# Elasticité anisotrope

M.L.M. François

► To cite this version:

M.L.M. François. Elasticité anisotrope. Master. Module XMS3PE712 : Anisotropie et composites
Cours II/II Elasticité anisotrope, Nantes, France. 2025, 126 p. cel-01998805v2

HAL Id: cel-01998805

https://hal.science/cel-01998805v2

Submitted on 13 Jan 2026

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons CC BY 4.0 - Attribution - International License
# Module XMS3PE712 : Anisotropie et composites
## Cours II/II Élasticité anisotrope

M2 de Mécanique, parcours Mécanique et Fiabilité des Structures

Faculté des Sciences et techniques, Nantes Université

Version du 6 janvier 2026
## Objectifs de ce cours

* Connaître le tenseur d'élasticité de Hooke

* Maitriser les bases tensorielles

* Avoir des notions sur les bases de Kelvin

* Connaître la décomposition hydrostatique – déviatorique

* Connaître les différentes formes de l'élasticité isotrope

* Connaître les 8 groupes de symétrie de l'élasticité anisotrope
# Notations

## Base vectorielle orthonormée

* {$e_i$} base vectorielle

* {$e_i^n$} base vectorielle naturelle, associée aux éléments de symétrie

## Bases orthonormées des tenseurs du second ordre

* {$e_i \otimes e_j$} base canonique de l'espace des tenseurs du second ordre

* {$E_i$} base des tenseurs symétriques, associée à {$e_i$}

* {$E_i^n$} base naturelle des tenseurs symétriques, associée à {$e_i^n$}

* {$K_i$} base des tenseurs propres du tenseur d'élasticité (ou base de Kelvin)

* {$H$, $D_i$} base d'llyoushin, associée à la décomposition hydrostatique
  — déviatorique
## Composantes des vecteurs

* $u_i$ composantes d'un vecteur en base vectorielle (3 composantes)<fnref n="1" />

## Composantes des tenseurs du second ordre

* $\sigma_{ij}$ en base canonique (9 composantes)

* $\hat{\sigma}_I$ en notation de Voigt (6 composantes)

* $\bar{\sigma}_I$ en base de Bechtrew (6 composantes)

<footnote n="1">1. Par défaut on se place en 3D</footnote>
## Plan

1. 1 Tenseurs symétriques du second ordre

* 1.1 Motivation

* 1.2 Sous-espace des tenseurs symétriques du second ordre

* 1.3 Sous-espace hydrostatique et des déviateurs

* 1.4 Introduction aux critères limites

* 1.5 Les deux types de cisaillement et l'Angle de Lode

2. 2 Le tenseur d'elasticité

3. 3 Elasticité en bases de tenseurs

4. 4 Les projecteurs hydrostatiques et deviatoriques

5. 5 La décomposition de Kelvin

6. 6 Les classes de symétrie de l'elasticité anisotrope

7. 7 Compléments

8. 8 Biblographie
# 1 Tenseurs symétriques du second ordre

## 1.1 Motivation

* En mécanique, ainsi que dans de nombreux domaines de la physique, interviennent des tenseurs symétriques du second ordre. Par exemple :

* $\sigma$, $\epsilon$ la contrainte et la déformation

* $\mathbf{X}$, $\epsilon^P$ la contrainte arrière et la déformation plastique en plasticité

* le tenseur d'inertie en mécanique du solide rigide

* ...

* Cela s'exprime en base canonique par :

$$ \sigma_{ij} = \sigma_{ji} $$

* La base canonique est, par nature, redondante puisqu'elle donne $3 \times 3 = 9$ composantes alors que seulement 6 sont indépendantes :

$$ \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ & & \sigma_{33} \\ \multicolumn{2}{c}{s} & \end{bmatrix} \{e_i \otimes e_j\} $$
1.2 Sous-espace des tenseurs symétriques du second ordre

* L'espace vectoriel des tenseurs du second ordre $\mathcal{T}^2$, est généré par les 9 tenseurs $\mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j$ de la base canonique.

* Il se partitionne en deux sous-espaces :

$$ \underbrace{\mathcal{T}^2}_{9D} = \underbrace{\mathcal{T}^{2S}}_{6D} \oplus \underbrace{\mathcal{T}^{2A}}_{3D} $$

* $\mathcal{T}^{2S}$ est le sous-espace des tenseurs symétriques $S_{ij} = S_{ji}$

* $\mathcal{T}^{2A}$ est le sous-espace des tenseurs anti-symétriques $A_{ij} = -A_{ji}$

* Pour un tenseur **T** quelconque de $\mathcal{T}^2$, la partition est :

$$ \mathbf{S} = (\mathbf{T} + \mathbf{T}^T)/2 = \begin{bmatrix} T_{11} & (T_{23} + T_{32})/2 & (T_{31} + T_{13})/2 \\ & T_{22} & (T_{12} + T_{21})/2 \\ & s & T_{33} \end{bmatrix} $$

$$ \mathbf{A} = (\mathbf{T} - \mathbf{T}^T)/2 = \begin{bmatrix} 0 & (T_{23} - T_{32})/2 & (T_{31} - T_{13})/2 \\ & 0 & (T_{12} - T_{21})/2 \\ & a & 0 \end{bmatrix} $$
## 1.3 Sous-espace hydrostatique et des déviateurs

* Les tenseurs symétriques du second ordre forment un espace vectoriel $\mathcal{T}^{2S}$ (la preuve est triviale).

* qui se partitionne à son tour en :

$$ \underbrace{\mathcal{T}^{2S}}_{6D} = \underbrace{\mathcal{T}^{2SH}}_{1D} \oplus \underbrace{\mathcal{T}^{2SD}}_{5D} $$

* $\mathcal{T}^{2SH}$ est l'espace des tenseurs hydrostatiques<fnref n="2" />, proportionnels à l'identité

$$ \boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{H}} \in \mathcal{T}^{2\mathrm{SH}} \iff \boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{H}} = \sigma \mathbf{1} $$

* $\mathcal{T}^{2SD}$ est l'espace des tenseurs déviatoriques<fnref n="3" />, à trace nulle

$$ \boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{D}} \in \mathcal{T}^{2\mathrm{SD}} \iff \mathrm{trace}(\boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{D}}) = 0 $$

<footnote n="2">2. ou « sphérique », mot plus adapté pour la déformation</footnote>

<footnote n="3">3. ils « dévient » du comportement des fluides (non visqueux), où la contrainte (hydrostatique) et la déformation (sphérique) sont proportionnels à l'identité</footnote>
* On obtient la partie hydrostatique par projection sur $\mathbf{I}/\sqrt{3}$ (normé)

$$ 
\begin{aligned}
\boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{H}} &= (\boldsymbol{\sigma} : \mathbf{I}/\sqrt{3})\mathbf{I}/\sqrt{3} \\
&= \frac{1}{3} \operatorname{trace}(\boldsymbol{\sigma})\mathbf{I} \\
&= \left[ \begin{array}{ccc} (\sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33})/3 & 0 & 0 \\ 0 & (\sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33})/3 & 0 \\ s & s & (\sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33})/3 \end{array} \right]
\end{aligned}
$$

* et la partie déviatorique est le complémentaire :

$$ 
\begin{aligned}
\boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{D}} &= \boldsymbol{\sigma} - \boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{H}} \\
&= \left[ \begin{array}{ccc} (2\sigma_{11} - \sigma_{22} - \sigma_{33})/3 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ 0 & (2\sigma_{22} - \sigma_{33} - \sigma_{11})/3 & \sigma_{12} \\ s & s & (2\sigma_{33} - \sigma_{11} - \sigma_{22})/3 \end{array} \right]
\end{aligned}
$$

* Preuve qu'il s'agit de sous-espaces vectoriels :

$$ \lambda^1 \boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{H}1} + \lambda^2 \boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{H}2} \in \mathcal{T}^{2\mathrm{SH}} $$

$$ \lambda^1 \boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{D}1} + \lambda^2 \boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{D}2} \in \mathcal{T}^{2\mathrm{SD}} $$
* On dit qu'un espace $\mathcal{E}$ possède un groupe de symétrie $\mathcal{G}$ si :
  $$ \forall \mathbf{T} \in \mathcal{E}, \forall G \in \mathcal{G}, \mathcal{G}(\mathbf{T}) \in \mathcal{E} $$

* En particulier, un espace isotrope est tel que toute transformation orthogonale $O \in SO(3)$ (toute rotation ou symétrie) d'un élément reste dans cet espace.

* L'espace hydrostatique $\mathcal{T}^{2SH}$ est isotrope.
  Preuve :

$$ \sigma_{ij} = \sigma\delta_{ij} \\ O(\sigma)_{pq} = O_{pi}O_{qj}\sigma\delta_{ij} = \sigma\delta_{pq} $$

* L'espace déviatorique $\mathcal{T}^{2SD}$ est isotrope.
  Preuve :

$$ \sigma_{ii} = 0 \\ O(\sigma)_{pq} = O_{pi}O_{qj}\sigma_{ij} \\ O(\sigma)_{pp} = O_{pi}O_{pj}\sigma_{ij} = \delta_{ij}\sigma_{ij} = \sigma_{ii} = 0 $$
## 1.4 Introduction aux critères limites

* Un domaine d'élasticité est défini par une fonction $f(\boldsymbol{\sigma}) < 0$

* En 1D (barres) on utilise souvent le critère symétrique $|\boldsymbol{\sigma}| - \boldsymbol{\sigma}^y$ où $\boldsymbol{\sigma}^y$ est la limité d'élasticité en traction

* En 3D, pour un matériau isotrope, le critère limite est doit être une fonction tensorielle isotrope (invariant) $f(\boldsymbol{\sigma})$

* Critères isotropes utilisant la décomposition hydrostatique—déviatorique :

* le critère de Von Mises (métaux)

$$f = \|\boldsymbol{\sigma}^D\| - \boldsymbol{\sigma}^y$$

* le critère de Drucker-Prager (sols, roches, bétons)

$$f = \|\boldsymbol{\sigma}^D\| + a \operatorname{trace}(\boldsymbol{\sigma}) - \boldsymbol{\sigma}^y$$

et, sur la même base, les critères elliptiques, Cam-Clay, Gurson ...
## 1.5 Les deux types de cisaillement et l'Angle de Lode

* Tout déviateur non nul s'écrit dans sa base propre $\{\mathbf{u}_i\}$ :

$$ \boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{D}} = \begin{bmatrix} -B & 0 & 0 \\ 0 & -A & 0 \\ s & s & (A+B) \end{bmatrix}_{\{\mathbf{u}_i \otimes \mathbf{u}_j\}} $$

où $-B \le -A \le A + B$ avec, forcément, $A + B > 0$

* On peut alors le scinder en deux déviateurs normés :

$$ \boldsymbol{\sigma}^{\mathrm{D}} = a\mathbf{D}_1 + b\mathbf{D}_2 $$

$$ \mathbf{D}_1 = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ s & s & 2 \end{bmatrix}_{\{\mathbf{u}_i \otimes \mathbf{u}_j\}} \qquad \mathbf{D}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ s & s & 0 \end{bmatrix}_{\{\mathbf{u}_i \otimes \mathbf{u}_j\}} $$

$$ a = \sqrt{\frac{3}{2}}(A + B) \qquad b = \frac{\sqrt{2}}{2}(B - A) $$

qui sont orthogonaux, ont même trace nulle mais pas le même déterminant, donc on ne peut pas les déduire par rotation.
* La partie $a\mathbf{D}_1$ est un cisaillement cylindrique (isotrope transverse). Depuis l'ordre des valeurs propres, $a$ est l'intensité maximale possible pour celui-ci.

* la partie complémentaire $b\mathbf{D}_2$ est un cisaillement pur (orthotrope)

* Le critère de Von Mises, basé sur la norme, ne distingue pas la nature différente de ces deux parties du déviateur.

$$ \sigma^{vm} = \sqrt{3/2} \|\boldsymbol{\sigma}^D\| \\ \|\boldsymbol{\sigma}^D\| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2(A^2 + B^2 + AB)} $$

* L'angle de Lode $\theta$ est mesuré entre $\mathbf{D}_1$ et $\boldsymbol{\sigma}^D$ :

$$ \cos(\theta) = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{\sqrt{3/2}(A + B)}{\sqrt{2(A^2 + B^2 + AB)}} $$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
* Depuis la planche (13) :

$$ 
\begin{array}{l@{\quad}l}
A = \frac{\sqrt{6}}{6}a - \frac{\sqrt{2}}{2}b, & B = \frac{\sqrt{6}}{6}a + \frac{\sqrt{2}}{2}b \\
0 < a, & 0 \le b \le a\sqrt{3} \\
\tan \theta = \frac{b}{a}, & \implies 0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}
\end{array}
$$

* La forme classique de l'angle de Lode est :

$$ \cos(\theta) = \sqrt{\frac{3 \max(\sigma_l^D)}{\|\sigma^D\|}} $$

* Pour un déviateur cylindrique, $\theta = 0$

* Pour un cisaillement pur, $\theta = \pi/3$

* L'angle de Lode est utilisé dans divers critères limite d'élasticité, surtout pour les géo-matériaux⁴ (Etse et Willam 1982, Bigoni 2004, Maïolino 2005...)

## 4. roches ou bétons
# Plan

1. 1 Tenseurs symétriques du second ordre

2. 2 Le tenseur d'élasticité
   * 2.1 Rappels de MMC
   * 2.2 Tenseur d'élasticité
   * 2.3 Tenseur des souplesses
   * 2.4 Elasticités de Cauchy et Kelvin
   * 2.5 Constantes ingénieur
   * 2.6 Notation de Voigt (historique, à éviter)
   * 2.7 Base de Bechterew
   * 2.8 La base d'llyoushin
   * 2.9 Exemple de calcul dans ces bases
   * 2.10 Cas de la dimension 2

3. 3 Elasticité en bases de tenseurs

4. 4 Les projecteurs hydrostatiques et déviatoriques

5. 5 La décomposition de Kelvin

6. 6 Les classes de symétrie de l'élasticité anisotrope

7. 7 Compléments

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
# 2 Le tenseur d'élasticité

## 2.1 Rappels de MMC

À toute position à l'état initial **X** on associe sa position à l'état final **x** :

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Le déplacement **u** est :

$$u(\mathbf{X}) = \mathbf{x}(\mathbf{X}) - \mathbf{X}$$

Le fait que la position initiale **X** soit la variable se nomme les coordonnées lagrangiennes, les plus utilisées en mécanique du solide.
Position **x** et déplacement **u** dépendent du repère (de l'observateur). L'état mécanique ne peut pas en dépendre car ce ne serait pas objectif. Pour cela, on s'intéresse à leur dérivée.

