Séance 6, 13 et 15 Décembre 1994 : TD en demi-classe.

- Exercice 1. Résoudre a) $|y| = 3$ ; b) $|y| \le 3$ ; c) $|y| = 6$ ; d) $|y| \le 4$.

- Exercice 2. Résoudre a) $|2x-1| = 3$ ; b) $|2x-1| \le 3$ ; c) $|-4x+2| = 6$ ; d) $|-3x+2| \le 4$.

- A partir de l'écriture des solutions pour le premier, on remplace y par ce qu'il faut pour trouver les solutions du 2ème.

- Elle conclut en disant "je ne vous en donnerai pas plus de ce genre là. Je voulais seulement vous montrer qu'avec la géométrie on pouvait résoudre quand il y avait x ou y tout seuls mais que quand il y a 2x ou des choses comme ça c'est plus difficile avec la géométrie alors on utilise y". Elle annonce ensuite "Notre chapitre s'appelait valeur absolue et encadrements, on va passer aux encadrements et faire des exercices avant de le mettre dans le cours".

- résolution de $|x-2| \le 0,1$ et introduction du vocabulaire : "2 est une valeur approchée de x à 0,1 près"

- si $3 \le x \le 3,01$ "3 est une valeur approchée de x par défaut

- elle sollicite les élèves pour l'autre cas. Eric propose $2,9 \le x \le 3$ et dit "3 est une valeur approchée de x par excès

- traduction du langage "valeur approchée" dans les langages "valeur absolue", "encadrements".:

*1,63 est une valeur approchée de x au centième près"

* -0,35 est une valeur approchée de x à 3 10⁻² près.

* 0,43 est une valeur approchée de x à 10⁻² près.

* 0,55 est une valeur approchée de x par défaut à 10⁻² près.

* 3,15 est une valeur approchée de π par excès à 10⁻² près.

Séance 7, 15 Décembre 1994 : classe entière

a) cours

- précision sur le cours précédent : <u>**a et r sont donnés**</u>, et usage des mathématiciens à propos des lettres du début ou de la fin de l'alphabet.

- Inéquations $|x| \le r \quad r \ge 0$ et $r$ donné.

- propriétés de la valeur absolue :

* Quel que soit x, $|x|^2 = x^2$.

* $\sqrt{x^2} = |x|$

* Théorème préliminaire. Deux nombres qui ont le même carré sont égaux ou opposés.

* Conséquence. Si deux nombres positifs ont les mêmes carrés, alors ils sont égaux.

* $|xyl| = |x| |yl| \quad ; \quad |\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|yl|} \quad ; \quad |x+yl| \le |x| + |yl|$

Toutes les propriétés sont démontrées, la première par disjonction de cas, les autres en se servant des propriétés déjà démontrées.

- Encadrements : définitions de "a est une valeur approchée de x à r près", "a est une valeur approchée de x par défaut à r près", "a est une valeur approchée de x par excès à r près".

b) Exercice numéro 44 page 222.

En utilisant l'encadrement $1,732 < \sqrt{3} < 1,733$, encadrez chacun des nombres suivants :

$$2 + \sqrt{3} ; 1 - 2\sqrt{3} ; \frac{2 - 3\sqrt{3}}{5}.$$

Séance 8, 16 Décembre 1994 : classe entière

- Correction de l'exercice ci-dessus. A ce propos rappel sur le produit des termes d'une inégalité par un nombre négatif, placements sur un axe gradué.

- exercice n° 46. Encadrez l'aire d'un rectangle dont les dimensions des côtés à la précision d'un millimètre sont 10 cm et 5 cm. Non traité, seules les données sont expliquées.

- cours sur les inégalités illustré par l'exemple précédent :

* si $a \le b$ et si $x \le y$ alors $a+x \le b+y$, ce qui permet d'encadrer le périmètre du rectangle,

* si $0 \le a \le b$ et si $0 \le x \le y$ alors $0 \le ax \le by$, ce qui permet d'encadrer l'aire du rectangle.
Valeur approchée de l'aire : on trouve $48,51 \le A \le 51,51$. Un élève propose $50,01$ à $1,5$ près, ce qui correspond exactement à ce qu'on faisait jusque là dans la traduction encadrement/intervalle. P. explique que ce n'est pas ce qu'on fait dans la pratique, on prend une valeur plus agréable, quitte à perdre de l'information. Elle propose $50$ à $1,6$ près. Une élève proteste parce qu'alors $51,55$ pourrait convenir, ce qui n'est pas le cas. Malgré l'explication du professeur : si on agrandit l'intervalle, il n'y a pas de problème, l'élève semble peu convaincue.

- Exercice 47 cherché par les élèves non corrigé :

ABCD est un trapèze de bases [AB], de hauteur [DH] (figure fournie). Les mesures à 1 mm près sont AB = 10,2 cm, CD = 6,4 cm, Dh = 3,1 cm.

Donnez une valeur approchée de l'aire du trapèze.

Séance 9, 20 Décembre 1994 : classe entière

- Correction de l'exercice à faire à la maison : n°45 p. 222

En utilisant les encadrements suivants $1,414 < \sqrt{2} < 1,415$ et $1,732 < \sqrt{3} < 1,733$, encadrez chacun des nombres suivants :

$$ \sqrt{3} = \sqrt{2} ; 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} ; \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{2}}{2} . $$

- autre exercice : $4 \le x \le 8$ et $2 \le y \le 32$. Encadrer x - y.

Conclusion : on met une étape intermédiaire : $x - y = x + (-y)$.

- Avec les mêmes données, encadrer xy et $\frac{x}{y}$.

On écrit dans le cours: pour encadrer x - y, on encadre d'abord -y ; pour encadrer $\frac{x}{y}$ on encadre d'abord $\frac{1}{y}$ et on écrit l'exemple pour $\frac{1}{y}$ : $0 \le y \le 32$ ; on divise tout par y :

$0 \le 1 \le \frac{32}{y}$, ensuite on divise par 32 : $0 \le \frac{1}{32} \le \frac{1}{y}$ puis de l'autre côté $y \ge 2$ donc $\frac{2}{y} \le 1$ donc $\frac{1}{y} \le \frac{1}{2}$. On résume en disant que si $2 \le y \le 32$, on a $\frac{1}{32} \le \frac{1}{y} \le \frac{1}{2}$ ou encore " quand on prend les inverses de 2 nombres positifs, le plus grand des nombres a l'inverse le plus petit" : si $y \le 32$ alors $\frac{1}{y} \ge \frac{1}{32}$.

La séance (dernière avant les vacances de Noël) se termine en demandant à quelques élèves ce qu'ils ont appris aujourd'hui.

- Exercices à faire pour la rentrée : n° 55 et 56 p. 223.

55. Déterminez un encadrement de $\frac{1}{x}$ à l'aide de nombres décimaux à une décimale.

L'encadrement devra avoir la plus faible amplitude possible : $0,47 \le x \le 0,51$.

56 Déterminez un encadrement de $\frac{x}{y}$ à l'aide de nombres décimaux à une décimale.

L'encadrement devra avoir la plus faible amplitude possible : $1,1 \le x \le 1,2$ ; $0,5 \le y \le 0,6$.

Les exercices sont corrigés le 5 Janvier.

A partir du 5 janvier début de la notion de fonction.

Contrôle le 17 janvier : la moitié du contrôle porte sur valeur absolue, encadrements, l'autre sur le début de la notion de fonctions.

2 versions : droite, gauche (voir textes en annexe 4)

Fonction valeur absolue entre le 24 janvier et le 6 Février.
Séance 10, T.D. des 24 et 26 janvier :

- Correction du contrôle 4 dans lequel il y avait à résoudre |x-3| = |x+1| et |x-3| ≤ |x+1| dans une des versions.

- A la fin, le professeur fait écrire "Fonction valeur absolue" dans le cahier de cours f: x → |x| Df = R et demande de tracer le graphe.

- Ecriture dans le cahier de la parité et de la définition par cas (x ≥ 0, x ≤ 0) pour justifier l'alignement.

Séance 11 : Cours du 26 janvier

- Correction d'exercices sur le sens de variation des fonctions affines et du second degré.

- fin du cours sur la V.A.

* expression de |x| "sans les barres" dans un tableau

* exemples d'autres fonctions utilisant la V.A. : g(x) = |x-3| : représentation graphique et expression "sans les barres" dans un tableau.

- à chercher pour mardi

* h(x) = |x+1| : courbe et expression "sans les barres".

* f(x) = -x² + 4 : courbe, tableau de variation et démontrer que f est décroissante sur [0, +∞[ et croissante sur ]-∞, 0].

Séance 12, T.D. des 31 janvier et 2 Février :

"Monsieur Dupont version 2" 1ère partie jusqu'à l'expression de la fonction (texte VA 5' de la classe A)

Séance 13, T.D. des 6 et 9 Février :

"Monsieur Dupont" 2ème partie : tableau d'expression de la fonction "sans les barres" et représentation graphique.

Reprise dans l'autre hypothèse.

Total : environ 13 heures + 1h pour le contrôle.
### 3. Professeur C 1994-1995.

#### Emploi du temps :

Modules : mercredi 10h-11h30 par demi classe.

T.D. : Jeudi 8h à 9h pour un groupe, 13h à 14h pour l'autre.

Cours : jeudi 14h à 15h et vendredi 13h à 14h30.

#### Déroulement de l'enseignement de la valeur absolue.

*Séance 1. 26 janvier. T.D. d'introduction à la valeur absolue.*

La feuille de T.D. "Valeur absolue d'un nombre réel" commence par la définition algébrique de la valeur absolue et continue avec 5 exercices qui vont être traités sur plusieurs séances.

Nous la reproduisons dans l'encadré qui suit :

##### Valeur absolue d'un nombre réel

###### Définition

Soit a un nombre réel, on appelle "valeur absolue de a" (et on note $|a|$) le nombre réel égal à a lorsque a est positif, le nombre réel opp(a) (ou -a) lorsque a est négatif.

c'est-à-dire : $|a| = a$ si a est positif

$$|a| = -a \text{ si a est négatif}$$

###### Applications

$$1. \text{ Exprimer les nombres suivants sans le symbole } | \text{ :} \\ 
\begin{array}{rcl} 
|2| & = & ; |2-1| = ; |2,7| = ; |7-5,1| = ; |3-\sqrt{5}| = ; |3-\sqrt{14}| = \\ 
|\frac{5}{7}-2| & = & ; |4-\frac{9}{2}| = ; |6+\frac{5}{4}| = 
\end{array}$$

2. x est un élément de R ; comment peut-on écrire le nombre $|x-3|$ sans le symbole $|$ ?
Même question pour $|2x+1|$, pour $|5-3x|$

3. Représenter graphiquement les fonctions suivantes :

$$f : x \longrightarrow |x-3|; \quad g : x \longrightarrow |2x+1|; \quad h : x \longrightarrow |5-3x|$$

4. Résoudre les équations, inéquations :

$$\begin{cases} |x-3| = 2 \\ |x-3| \le 2 \\ |2x+1| = -1 \\ |2x+1| > -1 \\ |5-3x| = 4 \\ |5-3x| \le 4 \end{cases}$$

5. Représenter la "fonction de référence" $f : x \longrightarrow |x|$

La définition est donnée et les incompréhensions de la définition se manifestent aussitôt. La plupart des élèves (dont de très bons élèves) font beaucoup d'erreurs. Certains enlèvent purement et simplement les barres, d'autres font bien $|-2| = 2$ mais écrivent

$$\frac{5}{7} - 2| = \frac{5}{7} + 2 \text{ ou } |3 - \sqrt{5}| = 3 + \sqrt{5}.$$

Au bout de 10 minutes, le professeur fait une mise au point, rappelle la définition en disant que la valeur absolue est égale au nombre ou à son opposé et que pour prendre l'opposé d'une différence, il faut prendre l'opposé de chacun des termes. Elle envoie des élèves au tableau pour corriger collectivement l'exercice 1 et fait réécrire au premier la définition sous la forme $|a| = a \text{ si a est positif, } |a| = \text{opp a si a est négatif.}$

Pour l'exercice 2, le premier exemple a l'air de se traiter assez facilement mais le deuxième pose davantage de problèmes. Une élève par exemple commence à distinguer $x > 0$ ; après question, il semble qu'elle pense que $2x + 1$ positif pour $x > 0$ (et donc $2x + 1$ négatif pour $x < 0$).

Pour la correction de l'exercice 2 ($|x - 3|$) au tableau, le professeur suggère de recourir au tableau de signes qui a été abondamment utilisé dans les séances précédentes pour étudier le signe de produits.
*Les cours des 26 janvier et 27 janvier* portent sur les fonctions de référence :
fonctions affine, affine par morceaux, carré, cube, fonction racine carrée et fonction inverse et interrogation surprise d'une demi-heure sur les fonctions.

**Séance 2. TD du 2 février : suite de la feuille de T.D.**
Institutionnalisation de deux méthodes pour tracer la représentation graphique de $Ix-3I$ : 1) on sait qu'on a deux demi-droites (mise en rapport avec les intervalles infinis), on prend le point (3,0) commun aux deux demi-droites et un point sur chaque ; 2) on trace la droite $y = x-3$, on garde la partie où $y > 0$ et le symétrique du reste par rapport à Ox.

Les élèves traitent ensuite les autres exemples.

**Séance 3. Cours du 2 février**
Résolution des équations : sur $Ix-3I = 2$, institutionnalisation de deux méthodes, celle du tableau et la méthode graphique avec commentaires sur l'intérêt et les inconvénients éventuels, annonce d'une 3ème méthode qui n'a été rencontrée que par un des groupes et qui est reportée à la semaine suivante.

Résolution des inéquations $Ix-3I \le 2$ en commençant cette fois par la méthode graphique. Pour la méthode du tableau, il faut regarder les cas et réunir les intervalles.

Cas $|2x+1| = -1$, 3 méthodes : si on est malin réponse immédiate, méthode graphique et méthode algébrique traitée quand même tout en insistant sur le fait que c'est inutile de la faire mais parce qu'ils vont voir quelque chose (en fait qu'il faut être vigilant sur l'intervalle de validité des équations, ce qui sera particulièrement important dans le cas des inéquations et dans le cas où on a des x des deux côtés.

Inéquation $|2x+1| > -1$; mêmes remarques.

Pour $|5-3x|$ méthode graphique mais avec résolution algébrique des équations pertinentes pour avoir les solutions exactes. Inéquation $|5-3x| \le 4$ par la méthode graphique "parce qu'on connaît déjà les bornes" bien que l'élève interrogée ait proposé le tableau.

Pas de cours le 3 février

**Séance 4, TD du 9 février : suite de la feuille de T.D.**
Correction de l'exercice donné le 2/2/95. Dans le groupe 10 élèves ont utilisé le tableau et 5 la méthode graphique. Correction du tableau puis de la méthode graphique : pour cette dernière les équations des demi-droites sont écrites sur le graphique et ce dernier sert à sélectionner les bonnes équations qui sont résolues algébriquement de façon à trouver les solutions exactes.

"Le graphique me dit combien il y a de solutions et quelles équations il faut résoudre si j'ai pris soin d'écrire les équations sur chacune des demi-droites. Il nous aide à faire du travail utile et à ne pas faire du travail inutile".

Les élèves font encore la représentation graphique de $IxI$ qui sera portée dans le cahier de cours puis commencent des exercices sur les fonctions.

**Séance 5 : Cours du 9 février**
Correction d'exercices sur les fonctions qui n'étaient pas terminés dans le groupe 2.

Exercice n°41 et 42 p. 148 du livre.

Il s'agit de trouver les points d'un axe gradué qui vérifient certaines relations.

$Ix-2I + |x+4| = 6$ ; $Ix-2I + |x+4| = 8$ ; $Ix-2I + |x+4| = 4$ pour l'exercice 41 et $Ix-2I = 2|x+4|$ ; $2Ix-2I = |x+4|$ ; $Ix-2I \le |x+4|$ ; $2Ix-2I \le |x+4|$ pour l'exercice 42.

Les élèves sont un peu déroutés ; la première question est corrigée par la méthode du tableau.

Le professeur précise que ce n'est pas terminé qu'il faut donner une réponse en termes de points et que tout l'exercice est un peu comme cela et qu'ils verront plus tard s'ils peuvent le résoudre autrement.

10 février : contrôle n° 5 (voir plus loin)

Les observations s'arrêtent là (reprise des cours du second semestre à Paris 7). Total : 5 heures observées. La partie sur les encadrements et les intervalles n'a pas été observée.
### 4. Professeur D. 1994-1995.

Emploi du temps :

T.D.-module : mardi 15h à 17h pour un groupe, mercredi 8h à 10h pour l'autre.

Cours : vendredi de 13h à 15h.

*Séance 1. 24 (ou 25) janvier. T.D. d'introduction à la valeur absolue.*

Déroulement observé du mardi 24 janvier 1995. T.D. groupe 1.

Présentation à partir de la distance : villes de la vallée du Rhône puis représentation sur un axe gradué (voir feuille n°1).

Les élèves travaillent sur le classeur sous le titre "Introduction à la valeur absolue". Le professeur est obligé d'intervenir auprès de chaque groupe d'élèves pour qu'ils utilisent les abscisses pour le c) plutôt que les données et la carte. Comme il n'y a pas de point hors du dessin, les élèves n'ont en effet aucune raison de ne pas se servir de la carte. Les élèves travaillent individuellement ou par deux et le professeur corrige auprès de chacun.

- Après 30 minutes, le professeur demande aux élèves de prendre le cahier de cours et fait le cours, en écrivant presque tout au tableau. La distance entre nombres est définie à partir de la distance entre points sur la feuille de T.D. mais il en va autrement dans le cahier de cours.

Voici ce qu'ont pu copier les élèves (avec entre parenthèses quelques interventions orales fortes et parfois susceptibles d'être notées aussi).

## Chapitre 5. Valeur absolue. Distance. Encadrement.

### I. Distance et valeur absolue.

#### a) Distance entre deux réels.

La distance entre deux réels $x$ et $a$ se calcule par la différence entre le plus grand et le plus petit de ces nombres.

$$d(x,a) = x - a \quad \begin{array}{l} \text{si } x \ge a \\ \text{si } x \le a \end{array}$$

Lorsque $x = a$, $d(a,a) = 0$.

(Elle appelle l'attention et annonce oralement qu'on va prendre une notation plus condensée)

$$d(x,a) = |x - a \text{ "valeur absolue de } x - a"$$

$$\text{Exemple } d(x,1) = |x - 1| = x - 1 \quad \begin{array}{l} \text{si } x \ge 1 \\ \text{si } x \le 1 \end{array}$$

#### b) Interprétation géométrique.

Sur une droite graduée, le point $M$ a pour abscisse $x$, le point $A$ a pour abscisse $a$.

<figure><img src="image_49.png" /></figure>

$$d(x,a) = AM = |x - a|$$

#### c) valeur absolue d'un réel.

(Question : je vous ai dit $d(x,a) = |x - a|$, comment définir $|x|$ ? Des élèves proposent par la distance à 0)

$$|x| = |x - 0| = d(x,0)$$

(Et, pour la calculer, comment faire ? N'écrivez pas maintenant)

$$|x| = d(x,0) = x - 0 \quad \begin{array}{l} \text{si } x \ge 0 \\ \text{si } x \le 0 \end{array}$$

<figure><img src="image_50.png" /></figure>

(Notez)

**Définition** : la valeur absolue d'un réel $x$, notée $|x|$ est la distance entre les réels $x$ et $0$.

$$d(x,0) = x \quad \begin{array}{l} \text{si } x \ge 0 \\ \text{si } x \le 0 \end{array}$$
Exemples : $|\frac{3}{7}| = \frac{3}{7}$ ; $|-5| = 5$ ; $|1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1$.

Ce dernier exemple pose problème et attire des réponses comme $\sqrt{2}|$ et $1 + \sqrt{2}|$.

d) **Conséquences immédiates de la définition**

1) La distance entre deux réels est un **réel positif**.

$d(x,a) = |x - a|$ est un réel positif
$|x|$ est un réel positif.

2) $|x - a| = 0$ équivaut à $x = a$

$d(x,a) = 0$.

$|x| = 0$ équivaut à $x = 0$

3) La distance entre x et a est la même que la distance entre a et x

$d(x,a) = d(a,x) \quad |x - a| = |a - x|$

$d(x,0) = d(0,x) \quad |x| = |x-0|$

Deux réels opposés ont la même valeur absolue.

Dans le reste de la séance, les élèves doivent reprendre les exercices à partir du 6). Le
professeur demande de faire des dessins à partir du 7).

L'exercice 6 est corrigé au tableau. Les autres (7 et 8) sont à terminer pour vendredi en même temps qu'il faut apprendre le cours.

Séance 2. Cours du 27 janvier.

La séance commence par la correction d'un problème puis les élèves abordent la suite de la feuille n°2 sur valeur absolue jusqu'au tableau de la 3ème page que les élèves ont à terminer pour le 2 février, avec des insertions de cours dont nous reproduisons les grandes lignes.

Le cours porte sur

II. Valeur absolue et intervalles.

a est un réel donné quelconque, r est un réel donné qu'on prendra toujours positif.

Pour résoudre $d(x,a) = r$, le professeur fait appel au dessin puis demande comment cela se traduit en valeur absolue et fait écrire sur le cahier :

1) Quels sont les réels x qui sont à une distance r du réel a ? $d(x,a) = r$.

