$W = U|_2T$ et $V = U - W$, alors $U, V$ et $W$ sont des formes modulaires de poids 2 pour $\Gamma(2)$ qui vérifient $U = V + W$ et

$$ \begin{aligned} U|_2T &= W, & V|_2T &= -V, & W|_2T &= U, \\ U|_2S &= -U, & V|_2S &= -W, & W|_2S &= -V. \end{aligned} \quad (3) $$

Ces identités joueront un rôle clé dans la construction de la fonction magique de Viazovska. Il s'avère que $U$ et $W$ engendrent l'anneau des formes modulaires pour $\Gamma(2)$. Donc toute forme modulaire de poids $2k$ pour $\Gamma(2)$ est une combinaison linéaire de $U^k, U^{k-1}W, U^{k-2}W^2, \dots, W^k$.

Les formes modulaires étant étroitement liées aux réseaux, il est naturel de se tourner vers les formes modulaires pour tenter de construire les fonctions magiques. Cependant, il n'est pas du tout évident de savoir par où commencer, car les formes modulaires sont des objets complètement différents des fonctions radiales de Schwartz. La figure 6 ne ressemble en rien aux figures 4 ou 5, et aucune transformation familière ne les rend plus semblables.

## 4 La construction de Viazovska pour les racines simples

La première étape de la construction par Viazovska de la fonction magique $f$ consiste à décomposer $f$ en fonctions propres de la transformée de Fourier. Les fonctions radiales vérifient

$$ \tilde{f} = f. $$

Nous pouvons donc écrire $f$ sous la forme $f = f_+ + f_-$, où

$$ f_+ := \frac{f + \tilde{f}}{2} \quad \text{et} \quad f_- := \frac{f - \tilde{f}}{2} $$

vérifient $\tilde{f}_+ = f_+$ et $\tilde{f}_- = -f_-$. Si $f$ est la fonction magique en dimension 8, alors $f$ et $\tilde{f}$ ont tous deux des racines en $\sqrt{2n}$ pour tout entier $n \ge 1$, donc $f_+$ et $f_-$ aussi. Nous recherchons donc des fonctions propres de Fourier radiales dont les racines sont spécifiées. Plus précisément, chacune des fonctions $f_\pm$ devrait avoir une racine simple en $\sqrt{2}$ et des racines doubles en $\sqrt{2n}$ pour $n \ge 2$. Ces racines fournissent suffisamment d'information pour déterminer $f_\pm$ à l'échelle près. Elles peuvent ensuite être combinées pour obtenir $f$.

Avant de construire la fonction magique proprement dite, il convient d'examiner une variante plus simple à titre d'exercice d'échauffement.
Au lieu d'essayer de contrôler le comportement de $f$ au second ordre en $\sqrt{2n}$, nous allons plutôt contrôler le comportement d'une fonction $g$ au premier ordre en $\sqrt{n}$. Cette construction n'a pas d'application connue dans le domaine de l'empilement de sphères, mais elle est néanmoins d'un intérêt intrinsèque en analyse harmonique. Nous nous concentrerons également sur la valeur propre $-1$ (c'est-à-dire le cas $\hat{g} = -g$) dans le cas de la racine simple, pour fixer les idées.

Viazovska a trouvé une transformée intégrale remarquable qui permet de construire de telles fonctions. Nous écrirons une fonction radiale $g: \mathbb{R}^8 \to \mathbb{C}$ comme une combinaison linéaire continue de gaussiennes complexes $x \mapsto e^{\pi i z |x|^2}$ avec $z \in \mathcal{H}$ via l'intégrale de contour

$$g(x) = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \psi(z) e^{\pi i z |x|^2} dz, \quad (4)$$

où $\psi$ est une fonction holomorphe sur $\mathcal{H}$ et le contour est un demi-cercle dont le centre est l'origine. À quelles conditions sur $\psi$ la fonction $g$ sera-t-elle une fonction propre de Fourier et comment pouvons-nous contrôler ses valeurs en $\sqrt{n}$?

Nous pouvons obtenir les valeurs $g(\sqrt{n})$ en imposant à $\psi$ d'être périodique comme suit. Supposons que $\psi(z+2) = \psi(z)$ pour tout $z \in \mathcal{H}$, de sorte que $\psi$ a une série de Fourier de la forme

$$\psi(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n e^{\pi i n z}. \quad (5)$$

Alors pour tout entier $n \ge 0$,

$$g(\sqrt{n}) = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \psi(z) e^{\pi i n z} dz = a_{-n}$$

par orthogonalité, à condition que l'on puisse intervertir la somme et l'intégrale. Si le développement en série de Fourier (5) n'a qu'un nombre fini de termes négatifs, alors $g(\sqrt{n})$ s'annulera pour tous les $n$ sauf pour un nombre fini d'entre eux.

Pour calculer la transformée de Fourier de $g$, nous pouvons inter-
vertir l'intégrale de contour et la transformée de Fourier, en supposant
à nouveau que l'intégrale se comporte suffisamment bien. Alors

$$
\hat{g}(y) = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \psi(z) z^{-4} e^{\pi i (-1/z) |y|/2} dz,
$$
car la transformée de Fourier en dimension $d$ de la gaussienne complexe $x \mapsto e^{\pi i z |x|^2}$ avec $z \in \mathcal{H}$ est donnée par $y \mapsto (i/z)^{d/2} e^{\pi i (-1/z) |y|^2}$, et $d = 8$ ici. Le changement de variable $u = -1/z$ montre que

$$ \hat{g}(y) = -\frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \psi(-1/u) u^2 e^{\pi i u |y|^2} du. $$

En d'autres termes, prendre la transformée de Fourier de $g$ revient à remplacer $\psi$ par $-\psi|_{-2}S$. Nous obtenons $\hat{g} = -g$ si $\psi|_{-2}S = \psi$.

Soit $\Gamma$ le sous-groupe de $SL_2(\mathbb{Z})$ engendré par $S$ et $T^2$, qui a un indice 3 dans $SL_2(\mathbb{Z})$. Les conditions $\psi|_{-2}T^2 = \psi$, c'est-à-dire $\psi(z+2) = \psi(z)$, et $\psi|_{-2}S = \psi$ signifient que $\psi$ est faiblement modulaire de poids $-2$ pour $\Gamma$. La raison pour laquelle $\psi$ n'est pas une forme modulaire à part entière est qu'elle n'est que méromorphe à l'infini, ce qui est inévitable puisque le poids est négatif. Nous avons en outre besoin que $\psi$ s'annule en $\pm 1$, ce qui suffira à justifier nos manipulations d'intégrales et à montrer que $g$ est une fonction de Schwartz. En termes de séries de Fourier, cette annulation signifie que $\psi|_{-2}TS$ n'a pas de termes négatifs dans sa série en $q$, car $TS$ envoie la pointe $i\infty$ sur $1$.

Nous allons construire un exemple de la forme $\psi = \psi_0/\Delta$ en utilisant la fonction $\Delta$ de l'équation (2), où $\psi_0$ est une véritable forme modulaire de poids 10 pour $\Gamma$. Notons que le dénominateur de $\Delta$ ne pose aucune difficulté dans $\mathcal{H}$, puisque $\Delta(z) \neq 0$ pour tout $z \in \mathcal{H}$, et que le zéro de $\Delta$ à l'infini conduira à un pôle pour $\psi$.

La fonction $\psi_0$ est modulaire de poids 10 pour $\Gamma$ et donc aussi pour $\Gamma(2)$, car $\Gamma(2)$ est un sous-groupe de $\Gamma$. En particulier, $\psi_0$ doit être une combinaison linéaire de $U^5, U^4W, U^3W^2, \dots, W^5$, parce que $U$ et $W$ engendrent l'anneau des formes modulaires pour $\Gamma(2)$. Les relations (3) spécifient l'action de $S$ et $T$; elles impliquent que le sous-espace stable par $S$ est engendré par

$$ \alpha := U^5 - 6 U^3 W^2 + 4 U^2 W^3, $$

$$ \beta := U^4 W - 3 U^3 W^2 + 2 U^2 W^3 \text{ et} $$

$$ \gamma := -U^3 W^2 + 4 U^2 W^3 - 5 UW^4 + 2 W^5, $$
avec des séries en $q$

$$ \frac{\alpha}{\Delta} = -q^{-1} - 40q^{-1/2} + 752 + \dots, \quad \left. \frac{\alpha}{\Delta} \right|_{-2} \text{TS} = -1024 + 90112q + \dots, $$

$$ \frac{\beta}{\Delta} = -16q^{-1/2} + 256 + \dots, \quad \left. \frac{\beta}{\Delta} \right|_{-2} \text{TS} = -512 - 20480q + \dots, $$

$$ \frac{\gamma}{\Delta} = 256 - 10240q^{1/2} + \dots, \quad \left. \frac{\gamma}{\Delta} \right|_{-2} \text{TS} = -2q^{-1} - 32 + \dots $$

avec $q^{1/2} = e^{\pi i z}$. Le fait d'exiger que la fonction $\psi$ s'annule en $\pm 1$ la détermine à l'échelle près sous la forme

$$ \psi = \frac{2\beta - \alpha}{\Delta} = q^{-1} + 8q^{-1/2} - 240 - 6176q^{1/2} - \dots, \quad (6) $$

ce qui donne une fonction de Schwartz radiale $g: \mathbb{R}^8 \to \mathbb{R}$ telle que $\tilde{g} = -g$ et

$$ g(\sqrt{n}) = \begin{cases} -240 & \text{si } n = 0, \\ 8 & \text{si } n = 1, \\ 1 & \text{si } n = 2, \\ 0 & \text{si } n \ge 3. \end{cases} $$

Nous pouvons réécrire la définition de $f$ sous une autre forme utile. Si $|x|$ est suffisamment grand (en fait $|x|^2 > 2$ suffit), alors

$$ \begin{aligned} g(x) &= \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \psi(z) e^{\pi i z |x|^2} dz \\ &= \frac{1}{2} \int_{-1}^{i} \psi(z) e^{\pi i z |x|^2} dz - \frac{1}{2} \int_{1}^{i} \psi(z) e^{\pi i z |x|^2} dz \\ &= \frac{1}{2} \int_{-1}^{-1+i\infty} \psi(z) e^{\pi i z |x|^2} dz - \frac{1}{2} \int_{1}^{1+i\infty} \psi(z) e^{\pi i z |x|^2} dz \\ &= \frac{e^{-\pi i |x|^2} - e^{\pi i |x|^2}}{2} \int_{0}^{i\infty} \psi(u+1) e^{\pi i u |x|^2} du. \end{aligned} $$

Dans ces manipulations, la deuxième ligne se contente de scinder l'intégrale en deux, la troisième ligne utilise le fait que

$$ \int_{-1+i\mathbb{R}}^{1+i\mathbb{R}} \psi(z) e^{\pi i z |x|^2} dz \to 0 $$

quand $R \to \infty$ (ce qui est le cas si $|x|^2$ est suffisamment grand), et la quatrième ligne utilise $\psi(u-1) = \psi(u+1)$.
En d'autres termes, $g(x)$ est donné par $\sin(\pi|x|^2)$ multiplié par la transformée de Laplace de $t \mapsto \psi(it + 1)$ évaluée en $\pi|x|^2$ :

$$g(x) = \sin(\pi|x|^2) \int_0^\infty \psi(it+1)e^{-\pi t|x|^2} dt. \quad (7)$$

Alors que l'intégrale originale (4) converge pour tous les $x$, cette intégrale ne converge que lorsque $|x|^2$ est suffisamment grand pour que le facteur gaussien $e^{-\pi t|x|^2}$ contrebalance la croissance de $\psi(it+1)$ lorsque $t \to \infty$. En particulier, l'équation (6) implique que

$$\psi(it + 1) = e^{2\pi t} - 8e^{\pi t} - 240 + 6176e^{-\pi t} - \dots$$

lorsque $t \to \infty$, ce qui signifie que nous avons besoin de $|x|^2 > 2$. Nous pouvons utiliser ce développement pour prolonger analytiquement $g$ en enlevant les termes qui divergent :

$$\begin{aligned} g(x) &= \sin(\pi|x|^2) \int_0^\infty (e^{2\pi t} - 8e^{\pi t} - 240) e^{-\pi t|x|^2} dt \\ &\quad + \sin(\pi|x|^2) \int_0^\infty (\psi(it+1) - e^{2\pi t} + 8e^{\pi t} + 240) e^{-\pi t|x|^2} dt \\ &= \frac{\sin(\pi|x|^2)}{\pi(|x|^2 - 2)} - \frac{8\sin(\pi|x|^2)}{\pi(|x|^2 - 1)} - \frac{240 \sin(\pi|x|^2)}{\pi|x|^2} \\ &\quad + \sin(\pi|x|^2) \int_0^\infty (\psi(it+1) - e^{2\pi t} + 8e^{\pi t} + 240) e^{-\pi t|x|^2} dt, \end{aligned}$$

et cette dernière formule est valable quel que soit $|x|$, avec des singularités effaçables en $|x| = 0, 1$ et $\sqrt{2}$.

# 5 La construction de Viazovska pour les racines doubles

Nous sommes maintenant en mesure d'obtenir la fonction magique en dimension 8. Nous obtiendrons tout d'abord la fonction propre $f_-$ associée à la valeur propre $-1$. Il n'est pas évident de généraliser l'intégrale de contour (4) des racines simples aux racines doubles, mais la formule de la transformée de Laplace (7) se généralise élégamment. Pour obtenir $f_-$, nous chercherons une fonction spéciale $\psi$ telle que

$$f_{-}(x) = -4i \sin \left( \frac{\pi|x|^2}{2} \right) \int_{0}^{i\infty} \psi(z) e^{\pi i z |x|^2} dz$$
lorsque $|x|$ est suffisamment grand. En écrivant $-4 \sin(\pi|x|^2/2)^2 = e^{-\pi i|x|^2} + e^{\pi i|x|^2} - 2$, on trouve que

$$f_{-}(x) = \int_{-1}^{-1+i\infty} \psi(z+1) e^{\pi i |x|^2 z} dz + \int_{1}^{1+i\infty} \psi(z-1) e^{\pi i |x|^2 z} dz \\ - 2 \int_{0}^{i\infty} \psi(z) e^{\pi i |x|^2 z} dz.$$

Nous allons construire une fonction $\psi$ telle que $\psi$ soit holomorphe sur $\mathcal{H}$ et $\psi(z)$ soit exponentiellement bornée lorsque $\operatorname{Im} z \to \infty$. Sous ces conditions, lorsque $|x|$ est suffisamment grand, on peut déplacer les contours et combiner les intégrales pour obtenir

$$f_{-}(x) = \int_{-1}^{i} \psi(z+1) e^{\pi i |x|^2 z} dz + \int_{1}^{i} \psi(z-1) e^{\pi i |x|^2 z} dz - 2 \int_{0}^{i} \psi(z) e^{\pi i |x|^2 z} dz \\ + \int_{i}^{i\infty} (\psi(z+1) + \psi(z-1) - 2\psi(z)) e^{\pi i |x|^2 z} dz,$$

avec les contours indiqués dans la figure 7. Cette formule sera l'analogue de l'équation (4) et elle définira $f_{-}(x)$ pour tout $x$.

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIG. 7 – Les contours utilisés pour obtenir $f_{-}(x)$, étiquetés avec leurs intégrales (en omettant $e^{\pi i |x|^2 z} dz$).</figcaption></figure>

Prendre la transformée de Fourier revient à remplacer $e^{\pi i |x|^2 z}$ par
$z^{-4}e^{\pi i|y|^2(-1/z)}$ dans la formule qui définit $\tilde{f}_{-}$ :

$$
\begin{align*}
\widehat{f}_{-}(y) &= \int_{-1}^{i} \psi(z+1) z^{-4} e^{\pi i |y|^2 (-1/z)} dz + \int_{1}^{i} \psi(z-1) z^{-4} e^{\pi i |y|^2 (-1/z)} dz \\
&\quad - 2 \int_{0}^{i} \psi(z) z^{-4} e^{\pi i |y|^2 (-1/z)} dz \\
&\quad + \int_{i}^{i\infty} (\psi(z+1) + \psi(z-1) - 2\psi(z)) z^{-4} e^{\pi i |y|^2 (-1/z)} dz.
\end{align*}
$$

On peut maintenant poser $u = -1/z$, ce qui échange les quatre contours
deux à deux. La façon la plus simple d'obtenir $\tilde{f}_{-} = -f_{-}$ serait que la
formule résultante soit exactement l'opposée de la formule par laquelle
nous avons commencé. Cela se traduit par les équations fonctionnelles

$$
\psi|_{-2}TS = -\psi|_{-2}T^{-1}
$$

et

$$
2 \psi|_{-2}S = 2 \psi - \psi|_{-2}T - \psi|_{-2}T^{-1}.
$$

Notons que la structure de ces équations reflète les différents inté-
grandes.

La question est maintenant de savoir quelles sortes de fonctions $\psi$
vérifient ces équations fonctionnelles. La possibilité la plus simple serait
une sorte de forme modulaire. Les équations fonctionnelles ne sont
pas compatibles avec l'invariance par S et T, donc $\psi$ ne peut pas être
modulaire pour le groupe complet $SL_2(\mathbb{Z})$. Supposons plutôt que $\psi$ soit
faiblement modulaire de poids $-2$ pour $\Gamma(2)$ (c'est-à-dire invariant par
$\Gamma(2)$ mais seulement méromorphe à l'infini). Alors $\psi|_{-2}T = \psi|_{-2}T^{-1}$, car
$T^2 \in \Gamma(2)$, et nos équations fonctionnelles deviennent $\psi|_{-2}TS = -\psi|_{-2}T$
et $\psi = \psi|_{-2}T + \psi|_{-2}S$. De plus, la deuxième équation implique la
première, car $S^2 = I$. On obtient donc l'équation pour la fonction propre
$\tilde{f}_{-} = -f_{-}$ si $\psi$ est faiblement modulaire de poids $-2$ pour $\Gamma(2)$ et vérifie
$\psi = \psi|_{-2}T + \psi|_{-2}S$.

Comme dans le cas des racines simples, il est naturel de multiplier
$\psi$ par $\Delta$ pour essayer d'éliminer un pôle à l'infini. Alors $\psi\Delta$ sera
une véritable forme modulaire de poids 10 pour $\Gamma(2)$, et donc une
combinaison linéaire de $U^5$, $U^4W$, $U^3W^2$, ..., $W^5$. On peut vérifier que
les solutions de l'équation fonctionnelle restante forment un sous-espace
bidimensionnel engendré par

$$
\alpha := 2 U^4 W - 4 U^3 W^2 + U^2 W^3 + U W^4
$$
et

$$ \beta := 5 U^4 W - 10 U^3 W^2 + 5 U^2 W^3 + W^5, $$

avec

$$ \frac{\alpha}{\Delta} = -16 q^{-1/2} + 768 + \dots $$

et

$$ \frac{\beta}{\Delta} = q^{-1} - 40 q^{-1/2} + 2064 + \dots $$

Nous prendrons

$$ \psi = \frac{-5\alpha + 2\beta}{\Delta} = 2q^{-1} + 288 + \dots, $$

de façon à éliminer le terme $q^{-1/2}$ dans la série en $q$. La motivation pour éliminer ce terme est qu'il empêche $f_-$ d'avoir un pôle au rayon 1. Pour comprendre pourquoi, prolongeons analytiquement

$$ f_{-}(x) = 4 \sin(\pi|x|^2/2)^2 \int_{0}^{\infty} \psi(it) e^{-\pi it|x|^2} dt $$

comme dans le cas de la racine simple. Si $\psi(it) = a_2e^{2\pi it} + a_1e^{\pi it} + a_0 + \dots$ quand $t \to \infty$, alors

$$ f_{-}(x) = \frac{4 a_{2} \sin(\pi|x|^{2}/2)^{2}}{\pi(|x|^{2} - 2)} - \frac{4 a_{1} \sin(\pi|x|^{2}/2)^{2}}{\pi(|x|^{2} - 1)} - \frac{4 a_{0} \sin(\pi|x|^{2}/2)^{2}}{\pi|x|^{2}} \\ + 4 \sin(\pi|x|^{2}/2)^{2} \int_{0}^{\infty} \left(\psi(it) - a_{2}e^{2\pi it} - a_{1}e^{\pi it} - a_{0}\right) e^{-\pi it|x|^{2}} dt. $$

Le terme $a_1$ a ici un pôle à moins que $a_1 = 0$. Pour notre choix de $\psi$, $(a_2, a_1, a_0) = (2, 0, 288)$, donc $f_-$ a une racine simple en $\sqrt{2}$ et des racines doubles en $\sqrt{2n}$ pour tout $n \ge 2$. On peut aussi vérifier que $\psi(it)$ tend vers 0 lorsque $t \to 0^+$ (de façon équivalente, $\psi|_{-2S}$ tend vers 0 à l'infini), ce qui est suffisant pour que $f_-$ soit une fonction de Schwartz et pour justifier toutes nos manipulations avec les intégrales.

Nous avons donc obtenu une fonction propre magique $f_-$ sous la forme

$$ f_{-}(x) = 4 \sin(\pi|x|^2/2)^2 \int_{0}^{\infty} \psi(it) e^{-\pi it|x|^2} dt $$

pour $|x|^2 > 2$, où

$$ \psi = \frac{W^3(5 U^2 - 5 UW + 2 W^2)}{\Delta}. \qquad (8) $$
Notre mise à l'échelle ne correspond pas encore à la fonction magique pour l'empilement de sphères. Mais à part cela, nous avons exactement ce dont nous avons besoin.

L'équation (8) implique que $\psi(it) > 0$ pour tout $t \in ]0, \infty[ \setminus \S$. Il s'ensuit que $f_-$ ne change jamais de signe au-delà du rayon $\sqrt{2}$, conformément à nos attentes. Notons cependant que notre fonction propre est strictement positive au-delà du rayon $\sqrt{2}$; nous devrons donc corriger son signe ultérieurement pour qu'il corresponde à celui de la fonction magique.

Il ne reste plus qu'à construire une fonction propre magique $f_+$ et à prendre une combinaison linéaire appropriée de $f_+$ et $f_-$ pour obtenir $f$. La construction de $f_+$ est très similaire à la construction de $f_-$. Si nous définissons $f_+$ pour $|x|$ suffisamment grand par

$$f_{+}(x) = -4i \sin(\pi|x|^2/2)^2 \int_{0}^{i\infty} \varphi(z) e^{\pi i z|x|^2} dz$$

avec une fonction holomorphe $\varphi: \mathcal{H} \to \mathbb{C}$, alors l'équation de la fonction propre $\tilde{f}_+ = f_+$ découlera des équations fonctionnelles

$$\varphi|_{-2}TS = \varphi|_{-2}T^{-1}$$

et

$$2\varphi|_{-2}S = -2\varphi + \varphi|_{-2}T + \varphi|_{-2}T^{-1}.$$

Il s'agit des mêmes équations fonctionnelles que celles requises pour $\psi$, à part un facteur $-1$.

Une petite manipulation à l'aide de (ST)$^3 = I$ montre que la première équation fonctionnelle est équivalente à $\varphi|_{-2}ST = \varphi|_{-2}S$. Ainsi, si nous posons $\chi := \varphi|_{-2}S$, alors $\chi$ doit être invariant par $T$. Cependant, la seconde équation fonctionnelle est plus subtile. Un bref calcul montre que si $\chi|_0S = \chi$ (ou de manière équivalente $(\chi|_{-2}S)(z) = z^2\chi(z)$), alors la deuxième équation fonctionnelle est vérifiée. Il suffit en d'autres termes que $\chi$ soit faiblement modulaire de poids 0 pour $\text{SL}_2(\mathbb{Z})$. Mais de telles fonctions ne sont pas suffisantes pour obtenir $f_+$. Si l'on cherche des coefficients indéterminés pour construire $f_+$ comme dans le cas de $f_-$, on trouve qu'il n'y a pas de solution avec les propriétés requises.

