**Exemples:** vitesses de propagation de l'onde élastique longitudinale dans un solide, liquide, gaz acier (solide): $\rho_0 = 7800 \text{ kg m}^{-3}$, $E = 2 \times 10^{11} \text{ Pa}$, $C_s = 5000 \text{ m s}^{-1}$

eau (liquide): $\rho_0 = 1000 \text{ kg m}^{-3}$, $E = 2 \times 10^9 \text{ Pa}$, $C_s = 1400 \text{ m s}^{-1}$

air (gaz): $\rho_0 = 1.3 \text{ kg m}^{-3}$, $E = 1.4 \times 10^5 \text{ Pa}$, $C_s = 330 \text{ m s}^{-1}$

# XI - Chocs hydrodynamiques (relations de Rankine Hugoniot) et chocs MHD droits

## 1 – choc hydrodynamique

Nous traitons un choc comme une discontinuité de vitesse, température, densité et pression. En amont, le nombre de Mach (rapport de la vitesse du fluide à la vitesse du son) est supérieur à l'unité. Un choc engendre une compression du plasma en aval. Appelons $v_1$, $P_1$, $\rho_1$ les vitesse, pression, masse volumique en amont du choc, et $v_2$, $P_2$, $\rho_2$ les vitesse, pression, masse volumique en aval du choc. On s'intéresse au régime stationnaire monodimensionnel adiabatique (axe Ox).

La conservation de la masse div($\rho\mathbf{v}$) = 0 donne $\rho\mathbf{v}$ = constante, donc

$$ \rho_1 v_1 = \rho_2 v_2 $$

L'équation du mouvement $\rho \mathbf{v} \cdot \mathrm{grad}(\mathbf{v}) + \mathrm{grad} \rho = 0$ donne

$$ \rho_1 v_1^2 + P_1 = \rho_2 v_2^2 + P_2 $$

L'équation de conservation de l'énergie div[(H + ½ ρv²) v] = 0 (adiabatique) donne :

$(H_1 + \frac{1}{2} \rho_1 v_1^2) v_1 = (H_2 + \frac{1}{2} \rho_2 v_2^2) v_2$, par unité de volume (J/m³)

Comme $\rho_1 v_1 = \rho_2 v_2$, on obtient avec l'enthapie massique du gaz parfait $h = H/\rho = [\gamma/(\gamma-1)] P/\rho$ :

$h_1 + \frac{1}{2} v_1^2 = h_2 + \frac{1}{2} v_2^2$, cette fois ci par unité de masse (J/kg), c'est-à-dire :

$$ [\gamma/(\gamma-1)] P_1/\rho_1 + \frac{1}{2} v_1^2 = [\gamma/(\gamma-1)] P_2/\rho_2 + \frac{1}{2} v_2^2 $$

En fonction du nombre de Mach incident $M_1 = v_1/Cs_1$ où $Cs_1 = (\gamma P_1/\rho_1)^{1/2}$ est la vitesse du son incidente, on obtient pour $M_1 > 1$,

les relations de Rankine Hugoniot :

$$ v_1/v_2 = \rho_2/\rho_1 = (\gamma+1) M_1^2 / [2 + M_1^2 (\gamma-1)] > 1 $$

$$ P_2/P_1 = [2 \gamma M_1^2 - (\gamma-1)] / (\gamma+1) > 1 \quad (\text{compression}) $$

$$ M_2^2 = [M_1^2 (\gamma-1) + 2] / [2 \gamma M_1^2 - (\gamma-1)] < 1 \quad (\text{subsonique}) $$

$$ T_2/T_1 = (P_2/P_1) / (\rho_2/\rho_1) > 1 \quad (\text{chauffage}) $$

$$ S_2 - S_1 = \frac{nR}{\gamma-1} \ln\left[\frac{P_2/P_1}{(\rho_2/\rho_1)^\gamma}\right] > 0 $$

<figure><img src="image_87.png" /></figure>

Ci dessus, $S = nR/(\gamma-1) \ln[P/\rho^\gamma]$ est l'entropie de n moles de gaz parfait (R constante des gaz parfaits). Lorsque $M_1$ varie de 1 à l'infini :

$$ \begin{cases} 1 < v_1/v_2 = \rho_2/\rho_1 < (\gamma+1)/(\gamma-1) & (\text{maximum 4 pour } \gamma = 5/3 \text{ ou } 6 \text{ pour } \gamma = 7/5) \\ 1 < P_2/P_1 < \infty & (\text{compression}) \\ 1 < T_2/T_1 = (P_2/P_1) / (\rho_2/\rho_1) < \infty & (\text{chauffage puisque } T_2/T_1 > 1) \end{cases} $$
<figure><img src="image_88.png" /></figure>

Onde de choc de Moreton déclenchée par une éruption dans l'atmosphère solaire. Observations SOHO EIT, raie du fer ionisé (Fe XII) à 19.5 nm de longueur d'onde (extrême ultra violet). L'onde peut se déplacer jusqu'à 500 km/s et balayer la surface du soleil en 10 minutes.

<figure><img src="image_89.png" /></figure>

Observations SDO, raie du fer ionisé (Fe XII) à 19.5 nm de longueur d'onde (extrême ultra violet).

<figure><img src="image_90.png" /></figure>

Rapports $\rho_2/\rho_1$ (noir) et $P_2/P_1$ (rouge) en fonction du nombre de Mach amont (> 1). Il y a compression. $\rho_2/\rho_1 > 1$ et $P_2/P_1 > 1$.
<figure><img src="image_91.png" /></figure>

Rapport T₂/T₁ et variation d'entropie par mole S₂ - S₁ en fonction du nombre de Mach amont (> 1). Le choc adiabatique s'accompagne d'une augmentation d'entropie et de chauffage (T₂/T₁ > 1), c'est une transformation irréversible.

On notera que les relations de Rankine Hugoniot sont aussi valables pour un choc en mouvement se déplaçant à la vitesse $v_1$, le milieu 1 étant au repos et le milieu 2 se dirigeant vers le choc à la vitesse $v_1 - v_2$. C'est ce qui se produit lors d'une explosion. La force exercée par le choc sur une surface S est $F = (P_2 - P_1) S$ et peut être considérable, donc destructrice. Par exemple, si $M_1 = 1.5$ pour de l'air, on trouve $M_2 = 0.7$, $\rho_2/\rho_1 = 1.9$, $P_2/P_1 = 2.5$, donc si l'une des pressions est la pression atmosphérique, on obtient une force de $1.5 \times 10^5 \text{ N/m}^2$, l'équivalent de 15 tonnes/m². Pour l'élévation de température, le facteur est 1.3, si l'on part de 300K, on monte à 400 K.

<figure><img src="image_92.png" /></figure>

## 2 - chocs MHD perpendiculaires

On traitera uniquement les chocs perpendiculaires non dissipatifs (conductivité infinie), de direction orthogonale à celle du champ magnétique, intervenant sous la forme d'une discontinuité de vitesse, température, densité, pression et champ magnétique. En amont, le nombre de Mach est supérieur à l'unité. Le choc engendre une compression du plasma en aval qui est limitée par la présence du champ magnétique. Appendons $v_1$, $P_1$, $\rho_1$, $B_1$ les vitesse, pression, masse volumique, champ magnétique en amont du choc, et $v_2$, $P_2$, $\rho_2$, $P_2$ les vitesse, pression, masse volumique, champ magnétique en aval.

La conservation de la masse div($\rho v$) = 0 donne $\rho_1 v_1 = \rho_2 v_2$

L'équation du mouvement

$\rho v \cdot \text{grad}(v) = - \text{grad} P + j \wedge B$

fait appel à la formulation de la force de Laplace donnée
auparavant dans le repère de Frênet, soit :

$f = j \wedge B = - \text{grad} \perp (B^2/2\mu_0) + n B^2/(\mu_0 R)$

expression dans laquelle le rayon de courbure est infini.

<figure><img src="image_93.png" /></figure>
$$z \qquad \mathrm{grad}_{\perp} = \partial/\partial x$$

Dans la direction x de la figure, orthogonale aux lignes de force des champs magnétiques, on obtient alors : $ρ v \mathrm{grad}⊥(v) = - \mathrm{grad}⊥ P - \mathrm{grad}⊥(B^2/2μ_0)$

Comme $ρv$ = constante, cette équation devient : $\mathrm{grad}⊥(ρ v^2 + P + B^2/2μ_0) = 0$ d'où :

$$ρ_1 v_1^2 + P_1 + B_1^2/2μ_0 = ρ_2 v_2^2 + P_2 + B_2^2/2μ_0$$

La conservation du flux magnétique (div $B = 0$) impose d'avoir $B v = \text{constante}$, donc

$$B_1 v_1 = B_2 v_2$$

L'équation se conservation d'énergie (ou puissance par unité de volume en W/m³) :

$$\mathrm{div}[(H + \frac{1}{2} \rho v^2) \mathbf{v}] = \mathbf{f} \cdot \mathbf{v} = (\mathbf{j} \wedge \mathbf{B}) \cdot \mathbf{v}$$

fait aussi appel à la formulation de la force de Laplace donnée ci dessus :

$$\mathbf{j} \wedge \mathbf{B} = - \mathrm{grad}⊥(B^2/2μ_0) + \mathbf{n} B^2/(μ_0 R)$$

dans laquelle le rayon de courbure est infini. Dans la direction x orthogonale aux lignes de force, on obtient alors :

$$\mathrm{div}[(H + \frac{1}{2} \rho v^2) \mathbf{v}] = - \mathbf{v} \cdot \mathrm{grad}⊥(B^2/2μ_0), \text{ soit dans la direction Ox :}$$

$$\partial/\partial x [(H + \frac{1}{2} \rho v^2) \mathbf{v}] + \mathbf{v} \partial/\partial x(B^2/2μ_0) = 0,$$

$$\partial/\partial x [(H + \frac{1}{2} \rho v^2) \mathbf{v}] + \mathbf{v} \mathbf{B} \partial/\partial x(B/μ_0) = 0$$

Comme $B v = \text{constante}$, celà permet de simplifier l'équation ci dessus sous la forme :

$$\partial/\partial x [(H + \frac{1}{2} \rho v^2) \mathbf{v} + \mathbf{v} B^2/μ_0] = 0, \text{ d'où l'on déduit finalement :}$$

$$(H_1 + \frac{1}{2} \rho_1 v_1^2 + B_1^2/μ_0) v_1 = (H_2 + \frac{1}{2} \rho_2 v_2^2 + B_2^2/μ_0) v_2$$

L'enthalpie par unité de volume vaut $H = U + P = P \gamma / (γ - 1)$, avec $γ = 5/3$ pour un gaz monoatomique. On doit donc résoudre le système d'équations suivant :

$ρ_1 v_1 = ρ_2 v_2$ (conservation de la masse)

$B_1 v_1 = B_2 v_2$ (conservation du flux magnétique)

$ρ_1 v_1^2 + P_1 + B_1^2/2μ_0 = ρ_2 v_2^2 + P_2 + B_2^2/2μ_0$ (conservation du mouvement)

$(P_1 \gamma / (γ - 1) + \frac{1}{2} ρ_1 v_1^2 + B_1^2/μ_0) v_1 = (P_2 \gamma / (γ - 1) + \frac{1}{2} ρ_2 v_2^2 + B_2^2/μ_0) v_2$ (conservation énergie)

connaissant en entrée $M_1 = v_1/Cs_1$ où $Cs_1 = γP_1/ρ_1$ est la vitesse du son, avec $M_1 > 1$, et $β_1 = P_1 / (B_1^2/2μ_0)$, les inconnues sont $X = ρ_2/ρ_1 = v_1/v_2 = B_2/B_1$ ainsi que $P_2/P_1$. L'équation du mouvement permet d'exprimer $P_2/P_1$ en fonction de $X$ et des données $M_1$ et $β_1$ :

$$P_2/P_1 = \gamma M_1^2 (1 - X^{-1}) + 1 + β_1^{-1} (1 - X^2)$$

L'équation de conservation de l'énergie fournit une équation supplémentaire dans laquelle on injecte $P_2/P_1$ en fonction de $X$ et on aboutit à une équation du second degré en $X$, qui dépend des données $M_1$ et $β_1$ et qui n'admet qu'une seule racine positive :

$$2 X^2 (2 - \gamma) + X \gamma (2 \beta_1 + \beta_1 (\gamma - 1) M_1^2 + 2) - \beta_1 \gamma (\gamma + 1) M_1^2 = 0$$

Le choc ne se produit que si $X > 1$. Il est facile de montrer que cette condition se traduit par la somme des trois coefficients de l'équation du second degré négative, soit :

$$2 (2 - \gamma) + \gamma (2 \beta_1 + \beta_1 (\gamma - 1) M_1^2 + 2) - \beta_1 \gamma (\gamma + 1) M_1^2 < 0$$

ce qui donne après regroupement :

<figure><img src="image_94.png" /></figure>
$$4 + 2 \gamma \beta_1 - 2 \gamma \beta_1 M_1^2 < 0, \text{ soit } M_1^2 > 1 + 2/(\gamma \beta_1)$$

De $M_1 = v_1 / Cs_1$, $\beta_1 = P_1 / (B_1^2/2\mu_0)$, $Cs_1^2 = \gamma P_1 / \rho_1$, $Ca_1^2 = B_1^2 / (\mu_0 \rho_1)$ vitesse d'Alfven, on en déduit que :

$$v_1 > (Cs_1^2 + Ca_1^2)^{1/2}$$

Le choc ne se produit donc que si la vitesse amont est **supérieure** à celle du mode MHD **rapide**.

<figure><img src="image_95.png" /></figure>

Variations de $X = \rho_2/\rho_1 = v_1/v_2 = B_2/B_1$ en fonction du nombre de Mach $M_1$ (à gauche) et de $P_2/P_1$ (à droite) pour plusieurs valeurs de $\beta_1 = 1$ (—), 0.3 (---), 0.1 (---) ; la courbe la plus haute, en rouge, est la solution asymptotique que l'on obtient à l'aide des relations de Rankine Hugoniot en l'absence de champ magnétique. Le choc MHD ne se produit que si $M_1^2 > 1 + 2/(\gamma \beta_1)$, c'est-à-dire pour $M_1 > 1.48, 2.23$ et $3.80$ respectivement pour $\beta_1 = 1, 0.3$ et $0.1$. Les champs magnétiques modèrent donc les chances d'avoir un choc en élevant le nombre de Mach amont $M_1$.

## XIII - Exemple d'écoulement transsonique : le vent solaire (solution de Parker)

On s'intéresse maintenant à l'écoulement du vent solaire, constitué de particules (protons, électrons) qui s'échappent du soleil en permanence vers le milieu interplanétaire, qui a la particularité d'être transsonique (subsonique près du Soleil avec $M < 1$, puis supersonique avec $M > 1$). Les équations fondamentales, en régime stationnaire, et en négligeant toute force magnétique, ainsi que toute source d'énergie, ont été établies précédemment :

$$ 
\begin{cases} 
\operatorname{div}(\rho \mathbf{v}) = 0 \\ 
\rho \mathbf{v} \cdot \operatorname{grad}(\mathbf{v}) = - \operatorname{grad} P + \rho g 
\end{cases} 
$$

avec $P = 2 \rho$ kT/m, loi des gaz parfaits (m est la masse atomique du proton, le facteur 2 provient du fait que le milieu est **totalement ionisé** dans la couronne solaire); on supposera que le milieu est **isotherme** ($T$ = constante), ce qui donne 3 équations à 3 inconnues, $P$, $\rho$ et $v$.

On se place dans un système de coordonnées sphériques, dans lequel la seule variable est $r$. Le vecteur vitesse est purement radial. La gravité dépend de $r$ (loi de Newton $g = - KM/r^2$). Dans ce cas, $\operatorname{div}(\rho\mathbf{v}) = 1/r^2 \frac{d}{dr}(r^2\rho\mathbf{v}) = 0$ ; on en déduit :

$$r^2 \rho v = \text{constante} \quad (= \rho_0 v_0 r_0^2)$$

L'équation du mouvement devient : $\rho v dv/dr = - dP/dr - \rho KM/r^2$

$M$ est la masse du soleil. On choisit $v$ comme variable, et on exprime $\rho$ et $P$ en fonction de $v$ :
$$ \rho = \rho_0 v_0 r_0^2 / (v r^2) $$

et

$$ P = 2 \rho \text{ kT/m} = 2 (\text{kT/m}) \rho_0 v_0 r_0^2 / (v r^2) $$

avec les condition aux limites suivantes à la surface du soleil de rayon $r_0$: $\rho = \rho_0$ et $v = v_0$.

L'équation du mouvement s'écrit:

$$ dv/dr \left(v - \frac{v_s^2}{v}\right) = 2 \frac{v_s^2}{r} - \left(\frac{v_1^2}{2}\right) \left(\frac{r_0}{r^2}\right) $$

$$ \begin{cases} \text{où } v_s = (2 \text{ kT/m})^{1/2} \text{ est la vitesse isotherme du son} \\ \text{et } v_1 = (2 \text{KM/r}_0)^{1/2} \text{ est la vitesse de libération du corps attractif} \end{cases} $$

*Remarque:* on trouve $v_1$ en écrivant que la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle en $r = r_0$ (rayon du soleil) est égale à celle que l'on aurait à l'infini, c'est à dire nulle :

$$ \frac{1}{2} m v_1^2 - K m \frac{M}{r_0} = 0 + 0 \quad (\text{à l'infini}) $$

d'où l'expression de $v_1 = (2\text{KM}/r_0)^{1/2}$. La vitesse de libération est donc la vitesse minimale d'éjection de la surface solaire pour échapper à l'attraction du soleil. Elle est de 600 km s⁻¹, très supérieure à celle du son.

