# TD Anisotropie (corrigé)

M.L.M. François

► To cite this version:

M.L.M. François. TD Anisotropie (corrigé). Master. TD Anisotropie (corrigé), Nantes, France. 2025, pp.8. hal-05457030

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Submitted on 13 Jan 2026

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<figure><img src="image_1.png" /></figure>

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# T.D. d'anisotropie et composites

M2 MFS, Module XMS3PE712, Nantes Université, M. L. M. François

Version du 17 octobre 2025

## 1 Exercices de calcul tensoriel

Pour les applications numériques on prendra **U**(3, 4, 0) et **V**(4, -3, 0). Les vecteurs **u** et **v** sont les vecteurs normés colinéaires respectivement à **U** et **V**.

a. Calculer le projecteur **P** sur la direction de **U**.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

$$ \mathbf{P} = \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} $$

$$ P_{ij} = u_i u_j $$

$$ \mathbf{P} = \begin{bmatrix} 9/25 & 12/25 & 0 \\ 12/25 & 16/25 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$

b. Calculer le projecteur **Q** sur le plan $\mathbf{U}^{\perp}$ orthogonal à **U**.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

$$ \mathbf{Q} = \mathbf{l} - \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} $$

$$ Q_{ij} = \delta_{ij} - u_i u_j $$

$$ \mathbf{Q} = \begin{bmatrix} 16/25 & -12/25 & 0 \\ -12/25 & 9/25 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

c. Vérifier que $\mathbf{P} \cdot \mathbf{U} = \mathbf{U}$, que $\mathbf{Q} \cdot \mathbf{U} = \mathbf{0}$, et la caractéristique des projecteurs $PoP = P$ et $QoQ = Q$. Vérifier que $P + Q = \mathbf{l}$ et commenter.

* Trivial depuis $P \cdot P^T = P$, $Q \cdot Q^T = P$. On vérifie aussi $P + Q = \mathbf{l}$. Enfin $P + Q = \mathbf{l}$ car 1) on projette sur **u** et son orthogonal, 2 on le voit dans les formules.

d. Calculer les déterminants de **P** et **Q** et commenter le résultat.

* On trouve 0 à chaque fois. On pert une à deux dimensions en projetant, le volume du trièdre est nul, le déterminant est forcément 0. Calcul en base propre infiniment plus simple !

e. Calculer le tenseur des contraintes $\sigma$ correspondant à une traction d'intensité $\sigma$ dans la direction **u**.

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

$$ \sigma = \sigma \mathbf{u} \otimes \mathbf{u} = \sigma \mathbf{P} $$

f. Compléter la base ($\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$). Écrire la matrice de changement de base de la base canonique vers cette base. Donner $\sigma$ dans la base ($\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$). Par les formules de changement de base, retrouver le tenseur $\sigma$ dans la base canonique. Conclusion sur l'efficacité de cette méthode par rapport à celle de la question (e).
■ Complément de la base othonormée **w** = −**e**₃ va très bien. Le moins pour transfo directe.
Matrice de passage (attention, c'est pas le même P qu'avant...) :

$$
\begin{align*}
\text{cours } P_{ij} &\qquad e_j \cdot E_i \\
P_{i1} &= e_i \cdot u = u_i \\
P_{i2} &= e_i \cdot v = v_i \\
P_{i3} &= e_i \cdot w = w_i \\
\implies P &= \begin{bmatrix}
3/5 & 4/5 & 0 \\
4/5 & -3/5 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}
\end{align*}
$$

Tenseur des contraintes en base propre :

$$
\boldsymbol{\sigma} = \sigma \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}_{(u,v,w)}
$$

Changement de base :

$$
\begin{align*}
\sigma'_{ij} &= P_{ik}^t \cdot \sigma_{kl} \cdot P_{lj} \\
&= \sigma \begin{bmatrix} 3/5 & 4/5 & 0 \\ 4/5 & -3/5 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3/5 & 4/5 & 0 \\ 4/5 & -3/5 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \\
&= \sigma \begin{bmatrix} 3/5 & 4/5 & 0 \\ 4/5 & -3/5 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3/5 & 4/5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\
&= \sigma \begin{bmatrix} 9/25 & 12/25 & 0 \\ 12/25 & 16/25 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
\end{align*}
$$

