# Une région explicite sans zéros pour la fonction $\zeta$ de Riemann

par

HABIBA KADIRI (Montréal)

**1. Historique et résultats.** Depuis l'article de Riemann en 1859 (cf. [13]), nous savons que la répartition des nombres premiers est étroitement liée à la répartition des zéros d'une fonction particulière, appelée depuis la fonction $\zeta$ de Riemann. Nous rappelons qu'elle est définie sur le demi-plan $\mathfrak{Re} s > 1$ par

$$ \zeta(s) = \sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^s} = \prod_p (1 - p^{-s})^{-1}, $$

où le produit porte sur les nombres premiers.

La série ci-dessus converge absolument et uniformément dans le demi-plan $\mathfrak{Re} s \ge \sigma_0$, pour tout $\sigma_0 > 1$. La fonction se prolonge en une fonction holomorphe dans le plan complexe sauf en 1, qui est pôle unique et en lequel elle a pour résidu 1. Elle vérifie l'équation fonctionnelle suivante sur le plan complexe tout entier :

$$ \pi^{-s/2} \Gamma(s/2) \zeta(s) = \pi^{-(1-s)/2} \Gamma((1-s)/2) \zeta(1-s). $$

On en déduit que les zéros réels de $\zeta(s)$ sont les pôles de $\Gamma(s/2 + 1)$, c'est-à-dire les entiers $-2n$ où $n \in \mathbb{N}^*$, et que la fonction $\zeta(s)$ a une infinité de racines complexes dont la partie réelle est comprise entre 0 et 1. Nous appellerons $Z(\zeta)$ l'ensemble de ces zéros dits non-triviaux et les noterons $\rho = \beta + i\gamma$. Ils se répartissent symétriquement par rapport à l'axe réel et par rapport à l'axe $\mathfrak{Re} s = 1/2$.

L'hypothèse de Riemann affirme qu'en fait, ils se trouvent tous sur la droite $\mathfrak{Re} s = 1/2$. Mais cette conjecture n'a encore été ni démontrée ni contredite.

Van de Lune, te Riele et Winter l'ont cependant vérifiée en 1986 (cf. [10]) pour les zéros de partie imaginaire inférieure à $5 \cdot 10^8$, ce qui concerne les $1.5 \cdot 10^9$ premiers zéros de la fonction $\zeta$ de Riemann. Ce résultat a même été

<footnote n="2000">2000 Mathematics Subject Classification: Primary 11M06, 11M26.</footnote>
tout récemment amélioré par S. Wedeniwski jusqu'à une partie imaginaire de $3\,330\,657\,430.697$.

En attendant, l'écriture de $\zeta$ sous forme de produit eulérien nous assure qu'elle n'a pas de zéros dans le demi-plan $\mathfrak{Re} s > 1$. En fait, l'influence de la formule d'Euler s'étend même à gauche de cette région. Ainsi, en 1896, Hadamard (voir [5]) et de la Vallée Poussin (cf. [19]) établissent simultanément mais séparément que $\zeta$ ne s'annule pas sur la droite $\mathfrak{Re} s = 1$. Cette affirmation est l'outil fondamental leur permettant d'établir le théorème des nombres premiers, à savoir qu'on a l'estimation asymptotique suivante pour le nombre $\pi(x)$ d'entiers premiers inférieurs à $x$ :

$$ \pi(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \text{Li}(x) \quad \text{où} \quad \text{Li}(x) = \int_2^x \frac{dt}{\log t}. $$

En 1899, de la Vallée Poussin (cf. [20]) élargit son résultat à la région

$$ \mathfrak{Re} s \ge 1 - \frac{1}{R_0 \log |\mathfrak{Im} s|}, \quad |\mathfrak{Im} s| \ge 2, \quad \text{avec } R_0 = 34.82, $$

ce qui lui permet d'estimer le terme d'erreur pour le théorème des nombres premiers :

$$ \pi(x) - \text{Li}(x) = O\left(x \exp\left(-\sqrt{\frac{\log x}{R_0}}\right)\right) \quad \text{quand } x \to +\infty. $$

B. Rosser améliore la valeur de la constante $R_0$, notamment en modifiant le polynôme trigonométrique (voir ci-après) et en 1941 il obtient $R_0 = 19$ (cf. [14]), puis avec L. Schoenfeld en 1962, $R_0 = 17.516$ (cf. [15]). En 1975, dans [16], ces derniers reprennent une idée fondamentale dûe à Stechkin (cf. [17, lemme 2]) et descendent jusqu'à $R_0 = 9.645908801$.

Beaucoup plus récemment, K. Ford (cf. [3] ou [4]) atteint une valeur de 8.463, esentiellement en utilisant une majoration de la fonction $\zeta$ sur l'axe critique, méthode qui ne se généralise pas aux fonctions $L$ de Dirichlet.

En se basant sur la majoration de $\zeta(s)$ lorsque $\mathfrak{Re} s = 1$ donnée par la méthode de Korobov et Vinogradov (cf. [9]), il est possible d'obtenir une région sans zéros du type :

$$ \mathfrak{Re} s > 1 - \frac{1}{R_1 (\log |\mathfrak{Im} s|)^{2/3} (\log \log |\mathfrak{Im} s|)^{1/3}} \quad (|\mathfrak{Im} t| \ge 10). $$

En 1994, O. V. Popov (cf. [12]) trouve $R_1 = 14518$, puis en 2000, Y. Cheng trouve $R_1 = 990$ (voir [1]), résultat dernièrement amélioré par K. Ford : $R_1 = 57.54$ (voir [4]).

Nous allons démontrer le résultat suivant :
### THÉORÈME 1.1 (Principal). La fonction $\zeta$ de Riemann ne s'annule jamais dans la région suivante :

$$ \Re s \ge 1 - \frac{1}{R_0 \log(|\mathfrak{Im} s|)}, \quad |\mathfrak{Im} s| \ge 2, \quad \text{avec } R_0 = 5.69693. $$

Cette région reste plus large que la région de Ford-Vinogradov jusqu'à des valeurs de $|\mathfrak{Im} s|$ inférieures à $e^{9402.562}$. D'autre part, les outils mis en œuvre ici se généralisent aux fonctions $L$ de Dirichlet (voir [7] ou [8]).

Rappelons les trois points fondamentaux autour desquels s'articule la preuve d'un tel résultat. Tout repose d'abord sur une expression de la partie réelle de $-(\zeta'/\zeta)(s) = \sum_{n \ge 1} \Lambda(n)n^{-s}$ en fonction des zéros de la fonction $\zeta$ de Riemann. Pour cela, il y a deux approches :

* celle, dite globale, de la Vallée Poussin qui regarde tous les zéros avec la relation

$$ (1) \qquad -\mathfrak{Re} \frac{\zeta'}{\zeta}(s) = \frac{-\log \pi}{2} + \frac{1}{2} \mathfrak{Re} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{s}{2} + 1 \right) + \mathfrak{Re} \left( \frac{1}{s-1} \right) - \sum_{\varrho \in Z(\zeta)} \mathfrak{Re} \left( \frac{1}{s-\varrho} \right); $$

* celle, dite locale, de Landau qui s'attache aux zéros "proches" de $s$ avec la majoration

$$ (2) \qquad -\mathfrak{Re} \frac{\zeta'}{\zeta}(s) = - \sum_{|s-\varrho| \le c/\log |\mathfrak{Im} s|} \mathfrak{Re} \left( \frac{1}{s-\varrho} \right) + \mathcal{O}(\log |\mathfrak{Im} s|). $$

Le second point essentiel de la preuve consiste en la positivité de la somme sur les zéros $\sum_{\varrho} \mathfrak{Re}(1/(s-\varrho))$ lorsqu'on suppose $\mathfrak{Re} s > 1$.

Enfin, la preuve s'achève avec un autre argument de positivité : si

$$ P(\theta) = \sum_{k=0}^{K} a_k \cos(k\theta) $$

est un polynôme trigonométrique vérifiant

$$ a_k \ge 0 \text{ et } P(\theta) \ge 0, $$

alors on a

$$ \mathfrak{Re} \sum_{k=0}^{K} a_k \sum_{n \ge 1} \frac{\Lambda(n)}{n^{\sigma+ikt}} \ge 0. $$

En ce qui concerne le travail présenté ici, nous reprendrons une idée explotée entre autres par Stechkin et Heath-Brown, et qui consiste à multiplier la fonction de von Mangoldt $\Lambda(n)$ par une fonction lisse positive $g(\log n)$ tout en conservant la positivité de la somme sur les zéros. Par exemple Stechkin (cf. [17]) prend $g(x) = 1 - \kappa e^{-\delta x}$ où $\kappa$ et $\delta$ sont deux réels positifs.
Quant à Heath-Brown, il propose une formule plus compliquée (cf. [6] et le paragraphe 2.2), l'essentiel pour $g$ étant d'être de classe $C^2$ dans $]0, +\infty[$, à support compact et, comme nous allons le voir, à transformée de Laplace positive. En fait, nous considérerons le produit de ces deux fonctions.

Les formules de Weil (voir [22]) s'appliquent alors et donnent une formule impliquant la somme sur tous les zéros (voir le paragraphe 2.1) :

$$ \mathfrak{Re} \left( \sum_{n \ge 1} \frac{\Lambda(n)}{n^s} g(\log n) \right) = g(0) \mathfrak{Re} \left( -\frac{1}{2} \log \pi + \frac{1}{2} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{s}{2} + 1 \right) \right) \\ \qquad + \mathfrak{Re} G(s-1) - \sum_{\varrho \in Z(\zeta)} \mathfrak{Re} G(s-\varrho) + \mathfrak{Re} R(s), $$

où $G$ est la transformée de Laplace de $g$ :

$$ G(z) = \int_{0}^{+\infty} e^{-zt} g(t) dt = \frac{g(0)}{z} + \frac{1}{z} \int_{0}^{+\infty} e^{-zt} g'(t) dt, $$

et où $R(s)$ est un terme reste sous la condition $G(z) - g(0)/z = O(1/|z|^2)$. En remarquant que la transformée de Laplace de la fonction constante égale à 1 est $1/z$, et en rappelant que l'inégalité $\mathfrak{Re}(1/z) \ge 0$ si $\mathfrak{Re} z > 0$ est fondamentale pour traiter la somme sur les zéros, nous souhaiterions imposer à $g$ que sa transformée de Laplace vérifie

$$ \mathfrak{Re} G(z) \ge 0 \quad \text{si} \quad \mathfrak{Re} z > 0. $$

Nous affaiblissons ici cette condition en utilisant la symétrie des zéros non triviaux et généralisons le lemme de Stechkin (cf. [17, lemme 2]) en montrant que

$$ \mathfrak{Re} G(s - \varrho) + \mathfrak{Re} G(s + 1 - \bar{\varrho}) \ge 0 \quad \text{si} \quad \mathfrak{Re}(s - \varrho) > 0 $$

(voir le paragraphe 2.4).

En prenant $\mathfrak{Re} s > 1$, une telle démonstration apporterait déjà une amélioration à la constante de Rosser et Schoenfeld. Or la fonction $g$ étant à support compact, cela nous permet de choisir $s$ avec $\mathfrak{Re} s \le 1$.

Pour ce qui est de la somme

$$ \sum_{\substack{\varrho \in Z(\zeta) \\ \mathfrak{Re}(s-\varrho) \le 0}} \mathfrak{Re} G(s-\varrho), $$

nous montrerons que c'est un terme reste (voir le paragraphe 2.4).

Enfin, nous conservons l'argument trigonométrique final en considérant un polynôme de degré 4 proche de celui introduit par Rosser et Schoenfeld (voir le paragraphe 2.3).

Nous donnons dans le paragraphe qui suit tous les résultats nécessaires à l'établissement de notre résultat et nous y fixons nos notations. Pour le détail des preuves, nous nous reporterons ensuite aux parties trois et quatre.
Je remercie O. Ramaré pour les conseils avisés qu'il m'a prodigués au
fil de cette étude ainsi que K. Ford pour m'avoir aimablement transmis une
version préliminaire de son article [4].

Enfin, je tiens également à remercier le référé pour tout le soin qu'il a
apporté à la relecture du manuscrit. Je lui suis particulièrement reconnais-
sante d'avoir trouvé une optimisation au polynôme de Rosser et Schoenfeld,
ce qui permet d'améliorer le résultat final d'encore quelques décimales.

**2. Structure de la preuve.** Commençons par préciser nos paramètres.
Nous nous donnons une fonction positive $f$, de classe $C^2([0, d])$, à support
compact dans $[0, d]$ et telle que

$$
(H_1) \qquad f(d) = f'(0) = f'(d) = f''(d) = 0,
$$

dont nous notons $F$ la transformée de Laplace :

$$
F(s) = \int_{0}^{d} e^{-st} f(t) dt.
$$

Cette fonction sera choisie au paragraphe 2.2. Nous considérons ensuite un
zéro non trivial $\rho_0 = \beta_0 + i\gamma_0$ de la fonction $\zeta$ de Riemann et nous souhaitons
montrer que ce zéro vérifie le théorème 1.1. La symétrie des zéros de $\zeta$ nous
permet de nous limiter au cas où $\gamma_0$ est positif. De plus, comme tous les zéros
de partie imaginaire positive inférieure à $T_0 = 3\,330\,657\,430.697$ sont connus
(cf. [21]) et résident tous sur la droite critique, nous supposerons que $\gamma_0$
est supérieur à $T_0$. Enfin, nous supposerons que $(1 - \beta_0) \log \gamma_0 \le 1/5$. Nous
noterons $\eta$ le réel $1 - \beta_0$, $s$ le nombre complexe $\sigma + it$, où $t \in [0, +\infty[$, $R$ un
réel pour lequel la région sans zéro est vérifiée et $t_0$ un réel supérieur à 1 (on
prendra $t_0 = 10$). Nous écrirons $\eta$ sous la forme $1/(r \log \gamma_0)$, où $5 \le r \le R$ en
vertu de notre hypothèse, et $\sigma$ sous la forme $1 - 1/(R \log(4\gamma_0 + t_0))$. Grâce
au résultat de Rosser (cf. [14]), nous prenons tout d'abord $R = 9.645908801$,
ce qui implique les valeurs numériques

$$
(3) \quad \sigma \ge \sigma_0 = 1 - \frac{1}{9.645908801 \log(4T_0 + t_0)} \ge 0.99555,
$$

$$
(4) \quad \eta \le \eta_0 = \frac{1}{r \log T_0} \le \frac{1}{5 \log T_0} \le 0.00768,
$$

$$
(5) \quad \omega := \frac{1 - \sigma}{\eta} = \frac{r \log \gamma_0}{R \log(4\gamma_0 + t_0)} \ge \omega_0 \\
\text{avec } \omega_0 = \frac{r \log T_0}{R \log(4T_0 + t_0)} = \frac{1 - \sigma_0}{\eta_0}.
$$

Dans la suite, $\kappa$ et $\delta$ désignent des constantes qui dépendent et ne dépendent que de $r$ et $R$. Cette dépendance est assez faible mais toutefois numériquement interessante. De plus, nous leur imposons la condition
suivante :

$$ (\delta^{-3} + (1 - \eta_0 + \delta)^{-3})^{-1} \le \kappa \le (\delta^{-1} + (1 - \eta_0 + \delta)^{-1})^{-1}. $$

Ou plutôt, en fixant les valeurs de $\eta_0$ dans $[0, 10^{-2}]$ et $\delta$ dans $[(\sqrt{5}-1)/2, 0.866]$, nous demandons à $\kappa$ de vérifier

$$ (6) \qquad (\delta^{-3} + (1 + \delta)^{-3})^{-1} \le \kappa \le (\delta^{-1} + (0.99 + \delta)^{-1})^{-1}. $$

**2.1. Une formule explicite.** Nous commençons par une formule explicite à la Weil (cf. [22]) que nous démontrons au paragraphe 3.1.

