# Cours de mécanique des fluides, hydrodynamique et magnétohydrodynamique (MHD) niveau L3 avec quelques applications astronomiques

Jean-Marie Malherbe

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Jean-Marie Malherbe. Cours de mécanique des fluides, hydrodynamique et magnétohydrodynamique (MHD) niveau L3 avec quelques applications astronomiques. Licence. En Distanciel, France. 2025, pp.110. hal-04938391

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# Cours de mécanique des fluides, hydrodynamique et magnéto-hydrodynamique (MHD) niveau L3 avec quelques applications astronomiques

Jean-Marie Malherbe, astronome émérite
Observatoire de Paris – PSL, 10 Février 2025

## RESUME

Ce cours de mécanique des fluides, hydrodynamique (ou dynamique des gaz) et magnéto-hydrodynamique ou MHD (impliquant la présence de champs magnétiques, couplant ainsi les équations de l'électromagnétisme et de l'hydrodynamique) a servi de base au MOOC du même nom créé en 2017 pour la plateforme FUN MOOC (mais en version plus condensée). C'est un ensemble de notions essentielles dont le niveau de lecture est L3, qui s'appuie sur des exemples tirés surtout de la physique du Soleil. Une série d'exercices corrigés accompagne le cours en fin de document.

## SOMMAIRE

Ce cours traite des mouvements fluides (liquide, gaz) et est basée sur la description du milieu comme constitué d'un fluide de vitesse macroscopique v et de masse volumique ρ, sous l'action de forces comme les forces de pression, de viscosité, de pesanteur ou encore de Laplace (s'il y a des courants électriques). En présence de champ magnétique, l'hydrodynamique devient la MHD. Dans ce cours, les **vecteurs** sont écrits en **caractères gras**.

<table><thead><tr><th></th><th>PAGE</th></tr></thead><tbody><tr><td><strong>I - Eléments d'analyse vectorielle</strong></td><td><strong>2</strong></td></tr><tr><td>1 - Rappels sur les vecteurs</td><td>3</td></tr><tr><td>2 - Dérivées partielles, différentielle d'une fonction</td><td>3</td></tr><tr><td>3 - les opérateurs</td><td>3</td></tr><tr><td>4 - systèmes de coordonnées</td><td>4</td></tr><tr><td>5 - circulation et flux d'un champ vectoriel</td><td>5</td></tr><tr><td>6 - Théorème de Stokes</td><td>6</td></tr><tr><td>7 - Théorème d'Ostrogradski</td><td>7</td></tr><tr><td>8 - Lignes de champ</td><td>7</td></tr><tr><td>9 - Lignes ou surfaces équipotentielles</td><td>7</td></tr><tr><td><strong>II - Les équations de base de l'hydrodynamique</strong></td><td><strong>8</strong></td></tr><tr><td>1 - Remarques générales sur les équations de conservation</td><td>8</td></tr><tr><td>2 - Equation de conservation de la masse (équation de continuité)</td><td>8</td></tr><tr><td>3 - cinématique des fluides</td><td>9</td></tr><tr><td><strong>III - Ecolements 2D irrotationnels incompressibles dans un plan xOy</strong></td><td><strong>11</strong></td></tr><tr><td>1 - Puits ou source</td><td>12</td></tr><tr><td>2 - Tourbillon</td><td>12</td></tr><tr><td>3 - Doublet puits/source et doublet tourbillons</td><td>13</td></tr><tr><td>4 - Ecolement autour d'un coin</td><td>14</td></tr><tr><td>5 - Circulation du champ des vitesses autour d'un pôle</td><td>15</td></tr><tr><td>6 - Tourbillons multiples dans un champ de vitesse uniforme</td><td>16</td></tr><tr><td>7 - Ecolement autour d'un obstacle cylindrique sans portance</td><td>17</td></tr><tr><td>8 - Ecolement autour d'un obstacle cylindrique avec portance</td><td>19</td></tr><tr><td>9 - Ecolement autour d'une aile ; transformation de Joukowski</td><td>22</td></tr><tr><td>10 - Force de portance et exemple numérique</td><td>25</td></tr><tr><td><strong>IV - Ecolements 2D irrotationnels incompressibles à symétrie cylindrique</strong></td><td><strong>26</strong></td></tr><tr><td><strong>V - Equation d'Euler du mouvement fluide</strong></td><td><strong>28</strong></td></tr></tbody></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>1 - Quelques écoulements de Navier Stokes stationnaires</td>
      <td>29</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2 - Résolution de l'équation de diffusion dépendante du temps dans un cas simple</td>
      <td>31</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3 - Les échelles de temps caractéristiques : temps dynamique et temps diffusif</td>
      <td>32</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4 - Force d'inertie centrifuge d'entraînement et aplatissement des corps en rotation</td>
      <td>34</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5 - Force d'inertie centrifuge et télescope à miroir liquide</td>
      <td>35</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6 - Marées</td>
      <td>36</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>VI - Mouvement d'un fluide incompressible en régime stationnaire</b></td>
      <td><b>37</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1 - Exemple d'application n°1 : la loi de Torricelli (fluide incompressible)</td>
      <td>39</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2 - Exemple d'application n°2 : siphon ou vidange d'un tube compressible de section constante</td>
      <td>39</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3 - Exemple d'application n°3 : pression d'arrêt sur un obstacle</td>
      <td>40</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4 - Exemple d'application n°4 : effet Venturi (col, obstacle)</td>
      <td>40</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5 - Exemple d'application n°5 : Tourbillon de Rankine incompressible à vitesse angulaire ω constante de rayon R (vortex, tornade, cyclone...)</td>
      <td>40</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6 - Exemple d'application n°6 : hélice propulsive (navire, avion...)</td>
      <td>42</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>VII - Dynamique du gaz parfait ; l'équation d'état</b></td>
      <td><b>43</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1 - Milieu isentropique (adiabatique réversible)</td>
      <td>44</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2 - Variations compressibles autour de la loi de Bernoulli</td>
      <td>44</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>VIII - La loi de conservation de l'énergie</b></td>
      <td><b>45</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1 - Equation de conservation de l'énergie en présence de pesanteur</td>
      <td>47</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2 - Formulation de l'énergie interne U et de l'enthalpie H du gaz parfait par unité de volume</td>
      <td>48</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3 - Equation de conservation de l'énergie en présence de champ magnétique</td>
      <td>48</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>IX - Ecoulement en régime stationnaire dans un tube de courant</b></td>
      <td><b>49</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1 - Mouvement longitudinal le long du tube de courant</td>
      <td>49</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2 - Force de Laplace ; mouvement longitudinal et équilibre transversal</td>
      <td>50</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>X - Equation de diffusion et d'advection du champ magnétique</b></td>
      <td><b>52</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1 - Echelles de temps caractéristiques dans le cas du soleil</td>
      <td>53</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2 - Diffusion dans quelques cas simples</td>
      <td>54</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3 - Reconnexion magnétique</td>
      <td>56</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>XI - Ondes acoustiques, ondes magnétiques, ondes MHD et ondes de gravité</b></td>
      <td><b>57</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1 - Ondes de pression longitudinales (force de rappel : pression gazeuse)</td>
      <td>57</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2 - Ondes magnétiques d'Alfven transversales (force de rappel : magnétique, de Laplace)</td>
      <td>59</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3 - Ondes MHD ou magnéto acoustiques</td>
      <td>60</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4 - Application des ondes : chauffage de l'atmosphère solaire</td>
      <td>62</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5 - Ondes de gravité dans un fluide compressible stratifié en altitude</td>
      <td>62</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6 - Ondes de gravité dans un fluide incompressible : la houle</td>
      <td>64</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7 - Propagation d'une intumescence (ou onde de discontinuité)</td>
      <td>66</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8 - Ondes élastiques longitudinales dans les liquides et les solides</td>
      <td>69</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>XII - Chocs hydrodynamiques (relations Rankine Hugoniot) et chocs MHD droits</b></td>
      <td><b>70</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1 - choc hydrodynamique</td>
      <td>70</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2 - chocs MHD perpendiculaires ou droits</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>XII - Exemple d'écoulement transsonique : le vent solaire (solution de Parker)</b></td>
      <td><b>74</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>XIV - Exemple d'écoulement transsonique : la tuyère convergente divergente</b></td>
      <td><b>77</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>XV - QUELQUES EXERCICES CORRIGES</b></td>
      <td><b>81</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1 - Analyse vectorielle, divergence, rotationnel</td>
      <td>81</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>2 - Mesure expérimentale des vitesses, effet Doppler</td>
      <td>85</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3 - Cinématique des fluides</td>
      <td>87</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4 - Hydrostatique</td>
      <td>90</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5 - Dynamique des fluides, loi de Bernoulli</td>
      <td>93</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6 - Mesure expérimentale des champs magnétiques</td>
      <td>99</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7 - Advection/diffusion du champ magnétique</td>
      <td>100</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8 - Ondes</td>
      <td>102</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9 - chocs hydrodynamiques</td>
      <td>109</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
# I - Eléments d'analyse vectorielle

Ci dessous, f(x,y,z) désigne un champ scalaire; c'est une fonction des variables (x, y, z) de l'espace.
**A** (Aₓ, Aᵧ, A_z), **B** (Bₓ, Bᵧ, B_z) et **C** (Cₓ, Cᵧ, C_z) désignent des champs vectoriels, chaque composante est un champ scalaire dépendant des variables spatiales (x, y, z). Le temps t peut y figurer. Les **vecteurs** de ce cours sont écrits en caractères **gras**.

## 1 - Rappels sur les vecteurs

- le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre positif ou négatif, c'est une projection

$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z = \|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\| \cos (\mathbf{A}, \mathbf{B}) $$

Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul.

$$ \|\mathbf{A}\|^2 = \mathbf{A}^2 = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} = A_x^2 + A_y^2 + A_z^2 \text{ carré de la norme du vecteur } \mathbf{A} $$

- le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur, sa norme est une surface

$$ \mathbf{A} \wedge \mathbf{B} = (A_y B_z - A_z B_y, A_z B_x - A_x B_z, A_x B_y - A_y B_x) $$

A ∧ B est un vecteur *orthogonal* à la fois à A et à B

$$ \|\mathbf{A} \wedge \mathbf{B}\| = \|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\| |\sin (\mathbf{A}, \mathbf{B})| $$

Le produit vectoriel de deux vecteurs colinéraires est nul.

$$ \|\mathbf{A} \wedge \mathbf{B}\| \text{ représente l'aire du parallélogramme généré par les deux vecteurs } \mathbf{A}, \mathbf{B} $$

Règle des doigts de la main droite : **A** = pouce ; **B** = index ; **A** ∧ **B** = majeur

- le produit mixte de trois vecteurs est un nombre, sa valeur absolue est un volume

$$ \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \wedge \mathbf{C}) = \mathbf{C} \cdot (\mathbf{A} \wedge \mathbf{B}) = \mathbf{B} \cdot (\mathbf{C} \wedge \mathbf{A}) \text{ est invariant par permutation circulaire} $$

|A.(B ∧ C)| représente le *volume* du prisme droit généré par les trois vecteurs **A**, **B**, **C**

- le double produit vectoriel de trois vecteurs est un vecteur :

$$ \mathbf{A} \wedge (\mathbf{B} \wedge \mathbf{C}) = (\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) \mathbf{B} - (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \mathbf{C} $$

Il n'a pas de composante sur **A** puisqu'il lui est orthogonal (produit vectoriel avec **A**)

## 2- Dérivées partielles, différentielle d'une fonction

Soit f(x,y,z) une fonction des variables spatiales x, y, z

$\partial f / \partial x$ est la dérivée de la fonction par rapport à x en considérant y et z comme des constantes

$\partial f / \partial y$ est la dérivée de la fonction par rapport à y en considérant x et z comme des constantes

$\partial f / \partial z$ est la dérivée de la fonction par rapport à z en considérant x et y comme des constantes

$$ \mathrm{df} = \partial f / \partial x \, dx + \partial f / \partial y \, dy + \partial f / \partial z \, dz \text{ est la différentielle de } f(x,y,z); \text{ elle représente les variations de } f(x,y,z) \text{ lorsque } x \text{ varie de } x \text{ à } x+dx, y \text{ de } y \text{ à } y+dy \text{ et } z \text{ de } z \text{ à } z+dz $$

## 3 - les opérateurs

Ils agissent soit sur des champs scalaires, soit sur des champs vectoriels. En coordonnées cartésiennes, on définit :

$$ \text{L'opérateur } \text{« nabla »} : \nabla = (\partial/\partial x, \partial/\partial y, \partial/\partial z) $$

$$ \text{L'opérateur gradient: } \text{grad } \mathbf{f} = \nabla \mathbf{f} = (\partial f / \partial x, \partial f / \partial y, \partial f / \partial z) $$

$$ \text{Remarque: } \mathrm{df} = \text{gradf} \cdot \mathrm{dOM} \text{ avec } \mathrm{dOM} (dx, dy, dz) $$
- L'opérateur divergence: $\text{div } \mathbf{A} = \nabla \cdot \mathbf{A} = \partial A_x/\partial x + \partial A_y/\partial y + \partial A_z/\partial z$ (produit scalaire de $\nabla$ et $\mathbf{A}$)

- L'opérateur rotationnel: $\text{rot } \mathbf{A} = \nabla \wedge \mathbf{A}$ (produit vectoriel de $\nabla$ et de $\mathbf{A}$) tel que:

$$ \text{rot } \mathbf{A} = ( \partial A_z/\partial y - \partial A_y/\partial z, \\ \partial A_x/\partial z - \partial A_z/\partial x, \\ \partial A_y/\partial x - \partial A_x/\partial y ) $$

Remarques importantes sur ces opérateurs :

Le gradient s'applique à un champ scalaire et le résultat est un champ vectoriel

La divergence s'applique à un champ vectoriel et le résultat est un champ scalaire

Le rotationnel s'applique à un champ vectoriel et le résultat est un champ vectoriel

- Quelques formules d'analyse vectorielle très utiles :

$$ \text{rot}(\text{grad} f) = \nabla \wedge (\nabla f) = \mathbf{0} \qquad \text{le rotationnel d'un gradient est nul} $$

$$ \text{div}(\text{rotA}) = \nabla \cdot (\nabla \wedge A) = \mathbf{0} \qquad \text{la divergence d'un rotationnel est nulle} $$

$$ \text{div}(f \mathbf{A}) = f \text{ divA} + \text{gradf} \cdot \mathbf{A} $$

$$ \text{rot}(f \mathbf{A}) = f \text{ rotA} + \text{gradf} \wedge \mathbf{A} $$

Cas particuliers : si $\mathbf{A}$ est un vecteur fixe indépendant des coordonnées de l'espace :

$$ \text{div}(f \mathbf{A}) = \text{gradf} \cdot \mathbf{A} $$

$$ \text{rot}(f \mathbf{A}) = \text{gradf} \wedge \mathbf{A} $$

$$ \text{div}(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B}) = \mathbf{B} \text{ rotA} - \mathbf{A} \text{ rotB} $$

$$ \text{grad} (\mathbf{A}^2/2) = \mathbf{A} \wedge \text{rotA} + (\mathbf{A} \cdot \text{grad})\mathbf{A} $$

$$ \text{rot}(\text{rotA}) = \text{grad}(\text{divA}) - \Delta A $$

- Le Laplacien **scalaire** est défini par $\Delta f = \nabla^2 f = \partial^2 f/\partial x^2 + \partial^2 f/\partial y^2 + \partial^2 f/\partial z^2 = \text{div}(\text{grad } f)$

- Le Laplacien **vectoriel** est défini par $\Delta \mathbf{A} = \text{grad}(\text{divA}) - \text{rot}(\text{rotA})$

En coordonnées cartésiennes, on peut écrire $\Delta \mathbf{A} = (\Delta A_x, \Delta A_y, \Delta A_z)$ ou $\Delta$ est le Laplacien scalaire ;
ce n'est pas vrai dans les autres systèmes de coordonnées (cylindriques et sphériques).

Le Laplacien s'applique à un champ scalaire ou vectoriel et le résultat est de même nature.

## 4 - systèmes de coordonnées

- Coordonnées cylindriques M(r, θ, z), trièdre mobile ($\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_θ, \mathbf{e}_z$)

$$ \mathbf{OM} = r \mathbf{e}_r + z \mathbf{e}_z $$

$$ \text{grad } f = [ \partial f/\partial r, (1/r) \partial f/\partial \theta, \partial f/\partial z ] $$

$$ \text{divA} = (1/r) \partial(rA_r)/\partial r + (1/r) \partial A_\theta/\partial \theta + \partial A_z/\partial z $$

$$ \text{rotA} = [ (1/r) \partial A_z/\partial \theta - \partial A_\theta/\partial z, $$

$$ \partial A_r/\partial z - \partial A_z/\partial r, $$

$$ (1/r) (\partial(rA_\theta)/\partial r - \partial A_r/\partial \theta) ] $$

$$ \Delta f = (1/r) \partial(r\partial f/\partial r)/\partial r + (1/r^2) \partial^2 f/\partial \theta^2 + \partial^2 f/\partial z^2 $$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
- Coordonnées polaires M (r, θ) planes, repère mobile (e_r, e_θ)

Ce sont les coordonnées cylindriques sans la 3ème dimension z

OM = r e_r

grad f = [ ∂f/∂r, (1/r) ∂f/∂θ ]

div A = (1/r) ∂(rA_r)/∂r + (1/r) ∂A_θ/∂θ

rot A = (1/r) ( ∂(rA_θ)/∂r - ∂A_r/∂θ ) e_z

$$
\begin{array}{l}
r \ge 0 \\
0 \le \theta \le 2\pi
\end{array}
$$

$$
\Delta f = (1/r) \frac{\partial(r\partial f/\partial r)}{\partial r} + (1/r^2) \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}
$$

- Coordonnées sphériques M (r, θ, φ), trièdre mobile (e_r, e_θ, e_φ)

OM = r e_r

(e_φ ∈ plan xOy)

grad f = [ ∂f/∂r, (1/r) ∂f/∂θ, (1/rsinθ) ∂f/∂φ ]

div A = (1/r²) ∂(r²A_r)/∂r + (1/rsinθ) ∂(sinθA_θ)/∂θ + (1/rsinθ) ∂A_φ/∂φ

rot A = [ (1/rsinθ) (∂(sinθA_φ)/∂θ - ∂A_θ/∂φ),
         (1/rsinθ) ∂A_r/∂φ - (1/r) ∂(rA_φ)/∂r,
         (1/r) (∂(rA_θ)/∂r - ∂A_r/∂θ) ]

$$
\Delta f = (1/r) \frac{\partial^2(rf)}{\partial r^2} + (1/r^2 \sin\theta) \frac{\partial(\sin\theta \partial f / \partial\theta)}{\partial\theta} + (1/r^2 \sin^2\theta) \frac{\partial^2 f}{\partial\phi^2}
$$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

$$
\begin{array}{l}
r \ge 0 \\
0 \le \theta \le \pi \\
0 \le \varphi \le 2\pi
\end{array}
$$

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

5 - circulation et flux d'un champ vectoriel

- Circulation d'un champ vectoriel A sur un lacet : intégrale curviligne ∫ A . dl
où dl désigne un élément de lacet (dl est tangent au lacet en tout point). L'intégrale curviligne s'évalue entre un point de départ P et un point d'arrivée Q.

Si le lacet est fermé, alors P = Q, c'est un contour,
le signe ∫ est barré d'un rond et la circulation s'écrit:

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Un champ vectoriel A dont la circulation est nulle sur tout contour fermé est dit à **circulation conservative**. C'est toujours vrai si A est un champ défini par A = grad f ou f est une fonction "potentiel" (exemple : champ de pesanteur, champ de gravitation, champ électrostatique).

- Flux d'un champ vectoriel A sur une surface : intégrale surfacique ∮ A . dS
où dS désigne un élément de surface (le vecteur dS = n dS est normal en tout point à la surface).
Une surface qui entoure un volume est fermée : le vecteur dS est toujours orienté vers l'extérieur.
Une surface qui s'appuie sur un contour fermé est ouverte ; dS est orienté par le contour.

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Surface ouverte appuyée sur un contour</figcaption></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Surface fermée entourant un volume fini</figcaption></figure>

Une surface ouverte appuyée sur un contour orienté (exemple : un disque délimité par la
circonférence d'un cercle) s'oriente à l'aide de la règle des doigts de la main droite :

pouce en M le long du Contour C

index = MO, vise le centre O de C

majeur = **vecteur surface élémentaire** dS

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

Par exemple, le vecteur surface d'un disque de rayon R dans le plan xOy est **S** = πR² *e*_z

Le flux est un **produit scalaire**. Si **A** et dS sont orthogonaux en tout point de la surface, le flux de **A** est nul. Le flux d'un vecteur constant **A** = **A** *e*_z_ à travers le disque ci-dessus est A πR².

Si la surface est **fermée**, alors le signe ∮ est barré d'un rond et le flux au travers s'écrit :

$$
\oint \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}
$$

Un champ vectoriel **A** dont le flux est nul sur toute surface **fermée** entourant un volume quelconque fini est dit à **flux conservatif** (exemple: le champ magnétique).

Tout champ vectoriel **A** à divergence nulle (tel que div**A** = 0) est à flux conservatif (par exemple le champ magnétique). Donc un champ vectoriel constant est à flux conservatif.

6 - Théorème de Stokes

*Formule de Stokes ou du rotationnel :* $\oint \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l} = \iint \text{rot} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$

La circulation du champ vectoriel **A** sur un contour **fermé** C est égale au flux de son rotationnel à travers n'importe quelle surface S orientée s'appuyant sur ce contour fermé.

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

On choisit une orientation arbitraire du contour C fermé.

Le vecteur surface **S** est alors orienté par **C** selon la règle des doigts de la main **droite** :
pouce sur le contour dans le sens choisi, l'index vise le centre O, le majeur indique le vecteur **S**.

On peut aussi utiliser la règle du bonhomme d'Ampère : couché sur le contour C dans le sens choisi, il regarde le centre O, son bras gauche indique le vecteur **S**.

Un champ vectoriel à rotationnel **nul** est à circulation conservative. C'est le cas de tout champ vectoriel **A** dérivant d'un potentiel scalaire V, tel que $\mathbf{A} = \text{grad}V$, car $\text{rot}(\text{grad}V) = \mathbf{0}$
# 7 - Théorème d'Ostrogradski

Formule d'Ostrogradski ou « flux divergence » : $\oint \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \iiint \text{div} \mathbf{A} \, \text{d}v$
Le flux du champ vectoriel $\mathbf{A}$ à travers une surface fermée $S$ est égal à l'intégrale de sa divergence sur le volume intérieur $\nabla$ fini et délimité par cette surface.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Un champ vectoriel à divergence **nulle** est à flux conservatif. C'est le cas de tout champ vectoriel **B** dérivant d'un potentiel potentiel **A**, tel que $\mathbf{B} = \text{rot}\mathbf{A}$, car $\text{div}(\text{rot}\mathbf{A}) = 0$

*Exemple simple :*

$$ \text{prenons } \mathbf{A}(x,y,z) = x \mathbf{e}_x + y \mathbf{e}_y + z \mathbf{e}_z $$

$$ \text{Alors } \text{div } \mathbf{A} = 3 $$

$$ \text{D'après le théorème d'Ostrogradski, } \oint \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \iiint \text{div} \mathbf{A} \, \text{d}v = 3 \nabla $$

Le volume $\nabla$ intérieur à toute surface $S$ **fermée** et quelconque est tout simplement donné par :

$$ \nabla = \frac{1}{3} \iiint \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} $$

Si la surface $S$ fermée est composée de facettes planes, le calcul de cette intégrale est aisé.

# 8 - Lignes de champ

Si $\mathbf{A}$ est un champ vectoriel, l'équation des lignes de champ est donnée par $\mathbf{A} = k \text{ dOM}$ (k réel),
**dOM** étant un élément tangent à la ligne de champ. On en tire les équations différentielles par
élimination de $k$ :

coordonnées cartésiennes: $dx / A_x = dy / A_y = dz / A_z$ avec **dOM** (dx, dy, dz)

coordonnées cylindriques: $dr / A_r = r d\theta / A_\theta = dz / A_z$ avec **dOM** (dr, rd\theta, dz)

coordonnées sphériques: $dr / A_r = r d\theta / A_\theta = r \sin\theta d\varphi / A_\varphi$ avec **dOM** (dr, rd\theta, r sin\theta d\varphi)

Le champ vectoriel $\mathbf{A}$ est tangent en tout point à la ligne de champ.

# 9 - Lignes ou surfaces équipotentielles

Si $\mathbf{A}$ est un champ vectoriel tel que $\mathbf{A} = \text{grad} V$ où $V$ est une fonction "potentiel", l'équation des lignes ou surfaces équipotentielles est donnée par :

$$ dV = 0 = \text{grad} V \cdot \text{dOM} = A \cdot \text{dOM} $$

impliquant que les lignes ou surfaces équipotentielles sont orthogonales aux lignes de champ.
Leur équation est donnée par $V(x, y, z) = \text{constante}$, qui définit une surface.

En deux dimensions dans le plan $xOy$, $V(x, y) = \text{constante}$ définit une ligne équipotentielle.

# II – Les équations de base de l'hydrodynamique

## 1 - Remarques générales sur les équations de conservation

Les lois de conservation d'un champ scalaire $\rho(x, y, z, t)$ (exemple : densité volumique de masse ou d'énergie) suivent une équation de conservation du type :

$$ \partial \rho / \partial t + \text{div}(\rho \mathbf{v}) = s $$

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

où $\mathbf{v}$ est le vecteur vitesse et $s$ un terme source ou perte (selon son signe). Par intégration sur un volume $V$ fermé par une surface $S$, on obtient en appliquant le théorème d'Ostrogradski, où $dv$ est un élément de volume et $dS$ un élément de surface orientée ($dS = n dS$, $n$ normale à la surface) :

$$ \partial/\partial t [\iiint \rho \, dv] + \oint \rho \, v \cdot dS = \iiint s \, dv $$

$\iiint \rho \, v \cdot dS$ est le flux de la quantité $\rho$ à la frontière entourant le volume $V$. Introduisons $v_n$, composante normale de $\mathbf{v}$ à la surface fermée $S$ qui enveloppe le volume :

$$ \partial/\partial t [\iiint \rho \, dv] + \oint \rho \, v_n \, dS = \iiint s \, dv $$

On constate, à partir de cette équation, que la quantité $\iiint \rho \, dv$ (par exemple : la masse, l'énergie du volume $V$) est conservative à condition que :

- il n'y ait pas de terme source ou perte ($s = 0$)

- le flux de $\rho$ sur la frontière soit nul, $\oint \rho v_n \, dS = 0$ (les entrées compensent les sorties aux frontières)

En régime stationnaire et en l'absence de terme source $s$, $\text{div}(\rho\mathbf{v}) = 0$ se traduit par $\oint \rho \, v \cdot dS = 0$ sur la surface fermée $S$, ce qui signifie que les entrées sont compensées par les sorties aux frontières.

Remarque : l'équation de Maxwell flux div $\mathbf{B} = 0$ a la même signification : $\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 0$ sur la surface fermée $S$ entourant le volume $V$ implique que le flux magnétique entrant est égal au flux sortant.

## 2 - Equation de conservation de la masse (équation de continuité)

$$ \partial \rho / \partial t + \text{div}(\rho \mathbf{v}) = 0 $$

$\rho \mathbf{v}$ est la densité volumique de quantité de mouvement (kg m⁻² s⁻¹)

En régime stationnaire, $\text{div}(\rho\mathbf{v}) = 0$ signifie $\oint \rho \, v \cdot dS = 0$ sur la surface fermée $S$ entourant le volume $V$; c'est la conservation du débit massique (en kg s⁻¹): masse entrante = masse sortante. Si le fluide est incompressible, $\oint \rho \, v \cdot dS = 0$ est la conservation du débit volumique (en m³ s⁻¹): volume entrant = volume sortant.
Considérons un mouvement **unidimensionnel** de vitesse $v(s)$, considéré comme uniforme sur la section droite $S(s)$ d'un tube de section **faiblement variable**, à l'abscisse curviligne s le long du tube.
Le théorème d'Ostrogradski donne pour le volume $dv = S(s) ds$ :

$$ \mathrm{div}(\rho\mathbf{v}) S(s) ds = \rho v(s+ds) S(s+ds) - \rho v(s) S(s) = \frac{d(\rho v S)}{ds} ds $$

$$ \text{dont on déduit : } \mathrm{div}(\rho\mathbf{v}) S = \frac{d(\rho v S)}{ds}, \text{ ou encore } \mathrm{div}(\rho\mathbf{v}) = \frac{1}{S} \frac{d(\rho v S)}{ds} $$

De ce fait, si $\mathrm{div}(\rho\mathbf{v}) = 0$, on a conservation du débit massique $\rho v S = \text{constante}$, et si de surcroît le fluide est incompressible, on a la conservation du débit volumique $v S = \text{constante}$.

En électromagnétisme, $\mathrm{div}(\mathbf{B}) = 0$ est toujours vrai, on a le long d'un tube magnétique de section **faiblement variable** le produit $\mathbf{B}S = \text{constante}$.

Ces relations sont très utiles pour traiter des mouvements au sein de tubes, y compris les tubes de champs magnétiques (les particules chargées progressent à la pulsation gyromagnétique en spiralant autour de la direction du champ, qui les guide donc comme des parois virtuelles).