On retrouve le même résultat que pour la question (e) mais avec beaucoup plus de calculs (alors que la
matrice de passage est en 2d et... symétrique).

$$
\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma} \begin{bmatrix} 9/25 & 12/25 & 0 \\ 12/25 & 16/25 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
$$

g. Calculer le déviateur de ce tenseur : **σ**^D = **σ** – trace(**σ**)|1/3

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

$$
\sigma \begin{bmatrix} 2/75 & 36/75 & 0 \\ 36/75 & 23/75 & 0 \\ 0 & 0 & -25/75 \end{bmatrix}
$$

h. Calculer le critère de Von Mises $\sqrt{3/2}\|\boldsymbol{\sigma}^D\|$ dans la base canonique puis dans la base naturelle (**u**, **v**, **w**)

■ On trouve σ dans les deux cas, puisque c'est un invariant. Mais, dans la base "naturelle" c'est plus simple.

i. Calculer le tenseur des contraintes correspondant à un état de cisaillement pur Σ = τ(u ⊗ v + v ⊗ u).

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

$$
\Sigma = \tau \begin{bmatrix} 24/25 & 7/25 & 0 \\ 7/25 & -24/25 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
$$

j. Calculer la trace, la norme et le critère de Von Mises de Σ dans la base canonique et dans la base naturelle (u, m, p).

■ Trace 0, norme $\sqrt{2\tau}$ et VM $\sqrt{3\tau}$. Bien plus simple en base naturelle.
<figure><img src="image_7.png" /></figure>

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Figure 1 – Jauges (projet hotspot 4) et rosette à 120 degrés</figcaption></figure>

## 2 Exploitation d'une rosette de jauges de déformation

a. Une rosette à 120 degrés est constituée de 3 jauges. On dispose des mesures de la déformation $e_1$ de la jauge a à 0 degrés, $e_2$ de la jauge c à 60 degrés, $e_3$ de la jauge b à 120 degrés, où les angles sont mesurés par rapport à l'axe x. Déterminer la matrice donnant les trois composantes ($\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{12}$) du tenseur des déformations en fonction des trois mesures ($e_1, e_2, e_3$).

■ On se place en 2D !

$$e_i = n_i \cdot \varepsilon \cdot n_i$$

$$ \mathbf{n}_1 \begin{vmatrix} 1 & & & \\ & 0 & & \\ & & \sqrt{3}/2 & \\ & & & \sqrt{3}/2 \end{vmatrix} \quad \mathbf{n}_2 \begin{vmatrix} 1/2 & & & \\ & & & \sqrt{3}/2 & \\ & & & & \\ & & & & \sqrt{3}/2 \end{vmatrix} \quad \mathbf{n}_3 \begin{vmatrix} -1/2 & & & \\ & & & \sqrt{3}/2 & \\ & & & & \\ & & & & \sqrt{3}/2 \end{vmatrix} \\ \left\{ \begin{array}{l} e_1 = \varepsilon_{11} + 0 + 0 \\ e_2 = \varepsilon_{11}/4 + \sqrt{3}/2\varepsilon_{12} + 3\varepsilon_{22}/4 \\ e_3 = \varepsilon_{11}/4 - \sqrt{3}/2\varepsilon_{12} + 3\varepsilon_{22}/4 \end{array} \right. $$

Par somme et différence :

$$\varepsilon_{11} = e_1$$

$$\varepsilon_{22} = (2e_2 + 2e_3 - e_1)/3$$

$$\varepsilon_{12} = (e_3 - e_2)/\sqrt{3}$$

ou, en forme matricielle :

$$ \begin{vmatrix} \varepsilon_{11} & & & \\ \varepsilon_{22} & = & \begin{bmatrix} 1 & & & \\ & -1/3 & & \\ & & 2/3 & \\ & & & \sqrt{3}/3 \end{bmatrix} & \begin{vmatrix} e_1 \\ e_2 \\ e_3 \end{vmatrix} \\ \varepsilon_{12} & & & \end{vmatrix} $$