**PROPOSITION 2.1.** Soit $f$ une fonction comme ci-dessus et soit $s$ un nombre complexe. Nous avons

$$ \begin{align*} (7) \quad \Re \left( \sum_{n \ge 1} \frac{\Lambda(n)}{n^s} f(\log n) \right) & \\ &= f(0) \left( -\frac{1}{2} \log \pi + \Re \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{s}{2} + 1 \right) \right) \\ &\quad + \Re F(s-1) - \sum_{\varrho \in Z(\zeta)} \Re F(s-\varrho) \\ &\quad + \Re \left( \frac{1}{2i\pi} \int_{1/2-i\infty}^{1/2+i\infty} \Re \left( \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{z}{2} \right) \frac{F_2(s-z)}{(s-z)^2} \right) dz + \frac{F_2(s)}{s^2} \right) \end{align*} $$

où $F_2$ est la transformée de Laplace de $f''$ et où $Z(\zeta)$ désigne l'ensemble des zéros non triviaux de $\zeta$.

Nous prenons des notations supplémentaires pour alléger quelque peu le travail typographique et posons

$$ T_1(s) = -\frac{1}{2} \log \pi + \frac{1}{2} \Re \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{s}{2} + 1 \right), $$

$$ \begin{align*} T_2(s) &= \Re \left( \frac{1}{2i\pi} \int_{1/2-i\infty}^{1/2+i\infty} \Re \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{z}{2} \right) \frac{F_2(s-z)}{(s-z)^2} dz + \frac{F_2(s)}{s^2} \right) \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \Re \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{1}{4} + i \frac{t}{2} \right) \Re \frac{F_2(s - 1/2 - it)}{(s - 1/2 - it)^2} dt + \Re \frac{F_2(s)}{s^2}. \end{align*} $$

Nous introduisons aussi les trois différences

$$ \Delta_1(s) = T_1(s) - \kappa T_1(s + \delta), \quad \Delta_2(s) = T_2(s) - \kappa T_2(s + \delta), $$

$$ D(s) = \Re F(s) - \kappa \Re F(s + \delta). $$

Notons qu'il est sous-entendu qu'elles dépendent des paramètres $\delta$ et $\kappa$.
De (7), nous tirons :

$$
(8) \quad \Re \sum_{n \ge 1} \frac{\Lambda(n)}{n^s} f(\log n) \left(1 - \frac{\kappa}{n^\delta}\right) \\
\qquad = f(0) \Delta_1(s) + D(s-1) - \sum_{\varrho \in Z(\zeta)} D(s-\varrho) + \Delta_2(s).
$$

2.2. La fonction test f. Nous noterons $\tilde{F}(X,Y)$ la partie réelle de la transformée de Laplace de $f$ :

$$
(9) \quad \tilde{F}(X,Y) = \Re \int_0^d e^{-(X+iY)t} f(t) \, dt.
$$

En sus des conditions requises à f dans l'introduction, nous imposons à $\tilde{F}$
de vérifier

$$
(H_2) \qquad \tilde{F}(X, Y) \ge 0 \quad \text{si } X \ge 0.
$$

Heath-Brown propose une famille de fonctions (cf. [6, lemme 7.5]) dont nous
ne savons pas si elles sont optimales pour notre problème, mais dont nous
pensons qu'elles sont assez bien adaptées à notre méthode. Pour $\theta \in ]\pi/2, \pi[$,
nous définissons

$f(t) = \eta h_{\theta}(\eta t),$

où $h_\theta$ est indépendante de $\eta$. Cette fonction est nulle en dehors de l'intervalle $[0, -2\theta/\tan\theta]$ et, pour $u$ appartenant à cet intervalle, vaut

$$
h_{\theta}(u) = (1 + \tan^2 \theta) \left[ \begin{aligned}
& (1 + \tan^2 \theta) \left( \frac{-\theta}{\tan \theta} - \frac{u}{2} \right) \cos(u \tan \theta) + \frac{-2\theta}{\tan \theta} - u \\
& - \frac{\sin(2\theta + u \tan \theta)}{\sin(2\theta)} + 2 \left( 1 + \frac{\sin(\theta + u \tan \theta)}{\sin \theta} \right)
\end{aligned} \right].
$$

Nous avons alors

$f(0) = \eta g_1(\theta),$

où nous avons posé

$$
g_1(\theta) = (1 + \tan^2 \theta)(3 - \theta \tan \theta - 3\theta \cot \theta).
$$

Nous prendrons $\theta = 1.848$, ce qui nous donnera

$$
g_1(\theta) = 147.84112 + \mathcal{O}^*(10^{-5}),
$$

où $u = \mathcal{O}^*(v)$ signifie $|u| \le v$. Pour les besoins ultérieurs, nous définissons aussi

$$
d(\theta, \eta) = \frac{d_1(\theta)}{\eta}, \quad \text{où} \quad d_1(\theta) = \frac{-2\theta}{\tan\theta} = 1.05161 + \mathcal{O}^*(10^{-5}).
$$
**2.3. Une inégalité trigonométrique.** Nous utilisons ici l'inégalité suivante :

$$ \sum_{k=0}^{4} a_k \cos(ky) = 8(0.91 + \cos y)^2 (0.265 + \cos y)^2 \geq 0, $$

avec

$$ a_0 = 10.91692658, a_1 = 18.63362, a_2 = 11.4517, a_3 = 4.7, a_4 = 1, $$

$$ A = \sum_{k=1}^{4} a_k = 35.78532. $$

En remarquant que

$$ \sum_{n \ge 1} f(\log n) \frac{\Lambda(n)}{n^{\sigma}} \left(1 - \frac{\kappa}{n^{\delta}}\right) \sum_{k=0}^{4} a_k \cos(k\gamma_0 \log n) \ge 0, $$

nous obtenons grâce à (8) l'inégalité fondamentale suivante :

$$ (10) \quad \sum_{k=0}^{4} a_k \left[ f(0) \Delta_1(\sigma + ik\gamma_0) + D(\sigma - 1 + ik\gamma_0) - \sum_{\varrho \in Z(\zeta)} D(\sigma + ik\gamma_0 - \varrho) + \Delta_2(\sigma + ik\gamma_0) \right] \ge 0. $$

Il reste donc à trouver des majorations pour chacun des termes ci-dessus. C'est l'objet du paragraphe suivant.

**2.4. La région sans zéros.** Les valeurs que nous donnons ici sont calculées pour $r = 5.94292$, $R = 9.645908801$. À la fin de ce paragraphe, la valeur $R = 5.942924086$ est donc licite et nous pouvons recommencer les calculs. Ce que nous avons fait, mais l'étape principale est la première et elle permet en outre au lecteur de vérifier nos résultats. Pour $T_0$, nous prendrons la valeur de S. Wedeniwski, c'est-à-dire très exactement 3 330 657 430.697. (La valeur finale obtenue pour $R_0$ sera alors améliorée d'un centième par rapport à la valeur $T_0$ de van de Lune, te Riele et Winter.)

Commençons par le terme $\Delta_1(s)$ : si $t$ est non nul, $\Re(\Gamma'/\Gamma)(s/2 + 1)$ est de l'ordre de $\log t$ (voir (28) au paragraphe 3.3). Au paragraphe 4.2 nous établirons la proposition suivante :

**PROPOSITION 2.2.** *Il existe une fonction $C_1(\eta)$ qui vérifie*

$$ f(0) \sum_{k=0}^{4} a_k \Delta_1(\sigma + ik\gamma_0) \le \frac{A}{2} (1 - \kappa) g_1(\theta) \eta \log \gamma_0 + C_1(\eta). $$

*On se reportera à (55), (56) et au lemme 4.5 pour la définition de $C_1(\eta)$ et le fait que*

$$ C_1(\eta) \le -2704.319 \eta. $$
En ce qui concerne le terme $D(s)$, nous avons $\mathfrak{Re} F(s-1) = \tilde{F}(\sigma-1,0)$ lorsque $t=0$. Sinon $\mathfrak{Re} F(s-1)$ est de l'ordre de $\eta/t^2$ (voir la proposition 4.6) et nous montrerons au paragraphe 4.3 la proposition suivante :

**PROPOSITION 2.3.** *Il existe une fonction $C_2(\eta)$ qui vérifie*

$$ \sum_{k=0}^{4} a_k D(\sigma - 1 + ik\gamma_0) \leq a_0 \tilde{F}(\sigma - 1, 0) + C_2(\eta). $$

La fonction $C_2(\eta)$ est définie en (60) et

$$ C_2(\eta) \leq -1151.623\eta + 1.360 \cdot 10^{-15}\eta^2 + 27424.672\eta^3. $$

Le terme $\Delta_2(s)$ est un terme reste, de l'ordre de $\eta^3$ (voir le lemme 4.7). Nous montrerons au paragraphe 4.4 la proposition suivante :

**PROPOSITION 2.4.** *Il existe une fonction $C_4(\eta)$ qui vérifie*

$$ \sum_{k=0}^{4} a_k \Delta_2(\sigma + ik\gamma_0) \leq C_4(\eta). $$

Les éléments qui définissent $C_4(\eta)$ sont donnés en (64), (61) et (63) et

$$ C_4(\eta) \leq 2391006.764\eta^3. $$

Nous en arrivons enfin au point essentiel, traité au paragraphe 4.1, qui est l'étude de la somme sur les zéros. Pour cela, en nous inspirant de l'idée de Stechkin basée sur la symétrie des zéros de $\zeta$, nous pouvons réécrire la première somme sous la forme

$$ \sum_{\varrho \in Z(\zeta)} D(s - \varrho) = D(s - \varrho_0) + D(s - 1 + \varrho_0) + \frac{1}{2} \sum_{\varrho \in Z(\zeta) \setminus \{\varrho_0, 1 - \varrho_0\}} [D(s - \varrho) + D(s - 1 + \varrho)]. $$

La proposition 4.2 nous permettra d'éliminer une partie des termes de la somme grâce au résultat suivant :

$$ D(s - \varrho) + D(s - 1 + \varrho) \geq 0 \quad \text{si } 1 - \sigma < \beta < \sigma, \kappa = \kappa_0 \text{ et } \delta = \delta_0, $$

où $\delta_0$ est la solution de l'équation $\kappa_2(\delta) = \kappa_3(\delta)$, $\kappa_2(\delta)$ et $\kappa_3(\delta)$ étant respectivement définis en (36) et (37), et où $\kappa_0$ est la valeur de $\kappa_2$ en $\delta_0$. À un $\mathcal{O}(\eta_0)$ près, nous avons en fait

$$ \kappa_2(\delta) = \frac{1}{1 + 2\delta}, \quad \kappa_3(\delta) = \frac{1}{1/\delta + 1/(1 + \delta)}, $$

ce qui permet d'approcher $\delta_0$ par $(\sqrt{5}-1)/2 = 0.61803...$ et $\kappa_0$ par $1/\sqrt{5} = 0.44721...$. Plus exactement, nous trouvons $\delta_0 = 0.61963...$ et $\kappa_0 = 0.44213...$ pour $r = 5.94292$. Il reste alors à minorer la somme restante
qui porte sur les zéros de partie réelle vérifiant $\sigma \le \beta \le 1$, ce qui revient à $\gamma \ge \gamma_0 + t_0$. Cette somme se trouve alors dépendre de la valeur $t_0$. Nous verrons à la proposition 4.4 comment la minorer et nous obtiendrons finalement :

**PROPOSITION 2.5.** *Il existe une fonction $C_3$ qui vérifie*

$$ \sum_{k=0}^{4} a_k \sum_{\varrho \in Z(\zeta)} D(\sigma + ik\gamma_0 - \varrho) \geq a_1 \tilde{F}(\sigma - \beta_0, 0) - C_3(\eta). $$

*Pour une définition explicite de $C_3$, nous nous reporterons à 4.1.2. En attendant, nous pouvons toujours voir que*

$$ C_3(\eta) \leq 413.187\eta + 3275.500\eta^2 + 73082.749\eta^3. $$

Finalement, en notant $C(\eta) = C_1(\eta) + C_2(\eta) + C_3(\eta) + C_4(\eta)$, nous tirons de l'inégalité fondamentale (10) :

$$ 0 \le \frac{A}{2}(1 - \kappa)g_1(\theta)\eta \log \gamma_0 + a_0 \tilde{F}(\sigma - 1, 0) - a_1 \tilde{F}(\sigma - \beta_0, 0) + C(\eta) $$

soit encore

$$ \eta \log \gamma_0 \ge \frac{a_1 \tilde{F}(\sigma - \beta_0, 0) - a_0 \tilde{F}(\sigma - 1, 0) - C(\eta)}{(A/2)g_1(\theta)(1 - \kappa)}. $$

En fait, $C(\eta)$ s'écrit sous la forme

$$ (11) \qquad \alpha_1 \eta + \alpha_2 \eta^2 + \alpha_3 \eta^3, $$

où

$$ (12) \qquad \alpha_1 = -3442.756, \quad \alpha_2 = 3275.500, \quad \alpha_3 = 2491514.184. $$

Comme $\alpha_1$ est une constante négative et $\alpha_2$ et $\alpha_3$ sont deux constantes positives, on voit facilement que $C(\eta)$ admet trois racines réelles dont une égale à zéro et les deux autres de signes opposés. $C(\eta)$ est donc successivement négatif puis positif sur $[0, +\infty[$ et on déduit que $C(\eta)$ est négatif sur $[0, \eta_0]$ en vérifiant que $C(\eta_0)$ l'est : nous trouvons $C(\eta_0) = -25.1013...$.

