# Contrôle de la striction et du plissement en emboutissage par optimisation des efforts serre-flan

Lanouar Ben Ayed, Arnaud Delamézière, Jean-Louis Batoz, Catherine

Knopf-Lenoir

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Lanouar Ben Ayed, Arnaud Delamézière, Jean-Louis Batoz, Catherine Knopf-Lenoir. Contrôle de la striction et du plissement en emboutissage par optimisation des efforts serre-flan. 7e colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2005, Giens, France. hal-01812911

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# Contrôle de la striction et du plissement en emboutissage par optimisation des efforts serre-flan

L. Ben Ayed* — A. Delamézière* — J.L. Batoz* — C. Knopf-Lenoir**

*Institut Supérieur d'Ingénierie de la Conception, Equipe de Recherche en Mécanique et Plasturgie

27 rue d'Hellieule, 88100 Saint-Dié-des-Vosges, France

lanouar.ben-ayed@insic.fr

arnaud.delameziere@insic.fr

jean-louis.batoz@insic.fr

**Université de Technologie de Compiègne, Laboratoire Roberval, FRE 2833 UTC-CNRS, BP 20529

60205 Compiègne Cedex, France

catherine.vayssade@utc.fr

**RÉSUMÉ.** L'objectif de la simulation numérique en emboutissage est principalement l'amélioration de la qualité de la pièce finale et de la fiabilité du procédé par la maîtrise et l'optimisation de paramètres du procédé. Pour éviter la rupture, un critère de striction localisée a été formulé et validé sur un godet cylindrique et un test de Nakazima, sur lesquels des ruptures ont été observées expérimentalement. La deuxième partie de ce travail est consacrée à l'optimisation des efforts serre-flan d'une boîte carrée afin d'améliorer sa formabilité.

**ABSTRACT.** The goal of numerical simulation in sheet metal stamping is mainly the improvement of the quality of the final part and the reliability of the process by the control and the optimization of process parameters. To avoid the failure, a localised necking criterion is formulated and validated on a cylindrical cup and a Nakazima test, on which failures were observed experimentally. The second part of this work is devoted to the optimization of the blankholder forces in the case of square-cup deep drawing in order to improve its formability.

**MOTS-CLÉS:** emboutissage, striction, plissement, optimisation, force de serrage.

**KEYWORDS:** deep drawing, necking, wrinkling, optimization, blankholder force.
# 1. Introduction

En emboutissage de produits minces l'étude de certains paramètres, comme le contour du flan, la géométrie des outils, les propriétés mécaniques de la tôle, la vitesse d'emboutissage et les efforts de serrage, est fondamentale pour la connaissance de la faisabilité d'une nouvelle pièce et de la fiabilité du procédé. Nous nous intéressons ici à l'optimisation des efforts serre-flan, dans l'espace et dans le temps. Pour évaluer la qualité de la pièce finale nous proposons deux critères. Le premier permet d'éviter la formation des fortes ondulations sous serre-flan. Le deuxième critère, qui a été défini en se basant sur les travaux de Hora (Hora et al., 1996) et Brunet (Brunet et al., 2001), permet de prédire le risque de rupture. Ce critère a été testé sur deux cas académiques sur lesquels des ruptures ont été observées expérimentalement. Un problème d'optimisation avec deux limitations a été formulé dans le cas de formage d'une boîte carrée. Nous utilisons la méthode de plan d'expérience et surface de réponse couplée à un algorithme de type SQP pour la résolution du problème d'optimisation. Nous avons utilisé l'approximation diffuse développée par Villon (Villon, 1991), pour la construction de la surface réponse.

# 2. Détection du risque de rupture en emboutissage

Considère (Considère, 1885) est le premier qui a proposé une approche théorique du phénomène de striction en se basant sur la courbe de traction simple. Le déclenchement de la striction est caractérisé par un point stationnaire où la force passe par un maximum. Le critère d'instabilité proposée par Considère a été ensuite généralisé par Swift (Swift et al, 1952) à des états de contraintes de traction biaxiale. Hora et al. (Hora et al, 1996) ont modifié ce critère en considérant que l'état de déformation est plan au moment de l'apparition de la striction, et que la contrainte principale maximale $\sigma_I$ dépend de la déformation principale maximale $\epsilon_I$ et du taux de déformation $\beta = \Delta\epsilon_{II}/\Delta\epsilon_I$.

