# Sur les tableaux de corrélation dont les marges sont données. Cas de l'espace à trois dimensions

R. Féron

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R. Féron. Sur les tableaux de corrélation dont les marges sont données. Cas de l'espace à trois dimensions. Annales de l'ISUP, 1956, V (1), pp.3-12. hal-04095296

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# SUR LES TABLEAUX DE CORRÉLATION DONT LES MARGES SONT DONNÉES

## CAS DE L'ESPACE A TROIS DIMENSIONS⁽¹⁾

par

R. FÉRON

Considérons l'ensemble E des fonctions de répartition à n dimensions $F(x)$ et convenons d'écrire :

$$F(x) < G(x) \qquad (\text{relation } \emptyset) \qquad (1)$$

si pour tout vecteur $\vec{x} \in \mathbb{R}^n$

$$F(\vec{x}) \leq G(\vec{x}) \qquad (2)$$

Il est connu que la relation (1) est une relation d'ordre partiel car elle est :

**Réflexive** : on a pour tout $\vec{x}$ $F(\vec{x}) \leq F(\vec{x})$

**Antisymétrique** : Si on a pour tout $\vec{x}$ :

$$F(\vec{x}) \leq G(\vec{x}) \quad \text{et} \quad F(\vec{x}) > G(\vec{x})$$

alors : $F(\vec{x}) \equiv G(\vec{x})$

**Transitive** : Si on a pour tout $\vec{x}$ :

$$F(\vec{x}) \leq G(\vec{x}) \quad \text{et} \quad G(\vec{x}) < (H(\vec{x}) \quad \text{alors} \quad F(\vec{x}) \leq H(\vec{x}))$$

Ceci posé Birkhov a montré que :

### Théorème de Birkhov

Si $x$ est à une seule dimension, alors l'ensemble E des fonctions de répartition constitue un treillis :

En effet, quels que soient $F(x)$ et $G(x)$ ces éléments ont une borne supérieure qui n'est autre que

$$\text{Max} \{ F(x) , G(x) \} = F^{(1)}(x)$$

<footnote>(1) Nous tenons ici à exprimer notre reconnaissance à M. J. Bass qui nous a donné l'idée d'étudier le cas tridimensionnel.</footnote>
et une borne inférieure qui n'est autre que :

$$ \text{Min} \{ F(x) , G(x) \} = F^{(2)} (x) $$

F⁽¹⁾ est bien une fonction de répartition car :

$$ F^{(1)}(-\infty) = 0 $$

$$ F^{(1)}(+\infty) = 1 $$

$$ F^{(1)}(x + \Delta x) = \text{Max} \left[ F(x + \Delta x), G(x + \Delta x) \right] \ge \text{Max} \left[ F(x), G(x) \right] = F^{(1)}(x) $$

Par contre dans le cas où $x$ est à 2 dimensions où plus l'ensemble $E$ n'est plus un treillis ni même un demi treillis, car :

1°) Il existe des fonctions de répartition égales à :

$$ \text{Max} \{ F(x,y) , G(x,y) \} \text{ en } x_0, y_0 $$

et supérieures (ou égales) à cette quantité en tout autre point, par exemple :

$$ F^{(2)}(x,y) = \begin{cases} 1 & \text{pour } x > x_0 \text{ et } y > y_0 \\ 0 & \text{pour } x \le x_0 \text{ et } y \le y_0 \end{cases} $$

$$ \text{Max} \{ F(x_0, y_0), G(x_0, y_0) \} \text{ pour } \begin{cases} x_0 > x > x_1 & \text{et } y > y_1 \\ \text{ou } x > x_1 & \text{et } y_0 > y > y_1 \end{cases} $$
 où $x, y_1$ est un nombre tel que l'on ait simultanément :

$$ F(x_1, \infty), G(x_1, \infty), F(\infty, y_1), G(\infty, y_1) $$

$$ \text{inférieurs à } \text{Max} \left[ F(x_0, y_0), G(x_0, y_0) \right] $$

$$ \text{Min} \left\{ \begin{array}{l} \text{Max} \left[ F(x, \infty), G(x, \infty) \right], \text{Max} \left[ (F(\infty, y), G(\infty, y)) \right] \\ \text{pour} \\ x < x_1 \quad \text{ou} \quad y < y_1 \end{array} \right\} $$

Donc s'il existe une borne supérieure, ce sera nécessairement la fonction :

$$ H(x,y) = \text{Max} \{ F(x,y) , G(x,y) \} $$

2°) Montrons que $H$ n'est pas nécessairement une fonction de répartition. En effet pour qu'il en soit ainsi, il faudrait que pour tout couple $F$ et $G$, la quantité

$$ = H(x+\Delta x, y+\Delta y) - H(x+\Delta x, y) - H(x, y+\Delta y) + H(x, y) $$

soit nécessairement positive ou nulle.

