INSTITUT NATIONAL DE LA STATISTIQUE ET DES ÉTUDES ÉCONOMIQUES

Série des documents de travail
de la Direction des Etudes et Synthèses Économiques

G 2000 / 03

L'approximation du filtre passe-bande
proposée par Christiano et Fitzgerald

Jean-Yves FOURNIER *

MAI 2000

Je remercie Françoise Maurel, Guy Laroque et Bernard Salanié
pour leurs remarques et suggestions.

Département des Etudes Economiques d'Ensemble - Timbre G201 - 15, bd Gabriel Péri - BP 100 - 92244 MALAKOFF
CEDEX - France - Tél. : 33 (1) 41 17 60 68 - Fax : 33 (1) 41 17 60 45 - E-mail : d3e-dg@insee.fr

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<footnote>* Département des Etudes Economiques d'Ensemble - Division « Croissance et Politiques Macroéconomiques »
Timbre G221 - 15, bd Gabriel Péri - BP 100 - 92244 MALAKOFF CEDEX.</footnote>
Résumé

L'extraction de la tendance et du cycle d'une série temporelle présente un intérêt majeur pour l'analyse conjoncturelle et, par suite, en matière de politique économique. Le filtre passe-bande fournit une famille de méthodes statistiques pour extraire tendance et cycle. Christiano et Fitzgerald ont proposé récemment une approximation finie de ce filtre, optimale pour chaque série.

On présente ici la construction de ce filtre dans le cas où la série peut être assimilée à une
marche aléatoire. Sous cette hypothèse, le filtre approximé a de bonnes propriétés. Il est
linéaire et sa fonction de gain est remarquablement proche de celle du filtre passe-bande
idéal. Ce filtre n'est pas symétrique, mais le déphasage introduit reste peu important pour
les séries usuelles, y compris aux extrémités. Sa mise en oeuvre sur le PIB français
dégage un cycle comparable au cycle issu de l'approximation du même filtre idéal proposée
par Baxter et King. La concordance de phase entre les deux cycles est très bonne, mais
les amplitudes diffèrent sensiblement. Au bout du compte, le filtre de Christiano et
Fitzgerald apparaît particulièrement satisfaisant. Les calculs requis sont compliqués, mais
une macro permet de les exécuter très simplement.

**Mots-clés :** cycle, tendance, filtre

Abstract

Detrending time series and isolating cyclical fluctuations is crucial for business cycle
analysis and definition of economic policy. Band-pass filters provide a set of statistical
methods to extract the cycle, defined according to a specified range of periodicities.
Christiano and Fitzgerald recently proposed a finite approximate band-pass filter, optimal for
each time series.

In this paper, we present the construction of this optimal approximation under the
assumption that the data is generated by a pure random walk. Then, the approximate filter
has good properties. It is close to the ideal filter. We illustrate this study by applying the
filter to the logarithm of french GDP, and we compare this business cycle to the cycles
issued of alternative methods.

**Keywords:** business cycle, linear filter

Classification JEL : E30 ; E32
Introduction

L'extraction de la tendance et du cycle d'une série temporelle consiste à décomposer cette série en somme d'une composante intégrée d'ordre égal ou supérieur à 1, la tendance, et d'une composante stationnaire, le cycle. Le cycle lui-même peut être décomposé entre cycle proprement dit et composante irrégulière, tous deux stationnaires. Une telle décomposition entre tendance, cycle et composante irrégulière n'est pas unique. Par conséquent, toute méthode d'extraction de la tendance ou du cycle requiert une convention comportant une part d'arbitraire. Quah (1992) a même montré que, selon la méthode retenue, le partage de la variance entre tendance et cycle pouvait varier entre 0 et 1.

La décomposition tendance-cycle-irrégulier est utilisée notamment pour calculer l'écart de production (ou output gap), qui mesure l'écart relatif entre le PIB effectif et le PIB tendanciel (s'il est évalué à partir de méthodes dites statistiques) ou potentiel (issu de méthodes dites économiques). Un rapide aperçu des méthodes statistiques figure dans un document de travail récent consacré au filtre de Baxter et King [1], auquel nous renvoyons le lecteur.

On présente ici une méthode statistique qui, à l'instar du filtre de Baxter et King, établit une approximation finie d'un filtre passe-bande idéal. Par construction, un tel filtre passe-bande extrait un intervalle de fréquences défini a priori et supprime les autres fréquences. Toutefois, ce filtre idéal requiert un nombre infini d'observations et n'est pas utilisable pour traiter les séries économiques. L'approximation de Baxter et King est optimale par rapport à l'ensemble des fréquences, donc pour l'ensemble des séries temporelles [2]. Christiano et Fitzgerald [3] proposent une approximation optimale pour chaque série.

On présente ci-après la construction du filtre résultant de cette dernière approximation dans le cas où la série peut être assimilée à une marche aléatoire. On étudie ses propriétés, en soulignant que la fonction de gain de ce filtre est remarquablement proche de celle du filtre passe-bande idéal. On présente également sa mise en oeuvre sur le PIB français.
# 1 - Construction du filtre

## 1.1 Le filtre passe-bande idéal

Par définition, le filtre *passe-bande* idéal associé à l'intervalle de fréquences $(\omega_a, \omega_b)^1$ laisse passer les fréquences comprises entre $\omega_a$ et $\omega_b$, et annule les autres fréquences. Un tel filtre s'obtient comme différence de deux filtres passe-bas<fnref n="2" />. Ainsi, on se donne donc à priori, sur la base de considérations d'ordre économique, la fonction de transfert de ce filtre idéal : $\varphi(e^{-i\omega}) = \sum_{j=-\infty}^{j=+\infty} B_j e^{-ij\omega}$. Elle est égale à 1 si $\omega_a < \omega < \omega_b$, et à 0 sinon. Elle est donc réelle, et son développement en série de Fourier conduit à l'expression :

$$y_t = \sum_{j=-\infty}^{+\infty} B_j x_{t-j} \quad \text{pour } t=1,2,...,T$$

$$\text{avec } B_0 = \frac{\omega_b - \omega_a}{\pi} \quad \text{où } \omega_a = \frac{2\pi}{T_a}, \omega_b = \frac{2\pi}{T_b}$$

$$\text{et } B_j = \frac{\sin(j\omega_b) - \sin(j\omega_a)}{\pi j}, \text{ si } |j| \ge 1$$

La somme des coefficients $B_j$ est égale par construction à $\varphi(0)$. En conséquence, la somme des coefficients d'un filtre passe-bas est égale à 1, et celle d'un filtre passe-bande (si $\omega_a > 0$) est égale à 0. Voir par exemple Brockwell et Davis [4]. Par ailleurs, le module de la fonction de transfert est appelé *gain* du filtre. Il mesure le rapport d'amplitude entre la série issue du filtre et la série initiale, quand celle-ci est sinusoïdale de fréquence $\omega$. L'argument de la fonction de transfert mesure le *déphasage* introduit par le filtre, dans les mêmes conditions.