On suppose que $\mathbf{x}(\mathbf{X})$ est un difféomorphisme, et on définit le tenseur gradient de la transformation :

$$ 
\begin{align*} 
\mathbf{F} &= \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}} \\ 
\Leftrightarrow F_{ij} &= x_{i,j} \\ 
&= u_{i,j} + X_{i,j} \\ 
&= u_{i,j} + \delta_{ij} 
\end{align*} 
$$
on en dérive un tenseur des déformation, ici celui de Green-Lagrange :

$$
\begin{align*}
\mathbf{D} &= \frac{1}{2}(\mathbf{F}^T \cdot \mathbf{F} - \mathbf{I}) \\
\Leftrightarrow 2\mathbf{E}_{ij} &= F_{ki}F_{kj} - \delta_{ij} \\
&= (u_{k,i} + \delta_{ki})(u_{k,j} + \delta_{kj}) - \delta_{ij} \\
&= u_{k,i}u_{k,j} + u_{j,i} + u_{i,j}
\end{align*}
$$

Au premier ordre, en supposant des petites déformations $u_{j,i} \ll 1$, tous les tenseurs des déformations dégénèrent en le tenseur des petites déformations de Cauchy, symétrique et du second ordre :

$$
\begin{align*}
\varepsilon &= \frac{1}{2}(\mathbf{Grad}(\mathbf{u}) + \mathbf{Grad}^T(\mathbf{u})) \\
\Leftrightarrow \varepsilon_{ij} &= \frac{1}{2}(u_{i,j} + u_{j,i})
\end{align*}
$$

La déformation $\varepsilon$ est la variable d'état en élasticité.
## 2.2 Tenseur d'élasticité

* On suppose que l'énergie libre de Helmholtz (énergie élastique) est quadratique. Par exemple, l'énergie élastique d'un ressort est :

$$W = \frac{1}{2} kx^2 \Rightarrow F = \frac{\partial W}{\partial x} = kx, \quad k = \frac{\partial^2 W}{\partial x^2}$$

* Pour l'élasticité, l'énergie à prendre en compte est l'énergie libre de Helmholtz (c.f. cours suivant sur la thermodynamique) :

$$\begin{align*} \rho\Psi &\stackrel{\text{def}}{=} \frac{1}{2}\varepsilon : C : \varepsilon \\ &= \frac{1}{2}C_{pqrs}\varepsilon_{pq}\varepsilon_{rs} \end{align*}$$

où C est le tenseur d'élasticité linéaire (ou tenseur de Hooke).

* $\rho\Psi$ est une densité d'énergie, donc en $J/m^3 = N \times m/m^3 = N/m^2 = Pa$.
La contrainte de Cauchy est associée à la déformation par :

$$
\begin{gather*}
\boldsymbol{\sigma} \stackrel{\text{def}}{=} \frac{\partial \rho \boldsymbol{\Psi}}{\partial \boldsymbol{\epsilon}} \\
\frac{\partial \rho \boldsymbol{\Psi}}{\partial \varepsilon_{ij}} = \frac{1}{2} C_{pqrs} \left( \frac{\partial \varepsilon_{pq}}{\partial \varepsilon_{ij}} \varepsilon_{rs} + \varepsilon_{pq} \frac{\partial \varepsilon_{rs}}{\partial \varepsilon_{ij}} \right)
\end{gather*}
$$

Rappel sur l'identité des tenseurs symétriques du second ordre (cours 1) :

$$
\begin{align*}
\frac{\partial \varepsilon_{pq}}{\partial \varepsilon_{ij}} &= \frac{1}{2} (\delta_{pi} \delta_{qj} + \delta_{qi} \delta_{pj}) \\
\implies \frac{\partial \rho \Psi}{\partial \varepsilon_{ij}} &= \frac{1}{4} (C_{ijrs} \varepsilon_{rs} + C_{jirs} \varepsilon_{rs} + C_{pqij} \varepsilon_{pq} + C_{pqji} \varepsilon_{pq}) \\
\implies \sigma_{ij} &= \frac{\partial \rho \Psi}{\partial \varepsilon_{ij}} = \sigma_{ji}
\end{align*}
$$

donc le tenseur des contraintes est symétrique 5

<footnote n="5">5. ce qui est montré classiquement par l'équilibre d'un tétraèdre</footnote>
Dérivons une seconde fois cette expression :

$$ \frac{\partial^2 \rho \Psi}{\partial \epsilon_{ij} \partial \epsilon_{kl}} = \frac{1}{8} (C_{ijkl} + C_{ijlk} + C_{jikl} + C_{jilk} + C_{klij} + C_{lkij} + C_{klji} + C_{lkji}) $$

* Le tenseur $\mathbb{C}$ n'intervient que sous sa forme moyennée sur les permutations d'indices $i \leftrightarrow j$, $k \leftrightarrow l$ et $(i,j) \leftrightarrow (k,l)$ : on peut donc, sans restriction, lui imposer ces symétries et poser que :

* le tenseur d'élasticité $\mathbb{C}$ possède :

* les deux petites symétries indicielles $C_{ijkl} = C_{jikl} = C_{ijkl}$

* la grande symétrie indicielle $C_{ijkl} = C_{klij}$

* et que :

$$ \mathbb{C} = \frac{\partial^2 \rho \Psi}{\partial \epsilon^2} $$

* les symétries indicielles réduisent à 21 le nombre de composantes indépendantes de $\mathbb{C}$ [Green, 1838]
En utilisant la petite, puis la grande symétrie :

$$
\begin{align*}
\sigma_{ij} &= \frac{1}{4} (C_{ijrs} \varepsilon_{rs} + C_{jirs} \varepsilon_{rs} + C_{pqij} \varepsilon_{pq} + C_{pqji} \varepsilon_{pq}) \\
&= \frac{1}{4} (2C_{ijrs} \varepsilon_{rs} + 2C_{pqij} \varepsilon_{pq}) \\
&= \frac{1}{4} (2C_{ijrs} \varepsilon_{rs} + 2C_{ijpq} \varepsilon_{pq}) \\
&= C_{ijpq} \varepsilon_{pq}
\end{align*}
$$

On obtient la loi d'élasticité (loi de Hooke) anisotrope (car on n'a fait
aucune hypothèse d'isotropie) :

$$
\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl} \\
\sigma = \mathcal{C} : \varepsilon
$$

où σ et C sont en Pa, et ε est sans unité.
## 2.3 Tenseur des souplesses

La relation linéaire qui relie contraintes et déformation peut s'écrire en sens inverse, en « inversant » le tenseur d'élasticité (on verra après comment). On a alors :

$$ \varepsilon = \mathcal{S} : \sigma $$

$$ \varepsilon_{ij} = S_{ijkl}\sigma_{kl} $$

où $\mathcal{S}$ est le tenseur des souplesses (ou compliances), qui s'exprime en $Pa^{-1}$. Par un raisonnement similaire au précédent, on montre qu'il possède les mêmes symétries indicielles que $\mathcal{C}$ :

* les petites symétries $S_{ijkl} = S_{jikl} = S_{ijlk}$

* la grande symétrie $S_{ijkl} = S_{klij}$

* 81 composantes dont 21 composantes indépendantes en 3D

* Le tenseur $\mathcal{S}$ s'exprime en $Pa^{-1}$
## 2.4 Élasticités de Cauchy et Kelvin

* [Cauchy, 1828] a montré que, l'élasticité d'un réseau de points (atomes) reliés à des forces centrales induisait un tenseur $C$ avec la symétrie indicielle totale, dont la permutation $C_{ijkl} = C_{ikjl}$, qui ramène à 15 constantes indépendantes [Trovalusci 2014]

* Kelvin n'y croyait pas, il y a eu 50 ans de débats à ce sujet...Les mesures ultrasonores (Curie, vers 1900) lui ont finalement donné raison. Selon moi, la cause physique est que les atomes, cherchant à aligner leurs spins (1922), induisent aussi des moments.

* Les treillis articulés possèdent cette symétrie (François, 2017)

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Élasticités de Cauchy (à gauche) et de Kelvin (à droite)</figcaption></figure>
## 2.5 Constantes ingénieur

Le module d'Young est le rapport entre la contrainte de traction selon **n** et la déformation d'allongement selon **n** :

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

La contrainte de traction est :

$$ \boldsymbol{\sigma} = \sigma \mathbf{n} \otimes \mathbf{n} \quad \sigma_{kl} = \sigma n_k n_l $$

La déformation qui en résulte est donnée par la loi de Hooke (inverse) :

$$ \begin{gathered} \boldsymbol{\epsilon} = \mathcal{S} : \boldsymbol{\sigma} \quad \varepsilon_{ij} = S_{ijkl} \sigma_{kl} \\ \Rightarrow \quad \boldsymbol{\epsilon} = \sigma \mathcal{S} : (\mathbf{n} \otimes \mathbf{n}) \quad \varepsilon_{ij} = \sigma S_{ijkl} n_k n_l \end{gathered} $$
La déformation dans la direction **n** est :

$$ \varepsilon(\mathbf{n}) = \varepsilon : (\mathbf{n} \otimes \mathbf{n}) \quad \varepsilon(\mathbf{n}) = n_i n_j \varepsilon_{ij} $$

On injecte la valeur de la déformation trouvée précédemment :

$$ = \sigma \mathbf{n} \otimes \mathbf{n} : \mathcal{S} : \mathbf{n} \otimes \mathbf{n} = \sigma n_i n_j S_{ijkl} n_k n_l $$

Depuis $\sigma = E\varepsilon$, le module d'Young est le rapport contrainte sur déformation et donc son expression générale est :

$$ E(\mathbf{n}) = \frac{1}{\mathbf{n} \otimes \mathbf{n} : \mathcal{S} : \mathbf{n} \otimes \mathbf{n}} $$

$$ E(\mathbf{n}) = \frac{1}{n_i n_j S_{ijkl} n_k n_l} $$

La forme intrinsèque de la formule, ou la saturation des indices, garantit l'indépendance au choix du repère (mais pas au choix de **n**).
On peut tracer la polaire du modèle d'Young *E*(n), en faisant balayer la normale n selon la sphère unité. Pour un tenseur d'élasticité à symétrie cubique, on obtient une figure telle qu'à gauche :

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

On remarque des directions à fort module d'Young et d'autres à plus faible module d'Young, révélateur de l'anisotropie. Certains superalliages base nickel, utilisé dans les moteurs d'avions, possèdent cette symétrie cubique (à droite, image Onera).
Le coefficient de Poisson est moins le rapport entre la déformation selon **m**⊥**n**, perpendiculaire à la direction de traction et la déformation selon la direction de traction **n**. On a :

$$ \boldsymbol{\sigma} = \sigma \mathbf{n} \otimes \mathbf{n} $$

$$ \boldsymbol{\varepsilon} = \mathbb{S} : \boldsymbol{\sigma} = \sigma \mathbb{S} : (\mathbf{n} \otimes \mathbf{n}) $$

$$ \varepsilon(\mathbf{n}) = \varepsilon : (\mathbf{n} \otimes \mathbf{n}) = \sigma(\mathbf{n} \otimes \mathbf{n}) : \mathbb{S} : (\mathbf{n} \otimes \mathbf{n}) $$

$$ \varepsilon(\mathbf{m}) = \varepsilon : (\mathbf{m} \otimes \mathbf{m}) = \sigma(\mathbf{m} \otimes \mathbf{m}) : \mathbb{S} : (\mathbf{n} \otimes \mathbf{n}) $$

$$ \nu(\mathbf{n}, \mathbf{m}) = - \frac{\varepsilon(\mathbf{m})}{\varepsilon(\mathbf{n})} $$

$$ \nu(\mathbf{n}, \mathbf{m}) = - \frac{(\mathbf{m} \otimes \mathbf{m}) : \mathbb{S} : (\mathbf{n} \otimes \mathbf{n})}{(\mathbf{n} \otimes \mathbf{n}) : \mathbb{S} : (\mathbf{n} \otimes \mathbf{n})} $$

$$ \nu(\mathbf{n}, \mathbf{m}) = - \frac{n_i n_j S_{ijkl} m_k m_l}{n_i n_j S_{ijkl} n_k n_l} $$
Le module de compressibilité hydrostatique est le rapport entre la pression $-p$ (associée à une contrainte hydrostatique $\boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I}$), et la variation relative de volume $\Delta V/V = \text{trace}(\boldsymbol{\varepsilon})$.

$$ 
\begin{aligned}
\varepsilon_{ij} &= S_{ijkl}\sigma_{kl} \\
&= -pS_{ijkl}\delta_{kl} \\
\Rightarrow \text{trace}(\boldsymbol{\varepsilon}) &= -p\delta_{ij}S_{ijkl}\delta_{kl} \\
K &= \frac{-p}{\text{trace}(\boldsymbol{\varepsilon})} \\
K &= \frac{1}{S_{iikk}}
\end{aligned}
$$

$K$ un invariant du tenseur des souplesses, puisque $\text{trace}(\boldsymbol{\sigma})$ (la pression moyenne) et $\text{trace}(\boldsymbol{\varepsilon})$ (le changement de volume) sont des invariants. C'est aussi déductible de la saturation des indices.
Pour tout couple de vecteurs (m, n) orthonormés, le module de
cisaillement $\mu$ est le rapport entre la contrainte de cisaillement $\tau$, avec
$\sigma = \tau(\mathbf{m} \otimes \mathbf{n})^S$ et déformation de cisaillement $\gamma = 2\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\epsilon} \cdot \mathbf{m}$ qui en
résulte.

$$
\begin{align*}
\epsilon_{ij} &= S_{ijkl} \tau (m_k n_l + m_l n_k) \\
&= 2\tau S_{ijkl} m_k n_l
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\gamma &= 2n_i \epsilon_{ij} m_j \\
&= 4\tau n_i m_j S_{ijkl} m_k n_l
\end{align*}
$$

$$
\Rightarrow \mu(\mathbf{n}, \mathbf{m}) = \frac{1}{4n_i m_j S_{ijkl} m_k n_l}
$$

$$
\mu(\mathbf{n}, \mathbf{m}) = \frac{1}{4(\mathbf{n} \otimes \mathbf{m}) : \mathcal{S} : (\mathbf{m} \otimes \mathbf{n})}
$$
## 2.6 Notation de Voigt (historique, à éviter)

Nous avons vu planche 6 que la base canonique est redondante.