Or, si :

$$ F(x+\Delta x, y+\Delta y) = F(x+\Delta x, y) > G(x+\Delta x, y+\Delta y) $$

bien que :

$$ G(x, y+\Delta y) > F(x, y+\Delta y) \quad \text{et} \quad G(x, y+\Delta y) > G(x, y) $$

alors on a

$$ J^{(2)} = -G(x, y+\Delta y) + \text{Max} \left[ F(x, y), G(x, y) \right] \ge 0 \quad (3) $$

Donc $H$ n'est pas une fonction de répartition et par conséquent, il n'existe pas de borne supérieure. Deux éléments quelconques n'ayant pas
nécessairement de borne supérieure, l'ensemble E n'est pas un treillis.
On démontrerait de même que 2 éléments quelconques de E n'ont pas
nécessairement de borne inférieure et par conséquent que E n'est pas
nécessairement un demi-treillis.

Or, le théorème de Birkhov nous est apparu comme lié au théorème
suivant dû à Fréchet (¹).

**Théorème de Fréchet.** - L'ensemble E (ordonné par $\emptyset$) des fonctions de répartition $F(x,y)$ de $R_2$ ayant des marges données : $A(x) = F(x,\infty)$, $B(y) = F(\infty,y)$, a un élément maximum $F^{(1)}(x,y)$ et un élément minimum $F^{(2)}(x,y)$.

Or, nous venons de montrer que si $F(x,y) \in E$ l'ensemble E ordonné
$\emptyset$ n'est pas un treillis. Il y a donc lieu de penser que le théorème de Fré-
chet ne se généralise pas aux espaces Euclidiens à plus de deux dimensions.

Examinons donc ce qui se passe dans l'espace à 3 dimensions. Ici 2
cas sont à considérer :

TABLEAUX DE CORRÉLATION OU LES MARGES ($F(x, \infty, \infty)$, $F(\infty, y, \infty)$, $F(\infty, \infty, z)$) SONT DONNEES

a) <u>méthode brutale</u>

Considérons maintenant l'ensemble E'³ des fonctions de répartition F(x,y,z) ayant des marges données A(x) = F(x,∞,∞), B(y) = F(∞,y,∞), C(z) = F(∞,∞,z) et supposons E'³ ordonné.

<u>Montrons que cet ensemble a un élément maximum et en général pas d'élément minimum.</u>

1. IL Y A UN ÉLÉMENT MAXIMUM

On aura évidemment

$$
F(x, y, z) \leq \Phi(x, y, z)
$$

en posant :

$$
\Phi(x,y,z) = \min [A(x), B(y), C(z)]
$$

Il est clair que si nous parvenons à montrer que $\Phi$ est une fonction de répartition, ce sera un élément maximum. Or, il en est bien ainsi, en effet :

$$
1^{\circ)} \qquad \Phi(-\infty, y, z) \le A(-\infty)
$$

donc :

$$
0 \le \Phi(-\infty, y, z) \le 0 \quad \text{et} \quad \Phi(-\infty, y, z) = 0
$$

<footnote>(1) Fréchet. Sur les tableaux de corrélation dont les marges sont données. Ann.
Univ. Lyon, 9, 1951, p. 53-77.</footnote>
Il en est de même de

$$2^{\circ}) \quad \Phi(+\infty, +\infty, +\infty) = \text{Min} \left\{ A(+\infty), B(+\infty), C(+\infty) \right\} = 1$$