La constante cherchée est ainsi donnée par

$$ (13) \qquad \frac{a_1 \tilde{F}(\sigma - \beta_0, 0) - a_0 \tilde{F}(\sigma - 1, 0)}{(A/2)g_1(\theta)(1 - \kappa)} $$

qu'on optimise en $\sigma$. En notant $\omega = (1 - \sigma)/\eta$, le terme $a_1 \tilde{F}(\sigma - \beta_0, 0) - a_0 \tilde{F}(\sigma - 1, 0)$ s'avère être une fonction de $\omega$ que nous noterons $K$ :

$$ K(\omega) = \int_{0}^{d_{1}(\theta)} (a_{1}e^{-t} - a_{0})h_{\theta}(t)e^{\omega t} dt. $$

$K$ est une fonction croissante sur $[0, 1]$, qui atteint donc sa plus grande valeur en $\omega_0 = 0.57947$, en vertu des hypothèses faites sur $\sigma$ et $\eta$. Les
données initiales $r = 5.94292$, $R = 9.645908801$ nous amènent à $R_0 = 5.942924085...$. Nous allons optimiser notre résultat en réitérant les calculs : remplaçons $R$ par la valeur $R_0$ que nous venons de trouver et $r$ par une valeur supérieure à celle que nous venons d'utiliser mais inférieure au futur $R_0$ (nous procédons par tâtonnement). Les valeurs successives de $r$ et $R$ que nous obtenons ainsi forment deux suites décroissantes qui semblent tendre vers une valeur commune. Nous avons choisi de nous arrêter à une précision de $10^{-5}$ pour la constante $R_0$, c'est-à-dire à la sixième étape.

Nous donnons ci-dessous les valeurs successives prises pour $r$ et $R$, ainsi que celles des paramètres $\eta_0$, $\kappa$ et $\delta$ impliqués, et enfin celles trouvées pour $R_0$.

<table><thead><tr><th>R</th><th>r</th><th>η₀ · 10³</th><th>κ</th><th>δ</th><th>R₀</th></tr></thead><tbody><tr><td>9.645908801</td><td>5.94292</td><td>7.67418...</td><td>0.44213...</td><td>0.61963...</td><td>5.942924085...</td></tr><tr><td>5.942924086</td><td>5.72033</td><td>7.97280...</td><td>0.43927...</td><td>0.62051...</td><td>5.720337335...</td></tr><tr><td>5.720337336</td><td>5.69922</td><td>8.00233...</td><td>0.43898...</td><td>0.62060...</td><td>5.699223506...</td></tr><tr><td>5.699223507</td><td>5.69714</td><td>8.00525...</td><td>0.43895...</td><td>0.62061...</td><td>5.697149421...</td></tr><tr><td>5.697149422</td><td>5.69694</td><td>8.00553...</td><td>0.43895...</td><td>0.62061...</td><td>5.696944342...</td></tr><tr><td>5.696944343</td><td>5.69692</td><td>8.00556...</td><td>0.43895...</td><td>0.62061...</td><td>5.696924085...</td></tr></tbody></table>

Nous pouvons ainsi prendre $R_0 = 5.69693$. Nous remarquerons que cette valeur est assez proche de la valeur optimale calculée en $\omega = r/R$ et qui vaut $5.652175155...$.

Les calculs ont été menés à la fois sous MAPLE et sous PARI/GP avec une précision de $10^{-28}$ et dans chacun des cas, nous retrouvons les résultats annoncés.

Nous précisons qu'en utilisant le polynôme de Rosser et Schoenfeld, c'est-à-dire $8(0.9126 + \cos y)^2(0.2766 + \cos y)^2$, et en prenant $\theta = 1.848$, nous trouvons pour $R_0$ la valeur $5.697331650...$.

D'autre part, en ce qui concerne le choix de la valeur de $\theta$, nous remarquons que le terme final étudié (13), q'on peut écrire comme $Ag_1(\theta)/K(\omega)$, est en fait une fonction dépendant uniquement des trois paramètres $r$, $R$ et $\theta$. Pour chaque étape décrite précédemment, c'est-à-dire pour chaque $r$ et $R$ choisi, nous pouvons donc calculer la valeur de $\theta$ en laquelle (13) est optimal.

En prenant pour données initiales $r = 5.93943$, $R = 9.645908801$, nous trouvons ainsi qu'en $\theta = 1.85390$, la valeur $R_0$ vaut $5.939431920...$, et en réitérant le procédé :

<table><tbody><tr><td>R</td><td>9.645908801</td><td>5.93944</td><td>5.71999</td><td>5.69919</td><td>5.69715</td><td>5.69695</td><td>5.69693</td></tr><tr><td>r</td><td>5.93943</td><td>5.71998</td><td>5.69918</td><td>5.69714</td><td>5.69694</td><td>5.69692</td><td>5.69692</td></tr><tr><td>θ</td><td>1.85390</td><td>1.84851</td><td>1.84802</td><td>1.84797</td><td>1.84796</td><td>1.84796</td><td>1.84796</td></tr><tr><td>R₀</td><td>5.93944</td><td>5.71999</td><td>5.69919</td><td>5.69715</td><td>5.69695</td><td>5.69693</td><td>5.69693</td></tr></tbody></table>
Finalement, nous avons choisi par souci de clarté de fixer la valeur de $\theta$ à 1.848, d'autant plus que cela n'influe pas sur la précision donnée au résultat final.

**3. Préliminaires.** Cette partie se décompose elle-même en deux. Tout d'abord nous établissons une formule explicite assez générale. Ensuite, nous étudions plus en détails la fonction $\tilde{F}$ introduite en (9).

**3.1. Formule explicite**

**THÉORÈME 3.1.** Soit $\phi$ une fonction à valeurs complexes définie sur la droite réelle qui vérifie les conditions (A) et (B) suivantes :

(A) $\phi$ est continue et continuement dérivable sur $\mathbb{R}$ sauf en un nombre fini de points $a_i$ où $\phi(x)$ et sa dérivée $\phi'(x)$ n'ont que des discontinuités de première espèce et pour lesquels $\phi$ vérifie la condition de la moyenne (i.e. $\phi(a_i) = \frac{1}{2}[\phi(a_i + 0) + \phi(a_i - 0)]$).

(B) Il existe $b > 0$ tel que $\phi(x)e^{x/2}$ et $\phi'(x)e^{x/2}$ soient $O(e^{-(1/2+b)|x|})$ au voisinage de l'infini.

Pour tout réel $a < 1$, vérifiant $0 < a < b$, $\phi(x)$ possède alors une transformée de Laplace

$$ \Phi(s) = \int_{0}^{+\infty} \phi(x) e^{-sx} dx $$

qui est holomorphe dans la bande $-(1+a) < \sigma < a$ et qui est $O(1/|t|)$ uniformément dans la bande $-(1+a) \le \sigma \le a$.

Soient $q$ un entier non nul et $\chi$ un caractère primitif de Dirichlet modulor $q$. Notons

$$ \delta_{q,1} = \begin{cases} 0 & \text{si } q=1, \\ 1 & \text{sinon,} \end{cases} \qquad \mathfrak{a} = \begin{cases} 0 & \text{si } \chi(-1)=1, \\ 1 & \text{sinon.} \end{cases} $$

Nous avons alors

$$ \begin{aligned} & \sum_{n \ge 1} \Lambda(n) \chi(n) \phi(\log n) \\ &= \delta_{q,1}(\Phi(-1) + \Phi(0)) + \frac{1}{2} (1 - \delta_{q,1})(1 - \mathfrak{a}) \Phi(0) \\ & \quad - \sum_{\varrho \in Z(\chi)} \Phi(-\varrho) + \phi(0) \log \frac{q}{\pi} + \sum_{n \ge 1} \frac{\Lambda(n) \bar{\chi}(n)}{n} \phi(-\log n) \\ & \quad + \lim_{T \to +\infty} \frac{1}{2i\pi} \int_{\frac{1}{2}-iT}^{\frac{1}{2}+iT} \mathfrak{Re} \left( \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{s+\mathfrak{a}}{2} \right) \right) \Phi(-s) ds. \end{aligned} $$
*Démonstration.* D'après le théorème d'inversion de Laplace,

$$ \phi(\log n) = \frac{1}{2i\pi} \int_{-(1+a)-i\infty}^{-(1+a)+i\infty} \Phi(s)n^s ds \quad (n \ge 1). $$

Ainsi, par définition de $(L'/L)(s, \chi)$ pour $\sigma > 1$ et grâce au changement de variable $s \mapsto -s$, nous pouvons écrire

$$ (14) \quad \sum_{n \ge 1} \Lambda(n) \chi(n) \phi(\log n) = \frac{1}{2i\pi} \int_{1+a-i\infty}^{1+a+i\infty} \frac{L'}{L}(s, \chi) \Phi(-s) ds. $$

Soit $T > 0$; notons $I(T)$ l'intégrale

$$ \frac{1}{2i\pi} \int_{1+a-iT}^{1+a+iT} \frac{L'}{L}(s, \chi) \Phi(-s) ds. $$

L'intégration de $-(L'/L)(s, \chi)\Phi(-s)$ sur le contour du rectangle formé par les droites $\sigma = 1+a, \sigma = -a, t = T, t = -T$ permet de réécrire $I(T)$ comme

$$ \begin{aligned} I(T) = & \frac{1}{2i\pi} \int_{-a-iT}^{-a+iT} \frac{L'}{L}(s, \chi) \Phi(-s) ds \\ & + \frac{1}{2i\pi} \int_{-a+iT}^{1+a+iT} \frac{L'}{L}(s, \chi) \Phi(-s) ds \\ & - \frac{1}{2i\pi} \int_{-a-iT}^{1+a-iT} \frac{L'}{L}(s, \chi) \Phi(-s) ds \\ & - \left( -\delta_{q,1}\Phi(-1) + \frac{1}{2}(1-\delta_{q,1})(1-\mathfrak{a})\Phi(0) + \sum_{\varrho \in Z(\zeta)} \Phi(-\varrho) \right). \end{aligned} $$

Grâce à la condition (B), les deux dernières intégrales tendent vers 0 lorsque $T$ tend vers $\infty$. De plus, l'équation fonctionnelle de $L$ :

$$ -\frac{L'}{L}(s, \chi) = \log \frac{q}{\pi} - \frac{L'}{L}(1-s, \bar{\chi}) + \frac{1}{2} \left\{ \frac{\Gamma'}{\Gamma}\left(\frac{s+\mathfrak{a}}{2}\right) + \frac{\Gamma'}{\Gamma}\left(\frac{1-s+\mathfrak{a}}{2}\right) \right\} $$

permet de décomposer la première intégrale en la somme des trois intégrales suivantes :

$$ I_1(T) = \frac{1}{2i\pi} \int_{-a-iT}^{-a+iT} \log \frac{q}{\pi} \Phi(-s) ds, $$

$$ I_2(T) = \frac{1}{2i\pi} \int_{-a-iT}^{-a+iT} \frac{L'}{L}(1-s, \bar{\chi}) \Phi(-s) ds, $$
$$I_3(T) = \frac{1}{2i\pi} \int_{-a-iT}^{-a+iT} \frac{1}{2} \left\{ \frac{\Gamma'}{\Gamma}\left(\frac{s+a}{2}\right) + \frac{\Gamma'}{\Gamma}\left(\frac{1-s+a}{2}\right) \right\} \Phi(-s) \, ds.$$

D'une part, le théorème d'inversion de Laplace permet d'écrire immédiatement

$$(16) \qquad \lim_{T \to +\infty} I_1(T) = \phi(0) \log \frac{q}{\pi}.$$

D'autre part, le développement de $-L'/L$ en série de Dirichlet donne

$$(17) \qquad \lim_{T \to +\infty} I_2(T) = \sum_{n \ge 1} \frac{\Lambda(n)\bar{\chi}(n)}{n} \phi(-\log n).$$

En ce qui concerne $I_3$, déplaçons la droite d'intégration vers la droite $\sigma = 1/2$ sur laquelle $\Gamma$ vérifie

$$\frac{1}{2} \left\{ \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{s+a}{2} \right) + \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{1-s+a}{2} \right) \right\} = \mathfrak{Re} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{s+a}{2} \right).$$

Grâce à la condition (B), nous obtenons

$$(18) \qquad \lim_{T \to +\infty} I_3(T) = \frac{1}{2i\pi} \lim_{T \to +\infty} \int_{1/2-iT}^{1/2+iT} \mathfrak{Re} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{s+a}{2} \right) \Phi(-s) \, ds \\ \qquad \qquad + (1-a)\Phi(0).$$

Et (14)–(18) donnent ainsi l'égalité annoncée. ■

Pour obtenir (7), il ne reste plus qu'à prendre la partie réelle dans la formule du théorème 3.1 dans le cas $q = 1$ et $s = \sigma + it$, où *a priori* $\sigma > 1$, et

$$\phi(y) = \begin{cases} (f(0) - f(y))e^{-ys} & \text{si } y \ge 0, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}$$

Alors $\phi$ est une fonction de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}$ qui vérifie bien la condition (B) et on a pour $\mathfrak{Re} z < \mathfrak{Re} s$ :

$$\begin{aligned} \Phi(-z) &= \frac{f(0)}{s-z} - F(s-z) = -\frac{F_2(s-z)}{(s-z)^2}, \\ \Phi(0) &= -\frac{F_2(s)}{s^2}, \quad \Phi(-1) = \frac{f(0)}{s-1} - F(s-1) \end{aligned}$$

où $F_2$ est la transformée de Laplace de $f''$. Il vient alors
$$
\begin{equation} \tag{19}
\begin{split}
& \mathfrak{Re} \sum_{n \ge 1} \frac{\Lambda(n)}{n^s} f(\log n) \\
& = f(0) \mathfrak{Re} \left( \sum_{n \ge 1} \frac{\Lambda(n)}{n^s} - \frac{1}{s-1} + \sum_{\varrho \in Z(\zeta)} \frac{1}{s-\varrho} \right) \\
& \quad + \mathfrak{Re} F(s-1) - \sum_{\varrho \in Z(\zeta)} \mathfrak{Re} F(s-\varrho) \\
& \quad + \mathfrak{Re} \left( \frac{1}{2i\pi} \int_{1/2-i\infty}^{1/2+i\infty} \mathfrak{Re} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{s}{2} \right) \frac{F_2(s-z)}{(s-z)^2} dz + \frac{F_2(s)}{s^2} \right).
\end{split}
\end{equation}
$$

