accorder un statut particulier) et les définitions fournies ne sont pas si mauvaises pour la moitié des élèves.

- pour 27% des élèves, il semble bien que les nombres qui n'ont pas une écriture standard avec une suite de chiffres sont difficilement considérés comme des nombres et il est probable que pour un nombre d'élèves bien plus grand, même s'ils sont acceptés, ils ne sont pas considérés comme des nombres à part entière : ils ne sont pas cités spontanément par les élèves et il y a peu de chances pour que ceux-ci pensent à ce type de nombres de leur propre initiative.

- pour certains élèves, un nombre doit avoir plusieurs chiffres, mais ceci semble surtout un phénomène classe.

- Cependant les distinctions entre catégories de nombres ne semblent liées qu'au signe ou à l'écriture, à part des catégories internes aux entiers (pairs, impairs). Les différences entre entiers, rationnels et décimaux ne sont perçues qu'à travers l'écriture, c'est-à-dire que la plupart des élèves n'ont aucune idée des rapports entre rationnels et décimaux.

- En revanche les trois quarts des élèves pensent que tous les nombres ont plusieurs écritures : c'est un savoir déclaré mais qui ne semble pas opératoire pour distinguer le nombre de son écriture.

Il reste à voir si les élèves ont une idée de la notion de réel par l'intermédiaire de la droite numérique qui est en général supposée être un support pertinent pour cela. C'est l'objet des questions 3 et 4.

## 1.2. Rapports entre nombres et points d'une droite graduée.

Nous analysons ici les réponses aux questions 3 et 4.

3. Voici une droite graduée où on a placé le point O d'abscisse 0 et le point I d'abscisse 1.

C

I

Place 5 à 8 points avec des abscisses aussi variées que possible. Indique les abscisses à côté des points. Peux-tu en choisir dans toutes les catégories de nombres que tu connais ? Si oui, fais-le, sinon explique pourquoi.

4. Coche les cases qui correspondent le mieux à ton opinion.

◊ si on me donne n'importe quel nombre, je suis sûr qu'il lui correspond un point et un seul de la droite

◊ si on me donne n'importe quel point de la droite, je suis sûr qu'il lui correspond un nombre et un seul.

◊ il y a des nombres auxquels on ne peut faire correspondre aucun point de la droite.

Explique pourquoi et donne des exemples :

◊ il y a des points de la droite auxquels on ne peut faire correspondre aucun nombre.

Explique pourquoi et donne des exemples :

◊ je n'ai pas d'avis sur la question

Pour le placement de nombres sur l'axe gradué, la plupart des élèves ne placent que des entiers ou des demis, en écriture décimale ou en fraction, certains placent des quarts, souvent écrits sous la forme décimale, 25 ou 75. Les autres décimaux sont très rares et les autres fractions aussi. Quelques élèves placent des rationnels ($\pi$, $2\pi$, $\frac{\pi}{4}$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ sont les seuls que nous avons rencontrés).

Cependant, il est difficile de savoir si les élèves répondent à la question technique du placement effectif des nombres ou à la question théorique. On peut penser que beaucoup répondent à la question technique à cause des commentaires du type "la droite n'est pas assez grande" ou "on ne peut pas placer (précisément) les nombres qui ont un grand nombre de décimales" (mais le mot "précisément" est parfois absent), ou "on ne peut pas placer à la fois des nombres très grands et des nombres très petits". Voici par exemple le commentaire de A14 : "Il est difficile de représenter graduellement avec un minimum de précision un chiffre décimal à nombre de chiffres infini ou indéfini après la virgule. Aussi l'unité est trop importante pour représenter les nombres $x10^x$ avec $x > 1$ et trop petite pour représenter les nombres $x10^{-x}$ avec $x < 1$."

Cependant d'autres élèves répondent comme A20 "oui, car à chaque nombre est associée une distance, $\sqrt{2} \approx 1,4$, $\sqrt{16} = 4$, $\pi \approx 3,14$".

Nous avions prévu que les élèves puissent répondre au problème pratique pour la question 3, c'est pourquoi nous avions aussi posé la question 4 où nous espérions que la formule "correspond" aiderait les élèves à se placer sur le plan théorique et non sur celui du placement effectif. Il n'est pas sûr que ce soit le cas et cela explique sans doute que des élèves aient coché
c ou même à la fois a et c. Par exemple, le meilleur élève de la classe B coche abc à la question 4 et dit, pour expliquer c "Pour π par exemple, il y a une infinité de décimales, on ne peut le placer qu'approximativement".

Il faut aussi remarquer aussi que beaucoup d'élèves placent des entiers mais avec une écriture fractionnaire ou avec une racine comme $\sqrt{9}$ ou $-\frac{10}{10}$ ayant ainsi rempli le contrat de placer des nombres "de toutes les catégories" comme le demandait le texte, ce qui montre bien, comme nous l'avions pensé pour la question précédente, que les catégories que font les élèves sont surtout liées à l'écriture.

Les résultats sont rassemblés dans le tableau ci-dessous :

réponse 1 : placement d'entiers seulement, éventuellement avec une écriture non canonique,

réponse 2 : placement d'entiers ou de demis écrits sous forme ,5 ou sous forme de fractions

réponse 3 : placement de quarts (écriture ,25 ou fraction) ou d'autres décimaux (ex 1,3 ou 1,33)

réponse 4 : placements d'autres fractions ou placement d'irrationnels

argument 1 : "la droite n'est pas assez grande"

argument 2 : ce n'est pas possible s'il y a trop de décimales

argument 3 : problème d'échelle ou d'ordre de grandeur

Les réponses à la question 3 sont rassemblées dans le tableau suivant :

<table><thead><tr><th>catégorie</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>réponse 1</td><td>2</td><td>3</td><td>2</td><td>2</td><td>0</td><td>9</td></tr><tr><td>réponse 2</td><td>13</td><td>16</td><td>18</td><td>13</td><td>3</td><td>63</td></tr><tr><td>réponse 3</td><td>3</td><td>5</td><td>8</td><td>4</td><td>0</td><td>20</td></tr><tr><td>réponse 4</td><td>5</td><td>2</td><td>4</td><td>2</td><td>0</td><td>13</td></tr><tr><td>non réponse</td><td>1</td><td>3</td><td>3</td><td>1</td><td>0</td><td>8</td></tr><tr><td>total</td><td>24</td><td>29</td><td>35</td><td>22</td><td>3</td><td>113</td></tr><tr><td>Pourcentages</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>réponse 1</td><td>0,08</td><td>0,10</td><td>0,06</td><td>0,09</td><td></td><td>0,08</td></tr><tr><td>réponse 2</td><td>0,54</td><td>0,55</td><td>0,51</td><td>0,59</td><td></td><td>0,56</td></tr><tr><td>réponse 3</td><td>0,13</td><td>0,17</td><td>0,23</td><td>0,18</td><td></td><td>0,18</td></tr><tr><td>réponse 4</td><td>0,21</td><td>0,07</td><td>0,11</td><td>0,09</td><td></td><td>0,12</td></tr><tr><td>non réponse</td><td>0,04</td><td>0,10</td><td>0,09</td><td>0,05</td><td></td><td>0,07</td></tr><tr><td>argument 1</td><td>3</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>5</td></tr><tr><td>argument 2</td><td>1</td><td>4</td><td>6</td><td>0</td><td>1</td><td>12</td></tr><tr><td>argument 3</td><td>2</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td></tr><tr><td>pb pour les x</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>1</td></tr></tbody></table>

Il y a peu de différences entre les classes. Environ 60% des élèves ne placent que des entiers ou des demis sur leur axe, éventuellement en les déguisant sous d'autres écritures ; 30% placent autre chose, ne serait-ce que des quarts. Seuls 21 élèves, soit moins d'un sur cinq, donnent des arguments pour expliquer qu'ils ne peuvent pas placer tous les nombres, c'est le plus souvent un problème de précision qui est évoqué.

Pour la question 4, on notera a la première ligne (si on me donne n'importe quel nombre, je suis sûr qu'il lui correspond un point et un seul de la droite), b la deuxième (si on me donne n'importe quel point de la droite, je suis sûr qu'il lui correspond un nombre et un seul), c la troisième (il y a des nombres auxquels on ne peut faire correspondre aucun point de la droite) et d la quatrième (il y a des points de la droite auxquels on ne peut faire correspondre aucun nombre) et on fera figurer les configurations rencontrées "a+b" ou "b+c" etc...

Les autres réponses correspondent à des élèves qui cochent c mais avec des explications autres comme le problème des variables ou la perturbation apportée dans les connaissances sur le repérage par l'introduction de la valeur absolue :

A12 : "il y a des nombres qui ne sont pas assez précis et qu'on ne peut placer sur une droite ex : 2x, 3y ... sauf si on connaît la valeur de x ou de y ..." (noté dans le tableau pb avec x)

A24 : "quand on a une droite graduée (O; I) C = E, A = D, B = I, J = F (dessin présent, les points "égaux" sont symétriques par rapport à l'origine) car pour une distance il n'y a pas de
nombre négatif or -4 = 4 ; -3 = 3 ; -1 = 1 etc... ". Cette même élève écrit sous l'axe "oui, on peut en choisir dans presque toutes les catégories de nombres que je connais, exemple 1 est un nombre positif entier, mais on sait qu'une distance n'est jamais négative, on peut avoir un nombre à virgule ou fractionnaire mais il sera toujours positif et jamais négatif". (elle a pourtant placé des nombres entiers négatifs sur l'axe).

A 28 : "avec les racines, on peut faire correspondre 2 points ex $\sqrt{9} = 3$ ou -3.

La mauvaise compréhension de la valeur absolue intervient aussi dans l'écriture des nombres, par exemple A4 écrit sur l'axe -1 = |11| ; -2 = |2|.

des réponses c et d sont aussi motivées par la confusion avec la géométrie analytique :

B11 : "si la droite est dans un repère elle ne peut pas passer par tous les nombres".

D21 : "certains points ne passent pas par cette droite, ex. une droite qui passe par l'origine O, si on lui fait correspondre un nombre supérieur à celui-ci il ne pourra pas être sur la droite, ex. y = 3."

Les résultats à la question 4 sont les suivants (en catégories disjointes)

<table><tr><td>réponse a+b</td><td>5</td><td>6</td><td>6</td><td>9</td><td>26</td></tr><tr><td>réponse a+b+c</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>4</td></tr><tr><td>réponse a</td><td>3</td><td>9</td><td>1</td><td>1</td><td>15</td></tr><tr><td>réponse b</td><td>5</td><td>3</td><td>9</td><td>4</td><td>21</td></tr><tr><td>réponse c</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td><td>0</td><td>5</td></tr><tr><td>rép. a+c ou b+d</td><td>1</td><td>0</td><td>2</td><td>1</td><td>4</td></tr><tr><td>réponse b+c</td><td>1</td><td>1</td><td>5</td><td>1</td><td>8</td></tr><tr><td>rép. c+d ou a+d</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>2</td></tr><tr><td>autre réponse</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>5</td></tr><tr><td>sans avis</td><td>5</td><td>4</td><td>4</td><td>2</td><td>15</td></tr><tr><td>non réponse</td><td>1</td><td>4</td><td>2</td><td>2</td><td>9</td></tr><tr><td>total</td><td>24</td><td>29</td><td>35</td><td>22</td><td>113</td></tr></table>

ce qui donne, au total pour les réponses a et b :

<table><tr><td>total a coché</td><td>9</td><td>17</td><td>10</td><td>12</td><td>1</td><td>49</td></tr><tr><td>total b coché</td><td>10</td><td>11</td><td>17</td><td>14</td><td></td><td>52</td></tr></table>

soit en pourcentages :

<table><tr><td>réponse a+b</td><td>20,8</td><td>20,7</td><td>17,1</td><td>40,9</td><td>23</td></tr><tr><td>réponse a ou a+b</td><td>33,3</td><td>51,7</td><td>20</td><td>45,5</td><td>36,3</td></tr><tr><td>réponse b ou a+b ou b+c</td><td>45,8</td><td>34,5</td><td>57,1</td><td>63,6</td><td>48,7</td></tr></table>

<table><tr><td>total a coché</td><td>37,5</td><td>58,6</td><td>28,6</td><td>54,5</td><td>43,4</td></tr><tr><td>total b coché</td><td>45,8</td><td>37,9</td><td>62,9</td><td>63,6</td><td>53,1</td></tr></table>

On voit ici une tendance inversée entre la classe B et les autres, surtout entre les classes B et C pour le total des a ou b cochés. Les élèves de la classe D sont les plus nombreux à cocher à la fois a et b. Les élèves qui cochent à la fois a et c montrent la difficulté qu'il y a à savoir sur quel plan se placer. Nous considérons d'une part les élèves qui ont coché a seul ou a+b et d'autre part les élèves qui ont coché b et a+b ou b+c. De ce point de vue, la tendance est la même : on voit une différence nette entre la classe B d'une part, la classe C d'autre part, les classes A et D se situant dans une position plus intermédiaire.

Un seul élève a coché a+d, mais avec une réserve pour a, c'est C10 et l'objection qu'il formule concerne aussi l'autre sens : "Il y a des points auxquels on ne peut faire correspondre avec certitude un nombre (par manque de précision) ex : 3,4545..."

En revanche 8 élèves ont coché b+c : il leur paraît donc moins difficile de faire correspondre un nombre à un point de la droite que le contraire : sans doute peut-on plus facilement faire correspondre un nombre, une valeur approchée de l'abscisse à un point qu'un point à un nombre qui a beaucoup de décimales.

La réponse a, choisie majoritairement par la classe B, traduit la possibilité de faire correspondre des points aux nombres et donc de représenter sur un graphique des calculs déjà effectués, la réponse b, majoritaire dans les classes C et D traduit la possibilité d'associer un nombre à un
point et correspond donc plutôt à la lecture graphique. On peut se demander si les différences entre les classes correspondent à des différences de pratiques dans l'utilisation des graphiques. Nous verrons si l'examen des activités des classes permettent de répondre ou non à cette question.

En conclusion, la correspondance entre nombres et points d'un axe gradué n'est peut-être pas aussi transparente que les programmes d'enseignement peuvent le laisser penser :

- il est difficile de savoir sur quel plan l'élève se place ou de lui dire sur quel plan il doit se placer : la possibilité de faire correspondre des nombres à des points dessinés effectivement ou l'existence théorique d'une correspondance entre nombres et points d'une droite,

- les conceptions de ce qu'est un nombre et de ce qu'est un point ne sont probablement élucidées ni l'une ni l'autre, les élèves rattachent les questions aux diverses pratiques qu'ils ont de la droite graduée. Ces deux notions ont sans doute besoin d'être travaillées de façon conjointe : il n'est pas sûr que l'une puisse être considérée comme transparente et servir pour définir l'autre sans autre forme de procès.

## 1.3 Valeur absolue et nombres irrationnels

La question 7 comportait deux parties :

7. Donne un encadrement aussi précis que possible de $1-\sqrt{2}$ et explique comment tu l'as trouvé.

Quelle est la valeur exacte de $|1-\sqrt{2}|$ ?

Placée après les exercices plus classiques sur la valeur absolue, elle permet à nouveau de tester les nombres, conformément à l'hypothèse que beaucoup de difficultés des élèves sur les fonctions et la valeur absolue sont reliées à des difficultés sur les nombres.

L'objectif de cette question est donc de tester les élèves à la fois sur les nombres et sur la valeur absolue. Nous avions écrit $|1-\sqrt{2}|$ et non $|\sqrt{2}-1|$ pour que la réponse correcte ne soit pas confondue avec celle qu'on obtient en enlevant les barres. Nous pensions que les élèves pouvaient fournir un encadrement avec la calculatrice, mais nous attendions un nombre important de non réponse à la deuxième question à cause de la présence de la racine et du fait que $1 - \sqrt{2}$ n'est pas perçu vraiment comme un nombre avec lequel on peut calculer : $\sqrt{2}$ risque de fonctionner comme "x" et d'entraîner des réponses $"1-\sqrt{2}$ ou $\sqrt{2}-1"$. Nous attendions aussi l'identification de $\sqrt{2}$ à une valeur approchée et des réponses décimales approchées de $|1-\sqrt{2}|$, ou des réponses du type "il n'y a pas de valeur exacte", le terme "valeur" étant réservé aux décimaux. Les résultats sont nettement conformes à notre analyse a priori.

Pour l'encadrement, nous avons 54 réponses et nous distinguons :

réponse 1 : encadrement correct

réponse 2 : inégalités dans le mauvais sens (exemple $-0,41 < 1-\sqrt{2} < -0,42$)

réponse 3 : nombres positifs (exemple $0,41 < 1-\sqrt{2} < 0,42$)

réponse 4 : valeur approchée ou même valeur de chaque côté de l'encadrement

réponse 5 : autre réponse (souvent quelque chose comme $-0,41 < \sqrt{2} < 0,42$)

non réponse

Les résultats sont rassemblés dans le tableau suivant :

<table><thead><tr><th></th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>réponse 1</td><td>0</td><td>5</td><td>11</td><td>1</td><td>0</td><td>17</td></tr><tr><td>réponse 2</td><td>3</td><td>5</td><td>7</td><td>4</td><td>1</td><td>20</td></tr><tr><td>réponse 3</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>5</td></tr><tr><td>réponse 4</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td></tr><tr><td>autre rép.</td><td>4</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>9</td></tr><tr><td>non réponse</td><td>15</td><td>14</td><td>12</td><td>16</td><td>1</td><td>58</td></tr><tr><td>total</td><td>24</td><td>29</td><td>35</td><td>22</td><td>2</td><td>112</td></tr></tbody></table>

Remarquons que c'est l'absence de réponse qui est majoritaire dans toutes les classes. Certes, cette question venait en deuxième partie de questionnaire mais la plupart des élèves qui n'ont pas répondu à cette question, sont allés plus loin dans le questionnaire, parfois jusqu'à la
question 11, plus classique. Notons aussi l'importance de la réponse 2 qui correspond au fait que les élèves oublient de retourner les inégalités quand ils passent à l'opposé. Dans la classe A, aucun élève ne fournit d'encadrement correct et un seul dans la classe D. Dans ces deux classes, le taux de non réponse est particulièrement important. La classe D a manqué de temps, mais dans la mesure où cette question est celle où le taux de non réponse est le plus fort dans toutes les classes, on peut penser qu'il exprime quand même une difficulté des élèves.

Pour croiser avec la question suivante, nous pouvons aussi regrouper les élèves qui avaient une réponse leur permettant d'affirmer que $1-\sqrt{2}$ est négatif et donc de répondre correctement à la question suivante :

<table><thead><tr><th>catégorie</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>réponses 1,2,4</td><td>4</td><td>11</td><td>19</td><td>5</td><td>1</td><td>40</td></tr><tr><td>autres</td><td>5</td><td>4</td><td>4</td><td>1</td><td>0</td><td>14</td></tr></tbody></table>

On peut supposer que les élèves qui font les réponses 1, 2, 4, pourraient, si on le leur demandait, donner le signe de $1-\sqrt{2}$ (40 élèves) et, bien sûr, des élèves qui ne donnent pas de réponse peuvent le connaître aussi. Nous allons voir s'ils peuvent répondre à la deuxième partie de la question.

Pour la valeur exacte de $1-\sqrt{2}$, nous avons 71 réponses fournies et nous avons distingué : réponse 1 : $\sqrt{2} - 1$

réponse 2* 4 : valeur approchée ou "il n'y a pas de valeur exacte"

réponse 5 : $\sqrt{2}-1$ ou $1-\sqrt{2}$,

réponse 6 : $1-\sqrt{2}$

réponse 7 : valeur décimale négative

réponse 8 : $1+\sqrt{2}$

<table><thead><tr><th></th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>réponse 1</td><td>1</td><td>5</td><td>3</td><td>2</td><td>1</td><td>12</td></tr><tr><td>réponse 2*</td><td>9</td><td>3</td><td>8</td><td>2</td><td>0</td><td>22</td></tr><tr><td>réponse 5</td><td>0</td><td>2</td><td>9</td><td>1</td><td>0</td><td>12</td></tr><tr><td>réponse 6</td><td>0</td><td>6</td><td>3</td><td>1</td><td>0</td><td>10</td></tr><tr><td>réponse 7</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>5</td></tr><tr><td>réponse 8</td><td>3</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>5</td></tr><tr><td>autre rép.</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td>0</td><td>6</td></tr><tr><td>non réponse</td><td>9</td><td>9</td><td>10</td><td>12</td><td>1</td><td>41</td></tr><tr><td>total</td><td>24</td><td>29</td><td>35</td><td>22</td><td>2</td><td>112</td></tr></tbody></table>

Vu les effectifs réduits, le tableau des pourcentages est donné en annexe.

Parmi les autres réponses, deux élèves, B12 et D25, répètent $1-\sqrt{2}$.

On peut remarquer que les réponses comportant une $\sqrt{2}$ (1, 5, 6, 8) sont nettement majoritaires dans les classes B et C, alors qu'elles sont très rares dans la classe A qui utilise surtout des valeurs approchées. Ceci est peut-être lié au fait que l'usage de la calculatrice est très encouragé dans la classe A. Dans la classe D, le trop grand nombre de non réponse donne peu d'élèves dans chaque cas. Pour vérifier le statut différent de $\sqrt{2}$ suivant les classes, on peut regrouper les réponses comportant $\sqrt{2}$ d'une part même fausses (1, 5, 6, 8) et celles qui n'envisagent que les décimaux (2, 3, 4, 6), ce qui donne :

<table><thead><tr><th></th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>réponses 1,5,6,8</td><td>4</td><td>14</td><td>16</td><td>4</td><td>1</td><td>39</td></tr><tr><td>réponses 2*,7</td><td>11</td><td>4</td><td>8</td><td>4</td><td>0</td><td>27</td></tr></tbody></table>

<footnote n="4">4 voir en annexe la répartition de cette réponse en " catégories : réponses 2, 3, 4.</footnote>
<table><thead><tr><th>Pourcentages</th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>réponses 1,5,6,8</td><td>0,17</td><td>0,48</td><td>0,46</td><td>0,18</td><td></td><td>0,35</td></tr><tr><td>réponses 2*,7</td><td>0,46</td><td>0,14</td><td>0,23</td><td>0,18</td><td></td><td>0,24</td></tr></tbody></table>

Si l'on assimile les valeurs approchées aux réponses justes (réunion des réponses 1, 2*), on constate que les réponses non fausses et utilisables sont plus nombreuses dans la classe A que dans les autres puisqu'on a :

<table><thead><tr><th></th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><th>réponses 1 à 4</th><td>10</td><td>8</td><td>11</td><td>4</td><td>1</td><td>34</td></tr><tr><th>Pourcentages</th><td>0,42</td><td>0,28</td><td>0,31</td><td>0,18</td><td></td><td>0,30</td></tr></tbody></table>

Les résultats de la classe A s'améliorent notablement : ces élèves ont des problèmes avec les inégalités, il est probable que pour eux seuls les nombres décimaux ont statut de nombre mais beaucoup d'entre eux peuvent traiter $11-\sqrt{2}$ par une valeur approchée alors que dans les classes B et C les élèves produisent plus de réponses fausses conservant $\sqrt{2}$, ce qu'on peut vérifier en comptabilisant les réponses 5, 6, 8 :

<table><thead><tr><th>réponses 5,6,8</th><th>3</th><th>9</th><th>13</th><th>2</th><th>0</th><th>27</th></tr></thead><tbody><tr><th>Pourcentages</th><td>0,13</td><td>0,31</td><td>0,37</td><td>0,09</td><td></td><td>0,24</td></tr></tbody></table>

Nous comparons maintenant les 2 parties de la question, pour savoir notamment quels sont les élèves qui font une réponse exacte ou donnent une valeur approchée parmi ceux qui avaient un encadrement permettant de conclure sur le signe de $1-\sqrt{2}$, ce que nous appellerons "Encad", les autres réponses étant regroupées sous le titre "non Encad." dans les tableaux ci-dessous :

<table><thead><tr><th></th><th>Encad. 1, 2, 4</th><th>non Encad. 3, 5</th><th>Enc. non réponse</th></tr></thead><tbody><tr><th>réponse $\sqrt{2}-1$</th><td>10</td><td>0</td><td>2</td></tr><tr><th>réponses 2*</th><td>10</td><td>6</td><td>6</td></tr><tr><th>autre réponse</th><td>14</td><td>7</td><td>14</td></tr><tr><th>non réponse</th><td>6</td><td>1</td><td>36*</td></tr></tbody></table>

* Nous avons ici considéré comme ayant une non réponse globale les élèves B12 et D25.

On trouve 20 élèves qui donnent pour l'encadrement une réponse montrant que $1-\sqrt{2}$ est négatif et une réponse fausse pour $11-\sqrt{2}$ (14 d'entre eux) ou aucune réponse (6 d'entre eux). On voit aussi que les élèves qui ne donnent pas un encadrement pertinent produisent rarement la réponse attendue. Certains donnent une valeur approchée correcte, ce sont des élèves qui ont encadré par 2 valeurs positives, donc en fait $\sqrt{2} - 1$, ou encadré par une valeur négative et une valeur positive comme A16 (qui écrit $-0,410 < 1-\sqrt{2} < 0,145$) ou qui ne savent pas encadrer comme A20 (qui écrit [$\sqrt{2};-1$]).

Si l'on néglige les 37 élèves qui n'ont pas ou pratiquement abordé la question, qu'on englobe les réponses fausses et les non réponse cela montre que le fait de faire un encadrement qui devrait permettre de déterminer le signe d'un nombre irrationnel ne permet pas, dans les trois quarts des cas, de donner une valeur exacte de la valeur absolue de ce nombre, le quart des élèves en donnent une valeur approchée.

