(t,x)$ et on identifiera $b_n(t,x,\theta)$. Dans la seconde on supposera $b(t,x)$ connu et on identifiera $\sigma_n(t,x,\theta)$. Dans la troisième on identifiera simultanément $b_n(t,x,\theta)$ et $\sigma_n(t,x,\theta)$.

# 1 - IDENTIFICATION DE LA DERIVE $b_n(t, x, \theta)$ LE TERME DE DIFFUSION ETANT CONNU

Dans cette partie nous nous proposons d'identifier une approximation en escalier de la dérive $b(t, x)$ d'une diffusion connaissant le terme de diffusion $\sigma(t, x)$. Pour cela nous procéderons en 3 étapes - nous identifierons $b(t, x)$ en le supposant de la forme $\sum \theta_i \varphi_i(t, x)$ - nous spécialiserons le cas au $\varphi_i$ fonctions caractéristiques d'ensemble - supposant enfin $b(t, x)$ une fonction continue q c q nous étudierons l'erreur obtenue en l'estimant comme si elle était en escalier.

## 1.1 - Cas général

Considérons pour cela la structure statistique :

$(\Omega, F_t, \mathcal{F}, Q_\theta, \theta \in \mathbb{R}^n)$ ou $Q_\theta$ désigne la solution du problème martingale $(X_t, b_n(s, x, \theta), \sigma(s, x))$, rappelé à nouveau que cela signifie que $Q_\theta$ est la loi de probabilité sur $\Omega$ telle qu'il existe un brownien $W_t$ tel que :

$$dX_t = b_m(t, x, \theta) dt + \sigma(t, x, \theta) dW_t \quad x(0) = x_0$$

Dans la suite nous supposerons :

$$(1) \quad b_m(t,x) = \sum \theta_i \varphi_i(t,x)$$

On fait de plus les hypothèses valables dans toute la suite :

$\sigma(s, x) : \mathbb{R}^t \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ est continue bornée

$\varphi_i(t, x) : \mathbb{R}^t \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ est borélienne bornée $i = i... n$

Soit de plus le temps d'arrêt $\tau$ vérifiant :

$\tau$ est fini ou $\int_0^\tau \frac{b_m^2(s, x_s, \theta)}{\sigma^2(s, x_s)} ds \le H \quad \forall \theta$

Alors le théorème de Cameron-Martin (Al) nous donne la densité $\frac{dQ_\theta}{dP}$ où P est la solution du problème de martingale $(x_0, \theta, \sigma(t, x))$ c'est-à-dire est tel que $\exists W_t$ tel que $y_t$, solution de

$$dY_t = \sigma(t, y_t) dW_t \quad y(0) = x_0$$

est de loi P.
$$ (2) \quad \left. \frac{d Q_{\theta}}{d P} \right|_{F_{\theta}} = \exp \int_{0}^{\tau} \frac{b_m(s, x_s, \theta) dx_s}{\sigma^2(s, x_s)} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\tau} \frac{b_m(s, x_s, \theta) ds}{\sigma^2(s, x_s)} $$

On peut alors calculer l'estimateur du maximum de vraisemblance $\hat{\theta}_\tau$ de $\theta$. $\hat{\theta}_\tau$ est solution du système linéaire suivant :

$$ (3) \quad A_{\tau} \hat{\theta}_{\tau} = B_{\tau} $$

avec $A_{\tau}$ matrice (n,n) dont les coefficients sont :

$$ (4) \quad A_{ij}^{\tau} = \int_{0}^{\tau} \frac{\varphi_{i}(s, x_s) \varphi_{j}(s, x_s) ds}{\sigma^2(s, x_s)} \quad i, j \in \{1, \dots, m\} $$

$B_{\tau}$ vecteur de dimension n dont les coefficients sont :

$$ (5) \quad B_{i}^{\tau} = \int_{0}^{\tau} \frac{\varphi_{i}(s, x_{s}) \, dx_{s}}{\sigma^{2}(s, x_{s})} $$

### Remarque 1

Il n'est pas nécessaire que la matrice $A_{\tau}$ soit inversible mais seulement qu'elle soit positive ou nulle. Car alors on prend $\hat{\theta}_{\tau} \in \text{Arg max } (\theta : A_{\tau} \theta - B_{\tau} \theta)$. Nous ne nous préoccupons pas ici des conditions générales sur $\varphi$ pour que $A_{\tau} \ge 0$. Nous remarquons que cela est vrai lorsque les fonctions $\varphi_i$ sont à supports disjoints.

Démontrons maintenant un résultat de convergence de $\hat{\theta}_t$ vers $\theta$.

Notons $c_m(t)$ la plus petite valeur propre de $A^t$ et $c_M(t)$ la plus grande.

On a alors le :

### Théorème 1

$$ \mathcal{L}_{M}^{(t)} < \infty \quad \forall t < \infty \quad \text{Q}_{\theta_{0}} \text{ p.s.} $$

$$ \mathcal{L}_{M}^{(\infty)} = \infty \quad \text{Q}_{\theta_{0}} \text{ p.s.} $$

$$ \overline{\lim}_{t \to \infty} \frac{c_M(t)}{c_M(t)} \le x $$

Alors on a :

$$ \lim_{t \to \infty} \| \hat{\theta}_t - \theta_0 \|_{\ell_1} n \to 0 \quad \text{Q}_{\theta_0} \text{ p.s.} $$

De plus on a la vitesse de convergence suivante :

$$ \lim_{t} \sup_{\theta} \| \hat{\theta}_{t} - \theta_{0} \|_{1} \sqrt{\frac{c_{m}(t)}{2 \log \log c_{m}(t)}} \le x \quad \text{Q}_{\theta_{0}} \text{ p.s.} $$
## Démonstration

On a :

$$ (6) \quad A^t \hat{\theta}_t = B^t $$

dans (5) remplaçons $dx_s$ par sa valeur on obtient :

$$ (7) \quad B^t = M^t + A^t \theta_0 $$

avec :

$$ (8) \quad M_t^t = \int_0^t \frac{\varphi_t(s, x_s)}{\sigma(s, x_s)} dW_s \quad \dot{i} = 1, \dots, n $$

et donc :

$$ (9) \quad A^t (\hat{\theta}^t - \theta_0) = M^t $$

On remarque que $M^t$ et une martingale vectorielle de processus croissant $A^t$;

de (9) on déduit :

$$ (10) \quad \| \hat{\theta}^t - \theta_0 \|_{IR^n} \le \| M^t \|_{IR^n} $$

divisons (10) par $\sqrt{2 \mathcal{E}_m(t) \log \log \mathcal{E}_m(t)}$ on obtient :

$$ \| \hat{\theta}^t - \theta_0 \|_{IR^n} \sqrt{\frac{\mathcal{E}_m(t)}{2 \log \log \mathcal{E}_m(t)}} \le \frac{\| M^t \|_{IR^n}}{\sqrt{2 \mathcal{E}_m(t) \log \log \mathcal{E}_m(t)}} \sqrt{\frac{2 \mathcal{E}_M(t) \log \log \mathcal{E}_M(t)}{2 \mathcal{E}_m(t) \log \log \mathcal{E}_m(t)}} $$

L'application du corollaire du logarithme itéré (A5) donne :

$$ \limsup_{t \to \infty} \frac{\| M^t \|_{IR^n}}{\sqrt{2 \mathcal{E}_m(t) \log \log \mathcal{E}_m(t)}} \le 1 $$

Enfin l'inégalité

$$ \limsup_{t \to \infty} \sqrt{\frac{\mathcal{E}_M(t) \log \log \mathcal{E}_M(t)}{\mathcal{E}_m(t) \log \log \mathcal{E}_m(t)}} \le \infty \quad \text{permet de conclure} \quad \blacksquare $$

## Remarque 2

Il est parfois possible d'obtenir des propriétés sur le caractère gaussien de la loi asymptotique de l'estimateur, par exemple dans le cas linéaire $b_t(t,x) = \theta$ LEBRETON [4]. Il suffit pour cela pouvoir montrer un théorème ergodique du type $\frac{At}{t} \to cte$. GIHMAN-SKOROKHOD [2] donne dans le cas ou $A_t$ est un scalaire un théorème de ce type.
## Remarque 3

Il est également possible de calculer un estimateur bayésien de $\theta$.

On considère l'espace probabilisé

$$ (\Omega \times \mathbb{R}^n, \mathcal{F}_t \otimes \mathcal{B}^n, \mathcal{F} \otimes \mathcal{B}^n, M(d\theta) \cdot q_0(d\omega)) $$

$\mathcal{B}$ désigne la tribu des boréliens de $\mathbb{R}$

Où M est la loi "à priori" de $\theta$. On suppose que M est une loi $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$, gaussienne de moyenne $\mu$ et de variance $\sigma^2$.

La densité du couple $(x_s, s \le t, \theta)$ par rapport à $dP \times (d\theta)^n$ est donnée par :

$$ q(\theta, x) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n \det \mathcal{L}}} \exp \left\{ -\frac{1}{2} (\theta - \mu)^T \mathcal{L}^{-1} (\theta - \mu) + \int_0^{t} \frac{b_n(s, x_s, \theta)}{\sigma^2(s, x_s)} ds - \frac{1}{2} \int \frac{b_n^2(s, x_s, \theta)^2}{\sigma^2(s, x_s)} ds \right\} $$

Notons :

$$ \hat{\theta}_t = e^{-t/\mu} + \left[ \int_0^t \frac{\varphi_i(s, x_s) ds}{\sigma^2(s, x_s)} \right] $$

$$ \mathcal{N}_t = e^{-t/\mu} + \left[ \int_0^t \frac{\varphi_i(s, x_s) \varphi_j(s, x_s) ds}{\sigma^2(s, x_s)} \right] $$

Alors calculons la densité à postériori de $\theta$ :

$$ q(\theta|x_s, s \le t) = \frac{q(\theta, x_s, s \le t)}{\int q(\theta, x_s, s \le t) d\theta} $$

se calcule facilement en constatant $q(\theta, x_s) = \kappa \exp f(\theta)$ où $f(\theta)$ est une forme quadratique.