## 1.2 L'approximation proposée par Christiano et Fitzgerald

L'optimalité au sens de BK s'apprécie par rapport à l'ensemble des fréquences. Le critère d'optimalité retenu par Christiano et Fitzgerald pour approximer le filtre infini par un filtre fini consiste à minimiser l'espérance de l'erreur quadratique $E[(y_t - y_t^*)^2|x]$. Cette erreur est mesurée entre $y_t$ issue du filtre idéal, et $y_t^*$ issue du filtre approximé, pour chaque $t$. On détermine donc un filtre optimal pour chaque observation de la série considérée.

<footnote n="1">¹ Il peut être commode de l'exprimer sous forme de périodes $T_a$ et $T_b$</footnote>

<footnote n="2">² *passe-bas* s'entend en termes de fréquences : un filtre *passe-bas* laisse passer les fréquences plus *basses* que ...</footnote>
Par construction, puisqu'on cherche un filtre linéaire, $y_t^*$ appartient au sous-espace engendré par les $x_t$. La détermination de ce filtre dans le cas général est complexe. Le filtre obtenu dépend de l'ensemble de la série considérée et il varie d'une observation à l'autre. Ainsi, un tel filtre n'est pas linéaire par rapport aux séries, et les liens entre les filtres déterminés pour divers intervalles de fréquences semblent, eux aussi, complexes.

## 1.3 L'hypothèse de marche aléatoire sans dérive

Toutefois, Christiano et Fitzgerald montrent que dans le cas où la série initiale est une marche aléatoire sans dérive (ou peut y être assimilée), le filtre approximé optimal se simplifie beaucoup, et s'exprime comme suit :

$$y_t^* = C_{t-1}x_1 + B_{t-2}x_2 + \dots + B_2x_{t-2} + B_1x_{t-1} + B_0x_t + B_1x_{t+1} + B_2x_{t+2} + \dots + B_{T-t-1}x_{T-t} + C_{T-t}x_T \quad \text{pour } t=1,2,\dots,T$$

Les coefficients $B_j$ intervenant dans l'expression ci-dessus sont ceux du filtre passe-bande infini et chaque coefficient $C_j$ est la somme de j à l'infini des $B_j$.

$$C_j = \sum_{k=j}^{\infty} B_k \quad \text{pour } j=0,1,2,\dots$$

En pratique, les $C_j$ sont calculés en utilisant la propriété :

$$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{+\infty} B_k = 0 \text{, si le filtre est un passe-bande, c'est-à-dire si } \omega_a > 0 \\[1em] \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{+\infty} B_k = 1 \text{, si le filtre est un passe-bas, c'est-à-dire si } \omega_a = 0 \end{array} \right.$$

On obtient par exemple, dans le cas du passe-bande :

$$C_1 = -\frac{B_0}{2}, \quad C_0 = B_0 + C_1 = \frac{B_0}{2},$$

et dans le cas du passe-bas : $$C_1 = \frac{1}{2} - \frac{B_0}{2}, \quad C_0 = \frac{1}{2} + \frac{B_0}{2}.$$

Ainsi, les coefficients intervenant dans un tel filtre approximé dépendent seulement, outre $\omega_a$ et $\omega_b$, du nombre d'observations de la série. Ce filtre est donc linéaire par rapport aux séries, pour peu que celles-ci soient définies et traitées sur un même intervalle temporel. Désormais, nous nous limiterons à un tel filtre, et l'appliquerons à des séries supportant plus ou moins bien l'hypothèse de marche aléatoire. En tout état de cause, leur dérive éventuelle sera supprimée dans une étape préliminaire. Le filtre retenu s'écartera alors de l'optimalité, mais il conservera ses propriétés de linéarité, et de simplicité.

Les graphiques 1 à 4 présentent les coefficients du filtre de Christiano-Fitzgerald (noté CF désormais) pour l'intervalle 6-32 trimestres et pour les observations 96, 104, 110 et 116 (dernière observation) d'une série de 116 observations (ce qui correspond à une série trimestrielle de 1970 à 1998). Les coefficients homologues du filtre de Baxter-King (BK) figurent également à titre de comparaison. Le caractère dissymétrique du filtre CF apparaît clairement, ainsi que le poids important du coefficient des observations extrêmes. Sur les graphiques 1 à 4, qui correspondent aux filtres permettant de calculer des observations
proches de la fin de la série, c'est surtout la dernière observation qui est "chargée", mais le coefficient de la première est, lui aussi, relativement important.

## 1.4 Gain du filtre approximé

Le graphique 5 présente la fonction de gain du filtre approximé correspondant à l'intervalle 6-32 trimestres pour les observations 96, 104, 110 et 116, ainsi que celle du filtre idéal infini. Le gain du filtre permettant de calculer la dernière observation s'écarte naturellement beaucoup du filtre idéal, mais dès l'observation 104, (à 12 points de la fin de la série), le filtre de CF fournit une meilleure approximation du filtre idéal que le filtre de BK (graphique 6), l'écart devenant plus net quand on s'éloigne de l'extrémité de la série (graphique 7).

## 1.5 Déphasage introduit par le filtre approximé

Ce filtre n'est pas symétrique, par conséquent, il introduit un déphasage entre série issue du filtre et série initiale. Ce déphasage, égal à l'argument de la fonction de transfert du filtre, est fonction de la fréquence. Il dépend naturellement de l'intervalle de fréquences extrait par le filtre et de l'observation considérée. On vérifie qu'il est identiquement nul pour l'observation médiane de la série (s'il en existe une), mais il s'écarte beaucoup de la nullité dès l'observation suivante. Le déphasage est souvent important pour les fréquences élevées, correspondant à des périodes inférieures à 6 trimestres. Il peut également être important pour certaines basses fréquences, y compris pour des observations éloignées des extrémités de la série (graphiques 8 et 9). Toutefois, sur l'intervalle de fréquences extrait par le filtre (délimité par deux traits verticaux sur ces graphiques), qui nous intéresse au premier chef, le déphasage reste modéré. Sur cet intervalle, le déphasage croît régulièrement quand on se rapproche des extrémités de la série. A titre d'exemple, le déphasage maximal occasionné par le filtre calculant la 104-ième observation (sur 116) est proche de $\pi/4$, ce maximum étant atteint pour une fréquence correspondant à une période de 32 trimestres. Un tel déphasage représente environ 4 trimestres.