L'équation différentielle s'intègre facilement :

$$ \frac{1}{2} (v^2 - v_0^2) - v_s^2 \ln(v/v_0) = 2 v_s^2 \ln(r/r_0) + (v_1^2/2) (r_0/r - 1) $$

L'équation différentielle admet une **singularité** lorsque le terme de gauche et le terme de droite sont nuls **simultanément** : $v = v_s$ et $r = r_s = \frac{1}{4} r_0 (v_1/v_s)^2$

La solution est alors **transsonique** ($v < v_s$ pour $r < r_s$ et $v > v_s$ pour $r > r_s$). Cette solution est atteinte seulement pour la condition initiale $v_0$ telle que :

$$ \frac{1}{2} (v_s^2 - v_0^2) - v_s^2 \ln(v_s/v_0) = 2 v_s^2 \ln(\frac{1}{4} (v_1/v_s)^2) + (v_1^2/2) (4(v_s/v_1)^2 - 1) $$

Numériquement, avec $T = 1.5 \ 10^6$ K (température de la couronne solaire), $M = 2 \ 10^{30}$ kg (masse du soleil), $r_0 = 700000$ km (rayon du soleil), $m = 1.67 \ 10^{-27}$ kg (masse du proton), $k = 1.38 \ 10^{-23}$ (constante de Boltzman), $K = 6.67 \ 10^{-11}$ (constante de gravitation), on a:

$$ \begin{cases} v_s = 157 \text{ km/s} \\ v_1 = 600 \text{ km/s} \end{cases} \text{ dont on déduit } r_s = 3.9 r_0. $$

Dans ce modèle, l'écoulement devient supersonique pour $r_s = 4 r_0 = 4$ rayons solaires lorsque $v_0$ satisfait l'équation ci dessus, ce qui donne $v_0 = 6.3$ km/s (c'est une vitesse réaliste).

A grande distance du soleil, on a les solutions asymptotiques :

$$ v = 2 v_s \left[ \ln(r/r_0) \right]^{1/2} \text{ et } \rho = \rho_0 v_0 r_0^2 / \left[ 2 v_s r^2 \left( \ln(r/r_0) \right)^{1/2} \right] $$

Ce sont des fonctions à variation spatiale lente. A l'orbite de la Terre (1 UA = 150 millions de km), cette solution asymptotique donne 365 km/s (la valeur observée est voisine de 400 km/s).
La masse volumique observée y est voisine de $\rho = 1.7 \ 10^{-20} \text{ kg m}^{-3}$. La solution de Parker permet de calculer la masse volumique dans la couronne à la naissance du vent solaire à partir des mesures à 1 UA par la relation $\rho_0 = r^2 \rho v / (r_0^2 v_0)$, ce qui donne $\rho_0 = 5 \ 10^{-14} \text{ kg m}^{-3}$.

La situation réelle est plus complexe en raison du champ magnétique solaire et de la rotation de l'étoile. Le mouvement radial des particules se combine à la rotation du Soleil, et le fluide emporte avec lui les lignes de champ magnétique solaires qui forment une spirale (la spirale de Parker) non plane, avec une alternance de secteurs à polarité N ou S dans le plan de l'écliptique.

<figure><img src="image_96.png" /></figure>

Solutions de Parker $v/v_s(r)$ du vent solaire selon les valeurs de la vitesse initiale $v_0$ ; la solution transsonique (subsonique dans la basse couronne, puis supersonique) est la seule convenable.

Le vent solaire permanent est souvent doublé d'une composante sporadique, celle des éjections de masse coronale lors des phases actives (éruptions)

<figure><img src="image_97.png" /></figure>

## XIV – Exemple d'écoulement transsonique : la tuyère convergente divergente

La tuyère convergente divergente est utilisée dans les moteurs fusée, pour éjecter des gaz à grande vitesse. Le principe a été établi par l'ingénieur suédois Laval à la fin du XIXème siècle. La tuyère est composée d'une section convergente subsonique (nombre de Mach M < 1), où la vitesse augmente jusqu'au col pour atteindre la vitesse du son (M = 1). Dans la partie divergente, la vitesse est supersonique (M > 1) et continue de croître progressivement jusqu'à la sortie. L'écoulement est donc transsonique. En général, la pression d'entrée est élevée et la vitesse d'entrée faible ; par contre, en sortie, la pression est la pression atmosphérique (1 bar) et la vitesse des gaz est supersonique.

Soit x l'abscisse d'un point sur l'axe Ox de la tuyère. Appelons S(x) la section (connue) de la tuyère, v(x) la vitesse de l'écoulement le long de son axe, P(x) la pression et ρ(x) la masse volumique. On se place en régime **stationnaire**.
<figure><img src="image_98.png" /></figure>

La relation qui lie $\rho$, $v$ et $S$ (conservation de la masse) est issue de $\text{div}(\rho v) = 0$, soit pour un écoulement selon $Ox$ de section $S(x)$ faiblement variable : $1/S \text{d}(\rho v S)/dx = 0$, d'où
$\rho v S = \text{constante} = \rho_0 v_0 S_0$

La seconde équation est celle d'Euler qui lie $\rho$, $v$, $dv/dx$ et $dP/dx$ (on néglige la pesanteur) le long de l'axe $Ox$ : $\rho v dv/dx = - dP/dx$

On suppose l'écoulement _isentropique_ de sorte que $P/\rho^\gamma = \text{constante}$ où $\gamma$ est l'exposant adiabatique.
Il en découle :

$dP/P = \gamma dp/\rho$, donc $dP/dx = (\gamma P/\rho) dp/dx = Cs^2 dp/dx$

où $Cs = (\gamma P/\rho)^{1/2} = (\gamma RT/M)^{1/2}$ est la vitesse locale du son (elle varie le long de l'écoulement en fonction de la température $T$, $R$ est la constante des gaz parfaits et $M$ la masse molaire)

En reportant dans l'équation d'Euler :

$\rho v dv/dx = - Cs^2 dp/dx$

L'équation de conservation de la masse fournit $dp/\rho = -dv/v - dS/S$, qu'on reporte dans l'équation d'Euler :

$v dv/dx = Cs^2 (1/v dv/dx + 1/S dS/dx)$, et en multipliant par $v$ :

$(v^2/Cs^2) dv/dx = dv/dx + v/S dS/dx$

On obtient finalement une équation pour $v(x)$ à $S(x)$ connu :

$$ (dv/dx) (M^2 - 1) = (v/S) (dS/dx) \quad \text{ou} \quad (M^2(x) - 1) \frac{d[\ln(v)]}{dx} = \frac{d[\ln(S)]}{dx} \quad \text{relation d'Hugoniot} $$

où $M(x) = v(x)/Cs(x)$ est le nombre de Mach local à l'abscisse $x$. On en conclut :

- pour que $v(x)$ croisse dans la section convergente ($dS/dx < 0$), il faut $M < 1$ (section subsonique)

- Pour que $v(x)$ croisse dans la section divergente ($dS/dx > 0$), $M > 1$ (section supersonique)

- une section convergente accélère un mouvement subsonique mais ralentit un mouvement supersonique

- une section divergente accélère un mouvement supersonique mais ralentit un mouvement subsonique
L'équation d'Hugoniot permet de calculer $v(x)$ connaissant $S(x)$ à condition de connaître $Cs(x)$ qui dépend de la température $T(x)$. On doit ajouter l'équation de conservation de l'énergie massique :

$$h + v^2/2 = \text{constante avec } h = [\gamma/(\gamma-1)] R T / M \text{ (enthalpie massique)} \quad \text{(en J/kg)}$$

C'est le principe de la *tuyère de Laval*, qui fonctionne en régime transsonique, subsonique dans la partie convergente, sonique au col puis supersonique dans la partie divergente. Ce dispositif permet d'éjecter des gaz à la vitesse de plusieurs milliers de m/s. Nous allons étudier cela sur l'exemple d'un moteur fusée suivant.

## Un exemple de tuyère convergente divergente : un moteur fusée

Le moteur Vulcain de la fusée Ariane 5 brûle de l'oxygène $O_2$ et de l'hydrogène $H_2$ produisant de la vapeur $H_2O$ à la température de 3570 K sous pression de 110 bars dans la chambre de combustion. Les gaz pénètrent dans une tuyère convergente divergente ; l'écoulement dans la tuyère est transsonique (subsonique à l'entrée, supersonique en sortie, sonique au col) et s'accompagne d'une détente et d'une chute de température.

A l'abscisse $x$ le long de la tuyère, on désigne par $V(x)$, $Cs(x) = [\gamma RT(x)/M]^{1/2}$, $P(x)$, $T(x)$, $\rho(x)$, $S(x)$ respectivement la vitesse du fluide, vitesse du son, pression, température, masse volumique, et section droite (surface) de la tuyère. L'écoulement se fait sans échange de chaleur ; on le considère comme isentropique. Les équations régissant l'écoulement sont :

conservation de la masse: $\rho v S = \text{constante}$

loi des gaz parfaits: $P = \rho R T / M$

transformation isentropique: $P/\rho^{\gamma} = \text{constante}$

conservation de l'énergie: $h + v^2/2 = \text{constante}, h = [\gamma/(\gamma-1)] R T / M \text{ (enthalpie massique)}$

### Constantes et données utiles :

$\gamma = 1.3$ (exposant adiabatique), $M = 0.018$ kg (masse molaire de l'eau)

$R = 8.314$ J K$^{-1}$ mole$^{-1}$ (constante des gaz parfaits)

Entrée de la tuyère (indice e) :

Pression : $P_e = 110$ bars

Température : $T_e = 3570$ K

Sortie de la tuyère (indice s) :

Vitesse : $v_s = 3340$ m s$^{-1}$

Diamètre : $D_s = 1.76$ m

### 1) La température $T_c$ et la vitesse $v_c$ au col (indice c pour le col)

On néglige la vitesse d'entrée dans la tuyère et on écrit la conservation de l'énergie massique entre l'entrée de la tuyère et le col :

$[\gamma/(\gamma-1)] R T_c / M = [\gamma/(\gamma-1)] R T_c / M + v_c^{2/2}$

$T_c$ est la température au col. On fixe la vitesse $v_c$ au col à la vitesse du son: $v_c^2 = Cs^2 = \gamma R T_c / M$.

On en déduit $T_c / T_e = 2/(\gamma + 1)$

Comme $T_e = 3570$ K, on en déduit $T_c = 3104$ K puis $v_c = 1365$ m s$^{-1}$

### 2) La pression $P_c$ et la masse volumique $\rho_c$ au col

La loi de Laplace (transformation isentropique) nous donne $P_c = P_e (T_c/T_e)^{\gamma/(\gamma-1)}$

D'où $P_c / P_e = [2/(\gamma+1)]^{\gamma/(\gamma-1)}$

Comme $P_e = 110$ bars, $P_c = 62.0$ bars

La loi des gaz parfaits donne $\rho_c = P_c M / (R T_c) = 4.19$ kg m$^{-3}$

### 3) La conservation de l'énergie entre un point quelconque de la tuyère et l'entrée, soit :

$[\gamma/(\gamma-1)] R T / M + v^2/2 = [\gamma/(\gamma-1)] R T_c / M$

montre qu'il existe une vitesse limite pour laquelle $T = 0$, elle est égale à :
$$v_{\text{lim}} = \left[ \left( \frac{2\gamma}{\gamma-1} \right) R \frac{T_e}{M} \right]^{\frac{1}{2}} = 3780 \text{ m/s}$$

Elle porte le nom de vitesse de Crocco. La vitesse de sortie, maximale, ne peut excéder cette limite.

### 4) La température de sortie $T_s$

On écrit la conservation de l'énergie entre la sortie de la tuyère et le col, ce qui donne $T_s$ :

$$[\gamma/(\gamma-1)] R T_s / M + v_s^2/2 = [\gamma/(\gamma-1)] R T_c / M + v_c^2/2$$

$$T_s = T_c + \frac{1}{2} (v_c^2 - v_s^2) M (\gamma-1) / R\gamma$$

$$\text{Comme } T_c = 3104 \text{ K, } T_s = 783 \text{ K}$$

$$\text{La vitesse du son en sortie est } C_s = [\gamma R T_s / M]^{1/2} = 685 \text{ m s}^{-1} \text{ et le nombre de Mach de sortie vaut } 4.87$$

### 5) La pression $P_s$ et la masse volumique $\rho_s$ de sortie

La loi de Laplace (transformation isentropique) nous donne $P_s = P_c (T_s/T_c)^{\gamma/(\gamma-1)}$

D'où $P_s = 0.15 \text{ bars puis la masse volumique } \rho_s = P_s M / (R T_s) \text{ par la loi des gaz parfaits, soit } \rho_s = 0.042 \text{ kg m}^{-3}$

$$6) \text{ Le débit massique est } d = \rho_c v_c S_c = \rho_s v_s S_s = \rho_s V_s (\pi D_s^2/4) = 340 \text{ kg s}^{-1}$$

### 7) La poussée du moteur fusée à la pression ambiante $P_a$ est :

$$F = d v_s + (P_s - P_a) S_s \quad (\text{N})$$

F = d v_s est la **poussée dans le vide**. Comme $P_s < P_a$, la poussée au sol est inférieure à la poussée dans le vide. La poussée va augmenter au fur et à mesure que la fusée va s'élever car $P_a$ diminue avec l'altitude. La poussée est dite adaptée lorsque $P_s = P_a$.

La poussée dans le vide vaut vaut 1140 kN ou bien l'équivalent de 116 tonnes (avec $g = 9.81 \text{ m s}^{-2}$ pour l'accélération de la pesanteur). Au sol la poussée est réduite à 936 kN.

8) En écrivant la conservation du débit massique entre la sortie et le col, $d = \rho_s v_s S_s = \rho_c v_c S_c$, on en déduit le rapport des sections de sortie et de col $S_s/S_c = 40$.

Figures de la page suivante :

résultat purement indicatif d'un calcul numérique avec les données ci-dessus, le long de la tuyère dans laquelle la vitesse de l'écoulement selon Ox est fixée par : $v(x) = v_e + (v_s - v_e) x$, ce qui conditionne la dépendance de la section S(x) en fonction de x (la section S(x) de la tuyère est calculée par la relation d'Hugoniot à partir de v(x), et non l'inverse, ce qui est beaucoup plus simple).
<figure><img src="image_99.png" /></figure>

<figure><img src="image_100.png" /></figure>

<figure><img src="image_101.png" /></figure>
# XV - QUELQUES EXERCICES CORRIGES

Avec des rappels ou compléments de cours en vert

et des réponses en bleu

## 1 – Analyse vectorielle, divergence, rotationnel

**Exercice 1 : signification physique de div v et de rot v pour un écoulement 2D dans le plan (xOy) de vitesse v (v_x, v_y) en coordonnées cartésiennes ou (v_r, v_θ) en coordonnées polaires**

En coordonnées cartésiennes (x, y), on définit avec $\nabla$ ($\partial/\partial x$, $\partial/\partial y$) opérateur "nabla":
$$ \text{div } \mathbf{v} = \partial v_x / \partial x + \partial v_y / \partial y = \nabla \cdot \mathbf{v} \text{ et } \text{rot } \mathbf{v} = (\partial v_y / \partial x - \partial v_x / \partial y) \mathbf{e}_z = \nabla \wedge \mathbf{v} \text{ (orthogonal au plan xOy)} $$

div **v** = caractériser la variation spatiale du champ des vitesses dans sa propre direction;
rot **v** caractériser la variation spatiale du champ des vitesses dans la direction orthogonale

En coordonnées polaires (r, θ), on a:
$$ \text{div } \mathbf{v} = (1/r) \partial(rv_r)/\partial r + (1/r) \partial v_\theta /\partial \theta \text{ et } \text{rot } \mathbf{v} = (1/r) [ \partial(rv_\theta)/\partial r - \partial v_r /\partial \theta ] \mathbf{e}_z $$

div **v** caractériser un mouvement convergent ou divergent;
rot **v** caractériser un mouvement de rotation.

1) on donne le champ de vitesse suivant: $\mathbf{v} = x \mathbf{e}_x$
calculer div **v**, rot **v** et l'équation des lignes du champ des vitesses

<figure><img src="image_102.png" /></figure>

2) on donne le champ de vitesse suivant: $\mathbf{v} = y \mathbf{e}_y$
calculer div **v**, rot **v** et l'équation des lignes du champ des vitesses

<figure><img src="image_103.png" /></figure>

3) en coordonnées polaires, que vaut le rotationnel d'un mouvement _radial_ de vitesse $\mathbf{v} = v(r) \mathbf{e}_r$ ?
Quelle est l'équation et la nature des lignes de champ ?

4) en coordonnées polaires, quelle est la dépendance en r du seul mouvement _radial_ de vitesse $\mathbf{v} =$ $v(r) \mathbf{e}_r$ qui soit à divergence nulle ?

5) en coordonnées polaires, que vaut la divergence d'un mouvement _orthogonal_ de vitesse $\mathbf{v} = v(r) \mathbf{e}_\theta$ ? Quelle est l'équation et la nature des lignes de champ ?