On obtient :

$$ q(\theta|x_s, s \le t) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^n \det \mathcal{L}_s^{-1}}} \exp \left\{ -\frac{1}{2} (\theta - \mathcal{L}_s^{-1} \theta_s)^* \mathcal{L}_s^{-1} (\theta - \mathcal{L}_s^{-1} \theta_s) \right\} $$

d'où la

## Proposition 1

L'estimateur bayésien de $\theta$ est donné par :

$$ \hat{\theta}_t = \left[ e^{-t/\mu} + \left[ \int_0^t \frac{\varphi_i(s, x_s) \varphi_j(s, x_s) ds}{\sigma^2(s, x_s)} \right]^{-1} \left( e^{-t/\mu} + \left[ \int_0^t \frac{\varphi_i(s, x_s) ds}{\sigma^2(s, x_s)} \right] \right) \right]^{-1} $$

de plus :

$$ P(\theta | x_s, s \le t) = \mathcal{N} \left( \hat{\theta}_t, \left[ e^{-t/\mu} + \left[ \int_0^t \frac{\varphi_i(s, x_s) \varphi_j(s, x_s) ds}{\sigma^2(s, x_s)} \right] \right] \right) $$

Si la loi a priori de $\theta$ est $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$
On remarque que l'on obtient l'estimateur du maximum de vraisemblance lorsque l'on fait tendre $e^{-\lambda}$ vers 0 ■

## 1.2 - Cas particulier : $\varphi_i(t, x)$ sont à supports disjoints

On étudie maintenant le cas particulier important suivant :

Supposons les $\varphi_i(t, x)$ à supports disjoints ; nous prendrons dans la suite les fonctions caractéristiques $\mathbf{1}_{A_i}(t, x)$ d'ensemble $A_i$ formant une partition de $\mathbb{R}^2$ mais les résultats restent vrais sous la seule restriction $\varphi_i$ à supports disjoints.

La matrice $A^t$ est alors diagonale et (3) se réécrit :

$$ (11) \quad \hat{\theta}_i^t = \frac{\int_0^t \frac{\mathbf{1}_{A_i}(s, x_s)}{\sigma^2(s, x_s)} ds}{\int_0^t \frac{\mathbf{1}_{A_i}(s, x_s)}{\sigma^2(s, x_s)} ds} \quad i = 1, \dots, m $$

et on a le corollaire du théorème 1.

**Corollaire 1**

$$ \text{Si } \int_0^t \frac{\mathbf{1}_{A_i}(s, x_s)}{\sigma^2(s, x_s)} ds < \infty \quad \forall t < \infty \quad \text{Q}_{\theta_0} \text{ p.s.} \quad i = 1, \dots, m $$

$$ \langle M_i \rangle_t = \int_0^\infty \frac{\mathbf{1}_{A_i}(s, x_s)}{\sigma^2(s, x_s)} ds = \infty \quad \text{Q}_{\theta_0} \text{ p.s.} $$

$$ \text{alors } \hat{\theta}_i^t \to \theta_{0i} \quad \text{Q}_{\theta_0} \text{ p.s.} \quad i = 1, \dots, m \\ t \to \infty $$

**et on a la vitesse de convergence**

$$ \limsup_{t \to \infty} \left| \hat{\theta}_i^t - \theta_{0i} \right| \sqrt{\frac{\langle M_i \rangle_t}{2 \log \log \langle M_i \rangle_t}} = 1 \quad i = 1, \dots, m $$

## Démonstration

Il suffit de reprendre la démonstration du théorème en utilisant le fait que $A^t$ est diagonale et en utilisant le théorème du logarithme itéré (A5) au lieu de son corollaire ■
Ce théorème du logarithme itéré nous donne exactement la vitesse p.s de convergence de l'estimateur. Il serait entièrement satisfaisant si on savait que c'est la vitesse maximale de convergence.

Nous allons donner maintenant un résultat de convergence optimale dû à LIPCER SHIRAEV [5].

Faisons les changements de temps suivants :

posons (où H est un réel donné)

$$ (12) \quad \hat{\tau}_i^H = \inf_{\{S: \langle M_i \rangle_S \ge H\}} \quad i = 1, \dots, m $$

On obtient grâce à (3) les estimateurs du maximum de vraisemblance

$$ (13) \quad \hat{\theta}_i^H = \frac{1}{H} \int_0^H \frac{\tau_{Ai}^H}{\sigma^2(s, x_s)} ds \quad i = 1, \dots, m $$

On a alors le

**Théorème 2**

$$ \text{Si } \int_0^\infty \frac{\mathbf{1}_{Ai}(s, x_s)}{\sigma^2(s, x_s)} ds = \infty \quad \text{Q}\theta_0 \text{ p.s} \quad i = 1, \dots, m $$

Alors $\hat{\theta}_i^H$ est un estimateur sans biais de variance minimale parmi tous les estimateurs $\hat{\theta}_i^H$ vérifiant

$$ (14) \quad \exists M \in \mathbb{R}^+ : \int_0^H \frac{\mathbf{1}_{Ai}(s, x_s)}{\sigma^2(s, x_s)} ds \le M \quad \text{Q}\theta_0 \text{ p.s} $$

$$ (15) \quad E_{Q\theta_0} \int_0^H \frac{\mathbf{1}_{Ai}(s, x_s)}{\sigma^2(s, x_s)} ds \le H $$

$$ \text{De plus } \hat{\theta}_i^H = \mathcal{N}(\theta_i^\circ, \frac{1}{\sqrt{H}}) $$

**Démonstration**

1) L'estimateur $\hat{\theta}_i^H$ est sans biais.

remplaçons dans (13) $dx_s$ par sa valeur, on a :

$$ \hat{\theta}_i^H = \theta_i^\circ + \int_0^H \frac{\tau_{Ai}^H}{\sigma(s, x_s)} dW_s $$

$\int_0^H \frac{\tau_{Ai}^H}{\sigma(s, x_s)} dW_s$ est une martingale en H de processus croissant H donc un mouvement brownien (A4prop 2) et donc :

$$ \hat{\theta}_i^H = \mathcal{N}(\theta_i^\circ, \frac{1}{\sqrt{H}}) $$

2) $\mathbf{1}_1$ est de variance minimum parmi les estimateurs vérifiant (14) et (15).

Le corollaire du théorème de Cramer Rao (A3) donne $\text{Var} \hat{\theta}_i^H \gtrsim \frac{1}{H}$ d'où le théorème ■
### 1.3 - Approximation de b par des fonctions en escalier

Nous allons donner maintenant un théorème d'approximation de la dérive d'une diffusion celle-ci étant supposée être une fonction continue quelconque.

Soit la structure statistique :

$$ (\Omega, \mathcal{F}_t, \mathcal{F}, \mathcal{Q}_b \quad b \in \mathcal{C}(\mathbb{R} + \times \mathbb{R}, \mathbb{R})) $$

Notons alors :

$$ (16) \quad \hat{b}_n(t, x, \theta) = \sum_{i=1}^{n} \hat{\theta}_i^H \mathbf{1}_{A_i}(t, x) $$

avec

$\tau_i^H$ et $\hat{\theta}_i^H$ définis respectivement par (12) et (13)

On a le théorème d'approximation suivant :

#### Théorème 3

Sous l'hypothèse

$$ \int_0^\infty \frac{\mathbf{1}_{A_i}(t, x_t)}{\sigma^2(t, x_t)} dt = \infty \quad \text{Q_b p.s.} $$

on a

$$ \inf_{A_i} b(t, x) - |e| \le \hat{b}_n(t, x, \theta) = \hat{\theta}_i^H \le \sup_{A_i} b(t, x) + |e| \quad \forall i = 1, \dots, n $$

avec

$$ e \sim \mathcal{N}\left(0, \frac{\Lambda}{\sqrt{H}}\right) $$

#### Démonstration

On a

$$ \hat{\theta}_i^H = \frac{1}{H} \left[ \int_0^{\tau_i^H} \frac{\mathbf{1}_{A_i}(s, x_s) b(s, x_s)}{\sigma^2(s, x_s)} ds + \int_0^{\tau_i^H} \frac{\mathbf{1}_{A_i}(s, x_s)}{\sigma(s, x_s)} dW_s \right] $$

Et donc en posant

$$ e = \int_0^{\tau_i^H} \frac{\mathbf{1}_{A_i}(s, x_s)}{\sigma(s, x_s)} dW_s \quad \text{on a } e \sim \mathcal{N}\left(0, \frac{\Lambda}{\sqrt{H}}\right) \text{ (proposition 2 de A4)} $$

d'autre part en utilisant la définition de $\tau_i^H$ on a :

$$ \inf_{A_i} b(s, x) \le \frac{1}{H} \int_0^{\tau_i^H} \frac{\mathbf{1}_{A_i}(s, x_s) b(s, x_s)}{\sigma^2(s, x_s)} ds \le \sup_{A_i} b(s, x) \quad \text{d'où le résultat} \blacksquare $$
### Remarque 4

Le théorème du logarithme itéré appliqué à la martingale $\int_0^{\tau_{\hat{\lambda}}^H} \frac{1_{A_{\hat{\lambda}}}(s, x_s) dW_s}{\sigma(s, x_s)}$ montre un résultat de convergence p.s

$$ \sup_{A_{\hat{\lambda}}} \left| \lim_{H \to \infty} \sup_{t \to \infty} \left( \hat{b}_n(t, x, \theta) - b(t, x) \right) \right| \le \omega(b, A_{\hat{\lambda}}) $$

$$ \sup_{A_{\hat{\lambda}}} \left| \lim_{H \to \infty} \inf_{t \to \infty} \left( \hat{b}_n(t, x, \theta) - b(t, x) \right) \right| \le \omega(b, A_{\hat{\lambda}}) \quad \text{Q b p.s.} $$

$\omega(b, A_{\hat{\lambda}})$ désignant le module de continuité de la fonction b associé à la partition $A_i$ $i = 1... n$ de $\mathbb{R}^2$. Il précise de plus la vitesse de cette convergence ■

### Remarque 5_1

Dans tous les résultats faisant appel au théorème du logarithme itéré si l'hypothèse "valeur du processus croissant à l'infini égale l'infini" n'est pas vérifiée "presque sûrement", la conclusion reste cependant valable pour toutes les trajectoires qui vérifient cette hypothèse ■

### Remarque 5_2

La qualité de l'estimation dépend de façon crucial du terme

$$ H(t) = \int_{0}^{t} \frac{1_{A_{\hat{\lambda}}}(s, x_s) ds}{\sigma^2(s, x_s)} $$

qui doit même dans le théorème 3 tendre p.s vers $1_\infty$ avec $t$.