Au lieu de cela, nous pouvons utiliser des *formes quasi-modulaires*, pas seulement des formes modulaires. Rappelons que la série d'Eisenstein

<footnote>§. Plus précisément, $\Delta(it) > 0$ grâce à sa formule comme produit, $W(it) > 0$ puisqu'il s'agit de la puissance quatrième d'une quantité réelle, et $5U(it)^2 - 5U(it)W(it) + 2W(it)^2 > 0$ puisqu'il s'agit d'une forme quadratique définie positive.</footnote>
$E_2$ n'était pas une forme modulaire de poids 2, car la semi-convergence interférait avec les manipulations de séries nécessaires pour démontrer la modularité. Si nous posons

$$E_2(z) = 1 - 24 \sum_{n \ge 1} \sigma_1(n) q^n,$$

alors $E_2$ vérifie

$$z^{-2}E_2(-1/z) = E_2(z) - \frac{6i}{\pi z}.$$

Le terme $6i/(\pi z)$ correspondant à l'écart par rapport à la modularité. Une forme quasi-modulaire de poids $k$ et de profondeur $\ell$ pour $SL_2(\mathbb{Z})$ est une somme $f_k + f_{k-2}E_2 + \cdots + f_{k-\ell}E_2^\ell$, où chaque $f_j$ est une forme modulaire de poids $k-2j$.

Au lieu d'une simple forme faiblement modulaire de poids 0, on peut vérifier que la fonction $\chi$ peut être une forme faiblement quasi-modulaire de poids 0 et de profondeur 2 pour $SL_2(\mathbb{Z})$. Nous avons maintenant assez de flexibilité pour construire $f_+$. Des calculs similaires à ceux effectués dans le cas de $f_-$ conduisent à

$$\chi = \frac{(E_2 E_4 - E_6)^2}{\Delta},$$

à l'échelle près. Voir la figure 8 pour les tracés des formes quasi-modulaires qui donnent $f_-$ et $f_+$.

Maintenant que nous avons obtenu les deux fonctions propres magiques, nous pouvons construire la fonction magique $f$ comme une combinaison linéaire de celles-ci. Nous changeons tout d'abord l'échelle de $\varphi$ pour que $f_+(0) = 1$, puis nous changeons l'échelle de $\psi$ pour que $f'_-(\sqrt{2}) = f'_+(\sqrt{2})$, afin d'obtenir une racine double en $\sqrt{2}$ pour $\tilde{f}$. En utilisant ces échelles, la fonction magique en dimension 8 est donnée par

$$f(x) = 4 \sin(\pi|x|^2/2)^2 \int_0^\infty (\varphi(it) + \psi(it)) e^{-\pi t|x|^2} dt$$

pour $|x|^2 > 2$. La propriété de fonction propre implique que

$$\tilde{f}(y) = 4 \sin(\pi|y|^2/2)^2 \int_0^\infty (\varphi(it) - \psi(it)) e^{-\pi t|y|^2} dt$$

pour tout $y \neq 0$. Il s'avère que cette intégrale converge dès que $|y| > 0$, car les croissances exponentielles de $\varphi(it)$ et $\psi(it)$ quand $t \to \infty$ se compensent.
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIG. 8 – Tracés de $\psi(z)\Delta(z)$ (en haut) et $\varphi|_{-2S}(z)\Delta(z)$ (en bas) pour $-1 \le Re z \le 1$ et $0 < Im z \le 1$.</figcaption></figure>

La dernière étape de la démonstration du théorème 5 consiste à vérifier les inégalités nécessaires au théorème 7, à savoir $f(x) \le 0$ pour $|x| \ge 2$ et $\hat{f}(y) \ge 0$ pour tout $y$, afin de s’assurer qu’il n’y a pas de changement de signe inattendu entre les racines $\sqrt{2n}$. En principe, cela peut sembler difficile, car les transformations intégrales des formes quasi-modulaires pourraient être compliquées. Mais ces inégalités sont valables pour la raison la plus simple que l’on puisse espérer :

$$ \varphi(it) + \psi(it) < 0 \quad \text{et} \quad \varphi(it) - \psi(it) > 0 $$

pour tout $t > 0$. En d'autres termes, les inégalités souhaitées s'appliquent directement au niveau des formes quasi-modulaires elles-mêmes. On peut vérifier ceci rigoureusement de plusieurs façons. Par exemple, on peut utiliser le comportement asymptotique pour vérifier les inégalités
lorsque $t \to 0$ ou $t \to \infty$, puis utiliser l'arithmétique d'intervalles pour les vérifier sur l'intervalle borné restant.

Dans l'ensemble, cette démonstration tient du miracle. Tout se met merveilleusement en place, les constructions de Viazovska ayant juste assez de flexibilité pour compléter la démonstration d'une manière unique. Ce que je trouve le plus impressionnant, c'est le nombre d'idées ingénieuses requises pour la démonstration complète. La construction pour la racine simple est en elle-même remarquable, la généraliser à $f_-$ l'est encore plus, et encore plus d'idées sont nécessaires pour $f_+$. Viazovska est passée maître en fonctions spéciales. Ses travaux auraient certainement enthousiasmé Jacobi et Ramanujan.

# 6 Interpolation et conséquences

Tout en démontrant l'optimalité de $E_8$, Viazovska a fait la conjecture audacieuse que la fonction magique est déterminée de façon unique par les racines requises et que, plus généralement, une fonction de Schwartz radiale sur $\mathbb{R}^8$ est déterminée de façon unique par ses valeurs et ses dérivées radiales aux rayons $\sqrt{2n}$ ainsi que par celles de sa transformée de Fourier. Il est loin d'être évident qu'il soit possible en principe de reconstruire une fonction de Schwartz radiale à partir de données discrètes de ce type.

Radchenko et Viazovska ont fait un grand pas dans cette direction en démontrant un analogue unidimensionnel pour l'interpolation du premier ordre. Le théorème du second ordre a été démontré par Cohn, Kumar, Miller, Radchenko et Viazovska.

**Théorème 8** (Radchenko et Viazovska [23]). *Il existe des fonctions de Schwartz $a_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que pour toute fonction de Schwartz $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ et tout $x \in \mathbb{R}$,*

$$f(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(\sqrt{n}) a_n(x) + \sum_{n \in \mathbb{Z}} \tilde{f}(\sqrt{n}) \tilde{a}_n(x).$$

**Théorème 9** (Cohn, Kumar, Miller, Radchenko et Viazovska [11]). *Soit $(d, n_0)$ égal à (8, 1) ou (24, 2). Alors toute fonction de Schwartz radiale $f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ est déterminée de façon unique par les valeurs $f(\sqrt{2n})$, $f'(\sqrt{2n})$, $\tilde{f}(\sqrt{2n})$ et $\tilde{f}'(\sqrt{2n})$ pour tout entier $n \ge n_0$. Plus précisément, il existe une base d'interpolation $a_n, b_n$ pour $n \ge n_0$ telle que pour toute fonction de*
Schwartz radiale $f$ et tout $x \in \mathbb{R}^d$,

$$f(x) = \sum_{n=n_0}^{\infty} f(\sqrt{2n}) a_n(x) + \sum_{n=n_0}^{\infty} f'(\sqrt{2n}) b_n(x) \\ + \sum_{n=n_0}^{\infty} \tilde{f}(\sqrt{2n}) \tilde{a}_n(x) + \sum_{n=n_0}^{\infty} \tilde{f}'(\sqrt{2n}) \tilde{b}_n(x).$$

Les démonstrations construisent les bases d'interpolation expliquement, en combinant les techniques de transformée intégrale de Viazovska avec des classes plus larges de fonctions spéciales.

Une conséquence de l'interpolation de Fourier radiale est un théorème d'optimalité plus fort pour $E_8$ et pour le réseau de Leech. Au lieu de prendre en compte uniquement les interactions locales entre les particules comme dans le problème de l'empilement de sphères, on peut étudier les problèmes d'optimisation avec des interactions à longue portée. On peut par exemple chercher à connaître l'état fondamental de particules qui interagissent par l'intermédiaire d'une loi de puissance inverse. Cohn et Kumar [9] ont introduit une notion plus large d'optimalité, appelée « optimalité universelle », et l'interpolation de Fourier radiale produit des fonctions magiques correspondantes :

**Théorème 10** (Cohn, Kumar, Miller, Radchenko et Viazovska [11]). *Le réseau* $E_8$ *et le réseau de Leech sont universellement optimaux respectivement dans* $\mathbb{R}^8$ *et* $\mathbb{R}^{24}$.

## 7 L'avenir

Bien que les travaux de Viazovska aient permis de résoudre plusieurs questions majeures, il reste encore beaucoup de choses à comprendre. Par exemple, la théorie de l'interpolation pour les fonctions de Schwartz radiales se développe rapidement, avec des liens notables avec la théorie de l'unicité pour l'équation de Klein-Gordon [2].

L'un des problèmes les plus complexes est celui de la dimension 2. Si le problème de l'empilement de sphères en dimension 2 peut être résolu par la géométrie élémentaire, l'optimalité universelle reste une conjecture séduisante. Il semble y avoir une fonction magique pour $d = 2$ dans le théorème 7, avec $r = (4/3)^{1/4}$. On ne connaît aucune démonstration, mais les calculs numériques concordent avec la densité d'empilement optimale dans $\mathbb{R}^2$ jusqu'à plus de mille chiffres après la virgule. Des fonctions magiques analogues semblent en outre exister
pour l'optimalité universelle dans $\mathbb{R}^2$. On ne sait pas cependant quel type d'espace fonctionnel pourrait permettre une théorie d'interpolation appropriée (voir la section 7 dans [11]).

Il existe également des liens remarquables avec la théorie conforme des champs et la gravité quantique [18]. Lorsque $d$ est pair, la borne de programmation linéaire pour la densité d'empilement de sphères dans $\mathbb{R}^d$ s'avère être équivalente à la borne bootstrap modulaire sans spin pour le trou spectral dans une théorie à $d/2$ bosons libres. Le programme du bootstrap conforme la généralise à une famille de bornes apparentées. La manière dont ces bornes plus générales peuvent être liées à la géométrie discrète reste un mystère.

## Bibliographie

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# Les travaux de Mark Braverman (par Ran Raz)

Mark Braverman a reçu la « médaille de l'abaque » de l'Union mathématique internationale en 2022 pour ses travaux sur la complexité de l'information et pour d'autres travaux complémentaires. Mark est un spécialiste reconnu de la complexité de l'information et ses travaux comptent parmi les plus influents dans ce domaine de recherche. Il a des centres d'intérêt variés et ses travaux clés dans plusieurs autres domaines de recherche ont permis dans certains cas de résoudre des problèmes ouverts en suspens depuis longtemps. Nous décrivons certains de ses travaux en nous concentrant essentiellement sur sa contribution à la complexité de l'information et aux sujets connexes à l'interface de la théorie de la complexité algorithmique et de la théorie de l'information.

## 1 La complexité de la communication

La complexité de la communication, introduite pour la première fois par Yao [54], est un modèle central de la théorie de la complexité qui étudie la quantité de communication nécessaire pour résoudre un problème lorsque l'entrée du problème est répartie entre deux ou plusieurs ressources.

Dans le modèle distribué à deux joueurs, chacun des deux joueurs reçoit une entrée ; les deux entrées X et Y sont des variables aléatoires tirées selon une loi jointe connue des deux joueurs. L'objectif des joueurs est de résoudre une tâche de communication qui dépend des deux entrées, telle que le calcul d'une fonction $f(X, Y)$, où $f : \{0, 1\}^n \times \{0, 1\}^n \rightarrow \{0, 1\}$ est connue des deux joueurs ; X et Y sont des entrées de longueur $n$ bits. Les joueurs communiquent par tours, où à chaque tour l'un des joueurs envoie un message à l'autre joueur. À la fin du protocole, dans l'exemple donné ci-dessus, les deux joueurs doivent connaître la valeur de $f(X, Y)$. Les joueurs peuvent utiliser des chaînes de caractères aléatoires publiques ou privées et se tromper avec une petite probabilité fixée.

La complexité de la communication d'un protocole est le nombre maximal de bits communiqués par les joueurs du protocole, le maxi-

<footnote>Raz (Ran), « The work of Mark Braverman », dans Proc. Int. Cong. Math. 2022, vol. I, p. 106-117. DOI 10.4171/ICM2022/214</footnote>
mum étant pris sur toutes les entrées possibles (dans le support de la loi d'entrée). La complexité de la communication d'une tâche de communication est la complexité de la communication minimale d'un protocole qui résout la tâche avec une probabilité élevée (disons une probabilité supérieure à $\frac{2}{3}$).

## 2 La complexité de l'information

La complexité de l'information, introduite dans [1, 2, 25], étudie la quantité d'information que deux joueurs doivent révéler sur leurs entrées afin de résoudre une tâche de communication. Le modèle fut motivé par des questions fondamentales de la théorie de l'information sur la compression de la communication, ainsi que par des relations fascinantes avec la complexité de la communication, en particulier pour démontrer des bornes inférieures pour la complexité de la communication et le problème de la somme directe dans la complexité de la communication, un problème qui a une histoire riche et qui a été étudié dans de nombreux travaux et dans des contextes variés.

L'article de Barak, Braverman, Chen et Rao établit une distinction entre les complexités interne et externe de l'information d'un protocole de communication [2]. En gros, la complexité externe d'un protocole, définie pour la première fois dans [25], est la quantité d'information qu'un observateur externe, qui surveille l'exécution du protocole, apprend sur les entrées des joueurs, tandis que la complexité interne d'un protocole, implicite dans [1] et explicitement définie dans [2], est la quantité d'information que les joueurs apprennent sur les entrées de chacun d'entre eux lors de l'exécution du protocole.

Formellement, si M est la transcription du protocole et R la chaîne de caractères aléatoire publique, la complexité externe et la complexité interne de l'information sont définies par

$$ \operatorname{Ext} = I((X, Y); M|R), \\ \operatorname{Int} = I(X; M|Y, R) + I(Y; M|X, R), $$

où I est la fonction d'information mutuelle conditionnelle. (On sait que les chaînes de caractères aléatoires privées du protocole peuvent être ignorées dans ce cas.)

La complexité (interne ou externe) de l'information d'une tâche de communication est l'infimum de la complexité (interne ou externe) de l'information d'un protocole qui résout la tâche avec une probabilité élevée (disons une probabilité supérieure à $\frac{2}{3}$).
Il n'est pas difficile de démontrer que pour tout protocole (et donc aussi pour toute tâche de communication), la complexité interne de l'information du protocole est au plus égale à la complexité externe de l'information, qui est à son tour au plus égale à la complexité de la communication. Cela a motivé l'étude de la complexité de l'information en tant qu'outil pour démontrer des bornes inférieures pour la complexité de la communication.

La propriété d'additivité, ou propriété de somme directe, est une propriété magnifique et utile de la complexité interne de l'information, qui a motivé sa définition. En gros, la complexité interne de l'information de l'exécution de deux tâches de communication, sur deux paires indépendantes d'entrées, est égale à la somme des complexités internes de l'information des deux tâches. Par conséquent, la complexité interne de l'information de l'exécution de *k* copies d'une tâche de communication, sur *k* paires indépendantes d'entrées, est égale à *k* fois la complexité interne de l'information de la tâche de communication ([1,2,20], qui utilisent les techniques de [43,45]). La propriété de somme directe relie également la complexité de l'information au problème de somme directe dans la complexité de la communication.

Enfin, nous remarquons que dans le cas où les entrées X et Y pour les deux joueurs sont tirées indépendamment, les complexités interne et externe de l'information de n'importe quel protocole sont égales.

La plupart des travaux sur la complexité de l'information ont été regroupés en une théorie dans les travaux de Braverman [2, 6, 7, 20]. Braverman a également défini une variante de la complexité de l'information qui ne dépend pas de la loi *a priori* de l'entrée, ce qui a permis de démontrer que plusieurs définitions possibles sont essentiellement équivalentes [7].

Au départ, il n'était pas certain que la complexité de l'information fût calculable, c'est-à-dire qu'il existât un algorithme qui l'approxime, mais Braverman et Schneider l'ont démontré (pour le cas d'erreur nulle) [23].

## 3 La compression interactive

Les travaux classiques de Shannon, Fano et Huffman montrent que si un joueur souhaite envoyer un message X à un autre joueur, il lui suffit d'envoyer en moyenne $[H(X)]$ bits, où H désigne la fonction entropie de Shannon [29, 35, 50]. En d'autres termes, la longueur du message peut être compressée à environ $H(X)$, le contenu informatif
du message. Existe-t-il des résultats analogues dans le cadre interactif, lorsque deux joueurs s'engagent dans un protocole de communication interactif ?

Barak, Braverman, Chen et Rao ont commencé à étudier le problème de la compression interactive [2]. Étant donné un protocole de communication dont la complexité de l'information est faible, le protocole peut-il être compressé de manière à ce que le nombre total de bits communiqués par le protocole soit également faible ? Plus formellement, étant donné un protocole de communication Π avec une complexité de la communication C et une complexité (interne ou externe) de l'information I ≪ C, existe-t-il toujours un protocole équivalent Π' (éventuellement avec une probabilité d'erreur légèrement plus élevée), avec une complexité de la communication significativement plus petite que C (et une complexité de l'information arbitraire) ?

Barak, Braverman, Chen et Rao ont donné deux protocoles de compression différents, l'un pour la complexité interne de l'information et l'autre pour la complexité externe de l'information. Pour la complexité interne de l'information, ils ont démontré que tout protocole de communication Π avec une complexité de la communication C et une complexité interne de l'information I peut être compressé en un protocole équivalent Π', avec une complexité de la communication $O(\sqrt{C \cdot I} \cdot \log C)$. Pour la complexité externe de l'information, ils ont démontré que tout protocole de communication Π avec une complexité de la communication C et une complexité externe de l'information I peut être compressé en un protocole équivalent Π', avec une complexité de la communication $O(I \cdot \log C)$ [2]. Rappelons que la complexité interne de l'information est toujours inférieure ou égale à la complexité externe de l'information. Il est donc plus facile de compresser la complexité de la communication en une expression proche de la complexité externe de l'information du protocole d'origine.

Ces résultats ont été suivis par de nombreux autres travaux qui ont approfondi le problème de la compression interactive. Braverman et Rao ont démontré que tout protocole de communication à un tour (ou un petit nombre de tours) avec une complexité interne de l'information I peut être compressé en un protocole équivalent avec une complexité de la communication $O(I)$ [20]. Braverman a démontré que tout protocole de communication avec une complexité interne de l'information I peut être compressé en un protocole équivalent avec une complexité de la communication $2^{O(I)}$ [7].

Les travaux révolutionnaires de Kol ont démontré que dans le cas
particulier important où les deux entrées X et Y sont indépendantes, tout protocole de communication avec une complexité interne/externe de l'information I peut être compressé en un protocole équivalent avec une complexité de la communication $O(I^2 \text{polylog}(I))$ [37]. Le point culminant a été atteint par Sherstov qui a amélioré cette dernière complexité de la communication à $O(I \text{polylog}(I))$ [51]. Notons que cette dernière expression ne dépend pas du tout de la complexité de la communication du protocole original et correspond presque à la borne inférieure en $\Omega(n)$. Rappelons que dans le cas où X et Y sont indépendants, les complexités interne et externe de la communication sont égales. En s'appuyant sur ces travaux, Braverman et Kol ont démontré que tout protocole de communication ayant une complexité de la communication C et une complexité externe de l'information I peut être compressé en un protocole équivalent avec une complexité de la communication $\text{poly}(I) \cdot \log \log(C)$ [15].

En ce qui concerne les bornes inférieures, Braverman a proposé un candidat pour une tâche de communication dont la complexité de la communication est exponentiellement plus grande que la complexité (interne ou externe) de l'information [5]. Cette tâche et d'autres tâches de communication ont été analysées dans des travaux ultérieurs, qui ont permis d'établir des écarts exponentiels entre la complexité de la communication et la complexité de l'information [30–32, 42], à savoir des exemples de tâches de communication dont la complexité (interne ou externe) de l'information est $I$ et la complexité de la communication $2^{\Omega(I)}$. En particulier, ces travaux montrent que la compression par Braverman de la complexité de la communication d'un protocole en $2^{O(I)}$ [7] est la meilleure possible, et qu'on ne peut espérer une compression en $\text{poly}(I)$ dans le cas général (comme l'ont obtenu Kol et Sherstov pour le cas particulier d'entrées X et Y indépendantes [37, 51]). À la suite de ces travaux, Braverman et Minzer ont établi des écarts exponentiels entre la complexité interne et externe de l'information [17]. Un important problème ouvert consiste à savoir si la compression en $\text{poly}(I) \cdot \text{polylog}(C)$, où $I$ est la complexité interne de l'information, est possible dans le cas général [11]. Comme on l'a décrit ci-dessus, les meilleures compressions connues aujourd'hui sont les compressions en $O(\sqrt{C} \cdot I \cdot \log C)$ [2] et $2^{O(I)}$ [7].

Dans chacun des protocoles de compression mentionnés ci-dessus, les deux joueurs parviennent à échantillonner ensemble, avec une faible communication, une transcription du protocole original, de sorte que la transcription est échantillonnée (approximativement) à partir de la
loi de probabilité correcte des transcriptions et que les deux joueurs s'accordent sur la même transcription avec une forte probabilité. L'une des difficultés réside dans le fait qu'aucun des joueurs ne connaît la loi de probabilité correcte des transcriptions.

Pour illustrer la saveur des techniques utilisées dans ces résultats, nous énonçons un théorème remarquable issu des travaux de Braverman et Rao [20] :

**Théorème 1.** Supposons que le joueur 1 connaisse une loi de probabilité P et que le joueur 2 connaisse une loi Q sur le même ensemble fini U. Pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un protocole de communication à jeton public qui utilise un nombre moyen de

$$D(P||Q) + 2 \log(1/\varepsilon) + O\left(\sqrt{D(P||Q)} + 1\right)$$

bits de communication, où $D(P||Q) = \sum_x P(x) \log(P(x)/Q(x))$ est la divergence de Kullback-Leibler, de telle sorte qu'à la fin du protocole, le joueur 1 délivre un élément a distribué selon P et le joueur 2 délivre un élément b tel que pour tout $x \in U$, $P(b = x | a = x) > 1 - \varepsilon$.

## 4 La somme directe

L'une des premières motivations pour étudier la complexité de l'information est venue des relations avec le problème de la somme directe dans la complexité de la communication. Le problème de la somme directe pose la question de savoir quelles sont les relations entre la complexité de la communication d'une tâche de communication et la complexité de la communication de l'exécution de k copies de la même tâche sur k entrées choisies indépendamment.

Soit T une tâche de communication. Pour tout k, soit $T^k$ la tâche qui consiste à effectuer k copies de la tâche T, sur k entrées choisies indépendamment selon la loi de probabilité des entrées de T, en permettant de se tromper sur chaque copie avec la même probabilité d'erreur que celle autorisée pour la tâche T. La complexité de la communication amortie d'une tâche T est définie par

$$\lim_{k \to \infty} \frac{CC(T^k)}{k}$$

où CC désigne la complexité de la communication.

Braverman et Rao ont démontré que la complexité de la communication amortie de toute tâche T est exactement égale à sa complexité
interne de l'information [20] (voir également [41]). Ce résultat surprè-
nant établit un lien entre le problème de la somme directe dans la
complexité de la communication et le problème de la compression
interactive.