6) en coordonnées polaires, quelle est la dépendance en r du seul mouvement _orthogonal_ de vitesse $\mathbf{v} = v(r) \mathbf{e}_\theta$ qui soit à rotationnel nul (irrotationnel) ?

7) on suppose qu'au point M (x, y) dans un fluide en rotation, $\mathbf{v}(M) = \Omega \mathbf{e}_z \wedge \mathbf{OM}$ où $\Omega$ est la vitesse angulaire (rd/s). Calculer div **v**, rot **v** et l'équation des lignes du champ des vitesses. Préciser le sens de rotation selon le signe de $\Omega$.

8) on suppose qu'au point M (x, y) dans un fluide, $\mathbf{v}(M) = k \mathbf{OM}$ où k est une constante. Calculer div **v**, rot **v** et l'équation des lignes du champ des vitesses. Préciser le caractère convergent ou divergent selon le signe de k.

### Réponses :

1) div **v** = 2, rot **v** = 0
équation des lignes de champ y = constante (droites parallèles à l'axe Ox)

Remarque: **v** varie dans sa propre direction ($\mathbf{e}_x$) et ne varie pas dans la direction orthogonale ($\mathbf{e}_y$)

2) div **v** = 0, rot **v** = - $\mathbf{e}_z$
équation des lignes de champ y = constante (droites parallèles à l'axe Ox)
Remarque: **v** varie dans la direction orthogonale (e_y) et ne varie pas dans sa propre direction (e_x)

3) **rot v** = **0**, équation des lignes de champ θ = constante (droites en étoile)

4) v(r) proportionnel à 1/r

5) div **v** = **0**, équation des lignes de champ r = constante (cercles concentriques)

6) v(r) proportionnel à 1/r

7) Avec **v** (-Ω y, Ω x, 0), div **v** = **0**, **rot v** = **2 Ω e_z (Ω e_z vecteur tourbillon)**

équation des lignes de champ x² + y² = constante (cercles concentriques).

Rotation dans le sens trigonométrique si Ω > 0, horaire si Ω < 0.

8) Avec **v** (kx, ky, 0), div **v** = 2k (convergent si k < 0, divergent si k > 0), **rot v** = **0**

équation des lignes de champ y = α x (droites en étoile).

Exercice 2: gradient, isobares et lignes de champ des vitesses en météo

a) La carte 1 présente la pression atmosphérique P(x,y) au sol sous forme d'isobares distantes de 5 hPa (contours noirs, unité = hPa ou hecto Pascal). Expliquer pourquoi le gradient de pression est maximal là où les isobares sont les plus resserrées. Evaluer numériquement le gradient de pression (en Pa/m) entre la dépression notée D (basses pressions) et l'anticyclone noté A (hautes pressions). On prendra comme échelle de distance la taille de la France (1000 km). Pour mémoire, la pression moyenne au sol est de 1013 hPa.

Init: Wed, 08JUN2016 00Z

Valid: Wed, 08JUN2016 06Z

Spitzenwind (km/h) und Bodendruck (hPa)

<figure><img src="image_104.png" /></figure>

Daten: GFS-Modell des amerikanischen Wetterdienstes
(C) Wetterzentrale
www.wetterzentrale.de

b) En météo, un écoulement géostrophique est tel que les forces de pression équilibrent la force d'inertie de Coriolis: **grad** P = - 2 ρ Ω Λ **v**

On se place en coordonnées cylindriques autour du centre de la dépression D. On suppose que la vitesse des masses d'air **v** est orthoradiale de coordonnées (0, v, 0). Ω est le vecteur rotation de la Terre; on prendra pour simplifier (0, 0, Ω). On supposera que la pression P ne dépend que de la
variable radiale r (distance au centre de la dépression). ρ est la masse volumique qu'on supposera uniforme.

- Exprimer la vitesse du vent v(r) en fonction de ρ, Ω et dP/dr. Quel est le signe de dP/dr ? En déduire que le vent tourne dans le sens trigonométrique autour de D. Est ce conforme au sens des lignes du champ des vitesses en altitude de la carte 2 (le fond coloré indique en plus ||v|| en km/h) ?

- Remarquer que v(r) est proportionnel au gradient de pression dP/dr; est ce bien ce qu'on observe sur la carte 1 (qui donne les isobares en hPa et la vitesse du vent au sol en km/h à l'aide du codage couleur) autour de la dépression D ? Avec la valeur de dP/dr trouvée précédemment, ρ =1.3 kg m⁻³ et Ω vitesse angulaire de rotation de la Terre (qu'on calculera), que vaut v en m/s puis en km/h ?

c) exprimer div **v** ainsi que la vorticité **rot** **v** en suppoant que le gradient de pression dP/dr est constant. On donne **rot** **v** = [0, 0, (1/r) d(r**v**)/dr]. Comment la vitesse angulaire du fluide varie t-elle en fonction de r (on la définit par ω = 1/2 || **rot** **v** ||) ?

Init : Wed, 08JUN2016 00Z

Valid: Wed, 08JUN2016 06Z

500 hPa Stromlinien und Windgeschwindigkeit (kt)

<figure><img src="image_105.png" /></figure>

kt

<figure><img src="image_106.png" /></figure>

Daten: GFS-Modell des amerikanischen Wetterdienstes
(C) Wetterzentrale
www.wetterzentrale.de

(1) les isobares sont définies par dP = 0 = **grad** P . dOM; ce qui implique que **grad** P est orthogonal aux lignes isobares de tangente dOM. Soit ΔP la distance entre deux isobares (5 hPa sur la carte 1).

On a donc :

ΔP = ||**grad** P|| x distance; de ce fait la distance entre 2 isobares est d'autant plus petite que le gradient de pression est élevé. Des isobares serrées indiquent un fort gradient de pression. Des isobares lâches indiquent un "marais barométrique".

La distance entre la dépression D et l'anticyclone A est d'environ 2000 km, pour une variation de pression de 30 hPa. Le gradient de pression moyen vaut 3000/2 10⁶ = 1.5 10⁻³ Pa/m.

(2) **grad** P = - 2 ρ Ω Λ **v**
avec **grad** P (dP/dr, 0, 0), v(0, v, 0), Ω (0, 0, Ω). On en déduit v(r) = (1 / (2ρΩ)) dP/dr

Autour d'une dépression, dP/dr > 0 → v > 0, le vent tourne dans le sens trigonométrique. C'est bien ce que donne la carte 2 autour de la dépression D. D'autre part, la vitesse v(r) est proportionnelle à
dP/dr. On s'attend à ce que plus les isobares sont serrées, plus la vitesse du vent est forte: c'est bien ce que révèle la carte 1.

Numériquement, on trouve Ω = 7.3 10⁻⁵ rd/s et v ≈ 8 m/s ou 30 km/h. Si l'on évalue dP/dr entre les isobares 1000 et 1020 autour de la dépression D, on trouve 3.4 10⁻³ Pa/m, alors v ≈ 70 km/h, ce qui est conforme à la couleur jaune (60-80 km/h).

(3) **rot v** = [0, 0, (1/r) d(rv)/dr] où v(r) = (1 / (2ρΩ)) dP/dr = constante en supposant dP/dr = constant.
D'où div **v** = 0 et la composante verticale du rotationnel: [**rot v**]z = v/r = (1 / (2ρΩr)) dP/dr = 2 ω. La vitesse angulaire du fluide varie en 1/r dans ce modèle simplifié.

**Exercice 3 : divergence et rotationnel en coordonnées cartésiennes**

On donne le champ des vitesses d'un fluide v(x) = x e_x

Calculer div **v** et **rot v**

Identifier la nature géométrique des lignes de champ et les tracer.

Mêmes questions avec v(x) = y e_x

(1) div $\mathbf{v}$ = 1

(2) $\mathbf{rot} \mathbf{v} = \mathbf{0}$ ; remarque: $\mathbf{v} = \mathrm{grad}(x^2/2)$

(3) $\mathbf{v} = k \, \mathbf{dOM} \rightarrow 0 = k \, dy \rightarrow dy = 0 \rightarrow y = \text{constante}$
(droites // Ox)

<figure><img src="image_107.png" /></figure>

(4) div $\mathbf{v}$ = 0

(2) $\mathbf{rot} \mathbf{v} = - \mathbf{e}_z$ soit $||\mathbf{rot} \mathbf{v}|| = 1$

(3) $\mathbf{v} = k \, \mathbf{dOM} \rightarrow 0 = k \, dy \rightarrow dy = 0 \rightarrow y = \text{constante}$
(droites // Ox)

<figure><img src="image_108.png" /></figure>

**Exercice 4: divergence et rotationnel en coordonnées polaires/cylindriques**

On donne un écoulement de vitesse **v** de la forme: **v**(r) = a r e_r ou a est une constante

Expliciter la nature géométrique des lignes fluides (lignes du champ des vitesses).

Montrer que **v** dérive d'un potentiel f; le déterminer.

Calculer div **v** et **rot v** (on donne div **A** = (1/r) d(rA_r)/dr).

Discuter le signe de div **v** selon celui de a; dans quel cas l'écoulement est-il convergent, divergent ?

(1) lignes fluides: **v** = k **dOM** → 0 = k r dθ → dθ = 0 → θ = constante; c'est l'équation d'une droite issue de l'origine en coordonnées polaires; les lignes fluides sont donc des droites en étoile.

(2) $\mathbf{v} = \mathrm{grad}(1/2 a r^2)$; le potentiel des vitesses est $f(r) = 1/2 a r^2$

(3) div v = 2 a
$\mathbf{rot} \, v = \mathbf{0}$ (aucun calcul à faire: le rotationnel d'un gradient est nul)

(4) a > 0 divergent; a < 0 convergent

**Exercice 5: divergence et rotationnel en coordonnées polaires/cylindriques**

On donne un écoulement de vitesse **v** de la forme: v(r) = ω r e_θ ou ω est une constante

Expliciter la nature géométrique des lignes fluides (lignes du champ des vitesses).

On donne div **A** = (1/r) dA_θ/dθ et **rot A** = [0, 0, (1/r) d(rA_θ)/dr].

Calculer div **v** et **rot v**

Discuter le signe de **rot v** sur l'axe Oz selon celui de ω; dans quel cas l'écoulement est-il un tourbillon tournant dans le sens horaire ou antihoraire ?

(1) lignes fluides: **v** = k **dOM** → 0 = k dr → dr = 0 → r = constante; c'est l'équation d'un cercle de centre O en coordonnées polaires; les lignes fluides sont donc des cercles concentriques.

(2) div v = 0 et rot v = (0, 0, 2 ω)

(3) ω > 0 rotation sens trigonométrique, ω < 0 rotation sens horaire
## 2 – Mesure expérimentale des vitesses, effet Doppler

### exercice 6 : cinématique d'une boucle coronale solaire

Lorsque les atomes sur la ligne de visée sont en mouvement **global** par rapport à l'observateur, les raies spectrales d'absorption ou d'émission se décalent vers le bleu ou vers le rouge d'une quantité égale à (dans l'approximation non relativiste) :

$$ \Delta\lambda = - \lambda_0 v / C $$

Où $\lambda_0$ est la longueur d'onde au repos, et v la projection du vecteur vitesse le long de la ligne de visée. Le signe – indique un déplacement vers le bleu pour un mouvement d'approche et vers le rouge pour un éloignement. La méthode usuelle consiste souvent à évaluer le décalage en longueur d'onde $\Delta\lambda = \lambda_1 - \lambda_0$ entre le profil $I_1(\lambda)$ du pixel étudié et un profil moyen de référence $I_0(\lambda)$.

<figure><img src="image_109.png" /></figure>

à gauche: 6 positions d'une particule fluide.
300 s se sont écoulées entre chaque position.
L'image couvre un champ de 74752 x 74752 km² (images de 512 x 512 pixels avec 1 pixel = 146 km).

Ci dessous, les images en intensité et en vitesses radiales de la position 1 (bleu = mouvement d'approche ; rouge = mouvement d'éloignement).

<figure><img src="image_110.png" /></figure>

On s'intéresse au mouvement fluide dans une boucle magnétique coronale observée dans la raie Alpha de l'hydrogène à 656.28 nm. 6 positions d'une particule fluide ont été mesurées toutes les 300 s et superposées sur la figure en noir et blanc. En même temps, les vitesses radiales ont été mesurées au spectrographe. Pour la position 1, on montre les images correspondantes.

1) estimer la vitesse de déplacement du fluide en km/s dans le plan du ciel entre les positions 1 et 2, 2 et 3, 3 et 4, 4 et 5, 5 et 6 le plus simplement possible (v = distance parcourue/temps).

2) le mouvement dans le plan du ciel est-il accéléré ou ralenti ?

3) en position 1, le mouvement orthogonal au plan du ciel est-il d'approche ou d'éloignement ?

### Réponses :

1) vitesse dans le plan du ciel en km/s

10.8 km/s, 15.6 km/s, 17.1 km/s, 21.0 km/s, 23.4 km/s

2) accéléré

3) approche
## exercice 7 : cinématique des vitesses radiales d'une protubérance solaire

Le satellite IRIS de la NASA est équipé d'un spectrograhie UV qui étudie la raie du magnésium ionisé à 279.635 nm de longueur d'onde centrée sur le trait vertical du graphique ci dessous. On a observé 6 points d'une protubérance numérotés de 0 à 5. Pour chacun des 6 points, dire s'il s'agit d'un mouvement radial d'approche, de repos, ou d'éloignement, et donner la valeur absolue en km/s de la vitesse radiale déduite du décalage Doppler, en prenant la position des pics d'émission pour mesurer ces décalages (méthode approximative, le centre de gravité est préférable).

<figure><img src="image_111.png" /></figure>

### Réponses :

* Point 0: éloignement, 31.8 km/s

* Point 2: approche, 38.2 km/s

* Point 4: approche, 15.9 km/s

* Point 1: éloignement, 16.9 km/s

* Point 3: éloignement, 17.9 km/s

* Point 5: repos, 0.0 km/s

## exercice 8 : cinématique d'une éjection de masse coronale solaire

On s'intéresse au mouvement d'une éjection de masse coronale observée par le coronographe C3 du satellite SOHO en lumière blanche (le soleil est le rond blanc au centre, il est occulté par un disque bleu pour éliminer l'éblouissement du capteur). 4 positions d'une particule fluide ont été mesurées toutes les 2 heures et superposées sur la figure en noir et blanc.

1) estimer la vitesse de déplacement du fluide en km/s dans le plan du ciel entre les positions 1 et 2, 2 et 3, 3 et 4 le plus simplement possible (v = distance parcourue/temps).

2) le mouvement dans le plan du ciel est-il accéléré ou ralenti ?

<figure><img src="image_112.png" /></figure>

à gauche: 4 positions d'une particule fluide. 2 heures se sont écoulées entre chaque position. L'image couvre un champ de 40 x 40 millions de km² (images de 512 x 512 pixels avec 1 pixel = 77778 km).

Ci dessous, les images en intensité des positions 1 à 4.
<figure><img src="image_113.png" /></figure>

Réponses :

1) vitesses en km/s:

356

435

556

2) accéléré

## 3 - Cinématique des fluides

### exercice 9 : tourbillon de Rankine stationnaire

On considère un tourbillon fluide en rotation autour de l'axe Oz. On se place en coordonnées cylindriques (r,θ,z); la vitesse du fluide **v** est _orthoradiale_ et ne dépend que de r. La vorticité du tourbillon est définie par **rot**(**v**) = 2 Ω **e**_z avec:

r < R: Ω = constante, R est le rayon du tourbillon

r > R: Ω = 0

Exprimer la vitesse du fluide v_0 en fonction de r, R et Ω en utilisant le "théorème d'Ampère" de la cinématique des fluides dans les deux régions:

1) r < R

2) r > R

Aide: la relation $\iint \textbf{rot}(\textbf{v}) \cdot dS = \int \textbf{v} \cdot d\textbf{l}$ constitue le théorème d'Ampère. La circulation du vecteur vitesse v sera prise sur un contour circulaire fermé de rayon r, et le flux de la vorticité rot(v) sera calculé sur le disque de surface πr² enlacé par ce contour.

3) que peut-on dire de div(**v**) ?

aide: div(**v**) = (1/r) ∂v_0/∂θ pour un écoulement orthoradial

4) en déduire la nature compressible/incompressible de l'écoulement

5) existe t-il un potentiel des vitesses Φ tel que **v** = **grad** Φ pour r < R ?

