# Sur un système d'équations fonctionnelles lié au rapport anharmonique

par S. GOŁAB (Kraków)

**Résumé.** Le but de cette Note est de caractériser d'une manière axiomatique le rapport anharmonique à l'aide d'un système d'équations fonctionnelles, notamment

$$ 
\begin{array}{l}
\sigma(x_3, x_4, x_1, x_2) - \sigma(x_1, x_2, x_3, x_4) = 0, \\
(*) \qquad \sigma(x_1, x_3, x_2, x_4) + \sigma(x_1, x_2, x_3, x_4) = 1, \\
\qquad \qquad \sigma(x_1, x_2, x_3, x_4) \cdot \sigma(x_1, x_2, x_4, x_5) = \sigma(x_1, x_2, x_3, x_5).
\end{array}
$$

On peut déduire de ce système sans aucune hypothèse de régularité de la fonction $\sigma$ la formule suivante pour la fonction cherchée $\sigma$:

$$ \sigma(x_1, x_2, x_3, x_4) = \frac{[\dot{a}(x_1) - \dot{a}(x_3)][a(x_2) - a(x_4)]}{|[a(x_2) - a(x_3)][a(x_1) - a(x_4)]} $$

où $a$ est une fonction inversible d'une variable réelle. Afin d'obtenir une solution unique du système (*) qui sera le rapport anharmonique classique, il suffit d'admettre les deux hypothèses additionnelles suivantes:

1. $a$ est une fonction strictement monotone,

2. $\sigma(x_1, x_2, x_3, x_4) = -1$ pour la famille à deux paramètres des quadruples harmoniques de la forme $\left(x, y, \frac{2xy}{x+y}, 0\right)$.

On sait que le rapport anharmonique peut être défini d'une façon axiomatique comme la solution d'une équation fonctionnelle [2]. A ce problème ont été consacrés quelques travaux ultérieurs [3], [4], [5].

Dans le présent travail nous allons définir le rapport anharmonique $\Sigma(P_1, P_2, P_3, P_4)$ d'un quadruple de points colinéarie comme la solution d'un système d'équations fonctionnelles. Ces équations représentent certaines propriétés bien connues du rapport anharmonique.

Nous partons du fait que le rapport anharmonique $\Sigma(P_1, P_2, P_3, P_4)$ d'un quadruple de points $P_i$ ($i = 1, 2, 3, 4$) se transforme d'après les formules suivantes, si l'on effectue une permutation de la suite $P_1, P_2, P_3, P_4$:

$$ 
\begin{array}{l}
\Sigma(P_3, P_4, P_1, P_2) = \Sigma(P_1, P_2, P_3, P_4), \\
(*) \qquad \Sigma(P_2, P_1, P_3, P_4) = \Sigma^{-1}(P_1, P_2, P_3, P_4), \\
\qquad \qquad \Sigma(P_1, P_3, P_2, P_4) = 1 - \Sigma(P_1, P_2, P_3, P_4),
\end{array}
$$
Il suit de ces propriétés que $\Sigma$ peut prendre au plus 6 valeurs différentes dans des permutations arbitraires des points $P_i$.

Les relations (*) représentent en réalité les équations fonctionnelles pour la fonction $\Sigma$. Ces équations peuvent être transformées en équations fonctionnelles d'une fonction réelle $\sigma$ de quatre variables réelles indépendantes $x_i$ si l'on introduit les coordonnées affines des points $P_i$:

$$ \sigma(x_1, x_2, x_3, x_4). $$

La résolution générale du système

$$ (1) \qquad \sigma(x_3, x_4, x_1, x_2) - \sigma(x_1, x_2, x_3, x_4) = 0, $$

$$ (2) \qquad \sigma(x_2, x_1, x_3, x_4) \cdot \sigma(x_1, x_2, x_3, x_4) = 1, $$

$$ (3) \qquad \sigma(x_1, x_3, x_2, x_4) + \sigma(x_1, x_2, x_3, x_4) = 1, $$

ne présente pas de difficultés, elle est même presque triviale.