### 3 - cinématique des fluides

*div v* caractérise les mouvements convergents/divergents

Un champ de vitesse **radial**, en coordonnées polaires, tel que $\mathbf{v} = v_r \mathbf{e}_r = k \mathbf{r} \mathbf{e}_r$, k constante, est tel que :

$$ \mathrm{rot} \mathbf{v} = \mathbf{0} \quad \text{et} \quad \mathrm{div} \mathbf{v} = \frac{1}{r} \frac{\partial(r v_r)}{\partial r} = 2 k $$

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

*rot v* caractérise les mouvements de rotation, les tourbillons

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

Un champ de vitesse **orthoradial**, en coordonnées polaires, tel que $\mathbf{v} = v_\theta \mathbf{e}_\theta = \omega \mathbf{r} \mathbf{e}_\theta$, $\omega$ constante, est tel que :

$$ \mathrm{div} \mathbf{v} = 0 \quad \text{et} \quad \mathrm{rot} \mathbf{v} = \frac{1}{r} \frac{\partial(r v_\theta)}{\partial r} \mathbf{e}_z = 2 \omega \mathbf{e}_z $$

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

*rot v* est la vorticité

$\Omega = 1/2 \mathrm{rot} v$ est le vecteur tourbillon

<figure><img src="image_16.png" /></figure>

*Lignes fluides ou lignes de courant*

Lignes du champ des vitesses définies en un point M par la colinéarité entre $\mathbf{v}$ ($v_x, v_y, v_z$) et la tangente locale à la ligne de champ **dOM**, soit $\mathbf{v} = k \mathbf{dOM}$ (k réel), ce qui donne les équations :

$$ \text{En coordonnées cartésiennes : } dx / v_x = dy / v_y = dz / v_z $$

$$ \text{En coordonnées cylindriques : } dr / v_r = r d\theta / v_\theta = dz / v_z $$
En coordonnées sphériques : $dr / v_r = r d\theta / v_\theta = r \sin\theta d\varphi / v_\varphi$

### Ecoulement incompressible

Un tel écoulement est à divergence nulle : $\text{div } \mathbf{v} = 0$

### Ecoulement irrotationnel à potentiel des vitesses

Un écoulement est dit *irrotationnel* lorsque sa vorticité est nulle: $\text{rot } \mathbf{v} = 0$

Dans ce cas, il existe une fonction *potentiel des vitesses* $\varphi$ telle que $\mathbf{v} = \text{grad } \varphi$

et si en plus le fluide est *incompressible*, ce potentiel obéit à l'équation de Laplace $\Delta\varphi = 0$

### Analogie cinématique des fluides incompressibles et magnétostatique

$$ \begin{cases} \text{div } \mathbf{v} = 0 \\ \text{rot } \mathbf{v} = 2 \Omega \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \text{div } \mathbf{B} = 0 \\ \text{rot } \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} \end{cases} $$

sont des équations analogues ; $\mathbf{v}$ est à flux conservatif et obéit au "théorème d'Ampère":

$$ \oint \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l} = 2 \iint \Omega. d\mathbf{S} $$

La circulation du champ de vitesse $\mathbf{v}$ sur un contour fermé $C$ est égal au flux de la vorticité au travers de la surface $S$ enlacée par ce contour

→ exemple : cas d'un vecteur tourbillon constant, écoulement orthoradial

On choisit un contour circulaire de rayon $r$ surlequel s'appuie le disque de surface $\pi r^2$

$$ \oint \mathbf{v} \cdot d\mathbf{l} = 2 \pi r \mathbf{v} \\ \iint \Omega. d\mathbf{S} = \Omega \pi r^2 \quad \text{d'où l'écoulement orthoradial (tourbillon)} \quad \mathbf{v} = \Omega r $$

### Analogie écoulements irrotationnels incompressibles et électrostatique

$$ \begin{cases} \text{div } \mathbf{v} = s \\ \mathbf{v} = \text{grad } \varphi \\ \text{rot } \mathbf{v} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \text{div } \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0 \\ \mathbf{E} = - \text{grad } \mathbf{V} \\ \text{rot } \mathbf{E} = 0 \end{cases} $$

où $s$ est un terme source ou perte en $s^{-1}$ (selon son signe); ces équations sont analogues; $\mathbf{v}$ est à circulation conservative et obéit au "théorème de Gauss":

$$ \oint \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S} = \iint \mathbf{s} \, d\mathbf{V} = \mathbf{S} \quad (\mathbf{m}^3 \, \mathbf{s}^{-1}) $$

Le flux du champ de vitesse $\mathbf{v}$ à travers une surface fermée $S$ est égal au débit $S$ de la source intérieure au volume $V$ entouré par cette surface

→ exemple: cas d'une source à symétrie sphérique de débit $s$ pour $r < R$ et nul pour $r > R$
L'écoulement est radial; on choisit une surface de Gauss sphérique de rayon $r$

$$ \text{si } r < R: v = 4\pi r^2 = s \frac{4}{3} \pi r^3 \quad \text{d'où l'on déduit } v = s \frac{r}{3} $$

$$ \text{si } r > R: v = 4\pi r^2 = s \frac{4}{3} \pi R^3 \quad \text{d'où l'on déduit } v = s \frac{R^3}{3r^2} $$
### III - Ecoulements 2D irrotationnels incompressibles dans un plan xOy

Un tel écoulement est tel que $\text{div } \mathbf{v} = 0$ et $\text{rot } \mathbf{v} = 0$.

C'est l'analogue des champs potentiels en magnétostatique. On a $\Delta \mathbf{v} = \mathbf{0}$ équation de Laplace.

Dans un espace à deux dimensions (plan xOy) avec $\mathbf{v}$ ($v_x$, $v_y$, 0) dépendant seulement des coordonnées x et y de l'espace, on peut écrire $\mathbf{v} = \text{grad} \varphi(x,y)$ fonction potentiel d'une part, et d'autre part $\mathbf{v} = \text{rot} (\psi(x,y) \mathbf{e}_z)$, ce qui implique :

$$ \mathbf{v} = \text{grad} \psi \wedge \mathbf{e}_z \quad \text{avec} \quad \text{grad} (\partial/\partial x, \partial/\partial y, 0) $$

$\varphi(x,y) = \text{constante est l'équation des lignes équipotentielles}$

$\psi(x,y) = \text{constante est l'équation des lignes de champ ou lignes fluides}$

(orthogonales aux iso $\psi$)

(lignes iso $\psi$)

On a donc $\|\mathbf{v}\| = \|\text{grad } \psi\|$. Soit $\Delta$ l'écartement local entre deux lignes iso $\psi$ de valeur $\psi$ et $\psi + \Delta\psi$, $\|\mathbf{v}\| = |\Delta\psi|/\Delta$ indique que, à pas $|\Delta\psi|$ constant, plus les lignes de courant iso $\psi$ sont serrées ($\Delta$e petit), plus la vitesse est élevée. Les lignes iso $\varphi$ sont quant à elles orthogonales aux lignes de courant.

De l'égalité $\mathbf{v} = \text{grad } \varphi = \text{grad } \psi \wedge \mathbf{e}_z$,

on voit que les fonctions $\varphi(x,y)$ et $\psi(x,y)$ obéissent aux conditions de Cauchy :

$$ \begin{cases} v_x = \partial\varphi/\partial x = \partial\psi/\partial y \\ v_y = \partial\varphi/\partial y = -\partial\psi/\partial x \end{cases} $$

impliquant $\Delta\varphi = \Delta\psi = 0$. Les deux fonctions sont donc harmoniques car leur Laplacien est nul.

Posons $z = x + i y$ (variable complexe) et $z^* = x - i y$ son conjugué et considérons la fonction complexe $f(z, z^*) = \varphi + i \psi$

On peut évaluer assez aisément $\partial f/\partial z$ ainsi que $\partial f/\partial z^*$.

Par exemple, $\partial f/\partial z = (\partial f/\partial x)(\partial x/\partial z) + (\partial f/\partial y)(\partial y/\partial z)$ et $\partial f/\partial z^* = (\partial f/\partial x)(\partial x/\partial z^*) + (\partial f/\partial y)(\partial y/\partial z^*)$

A l'aide du changement de variable :

$x = 1/2 (z + z^*)$ et $y = -i/2 (z - z^*)$,

on trouve: $\partial x/\partial z = 1/2$, $\partial y/\partial z = -i/2$, $\partial x/\partial z^* = 1/2$ et $\partial y/\partial z^* = i/2$.

Sachant que $f(z, z^*) = \varphi + i \psi$, on obtient finalement : $\partial f/\partial z = \partial \varphi/\partial x - i \partial \varphi/\partial y$ et $\partial f/\partial z^* = 0$

$f$ ne dépend donc pas de $z^*$. On a donc démontré les deux conclusions essentielles suivantes :

- la fonction complexe $f(z) = \varphi + i \psi$ est une fonction analytique de la variable $z = x + i y$

$$ - \frac{df(z)}{dz} = v(z) = v_x - i v_y $$

Le champ des vitesses complexe $v = v_x - i v_y$ dérive donc du potentiel complexe $f(z) = \varphi + i \psi$

→ exemple : si l'écoulement se fait à la vitesse constante $v$,

$$ f(z) = (v_x - i v_y) z = (v_x - i v_y) (x + i y) = (x v_x + y v_y) + i (-x v_y + y v_x) = \varphi + i \psi $$

$\varphi(x,y) = x v_x + y v_y$ donne les lignes équipotentielles $y = - (v_x/v_y) x + \text{cte}$ (droites)

$\psi(x,y) = - x v_y + y v_x$ donne les lignes de champ $y = (v_y/v_x) x + \text{cte}$ (droites)
## 1 – Puits ou source

Soit le potentiel complexe $f(z) = (\Gamma/2\pi) \ln(z - c)$, où $\Gamma$ est une constante réelle et $c$ une constante complexe.

La vitesse complexe associée est $v(z) = df/dz = (\Gamma/2\pi) / (z - c)$, elle présente un pôle d'ordre 1 centré sur le point C d'affixe $c(x_c, y_c)$.

Plaçons nous sur un cercle de centre C et de rayon $r$ en posant $z = c + r e^{i\theta}$

$v(z) = v_x - i v_y = (\Gamma/2\pi r) e^{-i\theta} = (\Gamma/2\pi r) (\cos\theta - i \sin\theta)$, donc : $v_x = (\Gamma/2\pi r) \cos\theta$, $v_y = (\Gamma/2\pi r) \sin\theta$

Passons en coordonnées polaires, avec $v_r = v_x \cos\theta + v_y \sin\theta$ et $v_\theta = -v_x \sin\theta + v_y \cos\theta$

On obtient :

$$v_r = (\Gamma/2\pi r) \text{ et } v_\theta = 0$$

Le mouvement fluide est donc purement radial autour du point C, il varie en $1/r$.

Il est dirigé vers l'intérieur si $\Gamma < 0$ (puits) ou vers l'extérieur si $\Gamma > 0$ (source).

$\Gamma = 2\pi r v_r$ = constante représente le flux ($m^2 s^{-1}$) qui traverse le cercle de rayon $r$ centré sur C, par unité de masse, ce paramètre caractérise donc le débit du puits ou de la source de matière.

Lorsque $r \to 0$, il existe une singularité puisque $v_r \to \infty$

<figure><img src="image_17.png" /></figure>

A gauche : lignes fluides rectilignes autour d'un puits ou d'une source : la vitesse radiale varie en $1/r$. A droite : lignes fluides d'un puits en présence d'un courant uniforme $v_0$ selon Ox, venant de la gauche (module de la vitesse en niveaux de gris, nulle en noir, forte en blanc).

Soit un puits ou une source en présence d'un courant uniforme de vitesse $v_0$ dirigée selon Ox ; le potentiel complexe associé devient $f(z) = v_0 z + (\Gamma/2\pi) \ln(z - c)$, où $\Gamma$ est une constante réelle et $c$ une constante complexe (position du puits).

La vitesse complexe est $v(z) = v_0 + (\Gamma/2\pi) / (z - c)$, elle présente un pôle d'ordre 1 centré sur le point C d'affixe $c(x_c, y_c)$. Il existe un point d'arrêt ($v = 0$) d'affixe $z = c - (\Gamma/2\pi v_0)$, à droite ou à gauche de C selon le signe de $\Gamma/2\pi v_0$.

## 2 – Tourbillon

Soit le potentiel complexe $f(z) = i (\Gamma/2\pi) \ln(z - c)$, où $\Gamma$ est une constante réelle et $c$ une constante complexe.

La vitesse complexe associée est $v(z) = df/dz = i (\Gamma/2\pi) / (z - c)$, elle présente un pôle d'ordre 1 centré sur le point C d'affixe $c(x_c, y_c)$.

Plaçons nous sur un cercle de centre C et de rayon $r$ en posant $z = c + r e^{i\theta}$
$v(z) = v_x - i v_y = i (\Gamma/2\pi r) e^{-i\theta} = (\Gamma/2\pi r) (\sin\theta + i \cos\theta)$, donc :

$v_x = (\Gamma/2\pi r) \sin\theta, v_y = - (\Gamma/2\pi r) \cos\theta$

Passons en coordonnées polaires, avec $v_r = v_x \cos\theta + v_y \sin\theta$ et $v_\theta = -v_x \sin\theta + v_y \cos\theta$

On obtient :

$v_r = 0$ et $v_\theta = - (\Gamma/2\pi r)$

Le mouvement fluide est purement orthoradial autour du point C, il varie en $1/r$.

Il tourne dans le sens trigonométrique si $\Gamma < 0$ et dans le sens horaire si $\Gamma > 0$.

$\Gamma$ représente la force du tourbillon, $\Gamma = -2\pi r v_\theta$ = constante est homogène au produit d'une longueur par une vitesse, c'est donc un **moment cinétique** par unité de masse (m² s⁻¹).

Lorsque $r \to 0$, il existe une singularité puisque $v_\theta \to \infty$.

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

A gauche : lignes fluides circulaires autour d'un tourbillon : la vitesse orthoradiale varie en $1/r$. A droite : lignes fluides d'un tourbillon en présence d'un courant uniforme $v_0$ selon Ox, venant de la gauche (module de la vitesse en niveaux de gris, nulle en noir, forte en blanc).

Soit un tourbillon en présence d'un courant uniforme de vitesse $v_0$ dirigée selon Ox ; le potentiel complexe associé devient $f(z) = v_0 z + i (\Gamma/2\pi) \ln(z - c)$, où $\Gamma$ est une constante réelle et $c$ une constante complexe (position du tourbillon).

La vitesse complexe est $v(z) = v_0 + i (\Gamma/2\pi) / (z - c)$, elle présente un pôle d'ordre 1 centré sur le point C d'affixe $c (x_c, y_c)$. Il existe un point d'arrêt ($v = 0$) d'affixe $z = c - i (\Gamma/2\pi v_0)$, au dessous ou au dessus de C selon le signe de $\Gamma/2\pi v_0$.

### 3 – Doublet puits/source et doublet tourbillons

Le potentiel complexe $f(z) = (\Gamma/2\pi) \ln[(z - c_1)(z - c_2)]$ est le potentiel d'un doublet composé de deux sources ou de deux puits, de même intensité $\Gamma$, centrés sur les points d'affixe $c_1$ et $c_2$, où $\Gamma$ est une constante réelle.

Le potentiel complexe $f(z) = (\Gamma/2\pi) \ln[(z - c_1)/(z - c_2)]$ est le potentiel d'un doublet composé d'une source et d'un puits, de même intensité $\Gamma$.

Le potentiel complexe $f(z) = i (\Gamma/2\pi) \ln[(z - c_1)(z - c_2)]$ est le potentiel d'un doublet composé de deux tourbillons de même sens et intensité $\Gamma$, centrés sur les points d'affixe $c_1$ et $c_2$, où $\Gamma$ est une constante réelle.

Le potentiel complexe $f(z) = i (\Gamma/2\pi) \ln[(z - c_1)/(z - c_2)]$ est le potentiel d'un doublet composé de deux tourbillons de sens opposé, mais de même intensité $\Gamma$.
La vitesse complexe associée est $v(z) = df/dz$. Les lignes de courant sont tracées ci-dessous.

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>A gauche : lignes fluides autour d'un puits et d'une source. A droite : lignes fluides autour de deux sources ou de deux puits (module de la vitesse en niveaux de gris, nulle en noir, forte en blanc).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>A gauche : lignes fluides autour de deux tourbillons de même sens. A droite : lignes fluides de deux tourbillons de sens opposé (module de la vitesse en niveaux de gris, nulle en noir, forte en blanc).</figcaption></figure>

## 4 – Ecoulement autour d'un coin

Considérons le potentiel complexe $f(z) = A z^k$, avec k nombre réel positif et A constante. La vitesse associée est $v(z) = A k z^{k-1}$.

En coordonnées polaires, on a $z = r e^{i\theta}$, ce qui permet d'identifier simplement les parties réelles et imaginaires de $f(z)$ puisque $f(z) = A r^k e^{ik\theta} = A r^k [\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)]$, d'où l'on tire :

$$ \varphi = A r^k \cos(k\theta) \text{ et } \psi = A r^k \sin(k\theta) $$

Les lignes de courant ont pour équation polaire : $\psi = A r^k \sin(k\theta) = \text{constante}$

On remarque que r devient infini lorsque $\theta = 0$ et $\theta = \pi/k$.
Pour $\theta = \pi/2k$, r passe par un minimum.

Les différentes configurations sont données par la figure ci-dessous dans deux cas, $k > 1$ (écoulement dans un coin) et $1/2 < k < 1$ (contournement d'un coin).

$v(z) = A k r^{k-1} e^{i(k-1)\theta}$, et en module, $|v| = |A| k r^{k-1}$ ne dépend que de la distance r à l'origine.

Lorsque $k > 1$, v s'annule à l'origine. Par contre, quand $1/2 < k < 1$, v est infini à l'origine.

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>A gauche : lignes fluides dans un coin d'angle au sommet $\pi/k$ pour $k > 1$. A droite : lignes fluides autour d'un coin d'angle au sommet $\pi/k$ pour $1/2 < k < 1$ (module de la vitesse en niveaux de gris, nulle en noir, forte en blanc).</figcaption></figure>

## 5 - Circulation du champ des vitesses autour d'un pôle

La circulation du champ des vitesses sur un contour fermé entourant un pôle est donnée par l'intégrale curviligne :

$$ \oint v \cdot dl = \oint (v_x dx + v_y dy) $$

Calculons le produit complexe $v(z) dz$ :

$$ v(z) dz = (v_x - i v_y) (dx + i dy) = (v_x dx + v_y dy) + i (v_x dy - v_y dx) = d\varphi + i d\psi $$

On peut donc écrire : $\oint v \cdot dl = \text{Re}(\oint v(z) dz)$ où Re désigne la partie réelle.

Pour calculer $\oint v(z) dz$, on fait appel au théorème des résidus :

$$ \oint v(z) dz = 2i\pi \sum \text{Res}[v(z = c_i)] \quad \text{le résidu au pôle } c_i \text{ étant le coefficient devant } 1/(z - c_i) $$

Avec le tourbillon ci-dessus centré sur C, soit $v(z) = i(\Gamma/2\pi) / (z - c)$, on a un unique pôle en $z = c$, le résidu est donc $i(\Gamma/2\pi)$.

On obtient alors pour la circulation $\oint v(z) dz = (2i\pi) i (\Gamma/2\pi) = -\Gamma$ (nombre réel)

La constante $\Gamma$, homogène à un moment cinétique par unité de masse, représente donc la **circulation du champ des vitesses** sur un contour fermé enlaçant le tourbillon.
## 6 – Tourbillons multiples dans un champ de vitesse uniforme

Il est possible de superposer à un champ de vitesses uniforme un ou plusieurs tourbillons. Le potentiel complexe d'un courant uniforme à deux tourbillons centrés en $C_1$ et $C_2$, de forces respectives $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$, a pour expression :

$$f(z) = v_0 z + i (\Gamma_1/2\pi) \ln(z - c_1) + i (\Gamma_2/2\pi) \ln(z - c_2)$$

dont on en déduit la vitesse du fluide :

$$v(z) = v_0 + i (\Gamma_1/2\pi) / (z - c_1) + i (\Gamma_2/2\pi) / (z - c_2)$$

Cette fonction présente deux pôles aux affixes $c_1$ et $c_2$, et il y a deux points d'arrêt (l'équation $v(z) = 0$ est du second degré en $z$). Les lignes fluides sont tracées sur la figure ci-dessous. La circulation du champ des vitesses sur un contour fermé entourant les deux pôles vaut la somme de deux résidus :

$$\oint v(z) dz = (2i\pi) [ i (\Gamma_1/2\pi) + i (\Gamma_2/2\pi) ] = - \Gamma_1 - \Gamma_2 \quad (\text{nombre réel})$$

La circulation peut être nulle si $\Gamma_1 = -\Gamma_2$ (c'est le cas de la figure).

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>Double tourbillon, à sens opposés de rotation $\Gamma_1 = -\Gamma_2$, dans un champ de vitesse uniforme dirigé selon $Ox$ présentant deux points d'arrêt. Le module de la vitesse est en niveaux de gris (noir = vitesse nulle, blanc = vitesse maximale)</figcaption></figure>

On peut faire varier l'incidence de l'écoulement en faisant le changement de variable suivant :

$$z \rightarrow z e^{-i\alpha}$$

Où $\alpha$ est l'angle entre le vecteur vitesse $v_0$ et l'axe $Ox$.

Dans ce cas, le potentiel ci-dessus devient :

$$f(z) = v_0 z e^{-i\alpha} + i (\Gamma_1/2\pi) \ln(z e^{-i\alpha} - c_1) + i (\Gamma_2/2\pi) \ln(z e^{-i\alpha} - c_2)$$

et le champ des vitesses associées :

$$v(z) = v_0 e^{-i\alpha} + i (\Gamma_1/2\pi) / (z e^{-i\alpha} - c_1) + i (\Gamma_2/2\pi) / (z e^{-i\alpha} - c_2)$$

dont la représentation graphique est donnée ci-dessous pour $\Gamma_1 = -\Gamma_2$
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Double tourbillon, de forces égales mais de sens opposés de rotation $Γ_1 = -Γ_2$, dans un champ de vitesse uniforme incliné de 30° sur Ox et présentant deux points d'arrêt. Le module de la vitesse est en niveaux de gris (noir = vitesse nulle, blanc = vitesse maximale)</figcaption></figure>

## 7 – Écoulement autour d'un obstacle cylindrique sans portance

Considérons maintenant le potentiel complexe

$$f(z) = v_0 (z + \frac{R^2}{z})$$

donnant le champ de vitesses :

$$v(z) = v_0 (1 - \frac{R^2}{z^2})$$

On constate immédiatement que $v(z) = 0$ lorsque $z = \pm R$, ce sont les deux points d'arrêt.

Plaçons nous sur un cercle de centre O et de rayon R en posant $z = R e^{i\theta}$

$$ 
\begin{aligned}
v(z) &= v_x - i v_y = v_0 (1 - e^{-2i\theta}) \\
&= v_0 (1 - \cos 2\theta + i \sin 2\theta) = 2 v_0 (\sin^2\theta + i \sin\theta \cos\theta) = 2 v_0 \sin\theta (\sin\theta + i \cos\theta),
\end{aligned}
$$

donc :

$$v_x = 2 v_0 \sin^2\theta, v_y = -2 v_0 \sin\theta \cos\theta$$

Passons en coordonnées polaires, avec $v_r = v_x \cos\theta + v_y \sin\theta$ et $v_\theta = -v_x \sin\theta + v_y \cos\theta$

On obtient :

$$v_r = 0 \text{ et } v_\theta = -2 v_0 \sin^3\theta - 2 v_0 \sin\theta \cos^2\theta = -2 v_0 \sin\theta$$

Sur la surface cylindrique de rayon R, la vitesse radiale $v_r$ est nulle, le fluide contourne le cylindre avec une vitesse orthoradiale (tangente au cylindre) dont la valeur absolue varie de 0 (points d'arrêt) à $2 v_0$ en $\theta = \pm\pi/2$. L'écoulement est symétrique par rapport à l'axe Ox.

Sous incidence $\alpha$, le potentiel des vitesses devient :

$$f(z) = v_0 [ z e^{-i\alpha} + \frac{R^2}{z} e^{-i\alpha} ]$$

et le champ complexe des vitesses s'écrit :

$$v(z) = v_0 [ e^{-i\alpha} - \frac{R^2}{z^2} e^{-i\alpha} ] = v_0 [ e^{-i\alpha} - \frac{R^2 e^{i\alpha}}{z^2} ]$$

Les points d'arrêt sont tels que $z = \pm R e^{i\alpha}$, ils ont juste tourné de l'angle $\alpha$, comme le montre la figure ci-dessous.
<figure><img src="image_24.png" /></figure>

Ecoulement symétrique autour d'un cylindre, présentant deux points d'arrêt. Le module de la vitesse est en niveaux de gris (noir = vitesse nulle, blanc = vitesse maximale). La vitesse est tangentielle sur le cylindre. Les points d'arrêt sont dans l'axe de l'écoulement.

On peut modéliser un double obstacle par le potentiel complexe :

$$f(z) = v_0 \left( z + \frac{R_1^2}{z-a} + \frac{R_2^2}{z-b} \right)$$

donnant le champ de vitesses :

$$v(z) = v_0 \left( 1 - \frac{R_1^2}{(z-a)^2} - \frac{R_2^2}{(z-b)^2} \right)$$

où a, b désignent les affixes des deux obstacles, et $R_1, R_2$ leurs rayons respectifs. La figure ci-dessous donne un exemple à deux cylindres. Ces écoulements ne génèrent aucune force en raison de leur symétrie cylindrique.

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

Ecoulement à deux obstacles cylindriques (lignes fluides). Le module de la vitesse est en niveaux de gris (noir = vitesse nulle, blanc = vitesse maximale). La vitesse est tangentielle aux cylindres.
# 8 – Ecoulement autour d'un obstacle cylindrique avec portance

Pour avoir de la portance, il faut générer une disymétrie dans l'écoulement, ce que l'on fait en ajoutant un tourbillon. Considérons maintenant le potentiel complexe avec $\Gamma > 0$ et $v_0 > 0$ :

$$f(z) = v_0 (z + \frac{R^2}{z}) + i \left(\frac{\Gamma}{2\pi}\right) \ln(z)$$

donnant le champ de vitesses :

$$v(z) = v_0 \left(1 - \frac{R^2}{z^2}\right) + i \left(\frac{\Gamma}{2\pi}\right) / z$$

La circulation de $v(z)$ sur un contour fermé entourant l'origine (pôle) vaut $-\Gamma$. Il existe deux points d'arrêt donnés par les affixes :

$$z = -i \frac{\Gamma}{4\pi v_0} \pm \left[ R^2 - \left(\frac{\Gamma}{4\pi v_0}\right)^2 \right]^{1/2} = x + i y$$

si $\Gamma < 4\pi v_0 R$, il y a deux pôles de coordonnées ($\pm [R^2 - (\Gamma/4\pi v_0)^2]^{1/2}$, $-\Gamma/4\pi v_0$), sur le cylindre

si $\Gamma = 4\pi v_0 R$, il y a un pôle unique de coordonnées (0, -R), sur le cylindre

si $\Gamma > 4\pi v_0 R$, il y a un seul pôle d'intérêt de coordonnées (0, $-\Gamma/4\pi v_0 - [ (\Gamma/4\pi v_0)^2 - R^2 ]^{1/2}$), le second pôle (0, $-\Gamma/4\pi v_0 + [ (\Gamma/4\pi v_0)^2 - R^2 ]^{1/2}$) étant situé à l'intérieur du cylindre

<figure><img src="image_26.png" /></figure>
Les figures ci-dessus montrent le module de v(z) en niveaux de gris (blanc = vitesse élevée). Dès que Γ est non nul, la symétrie est rompue. La vitesse au dessus du cylindre devient plus forte que celle en dessous, la situation pour les pressions est contraire, donc une force de portance apparaît. Examinons maintenant ce qui se produit dans un écoulement oblique sous incidence α, angle avec l'axe Ox.

Sous incidence α, le potentiel des vitesses s'écrirait :

$$f(z) = v_0 \left[ z e^{-i\alpha} + \frac{R^2}{z} e^{-i\alpha} \right] + i \left( \frac{\Gamma}{2\pi} \right) \ln\left(\frac{z}{e^{-i\alpha}}\right)$$

donnant le champ de vitesses associé :

$$v(z) = v_0 \left[ e^{-i\alpha} - \frac{R^2}{z^2} e^{-i\alpha} \right] + i \left( \frac{\Gamma}{2\pi} \right) / z$$

Il existe deux points d'arrêt (équation v(z) = 0 du second degré en z).

Plaçons nous sur un cercle de centre O et de rayon R en posant $z = R e^{i\theta}$

$$ 
\begin{align*}
v(\theta) &= v_x - i v_y = v_0 \left[ e^{-i\alpha} - e^{-i(2\theta - \alpha)} \right] + i \left( \frac{\Gamma}{2\pi R} \right) e^{-i\theta} \\
&= e^{-i\theta} \left[ v_0 (e^{i(\theta - \alpha)} - e^{-i(\theta - \alpha)}) \right] + i \left( \frac{\Gamma}{2\pi R} \right) \\
&= e^{-i\theta} \left[ 2i v_0 \sin(\theta - \alpha) + i \left( \frac{\Gamma}{2\pi R} \right) \right] \\
&= 2i e^{-i\theta} \left[ v_0 \sin(\theta - \alpha) + \left( \frac{\Gamma}{4\pi R} \right) \right] = 2 \left[ v_0 \sin(\theta - \alpha) + \left( \frac{\Gamma}{4\pi R} \right) \right] (\sin\theta + i \cos\theta)
\end{align*}
$$

donc :

$$v_x = 2 \left[ v_0 \sin(\theta - \alpha) + \left(\frac{\Gamma}{4\pi R}\right) \right] \sin\theta, \quad v_y = -2 \left[ v_0 \sin(\theta - \alpha) + \left(\frac{\Gamma}{4\pi R}\right) \right] \cos\theta$$

Passons en coordonnées polaires, avec $v_r = v_x \cos\theta + v_y \sin\theta$ et $v_\theta = -v_x \sin\theta + v_y \cos\theta$.

On obtient :

$$v_r = 0 \text{ et } v_\theta = -2 \left[ v_0 \sin(\theta - \alpha) + \left(\frac{\Gamma}{4\pi R}\right) \right]$$

Le mouvement fluide est purement orthoradial autour de l'obstacle cylindrique.

Les points d'arrêt sont donnés par $\sin(\theta - \alpha) = - (\Gamma / 4\pi R v_0)$. Soit :

$$\theta = \alpha - \arcsin(\Gamma / 4\pi R v_0) \text{ et } \theta = \alpha + \pi + \arcsin(\Gamma / 4\pi R v_0)$$

Si l'on impose pour point d'arrêt $\theta = 0$ (condition de Kutta), alors cela définit la force Γ du tourbillon (ou encore son moment cinétique, ou bien la circulation du vecteur vitesse autour de l'obstacle) :

$$\Gamma = 4\pi R v_0 \sin(\alpha)$$

L'autre point d'arrêt se situe alors en $\theta = \alpha + \pi + \arcsin(\Gamma / 4\pi R v_0) = 2\alpha + \underline{\underline{\alpha}}$
<figure><img src="image_27.png" /></figure>

Ecoulement autour d'un cylindre sous incidence $\alpha = 15°$, en présence d'un tourbillon centré en O, créant une asymétrie.

Le module de la vitesse est en niveaux de gris (noir = vitesse nulle, blanc = vitesse maximale).

La vitesse est tangentielle sur le cylindre. La position des points d'arrêt dépend de $\Gamma$. On a choisi ici la condition particulière de Kutta $\Gamma = 4\pi R v_0 \sin(\alpha)$ qui donne deux points d'arrêt en $\theta = 0$ et en $\theta = 2\alpha + \pi$.

