alors F est une fonction convexe finie continue sur $L_n^\infty(\Omega)$. La fonction duale $F^*$ est de la forme :

$$ 
\begin{align} 
s \in L_n^1(\Omega) &\mapsto F^*(s) = G(s) = \int_{x \in \Omega} g(s(x),x) \tag{6.53} \\ 
s \notin L_n^1(\Omega) &\mapsto F^*(s) = +\infty \nonumber 
\end{align} 
$$

avec pour corollaire :

**Corollaire 6.2. Dualité pour les espaces de fonctions continues**

On considère un sous-espace $\mathbb{E}_c \subset L_n^\infty(\Omega)$, muni d'une topologie au moins aussi forte que celle de ce dernier, et son dual topologique $\mathbb{E}_c'$.

On suppose qu'aucune des fonctionnelles de la forme

$$ e \in \mathbb{E}_c \mapsto \langle e, s \rangle \text{ où } s \in L_n^1(\Omega) $$

n'est identiquement nulle sur $\mathbb{E}_c$.

Alors sous les hypothèses du théorème 6.6 la fonction F est convexe finie et continue sur $\mathbb{E}_c$ et sa duale $F^*$ est de la forme (6.53).

C'est en particulier le cas d'un espace de fonctions continues ou différentiables et l'espace de mesures ou de distributions qui est son dual.
# Chapitre 7

## Convexité, lois d'effort et problèmes d'équilibre

### 7.1 Introduction

Les lois d'effort, au sens général que nous en avons donné en 3.2 dérivent très souvent d'un potentiel : l'une des deux variables, cinématique ou sthétique, est le gradient d'une fonction de l'autre. Le cas le plus banal est celui de l'élasticité linéaire : la contrainte est, au signe près, le gradient de l'énergie élastique de déformation<fnref n="1" />.

Grâce à la théorie des fonctions duales cette formulation se généralise à un vaste domaine de lois d'effort, comme l'élasticité non linéaire et le comportement rigide-plastique (Nayroles [26]) tout en symétrisant le rôle des deux variables. On peut ainsi étendre les propriétés de stationnarité qui caractérisent les solutions comme nous le détaillions dans [28] et [29] et dans le présent chapitre.

D'une façon générale on pourra parler de "surpotentiels" puisque l'analyse convexe étend la notion de gradient à celle de sous-gradient. Ainsi les théories de plasticité expriment-elles la vitesse de déformation plastique comme un sous-gradient du surpotentiel constitué par la fonction indicatrice du domaine d'élasticité.

Plus tard Géry de Saxcé et ses élèves développèrent la "méthode du bipoventiel" (fonction de deux variables convexe pour chacune d'elles) pour modéliser des situations plus complexes comme celle du frottement sec (Saxcé [43]). Il en a donné récemment une présentation synthétique qui peut agréablement initier le lecteur à cette approche (Saxcé [44]).

Dans ce chapitre nous considérons un solide de type quelconque : tridimensionnel, plaque ou autre. Il occupe un domaine $\Omega$ de l'espace euclidien $E^p$, $1 \le p \le 3$, muni de la mesure de Lebesgue.

<footnote n="1">1. Il s'agit bien sûr de ce que certains puristes nomment "hyper-élasticité linéaire", vocable pendant pour dire qu'on est dans le cas banal...</footnote>
## 7.2 Fonctions duales et lois d'effort dans la dualité déplacements-charges

Considérons la dualité $(\mathbb{U}, \langle \cdot, \cdot \rangle_u, \mathbb{F})$. Très souvent les lois d'efforts sur cet élément mécanique dérivent d'un potentiel $U(u)$ de déplacement ou de vitesses c'est-à-dire que la loi d'effort est $F = -\text{grad } U(u)$ ou, plus généralement si $U$ est convexe (voire un sous-espace vectoriel dans le cas d'une liaison bilatérale), $F \in -\partial U(e)$.

Comme exemples banals citons le cas d'un effort constant $F_o$ pour lequel $U = \langle \cdot, F_o \rangle_u$, ou encore celui d'une liaison unilatérale : $F \in -\partial \Psi_C(u)$ où $C$ désigne un convexe dans lequel doit rester le point figuratif $u$ tandis que la réaction d'appui $F$ est nulle ou dirigée vers l'intérieur de $C$.

En un point $x \in \Omega$ la déformation généralisée $e(x)$ et la contrainte généralisée $s(x)$ sont représentées par des vecteurs de $\mathbb{R}^n$, leur véritable nature tenso-rielle étant indifférente dans ce qui suit. Dans les théories de viscosité ou de plasticité on doit d'ailleurs remplacer $e(x)$ par la vitesse de déformation $\dot{e}(x)$.

## 7.3 Fonctions duales et lois d'effort dans la dualité déformations-contraintes

### Définition 7.1.

En (presque) tout point $x \in \Omega$ on se donne une fonction :

$$e \in \mathbb{R}^n \mapsto w(e, x) \in \bar{\mathbb{R}}^{\mathbb{R}^n} \qquad (7.1)$$

convexe et semi-continue inférieurement par rapport à la variable $e$.

On considère sa duale $w^*(\cdot, x)$ pour la forme bilinéaire du travail virtuel :

$$\begin{align*} (e, s) &\mapsto \langle e, s \rangle_x = -e \cdot s \\ w^*(s, x) &= \sup_{\epsilon} [\langle e, s \rangle_x - w(e, x)] \end{align*}$$

On nomme souvent $w(\cdot, x)$ sur-potentiel de déformation et sa duale $w^*(\cdot, x)$ sur-potentiel de contrainte.

La forme locale de la loi de comportement définit alors le couple $(e, -s)$ comme couple de points conjugués par rapport au couple de fonctions duales $(w, w^*)$ :

$$A(x) = 0 \text{ avec : } A(x) = w(e(x), x) + w^*(-s(x), x) - \langle e(x), -s(x) \rangle_x \quad (7.2)$$

tandis que sa forme globale s'écrit, sous les hypothèses du théorème 6.4 :

$$p.p.x \in \Omega : A(x) = 0 \iff W(e) + W^*(-s) - \langle e, -s \rangle = 0 \qquad (7.3)$$

Lorsque $w$ est différentiable par rapport à $e$ la relation (7.2) équivaut évidemment à :

$$s = -\frac{\partial w}{\partial e}$$

et $w(e, x)$ est, au sens large des surpotentiels, la densité d'énergie potentielle de déformation.
### 7.3.1 Un exemple en l'élasticité non-linéaire

Dans tout cet alinéa on considère la dualité $(\mathbb{X}, \langle \cdot, \cdot \rangle, \mathbb{Y})$ et deux convexes $C \in \mathbb{X}, C^0 \in \mathbb{Y}$ mutuellement polaires.

#### Définition 7.2. Jauge d'un convexe

Soit $C$ un convexe contenant l'origine de $\mathbb{X}$. On nomme jauge de ce convexe la fonction $\mathcal{J}_C$ :

$$ \mathcal{J}_C(x) = \inf \{k \in ]0, +\infty[ \mid x \in k C\} \qquad (7.4) $$

#### Proposition 7.1. Jauges conjuguées

On considère la dualité $(\mathbb{X}, \langle \cdot, \cdot \rangle, \mathbb{Y})$ et deux convexes $C \in \mathbb{X}, C^0 \in \mathbb{Y}$ mutuellement polaires. La fonction d'appui de l'un, $C^0$ par exemple, est la jauge $\mathcal{J}_C$ de l'autre ; On dit que les jauges $\mathcal{J}_C$ et $\mathcal{J}_{C^0}$ sont conjuguées.

