# Calcul de structures en vibrations moyennes fréquences en présence de liaisons incertaines

Claude Blanzé, Philippe Rouch

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Claude Blanzé, Philippe Rouch. Calcul de structures en vibrations moyennes fréquences en présence de liaisons incertaines. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01812890

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# Calcul de structures en vibrations moyennes fréquences en présence de liaisons incertaines

## Claude Blanzé, Philippe Rouch

LMT Cachan – ENS Cachan
61, av. du Pt Wilson
F-94235 Cachan Cedex
Claude.Blanze@lmt.ens-cachan.fr

**ABSTRACT.** This paper proposes efficient techniques to obtain effective quantities when confronted to complex structures in medium frequency vibrations including stochastic parameters such as interface parameters. The first ingredient is the use of a dedicated approach to compute the medium-frequency problem: the Variational Theory of Complex Rays (VTCR). Using two-scale shape functions that satisfy the dynamic equation and the constitutive relation, the VTCR can be seen as a power balance on the different interfaces between sub-structures. The second ingredient is the use of the Polynomial Chaos Expansion (PCE) to compute the random response. Since the only uncertain parameters (in this application: the complex connection stiffness) are those which appear in the interface equations, this approach lead to very small computation cost.

MOTS-CLÉS: Vibrations en Moyennes Fréquences ; Interface aléatoire ; Chaos Polynomial ; TVRC

KEYWORDS: Medium Frequency Vibrations; Stochastic Interface; Polynomial Chaos; VTCR.

<footnote>RÉSUMÉ. Ce travail propose une approche efficace afin de simuler la réponse stochastique, en moyenne fréquence, d'une structure dont les modèles de liaisons comportent des paramètres aléatoires. Le premier ingrédient est l'utilisation d'un outil dédié à l'analyse des structures dans le domaine des moyennes fréquences : la Théorie Variationnelle des Rayons Complexes (TVRC) [LAD 01, ROU 03] dont les principales caractéristiques sont : l'utilisation de fonctions de base à deux échelles vérifiant la relation de comportement et l'équation de la dynamique, la manipulation de grandeurs effectives au sens moyennes fréquences lors du calcul final (celui-ci ne visant qu'à déterminer la contribution linéaire de chaque mode comportant de façon indrinsèque une partie fortement oscillante), la gestion indépendante de chaque sous-structure ; les conditions aux limites et aux interfaces sont satisfaites en moyenne de façon automatique à l'aide de la formulation variationnelle. Le second ingrédient est l'utilisation du chaos polynomial pour représenter la réponse aléatoire de la structure [GHA 91]. Comme les seuls paramètres incertains sont localisés au niveau des interfaces, on tire parti de la formulation à deux échelles de la TVRC, ce qui conduit à des coûts de calculs très réduits.</footnote>
# 1. Introduction

De nombreuses structures industrielles, comme les caisses automobiles, sont aujourd'hui dimensionnées en fonction de leur comportement vibro-acoustique. Cependant, la modélisation du transfert énergétique en moyennes fréquences ne semble pas résolue aujourd'hui. Les sollicitations rencontrées lors du fonctionnement d'un véhicule (rotation du moteur, bruit de roulement, bruit aérodynamique) engendrent des transferts d'énergie le long des longerons de la caisse jusqu'aux panneaux qui la composent, générant une ambiance acoustique désagréable pour les passagers. Si ces transferts ne posent pas d'autres problèmes, en basse fréquence, que la modélisation des matériaux ou des assemblages, le domaine des moyennes fréquences ne semble pas résolu aujourd'hui.

En effet, la longueur de variation du phénomène que l'on cherche à décrire est très courte devant la longueur caractéristique de la structure. Il en résulte que les approches traditionnelles basées sur des techniques éléments-finis conduisent à des calculs beaucoup trop lourds tandis que la gamme fréquentielle considérée ne permet pas d'appliquer avec succès les approches énergétiques de type SEA [LYO 67] utilisées en hautes fréquences. De plus, la solution obtenue est très sensible aux propriétés matériaux et aux conditions aux limites et plus particulièrement à l'amortissement principalement localisé au niveau des liaisons. Son identification est très délicate et la variabilité des résultats obtenus reste très importante.

Ce travail propose une approche efficace afin de simuler la réponse stochastique, en moyennes fréquences, d'une structure dont les modèles de liaisons comportent des paramètres aléatoires. La méthode est illustrée par un exemple de longeron comportant deux liaisons dont les paramètres locaux de rigidité et d'amortissement sont aléatoires. Les résultats sont comparés à la méthode de Monte Carlo.