S'il est possible contrôler la diffusion :

$$ dx_t = \theta b(t, x_t) dt + u_t dt + \sigma(t, x_t) dW_t $$

où $n$ est le contrôle, la méthode précédente d'identification de $\theta$ s'applique encore et donne

$$ \hat{\theta}_t = \frac{\int_0^t \frac{b}{\sigma^2}(s, x_s)(dx_s - u_s ds)}{\int_0^t \frac{b^2}{\sigma^2}(s, x_s) ds} $$

On peut se poser, alors, le problème du choix optimal du contrôle, maximisant la qualité de l'estimateur $\hat{\theta}_t$ mesurée par $E\int_0^t \frac{b^2}{\sigma^2} ds$ (borne inférieure de la variance des estimateurs de $\theta$ donnée par la formule de Cramer-Rao).

Il est clair que le Feed-back optimal consistera à approcher au mieux la fonction du temps $g(t)$.

$$ g(t) = \underset{x}{\operatorname{Arg\,max.}} \frac{b^2(t, x)}{\sigma^2(t, x)} $$

LOPEZ TOLEDO [12] traite de ce même sujet dans le cadre "système linéaire" ■
## 2 - IDENTIFICATION DU TERME DE DIFFUSION LA DERIVE ETANT CONNUE

Nous nous proposons dans ce paragraphe de donner une approximation en escalier du terme de diffusion le terme de dérive étant connu. Pour cela nous procédons en deux étapes : - Nous supposons $\sigma(t,x)$ constant sur A et nous identifions cette constante - Nous regardons ce que devient cette valeur si $\tau$ n'est pas constant sur A.

### 2.1 - $\tau$ constant sur A

Nous commençons par l'étude de l'estimation de la valeur de $\sigma(t,x)$ sur l'ensemble $A \subset \mathbb{R}^{+} \times \mathbb{R}$, $\tau$ étant supposé constant sur cet ensemble. Plus précisément soit la structure statistique :

$$ \{ \Omega, F_t, F, Q_\tau \quad \sigma \in \mathcal{C}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}, \mathbb{R}) , \quad \sigma(t,x) = \mathcal{O} \in \mathbb{R}, \forall (t,x) \in A \subset \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R} \} $$

Nous nous proposons d'estimer $\theta$. L'idée essentielle sera d'utiliser l'égalité entre la variation quadratique de la martingale $\int_0^t \sigma(t,x_s) dW_s$ et son processus croissant $\int_0^t \sigma^2(t,x_s) ds$. Le problème consiste alors à construire l'approximation la plus précise possible de cette variation quadratique.

Rappelons la définition de la variation quadratique $VQ(M_t)$ d'une martingale $M_t$

$$ VQ(M_t) = \lim_{\sup_i |t_i - t_{i-1}| \to 0} \sum_i |M_{t_{i+1}} - M_{t_i}|^2 $$

Appelons maintenant $M_t$ la martingale $x_t - x_{\tau} - \int_0^t b(s, x_s) ds$. A partir de cette martingale nous allons construire une autre martingale $N_t$ qui représentera "en gros" uniquement le comportement $M_t$ à l'intérieur de $\tau$'ensemble A et qui négligera son comportement à l'extérieur. On obtiendra $N_t$ en tronquant ce qui se passe à l'extérieur de A. Le but du paragraphe, un peu technique, qui suit est de montrer que cette troncature ne supprime pas la propriété de martingale.

Construisons maintenant $N_t$.

Supposons qu'il existe un ouvert $\sigma \neq \emptyset$ strictement inclus dans A au sens suivant $(\bar{A} - \dot{A}) \Lambda (\tilde{\sigma} - \sigma) = \emptyset$
Définissons la suite des temps d'arrêt $\tilde{\tau}_i$

$\tilde{\tau}_i$ impair représentera les temps d'entrée successif dans $\Theta$

$\tilde{\tau}_i$ pair représentera les temps de sortie successifs de A

$$ \tilde{\tau}_1 = \inf \{ t : x_t \in \sigma \} $$

$$ \tilde{\tau}_2 = \inf \{ t : t \ge \tilde{\tau}_1 \mid x_t \in A \} $$

$$ \tilde{\tau}_3 = \inf \{ t : t \ge \tilde{\tau}_1 \mid x_t \notin \sigma \} $$

$$ \tilde{\tau}_{2i} = \inf \{ t : t \ge \tilde{\tau}_{2i-1} \mid x_t \in A \} $$

$$ \tilde{\tau}_{2i+1} = \inf \{ t : t \ge \tilde{\tau}_{2i} \mid x_t \notin \sigma \} $$

Avec la convention $\tilde{\tau}_i = \infty \quad i > j \quad \text{si} \quad \tilde{\tau}_j = \infty$

$N_t$ est alors obtenu en supprimant la partie de trajectoire de $M_t$ à
l'extérieur de A.

$$ N_t = \begin{cases} 0 & t \le \tilde{\tau}_1 \\ M_t - M_{\tilde{\tau}_1} & \tilde{\tau}_1 \le t \le \tilde{\tau}_2 \\ N_{\tilde{\tau}_2} & \tilde{\tau}_2 \le t \le \tilde{\tau}_3 \\ N_{\tilde{\tau}_3} + M_t - M_{\tilde{\tau}_3} & \tilde{\tau}_3 \le t \le \tilde{\tau}_4 \\ \vdots & \vdots \\ N_{\tilde{\tau}_{2i}} & \tilde{\tau}_{2i} \le t \le \tilde{\tau}_{2i+1} \\ N_{\tilde{\tau}_{2i+1}} + M_t - M_{\tilde{\tau}_{2i+1}} & \tilde{\tau}_{2i+1} \le t \le \tilde{\tau}_{2i+2} \end{cases} $$

$N_t$ sera ainsi bien défini pour $t \in [0, \infty) \subset \mathbb{C}$ car $\sigma$ étant choisi strictement intérieur à A, les trajectoires de $M_t$ étant continues, il ne peut pas y avoir de point d'accumulation de temps d'arrêt $\tilde{\tau}_i$

$$ \tilde{\tau}_i \xrightarrow{i \to \infty} \infty \qquad \text{Q.s.} $$

Nous allons montrer maintenant que le processus $N_t$ est encore une martingale.
## Lemme 1

$N_t$ est une $(Q\sigma, F_t)$ martingale dès que $\int_0^t \mathbb{E}\sigma^2(s, x_s) ds < \infty \quad \forall t < \infty$

## Démonstration

On a :

$$ (17) \quad N_{t \wedge \tau_{2i+1} \vee s} = N_{t \wedge \tau_{2i} \vee s} = N_s + \sum_{j=1}^{i} M_{t \wedge \tau_{2j}} \vee s - M_{t \wedge \tau_{2j-1}} \vee s $$

et donc en utilisant la propriété de martingale de $M_t$ on a :

$$ (18) \quad E^{F_s} [N_{t \wedge \tau_{2i} \vee s}] = N_s $$

Montrons maintenant que $N_{t \wedge \tau_{2i+1}} \vee s = N_{t \wedge \tau_{2i}} \vee s \xrightarrow{i \to \infty} N_t$

On a :

$$ N_{t \wedge \tau_{2i}} \vee s \xrightarrow{i \to \infty} N_t \quad \text{p.s.} \quad \text{car } \tau_{2i} \xrightarrow{i \to \infty} Q \sigma \text{ p.s.} $$

d'autre part grâce à (17)

$$ (19) \quad E \left[ N_{t \wedge \tau_{2i}} \vee s \right]^2 \le E \left[ N_s^2 \right] + \int_s^t E \left[ \sigma^2(s, x_s) \right] ds $$

(18) appliqué avec $t$ devant $s$, et $s$ devenant $o$ donne :

$$ (20) \quad E \left[ N_s \wedge \tau_{2i} \right]^2 \le \int_0^s E \tau^2(u, x_u) du \quad \forall i \text{ et donc } N_s \wedge \tau_{2i} \xrightarrow{i \to \infty} N_s $$

et on a de plus $E[N_s]^2 \le \int_0^s E \tau^2(u, x_u) du$

(19 et 20) $\Rightarrow$

$$ E \left[ N_{t \wedge \tau_{2i}} \vee s \right]^2 \le \int_0^t E \left[ \sigma^2(s, x_s) \right] ds $$

et donc par équ’intégrabilité

$$ (21) \quad N_{t \wedge \tau_{2i}} \vee s \xrightarrow{i \to 0} N_t $$

(18) et (21) $\Rightarrow$ le résultat ■

On peut construire alors le processus croissant de $N_t$ que l'on notera $\langle N \rangle_t$

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

$$ \text{comme } \sigma(s, x_s) = \theta \quad \forall s, x \in A $$

La pente de $\langle N \rangle_t$ lorsque $\langle N \rangle_t$ croit strictement est $\theta_t^2 = \frac{\langle N \rangle_t}{\theta_t}$ s'interprête "en gros" comme le temps passé dans $A$, par la martingale $N_t$ donc observable
On peut donner maintenant un estimateur de $\theta^2$

On définit n temps d'arrêt qui vont permettre de définir une approximation de la variation quadratique de $N_t$, ayant des propriétés probabilistes simples.

Posons

$$ (22) \quad T_i = \inf \left\{ s ; \frac{\langle N \rangle_s}{\theta^2} \ge i h \right\} \quad i = 1, \dots, n \qquad h = \frac{H}{n} \quad H \text{ donné} $$

On peut prendre comme estimateur de $\theta^2$

$$ (23) \quad \hat{\theta}_n^2 = \frac{1}{nH} \sum_{i=0}^{n-1} (N_{T_i+1} - N_{T_i})^2 $$

On a alors le

## Théorème 4

Sous l'hypothèse

$$ \exists H > 0 : \frac{\langle N \rangle}{\theta^2} \propto \ge H \quad \text{Q.s.p.s} $$

$\hat{\theta}_n^2$ défini par (22) et (23) est un estimateur, sans biais, convergent avec n, de $\theta^2$, de variance $\frac{2\theta^4}{n}$. De plus $n \frac{\hat{\theta}_n^2}{\theta^2}$ suit une loi du $\chi^2$ à n degrés de liberté.

### Démonstration

C'est l'application du corollaire 1 de A4 (annexe) à la martingale $N_t$.