## 3 Module d'Young d'un matériau tétragonal

On considère l'élasticité plane (2D) d'un matériau tétragonal, c'est à dire qui possède le groupe de symétrie $D_4$, celui du carré, que possède le motif dans la figure 2. On rappelle la forme du tenseur d'élasticité tétragonal en base naturelle de Bechterew 2D :

$$ \bar{S} = \begin{bmatrix} S_{1111} & S_{1122} & 0 \\ & S_{1111} & 0 \\ s & & 2S_{1212} \end{bmatrix} \qquad (1) $$

où s indique la symétrie de la matrice. D'autre part, on rappelle l'expression du module d'Young dans la direction **n** d'angle $\theta$ :

$$E(\mathbf{n}) = (n_i n_j S_{ijk} n_k n_l)^{-1}$$

$$\mathbf{n} = (\cos \theta, \sin \theta)$$

a. Calculer l'équation de la polaire du module d'Young $E(\theta)$.
<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>Figure 2 – Motif avec groupe de symétrie $D_4$ (Wikipedia)</figcaption></figure>

■ En base canonique, depuis ce qui précède :

$$ 
\begin{aligned}
E(\theta) &= (S_{1111}c^4 + S_{1111}s^4 + 2S_{1122}s^2c^2 + 4S_{1212}s^2c^2)^{-1} \\
&= (S_{1111}(c^4 + s^4) + (2S_{1122} + 4S_{1212})s^2c^2)^{-1}
\end{aligned}
$$

En base de tenseurs

$$ 
\begin{aligned}
E(\theta) &= ((\mathbf{n} \otimes \mathbf{n}) : \mathbb{S} : (\mathbf{n} \otimes \mathbf{n}))^{-1} \\
\mathbf{n} \otimes \mathbf{n} &= \begin{bmatrix} n_1^2 = c^2 \\ n_2 = s^2 \\ \sqrt{2}n_1 n_2 = \sqrt{2}sc \end{bmatrix} \\
E^{-1}(\mathbf{n}) &= \begin{bmatrix} c^2 \\ s^2 \\ \sqrt{2}sc \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} S_{1111} & S_{1122} & 0 \\ S_{1111} & 0 & 0 \\ s & 2S_{1212} & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c^2 \\ s^2 \\ \sqrt{2}sc \end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix} c^2 \\ s^2 \\ \sqrt{2}sc \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} S_{1111}c^2 + S_{1122}s^2 \\ S_{1122}c^2 + S_{1111}s^2 \\ 2S_{1212}\sqrt{2}sc \end{bmatrix} \\
E(\theta) &= (S_{1111}(c^4 + s^4) + (2S_{1122} + 4S_{1212})s^2c^2)^{-1} \\
&= (S_{1111}(1 - 2s^2c^2) + (2S_{1122} + 4S_{1212})s^2c^2)^{-1} \quad \text{si besoin} \\
&= (S_{1111} + 2s^2c^2(S_{1122} + 2S_{1212} - S_{1111}))^{-1} \quad \text{si besoin}
\end{aligned}
$$

b. Exprimer $E^{-1}(\theta)$ sous la forme $aC^2 + b$, où $C = \cos(2\theta)$, à l'aide des formules de trigonométrie suivantes :

$$ \cos^2(\theta) = \frac{1+C}{2} $$

$$ \sin^2(\theta) = \frac{1-C}{2} $$

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

$$ 
\begin{aligned}
E^{-1}(\theta) &= S_{1111} \frac{(1+C)^2}{4} + S_{1111} \frac{(1-C)^2}{4} + (2S_{1122} + 4S_{1212}) \frac{(1+C)(1-C)}{4} \\
4E^{-1}(\theta) &= S_{1111}(1+C)^2 + S_{1111}(1-C)^2 + (2S_{1122} + 4S_{1212})(1-C^2) \\
&= S_{1111}((1+C)^2 + (1-C)^2) + (2S_{1122} + 4S_{1212})(1-C^2) \\
&= S_{1111}(1+2SC+C^2+1-2SC+C^2) + (2S_{1122} + 4S_{1212})(1-C^2) \\
2E^{-1}(\theta) &= S_{1111}(1+C^2) + (S_{1122} + 2S_{1212})(1-C^2) \\
E^{-1}(\theta) &= \underbrace{\frac{1}{2}(S_{1111} + S_{1122} + 2S_{1212})}_{b} + \underbrace{\frac{1}{2}(S_{1111} - S_{1122} - 2S_{1212})}_{a} C^2
\end{aligned}
$$

c. La figure 3 donne l'allure de la fonction $E(\theta)$. Depuis vos résultats précédents, déterminer les valeurs $E_m = E(\pi/4)$ et $E_M = E(0)$ du module d'Young en fonction des $S_{ijkl}$.