En effet :

$$ \mathcal{J}_C(x) = \inf \{k \in ]0, +\infty[ \mid x \in k C\} = \sup_{y \in C^0} \langle x, y \rangle = \Psi_{C^0}^*(x) \qquad (7.5) $$

Rappelons au passage une propriété des jauges :

#### Proposition 7.2. Jauges et normes

Soit $\mathbb{X}$ un espace vectoriel réel et $C$ une partie convexe de $\mathbb{X}$ ; si $C$ a les trois propriétés suivantes :

- C est "absorbant" i.e. :

$$ \forall x \in \mathbb{X} \ \exists r > 0 : \ \mathrm{r} x \in C $$

ce qui est une condition nécessaire et suffisante pour que $\mathcal{J}_C$ soit finie partout,

- C ne contient pas de demi-droite issue de l'origine,

- C est "équilibré" :

$$ x \in C^0 \Rightarrow -x \in C^0 $$

alors $\mathcal{J}_{C^0}$ est une norme.

On a la propriété suivante :

#### Proposition 7.3. Un exemple de "duales de Young"

Soient :

- C et $C^0$ deux convexes mutuellement polaires,

- p et q deux réels l'un et l'autre inclus dans l'intervalle ouvert $]0, 1[$ et qui vérifient :

$$ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \qquad (7.6) $$

Alors la fonction $w = \frac{1}{p}(\mathcal{J}_C)^p$ a pour duale $w^* = \frac{1}{q}(\mathcal{J}_{C^0})^q$.

Calculons en effet la polaire de $w$ ; on a :

$$ w^*(y) = \sup_{x \in \mathbb{X}} \left[ \langle x, y \rangle - \frac{1}{p} (\mathcal{J}_C(x))^p \right] $$
et, comme C est absorbant on peut écrire :

$$w^*(y) = \sup_{J_C(x)=1} \sup_{r \ge 0} \left[ r \langle x, y \rangle - r^p \frac{1}{p} (\mathcal{J}_C(x))^p \right]$$

et après du maximum par rapport à r :

$$w^*(y) = \sup_{J_C(x)=1} \frac{1}{q} [\langle x, y \rangle]^q$$

$$w^*(y) = \frac{1}{q} [\Psi_{C}^{*}(y)]^{q} = \frac{1}{q} [\mathcal{J}_{C^{o}}(y)]^{q}$$

Les notions de jauges conjuguées et de duales de Young sont détaillées par Moreau dans le chapitre 14 de[24].

### Cas particuliers

Le cas de l'élasticité linéaire est celui où $p = q = 2$.

Pour ($p = 1$ ; $q = +\infty$) on est dans le cas de la plasticité classique lorsque y est une vitesse de déformation plastique ; w est la fonction d'appui du domaine d'élasticité $C^o$ tandis que $w^*$ est son indicatrice.

Il s'agit bien d'un cas limite ; en effet si $p$ est fini et tend vers 1 alors $q$ tend vers l'infini en sorte que :

$$s \in C^o \Rightarrow \mathcal{J}_{C^o}(s) \le 1 \Rightarrow \lim_{q \to +\infty} \frac{1}{q} (\mathcal{J}_{C^o}(s))^q = 0$$

$$s \notin C^o \Rightarrow \mathcal{J}_{C^o}(s) > 1 \Rightarrow \lim_{q \to +\infty} \frac{1}{q} (\mathcal{J}_{C^o}(s))^q = +\infty$$

comme on pouvait s'y attendre.

L'autre cas limite est celui où ($p = +\infty$ , $q = 1$) ; il concerne généralement la dualité entre déplacements et efforts : c'est celui d'une liaison unilatérale sans frottement qui impose à la variable géométrique $x$ de rester dans le convexe C tandis que l'effort de liaison $y$ est nul si $u$ est intérieur à C et dirigé selon sa normale intérieure si $x$ est sur sa frontière. Les "matériaux à blocage" relèvent aussi de ce schéma : $x$ est une déformation et $y$ une contrainte.

## 7.4 Problèmes d'équilibre

### 7.4.1 Les données d'un problème d'équilibre

#### Hypothèse 7.1. État de référence

Les contraintes sont nulles et la température uniforme dans l'état de référence à partir duquel sont comptées les déformations.

#### Équations de liaison et diagrammes de dualité

On note $(\mathbb{U}, \langle \cdot, \cdot \rangle_u, \mathbb{F})$ la dualité entre l'espace vectoriel des déplacements de la structure libre de toute liaison explicite et l'espace des charges qui lui est
associé.

De nouvelles<fnref n="2" /> liaisons affines sans frottement imposent un déplacement *u* de
la forme :

$$
u = u^o + v \in u^o + V \qquad (7.7)
$$

où $u^o$ est un déplacement imposé connu et $V$ un sous-espace vectoriel fermé de $U$.

Le diagramme de la figure 7.1 complète notre diagramme classique à quatre
espaces par la dualité quotient ($\mathbb{V}$, $\langle \cdot, \cdot \rangle_v$, $\Phi$) où $\Phi = \mathbb{F}/\mathbb{V}^o$.

I désigne l'injection de V dans U et sa transposée Q l'application canoni-
nique du quotient.

<table><caption>FIGURE 7.1 – Dualité à six espaces</caption>
  <thead>
    <tr>
      <th>Variables</th>
      <th>Dualités</th>
      <th>Variables</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <td>v</td>
      <td>V<br>⟨·,·⟩<sub>v</sub></td>
      <td>Φ = F/V<sup>o</sup><br>φ</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>u, u<sup>o</sup></td>
      <td>I<br>⟨·,·⟩<sub>u</sub></td>
      <td>Q<br>↑<br>F<br>F</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>e, e<sup>o</sup>, ε</td>
      <td>D<br>⟨·,·⟩<sub>ε</sub></td>
      <td>S<br>↑<br>S<br>s, σ</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

En posant $\Delta = \mathcal{D} \circ \mathcal{I}$ on a $\Delta' = \mathcal{D} \circ \mathcal{D}'$ on réduit le diagramme utile aux quatre espaces de la figure 7.2.

<table><caption>FIGURE 7.2 – Dualité réduite à quatre espaces</caption>
  <thead>
    <tr>
      <th>Variables</th>
      <th>Dualités</th>
      <th>Variables</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <td>v</td>
      <td>V<br>⟨·,·⟩<sub>v</sub></td>
      <td>Φ<br>φ</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>e, e<sup>o</sup>, ε</td>
      <td>Δ<br>↓<br>E<br>⟨·,·⟩<sub>ε</sub></td>
      <td>Δ'<br>↑<br>S<br>s, σ</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

La déformation totale est de la forme

$$
e = \varepsilon + e^0 \tag{7.8}
$$

$$
\text{avec : } \varepsilon = \mathcal{D}v = \Delta v \qquad (7.9)
$$

$$
\text{et : } e^0 = \mathcal{D}u^0 + e^{00} \qquad (7.10)
$$

<footnote n="2">2. c'est-à-dire indépendantes des éventuelles liaisons implicites qui interviennent dans la défi-
nition de U.</footnote>
où $\mathcal{D}$ est l'opérateur de déformation tandis que $e^o$ est la déformation impo-
sée totale, somme de la contribution de $u^o$ et d'un second terme $e^{oo}$, dû par
exemple à la dilatation thermique<fnref n="3" />, ou encore à un quelque autre phénomène
physico-chimique.

On suppose qu'aucun de ces deux termes n'a d'influence sur la loi de compor-
tement qui s'écrit comme en (7.18).