<figure><img src="image_28.png" /></figure>

<figure><img src="image_29.png" /></figure>

A gauche : pression autour d'un cylindre sous incidence $\alpha = 15°$, en présence d'un tourbillon centré en O, créant une disymétrie (dépression au dessus). La pression est en niveaux de gris (noir = dépression, blanc = surpression). La vitesse est tangentielle sur le cylindre. A droite : portance (force selon Oy) sur le cylindre variant en $P(\theta) \sin\theta$ selon l'azimuth $\theta$ ($0 < \theta < 360°$, sens trigonométrique).

La portance (force perpendiculaire à l'écoulement) est créée surtout par une dépression au dessus du cylindre, impliquant une survitesse. Celle-ci provient du sens de rotation du tourbillon, dans le sens horaire ($\Gamma > 0$).

Prenons pour simplifier $\alpha = 0$, alors sur la surface du cylindre, $v_\theta = -2$ [$v_0 \sin(\theta) + (\Gamma/4\pi R)$]. En valeur absolue, on voit que la vitesse du tourbillon ($\Gamma/4\pi R$) s'ajoute à celle du fluide $v_0 \sin(\theta)$ lorsque $\theta > 0$ ; par contre, elles se retranchent quand $\theta < 0$.

En valeur absolue, $v_{max} = 2$ [$v_0 + (\Gamma/4\pi R)$] pour $\theta = \pi/2$ et $v_{min} = 2$ [$v_0 - (\Gamma/4\pi R)$] pour $\theta = -\pi/2$, ce qui donne une différence d'énergie cinétique volumique $1/2 \rho (v_{max}^2 - v_{min}^2) = 1/2 \rho (v_0 \Gamma / \pi R)$, en J m⁻³ ou en Pascal, entre les deux positions.

Cette asymétrie engendre une variation de pression $\Delta P = 1/2 \rho (v_0 \Gamma / \pi R)$ en vertu de la loi de Bernoulli que l'on verra plus loin. Aux ordres de grandeur, la **portance** par unité de longueur du cylindre est la force selon Oy, soit $F_y \approx (2\pi R) \Delta P = \rho v_0 \Gamma$ (en N/m).
Par contre, entre les positions $\theta = 0$ et $\theta = \pi$, il n'y a pas d'asymétrie, car dans les deux cas $v_\theta = -2$ ($\Gamma/4\pi R$), et donc pas de force selon l'axe Ox. La projection selon Ox apparaît dès que $\alpha$ est non nul.

Nous allons maintenant nous livrer à un calcul plus précis de la portance, dans le cas où $\alpha$ est quelconque. Sur le cylindre, $v_r = 0$ et $v_\theta = -2$ [$v_0 \sin(\theta - \alpha) + (\Gamma/4\pi R)$].

La loi de Bernoulli (démontrée plus loin) permet de relier la pression à la densité d'énergie cinétique en suivant une ligne fluide. Ainsi, si $P_0$ désigne la pression à grande distance,

$$P + \frac{1}{2} \rho v^2 = P_0 + \frac{1}{2} \rho v_0^2$$

$$ \text{Soit } P = P_0 + \frac{1}{2} \rho [ v_0^2 - ( 2v_0 \sin(\theta - \alpha) + (\Gamma/2\pi R))^2 ] \\ = P_0 + \frac{1}{2} \rho [ v_0^2 - 4v_0^2 \sin^2(\theta - \alpha) - (\Gamma/2\pi R)^2 - 2v_0 \sin(\theta - \alpha) (\Gamma/\pi R) ] $$

$$ \text{La portance par unité de longueur selon Oy est : } F_y = \int_{0}^{2\pi} P \sin\theta R d\theta $$

$$ \text{La projection par unité de longueur selon Ox est : } F_x = \int_{0}^{2\pi} P \cos\theta R d\theta $$

On montre facilement que les intégrales entre 0 et $2\pi$ de $[\sin\theta]$ et de $[\sin^2(\theta - \alpha) \sin\theta]$ sont nulles, mais que celle de $[\sin(\theta - \alpha) \sin\theta]$ vaut $\pi \cos(\alpha)$.

Ainsi, en valeur absolue, $F_y = (1/2 \rho) 2v_0 (\Gamma/\pi R) (\pi R) \cos(\alpha) = \rho v_0 \Gamma \cos(\alpha)$ en N/m

De même, on trouve que les intégrales entre 0 et $2\pi$ de $[\cos\theta]$ et de $[\sin^2(\theta - \alpha) \cos\theta]$ sont nulles, mais que celle de $[\sin(\theta - \alpha) \cos\theta]$ vaut $\pi \sin(\alpha)$.

Ainsi, en valeur absolue, $F_x = (1/2 \rho) 2v_0 (\Gamma/\pi R) (\pi R) \sin(\alpha) = \rho v_0 \Gamma \sin(\alpha)$ en N/m

La force F par unité de longueur (N/m) sur le cylindre est orthogonale à l'axe de l'écoulement et vaut donc : $F = \rho v_0 \Gamma$; elle découle de l'asymétrie créée par le tourbillon de force $\Gamma$ et se répartit en deux projections, sur Oy et sur Ox, respectivement en $\cos(\alpha)$ et $\sin(\alpha)$.

## 9 – Ecoulement autour d'une aile ; transformation de Joukowski

La transformation de Joukowski permet de transformer la géométrie d'un cylindre en une aile. Elle s'écrit $Z = z + a^2/z$ ou $Z = z + 1/z$ (en coordonnées normalisées $z/a$).

Examinons comment se transforme un cercle de rayon R et de centre O en posant $z = R e^{i\theta}$.

$$ Z = R e^{i\theta} + (a^2/R) e^{-i\theta} = (R + a^2/R) \cos\theta + i (R - a^2/R) \sin\theta = X + iY $$

Si $R = a$, l'image du cercle de rayon a et de centre O est un segment de droite ($Y = 0, -2a < X < 2a$).

<figure><img src="image_30.png" /></figure>

Aile image (un segment par la transformation de Joukowski) du cercle objet de centre C(0, 0) de rayon $R = 1.0$ sous incidence $\alpha = \pi/2$, sans tourbillon additionnel (aucune portance). Les niveaux de gris représentent la vitesse (blanc = vitesse élevée).
Si R ≠ a, l'image du cercle de centre O est une ellipse de demi axes (R + a²/R) et (R - a²/R).

<figure><img src="image_31.png" /></figure>

Aile image (une ellipse par la transformation de Joukowski) du cercle objet de centre C(0, 0) de rayon R = 1.2 sous incidence α = 0 (à gauche) et α = π/2 (à droite), sans tourbillon additionnel (aucune portance). Les niveaux de gris représentent la vitesse (blanc = vitesse élevée).

En coordonnées normalisées, considérons maintenant le cercle passant par le point P (1, 0) et de centre C(x_c, y_c). Son rayon est donc R = [(1 - x_c)² + (y_c)²]¹/² ; sa transformée de Joukowski a le profil d'une aile comme le montre la figure ci-dessous, où l'on a tracé les transformées de trois cercles de centre C(0.05, -0.05), C(0.05, 0) et C(0.05, 0.05) puis de centre C(0.025, -0.05), C(0.025, 0) et C(0.025, 0.05). Seul le profil tel que y_c = 0 (bleu foncé) est symétrique. A l'aide de cette transformation, il sera possible de passer du cylindre à une aile.

<figure><img src="image_32.png" /></figure>
<figure><img src="image_33.png" /></figure>

Aile image du cercle objet de centre C(0.1, 0) passant par P(1, 0) sous incidence $\alpha = 15°$, pour deux valeurs de $\Gamma$ ($\Gamma$ est positif, tourbillon dans le sens horaire) de la force du tourbillon. Les points d'arrêt sont situés à deux valeurs de $\theta$ dans l'espace du cercle objet telles que $\sin(\theta - \alpha) = - (\Gamma / (4\pi Rv_0)) < 0$. A droite, $\Gamma = 4\pi R v_0 \sin(\alpha)$ de sorte que le point d'arrêt droit est rejeté à l'extrémité de l'aile en $\theta = 0$ (condition de Kutta). Les niveaux de gris représentent la vitesse du fluide.

Il y a deux points d'arrêt ; pour rejeter le second point d'arrêt à l'extrémité du bord de fuite en P de coordonnée angulaire $\theta = -\beta = -\arcsin(y_c/R)$ dans l'espace objet, on a :

$\sin(\theta - \alpha) = - (\Gamma / (4\pi Rv_0))$ avec $\theta = -\beta$, ce qui donne la condition de Kutta :

$$ \Gamma = 4\pi R v_0 \sin(\alpha + \beta), \text{ ou } \beta = \arcsin(y_c/R), \text{ condition de Kutta} $$

Le **bord de fuite** correspond dans l'espace objet à $\theta = -\beta$ et le **bord d'attaque** à $\theta = \pi + \beta$.

La figure ci-dessous représente la transformée de Joukowski d'un cercle passant par P(1,0) d'affixe $p = 1$ et de centre C(-0.1, 0.1) d'affixe $c = -0.1 + 0.1i$, de rayon $R = |c - p|$.

<figure><img src="image_34.png" /></figure>

Le profil de l'aile est symétrique par rapport à l'axe Ox tant que $y_c = 0$ ($\beta = 0$). Dès que $y_c \neq 0$ ($\beta \neq 0$), les courbures de l'intrados et de l'extrados sont différentes, il n'y a plus de symétrie.

A la condition de Kutta, sur la surface du cylindre, la vitesse est :

$$ v_{\theta} = -2 v_{0} [\sin(\theta - \alpha) + \sin(\alpha + \beta)], $$

les points d'arrêt étant situés en $\theta = -\beta$ et $\theta = 2\alpha + \beta + \pi$

$v_{\theta}$ oscille sur le pourtour du profil autour de la valeur moyenne $-2 v_0 \sin(\alpha + \beta)$, en variant entre $-2 v_0 [1 + \sin(\alpha + \beta)]$ sur l'extrados et $+ 2 v_0 [1 - \sin(\alpha + \beta)]$ sur l'intrados.

Sous incidence $\alpha$, le potentiel des vitesses s'écrit :

$$ f(z) = v_0 \left[ (z - c) e^{-i\alpha} + R^2 / \left( \frac{z - c}{(z - c) e^{-i\alpha}} \right) \right] + i \left( \frac{\Gamma}{2\pi} \right) \ln \left( \frac{z - c}{(z - c) e^{-i\alpha}} \right) $$
donnant le champ de vitesses associé :

$$v(z) = v_0 \left[ e^{-i\alpha} - R^2 / \left( \left(z - c\right)^2 e^{-i\alpha} \right) \right] + i \left( \frac{\Gamma}{2\pi} \right) / \left(z - c\right)$$

La position des deux points d'arrêt est $z = c - i (\Gamma/4\pi v_0) e^{i\alpha} \pm e^{i\alpha} [R^2 - (\Gamma/4\pi v_0)^2]^{1/2}$

$$\text{Soit } \begin{cases} x = x_c + (\Gamma/4\pi v_0) \sin\alpha \pm [R^2 - (\Gamma/4\pi v_0)^2]^{1/2} \cos\alpha \\ y = y_c - (\Gamma/4\pi v_0) \cos\alpha \pm [R^2 - (\Gamma/4\pi v_0)^2]^{1/2} \sin\alpha \end{cases}$$

En posant $z = c + R e^{i\theta}$, on peut tracer la pression $P(\theta)$ sur le pourtour de l'aile (figure ci-dessous) en partant du bord de fuite et en utilisant l'équation de Bernoulli $P + \frac{1}{2} \rho v^2 = P_0 + \frac{1}{2} \rho v_0^2$ où $P_0$ et $v_0$ sont les pression et vitesse à grande distance de l'obstacle.

Dans l'espace image après transformation de Joukowski par $Z = z + 1/z$, la vitesse complexe s'obtient par $W(Z) = df/dZ = (df/dz) (dz/dZ) = v(z) / (dZ/dz)$. Comme $dZ/dz = 1 - 1/z^2$, on en déduit :

$W(z) = v(z) z^2 / (z^2 - 1)$, qui ne peut pas s'exprimer simplement en fonction de Z.

<figure><img src="image_35.png" /></figure>

Forces de pression exercées sur l'aile avec les paramètres suivants : $x_c = -0.1$, $y_c = 0.1$, incidence nulle ($\alpha = 0$), dans la condition de Kutta $\Gamma = 4\pi R v_0 \sin(\beta)$, ou $\beta = \arcsin(y_c/R)$, $R = [(1 - x_c)^2 + y_c^2]^{1/2}$.

<figure><img src="image_36.png" /></figure>

Forces de pression exercées sur l'aile avec les paramètres suivants : $x_c = -0.1$, $y_c = 0$, $\alpha = 15°$, dans la condition de Kutta $\Gamma = 4\pi R v_0 \sin(\alpha)$, $R = |1 - x_c|$.

<figure><img src="image_37.png" /></figure>

Forces de pression exercées sur l'aile avec les paramètres suivants : $x_c = -0.1$, $y_c = 0.1$, $\alpha = 15°$, dans la condition de Kutta $\Gamma = 4\pi R v_0 \sin(\alpha + \beta)$, ou $\beta = \arcsin(y_c/R)$, $R = [(1 - x_c)^2 + y_c^2]^{1/2}$. La portance est meilleure dans cette géométrie.

## 10 – Force de portance et exemple numérique

Prenons une aile à profil symétrique dans la condition de Kutta $\Gamma = 4\pi R v_0 \sin(\alpha)$. On a vu qu'elle subit la force de portance, orthogonale à la direction de l'écoulement, $F = \rho v_0 \Gamma$, soit :

<figure><img src="image_38.png" /></figure>
$$F = 4\pi \rho R v_0^2 \sin(\alpha)$$

Soit une aile d'avion, d'envergure L et de largeur l. On peut faire l'approximation suivante : $l \approx \pi R$ (demi périmètre du cylindre de rayon R), de sorte que $F \approx 4lL \rho v_0^2 \sin(\alpha)$, soit

$$F \approx 4S \rho v_0^2 \sin(\alpha)$$

S étant la surface de la voilure, $\rho$ la masse volumique de l'air ambiant et $v_0$ la vitesse relative de l'écoulement non perturbé par rapport à l'avion, donc la vitesse de déplacement de celui-ci. L'angle $\alpha$ désigne l'incidence de l'écoulement sur les ailes. On constate que plus la surface S est élevée, plus la vitesse de l'avion est grande, et plus l'incidence $\alpha$ est forte, meilleure est la portance. Or la portance doit être à peu près constante puisqu'elle doit équilibrer en permanence le poids de l'avion, quelle que soit l'altitude (intervient au travers de $\rho$ qui diminue avec elle) et la vitesse de déplacement $v_0$. Un avion lourd nécessite une surface portante S plus importante.

Au décollage ou à l'atterrissage, $v_0$ est faible, on compense cela par une forte incidence $\alpha$ et on augmente S en sortant les volets de sustentation. Cependant, l'incidence ne peut dépasser une valeur critique au-delà de laquelle l'écoulement n'est plus laminaire et se décolle, c'est le décrochage qui réduit la portance.

A l'altitude de croisière, la diminution de $\rho$ et de $\alpha$ (l'avion est beaucoup moins câbré) sont compensés par l'augmentation de $v_0$.

L'altitude de croisière est contrainte, à $\alpha$ et S donnés, par la constance du produit $\rho v_0^2$. Ainsi, plus la vitesse est élevée, plus l'avion volera haut (par exemple le Concorde, altitude doublée).

Prenons pour exemple un Aibus A320, avec $S = 122 \text{ m}^2$ de voilure et de masse $m = 70 \text{ tonnes}$. Son poids est donc voisin de 700 kN, qu'il doit équilibrer par sa portance.

Au décollage, $v_0 \approx 70 \text{ m/s (250 km/h), } \rho = 1.3 \text{ kg/m}^3$, et $\alpha \approx 15^\circ$ donnent $F \approx 800 \text{ kN}$.

A l'altitude de croisière, $v_0 \approx 225 \text{ m/s (800 km/h), } \rho = 0.4 \text{ kg/m}^3$, et $\alpha \approx 4^\circ$ donnent $F \approx 700 \text{ kN}$.

Les vistesses sur l'extrados et l'intrados, respectivement $2 v_0 [1 + \sin(\alpha + \beta)]$ et $+ 2 v_0 [1 - \sin(\alpha + \beta)]$ sont égales, pour $\alpha \approx 4^\circ$ et $v_0 = 800 \text{ km/h}$, à 1710 et 1490 km/h.

Un second exemple, une aile de parapente de surface $S = 15 \text{ m}^2$, supportant une masse de 120 kg (poids de 1200 N), à la vitesse $v_0 = 10 \text{ m/s (36 km/h).}$ Pour $\alpha \approx 10^\circ$, la portance est de 1350 N.

# IV - Ecoulements 2D irrotationnels incompressibles à symétrie cylindrique

Un tel écoulement est tel que $\text{div } \mathbf{v} = 0$ et $\text{rot } \mathbf{v} = 0$ ; il ne dépend que des variables r et z.

$\text{rot} (\text{rot } \mathbf{v}) = \text{grad}(\text{div } \mathbf{v}) - \Delta \mathbf{v} = 0$ implique $\Delta \mathbf{v} = 0$ (équation de Laplace).

En posant $\mathbf{v} = \text{grad } \varphi$, où est le potentiel des vitesses, on a plus simplement implique $\Delta \varphi = 0$

En coordonnées cylindriques, cette équation s'écrit $(1/r) \partial\varphi/\partial r + \partial^2\varphi/\partial r^2 + \partial^2\varphi/\partial z^2 = 0$

On peut également poser $\mathbf{v} = \text{rot}[(\psi/2\pi r) \mathbf{e}_\theta]$ et développer :

$$\mathbf{v} = \psi \text{ rot}(\mathbf{e}_\theta/2\pi r) + \text{grad } \psi \wedge (\mathbf{e}_\theta/2\pi r)$$

$$\text{Or } \text{rot}(\mathbf{e}_\theta/2\pi r) = 0, \text{ d'où } \mathbf{v} = \text{grad } \psi \wedge (\mathbf{e}_\theta/2\pi r)$$

D'où $\mathbf{v} = [- (1/2\pi r) \partial\psi/\partial z, 0, (1/2\pi r) \partial\psi/\partial r]$ n'a pas de composante sur $\mathbf{e}_\theta$
On obtient deux résultats analogues à ceux trouvés dans le plan (x, y) :

- Les lignes de champ sont données par $\psi(r, z) = \text{constante}$

- Les lignes équipotentielles sont orthogonales aux lignes de champ et données par $\varphi(r, z) = \text{constante}$

Avec $\mathbf{v} = [ - (1/2\pi r) \frac{\partial\psi}{\partial z}, 0, (1/2\pi r) \frac{\partial\psi}{\partial r} ]$, développons l'équation $\textbf{rot } \mathbf{v} = \mathbf{0}$ :

$\textbf{rot } \mathbf{v} = [ 0, - (1/2\pi r) \frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} - \frac{\partial((1/2\pi r) \frac{\partial\psi}{\partial r})}{\partial r}, 0 ]$ n'a de composante que sur $\mathbf{e}_\theta$

$\textbf{rot } \mathbf{v} = \mathbf{0}$ implique : $\boxed{ - (1/r) \frac{\partial\psi}{\partial r} + \frac{\partial^2\psi}{\partial r^2} + \frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} = 0 }$ ce qui n'est pas une équation de Laplace à cause du signe - !

Les écoulements $\mathbf{v} = \textbf{rot}[(\psi/2\pi r) \mathbf{e}_\theta]$ tels que la fonction $\psi(r, z)$ vérifie cette équation ont les lignes de champ données simplement par $\psi(r, z) = \text{constante}$. Nous allons étudier quelques exemples.

## Diffuseur divergent

Soit la fonction $\psi(r, z) = 2\pi k r^2 z$, avec $k < 0$ constante donnée

Les lignes de courant sont de révolution autour de Oz et données par $z = cte/r^2$

$$ 
\begin{cases} 
v_r = - (1/2\pi r) \frac{\partial\psi}{\partial z} = - k r > 0 \\ 
v_z = (1/2\pi r) \frac{\partial\psi}{\partial r} = 2 k z < 0 
\end{cases} 
$$

Le module v de la vitesse est égal à $k (r^2 + 4z^2)^{1/2}$, v est nul à l'origine.

Si l'on prend une surface dont les parois sont confondues à une ligne de courant, par exemple celle passant par $z = h$ pour $r = R$, on a un diffuseur divergent à parois hyperboliques d'équation (dans le plan r, z) : $z = h R^2/r^2$. Appelons $v_e < 0$ la vitesse d'entrée sur l'axe Oz en $z = h$, $r = 0$. Alors $k = v_0/2h$ et l'on obtient $v_r = -v_0 r/2h > 0$ et $v_z = v_0 z/h < 0$. Ce diffuseur _ralentit_ le fluide ($|v_z|$ diminue avec z) et le diffuse à 90° dans le plan d'équation $z = 0$. C'est le principe du diffuseur de Präsil.
<figure><img src="image_39.png" /></figure>

Lignes fluides dans un diffuseur divergent dont la surface a pour équation dans le plan (r, z) en coordonnées cylindriques :

$$z = h R^2/r^2.$$

La vitesse dérive de la fonction

$$\psi(r, z) = \pi (v_0/2h) r^2 z \text{ avec pour}$$

composantes :

$$v_r = -v_0 r/2h > 0$$

$$v_z = v_0 z/h < 0$$

L'entrée du diffuseur se fait en z = h, son rayon d'entrée est R, et la vitesse d'entrée sur Oz (avec r = 0) est dirigé vers le vbas (v₀ < 0). Le diffuseur ralentit le fluide.

## Diffuseur conique

Soit la fonction $\psi(r, z) = 2\pi k [1 - (1 + r^2/z^2)^{-1/2}]$, avec k < 0 constante donnée.

Les lignes de courant obéissent à $\psi(r, z) = cte$, leur équation est $z = \alpha r$, ce sont des droites passant par l'origine de pente $\alpha$ qui définissent des cones de révolution autour de l'axe Oz, de sommet O. On a pour le vecteur vitesse :

$$v_r = - (1/2\pi r) \frac{\partial\psi}{\partial z} = k (r/z^3) (1 + r^2/z^2)^{-3/2} < 0$$

$$v_z = (1/2\pi r) \frac{\partial\psi}{\partial r} = (k/z^2) (1 + r^2/z^2)^{-3/2} < 0$$

avec $v_r/v_z = r/z = \text{constante sur une ligne de courant}$

Le module de la vitesse est $v = |k| / (r^2 + z^2)$, il augmente vers l'origine O.

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

Lignes fluides dans un diffuseur conique dont la surface a pour équation dans le plan (r, z) en coordonnées cylindriques :

$$z = \alpha r (\alpha \text{ donné}) \text{ où encore}$$

$$z = h_2 r/R_2.$$

L'entrée du cone se fait en z = h₂, son rayon d'entrée est R₂, la sortie se fait en z = h₁ < h₂, son rayon de sortie étant R₁ < R₂.

La vitesse dérive de la fonction

$$\psi(r, z) = 2\pi k [1 - (1 + r^2/z^2)^{-1/2}]$$

$$\text{avec } k = cte < 0$$

Le cone augmente la vitesse du fluide qui se dirige vers le point O. Si $v_0$ (< 0) est la vitesse selon Oz en r = 0, z = h₂, alors $k = v_0 h_2^2$, et : $v(r, z) = v_0 h_2^2 / (r^2 + z^2)$

Sur l'axe Oz, v passe de $v_0$ à $v_0 h_2^2 / h_1^2$
# V - Equation d'Euler du mouvement fluide

$$ \rho \frac{dv}{dt} = - \text{grad} P + f $$

où f désigne les forces par unité de volume (N m⁻³) autres que les forces dûes à la pression P. $dv/dt$ s'appelle dérivée particulaire de la vitesse. Comme la vitesse du fluide en un point M(x, y, z) de l'espace dépend de x, y, z et de t (description eulérienne à 4 variables), on peut écrire:

$$ \begin{aligned} dv &= \partial v / \partial x \, dx + \partial v / \partial y \, dy + \partial v / \partial z \, dz + \partial v / \partial t \, dt \\ d'où \ dv/dt &= \partial v / \partial x \, dx/dt + \partial v / \partial y \, dy/dt + \partial v / \partial z \, dz/dt + \partial v / \partial t \, dt \\ &= v_x \, \partial v / \partial x + v_y \, \partial v / \partial y + v_z \, \partial v / \partial z + \partial v / \partial t = (v_x \, \partial v / \partial x) \, \mathbf{v} + (v_y \, \partial v / \partial y) \, \mathbf{v} + (v_z \, \partial v / \partial z) \, \mathbf{v} + \partial v / \partial t \end{aligned} $$

$$ \frac{dv}{dt} = \mathbf{v} \cdot \text{grad}(\mathbf{v}) + \partial \mathbf{v} / \partial t $$

Dans la description Lagrangienne, qui suit le fluide, la quantité $dv/dt$ est l'accélération. Dans la description Eulérienne (position fixe), l'accélération est la somme de l'accélération locale $\partial v / \partial t$ et de l'accélération convective $\mathbf{v} \cdot \text{grad}(\mathbf{v})$. L'opérateur $\mathbf{v} \cdot \text{grad}$ est $v_x \, \partial v / \partial x + v_y \, \partial v / \partial y + v_z \, \partial v / \partial z$.

**Remarque:** on a l'identité $\mathbf{v} \cdot \text{grad}(\mathbf{v}) = \text{grad}(v^2/2) + \text{rot} \, \mathbf{v} \wedge \mathbf{v}$ où $\text{rot} \, \mathbf{v} = 2 \, \Omega$ (vecteur tourbillon); un écoulement irrotationnel est tel que $\mathbf{v} \cdot \text{grad}(\mathbf{v}) = \text{grad}(v^2/2)$.

L'équation du mouvement ou équation d'Euler devient :

$$ \rho \left[ \frac{\partial v}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \text{grad}(\mathbf{v}) \right] = - \text{grad} P + f \quad (f \text{ en N m}^{-3}) $$

$P$ est le potentiel des forces de pression, par unité de volume. En ce qui concerne les autres forces, on peut en donner quelques exemples :

$$ \mathbf{f} = \rho \mathbf{g} + \mathbf{j} \wedge \mathbf{B} + \nu \rho \Delta \mathbf{v} \quad (\text{en N m}^{-3}), \text{ expression de la force dans laquelle:} $$

1) $\rho \mathbf{g}$ est le poids volumique. $\mathbf{g}$ dérive du potentiel gz (par unité de volume).

2) $\mathbf{j} \wedge \mathbf{B}$ est la force de Laplace volumique, $\mathbf{j}$ désignant la densité de courant ($A \, m^{-2}$) reliée à l'intensité du courant électrique total I (Ampères) par la loi $I = \iiint \mathbf{j} \cdot d\mathbf{S}$ (flux de la densité $\mathbf{j}$).

3) $\nu \rho \Delta \mathbf{v} = \mu \Delta \mathbf{v}$ sont les forces de frottement visqueuses par unité de volume; l'équation d'Euler en présence de viscosité porte alors le nom d'équation de Navier Stokes; dans cette expression, $\Delta \mathbf{v}$ est le Laplacien du vecteur vitesse; $\mu$ est la viscosité dynamique en Poiseuille (Pa s ou kg m⁻¹ s⁻¹); on définit aussi la quantité $v = \mu/\rho$ comme étant la viscosité cinématique en m² s⁻¹.

Numériquement, et en première approximation pour un gaz dans les conditions stellaires, on a :

$\mu = \nu \rho = 2.2 \times 10^{-17} \, \text{T}^{5/2} \, \text{kg m}^{-1} \, \text{s}^{-1}$ (Poiseuille), où T est la température en Kelvins;

- dans les conditions de la photosphère solaire, avec $T = 10^4 \, \text{K}$ et $\rho = 10^{-7} \, \text{kg m}^{-3}$, la viscosité dynamique $\mu$ est voisine de $10^{-7} \, \text{Poiseuille}$ et la viscosité cinématique $v$ est voisine de $1 \, \text{m}^2 \, \text{s}^{-1}$.

- dans la couronne solaire, avec $T = 10^6 \, \text{K}$ et $\rho = 10^{-12} \, \text{kg m}^{-3}$, on trouve $\mu$ voisin de $10^{-2} \, \text{Poiseuille}$ et $v$ voisin de $10^{10} \, \text{m}^2 \, \text{s}^{-1}$.