6) donner le potentiel des vitesses Φ pour r > R en fonction de Ω, R et θ

aide: gradΦ = [ ∂Φ/∂r, (1/r) ∂Φ/∂θ, ∂Φ/∂z ] en coordonnées cylindriques

Réponses :

1) r < R

$$2 \Omega \pi r^2 = v_0 2\pi r \text{ d'où } v_0(r) = \Omega r$$

2) r > R

$$2 \Omega \pi R^2 = v_0 2\pi r \text{ d'où } v_0(r) = \Omega R^2/r$$

3) div(**v**) = 0 car la vitesse de dépend pas de θ

4) incompressible car div(**v**) = 0

5) non (car la vorticité est non nulle)

6) Φ(θ) = Ω R² θ

### exercice 10 : tourbillon dans un plan

Soit un tourbillon de vecteur vitesse **v** = (k/r) **e**_θ en coordonnées polaires (r,θ) où k est une constante positive ou négative selon le sens de rotation du tourbillon; si z est le nombre complexe x + i y, on rappelle que z = x + i y = r e^(iθ) où r² = x² + y² = |z|², et x = r cosθ, y = r sinθ.
1) exprimer les composantes $v_x$ et $v_y$ du vecteur vitesse $v$ dans le repère (xOy) dérivant du potentiel complexe $f(z) = -i k \ln(z)$ en fonction de $r$ et de $\theta$

Aide: $e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta$ et $e^{-i\theta} = \cos\theta - i \sin\theta$

2) En déduire $v_r$ projection du vecteur vitesse $v(v_x, v_y)$ dans la direction radiale $e_r$ et $v_\theta$ projection dans la direction orthoradiale $e_\theta$

Aide: $e_r = (\cos\theta, \sin\theta)$ et $e_\theta = (-\sin\theta, \cos\theta)$ dans le repère (xOy); $v_r = v \cdot e_r$ et $v_\theta = v \cdot e_\theta$

3) Déduire de $f(z) = \varphi + i\psi$ les fonctions $\varphi(r,\theta)$ et $\psi(r,\theta)$,

4) puis l'équation des lignes équipotentielles et leur nature géométrique,

5) et enfin l'équation des lignes de champ et leur nature géométrique.

Réponses :

1) $df/dz = v_x - i v_y = -i k / z = -i (k / r) e^{-i\theta} = -i (k / r) (\cos\theta - i \sin\theta)$

d'où

$v_x = - (k / r) \sin\theta$

$v_y = (k / r) \cos\theta$

2) $v_r = v_x \cos\theta + v_y \sin\theta = 0$

et $v_\theta = -v_x \sin\theta + v_y \cos\theta = k / r$

3) $f(z) = -i k \ln(r e^{i\theta}) = -i k \ln(r) + k \theta = \varphi + i \psi$

d'où $\varphi(r,\theta) = k \theta$ et $\psi(r,\theta) = -k \ln(r)$

4) lignes équipotentielles: $\varphi(r,\theta) = \text{constante}$, donc $\theta = \text{constante}$ (droites passant par l'origine O)

5) lignes de champ: $\psi(r,\theta) = \text{constante}$, donc $r = \text{constante}$ (cercles de centre O)

exercice 11 : puits ou source dans un plan

Soit $v = (k/r) e_r$ un champ de vitesses en coordonnées polaires (r,θ) où k est une constante positive ou négative selon que l'on a affaire à une source ou à un puits; si z est le nombre complexe $x + i y$, on rappelle que $z = x + i y = r e^{i\theta}$ où $r^2 = x^2 + y^2 = |z|^2$ et $x = r \cos\theta, y = r \sin\theta$.

1) exprimer les composantes $v_x$ et $v_y$ du vecteur vitesse $v$ dans le repère (xOy) dérivant du potentiel complexe $f(z) = k \ln(z)$ en fonction de $r$ et de $\theta$

Aide: $e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta$ et $e^{-i\theta} = \cos\theta - i \sin\theta$

2) En déduire $v_r$ projection du vecteur vitesse $v(v_x, v_y)$ dans la direction radiale $e_r$ et $v_\theta$ projection dans la direction orthoradiale $e_\theta$

Aide: $e_r = (\cos\theta, \sin\theta)$ et $e_\theta = (-\sin\theta, \cos\theta)$ dans le repère (xOy); $v_r = v \cdot e_r$ et $v_\theta = v \cdot e_\theta$

3) Déduire de $f(z) = \varphi + i\psi$ les fonctions $\varphi(r,\theta)$ et $\psi(r,\theta)$,

4) puis l'équation des lignes équipotentielles et leur nature géométrique,

5) et enfin l'équation des lignes de champ et leur nature géométrique.

Réponses :

1) $df/dz = v_x - i v_y = k / z = (k / r) e^{-i\theta} = (k / r) (\cos\theta - i \sin\theta)$

d'où

$v_x = (k / r) \cos\theta$

$v_y = (k / r) \sin\theta$

2) $v_r = v_x \cos\theta + v_y \sin\theta = k / r$

et $v_\theta = -v_x \sin\theta + v_y \cos\theta = 0$

3) $f(z) = k \ln(r e^{i\theta}) = k \ln(r) + i k \theta = \varphi + i \psi$

d'où $\varphi(r,\theta) = k \ln(r)$ et $\psi(r,\theta) = k \theta$

4) lignes équipotentielles: $\varphi(r,\theta) = \text{constante}$, donc $r = \text{constante}$ (cercles de centre O)

5) lignes de champ: $\psi(r,\theta) = \text{constante}$, donc $\theta = \text{constante}$ (droites passant par l'origine O)

exercice 12 : écoulement plan avec obstacle circulaire

On considère le potentiel complexe des vitesses suivant: $f(z) = v_0 (z + R^2/z) = \varphi + i\psi$ caractérisant l'écoulement autour d'un obstacle circulaire
de rayon R et centre O. On se place en coordonnées polaires (on rappelle que $z = x + i y = r e^{i\theta}$). A l'infini, $v = v_0 e_x$.

1) Donner les fonctions $\varphi$ et $\psi$ en fonction de $(r,\theta)$

2) montrer que la ligne de courant $\psi = 0$ correspond à l'axe Ox et au contour de l'obstacle.

3) Exprimer les composantes ($v_x, v_y$) du vecteur vitesse $v$ en fonction de $(r,\theta)$.

4) Donner les composantes ($v_x, v_y$) de $v$ sur l'axe Ox ($\theta = 0$)

5) Donner les composantes ($v_x, v_y$) de $v$ sur l'axe Oy ($\theta = \pi/2$).

6) Donner les composantes ($v_x, v_y$) du vecteur vitesse $v$ sur l'obstacle ($r = R$); que vaut sa norme $||v||$ en fonction de $\theta$ ? Qu'obtient t-on lorsque $\theta = \pi/2$ ?

Aide: la vitesse complexe est donnée par $df/dz = v_x - i v_y$

$e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta$ et $e^{-i\theta} = \cos\theta - i \sin\theta$

$e_r = (\cos\theta, \sin\theta)$ et $e_\theta = (-\sin\theta, \cos\theta)$ dans le repère $(xOy)$; $v_r = v \cdot e_r$ et $v_\theta = v \cdot e_\theta$

<figure><img src="image_114.png" /></figure>

Réponses :

1) $f(z) = v_0 [ r e^{i\theta} + (R^2/r) e^{-i\theta} ]$
$= v_0 [ r (\cos\theta + i \sin\theta) + (R^2/r) (\cos\theta - i \sin\theta) ]$
$= v_0 [ (r + R^2/r) \cos\theta + i (r - R^2/r) \sin\theta ]$
$= \varphi + i \psi$

d'où $\varphi(r,\theta) = v_0 (r + R^2/r) \cos\theta$

et $\psi(r,\theta) = v_0 (r - R^2/r) \sin\theta$

2) $\psi(r,\theta) = v_0 (r - R^2/r) \sin\theta = 0$ a deux solutions possibles:

a) $r = R$ soit le contour de l'obstacle

b) $\theta = 0$ ou $\pi$ soit l'axe Ox

3) $df/dz = v_x - i v_y = v_0 (1 - R^2/z^2)$ avec $z^2 = r^2 e^{2i\theta}$

$df/dz = v_x - i v_y = v_0 (1 - e^{-2i\theta} R^2/r^2)$

$df/dz = v_x - i v_y = v_0 [ 1 - (\cos2\theta - i \sin2\theta) R^2/r^2 ]$

d'où $v_x = v_0 [ 1 - \cos2\theta (R^2/r^2) ]$ et $v_y = -v_0 [ \sin2\theta (R^2/r^2) ]$

4) $\theta = 0$ donne $v_x = v_0 [ 1 - R^2/r^2 ]$ et $v_y = 0$

5) $\theta = \pi/2$ donne $v_x = v_0 [ 1 + R^2/r^2 ]$ et $v_y = 0$

6) si $r = R$, on obtient

$v_x = v_0 [ 1 - \cos2\theta ] = 2 v_0 \sin^2\theta$ et $v_y = -v_0 \sin2\theta = -2 v_0 \sin\theta \cos\theta$

On en déduit $||v|| = 2 v_0 |\sin\theta|$

Pour $\theta = \pi/2$, $||v|| = 2 v_0$ soit le **double** de la vitesse de l'écoulement à l'infini (voir figure)

<figure><img src="image_115.png" /></figure>

En niveaux de gris: la norme $||v||$ du vecteur vitesse $v$, normalisée à $v_0$

Les lignes blanches sont les lignes du champ des vitesses données par l'équation $\psi(r,\theta) = \text{constante}$

Les lignes rouges correspondent à l'équation $\psi(r,\theta) = 0$
# 4 - Hydrostatique

## exercice 13 : statique des fluides compressibles et incompressibles

L'équation de la statique des fluides est $dP = -\rho g dz$ où $z$ est l'altitude (axe $Oz$ dirigé vers le haut). On désigne par $P_0$ la pression atmosphérique au niveau du sol en $z = 0$.

### Liquide incompressible

1. Donner $P(z)$ en fonction de $\rho, g, z$ et $P_0$.

2. Applications numériques : pour l'eau on a $\rho = 1000 \text{ kg.m}^{-3}$, $g = 10 \text{ m.s}^{-2}$, $P_0 = 1 \text{ bar} = 10^5 \text{ Pa}$.
Que vaut la pression $P$ en bars à $z = -10 \text{ m}$ et $z = -5000 \text{ m}$ (fond des mers) ?

### Gaz compressible isotherme

On considère un gaz parfait de pression $P = \rho RT/M$ avec $T$ la température (invariable), $R = 8,32 \text{ J.mole}^{-1}\text{K}^{-1}$ la constante des gaz parfaits et $M$ la masse molaire du gaz.

1. Donner $P(z)$ en fonction de $P_0$, $z$ et $h = RT/(gM)$ l'échelle de hauteur.

2. Applications numériques :

a) pour l'air : $T = 300 \text{ K}$, $M = 29 \text{ g}$, $g = 10 \text{ m.s}^{-2}$. Calculer $h$ et la pression $P$ en bars à $z = 1000 \text{ m}$.

b) pour l'atmosphère solaire : $T = 6000 \text{ K}$, $M = 1 \text{ g}$ (hydrogène), $g = 275 \text{ m.s}^{-2}$. Calculer $h$.

### Gaz compressible avec loi en $T(z) = T_0 - \alpha z$

Dans l'atmosphère terrestre on a approximativement $\alpha = 6 \times 10^{-3} \text{ K.m}^{-1}$ et on considère que l'air obéit à la loi des gaz parfaits $P = \rho RT/M$.

1. Exprimer $P(z)$ en fonction de $P_0$, $\alpha$, $z$, $T_0$, $M$, $g$ et $R$.

2. Applications numériques :

a) pour l'air : $T_0 = 300 \text{ K}$, $M = 29 \text{ g}$, $g = 10 \text{ m.s}^{-2}$, $P_0 = 1 \text{ bar}$. Donner la valeur de $h$ la pression à $z = 9000 \text{ m}$.

b) Comparer à la valeur qu'on aurait obtenue dans le cas de l'atmosphère isotherme à $T_0 = 300 \text{ K}$.

### Corrections

#### Liquide incompressible

$$1. P = P_0 - \rho gz$$

$$2. \text{Pour } z = -10 \text{ m, } P = 2 \text{ bars. Pour } z = -5000 \text{ m, } P = 500 \text{ bars.}$$

### Gaz compressible isotherme

$$1. P = P_0 e^{-z/h} \text{ avec } h = RT/(gM) \text{ puisque } dP = -\rho g dz = -P dz/h \text{ d'où après intégration} \\ \ln(P/P_0) = -z/h.$$

$$2. \text{a) } h = 8,6 \text{ km, } P(z = 1000) = 0,89 \text{ bars.}$$

$$\text{b) } h = 185 \text{ km, il s'agit de l'épaisseur de la photosphère, couche visible à l'œil nu.}$$

### Gaz compressible avec loi en $T(z) = T_0 - \alpha z$

$$1. P(z) = P_0(1 - \alpha z/T_0)^{Mg/(R\alpha)} \text{ car } dP/P = -Mgdz/[(T_0R)(1 - \alpha z/T_0)], \text{ en posant } x = \alpha z/T_0 \\ \text{on a } dP/P = Mgdx/[(\alpha R)(x-1)]. \text{ Après intégration, } \ln(P/P_0) = Mg \ln(1 - \alpha z/T_0)/(\alpha R) \\ \text{soit } \ln(P/P_0) = \ln[(1 - \alpha z/T_0)^{Mg/(\alpha R)}].$$

$$2. P(z = 9000) = 0,82^{5,81} = 0,31 \text{ bar. Dans le cas de l'atmosphère isotherme, on a } \alpha \to 0 \text{ d'où} \\ P(z) \to P_0 e^{-Mgz/(RT_0)} \text{ ce qui donnerait } P(z = 9000) = 0,35 \text{ bar. On ne fait donc pas de grosse} \\ \text{erreur puisque la valeur obtenue est proche de celle trouvée précédemment.}$$

## exercice 14 : évasement statique des tubes magnétiques dans la couronne solaire

On considère un tube magnétique vertical d'axe $Oz$ à symétrie cylindrique de rotation atour de Oz.
La section de ce tube augmente avec l'altitude, mais cependant, au point $M$, la composante radiale $B_r$ du champ magnétique reste faible devant la composante verticale $B_z$.

1) le tube s'évase dans la couronne solaire qu'on assimile à un gaz parfait isotherme de température $T = 10^6 \text{ K}$ obéissant à la loi $P = 2 \rho R T / M$, M étant la masse molaire de l'hydrogène; le facteur 2 provient de l'ionisation (autant de protons, qui font la masse volumique $\rho$, que d'électrons). En
partant de l'équilibre hydrostatique $dP = - \rho g dz$, et en posant $h = 2 RT / gM$, comment varie la pression $P$ en fonction de $z$, $h$ et $P_0$ pression au sol ?

<figure><img src="image_116.png" /></figure>

<figure><img src="image_117.png" /></figure>

2) que vaut l'échelle de hauteur $h$ (en km) pour $R = 8.314$, $T = 10^6$ K, $M = 10^{-3}$ kg, $g = 275 \text{ ms}^{-2}$ ?

3) l'équilibre latéral des forces entre la pression magnétique interne au tube et la pression gazeuse extérieure impose $B_z^2/2\mu_0 = P(z)$. Exprimer alors $B_z(z)$ en fonction de $z$ et des constantes $h, \mu_0$ et $P_0$.

4) Quelle est l'échelle de hauteur $H$ de $B_z$ en fonction de $h$ (donner l'expression littérale puis numérique) ?

5) l'équation de Maxwell $div(B) = 0$ permet de calculer la composante radiale du champ magnétique, par la relation $(1/r) \partial(rB_r)/\partial r + dB_z/dz = 0$. En intégrant, sachant que $B_r(0,z) = 0$, exprimer $B_r(r,z)$ en fonction de $r, z$ et des constantes $h, \mu_0$ et $P_0$.

6) déterminer l'équation des lignes de champ $z(r)$ en fonction de $h$ et de $(r/R)$ où $R$ est le rayon du tube à sa base. Aide: les lignes de champ sont solution de $dz/dr = B_z/B_r$ (à intégrer)

7) à quelle altitude le rayon du tube a t-il doublé (donner l'expression littérale en fonction de $h$ puis numérique) ?

Réponses :

1) $P(z) = P_0 e^{-z/h}$

2) $h = 60465$ km

3) $B_z(z) = (2\mu_0 P_0)^{1/2} e^{-z/2h}$

4) $H = 2h = 120930$ km

5) $B_r(r,z) = (r/4h) (2\mu_0 P_0)^{1/2} e^{-z/2h}$

6) $z = 4h \ln(r/R)$

7) $z = 4h \ln2 = 167650$ km

exercice 15 : aplatissement d'un corps sphérique homogène en rotation (planète, étoile)

On considère l'équilibre d'un corps sphérique homogène autogravitant, de masse volumique $\rho$, de rayon $R$ et centre $O$, en rotation autour de l'axe polaire $Oz$ à la vitesse angulaire $\Omega$. Sous l'effet de la rotation, le corps s'aplatit légèrement de sorte que son rayon équatorial devient $R + \Delta R$ avec $\Delta R \ll R$, $R$ étant le rayon polaire.

Préambule

Le champ de gravitation au sein d'un corps sphérique homogène s'obtient par le théorème de Gauss du champ de gravitation sur une sphère de Gauss de rayon $r < R$:
$$ \iint \mathbf{G} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = - 4 \pi \mathbf{K} M_{\text{intérieure}} $$

où $K = 6.67 \times 10^{-11}$ est la constante de gravitation. On obtient :

$$ G(r) = 4 \pi r^2 = -4 \pi K (4/3 \pi r^3 \rho) \text{ d'où } G(r) = -4/3 \pi K \rho r $$

Au point M de coordonnées (x, y, z), le champ vectoriel est $\mathbf{G}(M) = -4/3 \pi K \rho \mathbf{OM}$

L'équation de l'équilibre hydrostatique en M est :

$$ - \text{grad } \mathbf{P} + \rho \mathbf{G}(M) + \rho \Omega^2 \mathbf{HM} = 0 $$

où $\mathbf{P}(x,y,z)$ est la pression et $\rho \Omega^2 \mathbf{HM}$ la force d'inertie centrifuge par unité de volume. $\mathbf{H}$ est la projection de M sur l'axe $\mathbf{Oz}$ de rotation.