Il faut s'appuyer sur le dessin (fait) à partir duquel on obtient les points d'abscisses $a+r$ et $a-r$.

Chercher les x tels que $d(x,a) = r$ revient à déterminer les points M d'abscisse x tels que $AM = r$, ce qui se traduit avec une valeur absolue par :

$$|x - a| = r \text{ équivaut à } x = a + r \text{ ou } x = a - r \text{ où } r \text{ est un réel positif.}$$

Exemple proposés : $|x + 2| = 3$ ; $|x + 10| = -7$ ; $|x - 7| = 0$.

2) Quels sont les réels x dont la distance au réel a est inférieure à r ?

$d(x,a) \leq r \quad |x - a| \leq r$

De même, le professeur fait appel à l'utilisation du dessin pour placer $a - r$ et $a + r$ (distance

égale à r) pour passer aux écritures $a - r \leq x \leq a + r$ ou $x \in [a - r, a + r]$

Enoncé de l'équivalence des 4 écritures dans le cas où r positif.

Etiquetage : voilà ce qu'il y a à savoir faire.

Traitement de 2 exercices : résoudre $|x - 1| \leq 5$ ; traduire $x \in [-3, 7]$ à l'aide d'une valeur absolue.

Les élèves travaillent sur le tableau de la feuille n°3. Seule la première ligne est corrigée.

Séance 3. T.D. du 31 janvier (ou 1er février)

On commence par corriger les deux tableaux de la troisième page sur les valeurs absolues avant de continuer le cours (je reproduis ci-dessous presque tout ce qui est écrit au tableau).

III. Propriétés des valeurs absolues.

1) Réels de même valeur absolue.

$|x| = |y|$ équivaut à $x = y$ ou $x = -y$. Des réels de même valeur absolue sont égaux ou opposés.

En repartant de $|x| = x$ si $x \ge 0$ ..., le professeur examine les 4 cas possibles pour conclure à l'équivalence annoncée écrite aussi en français : deux réels de même valeur absolue sont égaux ou opposés, aussitôt appliquée à l'exemple par un élève au tableau :

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $|2x - 1| = |5 - x|$
On vérifie que les deux valeurs trouvées, -4 et 2 vérifient bien l'équation donnée.

2) Valeur absolue d'un produit et d'un quotient.

Propriété : $|xxyl| = |x| \times |yl|$.

La valeur absolue d'un produit de deux nombres est égale au produit des valeurs absolues de ces deux nombres.

$$ \frac{|x|}{|y|} = \frac{|x|}{|yl|} ; \quad \frac{|1|}{|y|} = \frac{|1|}{|yl|} $$

$$ |x^2| = |xxx| = |x \times |x| = |x|^2. $$

On vérifie que chacune des extrémités est égale à $x^2$.

3) Valeur absolue d'une somme.

Remplissage du tableau suivant par les élèves puis correction collective :

<table><thead><tr><th>x</th><th>y</th><th>|x|</th><th>|yl</th><th>|x| + |yl|</th><th>x+y</th><th>|x+yl|</th><th>conclusion</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>2</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>-1</td><td>-3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>2</td><td>-5</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>-3</td><td>1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Conclusion au tableau :

Propriété : $|x+yl| \le |x| + |yl|$ Inégalité triangulaire.

Distribution de la feuille de T.D. suivante que les élèves commencent à résoudre.

Pour les équations cela se passe à peu près bien malgré quelques erreurs du genre $|2x - 1| = 4$

ou $|2x - 1| = -4$ ou des erreurs dans la résolution des équations du premier degré comme $x - \frac{1}{2} = 2$ traduit en $x = \frac{2}{\frac{1}{2}}$ ; en revanche, pour les inéquations, les élèves remplacent massivement

$|3x - 6| \le 9$ par $3x - 6 \le 9$ ou $3x - 6 \le -9$.

Le professeur leur recommande d'utiliser la méthode du b).

Les élèves doivent chercher l'exercice 2 pour vendredi. Dans le deuxième groupe, le lendemain, la plupart des élèves ont traité l'exercice 2 en classe.

## Séance 4. Cours du 3 Février

Cours sur la fonction valeur absolue. Définition algébrique, représentation graphique.

Résolution graphique d'équations : $|x| = 3$ ; $|x| = -2$ ; $|x| = 0$.

Résolution d'inéquations : $|x| \le a$ équivaut à $-a \le x \le a$, traduction graphique.

Pour $|3x - 1| = 2$, le professeur introduit un changement de variable : $|X| = 2$ ... puis traite $|7x+3| = 1$ ; $|4x-5| \le 2$. Les élèves font ensuite l'exercice 3 qui est corrigé au tableau.

Le cours continue par V. Encadrements, valeur approchée d'un nombre.

Définitions des encadrements et diverses valeurs approchées puis encadrements d'une somme et d'un produit, avec des règles données généralement.

Pour la séance suivante les élèves doivent chercher l'exercice 4 et le n° 49 p. 158.

## Séance 5. T.D. du 7 (ou 8) février.

Correction de "la chasse au trésor". et de l'exercice 49 : -2,31 < x < -2,29 ; -3,25 < y < -3,24, encadrer la somme, la différence et le produit.

Les élèves traitent ensuite la feuille d'exercices. Les trois premiers ont vérifiés individuellement, les deux derniers sont corrigés au tableau.

Nous avons donné une description plus brève des séances 4 et 5 : le style est toujours le même et il ne semble pas y avoir de différence entre les séances de cours et de travaux dirigés, à part l'effectif. Le professeur écrit entièrement au tableau ce qui est à copier sur le cahier de cours.

Total : 10 heures.
## 1. La volée du Rhône

Dans la vie de tous les jours, le mot *distance* est fréquemment utilisé. Vous savez en particulier qu'une *distance* s'expère par un réel *spatial*: sur une carte on a lu les distances suivantes, en kilomètres:

<table><thead><tr><th></th><th>à Mâcon</th><th>à Châlon-sur-Saône</th><th>à Dijon</th></tr></thead><tbody><tr><td>De Lyon</td><td>68</td><td>125</td><td>192</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th></th><th>à Valence</th><th>à Avignon</th></tr></thead><tbody><tr><td>de Lyon</td><td>99</td><td>224</td></tr></tbody></table>

a) Calculer la distance entre Mâcon et Dijon, entre Avignon et Valence, entre Valence et Avignon, entre Valence et Mâcon.

<figure><img src="image_51.png" /></figure>

b) Avec les conventions ainssi faites, quelle est l'abscisse du point A (Avignon)? du point D (Dijon)? du point C (Châlon)?

c) Utiliser ces abscisses pour calculer les distances entre C et M, entre A et M, entre V et D, entre D et C. (On les notera CM ; AM ; VD ; DC )

d) Un véhicule X circule sur la route Dijon - Avignon. Sur la droite graduée on repère X par son abscisse x.

Calculer en fonction de x les distances entre X et A
entre X et V
entre X et L
entre X et D

<figure><img src="image_52.png" /></figure>

## 2. Distance et valeur absolue

Sur une droite graduée $\Delta$ les points O,A,B,C,D,E,F ont pour abscisses respectives : 0; 7; 4; -5; -3/2; 12; 1/2

Placez sur $\Delta$, les points précédents.

La distance entre A et B est : 7 - 4 = 3 ; On dit aussi que la distance entre A et B (ou entre 7 et 4) est 3. On note $AB = d(7;4) = 3$

<table><tr><td><u>définition</u>: On effelle distance entre les deux nombres réels x et y la distance MN où M et N sont les points d'abscises x et y sur une droite graduée. On note $d(x,y) = MN$</td></tr></table>

10) Calculer les distances entre $-\frac{3}{2}$ et 7 ; entre -5 et 12 ; entre 12 et -5 ; entre 4 et $-\frac{1}{2}$ ; entre $-\frac{3}{2}$ et -5 ; entre 4 et 0 ; entre 0 et -5.
(102)

2) Essayer d'en déduire une règle générale pour calculer $d(x; y)$

3) Soit le point M d'abscisse x sur la droite graduée B. On veut calculer la distance entre x et 4. Environs plusieurs cas:

$$ \frac{B - M}{4 - x} $$

$d(x, 4) =$

$$ \frac{M - B}{x - 4} $$

$d(x, 4) =$

$$ \frac{M - B}{x - 4} $$

$d(x, 4) =$

De manière condensée, la distance entre x et 4 est moindre $|x-4|$ (qui se lit « valeur absolue de x moins 4 ») ou $|4-x|$ (expliquez pourquoi)

4) Calculer la distance entre les réels x et -5 dans chacun des cas suivants :

$\frac{1}{x - 5}$ et $\frac{1}{x + 5}$, la distance à l'aide de la notation "valeur absolue"

5) Donnez toutes les interprétations possibles de $|x|$

6) $|x-12|$ décrigt la distance entre deux réels. Lesquels?

7) a) $|x-7|$ décrigt la distance entre deux réels. Lesquels?
b) Aidez-vous d'une droite graduée pour trouver tous les réels x tels que $|x-7|=5$

En procédant de la même façon, quels sont les réels x tels que : $|x-\frac{1}{2}|=2$ puis $|x+5|=1$ ?

8) a) Représentez sur une droite graduée l'ensemble des réels x tels que : $|x-4| \le 1$? Donnez un encadrement de x.

b) Même question avec $|x+2| \le 3$

c) Même question avec $|x| \le 2$

### 3. Valeur absolue et intervalles

Le réel x appartient à l'intervalle $[a; b]$ équivaut à $a \le x \le b$

Le milieu (ou centre) de l'intervalle $[a, b]$ est le réel $\frac{a+b}{2}$

La longueur de l'intervalle $[a, b]$ est le réel $b-a$

Le rayon (ou demi-longueur) de l'intervalle $[a, b]$ est le réel $\frac{b-a}{2}$

<figure><img src="image_53.png" /></figure>
4) Complète le tableau suivant : (les intervalles sont fermés)

<table><thead><tr><th>Intervalle</th><th>bornes</th><th>centre de l'intervalle</th><th>rayon de l'intervalle</th><th>droite des réels</th><th>Value absolue</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">x ∈ [-2; 5]</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="2">3 et 1</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1</td><td></td><td>3</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>-1</td><td></td><td>5/2</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>|x - 2| ≤ 3</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>|x| ≤ 4</td></tr></tbody></table>

2) Complète chaque ligne du tableau suivant :

<table><thead><tr><th>valeur absolue</th><th>distance</th><th>droite des réels</th><th>encadrement</th><th>intervalle</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">|x - 1| ≤ 3/2</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>d(x, 5) ≤ 9/2</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td rowspan="3">|x + 3/2| ≤ 2</td><td></td><td></td><td>1 ≤ x ≤ 4</td><td>x ∈ [-7; -2]</td></tr><tr><td></td><td></td><td>1,4 ≤ √2 ≤ 1,5</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>
ex1: Résolution d'équations et d'inéquations contenant des valeurs absolues

1) Sout l'équation $|2x-1|=4$

a) Résoudre cette équation en utilisant la propriété:
$$|x|=4 \quad \text{e'quivalent à } x=4 \text{ ou } x=-4$$

b) Établir l'égalité $|2x-1|=2|x-\frac{1}{2}|$. En déduire que l'équation $|2x-1|=4$ est équivalente à $d(x-\frac{1}{2})=2$. Résoudre cette dernière équation.

2) Reprendre les questions du 1) pour réoudre l'équation $|5+2x|=1$

3) Résoudre les inéquations: $|3x-6| \le 9$ puis $10.5x+2| \le 1$

ex2: La fonction valeur absolue

On considère la fonction $f: x \mapsto |x|$

1) Calculer $f(-3)$, $f(0)$ et $f(2)$ ; $f(1-\sqrt{2})$.
    * Si $x \in [0; +\infty[$, alors $f(x) =$
    * Si $x \in [-\infty; 0]$, alors $f(x) =$

2) Le plan est muni d'un repère orthonormal $(0, \vec{i}, \vec{j})$ (unités : 2cm).
Répeter graphiquement la fonction $f$ dans ce repère.

3) Résoudre, par le calcul, les équations suivantes : $|x|=3$ ; $|x|=-2$ ; $|x|<0$.
Retrouver ces résultats à l'aide de la représentation graphique de $f$.

4) Résoudre pour le calcul les inéquations suivantes : $|x| \le 1$ ; $|x| \ge \frac{7}{2}$.
Retrouver ces résultats à l'aide de la représentation graphique de $f$.

ex3: On considère la fonction $g: x \mapsto |x+2|$

1) Écrire $g(x)$ sans le symbole de valeur absolue.

2) Le plan étant muni d'un repère orthonormal $(0, \vec{i}, \vec{j})$, répéter graphiquement la fonction $g$ dans ce repère.

3) Résoudre, pour le calcul et graphiquement les équations suivantes :

$$|x+2|=3 \quad ; \quad |x+2|=-1 \quad ; \quad |x+2|=0$$

puis les inéquations : $|x+2| \le 3$ ; $|x+2| \le 2$ ; $|x+2| > 1$

ex4: "La chaine au trésor"

On vient de RETrouver un parchemin attribué à Rackham le piéot.
Sur ce parchemin figure le plan d'une île et le message que nous avons
traduit ainsi : "Sur la ligne qui parle par le cocohier et le mât, j'ai cécé
un trésor. Deux fois la distance du trésor au mât, plus tient faic la
distance du trésor au cocohier est égal à 65 pas. De plus, j'ai compté 30 pas
entre le mât et le cocohier"

1ère étape: mathématiser cette situation et choisir l'infinitude
Pour cela, on assimile la ligne dont il est question à une droite
graisse d'origine le point M (mâts) ; à cocohier au point C d'abside 30
l'emplacement du trésor à un point T d'abside x.

2ème étape : mettre cette situation en équation

3ème étape : résoudre l'équation

4ème étape : On peut se référer au trésor de Rackham le piéot ?

<figure><img src="image_54.png" /></figure>
ex1 : Résolution d'équations et d'inéquations contenant des valeurs absolues

1) Sout l'équation $|2x-1|=4$

a) Résoudre cette équation en utilisant la propriété :
$$ |x| = 4 \text{ et } -4 \text{ étant } x = 4 \text{ ou } x = -4 $$

b) Établir l'égalité $|2x-1| = 2|x-\frac{1}{2}|$. En déduire que l'équation $|2x-1|=4$ est équivalente à $d(x-\frac{1}{2})=2$. Résoudre cette dernière équation.

2) Reprendre les questions du 1) pour réoudre l'équation $|5+2x|=1$

3) Résoudre les inéquations : $|3x-6| \le 9$ puis $|0,5x+2| \le 1$

ex2 : La fonction valeur absolue

On considère la fonction $f: x \mapsto |x|$

1) Calculer $f(-3)$, $f(0)$ et $f(2)$ ; $f(1-\sqrt{2})$.

$f(1-\sqrt{2})$ : $\text{alors } f(0) =$

$f(0)$ : $\text{alors } f(x) =$

2) Le plan est muni d'un repère orthonormal $(0,\vec{i},\vec{j})$ (unité : 2cm).
Représentez graphiquement la fonction $f$ dans ce repère.

3) Résoudre, par le calcul, les équations suivantes : $|x|=3$ ; $|x|=-2$ ; $|x|=0$
Retrouver ces résultats à l'aide de la représentation graphique de $f$.

4) Résoudre par le calcul les inéquations suivantes : $|x| \le 1$ ; $|x| \ge \frac{7}{2}$
Retrouver ces résultats à l'aide de la représentation graphique de $f$.

ex3 : On considère la fonction $g: x \mapsto |x+2|$

1) Écrire $g(x)$ sans le symbole de valeur absolue.

2) Le plan étant muni d'un repère orthonormal $(0,\vec{i},\vec{j})$, répétez graphiquement la fonction $g$ dans ce repère.

3) Résoudre, par le calcul et graphiquement les équations suivantes :

$$ |x+2| = 3 \quad ; \quad |x+2| = -1 \quad ; \quad |x+2| = 0 $$

puis les inéquations : $|x+2| \le 3 \quad ; \quad |x+2| \le 2 \quad ; \quad |x+2| > 1$

ex4 : "La chaine au trésor"

On vient de RETrouver un parchemin attribué à Rackham le puige.
Sur ce parchemin figure le plan d'une île et le message que nous avons
traduit ainsi : "Sur la ligne qui parait par le cocotier et le matin, j'ai caché
un trésor. Deux fois la distance du trésor au matin, plus tôt fais la
distance du trésor au cocotier est égal à 65 pas. De plus, j'ai compté 30 pas
entre le matin et le cocotier".

1ère étape : mathématiser cette situation et choisir l'unique
Pour cela, on assimile la ligne dont il est question à unechose
gracieuse d'origine de print M (matin) ; la cocotier au point C d'abri ou 30
l'emplacement du trésor à un point T d'abri ou x.
2ème étape : mettre cette situation en équation

3ème étape : réoudre l'équation

4ème étape : Où peut se situer le trésor de Rackham le puige ?

<figure><img src="image_55.png" /></figure>
Exercices sur les valeurs absolues

ex1: Terme plus simplement, c'est à dire sans les barres de
valeur absolue: $|2-\sqrt{3}|$ ; $|3-\pi|$ ; $|0,5 - \frac{\sqrt{3}}{2}|$

ex2: Résoudre dans $\mathbb{R}$, les équations suivantes :

$$
\begin{array}{l}
|x-2|=3 \quad ; \quad |x|=7 \quad ; \quad |x+4|=\frac{1}{9} \quad ; \quad |5x-7|=|x-1| \\
2|3x+1|=5|x-1| \quad ; \quad |3x-5|=-3 \quad ; \quad |7x+4|=2 \quad ; \quad |2-x|=\frac{3}{2}
\end{array}
$$

ex3: Résoudre dans $\mathbb{R}$, les inéquations suivantes :

$$
|x-3| \le 2 \quad ; \quad |x| < 1 \quad ; \quad |2x-3| \le 5
$$

ex4: Donner un encadrement du nombre x dans chacun des cas suivants :

a) $x$ a pour valeur $v$ $v \le 0,5$ à $10^{-1}$ près

b) $-1,2$ est une valeur approchée à $0,7$ près de $x$

c) $-12,51$ est une valeur approchée par défaut à $10^{-2}$ près de $x$.

ex5: Complète le tableau :

<table>
  <tr>
    <td>5 &lt; x &lt; 8</td>
    <td>x &isin; ]5; 8[</td>
    <td>d(x; 13/2) &lt; 3/2</td>
    <td>|x - 13/2| &lt; 3/2</td>
  </tr>
  <tr>
    <td></td>
    <td>x &isin; ]-5; 9[</td>
    <td></td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td></td>
    <td></td>
    <td>d(x; -1) &lt; 0,1</td>
    <td></td>
  </tr>
  <tr>
    <td></td>
    <td></td>
    <td></td>
    <td>|x + 2| &lt; 1/4</td>
  </tr>
  <tr>
    <td>-1 &lt; x &lt; 2</td>
    <td></td>
    <td></td>
    <td></td>
  </tr>
</table>
# Annexe 4.

## Textes des contrôles

**Classe A. Contrôle n° 5** : voir texte original page suivante.

**Classe A. Contrôle n° 6** : 31 janvier 1995.

### Exercice 1 (7 points)

I) A et B sont deux points distants de 7cm.

1) Donner l'ensemble (E) des points M de la droite (AB) tels que : AM < MB.

2) Donner l'ensemble (F) des points N de la droite (AB) tels que : AN = 3 NB.

3) Donner l'ensemble (G) des points P de la droite (AB) tels que : AP = 3.

4) Donner l'ensemble (H) des points Q de la droite (AB) tels que : BQ ≥ 5.

II) (δ) est une droite graduée munie du repère (O, I). On donne les points et leurs abscisses : A(-4), B(3), C(-5), E(-7), F(-1/2) et G(3/2). Donner les distances suivantes : d(A,B), d(B,C), d(E,C), d(E,F) et d(F,G).

### Exercice 2 (10 points)

Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :

$$ |x - 2| = 3 $$

$$ |x + 5| < 3 $$

$$ |x + 7| = 6 $$

$$ |x - 1| = \frac{3}{2} $$

$$ |x - \frac{1}{2}| = 2 $$

$$ |x - \frac{5}{3}| > 1 $$

### Exercice 3 (8 points)

Le plan est muni du repère orthonormé (O, I, J). Placer les points suivants définis par leurs coordonnées dans le repère (O, I, J) : A(2,-1), B(4,2), C(0,-4), E(8,8), F(-1,-2) et G(1,1).

1) Calculer les coordonnées des vecteurs AB, AC et AE. Prouver qu'ils sont colinéaires. En déduire que les points A, B, C sont alignés.

2) Calculer les coordonnées du milieu H du segment [BE].

3) Prouver que FGAC est un parallélogramme.

### Exercice 4 (15 points).

Compléter le tableau suivant :

<table><thead><tr><th>valeur absolue</th><th>distance</th><th>centre</th><th>rayon</th><th>droite réelle</th><th>encadrement</th><th>intervalle</th></tr></thead><tbody><tr><td>$|x - \frac{1}{2}| \le 3$</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>$d(x,2) < 1$</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>$-1 \le x \le 3$</td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>$\frac{9}{2} \le x \le \frac{17}{2}$</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>$x \in [-4; 2]$</td></tr><tr><td>$|x| \le \frac{2}{3}$</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td>$-\frac{2}{7} \le x \le \frac{2}{7}$</td><td></td></tr></tbody></table>
Contrôle n° 5

Exercice 1 (17 points)

(O,I,J) est un repère orthogonal.

