SUR LA CONSTRUCTION DE LA SOLUTION FONDAMENTALE
DE L'ÉQUATION PARABOLIQUE
AUX COEFFICIENTS NON BORNÉS

PAR

J. CHABROWSKI (KATOWICE)

Aronson et Besala (voir [1]) ont construit récemment la solution fondamentale de l'équation de la forme

$$ (1) \quad LU = \frac{\partial U}{\partial t} - \sum_{i,j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_j} \left\{ a_{ij}(t, x) \frac{\partial U}{\partial x_i} \right\} - \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_j} \{ a_j(t, x) U \} - \sum_{j=1}^{n} b_j(t, x) \frac{\partial U}{\partial x_j} - c(t, x) U = 0 $$

où $a_{ij}(t, x) = a_{ji}(t, x)$, $i, j = 1, \dots, n$ et $x = (x_1, \dots, x_n)$ dont les coefficients admettent la croissance suivante à l'infini:

$$ \left| \frac{\partial a_{ij}}{\partial x_j} \right|, |a_j|, |b_j| \le \text{const} \cdot (|x|^2+1)^{1/2}, \\ |a_{ji}| \le \text{const} \cdot (|x|^2+1)^{\frac{2-\lambda}{2}}, \quad c + \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial a_j}{\partial x_j}, \\ c - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial b_j}{\partial x_j} \le \text{const} \cdot (|x|^2+1)^{\lambda/2}, \quad \text{où } \lambda \in [0, 2], |x|^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2. $$

La communication présente contient la construction de la solution fondamentale soûs les hypothèses plus générales (théorème 1) et celle d'Aronson et Besala qui en résulte comme un cas particulier (exemple I).

1. Introduisons d'abord les hypothèses et les définitions. Soit $A(s)$ une fonction de classe $C^1$ dans $[1, \infty)$ et satisfaisant aux conditions

$$ (a) \quad A(s) > 0 \text{ pour } s \ge 1, \qquad (b) \quad \int_{1}^{\infty} \frac{ds}{\sqrt{A(s)}} = \infty, $$

$$ (c) \quad \sqrt{A(s)} \le M_1 s \int_{1}^{s} \frac{dt}{\sqrt{A(t)}} \quad \text{et} \quad (d) \quad \left| \frac{d}{ds} \sqrt{A(s)} \right| \le M_2 \int_{1}^{s} \frac{dt}{\sqrt{A(t)}}. $$
Les coefficients de l'équation (1) seront supposés soumis aux hypothèses suivantes:

I. Les fonctions $a_{ij}$, $\partial a_{ij}/\partial x_j$, $a_j$, $\partial a_j/\partial x_j$, $b_j$, $\partial b_j/\partial x_j$ et $c$ sont définies et localement hölderiennes par rapport aux variables $(t, x)$ dans la couche $H = (0, T] \times E_n$ ($E_n$ étant l'espace euclidien à $n$ dimensions et $T$ un nombre positif) et de plus

$$ \left| \frac{\partial a_{ij}(t, x)}{\partial x_j} \right|, |a_j(t, x)|, |b_j(t, x)| \le K_2 \sqrt{A(r_1)} \int_1^{r_1(x)} \frac{ds}{\sqrt{A(s)}}, \\ c(t,x) + \sum_{j=1}^n \frac{\partial a_j(t, x)}{\partial x_j}, \quad c(t,x) - \sum_{j=1}^n \frac{\partial b_j(t, x)}{\partial x_j} \le K_3 \left[ \int_1^{r_1(x)} \frac{ds}{\sqrt{A(s)}} \right]^2, $$

où $r_1(x) = (|x|^2+2)^{1/2}$, $i,j = 1, \dots, n$ ($K_2$ et $K_3$ étant des constantes positives).

II. Il existe des constantes positives $\nu$ et $K_1$ telles que

$$ \nu |\xi|^2 \le \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}(t,x) \xi_i \xi_j \le K_1 A(r_1) |\xi|^2 $$

pour tout vecteur $\xi = (\xi_1, \dots, \xi_n)$ et tout $(t, x) \in H$.