## 1.6 Mise en oeuvre du filtre

On suppose que la série initiale peut être considérée comme une marche aléatoire. On se donne a priori les deux fréquences (ou les deux périodes) délimitant l'intervalle qu'on souhaite extraire. Puis, on procède comme suit :

1. Suppression de la dérive. Si la série est une marche aléatoire avec la dérive $\mu$, alors : $E(x_{T-x_1})=(T-1)\mu$. On calcule donc $\mu$, puis $x_t' = x_{t-1}(t-1)\mu$

2. Calcul des coefficients $B_j$ et $C_j$ résultant des fréquences $\omega_a$ et $\omega_b$ déterminant le filtre, et rangement dans une matrice dont le rang est égal au nombre d'observations de la série.

3. Application à la série sans dérive, et éventuellement à d'autres séries définies sur le même intervalle temporel. On obtient ainsi la composante $y_t'$ de $x_t'$ dont la fréquence est comprise entre $\omega_a$ et $\omega_b$.
## 2 - Propriétés

Un tel filtre utilise toute l'information disponible dans une série pour calculer chaque observation. L'hypothèse centrale de marche aléatoire conduit à prolonger implicitement la série à ses deux extrémités à valeurs constantes, égales à la première et dernière connue. Correcte en théorie, cette démarche pose un problème pratique, notamment parce que la dernière observation connue est souvent mal connue. Le problème deviendrait aigu si $\omega_a$ était très petit, puisqu'alors le coefficient de cette observation serait élevé.

### 2.1 Linéarité

On a montré en 1.1 que ce filtre était linéaire par rapport aux séries :

$$ \text{si } x=x_1+x_2 \text{ alors } y^*=y^*_{1}+y^*_{2} $$

### 2.2 Relation "de Chasles" par rapport aux intervalles de fréquence

Remarquons au préalable que la fréquence maximale en matière de séries temporelles est obtenue pour $T=2$ (un "tour" pour 2 unités de temps), c'est-à-dire pour une fréquence de $2\pi/2=\pi$. La fréquence minimale est 0 (T infini).

Si $\omega_1 < \omega_2 < \omega_3$ sont trois fréquences, et $y_i(\omega_1, \omega_2)$ la série obtenue en appliquant le filtre extrayant l'intervalle $(\omega_1, \omega_2)$ à la série $x_t$, cette relation s'exprime ainsi :

$$ (1) \quad y_{t}^{*}(\omega_{1}, \omega_{3}) = y_{t}^{*}(\omega_{1}, \omega_{2}) + y_{t}^{*}(\omega_{2}, \omega_{3}) $$

Pour le filtre passe-bande idéal infini, une telle égalité est assurée par construction. Cette propriété se retrouve immédiatement en considérant le mode de calcul des coefficients $B_j$. En effet, le coefficient $B_j(\omega_1, \omega_2)$ d'ordre j du filtre *passe-bande* associé aux fréquences $\omega_1$ et $\omega_2$ est obtenu par différence des coefficients $A_j(\omega_1)$ et $A_j(\omega_2)$ des filtres *passe-bas* associés respectivement aux fréquences $\omega_1$ et $\omega_2$ :

$$ B_j(\omega_1, \omega_2) = A_j(\omega_1) - A_j(\omega_2), \text{ ce qui assure une égalité analogue à (1) pour tous les coefficients } B_j : $$

$$ B_j(\omega_1, \omega_3) = B_j(\omega_1, \omega_2) + B_j(\omega_2, \omega_3) $$

Les $C_j$ étant obtenus par sommations partielles homologues des $B_j$, satisfont aussi une égalité de ce type. Par conséquent, le filtre approximé vérifie lui aussi la relation "de Chasles".

Cette propriété est utile mais insuffisante pour justifier la décomposition tendance-cycle-irrégulier, c'est à dire assurer l'égalité : Série = T+C+IR. En effet, si on applique la relation aux fréquences extrêmes 0 et $\pi$ et à 2 fréquences intermédiaires telles que $0 < \omega_1 < \omega_2 < \pi$, on obtient :

$$ (2) \quad y_{t}^{*}(0, \pi) = y_{t}^{*}(0, \omega_{1}) + y_{t}^{*}(\omega_{1}, \omega_{2}) + y_{t}^{*}(\omega_{2}, \pi) $$

Si l'on retient pour fréquences intermédiaires, les bornes usuelles de 6 et 32 trimestres, on réalise ainsi une décomposition de la composante $(0, \pi)$ de la série (sans dérive) en *irrégulier, cycle, tendance*. Chacune des 4 composantes intervenant dans l'égalité est la
meilleure approximation du filtre infini correspondant. Il faut naturellement rajouter la dérive à la composante (32, ∞) pour obtenir la tendance.

Mais il reste à vérifier que la composante (0, π) est égale à la série initiale.

$$ (3) \quad y_t = y_{t-1}(0, \pi) ? $$

Une égalité analogue, $y_t = y_{t-1}(0,\pi)$ est naturellement satisfaite par le filtre idéal. Comme la fréquence minimale est 0, on a affaire à un filtre passe-bas infini dont la somme des coefficients est égale à 1, au lieu d'un passe-bande dont la somme des coefficients serait nulle. Le passe-bas infini associé à la fréquence $\pi$ a pour coefficients : $B_0 = 1$ et $B_1 = 0$, pour $j \neq 0$. En conséquence, les $C_j$ sont tous nuls pour $j \neq 0$. Les coefficients du filtre approximé sont $B_0 = 1$, et $C_j = B_j = 0$ si $j \neq 0$. Par suite, l'égalité (3) est satisfaite également par le filtre approximé.

## 2.3 Cas particulier des petites fréquences

Considérons le filtre *passe-bas* approximé extrayant les très petites fréquences, inférieures à $\epsilon$.

Les coefficients du filtre passe-bas infini $B_j$ restent proches de $\epsilon/\pi = 2/N$ tant que $j$ n'est pas trop grand, puis décroissent en changeant de signe quand $j$ augmente. Leur somme entre $-\infty$ et $+\infty$ est égale à 1 puisqu'il s'agit d'un filtre passe-bas. Par conséquent, les coefficients $C_j$ restent proches de $1/2$ tant que $j$ est petit devant $N$. On vérifie, par exemple, que $C_j$ est compris entre 0,5 et 0,4 si $j < 0,05*N$ et que $C_j$ est compris entre 0,5 et 0,25 si $j < 0,13*N$. Si $N$ est grand, $C_j$ peut rester élevé, proche de 1/2, même pour $j$ égal au nombre d'observations des séries économiques trimestrielles usuelles. Un tel filtre passe-bas approximé extrait alors pour tout $t$, une valeur proche de $y_{t-1}^{*}=(x_1+x_T)/2$, et ceci quel que soit $\epsilon$, petit.