A / On donne la parabole (P), représentation graphique de la fonction f :

$x \mapsto x^2 + 6x + 5$

(voir feuille 1)

1) S' aider du graphique pour résoudre les équations et les inéquations suivantes :

a) $f(x) = 0$

b) $f(x) = 5$

c) $f(x) = -4$

d) $f(x) < 0$

e) $f(x) > 2$

f) $-3 < f(x) < 5$

( ne pas oublier d' indiquer votre méthode )

Retrouver par le calcul b) et c) .

2) Proposer une méthode pour résoudre graphiquement l' équation :

$x^2 + 6x + 5 = 2x + 5$

Donner les solutions.

B / On considère la fonction g définie par : $x \mapsto -x^2 + 5$

1) Sur le graphique précédent, construire la parabole (Q) représentation graphique de g

2) Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :

a) $g(x) = 1$

b) $g(x) = -4$

c) $g(x) = 0$

e) $g(x) < 1$

d) $g(x) > 0$

e) $-4 < g(x) < 4$

C / Résoudre graphiquement puis par le calcul : $f(x) > g(x)$.

Exercice 2(8 points)

ABC est un triangle. Soit Q le milieu de [AC]. R est défini par $\overrightarrow{BR} = 2 \overrightarrow{BC}$.

P est le point défini par : $\overrightarrow{PB} + 2 \overrightarrow{PA} = \vec{0}$.

1) Montrer que $\overrightarrow{AP} = 1/3 \overrightarrow{AB}$.

2) Montrer que $\overrightarrow{PR} = -4/3 \overrightarrow{AB} + 2 \overrightarrow{AC}$.

3) Exprimer $\overrightarrow{PQ}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et de $\overrightarrow{AC}$.

4) Montrer que les points P, Q et R sont alignés.

Exercice 3 (15 points)

Résoudre dans R les équations suivantes :

a) $(5x - 4)^2 - (3x + 7)^2 = 0$

b) $(x + 2)^2 = x^2 - 4$

c) $(2x - 3)(x + 1) = (x + 1)^2$

d) $(x - 3)^2 = (1 - 2x)^2$

e) $(2x - 7)(3x + 1) - (4x - 5)(2x - 7) = 0$

f) $x^2 + 2x - 3 = 0$

g) $(3x - 4)^2 = 3x - 4$

h) $x^2 - 5 = 0$
<table><tr><td>NOM</td><td>Prénom</td></tr></table>

(feuille 1)

Classe 2 13

Mardi 10 Janvier 1995

Contrôle n° 5 (suite)

Exercice 1 (dessin)

(O,I,J) est un repère orthogonal.

A / On donne la parabole (P), représentation graphique de la fonction f :

$$x \mapsto x^2 + 6x + 5$$

$$y = x^2 + 6x + 5$$

<figure><img src="image_56.png" /></figure>
## Classe B. Contrôle 4 du 17 janvier 1995

Le texte, comme pour chaque contrôle, com-portait deux versions pour que des élèves voisins n'aient pas le même texte. Nous donnons ci-dessous la version 1 avec, entre parenthèses, les valeurs numériques de la version 2. Pour l'exercice 3 qui ne porte pas sur la valeur absolue, nous ne donnons qu'une version.

### Exercice 1.

1) Compléter le tableau suivant en prenant en exemple la première ligne qui est remplie.

<table><thead><tr><th>distance</th><th>valeur absolue</th><th>dessin</th><th>intervalle</th><th>encadrement</th></tr></thead><tbody><tr><td>d(x; 5) ≤ 3</td><td>1x-5| ≤ 3</td><td></td><td>x ∈ [2;8]</td><td>2 ≤ x ≤ 8</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>3 ≤ x ≤ 9<br>(1 ≤ x ≤ 5)</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>x ∈ [-10;5]<br>(x ∈ [-6;1])</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>1x-2| ≤ 4<br>(1x-1| ≤ 4)</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>d(x; -2) ≤ 3<br>(d(x; -3) ≤ 5)</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

2) Résoudre

a) $|x-2| = |x+3| \quad (|x-3| = |x+1|)$

b) $|x+1| \le |x-4| \quad (|x+4| \le |x-5|)$.

### Exercice 2.

1) Le volume V d'une pyramide à base rectangulaire est donné par la formule $V = \frac{1}{3} L \times h$

a) L mesure 6 (8) à $10^{-1}$ près, l mesure 4 (3) à $10^{-1}$ près, h mesure 11 (10) à $10^{-1}$ près. Encadrer V en ne donnant qu'une décimale.

b) Pour une autre pyramide, L mesure 4 (3) à $10^{-2}$ près, l mesure 3 (2) à $10^{-2}$ près, V mesure 5 (4) à $10^{-1}$ près. Exprimer h en fonction de V, L et l puis encadre h en ne donnant qu'une décimale.

2) a) Dans un rectangle, L mesure 7,2 (7,4) à $10^{-1}$ près par excès, l mesure 3,4 (3,2) à $10^{-1}$ près par défaut, encadrer le périmètre P.

b) Dans un autre rectangle, L mesure 15,6 (15,3) à $10^{-1}$ près, le périmètre P mesure 23 (21) à $10^{-1}$ près, encadrer la largeur l.

### Exercice 3.

a) On considère la fonction f définie sur [1, 10]. On donne le tableau de valeurs suivant :

<table><tr><th>x</th><th>1</th><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>6</th><th>7</th><th>8</th><th>9</th><th>10</th></tr><tr><th>f(x)</th><td>8</td><td>10</td><td>10,5</td><td>11</td><td>10,8</td><td>10,7</td><td>10,5</td><td>7</td><td>5</td><td>4</td></tr></table>

- Construire la courbe représentant f dans un repère (unité 1cm ou 1 grand carreau sur chaque axe)

- Résoudre graphiquement les équations $f(x) = 6$ et $f(x) = 2$.

- Déterminer l'intervalle I formé de tous les x tels que $f(x) \ge 5$.
b)

<figure><img src="image_57.png" /></figure>

OA mesure 100.

OM mesure x, x est compris entre 0 et 100.

Calculer le périmètre total p(x) de la couronne et son aire a(x).

Lorsque x augment, comment varie p(x) ?
et a(x) ?

**Remarques concernant les exercices 1 et 2.**

On remarquera que les deux versions ont été choisies très soigneusement pour que les difficultés soient exactement équivalentes.

Dans l'exercice 1, la tâche consiste en une conversion de registres. La congruence peut être affectée par les signes, des difficultés peuvent être apportées par la nature des nombres, en particulier les fractions, la taille des nombre peut permettre ou non la représentation. Le professeur a donné la même valeur à chacune des variables didactiques de l'exercice.

Pour l'exercice 2 aussi, on peut remarquer que les versions sont équivalentes du point de vue des nombres en jeu : même ordre de grandeur, même nombre de décimales.

Remarquons cependant pour la question 1b, la difficulté n'était pas exactement la même pour l'arrondi : dans un cas on trouvait 1,97... ≤ h ≤ 2,06... que les élèves arrondissent à 1,9 ≤ h ≤ 2 s'ils font une troncature ou à 2 ≤ h ≤ 2,1 s'ils prennent les valeurs les plus proches ; dans l'autre cas on trouve 1,22... ≤ h ≤ 1,28... que les élèves arrondissent plus facilement à 1,2 ≤ h ≤ 1,3 parce que cela correspond aux valeurs les plus proches et que la troncature donnerait le même nombre des deux côtés. Mais pour voir cette différence, il fallait avoir effectué les calculs jusqu'au bout.

Pour la deuxième question, il y avait une erreur de texte. On donnait en fait une valeur approchée du demi-périmètre, ce qui fait qu'en appliquant les formules on trouvait un encadrement de 1 par des négatifs.
Classe B. Contrôle 5 : 14-2-1995.

Le contrôle 5, dont on trouvera le texte complet ci-dessous, portait principalement sur les fonctions : représentation graphique, sens de variation et résolution graphique d'équations et inéquations. Deux exercices concernaient des paraboles et le troisième la valeur absolue. C'est ce dernier exercice que nous analysons ici.

Exercice 1.

(O, I, J) est un repère orthogonal.

A. On donne la parabole (P), représentation graphique de la fonction f :

$$
x \mapsto x^2 + 6x + 5 \quad D_f = [-8, 1]
$$

(la représentation graphique tracée par ordinateur est fournie, en grande taille : 1,4 cm pour unité en abscisse, 0,7 cm en ordonnée, quadrillage apparent, cf contrôle 5 classe A)

1) S'aider du graphique pour résoudre les équations et inéquations suivantes :

a) $f(x) = 0$

b) $f(x) = 5$

c) $f(x) = -4$

d) $f(x) < 0$

e) $f(x) > 2$

(ne pas oublier d'indiquer votre méthode)

2) Retrouver par le calcul b) et c)

B. On considère la fonction g définie par : $x \mapsto -x^2 + 5$ sur $D_g = \mathbb{R}$

1) Montrer que la fonction g est paire.

2) Déterminer le sens de variation de g sur l'intervalle $[0, +\infty[$ puis sur l'intervalle $]-\infty, 0]$. En déduire le tableau de variation de g.

3) Construire point par point la représentation graphique de g sur le graphique précédent.

4) Résoudre graphiquement $f(x) = g(x)$ puis $f(x) > g(x)$.

Exercice 2.

On donne la fonction f telle que $f : x \to |x-5|$.

1) Représenter graphiquement la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal.

2) Résoudre graphiquement $|x-5| = |3+x|$ puis $|x-5| \le |3+x|$.
Classe C. Contrôle 5 :10-2-95

Le professeur de la classe C donne régulièrement des petits contrôles surprise courts et deux fois par trimestre un contrôle d'une heure et demie. Les moyennes trimestrielles font intervenir, avec une pondération, tous ces contrôles ainsi que les devoirs à la maison. Par exemple, pour le 3ème trimestre il y avait deux contrôles sur 20, coefficient 3, deux "interro" sur 8 et 12 respectivement coefficient 2, un devoir sur 20 coefficient 1. Le professeur C utilise la même technique que le professeur B : elle donne deux versions de ses contrôles pour que les élèves voisins n'aient pas les mêmes.

Le contrôle 5 (10 février 1995), en grande partie commun avec la classe B, avait pour thème les fonctions. Nous reproduisons le texte ci-dessous :

Exercice 1.

(O, I, J) est un repère orthogonal.

A. On donne la parabole (P), représentation graphique de la fonction f :

$$
x \longrightarrow x^2 + 6x + 5
$$

(la représentation graphique tracée par ordinateur est fournie, en grande taille : 1,4 cm pour unité en abscisse, 0,7 cm en ordonnée, quadrillage apparent, cf contrôle 5 de la classe A)

1) S'aider du graphique pour résoudre les équations et inéquations suivantes :

a) $f(x) = 0$

b) $f(x) = 5$

c) $f(x) = -4$

d) $f(x) < 0$

e) $f(x) > 2$

f) $-3 < f(x) < 5$

(ne pas oublier d'indiquer votre méthode)

Retrouver par le calcul b) et c)

2) Proposer une méthode pour résoudre graphiquement l'équation :

$$
x^{2} + 6x + 5 = 2x + 5
$$

Donner les solutions.

B. On considère la fonction g définie par : $x \longmapsto -x^2 + 5$

1) Montrer que la fonction g est paire.

2) Déterminer le sens de variation de g sur l'intervalle $[0, +\infty[$ puis sur l'intervalle $]-\infty, 0]$. En déduire le tableau de variation de g.

3) Construire point par point la représentation graphique de g sur le graphique précédent.

4) Résoudre graphiquement puis par le calcul $f(x) = g(x)$ puis $f(x) > g(x)$.

Exercice 2.

On donne la fonction f telle que $f : x \longrightarrow |x-5|$.

1) Représenter graphiquement la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal.

2) Résoudre $|x-5| = |3+x| \text{ puis } |x-5| \le |3+x|.$

Exercice 3.

a) Résoudre graphiquement $x^2 - 2 \le 0$ ; $x^3 + 8 > 0$ ; $\frac{1}{x} < 0,5$.

b) Résoudre $|2x+6| = 5$.

Le contrôle de la classe C est plus long que celui de la classe B parce que les élèves disposent d'une heure et demie alors qu'ils n'ont qu'une heure dans la classe B. On peut remarquer que toutes les suppressions dans la classe B concernent des résolutions algébriques.

Sur la valeur absolue, il y a eu, dans la classe C, une partie de ce contrôle 5 et deux exercices dans des "interrogations surprise" :

- le 17 mars : "Représenter graphiquement la fonction f telle que $f(x) = |2x+6|$ (resp. $|5x+10|$). Résoudre $|2x+6| = 5$ ; $|2x+6| = -5$ ; $|2x+6| < 5$" (resp. $|5x+10| = 2$ ...).

- le 5 mai : "Résoudre $|2x+5| = 7$ ; $|x-4| < -1$.
L'exercice 1 du contrôle 6 du 31 mars a été consacré à l'aspect distance et encadrements :

a) On donne les réels x et y tels que $\frac{2}{7} < x < \frac{3}{7}$ et $\frac{5}{7} < y < \frac{5}{6}$. Encadrer x+y, 2x-y, xy, et $\frac{x}{3y}$ à l'aide de rationnels.

b) Un pavé droit a pour dimensions L, l et h exprimées en dm et telles que leurs valeurs approchées par défaut à $10^{-1}$ près sont respectivement 2,3 ; 1,5 et 0,8.

1) Donner un encadrement de L, l, et h dont l'amplitude est la plus faible.

2) Donner un encadrement, en dm³, de son volume V.

3) 3 dm³ est-il une valeur approchée de V à 0,3 dm³ près ?

3,1 dm³ est-il une valeur approchée de V à 0,4 dm³ près ?

Cours : Expliciter clairement la différence entre valeur approchée à $\epsilon$ près, valeur approchée par défaut à $\epsilon$ près et valeur approchée par excès à $\epsilon$ près.

c) 1) x et y sont des réels ; que signifie l'écriture d(x,y) ? Donner un exemple.

2) Résoudre les équations ou inéquations puis représenter les solutions sur une droite graduée. Vérifier les réponses. $\circ$ d(x,2) = 4 $\circ$ d(x,2) < 4 $\circ$ |x+5| > 3.

d) x est un réel tel que |x+1| < 2 ; déterminer les intervalles auxquels appartiennent les nombres A(x) et B(x) tels que A(x) = x² ; B(x) = 5 - x.

e) a et b sont deux réels tels que a < b < -2. En justifiant, comparer : a+2 et b+2 ; $\frac{1}{a+2}$ et $\frac{1}{b+2}$ ;
$(a+2)^2$ et $(b+2)^2$ ; $\frac{1}{(a+2)^2}$ et $\frac{1}{(b+2)^2}$ ; $\frac{-5}{(a+2)^2}$ et $\frac{-5}{(b+2)^2}$.

Le contrôle comportait aussi deux exercices de géométrie.
Classe D, contrôle 6 : 10/2/95

Le contrôle comportait un exercice de géométrie analytique et 3 exercices sur le chapitre des valeurs absolues et encadrements. L'effectif était de 27 élèves (D19 absent).

Exercice 1.

Le plan est rapporté au repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$. On considère les points A(-2; 1), B(3; $\frac{5}{2}$) C(2; 3)

D(-1; 3) E($\frac{7}{2}$; 0) et les droites D1, D2, D3 et D4 définies par :

- D1 est la droite (AE).

- D2 est la droite qui passe par B et a comme coefficient directeur -2.

- D3 passe par C et est parallèle à la droite d'équation 2x - 3y = 0.

- D4 passe par D et est parallèle à (CE).

1) Faire une figure et construire les 4 droites.

2) Déterminer les équations des 4 droites.

3) Démontrer que les 4 droites définissent un parallélogramme.

Exercice 2

Pour l'exercice 2, il fallait compléter un tableau, comme dans les classes A et B, mais sans dessin, avec une colonne pour centre et rayon :

<table><thead><tr><th>encadrement</th><th>appartenance à un intervalle</th><th>a = centre de l'intervalle r = rayon de l'intervalle</th><th>distance</th><th>valeur absolue</th></tr></thead><tbody><tr><td>3 &lt; x &lt; 7</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>x ∈ [-2;5]</td><td></td><td>d(x;-1) ≤ 3</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>|x - $\frac{1}{2}$| ≤ $\frac{4}{3}$</td></tr><tr><td></td><td>x ∈ [-6;-2]</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Exercice 3 : Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :

a) $|x + 2| = \frac{7}{2}$;

b) $|5x-1| = -2$;

c) $|4-5x| = 0$

d) $|2x+1| = \frac{1}{5}$;

e) $|7x+2| = |5x-9|$;

f) $|3x+1| \leq \frac{1}{2}$

Exercice 4.

1) Traduire à l'aide d'une valeur absolue et donner l'encadrement correspondant au nombre x si 29,5 est une valeur approchée de x à 0,5 près.

2) $|y-12,3| \leq 3 \times 10^{-1}$, en déduire un encadrement de y.

3) Déterminer l'encadrement correspondant de x+y puis de x-y.

**Remarque** : la question 3 est beaucoup plus difficile que dans les classes A et B puisque le coefficient de x n'est égal à 1 que pour une seule des équations, le rayon étant alors 7/2. Dans la classe C on avait un exercice de ce type dans le contrôle 6 (une seule équation, coefficients entiers) et un exercice du type du e) dans les contrôles des classe B et C, mais avec des coefficients plus simples et une représentation graphique.
# Résultats des contrôles détaillés par classe

## 1. Classe A, contrôles 5 et 6.

### Classe A, contrôle 5, 25 élèves

Le contrôle 5 comportait 3 exercices. Nous avons analysé les résultats des élèves pour deux d'entre eux qui portaient sur les fonctions (paraboles) et la résolution des équations du second degré. Le troisième portait sur la géométrie et le calcul vectoriel.

#### Exercice 1. A12 ne l'a pas abordé du tout, restent 24 élèves

##### 1. graphique fourni : f(x)

###### 1.a Résolution graphique d'équations f(x) = k

Réussite pour les 3 : 14 (A1, A3, A7, A8, A9, A10, A11, A14, A15, A17, A18, A20, A23, A24)

Réussite partielle : 3 (A4(ac), A19(a), A26(a))

non traité : 2 (A13, A22)

3 erreurs : 5 (A2, A6, A16, A21, A27)

erreurs :

- confusion abscisse ordonnée : 2 élèves A19 (bc), A26 (bc)

- calcule f(k) : 3 élèves (A2 (abc), A6 (abc), A21 (abc),

- une seule racine trouvée : 2 élèves (A4 (b), A16 (b))

- erreur de lecture portant sur le SIGNE : 1 élève A16 (ac).

- autre erreur : A27 (abc)

- problème de vocabulaire (échange abscisse et ordonnée) : A10

###### 1.b Retrouver ces résultats par le calcul

- vérification des valeurs trouvées par un calcul numérique : 8 élèves (A1(c), A7, A9, A10, A11, A15 (ab), A20, A26)

- vérifie des valeurs fausses par le calcul et ne conclut pas qu'elles sont fausses : A19

- remarquent que (-3,-4) est le sommet de la parabole : A3, A7, A11,

- tableau : 2 élèves (A4 (avec x décroissants), A18)

- résolution algébrique : 8 élèves dont

- résolution algébrique correcte : 3 élèves A1(a), A14, A17(b).

- résolution algébrique incomplète : 2 élèves A1(b), A17(c)

- résolution algébrique erronée : 4 élèves (A15 (bc), A16 (abc), A22 (abc), A23 (bc))

- erreur "calculatrice" : A13

- calcul de f(k) : 3 élèves (A2 (abc), A6 (abc), A21 (abc))

- non traité : 4 élèves A3, A8, A24, A27

###### 1.c Résolution graphique d'inéquations

- non réponse totale : 3 élèves A6, A13, A27

- tout correct :

- réussite partielle : 10 élèves réussissent au moins d (éventuellement en mettant des inégalités larges) : A4 (d), A7 (d), A9(d), A10 (de), A11 (d), A14 (d*e*f), A15(d), A16 (d), A17(d), A23 (d*)

- non réponse partielle : A7 (f), A8(d*), A9(ef), A11 (e), A15(f), A17(ef), A26 (f) A21 (df)

- demi réponse pour f : 3 élèves A1( avec une borne erronée), A2( avec une borne erronée), A4, A16

- erreur d'intervalle : A1(f), A3(df), A8(e), A10 (f), A11 (f: problème d'écriture ?), A15(e), A20(f), A23 (e)

- dont erreur de logique ou écriture : 3 élèves : A1(e), A18(f), A23 (f),

- erreur de borne (lecture) : 5 élèves : A1 (f : 0>x>-1), A8 (f signe), A14 (e: -0,5 lu -1,5 et f : traite 0<f(x)<5), A15 (e : -0,5 lu -1,5), A16 (b)

- inégalités larges au lieu de strictes : 3 élèves : A8, A14, A23 problème dans l'utilisation des signes < > : A1 (de)

- seulement entiers visibles donnés : A24 (df)
- bornes entières pour e : A24

- donne les solutions de l'équation : A26 (de)

- lecture graphique des racines de l'équation puis remplace = par < ou > suivant ce qui est demandé : A1 (e, lié à erreur sur Ineg) A18 (def?)