La formule d'Hadamard (voir [2]) permet de réécrire le terme facteur
de $f(0)$ :

$$
\sum_{n \ge 1} \frac{\Lambda(n)}{n^s} = -\frac{\zeta'}{\zeta}(s) = -B - \frac{1}{2} \log \pi + \frac{1}{s-1} \\
\qquad + \frac{1}{2} \frac{\Gamma'}{\Gamma}\left(\frac{s}{2}+1\right) - \sum_{\varrho \in Z(\zeta)} \left(\frac{1}{\varrho} + \frac{1}{s-\varrho}\right);
$$
or $\mathfrak{Re} B = - \sum_{\varrho \in Z(\zeta)} \mathfrak{Re}(1/\varrho)$ donc

$$
\mathfrak{Re} \left( -\frac{\zeta'}{\zeta}(s) - \frac{1}{s-1} + \sum_{\varrho \in Z(\zeta)} \frac{1}{s-\varrho} \right) = -\frac{1}{2} \log \pi + \frac{1}{2} \mathfrak{Re} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{s}{2} + 1 \right).
$$

L'identité (19) devient

$$
\begin{equation}
\begin{split}
\mathfrak{Re} \sum_{n \ge 1} \frac{\Lambda(n)}{n^s} f(\log n) ={}& f(0) \left( -\frac{1}{2} \log \pi + \frac{1}{2} \mathfrak{Re} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{s}{2} + 1 \right) \right) \\
& + \mathfrak{Re} F(s-1) - \sum_{\varrho \in Z(\zeta)} \mathfrak{Re} F(s-\varrho) \\
& + \mathfrak{Re} \left( \frac{1}{2i\pi} \int_{1/2-i\infty}^{1/2+i\infty} \mathfrak{Re} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{z}{2} \right) \frac{F_2(s-z)}{(s-z)^2} dz + \frac{F_2(s)}{s^2} \right).
\end{split}
\tag{20}
\end{equation}
$$

Nous avons ici une égalité entre deux fonctions harmoniques sur le demi-
plan $\mathfrak{Re} s > 1$, mais les deux membres définissent des fonctions sur $\mathbb{C}$ tout
entier (l'introduction de la partie réelle ôte les problèmes de convergence),
ce qui fait que l'égalité reste vraie sur $\mathbb{C}$. Ceci achève la démonstration de
la proposition 2.1.

3.2. Étude de $\tilde{F}$. Nous étudions dans ce paragraphe le comportement
de la fonction $\tilde{F}$ qui, rappelons-le, dépend des paramètres $\theta$ et $\eta$ :
$$ \tilde{F}(x, y) = \int_{0}^{d_{1}(\theta)/\eta} e^{-xt} \cos(yt) f(t) dt = \int_{0}^{d_{1}(\theta)} \exp\left(-\frac{xt}{\eta}\right) \cos\left(\frac{yt}{\eta}\right) h_{\theta}(t) dt. $$

Nous avons fixé $\theta = 1.848$ et les résultats numériques donnés ici sont calculés pour cette valeur.

LEMME 3.2. Nous avons

$$ \tilde{F}(x, y) = \eta g_{1}(\theta) \frac{x}{x^{2} + y^{2}} + H(x, y) $$

où la fonction $H$ vérifie

$$ |H(x, y)| \le \frac{M(x/\eta)\eta^2}{x^2 + y^2}, \quad \text{avec} \quad M(z) = \int_0^{d_1(\theta)} |h_{\theta}''(u)|e^{-zu} du. $$

De plus, lorsque $0 \le z \le 1/d_1(\theta)$, nous avons le développement suivant :

$$ 521.632 - 212.574z \le M(z) \le 521.633 - 212.573z + 68.113z^2. $$

Sinon, la majoration par $m/z$ donne une approximation de $M$ suffisante où

$$ m = \max_{u \in [0, d_1(\theta)]} |h_{\theta}''(u)| = |h_{\theta}''(0)| = 1322.86625\dots $$

Démonstration. Rappelons que

$$ F(s) = \frac{f(0)}{s} + \frac{F_2(s)}{s^2} $$

où $F_2$ est la transformée de Laplace de $f''$. Donc

$$ \begin{aligned} \tilde{F}(x, y) &= \Re \left[ \frac{f(0)}{x + iy} + \frac{1}{(x + iy)^2} \int_0^{d(\theta, \eta)} e^{-(x+iy)t} f''(t) dt \right] \\ &= f(0) \frac{x}{x^2 + y^2} + \int_0^{d(\theta, \eta)} \frac{(x^2 - y^2) \cos(ty) - 2xy \sin(ty)}{(x^2 + y^2)^2} e^{-xt} f''(t) dt. \end{aligned} $$

Notons $H$ le reste et majorons le :

$$ (20) \quad H(x, y) = \int_{0}^{d(\theta, \eta)} \frac{(x^2 - y^2) \cos(ty) - 2xy \sin(ty)}{(x^2 + y^2)^2} e^{-xt} f''(t) dt. $$

L'inégalité de Cauchy-Schwarz nous donne

$$ |(x^2 - y^2) \cos(ty) - 2xy \sin(ty)| \le \sqrt{(x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2} = x^2 + y^2 $$

et par conséquent

$$ |H(x, y)| \le \frac{1}{x^2 + y^2} \int_0^{d(\theta, \eta)} e^{-xt} |f''(t)| dt. $$
Par définition de $f$, $f''(t) = \eta^3 h_{\theta}''(\eta t)$, donc un changement de variable montre que l'intégrale de droite est égale à $\eta^2 \int_0^{d_1(\theta)} |h_{\theta}''(u)| e^{-xu/\eta} du = \eta^2 M(x/\eta)$.

De plus, les inégalités élémentaires $1-zu \le e^{-zu} \le 1-zu+(zu)^2/2$ nous donnent l'encadrement annoncé pour $M(z)$, ce qui achève la démonstration du lemme. ■

Nous aurons besoin au paragraphe 4.1 d'une estimation plus précise de $H(x, y)$ lorsque $y$ tend vers l'infini :

**LEMME 3.3.** *Nous avons*

$$|H(x, y)| \leq m\eta^3 \frac{|x||x^2 - 3y^2|}{(x^2 + y^2)^3} + \frac{M_1(x/\eta)\eta^3}{(x^2 + y^2)^{3/2}}$$

avec

$$M_1(z) = \int_0^{d_1(\theta)} |h_{\theta}^{(3)}(u)| e^{-zu} du.$$

De plus, lorsque $0 \le z \le 1/d_1(\theta)$, nous avons le développement suivant :

$$2\,526.445 - 1\,087.743 z \le M_1(z) \le 2\,526.446 - 1\,087.742 z + 348.808 z^2.$$

Sinon, la majoration par $m_1/z$ donne une approximation de $M_1$ suffisante avec

$$m_1 = \max_{u \in [0, d_1(\theta)]} |h_{\theta}^{(3)}(u)| = 4\,135.12706\dots$$

*Démonstration.* En intégrant par parties

$$H(x, y) = \Re \left( \frac{1}{(x + iy)^2} \int_0^{d(\theta, \eta)} e^{-(x+iy)t} f''(t) dt \right)$$

nous obtenons

$$\begin{align*}
H(x, y) &= \Re \left( \frac{f''(0)}{(x + iy)^3} + \frac{1}{(x + iy)^3} \int_0^{d(\theta, \eta)} e^{-(x+iy)t} f^{(3)}(t) dt \right) \\
&= f''(0) \frac{x(x^2 - 3y^2)}{(x^2 + y^2)^3} \\
&\quad + \int_0^{d(\theta, \eta)} \frac{x(x^2 - 3y^2) \cos(yt) - y(y^2 - 3x^2) \sin(yt)}{(x^2 + y^2)^3} e^{-xt} f^{(3)}(t) dt.
\end{align*}$$

En achevant la preuve comme celle du lemme 3.2, nous montrons ainsi que

$$H(x, y) \le h_{\theta}''(0) \eta^3 \frac{|x||x^2 - 3y^2|}{(x^2 + y^2)^3} + \frac{\eta^3}{(x^2 + y^2)^{3/2}} \int_0^{d_1(\theta)} |h_{\theta}^{(3)}(u)| e^{-xu/\eta} du. \blacksquare$$
Dorénavant, nous opérons à $y \ge 0$ fixé. D'après le résultat ci-dessus, nous pouvons espérer que, pour $x \in [0, +\infty[$, la fonction $x \mapsto \tilde{F}(x, y)$ se comporte comme la fonction $x \mapsto x/(x^2 + y^2)$, c'est-à-dire qu'elle croisse jusqu'à une valeur proche de $y$ puis décroisse ensuite. Lorsque $y = 0$, il est immédiat de voir que la fonction est décroissante et tend vers 0 en l'infini. Lorsque $y$ est strictement positif, on a le lemme suivant :

LEMME 3.4. Pour tout $y > 0$ l'application $\tilde{F}(\cdot, y)$ décroît sur l'intervalle $[x_2(\eta, y), +\infty[$ avec $x_2(\eta, y) = \varepsilon_3(\eta) + \sqrt{y^2 + \varepsilon_3^2(\eta)}$, $\varepsilon_3(\eta) = 7.857 \eta$. Par ailleurs, pour tout $y > 0$ l'application $\tilde{F}(\cdot, y)$ croît sur $[0, x_1(\eta, y)]$ avec $x_1(\eta, y) = \frac{1}{2}y - \varepsilon_1(\eta) + \sqrt{(\frac{1}{2}y - \varepsilon_1(\eta))^2 - \varepsilon_2(\eta)}$ pourvu que la quantité sous la racine soit positive ou nulle, où nous avons posé $\varepsilon_1(\eta) = 4.99 \eta$ et $\varepsilon_2(\eta) = 5.735 \eta$.

*Démonstration.* Reprenons $H$ de la démonstration précédente donné par (20). Il vient

$$ \frac{\partial}{\partial x} H(x, y) = \int_{0}^{d(\theta, \eta)} \left( -t \frac{(x^2 - y^2) \cos(ty) - 2xy \sin(ty)}{(x^2 + y^2)^2} - 2 \frac{x(x^2 - 3y^2) \cos(ty) - y(3x^2 - y^2) \sin(ty)}{(x^2 + y^2)^3} \right) e^{-xt} f''(t) \, dt. $$

Nous utilisons encore l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour montrer que

$$ |2x(x^2 - 3y^2) \cos(ty) - 2y(3x^2 - y^2) \sin(ty)| \le 2(x^2 + y^2)^{3/2}, $$

ainsi que le lemme 3.2 pour obtenir

$$ \left| \frac{\partial}{\partial x} H(x, y) \right| \le \int_0^{d(\theta, \eta)} |f''(t)| \left( \frac{t}{x^2 + y^2} + \frac{1}{(x^2 + y^2)^{3/2}} \right) e^{-xt} dt \\ = \eta \frac{M_2(x/\eta)}{x^2 + y^2} + 2\eta^2 \frac{M(x/\eta)}{(x^2 + y^2)^{3/2}} $$

où

$$ M_2(z) = \int_0^{d_1(\theta)} |h_{\theta}''(u)| ue^{-zu} du \le \|uh_{\theta}''\|_{\infty}/z. $$

Supposons $x \ge y$. Puisque

$$ (21) \qquad \frac{\partial}{\partial x} \tilde{F}(x, y) = g_1(\theta) \eta \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2} + \frac{\partial}{\partial x} H(x, y) $$

nous pouvons garantir que $\frac{\partial}{\partial x} F(x, y) \le 0$ dès que

$$ g_1(\theta)(y^2 - x^2) + M_2(x/\eta)(x^2 + y^2) + 2\eta M(x/\eta)\sqrt{x^2 + y^2} \le 0, $$
ce qui est impliqué par

$$g_1(\theta)(y^2 - x^2) + 2\eta(\|uh''_\theta\|_\infty + \sqrt{2}\|h''_\theta\|_1)x \le 0$$

avec $\|uh''_\theta\|_\infty \le 423.867$ et $\|h''_\theta\|_1 \le 521.633$. Ensuite

$$x \ge x_2(\eta, y) = \varepsilon_3(\eta) + \sqrt{y^2 + \varepsilon_3^2(\eta)}$$

avec

$$\varepsilon_3(\eta) = 7.857\eta \ge \frac{\|uh''_\theta\|_\infty + \sqrt{2}\|h''_\theta\|_1}{g_1(\theta)} \eta.$$

À partir de (21), nous pouvons aussi garantir que $\frac{\partial}{\partial x}F(x, y) \ge 0$ dès que $x \le y$ et

$$g_1(\theta)(y^2 - x^2) - M_2(x/\eta)(x^2 + y^2) - 2\eta M(x/\eta)\sqrt{x^2 + y^2} \ge 0,$$

ce qui est impliqué par

$$g_1(\theta)(y^2 - x^2) - \eta \|uh''_\theta\|_\infty \frac{2y^2}{x} - 2\sqrt{2}\eta \|h''_\theta\|_1 y \ge 0.$$

Comme nous n'aurons pas besoin d'un résultat très performant, nous nous contentons de noter que $y^2 - xy \le y^2 - x^2$, ce qui nous laisse avec

$$g_1(\theta)(y-x)x - 2\eta\|uh''_\theta\|_\infty y - 2\sqrt{2}\eta\|h''_\theta\|_1 x \ge 0$$

et il nous suffit maintenant d'avoir

$$x^2 - (y - 9.980\eta)x + 5.735\eta y \le 0. \blacksquare$$

**3.3. Étude de $\mathfrak{Re}(\Gamma'/\Gamma)$**. Dans la suite nous allons avoir besoin d'une estimation du terme $\mathfrak{Re}(\Gamma'/\Gamma)$ pour étudier les termes $\Delta_1$ et $\Delta_2$. C'est l'objet des deux lemmes suivants.