* La notation de Voigt (vers 1880) pour les tenseurs du second ordre exploite la symétrie indicielle afin de n'écrire que les 6 composantes indépendantes :

$$ \hat{\sigma} \begin{vmatrix} \hat{\sigma}_1 = \sigma_{11} \\ \hat{\sigma}_2 = \sigma_{22} \\ \hat{\sigma}_3 = \sigma_{33} \\ \hat{\sigma}_4 = \sigma_{44} \\ \hat{\sigma}_5 = \sigma_{55} \\ \hat{\sigma}_6 = \sigma_{66} \end{vmatrix} $$

* Encore très utilisée, elle possède de nombreux défauts, par exemple :

► $\boldsymbol{\sigma} : \boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\varepsilon_{ij} \neq \hat{\boldsymbol{\sigma}} \cdot \hat{\boldsymbol{\varepsilon}} = \sigma_I\varepsilon_I$

► $\|\boldsymbol{\sigma}\| = \sqrt{\sigma_{ij}\sigma_{ij}} \neq \|\hat{\boldsymbol{\sigma}}\| = \sqrt{\hat{\sigma}_I\hat{\sigma}_I}$

...

car les termes (23, 31, 12) n'y sont représentés qu'une seule fois.
## 2.7 Base de Bechterew

* La base de Bechterew (1926) {$E_i$} est une base de $\mathcal{T}^{2S}$ (Ostrosablin 1986, Rychlewski 1990) dont les tenseurs de base sont :

$$E_1 = e_1 \otimes e_1$$

$$E_2 = e_2 \otimes e_2$$

$$E_3 = e_3 \otimes e_3$$

$$E_4 = (e_2 \otimes e_3 + e_3 \otimes e_2)/\sqrt{2}$$

$$E_5 = (e_3 \otimes e_1 + e_1 \otimes e_3)/\sqrt{2}$$

$$E_6 = (e_1 \otimes e_2 + e_2 \otimes e_1)/\sqrt{2}$$

* elle est liée à la base vectorielle {$e_i$}

* elle correspond à imposer la symétrie indicielle à la base canonique {$e_i \otimes e_j$}
* En base canonique, ces tenseurs de base s'écrivent :

$$ \mathbf{E}_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{\{e_i \otimes e_j\}} $$

$$ \mathbf{E}_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{\{e_i \otimes e_j\}} $$

$$ \mathbf{E}_3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}_{\{e_i \otimes e_j\}} $$

$$ \mathbf{E}_4 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/\sqrt{2} \\ 0 & 1/\sqrt{2} & 0 \end{bmatrix}_{\{e_i \otimes e_j\}} $$

$$ \mathbf{E}_5 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1/\sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \\ 1/\sqrt{2} & 0 & 0 \end{bmatrix}_{\{e_i \otimes e_j\}} $$

$$ \mathbf{E}_6 = \begin{bmatrix} 0 & 1/\sqrt{2} & 0 \\ 1/\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{\{e_i \otimes e_j\}} $$
* Vérifions l'orthonormalité de cette base :

$$ E_I : E_J = \delta_{IJ} $$

où : est le produit scalaire des tenseurs du second ordre (cours précédent)

...

$$ E_3 : E_4 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} : \begin{bmatrix} 0 & 1/\sqrt{2} & 0 \\ 1/\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0 $$

$$ E_4 : E_4 = \begin{bmatrix} 0 & 1/\sqrt{2} & 0 \\ 1/\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} : \begin{bmatrix} 0 & 1/\sqrt{2} & 0 \\ 1/\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 1 $$

...
* Les six composantes $\bar{\sigma}_I$ d'un tenseur $\sigma$ sont données par :

$$ \sigma = \sum_{I=1}^{6} \bar{\sigma}_{I} \mathbf{E}_{I} $$ 
$$ \bar{\sigma}_{I} = \sigma : \mathbf{E}_{I} $$

* soit :

$$ \bar{\sigma}_1 = \sigma : \mathbf{E}_1 = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{23} & \sigma_{33} \end{bmatrix} : \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \sigma_{11} $$

...

$$ \bar{\sigma}_4 = \sigma : \mathbf{E}_4 = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{23} & \sigma_{33} \end{bmatrix} : \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/\sqrt{2} \\ 0 & 1/\sqrt{2} & 0 \end{bmatrix} = \sqrt{2}\sigma_{23} $$

...
* Le lien entre les composantes en base canonique et en base de Bechterew est donc :⁶:

$$ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \bar{\sigma}_1 = \sigma_{11} \\ \bar{\sigma}_2 = \sigma_{22} \\ \bar{\sigma}_3 = \sigma_{33} \\ \bar{\sigma}_4 = \sqrt{2}\sigma_{23} \\ \bar{\sigma}_5 = \sqrt{2}\sigma_{31} \\ \bar{\sigma}_6 = \sqrt{2}\sigma_{12} \end{bmatrix}_{\{E_i\}} $$

6. On lit souvent « écriture de Kelvin ». Il y a un flou historique sur cette notation, à laquelle il semble que Kelvin et Voigt l'aient introduite, mais qui n'a été popularisée que bien plus tard
* La double contraction en base canonique correspond au produit scalaire (simple contraction) en base de Bechterew

Preuve :

$$ \boldsymbol{\sigma} : \boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\varepsilon_{ij} $$

$$ = \sigma_{11}\varepsilon_{11} + \sigma_{22}\varepsilon_{22} + \sigma_{33}\varepsilon_{33} + 2\sigma_{23}\varepsilon_{23} + 2\sigma_{31}\varepsilon_{31} + 2\sigma_{12}\varepsilon_{12} $$

$$ = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{23} & \sigma_{33} \end{bmatrix}_{\{e_i \otimes e_j\}} : \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{31} \\ \varepsilon_{12} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{23} & \varepsilon_{33} \end{bmatrix}_{\{e_i \otimes e_j\}} $$

$$ = \begin{bmatrix} \bar{\sigma}_1 \\ \bar{\sigma}_2 \\ \bar{\sigma}_3 \\ \bar{\sigma}_4 \\ \bar{\sigma}_5 \\ \bar{\sigma}_6 \end{bmatrix}_{\{E_i\}} \cdot \begin{bmatrix} \bar{\varepsilon}_1 \\ \bar{\varepsilon}_2 \\ \bar{\varepsilon}_3 \\ \bar{\varepsilon}_4 \\ \bar{\varepsilon}_5 \\ \bar{\varepsilon}_6 \end{bmatrix}_{\{E_i\}} $$
La conservation du produit scalaire entraine :

* les expressions de la norme et des angles :

$$ \|\boldsymbol{\sigma}\| = \sqrt{\bar{\sigma}_I \bar{\sigma}_I} \\ \cos(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}) = \frac{\bar{\sigma}_I \cdot \bar{\varepsilon}_I}{\sqrt{\bar{\sigma}_I \bar{\sigma}_I} \sqrt{\bar{\varepsilon}_I \bar{\varepsilon}_I}} $$

* La trace :

$$ \begin{aligned} \operatorname{trace}(\boldsymbol{\sigma}) &= \boldsymbol{\sigma} : \mathbf{I} \\ &= \sigma_{ii} \\ &= \bar{\sigma}_1 + \bar{\sigma}_2 + \bar{\sigma}_3 \end{aligned} $$

* Attention : la contraction simple $\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\varepsilon}$ n'a pas de forme simple en base de Bechterew, on doit utiliser la base canonique.

* Remarque : ces propriétés sont vraies pour toute base orthonormée des tenseurs symétriques du second ordre.
* La matrice de Bond [1943] permet le calcul de l'effet d'un opérateur orthogonal $O_{ij}$ (rotation, symétrie, changement de base), sur un tenseur symétrique du second ordre, en base de Bechterew :

$$ \bar{\sigma}'_I = \bar{B}_{IJ} \bar{\sigma}_J $$

$$ \bar{B}_{IJ} = $$

$$ \begin{bmatrix} O_{11}' & O_{12}' & O_{13}' & \sqrt{2}O_{12}O_{13} & \sqrt{2}O_{11}O_{13} & \sqrt{2}O_{11}O_{12} \\ O_{21}' & O_{22}' & O_{23}' & \sqrt{2}O_{22}O_{23} & \sqrt{2}O_{21}O_{23} & \sqrt{2}O_{22}O_{21} \\ O_{31}' & O_{32}' & O_{33}' & \sqrt{2}O_{33}O_{32} & \sqrt{2}O_{33}O_{31} & \sqrt{2}O_{31}O_{32} \\ \sqrt{2}O_{11}O_{31} & \sqrt{2}O_{12}O_{32} & \sqrt{2}O_{13}O_{33} & O_{12}O_{33} + O_{13}O_{32} & O_{21}O_{33} + O_{23}O_{31} & O_{22}O_{31} + O_{21}O_{32} \\ \sqrt{2}O_{11}O_{31} & \sqrt{2}O_{12}O_{32} & \sqrt{2}O_{13}O_{33} & O_{12}O_{33} + O_{13}O_{32} & O_{13}O_{31} + O_{11}O_{33} & O_{11}O_{32} + O_{12}O_{31} \\ \sqrt{2}O_{11}O_{21} & \sqrt{2}O_{12}O_{22} & \sqrt{2}O_{13}O_{23} & O_{12}O_{23} + O_{13}O_{22} & O_{13}O_{21} + O_{11}O_{23} & O_{11}O_{22} + O_{12}O_{21} \end{bmatrix} $$

* Ce calcul implique $\delta^2 = 36$ multiplications

* Il est plus rapide que le calcul en base canonique $\sigma'_{pq} = O_{pi} O_{qj} \sigma_{ij}$ qui nécessite $\delta^2 = 81$ multiplications
## 2.8 La base d'Ilyoushin

* La base orthonormée de $\mathcal{T}^{2S}$, dite base d'Ilyoushin est :

$$ 
\begin{gather*}
\mathbf{H} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}_{\{E_i\}} \qquad \mathbf{D}_1 = \frac{1}{\sqrt{6}} \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}_{\{E_i\}} \qquad \mathbf{D}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}_{\{E_i\}} \\
\mathbf{D}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}_{\{E_i\}} \qquad \mathbf{D}_4 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}_{\{E_i\}} \qquad \mathbf{D}_5 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}_{\{E_i\}}
\end{gather*}
$$

* où **H** est la base de $\mathcal{T}^{2SH}$ et $\{\mathbf{D}_1, \dots, \mathbf{D}_5\}$ est une base de $\mathcal{T}^{2SD}$

* $\mathbf{D}_1$ est un cisaillement cylindrique dans la direction 3

* $\mathbf{D}_2, \dots, \mathbf{D}_5$ sont des cisaillements purs
## 2.9 Exemple de calcul dans ces bases

* Traction selon $\mathbf{e}_3$ et cisaillement selon $\mathbf{e}_1 \otimes \mathbf{e}_2$ :

$$ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} 0 & \tau & 0 \\ \tau & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma \end{bmatrix}_{\{e_i \otimes e_j\}} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \sigma \\ 0 \\ 0 \\ \sqrt{2\tau} \end{bmatrix}_{\{E_i\}} = \begin{bmatrix} \sigma/\sqrt{3} \\ 2\sigma/\sqrt{6} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \sqrt{2\tau} \end{bmatrix}_{\{H,D_i\}} $$

* son déviateur est :

$$ \boldsymbol{\sigma}^D = \begin{bmatrix} 2\sigma/3 & 0 & 0 \\ 0 & -\sigma/3 & \tau \\ 0 & \tau & -\sigma/3 \end{bmatrix}_{\{e_i \otimes e_j\}} = \begin{bmatrix} 2\sigma/3 \\ -\sigma/3 \\ -\sigma/3 \\ \sqrt{2}\tau \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}_{\{E_i\}} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2\sigma/\sqrt{6} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \sqrt{2}\tau \end{bmatrix}_{\{H,D_i\}} $$

* les normes

$$ \|\boldsymbol{\sigma}\| = \sqrt{\sigma^2 + 2\tau^2} $$

$$ \|\boldsymbol{\sigma}^D\| = \sqrt{2\sigma^2/3 + 2\tau^2} $$
Bilan sur le choix des bases

* La base canonique {$e_i \otimes e_j$} sert au calcul analytique et pour les tenseurs non symétriques

* La base de Bechterew {$E_i$}, très proche, est plus efficace pour les tenseurs symétriques

* La base d'Ilyoushin {$H, D_i$}, séparant les parties hydrostatiques et déviatoriques, est adaptée à la plasticité

* Les bases de tenseur conservent le produit scalaire, la norme, le produit tensoriel... (au contraire de la notation de Voigt)
## 2.10 Cas de la dimension 2

* Pour passer de 3D à 2D, ici dans le plan $[e_1, e_2]$, on supprime les indices 3, c'est à dire les indices $\{3, 4, 5\}$ en base de Bechterew. Les tenseurs de base de Bechterew en 2D sont :

$$E_1 = e_1 \otimes e_1$$

$$E_2 = e_2 \otimes e_2$$

$$E_6 = (e_1 \otimes e_2 + e_2 \otimes e_1)/\sqrt{2}$$

* Un tenseur quelconque s'écrit, nase de Bechterew :

$$\sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ s & \sigma_{22} \end{bmatrix}_{\{e_i \otimes e_j\}} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sqrt{2}\sigma_{12} \end{bmatrix}_{\{E_i\}}$$

* De nouveau cette forme conserve produit scalaire, norme, etc...
* L'identité et la trace sont :

$$ 
\mathbf{I} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ s & 1 \end{bmatrix}_{\{e_j \otimes e_j\}} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}_{\{E_I\}} \\
\operatorname{trace}(\boldsymbol{\sigma}) = \boldsymbol{\sigma} : \mathbf{I} = \sigma_{11} + \sigma_{22} \\
\operatorname{trace}(\mathbf{I}) = \delta_{ii} = 2
$$

* La rotation s'écrit à d'un seul angle $\theta$ :

$$ R = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} $$

* Matrice de Bond pour le calcul en base de Bechterew :

$$ \bar{B}_{IJ} = \begin{bmatrix} \cos^2(\theta) & \sin^2(\theta) & \sqrt{2} \sin(\theta) \cos(\theta) \\ \sin^2(\theta) & \cos^2(\theta) & -\sqrt{2} \sin(\theta) \cos(\theta) \\ -\sqrt{2} \sin(\theta) \cos(\theta) & \sqrt{2} \sin(\theta) \cos(\theta) & \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) \end{bmatrix} $$
• La Base d'Ilyoushin

$$
\mathbf{H} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}_{\{E_i\}} \qquad \mathbf{D}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}_{\{E_i\}} \qquad \mathbf{D}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}_{\{E_i\}}
$$
# Plan

1. 1 Tenseurs symétriques du second ordre

2. 2 Le tenseur d'élasticité

3. 3 Élasticité en bases de tenseurs

* 3.1 Rappel : base canoniques

* 3.2 Notation de Voigt (historique, à éviter)

* 3.3 Base de Bechterew

4. 4 Les projecteurs hydrostatiques et déviatoriques

5. 5 La décomposition de Kelvin

6. 6 Les classes de symétrie de l'élasticité anisotrope

7. 7 Compléments

8. Bibliographie
# 3 Élasticité en bases de tenseurs

## 3.1 Rappel : base canoniques

En base canonique, la loi d'élasticité implique 81 termes :

$$ \boldsymbol{\sigma} = \mathbb{C} : \boldsymbol{\varepsilon} $$

$$ \begin{aligned} \sigma_{ij} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j &= (C_{ijkl} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \otimes \mathbf{e}_k \otimes \mathbf{e}_l) : (\varepsilon_{pq} \mathbf{e}_p \otimes \mathbf{e}_q) \\ &= C_{ijkl} \varepsilon_{pq} \delta_{lp} \delta_{kq} (\mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \sigma_{ij} &= C_{ijkl} \varepsilon_{lk} \\ &= C_{ijkl} \varepsilon_{kl} \end{aligned} $$

* pour seulement 21 composantes indépendantes. Le calcul est très redondant

* De même que pour les tenseurs du second ordre, on préfère utiliser des bases plus adaptées
## 3.2 Notation de Voigt (historique, à éviter)

En notation de Voigt, la loi de Hooke nécessite une "correction" sur les termes de cisaillement :

$$ \hat{\sigma}_I = \hat{C}_{IJ}\hat{\epsilon}_J $$

$$ \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1131} & C_{1112} \\ C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2231} & C_{2212} \\ C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & C_{3323} & C_{3331} & C_{3312} \\ C_{2311} & C_{2322} & C_{2333} & C_{2323} & C_{2331} & C_{2312} \\ C_{3111} & C_{3122} & C_{3133} & C_{3123} & C_{3131} & C_{3112} \\ C_{1211} & C_{1222} & C_{1233} & C_{1223} & C_{1231} & C_{1212} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{31} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} $$

afin de représenter les ordres de multiplicité qui viennent du calcul en base canonique<fnref n="7" /> :

$$ \sigma_{11} = C_{1111}\varepsilon_{11} + \dots + C_{1123}\varepsilon_{23} + C_{1132}\varepsilon_{32} + \dots $$

Cette notation peut entrainer de nombreuses erreurs, par exemple :

$$ \hat{S} \neq \hat{C}^{-1} $$

<footnote n="7">7. À l'époque c'était consistant avec la notation $\gamma = 2\varepsilon_{12}$ de la RDM.</footnote>
## 3.3 Base de Bechterew

On forme la base $\{\mathbf{E}_I \otimes \mathbf{E}_J\}$ (voir 1.7), des tenseurs du quatrième ordre possédant les deux petites symétries indicielles $C_{ijkl} = C_{jikl} = C_{ijkl}$.