<table><thead><tr><th></th><th>Encad.</th><th>non Encad. ou non réponse</th></tr></thead><tbody><tr><th>réponse 1</th><td>10</td><td>2</td></tr><tr><th>réponses 2*</th><td>10</td><td>12</td></tr><tr><th>autres réponses</th><td>20</td><td>22</td></tr></tbody></table>

Les profils ne sont pas exactement les mêmes selon les classes :
<table><thead><tr><th>classe A</th><th>Encad.</th><th>non Enc.</th><th>non rép</th><th>classe B</th><th>Encad.</th><th>non Enc.</th><th>non rép</th></tr></thead><tbody><tr><td>rép. 1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>rép. 1</td><td>5</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>rép. 2 *</td><td>1</td><td>3</td><td>4</td><td>rép. 2*</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>autres</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>autres</td><td>3</td><td>3</td><td>4</td></tr><tr><td>non rép.</td><td>1</td><td>0</td><td>8</td><td>non rép.</td><td>1</td><td>0</td><td>9</td></tr></tbody></table><table><thead><tr><th>classe C</th><th>Encad.</th><th>non Enc.</th><th>non rép</th><th>classe D</th><th>Encad.</th><th>non Enc.</th><th>non rép</th></tr></thead><tbody><tr><td>rép. 1</td><td>2</td><td>0</td><td>1</td><td>rép. 1</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>rép. 2 *</td><td>5</td><td>2</td><td>1</td><td>rép. 2 *</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>autres</td><td>8</td><td>2</td><td>4</td><td>autres</td><td>2</td><td>0</td><td>3</td></tr><tr><td>non rép.</td><td>4</td><td>0</td><td>6</td><td>non rép.</td><td>0</td><td>1</td><td>12</td></tr></tbody></table>

Seuls 12 élèves fournissent une réponse correcte, et 10 d'entre eux avaient fourni un encadrement permettant de déterminer le signe, les deux autres n'ayant pas répondu pour l'encadrement. Pour les autres élèves qui répondent, il n'est pas sûr qu'ils fassent une relation netre les deux questions, et c'est douteux pour ceux qui font une réponse 5, 6, 7 8 : il répondent à la question de la valeur exacte le plus souvent sans avoir répondu à celle de l'encadrement, soit en recourant aux valeurs approchées (sans doute avec la calculatrice) soit en utilisant un procédé algébrique. On voit que c'est surtout dans la classe A que des élèves qui ne sont pas capables de fournir l'encadrement fournissent néanmoins une valeur approchée correcte alors qu'ils ont tendance à donner des réponses formelles à partir de $\sqrt{2}$ dans les classes B et C. Dans la classe C, 8 élèves fournissent un encadrement pertinent, aux problèmes d'inégalités près, mais une réponse non pertinente pour $1-\sqrt{2}$. Il y a 14 élèves en tout dans ce cas ; l'importance de la classe C dans cette catégorie s'explique par le nombre élevé dans cette classe d'élèves qui répondent $1-\sqrt{2}$ ou $\sqrt{2}-1$. En effet, les réponses de ces 14 élèves se répartissent ainsi :

* $1-\sqrt{2}$ ou $\sqrt{2}-1$ : B19, C14, C15, C21, C28, C29

* $1-\sqrt{2}$ : B25, C17,

* $1+\sqrt{2}$ : A9, B23, C16, C19, D15

* $-0,41$ : D14.

Les réponses aux premières questions du questionnaire laissaient penser que seuls les entiers, les décimaux et quelques fractions sont considérés par beaucoup d'élèves comme des nombres "réels", que les seules différences entre nombres qu'ils peuvent imaginer sont reliées au signe ou à l'écriture et que les expressions qui n'ont pas une écriture avec un seul signe comme $|2-\pi|$ ne sont pas considérées comme des nombres. Nous en trouvons une confirmation ici. $1-\sqrt{2}$ ne semble pas être un nombre dont on peut facilement prendre l'opposé, sauf en le remplaçant par une valeur décimale approchée. La distance de 1 à $\sqrt{2}$ ne semble pas plus facile à évaluer. Les difficultés rencontrées sur cette question ne semblent pas reliées à la valeur absolue mais plutôt à la notion de nombre irrationnel.

## 2. Valeur absolue et intervalles.

Les questions 5 et 6 permettaient de tester les traductions dans les définitions des intervalles entre la donnée des bornes et la définition sous la forme $|x-c| \le r$ en même temps que la résolution d'équations ou inéquations $|ax+bl| = r$ ($\le r$), en demandant dans chaque cas la réponse dans le cadre géométrique et le registre de la droite graduée, qui est un moyen de passer d'une définition de l'intervalle à l'autre par l'intermédiaire du centre et du rayon.

5. Dans chaque cas, dessine une droite graduée et colorie tous les points qui ont une abscisse x qui vérifie la condition donnée :

$$ba) |x - 3,5| \le 1,5 \qquad \underline{\hspace{2cm}}$$

$$\) x \in [\frac{3}{4}; 2] \qquad \underline{\hspace{2cm}}$$

$$c) |x + \frac{3}{2}| \le 2 \qquad \underline{\hspace{2cm}}$$

$$d) |2x + 1| = 3 \qquad \underline{\hspace{2cm}}$$

$$e) |2x + 1| \le 3 \qquad \underline{\hspace{2cm}}$$

6. Quel est le centre de l'intervalle $[-\frac{7}{2}; \frac{1}{2}]$ ?

Quel est son rayon ?
Ecris une relation ayant la même signification que $x \in [-\frac{7}{2}; -\frac{1}{2}]$ mais utilisant la valeur absolue.

La question b était une vérification de la lecture correcte d'un intervalle à partir de ses bornes, elle est réussie par presque tous les élèves. Quelques-uns n'y ont pas répondu peut-être parce qu'il n'y avait aucun calcul à faire pour y répondre, quelques autres ont fait une erreur de signe (code S) sur une des bornes ou mal placé $-\frac{3}{4}$ (code P).

Nous faisons l'hypothèse (raisonnable d'après les résultats de 5b) que les traductions entre l'intervalle défini par ses bornes et le dessin de l'intervalle ne posent pas d'autre problème, pour la quasi totalité des élèves, que celui du placement ou de la lecture d'abscisses sur un axe gradué. Les réponses aux questions 5a, c, d, e peuvent donc être considérées comme des résolutions d'équations ou d'inéquations. Nous attendons des différences dans la réussite de a et c d'une part, d et e d'autre part pour les classes A, B, D qui ont introduit les valeurs absolues par les distances mais peu de différences pour la classe C où la définition de la valeur absolue s'est faite dans le cadre algébrique.

La question 6 demandait la traduction inverse de 5c mais en demandant des intermédiaires, ce qui devait nous permettre d'analyser les erreurs de traduction. Nous comparerons les résultats de 5c) et 6b) (écriture de la relation à partir des centre et rayon trouvés) qui correspondent à une traduction dans un sens et dans l'autre pour un même intervalle avec centre fractionnaire et négatif et rayon entier. Par la distance, 5c) devrait être mieux réussi que 6b) à cause des difficultés numériques, conformément aux résultats de la question sur le tableau.

Nous avons codé les réponses des élèves en utilisant un même code pour les réponses qui nous semblaient relever d'une même conception, ou plus exactement d'un même type de procédures ; nous devrions, si notre analyse est correcte trouver une certaine cohérence dans les réponses aux diverses questions. La liste des codes des erreurs et des résultats détaillés est assez longue, nous la reportons en annexe.

Nous donnerons ici les réussites aux questions 5a, 5c, 5d, 5e, 6b, nous caractériserons quelques erreurs et nous ferons les comparaisons annoncées.

### a) - réussites

<table><thead><tr><th>catégorie</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>5a code 1</td><td>9</td><td>11</td><td>27</td><td>10</td><td>0</td><td>57</td></tr><tr><td>5c code 1</td><td>8</td><td>8</td><td>18</td><td>6</td><td>0</td><td>40</td></tr><tr><td>5d code 1</td><td>4</td><td>4</td><td>22</td><td>6</td><td>0</td><td>36</td></tr><tr><td>5e code 1</td><td>3</td><td>3</td><td>29</td><td>4</td><td>0</td><td>39</td></tr><tr><td>5a et 5c code 1</td><td>7</td><td>7</td><td>18</td><td>6</td><td>0</td><td>38</td></tr><tr><td>5d et 5e code 1</td><td>3</td><td>3</td><td>20</td><td>4</td><td>0</td><td>30</td></tr><tr><td>5 tout juste</td><td>2</td><td>1</td><td>12</td><td>1</td><td>0</td><td>16</td></tr><tr><td>6a code 1</td><td>9</td><td>14</td><td>24</td><td>9</td><td>1</td><td>57</td></tr><tr><td>6b code 1</td><td>7</td><td>7</td><td>6</td><td>6</td><td>0</td><td>26</td></tr><tr><td>6a et 6b code 1</td><td>5</td><td>6</td><td>6</td><td>4</td><td></td><td>21</td></tr><tr><td>5a, 5c, 6b code 1</td><td>4</td><td>4</td><td>5</td><td>3</td><td>0</td><td>16</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Pourcentages</th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>5a code 1</td><td>0,38</td><td>0,38</td><td>0,77</td><td>0,45</td><td></td><td>0,51</td></tr><tr><td>5c code 1</td><td>0,33</td><td>0,28</td><td>0,51</td><td>0,27</td><td></td><td>0,36</td></tr><tr><td>5d code 1</td><td>0,17</td><td>0,14</td><td>0,63</td><td>0,27</td><td></td><td>0,32</td></tr><tr><td>5e code 1</td><td>0,13</td><td>0,10</td><td>0,83</td><td>0,18</td><td></td><td>0,35</td></tr><tr><td>5a et 5c code 1</td><td>0,29</td><td>0,24</td><td>0,51</td><td>0,27</td><td></td><td>0,34</td></tr><tr><td>5d et 5e code 1</td><td>0,13</td><td>0,10</td><td>0,57</td><td>0,18</td><td></td><td>0,27</td></tr><tr><td>5 tout juste</td><td>0,08</td><td>0,03</td><td>0,34</td><td>0,05</td><td></td><td>0,14</td></tr><tr><td>6a code 1</td><td>0,38</td><td>0,48</td><td>0,69</td><td>0,41</td><td></td><td>0,51</td></tr><tr><td>6b code 1</td><td>0,29</td><td>0,24</td><td>0,17</td><td>0,27</td><td></td><td>0,23</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>6a et 6b code 1</td><td>0,21</td><td>0,21</td><td>0,17</td><td>0,18</td><td>0,19</td></tr><tr><td>5a, 5c, 6b code1</td><td>0,17</td><td>0,14</td><td>0,14</td><td>0,14</td><td>0,14</td></tr></table>

Les élèves A10, B18, C4, C11, C21, C24, C33 et D6 ont toutes leurs réponses justes pour ces deux questions.

Nous pouvons constater une meilleure réussite à l'exercice 5 dans la classe C que dans les autres classes. Cette tendance se maintient pour le début de l'exercice 6 (déterminer le centre et le rayon) mais non dans la deuxième partie (écrire avec une valeur absolue). La meilleure réussite de la classe C peut s'expliquer par deux facteurs : d'une part les élèves de cette classe se sont plus investis dans la résolution de cet exercice classique parce qu'ils pensaient le contrôle noté et ils ont bénéficié d'un temps plus long ; d'autre part, tous ceux qui donnent une explication (27) utilisent une méthode algébrique et parmi eux, 9 utilisent la méthode de résolution en tableau pour d et e (dont 4 utilisent aussi pour a et/ou c). Dans les autres classes, très peu d'élèves font apparaître des calculs (aucun dans la classe B), on peut penser qu'ils ont résolu géométriquement sur le dessin, certains l'indiquent par des accolades, deux élèves de la classe A indiquent le calcul des bornes, deux élèves de la classe A utilisent une méthode algébrique (dont un, A14, correctement, y compris pour d et e), 7 élèves de la classe D font de même (dont 4 correctement mais deux font des erreurs dans le report sur le dessin).

Une autre différence entre les classes est la baisse beaucoup plus forte de réussite entre 6a et 6b dans la classe C que dans les autres classes : pour la moitié des élèves de la classe C, connaître le centre et le rayon ne permet pas d'écrire la définition de l'intervalle à l'aide de la valeur absolue. C'est aussi le cas du quart de sélèves de la classe B mais nous savons qu'ils se sont moins investis (14 non réponse pour cette question, parmi lesquels 3 avaient un centre et un rayon corrects et 4 autres avaient un centre juste mais n'ont pas cherché le rayon).

Nous reviendrons sur ces questions dans les paragraphes sur les comparaisons.

## b) - erreurs

Nous relevons ici 6 types d'erreurs, dont les 3 premières ne concernent que la question 5 et la dernière les questions 5d et 5e :

* erreur A : élèves qui enlèvent les barres de valeur absolue et résolvent algébriquement

* erreur B : élèves qui donnent un segment délimité par centre et rayon ou une demi droite délimitée par centre et rayon (cumulée éventuellement avec une erreur de signe pour le centre)

* erreur O : intervalle centré en 0 avec le bon rayon

* erreur CR : interversion du centre et du rayon, que ce soit en dessinant l'intervalle ou en lisant le dessin,

* erreur S : erreur de signe sur une borne ou sur le centre et qui ne font que cette erreur

Pour les questions d et e, nous repérons par 3 codes les élèves qui traitent la question en se référant probablement aux distances comme dans le cas 1x-al, sans complètement tenir compte du coefficient :

- co pour les élèves qui font comme si on avait x au lieu de 2x et répondent -4, 2 ou -4 ≤ x ≤ 2

- R pour ceux qui prennent un centre correct mais un rayon 3 (-3,5 ; 2,5 pour bornes) ce qui

revient à résoudre $|x + \frac{1}{2}| \le 3$

- C pour ceux qui prennent un rayon correct mais un centre -1 (-2,5 ; 0,5), ce qui revient à résoudre $|x + 1| \le \frac{3}{2}$.

Nous regrouperons ces codes sous le titre "erreur D"

<table><thead><tr><th>erreurs</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>5 erreur A</td><td>10</td><td>8</td><td>8</td><td>2</td><td>2</td><td>30</td></tr><tr><td>5 erreur B</td><td>7</td><td>6</td><td>0</td><td>4</td><td>0</td><td>17</td></tr><tr><td>5 erreur O</td><td>4</td><td>3</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>12</td></tr><tr><td>5 ou 6 erreur CR</td><td>1</td><td>2</td><td>0</td><td>1</td><td></td><td>4</td></tr><tr><td>5 ou 6 erreur S</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td>8</td><td></td><td>19</td></tr><tr><td>erreur D</td><td>5</td><td>3</td><td>0</td><td>2</td><td></td><td>10</td></tr><tr><td>total</td><td>24</td><td>29</td><td>35</td><td>22</td><td>2</td><td>112</td></tr></tbody></table>
<table><thead><tr><th>erreurs</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>5 erreur A</td><td>0,42</td><td>0,28</td><td>0,23</td><td>0,09</td><td></td><td>0,27</td></tr><tr><td>5 erreur B</td><td>0,29</td><td>0,21</td><td>0,00</td><td>0,18</td><td></td><td>0,15</td></tr><tr><td>5 erreur O</td><td>0,17</td><td>0,10</td><td>0,06</td><td>0,09</td><td></td><td>0,11</td></tr><tr><td>5 ou 6 erreur CR</td><td>0,04</td><td>0,07</td><td>0,00</td><td>0,05</td><td></td><td>0,04</td></tr><tr><td>5 ou 6 erreur S</td><td>0,17</td><td>0,14</td><td>0,09</td><td>0,36</td><td></td><td>0,17</td></tr><tr><td>erreur D</td><td>0,21</td><td>0,10</td><td>0,00</td><td>0,09</td><td></td><td>0,09</td></tr></tbody></table>

Les erreurs B, CR, D sont totalement absentes de la classe C, ce qui est normal puisque les élèves résolvent algébriquement et ne se réfèrent donc pas au centre et au rayon. Ces erreurs correspondent soit à une confusion entre les bornes et le couple centre-rayon, soit à une adaptation erronée de la procédure géométrique à la résolution d'équations du type $lax+bl = r$. L'erreur A qui consiste à résoudre l'équation ou l'inéquation du premier degré comme s'il n'y avait pas les $||$ est présente dans toutes les classes et très forte dans la classe A où la résolution algébrique n'a pas été enseignée.

L'erreur S est évidemment présente dans toutes les classes et correspond le plus souvent à la non congruence des registres de traduction.

On peut remarquer aussi une différence entre la classe D et les autres au niveau des types d'erreur : si l'on regroupe toutes les erreurs qui correspondent à une résolution algébrique erronée, on trouve respectivement 12, 10, 10, 4 élèves qui font au moins une de ces erreurs ; en revanche l'erreur sur le signe du centre (ou erreur de signe dans la résolution algébrique) est respectivement de 4, 4, 3, 8. On voit que la classe D fait moins d'erreur du premier type et plus du second que les autres classes. Or, dans la classe D, l'introduction de la valeur absolue s'est faite à partir des distances mais la procédure algébrique de résolution des équations et inéquations a été institutionnalisée assez vite alors que dans les classes A et B la procédure géométrique a été privilégiée. Et même, dans la classe A, la procédure algébrique n'a jamais été reprise par le professeur qui a mis en garde les élèves qui voulaient l'utiliser ; cependant, il semble que dans cette classe, la moitié des élèves essaient cependant d'y recourir mais de manière erronée. Les classes A et D font partie du même établissement, la classe D avait un niveau général légèrement supérieur à celui de la classe A (quelques élèves étaient susceptibles d'aller en 1ère S) et le professeur a valorisé assez vite la méthode algébrique mais on peut voir que beaucoup d'élèves recourent à la méthode géométrique en faisant une erreur sur le signe du centre qui est un élément non congruent dans la traduction entre les deux registres.

### c) - comparaison des résultats de 5c et 6b

Il s'agit de comparer les résultats de 5c et 6b qui correspondent aux deux sens de traduction pour les écritures des intervalles et pour lesquelles des différences étaient attendues.

5c. traduction de $|x+cl| \le r$ en $x \in [a,b]$

6b. traduction de $x \in [a,b]$ en $|x+cl| \le r$

La traduction dans 6b sera considérée comme bonne quand elle est compatible avec le centre et le rayon trouvés dans 6a, même faux.

<table><thead><tr><th></th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>5c et 6b</td><td>0,25</td><td>0,21</td><td>0,17</td><td>0,23</td><td>0,21</td></tr><tr><td>5c et non 6b</td><td>0,08</td><td>0,14</td><td>0,43</td><td>0,05</td><td>0,20</td></tr><tr><td>non 5c et 6b</td><td>0,13</td><td>0,03</td><td>0,00</td><td>0,14</td><td>0,06</td></tr><tr><td>ni 5c ni 6b</td><td>0,54</td><td>0,62</td><td>0,37</td><td>0,59</td><td>0,53</td></tr></tbody></table>

Nous voyons que les élèves de la classe C, avec une approche algébrique peuvent réussir la traduction de $|x+cl| \le r$ en $x \in [a,b]$, ce qui revient à résoudre une inéquation, bien plus facilement que l'autre sens.

Dans les classes A et D, s'ils peuvent faire un sens, ils peuvent faire l'autre, ou le sens de l'intervalle vers la valeur absolue est un peu mieux réussi, contrairement à notre attente puisque
nous avons des bornes fractionnaires, mais l'effectif qui réussissent est réduit, ce qui fait que le problème de calcul avec les fractions intervient peut-être peu, surtout s'ils font un dessin.

Pour les classes A, B, le succès dans 5c et non 6b est dû à la non réponse dans 6b, dans la classe D, il y a un élève qui prend le mauvais signe du centre pour la traduction, alors que dans la classe C il y a des non réponse mais il y a beaucoup de réponses comme "0 ≤ |x| ≤ 3,5 ou même $-\frac{7}{2} \le |x| \le \frac{1}{2}$.

### d) - comparaison des résultats de 5a et 5c d'une part, 5d et 5e d'autre part :

Nous attendons ici aussi des différences entre la classe C (peut-être D) et les autres : avec la méthode algébrique, et en particulier avec la méthode du tableau il n'y a pas de différence entre ces items, peut-être même 5d et 5e sont-ils plus faciles parce qu'ils utilisent des entiers, alors que 5d et 5e sont beaucoup plus difficiles que 5a et 5c avec la méthode géométrique,

<table><thead><tr><th></th><th>réussite a et c</th><th>non (a et c)</th></tr></thead><tbody><tr><td>réussite d, e</td><td>A: 2, B: 1, C:17, D: 1</td><td>A: 1, B: 2, C: 9, D: 3</td></tr><tr><td>non (d et e)</td><td>A: 5, B: 5, C: 3, D: 5</td><td>A:16, B:21, C: 6, D:13</td></tr></tbody></table>

Les différences sont tout à fait claires, comme attendu, comme on peut le voir sur le tableau de pourcentages de chaque type dans chaque classe

<table><thead><tr><th>pourcentages 1</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>ac et de</td><td>0,08</td><td>0,03</td><td>0,49</td><td>0,05</td><td>0,19</td></tr><tr><td>ac et non de</td><td>0,21</td><td>0,17</td><td>0,09</td><td>0,23</td><td>0,16</td></tr><tr><td>(non ac) et de</td><td>0,04</td><td>0,07</td><td>0,26</td><td>0,14</td><td>0,14</td></tr><tr><td>ni ac ni de</td><td>0,67</td><td>0,72</td><td>0,17</td><td>0,59</td><td>0,51</td></tr></tbody></table>

et, dans chaque type, la contribution de chaque classe est :

<table><thead><tr><th>pourcentages 2</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th></tr></thead><tbody><tr><td>ac et de</td><td>0,10</td><td>0,05</td><td>0,81</td><td>0,05</td></tr><tr><td>ac et non de</td><td>0,28</td><td>0,28</td><td>0,17</td><td>0,28</td></tr><tr><td>(non ac) et de</td><td>0,07</td><td>0,13</td><td>0,60</td><td>0,20</td></tr><tr><td>ni ac ni de</td><td>0,28</td><td>0,37</td><td>0,11</td><td>0,23</td></tr><tr><td>total</td><td>0,22</td><td>0,26</td><td>0,32</td><td>0,20</td></tr></tbody></table>

Ces deux tableaux montrent bien la différence sur ce point entre la classe C et les autres : Les élèves de la classe C ont une meilleure réussite dans d,e que dans a,c, et la meilleure réussite pour le tout, souvent par la méthode du tableau. Dans les classes A et B, très peu d'élèves peuvent réussir d et e mais a,c est un peu plus facile. Dans la classe D, ce qui est plus facile n'est pas clair.

Rappelons qu'il faut relativiser les résultats obtenus dans ce paragraphe en se souvenant que les conditions de passation n'ont pas été identiques :

- pour la classe A, le test a été passé assez peu de temps après l'enseignement de la valeur absolue, et le professeur les a incités à réviser et a dit que ce contrôle compterait dans la moyenne,

- pour la classe B, l'enseignement de la valeur absolue était fini depuis 3 mois, le professeur a simplement prévenu les élèves que je ferais un test mais que cela ne le regardait pas, qu'il ne regarderait pas leurs réponses. Le test a eu lieu juste avant les vacances de Pâques, ceci explique l'absence de 5 élèves et peut-être l'investissement moindre de certains autres,

- pour la classe C, le test a aussi eu lieu lors de la dernière séance avant les vacances de Pâques mais le professeur avait annoncé un contrôle surprise, comme il en fait quelquefois, ce qui explique la présence de tous les élèves et leur investissement sur les questions concernant la
valeur absolue jugées "rentables", les questions du début étant plus inattendues ont parfois été moins investies alors même que les élèves disposaient de plus de temps (1h 1/4 environ), - pour la classe D, la passation a eu lieu dans la dernière séance de cours avant la libération des élèves pour le baccalauréat, ce qui explique quelques absences et sans doute un investissement moindre : le professeur ne pouvait plus utiliser les réponses pour l'évaluation des élèves. De plus, des circonstances indépendantes de notre volonté ont fait que les élèves n'ont pu disposer que de 45 à 50 minutes. Comme pour la classe B, le test avait lieu plus de 3 mois après l'enseignement.

### 3. Encadrements de longueurs ou aires

La question 8 comportait 5 items et visait à tester l'usage des encadrements dans les calculs. Le premier item permettait de voir si les élèves pouvaient écrire l'encadrement dans le langage de la valeur absolue : nous croiserons donc les réponses avec celles de l'item 6b. Dans le second, nous regarderons simplement l'encadrement de AB, il s'agit pratiquement de tester la compréhension du mot "encadrement" et de l'expression "à un demi centimètre près". Le troisième permettait de tester l'usage des encadrements pour une différence et donc la multiplication d'une inégalité par un nombre négatif : nous attendons une faible réussite. Le quatrième portait sur l'encadrement d'un calcul plus complexe mais obtenu par une application croissante, la réussite devrait être meilleure. Le dernier item demandait un encadrement de l'aire, donc là aussi une opération croissante, mais la difficulté était dans le calcul de l'aire, notamment suivant la décomposition choisie l'encadrement peut être plus ou moins bon.

8. On a dessiné ci-contre une reproduction ADBC d'un cerf-volant dont les diagonales se coupent en O. On connait les mesures à un demi centimètre près : pour OA, OD et OC 50 cm, pour AB 140 cm. On a par exemple, en prenant comme unité le cm : $49,5 \le OA \le 50,5$.

Peux-tu écrire le même renseignement en utilisant la valeur absolue ?

Ecris l'encadrement donné des mesures de AB, OC, OD.

Donne un encadrement de OB :

Donne un encadrement de AC :

Donne un encadrement de l'aire du cerf-volant :

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Notons d'abord que cette question n'a pas du tout été abordée par 13 élèves (4 de la classe A, 1 de la classe B, 3 de la classe C et 5 de la classe D, qui, rappelons-le, a disposé de moins de temps. Nous ne considérons pas ces élèves pour cette question. Pour les autres, nous donnons les résultats par item :

**a) écriture avec la valeur absolue de $49,5 \le OA \le 50,5$**

Seuls 10 élèves, dont la moitié de la classe B, donnent la réponse attendue : $|OA - 50| \le 0,5$ (code 1).

Nous regrouperons sous le code 2 les erreurs qui nous paraissent liées à des problèmes d'écriture (ou d'attention pour ceux qui mettent un signe -) : les 4 élèves qui écrivent $|OA+50| \le 0,5$ et des variations autour de la réponse correcte : $|x-50| = 0,5$ (3 élèves) ; $|x - 50| \le -\frac{1}{2}$ (deux élèves) ; ainsi que les élèves qui écrivent $|x-50| \le 1$, $|x-50,5| \le 0,5$, $|x-49,5| \le 0,5$, $|x-49,5| \le 1$, chacun 1 fois.

Le code 3 sera donné à l'écriture $49,5 \le |OA| \le 50,5$ rencontrée 10 fois. Il est vrai que cette écriture fournit une réponse correcte à la question posée mais nous pensions que le contexte
permettrait d'interpréter correctement la question, formulée volontairement dans des termes voisins de la question 6b. Il était de toute façon difficile de préciser la question sans induire la réponse.

Dans le code 4, nous regroupons des écritures très variées utilisant les barres de manière plus ou moins fantaisiste comme $|49,5| \le |OA| \le |50,5|$ (2 fois) ou $|-49,5| \le OA \le |-50,5|$ (1 fois) ou même $|49,5| \le OA \le |50,5|$ ou $|-49,5| \le OA \le |-50,5|$ (1 fois) ou autres variations comme $|OA+0,5| \le 50$ ou $|OA-49,5| \le 50,5$. Sous ce code, nous avons regroupé 20 écritures différentes faisant toutes intervenir d'une manière ou d'une autre les nombres 50, 49,5, 50,5 et 0,5 ainsi que OA ou x et des barres de valeur absolue, ces écritures correspondant pour la plupart à une affirmation vraie. Je ne sais pas combien de possibilités d'écriture il y avait mais il est sûr que les élèves ne manquent pas d'imagination sur ce point ! Nous mettons aussi dans cette catégorie une élève (A24) qui écrit "OA = $|-x-49,5|$ OA = $|-x-50,5|$ mais on fait toujours le plus grand moins le plus petit $x \le 50,5$ $50,5 - x \le 50,5+x1$", ce qui nous paraît difficilement interprétable.