### Remarque 5

On peut généraliser la proposition précédente au cas où sur A, $\sigma(x,t) = \theta\varphi(x,t)$, $\varphi(x,t)$ connu. Dans ce cas $\frac{\langle N \rangle_t}{\theta^2}$ est aléatoire et s'interprête comme $\int_T \sigma^2(s,x_s) ds$. T désignant "en gros" le temps passé à l'intérieur de A avant l'instant t, et donc est observable.

## 2.2 - Approximation de $\sigma$ sur A

Etudions maintenant le cas où $\sigma(s,x)$ n'est pas constant sur A et où nous voulons donner une approximation de la valeur $\sigma(s,x)$ sur A.

Etant donnée la structure statistique

$$ (\Omega, F_t, F, Q_v \text{ avec } \mathcal{P}(R^+ \cap R, \mathcal{R}) \text{ bornée}) $$

Construisons une statistique $\hat{\sigma}_A^2(n)$ qui sera destinée à approximer $\sigma^2(s, x)$ sur A.
Pour cela construisons la martingale $N_t$ du paragraphe précédent.

Définissons le temps cumulé passé dans A, noté $R_t$, de la façon suivante :

$$ (24) \qquad R_s = \int_0^s \left\{ \frac{d}{dt} \langle N \rangle_t > 0 \right\} dt $$

Les temps d'arrêt destinés à approximer la variation quadratique de $N_t$

$$ (24_1) \qquad T_i = \inf \{ s : R_s \ge i h \} \quad i = 0, \dots, n \qquad h = \frac{H}{n} \quad H \text{ fixé} $$

$$ (24_2) \qquad \hat{\sigma}_A^2(n) = \frac{1}{nh} \sum_{i=1}^{n} (N_{Ti+1} - N_{Ti})^2 $$

On a alors le théorème d'approximation, de $\sigma(s,x)$ sur A, suivant :

### Théorème 5

$$ \begin{array}{l} \text{Si } \exists H > 0 : \forall \infty \ge H \quad \text{Q\`e p.s.} \\ \lim_{n} \hat{\sigma}_{A}^{2}(n) \le \sup_{A} \sigma^{2}(t, x) \\ \lim_{n} \hat{\sigma}_{A}^{2}(n) \ge \inf_{A} \sigma^{2}(t, x) \end{array} $$

### Démonstration

Il suffit d'appliquer la proposition 2 de l'annexe à la martingale $N_t$

$$ \text{On a :} \quad \lim_{n \to \infty} (H \hat{\sigma}_A^2) = \langle N \rangle_{T_n} = \sum_{i=1}^{\infty} \int_{\tau_{2i-1} \wedge T_{n-1}}^{\tau_{2i} \wedge T_n} \sigma^2(s,x) ds $$

$$ \text{En majorant [resp minorant]} \quad \sigma(s,x) \text{ sur A par } \sup_A \sigma(s,x) \text{ [resp inf_A } \tau(s,x) \text{]} $$

et en utilisant la définition de $R_t$ et des temps d'arrêt $T_i$ on obtient :

$$ \sup_{(s,x) \in A} H \inf_{(s,x) \in A} \sigma^2(s,x) \le \lim_{n \to \infty} H \sup_{(s,x) \in A} \hat{\sigma}_A^2 \le \sup_{(s,x) \in A} H \inf_{(s,x) \in A} \sigma^2(s,x) \blacksquare $$

### Remarque 6

L'introduction des temps d'arrêt $T_i$ est inutile pour ce théorème (on aurait pu prendre des temps fixes). Cependant le théorème utile en pratique est évidemment le théorème 4 qui permet d'expliciter complètement la qualité de l'approximation. Or pour le théorème 4 les temps d'arrêt $T_i$ sont nécessaires ■

### Remarque 7

Ces deux théorèmes permettent de construire une approximation en escalier de $\sigma(t,x)$. Il suffira de construire une partition de $\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}$ et sur chaque élément de cette partition d'appliquer l'un ou l'autre de ces théorèmes ■
### 3 - IDENTIFICATION DES TERMES DE DERIVE ET DE DIFFUSION AUCUN DES DEUX N'ETANT CONNU

Ce paragraphe se décomposera en deux parties :

- Dans la première on identifiera la dérive - Dans la seconde le terme de diffusion.

#### 3.1 - Identification du terme de dérive le terme de diffusion étant inconnu

Nous reprenons ici les idées du paragraphe 2.1

- Dans un premier temps nous constatons que si $\sigma(t,x)$ est inconnu mais constant sur un ensemble A cette valeur n'intervient pas dans la formule donnant l'estimation de la dérive, mais seulement dans la variance de cet estimateur.

- Dans un deuxième temps nous ne supposons plus que le terme de diffusion inconnu est constant sur le pavé A, et nous montrons que néanmoins l'estimateur obtenu dans le premier temps est convergent.

##### 3.1.1 - $\sigma(t,x)$ est inconnu mais constant sur un ensemble A

On considère la structure statistique

$\{ \Omega, \mathcal{F}_t, \mathcal{Q}_{b,\sigma} : \sigma \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^+; \mathbb{R}), \text{bornée} = \mathbb{M} \text{ sur } A \text{ cl} \mathbb{R}^+; \mathcal{R} \text{ ; } b(s,x) \text{ borélien-} \\ \text{ne de la forme } \sum_t \theta_t \mathbb{1}_{A_t}(s,x) \text{ sur } A \text{ (Ai étant une partition de A)} \}$

Construisons un estimateur analogue à $\hat{\theta}_i^H$ du paragraphe 1.2 pour cela posons :

$$ (25) \quad \tau_i^H = \inf \left\{ s : \int_0^s \mathbb{1}_{A_i}(s,x_s) ds \ge H \right\} \quad (H = \text{temps cumulé passé dans } A_i) $$

$$ (26) \quad \hat{\theta}_i^H = \frac{1}{H} \int_0^H \tau_{i-1}^H \mathbb{1}_{A_i}(s, x_s) ds $$

On a le corollaire du théorème 2

##### Corollaire 2

$$ \text{Si } \int_0^\infty \mathbb{1}_{A_i}(s,x_s) ds = \infty \quad \text{Q b, } \sigma \text{ p. s } i=1... n $$

Alors $\hat{\theta}_i^H$ est un estimateur sans biais de variance minimale parmi tous les estimateurs $\hat{\theta}_i^n$ vérifiant

$$ \exists M \in \mathbb{R}^+ : \int_0^M \mathbb{1}_{A_i}(s,x_s) \le M \quad \text{Q b, } \sigma \text{ p. s} $$

$$ E_{Q b, \sigma} \left[ \int_{0}^{M} \mathbb{1}_{A_i}(s, x_s) \right] \le H $$

$$ \text{De plus } \hat{\theta}_i^H = \mathcal{N}\left(\hat{\theta}_i^0, \frac{M}{\sqrt{H}}\right) $$
## Démonstration

Il suffit de reprendre la démonstration du théorème 2 avec les nouvelles définitions de $\zeta_i^H$ et $\hat{\theta}_i^H$.

De même sur la structure statistique :

$$ \{ \Omega, F_t, F, Q_{b,\sigma} \;\colon\; \begin{array}{l} \sigma \in \mathcal{C}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}; \mathbb{R}) \text{ bornée } \sigma(s,x) = \mu \in \mathbb{R} \text{ sur } A \ ; \\ \text{ b borélienne bornée} \end{array} \} $$

On a le corollaire immédiat du théorème 3 :

### Corollaire 3

#### Sous l'hypothèse

$$ \int_0^\infty \mathbb{1}_{A_i}(s,x_s) ds = \infty \qquad Q_{b,\sigma} \text{ p.s.} $$

On a :

$$ \inf_{A_i \subset A} b(t, x) - |E| \le \hat{\theta}_i^H \le \sup_{A_i \subset A} b(t, x) + |E| $$

avec

$$ E \sim \mathcal{N} \left( 0, \frac{\sigma}{\sqrt{H}} \right) $$

$\hat{\theta}_i^H$ étant défini par (25) et (26) $\{A_i \ ; \ i=1...n\}$ formant une partition de $\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}$.

## Démonstration

Il suffit de reprendre la démonstration du théorème 3 avec des nouvelles définitions de $\zeta_i^H$ et $\hat{\theta}_i^H$ et remplacer sur $A$ par sa valeur.

### 3.1.2 - Etudions enfin le comportement de $\hat{\theta}_i^H$ si $\sigma(t,x)n$ est plus constant sur $A$.

On considère la structure statistique :

$$ \{ \Omega, F_t, F, Q_{b,\sigma} \ ; \ b \in \mathcal{C}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}; \mathbb{R}) \text{bornée} \ ; \ \sigma \in \mathcal{C}(\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}; \mathbb{R}) \text{bornée} \} $$
$\hat{\theta}_i^H$ est défini par (25) (26) on a alors le

**Théorème 6**

$$
\inf_{A_i} \int_0^\infty \mathbb{1}_{A_i} (s, x_s) ds = \infty \quad \text{Q.b.}\sigma \text{ p.s.}
$$

$$
\sup_{A_i} \sigma(t, x) \leq M_i
$$

$$
\inf_{A_i} \sigma(t, x) \geq m_i
$$

posons

$$
e(M_i, m_i, H) = M_i \frac{M_i}{m_i} \sqrt{\frac{2 \log \log H}{H}}
$$

$$
\[
\inf_{A_i} b(t, x) - e(M_i, m_i, H) \left(1 + o\left(\frac{1}{H}\right)\right) \le \hat{\theta}_i^H \le \sup_{A_i} b(t, x) + e(M_i, m_i, H) \left(1 + o\left(\frac{1}{H}\right)\right) \quad \text{Q.b.}\sigma \text{ p.s.}
\]
$$

