# Comment le mode de scrutin peut influencer le résultat d'une élection

Corinne Touati

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Corinne Touati. Comment le mode de scrutin peut influencer le résultat d'une élection. Fête de la Science, Oct 2017, Grenoble, France. pp.1-11. hal-01673359

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# Comment le mode de scrutin peut influencer le résultat d'une élection

Corinne Touati

Fête de la science - 2017

Les années 2016 et 2017 ont été riches en matière d'élections à travers le monde. Nous avons tous entendu parler du référendum au Royaume-Uni sur le maintien ou non dans l'union européenne, l'élection présidentielle américaine, française, les élections législatives françaises. Certains des résultats de ces élections ont surpris les observateurs, et beaucoup se sont demandés si le choix des règles des scrutins ou la diffusion de sondages avaient eu un impact dans les résultats. Dans cet atelier, nous allons donc jouer un petit jeu de rôle pour une élection fictive afin de voir si, pour une population donnée, le choix du scrutin peut mener à des résultats différents et s'il existe un mode de scrutin optimal.

## 1 Le jeu

Dans ce jeu chaque électeur (joueur) reçoit un carton lui indiquant quelles sont ces opinions pour chacun des 4 candidats d'une élection fictive. Chaque électeur peut choisir à sa guise de communiquer son avis à ses voisins (pas à la population totale) ou bien de le garder secret. On informe ensuite aux joueurs le type de scrutin qui va se dérouler et chaque joueur est alors libre de voter comme bon lui semble, mais bien sûr de façon rationnelle, c'est-à-dire de sorte a maximiser les chances que son candidat favori soit élu, ou si cela n'est pas possible, que le candidat qui sera élu soit aussi apprécié que possible de la part de l'électeur.

Les bulletins des joueurs sont fournis en fin de document (découpables). Pour chacun des électeurs, le carton peut être compris comme suit :

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* C'est le candidat idéal

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* Un candidat apprécié même s'il n'est pas favori

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* Un candidat peu apprécié, sans être détesté

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* C'est le candidat que l'on souhaite à tout prix éviter

Pour que les résultats suivants soient valables, il convient d'utiliser les cartes dans l'ordre de leur numérotation. Ainsi pour un jeu avec 18 joueurs, on utilisera les cartes 1 à 18 par exemple. La description qui suit a été faite pour un exemple avec 16 joueurs, mais les résultats restent valables pour un nombre supérieur de joueurs. (Pour créer d'avantage de cartons, il suffit de répéter les cartons 21 à 24 dans le même ordre, autant que fois que nécessaire).

## 2 Les différents types de scrutin et leurs résultats

### 2.1 Le scrutin majoritaire a 1 tour

Plaçons nous tous d'abord dans le cas le plus naturel. Chaque électeur vote pour un et un seul candidat. A l'issue de l'élection, le candidat ayant recueilli le plus de vote gagne l'élection.

Sans connaissance particulière sur les opinions des autres électeurs, la stratégie optimale pour chacun est de voter pour le candidat qu'il préfère. Le résultat des votes est alors :

- Mme Cécile Anssieux : 6 votes

- M Bill Boquet : 4 votes
— M Théo Courand : 3 votes

— M Jean Darme : 3 votes

Le candidat élu est donc Mme Cécile Anssieux. On remarque cependant que cette candidate est détestée par une majorité d'électeurs (10 électeurs sur 16). Le moins que l'on puisse dire c'est que son élection risque de faire débat !

## 2.2 Le scrutin majoritaire à 2 tours

Dans cette élection (dont les règles sont similaires à l'élection présidentielle française), les électeurs s'expriment en 2 tours. A l'issue du premier tour, si aucun candidat ne receuille une majorité (stricte) de voix, un second tour est organisé, réunissant les deux candidats du premier tour ayant les plus grands nombre de voix.