<figure><img src="image_118.png" /></figure>

1) écrire $\mathbf{G}(M)$ sous la forme d'un gradient en fonction de $\pi K \rho$ et des coordonnées (x, y, z) du vecteur $\mathbf{OM}$

2) écrire $\mathbf{HM}$ de coordonnées (x, y, 0) sous la forme d'un gradient

3) à partir des expressions obtenues aux questions 1 et 2, mettre l'équation d'équilibre sous la forme $\text{grad}(\mathbf{f}) = 0$ où $\mathbf{f}$ est une fonction des coordonnées (x, y, z) du point M, de K, $\rho$, $\Omega^2$ et de la pression locale P. Cette fonction est constante. Donner son expression.

4) la surface libre du corps en rotation a pour équation $P(x,y,z) = \text{constante}$; mettre l'équation de la surface libre sous la forme $a(x^2+y^2)+bz^2 = c$ où $c$ est une constante positive et où $a$ et $b$ sont des quantités positives fonction de K, $\rho$ et $\Omega^2$. Exprimer $a$ et $b$ en fonction de K, $\rho$ et $\Omega^2$.

5) cette équation est celle d'un ellipsoïde de révolution autour de l'axe de rotation $\mathbf{Oz}$. écrire l'équation aux pôle Nord pour $x = y = 0$ et $z = R$, ce qui détermine la constante $c$.

6) Ecrire l'équation à l'équateur pour $x^2 + y^2 = (R + \Delta R)^2$ et $z = 0$.

7) sachant que la force centrifuge est faible devant la gravitation, donc que $\Omega^2 \ll K \rho$, déduire des questions 5 et 6 l'expression de l'applatissement $\Delta R/R$ (petit nombre devant 1) en fonction de K, $\rho$ et $\Omega^2$.

8) application numérique à la Terre

$$ \rho = 5500 \text{ kg m}^{-3}, \Omega = 7.27 \times 10^{-5} \text{ rd/s, en déduire l'applatissement } \Delta R/R $$

9) application numérique au Soleil

$$ \rho = 1400 \text{ kg m}^{-3}, \Omega = 2.8 \times 10^{-6} \text{ rd/s, en déduire l'applatissement } \Delta R/R $$

**Réponses :**

1) $\mathbf{G}(M) = -2/3 \pi K \rho \text{grad}(x^2+y^2+z^2)$

2) $\mathbf{HM} = \text{grad}(x^2 + y^2)/2$

3) $f(x,y,z) = -P - 2/3 \pi K \rho^2 (x^2+y^2+z^2) + \rho \Omega^2 (x^2+y^2)/2$

4) $(x^2+y^2)(2/3 \pi K \rho^2 - \rho \Omega^2/2) + 2/3 \pi K \rho^2 z^2 = c$

$$ a = 2/3 \pi K \rho^2 - \rho \Omega^2/2 $$

$$ b = 2/3 \pi K \rho^2 $$

5) $2/3 \pi K \rho^2 R^2 = c$

6) $(2/3 \pi K \rho^2 - \rho \Omega^2/2) (R + \Delta R)^2 = c$

7) $\Delta R/R = 3 \Omega^2 / (8 \pi K \rho)$

8) $0.0017$

9) $10^{-5}$
# 5 – Dynamique des fluides, loi de Bernoulli

## exercice 16 : Tube de Pitot

<figure><img src="image_119.png" /></figure>

Un fluide de masse volumique $\rho$ se déplace à la vitesse $v$ dans un tuyau. Ce dernier contient deux tubes permettant de relier le fluide à l'extérieur (voir Fig. ??). L'objectif de cet exercice est de déterminer la vitesse $v$ du fluide à l'aide de ces deux tubes.

1. Déterminer la différence de pression $P_{A'} - P_B$ en utilisant la loi de Bernoulli entre les points A' et B. On utilisera pour cela le fait que $v_{A'} \approx 0$.

2. a) Déterminer l'expression de $P_A$ dans le tube de gauche en fonction de $\rho$, $g$, $h_1$ et $P_0$.

b) Déterminer l'expression de $P_B$ dans le tube de droite en fonction de $\rho$, $g$, $h_2$ et $P_0$.

c) On suppose que $P_A \approx P_{A'}$, donner la différence de pression $P_{A'} - P_B$ à l'aide des réponses obtenues aux questions a) et b).

3. En utilisant les réponses aux question 1. et 2c), déterminer la vitesse $v$ du fluide en fonction de $g$ et $h$.

Note : on a $v = v_B$.

## Corrections

$$1. P_{A'} + \rho g z_{A'} + \frac{1}{2} \rho v_{A'}^2 = P_B + \rho g z_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 \text{ or } z_{A'} = z_B \text{ et } v_{A'} = 0 \text{ d'où } P_{A'} - P_B = \frac{1}{2} \rho v_B^2.$$

2. a) Dans le tube de droite on a : $P_A = \rho gh_1 + P_0$.

b) Dans le tube de gauche on a : $P_B = \rho gh_2 + P_0$.

c) On a $P_A \approx P_{A'}$ d'où $P_{A'} - P_B = \rho g(h_1 - h_2) = \rho gh$.

$$3. P_{A'} - P_B = \frac{1}{2} \rho v_B^2 = \rho gh \text{ d'où } v = v_B = \sqrt{2gh}.$$

## exercice 17 : débitmètre à effet Venturi

<figure><img src="image_120.png" /></figure>
On considère une canalisation de diamètre $D = 20$ cm comportant un étranglement de diamètre $d = 5$ cm. On mesure entre les points A et B une dépression équivalente à 10 cm de Mercure ($\rho_{Hg} = 13\,600\,\text{kg.m}^{-3}$), c'est l'effet Venturi. Le fluide est incompressible (eau de masse volumique $\rho = 1000\,\text{kg.m}^{-3}$).

1. Que vaut la dépression $P_A - P_B$ (en Pa) ? On prendra $g = 10\,\text{m.s}^{-2}$.

2. Déterminer la vitesse du fluide en B (en m.s⁻¹).

3. En déduire la vitesse du fluide en A (en m.s⁻¹).

4. Que vaut le débit en m³.s⁻¹ et en litres.s⁻¹.

## Corrections

1. $P_A - P_B = 13600 \times 10 \times 0,1 = 13\,600$ Pa.

2. $P_A + 1/2\rho v_A^2 = P_B + 1/2\rho v_B^2$ d'où $P_A - P_B = 1/2\rho(v_B^2 - v_A^2)$. On a également $(\pi D^2/4)v_A = (\pi d^2/4)v_B$ d'où $v_A = (d/D)^2 v_B$. On a ainsi $P_A - P_B = 1/2\rho v_B^2[1 - (d/D)^4]$ d'où $v_B = \sqrt{2(P_A - P_B)/[\rho(1 - d^4/D^4)]} = 5,2\,\text{m.s}^{-1}$.

3. $v_A = (d/D)^2 v_B = 0,3\,\text{m.s}^{-1}$.

4. Le débit vaut $(\pi D^2/4)v_A = 0,01\,\text{m}^3\cdot\text{s}^{-1} = 10\,\text{litres.s}^{-1}$.

## exercice 18 : écoulement de Bernoulli autour d'un sous marin

<figure><img src="image_121.png" /></figure>

On considère un sous-marin circulant à la vitesse $v = 15\,\text{km.h}^{-1}$ dans l'eau de mer ($\rho = 1040\,\text{kg.m}^{-3}$) à la profondeur $h = 18$ m (voir Fig. ??).

1. Que vaut la pression statique en B, notée $P_B$ ? On donnera la valeur en bars. **Indication** : on utilisera la loi de Bernoulli entre les points A et B.

2. Que vaut la pression d'arrêt sur le nez du sous-marin, c'est-à-dire en C, notée $P_C$ ? On donnera la valeur en bars. **Indication** : on utilisera la loi de Bernoulli entre les points B et C.

3. On mesure sur les flancs du sous-marin, en D, $P_D = 1,5$ bars. On précise par ailleurs que le diamètre $d$ du sous-marin est de 7 m. Que vaut la vitesse $v_D$ de l'eau de mer en D en km.h⁻¹ ? **Indication** : on utilisera la loi de Bernoulli entre les points C et D.

## Corrections

1. $P_B = 2,8$ bars (car en utilisant la loi de Bernoulli on a, entre A et B, $P_A + \rho gh = P_B$).
2. $P_C = 3,0$ bars (car en utilisant la loi de Bernoulli on a, entre B et C, $P_B + 1/2\rho v^2 = P_C$).

3. $v_D = 15 \text{ m.s}^{-1} = 54 \text{ km.h}^{-1}$ (car en utilisant la loi de Bernoulli on a, entre C et D, $P_C = P_D + \rho g d/2 + 1/2 \rho v_D^2$).

### exercice 19 : effet Coanda, portance

**Effet Coanda** : le gradient de pression est dirigé du centre de courbure de l'écoulement vers l'extérieur autour de l'aile (voir cours).

<figure><img src="image_122.png" /></figure>

On étudie le comportement d'une aile d'avion en soufflerie (voir Fig. ??). À grande distance de l'aile en A, $P_A = 10^5$ Pa, $v_A = 40 \text{ m.s}^{-1}$. On considère l'air comme incompressible de masse volumique $\rho = 1,225 \text{ kg.m}^{-3}$. On précise que $g = 10 \text{ m.s}^{-2}$.

1. Que vaut la pression d'arrêt en B ?

2. Sur l'extrados en E (centre de courbure en dessous de E), on mesure une dépression équivalente à $h = 300 \text{ mm d'eau}$ (rappel : $\rho_{\text{eau}} = 1000 \text{ kg.m}^{-3}$) ; calculer $P_E$ (en Pa).

3. Sur l'intrados en I (centre de courbure en dessous de I), on mesure une surpression équivalente à $h = 50 \text{ mm d'eau}$ ; calculer $P_I$ (en Pa).

4. Que vaut la portance par mètre carré de surface (en N.m$^{-2}$) ?

5. À l'aide de l'équation de Bernoulli entre A et E puis A et I, donner l'expression de $v_E$, $v_I$ puis calculer les valeurs (en m.s$^{-1}$). Comparer à $v_A$.

Note : l'épaisseur de l'aile est négligeable de sorte que le voisinage de l'aile est à pression atmosphérique $P_A$.

### Corrections

1. $1/2\rho v_A^2 + P_A = P_B$ d'où $P_B = 101\,000$ Pa.

2. $P_E = P_A - \rho_{\text{eau}}gh_{\text{eau}} = 97\,000$ Pa.

3. $P_I = P_A + \rho_{\text{eau}}gh_{\text{eau}} = 100\,500$ Pa.

4. $P_I - P_E = 3500 \text{ N.m}^{-2}$.

5. $P_A + 1/2\rho v_A^2 = P_E + 1/2\rho v_E^2$ d'où $v_E = \sqrt{v_A^2 + 2(P_A - P_E)/\rho}$, on a donc $v_E = 80 \text{ m.s}^{-1}$. De même pour $v_I$ où on trouve 28 m.s$^{-1}$. L'écoulement est plus rapide sur l'extrados que sur l'intrados. On voit que $v_E > v_A$ et que $v_I < v_A$.
## exercice 20 : vidange d'un réservoir, équation de Bernoulli

On considère un réservoir de hauteur $h$ et de section $S$ percé d'un trou à sa base en $B$ de section $s \ll S$ (voir Fig. ??). Le fluide qu'il contient est incompressible de masse volumique $\rho$.

<figure><img src="image_123.png" /></figure>

1. Écrire en régime stationnaire l'équation de Bernoulli entre $A$ et $B$ et en déduire la vitesse $v_B$ de sortie du fluide en fonction de $g$ et $h$. Comme $s \ll S$, on supposera $v_A \approx 0$.

2. Appliquer la conservation du débit entre $A$ et $B$ et exprimer $v_A$ en fonction de $v_B$, $S$ et $s$.

3. a) En faisant l'approximation que l'expression de $v_A$ trouvée à la question 1. reste valable en régime quasi-stationnaire (si $s \ll S$), trouver la loi qui régit la hauteur d'eau $z(t)$ en fonction de $h$ (hauteur initiale), $g$, $S$, $s$ et $t$.

Indication : on a $v_A = -dz/dt$.

b) Exprimer le temps de vidange.

4. Application numérique : on donne $h = 1$ m, $S/s = 1000$ et $g = 10$ m.s$^{-2}$. Calculer le temps de vidange.

### Corrections

1. $P_A + \rho gh = P_B + 1/2 \rho v_B^2$ or $P_A = P_B = \text{pression atmosphérique d'où } \rho gh = 1/2 \rho v_B^2$ et donc $v_B = \sqrt{2gh}$. Il s'agit de la loi de Torricelli.

2. $sv_B = Sv_A$ d'où $v_A = (s/S)v_B$.

3. a) On a $v_A = -dz/dt$ d'où $dz/dt = -(s/S)\sqrt{2gz}$ (le signe – provient du fait que $dz/dt < 0$), en intégrant de $h$ à $z$ on trouve :

$$ 
\begin{align*} 
\int_{h}^{z} z^{-1/2} dz &= -(s/S)\sqrt{2g} \int_{0}^{t} dt \\ 
2[z^{1/2}]_{h}^{z} &= -(s/S)\sqrt{2g} t \\ 
\sqrt{z} - \sqrt{h} &= -(s/S)\sqrt{g/2} t 
\end{align*} 
$$

$$ \text{d'où } z = [\sqrt{h} - (s/S)\sqrt{g/2} t]^2. $$

b) Le temps de vidange est obtenu pour $z = 0$ d'où $t = (S/s)\sqrt{2h/g}$.

4. Application numérique : $t = 446$ s.

## exercice 21 : jet d'eau et équation de Bernoulli incompressible

La vitesse verticale de l'eau éjectée par la tuyère du célèbre jet d'eau de Genève, de diamètre 10 cm, est voisine de $v = 200$ km/h.

1) que vaut cette vitesse v d'éjection en m/s ?

2) quel est le débit du jet d'eau en litres/s ?

3) quelle relation lie v à l'accélération de la pesanteur $g$ et à la hauteur $h$ du jet ?
aide: utiliser la loi de Bernoulli entre le sol et le sommet du jet

4) avec $g = 10 \text{ m/s}^2$, calculer $h$ en m.

5) exprimer la *surpression* $\Delta P$ nécessaire pour éjecter l'eau en fonction de sa vitesse d'éjection $v$ et de sa masse volumique $\rho$

6) que vaut $\Delta P$ (en bars) pour $v = 200 \text{ km/h}$ et $\rho = 1000 \text{ kg m}^{-3}$ ?

aide: utiliser la loi de Bernoulli de part et d'autre de la tuyère d'éjection, en supposant la vitesse nulle en amont

7) en déduire la puissance en MW du jet d'eau

<figure><img src="image_124.png" /></figure>

Réponses

1) 55 m/s

2) 432 litres

3) $v = (2 \text{ g h})^{1/2}$

4) $h = 150 \text{ m}$

5) $\Delta P = 1/2 \rho v^2$

6) $\Delta P = 15 \text{ bars}$

7) puissance = $(1/2 \rho v^2) \times \text{débit} = 1.5 \times 10^6 \text{ x } 0.43 = 0.65 \text{ MW}$

exercice 22 : force exercée par un fluide sur un obstacle

<figure><img src="image_125.png" /><figcaption>FIGURE 7 – Rencontre d'un fluide avec un obstacle.</figcaption></figure>

On considère un fluide incompressible de masse volumique $\rho$, se déplaçant à grande distance à la vitesse $v = 10 \text{ m.s}^{-1}$, le long de l'axe $x$ (voir Fig. ??). Le fluide rencontre dans son parcours un obstacle de surface $S = 1 \text{ m}^2$.

1. Exprimer la force exercée par $\mathbf{F} = dp/dt$ ou la quantité de mouvement d'un volume $dV = Svdt$ s'exprime comme $dp = \rho dV v = \rho Svdt \times ve_x = \rho Sv^2 e_x dt$. D'où $\mathbf{F} = \rho Sv^2 e_x$.

*Indication* : on utilisera la quantité de mouvement d'un volume $dV$.

2. Applications numériques : calculer cette force dans le cas où le fluide est de l'eau ($\rho = 10^3 \text{ kg.m}^{-3}$, de l'air ($\rho = 1,3 \text{ kg.m}^{-3}$).

Corrections

1. La force est donnée par $\mathbf{F} = dp/dt$ or la quantité de mouvement d'un volume $dV = Svdt$ s'exprime comme $dp = \rho dV v = \rho Svdt \times ve_x = \rho Sv^2 e_x dt$. D'où $\mathbf{F} = \rho Sv^2 e_x$.

2. Applications numériques : $F_{\text{eau}} = 10^5 \text{ N}, F_{\text{air}} = 130 \text{ N}$.
### exercice 23 : effet des forces de Coriolis sur un écoulement, nombre de Rossby

Tout corps en mouvement dans un référentiel en rotation subit une force d'inertie dite de Coriolis (c'est elle qui s'illustre dans l'expérience célèbre du pendule de Foucault au Panthéon). L'importance des forces de Coriolis est caractérisée par le nombre de Rossby $R_0 = v/(L\omega)$ où $v$ est la vitesse de la matière en mouvement, $L$ sa taille caractéristique et $\omega$ la vitesse angulaire de rotation du référentiel en mouvement. Si $R_0 < 1$, les forces de Coriolis sont dominantes.