Démonstration

Dans la définition (26) de $\hat{\theta}_i^H$ on remplace $dx_s$ par sa valeur
$$
(27_1) \qquad \hat{\theta}_i^H = \frac{1}{H} \int_0^{\hat{\theta}_i^H} \mathbb{1}_{A_i}(s,x_s) b(s,x_s) \, ds + \frac{1}{H} \int_0^{\hat{\theta}_i^H} \mathbb{1}_{A_i}(s,x_s) \sigma(s,x_s) \, dW_s
$$

d'autre part

$$
(27_2) \quad \inf_{A_i} b(s, x) \le \int_0^{\hat{\theta}_i^H} \mathbb{1}_{A_i}(s, x_s) b(s, x_s) ds \le \sup_{A_i} b(s, x) \quad \text{H}
$$

$$
\frac{1}{H} \int_{0}^{\hat{\theta}_{i}^{H}} \mathbb{1}_{A_{i}}(s, x_{s}) \sigma(s, x_{s}) \, dW_{s} = \int_{0}^{\hat{\theta}_{i}^{H}} \frac{\mathbb{1}_{A_{i}}(s, x_{s}) \sigma^{2}(s, x_{s}) \, ds}{H} \int_{0}^{\hat{\theta}_{i}^{H}} \frac{\mathbb{1}_{A_{i}}(s, x_{s}) \sigma(s, x_{s}) \, dW_{s}}{\int_{0}^{\hat{\theta}_{i}^{H}} \mathbb{1}_{A_{i}}(s, x_{s}) \sigma^{2}(s, x_{s}) \, ds}
$$

d'où

$$
(27_3) \quad \left| \frac{1}{H} \int_0^{\hat{\theta}_i^H} \mathbb{1}_{A_i}(s,x_s) \sigma(s,x_s) \, dW_s \right| \le M_i^2 \left| \frac{\int_0^{\hat{\theta}_i^H} \mathbb{1}_{A_i}(s,x_s) \sigma(s,x_s) \, dW_s}{\int_0^{\hat{\theta}_i^H} \mathbb{1}_{A_i}(s,x_s) \sigma^2(s,x_s) \, ds} \right|
$$

en posant

$$
H_i(H) = \int_0^{\hat{\theta}_i^H} \mathbb{1}_{A_i}(s, x_s) \sigma^2(s, x_s) ds
$$

on obtient

$$
\left| \frac{\int_0^{\hat{\theta}_i^H} \mathbb{1}_{A_i}(s,x_s) \sigma(s,x_s) \, dW_s}{H_i} \right| = \left| \frac{\int_0^{\hat{\theta}_i^H} \mathbb{1}_{A_i}(s,x_s) \sigma(s,x_s) \, dW_s}{\sqrt{2 H_i \log \log H_i}} \right| \left| \sqrt{\frac{2 \log \log H_i}{H_i}} \right.
$$
$$
(28) \quad \left| \frac{\int_0^t \hat{\theta}_i^H dA_i (s, x_s) \sigma(s, x_s) \, dW_s}{\sqrt{2 H_i \log \log H_i}} \right| \sqrt{\frac{2 \log \log M_i^2 H}{m_i^2 H}}
$$

Les relations (27$_1$), (27$_2$), (27$_3$), (28) donnent alors

$$
\begin{align*}
\inf_{A_i} b(t,x) - \frac{M_i^2}{m_i} \sqrt{\frac{2 \log \log M_i^2 H}{H}} \left| \frac{\int_0^t \hat{\theta}_i^H dA_i (s,x_s) \sigma(s,x_s) \, dW_s}{\sqrt{2 H_i \log \log H_i}} \right| &\le \hat{\theta}_i^H \\
\le \sup_{A_i} b(t,x) + \frac{M_i^2}{m_i} \sqrt{\frac{2 \log \log M_i^2 H}{H}} \left| \frac{\int_0^t \hat{\theta}_i^H dA_i (s,x_s) \sigma(s,x_s) \, dW_s}{\sqrt{2 H_i \log \log H_i}} \right|
\end{align*}
$$

Le théorème du logarithme itéré (A5) donne alors le résultat

Remarque 8

Un corollaire immédiat du théorème 6 est :

$$
\sup_{A_i} \left| \lim_{H \to \infty} \hat{\theta}_i^H - b(t, x_s) \right| \le \omega(b, A_i)
$$

$$
\sup_{A_i} \left| \lim_{H \to \infty} \hat{\theta}_i^H - b(t, x_s) \right| \le \omega(b, A_i)
$$

où $\omega(b,A_i)$ désigne le module de continuité de b associé à la partition $\{A_i\}$ de $\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}$.

3.2 – Identification du terme de diffusion, le terme de dérive étant inconnu

La variation quadratique d'un processus à variation bornée est nulle.
Nous utilisons ici ce fait pour montrer que les estimateurs définis au paragraphe
II.2 donnent en remplaçant dans leur définition la dérive par son estimation, encore
des estimateurs approximant correctement le terme de diffusion.

Sur la structure statistique

$$
\{ \Omega, F_t, F \quad Q_{b,\sigma} ; b \in \mathcal{C}(\mathbb{R}^{+ \times \mathbb{R}; \mathbb{R}}) \text{borné} ; \sigma \in \mathcal{C}(\mathbb{R}^{+ \times \mathbb{R}; \mathbb{R}}) \text{borné} \}
$$

On se propose de donner une approximation de la valeur de $\sigma(t,x)$ sur le
pavé A.

Pour cela appelons

$$
(29) \quad \hat{\theta}_t = \frac{\int_0^t d_A (s, x_s) \, dx_s}{\int_0^t d_A (s, x_s) \, ds} \quad \text{1' approximation du terme de dérive sur le pavé A.}
$$
Construisons le processus $N_t$ du paragraphe 2.1 à partir du processus
$M_t = x_t - x_0 - \int_0^t \hat{\Theta} ds$ ($M_t$ et $N_t$ ne sont plus cette fois des martingales).

Construisons le processus $R_t$ temps de séjour cumulé dans $A$ par

$$
(30) \quad R_t = \int_0^t \mathbf{1}_{\{S \in [\tau_{2i+1}, \tau_{2i+2}] \mid i = 1, \dots\}} ds
$$

les $\tau_i$ étant définis dans la construction de $N_t$

Grâce à $R_t$ construisons l'approximation de la VQ de $N_t$ en posant

$$
(31) \quad T_i := \inf \left\{ s : \mathbb{R}^s \ge i \mathbf{1}_H \quad \text{fixé} \quad h = \frac{H}{n} \right\}, \quad i = 1, \dots, m
$$

Appelons alors

$$
(32) \quad \hat{M}_n^2 = \frac{1}{H-h} \sum_{i=0}^{n-1} \left( N_{T_{i+1}} - N_{T_i} - \hat{\theta}_t h \right)^2
$$

ce sera l'approximation de $\sigma^2(t, x)$ sur A. On a alors le :

Théorème 7

Si $\exists H > 0 \ \mathbb{R}^\infty \ni H \ \text{Qb}\rho \text{p.s. alors}$

$$
\overline{\lim}_{n} \hat{M}_{n}^{2} < \sup_{A} \sigma^{2}(t,x)
$$

$$
\inf_A \sigma^2(t,x) < \overline{\lim}_{n} \hat{M}_n^2
$$

Démonstration

On a en utilisant les définitions de $N_t$ et de $R_t$

$$
N_t - \int_0^t \hat{\Theta}_s \, dR_s = \int_0^t (b(s, x_s) - \hat{\Theta}_s) \, dR_s + P_t
$$

avec

$P_t$ une martingale de processus croissant $\int_0^t \hat{\sigma}^2(s,x_s) dR_s$ le théorème exprimant l'égalité de la variation quadratique d'une martingale et de son processus croissant, le fait que la variation quadratique d'un processus a variation borné est nulle entraine :

$$
\sum_{i=0}^{n-1} (N_{T_{i+1}} - N_{T_i} - \hat{\theta}_t h)^2 \xrightarrow{n \to \infty} \int_0^t \sigma^2(s,x_s) dR_s \quad \text{L.a. et p.s.}
$$

En majorant [ resp minorant ] $\hat{\sigma}^2(s,x_s)$ sur A par $\sup_A \sigma^2(s,x)$ [ resp $\inf_A \sigma^2(s,x)$ ]
on obtient le résultat $\blacksquare$
Remarque 9

(32) est un estimateur sans biais de loi $\frac{m^2}{m-1} \chi^2_{(n-1)} \text{si } b(t,x)$ est constant sur $A$, et si $\nu(t,x)$ est constant sur $A$ et est égal à $\mu$.

Conclusion du chapître II

Nous voyons que dans tous les cas nous sommes capables de trouver une approximation raisonnable des termes de dérive et de diffusion. On constate également que l'on obtient des résultats de convergence plus ou moins précis selon la connaissance plus ou moins précise que l'on a à priori sur la diffusion. On remarque aussi qu'il est possible de découpler l'estimation de la dérive et du terme de diffusion. La convergence de l'estimateur de la dérive a lieu lorsque le temps d'observation tend vers $\infty$. La convergence de l'estimateur du terme de diffusion a lieu lorsque le pas d'échantillonnage tend vers o quelle que soit la longueur de l'observation
# CHAPITRE III

## ESSAIS NUMERIQUES ET EXEMPLE D'APPLICATION

### 1 - ESSAIS NUMERIQUES

On se propose ici de tester numériquement la qualité des estimateurs donnés plus haut, dans tous les cas envisagés.

La méthode consiste à simuler des trajectoires avec des paramètres donnés et à essayer ensuite de retrouver par identification ces paramètres. On a aussi testé numériquement les écarts types des paramètres estimés en recommençant plusieurs fois le même exemple et en comparant alors l'écart type empirique à l'écart type théorique

#### 1.1 - Fonctions b et σ constantes

##### 1.1.1 - Estimation de la dérive, terme de diffusion connu :

Simulation : $dx_t = \sqrt{10} dt + dW_t$

Durée d'observation H = 10

$$ egin{cases} b = \sqrt{10} \approx 3.16 \\ \sigma = 1 \text{ (connu)} \end{cases} $$

20 essais numériques ont donné les résultats suivants :

$\hat{b} = 3.53, 3.68, 2.91, 2.92, 2.70, 3.02, 3.47, 2.76, 3.11, 3.52, 3.53, 2.74, 3.3, 3.4, 2.88, 3.48, 2.93, 3.36, 3.25, 2.56.$

moyenne empirique ($\hat{b}$) = 3.15

variance empirique ($\hat{b}$) = 0.114

moyenne théorique ($\hat{b}$) = 3.16

variance théorique ($\hat{b}$) = $\frac{\sigma^2}{H} = 0.1$

##### 1.1.2 - Estimation du terme de diffusion (dérive connue)

Simulation : $dx_t = \sqrt[4]{0.5} dw_t$

n = 10 observations sur $[0,1]$

$$ egin{cases} \sigma = \sqrt[4]{0.5} \\ b = 0 \end{cases}, \quad \sigma^2 = 0.707 \text{ à identifier} $$

20 essais numériques ont donné les résultats suivants :

$\hat{\sigma}^2 = (0.222, 1.67, 0.438, 0.723, 0.913, 0.638, 0.544, 1.8, 0.497, 0.387, 0.662,$
0.351, 0.816, 0.333, 0.699, 0.789, 0.77, 0.918, 0.454, 0.456).

$$ \text{moyenne empirique } (\hat{\sigma}^2) = 0.704 $$

$$ \text{variance empirique } (\hat{\sigma}^2) = 0.12 $$

$$ \text{moyenne théorique } (\hat{\sigma}^2) = 0.707 $$

$$ \text{variance théorique } (\hat{\sigma}^2) = 0.1 $$

### 1.1.3 - Estimation simultanée du terme de dérive et du terme de diffusion

$$ \text{Simulation : } dx_t = \sqrt{10} \, dt + \sqrt[4]{0.5} \, dW_t $$

$$ b = \sqrt{10} \approx 3.16 $$

$$ \sigma = \sqrt{0.5} \approx 0.84 $$

On trouve $\hat{b} = 3.05$ et $\hat{\sigma} = 0.8$, les écarts types empirique des estimateurs étant respectivement de $\underline{0.3}$ et $\underline{0.1}$.

