# Thermodynamique des processus irréversibles

M.L.M. François

► To cite this version:

M.L.M. François. Thermodynamique des processus irréversibles. Master. Module XMS3PE713 Comportements dissipatifs Cours II/VI Thermodynamique des Processus Irréversibles, Nantes, France. 2025, pp.65. hal-05457071

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# Module XMS3PE713 Comportements dissipatifs
Cours II/VI Thermodynamique des Processus
Irréversibles

## M2 de Mécanique, parcours Mécanique et Fiabilité des Structures

Faculté des Sciences et techniques, Nantes Université

Version du 12 novembre 2025
## Objectifs de ce cours

* Connaître les bases de la thermodynamique des processus irréversibles

* Connaître les variables d'état et les forces thermodynamiques associées

* Connaitre les formulations des premiers et second principes

* Connaitre et savoir résoudre (dans des cas simples) l'équation de la chaleur

* Connaitre le principe de dissipation maximale

* Maitriser le formalisme des matériaux standard généralisés

Tout au long de ce cours on traitera des exemples de plasticité et de viscoplasticité, en 1D afin de ne pas compliquer les choses avec des aspects tensoriels.
## Plan

1

### 1.1 Variables et énergies

* 1.1 Notion d'irréversibilité

* 1.2 Variables d'état

* 1.3 Énergies, puissances et potentiels

* 1.4 Théorèmes

* 1.5 Variables associées

* 1.6 Partition des déformations

* 1.7 Dilatation thermique

* 1.8 Énergie libre de Helmholtz et loi d'elasticité

* 1.9 Énergie libre de Helmholtz et entropie

* 1.10 Sources de chaleur d'origine non mécanique

2

### 2. Dissipation thermique

3

### 3. Equation de la chaleur

4

### 4. Equations d'évolution

5

### 5. Matériaux standard généralisés

6

### 6. Bibliographie
# 1 Variables et énergies

## 1.1 Notion d'irréversibilité

* Une transformation est irréversible s'il n'y a pas bijection entre les états et les forces thermodynamiques.

* Une transformation irréversible induit une dissipation d'énergie sous forme de chaleur et parfois un stockage d'énergie irrécupérable

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

**Figure** – Le ressort permet des transformations réversibles (élasticité). La pâte à modeler permet des transformations irréversibles (plasticité).
## 1.2 Variables d'état

On utilise la **méthode de l'état local** qui suppose que tous les états sont des états d'équilibre (transformation quasi-statiques). L'état du système est décrit par un jeu de **variables d'état (V.E.) indépendantes**. Par ex. en thermodynamique classique des gaz, ce sont (V, T).

En mécanique on utilisera :

* le tenseur des déformation $\epsilon$

* la la température T

* les autres variables d'état $V_k$. On y trouvera :

* des variables scalaires : la déformation plastique cumulée $p$, l'endommagement $d$ ...

* des variables tensorielles : la déformation plastique $\epsilon^P$...

Leur évolution induira une dissipation thermique.
1.3 Énergies, puissances et potentiels

* Les **travaux et quantités de chaleurs locales** volumiques (J/m³) sont :

► le travail des efforts intérieurs $w_i$

► le travail des efforts extérieurs $w_e$

► la quantité de chaleur produite à l'intérieur $q_i$

► la quantité de chaleur reçue de l'extérieur $q_e$

► l'énergie cinétique $e_c$

► l'énergie potentielle $e_p$

* Les puissances correspondantes ($\dot{w}_i$, $\dot{w}_e$, $\dot{q}_i$, $\dot{q}_e$, $\dot{e}_c$, $\dot{e}_p$), en W/m³, sont la dérivée de ces énergies par rapport au temps.

* L'énergie étant additive, le lien entre une énergie volumique $w$ et l'énergie globale $W$ correspondante est donné par intégration sur le volume considéré :

$$W = \int_V w dV$$
1.4 Théorèmes

Théorème de localisation

Si deux expressions locales sont égales quelque soit le domaine considéré,
alors les expressions locales correspondantes sont égales.

$$
\begin{gather*}
A_1 = \int_V a_1 dv \quad A_2 = \int_V a_2 dv \\
\forall V, A_1 = A_2 \iff a_1 = a_2 \tag*{\text{(LOCA)}}
\end{gather*}
$$

L'égalité de champs $a_1 = a_2$ correspond à $a_1(M) = a_2(M), \forall M$.

Théorème de Stockes

Pour tout champ de vecteur dérivable **v** :

$$
\iint_S \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint_V \operatorname{div}(\mathbf{v}) \, dV \quad \text{(STOK)}
$$

où **n** est la normale sortante au domaine
## 1.5 Variables associées

Les variables associées (V.A.) sont associées aux variables d'état par l'énergie libre de Helmholtz. Par ex., pour les gaz, (p, S) sont associées à (V, T). Nous montrerons que :

* L'entropie massique s est associée à la température T :

$$s = -\frac{\partial \psi}{\partial T} \qquad (VAT)$$

* La contrainte σ est associée à la déformation ε :

$$\sigma = \rho \frac{\partial \psi}{\partial \varepsilon} \qquad (VAS)$$

* On nomme $A_k$ les variables (ou forces thermodynamiques) associées aux variables d'état $V_k$. Elles ont même dimension tensorielle.

$$A_k = -\rho \frac{\partial \psi}{\partial V_k} \qquad (VAV)$$
1.6 Partition des déformations

L'hypothèse de partition des déformations est :

$$
\epsilon = \epsilon^e + \epsilon^{th} + \epsilon^p + \dots \qquad (\text{PAR})
$$

où :

● $\epsilon$ est la déformation totale, mesurable

● $\epsilon^e$ est la déformation élastique

● $\epsilon^{th}$ est la déformation thermique

● en plasticité on utilise $\epsilon^P = V^1$, la déformation plastique

● on peut aussi considérer d'autres déformations (chimique...)
1.7 Dilatation thermique

• Si l'on suppose la dilatation thermique linéaire :

$$
\epsilon^{\text{th}} = \mathbf{A} \Delta T \ D/L
$$

où **A** est le tenseur de dilatation thermique, en K⁻¹ et
ΔT = T - T₀ est l'élévation de température (K)

