# Pratiques des élèves et des enseignants de mathématiques. Rapport de recherche.

Marie-Jeanne Perrin-Glorian, Robert Noirfalise, Annie Noirfalise

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Marie-Jeanne Perrin-Glorian, Robert Noirfalise, Annie Noirfalise. Pratiques des élèves et des enseignants de mathématiques. Rapport de recherche.. IREM de Paris. IREM de Paris, 29, 1997, Cahier de DIDIREM, René Cori, 2-86612-128-7. hal-02141811

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Submitted on 28 May 2019

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INSTITUT
DE RECHERCHE
POUR L'ENSEIGNEMENT
DES MATHEMATIQUES

29

MARS 1997

CAHIER DIDIREM

PRATIQUES DES ÉLÈVES ET DES ENSEIGNANTS EN
CLASSE DE MATHÉMATIQUES.

RAPPORT DE RECHERCHE.

RÔLE DES GESTES DE CLÔTURE DANS L'ENSEIGNEMENT DES
MATHÉMATIQUES

par Annie et Robert Noirfalise

INSTITUTIONNALISATION EN CLASSE DE SECONDE : VALEUR
ABSOLUE, INTERVALLES, ENCADREMENTS, APPROXIMATIONS

PREMIÈRE PARTIE : choix globaux des enseignants et résultats
des élèves

par Marie-Jeanne Perrin-Glorian

DIDACTIQUE DES MATHÉMATIQUES
UNIVERSITÉ PARIS 7 DENIS DIDEROT
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# PRATIQUES DES ÉLÈVES ET DES ENSEIGNANTS EN
CLASSE DE MATHÉMATIQUES.

## RAPPORT DE RECHERCHE.

### RÔLE DES GESTES DE CLÔTURE DANS L'ENSEIGNEMENT DES
MATHÉMATIQUES

par Annie et Robert Noirfalise

INSTITUTIONNALISATION EN CLASSE DE SECONDE : VALEUR
ABSOLUE, INTERVALLES, ENCADREMENTS, APPROXIMATIONS

PREMIÈRE PARTIE : choix globaux des enseignants et résultats
des élèves

par Marie-Jeanne Perrin-Glorian
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# PRATIQUES DES ÉLÈVES ET DES ENSEIGNANTS
EN CLASSE DE MATHÉMATIQUES.

## RAPPORT DE RECHERCHE.

### Introduction.

Les deux textes proposés dans ce cahier correspondent à des recherches menées dans le cadre d'un projet élaboré en réponse à un appel d'offres de recherche de la DRED en 1993 et qui a permis la collaboration de chercheurs de Clermont Ferrand et de l'équipe DIDIREM à Paris 7.

Le texte d'Annie et Robert Noirfalise s'intresse aux pratiques des enseignants pour clore une question ouverte avec les élèves d'une part dans le cadre d'une relation duelle d'entretien, d'autre part à travers l'analyse d'un protocole enregistré en classe de 6ème sur les fractions.

Le texte de Marie-Jeanne Perrin concerne l'enseignement en classe de seconde des notions de valeur absolue, intervalles, approximations. L'objectif de la recherche était d'étudier les pratiques d'institutionnalisation des enseignants et de tenter de les mettre en relation avec les pratiques mathématiques des élèves. Le texte présenté ici concerne plutôt les choix des enseignants au niveau de la transposition didactique et les résultats des élèves. Il devrait être complété par une deuxième partie concernant plus précisément les pratiques pédagogiques en relation avec ces choix et l'analyse détaillée de quelques séquences.

Des ateliers des Ecoles d'été de 1993 et 1995 ont aussi été alimentés par ces deux recherches : on en trouvera trace dans les Actes de ces Ecoles d'été.

Le groupe de travail comprenait également deux autres sous-groupes : l'un sur l'utilisation des calculatrices, l'autre sur les liens entre résolution de problèmes et pratique du calcul mental. Ces travaux ont déjà donné lieu à des publications séparées.
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# RÔLE DES GESTES DE CLÔTURE DANS L'ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES

Par A. et R. Noirfalise : IREM de Clermont-Fd
Université B. Pascal

## I) Introduction:

Nous présentons ci-dessous l'analyse de deux protocoles.

Le premier correspond à l'enregistrement d'un dialogue, à propos d'une situation mathématique, entre un chercheur en didactique et une jeune élève de CM2. La relation familiale (oncle, nièce) existant entre les deux personnages du dialogue autorise une reprise, dans un deuxième temps, de celui-ci: c'est alors pour l'élève l'occasion de manifester un rapport privé aux objets de savoir qu'elle avait masqué dans la première partie de l'entretien. La contrainte du temps conduit l'interviewer à clore rapidement des champs de rapports à des objets de savoir ouverts par ses questions à l'élève. Cette clôture rapide est possible car le jeu des questions réponses conduit l'adulte à penser que l'interviewé a des rapports idoines, d'une part à des objets de savoir supposés anciens, d'autre part à de nouveaux objets introduits au cours du dialogue. L'expression dans un deuxième temps d'un rapport resté privé de l'élève à ces mêmes objets montre que la situation est bien différente de ce que l'interviewer, dans le feu de l'action, pouvait imaginer. Toutefois, et c'est cela qui véritablement nous intéresse dans cette étude visant à contribuer à la modélisation du travail de l'enseignant, il apparaît que la façon de faire de l'interviewer est fonctionnelle, adaptée à la contrainte temporelle. Pour qu'il puisse avancer, il était ainsi intéressant qu'il puisse clore rapidement les champs ouverts par les questions. Le fait est que les réponses provoquées l'autorisaient, fictivement, à penser que la jeune élève avait un rapport idoine aux objets de savoirs. Alors, il pouvait clore une question, passer à une autre et de questions en réponses avancer pour réaliser l'enjeu de l'interview.

Le second protocole résulte, lui, de l'enregistrement d'une séquence en classe de sixième. Il convenait, en effet, d'examiner la portée d'une analyse faite dans une situation de dialogue et de voir si elle pouvait s'appliquer à des situations plus scolaires. L'enregistrement proposé montre que cela est possible.

Il s'agit d'une séquence didactique durant laquelle l'enseignant enregistré se refuse à clore le champ ouvert par ses questions sans s'être assuré que tous les élèves ont un rapport idoine à l'objet de savoir évoqué. Il en résulte un effet de glissement, que certes, grâce à son expérience l'enseignante maîtrisera, mais les débats ainsi ouverts successivement s'enlisent, ajoutant à la question initiale de nouveaux objets de savoirs hétéroclites. Bref, il s'agit, faute de l'usage par l'enseignant de gestes de clôture durant les cinquante-cinq premières minutes de la séquence et dans le but d'une meilleure appropriation du savoir par les élèves, d'une heure dont le gain didactique est incertain, car elle ne semble en rien avoir fait progresser le rapport au savoir des élèves.

## II Analyse d'un dialogue "interwiever-intervievé"

II.1 La communauté des didacticiens a souvent utilisé des situations classiques d'interviews pour mettre en évidence "l'état des conceptions" des élèves interviewés relativement à un projet de savoir. Cependant, aujourd'hui l'intérêt se déplace et comme le disent Schubauer-Leoni et Trognon (article non publié) "l'intérêt n'est plus de rapporter les performances constatées à une norme préétablie, mais de chercher à rendre compte de la constitution même des conduites en les considérant comme des réponses résultant de l'interprétation de situations cognitives précises par rapport auxquelles les sujets en jeu dans l'interview, entretiennent des buts et des enjeux variés". Ainsi, les réponses apportées par un sujet dans un interview, ne sauraient résulter seulement d'un état de son rapport aux objets mis en scène
dans la situation, antérieur à celle-ci, mais sont fonction des interactions qui agissent et se
construisent dans l'entretien.

Par ailleurs, beaucoup de travaux ont été faits pour analyser avec cette perspective les comportements cognitifs des élèves ou des sujets placés en situation d'interviewés. Ici nous ne nous intéresserons pas de façon prioritaire à l'élève mais de façon à contribuer à l'étude du comportement du maître, nous centrerons l'analyse sur le sujet interviewer: c'est ainsi que nous tenterons de montrer l'influence sur sa conduite de contraintes situationnelles. En particulier, ce type de séquences très contraintes par le temps nous semble pertinente pour faire apparaître la présence d'une première contrainte que nous appellerons "construction d'une mémoire commune" au début de l'interview et d'une seconde qui opère pour clore une phase de l'entretien, contrainte que nous pouvons appeler "contrainte de clôture". Ces deux contraintes opèrent sur la gestion des savoirs et des connaissances mises en jeu: c'est ainsi que la première provoque des identifications qui dichotomisent la relation au savoir en terme de "savoir ou ne pas savoir", la seconde entraîne des moments de validation par l'interviewer qui occulte le réel rapport au savoir du sujet interviewé.

## II.2 Situation expérimentale :

Il s'agit d'un entretien entre un adulte et un enfant, membre de sa famille (nièce) ayant comme support la page d'un manuel de sixième consacrée à la géométrie. L'enfant, que nous appelons Anne, est élève de CM2 (classe du primaire qui précède la classe de sixième).

## II. 2.1: Les conditions de l'entretien.

L'entretien étudié s'est passé en relation duelle, chez l'adulte interviewer. Il est professeur de mathématiques et fait des recherches en didactique. Les membres de sa famille qu'il interviewe, savent qu'il est professeur de maths, son travail de recherche est beaucoup moins clairement identifié.

L'enjeu pour l'adulte, était d'étudier le rapport que des sujets interviewés pouvaient manifester relativement à l'énoncé d'un résultat géométrique et ses usages, ceci dans le cadre plus général d'une étude didactique sur la démonstration. En cela, sa position, dans "l'institution-expérimentation" est différente de celle d'un enseignant: il n'y a pas pour lui d'enjeux didactiques. Son but n'est pas de provoquer des apprentissages chez les interviewés. Il y a cependant une similitude, entre la position de l'interviewer et celle de l'enseignant que l'on retrouve avec la dissymétrie "adulte-enfant", dans leurs positions institutionnelles respectives: c'est l'interviewer qui est le "maître de l'enjeu initial", le sujet de l'expérimentation est dans une position, au départ du moins, différente: il ne sait pas quels sont les enjeux de la situation (un élève en revanche, sait qu'il y a des enjeux d'apprentissage dans une situation didactique, quand bien même, il ne sait pas a priori ce qui va être objet d'apprentissage). On le voit, l'analyse des positions des deux "inter-actants" dans une situation expérimentale, loin de conférer un statut de neutralité à l'expérimentateur, lui donne au contraire une position "maîtresse" a priori: il est le détenteur de l'enjeu. Cependant, paradoxalement peut-être, l'enjeu fixé au départ va contraindre son comportement: il est maître de l'enjeu, mais l'enjeu posé ou institué, l'interviewer est asservi par l'enjeu: il est au service de la réalisation de celui-ci. C'est l'institution-expérimentale qui commande, qui fait des deux interactants des sujets. Nous présentons l'interview assorti de commentaires, en le découpant en phases.

## II.3 Analyse du protocole.

### II. 3.1 : Phase 1: Entrée dans la situation.

I: "Merci, Anne, de m'aider."

Cette phrase est la première à avoir été enregistrée, mais elle a été précédée d'une courte négociation entre I (l'interviewer) et Anne, I ayant obtenu l'accord de Anne, pour se livrer à une courte activité en étant enregistrée au magnétophone.

I, avec la formulation employée, manifeste un élément de l'enjeu expérimental: Anne lui rend service en acceptant la situation; cela ne délivre pas à Anne, cependant, d'informations sur ce
certainement à rapprocher de ce qui se passe en situation didactique. Comme le disent Brousseau et Centeno (1991) "les difficultés de la gestion de la mémoire sont telles que les enseignants tendent inconsciemment à évoluer vers des méthodes les plus économiques à ce sujet". En particulier, dans des systèmes sans mémoire commune comme c'est le cas dans l'entretien réalisé ici, mais qui imposent pour la réalisation d'un projet (finalisation de la situation) la référence à une mémoire commune. Sa construction, dans l'action, contrainte par le temps qui doit être réduit, va utiliser des modalités peu coûteuses en temps du type: l'élève sait ou ne sait pas. Ceci va se faire pour l'acteur du système qui a en "charge" la vérification et l'édification de cette mémoire commune, par le repérage d'indices. Dans le cas présent, on peut noter l'usage d'indices linguistiques conduisant I et A à des conclusions du type "A sait" conforme au projet de I.

Il semble bien que I "ne pouvait pas" faire autrement: la situation, dans laquelle, en terme de description, nous devons incorporer son projet expérimental, le contraint à se conduire comme il le fait.

A : Non, moi je n'ai pas *appris* ça.

L'institution expérimentale est bien référée par Anne, à l'intitution scolaire. "Je n'ai pas *appris* ça". La mémoire commune est à rechercher pour Anne dans l'institution scolaire. Dans le jeu mené par I, de vérification d'une mémoire commune, ici, Anne refuse que les symboles ⊥ et // puissent être représentatifs d'un champ de connaissances que I puisse lui attribuer.
Voyons comment réagit I à cette dénégation qui a priori, contrarie le bon déroulement de son projet.

I : Tu n'as pas appris ça... et l'autre là (I montre le signe //).

A : Non plus.

I : D'accord. Alors tu vois le premier veut dire...

I : Tu sais ce que sont des droites perpendiculaires ?

A : Oui. Qui se rencontreront jamais.

I : Non. Perpendiculaires.

A : Hein,... perpendiculaires... c'est... la... l'horizontale et la verticale.

I : Par exemple.

A : Oui.

I : Par exemple. D'accord ? Et là, c'est parallèle... qui ne se rencontreront jamais.

A : Oui.

I : Alors, premier exercice; il faut compléter avec les signes, le premier qui veut dire perpendiculaire et le second parallèle.

Ce passage illustre la façon de I de réduire la difficulté. Anne refuse un élément de mémoire commune. I l'admet et retrouve avec les mots "perpendiculaires" et "parallèles" l'occasion, de façon économique, d'instaurer la mémoire commune dont il a besoin: Anne ne "connait" pas les signes (signifiants") dont ils vont avoir besoin, I passe aux signifiés: les réponses d'Anne, bien qu'incertaines, lui fournissent des indices suffisants pour admettre qu'Anne a une mémoire commune sur le sujet. On peut noter le processus d'hypostasiation entre signifiants et signifiés réalisé par I. Il règle la question en associant signifiés et signifiants dans une phrase. Pour lui, cette association est sans problème: il l'a donnée à Anne après avoir démarré l'interrogation sur le premier exercice.

Pour Anne, cette association ne va pas de soi (elle n'a peut-être pas le temps de prendre en charge totalement ce que I suppose d'elle). C'est ainsi que, plus loin, dans l'interview on rencontre l'échange suivant:

- Anne: Et ça. Tu m'as pas dit ce que cela voulait dire. (elle montre le signe //.)

- I : Parallèle !... Tu m'as dit ce que cela voulait dire !

Notons l'étonnement de I, alors que Anne n'a jamais dit ce que désignait le signe // (et pour cause).
On peut donc noter que nous avons, après la phase de négociation de l'entrée de Anne comme sujet dans la situation expérimentale, une seconde phase que l'on peut appeler **"recherche d'une mémoire commune"**. Celle-ci, pour que puisse se réaliser le projet, c'est-à-dire le but de l'interview, doit être courte. La contraite temporelle est forte. En conséquence, le jeu de recherche d'une mémoire commune, à la charge de I, s'accompagne de questions appelant des réponses "oui" ou "non" dichotomisant le savoir. Le sujet sait ou ne sait pas. La contrainte temporelle est sûrement une des causes de ce processus de dichotomisation: en effet, le comportement de I, sa réaction lorsque Anne répond qu'elle ne sait pas quelque chose, montre qu'il cherche à s'assurer d'une mémoire suffisante pour pouvoir entrer dans le jeu qui correspond au but de l'institution expérimentale. Notons que la dichotomisation est une forme particulière, ultime d'un processus d'hypostasiation culturelle. C'est ainsi que I confond rapidement usage de signifiants et signifiés.

Si I mène le jeu en posant des questions, Anne quant à elle, ne peut que "répondre" à ces questions. Contrairement à une situation didactique, il n'y a pas pour elle enjeu d'apprentissage (absence de contrainte d'évaluabilité<fnref n="2" />), mais il y a une **"contrainte de réactivité fonctionnelle"** <fnref n="2" />. Ayant accepté le jeu de l'expérience, elle doit répondre aux questions.

Pour Anne, la phase de mémoire commune, plante un **"décor situationnel"**<fnref n="3" /> avec la figure, les termes de perpendiculaires, de parallèles et les signes correspondants. Si la mise en mémoire est intentionnelle pour I (piloté par le but), elle ne l'est pas pour Anne. Elle voit le décor se mettre en place; un milieu lui est donné à voir: elle y participe aussi en répondant à des questions, mais elle ne sait pas encore quel jeu elle va être amenée à jouer dans ce décor. En particulier, la situation bien que cadrée par le décor, à défaut des intentions de I, lui délivre des "pièces" du jeu.

## II. 3-3: Troisième phase: 1er exercice.

I: Alors, premier exercice, il faut compléter avec les signes. Le premier qui veut dire perpendiculaire et le second parallèle.

A: Ah ! petit d et grand D.

I: Alors, petit d regarde: c'est la droite qui est ici (il montre du doigt).

A: Oui.

I: Grand D.

A: C'est la droite qui est là.

I: C'est la droite qui est là. Tu l'as mis et d prime c'est celle-là. Hein. Alors, est-ce que tu pourrais compléter? Tu le fais sur la feuille. d est quoi alors ?

-Silence-

A: Celle-là et celle là ?.

I: Hm.

A: Cette figure et cette ligne (elle montre d et d').

I: Non, d c'est celle-là, alors regarde d c'est celle-là et D c'est celle-là. Alors qu'est ce qu'elles sont toutes les deux ?

A: Perpendiculaires.

I: Perpendiculaires, OK!

A: Et ça, tu m'as pas dit ce que cela voulait dire? (elle montre //).

I: Parallèle... Tu m'as dit que tu savais ce que cela voulait dire.

A: ....................Oui, oui.

I: Alors, ensuite d' et D. Alors tu les vois d' et D ?

- Silence -.

I: Alors qu'est ce qu'elles sont ?

A: Perpendiculaires.

I: Ensuite d et d'. Elles sont ?

A: Parallèles.

I: Parallèles. Et bien voilà. Tu as fait le premier exercice.

<footnote n="2">² Termes empruntés à un texte non publié de Teresa Assude (IREM Marseille)</footnote>

<footnote n="3">³ Paraphrase du terme "décor didactique" de Centeno et Brousseau (article sur la mémoire in RDM n°11/2.3, 1991)</footnote>
Malgré quelques hésitations, Anne semble manifester un rapport aux objets "perpendiculaires" et "parallèles" conforme à ce qu'attendait I. Par des questions comme "d et d', elles sont ?" I marque le caractère binaire des relations en jeu. Anne, dans le décor situationnel a le choix entre deux mots "perpendiculaire" et "parallèle" qu'elle doit associer aux éléments de la ligne. Ici, apparaît en reprenant la terminologie de Brousseau G. et Centeno J. l'usage de connaissances formulées (CF). Il existe un langage pour en parler, ce qui permet au maître d'identifier l'objet et de le rendre explicite: c'est une connaissance paramathématique pas encore analysée. (RDM vol 11 2/3 p191). La mise en codage symbolique ne procure pas en effet d'analyse des connaissances en jeu. C'est ainsi que cet exercice d'énonciation et d'écriture, en tant que tel ne contribue pas à assurer des liens entre les propriétés de perpendicularité et de parallélisme.

La suite de l'entretien va nous montrer qu'effectivement Anne n'a pas compris ce qui est en jeu dans la page du manuel étudiée, à savoir le fait que le parallélisme de d et d' découle de la perpendicularité de ces mêmes droites à D. La simple juxtaposition typographique du codage symbolique des trois propriétés (d ⊥ D; d'⊥ D et d // d') ne saurait en rien garantir l'apparition des liens de nécessité existant entre ces propriétés.

II.3.4: **Quatrième phase. Deuxième exercice:**

I : Alors, attends. Deuxième exercice. Compléter avec les mots perpendiculaire(s).

A : .................... Et parallèle(s).

I : .................................................... Et parallèles, en regardant le dessin. Alors, tu sais, c'est des phrases incomplètes, et il faut mettre un mot à la place du blanc... là ! Tu sais faire ça ?

A : .................................................... Oui, oui.

I : Alors regarde. La phrase c'est: "Deux droites..." et il faudra mettre un mot, "à une même troisième droite sont..." et ils te disent en regardant le dessin... Alors qu'est ce qu'on peut mettre.

A : (Tout doucement) deux droites...

I : deux droites.

A : Perpendiculaires.

I : Alors perpendiculaires.

Ici, sans s'en drendre compte, I donne un indice fort d'évaluation à Anne. Nous reviendrons sur cette question d'évaluation plus loin.

A : J'y marque ?

I : Oui. vas-y. Marque -le.

A : (elle écrit)... Je marque toute la phrase ?

I : Euh. Oui, oui... à une même troisième droite, sont ? Alors attention, tu as un autre vide, là ! Sont quoi ?

A : Hm, hm... Attends, il faut que je regarde (elle soupire)

A : Sont parallèles, non ?... deux droites à une même droite, elles sont parallèles.

I : Oui, bien voilà. Bien, elles sont parallèles, d'accord ?

I "évalue"^4 la réponse de Anne. Sa question "d'accord" peut laisser imaginer une adresse à Anne pour qu'elle "valide"^4 elle-même sa réponse, mais l'évaluation faite par I, couplée à sa position "dominante" dans le jeu pouvait couper court toute phase de validation par Anne, du moins dans une composante publique. On va voir que la relation de familiarité entre I et Anne, va autoriser l'expression de la part de Anne d'un rapport privé à la situation, qu'on peut inclure dans une recherche de validation. Notons auparavant que l'évaluation faite par I, l'est

<footnote>^4 Nous utilisons ce terme comme le fait C.Margolinas (in R.D.M n°12/1) qui l'oppose dans les phases de conclusion, à celui de validation.</footnote>
avec les éléments du jeu mis en scène publiquement par I et par le texte du manuel. Elle a, à sa disposition, deux termes: elle choisit un premier terme, "perpendiculaire" en l'associant à une partie de la figure. Ici, le jeu ne laisse que deux choix possibles. Anne répond au hasard. Or, il se trouve que c'est le mot attendu (à défaut d'être véritablement la réponse attendue) et I réagit en "évaluant" cette réponse positivement en la reformulant. En évaluant ainsi, il clôt l'activité publique de Anne, il évalue non seulement l'énonciation du mot, mais l'activité de Anne, c'est-à-dire l'énonciation du mot associée à une sélection d'une partie de la figure avec deux droites effectivement perpendiculaires.

Pour ce qui est du mot devant intervenir dans le deuxième emplacement, Anne suppose, qu'il faut bien utiliser le second mot, "parallèle". C'est la situation qui est ainsi très fermée : ce qu'elle fait, et I évalue à nouveau positivement, fermant à nouveau le rapport public de Anne à l'exercice.

Dans cette partie du dialogue entre Anne et I, Anne joue un jeu où s'exprime un rapport public, avec des objets en scène contraints par le décor situationnel et les connaissances formulées en scène dans ce décor.

Une question de I permet alors de voir apparaître des éléments d'un rapport privé, resté en coulisses du rapport public; c'est quand I lui demande comment elle a fait pour répondre. Cela lui permet à la fois de dévoiler sa stratégie de réponse au hasard mais aussi ses difficultés. C'est ainsi que l'on voit que pour elle, le terme "même troisième droite" renvoyait à l'existence d'une troisième droite de même sens que les deux autres. On voit bien aussi comment " l'évaluation de I" peut bloquer le processus de validation de ses réponses pour Anne, au moins dans sa composante publique.

La suite du dialogue est d'ailleurs éclairante sur ce point.

I : Tu aurais ça à l'école, tu penserais que tu as juste ?

A : Je ne sais pas; je ne peux pas deviner.

I : Tu ne sais pas, tu ne peux pas deviner.

Ici, la réaction de I délivre à Anne des éléments d'évaluation de son travail.

A : Je pense que j'aurais faux.

I : Tu penses que tu aurais faux.

Dans le jeu où l' entraîne I, Anne ne sais plus trop ce qu'il faut répondre : elle est entrainée par I dans une phase de validation mais elle n'a pas d'éléments pertinents à sa disposition pour opérer cette validation.

A : Je sais pas ! J'en sais rien, moi !

I : Tu n'en sais rien et alors !

A : On ne nous a pas appris ça, alors... je peux pas dire.

A, démuni sur le plan de la validation se sert de l'absence de mémoire "on ne nous a pas appris ça" pour se sortir de la situation. Plus loin, I lui demande pourquoi elle a répondu tout en ne sachant pas très bien ce qu'il fallait répondre.

I : Mais alors, ce que je n'ai pas très bien compris, c'est pourquoi tu as répondu quand même ?

A : Ben ! Parce que de toute manière (elle dit cela avec un grand sourire).

I : Oui.

A : La première, j'avais mis perpendiculaire...

I : Oui.

A : Donc, la Deuxième c'était parallèle !