Par contre, le filtre *passe-bas* associé à la fréquence nulle est identiquement nul. Ses coefficients $B_j$ sont égaux à 0, quel que soit $j$.
# 3 - Variantes du filtre

## 3.1 Variante symétrique

On a indiqué que le filtre précédent n'était pas symétrique et introduisait donc un déphasage entre la série initiale et la série issue du filtre. Plutôt que de calculer ce déphasage et l'étudier, on peut préférer un filtre symétrique qui garantit la nullité du déphasage. Un tel filtre symétrique est défini de la façon suivante :

$$ 
\left. 
\begin{array}{l}
h = \min((t-1), (T-t)), \\
et \ y_t^* = B_0 x_t + \sum_{j=1}^{j=h-1} B_j (x_{t+j} + x_{t-j}) + C_h (x_{t-h} + x_{t+h})
\end{array}
\right\} \text{pour } t=1,2, \dots, T
$$

A titre d'illustration, quand $t < T/2$, le dernier terme de la somme ci-dessus s'écrit $C_{t-1}(x_1 + x_{2,t-1})$ et le calcul de la $t$-ième observation fait intervenir $2t+1$ observations de la série initiale.

Au début de la série, le filtre se réduit à peu de termes :

$$ y_{t}^{*2} = B_{0}x_{t} + C_{1}(x_{1} + x_{3}) = B_{0}x_{2} - \frac{B_{0}}{2}(x_{1} + x_{3}) = B_{0}(x_{2} - \frac{x_{1} + x_{3}}{2}) $$

$$ \text{et } y_{t}^{*1} = C_{0}x_{1} = 0 $$

Ainsi, si l'on choisit de calculer une première observation, celle-ci est nulle par construction<fnref n="3" />. Il est sans doute préférable de ne pas la définir, ni peut-être les n premières. Ces remarques se transposent aisément au cas où $t > T/2$.

Bien entendu, le filtre symétrique admet la même expression que le filtre complet, non symétrique pour l'observation médiane de la série (exactement si cette série comporte un nombre impair d'observations) et en diffère de plus en plus au fur et à mesure qu'on se rapproche des extrémités.

## 3.2 Variante symétrique et constante

La variante symétrique et constante consiste à tronquer le filtre à un nombre de termes K constant, sauf peut-être pour les K-1 premières observations<fnref n="4" />. Le coefficient du dernier terme est naturellement $C_k$, et non $B_k$, et le filtre s'exprime comme suit :

$$ y_{t}^{*5} = B_{0}x_{5} + \sum_{k=1}^{k=3} B_{k}(x_{5-k} + x_{5+k}) + C_{4}(x_{1} + x_{9}) $$

<footnote n="3">³ Toutefois, si la première fréquence-borne du filtre est nulle, on a affaire à un filtre passe-bas. Dans ce cas, la somme des coefficients vaut $1$ et $y_{1}^{*} = x_{1}$.</footnote>

<footnote n="4">⁴ On peut, soit ne pas définir les K-1 premières observations, soit les calculer en utilisant les observations disponibles. Dans ce dernier cas, on a par exemple, pour K=12 et t=5 :</footnote>
pour $K < t < T - K + 1$,

$$y_{t}^{*} = B_{0}x_{t} + \sum_{k=1}^{k=K-1} B_{k}(x_{t-k} + x_{t+k}) + C_{K}(x_{t-K} + x_{t+K})$$

pour $t \le K$,

$$y_{t}^{*} = B_{0}x_{t} + \sum_{k=1}^{k=t-2} B_{k}(x_{t-k} + x_{t+k}) + C_{t-1}(x_{1} + x_{2t-1})$$

et une expression analogue pour $t \ge T - K + 1$.

Ce filtre est identique au filtre symétrique non tronqué pour les K premières (et dernières) observations de la série. Sauf cas très particulier<fnref n="5" />, il diffère du filtre complet, non symétrique, pour chaque observation. Il diffère également du filtre proposé par Baxter-King, même s'il lui ressemble. Si l'une des bornes de l'intervalle retenu est une fréquence très faible, cette différence peut être cruciale. Les coefficients des filtres CF symétrique et constant et BK, pour l'intervalle 6-32 trimestres différent peu, sauf pour les termes extrêmes (graphique 10).

### 3.3 Propriétés des 2 variantes

Compte tenu de leur structure, ces deux variantes vérifient trivialment la linéarité par rapport aux séries et la relation de Chasles, si les séries sont définies et traitées sur le même intervalle temporel.

### 3.4 Cas particulier des petites fréquences

Dans le cas où une des bornes est constituée par une petite fréquence, le problème soulevé en 2.3 est accentué pour les deux variantes, symétrique et symétrique constante.

Ainsi, pour reprendre le même exemple qu'en 2.3, le filtre passe-bas symétrique $(0, \varepsilon)$, qui conserve les périodes supérieures à $N = 2\nu/\varepsilon$ trimestres, est proche, si $N$ est grand, de $y_{t}^{*}=(x_{1}+x_{2t-1})/2$ si $t < T/2^6$. Alors que le filtre non symétrique extrait une constante, le filtre symétrique extrait donc une variable sans signification particulière.

Toujours dans le cas où $N$ est grand, le filtre passe-bas symétrique et constant $(0, \varepsilon)$ est, quant à lui, proche de $y_{t}^{*}=(x_{t-K}+x_{t+K})/2$, et le problème est encore accentué. En effet, la variable extraite est peu significative et présente une variance double de la précédente.