■ Calcul de $E_m$ :

$$ 
\begin{aligned}
C(\pi/4) &= \cos(\pi/2) = 0 \\
2E_m^{-1} &= S_{1111} + S_{1122} + 2S_{1212} \\
\implies E_m &= \frac{2}{S_{1111} + S_{1122} + 2S_{1212}}
\end{aligned}
$$
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 3 – Polaire du module d'Young E(θ)</figcaption></figure>

Calcul de E<sub>M</sub> :

$$
\begin{align*}
C(0) &= \cos(0) = 1 \\
2E_M^{-1} &= (S_{1111} + S_{1122} + 2S_{1212}) + (S_{1111} - S_{1122} - 2S_{1212}) \\
&= 2S_{1111} \\
\implies E_M &= \frac{1}{S_{1111}}
\end{align*}
$$

d. En déduire les conditions pour que E(θ) > 0, ∀θ.

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

$$
\begin{align*}
E_m > 0 &\implies a > 0 \implies S_{1111} + S_{1122} + 2S_{1212} > 0 \\
E_M > 0 &\implies a + b > 0 \implies S_{1111} > 0
\end{align*}
$$

soit :

$$
\begin{align*}
S_{1111} &> -(S_{1122} + 2S_{1212}) \\
S_{1111} &> 0
\end{align*}
$$

e. Que se passerai-t-il concrètement s'il existait un E(θ) < 0 ? En faisant l'analogie avec un ressort, pour quelle raison physique est-ce impossible ?

■ — (1) le matériau se raccourcirai quand on tire dessus

— (1) car l'énergie serait négative. En prenant le modèle ressort F = kx, cela revient à k < 0 et à l'énergie kx²/2 < 0. Le matériau produirait de l'énergie (spontanément)

f. Donner la condition pour que E ne dépende pas de θ. Préciser la valeur de S<sub>1212</sub> dans ce cas. Écrire la matrice S&#773; correspondante. Combien de constantes d'élasticité indépendante a-t-on ? Quelle classe de symétrie reconnait-on ?

■ Il faut que a le coeff de C² soit nul

$$
\begin{align*}
S_{1111} - S_{1122} - 2S_{1212} &= 0 \\
\Rightarrow S_{1212} &= \frac{S_{1111} - S_{1122}}{2} \\
\Rightarrow \bar{S} &= \begin{bmatrix} S_{1111} & S_{1122} & 0 \\ S_{1111} & S_{1112} & 0 \\ 0 & S_{1111} - S_{1122} & S_{1212} \end{bmatrix}
\end{align*}
$$

On reconnait le tenseur d'élasticité isotrope, déjà car on n'a plus que deux constantes indépendantes.

g. On considère de nouveau le tenseur d'élasticité S&#773; de l'équation [1]. Donner les composantes M<sub>ij</sub> de la matrice de rotation de π/4 (le sens importe peu). Calculer la composante S'<sub>1112</sub> du tenseur S&#773; qui est le tourné de S&#773; de π/4.
<figure><img src="image_13.png" /></figure>

$$M = \begin{bmatrix} \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \\ -\sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \end{bmatrix}$$

Le tourné du tenseur est donné par :

$$S'_{ijkl} = R_{ip}R_{jq}R_{kr}R_{ls}S_{pqrs}$$

On remarque que tous ces termes valent $r = \sqrt{2}/2$ sauf le 12 qui vaut $-r = -\sqrt{2}/2$. En gros, il suffit de regarder si le nombre de 21 est pair (+) ou impair (-) :