• Si de plus on la suppose isotrope :

$$
\mathbf{A} = \alpha \mathbf{I} \quad \mathbf{D} \mathbf{I} \mathbf{L}
$$

où α (K⁻¹) est le coefficient de dilatation thermique
## 1.8 Énergie libre de Helmholtz et loi d'élasticité

* Afin de retrouver la loi d'élasticité avec la partition des déformations PAR, depuis VAS, il faut que l'énergie libre de Helmholtz ait le terme en déformation suivant :

$$ \rho\psi = \frac{1}{2}(\boldsymbol{\epsilon} - \boldsymbol{\epsilon}^{\text{th}} - \boldsymbol{\epsilon}^{\text{P}}) : \mathcal{C} : (\boldsymbol{\epsilon} - \boldsymbol{\epsilon}^{\text{th}} - \boldsymbol{\epsilon}^{\text{P}}) + \dots \quad (\text{RPE}) $$

$$ \boldsymbol{\sigma} = \rho \frac{\partial \psi}{\partial \boldsymbol{\epsilon}} \\ \implies \boldsymbol{\sigma} = \mathcal{C} : (\boldsymbol{\epsilon} - \boldsymbol{\epsilon}^{\text{th}} - \boldsymbol{\epsilon}^{\text{P}}) \quad (\text{ELA}) $$

* Le terme RPE sera donc commun à tous les modèles de plasticité et viscoplasticité.

* Si l'on remplace $\boldsymbol{\epsilon}^{\text{th}}$ par son expression DIL, et puisque $\boldsymbol{\epsilon}^{\text{P}} = V_1$, on vérifie que cette partie de l'énergie libre s'écrit bien en fonction des seules variables d'état : $\rho\Psi(\boldsymbol{\epsilon}, T, V_k)$
1.9 Énergie libre de Helmholtz et entropie

* Si aucune variable d'état ne dépend de la température, on calcule s depuis VAS, RPE, DIL et la grande symétrie de $C$ :

$$ 
\begin{aligned}
-s &= \frac{\partial \psi}{\partial T} \\
  &= -\frac{\partial \boldsymbol{\epsilon}^{\text{th}}}{\partial T} : C : (\boldsymbol{\epsilon} - \boldsymbol{\epsilon}^{\text{th}} - \boldsymbol{\epsilon}^{\text{P}}) \\
  s &= \mathbf{A} : \boldsymbol{\sigma}
\end{aligned}
$$

* Si, de plus, la dilatation est isotrope $\mathbf{A} = \alpha \mathbf{I}$, alors :

$$ s = \alpha \operatorname{trace}(\boldsymbol{\sigma}) $$

* Si, de plus, l'élasticité est isotrope $C = 3K\mathbb{P}^H + 2\mu\mathbb{P}^D$, alors :

$$ s = 3K\alpha \operatorname{trace}(\boldsymbol{\epsilon}) + 9K\alpha^2 \Delta T $$
1.10 Sources de chaleur d'origine non mécanique

● Surfaciques : le **flux de chaleur** Φ (W/m²). Phénomènes associés :

► la **conduction** (au sein du corps ou en surface, entre deux solides)

► la **convection** (en surface, au contact avec un fluide)

► la **rayonnement** (en surface, par ex. infra-rouge)

Le modèle de conduction le plus utilisé est la loi de Fourier, qui postule que le flux est proportionnel au gradient de la température et dirigé du chaud vers le froid :

$$ \Phi = -k \text{grad}(T) \quad (\text{FOU}) $$

où k est la conductivité thermique (W/m.K) du matériau.

● Volumiques : la **puissance thermique** r (W/m³). Elle est produite dans le corps lui même, mais la cause est extérieure :

► Les rayonnements (micro-ondes, radioactivité...)

► Les sources chimiques

► Le chauffage par courants de Foucault
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure – Conductivité thermique *k* en fonction de *T* (Lemaitre et Chaboche)</figcaption></figure>
Exemple de source de chaleur par rayonnement r : la radioactivité.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

**Figure** – Conteneur à déchets faiblement radioactifs (g.) et carte de température calculée en phase de stockage (d.)
# Plan

1. 1 Variables et énergies

2. 2 Dissipation thermique

* 2.1 Chaleur reçue de l'extérieur

* 2.2 Théorème de l'énergie cinétique

* 2.3 Premier principe, énergie interne

* 2.4 Second principe

* 2.5 Retour sur les variables associées

* 2.6 Dissipation intrinsèque

* 2.7 Bilan d'énergie

3. 3 Equation de la chaleur

4. 4 Equations d'évolution

5. 5 Matériaux standard généralisés

6. Bibliographie
## 2 Dissipation thermique

### 2.1 Chaleur reçue de l'extérieur
Sur un domaine fini, la puissance thermique $\dot{Q}_e$ (W) reçue de l'extérieur par la surface et dans le volume, est :

$$ \dot{Q}_e = \int_V r dV - \int_S \Phi \cdot n dS \quad (\text{PTE}) $$

où $n$ est la normale sortante au domaine (d'où le signe). En appliquant le théorème de Stockes STOK et celui de localisation LOCA :

$$ \begin{aligned} \dot{Q}_e &= \int_V (r - \operatorname{div}(\Phi)) dV \\ \dot{q}_e &= r - \operatorname{div}(\Phi) \end{aligned} \quad (\text{PTEL}) $$

si la loi de Fourier FOU s'applique, alors :

$$ \dot{q}_e = r + k \Delta T \quad (\text{PTEF}) $$

où $\Delta$ est le laplacien, obtenu ici car $\Delta = \operatorname{div}(\operatorname{grad})$.
## 2.2 Théorème de l'énergie cinétique

* Il s'écrit, en local et en vitesse :

$$ \dot{e}_c = \dot{w}_i + \dot{w}_e $$

Rappel : ce théorème se déduit directement du principe des puissances virtuelles $p_a^* = p_i^* + p_e^*$ en prenant comme champ virtuel le champ réel et en rappelant que :

$$ 2e_c = \rho V^2 \implies p_a = \rho V \dot{V} = \dot{e}_c $$

* La puissance des efforts intérieurs est donnée, en local, par la Mécanique des Milieux Continus :

$$ \dot{w}_i = -\sigma : \dot{\epsilon} \qquad (\text{PINT}) $$

d'où la forme locale du théorème de l'énergie cinétique :

$$ \dot{e}_c = \dot{w}_e - \sigma : \dot{\epsilon} \qquad (\text{TECL}) $$
## 2.3 Premier principe, énergie interne