Efforts et équation d'équilibre

Dans les diagrammes 7.1 et 7.2 on a noté $F$ la charge vue de la dualité $(\mathbb{U}, \langle \cdot, \cdot \rangle_u, \mathbb{F})$ et $\varphi = \mathcal{D}F$ sa traduction en termes de la dualité quotient $(\mathbb{V}, \langle \cdot, \cdot \rangle_v, \Phi)$.

L'équation d'équilibre entre charge et contraintes s'écrit donc,
soit :

$$
F + \mathcal{D}^t s = 0 \tag{7.11}
$$

pour la première dualité, soit :

$$
\varphi + \Delta^t s = 0 \tag{7.12}
$$

pour la seconde.

Dans tout ce qui suit on suppose que les lois d'effort sont formulées en
termes de points conjugués par rapport à un couple de fonctions duales.

Lois de charge

On suppose la loi de charge de la forme $F \in -\partial U(u)$ où $U$ est convexe s.c.i. et admet donc une duale $U^*$. On écrit donc :

$$
U(u) + U^*(-F) - \langle u, -F \rangle_u = 0 \quad (7.13)
$$

$$
V(v) + V^*(-\varphi) - \langle v, -\varphi \rangle_v = 0 \quad (7.14)
$$

où :

$$
V(v) = U(v + u^o) \tag{7.15}
$$

Il est intéressant de calculer la duale de $V$ pour la dualité $(\mathbb{V}, \langle \cdot, \cdot \rangle_v, \Phi)$. On a d'après (6.24) :

$$
U^*(\cdot + u^o) = U^* - \langle u^o, \cdot \rangle_u
$$

et d'après (6.47), en supposant que le sous-espace vectoriel $\mathbb{V}$ rencontre l'intérieur de $\text{dom } U$ :

$$
\begin{align*}
V^*(QF) &= [U(\cdot + u^o) + \Psi_{\mathbb{V}}]^* (F) \\
&= \min_{F' \in \mathcal{V}^o} [U^*(F - F') - \langle u^o, F - F' \rangle]
\end{align*}
$$

Alors d'après le corollaire 6.1 :

$$
V^*(\varphi) = \min_{F \in \mathcal{Q}^{(-1)}(\varphi)} [U^*(F) - \langle u^o, F \rangle] \quad (7.16)
$$

<footnote n="3">3. dans ce cas $e^{oo} = -\chi\theta$, où $\chi \in \mathbb{E}$ est le tenseur des coefficients de dilatation thermique et $\theta$ la
différence entre la température actuelle et celle de l'état de référence.</footnote>
## Loi de comportement

Elle s'exprime en termes des fonctions duales $W$ et $W^*$ :

$$W(e) + W^*(-s) - \langle e, -s \rangle_e = 0 \qquad (7.17)$$

soit, en tenant compte de la liaison (7.8) et de la règle de translation (6.24) :

$$W(\varepsilon) + W^*(-s) - \langle \varepsilon + e^o, -s \rangle_e = 0 \qquad (7.18)$$

## Système à résoudre

En ne gardant que les quatre inconnues $v \in \mathbb{V}, \varepsilon \in \mathbb{E}, \varphi \in \Phi, s \in \mathbb{S}$ les équations précédentes se réduisent au système suivant :

$$\varepsilon = \Delta v \qquad (7.19a)$$

$$\Delta^t s + \varphi = 0 \qquad (7.19b)$$

$$V(v) + W(\varepsilon + e^o) + V^*(-\varphi) + W^*(-s) - \langle v, -\varphi \rangle_v - \langle \varepsilon + e^o, -s \rangle_e = 0 \qquad (7.19c)$$

où, en vertu de l'inégalité de Fenchel, l'unique équation (7.19c) équivaut aux deux lois d'effort (7.14) et (7.18).

## 7.4.2 Propriétés d'extremum et existence des solutions

Éliminons maintenant les inconnues $\varepsilon$ et $\varphi$ en utilisant les relations (7.19a, 7.19b) et en utilisant la transposition pour faire disparaître $v$ et $\varepsilon$ du second membre de (7.30).

Considérons les fonctions :

$$v \in \mathbb{V} \mapsto \mathcal{E}_p(v) = V(v) + W(\Delta v + e^o) \qquad (7.20a)$$

$$s \in \mathbb{S} \mapsto \mathcal{E}_c(s) = -V^*(\Delta^t s) - W^*(-s) - \langle e^o, s \rangle_e \qquad (7.20b)$$

en sorte que le système précédent équivaut à l'équation :

$$\mathcal{E}_p = \mathcal{E}_c \qquad (7.21)$$

La fonction $\mathcal{E}_p$ est classiquement l'énergie potentielle du système mécanique.

Les mécaniciens des structures utilisent traditionnellement un vocabulaire plus confidentiel en nommant $\mathcal{E}_c$ "énergie complémentaire".

## Utilisation de la dualité produit

La dualité produit :

$$(\mathbb{V} \times \mathbb{E}, \langle \cdot, \cdot \rangle) = \langle \cdot, \cdot \rangle_v + \langle \cdot, \cdot \rangle_e, \Phi \times \mathbb{S})$$

simplifie les concepts et les démonstrations.
**Proposition 7.4.**

- 1. Les sous-espaces $\mathbb{P} = \{(v, \Delta v) \in \mathbb{V} \times \mathbb{E}\}$ et $\mathbb{Q} = \{(-\Delta's, s) \in \Phi \times \mathbb{S}\}$ sont mutuellement polaires.

- 2. Pour la dualité produit la fonction

$$ (v, e) \in \mathbb{V} \times \mathbb{E} \mapsto E_p(v, e) = V(v) + W(e + e^0) \quad (7.22) $$

a pour duale la fonction

$$ (\varphi, s) \in \Phi \times \mathbb{S} \mapsto -E_c(\varphi, s) = V^*(\varphi) + W^*(s) - \langle e^0, s \rangle_e \quad (7.23) $$

- La fonction $\mathcal{E}_p$ est la restriction de $E_p$ à $\mathbb{P}$ et $\mathcal{E}_c$ celle de $E_c$ à $\mathbb{Q}$.

En effet le point 1. a fait l'objet de la proposition 2.25.

Le point 2. résulte immédiatement du découplage des variables $(v, \varphi)$ et $(\varepsilon, e)$.

Le point 3. est tautologique.

**Existence et propriétés des minimums**

**Hypothèse 7.2.**

Les fonctions $V, W(\cdot + e^0), V^*$ et $W^* - \langle e^0, \cdot \rangle_e$ sont majorées au voisinage de l'origine.

Comme $(V, V^*)$ et $(W(\cdot + e^0), W^* - \langle e^0, \cdot \rangle_e)$ sont deux paires de fonctions duales le théorème 6.3 assure alors l'existence d'un minimum de chacune des fonctions $E_p$ et $-E_c$ sur les sous-espaces fermés respectifs $\mathbb{P}$ et $\mathbb{Q}$, c'est -à-dire l'existence d'un minimum pour chacune des restrictions $\mathcal{E}_p$ et $-\mathcal{E}_c$.

Si maintenant $E_c$ est minimum en $(v_1, \Delta v_1) \in \mathbb{P}$ alors, comme l'énonce la formule (6.44) de la proposition 6.13 :

$$ \exists(-\Delta's_1, s_1) \in \partial E_p(v_1, \Delta v_1) $$

soit en exprimant la conjugaison des vecteurs orthogonaux $(v_1, \Delta v_1)$ et $(-\Delta's_1, s_1)$ : par rapport au couple de fonctions duales $E_p$ et $-E_c$ :

$$ E_p(v_1, \Delta v_1) - E_c(-\Delta's_1, s_1) = 0 $$

c'est-à-dire, pour leurs restrictions :

$$ \mathcal{E}_p(v_1) - \mathcal{E}_c(s_1) = 0 $$

et donc $(v_1, s_1)$ est solution de l'équation (7.21).