Les résultats pour les élèves qui ont abordé la question sont les suivants (les non réponse sont des non réponses partielles) :

<table><thead><tr><th>catégorie</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>réponse 1</td><td>2</td><td>5</td><td>0</td><td>3</td><td>0</td><td>10</td></tr><tr><td>réponse 2</td><td>2</td><td>2</td><td>4</td><td>5</td><td>0</td><td>13</td></tr><tr><td>réponse 3</td><td>3</td><td>1</td><td>5</td><td>0</td><td>1</td><td>10</td></tr><tr><td>réponse 4</td><td>7</td><td>8</td><td>4</td><td>4</td><td>0</td><td>23</td></tr><tr><td>non réponse</td><td>6</td><td>12</td><td>19</td><td>5</td><td>1</td><td>43</td></tr><tr><td>total</td><td>20</td><td>28</td><td>32</td><td>17</td><td>2</td><td>99</td></tr><tr><td>Pourcentages</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>réponse 1</td><td>0,10</td><td>0,18</td><td>0,00</td><td>0,18</td><td>0,00</td><td>0,10</td></tr><tr><td>réponse 2</td><td>0,10</td><td>0,07</td><td>0,13</td><td>0,29</td><td>0,00</td><td>0,13</td></tr><tr><td>réponse 3</td><td>0,15</td><td>0,04</td><td>0,16</td><td>0,00</td><td>0,50</td><td>0,10</td></tr><tr><td>réponse 4</td><td>0,35</td><td>0,29</td><td>0,13</td><td>0,24</td><td>0,00</td><td>0,23</td></tr><tr><td>non réponse</td><td>0,30</td><td>0,43</td><td>0,59</td><td>0,29</td><td>0,50</td><td>0,43</td></tr></tbody></table>

Nous avons inclus dans les non réponse les élèves qui donnent l'intervalle ainsi que ceux qui répondent "oui" ou "non", même avec explication.

### b) Croisement des réponses aux questions 6b et 8a

Nous voulions voir si les élèves pouvaient utiliser dans un contexte géométrique la traduction du langage des encadrements dans le langage de la valeur absolue. C'était le but de la question 8a, que nous comparons à 6b qui demandait la même chose dans le cas des intervalles. La comparaison donne les résultats suivants :

<table><thead><tr><th>catégorie</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>8a et 6b</td><td>3</td><td>5</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>9</td></tr><tr><td>6b et non 8a</td><td>5</td><td>4</td><td>6</td><td>6</td><td>0</td><td>21</td></tr><tr><td>8a et non 6b</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>3</td><td>0</td><td>4</td></tr><tr><td>ni 8a ni 6b</td><td>10</td><td>8</td><td>18</td><td>10</td><td>2</td><td>48</td></tr><tr><td>non rep. aux 2</td><td>6</td><td>12</td><td>10</td><td>2</td><td>0</td><td>30</td></tr><tr><td>total</td><td>24</td><td>29</td><td>35</td><td>22</td><td>2</td><td>112</td></tr></tbody></table>

Nous avons ici englobé dans les réussites les élèves qui répondent par une égalité au lieu d'une inégalité et dans les échecs les non réponse s'il y a réponse à l'autre question. Nous constatons, comme prévu que la question 6b est mieux réussie que la 8a. La réussite à 8a et l'échec à 6b sont exceptionnels, d'autant plus que sur les 4 élèves qui sont dans ce cas, 3 écrivent une égalité pour 8a. La réussite des deux est encore plus rare dans la classe C où la présentation a été algébrique et dans la classe D où la résolution algébrique a été valorisée.
### c) Encadrement de AB.

Cette question, qui correspondait à une traduction en termes d'inégalités de l'information "à 0,5 près" est en général bien réussie quand elle est traitée, sauf dans la classe A où la question des valeurs approchées n'a pas été abordée. Les autres réponses peuvent être des encadrements à 0,1 près, celle de B17 (189,5 ≤ AB ≤ 190,5) ou la réponse de A10 (1x-140| ≤ 1) ou des réponses comme 49,5 ≤ AB ≤ 140. En revanche, nous avons compté dans les réponses justes celle de B35 : |139,5| ≤ AB ≤ |140,5|, sans doute influencée par la question précédente. Nous n'avons considéré que les élèves qui ont abordé la question 8. Les résultats se passent d'autre commentaire :

<table><thead><tr><th>encadrer AB</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>réponse correcte</td><td>8</td><td>21</td><td>30</td><td>14</td><td>1</td><td>75</td></tr><tr><td>autre réponse</td><td>7</td><td>5</td><td>0</td><td>2</td><td>1</td><td>15</td></tr><tr><td>non réponse</td><td>5</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>9</td></tr><tr><td>total</td><td>20</td><td>28</td><td>32</td><td>17</td><td>2</td><td>99</td></tr><tr><td>% rép. correcte</td><td>0,40</td><td>0,79</td><td>0,94</td><td>0,82</td><td>0,50</td><td>0,76</td></tr></tbody></table>

### d) Encadrement de OB

Il s'agissait cette fois d'encadrer une différence. Comme prévu, nous avons peu de réponses correctes (89 ≤ OB ≤ 91, code 1). Les autres réponses correspondent essentiellement aux erreurs attendues :

code 2 : 89,5 ≤ OB ≤ 90,5 : calcul de OB et encadrement à 0,5 près,

code 3 : 90 ≤ OB ≤ 90 ou 139,5 - 49,5 ≤ OB ≤ 140,5 - 50,5 : soustraction des inégalités

<table><thead><tr><th>OB</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>réponse 1</td><td>0</td><td>6</td><td>6</td><td>1</td><td>0</td><td>13</td></tr><tr><td>réponse 2</td><td>7</td><td>12</td><td>16</td><td>5</td><td>0</td><td>40</td></tr><tr><td>réponse 3</td><td>0</td><td>8</td><td>7</td><td>3</td><td>0</td><td>18</td></tr><tr><td>autre réponse</td><td>9</td><td>3</td><td>3</td><td>3</td><td>1</td><td>19</td></tr><tr><td>non réponse</td><td>4</td><td>3</td><td>0</td><td>5</td><td>1</td><td>13</td></tr><tr><td>total</td><td>20</td><td>28</td><td>32</td><td>17</td><td>2</td><td>99</td></tr><tr><td>Pourcentages</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>réponse 1</td><td>0,00</td><td>0,21</td><td>0,19</td><td>0,06</td><td></td><td>0,13</td></tr><tr><td>réponse 2</td><td>0,35</td><td>0,43</td><td>0,50</td><td>0,29</td><td></td><td>0,40</td></tr><tr><td>réponse 3</td><td>0,00</td><td>0,29</td><td>0,22</td><td>0,18</td><td></td><td>0,18</td></tr><tr><td>autre réponse</td><td>0,45</td><td>0,11</td><td>0,09</td><td>0,18</td><td></td><td>0,19</td></tr><tr><td>non réponse</td><td>0,20</td><td>0,11</td><td>0,00</td><td>0,29</td><td></td><td>0,13</td></tr></tbody></table>

Nous avons compté dans la réponse 2 un élève de la classe A qui répond |x-90| ≤ 1 parce qu'il avait fait une réponse du même type en 8a.

Trois élèves de la classe B sont classés à la fois en réponse 2 et en réponse 3 : B3 part de 139 ≤ AB ≤ 141 pour retrancher les inégalités, B12 et B13 retranchent les inégalités mais concluent avec un encadrement à 0,5 près.

Nous constatons que, comme nous pouvions le prévoir, c'est la réponse 2 qui consiste à calculer OB puis à remettre la même marge d'erreur qui est la plus fréquente. La soustraction des inégalités est aussi assez fréquente, sauf dans la classe A. Dans cette classe, les autres réponses sont les plus fréquentes. Elles correspondent souvent à des élèves qui ont donné un intervalle du type [90, 140] ou qui ont additionné les dimensions, ou qui ont calculé OB sans encadrer.

### e) Encadrement de AC.

Il s'agissait ici d'encadrer l'hypoténuse d'un triangle rectangle, connaissant les côtés de l'angle droit. Nous n'avions pas précisé que l'encadrement devait se faire dans les décimaux ni le nombre de chiffres à conserver. Nous avons donc accepté comme réponse correcte tous les encadrements qui contenaient la bonne "fourchette". La procédure la plus rapide consistait à dire que AC est compris entre 49,5√2 et 50,5√2. Certains élèves l'ont fait et ont fourni cet
encadrement comme réponse, d'autres en ont déduit un encadrement de AB par des décimaux. D'autres élèves ont calculé les valeurs extrêmes disant $\sqrt{4900,5} \le AC \le \sqrt{5100,5}$, donnant cette réponse ou en déduisant un encadrement décimal. Un seul élève fait un mauvais arrondi à droite, nous le comptons dans les réponses justes ainsi qu'un élève qui encadre $AC^2$ par $(2x49,5)^2$ et $(2x50,5)^2$. Ces réponses, considérées comme correctes, seront codées 1.

D'autres élèves ont calculé une valeur approchée de AC à partir de 50 puis ont pris un encadrement à 0,5 près. Nous avons regroupé avec ceux-là sous le code 2, des élèves qui donnent des encadrements à partir de 70,71, valeur approchée de $50\sqrt{2}$, éventuellement plus resserrés, ou avec erreur de calcul.

Nous coderons 3 la réponse des élèves qui pensent que le triangle AOC est équilatéral et disent $49,5 \le AC \le 50,5$.

Les autres réponses seront codées 4, mais nous compterons dans les non réponse un élève qui dit qu'on ne peut pas calculer AC parce qu'on ne nous dit pas que l'angle AOC est droit. Les réponses sont toujours prises parmi les élèves qui ont abordé la question.

<table><thead><tr><th>AC</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>réponse 1</td><td>1</td><td>8</td><td>14</td><td>1</td><td>1</td><td>25</td></tr><tr><td>réponse 2</td><td>3</td><td>9</td><td>11</td><td>2</td><td>0</td><td>25</td></tr><tr><td>réponse 3</td><td>2</td><td>1</td><td>3</td><td>2</td><td>0</td><td>8</td></tr><tr><td>réponse 4</td><td>2</td><td>3</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>6</td></tr><tr><td>non réponse *</td><td>12</td><td>7</td><td>3</td><td>12</td><td>1</td><td>35</td></tr><tr><td>total</td><td>20</td><td>28</td><td>32</td><td>17</td><td>2</td><td>99</td></tr><tr><td>Pourcentages</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>réponse 1</td><td>0,05</td><td>0,29</td><td>0,44</td><td>0,06</td><td></td><td>0,25</td></tr><tr><td>réponse 2</td><td>0,15</td><td>0,32</td><td>0,34</td><td>0,12</td><td></td><td>0,25</td></tr><tr><td>réponse 3</td><td>0,10</td><td>0,04</td><td>0,09</td><td>0,12</td><td></td><td>0,08</td></tr><tr><td>réponse 4</td><td>0,10</td><td>0,11</td><td>0,03</td><td>0,00</td><td></td><td>0,06</td></tr><tr><td>non réponse</td><td>0,60</td><td>0,25</td><td>0,09</td><td>0,71</td><td></td><td>0,35</td></tr></tbody></table>

On constate que les réponses 1 et 2 sont en nombre équivalent et que les élèves des classes A et D ont presque tous sauté cette question. Les encadrements ont été très peu travaillés dans la classe A, toujours dans des situations plus simples. Les élèves de la classe D qui manquaient de temps ont choisi des exercices plus familiers.

Les réponses correctes sont, comme prévu, plus nombreuses que pour OB, ce qui est normal puisque la technique qui consiste à faire le calcul avec les valeurs extrêmes donne ici une réponse correcte et une réponse fausse (code 3) dans le cas de la soustraction.

### f) Encadrement de l'aire.

On retrouve le même type de procédures qu'à la question précédente, avec en plus la difficulté de calculer l'aire dont nous ne tiendrons pas compte ici mais qui a entraîné encore plus de non réponse dans les classes A et D.

Nous considérerons comme correctes, et codées 1, les réponses $6905,25 \le A \le 7095,25$ mais aussi les encadrements moins précis qui résultent d'un découpage de la surface en 2 triangles, ce qui peut donner un encadrement encore plus large si on prend un découpage maladroit. Nous ne tiendrons pas compte non plus des erreurs dues aux encadrements précédents ni des erreurs de calcul, ni même de l'oubli de diviser par 2 dans les calculs d'aire, ce qui donne des encadrements autour de 14000 (c'est le cas de 3 élèves de la classe C, d'un élève de la classe D et d'un autre de la classe B qui, de plus, n'encadre qu'une des dimensions ($139,5 \times 100 \le A \le 140,5 \times 100$), mais que nous laissons quand même avec ce groupe.

De même nous regrouperons dans la réponse 2 les élèves qui font l'encadrement après le calcul, autour de 7000 ou de 14000, mais nous mettrons dans les autres réponses les encadrements qui correspondent à d'autres erreurs de formule, des confusions addition multiplication ou des réponses difficiles à interpréter.

Les résultats sont les suivants :
<table><thead><tr><th>Aire</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>réponse 1</td><td>0</td><td>11</td><td>10</td><td>1</td><td>1</td><td>18</td></tr><tr><td>réponse 2</td><td>2</td><td>3</td><td>10</td><td>0</td><td>0</td><td>20</td></tr><tr><td>autre réponse</td><td>2</td><td>1</td><td>7</td><td>2</td><td>0</td><td>12</td></tr><tr><td>non réponse</td><td>16</td><td>13</td><td>5</td><td>14</td><td>1</td><td>49</td></tr><tr><td>total</td><td>20</td><td>28</td><td>32</td><td>17</td><td>2</td><td>99</td></tr><tr><td>Pourcentages</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>réponse 1</td><td>0,00</td><td>0,36</td><td>0,22</td><td>0,00</td><td></td><td>0,18</td></tr><tr><td>réponse 2</td><td>0,10</td><td>0,14</td><td>0,41</td><td>0,06</td><td></td><td>0,20</td></tr><tr><td>autre réponse</td><td>0,10</td><td>0,04</td><td>0,22</td><td>0,12</td><td></td><td>0,12</td></tr><tr><td>non réponse</td><td>0,80</td><td>0,46</td><td>0,16</td><td>0,82</td><td></td><td>0,49</td></tr></tbody></table>

Seuls 50 élèves répondent à cette question, dont seulement 4 pour la classe A et 3 pour la classe D. Dans les classes B et C, c'est respectivement environ la moitié et les trois quarts des élèves qui répondent. Parmi les réponses exprimées, les réponses qui témoignent d'une compréhension de l'effet des opérations sur les encadrements ne sont majoritaires que dans la classe B. Dans la classe C, elles sont à égalité avec celles qui sont obtenues par le procédé qui consiste à calculer l'aire à partir des mesures approchées et à prendre un encadrement arbitraire après. C'est aussi la procédure qu'utilisent les 2 élèves de la classe A qui arrivent à calculer l'aire sans trop d'erreur.

En conclusion, les questions concernant les encadrements sont assez peu réussies, même en ne considérant que les élèves qui les ont abordées. On avoisine le tiers de réponses correctes pour les classes B et C dans le cas où on a des sommes ou produits de quantités positives (une des classes réussit mieux l'hypoténuse et l'autre l'aire). L'erreur la plus répandue dans ce cas consiste à calculer la grandeur cherchée à partir des valeurs moyennes et à faire après un encadrement à 0,5 près. Dans le cas d'une différence, le cinquième seulement des élèves réussissent dans les classes B et C : à l'erreur précédente s'ajoute celle qui consiste à soustraire les inégalités. Dans les classes A et D on a très peu de réponses correctes. Nous avons déjà signalé que les encadrements n'avaient presque pas été traités dans la classe A et nous avons vu que dans la classe D, il y avait peu d'utilisation dans des situations de modélisation. De plus les élèves de la classes D ont disposé de moins de temps et n'ont en général pas abordé les questions concernant l'aire et l'hypoténuse qui demandaient des calculs.

## 4. Expression algébrique de la valeur absolue.

Nous analysons ici les résultats de la question 9 :

9. Pour chacune des affirmations, entoure ce qui convient et explique ta réponse :

<table><tr><td>◊ pour tous les nombres réels x positifs, on un |x - 2| = x - 2</td><td>vrai</td><td>faux</td><td>je ne sais pas</td></tr><tr><td>◊ pour tous les nombres réels x négatifs, on un |2 - x| = 2 + x</td><td>vrai</td><td>faux</td><td>je ne sais pas</td></tr><tr><td>◊ pour tous les nombres réels supérieurs à 2, on un |2 - x| = x - 2</td><td>vrai</td><td>faux</td><td>je ne sais pas</td></tr></table>

Cette question cherchait à repérer des erreurs classiques sur la définition algébrique de la valeur absolue. On pouvait attendre que beaucoup d'élèves répondent "vrai" à la première affirmation qui n'est contredite que par les nombres entre 0 et 2. La réponse "vrai" à la deuxième est une erreur classique qui consiste à dire que la valeur absolue est positive donc qu'il faut mettre +x si x est négatif. La troisième affirmation était vraie mais l'écriture sous la forme |2-x| plutôt que |x-2| pouvait induire en erreur. C'est ce qui s'est passé pour beaucoup d'élèves pour qui |2-x| n'est sans doute pas équivalent à |x-2|, comme en témoignent d'ailleurs les commentaires qui accompagnent les réponses.

### a) Résultats.

D'abord, nous pouvons dire que très peu d'élèves donnent une réponse correcte pour les 3 questions :
<table><thead><tr><th>les 3</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>correct FFV</td><td>1</td><td>5</td><td>6</td><td>1</td><td>0</td><td>13</td></tr><tr><td>2 cor. 1 jnsp</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td></tr></tbody></table>

Si nous regardons une assertion à la fois, nous voyons que ce n'est pas la même assertion qui donne la meilleure réussite dans chaque classe :

<table><thead><tr><th>% réussite</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>affirm.1</td><td>0,43</td><td>0,59</td><td>0,44</td><td>0,65</td><td>0,52</td></tr><tr><td>affirm.2</td><td>0,43</td><td>0,45</td><td>0,82</td><td>0,35</td><td>0,54</td></tr><tr><td>affirm.3</td><td>0,70</td><td>0,38</td><td>0,24</td><td>0,65</td><td>0,44</td></tr></tbody></table>

La 1ère affirmation est la mieux réussie des 3, bien que peu nettement, dans la classe B, à égalité avec la 3ème dans la classe D ; c'est la 2ème assertion qui a, de loin, le meilleur taux de réponses correctes dans la classe C, et la 3ème affirmation est la mieux réussie dans la classe A, à égalité avec la 1ère pour la classe D mais c'est la moins bien réussie dans la classe B et dans la C où les écarts sont d'ailleurs les plus grands. La troisième question est aussi celle pour laquelle la réponse des étudiants est le plus souvent "Je ne sais pas", en particulier dans la classe C (22 : 3 + 5 + 10 + 4).

Les réponses détaillées par question sont données en annexe

Remarquons de plus qu'ici, nous n'avons tenu compte que des réponses et non des justifications alors que certains élèves donnent de mauvaises justifications à des réponses justes, nous les comptabilisons cependant avec les autres puisque d'autres élèves ne donnent aucune justification. Les mauvaises raisons ne devraient pas permettre de fournir des réponses justes à toutes les questions. Voyons donc ce que donne l'examen du nombre de réponses justes à l'ensemble des questions.

<table><thead><tr><th>Ensemble</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>réponse FFV</td><td>1</td><td>5</td><td>6</td><td>1</td><td>0</td><td>13</td></tr><tr><td>2 Corrects, 1JSP</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td></tr><tr><td>réponse FFF</td><td>0</td><td>1</td><td>6</td><td>1</td><td>0</td><td>8</td></tr><tr><td>réponse FVV</td><td>5</td><td>2</td><td>1</td><td>8</td><td>0</td><td>16</td></tr><tr><td>réponse VFV</td><td>8</td><td>4</td><td>1</td><td>3</td><td>0</td><td>16</td></tr><tr><td>total 2 rép.justes</td><td>13</td><td>7</td><td>8</td><td>12</td><td>0</td><td>40</td></tr><tr><td>1er Correct</td><td>3</td><td>9</td><td>1</td><td>3</td><td>1</td><td>17</td></tr><tr><td>2ème Correct</td><td>1</td><td>3</td><td>14</td><td>2</td><td>0</td><td>20</td></tr><tr><td>3ème Correct</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>2</td></tr><tr><td>total 1 rep.juste</td><td>5</td><td>12</td><td>15</td><td>6</td><td>1</td><td>39</td></tr><tr><td>réponse VVF</td><td>2</td><td>5</td><td>2</td><td>0</td><td>1</td><td>10</td></tr><tr><td>autre réponse</td><td>1</td><td>0</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>4</td></tr><tr><td>non réponse</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>0</td><td>4</td></tr><tr><td>total</td><td>24</td><td>29</td><td>35</td><td>22</td><td>2</td><td>112</td></tr></tbody></table>

Les réponses entièrement correctes ne sont qu'au nombre de 13. Il y a certes 55 élèves qui fournissent au moins deux réponses justes mais il est à craindre qu'en tenant compte des explications, nous découvrions que cela ne recouvre pas la compréhension de la valeur absolue, surtout pour ceux qui déclarent vraie la seconde affirmation. Ils sont les plus nombreux dans les classes A et D. Il est à noter également que, pour les élèves qui répondent correctement à 2 questions, la 3ème est presque toujours correcte pour les classe A, B, D qui ont eu la présentation par les distances et presque jamais pour la classe C. Ce sont les élèves de la classe D, et dans une moindre mesure A, qui se trompent le plus souvent pour la deuxième affirmation et ceux de la classe A qui se trompent le plus pour la 1ère question. Pour ceux qui ont une seule
réponse correcte, nous retrouvons le fait que la classe C a le plus d'élèves qui ne répondent juste qu'à la deuxième affirmation, et la classe B pour la première. On n'a presque jamais des réponses justes à la 3ème seule : rappeleons que c'est celle qui inspire le plus de doute.

Ces résultats ne sont pas étonnants a priori : on pourrait penser que la présentation algébrique amène à rencontrer l'erreur correspondant à l'assertion 2 au cours de l'apprentissage, ce qui amène une institutionnalisation forte sur ce point, alors que la présentation par la distance amène à attirer l'attention sur le 2 qui est à l'intérieur de la valeur absolue pour séparer les deux déterminations. Mais, dans la classe C, 11 élèves donnent une réponse juste au b en pensant que, dans ce cas, $|2-x| = -2+x$ : l'un d'eux explique que $|2-x| = -(2-x)$ si $x < 0$. Le grand nombre de réponses correctes au b) dans la classe C s'explique donc par une erreur.

Il faut donc analyser les explications fournies pour tirer des conclusions plus précises.

## b) Analyse des explications fournies.

Il y a peu d'explications, surtout pour la dernière affirmation.

- 19 élèves fournissent une réponse juste avec une explication pertinente :

12 donnent le contre exemple $x = 1$ (A7, A10, B4, B19, B26, B28, B32, C2, C11, C21, C24, C26), les autres disent qu'il faudrait $x > 2$ ou que ça peut être 2 - $x$ si $x < 2$ ou redonnent la définition avec le bon partage (A20, B27, C3, C13, D6, D15, D24).

- 7 élèves donnent une réponse juste avec des explications non fausses mais non pertinentes : "une valeur absolue est positive" (B25, C19, C25), $|-2| = |2|$ et il n'est pas indiqué que $x > 2$" (A1), "la valeur absolue d'un nombre négatif doit ensuite être positif" (A22), "$|x-2|$ peut être égal à $-x+2$ et $x$ être négatif" (C10), "c'est le plus grand nombre qui est placé en premier" (D9).

- 10 élèves donnent une réponse juste avec une explication fausse dont 6 répondent "car $|x-2| = x+2$" (A8, A24, B11, B24, B30, C33), "car $x$ est aussi $\le 0$" (D3), "si $x < 2$ la V.A. est négative et une V.A. n'est jamais négative" (A9), "un nombre positif devant un signe - donne -" (D21).

- 3 élèves donnent une explication pertinente mais une réponse fausse parce qu'ils n'ont pas tenu compte de "$x$ positif" : "vrai car $|x-2| = x - 2$ si $x \ge 2$" (A26), "si $x \ge 2$" (C6), "c'est le plus grand moins le plus petit" (D22),

- 10 élèves donnent une réponse fausse avec une explication fausse ou non pertinente : "$|x-2| = x-2$ quand $x \ge -2$" (A16), "$|x| = x$" (B10, B20, C23), "par exemple $|-2| = -2$" (B13), "la V.A. enlève le signe -" (B35 qui prend pour exemple $x = 3$), "$|x-2| = x-2$ si $x > 0$" (C4), "on ne peut pas avoir $-x+2$ car $x$ positif" (C18), "la V.A. d'un nombre est positive" (C23), "quand une V.A. est positif, on ne change rien mais on enlève le symbole" (C35).

- 9 élèves fournissent une réponse juste avec une explication pertinente : 5 fournissent un contre exemple (-1 pour B4, B32, C21, C26, -4 pour B19), les autres disent que $|2-x| = 2-x$ quand $2 \ge x$ (A16, A26, D12) ou que "$|2-x| = -2+x$ ou $2-x$" (C24),

- 2 déclarent qu'une V.A. est toujours positive (C9, C19),

- 18 donnent une réponse juste avec une explication fausse, dont 11 disent que $|2-x| = -2+x$ (C3, C4, C8, C11, C12, C14, C15, C18, C22, C30, C31), 2 disent $|2-x| = -2-x$ (C13, C33), C2 prend 1 pour contre exemple, C6 déclare "si $x+2 \le 0$", B10 et B20 disent "$|x| = x$,

- 14 tentent de justifier la réponse "vrai" dont 3 élèves (D6, D15 et D24) ont fourni des justifications correctes pour les deux autres affirmations, ils répondent ici : "2 est alors $> x$ et on soustrait toujours au nombre le plus grand le nombre le plus petit" (D6), "d(2,x), vrai car $2 \ge x$ négatif" (D15), "oui car le plus grand moins le plus petit $2-(-x) = 2+x$" (D24). Les autres explications vont dans le même sens : "on fait la différence du plus grand nombre et du plus petit donc le signe est +" (A9), "car $x < 0$ et - par - donne +" (A10), "$|-x| = x$" (B13), "2 signes - à la suite se transforment en +" (B35), "quand une V.A. est négatif on écrit l'opposé (C35), "un nombre négatif devant un signe - donne +" (D21), ou sont non pertinentes : "une V.A. est toujours positive" (A22, B11, C25, D4), sauf "$|2-x|$ avec $x$ négatif $= x-2$" (D30).

- 4 ont des réponses correctes et des explications pertinentes : "différence entre le plus grand et le plus petit" (A9, D6), "car $x \ge 2$" (D15, D24)

- 2 prennent un exemple ($x = 3$) (A10, A16),

<footnote>*Pour la première affirmation, sur 49 explications fournies (dont 36 pour des réponses justes),</footnote>

<footnote>*Pour la deuxième affirmation, sur 43 explications (dont 29 avec des réponses justes),</footnote>

<footnote>*Pour la troisième affirmation, sur 17 explications (dont 8 avec des réponses justes),</footnote>
- 2 ont une réponse juste et une explication fausse : "on additionne le plus grand au plus petit" (D21), C26 prend pour exemple $x = 2$ mais écrit $|-2| = 2$ et $-2 = 2$,

- 9 ont des réponses et des justifications fausses : ""$|-2|x| = 2+x$" (A8, D9), $|-2|x| = 2-x$ si $x > 2$" (C10, C13, C33, D30), "$|-2|x| \ge 2$" (A24), "ou $2-x$" (C3), "la valeur absolue enlève le signe $-$ : si $x = 3$ $|-2-3| = 1$ et $2-3 = -1$" (B35).