* Le premier principe de la thermodynamique consiste en

* un bilan de puissance :

$$ \rho \dot{u} + \dot{e}_c + \dot{e}_p = \dot{w}_e + \dot{q}_e $$

* à postuler que l'énergie interne est un potentiel d'état $u(V_k)$

* Le second point implique que, pour tous états A et B :

* la variation de $u$ ne dépend pas du chemin parcouru entre A et B, puisque $\Delta u = u(V_k(B)) - u(V_k(A))$

* la variation de $u$ est nulle sur un cycle puisque ABA, puisque $\Delta u = u(V_k(B)) - u(V_k(B)) = 0$

* en ingénierie on néglige généralement la variation d'énergie potentielle : $\dot{e}_p = 0$. En utilisant le TECL il vient l'expression locale du premier principe de la thermodynamique :

$$ \rho \dot{u} = \sigma : \dot{\boldsymbol{\epsilon}} + \dot{q}_e \qquad (\text{PPTL}) $$
## 2.4 Second principe

* Le second principe de la thermodynamique est écrit classiquement $dS \ge \delta Q_e/T$. Nous utiliserons plutôt l'écriture suivante sous forme d'égalité (Halphen) :

$$dS = \frac{\delta Q_e}{T} + \frac{\delta Q_i}{T} \qquad (\text{SPT})$$
$$\delta Q_i \ge 0$$

On distingue les cas :

* $\delta Q_i = 0$ transformation réversible

* $\delta Q_i > 0$ transformation irréversible

* Le second principe implique que la matière ne peut que produire de la chaleur sous l'effet des transformations irréversibles. On pensera par exemple à un trombone à lettre que l'on plie et déplie (plasticité), il chauffe dans vos doigts.
• Cette évolution a lieu pendant $dt$. On passe en vitesse :

$$\begin{aligned} \frac{dS}{dt} &= \frac{1}{T} \frac{\delta Q_e}{dt} + \frac{1}{T} \frac{\delta Q_i}{dt} \\ T\dot{S} &= \dot{Q}_e + \dot{Q}_i \end{aligned}$$

Depuis PTE de $\dot{Q}_e$ et en supposant $T$ uniforme dans le domaine :

$$\begin{aligned} T\dot{S} &= \int_V r dV - \int_S \Phi \cdot n dS + \dot{Q}_i \\ \dot{S} &= \int_V \rho \dot{s} dV = \int_V \frac{r}{T} dV - \int_S \frac{\Phi \cdot n}{T} dS + \int_V \frac{\dot{q}_i}{T} dV \end{aligned}$$

On en déduit l'expression locale avec les théorème de Stockes et de localisation LOCA. On obtient **le second principe en local** :

$$\begin{gathered} \rho \dot{s} = \frac{r}{T} - \operatorname{div} \left( \frac{\Phi}{T} \right) + \frac{\dot{q}_i}{T} \\ \rho \dot{s} - \frac{r}{T} + \operatorname{div} \left( \frac{\Phi}{T} \right) = \frac{\dot{q}_i}{T} \ge 0 \qquad (\text{SPTL}) \end{gathered}$$
* On transforme l'expression du terme en divergence, en passant indiciel. On observe la dérivée d'un rapport :

$$ 
\begin{aligned}
\operatorname{div} \left( \frac{\Phi}{T} \right) &= \left( \frac{\varphi_i}{T} \right)_{,i} \\
&= \frac{\varphi_{i,i} T - \varphi_i T_{,i}}{T^2} \\
&= \frac{\operatorname{div}(\Phi)}{T} - \frac{\Phi \cdot \operatorname{grad}(T)}{T^2}
\end{aligned}
$$

il vient :

$$ \rho \dot{s} = \frac{r}{T} - \frac{\operatorname{div}(\Phi)}{T} + \frac{\Phi \cdot \operatorname{grad}(T)}{T^2} + \frac{\dot{q}_i}{T} $$
* On isole la dissipation thermique intrinsèque $\delta q_i$ :

$$ \dot{q}_i = \rho T \dot{s} - r + \text{div}(\Phi) - \frac{\Phi \cdot \text{grad}(T)}{T} $$

On fait ici l'hypothèse supplémentaire, plus forte que $\delta q_i \ge 0$ (du second principe) : du découplage des dissipations :

$$ \dot{q}_{i1} \ge 0 $$

$$ \dot{q}_{i2} \ge 0 $$

(DEC)

où $\dot{q}_{i1}$ est la dissipation intrinsèque et $\dot{q}_{i2}$ est la dissipation thermique

* Dans le cas où la loi de Fourier FOU s'applique (toujours pour l'ingénieur) :

$$ \dot{q}_{i2} = k \frac{\text{grad}(T) \cdot \text{grad}(T)}{T} \ge 0 $$

comme $k > 0$, DEC est automatiquement vérifiée.
* Analysons de même la dissipation intrinsèque, où l'on reconnait l'expression de la puissance thermique extérieure PTEL

$$ 
\begin{aligned}
\dot{q}_{i1} &= \rho T \dot{s} - r + \text{div}(\Phi) \\
&= \rho T \dot{s} - \dot{q}_e
\end{aligned}
 $$

le premier principe en local PPTL permet de remplacer $\dot{q}_e$ :

$$ \dot{q}_{i1} = \rho T \dot{s} - \rho \dot{u} + \boldsymbol{\sigma} : \dot{\boldsymbol{\epsilon}} $$

On introduit ici l'expression de l'énergie libre de Helmholtz en local $\psi = u - Ts$ donc

$$ \dot{\psi} = \dot{u} - T\dot{s} - s\dot{T} \qquad (\text{HELM}) $$

et l'obtient une expression exploitable de cette dissipation thermique :

$$ \dot{q}_{i1} = \boldsymbol{\sigma} : \dot{\boldsymbol{\epsilon}} - \rho \dot{\psi} - \rho s \dot{T} \qquad (\text{QI1}) $$
* Reprenons le second principe. À l'aide des expressions QI1 et QI2, il vient l'inégalité de Clausius-Duhem sous sa forme en vitesse :

$$ \dot{q}_i = \underbrace{\sigma : \dot{\epsilon} - \rho(\dot{\psi} + s\dot{T})}_{\dot{q}_{i1} \ge 0} - \underbrace{\frac{\Phi \cdot \text{grad}(T)}{T}}_{\dot{q}_{i2} \ge 0} \ge 0 $$