La démonstration symétrique s'applique aux couples $(\Delta s_1, s_1)$ qui maximisent l'énergie complémentaire $E_c$.

Enfin si $(v_1, s_1)$ est une solution et si $\mathcal{E}_p$ (resp. $\mathcal{E}_c$) est strictement convexe alors $v_1$ (resp. $s_1$) est unique.

On peut donc énoncer le théorème :

**Théorème 7.1. Existence et propriétés extrémales des solutions**

Sous l'hypothèse 7.2 le système (7.19a,7.19b,7.19c), équivalent à l'équation $\mathcal{E}_p = \mathcal{E}_c$, admet des solutions qui minimisent l'énergie potentielle $\mathcal{E}_p$ et maximisent l'énergie complémentaire $\mathcal{E}_c$.
### 7.4.3 La fonctionnelle de Reissner

On nomme ainsi la fonctionnelle

$$ (v, s) \in \mathbb{V} \times \mathbb{S} \mapsto \mathcal{R}(v, s) = -W^*(-s) - \langle e^0, s \rangle_e + V(v) - \langle v, \Delta^t s \rangle_v \quad (7.24) $$

est une "fonction-selle" c'est-à-dire que, pour tout $s$, elle est convexe par rapport à $v$ et, pour tout $v$, concave par rapport à $s$.

On dit que $(v_1, s_1)$ est un "col" de $\mathcal{R}$ si :

$$ \mathcal{R}(v_1, s_1) = \min_{v \in \mathbb{V}} \mathcal{R}(v, s_1) = \max_{s \in \mathbb{S}} \mathcal{R}(v_1, s) \quad (7.25) $$

$(v_1, s_1)$ vérifie alors :

$$ 0 \in \partial_v \mathcal{R}(v_1, s_1) \quad (7.26) $$

$$ 0 \in \partial_s [-\mathcal{R}(v_1, s_1)] \quad (7.27) $$

et $\mathcal{R}$ est stationnaire en $(v_1, s_1)$.

#### Théorème 7.2. Stationnarité de la fonctionnelle de Reissner

Le couple $(v_1, s_1)$ est solution du problème d'équilibre si et seulement s'il est un col de $\mathcal{R}$.

En effet on a :

$$ 0 \in \partial_v \mathcal{R}(v_1, s_1) = \partial V(v_1) - \Delta^t s_1 \iff \exists \varphi_1 \in \partial V(v_1) : \varphi_1 + \Delta^t s_1 = 0 $$

$$ 0 \in \partial_s \mathcal{R}(v_1, s_1) = \partial W^*(-s_1) - e^0 - \Delta v \iff \exists e_1 \in \partial W^*(-s_1) : e_1 = e^0 + \Delta v $$

en sorte que la stationnarité en $v$ équivaut à l'équilibre entre une charge $\varphi_1$ et la contrainte $s_1$,

tandis que la stationnarité en $v$ équivaut à la vérification de la loi de comportement par $e^0 + \Delta v$ et $s_1$.

#### Cas où la charge est une constante donnée $\varphi^0$

C'est la situation communément traitée dans la littérature. Que deviennent les formules précédentes ?

On note $s^0$ une solution particulière de l'équation d'équilibre :

$$ \varphi^0 + \Delta s^0 = 0 $$

et l'on pose :

$$ \varepsilon = \Delta v \in \Delta(\mathbb{V}) $$

$$ \sigma = s - s^0 \in \Delta^{t-1}(\Phi) $$

L'énergie potentielle s'écrit alors :

$$ \mathcal{E}_p(v) = W(\Delta v + e^0) - \langle v, \varphi^0 \rangle_v = W(\varepsilon + e^0) + \langle \varepsilon, s^0 \rangle_e \quad (7.28) $$

On calcule maintenant les expressions de $V$ et de sa duale :

$$ V = -\langle \cdot, \varphi^0 \rangle_e ; V^* = \Psi_{\{-\varphi^0\}} \quad (7.29) $$

ce qui donne pour l'énergie complémentaire :

$$ s \in \mathbb{S} \mapsto \mathcal{E}_c(s) = -W^*(-\sigma - s^0) - \langle e^0, \sigma + s^0 \rangle_e \quad (7.30) $$

et pour la fonctionnelle de Reissner :

$$ \mathcal{R}(v, s) = -W^*(-s) - \langle e^0, s \rangle_e - \langle v, \varphi^0 + \Delta^t s \rangle_v \quad (7.31) $$
# Chapitre 8

## Réduction du nombre de degrés de liberté en élasticité linéaire

### 8.1 Pourquoi réduire le nombre des degrés de liberté

La modélisation numérique des structures utilise un nombre de degrés de liberté dont la croissance accompagne celle de la puissance de calcul disponible ; parallèlement l'amélioration des techniques de résolution des grands systèmes d'équations permet de conserver une précision satisfaisante. On peut donc espérer que ce développement engendrera des codes plus généraux et plus précis.

De fait la majorité de ces codes concerne surtout les types de structures qu'ils permettent de calculer pour les lois de comportement disponibles ; cependant ils se limitent le plus souvent à des problèmes courants pour des structures banales, ce qui couvre en effet la quasi totalité de la demande industrielle.

À côté de cette situation courante il est cependant bien des problèmes peu banals qui sont à la modélisation ce que les maladies orphelines sont à la médecine ! Leur résolution demande un utilisateur averti qui sache tenir compte de leurs spécificités : précision souhaitée, distribution très particulière des champs, zones connues pour leur fragilité, mécanismes de flambement connus expérimentalement etc.

S'ils sont suffisamment conviviaux les codes "ouverts" permettent effective- ment une intervention minutieuse de l'ingénieur ou du chercheur ; la construc- tion d'une modélisation adéquate est alors beaucoup plus efficace que la mise en œuvre d'un processus standard.

Il arrive aussi qu'on ne dispose que d'un ordinateur personnel pour construire la bonne modélisation ; la réduction du nombre des degrés de liberté est alors nécessaire à sa mise en œuvre. Au demeurant cette modélisation ne servira qu'un petit nombre de fois : une dizaine d'heures de calcul sur un ordinateur personnel reste un délai très raisonnable pour son exécution, et même négligeable à côté du temps passé à imaginer et à construire la bonne solution.
En fin de compte, quelle que soit la puissance de calcul disponible, les techniques de réduction permettent de traiter des problèmes dont la taille excède les capacités de la machine.

## Solutions quasi-exactes

La solution numérique qu'on obtiendrait par une modélisation très fine de la structure est très voisine de la solution exacte. Nous nommerons "solution quasi-exacte" cette solution finement approchée qui peut servir de référence pour l'évaluation d'approximations plus grossières qui l'encadrent : c'est l'écart entre ces dernières qui témoigne de la précision obtenue. Encore faudrait-il préciser ce qu'on entend par encadrement.

Les grandes structures sont le plus souvent composées de nombreuses sous-structures ; on peut réaliser une modélisation très fine de celles-ci, mais leur nombre rend impraticable l'assemblage qui conduirait à une solution quasi-exacte pour la structure complète. En pratique on réduit le nombre de ddl des sous-structures avant leur assemblage.

On dispose de deux types de réduction : cinématique d'une part, sthénique de l'autre, pour obtenir un encadrement de la raideur de chacune des sous-structures, et, après assemblage, un encadrement de la raideur globale.

L'approximation cinématique est banale : elle consiste à construire des champs cinématiquement admissibles dont on minimise l'énergie potentielle. C'est une des bases de la méthode des éléments finis.