- dans les conditions de température et de pression ordinaires, on a pour quelques fluides :

Eau : $\mu = 10^{-3} \, \text{Poiseuille}$ ; glycérine : $\mu = 1.5 \, \text{Poiseuille}$

Huiles : $\mu = 0.1 \, \text{à 1 Poiseuille}$

Air : $\mu = 2 \times 10^{-5} \, \text{Poiseuille}$ ; hydrogène : $\mu = 10^{-5} \, \text{Poiseuille}$

4) en présence de champ électrique $\mathbf{E}$, la force volumique à considérer est $\rho \mathbf{E}$, où cette fois $\rho$ désigne la densité volumique de charge en C m⁻³. Dérive du potentiel électrique ($\mathbf{E} = - \text{grad} \, \mathbf{V}$).
# 1 – Quelques écoulements de Navier Stokes stationnaires

## Equation de Navier Stokes stationnaire : exemple de l'écoulement de Couette plan

<figure><img src="image_41.png" /></figure>

Dans cet écoulement entre deux plans (y = 0 et y = a), le fluide visqueux est entraîné par une plaque mobile horizontale en y = a. Le problème ne dépend que de la variable y et la vitesse du fluide est selon Ox. Dans la direction Oy, l'équation de Navier Stokes est celle de l'équilibre hydrostatique:

$$ - \frac{dP}{dy} - \rho g = 0 \text{ d'où } P(y) = P(0) - \rho g y \text{ (si incompressible)} $$

Dans la direction Ox, il n'a pas de gradient de pression, l'équation de Navier Stokes se réduit à :

$$ \Delta v = 0 \text{ soit } \frac{d^2v}{dy^2} = 0 \text{ avec les conditions aux limites } v(0) = 0 \text{ et } v(a) = u, \text{ d'où } v(y) = u \frac{y}{a} $$

### exemple de l'écoulement de Couette cylindrique

Plaçons nous dans le système de coordonnées polaires (r, θ) et considérons un cylindre d'axe Oz de rayon R en rotation dans un fluide visqueux selon Oz, avec $v(R) = u e_θ$. Le problème est à symétrie cylindrique : la vitesse du fluide est orthoradiale et ne dépend que de r, la distance à l'axe de rotation. L'équation de Navier Stokes se réduit à :

$$ \Delta \mathbf{v} = \mathbf{0} \text{ avev } \mathbf{v} = (0, v_{\theta}(r), 0) $$

Attention au Laplacien vectoriel en coordonnées cylindriques ou sphériques ! Il se calcule en évaluant d'abord le rotationnel du rotationnel et le gradient de la divergence par :

$$ \Delta \mathbf{v} = \text{grad}(\text{div}(\mathbf{v})) - \text{rot}(\text{rot}(\mathbf{v})) $$

$$ \text{On trouve } \Delta v_{\theta} = \frac{d}{dr} \left[ \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \left( \frac{rv_{\theta}}{r} \right) \right] $$

On en déduit $v_{\theta}(r) = a + b/r$ où a et b sont deux constantes, que l'on détermine par les conditions aux limites : $v_{\theta}(R) = u$ et $v_{\theta}(r) \to 0$ lorsque $r \to \infty$

$$ \text{Ainsi, } a = 0 \text{ et } b/R = u, \text{ d'où finalement } v_{\theta}(r) = u \frac{R}{r} $$

## Equation de Navier Stokes stationnaire : exemple de l'écoulement de Poiseuille plan

<figure><img src="image_42.png" /></figure>

L'écoulement est induit par la différence de pression ($P_A - P_B$) entre les extrémités du tube.
Dans cet écoulement entre deux plans (y = - a et y = a), le fluide visqueux est entraîné vers la droite par un gradient de pression uniforme et égal à (P<sub>B</sub> - P<sub>A</sub>)/l < 0. Le problème ne dépend que de la variable y et la vitesse du fluide est selon Ox où l'équation de Navier Stokes se réduit à :

$$
- \frac{dP}{dy} + \mu \Delta v = 0 \quad \text{soit} \quad \frac{d^2v}{dy^2} = \frac{P_B - P_A}{\mu l} < 0
$$

avec les conditions aux limites v(- a) = v(a) = 0, on obtient
Le profil des vitesses est parabolique entre les deux plans.

$$
v(y) = 1/2 \left[ \frac{(P_A - P_B)}{\mu l} \right] (a^2 - y^2)
$$

La force de frottement fluide exercée sur les plans y = ± a de surface S est donnée par la loi:

$$
\mathbf{F} = - \mu \left| \frac{dv}{dy} \right| S \mathbf{e}_x \quad \text{en } y = \pm a \text{ (unité : N)}, \text{ elle est opposée au mouvement.}
$$

ce qui donne en module : $F = [(P_A - P_B) / l] S a$

Le débit volumique D est obtenu par intégration du profil des vitesses v(y) sur la section entre les plans y = ± a, il est proportionnel au gradient de pression, qui fait avancer le fluide :

$$
D = 2/3 \left[ \frac{(P_A - P_B)}{\mu l} \right] a^3 d \text{ (unité: m}^3 \text{ s}^{-1})
$$

où d est une dimension caractéristique orthogonale au plan de la figure, selon Oz (la section entre les plans étant de surface 2 a d)

exemple de l'écoulement de Poiseuille cylindrique (le tuyau)

On a – **grad** P + μ Δ**v** = 0 avec **grad** P = (P<sub>B</sub> - P<sub>A</sub>)/l **e**<sub>x</sub> où P<sub>B</sub> < P<sub>A</sub> (gradient négatif), l'écoulement est à symétrie cylindrique (tuyau de rayon R d'axe Ox) tel que **v** = (0, 0, v<sub>x</sub>(r))

De nouveau, attention au Laplacien vectoriel !

Selon Ox, l'équation de Navier Stokes s'écrit : - (P<sub>B</sub> - P<sub>A</sub>) / l + μ/r d/dr[ r dv<sub>x</sub> / dr ] = 0

Elle s'intègre aisément :

$$
d/dr(r \, dv_x/dr) = [(P_B - P_A) / \mu \, l] \, r
$$

$$
r \frac{dv_x}{dr} = \left[ \frac{(P_B - P_A)}{\mu l} \right] \frac{r^2}{2} + a
$$

$$
dv_x/dr = [(P_B - P_A) / \mu l] r/2 + a/r
$$

$$
v_x = \left[ \frac{(P_B - P_A)}{\mu l} \right] \frac{r^2}{4} + a \ln(r) + b
$$

avec pour conditions aux limites v<sub>x</sub>(0) fini (maximal) et v<sub>x</sub>(R) = 0,

d'où a = 0 et b = - [(P_B - P_A) / μ l] R²/4, et finalement :

$$
v_x(r) = \left[ \frac{(P_A - P_B)}{\mu l} \right] \frac{R^2 - r^2}{4}
$$

Le profil des vitesses est parabolique.

La force de frottement fluide exercée sur le tuyau de rayon R et longueur l est donnée par la loi:

$$
\begin{align*}
\mathbf{F} &= - \mu \left| \frac{dv_x}{dr} \right| S \mathbf{e}_x \quad \text{où } S = \frac{2\pi R l}{\mu} \\
&= - \mu \left[ \frac{(P_A - P_B)}{\mu l} \right] \left( \frac{R}{2} \right) 2\pi R l \mathbf{e}_x = - \left( \frac{P_A - P_B}{\pi R^2} \right) \mathbf{e}_x
\end{align*}
$$

Le débit volumique D (m³/s) est obtenu par intégration du profil des vitesses vₓ(r) sur une couronne élémentaire de surface 2π r dr, pour r variant de 0 à R. Il est proportionnel au gradient de pression, qui fait avancer le fluide :

$$
D = \left(\frac{\pi}{8}\right) R^4 \frac{(P_A - P_B)}{\mu l}
$$
## 2 - Résolution de l'équation de diffusion dépendante du temps dans un cas simple

On considère un écoulement plan ne dépendant que d'une seule dimension y et on suppose connue à l'instant $t = 0$ (la condition initiale) la distribution du champ des vitesses horizontales $v(y, 0)$ portée par l'axe Ox. La solution dépendante du temps $v(y, t)$ est donnée par la résolution de l'équation de diffusion :

$$ \rho \frac{\partial v}{\partial t} = \mu \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = \rho v \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}, \text{ d'où } \frac{\partial v}{\partial t} = v \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} $$

Où $v$ est la viscosité cinématique (m² s⁻¹).

Par exemple pour l'eau, on a $v = 10^{-6} \text{ m}^2 \text{ s}^{-1}$ et pour l'air $v = 15 \ 10^{-6} \text{ m}^2 \text{ s}^{-1}$

Cette équation peut se résoudre par transformée de Fourier (TF). Avec la convention

$$ \text{TF}_f(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y) e^{-2i\pi uy} dy, \text{ on obtient en prenant la TF de l'équation sur la variable d'espace y :} $$

$\partial \text{TF}_v(u, t) / \partial t = -4 \pi^2 u^2 v \text{TF}_v(u, t)$ en utilisant la propriété de la TF pour les dérivées de f :

$$ \text{TF}_f = 2i\pi u \text{TF}_f, \quad \text{TF}_f = (2i\pi u)^2 \text{TF}_f, \quad \text{TF}_f^{(n)} = (2i\pi u)^n \text{TF}_f \dots $$

L'équation différentielle sur la TF est du premier ordre en $t$ et $a$ pour solution simple :

$$ \text{TF}_v(u, t) = \text{TF}_v(u, 0) e^{-4 \pi^2 u^2 v t} $$

Et par transformée de Fourier inverse sur $u$, on obtient $v(y, t)$ connaissant la transformée de Fourier de la distribution spatiale initiale du champ des vitesses :

$$ v(y, t) = \text{TF}^{-1} \left[ \text{TF}_{v(y,0)}(u, 0) e^{-4 \pi^2 u^2 v t} \right] $$

$$ \text{Remarque : } e^{-4 \pi^2 u^2 v t} = 1 / (4\pi v t)^{1/2} \text{TF}(e^{-y^2/4 v t}) $$

La transformée de Fourier de la gaussienne de variable $y$ est une gaussienne de la variable $u$.

$$ \text{donc } \text{TF}_v(u, t) = 1 / (4\pi v t)^{1/2} \text{TF}[v(y, 0)] \text{TF}[e^{-y^2/4 v t}] = 1 / (4\pi v t)^{1/2} \text{TF}[v(y, 0) * e^{-y^2/4 v t}] $$

où * désigne le produit de convolution, en utilisant le fait que la TF d'un produit de convolution de deux fonctions est égal au produit des TF de chacune. On en déduit donc que :

$$ v(y, t) = 1 / (4\pi v t)^{1/2} v(y, 0) * e^{-y^2/4 v t} \quad \text{(produit de convolution sur la variable y)} $$

$$ \text{En développant, } v(y, t) = 1 / (4\pi v t)^{1/2} \int_{-\infty}^{+\infty} v(y-u, 0) e^{-u^2/4 v t} \text{ du} $$

$$ \text{La fonction de Dirac } \delta(y) \text{ est telle que } \int_{-\infty}^{+\infty} f(u) \delta(u-y) \text{ du} = f(y) $$

Alors si $v(y, 0) = v_0 \Delta l \delta(x)$ **fonction de Dirac**, on obtient de suite $\Delta l$ représentant la largeur du pic de Dirac (qui tend vers zéro).

Ce modèle est donc constitué d'une couche limite en mouvement en $y = 0$, le reste de l'espace étant au repos. Cependant, le mouvement va diffuser progressivement dans tout l'espace. Lorsque $t$ ou $y$ deviennent infiniment grands, $v(y, t)$ tend vers zéro, la diffusion est totale.

Introduisons le temps $T$ de diffusion sur une distance $L$ caractéristique par l'équation aux dimensions : $1/T = v / L^2$, d'où $T = L^2 / v$ échelle de temps diffusive.
Les grandeurs caractéristiques T et L peuvent normaliser t et y, de sorte qu'en variables normalisées, on a :

$$v(y, t) = v_0 \left[ \left( \frac{\Delta l}{L} \right) / \left( \frac{4\pi t}{\left(4\pi t\right)^{1/2}} \right) \right] e^{-y^2/4t}$$

fonctions dont on a fait une représentation graphique ci-dessous, en fonction de y/L, et pour cinq valeurs de t/T successives. On constate que le mouvement, initialement concentré en y = 0, diffuse en s'élargissant spatialement (largeur en t¹/²) tout en diminuant de vitesse (pic en 1 / t¹/²).

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

## 3 - Les échelles de temps caractéristiques : temps dynamique et temps diffusif

En l'absence de forces autres que visqueuses, l'équation du mouvement s'écrit :

$$\rho \left[ \frac{\partial v}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{grad}(\mathbf{v}) \right] = \rho \Delta v$$

la partie diffusive $\partial v / \partial t = v \Delta v$ (il s'agit d'une équation de diffusion pure) possède une constante de temps caractéristique, dite temps diffusif :

$$\tau_{\text{diff}} = L^2 / v$$

et la partie convective $\partial v / \partial t = - \mathbf{v} \cdot \mathbf{grad}(\mathbf{v})$ possède une constante de temps, dite temps dynamique :

$$\tau = L/v$$

Le rapport de ces deux temps caractéristiques est appelé **nombre de Reynolds** (L et v sont respectivement des longueurs et vitesses caractéristiques du système fluide) :

$$Re = \tau_{\text{diff}} / \tau = L v / v$$

Re représente aussi le rapport entre la force convective $|| \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{grad}(\mathbf{v}) ||$ et visqueuse $|| \rho v \Delta \mathbf{v} ||$.

Dans les conditions de la photosphère solaire, avec $T = 10^4$ K, $L = 10^4$ km, $v = 1$ km/s, $v = 1$ m² s⁻¹, Re est voisin de $10^{10}$, ce qui signifie que les termes visqueux sont négligeables dans ce régime. Dans la couronne, avec $T = 10^6$ K, $L = 10^5$ km, $v = 100$ km/s, $v = 10^{10}$ m² s⁻¹, Re avoisine $10^3$. Dans l'eau avec $L = 1$ m, $v = 1$ m/s et $v = 10^{-6}$ m² s⁻¹, Re vaut environ $10^6$.
Dans l'air avec L = 1 m, v = 100 m/s et v = 15 10⁻⁶ m² s⁻¹, Re vaut environ 6 10⁶.

## Ecoulement permanent laminaire, turbulent

L'équation du mouvement devient en régime permanent et en ne considérant que les forces de pression et de frottement :

$$ \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{grad}(\mathbf{v}) = - \mathbf{grad} \mathbf{P} + \rho \mathbf{v} \cdot \Delta \mathbf{v} $$

Si $\mathbf{Re} \ll 1$, alors $\|\mathbf{v} \cdot \mathbf{grad}(\mathbf{v})\| \ll \|\mathbf{v} \cdot \Delta \mathbf{v}\|$; il reste $- \mathbf{grad} \mathbf{P} + \rho \mathbf{v} \cdot \Delta \mathbf{v} = \mathbf{0}$; cette équation est linéaire en v et l'écoulement est laminaire car sa solution est unique.

Si $\mathbf{Re} \gg 1$, alors $\|\mathbf{v} \cdot \mathbf{grad}(\mathbf{v})\| \gg \|\mathbf{v} \cdot \Delta \mathbf{v}\|$; il reste $\mathbf{grad} \mathbf{P} + \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{grad}(\mathbf{v}) = \mathbf{0}$; cette équation est non linéaire en v et l'écoulement est turbulent; il développe des petites échelles locales de variation comme des tourbillons qui contribuent à dissiper l'énergie cinétique $\frac{1}{2} \rho v^2$. En général c'est toujours le cas lorsque $\mathbf{Re} > 1000$.

## Force d'inertie de Coriolis

La force d'inertie de Coriolis a une action sur le mouvement d'un fluide dans un référentiel en rotation, comme une étoile ou une planète. Si $\Omega$ est la vitesse angulaire de rotation de l'objet autour de son axe, la force d'inertie de Coriolis est, par unité de volume, $\mathbf{f} = -2 \rho \Omega \Lambda \mathbf{v}$ (en N m⁻³). Le temps caractéristique associé est :

$$ \tau_c = 1/\Omega $$

Sachant que $\tau = L/v$ est le temps dynamique, on appelle nombre de Rossby le rapport :

$$ \text{Ro} = \tau_c / \tau = v / (\Omega L) $$

Ro représente aussi le rapport entre la force advective $\|\rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{grad}(\mathbf{v})\|$ et de Coriolis $\|\rho \Omega \Lambda \mathbf{v}\|$.

Dans les conditions de la photosphère solaire, avec L = 10⁴ km, v = 1 km/s, $\Omega = 7.3 \times 10^{-5}$ rd s⁻¹, Ro est voisin de 100, ce qui signifie que la force de Coriolis peut souvent être négligée. Cependant, aux grandes échelles (L > 10⁵ km), elle joue un rôle dans la déformation des régions actives.

Dans les conditions des masses d'air de la planète Terre, avec L = 10³ km, v = 20 m/s, $\Omega = 2.5 \times 10^{-6}$ rd s⁻¹, Ro < 1, ce qui signifie l'importance des forces de Coriolis en météorologie, que l'on va décrire plus précisément.

### Exemple du rôle de la force d'inertie de Coriolis : l'écoulement géostrophique

On rencontre de tels écoulements en météorologie terrestre ou sur les planètes géantes gazeuses. Dans un tel écoulement, la force d'inertie de Coriolis est équilibrée par le gradient de pression :

$$ - \mathbf{grad} \mathbf{P} - 2 \rho \Omega \Lambda \mathbf{v} = \mathbf{0} \quad \text{où} \quad \Omega = \Omega_e $$

on en déduit: $\mathbf{e}_z \Lambda \mathbf{v} = -(1/2 \rho \Omega) \mathbf{grad} \mathbf{P}$

Considérons un point M à la surface d'une planète en rotation autour de l'axe Oz à la vitesse angulaire $\Omega$. Soit $(\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y, \mathbf{e}_z)$ le trièdre fixe et $(\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y, \mathbf{e}_z)$ le trièdre local au point M, le plan $(\mathbf{e}_x, \mathbf{e}_y)$ étant horizontal en M, et $\mathbf{e}_z$ la verticale locale.
$e_z \Lambda (e_z \Lambda v) = -(1/2 \rho \Omega) e_z \Lambda \text{grad } P$

Nous supposons que le vecteur vitesse *v* est contenu dans le plan tangent en M donc horizontal de sorte que $e_z \cdot v = 0$.

$e_z \Lambda (e_z \Lambda v) = (e_z \cdot v)e_z - (e_z, e_z) v = - \sin\lambda v \text{ où } \lambda \text{ est la latitude du lieu (positive au Nord).}$

En conséquence, $v = (1/2 \rho \Omega \sin\lambda) e_z \Lambda \text{grad } P$

<figure><img src="image_44.png" /></figure>

Cette équation montre que la vitesse *v* est orthogonale au gradient horizontal de pression ; or pour une altitude *Z* fixe, les isobares (P = constante) sont aussi orthogonales à **grad** P puisque $dP = \text{grad}P \cdot dOM = 0$. Les lignes fluides d'un écoulement géostrophique sont donc parallèles aux isobares du champ de pression. On pourrait aussi écrire $v = \text{rot} [-P / (2 \rho \Omega \sin\lambda) e_z]$ si ρ varie peu, la quantité -P / (2 ρ Ω sinλ) e_z apparaissant comme un potentiel dont dérive v.

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

La grande tache rouge de Jupiter, un anticyclone dans l'hémisphère Sud en rotation antihoraire (les sens s'inversent entre les hémisphères car $\sin\lambda$ change de signe)

<figure><img src="image_46.png" /></figure>

Ecoulement dans le sens antihoraire autour d'une dépression dans l'hémisphère Nord ($\lambda > 0$)

<figure><img src="image_47.png" /></figure>

Ecoulement dans le sens horaire autour d'un anticyclone dans l'hémisphère Nord ($\lambda > 0$)

L'exemple fonctionne aussi pour la circulation des vents en météorologie terrestre.

## 4 - Force d'inertie centrifuge d'entraînement et aplatissement des corps en rotation

La force d'inertie centrifuge d'entraînement est à l'origine de l'applatissement des corps en rotation. Son expression est, au point M, de projection H sur l'axe de rotation, par unité de volume :

$f = \rho \Omega^2 HM$ (en N m⁻³)

La force d'inertie d'entraînement est équilibrée en M par le gradient de pression et la gravité **G**:

$- \text{grad} P + \rho G + \rho \Omega^2 HM = 0 \quad \text{où} \quad \Omega = \Omega e_z$

Supposons le corps de densité uniforme, soit $\rho$ = constante (cette hypothèse est fausse, car $\rho$ varie en fonction de la distance au cente O).

<figure><img src="image_48.png" /></figure>
Le champ d'autogravitation **G** d'un corps sphérique de rayon R, de densité ρ uniforme, est donné par le théorème de Gauss du champ de gravitation, issu de div(**G**) = -4πKρ où K = 6.67 10⁻¹¹ SI est la constante de gravitation universelle. On s'intéresse ici à l'autogravitation du corps et on prend une sphère de rayon r < R comme surface de Gauss.

Flux à travers la sphère de rayon r = G 4π r² = (-4πK) x masse intérieure = (-4πK) (4/3 π r³ ρ)

d'où G = -4πKρr/3 avec r² = OM² = x² + y² + z² distance au centre de la sphère.

**En surface** d'une sphère de rayon R, $g = 4πKρR/3$, d'où $G = -gR/2$ et $\mathbf{G} = -\mathbf{grad}(gR^2/2)$

Or $\mathbf{HM} = x \mathbf{e}_x + y \mathbf{e}_y = \mathbf{grad} (x^2+y^2)/2$

D'où l'équation d'équilibre : $\mathbf{grad} (-P - \rho g (x^2+y^2+z^2)/2R + \rho \Omega^2 (x^2+y^2)/2) = 0$

Cette équation fait apparaître **trois potentiels** dont dérivent les forces de **pression** (potentiel P), d'**autogravitation** (potentiel ρg(x²+y²+z²)/2R et de **rotation** centrifuge (potentiel -ρΩ²(x²+y²)/2).

On en déduit: $P + \rho (g/R - \Omega^2) (x^2+y^2)/2 + \rho g z^2/2R = \text{constante} = P_0$ pression centrale

qui s'écrit : $[(1/R^2 - \Omega^2/gR)(x^2+y^2) + z^2/R^2] = 2(P_0 - P) / \rho g R$

$P(x, y, z)$ = constante donne l'équation d'un **ellipsoïde de révolution autour de l'axe de rotation Oz** de demi axes a et b tels que $(x^2+y^2)/a^2 + z^2/b^2 = 1$. C'est une sphère si $\Omega = 0$.

Les demi axes sont donnés à une constante près par $1/a^2 = 1/R^2 - \Omega^2/gR$ et $1/b^2 = 1/R^2$

d'où $a = R (1 - \Omega^2 R/g)^{-1/2}$ et $b = R$ avec $a > b$ (renflement équatorial)

Comme le renflement équatorial est généralement faible, on peut écrire : $a = R (1 + \Omega^2 R/2g)$

L'applatissement est défini par $e = (a - b)/b = \Omega^2 R/2g$

Pour la Terre, $T = 2\pi/\Omega = 24$ heures, $g = 9.8 \text{ m s}^{-2}$, on trouve $e = 1.7 \times 10^{-3}$ (facteur 2 trop faible)
L'ellipsoïde porte le nom de géoïde.

Pour le Soleil, $T = 2\pi/\Omega = 26$ jours, $g = 275 \text{ m s}^{-2}$, on trouve $e = 10^{-5}$ (bonne valeur)

## 5 - Force d'inertie centrifuge et télescope à miroir liquide

Un télescope à miroir liquide, pour visée à la verticale seulement, peut être réalisé en faisant tourner un bain de mercure autour de l'axe Oz. La surface, sous l'action de la force centrifuge, va prendre un forme parabolique. On considère pour faire la démonstration un cylindre de rayon R, d'axe Oz, en rotation à la vitesse angulaire constante Ω. La vitesse du fluide en tout point du cylindre est orthoradiale et désignée en coordonnées cylindriques (r, θ, z) par $\mathbf{v} = v(r) \mathbf{e}_\theta$.

L'équation d'Euler s'écrit $\rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{grad} \mathbf{v} = - \mathbf{grad} P + \rho \mathbf{G} + \rho \Omega^2 \mathbf{HM}$

Où $\mathbf{HM} = r \mathbf{e}_r$, r étant la distance du point M du fluide à sa projection H sur l'axe Oz.
Comme $\mathbf{v} = (0, v(r), 0)$ et $\mathbf{grad} = (d/dr, 0, 0)$, le terme inertiel $\mathbf{v} \cdot \mathbf{grad} \mathbf{v}$ est nul.

Comme $\mathbf{G} = -\mathbf{grad} \mathbf{gz}$ et $\mathbf{HM} = \mathbf{grad}(R^2/2)$, on peut donc écrire :
$$ \text{grad} (-P - \rho g z + \rho \Omega^2 r^2/2) = 0 $$

expression ou apparaissent **trois potentiels**, ceux des forces de **pression**, de **pesanteur** et de **rotation** centrifuge. Par intégration immédiate, on a :

$$ -P - \rho g z + \rho \Omega^2 r^2/2 = \text{constante} $$

La surface libre du fluide est telle que $P = \text{pression ambiante} = \text{constante}$. On en déduit l'équation de la surface libre du fluide :

$$ z = \Omega^2 r^2/2g + z_0 \quad \text{qui est l'équation d'une parabole.} $$

Soit $f$ la focale de cette parabole ; son équation générique est $z = r^2/4f + z_0$, on en déduit ainsi :
$$ f = g/2\Omega^2 $$

Prenons à titre d'exemple un bain de mercure de rayon $R = 1$ m, tournant sur lui-même à la vitesse angulaire $\Omega = 1$ rd/s dans le champ de pesanteur $g = 10$ m/s². Alors $f = 5$ m ; les bords du paraboloïde de révolution autour de Oz sont élevés de $h = \Omega^2 R^2/2g = 5$ cm par rapport au centre de la surface. Le rapport d'ouverture de ce télescope liquide est $f/D = f/2R = 2.5$.

## 6 - Marées

Considérons un point M (x, y, z) du globe terrestre, représenté en coordonnées sphériques (r, θ, φ) telles que :

$$ x = r \sin\theta \cos\phi $$

$$ y = r \sin\theta \sin\phi $$

$$ z = r \cos\theta $$

$$ r^2 = x^2 + y^2 + z^2 $$

En D (0, 0, d) se trouve un corps massif (une lune de masse m), tel que $d \gg r$.

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

On va rechercher les effets de cette lune au point M en considérant le globe terrestre comme un fluide autogravitant de masse volumique uniforme $\rho$ et de rayon R. On a vu précédemment que le potentiel d'autogravitation au point M est :

$$ V_a = (4/3)\pi K \rho r^2/2 = (2/3)\pi K \rho (x^2+y^2+z^2) $$

Où K est la constante de gravitation (6.67 $10^{-11}$ SI)

Nous devons maintenant examiner le potentiel de gravitation créé par la masse m en D au point M.

$$ V_2 = -K m/DM $$

Où DM est la distance de D à M, telle que $DM^2 = x^2 + y^2 + (z-d)^2$

$$ DM^2 = d^2 \left[ \frac{x^2 + y^2}{d^2} + \left(1 - \frac{z}{d}\right)^2 \right], \text{d'où} $$

$$ \begin{aligned} 1/DM &= (1/d) \left[ \frac{x^2 + y^2}{d^2} + \left(1 - \frac{z}{d}\right)^2 \right]^{-1/2} \\ &= (1/d) \left[ \frac{x^2 + y^2 + z^2}{d^2} + 1 - 2z/d \right]^{-1/2} \\ &= (1/d) \left[ 1 - 2r \cos\theta/d + r^2/d^2 \right]^{-1/2} \\ &= (1/d) \left[ 1 - 2(r/d) \cos\theta + (r/d)^2 \right]^{-1/2} \end{aligned} $$

Ici intervient le développement en **polynomes de Legendre** de $[1 - 2(r/d) \cos\theta + (r/d)^2]^{-1/2}$ :

$$ 1/DM = (1/d) \sum_{i=0}^{\infty} P_i(\cos\theta) (r/d)^i \quad \text{où 1 est un nombre entier variant de 0 à l'infini.} $$

Voici quelques éléments sur les polynomes de Legendre :
Ils sont définis sur l'intervalle [-1, 1]
$P_0(x) = 1$, $P_1(x) = x$, $P_2(x) = (3x^2 - 1) / 2...$

La formule générale des polynomes de Legendre étant :

$P_l(x) = 1/(2^l 1!) [d^l(x^2 - 1)^l/dx^l]$ impliquant la dérivée d'ordre l de $(x^2 - 1)^l$

Les polynomes de Legendre sont des polynomes orthogonaux tels que :

$$ \int_{-1}^{1} P_l(x) P_m(x) dx = [2/(2l+1)] \delta_{lm} $$

Où $\delta_{lm}$ est le symbole de Kronecker, égal à 1 si $l = m$, ou nul si $l \neq m$.

Les polynomes de Legendre sont solution de l'équation différentielle :

$(1-x^2)y'' - 2x y' + l(l+1)y = 0$

Leur fonction génératrice est $[1 - 2z x + z^2]^{-1/2} = \sum P_l(x) z^l$ (série pour l entier variant de 0 à l'infini)

Comme $r \ll d$, on va s'arrêter à l'ordre $l=2$, on a alors avec $z = r \cos\theta$ et $r^2 = x^2+y^2+z^2$ :

$$ \begin{aligned} \frac{1}{DM} &\approx \frac{1}{d} \left[ 1 + \left(\frac{r}{d}\right) \cos\theta + \left(\frac{r}{d}\right)^2 \frac{3(\cos^2\theta - 1)}{2} \right] \\ &\approx \frac{1}{d} \left[ 1 + \frac{z}{d} + \frac{3z^2 - x^2 - y^2 - z^2}{2d^2} \right] \\ &\approx \frac{1}{d} \left[ 1 + \frac{z}{d} + \frac{2z^2 - x^2 - y^2}{2d^2} \right] \end{aligned} $$

Le terme de marée est celui en $(2z^2 - x^2 - y^2)/2d^3$ de potentiel associé $V_m = -K_m (2z^2 - x^2 - y^2)/2d^3$

L'équilibre est régi par l'équation : $-\text{grad } P - \rho \text{grad} (V_a + V_m) = 0$, soit $P + \rho (V_a + V_m) = \text{cte}$

La surface libre est telle que $P = \text{constante}$, elle a pour équation : $V_a + V_m = \text{cte}$, d'où :

$$ (2/3)\pi K \rho (x^2+y^2+z^2) - K_m (2z^2 - x^2 - y^2)/2d^3 = \text{cte} $$

$$ \text{Soit } (2\pi\rho/3 + m/2d^3)(x^2+y^2) + z^2 (2\pi\rho/3 - m/d^3) = \text{cte} $$

$$ \text{Multiplions par } d/m, \text{ on obtient : } (2\pi\rho d/3m + 1/2d^2)(x^2+y^2) + z^2 (2\pi\rho d/3m - 1/d^2) = \text{cte} $$

C'est l'équation d'un ellipsoïde du type $(x^2+y^2)/a^2 + z^2/b^2 = \text{cte}$

$$ \text{Avec } a = (2\pi\rho d/3m + 1/2d^2)^{-1/2} \text{ et } b = (2\pi\rho d/3m - 1/d^2)^{-1/2} $$

Posons $\epsilon = 3m/4\pi\rho d^3 \ll 1$ (pour la Lune $d = 3.84 \times 10^8$ m, $m = 7.4 \times 10^{22}$ kg, et pour le Terre, $\rho = 5500$ kg/m$^3$ donne $\epsilon = 5.67 \times 10^{-8}$)

$a = (2\pi\rho d/3m)^{-1/2} (1 - \epsilon/2)$ et $b = (2\pi\rho d/3m)^{-1/2} (1 + \epsilon) > a$, donc l'ellipsoïde est allongé dans la direction Oz, et son applatissement p est

$$ p = (b-a)/a = 3\epsilon/2 = 9m/8\pi\rho d^3 $$

Dans le cadre Terre/Lune, cela donne une marée de marnage $p R = 0.55$ m ($R = 6.4 \times 10^6$ m rayon terrestre). C'est valide pour une Terre fluide sans continents !