On pourrait penser *a priori* que la complexité de la communication
amortie d'une tâche devrait toujours être proche de sa complexité de la
communication. Cependant, en utilisant l'équivalence de Braverman et
Rao entre la complexité de la communication amortie et la complexité
interne de l'information, les écarts exponentiels mentionnés ci-dessus
entre la complexité de la communication et la complexité interne de
l'information impliquent également des écarts exponentiels entre la
complexité de la communication et la complexité de la communica-
tion amortie, ce qui montre qu'il existe des tâches de communication
avec une complexité de la communication C et une complexité de
la communication amortie O(log C) [30, 31, 42]. Cela montre qu'une
propriété de somme directe forte ne s'applique pas à la complexité de
la communication.

Inversement, chacun des protocoles de compression mentionnés ci-dessus, en termes de complexité interne de l'information, implique une borne inférieure sur la complexité de la communication amortie. Par exemple, les protocoles de compression de Kol et Sherstov [37,51] impliquent pour le cas particulier où X et Y sont indépendants que la complexité de la communication et la complexité de la communication amortie sont essentiellement égales (à une fonction polylogarithmique près), tandis que le protocole de compression de Braverman [7] implique que la complexité de la communication amortie est au moins logarithmique en la complexité de la communication.

Les travaux complémentaires de Braverman, Rao, Weinstein et Yehudayof [22] et Braverman et Weinstein [24] montrent que si un protocole tente de résoudre $T^k$ avec une complexité de la communication significativement plus petite que $k$ fois la complexité de la communication amortie de T, alors la probabilité de succès du protocole est exponentiellement petite.

5 Complexité de la communication de l'intersection d'ensembles

L'intersection d'ensembles, ou la disjonction d'ensembles, est un
problème central de la complexité de la communication. Dans ce
problème, chacun des deux joueurs (ou plus) reçoit un vecteur dans
$\{0, 1\}^n$ et leur but est de déterminer s'il existe une coordonnée $i \in$
[1, n] où ils ont tous les deux (ou tous) 1. Ce problème simple a inspiré de nombreux progrès dans les domaines de la complexité de la communication et de la complexité de l'information.

On sait depuis 1987 que la complexité de la communication probabiliste de l'intersection d'ensembles est au moins $\Omega(n)$ [36,45]. Le principal résultat de l'article de Bar-Yossef, Jayram, Kumar et Siva-kumar, l'un des articles à l'origine du domaine de recherche de la complexité de l'information, était une nouvelle démonstration de la borne inférieure en $\Omega(n)$ pour l'intersection d'ensembles, en utilisant la complexité de l'information [1]. Cette démonstration a été l'une des principales motivations pour étudier la complexité de l'information.

Braverman a utilisé la complexité de l'information pour étudier de nombreux aspects supplémentaires de la complexité de la communication de l'intersection d'ensembles.

Alors que l'on savait que la complexité de la communication probabiliste de l'intersection d'ensembles était en $\Theta(n)$ [1,36,45], Braverman, Garg, Pankratov et Weinstein ont étudié la complexité de l'information de la fonction booléenne ET. À partir de cette analyse, ils ont trouvé la constante exacte dans l'expression $\Theta(n)$, c'est-à-dire qu'ils ont calculé exactement la complexité de la communication probabiliste de l'intersection d'ensembles, y compris les termes du second ordre [14].

Braverman et Moitra ont étudié des protocoles de communication pour l'intersection d'ensembles qui obtiennent un avantage d'au moins $\varepsilon$ par rapport à une supposition aléatoire. Ils ont démontré une borne inférieure étroite $\Omega(\varepsilon n)$ pour la complexité de la communication d'un tel protocole [18], alors que les démonstrations précédentes n'impliquaient qu'une borne inférieure $\Omega(\varepsilon^2 n)$. À partir de leur borne inférieure améliorée, ils ont obtenu comme application des bornes inférieures pour la taille des programmes linéaires.

Braverman, Ellen, Oshman, Pitassi et Vaikuntanathan [10] et Braverman et Oshman [19] ont utilisé la complexité de l'information pour démontrer des bornes inférieures étroites pour la complexité de la communication de l'intersection d'ensembles avec plus de deux joueurs. Braverman, Garg, Kun-Ko, Mao et Touchette ont utilisé une variante quantique de la complexité de l'information pour démontrer des bornes inférieures pour la complexité de la communication quantique de l'intersection d'ensembles avec un nombre limité de tours [13].
# 6 Répétition parallèle de jeux à deux joueurs

La complexité de l'information est étroitement liée à l'étude de la répétition parallèle des jeux à deux joueurs. Les deux domaines font un usage substantiel de la théorie de l'information, mais le lien est plus profond; les deux domaines utilisent de nombreuses idées, intuitions, définitions, outils et techniques similaires (tels que la sous-additivité de l'entropie, les événements de rupture de corrélation et l'échantillonnage corrélé).

Dans un jeu à deux joueurs, un arbitre tire des questions $(x, y)$ selon une loi (connue publiquement) et envoie $x$ au premier joueur et $y$ au second joueur. Le premier joueur répond par $a = a(x)$ et le second par $b = b(y)$ (sans communiquer entre eux). Les joueurs gagnent conjointement si un prédicat (connu publiquement) $V(x, y, a, b)$ est vérifié. La valeur du jeu est la probabilité maximale de succès que les joueurs peuvent atteindre, le maximum étant pris sur tous les protocoles $a = a(x)$ et $b = b(y)$.

En gros, une répétition parallèle d'un jeu à deux joueurs est un jeu dans lequel les joueurs essaient de gagner simultanément $n$ copies du jeu original. Plus précisément, l'arbitre pose des questions $x = (x_1, ..., x_n)$ et $y = (y_1, ..., y_n)$, où chaque couple $(x_i, y_i)$ est choisi indépendamment selon la loi initiale. Les joueurs répondent par $a = (a_1, ..., a_n) = a(x)$ et $b = (b_1, ..., b_n) = b(y)$. Les joueurs gagnent s'ils gagnent simultanément sur toutes les coordonnées, c'est-à-dire si pour tout $i$, $V(x_i, y_i, a_i, b_i)$ est vérifié.

Le théorème de répétition parallèle stipule que pour tout jeu à deux joueurs dont la valeur est inférieure à 1, la valeur du jeu répété en parallèle $n$ fois décroît exponentiellement vite avec $n$ [43]. Le théorème de répétition parallèle et d'autres résultats sur la répétition parallèle de jeux à deux joueurs ont de nombreuses applications dans le domaine de la complexité algorithmique et dans d'autres domaines de recherche.

Bien que l'on sache depuis longtemps que la répétition parallèle réduit la valeur des jeux à deux joueurs de manière exponentielle, le taux exact de décroissance exponentielle n'était pas connu lorsque la valeur du jeu était déjà faible, pour commencer. (Une analyse rigoureuse pour les jeux de faible valeur n'était connue que pour le cas particulier des jeux de projection [27].)

Braverman et Garg ont résolu ce problème. Ils ont démontré que si la valeur du jeu est $v < 1/2$ et si la longueur des réponses est $s$, alors la valeur du jeu répété en parallèle $n$ fois est au plus $v^{\Omega(n \log(1/v)/s)}$ [12]. On
ne connaissait auparavant qu'une borne en $2^{-\Omega(n/s)}$ [43].

# 7 Théorie des codes interactifs

Le célèbre article de Shannon publié en 1948 sur la théorie mathématique de la communication est à l'origine (parmi de nombreuses autres contributions célèbres) du domaine des codes correcteurs. Supposons qu'un joueur veuille envoyer un message de longueur $n$ bits à un autre joueur, mais que le seul canal disponible soit bruyant et modifie chaque bit envoyé avec une probabilité constante (inférieure à 1/2). Shannon a démontré que le joueur peut envoyer un message d'une longueur de $O(n)$ bits sur un canal bruyant de telle sorte que le message original puisse être récupéré à partir de ce message avec une probabilité élevée et sans erreur [50]. Existe-t-il des résultats analogues dans le cadre interactif, lorsque deux joueurs s'engagent dans un protocole de communication interactif ?

Cette question a été posée et résolue pour la première fois par Schulman en 1992. Schulman a montré comment traduire tout protocole de communication interactif en un protocole équivalent résistant au bruit qui fonctionne sur un canal bruyant avec seulement un surcoût constant dans la complexité de la communication (même lorsque le bruit est choisi de manière antagoniste) [47-49]. Ces résultats ont donné naissance à la théorie des codes interactifs, l'étude de la manière d'exécuter un protocole de communication interactif de manière fiable en présence de bruit.

En 2011, Braverman et Rao ont commencé à étudier la question de la fraction maximale d'erreurs qui peut être récupérée dans un protocole interactif. Alors que les travaux de Schulman ne permettaient de récupérer qu'une fraction d'erreurs bornée par $1/240$, Braverman et Rao ont montré comment récupérer une fraction d'erreurs de $1/4 - \varepsilon$ lorsque la taille de l'alphabet de codage est une certaine constante, et une fraction d'erreurs de $1/8 - \varepsilon$ lorsque la taille de l'alphabet de codage est égale à 2. Le résultat est valable même dans le cas antagoniste au prix d'une augmentation de la complexité de la communication du protocole d'un facteur constant seulement [21]. (La fraction d'erreurs de $1/8 - \varepsilon$ pour un alphabet de codage de taille 2 a été récemment améliorée à une fraction optimale de $1/6 - \varepsilon$ [28,34].)

Ce travail de Braverman et Rao a suscité un regain d'intérêt pour la théorie des codes interactifs et a inspiré de nombreux travaux complémentaires. Braverman a étudié d'autres aspects de la théorie des
codes interactifs dans de nombreux travaux ultérieurs. Par exemple, Braverman et Efremenko ont étudié le décodage de listes pour la communication interactive [8] tandis que Braverman, Efremenko, Gelles et Haeupler ont démontré que le codage à taux constant pour la communication interactive multipartite était impossible [9].

## 8 Des bornes inférieures pour les circuits à profondeur bornée

Les circuits booléens à profondeur bornée font partie des sous-classes les plus importantes de circuits booléens. Ils ont été étudiés de manière approfondie dans de nombreux ouvrages. Ils jouent un rôle central dans de nombreux sous-domaines de la théorie de la complexité ainsi que dans l'analyse des fonctions booléennes. En gros, un circuit booléen calcule une fonction booléenne de $n$ variables binaires d'entrée en utilisant des portes ET, OU et NON, où le nombre d'entrées des portes ET et OU n'est pas borné. La taille du circuit est le nombre de fils qu'il contient et la profondeur du circuit est la longueur du plus long chemin direct entre une variable d'entrée et la sortie (sans compter les portes NON).

En 1990, Linial et Nisan ont conjecturé que les circuits de taille $m$ et de profondeur $d$ ne peuvent pas faire la distinction entre la loi uniforme sur les entrées et toute loi indépendante par $k$-uplets sur les entrées avec $k \ge (\log m)^{d-1}$ [40]. Cette conjecture signifie qu'un circuit de profondeur bornée ne peut pas reconnaître une structure globale tant qu'elle n'est pas accompagnée d'une structure locale. Il s'agissait d'une conjecture importante, mais il y a eu très peu de progrès pendant de nombreuses années. La conjecture n'avait été démontrée que pour les formes normales disjonctives (c'est-à-dire pour les circuits de profondeur 2) [3, 46].

En 2009, Braverman a démontré que les circuits de taille $m$ et de profondeur $d$ ne peuvent pas faire la distinction entre la loi uniforme sur les entrées et toute loi indépendante par $k$-uplets sur les entrées avec $k \ge (\log m)^{O(d^2)}$ [4]. Ce résultat démontre qualitativement la conjecture avec des paramètres un peu plus faibles.

Pour démontrer ce résultat, Braverman combine brillamment deux types différents d'approximation de circuits à profondeur bornée par des polynômes de bas degré. Le premier type, celui de Razborov et Smolensky [44, 52], donne un polynôme qui est égal à la fonction calculée par le circuit presque partout, mais qui peut en être très différent sur une petite fraction des entrées. Braverman observe que la différence
entre la fonction calculée par le circuit et le polynôme d'approximation peut elle-même être calculée par un circuit à profondeur bornée. Il approxime ensuite cette différence par un polynôme de faible degré en utilisant un autre type d'approximation, l'approximation donnée par Linial, Mansour et Nisan [39], qui approxime un circuit à profondeur bornée par un polynôme de faible degré qui est proche de la fonction calculée par le circuit en moyenne. Le résultat final est un polynôme de faible degré qui approxime si bien le circuit original que la preuve triviale que les polynômes de faible degré ne peuvent pas faire la distinction entre la loi uniforme et les lois indépendantes par k-uplets (avec k plus grand ou égal au degré du polynôme) fonctionne [4].

Depuis que Braverman a publié ses travaux, ceux-ci ont été améliorés et sont devenus plus importants de deux manières. Tout d'abord, les travaux révolutionnaires de Tal [53] ont amélioré l'approximation donnée par Linial, Mansour et Nisan [39]. En introduisant les nouveaux paramètres dans la démonstration de Braverman, il a obtenu un résultat amélioré : les circuits de taille *m* et de profondeur *d* ne peuvent pas distinguer entre la loi uniforme sur les entrées et n'importe quelle loi indépendante par *k*-uplets sur les entrées avec $k \ge (\log m)^{O(d)}$ [53]. Cela nous rapproche encore plus de la démonstration de la conjecture originale. En outre, Chattopadhyay et Zuckerman ont utilisé ces résultats dans leur construction révolutionnaire d'extracteurs explicites à deux sources [26].

## 9 Constante de Grothendieck et borne de Krivine

Grothendieck a démontré en 1953 qu'il existe une constante strictement positive $K \in \mathbb{R}$ telle que, pour toute matrice réelle $(a_{ij})_{i \in [m], j \in [n]}$ de taille $m \times n$,

$$ \max_{\{X_i\}, \{Y_j\}} \sum_{i,j} a_{ij} \langle X_i, Y_j \rangle \le K \cdot \max_{\{x_i\}, \{y_j\}} \sum_{i,j} a_{ij} x_i y_j, $$

où $X_i$ et $Y_j$ (dans le premier membre) sont des vecteurs unitaires dans $\mathbb{R}^{m+n}$, tandis que $x_i$ et $y_j$ (dans le second membre) sont dans $\{-1, 1\}$ [33]. On appelle « constante de Grothendieck » la plus petite valeur de K qui vérifie cette inégalité.

Il s'agit d'un théorème important qui a des applications dans plusieurs domaines. En informatique, la constante de Grothendieck peut être considérée comme l'écart d'intégrité entre un maximum obtenu sur les valeurs dans $\{-1, 1\}$ dans le second membre, qui est souvent
souhaitable mais difficile à calculer, et le maximum obtenu sur les vecteurs unitaires dans le premier membre, qui peut être calculé en temps polynomial.

On ne connaît toujours pas la valeur exacte de la constante de Grothendieck. Krivine a démontré en 1979 que la constante de Grothendieck était inférieure ou égale à $\frac{\pi}{2\ln(1+\sqrt{2})}$ et a conjecturé qu'il s'agissait d'une égalité [38]. Cette conjecture a été réfutée par Braverman, Makarychev, Makarychev et Naor [16].

**Financement.** Soutenu par la collaboration Simons sur les algorithmes et la géométrie, par une bourse de recherche Simons et par les subventions de la Fondation nationale des sciences n° CCF-1714779 et CCF-2007462.

**Bibliographie**

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Les travaux de Barry Mazur (par Henri DARMON)

Barry Mazur reçoit la médaille Chern<fnref n="1" /> en 2022 « pour ses découvertes profondes en topologie, en géométrie arithmétique et en théorie des nombres, ainsi que pour son rôle moteur et sa générosité dans la formation de la prochaine génération ». Cet éloge passe en revue quelques-uns des faits marquants de la remarquable carrière mathématique de Mazur.

Barry Mazur est né en 1937 à New York. Après avoir terminé ses études au lycée scientifique du Bronx en 1954, il a achevé ses études de premier cycle à l'institut de technologie du Massachusetts en deux ans seulement, et son doctorat à l'université de Princeton en deux ans supplémentaires. Au cours de son doctorat, il a également passé un semestre à Paris, où il a assisté notamment aux séminaires de Cartan et Chevalley. Après un séjour d'un an à l'Institut d'études avancées, il a rejoint le département de mathématiques de Harvard en 1959, d'abord en tant que membre de la société des boursiers de Harvard, et actuellement en tant que professeur sur la chaire Gerhard-Gade.

Au cours d'une carrière remarquable qui s'étend sur plus de six décennies, rien qu'à Harvard, Barry Mazur a profondément influencé les perspectives scientifiques de générations de doctorants, postdoctorants et chercheurs confirmés. Il a façonné le paysage moderne de la théorie des nombres en s'attaquant avec succès aux problèmes les plus difficiles dans ce domaine, en jetant les bases de théories importantes et en initiant des légions de disciples à de nouvelles perspectives fécondes. Ses réalisations scientifiques le placent assurément parmi les plus grands mathématiciens du xxᵉ siècle. Le texte qui suit aborde dans un ordre approximativement chronologique quelques-uns des sujets sur lesquels Barry Mazur a eu un impact déterminant.

<footnote>DARMON (Henri), « The work of Barry Mazur », dans *Proc. Int. Cong. Math. 2022*, vol. I, p. 118-141. DOI 10.4171/ICM2022/217</footnote>

<footnote n="1">1. NDT. Le nom s'écrit « Chén » en pinyin et « Tchen » selon le système de transcription de l'École française d'Extrême-Orient.</footnote>
# 1 Topologie géométrique et différentielle

Références : [1–19].

Les premières contributions de Barry Mazur ont été réalisées dans le domaine de la topologie géométrique et de la géométrie différentielle. Sa thèse de doctorat de 1959 à Princeton [4] a fait sensation en démontrant la conjecture de Schoenflies généralisée, une généralisation en dimension supérieure du théorème de Jordan pour les courbes du plan. Cette conjecture affirme qu'une (n-1)-sphère S plongée dans la n-sphère Sⁿ d'une manière qui se prolonge en un plongement d'un petit épaissement de S peut être appliquée sur la (n-1)-sphère standard par un homéomorphisme de Sⁿ [4–6]. La nécessité de certaines hypothèses de régularité sur le plongement est illustrée par des contre-exemples bien connus comme la sphère cornue d'Alexander. L'une des idées ingénieuses de Mazur dans la démonstration est l'« astuce » éponyme, qui montre que la somme connexe de deux nœuds ou variétés non triviaux est nécessairement non triviale. L'argument, d'une simplicité séduisante, est basé sur le fait que les sommes connexes infinies ont un sens rigoureux dans le cadre des « nœuds sauvages » ; si K₁ et K₂ sont des nœuds ou des variétés pour lesquels K₁ + K₂ est trivial, alors

$$K_1 = K_1 + (K_2 + K_1) + (K_2 + K_1) + \cdots = (K_1 + K_2) + (K_1 + K_2) + \cdots = 0$$

et de même pour K₂. Mazur a reçu avec Morton Brown le prix Oswald-Veblen de la Société américaine de mathématiques en 1966 pour son travail sur la conjecture de Schoenflies généralisée.

Parmi d'autres notions clés, Mazur a également découvert, indépendamment et à peu près en même temps que Valentin Poénaru, ce que l'on appelle aujourd'hui dans la littérature les « variétés de Mazur » ou les « variétés de Poénaru-Mazur » [7] : des variétés compactes de dimension 4, contractiles et lisses dont les bords ne sont pas difféomorphes à la boule standard de dimension 4.

L'article de Mazur [15] sur les systèmes dynamiques, en collaboration avec Michael Artin, étudie l'espace F des applications k fois différentiables d'une variété différentielle compacte M dans elle-même, muni de la topologie ($C^k$) appropriée, et démontre qu'il existe une partie dense de F constituée d'applications dont le nombre de points périodiques isolés de période n croît au plus exponentiellement avec n. La démonstration s'obtient en invoquant un théorème d'approximation de Nash pour se ramener à un énoncé analogue pour les variétés
algébriques réelles, qui peut alors être abordé avec les méthodes de la théorie de l'intersection des cycles algébriques.

## 2 Géométrie algébrique

Références : [15, 20–29].

Avec son mélange attrayant de méthodes différentielles et algébriques, [15] a marqué un élargissement progressif des centres d'intérêt mathématiques de Mazur à la géométrie algébrique, à une époque où le sujet connaissait un profond renouveau sous l'impulsion de l'école de Grothendieck. C'est au cours de cette période, dans les années soixante et au début des années soixante-dix, que Mazur a produit un certain nombre de travaux fondamentaux en géométrie algébrique, nourris par des visites régulières à l'Institut des hautes études scientifiques (IHÉS).

Ses articles [20] et [21] étudient l'interaction entre l'endomorphisme de Frobenius et la filtration de Hodge sur la cohomologie de de Rham d'une variété V sur $Q_p$ qui admet un modèle lisse sur $Z_p$. Ils établissent la fondamentale « inégalité de Mazur », conjecturée à l'origine par Nick Katz [132], qui affirme que « le polygone de Newton se trouve au-dessus du polygone de Hodge ». Le polygone de Newton mesure les pentes, ou les valuations en $p$, des valeurs propres de l'endomorphisme de Frobenius agissant sur la *i*-ième cohomologie cristalline de V, ou de manière équivalente, du relèvement canonique de Frobenius à la cohomologie de de Rham de V sur $Q_p$. Le polygone de Hodge code les dimensions des quotients successifs de cette cohomologie de de Rham relative à la filtration de Hodge. Ces derniers invariants se calculaient classiquement par des méthodes transcendantes complexes, en étudiant la décomposition de Hodge sur la cohomologie de de Rham des variétés sur $\mathbb{C}$. L'inégalité de Mazur décrit une caractéristique fondamentale du comportement de la cohomologie algébrique de de Rham d'une variété par « réduction modulo $p$ », et fournit des informations $p$-adiques subtiles sur les fonctions zêta des variétés sur des corps finis de caractéristique $p$.

Le traité de Mazur et Messing [22] sur la cohomologie cristalline représente une contribution fondamentale à l'étude des théories de cohomologie $p$-adiques. Ce sujet s'est progressivement imposé comme un outil puissant pour comprendre les représentations $p$-adiques des groupes de Galois des corps $p$-adiques qui dérivent de la cohomologie étale des variétés algébriques. Il s'est impétueusement développé au
cours des dernières décennies et a acquis une importance croissante en théorie des nombres, notamment dans la théorie des motifs et dans le programme de Langlands.

Certaines des contributions ultérieures de Mazur qui englobent des perspectives de la théorie de Hodge *p*-adique seront évoquées plus en détail ci-dessous, notamment dans la section 9 avec sa célèbre conjecture avec Jean-Marc Fontaine qui caractérise les représentations galoisiennes globales *p*-adiques réalisées dans la cohomologie étale *p*-adique des variétés sur les corps de nombres. La théorie des périodes *p*-adiques joue également un rôle clé dans l'extension aux formes modulaires de poids supérieur de la définition de l'invariant *L* de Mazur, John Tate et Jeremy Teitelbaum qui apparaît dans les termes principaux de certaines fonctions L *p*-adiques en présence d'un « zéro exceptionnel » (voir section 8).

Une autre réalisation notable de cette période est l'article [28] avec M. Artin qui pose les bases d'une théorie de l'homotopie pour les schémas, basée sur la topologie étale qui avait été introduite moins de dix ans auparavant et qui a depuis joué un rôle central dans la géométrie arithmétique.

## 3 Topologie arithmétique

Référence : [30].

Dans sa transition progressive de la topologie et de la géométrie vers la théorie des nombres, Mazur semble avoir été guidé et inspiré par une analogie suggestive entre les nœuds et les nombres premiers.

Un nœud est une copie du cercle $S^1$ plongée dans une 3-sphère $S^3$. De nombreux invariants de nœuds découlent de l'étude du groupe fondamental du complémentaire du nœud. Il existe un parallèle magnifique et séduisant entre ce complémentaire du nœud et le complémentaire d'un nombre premier dans le schéma $Spec(Z)$. En effet, ce dernier espace partage certaines des mêmes propriétés homologiques que $S^3$ dans la mesure où la partie intéressante de sa cohomologie est concentrée au degré 3, alors que $Spec(F_p)$ se comporte comme un cercle puisque son groupe fondamental est (topologiquement pro-) cyclique.