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure – Rudoplh Clausius (à g.) et Pierre Duhem (à d.)</figcaption></figure>
L'expression Q1 de la puissance dissipée intrinsèque $\dot{q}_{i1}$ permet d'avoir une interprétation physique, en la transformant par TECL :

$$ 
\begin{aligned}
\dot{q}_{i1} &= \boldsymbol{\sigma} : \dot{\boldsymbol{\epsilon}} - \rho \dot{\boldsymbol{\psi}} - \rho s \dot{T} \\
&= \dot{w}_e - \dot{e}_c - \rho \dot{\psi} - \rho s \dot{T} \\
\Rightarrow \dot{w}_e &= \dot{e}_c + \dot{q}_{i1} + \rho \dot{\psi} + \rho s \dot{T} \\
\delta w_e &= d\epsilon_c + \delta q_{i1} + \rho d\psi + \rho s dT \quad (\text{FRAN})
\end{aligned}
$$

En considérant une transformation isotherme ($dT = 0$), on voit que l'énergie apportée au système se répartit en une énergie cinétique, une énergie libre due à la déformation du corps, et une chaleur dissipée.

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

<figure><img src="image_9.png" /></figure>
* De nouveau on considère Q11, mis sous forme différentielle, et maintenant la différentielle de l'énergie libre $\psi(\epsilon, T, V_k)$ :

$$ \delta q_{i1} = \sigma : d\epsilon - \rho d\psi - \rho s dT $$

* Puis l'on pose la différentielle de l'énergie libre $\psi(\epsilon, T, V_k)$, où $V_k$ représentent les variables internes $V_k$ autres que $(\epsilon, T)$ :

$$ d\psi = \frac{\partial\psi}{\partial\epsilon} : d\epsilon + \frac{\partial\psi}{\partial T}dT + \frac{\partial\psi}{\partial V_k}dV_k $$

En assemblant, il vient :

$$ \delta q_{i1} = \left( \sigma - \rho \frac{\partial \psi}{\partial \epsilon} \right) : d\epsilon - \rho \left( s + \frac{\partial \psi}{\partial T} \right) dT - \rho \frac{\partial \psi}{\partial V_k} dV_k $$
## 2.5 Retour sur les variables associées

Depuis le second principe SPT et l'hypothèse de découplage DEC, la puissance dissipée doit être nulle pour toute transformation réversible.

* Pour toute déformation élastique (réversible), isotherme ($T = \text{cste}$) et ne changeant pas les autres variables d'état ($V_k = \text{cste}$), $\delta q_{i1} = 0$ donc :

$$ \underbrace{\delta q_{i1}}_{0} = \left( \boldsymbol{\sigma} - \rho \frac{\partial \boldsymbol{\psi}}{\partial \boldsymbol{\epsilon}} \right) : d\boldsymbol{\epsilon} - \rho \left( s + \frac{\partial \boldsymbol{\psi}}{\partial T} \right) \underbrace{dT}_{0} - \rho \frac{\partial \boldsymbol{\psi}}{\partial V_k} \underbrace{dV_k}_{0} $$

Cela entraîne que la contrainte $\boldsymbol{\sigma}$ est la variable associée à la déformation VAS :

$$ \boldsymbol{\sigma} = \rho \frac{\partial \boldsymbol{\psi}}{\partial \boldsymbol{\epsilon}} $$
* En considérant une transformation thermique réversible, isochore $\epsilon = 0$ et ne changeant pas les autres variables internes $V_k$, on montre la relation VAT :

$$ \begin{gathered} \underbrace{\delta q_{i1}}_{0} = \left( \boldsymbol{\sigma} - \rho \frac{\partial \boldsymbol{\psi}}{\partial \boldsymbol{\epsilon}} \right) : \underbrace{d \boldsymbol{\epsilon}}_{0} - \rho \left( s + \frac{\partial \boldsymbol{\psi}}{\partial T} \right) dT - \rho \frac{\partial \boldsymbol{\psi}}{\partial V_k} \underbrace{dV_k}_{0} \\ \implies s = - \frac{\partial \boldsymbol{\psi}}{\partial T} \end{gathered} $$

* Les relations obtenues sont des égalités de dérivées de la fonction $\psi(\boldsymbol{\epsilon}, T, V_k)$. Elles sont toujours valables, pas seulement pour les transformations considérées pour les obtenir.

* Dans les livres on trouve souvent la notation suivante, pour indiquer $T, V_k$ constants, mais qui est implicite dans la notion de dérivée partielle $\delta$ et avec des variables indépendantes.

$$ \boldsymbol{\sigma} = \rho \frac{\partial \boldsymbol{\psi}}{\partial \boldsymbol{\epsilon}} \bigg|_{T, V_k} $$
## 2.6 Dissipation intrinsèque

* Compte tenu de VAS et VAT, la dissipation (page bigdissip) se réduit à :

$$ \delta q_{i1} = -\rho \frac{\partial \psi}{\partial V_k} dV_k $$

* Par analogie avec VAS et VAT, on définit les **les forces thermodynamiques** $A_k$ associées (aux $V_k$ correspondantes) et l'on retrouve l'équation VAV proposée au chapitre VA :

$$ A_k = -\rho \frac{\partial \psi}{\partial V_k} $$

La dissipation intrinsèque s'écrit alors simplement :

$$ \dot{q}_{i1} = \sum_{k} A_k \dot{V}_k \ge 0 \qquad (\text{DIS}) $$

Les **variables d'état** $V_k$ (donc autres que $\epsilon$ et $T$), sont dites dissipatives. Ce sera par exemple $\epsilon^P$ ou $d...$
## 2.7 Bilan d'énergie

* On reprend le bilan d'énergie FRAN (première ligne), que l'on peut aussi écrire en fonction de l'énergie interne u (HELM)

$$ 
\begin{aligned}
\boldsymbol{\sigma} : \dot{\boldsymbol{\epsilon}} &= \rho \dot{\boldsymbol{\psi}} + \dot{q}_{i1} + \rho s \dot{T} \\
&= \rho \dot{u} + \dot{q}_{i1} - \rho T \dot{s}
\end{aligned}
$$