Une fonction $\Gamma(t, x; \tau, \xi)$ définie pour $x, \xi \in E_n$ et $0 \le \tau < t \le T$ est dite la solution fondamentale de l'équation (1) lorsqu'elle satisfait aux deux conditions suivantes:

1. $\Gamma(t, x; \tau, \xi)$, en tant que fonction de $(t, x)$ pour chaque point fixé $(\tau, \xi) \in [0, T) \times E_n$, possède les dérivées $\Gamma x_i$, $\Gamma x_i x_j$ (où $i, j = 1, \dots, n$) et $\Gamma_t$ continues dans $(\tau, T] \times E_n$, et elle y satisfait à l'équation $L\Gamma = 0$).

2. Si $h(x)$ est une fonction continue au support compact dans $E_n$, alors

$$ \lim_{(t,x) \to (\tau+, x_0)} \int_{E_n} \Gamma(t, x; \tau, \xi) h(\xi) d\xi = h(x_0) \quad \text{pour tout } x_0 \in E_n. $$

2. La méthode employée sera celle d'Aronson et Besala de leur travail [1]. Définissons pour un $\alpha > 0$ la fonction

$$ g_{\alpha}(t, x) = (\alpha + \beta t) \left[ \int_{1}^{r_{1}(x)} \frac{ds}{\sqrt{A(s)}} \right]^{2} $$

pour $(t, x) \in \bar{H}_{\alpha} = [0, T_{\alpha}] \times E_{n}$, où les constantes positives $\beta(\alpha)$ et $T_{\alpha}$ seront choisies respectivement tout à l'heure, et posons

$$ u_{\alpha}(t, x) = e^{-\sigma_{\alpha}(t, x)} U(t, x) $$

pour tout $(t, x) \in H_{\alpha}$. La fonction $u_{\alpha}$ satisfait à l'équation

$$ LU = e^{\sigma_a} \left\{ \frac{\partial U}{\partial t} - \sum_{i,j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_j} \left( a_{ij} \frac{\partial u_a}{\partial x_i} \right) - \sum_{j=1}^{n} a_j \frac{\partial u_a}{\partial x_j} - c^a u_a \right\} = e^{\sigma_a} L^a u_a, $$
où

$$a_j^a = a_j + b_j + 2 \sum_{i=1}^{n} a_{ij} \frac{\partial g_a}{\partial x_i},$$

$$c^a = c + \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial a_j}{\partial x_j} + \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \frac{\partial g_a}{\partial x_i} \frac{\partial g_a}{\partial x_j} + \sum_{j=1}^{n} (a_j + b_j) \frac{\partial g_a}{\partial x_j} + \\ + \sum_{i,j=1}^{n} \frac{\partial a_{ij}}{\partial x_j} \frac{\partial g_a}{\partial x_i} + \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \frac{\partial^2 g_a}{\partial x_i \partial x_j} - \frac{\partial g_a}{\partial t}.$$

Vu que $r_1(x) \ge \sqrt{2}$, on peut admettre que $\int_{i}^{r_1(x)} \frac{ds}{\sqrt{A(s)}} \ge 1$. On a en vertu des hypothèses I et II

$$c^a(t, x) \le K_3 \left[ \int_{i}^{r_1(x)} \frac{ds}{\sqrt{A(s)}} \right]^2 + K_1 A(r_1) |\nabla_x g_a|^2 + (2+n) K_2 \sqrt{A(r_1)} \times \\ \times \int_{i}^{r_1(x)} \frac{ds}{\sqrt{A(s)}} \sum_{i=1}^{n} \left| \frac{\partial g_a}{\partial x_i} \right| + \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \frac{\partial^2 g_a}{\partial x_i \partial x_j} - \frac{\partial g_a}{\partial t} = C^a(t, x)$$

où

$$\nabla_x g_a = \left( \frac{\partial g_a}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial g_a}{\partial x_n} \right).$$