I : Ah, d'accord.

A : Donc, la première question, j'ai trouvé facilement et la deuxième comme je trouvais moins facilement, j'ai mis parallèle comme perpendiculaire c'était déjà utilisé.

Anne ne pouvant se comporter en sujet mathématique (non dévolution de la situation mathématique) se sert des éléments du décor situationnel, de façon aléatoire. Le jeu était
suffisamment fermé pour qu'elle fasse les bons choix, renforcée en cela par les clôtures exercées par I par le biais d'évaluation".

### III. Que nous apprend l'analyse précédente sur les conduites d'un enseignant?

III. 1 Notre sujet n'est pas d'étudier en soi une relation duelle interviewer-interviewié, mais bien de contribuer à la modélisation des conduites de l'enseignant. Or, il y a bien sûr des analogies entre la situation étudiée précédemment et ce qui peut se passer en classe. Comme l'interwiever, l'enseignant est contraint par le temps: il doit respecter un programme. Pour ce faire, il réalise une programmation dans le temps des différents contenus puis il essaye de respecter le temps qu'il s'est donné ainsi pour chaque chapitre du cours.

III. 2 Lorsque l'enseignant ouvre un nouveau chapitre, le plus souvent, les savoirs impliqués manifestes vont convoquer d'autres savoirs "vus" par les élèves antérieurement. Comme notre interviewer, on peut supposer que par un jeu de questions-réponses l'enseignant va s'assurer d'une mémoire commune avec les élèves de la classe. Nous avons vu dans l'interview, qu'il y avait une dichotomisation du rapport au savoir de l'élève, et que la référence à une mémoire commune pouvait être en partie fictive. **Il ne s'agit pas de dénoncer cette fiction mais au contraire d'affirmer sa fonctionnalité.** Imaginons, un instant, un enseignant qui voudrait s'assurer que tous ses élèves ont un rapport personnel idoine aux objets de savoir dont il a besoin. On peut, d'une part penser au temps nécessaire pour cela et imaginer sans grand risque que ses espoirs seront déçus.

L'établissement de rapports personnels ad-hoc, impliquerait alors qu'il diffère son projet didactique, une avancée dans le programme, et qu'il reprenne un travail sur des objets de savoirs anciens. Il compromettrait alors la réalisation du travail que contractuellement l'institution scolaire attend de lui.

On peut noter ici, le rôle fonctionnel joué par la dichotomisation du savoir: celle-ci sert à masquer à l'enseignant la fiction de l'idonéité du rapport des élèves aux objets anciens. Les élèves savent ou ne savent pas. Quelques questions bien posées, comme "Vous avez vu cela l'an dernier, n'est ce pas ?" peuvent autoriser l'enseignant à clore rapidement l'établissement d'une mémoire commune. Notons aussi que la relation d'un enseignant n'est pas duelle avec tous ses élèves, et qu'une façon de masquer la fiction est pour le maître de se contenter de quelques bonnes réponses fournies par quelques élèves ou même par un seul.

Insistons bien : notre propos n'est pas d'adresser une critique ni de dénoncer des façons de faire des enseignants mais bien au contraire d'en comprendre la fonctionnalité. Un enseignant qui rendrait publique la fiction dont nous parlions ci-dessus et qui voudrait la réparer compromettrait son travail. Les instructions officielles d'ailleurs, à leur manière, le rappellent en mettant en garde les enseignants à propos des révisions:

"Il convient de faire fonctionner à propos de nouvelles situations, et autrement qu'en reprise ayant un caractère de révision, les notions et outils vus antérieurement." (programme de sixième : (1985) B.O. n°44).

"En seconde, les activités de résolution d'exercices et de problèmes fournissent un champ de fonctionnement pour les capacités acquises au collège et permetront, en cas de besoin, de consolider ces acquis; on évitera en revanche les révisions systématiques." <fnref n="5" /> (programme de seconde : (1990) B.O.n°20)

III. 3 Nous pouvons aussi faire un autre parallèle entre la situation analysée et la façon dont un enseignant clôt le rapport au savoir ouvert par une question qu'il a lui-même posée. On le sait, les enseignants procèdent classiquement de manière interrogative, en posant des questions fermées. Le fait que les questions soient fermées permet de clore rapidement le rapport au savoir ainsi ouvert par la question et ainsi de progresser dans la mise en scène des objets de savoir formant le projet de l'enseignant. Ce dernier peut aussi s'appuyer sur quelques bonnes réponses pour clore le sujet. Là aussi, il y a une fiction qui voudrait que les élèves aient tous compris ou aient établi un rapport idoine aux objets de savoir mis en scène. Cette fiction est fonctionnelle, elle permet à l'enseignant de progresser dans son cours.

<footnote n="5">⁵ Souligné dans le texte! Il semble effectivement que certains enseignants s'étant laisser aller à des révisions chronophages aient ainsi compromis le traitement du programme spécifique de leur classe. Les textes du BO préviennent donc ces pratiques, en particulier dans des classes sensibles aux questions de mémoire commune, comme le sont la sixième et la seconde.</footnote>
Nous présentons ci-après, l'étude d'un autre protocole, celui-ci extrait d'une classe. Nous l'avons choisi car il nous paraît significatif. Il met en scène un enseignant voulant s'assurer, semble-t-il, que tous les élèves ont compris. Pour cela, il se refuse à clore une question en refusant les bonnes réponses pourtant nombreuses fournies par les élèves. Au contraire, il suscite des réponses erronées pour relancer le débat. Il se trouve que le milieu mathématique ne permet pas de trancher le débat ainsi ouvert. Le débat s'enlise, relance d'autres questions, ouvre des champs connexes à celui qui est l'objet d'étude. En définitive, faute de clore les rapports à des objets de savoir ouverts par ses questions, l'enseignant aurait pu laisser sa classe s'installer dans une situation où des objets et des problèmes hétéroclites ont été mis en scène, situation telle que les élèves ne puissent plus savoir ce qui fait vraiment question.

# IV. Analyse d'un protocole enregistré en classe de sixième

## IV-1- Présentation de la situation enregistrée :

Les fractions avaient été abordées deux mois auparavant, des apprentissages portant sur d'autres sujets avaient suivi ; l'enregistrement effectué l'a été à un moment où le professeur revenait sur l'étude des fractions afin de traiter la partie du programme concernant l'égalité de fractions et le produit d'un décimal par une fraction.

En début d'heure les élèves avaient tous le document suivant en couleur :

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

V = partie hachurée en vert

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Le professeur avait prévu et a mis en place la gestion de classe suivante :

- énoncé de la consigne :

"Dans les figures suivantes on a représenté des fractions, je vous demande lesquelles. On l'écrit au crayon de papier en dessous"

- 1° phase: individuelle

Les élèves cherchent seuls à leur place, le professeur circule de l'un à l'autre.

- 2° phase : à deux
A la demande du professeur qui a constaté l'avancement de leur travail, les élèves se mettent
deux par deux pour confronter leurs résultats :" *Est-ce que vous avez pareil ou pas pareil ?*"

-3° phase : collective

Les élèves sont invités par le professeur à dire tout ce qu'ils ont écrit.

Le professeur, dans un entretien avant la séance, prévoyait que, pour la première figure,
certains élèves proposent un quart, d'autres deux huitièmes, pour la seconde certains un quart
d'autres trois douzièmes, que certains enfin proposent un quart égal deux huitièmes égal trois
douzièmes.

Pour la troisième figure et la programmation horaire du travail, le professeur s'exprimait ainsi : " *Un peu plus compliqué, j'ai utilisé des couleurs pour essayer qu'ils repèrent un tiers, peut-être qu'il y aura trois neuvièmes avec les barres rouges. Avec les barres vertes peut-être ..., on a des nombres assez grands ..., je pense que tout le monde ne trouvera pas tout mais que certains trouveront les uns et d'autres d'autres et puis il y aura une discussion pour savoir, bon..., je pense qu'en une demi-heure ils auront travaillé, confronté à deux, fait une synthèse pour voir qu'une fraction enfin un nombre peut s'écrire avec différentes fractions , que différentes fractions représentent le même nombre.* "

IV-2- Déroulement effectif de la séance et commentaires :

Durant les deux premières phases, nous n'avons sur l'enregistrement que quelques
commentaires du professeur à l'adresse de certains élèves. Ces interventions permettent de
penser que le professeur découvre avec étonnement que plusieurs élèves ont inversé l'écriture
des fractions (8/2 à la place de 2/8 ou 4/1 à la place de 1/4) :

P : "Qu'est-ce que tu m'écris là ? Comment tu m'écris un quart d'heure ? ...tu es sûr?...tu l'écris un sur quatre ? oui ? quatre sur un ?... c'est pareil ?"

Aucun élément du milieu mathématique devant lequel se trouvent les élèves ne leur permet
de valider leurs écritures, les questions courtes du professeur ne suffisent pas à conduire les
élèves à s'interroger sur la pertinence de leurs réponses. Durant la seconde phase, les
interactions avec le voisin auraient pu aussi jouer ce rôle, mais il y avait dans cette classe
beaucoup trop d'élèves ne possédant pas la connaissance correspondante.

La deuxième phase débute environ huit minutes après le début de la séance et, sept minutes après le professeur interrompt les échanges donnant le signal du début d'une phase collective :
P : "On va reprendre ... on va reprendre s'il vous plaît ... pour le moment on n'écrit rien et quand on se sera mis d'accord on pourra écrire la solution. Pour le moment on n'écrit rien on va simplement dire ce que les uns et les autres ont écrit et on va essayer d'y voir clair là-dedans"

Ici, le professeur aurait pu corriger les écritures erronées, faire appel à la mémoire de la classe
ou rappeler de façon magistrale les conventions d'écriture fractionnaire dans une situation de
partage. Dans l'urgence, le professeur ne choisit pas cette technique de clôture, pensant peut-
être que la phase de bilan peut être l'occasion pour les élèves, par les confrontations qu'elle
induit, de se questionner sur la validité des écritures qu'ils ont produites. L'activité pourra
alors se poursuivre et le projet didactique être conduit à son terme en évitant une phase de
correction.

Des élèves lèvent le doigt, le professeur écrit au tableau ce qu'ils proposent : ce sont toutes
des écritures correctes. Le professeur sollicite alors ceux pour lesquels il avait repéré des
écritures erronées, annonce lui-même les productions fausses d'élèves qui ne demandent pas
la parole. Tout est écrit au tableau, le professeur intervient alors sur l'organisation du travail :
P : "Bon alors là-dedans il va falloir trier hein, il y en a qui ont donné des choses qui sont pas
pareilles semble-t-il, alors d'abord ici je voudrais qu'on discute sur ces deux écritures parce
que je les ai rencontrées souvent deux sur huit, huit sur deux, un sur quatre et quatre sur un,
est-ce que ce sont les mêmes écritures ?"
Choisie dans l'urgence une telle formulation centre les élèves sur le symbolisme; la réponse est évidente, il n'y a pas de débat possible, les élèves répondent "en chœur", "non". De plus, elle conduit à prendre de la distance par rapport au problème initialement posé sans créer un milieu pour la validation des réponses données à celui-ci: en effet aucun d'entre eux n'a répondu simultanément huit sur deux et deux sur huit ou un sur quatre et quatre sur un. Le professeur est obligé de relancer le débat en prenant encore plus de distance par rapport au problème initial.

Il poursuit donc :

P : "Alors vous dites non, je voudrais que vous expliquiez à vos camarades si c'est oui ou si c'est non, si c'est non pourquoi ?"

Sollicités et guidés par le professeur deux élèves expliquent, l'un que :

M : "deux sur huit c'est huit parties, sur les parties on a pris deux parties"

l'autre que :

S : "huit sur deux, c'est un gâteau partagé en deux, pour faire huit sur deux il faudrait beaucoup de gâteaux... il faudrait quatre gâteaux pour faire huit demis"

Durant tout l'échange le professeur répète en écho les assertions exactes des élèves et enchaîne :

P : "Qu'est-ce que tu en penses F. ?"

F. est un des élèves ayant été repéré publiquement comme ayant écrit huit sur deux pour la première figure.

Le cas de F. est typique. Le professeur sait que ses réponses au problème initial sont écrites de façon erronnée, mais lui l'ignore sans doute. L'enseignant espère peut-être que ce qui vient d'être dit aura conduit F. à s'interroger sur la pertinence de ses résultats, devant le silence de F., le professeur décide d'ouvrir un temps de révision.

Il relance le débat sur des questions de révision sur les fractions (numérateur, dénominateur, ...), demande aux élèves l'ayant déjà fait précédemment de rappeler la différence entre deux sur huit et huit sur deux, répète en conclusion la dernière phrase d'un élève : "donc huit sur deux gâteaux il a dit que ça ferait quatre gâteaux" en s'appuyant sur un dessin au tableau, puis interpelle S. C. dont la production du début de séance était analogue à celle de F. :

P : "S.C., est-ce que ces deux écritures huit sur deux et deux sur huit signifient la même chose ?"

S.C. : "Non"

P : "Donc déjà avec le dessin que nous avons là ( il montre la première figure du début de séance), quelle est la bonne réponse ?"

S.C. répond d'abord huit demis puis devant la réaction de certains élèves et l'insistance du professeur ("Tu es sûr, huit demis ?") change d'avis. A la question du professeur : "Et pourquoi c'est pas huit demis ?", il répond en reprenant l'intervention du professeur: "Parce qu'il nous aurait fallu quatre gâteaux".

Une telle connaissance ne peut être un critère de validation que dans des situations très particulières. De plus, dans la suite de la séance elle sera mobilisée à propos de la distinction entre 1/4 et 4/1 de façon erronée : "pour un sur quatre on en prendra quatre gâteaux". Au niveau explicite, rien ne permet de faire l'hypothèse que le rapport de l'élève aux écritures fractionnaires ait été modifié ou simplement remis en cause, néanmoins le professeur considère que le problème du choix entre huit sur un et un sur huit est clos et passe à une autre question sur le même sujet.

La séance a débuté depuis 30 mn quand le professeur ouvre un nouveau débat à propos de 1/4 et 4/1 :

P : "Alors qu'est-ce qui nous reste, il nous reste encore des écritures qui semblent être identiques un quart et quatre sur un, alors on va faire parler un petit peu F., est-ce que un quart c'est pareil que quatre sur un ?"

L'élève interpelé répond évidemment non, mais donne des justifications fausses.
Se refusant toujours à corriger les réponses données, le professeur tente de nouveau de mobiliser un milieu pouvant permettre aux élèves de valider leur réponse.

Dans un premier temps il engage les élèves à se référer à la notion de partage, mais des difficultés apparaissent pour l'interprétation des unièmes (partage en une partie). Il abandonne alors cet univers pour introduire un univers familier, celui des heures. Si un quart d'heure est très vite identifié à quinze minutes, l'interprétation des unièmes d'heure provoque de nombreuses réactions erronées.

Là encore les élèves expriment leur difficultés à assumer le travail d'interprétation qui leur est demandé.

Le professeur doit abandonner et il engage les élèves sur un nouveau débat :

P : "allez on reviendra tout à l'heure à ça, il faut reprendre un petit peu, est-ce que les écritures deux tiers et trois demis, elles sont ... est-ce qu'elles sont pareilles ou est-ce qu'elles sont pas pareilles ?"

On assiste alors à un glissement: sans doute induit par les interprétations diverses préalablement proposées par le professeur: les élèves avancent alors, pour répondre à cette question, des interprétations dans des univers extra-mathématiques sans rapport avec les fractions en terme de modélisation.

Un élève proposera par exemple :

J. : "elles sont pas pareilles parce que si on veut jouer à ...par exemple quand on a des billes et qu'on veut jouer à un jeu qui a trois billes et que on a que deux on peut pas jouer ..."

La discussion s'anime, la correspondance entre les situations de jeu de billes et les écritures fractionnaires est ambiguë, le niveau sonore monte et le professeur arrête le débat pour demander aux élèves une production écrite individuelle. La séance a maintenant débuté depuis quarante et une minutes :

P : "Bien, alors on reprend, est-ce que les écritures deux sur trois et trois sur deux sont les mêmes ? Je voudrais qu'on fasse un dessin qui nous montre bien tous, sur votre brouillon, là vous prenez le brouillon, vous allez me représenter la fraction deux tiers, vous allez me représenter la fraction trois demis et on va voir si on a colorié la même part..."

Une fois encore le maître ne tranche pas. Aucune information sur la pertinence de cette interprétation dans l'univers des jeux de billes n'étant donnée, elle sera de nouveau mobilisée par un élève, de façon tout aussi floue, dans la suite de la séance. Mais le professeur "reprend la classe en main" en proposant une consigne nouvelle à exécuter individuellement.

Un débat de 3 ou 4 mn suit, sur la façon de partager en trois un cercle avec un compas. Le travail sur le cahier est ponctué par les interventions du professeur qui sollicite certains élèves et répète en écho l'énoncé des procédures exactes. Il concluera par :

P : "Est-ce qu'on peut tenir pour acquis qu'on ne peut pas permuter le numérateur et le dénominateur ? ... la place a une importance ? ....oui ? ..."

Cette question est accueillie par un silence dans la classe.

Ce résultat en "baisse" par rapport à l'enjeu des échanges précédents et dont l'articulation avec celui-ci est incertaine clôt l'activité proposée et permet au maître de revenir au problème initial; il est urgent d'avancer, la séance est en effet presque terminée.

Le professeur enchaîne immédiatement :

P : "Alors je reviens ici, je reviens ici, (P. montre les figures distribuées en début de séance), oui et je reviens à mon problème, ici on avait donc ce dessin, cette figure sur laquelle on travaillait et il y avait des écritures qui étaient proposées ... est-ce que la partie qui est coloriée en vert deux écritures étaient proposées un quart et quatre sur un, est-ce que les deux conviennent ? laquelle convient et que l'on va retenir ?"

Les premiers élèves qui prennent la parole répondent correctement, mais sans évaluer leurs réponses le professeur sollicite de nouveau d'autres élèves et très vite de nouvelles confusions
apparaissent : "quatre unièmes ça ferait quatre parties hachurées et là on en a que deux, il faudrait deux gâteaux". Le professeur tente à chaque fois de faire "traiter" l'erreur par les élèves.

Mais dans les dernières minutes de la séance le professeur ne sollicite que des élèves ayant des productions exactes et justifie lui-même les conclusions qu'il souhaitait faire établir. Il donne, essentiellement par élève interposé, la solution de l'exercice.

### IV.3- Que nous apprend cette situation sur les gestes de l'enseignant :

Si on résume les commentaires faits dans le paragraphe précédent, au cours de la présentation du déroulement de la séance, on peut retenir les trait caractéristiques suivants :

* dès le début de la séance le professeur constate que le rapport personnel de plusieurs élèves de la classe à un savoir incontournable pour l'avancement de la séquence n'est pas idoine à ce qu'il devrait être. Il décide alors de différer son projet pour reprendre un travail sur des objets déjà abordés.

* pour reprendre ce travail il refuse de recourir à des phases d'évaluation et tente de proposer des milieux susceptibles de permettre une phase de validation. Mais ce travail nécessairement improvisé ne permet pas d'avancer. En effet :

- produite dans l'urgence, la formulation du débat donnée conduit à une réponse évidente et en décallage avec la finalité poursuivie. Il y aura plusieurs reformulations successives.

- le savoir qu'il y a à retrouver est l'objet d'une convention, ce qui relève nécessairement d'un travail d'institutionnalisation pour le maître.

- les milieux convoqués ne sont pas pertinents pour permettre une appropriation du problème par l'élève.

* le professeur tente de débusquer et de "traiter" sur le champ tous les rapports des élèves non conformes aux rapports attendus.

De tels gestes entrainent, de fait, un allongement considérable du temps didactique et génère l'émergence d'un foisonnement d'objets, souvent hétéroclites. Mais les contraintes horaires et l'obligation de faire avancer le cours que doit nécessairement respecter le professeur pour conduire sa classe le contraignent à avoir recours à des techniques de gestion de classe qui ne permettent pas un traitement complet des problèmes soulevés. Il s'en suit que la rectification des rapports aux objets mathématiques poursuivie reste sans doute illusoire.

## V. Conclusion :

D'autres faits viennent appuyer ce que nous avons tenté de montrer ci-dessus. En particulier des observations de jeunes enseignants, moins experts que le professeur précédent pour reprendre leur classe en main et moins attentifs que lui aux contraintes horaires, nous ont aussi montré "qu'à vouloir trop bien faire", certains induisaient, par leur façon de faire, le chahut dans leur classe. Voulant s'assurer que tous les élèves suivent bien, ils créent des situations ressemblant à la séquence sur les fractions décrite ci-dessus: la non fermeture de questions engendre des prises de paroles désordonnées, des protestations d'élèves prétendant ne pas comprendre. Le jeune professeur sort alors de son cours, abattu, ayant le sentiment d'avoir échoué, d'avoir perdu son temps. Pour lui la fiction s'est écroulée...

Nous nous sommes placés dans cette étude, dans une perspective écologique. A ce titre, on peut dire que "des pratiques dominantes réalisent un équilibre optimal à un moment de l'histoire du système dans lequel elles vivent".

Nous le savons par ailleurs, les enseignants procèdent souvent de façon interrogative. Ils le font en posant des questions fermées pouvant être closes rapidement. Nous avons tenté de montrer ici en quoi cette façon de faire est fonctionnelle, en quoi elle permet de répondre aux
exigences du temps, de son écoulement inexorable et aux contraintes d'avancement du programme.

Nous sommes bien sûr conscient que le milieu mathématique convoqué par les questions est une variable importante; les travaux de didactique sont là pour nous le rappeler. De ce point de vue, on peut considérer chaque question comme ouvrant une micro-situation dont on pourra analyser la pertinence didactique. Cette variable n'était pas pour nous directement un objet d'étude. Il serait cependant tout à fait intéressant de travailler sur les conséquences, en terme d'apprentissage, pouvant résulter d'un enchaînement de questions-réponses. Nous en percevons cependant la difficulté. La nécessaire clôture des questions doit certainement laisser certains élèves en état d'incompréhension au moment où elle s'effectue. D'autres doivent certainement avoir une perception peu assurée de ce qui se joue. L'établissement d'un rapport idoine à des objets de savoir, si jamais il peut se faire, serait donc renvoyé pour certains élèves à des questions, des exercices, on encore à un travail personnel ultérieurs.

Bibliographie:

Brousseau G. et Centeno J.(1991) Rôle de la mémoire didactique de l'enseignant *Recherches en didactique des mathématiques* (Vol 11 n°2.3 pp167/211)

Chevallard Y. (1990/1991) Dimension instrumentale, sémiotique de l'activité mathématique *Séminaire de didactique des mathématiques et de l'informatique de Grenoble* (Année 90/91 pp103/107)

Margolinas C. (1992) Eléments pour l'analyse du rôle du maître; les phases de conclusion *Recherches en didactique des mathématiques* (Vol12 n°1 pp113/159)
ANNEXE 1: extrait du manuel ayant servi de support à l'interview (PYTHAGORE 6ième)

a) un résultat

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

1. Observer ce dessin et compléter avec les signes ⊥ et // :

.d ... D

.d' ... D

.d ... d'

2. Compléter avec les mots **perpendiculaire(s) et parallèles (s) en regardant le dessin**

Deux droites ............ à une même troisième droite sont............ .
# ÉTUDE DE L'INSTITUTIONNALISATION EN CLASSE DE SECONDE.

## VALEUR ABSOLUE, INTERVALLES, ENCADREMENTS, APPROXIMATIONS.

### PREMIÈRE PARTIE : choix globaux des enseignants, résultats des élèves.

M.J. Perrin-Glorian, Equipe DIDIREM.

## I. Introduction. Problématique et méthodologie.

### 1. Cadre général du travail : origine des questions.

Dans notre thèse, M.J. Perrin (1992, 1993, 1994) nous avions identifié, à partir d'observations de classes de CM2 et de 6ème, d'entretiens avec des enseignants et des élèves certains phénomènes particulièrement visibles dans les classes faibles :

- une certaine opposition entre faire réussir et faire apprendre les élèves, entre une logique de la réussite et une logique de l'apprentissage. Le désir d'obtenir un minimum de réussite à court terme, d'ailleurs nécessaire au fonctionnement de la classe, peut entrer en contradiction avec les conditions d'un apprentissage qui risque de n'amener la réussite attendue qu'à plus long terme. Les enseignants donnent aux élèves les moyens de réussir les exercices qui devraient attester de l'apprentissage, même sans un réel apprentissage.

- la difficulté de trouver un équilibre entre construction du sens des concepts et maîtrise des algorithmes,

- la pression qui pousse à aplatir l'enseignement sur celui des seuls algorithmes.

Ces phénomènes qui sont reliés aux contraintes de fonctionnement de la classe (le temps, les élèves eux-mêmes qui réclament des algorithmes plus sécurisants, la nécessité d'un minimum de réussite pour que la classe puisse fonctionner, la pression sociale...) et amènent la création de cercles vicieux aboutissant au non apprentissage de certains élèves, pèsent particulièrement sur l'institutionnalisation. L'analyse des difficultés des élèves et des contraintes des enseignants menée dans ce travail conduisait (Perrin-Glorian, 1992) à considérer la dévolution et l'institutionnalisation (Brousseau, 1987) comme deux processus complémentaires se déroulant tout au long de l'action didactique et non seulement comme des phases se déroulant avant ou après la phase didactique.