- $f(x) < 2$ quand $x < 2$ (confusion abscisse-ordonnée ?) etc... : A3(de), A8(f+ signe)

- mélange abscisse et ordonnée : 2 élèves : A19 (?), A20

- autre erreur : 4 élèves : A2(de), A3(f), A7(e), A19(f)

- pas de lecture graphique : A22

- calcule $f(k) : A21(e)$,

- problème d'écriture des intervalles : A11 (f : $0<x>-6$ et $-2<x>-4$.

Confusion des notations () {} [] : A26

Les points sont seulement les points visibles : A19 A20 ?

méthode algébrique :

- tableau de signes correct : A9(d), A11(d) (pour vérifier)

- erreur calcul algébrique : A22

- erreur calcul numérique : A16

- ab < 0 pour a < 0 ou b < 0 : A16, A1

- problème dans l'utilisation des signes < > incohérence des inégalités écrites : A16

Exemple ab<0 pour a<0 ou b<0 :

A1 (bonne élève) écrit "Sur le graphique on a $f(x) < 0$ quand $x<-1$ et $x>-5$.

Je résous en factorisant $x^2+6x+5 < 0$ ($x+3-2)(x+3+2) < 0$ $x+1 < 0$ ou $x+5 < 0$ $x<-1$ ou $x<-5$.

Je ne trouve pas tout à fait le même résultat qu'à la lecture graphique"

Confusion abscisse ordonnée

A20 : $f(x)<0$ "tout l'ensemble des points de la courbe ont une abscisse inférieure à 0 sauf quand $f(x) = 13$ où $x = 1$.

$f(x)>2$ il n'existe pas de points visibles appartenant à la courbe qui aient une abscisse supérieure à 2."

Les demi-réponses avec bornes erronées peuvent être dues à la résolution d'inéquations du premier de gré : on teste une valeur et on met tout l'intervalle jusqu'à la racine :

A2 : $f(x) < 0$ J'utilise un tableau de calcul $f(x) < 0$ pour $x<-1$

$f(x) > 2$. J'utilise un tableau de calcul $f(x) > 2$ pour $x>-1$

Mais $-3 < f(x) < 5$ J'utilise un tableau de calcul $-2 < x < 1$. (inégalité stricte donc on s'arrête à l'entier précédent ?)

1d. $f(x) = 2x+5$

Non réponse : A1, A7, A9, A12, A18, A23, A27

Résolution graphique correcte : A4(mais prend aussi les points d'intersection avec l'autre parabole), A10, A11, A14, A17.

Résolution à la calculatrice graphique A3 (reproduction des graphiques), A20 ($x^2+4x$), A8 (-4 seulement : avec vérif. : il avait lu (-4,-3) et (-1,4) et conserve -4)

Résolution algébrique

- incomplète A13 ($x^2+4x = 0$ et vérifie que -4 est solution), A20 ($x^2+4x = 0$ et s'arrête)

- fausse A2 ($x^2+4x = 0$, $xxx+2x^2xx=0$ $x(4x) = 0$ ($4x)=0$ pour $x=-4$)

seulement $x=0$ (vérification) A16

Essai de valeurs numériques ou tableau : A15 ($x^2+4x = 0$ puis tableau et réussit) ; (A19 ($x^2-4x = 0$ puis tableau des valeurs pour 1,2,3,4 et conclut $x=4$) ; A21 (5 et -4 : y-a-t-il lecture graphique, confusion abscisse-ordonnée pour 5 et essai de vérification ? erreur de signe fait que ça ne se vérifie pas pour -4 : -16-24+5))

Chercher les racines de $f(x) = 0$ et $2x+5 = 0$ : A6 (+ erreur de signe $x= 2,5$)

Problème d'écriture algébrique : A13 écrit ce qu'elle tape sur sa calculatrice : $-4x^2+4x-4$

Autre erreur : A22 (($x+5)^2 = 2x+5$), A24 (lire les points en dessous de l'axe des abscisses), A26
## 2. Fonction $g(x) = -x^2+5$

### 2.1. Construction du graphique de $g(x) = -x^2+5$

- non réponse : 3 élèves, A11, A12, A21

- graphique correct : 10 élèves, A1, A3 (un peu imprécis), A4, A7, A9, A10, A14, A17, A18, A20 (correct pour $y>0$, prolongé par des droites pour $y<0$).

- imprécis : 4 élèves, A6, A8 (pour $y>0$, prolongé par des droites pour $y<0$), A23, A27

- décalage : 2 élèves, A6 (-$x^2$+4 et imprécis), A22 (-$x^2$+4)

- orientation (graphique de $x^2+5$) : 5 élèves, A2, A16, A19, A24, A26

- orientation et décalage : 2 élèves, A13 ($x^2$-4 et imprécis), A15 ($x^2$+4).

### 2.2. Résolution de $g(x) = k$

Ici les élèves pouvaient résoudre algébriquement mais ils sont souvent repris une résolution graphique. Nous n'avons pas distingué pour la réussite.

Réussite pour les 3 : 5 élèves (A4, A10, A14, A18, A23)

dont méthode algébrique : A23

Réussite partielle : 7 élèves (A1(ab), A7(ab), A8 (ab), A9(ab), A15(ab), A17 (ab), A20 ac)

lecture sur graphique imprécis non vérifié : A3

non réponse partielle : A9 (c),

non traité : 5 élèves (A11, A12, A13, A19, A27)

3 erreurs : 7 élèves (A2, A6, A16, A21, A22, A24, A26)

erreurs :

- $\sqrt{5}$ et $\sqrt{-5}$ : A7c ;

- $\sqrt{5}$ seulement pour c : A15

- racines positives seulement : A16

- $x=5$ pour c : A8,

- lecture sur graphique imprécis : A3,

- erreur de lecture : A17(c).

- calculent $f(k)$ : 5 élèves (A2 (abc), A6 (abc), A21 (abc), A24, A26)

- autre erreur : A22 (remplace $x^2$ par $x$)

### 2.2. Résolution des inéquations sur $g(x)$.

réussite :

tout correct : A4 (mais erreur d'énoncé)

partiellement correct (A1 d, A7 de, A10 de (mais erreur d'énoncé), A14 e, A17 d

non réponse : A6, A8, A9, A11, A12, A13, A19, A21, A27

non réponse partielle : A7 f, A16 ef, A24 f

- 3 erreurs (ou 2 erreurs et 1 NR) : A2, A3, A15, A20, A22, A23, A24 + A26 ?

erreurs

- demi-réponse : A16 d

- valeurs entières seulement (et faux) : A24

- mauvais intervalle à partir des racines $[1,1]$ pour f : A1 ef, A10 f, A14 d ($2,5 \le x \le -2,5$)

f($3 \le x \le -3$ et $-1 \le x \le 1$), A17e ($-2>x>2$) f ($3>x>-3$)

- traitement des inéquations comme des équations : A23

- lit les valeurs de l'équation sur le graphique et remplace = par < ou > : A20 (réponses $g(x) < 1$ quand $x < 2$ ou $x < -2$ ; $g(x) > 0$ pour $x > -2,3$ ou $x > 2,3$ ; $-4 < g(x) < 4$ quand $-3 < x < 3$);

A18 (mais valeurs numériques imprécises : $\pm 1,75$ au lieu de $\pm 2, \pm 3,25$ au lieu de $\pm 3$)

- identification $x/y$ : $g(x) < 1$ quand $x < 1$ etc ... A2d

- problème d'écriture des intervalles : A14, A17

- autres erreurs : A2e (pas de solution), A22 (remplace $x^2$ par $x$)

### 2.3. $f(x) > g(x)$

réussite :

- correct par le graphique : A14 (sauf inégalité large), A17 (mais problème d'écriture :

$-3>x>0$)

- demi réponse ($x>0$) : A4, A1 ($f(x) > 5$)

- résolution correcte de $f(x) = g(x)$ : A10

- en traçant $2x^2+6x$ à la calculatrice : A3
- non réponse : A2, A7, A8, A9, A11, A12, A15, A18, A19, A21, A22, A23, A24, A27

- début calcul algébrique et arrêt : A6, A20,

- erreurs : A13, A16, A26

erreurs

- calcul algébrique : A13 (essai de 6 et écrit comme elle tape sur la calculatrice), A16 (x² + x² = x⁴), A26 (et signe)

### 3. Résolution d'équations :

Deux élèves n'ont pas abordé cet exercice.(A14 et A18) Restent 23 élèves.

**Factorisation : c, e, g :**

- Réussite des 3 : 2 élèves, A10, A16,

- Réussite c et e : 5 élèves, A1, A2, A8, A9, A19

- Réussite de l'une des deux : 8 élèves, A7 (e), A4 (c), A12 (e), A13 (c), A15(e), A20 (c), A21 (e), A24 (c)

- échec aux 3 : 7 élèves, A3, A6, A11, A22, A23, A26, A27,

- échec en c et non réponse en e,g : A17.

* Reconnaissance de la factorisation mais échec :

- erreur de calcul numérique : A1 (g), A3 (c)

- simplification par x+1 pour c : A11

- ne sait pas résoudre l'équation factorisée : A9 (g), A11(e), A15 (g), A21(c), A23 (e), A27 (e),

- erreur de signe : A3(e), A4 (e), A6(e), A13(e), A19(g), A20(e), A22 (e), A24(eg), A26 (ce)

- autre erreur de calcul algébrique : A3 (e), A6, A7 (c), A12 (g), A13 (e), A19 (g), A22 (e), A24 (g), A26 (ce),

- facteur 1 supprimé ou remplacé par -1 (pour g) : A3, A6, A7, A13, A19, A26

* développe (g) : A2, A4, A20, A21, A22 (cg), A23, A27 (cg)

* calcul algébrique faux sans factorisation : A6(c), A22 (cg), A23 (cg), A27(cg)

* identité remarquable fausse : A12 (c), A13(g), A15 (c)A27 (cg)

* résolution graphique : A20 (g après développement et lit 1,5 pour 4/3)

* non réponse partielle : A8 (g), A11 (g)

**Identité remarquable A²-B² : a, d,**

* réussite/échec

- réussite des deux : 4 élèves, A4, A9, A12, A16

- réussite d'une : 7 élèves, A1 (d), A2 (a), A7 (a), A8 (a), A10 (d), A19 (a), A24 (a),

- échec aux deux : 9 élèves, A3, A11, A13, A15, A20, A21, A22, A23, A26,

- non réponse partielle : 4 élèves, A6(d), A8 (d), A17 (d), A27 (a)

* reconnaît l'identité mais erreur ensuite :

- ne sait pas résoudre l'équation factorisée : A15 (ad), A21 (a),

- calcul numérique : A22 (a),

- signe : A1 (a), A2 (d), A10 (a), A19 (d), A20 (d), A26 (a),

- autre erreur de calcul algébrique : A2 (d), A19 (d), A26 (a)

* remplace par A²-B² A-B : A11 (a)

* développe : A3 (a), A7 (d), A11 (d), A13 (ad), A20 (a), A21 (d), A22 (d), A23 (ad), A24 (d), A26 (d), A27 (d)

* identité remarquable fausse : A17 (a), A26 (d), A27 (d),

* calcul algébrique faux sans reconnaissance Id.R. : A3 (a), A6 (a), A13 (ad), A23 (ad), A26 (d),

* résolution graphique : A3 (d : fausse, le constate en vérifiant)

h : (x² - 5 = 0)

h n'est entièrement réussie par aucun élève

- un élève, A7, répond √5 et √-5

- un élève reconnaît l'identité remarquable et s'arrête : A15,

- un élève essaie de l'écrire comme le début d'un carré et fait des erreurs de calcul pour reconnaître une identité : A1 (x² - 5 = 0; x² - 6+1 = 0; (x+3+1) (x-3+1) = 0)
- non réponse partielle : 6 élèves, A3, A6, A8, A9, A21, A23,

- ne sait pas : A26,

- réponse √5 : 5 élèves, A4, A10, A13, A16, A17

- réponse 5 : A27 ; 5 et -5 : A22 ; 5/2 et -5/2 : A19

- réponses graphiques fausses : A20 (0,23), A2 (entre 1 et 2)

- pas de solution : A24 (avec tableau), A11 (x² = -5)

- réponse 5/x : A12

## Identité remarquable et factorisation ou développement: b

- non réponse : A6

- développe et réussit : A2, A23

- développe et échoue : 9 élèves, A4, A7, A10, A12, A13 (signe), A21, A22, A26, A27,

- factorise x²-4 et réussit : A19,

- factorise x²-4 et échoue : 10 élèves, A1 (signe), A3, A8, A9, A11, A15, A16, A17, A20, A24,

- identité remarquable fausse : 8 élèves, A3, A8, A9, A11, A20, A21, A24, A27

Début d'un carré et identité remarquable : f

- non réponse : A7, A8, A9, A10, A13

- résolution graphique : A3 (faux), A20 (juste avec vérification)

- résolution algébrique réussie : A16

- début de résolution algébrique correcte : A11, A17

- trouve par tableau de valeurs : A24

- essai de résolution algébrique faux : A1, A2, A4, A19, A23, A27

- identité remarquable fausse : A1, A22

- impossible : A15, A21,

- ne sait pas : A26

- réponse fausse non justifiée : A6 (3), A12 (-2),

Finalement 3 élèves réussissent : un par essai de valeurs entières, un par résolution graphique, un par résolution algébrique.

Un seul élève, A16, réussit 6 équations (sauf b h) ; quatre en réussissent 4 : A2 (sauf d f g h), A9 (sauf b f g h), A10 (sauf a b f h), A19 (sauf d f g h) ; 5 élèves en réussissent 3 : A1 (cde), A4 (acd), A8 (ace), A12 (ade), A24 (acf) ; un élève en réussit 2 : A7 (ae) ; 4 élèves en réussissent une : A13 (c), A15 (e), A21 (e), A23 (b) et 7 élèves n'en réussissent aucune : A3, A6, A11, A17, A22, A26, A27.

## Classe A. Contrôle 6 : 31/1/95

Le contrôle 6 comportait 4 exercices dont 3 sur distance et valeur absolue dont nous rapportons ci-dessous les résultats, et un exercice de géométrie analytique et vectorielle.

Absents : A5, A25 ; A28 ne faisait pas encore partie de la classe. Effectif : 25

### Exercice 1

Il porte sur les distance sur une droite non graduée dans la première partie (distances en cm), graduée dans la deuxième

**Première partie :** On donne 2 points A, B distants de 7 cm, il faut colorier des ensembles de points.

#### 1) Points M de (AB) tels que AM < MB

Réussite : A1, A7, A8, A11, A13 (mal formulé), A14, A19, A23, A24, soit 36% des élèves

- bon côté mais restreint au segment : A2, A3, A6, A9, A15, A2, A26, soit 28 % des élèves

- traite le problème dans le plan (systématiquement) : A17

- mauvais côté (restreint au segment ou non) : A10, A16, A18, A20,

- confusion point-nombre (systématiquement) : A4 : ici "l'ensemble (E) des points M de la droite (AB) tel que AM < MB est $0 \le M \le 3$"
- erreur sur distance : A12 (les points du segment)

- non réponse A22.

Au total donc 17 élèves, soit 68% relient l'inégalité des distances au fait d'être d'un côté du milieu (ou de la médiatrice).

2) Points N tels que AN = 3 NB.

Réussite : A14, A23, soit 8 %

- un seul point : A1, A8, A9, A10, A11, A15, A19, A20, A21, A24 soit 40%

- confusion point-nombre (systématiquement) : A4 : "... N = 7/3

- un seul point du mauvais côté : A26

- erreur sur distance : A16 (C milieu de AB, 3,5/3 = 1/3 CB, 1/3 AN = NB), A17 (sur la perpendiculaire à AB à 7/3 de B)

- colorie un segment à gauche de A : A27

- non réponse : A2, A3, A6, A7, A12, A13, A18, A22.

Question la plus mal réussie : moins de la moitié des élèves produisent au moins une solution sur les deux.

3) Points P tel que AP = 3

Réussite : A1, A8, A9, A10, A11, A14, A15, A16, A19, A23, A24 soit 44 %

- trace le cercle sans conclure ou dit "tous les points du cercle" : A2, A6, A17, A20 soit 16 %

- un seul point : A18, A21, A26 soit 12 % (seul celui de A18 est correct)

- intérieur du disque : A7,

- confusion point-nombre (systématiquement) : A4 : "... AP = 7/3 AB

- autre erreur : A21, A26

- colorie un segment de longueur 3 à partir de A à l'intérieur de [AB] : A27

- non réponse : A3, A12, A13, A22

60% des élèves mettent en œuvre la distance sur la droite ou dans le plan.

4) Points Q tels que BQ ≥ 5

Réussite : A1, A7, A8, A10, A11, A14, A15, A19, A23, soit 36 %

- trace le cercle sans conclure ou dit "tous les points à l'extérieur du cercle" : A2 (mal formulé : "tous les points qui sont plus grands ou égale à 5 en prenant pour centre le point B"), A17, A20 soit 12 %

- une seule demi-droite : A16, A18 (?), A24, A26, soit 16 %

- restreint au segment : A4,

- intérieur du disque : A6,

- confusion point-nombre (systématiquement) : A4 : "... 2 ≤ Q ≤ 7

- traite BQ ≤ 5 : A4, A6, A9,

- autre erreur (distance) : A21, A26, A27

- non réponse : A3, A12, A13, A22

On peut donc conclure que les deux tiers des élèves environ peuvent traduire graphiquement une égalité de distance (première et troisième questions, sans tenir compte du fait qu'ils se placent dans le plan au lieu de se restreindre à la droite ou qu'ils se restreignent au segment pour la première question). Moins de la moitié réussissent dans le cas d'une inégalité (quatrième question) et seuls deux élèves (qui réussissent tout l'exercice) peuvent traiter un rapport de distances, moins de la moitié produisent une seule des deux solutions.

**Deuxième partie** : placer 6 points sur un axe gradué puis exprimer 5 distances entre ces points.

**Placement des points** :

- tout juste : 22 élèves

- 1 erreur : A9

- pas de dessin : A6, A7

**Expression des distances** :

- tout juste : A1, A3, A4 (mais donne vecteurs), A10, A11, A12, A14, A15 (mais problème de formulation), A17, A18, A19 (mais donne vecteurs), A20, A23,

- 1 erreur : A2, A21 et A24 (signe), A8 (écart),
- 2 erreurs : A13, A16 (1 signe et 1 distance), A27 (écarts et distance négative)

- 3 erreurs ou plus : A7 (fait la somme), A9 (exprime l'intervalle en termes de centre et rayon), A22 (paraphrase le texte), A26 (signes et écarts)

- non réponse : A6.

Les élèves savent donc presque tous placer des points à coordonnées entières ou en demis sur un axe gradué. Le calcul des distances sur un axe gradué pour des abscisses entières ou en demis est réussi par 52% des élèves, même si certains ont des difficultés au niveau de l'expression. Plus des 2/3 des élèves font au plus une erreur sur cette question.

## Exercice 2.

Il s'agit de résoudre 4 équations et deux inéquations portant sur la valeur absolue : le coefficient de x est toujours égal à 1, elles peuvent donc se traduire facilement en termes de distances, l'une des inéquation a pour solution un intervalle, l'autre deux demi-droites.

Les équations avaient les caractéristiques suivantes :

- centre et rayon entiers positifs

- centre entier négatif, rayon entier,

- centre entier positif, rayon 3/2

- centre 1/2, rayon entier.

Nous donnerons les résultats en classant suivant la procédure adoptée :

* non réponse : A18, A19, A21,

* distances avec dessin de la droite graduée :

- réussite des 4 : A1, A4, A10, A11, A13, A15, A16 (mais problème de formulation : M=...), A20 (mais répond intervalle), A24

- réussite de 3 sur 4 : A2 (signe du centre)

- au moins deux erreurs : A3 (erreurs de placement du centre et de calcul), A6,

* raisonnement sur le dessin :

- réussite des 4 : A7, A12,

* méthode algébrique :

- réussite de 3 sur 4 : A17 (confusion centre-rayon)

- au moins deux erreurs : A8, A9 (2 réponses correctes mais mauvaise écriture), A22 (enlève les barres), A26 et A27 font des erreurs variées.

* sans explication :

- réponse correcte : A14

- avec erreurs : A23 (signe et calcul).

Une petite moitié des élèves réussissent grâce au dessin de la droite graduée : 11 élèves ont les 4 réponses justes par ce moyen, un autre a tout juste sans explication. Une bonne partie des élèves (20%) utilisent une méthode algébrique alors que celle-ci a été évitée en cours, une seule (A23 redoublante) avec un peu de succès, les autres sont des élèves très faibles.

Les inéquations :

* $|x+5| < 3$ : il s'agit d'un intervalle de centre négatif, ce qui est la difficulté principale.

Nous donnerons les résultats en classant suivant la procédure adoptée :

* non réponse : A18, A19, A21,

* distances avec dessin de la droite graduée :

- réussite A1, A4, A10, A11, A13 (mais formule mal sa réponse), A15, A20, A24 (?)