La recherche de cette analogie conduit à un dictionnaire fascinant entre la théorie des nombres et la théorie des nœuds, dans lequel la réciprocité quadratique résonne avec la symétrie de l'enplacement de deux nœuds, et les symboles de résidus quadratiques supérieurs de
Rédei peuvent être envisagés comme des analogues de l'enlacement supérieur de configurations de nœuds comme les célèbres anneaux borroméens, les deux notions étant des manifestations de produits de Massey supérieurs.

Le manuscrit non publié mais très influent de Mazur [30] enrichit le lexique de la théorie des nombres et de la théorie des nœuds en expliquant le parallèle entre le polynôme d'Alexander d'un nœud et la description algébrique conjecturale d'Iwasawa de la fonction zêta $p$-adique de Kubota-Leopoldt en tant que série entière caractéristique d'un certain module d'Iwasawa construit à partir de groupes des classes d'idéaux de corps cyclotomiques pour une puissance de $p$. Le module d'Iwasawa en question peut être identifié par la théorie globale des corps de classes avec la (pro-$p$-)extension abélienne maximale de l'extension abélienne maximale de Q ramifiée seulement en $p$. Elle peut alors être comprise comme le second terme de l'objet gradué associé à une filtration naturelle sur le groupe fondamental (la complétion proré-soluble du groupe fondamental) du complémentaire de Spec($F_p$) dans Spec($Z$). L'interprétation d'Iwasawa de la fonction zêta $p$-adique res-semble au polynôme d'Alexander d'un nœud $K$, qui code le polynôme caractéristique d'un générateur de l'homologie du complémentaire du nœud agissant sur le terme suivant de l'objet gradué associé à la filtration de $\pi_1(S^3 - K)$ donnée par sa suite centrale descendante.

La riche analogie entre les nœuds et les nombres premiers qui a guidé Mazur dans sa transition de la topologie à la théorie des nombres a par la suite donné naissance à un tout nouveau domaine, connu sous le nom de topologie arithmétique, qui est élégamment décrit dans le récent manuel de Masanori Morishita [138] (voir également [146] pour d'autres manifestations frappantes de l'analogie).

# 4 Sous-groupes de torsion des courbes elliptiques

Références : [32–38, 122].

L'étude approfondie et systématique des points de torsion rationnels sur les courbes elliptiques, réalisée au cours de la décennie 1975-1985, fait partie des contributions marquantes de Mazur à la théorie des nombres.

Une courbe elliptique sur un corps $F$ est une courbe projective lisse $E$ de genre un sur $F$ munie d'un point rationnel distingué $O \in E(F)$. Ce qui rend ces courbes particulièrement riches d'un point de vue arithmétique,
c'est qu'elles sont dotées d'une structure de groupe algébrique projectif. En particulier, l'ensemble $E(Q)$ des points rationnels sur une courbe elliptique sur $Q$ est un groupe abélien, qui est de type fini d'après le théorème de Mordell-Weil. Il est donc isomorphe à

$$E(Q) = \mathbb{Z}^r \times T,$$

où $T$ est un groupe fini, appelé sous-groupe de torsion de $E$ sur $Q$. Le célèbre théorème de Mazur [36] énumère toutes les possibilités pour les groupes $T$ qui peuvent apparaître de cette manière :

**Théorème 1.** Le sous-groupe de torsion $T$ d'une courbe elliptique sur $Q$ ne peut être isomorphe qu'à l'un des quinze groupes suivants :

$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \text{ avec } 1 \le n \le 10 \text{ ou } n = 12, \quad \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \text{ avec } n = 2, 4, 6 \text{ ou } 8.$$

Ce résultat frappant a été anticipé par le géomètre italien Beppo Levi [142] en 1908. Il est devenu plus largement connu sous la forme d'une conjecture précise formulée par Andrew Ogg [139] et constitue la toile de fond d'un domaine de recherche actif auquel des mathématiciens comme Kamienny [130], Merel [135] et bien d'autres ont apporté d'importantes contributions par la suite. En effet, l'étude des points rationnels sur les courbes modulaires reste un terrain de recherche vivant auquel une variété d'approches fondées sur les idées pionnières de [36] ont été appliquées : voir par exemple [127, 128, 133, 134, 136, 137]...

Au-delà de la nature attrayante de l'énoncé final « pour lui-même », les perspectives que Mazur a introduites dans le sujet afin de démontrer le théorème 1 ont également eu un impact considérable sur d'autres développements connexes. L'énoncé et la démonstration du théorème 1 sont des ingrédients indispensables à la démonstration de la modularité des courbes elliptiques et du dernier théorème de Fermat, comme nous l'expliquerons plus en détail dans les sections 5, 6 et 10.

Dans un article ultérieur [37], Mazur a également classifié les nombres premiers $N$ pour lesquels il existe des courbes elliptiques sur $Q$ possédant un sous-groupe rationnel d'ordre $N$, c'est-à-dire une isogénie non triviale de degré $N$ définie sur $Q$, simplifiant par la même occasion sa démonstration précédente du théorème 1 :

**Théorème 2.** Soit $N$ un nombre premier tel qu'une courbe elliptique admette une isogénie de degré $N$ définie sur $Q$. Alors $N = 2, 3, 5, 7, 13$ (avec une infinité de $E$ possibles pour chaque $N$) ou $N = 11, 17, 19, 37, 43, 67$ ou 163.
Les valeurs $N = 11, 17, 19, \dots, 163$ sont des nombres premiers pour lesquels le corps quadratique imaginaire $Q(\sqrt{-N})$ a un nombre de classes égal à 1. Les courbes elliptiques avec multiplication complexe par les ordres maximaux de ces corps admettent des modèles sur $Q$ et le noyau de la multiplication par $\sqrt{-N}$ donne un sous-groupe cyclique d'ordre $N$ dans $E$, défini sur $Q$. La finesse de l'argument de Mazur se mesure au fait qu'il tient compte de ces exceptions arithmétiquement non triviales tout en excluant toutes les autres occurrences possibles.

Sheldon Kamienny a généralisé le théorème 1, ce qui a conduit à la classification des sous-groupes de torsion possibles pour les courbes elliptiques définies sur des corps de nombres de petit degré sur $Q$ (voir [130] et [38]). Le résultat le plus abouti dans cette direction a ensuite été obtenu par Loïc Merel [135], qui a montré que les sous-groupes de torsion des courbes elliptiques définies sur un corps de nombres $K$ sont bornés par une constante $B_K$ qui ne dépend que de $K$, et même seulement du degré de $K$ sur $Q$.

# 5 Points rationnels sur les courbes modulaires

Les théorèmes 1 et 2 peuvent être reformulés en termes de points rationnels sur les courbes modulaires, qui apparaissent naturellement comme des espaces de modules paramétrant les classes d'isomorphisme des courbes elliptiques avec des « structures de niveau » auxiliaires.

Si $E$ est une courbe elliptique sur un corps $F$ dans lequel $6$ est inversible, il existe deux fonctions rationnelles $x$ et $y$ qui sont régulières sur $E - \{O\}$, qui ont des pôles d'ordre $2$ et $3$ respectivement en $O$, et qui satisfont une équation de la forme

$$y^2 = x^3 + ax + b, \quad \text{avec } a, b \in F.$$

Les fonctions $x$ et $y$ sont déterminées de manière unique par ces propriétés au remplacement de $(x, y)$ par $(t^2x, t^3y)$ pour un certain $t \in F^\times$ près, ce qui a pour effet de remplacer les coefficients $(a, b)$ par $(t^4a, t^6b)$. En particulier, l'expression

$$j(E) := 1728 \frac{4a^3}{4a^3 + 27b^2},$$

appelée $j$-invariant de $E$, ne dépend que de (la classe d'isomorphisme $\overline{F}$ de) $E$ et non du choix de $x$ et $y$. Il s'agit en fait d'un invariant d'isomorphisme complet : deux courbes elliptiques sur $F$ sont isomorphes
(sur la clôture algébrique de F) précisément lorsqu'elles ont le même j-invariant. La j-droite affine, vue comme une courbe algébrique sur Q, est donc un espace de modules (grossier) de courbes elliptiques : ses points sur tout corps F de caractéristique nulle sont en bijection avec les classes d'isomorphisme F des courbes elliptiques sur F. Cette j-droite affine est l'exemple le plus simple de courbe modulaire.

On obtient des exemples plus intéressants en classifiant les courbes elliptiques avec une structure de niveau supplémentaire. Une structure typique de niveau N sur E équivaut à la donnée d'un sous-groupe ou d'un point d'ordre N sur E, ou éventuellement à une base pour la N-torsion complète de E. Les courbes qui classent les solutions de ces problèmes sont communément appelées $Y_0(N)$, $Y_1(N)$ et $Y(N)$ respectivement. Ce sont des courbes affines sur Q, qui peuvent être complétées en courbes projectives lisses en leur adjoignant un ensemble fini de cusps : les courbes projectives résultantes sont appelées $X_0(N)$, $X_1(N)$ et $X(N)$.

Par exemple, toute courbe elliptique admet une application $\pi$ de degré 2 dans $\mathbb{P}_1$ qui est ramifiée précisément en l'ensemble $E[2]$ de ses points de 2-torsion. La donnée supplémentaire d'une base $(P_1, P_2)$ pour $E[2]$ sur F peut être utilisée pour rigidifier le choix de $\pi$ en exigeant que

$$ \pi(P_1) = 0, \quad \pi(P_2) = 1, \quad \pi(O) = \infty. $$

L'invariant $\lambda := \pi(P_1 + P_2) \in F - \{0, 1\}$ détermine le triplet $(E, P_1, P_2)$ de manière unique à isomorphisme sur $\bar{F}$ près, et l'application $(E, P_1, P_2) \mapsto \lambda$ donne une identification

$$ Y(2) = \mathbb{P}_1 - \{0, 1, \infty\} $$

dans laquelle $\lambda \in \mathbb{P}_1$ correspond à la courbe elliptique de Legendre $y^2 = x(x-1)(x-\lambda)$ de base ((0,0), (0,1)) pour ses points de 2-division.

Ce qui suit est simplement une reformulation du théorème 2 du point de vue des points rationnels sur les courbes modulaires :

**Théorème 3.** Soit $N$ un nombre premier pour lequel $Y_0(N)(Q)$ est non vide. Alors $N = 2, 3, 5, 7, 13$ (lorsque $X_0(N)$ est isomorphe à la droite projective et possède une infinité de points rationnels) ou $N = 11, 17, 19, 37, 43, 67$ ou $163$ (lorsque $Y_0(N)$ contient un ensemble fini de points rationnels « sporadiques »).

Il est possible d'écrire des équations concrètes (mais finalement peu utiles) pour les courbes modulaires. Si $E$ et $E'$ sont liées par une isogénie
cyclique de degré N, alors leurs j-invariants j et j' donnent lieu à une
racine (j, j') du polynôme modulaire Φ<sub>N</sub>(x, y), qui est un polynôme
rationnel de bidegré N + 1 lorsque N est un nombre premier. La courbe
Y<sub>0</sub>(N) est bironnellement équivalente à la courbe plane définie par
ce polynôme. Ces équations de définition ont tendance à être assez
compliquées. Par exemple,

$$
\begin{align*}
\Phi_2(x, y) ={}& x^3 - x^2 y^2 + 1488 x^2 y - 162\,000 x^2 + 1488 xy^2 + 40\,773\,375 xy \\
& + 8\,748\,000\,000 x + y^3 - 162\,000 y^2 + 8\,748\,000\,000 y \\
& - 157\,464\,000\,000\,000.
\end{align*}
$$

S'attaquer aux équations diophantiennes associées par une approche
élémentaire directe semble décidément peu prometteur.

La première ruse de Mazur est de plonger la courbe modulaire,
disons X₀(N), dans sa jacobienne J₀(N), une variété abélienne dont
les points rationnels peuvent alors être étudiés par la méthode de
descente infinie de Fermat dans le cadre conceptuel moderne donné par
André Weil, dans lequel la considération d'équations explicites peut
être largement évitée.

Mazur est capable de montrer que si N est un nombre premier
pour lequel J₀(N) n'est pas trivial (c'est-à-dire si N = 11 ou N > 13),
alors cette jacobienne admet des quotients non triviaux avec un groupe
de Mordell-Weil fini sur Q, qu'il appelle quotients d'Eisenstein. Ceci
implique immédiatement, une décennie avant la démonstration par
Faltings de la conjecture de Mordell, que X₀(N) a un nombre fini de
points rationnels chaque fois qu'il a un genre ≥ 1. Avec plus d'attention,
on peut aussi utiliser ceci pour obtenir des bornes sur l'ensemble des
points rationnels suffisamment précises pour en déduire le théorème 1
et avec encore plus d'attention le théorème 2.

Les quotients d'Eisenstein de J₀(N) sont associés aux différents
nombres premiers *p* qui divisent le numérateur de (N − 1)/12 et sont
notés J<sub>eis</sub><sup>(*p*</sup>) (N). Le groupe de Mordell-Weil J<sub>eis</sub><sup>(*p*</sup>) (N)(Q) contient un élément
d'ordre *p*. Il devient naturel de calculer ce groupe de Mordell-Weil
par un argument de *p*-descente impliquant le groupe de Selmer pour
un module de *p*-torsion sur lequel le groupe de Galois de Q agit par
l'intermédiaire d'un quotient abélien. La « descente d'Eisenstein » que
Mazur a développée à cette fin place donc l'étude de J<sub>eis</sub><sup>(*p*</sup>) (Q) à proximité
de questions plus classiques concernant les groupes de classes des corps
cyclotomiques.

En construisant $J_{\text{eis}}^{(p)}$ et en établissant la finitude de son groupe
de Mordell-Weil, Mazur a pu rassembler plusieurs caractéristiques spéciales des courbes modulaires qui rendent leurs propriétés diophanitiennes plus faciles à analyser. Plus important encore, les courbes modulaires sont dotées d'un grand nombre de correspondances algébriques sur $\mathbb{Q}$, qui émergent naturellement de la description de leurs modules et sont des incarnations géométriques des opérateurs de Hecke. Les endomorphismes ainsi obtenus décomposent $J_0(N)$ en morceaux arithmétiquement plus simples avec une grande algèbre d'endomorphismes, dont les modules de Tate donnent lieu à des (systèmes compatibles de) représentations bidimensionnelles $\ell$-adiques de $\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$. Ces quotients de variétés abéliennes « de type $\text{GL}(2)$ » offrent un terrain d'essai fertile pour le programme général de compréhension des représentations linéaires des groupes de Galois des corps de nombres, pierre angulaire du programme de Langlands. Les représentations bidimensionnelles de $\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ représentent une première étape typique de ce programme, dépassant le cadre abélien de la théorie globale des corps de classes. C'est en partie pour cette raison que la descente d'Eisenstein de Mazur a largement dépassé en importance l'application diophanitienne pour laquelle elle a été conçue à l'origine. Les idées que Mazur a introduites dans le sujet ont joué un rôle clé, notamment dans la démonstration par Andrew Wiles [148] près de vingt ans plus tard de la conjecture de Taniyama-Weil sur la modularité des courbes elliptiques sur $\mathbb{Q}$, comme nous l'expliquerons plus loin.

Le point non trivial d'ordre $p$ sur $J_0(N)$ que Mazur exploite de façon si spectaculaire dans ses démonstrations des théorèmes 1 et 2 provient de l'image d'un diviseur dont le support est sur les cusps de $X_0(N)$. En plus des cusps, la courbe modulaire $X_0(N)$ est également dotée d'un grand nombre de points définis sur divers corps de classes d'anneaux de corps quadratiques imaginaires, les points de Heegner provenant des modules de courbes elliptiques appropriées avec multiplication complexe. Une formule de Benedict Gross et Don Zagier relie les hauteurs de ces points aux dérivées premières de la fonction L de Hasse-Weil des variétés abéliennes quotients de $J_0(N)$. À la fin des années quatre-vingt, Victor Kolyvagin a transformé ce lien en une démonstration de la finitude du groupe de Mordell-Weil de tout quotient de $J_0(N)$ dont la fonction L de Hasse-Weil ne s'annule pas au centre, en accord avec la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer pour ces quotients. Le quotient un peu plus grand de $J_0(N)$ avec un groupe de Mordell-Weil fini qui émerge du théorème de Kolyvagin est appelé le quotient d'enroulement (une terminologie qui peut être retracée jusqu'à l'« élément d'enroulement »
de Mazur [42]). Le quotient d'enroulement a été exploité plus tard à
bon escient par Merel dans sa généralisation du théorème 1 à des corps
de nombres de degré arbitraire [135].

6 Le dernier théorème de Fermat

Le théorème 3 de Mazur sur les points rationnels des courbes
modulaires affirme qu'une collection infinie de courbes, de genre et
de complexité arithmétique croissants, les courbes modulaires X₀(N)
indexées par le paramètre N, n'ont pas de points rationnels sauf les
points triviaux lorsque N est suffisamment grand. Cet énoncé rappelle
le dernier théorème de Fermat, qui fait la même affirmation pour les
courbes de Fermat Fₙ d'équation

$$
F_N : x^N + y^N = z^N.
$$

La relation entre les deux énoncés va bien au-delà d'une analogie
superficielle. Le théorème 3 s'avère être un ingrédient critique, en
fait l'ingrédient diophantien clé, dans la démonstration du dernier
théorème de Fermat.

Le lien étroit entre les propriétés diophantiennes des courbes modulaires et des courbes de Fermat peut sembler surprenant à première vue, puisqu'il n'existe que rarement des applications explicites entre les deux types de courbes. Une exception charmante à cette affirmation est la courbe modulaire X(7) avec une structure complète de niveau 7, une courbe de genre 3 ayant un groupe d'automorphismes de taille maximume pour son genre, le groupe PSL(2, 7) d'ordre 168. Cette propriété la détermine de façon unique à isomorphisme sur $\overline{\mathbb{Q}}$ près. Un modèle pour elle est fourni par la célèbre quartique de Klein d'équation

$$
X(7) : u^3 v + v^3 w + w^3 u = 0
$$

Il s'avère que X(7) est l'image de la courbe de Fermat

$F_7 : x^7 + y^7 + z^7 = 0$

par l'application $\pi : F_7 \rightarrow X(7)$ de degré 7 qui envoie $(x, y, z) \in F_7$ vers

$$
(u, v, w) = \pi(x, y, z) := (x^3 z, y^3 x, z^3 y)
$$

Une solution non triviale du dernier théorème de Fermat donnerait
donc lieu à un point rationnel non trivial sur X(7). L'affirmation que
cette courbe modulaire n'a pas de points rationnels non triviaux, c'est-
à-dire tels que $uvw \neq 0$, implique donc le dernier théorème de Fermat
pour l'exposant 7. Plus intéressante est l'implication inverse qui a été
démontrée pour la première fois par Hurwitz, à savoir que $X(7)$ n'a
pas de points rationnels non triviaux parce qu'il en est de même pour
$F_7$. À l'époque, le dernier théorème de Fermat pour l'exposant 7 était
déjà connu grâce aux travaux de Lamé. Hurwitz note que si $(u, v, w)$ est
un point de la quartique de Klein avec des coordonnées entières telles
que $\text{pgcd}(u, v, w) = 1$, alors ces coordonnées n'ont pas besoin d'être
premières entre elles deux à deux. En posant

$$
x = \text{pgcd}(u, v), \quad y = \text{pgcd}(v, w), \quad z = \text{pgcd}(w, u),
$$

un raisonnement direct impliquant le théorème fondamental de l'arith-
métique montre (après avoir changé les signes de x, y ou z si nécessaire)
que (x, y, z) est situé sur la courbe de Fermat $F_7$ et que $\pi(x, y, z) = (u, v, w)$.
Par cet argument, Hurwitz montre que l'application $\pi : F_7 \to X(7)$ est
surjective sur les points rationnels. Contrairement à l'implication pure-
ment algébrique

$$
\begin{align*}
& F_7 \text{ a un point rationnel non trivial} \\
\Rightarrow & X(7) \text{ a un point rationnel non trivial,} \tag{1}
\end{align*}
$$

l'implication inverse est plus authentiquement arithmétique et repose
sur des ingrédients tels que la factorisation unique. Le fait que l'ap-
plication $\pi$ de degré 7 (vue par exemple comme une application des
surfaces de Riemann sur les points complexes des courbes) est partout
non ramifiée est essentiel pour cette implication.

La démonstration du dernier théorème de Fermat pour l'exposant
(premier) $p$ général repose sur une relation géométrique analogue
mais substantiellement plus générale entre la courbe modulaire $X(2p)$
et la $p$-ième courbe de Fermat $F_p$. En effet, toutes deux sont munies
d'applications surjectives naturelles

$$
F_p \xrightarrow{\pi_1} \mathbb{P}_1 \xleftarrow{\pi_2} X(2p)
$$

sur la droite projective $\mathbb{P}_1$ avec des « caractéristiques locales com-
munes ». L'application $\pi_1$ envoie le triplet de Fermat $(x, y, z)$ vers $x^p/y^p$
et l'application $\pi_2$ est simplement celle qui « oublie la structure de
niveau $p$ », envoyant un point de $X(2p)$ vers son image naturelle dans
$X(2)$, identifiée avec la droite projective en considérant $\lambda \in \mathbb{P}_1$ comme
le paramètre dans la famille de Legendre des courbes elliptiques

$$y^2 = x(x - 1)(x - \lambda).$$

Bien qu'elles aient des degrés différents et qu'elles soient définies sur des courbes différentes, les applications $\pi_1$ et $\pi_2$ présentent l'affinité frappante suivante : elles sont toutes deux ramifiées uniquement en 0, 1 et $\infty$, et leurs degrés de ramification en ces trois points sont égaux à $p$. Cela suggère que, si $(a, b, c) \in F_p(Q)$ est une solution non triviale du dernier théorème de Fermat, alors l'image $\pi_1(a, b, c) = a^p/b^p \in \mathbb{P}_1(Q)$ devrait se relever en un point de $X(2p)$ dont le corps de définition présente une ramification limitée, bornée indépendamment de la solution $(a, b, c)$. On est amené à étudier le corps engendré par les points de $p$-division de la « courbe elliptique de Frey »

$$E_{a,b,c} : y^2 = x(x - a^p)(x + b^p),$$

qui est en effet (après avoir éventuellement réordonné $a, b$ et $c$ de façon appropriée et modifié leurs signes) non ramifiée en dehors de 2 et $p$.

La démonstration ultime du dernier théorème de Fermat repose sur une analyse extrêmement délicate de ce corps ou mieux encore de la représentation linéaire sur $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$

$$\varrho_{a,b,c} : \mathrm{GQ} := \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to \mathrm{Aut}(E_{a,b,c}[p]) \approx \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$$

du groupe de Galois absolu de $\mathbb{Q}$ agissant sur les points de $p$-torsion de $E_{a,b,c}$. L'idée surprenante qui a émergé des travaux de Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre [143] et Kenneth Ribet [141] est que la modularité de $E_{a,b,c}$, qui a finalement été démontrée par Wiles [148], peut être transformée en la conclusion que $\varrho_{a,b,c}$ est nécessairement réductible. De ce fait, toute solution non triviale $(a, b, c) \in F_p(Q)$ au dernier théorème de Fermat peut être transférée en un point rationnel non trivial sur $X_0(p)$, en la poursuivant à travers le diagramme suivant d'applications de courbes :

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

Grâce à l'implication

$$ \begin{array}{l} F_p \text{ a un point rationnel non trivial} \\ \Rightarrow X_0(p) \text{ a un point rationnel non trivial,} \end{array} \qquad (2) $$
(qui rappelle (1), qui est encore plus proche dans l'esprit de sa réciproque et qui est considérablement plus profond que les deux énoncés), une question diophantienne sur les courbes de Fermat $F_p$ se réduit à la même question sur les courbes modulaires $X_0(p)$, précisément la question à laquelle répond le théorème 3 de Mazur.