En utilisant la théorie anthropologique développé par Chevallard, nous précisons maintenant ce point de vue. L'objectif de l'enseignement est de faire émerger et de développer chez l'élève un rapport personnel aux objets de savoir le plus idoine possible au rapport institutionnel concernant ces objets dans le niveau d'enseignement considéré. Ce rapport personnel comprend des déclarations sur les objets et aussi des actions avec ces objets et d'autres objets —mathématiques, symboliques...— avec lesquels ils sont en relation. Si l'on admet que la construction de ce rapport personnel se fait largement à travers la résolution de problèmes et que l'enseignement, et donc le maître, est responsable de l'idonéité du rapport personnel de l'élève au rapport institutionnel, on peut caractériser la dévolution et l'institutionnalisation de la façon suivante :

Le processus de dévolution est celui par lequel le maître fait en sorte que l'élève engage ses connaissances et utilise les problèmes pour faire évoluer son rapport personnel aux objets de savoir en jeu dans le problème. Le processus d'institutionnalisation est celui par lequel l'enseignant fait émerger pour les élèves un rapport personnel à un objet de savoir donné et s'efforce de le faire évoluer dans le sens d'une plus grande idonéité au rapport institutionnel. C'est en ce sens que nous étudions l'institutionnalisation.

### 2. Objectifs de la recherche.

Notre projet est ici d'étudier les pratiques d'institutionnalisation pour cerner les variables qui interviennent dans sa gestion (lien avec les diverses activités des élèves, changements de statut des connaissances, places et rôles respectifs de l'enseignant et des élèves...) de façon à
tenter de mettre en relation les choix faits sur ces variables et l'apprentissage des élèves. Il faut
rechercher ces variables du côté de l'enseignant, du côté des élèves et du côté du savoir en jeu.
En effet, le rapport personnel de l'élève aux nouveaux objets de savoir se crée, et le rapport
personnel à des objets de savoir anciens se modifie, sous l'influence du rapport institutionnel,
fixé par des programmes, des manuels et médiatisé par le professeur qui a son propre rapport
personnel au savoir et ses représentations sur les mathématiques, la manière de les enseigner, de
les apprendre et qui a des représentations de ses élèves, de leurs possibilités, de leur devenir.

Nous avons choisi de travailler au niveau de la classe de seconde qui est à la fois la première année du lycée où l'élève va rencontrer des exigences nouvelles de la part des professeurs et la dernière année commune de l'enseignement général avant des orientations porteuses d'un fort enjeu social. Une collaboration avec un sociologue sur une partie de la recherche doit permettre d'interroger la relation entre les apprentissages et les enjeux sociaux.

Notre travail part de trois questions :

1. Qu'y-a-t-il à institutionnaliser ?

Du côté du savoir, il nous faut d'abord déterminer le rapport institutionnel pour plusieurs
institutions :

- l'institution "classe de seconde à une certaine époque" à travers les programmes et les manuels correspondants,

- les institutions "classe n°n dans le lycée L de Monsieur X".

Sur le premier point, notre analyse porte sur une étude succincte de la transposition didactique des contenus choisis, surtout la dernière flèche : étude de l'objet à enseigner et passage de l'objet à enseigner à l'objet enseigné. On étudiera ainsi leur place dans les programmes et dans les manuels (les connaissances visées, les classes de problèmes à résoudre, leurs relations avec les autres contenus de la même classe, avec les notions étudiées dans les programmes des classes antérieures, l'utilisation qui en sera faite dans les classes suivantes). Une comparaison avec des programmes précédents pourra servir de révélateur pour le rapport institutionnel considéré.

Sur le second point, nous étudions les choix faits par les professeurs dans l'enseignement du contenu choisi (présentation, types de problèmes, techniques privilégiés...) en même temps que la consolidation des connaissances ancien et la préparation de l'enseignement futur. Derrière les choix du professeur, il y a des théories mathématiques, des convictions sur l'apprentissage, des habitudes de gestion de la classe qui correspondent à un certain équilibre entre diverses contraintes. Mais tout ceci n'apparaît qu'à travers les choix faits et les justifications données, ce qui nous amène à rechercher ce que dit l'enseignant sur ce qu'il attend des élèves et ce qu'il institutionnalise effectivement, et donc à la deuxième question :

2. Comment se manifeste l'institutionnalisation ?

Elle introduit un changement dans le contrat didactique : le professeur n'attend plus la même chose des élèves : de nouveaux outils, nouvelles notions ou nouvelles techniques ont été introduites, l'élève est censé les connaître et les utiliser.

Du côté de l'élève, on devrait donc pouvoir observer l'adaptation à ce changement :
l'utilisation (ou non) de ces nouveaux outils, pour résoudre autrement des problèmes qu'on savait déjà résoudre, pour résoudre des problèmes qu'on ne savait pas encore résoudre, les relations qu'ils établissent ou non avec des objets de savoir ancien, en un mot comment se crée le rapport personnel aux objets de savoir nouveaux, comment se modifie le rapport aux objets anciens.

L'évaluation est un temps fort du processus d'institutionnalisation, pour l'élève comme
pour le professeur, tant par le travail proposé pour la préparer, les conseils donnés pour le
travail à la maison, que par les exercices effectivement choisis.

Du côté de l'enseignant les pratiques d'institutionnalisation sont sous-jacentes à presque
toutes ses interventions. Le processus d'institutionnalisation est sous la responsabilité du
professeur et se manifeste sous diverses formes à différentes occasions de la vie de la classe :
- au cours des phases de bilan, dans ce qu'il sollicite, reprend ou néglige des interventions des élèves, dans les commentaires qu'il fait et explications qu'il donne, ce qu'il demande de noter sur le cahier...

- dans les rappels qu'il fait lui-même ou qu'il sollicite des élèves,

- dans le choix des activités qu'il propose, des exercices et problèmes qu'il donne à chercher ou à rédiger, dans le choix des contrôles...

Ces observations nous amènent à nous demander...

### 3. Où chercher les variables ? Quelles pratiques regarder ? Comment les questionner ?

a) Est-ce que c'est la même chose qui est enseignée ? Qu'est-ce qui est institutionnalisé au niveau des techniques, des justifications données (pratiques relatives au contenu : en quoi consiste exactement le savoir, enjeu de l'enseignement dans chacune des classes observées ?).

Une de nos grilles de lecture est ici l'organisation de l'enseignement au niveau observé en même temps que la consolidation de l'ancien et la préparation du futur, aussi bien dans les choix des exercices que dans les commentaires, ainsi que les techniques qui sont valorisées, par l'usage que le professeur en fait lui-même, par les aides et conseils qu'il donne aux élèves, par ce qu'il privilégie dans les corrections d'exercices.

Par ailleurs, notre hypothèse de travail est que l'enseignant s'adapte à ses élèves. Même s'il utilise la même situation, on attend des différences dans l'institutionnalisation entre une classe forte et une classe faible. En effet, pour que sa classe fonctionne, le professeur a besoin d'un certain niveau de réussite de ses élèves. Nous attendons qu'à travers son institutionnalisation, il essaie de donner à ses élèves les moyens de réussir ce qu'il va leur demander par la suite, notamment dans les contrôles.

Un moyen de repérer des variables a donc été de rechercher des différences entre ce qui se passe à ce niveau, pour un même enseignant, dans une classe forte et dans une classe faible. Cependant, l'observation d'enseignants différents et de classes de niveaux différents devait nous permettre d'accroître la diversité des pratiques observées en même temps que de rechercher des régularités à un autre niveau : des choix apparemment différents peuvent correspondre à une régularité dans les pratiques mais à une optimisation de contraintes différentes.

Ici on va retrouver la marge qui reste à l'enseignant dans l'interprétation des programmes, ses représentations sur les mathématiques, la façon de les enseigner, sur ce qui va être utile dans les classes ultérieures, sur les possibilités des élèves, sur leur devenir scolaire...

b) Comment se fait l'articulation entre le cours et le travail personnel des élèves? Comment l'enseignant intègre-t-il les élèves dans le processus d'institutionnalisation ? Comment ajuste-t-il l'institutionnalisation à leurs connaissances ? Ici nous élargissons notre recherche à l'étude du rôle de l'enseignant dans la classe, même si nous sommes plus particulièrement attentifs à ce qui contribue à l'institutionnalisation. En effet, nous avons vu dans nos recherches sur les élèves en difficulté qu'un des points délicats pour l'institutionnalisation est le risque de dérapage formel, de divorce entre les situations d'action et l'institutionnalisation qui est faite par le maître. Notre attention se porte donc sur le lien que celui-ci établit entre les connaissances mises en œuvre par les élèves dans les situations d'action et le savoir qu'il veut enseigner, et donc aussi sur les connaissances efficacement mises en jeu par les élèves dans les situations d'action.

- Quelles sont les caractéristiques du travail des élèves en classe ? Quel est le temps de travail effectif ? Sur quoi travaillent-ils ? Quelles connaissances mettent-ils en service ? Quel est l'enjeu de leur travail ? Ici, on va trouver des variables concernant le niveau des élèves, leurs motivations, leurs connaissances antérieures, mais aussi la gestion que fait l'enseignant du travail en classe, la nature de ses interventions...

- Comment l'enseignant gère-t-il le travail des élèves à l'intérieur du temps scolaire ? A qui donne-t-il la parole ? sur quoi portent ses propres interventions? Comment organise-t-il l'activité des élèves en classe ? Cela renvoie à la gestion à chaud des séances en classe mais aussi à leur préparation hors de la classe par l'enseignant.

- Comment l'enseignant organise-t-il le travail des élèves à l'extérieur de la classe ? Cela comprend aussi bien le travail qui est donné à faire à l'extérieur : exercices à chercher, à rédiger, leçons à apprendre que les traces qui sont laissées aux élèves du travail fait à l'intérieur de la classe : qu'est-ce qui est écrit au tableau ? dicte-t-il un cours ? la correction des exercices à
chercher est-elle faite en classe ? y-a-t-il un corrigé écrit ? En un mot quels moyens donne-t-il aux élèves de travailler ou de retravailler à l'extérieur de la classe ? Quel contrôle exerce-t-il sur ce travail des élèves hors de la classe ?

Sur ce point, on trouvera des variables liées à l'enseignant mais aussi à ses élèves ou du moins à la représentation qu'il s'en fait. On devrait ici trouver des constantes du fonctionnement de la classe : le contenu pourrait avoir moins d'influence, sauf en ce qui concerne l'importance que lui attache l'enseignant dans l'ensemble de la progression de l'année.

Nous pensons trouver des différences notamment

- dans le discours de l'enseignant,

- dans la gestion du temps,

- dans la gestion des interventions des élèves (à qui il donne la parole...),

- dans le choix des exercices, des contrôles, dans la correction qui en est faite...

L'analyse des choix et des différences devraient nous aider à repérer les contraintes des enseignants et les moyens qu'ils utilisent pour réguler l'enseignement et optimiser leurs choix en fonction des contraintes. Du côté des élèves, nous espérons également repérer des régularités et des différences dans la gestion du travail en classe et à la maison et dans l'intégration des objets enseignés dans leurs pratiques mathématiques.

c) Quel est l'effet de l'institutionnalisation sur les pratiques des élèves ?

Il nous faudra pour répondre à cette question, repérer les connaissances que les élèves mettent en jeu dans les activités de recherche, spontanément ou avec l'intervention du professeur, comment elles se modifient dans leurs interactions ou sous l'influence du professeur (interventions au cours de la résolution, cours...), comment elles sont réinvesties dans les contrôles et quel apprentissage se fait aussi par le contrôle, sur le contenu lui-même et sur ce qu'il y a à en savoir.

Nos questions portent aussi sur les méthodes de travail des élèves en classe, au CDI, à la maison. Une de nos grilles de lecture est aussi d'interroger les rapports entre réussite à court terme et réussite à long terme, réussite locale sur un problème et réussite globale sur l'année.

## 3. Méthodes. Recueil des données.

L'étude des pratiques d'institutionnalisation en classe pose de difficiles questions de méthodes. Comme nous l'avons dit, elle implique la plus grande partie du travail de l'enseignant, il nous faut donc étudier ses choix et son discours en classe, ce qu'il dit ou ne dit pas, ce qu'il fait ou ne fait pas. Pour étudier le côté des élèves, il nous faut des observations assez fines sur ce que les élèves ont réellement fait en classe et si possible à la maison. Cela fait une masse de données à recueillir et à traiter. Nous sommes donc obligés de faire des choix que nous allons maintenant explicitier.

Dans un premier temps, nous avons choisi de faire des études de cas, en recueillant le plus possible d'observables sur un contenu précis concernant un groupe d'élèves dans quelques classes. Le choix des données effectivement recueillies s'est ensuite adapté aux moyens disponibles et manières de travailler des professeurs observés.

### Choix des contenus

Nous avions décidé de choisir deux contenus nouveaux en classe de seconde, l'un portant plutôt sur les domaines numérique et algébrique, l'autre en géométrie, pensant qu'il pouvait y avoir des différences importantes dans les pratiques des enseignants et des élèves entre ces deux domaines. Nous avions choisi la notion de fonction et l'homothétie. La notion de fonction s'est révélée un domaine beaucoup trop vaste puisque dans certaines classes l'apprentissage s'étale sur toute l'année. Nous avons dans un premier temps restreint l'observation à la valeur absolue, y compris dans son aspect fonction. Une étudiante de D.E.A a commencé à recueillir des observations sur l'homothétie et doit poursuivre en thèse. Le présent travail nous a d'ailleurs confirmé l'intérêt d'étudier plus à fond ce qui concerne l'enseignement et l'apprentissage des fonctions, ce qui fera l'objet d'une recherche ultérieure. Un autre D.E.A. a porté sur cette question et doit aussi déboucher sur une thèse.

En ce qui concerne l'analyse de la valeur absolue, nous avons examiné sa place dans les programmes actuels, les présentations faites dans les manuels en comparant ce qui est
maintenant proposé en seconde et ce qui concernait la valeur absolue dans les programmes et manuels de collège et de seconde il y a une dizaine d'années, au moment où la valeur absolue était enseignée au collège et en mettant en relation les changements de programme avec les études concernant les difficultés des élèves. Nous avons ensuite analysé l'enseignement dispensé dans quelques classes.

## Choix des classes.

Les moyens dont nous disposions ne nous permettaient pas de réaliser une étude aussi vaste que nous l'avions projeté initialement en prenant des classes répondant à beaucoup de critères différents, notamment au niveau social. Nous avons restreint le nombre de classes observées. Nous avons utilisé les facilités offertes par l'IREM et nous avons choisi d'observer les classes de professeurs expérimentés, animateurs IREM. Ce choix n'apporte à notre avis aucune restriction à la validité de notre travail puisqu'il s'agit de repérer des déterminants de l'institutionnalisation. On peut penser que les professeurs experts vont être plus avertis de ce qui risque d'intervenir dans l'apprentissage des notions concernées et que, dans la mesure où ils disposent d'une palette de moyens plus étendue, le repérage des variables sera facilité.

Pour accroître la diversité, nous avons dès l'abord choisi deux professeurs qui avaient des expériences différentes : l'un, que nous appellerons A, a d'abord enseigné longtemps en collège et, au moment des premières observations, n'enseigne en lycée que depuis 2 ans, aux niveaux 2nde et première, l'autre, B, enseigne depuis ses débuts (environ 15 ans plus tôt) au lycée en Terminale C. De plus, le premier utilise régulièrement l'ordinateur dans son enseignement. Dans la mesure où l'institutionnalisation met en jeu de façon essentielle les relations entre l'ancien et le nouveau, ce choix est important. Nous faisons l'hypothèse que le professeur qui a une longue expérience du collège sera plus sensible à la consolidation des acquis anciens et que l'autre professeur aura davantage tendance à préparer l'enseignement en Terminale C. Evidemment, les choix des enseignants vont dépendre aussi de leur public : suivant qu'ils ont une classe forte (en référence aux mathématiques bien sûr) où la majorité des élèves envisage une 1ère S ou une classe faible où ce n'est le cas que pour peu d'élèves, les choix risquent d'être différents. C'est pourquoi nous avons aussi choisi d'observer le même enseignant, en l'occurrence le professeur A, dans des classes différentes. Cela a même été la première étape de notre travail qui nous a permis de situer la place de la valeur absolue dans le programme de seconde et d'émettre des premières hypothèses sur les éléments qui pouvaient intervenir, à partir d'un recueil de données relativement limité sur les classes observées. Nous avons ensuite élargi notre étude à 4 enseignants dans 4 classes, en nous donnant davantage de moyens d'observation. C'est dans cette deuxième étape que nous avons collaboré avec un sociologue à partir d'observations dans les mêmes classes.

Nous avons donc des éléments pour comparer les choix d'un même enseignant dans des classes différentes : le professeur A a été observé dans 4 classes de niveaux différents dont deux la même année, en 1992-93. Même si nous n'avons pas recueilli autant d'informations chaque année, nous avons des éléments assez conséquents concernant les 4 classes : une classe forte et une classe faible en 1992-93, un classe moyenne en 1993-1994, une classe très faible en 1995-1996. Les niveaux des classes sont déterminés à partir de l'évaluation de début d'année et de l'orientation en fin d'année.

Par ailleurs, nous avons observé la même année 4 enseignants différents dont deux dans le même établissement. Les niveaux des classes d'après l'évaluation de début d'année étaient assez différents. Un questionnaire a été passé dans les quatre classes à la fin de l'année scolaire. Nous allons détailler ci-dessous les différentes étapes de la recherche.

## Moyens d'observation, recueil des données en 1992-93

En 1992-93 nous avons observé l'enseignant A dans deux classes différentes : une classe considérée comme forte et une classe considérée comme faible. Nous avons recueilli tous les cours dans les deux classes pendant 3 semaines : tout ce qui concernait la valeur absolue en liaison avec le signe du binôme, et observé deux groupes d'élèves dans chaque classe pendant les travaux dirigés.

J'ai dit que nos méthodes d'observation ont été influencées par les manières qu'avaient les professeurs d'organiser le travail de la classe. Il me faut dire un mot de l'organisation de l'enseignement dans les deux classes de l'enseignant A, observées en 92-93 :
### organisation générale et choix globaux de l'enseignant :

* Dans l'établissement les heures de module et de travaux dirigés ont été regroupées, ce qui donne pour chaque classe :

- 2 heures de cours en classe entière,

- 2 heures de T.D.-module en demi-classe. Il n'y a pas d'alternance avec une autre discipline, ce qui fait que le professeur de mathématiques a l'entière maîtrise de la constitution des groupes.

* Pendant les heures de T.D. les élèves travaillent en groupes de 4 sur une fiche distribuée au début de la séance par le professeur. Celui-ci n'intervient en principe que pour inciter les élèves à travailler, sauf auprès des groupes faibles où l'intervention porte parfois sur le contenu. Il n'y a aucune phase collective.

Le bilan collectif a lieu dans la séance en classe entière qui suit et le cours se fait à l'occasion de ce bilan.

* L'enseignement s'appuie beaucoup sur l'utilisation de la calculatrice et des micro-ordinateurs. Cinq ordinateurs (un par groupe) sont présents dans la salle de T.D. et les élèves sont encouragés à utiliser seuls les logiciels déjà travaillés en classe. Ceux-ci sont disponibles dans la salle de documentation.

L'enseignement est organisé en cycles de 3 semaines se terminant par un contrôle.

Les caractéristiques des deux classes de seconde de ce même enseignant en 1992-93 étaient les suivantes :

- une classe "faible" de 27 élèves (dont 5 filles seulement), fabriquée intentionnellement d'après les dossiers des élèves,

- une "bonne classe" de 35 élèves plus équilibrée entre filles et garçons.

Pour cette première année, l'observation a surtout porté sur le cours du professeur et sur l'observation de quelques élèves sur une période limitée. Les séances collectives (cours) ont été observés pendant la moitié de l'année. Pendant 3 semaines, sur tout ce qui concernanit la valeur absolue, toutes les séances (cours et travaux dirigés) ont été observées et enregistrées dans les deux classes. Les copies des élèves au contrôle portant sur cette période ont été relevées et photocopiees.

### Analyses effectuées sur cette période

Un mémoire de DEA, soutenu en juin 1994, porte sur l'observation de 3 groupes d'élèves pendant les séances de travaux dirigés, deux dans la classe faible, un dans la classe forte.

Pour l'analyse du cours de l'enseignant, nous avons retenu deux séances de synthèse faites par le professeur dans les deux classes après ces travaux dirigés ainsi qu'une séance de corrections d'exercices pour lesquelles nous avons analysé le discours de l'enseignant. L'analyse de la transcription de l'enregistrement de deux séances collectives a été faite à partir de deux méthodes mises au point par A. Robert et ses élèves (Chiocca, Josse, Robert, 1991) :

- l'analyse linéaire qui s'intéresse à la structuration de la séquence, au contenu traité et permet d'identifier des éléments de la gestion du temps,

- l'analyse catégorielle qui porte sur le discours non mathématique de l'enseignant.

Nous exposerons plus précisément les critères retenus pour ces analyse au moment de les présenter.

### Moyens d'observation, recueil des données en 1993-94

Pour l'année 93-94, il était prévu de s'intéresser davantage au travail des élèves pendant les séances de travaux dirigés et à la façon dont ils s'emparaient des éléments d'information apportés par le professeur au cours de la recherche et dont ils reprenaient à leur compte l'institutionnalisation des séances précédentes. Nous avons repris l'étude de la valeur absolue dans deux classes : celle du professeur A, qui était cette fois "une classe moyenne" et celle du professeur B, une assez bonne classe d'un autre établissement. Les séquences de cours ont été enregistrées (mais non observées) dans ces deux classes, deux groupes d'élèves ont été observés en travaux dirigés sur ce sujet dans la classe A. Les cahiers de ces élèves ont également été relevés.

A la fin de l'année des entretiens avec ces élèves et d'autres élèves volontaires ont permis de compléter l'observation sur les méthodes de travail des élèves et l'articulation qu'ils
font entre le cours du professeur et leur travail personnel. Un entretien a également été mené
avec chacun des enseignants.

Dans la classe B, nous n'avons pu observer nous-même qu'une seule séance : il
s'agissait d'une séance d'enseignement de module sur l'homothétie.

Moyens d'observation, recueil des données en 1994-95

La plus grande partie des données a été recueillie au cours de cette année scolaire : nous avons d'abord interrogé 5 professeurs au début de l'année sur l'organisation de leur enseignement en seconde, sur les difficultés des élèves, et sur leurs intentions concernant les fonctions et la valeur absolue. Nous avons ensuite observé dans 4 des classes presque toutes les séances de mathématiques pendant une période allant de 2 à 4 semaines en relevant les textes d'exercices donnés aux élèves et les copies du contrôle concernant la valeur absolue. Nous avons en fin d'année fait passé un questionnaire concernant les nombres et la valeur absolue aux élèves des quatre classes. S. Broccolichi a observé les élèves de trois de ces classes sur un nombre un peu plus restreint de séances.

Analyses effectuées.

Nous n'avons pu, dans la période considérée, réaliser toutes les analyses des données.
Nous avons pour l'instant traité les points suivants :

- éléments d'étude de la transposition didactique de la valeur absolue,

- analyse du discours du professeur A au cours des séances de synthèse des travaux dirigés et cours dans des classes de niveaux différents la même année,

- analyse d'une séance d'exercices dans la classe du professeur B,

- analyse des contrôles dans les 4 classes,

- première analyse sommaire des entretiens avec les élèves,

- comparaison des progressions utilisées par les 4 professeurs la même année ou non,

- analyse des contrôles donnés dans les 4 classes en 94-95,

- résultats du questionnaire de juin 95 dans les 4 classes et mise en relation avec le niveau de la classe et la progression choisie.

Nous avons rédigé la partie concernant l'analyse du rapport institutionnel : les choix concernant le contenu enseigné dans les différentes classes, les résultats des contrôles et du test de fin d'année. Les analyses concernant les pratiques de classes et les méthodes de travail des élèves feront l'objet d'un deuxième rapport.

Ce travail a donné lieu à une communication au congrès annuel du groupe "Psychology of Mathematics Education" qui a eu lieu à Recife en juillet 1995 et a servi de support à l'animation d'ateliers dans les Ecoles d'Etude de didactique des mathématiques de 1993 et 1995.

II La transposition didactique. Evolution des programmes.