# VI - Mouvement d'un fluide incompressible en régime stationnaire

L'équation du mouvement en présence de gravité dans un fluide mis en mouvement par les gradients de pression (sans autre force que la gravité) s'écrit :

$$ \rho [ \partial v / \partial t + v \cdot \text{grad}(v) ] = - \text{grad} P + \rho g $$

Elle se simplifie en régime stationnaire où $\partial v / \partial t = 0$ : $\rho v \cdot \text{grad}(v) = - \text{grad} P + \rho g$
où $g = - \text{grad}(g z)$

Or $\text{v.grad}(\text{v}) = \text{grad}(v^2/2) - v \wedge \text{rot}(v)$

Donc $\text{grad}(\rho v^2/2 + P + \rho g z) - \rho v \wedge \text{rot}(v) = 0$

Prenons la circulation le long d'une ligne fluide de A à B :

$$ \int_A^B \text{grad}(\rho v^2/2 + P + \rho g z) \cdot dl = - \int_A^B \rho [v \wedge \text{rot}(v)] \cdot dl = 0 $$

Or le long d'une **ligne fluide, v et dl sont colinéaires**, donc $\int_A^B \rho [v \wedge \text{rot}(v)] \cdot dl = 0$

il reste alors:
$$ \int_A^B d(\rho v^2/2 + P + \rho g z) = 0 $$

d'où $\frac{1}{2} \rho v^2 + P + \rho g z = \text{constante sur une ligne fluide}$ loi de Bernoulli

Cas particulier de l'écoulement incompressible et *irrotationnel* tel que $\text{rot}(v) = 0$

$\text{grad}(\rho v^2/2 + P + \rho g z) - \rho v \wedge \text{rot}(v) = 0$ s'écrit sans hypothèse supplémentaire :

$\text{grad}(\rho v^2/2 + P + \rho g z) = 0$

D'où $\frac{1}{2} \rho v^2 + P + \rho g z = \text{constante uniforme pour toutes les lignes fluides}$

Equation compressible le long d'une ligne fluide dans le repère de Frênet

On reprend l'équation $\rho \text{v.grad}(\text{v}) = - \text{grad} P + \rho g$ dans un système de coordonnées curvilignes, le repère de Frênet local $(t, n)$ où $v = v t$ :

$\text{v.grad}(v) = v \frac{d(v t)}{ds} = \frac{d(v^2/2)}{ds} t + v^2 \frac{n}{R}$

où $n$ est la normale dirigée vers le centre de courbure

On a $dt/ds = n/R$, avec R rayon de courbure local

Selon $t$: $\rho \frac{d(v^2/2)}{ds} = - \frac{dP}{ds} - \rho g \frac{dz}{ds}$

Selon $n$: $\rho v^2/R = \frac{dP}{dr} + \rho g \frac{dz}{dr}$

s est l'abscisse curviligne de M le long de la ligne fluide AB et
$R = ||CM||$ est le rayon de courbure en M, C étant le centre de courbure en M.

En l'absence de gravité dans la direction CM, $\frac{dP}{dr} = \rho v^2/R > 0$ effet Coanda

Autour d'un obstacle, la pression augmente en s'éloignant du centre de courbure : c'est l'effet Coanda

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

exemple: aile d'avion, centre de courbure en dessous de l'aile. La pression loin de l'aile est $P_0$ pression atmosphérique.

Sur l'extrados (dessus) : $\frac{dP}{dr} > 0 \rightarrow P_E < P_0$
dépression

Sur l'intrados (dessous) : $\frac{dP}{dr} > 0 \rightarrow P_I > P_0$
surpression
<figure><img src="image_52.png" /></figure>

Si le milieu est **incompressible** ($\rho$ = constante), l'équation selon $t$ devient simplement :

$\frac{1}{2} \rho v^2 + P + \rho g z = \text{constante}$ sur une ligne fluide, on retrouve la loi de Bernoulli

*Force exercée par un fluide projeté sur un obstacle*

Considérons un fluide de masse volumique $\rho$ et de vitesse $v$ uniforme projeté perpendiculairement sur un obstacle plan de surface S.

<figure><img src="image_53.png" /></figure>

La quantité de mouvement selon Ox du fluide est $p_x = \rho S \, dx \, v$ pour un volume S dx, et celle-ci passe à zéro lors de la rencontre avec l'obstacle.

La force exercée sur l'obstacle est

$$F_x = dp_x/dt = \rho S v^2 \text{ (en N)}$$

elle est proportionnelle au carré de la vitesse du fluide projeté.

Exemples :

- Un courant d'eau ($\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$) de vitesse 1 m/s exerce une force de 1000 N/m²

- Un vent fort de vitesse $v = 30 \text{ m/s}$ ($\rho = 1.3 \text{ kg/m}^3$) exerce une force de 1170 N/m²

- Un aéroglisseur de masse $m = 10 \text{ tonnes}$ sur coussin d'air éjecté à la vitesse $v = 30 \text{ m/s}$ est en équilibre tel que $\rho S v^2 = m g$, il faut une surface S de sustentation égale à $10^5/1170 = 85 \text{ m}^2$

## 1 - Exemple d'application n°1 : la loi de Torricelli (fluide incompressible)

<figure><img src="image_54.png" /></figure>

Entre A et B points à la pression atmosphérique $P_0$:

$$\frac{1}{2} \rho v^2 + P + \rho g z = \text{constante}$$

s'applique ainsi : $P_0 + \rho g h = \frac{1}{2} \rho v^2 + P_0$

$$d'\text{où } v = (2 \text{ g h})^{1/2}$$

Si $h = 100 \text{ m}$, $v = 45 \text{ m/s} = 160 \text{ km/h}$ !

## 2 - Exemple d'application n°2 : siphon ou vidange d'un tube compressible de section constante

$\rho v$ = constante (conservation de la masse)

<figure><img src="image_55.png" /></figure>

$\rho v \, dv/ds = - \frac{dP}{ds} - \rho \frac{d(gz)}{ds}$ avec $\rho v$ = constante donne une nouvelle équation :

$$\frac{d(\rho v^2 + P)}{ds} = - \rho \frac{d(gz)}{ds}$$
$P_A, v_A$

$P_B, v_B$

<figure><img src="image_56.png" /></figure>

Mécanisme du siphon
de A vers B

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

2) si l'on néglige la pression

$$1/2 v^2 + g z = \text{constante}$$

mécanisme de vidange (chute libre)

<figure><img src="image_58.png" /></figure>

<figure><img src="image_59.png" /></figure>

Ecoulement de Bernoulli dans des "tuyaux" magnétiques de l'atmosphère solaire: à gauche, densité de matière, à droite, vitesses Doppler (projection du vecteur vitesse v sur la ligne de visée; en rouge mouvements d'éloignement, en bleu mouvements d'approche)

### 3 - Exemple d'application n°3 : pression d'arrêt sur un obstacle

Entre A et B: $1/2 \rho v^2 + P + \rho g z = \text{constante}$

$$\text{d'où } 1/2 \rho v_A^2 + P_A = P_B > P_A$$

$P_B$ est la pression d'arrêt.

<figure><img src="image_60.png" /></figure>

Application : sonde de Pitot pour la mesure de la vitesse d'un avion. La mesure de la surpression $P_B - P_A$ permet une mesure de $v_A$ connaissant $\rho$.

### 4 - Exemple d'application n°4 : effet Venturi (col, obstacle)

<figure><img src="image_61.png" /></figure>

Conservation du débit volumique du fluide incompressible :

$$S_A v_A = S_B v_B \\ S_A > S_B \rightarrow v_B > v_A$$

$$1/2 \rho v_A^2 + P_A = 1/2 \rho v_B^2 + P_B \\ v_B > v_A \rightarrow P_B < P_A \text{ dépression au col}$$
## 5 - Exemple d'application n°5 : Tourbillon de Rankine incompressible à vitesse angulaire ω constante de rayon R (vortex, tornado, cyclone...)

Considérons un écoulement symétrie cylindrique autour de l'axe vertical Oz (vortex, tourbillon) dont le vecteur vitesse $v = v(r)$ $e_0$ est orthoradial et ne dépend que de la variable radiale r (distance à l'axe Oz du tourbillon). On choisit les coordonnées cylindriques (r, θ, z) ; la gravité s'écrit $g = -g \mathbf{e}_z$, et l'écoulement obéit à la loi :

$$ \mathbf{rot}(\mathbf{v}) = 2 \omega \mathbf{e}_z $$

$\omega \mathbf{e}_z$ est le vecteur rotation du tourbillon; la vorticité vaut $2\omega$.

$\omega$, vitesse angulaire, est telle que pour $0 < r < R$, $\omega = \omega_0$ = constante et pour $r > R$, $\omega = 0$

- champ des vitesses (fonction de r) ; il est déterminé par le théorème d'Ampère de la mécanique des fluides (on prend comme contour pour la circulation un cercle de rayon r d'axe Oz) :

$\iint \mathbf{rot}(\mathbf{v}) \cdot d\mathbf{S} = \iint \omega \, dS = 2\omega S$ où S est la surface (disque de surface $\pi r^2$) enlacée par un contour circulaire fermé de rayon r. La circulation sur ce contour est $2\pi r v$ :

$$ \underline{r < R} : S = \pi r^2, \text{ donc } v \ 2\pi r = 2\omega_0 \pi r^2 \rightarrow v(r) = \omega_0 r $$

$$ \underline{r > R} : S = \pi R^2, \text{ donc } v \ 2\pi r = 2\omega_0 \pi R^2 \rightarrow v(r) = \omega_0 R^2/r $$

dans cette zone où $r > R$, la densité volumique de moment cinétique [$\rho v r$] est constante et il existe un potentiel des vitesses $\Phi(\theta) = \omega_0 R^2 \theta$ ; l'écoulement y est irrotationnel ($\mathbf{rot}(\mathbf{v}) = \mathbf{0}$).

- champ de pression déterminé par l'équation d'Euler :

$$ \mathbf{grad}(\rho \frac{v^2}{2} + P + \rho g z) - \rho \mathbf{v} \wedge \mathbf{rot}(\mathbf{v}) = \mathbf{0} \quad \text{où} \quad \mathbf{v} \wedge \mathbf{rot}(\mathbf{v}) = v(r) \mathbf{e}_0 \wedge 2\omega \mathbf{e}_z = 2\omega v(r) \mathbf{e}_r $$

Soit en projection sur $\mathbf{e}_r$: $d(\rho \frac{v^2}{2} + P + \rho g z)/dr = 2\rho \omega v(r)$

$$ \underline{r < R} : \omega = \omega_0 ; v = \omega_0 r \rightarrow d(\rho \omega_0^2 r^2 / 2 + P + \rho g z)/dr = 2 \rho \omega_0^2 r $$

$$ \rightarrow \rho \omega_0^2 r^2 / 2 + P + \rho g z = \rho \omega_0^2 r^2 + \text{cte} $$

$$ \rightarrow P + \rho g z - \frac{1}{2} \rho \omega_0^2 r^2 = P_0 $$

La constante $P_0$ est la pression en $z = 0$ et en $r = 0$.

$$ \underline{r > R} : \omega = 0 ; v = \omega_0 R^2/r \rightarrow P + \rho g z + \frac{1}{2} \rho \omega_0^2 R^4/r^2 = \text{constante telle que} $$

les deux équations se raccordent en $r = R$, d'où

$$ P + \rho g z + \rho \omega_0^2 R^2 (\frac{R^2}{2r^2} - 1) = P_0 $$

- surface libre : son équation $z(r)$ est donnée par la relation $P(r, z) = \text{constante}$

$$ \underline{r < R} : \rho g z - \frac{1}{2} \rho \omega_0^2 r^2 = \text{cte} \rightarrow z = \frac{1}{2} (\omega_0^2/g) r^2 + z_0 \quad (z_0 \text{ constante}) : \text{c'est une parabole} $$

$$ \underline{r > R} : \rho g z + \frac{1}{2} \rho \omega_0^2 R^4/r^2 = \text{cte} \rightarrow z = - \frac{1}{2} (\omega_0^2/g) R^4/r^2 + \text{cte} $$

Les deux équations se raccordent en $r = R$, d'où $z = (\omega_0^2 R^2/g)(1 - \frac{R^2}{2r^2}) + z_0$

Lorsque $r \to \infty$, $z \to (\omega_0^2 R^2/g) + z_0$; il se forme une dépression de profondeur

$$ h = \omega_0^2 R^2/g $$

Plus le tourbillon tourne vite, et plus il est profond.

- gradient radial de pression à z fixé :

$$ \underline{r < R} : \frac{dP}{dr} = \rho \omega_0^2 r = \rho \frac{v^2}{r} > 0 \text{ dirigé vers l'extérieur du vortex (effet Coanda)} $$

$$ \underline{r > R} : \frac{dP}{dr} = \rho \omega_0^2 R^4/r^3 = \rho \frac{v^2}{r} > 0 \text{ dirigé vers l'extérieur du vortex (effet Coanda)} $$
- **cas limite R → 0**

**rot(v) = 0 avec v = v(r) eθ**

d'où (1/r) d(r v)/dr = 0, v(r) = C / r pour tout r > 0 (C est le moment cinétique par unité de masse, c'est une constante donnée)

L'équation de Bernoulli la plus simple est utilisable : ρ v²/2 + P + ρ g z = cte,
ce qui donne pour la surface libre z = z∞ – C² / 2gr² (la dépression est de profondeur infinie)

- **Cas où z = 0**

r < R : ω = ω₀; P = P₀ + 1/2 ρ ω₀² r² > P₀ (P₀ pression en z = 0 et r = 0)

r > R : ω = 0; P = P₀ + ρ ω₀² R² (1 - R²/2r²) > P₀

lorsque r → ∞, P → P∞ = P₀ + ρ ω₀² R² (par exemple, P∞ est la pression atmosphérique)

on obtient alors en introduisant la pression à grande distance P∞ :

r < R : ω = ω₀; P = P∞ + ρ ω₀² R² (r²/2R² - 1) < P∞

r > R : ω = 0; P = P∞ - ρ ω₀² R⁴/2r² < P∞

La pression est minimale sur l'axe en r = 0.

La dépression maximale est ainsi égale à

$$ \Delta P = P_{\infty} - P_{0} = \rho \omega_{0}^{2} R^{2} $$

Un phénomène de **cavitation** (P = 0) survient si $P_0 = P_\infty - \rho \omega_0^2 R^2 < 0$ soit si $\omega_0 > (P_\infty/\rho R)^{1/2}$

La **force verticale**, vers le **haut**, exercée sur le vortex de rayon R de surface πR² vaut :

$$ F = \int_{0}^{R} (P_{\infty} - P) 2\pi r dr = \int_{0}^{R} \rho \omega_{0}^{2} R^{2} (1 - r^{2}/2R^{2}) 2\pi r dr = \frac{3}{4} \Delta P \pi R^{2} \quad \text{c'est une force d'arrachement} $$

<figure><img src="image_62.png" /></figure>

## 6 - Exemple d'application n°6 : hélice propulsive (navire, avion...)

On considère un tube de courant de section d'entrée S₁ à la pression atmosphérique ambiante Pₐ et de section de sortie S₂ < S₁, à la même pression ambiante Pₐ. Les vitesses d'entrée et de sortie sont appelées v₁ et v₂. Dans ce tube de courant fluide se trouve une hélice balayant une section S. La mise en mouvement du fluide par l'hélice s'accompagne d'une discontinuité de pression, on appelle P₁ et P₂ les pressions en amont et en aval de l'hélice. Par contre il n'y a pas de discontinuité de vitesse, celle-ci est appelée v au niveau de l'hélice.

<figure><img src="image_63.png" /></figure>
La vitesse $v_1$ est égale à la vitesse de déplacement du mobile (navire, avion). La vitesse $v_2$ est supérieure à $v_1$, c'est la vitesse d'éjection de l'eau (hélice de bateau) ou des gaz (air + produits de combustion). Dans le cas d'un réacteur d'avion, $v_2$ est voisin de $C_s = (\gamma RT/M)^{1/2}$ vitesse locale du son (330 m/s pour $T = 273$ K, $M = 0.029$ kg, $\gamma = 1.4$) ; $S_1$ est la section d'entrée du réacteur (environ 3 m² pour un moyen porteur). On supposera le fluide incompressible de masse volumique $\rho$.

La conservation du débit massique d s'écrit : $\rho v_1 S_1 = \rho v S = \rho v_2 S_2 = d$ (en kg/s)

La force motrice a pour expression $F = d(v_2 - v_1)$, elle s'oppose à la force de trainée (frottements fluides). On peut lui donner une seconde formulation en fonction de la discontinuité de pression de part et d'autre de l'hélice : $F = (P_2 - P_1) S$, avec $P_2 > P_1$

Ecrivons l'équation de Bernouilli :

Entre $S_1$ et $S$ : $P_a + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho v^2$

Entre $S$ et $S_2$ : $P_2 + \frac{1}{2} \rho v^2 = P_a + \frac{1}{2} \rho v_2^2$

Par soustraction, il vient : $P_2 - P_1 = \frac{1}{2} \rho v_2^2 - \frac{1}{2} \rho v_1^2 > 0$

Or $(P_2 - P_1) S = d(v_2 - v_1)$, soit $\frac{1}{2}(v_2^2 - v_1^2) = d(v_2 - v_1) / \rho S = v(v_2 - v_1)$,

Dont on déduit la Vitesse au fluide au niveau de l'hélice : $v = \frac{1}{2}(v_2 + v_1)$

La puissance utile de la force $F$ est $P_a = F v_1$ (car le mobile avance à la vitesse $v_1$).

On définit la puissance cinétique par le débit d'énergie cinétique soit $(\frac{1}{2} \rho v^2) D$ où $D$ est le débit volumique (m³/s), soit $D = dV/dt = S dx/dt = S v$ ; elle a donc pour expression $(\frac{1}{2} \rho v^2) S v$ ; cependant, comme le débit massique $d$ est conservé, elle s'écrit aussi $(\frac{1}{2} \rho v^2) d$. On définit la puissance motrice par $P_m = \frac{1}{2}(v_2^2 - v_1^2) d$

Le rendement se définit par $r = P_a / P_m = d(v_2 - v_1) v_1 / [\frac{1}{2}(v_2^2 - v_1^2) d] = 2 v_1 / (v_2 + v_1) < 1$
$r$ est au mieux de 0.85 pour un avion et 0.60 pour un navire.

*Exemple de l'avion :*

En vol de croisière à 9000 m d'altitude, on a $\rho \approx 0.4$ kg/m³ ; $v_1 \approx 250$ m/s ; $S_1 \approx 3$ m², ce qui donne un débit massique d'air $d \approx 300$ kg/s ; avec $v_2 \approx 330$ m/s, la poussée $F = d(v_2 - v_1)$ vaut environ 24000 N. Au sol, lorsque l'appareil roule au décollage, il en est tout autrement, parce que $v_1 \approx 0$, la poussée $F = d v_2$ est alors maximale, elle monte à environ 100000 N. Au décollage à $v_1 \approx 70$ m/s, elle tombe à 80000 N.

## VII – Dynamique du gaz parfait ; l'équation d'état

La pression cinétique $P$ dûe aux collisions dans un gaz à la température $T$ et composé de N particules par unité de volume est donnée par la loi des gaz parfaits :

$$P = N k T$$

Pour un gaz constitué de particules identiques de masse $m$, on peut écrire $N = \rho / m$,

alors $P = \rho k T / m = \rho R T / M$

ou encore $P V = n R T$

avec:

* P pression (Pa)

* T température (Kelvin)
V volume du gaz (m³)

k constante de Botzmann (1.38 10⁻²³ SI) et R constante des gaz parfaits (R = kN = 8.32 J K⁻¹ mole⁻¹, avec N constante d'Avogadro égale à 6.02 10²³ particules/mole)

N densité volumique de particules (m⁻³) et ρ masse volumique (kg m⁻³)

m masse atomique du gaz (kg) et M masse molaire du gaz = m N (kg)

n nombre de moles

Dans la couronne solaire où le milieu est totalement ionisé, on utilise P = 2 ρ k T / m, car pour un proton de masse m, il y a un électron de masse négligeable, mais qui contribue à la pression.

# 1 - Milieu isentropique (adiabatique réversible)

L'entropie S de n moles de gaz parfait découle de l'identité thermodynamique :

$$dU = - P dV + T dS \quad \text{d'où} \quad dS = dU/T + P dV/T$$

Or dU = n Cv dT = n R/(γ-1) dT (loi de Joule) et PV = nRT (loi des gaz parfaits) ; on en déduit

$$\text{l'entropie du gaz parfait: } S = \left[ n R/(\gamma-1) \right] \ln(P/\rho^{\gamma}) + cte \quad (\text{Joule K}^{-1})$$

Pour une transformation isentropique sans échange de chaleur, on a donc : $P / \rho^{\gamma} = \text{constante}$

dans laquelle γ est l'exposant adiabatique (γ = Cp/Cv = 5/3 pour un gaz monoatomique, rapport des capacités calorifiques à pression et volume constants, 7/5 pour un gaz diatomique).

Toujours pour le gaz parfait, l'énergie interne est U = n R T / (γ-1) et l'enthalpie H = U + PV a pour expression n R T γ / (γ-1), l'unité de U et de H est le Joule.

Un milieu isentropique permet d'envisager quelques variations compressibles de la loi de Bernoulli.

# 2 - Variations compressibles autour de la loi de Bernoulli

Considérons l'équation du mouvement stationnaire le long d'une ligne fluide, à l'abscisse curviligne s, pour un milieu compressible : $d(v^2/2)/ds = - (1/ρ) dP/ds - d(gz)/ds$

- Dans le cadre d'une transformation isentropique :

$$P / \rho^{\gamma} = P_{0} / \rho_{0}^{\gamma} = \text{constante implique } dP/P = \gamma d\rho/\rho, \text{ d'où :}$$

$$d(v^2/2)/ds = - (\gamma P/\rho^2) d\rho/ds - d(gz)/ds = - (\gamma P_0/\rho_0^\gamma) \rho^{\gamma-2} d\rho/ds - d(gz)/ds$$

$$\text{Cette équation s'écrit aussi : } d(v^2/2)/ds = - (\gamma/\gamma-1) (P_0/\rho_0^\gamma) \rho^{\gamma-1}/ds - d(gz)/ds$$

$$\text{soit en intégrant : } \frac{v^2}{2} + (\gamma/\gamma-1) (P_0/\rho_0) (\rho/\rho_0)^{\gamma-1} + g z = \text{constante le long de la ligne fluide}$$

$$\text{ou encore : } \frac{v^2}{2} + (\gamma/\gamma-1) (P_0/\rho_0) (P/P_0)^{(\gamma-1)/\gamma} + g z = \text{constante le long de la ligne fluide}$$

La quantité $C_s^2 = (\gamma P_0/\rho_0)$ est le carré de la vitesse du son (voir plus loin).

En introduisant $h = (\gamma/\gamma-1) (P/\rho)$ enthalpie massique en J/kg, ou encore $h = (\gamma/\gamma-1) (kT/m)$, m étant la masse d'une particule, on obtient :

$$\frac{v^2}{2} + h + g z = \text{constante le long de la ligne fluide}$$
- Dans le cadre d'une transformation isotherme :

$P / \rho = P_0 / \rho_0 = \text{constante implique } dP/P = dp/\rho, \text{ d'où :}$

$d(v^2/2)/ds = -(P/\rho^2) dp/ds - d(gz)/ds = -(P_0/\rho_0) (1/\rho) dp/ds - d(gz)/ds$

Cette équation s'écrit aussi : $d(v^2/2)/ds = -(P_0/\rho_0) d\ln\rho/ds - d(gz)/ds$

$$ \text{soit en intégrant: } \qquad \frac{v^2}{2} + (P_0/\rho_0) \ln(\rho/\rho_0) + gz = \text{constante} $$

ou encore : $\frac{v^2}{2} + (P_0/\rho_0) \ln(P/P_0) + gz = \text{constante}$

La quantité $C_s^2 = P_0/\rho_0$ est le carré de la vitesse du son.

- conservation de la masse :

En régime stationnaire, la loi qui lie $v$ à $\rho$ est $\text{div}(\rho \mathbf{v}) = 0$, soit encore $\rho S \mathbf{v} = \text{débit massique} = \text{constante si S désigne la section (possiblement variable avec s) des tubes de courant.}$

## VIII - La loi de conservation de l'énergie

Cette loi de conservation est la plus difficile à établir. Elle résulte du premier principe de la thermodynamique :

$$ dU = - P dV + \delta Q $$

avec $U$ fonction énergie interne, $V$ volume, $P$ pression, $Q$ quantité de chaleur échangée. A masse constante, on a $m = \rho V$, soit $V = m / \rho$, ce qui donne par unité de masse :

$$ dU/m = - P d(1/\rho) + \delta Q/m $$

Appelons $u$ et $q$ respectivement l'énergie interne et la quantité de chaleur échangée par unité de masse. Il vient : $du = (P/\rho^2) dp + \delta q$, soit encore par unité de temps :

$$ du/dt = (P/\rho^2) dp/dt + \delta q/dt $$

Avec $d/dt = \partial/\partial t + \mathbf{v.grad}$ dérivée particulaire, l'équation ci dessus devient :

$$ \partial u / \partial t + \mathbf{v.grad} \ u = (P / \rho^2) [\partial \rho / \partial t + \mathbf{v.grad} \ \rho] + \delta q / dt $$

L'équation de continuité de la masse nous donne $\partial\rho/\partial t = - \text{div}(\rho\mathbf{v}) = - \rho \text{ div } \mathbf{v} - \mathbf{v.grad} \rho$ d'où $\partial u/\partial t + \mathbf{v.grad} \ u = - (P/\rho) \text{div } \mathbf{v} + \delta q/dt$

Multiplions maintenant les deux membres de cette dernière équation par $\rho$ et combinons là avec l'équation de continuité multipliée par $u$ :

$$ \rho \frac{\partial u}{\partial t} + \rho \mathbf{v.grad} \ u = - P \text{ div } \mathbf{v} + \rho \frac{\delta q}{dt} $$

$$ u \frac{\partial \rho}{\partial t} = - u \text{ div}(\rho \mathbf{v}) $$

$$ \text{Par sommation, on obtient : } \frac{\partial(\rho u)}{\partial t} + \rho \mathbf{v.grad} \ u + u \text{ div}(\rho \mathbf{v}) = - P \text{ div } \mathbf{v} + \rho \frac{\delta q}{dt} $$

$$ \text{Or } \text{div}(\rho u\mathbf{v}) = u \text{ div}(\rho \mathbf{v}) + \rho \mathbf{v.grad} \ u $$
D'où l'équation de continuité de l'énergie interne, en fait une loi de conservation de la puissance par unité de volume en W/m³ (pu est l'énergie interne par unité de volume en J/m³) :

$$ \frac{\partial(\rho u)}{\partial t} + \text{div}(\rho u \mathbf{v}) = - P \text{ div } \mathbf{v} + \rho \delta q / \text{dt} $$

Utilisons maintenant l'équation d'Euler du mouvement $\rho$ [$\partial v / \partial t + \mathbf{v} \cdot \mathbf{grad}(\mathbf{v})$] = $- \mathbf{grad} P + \mathbf{f}$
dont on fait le produit scalaire avec le vecteur vitesse $\mathbf{v}$, ce qui donne une puissance volumique :

$$ \rho v \left[ \frac{\partial v}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{grad}(\mathbf{v}) \right] = - \mathbf{v} \cdot \mathbf{grad} P + \mathbf{f} \cdot \mathbf{v} $$

Développons $\text{div}(\frac{1}{2} \rho v^2 \mathbf{v})$ et combinons avec l'équation de continuité $\frac{\partial(\rho)}{\partial t} + \text{div}(\rho \mathbf{v}) = 0$ :

$$ \begin{gather*} \text{div}(\frac{1}{2} \rho v^2 \mathbf{v}) = \text{div}(\frac{1}{2} v^2 \rho \mathbf{v}) = \frac{1}{2} v^2 \text{div}(\rho \mathbf{v}) + \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{grad}(\frac{1}{2} v^2) = -\frac{1}{2} v^2 \frac{\partial(\rho)}{\partial t} + \rho \mathbf{v} \cdot (\mathbf{v} \cdot \mathbf{grad})\mathbf{v} \\ \text{d'où } \rho \mathbf{v} \cdot (\mathbf{v} \cdot \mathbf{grad})\mathbf{v} = \frac{1}{2} v^2 \frac{\partial(\rho)}{\partial t} + \text{div}(\frac{1}{2} \rho v^2 \mathbf{v}) \end{gather*} $$

expression qu'on injecte dans l'équation de conservation de la puissance volumique ci-dessus :

$$ \rho \frac{\partial(\frac{1}{2} v^2)}{\partial t} + \frac{1}{2} v^2 \frac{\partial(\rho)}{\partial t} + \text{div}(\frac{1}{2} \rho v^2 \mathbf{v}) = - \mathbf{v} \cdot \mathbf{grad} P + \mathbf{f} \cdot \mathbf{v} $$

et on obtient finalement l'équation de continuité de l'énergie cinétique :

$$ \frac{\partial(\frac{1}{2} \rho v^2)}{\partial t} + \text{div}(\frac{1}{2} \rho v^2 \mathbf{v}) = - \mathbf{v} \cdot \mathbf{grad} P + \mathbf{f} \cdot \mathbf{v} $$

On peut maintenant sommer l'équation de continuité de l'énergie interne et l'équation de continuité de l'énergie cinétique :

$$ \frac{\partial(\rho u + \frac{1}{2} \rho v^2)}{\partial t} + \text{div}(\rho u \mathbf{v} + \frac{1}{2} \rho v^2 \mathbf{v}) = - P \text{ div } \mathbf{v} - \mathbf{v} \cdot \mathbf{grad} P + \mathbf{f} \cdot \mathbf{v} + \rho \delta q / \text{dt} $$

Comme $\text{div}(P\mathbf{v}) = P \text{ div } \mathbf{v} + \mathbf{grad}P \cdot \mathbf{v}$, on en conclut finalement que :

$$ \frac{\partial(\rho u + \frac{1}{2} \rho v^2)}{\partial t} + \text{div}[(\rho u + \frac{1}{2} \rho v^2 + P) \mathbf{v}] = \mathbf{f} \cdot \mathbf{v} + \rho \delta q / \text{dt} $$

Appelons maintenant U l'énergie interne par unité de volume (J/m³) et H l'enthalpie par unité de volume (J/m³). Comme $U = \rho u$ et $H = \rho u + P$, l'équation de conservation de l'énergie s'écrit :

$$ \frac{\partial(U + \frac{1}{2} \rho v^2)}{\partial t} + \text{div}[(H + \frac{1}{2} \rho v^2) \mathbf{v}] = \mathbf{f} \cdot \mathbf{v} + \rho \delta q / \text{dt} \quad (\text{W m}^{-3}) \quad \text{avec} \quad H = U + P $$

C'est l'équation de conservation de l'énergie dans laquelle :

$U + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{densité volumique d'énergie interne} + \text{cinétique (J/m}^3)$

$(H + \frac{1}{2} \rho v^2)\mathbf{v} = \text{flux d'énergie volumique d'enthalpie} + \text{cinétique ou puissance transportée (W/m}^2)$

$\rho \delta q / \text{dt}$ est le taux de production (si positif) ou de perte (si négatif) de chaleur par unité de volume et de temps (ou puissance en W m$^{-3}$). Il se met sous la forme phénoménologique :

$$ \rho \delta q / \text{dt} = - \rho^2 Q(T) + \text{div } \mathbf{F} + \text{autres termes...} $$

relation dans laquelle :

1) $\rho^2 Q(T)$ est le taux de pertes par rayonnement (la fonction Q(T) des pertes radiatives pour un plasma chaud type stellaire est expérimentale, elle est tabulée et présente un maximum autour de $10^5$ K et décroît en $1/T$ à haute température, voir ci-dessous).