Pour obtenir cette solution il suffit de déterminer les valeurs de $\sigma$ tout à fait arbitrairement dans le domaine :

$$ (4) \qquad D_0 \stackrel{\text{def}}{=} \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \mid x_1 < x_2 < x_3 < x_4\} $$

et de prolonger les valeurs de $\sigma$ au moyen des relations (1), (2), (3) sur le domaine $D$ tout entier, où $D \subset \mathbb{R}^4$ est défini par la formule :

$$ (5) \qquad D \stackrel{\text{def}}{=} \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \mid x_i \neq x_j \text{ pour } i \neq j\}. $$

Une des conséquences de la définition *classique* du rapport anharmonique est la relation suivante :

$$ (6) \qquad \sigma(x_1, x_2, x_3, x_4) \cdot \sigma(x_1, x_2, x_4, x_5) = \sigma(x_1, x_2, x_3, x_5). $$

Au lieu des relations (1, 2, 3) nous admettrons les relations (1), (3) et (6) comme définition axiomatique du rapport anharmonique, c'est-à-dire nous considérons le système suivant d'équations fonctionnelle pour la fonction cherchée :

$$ (7) \qquad \sigma(x_3, x_4, x_1, x_2) - \sigma(x_1, x_2, x_3, x_4) = 0, $$

$$ (8) \qquad \sigma(x_1, x_3, x_2, x_4) + \sigma(x_1, x_2, x_3, x_4) = 1, $$

$$ (9) \qquad \sigma(x_1, x_2, x_3, x_4) \cdot \sigma(x_1, x_2, x_4, x_5) = \sigma(x_1, x_2, x_3, x_5). $$

Remarque. On démontre sans difficulté que (7), (8) et (9) entraînent (2).

En précisant toutes les hypothèses nous supposons que la fonction cherchée $\sigma$ est définie dans le domaine (5) et que l'on a

$$ (10) \qquad \sigma(x_1, x_2, x_3, x_4) \neq 0 \quad \text{pour } (x_1, x_2, x_3, x_4) \in D. $$

Sous ces hypothèses nous allons résoudre le système (7)-(9) sans aucune hypothèse de régularité de la fonction $\sigma$.
Nous partons de l'équation (9). Cette équation peut être réduite à l'équation de D. M. Sinzow [1], p. 156. Cette réduction nous fournit la solution sous la forme suivante

$$ (11) \qquad \sigma(x_1, x_2, x_3, x_4) = \frac{\gamma(x_1, x_2, x_3)}{\gamma(x_1, x_2, x_4)}, $$

où la fonction inconnue $\gamma(x, y, z)$ est différente de zéro et définie pour $x \neq y \neq z \neq x$.

En tenant compte de la relation (11) nous obtenons d'après (7) et (8) les deux équations fonctionnelles suivantes pour la fonction $\gamma$:

$$ (12) \qquad \frac{\gamma(x_3, x_4, x_1)}{\gamma(x_3, x_4, x_2)} = \frac{\gamma(x_1, x_2, x_3)}{\gamma(x_1, x_2, x_4)}, $$

$$ (13) \qquad \frac{\gamma(x_1, x_2, x_3)}{\gamma(x_1, x_2, x_4)} + \frac{\gamma(x_1, x_3, x_2)}{\gamma(x_1, x_3, x_4)} = 1. $$

Introduisons quelques fonctions auxiliaires, notamment:

$$ (14) \qquad A(x, y) \stackrel{\text{def}}{=} \gamma(x, 0, y), \quad B(x, y) \stackrel{\text{def}}{=} \gamma(x, y, 0) \quad \text{pour } x \neq y \\ \text{et} $$

$$ (15) \qquad a(x) \stackrel{\text{def}}{=} A(1, x), \quad \beta(x) = A(x, 1) \quad (x \neq 0, 1). $$

En rappelant que $\gamma \neq 0$ on obtient de (12), en $y$ substituant $x_2 = 0$, et en changeant convenablement les notations:

$$ (16) \qquad \gamma(x, y, z) = B(x, y) \cdot \frac{A(z, x)}{A(z, y)}. $$

En substituant pareillement $x_2 = 0$ dans (13) on obtient

$$ (17) \qquad \gamma(x, y, z) = \frac{B(x, y) \cdot A(x, z)}{A(x, z) - A(x, y)}. $$

Remarquons que $A(x, z) \neq A(x, y)$ pour $z \neq y$. En effet, en posant dans (13) $x_2 = 0$, $x_1 = x$, $x_3 = y$, $x_4 = z$ on obtient d'après l'hypothèse $A(x, z) = A(x, y)$ $\gamma(x, y, z) = 0$, ce qui contredit à (10). Les formules (16) et (17) donnent

$$ (18) \qquad \frac{A(x, z)}{A(z, y)} = \frac{A(x, z)}{A(x, z) - A(x, y)}. $$

En substituant dans (18) $x = 1$ nous obtenons d'après (15)

$$ \frac{\beta(z)}{A(z, y)} = \frac{a(z)}{a(z) - a(y)}, $$
d'où

$$ (19) \qquad A(x, y) = \beta(x) \cdot \frac{a(x) - a(y)}{a(x)}. $$

La substitution de la dernière formule dans (17) nous fournit finalement

$$ (20) \qquad \gamma(x, y, z) = B(x, y) \cdot \frac{a(x) - a(z)}{a(y) - a(z)}. $$

Cette formule est valable pour tous les $x, y, z$ différents et tels que $x, y, z \neq 0, 1$.