On peut voir que les explications fournies montrent bien les difficultés avec les nombres négatifs, notamment la difficulté à penser à positif. On retrouve ici des explications tout à fait conformes aux résultats de la thèse de Tchoubou (1996).

### c) Comparaison avec Chiarugi et al. pour la définition algébrique de $|x|$

* Nous pouvons comparer notre question 9a "pour tous les nombres réels positifs, nous avons $|x-2| = x-2$ vrai, faux, je ne sais pas" avec la question 6 de Chiarugi et al. " est-il vrai que $|x-1| = x-1$ pour $x \in R$ et $x > 0$ ?"

Chiarugi 14 ans : 25%, 17 ans : 57%, 19 ans : 69%
notre 9a : 52% (A : 43%, B : 59%, C : 44%, D : 65%)

Nos résultats sont voisins de ceux de Chiarugi à 17 ans, ce qui est assez positif, compte tenu du fait que les élèves français voient la valeur absolue pour la première fois.

* Nous comparons aussi nos questions

9b "pour tous les nombres réels négatifs, on a $|-2|x| = 2+x$ vrai, faux, je ne sais pas" et

9c "pour tous les nombres réels plus grands que 2, on a $|-2|x| = x - 2$ vrai, faux, je ne sais pas"

avec la question 7 de Chiarugi et al. " est-il vrai que $|-1|x| = 1+x$ pour $x \in R$ et $x > 1$ ?"

même si ce n'est pas exactement la même : nous pouvons attendre que notre question 9b soit plus difficile que la question 7 de Chiarugi parce que $x < 0$ donne la tentation de changer $x$ en $-x$, et notre 9c devrait être équivalent.

En fait, cela semble vrai dans les classes A et D mais pas dans les classes B et C :

Chiarugi 14 ans : 54%, 17 ans : 72%, 19 ans : 69%
notre 9b : 54% (A : 43%, B : 45%, C : 82%, D : 35%)

notre 9c : 44% (A : 70%, B : 38%, C : 24%, D : 65%)

Pour expliquer les différences en 9b, il nous faut rappeler que les explications fournies par les élèves montrent que la réussite de la classe C à la question 9b cache souvent l'erreur $|-2|x| = -2+x$ si $x < 0$. La mauvaise réussite des élèves des classes B et C à la question 9c est difficile à expliquer car les élèves n'ont fourni que très peu d'explications pour cette question. Il est probable que $|-2|x|$ n'est pas équivalent à $|-x-2|$ pour beaucoup d'élèves, surtout dans la classe C où les élèves ne font pas le lien avec la distance.

**En conclusion**, le très faible pourcentage de réussite aux trois items et le petit nombre d'explications correctes montre que l'expression algébrique de la valeur absolue est loin d'être acquise, même dans la classe C où c'est ce mode de présentation qui a été choisi. Pour la deuxième affirmation les bons résultats de la classe C s'expliquent par une erreur, on a un peu plus d'explications correctes dans le cas d'une affirmation fausse où un contre exemple très simple est disponible. Les explications manquent surtout pour justifier une affirmation vraie, comme la troisième. Des différences entre les classes se manifestent au niveau des erreurs, notamment le fait que les élèves qui ont eu une présentation algébrique réussissent plus mal la troisième question : on peut penser que $|-2|x|$ n'est pas traité comme $|-x-2|$. D'ailleurs cette question qui traduit la définition mais avec une écriture inhabituelle, entraîne le plus de réponses "je ne sais pas". C'est curieusement dans les classes les plus faibles (A puis D) qu'elle est le mieux réussie, peut-être est-ce dû au fait que c'est la représentation la plus élémentaire de la valeur absolue comme distance qui était la plus pertinente ici : "le plus grand moins le plus petit". Les autres différences sont plus difficiles à interpréter.

## 5. Représentation graphique.

Seuls les élèves de la classe C qui disposaient de 20 minutes de plus ont tous abordé la question. Les élèves des classes A qui ont eu à peine 50 minutes et surtout D, à peine 45 minutes, ont particulièrement manqué de temps et beaucoup ne sont pas arrivés à cette question.
C'est pourquoi nous compterons les pourcentages sur le nombre d'élèves qui ont abordé la question.

Nous avons compté avec les réponses correctes des élèves qui ont fait correctement 2 représentations graphiques (f et h pour B25, C20, C32, f et g pour A14, B17, B19, B32, C22) ou même seulement f pour C26, en pensant que les premiers n'ont pas tracé $|x|$ qui ne servait pas pour les résolutions suivantes et que les derniers n'ont pas eu assez de temps. Cette hypothèse est peut-être abusive puisque certains élèves ont représenté correctement 2 fonctions et fait une erreur sur la 3ème (voir réponse 6) mais elle semble raisonnable au vu de la plupart de ces copies.

Nous distinguerons donc :

réponse 1 : pas d'erreur,

réponse 2 : correct mais partiel (restreint à $x>0$ pour C7, D25, à $x > a$ pour C9 et C19, à $x < a$ pour DX)

réponse 3 : problème de pente : c'est le cas de 2 élèves : C3 qui représente $|3x|$ pour $|x-3|$ et correctement $|x|$ et $|x+2|$ et D22 qui représente $|0,5x+1|$ pour $|x+2|$, correctement $|x|$ mais ne représente pas $|x-3|$

réponse 4 : décalage vertical, avec de plus dans un cas (C1) une restriction à $x > 0$, et dans le cas de D11 et D23 un double décalage (sommet en (2,4) pour f dans les 2 cas, en (-3,-9) pour h chez D11, non réponse pour h chez D23),

réponse 5 : toutes les représentations sont des droites (équations variées)

réponse 6 : réponses mixtes : certaines représentations correctes, les autres avec une des erreurs précédentes sauf réponses 3 qui sont aussi des réponses mixtes mais non comptées ici. Nous trouvons pour la réponse 6 :

B3 et B33 représentent correctement $|x+2|$ et $|x-3|$ mais tracent $x=1$ pour $|x|$,

D7 et D15 tracent correctement $|x|$ et $|x-3|$ mais font une décalage vertical ($|x|+2$) pour f,

B27 trace correctement les mêmes mais fait la droite $x+2$ pour f,

C30 trace correctement $|x+2|$ et $|x|$ et fait $|x|-3$ pour h,

A27 trace correctement $|x-3|$, fait un décalage vertical pour f et trace $y = 1$ pour $|x|$,

B6 trace correctement $|x+2|$ mais trace $y = x$ pour $|x|$ et ne trace pas h,

B31 trace correctement $|x|$ mais $y = 2$ et $y = 3$ pour les autres.

Ces résultats sont résumés dans le tableau suivant :

<table><thead><tr><th>Graphiques</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>réponse 1</td><td>8</td><td>17</td><td>28</td><td>4</td><td>1</td><td>58</td></tr><tr><td>réponse 2</td><td>0</td><td>0</td><td>3</td><td>2</td><td>0</td><td>5</td></tr><tr><td>réponse 3</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>2</td></tr><tr><td>réponse 4</td><td>5</td><td>3</td><td>1</td><td>2</td><td>0</td><td>11</td></tr><tr><td>réponse 5</td><td>3</td><td>0</td><td>1</td><td>3</td><td>1</td><td>8</td></tr><tr><td>réponse 6</td><td>1</td><td>5</td><td>1</td><td>2</td><td>0</td><td>9</td></tr><tr><td>total réponses</td><td>17</td><td>25</td><td>35</td><td>14</td><td>2</td><td>93</td></tr><tr><td>% réponse 1</td><td>0,47</td><td>0,68</td><td>0,80</td><td>0,29</td><td></td><td>0,62</td></tr><tr><td>correct pour |x|</td><td>13</td><td>22</td><td>30</td><td>9</td><td>1</td><td>75</td></tr><tr><td>% correct pour |x|</td><td>54</td><td>76</td><td>86</td><td>41</td><td></td><td>70</td></tr><tr><td>non réponse</td><td>7</td><td>4</td><td>0</td><td>8</td><td>0</td><td>19</td></tr></tbody></table>

Les résultats sont meilleurs dans la classe C qui a disposé de plus de temps et pour laquelle l'enjeu était plus important. Ils sont bons aussi dans la classe B où l'on rencontre par ailleurs le plus de réponses mixtes, avec une ou deux représentations justes. Les résultats pour $|x|$ sont un peu meilleurs que ceux d'EVAPM (60%) mais c'est dû aux classes B et C qui ont des résultats bien meilleurs alors que ceux des classes A et D sont moins bons mais rappelons que le temps a manqué dans ces classes (surtout D) comme le montre le nombre important de non réponse. Rappelons que les classes B et C sont aussi celles qui ont les meilleurs résultats au test d'évaluation nationale de début d'année.

L'erreur la plus fréquente consiste à faire un décalage vertical, c'est-à-dire à représenter par exemple $|x|+3$ au lieu de $|x-3|$ (11,8% des élèves sont dans ce cas, c'est l'erreur dominante dans
la classe A). L'autre erreur fréquente consiste à tracer des droites (présentes dans toutes les classes sauf la classe B).

Cependant ces résultats doivent être modérés par le fait que beaucoup d'élèves (mais pas tous) disposent d'une calculatrice graphique et ont pu s'en servir pour tracer les courbes même si je leur ai demandé de ne pas le faire.

## 6. Résolution d'équations et d'inéquations

Cette question étant la dernière, beaucoup d'élèves ne l'ont pas abordée, surtout dans les classes A (9) et B (11). Dans la classe D, qui a eu le moins de temps, beaucoup d'élèves l'ont commencée, en la préférant parfois au tracé des représentations graphiques ou aux encadrements de AC ou de l'aire du cerf volant.

Les élèves "autres" n'ont pas abordé la question. Les effectifs maximum pour chaque équation ou inéquation sont donc 15 pour la classe A, 18 pour la classe B, 33 pour la classe C, 20 pour la classe D. Cependant, nous ne considérerons pas ici les non réponse comme des échecs et nous calculerons pour chaque question les réussites sur les réponses effectives.

Seules les trois premières questions pouvaient être traitées facilement par tous les élèves et les deux dernières questions n'étaient pas vraiment au programme de seconde, l'une ($|x-3| = 2x$) était adaptée à un traitement algébrique ou graphique, l'autre ($|x-3|+|x-2| = 1$) à un traitement par les distances.

### 6.1. $|x-3| = 1,4$ et $|x-3| = \sqrt{2}$

En rapprochant ces deux questions, nous voulions voir si les élèves remplaceraient $\sqrt{2}$ par une valeur approchée ou si la présence de la racine carrée entraînait davantage d'erreurs algébriques.

Nous attendions certaines erreurs comme celle qui consiste à enlever les valeurs absolues sans autre forme de procès et amène à trouver une seule solution.

Dans le tableau ci-dessous, on trouvera un classement des réponses des élèves. Les réponses par lecture graphique sont aussi des réponses correctes, mais éventuellement approchées (1,5 au lieu de 1,6 par exemple). Les erreurs de calcul sont essentiellement numériques dans le cas de 1,4 (exemple $3 - 1,4 = 2,4$ ou $3 - 1,4 = -1,6$) et des erreurs de signe dans le cas de $\sqrt{2}$ (par exemple $-x = \sqrt{2}-3$, $x = \sqrt{2} + 3$ ou donner comme solution $\sqrt{2}-3$ ou $x-3 = \sqrt{2}$ donc $x = -3+\sqrt{2}$). "Inégalités" concerne des élèves qui résolvent une inégalité au lieu d'une égalité ou répondent un segment après avoir résolu l'équation. Les élèves de toutes ces catégories ont donc employé une méthode de résolution correcte en ce qui concerne le traitement de la valeur absolue, c'est pourquoi nous les avons compté pour calculer le pourcentage d'élèves utilisant une méthode correcte. Nous avons compté comme correctes les réponses d'un élève (C2) qui formule sa réponse finale "$|x| =..." au lieu de "$x =..."$ à toutes les questions. En revanche, nous avons compté dans "autres réponses", celles de C4 : "si $x > 0$, $x-3 = 1,4$ ; si $x < 0$, $-x+3 = 1,4$ ; si $x = 1,6$" et "si $x > 0$, $x-3 = \sqrt{2}$" puis arrêt. Il fait la même chose au c).

<table><thead><tr><th></th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>$|x-3| = 1,4$</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>effectif</td><td>15</td><td>18</td><td>33</td><td>18</td><td>84</td></tr><tr><td>réponse correcte</td><td>6</td><td>5</td><td>21</td><td>10</td><td>42</td></tr><tr><td>lecture graphique</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td><td>4</td></tr><tr><td>erreur de calcul</td><td>1</td><td>3</td><td>4</td><td>2</td><td>9</td></tr><tr><td>inégalités</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>une seule solution</td><td>4</td><td>3</td><td>3</td><td>1</td><td>11</td></tr><tr><td>erreur CR</td><td>2</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>5</td></tr><tr><td>autres erreurs</td><td>2</td><td>4</td><td>3</td><td>2</td><td>11</td></tr><tr><td>% méthode correcte</td><td>47</td><td>50</td><td>82</td><td>83</td><td>68</td></tr><tr><td>$|x-3| = \sqrt{2}$</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>effectif</td><td>14</td><td>13</td><td>32</td><td>16</td><td>75</td></tr><tr><td>réponse correcte</td><td>4</td><td>4</td><td>16</td><td>10</td><td>34</td></tr><tr><td>lecture graphique</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td></tr></tbody></table>
<table><thead><tr><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>err. calcul (signe)</td><td>1</td><td>2</td><td>4</td><td>0</td><td>7</td></tr><tr><td>inégalités</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>approximations</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td></tr><tr><td>idem 1,4 (correct)</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td><td>4</td></tr><tr><td>idem 1,4 (incorrect)</td><td>2</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>4</td></tr><tr><td>une seule solution</td><td>3</td><td>3</td><td>2</td><td>1</td><td>9</td></tr><tr><td>erreur CR</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>autres erreurs</td><td>3</td><td>2</td><td>4</td><td>3</td><td>12</td></tr><tr><td>% méthode correcte</td><td>43</td><td>54</td><td>75</td><td>75</td><td>65</td></tr><tr><td>méthode corr. pour les 2</td><td>6</td><td>6</td><td>23</td><td>12</td><td>43</td></tr></tbody></table>

Les différences entre les deux exercices ne sont finalement pas très grandes et 10 élèves utilisent des approximations à une ou deux décimales. On trouve peu d'autres erreurs spécifiques à $\sqrt{2}$ sauf A26 qui transforme $|x-3| = \sqrt{2}$ en $x-3 = 2$. Cependant des erreurs algébriques apparaissent dans ce cas pour des élèves qui ne faisaient pas la même erreur pour 1,4 :

B3 fait $"x+3 = 14, x = 11"$ dans un cas et $"x+3 = \sqrt{2}, x = -3\sqrt{2}"$ dans l'autre.

B25 qui avait fait une erreur CR pour 1,4 (avec dessin), répond $3\sqrt{2}$ ou $-3\sqrt{2}$ pour $\sqrt{2}$.

C1 répond respectivement $"x+3 = 1,4, x = -1,6"$ et $x+3 = \sqrt{2}, x = -3\sqrt{2}.$

Dans le tableau, nous avons regroupé les élèves donnant un seule solution. Cela peut être parce qu'ils remplacent $|x-a|$ par $x-a$ ou par $x+a$ ou parce qu'ils ne regardent qu'une branche du graphique.

Par erreur CR, nous entendons une interversion du centre et du rayon quand les élèves passent par l'intervalle de la droite numérique dessiné. Les autres erreurs concernent essentiellement des règles erronées pour enlever les barres de valeur absolue, employées parfois très régulièrement.

Ainsi, plusieurs élèves remplacent $|x-a|$ et $|x+a|$ par $x+a$ (où $a>0$), ce qui les amènent à trouver une seule solution, d'autres remplacent $|x-a| = r$ par $x-a = r$ ou $x+a = r$, comme D23 qui le fait partout sauf à la question e), ils trouvent alors deux solutions qui sont les mêmes que celles qu'on obtient en intervertissant le centre et le rayon. Cette même difficulté à distinguer centre et rayon ou a et r se retrouve dans la classe C dans l'utilisation du tableau : des élèves mettent r comme ligne de partage des x pour résoudre $|x-a| = r$. Ils résolvent correctement les équations mais peuvent mal conclure en excluant des valeurs qui, pour eux, ne sont pas dans le bon intervalle, comme C13 et C33:

$$a) |x - 3| = 1,4$$

$$S \{4, 4\}$$

$$b) |x - 3| = \sqrt{2}$$

$$S \{\sqrt{2} + 3\}$$

$$c) |7x - 1| = -1 \text{ impossible}$$

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

$$d) |3x + 4| \le 5$$

$$x \in [-3; 5]$$

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

$$e) |x - 3| = |x + 2|$$

Une autre règle de traitement erronée consiste à remplacer $|ax+b| = r$ par $ax+b = r$ ou $-ax+b = r$, ce qui amène à trouver deux solutions opposées. L'élève B12 l'utilise pour les questions c) et d) alors qu'il traite correctement a) et b) par le dessin de la droite. On ne la trouve pas si $a = 1$.
Un élève (D25) remplace $|x-a| = r$ par $|x| = r+a$, ce qui devrait l'amener au même résultat, mais, en fait il conclut $x = r+a$, $-x = -(r+a)$ pour chaque question.

On retrouve également les erreurs répertoriées pour les intervalles : prendre 1,4 et 3 comme bornes, mais beaucoup plus rarement : ainsi seul A20 répond [1,4 ; 3] et [$\sqrt{2}$ ; 3] avec une représentation sur la droite. Il fait une erreur de ce type à toutes les questions. B14 place 1,4 et 3 sur la droite et marque x devant -1,4 (il ne fait rien pour $\sqrt{2}$).

On trouve aussi des erreurs de calcul algébrique dans la résolution des équations du premier degré, qui sont le plus souvent cumulées avec des erreurs concernant la valeur absolue. Ainsi,

A13 : "3 - x = 1,4 - x = $\frac{1/4}{3}$ = -0,08 ou x = " Même chose pour $\sqrt{2}$ où elle semble cependant envisager les deux cas puisqu'elle écrit aussi x - 3 = $\sqrt{2}$ mais ne termine pas.

B33 cumule les erreurs sur la V.A., le calcul algébrique et les décimaux : "x+3 = 1,4, x = 1,4+3, x = 1,7".

Reste le cas de D11 qui répond "une valeur absolue est toujours positive" alors qu'il répond "- $\frac{2}{7} \le x \le 0$" à la question suivante. A-t-il mal vu en copiant sur son voisin ?

Comme prévu, les résultats sont meilleurs dans les classes C et D, qui ont eu un traitement plus algébrique. Il semble que beaucoup d'élèves ne reconnaissant pas l'activité de traduction des intervalles quand on leur demande de résoudre une équation ou une inéquation. Le terme "résoudre" appelant pour eux un traitement algébrique, ils utilisent les règles de résolution des équations du premier degré en se débarrassant de la valeur absolue d'une manière ou d'une autre. Nous comparerons dans le paragraphe 4 les résultats de l'activité de conversion des contrôles avec cette résolution pour les classes A, B, D.

## 6.2. $|7x-1| = -1$.

Cette question était bien sûr destinée à vérifier si les élèves utilisaient le fait qu'une valeur absolue est positive. Certains l'ont dit sans calcul, d'autres, dans la classe C, après une résolution par tableau (C32). Nous avons compté toutes ces réponses comme correctes.

Beaucoup d'élèves des classes A et B ont cessé de répondre à partir de cette question alors que 2 élèves de la classe D n'ont répondu qu'à cette question (et à e) pour D5 qui pensait que c'était aussi impossible). Les effectifs sont donc réduits pour les classes A et B (9 et 11).

Nous distinguerons les élèves qui trouvent 2 solutions en résolvant algébriquement. Ces solutions peuvent être 0 et $\frac{2}{7}$ ou 0 et $-\frac{2}{7}$ ou même 0 et 0 suivant les règles utilisées pour la V.A.

Certains élèves (C12, C29) trouvent encore d'autres solutions comme $\frac{7}{2}$ pour $7x = 2$ ou s'arrêtent à $7x = 0$, $7x = 2$ (A12 qui a trouvé les équations en s'écartant sur la droite d'une distance 1 à partir de 1). Un autre élève que nous avons rangé dans cette catégorie (A1) ne résout pas $7x = 0$ et répond $S = \{\frac{2}{7}\}$. D11 traduit en $-2 \le 7x \le 0$ et trouve $-\frac{2}{7} \le x \le 0$.

Les élèves qui trouvent une seule solution utilisent une règle erronée pour la V.A., le plus souvent $7x-1 = -1$ qui donne $x = 0$ (A26 trouve alors $x = 7$ et B3 $x = -7$), ou $7x+1 = -1$ qui donne $x = -\frac{2}{7}$ (B33, C1, D9). Signalons aussi C20 qui dit "$x<0$ puisque le résultat est négatif", transforme $|7x-1|$ en $-7x+1$ et conclut "$x = \frac{2}{7}$" ; il fait ensuite un tableau et sous l'équation $7x = 0$ écrit "$x = -7$, $S = \emptyset$".

Un élève relève de l'erreur CR, c'est A6 qui fait un dessin en s'écartant de 1 à partir de -1 et répond 0, -2, sans s'occuper du 7, adaptation du traitement par la distance. Les autres erreurs sont les suivantes :

A9 répond $\frac{6}{7}$ avec un dessin où il indique 1 au centre, on retrouve une adaptation que nous avions notée C (rayon adapté mais pas le centre) du traitement par la distance.
A20 répond[-1, 1/7], c'est l'erreur qui consiste à prendre pour borne d'un intervalle son centre et son rayon (ici négatif d'ailleurs !)

C26 répond "cela signifie $7x-1 = -1$ ou $7x-1 = 1$" puis "$x = \emptyset$ ou $x = \emptyset$, S n'a pas de solution"

<table><thead><tr><th>$|7x-1| = -1$</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>effectif</td><td>9</td><td>11</td><td>33</td><td>18</td><td>71</td></tr><tr><td>réponse correcte</td><td>0</td><td>4</td><td>21</td><td>13</td><td>38</td></tr><tr><td>2 solutions</td><td>5</td><td>3</td><td>7</td><td>3</td><td>18</td></tr><tr><td>erreur CR</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>1 solution</td><td>2</td><td>4</td><td>4</td><td>2</td><td>12</td></tr><tr><td>autre</td><td>2</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>3</td></tr><tr><td>% réponse correcte</td><td>0</td><td>36</td><td>64</td><td>72</td><td>54</td></tr></tbody></table>

C'est la classe D qui a les meilleurs résultats sur cette question, suivie par la classe C. Les élèves des classes A et B qui répondent tentent très majoritairement un traitement algébrique (7/9 et 7/11). Il semble là encore que la distance soit peu réinvestie pour traiter ces questions. N'oublions pas cependant que la majorité des élèves de ces classes n'ont pas abordé la question.

### 6.3. $|3x+4| \le 5$.

Sur cette question, les élèves des classes A et B sont désavantagés puisqu'aucune méthode n'a été institutionnalisée dans ce cas, et même dans la classe A, aucun exercice de ce type n'a été traité. D'ailleurs seuls 5 élèves de la classe A répondent (de manière erronée) et 12 de la classe B (dont 1 seul correctement). Les élèves de ces deux classes font très majoritairement des erreurs liées au traitement de la valeur absolue alors que ce n'est le cas que de moins d'un tiers des élèves de la classe D et moins de 10% dans la classe C : dans ces deux classes, les élèves disposent de techniques pour traiter ce type d'exercices. Dans la classe C, c'est la méthode du tableau qui a été institutionnalisée le plus nettement et le professeur a encouragé plutôt à traiter les inégalités séparément tandis que dans la classe D, seule l'a été la méthode de la double inégalité : $-5 \le 3x+4 \le 5$. Ce sont en effet les méthodes qu'utilisent les élèves. Mais beaucoup d'élèves de la classe C qui utilisent le tableau ou traitent les deux inégalités séparément éprouvent des difficultés à conclure. Ce sont les élèves qui utilisent la double inégalité qui réussissent le plus souvent, ce qui explique la meilleure réussite de la classe D. En effet, parmi les 16 élèves qui réussissent, 12 le font par la double inégalité (C4, C10, C17, C29, D3, D4, D6, D7, D14, D22, D24, D26), 3 par un traitement séparé des deux inégalités (B18, C11, C14) et 1 par le tableau (C28). Cela s'explique facilement puisque dans la double inégalité, les élèves n'ont pas à gérer le "et" et le "ou" alors que la gestion logique reste à leur charge dans les autres méthodes. Evidemment, les problèmes ressurgiraient dans le traitement de $|3x+4| \ge 5$.

<table><thead><tr><th>$|3x+4| \le 5$</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>effectif</td><td>5</td><td>12</td><td>31</td><td>16</td><td>64</td></tr><tr><td>réponse correcte</td><td>0</td><td>1</td><td>7</td><td>8</td><td>16</td></tr><tr><td>probl. de conclusion</td><td>0</td><td>0</td><td>8</td><td>1</td><td>9</td></tr><tr><td>traite une égalité</td><td></td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>erreur de V.A.</td><td>3</td><td>9</td><td>3</td><td>5</td><td>20</td></tr><tr><td>erreur d'inégalité</td><td>0</td><td>0</td><td>5</td><td>0</td><td>5</td></tr><tr><td>erreur calcul algébr.</td><td>0</td><td>0</td><td>4</td><td>1</td><td>5</td></tr><tr><td>erreur CR</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><td>erreur de tableau</td><td></td><td></td><td>2</td><td></td><td>2</td></tr><tr><td>autre erreur</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>0</td><td>4</td></tr><tr><td>% réponse correcte</td><td>0</td><td>8</td><td>23</td><td>50</td><td>25</td></tr><tr><td>% erreur V.A.</td><td>60</td><td>75</td><td>10</td><td>31</td><td>31</td></tr></tbody></table>
Parmi les élèves faisant une erreur de valeur absolue, certains font aussi une erreur sur le traitement des inégalités (multiplication par un négatif) ou une erreur de calcul algébrique (changement de signe en changeant de membre pour une addition). En revanche, les erreurs répertoriées calcul algébrique ou inégalités ne concernent pas le traitement de la valeur absolue (les inéquations ou le tableau ont été bien posés), mais les élèves peuvent avoir des problèmes de conclusion comme C25 qui fait un tableau, fait une erreur de signe dans le traitement de l'inégalité de la partie négative, trouve donc $x \le -3$ et entoure ses deux résultats : faut-il comprendre "$x \le -3$ ou $x \le \frac{1}{3}$" ou "$x \le -3$ et $x \le \frac{1}{3}$" ?