<figure><img src="image_64.png" /></figure>
<table><thead><tr><th>Temperature</th><th><i>i</i></th><th><i>χ</i><sub><i>i</i></sub></th><th><i>α</i><sub><i>i</i></sub></th></tr></thead><tbody><tr><td><i>T</i> ≥ 8 × 10<sup>5</sup>K</td><td>1</td><td>5.51 × 10<sup>-30</sup></td><td>-1.0</td></tr><tr><td>8 × 10<sup>5</sup>K > <i>T</i> ≥ 3 × 10<sup>5</sup>K</td><td>2</td><td>3.94 × 10<sup>-21</sup></td><td>-2.5</td></tr><tr><td>3 × 10<sup>5</sup>K > <i>T</i> ≥ 8 × 10<sup>4</sup>K</td><td>3</td><td>8.00 × 10<sup>-35</sup></td><td>0</td></tr><tr><td>8 × 10<sup>4</sup>K > <i>T</i> ≥ 1.5 × 10<sup>4</sup>K</td><td>4</td><td>1.20 × 10<sup>-43</sup></td><td>+1.8</td></tr><tr><td>1.5 × 10<sup>4</sup>K > <i>T</i></td><td>5</td><td>4.92 × 10<sup>-67</sup></td><td>+7.4</td></tr></tbody></table>

Pertes radiatives pour un plasma chaud ($T > 10000$ K).

Fonction $Q(T)$ définie par morceaux en unités MKSA :

$$Q(T) = \chi T^{\alpha} / m_{p}^{2}$$

$$\text{avec } m_{p} \text{ masse du proton} = 1.67 \ 10^{-27} \text{ kg}$$

2) div **F** est le taux de conduction électronique de la chaleur (parallèle aux lignes de champ magnétique); **F** est le flux ou courant de chaleur mesuré en W/m² donné par la loi de Fourier :

**F** = - k// grad**T**

avec k// = k₀ T⁵/² = 10⁻¹¹ T⁵/² W m⁻¹ K⁻¹, conductivité thermique du milieu

Pour un plasma chaud, la conductivité thermique dépend de la température. Pour $T = 10^4$ K, $k// = 0.1$ ; pour $T = 10^6$ K, $k// = 10^4$. A température ambiante pour l'air, $k// = 0.025$, pour l'eau, $k// = 0.6$ et pour le verre $k// = 1$. Les roches ont une conductivité voisine de 2, les métaux sont très bons conducteurs (fer 80, cuivre 380) ; le bois est autour de 0.2 (peu conducteur) et les isolants comme la laine de verre sont autour de 0.04. L'air est un très bon isolant s'il ne se déplace pas.

Lorque $T$ varie peu, div **F** = $k// \Delta T$. Le flux de chaleur en W/m² à travers une lame d'épaisseur L séparant deux milieux de températures $T_1$ et $T_2$ est $F = -k// (T_2 - T_1)/L$. Il est proportionnel à la conductivité, on a donc intérêt à choisir un bon isolant si l'on veut minimiser le flux de chaleur. Par exemple, le flux de chaleur à travers une lame de verre de 1 cm d'épaisseur avec $T_2 - T_1 = 10$ K est de 1000 W/m². Mais à travers une lame d'air de même épaisseur, le flux est réduit 40 fois (25 W/m²), d'où le grand intérêt des doubles vitrages séparés par une lame d'air.

**Remarque:** la loi de Fourier est à l'origine de l'équation de diffusion de la chaleur.

Si la vitesse **v** est nulle, en posant $U = \rho C_v T$ ($C_v$ chaleur massique en J kg⁻¹ K⁻¹ à volume constant)

$$\partial U / \partial t + \text{div } \mathbf{F} = 0$$

$$\text{où } U = \rho C_v T \quad (\text{J m}^{-3})$$

L'équation de diffusion de la chaleur porte sur la température $T$ et s'écrit :

$$\rho C_v \partial T / \partial t = k // \Delta T$$

où $\Delta T$ est le Laplacien de la température. La conduction opère sur une échelle de temps $\tau_c$ et une longueur caractéristique $L$ telles que : $\tau_c = \rho C_v L^2 / k$ (il s'agit d'un temps d'homogénéisation de la température qui est d'autant plus long que la conductivité est faible et le matériau dense). Par exemple pour une barre de fer de longueur $L = 1$ m, $C_v = 450$ J kg⁻¹ K⁻¹, $\rho = 7800$ kg/m³, $\tau_c = 12$ h.

## 1 - Equation de conservation de l'énergie en présence de pesanteur

Si **f** = ρ **g** avec **g** = - grad **φ**, **φ** = **g** z étant le potentiel de pesanteur local, alors **f.v** = - ρ**v grad** **φ**

Or $\text{div}(\rho\mathbf{v}) = \mathbf{v} \cdot \text{div}(\rho\mathbf{v}) + \rho\mathbf{v} \cdot \text{grad} \mathbf{v}$

En combinant avec l'équation de continuité de la masse $\partial(\rho)/\partial t + \text{div}(\rho\mathbf{v}) = 0$, on obtient $\mathbf{f.v} = - \text{div}(\rho\mathbf{v}) - \mathbf{v} \cdot \text{grad} \rho$. D'où finalement :

$$\partial(\mathbf{U} + \rho\mathbf{v} + \frac{1}{2}\rho\mathbf{v}^2)/\partial t + \text{div}[(\mathbf{H} + \frac{1}{2}\rho\mathbf{v}^2 + \rho\mathbf{v})\mathbf{v}] = \rho \delta q / \partial t$$
$U + \rho\phi + \frac{1}{2}\rho v^2$ est la densité volumique d'énergie interne + potentielle + cinétique (J/m³)

$(H + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho\phi) \mathbf{v}$ est la puissance transportée en W/m²

Considérons maintenant un volume $V$ fermé par une surface $S$.

La quantité $\oint [(H + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho\phi) \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S}]$ représente le flux d'énergie aux frontières sur la surface $S$ entourant $V$. D'après le théorème d'Ostrogradski :

$$ \partial[\oint\oint(U + \rho\phi + \frac{1}{2}\rho v^2) dV] / \partial t + \oint\oint_{S_{\text{frontère}}} [(H + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho\phi) \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S}] = \oint\oint (\rho \delta q / dt) dV $$

Il y a la conservation de l'énergie totale $\oint\oint (U + \rho\phi + \frac{1}{2}\rho v^2) dV$ dans le volume $V$ si :

- le terme source ou perte $\delta q/dt$ est nul, et

- les entrées et sorties d'énergie par la surface frontière fermée $S$ se compensent de sorte que $\oint\oint [(H + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho\phi) \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S}] = 0$, ce qui est le cas si $\mathbf{v} \cdot d\mathbf{S}$ est nul partout aux frontières $S_{\text{frontère}}$.

En régime stationnaire, l'équation de conservation locale se résume à:

$$ \text{div}[(H + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho\phi) \mathbf{v}] = \rho \delta q / dt $$

ce qui peut s'écrire aussi globalement :

$$ \oint\oint_{S_{\text{frontère}}} [(H + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho\phi) \mathbf{v} \cdot d\mathbf{S}] = \oint\oint (\rho \delta q / dt) dV $$

## 2 - Formulation de l'énergie interne U et de l'enthalpie H du gaz parfait par unité de volume

Pour un gaz parfait, la loi de Joule s'écrit : $U = (\rho/M) C_v T$ et $H = (\rho/M) C_p T = U + P$ (en J m⁻³)

$M$ est la masse molaire du gaz (kg) ; $C_p$ et $C_v$ sont les capacités calorifiques molaires à pression et volume constant (J mole⁻¹ K⁻¹)

Avec $\gamma = C_p/C_v$, $C_p - C_v = R$ (constante des gaz parfaits), on a $C_v = R/(\gamma - 1)$ et $C_p = R \gamma/(\gamma - 1)$

Les fonctions U et H s'écrivent par unité de volume avec m masse atomique :

$$ U = (\rho/m) kT / (\gamma - 1) = \textcolor{blue}{P/(\gamma - 1)} \quad \text{et} \quad H = (\rho/m) kT \gamma / (\gamma - 1) = \textcolor{red}{P \gamma / (\gamma - 1)} \quad (\text{J m}^{-3}) $$

Pour un gaz monoatomique, $\gamma = 5/3$ entraîne $U = 3/2$ N kT et $H = 5/2$ N kT (N densité en m⁻³).

Pour un gaz d'hydrogène totalement ionisé (dans la couronne solaire), on aurait en raison de la neutralité électrique $\rho = 2 \rho_{\text{protons}}$.

On utilise aussi l'énergie interne massique $u$ et l'enthalpie massique $h$ (J kg⁻¹) définis par :

$$ u = U/\rho = kT / [m(\gamma - 1)] = [1/(\gamma - 1)] (P/\rho) \quad \text{et} \quad h = H/\rho (kT/m) \gamma/(\gamma - 1) = (P/\rho) \gamma/(\gamma - 1) $$

## 3 - Equation de conservation de l'énergie en présence de champ magnétique
L'équation de conservation de l'énergie électromagnétique (cours d'électromagnétisme) s'écrit :

$$ \partial/\partial t(\varepsilon_0 \mathbf{E}^2/2 + \mathbf{B}^2/2\mu_0) + \text{div } \mathbf{P} = - \mathbf{j} \cdot \mathbf{E} $$

E et B étant les champs électriques et magnétiques, et j la densité de courant (A/m²).

$$ \varepsilon_0 \mathbf{E}^2/2 $$

est la densité volumique d'énergie **électrique** (J m⁻³) ou **pression électrique** (Pa)

$$ \mathbf{B}^2/2\mu_0 $$

est la densité volumique d'énergie **magnétique** (J m⁻³) ou **pression magnétique** (Pa)

P est le vecteur de Poynting. $\mathbf{P} = (\mathbf{E} \wedge \mathbf{B})/\mu_0$ est la **densité de courant d'énergie**, ou **puissance électromagnétique transportée par unité de surface** (W m⁻²).

- **j.E** est un terme source/perte d'énergie en W m⁻³; c'est la **densité de puissance des charges mobiles** et ce peut être une perte par effet Joule dans un conducteur si $\mathbf{j} = \gamma \mathbf{E}$ (loi d'Ohm). On adoptera cette formulation ici, de sorte que $\mathbf{j} \cdot \mathbf{E} = - \mathbf{j}^2/\gamma$ ($\gamma$ est la conductivité électrique du milieu en Siemens/m).

En présence de champ électro-magnétique, on somme les deux équations de conservation :

$$ \partial( U + \rho\varphi + \frac{1}{2} \rho v^2 + \varepsilon_0 \mathbf{E}^2/2 + \mathbf{B}^2/2\mu_0 )/\partial t + \text{div}[(H + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho\varphi) \mathbf{v} + \mathbf{P}] = \rho \delta q/\text{dt} - \mathbf{j}^2/\gamma $$

où $\mathbf{P} = (\mathbf{E} \wedge \mathbf{B})/\mu_0$ est le vecteur de Poynting

Le terme de perte par effet Joule - $\mathbf{j}^2/\gamma$ ($\gamma$ conductivité électrique en S m⁻¹) s'ajoute négativement au taux de production ou de perte de chaleur $\rho \delta q/\text{dt}$ (W m⁻³).

$\gamma = 8 \times 10^{-4} \text{ T}^{3/2} \text{ S m}^{-1}$ pour le plasma solaire à la température T, milieu très conducteur (environ $10^3$ S/m à $10^4$ K, $10^6$ S/m à $10^6$ K). Pour comparaison, l'eau de mer a une conductivité de quelques S/m, et un métal comme le cuivre de $5 \times 10^7$ S/m.

$$ U + \rho\varphi + \frac{1}{2} \rho v^2 + \varepsilon_0 \mathbf{E}^2/2 + \mathbf{B}^2/2\mu_0 $$

est la densité volumique d'énergie interne + **potentielle** + **cinétique** + **électrique** + **magnétique** (J m⁻³).

En régime **stationnaire**, $\text{div}[(H + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho\varphi) \mathbf{v} + \mathbf{P}] = \rho \delta q/\text{dt} - \mathbf{j}^2/\gamma$

ce qui peut s'écrire aussi globalement

$$ \oint_S [(H + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho\varphi) \mathbf{v} \cdot \mathbf{dS} + \mathbf{P} \cdot \mathbf{dS}] = \iiint_V (\rho \delta q/\text{dt} - \mathbf{j}^2/\gamma) \, dV $$

# IX – Ecoulement en régime stationnaire dans un tube de courant

Un tube de courant est tel que ses parois latérales sont des lignes du champ des vitesses, appelées **aussi lignes de courant**.

Le vecteur vitesse v est donc tangent aux parois.

En régime **stationnaire**, avec $\partial/\partial t = 0$, on a :

Conservation de la masse :

$$ \text{div}(\rho \mathbf{v}) = 0 $$

Conservation de l'énergie :

$$ \text{div}[(H + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho\varphi) \mathbf{v}] = \rho \delta q/\text{dt} $$

<figure><img src="image_65.png" /></figure>

SURFACE DU SOLEIL
# 1 - Mouvement longitudinal le long du tube de courant

<figure><img src="image_66.png" /></figure>

D'après le théorème d'Ostrogradski sur le volume $dV$:

$$ \text{div}(\rho\mathbf{v}) \, dV = \iint \rho\mathbf{v} \cdot d\mathbf{S} $$

Le long du tube de courant, $\mathbf{v} \cdot d\mathbf{S} = 0$ sur les surfaces latérales; il reste pour le volume $dV = S \, ds$:

$$ \text{div}(\rho\mathbf{v}) \, S \, ds = \text{flux sortant} - \text{flux entrant} $$

$$ = [\rho v S](s+ds) - [\rho v S](s) $$

$$ = \partial[\rho v S]/\partial s \, ds $$

$$ \text{d'où: } \boxed{\text{div}(\rho\mathbf{v}) = 1/S \partial[\rho v S]/\partial s} $$

Le long d'une ligne de courant, en un point d'abscisse curviligne s et de section S(s), $\text{div}(\rho\mathbf{v}) = 0$ s'écrit, en supposant que le diamètre du tube est petit partout devant sa longueur L (soit en ordre de grandeur $S^{1/2} \ll L$):

$$ \boxed{1/S \, \text{d}(\rho v S)/\text{d}s = 0, \text{d'où: } \rho \text{ v S} = \text{constante}} $$

Le long de cette même ligne fluide, en un point d'abscisse curviligne s et de section S(s), l'équation de conservation de l'énergie s'écrit:

$$ 1/S \, \text{d}[(H + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho \varphi) \, v \, \text{S}] / \text{d}s = \rho \, \delta q / \text{dt} $$

$$ \text{soit } \text{d}[(H + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho \varphi) \, v \, \text{S}] / \text{d}s = \rho \, S \, \delta q / \text{dt} $$

$$ \text{et avec } \delta s = v \, dt, \text{ on obtient: } \text{d}[(H + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho \varphi) \, v \, \text{S}] = (\rho \, S \, v) \, \delta q $$

Utilisons de nouveau l'enthalpie h par unité de masse ($H = \rho h$); comme $\rho \text{ v S} = \text{constante}$, il vient :

$$ \boxed{\text{d}(h + \frac{1}{2} v^2 + \varphi) = \delta q} $$

$$ \text{soit finalement: } \boxed{\Delta(h + \frac{1}{2} v^2 + \varphi) = q} \quad (\text{J kg}^{-1}) $$

ou le symbole $\Delta$ désigne la variation **massique** de la quantité $h + \frac{1}{2} v^2 + \varphi$ **entre l'entrée et la sortie** ;
$\text{q}$ est la chaleur échangée **par unité de masse**.

$$ \text{Si le fluide est incompressible, on a } \Delta(H + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho \varphi) = Q \, (\text{J m}^{-3}) $$

ou le symbole $\Delta$ désigne la variation **volumique** de la quantité $H + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho \varphi$ entre l'entrée et la sortie ; $Q$ est la chaleur échangée par unité de volume.

Cependant, $H = U + P$, donc $\Delta H = \Delta U + \Delta P$ et le premier principe de la thermodynamique indique, à volume constant, que $\Delta U = Q$. On retrouve ainsi la loi de Bernoulli :

$$ \boxed{\Delta(P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho \varphi) = 0} $$

Si l'écoulement a lieu dans un **tube magnétique**, les lignes de courant étant supposées **colinéaires** aux lignes du champ magnétique, on doit adjoindre l'équation de Maxwell flux $\text{div } \mathbf{B} = 0$.

Le long d'une ligne de champ de section S variable, $\text{div } \mathbf{B} = 0$ s'écrit $1/S \, \text{d}(BS)/\text{d}s = 0$, s'étant l'abscisse curviligne, d'où
$B \text{ S} = \text{constante}$

## 2 - Force de Laplace ; mouvement longitudinal et équilibre transversal

En présence de champ magnétique, la force de Laplace par unité de volume est $\mathbf{f} = \mathbf{j} \wedge \mathbf{B}$ (N/m³)

La densité de courant **j** provient de l'équation de Maxwell Ampère dans l'Approximation des Régimes Quasi Stationnaires (ARQS) :

$\text{rot } \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j}$

On a négligé dans cette approximation le courant de déplacement $\varepsilon_0 \partial \mathbf{E} / \partial t$, la vitesse caractéristique du fluide $v$ étant négligeable devant $C$ vitesse de la lumière. Sachant que :

$\text{grad } \mathbf{B}^2 = 2 \mathbf{B} \wedge \text{rot } \mathbf{B} + 2 \mathbf{B} \cdot \text{grad } \mathbf{B}$

on en déduit

$$ \mathbf{f} = (\text{rot } \mathbf{B} / \mu_0) \wedge \mathbf{B} = \mathbf{B} \cdot \text{grad } \mathbf{B} / \mu_0 - \text{grad} (\mathbf{B}^2/2\mu_0) $$

tension magnétique

pression magnétique

Dans le repère de Frênet, avec **t** vecteur unitaire tangent aux lignes de champ, on a $\mathbf{B} = \mathbf{B} \mathbf{t}$, et :

$\mathbf{B} \cdot \text{grad } \mathbf{B} = \mathbf{B} \text{ d/ds}(\mathbf{B} \mathbf{t}) = \mathbf{B}^2 \text{ dt/ds} + \mathbf{B} \text{ dB/ds} \mathbf{t}$

Or $\text{dt/ds} = \mathbf{n} / R$, $R$ rayon de courbure de la ligne de champ, et $\mathbf{n}$ normale à la ligne de champ

donc $\mathbf{f} = \mathbf{j} \wedge \mathbf{B} = - \text{grad} (\mathbf{B}^2/2\mu_0) + \mathbf{B}^2/(\mu_0 R) \mathbf{n} + d(\mathbf{B}^2/2\mu_0)/ds \mathbf{t}$

$\mathbf{f} = \mathbf{j} \wedge \mathbf{B} = - \text{grad}_{\perp} (\mathbf{B}^2/2\mu_0) + \mathbf{n} \mathbf{B}^2/(\mu_0 R)$

où $\text{grad}_{\perp}$ est le gradient dans la direction perpendiculaire aux lignes de champ (orthogonale à $\mathbf{t}$).

En présence d'un écoulement stationnaire parallèle aux lignes de champ magnétique, le vecteur vitesse est $\mathbf{v} = v \mathbf{t}$, et le terme $\mathbf{v} \cdot \text{grad} \mathbf{v} = v \text{ d(v t)}/ds$ se décompose en :

$\mathbf{v} \cdot \text{grad} \mathbf{v} = v^2/R \mathbf{n} + d(v^2/2)/ds \mathbf{t}$

de sorte que l'équation du mouvement

$\rho \mathbf{v} \cdot \text{grad} \mathbf{v} = - \text{grad} \rho + \rho g + \mathbf{j} \wedge \mathbf{B}$

devient avec le champ de pesanteur $\mathbf{g} = - \text{grad} (\mathbf{g} \mathbf{z})$ :

$\rho v^2/R \mathbf{n} + \rho \text{grad}_{\parallel}(v^2/2) = - \text{grad}_{\perp}(P + \mathbf{B}^2/2\mu_0) + \mathbf{n} \mathbf{B}^2/(\mu_0 R) - \text{grad}_{\parallel}P - \rho \text{grad}_{\parallel}(\mathbf{g} \mathbf{z}) - \rho \text{grad}_{\perp}(\mathbf{g} \mathbf{z})$

où $\text{grad}_{\parallel} = d/ds$ est le gradient dans la direction des lignes de champ (direction $\mathbf{t}$).

En projection dans la direction $\mathbf{t}$ du mouvement et du champ magnétique, on obtient :

$\rho \text{grad}_{\parallel}(v^2/2) = - \text{grad}_{\parallel}P - \rho \text{grad}_{\parallel}(\mathbf{g} \mathbf{z})$

En projection dans la direction $\mathbf{n}$ orthogonale au mouvement et au champ magnétique :
$$ (\rho v^2 - \frac{B^2}{\mu_0})/R \mathbf{n} = - \mathbf{grad}_{\perp}(P + \frac{B^2}{2\mu_0}) - \rho \mathbf{grad}_{\perp}(gz) $$

Pour un fluide *incompressible*, dans la direction du mouvement et du champ magnétique, on a :

$$ \mathbf{grad}_{\parallel} ( \rho v^2/2 + P + \rho gz ) = 0 $$

c'est la loi de **Bernoulli**

$$ \rho v^2/2 + P + \rho gz = \text{constante sur une ligne de champ} $$

dans laquelle **le champ magnétique n'intervient pas** ; le fluide glisse donc le long de "tuyaux magnétiques".

Pour un fluide *incompressible* dans une configuration de lignes fluides et magnétiques telles que le rayon de courbure $R \to \infty$, la projection dans la direction orthogonale donne :

$$ \mathbf{grad}_{\perp} (P + \frac{B^2}{2\mu_0} + \rho gz) = 0 $$

C'est la loi de **l'équilibre transversal** entre pression gazeuse et magnétique.

$$ P + \frac{B^2}{2\mu_0} + \rho gz = \text{constante} $$

dans laquelle **la vitesse n'intervient pas**.

$\frac{B^2}{2\mu_0}$ est la pression magnétique.

Le paramètre $\beta$ du plasma est égal au rapport de la pression gazeuse à la pression magnétique:

$$ \beta = P / (\frac{B^2}{2\mu_0}) $$

(nombre sans dimension)

Si $\beta > 1$, les forces de **pression** dominent ; et si $\beta < 1$, les forces **magnétiques** dominent.

$\beta$ varie énormément dans l'atmosphère solaire, non pas à cause de la variation du champ magnétique en altitude, mais parce que la pression du gaz varie très vite en fonction de l'altitude z:

- dans la photospère calme, $\beta \gg 1$ car $P = 10^3$ Pa et $\frac{B^2}{2\mu_0}$ est voisin de 1 Pa (avec $B = 10^{-3}$ T)

- dans la chromosphère calme, $\beta \approx 1$ car $P = 1$ Pa et $\frac{B^2}{2\mu_0}$ est voisin de 1 Pa (avec $B = 10^{-3}$ T)

- dans la couronne, $\beta \ll 1$ car $P = 10^{-4}$ Pa et $\frac{B^2}{2\mu_0}$ est voisin de 1 Pa (avec $B = 10^{-3}$ T)

La chromosphère solaire réalise une sorte de transition entre un milieu dominé par les forces de pression en dessous, et un milieu dominé par les forces magnétiques au dessus.

Les taches (champ fort de l'ordre de 0.1 T) ont toujours $\beta \ll 1$. En effet, $P = 10^3$ Pa et $\frac{B^2}{2\mu_0}$ est voisin de $10^4$ Pa ou plus.

Dans un milieu stratifié par la gravité selon l'axe vertical Oz, en présence d'un champ magnétique vertical $B_z$, on aura à une altitude z donnée l'équilibre $P(x, z) + B_z(x, z)^2/2\mu_0 = \text{constante à z donné.}$
Pour cette raison, la pression $P_i$ à l'intérieur d'un tube magnétique vertical de champ vertical $B_i$ est inférieure à celle du milieu ambiant $P_e$ à champ magnétique nul, puisque, à z donné :

$$ P_i + \frac{B_i^2}{2\mu_0} = P_e \quad \rightarrow \quad P_i < P_e $$

C'est ce qui se passe dans les taches solaires. Comme $P_e < 10^4$ Pa, cela fournit une limite supérieure au champ magnétique $\frac{B_i^2}{2\mu_0} < P_e$, soit $B_i < 1600$ Gauss ($1 \text{ G} = 10^{-4} \text{ T}$).

Dans un milieu stratifié par la gravité selon l'axe vertical Oz, en présence d'un champ magnétique horizontal $B_x$, on aura à une altitude z donnée l'équilibre $P(z) + B_x(z)^2/2\mu_0 + \rho gz = \text{constante}$.
# X - Equation de diffusion et d'advection du champ magnétique

On prend l'équation de Maxwell Ampère en ARQS: $\text{rot } \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j}$

or $\text{rot } \text{rot } \mathbf{B} = \text{grad}(\text{div } \mathbf{B}) - \Delta \mathbf{B} = \mu_0 \text{rot } \mathbf{j}$; on obtient donc $\Delta \mathbf{B} = - \mu_0 \text{rot } \mathbf{j}$ car $\text{div } \mathbf{B} = 0$

Avec la loi d'Ohm $\mathbf{j} = \gamma (\mathbf{E} + \mathbf{v} \wedge \mathbf{B})$ où $\gamma$ est la conductivité électrique du plasma, on trouve :

$$ \Delta \mathbf{B} = - \mu_0 \text{rot} (\gamma (\mathbf{E} + \mathbf{v} \wedge \mathbf{B})) = - \mu_0 \gamma \text{rot} (\mathbf{E}) - \mu_0 \gamma \text{rot} (\mathbf{v} \wedge \mathbf{B}) $$

où on a fait l'hypothèse simplificatrice que la conductivité $\gamma$ ne varie pas dans l'espace (ce qui n'est pas vrai, pour l'atmosphère solaire du moins, à cause de la température hétérogène qui y règne, car $\gamma = 8 \times 10^{-4} \text{ T}^{3/2} \text{ S m}^{-1}$).

Avec l'équation de Maxwell Faraday $\text{rot } \mathbf{E} = - \partial \mathbf{B} / \partial t$, on obtient:

$$ \Delta \mathbf{B} = \mu_0 \gamma \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} - \mu_0 \gamma \text{rot} (\mathbf{v} \wedge \mathbf{B}) $$

soit l' **équation de diffusion et d'advection du champ magnétique** :

$$ \Delta \mathbf{B} / \mu_0 \gamma + \text{rot} (\mathbf{v} \wedge \mathbf{B}) = \partial \mathbf{B} / \partial t $$

- Dans un milieu de conductivité **infinie**, on a simplement $\text{rot} (\mathbf{v} \wedge \mathbf{B}) = \partial \mathbf{B} / \partial t$

qui constitue une équation de **transport** ou d'**advection** du champ magnétique dont le temps caractéristique est le temps dynamique égal à $\tau = L/v$ (avec L dimension caractéristique).

- Dans un milieu **au repos**, $\Delta \mathbf{B} / \mu_0 \gamma = \partial \mathbf{B} / \partial t$ est une équation de **diffusion pure**, dont le temps caractéristique (temps de diffusion) est égal à $\tau_d = L^2 \mu_0 \gamma$

## 1 - Echelles de temps caractéristiques dans le cas du soleil

Numériquement, on trouve avec la loi $\gamma = 8 \times 10^{-4} \text{ T}^{3/2} \text{ }\Omega^{-1} \text{ m}^{-1}$ :

$\gamma \approx 10^3 \text{ S m}^{-1}$ dans la photosphère solaire (10000 K)

$\gamma \approx 10^6 \text{ S m}^{-1}$ à$10^6 \text{ K}$ dans la couronne solaire (proche de la conductivité de $10^7 \text{ S m}^{-1}$ d'un métal).

On en déduit les temps caractéristiques $\tau_d$ et $\tau$ dans les structures solaires:

- structures fines photosphériques: $L = 10^3 \text{ km}, v = 1 \text{ km/s}: \tau_d = 10^9 \text{ s}, \tau = 10^3 \text{ s}$

- structures coronales: $L = 10^5 \text{ km}, v = 100 \text{ km/s}: \tau_d = 10^{16} \text{ s}, \tau = 10^3 \text{ s}$

On constate qu'aux échelles des structures solaires observables ($L > 100 \text{ km}$), le temps de diffusion $\tau_d$ est toujours **très long** devant le temps dynamique $\tau$ ; la diffusion du champ magnétique est donc inefficace, sauf sur des échelles minuscules de l'ordre du mètre, ce qui laisse supposer que les phénomènes purement diffusifs ne se produisent que sur ces petites échelles spatiales qui sont inobservables. Pour $L = 1 \text{ km}$, on trouve par exemple $\tau_d = 10^3 \text{ s}$ dans la photosphère.

Mais il existe une échelle de temps intermédiaire qui concerne l'instabilité de déchirement (« tearing mode ») dans une région de champs magnétiques **anti parallèles ou nappe de courant**.

Cette instabilité se produit sur l'échelle de temps caractéristique égale à :

$$ \tau_t = (\tau_d \tau)^{1/2} $$

ce qui donne numériquement pour une région d'épaisseur $L = 100 \text{ km}$ (minimum observable) à $T = 10000 \text{ K}$ et $v = 1 \text{ km/s}: \tau_d = 10^7 \text{ s}, \tau = 10^3 \text{ s}$, et $\tau_t = 10^5 \text{ s}$ soit une journée.