1. Calculer $\omega = 2\pi/T$

— pour la Terre (on donne $T = 24$ heures)

— pour le Soleil (on donne $T = 26$ jours).

2. Calculer $R_0$

— pour une dépression ou un anticyclone dans l'atmosphère terrestre ($L = 10^3$ km, $v = 50$ km.h$^{-1}$ à convertir en m.s$^{-1}$)

— pour une tache solaire ($L = 10^4$ km, $v = 1$ km.s$^{-1}$)

### Corrections

1. $\omega = 7,3 \times 10^{-5}$ rad.s$^{-1}$, $2,8 \times 10^{-6}$ rad.s$^{-1}$.

2. $R_0 = 0,2$ (ce sont les forces de Coriolis qui pilotent le mouvement des masses d'air autour d'un anticyclone ou d'une dépression).

$R_0 = 36$.

### exercice 24 : effet des forces de visqueuses sur un écoulement, nombre de Reynolds

Le nombre $R_e = Lv/\nu$ permet de savoir si l'advection ($R_e > 1$) ou les forces visqueuses ($R_e < 1$) dominent. En première approximation, l'écoulement est turbulent si $R_e \gg 1$ (car l'équation d'Euler est non linéaire) et laminaire (absence de tourbillons) si $R_e \ll 1$ (forces visqueuses dominantes). $\nu$ désigne la vitesse du fluide et $L$ sa dimension caractéristique, $\nu$ est la viscosité cinématique du milieu. On demande de compléter le tableau suivant :

<table><thead><tr><th>Milieu</th><th>ν (m².s⁻¹)</th><th>L (m)</th><th>v (m.s⁻¹)</th><th>R<sub>e</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>eau (tuyau)</td><td>10<sup>-6</sup></td><td>10<sup>-2</sup></td><td>1</td><td></td></tr><tr><td>air (aile avion)</td><td>1,5 × 10<sup>-5</sup></td><td>1</td><td>150</td><td></td></tr><tr><td>atmosphère solaire</td><td>1</td><td>10<sup>7</sup></td><td>10<sup>3</sup></td><td></td></tr><tr><td>huile (tuyau)</td><td>10<sup>-3</sup></td><td>10<sup>-2</sup></td><td>1</td><td></td></tr><tr><td>miel (cuillère)</td><td>10<sup>-2</sup></td><td>10<sup>-2</sup></td><td>0,01</td><td></td></tr><tr><td>bitume (tuyau)</td><td>10<sup>5</sup></td><td>0,1</td><td>0,1</td><td></td></tr></tbody></table>

Réponses (colonne de droite): $R_e = 10^4, 10^7, 10^{10}, 10, 10^{-2}, 10^{-7}$

### exercice 25 : effet des forces magnétiques sur un écoulement, nombre de Reynolds magnétique

Le nombre $R_m = \mu_0 Lv\gamma$ permet de savoir si l'advection (transport du champ magnétique) ($R_m > 1$) ou la diffusion magnétique ($R_m < 1$) dominent dans un fluide de conductivité $\gamma$ et de vitesse $v$. $L$ est la dimension caractéristique du milieu.

Calculer $R_m$ et dire si l'advection ou la diffusion domine :

— dans une tache solaire ($L = 10^4$ km, $v = 1$ km.s$^{-1}$, $\gamma = 10^3$ S.m$^{-1}$)

— dans une nappe de courant ($L = 1$ m, $v = 1$ km.s$^{-1}$, $\gamma = 10^2$ S.m$^{-1}$).

### Corrections

Dans une tache solaire : $R_m = 10^7$, advection dominante.

Dans une nappe de courant : $R_m = 0,1$, diffusion dominante.
# 6 – Mesure expérimentale des champs magnétiques

**exercice 26 : mesure du champ magnétique dans une tache solaire**

Vous avez ci dessous un spectre (en abscisse : la longueur d'onde; en ordonnée: une coordonnée spatiale sur la surface solaire) de deux raies du Fer de longueur d'onde $\lambda = 6301.5$ Angström (à gauche) et 6302.5 Angström (à droite) dans la pénombre d'une tache solaire, de champ magnétique très fort. La distance entre les deux raies est de 0.1 nm. On distingue sur la tache deux composantes Zeeman (à polarisation circulaire gauche et droite) écartées de $\Delta\lambda = 2 \Delta\lambda_B$. On démontre que :

$$ \Delta\lambda_B = 4.67 \ 10^{-13} \ \lambda^2 \text{ g* B} $$

formule de l'effet Zeeman dans laquelle $\lambda$ et $\Delta\lambda_B$ sont exprimés en Angström (symbole Å) et le champ magnétique B en Gauss ($1 \text{ G} = 10^{-4} \text{ T}$). $g*$ est un facteur de mécanique quantique, qui varie selon les raies (facteur de Landé équivalent). Pour la raie à $\lambda = 6301.5$ Å, on a $g* = 1.67$ et pour la seconde à $\lambda = 6302.5$ Å, on a $g* = 2.5$.

<figure><img src="image_126.png" /></figure>

Pour la raie de droite à $\lambda = 6302.5$ Å:

1) mesurer $2\Delta\lambda_B$ dans l'ombre de la tache en Å sur l'image

2) en déduire B en Gauss

Pour la raie de gauche à $\lambda = 6301.5$ Å:

3) mesurer $2\Delta\lambda_B$ dans l'ombre de la tache en Å sur l'image

4) en déduire B en Gauss

Note: on doit trouver à peu très le même résultat sur les deux raies

**Réponses:**

1) $2\Delta\lambda_B = 0.24$ Å d'où $\Delta\lambda_B = 0.12$ Å

2) B = 2590 Gauss

3) $2\Delta\lambda_B = 0.15$ Å d'où $\Delta\lambda_B = 0.075$ Å

4) B = 2420 Gauss
# 7 – Advection/diffusion du champ magnétique

## Exercice 27 : advection des champs magnétiques au cours du cycle solaire

<figure><img src="image_127.png" /></figure>

Les cartes synoptiques des champs magnétiques solaires (temps en abscisse, latitude en ordonnée) dévoilent un transport des champs magnétiques vers les pôles lors de la phase de montée des cycles (entre le minimum et le maximum solaire, soit 4 ans), comme le montre la figure de 1998 à 2001 (début du cycle 23) puis de 2009 à 2013 (début du cycle 24).

1) si $R = 700000$ km (rayon solaire), que vaut le quart de cercle équateur - pôles en mètres ?

2) sachant que la circulation méridienne de l'équateur vers les pôles mesurée par les satellites héliosismologiques (SOHO, PICARD) vaut 10 m/s, quel temps faut-il au champ magnétique pour parcourir la distance équateur - pôles, en années ?

3) ce temps advectif est-il compatible avec la durée du cycle solaire de 11 ans ?

### Réponses :

1) $R\pi/2 = 1.1 \ 10^9$ m

2) 3.5 années

3) oui

## exercice 28 : reconnexion magnétique

Le processus de reconnexion magnétique, qui permet une réorganisation des lignes de champ magnétique et une conversion d'énergie magnétique en énergie cinétique et en chaleur (effet Joule) est à l'oeuvre dans les éruptions solaires, la magnétosphère terrestre ou encore les disruptions des machines de laboratoire tels les tokamaks. La reconnexion se fait dans une "nappe de courant" (zone de champs magnétiques anti parallèles) au sein d'une région diffusive de nombre de Reynolds magnétique voisin de 1.

<figure><img src="image_128.png" /></figure>
Ci dessus, le champ magnétique anti parallèle $B_0 = 0.01 \text{ T}$ est advecté à la vitesse $v_0 = 1 \text{ km s}^{-1}$ vers la région diffusive de conductivité $\gamma = 1000 \text{ S m}^{-1}$. On appelle $\delta$ l'épaisseur de la région diffusive et $\Delta$ sa longueur.

1) rappeler la formule donnant le temps convectif $\tau$ en fonction de $\delta$ et $v_0$.

2) rappeler la formule donnant le temps diffusif $\tau_d$ en fonction de $\delta$, $\mu_0$ et $\gamma$.

3) en égalisant ces deux temps, exprimer l'épaisseur $\delta$ de la région diffusive en fonction de $v_0$, $\mu_0$ et $\gamma$.

4) calculer $\delta$ (en m) pour $v_0 = 1000 \text{ m s}^{-1}$, $\gamma = 1000 \text{ S m}^{-1}$ et $\mu_0 = 4 \pi 10^{-7}$

5) la matière est éjectée de la zone diffusive à la vitesse $v_a = B_0 / (\rho\mu_0)^{1/2}$ dite vitesse d'Alfvèn; calculer $v_a$ (en km s⁻¹) pour $B_0 = 0.01 \text{ T}$, $\rho = 10^{-11} \text{ kg m}^{-3}$ (masse volumique) et $\mu_0 = 4 \pi 10^{-7}$

6) un simple bilan de masse dans la région diffusive (masse entrante = masse sortante) fournit la relation $\delta v_a = \Delta v_0$; calculer la longueur $\Delta$ de la région diffusive (en m).

7) la région diffusive est-elle observable sur le Soleil où tout détail inférieur à 70 km échappe aux télescopes ?

8) la densité de courant $j$ dans la région diffusive est $B_0/(\delta\mu_0)$, que vaut-elle (en A m⁻²) ?

9) que vaut la puissance volumique $j^2/\gamma$ dissipée par effet Joule (en W m⁻³) ?

Réponses :

1) $\tau = \delta / v_0$

2) $\tau_d = \delta^2 \mu_0 \gamma$

3) $\delta = 1 / (v_0 \mu_0 \gamma)$

4) $\delta = 0.7958 \text{ m}$

5) $v_a = 2821 \text{ km s}^{-1}$

6) $\Delta = 2257 \text{ m}$

7) non

8) $j = 9947 \text{ A m}^{-2}$

9) $P = 98946 \text{ W m}^{-3}$

exercice 29 : un modèle simple de nappe de courant diffusive

L'équation de diffusion du champ magnétique dans un milieu unidimensionnel de l'espace (axe Ox) tel que -1 < x < 1 et

de conductivité $\gamma$ s'écrit: $\partial^2 B / \partial x^2 = \mu_0 \gamma \partial B / \partial t$

On va rechercher une solution à cette équation par séparation des variables, de sorte que

$B(x,t) = X(x) T(t)$

où $X(x)$ est une fonction de x seulement, et $T(t)$ une fonction de t seulement. Le champ magnétique est supposé porté par l'axe Oy.

On a alors $T(t) \frac{d^2 X}{dx^2} = \mu_0 \gamma X(x) \frac{dT}{dt}$

1) On pose $\frac{d^2 X}{dx^2} = -k^2 X(x)$ où $k$ est une constante; exprimer la solution $X(x)$ *impaire* (qui change de signe en $x=0$ et donne des champs anti symétriques) de cette équation différentielle en fonction d'une constante multiplicative $X_0$, de $k$ et de $x$.

2) Exprimer alors $dT/dt$ en fonction de $T(t)$ et des constantes $k$, $\mu_0$ et $\gamma$.

3) Par intégration, formuler $T(t)$ en fonction de $t$, des constantes $k$, $\mu_0$ et $\gamma$ et d'une constante multiplicative $T_0$.

4) Donner alors l'expression du champ magnétique $B(x,t)$ en fonction de $x$, $t$, des constantes $k$, $\mu_0$ et $\gamma$, et de la constante multiplicative $B_0 = X_0 T_0$.

5) en $t=0$, on a $B(1,0) = B_0$ et $B(-1,0) = -B_0$; quelle relation (la plus simple possible) lie $k$ à la demi largeur $l$ de la nappe ?

6) On sait que $j = \text{rot}(B)/\mu_0$ (densité de courant); elle est portée par l'axe Oz orthogonal au plan (xOy). Exprimer la valeur algébrique $j$ en fonction de $\partial B / \partial x$ et de $\mu_0$.

7) Donner $j(x,t)$ densité de courant en fonction de $x$, $t$ et des constantes $k$, $\mu_0$, $\gamma$ et $B_0$.

Remarquer que $j(x,t)$ est paire (symétrique) et maximum en $x = 0$: c'est la nappe de courant.

<figure><img src="image_129.png" /></figure>
8) exprimer la constante de temps $τ_d$ caractéristique de la diffusion en fonction de l, $µ_0$, $γ$ qui confère une décroissance exponentielle (question 3) au courant et au champ magnétique.

9) application numérique: pour $γ = 1000 \text{ S m}^{-1}$ et $τ_d = 1000 \text{ s}$ (temps caractéristique d'une éruption solaire), quelle est l'épaisseur l de la nappe (en m) ?

10) sera t-elle observable, sachant qu'aucun télescope ne peut discerner de détails plus fins que 70 km ?

Réponses :

1) $X(x) = X_0 \sin(kx)$

2) $dT/dt = - k^2 T(t) / (\mu_0 \gamma)$

3) $T(t) = T_0 \exp[-k^2 t / (\mu_0 \gamma)]$

4) $B(x,t) = B_0 \sin(kx) \exp[-k^2 t / (\mu_0 \gamma)]$

5) $k = \pi / (2l)$

6) $j = (1/\mu_0) \partial B / \partial x$

7) $j(x,t) = (B_0 k / \mu_0) \cos(kx) \exp[-k^2 t / (\mu_0 \gamma)]$

8) $τ_d = 4 l^2 \mu_0 \gamma / \pi^2$

9) $l = 1400 \text{ m}$

10) non

8 – Ondes

Rappel de cours utile pour les ondes :

considérons une onde plane progressive harmonique se propageant dans la direction du vecteur d'onde **k**; son écriture complexe, en termes de vitesse **v** (champ vectoriel), surpression $P_1$ ou surdensité $ρ_1$ (champs scalaires), s'écrit:

$A e^{i(\omega t - k \cdot r)}$

où A est une amplitude (vectorielle ou scalaire). Dans ce cas, l'écriture des opérateurs se simplifie:

div(**v**) = - i **k**·**v** produit scalaire avec (- i **k**)

rot(**v**) = - i **k** ∧ **v** produit vectoriel avec (- i **k**)

$\partial v / \partial t = i \omega v$ produit avec (i ω)

$\partial^2 v / \partial t^2 = - \omega^2 v$ produit avec (- ω²)

grad $P_1$ = - i **k** P_1 produit avec (- i **k**)

et (v.grad)v se néglige pour les petits mouvements car du second ordre en **v**

exercice 30 : vitesses de propagation des ondes dans différents milieux

1) Pour les solides, liquides et gaz, la vitesse de propagation des ondes sonores longitudinales (ondes de pression) s'écrit:

$v = (E/ρ)^{1/2}$

où E est le module d'élasticité (module d'Young en Pa) et ρ la masse volumique (en kg m⁻³). Pour un gaz, E est relié à la pression, et la vitesse de propagation n'est pas la même selon le type de transformation au sein du gaz, isotherme (E = P) ou adiabatique (E = γ P, γ = 1.67 ou 1.4 selon que le gaz est mono ou di-atomique). Ici on s'intéressera uniquement au cas adiabatique. On donne le tableau suivant, à compléter (en colonne bleue !).

<table><thead><tr><th>Matériau</th><th>E(Pa)</th><th>ρ (kg m<sup>-3</sup>)</th><th>v (m s<sup>-1</sup>) - réponses à donner !</th></tr></thead><tbody><tr><td>diamant</td><td>10<sup>12</sup></td><td>3500</td><td>16900</td></tr><tr><td>acier</td><td>2 10<sup>11</sup></td><td>7900</td><td>5030</td></tr><tr><td>béton</td><td>3.5 10<sup>10</sup></td><td>2300</td><td>3900</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>verre</td><td>7 10<sup>10</sup></td><td>2500</td><td>5290</td></tr><tr><td>granite</td><td>6 10<sup>10</sup></td><td>2600</td><td>4800</td></tr><tr><td>croûte terrestre</td><td>1011</td><td>2800</td><td>5980</td></tr><tr><td>bois</td><td>10<sup>10</sup></td><td>700</td><td>3780</td></tr><tr><td>caoutchouc</td><td>10<sup>7</sup></td><td>950</td><td>100</td></tr><tr><td>eau</td><td>2.2 10<sup>9</sup></td><td>1000</td><td>1480</td></tr><tr><td>air au sol</td><td>1.4 10<sup>5</sup></td><td>1.3</td><td>330</td></tr><tr><td>surface solaire</td><td>10<sup>3</sup></td><td>10<sup>-5</sup></td><td>10000</td></tr><tr><td>couronne solaire</td><td>10<sup>-4</sup></td><td>10<sup>-14</sup></td><td>100000</td></tr></table>

2) pour une corde de masse linéique μ (kg m⁻¹) et de section S (m²), tendue sous la tension T (N), on a E = T / S et ρ = μ / S, donc la relation ci dessus devient v = (T/μ)¹/². Quelle est la célérité des ondes (transversales en m s⁻¹) sur une corde de tension T = 100 N et de masse linéique μ = 5 grammes par mètre ? Si la corde, fixée à ses deux extrémités, mesure L = 32 cm, quelle est la fréquence f = v / 2L (en Hz) du mode fondamental de vibration ?

Note: le mode fondamental correspond à une longueur L égale à une demi longueur d'onde λ = v/f; d'autres modes peuvent exister à des multiples de la fréquence fondamentale.