1. La présentation classique avant 1990

Avant 1969, la valeur absolue était introduite en classe de 4ème, en même temps que les
nombres relatifs : elle servait d'abord à énoncer les règles opératoires sur les relatifs. Elle
figurait dans le même chapitre que l'inégalité triangulaire, la formule de Chasles pour 3 points
sur un axe et la mesure algébrique d'un segment orienté et que la mesure de la longueur de ce
segment. Elle ne figurait pas explicitement dans les programmes des classes suivantes. Après
1969, les relatifs sont introduits dès la classe de 6ème. Jusqu'en 1986, la valeur absolue figurait
explicitement dans les programmes<fnref n="1" /> à partir de la classe de cinquième. Les programmes et les
commentaires ne précisaient rien à son sujet, à aucun des niveaux du collège. La mention de
"valeur absolue" dans le libellé du programme semblait suffire. Nous pouvons nous faire une
idée de l'enseignement correspondant en examinant les manuels. Dans les manuels, le terme
"valeur absolue" était introduit dès la classe de sixième (jusqu'en 1985) en même temps que les

<footnote n="1">¹ parus en 1977 pour la 6ème et la 5ème, en 1978 pour la 4ème et la 3ème, en 1981 pour la seconde, appliqués en 6ème à la rentrée 1977, en 5ème en 1978, en 4ème en 1979, en 3ème en 1980, en seconde en 1981.</footnote>
nombres relatifs, dans un cadre purement numérique. Elle était alors vue comme "le nombre sans son signe" ou, plus précisément, on disait qu'un nombre relatif avait un signe et une valeur absolue et que deux nombres opposés avaient la même valeur absolue. En sixième et en cinquième, elle servait à exprimer les règles d'addition puis de multiplication des nombres relatifs mais elle était vraiment étudiée dans le cadre algébrique à partir de la classe de quatrième (jusqu'en 1987), en référence aux relatifs et à l'axe gradué et c'est à ce niveau qu'on établissait ses propriétés. Elle était aussi utilisée dans l'étude des fonctions, qui étaient à cette époque introduites en cinquième, et des résolutions d'équations.

La valeur absolue était introduite et traitée presque exclusivement dans les cadres numérique et algébrique (même si on demandait aussi le placement de points sur un axe gradué). Elle était définie de l'une des manières suivantes :

* $|x| = x \text{ si } x \text{ positif ou nul, } |x| = -x \text{ si } x \text{ négatif ou nul}$

* $|x|$ est celui qui est positif parmi les deux nombres $x$ et $-x$

* $|x|$ est le plus grand des deux nombres $x$ et $-x$.

L'axe gradué et les mesures algébriques étaient en général traités dans le chapitre suivant où on ne reparlait pas de valeur absolue.

Elle servait aussi à introduire des difficultés dans les exercices de résolution d'équations ou d'études de fonction, éventuellement pour renouveler l'objet d'étude (Duroux, 1983).

On trouvait alors (en 1979) en classe de 4ème

* des exercices comme "Calculer les rationnels pour lesquels $|2x+9| < 3,5$ ; $|4x-5| = 3$" ; mais

aussi : $\left|\frac{2x-3}{3x-2}\right| = 2$ ou $\left|\frac{2x-3}{3x-2}\right| \le 2$ (Hatier, 1979) ; ou "Trouver toutes les valeurs de $x$

vérifiant l'égalité indiquée : $|x^2-4| + |x-2| = 0$, $||x-1|-1| = 1$, $||x-1|-1| \le 1$ (IREM de Strasbourg, ISTRA, 1979)

* des exercices théoriques comme

"Montrer que pour trois nombres quelconques $x, y, z$, on a $|x + y - z| \le |x| + |y| + |z|$ (ibidem)

* ou encore des études d'applications comme (Monge, Belin, 1979) :

"On considère l'application $f$ définie par $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que $|x-2| =$

1) Calculez $f(2)$ ; $f(-5,5)$ ; $f(\frac{3}{2})$ ; $f(0)$ ; $f(-1)$

2) Soit $x$ un réel supérieur ou égal à 2. Comparez les réels ($x-2$) and $|x-2|$ démontrez que le réel 3,5 admet un seul antécédent supérieur ou égal à 2 ; déterminez cet antécédent.

Même question pour chacun des réels suivants : $\frac{3}{4}$ ; $5,5$ ; $1$

3) Soit $x$ un réel inférieur à 2. Comparez alors les réels ($x-2$) and $|x-2|$.
Démontrez que le réel 3,5 admet un seul antécédent inférieur à 2 ; déterminez cet antécédent.

Même question pour chacun des réels suivants : $\frac{3}{4}$ ; $5,5$ ; $1$

4) L'application $f$ est-elle une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}^+$ ?"

La référence aux distances est indiquée pour traiter certains exercices (ce qui montre a contrario qu'on attend un traitement algébrique pour les autres) :

"En interprétant les valeurs absolues comme des distances entre points sur une droite graduée, déterminer $x$ dans les cas suivants : $|x-2| + |x-3| = 5$", $|x-2| + |x-3| > 2$ ..." Remarquons que cet exercice est extrait du manuel de l'IREM de Strasbourg et que ce type d'exercices n'est pas fréquent en général.

Un manuel fait exception, c'est le Deledicq, Lassave et Missenard qui ne donne que des exercices très simples sur la valeur absolue en insistant sur l'axe gradué et le lien avec la distance comme "Représente sur une droite graduée les points d'abscisse $x$ tels que $|x| < 3$ ; $1 < |x| < 2$ ; $|x| > x$ ; $|x| < x$ ; $|x - 1| < 2$."

En troisième, on l'utilise pour exprimer $\sqrt{x^2}$ comme $|x|$ et produire des fonctions affines par morceaux, comme dans ces exemples extraits du Monge (Belin, 1980) où il s'agit d'étudier des fonctions définies par $|2x+3| + |5x - 4|$ ou (de façon plus cachée) $\sqrt{(x+2)^2 - \sqrt{(3x-1)^2}}$.
Cependant, dans chacun des cas, les intervalles pertinents sont fournis dans les questions :
"Montrer que, pour tout x de l'intervalle ]-∞, -3/2], on a ..."

En classe de seconde, en 1973, la valeur absolue figurait parmi les rappels de 4ème : on définit la distance à l'aide de la valeur absolue et on l'utilise pour définir les intervalles et les encadrements. Dans les programmes de 1981, on la trouve dans la rubrique "Activités numériques" où il est précisé que "le calcul sur les nombres réels n'est pas revu pour lui-même mais solidairement avec la résolution des problèmes numériques qui sont au cœur de l'analyse" et qu'il faut éviter "d'accumuler ces activités en début d'année". Le paragraphe contient "Pratique des opérations et des inégalités portant sur les nombres réels, en particulier décimaux, rationnels. Valeur absolue ; distance. Exemples d'approximations d'un nombre réel donné au moyen de suites.". Les commentaires, qui mettent l'accent sur l'importance des majorations, minorations, approximations, ne précisent rien sur la valeur absolue. Elle apparaît aussi à la rubrique fonction puisque la fonction $x \to |x|$ figure explicitement au programme, mais on voit aussi qu'on peut l'utiliser dans ce chapitre puisque un des thèmes d'études sur les fonctions, proposés à titre indicatif, est "Taux de variation : encadrement de ce taux ; inégalités du type $|f(x) - f(y)| \le M |x-y|$ pour tous x, y ; interprétation géométrique". Ce thème donne l'occasion de mettre en relation la valeur absolue et la distance. Dans les manuels, les propriétés de la valeur absolue étaient reprises dans le premier chapitre de révision sur les nombres, en même temps que les approximations, mais dans les exercices sur les approximations, les expressions avec inégalités étaient plus utilisées que la valeur absolue. Néanmoins, la valeur absolue était largement utilisée dans les exercices sur les fonctions comme en témoignent ces quelques exemples extraits du Hachette 1985 (Gautier, Gerll, Thiercé, Warusfel) :

"Dans les exercices suivants, on demande d'étudier la fonction f et de tracer sa courbe représentative dans une repère (orthonormé) $f(x) = |2x^2+5x+3|$ ; $f(x) = x^2-|x|$;

$$f(x) = | |x| - |2x+1| | ; f(x) = \sqrt{|4-9x|} ; f(x) = \sqrt{|x|-1} ; f(x) = \sqrt{|x|+|2x-4|} ; f(x) = \sqrt{2x+|x-1|} \text{ ...}$$

Cependant, les instructions officielles des programmes de seconde précisaient dès le 10-10-1984, après 3 ans d'application des nouveaux programmes : "Les exercices faisant intervenir la valeur absolue de manière artificielle (et souvent cumulative) sont en dehors des objectifs de l'ensemble du second cycle. L'essentiel est de savoir interpréter $|b-a|$ comme étant la distance des points a et b, et, dans cette perspective, des relations telles que $|x-2|<1$ ou $|x-2|<1/100$ à l'aide des intervalles de centre 2, et de savoir effectuer quelques majorations simples en utilisant l'inégalité triangulaire et les relations donnant la valeur absolue d'un produit ou d'un quotient. On notera que les problèmes mettant en jeu les valeurs absolues nécessitent souvent des raisonnements par disjonction, qui constituent une difficulté supplémentaire pour beaucoup d'élèves. Il convient donc d'aborder ce type de raisonnement à partir de situations simples. L'étude d'exemples de fonctions affines par morceaux, s'appuyant sur des interprétations graphiques, constitue un objectif raisonnable. D'autres exemples accumulant les valeurs absolues, tels que l'étude de la fonction $x \to |x-x-1|$ ou la résolution des équations

$$| |x-3| + |2+x|| = 1 \text{ ou } \left| \frac{2x+5}{x-1} \right| = \sqrt{(2x+5)^2} \text{ relèvent de la technicité gratuite et ne peuvent que rebuter les élèves.}$$

Dans le paragraphe sur les fonctions, ils précisent encore "De façon générale, l'accumulation de difficultés techniques (en particulier de valeurs absolues et de parties entières est tout à fait inopportune. Des exercices comme ceux qui suivent n'ont pas leur place en seconde : ...

$$x \to \sin |x-1| \quad \dots \quad x \to \frac{1+|x|}{x |x+2|}$$

Remarquons que les exercices mentionnés plus haut ont été relevés dans un manuel de 1985 qui publie à la fin de l'ouvrage les instructions ci-dessus. Bien sûr, cela ne nous dit pas quels exercices choisissaient les professeurs pour leurs classes.

Ces paragraphes de commentaire sont repris, mais un peu allégés, dans les programmes de 1986 qui insistent davantage sur les inégalités et inéquations et précisent que la valeur absolue
intervient de façon naturelle dans les problèmes d'approximation. Pour les inéquations, la résolution de $|2x + 1| \le$ est mentionnée comme un objectif raisonnable.

## 2. Les difficultés des élèves dans l'enseignement classique.

La valeur absolue provoquait beaucoup d'erreurs chez les élèves plusieurs années après son introduction (voir Duroux 1983 ; Chiarugi, Fracassina, Furinghetti, 1990). On se souvient que c'est à son propos que Duroux (1983) avait caractérisé, à la suite de Brousseau, l'utilisation de la notion d'obstacle en didactique des mathématiques. Rappelons quelques-uns des résultats qu'il avait obtenus auprès d'élèves de 3ème :

"Quel est le maximum de l'ensemble $\{10; -1253; 27; -3\} ?$" : 92% de réussite. Mais "Si a est un nombre réel, quel est le signe de $-a$ ?" : 48% de réussite, et "Si $1-a=1$, que vaut a ?" : 11% de réussite.

"Si $2a + 3 = 1$, que vaut a ?" : 80% de réussite, mais "Si $la + 2l = 4$, que vaut a ?" : 22% de réussite, et, "Si l'entier a est inférieur à l'entier b, peut-on avoir $la-bl = 2$ ?" : 11% de réussite.

Les difficultés subsistent à l'entrée à l'université et l'utilisation de la valeur absolue comme distance semble peu disponible : les tests utilisés par A. Robert (1983) en première année de DEUG montrent que trouver l'ensemble des $(x,y)$ de $\mathbb{R}^2$ tels que $|x-2| < 0,5$ pose encore problème. Donnons, à titre d'illustration, quelques exemples extraits de copies de licence au printemps 1995 (étudiants ayant donc rencontré la valeur absolue depuis la 5ème) :

- dans un calcul de valeurs propres, deux étudiants qui auront finalement 12,5 ou 17,5 au partiel, ont à résoudre $[\lambda^2 - (2a+b)\lambda + ab + a^2 - 2b^2] (a - \lambda - b)$. Ils trouvent $\Delta = 9b^2$ et

$$ \lambda_1 = \frac{(2a+b)+3|b|}{2} ; \lambda_2 = \frac{(2a+b)-3|b|}{2} ; \lambda_3 = a - b. \text{ Ils n'expriment pas les racines sans valeur} $$

absolue et ne s'aperçoivent pas qu'ils ont une racine double.

- en intégration, plusieurs étudiants écrivent :

$$ \int_0^1 |x-y|^{-\alpha} dy = \left[ \frac{|x-y|^{1-\alpha}}{1-\alpha} \right]_0^1 = \frac{|x-1|^{1-\alpha}}{1-\alpha} - \frac{|x|^{1-\alpha}}{1-\alpha} $$

En novembre 1995 (les plus jeunes étudiants peuvent avoir suivi les nouveaux programmes depuis la 6ème, mais peu sont dans ce cas), on peut lire dans des copies de calcul différentiel :

* "$|d(x,x') - d(x',y)| \le d(x,y)$ et $d(x',y') \ge |d(x',y) - d(y,y')|$ donc $d(x,y) - d(x',y') \le d(x,x') - d(x',y) - d(x',y) + d(y,y')", ce qui revient à supprimer les valeurs absolues et à soustraire des inégalités !

* deux exemples se ramenant à dire que si $a \le a'$, alors $la - bl \le la' - bl$ :

$$ \begin{aligned} d(x,y) &\le d(x,x') + d(x',y) \text{ donc } |d(x,y) - d(x',y')| \le |d(x,x') + d(x',y) - d(x',y')| \\ d(x,y) &\le d(x,x') + d(x',y') + d(y',y) \text{ donc } |d(x,y) - d(x',y')| \le |d(x,x') + d(x',y') + d(y',y) - d(x',y')|, \text{ ce qui, cette fois, permet une simplification !} \end{aligned} $$

Au collège ou au début du lycée, les erreurs résistantes des élèves consistent soit à faire comme s'il n'y avait pas de valeur absolue, soit à changer la variable de signe ou à distinguer les cas $x > 0$ et $x < 0$, quelle que soit l'expression entre les barres de valeur absolue. On trouve par exemple :

$$ la+2l = a+2 \text{ si } a \ge 0 \text{ et } la+2l = -a - 2 \text{ si } a \le 0 $$

$$ si a < 0, la+2l = -a+2 $$

$$ si x > 2, |2 - x| = 2 + x $$

$$ la+2l = 4 \text{ donc } a = 2 $$

$$ la+2l = 4 \text{ donc } a = +2 \text{ ou } a = -2. $$

Les erreurs résistantes de ce type ont été attribuées à l'introduction précoce de la valeur absolue comme le nombre sans le signe, ce qui fait que la valeur absolue a disparu des programmes du collège. On l'introduira en seconde, à des élèves qui ont déjà une certaine pratique du calcul algébrique.

## 3. Place dans les actuels programmes de seconde.

Dans les nouveaux programmes du collège qui entrent en vigueur en 1986 pour la classe de sixième, la valeur absolue disparaît entièrement à ce niveau. Elle ne sera introduite qu'en
seconde, et avec beaucoup de précautions et de restrictions (voir extrait du programme en annexe), ce qui en fait une notion relativement marginale en seconde. Le programme insiste sur la relation à faire entre la notion de valeur absolue, celle de distance et celle d'intervalle. Les manuels ont pris ce commentaire comme une suggestion d'introduire la valeur absolue à partir de la notion de distance qui est abordée naïvement au collège. On s'appuie donc sur l'aspect géométrique de la valeur absolue, mais il faut remarquer que la distance est ici restreinte à la distance sur un axe alors que la notion de distance est plutôt perçue dans le plan ou dans l'espace au collège. C'est en fait plutôt le repérage des points sur un axe qui va servir d'appui, mais on va retrouver là les questions de signe et de nombre relatif.

La valeur absolue est reliée aux approximations dans le cadre numérique et ces deux aspects (géométrique et numérique) préparent l'utilisation qui sera faite de la valeur absolue pour formaliser la notion de limite, ce qui n'intervient plus avant l'enseignement supérieur. Dans la classe même de seconde, elle a un usage pour la construction de la notion de fonction : c'est un endroit où on va raisonner par disjonction de cas, même si le programme précise qu'il ne faut pas abuser de ce genre d'exemples. On aura des fonctions qui ne sont pas définies à partir d'une seule formule, mais que la valeur absolue va permettre de ramener à une formule.

Par ailleurs, la fonction valeur absolue est une des fonctions de référence du programme de seconde. Ce sera plus tard une source de contrexemples (pour fabriquer des fonctions continues non dérivables). En classe de seconde elle permet aussi de renouveler l'étude des fonctions linéaires et affines (et va donner une nouvelle occasion d'institutionnaliser ce qu'il y a à savoir sur ces fonctions) et fournit des raisons d'étudier le signe d'un binôme (au programme de seconde) puis d'un trinôme du second degré (en 1ère).

## 4. Examen de quelques manuels de seconde actuels.

Actuellement, les programmes insistent sur la relation à faire entre la valeur absolue et la notion de distance. En réalité, ils ne donnent pas d'indication sur la manière de définir la valeur absolue, cependant tous les auteurs de manuels ont interprété cette recommandation en introduisant la valeur absolue à partir de la distance. La plupart d'entre eux définissent même d'abord la-$bl$ comme $d(a,b)$ puis $|x|$ comme $d(0,x)$ sans remarquer que cela donne une autre définition de la-$bl$ mais qu'elles sont équivalentes parce que la distance est invariante par translation et que donc $d(0,a-b) = d(b,a) = d(a,b)$. De plus, on passe en général sans commentaire de la distance entre deux points à la distance entre deux nombres en disant que la distance entre deux nombres est la distance entre les points qui ont ces nombres pour abscisses sur un axe gradué sans dire qu'on admet que cette définition ne dépend pas de l'axe gradué choisi. Or, suivant l'unité, il est clair que les distances entre les points (au sens usuel) ne seront pas les mêmes. On passe aussitôt à une formulation interne aux nombres "le plus grand moins le plus petit" à partir de l'examen de ce qui se passe sur un axe gradué particulier.

Le point de vue mathématique est ainsi renversé : au lieu de définir la distance sur un axe à partir de la valeur absolue définie de façon intrinsèque sur les nombres comme $|x| = x$ si $x \ge 0$ et $|x| = -x$ si $x \le 0$, on définit la valeur absolue à partir de la distance entre nombres qui ne pourrait être définie sans utiliser, au moins implicitement, la valeur absolue.

Le choix de définir la-$bl$ par $d(a,b)$ avant $|x|$ s'explique, comme me l'a confirmé un professeur ayant fait ce choix, par un désir d'éviter une erreur très résistante : pour étudier $|x|$-al ou, plus généralement $|f(x)|$, les élèves distinguent les cas $x>0$ et $x<0$.

La résistance de cette erreur amenait d'ailleurs une inflation d'exercices où on a besoin d'étudier en disjoignant les cas des expressions du type $|f(x)|$ alors que les traductions en termes d'intervalle ou de graphiques d'expressions comme $|x|$-al < r étaient traitées plus rapidement parce que plus faciles, ce qui avait pour conséquence qu'une bonne partie des élèves arrivant à l'université ne maîtrisaient toujours pas ce genre de situation. Les programmes actuels expriment une volonté de donner la priorité à cet aspect, fondamental pour la formalisation de la notion de limite notamment.

La conséquence des choix actuels est que les exercices qu'on va demander aux élèves sont essentiellement des exercices de traduction entre différents langages : celui de la valeur absolue, celui de la distance et celui des inégalités, en particulier dans la définition des intervalles. On trouve surtout des exercices du type suivant (donné par le professeur A):
<table><thead><tr><th>valeur absolue</th><th>distance</th><th>droite des réels</th><th>encadrement</th><th>intervalle</th></tr></thead><tbody><tr><td>1x-21 ≤ 3</td><td>d(x; 2) ≤ 3</td><td>-1 - 0 - 1 - - - - 5</td><td>-1 ≤ x ≤ 5</td><td>x ∈ [-1; 5]</td></tr><tr><td>1x1 ≤ 7</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>1x-11 ≤ 3/2</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td></td><td>d(x; 5) ≤ 9/2</td><td></td><td>1 ≤ x ≤ 4</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>x ∈ [-7; -2]</td></tr><tr><td>1x+3/21 ≤ 2</td><td></td><td></td><td>1,4 ≤ √2 ≤ 1,5</td><td></td></tr><tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td>√3 ∈ [1,73; 1,74]</td></tr><tr><td>1π - 22/71 ≤ 10-2</td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

## 5. Les résultats des élèves aux tests EVAPM.

Ce sont d'ailleurs surtout ces traductions que contrôle EVAPM (1991) dès la première année d'application des nouveaux programmes. Pour les traductions entre dessin, écriture usuelle de l'intervalle et inégalités, où il y a congruence entre les registres (Duval, 1995), les résultats sont très bons (entre 75% et 89% de réponses justes aux items concernant ces points). Les résultats sont encore très bons quand il s'agit de traduire $d(x;7) \le 3$ en $1x-71 \le 3$ (86% de réussite) mais les réussites tombent en dessous de 50% pour tous les autres cas :

- 48% pour la traduction de $d(x,7) \le 3$ en $4 \le x \le 10$ ;

- 42% pour la traduction de $1x+51 \le 1$ en $d(x;-5) \le 1$ et $29\%$ en $-6 \le x \le -4$ ;

- et seulement 29% pour la traduction de $-2 < x < 2$ en $d(x;0) < 2$ et $28\%$ en $1x < 2$.

A titre de comparaison, Chiarugi et al. trouvaient 39% d'élèves de 14 ans et 80% d'élèves de 17 ans capables de dessiner sur la droite réelle l'intervalle défini par $1x < 3$. Les élèves de seconde français se situeraient vraisemblablement entre les deux.

Pour le reste, on peut noter que les élèves réussissent mieux les questions numériques que les questions algébriques puisque 41% donnent une réponse juste pour les 4 questions :

si $a = -5$ ; $b = 25$ ; $c = -13$, alors $la-bl = 20$ ; $lcl - lbl = -12$ ; $a + lb-cl = 33$ ; $la-bl - la+bl = 10$, (oui, non, je ne sais pas):

alors que seulement 20% donnent une réponse correcte pour les 4 questions : quels que soient les réels a et b, on peut affirmer que $la-bl \le a$ ; $la+bl \ge a+b$ ; $la+bl \ge lal + lbl$ ; $la+bl \le lal + lbl$.

Pour l'aspect fonction de la valeur absolue, 60% peuvent dessiner le graphe correctement pour $g$ définie par $g(x) = 1x$ et 53% peuvent compléter le tableau de variation de $g$ sur [-5,7].

<table><tr><td>x</td><td>-5</td><td>7</td></tr><tr><td>g(x)</td><td></td><td></td></tr></table>

Ces résultats permettent de penser que les élèves actuels relient sans doute mieux la notion de valeur absolue à celle de distance et qu'ils peuvent passer du langage de la valeur absolue à celui des distances ou réciproquement, du moins dans le cas où le centre de l'intervalle considéré est positif. La traduction d'un encadrement en termes de valeur absolue est en revanche loin d'être acquise.

Remarquons par ailleurs que si la traduction en termes de distance facilite la résolution d'équations du type $1x-al = r$, elle risque de rendre plus difficile la résolution des équations ou inéquations pour lesquelles le coefficient de $x$ ne serait pas 1, même des équations aussi simples que $12x-11 = 3$.
# 6. Quelle est la place de la valeur absolue dans l'enseignement secondaire français actuel ?

## 6.1. Quels types de problèmes la valeur absolue permet-elle de résoudre ?

Une particularité de la valeur absolue est que c'est surtout un outil de formulation, il va donc être difficile de trouver des problèmes où elle intervienne comme outil de résolution, sauf des problèmes déjà formalisés en mathématiques. C'est par exemple un moyen d'écrire des fonctions sans disjonction de cas, par exemple des racines carrées : $\sqrt{(f(x))^2} = |f(x)|$ ou des distances, des aires de figures qui dépendent d'un paramètre.

De plus, pour traiter les problèmes qui mettent en jeu une valeur absolue, par exemple pour résoudre des équations ou inéquations, ou des problèmes de distance il faut en général disjoindre les cas. En seconde, on peut prévoir que les expressions que les élèves auront à considérer pourront le plus souvent s'écrire sans la valeur absolue et que les élèves ne l'utiliseront que si on le leur demande ou si elle directement objet d'étude donnée dans le texte, comme un raccourci de langage, par exemple "étudier la fonction $|2x-1|$ ou résoudre $|2x-1| = 3$". Si on leur donne à modéliser une situation de distance (voir par exemple le problème "M. Dupont" utilisé dans les classes A et B et décrit dans l'annexe 3), on peut attendre que les élèves disjoignent les cas plutôt que d'utiliser la valeur absolue, sauf peut-être s'ils ont à communiquer avec un ordinateur, par exemple pour faire tracer le graphe de la fonction obtenue.
Dans ces conditions, peut-elle fonctionner en seconde autrement que par le contrat ?

En terminale S, elle sert pour définir la notion de limite. Il n'y a plus dans l'enseignement secondaire de formalisation de la notion de limite, mais on peut chercher à quelle condition on a $|f(x)| - |f(x-1)| \le 0,01$ par exemple ou écrire $|x|$-al < 0,001 etc...