On en tire par un calcul simple

$$C^a(t, x) \le K_3 \left[ \int_{i}^{r_1(x)} \frac{ds}{\sqrt{A(s)}} \right]^2 + 4(a + \beta t)^2 K_1 \left[ \int_{i}^{r_1(x)} \frac{ds}{\sqrt{A(s)}} \right]^2 + \\ + 2(a + \beta t)(2+n)n K_2 \left[ \int_{i}^{r_1(x)} \frac{ds}{\sqrt{A(s)}} \right]^2 + 2(a + \beta t) K_1 M_1 \left[ \int_{i}^{r_1(x)} \frac{ds}{\sqrt{A(s)}} \right]^2 + \\ + 2(a + \beta t) K_1 M_2 \left[ \int_{i}^{r_1(x)} \frac{ds}{\sqrt{A(s)}} \right]^2 + (2a + \beta t) K_1 + \\ + 2n(a + \beta t) K_1 M_1 \left[ \int_{i}^{r_1(x)} \frac{ds}{\sqrt{A(s)}} \right]^2 - \beta \left[ \int_{i}^{r_1(x)} \frac{ds}{\sqrt{A(s)}} \right]^2 \\ \le \{ K_3 + 4(a + \beta t)^2 K_1 + 2(a + \beta t)(2+n)n K_2 + 2(a + \beta t) K_1 M_1 + \\ + 2(a + \beta t) K_1 M_2 + 2(a + \beta t) K_1 + 2n(a + \beta t) K_1 M_1 - \beta \} \left[ \int_{i}^{r_1(x)} \frac{ds}{\sqrt{A(s)}} \right]^2 \\ = Q(t) \left[ \int_{i}^{r_1(x)} \frac{ds}{\sqrt{A(s)}} \right]^2.$$

Choisisons à présent les constantes $\beta(a)$ et $T_a$ en posant
$$ \beta(a) = 2\{K_3+4a^2K_1+2n(2+n)K_2a+2aK_1M_1+2aK_1M_2+2aK_1 \\ +2naK_1M_1\}, $$ 
$$ T_a = \min(T, \hat{T}_a), $$

où $\hat{T}_a$ est la racine positive de l'équation $Q(t) = -\beta(a)/4$. Il est évident que $C^a(t, x) < 0$ dans $H_a$. Remarquons que $T_a$ est une fonction non croissante par rapport au paramètre $a$ et que de plus

$$ \lim_{a \to \infty} T_a = 0, \quad \lim_{a \to 0} T_a = T_0(K_1, K_2, K_3, M_1, M_2). $$

On a en particulier $0 < T_a \le T_0$ pour $a \in (0, \infty)$.

Il est clair que $LU = 0$ dans $H_a$ si et seulement si $L^a u_a = 0$. Si $\gamma_a(t, x; \tau, \xi)$ est la solution fondamentale de l'équation $L^a u = 0$, la fonction

$$ \Gamma(t, x; \tau, \xi) = e^{\sigma_a(t,x)-\sigma_a(\tau,\xi)} \gamma_a(t, x; \tau, \xi) $$

est la solution fondamentale de l'équation $LU = 0$. Il suffit donc de construire la solution fondamentale de l'équation $L^a u = 0$.

**THÉORÈME 1.** *Les hypothèses I et II étant satisfaites, il existe la solution fondamentale de l'équation $L^a u = 0$ définie pour $x, \xi \in E_n$ et $0 \le \tau < t \le T_a$. Cette solution fondamentale possède les propriétés suivantes:*

$$ (2) \quad \int_{E_n} \gamma_a(t, x; \tau, \xi) d\xi \le 1 \quad \text{pour} \quad (t, x) \in (\tau, T_a] \times E_n, $$

$$ (3) \quad 0 \le \gamma_a(t, x; \tau, \xi) \le k(t-\tau)^{-n/2} \quad \text{pour } x, \xi \in E_n \text{ et } 0 \le \tau < t \le T_a \\ \text{(la constante } k > 0 \text{ dépendant de } n \text{ et } v \text{ mais ne dépendant pas de } a\text{).} $$

**Démonstration.** La démonstration est strictement analogue à celle du théorème I dans [1]; c'est pourquoi je la présente ici en abrégé.