- erreurs : A2 (signe),

* raisonnement sur le dessin :

- réussite : A7, A12,

- erreurs : A3,

* méthode algébrique :

- réussite : A17

- erreurs : A8, A9, A22 (enlève les barres), A26 et A27 font des erreurs variées.

* sans explication :

- réponse correcte : A14 (inégalité large)

- avec erreurs : A23 (signe),

* résout les équations : A6, A16.
Ce sont presque les mêmes élèves qui réussissent, par la même méthode.

* $|x - \frac{5}{3}| > 1$ : ce sont les points à une distance supérieure à 1 de $\frac{5}{3}$ ; on a deux demi-droites dont on trouve les origines en ajoutant $\pm 1$ à $\frac{5}{3}$. Ici nous avons deux difficultés : le complémentaire d'un intervalle et la fraction.
Cette fois nous classerons par erreur et indiquerons la méthode pour ceux qui ont réussi.

* non réponse : A18, A19, A21,

* réussite :

- distances avec dessin de la droite graduée : A4, A10, A13 (mais formule mal sa réponse), A15, A24

- raisonnement sur le dessin : A7, A12,

* renverse les signes d'inégalité ou répond l'intervalle : A1, A2, A3, A11, A14, A23,

* erreur de calcul sur les fractions : A2

* erreur de signe : A3, A17

* mauvaise méthode algébrique : A8, A9, A22 (enlève les barres), A26 et A27 qui font des erreurs variées.

* difficile à interpréter : A20,

* résout les équations : A6, A16.

Ce sont presque les mêmes élèves qui réussissent, par la même méthode.

La réussite chute sensiblement dans ce cas à cause des élèves qui répondent l'intervalle au lieu de son complémentaire. Face à une inéquation, les élèves résolvent l'équation et répondent l'intervalle déterminé par les deux solutions, quel que soit le signe de l'inéquation.

**Exercice 4** : tableau à compléter.

On a le même type d'exercice que dans la classe A, avec la demande supplémentaire du centre et du rayon. L'exercice comptait 7 items au lieu de 5. On avait un centre entier négatif, deux centres en demis, deux rayons avec des fractions moins simples (2/3 et 2/7) mais pour des intervalles centrés en 0.

Réussite totale : 10 élèves : A1, A8, A9, A10, A11, A16, A17, A18, A23, A24

Réussite de 5 ou 6 items : A2 (sans dessin pour 5 et 6), A4, A6 (sans dessin pour 5), A7, A12 (sans aucun dessin), A14, A15,

Réussite de 3 ou 4 items : A20,

Réussite de 1 ou 2 items : A13, A19,

aucun réussi en entier : A3, A21, A22, A26, A27.

$|x - \frac{1}{2}| \le 3$ réussi par 17 élèves.

$d(x,2) < 1$ réussi par 16 élèves

$\frac{1}{2} - 1 < \frac{3}{2} \le$ réussi par 16 élèves

$\frac{9}{2} \le x \le \frac{17}{2}$ réussi par 12 élèves

$x \in [-4, 2]$ réussi par 16 élèves

$|x| \le \frac{2}{3}$ réussi par 19 élèves

$|x| \le \frac{2}{7}$ réussi par 18 élèves (1 non réponse)

En résumé, 10 élèves, soit 40%, ont réussi les 7 items ; 17 élèves, soit 68%, réussissent au moins 5 items sur 7.

La principale difficulté est de trouver le centre et le rayon : les exercices qui ont un centre O sont les mieux réussis bien que les rayons soient plus difficiles ; le plus mal réussi est celui qui a un centre fractionnaire (erreur sur le centre ou le rayon pour 7 élèves). Certains élèves échangent centre et rayon (A19 pour 4). Deux élèves (A3, A22) prennent systématiquement les bornes pour centre et rayon et réciproquement. A3, A19, A22 et A26 se trompent systématiquement sur le signe du centre. A19 a tout le reste juste.

Les élèves les plus faibles A13, A21, A22, A26, A27 ne réussissent que la traduction congruente entre intervalle et encadrement ; entre valeur absolue et distance on a le plus souvent une erreur de signe ; le passage des bornes aux centre et rayon et réciproquement
n'est pas du tout compris par ces élèves (A13 réussit cependant le 2 mais met les signes "<" à l'envers).

## 2. Classe B. Contrôles 4 et 5.

### Classe B, Contrôle 4, mardi 17 janvier 1995.

Ce contrôle comprenait une première partie sur la valeur absolue, les intervalles et les inégalités et une deuxième partie sur l'introduction de la notion de fonction. Nous analysons ici la première partie composée de 2 exercices. Le texte, comme pour chaque contrôle, comportait deux versions pour que des élèves voisins n'aient pas le même texte. Nous donnons ci-dessous la version 1 avec, entre parenthèses, les valeurs numériques de la version 2.

#### Exercice 1.

1) Compléter le tableau suivant en prenant en exemple la première ligne qui est remplie.

<table><thead><tr><th>distance</th><th>valeur absolue</th><th>dessin</th><th>intervalle</th><th>encadrement</th></tr></thead><tbody><tr><td>d(x; 5) ≤ 3</td><td>|-5| ≤ 3</td><td></td><td>x ∈ [2;8]</td><td>2 ≤ x ≤ 8</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>3 ≤ x ≤ 9<br>(1 ≤ x ≤ 5)</td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td>x ∈ [-10;5]<br>(x ∈ [-6;1])</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>d(x; -2) ≤ 3<br>(d(x; -3) ≤ 5)</td><td>|-2| ≤ 4<br>(|-1| ≤ 4)</td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

2) Résoudre

$$a) |x-2| = |x+3| \quad (|x-3| = |x+1|)$$

$$b) |x+1| \le |x-4| \quad (|x+4| \le |x-5|).$$

On remarquera que les deux versions ont été choisies très soigneusement pour que les difficultés soient exactement équivalentes. Nous avons ici 5 registres pour exprimer les intervalles, que nous désignerons comme l'entête des colonnes, sauf "intervalle" que nous appellerons registre de l'écriture ensembliste. La tâche consiste en une conversion de registres. Les registres "ensembliste" et "encadrement" se réfèrent à la définition de l'intervalle par ses bornes, les expressions dans les deux registres sont congruentes : il y a correspondance terme à terme et possibilité de traduction automatique. Les registres de la valeur absolue et de la distance font référence à la définition de l'intervalle par centre et rayon, la congruence entre les deux n'est pas parfaite à cause du signe "-" qui apparaît dans l'expression avec valeur absolue. On peut donc attendre des erreurs de signe, particulièrement dans le cas d'un centre négatif. Le registre du dessin joue le rôle d'intermédiaire et permet le passage d'une définition des intervalles par les bornes à une autre par le centre et le rayon ou réciproquement. Les nombres ont été choisis de façon que la représentation soit toujours possible : ce sont de petits entiers et les calculs font intervenir au plus des demis.

La classe comportait 34 élèves.

#### Pour la première question,

18 élèves ont entièrement réussi l'exercice, il s'agit de : B2, B4, B5, B8, B9, B10, B12, B13, B14, B15, B18, B23, B25, B26, B28, B31, B32, B34, soit 52,94%.

Pour les réussites partielles, on trouve

- 15 élèves de plus qui ont réussi le a) soit 1 seule erreur,
- 8 élèves de plus qui ont réussi le b) soit 76,47% de réussite

- 5 élèves de plus qui ont réussi le c) soit 67,65 % de réussite

- 12 élèves de plus qui ont réussi le d) soit 88,26 % de réussite

- 5 élèves de plus qui ont réussi le e) soit 67,65 % de réussite.

On a donc plus des 2/3 des élèves qui réussissent chaque question et plus de la moitié qui réussissent le tout. Presque tous les élèves ont réussi le a), celui qui ne l'a pas réussi a réussi le b) qui était de même nature ainsi que c et d, donc tous les élèves ont été capables de faire le passage bornes à centre rayon au moins une fois.

Les erreurs sont les suivantes<fnref n="1" /> :

- erreur dans l'utilisation des symboles [ , ] , ≤ , < etc... : B16, B20, B27.

- placement erroné de points sur le dessin : B3, B6, B7, B17, B33.

- lecture erronée des abscisses : B22.

- erreur de signe dans la traduction entre le registre des distances et celui de la valeur absolue:
B3, B6, B16, B17, B19, B20, B21, B29, B30, B33.

- erreur sur le centre quand l'intervalle est connu par ses bornes : B11, B17, B20, B22, B27, B29, B33.

- erreur sur le rayon quand l'intervalle est connu par ses bornes : B29.

- erreur sur les bornes quand l'intervalle est connu par le centre et le rayon : B29.

Remarquons que l'erreur de signe peut se produire uniquement au niveau des écritures algébriques ou au moment du placement sur le dessin, entraînant des erreurs dans les écritures algébriques ; nous avons dans ce cas relevé l'erreur à la fois au niveau du signe et au niveau du dessin puisque nous ne connaissons pas la procédure exacte de l'élève et qu'il est difficile de savoir si l'erreur de signe se produit au moment du placement sur le dessin ou par une mauvaise lecture du centre : si, partant de $lx+2| \le 3$ l'élève place 2, cela peut être parce qu'il a pensé que le centre était 2 ou parce qu'il a placé 2 au lieu de -2.

Pour la deuxième question,

les méthodes utilisées ont été les suivantes :

- résolution graphique sur la droite graduée : B1, B3, B5, B6, B13, B17, B18, B25, B26, B28, B29, B32, B33 (pour l'inéquation)

Parmi eux B4, B5, B25, B32 ont réussi à la fois l'équation et l'inéquation, avec éventuellement une erreur de notation pour l'intervalle (B5)

B18 a fait une erreur sur le calcul du milieu dans le deuxième cas

B1 a réussi l'équation mais pris la mauvaise demi-droite pour l'inéquation

B29 ont réussi l'équation mais a arrêté l'intervalle à -1 pour l'inéquation

B26 a réussi l'équation mais résolu l'inéquation comme une équation

B6, B28 ont réussi l'équation et donné l'intervalle délimité par les centres comme solution de l'inéquation.

B21 et B31 ont fait une erreur du même type aux 2 questions en répondant {-3, 2} et {-1, 4} pour l'un, {-3, 2} et [-1, 4] respectivement pour l'autre

B33 a fait une erreur de signe pour le milieu et d'intervalle (réponse [1,5 ; 1])

B3, B13, B17 ont fait d'autres erreurs

- résolution en termes de distances :

- à la fois dessin et raisonnement sur les distances : B4, B8, B10, B20, B22

avec réussite dans les deux cas pour B4, B10, B20, B22

avec réussite de l'équation mais mauvaise demi-droite dans le cas de l'inéquation : B8

- résolution algébrique : B7, B14, B15, B19 (avec aussi dessin), B23, B24 (tableau), B27, B30, B33 (pour l'équation)

avec réussite pour la première, erreur pour la seconde : B15, B30

avec erreurs dans les deux : B7, B14, B19 (enlève les barres dans le 2ème cas), B23 (pour l'équation, non réponse pour l'inéquation), B24 (incomplet), B27, B33 (enlève le barres)

- non compréhension de la question : B9

n'ont pas répondu à cette question : B2, B11, B12, B16, B34.

Les élèves recourent majoritairement à la distance ou au dessin sur la droite graduée pour résoudre ce type d'équations. Ceux qui raisonnent explicitement en termes de distances avec

<footnote n="1">¹ nous indiquons les codes des élèves qui ont fait au moins une fois le type d'erreur</footnote>
le support du dessin réussissent. Pour ceux qui font le dessin mais ne traduisent pas les équations et inéquations en termes de distances font souvent des erreurs dans le cas de l'inéquation. Certains donnent comme solution les points marqués sur l'axe qui correspondent aux points remarquables pour une traduction en termes de distance : ils démarrent la technique de résolution mais ne la mènent pas à terme. Les élèves qui utilisent une méthode algébrique se trompent en général sauf B15 qui a un peu de chance pour l'équation et renverse l'inégalité pour l'inéquation, et B30 qui utilise un tableau (non enseigné dans cette classe pour ce chapitre) et réussit l'équation mais non l'inéquation pour laquelle il a pourtant bien identifié les 3 cas.

### Exercice 2.

1) Le volume V d'une pyramide à base rectangulaire est donné par la formule $V = \frac{1}{3} L \times l \times h$

a) L mesure 6 (8) à $10^{-1}$ près, l mesure 4 (3) à $10^{-1}$ près, h mesure 11 (10) à $10^{-1}$ près. Encadrer V en ne donnant qu'une décimale.

b) Pour une autre pyramide, L mesure 4 (3) à $10^{-2}$ près, l mesure 3 (2) à $10^{-2}$ près, V mesure 5 (4) à $10^{-1}$ près. Exprimer h en fonction de V, L et l puis encadrer h en ne donnant qu'une décimale.

2) a) Dans un rectangle, L mesure 7,2 (7,4) à $10^{-1}$ près par excès, l mesure 3,4 (3,2) à $10^{-1}$ près par défaut, encadrer le périmètre P.

b) Dans un autre rectangle, L mesure 15,6 (15,3) à $10^{-1}$ près, le périmètre P mesure 23 (21) à $10^{-1}$ près, encadrer la largeur l.

Là encore, on peut remarquer que les versions sont équivalentes du point de vue des nombres en jeu : même ordre de grandeur, même nombre de décimales.

Remarquons cependant pour la question 1b, la difficulté n'était pas exactement la même pour l'arrondi : dans un cas on trouvait $1,97... \le h \le 2,06...$ que les élèves arrondissent à $1,9 \le h \le 2$ s'ils font une troncature ou à $2 \le h \le 2,1$ s'ils prennent les valeurs les plus proches ; dans l'autre cas on trouve $1,22... \le h \le 1,28...$ que les élèves arrondissent plus facilement à $1,2 \le h \le 1,3$ parce que cela correspond aux valeurs les plus proches et que la troncature donnerait le même nombre des deux côtés. Mais pour voir cette différence, il fallait avoir effectué les calculs jusqu'au bout.

Pour la deuxième question, il y avait une erreur de texte. On donnait en fait une valeur approchée du demi-périmètre, ce qui fait qu'en appliquant les formules on trouvait un encadrement de l par des négatifs.

#### 1.a. Encadrement du volume.

La formule était fourni, le travail des élèves consistait donc à encadrer un produit. On est dans le cas favorable d'une fonction croissante de chacune des variables. La principale erreur à attendre est une erreur au moment de l'arrondi (tronquer la valeur trouvée au lieu de majorer), sans compter bien sûr les erreurs de calcul ou l'oubli de la division par 3. On a :

- Réussite : B1, B4, B5, B7, B9, B10, B11, B12, B14, B15, B16, B18, B23, B25, B26, B27, B28, B29 (mais encadrement de la hauteur à 0,01 près), soit 18 élèves

- écriture de valeurs numériques au lieu des variables : $5,9 \le 6 \le 6,1... \quad 83,6 \le 88 \le 92,6 : B8, B13$ qui a en fait une en cadrement correct.

- erreur d'arrondi : B3, B6, B8, B17, B19, B22, B24, B30, B31, B34

- erreur de calcul : B24, B32

- oubli de diviser par 3 : B20

- inverse les inégalités en divisant par 3 : B22

- mauvais encadrement des variables au départ : B21

- autre erreur : B2 (encadre $5,9 \times 3,9 \times 10,9$ à 0,1 près puis à 1 près), B33.

Comme attendu, les résultats sont assez bons pour cette question : 19 élèves, soit 55,9 %, ont un encadrement correct, même s'il est mal exprimé pour B13, et 10 élèves sur 34 soit 29,4 % font une erreur d'arrondi pour la borne supérieure.
### 1.b. Expression de h

La deuxième partie de la question comportait plusieurs difficultés. La première était de réussir à exprimer $h$ en fonction des autres données. Beaucoup d'élèves ont échoué sur ce point. Certains ont trouvé une expression erronée par une erreur de calcul algébrique. Nous examinons ensuite leur encadrement à partir de l'expression qu'ils ont trouvée. Il s'agit de : oubli de $x^3$: B22, B23

autre mauvaise expression : B17, B21, B28.

Cependant, certains élèves écrivent une expression avec double dénominateur $\frac{V}{\frac{Lxl}{3}}$ ce qui peut les gêner pour traiter la question suivante. D'autres, comme B14, n'ont pas exprimé $h$ mais ont traité l'encadrement de $h$ en écrivant $4,9 \le \frac{1}{3} Lxlxh \le 5,1$ puis ont successivement multiplié par $3,\frac{1}{L},\frac{1}{1}$ en prenant ou non pour $l$ et $L$ les valeurs approchées convenables.

- non réponse totale à la question 1b : B16, B24, B33

### Encadrement de h

Cette fois, il faut renverser les inégalités dans le passage à l'inverse, nous pouvons attendre des erreurs à ce niveau. Pour les erreurs d'arrondi, nous les attendons surtout sur la version 1, à cause des valeurs numériques (voir remarque ci-dessus).

Pour l'encadrement des valeurs initiales, nous avons accepté comme correct l'encadrement de $V$ à 0,1 près (comme $1$ et $L$), mais certains élèves ont confondu $10^{-2}$ et $2 \times 10^{-1}$.

- réussite : B1, B4, B7 (mais fait une erreur d'énoncé : il prend encadrements à 0,1 près), B10, B12, B15, B18, B19, B26, B27 (mais problèmes d'écriture), B29.

- non terminé : B20

- confusion $10^{-2}$ et $2 \times 10^{-1}$ : B6, B8, B14, B28.

- font les arrondis trop tôt (avant de multiplier par 3 par exemple) : B2, B5, B9, B11, B22, B26, B31.

- oubli de multiplier par 3 : B6, B8, B13, B22, B23, B25, B31.

- erreur d'arrondi : B3, B11, B30, B31.

- ne changent pas les inégalités pour l'inverse : B6, B11, B13, B17, B21, B30, B34.

- problème d'écriture pour manier les inégalités avec inverses : B9, B14, B28.

- écriture de valeurs numériques au lieu des variables : B13.

- autre erreur : B2, B5.

Comme prévu la réussite baisse (32,35%), 20,6% des élèves oublient de renverser les inégalités quand ils passent à l'inverse. Les problèmes d'arrondis se compliquent puisque les élèves font un encadrement auxiliaire de $Lxl$ et certains arrondissent déjà cet encadrement. On remarque aussi des difficultés avec les systèmes d'écriture : traitement des inégalités ou usage des exposants.

### 2.a. Encadrement du périmètre

L'encadrement du périmètre ne devrait pas poser trop de problème, sauf éventuellement l'oubli de la multiplication par 2 et les erreurs d'arrondi comme précédemment. En fait, un très grand nombre d'élèves confondent les formules d'aire et de périmètre et encadrent le produit ou le double du produit ou même $2 \times 2 \times 1$ !

- Réussite : B1, B3, B4, B10, B11, B15, B18, B19, B21, B23, B25, B26, B31

- écriture de valeurs numériques au lieu des variables : B13.

- oubli de multiplier par 2 :

- autre erreur sur la formule du périmètre (par ex. produit) : B2, B6, B12, B17, B22, B24, B27, B28, B34, B29

- erreur d'arrondi :

- mauvais encadrement des variables au départ : B5, B6, B7, B9, B12, B13, B14, B17, B20, B22, B28, B30

- autre erreur : B16 (calcule le périmètre), B32 (écrit la bonne formule puis multiplie), B33 (calcule le périmètre puis encadre à 0,1 près).

- non réponse : B8
Pour la question précédente les mauvais encadrements au départ signifiaient une erreur sur la puissance de 10 ; pour cette question, on peut encore avoir ce problème mais aussi la mauvaise compréhension des expressions "par défaut", "par excès". Nous n'attendions pas autant d'erreurs sur la formule du périmètre !

On a seulement 13 réussites (38,2%). Les principales erreurs sont les erreurs de formule pour le périmètre et la mauvaise compréhension de "par excès, par défaut".

## 2.b. Encadrement de la largeur

Compte-tenu de l'erreur de texte, la réponse correcte était "impossible". Certains élèves la fournissent après un encadrement de P/2 ou de 2L, d'autres font le calcul jusqu'au bout, trouvent un encadrement par des négatifs et concluent ou non "impossible". Les élèves peuvent faire une erreur d'encadrement (soustraire les inégalités par exemple) et répondre cependant impossible à cause des négatifs. Nous appelerons "réussite" un encadrement correct et nous compterons par ailleurs les réponses "impossibles, qu'elles soient motivées ou non par les négatifs.

Pour l'encadrement de la largeur, il s'agit d'encadrer une différence, on peut donc attendre, en plus des erreurs précédentes, l'erreur qui consiste à soustraire les inégalités.

Il y a eu en fait beaucoup d'erreurs de calcul algébrique pour exprimer l en fonction de P et L, par exemple $B3$ écrit $P = (L+1)x2$ donc $l = \frac{P}{Lx2}$. Le grand nombre de ces erreurs a amené le professeur à faire une séance de module sur le sujet : exprimer chaque variable en fonction des autres à partir de formules de physique.

Pour les élèves qui prennent le produit comme périmètre ou font des erreurs de calcul algébrique, on peut avoir à encadrer un quotient et retrouver les erreurs liées à cette tâche.

- Réussite de l'encadrement : B18, B25

- réponse "impossible" : B1, B4, B5, B14, B15, B18, B19, B21, B32

- écriture de valeurs numériques au lieu des variables : B13.