$$ \begin{aligned} S'_{1112} &= R_{11}R_{11}R_{11}R_{21}S_{1111} + R_{12}R_{12}R_{12}R_{22}S_{2222} + R_{11}R_{11}R_{12}R_{22}S_{1122} \\ &\quad + R_{12}R_{12}R_{11}R_{21}S_{2211} + R_{11}R_{12}R_{11}R_{23}S_{1212} + R_{11}R_{12}R_{12}R_{21}S_{1221} \\ &\quad + R_{12}R_{11}R_{11}R_{22}S_{2112} + R_{12}R_{11}R_{12}R_{21}S_{2121} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} S'_{1112} &= -r^4 S_{1111} + r^4 S_{2222} + r^4 S_{1122} - r^4 S_{2211} + r^4 S_{1212} - r^4 S_{1221} + r^4 S_{2112} - r^4 S_{2121} \\ &= 0 \end{aligned} $$

h. En observant la figure 3, quel sont les éléments de symétrie (plans de symétrie et axes de symétrie) du tenseur d'élasticité ? En déduire la forme (au sens de l'équation [1]) de la matrice $\tilde{S}'_{ij}$ des composantes de $\tilde{S}'$ dans la base naturelle.

■ Le tenseur d'élasticité est symétrique par rapport aux plans à $\pi/4$ et par rotation de $\pi/4$. Le tenseur tourné $\tilde{S}'$ possède les mêmes éléments de symétrie donc la même forme que celle donnée dans l'équation [1]. D'ailleurs on sait déjà la relation $S'_{1112} = S'_{13} = 0$ depuis la question précédente.

i. On rappelle qu'une matrice $\tilde{M}$ est définie positive si, pour tout vecteur $\tilde{V}$, alors $\tilde{V} \cdot (\tilde{M} \cdot \tilde{V}) > 0$. Cela revient aussi à dire que toutes les valeurs propres de $\tilde{M}$ sont positives. Montrer que, puisqu'un tenseur d'élasticité $\tilde{C}$ est défini positif, alors les modules d'Young sont forcément positifs. Le résultat est-il généralisable en 3D ?

■ — Si le tenseur d'élasticité $\tilde{C}$ est défini positif alors sa matrice associée $\tilde{C}$ aussi, et ses VP $\lambda_i > 0$

— Les inverses aussi $1/\lambda_i > 0$

— donc le tenseur des souplesses $\tilde{S} = \tilde{C}^{-1}$ est aussi défini positif

— donc $\tilde{V} \cdot \tilde{S} \cdot \tilde{V} > 0, \forall \tilde{V}$

— en particulier pour $\tilde{V} = \tilde{N}$, associé à l'écriture en bdt de $\tilde{N} = \mathbf{n} \otimes \mathbf{n}$ et sa matrice $\tilde{N}$ associé :

$$ \tilde{N} = \mathbf{n} \otimes \mathbf{n} = \begin{bmatrix} n_1^2 = c^2 \\ n_2 = s^2 \\ \sqrt{2}n_1 n_2 = \sqrt{2}sc \end{bmatrix} $$

— alors l'inverse de ce terme $E(\theta) = ((\mathbf{n} \otimes \mathbf{n}) : \mathcal{S} : (\mathbf{n} \otimes \mathbf{n}))^{-1} > 0$, pour toute direction $\theta$

— Tout le raisonnement est généralisable en 3D !

## 4 Module de compressibilité en symétrie cubique

Nous avons étudié en master 1 le module de compressibilité hydrostatique $\mathcal{K}$ du sel NaCl. Nous avions admis implicitement qu'une déformation sphérique, du type $\boldsymbol{\varepsilon} = \boldsymbol{\varepsilon}\mathbf{I}$, était associée à une contrainte sphérique, du type $\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}\mathbf{I}$. Nous allons vérifier ici cette assertion est vraie et identifier le module de compressibilité $\mathcal{K}$ en fonction des composantes du tenseur d'élasticité $\mathcal{C}$.

Un tenseur d'élasticité $\mathcal{C}$ de symétrie cubique, dans sa base de Bechterew naturelle, est de la forme suivante :

$$ \bar{C} = \begin{bmatrix} \frac{3k+4\mu}{3} & \frac{3k-2\mu}{3} & \frac{3k-2\mu}{3} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{3k-2\mu}{3k-2\mu} & \frac{3k+4\mu}{3k-2\mu} & \frac{3k-2\mu}{3k-2\mu} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{3}{3k-2\mu} & \frac{3}{3k-2\mu} & \frac{3}{3k+4\mu} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & G & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & G & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & G \end{bmatrix} $$

où $(k, \mu, G)$ sont trois constantes d'élasticité. On rappelle la correspondance entre les composantes en base de Bechterew et en base canonique : $\bar{C}_{11} = C_{1111}$, $\bar{C}_{12} = C_{1122}$, $\bar{C}_{44} = 2C_{2323}$.