L'approximation sthénique consiste à construire des champs statiquement admissibles dont on maximise l'énergie complémentaire.

Cette construction est difficile pour un milieu continu, sauf si l'on connaît une sorte de fonction d'Airy qui permette d'engendrer une famille de champs auto-équilibrés dense dans le noyau de l'opérateur d'équilibre. Mais lorsqu'on dispose d'un maillage fin d'une sous-structure on peut réaliser une réduction sthénique qui, associée à une réduction cinématique, fournira un encadrement, non pas de la solution exacte, mais de la solution quasi-exacte, sans qu'on ait besoin de calculer cette dernière.

En menant en parallèle les réductions sthéniques et cinématiques des sous-structures on obtient, après assemblage, un encadrement de la solution quasi-exacte globale.

Cette technique de calcul nous a permis, dans une étude de stabilité des grilles d'assemblage réalisée pour Framatome, de réduire le nombre de nœuds utiles (6 ddl par nœud) de plusieurs dizaines de milliers à 18 pour un encadrement de la solution quasi-exacte à 2 ou 3% près, encadrement confirmé par l'expérience.

Nous verrons que la méthode dite "frontale" [5] ou encore de "condensation statique" est une variante, sans perte de précision, de la méthode de réduction sthénique.

**Terminologie** Les réductions du nombre de ddl engendrent des solutions approchées du problème initial. C'est pourquoi nous utiliserons indifféremment
les vocables "approximation" ou "réduction".

## 8.2 Méthode générale de réduction en élasticité linéaire

### Notations 8.1. Formes bilinéaires et matrices

Pour simplifier les notations on notera toujours par $\langle u, f \rangle$ la forme bilinéaire $u'f$ où $u$ et $f$ sont des colonnes de $\mathbb{R}^n$.

Toutes les matrices seront encadrées par des crochets indépendamment de leur nature (rectangulaire, colonnes, lignes) comme par exemple dans la formule (8.4)

### 8.2.1 Deux éléments mécaniques pour la même structure

On considère une structure élastique dite "originelle", représentée par l'élément mécanique $S$ :

$$S = (U, \langle \cdot, \cdot \rangle, F)$$

où les espaces $U$ et $F$ sont identifiés à $\mathbb{R}^n$. On note $K$ sa raideur et $ker(K)$ le noyau de celle-ci.

On souhaite remplacer $S$ par une structure "réduite" :

$$S' = (V, \langle \cdot, \cdot \rangle, G)$$

où les espaces $V$ et $G$ sont identifiés à $\mathbb{R}^p$, avec $p < n$. A cette fin on se donne un système linéaire :

$$Au - Bv = 0, \quad A \in \mathbb{R}^{m \times n}, \quad B \in \mathbb{R}^{m \times p}, \quad n \ge m, n \ge p \qquad (8.1)$$

et l'on pose le problème suivant :

**Problème 8.1. Problème de base**

Soit $g \in G$ un effort exercé sur $S^r$ ; trouver $(u, v, f) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^p \times F$ solution du système

$$Ku = f \qquad (8.2a)$$

$$Au - Bv = 0 \qquad (8.2b)$$

$$A\delta u - B\delta v = 0 \Rightarrow f^t \delta u = g^t \delta v \qquad (8.2c)$$

où l'équation (8.2c) demande l'égalité des puissances virtuelles.

Si $\lambda$ désigne une colonne de multiplicateurs de Lagrange on a l'équivalence classique :

$$(8.2c) \iff \exists \lambda \in \mathbb{R}^m : \begin{cases} f = A^t \lambda \\ g = B^t \lambda \end{cases} \qquad (8.3)$$

ce qui permet d'énoncer la proposition :

**Proposition 8.1.** *Cas où l'effort g est donné*

Le problème 8.1 se ramène à la résolution du système linéaire :

$$\begin{bmatrix} K & 0 & -A^t \\ 0 & 0 & B^t \\ -A & B & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ v \\ \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ g \\ 0 \end{bmatrix} \qquad (8.4)$$
Ensuite, si l'on pose :

$$ M = \begin{bmatrix} K & -A^t \\ -A & 0 \end{bmatrix} \qquad (8.5) $$

on déduit de (8.4) la proposition suivante :

**Proposition 8.2.** *Cas où c'est le déplacement v qui est donné*

Si l'on choisit de se donner $v$ et de considérer $g$ comme une inconnue, le triplet $(g, u, \lambda)$ est solution du système (8.6a,8.6b) suivant :

$$ M \begin{bmatrix} u \\ \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -Bv \end{bmatrix} \qquad (8.6a) $$

$$ g = B^t \lambda \qquad (8.6b) $$

### 8.2.2 Deux remarques

#### 1. Conditionnement de la matrice M

Très souvent les termes de la matrice $K$ prennent de grandes valeurs, de l'ordre de $10^6$ par exemple, alors que ceux de la matrice de liaison $A$ sont de l'ordre de l'unité. Il en résulte un mauvais conditionnement de $M$ ; on y remédie en remplaçant (8.6a) par :

$$ \begin{bmatrix} K & -\alpha A^t \\ -\alpha A & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ \lambda_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -Bv \end{bmatrix} ; u = \alpha u_1 ; \lambda = \alpha^2 \lambda_1 \qquad (8.7) $$

où $\alpha > 0$ est de l'ordre de grandeur des termes de $K$.

#### 2. Un troisième élément mécanique, implicite

Nous avons implicitement introduit une structure intermédiaire entre la structure originelle et la structure réduite, comme l'explique le diagramme suivant.

<table><caption>FIGURE 8.1 – Structure intermédiaire</caption><thead><tr><th></th><th>Dimension</th><th>Variables</th><th>Dualités</th><th>Variables</th></tr></thead><tbody><tr><td>str.initiale</td><td>n</td><td>u</td><td>U<br>A↓</td><td>F<br>↑A<sup>t</sup></td></tr><tr><td>str.intermédiaire</td><td>m ≤ n</td><td>w</td><td>W<br>B↑</td><td>H<br>↓B<sup>t</sup></td></tr><tr><td>str.réduite</td><td>p ≤ n</td><td>v</td><td>V<br>↑<br>↓</td><td>G<br>↓<br>↑</td></tr></tbody></table>

### 8.2.3 Existence et unicité de la solution

Sous un jeu d'hypothèses, toujours vérifiées lorsque le changement de variables est convenablement choisi, on va montrer la
**Proposition 8.3. Régularité de la matrice M**

Sous les hypothèses suivantes :

– 1. A comporte m colonnes non nulles et linéairement indépendantes. ainsi :

$$
A^t \lambda = 0 \iff \lambda = 0 \tag{8.8}
$$

- 2. Les liaisons (8.1) interdisent, lorsque $v = 0$, tout déplacement de corps rigide, autrement dit

$$
\ker(A) \cap \ker(K) = \{0\} \tag{8.9}
$$

la matrice M (cf.8.5) est régulière.

En effet :

$$
M \begin{bmatrix} u \\ \lambda \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow u \in \ker(A) \iff u'A' = 0
$$

$$
M \begin{bmatrix} u \\ \lambda \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow Ku - A^t\lambda = 0 \Rightarrow u'Ku - u'A^t\lambda = 0 \Rightarrow u \in \ker(K)
$$

et donc, en vertu de l'hypothèse 2 : $u = 0$.

Enfin, comme $m \le n$, on a en vertu de l'équivalence (8.8) :

$$
(u = 0 \text{ et } Ku - A^t \lambda = 0) \Rightarrow \lambda = 0
$$

ce qui achève la démonstration.