3°) Quels que soient $\Delta x, \Delta y, \Delta z$ positifs ou nuls, on a :

$$ 
\begin{align*} 
I^{(3)} &= \Phi(x+\Delta x, y+\Delta y, z+\Delta z) - \Phi(x,y+\Delta y, z+\Delta z) - \Phi(x+\Delta x, y, z+\Delta z) \\ 
&\quad - \Phi(x+\Delta x, y+\Delta y, z) + \Phi(x+\Delta x, y, z) + \Phi(x,y,\Delta y, z) + \Phi(x,y,z+\Delta z) - \Phi(x,y,z) \\ 
&= I^{(2)}(x, \Delta x, y, \Delta y, z+\Delta z) - I^{(2)}(x, \Delta x, y, \Delta y, z) 
\end{align*} 
$$

en posant

$$I^{(2)}(x, \Delta x, y, \Delta y, z) = \Phi(x+\Delta x, y+\Delta y, z) - \Phi(x+\Delta x, y, z) - \Phi(x, y+\Delta y, z) + \Phi(x, y, z)$$

De même, on a :

$$I^{(2)}(x, \Delta x, y, \Delta y, z) = I^{(1)}(x, \Delta x, y+\Delta y, z) - I^{(1)}(x, \Delta x, y, z)$$

en posant :

$$I^{(1)}(x, \Delta x, y, z) = \Phi(x+\Delta x, y, z) - \Phi(x, y, z)$$

Sans restreintre la généralité on peut supposer qu'au point x,y,z on a :

$$A(x) \le B(y) \le C(z)$$

On aura alors

$$I^{(1)}(x, \Delta x, y, z) = \text{Min} \left[ A(x+\Delta x), B(y) \right] - A(x)$$

$$I^{(2)}(x, \Delta x, y, \Delta y, z) = I^{(1)}(x, \Delta x, y+\Delta y, z) - I^{(1)}(x, \Delta x, y, z)$$

$$= \text{Min} \left[ A(x+\Delta x), B(y+\Delta y), C(z) \right] - \text{Min} \left[ A(x+\Delta x), B(y) \right] - A(x)$$

$$= \text{Min} \left[ A(x+\Delta x), B(y+\Delta y), C(z) \right] - \text{Min} \left[ A(x+\Delta x), B(y) \right]$$

$$I^{(3)} = I^{(2)}(x, \Delta x, y, \Delta y, z+\Delta z) - I^{(2)}(x, \Delta x, y, \Delta y, z)$$

$$= \text{Min} \left[ A(x+\Delta x), B(y+\Delta y), C(z+\Delta z) \right] - \text{Min} \left[ A(x+\Delta x), B(y+\Delta y), C(z) \right] \ge 0 \quad (4)$$

quantité évidemment positive ou nulle. Donc $\Phi(x,y,z)$ est bien une fonction de répartition et est par conséquent un élément maximum.

## 2. IL N'Y A PAS EN GÉNÉRAL D'ÉLÉMENT MINIMUM

En effet, on a :

$$1 - F(x, y, z) \le \text{Min} \left[ (1 - A(x)) + (1 - B(y)) + (1 - C(z)) \right] \quad (5)$$

et on peut avoir l'égalité pour $F(x,y,z)$ convenablement choisi pour un $x_0, y_0, z_0$ donné mais à part cela arbitraire. (On voit en effet que l'égalité
aura lieu si on a simultanément $Pr(X>x_0, Y>y_0) = 0$, $Pr(Y>y_0, Z>z_0) = 0$, $Pr(Z<z_0, X>x_0) = 0$

Or, de (5), on tire :

$$F(x,y,z) \ge \max [A(x) + B(y) + C(z) - 2, 0] \quad (6)$$

cette borne inférieure pouvant effectivement être atteinte pour certains éléments $F(x,y,z)$. Donc s'il existe un élément minimum ce ne pourra être que :

$$\psi(x,y,z) + \max \{A(x) + B(y) + C(z) - 2, 0\} \quad (7)$$

Nous allons montrer que $\psi(x,y,z)$ n'est pas nécessairement une fonction de répartition parce que la qualité $I^{(3)}$ relative à $\psi$ n'est pas nécessairement positive.