* On en déduit le cas isotherme (le plus utilisé) et le cas isentrope :

$$ \boldsymbol{\sigma} : \dot{\boldsymbol{\epsilon}} = \rho \dot{\boldsymbol{\psi}} + \dot{q}_{i1} $$

$$ \boldsymbol{\sigma} : \dot{\boldsymbol{\epsilon}} = \rho \dot{u} + \dot{q}_{i1} $$

* les énergies sont obtenues par intégration sur le chargement :

* le travail des efforts intérieurs $w_e = \int \boldsymbol{\sigma} : \dot{\boldsymbol{\epsilon}}$

* la dissipation intrinsèque $q_{i1} = \sum_k A_k \dot{V}_k$

* et donc $[\rho\dot{\psi}]$ (en isotherme) ou $[\rho u]$ (en isentrope) est une énergie stockée, récupérable ou non.
## Plan

1. 1 Variables et énergies

2. 2 Dissipation thermique

3. 3 Équation de la chaleur
* 3.1 But et équations à disposition
* 3.2 Équation de la chaleur
* 3.3 Example
* 3.4 Capacité calorifique
* 3.5 Thermoélasticité
* 3.6 Examples
* 3.7 Bilan intermédiaire

4. 4 Équations d'évolution

5. 5 Matériaux standard généralisés

6. Bibliographie
# 3 Équation de la chaleur

## 3.1 But et équations à disposition

* But : on cherche l'élévation de température $dT$ due à une évolution des variables d'état ($d\epsilon, dV_k$) supposée connue, depuis un état ($\epsilon, T, V_k$) connu.

* Les équations qui seront utilisées, en supposant une thermique de Fourier, sont :

$$ \rho \dot{u} = \boldsymbol{\sigma} : \dot{\boldsymbol{\epsilon}} + \dot{q}_e \quad \text{PPTL} $$

$$ \dot{q}_e = r + k \Delta T \quad \text{PTEF} $$

$$ \dot{\psi} = \dot{u} - T \dot{s} - s \dot{T} \quad \text{HELM} $$

$$ \boldsymbol{\sigma} = \rho \frac{\partial \psi}{\partial \boldsymbol{\epsilon}}, \quad s = -\frac{\partial \psi}{\partial T}, \quad A_k = -\rho \frac{\partial \psi}{\partial V_k} \quad \text{VAS, VAT, VAV} $$
## 3.2 Équation de la chaleur

* On élimine $\dot{u}$ entre PPTL et HELM puis $\dot{q}_e$ avec PTEF :

$$ \rho \dot{\Psi} = \boldsymbol{\sigma} : \dot{\boldsymbol{\epsilon}} + r + k \Delta T - \rho T \dot{s} - \rho s \dot{T} $$

On exprime la différentielle de $\Psi$ :

$$ \rho \dot{\Psi} = \rho \frac{\partial \Psi}{\partial \boldsymbol{\epsilon}} : \dot{\boldsymbol{\epsilon}} + \rho \frac{\partial \Psi}{\partial T} \dot{T} + \rho \frac{\partial \Psi}{\partial V_k} \dot{V}_k $$

Ce qui se réécrit, avec VAS, VAT et VAV :

$$ \rho \dot{\Psi} = \boldsymbol{\sigma} : \dot{\boldsymbol{\epsilon}} - \rho s \dot{T} - A_k \dot{V}_k $$

En égalisant avec la première ligne :

$$ \rho T \dot{s} = A_k \dot{V}_k + r + k \Delta T $$
* Trouvons $\rho T \dot{s}$ en différentiant VAT et multipliant par $\rho T$ :

$$s = -\frac{\partial \psi}{\partial T}$$
$$\rho T \dot{s} = -\rho T \frac{\partial^2 \psi}{\partial T \partial \epsilon} : \dot{\epsilon} - \rho T \frac{\partial^2 \psi}{\partial T^2} \dot{T} - \rho T \frac{\partial^2 \psi}{\partial T \partial V_k} : \dot{V}_k$$

* On identifie les dérivées de VAS, VAT et VAV :

$$\rho T \dot{s} = -T \frac{\partial \sigma}{\partial T} : \dot{\epsilon} + \rho T \frac{\partial s}{\partial T} \dot{T} + T \frac{\partial A_k}{\partial T} \dot{V}_k$$

* On identifie $C_\epsilon$ la capacité calorifique massique à déformation constante :

$$C_{\epsilon} = T \frac{\partial s}{\partial T}$$
$$\implies \rho T \dot{s} = -T \frac{\partial \sigma}{\partial T} : \dot{\epsilon} + \rho C_{\epsilon} \dot{T} + T \frac{\partial A_k}{\partial T} \dot{V}_k$$
* On élimine $\rho T \dot{s}$ entre les résultats des deux planches précédentes. Puis on isole le terme en $\dot{T}$ donnant l'élévation de température recherchée, en fonction des variables internes et de leur évolution, pour obtenir l'équation de la chaleur :

$$ \rho C_{\varepsilon} \dot{T} = k \Delta T + r + A_k \dot{V}_k + T \left( \frac{\partial \sigma}{\partial T} : \dot{\varepsilon} - \frac{\partial A_k}{\partial T} \dot{V}_k \right) \quad (CHA) $$

* $k \Delta T + r = \dot{q}_e$ (PTEF) est la quantité de chaleur reçue de l'extérieur

* $k \Delta T$ est la quantité de chaleur reçue par **conduction** thermique

* $r$ est la quantité de chaleur reçue par **rayonnement**

* $A_k \dot{V}_k = \dot{q}_i$ (DIS) est la quantité de chaleur dissipée par **irréversibilité**

* les deux derniers termes sont des termes de couplage :

* $T(\partial \sigma / \partial T) : \dot{\varepsilon}$ est le **couplage thermo-élastique**

* $T(\partial A_k / \partial T) \dot{V}_k$ est le **couplage thermo-mécanique**
## 3.3 Example

### Example

* Plasticité 1D, milieu homogène, pas de rayonnement, en négligeant les termes de couplages, l'équation de la chaleur CHA :

$$ \rho C_{\varepsilon} \dot{T} = A_{k} \dot{V}_{k} $$

* En supposant une déformation plastique de $V_1 = \varepsilon^P = 10\%$, une plasticité parfaite à $A_1 = \sigma^y = 235$ MPa, $\rho_{acier} = 7800$ kg/m$^3$ et $C_{acier} = 500$ J/kg.K, il vient :

$$ \begin{gathered} \rho C_{\varepsilon} \Delta T = \sigma^{y} \varepsilon^{P} \\ \Rightarrow \Delta T = \frac{235 \times 10^{6} \times 0,1}{7800 \times 500} \end{gathered} $$

L'élévation de température est de 6° K.