a. Vérifier qu'une déformation sphérique est un tenseur propre de $\mathcal{C}$.
■ En posant $\epsilon = \epsilon_I$ on obtient :

$\sigma = \mathbb{C} : \epsilon_I$

$$ \begin{bmatrix} \frac{3k+4\mu}{3} & \frac{3k-2\mu}{3} & \frac{3k-2\mu}{3} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{3k-2\mu}{3} & \frac{3k+4\mu}{3} & \frac{3k-2\mu}{3} & 0 & 0 & 0 \\ \frac{3k-2\mu}{3} & \frac{3k-2\mu}{3} & \frac{3k+4\mu}{3} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & G & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & G & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & G \end{bmatrix} \cdot \varepsilon \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = \varepsilon \begin{bmatrix} 3k \\ 3k \\ 3k \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$

Donc $I$ est VP de $\mathbb{C}$ (1 point).

b. En déduire le module de Kelvin $3K$ associé.

■ C'est la valeur propre. donc :

$3K = 3k$

c. L'allure du tenseur des souplesses $\mathbb{S}$ est en tout point similaire à celle du tenseur des rigidités $\mathbb{C}$ ci-dessus. Pourquoi ?

■ Car il est cubique lui aussi. (2 points)

d. Calculer les composantes $\bar{S}_{IJ}$ du tenseur des souplesses $\mathbb{S}$, dans cette même base de Bechterew, en fonction de $(K, \mu, G)$. On rappelle que $\mathbb{C} : \mathbb{S} : \mathbb{I} = \mathbb{I}$.

■ On pose $\bar{S}_{IK}\bar{C}_{KJ} = \delta_{IJ}$ et on résout. Il vient :

$$ \begin{align*} \bar{S}_{11} &= \bar{S}_{22} = \bar{S}_{33} = \frac{\bar{C}_{11} + \bar{C}_{12}}{\bar{C}_{11}(\bar{C}_{11} + \bar{C}_{12}) - 2\bar{C}_{12}^2} \\ \bar{S}_{12} &= \bar{S}_{23} = \bar{S}_{31} = \frac{\bar{C}_{12}}{2\bar{C}_{12}^2 - \bar{C}_{11}(\bar{C}_{11} + \bar{C}_{12})} \\ \bar{S}_{44} &= \bar{S}_{55} = \bar{S}_{66} = \frac{1}{\bar{C}_{44}} \end{align*} $$

1 point chaque si c'et bon et qu'on a pas remplacé par $(K, \mu, G)$. Au final :

$$ \bar{S}_{11} = \frac{3K + \mu}{9K\mu} \text{(2points)} $$

$$ \bar{S}_{12} = \frac{2\mu - 3K}{18K\mu} \text{(2points)} $$

$$ \bar{S}_{44} = \frac{1}{G} \text{(2points)} $$

e. Calculer la valeur de l'invariant $\mathbb{I} : \mathbb{S} : \mathbb{I}$ (où $\mathbb{I}$ est le tenseur identité du second ordre), tout d'abord en fonction des composantes $\bar{S}_{IJ}$ de $\mathbb{S}$, supposées connues puis, si vous avez fait la question précédente, en fonction de $(K, \mu, G)$.

■ En base canonique :

$$ \begin{align*} \mathbb{I} : \mathbb{S} : \mathbb{I} &= \delta_{ij}S_{ijkl}\delta_{kl} = S_{iikk} \\ &= S_{1111} + S_{1122} + S_{1133} + S_{2211} + S_{2222} + S_{2233} + S_{3311} + S_{3322} + S_{3333} \\ &= 3\bar{S}_{11} + 6\bar{S}_{12} \end{align*} $$