Comme nous l'expliquerons plus en détail dans la section 10, les idées introduites par Mazur pour démontrer le théorème 3 sont également déterminantes pour la démonstration de (2) : elles sont donc tissées dans la trame même de l'extraordinaire démonstration de Wiles de la conjecture de Taniyama-Weil et du dernier théorème de Fermat.

# 7 Les conjectures principales d'Iwasawa

Références : [45, 47, 51].

La démonstration de la conjecture principale de la théorie d'Iwasawa par Mazur et Wiles [47] est un autre événement marquant en théorie des nombres qui est survenu environ dix ans avant la démonstration du dernier théorème de Fermat. La théorie d'Iwasawa part du fait que les *p*-parties des groupes des classes d'idéaux des corps cyclotomiques pour une puissance de *p*, obtenus en adjoignant à Q les racines *p*<sup>*n*</sup>-ièmes de l'unité, présentent une croissance remarquablement régulière en fonction de *n*. La conjecture principale de la théorie d'Iwasawa lie ce comportement aux zéros de la fonction zêta *p*-adique de Kubota-Leopoldt. Elle est née d'une analogie avec la formulation par Weil de l'hypothèse de Riemann pour les variétés sur les corps finis, et peut être envisagée comme sa contrepartie dans un cadre *p*-adique, dans la mesure où elle attribue aux mystérieux zéros de la fonction zêta *p*-adique une interprétation spectrale. Ces zéros sont les valeurs propres d'un certain opérateur — un générateur topologique du groupe de Galois du prolongement $Z_p$-cyclotomique engendré par toutes les racines de l'unité pour une puissance de *p* — agissant sur un module d'Iwasawa formé par l'assemblage des groupes des classes d'idéaux des couches finies de ce $Z_p$-prolongement. Une caractéristique remarquable de la démonstration de Mazur et Wiles est qu'elle repose sur une étude minutieuse des représentations galoisiennes bidimensionnelles issues des quotients des jacobiennes des courbes modulaires, en particulier celles qui sont réductibles, pour démontrer un énoncé qui fait ostensiblement partie de la théorie abélienne plus classique des groupes de classes des corps cyclotomiques. La théorie globale des corps de classes
est utilisée pour convertir les questions relatives aux groupes de classes en questions relatives à la construction d'extensions abéliennes non ramifiées de corps cyclotomiques, et les extensions qui sont censées découler des zéros de la fonction zêta $p$-adique se révèlent finalement être coupées par les représentations galoisiennes qui découlent des points de torsion $p$-primaires de ces jacobiennes modulaires.

La démonstration de la conjecture principale d'Iwasawa, qui justifie l'analogie entre la fonction zêta $p$-adique de Kubota-Leopoldt et le poly-nôme d'Alexander d'un nœud que Mazur avait perçue des décennies plus tôt, est l'une des réalisations les plus remarquables de la théorie des nombres dans la seconde moitié du xxᵉ siècle. Sa méthode a été largement généralisée, notamment par Wiles pour les corps totalement réels [147] et par Chris Skinner et Eric Urban [144] dans le cadre des courbes elliptiques, un cadre qui doit également beaucoup à la vision de Mazur et dont il sera question dans la section suivante.

## 8 Courbes elliptiques et conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

Références : [40, 44, 46, 48, 50, 52, 56, 58, 101].

Tout au long des années soixante-dix et quatre-vingt, Mazur a longuement réfléchi à l'arithmétique des courbes elliptiques, en se concentrant sur le problème ouvert notoirement le plus difficile et le plus central dans ce domaine : la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Plutôt que de s'attaquer de front à ce problème, il a lancé une étude parallèle dans le cadre $p$-adique, ouvrant ainsi un nouveau sujet de recherche qui s'est avéré remarquablement fructueux et qui a vu des décennies de progrès soutenus.

L'article [41] défend l'introduction des idées de la théorie d'Iwasawa dans l'étude arithmétique des courbes elliptiques et des variétés abéliennes. Les modules d'Iwasawa pertinents sont obtenus en remplaçant les $p$-parties des groupes des classes d'idéaux par les $p$-groupes de Selmer pertinents sur les couches finies d'une $\mathbb{Z}_p$-extension, convenablement assemblés. L'importance de cette nouvelle perspective peut difficilement être surestimée : des carrières mathématiques entières (dont celle de l'auteur) ont été agréablement passées à développer la vision de Mazur pour la théorie d'Iwasawa des variétés abéliennes sur les tours de corps de nombres.

L'article de Mazur et Peter Swinnerton-Dyer [42] introduit ce qui est maintenant connu comme la fonction $L$ $p$-adique de Mazur-Swinnerton-
Dyer d'une courbe elliptique sur $\mathbb{Q}$, la contrepartie directe de la fonction L de Hasse-Weil dans le monde $p$-adique. La relation entre les fonctions $L$ $p$-adiques définies analytiquement comme celle-ci et les séries caractéristiques des modules d'Iwasawa de Mazur conduit à une riche variété de « conjectures principales d'Iwasawa » pour les courbes elliptiques.

Les bases posées dans [41] et [42] conduisent naturellement à un analogue $p$-adique de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, qui a été formulé environ dix ans plus tard dans un article très influent de Mazur, Tate et Teitelbaum [50].

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer $p$-adique est plus facile à traiter que son précurseur archimédien en raison du lien étroit que l'on peut espérer établir entre les fonctions $L$ $p$-adiques et les modules d'Iwasawa de Mazur, tel qu'exprimé dans la conjecture principale. La conjecture principale explique par exemple pourquoi les courbes elliptiques de rang élevé devraient présenter des zéros d'ordre élevé dans leurs fonctions $L$ $p$-adiques associées : c'est parce que le groupe de Mordell-Weil fournit un sous-espace du module d'Iwasawa pertinent qui est fixé par Galois et contribue ainsi à la multiplicité du caractère trivial en tant que zéro de la fonction $L$ $p$-adique.

Une telle interprétation spectrale fait cruellement défaut pour les zéros de la fonction $L$ de Hasse-Weil dans le cadre archimédien. En effet, il n'existe pas une seule courbe elliptique sur $\mathbb{Q}$ dont on puisse montrer que la série $L$ s'annule à l'ordre $> 3$ en $s = 1$, bien qu'on sache que des courbes elliptiques de rang $> 3$ (et même $> 23$) existent en relative abondance.

On comprend mieux la situation dans le cadre non archimédien dont Mazur a été le pionnier. La divisibilité requise dans la conjecture principale pour les courbes elliptiques sur $\mathbb{Q}$ a été démontrée par Kazuya Kato au début des années quatre-vingt-dix en exploitant, un peu comme Kolyvagin avec les points de Heegner, des éléments spéciaux de la K-théorie des courbes modulaires provenant de paires d'unités de Siegel et (de façon cruciale) de leurs déformations $p$-adiques [131]. Grâce au résultat de Kato, on sait que la fonction $L$ $p$-adique de Mazur-Swinnerton-Dyer d'une courbe elliptique s'annule à un ordre au moins égal au rang du groupe de Mordell-Weil.

La divisibilité opposée dans la conjecture principale pour les courbes elliptiques a été établie par Skinner et Urban [144], en s'appuyant sur le faisceau d'idées très différent qui est apparu dans la démonstration de la conjecture principale d'Iwasawa originale par Mazur et Wiles. D'importants mystères liés à la finitude du groupe de Chafarevitch-Tate
et à la non-dégénérescence des hauteurs *p*-adiques (et la non-semisimplicité éventuelle des modules d'Iwasawa concernés) empêchent encore cette divisibilité dans la conjecture principale de conduire à la majoration correcte sur l'ordre d'annulation de la fonction L *p*-adique. Ainsi, la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer *p*-adique de Mazur, Tate et Teitelbaum offre toujours des mystères séduisants malgré son accessibilité relative par rapport à la conjecture archimédienne originale.

Une autre caractéristique intéressante de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer *p*-adique est l'apparition de nouveaux phénomènes qui semblent ne pas avoir de contrepartie immédiate dans le cadre archimédien, notamment le phénomène des zéros exceptionnels des fonctions L *p*-adiques qui peuvent provenir par exemple de l'annulation d'un facteur d'Euler en *p* qui doit être inséré pour assurer l'interpolation des valeurs spéciales. Ce phénomène a été observé et étudié pour la première fois dans [50]. Bien qu'ils puissent sembler quelque peu spécialisés pour les non-initiés, les termes principaux des fonctions L *p*-adiques aux points où il y a un zéro exceptionnel recèlent de riches informations arithmétiques. Leur examen attentif est souvent récompensé par de nouvelles perspectives fructueuses. La « conjecture du zéro exceptionnel » de Mazur, Tate et Teitelbaum concernait la période *p*-adique de Tate d'une courbe elliptique avec réduction multiplicative. Une série de propositions suggestives ont été formulées pour étendre cette conjecture aux formes modulaires de poids plus élevé, notamment par Jeremy Teitelbaum [145] en termes de théorie de Cherednik-Drinfeld de l'uniformisation *p*-adique des courbes de Shimura, et par Fontaine et Mazur [67] en exploitant le module de monodromie de Frobenius filtré que la théorie de Hodge *p*-adique associe à la représentation galoisienne locale *p*-adique d'une forme modulaire de poids plus élevé. Comme autre exemple de l'importance des zéros exceptionnels, mentionnons qu'ils apparaissent parfois dans les séries L *p*-adiques associées aux caractères totalement impairs des corps totalement réels en *s* = 0, où ils jouent un rôle central dans la variante *p*-adique de Gross des conjectures de Stark.

Vers la fin des années quatre-vingt, Mazur a également introduit, en collaboration avec John Tate, un raffinement modeste de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer *p*-adique, qui consiste en gros à remplacer l'algèbre d'Iwasawa — l'anneau de groupe complété du groupe de Galois d'une $Z_p$-extension — par l'anneau de groupe du groupe de Galois d'une extension abélienne finie [52]. Les conjectures plus raffinées qui émergent ainsi s'avèrent offrir un cadre propice à l'étude et à
l'organisation du comportement des systèmes d'Euler. Ces idées ont connu un renouveau récent, notamment grâce à leurs liens avec les conjectures de Harris et Venkatesh concernant les « opérateurs de Hecke dérivés » de Venkatesh agissant sur la cohomologie des faisceaux cohérents sur les courbes modulaires attachées à des formes modulaires de poids un [129].

## 9 La conjecture de Fontaine-Mazur

Comme beaucoup de grands théoriciens des nombres du xxᵉ siècle, Mazur a contribué de manière significative à l'étude des représentations galoisiennes et de leur lien avec les formes automorphes. Ces idées sont au cœur d'un certain nombre de travaux de Mazur qui ont déjà été évoqués.

L'une des contributions importantes de Mazur dans cette direction est la conjecture profonde, formulée dans [71] avec Jean-Marc Fontaine, qui est désormais généralement connue sous le nom de conjecture de Fontaine-Mazur. Elle vise à caractériser les représentations galoisiennes globales *p*-adiques qui proviennent de la cohomologie étale *p*-adique des variétés sur les corps de nombres. La caractérisation se fait *via* leur restriction au groupe de décomposition en *p* — on exige que ces représentations *p*-adiques des groupes de Galois des corps *p*-adiques soient *potentiellement semi-stables*, une notion basée sur des foncteurs de comparaison entre la cohomologie étale *p*-adique sur les corps *p*-adiques et les cohomologies *p*-adiques étudiées par Mazur dans les décennies précédentes — combinée avec une exigence naturelle d'être ramifiées en un nombre fini de nombres premiers autres que *p*. Cette conjecture fournit un cadre élégant dans lequel la plupart des progrès récents du programme de Langlands peuvent être compris et conceptualisés.

## 10 Déformations des représentations galoisiennes

Références : [53, 54, 61, 73, 75, 76, 78, 108].

La variation *p*-adique des formes modulaires et des représentations galoisiennes est un thème qui sous-tend une grande partie du travail de Mazur en théorie des nombres, en commençant par ses premiers travaux sur l'idéal d'Eisenstein. Son article fondamental [53] formalise cette notion du côté de la théorie galoisienne en introduisant
l'anneau de déformation universelle associé à une représentation galoisienne avec des coefficients dans un anneau local complet. Avec cette idée, Mazur a lancé le nouveau domaine de la théorie des déformations galoisiennes, qui a trouvé une application spectaculaire presque immédiatement après sa création dans la démonstration par Wiles de la conjecture de Taniyama-Weil. Cette démonstration procède par la construction d'une application naturelle d'un des anneaux de déformation galoisienne universelle de Mazur vers un anneau convenablement complété d'opérateurs de Hecke, et en montrant que cette application est un isomorphisme. L'étude approfondie de la structure théorique des algèbres de Hecke complétées avait déjà été initiée plus d'une décennie auparavant dans les travaux de Mazur sur l'idéal d'Eisenstein. Avec l'introduction des anneaux de déformation universelle, Mazur peut être crédité d'une partie substantielle de l'infrastructure théorique qui a permis la démonstration de la conjecture de Taniyama-Weil. Les idées de Mazur sont donc présentes dans les fondements mêmes de la stratégie remarquablement réussie pour établir la modularité des représentations galoisiennes qui a été largement développée et généralisée dans le sillage de la percée de Wiles sur la modularité des courbes elliptiques.

Les travaux ultérieurs de Mazur [73,78] avec Robert Coleman représentent une tentative de globaliser partiellement l'étude des espaces de déformation des représentations galoisiennes, conduisant à la notion fondamentale de « courbes propres » et de « variétés propres » de Coleman-Mazur. Le cadre initié par Coleman et Mazur dans ces articles fondateurs a été largement développé au cours des dernières décennies, donnant naissance à un domaine fructueux qui sous-tend une grande partie des progrès récents du programme de Langlands par le biais de méthodes p-adiques.

## 11 Géométrie diophantienne

Références : [49, 62, 68, 70, 72, 79, 86, 95, 100].

Les travaux de Mazur sur la géométrie diophantienne se distinguent par des idées souvent étonnantes par leur audace. L'article [62] pose la conjecture frappante que si les points rationnels d'une variété V sont denses pour la topologie de Zariski, alors leur adhérence dans V($\mathbb{R}$) pour la topologie réelle est une union de composantes connexes de V($\mathbb{R}$).
Les célèbres conjectures formulées par Mazur avec Lucia Caporaso et Joe Harris [70,72], qui affirment que le nombre de points rationnels sur une courbe de genre $g$ sur un corps de nombres K est borné par une fonction de $g$ et de K, et même seulement de $g$ si l'on tolère un nombre fini d'exceptions, sont d'une portée tout aussi grande. [70] montre que cette conjecture, qui est à la fois remarquablement forte et agréablement concrète, découle de la conjecture antérieure de Lang, à l'époque plus largement acceptée, selon laquelle l'ensemble des points rationnels sur une variété de type général ne peut jamais être dense au sens de Zariski.

De telles conjectures intrépides, qui s'appliquent à toutes les variétés à la fois ou au nombre de points sur toutes les courbes d'un genre donné, jettent une lumière inattendue sur de vénérables questions concernant les points rationnels et ont guidé de nombreux efforts ultérieurs de la part d'autres chercheurs.

De nombreux articles de Mazur consacrés à des sujets diophantiens révèlent des liens inattendus avec d'autres thèmes mathématiques. C'est le cas notamment de [109, 114], qui étudient la variation des rangs de 2-Selmer des courbes elliptiques sur les corps de nombres, révélant un lien surprenant entre la notion de « stabilité diophantienne » et le dixième problème de Hilbert sur l'indécidabilité des questions diophantiennes sur certains corps de nombres.

## 12 Systèmes d’Euler et domaines connexes

Références : [92, 99, 104, 106, 110, 115, 117–120].

La méthode des systèmes d’Euler est une technique puissante qui a émergé à la fin des années quatre-vingt grâce aux travaux de mathématiciens tels que Francisco Thaine, Karl Rubin, Victor Kolyvagin et Kazuya Kato. Elle permet de transformer la présence d’éléments spéciaux dans la cohomologie galoisienne globale (d’un système compatible de représentations galoisiennes *p*-adiques) en une démonstration d’au moins une inégalité dans la conjecture principale associée. L’existence des éléments globaux composant un système d’Euler est encore mal comprise et leur construction reste autant un art qu’une science.

Les articles [92, 99, 104, 110, 119, 120], tous en collaboration avec Karl Rubin, font partie d'une tentative systématique de formaliser (via la notion de ce que les auteurs appellent un « système de Kolyvagin ») la procédure par laquelle de telles collections de classes globales compa-tibles avec la norme ayant des liens avec le comportement des fonctions
L peuvent être exploitées pour obtenir des résultats allant dans le sens d'une conjecture principale, ou éventuellement d'une contrepartie apprivoisée dans l'esprit de [52]. Les perspectives introduites par Mazur et Rubin ont eu une influence décisive sur toute une génération de chercheurs qui explorent actuellement les ramifications de la méthode des systèmes d'Euler.

## 13 Vulgarisation

Références : [59, 63, 75, 83, 87, 89, 93, 97, 105, 107, 112, 113, 116, 121, 124, 126].

Mazur est un maître qui se délecte du plaisir lié aux idées mathématiques et philosophiques. Il est l'auteur d'un ensemble fascinant et éclectique d'essais dans lesquels son érudition et sa curiosité intellectuelle vont très loin. Certains de ces essais sont consacrés à de vastes sujets mathématiques tels que le principe local-global en théorie des nombres [63], la théorie des déformations des représentations galoisiennes [75], les questions diophantiennes liées aux puissances parfaites [83], l'idée générale de déformation dans diverses parties des mathématiques [93], la notion de motif [97], la conjecture de Sato-Tate [105] et l'hypothèse de Riemann [121]. D'autres examinent les idées sous l'angle de leur développement historique, en traitant des nombres complexes tels qu'ils étaient envisagés au xviᵉ siècle [87] ou de l'article fondateur de Hermann Weyl sur la théorie spectrale [112]. Mazur s'est également aventuré dans des sujets plus philosophiques comme les rêves en mathématiques racontés à travers une évocation du « rêve de jeunesse de Kronecker » (Kronecker Jugendtraum) [113], le concept de nombre et d'abstraction mathématique [89], le concept subtil et insaisissable d'égalité en mathématiques [107], la notion de plausibilité [116], l'unité globale des mathématiques [124] et des réflexions sur la pratique des mathématiques pendant la pandémie [126]. L'enthousiasme contagieux de Mazur se transmet facilement au lecteur. Ses réflexions sur un large éventail de sujets mathématiques, historiques et philosophiques ne manquent jamais d'enchanter, d'élever l'esprit et d'éclairer. L'étendue et la profondeur des centres d'intérêt de Mazur sont évoquées de manière frappante dans le film documentaire « Barry Mazur et le fromage infini de la connaissance » (Barry Mazur and the Infinite Cheese of Knowledge) réalisé par Oliver Ralfe [140].
# 14 Un mentor

Selon un site de généalogie mathématique, Mazur a eu (au moins) 57 étudiants et 325 descendants, des chiffres qui seront certainement obsolètes au moment où cet éloge sera mis sous presse. Au-delà de l'impact direct qu'il a eu sur ses étudiants, Mazur a façonné les perspectives de toute une génération de théoriciens des nombres qui ont été enrichis par ses idées et ont eu le privilège de poursuivre son vaste héritage intellectuel. Cet héritage, qui est maintenant reconnu par l'attribution de la médaille Chern, est une partie centrale et intégrante de la théorie moderne des nombres. Son influence se fera sentir pendant très longtemps.

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# Les travaux d'Elliott Lieb (par Rupert L. FRANK)

À l'occasion de l'attribution du prix Gauss 2022 à Elliott Lieb, nous donnons un aperçu non technique de certains de ses travaux fondamentaux en physique mathématique. Nous mettons l'accent en particulier sur ses travaux sur les systèmes coulombiens à plusieurs corps et sur les inégalités fonctionnelles.

Elliott Lieb reçoit le prix Gauss 2022

> « pour des contributions mathématiques profondes d'une
> ampleur exceptionnelle qui ont façonné les domaines de
> la mécanique quantique, de la physique statistique, de la
> chimie numérique et de la théorie de l'information quant-
> tique. »

J'ai le grand plaisir de féliciter Elliott pour cet honneur. Dans les
pages qui suivent, j'essaierai de donner un aperçu non technique de
certains de ses travaux fondamentaux.

Lieb est un spécialiste de physique mathématique. Il s'agit d'un
domaine qui se situe à la frontière entre la physique et les mathéma-
tiques, que Freeman Dyson [D'Éros à Gaïa, p. 198] a décrit ainsi :

> « La physique mathématique est une discipline qui s'efforce
> de comprendre en profondeur les phénomènes physiques
> en se conformant aux méthodes et au style rigoureux des
> mathématiques pures. »

Comme le mentionne la citation, Lieb a apporté des contributions révolutionnaires à la fois aux mathématiques et à la physique. À cet égard, il convient de mentionner qu'il y a environ six mois, Lieb s'est vu décerner la médaille de la Société américaine de physique pour des contributions exceptionnelles à la recherche, la plus haute distinction de cette société savante.

L'un des traits distinctifs de l'œuvre de Lieb est son intemporalité. Indépendamment des modes et des tendances, il a travaillé et continue de travailler sur des problèmes qu'il considère comme profonds et fondamentaux. Ce n'est parfois que des décennies plus tard que l'on

<footnote>FRANK (Rupert L.), « The work of Elliott Lieb », dans *Proc. Int. Cong. Math. 2022*, vol. I, p. 142-158. DOI 10.4171/ICM2022/216</footnote>
comprend tout le potentiel de ses idées. Les bornes de Lieb-Robinson démontrées en 1972 et la sous-additivité forte de l'entropie démontrée en 1973 en sont de parfaits exemples. Elles ont toutes deux joué un rôle clé dans la théorie de l'information quantique au xxiᵉ siècle.

La liste des publications de Lieb contient à l'heure où nous écrivons ces lignes 404 articles, le premier datant de 1955 et le plus récent étant sur le point de paraître. Quatre volumes d'« Œuvres choisies » (Selecta) ont été publiés à ce jour [26-29]. À l'occasion de son 90ᵉ anniversaire, un recueil d'articles de plus de 1 300 pages a été édité [8], dans lequel les contributeurs expliquent le contenu et les ramifications de l'œuvre de Lieb.

Il est impossible de donner une vue d'ensemble de cette œuvre monumentale. J'ai choisi ici deux domaines principaux des recherches de Lieb, à savoir les systèmes quantiques coulombiens à plusieurs corps et les inégalités fonctionnelles. J'ai omis tous les autres, à l'exception d'une brève mention de certains d'entre eux dans la dernière section. Cette sélection est influencée par mes préférences et mon ignorance. Je demande l'indulgence des lecteurs pour toutes les omissions.

# 1 Les systèmes quantiques coulombiens

L'un des thèmes récurrents des recherches de Lieb depuis le début des années soixante-dix est l'analyse des systèmes quantiques continus à plusieurs corps et en particulier des systèmes de particules qui interagissent par l'intermédiaire des forces coulombiennes. On néglige ici les autres forces, mais cette description convient à la matière ordinaire et à une grande partie du monde de la vie quotidienne. Pour un compte rendu très lisible du programme de recherche de Lieb dans ce domaine, nous recommandons sa conférence Gibbs en 1989 [25], qui contient une description beaucoup plus détaillée que celle que nous fournissons ici.