### 3.5 Comparaison du filtre symétrique et constant avec le filtre de Baxter-King

L'optimalité au sens de BK s'apprécie sur l'ensemble des fréquences. Ce filtre constitue donc la meilleure approximation du filtre infini pour l'ensemble des fréquences, celle qui

<footnote n="5">⁵ Si le nombre d'observations est impair et si $K=(\text{Nobs}-1)/2$, alors les $(K+1)$-ièmes observations coïncident.</footnote>

<footnote n="6">⁶ et de $y_{t}^{*}=x_{t-}(x_{2t-T-1}+x_{T})/2$ si $t > T/2$.</footnote>
minimise $\int_{-\pi}^{+\pi} |\beta(\omega) - \alpha(\omega)|^2 d\omega$, où $\alpha(\omega) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k e^{-i\omega k}$ est la fonction de transfert du filtre idéal et $\beta(\omega)$ celle du filtre recherché. Le filtre passe-bande symétrique constant de CF est proche du filtre de BK de même ordre, puisque tous deux sont obtenus dans un premier temps par troncature à l'ordre K du filtre passe-bande infini. La somme des coefficients de ce filtre tronqué est égale à $-2*C_{K+1}$. Pour ramener cette somme à 0, il faut donc rajouter l'opposé de cette quantité. La méthode de BK conduit à rajouter à chacun des $2K+1$ termes conservés, un même correctif, égal par conséquent à $2*(C_{K+1})/(2K+1)$. Pour le filtre symétrique et constant de CF, le correctif est réparti également entre les 2 termes extrêmes, qui sont donc augmentés de $C_{K+1}$.

Ainsi, si $y_t^*$ est la série issue du filtre de CF, et $z_t^*$ celle issue du filtre de BK, on a :

pour $K < t < T - K + 1$,

$$y_t^* - z_t^* = 2 \times C_{K+1} \left[ \frac{x_{t-k} + x_{t+k}}{2} - \frac{1}{2K+1} \sum_{k=-K}^{K} x_{t+k} \right] = - \frac{2 \times C_{K+1}}{2K+1} \times \sum_{k=-K}^{K} x_{t+k} + C_{K+1} (x_{t-K} + x_{t+K})$$

Pour les bornes usuelles de 6 et 32 trimestres, et pour $K=12$, le terme correctif $2*C_{K+1}$ est égal à 0,171. BK le répartit également entre les 25 termes conservés, alors que CF le répartit entre les deux termes extrêmes conservés.

On perçoit ainsi la différence entre les deux méthodes : BK remplace les valeurs inconnues par la moyenne des observations comprises entre t-K et t+K, alors que CF, avec l'hypothèse de marche aléatoire, les remplace par les valeurs extrêmes. Ceci pose un problème pratique si l'on se souvient que le dernier terme d'une série est souvent "estimé", donc particulièrement fragile.
# 4 - Application des différents filtres au logarithme du PIB français

## 4.1 Décomposition

On a appliqué le filtre proposé par Christiano et Fitzgerald, et ses deux variantes, symétrique et symétrique d'ordre constant avec $K=12$, au logarithme du PIB français trimestriel en volume, base 1980, sur l'intervalle 1970-1998. On a également appliqué les filtres de Baxter et King et de Hodrick et Prescott à cette même série, à titre de comparaison. Pour apprécier dans quelle mesure la série peut être assimilée à une marche aléatoire, on a estimé les 3 premiers coefficients autorégressifs de $\Delta\text{Log}(\text{Pib})$, qui valent respectivement 0,17, 0,15 et 0,09. La somme de ces coefficients ne dépassant pas 0,5, l'hypothèse a été acceptée.

On a admis que le cycle économique correspondait aux fluctuations dont la période était comprise entre les bornes, désormais usuelles, de 6 et 32 trimestres. Pour ne pas multiplier les variantes, on n'a pas cherché à discuter ces valeurs. Pour les mêmes raisons, les filtres de "longueur" constante sont toujours d'ordre 12, et le paramètre du filtre de HP reste fixé à 1600. Le filtre CF, étant un passe-bande, a été appliqué 3 fois à la série initiale après soustraction de la dérive et de la constante, pour extraire irrégulier, cycle et tendance. La composante 2-6 trimestres fournit l'irrégulier, la composante 6-32 fournit le cycle et la composante 32-infini, additionnée à la constante et à la dérive, constitue la tendance. De même, BK fournit les 3 composantes. HP extrait une tendance, mais ne sépare pas cycle et irrégulier. On a calculé, en outre, l'écart entre la tendance BK (et HP) et la droite représentant la somme de la constante et de la dérive de la série initiale, pour comparer cet écart à la composante 32-infini issue de CF.

L'écart-type du cycle (0,83%) est environ 3 fois supérieur à celui de l'irrégulier (0,29%). Ces 2 composantes stationnaires sont naturellement très peu corrélées, puisqu'elles sont issues de filtres construits pour extraire des intervalles de fréquences disjoints (tableau 1).

<table><caption>Tableau 1 : variances et covariances des composantes stationnaires du PIB (calculées sur 1970q1-1998q4)</caption><thead><tr><th></th><th>écart-type</th><th>coefficient de corrélation</th></tr></thead><tbody><tr><td>Irrégulier</td><td>0,0029</td><td></td></tr><tr><td>Cycle</td><td>0,0083</td><td></td></tr><tr><td>Irrégulier, Cycle</td><td></td><td>0,0034</td></tr></tbody></table>

## 4.2 Le cycle

Le cycle extrait par CF dégage les principaux évènements économiques de la période (graphique 11) : le profond creux faisant suite au choc pétrolier de 1973 (-2,2% en 1975q3), la récession de 1993 (-2,1% en 1993q3) et les pics de 1990 (1,2% en 1990q1) et de 1995 (1,3% en 1995q1). Son allure est très voisine de celle du cycle extrait par BK. On n'a donc pas cherché à établir un nouveau commentaire conjoncturel détaillé. Le cycle fluctue entre 2,2% en 1974q1 et -2,1% en 1993q3, pour un écart-type de 0,83%. Les durées des 4 cycles successifs, repérés par le passage à 0 de la composante cyclique, sont de 21 trimestres (de 1975q1 à 1980q2), 25 trimestres (de 1980q2 à 1986q3), 24 trimestres (de 1986q3 à 1992q3) et 17 trimestres (de 1992q3 à 1996q4).
## 4.3 Comparaison des cycles issus de 4 méthodes : CF, CF symétrique (CFsym), CF symétrique et constant (Cfcst) et BK

La comparaison entre cycles issus des quatre filtres ne peut pas porter valablement sur les extrémités<sup>7</sup> de la série, soit douze points avec les paramètres retenus ici. Sur l'intervalle où les différents cycles sont comparables, la concordance de phase est parfaite (graphique 11), ce qui confère aux courbes des allures extrêmement proches. Par contre, l'importance des creux et pics varie sensiblement selon la méthode retenue. En moyenne, CF extrait un cycle d'amplitude un peu plus réduite que BK (écarts-types de 0,90% et 1,03%). Le rapport écart-type du cycle CF/ écart-type du cycle BK calculé pour quelques séries économiques reste inférieur à 1 : 0,86 (PIB), 0,89 (consommation), 0,98 (exportations), 0,90 (importations) et 0,91 (CAC40).