Cependant, ce temps peut être nettement inférieur en cas de **conductivité anormale** réduite par la turbulence locale (le plasma solaire est très turbulent car $\text{Re} \gg 1$). Le rapport
$$R_m = \tau_d / \tau = L \mu_0 \gamma v$$

est appelé **nombre de Reynolds magnétique** et le temps de déchirement est alors $\tau_t = \tau (R_m)^{1/2}$

Dans la couronne solaire avec les valeurs ci dessus, $R_m \approx 10^{13}$; dans la photosphère, on aurait $R_m \approx 10^6$. $R_m$ est de l'ordre de 1 seulement aux **petites échelles spatiales diffusives** ($L < 1$ km).

<figure><img src="image_67.png" /></figure>

Modes de déchirement du champ magnétique dans une configuration anti parallèle (nappe de courant); seuls les points X (encadrés en rouge) de la nappe (hachurée) sont des sites efficaces et rapides de diffusion magnétique.

<figure><img src="image_68.png" /></figure>

Observation d'une nappe de courant dans un site éruptif (TRACE, NASA, à gauche en EUV et SOHO/MDI, ESA/NASA, à droite en champ magnétique longitudinal)

## 2 - Diffusion dans quelques cas simples

On se place dans un espace à 1 dimension x et on suppose connue à l'instant $t = 0$ la distribution du champ magnétique vertical $B(x, 0)$. $B(x, t)$ est donné par la résolution de l'équation de diffusion :

$$\partial^2 \mathbf{B} / \partial x^2 / \mu_0 \gamma = \partial \mathbf{B} / \partial t$$

Cette équation peut se résoudre par transformée de Fourier (TF). Avec la convention

$$\text{TF}_f(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2i\piux} dx, \text{ on obtient en prenant la TF de l'équation sur la variable d'espace x :}$$

$\partial \text{TF}_B(u, t) / \partial t = -4 \pi^2 u^2 v \text{TF}_B(u, t)$ en utilisant la propriété de la TF pour les dérivées de f :

$$\text{TF}_f = 2i\pi u \text{TF}_f, \quad \text{TF}_f' = (2i\pi u)^2 \text{TF}_f, \quad \text{TF}_f^{(n)} = (2i\pi u)^n \text{TF}_f \dots$$

L'équation différentielle sur la TF est du premier ordre en $t$ et $a$ pour solution simple :

$$\text{TF}_B(u, t) = \text{TF}_B(u, 0) e^{-4 \pi^2 u^2 / \mu_0 \gamma}$$
Et par transformée de Fourier inverse sur u, on obtient $B(x, t)$ connaissant la transformée de Fourier de la distribution spatiale initiale du champ magnétique :

$$B(x, t) = \text{TF}^{-1} [ \text{TF}_{B(x,0)}(u, 0) e^{-4 \pi^2 u^2 / \mu_0 \gamma} ]$$

$$\text{Remarque : } e^{-4 \pi^2 u^2 / \mu_0 \gamma} = (\mu_0 \gamma / 4\pi t)^{1/2} \text{TF}(e^{-x^2 \mu_0 \gamma / 4t})$$

La transformée de Fourier de la gaussienne de variable x est une gaussienne de la variable u.

$$\text{donc } \text{TF}_{B}(u, t) = (\mu_0 \gamma / 4\pi t)^{1/2} \text{TF}[B(x, 0)] \text{TF}[e^{-x^2 \mu_0 \gamma / 4t}] = (\mu_0 \gamma / 4\pi t)^{1/2} \text{TF}[B(x, 0)] * e^{-x^2 \mu_0 \gamma / 4t}$$

où * désigne le produit de convolution, en utilisant le fait que la TF d'un produit de convolution de deux fonctions est égal au produit des TF de chacune. On en déduit donc que :

$$B(x, t) = (\mu_0 \gamma / 4\pi t)^{1/2} B(x, 0) * e^{-x^2 \mu_0 \gamma / 4t} \quad (\text{produit de convolution sur la variable x})$$
En développant, on obtient :

$$B(x, t) = (\mu_0 \gamma / 4\pi t)^{1/2} \int_{-\infty}^{+\infty} B(u-x, 0) e^{-\mu_0 \gamma u^2 / 4t} du = (\mu_0 \gamma / 4\pi t)^{1/2} B(x, 0) * e^{-\mu_0 \gamma x^2 / 4t}$$
C'est le produit de convolution entre $B(x, 0)$ et la gaussienne $e^{-\mu_0 \gamma x^2 / 4t}$ au facteur $(\mu_0 \gamma / 4\pi t)^{1/2}$ près

- Diffusion d'un pic isolé de champ magnétique et étalement

Si $B(x,0) = B_0 \delta(x)$ **pic de Dirac, nul partout sauf à l'origine**, on obtient la fonction d'étalement :

$$B(x,t) = B_0 (\mu_0 \gamma / 4\pi t)^{1/2} e^{-\mu_0 \gamma x^2 / 4t}$$

L'étalement du champ magnétique possède une longueur caractéristique L telle que $\mu_0\gamma L^2/4t = 1$ soit un **étalement L variant en t¹/²**.

- Nappe de courant et point neutre de type X

Une nappe de courant (zone de champ magnétique antiparallèle) dans le plan yOz infiniment fine peut être décrite par un modèle simple suivant :

$\mathbf{B} = \mathbf{B}(x,t) \mathbf{e}_y$ avec: $B(x,0) = B_0$ pour $x > 0$ et $B(x,0) = -B_0$ pour $x < 0$. On trouve le résultat :

$$B(x,t) = (2 B_0 / \sqrt{\pi}) \int_0^y e^{-u^2} \text{ du pour } y = x / (4t/\mu_0\gamma)^{1/2}$$

<figure><img src="image_69.png" /></figure>

où l'intégrale n'est pas calculable analytiquement, mais seulement numériquement. Il s'agit de la fonction d'erreur à la constante $B_0$ près :

$$\text{erf}(x) = (2 / \sqrt{\pi}) \int_{0}^{x} e^{-u^2} \text{ du telle que } \text{erf}(-x) = -\text{erf}(x), \text{ erf}(0) = 0 \text{ et } \text{erf}(\infty) = 1$$

On a donc $B(0, t) = 0$ (point neutre X) et $\lim_{x \to \infty} B(x, t) = \pm B_0$ lorsque $x \to \pm \infty$

$$\text{La densité de courant est donnée par } j_z = (1/\mu_0) \text{dB/dx} = [2B_0/(\mu_0\sqrt{\pi})] (\mu_0 \gamma / 4t)^{1/2} e^{-\mu_0 \gamma x^2 / 4t}$$

En $x = 0$ dans la nappe, $j_z(0)$ diminue avec le temps en $t^{-1/2}$. Néanmoins, le courant total

$$j_{\text{tot}} = \int_{0}^{+\infty} j_z dx = 2B_0/\mu_0 \text{ est conservé, ce qui signifie que le courant diffuse en s'étendant.}$$
La longueur caractéristique d'étalement L est encore telle que $\mu_0\gamma L^2/4t = 1$ soit L variant en $t^{1/2}$.

<figure><img src="image_70.png" /></figure>

Exemple de diffusion du champ magnétique dans une nappe de courant. Le champ magnétique est initialement antiparallèle dans l'espace $x > 0$ et $x < 0$. On a représenté $B/B_0$ en fonction de $x$ pour différentes valeurs de $t$, normalisé par le temps diffusif $\tau_d$. L'espace $x$ est normalisé par $l$ définie par $\tau_d = l^2 \mu_0 \gamma$

Courbes présentées pour $t/\tau_d =$
$0.01 \quad \text{--------} \quad 0.1 \quad \text{-----------} \quad 0.5 \quad \text{-------}$
$2.0 \quad \text{---} \text{---} \text{---} \quad 10.0 \quad \text{---} \text{---} \text{---}$

### 3 - Reconnexion magnétique

Ainsi que nous l'avons remarqué, une diffusion efficace et rapide ne peut se développer qu'aux petites échelles, au voisinage d'un point d'annihilation des champs magnétiques dans une nappe de courant très fine dont l'épaisseur $l$ est gouvernée par les mouvements de convergence du milieu vers le point central diffusif X (rond rouge) comme le montre la figure ci dessous.

Le temps diffusif dans la couche d'épaisseur $l$ s'écrit : $\tau_d = l^2 \mu_0 \gamma$. Si $v_\infty$ désigne la vitesse de convergence de la matière vers la nappe, alors $l = \tau_d v_\infty = l^2 \mu_0 \gamma v_\infty$ d'où l'on tire l'épaisseur $l$ de la région de diffusion :

$$l = 1 / (\mu_0 \gamma v_\infty)$$

En prenant $v_\infty = 1$ km/s, $\gamma \approx 10^3 \Omega^{-1} m^{-1}$, l'ordre de grandeur de l'épaisseur $l$ de la couche est seulement le mètre !

La matière est éjectée du site diffusif à la vitesse d'Alfven $v_{\text{out}} = B/(\mu_0 \rho)^{1/2}$, vitesse en général élevée mais inobservable vu la faible épaisseur $l$ du site de reconnexion. B est la valeur du champ externe à la nappe de courant ; $\rho$ est la masse volumique interne.

Voici des exemples :

- photosphère solaire: $B = 10^{-3}$ T, $\rho = 10^{-6}$ kg m$^{-3}$ donne $v_{\text{out}} = 10$ km/s

- taches solaires: $B = 0.1$ T, $\rho = 10^{-6}$ kg m$^{-3}$ donne $v_{\text{out}} = 100$ km/s

- couronne solaire: $B = 10^{-3}$ T, $\rho = 10^{-12}$ kg m$^{-3}$ donne $v_{\text{out}} = 1000$ km/s
<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>Points X et nappes de courant au dessus d'une région éruptive (TRACE, NASA, en EUV)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_72.png" /></figure>

La longueur L de la région diffusive est donnée par la conservation de la masse : $\rho_{in} L v_{\infty} = \rho_{out} l v_{out}$

Ce qui donne L de l'ordre de 10 m dans la photosphère solaire, et du km dans les conditions de la couronne, avec $v_{\infty}$ = 1 km/s et $\rho_{in} \approx \rho_{out}$ en première approximation.

Par ailleurs, la conservation du flux magnétique donne $v_{\infty} B_{\infty} = v_{out} B_{out}$. Comme $v_{\infty} \ll v_{out}$, on en déduit que $B_{\infty} \gg B_{out}$. La nappe de courant convertit donc l'énergie magnétique en énergie cinétique et en chaleur (effet Joule).

La topologie locale des lignes de champ peut être décrite par le modèle simple de champ magnétique **B** (y, α² x, 0) dans le repère Oxy de la figure, avec α² << 1. Les lignes de champ magnétique sont des hyperboles d'équation y² - α² x² = constante, ayant pour asymptotes y = ± α x.

La densité de courant est alors donnée par $\mathbf{j} = \text{rot} \mathbf{B}/\mu_0 = (\alpha^2-1)/\mu_0 \mathbf{e}_z$
D'où la force de Laplace $\mathbf{F}(x,y) = \mathbf{j} \wedge \mathbf{B} = [(1-\alpha^2) \alpha^2 \mathbf{e}_x - (1-\alpha^2) \alpha^2 \mathbf{e}_y]/\mu_0$

Cette force montre que la matière est poussée le long de l'axe Oy vers la nappe de courant et éjectée de la nappe le long de l'axe Ox.
<figure><img src="image_73.png" /></figure>

Reconnexion
magnétique dans la
couronne solaire :
observations satellite
SDO NASA
Instrument AIA
Extrême Ultra Violet
T = 10⁷ K
Site diffusif au point
X de la nappe de
courant

# XI – Ondes acoustiques, ondes magnétiques, ondes MHD et ondes de gravité

## 1 - Ondes de pression longitudinales (force de rappel : pression gazeuse)

On dispose des équations de base suivantes en négligeant la gravité :

$$ egin{cases} 
\partial\rho/\partial t + \text{div}(\rho\mathbf{v}) = 0 \\ 
\rho[\partial\mathbf{v}/\partial t + \mathbf{v}\cdot\mathbf{grad}(\mathbf{v})] = -\mathbf{grad} \, P 
\end{cases} 
\quad \begin{array}{l} 
\text{conservation de la masse} \\ 
\text{mouvement (force de rappel = gradient de pression)} 
\end{array} $$

Le milieu est initialement au repos de pression $P_0$ et masse volumique $\rho_0$ uniformes, et on se place dans l'hypothèse de petits mouvements de vitesse $\mathbf{v}$ le long de l'axe des $x$ et on pose :

$P = P_0 + P_1$ où $P_1$ est la **surpression** par rapport à l'équilibre (négatif ou positif)
$\rho = \rho_0 + \rho_1$ où $\rho_1$ est la **surdensité** par rapport à l'équilibre (négatif ou positif)
avec $|P_1| \ll P_0$ et $|\rho_1| \ll \rho_0$

En négligeant les termes du second ordre comme $\mathbf{v}\cdot\mathbf{grad}(\mathbf{v})$, on obtient des deux équations en projetant celle du mouvement selon $\mathbf{O}_x$, avec $\mathbf{v} = \mathbf{v}(x, t)$ $\mathbf{e}_x$, $P_1$ et $\rho_1$ étant fonctions de $x$ et $t$ :

$$ egin{cases} 
\partial\rho_1/\partial t + \rho_0 \partial\mathbf{v}/\partial x = 0 \\ 
\rho_0 \partial\mathbf{v}/\partial t = -\partial P_1/\partial x 
\end{cases} $$

Pour aller plus loin, il faut relier $P_1$ à $\rho_1$ :

Soit $\chi$ le coefficient de compression caractéristique du gaz : $\chi = (1/\rho) \partial\rho/\partial P$ (unité : Pa$^{-1}$)

Pour une transformation **isotherme** du gaz parfait, $\chi = 1/P_0$
Pour une transformation **isentropique** du gaz parfait, $\chi = 1/\gamma P_0$

Or $\chi = (1/\rho_0) \rho_1/P_1$, d'où $\rho_1 = \chi P_1 \rho_0$

$$ egin{cases} 
\chi \partial P_1 / \partial t + \partial \mathbf{v} / \partial x = 0 \\ 
\rho_0 \partial \mathbf{v} / \partial t = - \partial P_1 / \partial x 
\end{cases} $$

<figure><img src="image_74.png" /></figure>
d'où il vient $\partial^2 v/\partial x^2 = \chi \rho_0 \partial^2 v/\partial t^2$ équation de d'Alembert; c'est donc l'équation de propagation d'une OPPH du type $v = |v| e^{i(\omega t - kx)}$ et de vitesse de phase $C_s = 1/(\chi \rho_0)^{1/2}$

- dans un milieu **isotherme**, $P/\rho$ = constante, $C_s = (P_0/\rho_0)^{1/2} = (R T_0/M)^{1/2}$

avec R constante des gaz parfaits, $T_0$ température et M masse molaire.

- dans un milieu **adiabatique**, $P/\rho^\gamma = \text{constante}$,

$$C_s = (\gamma R T_0 / M)^{1/2}$$

la relation de dispersion est

$$\omega = C_s k$$

La linéarisation de l'équation $\rho_0 \partial v / \partial t = - \partial P_1 / \partial x$ pour une OPPH donne, avec $\partial / \partial t = i \omega$ et $\partial / \partial x = -i k$ :

$$\rho_0 \omega v = k P_1 \text{ d'où } P_1 = \rho_0 C_s v$$

$$\text{et } \rho_1 = \chi \rho_0^2 C_s v$$

Exemple du soleil et de l'atmosphère terrestre :

- dans la chromosphère solaire, avec $T = 8000$ K, on trouve $C_s = (\gamma R T_0 / M)^{1/2} = 11$ km/s

- dans la couronne solaire, avec $T = 1.5 \ 10^6$ K, on trouve $C_s = (\gamma R T_0 / M)^{1/2} = 144$ km/s avec $\gamma = 5/3$ et M masse molaire du proton ($10^{-3}$ kg).

- dans l'air atmosphérique, avec $T = 300$ K, on trouve $C_s = (\gamma R T_0 / M)^{1/2} = 347$ m/s avec $\gamma = 7/5$ et M masse molaire de l'air ($29 \ 10^{-3}$ kg).

## Aspects énergétiques

Le vecteur de Poynting de l'onde sonore est $\mathbf{\Pi} = \mathbf{P}_1 \mathbf{v}$, où $\mathbf{P}_1$ désigne la surpression ($P = P_0 + P_1$ avec $P_1 \ll P_0$). L'équation de conservation de la puissance a pour expression :

$$\text{div } \mathbf{\Pi} + \partial(1/2 \rho_0 \mathbf{v}^2 + 1/2 \chi \mathbf{P}_1^2) / \partial t = 0 \quad \text{en W/m}^3$$

$1/2 \rho_0 \mathbf{v}^2$ et $1/2 \chi \mathbf{P}_1^2$ sont respectivement les densités volumiques d'énergie **cinétique** et **potentielle**.

La surpression $P_1$ étant reliée à la vitesse $v$ par $P_1 = \rho_0 C_s v$, il y a **équipartition** entre énergie cinétique et potentielle car $C_s = 1/(\chi \rho_0)^{1/2}$. La **puissance** instantanée transportée par l'onde est :

$$\mathbf{\Pi} = \rho_0 \mathbf{v}^2 C_s \text{ et en moyenne}$$

$$\langle \mathbf{\Pi} \rangle = 1/2 \rho_0 |\mathbf{v}|^2 C_s \ (\text{W m}^{-2})$$

## 2 - Ondes magnétiques d'Alfven transversales (force de rappel : magnétique, de Laplace)

On dispose des équations de base suivantes, dans lesquelles on néglige la gravité et la pression :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \partial \rho / \partial t + \text{div}(\rho \mathbf{v}) = 0 & \text{conservation de la masse} \\ \rho [ \partial \mathbf{v} / \partial t + \mathbf{v} \cdot \text{grad}(\mathbf{v}) ] = \mathbf{j} \wedge \mathbf{B} & \text{mouvement (Euler, force de rappel magnétique)} \\ \mathbf{j} = \text{rot } \mathbf{B} / \mu_0 & \text{Maxwell Ampère} \\ \text{rot } (\mathbf{v} \wedge \mathbf{B}) = \partial \mathbf{B} / \partial t & \text{équation de Maxwell Faraday en conductivité } \gamma \text{ infinie} \\ \hfill \mathbf{j} = \gamma (\mathbf{E} + \mathbf{v} \wedge \mathbf{B}) \text{ fini} \rightarrow \mathbf{E} = - \mathbf{v} \wedge \mathbf{B} \end{array} \right. $$

On se place dans l'hypothèse de petits mouvements $\mathbf{v} = \mathbf{v} \mathbf{e}_z$, transversaux le long de l'axe des z dans un champ uniforme $\mathbf{B}_0 = \mathbf{B}_0 \mathbf{e}_x$, porté par l'axe des x, $\rho_0$ étant la masse volumique uniforme (figure). Les quantités dépendent de la variable x et de t.
Si on considère $\rho$ comme constante (pas de force de pression),
alors l'équation de conservation de la masse est vérifiée
car div $\mathbf{v} = 0$ ($\mathbf{v}$ est porté par $\mathbf{e}_z$ et ne dépend que de $x$).

Soit $\mathbf{B}_1$ la perturbation transversale du champ magnétique ($B_1 \ll B_0$);

$\mathbf{B} = \mathbf{B}_0 + \mathbf{B}_1$ et $\rho = \rho_0$ (incompressible) d'où les deux équations :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\rho_0 \partial \mathbf{v} / \partial t = \mathbf{rot} \, \mathbf{B}_1 \wedge \mathbf{B}_0 / \mu_0 \\
\partial \mathbf{B}_1 / \partial t = \mathbf{rot} \, (\mathbf{v} \wedge \mathbf{B}_0)
\end{array}
\right.
$$

On a éliminé les termes du second ordre.

Avec $\mathbf{B}_1 = \mathbf{B}_1 \mathbf{e}_z$, $\mathbf{rot} \mathbf{B}_1 = - \partial \mathbf{B}_1 / \partial x \mathbf{e}_y$

$$
\rightarrow \rho_0 \partial v / \partial t = (B_0 / \mu_0) \partial B_1 / \partial x
$$

Avec $\mathbf{v} \wedge \mathbf{B}_0 = \mathbf{v} \mathbf{B}_0 \mathbf{e}_y$, $\mathbf{rot} (\mathbf{v} \wedge \mathbf{B}_0) = \mathbf{B}_0 \partial \mathbf{v} / \partial x \mathbf{e}_z$

$$
\rightarrow \partial \mathbf{B}_1 / \partial t = \mathbf{B}_0 \partial \mathbf{v} / \partial x
$$

Dérivons la seconde équation par rapport à x :

$$
\mathbf{B}_0 \partial^2 \mathbf{v} / \partial x^2 = \partial^2 \mathbf{B}_1 / \partial t \partial x = (\rho_0 \mu_0 / \mathbf{B}_0) \partial^2 \mathbf{v} / \partial t^2 \quad \text{et finalement, on trouve :}
$$

$$
\partial^2 \mathbf{v} / \partial x^2 = (\mu_0 \rho_0 / B_0^2) \partial^2 \mathbf{v} / \partial t^2 \quad \text{équation de d'Alembert,}
$$

qui est une équation de propagation d'une OPPH transversale du type $v = |v| e^{i(\omega t - kx)}$ de vitesse de phase :

$$
v_a = \mathbf{B}_0 / (\mu_0 \rho_0)^{1/2} \quad \text{La relation de dispersion est} \quad \omega = v_a k
$$

$v_a$ est appelée vitesse d'Alfvèn, de l'ordre de 1000 km/s dans la couronne solaire, 100 km/s dans les taches solaires (valeurs très supérieures à la vitesse du son $C_s$) ; dans le soleil calme (champ magnétique faible), par contre, $v_a$ est petit devant la vitesse du son $C_s$ ($< 10$ km/s).

La seconde équation $\partial \mathbf{B}_1 / \partial t = \mathbf{B}_0 \partial \mathbf{v} / \partial x$ donne la perturbation de champ magnétique $\mathbf{B}_1$ en utilisant les opérateurs valables pour une OPPH, à savoir :

$$
\partial/\partial t = i \omega \text{ et } \partial/\partial x = -i k, \text{ d'où: } i \omega \mathbf{B}_1 = -i k \mathbf{v} \mathbf{B}_0 \rightarrow \mathbf{B}_1 = - \mathbf{B}_0 (\mathbf{v} / v_a) \ll \mathbf{B}_0
$$

En présence de la force de pression ( - grad P), on obtiendrait des ondes **magnéto acoustiques**

Aspects énergétiques

Le vecteur de Poynting de l'onde magnétique est $\mathbf{\Pi} = (\mathbf{E} \wedge \mathbf{B}_1)/\mu_0$, où $\mathbf{E} = -\mathbf{v} \wedge \mathbf{B}_0$.

$$
\mathbf{E} = - \mathbf{v} \mathbf{e}_z \wedge \mathbf{B}_0 \mathbf{e}_x = - \mathbf{v} \mathbf{B}_0 \mathbf{e}_y \text{ d'où } \mathbf{\Pi} = (\mathbf{E} \wedge \mathbf{B}_1)/\mu_0 = - \mathbf{v} \mathbf{B}_0 \mathbf{e}_y \wedge \mathbf{B}_1 \mathbf{e}_z / \mu_0 = - \mathbf{v} \mathbf{B}_0 \mathbf{B}_1 \mathbf{e}_x / \mu_0
$$

Avec $\mathbf{B}_1 = - \mathbf{B}_0 (\mathbf{v} / v_a)$, on déduit $\mathbf{\Pi} = (\mathbf{B}_1^2/\mu_0) v_a \mathbf{e}_x$

où $\mathbf{B}_1^2/\mu_0$ est la surpression magnétique à une constante près.

En effet, la pression magnétique totale est $(\mathbf{B}_0 + \mathbf{B}_1)^2/2\mu_0 = \mathbf{B}_0^2/2\mu_0 + \mathbf{B}_1^2/2\mu_0$ (car $\mathbf{B}_0$ et $\mathbf{B}_1$ sont orthogonaux). L'équation de conservation de la puissance a pour expression :

$$
\text{div } \mathbf{\Pi} + \partial(1/2 \rho_0 \mathbf{v}^2 + 1/2 \mathbf{B}_1^2/\mu_0)/\partial t = 0 \quad \text{en W/m}^3
$$

$1/2 \rho_0 \mathbf{v}^2$ et $1/2 \mathbf{B}_1^2/\mu_0$ sont respectivement les densités volumiques d'énergie **cinétique** et **magnétique**. Comme $\mathbf{B}_1 = - \mathbf{B}_0 (\mathbf{v}/v_a)$, il y a **équipartition** entre les deux.

<figure><img src="image_75.png" /></figure>
La <u>puissance</u> transportée par l'onde est $\Pi = (B_1^2 / \mu_0) v_a = \rho_0 v^2 v_a$ et en moyenne,

$$
\langle \Pi \rangle = 1/2 \rho_0 |v|^2 v_a (\text{W m}^{-2})
$$

On remarque que le rapport entre la puissance acoustique $\langle\Pi_s\rangle$ et magnétique $\langle\Pi_m\rangle$ vaut :

$$
\langle \Pi_s \rangle / \langle \Pi_m \rangle = C_s / v_a = \beta^{1/2}
$$

$\beta \gg 1$ dans la photosphère solaire calme, $\beta \ll 1$ dans les taches (champ magnétique fort).

3 - Ondes MHD ou magnéto acoustiques

Le cas général est complexe : il tient compte à la fois
de la pression gazeuse et du champ magnétique.

On dispose des équations de base, dans lesquelles on néglige la gravité :

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \text{div}(\rho \mathbf{v}) = 0 & \text{conservation de la masse} \\
\displaystyle \rho \left[ \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{grad}(\mathbf{v}) \right] = - \mathbf{grad} \mathbf{P} + \mathbf{j} \wedge \mathbf{B} & \text{mouvement} \\
\displaystyle \mathbf{j} = \mathbf{rot} \mathbf{B} / \mu_0 \\
\displaystyle \mathbf{rot} (\mathbf{v} \wedge \mathbf{B}) = \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} & \text{équation d'induction} \\
\text{On relie } \mathbf{P} \text{ à } \rho \text{ par une loi adiabatique, } \mathbf{P} / \rho^\gamma = \text{constante}
\end{array}
\right.
$$

<figure><img src="image_76.png" /></figure>

Le champ magnétique **B**₀ est supposé uniforme porté par Oz. ρ₀, la masse volumique au repos, et P₀
la pression, sont aussi uniformes.

On va rechercher les solutions sous forme d'OPPH de vecteur d'onde **k** contenu dans le plan xOz,
et faisant un angle θ avec l'axe Oz. En s'intéressant uniquement aux petits mouvements, les
équations ci dessus se transforment en appelant ρ et **B** les perturbations de ρ₀ et **B**₀, le milieu étant
initialement au repos :

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho_0 \operatorname{div}(\mathbf{v}) = 0 \\
\displaystyle \rho_0 \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} = - (\gamma \rho_0 / \rho_0) \mathbf{grad} \rho + \mathbf{rot} \mathbf{B} \wedge \mathbf{B}_0 / \mu_0 \quad \text{car } \mathbf{P} = \rho_0 (\rho/\rho_0)^\gamma \\
\displaystyle \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \mathbf{rot} (\mathbf{v} \wedge \mathbf{B}_0)
\end{array}
\right.
$$

En dérivant la seconde équation par rapport au temps, il vient :

$$
\rho_0 \partial^2 \mathbf{v} / \partial t^2 = - (\gamma \rho_0 / \rho_0) \mathbf{grad}(\partial \rho / \partial t) + \mathbf{rot}(\partial \mathbf{B} / \partial t) \Lambda \mathbf{B}_0 / \mu_0
$$

On tire $\partial\rho/\partial t$ et $\partial\mathbf{B}/\partial t$ des deux autres équations d'où :

$$
\partial^2 \mathbf{v} / \partial t^2 = (\gamma \mathbf{P}_0 / \rho_0) \mathbf{grad}(\operatorname{div}(\mathbf{v})) + \mathbf{rot}(\mathbf{rot}(\mathbf{v} \wedge \mathbf{B}_0)) \Lambda \mathbf{B}_0 / (\rho_0 \mu_0)
$$

Posons $C_s = (\gamma P_0 / \rho_0)^{1/2}$ et $C_a = B_0 / (\rho_0 \mu_0)^{1/2}$ respectivement <u>vitesses du son et d'Alfven.</u>

En remarquant que $\mathbf{B}_0 = \mathbf{B}_0 \mathbf{e}_z$, on aboutit à l'équation finale :

$$
\partial^2 \mathbf{v} / \partial t^2 = C_s^2 \mathbf{grad}(\mathrm{div}(\mathbf{v})) + C_a^2 \mathbf{rot}(\mathbf{rot}(\mathbf{v} \wedge \mathbf{e}_z)) \Lambda \mathbf{e}_z
$$

Pour réoudre cette équation, on recherche des <u>ondes planes</u> sous la forme **v** = **X** e<sup>i(ωt - k.r)</sup>, **X**
amplitude du mouvement. Sachant que l'on a, dans le cadre des ondes planes, les opérateurs :

div = -i **k**. (produit scalaire)      grad = -i **k** (multiplication)

**rot** = -i **k** Λ (produit vectoriel)

$\partial/\partial t = i \omega$ (multiplication)

On transforme cette equation en : $\omega^2 \mathbf{X} = C_s^2 \mathbf{k} (\mathbf{k} \cdot \mathbf{X}) + C_a^2 \mathbf{k} \wedge (\mathbf{k} \wedge (\mathbf{X} \wedge \mathbf{e}_z)) \wedge \mathbf{e}_z$
Posons $\mathbf{X} = (x, y, z)$ et $\mathbf{k} = (k_x, 0, k_z) = (k\perp, 0, k_{\parallel})$ ; on en déduit le système linéaire avec $k\perp = k \sin\theta$ et $k_{\parallel} = k \cos\theta$ :

$$ \begin{pmatrix} (C_s^2 + C_a^2) k\perp^2 + C_a^2 k_{\parallel}^2 - \omega^2 & 0 & C_s^2 k\perp k_{\parallel} \\ 0 & C_a^2 k_{\parallel}^2 - \omega^2 & 0 \\ C_s^2 k\perp k_{\parallel} & 0 & C_s^2 k_{\parallel}^2 - \omega^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0 $$

Ce système linéaire revient à rechercher les valeurs propres $(\omega/k)^2$ de la matrice suivante :

$$ \begin{pmatrix} C_s^2 \sin^2\theta + C_a^2 & 0 & C_s^2 \cos\theta \cos\theta \\ 0 & C_a^2 \cos^2\theta & 0 \\ C_s^2 \cos\theta \cos\theta & 0 & C_s^2 \sin^2\theta \end{pmatrix} $$

Les directions de vibration $\mathbf{X}$ seront alors les vecteurs propres correspondants. On obtient par ce moyen la relation de dispersion $\omega$ en fonction de $k$.