Nous considérons un système composé de N électrons quantiques et de K noyaux classiques dans $\mathbb{R}^3$. Ces derniers sont fixés aux positions $R_1, \dots, R_K \in \mathbb{R}^3$ et ont des charges $Z_1, \dots, Z_K \in ]0, +\infty[$ (en unités où la charge de l'électron est -1). Les propriétés de ce système sont décrites par le hamiltonien

$$ H := \sum_{n=1}^{N} (-\Delta_n) - \sum_{n=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} \frac{Z_k}{|x_n - R_k|} + \sum_{1 \le n < m \le N} \frac{1}{|x_n - x_m|} + \sum_{1 \le k < l \le K} \frac{Z_k Z_l}{|R_k - R_l|}, \quad (1) $$
qui opère sur les fonctions dans $\mathbb{R}^{3N}$. Nous utilisons ici les coordonnées $x = (x_1, \dots, x_N) \in \mathbb{R}^{3N}$. Les quatre sommes dans la définition du hamiltonien H correspondent respectivement à l'énergie cinétique des électrons, à l'attraction électron-noyau, à la répulsion électron-électron et à la répulsion noyau-noyau.

Ce hamiltonien peut être vu comme un opérateur autoadjoint non borné dans l'espace de Hilbert constitué de toutes les fonctions antisymétriques dans $L^2(\mathbb{R}^{3N})$, c'est-à-dire des fonctions de carré intégrable $\psi$ qui vérifient $\psi(\dots, x_n, \dots, x_m, \dots) = -\psi(\dots, x_m, \dots, x_n, \dots)$ pour tout $n \neq m$. L'antisymétrie reflète le principe d'exclusion de Pauli. On devrait également tenir compte du spin de l'électron, mais cela ne conduit mathématiquement qu'à des changements mineurs. Nous l'ignorerons dans ce qui suit.

L'énergie de l'état fondamental est par définition

$$ \inf \text{spec } H. $$

C'est la borne inférieure de $\langle \psi, H\psi \rangle$ pour tous les $\psi$ normalisés et antisymétriques.

La caractéristique fondamentale du problème de l'analyse de l'énergie de l'état fondamental de H (et des systèmes quantiques à plusieurs corps en général) est le nombre énorme de dimensions de l'espace de Hilbert sous-jacent. Cela rend un calcul numérique pratiquement impossible. Pour obtenir des résultats quantitatifs, il faut généralement s'appuyer sur des approximations qui sont numériquement plus faciles à traiter. Cette situation souligne l'importance des études analytiques sur le problème de Schrödinger complet et sur sa relation avec les approximations. Lieb a apporté des contributions fondamentales à ce problème, comme nous le verrons dans la suite de cette section.

## 1.1 La stabilité de la matière

Le problème de la stabilité de la matière consiste à montrer que pour tout $z > 0$, il existe une constante $C$ telle que pour tout $N, K \in \mathbb{N}$, tout $R_1, \dots, R_K \in \mathbb{R}^3$ et tout $Z_1, \dots, Z_K \in [0, z]$,

$$ \inf \text{spec } H \geq -C(N+K). \qquad (2) $$

Cette inégalité indique que, bien que le nombre d'interactions croisse quadratiquement avec le nombre total de particules, l'énergie de l'état fondamental ne varie que linéairement. Ceci est fondamental pour l'existence de la matière telle que nous la connaissons.
Nous insistons sur le fait que la stabilité de la matière dépend de ce que les électrons sont des fermions, c'est-à-dire du fait que H n'est considéré que sur le sous-espace des fonctions antisymétriques dans $L^2(\mathbb{R}^{3N})$ et non sur l'espace entier $\mathbb{R}^{3N}$. Elle serait fausse sur ce dernier espace plus grand, comme nous le verrons.

La première démonstration de la stabilité de la matière est due à Dyson et Lenard en 1967. Lieb et Thirring en ont donné une nouvelle démonstration en 1975 [44]. Cette dernière démonstration donne une valeur beaucoup plus réaliste pour la constante C dans l'inégalité (2), à savoir environ $C \approx 5$ au lieu du $C \approx 10^{14}$ de Dyson et Lenard. Cela permet également de clarifier la raison de la validité de la stabilité de la matière à un niveau conceptuel. Voici ce que Dyson écrit dans la préface des « Œuvres choisies » d'Elliott Lieb [29] :

> « Notre démonstration était si compliquée et si peu parlante qu'elle a incité Lieb et Thirring à trouver la première démonstration décente [...]. Pourquoi notre démonstration était-elle si mauvaise et pourquoi la leur était-elle si bonne ? La raison est simple. Lenard et moi avons commencé par des astuces mathématiques et nous sommes frayés un chemin à travers une forêt d'inégalités sans aucune compréhension physique. Lieb et Thirring ont commencé par comprendre la physique et ont ensuite trouvé le langage mathématique approprié pour rendre leur compréhension rigoureuse. Notre démonstration était une impasse. La leur était une porte d'entrée dans le nouveau monde des idées [...]. »

Le mécanisme fondamental de la démonstration par Lieb et Thirring de la stabilité de la matière est le fait que les atomes ne forment pas de liaison dans un modèle approximatif de système coulombien connu sous le nom de modèle de Thomas-Fermi (ici, l'absence de liaison signifie mathématiquement que l'énergie de l'état fondamental d'une molécule est simplement la somme des énergies des atomes individuels). L'objectif de Lieb et Thirring était donc de montrer que cette théorie approximative fournit, après un ajustement approprié des constantes, un minorant rigoureux pour l'énergie de l'état fondamental de Schrödinger. Plus loin dans cette section, nous discuterons à la fois du modèle de Thomas-Fermi et d'une inégalité fonctionnelle (connue sous le nom d'inégalité de Lieb-Thirring) qui conduit au minorant annoncé.

Les travaux cités ci-dessus de Lieb et Thirring qui datent de 1975 ont été le point de départ de l'étude approfondie par Lieb du problème de la
stabilité de la matière, un sujet sur lequel il reviendra à plusieurs reprises pendant plusieurs décennies et avec de nombreux collaborateurs. On remarquera entre autres une démonstration de la stabilité de la matière en présence de champs magnétiques qui couvre la valeur physique de la constante de structure fine [33]. Une introduction à ce domaine se trouve dans son livre avec Seiringer intitulé « La stabilité de la matière en mécanique quantique » (The Stability of Matter in Quantum Mechanics) [37].

## 1.2 L'existence de la limite thermodynamique pour la matière réelle avec des forces coulombiennes

Le premier résultat de Lieb sur les systèmes coulombiens à plusieurs corps, avant même ses travaux sur la stabilité de la matière, a résolu un problème ouvert dans les fondements de la physique statistique. En 1969, Lebowitz et lui ont démontré l'existence de la limite thermodynamique pour la matière réelle avec des forces coulombiennes [30].

On considère ici un grand nombre de particules (des électrons et des noyaux par exemple) confinées dans un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^3$. On considère la limite où $\Omega$ tend vers $\mathbb{R}^3$ (dans un sens à préciser) et où les densités des différentes particules (c'est-à-dire le nombre de particules divisé par le volume de $\Omega$) tendent vers des constantes données. Les particules interagissent par l'intermédiaire des forces coulombiennes, comme dans l'équation (1). De plus, on discute généralement de cette question à une température strictement positive donnée. Le théorème de Lieb et Lebowitz stipule que la limite de l'énergie libre correspondante existe, qu'elle est indépendante de la forme des domaines approximatifs $\Omega$, et qu'elle possède les propriétés de convexité et de concavité appropriées.

Le théorème de Lieb et Lebowitz utilise le théorème de stabilité de la matière comme ingrédient. Dans la démonstration de l'existence de la limite thermodynamique, la principale préoccupation est la lente décroissance de $|x|^{-1}$ lorsque $|x| \to \infty$. En effet, l'existence de la limite thermodynamique était connue dans le cas des interactions à courte portée. Dans le cas des interactions à longue portée, la neutralité de la charge est une donnée essentielle. Lieb et Lebowitz exploitent l'écrantage électrostatique de manière très originale via le théorème de Newton. Ils sont ainsi amenés à résoudre le problème géométrique de recouvrir efficacement de grosses boules avec des boules plus petites, ce qu'ils résolvent par leur « théorème du fromage ».
## 1.3 Le modèle de Thomas-Fermi et la théorie de la fonctionnelle de la densité

Dans notre discussion sur la démonstration de la stabilité de la matière par Lieb et Thirring, nous avons déjà mentionné le modèle de Thomas-Fermi d'un système coulombien. Ce modèle a été proposé indépendamment par Thomas et Fermi en 1927, peu de temps après que Schrödinger eut présenté sa théorie. Dans l'approche variationnelle du modèle de Thomas-Fermi, on part de la fonctionnelle d'énergie définie pour toute fonction ρ positive ou nulle sur $\mathbb{R}^3$ par

$$ \mathcal{E}[\rho] = \gamma^{\text{TF}} \int_{\mathbb{R}^3} \rho(x)^{\frac{5}{3}} dx - \sum_{k=1}^{K} \int_{\mathbb{R}^3} \frac{Z_k \rho(x)}{|x - R_k|} dx + \text{D}[\rho] + \sum_{1 \le k < \ell \le K} \frac{Z_k Z_\ell}{|R_k - R_\ell|} $$

avec

$$ \text{D}[\rho] := \frac{1}{2} \iint_{\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3} \frac{\rho(x) \rho(y)}{|x - y|} dx dy. $$

La fonction ρ décrit la distribution des électrons et son intégrale représente le nombre total d'électrons. Les quatre termes de la définition de $\mathcal{E}$ correspondent respectivement à l'énergie cinétique des électrons, à l'attraction électron-noyau, à la répulsion électron-électron et à la répulsion noyau-noyau. Dans la prochaine sous-section, nous décrirons brièvement comment on peut arriver à l'approximation $\rho^{\frac{5}{3}}$ de l'énergie cinétique. Cette approximation conduit également à une certaine valeur pour la constante $\gamma^{\text{TF}} > 0$.

L'énergie de l'état fondamental dans le modèle de Thomas-Fermi est

$$ \inf \left\{ \mathcal{E}[\rho] : \rho \ge 0, \int_{\mathbb{R}^3} \rho dx = N \right\}. $$

Soulignons que, contrairement à la théorie de Schrödinger, le modèle de Thomas-Fermi est une théorie non linéaire. L'importante caractéristique simplificatrice dans le modèle de Thomas-Fermi est qu'on optimise sur des fonctions de seulement trois variables, contrairement aux fonctions de 3N variables dans la théorie de Schrödinger.

Alors que le modèle de Thomas-Fermi existait et était utilisé depuis longtemps, ce n'est que dans les années soixante-dix que Lieb et Simon en ont établi rigoureusement les fondements mathématiques [40]. Ils ont répondu notamment aux questions concernant l'existence et l'unicité des solutions, leur régularité et leur décroissance. Plus tard, Lieb et ses collaborateurs ont étudié de manière systématique les théories de la
fonctionnelle de la densité, qui sont des raffinements du modèle de Thomas-Fermi. Ces résultats sont résumés dans la synthèse [17].

Un autre résultat fondamental que Lieb et Simon démontrent dans leur article sur le modèle de Thomas-Fermi est une relation rigoureuse entre l'énergie de l'état fondamental du hamiltonien H dans l'équation (1) et l'énergie minimale de Thomas-Fermi dans la limite où $N \to \infty$ et $Z \to \infty$ avec $N/Z \to \lambda \in ]0, +\infty[$. Ils démontrent que

$$ \lim \frac{\inf \text{spec } H}{\inf \mathcal{E}} = 1. $$

Cette convergence des énergies est complétée par des résultats de convergence des densités à une particule des états fondamentaux (approximatifs) du hamiltonien de Schrödinger. Ce résultat est techniquement lié à l'analyse semi-classique, mais en dehors des hypothèses de régularité typiques de cette théorie. Le résultat de Lieb et Simon est devenu un modèle pour obtenir d'autres théories effectives dans des limites d'échelle.

Mentionnons également en passant la première démonstration par Lieb et Simon de l'existence de solutions aux équations de Hartree-Fock pour les atomes et les molécules [39]. La théorie de Hartree-Fock est une approximation plus précise de la théorie de Schrödinger que la théorie de Thomas-Fermi. Elle est utilisée dans le calcul des énergies atomiques et moléculaires. Contrairement à la théorie de Thomas-Fermi, qui est une théorie de la fonctionnelle de la densité où l'inconnue est une fonction scalaire, la théorie de Hartree-Fock est une théorie de la matrice densité, où l'inconnue est un opérateur. L'article de Lieb et Simon est un article fondateur du calcul des variations non commutatif.

Dans la théorie de Thomas-Fermi, la répulsion coulombienne entre les électrons est approchée par la quantité $D[\rho]$. Lieb et Oxford [34] ont trouvé en 1981 un minorant pour la différence entre ces deux quantités : c'est l'inégalité de Lieb-Oxford pour l'énergie d'échange. Cette inégalité est bien connue des spécialistes de chimie quantique. Elle guide leurs réflexions sur l'énergie de corrélation d'échange dans les molécules.

Lieb a publié en 1983 un article sur les fonctionnelles de la densité pour les systèmes coulombiens [20] qui a jeté les bases théoriques de la théorie de la fonctionnelle de la densité et qui est fréquemment cité. Cet article introduit une fonctionnelle universelle, connue sous le nom de fonctionnelle de Levy-Lieb, qui donne l'énergie la plus basse qui

<footnote>*. Nous considérons ici, pour des raisons de simplicité, le cas atomique $K = 1$ et posons $Z = Z_1$. Le cas le plus important est $N = Z$, c'est-à-dire le cas d'un atome neutre.</footnote>
peut être atteinte lorsque tous les états quantiques possibles ont une fonction de densité donnée. Cette fonctionnelle donne par définition l'énergie de l'état fondamental des systèmes quantiques coulombiens en interaction (même si elle n'est pas connue explicitement). Ce point de vue a joué un rôle très important. La théorie de la fonctionnelle de la densité a explosé dans les années quatre-vingt-dix. Elle est largement utilisée dans l'industrie. C'est désormais la méthode de choix pour calculer l'état quantique des molécules et des solides.

Parmi les travaux les plus récents de Lieb dans cette direction, on peut citer une justification mathématique rigoureuse de l'approximation de la densité locale dans la théorie de la fonctionnelle de la densité, et une démonstration de l'équivalence dans la limite thermodynamique de trois définitions différentes de l'énergie minimale d'un gaz d'électrons homogène. Il s'agit de travaux en collaboration avec Lewin et Seiringer [12, 13].

## 1.4 Les inégalités de Lieb-Thirring

L'aspect le moins évident de l'approximation de la fonctionnelle d'énergie de Schrödinger par la fonctionnelle de Thomas-Fermi est sans doute le fait que l'énergie cinétique correcte

$$ \int_{\mathbb{R}^3} \dots \int_{\mathbb{R}^3} \sum_{n=1}^{N} |\nabla_n \psi|^2 dx_1 \dots dx_N $$

soit remplacée par le terme

$$ \gamma^{\text{TF}} \int_{\mathbb{R}^3} \rho(x)^{\frac{5}{3}} dx $$

pour une certaine constante explicite $\gamma^{\text{TF}} > 0$. C'est à cette étape (et seulement à cette étape) de l'approximation que la nature fermionique de la fonction d'onde $\psi$ entre en jeu. Derrière cette approximation se trouve l'observation que l'énergie cinétique par unité de volume d'un gaz de Fermi sans interaction dans son état fondamental avec une densité constante $\rho$ est $\gamma^{\text{TF}}\rho^{\frac{5}{3}}$. En imaginant que les particules décrites par une fonction d'onde $\psi$ de faible énergie soient localement essentiellement dans l'état fondamental du gaz de Fermi avec la densité locale correspondante, on arrive à l'expression de Thomas-Fermi pour l'énergie cinétique.
La question se pose de savoir si cette approximation peut être étayée par des inégalités rigoureuses. C'est ce que permet la célèbre inégalité de Lieb-Thirring, qui était un ingrédient crucial dans leur démonstration de la stabilité de la matière [43]. Cette inégalité stipule que pour tout $\psi$ antisymétrique et normalisé sur $\mathbb{R}^{3N}$, on a

$$ \int_{\mathbb{R}^3} \cdots \int_{\mathbb{R}^3} \sum_{n=1}^{N} |\nabla_n \psi|^2 dx_1 \cdots dx_N \geq K \int_{\mathbb{R}^3} \rho_\psi(x)^{\frac{5}{3}} dx \quad (3) $$

avec $\rho_\psi(x)$ qui est égal à

$$ \sum_{n=1}^{N} \int_{\mathbb{R}^3} \cdots \int_{\mathbb{R}^3} |\psi(x_1, \dots, x_{n-1}, x, x_{n+1}, \dots, x_N)|^2 dx_1 \cdots dx_{n-1} dx_{n+1} \cdots dx_N. $$

Le point important ici est que la constante K soit indépendante de N.

L'inégalité de Lieb-Thirring (3) peut être considérée comme une expression mathématique des principes d'exclusion et d'incertitude en mécanique quantique. Le lien avec le principe d'exclusion est que la constante K est indépendante de N; si les fonctions symétriques $\psi$ (qui décrivent un système bosonique) étaient autorisées, la constante K dans l'inégalité (3) devrait se détériorer avec N (il suffit par exemple de prendre pour $\psi$ une fonction produit $\varphi(x_1) \cdots \varphi(x_N)$). Pour N = 1, l'inégalité de Lieb-Thirring se réduit à une certaine inégalité d'interpolation de Sobolev. Pour N $\geq$ 2, elle peut être considérée comme une généralisation de celle-ci. La conclusion des inégalités de type Sobolev, à savoir qu'un espace $L^p$ avec un « grand » p peut être contrôlé, est un résultat de non-concentration et quantifie par conséquent le principe d'incertitude en mécanique quantique.

La constante K dans l'inégalité (3) que Lieb et Thirring ont obtenue était plus petite que $\gamma^{\text{TF}}$, mais elle conservait la caractéristique importante d'être indépendante de N (et de $\psi$ bien sûr). La célèbre conjecture de Lieb-Thirring stipule que l'inégalité devrait être valide avec une constante égale à $\gamma^{\text{TF}}$. Cela signifierait que l'approximation de Thomas-Fermi pour l'énergie cinétique est un minorant universel de son expression de Schrödinger. Cette constante a fait l'objet de nombreux travaux, qui ont abouti au meilleur minorant actuel de 0,7785 $\gamma^{\text{TF}}$.

Lieb et Thirring n'ont pas démontré directement l'inégalité (3). Ils ont d'abord montré qu'elle était équivalente à une certaine inégalité concernant des sommes de valeurs propres négatives d'opérateurs de Schrödinger à un corps. Ils ont ensuite vérifié cette dernière inégalité.
Dans leur article suivant [44], ils ont étendu cette dernière inégalité à des dimensions arbitraires et à des puissances arbitraires de valeurs propres. Ils ont démontré que les valeurs propres négatives ($E_j$) de l'opérateur de Schrödinger $-\Delta + V$ dans $L^2(\mathbb{R}^d)$ vérifient

$$ \sum_j |E_j|^\gamma \le L_{\gamma,d} \int_{\mathbb{R}^d} V(x)^{\gamma+d/2} dx $$

pour tout $\gamma > 1/2$ si $d=1$ et pour tout $\gamma > 0$ si $d \ge 2$. Pour $\gamma = 1$ et $d = 3$, cette inégalité est équivalente à l'inégalité (3). Peu après, Lieb [16] a démontré l'inégalité correspondante pour $\gamma = 0$, connue sous le nom d'inégalité de Cwikel-Lieb-Rozenblum, à savoir

$$ \#\{j: E_j < 0\} \le L_{0,d} \int_{\mathbb{R}^d} V(x)^{d/2} dx $$

pour $d \ge 3$.

La forme générale de la célèbre conjecture de Lieb-Thirring concerne les valeurs optimales des constantes $L_{\gamma,d}$. Outre l'importance évidente des valeurs de ces constantes dans les applications, la conjecture aborde à un niveau conceptuel la force du principe d'exclusion dans différentes dimensions. Lieb, en collaboration avec Hundertmark et Thomas, a démontré le seul cas connu d'inégalité optimale où la constante n'est pas donnée par celle provenant d'une approximation semi-classique (ou de type Thomas-Fermi). De plus, après plus de quarante ans, la valeur de la constante $L_{0,3}$ donnée par Lieb est toujours la plus petite connue.

Les inégalités de Lieb-Thirring et de Cwikel-Lieb-Rozenblum et leurs généralisations sont d'une grande importance dans l'étude des grands systèmes fermioniques. Elles ont trouvé en outre des applications dans le contexte des équations d'évolution non linéaires telles que les équations de Navier-Stokes. Elles ont aussi suscité un grand intérêt d'un point de vue purement mathématique. Le fait que l'orthogonalité de fonctions conduise à une dépendance améliorée sur le nombre de fonctions a été vérifié dans un certain nombre d'autres inégalités fonctionnelles [9, 18].

## 1.5 Le problème de l'ionisation

Revenons au hamiltonien quantique à plusieurs corps H dans l'équation (1). La borne inférieure de son spectre peut être ou non
une valeur propre. Si c'est le cas, nous interprétons la fonction propre correspondante comme décrivant l'état fondamental du système et nous considérons que les N électrons sont liés aux noyaux. L'intuition physique suggère que des noyaux donnés avec des charges données ne peuvent se lier qu'avec un nombre fini d'électrons, mais même cela n'est pas tout à fait évident d'un point de vue mathématique. La version quantitative de cette question, à savoir le nombre d'électrons avec lequel un atome (ou une molécule) peut se lier, n'est toujours pas réglée malgré de sérieux efforts.

Pour simplifier, limitons notre attention au cas atomique avec $K = 1$ dans l'équation (1). Les données expérimentales et les estimations numériques montrent qu'un noyau de charge Z ne peut se lier qu'avec au plus $Z + 1$ voire $Z + 2$ électrons. Démontrer (ou réfuter) cela rigoureusement dans le modèle de Schrödinger ci-dessus est un célèbre problème ouvert.

L'un des rares résultats non asymptotiques dans cette direction est dû à Lieb [23] et stipule qu'un noyau atomique ne peut pas se lier avec $2Z + 1$ électrons ou plus. Le facteur 2 devant Z semble « trop grand » pour les grandes valeurs de Z. Mais par exemple pour $Z = 1$, la borne est optimale. Ce n'est que trois décennies plus tard que le résultat de Lieb a été amélioré pour les grandes valeurs de Z.

Une découverte frappante de Benguria et Lieb [2] est que la borne supposée sur la charge excédentaire ne serait pas vraie si les électrons étaient des bosons, c'est-à-dire si la condition d'antisymétrie sur les fonctions admissibles était remplacée par la condition de symétrie $\psi(..., x_n, ..., x_m, ...)$ = $\psi(..., x_m, ..., x_n, ...)$ pour tout $n \neq m$. Ils ont montré qu'il existe un nombre $\lambda > 1$ (numériquement $\lambda \approx 1,21$) tel qu'un « atome bosonique » pourrait se lier avec au moins $(\lambda + o(1))Z$ électrons quand $Z \to \infty$. En conséquence du résultat de Benguria et Lieb, le principe d'exclusion de Pauli (c'est-à-dire l'exigence d'antisymétrie) doit intervenir dans toute démonstration éventuelle. Cela exclut en particulier tout argument naïf purement électrostatique.