La différence entre les deux cycles du logarithme du PIB issus de CF et BK évolue entre -0,8% et 0,9%, avec un écart-type de 0,47%. A partir de 1980, cette différence présente un caractère cyclique, de période proche de 40 trimestres, d'une belle régularité qui invite à en rechercher une origine technique (graphique 12). La période de 40 trimestres est peu modifiée si on applique la méthode CF sur un intervalle réduit, par exemple de 1984 à 1998 au lieu de 1970-1998 (le filtre dégagé par BK ne dépend pas de l'intervalle d'extraction). Les différences analogues obtenues pour d'autres séries économiques (consommation des ménages, exportations, importations et CAC40), qu'on a choisies aussi différentes que possible du PIB, présentent elles aussi un caractère périodique de période proche de 40 trimestres. Compte tenu de ces éléments, il est probable que le phénomène s'explique par l'écart existant entre les fonctions de gain des deux filtres (graphiques 6, 7, et encadré ci-dessous). En tout état de cause, l'écart entre deux estimations de la variable (exagérément) cruciale qu'est *l'output gap* apparaît non négligeable.

Le plus souvent, les cycles issus des deux variantes de CF, CFsym et CFcst sont intermédiaires, dans cet ordre, entre CF et BK. La différence entre CF et CFsym présente un écart-type de 0,18%. Celui de la différence entre CF et CFcst est de 0,31%.

La période la plus récente, à partir de 1995, est fragile pour les 4 cycles (voir note 8). Mais c'est aussi la plus intéressante pour le conjoncturiste. Malgré l'asymétrie croissante d'un filtre, et la symétrie de l'autre, les courbes restent en phase : les minima interviennent de conserve en 1997q1. Un très léger déphasage de 1 trimestre apparaît peut-être en fin de période (maximum pour CF en 1998q1 et q2 pour CF et en 1998q2 pour BK, avec des courbes apparaissant décalées), mais ne semble pas significatif. Alors que CFsym et CFcst sont nuls par construction en fin d'intervalle, CF vaut exactement 0,0% et BK 0,2%.

<footnote n="7"><sup>7</sup> Au début de la période, le cycle BK n'est pas défini. En fin de période, BK fait appel à un prolongement AR(3) de la série. Aux deux extrémités, CFsym et CFcst sont calculés à partir d'un nombre restreint de points. Par suite, dans ce paragraphe, les écarts-types sont calculés sur l'intervalle 1973q1-1995q4 et diffèrent légèrement des données figurant ailleurs.</footnote>
La "fuite" du filtre BK semble expliquer l'allure de la différence
entre les cycles issus des filtres de BK et de CF

Le filtre BK(6-32) laisse davantage passer les fréquences correspondant à l'intervalle 32-50 trimestres que le filtre CF(6-32) (graphiques 6 et 7). La fuite du filtre BK, c'est-à-dire la différence entre le gain du filtre approximé et celui du filtre idéal, est en moyenne de 0,40 sur l'intervalle 32-50 trimestres alors que celle du filtre CF est d'environ 0,18 sur ce même intervalle, pour la 104-ième observation sur 116. La différence observée entre les cycles correspondrait surtout à cette différence entre fuites. Elle mesurerait alors plutôt une "erreur" de BK qu'une différence entre estimations d'égale qualité. Pour valider (ou infirmer) cette explication, il est intéressant de comparer la différence entre cycles (BK(6-32)-CF(6-32)) à la composante 32-50 trimestres de la série initiale, le PIB. On a extrait cette dernière au moyen des deux filtres BK(32-50)<fnref n="8" /> et CF(32-50) (graphique 13). Comme la différence des fuites est de 0,22 sur cet intervalle, on attend que la différence des cycles soit proche de 0,22 fois la composante 32-50. Elle présente effectivement une bonne ressemblance avec les deux versions de la composante 32-50, surtout avec celle fournie par BK. Toutefois, son écart-type est de 0,51% contre 0,99% et 0,84% pour les composantes 32-50 dégagées respectivement par CF et BK. Le rapport des amplitudes est de l'ordre de la moitié au lieu du ¼ attendu. Mais, les gains des filtres BK(32-50) et CF(32-50) sont très inférieurs à 1 (graphiques 14 et 15) : le gain moyen de CF<fnref n="9" /> sur cet intervalle est de 0,69 et celui de BK d'ordre 24 est de 0,53. La différence des cycles représente 0,51/0,99 fois la composante 32-50 dégagée par CF, avec un gain de 0,69, soit 0,36 fois la composante idéalement dégagée et 0,51/0,84 fois son extraction par BK, soit 0,32 fois la composante idéale. Cela serait assez satisfaisant, si les filtres extrayant la composante 32-50 ne présentaient pas de fuites aux autres fréquences... Malgré cette dernière réserve, l'hypothèse semble plutôt validée.

4.4 Comparaison des tendances issues des 5 méthodes : CF, CFsym, CFcst, BK et HP

Les tendances extraites par les différentes méthodes ont des allures très voisines, au point de se confondre sur le graphique 16. Elles se distinguent mieux si on considère l'écart de ces tendances à la droite $x_I-x_T$ (graphique 17). Les évolutions des cinq tendances sont, elles aussi, parfaitement en phase. Les oscillations de la tendance CF sont un peu plus accentuées que celles de la tendance BK (écarts-types respectivement de 0,030% et 0,028%), et CFsym et CFcst sont intermédiaires, dans cet ordre. La tendance dégagée par HP, avec le paramètre usuel de 1600, fluctue encore moins que celle issue de BK. Les écarts entre CFsym, CFcst et BK d'une part et CF d'autre part sont presque les opposés des écarts observés pour les cycles (graphique 18). En particulier, la différence entre les deux évaluations du PIB tendanciel fournies par CF et BK présente un caractère cyclique, à partir de 1980. Elle oscille entre -0,7% et 0,8%, ce qui semble à nouveau important. Comme pour le cycle, cet écart peut être relié aux fonctions de gain des filtres extrayant les tendances. En matière de tendance également, le gain du passe-bas associé à la période de 32 trimestres approximé par CF apparaît plus proche du filtre idéal que le gain du filtre équivalent proposé par BK (graphique 19).