La matrice *M* est composée de quatre blocs de dimensions
$$
\begin{bmatrix}
n \times n & n \times m \\
m \times n & m \times m
\end{bmatrix}
$$

On décompose son inverse N en quatre blocs de mêmes dimensions :

$$
N = M^{-1} = \begin{bmatrix} N^{11} & N^{12} \\ N^{21} & N^{22} \end{bmatrix} \qquad (8.10)
$$

ce qui permet, lorsque $v$ est donné, d'écrire la solution sous la forme :

$$
\begin{align*}
u &= -N^{12}Bv \\
\lambda &= -N^{22}Bv \\
f &= -A^t N^{22} Bv \\
g &= -B^t N^{22} Bv
\end{align*}
\tag{8.11}
$$

On dispose alors de l'élément mécanique $S^r$ dont la raideur est

$$
K^r = -B^t N^{22} B \tag{8.12}
$$

On va voir que $K^r$ est positive.

En effet notons $I_n$ et $I_m$ les matrices unités $n \times n$ et $m \times m$ et développons la
relation $MN = I_{n+m}$ :

$$
KN^{11} - A^{t}N^{21} = I_{n} \qquad (8.13\text{a})
$$

$$
KN^{12} - A^t N^{22} = 0 \qquad (8.13b)
$$

$$
-AN^{11} = 0 \qquad (8.13c)
$$

$$
-AN^{12} = I_m \qquad (8.13\text{d})
$$
De (8.13b et de (8.13d) on déduit :

$$N^{22}A = N^{21}K \Rightarrow -N^{22} = N^{21}KN^{12}$$

ce qui montre la

**Proposition 8.4.** *La nouvelle raideur K<sup>r</sup> est positive*

*N<sup>22</sup> est négative et K<sup>r</sup> positive.*

### 8.2.4 Correspondance entre les noyaux de K et de K<sup>r</sup>

On va démontrer la

**Proposition 8.5.** *Correspondance des noyaux*

Si $v$ appartient au noyau de $B$ alors $u$ est nul. Plus généralement $v$ appartient au noyau de $K$ si et seulement si $u$ appartient à celui de $K$.

En effet si $v$ appartient au noyau de $B$, donc à celui de $K^r$, alors la solution (8.11) indique que $f$ et $g$ sont nuls en sorte que $u$ appartient au noyau de $K$; d'après la relation de liaison (8.2b) $u$ appartient aussi au noyau de $A$; la relation (8.9) entraîne que $u$ est nul.

Examinons maintenant le cas où $v$ appartient au noyau de $K^r$ sans appartenir à celui de $B$.

Comme

$$K^r = B^t N^{21} K N^{12} B$$

on a les équivalences :

$$\left. \begin{array}{l} v \in \ker(K^r) \\ v \notin \ker(B) \end{array} \right\} \iff N^{12}Au \in \ker(K) \iff Au \in Aker(K) \quad (8.14)$$

la seconde étant obtenue à l'aide de (8.13d).

Maintenant, $A^\dagger$ désignant une pseudo-inverse de $A$, on a les implications :

$$\begin{gathered} v \notin \ker(B) \Rightarrow u \notin \ker(A) \Rightarrow A^\dagger Au = u \\ \ker(A) \cap \ker(K) = \{0\} \Rightarrow \ker(A) = \ker(K) \end{gathered}$$

en sorte que les équivalences (8.14) conduisent à

$$v \in \ker(K^r) \iff u \in \ker(K)$$

que $v$ appartienne au noyau de $B$ ou non.

### 8.2.5 Modèles rhéologiques

Les enseignants de mécanique des solides illustrent souvent leur propos par des "modèles rhéologiques" qui favorisent la compréhension intuitive des lois de comportement, au moins dans leur forme unidimensionnelle. On pourra consulter en ligne l'exposé de Georges Cailletaud [6] 2010. Un modèle rhéologique consiste en l'assemblage de "briques" de type répertorié comme le ressort pour l'élasticité linéaire, le patin de frottement pour le rigide-plastique, l'amortisseur pour la viscosité etc.
C'est bien évidemment l'assemblage lui-même, et non ses composants, que nous observerons ici pour donner des exemples simples de la théorie précédente. L'assemblage "en parallèle" et l'assemblage "en série" sont des exemples types des réductions du type "cinématique" ou du type "sthénique" que nous étudierons plus loin. La figure 8.2 en montre une généralisation parmi d'autres. Quant au "pont de Wheatstone", représenté par la figure 8.3, c'est un exemple plus général qui ne se ramène pas à une combinaison des assemblages précédents.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 8.2 – Montages en parallèle et en série généralisés</figcaption></figure>

On désigne par $x^i$ l'abscisse d'un point $P^i$, par $u^i = u(P^i)$ son déplacement.

On considère deux éléments élastiques unidimensionnels $E^1$ et $E^2$ d'allongements respectifs $e^1$ et $e^2$, liés à un bras rigide le premier en $P^1$, le second en $Q$. Ce bras est articulé en un point fixe $O$.

Dans le **montage en parallèle généralisé** le point $P^2$ coïncide avec le point $Q$ ; l'autre extrémité de $E^1$ ou de $E^2$ est fixe, en sorte que :

$$e^1 = u^1, e^2 = u^2$$

La nouvelle variable est le déplacement $v = u^3$ d'un point $P^3$ du bras. Le montage en parallèle classique est le cas particulier où $x^1 = x^2 = x^3$.

Dans le **montage en série généralisé** l'autre extrémité de $E^1$ est fixe ; l'élément $E^2$, situé de l'autre côté du bras, a pour extrémités $Q$ et $P^2$, point dont le
déplacement est nouvelle variable $v = u^2$. On a donc :

$$e^1 = u^1, e^2 = v - \frac{x^2}{x^1}u^1$$

Le montage en série classique est le cas particulier où $x^1 = x^2$.

Dans les formules suivantes $k^i$ désigne la raideur de l'élément $E^i$; $K^p$ et $K^s$ désignent les raideurs des assemblages par rapport aux $u^i$ tandis que $K^{pg}$ et $K^{sg}$ désignent leur raideur globale par rapport à la variable unidimensionnelle $v$.

$$A^p = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \qquad A^s = \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \qquad (8.15a)$$

$$B^p = \begin{bmatrix} x^1/x^3 \\ x^2/x^3 \end{bmatrix} \qquad B^s = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} \qquad (8.15b)$$

$$K^p = \begin{bmatrix} k^1 & 0 \\ 0 & k^2 \end{bmatrix} \qquad K^s = \begin{bmatrix} k^1 + k^2(x^2/x^1)^2 & -k^2 x^2/x^1 \\ -k^2 x^2/x^1 & k^2 \end{bmatrix} \qquad (8.15c)$$

$$K^{pg} = (k_1 x_1^2 + k_2 x_2^2) / x_3^2 \qquad K^{sg} = k_1 k_2 x_1^2 / (k_1 x_1^2 + k_2 x_2^2) \qquad (8.15d)$$

On a déduit les matrices $K^p$ et $K^s$ de l'expression de l'énergie élastique.