Ainsi, au premier tour, en l'absence de connaissance particulière, la stratégie optimale de chacun est de voter pour le candidat qu'il préfère. Le résultat des votes est alors, comme précédemment :

— Mme Cécile Anssieux : 6 votes

— M Bill Boquet : 4 votes

— M Théo Courand : 3 votes

— M Jean Darme : 3 votes

Aucun candidat n'ayant reçu une majorité stricte de votes (9 votes ou plus), alors les candidats Cécile Anssieux et Bill Boquet sont sélectionnés pour le second tour. Les candidats ayant soutenus M. Théo Courand et Jean Darme préfèrent tous Monsieur Boquet à Madame Anssieux. Au second tour, sauf bouleversement d'opinion, le résultat du scrutin devrait donc être :

— Mme Cécile Anssieux : 6 votes

— M Bill Boquet : 10 votes

C'est alors monsieur Boquet qui est élu. Cela semble cohérent avec le fait que Madame Anssieux est une candidate très clivante : elle est soit la préférée ou la plus détestée des candidats. Monsieur Boquet est le candidat préféré d'un bon nombre d'électeurs, et en plus, il n'est détesté par aucun. Cependant, lorsque l'on regarde les opinions de M. Boquet auprès des électeurs on note qu'une majorité d'entre eux ont une opinion défavorable ou très défavorable de ce candidat (9 électeurs sur 16). Son élection peut donc également faire débat.

## 2.3 Le compte de Borda

On considère ici que les électeurs ne votent pas pour un candidat unique mais qu'ils peuvent mentionner sur leur feuille de vote une liste ordonnée de leurs préférences : ainsi, pour chaque électeur, son candidat préféré obtiendra 3 points, le second dans sa liste 2 points, le troisième 1 point. Ce système de point est utilisé dans certaines compétitions pour choisir un vainqueur, comme par exemple au concours de l'Eurovision (ou dans un autre contexte, pour les championnats de football). En émettant une liste ordonnée de préférence, les électeurs peuvent ainsi d'avantage exprimer leurs opinions, y compris négatives sur certains candidats.

Toujours en considérant que les électeurs n'ont pas de connaissances particulières sur les intentions de vote de leurs homologues, leur stratégie optimale est de réveler fidèlement leurs préférences sur les candidats. Le résultat obtenu est alors :

— Mme Cécile Anssieux : 3*6 = 18 points

— M Bill Boquet : 4*3 + 3*2 + 3*1 + 6*0 = 21 points

— M Théo Courand : 3*3 + 7*2 + 6*1 + 0*0 = 29 points

— M Jean Darme : 3*3 + 6*2 + 7*1 + 0*0 = 28 points

On se rend alors compte que les deux vainqueurs précédents, Mme Anssieux et M Boquet, ont les deux scores les plus bas. Le meilleur score revient à M Courand qui a une opinion favorable chez une majorité de personnes (10 électeurs sur 16). L'écueil observé par les scrutins majoritaires précédents est donc évité dans la mesure où les candidats Anssieux et Boquet ont été écartés du fait de leurs mauvaises opinions chez une partie des électeurs. Pour se rendre compte de la pertinence de l'élection de M. Courand, observons le système de Condorcet.
## 2.4 Le système de Condorcet

Dans nombre de compétitions sportives, comme par exemple les coupes de football, les participants s'affrontent deux à deux et le gagnant de l'affrontement accède au tour suivant de la compétition. Ici, les scrutins précédents ont désignés comme vainqueurs de l'élection Mme Anssieux, M Boquet et M Courand. Cependant, l'un d'eux est-il préféré par une majorité d'électeurs à M. Darme ? Pour le savoir, nous n'avons qu'à compter :

<table><thead><tr><td>Nom du candidat</td><td>Nombre d'électeurs le préférant à M. Darme</td></tr></thead><tbody><tr><td>Mme Anssieux</td><td>6</td></tr><tr><td>M Boquet</td><td>7</td></tr><tr><td>M. Courand</td><td>7</td></tr></tbody></table>

La majorité étant ici de 8 voix, on voit donc qu'une majorité d'électeur préfère M. Darme à chacun des autres candidats. Dans le système de vote dit "de Condorcet", c'est donc M. Courand qui aurait été élu.

Ce résultat est surprenant dans la mesure ou M. Darme n'est un candidat ni plébiscité par les électeurs, ni le candidat gagnant le plus de point. Pourtant chaque élection ne le donnant pas vainqueur se heurte à un problème de stabilité : en effet, a posteriori, il pourra se targuer d'être préféré par une majorité d'électeurs, et donc à se titre, pourra se déclarer légitime.