En effet, nous avons :

$$I^{(3)} = \begin{aligned} & \psi(x+\Delta x, y+\Delta y, z+\Delta z) - \psi(x+\Delta x, y+\Delta y, z) - \psi(x, y+\Delta y, z+\Delta z) \\ & - \psi(x+\Delta x, y, z+\Delta z) \\ & + \psi(x+\Delta x, y, z) + \psi(x, y+\Delta y, z) + \psi(x, y, z+\Delta z) - \psi(x, y, z) \end{aligned}$$

Supposons que $x, y, z, \Delta x, \Delta y, \Delta z$ aient été choisis tels que :

$$\psi(x+\Delta x, y, z) = \psi(x, y+\Delta y, z) = \psi(x, y, z+\Delta z) = 0 \quad (8)$$

alors que :

$$\psi(x+\Delta x, y+\Delta y, z) > 0 \quad \psi(x, y+\Delta y, z+\Delta z) > 0 \quad \psi(x+\Delta x, y, z+\Delta z) > 0$$

on aura alors :

$$\begin{aligned} I^{(3)} &= A(x+\Delta x)+B(y+\Delta y)+C(z+\Delta z)-2 - \{A(x+\Delta x)+B(y+\Delta y)+C(z)-2+A(x+\Delta x) \\ & \quad + B(y)+C(z+\Delta z)-2+A(x)+B(y+\Delta y)+C(z+\Delta z)-2\} \\ &= -[A(x+\Delta x)+B(y+\Delta y)+C(z)-2]-[A(x)+B(y)+C(z+\Delta z)-2] \end{aligned} \quad (9)$$

La première parenthèse est positive d'après les hypothèses faites. Si donc on a choisi $\Delta z$ de manière que la seconde soit nulle, ce qui est compatible avec (8) et toujours possible dans le cas continu, alors $I^{(3)}$ est nécessaire, ce qui montre que $\psi$ n'est pas une fonction de répartition en général.

Autre méthode : valable seulement dans le cas continu

Sur $F(x,y,z)$ faisons le changement de variables $\xi = A(x)$, $\eta = B(y)$, $\zeta = C(z)$. Il est connu que dans ces conditions la fonction de répartition $F(x,y,z)$ se transforme en une fonction de répartition $G(\xi, \eta, \zeta)$ telle que $G(\xi, \infty, \infty) = \xi$ pour $0 \le \xi \le 1$, $G(\infty, \eta, \infty) = \eta$ ($0 \le \eta \le 1$), $G(\infty, \infty, \xi) = \xi$ ($0 \le \xi \le 1$). Etendant légèrement une dénomination de Georges Darmois, on peut appeler $G(\xi, \eta, \zeta)$ la carte de $F(x,y,z)$ sur le cube unité.
De plus, on voit immédiatement que la transformation considérée conserve l'ordre $\emptyset$ défini par (2). Autrement dit, étant données 2 fonctions de répartition $F^{(1)}(x,y,z)$ et $F^{(2)}(x,y,z)$ ayant des marges données $A(x)$, $B(y)$, $C(z)$, la relation $F^{(1)}(x,y,z) \le F^{(2)}(x,y,z)$ pour tout point $x,y,z$ entraîne la relation similaire sur les transformées $G^{(1)}(\xi, \eta, \zeta)$ et $G^{(2)}(\xi, \eta, \zeta)$ de $F^{(1)}$ et $F^{(2)}$, soit $G^{(1)}(\xi, \eta, \zeta) \le G^{(2)}(\xi, \eta, \zeta)$ pour tout point $\xi, \eta, \zeta$. La réciproque est d'ailleurs exacte. On a donc en définitive :

$$F^{(1)}(x,y,z) < F^{(2)}(x,y,z) \Leftrightarrow G^{(1)}(\xi, \eta, \zeta) < G^{(2)}(\xi, \eta, \zeta) \quad (10)$$

La recherche des éléments maximaux et minimaux sur les fonctions de répartition $F(x,y,z)$ ayant des marges données est donc complètement équivalente à la recherche des mêmes éléments maximaux et minimaux lorsque les variables marginales sont réparties uniformément sur les segments 0, 1 des divers axes. Donc, si nous arrivons à montrer que les fonctions $G$ admettent un élément maximum et plusieurs éléments minimaux, il en sera nécessairement de même des fonctions $F(x,y,z)$ ayant des marges données.