Les taux de croissance des tendances dégagées par CF et BK diffèrent peu, de -0,1% à 0,1%, avec un écart-type de 0,06%. La tendance extraite par CFsym et CFcst présente une plus grande variabilité locale, pour les raisons indiquées dans la première partie, le

<footnote n="8">⁸ Pour extraire une composante de période aussi longue, il faut choisir un filtre BK d'ordre assez élevé, qu'on a fixé ici à 24 (graphique 14).</footnote>

<footnote n="9">⁹ gain moyen calculé sur l'intervalle 32-50 pour le filtre CF calculant la 96-ième observation sur une série de 116 observations.</footnote>
phénomène est encore accentué par CFcst. Cette variabilité apparaît nettement si on considère les différences premières des tendances (graphique 20) et semble rendre ces variantes du filtre CF impropres à extraire une tendance.

## 4.5 L'irrégulier

Les composantes irrégulières extraites par CF et BK sont en phase (graphique 21) et d'amplitudes sensiblement égales (écarts-types de 0,29%). Leur différence, entre deux composantes de faible amplitude, est naturellement de faible amplitude (écart-type de 0,07%). Elle présente un caractère "irrégulier", c'est-à-dire des fluctuations de période comprise entre 2 et 6 trimestres, mais une modulation de période 40 trimestres est décelable (graphique 22).

## 4.6 Cohérence des écarts entre composantes analogues issues des 4 filtres

On a indiqué que les différences entre cycles et entre tendances étaient surtout dues à l'excédent des fuites du filtre BK sur celles du filtre CF dans la zone de fréquences correspondant aux périodes supérieures à 32 trimestres. Par ailleurs, on peut remarquer que chaque décomposition, fournie par l'un des quatre filtres, vérifie l'égalité suivante :

$$ \text{Log}(\text{PIB}) = \text{Irrégulier} + \text{Cycle} + \text{Tendance}. $$

En soustrayant membre à membre deux quelconques de ces quatre égalités, on obtient :

$$ 0 = \Delta\text{Irrégulier} + \Delta\text{Cycle} + \Delta\text{Tendance}. $$

Par conséquent, la somme des trois différences est nulle par construction. Si l'écart entre tendances est proche de l'opposé de l'écart entre cycles, c'est parce que l'écart entre les irréguliers est très faible (graphique 23).
Conclusion

La méthode proposée par CF est complexe. Toutefois, dans le cas où on admet
l'hypothèse de marche aléatoire sans dérive, le filtre obtenu présente une expression assez
simple, et de bonnes propriétés. En particulier, il est linéaire par rapport aux séries (sous
certaines conditions). Ce filtre utilise toute l'information disponible et sa fonction de gain est
remarquablement proche de celle du filtre passe-bande idéal. Il calcule une série filtrée sur
tout l'intervalle temporel. L'asymétrie du filtre s'accompagne d'un déphasage, mais le
problème ne semble pas dirimant.

Toutefois, ce filtre accorde une pondération importante aux deux observations extrêmes de
la série, ce qui présente un inconvénient, puisque la dernière observation est le plus
souvent mal connue, et sujette à révision. Pour surmonter ce problème, il faudrait, lors de la
détermination du filtre optimal, affecter les observations d'une incertitude individualisée,
croissant à la fin de la série, mais cela compliquerait beaucoup les choses. Il est possible
d'atténuer les conséquences de ce problème en prolongeant la série initiale au moyen d'une
équation autorégressive (voir annexe). Toutefois, cette amélioration n'introduit que des
écarts négligeables.

La différence avec une autre approximation du même filtre passe-bande infini proposée par BK est importante. Dans le cas du logarithme du PIB, son amplitude est de l'ordre de la moitié du cycle lui-même (amplitude de la différence voisine de 1%, contre 2% pour le cycle), et cyclique. Ces caractères se retrouvent si on applique les mêmes opérations à d'autres séries, et correspondent vraisemblablement à une "fuite" plus importante du filtre BK, qui laisse passer une partie non négligeable des basses fréquences.

Au bout du compte, la méthode proposée par Christiano et Fitzgerald fournit la meilleure approximation du filtre passe-bande. Ce filtre peut être exécuté à partir d'une macro écrite sous le logiciel TROLL qui fonctionne quelle que soit l'unité de temps, mois, trimestre ou année. Elle est très simple pour l'utilisateur, puisqu'elle ne requiert que les 2 paramètres délimitant l'intervalle de fréquences à extraire.

Références

[1] J-Yves Fournier, "Extraction du cycle des affaires : la méthode de Baxter et King ", INSEE, Document de travail de la DESE, numéro G9916, Novembre 1999.

[2] M. Baxter et R. King, "Measuring Business Cycles, Approximate Band-pass Filters for Economic Time Series", The review of Economics and Statistics, november 1999, 81(4) : 575-593.

[3] L. J. Christiano et T. J. Fitzgerald, "The band pass filter", NBER, Working paper 7257, juillet 1999.

[4] P. J. Brockwell et R. A. Davis, "Introduction to Time Series and Forecasting", Springer Texts in Statistics, 1996.
# ANNEXE
## Prolonger la série pour atténuer le poids de la dernière valeur

On a souligné au § 3.5 que le coefficient de la dernière observation $x_T$ pouvait être important, en particulier pour le calcul des dernières observations de la série issue du filtre $y_T$. Ceci est gênant dans la mesure où la dernière observation d'une série est souvent estimée, et sujette à révision. Une idée naturelle pour contourner ce problème consiste à prolonger le mieux possible de $k$ points la série initiale ($x_1-x_T$), à appliquer le filtre optimal à cette série prolongée pour obtenir $(z_1^*-z_{T+k}^*)$, puis à tronquer $z_1^*$ à l'ordre $T$, pour obtenir $z_1^*$, série filtrée concurrente de $y_1^*$. Le prolongement de la série est obtenu en estimant une équation autorégressive en $x_t$ ou $\Delta(x_t)$ avec un nombre approprié de retards.

L'expression de $y_t^*$ est :

$$y_t^* = C_{t-1}x_1 + B_{t-2}x_2 + \dots + B_2x_{t-2} + B_1x_{t-1} + B_0x_t + B_1x_{t+1} + B_2x_{t+2} + \dots + B_{T-t-1}x_{T-t} + C_{T-t}x_T$$
pour $t=1, 2, \dots, T$

$z_t^*$ est donné par :

$$z_t^* = C_{t-1}x_1 + B_{t-2}x_2 + \dots + B_2x_{t-2} + B_1x_{t-1} + B_0x_t + B_1x_{t+1} + B_2x_{t+2} + \dots + B_{T-t-1}x_{T-t} + B_{T-t}x_T + \dots + B_{T+K-t-1}x_{T+K-1} + C_{T+K-t}x_{T+K}$$
pour $t=1, 2, \dots, T$

Le calcul de $y_t^*$ fait intervenir $C_{T-t}$. Il utilise implicitement un prolongement de $x_t$ à valeurs constantes, pour $t > T$, puisque $C_j = \sum_{i=j}^{\infty} B_i$. Le calcul de $z_t^*$ fait intervenir $C_{T+K-t}$ et utilise un prolongement "sur mesure" pour $T+1 \le t \le T+k$ et un prolongement implicite à valeurs constantes pour $t > T+k$, (égales à la dernière valeur prolongée, et non pas à la dernière valeur connue).