Le système de Condorcet, en tant que système de scrutin n'est cependant pas utilisé à grande échelle du fait de 2 problèmes inhérents. D'une part il est difficile à mettre en œuvre dès lors que l'on a en face plusieurs candidats dans la mesure où chaque combinaison d'appairage doit être considéré. D'autre part, il est possible qu'aucun gagnant ne soit désigné. Ce problème est connu sous le nom de Paradoxe de Condorcet<fnref n="1" />.

# 3 Vote et Candidature stratégique

Nous allons reprendre le scénario précédent, dans le cadre de l'élection au scrutin majoritaire à un tour et explorer trois variantes aux conséquences importantes.

## 3.1 Les sondages et le vote stratégique

Le vote stratégique représente le fait que dans certains cas des électeurs peuvent choisir de voter non pas en fonction de leurs préférences réelles, mais en fonction de ce qu'ils pensent que les autres électeurs vont faire. Reprenons par exemple le cas de l'élection majoritaire à un tour. En France, comme dans d'autres pays, les élections sont souvent précédées de la publication de nombreux sondages d'opinion. Admettons que quelques jours avant l'élection, un sondage donne la prévision

- Mme Cécile Anssieux : 6 votes

- M Bill Boquet : 4 votes

- M Théo Courand : 3 votes

- M Jean Darme : 3 votes,

c'est-à-dire qu'il donne la prévision **réelle** des votes. Alors, les électeurs de M. Courand et Darme, craignant la victoire de Mme Anssieux, pourraient être tentés de voter pour M. Boquet. Evidemment, tout dépend de la confiance que les électeurs portent à la véracité des sondages, à la répétition des publications de sondages, et à l'anticipation qu'ils font des comportements des autres joueurs. Dans la littérature scientifiques, des modèles de prédiction similaires sont appelés jeux Bayésiens.

Les média parlent généralement de "vote utile", et il est régulièrement observé dans les élections. Associé au "vote caché", il tend à rendre la prédiction des résultats des scrutins difficiles et à augmenter la défiance du public envers les sondages. Malheureusement, la plupart des systèmes de scrutins sont sensibles au vote stratégique, et le résultat d'une élection peut alors être bouleversé par des publications de sondages ou des rumeurs sur le vote stratégique d'autres électeurs.

<footnote n="1">1. Une page wikipedia lui est même dédiée https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Condorcet.</footnote>
## 3.2 Les alliances entre candidats

De la même façon, la candidature stratégique est possible. Cette fois-ci, supposons que les sondages soient commandés par les candidats mais non nécessairement divulgués au public. Toujours dans le cas du scrutin majoritaire à un tour, les candidats Courand ou Darme pourraient être tentés de former une alliance avec M. Boquet. Réciproquement, M. Boquet a intérêt à s'allier avec l'un deux, car sans cela, la défaite sera inéluctable !

## 3.3 La défection d'un candidat

Enfin, un autre problème est de taille. Supposons qu'un scandale éclatte et que l'un des candidats soit amené à se désister. Par exemple, M. Théo Courand, rattrapé par une sombre affaire d'escroquerie à l'assurance est contraint à démissionner. Dans ce cas, les 3 électeurs qui auraient votés pour lui (M. Haba, Mme Croche et M. Remort) se reporteraient tous les trois vers M. Boquet, lui assurant ainsi la victoire. Un phénomène surprenant est en effet inéluctable dans ce type de scrutin : il existe des situations dans lesquelles la défection d'un candidat qui n'aurait pas gagné peut faire changer le résultat d'une élection.

# 4 Conclusion

Nous l'avons vu dans ce petit scénario : le résultat d'un vote dépend non seulement des candidats et de l'avis que leur porte les électeurs mais également du mode de scrutin choisi.