* Ce calcul simplifié est utilisé par les forgerons
* On remarque que les atomes légers ont en général une plus grande capacité calorifique massique

* Pour cela on utilise du sodium, un métal dont le point de fusion est à 98° C, comme fluide caloporteur :

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure – Réacteur à neutrons rapides (g.) et soupape au sodium (d.)</figcaption></figure>
## 3.5 Thermoélasticité

* Si le matériau est isotrope alors ELA devient (cours d'élasticité anisotrope)

$$ \boldsymbol{\sigma} = (3K\mathbb{P}^{\mathrm{H}} + 2\mu\mathbb{P}^{\mathrm{D}}) : \boldsymbol{\varepsilon}^{e} $$

où $\boldsymbol{\varepsilon}^e$ est la déformation élastique, qui intervient avec la déformation thermique $\boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{th}}$ dans la partition des déformations PAR ($\boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{\varepsilon}^e + \boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{th}} + \boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{P}} + \dots$).

* Si la dilatation thermique est aussi isotrope alors, dans DIL, le tenseur $\mathbf{A}$ est sphérique (colinéaire à $\mathbf{I}$) :

$$ \boldsymbol{\varepsilon}^{\mathrm{th}} = \alpha \Delta T \mathbf{I} $$

où $\Delta T$ est la variation de température, $\alpha$ est le coefficient de dilatation thermique ($K^{-1}$)
* On assemble, et, comme $\Delta T = T - T_0$, il vient :

$$ \boldsymbol{\sigma} = (3K\mathbb{P}^H + 2\mu\mathbb{P}^D) : (\boldsymbol{\varepsilon} - \boldsymbol{\varepsilon}^{\text{th}} - \boldsymbol{\varepsilon}^P \dots) $$

$$ \boldsymbol{\sigma} = (3K\mathbb{P}^H + 2\mu\mathbb{P}^D) : (\boldsymbol{\varepsilon} - \alpha\Delta T \mathbf{I} - \boldsymbol{\varepsilon}^P \dots) $$

$$ \frac{\partial \boldsymbol{\sigma}}{\partial T} = -\alpha(3K\mathbb{P}^H + 2\mu\mathbb{P}^D) : \mathbf{I} $$

$$ \Rightarrow \frac{\partial \boldsymbol{\sigma}}{\partial T} = -3K\alpha\mathbf{I} $$

pour un **matériau isotrope** (élastiquement et thermiquement).

* Quelques coefficients de dilatation thermique $\alpha$ :

* polypropylène $\alpha = 150 \times 10^{-6} \text{ K}^{-1}$

* nylon $\alpha = 30 \times 10^{-6} \text{ K}^{-1}$

* acier $\alpha = 12 \times 10^{-6} \text{ K}^{-1}$

* porcelaine $\alpha = 4 \times 10^{-6} \text{ K}^{-1}$

* invar $\alpha = 1, 2 \times 10^{-6} \text{ K}^{-1}$

* quartz $\alpha = 0, 5 \times 10^{-6} \text{ K}^{-1}$
## 3.6 Examples

### Example (Poutre élastique encastrée sous chargement thermique)

* Depuis $\varepsilon = 0$, on déduit :

$$ 
\begin{align*} 
\varepsilon^{th} &= -\varepsilon^{e} \\ 
\alpha \Delta T &= -\sigma/E \\ 
\implies \sigma &= -E\alpha \Delta T 
\end{align*} 
$$

* Pour $E = 200$ GPa, $\alpha = 10 \times 10^{-6}$ K$^{-1}$ et $\Delta T = 100$ °K, il vient :
  $$ \sigma = -200 \text{ MPa} $$

* compression car les extrémités bloquées empêchent la dilatation libre

* valeur obtenue proche de la limite élastique d'un acier doux !
* Pour éviter que de telles contraintes d'origine thermique ne se développent, les ingénieurs prévoient des jeux (voir par exemple les portes et fenêtres), ou des joints de dilatation :

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure – Joint de dilatation de rail (g.) et de pont (d.)</figcaption></figure>

* Une autre solution est d'utiliser des matériaux à faibles coefficient de dilatation, comme l'acier Invar, dont on fait les cuves de méthaniers.
3.7 Bilan intermédiaire

● Supposons notre matériau dans état connu : on connaît donc

► ses variables internes $V_k$

► par (VAS,VAT,VAV), ses forces thermodynamiques associées $A_k$

● Supposons une évolution mécanique ; on connaît ($\dot{\epsilon}$, $\dot{q}_e$), il faut trouver $\dot{T}$, $\dot{V}_k$ :

● si la transformation est réversible alors :

► $\dot{V}_k = 0$

● si la transformation est irréversible alors :

► on sait juste que l'on doit avoir $A_k \dot{V}_k > 0$ (DIS)

► il nous manque encore des équations d'évolution pour trouver les $\dot{V}_k$

● Une fois les $\dot{V}_k$ trouvées, l'élévation de température $\dot{T}$ est donnée par CHA. Donc, on va dorénavant se concentrer sur des problèmes isothermes.
# Plan

1. 1 Variables et énergies

2. 2 Dissipation thermique

3. 3 Equation de la chaleur

4. 4 Équations d'évolution

* 4.1 Potentiel de dissipation

* 4.2 Phénomènes dissipatifs linéaires

* 4.3 Examples

* 4.4 Point d'étape

5. 5 Matériaux standard generalisés

6. Bibliographie
# 4 Équations d'évolution

## 4.1 Potentiel de dissipation

* Afin de définir le flux $\dot{V}_k$ des variables d'état dissipatives en fonction des forces thermodynamiques associées $A_k$, on peut se doter d'un potentiel de dissipation $F$, fonction des $A_k$. On postule que :

$$ \dot{V}_k = \frac{\partial F}{\partial A_k} \qquad (\text{POD}) $$

* Afin de garantir la positivité de la dissipation intrinsèque ($\dot{q}_{i1} > 0$), $F$ est convexe et les iso-$F$ contiennent l'origine.