**Conclusion** : Dans tous les cas les valeurs numériques trouvées sont satisfaisantes.

## 1.2 - Approximation par des fonctions en escalier

Le programme d'identification découpe le domaine global délimité par les trajectoires observées (par simulation) en un certain nombre fixé de zones de façon que le temps cumulé passé à l'intérieur de chaque zone soit à peu près constant.

On a testé 3 exemples de simulation et un exemple sur des données réelles (§ suivant).

Rappelons les formules

$$ \hat{b}_i = \frac{1}{H_i} \int_0^{\frac{\sigma_i^2}{H_i}} A_{i\lambda} (s_i x_s) dx_s \quad (\text{somme des accroissements dans } A_i \text{ divisée par temps total passé dans } A_i) $$

$$ \hat{\sigma}_i^2 = \frac{1}{H_i - h_i} \left( \left( x_{(h_i)h} - x_{h_i} - \hat{b}_i h \right) A_{i\lambda} (s_i x_s) \right)^2 $$

$$ V_r(\hat{b}_i) \sim \frac{\sigma_i^2}{H_i} $$

$$ V_r(\hat{\sigma}_i^2) \sim \frac{2\sigma_i^4}{N_i} $$

$N_i$ = Nombre d'observations dans la zone $A_i$
### ler exemple

b et $\sigma$ constants

$$dx_t = \sqrt{10} dt + \sqrt[4]{0.5} dW_t$$

Valeurs de simulation

<table><tr><td>b = 3.16<br>σ = 0.84</td><td>b = 3.16<br>σ = 0.84</td></tr><tr><td>b = 3.16<br>σ = 0.84</td><td>b = 3.16<br>σ = 0.84</td></tr></table>

valeurs trouvées

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

### Remarque 1

L'échantillon a été obtenu à partir de réalisations indépendantes sur $[0,1]$ de la diffusion :

$$dx_t = b_1(t, x_t) dt + \sigma_1(t, x_t) dW_t$$

Il revient au même d'étudier une seule réalisation, de la diffusion définie sur $[0, +\infty[$ à coefficients périodiques de période $T > 1$ :

$$dy_t = b_2(t, y_t) dt + \sigma_2(t, y_t) dW_t$$

$$b_2(t, y) = b_2(t + T, y)$$

$$\sigma_2(t, y) = \sigma_2(t + T, y)$$

Sur $[1, T[$ $b_2$ et $\sigma_2$ doivent être choisis de façon à vérifier l'hypothèse de convergence de l'estimateur du terme de dérive:

$$\int_{0}^{+\infty} dA_{i} (s, x_{s}) ds = +\infty \quad \text{p.s.} \\ \{A_{i}\} \text{ étant la partition choisie de } [0,1] \times \mathbb{R} \bullet$$

Dans cette optique la remarque $5_2$ du chapitre 2, introduisant un contrôle sur le terme de dérive, peut être crucial.

### Remarque 2

En général on ne peut pas identifier partout b et $\sigma$, les trajectoires ne couvrant pas tout le domaine.
2ème exemple :

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Valeurs de simulation, 12 trajectoires simulées, pas le temps = $\frac{1}{16}$

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Valeurs trouvées

On remarque ici encore que les valeurs trouvées appartiennent toujours à l'intervalle $[\hat{\theta}-2\text{écart type } (\hat{\theta})$, $\hat{\theta} + 2\text{écart type } (\hat{\theta})]$
### 3ème exemple

Simulation
$$ \begin{cases} dx_t = -2x_t dt + 0.1 \sqrt{2(1+x^2)} dw(t) \\ x(0) \text{ uniformément répartie sur } [-1,1] \end{cases} $$

$$ \begin{aligned} b(t,x) &= -2x \\ \hat{v}(t,x) &= 0,1 \sqrt{2(1+x^2)} \end{aligned} $$

18 trajectoires simulées sur $[0,1]$ avec le pas d'échantillonnage $\frac{1}{20}$.
Découplage en 3 zones pour b et 5 zones pour $\hat{v}$.

On a obtenu les estimations suivantes

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Les points (.) représentent les centres de gravité des zones.

Entre parenthèses, les écarts-types calculés des estimateurs.

Un lissage polynomial, par moindres carrés pondérés, donne les résultats suivants :

$$ \hat{b}(t,x) = -0.025 - 1.92x $$

$$ \hat{\hat{v}}(t,x) = 0.131x + 0.127x^2 $$

Les graphiques suivants donnent une idée de la précision obtenue.
<figure><img src="image_9.png" /></figure>

On remarque que les estimations sont meilleures au voisinage des points où sont concentrés les observations.

## 2 - UN EXEMPLE D'APPLICATION

En vue de la gestion optimale d'un réservoir hydraulique (E.D.F.), on a cherché à identifier les apports d'eau (débits) au moyen d'une équation différentielle stochastique :

$$dx(t) = b(t,x(t)) dt + \sigma(t,x(t)) dw(t). \quad (b \text{ et } \sigma \text{ inconnus})$$

On dispose d'un échantillon d'une vingtaine d'années sur les apports, semaine par semaine.

**Remarque :**

Le problème de contrôle conduit à identifier non pas $x(t)$ mais $x_1(t) = \theta(t, x(t))$ où $\theta$ est régulière, strictement croissante et à valeurs dans $[0,1]$. On a choisi comme fonction $\theta(t, \cdot)$ la fonction de répartition d'une loi normale de moyenne $\mu(t)$ et de variance $\ell^2(t)$ ou $\mu(t)$ et $\ell^2(t)$ sont les moyennes et variances des valeurs observées à l'instant $t$ sur les trajectoires. Cette transformation ramène la diffusion dans un borné fixe, avec frontières inaccessibles.

Nous avons testé deux exemples, les barrages de Bort les Orgues (régime "fluvial") et Tignes (régime "nival").
Les résultats numériques sont consignés dans les tableaux ci-dessous

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

$\hat{b}$

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

écart type ($\hat{b}$)

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

$\hat{\sigma}$

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

écart type ($\hat{\sigma}$)

BORT

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

$\hat{b}$

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

écart type ($\hat{a}$)

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

$\hat{\sigma}$

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

écart type ($\hat{\sigma}$)

TIGNES
On voit qu'après transformation $\theta$ les fonctions $b$ et $\sigma$ présentent en gros la forme suivante (b est toujours $\downarrow$, $\sigma$ est toujours $\uparrow$ puis $\downarrow$)

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

La diffusion tend donc à ramener les valeurs $x(t)$ éloignées de la moyenne $\mu(t)$, vers des valeurs $x(t')$ plus proches de $\mu(t')$ ($t'>t$) et cela d'autant plus rapidement que $|x(t)-\mu(t)|$ est grand.

Nous présentons, dans les deux cas, une trajectoire réelle observée pendant deux ans et une trajectoire simulée sur la même période.
Echelle logarithmique
Mn³/semaine

TIGNES : ooooo=APPORTS REELS
******=APPORTS IDENTIFIES
(2 ANNEES SUCCESSIVES)

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ANNEXE
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(2 ANNEES SUCCESSIVES)
## A.1 - DEFINITION D'UNE DIFFUSION (Formulation faible)

soit $(\Omega, F_t, \mathcal{F})$ l'espace canonique

$$ \Omega = \mathcal{B}(\mathbb{R}_+, \mathbb{R}) $$

$$ X_t(\omega) = \omega(t) $$

F tribu des boréliens sur $\Omega$

$$ F_t = \sigma(X_s, s \le t) \cap \mathcal{F} $$

$b: \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ borélienne bornée

$t, x \qquad b(t,x)$

$\sigma: \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ continue, bornée strictement positive

$t, x \qquad \sigma(t,x)$

### Définition

Une mesure P sur $(\Omega, \mathcal{F})$ est appelée solution du problème de martingale $(X, b, \sigma^2)$ si :

$$ (1) \quad P(X_0 = x) = 1 $$

$$ (2) \quad \mathcal{L} f \in \mathcal{L}^2_k \quad \text{f}(X_t) - \mathcal{L} f(X_0) - \int_0^t \left[ f'_x(s, x_s) b(s, x_s) - \frac{1}{2} f''_{xx} \sigma^2(s, x_s) \right] ds \quad \text{est une (P, F_t) martingale.} $$

On appelle diffusion le processus de Markov $X_t$ correspondant.

### Remarque

De la définition (formulation faible) d'une diffusion, il résulte en particulier que :

$M_t = X_t - X_0 - \int_0^t b(s, x_s) ds$ est une $(P, F_t)$ martingale de processus croissant

$\int_0^t \sigma^2(s, x_s) ds$. Nous utiliserons constamment cette propriété.

## A.2 - FORMULE DE CAMERON-MARTIN

Supposons $\sigma^2$ continue bornée, b borélienne bornée.