La substitution de la formule (20) dans (17) donne

$$ (21) \qquad \sigma(x_1, x_2, x_3, x_4) = \frac{[a(x_1) - a(x_3)] \cdot [a(x_2) - a(x_4)]}{[a(x_2) - a(x_3)] \cdot [a(x_1) - a(x_4)]} $$

pour $x_i \neq x_j$ ($i \neq j$) et $x_i \neq 0, 1$.

En posant dans la fonction $\gamma(x_1, x_2, x_3)$, $x_1 = 3, x_2 = 2$ c'est-à-dire en définissant

$$ \tilde{a}(x) \stackrel{\text{def}}{=} \gamma(3, 2, x), \quad x \neq 2, 3 $$

nous arrivons à la formule

$$ (22) \qquad \sigma(x_1, x_2, x_3, x_4) = \frac{[\tilde{a}(x_1) - \tilde{a}(x_3)] \cdot [\tilde{a}(x_2) - \tilde{a}(x_4)]}{[\tilde{a}(x_2) - \tilde{a}(x_3)] \cdot [\tilde{a}(x_1) - \tilde{a}(x_4)]} $$

valable pour tous les $x_i$ différents et $x_i \neq 2, 3$.

De cette façon nous obtenons l'identité

$$ \frac{[\tilde{a}(x_1) - \tilde{a}(x_3)] \cdot [\tilde{a}(x_2) - \tilde{a}(x_4)]}{[\tilde{a}(x_2) - \tilde{a}(x_3)] \cdot [\tilde{a}(x_1 - \tilde{a}(x_4))]} = \frac{[a(x_1) - a(x_3)] \cdot [a(x_2) - a(x_4)]}{[a(x_2) - a(x_3)] \cdot [a(x_1) - a(x_4)]} $$

valable pour $x_i \neq 0, 1, 2, 3$ ($i = 1, 2, 3, 4$), $x_i \neq x_j$ si $i \neq j$.

En y fixant les valeurs $x_1, x_2, x_3$ et en posant $x_4 = x$ nous en tirons la relation

$$ \tilde{a}(x) = \frac{\lambda a(x) + \mu}{\nu a(x) + \rho}, $$

$\lambda, \mu, \nu, \rho$ étant des constantes. Cette relation nous permet d'étendre la définition de la fonction $a(x)$ en sorte que la formule (21) soit valable pour tous les quadruples $(x_1, x_2, x_3, x_4)$, où $x_i$ sont différents entre eux.

Inversement, on vérifie sans difficulté que, $a(x)$ étant une fonction quelconque, définie partout et inversible, le second membre de (21) représente une fonction satisfaisant aux équations fonctionnelles (7), (8), (9). On peut donc énoncer le
**THÉORÈME 1.** La solution générale $\sigma$ du système d'équations (7)–(9) est donnée par la formule (21), $\alpha(u)$ étant une fonction arbitraire inversible.

On peut maintenant poser le problème suivant: sous quelles conditions supplémentaires le système (7)–(9) possède-t-il une solution unique

$$ (23) \qquad \sigma(x_1, x_2, x_3, x_4) = \frac{(x_1 - x_3)(x_2 - x_4)}{(x_2 - x_3)(x_1 - x_4)} $$

réproduisant le rapport anharmonique? Autrement dit: sous quelles conditions la fonction $\alpha$ est-elle linéaire?

Nous allons résoudre cette question en faisant quelques hypothèses additionnelles.

Supposons d'abord que $\sigma$ soit une fonction continue par rapport à l'une des variables $x_i$. De la résulte que la fonction $\alpha$ est continue et, comme $\alpha$ est inversible, elle est strictement monotone et, par conséquent, dérivable sauf aux points d'un ensemble dénombrable $E$.

**LEMME.** Si la fonction $\sigma$, définie dans $D$, satisfait aux équations (7)–(9) et si elle est continue par rapport à l'une des variables $x_i$, on a

$$ x \notin E, \quad \alpha' \neq 0 \rightarrow \lim_{h \to 0} \sigma(y, x, x-h, x+h) = -1 $$

pour chaque $y \neq x$, où $E$ est l'ensemble des points où $\alpha$ est dérivable.