La première valeur propre évidente est $\omega/k = C_a \cos\theta$.

La seconde équation aux valeurs propres est $(\omega/k)^4 - (\omega/k)^2 (C_s^2 + C_a^2) + C_a^2 C_s^2 \cos^2\theta = 0$.

### Premier sas particulier : ondes acoustiques ($C_a = 0$)

On retrouve une vibration longitudinale parallèle à $\mathbf{k}$ et la relation de dispersion $\omega = C_s k$.

### Second sas particulier : ondes d'Alfven ($C_s = 0$)

On trouve deux possibilités de vibrations orthogonales à $\mathbf{B}_0$ :

- une vibration $x = z = 0$ orthogonale au plan ($\mathbf{k}, \mathbf{B}_0$), de direction Oy et de relation de dispersion $\omega = C_a k_{\parallel} = C_a k \cos\theta$ (vitesse de phase $C_a \cos\theta$)

- une vibration $y = z = 0$ dans le plan ($\mathbf{k}, \mathbf{B}_0$), selon Ox et de relation de dispersion $\omega = C_a k$

**Dans le cas général, on trouve deux relations de dispersion :**

$$ \omega = C_a k_{\parallel} = C_a k \cos\theta \quad (\text{onde d'Alfven}) \\ \text{et } \omega^2 / k^2 = \frac{1}{2} \left\{ [C_s^2 + C_a^2] \pm [(C_s^2 - C_a^2)^2 + 4 C_s^2 C_a^2 \sin^2\theta]^{1/2} \right\} $$

le second mode est une vibration **magnéto-acoustique** telle que $y = 0$ dans le plan ($\mathbf{k}, \mathbf{B}_0$).

Cette dernière relation de dispersion délivre **deux vitesses de phase** $v_\phi = \omega / k$, donc 2 modes : un mode **rapide** (signe +) et un mode **lent** (signe -). Lorsque $C_a \gg C_s$, alors on obtient approximativement pour vitesses de phase $v_\phi = \omega / k \approx C_a$ (rapide) et $v_\phi = \omega / k \approx C_s \cos\theta$ (lent)

Si $\theta = \pi/2$, $k_{\parallel} = 0$, $\mathbf{k}$ et $\mathbf{B}_0$ sont **orthogonaux**, il n'y a qu'une seule vibration parallèle à Ox, le mode rapide, de vitesse de phase $v_\phi = \omega / k = (C_s^2 + C_a^2)^{1/2}$

Si $\theta = 0$, $k\perp = 0$, $\mathbf{k}$ et $\mathbf{B}_0$ sont **parallèles**, il y a deux modes, une onde d'Alfven transversale parallèle à Oy de vitesse de phase $v_\phi = \omega / k = C_a$ et une onde sonore longitudinale parallèle à Oz de vitesse de phase $v_\phi = \omega / k = C_s$

Les relations entre les composantes $x$ et $z$ de la vibration sont les suivantes :

$$ z/x = - C_s^2 \sin\theta \cos\theta / (C_s^2 \cos^2\theta - \omega^2 / k^2) $$

Lorsque $C_a \gg C_s$, alors $v_\phi = \omega / k \approx C_a$ (mode rapide) donne $z/x \ll 1$, vibration selon Ox orthogonale à $\mathbf{B}_0$ et $v_\phi = \omega / k \approx C_s \cos\theta$ (mode lent) donne $z/x \gg 1$, vibration selon Oz et $\mathbf{B}_0$.

Le mode lent peut être assimilé à une onde sonore se propageant le long de tuyaux magnétiques.

## 4 - Application des ondes : chauffage de l'atmosphère solaire
<figure><img src="image_77.png" /></figure>

Température T (échelle LOG) dans l'atmosphère solaire en fonction de l'altitude z. La surface est la photosphère en z = 0 où T = 6000 K. La température remonte brusquement de $10^4$ K à $10^6$ K en l'espace de 100 km seulement dans la zone de transition chromosphère couronne.

Le transport par ondes acoustiques ($<\Pi>$ = 1/2 $\rho_0 |v|^2 C_s$ W m⁻², période 300 s ou fréquence 3 mHz) domine dans le soleil calme le transport magnétique ($<\Pi>$ = 1/2 $\rho_0 |v|^2 v_a$ (W m⁻²) car $\beta$ = ($C_s/v_a)^2$ >> 1 (champs magnétiques faibles); $\rho$ varie en $e^{-z/h}$, où z est l'altitude et h l'échelle de hauteur hydrostatique (h = RT/gM ≈ 200 km), la conservation de la masse $\rho v$ = constante suggère que la vitesse v varie approximativement en $e^{z/h}$; donc v augmente avec l'altitude et lorsque $v > C_s$ des chocs peuvent se former et _dissiper_ l'énergie des ondes en chauffant localement le plasma.
Ceci est susceptible de se produire pour z = 2 h ou z = 3 h dans la chromosphère.

## 5 - Ondes de gravité dans un fluide compressible stratifié en altitude (force de rappel = mg)

On considère un milieu isotherme stratifié en altitude z de pression $P_0(z) = P_0(0) e^{-z/H}$ et densité $\rho_0(z) = \rho_0(0) e^{-z/H}$, dans lequel la vitesse du son est donnée par :

$$C_s^2 = \gamma P_0(z)/\rho_0(z) = \gamma RT/M = \gamma g H, \text{ où } H = RT/gM \text{ est l'échelle de hauteur.}$$

Le milieu est initialement au repos, sans champ magnétique, et stationnaire. En supposant une petite perturbation, on peut écrire $P = P_0 + P_1$, $\rho = \rho_0 + \rho_1$ avec $P_0(z) = P_0(0) e^{-z/H}$ et $\rho_0(z) = \rho_0(0) e^{-z/H}$, les perturbations $P_1$ et $\rho_1$ dépendant de l'espace et du temps. On négligera les quantités au second ordre.

Equation de conservation de la masse :

$$\partial\rho/\partial t + \text{div}(\rho v) = 0 \quad \text{devient au premier ordre :} \quad \partial\rho_1/\partial t + \rho_0 \text{ div}(v) + \mathbf{v} \cdot \text{grad} \rho_0 = 0$$

Equation du mouvement (Euler) :

$\rho (\partial v/\partial t + \mathbf{v} \cdot \text{grad } \mathbf{v}) = - \text{grad } P + \rho g$ devient au premier ordre : $\rho_0 \partial v/\partial t = - \text{grad } P_1 + \rho_1 g$

$$- \text{grad } P_0 + \rho_0 g = 0$$

Pour un milieu supposé adiabatique localement, on a $dP/dt = (\gamma P/\rho) dp/dt$, ce qui donne en utilisant les dérivées particulières $d/dt = \partial/\partial t + \mathbf{v} \cdot \text{grad}$ :

$$(\partial P/\partial t + \mathbf{v} \cdot \text{grad } \mathbf{P}) = (\gamma P/\rho) (\partial \rho/\partial t + \mathbf{v} \cdot \text{grad } \rho), \text{ qui devient au premier ordre :}$$

$$(\partial P_1/\partial t + \mathbf{v} \cdot \text{grad } P_0) = (\gamma P_0/\rho_0) (\partial \rho_1/\partial t + \mathbf{v} \cdot \text{grad } \rho_0), \text{ soit :}$$

$$(\partial P_1/\partial t + \mathbf{v} \cdot \text{grad } P_0) = C_s^2 (\partial \rho_1/\partial t + \mathbf{v} \cdot \text{grad } \rho_0)$$

En dérivant l'équation du mouvement par rapport au temps, on obtient :

$$\rho_0 \partial^2 \mathbf{v}/\partial t^2 = - \text{grad } \partial P_1/\partial t - \partial \rho_1/\partial t g \mathbf{e}_z \quad (\mathbf{e}_z \text{ étant un vecteur unitaire dirigé vers le haut})$$

On tire $\partial P_1/\partial t$ de l'équation de l'adiabatique et $\partial \rho_1/\partial t$ de l'équation de conservation de la masse,
d'où $\partial P_1 / \partial t = - C_s^2 \rho_0 \text{div}(\mathbf{v}) - \text{v grad } P_0$, que l'on reporte dans l'équation du mouvement :

$$ 
\begin{align*}
\rho_0 \frac{\partial^2 \mathbf{v}}{\partial t^2} &= - \text{grad} \frac{\partial P_1}{\partial t} + (\rho_0 \text{div}(\mathbf{v}) + \mathbf{v} \cdot \text{grad} \rho_0) g \mathbf{e}_z \\
&= \text{grad} (C_s^2 \rho_0 \text{div}(\mathbf{v}) + \mathbf{v} \cdot \text{grad} P_0) + (\rho_0 \text{div}(\mathbf{v}) + \mathbf{v} \cdot \text{grad} \rho_0) g \mathbf{e}_z \\
&= C_s^2 \rho_0 \text{grad}(\text{div}(\mathbf{v})) + C_s^2 \text{grad} \rho_0 \text{div}(\mathbf{v}) + \text{grad} (\mathbf{v} \cdot \text{grad} P_0) + (\rho_0 \text{div}(\mathbf{v}) + \mathbf{v} \cdot \text{grad} \rho_0) g \mathbf{e}_z
\end{align*}
$$

Comme $P_0(z) = P_0(0) e^{-z/H}$ et $\rho_0(z) = \rho_0(0) e^{-z/H}$,
$\text{grad } P_0 = - P_0/H \mathbf{e}_z$ ; $\text{grad } \rho_0 = - \rho_0/H \mathbf{e}_z$ ; $\mathbf{v} \cdot \text{grad } P_0 = v_z (-P_0/H)$ et $\mathbf{v} \cdot \text{grad } \rho_0 = v_z (-\rho_0/H)$,
ainsi que $C_s^2 = \gamma g H$ et $P_0 / \rho_0 = gH$, on obtient finalement (calcul un peu laborieux) :

$$ \frac{\partial^2 \mathbf{v}}{\partial t^2} = C_s^2 \text{grad}(\text{div}(\mathbf{v})) - g \text{grad}(v_z) - g (\gamma-1) \text{div}(\mathbf{v}) \mathbf{e}_z $$

Dans cette équation, $v_z$ apparaît en raison de la stratification au repos selon $z$ de $P_0$ et de $\rho_0$. La recherche de solutions en ondes planes de la forme $e^{i(\omega t - kr)}$ entraîne :

$$ \omega^2 \mathbf{v} = C_s^2 \mathbf{k} (\mathbf{k} \cdot \mathbf{v}) - i g \mathbf{k} v_z - i g (\gamma-1) (\mathbf{k} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{e}_z $$

Recherchons des ondes propagatives selon $\mathbf{e}_x$ en posant $\mathbf{k} = k \mathbf{e}_x$ :

$$ \omega^2 \mathbf{v} = C_s^2 k^2 v_x \mathbf{e}_x - i g k v_z \mathbf{e}_x - i g (\gamma-1) k v_x \mathbf{e}_z $$

ce qui donne un système de deux équations à deux inconnues :

$$ 
\begin{cases}
v_x (\omega^2 - C_s^2 k^2) + i g k v_z = 0 \\
v_x (i g (\gamma-1) k) + \omega^2 v_z = 0
\end{cases}
$$

Ce système n'a de solution non nulle que si son déterminant est nul, soit si :

$$ \omega^4 - C_s^2 k^2 \omega^2 + g^2 k^2 (\gamma-1) = 0 \quad \text{relation de dispersion qui admet deux solutions :} $$

$$ \omega^2/k^2 = 1/2 C_s^2 \left[ 1 \pm \left(1 - 4 N^2 / C_s^2 k^2\right)^{1/2} \right] $$

où $N = g (\gamma-1)^{1/2} / C_s$ est la pulsation de Brunt Vaisala des ondes de gravité.
Supposons maintenant que $C_s k \gg N$ (vrai en physique solaire par exemple), ce qui permet de simplifier la relation de dispersion. Dans ce cas, les modes sont :

### $\omega/k \approx C_s$ ondes acoustiques

Dans ce cas, $|v_z/v_x| = g (\gamma-1) k / \omega^2 \approx g (\gamma-1) / C_s^2 k = N (\gamma-1)^{1/2} / C_s k \ll (\gamma-1)^{1/2}$

Donc $|v_z/v_x| \ll 1$, ces ondes acoustiques sont bien longitudinales dans la direction $\mathbf{e}_x$ et

### $\omega \approx N$ ondes de gravité

Dans ce cas, $|v_z/v_x| = g (\gamma-1) k / \omega^2 \approx g (\gamma-1) k / N^2 \gg g (\gamma-1) / NC_s = (\gamma-1)^{1/2}$

Donc $|v_z/v_x| \gg 1$, ces ondes de gravité sont transversales (vibration selon l'axe de la gravité $\mathbf{e}_z$) par rapport à la direction de propagation $\mathbf{e}_x$.

### Exemple de la basse atmosphère solaire ($T = 10^4 K$) :

Avec $\gamma = 5/3$, $C_s = 10 \text{ km/s}$, $g = 275 \text{ m/s}^2$, $v = N/2\pi = 3.5 \text{ MHz}$ (période $\ge 300$ s).

Dans l'intérieur solaire ($T = 10^6 K$), les fréquences sont très basses :

Avec $C_s = 100 \text{ km/s}$, $v = N/2\pi = 0.35 \text{ MHz}$ (période $\ge 3000$ s).
On montre par un développement plus compliqué que les ondes de gravité se propagent plutôt horizontalement (leur pulsation est $\omega = N \sin\theta$ où $\theta$ est l'angle entre $\mathbf{k}$ et $\mathbf{e}_z$), d'où notre hypothèse de départ.

**Cas limite d'un milieu incompressible :**

Cela revient à poser $\gamma = 0$ dans la relation de dispersion qui devient $\omega^4 - g^2 k^2 = 0$ (car $C_s = 0$), soit $\omega^2 = g \mathbf{k}$ qui fournit le mode fondamental des ondes de gravité qui existe dans le Soleil.

## 6 - Ondes de gravité dans un fluide incompressible : la houle

Nous considérons un fluide incompressible de masse volumique $\rho$ tel que div $\mathbf{v} = 0$, soumis aux forces de pression et de gravité, initialement au repos et en équilibre hydrostatique, selon le modèle suivant, basé sur une lame de fluide de profondeur $h$ :

<figure><img src="image_78.png" /></figure>

A l'équilibre hydrostatique, la pression $P_0(y)$ du fluide est donnée par la loi:

$$P_0(y) = P_0(0) - \rho g y$$

La vitesse du fluide en $M(x, y)$ est $\mathbf{v}(x, y, t)$ avec 2 composantes ($v_x, v_y$) et l'élévation du fluide en $H(x, h)$ est appelée $\eta(x, t)$ selon la direction $Oy$.

Le PFD ou équation d'Euler s'écrit : $\rho \partial\mathbf{v}/\partial t + \rho \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} = - \nabla \cdot \mathbf{P} + \rho g$

On s'intéresse aux petits mouvements à partir de la position de repos du fluide, de telle sorte que le terme $\mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}$ peut être négligé (second ordre) devant $\partial\mathbf{v}/\partial t$ (premier ordre). Appelons maintenant $P_1(x, y, t)$ la surpression (positive ou négative) par rapport à l'équilibre hydrostatique $P_0(y)$ du fluide: on a donc $\mathbf{P} = P_0 + P_1$ et, en raison de l'équilibre hydrostatique initial, $- \nabla \cdot \mathbf{P}_0 + \rho g = 0$.

L'équation d'Euler devient donc:

$$\rho \partial \mathbf{v} / \partial t = - \nabla \cdot \mathbf{P}_1$$

Prenons sa divergence ; comme div $\mathbf{v} = 0$ (fluide incompressible), il vient $\Delta P_1 = 0$. La surpression vérifie donc l'équation de Laplace.

$$\Delta P_1 = 0$$

Nous allons rechercher une solution en ondes progressives selon $Ox$ de la forme $P_1 = f(y) e^{i(\omega t - kx)}$

L'équation de Laplace devient alors:

$$\frac{d^2 f}{dy^2} - k^2 f = 0$$

qui a pour solution $f(y) = A e^{ky} + B e^{-ky}$

Nous devons maintenant examiner les conditions aux limites du problème :

- en $y = 0$, $v_y(x, 0, t) = 0$

- en $y = h$, $v_y(x, h, t) = \partial\eta(x, t)/\partial t$ et $P_1(x, h, t) = \rho g \eta(x, t)$

On peut calculer $v_y = V_y(y) e^{i(\omega t - kx)}$ par l'équation d'Euler: $\rho \partial v_y / \partial t = - \partial P_1 / \partial y$

$\rho i \omega v_y = -k \partial^2 v_y / \partial t \partial x$

d'où $v_y = i (k / \rho \omega) e^{i(\omega t - kx)} (A e^{ky} - B e^{-ky})$

La condition aux limites en $y = 0$, $v_y(x, 0, t) = 0$, implique $A = B$
Alors, $P_1 = 2 \text{ A ch}(ky) e^{i(\omega t-kx)}$ et $v_y = 2 \text{ i A } (k / \rho \omega) \text{ sh}(ky) e^{i(\omega t-kx)}$

La seconde condition en $y = h$, à savoir $P_1(x, h, t) = \rho g \eta(x, t)$ ;

donne d'une part $\eta(x, t) = (2 \text{ A } / \rho \text{ g}) \text{ ch}(kh) e^{i(\omega t - kx)}$

et d'autre part, la première en $y = h$, $v_y(x, h, t) = \partial\eta(x,t)/\partial t = i \omega (2 \text{ A } / \rho \text{ g}) \text{ ch}(kh) e^{i(\omega t - kx)}$

que nous pouvons comparer à l'expression de $v_y(x, h, t)$ déduite de l'équation d'Euler, à savoir :
$$v_y(x,h,t) = 2 \text{ i A } (k / \rho \omega) \text{ sh}(kh) e^{i(\omega t - kx)}$$

L'égalité entre les deux expressions donne la relation :

$$i \omega (2 \text{ A } / \rho \text{ g}) \text{ ch}(kh) = 2 \text{ i A } (k / \rho \omega) \text{ sh}(kh)$$

c'est à dire la relation de dispersion des ondes :
$$\omega^2 = k g \text{ th}(kh)$$

Examinons deux cas intéressants :

a) en eau **profonde** (pleine mer) : $h \to \infty$ donne $\omega^2 = k g$ indépendant de la profondeur h

La vitesse de phase $v = \omega/k = g / \omega$ dépend de $\omega$, le milieu est **dispersif**

La longueur d'onde de la houle est $\lambda = v (2\pi/\omega) = 2\pi g/\omega^2 = g T^2/2\pi$, elle croît comme le carré de la période T de la houle. La vitesse de groupe est $d\omega/dk = g / 2\omega = g T/4\pi$.

b) en eau **peu profonde** (plage) : $h \to 0$ donne $\omega = k (gh)^{1/2}$ dépendant de la profondeur h

La vitesse de phase $v = \omega/k = (gh)^{1/2}$ ne dépend pas de $\omega$, le milieu n'est **pas dispersif**

La longueur d'onde de la houle est $\lambda = v (2\pi/\omega) = T (gh)^{1/2}$, elle augmente avec la période T de la houle. La vitesse de groupe est $d\omega/dk = (gh)^{1/2}$.

Traçons dans le cas général la longueur d'onde $\lambda = 2\pi/k$ en fonction de $h$ à $\omega$ fixé (figure ci-dessous).

<figure><img src="image_79.png" /></figure>

La longueur d'onde de la houle augmente avec la profondeur pour une période $T = 2\pi/\omega$ donnée. Elle est plus grande en pleine mer que sur la plage où elle tend vers zéro.

**Le vecteur de Poynting** de la houle est $\vec{\Pi} = P_1 v_y$, soit en partie réelle :

$$\vec{\Pi}(y, t) = [2 \text{ A ch}(ky) \cos(\omega t - kx)] [-2 \text{ A } (k / \rho \omega) \text{ sh}(ky) \sin(\omega t - kx)] \\ = -A^2 (k / \rho \omega) \text{ sh}(2ky) \sin[2(\omega t - kx)]$$

de valeur moyenne nulle.

**Application aux marées :**

Les vagues déferlent au bord des plages à cause de la dépendance en $h$ de la vitesse de phase $v = (gh)^{1/2}$. En abordant une plage, la vitesse de phase pour la partie haute de la vague (h grand) est
supérieure à celle de sa base (h petit), le sommet de la vague va plus vite et se casse. Pour h = 1 m, v = 3.3 m/s. Pour h = 2 m, v = 4.4 m/s. La houle est sujette au phénomène de diffraction lorsque sa longueur d'onde est voisine de la taille d'un obstacle comme l'entrée d'un port.

### Application au soleil :

ω² = k g donne le mode fondamental des ondes de gravité observées dans l'atmosphère de l'étoile, de fréquence voisine du milli Hertz.

Il existe aussi des ondes acoustiques de quelques milli Hertz telles que ω = Cs k où Cs est la vitesse du son égale à (γRT/M)¹/², voisine de 9 km s⁻¹ pour T = 6000 K, γ = 5/3 et M = 10⁻³ kg (hydrogène).

### Régime fluvial et torrentiel en eau peu profonde ; nombre de Froude

Considérons un écoulement à la vitesse v dans un canal de profondeur h. Le rapport entre l'énergie cinétique du fluide en surface et son énergie potentielle est aux ordres de gradeur ½ ρv² / ρgh. On définit le nombre de Froude par :

$$Fr = v/(gh)^{1/2}$$

Lorsque Fr < 1, le régime est dit fluvial ;

si Fr > 1, le régime est dit torrentiel (dominé par l'énergie cinétique).

On distingue parmi les régimes fluviaux et torrentiels deux cas, le laminaire et le turbulent (présentant des tourbillons) en invoquant le nombre de Reynolds Re. Lorsque Re < 500, le régime est laminaire (dominé par les frottements visqueux μΔv). Dès que Re > 2000, le régime est turbulent (dominé par les effets non linéaires en v de ρv.grad(v)).

Le nombre de Froude peut être vu comme une sorte de nombre de Mach (rapport de la vitesse du fluide à la vitesse du son), en écrivant $Fr = v / C$, où $C = (gh)^{1/2}$ est la vitesse de phase de la houle en eau peu profonde (profondeur h).

On remarquera que l'eau en chute libre (une cascade par exemple) tombant d'une hauteur h possède une énergie cinétique égale à son énergie potentielle, soit ½ ρv² = ρgh d'où $v = (2gh)^{1/2}$, ce qui correspond à un nombre de Froude $Fr = \sqrt{2}$, un régime bien évidemment torrentiel.

## 7 - Propagation d'une intumescence (ou onde de discontinuité)

Lorsque la hauteur d'eau h varie, la vitesse de phase de la houle varie comme √h, donc plus l'eau est profonde et plus la houle se propage vite. Une onde à la surface d'un fluide de profondeur h + Δh va plus vite qu'une onde sur une lame de profondeur h. Si h varie significativement par l'ajout de plusieurs couches successives (le mascaret d'une onde de marée montante dans un estuaire par exemple), le front va ainsi se raidir, donnant naissance à une onde de discontinuité ou intumescence. On va rechercher la vitesse de propagation w d'une discontinuité entre deux épaisseurs de fluide h₁ et h₂ dans un canal de section rectangulaire S de largeur invariable L (figure). Pour ce faire, la surépaisseur (faible) est créée par l'avancement à la vitesse u d'un barrage dans la direction Ox, pouvant correspondre par exemple à une marée montante.

<figure><img src="image_80.png" /></figure>
Lorsque le barrage avance de v dt, il pousse le volume de fluide $dV = u L h_2 dt$. Ce volume va se retrouver dans la surépaisseur se propageant beaucoup plus rapidement à la vitesse w, soit $dV = w L (h_2 - h_1) dt$. On en déduit : $u h_2 = w (h_2 - h_1)$, d'où $w = u h_2 / (h_2 - h_1) \gg u$, car en général les deux hauteurs $h_2$ et $h_1$ sont voisines. L'onde de discontinuité se propage nettement plus vite que la vitesse du fluide de part et d'autre. Pour écrire l'équilibre des forces d'inertie et de pression sur la discontinuité, il est plus facile d'effectuer un changement de repère en le liant à l'intumescence, comme le montre la figure ci-dessous.

<figure><img src="image_81.png" /></figure>

La conservation du débit volumique s'écrit : $w h_1 = h_2 (w - u)$

La force $F_x$ sur la discontinuité est l'intégrale de $\rho S v_x dv_x/dx$ sur une épaisseur $dx$ qui tend vers zéro, et comme le débit volumique est une constante telle que $\rho S v_x = \rho w h_1 L = \rho h_2 L (w - u)$, l'intégrale de $dv/dx$ sur la discontinuité $dx$ est égale à la différence $\Delta v$ de vitesse de part et d'autre :

$$ \Delta v = w - (w-u) = u $$

$$ \text{d'où l'on tire } F_x = (\rho w h_1 L) \Delta v = \rho w h_1 L u $$

Cette force d'inertie, d'après l'équation d'Euler, est égale à la force de pression exercée sur la discontinuité. On a besoin pour l'estimer de connaître les pressions en A, B et C de part et d'autre de la discontinuité, à la hauteur z, $P_a$ étant la pression ambiante au dessus du courant :

$$ P_A(z) = P_a + \rho g (h_2 - z) \quad \text{pour } 0 < z < h_2 $$

$$ P_B(z) = P_a + \rho g (h_1 - z) \quad \text{pour } 0 < z < h_1 $$

$$ P_C(z) = P_a \quad \text{pour } h_1 < z < h_2 $$

$$ \text{Alors } F_x = L \left[ \int_0^{h_2} P_A(z) dz - \int_0^{h_1} P_B(z) dz - \int_{h_1}^{h_2} P_C(z) dz \right] = \frac{1}{2} \rho g L (h_2^2 - h_1^2) $$

$$ F_x = \rho w h_1 L u = \frac{1}{2} \rho g L (h_2^2 - h_1^2) $$

$$ \text{D'où } w \frac{h_1 u}{h_1} = \frac{1}{2} g (h_2^2 - h_1^2) $$

$$ \text{Comme } u = w \frac{h_2 - h_1}{h_2}, \text{ on obtient finalement } w = \left[ \frac{1}{2} g \frac{h_2}{h_1} (h_1 + h_2) \right]^{1/2} $$

La vitesse de propagation w de la discontinuité est supérieure aux vitesses de propagation de la houle de part et d'autre de l'intumescence, soit $C_1 = [g h_1]^{1/2}$ et $C_2 = [g h_2]^{1/2}$, elles mêmes très supérieures à la vitesse de l'écoulement du courant u (figures).

<figure><img src="image_82.png" /></figure>

Par exemple, $h_1 = 2$ m et $h_2 = 2.5$ m donne $C_1 = 4.47$ m/s, $C_2 = 5.0$ m/s, $w = 5.30$ m/s et $v = 1.06$ m/s, on est en régime fluvial des deux côtés de la discontinuité ($u \ll C_1, C_2$).
En présence d'un écoulement de vitesse v opposé à celui de vitesse u (cas de la rencontre de deux courants opposés, par exemple celui d'un fleuve et d'une marée montante), le schéma devient :

<figure><img src="image_83.png" /></figure>

Le calcul donne :
$$u + v = (h_2 - h_1) \left[ \frac{1}{2} g \frac{h_1+h_2}{h_1h_2} \right]^{1/2} \text{ et } w = \frac{h_1 v + h_2 u}{h_2 - h_1}$$

Si $v = -u$,
alors $w = u$, il n'y a pas d'intumescence.

Si $v = u$,
alors $v = u = \frac{1}{2}(h_2 - h_1) \left[ \frac{1}{2} g \frac{h_1+h_2}{h_1h_2} \right]^{1/2}$
et $w = u \frac{h_1+h_2}{h_2-h_1} = \frac{1}{2} \left( \frac{h_2+h_1}{h_2-h_1} \right) \left[ \frac{1}{2} g \frac{h_1+h_2}{h_1h_2} \right]^{1/2}$

Avec les mêmes valeurs, $h_1 = 2 \text{ m}$ et $h_2 = 2.5 \text{ m}$, on obtient $w = 4.77 \text{ m/s}$ et $u = v = 0.53 \text{ m/s}$, ce qui montre qu'on obtient la même intumescence en présence de deux courants opposés, mais chacun deux fois plus faible que précédemment. Ce résultat est illustré par les figures suivantes.

<figure><img src="image_84.png" /></figure>

Vitesse de propagation w de deux intumescences de hauteur 0.8 m (noir) et 0.5 m (bleu) en fonction de la profondeur $h_1$, pour $v = 0$ (trait plein) et $v = u$ (tirets, deux courants opposés). La vitesse de propagation de la houle est en gras. w augmente avec la profondeur.
<figure><img src="image_85.png" /></figure>

Vitesse du fluide u pour deux intumescences de hauteur 0.8 m (noir) et 0.5 m (bleu) en fonction de la profondeur $h_1$, pour $v = 0$ (trait plein) et $v = u$ (tirets, deux courants opposés). u décroît avec la profondeur, est reste toujours faible devant la vitesse de propagation w.

# 8 - Ondes élastiques longitudinales dans les liquides et les solides

Considérons un barreau élastique de longueur l au repos et de section S, soumis à une force de traction, subissant ainsi un allongement $\Delta l$.

<figure><img src="image_86.png" /></figure>

## Loi de Hooke

Il apparaît au sein du barreau une contrainte ou surpression $\sigma$ proportionnelle à son allongement $\Delta l$ et donnée par la loi de Hooke :

$\sigma = E (\Delta l / l)$ en Pascals (Pa)

$E$ est un coefficient caractéristique du matériau appelé **module d'Young** ou module d'élasticité. $E$ se mesure en Pa (ou MPa). Pour un solide métallique, $E$ est voisin de $10^{11}$ Pa.

Soit $\chi$ le coefficient de compression du matériau que nous avons défini par : $\chi = (1/\rho) \partial\rho/\partial P$

Pour un matériau de masse m donnée, $m = \rho V$ implique $\chi = - (1/V) \partial V / \partial P$

Dans le cas présent, $V = S l$ et $|\partial V / \partial P| \approx S \Delta l / \sigma$, dont on déduit :

$\chi = 1/E$

Nous avons vu que dans un gaz, l'onde se propage à la vitesse de phase $C_s = 1/(\chi \rho_0)^{1/2}$
Dans le cas d'un milieu élastique, cette relation donne $C_s = (E / \rho_0)^{1/2}$ où $\rho_0$ est la masse volumique au repos.