Nous n'avons regardé que quelques exemples ici de votes (les plus courants) et nous sommes heurtés à leurs limites. Plus généralement, un système de vote est une méthode pour aggréger un ensemble de préférences à l'échelle de chacun des électeurs à un choix global (à l'échelle d'un pays par exemple). La notion de "préférence" est également une notion mathématique formalisée (appelée relation d'ordre). Le "choix global", ou "choix social", lui est juste le choix d'un individu. Idéalement, un système de vote devrait avoir les 4 qualité suivantes : (1) l'universalité (il donne toujours un vainqueur), (2) la non-dictature (c'est-à-dire qu'il n'existe pas un votant unique dont le choix détermine le gagnant), (3) l'unanimité (si tous les candidats préfèrent un candidat à un autres, alors le second ne peut être élu) On peut noter que ces trois conditions sont respectées par les systèmes de vote que nous avons regardé<fnref n="2" />. La dernière est plus difficile : l'indépendance à des options non pertinentes, c'est-à-dire que l'élection d'un candidat ne doit pas dépendre de la présence ou non d'un candidat qui ne serait pas élu. C'est-à-dire le problème de la candidature stratégique. Or il est mathématiquement connu qu'aucun scrutin ne peut avoir ces 4 qualités simultanément. Ce résultat est connu sous le nom de théorème d'impossibilité d'Arrow <fnref n="3" />. Mathématiquement parlant, les preuves de non-existence sont généralement difficiles (on parle de "résultat négatif"). Car montrer quelquechose suffit à prouver son existence. En revanche, il ne suffit pas de prendre une longue liste d'exemple qui ne fonctionnent pas pour montrer qu'un objet mathématique n'existe pas. De plus, ces mathématiques sont originales en ce sens qu'elles manipulent des objets (les relations d'ordre) qui ne font pas intervenir de nombres. Ce résultat est tellement fondamental qu'il a ainsi en partie valut à son auteur de recevoir le prix Nobel en économie en 1972.

Ainsi, aucun scrutin n'est parfait en ce sens qu'il ne peut empécher la candidature stratégique, et par conséquence, le vote stratégique, c'est-à-dire le fait de fait de voter, non pas selon ses propres opinions mais en fonction de ce que l'on anticipe de la part des autres votants.

Nous avons regardé ici uniquement des relations d'ordre (intel préfère le candidat A au candidat B, lui-même préféré au candidat C, et ainsi de suite). Il existe des systèmes de vote dans lequel on attribue des points au candidats, ce qui permet d'avoir une appréciation plus précise des opinions de chaque électeur sur chacun des candidats. Par exemple lorsqu'une entreprise veut acheter un nouveau matériel, elle peut sélectionner un certain nombre de critères (le prix, la durabilité, la sécurité...) et noter le produit sur chacun de ces critères.

<footnote n="2">2. Pour l'universalité, on peut établir une règle simple en cas d'égalité entre deux candidats. Par exemple, le plus jeune l'emporte, ou bien le premier par ordre alphabétique, ou tout autre critère.</footnote>

<footnote n="3">3. Pour plus de détails, voir par exemple la page wikipedia qui lui est consacrée : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th\'eor\^eme_d'impossibilit\'e_d'Arrow.</footnote>
Ensuite, par un mécanisme d'aggrégation, elle doit choisir (élire) un des produits. Cette problématique est un peu plus générale que celle des votes conventionnels et a également été beaucoup étudiée. Sur le plan mathématique, elle est très proche de la problématique des systèmes d'enchères. Cependant, comme pour le cas des élections classiques, il est mathématiquement connu qu'aucun système parfait n'existe.

Le vote stratégique est souvent présent dans les élections avec un grand nombre de participants, comme les élections présidentielles françaises. L'adage populaire "au premier tour on choisi, au second on élimine" est adapté aux situations dans lesquelles deux gros partis se disputent le pouvoir. Ainsi, au premier tour les électeurs peuvent voter pour leur candidat favori, ce qui permet à tous d'obtenir une cartographie des opinions publiques, tout en sachant qu'au second tour les 2 candidats des partis majoritaires connus seront en présence et que les électeurs pourront alors décider de voter, sinon pour leur candidat favori, mais au moins pour celui qui leur déplait le moins. Cependant dans le cas où les candidats en présence au second tour est incertain (par exemple car 3 candidats, voir 4 comme pour les élections de 2017, sont susceptibles d'être présents au second tour), le vote stratégique peut être présent au premier tour. Ce vote stratégique se fait alors au dépend des candidats moins populaires. Un autre aspect est que les votes stratégiques sont influencés par les croyances des électeurs sur la popularité relative des candidats, et donc par les publications des sondages. Ainsi, la publication même des sondages est en mesure d'influencer le résultat d'un vote.