## 1°- LES $G(\xi, \eta, \zeta)$ ONT UN ÉLÉMENT MAXIMUM

En effet, on a évidemment : $G(\xi, \eta, \zeta) \le Min[\xi, \eta, \zeta]$ et $H(\xi, \eta, \zeta) = Min[\xi, \eta, \zeta]$ est bien une fonction de répartition car :

$$1) H(-\infty, \eta, \zeta) = H(\xi, -\infty, \zeta) = H(-\infty; \eta, \zeta) = 0$$

$$2) H(+\infty, +\infty, +\infty) = 1$$

$$3) \begin{aligned} I^{(3)} &= H(\xi + \Delta\xi, \eta + \Delta\eta, \zeta + \Delta\zeta) - H(\xi + \Delta\xi, \eta + \Delta\eta, \zeta) \\ &\quad - H(\xi, \eta + \Delta\eta, \zeta + \Delta\zeta) + H(\xi + \Delta\xi, \eta, \zeta) + H(\xi, \eta + \Delta\eta, \zeta) \\ &\quad + H(\xi, \eta, \zeta + \Delta\zeta) - H(\xi, \eta, \zeta) \end{aligned}$$

est facile à évaluer si nous supposons par exemple $\xi < \eta < \zeta$. On peut alors répéter mot pour mot la démonstration de la page 4 avec les nouvelles notations (c'est-à-dire en remplaçant $A(x)$ par $\xi$, $B(y)$ par $\eta$, $C(z)$ par $\zeta$ et on a $I^{(3)} \ge 0$.

## Support de l'élément maximum

Il est intéressant de caractériser cette distribution au moyen de la densité généralisée $\frac{\partial^3 H}{\partial x \partial y \partial z}$ qui se définit exactement comme pour 2 dimensions (¹)

On a :

$$< \frac{\partial^3 H}{\partial x \partial y \partial z}, \varphi > = - \langle H, \frac{\partial^3 \varphi}{\partial x \partial y \partial z} \rangle = \iiint \varphi \, dH(x,y,z) \quad (11)$$

<footnote>(¹) Voir Féron. Sur les distributions de probabilité de Laurent Schwartz et certai- nes de leurs applications au calcul des probabilités.</footnote>
Montrons que :

Théorème = Le support de $\frac{\partial^3 H}{\partial x \partial y \partial z}$ est la droite AG.

Nous donnerons 3 démonstrations différentes de ce théorème.

## 1/ Démonstration géométrique

Il suffit, somme toute de montrer que sur tout parallélépipède ne ren-
contrant pas AG, $I^{(3)} = \iiint \int H(x,y,z) = 0$. Donc en définitive que le $I^{(3)}$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

relatif à H est nul sur tout tel paral-
lélépipède a b c d e f g h qui ne coupe
pas AG. Ceci peut se traduire en disant
qu'au moins une des projections du
parallélépipède sur les plans $\xi A \eta$,
$\xi A \zeta$, $\eta A \zeta$ ne rencontre pas la pre-
mière bissectrice correspondante.
Supposons par exemple que a b e f se
projette en a'b'e'f' et que a'b'e'f' ne
rencontre pas AF. Alors si a"b"e"f"
sont les projections des mêmes points
sur le plan CDH, il est clair que
l'intégrale I étendue à a b c d e f g h
est inférieure à la même intégrale
étendue à a' b' e'f' a"b" e"f". On est
donc ramené à un problème à deux

dimensions dans le plan des $\xi, \eta$. La fonction de répartition étant $\text{Min}(\xi, \eta) = H^{(1)}(\xi, \eta)$ quelle est la probabilité pour que le point M se trouve dans le rectangle $a'b'e'f'$. Cette probabilité étant nulle, comme nous l'avons montré dans l'article cité précédemment, il en résulte que $I^{(3)} = 0$, donc que AG est le support de $\frac{\partial^3 H}{\partial x \partial y \partial z}$

## 2/ Démonstration algébrique

Il suffit somme toute de traduire en langage algébrique la démonstra-
tion précédente. Considérons le parallélépipède a b c d e f g h comme
défini par les 2 points $a(\xi, \eta, \zeta)$ et $g(\xi+\Delta\xi, \eta+\Delta\eta, \zeta+\Delta\zeta)$. Le fait que
a b c d e f g h ne coupe pas AG se traduit par le fait qu'on ne peut trouver
$\lambda$ tel que $0 < \lambda < 1$ et que $\xi + \lambda \Delta \xi = \eta + \lambda \Delta \eta = \zeta + \lambda \Delta \zeta$. Supposons par
exemple que c'est la première de ces inégalités $\xi + \lambda \Delta \xi = \eta + \lambda \Delta \eta$ qui ne
peut être vérifiée, $\frac{\partial^3 H}{\partial x \partial y \partial z}$ étant positive, on aura :

$$0 \le I^{(3)} \le \int_{\xi}^{\xi+\Delta\xi} \int_{\eta}^{\eta+\Delta\eta} \int_{0}^{\lambda} dH(x,y,z) = I^{(3)}$$