**Démonstration.** Supposons $x \notin E$, c'est-à-dire admettons l'existence de la dérivée $\alpha'(x)$. Nous avons d'après la formule (21)

$$ \begin{aligned} \sigma(y, x, x-h, x+h) &= \frac{[a(y) - a(x-h)][a(x) - a(x+h)]}{[a(x) - a(x-h)][a(y) - a(x+h)]} \\ &= \frac{a(y) - a(x-h)}{a(y) - a(x+h)} \cdot \frac{a(x) - a(x+h)}{a(x) - a(x-h)}. \end{aligned} $$

$\alpha$ étant continue on a

$$ \lim_{h \to 0} \frac{a(y) - a(x-h)}{a(y) - a(x+h)} = 1 \quad \text{parce que } a(y) \neq a(x). $$

Nous transformons le deuxième facteur

$$ \frac{a(x) - a(x+h)}{a(x) - a(x-h)} = - \frac{a(x+h) - a(x)}{h} : \frac{a(x-h) - a(x)}{-h} $$

Mais $\alpha$ possède au point $x$ une dérivée $\alpha'(x) \neq 0$, donc le second membre de la formule précédente admet la limite $(-1)$. Nous avons donc

$$ \lim_{h \to 0} \sigma(y, x, x-h, x+h) = -1. $$
Remarquons que dans le lemme précédent l'hypothèse $\alpha'(x) \neq 0$ est essentielle.

D'après le lemme précédent on peut dire que, si $h$ est petit la valeur

$$ \sigma(y, x, x-h, x+h) $$

est, sous l'hypothèse de la continuité de la fonction $\alpha$, égale à $(-1)$ pour presque tous les points $x$ et pour tous les $y \neq x$ voisins de $x$; autrement dit, pour les quadruples $(y, x, x-h, x+h)$ le rapport anharmonique généralisé $\sigma$ est rapproché du rapport harmonique. Il se présente donc l'idée d'ajouter une hypothèse additionnelle postulant que pour les quadruples harmoniques d'une certaine classe la valeur de $\sigma$ soit égale à $(-1)$.

La totalité des quadruples $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ harmoniques constitue une famille $F_3$ à trois paramètres essentiels. Nous allons envisager des sous-classes $F_2$ à deux paramètres ou bien $F_1$ à un paramètre. Pour fixer les idées nous définissons $F_2$ et $F_1$ respectivement comme il suit:

$$ (25) \qquad \begin{aligned} F_2 &\stackrel{\text{def}}{=} \left\{ (x_1, x_2, x_3, x_4) \middle| x_1 = x, x_2 = y, x_3 = \frac{2xy}{x+y}, x_4 = 0 \right\}, \\ F_1 &\stackrel{\text{def}}{=} \left\{ (x_1, x_2, x_3, x_4) \middle| x_1 = x, x_2 = 1, x_3 = \frac{2x}{x+1}, x_4 = 0 \right\}. \end{aligned} $$

Le cas $F_1$ (plus difficile) sera le sujet d'une publication ultérieure.

Nous allons formuler ci-dessous un théorème où l'hypothèse concernant la régularité de la fonction $\alpha$ sera affaiblie. Observons notamment que, $\alpha$ étant inversible, l'hypothèse I: „$\alpha$ est strictement monotone" est plus faible que l'hypothèse II: „$\alpha$ est continue", parce que II implique directement I tandis que l'implication I $\Rightarrow$ II oblige de faire appel à l'équation fonctionnelle.

**THÉORÈME 2.** Si la fonction $\alpha$ dans la formule

$$ \sigma(x_1, x_2, x_3, x_4) = \frac{[\alpha(x_1) - \alpha(x_2)] \cdot [\alpha(x_2) - \alpha(x_4)]}{[\alpha(x_2) - \alpha(x_3)] \cdot [\alpha(x_1) - \alpha(x_4)]} $$

est strictement monotone et si pour chaque quadruple harmonique $(x, y, 2xy|x+y, 0)$ où $|x| \neq |y|$ (appartenant à la famille $F_2$) la valeur de $\sigma$ est égale à $(-1)$, alors la formule

$$ \sigma(x_1, x_2, x_3, x_4) = \frac{(x_1 - x_3) \cdot (x_2 - x_4)}{(x_2 - x_3) \cdot (x_1 - x_4)} $$

a lieu.