En France, la candidature stratégique est également étudiée de chaque coté de l'échiquier politique pour mesurer si une candidature supplémentaire à une élection permet d'accroître le nombre d'électeurs totaux pour une mouvance ou au contraire est nuisible en dispersant les voix entre des candidatures similaires. Ce phénomène est particulièrement visible lors de second tours d'élections législatives ou locales. En effet dans ce type de scrutin, le nombre de candidats au second tour dépend du nombre de votes qu'ils ont obtenus au premier tour. Il peut alors y avoir 3, 4 voir 5 candidats au second tour et il n'est pas rare que des alliances entre candidats se mettent en place.

Enfin, aux Etats-Unis, le système de vote par des grands électeurs (proche du système de vote par circonscription pour les élections législatives françaises) a permis au dernier président d'être élu en ayant un nombre minoritaire de voix au plan national. Certains de ses détracteurs ont alors critiqué le système de vote. En réponse le président Trump a déclaré : "I would have done even better in the election [...] if the winner was based on popular vote - but would campaign differently" (J'aurais eu encore de meilleurs résultats si le scrutin était basé sur le nombre de voix total - mais j'aurais mené campagne différemment) 4. Ceci reflète le fait que les candidats sont tous très imprégnés des règles du scrutin en cours et qu'au delà des idées qu'ils défendent, les campagnes électorales sont menées en fonction des subtilités du mode de scrutin.

<footnote n="4">4. https://twitter.com/realdonaldtrump/status/811562990285848576?lang=fr</footnote>
Bonjour M. Judas Nanasse,

Les élections approchent à grands pas ! La campagne a été rude, mais vous avez maintenant une opinion bien précise sur chacun des 4 candidats au scrutin. La voici :

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Bonjour M. Gaspard Alysant,

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Bonjour Mme Eve Anoui,

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Bonjour M. Bart Haba,

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Bonjour M. Terry Golo,

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Bonjour M. Alphonse Danltas,

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Bonjour M. Harris Tocrate,

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Bonjour M. Alain Térieur,

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Bonjour Mme. Eva Kué,

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Bonjour M. Luc Ratif,

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Bonjour Mme. Sarah Croche,

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Bonjour M. Guy Tarenbois,

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Bonjour M. Gérard Mansoif,

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Bonjour M. Mehdi Zan,

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Bonjour M. Yves Remort,

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Bonjour M. Marty Nais,

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Bonjour M. Ali Gator,

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Bonjour Mme Anne Haliz,

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Bonjour M. Sam Enerve,

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Bonjour M. Luc Harne,

Les élections approchent à grands pas ! La campagne a été rude, mais vous avez maintenant une opinion bien précise sur chacun des 4 candidats au scrutin. La voici :

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Mme Anssieux, Cécile

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M. Boquet, Bill

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M. Courand, Théo

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M. Darme, Jean

Vous entrez dans l'isoloir... A vous de décider pour qui voter!

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Bonjour Mme Sue Palonion,

Les élections approchent à grands pas ! La campagne a été rude, mais vous avez maintenant une opinion bien précise sur chacun des 4 candidats au scrutin. La voici :

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Mme Anssieux, Cécile

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M. Boquet, Bill

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M. Courand, Théo

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M. Darme, Jean

Vous entrez dans l'isoloir... A vous de décider pour qui voter!

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Bonjour Mme Sarah Joute,

Les élections approchent à grands pas ! La campagne a été rude, mais vous avez maintenant une opinion bien précise sur chacun des 4 candidats au scrutin. La voici :

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Mme Anssieux, Cécile

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M. Boquet, Bill

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M. Courand, Théo

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M. Darme, Jean

Vous entrez dans l'isoloir... A vous de décider pour qui voter!

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Bonjour M. Larry Covert,

Les élections approchent à grands pas ! La campagne a été rude, mais vous avez maintenant une opinion bien précise sur chacun des 4 candidats au scrutin. La voici :

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Mme Anssieux, Cécile

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M. Boquet, Bill

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M. Courand, Théo

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M. Darme, Jean

Vous entrez dans l'isoloir... A vous de décider pour qui voter!

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Bonjour M. Paul Aroïde,

Les élections approchent à grands pas ! La campagne a été rude, mais vous avez maintenant une opinion bien précise sur chacun des 4 candidats au scrutin. La voici :

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Mme Anssieux, Cécile

<figure><img src="image_99.png" /></figure>

M. Boquet, Bill

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M. Courand, Théo

<figure><img src="image_101.png" /></figure>

M. Darme, Jean

Vous entrez dans l'isoloir... A vous de décider pour qui voter!

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