Soit $\Sigma_a^m = \{|x| < m\} \times (0, T_a]$ pour $m = 1, 2, \dots$. Les coefficients de l'opérateur $L^a$ sont hölderiens dans $\Sigma_a^m$; il existe donc la fonction de Green $\gamma_a^m(t, x; \tau, \xi)$ (voir [3]). On sait qu'elle l'est aussi par rapport aux variables $\tau, \xi$ pour l'opérateur $\tilde{L}^a$, adjoint à $L^a$, qui prend la forme

$$ \tilde{L}^a v = -\frac{\partial v}{\partial t} - \sum_{i,j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial \xi_i} \left( a_{ij} \frac{\partial v}{\partial \xi_j} \right) + \sum_{j=1}^{n} a_j^a \frac{\partial v}{\partial \xi_j} - \tilde{c}^a v, $$

où

$$ \tilde{c}^a = c - \sum_{i,j=1}^{n} \frac{\partial b_j}{\partial \xi_j} + \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \frac{\partial g_a}{\partial \xi_i} \frac{\partial g_a}{\partial \xi_j} + \sum_{j=1}^{n} (a_j + b_j) \frac{\partial g_a}{\partial \xi_j} - \\ - \sum_{i,j=1}^{n} \frac{\partial a_{ij}}{\partial \xi_j} \frac{\partial g_a}{\partial \xi_j} - \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \frac{\partial^2 g_a}{\partial \xi_i \partial \xi_j} - \frac{\partial g_a}{\partial \tau}. $$

Il est évident que $\tilde{c}^a(t, x) \le C^a(t, x) < 0$ dans $H_a$. Les coefficients $c^a$ et $\tilde{c}^a$ sont négatifs; en appliquant donc le principe d'extremum, il est facile de montrer que
$$
(4) \quad \int_{|\xi|<m} \gamma_a^m(t, x; \tau, \xi) d\xi \le 1 \quad \text{pour } |x| \le m \text{ et } 0 \le \tau < t \le T_a,
$$

$$
(5) \quad \int_{|x|<m} \gamma_a^m(t, x; \tau, \xi) dx \le 1 \quad \text{pour } |\xi| \le m \text{ et } 0 \le \tau < t \le T_a
$$

et qu'en outre $\gamma_a^{m+1}(t, x; \tau, \xi) \ge \gamma_a^m(t, x; \tau, \xi)$ dans $\bar{\Sigma}_a^m$ pourvu que $\xi \in \Sigma_a^m$.

En posant $\gamma_a^m(t, x; \tau, \xi) = 0$ pour $|x|$ ou $|\xi| \ge m$, on a

$$
\begin{align*}
(6) \quad 0 &\le \gamma_a^1(t, x; \tau, \xi) \le \gamma_a^2(t, x; \tau, \xi) \le \dots \le \gamma_a^m(t, x; \tau, \xi) \\
&\le \gamma_a^{m+1}(t, x; \tau, \xi) \le \dots
\end{align*}
$$

pour tous $x, \xi \in E_n$ et $0 \le \tau < t \le T_a$. Il résulte de (4), (5) et (6) que la
suite $\{\gamma_a^m(t, x; \tau, \xi)\}$ converge presque partout vers une limite qui est
finie presque partout. Pour démontrer l'inégalité (3), on peut utiliser
la méthode employée par Nash dans son travail [5], à savoir: $(\tau, \xi) \in [0, T_a) \times
\times E_n$ étant un point fixé arbitrairement, posons

$$
E_{\alpha}^{m}(t) = \int_{|x|<m} \{\gamma_{\alpha}^{m}(t, x; \tau, \xi)\}^{2} dx
$$

pour $t > \tau$, où m est choisi de façon que $|\xi| < m$. Alors

$$
\begin{align*}
\frac{d}{dt} E_a^m(t) &= 2 \int_{|x|<m} \gamma_a^m \frac{\partial}{\partial t} \gamma_a^m dx \\
&= 2 \int_{|x|<m} \gamma_a^m \left\{ \sum_{i,j=1}^n \frac{\partial}{\partial x_j} \left( a_{ij} \frac{\partial \gamma_a^m}{\partial x_i} \right) + \sum_{i=1}^n a_j^a \frac{\partial \gamma_a^m}{\partial x_j} + c^a \gamma_a^{m+1} \right\} dx.
\end{align*}
$$