* Cette base est orthonormée :

$$ 
\begin{aligned}
\mathbf{E}_I \otimes \mathbf{E}_J :: \mathbf{E}_K \otimes \mathbf{E}_L &= (\mathbf{E}_I)_{ij}(\mathbf{E}_J)_{kl}(\mathbf{E}_K)_{lk}(\mathbf{E}_L)_{ji} \\
&= (\mathbf{E}_I : \mathbf{E}_L)(\mathbf{E}_J : \mathbf{E}_K) \\
&= \delta_{JK}\delta_{IL}
\end{aligned}
$$

* Les composantes d'un tenseur du quatrième ordre sont :

$$ 
\begin{aligned}
\bar{C}_{IJ} &= \mathbb{C} :: \mathbf{E}_I \otimes \mathbf{E}_J \\
&= \mathbf{E}_I : \mathbb{C} : \mathbf{E}_J
\end{aligned}
$$

* et le tenseur est égal à la somme de ses projections

$$ \mathbb{C} = \sum_{I=1}^{6} \sum_{J=1}^{6} \bar{C}_{IJ} \mathbf{E}_I \otimes \mathbf{E}_J $$
• Lien avec les composantes en base canonique :

$$
\begin{align*}
\bar{C}_{11} &= \mathbf{E}_1 : \mathcal{C} : \mathbf{E}_1 \\
&= \mathbf{e}_1 \otimes \mathbf{e}_1 : \mathcal{C} : \mathbf{e}_1 \otimes \mathbf{e}_1 \\
&= C_{1111} \\
&\vdots
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\bar{C}_{16} &= \mathbf{E}_1 : \mathcal{C} : \mathbf{E}_6 \\
&= \mathbf{e}_1 \otimes \mathbf{e}_1 : \mathcal{C} : (\mathbf{e}_1 \otimes \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_2 \otimes \mathbf{e}_1) / \sqrt{2} \\
&= \sqrt{2} C_{1112} \\
&\vdots
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\bar{C}_{66} &= \mathbf{E}_6 : \mathcal{C} : \mathbf{E}_6 \\
&= (\mathbf{e}_1 \otimes \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_2 \otimes \mathbf{e}_1) / \sqrt{2} : \mathcal{C} : (\mathbf{e}_1 \otimes \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_2 \otimes \mathbf{e}_1) / \sqrt{2} \\
&= 2C_{1212}
\end{align*}
$$
Au final, en base de Bechterew $\{E_I \otimes E_J\}$ :

$$ C = \begin{bmatrix} C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & \sqrt{2}C_{1123} & \sqrt{2}C_{1131} & \sqrt{2}C_{1112} \\ C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & \sqrt{2}C_{2223} & \sqrt{2}C_{2231} & \sqrt{2}C_{2212} \\ C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & \sqrt{2}C_{3323} & \sqrt{2}C_{3331} & \sqrt{2}C_{3312} \\ \sqrt{2}C_{2311} & \sqrt{2}C_{2322} & \sqrt{2}C_{2333} & 2C_{2323} & 2C_{2331} & 2C_{2312} \\ \sqrt{2}C_{3111} & \sqrt{2}C_{3122} & \sqrt{2}C_{3133} & 2C_{3123} & 2C_{3131} & 2C_{3112} \\ \sqrt{2}C_{1211} & \sqrt{2}C_{1222} & \sqrt{2}C_{1233} & 2C_{1223} & 2C_{1231} & 2C_{1212} \end{bmatrix} $$

* La grande symétrie $C_{ijkl} = C_{klij}$ se traduit ici par la symétrie de la matrice $\tilde{C}_{IJ} = \tilde{C}_{JI}$

* Elle ramène de 36 à 21 le nombre de composantes indépendantes
* Cohérence entre les écritures suivantes de la loi de Hooke :

$$ \boldsymbol{\sigma} = \mathcal{C} : \boldsymbol{\varepsilon} $$

$$ \sigma_{ij} = C_{ijkl}\varepsilon_{kl} $$

$$ \bar{\sigma}_I = \bar{C}_{IJ}\varepsilon_J $$

Preuve, pour le premier terme :

$$ \sigma_{11} = C_{1111}\varepsilon_{11} + C_{1122}\varepsilon_{22} + C_{1133}\varepsilon_{33} + 2C_{1123}\varepsilon_{23} + 2C_{1131}\varepsilon_{31} + 2C_{1112}\varepsilon_{12} $$

* On montre de même que :

$$ \mathcal{S} = \mathcal{C}^{-1} $$

$$ \iff \bar{S}_{IJ} = \bar{C}_{IJ}^{-1} $$

ces composantes étant bien sûr relatives à la même base $\{\mathbf{E}_I \otimes \mathbf{E}_J\}$
Au final, la loi de Hooke s'écrit, en base de Bechterew :

En 2D :

$$ \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sqrt{2}\sigma_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{1111} & C_{1122} & \sqrt{2}C_{1112} \\ C_{2211} & C_{2222} & \sqrt{2}C_{2212} \\ \sqrt{2}C_{1211} & \sqrt{2}C_{1222} & 2C_{1212} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \sqrt{2}\varepsilon_{12} \end{bmatrix} $$

En 3D

$$ \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sqrt{2}\sigma_{23} \\ \sqrt{2}\sigma_{31} \\ \sqrt{2}\sigma_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & \sqrt{2}C_{1123} & \sqrt{2}C_{1131} & \sqrt{2}C_{1112} \\ C_{2211} & C_{2222} & C_{2233} & \sqrt{2}C_{2223} & \sqrt{2}C_{2231} & \sqrt{2}C_{2212} \\ C_{3311} & C_{3322} & C_{3333} & \sqrt{2}C_{3323} & \sqrt{2}C_{3331} & \sqrt{2}C_{3312} \\ \sqrt{2}C_{2311} & \sqrt{2}C_{2322} & \sqrt{2}C_{2333} & 2C_{2323} & 2C_{2331} & 2C_{2312} \\ \sqrt{2}C_{3111} & \sqrt{2}C_{3122} & \sqrt{2}C_{3133} & 2C_{3123} & 2C_{3131} & 2C_{3112} \\ \sqrt{2}C_{1211} & \sqrt{2}C_{1222} & \sqrt{2}C_{1233} & 2C_{1223} & 2C_{1231} & 2C_{1212} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ \sqrt{2}\varepsilon_{23} \\ \sqrt{2}\varepsilon_{31} \\ \sqrt{2}\varepsilon_{12} \end{bmatrix} $$

Moyen simple de s'en rappeler : les lignes et des colonnes 3 à 6 sont multipliées par $\sqrt{2}$
# Plan

1. Tenseurs symétriques du second ordre

2. Le tenseur d'elfasticité

3. Elasticité en bases de tenseurs

4. Les projecteurs hydrostatiques et déviatoriques
* 4.1 L'identité du 4e ordre
* 4.2 Le projecteur hydrostatique
* 4.3 Le projecteur déviatorique
* 4.4 Utilisation pratique
* 4.5 Cas de la dimension 2

5. La décomposition de Kelvin

6. Les classes de symétrie de l'elasticité anisotrope

7. Compléments

8. Bibliographie
# 4 Les projecteurs hydrostatiques et déviatoriques

## 4.1 L'identité du 4e ordre

* C'est l'identité pour les tenseurs symétriques :

$$l_{ijkl} = \frac{1}{2}(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk})$$

* En base de Bechterew :

$$\bar{l}_{11} = \frac{1}{2}(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk})\delta_{i1}\delta_{j1}\delta_{k1}\delta_{l1} = \frac{1}{2}(2\delta_{11}\delta_{11}) = 1$$

$$\bar{l}_{12} = \frac{1}{2}(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk})\delta_{i1}\delta_{j1}\delta_{k2}\delta_{l2} = \frac{1}{2}(2\delta_{12}\delta_{12}) = 0$$

...

* Au final, et pour toute base $\{e_i\}$ (c'est un invariant) :

$$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \{E_i \otimes E_j\}$$
## 4.2 Le projecteur hydrostatique

* L'espace hydrostatique a comme tenseur de base $\mathbf{I}/\sqrt{3}$

* Le projecteur sur cet espace est :

$$ \mathbb{P}^{\mathrm{H}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \mathbf{I} \otimes \frac{1}{\sqrt{3}} \mathbf{I} $$

$$ \mathbb{P}^{\mathrm{H}} = \frac{1}{3} \mathbf{I} \otimes \mathbf{I} $$

$$ \iff (P_{\mathrm{H}})_{ijkl} = \frac{1}{3} \delta_{ij} \delta_{kl} $$

* On vérifie son effet sur un tenseur quelconque, en intrinsèque :

$$ \mathbb{P}^{\mathrm{H}} : \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{3} \mathbf{I} \otimes \mathbf{I} : \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{3} \mathrm{trace}(\boldsymbol{\sigma}) \mathbf{I} $$

ou en indiciel :

$$ \sigma_{ij}^{\mathrm{H}} = \frac{1}{3} \delta_{ij} \delta_{kl} \sigma_{kl} = \frac{1}{3} \sigma_{kk} \delta_{ij} $$
Depuis :

$$
\mathbf{K}_1 = \mathbf{I}/\sqrt{3} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1/\sqrt{3} \end{bmatrix}_{\{e_i \otimes e_j\}} = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 1/\sqrt{3} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}_{\{E_i\}}
$$

on en déduit :

$$
\mathbb{P}^H = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 & 0 & 0 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 & 0 & 0 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{\{E_I \otimes E_J\}}
$$

• La forme de $\mathbb{P}^H$ est invariante par changement de base $\{e_i\}$ ou $\{E_i\}$
## 4.3 Le projecteur déviatorique

* Le projecteur déviatorique $\mathbb{P}^D$ projette sur l'espace déviatorique $\mathcal{T}^{2SD}$, complémentaire de $\mathcal{T}^{2SH}$ dans $\mathcal{T}^{2S}$ :

$$ \underbrace{\mathcal{T}^{2SH}}_{1D} \oplus \underbrace{\mathcal{T}^{2SD}}_{5D} = \underbrace{\mathcal{T}^{2S}}_{6D} $$

* Le projecteur déviatorique $\mathbb{P}^D$ est donc :

$$ \mathbb{P}^D = \mathbb{I} - \mathbb{P}^H = \mathbb{I} - \frac{1}{3} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} $$

$$ (P_D)_{ijkl} = \frac{1}{2}(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) - \frac{1}{3}\delta_{ij}\delta_{kl} $$

$$ \boldsymbol{\epsilon}^D = \mathbb{P}^D : \boldsymbol{\epsilon} $$

$$ \begin{align*} (P_D)_{ijkl} : \epsilon_{kl} &= \frac{1}{2}(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk})\epsilon_{kl} - \frac{1}{3}\delta_{ij}\delta_{kl}\epsilon_{kl} \\ &= \frac{1}{2}(\epsilon_{ij} + \epsilon_{ji}) - \frac{1}{3}\epsilon_{kk}\delta_{ij} \end{align*} $$

$$ \boldsymbol{\epsilon}^D = \boldsymbol{\epsilon} - \frac{1}{3} \operatorname{trace}(\boldsymbol{\epsilon}) \mathbb{I} $$
* D'où :

$$ \mathbb{P}^D = \begin{bmatrix} 2/3 & -1/3 & -1/3 & 0 & 0 & 0 \\ -1/3 & 2/3 & -1/3 & 0 & 0 & 0 \\ -1/3 & -1/3 & 2/3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}_{\{E_i \otimes E_j\}} $$

* comme l'espace $\mathcal{T}^{2SD}$ est isotrope, ces expressions de $\mathbb{P}^H$ et $\mathbb{P}^D$ sont les mêmes quelle que soit la base canonique $\{e_i\}$.