La description des erreurs se trouve dans l'annexe 5.

$$6.4. \quad |x-3| = |x+2| \text{ et } |x-3| \le |x+2|$$

Ces questions sont a priori plus faciles à traiter en termes de distance. Malheureusement très peu d'élèves des classes A et B les ont abordées, les effectifs chutent aussi dans les autres classes : respectivement 5 et 3 pour la classe A, 10 et 7 pour la classe B dont 6 ont traité les deux ; 19 et 12 pour la classe C ; 14 et 8 pour la classe D.

Pour l'égalité, on trouve 20 réponses correctes dont 4 par le graphique (A15, B25, C24, D4), 1 qui combine graphique pour choisir les bonnes équations et résolution algébrique (C28), 2 par la distance sur la droite (B5 et B13), 3 par le tableau (C6, C11, C25), 7 par une résolution algébrique des deux équations (C7, C5, D3, D7, D22, D23, D26) même si la conclusion n'est pas toujours clairement donnée dans ce dernier cas. D24 qui résout les deux équations, trouve $x-x = 5$ et écrit un 0 par-dessus le 5 mais ne conclut pas ; D6 pose les deux équations sans résoudre, nous les compterons comme "problèmes de conclusion". B18 et B21 répondent correctement sans explication. Pour B18, c'est clairement une résolution graphique (traces sur le graphique), pour B21, c'est plus probablement une résolution mentale à partir de la distance parce qu'il n'a pas fait de graphique.

<table><thead><tr><th>$|x-3| = |x+2|$</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>effectif</td><td>5</td><td>10</td><td>20</td><td>14</td><td>49</td></tr><tr><td>réponse correcte</td><td>1</td><td>5</td><td>8</td><td>6</td><td>20</td></tr><tr><td>probl. de conclusion</td><td></td><td></td><td></td><td>2</td><td>2</td></tr><tr><td>erreur de V.A. 2 cas</td><td></td><td></td><td>1</td><td>2</td><td>3</td></tr><tr><td>erreur de V.A. 1 cas</td><td>1</td><td>4</td><td>4</td><td>1</td><td>10</td></tr><tr><td>erreur calcul algébr.</td><td>1</td><td></td><td></td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>erreur logique</td><td></td><td></td><td>2</td><td></td><td>2</td></tr><tr><td>autre erreur</td><td>2</td><td>1</td><td>5</td><td>2</td><td>10</td></tr><tr><td>% réponse correcte</td><td></td><td>50</td><td>40</td><td>43</td><td>41</td></tr><tr><td>% erreur V.A.</td><td></td><td>40</td><td>25</td><td>21</td><td>27</td></tr></tbody></table>

Pour l'inégalité, qui est la question la moins traitée de toutes, on a 4 réponses correctes dont 3 par le graphique (A15, C34, D4) plus sans doute B18 qui ne donne pas d'explication. Deux autres élèves fournissent la bonne réponse mais avec des explications douteuses : C19 par une résolution algébrique mais il n'a envisagé que 2 cas : $x-3 \le x+2$ (qui est valable si $x \ge 3$) et $x-3 \ge -x-2$ (qui est équivalent à $3 - x \le x+2$ pour le cas $-2 \le x \le 3$), cette réponse peut donc être difficilement considérée comme correcte. C6 fait un tableau mais écrit Ø aussi bien dans la case $x \le -2$ que dans la case $x \ge 3$, il écrit $x \ge \frac{1}{2}$ dans la case du milieu et conclut $x \ge \frac{1}{2}$.

Pour l'inégalité, nous avons :

<table><thead><tr><th>$|x-3| \le |x+2|$</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>effectif</td><td>3</td><td>7</td><td>12</td><td>8</td><td>30</td></tr><tr><td>réponse correcte</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>4</td></tr><tr><td>probl. de conclusion</td><td></td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>2</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>double ineg. et arrêt</td><td></td><td></td><td></td><td>3</td><td>3</td></tr><tr><td>erreur de V.A. 1 cas</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>3</td></tr><tr><td>erreur d'inégalité</td><td></td><td></td><td>1</td><td></td><td>1</td></tr><tr><td>"impossible"</td><td></td><td></td><td>2</td><td>1</td><td>3</td></tr><tr><td>erreur logique</td><td></td><td></td><td>3</td><td></td><td>3</td></tr><tr><td>autre erreur</td><td>1</td><td>4</td><td>3</td><td>3</td><td>11</td></tr></table>

Pour l'égalité les problèmes de conclusion concernent les deux élèves (D6 et D24) qui n'ont pas terminé la résolution algébrique, pour l'inégalité, il s'agit de B13 qui résout par un dessin et conclut {0,5} comme pour le e), et de C7 qui résout l'égalité algébriquement et répond directement $x \le \frac{1}{2}$ pour l'inégalité (sans doute en reportant le signe $\le$ de la question).

La description des autres erreurs se trouve en annexe 5.

### 6.5. $|x-3| = 2x$

Cette question est à la limite du programme de seconde. Elle pourrait être traitée graphiquement et notre objectif était de voir si les élèves recourraient d'eux-mêmes à cette méthode, la représentation graphique de $|x-3|$ ayant été demandée à la question précédente.

Pour cette question, nous avons 3 réponses dans la classe A, 7 dans la classe B, 20 dans la classe C et 11 dans la classe D. Nous trouvons seulement 4 réponses correctes, 2 par lecture graphique (A15, D4), 2 par le tableau (C20, C25).

La réponse la plus fréquente (réponse 2) est celle qui consiste à dire $x-3 = 2x$ ou $3-x = 2x$, ce qui amène à trouver $x = -3$ ou $x = 1$: C3, C5, C8, C12, C13 (avec tableau), C14, C19, C30, D3, D7, D15, D20, D22. C21 ne termine pas le calcul. C33 conclut [-3,1]. D'autres élèves font la même chose avec une erreur de calcul, ce qui donne des résultats variés : B18, C2, C7, C9,

C23, D23, D24. D6 part aussi de $x-3 = 2x$ ou $x-3 = -2x$, en tire $\frac{x-3}{2} = x$ ou $\frac{x-3}{-2} = x$ et s'arrête.

Ces 23 élèves résolvent donc algébriquement sans tenir compte du fait qu'une valeur absolue est positive même s'ils l'ont utilisé au c).

D'autres élèves font des erreurs sur la valeur absolue, soit en trouvant 2 cas : B5 ($x-3 = 2x$ ou $x+3 = 2x$), B12 ($x-3 = 2x$ ou $-x-3 = -2x$), sans tenir compte des conditions, soit en trouvant une seule solution

- à partir de $x-3 = 2x$ ($x=-3$) : B9, B31, C11, C23, D9 et A26 qui fait en plus une erreur de calcul algébrique et trouve $x = 1$

- à partir de $x+3 = 2x$ : B3 et B33 qui fait de plus une erreur de signe et trouve -3.

Les autres erreurs sont :

A6 dessine la droite, place 2x en -1, trace une accolade de longuement jusqu'à 1, écrit dessous $x-3 = 2x$ et répond 1,

$$C15 \text{ qui passe encore au carré } "x-3 = 2x \text{ d'où } -3 = 2x^2" \text{ et arrive à } x = \sqrt{-\frac{3}{2}}$$

C34 résout graphiquement en fait $|x-3| = 2$

D25 écrit $|x| = -3+2x$, $|x| - 2x = -3$ et s'arrête.

Les résultats sont résumés dans le tableau suivant :

<table><tr><td>$|x-3| = 2x$</td><td>classe A</td><td>classe B</td><td>classe C</td><td>classe D</td><td>total</td></tr><tr><td>effectif</td><td>3</td><td>7</td><td>20</td><td>11</td><td>41</td></tr><tr><td>réponse correcte</td><td>1</td><td>0</td><td>2</td><td>1</td><td>4</td></tr><tr><td>réponse 2</td><td>0</td><td>0</td><td>9</td><td>5</td><td>14</td></tr><tr><td>rép. 2 +err. calc. alg.</td><td>0</td><td>1</td><td>5</td><td>3</td><td>9</td></tr><tr><td>erreur de V.A. 2 cas</td><td>0</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>2</td></tr><tr><td>erreur de V.A. 1 cas</td><td>1</td><td>4</td><td>2</td><td>1</td><td>8</td></tr><tr><td>autre erreur</td><td>1</td><td>0</td><td>2</td><td>1</td><td>4</td></tr><tr><td>% réponse correcte</td><td></td><td>0</td><td>10</td><td>9</td><td>10</td></tr><tr><td>% erreur V.A.</td><td></td><td>86</td><td>10</td><td>9</td><td>24</td></tr></table>
Evidemment, pour ces petits effectifs, les pourcentages ne servent qu'à faciliter la lecture.

### 6.6. $|x-3| + |x-2| = 1$.

Cette question aurait dû être plus facilement résolue à partir du modèle des distances mais aucun élève n'y a eu recours. Un seul élève a trouvé la réponse correcte, c'est B18 qui a résolu graphiquement $|x-3| = 1 - |x-2|$, ce qui, outre la ligne de rappel $x = 0,5$ sur le graphique, est aussi une des raisons qui nous fait penser qu'il avait résolu graphiquement e) et f).

En fait C25 a résolu $|x-3|+|x+2| = 1$, elle a bien distingué les 3 cas du tableau fait pour la question e) mais a dit que $-1 \in ]-\infty, -2]$ ce qui l'amène à conclure $S= \{-1\}$ au lieu de $S = \emptyset$.

La plupart des élèves résolvent $x-3+x-2 = 1$ ou $-x+3-x+2 = 1$ et trouvent $x = 3$ ou $x = 2$. C'est le cas de C5, C7, C8, C12, D3, D7, D22, D24. D'autres font de même mais avec une erreur de calcul algébrique : C9, C13, C15, C19, C24, C30, D20.

B12 fait de même mais, pour lui $|x-al| = x-a$ ou $-x-a$ donc il trouve 3 et -3.

Nous regroupons tous ces élèves sous le sigle "réponse 2".

D'autres élèves résolvent simplement $x-3+x-2 = 1$ : B9, C23, D9, avec éventuellement en plus une erreur de calcul algébrique : A26, B31. Nous les regrouperons sous le titre "1 réponse".

Deux autres élèves (A15, B19) trouvent $x = 3$ sans explication : ont-ils essayé cette valeur ou résolu par le procédé ci-dessus ? Difficile de le dire pour A15 qui prétend avoir trouvé ici "par calcul" mais a beaucoup utilisé les graphiques pour les questions précédentes, avec cependant pour la question a) une seule réponse $-1,6$ "par lecture graphique ou par calcul $3-1,4 = 1,6$" et une seule réponse $3-\sqrt{2}$ au b) "par calcul". B19 a l'air de procéder comme s'il n'y avait pas de barre. Nous rattacherons ces deux élèves à la catégorie "1 réponse".

B3 et B33 résolvent $x+3+x+2 = 1$ (pour eux $|x-al| = x+a$), nous les rattacherons aussi à "1 réponse".

Pour les autres, C14 prétend qu'il n'y a pas de solution, sans explication.

A6, qui faisait l'erreur CR, répond $x = 4$ et $x = 3$ parce que $4-3 = 1$ et $3-2 = 1$ (écrits sous les points $x = 4$ et $x = 3$ d'une droite graduée,

C3 tente une lecture graphique mais il résout séparément $|x-3| = 1$ et $|x-2| = 1$ (avec une erreur)

C6 fait un tableau, enlève bien les barres mais répond $\emptyset$ entre 2 et 3, $-2$ à gauche et 3 à droite et conclut $]-\infty, -2[ \cup ]3, +\infty[$

D10 écrit $d(x-3)+d(x-2) = 1$ ; $(x-3) + (x-2) - 1 = 0$

D25 traduit toujours $|x-al| = b$ par $|x| = b + a$, cela lui donne ici $|x|+|x| = 6, |2x| = 6, x = 3, -x = -3$.

<table><thead><tr><th>$|x-3| + |x-2| = 1$</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><th>effectif</th><td>3</td><td>7</td><td>15</td><td>8</td><td>33</td></tr><tr><th>réponse correcte</th><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><th>erreur ordre négatifs</th><td>0</td><td>0</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td></tr><tr><th>réponse 2</th><td>0</td><td>1</td><td>10</td><td>5</td><td>16</td></tr><tr><th>1 réponse</th><td>2</td><td>5</td><td>1</td><td>1</td><td>9</td></tr><tr><th>autre erreur</th><td>1</td><td>0</td><td>3</td><td>2</td><td>6</td></tr></tbody></table>

**En conclusion**, bien que les résultats de cette question portent sur des effectifs réduits, il nous semble que les grandes lignes suivantes ressortent à propos des méthodes employées :

- quand il s'agit de résolution d'équations, la méthode la plus fortement institutionnalisée continue à être utilisée mais la méthode algébrique tend à être privilégiée dans toutes les classes, même quand elle n'a pas été enseignée ;

- la méthode graphique est très peu utilisée, sauf par de très bons élèves, comme B18 qui domine assez nettement l'ensemble ; elle donne peu de réussite dans le cas des inégalités ;

- la méthode des distances peut conduire à des confusions entre centre et rayon ou entre les bornes et le couple centre rayon ; elle est peu utilisée dans les cas difficiles : le graphique étant déjà partiellement tracé, les bons élèves ont alors préféré la méthode graphique ;

- la méthode du tableau nécessite des interprétations parfois délicates et occasionne des erreurs surtout pour les inégalités mais elle permet de réussir des résolutions difficiles aux élèves qui
continuent à l'employer, par exemple pour $|x-3| = |x+2|$ ; des confusion analogues à celle des bornes avec le couple centre rayon peuvent intervenir pour la délimitation des intervalles d'étude - la méthode algébrique par double inégalité est la plus performante pour résoudre des équations comme $|3x+4| \le 5$ mais elle provoque des erreurs pour les élèves qui veulent l'utiliser pour résoudre $|x-3| \le |x+2|$.

## 7. Comparaison entre les contrôles et le test final.

Nous allons comparer quelques questions des contrôles et du test avant de tirer quelques conclusions sur le rapport institutionnel de chaque classe aux objets de savoir considérés et sur l'effet sur les productions des élèves.

### 7.1. Equations du type $|x-a| = r$

Pour les classes A et D qui ont rencontré ce type d'équations dans les contrôles, nous comparerons les méthodes utilisées et le résultat aux contrôles à la question $|x-3| = 1,4$ du test. Pour la classe A, le contrôle comportait 4 exercices de ce type. Nous avons vu que les élèves utilisaient en général la même méthode et réussissaient de la même manière, nous avons considéré qu'ils ont réussi s'ils ont réussi trois des items sur quatre. Pour la classe D, il s'agissait de l'item $|x+2| = \frac{7}{2}$. Pour les 14 élèves de la classe A et les 17 élèves de la classe B qui ont traité les deux types de questions, les résultats sont résumés dans le tableau à double entrée suivant ("réussite" signifie réussite pour les deux, "échec" signifie échec pour les deux, "réus. C" signifie réussite au contrôle échec au test et "réus. T" réussite au test, échec au contrôle :

<table><thead><tr><th>contrôle test</th><th>distance</th><th>algébrique</th><th>graphique</th></tr></thead><tbody><tr><td>distance</td><td>Réussite : 2 (A)<br>Réus. C : 2 (A)<br>Echec : 1 (A)</td><td>Réussite :<br>Réus. T : 1 (A)<br>Echec :</td><td></td></tr><tr><td>algébrique</td><td>Réussite : 3 (A)<br>Réus. C : 1 (A)<br>Echec :</td><td>Réussite : 1 (A) et 10 (D)<br>Réus. C : 5 (D)<br>Echec : 2 (A)</td><td></td></tr><tr><td>graphique</td><td>Réussite :<br>Réus. C : 1 (A)<br>Echec :</td><td>Réussite : 2 (D)<br>Réus. C :<br>Echec :</td><td></td></tr></tbody></table>

Les 9 élèves de la classe A qui utilisaient avec succès la distance au contrôle continuent à l'utiliser pour 4 d'entre eux dont 2 avec succès ; 4 passent à la méthode algébrique dont 3 avec succès et un au graphique sans succès ; l'élève qui échouait par la distance au contrôle continue à échouer par la même méthode. Pour les 4 élèves de la classe A qui utilisaient une méthode algébrique au contrôle, dont un seul avec succès, 3 reprennent la même méthode avec les mêmes résultats (1 succès, 2 échecs), un autre utilise la distance au test, cette fois avec succès. Les 17 élèves de la classe D avaient utilisé la méthode algébrique avec succès au contrôle, 15 gardent la même méthode mais cette fois 5 échouent, et deux passent avec succès à la méthode graphique.

Pour les élèves des classes B (18) et C (32) nous relèverons seulement les méthodes employées pour le même exercice lors du test et le résultat obtenu :

<table><thead><tr><th>distance</th><th>algébrique</th><th>tableau</th><th>graphique</th></tr></thead><tbody><tr><td>Réussite : 4 (B) 1 (C)<br>Echec : 3 (B)</td><td>Réussite : 6 (B) 18 (C)<br>Echec : 5 (B) 6 (C)</td><td>Réussite : 3 (C)<br>Echec : 2 (C)</td><td>Réussite : 2 (C)<br>Echec :</td></tr></tbody></table>

Un autre élève de la classe C fournit une réponse correcte mais sans justification.

Nous avions vu que les élèves de la classe B recouraient prioritairement à la distance dans les contrôles et ceux de la classe C au tableau. Cette fois, dans les deux classes, la majorité des élèves utilisent une méthode algébrique, plus souvent avec succès dans la classe C. Dans les
deux classes, ceux qui continuent à utiliser la méthode fortement institutionnalisée ne réussissent plus que dans la moitié des cas. Dans la classe C deux élèves utilisent le graphique et un la distance, tous trois avec succès.

## 7.2. Equation du type $\ln x - \ln a = \ln x - \ln b$.

Une équation de ce type figurait dans le test. Elle avait aussi été posée en contrôle deux fois dans la classe B (une fois avant l'introduction de la fonction valeur absolue, où la méthode attendue de résolution était la distance, une fois avec une demande de résolution graphique) et une fois dans la classe C sans imposer de méthode mais alors qu'on avait demandé la représentation graphique d'une des fonctions. Dix élèves de la classe B et 21 de la classe C ont répondu à la fois au contrôle et à cette question du test. Dans le tableau ci-dessous nous croisons les méthodes utilisées au contrôle et au test ainsi que la réussite. Les élèves de la classe B seront comptés deux fois : une fois pour la résolution avant les graphes et une fois pour la résolution graphique, sauf B12 qui n'a pas répondu pour la distance et B33 qui n'a pas répondu pour la résolution graphique.

<table><thead><tr><th>contrôle<br>test</th><th>distance</th><th>algébrique</th><th>tableau</th><th>graphique</th></tr></thead><tbody><tr><td>distance</td><td>Réussite : 2 (B)<br>Réus. T : 1 (B)<br>Echec :</td><td>Réussite :<br>Réus. C :<br>Echec : 1 (B)</td><td>Réussite :<br>Réus. C :<br>Echec :</td><td>Réussite : 3 (B)<br>Réus. C : 1 (B)<br>Echec :</td></tr><tr><td>algébrique</td><td>Réussite :<br>Réus. C :<br>Echec : 2 B</td><td>Réussite : 1 C<br>Réus. C :<br>Echec : 1 B</td><td>Réussite : 1 C<br>Réus. C : 3 C<br>Echec : 6 C</td><td>Réussite : 1 B<br>Réus. C : 1 B<br>Echec : 1 B</td></tr><tr><td>tableau</td><td>Réussite :<br>Réus. C :<br>Echec :</td><td>Réussite :<br>Réus. C :<br>Echec :</td><td>Réussite : 5 C<br>Réus. C :<br>Echec :</td><td>Réussite :<br>Réus. C :<br>Echec :</td></tr><tr><td>graphique</td><td>Réussite : 2 B<br>Réus. C :<br>Echec :</td><td>Réussite :<br>Réus. C :<br>Echec :</td><td>Réussite : 2 C<br>Réus. C : 1 C<br>Echec :</td><td>Réussite : 2 B<br>Réus. C :<br>Echec : 2 C</td></tr></tbody></table>

Les quatre élèves de la classe B qui avaient réussi les contrôles par la distance et par le graphique réussissent le test, deux d'entre eux par la distance et deux par le graphique. Deux élèves avaient échoué par la distance et réussi le graphique, l'un réussit le test par la distance, l'autre échoue par la méthode algébrique ; un autre élève avait réussi le graphique et échoué par la méthode algébrique, il échoue au test par la distance. Un autre avait réussi le graphique sans répondre au premier contrôle, il échoue par une méthode algébrique, c'est aussi le cas d'un élève qui avait échoué par la distance au contrôle sans répondre pour le graphique et d'un élève qui avait échoué deux fois au contrôle : par une méthode algébrique et par le graphique.

Pour la classe C, on peut voir qu'un élève est fidèle à la méthode algébrique qui le fait réussir les deux fois. Quant aux 12 élèves qui réussissaient par le tableau, cinq lui restent fidèles et continuent à réussir, trois élèves passent à une méthode graphique avec succès pour deux d'entre eux, quatre élèves passent à une méthode algébrique, un seul réussit. Les six élèves qui échouaient par le tableau passent sans plus de succès à une méthode algébrique. Deux élèves utilisent le graphique dans les deux cas, toujours sans succès.

A propos des résolutions d'équations, il semble se dessiner quelques régularités :

- Dans toutes les classes la méthode fortement institutionnalisée (distance ou tableau) a tendance à céder du terrain au profit de la méthode algébrique ou éventuellement de la méthode graphique si les circonstances s'y prêtent (graphique déjà tracé), c'est-à-dire au profit d'une méthode qui paraît plus rapide ou plus naturelle.

- Le changement de méthode ne se fait avec succès que pour des élèves qui réussissaient par la méthode fortement institutionnalisée par l'enseignant. Il semble qu'il y ait deux raisons contraires du changement de méthode : les uns ont bien intégré la méthode enseignée par le professeur et n'ont plus besoin des béquilles qu'elle apportait, les autres l'utilisaient
probablement comme un rituel qu'ils ont oublié avec le temps, ils reviennent à une méthode algébrique plus "naturelle" pour "résoudre" mais sans respecter les spécificités de la valeur absolue. L'échec par la méthode graphique peut être dû à un mauvais graphique, à une erreur de lecture ou à une absence de lecture du graphique : on fait tous les tracés utiles et on s'arrête sans conclure.

- Dans toutes les classes, ce sont de bons élèves qui utilisent spontanément avec succès à une méthode graphique, c'est-à-dire des élèves qui peuvent réussir par au moins une autre méthode, souvent deux.

### 7. 3. Valeur absolue et intervalles.

Pour les élèves des classes A, B, D, nous avons comparé la réussite pour les traductions des intervalles.

#### a) de centre et rayon vers bornes.

Pour le test, nous avons considéré la réussite aux questions 5a ($\lfloor x-3,5 \rfloor \le 3$) ou 5c ($\lfloor x+\frac{3}{2} \rfloor \le 2$) que les élèves réussissent souvent en même temps et l'avons comparé aux lignes suivantes des tableaux de conversion : $\lfloor x-\frac{1}{2} \rfloor \le 3$ pour la classe A (item 1), $\lfloor x-2 \rfloor \le 3$ pour la classe B (item 5) et $\lfloor x-1 \rfloor \le 3$ pour la classe D (item 3).

Les résultats de cette comparaison figurent dans le tableau ci-dessous :

<table><thead><tr><th>contrôle</th><th>Réussite</th><th>Echec</th><th>non réponse</th></tr></thead><tbody><tr><th>test</th><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Réussite</th><td>A: 8 B: 11 D: 9</td><td></td><td></td></tr><tr><th>Echec</th><td>A: 8 B: 5 D: 8</td><td>A: 8 B: 6 D: 2</td><td></td></tr><tr><th>non réponse</th><td>A: 0 B: 2 D: 2</td><td>A: 0 B: 2 D: 0</td><td></td></tr></tbody></table>

Le phénomène le plus net est la baisse de réussite dans toutes les classes même si elle est un peu moins marquée dans la classe B.

#### b) de bornes vers centre et rayon

Nous comparons ici la réussite à la traduction en termes de valeur absolue de $x \in [-\frac{7}{2}; -\frac{1}{2}]$

(question 6b) aux questions suivantes des contrôles : $-\frac{9}{2} \le x \le -\frac{17}{2}$ (classe A, item 4), $x \in [-10; 5]$

ou dessin de [-4, 3] (classe B, item 2 ou 3), $x \in [-2; 5]$ (classe D, item b). Dans le cas où on a deux items une seule réussite sera considérée comme une réussite. Les résultats sont résumés dans le tableau ci-dessous :

<table><thead><tr><th>contrôle</th><th>Réussite</th><th>Echec</th><th>non réponse</th></tr></thead><tbody><tr><th>test</th><td></td><td></td><td></td></tr><tr><th>Réussite</th><td>A: 2 B: 5 D: 5</td><td>A: 4 B: 0 D: 1</td><td></td></tr><tr><th>Echec</th><td>A: 9 B: 15 D: 8</td><td>A: 8 B: 5 D: 7</td><td></td></tr><tr><th>non réponse</th><td></td><td>A: 1 B: 0 D: 0</td><td></td></tr></tbody></table>

La baisse de réussite est encore beaucoup plus nette dans ce sens. Il est vrai que la tâche attendue est plus difficile à cerner hors du tableau.

Il est vraisemblable que le remplissage du tableau, qui est une tâche bien cadrée juste après l'apprentissage et qui fournit le format de réponse attendue, amène la réussite pour des élèves qui n'arrivent pas à reconnaître les mêmes traductions sous des formulations un peu différentes, sans avoir le modèle attendu sous les yeux.
Conclusion.

Dans cette première partie de recherche, nous avons surtout étudié l'institutionnalisation du point de vue du contenu à institutionnaliser. Nous avons formulé des conclusions partielles à la fin de chaque paragraphe, nous nous contenterons ici de faire une synthèse des principales. Nous avons identifié les différents types d'exercices mettant en jeu la valeur absolue que l'on peut rencontrer dans les programmes de seconde actuels en les comparant à ceux que l'on a pu rencontrer antérieurement, à ce niveau ou au collège. Nous avons essayé d'éclairer, à travers l'analyse des programmes et les réponses d'élèves de 4 classes à un questionnaire, les relations que cette notion entretient avec d'autres notions mathématiques rencontrées en seconde : nombres, intervalles et avec le raisonnement logique et l'usage de quantificateurs implicites. Des difficultés imputées à la valeur absolue nous semblent être des difficultés dans la construction de la notion de nombre réel ou des difficultés liées à l'usage des connecteurs logiques, des quantificateurs et des opérations sur les intervalles, ce qui ne veut pas dire qu'il faut préalablement travailler ces concepts pour aplanir les difficultés concernant les valeurs absolues, mais qu'il faut les travailler à propos de la valeur absolue comme de la plupart des raisonnements mathématiques.