**LEMME 3.5.** Soient $\delta \in [0, 1]$, $\kappa \in [0, x/(x+\delta)]$ et $0 < x_0 \le x \le x_1 < y_0$. Alors

$$ \begin{align*} & \mathfrak{Re} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{x}{2} + i \frac{y}{2} \right) - \kappa \mathfrak{Re} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{x+\delta}{2} + i \frac{y}{2} \right) \\ & \le \begin{cases} r_1(x_0, x_1, y_0) & \text{si } 0 < |y| < y_0, \\ (1-\kappa) \log(y/2) + \min(r_2(x_0, x_1, y_0), r_3(x_0, x_1, y_0)) & \text{si } |y| \ge y_0, \end{cases} \\ \text{où } r_1, r_2 \text{ et } r_3 \text{ sont respectivement définis en } (25), (27), (30). \end{align*} $$

**Démonstration.** Pour la suite, notons

$$\psi_{\kappa, \delta}(x, y) = \mathfrak{Re} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{x}{2} + i \frac{y}{2} \right) - \kappa \mathfrak{Re} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{x+\delta}{2} + i \frac{y}{2} \right).$$

Nous allons approcher le terme $\mathfrak{Re}(\Gamma'/\Gamma)(x/2 + iy/2)$ de deux façons différentes qui sont plus ou moins efficaces selon la taille de $|y|$.
Utilisons l'identité donnée par K. McCurley (cf. [11]):

$$ (22) \quad \mathfrak{Re} \frac{\Gamma'(x/2 + iy/2)}{\Gamma(x/2 + iy/2)} = \frac{1}{2} \log \left( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} \right) - \frac{x}{x^2 + y^2} + \mathfrak{Re} \int_0^{+\infty} \frac{u - [u] - 1/2}{(u + (x + iy)/2)^2} du $$

avec le terme intégral qui satisfait :

$$ (23) \quad \mathfrak{Re} \int_0^{+\infty} \left| \frac{u - [u] - 1/2}{(u + (x + iy)/2)^2} \right| du \le \frac{1}{y} \arctan \frac{y}{x} \quad \text{pour } x > 0. $$

Ainsi, (22) permet de majorer $\psi_{\kappa,\delta}(x,y)$ par $R_1(x,y)$ défini par

$$ (24) \quad \frac{1}{2} \log \left( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} \right) - \frac{\kappa}{2} \log \left( \frac{(x+\delta)^2}{4} + \frac{y^2}{4} \right) - \left( \frac{x}{x^2+y^2} - \kappa \frac{x+\delta}{(x+\delta)^2+y^2} \right) + \frac{1}{y} \left( \arctan \frac{y}{x} + \kappa \arctan \frac{y}{x+\delta} \right). $$

Nous allons maintenant distinguer les cas où $y$ est borné $(0 < |y| < y_0)$ et où $y$ est “grand” $(|y| \ge y_0)$. Dans le premier cas, nous majorons $(1/y) \arctan(y/x)$ par $1/x$ et nous obtenons

$$ (25) \quad R_1(x, y) \le r_1(x_0, x_1, y_0) = \frac{1-\kappa}{2} \log \left( \frac{(x_1+\delta)^2}{4} + \frac{y_0^2}{4} \right) - \frac{x_0}{x_1^2+y_0^2} + \frac{1}{x_0} + \frac{2\kappa}{x_0+\delta} \quad \text{si } 0 < |y| < y_0. $$

Dans le second cas, $\mathfrak{Re}(\Gamma'/\Gamma)(x/2 + iy/2)$ peut être approché par $\log|y|$. Nous réécrivons $R_1(x,y)$ :

$$ R_1(x, y) = (1 - \kappa) \log \frac{|y|}{2} + R_2(x, y) $$

avec

$$ (26) \quad R_2(x, y) = \frac{1}{2} \log \left( \frac{x^2}{y^2} + 1 \right) - \frac{\kappa}{2} \log \left( \frac{(x+\delta)^2}{y^2} + 1 \right) - \left( \frac{x}{x^2+y^2} - \kappa \frac{x+\delta}{(x+\delta)^2+y^2} \right) + \frac{1}{y} \left( \arctan \frac{y}{x} + \kappa \arctan \frac{y}{x+\delta} \right). $$

Comme l'application $y \mapsto (1/y) \arctan(y/x)$ est positive et décroissante ainsi que

$$ y \mapsto \frac{x}{x^2 + y^2} - \kappa \frac{x + \delta}{(x + \delta)^2 + y^2} $$
puisque $\kappa \le x/(x + \delta)$, nous obtenons pour le terme d'erreur :

$$
\begin{align*}
(27) \quad R_2(x, y) &\le r_2(x_0, x_1, y_0) \\
&= \frac{1-\kappa}{2} \log\left(\frac{(x_1+\delta)^2}{y_0^2} + 1\right) \\
&\quad + \frac{1}{y_0} \left( \arctan \frac{y_0}{x_1} + \kappa \arctan \frac{y_0}{x_1+\delta} \right) \quad \text{si } |y| \ge y_0.
\end{align*}
$$

L'égalité suivante donne une autre majoration pour le terme d'erreur :

$$
(28) \quad \Re \frac{\Gamma'}{\Gamma}(x + iy) = \log|y| - \frac{x}{2(x^2 + y^2)} + R(x, y) \quad (y^2 > x^2, x > 0)
$$

avec

$$
|R(x, y)| \le \frac{1}{12x|y|} + \frac{x^2}{2y^2}.
$$

Donc

$$
\psi_{\kappa, \delta}(x, y) \le (1 - \kappa) \log \frac{|y|}{2} + R_3(x, y) \le (1 - \kappa) \log \frac{|y|}{2} + r_3(x_0, x_1, y_0)
$$

avec

$$
(29) \quad R_3(x, y) = - \left( \frac{x}{x^2 + y^2} - \kappa \frac{x + \delta}{(x + \delta)^2 + y^2} \right) + \frac{1}{3y} \left( \frac{1}{x} + \frac{\kappa}{x + \delta} \right) \\
\phantom{(29) \quad R_3(x, y) = - \left( \frac{x}{x^2 + y^2} - \kappa \frac{x + \delta}{(x + \delta)^2 + y^2} \right) + \frac{1}{3y} \left( \frac{1}{x} + \frac{\kappa}{x + \delta} \right) } + \frac{1}{2y^2} (x^2 + \kappa(x + \delta)^2),
$$

$$
(30) \quad r_3(x_0, x_1, y_0) = \frac{1}{3y_0} \left( \frac{1}{x_0} + \frac{\kappa}{x_0 + \delta} \right) + \frac{1}{2y_0^2} (x_1^2 + \kappa(x_1 + \delta)^2). \blacksquare
$$

LEMME 3.6. Nous avons

$$
\left| \Re \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{1}{4} + i \frac{T}{2} \right) \right| \\
\le U_0(T) = \begin{cases} \frac{1}{2} \log \left( \frac{16}{1 + 4T^2} \right) + \frac{2}{1 + 4T^2} + 2 & \text{si } |T| < 1/2, \\ \left| \log \frac{|T|}{2} - \frac{2}{1 + 4T^2} \right| + \frac{2}{3|T|} + \frac{1}{8T^2} & \text{si } |T| \ge 1/2. \end{cases}
$$

Démonstration. Pour la suite, nous désignerons par $R_i(T)$ l'application
$T \mapsto R_i(1/2, T, 0, 0)$.

1. Si $|T| < 1/2$, nous appliquons la formule (22) pour $x = 1/2$ et $y = T$
puis utilisons la majoration (23) :

$$
(31) \quad \left| \Re \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{1}{4} + i \frac{T}{2} \right) \right| \le \left| \frac{1}{2} \log \left( \frac{1}{16} + \frac{T^2}{4} \right) - \frac{2}{1+4T^2} \right| + \frac{1}{T} \arctan(2T).
$$
En observant que

$$ \frac{1}{T} \arctan(2T) \leq 2, $$

on obtient alors

$$ (32) \quad \left| \mathfrak{Re} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{1}{4} + i \frac{T}{2} \right) \right| \le \frac{1}{2} \log \left( \frac{16}{1 + 4T^2} \right) + \frac{2}{1 + 4T^2} + 2. $$

2. Si $|T| \ge 1/2$, l'égalité (28) nous donne

$$ \mathfrak{Re} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{1}{4} + i \frac{T}{2} \right) = \log \frac{|T|}{2} - \frac{2}{1 + 4T^2} + R \left( \frac{1}{4}, \frac{|T|}{2} \right) $$

et donc

$$ (33) \quad \left| \mathfrak{Re} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{1}{4} + i \frac{T}{2} \right) \right| \le \left| \log \frac{|T|}{2} - \frac{2}{1 + 4T^2} \right| + \frac{2}{3|T|} + \frac{1}{8T^2}. \blacksquare $$

**4. Preuves.** Dans cette section, nous commençons par étudier la somme sur les zéros de Zêta. Le résultat fondamental de la proposition 4.2 permet de régler le cas des zéros de partie réelle parcourant $[1 - \sigma, \sigma]$ par un argument de positivité.

Nous introduisons à cette occasion les conditions numériques suivantes sur les paramètres $\kappa$ et $\delta$ :

$$ 0 \le \kappa \le 0.44214, \quad \delta \ge 0.61962, $$

ce qui nous permet d'obtenir les approximations numériques annoncées aux propositions 2.2-2.5.

Nous rappelons à cette occasion les valeurs que nous avons fixées pour les paramètres de départ $T_0$, $R$, $\theta$ et $r$ :

$$ T_0 = 3\,330\,657\,430.697, \quad R = 9.645908801, \quad \theta = 1.848, \quad r = 5.94292, $$

ainsi que celles que nous obtenons pour les variables intermédiaires dont nous avons besoin ici :

$$ g_1(\theta) = 147.84112\dots, \quad \sigma_0 = 0.99555\dots, \quad \eta_0 = 0.00767\dots, $$

$$ m = 1\,322.86625\dots, \quad m_1 = 4\,135.12706\dots, $$

$$ M(0) = 521.63246\dots, \quad M(-r/R) = 682.83971\dots. $$

**4.1. Étude de la somme sur les zéros – preuve de la proposition 2.5.**
Nous cherchons à localiser le zéro $\varrho_0 = \beta_0 + i\gamma_0$. Pour cela, et c'est l'objet de ce premier paragraphe, nous l'isolons dans la somme

$$ \sum_{k=0}^{4} a_k \sum_{\varrho \in Z(\zeta)} D(\sigma + ik\gamma_0 - \varrho). $$
**4.1.1.** *Cas k = 1 et $\varrho \in \{\varrho_0, 1 - \bar{\varrho}_0\}$. Le terme $D(\sigma - \beta_0) + D(\sigma - 1 + \beta_0)$ donné par*

$$D(\sigma - \beta_0) = \tilde{F}(\sigma - \beta_0, 0) - \kappa \tilde{F}(\sigma - \beta_0 + \delta, 0),$$
$$D(\sigma - 1 + \beta_0) = \tilde{F}(\sigma - 1 + \beta_0, 0) - \kappa \tilde{F}(\sigma - 1 + \beta_0 + \delta, 0)$$

est en fait proche de $\tilde{F}(\sigma - \beta_0, 0)$ à un $O(\eta)$ près. En effet, d'après la décroissance de l'application $x \mapsto \tilde{F}(x, 0)$ et le lemme 3.2, nous avons

$$\tilde{F}(\sigma - 1 + \beta_0 + \delta, 0) \le \tilde{F}(\sigma_0 - \eta_0 + \delta, 0) \le \frac{g_1(\theta)}{\sigma_0 - \eta_0 + \delta} \eta + \frac{m}{(\sigma_0 - \eta_0 + \delta)^3} \eta^3,$$
$$\tilde{F}(\sigma - \beta_0 + \delta, 0) \le \tilde{F}(\delta, 0) \le \frac{g_1(\theta)}{\delta} \eta + \frac{m}{\delta^3} \eta^3,$$
$$\tilde{F}(\sigma - 1 + \beta_0, 0) \ge \tilde{F}(1, 0) \ge g_1(\theta)\eta - m\eta^3.$$

Donc :

$$(34) \quad D(\sigma - \beta_0) + D(\sigma - 1 + \beta_0) \\
\ge \tilde{F}(\sigma - \beta_0, 0) + (g_1(\theta)\eta - m\eta^3) \\
- \kappa \left( \left( \frac{1}{\delta} + \frac{1}{\sigma_0 - \eta_0 + \delta} \right) g_1(\theta)\eta + \left( \frac{1}{\delta^3} + \frac{1}{(\sigma_0 - \eta_0 + \delta)^3} \right) m\eta^3 \right).$$

Nous étudions maintenant le reste de la somme et nous allons montrer, grâce aux propositions 4.2 et 4.4, qu'en fait il est d'ordre $O(\eta^2)$.

**4.1.2.** *Cas (k = 0, 2, 3, 4) ou (k = 1 et $\varrho \notin \{\varrho_0, 1 - \bar{\varrho}_0\}$). Les zéros de $\zeta$ étant symétriques par rapport à l'axe réel et à l'axe $\Re s = 1/2$, nous avons :*

$$\sum_{\varrho \in Z(\zeta)} D(\sigma + ik\gamma_0 - \varrho) \\
= \frac{1}{2} \sum_{\varrho \in Z(\zeta)} [D(\sigma + ik\gamma_0 - \varrho) + D(\sigma - 1 + ik\gamma_0 + \bar{\varrho})] \\
= \sum_{\substack{\varrho \in Z(\zeta) \\ \beta > 1/2}} [D(\sigma - \beta + i(k\gamma_0 - \gamma)) + D(\sigma - 1 + \beta + i(k\gamma_0 - \gamma))] \\
+ \sum_{\substack{\varrho \in Z(\zeta) \\ \beta = 1/2}} D(\sigma - 1/2 + i(k\gamma_0 - \gamma)).$$

L'argument de positivité de la proposition suivante nous permet d'éliminer une grande partie des zéros. Nous généralisons à la transformée de Laplace $F$ le résultat de Stechkin (voir [17] ou [18]) :
LEMME 4.1 (Stechkin, 1970). Pour $\beta \in [1/2, 1]$, $y > 0$, $\sigma > 1$ et $\tau = (1 + \sqrt{1 + 4\sigma^2})/2$, nous avons

$$ \Re \left( \frac{1}{\sigma - \beta + iy} + \frac{1}{\sigma - 1 + \beta + iy} \right) - \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1}{\tau - 1 + \beta + iy} + \frac{1}{\tau - \beta + iy} \right) \ge 0. $$

PROPOSITION 4.2. Pour $\beta \in [1/2, \sigma]$ et $y > 0$, nous avons

$$ D(\sigma - \beta + iy) + D(\sigma - 1 + \beta + iy) \ge 0 $$

dès que $\delta \ge 0.61963$ et $0 \le \kappa \le \min(\kappa_2(\delta), \kappa_3(\delta))$, où $\kappa_2$ et $\kappa_3$ sont définis respectivement en (36) et (37).