# 2. Rappel de la Théorie Variationnelle des Rayons Complexes (TVRC)

## 2.1. Problème de référence

Dans le but de simplifier la présentation, considérons le problème de vibration entretenue, d'un assemblage de deux plaques minces, élastiques, homogènes, isotropes en théorie de Kirchhoff-Love, ceci pouvant être aisément généralisé à un nombre quelconque de sous-structures. Classiquement, toutes les quantités sont définies dans le plan complexe : l'amplitude $Q(X)$ est associée à $Q(X) \cdot \exp(i\omega t)$.

Soient $S_1$ et $S_2$ deux plaques, de bords respectifs $\partial S_1$ and $\partial S_2$, soumises à une sollicitation harmonique de fréquence constante $\omega$. L'interface entre $S_1$ and $S_2$ sera notée $\Gamma_{12}$. Les quantités d'intérêts sont la déflection $w_l$ et le tenseur des moments $M_l$. Pour $S_l$, introduisons l'espace d'admissibilité $S_{ad}^l$ du couple déflection-moment $s_l = (w_l, M_l)$, défini sur $S_l$ tel que :
$$
s_l \in S_{ad}^l \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{ll}
s_l \in \mathcal{U} \times \mathcal{S} & \text{(ensembles à énergie finie)} \\
\Delta\Delta w_l - k_l^4 w_l = 0 & \text{dans } S_l \\
\mathbf{M}_l = \frac{2h_l^3}{3}(1 + i\eta_l) \mathbf{K}_{CP} \chi(w_l) & \\
\text{pour } l = 1, 2 \text{ avec } k_l^4 = \frac{3\rho_l\omega^2(1 - \nu_l^2)}{(1 + i\eta_l)E_l h_l^2} & (1)
\end{array}
\right.
$$

où $k_l$ est le nombre d'onde et où $\rho_l, \nu_l, \eta_l, E_l$ et $2h_l$ désignent respectivement la masse
volumique, le coefficient de Poisson, le coefficient d'amortissement structural, le mo-
dule d'Young et l'épaisseur de la plaque $S_l$. $\mathbf{K}_{CP,l}$ représente le tenseur de Hooke en
contraintes planes et $\mathcal{X}$ le tenseur de courbure. Les champs $S_{ad}^l$ sont admissibles au
sens où ils vérifient à la fois l'équilibre intérieur et la relation de comportement de
façon exacte.

**2.2. Formulation variationnelle associée à la TVRC**

La TVRC est une formulation globale des conditions aux limites et de transmission
en termes à la fois de déplacements et d'efforts le long de Γ₁₂ [LAD 01, ROU 03].

La méthode comporte en deux étapes : tout d'abord construction des champs admissibles, ensuite prise en compte des conditions aux limites à travers la formulation variationnelle associée à un sous ensemble de champs admissibles choisis parmis les éléments de $S_{ad}$.

Elle utilise une approximation à deux échelles : par exemple, la solution dans la
zone intérieure peut s'écrire de la façon suivante :

$$
W(\underline{X}, \underline{P}) = a(\underline{P}) \exp\left(\frac{\eta}{4}\sqrt{\omega\underline{P}} \cdot \underline{X}\right) \exp\left(i\sqrt{\omega\underline{P}} \cdot \underline{X}\right) = a(\underline{P})w_e(\underline{X}, \underline{P}) \quad (2)
$$

où $e^{i\sqrt{\omega P} \cdot X}$ représente la partie « rapide » du champ définie explicitement. $P$ désigne
le vecteur caractéristique du mode de vibration local, choisi de sorte que ce mode véri-
fie les équations de la dynamique et $a(P)$ est l'amplitude complexe du rayon complexe
élémentaire $w_e(X, P)$. Il existe différents choix possibles en fonction de la zone vi-
bratoire étudiée (intérieure, « bord » et « coin »). Afin de prendre en compte la relation
d'admissibilité (Eq. (1)), le lieu de l'extrémité du vecteur d'onde admissible $P$ pour
la zone intérieure doit appartenir à un cercle $C$, caractéristique du matériau. Toutes
les directions des rayons admissibles sont prises en compte. La solution $w^{\text{sol}}$ s'écrit
alors :

$$
w^{\text{sol}}(\underline{X}) = \int_C W(\underline{X}, \underline{P}) \, ds \qquad (3)
$$