* Dans cette base $\{E_i\}$, on vérifie aisément les propriétés des projecteurs sur des espaces orthogonaux :

$$ \mathbb{P}^H : \mathbb{P}^H = \mathbb{P}^H $$

$$ \mathbb{P}^D : \mathbb{P}^D = \mathbb{P}^D $$

$$ \mathbb{P}^H : \mathbb{P}^D = \mathbb{P}^D : \mathbb{P}^H = 0 $$

$$ \mathbb{P}^H + \mathbb{P}^D = \mathbb{I} $$
## 4.4 Utilisation pratique

* Ces expressions sont très efficaces numériquement pour extraire les parties déviatoriques et hydrostatiques d'un tenseur :

$$ \boldsymbol{\epsilon}^{\mathrm{H}} = \mathbb{P}^{\mathrm{H}} : \boldsymbol{\epsilon} $$

$$ \begin{bmatrix} (\varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33})/3 \\ (\varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33})/3 \\ (\varepsilon_{11} + \varepsilon_{22} + \varepsilon_{33})/3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 & 0 & 0 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 & 0 & 0 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ \sqrt{2}\varepsilon_{23} \\ \sqrt{2}\varepsilon_{31} \\ \sqrt{2}\varepsilon_{12} \end{bmatrix} $$

$$ \boldsymbol{\epsilon}^{\mathrm{D}} = \mathbb{P}^{\mathrm{D}} : \boldsymbol{\epsilon} $$

$$ \begin{bmatrix} (2\varepsilon_{11} - \varepsilon_{22} - \varepsilon_{33})/3 \\ (-\varepsilon_{11} + 2\varepsilon_{22} - \varepsilon_{33})/3 \\ (-\varepsilon_{11} - \varepsilon_{22} + 2\varepsilon_{33})/3 \\ \sqrt{2}\varepsilon_{23} \\ \sqrt{2}\varepsilon_{31} \\ \sqrt{2}\varepsilon_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2/3 & -1/3 & -1/3 & 0 & 0 & 0 \\ -1/3 & 2/3 & -1/3 & 0 & 0 & 0 \\ -1/3 & -1/3 & 2/3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ \sqrt{2}\varepsilon_{23} \\ \sqrt{2}\varepsilon_{31} \\ \sqrt{2}\varepsilon_{12} \end{bmatrix} $$
Lien avec la base d'Ilyoushin :

* On identifie $\{\mathbf{H}\}$ la base de l'espace hydrostatique $\mathcal{T}^{2SH}$ donc :

$$ \mathbb{P}^{\mathbf{H}} = \mathbf{H} \otimes \mathbf{H} $$

* Les 5 autres tenseurs complètent la base de $\mathcal{T}^{2S}$. Ils forment donc la base $\{\mathbf{D}_1, \dots, \mathbf{D}_5\}$ des déviateurs $\mathcal{T}^{2SD}$ et l'on peut vérifier aisément que l'on retrouve le projecteur $\mathbb{P}^D$ précédemment obtenu :

$$ \mathbb{P}^D = \mathbf{D}_1 \otimes \mathbf{D}_1 + \mathbf{D}_2 \otimes \mathbf{D}_2 + \mathbf{D}_3 \otimes \mathbf{D}_3 + \mathbf{D}_4 \otimes \mathbf{D}_4 + \mathbf{D}_5 \otimes \mathbf{D}_5 $$

* Les tenseurs $\mathbf{D}_1, \dots, \mathbf{D}_5$ ne sont pas les seuls choix possibles pour la base de déviateurs. Par exemple, dans l'expression proposée planche 40, la direction $\mathbf{e}_3$ a été privilégiée dans $\mathbf{D}_1, \mathbf{D}_2$. On peut créer une autre base en privilégiant une autre direction.
Remarquons sur l'on peut exprimer les projecteurs dans cette base d'Ilyoushin :

$$ \mathbb{P}^H = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{\{H,D_1,...,D_5\}} $$

$$ \mathbb{P}^D = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}_{\{H,D_1,...,D_5\}} $$

* Ils y apparaissent diagonaux. La base d'Ilyoushin est donc une base propre pour ces deux projecteurs, nous verrons que cela correspond à la définition d'une base de Kelvin pour certaines symétrie
4.5 Cas de la dimension 2

De nouveau, les tenseurs du second ordre symétriques se réduisent à 3 composantes.

• L'identité et les projecteurs, en base de Bechterew

$$
\mathbb{I} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}_{\{E_I \otimes E_J\}}
$$

$$
\mathbb{P}^H = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 & 0 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{\{E_I \otimes E_J\}}
$$

$$
\mathbb{P}^D = \begin{bmatrix} 1/2 & -1/2 & 0 \\ -1/2 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}_{\{E_I \otimes E_J\}}
$$

ces tenseurs étant isotropes, ces expressions sont valables quelle que
soit la base {$e_i$}.
# Plan

1. Tenseurs symétriques du second ordre

2. Le tenseur d'élasticité

3. Elasticité en bases de tenseurs

4. Les projecteurs hydrostatiques et déviatoriques

5. La décomposition de Kelvin

* 5.1 Histoire

* 5.2 Diagonalisation du tenseur d'élasticité

* 5.3 Sous-espaces propres

* 5.4 L'élasticité en terme de projecteurs

* 5.5 Sens physique des modes propres

* 5.6 Le tenseur des souplesses

* 5.7 Partition de l'énergie libre par mode de Kelvin

* 5.8 Stabilité

6. Les classes de symétrie de l'élasticité anisotrope

7. Compléments

8. Bibliographie
# 5 La décomposition de Kelvin

## 5.1 Histoire

* Parmi ses très nombreuses découvertes, William Thomson (Lord Kelvin) a présenté en 1856 devant la *Royal Society* ses travaux sur la diagonalisation des tenseurs d'élasticité [Kelvin, 1878].

* Sa publication, trop novatrice (la notion moderne de contrainte date de [Rankine, 1855]) et mal comprise par [Todhunter et Pearson, 1893], est restée dans l'ombre durant plus d'un siècle. Le livre de référence [Love, 1927] n'en fait même pas mention.

* En 1986, J.J. Rychlewski clarifie et valide l'approche de Kelvin, en utilisant les bases de tenseurs.
## 5.2 Diagonalisation du tenseur d'élasticité

* En base de Bechterew, $\mathbb{C}$ s'écrit sous forme d'une matrice réelle $\bar{C}_{IJ}$, $6 \times 6$ symétrique

* Elle est donc diagonalisable, et possède 6 valeurs propres réelles $\lambda_I$ associées à 6 vecteurs propres orthonormés $\bar{K}_I$ :

$$ \bar{C}_{IJ} \bar{K}_J = \lambda_I \bar{K}_I $$

où les $\bar{K}_I$ forment une base orthonormée.

* L'écriture matricielle précédente se traduit, en tenseurs, par :

$$ \mathbb{C} : \mathbf{K}_I = \lambda_I \mathbf{K}_I $$

$$ \mathbf{K}_I : \mathbf{K}_J = \delta_{IJ} $$

où $\{\mathbf{K}_I\}$ est la base de Kelvin (orhonormée), et $\lambda_I$ sont les modules de Kelvin (Pa)
* Le tenseur d'élasticité, exprimé dans sa base propre, est :

$$ C = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_6 \end{bmatrix}_{\{K_I \otimes K_J\}} $$

* Ce qui équivaut à la décomposition spectrale du tenseur d'élasticité :

$$ C = \sum_I \lambda_I \mathbf{K}_I \otimes \mathbf{K}_I $$

* Les 21 DDL se répartissent en pour les 6 $\lambda_I$ et 15 pour les $\{K_I\}^8$

8. 5 composantes pour $\mathbf{K}_1$ (normé) +4 pour $\mathbf{K}_2$ (normé et $\perp \mathbf{K}_1$) +3 + ... + 1 = 15
## 5.3 Sous-espaces propres

* On regroupe les $P$ valeurs propres identiques $\lambda_J$, d'ordre de multiplicité $m(J)$, la dimension du sous-espace propre $\mathcal{T}_J^{2s}$ associé

$$ \sum_{J=1}^{P} m(J) = 6 $$

* On nomme $\{\mathbf{K}_{J_1}, \mathbf{K}_{J_2}, \dots, \mathbf{K}_{J_m(J)}\}$ les tenseurs propres relatifs cette valeur propre $\lambda_J$. Ils forment une base du sous espace-propre associé $\mathcal{T}_J^{2s}$. Cette base est non unique dès que $m(J) \ge 2$.

* L'espace des tenseurs symétriques du second ordre est somme directe de ces sous-espaces propres :

$$ \mathcal{T}^{2s} = \mathcal{T}_1^{2s} \oplus \mathcal{T}_2^{2s} \oplus \dots \oplus \mathcal{T}_P^{2s} $$
## 5.4 L'élasticité en terme de projecteurs

En fonction de ces projecteurs vers les sous-espaces propres, le tenseur d'élasticité s'écrit :

$$ 
\begin{align*}
\mathbb{C} &= \sum_{J=1}^{P} \lambda_J \mathbb{P}_J \\
\mathbb{P}_J &= \sum_{I=1}^{M(J)} \mathbf{K}_{JI} \otimes \mathbf{K}_{JI} \\
\sum_J \mathbb{P}_J &= \mathbb{I}
\end{align*}
$$

la dernière relation se nomme la décomposition orthogonale de l'identité.

* $\mathbb{C}$ est la somme de $P$ projecteurs orthogonaux $\mathbb{P}_J$ pondérés par valeurs propres $\lambda_J$.

* Les $\lambda_J$ se nomment **modules de Kelvin**. Il s'expriment en Pa. Leur nombre est $P \le 6$

* L'identité du 4e ordre $\mathbb{I}$ (planche 55) correspond au cas $\lambda_I = 1$.
Exemple, en base propre {$K_I \otimes K_J$}

$$C = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_3 \end{bmatrix}$$

$$C = \lambda_1 P_1 + \lambda_2 P_2 + \lambda_3 P_3$$

$$P_1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, P_2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

$$P_3 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
## 5.5 Sens physique des modes propres

Pour tout $\epsilon_J$ appartenant à un sous-espace propre $T_J^{2S}$ :

$$ \sigma_J = \mathbb{C} : \epsilon_J $$

$$ \sigma_J = \lambda_J \epsilon_J $$

Énoncé de Kelvin : il existe 6 directions de déformation pour lesquels la contrainte est proportionnelle à la déformation.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>Figure – Illustration d'un mode de Kelvin</figcaption></figure>
Exemples, en élasticité isotrope :

* Le cisaillement

$$ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} 0 & 2\mu\gamma & 0 \\ 2\mu\gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{\{e_i \otimes e_j\}}, \quad \boldsymbol{\varepsilon} = \begin{bmatrix} 0 & \gamma & 0 \\ \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{\{e_i \otimes e_j\}} $$

est un mode de Kelvin

* La traction-compression

$$ \boldsymbol{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{\{e_i \otimes e_j\}}, \quad \boldsymbol{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \sigma/E & 0 & 0 \\ 0 & -\nu\sigma/E & 0 \\ 0 & 0 & -\nu\sigma/E \end{bmatrix}_{\{e_i \otimes e_j\}} $$

n'est un mode de Kelvin (avec $\lambda = E$), que si $\nu = 0$.
## 5.6 Le tenseur des souplesse

* Le tenseur des souplesse $\mathcal{S}$ est défini par $\mathcal{S} : \mathbb{C} = \mathbb{I}$ soit, dans une base tensorielle telle que $\{\mathbf{E}_I\}$ ou $\{\mathbf{K}_I\}$, comme la matrice inverse de $\mathbb{C}$, c'est à dire telle que $S_{IJ}C_{IJ} = \delta_{IJ}$.

* Le calcul le plus simple est bien sûr en base propre $\{\mathbf{K}_I\}$ où :

$$ \mathcal{S} = \begin{bmatrix} 1/\lambda_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/\lambda_2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/\lambda_3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/\lambda_4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1/\lambda_5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/\lambda_6 \end{bmatrix}_{\{\mathbf{K}_I \otimes \mathbf{K}_J\}} $$

* La décomposition spectrale correspondante :

$$ \mathcal{S} = \sum_{J=1}^{P} \frac{1}{\lambda_J} \mathbb{P}_J, $$

où les projecteurs et les sous-espaces propres correspondants sont les même que ceux de $\mathbb{C}$.
## 5.7 Partition de l'énergie libre par mode de Kelvin

$$ 
\begin{align*}
2\rho\Psi &= \boldsymbol{\epsilon} : \mathbb{C} : \boldsymbol{\epsilon} \\
&= \boldsymbol{\epsilon} : \sum_{J=1}^{P} \lambda_J \mathbb{P}_J : \boldsymbol{\epsilon} \\
&= \sum_{J=1}^{P} \lambda_J \boldsymbol{\epsilon}_J : \boldsymbol{\epsilon}_J \\
&= \sum_{J=1}^{P} \lambda_J \boldsymbol{\epsilon}_J : \boldsymbol{\epsilon}_J
\end{align*}
$$

$$ 
\begin{align*}
\rho\Psi &= \sum_{J=1}^{P} \rho\Psi_J \\
\rho\Psi_J &= \frac{1}{2} \lambda_J \boldsymbol{\epsilon}_J : \boldsymbol{\epsilon}_J
\end{align*}
$$

Passage ligne 3 à 4 car $\boldsymbol{\epsilon} - \boldsymbol{\epsilon}_J$ est orthogonale à $\boldsymbol{\epsilon}_J$.
## 5.8 Stabilité

* L'énergie stockée dans le matériau, ne peut pas être négative car sinon le matériau donnerai spontanément de l'énergie.

* Pour que cela soit vrai pour toute déformation, donc $\forall \epsilon_I$, il faut donc que les modules de Kelvin soient positifs, i.e. que la matrice des composantes dans une base de tenseurs $\bar{C}_{IJ}$ ou, par extension, $C$ soit semi-défini positif :

$$ \lambda_I \ge 0 $$

* Si $\forall I$, $\lambda_I > 0$ le matériau sera stable.

* S'il existe au moins un $\lambda_I = 0$ alors le matériau est métastable. Il possède au moins un mode sans énergie (un mécanisme), associé à des solutions des **solutions bifurquées**. Exemple : une pile de cartes qui glissent sans énergie, et dont la forme au repos est non unique.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>
# Plan

1. 1 Tenseurs symétriques du second ordre

2. 2 Le tenseur d'élasticité

3. 3 Elasticité en bases de tenseurs

4. 4 Les projecteurs hydrostatiques et déviatoriques

5. 5 La décomposition de Kelvin

6. 6 Les classes de symétrie de l'élasticité anisotrope

* 6.1 Classe de symétrie

* 6.2 Base naturelle

* 6.3 Les classes d'anisotropie 2D

* 6.4 Les invariants 2D

* 6.5 Les classes d'anisotropie 3D

7. 7 Compléments

8. 8 Bibliographie
# 6 Les classes de symétrie de l'élasticité anisotrope

## 6.1 Classe de symétrie

Un groupe de symétrie est l'ensemble des transformations orthogonales $G \in SO(3)$ qui laissent le tenseur d'élasticité invariant :

$$ \forall \mathcal{R} \in G, \quad \mathcal{R}(C) = C $$

Définition équivalente, plus ancienne :

$$ \forall \mathcal{R} \in G, \forall \varepsilon, \quad \mathcal{R}(C : \varepsilon) = C : \mathcal{R}(\varepsilon) $$

Un classe de symétrie est l'ensemble des groupes de symétrie déductibles les uns des autres par rotation.

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Groupes de symétrie distincts mais même classe de symétrie D4</figcaption></figure>
* Il existe 4 classes de symétrie en 2D [Verchery, 1982]

* Il existe 8 classes de symétrie en 3D [Forte & Vianello, 1997]

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

En bleu : nb. de constantes indépendantes. Flèches : relations d'inclusion
* les 4 classes 2D :

► $O(2)$ est l'ensemble des transformations orthogonales dans le plan.
C'est la classe de symétrie du cercle

► $D_4$ est la classe de symétrie d'un carré. Elle comprend les rotations de $2\pi/4$, les symétries par rapport aux axes...

► $D_2$ est la classe de symétrie d'un rectangle. Elle comprend la rotation de $2\pi/2$, les symétries par rapport aux axes...

► $Z_2$ est la symétrie centrale en (2D), celle d'un Z.

* les 4 classes spécifiquement 3D :

► $SO(3)$ est l'ensemble de toutes les transformations orthogonales (rotations et symétries).

► $O$ est l'ensemble des éléments de symétrie du cube.