En observant le déroulement des séquences en classe, nous avons observé que les enseignants n'institutionnalisaient pas les mêmes techniques pour résoudre les équations contenant des valeurs absolues, même en partant d'une même présentation de la valeur absolue. Nous avons relevé 4 méthodes différentes, inégalement valorisées selon les classes.

Dans les contrôles, les enseignants choisissent de préférence des exercices pour lesquels les techniques qu'ils ont valorisées vont être les plus performantes.

Au moment des contrôles les élèves utilisent presque exclusivement la méthode qui a été la plus valorisée en classe, sauf en ce qui concerne la méthode algébrique qui est utilisée, notamment par les élèves faibles, même quand elle n'a pas été enseignée. Trois mois plus tard, le nombre d'élèves utilisant la méthode algébrique augmente dans toutes les classes, avec succès pour certains des élèves qui réussissaient bien par la méthode valorisée par le professeur, toujours avec échec pour ceux qui ne réussissaient pas par la méthode encouragée par le professseur. On peut penser que dans le premier cas, il y a intériorisation du procédé, on peut aller plus vite en allégeant le rituel et que dans le second cas, on a perdu le rituel pour retomber dans un autre plus familier.

La méthode graphique n'est utilisée spontanément avec efficacité que par de bons élèves qui réussissent aussi par d'autres méthodes.

Les deux présentations successivement valorisées par les manuels (algébrique à partir des nombres, géométrique à partir de la distance) semblent correspondre à deux conceptions dont aucune n'entraîne automatiquement l'autre pour les élèves dans la mesure où ce ne sont pas les mêmes problèmes qui favorisent l'une ou l'autre et que les programmes amènent à traiter que les élèves facilement abordables avec la conception enseignée : par exemple la définition de la valeur absolue à partir de la distance rend difficile la résolution d'équations du type $lax+bl = c$ quand $a \neq 0$.

Une autre partie de nos données devrait nous permettre d'étudier les pratiques plus proprement pédagogiques des enseignants, en relation avec les réactions des élèves. Ce sera l'objet d'un deuxième tome du rapport concernant la présente recherche.
Références bibliographiques

Amra N. mémoire de D.E.A. non publié Université Paris 7

A.P.M.E.P. (1991) *Evaluation du programme de mathématiques. Seconde* 1991. Publication n°
88, Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public, Paris.

Brousseau G. (1987) Fondements et méthodes de la didactique. *Recherches en didactique des mathématiques* n° 7.2, p. 33-115. La pensée sauvage Grenoble.

Chevallard Y. (1992) : Concepts fondamentaux de la didactique des mathématiques : perspectives apportées par une approche anthropologique. *Recherches en didactiques de mathématiques*, vol. 12.1, 73-111, La Pensée Sauvage, Grenoble.

Chiarugi I., Fracassina G. and Furinghetti F. (1990) Learning difficulties behind the notion of absolute value. *Proceedings of PME 14*, Mexico 1990, vol. III, 231-238.

Chiocca C. ; Josse E. ; Robert A. (1991) Analysis of the accompanying discourse of mathematics teachers in the classroom. *Proceedings of PME XV*, Assisi, vol. I, 215-222.

Droux A. (1983) La valeur absolue : difficultés majeures pour une notion mineure. *Petit x* n°3, 43-87.

Duval R. (1993) Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée, *Annales de Didactique et de Sciences cognitives*, vol. 5, IREM de Strasbourg, p. 37-65

Duval R. (1995) *Sémiosis et pensée humaine. Registres sémiotiques et apprentissages intellectuels*. Peter Lang

Perrin-Glorian M.J. (1992) : *Aires de surfaces planes et nombres décimaux. Questions didactiques liées aux élèves en difficulté aux niveaux CM-6ème*. Thèse de Doctorat d'Etat, Université Paris 7 (février 1992).

Perrin-Glorian M.J. (1993) Questions didactiques soulevées à partir de l'enseignement des mathématiques dans des "classes faibles" *Recherches en didactique des mathématiques* n°13/1.2. p.5-118

Perrin-Glorian M.J. (1994) Contraintes de fonctionnement des enseignants au collège : ce que nous apprend l'étude de "classes faibles". *Petit x n° 36, IREM de Grenoble* p.5-40.

Robert A. et Josse E. (1993) Introduction de l'homothétie en seconde : analyse de deux discours de professeurs, *Recherches en didactique des mathématiques* n° 13.1.2., 119-154 La Pensée sauvage, Grenoble.
# Annexe 1. Extrait des programmes de seconde.

## Opérations sur les inégalités

- Signe de $ax + b$. Signe d'un produit, d'un quotient

- Passage au carré, à l'inverse, à la racine carrée dans une inégalité entre deux nombres positifs.

- Position relative de $a$ et $a^2$ selon que $a \ge 1$ ou $0 \le a \le 1$.

## Valeur absolue, intervalles, approximations.

- Valeur absolue, distance.

- Inégalité triangulaire : $|a + b| \le |a| + |b|$. Valeur absolue d'un produit, d'un quotient.

- Intervalles ; notations des divers types d'intervalles.

- Pratique, sur des exemples numériques, du vocabulaire concernant les approximations d'un nombre $a$ :

Lorsque $b \le a \le c$, on dit que $b$ et $c$ encadrent $a$.

Lorsque $|a| - |b| \le k 10^{-p}$, où $1 \le k \le 10$, on dit que $a'$ est une approximation (ou valeur approchée) de $a$ à la précision $k 10^{-p}$.

Approximations décimales de $a$ par défaut, par excès à $10^{-p}$ près (ces nombres sont de la forme $m 10^{-p}$, où $m$ est entier.

Le programme se limite à l'étude d'expressions à coefficients numériques. Ces questions sont à relier à l'étude des fonctions et à leur représentation graphique : on pourra ainsi interpréter le signe de $ax + b$, la comparaison de $a$ et $a^2$ pour $a \ge 0$, ou encore les opérations simples sur les inégalités ; par exemple, le fait que, si $0 < a \le b$, alors $0 < 1/b \le 1/a$, est à rapprocher de la décroissance de la fonction $x \mapsto 1/x$ sur $]0, +\infty[$ et de l'allure de sa représentation graphique.

La valeur absolue ne figure pas au programme de troisième. En seconde, l'essentiel est de savoir interpréter $|b-a|$ comme étant la distance de deux points $a$ et $b$, et, dans cette perspective, des relations telles que $|x - 2| \le 1/100$ à l'aide des intervalles de centre 2.

Ces notions ne sont pas des objets d'étude en soi : elles interviennent dans les problèmes d'approximation. On pourra évaluer, sur quelques exemples numériques, la précision obtenue pour une somme ou un produit ; mais toute étude générale du calcul des approximations est exclue et aucun énoncé de résultats à ce propos n'est exigible des élèves. La pratique de troncatures et d'arrondis, déjà engagée au collège, sera poursuivie, sans formalisation de ces notions.

Dans le paragraphe concernant les fonctions, on lit notamment, sous la rubrique "Fonctions usuelles" :

- A travers l'étude des fonctions figurant au programme et de situations menant à des fonctions qui s'en déduisent de façon simple, on mettra en valeur la diversité du comportement des fonctions. Dans ce cadre, il est important que les élèves soient entraînés à mieux maîtriser les situations de proportionnalité, dont l'étude a été abordée au collège, en relation avec l'étude des fonctions linéaires et des fonctions affines.

a) Variation et représentation graphique des fonctions :

$$ 
\begin{aligned}
x &\rightarrow ax + b \; ; \; x \rightarrow |x| \; ; \; x \rightarrow x^2 \; ; \; x \rightarrow x^3 \\
x &\rightarrow \sqrt{x} \; ; \; x \rightarrow \frac{1}{x}.
\end{aligned}
 $$

On sera amené à effectuer une exploration numérique du comportement de ces fonctions pour les grandes valeurs de $x$ et, dans le cas

de $x \rightarrow \frac{1}{x}$, pour les petites valeurs de $x$ ;

mais toute mise en forme de la notion de limite est hors programme.
# Annexe 1 bis. Profil des classes.

## Evaluation à l'entrée en seconde (résultats exprimés en %)

<table><thead><tr><th></th><th>92-93 A 2°7</th><th>92-93 A 2°8</th><th>93-94 A</th><th>94-95 A</th><th>94-95 B</th><th>94-95 C</th><th>94-95 D</th></tr></thead><tbody><tr><td>moins de 20</td><td></td><td></td><td></td><td>2</td><td>1</td><td></td><td></td></tr><tr><td>entre 20 et 25</td><td></td><td></td><td></td><td>4</td><td>0</td><td></td><td>1</td></tr><tr><td>entre 25 et 30</td><td></td><td>2</td><td>1</td><td>3</td><td>1</td><td></td><td>2</td></tr><tr><td>entre 30 et 35</td><td></td><td>2</td><td>2</td><td>5</td><td>2</td><td></td><td>3</td></tr><tr><td>entre 35 et 40</td><td></td><td>1</td><td>3</td><td>0</td><td>1</td><td></td><td>2</td></tr><tr><td>entre 40 et 45</td><td></td><td>3</td><td>0</td><td>9</td><td>4</td><td>4</td><td>6</td></tr><tr><td>entre 45 et 50</td><td></td><td>5</td><td>7</td><td>0</td><td>3</td><td>3</td><td>2</td></tr><tr><td>entre 50 et 55</td><td>1</td><td>5</td><td>8</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td></tr><tr><td>entre 55 et 60</td><td>1</td><td>3</td><td>3</td><td>0</td><td>6</td><td>4</td><td>5</td></tr><tr><td>entre 60 et 65</td><td>9</td><td>3</td><td>7</td><td>0</td><td>2</td><td>5</td><td>1</td></tr><tr><td>entre 65 et 70</td><td>4</td><td>3</td><td>1</td><td>2</td><td>2</td><td>8</td><td>3</td></tr><tr><td>entre 70 et 75</td><td>6</td><td></td><td>2</td><td></td><td>1</td><td>2</td><td>0</td></tr><tr><td>entre 75 et 80</td><td>6</td><td></td><td>1</td><td></td><td>4</td><td>5</td><td>1</td></tr><tr><td>entre 80 et 85</td><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td>0</td><td>0</td><td></td></tr><tr><td>entre 85 et 90</td><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td>3</td><td>2</td><td></td></tr><tr><td>plus de 90</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>2</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

## Résultats de l'orientation de fin de seconde

<table><thead><tr><th></th><th>92-93 2°7</th><th>92-93 2°8</th><th>93-94 A</th><th>94-95 A</th><th>94-95 B</th><th>94-95 C</th></tr></thead><tbody><tr><td>1°S</td><td>19</td><td>2</td><td>4</td><td>1</td><td>14</td><td>10</td></tr><tr><td>1°ES</td><td>2</td><td>3</td><td></td><td>6</td><td>4</td><td>5</td></tr><tr><td>1° STI, STT...</td><td>2</td><td>12</td><td></td><td>9</td><td>6</td><td>4</td></tr><tr><td>1°L, Mus.</td><td>10</td><td>0</td><td></td><td>5</td><td>7</td><td>1</td></tr><tr><td>BEP</td><td>0</td><td>7</td><td></td><td>1</td><td>1</td><td>1</td></tr><tr><td>Redoublent</td><td>0</td><td>3</td><td></td><td>4</td><td>3</td><td>10</td></tr><tr><td>Réorientation</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>4</td></tr></tbody></table>

Dans la classe A 94-95 : deux élèves qui ont passé l'évaluation sont partis, deux autres figurent dans l'orientation ; il y a donc 24 en commun ;

classe B, un arrivé au milieu de l'année.
## Résultats du test de fin d'année.

Nous avons produit un barème pour comparer les résultats globaux des élèves au questionnaire de mai-juin 95. Les classes n'étaient pas dans les mêmes conditions, il n'est donc pas possible de les comparer directement, en revanche cela permet de donner une idée de l'hétérogénéité de chaque classe.

<table><thead><tr><th>classe<br>note sur 40</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th></tr></thead><tbody><tr><td>moins de 5</td><td>3</td><td>1</td><td></td><td></td></tr><tr><td>de 5 à 9,5</td><td>10</td><td>8</td><td>1</td><td>4</td></tr><tr><td>de 10 à 14,5</td><td>6</td><td>9</td><td>6</td><td>12</td></tr><tr><td>de 15 à 19,5</td><td>3</td><td>8</td><td>12</td><td>4</td></tr><tr><td>de 20 à 24,5</td><td>2</td><td>1</td><td>14</td><td>2</td></tr><tr><td>de 25 à 29,5</td><td></td><td>0</td><td>2</td><td></td></tr><tr><td>de 30 à 34,5</td><td></td><td>1</td><td></td><td></td></tr><tr><td>de 35 à 40</td><td></td><td>1</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

On retrouve la structure initiale des classes avec un décalage vers le bas pour la classe B et un décalage vers le haut pour la classe C, explicables par les conditions de passation différentes.

## Répartition par classe des notes sur 49 de l'évaluation de début de seconde.

<figure><img src="image_15.png" /></figure>
# Annexe 2. Quelques extraits de manuels.

## III - Représentation des nombres réels

Pour nous aider à construire des définitions, à illustrer des résultats, à découvrir des propriétés, etc., nous nous appuierons tout au long de ce chapitre, sur la représentation habituelle des nombres réels sur une droite graduée. Cette représentation va nous permettre, dès maintenant, de « débroussailler » un problème nouveau(1), celui du calcul de la distance entre deux nombres (activités 4 et 5).

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

A

1. Voici le relevé de certaines températures, hier matin à 8 heures, sous abris :
Dijon : -6°; Caen : -2°; Orléans : 0°; île d'Yeu : 1°; Avignon : 4°; Biarritz : 7°.

Calculer les écarts de température entre deux quelconques de ces localités. (On pourra les désigner par leur initiale.)

2. Avec les données de la figure ci-après, calculer les distances mutuelles entre les points A, B, C, D, I et O.

Quel est le lien avec l'exercice précédent ?

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

C
comme
taire

L'activité précédente fait comprendre que la distance entre deux nombres x et y — que nous notons d(x, y) — n'est autre que la distance MN, où M et N sont les points d'abscisses x et y sur une droite graduée. (Cela explique l'utilisation, à propos des nombres, d'un vocabulaire géométrique : distance, puis — comme on le verra — points, centre, etc.)

A

1. Lequel des deux nombres 0,12 et 0,13 est le plus proche de $\sqrt{65} - \sqrt{63}$ ?

2. Vérifier que pour deux quelconques des nombres de l'ensemble :

$$E = \{-6; -2; 0; 1; 4; 7\}.$$

la distance entre ces nombres s'obtient par la formule : Le plus grand moins le plus petit.

3. D'une façon plus générale, on associe à deux réels x et y le nombre : « Le plus grand — le plus petit. »

1. Montrer que ce nombre est toujours positif ou nul.

2. Exprimer en fonction de x le nombre obtenu lorsque y = 0 (envisager les deux cas x ≥ 0 et x < 0) et vérifier qu'il est égal à la distance de 0 à x.

## IV - Valeur absolue. Distance

### 1 - Distance entre deux réels

Nous adoptons la définition suivante (largement inspirée des résultats dégagés dans les activités 4 et 5, p. 66).

On appelle *distance entre deux réels x et y*, la distance sur la droite numérique entre les points d'abscisses x et y.

On note $d(x, y)$ la distance entre $x$ et $y$.

Avec les données de la figure 3, on a, par exemple :

$$d(0; -4) = OB = 4; d(1, 3) = IA = 2; d(-4, 3) = AB = 7;$$

$$d(1, -2) = IC = 3, \text{ etc.}$$

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Fig. 3</figcaption></figure>

L'ordre : les nombres et les inégalités. 73
Remarque : La définition ci-dessus donne le point de vue géométrique de la distance entre deux réels. Si nous ne dispositions que de ce point de vue, cela signifierait que pour calculer la distance entre deux points, il fandrait recourir systématiquement à une représentation graphique. D'où la question : Existe-t-il un procédé de calcul de la distance entre deux réels ?

Nous trouvons la réponse à cette question en généralisant les résultats obtenus dans l'activité 5 :

La distance entre deux nombres est calculée par la différence entre le plus grand et le plus petit de ces deux nombres.

1. Calculer avec ce procédé $d(3, -15)$ et $d(-5,1, -6,3)$ :

* $d(3, -15) = 3 - (-15) = 18$ (car 3 est le plus grand);

* Comme $-5,1$ est plus grand que $-6,3$, on obtient $d(-5,1, -6,3) = (-5,1, -6,3) = (-5,1, -(-6,3)) = 1,2$.

2. D'une façon plus générale, étant donné deux réels $x$ et $y$ :

Si $x \ge y$, alors $d(x, y) = x - y$; si $x \le y$, alors $d(x, y) = y - x$.

3. Quels que soient $x$ et $y$, d'une part $d(x, y) \ge 0$ (c'est une distance), d'autre part $d(x, y)$ est toujours l'un des deux nombres $x-y$ ou $y-x$ (nombres qui sont opposés).

Ces observations conduisent à la propriété remarquable suivante : $d(x, y)$ est, parmi les différences $x-y$ et $y-x$, celle qui est positive !

## 2 - Valeur absolue d'un réel

Dans la définition ci-après, nous tenons compte des propriétés précédentes.

La distance d'un nombre $x$ à zéro est appelée valeur absolue de $x$ et est notée $|x|$. On a, indifféremment :

$$ (1) \quad |x| = d(0, x) $$

$$ (2) \quad |x| \text{ est le nombre positif parmi } x \text{ et } -x $$

$$ (3) \quad |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0. \end{cases} $$

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

1. Il est clair que $|-5|=5$, $|-5) \times 2,4| = |-12| = 12$ et plus généralement que pour tout réel $x$ : $|-x|=|x|$.

2. Comme $x^2 \ge 0$, quel que soit $x$, on a : $|x^2| = x^2$.

3. Pour exécuter $|\sqrt{2}-2|$, il nous faut auparavant examiner le signe de $\sqrt{2}-2$. Comme $\sqrt{2}<2$, $\sqrt{2}-2$ est négatif. La valeur absolue de $\sqrt{2}-2$ est donc le nombre positif $2-\sqrt{2}$ (opposé de $\sqrt{2}-2$).

Ce dernier exemple conduit aux remarques suivantes.

Remarques :

1. La valeur absolue d'un nombre réel est un réel positif.

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

2. Lorsqu'on s'apprête à écrire « valeur absolue de x »

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

se consacrer à l'étude de la question : « Connait-on le signe de x » ?

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

15 Quelle est la valeur absolue de :

$$ a) -\frac{1}{3}(-2)^3; \quad \pi - 3,14; \quad \sqrt{2} - \sqrt{3}? $$

$$ b) x \text{ avec } -x = 3? $$

$$ c) y \text{ avec } y^2 = 25? $$

16 $^1_°$ Citer tous les entiers relatifs $x$ tels que $|x| \le 5$.

$^2_°$ Résoudre l'équation d'inconnue $t$ :

$$ \begin{array}{l} t^{1,799} - \sqrt{515 + t^{1,805}} \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = -52. \end{array} $$

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>Fig. 4</figcaption></figure>

## 3 - Premières propriétés

Les diverses définitions de la valeur absolue conduisent aux propriétés suivantes ($x$ et $y$ désagent des nombres réels) :

1. $|x|=|y|$ signifie $x=y$ ou $x=-y$.

2. Soit $r$ un nombre positif :

$$ \begin{cases} |x|=r \text{ est équivalent à } x=r \text{ ou } x=-r \\ |x| \le r \text{ est équivalent à } -r \le x \le r. \end{cases} $$

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

17 Résoudre les équations :

$$ |x|=9; \quad |x|=2; \quad |x|^2=1. $$

18 Combien existe-t-il de réels $x$ tels que :

$$ (|x|-1)(|x|-5)(x^2-25)=0? $$

19 Représenter sur la droite numérique :

a) l'ensemble des réels $x$ tels que $|x| \le 2$;

b) l'ensemble des réels $x$ tels que $|x| > 3$;

c) l'ensemble des réels $x$ tels que :

$$ |x| \le 4 \text{ et } x \in (-2, 3]. $$

## 4 - Valeur absolue, distance et intervalle

Nous avons vu que la distance $d(x, y)$ est, parmi les nombres opposés $x-y$ et $y-x$, celui qui est positif. Il en découle donc :

Quels que soient les réels $x$ et $y$, $d(x, y) = |y - x|$.

Cette relation entre distance et valeur absolue, jointe à la définition des intervalles, va nous permettre de donner diverses interprétations de certaines égalités et inégalités :

Étant donné un réel quelconque $a$ et un réel $r$ strictement positif :
Pour un réel $x$, les énoncés suivants ont la même signification :

(1) $|x-a| \le r$ (en termes de valeur absolue)

(2) $d(a, x) \le r$ (en termes de distance)

(3) $x \in [a-r, a+r]$ (en termes d'intervalle)

(4) $a-r \le x \le a+r$ (en termes d'encadrement).

Ces résultats sont justifiés par :

* l'égalité $d(a, x) = |x - d|$;

* la définition d'un intervalle : $x \in [a - r, a + r]$ signifie $a - r \le x \le a + r$;

* le fait que $|x - a| \le r$ signifie : $-r \le x - a \le r$, soit $a - r \le x \le a + r$.

Note : L'intervalle $[a - r, a + r]$ est appelé intervalle de centre $a$ et de rayon $r$.

Considérons sur une droite $D$ un segment $[P, Q]$ de longueur $2r$ et $A$ son milieu (figure 4). On a donc $AP = AQ = r$.

Pour un point $M$ de la droite $D$, il revient au même de dire : $M$ est un point du segment $[P, Q]$, ou $M$ est entre $P$ et $Q$, ou la distance $AM$ est inférieure ou égale à $r$.
<figure><img src="image_26.png" /></figure>

## AP1 Distance et valeur absolue

Le mot distance est un terme courant de la vie quotidienne. On dit, par exemple, que la distance Nantes-Paris est, approximativement, de 400 km. Remarquons que cette distance est exprimée à l'aide d'une unité (le kilomètre) par un nombre positif. Nous vous proposons dans cette activité de préciser cette notion de distance.

Considérons une droite ($\Delta$) et ($O, \vec{i}$) un repère unitaire de cette droite (unité de longueur : le centimètre).

Plaçons sur cette droite les points A, B, C, D, E, F et G d'abscisses respectives 5, 3, -1, -4, 2, -5, 6 (fig. 1).

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Fig. 1</figcaption></figure>

### 1. Distance de deux points

Dans le chapitre 6, nous avons défini le nombre $\overline{AB}$, appelé mesure algébrique du vecteur $\overline{AB}$.

Nous pouvons écrire : $\overline{AB} = 3 - 5$ soit $\overline{AB} = -2$.

Une distance est mesurée par un nombre positif. La distance des points A et B, notée $AB$, ou aussi $d(A, B)$, est égale à 2.

Calculez les distances suivantes :

$AB, AC, AD, AE, AF, AG, BF, CE, GC, FE, CA, EA, GA$.

Définition

<table><tr><td>De façon générale, M et N étant les points de (Δ) d'abscisses respectives x et y, la distance des points M et N est le nombre positif, noté MN tel que :</td></tr><tr><td>si $x \ge y$ alors $MN = x - y$,</td></tr><tr><td>si $x \le y$ alors $MN = y - x$.</td></tr><tr><td>Ce nombre est appelé «valeur absolue de x moins y» et il est noté $|x - y|$.</td></tr></table>

Il résulte de cette définition que quels que soient les nombres x et y :

$$|y - x| = |x - y|.$$

### 2. Valeur absolue d'un nombre

En appliquant la définition de la distance de deux points à O et M nous obtenons : $OM = |x - 0| = |x|$.

Ce qui nous permet de définir la valeur absolue d'un nombre.

si $x$ est positif alors $|x| = x$,

si $x$ est négatif alors $|x| = -x$.

a) Donnez alors les valeurs absolues des nombres suivants :

$$7; -3; -\sqrt{2}; 1 - \sqrt{2}; \pi^2 - 10; 10^{-3}; \frac{1}{10^2}.$$

b) Donnons une interprétation géométrique de la définition de la valeur absolue d'un nombre.

Soit M le point de (Δ) d'abscisse $x$ et $M'$ le point de (Δ) d'abscisse $-x$. Que pouvez-vous dire de $M$ et $M'$ ?

Suivant le signe de $x$ nous avons l'un des deux schémas ci-contre (fig. 2).

Dans les deux cas nous avons : $OM = OM'$ soit $|x| = |-x|$.

La distance $OM$ est nulle si, et seulement si $M = O$; donc $|x| = 0$ si et seulement si $x = 0$.

Déterminez les abscisses $x$ des points $M$ de (Δ) tels que :

$$OM = 3; OM = \sqrt{5}; OM = \frac{3}{2}.$$

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>Fig. 2</figcaption></figure>

Plus généralement, en reprenant les points définis au début de cette activité, déterminez les abscisses des points $M$ dans chacun des cas suivants :

* $AM = 2$.

* $BM = 3$.

* $CM = 4$.
<figure><img src="image_30.png" /></figure>

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

<figure><img src="image_32.png" /></figure>

<figure><img src="image_33.png" /></figure>

# 1. VALEUR ABSOLUE D'UN NOMBRE

## Définition 1

<table><tr><td>Soit x un nombre. On appelle valeur absolue de x le nombre positif noté |x| défini de la façon suivante :</td></tr><tr><td>• si x est positif alors |x|=x, <br> • si x est négatif alors |x|=-x.</td></tr></table>

## EXEMPLES

• $|\sqrt{2}-1|=\sqrt{2}-1$ car $\sqrt{2}>1$ donc $\sqrt{2}-1$ est positif.

• $|3-\pi|=\pi-3$ car puisque $\pi>3$, le nombre $3-\pi$ est négatif, donc sa valeur absolue est son opposé $\pi-3$.

• $|x^2+1|=x^2+1$ car, quel que soit le nombre $x$, $x^2+1$ est strictement positif.

### □ Remarque

Nous avons vu en activité que : $|x|=0$ est équivalent à $x=0$.

## Propriété 1

<table><tr><td>Quel que soit le nombre x : $|-x|=|x|$ et $\sqrt{x^2}=|x|$</td></tr></table>

## EXEMPLES

• $|1-\sqrt{3}|=|\sqrt{3}-1|=\sqrt{3}-1$. • $\sqrt{1-4}=|-4|=4$.

## Propriété 2

<table><tr><td>Quels que soient les nombres x et y :<br>$|xy|=|x|x|y|$<br>Si de plus y est non nul :<br>$\begin{vmatrix} x & y \\ y & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x & y \\ y & x \end{vmatrix}$</td></tr></table>

## EXEMPLES

• $|(-4) \times 3| = |-4| \times 3 = 4 \times 3 = 12$. • $\begin{vmatrix} -4 & -4 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = 3^2$.