Par construction, $w^{sol}$ dépend de l'amplitude généralisée $a(\underline{P})$ définie sur $\mathcal{C}$. Afin de
passer à la formulation discrétisée, il suffit de définir des sous espaces de dimensions
finies $S_{ad}^{lh}$ à partir de $S_{ad}^{l}$. En pratique, on discrétise la courbe $C$ en $N$ éléments de tailles pouvant être différentes (sur la Fig. 1, $C$ est discrétisée en huit éléments de même taille). L'amplitude $a(\underline{P})$ est considérée comme constante le long de secteurs angulaires $a_i^h$. Ainsi :

$$w^h(\underline{X}) = \sum_{i=1}^{n} a_i^h \int_{C_i} w_e(\underline{X}, \underline{P}) \, ds = \sum_{i=1}^{n} a_i^h w_i^h(\underline{X}) \quad (4)$$

Dans le cas de l'assemblage de deux sous-structures $S_1$ et $S_2$, la formulation variation-

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 1.** Admissible interior modes for a plate</figcaption></figure>

nelle conduit à un système d'équations de dimension finie dans le domaine complexe.

$$K a = f \quad (5)$$

$K = E_D^h + Z_h$, où $E_D^h$ est la matrice d'amortissement symétrique, définie positive, associée à la puissance dissipée, et $Z_h$ est la matrice associée à la forme bilinéaire définie par $Z_h^{T*} = -Z_h$. $f$ est le vecteur associé à la forme linéaire et $a$ est le vecteur des amplitudes inconnues.

### 3. Modélisation des interfaces

La modélisation proposée des assemblages entre ces composants permet de prendre en compte des comportements plus réalistes tels l'amortissement localisé à l'interface de deux sous-structures. Comme les longueurs d'onde des phénomènes vibratoires en moyennes fréquences sont assez grande comparées à la distance entre deux rivets ou deux points de soudure consécutifs, les paramètres d'interface tels l'amortissement ou la raideur seront répartis sur la longueur de la liaison et identifiés sur des assemblages génériques.
### 3.1. Le modèle d'interface

Chaque interface est une entité mécanique dont le comportement spécifique dépend du type de connections ; par exemple, une interface élastique avec amortissement hystérétique est décrite par :

$$ -n_1 \mathbf{M}_1 n_1 + n_2 \mathbf{M}_2 n_2 = 0 \qquad \text{Equilibre} \qquad (6) $$

$$ \frac{1}{2}(n_1 \mathbf{M}_1 n_1 + n_2 \mathbf{M}_2 n_2) = -k_c(1 + i\eta_c)(w_{1,n_1} + w_{2,n_2}) \qquad \text{Comportement} \qquad (7) $$

où $k_c$ est le coefficient de rigidité à la flexion et $\eta_c$ le coefficient d'amortissement. Dans cette application, la nature aléatoire de la réponse provient uniquement du comportement aléatoire des liaisons entre certaines sous-structures. Les paramètres incertains de liaisons sont modélisés par un ensemble de variables aléatoires $\{\alpha(\theta)\}, \theta$ appartenant à un certain espace des événements $\Omega$.

### 3.2. Discrétisation dans l'espace aléatoire : le Chaos Polynomial (ECP)

Les paramètres d'interface stochastiques conduisent à un système linéaire similaire à Eq. (5) :

$$ K(\theta) a(\theta) = f \qquad (8) $$

La variable $a(\theta)$ peut se décomposer dans la base du Chaos Polynomial [CAM 47] [GHA 91] :

$$ a(\theta) = \sum_{i=0}^{P} a_i \Psi_i(\theta) \qquad (9) $$

où $\{\Psi_i(\theta)\}$ sont des polynomes des variables aléatoires gaussiennes $\{\xi_i(\theta)\}$, lesquels forment une base complète dans l'espace de Hilbert des variables aléatoires du second ordre. Le nombre de polynomes $P$ dépend de l'ordre $p$ de la décomposition Chaos et du nombre $L$ de paramètres stochastiques d'entrée. Supposons que les paramètres matériaux soient constants le long de l'interface. Sinon une décomposition de Karhunen-Loeve peut être utilisée pour représenter la dépendance spatiale et stochastique des caractéristiques d'interface [GHA 96].

