# PROPAGATION D'ONDES A LA SURFACE D'UN MASSIF SOUMIS A UN EFFORT LATERAL ET VERTICAL DU A UN TRAFIC FERROVIAIRE

Benoit PICOUX, Donatien LE HOUEDEC

Laboratoire de Mécanique et Matériaux

Ecole Centrale de Nantes

1 rue de la Noë, BP 92101, 44 321 NANTES Cedex 03

## Résumé :

L'objectif de nos travaux est de modéliser la propagation des ondes émises par un système ferroviaire incluant train et voie ferrée [2] et de valider ce modèle par des mesures sur site. Les travaux précédents [1] ont porté sur des charges rectangulaires harmoniques se déplaçant rectilignement sur un massif. Nous proposons ici de décrire la propagation d'ondes d'un massif sous une charge rectangulaire en mouvement soumis à un effort vertical et latéral et ainsi d'approcher la présence d'une légère courbe le long d'une voie ferrée.

## Abstract :

The main objective of our works is to model the wave propagation due to a railway system including train and track [2] and to validate this model with "in situ" measurements. Previous works [1] dealt with harmonic and rectangular loads which moved on the ground with rectilinear motion. In this paper we describe wave propagation on the ground subjected to a vertical and lateral loading and so approach the existence of a light curve along a track.

## Mots clés :

Propagation d'ondes, Charges mobiles, Transformée de Fourier

## 1 Introduction

A proximité des voies de chemins de fer, des observations ont montré [3] que de forts déplacements du sol entraînent une gêne sur l'environnement. Ces vibrations sont d'autant plus nuisibles, pour l'environnement de la voie et pour la voie elle-même, que la vitesse et le poids du convoi ferré sont importants, notamment lorsque la vitesse dépasse la vitesse des ondes de surface dans le sol [4] (faible dans les sols mous). Sur le cas simple d'un massif semi-infini soumis à une charge rectangulaire, nous allons étudier l'effet d'une contrainte latérale engendrée par un déplacement curviligne sur les déplacements verticaux et latéraux à la surface de ce massif. Nous obtenons une solution semi-analytique grâce au formalisme de la transformée de Fourier et présentons les résultats pour différents régimes de vitesse.
## 2 Approche semi-analytique

On considère une charge P harmonique de fréquence $\omega_0$ se déplaçant uniformément à la vitesse c sur un massif semi-infini tridimensionnel de caractéristiques E, $\rho$, $v$, $\eta$ (TAB. 1). Cette charge, verticale et uniforme, est répartie uniformément sur un rectangle de dimensions $2a \times 2b$. On suppose, de plus, que cette surface est soumise à un effort latéral F harmonique à la même fréquence $\omega_0$ et répartie uniformément sur ce même rectangle. Ainsi, l'effort latéral peut représenter la sollicitation induite par la force centrifuge exercée sur la charge dans une courbe. On considère, dans cette étude, une courbe suffisamment légère (rayon de courbure grand) de manière à conserver un changement de variable rectiligne.

L'action de l'effort latéral ne génère que des vibrations latérales, l'apparition de vibrations latérales et longitudinales ne provient que du couplage entre la charge et le sol. La combinaison de l'effort latéral et longitudinal peut être découplée.

### 2.1 Mise en équations

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>FIG. 1 : Géométrie du problème.</figcaption></figure>

En vertu des équations de mouvement et de la loi de comportement,

$$ 
\begin{gathered}
\sigma_{ij,j} + f_i = \rho \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} \\
\sigma_{ij} = \lambda \delta_{ij} \varepsilon_{kk} + 2\mu \varepsilon_{ij} \quad \text{avec} \quad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} (u_{i,j} + u_{j,i})
\end{gathered}
\qquad (1)
$$

on obtient les équations de Navier suivantes :

$$ \left[ \left( \lambda + \mu \right) \frac{\partial \theta}{\partial x_i} - \mu \nabla^2 u_i - \rho \frac{\partial u_i}{\partial t} \right]_{i=1,3} = 0 \qquad (2) $$

$$ \text{soit :} \qquad (\lambda + \mu)\Delta\theta - \rho \frac{\partial^2 \theta}{\partial t^2} = 0 \qquad (3) $$

où $\lambda$ et $\mu$ sont les coefficients de Lamé, $\theta$ est la dilatation telle que

$$ \theta = \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3} \qquad (4) $$
De manière à rester dans le repère lié à la translation de la charge (FIG. 1) et en régime permanent (loin de tout régime transitoire), nous effectuons le changement de variable $x = x_1 - ct$, $y = x_2$, $z = x_3$ et les changements de fonction :

$$ \{u_i\}_{i=1,3} = \{u^*, v^*, w^*\} e^{i\omega_0 t} \quad \{\sigma_{ij}\}_{j=3} = \{\tau_{xz}^* \tau_{yz}^* \sigma_{zz}^*\} e^{i\omega_0 t} \quad \text{et} \quad \theta = \theta^* e^{i\omega_0 t} \quad (5) $$