Or :

$$I^{(3)} = \text{Min}(\xi+\Delta\xi, \eta+\Delta\eta, 1) - \text{Min}(\xi, \eta+\Delta\eta, 1) - \text{Min}(\xi+\Delta\xi, \eta, 1) + \text{Min}(\xi, \eta, 1)$$
$$
\begin{align*}
& - \left\{ \text{Min} \left( \xi + \Delta\xi, \eta + \Delta\eta, 0 \right) - \text{Min} \left( \xi, \eta + \Delta\eta, 0 \right) - \text{Min} \left( \xi + \Delta\xi, \eta, 0 \right) + \text{Min} \left( \xi, \eta, 0 \right) \right\} \\
&= \text{Min} \left( \xi + \Delta\xi, \eta + \Delta\eta \right) - \text{Min} \left( \xi, \eta + \Delta\eta \right) - \text{Min} \left( \xi + \Delta\xi, \eta \right) + \text{Min} \left( \xi, \eta \right) \\
&= 0
\end{align*}
$$

### 3/ Autre démonstration

On a :

$$ < \frac{\partial^3 G(x,y,z)}{\partial x \partial y \partial z}, 1_{0,1}^{(z)} > = \frac{\partial G(x,y,\infty)}{\partial x \partial y} \quad (12) $$

en appelant $1_{0,1}^{(z)}$ la fonction $\varphi(z)$ égale à 1 sur l'intervalle $0 < z < 1$ et $0 < y < 1$ (fonction caractéristique de l'intervalle $0 < z < 1$).

Π en résulte que le support $\frac{\partial^3 G(x,y,z)}{\partial x \partial y \partial z}$ devra nécessairement être contenu dans le produit de l'ensemble support de $\frac{\partial^2 G(x,y,\infty)}{\partial x \partial y}$ et de l'intervalle $0,1$ porté par Oz. Dans le cas particulier de $H(x,y,z)$, le support de

$\frac{\partial^2 H(x,y,\infty)}{\partial x \partial y}$ est le segment de droite DG et l'ensemble produit de ce support par le segment DA est le rectangle A F G D. On démontrerait de même que le support de $\frac{\partial^3 H}{\partial x \partial y \partial z}$ doit être contenu dans le rectangle ACGE et dans le rectangle A B G H. Ce support devra donc être tout entier contenu sur le segment de droite AG. Pour montrer que ce support est le segment AG lui-même, il suffit d'appliquer l'opérateur $\frac{\partial^3 H}{\partial x \partial y \partial z}$ à une fonction $\varphi(x,y,z)$ égale à 1 si $0 < \xi < x < \xi + \Delta\xi < 1$ à 0 ailleurs et de montrer que $\frac{\partial^3 H}{\partial x \partial y \partial z}$, $\varphi >$ est différent de zéro et ceci quels que soient $\xi$ et $\Delta\xi$. En effet, pour une telle fonction $\varphi$, on a toujours quel que soit G, telle que $G(\xi, \infty, \infty) = \xi$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

$$ < \frac{\partial^3 G}{\partial x \partial y \partial z}, \varphi > = \int_{\xi}^{\xi+\Delta\xi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} dG = \Delta\xi \quad (13) $$

### 2°/ IL N'Y A PAS D'ÉLÉMENT MINIMUM

#### 1ère démonstration

En effet, supposons qu'il existe un élément minimum $K(\xi, \eta, \zeta) \in E'_3$, c'est-à-dire un élément tel que $K(\xi, \eta, \zeta) \le G(\xi, \eta, \zeta)$ pour tout $G \in E'_3$ et quels que soient $\xi, \eta, \zeta$; en particulier, on devra avoir :

$$ K(\xi, \eta, \infty) \le G(\xi, \eta, \infty) $$
pour tout $G \in E'_3$ et quels que soient $\xi$ et $\eta$. C'est dire que dans l'espace $2$ dimensions $K(\xi, \eta, \infty)$ devra être l'élément minimum des fonctions de répartition $\varphi(\xi, \eta)$ telles que $\varphi(\xi, \infty) = \xi$ ($\varphi(\infty, \eta) = \eta$). Cet élément est bien connu. On a $K(\xi, \eta, \infty) = \text{Max}(0, \xi+\eta-1)$ et nous avons montré dans l'article cité que le support de la distribution $\frac{\partial^2 K(\xi, \eta, \infty)}{\partial \xi \partial \eta}$ est le segment de droite

$HC$. Et comme précédemment on voit d'après (12) que le support de $K$ devrait être contenu dans le plan HCEB.