En terminale S, elle peut aussi servir pour écrire la majoration des accroissements finis qu'on utilisera dans l'étude des suites récurrentes. Très souvent, on privilégie la structure d'ordre de R pour se ramener aux suites monotones, plutôt que la structure d'espace métrique. Cependant, le théorème de convergence des suites monotones ne figure plus que dans l'enseignement de spécialité, donc on devrait passer par l'inégalité des accroissements finis pour les autres classes et donc privilégier la distance.

Dans ces deux usages, la valeur absolue peut le plus souvent être remplacée par une écriture en termes d'encadrements qui amènera un traitement d'inégalité. Il est cependant un endroit du programme où elle est indispensable : c'est pour exprimer la primitive de $\frac{1}{x}$ et sutout de $\frac{u'}{u}$ par une seule expression algébrique.

On peut néanmoins prévoir que les élèves n'auront pas souvent l'occasion de l'utiliser dans leur scolarité au lycée, en dehors de ces quelques cas, même si la fonction logarithme figure au programme de la plupart des classes terminales.

## 6.2. Témoignages de professeurs : éléments de régulation des choix.

Des entretiens avec les professeurs, il ressort qu'un élément important de régulation de leurs choix en ce qui concerne le temps et l'énergie qu'ils vont consacrer à l'enseignement d'une notion est l'usage qui en est fait dans les classes auxquelles se destinent la majorité de leurs élèves et les difficultés que les élèves risquent de rencontrer dans les classes ultérieures. D'ailleurs la perte de ce repère lors d'un changement de niveau d'enseignement enlève des moyens à l'enseignant, comme le pointe le professeur A qui a enseigné longtemps au collège.

Les choix vont ainsi se référer à l'expérience professionnelle que les professeurs ont des classes suivantes et aux cursus qu'ils prévoient pour leurs élèves. Le professeur A a cette année une classe faible et il enseigne aussi en 1ère S et en 1ère ES : ce sont les contenus de cette classe qui vont régler ses choix en seconde. Le professeur B a une classe très hétérogène mais dont la moitié peut espérer une 1ère S et il enseigne en Terminale S : le travail sur les inégalités et la structuration des démonstrations sont des enjeux importants.

Sur la valeur absolue, ils nous disent tous les deux qu'ils en feront peu, et, à travers leur discours, on voit que c'est l'occasion de poursuivre d'autres objectifs: travail sur la notion de fonction dans un cas, sur les inégalités dans l'autre.

Professeur A. un minimum... Je vais sans doute la traiter quand même ... Ça va être très vite fait, ça va se limiter à "les points qui sont à égale distance d'un même nombre", on va
faire $|x-al| = 3$ par exemple, je pense quon ne va pas aller au delà de ça, de toute façon, la valeur absolue, ils ne la reverront jamais...

.(en 1ère S)...... je suis en train de préparer les limites, on suppose $x > 0$ ou $x < 0$, on se met toujours du bon côté ... Je n'ai pas encore vu la nécessité de la valeur absolue en 1ère S... Peut-être je la ferai parce que c'est une fonction intéressante à voir mais ça ne m'est vraiment pas indispensable. Ce qui est vraiment indispensable en seconde, c'est la notion de fonction... qu'ils sachent repérer que, quand ils tracent un graphique, quand ils ont un point sur un dessin, c'est parce que ce point là a pour coordonnées $x$ et $f(x)$ et qu'inversement, s'ils prennent le point, ils peuvent lire $x$ et $f(x)$, je suis contente parce les miens, au mieux ils iront en 1ère ES... alors en 1ère ES, qu'est-ce qu'on va leur demander... de construire des tangentes ...

Professeur B. La valeur absolue, pas grand chose... Que quand ils voient écrit "valeur absolue" d'abord ils aient pas peur et que quand ils voient $|x-al|$ ils aient dans la tête l'image de la distance parce que... on s'en sert pas tellement si ce n'est pour exprimer plus petit que $\epsilon$ ou que 10 puissance moins quelque chose...

I. On s'en sert pas tellement en seconde et quand est-ce qu'on s'en sert alors ? en terminale quand on introduit les limites ?

B. oui par exemple pour dire $|x_n-1| < 10^{-4}$ c'est tout...

I. en terminale et en 1ère ?

B. Y'a très longtemps que j'ai pas eu de 1ère. ... Quand je te disais que je voulais qu'ils aient une image géométrique avec $|x-al|$, qu'ils aient aussi un encadrement... D'ailleurs, moi, l'exercice qui sert de résumé à la fin sur ce que j'attends d'eux, c'est un exercice où on traduit de 4 façons différentes distance, valeur absolue, intervalle et encadrements, c'est tout ce que je leur demande...

B. ... je ne fais que des exercices qui tournent autour de ça. L'année dernière, j'ai fait "Monsieur Dupont"<fnref n="2" /> pour participer à la recherche mais je suis pas convaincue... je crois que je le ferai pas cette année hein...

I. en fait M. Dupont, c'est plutôt sur la notion de fonction...

B. oui, et comme moi, j'ai pas commencé les fonctions quand je fais la valeur absolue...

## 7. Conclusion de la deuxième partie.

L'exemple de la valeur absolue, à travers les déclarations des professeurs, confirmées par une étude des manuels, illustre d'abord quelques phénomènes liés à la transposition didactique :

- la réduction d'une niche écologique : les objectifs de formalisation des limites ayant disparu des programmes de Terminale, l'utilisation de la valeur absolue pour compliquer les études de fonction ou les résolutions d'équation et renouveler ainsi les objets d'enseignement (Duroux, 1983) ayant été dénoncée et qualifiée d'inutile par l'institution, la valeur absolue devient un objet sans enjeu et s'est réfugiée uniquement dans la définition des intervalles. Elle devient très marginale et a peu d'occasions d'utilisation, sauf si les enseignants l'utilisent pour viser d'autres objectifs. On peut se demander si la présence de ce langage, une manière parmi quatre d'écrire un intervalle, va pouvoir vivre longtemps dans le secondaire non scientifique ou si on va finalement se contenter de l'écriture $d(x,a) \le r$.

Les professeurs ne s'y trompent pas et c'est un des chapitres qu'ils sacrifieront éventuellement s'ils sont pressés par le temps : un des professeurs que nous avions contactés et qui avait une classe très faible nous a déclaré qu'il ne la traiterait pas. Les professeurs, comme nous avons pu le voir dans les déclarations des professeurs A et B, ont tendance à valoriser ce qui va être utile dans les classes suivantes. Une modification de programme dans une classe de fin de cursus a donc assez rapidement des modifications en amont : les notions qui étaient principalement utilisées dans le domaine qui disparaît perdent de leur importance et auront tendance à disparaître aussi.

<footnote n="2">² Le professeur B fait ici allusion à un problème d'une séquence de travaux dirigés mise au point par le professeur A et qu'elle a elle-même donné à ses élèves comme devoir à la maison.</footnote>
- la centration sur le point de vue donné par la définition : on constate que la définition algébrique amène certaines difficultés chez les élèves, notamment la mauvaise utilisation ou l'absence d'utilisation de la valeur absolue pour décrire des intervalles. La solution proposée est de changer la définition pour la rendre conforme à l'usage qu'on veut que les élèves en fassent. C'est tout à fait en accord avec la prédominance d'un enseignement par ostension : on choisit la définition en se référant non à la cohérence mathématique mais à l'usage que les élèves doivent faire de l'objet introduit. On calque la définition sur le rapport institutionnel qu'on veut mettre en place : c'est le moyen le plus économique d'enseigner directement ce rapport institutionnel. Ce faisant les élèves améliorent leurs performances dans les types de tâches incriminées mais on peut prévoir que d'autres deviendront plus difficiles.

C'est ce que nous allons vérifier par l'observation de l'enseignement dispensé dans 4 classes de seconde.

# III. Rapports institutionnels (ou personnels) à l'objet valeur absolue dans 4 classes de seconde.

## III.A. Caractéristiques de l'enseignement dans le courant de l'année

### 1. Comparaison des progressions des quatre professeurs observés.

Nos observations nous ont montré différentes organisations de l'enseignement de cette notion. Le professeur A a été observé dans 4 classes différentes : il avait deux classes de seconde en 92-93, une en 93-94 et une en 94-95. Les trois premières progressions sont très semblables, nous détaillerons celles de la première année et nous indiquerons ce qui a été traité la dernière année où l'enseignement de la valeur absolue a été moins développé. Pour le professeur B, nous disposons de l'enregistrement des séquences de cours en 1993-94 et de l'ensemble de la progression en 1994-95 ; elles semblent assez voisines, nous détaillerons la deuxième. Pour les professeurs C et D, nous disposons de l'ensemble de la progression 94-95.

Dans toutes les (8) classes observées sauf celle du professeur C, la valeur absolue a été définie à partir de la distance, mais avec des variations dans l'organisation générale de l'enseignement.

Une des différences d'organisation pour les professeurs qui ont introduit la valeur absolue à partir de la distance tient aux choix concernant l'enseignement des fonctions. L'un d'eux (B) a traité d'abord l'aspect numérique avec intervalles, inégalités, résolution d'équations et d'inéquations, approximations (fin novembre, début décembre), puis est revenu sur la fonction valeur absolue comme une des fonctions de référence, au 2ème trimestre (février), après avoir traité les fonctions en janvier. Les autres professeurs (A et D), qui sont dans le même établissement, ont abordé la notion de fonction dès le début de l'année et traité l'aspect fonction de la valeur absolue dès son introduction, en même temps que ce qui concerne les intervalles, après le signe de ax+b et le traitement des inégalités.

Les professeurs A, B, D ont défini la valeur absolue comme une notation pour la distance sur un axe gradué : d'abord la-bl comme d(a,b), puis lx| comme d(x,0).

Le professeur A est parti de la distance dans des situations variées : dans l'espace, puis dans le plan, sur une droite, sur un axe gradué, et du calcul de quelques écarts de températures.

Les professeurs B et D sont partis de la distance, mais seulement sur un axe gradué.

Les professeurs A et B ont insisté sur la méthode géométrique de résolution des équations en référence à la distance sur un axe gradué et même le professeur A n'a enseigné que cette méthode et la méthode graphique mais pas la méthode algébrique pour "enlever les barres". Le professeur D a commencé de la même manière mais ensuite, il a encouragé la méthode algébrique.

Le professeur B a d'abord étudié seulement les aspects numérique et algébrique de la valeur absolue, avec ses propriétés, et les approximations. La valeur absolue en tant que fonction a été étudiée dans le chapitre sur les fonctions. La résolution des équations et inéquations avec une valeur absolue a été traitée d'une nouvelle manière à ce moment.
Les professeurs A et D ont commencé les fonctions dès le début de l'année, donc ils ont traité l'aspect fonctionnel en même temps ou juste après l'algébrique.

Le professeur C avait défini la valeur absolue à partir de la distance les années précédentes mais avait décidé de commencer par la définition algébrique cette année parce qu'il avait constaté qu'avec la distance tout se passait facilement au moment de l'introduction, mais que les difficultés arrivaient un peu plus tard, au moment où il voulait utiliser la fonction valeur absolue. Il a donc défini $|x|$ comme $x$ si $x$ est positif et $-x$ si $x$ est négatif et a traité en même temps les points de vue numérique et fonctionnel. Il avait commencé l'étude des fonctions avant la valeur absolue aussi a-t-il traité la fonction $|x|$ juste après la définition de la valeur absolue et l'étude de ses propriétés. Mais la relation avec la distance et les intervalles a été faite plus tard. Pour résoudre les équations et inéquations algébriquement, le professeur C a introduit "un tableau pour enlever les barres" en se référant au tableau de signe utilisé avant pour étudier le signe d'un produit de facteurs.

Pour résoudre des équations comme $|x-a| = r$ ou des inéquations comme $|x-a| \le r$, nous avons donc trouvé les 4 méthodes suivantes :

* méthode géométrique : $|x-a| = r$ veut dire $d(x,a) = r$, les élèves dessinent l'axe et trouvent $a-r$ et $a+r$,

$|x-a| \le r$ : la distance est plus courte, on trouve l'intérieur du segment,

$|x-a| \ge r$ : la distance est plus grande, on trouve l'extérieur du segment. Cette méthode est aussi facile pour résoudre des équations ou inéquations comme $|x-a| \le |x-bl|$.

* méthode algébrique : $|x-a| = r$ signifie $x-a = r$ ou $x-a = -r$;

$|x-a| \le r$ signifie $-r \le x-a \le r$;

pour $|x-a| \ge r$, il est nécessaire de distinguer 2 cas,

* méthode algébrique avec un tableau :

<table><thead><tr><th>x<br>|x-a| sans |<br>résolution</th><th>-∞<br>|x+a|<br>-x+a ≤ r<br>a-r ≤ x ≤ a</th><th>a<br>x-a<br>x-a ≤ r<br>a ≤ x ≤ a+r</th><th>+∞</th></tr></thead></table>

Cette méthode est commode pour des équations complexes.

* méthode graphique : on dessine le graphe de la fonction pour résoudre l'équation ou l'inéquation et on vérifie, ou on utilise le graphe pour choisir la bonne forme algébrique pour résoudre ensuite par une méthode algébrique.

Dans la classe A, le professeur a donné seulement la première et la dernière méthodes. Dans la classe B, les mêmes ont été encouragées mais la seconde a aussi été donnée dans le cours comme un résumé de ce que les élèves avaient fait dans les exercices. Dans la classe D, les méthodes 1, 2, 4 ont été données mais la seconde a été encouragée. Dans la classe C, le professeur a encouragé la troisième et la quatrième méthodes. La première n'a pas été donnée puisque la définition en termes de distance n'avait pas encore vue.

Nous décrivons en annexe 3 le plan des déroulements effectifs dans les classes, avec l'emploi du temps, parce qu'il a une incidence sur l'organisation.

## 2. Analyse des contrôles donnés dans les 4 classes. Résultats des élèves, erreurs relevées.

Au cours de l'année, chacun des professeurs a donné des contrôles aux élèves, portant sur ce qui venait d'être enseigné. L'étude de ces contrôles et la confrontation de leur analyse avec l'observation des classes doit nous apporter des informations sur ce qui a été institutionnalisé à travers :

- les choix des enseignants : l'analyse a priori des textes doit nous renseigner sur les attentes des enseignants, les techniques privilégiées...
- les procédures de résolution des élèves : est-ce que ce sont les mêmes qui sont utilisées dans toutes les classes pour les mêmes exercices ? Y-a-t-il des différences dans une même classe suivant les exercices, dans des classes différentes pour le même exercice ?

- les types d'erreurs rencontrés : lien avec la procédure employée, avec la classe ...

Nous avons donc relevé les textes des contrôles comportant des exercices sur la valeur absolue et les encadrements et les copies des élèves. Dans la classe C, nous avons peu d'éléments parce que le professeur donnait aussi des petits contrôles surprise, courts, qu'il corrigeait et rendait très vite : nous n'avons pas eu le loisir d'examiner ces copies. Les textes des contrôles et les résultats détaillés sont donnés en annexe 4. On y trouve les types d'exercices suivants :

- ensemble de points d'une droite à partir de distances en cm : classe A,

- distances sur un axe gradué : classe A,

- tableau de conversion valeur absolue - distance - encadrement - intervalle : classes A, B, D.

- des résolutions d'équations et inéquations comportant des valeurs absolues dans toutes les classes mais avec des difficultés très diverses, données en même temps qu'une représentation graphique ou non.

- des représentations graphiques : classes B, C.

- des encadrements et valeurs approchées : classes B, D.

Les contrôles ont été passés en janvier ou février 1995 :

- classe A : une grande partie du contrôle 6 du 31-1-95 (25 élèves présents)

- classe B : une partie des contrôles 4 (17-1-95) et 5 (14-2-95), 34 élèves présents pour chaque,

- classe C : une partie du contrôle 5 (10-2-95, 34 présents) plus une interrogation écrite courte

- classe D : une grande partie du contrôle 6 (10-2-95, 27 présents).

D'après les numéros des contrôles, on peut constater au passage que les contrôles sont les plus fréquents dans la classe la plus faible (A) et les moins fréquents dans les classes les plus fortes (B et C).

Dans la suite, nous allons, pour chaque type de problème, analyser rapidement les textes pour repérer les connaissances évaluées et comparer les choix des enseignants de ce point de vue, avant de donner les résultats des élèves (procédures utilisées, réussite, erreurs).

### a) Ensembles de points sur la droite (AB)

Ce type d'exercices concerne des connaissances préalables : celles sur lesquelles on est censé s'appuyer pour introduire la valeur absolue à partir de la distance. On peut noter que ce type d'exercice n'a été posé que dans la classe la plus faible où il faut bien constater que ces préalables sont loin d'être acquis, même après un rappel sur ces questions et une utilisation pour définir la valeur absolue. En effet, les résultats sont inégaux suivant les questions mais la réussite est toujours inférieure à 50% :

- 11 élèves, soit 44% peuvent donner les deux points P tels que $AP = 3$, 4 élèves donnent le cercle complet et un élève donne un des points,

- 9 élèves soit 36% peuvent colorier l'ensemble des points Q tels que $BQ \ge 5$, 3 élèves colorient l'extérieur du cercle, 4 élèves colorient une seule demi-droite,

- 9 élèves soit 36% peuvent colorier l'ensemble des points M tels que $AM < MB$ mais 7 élèves de plus colorient le bon côté mais en se restreignant au segment et 1 élève traite le problème dans le plan (systématiquement) donc 17 élèves, soit 68% relient l'inégalité des distances au fait d'être d'un côté du milieu (ou de la médiatrice)

- 2 élèves seulement trouvent les deux points N tels que $AN = 3 NB$ mais 10 en trouvent un, donc près de la moitié des élèves trouvent au moins une solution.

Un élève résout toutes les questions dans le plan, d'autres le font pour certaines questions seulement, un élève confond systématiquement point et nombre et répond $0 < M < 3$ par exemple. Les questions concernant les égalités ou inégalités de distances en cm sur une droite semblent donc poser problème pour la moitié des élèves de la classe A au moins.

### b) Distances sur un axe gradué

Là encore, il s'agit d'un préalable et ce type de question n'est posé que dans la classe A, encore une fois avec une réussite modérée. Les élèves savent presque tous placer des points à coordonnées entières ou demis sur un axe gradué (22 sur 25 n'ont aucune erreur, 1 a une erreur, 2 ne font pas de dessin). Mais, en ce qui concerne l'expression des distances, la réussite est très modeste : 10 élèves fournissent une réponse correcte et 3 autres trouvent les bonnes
valeurs mais avec des problèmes de formulation, 3 élèves font une seule erreur (dont 3 une erreur de signe et 1 une erreur d'écart). Le calcul de distances sur un axe gradué dessiné pose donc problème pour la moitié des élèves de la classe A.

### c) Tableaux de conversion de langages sur les intervalles.

Cet exercice a été proposé sous des formes diverses dans les classes A, B, D.

Les trois contrôles comportaient les colonnes "valeur absolue", "distance", "encadrement", "intervalle". Il y avait en plus une colonne pour le dessin dans les classes A et B et une pour centre et rayon dans les classes A et D. Dans les trois classes, distance et valeur absolue étaient d'un côté du tableau, encadrement et intervalle de l'autre, les parties "dessin" ou "centre rayon" se trouvant entre les deux. Les professeurs ont ainsi tous regroupé d'un côté les expressions qui correspondaient à la définition de l'intervalle par les bornes, de l'autre côté celles qui correspondaient à la définition par centre et rayon, le dessin étant le moyen de passer d'une expression à l'autre. Dans la classe D on ne demande pas le dessin mais il peut être fait au brouillon (les valeurs numériques choisies le permettent), c'est d'ailleurs ce qu'a recommandé le professeur en faisant le cours où elle a exprimé les bornes en a+r et a-r. Dans la classe A on a à la fois le dessin et l'expression du centre et du rayon, ce qui est d'une part une aide supplémentaire aux élèves, d'autre part un moyen supplémentaire pour l'enseignant de repérer les causes d'erreurs.

Nous avons ici 5 registres pour exprimer les intervalles, que nous désignerons comme l'entête des colonnes, sauf "intervalle" que nous appellerons registre de l'écriture ensembliste. Les trois autres registres sont des sous-registres du registre algébrique, mais avec un traitement propre pour les questions qui nous occupent : définition et comparaison d'intervalles. La tâche consiste en une conversion de registres. Les registres "ensembliste" et "encadrement" se réfèrent à la définition de l'intervalle par ses bornes, les expressions dans les deux registres sont congruentes : il y a correspondance terme à terme et possibilité de traduction automatique. Les registres de la valeur absolue et de la distance font référence à la définition de l'intervalle par centre et rayon, la congruence entre les deux n'est pas parfaite à cause du signe "-" qui apparaît dans l'expression avec valeur absolue. On peut donc attendre des erreurs de signe, particulièrement dans le cas d'un centre négatif. Le registre du dessin joue le rôle d'intermédiaire et permet le passage d'une définition des intervalles par les bornes à une autre par le centre et le rayon ou réciproquement. Dans toutes les classes, les nombres ont été choisis de façon que la représentation soit toujours possible : ce sont de petits entiers et les calculs font intervenir au plus des demis, à une exception près dans la classe D.

Dans la classe B, toutes les valeurs numériques qui figurent dans l'énoncé sont entières mais pour un des intervalles choisis cela correspond à un centre et un rayon en demis. Dans la classe A figurent des demis et aussi des tiers et même des septièmes, mais ces dernières fractions concernent des intervalles centrés en 0. Dans la classe D, il y a une difficulté plus grande sur les fractions pour un des exercices puisque le centre est 1/2 et le rayon 4/3. Dans chaque classe la première ou la deuxième ligne correspond au cas où centre et rayons sont entiers positifs, et une ligne à celui où le centre est entier négatif, avec rayon entier, une autre ligne concerne le cas où le centre est en demis et le rayon entier, et, dans les classes A et B une ligne traite celui où centres et rayons sont entiers positifs mais avec une borne négative.

La réussite de cet exercice est bonne dans toutes les classes :

- classe A : 10 élèves réussissent les 7 items, 7 autres élèves réussissent 5 ou 6 items (éventuellement sans faire tous les dessins) soit 68% réussissent au moins 5 items et chaque item sauf le 4ème qui comportait deux bornes en demis, est réussi par au moins 64% des élèves.

- classe B : 18 élèves (53%) réussissent les 5 items mais chaque question est réussie par plus des 2/3 des élèves.

- classe D : 9 élèves sur 26 (35%) réussissent tout l'exercice mais 16 (62%) réussissent au moins 4 items et chaque item sauf le 4 est réussi par au moins 62% des élèves (rappelons que l'item 4 fait intervenir deux fractions).

Chaque formulation n'intervenant qu'une fois dans les données, et les élèves pouvant remplir le tableau dans l'ordre qu'ils veulent, il est difficile de voir si certaines traductions sont plus faciles
que d'autres. En revanche, on peut regarder l'effet des variables numériques, centre et rayon particulièrement.

* centre, rayon et bornes entiers positifs (premier item pour B et D, deuxième pour A):
d(x,2) < 1 (classe A) : 68 % réussite
3 ≤ x ≤ 9 ou 1 ≤ x ≤ 5 (classe B) : 97 % de réussite
3 < x < 7 (classe D) : 85 % de réussite

* centre et rayon entiers positifs, une borne négative :
  ]-1,3[ par le dessin (classe A) : 64 % de réussite
  |x-2| ≤ 4 ou |x-1| ≤ 4 (classe B) : 88 % de réussite

* centre entier négatif, rayon entier :

x ∈ [-4,2] (classe A) : 64% de réussite
d(x,-2) ≤ 3 ou d(x,-3) ≤ 5 (classe B) : 68% de réussite
d(x,-1) ≤ 3 (classe D) : 85% de réussite
x ∈ [-6,-2] (classe D) : 65% de réussite

* centre en demi, rayon entier

|x - 1/2| ≤ 3 (classe A) : 68% de réussite (item donné en premier, parmi les mieux réussis)

9/2 ≤ x ≤ 17/2 (classe A) : 48% de réussite (item le moins réussi)

x ∈ [-10,5] ou x ∈ [-6,1] (classe B) : 76% de réussite
(-4,3) ou (-3,1) par le dessin (classe B) : 68% de réussite, un des moins réussis
x ∈ [-2,5] (classe D) : 62% de réussite

* centre O rayon fractionnaire

|xl| ≤ 2/3 (classe A) : 76% de réussite, item placé en avant dernier, le mieux réussi
- 2/7 ≤ x ≤ 2/7 (classe A) : 72% de réussite, item arrivant en dernier, deuxième meilleure réussite

* centre et rayon fractionnaires

|x - 1/2| ≤ 4/3 (classe D) : 50% de réussite

On voit donc que le centre O facilite beaucoup la tâche, quelle que soit la donnée puisque cela correspond dans les deux sens aux items les mieux réussis de la classe A, pourtant placés en derniers et avec un rayon fractionnaire : dans le cas particulier du centre O la nature du rayon n'importe pas. Le centre entier négatif ne semble pas poser particulièrement de problème, sauf peut-être dans le cas où les deux bornes sont négatives, ce qui amène parfois un rayon -2. Le passage de la définition par les bornes à celle par centre et rayon semble plus difficile que l'autre. C'est aussi ce qui se passe quand il y a un centre fractionnaire (voir les deux items de la classe A : quand les deux bornes sont fractionnaires, les élèves ont du mal à trouver le centre et le rayon). L'intervention de fractions, même s'il ne s'agit que de demis, introduit la plus grande difficulté : c'est dans ce cas qu'on a la moins bonne réussite dans toutes les classes, sauf si le centre est O.