## Association en pont de Wheatstone

Représenté par la figure 8.3, ce montage ne peut être identifié à une combinai-
son de montages en série et en parallèle; il entre toutefois dans le cadre général
décrit par le problème 8.1 pour les matrices A, B et $K^w$ suivantes :

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>FIGURE 8.3 – Association en pont de Wheatstone</figcaption></figure>

$$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \quad B = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}$$

$$K^w = \begin{bmatrix} k^1 + k^3 + k^4 & -k^3 & -k^4 \\ -k^3 & k^2 + k^3 + k^5 & -k^5 \\ -k^4 & -k^5 & k^4 + k^5 \end{bmatrix}$$
qui conduisent à la raideur globale :

$$K^{wg} = \frac{k_1 k_2 k_4 + k_1 k_3 k_4 + k_2 k_3 k_4 + k_1 k_2 k_5}{(k_1 + k_3 + k_4)(k_2 + k_3 + k_5) - k_3^2} + \frac{k_1 k_3 k_5 + k_2 k_3 k_5 + k_1 k_4 k_5 + k_2 k_4 k_5}{(k_1 + k_3 + k_4)(k_2 + k_3 + k_5) - k_3^2}$$

# 8.3 Rappel sur les faisceaux de formes quadratiques

## 8.3.1 Faisceaux libres

### Généralités

De nombreux ouvrages traitent des faisceaux de formes quadratiques. Deux bonnes références sont, pour la mathématique, la traduction en français de l'ouvrage de F. R. Gantmacher ([15] tome 2 chapitre 10) et, pour la théorie des vibrations, celui de L. Meirovitch ([19], chapitre 4).

### Notations 8.2. Notations vectorielles et matricielles

On identifie un vecteur $\vec{u}$ de l'espace euclidien $E^n$ à la colonne $u$ de ses composantes $u^k$ dans la base naturelle de $\mathbb{R}^n$, elle même identifiée à la matrice unité $I_n$.

Toute autre base est représentée par une matrice $W$ ($n \times n$) dont les colonnes sont linéairement indépendantes. On a donc $u = Wv$ où $v$ est la colonne des composantes $v^k$ de $\vec{u}$ dans la base $U$.

### Définition 8.1. Faisceaux de formes quadratiques

- On appelle ainsi une application :

$$(u, \lambda) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \mapsto F(u, \lambda) = u' A u - \lambda u' B u \in \mathbb{R} \quad (8.16)$$

où $A$ et $B$ sont des matrices symétriques réelles $n \times n$.

- On dit que le faisceau est "régulier" si $A$ est non négative et si $B$ est définie positive.

- On dit que $\lambda(k)$ est une valeur propre $^1$ associée au vecteur propre $u^k$ si

$$F(u_k, \lambda(k)) = 0 \quad \text{i.e. : } u_k' K u - \lambda(k) u' B u = 0 \quad (8.17)$$

Pour faciliter une étude complémentaire du lecteur sur l'ouvrage de Gantmacher nous avons repris ses notations : en particulier les matrices $A$ et $B$ de la définition précédente n'ont-elles rien à voir avec leur homonymes du paragraphe 8.2.

La plupart des applications utilisent cette notion dans trois situations différentes :

- 1. $A$ est une matrice de raideur et $B$ est la matrice unité dans le calcul des valeurs propres de $A$, ou encore des axes principaux de la quadrique d'équation $u' A u = 1$.

- 2. $A$ est une matrice de raideur et $B$ une matrice de masse dans le calcul des fréquences propres d'une structure,

- 3. $A$ est une matrice de "raideur géométrique" et $B$ une matrice de raideur définie positive dans le calcul des charges critiques de flambement.

<footnote n="1">1. Traditionnellement les mathématiciens français les nomment "valeurs caractéristiques" et leurs inverses "valeurs propres". C'est contraire à l'usage international et notre appellation "valeur propre" est directement traduite du mot universel "eigenvalue".</footnote>
**Remarque 8.1. Caractère intrinsèque des vecteurs et des valeurs propres**

Les matrices $A$ et $B$ représentent des opérateurs linéaires $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ de l'espace euclidien $E^n$. La relation matricielle de définition (8.16) équivaut donc à son expression vectorielle :

$$ (\vec{u}, \lambda) \in E^n \times \mathbb{R} \mapsto \mathcal{F}(\vec{u}, \lambda) = \vec{u} \cdot \mathcal{A}(\vec{u}) - \vec{u} \cdot \mathcal{B}(\vec{u}) \quad (8.18) $$

qui n'est pas affectée par le changement de base $u = Wv$ dans $\mathbb{R}^n$. Celui-ci conduit à l'expression matricielle $G$ du même faisceau :

$$ (v, \lambda) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \mapsto G(v, \lambda) = v^t W^t A W v - \lambda v^t W^t B W v \in \mathbb{R} $$

lui aussi équivalent à $\mathcal{F}$.

**Valeurs et vecteurs propres**

On nomme

$$ \det(A - \lambda B) = 0 \quad (8.19) $$

“équation caractéristique du faisceau”.

C'est une équation algébrique de degré $n$. On a tout d'abord :

**Proposition 8.6.**

Les valeurs propres $\lambda(k)$ sont les $n$ racines, éventuellement multiples, de l'équation caractéristique (8.19).

En effet à chaque $\lambda(k)$ est associé au moins un vecteur $u^k$ solution de $(A - \lambda B) = 0$.

**Remarque**

Comme certaines valeurs propres peuvent être multiples on a noté $\lambda(k)$ plutôt que $\lambda^k$ la valeur propre associée au vecteur propre $u^k$ pour éviter une confusion entre le numéro de ce dernier, qui va de 1 à $n$ et celui de la valeur propre associée qui peut être inférieur à $k$ s'il y a des racines multiples.

On pose

$$ D = B^{-1}A \quad (8.20) $$

$$ \langle u_1 | u_2 \rangle = u_1^t B u_2 \quad (8.21) $$

**Proposition 8.7.** Le faisceau et la matrice $D$ ont le même jeu de valeurs et de vecteurs propres

- 1. $\langle \cdot | \cdot \rangle$ est un produit scalaire qui définit une métrique euclidienne sur $\mathbb{R}^n$;

- 2. $D$ est un opérateur symétrique pour ce produit scalaire; il possède donc $n$ valeurs propres réelles;

- 3. les valeurs et vecteurs propres de $D$ sont les valeurs et vecteurs propres de $F$

En effet

- 1. $B$ est symétrique définie positive ce qui démontre le point 1.

- 2. On a ensuite, en utilisant les symétries de $A$ et de $B$ comme indiqué dans les formules suivantes :

$$ \begin{aligned} \langle Du_1 | u_2 \rangle &= u_1^t D^t B u_2 = (\text{sym de } B) = u_2^t B D u_1 = u_2^t A u_1 \\ \langle u_1 | Du_2 \rangle &= u_1^t B D u_2 = u_1^t A u_2 = (\text{sym de } A) = u_2^t A u_1 = \langle Du_1 | u_2 \rangle \end{aligned} $$
ce qui établit le point 2.

– 3. Enfin on a l'implication :

$$
B^{-1}A u_k = \lambda(k)u_k \iff A u_k = \lambda(k)B u_k \Rightarrow u_k'A u_k = \lambda(k)u_k'B u_k \quad (8.22)
$$

en sorte que les *n* valeurs propres de *D* sont des valeurs propres du fais-
ceau, et coïncident donc avec les *n* solutions de l'équation caractéristique
(8.19) tandis que les *n* vecteurs propres de *D* sont les *n* vecteurs propres
associés du faisceau, ce qui démontre le point 3.

Matrices principales et diagonalisation simultanée de A et de B

On sait que *D* admet *n* vecteurs propres linéairement indépendants. On
peut donc les orthonormaliser par rapport à *B*. Ils sont alors les colonnes d'une
matrice *U*, nommée *matrice principale du faisceau*, qui vérifie *U*†*BU* = *I*<sub>*n*</sub> et le
changement de variables *u* = *Uv* diagonalise simultanément *K* et *B* :
**Proposition 8.8.**

- 1. Le changement de variable $u = Uv$ simultanément les matrices A et B, i.e. :

$$
U^t B U = I_n \tag{8.23a}
$$

$$
U^t A U = \operatorname{Diag}(\lambda(k)) = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \lambda(k) & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix} \quad (8.23b)
$$

$$
u' A u = \sum_{k=1 \dots n} \lambda(k) y_k^2, \quad u' B u = \sum_{k=1 \dots n} y_k^2 \quad (8.23c)
$$

Où les $y_k$ sont les composantes de $u$ dans la base $U$.