Pour revenir au cas fermionique original, on peut se demander s'il y a au moins une neutralité asymptotique dans le sens où, lorsque $Z \to \infty$, le nombre d'électrons qui peuvent être liés est $Z + o(Z)$. Lieb, Sigal, Simon et Thirring ont démontré que c'était effectivement le cas [38]. D'autres chercheurs ont obtenu par la suite des bornes quantitatives sur le reste $o(Z)$. Mais montrer qu'il est borné semble être hors de portée des techniques actuelles.
## 1.6 Les systèmes bosoniques

Bien que nous nous concentrions principalement dans cette section sur les systèmes fermioniques, Lieb a également apporté de nombreuses contributions fondamentales à l'étude des systèmes bosoniques. Parmi ces contributions, on peut citer les suivantes :

1. La construction, avec Liniger, d'un modèle de gaz de Bose uni-dimensionnel en interaction [31]. Ce modèle a servi de prototype pour les développements théoriques ultérieurs. Il a également été réalisé expérimentalement.

2. Avec Yngvason, Lieb a démontré une formule asymptotique, conjecturée cinquante-huit ans plus tôt, pour l'énergie de l'état fondamental d'un gaz de Bose dilué [45]. Par la suite, avec Seiringer et Yngvason, il a rigoureusement établi l'équation de Gross-Pitaevskii pour l'énergie de l'état fondamental des bosons dilués dans un piège, en partant de la mécanique quantique à plusieurs corps [36]. Ce résultat a eu un impact considérable sur le développement de la physique mathématique au cours des deux dernières décennies.

3. Avec Conlon et Yau [7] et plus tard avec Solovej [41, 42], Lieb a démontré une loi en $N^{7/5}$ pour les bosons chargés. Cela signifie en gros que l'énergie n'obéit pas à une inégalité linéaire comme dans l'inégalité (2), mais qu'elle décroît plutôt comme $-CN^{7/5}$. Il s'agit de la première validation rigoureuse de la théorie d'appariement de Bogoliubov pour le gaz de Bose, qui a ouvert la voie à de nombreux développements actuels.

## 2 Les inégalités fonctionnelles

Le nom de Lieb est indissociable du sujet des inégalités. Un volume entier de 700 pages de ses « Œuvres choisies » est consacré à ce sujet [26]. Dans la section précédente, lors de l'examen de l'inégalité de Lieb-Thirring, nous avons déjà vu un exemple d'inégalité fonctionnelle. Dans cette section, nous examinerons trois autres exemples, à savoir les inégalités d'entropie en analyse matricielle, les inégalités de Brascamp-Lieb et la forme optimale de l'inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev.
## 2.1 Le théorème de concavité de Lieb et la sous-additivité forte

En 1973, Lieb et Ruskai ont démontré la sous-additivité forte de l'entropie quantique [35]. Ce théorème a de nombreuses formulations équivalentes, telles que la concavité de l'entropie conditionnelle, la convexité conjointe de l'entropie relative ou la monotonie de l'entropie relative. La sous-additivité forte, ou l'un de ses équivalents, joue un rôle essentiel dans le domaine moderne et très actif de l'information quantique et des ordinateurs quantiques.

Énonçons ce théorème dans sa formulation de monotonie, obtenue à l'origine par Lindblad en 1974 à partir d'un résultat de Lieb. Une matrice densité est une matrice hermitienne positive de trace égale à 1. L'entropie relative (ou divergence de Kullback-Leibler) de deux matrices densités $\rho$ et $\sigma$ est définie par

$$D(\rho||\sigma) = \mathrm{Tr} \rho \ln \rho - \mathrm{Tr} \rho \ln \sigma.$$

Ce nombre est positif ou nul. Il est nul si et seulement si $\rho = \sigma$. Il mesure en gros à quel point $\rho$ et $\sigma$ sont distinguables, même s'il n'est pas symétrique en $\rho$ et $\sigma$. Les opérations quantiques sont décrites par des applications complètement positives qui préservent la trace. Le théorème de monotonie de l'entropie relative (également connu sous le nom d'inégalité de traitement des données) stipule que pour toute opération $\mathcal{E}$ de ce type, on a

$$D(\mathcal{E}\rho||\mathcal{E}\sigma) \le D(\rho||\sigma).$$

Ainsi, l'application d'une opération quantique ne peut que rendre les états plus difficiles à distinguer. Il est donc clair que la monotonie de l'entropie relative est à la base même de la théorie de l'information quantique.

La démonstration par Lieb et Ruskai de la sous-additivité forte de l'entropie et la démonstration par Lindblad de la monotonie de l'entropie relative reposent toutes deux sur un théorème profond que Lieb a démontré dans son article de 1973 sur les « fonctions traces convexes et la conjecture de Wigner-Yanase-Dyson » [14]. Ce théorème stipule que pour tout $p, q \ge 0$ avec $p + q \le 1$, l'application $(A, B) \mapsto \mathrm{Tr} A^p B^q$ définie sur les matrices hermitiennes positives est conjointement concave.

L'article de Lieb a donné lieu à de nombreux travaux ultérieurs qui contiennent d'autres démonstrations, généralisations et applications. Lui-même, souvent en collaboration avec Carlen, est revenu à plusieurs
reprises sur ce thème et a approfondi notre compréhension de l’analyse matricielle; voir par exemple [1, 6].

## 2.2 Les inégalités de Brascamp-Lieb

En 1976, Brascamp et Lieb ont publié un article sur « les meilleures constantes dans l’inégalité de Young, son inverse et sa généralisation à plus de trois fonctions » [3]. Cet article traite de trois sujets liés mais différents. Il est célèbre pour chacun d’entre eux.

Le premier sujet concerne une inégalité fondamentale en analyse réelle, à savoir l’inégalité de Young

$$ \left| \iint_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d} f(x)g(x-y)h(y) \, dx \, dy \right| \le C_{p,q,r,d} \|f\|_{L^p(\mathbb{R}^d)} \|g\|_{L^q(\mathbb{R}^d)} \|h\|_{L^r(\mathbb{R}^d)} \quad (4) $$

pour trois fonctions $f, g, h$ sur $\mathbb{R}^d$ et des paramètres $1 \le p, q, r \le \infty$ qui vérifient $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = 2$. Cette inégalité apparaît fréquemment dans la théorie et les applications, car la convolution est une opération de base en analyse mathématique. L’inégalité de Young mesure son effet dans les espaces de Lebesgue.

La question est de trouver la constante optimale (c’est-à-dire la plus petite possible) $C_{p,q,r,d}$ dans l’inégalité (4) et de caractériser tous les cas d’égalité. Le premier objectif a été atteint par Beckner à peu près en même temps que [3]. Brascamp et Lieb ont trouvé une démonstration alternative et ont atteint le second objectif. Leur démonstration combine de manière originale la technique du réarrangement symétrique décroissant avec des produits tensoriels, ce qui conduit à un résultat de convergence dans l’esprit du théorème central limite. Il s’ensuit que la constante optimale est déterminée par les fonctions gaussiennes et n’est atteinte que pour celles-ci.

Le second sujet de l’article de Brascamp et Lieb est que l’inégalité de Young est valable avec le signe de l’inégalité inversé si $0 < p, q \le 1$ et si $f, g, h$ sont positifs ou nuls. Là encore, les auteurs ont été en mesure de calculer la constante optimale. Cette inégalité de Young inversée contient comme cas limite le théorème de Prékopa-Leindler.

Le troisième sujet de l’article de Brascamp et Lieb est une généralisation importante de l’inégalité de Young à un nombre arbitraire de fonctions, ainsi qu’un remplacement des fonctions linéaires $x, y$ et $x - y$ sur $\mathbb{R}^{2d}$ qui apparaissent dans l’inégalité (4) par une classe beaucoup plus large de fonctions linéaires. La famille d’inégalités qui en résulte est maintenant connue sous le nom d’inégalités de Brascamp-Lieb.
Elle contient non seulement l'inégalité de Young, mais aussi l'inégalité de Hölder et celle de Loomis-Whitney en tant que cas particuliers. Brascamp et Lieb montrent que pour des applications linéaires données, l'inégalité est valable avec une constante finie si et seulement si elle est valable pour les fonctions gaussiennes. Dans ce cas, la constante optimale peut être calculée en utilisant cette dernière classe de fonctions. Leur argument est à nouveau basé sur un théorème central limite.

Outre leur application originale à la physique statistique, les inégalités de Brascamp-Lieb ont joué un rôle important dans la théorie de la convexité, l'analyse harmonique et d'autres domaines des mathématiques.

Dans son article de 1990 sur « les noyaux gaussiens qui n'ont que des maximiseurs gaussiens » [24], Lieb revient sur le sujet des inégalités de Young et de Brascamp-Lieb. Il démontre un théorème général sur la norme d'une grande classe d'opérateurs intégraux. Entre autres choses, il caractérise les cas d'égalité dans l'inégalité de Hausdorff-Young avec une constante optimale. Là encore, ils sont donnés par des fonctions gaussiennes.

Mentionnons enfin qu'il existe une autre inégalité célèbre connue sous le nom d'inégalité de Brascamp-Lieb. Il s'agit d'une inégalité de Poincaré (ou de trou spectral) pour les lois de probabilité logarithmiquement concaves [4].

## 2.3 L'inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev optimale

Un résultat fondamental de l'analyse réelle, connu sous le nom d'inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev, d'inégalité faible de Young ou de théorème d'intégration fractionnaire, stipule que pour tout $0 < \lambda < d$ et pour tout $1 < p, r < \infty$ avec $\frac{1}{p} + \frac{1}{r} = 2$, on a

$$ \left| \iint_{\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d} \frac{f(x) h(y)}{|x - y|^\lambda} dx dy \right| \le C_{\lambda,p,r} \|f\|_{L^p(\mathbb{R}^d)} \|h\|_{L^r(\mathbb{R}^d)}. \quad (5) $$

Cette inégalité a de nombreuses applications en mathématiques pures et appliquées. Par exemple, dans le cas où $\lambda = d - 2$ et $d \ge 3$, le noyau de cette inégalité est le noyau de Coulomb et la quantité du côté gauche représente l'interaction coulombienne de deux densités de charge $f$ et $g$. Pour $\lambda = d - 2$ et $p = r$, l'inégalité (5) est équivalente à l'inégalité de Sobolev.

L'article de Lieb de 1983 sur « les constantes optimales dans les inégalités de Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS) et les inégalités connexes » [19]
a eu un impact profond sur le domaine du calcul des variations. En
effet, cet article et son article associé de 1983 sur « une relation entre la
convergence ponctuelle des fonctions et la convergence des fonction-
nelles » [5] avec Brezis sont les articles de mathématiques pures les plus
cités de Lieb.

L'article sur les constantes optimales est remarquable pour au moins
deux aspects distincts, à savoir le développement d'un argument de
compacité assez général et une observation ingénieuse concernant le
problème en question. Nous discutons brièvement de ces deux points.

L'aspect compacité de l'article HLS de Lieb concerne la question de savoir s'il existe un couple non trivial (f, h) tel que l'égalité dans (5) ait lieu avec la constante C$_{λ,p,r}$ minimale. Lieb avait déjà travaillé sur des questions relatives à l'existence d'optimiseurs pour certains problèmes variationnels. Contrairement aux problèmes variationnels classiques, ces problèmes sont souvent invariants par translation. Lieb a donc dû trouver des méthodes pour traiter la perte de compacité correspondante (par exemple par un réarrangement symétrique décroissant [15] ou par un « argument de poursuite » original [21]). Le problème d'optimisation pour l'inégalité HLS présente cependant une autre perte potentielle de compacité, à savoir à travers les dilatations. Afin de traiter ces problèmes, Lieb a trouvé un renforcement du lemme de Fatou, qui dit que si des fonctions $f_j$ sur un espace mesuré X sont bornées dans $L^p$ et convergent ponctuellement presque partout vers une fonction $f$, alors

$$
\lim_{j \to \infty} \int_X |f_j|^p - |f|^p - |f_j - f|^p \, dx = 0. \quad (6)
$$

En particulier,

$$
\int_X |f_j|^p \, dx = \int_X |f|^p \, dx + \int_X |f_j - f|^p \, dx + o(1).
$$

À titre de comparaison, dans le lemme de Fatou, le deuxième terme du second membre est omis, ce qui conduit à une inégalité plutôt qu’à une égalité. La relation (6) avec $| \cdot |^p$ remplacé par des fonctions plus générales est connu sous le nom de lemme de Brezis-Lieb et constitue un outil fondamental en analyse fonctionnelle et en calcul des variations.

La méthode de compacité de Lieb, parfois appelée méthode de la
masse manquante, suit attentivement le terme résiduel $f_j - f$ dans
l'équation (6). Cette technique est assez robuste et a trouvé diverses
applications dans différents contextes, y compris dans [11]. D'autres
méthodes de compacité utilisent également le lemme de Brezis-Lieb comme ingrédient fondamental.

Le deuxième aspect remarquable de l'article HLS de Lieb concerne le cas particulier $p = r$ (mais où $0 < \lambda < d$ est arbitraire). Lieb a réussi à calculer explicitement la plus petite constante possible $C_{\lambda,p,r}$ et à caractériser tous les couples de fonctions $(f,h)$ pour lesquels il y a égalité. L'observation cruciale dans la démonstration de Lieb était une symétrie « cachée », à savoir l'invariance conforme de (5) pour $p = r$. L'article de Lieb a donné naissance à un champ de problèmes variationnels avec invariance conforme. Parmi ces développements figure également la forme optimale de l'inégalité HLS sur le groupe de Heisenberg [10].

### 3 Sujets non couverts

Dans les sections précédentes, nous avons abordé deux thèmes de l'œuvre de Lieb, à savoir les systèmes quantiques coulombiens et les inégalités fonctionnelles. Ces sujets ne représentent qu'une fraction de l'ensemble des travaux de Lieb. Il est probable que d'autres auteurs auraient choisi des sujets complètement différents. Nous manquerions à notre devoir si nous ne mentionnions pas au moins brièvement quelques autres sujets.

Nous avons complètement ignoré le chapitre important des modèles intégrables dans les travaux de Lieb des années soixante. Ce domaine a été révolutionné par les solutions de Lieb du modèle à six sommets, du modèle F de Fierz-Rys et du modèle KDP de Slater, ainsi que du modèle de Lieb-Liniger déjà mentionné. En relation avec le modèle à six sommets, Lieb et Temperley ont construit ce qui est devenu l'algèbre de Temperley-Lieb, qui a des applications dans plusieurs domaines des mathématiques, par exemple en théorie des nœuds, et en physique. Les travaux de Lieb sont à la base de la physique statistique moderne et ont une influence durable sur les probabilités intégrables et la combinatoire, entre autres.

Concernant les contributions de Lieb à la physique de la matière condensée, Nachtergaele, Solovej et Yngvason écrivent dans la préface du troisième volume des « Œuvres choisies » de Lieb [28] :

> « L'impact des travaux de Lieb dans le domaine de la physique mathématique de la matière condensée est inégalé. On peut dire que si l'on devait nommer un père fondateur
de ce domaine, Elliott Lieb serait le seul candidat à pouvoir
prétendre à cette position singulière. »

Ce domaine comprend notamment les travaux fondamentaux de Lieb
sur le modèle de Hubbard, y compris sa solution dans le cas unidimen-
sionnel avec Wu et la découverte du ferromagnétisme de Lieb et du
réseau de Lieb, ainsi que les travaux très cités réalisés en collaboration
avec Schultz et Mattis sur deux modèles résolubles de chaîne antiferro-
magnétique et avec Mattis sur le modèle de Luttinger et la découverte
de la bosonisation.

Dans l'introduction, nous avons déjà mentionné les « bornes de
Lieb-Robinson », qui établissent le fait profond qu'il existe une vitesse
de groupe finie pour la propagation de l'information dans les systèmes
de spins quantiques. Cela s'est avéré très important pour les idées sur
l'informatique quantique et la physique de la matière condensée.

Lieb a développé en outre avec Affleck, Kennedy et Tasaki ce que
l'on a appelé le modèle AKLT d'une chaîne de spins de spin égal à 1. Ce
modèle s'est avéré être un prototype important d'une classe de modèles
et d'états propres connus sous le nom d'états de produits matriciels.

Dans le domaine de la physique statistique, mentionnons la démon-
stration par Lieb de l'existence de transitions de phase dans les systèmes
de spins classiques et quantiques, obtenue conjointement avec Fröhlich,
Israel et Simon et avec Dyson et Simon. Les démonstrations reposent
sur la méthode de la positivité par réflexion, que Lieb a magistralement
utilisée dans plusieurs situations.

Un autre résultat célèbre est le travail de Lieb avec Heilman sur
les zéros de la fonction de partition du problème monomère-dimère,
qui est lié au problème d'appariement en combinatoire. Ce résultat est
également important en informatique.

Une nouvelle approche de la physique et des mathématiques du
deuxième principe de la thermodynamique, développée conjointement
avec Yngvason, mérite d'être mentionnée.

La liste des sujets abordés dans cette section s'est jusqu'à présent
concentrée sur les travaux de Lieb les plus axés sur la physique. En
ce qui concerne les travaux plus orientés vers les mathématiques,
mentionnons simplement ses contributions fondamentales à la théorie
du réarrangement symétrique décroissant. Cela inclut notamment une
inégalité générale de réarrangement pour de nombreuses fonctions,
obtenue avec Brascamp et Luttinger, ainsi que la démonstration obtenue
avec Almgren que le réarrangement symétrique décroissant peut être
discontinu dans les espaces de Sobolev.
Enfin, nous aimerions mentionner le livre de Lieb et Loss [32], qui est devenu un manuel de référence pour les cours d'analyse de troisième cycle et qui promeut de manière éloquente et concise la philosophie des mathématiques rigoureuses en vue des applications.

Nous espérons que ces pages seront une invitation à consulter les articles de recherche originaux de Lieb. Ce n'est qu'ainsi que le lecteur pourra ressentir la clarté, la vitalité et la beauté de l'œuvre de Lieb, une œuvre qui a inspiré et continue d'inspirer des générations.

Félicitations Elliott pour l'obtention du prix Gauss!

**Financement.** Nous remercions la Fondation nationale des sciences des États-Unis pour son soutien (DMS-1954995) ainsi que la Fondation allemande pour la recherche et sa stratégie d'excellence allemande (EXC-2111-390814868). L'auteur remercie M. Lewin pour ses remarques utiles.

**Bibliographie**

[1] *Invent. math.*, n° 115, 1994, p. 463-482.

[2] *Phys. Rev. Lett.*, n° 50, 1983, p. 1771-1774.

[3] *Adv. Math.*, n° 20, 1976, p. 151-172.

[4] *J. Funct. Anal.*, n° 22, 1976, p. 366-389.

[5] *Proc. Am. Math. Soc.*, n° 88, 1983, p. 486-490.

[6] *Differential Operators and Spectral Theory*, American Mathematical Society, 1999, p. 59-69.

[7] *Commun. Math. Phys.*, n° 116, 1988, p. 417-448.

[8] *The Physics and Mathematics of Elliott Lieb : The 90th Anniversary*, Berlin, EMS Press, 2022.

[9] *J. Eur. Math. Soc.*, n° 16, 2014, p. 1507-1526.

[10] *Ann. Math.*, n° 176, 2012, p. 349-381.

[11] *Geom. Funct. Anal.*, n° 26, 2016, p. 1095-1134.

[12] *J. Éc. polytech. Math.*, n° 5, 2018, p. 79-116.

[13] *Pure Appl. Anal.*, n° 2, 2020, p. 35-73.

[14] *Adv. Math.*, n° 11, 1973, p. 267-288.

[15] *Stud. Appl. Math.*, n° 57, 1977, p. 93-105.

[16] *Geometry of the Laplace Operator*, American Mathematical Society, 1980, p. 241-252.

[17] *Rev. Mod. Phys.*, n° 53, 1981, p. 603-641.

[18] *J. Funct. Anal.*, n° 51, 1983, p. 159-165.

[19] *Ann. Math.*, n° 118, 1983, p. 349-374.
[20] *Int. J. Quant. Chem.*, n° 24, 1983, p. 243-277.

[21] *Invent. math.*, n° 74, 1983, p. 441-448.

[22] *Commun. Math. Phys.*, n° 92, 1984, p. 473-480

[23] *Phys. Rev. A*, n° 29, 1984, p. 3018-3028.

[24] *Invent. math.*, n° 102, 1990, p. 179-208.

[25] *Bull. Am. Math. Soc.*, n° 22, 1990, p. 1-49.

[26] LIEB (Elliott H.), *Inequalities, Selecta of Elliott H. Lieb*, Springer, 2002.

[27] LIEB (Elliott H.), *Statistical Mechanics, Selecta of Elliott H. Lieb*, Springer, 2004.

[28] LIEB (Elliott H.), *Condensed Matter Physics and Exactly Soluble Models, Selecta of Elliott H. Lieb*. Springer, 2004.

[29] LIEB (Elliott H.), *The Stability of Matter : from Atoms to Stars. Selecta of Elliott H. Lieb*, 4ᵉ éd., Springer, 2005.

[30] *Adv. Math.*, n° 9, 1972, p. 316-398.

[31] *Phys. Rev.*, n° 130, 1963, p. 1605-1616.

[32] LIEB (Elliott H.) et Loss (Michael), *Analysis*, 2ᵉ éd., American Mathematical Society, 2001.

[33] *Phys. Rev. Lett.*, n° 75, 1995, p. 985-989.

[34] *Int. J. Quant. Chem.*, n° 19, 1981, p. 427-439.

[35] *J. Math. Phys.*, n° 14, 1973, p. 1938-1941.

[36] *Phys. Rev. A*, n° 61, 2000, article 043602.

[37] LIEB (Elliott H.) et SEIRINGER (Robert), *The Stability of Matter in Quantum Mechanics*. Cambridge University Press, 2010.

[38] *Commun. Math. Phys.*, n° 116, 1988, p. 635-644.

[39] *Commun. Math. Phys.*, n° 53, 1977, p. 185-194.

[40] *Adv. in Math.*, n° 23, 1977, p. 22-116.

[41] *Commun. Math. Phys.*, n° 217, 2001, p. 127-163; erratum, *ibid.*, n° 225, 2002, p. 219-221.

[42] *Commun. Math. Phys.*, n° 252, 2004, p. 485-534.

[43] *Phys. Rev. Lett.*, n° 35, 1975, p. 687-689; erratum, *ibid.*, p. 1116.

[44] *Studies in Mathematical Physics*, Princeton University Press, 1976, p. 269-303.

[45] *Phys. Rev. Lett.*, n° 80, 1998, p. 2504-2507.
Nikolaï Andreïev et l'art de l'animation
mathématique et de la construction de modèles
(par Tadashi TOKIEDA)

Le prix Līlāvatī de l'Union mathématique internationale a été décerné lors du congrès international des mathématiciens de 2022 à Nikolaï Andreïev pour avoir développé l'animation mathématique et la construction de modèles mathématiques dans un style qui inspire les jeunes et les moins jeunes et que les mathématiciens du monde entier peuvent adapter à leurs diverses utilisations, ainsi que pour ses efforts inlassables pour vulgariser des mathématiques sérieuses auprès du public.

Dans le domaine des mathématiques visuelles et tactiles, Nikolaï
Nikolaïevitch Andreïev est passé maître dans l'art merveilleux de
l'animation et de la construction de modèles. L'animation diffère de la
simulation : il s'agit d'une vidéo ludique d'une histoire qui se déroule
sous nos yeux et qui provoque une surprise mathématique agréable à
regarder. Les modèles diffèrent de l'impression 3D : ils sont fabriqués à
la main, en bois ou en papier, et sont agréables à toucher et à manipuler.
Ses animations et ses modèles sont minimalistes mais exécutés avec
un savoir-faire consommé. Le style caractéristique d'Andreïev capte
l'imagination des jeunes et des moins jeunes et offre des possibilités
d'utilisation variées pour la vulgarisation des mathématiques. Paral-
lèlement, il est reconnu pour sa formidable résilience, car il a souvent
surmonté des épreuves pour continuer à susciter l'enthousiasme pour
les mathématiques auprès d'un grand nombre de personnes de toutes
conditions par le biais de ressources en ligne, de conférences et d'un
livre. C'est pour cela qu'il reçoit le prix Līlāvatī 2022.