Ces différences de réussite correspondent bien à ce qu'on peut attendre par l'analyse des techniques employées dans la conversion : ajouter un entier et une fraction est plus facile que faire la demi-somme de deux fractions, même en demis ; si l'on passe par le dessin, il est plus facile de compter des unités entières à partir d'un centre en demis que de retrouver les unités séparant deux points dont les abscisses sont en demis.
d) Résolution d'équations et d'inéquations.

Ici, il nous faut distinguer différents types d'équations et d'inéquations qui sont de difficultés différentes suivant les techniques utilisées.

* type $|x-a| = r$

- centre et rayon entiers positifs :
  $|x-2|=3$ (classe A)

- centre et rayons entier, centre négatif :
  $|x+7|=6$ (classe A)

- centre entier, rayon fractionnaire :
  centre positif : $|x-1|=\frac{3}{2}$ (classe A)

centre négatif : $|x+2|=\frac{7}{2}$ (classe D)

- centre fractionnaire, rayon entier
  $|x-\frac{1}{2}|=2$ (classe A)

Ce type d'exercice n'a été donné que dans la classe la plus faible, sauf un item dans la classe D mais en cumulant les difficultés du centre négatif et du rayon fractionnaire. Dans les autres classes, ce type d'exercice a sans doute été considéré comme sans difficulté et, pour la classe B, inclus dans le tableau de conversion précédent. Dans la classe C, un exemple en termes de distances dans le contrôle suivant (voir ci-dessous).

Dans la classe A, les nombres de réussites sont pratiquement les mêmes à chaque question (14 sur 25) à part une erreur de signe en plus dans le cas du centre négatif. En revanche les réussites dépendent de la méthode de résolution employée. Nous donnerons donc les résultats en les classant suivant la procédure adoptée :

* non réponse : A18, A19, A21,

* distances avec dessin de la droite graduée :

- réussite des 4 : 9 élèves dont un avec problème de formulation (M=...), et un fournit pour réponse un intervalle

- réussite de 3 sur 4 : un élève (une erreur sur le signe du centre)

- au moins deux erreurs : 2 élèves (erreurs de placement du centre et de calcul, un élève confond point et nombre)

* raisonnement sur le dessin :

- réussite des 4 : 2 élèves

* méthode algébrique :

- réussite de 3 sur 4 : un élève (une confusion centre-rayon)

- au moins deux erreurs : 5 élèves dont un fournit 2 réponses correctes mais utilise une mauvaise écriture et un autre enlève simplement les barres pour résoudre une équation du premier degré.

* sans explication :

- réponse correcte : 1 élève

- avec erreurs : 1 élève (signe et calcul).

Une petite moitié des élèves réussissent grâce au dessin de la droite graduée : 11 élèves ont les 4 réponses justes par ce moyen, un autre a tout juste sans explication. Une bonne partie des élèves (20%) utilisent une méthode algébrique alors que celle-ci a été évitée en cours, une seule (redoublante) avec un peu de succès, les autres sont des élèves très faibles.

Dans la classe D, l'équation $|x + 2| = \frac{7}{2}$ est résolue par 22 élèves (81%), tous par la méthode algébrique (l'un d'eux explique aussi par la distance). Dans cette classe, c'était le premier item qui, pour presque tous les autres nécessitait la méthode algébrique. Trois élèves échouent par la méthode algébrique : l'un fait une erreur de signe dans le calcul algébrique, les deux autres une erreur de signe dans le calcul numérique.

Deux élèves échouent par la distance : l'un échange centre et rayon, l'autre fait une erreur sur le signe du centre.
Dans la classe C, après l'enseignement de la distance, les élèves ont eu à traiter dans le contrôle du 31 mars : 1) x et y sont des réels ; que signifie l'écriture d(x,y) ? Donner un exemple.

2) Résoudre les équations ou inéquations puis représenter les solutions sur une droite graduée. Vérifier les réponses. ° d(x,2) = 4 ° d(x,2) < 4 ° |x+5| > 3.
Nous n'avons pas eu les copies de ce contrôle.

* type lx-al < r

A part l'exercice sur la distance mentionné ci-dessus pour la classe C, le seul exemple relevé dans les contrôles est |x+5| < 3 (classe A) : il s'agit d'un intervalle de centre négatif, ce qui est la difficulté principale. Ce sont presque les mêmes élèves qui réussissent, par la même méthode. Nous donnerons donc les résultats en classant suivant la procédure adoptée :

* non réponse : 3 élèves,

* distances avec dessin de la droite graduée :

- réussite 8 élèves dont un formule mal sa réponse ; erreurs : un élève (signe),

* raisonnement sur le dessin :

- réussite : 2 élèves ; erreurs : 1 élève,

* méthode algébrique :

- réussite : A17 ; avec erreurs : 5 élèves dont une enlève les barres.

* sans explication :

- réponse correcte : un élève (inégalité large) ; avec erreurs : un élève (signe),

* résout les équations correspondantes : 2 élèves.

Dans les classes A et D cet exercice a sans doute été considéré comme traité par le tableau.

* type lx-al > r

Ce type d'exercice n'a été donné que dans les classes A et C bien qu'il ait donné lieu à exercices en classe dans les autres classes, mais en indiquant que c'était à la limite du programme.

Dans la classe A, il s'agissait de |x - 5/3| > 1 : ce sont les points à une distance supérieure à 1 de 5/3 ; on a deux demi-droites dont on trouve les origines en ajoutant ± 1 à 5/3. Ici nous avons deux difficultés : le complémentaire d'un intervalle et la fraction.

Là encore, ce sont presque les mêmes élèves qui réussissent, par la même méthode. Cette fois nous classerons les résultats par erreur et indiquerons la méthode pour ceux qui ont réussi.

* non réponse : 3 élèves

* réussite :

- distances avec dessin de la droite graduée : 5 élèves dont un formule mal sa réponse),

- raisonnement sur le dessin : 2 élèves

* renverse les signes d'inégalité ou répond l'intervalle : 6 élèves

* erreur de calcul sur les fractions : 1 élève

* erreur de signe : 2 élèves

* mauvaise méthode algébrique : 5 élèves (dont une enlève les barres),

* difficile à interpréter : 1 élève

* résout les équations : 2 élèves.

La réussite chute sensiblement dans ce cas à cause des élèves qui donnent pour réponse l'intervalle au lieu de son complémentaire. Face à une inéquation, les élèves résolvent l'équation et répondent l'intervalle déterminé par les deux solutions, quel que soit le signe de l'inéquation. Pour la classe C, nous n'avons pas les productions des élèves (voir plus haut).

* type |x-a| = |x-b| et |x-a| ≤ |x-b|

Ces exercices ont été posés dans les classes B et C, dans des conditions différentes :

* |x-2| = |x+3| ou |x-3| = |x+1| : classe B avant l'étude des fonctions

* |x+1| ≤ |x-4| ou |x+4| = |x-5| : classe B avant l'étude des fonctions

* Résoudre graphiquement |x-5| = |3+x| puis |x-5| ≤ |3+x|, comme deuxième question d'un exercice qui demandait la représentation graphique de la fonction f telle que f : x —> |x-5|. (classe B après l'étude des fonctions)
* Résoudre $\ln x - \ln 5 = \ln 3 + x$ puis $\ln x - \ln 5 \le \ln 3 + x$, comme deuxième question d'un exercice qui demandait la représentation graphique de la fonction $f$ telle que $f : x \to \ln x - \ln 5$. (classe C après l'étude des fonctions).

Résultats :

Classe B, avant les fonctions, les méthodes utilisées ont été les suivantes :

- résolution par le dessin sur la droite graduée : 13 élèves dont un (B33) seulement pour l'inéquation.

Parmi eux 4 élèves ont réussi à la fois l'équation et l'inéquation, dont un avec une erreur de notation pour l'intervalle ; 6 élèves ont réussi l'équation mais fait une erreur pour l'inéquation (une erreur sur le calcul du milieu, une mauvaise demi-droite, B29 a arrêté l'intervalle à -1, B26 a résolu l'inéquation comme une équation, deux élèves ont donné l'intervalle délimité par les centres comme solution de l'inéquation).

Deux autres élèves ont fait une erreur de ce dernier type aux 2 questions en répondant {-3, 2} et {-1, 4} pour l'un, {-3, 2} et [-1, 4] respectivement pour l'autre

B33 a fait une erreur de signe pour le milieu de l'intervalle (réponse [1,5 ; 1])

Trois élèves ont fait d'autres erreurs :

- résolution en termes de distances avec présence d'un dessin : 5 élèves dont 4 réussissent dans les deux cas et un réussit l'équation mais se trompe de demi-droite dans le cas de l'inéquation.

- résolution algébrique : 4 élèves (avec aussi dessin), deux élèves avec tableau, trois élèves utilisent la méthode algébrique pour l'équation seulement.

avec réussite pour la première, erreur pour la seconde : 2 élèves

non réussite dans les deux : 8 élèves dont un enlève les barres dans le 2ème cas et un dans les deux cas, et dont deux élèves ont une réponse partielle incorrecte : B23 fait une erreur pour l'équation, non réponse pour l'inéquation, B24 (incomplet)

- non compréhension de la question : B9

- n'ont pas répondu à cette question : 5 élèves.

Les élèves recourent majoritairement à la distance ou au dessin sur la droite graduée pour résoudre ce type d'équations. Tous ceux qui raisonnent explicitement en termes de distances avec le support du dessin réussissent. Ceux qui font le dessin mais ne traduisent pas les équations et inéquations en termes de distances font souvent des erreurs dans le cas de l'inéquation. Certains donnent comme solution les points marqués sur l'axe qui correspondent aux points remarquables pour une traduction en termes de distance : ils démarrent la technique de résolution mais ne la mènent pas à terme. Les élèves qui utilisent une méthode algébrique se trompent en général sauf B15 qui a un peu de chance pour l'équation et renverse l'inégalité pour l'inéquation, et B30 qui utilise un tableau (non enseigné dans cette classe pour ce chapitre) et réussit l'équation mais non l'inéquation pour laquelle il a pourtant bien identifié les 3 cas.

classe B, après les fonctions, résolution graphique demandée :

La résolution suppose la réalisation et l'interprétation du graphique suivant :

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

* 12 élèves donnent des réponses correctes pour les deux à des détails près : B7 prend l'inégalité stricte : $x > 1$, B21 et B23 ne dessinent pas le deuxième graphique mais fournissent des réponses correctes sans explication, B21 a cependant placé -3 sur l'axe des x, B32 fait de
même avec un graphique faux mais permettant d'avoir la solution correcte s'il prend $x + 3$ pour l'autre ou s'il résout sur l'axe des $x$.

* 6 élèves résolvent correctement l'équation mais pas l'inéquation :

- B3, B14, B26 et B31 répondent $x \le 1$ pour l'inéquation (B3 et B31 utilisent un axe gradué et non le graphique cartésien), B14 avait un graphique faux mais semble en avoir refait un autre, correct cette fois, pour la résolution,

- B27 écrit "$f(x) = 4$ et $x = 1$" pour l'équation, "$f(x) = [0,4]$ et $x = [-3, 5]$" pour l'inéquation, c'est-à-dire les segments délimités sur les axes par les courbes.

- B29 répond correctement ($x \in [1, +\infty$] mais colorie toute la zone située au-dessus des deux graphiques.

* 6 élèves marquent le point d'intersection des deux courbes, mais n'expriment pas les solutions, certains colorient des portions de courbes :

- B4 colorie la partie du graphique de $|x-5|$ pour $x \ge 1$

- B13 colorie la zone $x \le 1$ et $y > -x + 5$

- B19 a dessiné en vert les parties de graphiques correspondant à $x < -3$ et $x > 5$

* 5 élèves ne répondent pas dont deux avaient un graphique correct, et un un demi graphique.

* Les 6 autres font des erreurs variées dans les deux cas :

- B2 a un graphique faux, ne donne pas d'explication et répond $\{-1\}$ et $[-1; +\infty[$ qui peut correspondre à la résolution de $x + 5 = -x + 3$

- B9 représente $|x+5|$ et $|x+3|$ mais fait encore des erreurs de signe dans la lecture graphique : il répond $\{4\}$ et $[4, +\infty[$ alors qu'il devrait trouver $\{-4\}$ et $]-\infty, -4]$ avec son graphique

- B10 a un graphique juste mais répond $\{4\}$ et $]-\infty, 4]$ : peut-être a-t-elle résolu sur $Ox$ en confondant 3 et -3 et en se référant à la distance

- B11 (graphique correct) résout sur l'axe $Ox$ et répond $\{3, 5\}$ et $[3, 5]$

- B28 répond $x = 4$ et $[4, 5]$ sans explication en ayant dessiné les lignes de rappel du point (4,1) de la courbe

- B34 ne trace pas de graphique et résout algébriquement par une méthode très curieuse qui lui donne néanmoins les résultats exacts : elle écrit "$|x-5| = |3+x|$ ; $|x-5| = -|3+x|$ ; $x - 5 = -3 - x$ ; $x+x = -3+5$ ; $2x = 2$ ; $\frac{2x}{2} = \frac{2}{2}$ ; $x = 1$" puis "$|x-5| \le |3+x|$ ; $|x-5| \le -|3+x|$ ; $x - 5 \le -3 - x$ ; $x+x \le -3+5$ ; $2x \le 2$ ; $x \ge 1$". Les barres sont suivant le cas des barres de valeur absolue ou des parenthèses et l'usage du signe d'inégalité semble flou.

Plus de la moitié des élèves résolvent donc l'équation, dont 12 (35 %) sûrement par la méthode graphique, et 3 sur un axe gradué, le même nombre (18/34) marque le point d'intersection des deux courbes mais seulement 9/34 (26%) résolvent correctement l'inéquation par la méthode graphique. L'enseignant de la classe B a soigneusement identifié dans son cours les différents éléments signifiants de la conversion entre les registres algébrique et graphique. Cependant l'expression dans le cadre algébrique d'une résolution graphique pose encore problème pour la majorité des élèves.

Dans la classe C, on demandait seulement de résoudre, sans préciser la méthode. Nous regarderons d'abord la méthode employée par les élèves puis la réussite ou les erreurs.
C27 n'a pas traité cette question. Restent 33 élèves.

Pour l'équation, 29 élèves ont fait un tableau pour enlever les barres, 3 une résolution graphique et 1 une résolution algébrique.

* Parmi ceux qui font un tableau, 19 réussissent la résolution de l'équation, 10 font des erreurs :

- C30 fait une erreur de signe dans le calcul et trouve $x = -1$,

- C2 traduit $|3-x|$ par $-3+x$ si $x < 3$ et $3-x$ si $x > 3$

- C12 ne remplit pas son tableau et ne répond pas pour l'équation, de même C17 ne le termine pas

- C14 fait un tableau correct mais conclut $S = [-3, 5]$

- C15 fait le tableau correctement mais fait des erreurs de calcul algébrique dans la résolution, C19 en fait dans les cas où les $x$ devraient disparaître

- C16 a des problèmes d'interprétation du tableau : sous "$x=1$" il écrit "n'est pas dans l'intervalle" et ne conclut pas
- C23 inverse le tableau pour |x+3|, trouve 1 dans les mauvais intervalles mais conclut quand même x = 1

- C35 inverse le résultat de |x-5| dans le tableau, trouve x = 1 dans le mauvais intervalle et conclut "pas de solution", ce qui est cohérent

* C7 fait une résolution algébrique correcte en posant $x-5 = \pm (3+x)$

* Pour les résolutions graphiques, une seule est correcte, les autres utilisent des mauvais graphiques.

- C29 trace y = x-5 et y = x+3 et conclut "impossible"

- C34 a des graphiques faux |x| - 5 et x+3, ses réponses sont cohérentes avec ces graphiques.

Pour l'inéquation, il y a 8 non réponse de plus. Les 25 élèves restants utilisent le plus souvent la même méthode que pour l'équation, sauf C10 (tableau puis graphique) et C13 (graphique puis tableau), avec succès dans chaque cas. Ce sont d'ailleurs les seuls qui réussissent complètement l'inéquation.

* C29 et C34 utilisent une méthode graphique sur des graphiques faux.

* C7 avait résolu l'équation algébriquement, il répond ici $x \le 1$ sans explication

* Ceux qui utilisent le tableau ont des problèmes d'interprétation du tableau ou de traitement des inégalités :

- traitement correct du tableau mais absence de conclusion ou conclusion erronée : C1

- mauvais traitement des cas où les x disparaissent

- soit avec traitement algébrique correct ($0 \le 8$) et mauvaise interprétation : 6 élèves

On trouve ainsi des réponses du type suivant :

<table><thead><tr><th>x</th><th>-∞</th><th>-3</th><th>5</th><th>+∞</th></tr></thead><tbody><tr><td>|x - 5|</td><td>- x + 5</td><td>| -x + 5</td><td>0 x - 5</td><td></td></tr><tr><td>|x + 3|</td><td>- x - 3</td><td>0 x + 3</td><td>| x + 3</td><td></td></tr><tr><td>|x - 5| ≤ |x + 3|</td><td>- x + 5 ≤ -x - 3<br>-x + x ≤ -5 - 3<br>0 ≤ -8<br>impossible</td><td>| -x+5 ≤ x+3<br>-x - x ≤ -5 + 3<br>-2 x ≤ -2<br>x ≥ 1</td><td>| x - 5 ≤ x + 3<br>x - x ≤ 5 + 3<br>0 ≤ 8<br>impossible</td><td></td></tr></tbody></table>

réponse $1 \le x \le 5$ (C18) ou résolution du seul cas du milieu et réponse $x \ge 1$ (ou $x \le 1$ s'il y a en plus erreur d'inégalité comme C21, voire $x \le -1$ avec aussi une erreur de signe comme C30)

- C21 ne résout que l'équation du milieu et conclut $x \le 1$ : il ne respecte pas l'entête.

- C30 exclut aussi l'intervalle de droite mais fait une erreur de signe au centre et trouve $x \le -1$

- soit avec erreur de calcul algébrique qui évite de faire disparaître les x : 1 élève

- C19 fait des erreurs de calcul algébrique pour éviter que les x ne disparaissent ($-x + 5 + 3 + x \le 0$, $x \le -8$ à gauche, $x \le 1$ au milieu, $x - 5 - 3 - x \le 0$, impossible à droite) et il se trompe dans le produit d'une inégalité par un négatif, concluant ainsi [-8, 1]. Remarquons que, dans le cas de l'égalité, cela donne bien la réponse "impossible" de chaque côté.

- mauvaise utilisation du tableau (non respect de l'entête) : 3 élèves

- C6 n'envisage que le cas $x > 5$ et $x < -3$ et trouve $x \le 1$ sans s'apercevoir que ce cas est vide. C23 inverse les signes dans le tableau pour $|x+3|$, elle trouve donc $x \ge 1$ dans $]-\infty, -3[$, impossible dans $]-3, 5[$, $x \le 1$ dans $]5, +\infty[$ et ne conclut pas.

- mauvais traitement des inégalités : 12 élèves.

Beaucoup d'élèves, outre ceux déjà mentionnés, cumulent au moins deux de ces erreurs.

On voit donc que les élèves utilisent massivement le tableau mais cette utilisation leur pose beaucoup de problèmes, surtout dans le cas des inégalités. A ce moment de l'année, les résultats sont nettement moins bons dans la classe C que dans la classe B : l'interprétation en termes de distance ou la résolution graphique facilitent nettement le traitement de ce genre d'équations, l'utilisation du tableau, qui devrait fournir un algorithme, pose des problèmes de lecture et d'interprétation, comme le montrent les exemples ci-dessus.

* types $|ax+b| = c$ (c pouvant être négatif), $|ax+b| \le c$, $|ax+b| = |cx+d|$.

Les deux premiers de ces types d'équations n'ont été proposés que dans les classes C et D, le dernier seulement dans la classe D. Ces équations sont difficiles à résoudre par la distance et ne pouvaient être posées en contrôle que dans les classes où la résolution algébrique a été fortement institutionnalisée.
* classe C, contrôle du 10-2-95 : Résoudre $|2x+6| = 5$.

Ce type de question est revenu dans deux interrogations surprise par la suite :

17-3-95 : Résoudre $|2x+6| = 5$, $|2x+6| = -5$, $|2x+6| < 5$ (ou, pour l'autre moitié $|5x+10| = 2$ ...)
après demande de la représentation graphique des fonctions concernées.

5-5-95 : Résoudre $|2x+5| = 7$ $|x-4| = -1$

Nous ne disposons des réponses que pour le contrôle du 10-2-95. Nous les classons suivant la
méthode employée :

Ne répondent pas à la question (la dernière du contrôle) : 4 élèves.

* méthode graphique : 3 élèves dont deux avec succès, l'un d'eux fait aussi la méthode algébrique, les deux justes ; le troisième a un graphique faux et mal interprété)

* méthode du tableau : 15 élèves dont 12 avec succès. Les 3 autres élèves prennent 3 au lieu de -3 comme valeur de partage, l'un d'eux ne fait que cette erreur (conclusion cohérente)

* méthode algébrique : 13 élèves dont 5 avec succès et 8 avec échec : l'un disjoint les cas mais ne conclut pas, deux font une erreur de signe, quatre enlèvent les barres, dont un avec l'argument "2x+6 supérieur à 0", un autre donne la même justification mais ensuite distingue

$$
2x + 6 = 5 \text{ et } -2x - 6 = -5, \text{ trouve respectivement } -\frac{1}{2} \text{ et } \frac{1}{2} \text{ et conclut } S = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]
$$

* un élève disjoint les cas $x \le -\frac{1}{2}$ et $x \ge -\frac{1}{2}$ mais on ne sait pas comment il a trouvé cette valeur.

* classe D, contrôle du 10-2-95 :

Résoudre $|5x-1| = -2$, $|4-5x| = 0$, $|2x+1| = \frac{1}{5}$, $|7x+2| = |5x-9|$, $|3x+1| \le \frac{1}{2}$

** $|5x-1| = -2$ : 23 élèves, soit 85% donnent la réponse "impossible". Quatre élèves trouvent 2 solutions par la méthode algébrique dont un aussi par la distance !

Les élèves utilisent très majoritairement la méthode algébrique pour toutes les questions :

** $|4-5x| = 0$ : 17 élèves, soit 63%, réussissent par la méthode algébrique, compte non tenu d'éventuels problèmes d'écriture. Les erreurs sont les suivantes : $x = \pm 4/5$ (2 élèves), $x = -4/5$ (2 élèves), $x = 0$ (2 élèves), un élève dit qu'il n'y a pas de solution, un élève fait une autre erreur de calcul algébrique.

Un élève échoue par la distance (signe du centre).

Un élève fait une autre méthode erronée.

** $|2x+1| = \frac{1}{5}$ : 14 élèves, soit 52%, réussissent par la méthode algébrique, compte non tenu d'éventuels problèmes d'écriture. Il y a 12 échecs par la méthode algébrique :

- 7 font une erreur dans le calcul algébrique : 3 erreurs de signe dans l'équation), un oublie de diviser par 2, un autre multiplie par 2 au lieu de diviser, un pose les équations et s'arrête, un fait d'autres erreurs

- 2 font une erreur de signe dans le calcul numérique,

- 3 font une erreur sur les fractions ou décimaux.

- Un échec par la distance (signe du centre).

** $|7x+2| = |5x-9|$ : 21 élèves, soit 78%, réussissent par la méthode algébrique, compte non tenu d'éventuels problèmes d'écriture. Il y a 6 échecs par la méthode algébrique :

- erreur de signe en enlevant les valeurs absolues (-5x-9) : D5, D13

- erreur dans le calcul algébrique : D21 (signe dans équation),

- erreur de signe dans le calcul numérique : D13, D24

- erreur sur les fractions ou décimaux : D17,

** $|3x+1| \le \frac{1}{2}$ : 16 élèves, soit 59%, réussissent par la méthode algébrique, compte non tenu d'éventuels problèmes d'écriture. Il y a aussi 10 échecs par cette méthode et une non réponse :

- une erreur d'inégalité en enlevant les valeurs absolues

- 7 élèves font une erreur dans le calcul algébrique : l'un d'eux multiplie par 3 au lieu de diviser, 4 élèves ajoutent 1 au lieu de soustraire, un élève soustrait 3 au lieu de diviser et un autre fait plusieurs erreurs.
- deux élèves font des erreurs sur les fractions ou décimaux.

Il semble donc que la méthode algébrique ne pose pas de problème en soi dans cette classe : en général les élèves posent les bonnes équations. Les problèmes viennent du traitement algébrique lui-même et du calcul sur les fractions : la meilleure réussite est obtenue dans le cas où on a des x des deux côtés mais aucune fraction. La présence de 0 dans le second membre a aussi entraîné des erreurs parce qu'il n'y a qu'une solution au lieu de deux, que 0 a jouté un rôle attracteur (x=0) ou répulsif (pas de solution).

Les erreurs d'écriture sont soit un mauvais maniement des signes d'inégalité ou d'intervalles soit l'écriture de $|x|$ à la place de x.