Le critère d'instabilité proposé par Hora (noté CMFM) est :

$$ \frac{\partial \sigma_I}{\partial \epsilon_I} + \frac{\partial \sigma_I}{\partial \beta} \frac{d\beta}{d\epsilon_I} \le \sigma_I \quad [1] $$

À ce critère nous avons appliqué la fonction seuil quadratique de Hill48 utilisé dans le code ABAQUS en tenant compte de l'orientation, notée $\phi$, des directions des contraintes principales par rapport aux axes d'anisotropie. La contrainte équivalente peut être écrite sous la forme suivante :

$$ \bar{\sigma}^2 = A_1 \sigma_I^2 + 2 A_2 \sigma_I \sigma_{II} + A_3 \sigma_{II}^2 \quad [2] $$
où $A_1, A_2, A_3$ sont calculés en fonction de l'angle $\phi$ et des coefficients d'anisotropie $r_0, r_{45}$ et $r_{90}$.

Un indicateur du risque de striction a été développé à partir de la condition [1], implémenté dans le code EF ABAQUS et examiné sur le test de Nakazima (Knockaert, 2001) et sur un godet cylindrique (Arrieux, 1990) :

$$R^{el} = \sigma_{I} / \sigma_{I}^{cr} \qquad [3]$$

avec :

$$\sigma_{I}^{cr} = \frac{1}{\Phi^{2}} \left[ (1 + \alpha\beta) \cdot G - \frac{\beta (A_{2} + A_{3}\alpha)[A_{1}(\beta A_{2} - A_{3}) + A_{2}(A_{2} - \beta A_{1})]}{(\beta A_{2} - A_{3})^{2}} \right] \sigma_{I} \quad [4]$$

$$\text{où : } \alpha = \sigma_{II} / \sigma_{I}, \quad \Phi = \bar{\sigma} / \sigma_{I} \quad \text{et} \quad G = \partial \bar{\sigma} / \partial \bar{\epsilon}$$

Sur la Figure 1 nous avons reporté la distribution de l'indicateur du risque de striction $R^{el}$. Lorsque $R^{el}$ est supérieur à un, le comportement de la tôle est alors instable et il y a un risque de rupture.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1. Localisation des zones présentant un risque de rupture</figcaption></figure>

### 3. Optimisation des efforts serre-flan

L'exemple présenté ici est un cas-test de la conférence internationale Numisheet'93 (Nakamachi E., 1993). Une boite carrée est obtenue à partir d'un flan carré de 150 mm de coté dont les propriétés mécaniques sont : $E = 71 \text{ GPa}$, $h^0 = 0.81 \text{ mm}$, $\sigma_{eq} = 576.79(0.01658 + \varepsilon_p)^{0.3593}$, $\bar{r} = 0.64$. La force de serrage est égale à 19.6kN.

#### 3.1. Formulation du problème d'optimisation

Plusieurs travaux ont été menés pour l'optimisation de certains paramètres du procédé d'emboutissage en utilisant des critères de qualité variés, (Delamézière et al., 2002), (Naceur et al., 2003). Le problème d'optimisation que nous avons
formulé tient compte des critères économiques et de qualité des pièces. Le but est de déterminer le profil optimal de trois efforts serre-flan (Figure 2.) permettant de réduire au maximum l'énergie apportée à la déformation, nécessaire pour l'opération d'emboutissage, sans qu'il y ait plissement ni rupture. Le problème d'optimisation a six variables. Chacun des trois efforts a deux intervalles de contrôle.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 2.** Approximation quasi-constante par morceau des trois efforts serre-flan (i=1, 2, 3).</figcaption></figure>

La fonction objectif est l'énergie externe, E, du modèle éléments finis : $J = E$

La première fonction objectif contrôle le risque de plissement sous serre-flan. Elle est calculée en fonction de l'angle d'inclinaison, $\theta$, des éléments sous serre-flan par rapport à la surface horizontale de la matrice :

$$G_1 = \begin{cases} \frac{1}{n} \sum_{el} (\sin(\theta_{\min}) - \sin(\theta_{el})) & \text{si } \forall el \in D^{s-f} \quad \theta_{el} < \theta_{\min} \\ \sum_{el \in D^{pl}} (\sin(\theta_{\min}) - \sin(\theta_{el})) & \text{sinon} \end{cases} \quad [5]$$

avec $D^{s-f}$ l'ensemble de tous les éléments sous serre-flan à la fin de l'opération d'emboutissage et $D^{pl}$ l'ensemble des éléments sous serre-flan qui ont un angle d'inclinaison supérieur à $\theta_{\min}$.

La seconde fonction est calculée en fonction de l'indicateur de striction $R^{el}$ :

$$G_2 = \begin{cases} \sum_{el} (1 - R^{el})^2 & \text{si } \forall el \in D, R^{el} < 1 \\ - \sum_{el \in D^s} (1 - R^{el})^2 & \text{sinon} \end{cases} \quad [6]$$

où D est l'ensemble de tous les éléments de la tôle et $D^s$ l'ensemble des éléments qui ont un indicateur de striction, $R^{el}$, supérieur à un.