**Démonstration.** En substituant $x_1 = x, x_2 = y, x_3 = 2xy/(x+y)$, $x_4 = 0$ dans $\sigma(x_1, x_2, x_3, x_4) = -1$ nous obtenons

$$ \left[ \alpha(x) - \alpha\left(\frac{2xy}{x+y}\right) \right] \cdot \left[ \alpha(y) - \alpha(0) \right] = \left[ \alpha\left(\frac{2xy}{x+y}\right) - \alpha(y) \right] \cdot \left[ \alpha(x) - \alpha(0) \right] $$
ou bien, en posant

$$
(26) \qquad \delta(x) \stackrel{\text{def}}{=} \alpha(x) - \alpha(0),
$$

$$
(27) \qquad \delta\left(\frac{2xy}{x+y}\right) \cdot [\delta(x) + \delta(y)] = 2 \delta(x) \cdot \delta(y).
$$

Remarquons que $\alpha$ étant, par hypothèse, strictement monotone,
$\delta$ possède également la même propriété. L'égalité $\delta(0) = 0$ entraîne
l'inégalité

$$
(28) \qquad \delta(x) \neq 0 \quad \text{pour } x \neq 0.
$$

Supposons pour le moment $x \neq 0$. Nous pouvons donc poser

$$
(29) \qquad \gamma(x) \stackrel{\text{def}}{=} \frac{1}{\delta(1/x)}
$$

et l'équation (27) prend la forme

$$
(30) \qquad \gamma\left(\frac{x+y}{2xy}\right) = \frac{1}{2}\left[\gamma\left(\frac{1}{x}\right) + \gamma\left(\frac{1}{y}\right)\right].
$$

L'équation précédente veut dire que $\gamma(\xi)$ vérifie l'équation de Jensen
(pour $\xi, \eta \neq 0$ au moins)

$$
\gamma\left(\frac{\xi + \eta}{2}\right) = \frac{1}{2}[\gamma(\xi) + \gamma(\eta)].
$$

Mais on conclut de (29) que $\gamma$ est une fonction strictement mono-
tone et, par conséquent, elle doit avoir la forme linéaire ([1], p. 49):

$$
(31) \qquad \gamma(x) = \lambda x + \mu.
$$

La formule (31) n'est pas satisfaite, peut-être, pour $x = 0$, mais,
comme $\gamma$ est monotone, (31) subsiste pour tous les $x$.

En revenant aux fonctions $\delta$ et $\alpha$ nous obtenons

$$
\delta(x) = \frac{1}{\gamma(1/x)} = \frac{1}{(\lambda/x) + \mu} = \frac{x}{\lambda + \mu x},
$$

$$
\alpha(x) = \alpha(0) + \delta(x) = \frac{\tau + \omega x}{\lambda + \mu x},
$$

$\tau, \omega$ étant constantes. La fonction $\alpha$ résulte donc comme une fonction homographique. Remarquons cependant qu'une fonction homographique qui ne se réduit pas à une fonction linéaire ($\mu \neq 0$) possède un point de discontinuité. Comme la fonction $\alpha$ doit être définie partout (à cause
du domaine $\mathcal{D}$ de la fonction $\sigma$), il suit que $\mu = 0$ et, par conséquent, $\alpha$ se réduit à une fonction linéaire ce qui établit la formule (23).

En terminant cette Note nous pouvons énoncer le

THÉORÈME 3. *Etant donné le système (7)–(9), où $\sigma$ est défini dans (5) et satisfait à (10), la solution générale s'exprime par la formule (21), où $a(u)$ est une fonction inversible. Il y a donc une infinité de solutions. Pour obtenir la solution unique (23) il suffit de supposer que $\alpha$ est strictement monotone et en outre que $\sigma = -1$ pour chaque quadruple harmonique $(x, y, \frac{2xy}{x+y}, 0)$ où $|x| \neq |y|$.*

Travaux cités

[1] J. Aczél, *Vorlesungen über Funktionalgleichungen und ihre Anwendungen*, 1961.

[2] —, S. Gołąb, M. Kuczma und E. Siwek, *Das Doppelverhältnis als Lösung einer Funktionalgleichung*, Ann. Polon. Math. 9 (1960), p. 183–187.

[3] W. Benz, *Die 4-Punkt-Invarianten in der projektiven Geraden über einem Schiefkörper*, ibidem 21 (1968), p. 97–101.

[4] — *The $n$-point-invariants of the projective line and cross ratio of $n$-tuples*, ibidem 26 (1972), p. 53–60.

[5] S. Topa, *On a generalization of the functional equation for the harmonic ratio of four points on a projective line over an arbitrary commutative field*, ibidem 23 (1970), p. 65–72.

Reçu par la Rédaction le 18. 6. 1973