L'équation précédente devient alors :

$$ (\lambda + 2\mu)\Delta\theta^* - \rho\left(-\omega_0^2 - 2i\omega_0 \frac{\partial}{\partial x} + c^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}\right)\theta^* = 0 \quad (6) $$

L'application d'une double transformée de Fourier spatiale notée $\bar{f}$, de paramètres les nombres d'ondes $\beta$ et $\gamma$ nous donne :

$$ \left( \frac{d^2}{dz^2} - \alpha_i^2 \right) \bar{\theta}^* = 0 \quad \text{avec} \quad \alpha_i^2 = \beta^2 + \gamma^2 - k_i^2 \left( 1 - \frac{\beta c}{\omega} \right) \quad (7) $$

Les solutions pour ce type d'équation sont données par $\bar{\theta}^* = \bar{A}e^{-\alpha_1 z} + \bar{B}e^{\alpha_2 z}$ où B est nécessairement nul pour satisfaire la condition de non réflexion lorsque z tend vers l'infini. On effectue une transformée de Fourier et le changement de fonctions (5) sur (2) en posant :

$$ \alpha_2^2 = \beta^2 + \gamma^2 - k_2^2 \left( 1 - \frac{\beta c}{\omega} \right) \quad (8) $$

Alors, à chaque déplacement est associé u, v et w tels que :

$$ \left\{ \begin{matrix} \bar{u}^* \\ \bar{v}^* \\ \bar{w}^* \end{matrix} \right\} = \frac{\bar{A}e^{-\alpha_1 z}}{k_1^2 \left( 1 - \frac{\beta c}{\omega_0} \right)} \left\{ \begin{matrix} -i\beta \\ -i\gamma \\ \alpha_1 \end{matrix} \right\} + e^{-\alpha_2 z} \left\{ \begin{matrix} \bar{B} \\ \bar{C} \\ \frac{i}{\alpha_2} (\beta\bar{B} + \gamma\bar{C}) \end{matrix} \right\} \quad (9) $$

Etant données les contraintes longitudinale, latérale et verticale suivantes :

$$ \left\{ \begin{matrix} \bar{\tau}_{xz}^*(\beta, \gamma) = 0 \\ \bar{\tau}_{yz}^*(\beta, \gamma) = \mu \left( \frac{d\bar{u}^*}{dz} + i\beta\bar{w}^* \right) = \bar{F}^*(\beta, \gamma) = F_0 \text{sinc}(\beta a) \text{sinc}(\gamma b) \\ \bar{\sigma}_{zz}^*(\beta, \gamma) = \mu \left( \frac{d\bar{v}^*}{dz} + i\gamma\bar{w}^* \right) = \bar{P}^*(\beta, \gamma) = P_0 \text{sinc}(\beta a) \text{sinc}(\gamma b) \end{matrix} \right. \quad (10) $$

les déplacements latéraux et verticaux à la surface du massif, soumis à ces efforts s'écrivent respectivement dans le domaine des nombres d'ondes :
$$
\bar{v}_{z=0}^* = \frac{1}{\mu f(\beta, \gamma)} \left[ iP(\beta, \gamma)(2\alpha_1\alpha_2 - \alpha_2^2 - \beta^2 - \gamma^2) + \frac{F(\beta, \gamma)}{\alpha_2}(\alpha_2^2 + \beta^2)(\alpha_2^2 + \beta^2 + \gamma^2) - 2F(\beta, \gamma)(2\beta^2\alpha_1 + \gamma^2\alpha_2) \right] \quad (11)
$$

$$
\bar{w}_{z=0}^* = \frac{1}{\mu f(\beta, \gamma)} \left[ \alpha_1 P(\beta, \gamma)(\alpha_2^2 - \beta^2 - \gamma^2) + i\gamma F(\beta, \gamma)(\alpha_2^2 + \beta^2 + \gamma^2 - 2\alpha_1\alpha_2) \right] \quad (12)
$$

où $f(\beta, \gamma) = 4\alpha_1\alpha_2(\beta^2 + \gamma^2) - (\alpha_2^2 + \beta^2 + \gamma^2)^2$ est la fonction de Rayleigh pour une charge en mouvement.

Pour retrouver les déplacements réels en surface du massif, une double transformée de Fourier inverse est effectuée numériquement.

3. Résultats numériques

Pour la résolution numérique, on considère une charge rectangulaire 2,7m×2,7m excitant
le sol à la fréquence de 40 Hz.