► $D_3$ est l'ensemble des rotations de $2\pi/3$ et des miroirs associés.<fnref n="9" />

► 1 est la symétrie centrale, celle de tous les tenseurs d'ordre pair

<footnote n="9">9. n'est pas une classe 2D car n'a pas la symétrie / plan orthogonal à l'axe</footnote>
Remarques

* Les tenseurs des souplesses $\mathcal{S}$ et d'élasticité $\mathcal{C}$ ont même groupe de symétrie. Preuve : nous avons vu au chapitre 4 que :

$$ \mathcal{C} = \sum_{J=1}^{P} \lambda_J \mathbb{P}_J $$

$$ \mathcal{S} = \sum_{J=1}^{P} \frac{1}{\lambda_J} \mathbb{P}_J $$

Or, le groupe de symétrie de ces tenseurs est l'intersection des groupes de symétrie des sous-espaces propres, correspondant aux $\lambda_J$ distinctes [Rychlewski, 1986]. Si les $\lambda_J$ sont distinctes les $1/\lambda_J$ le sont aussi, donc $\mathcal{S}$ et $\mathcal{C}$ ont même groupe de symétrie.
* Les modules de Kelvin $\lambda_I$ sont les solutions du polynôme caractéristique (du 6è degré)

$$p(\Lambda) = \det([\bar{C}_{IJ} - \Lambda\delta_{IJ}])$$

où $\bar{C}_{IJ}$ est la matrice représentative de $\mathbb{C}$ dans une base de Bechterew.

* Les tenseurs propres $K_{IJ}$ sont les vecteurs propres de cette matrice. On les regroupe afin de former des bases orthonormée des sous-espaces propres associées aux valeurs propres.

* L'expression des projecteurs est donnée par la planche 5.4
## 6.2 Base naturelle

* On nomme base naturelle $\{E_I^n\}$, une base de Bechterew $\{E_I\}$, qui fait apparaître un maximum de 0 dans la matrice $\tilde{C}_{IJ}$

* La base canonique associée $\{e_I^n\}$ correspond à des éléments de symétrie (axes, plans...)

* Avoir un maximum de $n$ zéros correspond à avoir un minimum $21 - n$ de composantes indépendantes dans la table. C'est le nombre de constantes d'élasticité.

* Une base naturelle est en général non unique

* Dans les livres (Dieulesaint et Royer pour les ondes, Gay pour les composites...), les tenseurs d'élasticité sont toujours présentés dans une base naturelle. Autrement, la symétrie physique ne serait pas visible depuis la matrice de composantes
## 6.3 Les classes d'anisotropie 2D

* Z₂ (Monoclinique ou digonal), la symétrie centrale d'un Z, avec 5 constantes indépendantes

$$ \bar{C} = \begin{bmatrix} \bar{C}_{11} & \bar{C}_{12} & 0 \\ 0 & \bar{C}_{22} & \bar{C}_{26} \\ s & \bar{C}_{22} & \bar{C}_{66} \end{bmatrix} \{E_i^n \otimes E_j^n\} $$

Le 6e DDL est l'angle positionnant la base dans laquelle $\bar{C}_{16} = 0$.

* D₂ (Orthotrope), la symétrie du rectangle, avec 4 constantes indépendantes

$$ \bar{C} = \begin{bmatrix} \bar{C}_{11} & \bar{C}_{12} & 0 \\ 0 & \bar{C}_{22} & 0 \\ s & \bar{C}_{22} & \bar{C}_{66} \end{bmatrix} \{E_i^n \otimes E_j^n\} $$

l'angle entre cette base naturelle et une base quelconque (composantes $\bar{C}'_{ij}$) est :

$$ \tan(2\varphi'_{D2}) = \sqrt{2} \frac{C'_{16} + C'_{26}}{C'_{11} - C'_{22}} $$
* $D_4$ (Tétragonal), la symétrie du carré, avec 3 composantes indépendantes :

$$ \bar{C} = \begin{bmatrix} \bar{C}_{11} & \bar{C}_{12} & 0 \\ \bar{C}_{11} & \bar{C}_{12} & 0 \\ s & s & \bar{C}_{66} \end{bmatrix}_{\{E_i^n \otimes E_j^n\}} $$

l'angle entre cette base naturelle et une base quelconque (composantes $\bar{C}'_{ij}$) est :

$$ \tan(4\varphi'_{D4}) = \frac{2\sqrt{2}\bar{C}'_{16}}{\bar{C}'_{11} - \bar{C}'_{66} - \bar{C}'_{12}} $$

* $O(2)$ (Isotrope), la symétrie du cercle, avec 2 composantes indépendantes

$$ \bar{C} = \begin{bmatrix} \bar{C}_{11} & \bar{C}_{12} & 0 \\ \bar{C}_{11} & \bar{C}_{12} & 0 \\ s & s & \bar{C}_{11} - \bar{C}_{12} \end{bmatrix}_{\{E_i^n \otimes E_j^n\}} $$

Ce tenseur est isotrope c'est à dire invariant par toute rotation.
## 6.4 Les invariants 2D

* Ce jeu d'invariants polynomiaux [Vianello, 2014] :

$$l_1 = \frac{1}{8}(\bar{C}_{11} + \bar{C}_{22} + 6\bar{C}_{12} - 2\bar{C}_{33})$$

$$l_2 = \frac{1}{8}(\bar{C}_{11} + \bar{C}_{22} - 2\bar{C}_{12} + 2\bar{C}_{33})$$

$$l_3 = \frac{1}{2}(\bar{C}_{11} - \bar{C}_{22})^2 + (\bar{C}_{13} + \bar{C}_{23})^2$$

$$l_4 = \frac{1}{8}[(\bar{C}_{11} + \bar{C}_{22}) - 2(\bar{C}_{12} + \bar{C}_{33})]^2 + (\bar{C}_{13} - \bar{C}_{23})^2$$

$$l_5 = \frac{\sqrt{2}}{8} \left\{ \begin{aligned} & [(\bar{C}_{11} + \bar{C}_{22}) - 2(\bar{C}_{12} + \bar{C}_{33})] [(\bar{C}_{11} - \bar{C}_{22})^2 - 2(\bar{C}_{13} + \bar{C}_{23})^2] \\ & + 8(\bar{C}_{13}^2 - \bar{C}_{23}^2)(\bar{C}_{11} - \bar{C}_{22}) \end{aligned} \right\}$$

* permet de séparer les classes de symétrie de manière non stricte (François, 2017)

$$Z_2 \rightarrow \text{si } (l_5^2 - l_3^2 l_4 = 0) \rightarrow D_2, \text{ si } (l_3 = 0) \rightarrow D_4, \text{ si } (l_4 = 0) \rightarrow O(2)$$
## 6.5 Les classes d'anisotropie 3D

Le tenseur d'élasticité triclinique ne possède aucune classe de symétrie autre que la symétrie centrale.

* On montre qu'il existe une base naturelle dans laquelle le tenseur a trois composantes nulles [Norris, 1989], par exemple :

$$ \bar{C} = \begin{bmatrix} \bar{C}_{11} & \bar{C}_{12} & \bar{C}_{13} & \bar{C}_{14} & 0 & 0 \\ \bar{C}_{22} & \bar{C}_{23} & \bar{C}_{24} & \bar{C}_{25} & 0 & 0 \\ \multicolumn{2}{c}{s} & \bar{C}_{33} & \bar{C}_{34} & \bar{C}_{35} & \bar{C}_{36} \\ & & \bar{C}_{44} & \bar{C}_{45} & \bar{C}_{46} & \bar{C}_{47} \\ & & & \bar{C}_{55} & \bar{C}_{56} & \bar{C}_{57} \\ & & & & \bar{C}_{66} & \end{bmatrix} \{E_i^n \otimes E_j^n\} $$

* Il y a donc 18 constantes d'élasticité indépendantes.<fnref n="10" />

<footnote n="10">10. Les trois degrés de liberté restant sont ceux qui positionnent la base naturelle (3 angles d'Euler par exemple)</footnote>
* Cette classe est rare dans les produits manufacturés. Elle existe dans la nature, pour les cristaux dont les mailles élémentaires n'ont aucune symétrie.

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

Maille cristallographique triclinique : $a \neq b \neq c$ et $\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq \pi/2$
(g.) et Rhodonite (Wikipedia.fr)
Le tenseur d'élasticité monoclinique possède un plan de symétrie. On
choisit **e**<sub>3</sub><sup>n</sup> comme la normale à son plan de symétrie.

* Dans une base {**e**<sub>1</sub><sup>n</sup>, **e**<sub>2</sub><sup>n</sup>, **e**<sub>3</sub><sup>n</sup>}, l'opérateur de symétrie (cours précédent) s'écrit :

$$
\mathbf{S} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} e_i^n \otimes e_i^n
$$

* Appliquons la définition de l'invariance de $\mathbb{C}$ :

$$
S(\mathbb{C}) = \mathbb{C}
$$

$$
S_{ip}S_{jq}S_{kr}S_{ls}C_{pqrs} = C_{ijkl}
$$

* Observons que, dans cette base naturelle :

$$
\mathcal{S}_{ij} = 1 \text{ si } i = j = 1|2
$$

$$
\mathcal{S}_{ij} = -1 \text{ si } i = j = 3
$$

$$
\mathcal{S}_{ij} = 0 \text{ si } i \neq j
$$
* Étudions le terme 1111 : le seul $S_{1j}$ non nul qui apparait est $S_{11} = 1$ :

$$C_{1111} = S_{1p}S_{1q}S_{1r}S_{1s}C_{pqrs} = S_{11}S_{11}S_{11}S_{11}C_{1111} = C_{1111}$$

Cela n'apporte rien.

* Étudions le terme 1112 : un seul terme non nul est possible :

$$C_{1112} = S_{1p}S_{1q}S_{1r}S_{2s}C_{pqrs} = S_{11}S_{11}S_{11}S_{22}C_{1112} = C_{1112}$$

Cela n'apporte rien.

* Étudions le terme 1113 :

$$C_{1113} = S_{1p}S_{1q}S_{1r}S_{3s}C_{pqrs} = S_{11}S_{11}S_{11}S_{33}C_{1113} = -C_{1113}$$

$$\Rightarrow C_{1113} = 0$$

$$\Leftrightarrow \bar{C}_{15} = 0$$

* Par un raisonnement similaire, les termes comprenant un nombre impair d'indices 3 sont nuls. C'est à dire, en base de Bechterew, les termes avec un nombres impairs d'indices 4(2, 3) ou 5(3, 1).
* Donc un **tenseur monoclinique** a la forme suivante, dans une base naturelle où $\mathbf{e}_3^n$ est normal au plan de symétrie :

$$ \mathcal{C} = \begin{bmatrix} \bar{C}_{11} & \bar{C}_{12} & \bar{C}_{13} & 0 & 0 & \bar{C}_{16} & 11 \\ \bar{C}_{11} & \bar{C}_{22} & \bar{C}_{23} & 0 & 0 & \bar{C}_{26} & 22 \\ \bar{C}_{11} & \bar{C}_{22} & \bar{C}_{33} & 0 & 0 & \bar{C}_{36} & 33 \\ \multicolumn{2}{c}{s} & \bar{C}_{44} & \bar{C}_{45} & 0 & \multicolumn{2}{c}{\bar{C}_{55}} & 23 \\ \multicolumn{2}{c}{s} & \bar{C}_{44} & \bar{C}_{45} & 0 & \multicolumn{2}{c}{\bar{C}_{55}} & 31 \\ \multicolumn{2}{c}{s} & \bar{C}_{44} & \bar{C}_{45} & 0 & \multicolumn{2}{c}{\bar{C}_{56}} & 12 \end{bmatrix} \{E_i^n \otimes E_j^n\} $$

L'élasticité monoclinique a **13 composantes indépendantes**.

* De nombreux cristaux sont monocliniques. Les matériaux industriels, à cause de leur procédé de fabrication, présentent en général plus d'un plan de symétrie.
Pour une classe de symétrie aussi basse, la décomposition de Kelvin n'apporte pas beaucoup d'informations :

* Le polynôme caractéristique, qui ne comporte qu'une partie simple

$$p(\Lambda) = [(\bar{C}_{44} - \Lambda)(\bar{C}_{55} - \Lambda) - \bar{C}_{45}^2] \times \dots$$

* donne six modules de Kelvin (valeurs propres), d'ordre de multiplicité 1, dont deux sont simples :

$$\Lambda_1 = \frac{1}{2} ( \bar{C}_{44} + \bar{C}_{55} + \sqrt{4\bar{C}_{45}^2 + (\bar{C}_{44} - \bar{C}_{55})^2} )$$

$$\Lambda_2 = \frac{1}{2} ( \bar{C}_{44} + \bar{C}_{55} - \sqrt{4\bar{C}_{45}^2 + (\bar{C}_{44} - \bar{C}_{55})^2} )$$

* et où {$\mathbf{D}_3, \mathbf{D}_4$} forme une base de la somme directe $T_1^{2s} \oplus T_2^{2s}$ des sous-espaces propres associés à ces deux modules de Kelvin
La symétrie orthotrope possède 3 plans de symétrie orthogonaux.

* On suppose, en plus du plan symétrie de normale **e**<sub>3</sub> de la symétrie monoclinique, un plan de symétrie de normale **e**<sub>2</sub>.

* Les composantes dont l'indice a un nombre impair de 2 sont nulles.

* On observe que les termes avec un nombre impair de 1 sont annulés, on a induit la symétrie par rapport au plan de normale **e**<sub>1</sub>.

* Le tenseur orthotrope possède la forme suivante dans un base naturelle où $\vec{e}_i^n$ sont normaux aux plans de symétrie.

$$ \mathcal{C} = \begin{bmatrix} \bar{c}_{11} & \bar{c}_{12} & \bar{c}_{13} & \bar{c}_{14} & \bar{c}_{15} & \bar{c}_{16} \\ \bar{c}_{21} & \bar{c}_{22} & \bar{c}_{23} & \bar{c}_{24} & \bar{c}_{25} & \bar{c}_{26} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ s & s & s & s & s & s \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} 11 \\ 22 \\ 33 \\ 23 \\ 31 \\ 12 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} 11 \\ 22 \\ 33 \\ 23 \\ 31 \\ 12 \end{Bmatrix} \begin{Bmatrix} \bar{c}_{11} \\ \bar{c}_{12} \\ \bar{c}_{13} \\ \bar{c}_{14} \\ \bar{c}_{15} \\ \bar{c}_{16} \end{Bmatrix} \quad \{E_i^n \otimes E_j^n\} $$

et a 9 composantes indépendantes
* Une traction selon un de ses axes d'orthotropie n'induit aucune distorsion (les angles droits restent droits). Par exemple, prenons
  $\sigma = (\sigma_1, 0, 0, 0, 0)$ (une traction selon $e_1^n$) alors
  $\epsilon = (\epsilon_{11}, \epsilon_{22}, \epsilon_{33}, 0, 0, 0)$, aucune distorsion n'est présente.