L'Europe de l'Est a une tradition bien ancrée, qui remonte à l'époque
de Tchebychev, d'organisation au niveau national d'activités mathé-
matiques qui vont des petits enfants aux étudiants. Certaines de ces
activités ont été exportées à l'étranger, comme en témoignent les « cercles
mathématiques » qui fleurissent aujourd'hui dans des centres d'ini-
tiative à travers le monde. C'est de cette tradition qu'est né Kvant,

<footnote>TOKIEDA (Tadashi), « Nikolai Andreev and the art of mathematical animation and model-building », dans *Proc. Int. Cong. Math.* 2022, vol. I, p. 160-162. DOI 10.4171/ICM2022/215</footnote>
sans doute le magazine de vulgarisation des mathématiques et de la physique théorique de la plus haute qualité que le monde ait connu, avec un tirage de 2 × 10⁵ à son apogée (un petit frère, *Kvantik* [1], a vu le jour en 2012). C'est dans le cadre de cette tradition qu'Andreïev, ou Kolya pour ses nombreux amis, est né en 1975 à Saratov. C'est de cette tradition qu'il peut prétendre être un successeur de premier plan en ce xxiᵉ siècle.

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Il a commencé sa formation en tant que chercheur. Diplômé de la faculté de mécanique et de mathématiques de l'université d'État de Moscou, il a obtenu un doctorat en 2000 dans le domaine des problèmes extrémaux et de la théorie de l'approximation. Il a commencé la même année à travailler à l'institut de mathématiques Steklov, où il est resté depuis.

L'année 2002 a marqué un tournant : Andreïev a réuni une équipe composée de R. A. Kokcharov (développeur principal et concepteur de sites), M. A. Kalinitchenko (graphiste et vidéaste) et N. M. Paniounine (mathématiques) pour démarrer le projet intitulé « Études mathématiques » [2]. Ce projet est un trésor de vidéos d'animation accessibles à tous gratuitement. Chaque vidéo donne une expérience mathématique brève mais sérieuse d'un point intéressant, élémentaire mais peu connu ; ceci contraste avec la pratique courante qui consiste à présenter de manière journalistique un sujet à la mode. Il a également recruté A. D. Lechinski, un sculpteur d'une habileté stupéfiante, qui concrétise des phénomènes mathématiques curieux par de magnifiques modèles en bois. Andreïev a été nommé en 2010 directeur du laboratoire de vulgarisation de l'institut Steklov. Les productions de son laboratoire comprennent, en plus de nouvelles « Études » et de nouveaux modèles en bois, la collection des « mécanismes de Tchebychev » [3], des gadgets mobiles qui font un usage curieux des mathématiques classiques, et le livre « La part mathématique de toute chose » (Математическая
составляющая) [4], une anthologie écrite par une trentaine de mathématiciens sur une variété luxuriante de sujets qui rappellent *Kvant*. Le livre, publié pour la première fois en 2015 en collaboration avec S. P. Konovalov, N. M. Paniounine et R. A. Kokcharov, a obtenu une médaille d'or de la vulgarisation scientifique en 2017. Une deuxième édition, dont le contenu a plus que doublé, a suivi en 2019.

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Andreïev a parcouru de long en large un vaste continent pour donner des conférences, plus de mille en vingt ans, s'adressant ainsi à un public innombrable, en particulier aux adolescents. À maintes reprises, son dévouement et sa persévérance extraordinaires lui ont permis de mener à bien ses projets malgré les embûches administratives et financières chroniques, les négociations interminables et les contretemps. Chaque fois que le financement de son équipe se tarissait, il divisait son propre salaire en parts égales entre lui et les autres membres de l'équipe afin de continuer le travail.

Malgré toutes ces réalisations, une grande partie de la carrière d'Andreïev est encore devant lui. Nous remercions Kolya en tant que représentant de la communauté des mathématiciens qui se sont donnés sans compter au fil des siècles pour faire des mathématiques avec chaque nouvelle génération montante. Nous attendons avec impatience d'être stimulés par ses travaux dans les décennies à venir.

## Bibliographie

[1] https://kvantik.com

[2] https://etudes.ru

[3] https://tcheb.ru

[4] https://book.etudes.ru
Index

Action de groupe, 78
Adhérence, 129
Adiprasito (Karim), 31
Affleck (Ian), 154
Aizenman (Michael), 8
Algèbre de Hecke, 129
Algèbre de Virasoro, 6
Algèbre graduée, 80
Algorithme, 32
Almgren (Frederick J.), 154
Analyse, 155
Analyse fonctionnelle, 152
Analyse harmonique, 151
Analyse réelle, 150
Analyse semi-classique, 143
Anneau, 80
Anneau commutatif, 37
*Anneau de Chow*, 37
Anneau de cohomologie, 37
Anneau local, 129
Anneaux borroméens, 115
Appel (Kenneth), 32
Application complètement positive, 149
Application linéaire, 42
Approximation diophantienne, 62
Arbre couvrant, 35
Archimédien, 126
Arête, 4
Arithmétique d'intervalle, 93
Artin (Michael), 112
Automorphisme, 121
Autosimiliarité, 18
Axiome, 38
Axiomes de Wightman, 16

Base, 34
Base duale, 74
Baxter (Rodney J.), 13
Bernoulli (Jacques), 7
Bijection, 39
Birkhoff (George D.), 32
Bit, 97
Bogolioubov (Nikolaï N.), 148
Bombieri (Enrico), 59
*Bootstrap* conforme, 8
Bose (Satyendranath), 148

Boule, 69
Bourgain (Jean), 56
Braverman (Mark), 97
Brezis (Haïm), 152
Brown (Morton), 112

Calcul des variations, 143
Caporaso (Lucia), 130
Caractéristique, 30
Cardinal, 35
Cartan (Henri), 111
Cercle, 25
Chafarevitch (Igor), 126
Champ libre gaussien, 7
Cherednik (Ivan), 127
Chevalley (Claude), 111
Chimie numérique, 137
Circuit booléen, 107
Clôture algébrique, 118
Clozel (Laurent), 76
Code correcteur, 67
Cohn (Henry), 73
Cohomologie cristalline, 113
Cohomologie de de Rham, 113
Cohomologie établie, 113
Coleman (Robert), 129
Coloration de graphe, 32
Combinaison linéaire, 34
Combinatoire, 30
Combinatoire algébrique, 34
Compacité, 37
Complexe simplicial, 35
Complexité de la communication, 97
*Composante connexe*, 26
Composante connexe (théorie des graphes), 36
Composition d'applications, 42
Condition aux limites de Neumann, 7
Congrès international des mathématiciens de 2022, 1
Conjecture d'Elliott-Halberstam, 59
Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, 120
Conjecture de Cramér, 61
Conjecture de Duffin-Schaeffer, 62
Conjecture de Goldbach, 49
Conjecture de Hardy-Littlewood, 50

Conjecture de Mordell, 119

Conjecture de Satô-Tate, 131

Conjecture de Taniyama-Weil, 120

Conjecture faible de Goldbach, 54

Conjectures de Weil, 42

Connexité simple, 6

Constante de structure fine, 141

Contraction d'arête, 32

Convergence absolue, 78

Convergence en loi, 5

Convergence en probabilité, 6

Corps, 30

Corps de nombres, 114

Corps de nombres p-adiques, 113

Corps fini, 113

Corps totalement réel, 125

Coulomb (Charles-Augustin), 151

Courbe algébrique, 118

Courbe elliptique, 115

Courbe modulaire, 116

Covariance, 15

Covolume, 69

Coxeter (Harold S. M.), 71

Cramér (Harald), 49

Crible de Selberg, 58

Cube, 44

Cubique à faces centrées, 70

Cumulant, 20

Cycle (géométrie algébrique), 42

Cycle (théorie des graphes), 35

De Bruijn (Nicolaas G.), 31

De Concini (Corrado), 37

Décidabilité, 130

Dérivée, 74

Dérivée partielle, 72

Dernier théorème de Fermat, 116

Déterminant, 69

Deuxième principe de la thermodynamique, 154

Difféomorphisme, 112

Différence symétrique, 44

Dimension d'un espace vectoriel, 14

Distance de Wasserstein, 24

Distribution, 16

Divergence de Kullback-Leibler, 102

Diviseur, 120

Dixième problème de Hilbert, 130

Domaine fondamental, 79

Drinfeld (Vladimir G.), 127

Droite projective, 118

Dualité de Poincaré, 42

Duffin (Richard), 63

Duminil-Copin (Hugo), 1

Dyson (Freeman), 137

Écrantage électrostatique, 141

Égalité, 131

Eisenstein (Gotthold), 128

Elias (Ben), 40

Elkies (Noam), 73

Empilement compact, 66

Endomorphisme de Frobenius, 113

Énergie libre, 141

Enlacement, 114

Ensemble partiellement ordonné, 33

Entropie conditionnelle, 149

Entropie de Shannon, 99

Entropie relative, 149

Équation de Gross-Pitaevskii, 148

Équation diophantienne, 119

Équations de Cauchy-Riemann, 24

Équations de Navier-Stokes, 146

Équivariance, 23

Erdős (Paul), 31

Espace contractile, 112

Espace de Hilbert, 139

Espace de Lebesgue, 150

Espace de modules, 117

Espace de Schwartz, 72

Espace de Sobolev, 154

Espace dual, 42

Espace euclidien, 2

Espace fonctionnel, 95

Espace mesuré, 152

Espace métrique, 24

Espace polonais, 24

Espace vectoriel, 14

Euclide, 38

Euler (Leonhard), 77

Extension abélienne, 115

Extension cyclotomique, 115

Extension quadratique, 117

Faisceau, 128

Faltings (Gerd), 119

Fano (Robert), 99

Fermi (Enrico), 142

Filtration, 113
Fléau de la dimension, 68
Foncteur, 128
Fonction booléenne, 107
Fonction concave, 149
Fonction de carré intégrable, 139
Fonction de Green, 7
Fonction de partition, 14
Fonction gaussienne, 150
Fonction holomorphe, 80
Fonction homographique, 78
Fonction indicatrice, 6
Fonction L p-adique, 115
Fonction logarithmiquement convexe, 30
Fonction méromorphe, 80
Fonction propre, 82
Fonction radiale, 74
Fonction rationnelle, 117
Fonction somme des puissances k-èmes
des diviseurs, 80
Fonction spéciale, 80
Fonction thêta, 81
Fonction zêta, 49
Fonction zêta de Hasse-Weil, 120
Fontaine (Jean-Marc), 114
Ford (Kevin), 61
Forme automorphe, 128
Forme bilinéaire, 42
*Forme bilinéaire définie, 42*
Forme bilinéaire non dégénérée, 42
Forme modulaire, 68
Forme normale disjonctive, 107
Forme quadratique, 90
Formule sommatoire de Poisson, 74
Fouvry (Étienne), 59
Fractale, 78
Frey (Gerhard), 123
Friedlander (John), 52
Frobenius (Ferdinand), 127
Fulton (William), 41

Geelen (Jim), 36
Genre, 115
Géométrie algébrique, 30
Géométrie arithmétique, 111
Géométrie binationnelle, 119
Géométrie des nombres, 56
Géométrie différentielle, 112
Géométrie discrète, 33
Géométrie énumérative, 41
Géométrie euclidienne, 66

Gibbs (J. Willard), 7
Golston (Daniel), 57
Goresky (Mark), 43
Graphe, 15
Graphe orienté acyclique, 33
Graphe planaire, 25
Graphe sommet-transitif, 15
Gravité quantique, 95
Green (Ben J.), 54
Gross (Benedict), 120
Grothendieck (Alexandre), 32
Groupe, 40
Groupe abélien, 116
Groupe algébrique, 116
Groupe cyclique, 117
Groupe de Coxeter, 42
*Groupe de décomposition, 128*
Groupe de Galois, 113
Groupe de Galois absolu, 123
Groupe de Heisenberg, 153
Groupe de renormalisation, 19
*Groupe de type fini, 116*
Groupe des classes d'idéaux, 115
Groupe discret, 69
Groupe fini, 116
Groupe fondamental, 114
Guthrie (Francis), 32

Haken (Wolfgang), 32
Hales (Thomas), 66
Hammersley (John M.), 3
Hardy (Godfrey H.), 50
Harris (Joe), 130
Harris (Michael), 128
Hauteur, 120
Heath-Brown (Roger), 52
Helfgott (Harald), 54
Hermitien, 149
Hodge (William V. D.), 31
*Homologie d'intersection, 43*
Homologie et cohomologie, 41
Homotopie, 24
Huffman (David A.), 99
Huh (June), 30
Hurwitz (Adolf), 122
Hyperplan, 34
Hypothèse de Riemann, 49
Hypothèse de Riemann généralisée, 58

Idéal, 34
Indépendance linéaire, 34
Indice d'un sous-groupe, 81
Inégalité de Hausdorff-Young, 151
Inégalité de Hölder, 151
Inégalité de Poincaré, 151
Inégalité de Young pour la convolution, 150
Inégalité isopérimétrique, 44
Information quantique, 137
Injection, 40
Institut de mathématiques Steklov, 158
Institut des hautes études scientifiques, 113
Intégrabilité, 71
Intégrale de contour, 83
Intégration par changement de variable, 84
Interpolation, 74
Invariant de nœuds, 114
Irrationnel quadratique, 62
Isogénie, 116
Isométrie, 25
Isomorphisme, 117
Isomorphisme de groupes, 116
Iwaniec (Henryk), 59
Iwasawa (Kenkichi), 115

j-invariant, 117
Jacobi (Carl Gustav Jakob), 93

K-théorie, 126
Kahane (Jean-Pierre), 76
Kantorovitch (Leonid), 24
Kato (Kazuya), 126
Katz (Eric), 31
Katz (Nicholas M.), 113
Kazhdan (David), 42
Kolyvagin (Victor), 120
Koniaguine (Sergueï), 61
Koukoulopoulos (Dimítris), 62
Krivine (Jean-Louis), 109
*Kronecker Jugendtraum*, 131

Lamé (Gabriel), 122
Landau (Edmund), 49
Lang (Serge), 130
Laplacien, 7
Legendre (Adrien-Marie), 123
Lemme de Fatou, 152
Leopoldt (Heinrich-Wolfgang), 115
Levi (Beppo), 116
Lewin (Mathieu), 144
Lie (Sophus), 70

Lieb (Elliott), 13
Limite thermodynamique, 141
Littlewood (John E.), 50
Loewner (Charles), 9
Logique mathématique, 35
Loi de probabilité marginale, 25
Loi de réciproité quadratique, 114
Loi gaussienne (ou loi normale), 3
Loi jointe, 3
Loomis (Lynn H.), 151
Lusztig (George), 42
Luttinger (Joaquin), 154

MacPherson (Robert), 41
Maille, 68
Marche aléatoire, 22
Marche auto-évitante, 23
Massey (William S.), 115
Mathématiques appliquées, 151
Mathématiques pures, 67
Mathématiques tropicales, 41
Matomäki (Kaisa), 54
Matoušek (Jiří), 33
Matrice, 78
Matrice d'incidence, 38
Matrice densité, 143
*Matrice diagonale par blocs*, 14
Matrice hermitienne positive, 149
*Matrice irréductible*, 14
Matroïde, 30
*Matroïde graphique*, 35
Matroïde représentable, 30
Mauduit (Christian), 55
Maynard (James), 48
Mazur (Barry), 111
Mécanique quantique, 137
Médaille Chern, 111
Médaille de l'abaque, 97
Médaille de Fields, 1
Merel (Loïc), 116
Mesure de comptage, 2
Mesure de Lebesgue, 17
Mesure de probabilité, 2
Méthode de descente infinie, 119
Méthode de Hartree-Fock, 143
Méthode du cercle de Hardy-Littlewood,
50
Milnor (John), 34
Mineur, 33
Modèle à six sommets, 13
Modèle d'Ising, 6
Modèle de Hubbard, 154
Modèle de Thomas-Fermi, 140
*Module de Tate*, 120
Module semi-simple, 127
Monge (Gaspard), 25
Moser (Leo), 41
Motif, 114
Motzkin (Théodore S.), 31
Multiplication complexe, 117

Nachtergaele (Bruno), 153
Nash (John F.), 112
Nelson (Edward), 17
Nœud, 112
Nombre algébrique, 63
Nombre d'or, 62
Nombre de Mersenne premier, 56
Nombre irrationnel, 62
Nombre premier, 48
Nombre rationnel, 80
Nombre transcendant, 63
Nombres premiers jumeaux, 49
Norme (théorie des corps), 53
Norme d'opérateur, 151

Okounkov (Andreï), 32
Onsager (Lars), 11
Opérateur, 143
Opérateur autoadjoint, 139
Opérateur de Hecke, 120
Opérateur non borné, 139
Optimisation, 35
Ordinateur quantique, 149
Orthogonalité, 83
Osterwalder (Konrad), 16
Ouvert, 141

Parité d'une fonction, 72
Partie dense, 112
Physique mathématique, 137
Physique statistique, 1
Pintz (János), 57
Plan complexe, 38
Plan de Fano, 38
Poénaru (Valentin), 112
Point d'accumulation, 57
Point de Heegner, 120
Pôle, 84
Polygone de Newton, 113

Polylogarithmique, 103
Polynôme, 33
Polynôme chromatique, 30
Polynôme d'Alexander, 115
Polynôme de Kazhdan-Lusztig, 40
Polynôme de Tutte, 32
Polynôme homogène, 53
Polytope, 33
*Presque partout*, 152
Principe d'exclusion de Pauli, 139
Principe d'incertitude, 76
Principe local-global, 131
Prix Carl-Friedrich-Gauss, 137
Prix Lîlāvatī, 157
Prix Oswald-Veblen, 112
Probabilité, 4
Probabilité conditionnelle, 15
Procesi (Claudio), 37
Processus de Markov, 56
Processus de Poisson, 56
Produit scalaire, 38
Produit tensoriel, 150
Programmation linéaire, 104
Programme de Langlands, 114
Projet Polymath, 59
Prolongement analytique, 86
Propriété de Markov, 23

Quartique de Klein, 121

Racine carrée de deux, 62
Racine d'un polynôme, 33
Ramanujan (Srinivasa), 77
Ramification, 115
Rang, 69
*Rang d'un matroïde*, 31
Rang d'un groupe, 126
Rankin (Robert A.), 61
Rayon, 16
Read (Ronald C.), 30
Réarrangement symétrique décroissant, 150
Récurrence, 33
Rédei (László), 115
Réflexion, 2
Réprésentation galoisienne, 114
Réprésentation irréductible, 6, 123
Réseau, 2
Réseau de Leech, 67
Ribet (Kenneth A.), 123
Riemann (Bernhard), 31

Rota (Gian-Carlo), 30

Rotation, 2

Rubin (Karl), 130

Ryser (Herbert J.), 38

Sarnak (Peter), 68

Schaeffer (Albert), 63

Schéma, 114

Schramm (Oded), 9

Schrödinger (Erwin), 139

Schwartz (Laurent), 17

Seiringer (Robert), 144

Série convergente, 14

Série d'Eisenstein, 77

Série de Fourier, 80

Série entière, 115

Série génératrice, 81

Serre (Jean-Pierre), 123

Seymour (Paul), 36

Shannon (Claude), 99

Shimura (Gorō), 127

Siegel (Carl L.), 126

Sigal (Israel M.), 147

Simon (Barry), 142

Singularité, 34

Singularité effaçable, 86

Smirnov (Stanislav K.), 24

Sobolev (Sergueï L.), 145

Société américaine de mathématiques, 112

Soergel (Wolfgang), 42

Somme connexe, 112

Somme de Minkowski, 42

Sommet, 25

Sous-additivité, 138

Sous-ensemble, 2

Sous-espace stable, 84

Sous-espace vectoriel, 14

Sous-graphe, 27

Sous-groupe, 69

Sous-suite, 8

Sperner (Emanuel), 33

Sphère, 43

Sphère cornue d'Alexander, 112

Stanley (Richard P.), 33

Stark (Harold), 127

Structure de Hodge, 41

Suite centrale descendante, 115

Support de fonction, 21

Surface de Riemann, 122

Swinnerton-Dyer (Peter), 125

Symétrie et antisymétrie, 139

Système d'Euler, 128

Tao (Terence), 54

Tate (John), 114

Teissier (Bernard), 37

Théorème central limite, 3

Théorème d'approximation de Dirichlet, 62

Théorème d'inversion de Fourier, 72

Théorème d'Iwaniec-Richert, 52

Théorème de Bombieri-Vinogradov, 58

Théorème de Borel-Cantelli, 63

Théorème de Chen, 52

Théorème de Green-Tao, 54

Théorème de Jordan, 112

Théorème de Lefschetz, 31

Théorème de Mordell-Weil, 116

Théorème de Newton, 141

Théorème de Pappus, 39

Théorème de Perron-Frobenius, 14

Théorème de Radon-Nikodym, 17

Théorème de Roth, 63

Théorème de Schoenflies généralisé, 112

Théorème de Sylvester-Gallai, 38

Théorème des nombres premiers, 48

Théorème des quatre couleurs, 32

Théorème fondamental de l'arithmétique, 122

Théorie analytique des nombres, 48

Théorie conforme des champs, 6

Théorie d'Iwasawa, 124

Théorie de Hodge, 30

Théorie de l'approximation, 158

Théorie de l'homotopie, 114

Théorie de l'information, 66

Théorie de l'intersection, 37

Théorie de la complexité, 97

Théorie de la fonctionnelle de la densité, 143

Théorie de la percolation, 5

Théorie des codes, 73

Théorie des corps de classes, 115

Théorie des cribles, 51

Théorie des graphes, 32

Théorie des nœuds, 114

Théorie des nombres, 42

Théorie des probabilités, 1

Théorie des représentations, 42

Théorie quantique des champs, 16
Théorie spectrale, 131
Thomas (Llewellyn), 142
Thue (Axel), 66
Topologie, 111
Topologie arithmétique, 115
*Topologie de Zariski*, 129
Topologie étale, 114
Topologie faible, 24
Topologie géométrique, 112
Tore, 17
Torsion, 115
Tour de corps, 125
Trace, 149
Traitement du signal, 72
Transformation conforme, 6
Transformation de Fourier, 12
Transformation de Laplace, 86
Transformée intégrale, 83
Translation, 2
Treillis de Young, 33
Tribu, 15
Turán (Pál), 80
Tutte (William), 32

Union, 70
Union mathématique internationale, 97

Valeur propre et vecteur propre, 14
Valuation, 113
Variable aléatoire, 3
Variété, 2
Variété abélienne, 119
Variété algébrique, 37
Variété algébrique non singulière, 42
Variété différentielle, 112
Variété jacobienne, 119
Variété kählérienne, 42
Variété projective, 38
Variété torique, 37
Vaughan (Robert C.), 64
Vazirani (Umesh), 44
Vecteur unitaire, 108
Venkatesh (Akshay), 128
Viazovska (Maryna), 66
Vinogradov (Ivan M.), 54

Weil (André), 119
Weyl (Hermann), 131
Whitney (Hassler), 32
Wick (Gian-Carlo), 17

Wigner (Eugene P.), 149
Wiles (Andrew), 120
Williamson (Geordie), 42
Wilson (Richard), 39

Yao (Andrew), 97
Yau (Horng-Tzer), 148
Yıldırım (Cem Y.), 57
Yngvason (Jakob), 148
Young (William H.), 151

Zagier (Don), 120
Zhang (Yitang), 59
Ziegler (Tamar), 54
Ce recueil regroupe les traductions en français des éloges des lauréats de la médaille Fields, de la médaille de l'abaque, de la médaille Chern, du prix Gauss et du prix Līlāvatī lors du congrès international des mathématiciens de 2022. Il donne donc un petit aperçu de ce à quoi ressemblent les mathématiques contemporaines.

ISBN : 979-10-426-5384-2

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12 €