On se réfère à un sol de caractéristiques suivantes :

<table><caption>TAB 1 : *Paramètres pour le sol semi-infini.*</caption>
  <tr>
    <td>Module d'Young, E (N.m<sup>-2</sup>)</td>
    <td>2,69.10<sup>8</sup></td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Coefficient de Poisson, v</td>
    <td>0,257</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Masse volumique, ρ (kg.m<sup>-3</sup>)</td>
    <td>1550</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Coefficient d'amortissement, η</td>
    <td>0,1</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Vitesse de l'onde P, c<sub>1</sub> (m.s<sup>-1</sup>)</td>
    <td>459</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Vitesse de l'onde S, c<sub>2</sub> (m.s<sup>-1</sup>)</td>
    <td>263</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Vitesse de l'onde R, c<sub>R</sub> (m.s<sup>-1</sup>)</td>
    <td>242</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>Longueur d'onde de Rayleigh, λ<sub>R</sub> (m)</td>
    <td>6</td>
  </tr>
</table>

L'étude dans le domaine des nombres d'ondes pour le régime de vitesse nulle (FIG. 2)
montre qu'en considérant un effort vertical unique, les lignes de niveaux du champ de
déplacement vertical à la surface du massif sont des cercles (on montre aussi qu'en régime
dynamique ce sont des portions d'hyperboles).

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIG. 2 : Déplacements verticaux transformés $\bar{w}_{z=0}^*$ en régime statique.</figcaption></figure>
En considérant un effort latéral unique, ces lignes de niveaux sont réparties symétriquement de part et d'autre de l'axe de déplacement de la charge (déplacements nuls sur cet axe). La combinaison de ces deux mouvements découpés présente une allure dissymétrique par rapport au nombre d'onde $\gamma$.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIG. 3 : Déplacements verticaux réels w* réels en régime sub-Rayleigh.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIG. 4 : Déplacements verticaux w* réels en régime super-Rayleigh.</figcaption></figure>

En régime sub-Rayleigh (c < c<sub>R</sub>), on observe (FIG. 3) une compression des lignes de champ de déplacement devant la charge ($\lambda_{min}$ = $\lambda_0$ – c/c<sub>R</sub>), une dilatation des lignes de champ de déplacement derrière la charge ($\lambda_{max}$ = $\lambda_0$ + c/c<sub>R</sub>) et une augmentation de la dissymétrie de ces lignes par rapport à l'axe y lorsque les contraintes latérales augmentent. En régime super-Rayleigh (FIG. 4), on retrouve la présence de cônes de Mach [1] et une dissymétrie équivalente par augmentation des contraintes latérales.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIG. 5 : Effet d'une augmentation d'effort latéral.</figcaption></figure>
L'amplitude des déplacements verticaux est réduite de 75 % pour une fréquence d'excitation de 7 Hz (1ère fréquence significative pour ce type de phénomène) par rapport à la fréquence de 40 Hz mais l'allure des champs de déplacements reste inchangée dans le repère de référence adimensionné (x/λR, y/λR, w*/λR).

L'effet sur les déplacements verticaux (FIG. 5) d'une contrainte latérale, dans la mesure ou F/P < 1, reste cependant très faible par rapport à l'effet de cette même contrainte sur les déplacements latéraux. Ceci confirme l'importance de considérer l'effet des forces centrifuges dans le modèle lors de l'étude des phénomènes de ripage latéral de voie ferrée.

**4. Conclusion**

L'effet d'un effort latéral et vertical sur une charge rectangulaire harmonique a été étudié. Il permet d'approcher simplement la présence d'une légère courbe dans le modèle de propagation d'ondes à la surface des sols semi-infini. Il apparaît que cet effort à un effet négligeable sur les déplacements verticaux mais au contraire non négligeable sur les déplacements latéraux. Le passage au massif multicouches ne présente pas de difficulté et le même effet est remarqué. Le modèle de couplage voie / sol sera donc développé en tenant compte de ces dernières remarques.

**5. Références bibliographiques**

1. LEFEUVE-MESGOUEZ, G. 1999 Propagation d'ondes dans un massif soumis à des charges se déplaçant à vitesse constante, *Thèse de Doctorat, Université de Nantes*.

2. JONES, C.J.C., SHENG, X. et THOMPSON, D.J. 2000 Ground vibration from dynamic and quasi-static loads moving along a railway track on layered ground, *Wave 2000*, pp. 83-97.

3. MADSHUS, C., KAYNIA, A.M. 2000 High speed railway lines on soft ground, *Journal of Sound and Vibration*, **231**, 3, pp. 689-701.

4. DIETERMAN, H.A., METRIKINE, A.V. 1996 The equivalent stiffness of a half space interacting with a beam. Critical velocities of a moving load along the beam, *European Journal of Mechanics, 15*, 1, pp. 67-90.