* Ce n'est pas vrai pour toute direction de traction :

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

* Les matériaux fabriqués dans l'industrie sont généralement au moins orthotrope car les procédés ont en général trois plans de symétrie. Par exemple, le tissage ou le tricotage pour les composites, le laminage pour les métaux.

<figure><img src="image_17.png" /></figure>
* Son polynôme caractéristique

$$p(\Lambda) = (\bar{C}_{44} - \Lambda)(\bar{C}_{55} - \Lambda)(\bar{C}_{55} - \Lambda) \times \dots$$

* donne six modules de Kelvin (valeurs propres) distinctes, d'ordre 1, dont trois simples :

$$2\mu_4 = C_{44}$$

$$2\mu_5 = C_{55}$$

$$2\mu_6 = C_{66}$$

* associées respectivement aux sous espaces propres de bases $\{\mathbf{D}_3\}$, $\{\mathbf{D}_4\}$, $\{\mathbf{D}_5\}$, qui sont les trois cisaillements selon les axes naturels.
La tenseur d'élasticité de symétrie tétragonale est orthotrope, avec en plus une équivalence entre les directions 1 et 2 qui entraine :

$$C_{2222} = C_{1111} \Rightarrow \bar{C}_{22} = \bar{C}_{11}$$

$$C_{2233} = C_{1133} \Rightarrow \bar{C}_{23} = \bar{C}_{13}$$

$$C_{1313} = C_{2323} \Rightarrow \bar{C}_{55} = \bar{C}_{44}$$

c'est à dire, dans la base naturelle où $e_3^n$ est l'axe D4 et où $e_1^n$ sont normaux à desplans de symétrie

$$ \bar{C} = \begin{bmatrix} \bar{C}_{11} & \bar{C}_{12} & \bar{C}_{13} & 0 & 0 & 0 \\ \bar{C}_{11} & \bar{C}_{13} & \bar{C}_{33} & 0 & 0 & 0 \\ & & \bar{C}_{44} & \bar{C}_{44} & 0 & 0 \\ & s & & & \bar{C}_{66} & 0 \\ & & & & & \{E_1^n \otimes E_3^n\} \end{bmatrix} $$

Il a donc 6 composantes indépendantes.
* Son polynôme caractéristique

$$p(\Lambda) = [(\bar{C}_{11} + \bar{C}_{12} - \Lambda)(\bar{C}_{33} - \Lambda) - 2\bar{C}_{13}^2] (\bar{C}_{11} - \bar{C}_{12} - \Lambda)(\bar{C}_{44} - \Lambda)^2 (\bar{C}_{66} - \Lambda)$$

* donne les modules de Kelvin d'ordres de multiplicité (1,1,1,2,1) :

$$\Lambda_1 = \frac{1}{2} \left( \bar{C}_{11} + \bar{C}_{12} + \bar{C}_{33} + \sqrt{8 \bar{C}_{13}^2 + (\bar{C}_{11} + \bar{C}_{12} - \bar{C}_{33})^2} \right) \\ \Lambda_2 = \frac{1}{2} \left( \bar{C}_{11} + \bar{C}_{12} + \bar{C}_{33} - \sqrt{8 \bar{C}_{13}^2 + (\bar{C}_{11} + \bar{C}_{12} - \bar{C}_{33})^2} \right)$$

$$2\mu_1 = \bar{C}_{11} - \bar{C}_{12}$$

$$2\mu_2 = \bar{C}_{44}$$

$$2\mu_3 = \bar{C}_{66}$$

* où $\Lambda_1$ et $\Lambda_2$ sont associées à des espaces dont la somme directe a pour base $\{\mathbf{H}, \mathbf{D}_1\}$ (comme précédemment)

* où $2\mu_1$ est associé à l'espace déviatorique de base $\{\mathbf{D}_2\}$

* où $2\mu_2$ est associé à l'espace déviatorique de base $\{\mathbf{D}_3, \mathbf{D}_4\}$

* où $2\mu_3$ est associé à l'espace déviatorique de base $\{\mathbf{D}_5\}$
La classe d'élasticité trigonale, rare en pratique, est donnée par l'invariance par rapport au groupe de symétrie $D_3$ (rotations de $2\pi/3$ d'axe $\mathbf{e}_3$ et plans de symétrie associés).

Dans la base naturelle où l'axe D3 est $\mathbf{e}_3^n$ :

$$ \mathbb{C} = \begin{bmatrix} \bar{C}_{11} & \bar{C}_{12} & \bar{C}_{13} & \bar{C}_{14} & 0 & 0 \\ \bar{C}_{11} & \bar{C}_{13} & -\bar{C}_{14} & 0 & 0 & 0 \\ \bar{C}_{33} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ s & \bar{C}_{44} & 0 & \bar{C}_{44} & \sqrt{2}\bar{C}_{14} & 0 \\ & & \bar{C}_{11} & -\bar{C}_{12} & 0 & 0 \end{bmatrix} \{E_i^n \otimes E_j^n\} $$

On compte 6 composantes indépendantes.

Remarque : ce tenseur ne possède pas la symétrie monoclinique par rapport au plan $\mathbf{e}_3^\perp$, sauf si $\bar{C}_{14} = 0$, auquel cas il dégénère en isotrope transverse.
* Le polynôme caractéristique :

$$p(\Lambda) = \left[ (\bar{C}_{11} + \bar{C}_{12} - \Lambda)(\bar{C}_{33} - \Lambda) - 2\bar{C}_{13}^2 \right] \left[ (\bar{C}_{44} - \Lambda)^2 (\bar{C}_{11} - \bar{C}_{12} - \Lambda) + 2\bar{C}_{14}^2 \right]$$

* donne quatre valeurs propres distinctes d'ordres (1,1,2,2) :

$$\Lambda_1 = \frac{1}{2} ( \bar{C}_{11} + \bar{C}_{12} + \bar{C}_{33} + \sqrt{8 \bar{C}_{13}^2 + (\bar{C}_{11} + \bar{C}_{12} - \bar{C}_{33})^2 } )$$

$$\Lambda_2 = \frac{1}{2} ( \bar{C}_{11} + \bar{C}_{12} + \bar{C}_{33} - \sqrt{8 \bar{C}_{13}^2 + (\bar{C}_{11} + \bar{C}_{12} - \bar{C}_{33})^2 } )$$

$$\Lambda_3 = \frac{1}{2} ( \bar{C}_{11} - \bar{C}_{12} + \bar{C}_{44} - \sqrt{8 \bar{C}_{14}^2 + (\bar{C}_{11} - \bar{C}_{12} - \bar{C}_{44})^2 } )$$

$$\Lambda_4 = \frac{1}{2} ( \bar{C}_{11} + \bar{C}_{12} + \bar{C}_{44} - \sqrt{8 \bar{C}_{14}^2 + (\bar{C}_{11} - \bar{C}_{12} - \bar{C}_{44})^2 } )$$

* associées à des tenseurs propres qui n'ont pas de propriétés simples
La symétrie isotrope transverse est la symétrie tétragonale avec en plus une invariance par rotation autour de l'axe 3. Le tenseur d'élasticité est de la forme suivante en base naturelle :

$$ C = \begin{bmatrix} \bar{C}_{11} & \bar{C}_{12} & \bar{C}_{13} & 0 & 0 & 0 \\ \bar{C}_{11} & \bar{C}_{13} & \bar{C}_{33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \bar{C}_{44} & 0 & \bar{C}_{44} & 0 & 0 \\ s & \bar{C}_{44} & \bar{C}_{11} - \bar{C}_{12} & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \{E_j^p \otimes E_j^n\} $$

et il a 5 composantes indépendantes.
* Son polynôme caractéristique :

$$p(\Lambda) = [(\bar{C}_{11} + \bar{C}_{12} - \Lambda)(\bar{C}_{33} - \Lambda) - 2\bar{C}_{13}^2] \\ (\bar{C}_{11} - \bar{C}_{12} - \Lambda)^2(\bar{C}_{44} - \Lambda)^2$$

* donne les modules de Kelvin d'ordres de multiplicité (1,1,2,2) :

$$\Lambda_1 = \frac{1}{2} \left( \bar{C}_{11} + \bar{C}_{12} + \bar{C}_{33} - \sqrt{8\bar{C}_{13}^2 + (\bar{C}_{11} + \bar{C}_{12} - \bar{C}_{33})^2} \right) \\ \Lambda_2 = \frac{1}{2} \left( \bar{C}_{11} + \bar{C}_{12} + \bar{C}_{33} + \sqrt{8\bar{C}_{13}^2 + (\bar{C}_{11} + \bar{C}_{12} - \bar{C}_{33})^2} \right) \\ 2\mu_1 = \bar{C}_{11} - \bar{C}_{12} \\ 2\mu_2 = \bar{C}_{44}$$

* où $2\mu_1$ et $2\mu_2$ sont respectivement associées aux sous espaces propres déviatoriques de base $\{\mathbf{D}_2, \mathbf{D}_5\}$ et $\{\mathbf{D}_3, \mathbf{D}_4\}$

* et où $\Lambda_1$ et $\Lambda_2$ sont associés à deux sous-espaces propres dont la somme directe a pour base $\{\mathbf{H}, \mathbf{D}_1\}$ (le complément de la précédente), une combinaison de traction selon $\mathbf{e}_3$ et de pression hydrostatique.
* C'est une symétrie fréquente dans la nature et pour les matériaux manufacturés. Elle correspond à une isotropie dans le plan $e_3$.

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Stratifié de bois aggloméré et feuilles de mélamine (Samb)

* Nous verrons ensuite (7.3) qu'elle se produit dès que l'on a une symétrie physique $D_5$ ou plus élevée.

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Plaque carton nid d'abeille (Toutembal)

* Une répartition statistique peut aussi la générer :

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

Composite UD vu suivant $e_3$, statistiquement isotope transverse (Ogierman et Kokot)
L'élasticité cubique est le tétragonal auquel on impose en plus l'équivalence entre $\mathbf{e}_1$ ou $\mathbf{e}_2$ avec $\mathbf{e}_3$.

$$C_{1133} = C_{1122} \Rightarrow \bar{C}_{13} = \bar{C}_{12}$$

$$C_{3333} = C_{1111} \Rightarrow \bar{C}_{33} = \bar{C}_{11}$$

$$C_{1212} = C_{1313} = C_{2323} \Rightarrow \bar{C}_{66} = \bar{C}_{44}$$

Dans une base naturelle ou les $\mathbf{e}_i^n$ sont les normales aux plans de syémtrie :

$$C = \begin{bmatrix} \bar{C}_{11} & \bar{C}_{12} & \bar{C}_{12} & 0 & 0 & 0 \\ \bar{C}_{11} & \bar{C}_{12} & \bar{C}_{12} & 0 & 0 & 0 \\ & & \bar{C}_{11} & 0 & 0 & 0 \\ & & & \bar{C}_{44} & 0 & 0 \\ & s & & & \bar{C}_{44} & 0 \\ & & & & & \bar{C}_{44} \end{bmatrix} \{E_i^n \otimes E_j^n\}$$

* Le tenseur d'élasticité cubique a 3 composantes indépendantes.

* Le matériau n'est généralement pas isotrope, voir la polaire des modules d'Young (planche 27)
* Son polynôme caractéristique :

$$ \det([C_{IJ} - \Lambda\delta_{IJ}]) = (\bar{C}_{11} + 2\bar{C}_{12} - \Lambda)(\bar{C}_{11} - \bar{C}_{12} - \Lambda)^2(\bar{C}_{44} - \Lambda)^3 $$

* donne les modules de Kelvin suivants, d'ordre (1, 2, 3)

$$ 3K = \bar{C}_{11} + 2\bar{C}_{12} $$

$$ 2\mu_1 = \bar{C}_{11} - \bar{C}_{12} $$

$$ 2\mu_2 = \bar{C}_{44} $$

* où $3K$ est associé à l'espace hydrostatique $T^{2SH}$ de base $\{\mathbf{H}\}$, ce qui signifie qu'un état de pression engendre une déformée sphérique

* $2\mu_1$ est associé à un sous espace déviatorique de base $\{\mathbf{D}_1, \mathbf{D}_2\}$

* $2\mu_2$ est associé à un sous espace déviatorique de base $\{\mathbf{D}_3, \mathbf{D}_4, \mathbf{D}_5\}$

* La forme en terme de projecteurs est :

$$ C = 3K\mathbb{P}^H + 2\mu_1\mathbb{P}^{D_1} + 2\mu_2\mathbb{P}^{D_2} $$
* Les projecteurs associés ont une expression est simple dans la base naturelle $\mathbf{E}_i^n$ :

$$ \mathbb{P}^{\mathrm{D}1} = \mathbf{D}_1 \otimes \mathbf{D}_1 + \mathbf{D}_2 \otimes \mathbf{D}_2 = \begin{bmatrix} 2/3 & -1/3 & -1/3 & 0 & 0 & 0 \\ -1/3 & 2/3 & -1/3 & 0 & 0 & 0 \\ -1/3 & -1/3 & 2/3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \{\mathbf{E}_i^n \otimes \mathbf{E}_j^n\} $$

$$ \mathbb{P}^{\mathrm{D}2} = \mathbf{D}_3 \otimes \mathbf{D}_3 + \mathbf{D}_4 \otimes \mathbf{D}_4 + \mathbf{D}_5 \otimes \mathbf{D}_5 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \{\mathbf{E}_i^n \otimes \mathbf{E}_j^n\} $$

* Mais, au contraire de $\mathbb{P}^H$ et $\mathbb{P}^D = \mathbb{P}^{\mathrm{D}1} + \mathbb{P}^{\mathrm{D}2}$, ces tenseurs ne sont pas isotropes, leur forme n'est plus la même dans toute base $\mathbf{E}_i$.
* C'est la classe de symétrie la plus riche que l'on peut trouver dans les cristaux.

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

Maille cubique faces centrées (Dorlot)

* On va le retrouver dans certains treillis 3D

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

Maille CFC d'un matériau architecturé 3D (Thèse V. Jeanneau)
La classe de symétrie isotrope a déjà été étudiée. Par rapport à la symétrie cubique, elle revient à introduire une relation supplémentaire, réduisant à 2 le nombre de composantes indépendantes :

$$ \mathcal{C} = \left[ \begin{array}{ccccccc} \bar{C}_{11} & \bar{C}_{12} & \bar{C}_{12} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \bar{C}_{11} & \bar{C}_{12} & \bar{C}_{12} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \bar{C}_{11} & \bar{C}_{12} & \bar{C}_{12} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \multicolumn{2}{c}{s} & \bar{C}_{11} - \bar{C}_{12} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ & & \bar{C}_{11} - \bar{C}_{12} & \bar{C}_{11} - \bar{C}_{12} & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]_{\{E_i \otimes E_j\}} $$

* le tenseur étant isotrope, il est invariant par changement de base $\{e_i\}$, donc toute base $\{E_i\}$ est base naturelle $\{E_i^n\}$

* la polaire des modules d'Young est une sphère
* Son polynôme caractéristique :

$$ \det([C_{IJ} - \Lambda\delta_{IJ}]) = (\bar{C}_{11} + 2\bar{C}_{12} - \Lambda)(\bar{C}_{11} - \bar{C}_{12} - \Lambda)^5 $$

* donne les valeurs propres :

$$ 3\mathcal{K} = \bar{C}_{11} + 2\bar{C}_{12} $$

$$ 2\mu = \bar{C}_{11} - \bar{C}_{12} $$

* et sa forme en terme de projecteurs :

$$ \mathcal{C} = 3\mathcal{K}\mathbb{P}^H + 2\mu\mathbb{P}^D $$

* qui peuvent être générés par la base d'ilyoushin :

$$ \mathbb{P}^H = \mathbf{H} \otimes \mathbf{H} $$

$$ \mathbb{P}^D = \sum_{I=2}^{6} \mathbf{D}_I \otimes \mathbf{D}_I $$
* L'isotropie n'est (quasiment) pas possible pour les cristaux.