Le paramètre stochastique d'interface $\alpha(\theta)$ est une variable aléatoire définie par :

$$ \alpha(\theta) = \bar{\alpha}(1 + \delta g(\xi(\theta))) \quad \text{avec} \quad g(x) = \frac{2 \arcsin(\text{Erf}(\frac{x}{\sqrt{2}}))}{\sqrt{-8 + \pi^2}} \qquad (10) $$

où $\bar{\alpha}$ est l'espérance mathématique de $\alpha(\theta)$, $\delta$ le coefficient de variation (écart-type divisé par la moyenne), $\xi(\theta)$ une variable normale centrée réduite $\xi(\theta) \sim N(0, 1)$ et $g$ une fonction non linéaire telle que la densité de probabilité de $\alpha(\theta)$ soit à support borné.
Le système (Eq. (8)) devient :
$$ \sum_{j=0}^{P} \sum_{i=0}^{L} c_{ijk} \mathbf{K}_i \mathbf{a}_j = \delta_{0k} \mathbf{f} \quad k = 0, 1, \dots, P, \text{ où les coefficients } c_{ijk} \text{ représentent } \langle g(\xi_i) \Psi_j(\theta) \Psi_k(\theta) \rangle \text{ et ne sont calculés qu'une seule fois. Les inconnues } \mathbf{a}_j \text{ sont obtenues par la résolution de ce système linéaire de taille } (P+1) \times (P+1) \text{. } n \text{ (n étant le nombre de degrés de liberté) [GHA 91].} $$

### 4. Exemple : Longeron avec deux assemblages incertains

Issu d'un benchmark PSA, l'exemple proposé représente un longeron dont deux liaisons ont été réalisées en soudage par points. Le procédé entraînant des dispersions de fabrication, l'incertitude sur ces deux liaisons sera modélisée par 4 paramètres aléatoires (2 raideurs et 2 amortissements). Un moment linéique de 1 Nm/m est appliqué sur le coté P1P4. Toutes les autres caractéristiques sont définies Fig. 2.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 2.** Caractéristiques du longeron</figcaption></figure>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 3.** Amplitude solution déterministe (gauche), comparaison solutions Chaos/Monte Carlo (droite).</figcaption></figure>

La décomposition dans le Chaos Polynomial d'ordre 2 (n=2) avec 4 paramètres aléatoires d'entrée (L=4) conduit au calcul de 15 coefficients associés au 15 poly-
nomes d'Hermite. Les histogrammes du déplacement au centre de la plaque P1P2P3P4 entre la solution « Chaos »et la solution issue d'un tirage de Monte Carlo (10 000 tirages) sont très proches et attestent de la bonne représentation de la solution par la méthode proposée (Fig. 3).

**5. Conclusion**

La TVRC est une approche générale de résolution de calcul de structures dans le domaine des vibrations moyennes fréquences. Ces principales caractéristiques sont l'utilisation de fonctions de base dédiées et d'une formulation variationnelle adaptée permettant l'utilisation d'approximations indépendantes par sous-structures Elle permet également de prendre en compte des liaisons complexes entre les différentes sous-structures, caractérisées par des paramètres aléatoires. Dans ce cas, le bénéfice des fonctions de base à deux échelles est double : d'une part, elles conduisent à un système linéaire global de faible taille, d'autre part, la variation lente des amplitudes généralisées (inconnues du problème) se prête bien à une représentation par des fonctions polynomiales de degré peu élevé.

**6. Bibliographie**

[CAM 47] CAMERON R., MARTIN W., « The orthogonal development of non linear functionals in series of Fourier-Hermite functionals », *Ann. Math.*, vol. 48, n° 16, 1947, p. 385-392.

[GHA 91] GHANEM R., SPANOS P., *Stochastic Finite Elements : A Spectral Approach*, Springer, Berlin, 1991.

[GHA 96] GHANEM R., KRUGER R., « Numerical solution of spectral stochastic finite element systems », *Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.*, vol. 129, 1996, p. 289-303.

[LAD 01] LADEVÈZE P., ARNAUD L., ROUCH P., BLANZÉ C., « The variational theory of complex rays for the calculation of medium-frequency vibrations », *Engineering Computations*, vol. 18, n° 1/2, 2001, p. 193-214.

[LYO 67] LYON R., MAIDANICK G., « Power flow between linearly coupled oscillators », *JASA*, vol. 34 (5), 1967, p. 623-639.

[ROU 03] ROUCH P., LADEVÈZE P., « The variational theory of complex rays : a predictive tool for medium-frequency vibrations », *Comp. Meth. Appl. Mech. Engrg.*, vol. 192, 2003, p. 3301-3315.