Les fonctions $\gamma_a^m$ et $\nabla_x \gamma_a^m$ sont continues pour $|x| < m$ et $t > \tau$; on a en outre $\gamma_a^m = 0$ pour $|x| = m$ (voir [3]). Par conséquent, on a en vertu du théorème de Green

$$
\frac{d}{dt} E_a^m(t) = -2 \int_{|x|<m} a_{ij} \frac{\partial \gamma_a^m}{\partial x_i} \frac{\partial \gamma_a^m}{\partial x_j} dx + 2 \int_{|x|<m} \left( c^a - \frac{1}{2} \sum_{j=1}^n \frac{\partial a_j^a}{\partial x_j} \right) (\gamma_a^m)^2 dx,
$$

où

$$
\begin{align*}
c^a - \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial a_j^a}{\partial x_j} \\
&= c + \frac{1}{2} \left\{ \sum_{j=1}^{n} \left( \frac{\partial a_j}{\partial x_j} - \frac{\partial b_j}{\partial x_j} \right) + \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \frac{\partial g_a}{\partial x_i} \frac{\partial g_a}{\partial x_j} + \sum_{j=1}^{n} (a_j + b_j) \frac{\partial g_a}{\partial x_j} - \frac{\partial g_a}{\partial t} \right\} \\
&\le C^a(t, x) < 0
\end{align*}
$$

dans $H_a$. L'hypothèse II et la dernière inégalité entraînent

$$
(7) \quad \frac{d}{dt} E^m(t) \le -2\nu \int_{|x|<m} |\Delta_x \gamma_a^m|^2 dx.
$$
La fonction $\gamma_a^m$ appartient à la classe $W^{1/2}(|x| < m)$ et elle est continue pour $|x| < m$ et $\gamma_a^m = 0$ pour $|x| = m$; on a par conséquent $\gamma_a^m \in W_0^{1,2}(|x| < m)$ (voir [6], p. 104, théorème 2). En posant donc $\gamma_a^m = 0$ pour $|x| \ge m$, on a $\gamma_a^m \in W_0^{1,2}(E_n)$. Il résulte de l'inégalité de Nirenberg (voir [6], p. 68, théorème 4) que

$$ \int_{|x|<m} (\gamma_a^m)^2 dx \le \beta \left( \int_{|x|<m} |\nabla_x \gamma_a^m|^2 dx \right)^{n/(2+n)} \left( \int_{|x|<m} \gamma_a^m dx \right)^{4/(n+2)}, $$

où $\beta$ est une constante dépendant de $n$. Il est clair que

$$ \int_{|x|<m} |\nabla_x \gamma_a^m|^2 dx \ge \beta^{-(1+2/n)} (E_a^m)^{1+2/n} = \tilde{\beta}^{-1} (E_a^m)^{1+2/n}, $$

d'où en vertu de (7)

$$ \frac{d}{dt} \{(E_a^m)^{-2/n}\} \ge \frac{4\nu}{\tilde{\beta}n}. $$

On sait que $\lim_{t \to \tau+} E_a^m(t) = \infty$ (voir [3]); en intégrant donc dans $(\tau, t)$, on trouve

$$ (8) \quad \int_{|x|<m} \{\gamma_a^m(t, x; \tau, \xi)\}^2 dx \le \left(\frac{\tilde{\beta}n}{4\nu}\right)^{n/2} (t-\tau)^{-n/2} \quad \text{pour } t > \tau $$

et pareillement

$$ (9) \quad \int_{|\xi|<m} \{\gamma_a^m(t, x; \tau, \xi)\}^2 d\xi \le \left(\frac{\tilde{\beta}n}{4\nu}\right)^{n/2} (t-\tau)^{-n/2} \quad \text{pour } t > \tau. $$