Démonstration. Nous cherchons le plus grand $\kappa$ tel que

$$ D(\sigma - \beta + iy) + D(\sigma - 1 + \beta + iy) \ge 0, $$

ce qui revient à minorer le terme de gauche lorsque $\beta + i\gamma$ parcourt $\mathbb{C}$. En fait, celui-ci étant une fonction harmonique sur $\mathbb{C}$, nous pouvons nous restreindre au domaine $\{1 - \sigma \le \beta \le \sigma, |y| \le y_0\}$, où $y_0$ est un réel positif, et étudier

$$ Q(\beta + iy) = \frac{\tilde{F}(\sigma - \beta, y) + \tilde{F}(\sigma - 1 + \beta, y)}{\tilde{F}(\sigma + \delta - \beta, y) + \tilde{F}(\sigma + \delta - 1 + \beta, y)}. $$

Nous allons tout d'abord vérifier que le numérateur de $Q$ ne s'annule jamais sur $\mathbb{C}$ : la positivité de $\tilde{F}$ implique que $\tilde{F}(\sigma + \delta - \beta, y) + \tilde{F}(\sigma - 1 + \delta + \beta, y)$ s'annule si et seulement si $\tilde{F}(\sigma + \delta - \beta, y)$ et $\tilde{F}(\sigma - 1 + \delta + \beta, y)$ s'annulent. En utilisant les majorations du lemme 3.2, nous obtenons les deux inégalités

$$ \frac{g_1(\theta)(\sigma - \beta + \delta)}{(\sigma - \beta + \delta)^2 + y^2} - \frac{m\eta_0^2}{(\sigma - \beta + \delta)((\sigma - \beta + \delta)^2 + y^2)} \le 0, $$

$$ \frac{g_1(\theta)(\sigma - 1 + \beta + \delta)}{(\sigma - 1 + \beta + \delta)^2 + y^2} - \frac{m\eta_0^2}{(\sigma - 1 + \beta + \delta)((\sigma - 1 + \beta + \delta)^2 + y^2)} \le 0, $$

ce qui équivaut à ce que $|\sigma - \beta + \delta|$ et $|\sigma - 1 + \beta + \delta|$ soient tous deux majorés par $\sqrt{m/g_1(\theta)}\eta_0$ et donc que $\delta$ soit majoré par le terme négatif $\sqrt{m/g_1(\theta)}\eta_0 + 1/2 - \sigma$, ce qui est absurde.

Comme l'application $y_0 \mapsto \min_{1-\sigma \le \beta \le \sigma, |y| \le y_0} Q(\beta + iy)$ est décroissante sur $[0, +\infty[$, nous pouvons supposer $y_0$ assez grand, au moins supérieur à $\sigma - \beta$ et $\sigma - 1 + \beta$ (nous prendrons $y_0 \ge 10$). Par ailleurs, en prenant pour domaine $|y| \le y_0$ et $1 - \sigma \le \beta \le \sigma$, comme $Q(1-z) = Q(z)$ et $Q(\bar{z}) = Q(z)$, il nous suffit de nous restreindre aux deux côtés : $(y = y_0, 1/2 \le \beta \le \sigma)$ et $(0 \le y \le y_0, \beta = \sigma)$.
Dans le premier cas, nous minorons $Q(\beta + iy_0)$ par le terme

$$
\begin{align}
Q_1(\sigma, \beta, y_0) &= \frac{\mathcal{N}}{\mathcal{D}}, \quad \text{où} \nonumber \\
\mathcal{N} &= \eta g_1(\theta) \left( \frac{\sigma - \beta}{(\sigma - \beta)^2 + y_0^2} + \frac{\sigma - 1 + \beta}{(\sigma - 1 + \beta)^2 + y_0^2} \right) \nonumber \\
&\quad - |H(\sigma - \beta, y_0)| - |H(\sigma - 1 + \beta, y_0)|, \tag{35} \\
\mathcal{D} &= \eta g_1(\theta) \left( \frac{\sigma - \beta + \delta}{(\sigma - \beta + \delta)^2 + y_0^2} + \frac{\sigma - 1 + \beta + \delta}{(\sigma - 1 + \beta + \delta)^2 + y_0^2} \right) \nonumber \\
&\quad + |H(\sigma - \beta + \delta, y_0)| + |H(\sigma - 1 + \beta + \delta, y_0)| \nonumber
\end{align}
$$

et nous minorons chaque valeur de $H$ grâce au lemme 3.3 :

$$
\begin{align*}
|H(\sigma - \beta, y_0)| &\le \frac{3my_0^2\eta^3}{2((\sigma - \beta)^2 + y_0^2)^3} + \frac{M_1(0)\eta^3}{((\sigma - \beta)^2 + y_0^2)^{3/2}} \\
&\le \left(\frac{3m}{2y_0} + M_1(0)\right) \frac{\eta_0^2}{y_0^3} \eta, \\[1em]
|H(\sigma - 1 + \beta, y_0)| &\le \frac{3my_0^2\eta^3(\sigma - 1 + \beta)}{((\sigma - 1 + \beta)^2 + y_0^2)^3} + \frac{m_1\eta^4/(\sigma - 1 + \beta)}{((\sigma - 1 + \beta)^2 + y_0^2)^{3/2}} \\
&\le \left(3m + \frac{m_1\eta_0}{\sigma_0 - 1/2}\right) \frac{\eta_0^2}{y_0^3} \eta, \\[1em]
|H(\sigma - \beta + \delta, y_0)| &\le \frac{3my_0^2\eta^3(\sigma - \beta + \delta)}{((\sigma - \beta + \delta)^2 + y_0^2)^3} + \frac{m_1\eta^4/(\sigma - \beta + \delta)}{((\sigma - \beta + \delta)^2 + y_0^2)^{3/2}} \\
&\le \left(3m + \frac{m_1\eta_0}{\delta}\right) \frac{\eta_0^2}{y_0^3} \eta, \\[1em]
|H(\sigma - 1 + \beta + \delta, y_0)| &\le \frac{3my_0^2\eta^3(\sigma - 1 + \beta + \delta)}{((\sigma - 1 + \beta + \delta)^2 + y_0^2)^3} \\
&\quad + \frac{m_1\eta^4/(\sigma - 1 + \beta + \delta)}{((\sigma - 1 + \beta + \delta)^2 + y_0^2)^{3/2}} \\
&\le \left(3m + \frac{m_1\eta_0}{\delta}\right) \frac{\eta_0^2}{y_0^3} \eta.
\end{align*}
$$

Nous avons ainsi

$$
Q_1(\sigma, \beta, y_0) \ge \frac{g_1(\theta)(2\sigma - 1)\frac{y_0^2}{y_0^2 + 1} - \left[ \left( \frac{3m}{2y_0} + 3m + M_1(0) \right) \eta_0^2 + \frac{m_1}{1/2 - \eta_0} \eta_0^3 \right] \frac{1}{y_0}}{g_1(\theta)(2\sigma + 2\delta - 1) + \left[ 6m\eta_0^2 + \frac{2m_1}{\delta}\eta_0^3 \right] \frac{1}{y_0}}.
$$
Nous voyons facilement que le terme de droite est une fonction croissante en la variable $\sigma$, donc on peut la minorer par sa valeur en $\sigma_0$, valeur que nous noterons $\kappa_1(y_0, \delta)$.

Regardons maintenant $Q$ sur l'autre côté $0 \le y \le y_0$, $\beta = \sigma$. Nous allons utiliser le lemme 3.2 pour $\tilde{F}(2\sigma - 1, y)$, $\tilde{F}(\delta, y)$ et $\tilde{F}(2\sigma - 1 + \delta, y)$. Pour $\tilde{F}(0, y)$, le lemme ne suffit plus lorsque $y$ est proche de 0. À la place, nous utilisons la positivité de $\tilde{F}$ et nous minorons ainsi $Q(\sigma + iy)$ par

$$ \frac{1}{(2\sigma - 1)^2 + y^2} \frac{g_1(\theta)(2\sigma - 1) - m\eta_0^2/(2\sigma - 1)}{\frac{\delta g_1(\theta) + m\eta_0^2/\delta}{\delta^2 + y^2} + \frac{(2\sigma - 1 + \delta)g_1(\theta) + m\eta_0^2/(2\sigma - 1 + \delta)}{(2\sigma - 1 + \delta)^2 + y^2}} $$

puis par

$$ Q_2(y) = \frac{1}{1+y^2} \frac{g_1(\theta)(2\sigma_0 - 1) - m\eta_0^2/(2\sigma_0 - 1)}{\frac{\delta g_1(\theta) + m\eta_0^2/\delta}{\delta^2 + y^2} + \frac{(\delta+1)g_1(\theta) + m\eta_0^2/(\delta+2\sigma_0-1)}{(\delta+2\sigma_0-1)^2 + y^2}} $$

Nous étudions le sens de variation de $Q_2$ et pour cela regardons le signe du dénominateur de sa dérivée. À un facteur positif près, nous trouvons le trinôme du second degré suivant : $Q_3(y) = d_2y^2 + d_1(\theta)y + d_0$, où les $d_i$ sont des fonctions polynômes de $\delta$. Le polynôme $d_2$ est positif pour $\delta \le 0.07$, négatif sinon, et le discriminant de $Q_3$ est toujours positif pour $\delta \ge 0.03$.

Supposons $\delta > 0.07$. Alors $Q_3(y) \ge 0$ est successivement positive puis négative sur $[0, +\infty[$ et donc $Q_2$ est d'abord croissante puis décroissante et son minimum est à déterminer entre $Q_2(0)$ et $Q_2(y_0)$. En fait nous pouvons même regarder sans trop de perte la limite de $Q_2$ en l'infini au lieu de $Q_2(y_0)$. Nous noterons respectivement ces valeurs $\kappa_2(\delta)$ et $\kappa_3(\delta)$ :

$$ (36) \quad \kappa_2(\delta) = \frac{g_1(\theta)(2\sigma_0 - 1) - m\eta_0^2/(2\sigma_0 - 1)}{(1 + 2\delta)g_1(\theta) + \left(\frac{1}{\delta} + \frac{1}{\delta + 2\sigma_0 - 1}\right)m\eta_0^2} \\ = \frac{1}{1 + 2\delta} + \mathcal{O}(\eta_0), $$

$$ (37) \quad \kappa_3(\delta) = \frac{g_1(\theta)(2\sigma_0 - 1) - m\eta_0^2/(2\sigma_0 - 1)}{\left(\frac{1}{\delta} + \frac{1+\delta}{(\delta+2\sigma_0-1)^2}\right)g_1(\theta) + \left(\frac{1}{\delta^3} + \frac{1}{(\delta+2\sigma_0-1)^3}\right)m\eta_0^2} \\ = \frac{1}{\frac{1}{\delta} + \frac{1}{1+\delta}} + \mathcal{O}(\eta_0). $$

En remarquant que $\kappa_1(\cdot, \delta)$ est une fonction décroissante et que $\kappa_2(\delta) \le \kappa_1(10, \delta)$, nous voyons qu'il ne reste plus pour conclure qu'à choisir la valeur optimale de $\min(\kappa_2(\delta), \kappa_3(\delta))$ lorsque $\delta \in [0, 1]$. À un $\mathcal{O}(\eta_0)$ près, nous
prenons donc $\delta$ tel que

$$ \frac{1}{1 + 2\delta} = \frac{1}{1/\delta + 1/(1 + \delta)} \quad \text{et donc} \quad \kappa = \frac{1}{1 + 2\delta}. $$

C'est-à-dire qu'à un $O(\eta_0)$ près, $\delta = (\sqrt{5}-1)/2 = 0.61803...$ et $\kappa = 1/\sqrt{5} = 0.44721...$. Les calculs exacts donnent

$$ \delta = 0.61963..., \quad \kappa = 0.44213... \quad \blacksquare $$

Il reste à étudier le cas où $\beta \in [\sigma, 1]$, ou plutôt celui où $|\gamma| \ge k\gamma_0 + t_0$, puisque

$$ \sigma \ge 1 - \frac{1}{R \log(k\gamma_0 + t_0)}, \quad \beta \le 1 - \frac{1}{R \log |\gamma|}. $$

Nous fixons la valeur $t_0 = 10$. Nous utiliserons le lemme préliminaire suivant pour montrer la proposition 4.4 ci-après.

**LEMME 4.3.** Pour $t_0 = 10$,

$$ \Sigma(t) = \sum_{\substack{\theta \in Z(\zeta) \\ |\gamma| \ge t + t_0}} \frac{1}{(\gamma - t)^2} \le \begin{cases} c_{30}(0) \le 0.07063 & \text{si } t = 0, \\ c_{30}(t) \text{ défini en } (47) & \text{si } t \ge T_0. \end{cases} $$

*Démonstration.* Nous rappelons que $N(u)$ désigne le nombre de zéros non triviaux de $\zeta$ de partie imaginaire dans $[0, u]$. D'après un théorème de Rosser (cf. [14]), $N(u)$ vérifie

$$ \left| N(u) - \frac{u}{2\pi} \log \left( \frac{u}{2\pi e} \right) - \frac{7}{8} \right| \le 0.137 \log u + 0.443 \log \log u + 1.588 \quad (u \ge 2). $$

Nous en déduisons cette inégalité plus pratique pour les applications numériques que nous voulons mener par la suite :

$$ (38) \qquad N_2(u) \le N(u) \le N_1(u), \quad u \ge 2, $$

avec

$$ (39) \qquad N_1(u) = \frac{u}{2\pi} \log \left( \frac{u}{2\pi e} \right) + c_1 \log u + c_2, $$

$$ (40) \qquad N_2(u) = \frac{u}{2\pi} \log \left( \frac{u}{2\pi e} \right) - c_1 \log u - c_3, $$

où

$$ (41) \qquad c_1 = 0.29998, \quad c_2 = 2.463, \quad c_3 = 0.713. $$

Dans le cas où $t = 0$, en notant $t_1$ la plus petite partie imaginaire des zéros de zeta ($t_1 = 14.134725...$), nous avons l'égalité

$$ (42) \qquad \Sigma(0) = \sum_{|\gamma| \ge t_1} \frac{1}{|\gamma|^2} $$
et les majorations successives suivantes :

$$
(43) \quad \Sigma(0) \le 2 \int_{t_1}^{+\infty} \frac{dN(u)}{u^2} = 4 \int_{t_1}^{+\infty} \frac{N(u)}{u^3} du \le 0.07063.
$$

Dans le cas où $t \ge T_0$, nous avons :

$$
\begin{align*}
(44) \quad \Sigma(t) &= \sum_{\substack{\varrho \in Z(\zeta) \\ \gamma \ge t+t_0}} \left[ \frac{1}{(\gamma-t)^2} + \frac{1}{(\gamma+t)^2} \right] \\
&= \sum_{n \ge 0} \sum_{\substack{t+t_0+n \le \gamma < t+t_0+n+1}} \left[ \frac{1}{(\gamma-t)^2} + \frac{1}{(\gamma+t)^2} \right] \\
&\le \sum_{n \ge 0} (N(t+t_0+n+1) - N(t+t_0+n)) \\
&\qquad \times \left[ \frac{1}{(t_0+n)^2} + \frac{1}{(2t+t_0+n)^2} \right].
\end{align*}
$$