* Les problèmes de martingales $(X, \mathcal{O}, \sigma^2)$ et $(X, b, \sigma^2)$ admettent une solution unique $P$ [respect $Q$] et on a :

$$ Z_t = \frac{dQ}{dP} \bigg|_{F_t} = \exp \int_0^t \frac{b(s, x_s)}{\sigma^2(s, x_s)} ds - \frac{1}{2} \int_0^t \frac{b^2(s, x_s)}{\sigma^2(s, x_s)} ds $$
## Corollaire 1

La formule reste vraie pour tout temps d'arrêt $\tau$ borné ou vérifiant

$$ \int_0^\tau \frac{b^2(s, x_s)}{\sigma^2(s, x_s)} ds \le M \quad \text{Q p. s} $$

## Démonstration

1) temps d'arrêt borné par $T$

$\bar{Z}_{t \wedge \tau}$ est une martingale et comme $\tau \le T$, $\bar{Z}_{\tau \wedge T} = \bar{Z}_\tau$ d'où le résultat.

$$ 2) \quad \int_0^\tau \frac{b^2(s, x_s)}{\sigma^2(s, x_s)} ds \le M $$

$t \wedge \tau$ est un t.a borné et donne $\bar{Z}_{t \wedge \tau}$ est une martingale. Montrons qu'elle est uniformément intégrable.

On a :

$$ \exp \left\{ \int_{0}^{t \wedge \bar{\tau}} \frac{b^2}{\sigma^2} dx_s - \frac{1}{2} \int_{0}^{t \wedge \bar{\tau}} \frac{b^2}{\sigma^2} ds \right\} = \exp \left\{ \frac{1}{2} \int_{0}^{t \wedge \bar{\tau}} \frac{b^2}{\sigma^2} ds + \int_{0}^{t \wedge \bar{\tau}} \frac{b}{\sigma^2} dM_s \right\} $$

ou $M_t$ est une martingale de processus croissant

$$ \int_0^t \sigma^2(s, x_s) ds $$

D'autre part $\int_0^{t \wedge \bar{\tau}} \frac{b^2}{\sigma^2} ds \le \int_0^\tau \frac{b^2}{\sigma^2} ds \le M$ et de plus $\int_0^{t \wedge \bar{\tau}} \frac{b}{\sigma^2} dM_s$ est une martingale de processus croissant $\int_0^{t \wedge \bar{\tau}} \frac{b^2}{\sigma^2} ds$ et donc :

$$ P\left(\left|\int_{0}^{t \wedge \bar{\tau}} \frac{b}{\sigma^2} dM_s\right| > c \le \exp - \frac{c^2}{2M}\right) $$

Notons $\int_0^{t \wedge \bar{\tau}} \frac{b}{\sigma^2} dM_s = N_t$ et reprenons le raisonnement de PRIOURET [ 7]

On a :

$$ E(e^{N_t}) = \int_0^{+\infty} P(e^{N_t} > u) du \le 1 + \int_1^{\infty} P(e^{N_t} > u) du $$

et en posant $u = e^v$

$$ \begin{align*} E e^{N_t} &\le 1 + \int_1^\infty P(e^{N_t} > e^v) dv \le 1 + \int_0^\infty P(N_t > v) e^v dv \\ &\le 1 + \int_0^{+\infty} e^{-v^2/2M} e^v dv \end{align*} $$

et donc $\bar{Z}_{t \wedge \bar{\tau}}$ est une martingale uniformément intégrable qui converge donc dans $L_1$ vers $\bar{Z}_\tau$ d'où $E_P(\bar{Z}_\tau) = 1$ et donc $\bar{Z}_\tau$ définit une probabilité sur $F_\tau$ qui coïncide pour tout temps d'arrêt $t \wedge \bar{\tau}$ avec $\frac{dQ}{dP} = 0$. C'est donc la restriction à $F_\tau$ de $\frac{dQ}{dP}$.
### A.3 - INEGALITE DE CRAMER-RAO POUR UNE DIFFUSION

Le théorème suivant permet d'évaluer l'efficacité des estimateurs sans biais définis sur l'espace canonique associé au problème de martingale $(X_t, b, \sigma^2)$ où b dépend d'un paramètre inconnu $\theta$

$$b: \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ t \times \theta \quad b(t, x, \theta)$$

Les notations seront les suivantes :

* $X_t = \text{diffusion définie par la solution Q du problème de martingale } (X_0, b, \sigma^2)$
  $M_t = X_t - X_0 - \int_0^t b(s, x_s, \theta)ds$ est alors une $(Q_\theta, F_t)$ martingale

* $y_t = \text{diffusion définie par la solution P du problème de martingale } (X_0, \theta, \sigma^2)$

* $\tau$ est un temps d'arrêt vérifiant

$$ (1) \qquad \int_0^\tau b^2(s, x_s, \theta) ds \le M \qquad \mathcal{Q}_\theta - \text{P.S. V\'O.E. } \mathbf{H} $$

* $Z_\tau(\theta)$ est la densité $\frac{dQ_\theta}{dP}|_{F_\tau}$ donnée par la formule de Cameron-Martin

$$ Z_\tau(0) = \exp \left\{ \int_0^\tau \frac{b(s, x_s, \theta)}{\sigma^2(s, x_s)} ds - \frac{1}{2} \int_0^\tau \frac{b^2(s, x_s, \theta)}{\sigma^2(s, x_s)} ds \right\} $$

$T_t$ est un processus adapté défini sur $\Omega$ et $T_\tau$ est un estimateur de $f(\theta)$ dont le biais est

$$ B(\theta) = E_{T_\tau} f(\theta) = \int_{\Omega} [T_\tau Z_\tau(\theta)](y) dP(y) - f(\theta) $$

Nous ferons les hypothèses de régularité suivantes :

$$ (2) \qquad \int_0^\tau \frac{b^2(s, x_s, \theta)}{\sigma^2(s, x_s)} ds \le M \qquad \mathcal{Q}_\theta - \text{P.S. et V\'O.E. } \mathbf{H} $$

$$ (3) \qquad \frac{d}{d\theta} \int_0^\tau \frac{b(s, y_s, \theta)}{\sigma^2(s, y_s)} dy_s = \int_0^\tau \frac{b'(s, y_s, \theta)}{\sigma^2(s, y_s)} dy_s \quad \text{P-P.S.} $$

$$ (4) \qquad \frac{d}{d\theta} \int_0^\tau \frac{b^2(\theta(s, y_s, \theta))}{\sigma^2(\theta(s, y_s))} ds = 2 \int_0^\tau \frac{b(\theta(s, y_s, \theta))}{\sigma^2(\theta(s, y_s))} ds \quad \text{P-P.S.} $$

$$ (5) \qquad \frac{d}{d\theta} \left[ \int_{\Omega} T_{\tau} Z_{\tau}(\theta) dP(y) \right] = \int_{\Omega} T_{\tau} \frac{d}{d\theta} [Z_{\tau}(\theta)](y) dP(y) \quad \text{P.P.S.} $$

Sous ces hypothèses on a l'inégalité de Cramer-Rao :
## Démonstration

On peut dériver sous le signe $\int$ la formule donnant le biais, d'après (5) :

$$ \text{soit} \quad \frac{d}{d\theta}[f(\theta)+B(\theta)] = \int_{\Omega} T_z \frac{d}{d\theta} \bar{z}_z(\theta) (y) \, dP(y) $$

$$ \text{mais} \quad \frac{d}{d\theta} \bar{z}_z(\theta) = \bar{z}_z(\theta) \int_0^\tau \frac{b_\theta'(s,x_s,\theta)}{\sigma^2(s,x_s)} dx_s - \int_0^\tau \frac{b}{\sigma^2(s,x_s)} b_\theta'(s,x_s,\theta) ds \\ = \bar{z}_z \int_0^\tau b_\theta'(s,x_s,\theta) dM_s \quad \text{par définition de } M_t $$

$$ \text{d'où} \quad \frac{d}{d\theta} [f(\theta)+B(\theta)] = E_{\theta} (T_z \int_{0}^{\tau} \frac{b_{\theta}'(s,x_s,\theta)}{\sigma^2(s,x_s)} dM_s) $$

D'autre part $M_t$ étant une martingale on a, en utilisant (2) :

$$ E_{\theta} (T_z E_{\theta} \int_{0}^{\tau} \frac{b_{\theta}'(s,x_s,\theta)}{\sigma^2(s,x_s)} dM_s) $$

Les deux dernières égalités permettent d'écrire alors :

$$ \frac{d}{d\theta}[f(\theta)+B(\theta)] = E_{\theta}\{ (T_z - E_{\theta}T_z) \int_{0}^{\tau} \frac{b_{\theta}'}{\sigma^2} dM_s \} $$

En appliquant Cauchy-Schwarz au second membre élevé au carré et en utilisant le fait que $E_{\theta}[\int_{0}^{\tau} \frac{b_{\theta}'}{\sigma^2} dM_s]^2 = E_{\theta}[\int_{0}^{\tau} \frac{b_{\theta}'}{\sigma^2} ds$ il vient

$$ \frac{d}{d\theta} [f(\theta)+B(\theta)]^2 \le E_{\theta}[T_z - E_{\theta}T_z] E_{\theta} \int_{0}^{\tau} \frac{b_{\theta}'}{\sigma^2} ds $$

En écrivant $E_{\theta}[T_z - E_{\theta}T_z]^2 = E_{\theta}[T_z - f(\theta)]^2 - B^2(\theta)$ on obtient alors l'inégalité annoncée. ■

## Corollaire

Si $\hat{\theta}_z$ est un estimateur sans biais de $\theta$ on a :

$$ \underline{\mathrm{Var}}_{\theta}(\hat{\theta}_z) \ge \frac{1}{E_{\theta}\int_{0}^{\tau} \frac{b_{\theta}^{\prime}(s,x_s,\theta)}{\sigma^2(s,x_s)} ds} \quad \blacksquare $$
## A.4 - VARIATION QUADRATIQUE D'UNE MARTINGALE CONTINUE

Nous donnons ici le théorème de l'égalité de la variation quadratique d'une martingale et de son processus croissant.

soit $M_t$ une martingale locale

une subdivision de l'intervalle $[0,s]$ $0, to, ti, ... tn$

Notons

$$ - |\delta| = \sup_i (t_{i+1} - t_i) $$

$$ - V_s(M, \delta) = \sum_{i=0}^{n-1} (M_{t_{i+1}} - M_{t_i})^2 $$

### Définition

On appelle variation quadratique de M, notée $V(M)$, $\lim_{|\delta| \to 0} V_s(M, \delta)$ dans $L_1$ lorsqu'elle existe

### Proposition 1 (PRIOURET [7])

Pour toute martingale locale continue on a l'égalité

$V_s(M) = \langle M \rangle_s$ ; $\langle M \rangle$ désigne le processus croissant de M ■

### Proposition 2

Soit $\zeta_s = \inf\{t : \langle M \rangle_t \ge s\}$ et M une martingale locale vérifiant $\langle M \rangle_\infty = \infty$, alors $M_{\zeta_s}$ est un F$_{\zeta_s}$ mouvement brownien.