En raisonnant de même sur $K(\infty, \eta, \xi)$ et $K(\xi, \infty, \xi)$ on verrait que le support doit être tout entier contenu dans les rectangles $DEFC$ et $DBFH$. Il en résulte que le support de $K$ devrait nécessairement se trouver à l'intersection de ces 3 plans, c'est-à-dire se réduire au seul point O centre du cube. Mais d'après (13) le support de tout G doit nécessairement couper le plan $\xi = \xi_0$ pour tout $\xi_0$ ($0 < \xi_0 < 1$). On aboutit donc à une impossibilité. Ce qui prouve que notre hypothèse initiale est fausse. Autrement dit, il n'existe pas d'élément minimum.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

## Autre démonstration

Pour montrer qu'il n'existe pas d'élément minimum, il suffit de montrer qu'il existe au moins 2 éléments minimaux distincts. Or, il est clair que si nous avons pour un certain $K^{(1)}(\xi, \eta, \xi)$, $K^{(1)}(\xi, \eta, \infty) = \text{Max}(0, \xi+\eta-1)$, on devra avoir la même relation pour tout $\varphi(\xi, \eta, \xi) < K^{(1)}(\xi, \eta, \xi)$. Il en résulte que le support de tout élément inférieur à $K^{(1)}$ doit être contenu dans le plan C H E B. Si nous imposons de plus à $K^{(1)}(\infty, \eta, \xi)$ d'être minimum, c'est-à-dire que $K^{(1)}(\infty, \eta, \xi) = \text{Max}(0, \eta+\xi-1)$, alors le support de tout élément $\varphi$ inférieur à $K^{(1)}$ devra être tout entier contenu sur l'intersection des plans DECF et CHEB, c'est-à-dire sur la droite EC. Mais en vertu de 13, il n'y a qu'une seule distribution $K^{(1)}$ ayant pour support la droite EC. C'est la distribution telle que $P(S) = \frac{\text{longueur de la portion de EC CS}}{\text{longueur du segment EC}}$ donc il n'existe pas de fonction de répartition $\varphi$ inférieure à $K^{(1)}$ et par conséquent $K^{(1)}$ est bien une fonction de répartition minimale. On démontrerait de même que les fonctions de répartition $K^{(2)}$ et $K^{(3)}$ ayant pour support les droites DF et HB sont aussi minimales. Il en résulte directement qu'il n'existe pas d'élément minimum.

**Remarque :** Comme dans le cas bidimensionnel, toute fonction de répartition $\varphi(\xi, \eta, \xi)$ qui vérifie en tous points les inégalités :

$$ \text{Max} [0, \xi+\eta+\xi-2] \le \varphi(\xi, \eta, \xi) \le \text{Min} (\xi, \eta, \xi) $$

a les marges voulues. La seule différence avec le cas bidimensionnel est que dans l'espace à 4 dimensions la surface séparatrice inférieure n'est plus une fonction de répartition.

## II. CAS OU ON CONNAIT $F(x,y,\infty)$ et $F(\infty,\infty,z)$

Pour montrer qu'il n'y a en général ni élément minimum ni élément maximum, il nous suffira de donner deux contre-exemples sur le cube.
a) **Il n'y a pas d'élément minimum en général**

En effet, si nous prenons pour $F(x,y,\infty)$ la fonction

$$G(\xi, \eta) = \text{Max} (0, \xi + \eta - 1) \text{ et } F(\infty, \infty, \xi) = \xi \quad \text{pour } 0 \le \xi \le 1$$

alors il existe 2 fonctions de répartition minimales dont les supports sont $HB$ et $EC$.

b) **Il n'y a pas d'élément maximum en général**

En effet, avec l'exemple précédent, les 2 fonctions de répartition considérées sont aussi maximales.