En résumé, en ce qui concerne les résolutions d'équations ou d'inéquations, on peut remarquer d'abord que les choix des exercices sont adaptés à la méthode qui a été favorisée par l'enseignant et au niveau de la classe. Les types $|x-al| = r$, $|x-al| < r$ et $|x-al| > r$ sont les seuls posés dans la classe A (faible) avec différents choix de variables pour le centre et le rayon : $|x-2| = 3$, $|x+7| = 6$, $|x-1| = \frac{3}{2}$, $|x-\frac{1}{2}| = 2$, $|x+5| < 3$, $|x-\frac{5}{3}| > 1$ et, à deux exceptions près, ils ne sont pas posés que dans cette classe. Dans les autres classes, on trouve $|x+2| = \frac{7}{2}$ (classe D) et un exercice dans la classe C, après l'enseignement de la distance dans un petit contrôle surprise (31 mars) 1) x et y sont des réels ; que signifie l'écriture $d(x,y)$ ? Donner un exemple.

2) Résoudre les équations ou inéquations puis représenter les solutions sur une droite graduée.

Vérifier les réponses. $d(x,2) = 4 \qquad d(x,2) < 4 \qquad |x+5| > 3$.

Les exercices du type $|x-al| = |x-bl|$ et $|x-al| \le |x-bl|$ sont posés dans les classes B et C, avant et après l'étude de la fonction valeur absolue pour la classe B, après pour la classe C.

Les exercices du type $|ax+bl| = c$, $|ax+bl| \le c$ ou $|ax+bl| = |cx+dl|$ ne sont posés que dans les classes C et D et seulement la classe D pour le dernier type. Dans cette classe c'est d'ailleurs ce type d'équations qui est majoritaire. Or ces équations ne se résolvent pas facilement par la distance et sont beaucoup plus adaptés à une méthode algébrique, éventuellement accompagnée d'un graphique.

L'étude des méthodes utilisées et des résultats montre que les méthodes utilisées diffèrent selon les classes et leur efficacité aussi :

Dans la classe A, pour les équations, les nombres de réussites sont pratiquement les mêmes à chaque question (14 sur 25) à part une erreur de signe en plus dans le cas du centre négatif. En revanche les réussites dépendent de la méthode de résolution employée. Une petite moitié des élèves réussissent grâce au dessin de la droite graduée : 11 élèves ont les 4 réponses justes par ce moyen, un autre a tout juste sans explication. Une bonne partie des élèves (20%) utilisent une méthode algébrique alors que celle-ci a été évitée en cours, une seule (redoublante) avec un peu de succès, les autres sont des élèves très faibles.
La réussite chute pour la deuxième inéquation.

Dans la classe D, l'équation $|x + 2| = \frac{7}{2}$ est résolue par 22 élèves (81%), tous par la méthode algébrique (l'un d'eux explique aussi par la distance). Dans cette classe, c'était le premier item d'un exercice qui, pour presque tous les autres, nécessitait la méthode algébrique. Trois élèves échouent par la méthode algébrique. Deux élèves échouent par la distance : l'un échange centre et rayon, l'autre fait une erreur sur le signe du centre. D'ailleurs les élèves utilisent très majoritairement la méthode algébrique pour toutes les questions, et le plus souvent avec succès : 78% pour $|7x+2| = |5x-9|$, les difficultés concernent surtout les fractions : 52% de réussite par cette méthode pour $|2x+1| = \frac{1}{5}$, et 59% pour $|3x+1| \le \frac{1}{2}$ et aussi le cas où on a un 0 au second membre : 63% réussissent $|4-5x| = 0$ par la méthode algébrique. La distance n'est employée que par un élève qui échoue.

Dans la classe B, pour des équations ou inéquations du type $|x-al| = |x-bl|$, les élèves recourent majoritairement à la distance ou au dessin sur la droite graduée avant l'enseignement de l'aspect
fonction de la valeur absolue. Tous ceux qui raisonnent explicitement en termes de distances avec le support du dessin réussissent. Ceux qui font le dessin mais ne traduisent pas les équations et inéquations en termes de distances font souvent des erreurs dans le cas de l'inéquation. Les élèves qui utilisent une méthode algébrique se trompent en général sauf deux qui réussissent pour l'équation, dont un utilise un tableau (non enseigné dans cette classe pour ce chapitre). Après l'étude de l'aspect fonction, 35% des élèves peuvent résoudre l'équation et 26% l'inéquation par la méthode graphique qui était demandée. Les problèmes d'interprétation du graphique sont importants, surtout dans le cas de l'inéquation.

Dans la classe C, pour des équations du type $lx-al = lx-bl$, la plupart des élèves font un tableau pour enlever les barres, et 66% d'entre eux réussissent, mais pour l'inéquation, un seul élève sur 21 réussit avec le tableau : la moitié d'entre eux ont des problèmes d'interprétation du tableau et d'autres font des erreurs de calcul algébrique qui leur évite de se trouver dans un cas où les x disparaissent. Les résolutions graphiques ne sont utilisées que par 3 élèves dans chaque cas, dont deux sur des graphiques faux. On trouve aussi une résolution algébrique réussie pour l'équation, avec réponse fausse pour l'inéquation.

Pour les équations du type $lx+bl = c$, c'est encore la méthode du tableau qui domine (48% des élèves l'utilisent avec 80% de succès), suivie de près par la méthode algébrique (42% d'utilisateurs) mais avec un succès moindre (38%), la méthode graphique n'est utilisée que par 3 élèves dont 2 réussissent.

Le tableau est donc privilégié par les élèves, avec succès pour les équations, mais avec des difficultés d'interprétation pour les inéquations.

### e) Représentation graphique :

Cette question a été posée dans les classes B et C en février 95, sous la même forme :

On donne la fonction $f$ telle que $f : x \to lx-5l$.

1) Représenter graphiquement la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.

Le fait qu'il n'y ait pas eu de question concernant le graphique dans les autres classes ne peut pas être interprété comme le fait que les enseignants aient accordé moins d'importance aux représentations graphiques mais plutôt au fait que les fonctions ayant été abordées dès le début de l'année, la résolution graphique d'équations et d'inéquations avait déjà été abordée dans des contrôles précédents, à propos des fonctions du second degré notamment.

Dans la classe B, 25 élèves (74%) tracent un graphique correct. Cependant, parmi eux, un élève écrit à côté "x > 0" et une élève a utilisé 2 couleurs différentes pour les deux moitiés (ainsi que pour la représentation de $lx+3l$ : a-t-elle complété au moment de résoudre les équations ou colorié à ce moment là ?). Trois élèves font un graphique incomplet (un entre -3 et 3, deux pour $x < 5$). Remarquons que les parties utiles pour les résolutions ont été représentées. Deux élèves ne répondent pas et 5 élèves produisent un graphique faux : l'un dessine $-lx| + 5$ ($x + 5$ pour $x < 0$ et $-x + 5$ pour $x > 0$), un autre dessine $lx+5l$ (erreur sur le signe de l'abscisse), un autre dessine $lx| - 5$ (décalage vertical), un autre dessine $x-5$ (droite, enlève les barres) et le dernier dessine $-x+5$ (droite, prend l'opposé).

Dans la classe C, 18 élèves (soit 53 %) fournissent la représentation graphique attendue et un élève représente bien 2 demi-droites, avec les bonnes équations, mais des échelles différentes. Un élève ne répond pas. Les 15 autres font des représentations erronées :

- 3 tracés de demi-droites : 2 élèves tracent la demi-droite correspondant à $x > 5$, et un trace la demi-droite $y = x-5$ pour $x > 0$,

- 4 tracés de droites (3 fois $y = x-5$, et une fois la droite passant par (0,-5) et (1,4))

- deux font une symétrie par rapport à Ox, ce qui ne donne pas une fonction, dont un le fait seulement entre -1 et 2 (tableau de valeurs)

- deux élèves font un décalage vertical ($|x| + 5$ et $|x| - 5$ respectivement)

- un élève coupe à $x = 0$ avec les bonnes expressions ($-x+5$ pour $x < 0$ et $x-5$ pour $x > 0$) ; un autre prend les valeurs entières entre -2 et 2, calcule les valeurs en faisant $x - 5$ pour $x \le 0$ et $-x + 5$ si $x > 0$ et joint les 5 points obtenus par une ligne brisée et un autre place des points correspondant à $x - 5$ entre 0 et 5 et $x + 5$ entre -5 et 0.

On voit donc ici beaucoup d'erreurs, et en particulier cinq élèves prennent une formule différente pour $x > 0$ et $x < 0$, et un s'arrête à $x = 0$.
A ce moment de l'année, les graphiques semblent mieux réussis dans la classe B que dans la classe C où beaucoup plus d'élèves tracent des droites ou des demi-droites et où 5 élèves font une séparation à x = 0 alors que cela ne se produit que pour deux élèves de la classe B.

f) Encadrements et valeurs approchées.

Ces questions ont été abordées dans les contrôles des classes B, C, D mais pour la classe C cela s'est passé après la période d'observation (31 mars) et nous n'avons pas eu accès aux copies des élèves. Ce point n'a pas été traité dans la classe A et n'a donc pas été proposé au contrôle.

Choix des exercices :

Classe B : Exercice 2 du contrôle 4 du 17 janvier.

1) Le volume V d'une pyramide à base rectangulaire est donné par la formule $V = \frac{1}{3} L \times h$

a) L mesure 6 (8) à 10⁻¹ près, l mesure 4 (3) à 10⁻¹ près, h mesure 11 (10) à 10⁻¹ près. Encadrer V en ne donnant qu'une décimale.

b) Pour une autre pyramide, L mesure 4 (3) à 10⁻² près, l mesure 3 (2) à 10⁻² près, V mesure 5 (4) à 10⁻¹ près. Exprimer h en fonction de V, L et l puis encadrer h en ne donnant qu'une décimale.

2) a) Dans un rectangle, L mesure 7,2 (7,4) à 10⁻¹ près par excès, l mesure 3,4 (3,2) à 10⁻¹ près par défaut, encadrer le périmètre P.

b) Dans un autre rectangle, L mesure 15,6 (15,3) à 10⁻¹ près, le périmètre P mesure 23 (21) à 10⁻¹ près, encadrer la largeur l.

Classe C : exercice 1 du contrôle 6 du 31 mars.

a) On donne les réels x et y tels que $\frac{2}{7} < x < \frac{3}{7}$ et $\frac{5}{7} < y < \frac{5}{6}$. Encadrer x+y, 2x-y, xy, et $\frac{x}{3y}$ à l'aide de rationnels.

b) Un pavé droit a pour dimensions L, l et h exprimées en dm et telles que leurs valeurs approchées par défaut à 10⁻¹ près sont respectivement 2,3 ; 1,5 et 0,8.

1) Donner un encadrement de L, l, et h dont l'amplitude est la plus faible.

2) Donner un encadrement, en dm³, de son volume V.

3) 3 dm³ est-il une valeur approchée de V à 0,3 dm³ près ?

3,1 dm³ est-il une valeur approchée de V à 0,4 dm³ près ?

Cours : Expliciter clairement la différence entre valeur approchée à ε près, valeur approchée par défaut à ε près et valeur approchée par excès à ε près.

c) (examiné dans le paragraphe sur les résolutions d'équations)

d) x est un réel tel que $|x+1| < 2$ ; déterminer les intervalles auxquels appartiennent les nombres A(x) et B(x) tels que $A(x) = x^2$ ; $B(x) = 5 - x$.

e) a et b sont deux réels tels que $a < b < -2$. En justifiant, comparer : a+2 et b+2 ; $\frac{1}{a+2}$ et $\frac{1}{b+2}$ ; $(a+2)^2$ et $(b+2)^2$ ; $\frac{1}{(a+2)^2}$ et $\frac{1}{(b+2)^2}$ ; $\frac{-5}{(a+2)^2}$ et $\frac{-5}{(b+2)^2}$.

Classe D : exercice 4 du contrôle 6 du 10 février 1995.

1) Traduire à l'aide d'une valeur absolue et donner l'encadrement correspondant au nombre x si 29,5 est une valeur approchée de x à 0,5 près.

2) $ly-12,3 \le 3 \times 10^{-1}$, en déduire un encadrement de y.

3) Déterminer l'encadrement correspondant de x+y puis de x-y.

Dans la classe D, on vérifie surtout le vocabulaire et la traduction entre langage des valeurs absolues et celui des encadrements ainsi que l'encadrement d'une somme et d'une différence.

Dans les classes B et C, les élèves doivent de plus encadrer des produits et des quotients et utiliser ces notions dans un contexte de mesure, ce qui nécessite de considérer plusieurs opérations à la fois. Dans la classe B, ils doivent aussi inverser des formules, ce qui a été une
importante source de difficulté ; dans la classe C ils doivent traduire en inégalités la définition d'un intervalle par une valeur absolue pour chercher des intervalles images par des fonctions. Le dernier exercice combine les effets des signe, produit, quotient sur les inégalités, outils utilisés dans l'étude des sens de variation de fonctions. On voit donc que les connaissances évaluées sont assez différentes suivant les classes.

Résultats pour la classe B

On peut remarquer que les versions sont équivalentes du point de vue des nombres en jeu :
même ordre de grandeur, même nombre de décimales. Cependant pour la question 1b, la
difficulté n'était pas exactement la même pour l'arrondi : dans un cas on trouvait 1,97... ≤ h ≤
2,06... que les élèves arrondissent à 1,9 ≤ h ≤ 2 s'ils font une troncature ou à 2 ≤ h ≤ 2,1 s'ils
prennent les valeurs les plus proches alors que la réponse attendue est 1,9 ≤ h ≤ 2,1 ; dans
l'autre cas on trouve 1,22... ≤ h ≤ 1,28... que les élèves arrondissent plus facilement à 1,2 ≤ h
≤ 1,3 (réponse attendue) parce que cela correspond aux valeurs les plus proches et que la
troncature donnerait le même nombre des deux côtés. Mais pour voir cette différence, il fallait
avoir effectué les calculs jusqu'au bout.

Pour la deuxième question, il y avait une erreur de texte. On donnait en fait une valeur
approchée du demi-périmètre, ce qui fait qu'en appliquant les formules on trouvait un
encadrement de 1 par des négatifs.

Encadrement du volume.

La formule était fournie, le travail des élèves consistait donc à encadrer un produit. On est dans
le cas favorable d'une fonction croissante de chacune des variables. La principale erreur à
attendre est une erreur au moment de l'arrondi (tronquer la valeur trouvée au lieu de majorer),
sans compter bien sûr les erreurs de calcul ou l'oubli de la division par 3. On a :

- Réussite : 18 élèves dont un prend l'encadrement de la hauteur à 0,01 près

- écriture de valeurs numériques au lieu des variables : 5,9 ≤ 6 ≤ 6,1 ... 83,6 ≤ 88 ≤ 92,6 deux élèves dont un a en fait un encadrement correct.

- erreur d'arrondi : 10 élèves

- erreur de calcul : B24, B32

- oubli de diviser par 3 : B20

- inverse les inégalités en divisant par 3 : B22

- mauvais encadrement des variables au départ : B21

- autre erreur : B2 (encadre 5,9x3,9x10,9 à 0,1 près puis à 1 près), B33.

Comme attendu, les résultats sont assez bons pour cette question : 19 élèves, soit 56 %, ont un encadrement correct, même s'il est mal exprimé pour l'un d'eux, et 10 élèves sur 34 soit 29 % font une erreur d'arrondi pour la borne supérieure.

Expression de h

La deuxième partie de la question comportait plusieurs difficultés. La première était de réussir à exprimer h en fonction des autres données. Beaucoup d'élèves ont échoué sur ce point. Cinq élèves ont trouvé une expression erronée par une erreur de calcul algébrique dont deux ont oublié de multiplier par 3. Nous examinons ensuite leur encadrement à partir de l'expression qu'ils ont trouvée. Cependant, certains élèves écrivent une expression avec double dénominateur $\frac{V}{Lxl/3}$ ce qui peut les gêner pour traiter la question suivante. D'autres n'ont pas exprimé h

mais ont traité l'encadrement de h en écrivant $4,9 \le \frac{1}{3} Lxlxh \le 5,1$ puis ont successivement
multiplié par 3, $\frac{1}{L}$, $\frac{1}{1}$ en prenant ou non pour l et L les valeurs approchées convenables.
Trois élèves n'ont pas du tout abordé la question 1b.

Encadrement de h

Cette fois, il faut renverser les inégalités dans le passage à l'inverse, nous pouvons attendre des erreurs à ce niveau. Pour les erreurs d'arrondi, nous les attendons surtout sur la version 1, à cause des valeurs numériques (voir remarque ci-dessus).
Pour l'encadrement des valeurs initiales, nous avons accepté comme correct l'encadrement de V à 0,1 près (comme 1 et L), mais certains élèves ont confondu $10^{-2}$ et $2 \ 10^{-1}$.

- réussite : 11 élèves dont un fait une erreur d'énoncé (il prend des encadrements à 0,1 près), et un autre a des problèmes d'écriture. Un élève ne termine pas. Les principales erreurs sont les suivantes :

- confusion $10^{-2}$ et $2 \ 10^{-1}$ : 4 élèves.

- 7 élèves font les arrondis trop tôt (avant de multiplier par 3 par exemple).

- 7 élèves oublient de multiplier par 3.

- 4 élèves font une erreur d'arrondi.

- 7 élèves ne changent pas les inégalités pour l'inverse.

- problème d'écriture pour manier les inégalités avec inverses : 3 élèves.

Comme prévu la réussite baisse (32%), 21% des élèves oublient de renverser les inégalités quand ils passent à l'inverse. Les problèmes d'arrondis se compliquent puisque les élèves font un encadrement auxilliaire de Lx1 et certains arrondissent déjà cet encadrement. On remarque aussi des difficultés avec les systèmes d'écriture : traitement des inégalités ou usage des exposants.

## Encadrement du périmètre

L'encadrement du périmètre ne devrait pas poser trop de problème, sauf éventuellement l'oubli de la multiplication par 2 et les erreurs d'arrondi comme précédemment. En fait, un très grand nombre d'élèves confondent les formules d'aire et de périmètre et encadrent le produit ou le double du produit ou même $2 \times 2 \times 1$ !

On a seulement 13 réussites (38%). Les principales erreurs sont les erreurs de formule pour le périmètre et la mauvaise compréhension de "par excès, par défaut".

- erreur sur la formule du périmètre (par ex. produit) : 10 élèves

- mauvais encadrement des variables au départ : 12 élèves

- autre erreur : 4 élèves (un calcule le périmètre, un autre écrit la bonne formule puis multiplie, un autre calcule le périmètre puis encadre à 0,1 près et le dernier écrit des valeurs numériques au lieu des variables).

- une non réponse.

Pour la question précédente les mauvais encadrements au départ signifiaient une erreur sur la puissance de 10 ; pour cette question, on peut encore avoir ce problème mais aussi la mauvaise compréhension des expressions "par défaut", "par excès". Nous n'attendions pas autant d'erreurs sur la formule du périmètre !

## Encadrement de la largeur

Compte-tenu de l'erreur de texte, la réponse correcte était "impossible". Certains élèves la fournissent après un encadrement de $P/2$ ou de $2L$, d'autres font le calcul jusqu'au bout, trouvent un encadrement par des négatifs et concluent ou non "impossible". Les élèves peuvent faire une erreur d'encadrement (soustraire les inégalités par exemple) et répondre cependant impossible à cause des négatifs. Nous appelerons "réussite" un encadrement correct et nous compterons par ailleurs les réponses "impossible", qu'elles soient motivées ou non par les négatifs.

Pour l'encadrement de la largeur, il s'agit d'encadrer une différence, on peut donc attendre, en plus des erreurs précédentes, l'erreur qui consiste à soustraire les inégalités.

Il y a eu en fait beaucoup d'erreurs de calcul algébrique pour exprimer l en fonction de P et L, par exemple $B3$ écrit $P = (L+1) \times 2$ donc $1 = \frac{P}{L \times 2}$. Le grand nombre de ces erreurs a amené le professeur à faire une séance de module sur le sujet : exprimer chaque variable en fonction des autres à partir de formules de physique.

Pour les élèves qui prennent le produit comme périmètre ou font des erreurs de calcul algébrique, on peut avoir à encadrer un quotient et retrouver les erreurs liées à cette tâche.

- Réussite de l'encadrement : 2 élèves

- réponse "impossible" : 8 élèves.

- problème lié à l'encadrement de la différence : 11 élèves.

- erreur sur la formule du périmètre (par ex. produit) : 6 élèves

- mauvais encadrement des variables au départ : 2 élèves,

- erreur de calcul algébrique : 8 élèves
- ne changent pas les inégalités pour l'inverse : 4 élèves

- 4 élèves font d'autres erreurs : (erreur de calcul, un élève calcule puis encadre, un autre écrit des valeurs numériques au lieu des variables, un autre oublie de diviser par 2).

- non réponse : 1

Ici l'oubli de diviser par 2 peut être une correction de l'énoncé pour avoir une réponse possible. Les problèmes liés à l'encadrement de la différence peuvent se manifester par une soustraction des inégalités ou par le fait d'ajouter des inégalités de sens contraires : certains élèves changent les signes d'inégalité en multipliant l'encadrement de L (ou 2L) par -1 mais ne réécrivent pas l'encadrement avec les inégalités dans le bon sens avant d'ajouter à l'encadrement de P.

En résumé, dans la classe B, les principales difficultés des élèves sont :

- des problèmes de calcul algébrique, notamment exprimer une variable en fonction des autres en partant d'une relation

- le traitement algébrique des inégalités, notamment la multiplication par un négatif ou le passage à l'inverse et la décomposition de la tâche de manière à isoler cette difficulté

- gestion des rapports entre un modèle physique et un modèle mathématique par l'usage de formules notamment,

- le vocabulaire du calcul approché : "par excès, par défaut" ...

- la gestion des arrondis (troncature, valeur la plus proche) pour garder un encadrement valide en ne gardant que le nombre pertinent de décimales

## Résultats de la classe D

1) *Traduction de "29,5 est une valeur approchée de x à 0,5 près".*

20 élèves, soit 77%, produisent un encadrement correct à 0,5 près. Un autre fait bien un encadrement à 0,5 près mais avec des négatifs : il a écrit correctement la valeur absolue d'abord et fait l'erreur de signe classique en retraduisant.

- confusion avec "par défaut" ou "par excès" : 3 élèves dont un prend -29,5

- un élève prend 29 comme centre et un élève fait un encadrement à 0,1 près.

*Ecriture correcte de la valeur absolue :* 15 élèves, soit 58%. Il y a 9 non réponse et 2 réponses erronées : D11 écrit $|-x$ ; -29,5$\leq$ 0,5 et D12 écrit l'égalité $|-x$ - 29,5$\equiv$ 0,5.

2) *$|y - 12,3| \leq 3 \times 10^{-1}$, déduire un encadrement.*

- Réponse correcte : 15 élèves soit 58% (mais D9, tout en fournissant le bon encadrement dit que le centre de l'intervalle est -12,3 et son rayon 0,3).

- D27 écrit $-0,3 \leq |y - 12,3| \leq 0,3$ ; $-0,3 + 12,3 \leq |y| \leq 0,3 + 12,3$ ; $12 \leq |y| \leq 12,6$

- non réponse : D17, D21, D25

- erreur sur les puissances : D1, D8

- prend des négatifs : D5, D23

- confusion avec "par défaut" ou "par excès" : D11,

- prend 12 comme centre : D12

- D13 écrit $12,3 \leq y \leq 3 \times 10^{-1}$

3) *Encadrement de $x+y$*

- réussite (à partir des encadrements trouvés) : 20 élèves soit 77% (dont D18 qui reprend l'encadrement de x de l'exercice précédent, et D27 qui garde toujours le signe de valeur absolue.

- non réponse partielle : 4 élèves

- D1 prend 3 au lieu de 0,3 trois fois sur 4 et obtient $38,3 \leq x+y \leq 45,3$

- D5 a une réponse ininterprétable et inachevée sans doute.

4) *Encadrement de $x-y$*

- réussite : 17 élèves, soit 65% (dont D18 qui reprend le même x que pour la somme)

- non réponse partielle : 5 élèves.

- soustraction des inégalités (ou passage à l'encadrement de l'opposé sans changer les signes : 3 élèves dont un avait des encadrements par des négatifs et un autre écrit $|-y|$)

- D24 prend 29 des deux côtés pour x.
Pour la classe D, la plus grande difficulté consiste à passer de l'écriture avec valeur absolue à l'encadrement et réciproquement : à peine plus de la moitié des élèves y parviennent alors que l'encadrement d'une somme et même d'une différence sont relativement mieux réussis (les élèves passent par l'encadrement de -y, comme l'a montré le professeur en classe. Rappelons qu'il s'agit d'encadrements théoriques de nombres et non d'une utilisation dans une situation où les résultats seraient sans doute moins bons.

En conclusion, les textes des contrôles reflètent bien ce qui a été valorisé dans les classes et les attentes des enseignants sur les compétences de leurs élèves :

- Les exercices visant à tester les connaissances préliminaires sur lesquelles s'appuie l'enseignement ne sont proposés que dans la classe la plus faible, mais après l'enseignement : sans doute le professeur pense-t-il donner une occasion de réussir aux élèves, mais ce n'est le cas que de la moitié d'entre eux.