D'une part, les fonctions $\gamma_a^m$ satisfont à l'identité de Kolmogorov

$$ \gamma_a^m(t, x; \tau, \xi) = \int_{|\xi|<m} \gamma_a^m\left(t, x; \frac{t+\tau}{2}, y\right) \gamma_a^m\left(\frac{t+\tau}{2}, \xi; \tau, y\right) dy $$

pour $|x|, |\xi| < m$ et $0 \le \tau < t \le T_a$. D'autre part, en appliquant l'inégalité de Schwartz, on conclut de (8) et (9) que

$$ (10) \quad \gamma_a^m(t, x; \tau, \xi) \le \left(\frac{\tilde{\beta}n}{4\nu}\right)^{n/2} (t-\tau)^{-n/2} = k(t-\tau)^{-n/2}. $$

Si l'on prolonge les fonctions $\gamma_a^m$ en posant $\gamma_a^m = 0$ pour $|x| \text{ ou } |\xi| \ge m$, l'inégalité (10) reste valable pour tous $x, \xi \in E_n$ et $0 \le \tau < t \le T_a$. Observons que la constante $k$ dans l'inégalité (10) ne dépend pas de $\alpha$ et $m$. La suite $\gamma_a^m$ étant non-décroissante et bornée, il en existe la limite pour $(t, x)$, $(\tau, \xi) \in \bar{H}_a$ où $t > \tau$, à savoir $\lim_{m \to \infty} \gamma_a^m = \gamma_a$. Le passage à la limite dans (9), (4) et (5) conduit aux inégalités $0 \le \gamma_a(t, x; \tau, \xi) \le k(t-\tau)^{-n/2}$, $\int_{E_n} \gamma_a(t, x; \tau, \xi) d\xi \le 1$ et $\int_{E_n} \gamma_a(t, x; \tau, \xi) dx \le 1$ pour tous $x, \xi \in E_n$ et $0 \le \tau < t \le T_a$.
Reste à prouver que $\gamma_a$ est la solution fondamentale. Soient $(\tau, \xi) \in [0, T_a) \times E_n$ un point fixé et $D$ un domaine borné arbitraire contenu dans $(\tau, T_a] \times E_n$. Choisissons un domaine borné $\mathcal{D}$ tel que $\bar{D} \subset \mathcal{D} \subset \bar{\mathcal{D}} \subset (\tau, T_a] \times E_n$. On a $|\xi| < m$ et $\bar{\mathcal{D}} \subset \Sigma_a^m$ pour $m$ suffisamment grand; en outre, $L^a \gamma_a^m = 0$ pour $(t, x) \in \bar{\mathcal{D}}$ et

$$ \gamma_a^m(t, x; \tau, \xi) \le k \left[ \min_{(t,x) \in \bar{\mathcal{D}}} (t-\tau) \right]^{-n/2}. $$

Les estimations intérieures de Schauder et Friedman (voir [3]) permettent de choisir une suite $\gamma_a^{mv}$ qui converge uniformément vers $\bar{\gamma}_a$ dans $\bar{D}$ avec ses dérivées $\partial/\partial x_i$, $\partial^2/\partial x_i \partial x_j$ et $\partial/\partial t$ où $i, j = 1, ..., n$. Il est clair que $L^a \bar{\gamma}_a = 0$, mais d'après la convergence monotone de toute la suite $\gamma_a^m$ vers $\gamma_a$, on a $\bar{\gamma}_a = \gamma_a$, donc $L^a \gamma_a = 0$ pour $x, \xi \in E_n$ et $0 \le \tau < t \le T_a$.

Tout comme dans le travail [1], on prouve que si $x_0$ appartient à l'intérieur d'un ensemble compact $\Sigma$, on a

$$ (11) \qquad \lim_{(t,x) \to (\tau+, x_0)} \int_{\Sigma} \gamma_a(t, x; \tau, \xi) d\xi = 1 $$

et que si $x_0$ appartient à l'intérieur d'un ensemble compact $\Sigma_0 \subset \Sigma$, on a

$$ (12) \qquad \lim_{(t,x) \to (\tau+, x_0)} \int_{\Sigma - \Sigma_0} \gamma_a(t, x; \tau, \xi) d\xi = 0. $$

En utilisant les formules (11) et (12), on établit facilement la propriété $2^\circ$ de la définition de la solution fondamentale.