Les coefficients $C_j$ présentent l'allure d'une sinusoïde amortie (graphique 1). Par suite, et c'est le but recherché, $|C_{T+k-1}|$ est inférieur en moyenne à $|C_{T-1}|$ (mais ceci n'est vrai qu'en moyenne). Le poids de $x_T$ dans le filtre calculant $z_t^*$ est donc inférieur en moyenne au poids de $x_T$ dans le filtre calculant $y_t^*$. Les coefficients du prolongement autorégressif de $x_t$ sont estimés sur tout l'intervalle où cette série est définie, ils sont donc peu sensibles à la dernière valeur, mais le calcul de $x_{T+1}...x_{T+k}$ fait davantage intervenir $x_T$. Cela limite le bénéfice de cette opération de prolongement en termes de stabilité de $z_t^*$, en cas de révision de $x_T$.

A titre d'exemple, pour le filtre extrayant l'intervalle 6-32, et pour une série de 116 observations, le coefficient de $x_{116}$ pour le calcul de $y_{116}^*$ est $C_0 = 0,13$. Le coefficient de $x_{116}$ est maximal en valeur absolue pour le calcul de $y_{113}^*$ : $C_3 = -0,43$. Le coefficient de $x_{116}$ est inférieur à 0,10 pour le calcul d'observations de rang inférieur à 109 ($C_7 = -0,847$ et $C_6 = -0,134$). Si l'on veut que les coefficients de $x_{116}$ dans le calcul de $z_t^*$ soient tous inférieurs à 0,10, il suffit de prolonger de 7 points la série initiale. Ainsi, la moyenne des valeurs absolues de $(C_0...C_{115})=0,039$ est remplacée par celle de $(C_7...C_{122})=0,024$. Le bénéfice est surtout important pour les dernières observations puisque la moyenne des valeurs absolues de $(C_1...C_7)=0,255$ est remplacée par la moyenne des valeurs absolues de $(C_8...C_{14})=0,064$. C'était le but recherché.
L'opération semble favorable, mais son enjeu est très limité en pratique. Le cycle obtenu en
prolongeant de 7 points le logarithme du PIB en volume au moyen d'un AR(3) estimé en
différence, s'écarte peu du cycle extrait sur la même série non prolongée. La différence,
maximale en fin de période, vaut en moyenne 0,00035 sur la dernière année, soit 1,8% de
l'amplitude du cycle. Les deux courbes se distinguent difficilement (graphique 2), même en
"zoomant" la fin de la série (graphique 3). L'écart entre CF et CF prolongé reste bien
inférieur à l'écart entre CF et BK.

L'impact d'un tel prolongement pourrait être plus net quand la série initiale est très autocorrélée ou très cyclique. L'IPI mensuel présente une forte autocorrélation négative puisque C1=-0,44. Néanmoins, l'écart entre le cycle issu de la série prolongée et le cycle issu de la série initiale est en moyenne de 0,00026 sur les 12 derniers mois, alors que l'amplitude du cycle est voisine de 0,03. La différence des cycles (moyenne des valeurs absolues sur la dernière année) représente donc 0,9% de l'amplitude du cycle. L'étude des importations manufacturières, série très cyclique, fait apparaître des écarts un peu plus importants, qui restent toutefois négligeables (différence moyenne égale à 3,5% de l'amplitude du cycle).

Au bout du compte, l'opération de prolongement conduit à des corrections si faibles, sur
une grandeur par nature imprécise telle que le "cycle", qu'elle ne se justifie pas.

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Graphique 1 en annexe : Coefficients Cj (6-32) pour j compris entre 0 et 123</figcaption></figure>
Graphique 2 en annexe : cycles du log(PIB) selon les filtres CF (sur série prolongée ou non) et BK

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Graphique 3 en annexe : cycles du log(PIB) selon les filtres CF (sur série prolongée ou non) et BK

<figure><img src="image_3.png" /></figure>
Graphiques
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Graphique 2 : coefficients du filtre CF pour le calcul de l'observation 110 (série de 116 observations)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Graphique 3 : coefficients des filtres CF et BK pour le calcul de l'observation 104 (série de 116 observations)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

<figure><img src="image_7.png" /></figure>
<figure><img src="image_8.png" /></figure>

<figure><img src="image_9.png" /></figure>
<figure><img src="image_10.png" /></figure>

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

<figure><img src="image_13.png" /></figure>
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Graphique 9 : déphasage du filtre CF (6,32) pour l'observation 96 dans une série de 116 observations</figcaption></figure>

<figure><img src="image_15.png" /></figure>
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Graphique 10 : coefficients des filtres CFest et BK pour le calcul de l'observation 96 (série de 116 observations)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>graphique 11 : cycles du log(PIB) français selon les filtres CF, CFsym, CFest et BK</figcaption></figure>

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>graphique 12 : écarts des cycles CFsym, CFest et BK avec CF</figcaption></figure>
<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Graphique 14 : gains du filtre passe-bande (32, 50 trim.), selon l'approximation de Baxter et King, pour k= 6, 12, 24 et 36</figcaption></figure>

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

filtre ideal

k=6

k=12

k=24

k=36
<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>graphique 17 : composantes "32-infini" du log(PIB) français selon les filtres CF, CFsym, CFcst et écart de BK et HP à la droite x1-xT</figcaption></figure>

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>graphique 18 : écarts des tendances CFsym, CFcst, BK et HP avec CF</figcaption></figure>

<figure><img src="image_23.png" /></figure>
<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>graphique 20 : différences premières des tendances selon les filtres CF, CFsym, CFest et BK</figcaption></figure>

<figure><img src="image_25.png" /></figure>
graphique 21 : irréguliers du log(PIB) français selon les filtres CF, CFsym, CFcst et BK

<figure><img src="image_26.png" /></figure>

graphique 22 : écarts des irréguliers CFsym, CFcst et BK avec CF

<figure><img src="image_27.png" /></figure>

graphique 23 : écarts entre des composantes IR, Cyclique et Tendancielle extraites par les deux filtres : BK et CF

<figure><img src="image_28.png" /></figure>