- problème lié à l'encadrement de la différence : B1, B4, B6, B7, B16, B19, B21, B28, B30, B31, B32

- oubli de diviser par 2 : B30

- autre erreur sur la formule du périmètre (par ex. produit) : B12, B17, B22, B27, B28, B29

- erreur d'arrondi :

- mauvais encadrement des variables au départ : B2, B16,

- erreur de calcul algébrique : B3, B9, B10, B11, B20, B26, B28, B31

- ne changent pas les inégalités pour l'inverse : B11, B13, B17, B34

- autre erreur : B5 (calcul), B33 (calcule puis encadre).

- non réponse : B8

Ici l'oubli de diviser par 2 peut être une correction de l'énoncé pour avoir une réponse possible. Les problèmes liés à l'encadrement de la différence peuvent se manifester par une soustraction des inégalités ou par le fait d'ajouter des inégalités de sens contraires : certains élèves changent les signes d'inégalité en multipliant l'encadrement de L (ou 2L) par -1 mais ne réécrivent pas l'encadrement avec les inégalités dans le bon sens avant d'ajouter à l'encadrement de P.

## Classe B. Contrôle 5, 14-2-1995.

Le contrôle 5 portait principalement sur les fonctions : représentation graphique, sens de variation et résolution graphique d'équations et inéquations. Deux exercices concernaient des paraboles et le troisième la valeur absolue. C'est ce dernier exercice que nous analysons ici.

Texte :

On donne la fonction $f$ telle que $f : x \longrightarrow |x-5|$.

1) Représenter graphiquement la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.

2) Résoudre graphiquement $|x-5| = |3+x|$ puis $|x-5| \le |3+x|$.

Pour la première question,

* 25 élèves tracent un graphique correct : B1, B4, B5, B6, B7, B10, B11, B12, B13, B17, B18 à B31, B35. Cependant, parmi eux, B27 écrit à côté "$x > 0$" et B19 a utilisé 2 couleurs
différentes pour les deux moitiés (ainsi que pour celle de $|x+3|$ : a-t-elle complété au moment de résoudre les équations ou colorié à ce moment là ?

* B3, B15 et B33 font un graphique incomplet (B3 entre -3 et 3, B15 et B33 pour $x < 5$). Remarquons que les parties utiles pour les représentations ont été représentées.

* B8 et B34 ne répondent pas.

* 5 élèves produisent un graphique faux :

- B2 dessine $-|x| + 5$ ($x + 5$ pour $x < 0$ et $-x + 5$ pour $x > 0$)

- B9 dessine $|x+5|$ (erreur sur le signe de l'abscisse)

- B14 dessine $|x| - 5$ (décalage vertical)

- B16 dessine $x-5$ (droite, enlève les barres)

- B32 dessine $-x+5$ (droite, prend l'opposé).

Pour la deuxième question,

* 12 élèves donnent des réponses correctes pour les deux : B1, B5, B6, B7, B12, B15, B18, (B21, B22), B23, B25, (B32). Cependant, parmi eux, B7 prend l'inégalité stricte : $x > 1$, B21 et B23 ne dessinent pas le deuxième graphique mais fournissent des réponses correctes sans explication, B21 a cependant placé -3 sur l'axe des x, B32 fait de même avec un graphique faux mais permettant d'avoir la solution correcte s'il prend $x + 3$ pour l'autre ou s'il résout sur l'axe des x.

* 6 élèves résolvent correctement l'équation mais pas l'inéquation : B3, B14, B26, B27, B29, B31 :

- B3, B14, B26 et B31 répondent $x \le 1$ pour l'inéquation (B3 et B31 utilisent un axe gradué et non le graphique cartésien), B14 avait un graphique faux mais semble en avoir refait un autre, correct cette fois, pour la résolution,

- B27 écrit "$f(x) = 4$ et $x = 1$" pour l'équation, "$f(x) = [0,4]$ et $x = [-3, 5]$" pour l'inéquation, c'est-à-dire les segments délimités sur les axes par les courbes.

- B29 répond correctement ($x \in [1, +\infty$]) mais colorie toute la zone située au-dessus des deux graphiques.

* 6 élèves marquent le point d'intersection des deux courbes, colorient éventuellement des portions de courbes mais n'expriment pas les solutions :

- B4 colorie la partie deu graphique de $|x-5|$ pour $x \ge 1$

- B13 colorie la zone $x \le 1$ et $y > -x + 5$

- B17, B24, B35 : seul le point d'intersection est marqué

- B19 a dessiné en vert les parties de graphiques correspondant à $x < -3$ et $x > 5$

* 5 élèves ne répondent pas : B8, B16, B20, B30, B33 : B20 et B30 avaient un graphique correct, B33 un demi graphique.

* Les 6 autres font des erreurs variées :

- B2 a un graphique faux, ne donne pas d'explication et répond $\{-1\}$ et $[-1; +\infty[$ qui peut correspondre à la résolution de $x + 5 = -x + 3$

- B9 représente $|x+5|$ et $|x+3|$ mais fait encore de serreurs de signe dans la lecture graphique : il répond $\{4\}$ et $[4, +\infty[$ alors qu'il devrait trouver $\{-4\}$ et $]-\infty, -4]$ avec son graphique

- B10 a un graphique juste mais répond $\{4\}$ et $]-\infty, 4]$ : peut-être a-t-elle résolu sur Ox en confondant 3 et -3 et en se référant à la distance

- B11 (graphique correct) résout sur l'axe Ox et répond $\{3, 5\}$ et $[3, 5]$

- B28 répond $x = 4$ et $[4, 5]$ sans explication en ayant dessiné les lignes de rappel du point (4,1) de la courbe

- B34 ne trace pas de graphique et résout algébriquement par une méthode très curieuse qui lui donne néanmoins les résultats exacts : elle écrit $"|x-5| = |3+x| \quad |x-5| = -|3+x| \quad x - 5 = -3 - x$

$$x+x = -3+5 \quad 2x = 2 \quad \frac{2x}{2} = \frac{2}{2} \quad x = 1'' \text{ puis } "|x-5| \le |3+x| \quad |x-5| \le -|3+x| \quad x - 5 \le -3 - x \quad x+x \le -3+5$$ $$2x \le 2 \quad x \ge 1'' \text{ Les barres sont suivant le cas des barres de valeur absolue ou des parenthèses et l'usage du signe d'inégalité semble flou.}$$

La moitié des élèves résolvent donc l'équation, dont 12 (34,3 %) sûrement par la méthode graphique, et 3 sur un axe gradué, plus de la moitié (18/35) marquent le point d'intersection des deux courbes mais seulement 9/35 (25,7%) résolvent correctement l'inéquation par la méthode graphique.
L'enseignant de la classe B a soigneusement identifié les différents éléments signifiants de la conversion entre les registres algébrique et graphique. Cependant l'expression dans le cadre algébrique d'une résolution graphique pose encore problème pour la majorité des élèves.

### 3. Classe C. Contrôle 5, 10-2-95

Le professeur de la classe C donne régulièrement des petits contrôles surprise courts et deux fois par trimestre un contrôle d'une heure et demie. Les moyennes trimestrielles font intervenir, avec une pondération, tous ces contrôles ainsi que les devoirs à la maison. Par exemple, pour le 3ème trimestre il y avait deux contrôles sur 20, coefficient 3, deux "interr" sur 8 et 12 respectivement coefficient 2, un devoir sur 20 coefficient 1. Le professeur C utilise la même technique que le professeur A : elle donne deux versions de ses contrôles pour que les élèves voisins n'aient pas les mêmes.

Sur la valeur absolue, il y a eu une partie du contrôle 5 (10 février 1995), deux exercices dans des "interrogations surprise":

- le 17 mars : "Représenter graphiquement la fonction f telle que $f(x) = |2x+6|$ (resp. $|5x+10|$). Résoudre $|2x+6| = 5$ et $|2x+6| = -5$ et $|2x+6| < 5$ (resp. $|5x+10| = 2$ ...).

- le 5 mai : "Résoudre $|2x+5| = 7$ et $|x-4| < -1$.

L'exercice 1 du contrôle 6 du 31 mars a été consacré à l'aspect distance et encadrements :

a) On donne les réels $x$ et $y$ tels que $\frac{2}{7} < x < \frac{3}{7}$ et $\frac{5}{7} < y < \frac{5}{6}$. Encadrer $x+y$, $2x-y$, $xy$, et $\frac{x}{3y}$ à l'aide de rationnels.

b) Un pavé droit a pour dimensions $L$, $l$ et $h$ exprimées en dm et telles que leurs valeurs approchées par défaut à $10^{-1}$ près sont respectivement 2,3 ; 1,5 et 0,8.

1) Donner un encadrement de $L$, $l$, et $h$ dont l'amplitude est la plus faible.

2) Donner un encadrement, en $dm^3$, de son volume $V$.

3) $3 \text{ dm}^3$ est-il une valeur approchée de $V$ à 0,3 $\text{ dm}^3$ près ?

3,1 $\text{ dm}^3$ est-il une valeur approchée de $V$ à 0,4 $\text{ dm}^3$ près ?

Cours : Expliciter clairement la différence entre valeur approchée à $\varepsilon$ près, valeur approchée par défaut à $\varepsilon$ près et valeur approchée par excès à $\varepsilon$ près.

c) 1) $x$ et $y$ sont des réels ; que signifie l'écriture $d(x,y)$ ? Donner un exemple.

2) Résoudre les équations ou inéquations puis représenter les solutions sur une droite graduée. Vérifier les réponses. $\circ d(x,2) = 4 \circ d(x,2) < 4 \circ |x+5| > 3$.

d) $x$ est un réel tel que $|x+1| < 2$ ; déterminer les intervalles auxquels appartiennent les nombres $A(x)$ et $B(x)$ tels que $A(x) = x^2$ ; $B(x) = 5 - x$.

e) $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a < b < -2$. En justifiant, comparer : $a+2$ et $b+2$ ; $\frac{1}{a+2}$ et $\frac{1}{b+2}$ ; $(a+2)^2$ et $(b+2)^2$ ; $\frac{1}{(a+2)^2}$ et $\frac{-5}{(b+2)^2}$ ; $\frac{-5}{(a+2)^2}$ et $\frac{-5}{(b+2)^2}$.

Le contrôle comportait aussi deux exercices de géométrie.

Nous n'avons pas eu accès aux copies des contrôles surprise ni à celles du contrôle 6. Nous avons seulement analysé le contrôle 5 dans lequel la partie concernant la valeur absolue était la suivante :

On donne la fonction $f$ telle que $f : x \to |x-5|$.

1) Représenter graphiquement la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.

2) Résoudre $|x-5| = |3+x|$ puis $|x-5| \le |3+x|$.

Résoudre $|2x+6| = 5$.

La première partie est commune avec la classe A mais ici, le professeur ne précise pas "graphiquement" dans la deuxième question.

C31 est absent, nous avons donc 34 élèves. Les résultats sont les suivants :
Première question :

* 18 élèves (soit 52,9 %) fournissent la représentation graphique attendue : C3, C4, C5, C10, C13, C14, C16, C17, C19, C20, C21, C23, C24, C26, C28, C30, C32

* 1 élève (C11) représente bien 2 demi-droites, avec les bonnes équations mais des échelles différentes.

* 1 élève (C35) ne répond pas.

* 2 élèves (C12, C22) tracent la demi-droite correspondant à x > 5,

* C18 trace la demi-droite y = x - 5 pour x > 0,

* C6, C7, C29 tracent la droite y = x - 5,

* C25 trace la droite passant par (0,-5) et (1,4)

* C8 fait une symétrie par rapport à Ox (-x+5 et x-5 pour x < 5, ce qui n'est pas une fonction)

* C15 fait la même chose mais seulement entre -1 et 2 (tableau de valeurs)

* C21 et C34 font un décalage vertical (1x1 + 5 et 1x1 - 5 respectivement)

* C2 coupe à x = 0 avec les bonnes expressions (-x+5 pour x < 0 et x-5 pour x > 0)

* C1 prend les valeurs entières entre -2 et 2, calcule les valeurs en faisant x - 5 pour x ≤ 0 et -x + 5 si x > 0 et joint les 5 points obtenus par une ligne brisée

* C33 place des points correspondant à x - 5 entre 0 et 5 et x + 5 entre -5 et 0.

On voit donc ici beaucoup d'erreurs, et en particulier beaucoup d'élèves qui prennent une formule différente pour x > 0 et x < 0.

Deuxième question :

Nous regarderons d'abord la méthode employée par les élèves puis la réussite ou les erreurs.
C27 n'a pas traité cette question. Restent 33 élèves.

Pour l'équation, 29 élèves ont fait un tableau pour enlever les barres, 3 une résolution graphique et 1 une résolution algébrique.

* Parmi ceux qui font un tableau,

- 19 réussissent la résolution de l'équation : C1, C3, C4, C5, C6, C8, C9, C10, C11, C18, C20, C21, C22, C24, C25, C26, C28, C32, C33.

- 10 font des erreurs :

- C30 fait une erreur de signe dans le calcul et trouve x = -1,

- C2 traduit 13-x1 par -3+x si x < 3 et 3-x si x > 3

- C12 n'e remplit pas son tableau et ne répond pas pour l'équation, de même C17 ne le termine pas

- C14 fait un tableau correct mais conclut S = [-3, 5]

- C15 fait le tableau correctement mais fait des erreurs de calcul algébrique dans la résolution, C19 en fait dans les cas où les x devraient disparaître

- C16 a des problèmes d'interprétation du tableau : sous "x=1" il écrit "n'est pas dans l'intervalle" et ne conclut pas

- C23 inverse le tableau pour 1x+31, trouve 1 dans les mauvais intervalles mais conclut quand même x = 1

- C35 inverse le résultat de 1x-51 dans le tableau, trouve x = 1 dans le mauvais intervalle et conclut "pas de solution", ce qui est cohérent

* C7 fait une résolution algébrique correcte en posant x-5 = ± (3+x)

* Pour les résolutions graphiques :

- C13 le fait correctement

- C29 trace y = x-5 et y = x+3 et conclut "impossible"

- C34 a des graphiques faux 1x1 - 5 et x+3, ses réponses sont cohérentes avec ces graphiques.
Pour l'inéquation, il y a 8 non réponse de plus : C2, C8, C11, C16, C17, C24, C26, C35.

Les 25 élèves restant utilisent le plus souvent la même méthode que pour l'équation, sauf C10 (tableau puis graphique) et C13 (graphique puis tableau), avec succès dans chaque cas. Ce sont d'ailleurs les seuls qui réussissent complètement l'inéquation.

* C29 et C34 utilisent une méthode graphique sur des graphiques faux.

* C7 avait résolu l'équation algébriquement, il répond ici x ≤ 1 sans explication

* Ceux qui utilisent le tableau ont des problèmes d'interprétation du tableau ou de traitement des inégalités :

- traitement correct du tableau mais absence de conclusion ou conclusion erronée : C1

- C1 fait correctement son tableau mais conclut {1}

- mauvais traitement des cas où les x disparaissent
- soit avec traitement algébrique correct ($0 \le 8$) et mauvaise interprétation : C15, C18, C20, C21, C30, C33

- C15 a des problèmes pour interpréter le tableau : elle écrit Ø dans le cas $0 < 8$, elle a aussi un problème dans le traitement des inégalités avec l'addition : quand elle change un terme de côté, elle change le sens de l'inégalité au lieu de changer le signe du terme;

- C18 écrit Ø dans le cas $0 < 8$, il conclut donc [1, 5]. De même C5 conclut ]-3, 1] (erreur inégalité en plus)

- C20 écrit "les solutions se trouvent dans l'intervalle [-3, 5] $x \le 1$" (elle fait aussi l'erreur sur les inégalités)

- C21 ne résout que l'équation du milieu et conclut $x \le 1$ : il ne respecte pas l'entête.

- C30 exclut aussi l'intervalle de droite mais fait une erreur de signe au centre et trouve $x \le -1$

- soit avec erreur de calcul algébrique qui évite de faire disparaître les x : C19

- C19 fait des erreurs de calcul algébrique pour éviter que les x ne disparaissent et il se trompe dans le produit d'une inégalité par un négatif, concluant ainsi [-8, 1]

- mauvaise utilisation du tableau (non respect de l'entête) : C6, C21, C23

- C6 n'envisage que le cas $x > 5$ et $x < -3$ et trouve $x \le 1$ sans s'apercevoir que ce cas est vide. C23 inverse les signes dans le tableau pour $|x+3|$, elle trouve donc $x \ge 1$ dans $]-\infty, -3[$, impossible dans $]-3, 5[$, $x \le 1$ dans $]5, +\infty[$ et ne conclut pas.

- mauvais traitement des inégalités : C3, C4, C5, C14, C15, C19, C20, C22, C25, C28, C32, C33

- C9 et C25 font une erreur dans le sens de l'inégalité, écrivent $x \le 1$ mais répondent $[1, +\infty[$ ou $\{1, +\infty[$

Beaucoup d'élèves, outre ceux déjà mentionnés, cumulent au moins deux de ces erreurs :

- C3, C4, C14, C22 passent de $-2x \le -2$ à $x \le 1$ pour la zone $-3 \le x \le 5$ et

- C3 conclut $[-3, 5] \cup [5, +\infty[$

- C4 ne conclut pas

- C14 conclut $[-3, 5]$

- C22 conclut $[-3, +\infty[$

- C12 écrit $[5, +\infty[$ sans explication

On voit donc que l'utilisation du tableau pose beaucoup de problèmes aux élèves, surtout dans le cas des inégalités. A cette époque de l'année, les résultats sont nettement moins bons dans la classe C que dans la classe B : l'interprétation en termes de distance ou la résolution graphique facilitent nettement le traitement de ce genre d'équations.

## Résolution de $|2x + 6| = 5$

Ne répondent pas à la question (la dernière du contrôle) : C2, C12, C27, C30.

* méthode graphique : C5, C21 (et algébrique, les deux justes), C17, (non réussi : graphique faux et mal interprété)

* méthode du tableau

- avec succès : C1, C3, C4, C10, C14, C16, C18, C20, C25, C28, C32, C34

- avec échec : C8, C9, C13

Plusieurs élèves prennent 3 au lieu de -3 comme valeur de partage : C8, C9, C13, C13 ne fait que cette erreur (conclusion cohérente)

* méthode algébrique

- avec succès : C5, C7, C21, C23, C24

- avec échec : C6 (disjoint les cas mais ne conclut pas), C11, C22 (urror de signe), C15, C26, C29 (enlèvent les barres), C33 fait de même mais aves l'argument "2x+6 supérieur à 0", C35 donne la même justification mais ensuite distingue $2x + 6 = 5$ et $-2x - 6 = -5$, trouve respectivement $-\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2}$ et conclut $S = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$

* C19 disjoint les cas $x \le -\frac{1}{2}$ et $x \ge -\frac{1}{2}$ mais on ne sait pas comment il a trouvé cette valeur
## 4. Contrôle 6, classe D, 10/2/95

Le contrôle comportait un exercice de géométrie analytique et 3 exercices sur le chapitre des valeurs absolues et encadrements. L'effectif était de 27 élèves (D19 absent).

### Exercice 2

Pour l'exercice 2, il fallait compléter un tableau, comme dans les classes A et B, mais sans dessin, avec une colonne pour centre et rayon :

<table><thead><tr><th>encadrement</th><th>appartenance à un intervalle</th><th>a = centre de l'intervalle<br>r = rayon de l'intervalle</th><th>distance</th><th>valeur absolue</th></tr></thead><tbody><tr><td>3 &lt; x &lt; 7</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>x ∈ [-2;5]</td><td></td><td>d(x;-1) ≤ 3</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>1x - 1/2 ≤ 4/3</td></tr><tr><td></td><td>x ∈ [-6;-2]</td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

On a donc un intervalle avec centre et rayon entiers positifs, deux intervalles avec centre entier négatif et rayon entier, un intervalle avec centre et rayon fractionnaires dont un avec des dénominateurs différents.

Les résultats sont les suivants, sur 26 élèves (D28 n'a pas joint la feuille d'énoncé à sa copie). - réussite totale : 9 élèves, soit 35 % : D3, D6, D8, D14, D15, D18, D22 (bornes approchées en 4), D26, D27

- réussite de 4 sur 5 (avec éventuellement erreurs mineures ailleurs) : 7 élèves : D2 (rayon -2 au 5), D4 (rayon faux en 2 mais aussi quelques erreurs de recopiage du rayon dans la dernière case, D12 (borne en 4, écriture des inégalités larges ou strictes en 1 et 5), D16 (borne en 4), D20 (centre -8 au 5), D23 (inverse centre et rayon en 2), D24 (borne fausse en 4, mais avec problèmes d'écriture) soit réussite au moins 4 : 62 %

- réussite de 3 sur 5 : D5, D7 (rayon en 2, calcul d'une borne en 4), D10 (calcul en 4, centre rayon en 5), D17 (borne en 4, rayon -2 en 5).

- réussite de 2 sur 5 : D25

- une seule ligne réussie : D9 (ne répond pas pour la distance en 1, 2, 5, erreur de borne en 4), D13 (ne réussit que 1, erreurs sur centre et rayon ailleurs), D21 (ne réussit que 1, erreurs diverses)

- aucun réussi en entier : D1 (ne réussit que les traductions conguentes), D11 (erreurs diverses).