## 3.2. Procédure d'optimisation

Pour la résolution du problème d'optimisation, nous utilisons la méthode de surface de réponse couplée à une stratégie d'actualisation de l'espace de recherche. En partant d'une série de calculs exacts des fonctions objectif et limitations,
réalisées dans le cadre d'un plan d'expérience en étoile à face centrée, permettant de définir préalablement les n points d'évaluations $x_i$, le problème d'optimisation initial implicite est transformé en un problème explicite dont l'optimum est ensuite déterminé itérativement par un algorithme d'optimisation de type SQP. Une fois que l'optimum est localisé, un nouveau plan d'expériences est réalisé dans son voisinage, et la procédure est répétée jusqu'à la convergence (Figure 3.) (Ben Ayed et al., 2004).

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 3.** Stratégie de discrétisation adaptative de l'espace de recherche (2D)</figcaption></figure>

**3.3. Résultats**

La procédure d'optimisation présentée (section 3.2.) a été appliquée pour l'optimisation des efforts serre-flan de la boîte carrée. Sur la figure 10, nous représentons les profils des efforts serre-flan optimums (a) et les DLF (b) obtenus après optimisation et avant optimisation (force de serrage égale à 19.6 kN). On remarque qu'avec les trois efforts de serrage optimum tous les points sont au dessous de la CLF de sécurité, ce qui était l'objectif affiché. Cependant avec un seul effort serre-flan il y a risque de rupture (observé expérimentalement). En ce qui concerne le phénomène de plissement, nous avons réussi à réduire l'angle d'inclinaison maximal des éléments sous serre-flan, de 15 degrés à 8 degrés. Quand à l'énergie externe, elle a été diminuée de 20 kJ après optimisation (2.5%).

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Figure 4.** Résultats de l'optimisation : Profils des efforts serres-flan optimums et diagramme limite de formage</figcaption></figure>

**4. Conclusion**
Une procédure automatique d'optimisation des efforts serre-flan pour l'amélioration de la faisabilité de tôles embouties et de la fiabilité du procédé d'emboutissage est présentée. Une stratégie d'optimisation basée sur la méthode de surface réponse et une discrétisation adaptive de l'espace de recherche est proposée. La simulation numérique a été totalement couplée à l'optimisation. La striction a été détectée par le critère modifié de force maximale (CMFM). Des travaux futurs appliqueront cette méthodologie à des cas industriels.

Nous remercions le Ministère de la Recherche pour son soutien dans le cadre du projet RNTL OPTIMAT (décision numéro 02 V0584).

## 5. Bibliographie

Arrieux R., Les critères limites en emboutissage, Physique et Mécanique de la Mise en Forme des Métaux, Ecole d'été d'Oléron Presses de CNRS, pp397-4085, 1990.

Ben Ayed L., Delamézière A., Batoz J.L., Knopf-Lenoir C., Optimization and control of the blankholder force in sheet metal stamping with application to deep drawing, *European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, ECCOMAS 2004*, 24-27 Juillet 2004, Jyväskylä, Finlande. 14 pages sur CD-ROM

Brunet M., Morestin F., Experimental and analytical necking studies of anisotropic sheet metals, Journal of Materials Processing Technology 112 (2001) 214-226.

Considère A., Mémoire sur l'emploi de fer et de l'acier dans les constructions, Annales des Ponts et Chaussées, 9, 574, 1885.

Délamézière A., Contribution à l'optimisation des paramètres du procédé d'emboutissage des tôles minces par l'approche inverse, Thèse de doctorat, Université de Technologie de Compiègne (UTC), 2002.

Hora P. Tong L., Reissner J., A prediction method for ductile sheet metal failure in FE-Simulation. NUMISHEET'96, 3rd. Int. Conf. On Numerical Simulation of 3-D Sheet Metal Forming Processes, Numisheet'96, pp252-256, Dearborn, Michigan, U.S.A., September 29-October 3, 1996.

Naceur H., Breitkopf P., Knopf-Lenoir C., Villon P., Méthode de surface de réponse pour l'optimisation de forme des surface additionnelles de pièces embouties, *Sixième colloque national en calcul des structures*, TOME III, pp215-222, Giens (Var), 20-23 mai 2003, France.

Nakamachi E., Sheet Forming Process Characterization by Static-Explicit Anisotropic Elastic-Plastic Finite element Simulation, NUMISHEET'93, 2nd. Int. Conf., *Numerical Simulation of 3-D Sheet Metal Forming Processes*, pp109-123, 1993.

Swift H. W., Plastic Instability Under Plane Stress. J. Mech. Phys. Solids, V 1, p.1-18, 1952.

Knockaert R., Numerical and experimental study of the strain localization during sheet forming operations, PhD thesis, Ecole des Mines de Paris, 2001.

Villon P., Contribution à l'optimisation, Thèse d'état, Université de Technologie de Compiègne, 1991.