Les encadrements (38) nous donnent l'inégalité

$$
\begin{align*}
(45) \quad N(t+t_0+n+1) - N(t+t_0+n) &\le N_1(t+t_0+n+1) - N_2(t+t_0+n) \\
&\le \frac{t+t_0+n+1}{2\pi} \log\left(\frac{t+t_0+n+1}{2\pi e}\right) + c_1 \log(t+t_0+n+1) + c_2 \\
&\quad - \frac{t+t_0+n}{2\pi} \log\left(\frac{t+t_0+n}{2\pi e}\right) + c_1 \log(t+t_0+n) + c_3 \\
&\le \frac{t+t_0+n}{2\pi} \log\left(\frac{t+t_0+n+1}{t+t_0+n}\right) \\
&\quad + \left(\frac{1}{2\pi} + 2c_1\right) \log(t+t_0+n+1) - \frac{\log(2\pi e)}{2\pi} + c_2 + c_3.
\end{align*}
$$

Puis, en utilisant

$$
\log\left(\frac{t+t_0+n+1}{t+t_0+n}\right) \le \frac{1}{t+t_0+n}
$$

et $\log(t+t_0+n+1) \le \log t + \log(t_0+n+1)$, on obtient la majoration explicite :
$$
\begin{align*}
(46) \quad N(t + t_0 + n + 1) - N(t + t_0 + n) & \le \frac{1}{2\pi} + \left(\frac{1}{2\pi} + 2c_1\right) \log t + \left(\frac{1}{2\pi} + 2c_1\right) \log(t_0 + n + 1) \\
& \phantom{\le} - \frac{\log(2\pi e)}{2\pi} + c_2 + c_3 \\
& \le \left(\frac{1}{2\pi} + 2c_1\right) \log t + a(n)
\end{align*}
$$

avec

$$
a(n) = \left(\frac{1}{2\pi} + 2c_1\right) \log(t_0 + n + 1) - \frac{\log(2\pi)}{2\pi} + c_2 + c_3,
$$

ce qui donne

$$
(47) \quad \Sigma(t) \le \left(\frac{1}{2\pi} + 2c_1\right) \log t \cdot \sum_{n \ge 0} \left[ \frac{1}{(t_0 + n)^2} + \frac{1}{(2t + t_0 + n)^2} \right] \\
\phantom{(47) \quad \Sigma(t) \le \left(\frac{1}{2\pi} + 2c_1\right) \log t \cdot \sum_{n \ge 0} \left[} + \sum_{n \ge 0} a(n) \left[ \frac{1}{(t_0 + n)^2} + \frac{1}{(2t + t_0 + n)^2} \right].
$$

On notera $c_{30}(t)$ le terme de droite. Chaque fonction $c_{30}(kt)/\log t$ étant décroissante en $t$, pour $k=1,2,3,4$, on peut la borner par sa valeur en $T_0$ :

$$
\frac{c_{30}(kt)}{\log t} \le \frac{c_{30}(kT_0)}{\log T_0},
$$

et donc

$$
(48) \qquad c_{30}(k\gamma_0)\eta \le c_{30}(kT_0)\eta_0. \blacksquare
$$

Dans la suite de cette section, nous posons $y_k = \gamma - k\gamma_0$.

PROPOSITION 4.4. Nous avons

$$
\sum_{\substack{\varrho \in Z(\zeta) \\ |\gamma| \ge k\gamma_0 + t_0}} (D(\sigma - \beta + iy_k) + D(\sigma - 1 + \beta + iy_k)) \\
\ge -\left(M(-r/R)\eta + \frac{(1+2\kappa)m}{\sigma_0 - 1/2} \eta^2\right) c_{30}(kT_0)\eta_0.
$$

Démonstration. D’après la majoration de $\tilde{F}$ établie au paragraphe 3.2,
nous avons
$$
(49) \quad \sum_{\substack{\varrho \in Z(\zeta) \\ |\gamma| \ge k\gamma_0 + t_0}} (D(\sigma - \beta + iy_k) + D(\sigma - 1 + \beta + iy_k)) \\
\ge \eta g_1(\theta) \sum_{\substack{\varrho \in Z(\zeta) \\ |\gamma| \ge k\gamma_0 + t_0}} \Re \left( \frac{1}{\sigma - \beta + iy_k} + \frac{1}{\sigma - 1 + \beta + iy_k} \right) \\
- \frac{\kappa}{\sigma - \beta + \delta + iy_k} - \frac{\kappa}{\sigma - 1 + \beta + \delta + iy_k) \\
- \sum_{\substack{\varrho \in Z(\zeta) \\ |\gamma| \ge k\gamma_0 + t_0}} (|H(\sigma - \beta, y_k)| + |H(\sigma - 1 + \beta, y_k)| \\
+ \kappa|H(\sigma - \beta + \delta, y_k)| + \kappa|H(\sigma - 1 + \beta + \delta, y_k)|.
$$

Le terme général de la première somme est positif puisque $\delta \ge (\sqrt{5} - 1)/2$, d'après le lemme de Stechkin (cf. [17, lemme 2]). Il reste à minorer la seconde somme de (49). Pour cela, nous utilisons le lemme 3.2 : puisque $0 \ge (\sigma - \beta)/\eta \ge -(1 - \sigma)/\eta \ge -r/R$, nous avons

$$
|H(\sigma - \beta, y_k)| \le \frac{M(-r/R)}{y_k^2} \eta^2
$$

et, en minorant $\sigma - 1 + \beta$, $\sigma - \beta + \delta$ et $\sigma - 1 + \beta + \delta$ par $\sigma_0 - 1/2$, nous déduisons
que $|H(\sigma - 1 + \beta, y_k)|$, $|H(\sigma - \beta + \delta, y_k)|$ et $|H(\sigma - 1 + \beta + \delta, y_k)|$ sont ma-
jorés par $(M((\sigma_0 - 1/2)/\eta)/y_k^2)\eta^2$ et donc par $(m/((\sigma_0 - 1/2)y_k^2))\eta^3$.

L'inégalité (49) devient alors

$$
(50) \quad \sum_{\substack{\varrho \in Z(\zeta) \\ |\gamma| \ge k\gamma_0 + t_0}} (D(\sigma - \beta + iy_k) + D(\sigma - 1 + \beta + iy_k)) \\
\ge - \left( M(-r/R) \eta^2 + \frac{(1+2\kappa)m}{\sigma_0 - 1/2} \eta^3 \right) \sum_{\substack{\varrho \in Z(\zeta) \\ |\gamma| \ge k\gamma_0 + t_0}} \frac{1}{y_k^2} \\
\ge - \left( M(-r/R) \eta^2 + \frac{(1+2\kappa)m}{\sigma_0 - 1/2} \eta^3 \right) c_{30}(k\gamma_0).
$$

On achève la preuve en utilisant la borne triviale $c_{30}(k\gamma_0)\eta \le c_{30}(0)\eta_0$,
lorsque $k=0$, et $c_{30}(k\gamma_0)\eta \le c_{30}(kT_0)\eta_0$, vu en (48), lorsque $k=1,2,3,4$.

On remarquera qu'il est possible de diminuer la taille de $c_{30}$, et par
conséquent celle du terme reste $C(\eta)$ décrit au paragraphe 2.4, en choisis-
sant une valeur plus grande pour $t_0$. Comme nous n'avons besoin que de
la négativité de $C(\eta_0)$ et qu'en contrepartie la valeur finale de $R$ augmente
avec celle de $t_0$, nous nous contentons de prendre $t_0 = 10$. $\blacksquare$
On finit la preuve de la proposition 2.5 en déduisant tout d'abord de la proposition 4.4 que

$$
(51) \quad \sum_{k=0}^{4} a_k \sum_{\substack{\varrho \in Z(\zeta) \\ |\gamma| \ge k\gamma_0 + t_0}} (D(\sigma - \beta + iy_k) + D(\sigma - 1 + \beta + iy_k)) \\
\phantom{(51) \quad \sum_{k=0}^{4} a_k \sum_{\substack{\varrho \in Z(\zeta) \\ |\gamma| \ge k\gamma_0 + t_0}} (} \ge -C_{31}(\eta) - C_{32}(\eta)\kappa
$$

avec

$$
(52) \quad C_{31}(\eta) = \left( M(-r/R)\eta + \frac{m}{\sigma_0 - 1/2} \eta^2 \right) \sum_{k=0}^{4} a_k c_{30}(kT_0)\eta_0,
$$

$$
(53) \quad C_{32}(\eta) = \frac{2m}{\sigma_0 - 1/2} \sum_{k=0}^{4} a_k c_{30}(kT_0) \eta_0 \eta^2.
$$

(Nous rappelons que $c_{30}$ est défini au lemme 4.3.) La proposition 4.2, les inégalités (34) et (51) donnent finalement

$$
\sum_{k=0}^{4} a_k \sum_{\varrho \in Z(\zeta)} (D(\sigma - \beta + iy_k) + D(\sigma - 1 + \beta + iy_k)) \geq a_1 \tilde{F}(\sigma - \beta_0, 0) - C_3(\eta)
$$

avec

$$
(54) \quad C_3(\eta) = a_1 \left[ \left( \left( \frac{1}{\delta} + \frac{1}{\sigma_0 - \eta_0 + \delta} \right) g_1(\theta)\eta + \left( \frac{1}{\delta^3} + \frac{1}{(\sigma_0 - \eta_0 + \delta)^3} \right) m\eta^3 \right) \kappa \right. \\
\left. - (g_1(\theta)\eta - m\eta^3) \right] + C_{31}(\eta) + C_{32}(\eta)\kappa.
$$

Ainsi, $C_3(\eta)$ s'écrit sous forme polynômiale $p_1\eta + p_2\eta^2 + p_3\eta^3$, où

$$
p_1 = a_1 g_1(\theta) \left( \left( \frac{1}{\delta} + \frac{1}{\sigma_0 - \eta_0 + \delta} \right) \kappa - 1 \right) + M(-r/R) \sum_{k=0}^{4} a_k c_{30}(kT_0) \eta_0,
$$

$$
p_2 = \frac{(1 + 2\kappa)m}{\sigma_0 - 1/2} \sum_{k=0}^{4} a_k c_{30}(kT_0)\eta_0,
$$

$$
p_3 = a_1 m \left( \left( \frac{1}{\delta^3} + \frac{1}{(\sigma_0 - \eta_0 + \delta)^3} \right) \kappa + 1 \right).
$$

Les conditions imposées à $\kappa$ et $\delta$ en (6) impliquent que $p_1$ est négative et $p_2$ et $p_3$ positives. Et avec les valeurs numériques choisies au début de la section, on a plus exactement :

$$
p_1 = -413.18630\dots, \quad p_2 = 3\,275.49955\dots, \quad p_3 = 73\,082.74832\dots
$$
**4.2. Étude de $\Delta_1$ – preuve de la proposition 2.2.** Rappelons que le terme étudié est $\Delta_1(s) = T_1(s) - \kappa T_1(s + \delta)$, où

$$T_1(s) = -\frac{1}{2} \log \pi + \frac{1}{2} \Re \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{s}{2} + 1 \right).$$

**LEMME 4.5.** *Nous avons*

$$\Delta_1(\sigma + ik\gamma_0) \le \begin{cases} c_1(0) & \text{si } k=0, \\ ((1-\kappa)/2) \log \gamma_0 + c_1(k) & \text{si } k=1,2,3,4, \end{cases}$$

avec

$$c_1(0) = -\frac{1-\kappa}{2} \log \pi + \frac{1}{2} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left(\frac{3}{2}\right) - \frac{\kappa}{2} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left(\frac{\sigma_0 + \delta}{2} + 1\right),$$

$$c_1(k) = -\frac{1-\kappa}{2} \log \frac{2\pi}{k} + \frac{1}{2} \min(r_2(\sigma_0 + 2, 3, kT_0), r_3(\sigma_0 + 2, 3, kT_0))$$

$\text{si } k \ge 1$

et avec $r_2$ et $r_3$ définis en (27) et (30).

*Démonstration.* Si $k=0$, nous avons immédiatement, grâce à la croissance de $\Re(\Gamma'/\Gamma)$ sur $[0; +\infty[$,

$$\Delta_1(\sigma) \le -\frac{1-\kappa}{2} \log \pi + \frac{1}{2} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left(\frac{3}{2}\right) - \frac{\kappa}{2} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left(\frac{\sigma_0 + \delta}{2} + 1\right) = c_1(0).$$

Si $k \ge 1$, utilisons le lemme 3.5 en prenant $x_0 = \sigma_0 + 2$, $x_1 = 3$ et $y_0 = kT_0$ :

$$\begin{aligned} \Delta_1(\sigma + ik\gamma_0) &\le \frac{1-\kappa}{2} \log \gamma_0 + \frac{1-\kappa}{2} \log \frac{k}{2\pi} \\ &\quad + \frac{1}{2} \min(r_2(\sigma_0 + 2, 3, kT_0), r_3(\sigma_0 + 2, 3, kT_0)) \\ &\le \frac{1-\kappa}{2} \log \gamma_0 + c_1(k) \end{aligned}$$

où les $c_1(k)$ sont des constantes négatives. ■

Ainsi, en sommant le lemme 4.5 pour $k = 0, 1, 2, 3, 4$,

$$(55) \quad \sum_{k=0}^{4} a_k \Delta_1(\sigma + ik\gamma_0) \le \frac{A(1-\kappa)}{2} \log \gamma_0 + c_1 \quad \text{avec } c_1 = \sum_{k=0}^{4} a_k c_1(k)$$

et donc

$$f(0) \sum_{k=0}^{4} a_k \Delta_1(\sigma + ik\gamma_0) \le \frac{A}{2} (1-\kappa) g_1(\theta) \eta \log \gamma_0 + C_1(\eta)$$

où $C_1$ est la fonction négative donnée par

$$(56) \qquad C_1(\eta) = c_1 g_1(\theta) \eta \le -2704.319 \eta.$$
**4.3. Étude de D(s − 1) – preuve de la proposition 2.3.** Rappelons que
D(σ − 1 + it) = ̂ F (σ − 1, t) − κ ̂ F (σ − 1 + δ, t). Nous montrons tout d’abord
une proposition intermédiaire :

PROPOSITION 4.6. Nous avons

$$
(57) \quad D(\sigma - 1 + it)
\le \begin{cases}
\tilde{F}(\sigma - 1, 0) - \kappa \left( \frac{g_1(\theta)}{\delta} \eta - \frac{m}{(\sigma_0 - 1 + \delta)^3} \eta^3 \right) & \text{si } t = 0, \\
M(-r/R) \frac{\eta^2}{t^2} - \left( g_1(\theta) \frac{\sigma_0 - 1 + \delta}{2} \eta - \frac{m}{\sigma_0 - 1 + \delta} \eta^3 \right) \frac{\kappa}{t^2} & \text{si } t \ge T_0.
\end{cases}
$$

Démonstration. Nous utilisons simplement les majorations du lemme
3.2. Dans le cas où $t = 0$, nous avons alors :

$$
\begin{align*}
(58) \quad D(\sigma - 1) &= \tilde{F}(\sigma - 1, 0) - \kappa \tilde{F}(\sigma - 1 + \delta, 0) \\
&\le \tilde{F}(\sigma - 1, 0) - \kappa \left( \frac{g_1(\theta)}{\sigma - 1 + \delta} \eta - |H(\sigma - 1 + \delta, 0)| \right) \\
&\le \tilde{F}(\sigma - 1, 0) - \kappa \left( \frac{g_1(\theta)}{\sigma - 1 + \delta} \eta - \frac{m}{(\sigma - 1 + \delta)^3} \eta^3 \right)
\end{align*}
$$

et on conclut en observant que $\sigma_0 \le \sigma \le 1$.