* Elle est généralement due à une distribution statistique alatoire.

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Verre métallique (Yao Yang and Jianwei Miao/UCLA)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Méso-structure d'un béton (Stamp-diffusion)</figcaption></figure>
Le tenseur d'élasticité isotrope est formé par les projecteurs $\mathbb{P}^H$ et $\mathbb{P}^D$ pondérés (5.4) par les modules de Kelvin correspondants :

* $K \ge 0$ est le module de compressibilité hydrostatique (Pa)

* $\mu \ge 0$ est le module de cisaillement (Pa)

Le tenseur et la loi d'élasticité isotrope s'écrivent :

$$C = 3K\mathbb{P}^H + 2\mu\mathbb{P}^D$$

$$\sigma = 3K\sigma^H + 2\mu\sigma^D$$

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

Élasticité isotrope et critère de Von Mises $||\sigma^D|| \le \sqrt{2/3} \sigma^y$ (rouge fin)
Depuis les expressions de $\mathbb{P}^H$ et $\mathbb{P}^D$ (planches 56 et 59) en base de Bechterew :

$$ C = \begin{bmatrix} \frac{3K+4\mu}{3} & \frac{3K-2\mu}{3} & \frac{3K-2\mu}{3} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{3K-2\mu}{3} & \frac{3K+4\mu}{3} & \frac{3K-2\mu}{3} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{3K-2\mu}{3} & \frac{3K-2\mu}{3} & \frac{3K+4\mu}{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2\mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2\mu \end{bmatrix} \{E_i \otimes E_j\} $$

$$ S = \begin{bmatrix} \frac{3K+\mu}{9K\mu} & \frac{2\mu-3K}{18K\mu} & \frac{2\mu-3K}{18K\mu} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{2\mu-3K}{18K\mu} & \frac{3K+\mu}{9K\mu} & \frac{2\mu-3K}{18K\mu} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{2\mu-3K}{18K\mu} & \frac{2\mu-3K}{18K\mu} & \frac{3K+\mu}{9K\mu} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/2\mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2\mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2\mu \end{bmatrix} \{E_i \otimes E_j\} $$

Comme $\mathbb{P}^H$ et $\mathbb{P}^D$, ces tenseurs sont isotropes, c'est à dire invariants par tout changement de base $\{e_i\}$.
On a vu que $E(\mathbf{n}) = 1/n_i n_j S_{ijk} n_k n_l$. Le tenseur $\mathcal{S}$ étant ici isotrope, on peut prendre le $\mathbf{n}$ que l'on veut, par exemple $\mathbf{n} = \mathbf{e}_1$. On a alors $E = 1/S_{1111}$ c'est à dire :

$$E = \frac{9K\mu}{3K + \mu}$$

Avec des calculs similaires, on peut trouver la correspondance entre les jeux de constantes d'élasticité de Young et Poisson ($E, \nu$) (plus ingénieur), de Lamé ($\lambda, \mu$) et de Kelvin ($K, \mu$) :

<table><thead><tr><th></th><th>E et ν</th><th>λ et μ</th><th>K et μ</th></tr></thead><tbody><tr><th>E =</th><td>E</td><td>μ <sup>3λ+2μ</sup> <sup>λ+μ</sup></td><td><sup>9Kμ</sup> <sup>3K+μ</sup></td></tr><tr><th>ν =</th><td>ν</td><td><sup>λ</sup> <sup>2(λ+μ)</sup></td><td><sup>3K-2μ</sup> <sup>2(3K+μ)</sup></td></tr><tr><th>λ =</th><td><sup>νE</sup> <sup>(1+ν)(1-2ν)</sup></td><td>λ</td><td><sup>3K-2μ</sup> <sup>3</sup></td></tr><tr><th>μ =</th><td><sup>E</sup> <sup>2(1+ν)</sup></td><td>μ</td><td>μ</td></tr><tr><th>K =</th><td><sup>E</sup> <sup>3(1-2ν)</sup></td><td><sup>3λ+2μ</sup> <sup>3</sup></td><td>K</td></tr></tbody></table>
En base de Bechterew {$E_1$}, la loi d'élasticité isotrope s'écrit en fonction du module d'Young et du coefficient de Poisson comme :

$$ \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sqrt{2}\sigma_{23} \\ \sqrt{2}\sigma_{31} \\ \sqrt{2}\sigma_{12} \end{bmatrix} = \frac{E}{1+\nu} \begin{bmatrix} \frac{1-\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{1-\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{\nu}{1-2\nu} & \frac{1-\nu}{1-2\nu} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ \sqrt{2}\varepsilon_{23} \\ \sqrt{2}\varepsilon_{31} \\ \sqrt{2}\varepsilon_{12} \end{bmatrix} $$

ou sous forme de souplesse :

$$ \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ \sqrt{2}\varepsilon_{23} \\ \sqrt{2}\varepsilon_{31} \\ \sqrt{2}\varepsilon_{12} \end{bmatrix} = \frac{1}{E} \begin{bmatrix} 1 & -\nu & -\nu & 0 & 0 & 0 \\ -\nu & 1 & -\nu & 0 & 0 & 0 \\ -\nu & -\nu & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1+\nu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1+\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1+\nu \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sqrt{2}\sigma_{23} \\ \sqrt{2}\sigma_{31} \\ \sqrt{2}\sigma_{12} \end{bmatrix} $$

où l'on identifie la formule classique de l'élasticité isotrope :

$$ \boldsymbol{\epsilon} = \frac{1+\nu}{E} \boldsymbol{\sigma} - \frac{\nu}{E} \operatorname{trace}(\boldsymbol{\sigma})\boldsymbol{I} $$
On a vu, planche 75, que les modules de Kelvin, ici $(K, \mu)$ devaient être positifs. On en déduit un encadrement du coefficient de Poisson, en posant $x = 3K/2\mu \in [0, \infty]$ :

$$ \nu(K, \mu) = \frac{3K - 2\mu}{6K + 2\mu} $$

$$ \nu(x) = \frac{x - 1}{2x + 1} $$

$$ \nu'(x) = \frac{3}{(2x + 1)^2} > 0 $$

Les bornes sont donc obtenues pour les valeurs en 0 et en $\infty$ :

$$ \nu \in [-1, \frac{1}{2}] $$

Remarque : $\nu(x = 1) = 0$, correspond à $3K = 2\mu$.
Remarques :

* dans beaucoup d'ouvrages on lit encore $0 \le \nu \le 1/2$, ce qui est faux

* Pour les caoutchoucs $K \ll \mu$ (au moins deux ordres de grandeur). On les calcule en général en les supposant incompressibles ($K \to \infty$), ce qui revient $^{11}$ à $\nu = 0,5$.

* Les mousses ne s'élargissent presque pas lorsqu'on les comprime, alors $\nu \simeq 0$, ce qui donne :

$$ 
\begin{align*}
\lambda &= 0 \\
3K &= 2\mu \\
\mathbb{C} &= 2\mu(\mathbb{P}^H + \mathbb{P}^D) = 2\mu\mathbb{I} \\
\Leftrightarrow \sigma &= 2\mu\epsilon
\end{align*}
$$

on n'a qu'une seule constante d'élasticité.

<footnote n="11">11. En calcul numérique prendre plutôt $\nu = 0,49...$</footnote>
La partition des énergies vues en 5.7 donne ici une partition en énergies hydrostatique et déviatorique :

$$ \rho\Psi = \rho\Psi_H + \rho\Psi_D $$

$$ \rho\Psi_H = \frac{3K}{2} \boldsymbol{\epsilon}^H : \boldsymbol{\epsilon}^H $$

$$ \rho\Psi_D = \mu \boldsymbol{\epsilon}^D : \boldsymbol{\epsilon}^D $$

La contrainte équivalente de Von Mises<fnref n="12" /> correspond à la fois à la norme du déviateur et à l'énergie déviatorique :

$$ \begin{aligned} \sigma_{vm} &= \|\boldsymbol{\sigma}^D\| \\ &= 2\mu\|\boldsymbol{\epsilon}^D\| \\ &= \sqrt{4\mu\rho\Psi_D} \end{aligned} $$

<footnote n="12">12. Ici présentée sans les traditionnels coefficients $\sqrt{3/2}$</footnote>
Les raisonnements vus ici pour l'élasticité linéaire se transcrivent pour tout type de relation de comportement isotropes linéaires, en particulier pour :

* élasticité linéaire :

$$ \boldsymbol{\sigma} = 3K\boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{H}} + 2\mu\boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{D}} $$

* les fluides visqueux (newtoniens) compressibles :

$$ \boldsymbol{\sigma} = 3K\boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{H}} + 2\nu\boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{D}} $$

* les fluides visqueux (newtoniens) incompressibles :

$$ \boldsymbol{\sigma} = 2\nu\boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{D}} $$

* les fluides non visqueux (ou au repos) compressibles :

$$ \boldsymbol{\sigma} = 3K\boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{H}} $$
## Plan

1. Tenseurs symétriques du second ordre

2. Le tenseur d'élasticité

3. Élasticité en bases de tenseurs

4. Les projecteurs hydrostatiques et déviatoriques

5. La décomposition de Kelvin

6. Les classes de symétrie de l'élasticité anisotrope

7. 7 Compléments

* 7.1 Remarques

* 7.2 Représentation du groupe de symétrie

* 7.3 Symétrie physique et symétrie élastique

8. Bibliographie
# 7 Compléments

## 7.1 Remarques

* Rappelons que les formes présentées ici sont relatives à une base naturelle. Dans une base quelconque (hormis pour la symétrie isotrope), le tenseur apparaît en général comme une matrice pleine, dans laquelle la symétrie existe mais n'est pas directement lisible.

* Si le jeu d'invariants présenté en (3.4) permet de séparer les classes de symétrie en 2D, il n'existe pas encore l'équivalent en 3D. Olive (2017) a proposé un jeu d'environ 300 invariants, non minimal (le nombre minimum est de 18), donc reliés par des syzigies

* L'analyse des classes de symétrie peut se faire numériquement (logiciel SymetriC, François, 1995)
## 7.2 Représentation du groupe de symétrie

* Distance entre le tenseur et son symétrique par rapport au plan de normale **r** (François [1995]) :

$$d(\mathbb{C}, \mathbf{r}) = \frac{\|\mathbb{C} - S_{r\perp}(\mathbb{C})\|}{\|\mathbb{C}\|}$$

où $|| \bullet ||$ est la norme euclidienne naturelle.

* Autre choix : une norme invariante par $\mathbb{S} \leftrightarrow \mathbb{C}$ (Moakker et Norris [2007])

$$D(\mathbb{C}, \mathbf{r}) = \| \log(\mathbb{C}) - \log(S_{r\perp}(\mathbb{C})) \|$$

* On représente cette distance sur une figure de pôle :

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

<figure><img src="image_27.png" /></figure>
<figure><img src="image_28.png" /></figure>

Figure – Figures de pôles des 8 classes de symétrie existantes, en repère naturel.
Échelle de distance : noir = 0 (plan de symétrie), blanc = 1.
<figure><img src="image_29.png" /></figure>

Figures de pôle du tenseur d'éléasticité de la phase β d'un superalliage base nickel AM1 (François, 98). Les 9 taches révèlent les 9 plans de symétrie de la classe cubique. L'axe du monocristal n'est pas exactement selon $e_3$.

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>Les 9 plans de symétrie d'un cube (Cambridge CIE)</figcaption></figure>
### 7.3 Symétrie physique et symétrie élastique

Principe de Curie [vers 1900]<fnref n="13" /> : le groupe de symétrie des conséquences (l'élasticité) contient celui des causes (la physique du matériau).

* un tissu (2D) tétragonal $D_4$ a une élasticité tétragonale $D_4$

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

* les tissus ci-dessous (2D) ont une élasticité orthotrope

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

(shop.newtess.com)

<footnote n="13">13. « Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits »</footnote>
Le théorème de Herman, [1934] : une symétrie physique $D_N$, avec $N \ge 5$ entraîne une élasticité isotrope transverse, est une illustration du principe de Curie.

Il se prouve en posant l'invariance du tenseur par rotation de $2\pi/N$.
Un conséquence :

* un nid d'abeille, de symétrie $D_6$, a une élasticité isot. trans. ($D_\infty$)

<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>(Fermacell)</figcaption></figure>

Remarque : cela ne concerne que l'élasticité. Par ex. : une fissure suit une des directions de symétrie des hexagones (Réthoré, 2018).
# Plan

1. Tenseurs symétriques du second ordre

2. Le tenseur d'élasticité

3. Elasticité en bases de tenseurs

4. Les projecteurs hydrostatiques et déviatoriques

5. La décomposition de Kelvin

6. Les classes de symétrie de l'élasticité anisotrope

7. Compléments

8. Bibliographie
# Bibilographie

* Elements of Mathematical Theory of Elasticity, Lord Kelvin, Phil. Trans. R. Soc., 146, 1856

* Review paper: what Kelvin might have written about elasticity, K. Helbig, Geophysical Prospecting, 61, 2013

* Les tenseurs en mécanique et en élasticité, L. Brillouin, Masson, 1960

* On Hooke's law, J. Rychlewski, Prikladnaya matematika imekhanika, 48, 3, 1984

* Anisotropy of elastic properties of materials, Annin et Ostrosablin, J. App. Mech. & Tech. Phys., 49, 6, 2008

* Ondes élastiques dans les solides, Dieulesaint et Royer, Masson, 1974

* Symmetry classes for elasticity tensors, Forte et Vianello, J. of Elast., 1996
* Determination of the symmetries of an experimentally determined stiffness tensor; application to acoustic measurements, François, Geymonat et Berthaud, IJSS, 1998

* Invariant measures of the lack of symmetry with respect to the symmetry groups of 2D elasticity tensors, De Saxcé et Vallée, J of Elast, 2012

* On the algebraical structure of anisotropic generalized elasticity, N. Auffray, Math Mech Solids, 2013

* On the conditions for the existence of a plane of symmetry for anisotropic elastic material, Jarić

* École d'été MatSyMat. Nantes, 8-10 septembre 2014.
https://matsymat.sciencesconf.org

* GdR GDM (Géométrie différentielle et Mécanique)

* GdR Archimeta (*Archituctured Materials*)