Nous comptons la ligne réussie même en cas de confusion entre inégalités larges et strictes ou intervalles ouverts et fermés.

- Réussite au 1 : 22 élèves soit 85%

- Réussite au 2 : 16 élèves soit 62%

- Réussite au 3 : 22 élèves soit 85%

- Réussite au 4 : 13 élèves soit 50%

- Réussite au 5 : 17 élèves soit 65%

Comme prévu, les fractions posent des problèmes : le 4 est le moins réussi à cause des erreurs de calcul pour les bornes. De même pour le 2 on a des erreurs pour le rayon. Le centre négatif ne pose pas tellement de problème, en 5, l'erreur principale consiste à proposer un rayon -2 (5 élèves et 1 propose -4). En fait les élèves calculent algébriquement centre et rayon et font dans ce cas la différence dans le mauvais sens.

### Exercice 3 : Résolution d'équations et d'inéquations.

Cette question est beaucoup plus difficile que dans les classes A et B puisque le coefficient de x n'est égal à 1 que pour une seule des équations, le rayon étant alors 7/2. Dans la classe C on avait un exercice de ce type dans le contrôle 6 (une seule équation, coefficients entiers) et un exercice du type du e) dans les contrôles des classe B et C, mais avec des coefficients plus simples et une représentation graphique.
Les élèves utilisent très majoritairement la méthode algébrique :

$$a) |x + 2| = \frac{7}{2}$$

- réussite par la méthode algébrique : 22 élèves, soit 81%, compte non tenu d'éventuels problèmes d'écriture. D27 réussit aussi par la distance.

- échec par la méthode algébrique : D10 (erreur de signe dans le calcul algébrique), D24 et D28 (erreur de signe dans le calcul numérique).

- échec par la distance : D13 (échange centre/rayon), D18 (signe du centre).

$$b) |5x-1| = -2$$

- réponse "impossible" : 23 élèves, soit 85%

- trouve 2 solutions par la méthode algébrique : D17, D20, D25, D27 (et par la distance !)

$$c) |4-5x| = 0$$

- réussite par la méthode algébrique : 17 élèves, soit 63%, compte non tenu d'éventuels problèmes d'écriture.

- $x = \pm 4/5$ : D9, D12

- $x = -4/5$ : D10, D27

- autre erreur de calcul algébrique : D14

- $x = 0$ : D2, D28

- pas de solution : D5

- échec par la distance : D18 (signe du centre).

- autre : D13.

$$d) |2x+1| = \frac{1}{5}$$

- réussite par la méthode algébrique : 14 élèves, soit 52%, compte non tenu d'éventuels problèmes d'écriture.

- échec par la méthode algébrique :

- erreur dans le calcul algébrique : D2, D10 et D24 (signe dans équation), D9 (oubli de diviser par 2), D20 (multiplie par 2 au lieu de diviser), D21 (pose les équations et s'arrête), D25 (?)

- erreur de signe dans le calcul numérique : D4, D17,

- erreur sur les fractions ou décimaux : D5, D13, D14

- échec par la distance : D18 (signe du centre).

$$e) |7x+2| = |5x-9|$$

- réussite par la méthode algébrique : 21 élèves, soit 78%, compte non tenu d'éventuels problèmes d'écriture.

- échec par la méthode algébrique :

- erreur de signe en enlevant les valeurs absolues (-5x-9) : D5, D13

- erreur dans le calcul algébrique : D21 (signe dans équation),

- erreur de signe dans le calcul numérique : D13, D24

- erreur sur les fractions ou décimaux : D17,

$$f) |3x+1| \le \frac{1}{2}$$

- réussite par la méthode algébrique : 16 élèves, soit 59%, compte non tenu d'éventuels problèmes d'écriture.

- échec par la méthode algébrique :

- erreur d'inégalité en enlevant les valeurs absolues : D25

- erreur dans le calcul algébrique : D1 (multiplie par 3 au lieu de diviser), D4, D5, D14 et D28 (ajoutent 1), D13 (plusieurs), D17 (soustrait 3 au lieu de diviser).

- erreur sur les fractions ou décimaux : D7, D21

- non réponse : D10.
Il semble que la méthode algébrique ne pose pas de problème en soi : en général les élèves posent les bonnes équations. Les problèmes viennent deu traitement algébrique lui-même et du calcul sur les fractions.

Les erreurs d'écriture peuvent être un mauvais maniement des signes d'inégalité ou d'intervalles ou l'écriture de $|x|$ à la place de x.

**Exercice 4.** Encadrements et valeurs approchées, écriture en valeur absolue.

Nous avons deux exercices du même type dans le contrôle 4 de la classe A, mais contextualisés (volume, périmètre) : la mise en équation et le traitement des formules avaient posé des problèmes.

Un élève (D10) n'aborde pas l'exercice. Restent 26 élèves.

1) Traduction de "29,5 est une valeur approchée de x à 0,5 près".

* Production d'un encadrement correct à 0,5 près : 20 élèves, soit 77%.

- D9 fait bien un encadrement à 0,5 près mais avec des négatifs : il a écrit correctement la valeur absolue d'abord et fait l'erreur de signe classique en retraduisant.

- confusion avec "par défaut" ou "par excès" : D11, D13 (et écrit -29,5), D25

- prend 29 comme centre : D12

- à 0,1 près : D17

* Ecriture correcte de la valeur absolue : 15 élèves, soit 58%

- non réponse : 9 élèves

- D11 écrit $|x$ ; -29,5$\le0,5$ et D12 écrit l'égalité $|x$ - 29,5| = 0,5

2) $|y| - 12,3 \le 3 \times 10^{-1}$, déduire un encadrement.

- Réponse correcte : 15 élèves soit 58% (mais D9, tout en fournissant le bon encadrement dit que le centre de l'intervalle est -12,3 et son rayon 0,3)

- D27 écrit $-0,3 \le |y| - 12,3| \le 0,3$ ; $-0,3 + 12,3 \le |y| \le 0,3 + 12,3$ ; $12 \le |y| \le 12,6$

- non réponse : D17, D21, D25

- erreur sur les puissances : D1, D8

- prend des négatifs : D5, D23

- confusion avec "par défaut" ou "par excès" : D11,

- prend 12 comme centre : D12

- D13 écrit $12,3 \le y \le 3 \times 10^{-1}$

3) Encadrement de $x+y$

- réussite (à partir des encadrements trouvés) : 20 élèves soit 77% (dont D18 qui reprend l'encadrement de x de l'exercice précédent, et D27 qui garde toujours le signe de valeur absolue.

- non réponse partielle : 4 élèves

- D1 prend 3 au lieu de 0,3 trois fois sur 4 et obtient $38,3 \le x+y \le 45,3$

- D5 a une réponse ininterprétable et inachevée sans doute.

4) Encadrement de $x-y$

- réussite : 17 élèves, soit 65% (dont D18 qui reprend le même x que pour la somme)

- non réponse partielle : 5 élèves.

- soustraction des inégalités (ou passage à l'encadrement de l'opposé sans changer les signes : D5 (qui avait des encadrements par des négatifs), D20, D27 (en écrivant l-yl))

- D24 prend 29 des deux côtés pour x

La plus grande difficulté consiste à passer de l'écriture avec valeur absolue à l'encadrement et réciproquement : à peine plus de la moitié des élèves y parviennent alors que l'encadrement d'une somme et même d'une différence sont relativement mieux réussis (les élève passent par l'encadrement de -y, comme l'a montré le professeur en classe. Rappelons qu'il s'agit d'encadrements théoriques de nombres et non d'une utilisation dans une situation où les résultats seraient sans doute moins bons.
# Annexe 5

## Compléments aux résultats du test

### 1. Nombres.

**Réponses détaillées à la question "Qu'est-ce qu'un nombre ?"**

1.a. ne barrent rien : classe A, 2 ; classe B, 0 ; classe C, 2 ; classe D, 2.

**Explications données :**

"Un nombre est un chiffre qui peut être positif ou négatif mais il peut être aussi remplacé par une lettre" (A2)

"Ce sont tous des nombres car on peut écrire un nombre sous plusieurs formes" (A9)

"Pour moi un nombre est un alignement de chiffres connus ou une quelconque expression qui possède une valeur" (C3)

"Un nombre est une valeur réelle" (C34)

"Un nombre est une expression numéral (sic) composée de plusieurs ou un seul chiffres" (D12)

1.b. barrent seulement e : classe A, 1 ; classe B, 3 ; classe C, 0 ; classe D, 3.

**Explications données :**

"Un nombre pour moi doit représenter quelque chose, une valeur, une grandeur. Quand on pense à un chiffre, on pense à un nombre, ex 3,5 est un nombre ; x est un nombre ssi on lui attribue une valeur" (A13)

"Un nombre est composé de chiffres, peu importe le nombre de chiffres ou son signe" (B2)

"Pour moi, c'est un ensemble de chiffres" (B19)

"Des chiffres : décimaux, entiers, positifs, négatifs" (B13)

"Un nombre, c'est tous les réels compris entre $]-\infty; +\infty[$ (D5)

"plusieurs chiffres assemblés" (D25)

1.c. barrent tout ce qui contient x (e barré ou non) : classe A, 7 ; classe B, 13 ; classe C, 17 ; classe D, 2, autres 1².

**Exemples d'explications données :**

"Pour moi un nombre représente une distance qui dépend de l'unité choisie" (A6)

"Un nombre est quelque chose de concret que l'on peut compter, additionner ou soustraire. Cela peut-être une distance ou de l'argent. Pour de l'argent, les nombres négatifs peuvent être des dettes" (A10)

"Pour moi les nombres sont compris dans l'intervalle $]-\infty; +\infty[$. Des nombres se composent uniquement de chiffres et non pas de lettres ou sous la forme d'abord d'une opération qui une fois effectuée donnera un ou une série de chiffres d'où un nombre." (A11)

"Un nombre est une quantité ou représente une quantité non variable. Il peut être positif, négatif. L'expression e ou $2x+\frac{5}{4}$ comporte une inconnue. On peut donc faire varier cette inconnue et créer une fonction. Pour que x soit un nombre, il faut le préciser" (A14)

"Un nombre est un outil de mathématique avec lequel on peut calculer pour trouver un résultat" (A19)

"Pour moi un nombre est une valeur exacte et précise, qui ne peut s'exprimer que par des chiffres. $\pi$ est considéré comme la valeur d'un nombre" (A27)

"Pour moi un nombre est composé de chiffres et quand on le calcule, il donne des chiffres" (B5)

"Un nombre pour moi est quelque chose de réel, de défini" (B6)

"C'est un chiffre ou encore une lettre qui représente un chiffre précis" (B10)

<footnote>* réponse 1 : élèves qui ne barrent que des lettres (plus à la rigueur 0 ou 0,232323....)</footnote>

<footnote n="2">² Nous classons "autres" 3 élèves : l'un a servi à évaluer le test et n'est pris en compte que pour les premières questions, les deux autres sont 1 élève de la classe A et un élève de la classe B qui sont arrivés après les vacances de février, qui ont donc suivi un autre enseignement et pour lesquels nous n'avons pas d'autres données.</footnote>
"Un nombre n'est pas une lettre ; il y a plusieurs sortes de nombres, il y en a des définis comme 1 ou 102 et il y en a des indéfinis comme 7x" (B11)

"Un nombre est composé de un à plusieurs chiffres ou cela peut être une lettre mathématique telle que $\pi$ ayant une valeur déterminée" (B17)

"Un nombre a une valeur numérique, mais ce n'est pas une variable" (B18, excellent élève, qui laisse e)

"Un nombre est quelque chose entièrement défini (B32)

"Un nombre est compris entre $-\infty$, $+\infty$ ($-\infty \le 0 \le +\infty$) (B34)

"Pour moi un nombre doit avoir une valeur précise, par exemple $\frac{1}{\pi+1} = 1,31...$ il a une valeur; par contre 3x n'est pas un nombre, il n'a pas de valeur précise car on ne sait pas la valeur de x" (C2)

"Un nombre a une valeur approchée ou une valeur exacte. Son expression à elle seule le définit" (C8)

"Un nombre pour moi est une chose précise (à peu près approchée à $10^{-10}$), ce qui n'est pas le cas d'une expression littéraire (sic)" (C10)

"Un nombre est un chiffre, il peut être positif ou négatif, il peut être à virgule ou pas" (C15)

"Un nombre pour moi est une expression numérique par laquelle il est possible de calculer ou mesurer" (C17)

"Pour moi un nombre c'est tout ce qui correspond à des chiffres. Par exemple, $\pi \approx 3,14...$ mais e n'est égal à rien" (C33)

"Pour moi un nombre est une expression numérale pouvant être composée de plusieurs chiffres et pas de lettres" (D16)

"Pour moi un nombre c'est un ou une combinaison de chiffres" (D18)

1.d. barrent e, x et éventuellement 3x : classe A, 3 ; classe B, 2 ; classe C, 2 ; classe D, 4.
Exemples d'explications données :

"Un nombre est un chiffre, qu'il soit à virgule, au carré, positif ou négatif" (A12 qui ne barre que x et e)

"Un nombre est une chose qui est supérieure ou inférieure à zéro, c'est une chose qui est mesurée, un nombre s'est une chose réelle" (A15 barre x et e)

"Un nombre est pour moi composé de chiffres ou un symbole tel que $\pi$ qui en représente un ($\pi \approx 3,14...$)" (B4 qui barre x, e et 3x)

"Un nombre, c'est un ou plusieurs chiffres, avec ou sans virgule" (B9 barre e et x)

"Un nombre pour moi est une expression numérique par laquelle il est possible de calculer ou mesurer" (C17 qui barre x, e et 3x)

"Un nombre est composé de chiffres. Il indique une certaine valeur ou une certaine quantité" (D2, barre e et x)

"C'est une valeur positive ou négative qui peut être calculée et découverte si on la met en inconnue" (D11, barre e et x)

"C'est une valeur positive, négative ou nulle" (D20, barre x, e et 3x)

1.e. barre les lettres et 0 : classe A, 1 ; classe B, 0 ; classe C, 0 ; classe D, 0.
Explication donnée : "x est une valeur donnée" (A23)

1.f. ne barre que $0,232323...$ : classe A, 0 ; classe B, 0 ; classe C, 1 ; classe D, 0.
Explication donnée :

"Pour moi un nombre a une valeur précise, n'est pas infini dans son écriture ($\pi$ est une écriture arrêtée). Les lettres peuvent désigner des nombres entiers (le plus souvent) ou des décimaux." (C24)

Nous avons rattaché à cette catégorie :
C12 qui barre les lettres et $-5^3$ (peut-être parce qu'il figure 2 fois)

Total pour la catégorie 1 : classe A, 14 ; classe B, 18 ; classe C, 22 ; classe D, 11.

* réponse 2 : élèves qui se préoccupent du nombre de chiffres
2.a. barrent 0, -4 et éventuellement les lettres : classe B, 1 ; classe C, 1 ; classe D, 2.

Exemples d'explications données :

"Pour moi un nombre est "quelque chose" qui est composé d'au moins 2 chiffres" (B26)

"Un nombre c'est un ensemble de chiffres" (C27 barre -4, 0, e, x)

"Un nombre, c'est 2 chiffres ou plus" (D3, barre -4, 0, e)

"Un nombre est un ensemble de chiffres, une somme de chiffres" (D9, barre -4, 0, e, x)

2.b. déclarent que les nombres doivent être plus grands que 9 ou que 10 : classe D, 3. 3

Explications données :

"Les chiffres au-dessus de 10" (D4 qui garde 0 ; $10^3$ ; $\pi^2\sqrt{17}$ ; 8,5 $10^{-28}$ ; $-5^3$ ; $(-5)^3$ ; $\pi - \frac{22}{7}$)

"Un nombre est l'union de deux chiffres (chiffre = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) qui rendent donc
le nombre supérieur ou égal à 10 ou -10" (D6 qui garde $10^3$ ; $\pi^2\sqrt{17}$ ; $-5^3$ ; $(-5)^3$)

"Un nombre est composé au minimum de 2 chiffres, il est donc compris entre $]-\infty; -9[$ U $]9$ ; $+\infty[$" (D23 qui garde $10^3$ ; $2\sqrt{7}$ ; $\pi^2\sqrt{17}$ ; $|2 - \pi|$ ; 8,5 $10^{-28}$ ; $\pi^2$ ; $-5^3$ ; $(-5)^3$)

2.c. autre réponse du même type : classe A, 1 (A4 barre -4, 0, 0,05, $10^3$, 0,232323..., pas d'explication donnée).

2.d. même idée mais confond en plus chiffre et nombre : classe B, 1 (conserve 0, -4, e, x)

Explication donnée :

"Un nombre est un numéro ou un symbole représentant un et un seul nombre ou numéro (nombre $\rightarrow 2 \rightarrow$ un seul numéro, chiffre $\rightarrow 435 \rightarrow$ combinaison de numéros)" (B27)

Total pour la catégorie 2 : classe A, 1 ; classe B, 2 ; classe C, 1 ; classe D, 5.

* **réponse 3** : Elèves qui refusent, éventuellement en plus des lettres, certaines expressions.

3.a. refusent seulement $|2-\pi|$ : classe A, 1 ; classe B, 2 ; classe C, 1 ; classe D, 2, autres 1.

"Un nombre peut être entier ou décimal, positif ou négatif. On peut effectuer différentes opérations avec ces nombres ; multiplication, addition etc...) (A8, barre e, x et $|2-\pi|$)

"Un nombre est un (des) chiffre(s) qui peut comporter des puissances, des racines, des fractions ou des virgules, ou ce peut être une lettre qui remplace un (des) chiffre(s). Il peut être positif ou négatif (A28, catégorie "autres", ne barre que e et $|2-\pi|$)

"Un nombre est une expression mathématique représentée par des chiffres ou des lettres (ou les deux qui représente une valeur" (C 30 qui barre aussi e)

"Un nombre est un groupe de chiffres qui donne un seul résultat" (D24, barre e et $|2 - \pi|$)

"Un nombre est un symbole qui définit une quantité" (D15, ne barre que $|2-\pi|$)

Nous mettons aussi dans cette catégorie B24 qui refuse $|2 - \pi|$ et $-5^3$ (peut-être parce qu'il est égal à $(-5)^3$) et dit "tous les nombres doivent être dans un domaine de définition : $R, R^+, R^*$, $Z, N$"

3.b. refuse les parenthèses $(-5)^3$ et e : classe A, 1 : A21, pas d'explication

3.c. refusent une autre expression : 3

$(\pi^2\sqrt{17})$ classe A, 1 (A20 qui barre aussi les lettres et dit pour un nombre "c'est une valeur réelle, positive ou négative, à partir de laquelle on peut faire des calculs, des distances... Elle peut être entière ou ne pas l'être";

classe B, 1 (B14 refuse x et $\pi^2\sqrt{17}$ et dit qu'un nombre "c'est un ensemble de chiffres";

classe C, 1 (C26 qui refuse les lettres et $\pi - \frac{22}{7}$ et dit "un nombre est composé de plusieurs chiffres ; tous les nombres au-dessus de 10 sont des nombres").

3.d. refusent plusieurs expressions :

<footnote n="3">³ Un élève de la classe B donne une explication de ce type mais ne barre que x et e, nous l'avons classé dans "autres réponses", c'est B21.</footnote>
classe C, 2 (C20 refuse $|2-\pi|$ ; $-\frac{3}{13}$ ; $8.5 \ 10^{-28}$ )

(C32 qui refuse $|2-\pi|$ et $\frac{1}{\pi+1}$ et dit "Un nombre est une série de chiffres, entiers ou décimaux"
;
1 autre (B35 qui refuse $|2-\pi|$ ; 0,05 ; 0,232323... et explique "un nombre est une valeur que
l'on peut définitret que l'on peut calculer")

Total pour la catégorie 3 : classe A, 3 ; classe B, 3 ; classe C, 4 ; classe D, 2 ; autres, 2.

* **réponse 4** : ne garde que des expressions sans opérations (avec au plus 1 ou 2 exceptions).
Suivant le cas, les élèves conservent ou non $2\sqrt{7}$, $1+\sqrt{7}$, $\pi^2$, $-\frac{3}{13}$ qui correspondent à des écritures usuelles.
Total pour la catégorie 4 : classe A, 2 ; classe B, 4 ; classe C, 6 ; classe D, 3.

Exemples d'explications données :

"Est un nombre qui peut soit se multiplier, diviser, et qui a plusieurs écritures possibles, et de différentes manières" (A26)

"Un nombre est un chiffre, il peut être négatif ou positif" (B3)

"Pour moi, un nombre c'est un ensemble de chiffres ou alors un chiffre seul" (B12)

"Parmi les nombres on regroupe les chiffres et autres numériques ex : 2 ; -2 ; $10^{-12}$ ; 0,3." (C4
qui n'a conservé que les entiers et les écritures à virgule, y compris 0,2323...)

"Un nombre est un réel, c'est-à-dire qu'il peut être même écrit sous forme de puissance ou $\sqrt{\dots}$ tant que n'entrent pas en jeu les additions, soustractions..." (C31)

Parmi eux, certains (bons) élèves ne gardent que les décimaux en donnant des explications.