* $F$ obéit au relations de symétries d'Onsager (1931, Nobel 1968) :

$$ \frac{\partial^2 F}{\partial A_k \partial A_l} = \frac{\partial^2 F}{\partial A_l \partial A_k} \qquad (\text{ONS}) $$
Illustration de la positivité de la dissipation intrinsèque :

$$ 
\begin{aligned}
\dot{q}_{i1} &= A_k \dot{V}_k \\
&= A_k \frac{\partial F}{\partial A_k}
\end{aligned}
 $$

est semblable à un produit scalaire dans l'espace des $A_k$, et $\partial F / \partial A_k$ est la normale à une iso-potentielle ($F$ =cste) dans cet espace. Ce terme positif car $F$ =cste est convexe et contient l'origine :

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure – Dissipation positive (g.) ou pas (c. et d.)</figcaption></figure>
## 4.2 Phénomènes dissipatifs linéaires

* Si le potentiel de dissipation est une forme quadratique :

$$F(A_1, \dots, A_n) = \frac{1}{2} A_p \kappa_{pq} A_q$$

* alors les flux sont des fonctions linéaires des forces :

$$\dot{V}_k = \frac{\partial F}{\partial A_k}$$

$$\dot{V}_k = \kappa_{kl} A_l$$

* la relation d'Onsager se résume à la **symétrie** :

$$\kappa_{kl} = \kappa_{lk}$$

* et la positivité de la dissipation correspond à $\kappa_{kl}$ **définie positive** (ses valeurs propres sont $> 0$).

* Si la matrice $\kappa_{kl}$ est diagonale, il y a découplage des dissipations.
## Example (Quelques phénomènes physiques dissipatifs)

<table><thead><tr><th>Domaine</th><th>A<sub>k</sub></th><th>V<sub>k</sub></th><th>V&#x0307;<sub>k</sub></th><th>&kappa;</th></tr></thead><tbody><tr><td>Électricité</td><td>U</td><td>Q</td><td>I</td><td>1/R</td></tr><tr><td>Amortisseur</td><td>F</td><td>X</td><td>V</td><td>1/&eta;</td></tr><tr><td>Fluide newtonien</td><td>&tau;</td><td>&gamma;</td><td>V&#x0307;</td><td>1/&mu;</td></tr><tr><td>Loi de Darcy*</td><td>-grad(p)</td><td></td><td>v</td><td>k</td></tr></tbody></table>

* : diffusion de fluide dans un milieu poreux

## Example (Couplage électro-osmose et électro-filtration)

$$ \mathbf{v} = -k \mathrm{grad}(p) + \kappa_{12} \mathrm{grad}(V) $$

$$ \mathbf{i} = \kappa_{21} \mathrm{grad}(p) + \sigma^0 \mathrm{grad}(V) $$

où $p$ est la pression, et $V$ le potentiel électrique, $\mathbf{v}$ la vitesse de l'eau et $\mathbf{i}$ le courant. La relation d'Onsager $\kappa_{12} = \kappa_{21}$ a été vérifiée expérimentalement (2002, K. Beddiar et coll., CrAS, pp. 893-898)
## 4.3 Examples

### Example (Visco-Plasticité d'Odqvist 1D isotherme, transfo. OA)

* V. d'état : ($\varepsilon$, $V_1 = \varepsilon^P$), V. associées ($\sigma$, $A_1 = \sigma$)

* Le potentiel de dissipation est :

$$F = \frac{\lambda}{m+1} \left( \frac{|\sigma|}{\lambda} \right)^{m+1}$$

il est objectivement convexe et les iso-$F$ contiennent l'origine.

* Depuis POD, on en déduit :

$$\dot{\varepsilon}^P = \left( \frac{|\sigma|}{\lambda} \right)^m \operatorname{sgn}(\sigma)$$

qui justifie l'allure proposée page vp1d, en $\varepsilon^P = at$ avec $a = \text{cst}$ si $\sigma = \text{cst}$

* Ce modèle d'Odqvist (1934), en 1D, est maintenant complet
4.4 Point d'étape

* Le cadre proposé permet de décrire la plupart des phénomènes physiques de dissipation. Nous utiliserons un potentiel de dissipation en viscoplasticité.

* Cependant, la plasticité et l'endommagement n'entrent pas dans ce cadre. En effet, ils font intervenir une surface seuil, à l'intérieur de laquelle les transformations sont réversibles et sur laquelle les transformations irréversibles ont lieu.

* Pour cette raison, le formalisme des matériaux standard généralisés a été développé (Halphen et Quoc Son, 1975)
# Plan

1. 1 Variables et énergies

2. 2 Dissipation thermique

3. 3 Equation de la chaleur

4. 4 Equations d'évolution

5. 5 Matériaux standard généralisés

* 5.1 Surface seuil et consistance

* 5.2 Principe de dissipation maximale

* 5.3 Normalité

* 5.4 Matériaux standard généralisés associés

* 5.5 Matériaux standard généralisés non-associés

6. Bibliographie
# 5 Matériaux standard généralisés

## 5.1 Surface seuil et consistance

* La surface seuil est une fonction convexe des forces thermo-dynamiques, à l'exception de S qui n'intervient généralement pas :

$$f(A_k) \le 0$$

$$\dot{q}_{i1} = 0 \iff f < 0 \qquad (\text{SSE})$$

$$\dot{q}_{i1} > 0 \iff f = 0$$

Puisque

* $\dot{q}_{i1} = 0$ : les transformations réversibles (élastiques)

* $\dot{q}_{i1} > 0$ : les transformations irréversibles (plastiques, visqueuses...)

* Les transformations irréversibles se produisent donc avec $f \equiv 0$, c'est à dire $df = 0$, qui entraîne la relation de consistance :

$$\frac{\partial f}{\partial A_k} \dot{A}_k = 0 \qquad (\text{CONS})$$
* Le fait que $f \equiv 0$ durant la transformation irréversible, ainsi que l'équation de consistance, se retrouvent dans cette illustration :

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

on verra que $dV_k$ est normal à la surface, mais $dA_k$ ne l'est pas forcément.