3) en eau profonde, la relation de dispersion de la houle est ω² = g k où ω est relié à la période T de la houle par ω = 2π/T; k est relié à la longueur d'onde λ de la houle par k = 2π/λ. Que vaut la longueur d'onde d'une houle de période 10 s ? Sa vitesse de propagation v = ω/k = g/ω ? On prendra g = 9.8 m s⁻² (accélération de la pesanteur).

4) en eau peu profonde, la relation de dispersion de la houle est ω = k (g h)¹/² où h est la profondeur. Que vaut la longueur d'onde d'une houle de période T = 10 s dans h = 10 m d'eau ? dans 1 m d'eau ? Et les vitesses de propagation correspondantes v = (g h)¹/² ? On prendra g = 9.8 m s⁻² (accélération de la pesanteur).

Réponses :

2) v = 141 m s⁻¹
f = 220 Hz
Note: il s'agit de la note de musique "la" du 2ème octave

3) λ = 156 m, v = 15.6 m s⁻¹

4) pour h = 10 m, λ = 99 m, v = 9.9 m s⁻¹
pour h = 1 m, λ = 31 m, v = 3.1 m s⁻¹
Note: vitesse et longueur d'onde de la houle diminuent avec la profondeur, expliquant le déferlement des vagues sur la plage.
## exercice 31 : vitesse du son, vitesse d'Alfvèn et plasma β

Dans un gaz parfait de masse molaire M et de température T, la vitesse du son est $C_s = \sqrt{\gamma RT/M}$ où $R = 8,32 \text{ J.mole}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}$ est la constante des gaz parfaits et $\gamma$ l'exposant adiabatique ($5/3$ pour un gaz monoatomique, $7/5$ pour un diatomique). Dans un milieu magnétisé, les ondes d'Alfvèn se propagent à la vitesse $v_a = B/\sqrt{\mu_0\rho}$ où $B$ est le champ magnétique et $\mu_0$ la perméabilité magnétique du vide. Le nombre $\beta$ du plasma indique si les forces de pression dominent ($\beta > 1$) ou non ($\beta < 1$) les forces magnétiques. $\beta$ est lié à $C_s$ et à $v_a$ par la relation $\beta = 2/\gamma \times (C_s/v_a)^2$.

1. Calculer $C_s$ (en km.s$^{-1}$)

— dans une tache solaire ($M = 10^{-3} \text{ kg}, T = 4000 \text{ K}, \gamma = 5/3$)

— dans la photosphère solaire ($M = 10^{-3} \text{ kg}, T = 6000 \text{ K}, \gamma = 5/3$)

— dans la couronne solaire ($M = 10^{-3} \text{ kg}, T = 1,5 \times 10^6 \text{ K}, \gamma = 5/3$)

— dans l'atmosphère terrestre ($M = 0,029 \text{ kg}, T = 300 \text{ K}, \gamma = 7/5$).

2. Calculer $v_a$ (en km.s$^{-1}$)

— dans une tache solaire ($B = 0,1 \text{ T}, \rho = 10^{-5} \text{ kg.m}^{-3}$)

— dans la photosphère solaire ($B = 10^{-3} \text{ T}, \rho = 3 \times 10^{-5} \text{ kg.m}^{-3}$)

— dans une boucle magnétique coronale ($B = 10^{-3} \text{ T}, \rho = 10^{-12} \text{ kg.m}^{-3}$).

3. Calculer $\beta$ et dire si les forces de pression ou magnétiques dominent :

— dans une tache solaire

— dans la photosphère solaire

— dans une boucle magnétique coronale.

### Corrections

1. $C_s = 7,4; 9,1; 144,4; 0,34 \text{ km.s}^{-1}$.

2. $v_a = 28,2; 0,16; 892 \text{ km.s}^{-1}$.

3. $\beta = 0,08$ (forces magnétiques dominent)

$\beta = 3870$ (forces de pression dominant)

$\beta = 0,03$ (forces magnétiques dominant).

## exercice 32 : onde sonore longitudinale

On considère une onde sonore longitudinale dans un fluide isentropique de pression et masse volumique uniformes au repos, notées $P_0$ et $\rho_0$, se propageant selon Ox. Le vecteur d'onde $\mathbf{k}$ et le vecteur vitesse $\mathbf{v}(x,t)$ sont portés par Ox. On pose:

$\rho(x,t) = \rho_0 + \rho_1(x,t)$ où $\rho_1$ est la perturbation de masse volumique ou "surdensité" avec $|\rho_1| \ll \rho_0$
$P(x,t) = P_0 + P_1(x,t)$ où $P_1$ est la perturbation de pression ou "surpression" avec $|P_1| \ll P_0$
Les quantités $\mathbf{v}$, $\rho_1$ et $P_1$ varient en $e^{i(\omega t - kx)}$.

1) on rappelle la loi de conservation de la masse:

$$ \partial\rho/\partial t + \text{div}(\rho\mathbf{v}) = 0 $$

$$ \rightarrow \partial\rho_1/\partial t + \rho_0 \text{ div}(\mathbf{v}) = 0 \quad \text{au premier ordre (petits mouvements).} $$

En utilisant les opérateurs pour les ondes, en déduire $\rho_1$ en fonction de $\rho_0$, k, v, $\omega$

2) on rappelle l'équation du mouvement (Euler):

$$ \rho\partial\mathbf{v}/\partial t + \rho(\mathbf{v}\cdot\text{grad})\mathbf{v} = - \text{grad } P $$

$$ \rightarrow \rho_0 \partial\mathbf{v}/\partial t = - \text{grad } P_1 \quad \text{au premier ordre (petits mouvements).} $$

En utilisant les opérateurs pour les ondes, en déduire $P_1$ en fonction de $\rho_0$, k, v, $\omega$

3) on rappelle que pour une transformation isentropique:

$$ P/\rho^\gamma = \text{constante} $$

$$ \rightarrow P_1 / P_0 = \gamma \rho_1 / \rho_0 $$

En utilisant les expressions de $P_1$ et de $\rho_1$ issues des deux premières questions, en déduire la relation de dispersion exprimant $\omega^2$ en fonction de $k^2$, $P_0$, $\gamma$ et $\rho_0$

4) exprimer la vitesse du son $C_s$ donnée par la relation $\omega = C_s k$ en fonction de $\gamma$, $P_0$ et $\rho_0$

5) soit le vecteur de Poynting $\mathbf{\Pi} = P_1 \mathbf{v}$
Exprimez la valeur algébrique de Π (puissance transportée par l'onde) en fonction de ρ₀, v et Cs

6) exprimez la densité d'énergie cinétique Ec en fonction de ρ₀ et v

7) exprimez la densité d'énergie potentielle Ep = 1/2 χ P₁² en fonction de ρ₀ et v sachant que χ est le coefficient de compressibilité isentropique défini par χ = (1/ρ) (∂ρ/∂P) = (1/ρ₀) (ρ₁/P₁) = 1/(γ P₀); remarquez qu'il y a équipartition entre énergie cinétique et potentielle

8) exprimez la densité d'énergie mécanique Em = Ec + Ep en fonction de ρ₀ et v

9) quelle relation y a t-il entre Π, Em et Cs ? Constatez que l'onde propage son énergie mécanique à la vitesse Cs.

10) quelle relation existe t-il entre la valeur moyenne <Π>, ρ₀ et V amplitude de la vitesse ?

11) application numérique pour la surface solaire.

Calculez Cs avec P₀ = 1000 Pa, ρ = 2 10⁻⁵ kg m⁻³, γ = 5/3; en supposant V = 1 km/s, calculez ensuite <Π>. Sachant que l'estimation de <Π> est plutôt de 2000 W/m², quel pourcentage de la surface solaire est couvert par les ondes acoustiques progressives ?

Réponses :

1) $\rho_1 = \rho_0 k v / \omega$

2) $P_1 = \rho_0 \omega v / k$

3) $\omega^2 = k^2 (\gamma P_0 / \rho_0)$

4) $\text{Cs} = (\gamma P_0 / \rho_0)^{1/2}$

5) $\Pi = \rho_0 \omega v^2 / k = \rho_0 v^2 \text{Cs}$

6) $\text{Ec} = 1/2 \rho_0 v^2$

7) $\text{Ep} = 1/2 \chi P_1^2 = 1/(2 \gamma P_0) (\rho_0 \omega v / k)^2 = (\rho_0 \text{Cs } v)^2 / (2 \gamma P_0) = 1/2 \rho_0 v^2$

8) $\text{Em} = \rho_0 v^2$

9) $\Pi = \text{Em Cs}$

10) $<\Pi> = 1/2 \rho_0 V^2 \text{Cs}$

11) $\text{Cs} = 9130 \text{ m/s et } 1/2 \rho_0 V^2 \text{ Cs} = 91300 \text{ W/m}^2 \text{ donne un pourcentage de } 2.2 \%$

exercice 33 : onde magnétique d'Alfvèn transversale incompressible

On considère une onde dans un fluide incompressible de masse volumique ρ, se propageant selon Ox dans un champ magnétique uniforme et constant **B**₀ = **B**₀ **e**ₓ. Le vecteur d'onde **k** est porté par Ox. On pose: **B***(x,t) = **B**₀ + **B**₁(x,t) où **B**₁ est la perturbation de champ magnétique avec |**B**₁| << **B**₀.
Les quantités ondulatoires **v***(x,t) et **B**₁(x,t) varient en eᵢ(ωt-κx).

On supposera que la vitesse du fluide **v**
est portée par Oz donc orthogonale à **k** et **B**₀
(qui sont tous deux portés par Ox).
L'onde est donc transversale.

<figure><img src="image_130.png" /></figure>

1) on rappelle la loi de conservation de la masse :

$$
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \text{div}(\rho \mathbf{v}) = 0
$$

$\rightarrow \text{div}(\mathbf{v}) = 0$ pour un fluide incompressible.

En utilisant les opérateurs pour les ondes, **v** porté par Oz satisfait-il div(**v**) = 0 ?

2) dans un milieu de conductivité infinie, dans lequel la densité de courant doit rester finie, on a:

$$
\mathbf{E} + \mathbf{v} \wedge \mathbf{B} = \mathbf{0}
$$

ce qui permet d'exprimer l'équation de Maxwell Faraday sous la forme d'une équation de transport
ou d'advection du champ magnétique:

$$
\mathrm{rot}(\mathbf{v} \wedge \mathbf{B}) = \partial \mathbf{B} / \partial t
$$

$\rightarrow \text{rot}(\mathbf{v} \wedge \mathbf{B}_0) = \partial \mathbf{B}_1 / \partial t$ au premier ordre (petits mouvements).

En utilisant les opérateurs pour les ondes, exprimer le vecteur **B**₁ en fonction du vecteur **v** et des quantités algébriques k, B₀ et ω. Remarquer alors que **B**₁ est orthogonal à **B**₀.
Aide: développer le double produit vectoriel par la relation $\mathbf{A} \wedge (\mathbf{B} \wedge \mathbf{C}) = (\mathbf{A.C}) \mathbf{B} - (\mathbf{A.B}) \mathbf{C}$

3) on rappelle l'équation du mouvement (Euler) en présence d'une force de Laplace dans laquelle la densité de courant **j** est donnée par l'équation de Maxwell Ampère en ARQS, $\mathbf{j} = \text{rot}(\mathbf{B})/\mu_0$:

$$ \rho \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \rho (\mathbf{v} \cdot \mathbf{grad}) \mathbf{v} = \text{rot}(\mathbf{B}) \wedge \mathbf{B}/\mu_0 $$

$\rightarrow \rho \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} = \text{rot}(\mathbf{B_1}) \wedge \mathbf{B_0}/\mu_0$ au premier ordre (petits mouvements).

En écrivant les opérateurs pour les ondes, en déduire le vecteur **v** en fonction du vecteur **B**₁ et des quantités algébriques ρ, k, B₀, ω et μ₀.

Aide: développer le double produit vectoriel par la relation $\mathbf{A} \wedge (\mathbf{B} \wedge \mathbf{C}) = (\mathbf{A.C}) \mathbf{B} - (\mathbf{A.B}) \mathbf{C}$

4) en combinant les relations entre les vecteurs **v** et **B**₁ trouvées aux questions 2 et 3, en déduire la relation de dispersion reliant ω² à k², B₀, ρ et μ₀.

5) exprimer la vitesse d'Alfvèn Va donnée par la relation ω = Va k en fonction de B₀, ρ et μ₀

6) soit le vecteur de Poynting $\mathbf{\Pi} = \mathbf{E} \wedge \mathbf{B_1}/\mu_0$

Sachant que $\mathbf{E} = - \mathbf{v} \wedge \mathbf{B_0}$ au premier ordre, et que $\mathbf{B_1}$ s'exprime en fonction de $\mathbf{v}$ par le résultat de la question 2, exprimez la valeur algébrique du vecteur de Poynting (porté par Ox) en fonction de k, ω, B₀, v et μ₀

Aide: développer le double produit vectoriel par la relation $\mathbf{A} \wedge (\mathbf{B} \wedge \mathbf{C}) = (\mathbf{A.C}) \mathbf{B} - (\mathbf{A.B}) \mathbf{C}$

7) Exprimez la valeur algébrique de Π (puissance transportée par l'onde) en fonction de ρ₀, v et Va

8) exprimez la densité d'énergie cinétique Ec en fonction de ρ et v

9) exprimez la densité d'énergie magnétique Em = B₁² / (2μ₀ en fonction de ρ et v à partir du résultat des questions 2 et 5; remarquez qu'il y a équipartition entre énergie cinétique et magnétique

10) exprimez la densité d'énergie totale Et = Ec + Em en fonction de ρ et v

11) quelle relation y a t-il entre Π, Et et Va ? Constatez que l'onde propage son énergie totale à la vitesse d'Alfvèn Va.

Réponses :

1) k.v = 0 est satisfait car v et k sont orthogonaux

2) $-k \wedge (v \wedge B_0) = \omega B_1$

Développons le double produit vectoriel:

$$ - (\mathbf{k} \cdot \mathbf{B_0}) \mathbf{v} + (\mathbf{k} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{B_0} = \omega \mathbf{B_1} $$

Or k et v sont orthogonaux, d'où $\mathbf{B_1} = - (\mathbf{k} \cdot \mathbf{B_0}) \mathbf{v} / \omega = - (\mathbf{k} \cdot \mathbf{B_0} / \omega) \mathbf{v}$

3) $\rho \omega \mathbf{v} = -(\mathbf{k} \wedge \mathbf{B_1}) \wedge \mathbf{B_0}/\mu_0 = \mathbf{B_0} \wedge (\mathbf{k} \wedge \mathbf{B_1}) / \mu_0$

Développons le double produit vectoriel:

$$ \rho \omega \mathbf{v} = (\mathbf{B_0} \cdot \mathbf{B_1}) \mathbf{k}/\mu_0 - (\mathbf{B_0} \cdot \mathbf{k}) \mathbf{B_1}/\mu_0 $$

Or $\mathbf{B_0}$ et $\mathbf{B_1}$ sont orthogonaux, d'où $\mathbf{v} = -(\mathbf{B_0} \cdot \mathbf{k}) \mathbf{B_1} / (\rho \omega \mu_0)$

4) les questions 2 et 3 ont fourni les relations:

$\mathbf{v} = -(\mathbf{B_0} \cdot \mathbf{k}) \mathbf{B_1} / (\rho \omega \mu_0)$ et $\mathbf{B_1} = -(\mathbf{k} \cdot \mathbf{B_0} / \omega) \mathbf{v}$

On en déduit la relation de dispersion: $(\mathbf{B_0}^2 \mathbf{k}^2) / (\rho \omega^2 \mu_0) = 1$

soit $\omega^2 = \mathbf{k}^2 \mathbf{B_0}^2 / (\rho \mu_0)$

5) $\text{Va} = \mathbf{B_0} / (\rho \mu_0)^{1/2}$

6) $\mathbf{\Pi} = \mathbf{B_1} \wedge (\mathbf{v} \wedge \mathbf{B_0}) / \mu_0$

Développons le double produit vectoriel:

$$ \mathbf{\Pi} = (\mathbf{B_1} \cdot \mathbf{B_0}) \mathbf{v} / \mu_0 - (\mathbf{B_1} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{B_0} / \mu_0 $$

Or $\mathbf{B_0}$ et $\mathbf{B_1}$ sont orthogonaux, d'où $\mathbf{\Pi} = \mathbf{k} \cdot \mathbf{B_0}^2 \mathbf{v}^2 / (\omega \mu_0)$

7) $\mathbf{\Pi} = \rho \mathbf{v}^2 \text{Va}$

8) $\text{Ec} = 1/2 \rho \mathbf{v}^2$

9) $\text{Em} = \mathbf{B_1}^2 / 2 \mu_0 = (\mathbf{k} \cdot \mathbf{B_0} / \omega)^2 \mathbf{v}^2 / 2 \mu_0 = 1/2 \rho \mathbf{v}^2$

10) $\text{Et} = \rho \mathbf{v}^2$

11) $\mathbf{\Pi} = \text{Et Va}$
### exercice 34 : onde magnéto-sonore

On considère une onde dans un fluide compressible de masse volumique au repos $\rho_0$, se propageant selon $Ox$ dans un champ magnétique uniforme et constant $B_0 = B_0 e_z$. Le vecteur d'onde $k$ est porté par $Ox$. On pose:

$B(x,t) = B_0 + B_1(x,t)$ où $B_1$ est la perturbation de champ magnétique avec $|B_1| \ll B_0$.