- Trois bons élèves de la classe C ne gardent que les écritures finies : 0,05 ; -4 ; 0 ; $10^3$ ; $-\frac{3}{13}$ ; $(-5)^3$ ; $-5^3$ ; $8.5 \ 10^{-28}$ ;

C11 (qui refuse aussi $(-5)^3$) dit "Un nombre c'est une valeur nette, précise, directement utilisable, réelle"

C13 dit "Pour moi un nombre représente tout ce qui appartient à $\mathbb{R}$ mais qui tombe juste".

C21 "Un nombre est une valeur définie et réelle".

- B1 (très bon élève) ne garde même que -4 ; 0 ; 0,05 en disant "un nombre est un ensemble de chiffres, à virgule ou non, qui a une valeur exacte"

* **réponse 5** : élèves qui refusent à la fois les opérations et les nombres à un chiffre :

classe B : 1 élève (B16, élève en grande diffiuclté, garde $-\frac{3}{13}$ ; $8.5 \ 10^{-28}$ ; $10^3$ ; $(-5)^3$ et dit "un nombre $\ne$ un chiffre"); classe C : 1 élève (C14 garde $2x + \frac{5}{4}$ ; e ; $8.5 \ 10^{-28}$ ; $10^3$ ; $\pi\sqrt{17}$ ; x ; $(-5)^3$ ; $-5^3$ ; $3x$ et dit "Un nombre est un entier ou un décimal fait à partir de chiffres (0 -> 9) un nombre est composé de chiffres).

* réponses inclassables, souvent incohérentes avec l'explication: classe A, 2 ; classe B, 1 ;
classe C, 1 ; classe D, 1.

A16 barre -4, 0, e, $|2-\pi|$, $1+\sqrt{7}$, $\pi^2$, $3x$ et dit "un nombre peut être positif ou négatif, c'est aussi les décimaux, un nombre a plusieurs écritures (les puissances, les racines, les fractions)"

A22, élève en grande difficulté, ne conserve que -4, 0, $10^3$, $2\sqrt{7}$, $-\frac{3}{13}$; $|2-\pi|$; $1+\sqrt{7}$; $-5^3$; $(-5)^3$;
$3x$ ; $\pi - \frac{22}{7}$ et dit "Pour moi, un nombre c'est un chiffre où il n'y a pas de virgule."

B21 ne barre que x et e et dit "c'est supérieur à 9, c'est-à-dire composé de 2 chiffres"
### Encadrement de $1-\sqrt{2}$

Pourcentages

<table><tr><td>réponse 1</td><td>0,00</td><td>0,17</td><td>0,31</td><td>0,05</td><td>0,00</td><td>0,15</td></tr><tr><td>réponse 2</td><td>0,13</td><td>0,17</td><td>0,20</td><td>0,18</td><td>0,50</td><td>0,18</td></tr><tr><td>réponse 3</td><td>0,04</td><td>0,07</td><td>0,06</td><td>0,00</td><td>0,00</td><td>0,04</td></tr><tr><td>réponse 4</td><td>0,04</td><td>0,03</td><td>0,03</td><td>0,00</td><td>0,00</td><td>0,03</td></tr><tr><td>autre réponse</td><td>0,17</td><td>0,07</td><td>0,06</td><td>0,05</td><td>0,00</td><td>0,08</td></tr><tr><td>non réponse</td><td>0,63</td><td>0,48</td><td>0,34</td><td>0,73</td><td>0,50</td><td>0,52</td></tr></table>

### Valeur exacte de $|1-\sqrt{2}|$

réponse 2 : valeur approchée avec au moins 5 décimales,

réponse 3 : autre valeur approchée

réponse 4 : "il n'y a pas de valeur exacte"

<table><tr><td>réponse 2</td><td>5</td><td>2</td><td>2</td><td>2</td><td>0</td><td>11</td></tr><tr><td>réponse 3</td><td>3</td><td>1</td><td>3</td><td>0</td><td>0</td><td>7</td></tr><tr><td>réponse 4</td><td>1</td><td>0</td><td>3</td><td>0</td><td>0</td><td>4</td></tr></table>

<table><thead><tr><th>Pourcentages</th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>réponse 1</td><td>0,04</td><td>0,17</td><td>0,09</td><td>0,09</td><td>0,50</td><td>0,11</td></tr><tr><td>réponse 2</td><td>0,21</td><td>0,07</td><td>0,06</td><td>0,09</td><td>0,00</td><td>0,10</td></tr><tr><td>réponse 3</td><td>0,13</td><td>0,03</td><td>0,09</td><td>0,00</td><td>0,00</td><td>0,06</td></tr><tr><td>réponse 4</td><td>0,04</td><td>0,00</td><td>0,09</td><td>0,00</td><td>0,00</td><td>0,04</td></tr><tr><td>réponse 5</td><td>0,00</td><td>0,07</td><td>0,26</td><td>0,05</td><td>0,00</td><td>0,11</td></tr><tr><td>réponse 6</td><td>0,00</td><td>0,21</td><td>0,09</td><td>0,05</td><td>0,00</td><td>0,09</td></tr><tr><td>réponse 7</td><td>0,08</td><td>0,03</td><td>0,00</td><td>0,09</td><td>0,00</td><td>0,04</td></tr><tr><td>réponse 8</td><td>0,13</td><td>0,03</td><td>0,03</td><td>0,00</td><td>0,00</td><td>0,04</td></tr><tr><td>réponse 9</td><td>0,04</td><td>0,07</td><td>0,03</td><td>0,09</td><td>0,00</td><td>0,05</td></tr><tr><td>non réponse</td><td>0,38</td><td>0,31</td><td>0,29</td><td>0,55</td><td>0,50</td><td>0,37</td></tr></tbody></table>

Parmi les autres réponses, deux élèves, B12 et D25, répètent $|1-\sqrt{2}|$.

### Intervalles.

#### Codage détaillé des erreurs. Pour les questions 5a, 5c, 5d, 5e

- le code 1 correspond à une réponse correcte ($2 \le x \le 5$ ; $-\frac{7}{2} \le x \le -\frac{1}{2}$ ; $-2 \text{ et } 1$ ; $-2 \le x \le 1$),

- le code 2 correspond à une résolution comme s'il n'y avait pas de barres ($x \le 5$ ; $x \le \frac{1}{2}$ ; $x = 1$ ; $x \le 1$), nous considérerons avec un code 2', les élèves qui prennent $0 \le x \le 5$ etc...

- le code 3 correspond à la même idée mais avec une erreur de signe en plus ($x \le 2$ ou $x \le -2$ ; $x \le \frac{7}{2}$ ; $x = 2$ ; $x \le 2$),

- le code 4 correspond aux mêmes erreurs mais avec $\ge$ dans le cas où on ajoute un nombre négatif.

Les codes 2, 3, 4 seront regroupés pour repérer les élèves qui traitent ces équations ou inéquations comme s'il n'y avait pas de valeur absolue.

- le code 0 correspond aux élèves qui donnent un intervalle centré en 0 et délimité par une borne correcte, par exemple $-5 \le x \le 5$ pour a,

- le code 5 correspond aux élèves qui donnent aussi une demi-droite comme solution, mais délimitée par un point d'abscisse le centre ou le rayon, par exemple $x \le 3,5$ ou $x \ge 3,5$ ou $x \ge 1,5$ ou $x \le 1,5$ pour a,

- le code B correspond aux élèves qui donnent un intervalle délimité par le centre et le rayon, avec éventuellement des erreurs de signe, par exemple $1,5 \le x \le 3,5$ ou $-3,5 \le x \le 1,5$
Nous pourrons éventuellement regrouper les codes 5 et B, puisque ce sont des élèves qui cherchent des réponses d'un certain type (demi-droite ou intervalle) mais cherchent les bornes dans les nombres fournis, le code 5 correspondant aux élèves qui cumulent probablement une erreur de type B et une erreur de type 2.

- le code CR correspond aux élèves qui échangent centre et rayon que ce soit en dessinant l'intervalle ou en lisant le dessin,

- nous noterons S les erreurs qui font une erreur de signe sur une borne ou sur le centre si le reste est juste,

- le code 6 sera réservé aux autres erreurs.

- Pour les questions d et e, nous repérerons les élèves qui traitent la question en se référant probablement aux distances comme dans le cas 1x-al, sans complètement tenir compte du coefficient :

- co pour les élèves qui font comme si on avait x au lieu de 2x et répondent -4, 2 ou -4 ≤ x ≤ 2

- R pour ceux qui prennent un centre correct mais un rayon 3 (-3,5 ; 2,5 pour bornes) ce qui revient à résoudre $|x + \frac{1}{2}| \le 3$

- C pour ceux qui prennent un rayon correct mais un centre -1 (-2,5 ; 0,5), ce qui revient à résoudre $|x + 1| \le \frac{3}{2}$.

Pour l'exercice 6, nous noterons les erreurs éventuelles de signe (S), de centre (C), de rayon (R) et la traduction sera considérée à partir des valeurs trouvées par les élèves, qu'elles soient justes ou non.

Nous repérerons l'erreur qui consiste à traduire $-\frac{7}{2} \le x \le \frac{1}{2}$ par $0 \le |x| \le 3,5$ ou quelque chose de ce genre ou même $-3,5 \le |x| \le 0,5$.

erreurs

<table><tr><td>5 codes 2,3,4</td><td>10</td><td>8</td><td>8</td><td>2</td><td>2</td><td>30</td></tr><tr><td>5 code 0</td><td>4</td><td>3</td><td>2</td><td>2</td><td>1</td><td>12</td></tr><tr><td>5 code 5</td><td>5</td><td>4</td><td>0</td><td>1</td><td></td><td>10</td></tr><tr><td>5 code B</td><td>2</td><td>2</td><td>0</td><td>3</td><td></td><td>7</td></tr><tr><td>5 code 5 ou B</td><td>7</td><td>6</td><td>0</td><td>4</td><td>0</td><td>17</td></tr><tr><td>5 ou 6 code CR</td><td>1</td><td>2</td><td>0</td><td>1</td><td></td><td>4</td></tr><tr><td>5 ou 6 code SC</td><td>4</td><td>4</td><td>3</td><td>8</td><td></td><td>19</td></tr><tr><td>codes co, C, R</td><td>5</td><td>3</td><td>0</td><td>2</td><td></td><td>10</td></tr><tr><td>total</td><td>24</td><td>29</td><td>35</td><td>22</td><td>2</td><td>112</td></tr></table>

Pour faire ce croisement, nous avons considéré qu'il s'agissait d'une réussite si l'élève n'a fait que des erreurs de calcul ou de remplacement de ≤ par =, ou s'il n'a fait que des erreurs de dessin, les traductions algébriques étant correctes (1 cas), mais s'il ne répond pas, nous avons considéré cela comme une non réussite.

Expression algébrique de la valeur absolue. Résultats détaillés par affirmation.

<table><thead><tr><th>Aff1</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><th scope="row">réponse F</th><td>10</td><td>17</td><td>15</td><td>13</td><td>1</td><td>56</td></tr><tr><th scope="row">réponse V</th><td>13</td><td>12</td><td>19</td><td>7</td><td>1</td><td>52</td></tr><tr><th scope="row">réponse JSP</th><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><th scope="row">total</th><td>23</td><td>29</td><td>34</td><td>20</td><td>2</td><td>108</td></tr><tr><th scope="row">% réponse F</th><td>0,43</td><td>0,59</td><td>0,44</td><td>0,65</td><td>0,50</td><td>0,52</td></tr></tbody><thead><tr><th>Aff2</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><th scope="row">réponse F</th><td>10</td><td>13</td><td>28</td><td>7</td><td>0</td><td>58</td></tr><tr><th scope="row">réponse V</th><td>11</td><td>15</td><td>5</td><td>12</td><td>1</td><td>44</td></tr><tr><th scope="row">réponse JSP</th><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>6</td></tr><tr><th scope="row">total</th><td>23</td><td>29</td><td>34</td><td>20</td><td>2</td><td>108</td></tr><tr><th scope="row">% réponse F</th><td>0,43</td><td>0,45</td><td>0,82</td><td>0,35</td><td>0,00</td><td>0,54</td></tr></tbody></table>
<table><thead><tr><th>Aff3</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>réponse V</td><td>16</td><td>11</td><td>8</td><td>13</td><td>0</td><td>48</td></tr><tr><td>réponse F</td><td>4</td><td>13</td><td>16</td><td>3</td><td>2</td><td>38</td></tr><tr><td>réponse JSP</td><td>3</td><td>5</td><td>10</td><td>4</td><td>0</td><td>22</td></tr><tr><td>total</td><td>23</td><td>29</td><td>34</td><td>20</td><td>2</td><td>108</td></tr><tr><td>% réponseV</td><td>0,70</td><td>0,38</td><td>0,24</td><td>0,65</td><td>0,00</td><td>0,44</td></tr></tbody></table>

## Résolution d'équations

### Description des erreurs pour $|3x+4| \le 5$.

L'erreur CR correspond à A20 qui répond $[-\frac{4}{3}; 5]$. Les erreurs de tableau correspondent à C13 et C33 qui prennent 5 comme valeur de séparation du tableau, considèrent que la valeur $\frac{1}{3}$ trouvée à droite ne convient pas et concluent $[-3; 5]$.

Les erreurs de valeur absolue peuvent correspondre à une disjonction de 2 cas :

* $3x+4 \le 5$ ou $3x+4 \le -5$: C16, D20

* $3x+4 \le 5$ ou $3x-4 \le 5$: B5, B25, D23

* $3x+4 \le 5$ ou $4-3x \le 5$: A1, B4, B12

* $3x \le 4+5$ ou $3x \le 4-5$: A17

ou à une seule inégalité :

* $3x+4 \le 5$ ce qui donne $x \le \frac{1}{3}$ pour B9, B19, B31, C23 et $x = \frac{1}{3}$ pour B33 et C27. B3 et D21 partent de cette inégalité mais font des erreurs de calcul algébrique.

* $|3x| \le 1$ pour D25 d'où il conclut $x = \frac{1}{3}$ ou $-x = -\frac{1}{3}$.

Les autres erreurs correspondent à un mauvais dessin sur la droite graduée (A9 et B14) ou à une résolution graphique à partir d'un graphique faux (C34).

Les problèmes de conclusion concernent surtout les élèves de la classe C et un de la classe D, ces élèves ont, à part cela, un traitement correct :

- les élèves qui traitent séparément les inégalités et concluent $x \le \frac{1}{3}$ ou $x \ge -3$ ou laissent les calculs en 2 colonnes sans plus de conclusion : C3, C7, C8, D15

- C5 traite correctement les 2 inégalités mais conclut $S = \{-3; \frac{1}{3}\}$

- C9 et C19 traitent correctement les 2 inégalités et concluent l'un $x \in [0; \frac{1}{3}]$, l'autre $x \in [0; \frac{1}{3}]$ C9 a même écrit le 0 par-dessus un -3 écrit d'abord. Est-ce la trace du fait qu'une valeur absolue est positive jointe à la difficulté à distinguer la variable de l'image par une fonction ? Cette difficulté se manifeste chez C4 par le fait de dire "si $x > 0$, $|x-3| = x-3$ etc...". En revanche il traite correctement le d) par double inégalité.

- C20 et C32 font un tableau pour enlever les barres : C20 remplace partout ses $\le$ par des $=$ et conclut $S = \{-3; \frac{1}{2}\}$ en recopiant mal son résultat ; C32 trouve $\frac{5+4}{-3}$ dans la colonne $x \le -\frac{4}{3}$, écrit dessous Ø, trouve $\frac{5-4}{3}$ dans la colonne $x \ge -\frac{4}{3}$ et répond finalement $\{\frac{5-4}{3}\}$

### Erreurs relevées dans la résolution de $|x-3| = |x+2|$ et $|x-3| \le |x+2|$.

A1 et D14 font une erreur de calcul algébrique dans la résolution mais avec un bon traitement algébrique de la valeur absolue et trouvent $-\frac{1}{2}$.

Les erreurs de valeur absolue avec 2 cas (C30, D20, D21) consistent à dire $x-3 = x+2$ ou $x-3 = -x+2$. C30 trouve $x = \frac{5}{2}$, D20 s'arrête D21 fait de plus une erreur de calcul algébrique : pour $x-x = 2+5$, il trouve $x = 5$.
Les erreurs de valeur absolue avec 1 cas consistent presque toutes (B9, B12, B33, C14, C19, C23, D9) à enlever les barres, poser $x-3 = x+2$ et s'arrêter ou conclure impossible. A26 et B3 font la même chose avec en plus une erreur de signe qui les amène à $2x = 5$. C1 pose, lui, $x+3 = x+2$ avant de s'arrêter.

Dans le cas de l'inégalité, A26 résout $x-3 \le x+2$ et B33 $x+3 \le x-2$, avec de plus une erreur de calcul algébrique qui les amène à $2x \le 5$ et $2x \le -5$ respectivement. On peut d'ailleurs remarquer que beaucoup d'erreurs de calcul algébrique ont pour conséquence d'éviter le 0x. Les problèmes de logique consistent, dans le cas de l'égalité à résoudre $x - 3 = x+2$ et $-x+3 = -x-2$, ce qui donne 2 fois la même chose et conduit à une absence de solution. (C8 qui dit "mettons $|x-3|$ positif et $|x+2|$ positif" pour le premier cas, C12 fait la même chose mais avec une erreur de signe qui lui permet de trouver une solution).

Dans le cas de l'inégalité, nous avons classé dans cette catégorie les deux élèves qui fournissent une réponse correcte avec une mauvaise justification (C6 et C19) et aussi C5 qui distingue bien 3 cas, sans indiquer les valeurs de x auquelles cela correspond et prend $x-3 \le -x-2$ au lieu de $3-x \le x+2$, ce qui lui donne $x \le \frac{1}{2}$ dans cette zone, mais il ne conclut pas. Pour l'égalité il avait fait la même chose mais c'était alors équivalent.

Des élèves de la classe D (D7, D14, D22) essaient d'utiliser une double inégalité : ils partent de $-x-2 \le x-3 \le x+2$ et, après avoir en général ajouté 3 à chaque membre s'arrêtent. D3 fait le même chose à partir de $x-2 \le x-3 \le x+2$.

Pour les autres réponses, dans le cas de l'égalité, A6 adapte l'erreur CR des autres questions en s'écartant de 3 et 2 de chaque côté de 3 pour trouver 1 et 6,

A20 continue à confondre bornes et (centre, rayon) et répond $x \in [3, -2]$.

B14 trace la droite, place -2 et 3 et écrit x à côté de 0,

C3 fait une lecture graphique correcte à partir d'un mauvais graphique (|3x| au lieu de $|x-3|$)

C9 résout algébriquement en envisageant les 4 cas, mais trouve $x = \frac{1}{2}$ et $x = -\frac{1}{2}$ à cause d'une erreur de calcul et conclut $[0, \frac{1}{2}]$,

C15 écrit "$x-3 = x+2$, $x = x+5$, $x^2 = 5$, $x = \sqrt{5}$; $-x+3 = -x-2$, $-x = -x-5$, $-x^2 = -5$, $x = \sqrt{5}$"

D15 écrit $d(x;3) = d(x;-2)$ puis $x = \frac{x-2}{3}$ ou $x = \frac{2-x}{3}$ et trouve $x = -1$ ou $x = \frac{1}{2}$.

C29 et D5 pensent qu'il n'y a pas de solution, C29 parce que "les fonctions sont parallèles", D5 parce que "une valeur absolue n'est jamais égale à une autre".

Dans le cas de l'inégalité,

A1 écrit $2x \le 5$ sans explication,

B5 trace la droite, place -2, 0, 3 et répond $]-\infty, 3]$

B25 hachure une zone du plan sur le graphique (la zone au-dessus de $|x+2|$ et le triangle compris entre les deux courbes et l'axe des x)

B3 écrit $x+3 \le x+2, 1 \le 0$ et ne conclut pas,

B19 répond "$x = \mathbb{R}$",

C3 résout graphiquement à partir d'un mauvais graphique en faisant de plus une erreur de lecture : il conclut $x \le 1$ ou $x \le -0,5$ au lieu de $-0,5 \le x \le 1$,

C9 envisage les 4 cas, trouve $0x \le 5$, dit "faux", $0x \le -5$, dit "faux", $x \ge \frac{1}{2}$, $2x \ge -\frac{1}{2}$ et conclut $x \in [0, \frac{1}{3}]$

C15 fait le même genre de choses que pour les égalités et conclut $x \in \{\sqrt{1}, \sqrt{5}\}$

D15 écrit $d(x,3) \le d(x,-2) : |x-3| - |x+2| \le 0$, le barre et s'arrête,

D21 écrit "$x-3-x+2 \le 0$" et s'arrête

C14, C23 et D9 répondent impossible : C14 sans explication (même réponse au e), C23 en expliquant que les fonctions sont parallèles sur le graphique, D9 après avoir écrit $x-x \ge 2+3$.
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TITRE :

Pratiques des élèves et des enseignants en classe de mathématiques

AUTEUR (S) :

Noirfalise Annie
Noirfalise Robert
Perrin-Glorian Marie-Jeanne

RESUME :

Rôle des gestes de clôture dans l'enseignement des mathématiques

Editeur : IREM
Université PARIS 7-Denis Diderot
Directeur responsable de la
publication : R. CORI
Case 7018 - 2 Place Jussieu
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Dépôt légal : 1997
ISBN : 2-86612-128-7