* Nous verrons que les critères employés sont très souvent basés sur le critère de Von Mises $||\sigma^D||$, la norme euclidienne du déviateur des contraintes.
## 5.2 Principe de dissipation maximale

* Le principe de dissipation maximale [Hill, 58], [Ziegler, 63], [Nguyen, 84], [Francfort, 98], stipule que, parmi toutes les évolutions possibles, le système choisit celle qui dissipe le plus.

* Ce principe n'a jamais été démontré mais n'a jamais été mis en défaut, dans aucun domaine de la physique ou de la chimie

* Si l'on reprend le bilan d'énergie FRAN, on comprend que, toutes choses égales par ailleurs, minimiser l'énergie libre de Helmholtz revient à maximiser la dissipation.

$$ \delta w_e = de_c + \underbrace{dq_{i1}}_{\max} + \underbrace{\rho d\psi}_{\min} + \rho s T $$

Cela se rapproche du principe classique de minimisation de l'énergie.
## 5.3 Normalité

* L'évolution $\dot{V}_k$ se fait donc pour les $A_k$ qui maximisent la dissipation $\dot{q}_{i1}$, sous la contrainte (au sens mathématique) $f \equiv 0$

* On pose un lagrangien, où le multiplicateur de Lagrange est $-\dot{\lambda}$ et que l'on transforme avec DIS

$$L(A_k, \dot{\lambda}) = \dot{q}_{i1} - \dot{\lambda}f(A_k)$$

$$L(A_k, \dot{\lambda}) = A_k \dot{V}_k - \dot{\lambda} f(A_k)$$

* de $\partial L / \partial A_k = 0$ on déduit l'équation de normalité :

$$\dot{V}_k = \dot{\lambda} \frac{\partial f}{\partial A_k} \qquad (\text{NORM})$$

* de $-\partial L / \partial \dot{\lambda} = 0$ on retrouve $f \equiv 0$, l'équation de consistance (CONS) qui permettra de calculer $\dot{\lambda}$.
<figure><img src="image_15.png" /></figure>

* Si le multiplicateur plastique (ou de Lagrange) $\dot{\lambda} > 0$

* et si la surface seuil est convexe et contient l'origine, alors :

$$ \dot{\lambda} A_k \frac{\partial f}{\partial A_k} = A_k \dot{V}_k > 0 $$

alors la dissipation intrinsèque $\dot{q}_{i1}$ est positive (et maximale).
## 5.4 Matériaux standard généralisés associés

L'ensemble est le formalisme des matériaux standard généralisés associés, utilisé en plasticité résumé ci-dessous :

* L'évolution des variables d'état est donnée en direction par NORM

$$dV_k = \frac{\partial f}{\partial A_k} d\lambda$$

* et en intensité par la consistance CONS

$$\frac{\partial f}{\partial A_k} dA_k = 0$$

* L'équation de la chaleur CHA donne l'élévation de température

* Le lien entre V.E. et V.A. est donné par les équations d'état (VAS, VAT, VAV)
## 5.5 Matériaux standard généralisés non-associés

* Dans certains cas, on souhaite que le flux soient de direction normale à un pseudo-potentiel de dissipation $F(A_k)$, distinct de la surface de charge.

* l'équation de normalité généralisée est alors :

$$ \dot{V}_k = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial A_k} \qquad (\text{NORG}) $$

* tandis que l'équation de consistance CONS qui traduit $df = 0$ ne change pas :

$$ \frac{\partial f}{\partial A_k} \dot{A}_k = 0 $$
* La dissipation thermique intrinsèque est alors :

$$ 
\begin{aligned}
\delta q_{i1} &= A_k \dot{V}_K \\
&= \dot{\lambda} A_k \frac{\partial F}{\partial A_k}
\end{aligned}
 $$

et est positive si les iso-$F$ contiennent l'origine et sont convexes (voir l'illustration de la planche 48), et si le multiplicateur de Lagrange (ou multiplicateur plastique) $\dot{\lambda} > 0$.

* le déroulement du calcul est pour le reste commun avec les matériaux standard généralisés associés
Résumé sur les matériaux standard généralisés

* Variables dissipatives $V_k$ et forces thermo. associées $A_k$

* Énergie libre de Gibbs

$$ \rho\Psi(V_k), \quad \sigma = \frac{\partial\rho\Psi}{\partial\epsilon} \quad A_k = -\frac{\partial\rho\Psi}{\partial V_k} $$

* Fonction de charge $f(A_k)$. Équation de consistance

$$ \frac{\partial f}{\partial A_k} dA_k = 0 $$

* Potentiel $\bar{F}(A_k)$ ou pseudo-pot. $F(A_k)$ de dissipation

$$ \dot{V}_k = \frac{\partial \bar{F}}{\partial A_k} \quad \text{ou} \quad dV_k = \frac{\partial F}{\partial A_k} d\lambda $$

* Dissipation thermique intrinsèque

$$ \dot{q}_{i1} = A_k \dot{V}_k \ge 0 $$
# Plan

1. 1.1 Variables et énergies

2. 1.2 Dissipation thermique

3. 1.3 Equation de la chaleur

4. 1.4 Equations d'évolution

5. 1.5 Matériaux standard généralisés

6. Bibiliographie
# Biblographie

* A. Chrisochoos. *Effets de couplage et effets dissipatifs accompagnant la déformation des matériaux solides*, 7e École d'été de Mécanique Théorique, Quiberon, 2018

* G. Cailletaud et coll., *Cours de Mécanique des Matériaux Solides*, Mines ParisTech

* J.J. Marigo, *Cours de Thermodynamique III*, Sorbonne Université

* P. Germain, P., Q. S. Nguyen et P. Suquet, *Continuum Thermodynamics*, J. of Appl. Mech., 50, 1983

* B. Halphen et Q. S. Nguyen *Sur les matériaux standard généralisés*, J. de Mécanique, 14, 1975

* D. Kondepudi et I. Prigogine, *Modern Thermodynamics. From heat engine to dissipative structures*, Wiley, 1998
* G. D. C. Kuiken, *Thermodynamics of irreversible process, Applications to Diffusion and Rheology*, Wiley

* J. Lemaitre, *A course on Damage Mechanics*, Springer, 1996

* G. Vidal, G. Dewel et P. Borckmans, *Au delà de l'équilibre*, Hermann, 1994

* A. Zaoui, *Comportement Mécanique des Matériaux Hermes*, 1991

* F. Sidoroff, http://sitasido.ec-lyon.fr/accueil.php