$\rho(x,t) = \rho_0 + \rho_1(x,t)$ où $\rho_1$ est la perturbation de masse volumique ou "surdensité" avec $|\rho_1| \ll \rho_0$

$P(x,t) = P_0 + P_1(x,t)$ où $P_1$ est la perturbation de pression ou "surpression" avec $|P_1| \ll P_0$

Les quantités ondulatoires $v(x,t)$, $\rho_1(x,t)$, $P_1(x,t)$ et $B_1(x,t)$ varient en $e^{i(\omega t - kx)}$.

On supposera que la vitesse du fluide $v$ est portée par $Ox$ donc orthogonale à $B_0$ $k$ et $v$ sont colinéaires selon $Ox$ donc l'onde est longitudinale.

<figure><img src="image_131.png" /></figure>

1) on rappelle la loi de conservation de la masse:

$$\partial\rho/\partial t + \text{div}(\rho v) = 0$$

$\rightarrow \partial\rho_1/\partial t + \rho_0 \text{div}(v) = 0$ au premier ordre (petits mouvements).

En utilisant les opérateurs pour les ondes, exprimer $\rho_1$ en fonction de $k, \rho_0$ et $v$.

2) dans un milieu de conductivité infinie, dans lequel la densité de courant doit rester finie, on a:

$$E + v \wedge B = 0$$

ce qui permet d'exprimer l'équation de Maxwell Faraday sous la forme d'une équation de transport ou d'advection du champ magnétique:

$$\text{rot}(v \wedge B) = \partial B/\partial t$$

$\rightarrow \text{rot}(v \wedge B_0) = \partial B_1/\partial t$ au premier ordre (petits mouvements).

En utilisant les opérateurs pour les ondes, exprimer le vecteur $B_1$ en fonction du vecteur $B_0$ et des quantités algébriques $k, v$ et $\omega$. Remarquer alors que $B_1$ est colinéaire à $B_0$.

**Aide: développer le double produit vectoriel par la relation $A \wedge (B \wedge C) = (A \cdot C) B - (A \cdot B) C**

3) on rappelle l'équation du mouvement (Euler) en présence d'un gradient de pression et d'une force de Laplace dans laquelle la densité de courant $j$ est donnée par l'équation de Maxwell Ampère en ARQS, $j = \text{rot}(B)/\mu_0$:

$$\rho \partial v / \partial t + \rho (v \cdot \text{grad}) v = - \text{grad} P + \text{rot}(B) \wedge B / \mu_0$$

$\rightarrow \rho_0 \partial v / \partial t = - \text{grad} P_1 + \text{rot}(B_1) \wedge B_0 / \mu_0$ au premier ordre (petits mouvements)

En écrivant les opérateurs pour les ondes, en déduire la valeur algébrique $v$ de la vitesse en fonction des quantités algébriques $\rho_0, k, P_1, B_0, B_1, \omega$ et $\mu_0$.

**Aide: développer le double produit vectoriel par la relation $A \wedge (B \wedge C) = (A \cdot C) B - (A \cdot B) C**

4) La question 2 exprime $B_1$ en fonction de $v$; la question 1 exprime $\rho_1$ en fonction de $v$; on peut alors exprimer $P_1$ en fonction de $v$ connaissant $\rho_1$ en fonction de $v$ en faisant l'hypothèse d'un fluide isentropique régi par la loi de Laplace $P/\rho^\gamma = \text{constante}$ ce qui donne $P_1 / P_0 = \gamma \rho_1 / \rho_0$.

Remplacer, dans le résultat de la question 3, $B_1$ et $P_1$ par leurs expressions respectives en fonction de $v$. En déduire la relation de dispersion reliant $\omega^2$ à $k^2$, $P_0, B_0, \rho_0, \gamma$ et $\mu_0$.

5) exprimer la vitesse $V_m$ donnée par la relation $\omega = V_m k$ en fonction de $P_0, B_0, \rho_0, \gamma$ et $\mu_0$

6) on donne la vitesse du son $\text{Cs} = [P_0 \gamma / \rho_0]^{1/2}$

et la vitesse des ondes magnétiques $\text{Va} = B_0 / (\mu_0 \rho_0)^{1/2}$

exprimer la vitesse de propagation des ondes magnéto-sonores $V_m$ en fonction de $\text{Cs}$ et de $\text{Va}$.

7) soit $\beta = P_0 / [B_0^2 / (2\mu_0)]$; exprimer $V_m$ en fonction de $\text{Cs}$ et $\beta$.

8) dans un milieu non magnétique (soleil calme), $\beta \gg 1$; $V_m$ est-il voisin de la vitesse des ondes sonores ou magnétiques ?

9) dans un milieu magnétique (tache solaire), $\beta \ll 1$; $V_m$ est-il voisin de la vitesse des ondes sonores ou magnétiques ?

**Réponses :**
1) $\rho_1 = \rho_0 k v / \omega$

2) $-k \Lambda (v \Lambda B_0) = \omega B_1$

Développons le double produit vectoriel:

- $(\mathbf{k} \cdot \mathbf{B}_0) \mathbf{v} + (\mathbf{k} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{B}_0 = \omega \mathbf{B}_1$

Or $\mathbf{k}$ et $\mathbf{B}_0$ sont orthogonaux, d'où $\mathbf{B}_1 = (\mathbf{k}v) \mathbf{B}_0 / \omega = (\mathbf{k}v) \mathbf{B}_0 \mathbf{e}_z / \omega$

3) $\rho_0 \omega v \mathbf{e}_x = k \mathbf{P}_1 \mathbf{e}_x - (k \mathbf{e}_x \Lambda \mathbf{B}_1 \mathbf{e}_z) \Lambda \mathbf{B}_0 \mathbf{e}_z / \mu_0$
$= k \mathbf{P}_1 \mathbf{e}_x + (k \mathbf{B}_1 \mathbf{e}_y) \Lambda \mathbf{B}_0 \mathbf{e}_z / \mu_0$
$= k \mathbf{P}_1 \mathbf{e}_x + (k \mathbf{B}_1 \mathbf{B}_0 \mathbf{e}_x) / \mu_0$

$\rho_0 \omega v = k \mathbf{P}_1 + k \mathbf{B}_1 \mathbf{B}_0 / \mu_0$

4) la question 2 donne: $\mathbf{B}_1 = (\mathbf{k}v) \mathbf{B}_0 / \omega$

la question 1 fournit: $\rho_1 = \rho_0 k v / \omega$

l'hypothèse isentropique donne $\mathbf{P}_1 = \mathbf{P}_0 \gamma \rho_1 / \rho_0$, soit compte tenu de la question 1: $\mathbf{P}_1 = \mathbf{P}_0 \gamma k v / \omega$

Le résultat de question 3 s'exprime alors:

$\rho_0 \omega v = k \mathbf{P}_1 + k \mathbf{B}_1 \mathbf{B}_0 / \mu_0 = \mathbf{P}_0 \gamma k^2 v / \omega + k^2 v \mathbf{B}_0^2 / (\mu_0 \omega)$

d'où la relation de dispersion :

$\omega^2 = k^2 [ \mathbf{P}_0 \gamma / \rho_0 + \mathbf{B}_0^2 / (\mu_0 \rho_0) ]$

5) $\mathbf{Vm} = [ \mathbf{P}_0 \gamma / \rho_0 + \mathbf{B}_0^2 / (\mu_0 \rho_0) ]^{1/2}$

6) $\mathbf{Vm} = [ \mathbf{Cs}^2 + \mathbf{Va}^2 ]^{1/2}$

7) $\mathbf{Vm} = \mathbf{Cs} [1 + 2/(\beta\gamma)]^{1/2}$

8) sonores

9) magnétiques

Exercice 35 : modes d'ondes stationnaires d'une cavité sphérique

On considère un écoulement irrotationnel à symétrie sphérique dans lequel le vecteur vitesse v dérive du potentiel $\varphi$ par la relation $v = \mathbf{grad} \varphi$. Le potentiel $\varphi$ est solution de l'équation de d'Alembert $\Delta\varphi = (1/Cs^2) \partial^2\varphi/\partial t^2$ où Cs est la vitesse du son dans le milieu. La cavité est délimitée par deux rayons $R_1$ et $R_2 > R_1$. On donne en symétrie sphérique $\Delta\varphi = 1/r \partial^2(r\varphi)/\partial r^2$.

On recherche des solutions de la forme $\varphi(r,t) = f(r) e^{i\omega t}$ où $f(r)$ est une fonction de la variable radiale $r$ seulement, telle que $R_1 < r < R_2$.

1) A partir de l'équation de d'Alembert, écrire l'équation vérifiée par le produit $[r f(r)]$

2) On pose $\mathbf{k} = \omega/Cs$; vérifier que $[r f(r)] = A e^{-ikr} + B e^{ikr}$ est solution; donner ensuite $\varphi(r,t)$ sous la forme de la somme de deux ondes sphériques progressives harmoniques (complexes) ayant A et B pour amplitudes.

3) on impose les conditions aux limites suivantes: $v(R_1, t) = v(R_2, t) = 0$ pour tout $t$; sachant que l'onde est longitudinale, donc que la vitesse v est radiale, en déduire deux conditions aux limites sur $\partial\varphi/\partial r(R_1, t)$ et sur $\partial\varphi/\partial r(R_2, t)$

4) exprimer $\partial\varphi(r, t)/\partial r$

5) déduire des conditions aux limites sur $\partial\varphi/\partial r(R_1, t)$ et sur $\partial\varphi/\partial r(R_2, t)$ deux équations liant A et B, du type $A g(kR_1) = B h(kR_1)$ et $A g(kR_2) = B h(kR_2)$ où g et h sont deux fonctions complexes que l'on explicitera

6) en effectuant le rapport des deux équations trouvées à la question 5, éliminer A et B et en déduire la relation suivante:

$\tan[k(R_2-R_1)] = k(R_2-R_1) / (1+k^2R_2R_1)$

Cette relation définit des modes stationnaires discrets (valeurs discrètes de k donc de $\omega$)

Aide: $\sin(x) = (e^{ix} - e^{-ix})/2$ et $\cos(x) = (e^{ix} + e^{-ix})/2$

7) étudions le cas particulier où $R_1 = 0$ et où $R_2 = R$; que devient la relation de la question 6 portant sur le produit $(kR)$ ?

8) les premiers modes solution de l'équation trouvée à la question 7 sont donnés par $kR = 4.49, 7.72, 10.90, 14.06...$. Lorsque $kR \gg 1$, donner la solution asymptotique en fonction du nombre $\pi$ et d'un nombre entier $n \gg 1$
9) quelles valeurs de kR obtient-on pour les quatre premiers modes en adoptant la solution asymptotique ?

Remarque: le soleil est une cavité résonante plus complexe comportant des centaines de modes de vibration découverts par les techniques de sondage héliosismologique qui analysent les oscillations de la surface de l'étoile.

Réponses :

1) $\partial^2(rf)/\partial r^2 + (\omega^2/Cs^2) (rf) = 0$

2) $\varphi(r,t) = A e^{i(\omega t-kr)}/r + B e^{i(\omega t+kr)}/r$

3) $\partial\varphi/\partial r(R_1, t) = \partial\varphi/\partial r(R_2, t) = 0$

4) $\partial\varphi(r,t)/\partial r = -A e^{i(\omega t-kr)}/r^2 - B e^{i(\omega t+kr)}/r^2 -ikA e^{i(\omega t-kr)}/r + ikB e^{i(\omega t+kr)}/r$

5) $A e^{-ikR_1} (1 + ikR_1) = B e^{ikR_1} (ikR_1 - 1)$

$A e^{-ikR_2} (1 + ikR_2) = B e^{ikR_2} (ikR_2 - 1)$

6) $e^{-ik(R_1-R_2)} (1 + ikR_1)/(1 + ikR_2) = e^{ik(R_1-R_2)} (ikR_1 - 1)/(ikR_2 - 1)$

En développant cette expression et en regroupant les exponentielles, on fait apparaître une équation
dans laquelle $\sin[k(R_2-R_1)]$ apparaît dans le terme de gauche et $\cos[k(R_2-R_1)]$ dans le terme de
droite; en faisant le quotient, on en déduit la formule donnée $\tan[k(R_2-R_1)] = k(R_2-R_1) / (1+k^2R_2R_1)$

7) $\tan(kR) = kR$

8) $kR = \pi/2 + n\pi$ pour $n \gg 1$

9) $kR = 1.5 \pi$, $2.5 \pi$, $3.5 \pi$, $4.5 \pi$ soit 4.71, 7.85, 10.99, 14.14, on peut dire qu'à partir de $n = 5$, la valeur asymptotique convient.

9 – chocs hydrodynamiques

Exercice 36 : effet destructeur d'une onde de choc

Les relations de Rankine Hugoniot, établies pour une discontinuité fixe (choc) de pression, vitesse, masse volumique et température en présence d'un écoulement amont supersonique ($v_1 > Cs_1$) et aval subsonique ($v_2 < Cs_2$), où $Cs_1$ et $Cs_2$ sont les vitesses du son dans chaque zone, sont également valides pour un choc mobile. On passe du choc fixe au choc mobile de vitesse $v_1$ (sans écoulement amont) selon le schéma suivant :

<figure><img src="image_132.png" /></figure>

$$
v_1/v_2 = \rho_2/\rho_1 = (\gamma+1) M_1^2 / [2 + M_1^2 (\gamma-1)] > 1
$$

$$
P_2/P_1 = [2 \gamma M_1^2 - (\gamma - 1)] / (\gamma + 1) > 1
$$

Le choc fixe réalise une compression ($P_2 > P_1$) avec augmentation de température ($T_2 > T_1$, donc $Cs_2 > Cs_1$) et diminution de la vitesse d'écoulement ($v_2 < v_1$).

En amont du choc mobile de vitesse $v_1$, il n'y a pas d'écoulement; en aval la vitesse est ($v_1$ - $v_2$).

1) On donne pour l'air $Cs_1 = 330 \text{ m s}^{-1}$ et $\gamma$ (exposant adiabatique) = $7/5 = 1.4$. Supposons qu'une explosion s'accompagne d'un choc de vitesse $v_1 = 990 \text{ m s}^{-1}$. Que vaut le nombre de Mach $M_1 = v_1/Cs_1$ du choc ?

2) connaissant M₁, utiliser les relations de Rankine Hugoniot ci dessus pour en déduire ρ₂/ρ₁ = v₁/v₂; en déduire v₂ puis la vitesse de l'écoulement aval (v₁ - v₂) en m s⁻¹
Note: le choc s'accompagne d'un souffle violent en aval

3) utiliser les relations de Rankine Hugoniot ci dessus pour en déduire la compression P₂/P₁; en supposant P₁ = 1 bar, que vaut P₂ en bars ?

Note: le choc s'accompagne d'une forte compression

4) que vaut la force F = (P₂-P₁) exercée par le choc sur une surface de 1 m², exprimée en Nm⁻² ?

Quel est son équivalent en tonnes par mètre carré, c'est à dire (P₂-P₁)/g, où g = 9.8 m s⁻² ?

Note: la force énorme exercée par l'onde de choc explique son effet destructeur

5) connaissant ρ₂/ρ₁ et P₂/P₁, déduire de la loi des gaz parfaits T₂/T₁; en supposant T₁ = 300 K, que vaut T₂ en K ?

Note: le choc s'accompagne d'une forte augmentation de température

Réponses

1) M₁ = 3

2) ρ₂/ρ₁ = v₁/v₂ = 3.86

v₁ = 990 m s⁻¹ donne alors v₂ = 257 m s⁻¹ puis (v₁ - v₂) = 733 m s⁻¹

3) P₂/P₁ = 10.33 d'où P₂ = 10.33 bars

4) F = 9.33 10⁵ N m⁻² ou 95 tonnes/m²

5) T₂/T₁ = 2.68 d'où T₂ = 800 K

exercice 37 : onde de choc lors d'une éruption solaire

<figure><img src="image_133.png" /></figure>

Observation d'une onde de choc déclenchée par une éruption solaire: satellite SDO/NASA, Instrument AIA, Raie du Fer ionisé à 21.1 nm, Température 10⁶ K

On considère un choc se propageant à la vitesse v₁ = 450 km s⁻¹ dans la basse couronne solaire où la vitesse du son est Cs₁ = 150 km s⁻¹. On donne les relations de Rankine Hugoniot:

$$v_1/v_2 = \rho_2/\rho_1 = (\gamma+1) M_1^2 / [2 + M_1^2 (\gamma-1)] > 1$$

$$P_2/P_1 = [ 2 \gamma M_1^2 - (\gamma-1) ] / (\gamma+1) > 1$$

Dans la couronne solaire, γ (exposant adiabatique) = 5/3 = 1.667

1) que vaut le nombre de Mach M₁ = v₁/Cs₁ du choc ?

2) déduire des relations de Rankine Hugoniot ρ₂/ρ₁

3) déduire des relations de Rankine Hugoniot P₂/P₁

Note: la compression au passage du choc peut expliquer la déstabilisation des filaments solaires

4) connaissant ρ₂/ρ₁ et P₂/P₁, déduire de la loi des gaz parfaits T₂/T₁

Note: l'élévation de température au passage du choc peut aussi expliquer la disparition thermique des filaments solaires, parfois observée, et leur réapparition après refroidissement

Réponses :

1) M₁ = 3

2) ρ₂/ρ₁ = 3

3) P₂/P₁ = 11

4) T₂/T₁ = 3.6