## EXEMPLES

I. Si $A(s) = s^{2-\lambda}$ où $0 \le \lambda \le 2$, on a $|a_{ij}| = O((|x|^2+1)^{(2-\lambda)/2})$, $|b_i| = O((|x|^2+1)^{1/2})$ et

$$ c = \begin{cases} O((|x|^2+1)^{\lambda/2}) & \text{pour } \lambda > 0, \\ O(\ln^2(|x|^2+2)) & \text{pour } \lambda = 0. \end{cases} $$

Ce cas a été traité par Aronson et Besala sous l'hypothèse que $c \le \text{const}$ lorsque $\lambda = 0$.

II. Si $A(s) = e^{-2s}$, on a $a_{ij} = O(e^{-2(|x|^2+1)^{1/2}})$, $|b_i| \le \text{const}$, $c = O(e^{(|x|^2+1)^{1/2}})$.

Le théoreme suivant est une conséquence immédiate du théorème 1 qui vient d'être démontré:

**THÉORÈME 2.** *Les hypothèses I et II étant satisfaites, il existe pour tout $\alpha > 0$ la solution fondamentale de l'équation (1) et elle est donnée par la formule*

$$ \Gamma(t, x; \tau, \xi) = e^{\alpha_a(t, x) - \alpha_a(\tau, \xi)} \gamma_a(t, x; \tau, \xi) $$
*pour $x, \xi \in E_n$ et $0 \le \tau < t \le T_a$.*
### 3. La solution fondamentale construite dans la section 2 permet de résoudre le problème de Cauchy dans la classe des fonctions ayant la croissance suivante à l'infini:

$$ (13) \qquad |u(t, x)| \le M \exp K \left[ \int_1^{r_1(x)} \frac{ds}{\sqrt{A(s)}} \right]^2. $$

Désignons en effet par $E_A(K, T)$ la classe des fonctions définies dans $[0, T] \times E_n$ et satisfaisant à l'inégalité (13).

**THÉORÈME 3.** *Les hypothèses I et II étant satisfaites, soient $h(x)$ une fonction continue dans $E_n$ de classe $E_A(\alpha, T)$ et $f(t, x)$ une fonction locale-ment hölderienne dans $H$, de classe $E_A(\alpha, T)$. Alors la fonction*

$$ (14) \qquad U(t, x) = \int_{E_n} \Gamma(t, x; 0, \xi) h(\xi) d\xi - \int_0^t d\tau \int_{E_n} \Gamma(t, x; \tau, \xi) f(\tau, \xi) d\xi $$

*est l'unique solution du problème de Cauchy*

$$ (15) \qquad LU = f \quad \text{pour } (t, x) \in (0, T_a] \times E_n, $$

$$ (16) \qquad U(0, x) = h(x) \quad \text{pour } x \in E_n $$

*dans la classe $E_A(\alpha + \beta(\alpha)T_a, T_a)$.*

L'unicité en résulte du théorème 2 de [2]. La démonstration que la fonction $U(t, x)$ définie par la formule (14) satisfait à (15) et (16) est tout à fait analogue à celle du théorème III de [1]; c'est pourquoi elle est omise ici.

## TRAVAUX CITÉS

[1] D. G. Aronson and P. Besala, *Parabolic equations with unbounded coefficients*, Journal of Differential Equations 3 (1967), p. 1-14.

[2] J. Chabrowski, *Sur un système non linéaire d'inégalités différentielles paraboliques dans un domaine non borné*. Annales Polonici Mathematici 22 (1969), p. 27-35.

[3] A. Friedman, *Partial differential equations of parabolic type*, Printice-Hall, Englewood Cliffs, 1964.

[4] A. N. Il'in, A. S. Kalashnikov and O. A. Olejnik, *Second order linear equations of parabolic type*, Russian Mathematical Surveys 17 (1962), No. 3, p. 1-143.

[5] J. Nash, *Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations*, American Journal of Mathematics 80 (1958), p. 931-954.

[6] J. Serrin, *Introduction to differentiation theory* (Lecture Notes), University of Minnesota, 1965.

*Reçu par la Rédaction le 8. 4. 1968*