## Propriété 3

<table><tr><td>α est un nombre strictement positif et x est un nombre quelconque.<br>$|x|=α$ est équivalent à $x=α$ ou $x=-α$.<br>$|x|≤α$ est équivalent à $-α≤x≤α$.<br>$|x|>α$ est équivalent à $x<-α$ ou $x>α$.</td></tr></table>

Ces propriétés sont illustrées graphiquement de la façon suivante :

<table><tr><td>$|x|≤α$</td><td>$OM≤α$</td><td>Fig. 7<br>$\begin{vmatrix} y & 0 \\ -x & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -x & 0 \end{vmatrix}$<br>$-α≤x≤α$</td></tr><tr><td>$|x|>α$</td><td>$OM>α$</td><td>Fig. 8<br>$\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ -x & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -x & 0 \end{vmatrix}$<br>$x<-α$ ou $α>x$</td></tr></table>

## EXEMPLES

• $|x|≤5$ est équivalent à $-5≤x≤5$ ou encore à : $x$ est élément de l'intervalle $[-5; 5]$.

• $|x|>3$ est équivalent à $x<-3$ ou $x>3$, ce que l'on peut encore exprimer en disant que $x$ est élément de : $]-∞; -3[∪]3; +∞[$.

# 2. ENCADREMENTS D'UN NOMBRE

## 1. Définition

### Définition 2

<table><tr><td>Soit x un nombre donné. Réaliser un encadrement de x, c'est trouver deux nombres a et b tels que $a≤x≤b$. Le nombre $b-a$ est l'amplitude de cet encadrement.</td></tr></table>

## EXEMPLES

• Si nous écrivons $1≤\sqrt{2}≤2$ nous réalisons un encadrement de $\sqrt{2}$ d'amplitude 1.

• Si nous écrivons : $3,14≤π≤3,15$ nous réalisons un encadrement de $π$ d'amplitude $10^{-2}$.

# 2. Encadrement d'une somme, d'un produit de deux nombres

Vous retiendrez les deux règles suivantes :

### Règle 1

<table><tr><td>Si $a≤b$ et $c≤d$ alors $a+c≤b+d$.</td></tr></table>

### Règle 2

<table><tr><td>Si $0≤a≤b$ et $0≤c≤d$ alors $ac≤bd$.</td></tr></table>
# TRAVAUX PRATIQUES D'APPROCHE

## 1 La vallée du Rhône

Dans la vie de tous les jours, le mot *distance* est fréquemment utilisé.

Vous savez en particulier qu'une distance s'exprime toujours par un réel positif : on ne dit jamais que la distance entre Paris, Lyon est de -450 kilomètres !

Sur une carte on a lu les distances suivantes, en kilomètres.

<table><thead><tr><th></th><th>à Maçon</th><th>à Chalon-sur-Saône</th><th>à Dijon</th></tr></thead><tbody><tr><th>De Lyon</th><td>68</td><td>125</td><td>192</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>à Valence</th><th>à Avignon</th></tr></thead><tbody><tr><th>De Lyon</th><td>99</td><td>224</td></tr></tbody></table>

Calculez la distance entre Maçon et Dijon, entre Avignon et Valence, entre Valence et Avignon, entre Valence et Maçon.

Représentons cette situation de la façon suivante sur une droite graduée.

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

a/ Avec les conventions ainsi faites, quelle est l'abscisse du point A (Avignon)? du point D (Dijon)? du point C (Chalon)?

b/ Utilisez ces abscisses pour calculer les distances entre C et M, entre A et M, entre V et D, entre D et C.

## 2 Distance et valeur absolue

Sur une droite graduée, les points A, B, C, D, E, F ont pour abscisses respectives : 7; 4; -5; -3; 112; 1/2.

Nous n'avons pas pu indiquer le point E sur ce dessin.

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

La distance entre A et B est : 7 - 4 = 3 ; on dit aussi que la distance entre 4 et 7 (ou entre 7 et 4) est 3.

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

La distance entre C et B est : 4 ( - 5) = 9 ; on dit aussi que la distance entre 4 et -5 (ou entre -5 et 4) est 9.

Vous remarquerez que la distance entre deux réels est égale à la différence entre le plus grand et le plus petit.

Calculz les distances entre $-\frac{3}{2}$ et 7, entre -5 et 112; entre 112 et -5;

entre 4 et $\frac{1}{2}$, entre $-\frac{3}{2}$ et -5.

M est le point d'abscisse x de cette droite graduée.

On veut calculer la distance entre x et 4. Pour cela, il est important de connaître la place de x par rapport à 4. Envisageons les différents cas possibles :

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

La distance entre x et 4 s'écrit, dans ce cas : 4 s'écrit, dans ce cas : $\frac{4-x}{4}$.
La distance entre x et 4 est 4, dans ce cas, égale à 0.

Résumons cela, en écrivant que la distance entre x et 4 est égale à :

$$ \begin{cases} x - 4 & \text{lorsque } x > 4 \\ 4 & \text{lorsque } x < 4 \\ 0 & \text{lorsque } x = 4 \end{cases} $$

De manière condensée, la distance entre x et 4 est notée $|x-4|$ (qui se lit «valeur absolue de x moins 4») ou $|4-x|$.

On peut présenter ces différentes écritures dans un tableau tel que celui-ci.

<table><thead><tr><th>x</th><th>x + 4</th><th>4</th><th>4 - x</th></tr></thead><tbody><tr><td>$|x - 4|$</td><td>4 - x</td><td>0</td><td>x - 4</td></tr></tbody></table>

1. a/ Calculez la distance entre les réels x et -5 dans chacun des cas suivants.

<figure><img src="image_38.png" /></figure>

Écrivez cette distance à l'aide de la notation «valeur absolue».

$$ b/ \boxed{x + \frac{3}{2}} \text{ désigne la distance entre deux réels. Lesquels ?} $$

Présentez dans un tableau les écritures de cette distance sans utiliser la notation «valeur absolue».

2. a/ $|x - 7|$ désigne la distance entre deux réels. Lesquels ?

b/ Aidez-vous d'une droite graduée pour trouver tous les réels x tels que $|x - 7| = 5$.

$$ c/ \text{ Quels sont tous les réels } x \text{ tels que } \boxed{\frac{3}{2} - x} = 2? $$

3. Représentez sur une droite graduée l'ensemble des réels x tels que $|x+2| \le 1$.
3. Valeur absolue (première approche)

e Définition

La valeur absolue d'un nombre réel $x$, notée $|x|$ est $x$ lui-même s'il est positif, son opposé – $x$, si $x$ est négatif.

EXEMPLES

$$ \begin{aligned} \frac{7}{3} &= \frac{7}{3}; & -5 &= 5; & |3\sqrt{5}| &= 3\sqrt{5}; & |-\pi| &= \pi; \end{aligned} $$

$$ |5 - \sqrt{2}| = 5 - \sqrt{2} \text{ car } 5 - \sqrt{2} > 0; $$

$$ |1 - \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1 \text{ car } 1 - \sqrt{3} < 0 \text{ et } -(1 - \sqrt{3}) = \sqrt{3} - 1. $$

Si $x \ge 0$ alors $|x|=x$ et si $x \le 0$ alors $|x|=-x$.

Conséquence : pour tout nombre réel $x$, $|x| \ge 0$.

c Propriétés

On vérifie que $\sqrt{-3}^2 = \sqrt{9} = 3 = |-3|$.

Pour tout nombre réel $x$, $\sqrt{x^2} = |x|$.

c Valeur absolue et opérations

• Produit, quotient

Pour tous nombres réels $a$ et $b$

$$ |ab| = |a| \times |b| \quad \text{et} \quad \left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|} \quad (b \neq 0). $$

• Somme

Inégalité triangulaire

Pour tous nombres réels $a$ et $b$ : $|a+b| \le |a|+|b|$.

c Fonction valeur absolue

La représentation graphique de la fonction valeur absolue $x \mapsto |x|$ est la réunion des deux demi-droites :

$$ d_1 \text{ d'équation } y = -x \text{ avec } x \le 0. $$

$$ d_2 \text{ d'équation } y = x \text{ avec } x \ge 0. $$

<figure><img src="image_39.png" /></figure>

c Équation $|x| = a$ ($a > 0$)

Résoudre l'équation $|x| = 2,8$, c'est trouver les antécédents de 2,8 par la fonction valeur absolue.

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

Méthode

1. On trace la droite d'équation $y = 2,8$.

2. Les abscisses des points d'intersection de cette droite avec la représentation graphique de la fonction valeur absolue sont les solutions de l'équation.
On obtient :

L'équation $|x| = 2,8$ a deux solutions : $-2,8$ et $2,8$.

Pour $a > 0$, l'ensemble des solutions de l'équation $|x| = a$ est $\{-a; a\}$.

Autrement dit deux nombres ont même valeur absolue si et seulement si ils sont égaux ou opposés.

EXEMPLES

• $|x|=4$ si et seulement si $x=4$ ou $x=-4$.

• $|x-1|=3$ si et seulement si $x-1=3$ ou $x-1=-3$.

Cette équation a pour ensemble de solutions $\{-2; 4\}$.

d Inéquation $|x| \le a$ ($a > 0$)

Résoudre l'inéquation $|x| \le 3,5$ c'est trouver l'ensemble des antécédents des éléments de $[0; 3,5]$ par la fonction valeur absolue.

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

Tout élément y de $[0; 3,5]$ a deux antécédents y et $-y$.

L'ensemble des solutions de l'inéquation $|x| \le 3,5$ est l'intervalle $[-3,5; 3,5]$.
<figure><img src="image_42.png" /></figure>

# 1. Tableau de signes

Pour déterminer le signe d'un produit de facteurs de la forme $ax + b$, on dresse un tableau dans lequel on indique le signe de chaque facteur.

## EXEMPLE

Résoudre $(2x + 1)(3 - x) \le 0$ (1).

Résoudre l'inéquation (1) revient à chercher le signe de $(2x + 1)(3 - x)$.

<table><thead><tr><th>x</th><th>-x</th><th>-1/2</th><th>3</th><th>+∞</th></tr></thead><tbody><tr><td>Signe de<br>2x + 1</td><td>-0</td><td>+</td><td>+</td><td></td></tr><tr><td>Signe de<br>3-x</td><td>+</td><td>+</td><td>0</td><td>-</td></tr><tr><td>Signe de<br>(2x + 1)(3-x)</td><td>-0</td><td>+</td><td>0</td><td>-</td></tr></tbody></table>

Pour établir la dernière ligne du tableau, on utilise la règle des signes d'un produit : par exemple pour $x \in [-\infty; -1/2]$, on a $2x + 1 < 0$ et $3 - x > 0$, on en déduit que le produit est négatif.

En ne gardant que les premières et dernière lignes du tableau, on obtient :

<table><thead><tr><th>Valeurs de x</th><th>-∞</th><th>-1/2</th><th>3</th><th>+∞</th></tr></thead><tbody><tr><td>Signe de<br>(2x + 1)(3 - x)</td><td>-0</td><td>+</td><td>0</td><td>-</td></tr></tbody></table>

L'ensemble des solutions de l'inéquation est donc :
$$S = [-\infty; -\frac{1}{2}] \cup [3; +\infty].$$

# 2. Valeur absolue

## 3. Transformation de $|x - a|$

### EXEMPLE

Soit la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = |x - 2|$.

Si $x \le 2$, alors $x - 2 \le 0$ et $f(x) = |x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$, car la valeur absolue d'un nombre négatif est égale à son oppose.

Si $x \ge 2$, alors $x - 2 \ge 0$ et $f(x) = |x - 2| = x - 2$, car un nombre positif est égal à sa valeur absolue.

On résume ces résultats dans un tableau :

<table><thead><tr><th>x</th><th>-∞</th><th>2</th><th>+∞</th></tr></thead><tbody><tr><td>Signe de x - 2</td><td>-0</td><td>0</td><td>+</td></tr><tr><td>|x - 2|</td><td>-x + 2</td><td>0</td><td>x - 2</td></tr></tbody></table>

Soit $a$ un nombre réel donné, pour tout réel $x$ :

si $x \le a$, alors $|x - a| = -(x - a) = -x + a$

si $x \ge a$, alors $|x - a| = x - a$.

## 4. Valeur absolue et distance

Sur une droite graduée, on appelle $A$ et $M$ les points d'abscisses respectives $a$ et $x$ :

si $x \le a$ alors $AM = a - x$

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

si $x \ge a$ alors $AM = x - a$

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

Dans tous les cas $AM = |x - a|$.

### EXEMPLE

Avec les notations précédentes l'inéquation $|x - 1| \le 2$ est équivalente à $AM \le 2$.

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

Or $AM \le 2$ si et seulement si $M$ est un point du segment [CD], donc si et seulement si $x \in [-1; 3]$.

On vérifie algébriquement que l'inéquation $|x - 1| \le 2$ est équivalente à $-2 \le x - 1 \le 2$ et donc à $-1 \le x \le 3$.

Sur une droite graduée, la distance des points $A$ d'abscisse $a$ et $M$ d'abscisse $x$ est $|x - a|$.

Quel que soit $b \ge 0$,

$$|x - a| \le b \text{ équivaut à } a - b \le x \le a + b$$

$$|x - a| \le b \text{ équivaut à } AM \le b.$$

# 3. Système de deux équations à deux inconnues

## 5. Équation à deux inconnues

Une solution de l'équation à deux inconnues $ux + vy + w = 0$ est un couple $(x_0, y_0)$ qui vérifie

$$ux_0 + vy_0 + w = 0.$$

Nous admettons le résultat suivant.

L'ensemble des points du plan $M(x, y)$ dont les coordonnées vérifient $ux + vy + w = 0$ avec $(u, v) \ne (0, 0)$ est une droite.
# Annexe 3. Les progressions de 4 professeurs.

## 1. Professeur A,

### 1.1. Année 1992-1993, deux classes : 2nde 7 (forte) et 2nde 8 (faible).

**Emploi du temps :**

2h en classe entière : 2h le mercerdi matin pour les 2°7, 1h le mardi matin, 1h le mercredi matin pour les 2°8

2h en demi-classe : T.D. - module confondus (un groupe le vendredi et un groupe le samedi dans chaque classe).

**Plan du cours sur la valeur absolue dans les 2 classes : 2°7 - 2°8**

Manuels : Dimathème pour la seconde 8, Fractales pour la seconde 7.

Les fonctions ont été commencées dès le début de l'année par les fonctions du second degré (paraboles).

Etant donné l'emploi du temps, nous appellerons ici séance un groupement de 2 heures, cours (en classe entière) ou T.D. (en demi-classes)

**Séance 1 : T.D. 15 et 16 janvier**

Dans les deux classes : présentation de la distance de 2 nombres dans l'espace, dans le plan, sur une droite (une demi-séance, la première partie est de la géométrie avec Géoplan).
En 2°8 la séance a lieu en classe entière le 16.

Texte : feuille Val 1.

**Séance 2, Cours des 19 et 20 Janvier :**

* 2°8 - 19-01 :

- distances sur un axe gradué I(1), A(2), B(7), C(-2), D(-6)

Calcul de d(O,A), d(O,I), d(A,B), d(O,C) etc ... (toutes les possibilités) placement de E (√2), F (√2-2). Construction à la règle et au compas de √2 pour placer E. d(O,E), d(O, F)

- définition de |x| comme d(O,M) où M a pour abscisse x.

- Distribution de la feuille de cours (annexe 2).

exercice 10 p. 128 : résoudre $|x| = 1$ ; $|x| \le 1$ puis P. propose $|x| = 2,4$

- à chercher exercice 11 : résoudre $|x-2| = 1$ ; $|x-2| \le 1$.

* 2°8 - 20-01 :

- correction de l'exercice, introduction de $|x-al|$, résolution d'équations $|x-al| = r$ et d'inéquations $|x-al| \le r$ (a et r donnés) à l'aide de la représentation des nombres réels sur la droite graduée

- A faire pour le 22 ou 23 : exercices 13, 14, 15, 16 p.128. Résoudre

13. $|x+2| = 3$ ; $|x+2| \le 3$ ; 14. $|x-5| = 0,1$ ; $|x-5| < 0,1$ ; 15. $|x| = 6$ ; $|x| > 6$ ;

16. $|x-1| = 2$ ; $|x-1| \ge 2$

* 2°7 - 20-01 :

- correction d'exercices de géométrie

- révisions sur la racine carrée (représentation d'un nombre positif par l'aire d'un carré, la racine carrée de ce nombre étant égale à la longueur du côté du carré, encadrement de la racine carrée d'un nombre entier naturel, représentation d'un segment de longueur $\sqrt{a}$, $a \in N$.)

- leçon sur la valeur absolue, exemples $|\sqrt{2}|$, $|2 - \sqrt{2}|$, $|\sqrt{3} - 2|$,

- résolution d'équations de la forme $|x-al| = r$ et d'inéquations $|x-al| \le r$ à partir de la représentation d'un nombre sur un axe gradué.
- Pour les 22 et 23 janvier : exercices 13-14-15-22 p. 221. Il s'agit de "déterminer les nombres x de R vérifiant l'équation ou l'inéquation proposée"

13. $|x| = 7 ; |x| = \frac{2}{3} ; |x| = \pi$

14. $|x - 1| = 1 ; |x - 2| = 3 ; |x + 1| = 1$.

15. $|x - 1| = 0$ ; $|x - \sqrt{2}| = 1$ ; $|x + 5| = 3$

22. Déterminer les nombres a et b tels que la relation donnée soit équivalent à $x \in ]a,b[$.

Faites dans chaque cas une représentation graphique : $|x - 3| < 1$ ; $|x - \frac{1}{2}| < \frac{5}{2}$ ; $|x + 1| < 2$.

## Séance 3, T.D. des 22 et 23 janvier

Dans les 2 classes :

- correction d'un exercice de géométrie sur les médiatrices d'un triangle et des exercices sur la valeur absolue. Distribution d'un corrigé écrit.

- Distribution des feuilles de cours sur distance et V.A. (voir feuille Val 3.) en 2°7, de la feuille de préparation du contrôle 5 (voir ci-dessous ce qui concerne la V.A. pour la 2°8)

Une unité de longueur étant donnée, savoir représenter un segment dont la longueur est un nombre irrationnel de la forme $V a$ où a est un entier naturel.

(d) une droite graduée de repère (O,I)

- savoir placer des points de (d) dont les abscisses sont des nombres réels.

- savoir calculer la distance de deux points de (d) définis par la donnée de leurs abscisses.

- savoir placer des points de (d) à une distance donnée d'un point connu de (d).

- savoir caractériser un segment de droite comme ensemble de points de (d) situés une distance inférieure à un nombre donné, d'un point donné de (d).

Savoir la définition de la valeur absolue d'un nombre réel. (distance de ce nombre à zéro)

Interpréter $|x - a|$ comme la distance des deux nombres $x$ et $a$.

Utiliser la représentation des nombres réels sur une droite graduée pour :

- résoudre l'équation $|x - a| = r$ où $a$ et $r$ sont donnés.

- résoudre l'inéquation $|x - a| < r$ où $a$ et $r$ sont donnés.

- Devoir n°5 à faire pour le 9 ou le 10 Février (géométrie et extraction d'une racine carrée).

- T.D. Monsieur Dupont (annexe 3)

Contrôle 5 les 26 et 27 Janvier voir ci-dessous ce qui concerne les distances et V.A. 2°7

## Exercice 3

Représenter sur la droite graduée (d) munie du repère (O,I),

O I

a) l'ensemble (E) des points M tels que $OM = 3\sqrt{2}$.

b) le point A d'abscisse 5 - $\sqrt{2}$ et l'ensemble des points N tels que $AN = \sqrt{2}$.

c) le point B d'abscisse 2 - $\sqrt{2}$ et l'ensemble des points S tels que $SB < 4$.
Exercice 2

1) Résoudre dans R les équations suivantes :

$$1x - 3.51 = 2.1$$

$$1x - 1.71 \le 3.2$$

2) Représenter sur la droite graduée (d) munie du repère (O,1)

O

1

a) l'ensemble (E) des points M tels que $OM = \sqrt{3}$

b) A le point d'abscisse - 4.7 et l'ensemble (G) des points S tels que $AS > 1.4$

c) B le point d'abscisse 1.2 et l'ensemble (F) des points N tels que $BN \le 2.8$

Séance 4 : T.D. des 29 et 30 janvier

Dans les deux classes :

- synthèse du T.D. "monsieur Dupont" (texte sur feuille Val 4). Distribution d'un corrigé écrit. Les élèves n'utilisent pas la valeur absolue, même quand le professeur propose de demander à l'ordinateur la représentation graphique de la fonction. Le professeur n'insiste pas.

- reste du temps (variable de $1/4 h$ à $1h$ consacré à un jeu sur ordinateur "jeu de cible". Il s'agit de trouver un intervalle en posant des questions sous forme $1x - 1 \le$ alors qu'un morceau de droite graduée est représenté à l'écran et se colore différemment suivant les réponses aux questions posées qui peuvent être "extérieur", "contient", "touché", puis "gagné", perdu".

Séance 5, Cours des 2 et 3 Février

Dans les deux classes, traductions entre les diverses écritures des intervalles (feuille polycopiée Val 7). Allusion à ce qui a été fait sur l'ordinateur.

En seconde 7 introduction du vocabulaire en termes de "valeur approchée" à propos des 3 derniers exemples.

2°8. exercice à faire du 2 au 3 : activité 4 page 118, corrigé le 3 ainsi que l'exercice 2 du contrôle 5.

Plus d'exercices traités en 2°8 (2x1h), plus de discours et d'explications du prof en 2°7.

Séance 6, T.D. des 5 et 6 Février :

Points sur la droite (feuille Val 8)

Séance 7, Cours des 9 et 10 Février.

- synthèse du T.D. dans les deux classes en 2 heures. Le III n'est pas abordé en seconde 8.

Dans la seconde 7, $h(x) = f(x)$ et $h(x) = g(x)$ ne sont pas traités, $g(x) + 3 = 8 * f(x)$ l'est mais pas $f(x-4) = \frac{5}{2}$.

Séance 8, T.D. des 12 et 13 Février.

- Correction des exercices à chercher (propriétés de la valeur absolue d'un nombre, encadrements : feuille Val 10).

- associer fonction et graphique (feuille Val 11) : traité collectivement.

2-3 mars distribution de la feuille de préparation du contrôle 6 (feuille Val 12)
6 mars : contrôle 6. Les exercices 1 et 2 concernent la valeur absolue et sont communs aux deux classes (voir ci-dessous). Il y a en outre un exercice de géométrie commun aux deux classes et, seulement dans la 2°7, un exercice de géométrie qui donne lieu au tracé d'une fonction et à un problème d'encadrements.

### Exercice 1

Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes

$$a) \quad 3(x - 3)^2 = 18 - 2x^2 + (2x + 5)(3 - x)$$

$$c) \quad 13 * 10^5 - x < 5 * 10^5$$

$$b) \quad 1x - \sqrt{3} + 1 = 3 * 10^{-2}$$

$$d) \quad 12x + 71 > 3\sqrt{5}$$

### Exercice 2

Madame Justine vient de partir à la retraite. Elle a l'intention de chercher un appartement dans la grande rue du village Manet. Elle se rendra à pieds

- une fois par jour chez ses enfants dans la résidence des Orangers (lundi, mardi, mercredi, jeudi et vendredi)

- le mardi et le jeudi chez le kiné dans la résidence des Bleuets

- le lundi et le vendredi chez le marchand de journaux (Maison de la presse)

- le lundi, mercredi et vendredi au foyer du 3ème âge (Maison des Roses)

Où doit-elle choisir son appartement pour marcher moins de 1600m par jour, sachant que le plan de la grande rue est le suivant:

<table><thead><tr><th>Résidence des Orangers</th><th>Résidence des Bleuets</th><th>Maison de la presse</th><th>Maison des Roses</th></tr></thead><tbody><tr><td>&lt; 350 m&gt;</td><td>&lt; 150 m &gt;</td><td>&lt; 200 m &gt;</td><td></td></tr></tbody></table>

Total 15 heures plus 2 heures de contrôle mais il y a une plus grosse part de travail sur les fonctions qui sera sans doute faite à d'autres occasions dans les autres classes.

## 1.2. Années suivantes.

En 1993-1994, la progression a été sensiblement la même, mais le texte "M Dupont" a été modifié : voir VA5'.

En 1994-1995, le professeur A avait une classe plus faible (voir résultat de l'évaluation, annexe 1 bis) et a assez nettement réduit le travail sur les valeur absolue. Les situations "Monsieur Dupont" et "points sur la droite" n'ont pas été abordées. Nous avons le calendrier suivant :

- 11 et 12 janvier 1995 : T.D. sur les distances un peu plus développé que dans Val 1 (voir VA1), feuille de cours à peu près équivalente à Val 3 mais la propriété d'invariance par translation $d(x+a,y+a) = d(x,y)$ est mentionnée explicitement ainsi que sa conséquence $d(x,y) = d(x-y,0)$ ce qui permet de définir $lx-yl$ de cette façon.

- 14 janvier : fin du cours, début de Val 7

- 17 janvier : jeu de cibles sur ordinateur

- 18 janvier : correction de Val 7, soit 5 séances d'une heure et un contrôle (contrôle 6, voir plus loin annexe 4).
CLASSE 2

TRAVAUX DIRIGES

A/

L'unité de longueur est le centimètre.

1) dans l'espace.

A est un point connu de l'espace.

Où se trouvent les points M, M' et M'' de l'espace tels que :

a) $AM = 3$

b) $AM' < 4.5$

c) $AM'' > 2$

2) dans le plan.

A est un point connu du plan.

Où se trouvent les points M, M' et M'' du plan tels que :

a) $AM = 3$

b) $AM' < 4.5$

c) $AM'' > 2$

Colorier en rouge l'ensemble des points M, en vert l'ensemble des points M' et en bleu l'ensemble des points M''.

3) sur la droite

Dessiner une droite (d), placer un point A sur cette droite (d).

Où se trouvent les points M, M' et M'' de la droite (d) tels que :

a) $AM = 3$

b) $AM' < 4.5$

c) $AM'' > 2$

Colorier en rouge, vert et bleu les points M, M' et M''.

4) sur la droite graduée

Dessiner une droite graduée (x'x) d'origine O et placer le point A d'abscisse 1.08.

Quelles sont les abscisses des points M, M' et M'' de (x'x) tels que :

a) $AM = 3$

b) $AM' < 4.5$

c) $AM'' > 2$

B) Voici le relevé de certaines temperatures hier matin à 8 heures; sous abris:

Dijon : -6°; Caen : -2°; Orléans : 0°; Istres : 1°; Avignon : 2°; Biarritz : 7°
Calculer les écarts de température entre deux quelconques de ces localités( on pourra les désigner par leur initiale)
# DISTANCE ET VALEUR ABSOLUE

## I / DEFINITIONS

Chaque nombre réel peut être représenté par un point sur une droite graduée et inversement à chaque point d'une droite graduée on peut associer un nombre réel. On parlera de "droite numérique" pour désigner une droite graduée sur laquelle sont représentés des nombres réels. On désignera souvent par la même lettre (b par exemple), à la fois le point qui, sur la droite graduée, a pour abscisse le réel b.

* On appelle distance entre les deux nombres réels $x$ et $y$, la distance MN où M et N sont les points d'abscisses $x$ et $y$ sur une droite graduée.

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

On note $d(x,y) = MN$.

La distance entre deux nombres est calculée par la différence entre le plus grand et le plus petit de ces deux nombres.