PRIOURET [7] ; LIPCHER-SHIRAEV [5] ■

### Corollaire

Soit $\zeta_i = \inf\{t : \langle M \rangle_t \ge ih\}$ $i = 1, ..., n = \frac{s}{n}$,

$$ - V_s(M, \tilde{\delta}) = \sum_{i=0}^{n-1} |M_{\zeta_{i+1}} - M_{\zeta_i}|^2 $$

alors $n/s V_s(M, \tilde{\delta})$ suit une loi du $X^2$ à n degrés de libertés et a donc pour variance $2n$.

En effet $M_{\zeta_{i+1}} - M_{\zeta_i}$ $i = 0, ..., n-1$ sont indépendants et suivent des lois $\mathcal{P}(0, \sqrt{n})$ d'après la proposition 2 ■
## A.5 - THEOREME DU LOGARITHME ITERE POUR UNE MARTINGALE LOCALE CONTINUE

### Théorème 1

Soit $M_t$ une martingale locale continue, $M_0 = 0$, de processus croissant $A_t$,

On a : $\overline{\lim}_{t \to 0} \frac{|M_t|}{\sqrt{A_t \log \log A_t}} \le 1$ sur $\{A_\infty = 0\}$

### Remarque :

On peut montrer l'égalité dans (1) mais nous ne démontrons que l'inégalité annoncée car elle seule nous servira.

Nous utiliserons le :

### Lemme :

$X_t^\theta = \exp\left(\theta M_t - \frac{\theta^2}{2} A_t\right)$ est une surmartingale positive et $P\left[\sup_{t>s} X_t^\theta \ge \alpha\right] < \frac{1}{\alpha}$

### Démonstration

$X_t^\theta$ est une martingale locale positive, donc une surmartingale (Priouret [7]) et par suite :

$$P\left[ \sup_{s<t\le T} X_t^\theta > \alpha \right] \le \frac{1}{\alpha} E(X_s^\theta) \le \frac{1}{\alpha} X_0^\theta = \frac{1}{\alpha} \forall T \quad \blacksquare$$

### Démonstration du théorème

On a d'après le lemme :

$$P\left[\sup_{t \ge 0} X_t^\lambda \ge e^{\lambda \theta}\right] \le e^{-\lambda \theta} \text{ d'où en utilisant la définition de } X_t^\lambda$$

$$P\left[\sup_{t \ge 0} [M_t - \frac{1}{2}A_t - \alpha] \ge 0\right] \le e^{-\lambda \theta}$$

$$\text{soit alors } \theta \ge 1, 5 \ge \theta \text{ et } h(t) = (\log \log t) t^{1/2}$$

$$\alpha_k = \frac{1+\theta}{2} h(\theta^k)$$

$$\lambda_k = \frac{h(\theta^k)}{\theta^k} \text{ avec } k \ge \frac{1}{\log \theta} \text{ entier}$$

$$\text{alors } \exp(-\lambda_k \alpha_k) = (k \log \theta)^{-1+\theta}$$

Définissons alors la suite de temps d'arrêt :

$$\gamma_k = \min\{t : A_t \ge \theta^k\} \text{ ou } +\infty \text{ si } A_\infty \le \theta^k$$
On a les majorations pour $\forall k < t \le \forall_{k+1}$

$$ \alpha_k + \lambda_k \frac{A_t}{2} \le \alpha_k + \lambda_k \theta^{k+1} = \frac{1+\delta+\theta}{2} h(\theta^k) \le \frac{1+\delta+\theta}{2} h(A_t) $$

d'où il vient :

$$ P\left[ \sup_{t \in \mathcal{N}_k} \nu_{k+1} \left[ \frac{M_t}{h(A_t)} \ge \frac{1+\delta+\theta}{2} \right] \le (k \log \theta)^{-(1+\delta)} \right] $$

et le lemme de Borel-Cantelli donne :

$$ P\left[ \left| \lim_{k \to \infty} \frac{M_t}{\nu_{k+1}[h(A_t)}} \right| \le \frac{1+\delta+\theta}{2} \right] = 1 $$

et en faisant tendre $\theta$ vers 1 et $\delta$ vers 0.

$$ P\left[ \left| \lim_{t \to \infty} \frac{M_t}{h(A_t)} \right| \le 1 \right] = 1 \quad \blacksquare $$

**Corollaire 1 (Cas vectoriel)**

Soit $M_t$ une martingale locale à valeur dans $\mathbb{R}^n$

Notons $\langle M \rangle_t$ son processus croissant naturel qui est une matrice $(n,n)$

On a : $ \lim_{t \to \infty} \frac{\|M_t\|}{(2 \|\langle M \rangle_t\| \log \log \|\langle M_t \rangle\|)^{1/2})} \le 1 \quad \text{sur} \quad \{ \|\langle M \rangle_t\| = \infty \} $

**Démonstration :**

Il suffit d'appliquer le théorème précédent à la martingale $(\gamma, M_t)$ dont le processus croissant est $(\gamma, \langle M \rangle_t \gamma)$ en prenant $\gamma = \frac{M_t}{\|M_t\|}$ et en utilisant la majoration $(\gamma, \gamma \langle M \rangle_t) \le \|\langle M \rangle_t\|$ on a le résultat.
# CONCLUSION

La raison pour laquelle l'identification des processus de diffusion à terme de dérive et de diffusion non linéaires nous semble importante est qu'elle conduit à une classe de systèmes facilement contrôlables par la programmation dynamique stochastique PDS. La grande limitation pratique de la PDS est la dimension du système qui ne doit pas excéder deux ou trois. Par contre les non linéarités, les cours non quadratiques, les contraintes ne posent pas de difficultés. Dans un certain nombre de cas où on sait à priori que l'on sera conduit à contrôler par la PDS, il est alors utile de pouvoir accepter des non linéarités supplémentaires au niveau de l'identification.

Mis à part les méthodes linéaires quatre approches nous semblent possibles.

1) Méthodes d'identification des coefficients d'une équation aux dérivés partielles CHAVENT [1]. En effet la densité de probabilité d'une diffusion est donnée par l'équation de FOKKER-PLANCK dont les coefficients inconnus sont préci- sément les 2 fonctions à identifier. Si l'on dispose de plusieurs réalisations du processus $X_t$, pour chaque instant t on peut construire la fonction de répartition empirique de la variable aléatoire $X_t$. Le problème consiste alors à ajuster les coefficients de l'équation de Fokker Planck de façon à ce que la solution de cette équation soit la plus proche possible de la fonction de répartition empiri- que observée.

Le problème ainsi posé admet une infinité de solutions CHAVENT [1] et donc conduit à des résultats qui n'ont pas de sens, dans le cas intéressant où l'on cherche à identifier simultanément les termes de dérive et de diffusion.

2) La méthode des fonctions tests

Supposons que l'on veuille identifier n coefficients sur la dérive et le terme de diffusion. On peut essayer de trouver n fonctions tests $\varphi_t(x_t)$ dont l'équation d'évolution est décrite par la formule d'Ito. Si l'on dispose de n réalisations du processus grâce à la loi des grands nombres on dispose d'approxi- mation de la moyenne de ces processus. Ce qui nous permet de construire un système (linéaire si la dépendance coefficients → dérive et terme de diffusion est linéaire) dont la résolution donne un estimateur des coefficients. On peut alors essayer de choisir les fonctions tests de façon à rendre le système facilement inversible et à minimiser la variance de l'estimateur (dont on peut obtenir une valeur analytique). Cette méthode donne des résultats raisonnables mais reste relativement lourde à mettre en oeuvre.

3) Discrétisation en temps de l'équation d'évolution de processus

On peut également penser à discrétiser l'équation d'évolution comme nous l'avons fait au chapitre 2. Identifier la dérive et le terme de diffusion sur le problème discrétisé et montrer la convergence des estimateurs ainsi obtenus lors- que le pas de discrétisation tend vers 0. Malheureusement cette dernière étape est
difficile car on sait seulement montrer GIHMAN-SKOROHOD [2] la convergence faible
de ces processus discrétisés vers le processus initial. Numériquement cette méthode
donne cependant de bons résultats.

4) **Discrétisation des termes de dérive et de diffusion**

Est celle qui a fait l'objet de ce travail. Les avantages par rapport
aux autres méthodes décrites ci-dessus sont de deux ordres :

- **Pratique** : elle conduit à des estimateurs dont les formules analytiques sont simples.

- **Théorique** : - on peut montrer la convergence des estimateurs obtenus - on peut évaluer l'intervalle de confiance de ces estimateurs. Ce dernier point est important car il permet de faire un compromis entre la qualité de l'estimation, et la qualité de l'approximation par la fonction en escalier des termes de dérives et de diffusion. - On peut montrer au moins dans certains cas que les estimateurs sont de variances minimums.

D'autre part cette étude montre l'utilité du théorème du logarithme itéré
appliqué aux martingales pour évaluer la rapidité de convergence des estimateurs.
Il semble d'un emploi plus aisé que l'efficacité asymptotique des estimateurs. A
ce sujet un point irrésolu nous semble important : peut on avoir des majorations
de la vitesse p.s de convergence d'un estimateur lorsque le temps d'observation
croit ?.
BIBLIOGRAPHIE

[1] CHAVENT : thèse Paris 1970

[2] GIHMAN - SKOROHOD : Stochastic differential equations
Springer Verlag (1972)

[3] FAURRE : Réalisations markoviennes de processus stationnaires
IRIA-Laboria Rapport de recherche n° 13 (1973)

[4] LE BRETON : Parameter estimation in a vector linear stochastic differential equation
I.R.M.A Grenoble (1974)

[5] LIPCHER - SHIRAEV - Statistique de processus stochastiques
(En Russe) (1974)

[6] NEVEU : Martingales discrètes
Masson (1972)

[7] PRIOURET : Cours d'été
St Flour (1973)

[8] RISSANEN : Recursive identification of linear systems
SIAM J.of control, vol 9 n° 3 (1971)

[9] SOLER : C.R. Acad. Sciences t 277 série A.49 (1973)

[10] STROOK-VARADHAN : Diffusion processes with continuous coefficients
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[11] BOX-JENKINS : Time series Analysis forecasting and control
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[12] LOPEZ TOLEDO : Optimal inputs for identification of stochastic Systems
M.I.T. Ph.D (sept 1974).