Dans le cas où $t \ge T_0$, nous avons les inegalites successives (nous rappelons que $-r/R \le \sigma - 1 \le 0$ et $\sigma_0 - 1 + \delta \le \sigma - 1 + \delta \le T_0 \le t$) :

$$
\begin{align*}
(59) \quad \tilde{F}(\sigma - 1, t) - \kappa \tilde{F}(\sigma - 1 + \delta, t) & \\
&\le \frac{\eta g_1(\theta)(\sigma - 1)}{(\sigma - 1)^2 + t^2} + |H(\sigma - 1, t)| - \kappa \left( \frac{\eta g_1(\theta)(\sigma - 1 + \delta)}{(\sigma - 1 + \delta)^2 + t^2} - |H(\sigma - 1 + \delta, t)| \right) \\
&\le \frac{M((\sigma - 1)/\eta)\eta^2}{(\sigma - 1)^2 + t^2} - \kappa \left( \frac{\eta g_1(\theta)(\sigma - 1 + \delta)}{2t^2} - \frac{m\eta^3}{(\sigma - 1 + \delta)((\sigma - 1 + \delta)^2 + t^2)} \right) \\
&\le \frac{M(-r/R)\eta^2}{t^2} - \kappa \left( \frac{\eta g_1(\theta)(\sigma_0 - 1 + \delta)}{2t^2} - \frac{m\eta^3}{(\sigma_0 - 1 + \delta)t^2} \right),
\end{align*}
$$

ce qui termine la preuve de la proposition. $\blacksquare$

Finalement, en prenant $t = k\gamma_0$ dans (58) et (59) avec successivement
$k = 0, 1, 2, 3, 4$, la proposition 4.6 permet d'achever la preuve de la proposi-
tion 2.3 :

$$
\sum_{k=0}^{4} a_k D(\sigma - 1 + ik\gamma_0) \leq a_0 \tilde{F}(\sigma - 1, 0) + C_2(\eta)
$$
où $C_2(\eta)$ s'écrit sous la forme polynômiale

$$
\begin{align*}
C_2(\eta) &= q_1\eta + q_2\eta^2 + q_3\eta^3 && \text{avec} \\
q_1 &= -\kappa \left( a_0 \frac{g_1(\theta)}{\delta} + \frac{\sigma_0 - 1 + \delta}{2} g_1(\theta) \sum_{k=1}^{4} \frac{a_k}{(kT_0)^2} \right) \le 0, \\
(60) \qquad q_2 &= M(-r/R) \sum_{k=1}^{4} \frac{a_k}{(kT_0)^2} \ge 0, \\
q_3 &= \frac{a_0 m \kappa}{(\sigma_0 - 1 + \delta)^3} + \frac{m \kappa}{\sigma_0 - 1 + \delta} \sum_{k=1}^{4} \frac{a_k}{(kT_0)^2} \ge 0
\end{align*}
$$

et ici

$$
q_1 = -1151.623, \quad q_2 = 1.360 \cdot 10^{-15}, \quad q_3 = 27424.672.
$$

**4.4. Étude du reste Δ₂ – preuve de la proposition 2.4.** Rappelons que
Δ₂(s) = T₂(s) – κT₂(s + δ), avec

$$
T_2(s) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathfrak{Re} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{1}{4} + i \frac{T}{2} \right) H\left(\sigma - \frac{1}{2}, t - T\right) dT + H\left(\sigma, t\right).
$$

LEMME 4.7. Nous avons

$$
\Delta_2(\sigma + ki\gamma_0) \le C_4(\eta, k) \text{ avec } C_4(\eta, k) = C_{41}(\eta, k) + C_{42}(\eta, k)
$$

où $C_{41}(\eta, k)$ et $C_{42}(\eta, k)$ sont définis en (61) et (63).

Démonstration. 1. Étudions d'abord le terme intégral. Pour simplifier,
on écrit x pour σ − 1/2 ou σ − 1/2 + δ et y pour kγ₀. Nous rappelons que
le lemme 3.2 donne

$$
|H(x, y - T)| \le \frac{M(x/\eta)\eta^2}{x^2 + (y - T)^2} \le \frac{m\eta^3}{x(x^2 + (y - T)^2)},
$$

et que

$$
\left| \mathfrak{Re} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{1}{4} + i \frac{T}{2} \right) \right| \le U_0(T),
$$

où $U_0$ est défini au lemme 3.6. Ainsi

$$
\begin{align*}
& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \left| \mathfrak{Re} \frac{\Gamma'}{\Gamma} \left( \frac{1}{4} + i \frac{T}{2} \right) \right| |H(x, y-T)| dT \\
& \le \frac{m\eta^3}{2\pi x} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{U_0(T)}{x^2 + (y-T)^2} dT = C_{40}(\eta, x, y).
\end{align*}
$$

Lorsque $y = k\gamma_0$, l'intégrale ci-dessus est de l'ordre de $\log(k\gamma_0 + 1)$ et le
$\eta^3$ qui la précède est de l'ordre de $1/\log^3\gamma_0$, ce qui fait qu'il est facile de
montrer que cette quantité est décroissante en $\gamma_0$ et qu'elle est donc majorée
par $C_{40}(\eta, x, kT_0)$. Nous notons $C_{41}(\eta, k)$ la majoration trouvée ainsi pour l'intégrale :

$$ (61) \qquad C_{41}(\eta, k) = C_{40}(\eta, \sigma_0 - 1/2, kT_0) + \kappa C_{40}(\eta, \sigma_0 - 1/2 + \delta, kT_0). $$

2. Il nous reste à approcher $H(\sigma, k\gamma_0)$ grâce au lemme 3.2 :

$$ (62) \qquad |H(\sigma, k\gamma_0)| + \kappa |H(\sigma + \delta, k\gamma_0)| \le C_{42}(\eta, k) $$

avec

$$ (63) \qquad C_{42}(\eta, k) = \begin{cases} (1/\sigma_0^3 + \kappa/(\sigma_0 + \delta)^3)m\eta^3 & \text{si } k=0, \\ (1/\sigma_0 + \kappa/(\sigma_0 + \delta))m\eta^3/(kT_0)^2 & \text{sinon.} \end{cases} $$

Finalement :

$$ (64) \qquad \sum_{k=0}^{4} a_k \Delta_2(\sigma + ik\gamma_0) \le C_4(\eta) = \sum_{k=0}^{4} a_k (C_{41}(\eta, k) + C_{42}(\eta, k)) $$

avec

$$ C_4(\eta) \le 2\,391\,006.764\eta^3. $$

**4.5. Conclusion.** Nous détaillons ci-dessous les étapes consécutives des calculs. Nous donnons les valeurs successives prises pour $r$ et $R$, ainsi que celles des paramètres $\eta_0$, $\kappa$ et $\delta$ impliqués et enfin celles trouvées pour $R_0$.

Nous donnons aussi le terme reste

$$ C(\eta) = C_1(\eta) + C_2(\eta) + C_3(\eta) + C_4(\eta) = \alpha_1\eta + \alpha_2\eta^2 + \alpha_3\eta^3, $$

où $\alpha_1$ est négative sous la condition (6), et $\alpha_2$ et $\alpha_3$ sont toujours positives. Ainsi, comme on l'a expliqué au paragraphe 2.4, $C(\eta)$ est négatif sur $[0, \eta_0]$ lorsque $C(\eta_0)$ est négatif, et il n'influe donc pas sur la valeur finale de $R_0$.

<table><thead><tr><th>Étape</th><th>R</th><th>r</th><th>η<sub>0</sub> · 10<sup>3</sup></th><th>κ</th><th>δ</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>9.645908801</td><td>5.94292</td><td>7.67418...</td><td>0.44213...</td><td>0.61963...</td></tr><tr><td>2</td><td>5.942924086</td><td>5.72033</td><td>7.97280...</td><td>0.43927...</td><td>0.62051...</td></tr><tr><td>3</td><td>5.720337336</td><td>5.69922</td><td>8.00233...</td><td>0.43898...</td><td>0.62060...</td></tr><tr><td>4</td><td>5.699223507</td><td>5.69714</td><td>8.00525...</td><td>0.43895...</td><td>0.62061...</td></tr><tr><td>5</td><td>5.697149422</td><td>5.69694</td><td>8.00553...</td><td>0.43895...</td><td>0.62061...</td></tr><tr><td>6</td><td>5.696944343</td><td>5.69692</td><td>8.00556...</td><td>0.43895...</td><td>0.62061...</td></tr></tbody></table>

<table><thead><tr><th>Étape</th><th>α<sub>1</sub></th><th>α<sub>2</sub></th><th>α<sub>3</sub></th><th>C(η<sub>0</sub>)</th><th>R<sub>0</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>-3.442.756</td><td>3.275.500</td><td>2.491.514.184</td><td>-25.10138...</td><td>5.942924086...</td></tr><tr><td>2</td><td>-3.364.052</td><td>3.411.712</td><td>2.515.484.337</td><td>-25.32921...</td><td>5.720337335...</td></tr><tr><td>3</td><td>-3.354.978</td><td>3.425.245</td><td>2.517.937.234</td><td>-25.33799...</td><td>5.699223506...</td></tr><tr><td>4</td><td>-3.354.069</td><td>3.426.585</td><td>2.518.180.091</td><td>-25.33873...</td><td>5.697149421...</td></tr><tr><td>5</td><td>-3.353.979</td><td>3.426.714</td><td>2.518.204.048</td><td>-25.33878...</td><td>5.696944342...</td></tr><tr><td>6</td><td>-3.353.970</td><td>3.426.727</td><td>2.518.206.418</td><td>-25.33879...</td><td>5.696924085...</td></tr></tbody></table>
Références

[1] Y. Cheng, *An explicit zero-free region for the Riemann zeta-function*, Rocky Mountain J. Math. 30 (2000), 135-148.

[2] H. Davenport, *Multiplicative Number Theory*, 3rd ed., Grad. Texts in Math. 74, Springer, 2000.

[3] K. Ford, *Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function*, Proc. London Math. Soc. (3) 85 (2002), 565-633.

[4] —, *Zero-free regions for the Riemann zeta function*, dans : Number Theory for the Millennium, II (Urbana, IL, 2000), A K Peters, 2002, 25-56.

[5] J. Hadamard, *Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques*, Bull. Soc. Math. France 24 (1896), 199-220.

[6] D. R. Heath-Brown, *Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression*, Proc. London Math. Soc. 64 (1992), 265-338.

[7] H. Kadiri, *Zero-free regions for the Dirichlet L-functions*, prépublication.

[8] —, *Régions explicites sans zéros pour les fonctions L de Dirichlet*, thèse, 2002; http://tel.ccsd.cnrs.fr/documents/archives0/00/00/26/95/index.fr.html.

[9] N. M. Korobov, *Estimates of trigonometric sums and their applications*, Uspekhi Mat. Nauk 13 (1958), 185-192 (in Russian).

[10] J. van de Lune, H. J. J. te Riele and D. T. Winter, *On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. IV*, Math. Comp. 46 (1986), 667-681.

[11] K. S. McCurley, *Explicit zero-free regions for Dirichlet L-functions*, J. Number Theory 19 (1984), 7-32.

[12] O. V. Popov, *A derivation of a modern bound for the zeros of the Riemann zeta function by the Hadamard method*, Vestnik Moskov. Univ. Ser. I Mat. Mekh. 96 (1994), 42-45 (in Russian).

[13] B. Riemann, *Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse*, Monatsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss. Berlin 1859, 671-680.

[14] J. B. Rosser, *Explicit bounds for some functions of prime numbers*, Amer. J. Math. 63 (1941), 211-232.

[15] J. B. Rosser and L. Schoenfeld, *Approximate formulas for some functions of prime numbers*, Illinois J. Math. 6 (1962), 64-94.

[16] —, —, *Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x)*, Math. Comp. 29 (1975), 243-269.

[17] S. B. Stechkin, *The zeros of the Riemann zeta-function*, Mat. Zametki 8 (1970), 419-429 (in Russian); English transl.: Math. Notes 8 (1970), 706-711.

[18] —, *Rational inequalities and zeros of the Riemann zeta-function*, Trudy Mat. Inst. Steklov 189 (1989), 110-116 (in Russian); English transl.: Proc. Steklov Inst. Math. no. 4, 1990, 127-134.

[19] C. J. de la Vallée Poussin, *La fonction zéta de Riemann et les nombres premiers en général*, Ann. Soc. Sci. Bruxelles Sér. I 20 (1896), 183-256.

[20] —, *Sur la fonction ζ(s) de Riemann et le nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée*, Mém. Couronnés et Autres Mém. Publ. Acad. Roy. Sci. Lett. Beaux-Arts Belg. 59 (1899-1900), 74 pp.

[21] S. Wedeniowski, *The first 10 billion zeros of the Riemann zeta function are calculated and satisfy the Riemann hypothesis*, http://www.zetagrid.net.

[22] A. Weil, *Sur les "formules explicites" de la théorie des nombres premiers*, Comm. Sém. Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.] 1952, Tome Supplémentaire, 252-265; Oeuvres Scientifiques (Collected Papers), Vol. II, Springer, New York, 1979, 48-61.
Département de Mathématiques et Statistique
Université de Montréal
CP 6128 succ. Centre-Ville
Montréal, QC, H3C 3J7, Canada
E-mail: kadiri@dms.umontreal.ca

Reçu le 5.2.2002
et révisé le 10.11.2004

(4209)