$d(x,y) = x - y \text{ si } x > y \text{ ou } d(x,y) = y - x \text{ si } y > x$

Remarques:

$$1) d(x,y) = d(y,x) \text{ car } MN = NM$$

$$2) d(x,0) = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$

* On appelle valeur absolue d'un nombre $x$, la distance de ce nombre à 0.

On note $|x|$.

On a indifféremment :

$$(1) |x| = d(x,0)$$

$$(2) |x| \text{ est le nombre positif parmi } x \text{ et } -x.$$

$$(3) |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$$

$$(4) |x-y| = d(x-y,0) = d(x,y) = \begin{cases} x-y & \text{si } x-y \ge 0 \\ y-x & \text{si } x-y < 0 \end{cases}$$

## II / PROPRIETES

$x$ et $y$ désignent deux nombres réels quelconques.

1) Deux nombres ont la même valeur absolue si et seulement s'ils sont égaux ou opposés.

$$|x| = |y| \text{ signifie } x = y \text{ ou } x = -y$$

2) Le produit des valeurs absolues deux nombres est égal à la valeur absolue du produit de ces deux nombres.

$$|x| \cdot |y| = |x \cdot y|$$
## TRAVAUX DIRIGES

Monsieur Dupont travaille dans la compagnie WW dont le siège est à Paris. Il est chargé des relations avec les succursales situées en Seine-Maritime (Rouen, Yvetot, Le Havre).

Sa semaine est organisée ainsi:

- le lundi et le samedi, il se rend au siège de la compagnie WW;

- le mardi et le jeudi, il va à Rouen;

- le mercredi il va au Havre et le vendredi à Yvetot.

Chaque soir, Monsieur Dupont rejoint sa famille.

Le Havre, Yvetot, Rouen et Paris sont situés dans cet ordre, sur une même route (ordre Ouest-Est).

On supposera que "la route est droite".

Paris-Rouen : 110 km Le Havre-Yvetot : 50 km Le Havre-Rouen : 85 km

Quelle distance Monsieur Dupont parcoura-t-il chaque semaine?

- s'il habite à Paris ?

- s'il habite à Barentin (Barentin est situé sur la route précédente, à 17 km à l'ouest de Rouen) ?

Monsieur Dupont n'aime pas conduire (et de plus il veut aider son pays à faire des économies d'énergie ...), il souhaite donc avoir la plus petite distance à parcourir chaque semaine.

Aidez Monsieur Dupont à trouver où il doit chercher son logement?

Dans le cadre de la décentralisation, la compagnie WW installe son siège au Havre et garde une annexe à Paris.

Monsieur Dupont se rend toujours 2 fois par semaine au siège et une seule fois à Paris.

Où devra-t-il trouver un logement pour avoir à nouveau une distance minimale à parcourir ?

De plus Monsieur Dupont se rend chaque semaine avec sa famille chez ses parents qui habitent à Bolbec.

Bolbec est situé sur la route Le Havre-Rouen, à 30 km à l'est du Havre.

Examinez de nouveau le problème avec ce déplacement supplémentaire...
Valeur absolue, intervalle, distance et encadrement

I / Définitions

1) Soient deux réels a et b tels que a < b.

L'intervalle fermé [a,b] est l'ensemble des réels x compris entre a et b.

x∈[a,b] signifie a ≤ x ≤ b

2) Soient i un réel et r un réel strictement positif

L'intervalle fermé I de centre i et de rayon r est l'ensemble des réels x situés à une
distance de i inférieure à r.

Pour un réel x, les énoncés suivants ont la même signification:

(1) d(x,1) ≤ r en termes de distance

(2) |x - 1| ≤ r en termes de valeur absolue

(3) i - r ≤ x ≤ i + r en termes d' encadrement

(4) x∈[i - r, i + r] en termes d' intervalle

3) Soient deux réels a et b tels que a<b.

Le centre de l'intervalle fermé [a,b] est le réel (a+b)/2

La longueur de [a,b] est le réel b-a

Le rayon (ou la demi-longueur) de [a,b] est le réel (b-a)/2

Les réels a et b sont appelés les bornes de l'intervalle fermé [a,b].

4) c étant un réel et r un réel strictement positif, on dit que

" c est une approximation de x à r près "pour exprimer le fait que:

d(x-c) ≤ r ou |x-c| ≤ r ou c-r ≤ x ≤ c+r ou x∈[c-r, c+r]

II / Exercices

1) Compléter le tableau suivant (les intervalles sont fermés):

<table><thead><tr><th>intervalle</th><th>bornes</th><th>centre</th><th>rayon</th><th>longueur</th><th>droite des réels</th></tr></thead><tbody><tr><td>[-2;5]</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>[complémentaire] 1</td></tr><tr><td></td><td>3 et 1</td><td></td><td></td><td></td><td>-1 - 0.5 1 3 4 5</td></tr><tr><td></td><td></td><td>-2</td><td>5</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td>-5</td><td></td><td>7</td><td></td></tr><tr><td></td><td>-2 et...</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>3 et ....</td><td></td><td>5</td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

2) Compléter chaque ligne du tableau suivant:

<table><thead><tr><th>valeur absolue</th><th>distance</th><th>droite des réels</th><th>encadrement</th><th>intervalle</th></tr></thead><tbody><tr><td>|-2| ≤ 3</td><td>d(x,2) ≤ 3</td><td>[-2 - 2] / 2</td><td>-1 ≤ x ≤ 5</td><td>x∈[-1;5]</td></tr><tr><td>|x| ≤ 7</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>|x - 1| ≤ 3/2</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>d(x, 5) ≤ 9/2</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>1 ≤ x ≤ 4</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>xc[-7;-2]</td></tr><tr><td>|x + 3/2| ≤ 2</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>1.4 ≤ V2 ≤ 1.5</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>V3∈[1.72;1.73]</td></tr><tr><td>|V3| - 22/7 ≤ 10<sup>-2</sup></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
## CLASSE 2

### TRAVAUX DIRIGES

(d) est une droite graduée munie du repère (O, l).

Placer les points A et B de (d) d'abscisses 3 et -2.

M est un point de (d) d'abscisse réelle x.

I / On appelle N le milieu du segment [OM]

Compléter le tableau suivant où ON représente la distance des points O et N:

<table><tr><td>x</td><td>-5</td><td>-4</td><td>-3</td><td>-2</td><td>-1</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr><tr><td colspan="12">ON</td></tr></table>

Ecrire ON en fonction de x. On notera $f(x) = ON$.

Choisir un repère orthogonal (O, l, J) puis dessiner la représentation graphique de f dans ce repère pour x compris entre -5 et 5.

II / On appelle P le symétrique du point O par rapport au point M.

AP désigne la distance des points A et P. Compléter le tableau suivant:

<table><tr><td>x</td><td>-5</td><td>-4</td><td>-3</td><td>-2</td><td>-1</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td></tr><tr><td colspan="12">AP</td></tr></table>

Ecrire AP en fonction de x. On notera $g(x) = AP$

Dessiner la représentation graphique de g dans le repère (O, l, J) pour $x \in [-5; 5]$.

Pour quelle(s) valeur(s) de x a-t-on :

$$a) AP = 12$$

$$b) AP = 8$$

$$c) AP = 7\sqrt{2}$$

$$d) AP = ON$$

III / On appelle Q le point défini par la relation vectorielle $\vec{OQ} = 3\vec{OM}$

Exprimer la distance des points B et Q en fonction de x. On notera $h(x) = BQ$

Représenter la fonction h dans le repère (O, l, J) sur l'intervalle $[-5; 5]$.

Résoudre dans R les équations suivantes :

$$a) h(x) = 12$$

$$b) h(x) = 8$$

$$c) h(x) = f(x)$$

$$d) h(x) = g(x)$$

Résoudre graphiquement les équations suivantes:

$$a) g(x) + 3 = 8 * f(x)$$

$$b) f(x - 4) = 5 / 2.$$
## Travaux dirigés : propriétés de la valeur absolue d'un nombre, encadrement

1) Compléter le tableau suivant.

<table><thead><tr><th>a</th><th>b</th><th>lal</th><th>lbl</th><th>a+b</th><th>lal+lbl</th><th>la+bl</th><th>lal*lbl</th><th>la*bl</th><th>........</th></tr></thead><tbody><tr><td>4</td><td>-5</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>-2</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>-3</td><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>-3</td><td>5</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>4</td><td>6</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>2/3</td><td>-5/3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>5/7</td><td>3/35</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>10<sup>2</sup></td><td>10<sup>-1</sup></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>-10<sup>-2</sup></td><td>-10<sup>-1</sup></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>-10<sup>3</sup></td><td>10<sup>-3</sup></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>3 10<sup>-3</sup></td><td>2 10<sup>-2</sup></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>-7.10<sup>-6</sup></td><td>-3.10<sup>2</sup></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>-√2</td><td>2-√2</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1/√3</td><td>-√3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>√2-1</td><td>√2+1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>√5 - √3</td><td>√8+√2</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

2) Encadrer l'aire d'un rectangle dont les dimensions sont 127.6 m à 0.4 m près et 51.5 m à 0.2 m près

3) deux cercles (c) et (c') concentriques de rayons respectifs r et r', donner un encadrement de la couronne sachant que $0.61 < r < 0.62$ et $1.25$ est une valeur approchée de r' à 0.01 près. (prendre $3.14 < \pi < 3.15$)

4) Compléter le tableau suivant (donner l'intervalle de plus petit diamètre, si possible)

<table><thead><tr><th>x</th><th>y</th><th>x+y</th><th>xy</th><th>-y</th><th>x-y</th><th>1/x</th><th>1/y</th><th>x/y</th></tr></thead><tbody><tr><td>[2; 7]</td><td>[2; 7]</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>[1; 5]</td><td>[2; 3]</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>[-3;-1]</td><td>[-5; -4]</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>[1; 5]</td><td>[-4; -2]</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>[-1; 1]</td><td>[1; 3]</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

5) a et b deux nombres tels que $|a - 0.5| \le 1$ et $|b - 1| \le 0.5$, à quels intervalles appartiennent a et b ?

Donner un encadrement de $a+b$, $a-b$ et $ab$ (amplitude la plus faible possible.)
$$f(x) = |3x - 3| + |x - 2|$$

La représentation graphique de f est...

$$g(x) = |x + 2|$$

La représentation graphique de g est...

$$\begin{cases} \text{si } x \leq -2 \\ \text{si } x < 2 \\ \text{si } x \geq 2 \\ \text{si } x < -2 \end{cases}$$

La représentation graphique de h est...

$$\begin{cases} \text{si } x \leq 2 \\ \text{si } x \geq 2 \\ \text{si } x < -2 \\ \text{si } x \geq -2 \end{cases}$$

La représentation graphique de l est...

$$\begin{cases} \text{si } x \leq -\frac{3}{2} \\ \text{si } -\frac{3}{2} \leq x \leq 2 \\ \text{si } 2 \leq x \leq 3 \\ \text{si } x \geq 3 \end{cases}$$

La représentation graphique de j est...

$$\begin{cases} \text{si } x \leq -1 \\ \text{si } 1 \leq x \leq 2 \\ \text{si } 2 \leq x \leq 3 \\ \text{si } x \geq 3 \end{cases}$$

La représentation graphique de k est...

$$k(x) = 2|x| + 3$$

La représentation graphique de l est...

$$m(x) = |2x + 3|$$

La représentation graphique de m est...

<figure><img src="image_47.png" /></figure>
## Classe 2

## Préparation du contrôle 6

<table><thead><tr><th>Liste de savoir-faire</th><th>Référence</th></tr></thead><tbody><tr><td>Savoir-faire des contrôles précédents</td><td></td></tr><tr><td>Interpréter l'a - b l comme distance des deux nombres a et b.</td><td></td></tr><tr><td>Calculer la distance deux nombres après avoir comparé ces deux nombres.</td><td></td></tr><tr><td>Penser à considérer deux cas pour écrire l'axial sans les barres:<br>1) x < a alors l'axial - a l'axial = a - x<br>2) a < x alors l'axial - a l'axial = x - a</td><td></td></tr><tr><td>Faire un tableau pour présenter l'écriture (sans les barres) d'une expression contenant des valeurs absolues ; penser à distinguer plusieurs cas.</td><td></td></tr><tr><td>Utiliser les propriétés suivantes :<br>" Deux nombres opposés ont la même valeur absolue."<br>" Deux nombres qui ont la même valeur absolue sont égaux ou opposés"</td><td></td></tr><tr><td>Choisir parmi les écritures suivantes la plus adaptée au problème:<br>1) d(a,b)<c (distance)<br>2) l'a - b l < c (valeur absolue)<br>3) b - c < a < b + c (encadrement)<br>4) a [b - c, b + c] (intervalle)<br>5) a appartient à l'intervalle de centre b et de rayon c<br>6) b est une approximation de a à c près</td><td></td></tr><tr><td>Utiliser les operations sur les inégalités.<br>a, b, c et d désignent des nombres réels<br>1) a < b et c < d alors a + c < b + d<br>2) a < b alors -b < -a<br>3) c > 0 et a < b alors ac < bc<br>4) c < 0 et a < b alors bc < ac<br>5) 0 < a < b alors 0 < 1/b < 1/a</td><td></td></tr><tr><td>Calculer sur les puissances, les fractions et les radicaux.</td><td></td></tr><tr><td>Encadrer l'opposé d'un nombre. L'inverse d'un nombre positif, la somme de deux nombres et le produit de deux nombres positifs.</td><td></td></tr><tr><td>Connaitre et reconnaître les fonctions de référence:<br>(parité, sens de variation, représentation graphique,...)<br>x ---&gt; x (identité), x ---&gt; x² (carre), x ---&gt; l'axial (valeur absolue)<br>a et b deux réels donnés,<br>x ---&gt; b (constante), x ---&gt; ax (linéaire), x ---&gt; ax + b (affine), x ---&gt; ax² (carre),<br>x ---&gt; l'axial - a (valeur absolue)</td><td></td></tr><tr><td>Utiliser le sens de variation d'une fonction de référence pour minimiser (ou maximiser) une quantité.<br>Penser à utiliser la lecture graphique pour<br>- contrôler un calcul<br>- trouver des solutions entières ou décimales d'une équation<br>- résoudre une inéquation ou un système d'inéquations<br>- ...</td><td></td></tr></tbody></table>
Travaux dirigés

Monsieur Dupont travaille dans la compagnie WW dont le siège est à Paris. Il est chargé, des relations avec les succursales situées en Seine-Maritime (Rouen, Yvetot, Le Havre).

Sa semaine est organisée ainsi:

- le lundi et le samedi, il se rend au siège de la compagnie WW;

- le mardi et le jeudi, il va à Rouen;

- le mercredi il va au Havre et le vendredi à Yvetot.

Chaque soir, Monsieur Dupont rejoint sa famille.

Le Havre, Yvetot, Rouen et Paris sont situés dans cet ordre, sur une même route (ordre Ouest-Est)

On supposera que "la route est droite".

Paris-Rouen : 110 km Le Havre-Yvetot : 50 km Le Havre-Rouen : 85 km

Quelle distance Monsieur Dupont parcoura-t-il chaque semaine

- s'il habite à Paris ?

- s'il habite à Barentin (Barentin est situé sur la route précédente, à 17 km à l'ouest de Rouen) ?

De quoi dépend la distance parcourue chaque semaine ? Exprimer cette distance par une fonction.

Monsieur Dupont reçoit une indemnisation hebdomadaire pour une distance parcourue inférieure à 800 km. Caractériser les endroits où Monsieur Dupont doit choisir son logement s'il ne veut pas avoir de frais de transport ?

Monsieur Dupont n'aime pas conduire, il souhaite donc avoir la plus petite distance à parcourir chaque semaine. Aidez Monsieur Dupont à trouver où il doit chercher son logement?

Dans le cadre de la décentralisation, la compagnie WW installe son siège au Havre et garde une annexe à Paris.

Monsieur Dupont se rend toujours 2 fois par semaine au siège et une seule fois à Paris.

Où devra-t-il trouver un logement pour avoir à nouveau une distance minimale à parcourir ?

De plus Monsieur Dupont se rend chaque semaine avec sa famille chez ses parents qui habitent à Bolbec.

Bolbec est situé sur la route Le Havre-Rouen, à 30 km à l'est du Havre.

Examinez de nouveau le problème avec ce déplacement supplémentaire.
# CLASSE 2

## TRAVAUX DIRIGES 11 janvier

### I/ A/

L'unité de longueur est le centimètre.

#### 1) dans l'espace.

A est un point connu de l'espace.

Où se trouvent les points M, M' et M'' de l'espace tels que :

a) $AM = 3$

b) $AM' < 4.5$

c) $AM'' > 2$

#### 2) dans le plan.

A est un point connu du plan.

Où se trouvent les points M, M' et M'' du plan tels que :

a) $AM = 3$

b) $AM' < 4.5$

c) $AM'' > 2$

Colorier en rouge l'ensemble des points M, en vert l'ensemble des points M' et en bleu l'ensemble des points M''.

#### 3) sur la droite

Dessiner une droite (d), placer un point A sur cette droite (d).

Où se trouvent les points M, M' et M'' de la droite (d) tels que :

a) $AM = 3$

b) $AM' < 4.5$

c) $AM'' > 2$

Colorier en rouge, vert et bleu les points M, M' et M''.

#### 4) sur la droite graduée

Dessiner une droite graduée (x'x) d'origine O et placer le point A d'abscisse 1.08.

Quelles sont les abscisses des points M, M' et M'' de (x'x) tels que :

a) $AM = 3$

b) $AM' < 4.5$

c) $AM'' > 2.3$

B/ L'unité de longueur est le centimètre.

A et B sont deux points distants de 6 cm

#### 1) dans l'espace.

Où se trouvent les points M et M' de l'espace tels que :

a) $AM = MB$

b) $AM' < M'B$

#### 2) dans le plan.

Où se trouvent les points M et M' du plan tels que :

a) $AM = MB$

b) $AM' < M'B$

Colorier en rouge l'ensemble des points M, en vert l'ensemble des points M'
<figure><img src="image_48.png" /></figure>

### 3) sur la droite

Soit (d) la droite définie par les points A et B

Où se trouvent les points M, M' et M'' de la droite (d) tels que :

a) $AM = MB$

b) $AM' < M' B$

c) $AM'' = 2 M''B$

Colorier en rouge les points M, en vert les points M' et en bleu les points M''.

### 4) sur la droite graduée

Dessiner une droite graduée (x'x) d'origine O et placer le point A d'abscisse 1.08 et le point B d'abscisse -4.92. Quelles sont les abscisses des points M, M' et M'' de (x'x) tels que :

a) $AM = MB$

b) $AM' = 3 M' B$

c) $5 AM'' = M'' B$

II/ A / Voici le relevé de certaines températures hier matin à 8 heures, sous abris :
Dijon :-6 ; Caen :-2 ; Orléans : 0 ; Istres : 1 ; Avignon : 2 ; Biarritz : 7

Calculer les écarts de température entre deux quelconques de ces localités
(on pourra les désigner par leur initiale) -

B / (D) est une droite graduée de repère (O, I)

O I

1°) Quels sont les écarts entre les nombres 4 et 9 ?

" " -4 et -7 ?

" " 5 et -7 ?

" " -1 et 9 ?

" " -4 et 4 ?

2°) a) Sur l'axe, quels sont les nombres a tels que l' écart entre a et 3 vaut 4 ?

b) Sur l'axe, quels sont les nombres b tels que l' écart entre b et -3 vaut 10.5 ?

3°) a) Que penser des nombres dont l' écart à zéro est 7/3 ?

b) Comment exprimer l' écart entre a et zéro ?

c) Comment exprimer l' écart entre deux nombres réels a et b ?
## 2. Professeur B. Année 1994-1995.

### Emploi du temps :

classe entière : 1h le mardi, 1h le jeudi, 1h le vendredi une semaine sur deux, T.D. : 1h pour un groupe le mardi, un groupe le jeudi (par ordre alphabétique)
Module : 1h 1/2 une semaine sur deux le lundi : un groupe pour les moyens, un groupe forts et faibles ensemble, et, de temps en temps, après chaque contrôle choix individuel d'élèves (sur un point à retravailler)

### Plan de cours sur valeur absolue, encadrements. (1-20 dec 94)

#### Séance 1 : 1er décembre 94, classe entière

- Distance de points sur un axe gradué
A (2), B (4), C (5), D (-2), E (-3) F (0,5) placés sur un axe dessiné au tableau. Elle interroge une douzaine d'élèves pour donner des distances entre ces points. Certains élèves remarquent spontanément la symétrie et le fait que c'est toujours positif.

- Dans le cahier de cours, elle demande aux élèves de noter quelques exemples et la définition de la distance entre deux nombres réels x et y comme la distance entre les points d'abscisses x et y sur un axe gradué.
Propriétés : $d(x,y) = d(y,x)$ et $d(x,y) \ge 0$

- Autres exemples : $d(6,13)$, $d(21,16)$, $d(-5,-3)$, $d(1,-3)$

- Elle demande aux élèves d'énoncer une règle numérique qui permet de répondre sans regarder le dessin : le plus grand moins le plus petit, qui est formalisée en
$$ \text{si } x \ge y, d(x,y) = x-y \text{ ; si } y \ge x, d(x,y) = y-x \text{. puis} $$
$x-y \ge 0$ etc...

Chacune des formes est notée dans le cahier

- Valeur absolue introduite comme une notation : $|x-y| = d(x,y)$.
Reprise de toutes les propriétés précédentes avec la nouvelle notation.

- Exercice 1 : Chercher les x tels que $d(x,3) = 2$ ; $d(5,x) = 3$ ; $d(3,x) = 2$ ; $d(-5,x) = 1$ ; $d(-2,x) = 5$.

Les élèves cherchent puis correction au tableau par deux méthodes : géométrique et algébrique.

- Exercice 2 : Chercher les x tels que $d(x,3) \le 2$.
Aux élèves qui font des erreurs par la méthode algébrique, elle conseille de recommencer avec la méthode géométrique.

La correction collective est renvoyée au prochain cours.

- Exercice à chercher pour mardi 6 :
Résoudre $|x-2|=1$ ; $|x-2|=9$ ; $|x-(-3)|=1$ ; $|x+4|=2$ ; $|x-5| \le 7$.

#### Séance 2 : 6 Décembre 1994, classe entière

Séance entièrement consacrée à la correction des exercices à chercher à la maison, par les deux méthodes. Les élèves ont privilégié la méthode algébrique ce qui occasionne beaucoup d'erreurs que le professeur laisse s'exprimer. Elle insiste sur la méthode géométrique en disant que l'autre peut être difficile (voir notamment ce qui concerne la résolution de l'inéquation).

#### Séance 3, 6 et 8 Décembre 1994 : TD en demi-classe.

- Exercice 1. Résoudre **géométriquement** $d(x,5) = 1$ ; $d(x,5) = 8$ ; $|x-5| = 2$ ; $|x-5| = 4,5$ ; $|x-5| = 7$ ; $d(x,5) \le 0,1$ ; $|x-5| \le 1$.

- Exercice 2. $d(x,-2) = 0,5$ ; $d(x,-2) = 2$ ; $d(x,-2) = 4,1$ ; $|x-(-2)| = 1$ ; $|x+2| = 3$ ; $d(x,-2) \le 6$ ; $|x+2| \le 0,5$.
- Exercice 3. $\vert x-3\vert = 6$ ; $\vert x+4\vert = 2$ ; $\vert x-2,1\vert = 1$ ; $\vert x-1,3\vert = 7$ ; $\vert x+3\vert \le 5$.

Les élèves cherchent individuellement en comparant avec leurs voisins. Le professeur se promène et va voir les élèves qui appellent. Quand tout le monde a fini le premier exercice, elle arrête la recherche et demande "Qu'est-ce que j'ai cherché à vous faire apprendre ?"

Diverses réponses des élèves sont approuvées mais elle insiste sur le fait qu'il y avait un seul point intéressant (5) et interroge Fabrice (qui s'est trompé) sur le deuxième exercice. Elle attire l'attention sur le -(-2) puis sur le +2 qui cache un -(-2) et dit que dans le 3ème exercice, il faut s'adapter. Moussou redemande l'explication du +, Florence la donne.

Peu après le professeur écrit un autre texte.

- Exercice 4 :

[7,9] est l'ensemble des solutions d'une équation du type $\vert x-a\vert \le r$. Laquelle ?

[3,8 ; 4,2]

[-1, 5]

[-10, -6]

Guillaume fait remarquer qu'il s'agit d'inéquations.

Les exercices ne sont pas corrigés collectivement. Le professeur vérifie ce qu'a fait chacun des élèves. Les 3ème et 4ème qui n'ont pas été terminés par tout le monde seront corrigés en classe entière dans l'heure qui suit.

D'autres exercices sont donnés pour ceux qui ont terminé : n° 72-77 p. 47. (Ce sont des exercices sur les puissances et les simplifications de fractions).

## Séance 4, 8 Décembre 1994 : classe entière

- Correction des exercices 3 et 4 du T.D. Dans un groupe $\vert x-1,3\vert = 7$ était remplacé par $\vert x-1,3\vert \le 7$, c'est celui-là qui est corrigé.

Puis, on corrige les exercices à faire pour ce jour là :

Résoudre graphiquement $\vert x-2\vert = \vert x-5\vert$ ; $\vert x+1\vert = \vert x-4\vert$ ; $\vert x+2\vert = \vert x+6\vert$ ; $\vert x+2\vert \ge \vert x+6\vert$ ; $\vert x-3\vert \ge \vert x-8\vert$

- Suite du cours. Equations

"On a beaucoup manipulé, vous savez faire, on va simplement écrire le cas général dans le cours $\vert x-a\vert = r$ avec... Aujourd'hui, je n'ai pas eu les remarques que j'ai eues dans le premier groupe : "si vous mettez $\vert x-1\vert = -3"

Des élèves : pas de solution

P. Alors je précise $r \ge 0$.

etc...

Le cas de l'équation est traité, avec un exemple pour répondre à "pourquoi "ou" et pas "et".

La sonnerie intervient avant l'inéquation.

- Exercices pour mardi : n° 27-28 p. 221

P. précise que c'est le même genre avec un peu de fractions et de nombres à virgule.

Dans les exercices 26 à 29, déterminez les nombres $a$ et $\varepsilon$ tels que la relation donnée soit équivalente à $\vert x-a\vert \le \varepsilon$.

$$27. x \in [\frac{3}{2} ; \frac{7}{2}] ; x \in [\frac{1}{2} ; \frac{3}{4}] ; x \in [-\frac{1}{2} ; \frac{5}{4}]$$

$$28. x \in [3,2 ; 7,8] ; x \in [-1,4 ; 2,6] ; x \in [-4,6 ; 2,1]$$

## Séance 5, 13 Décembre 1994 : classe entière

a) Correction des exercices. 27 et 28 : détermination du centre et du rayon dans le cas de fractions ou d'écritures à virgule.

b) cours :

- inscription dans le cahier du cas général pour la résolution de $\vert x-a\vert \le r$ avec $r \ge 0$

- définition de $\vert x\vert$ et propriétés

- résolution de $\vert x\vert = r$ après 2 exemples.