- Le remplissage d'un tableau de conversion est proposé dans les trois classes où la valeur absolue a été définie à partir de la distance ; les résultats des élèves sont bons, les principales difficultés concernent le calcul avec les fractions, et dans un moindre mesure l'erreur de signe attendue pour le centre de l'intervalle dans le cas où il n'y a pas congruence.

- Pour les résolutions d'équations ou d'inéquations, les enseignants choisissent des exemples où la méthode privilégiée dans l'institutionnalisation est la plus performante. Les élèves utilisent principalement la méthode fortement institutionnalisée : distance, calcul algébrique ou tableau. Les élèves faibles recourent volontiers au calcul algébrique, même si on ne leur a pas enseigné cette méthode. Les résolutions graphiques sont rarement utilisées spontanément par les élèves. Elles amènent une réussite modeste, surtout dans le cas des inéquations : les graphiques eux-mêmes ne sont toujours corrects et surtout l'interprétation algébrique des tracés graphiques posent problème à beaucoup d'élèves. Il en va de même pour l'utilisation du tableau, surtout dans le cas des inéquations.

- Les questions concernant le calcul approché ne sont pas abordées dans la classe la plus faible. Dans la classe moyenne faible, on vérifie sutout le vocabulaire et le traitement des inégalités. Ce n'est que dans les classes les plus fortes qu'on utilise les encadrements dans des problèmes concernant les volumes ou les aires. On peut repérer que les enseignants mettent des jalons pour tester des connaissances sur les inégalités qui leur seront utiles pour l'étude du sens de variations de fonctions (abordé par des méthodes différentes dans les deux classes) et, plus tard, pour l'étude des limites. Le traitement des problèmes révèle des difficultés des élèves, inattendues pour les enseignants, concernant le calcul algébrique et notamment l'expression d'une grandeur en fonction des autres à partir d'une formule d'aire ou de volume.

### III.B. Résultats du questionnaire de fin d'année.

En fin d'année, nous avons fait passer un questionnaire dans les quatre classes (voir texte complet en annexe 5). Il comportait une partie destinée à repérer les représentations des élèves sur les nombres et une autre destinée à vérifier les diverses compétences concernant l'utilisation de la valeur absolue. Nous avions introduit la partie sur les nombres parce que l'observation des élèves en classe nous faisait penser que les difficultés rencontrées à propos de la valeur absolue étaient en fait des difficultés avec la notion de nombre, en particulier de nombre réel.

Nous donnons ci-dessous l'analyse a priori concernant le choix des questions et les principaux résultats. Les résultats détaillés par question se trouvent en annexe 5.

#### 1. Conceptions sur les nombres<fnref n="3" />.

##### 1.1. Rapports entre nombres et écritures.

L'objectif des deux premières questions, que nous reproduisons en réduction ci-dessous, était de cerner les conceptions des élèves sur les nombres (ou les rapports aux nombres) à travers 3 types d'interrogations :

<footnote n="3">³ Les questions posées aux élèves sont partiellement communes avec celles d'un questionnaire sur les nombres qu'utilisait C. Castela à la même époque.</footnote>
- ce que les élèves considèrent comme nombres dans une liste donnée, information complétée éventuellement par une explication ;

- les catégories de nombres que l'élève connaît ou considère pertinent de distinguer,

- la possibilité pour un nombre d'avoir plusieurs écritures.

1. Parmi les expressions mathématiques suivantes, barre celles qui ne sont pas des nombres

$$0,05; \frac{1}{\pi+1}; 2x+\frac{5}{4}; -4; 0; e; 10^3; 2\sqrt{7}; -\frac{3}{13}; \pi^2\sqrt{17}; |2-\pi|; 8.5 \times 10^{-28}; 1+\sqrt{7}; x; \\ \pi^2; -5^3; (-5)^3; 0,232323...; 3x; \pi - \frac{22}{7}$$

Essaie d'expliquer le mieux possible ce qu'est un nombre pour toi :

Quelles sont les différentes catégories de nombres que tu connais ? Donne si c'est possible, dans chaque catégorie, 3 exemples différents et les plus représentatifs possibles de la catégorie.

2. Coche parmi les 4 possibilités qui suivent celle qui correspond le mieux à ton opinion et réponds à la question correspondante :

◊ un même nombre peut toujours s'écrire de plusieurs manières.

Si tu as coché cette case, donne des exemples aussi variés que possible de nombres différents avec pour chacun plusieurs écritures différentes

◊ certains nombres ont plusieurs écritures mais d'autres nombres n'en ont qu'une.

Si tu as coché cette case, dis quelles sortes de nombres ont plusieurs écritures et quelles sortes n'en ont qu'une.

Donne des exemples aussi variés que possible dans chaque cas.

◊ chaque nombre a une seule écriture correcte.

Si tu as coché cette case, explique pourquoi.

◊ autre avis : explique ton opinion sur la question, et donne des exemples.

### a) qu'est-ce qu'un nombre ?

Pour la première question, nous attendions que les élèves barrent ou non les lettres suivant qu'ils incluaient ou non les variables dans les nombres. Nous attendions aussi qu'ils rejettent certains nombres exprimés sous forme d'opération non effectuée et éventuellement aussi les écritures infinies. L'explication était demandée à la fois pour aider les élèves à avoir un choix cohérent et pour faciliter l'interprétation que nous ferions. On trouvera en annexe de nombreux exemples de telles explications pour chaque catégorie de réponse.

Les résultats sont conformes à notre analyse a priori. Nous avons distingué 5 catégories de réponses (voir en annexe 5 pour des distinctions plus fines).

* réponse 1 : élèves qui ne barrent que des lettres (plus à la rigueur 0 ou 0,232323...)

* réponse 2 : élèves qui barrent aussi les nombres à un chiffre, y compris parfois 0,05.

* réponse 3 : élèves qui refusent, éventuellement en plus des lettres, certaines expressions qui comportent des opérations à effectuer, comme $|2-\pi|$ (la plus refusée) ou les parenthèses $(-5)^3$ ou $(\pi^2\sqrt{17})$ ou $(\pi - \frac{22}{7})$ ou $\frac{1}{\pi+1}$. Certains élèves refusent, en plus des expressions de ce type, des nombres comme $-\frac{3}{13}$ ou $8.5 \times 10^{-28}$.

* réponse 4 : élèves qui ne gardent que des expressions sans opérations (avec au plus 1 ou 2 exceptions). Suivant le cas, les élèves conservent ou non $2\sqrt{7}$, $1+\sqrt{7}$, $\pi^2$, $-\frac{3}{13}$ qui correspondent à des écritures usuelles.

* réponse 5 : élèves qui refusent à la fois les opérations et les nombres à un chiffre.

Les autres réponses sont inclassables ou il y a incohérence entre l'explication et la réponse. Nous avons considéré comme incohérent quelque chose qui aurait amené à classer la réponse et l'explication dans des catégories différentes, mais nous n'avons pas considéré comme incohérente une réponse qui correspondait à peu près à l'explication, même s'il y avait quelques exceptions ; nous n'avons pas non plus considéré comme incohérente une réponse qui a été corrigée, sans que l'explication le soit (elle peut avoir été corrigée après réponse à la question 2 par exemple).

Les catégories ci-dessus sont disjointes.

Les résultats de cette question sont résumés dans le tableau suivant :
<table><thead><tr><th>catégorie</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>réponse 1</td><td>14</td><td>18</td><td>22</td><td>11</td><td>1</td><td>66</td></tr><tr><td>réponse 2</td><td>1</td><td>2</td><td>1</td><td>5</td><td></td><td>9</td></tr><tr><td>réponse 3</td><td>3</td><td>3</td><td>4</td><td>2</td><td>2</td><td>14</td></tr><tr><td>réponse 4</td><td>2</td><td>4</td><td>6</td><td>3</td><td></td><td>15</td></tr><tr><td>réponse 5</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>0</td><td></td><td>2</td></tr><tr><td>autres</td><td>2</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>5</td></tr><tr><td>non réponse</td><td>2</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td></td><td>2</td></tr><tr><td>total</td><td>24</td><td>29</td><td>35</td><td>22</td><td>3</td><td>113</td></tr></tbody></table>

Si nous regroupons d'une part les réponses 2 et 5 sous le label "chiffres" (élèves se préoccupant du nombre de chiffres) et d'autre part les réponses 3, 4, 5 sous le label "opérations" (élèves refusant plus ou moins systématiquement les signes opératoires pour les nombres), nous trouvons :

<table><thead><tr><th>catégorie</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>réponse 1</td><td>14</td><td>18</td><td>22</td><td>11</td><td>1</td><td>66</td></tr><tr><td>chiffres</td><td>1</td><td>3</td><td>2</td><td>5</td><td></td><td>11</td></tr><tr><td>opérations</td><td>5</td><td>8</td><td>11</td><td>5</td><td>2</td><td>31</td></tr></tbody></table>

soit, en pourcentages :

<table><thead><tr><th>Pourcentages</th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>réponse 1</td><td>0,58</td><td>0,62</td><td>0,63</td><td>0,50</td><td></td><td>0,58</td></tr><tr><td>chiffres</td><td>0,04</td><td>0,10</td><td>0,06</td><td>0,23</td><td></td><td>0,10</td></tr><tr><td>opérations</td><td>0,21</td><td>0,28</td><td>0,31</td><td>0,27</td><td></td><td>0,27</td></tr></tbody></table>

Notons qu'un élève de la classe B et un élève de la classe C se trouvent dans les deux catégories.

On voit que les différences ne sont pas très grandes entre les classes, sauf en ce qui concerne le refus des nombres à un chiffre qui est plutôt spécifique de la classe D : il y a eu dans cette classe un phénomène de diffusion : un échange a eu lieu à ce sujet entre deux élèves et cela s'est répandu.

Plus de la moitié des élèves expriment une idée de nombre qui n'est pas si mauvaise, compte-tenu des programmes à ce niveau. Certains donnent même des définitions tout à fait acceptables, y compris dans la classe A :

"Un nombre est une quantité ou représente une quantité non variable. Il peut être positif, négatif. L'expression $e$ ou $2x+\frac{5}{4}$ comporte une inconnue. On peut donc faire varier cette inconnue et créer une fonction. Pour que $x$ soit un nombre, il faut le préciser" (A14)

"Un nombre est composé de un à plusieurs chiffres ou cela peut être une lettre mathématique telle que $\pi$ ayant une valeur déterminée" (B17)

"Un nombre a une valeur numérique, mais ce n'est pas une variable" (B18, qui laisse e)

La différence entre nombre et chiffre n'est pas toujours claire et elle vient perturber les réponses à la question (réponse 2).

Parmi les expressions refusées, $|2-\pi|$ est celle qui l'est le plus souvent (7 élèves ne refusent que cela, à part éventuellement les lettres), sans doute parce que cela peut s'écrire plus simplement, il en est de même de $(-5)^3$, seule expression refusée par un élève.

Les nombres réels qui contiennent dans leur écriture un signe opératoire sont difficilement acceptés comme des nombres par un bon quart des élèves, quelle que soit la classe. De plus, on trouve souvent des explications pour justifier le fait qu'on considère $x$ comme un nombre ou non, ou sur le fait qu'un doit avoir plusieurs chiffres, mais rarement sur le fait que $|2-\pi|$ ou $\frac{1}{\pi+1}$ ne l'est pas : cela paraît sans doute évident. On trouve souvent des définitions similaires pour les élèves qui acceptent les signes opératoires et ceux qui les excluent :
"Pour moi un nombre doit avoir une valeur précise, par exemple $\frac{1}{\pi+1} = 1,31...$ il a une valeur; par contre 3x n'est pas un nombre, il n'a pas de valeur précise car on ne sait pas la valeur de x" (C2, réponse type 1)

"Un nombre a une valeur approchée ou une valeur exacte. Son expression à elle seule le définit" (C8, réponse type 1)

"Pour moi un nombre est "quelque chose" qui est composé d'au moins 2 chiffres" (B26, réponse type 2)

"Un nombre est l'union de deux chiffres (chiffre = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) qui rendent donc le nombre supérieur ou égal à 10 ou -10" (D6 qui garde $10^3$ ; $\pi\sqrt{17}$ ; $-5^3$ ; $(-5)^3$)

"un nombre est une valeur que l'on peut définir et que l'on peut calculer" (B35, réponse type 3, qui refuse $|2-\pi|$ ; 0,05 ; 0,232323...)

"Est un nombre qui peut soit se multiplier, diviser, et qui a plusieurs écritures possibles, et de différentes manières" (A26, réponse type 4)

"Pour moi, un nombre c'est un ensemble de chiffres ou alors un chiffre seul" (B12, réponse type 4)

"Un nombre est une valeur définie et réelle" (C21, réponse type 4).

Cependant, certains élèves excluent explicitement les signes opératoires :

"Un nombre est un réel, c'est-à-dire qu'il peut être même écrit sous forme de puissance ou $\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\dots}}}}$ tant que n'entrent pas en jeu les additions, soutractions..." (C31, réponse type 4)

"Pour moi un nombre représente tout ce qui appartient à $\mathbb{R}$ mais qui tombe juste" (C13, type 4).

## b) catégories de nombres faites par l'élève.

Le mot "catégorie" a parfois posé problème, on a alors dit oralement "toutes les sortes de nombres que vous connaissez. Le plus souvent les élèves distinguent les nombres entiers et les nombres "décimaux", ceux-ci pouvant d'ailleurs inclure des irrationnels ; ou alors les nombres positifs et les nombres négatifs ; ou alors quelques élèves ne font des catégories que dans les nombres entiers, distinguant ordinaux et cardinaux, pairs ou impairs. Nous avons rassemblé toutes ces réponses dans la réponse 2.

La réponse 1 correspond aux élèves qui semblent distinguer des entiers, des décimaux et autre chose, sans que nous puissions toujours en être sûre, et sans que le vocabulaire soit forcément adapté, par exemple certains disent "il y a les entiers, les décimaux et les "rationnels" en donnant comme exemple de cette dernière catégorie $\sqrt{2}$ (par "rationnel", ils entendent "racine").

La réponse 3 correspond aux élèves qui distinguent nettement les nombres selon l'écriture, par exemple "il y a les entiers positifs, négatifs, les décimaux (ou les nombres à virgule), les fractions (en donnant des exemples qui sont décimaux), les racines... (et éventuellement des nombres désignés par un signe comme $\pi$). Cela ne veut pas dire que les élèves qui ont la réponse 2 ne font pas la même chose mais les distinctions qui leur viennent plutôt à l'esprit sont entier / non entier, positif / négatif, ce qui peut aussi être lié à l'écriture (signe).

La réponse 4 correspond aux élèves qui ne donnent que des exemples de nombres sans faire de catégories ou à des élèves qui citent des ensembles de nombres comme $\mathbb{Z}$, $\mathbb{R}$... sans exemple.

Les résultats sont résumés dans le tableau suivant :

<table><thead><tr><th>catégorie</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>réponse 1</td><td>0</td><td>1</td><td>4</td><td>2</td><td></td><td>7</td></tr><tr><td>réponse 2</td><td>13</td><td>16</td><td>15</td><td>13</td><td>1</td><td>58</td></tr><tr><td>réponse 3</td><td>6</td><td>5</td><td>13</td><td>3</td><td>1</td><td>28</td></tr><tr><td>réponse 4</td><td>1</td><td>5</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>8</td></tr><tr><td>autres</td><td>1</td><td>0</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>4</td></tr><tr><td>non réponse</td><td>3</td><td>2</td><td>1</td><td>2</td><td></td><td>8</td></tr><tr><td>total</td><td>24</td><td>29</td><td>35</td><td>22</td><td>3</td><td>113</td></tr><tr><td>Pourcentages</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>réponse 1</td><td>0,00</td><td>0,03</td><td>0,11</td><td>0,09</td><td></td><td>0,06</td></tr><tr><td>réponse 2</td><td>0,54</td><td>0,55</td><td>0,43</td><td>0,59</td><td></td><td>0,51</td></tr><tr><td>réponse 3</td><td>0,25</td><td>0,17</td><td>0,37</td><td>0,14</td><td></td><td>0,25</td></tr></tbody></table>
On voit que les réponses 2 et 3 sont massives puisque les 3/4 des élèves font l'une des deux. Seuls 6 % des élèves font une différence soit entre rationnels et décimaux, soit entre rationnels et irrationnels, encore ne peut-on être sûr que cette distinction porte vraiment sur les nombres, comme on peut le voir à travers leurs réponses :

**réponse 1 :**

B4 : "Il y a les nombres entiers (4 ; 432 ; -17), les nombres décimaux (4,6 ; 12,3 ; -5,976), les nombres interminables ($\frac{1}{3}$ ; $\pi$ ; $\sqrt{2}$), (réponse type 1 à la question 1)

C4 : "Il y a les entiers naturels (-2, 3, 4) positifs ou négatifs, les chiffres (de 0 à 9), les réels (tous les nombres quels qu'ils soient, les nombres décimaux (0,1 ; 0,4 ; 10,5)". Remarquons qu'à la question précédente cette élève n'a conservé que les entiers et les écritures à virgule, éventuellement infinies avec l'explication "parmi les nombres on regroupe les chiffres et autres numériques ex : 2 ; -2 ; $10^{-12}$ ; 0,3."

C16 : "entier (1, 2, 3...), entier relatif (+5, -3 etc...), décimal (0,1 ; 0,2) ; nombres rationnels ($\frac{14}{13}$ ; $\frac{15}{21}$), (réponse de type 1 à la première question)

C20 : "Il y a les nombres rationnels ($\sqrt{7}$), les nombres décimaux (5,15), les nombres décimaux entiers (7 ; 9) (réponse de type 3 à la question 1)

C32 : "les nombres décimaux (0,05), les nombres rationnels ($\sqrt{7}$) (réponse de type 3 à la question 1).

D5 : "nombres réels : c'est l'ensemble des nombres, ex : 1,5 ; 2 ; $\sqrt{2}$... nombres décimales (sic) : 1,5 ; 1,2 ; 2 ; 3 et tous les autres nombres à virgule, nombres entiers : tous les autres nombres sans virgule, nombres positifs : tous les nombres plus grands que 0, nombres négatifs : tous les nombres inférieurs à 0" (ne barre que e à la première question)

D15 : "entiers relatifs positifs et négatifs (3, 17, -2), racines carrées ($\sqrt{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sqrt{3}$), $\pi$" (ne barre que $|2-\pi|$ à la question 1)

Les catégories que font les élèves sont fortement liées à l'écriture des nombres. Il est difficile de faire le classement entre les types de réponses. Pour interpréter les réponses des élèves nous nous sommes appuyée sur les exemples fournis. Nous avons reproduit ci-dessus toutes les réponses classées 1. Pour illustrer nos choix concernant les autres réponses, nous nous limiterons à des exemples pris dans la classe C, en remarquant que le mot "réel" a des significations variées pour les élèves, mais rarement celle qu'on attend, il est souvent synonyme d'entier (C2), voire positif (C6) le terme "nombre entier" n'a pas toujours non plus la signification attendue, c'est parfois sans virgule (C9 par exemple) :

**réponse 2 :** distinguent positifs / négatifs, entiers / décimaux ou pairs / impairs. Les exemples fournis laissent penser que ce sont des nombres qui sont distingués et pas seulement des écritures. Dans certains cas (comme C6, c'est douteux).

C6 : "décimaux (2,2 ; 0,2 ; 1,666...) entiers (1 ; 2 ; 3) non réels (-10; -20; -2)

C7 : "les positifs (17 ; 34 ; 12485), les négatifs (-12; -2 ; -47)

C8 : "nombres positifs de ]0 ; +$\infty$[ (3 ; 5264), les nombres négatifs de ]-$\infty$ ; 0[ (-56), les réels non nuls de ]-$\infty$ ; +$\infty$[ (-3 ; +5 ; +$\sqrt{3}$)

C15 : décimaux, entiers, négatifs

C18 : relatifs, décimaux

C19 : décimaux ; entiers

C21 : entiers, décimaux, relatifs

C23 : réels (mais ne donne que des exemples entiers), décimaux, naturels

C26 : nombres après 10, négatifs, décimaux

C27 : "nombres réels — entiers —positifs
— négatifs
— décimaux —positifs
— négatifs"

C34 : "nombres décimaux (2,1 ; 3,4 ; 6,2), nombres naturels (6, 5, 3), nombres relatifs, nombres pairs (8, 6, 2), nombres impairs (1,3, 7)
**réponse 3** : élèves qui classent suivant l'écriture des nombres, par exemple C2 classe $\sqrt{9}$ dans "les racines" et C3 classe $\frac{6}{3}$ dans les "rationnels", C9 sépare les nombres qui ont une virgule et ceux qui n'en ont pas. Nous avons notamment mis les élèves dans cette catégorie si les fractions proposées représentant des rationnels sont toujours dans la catégorie "rationnels" ou "fractions" alors que les décimaux proposés sont toujours écrits avec une virgule.

C2 : "les réels (10, 11, 12), les décimaux (2,1 ; 2,2 ; 2,3), les racines $\sqrt{7}$ ; $\sqrt{8}$ ; $\sqrt{9}$, les fractions $\frac{3}{2}$ ; $\frac{1}{2}$ ; $\frac{4}{3}$) Certaines catégories sont comprises dans d'autres."

C3 : les réels (-2 ; 3 ; 15) les décimaux (3,14), les rationnels ($\frac{3}{2}$ ; $\frac{6}{3}$ ; $\frac{44}{5}$)

C9 : "nombres décimaux (2,334 ; 100,1 ; 0,33), nombres entiers ($\sqrt{7}$ ; 7 ; $\frac{7}{2}$)"

C11 : "R réel (5; 0; -3), N naturel, D décimaux (0,2 ; 0,5 ; -0,4), Q quotient ($\frac{a}{b}$ ; $\frac{1}{2}$ ; $\frac{20}{19}$)"

C13 : "nombre entier positif (4, 5, 6), nombre entier négatif (-4, -5, -6), nombre impair (1, 3, 5), nombre pair (2, 4, 6), nombre fractionnel ($\frac{1}{4}$ ; $-\frac{1}{2}$ ; $\frac{3}{2}$), les racines carrées ($\sqrt{4}$ ; $\sqrt{2}$ ; $\sqrt{3}$)"

C22 : "nombres entiers : sans virgule (-10 ; 20 ; 35), quotient de 2 nombres : fraction ($\frac{10}{2}$ ; $\frac{25}{2}$ ; $\frac{1635}{108}$), décimaux : avec virgule (6,5 ; 0,333... ; 109,8...)."

**c) un nombre peut-il toujours s'écrire de plusieurs façons ?**

La grande majorité des élèves répondent oui à cette question (réponse 1) ; c'est sans doute quelque chose qu'on leur a beaucoup répété tout au long de l'année. Cependant certains élèves ne sont pas de cet avis et pensent que certains nombres, comme 0 par exemple, n'ont qu'une écriture (réponse 2) ou même que chaque nombre n'a qu'une écriture (réponse 3). Cette dernière réponse peut être produite par des élèves en difficulté mais aussi par de très bons élèves qui essaient d'avoir des réponses cohérentes à toutes les questions et ne gardent que les décimaux comme nombres. Un très bon élève de la classe B est dans ce cas avec une réponse cohérente sur l'ensemble des questions. Il s'agit de B1 qui ne conserve que 0 ; -4 ; 0,05 en déclarant "Un nombre est un ensemble de chiffres, à virgule ou non, qui a une valeur exacte" puis répond qu'un nombre n'a qu'une écriture correcte en le justifiant ainsi "Un nombre n'a qu'une écriture parce que les autres écritures sont des opérations ou des appellations (ex : $\pi$)".

Les résultats à cette question sont résumés dans le tableau suivant :

<table><thead><tr><th>catégorie</th><th>classe A</th><th>classe B</th><th>classe C</th><th>classe D</th><th>autres</th><th>total</th></tr></thead><tbody><tr><td>réponse 1</td><td>22</td><td>12</td><td>21</td><td>16</td><td>3</td><td>74</td></tr><tr><td>réponse 2</td><td>1</td><td>5</td><td>7</td><td>4</td><td></td><td>17</td></tr><tr><td>réponse 3</td><td>0</td><td>8</td><td>3</td><td>0</td><td></td><td>11</td></tr><tr><td>autres</td><td>1</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td></td><td>1</td></tr><tr><td>non réponse</td><td>0</td><td>4</td><td>4</td><td>2</td><td></td><td>10</td></tr><tr><td>total</td><td>24</td><td>29</td><td>35</td><td>22</td><td>3</td><td>113</td></tr><tr><td>Pourcentages</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>réponse 1</td><td>0,92</td><td>0,41</td><td>0,60</td><td>0,73</td><td></td><td>0,65</td></tr><tr><td>réponse 2</td><td>0,04</td><td>0,17</td><td>0,20</td><td>0,18</td><td></td><td>0,15</td></tr><tr><td>réponse 3</td><td>0,00</td><td>0,28</td><td>0,09</td><td>0,00</td><td></td><td>0,10</td></tr></tbody></table>

**En conclusion, plusieurs idées se dégagent :**

- un peu moins de 60% des élèves expriment une idée assez correcte de nombre, n'excluant que les variables ou les écritures décimales infinies (parfois aussi 0 auquel certains semblent