En base de Bechterew

$$ \begin{align*} \mathbb{I} : \mathbb{S} : \mathbb{I} &= \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \bar{S}_{11} & \bar{S}_{12} & \bar{S}_{12} & 0 & 0 & 0 \\ \bar{S}_{12} & \bar{S}_{11} & \bar{S}_{12} & 0 & 0 & 0 \\ \bar{S}_{12} & \bar{S}_{12} & \bar{S}_{11} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bar{S}_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \bar{S}_{44} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \bar{C}_{44} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \\ &= 3\bar{S}_{11} + 6\bar{S}_{12} \text{(2points)} \\ &= \frac{1}{K} \text{(1point)} \end{align*} $$
f. On rappelle l'expression de la matrice de Bond utilisée pour les rotations de tenseurs 3D :

$$
R \begin{bmatrix}
R_{11}^2 & R_{12}^2 & R_{13}^2 & \sqrt{2}R_{12}R_{13} & \sqrt{2}R_{11}R_{13} & \sqrt{2}R_{11}R_{12} \\
R_{21}^2 & R_{22}^2 & R_{23}^2 & \sqrt{2}R_{22}R_{23} & \sqrt{2}R_{21}R_{23} & \sqrt{2}R_{22}R_{21} \\
R_{31}^2 & R_{32}^2 & R_{33}^2 & \sqrt{2}R_{33}R_{32} & \sqrt{2}R_{33}R_{31} & \sqrt{2}R_{31}R_{32} \\
\sqrt{2}R_{21}R_{31} & \sqrt{2}R_{22}R_{32} & \sqrt{2}R_{23}R_{33} & R_{22}R_{33} + R_{23}R_{32} & R_{21}R_{33} + R_{23}R_{31} & R_{22}R_{31} + R_{21}R_{32} \\
\sqrt{2}R_{11}R_{31} & \sqrt{2}R_{12}R_{32} & \sqrt{2}R_{13}R_{33} & R_{12}R_{33} + R_{13}R_{32} & R_{13}R_{31} + R_{11}R_{33} & R_{11}R_{32} + R_{12}R_{31} \\
\sqrt{2}R_{11}R_{21} & \sqrt{2}R_{12}R_{22} & \sqrt{2}R_{13}R_{23} & R_{12}R_{23} + R_{13}R_{22} & R_{13}R_{21} + R_{11}R_{23} & R_{11}R_{22} + R_{12}R_{21}
\end{bmatrix}
$$

Déterminer la matrice de rotation $R_{ij}$ (en base canonique) autour de $\mathbf{e}_3$ et d'angle $\pi/4$. En déduire la matrice de Bond exprimée ci-dessus en base de Bechterew.

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

$$
r = \begin{bmatrix} \sqrt{2}/2 & -\sqrt{2}/2 & 0 \\ \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad (1\text{point})
$$

On trouve :

$$
R \begin{bmatrix}
1/2 & 1/2 & 0 & 0 & 0 & -\sqrt{2}/2 \\
1/2 & 1/2 & 0 & 0 & 0 & \sqrt{2}/2 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -\sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 & 0 \\
\sqrt{2}/2 & -\sqrt{2}/2 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \quad (2\text{points})
$$

g. Calculer les composantes du tenseur $\mathcal{C}$ tourné par la rotation $R$ données par : $\mathcal{R}(C)_{IJ} = R_{IP}R_{JQ}C_{PQ} = R_{IP}C_{PQ}R_{QI}^T$.

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

$$
R.C = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} \frac{6K+2\mu}{2} & \frac{6K+2\mu}{2} & 3K-2\mu & 0 & 0 & -\frac{3G}{\sqrt{2}} \\ \frac{6K+2\mu}{2} & \frac{6K+2\mu}{2} & 3K-2\mu & 0 & 0 & \frac{3G}{\sqrt{2}} \\ 3K-2\mu & 3K-2\mu & 3K+4\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{3G}{\sqrt{2}} & \frac{3G}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{3G}{\sqrt{2}} & \frac{3G}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{6\mu}{\sqrt{2}} & -\frac{6\mu}{\sqrt{2}} & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
$$
$$
R.C.R^T = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} \frac{3K+\mu}{2} & \frac{3K+\mu}{2} & 3K-2\mu & 0 & 0 & 0 \\ \frac{3K+\mu}{2} & \frac{3K+\mu}{2} & 3K-2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 3K-2\mu & 3K-2\mu & 3K+4\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3G & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3G & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6\mu \end{bmatrix}
$$