- 2. Inversement si la matrice de changement de variables U vérifie les relations (8.23) c'est une matrice principale du faisceau.

En effet :

- 1. (8.23a) et (8.23b) découlent de la définition de *U* comme matrice principale du faisceau tandis que (8.23c) découle des deux précédentes

- 2. Inversement si $U$ est une matrice de changement de base qui vérifie les relations (8.23) alors (8.23b) signifie que les colonnes de $U$ sont des vecteurs propres de $A$ donc aussi vecteurs propres du faisceau $v^t A v - \lambda v^t v$ pour les valeurs propres $\lambda(k)$; (8.23a) montre que ces colonnes sont orthonormées.

8.3.2 Faisceaux contraints et quotient de Rayleigh

On numérote les vecteurs propres dans l'ordre croissant de leur valeurs
propres :

$$
\lambda(k-1) \le \lambda(k) \le \lambda(k+1)
$$

et l'on considère le "quotient de Rayleigh"

$$
R(u) = \frac{u' A u}{u' B u}
$$
qui vaut d'après (8.23c) :

$$R(u) = \frac{\sum_{k \in \{1, \dots, n\}} \lambda(k) y_k^2}{\sum_{k \in \{1, \dots, n\}} y_k^2} \quad (8.24)$$

On en déduit le théorème suivant :

**Théorème 8.1.** **Extremums du quotient de Rayleigh**

On note

- $N_{p-1}$ l'orthogonal des $p-1$ premiers vecteurs propres,

- $N'_{p+1}$ l'orthogonal des $p+1$ derniers vecteurs propres.

Autrement dit :

$$u \in N_{p-1} \Rightarrow \forall k < p \quad u_k^t B u = 0$$

$$u \in N'_{p+1} \Rightarrow \forall k > p \quad u_k^t B u = 0$$

Alors $\lambda(p)$ minimise le quotient de Rayleigh sur $N_{p-1}$ et le maximise sur $N'_{p+1}$ :

$$\lambda(p) = \min_{u \in N_{p-1}} R(u) = \max_{u \in N'_{p+1}} R(u) \quad (8.25)$$

et ces extremums sont atteints pour les vecteurs propres associés à $\lambda(p)$. En particulier le quotient de Rayleigh atteint son minimum $\lambda(1)$ pour $u = u_1$ et son maximum $\lambda(n)$ pour $u = u_n$.

En effet on déduit de (8.24) que :

$$u \in N_{p-1} \mapsto R(u) = \frac{\sum_{k \in \{p, \dots, n\}} \lambda(k) y_k^2}{\sum_{k \in \{p, \dots, n\}} y_k^2}$$

$$u \in N'_{p+1} \mapsto R(u) = \frac{\sum_{k \in \{1, \dots, p\}} \lambda(k) y_k^2}{\sum_{k \in \{1, \dots, p\}} y_k^2}$$

**Comparaison de deux faisceaux**

On démontre le théorème suivant :

**Théorème 8.2.**

Soient deux faisceaux réguliers :

$$u^t K u - \lambda u^t B u \text{ et } u^t K_1 u - \lambda u^t B_1 u$$

de valeurs propres respectives $\lambda(k)$ et $\lambda_1(k)$.

Alors l'inégalité

$$\frac{u^t K u}{u^t B u} \le \frac{u^t K_1 u}{u^t B_1 u}$$

entraîne :

$$\forall k : \lambda(k) \le \lambda_1(k)$$

Dans la démonstration du théorème 8.1 on a introduit les relations $u \in N_{p-1}$ et $u \in N'_{p+1}$ qui sont des contraintes qu'on impose à $u$; plus généralement on pose la
**Définition 8.2. Faisceaux contraints**

Soit $L$ une matrice $h \times n$ qui définit $h$ liaisons linéaires scalaires et indépendantes :

$$Lu = 0 \qquad (8.26)$$

On nomme faisceau contraint par $L$ et l'on note $F(u, \lambda, L)$ la restriction de $F(u, \lambda)$ au noyau de $L$.

**Notations 8.3.** Autre notation d'un faisceau contraint

Si $\mathbb{Z}$ désigne le noyau de $L$ on notera aussi :

$$F(u, \lambda, L) = F(u, \lambda; \mathbb{Z})$$

Cette nouvelle notation simplifie passablement quelques écritures à venir.

Dans ce qui précède les colonnes de $L^t$ sont, ou bien les $p-1$ premiers vecteurs propres et alors $ker(L) = N_{p-1}$, ou bien ceux associés aux $n-p+1$ derniers vecteurs propres et alors $ker(L) = N'_{p+1}$.

Considérons maintenant une matrice $L$ de $p-1$ lignes arbitraires et la matrice $\tilde{L}$ constituée des lignes $u'_k$ pour $k = p+1, \dots, n$. Puisqu'à elles deux $L$ et $\tilde{L}$ ne définissent que $n-1$ liaisons scalaires indépendantes au plus, il existe un vecteur non nul $x$ qui vérifie :

$$Lx = 0 \text{ et } \tilde{L}x = 0$$

Soient $\xi_j$ les coordonnées de $x$ sur la base orthonormée des vecteurs propres ; elles sont nulles pour $j > p$ puisque $\tilde{L}x = 0$. On a donc :

$$\frac{x'Ax}{x'Bx} = \frac{\sum_{j=1,...,p} \lambda(j) \xi_j^2}{\sum_{j=1,...,p} \xi_j^2} \le \lambda(p)$$

avec l'égalité si tous les $\xi_j$ sont nuls sauf $\xi_p$.

Inversement, mais par un raisonnement identique, si $L$ comporte $n-p$ lignes et si $\tilde{L}$ est construite sur les transposés des $p-1$ premiers vecteurs propres :

$$\frac{x'Ax}{x'Bx} = \frac{\sum_{j=p,...,n} \lambda(j) \xi_j^2}{\sum_{j=p,...,n} \xi_j^2} \ge \lambda(p)$$

avec l'égalité si tous les $\xi_j$ sont nuls sauf $\xi_p$.

On peut donc énoncer :

**Théorème 8.3. Maximin et minimax de R**

Soit $\mathcal{L}^-(p)$ l'ensemble des matrices de liaison $(p-1) \times n$ et $\mathcal{L}^+(p)$ l'ensemble des matrices de liaison $(n-p) \times n$. On a :

$$\lambda(p) = \max_{L \in \mathcal{L}^-(p)} \min_{u \in \ker(L)} R(u) = \min_{L \in \mathcal{L}^+(p)} \max_{u \in \ker(L)} R(u) \qquad (8.27)$$

**Entrelacement des valeurs propres**

Considérons maintenant le faisceau libre $F(u, \lambda)$ et le faisceau contraint $F(u, \lambda^c, L^c)$ où $L^c$ est constituée de $h$ lignes linéairement indépendantes.
Soit W une matrice $n \times (n-h)$ dont les colonnes forment une base de $\ker(L^c)$;
le changement de variables $u = Wv$ transforme ce faisceau contraint en un fais-
ceau libre $A^c - \lambda^c B^c$ sur $\mathbb{R}^{n-h}$ avec :

$$
A^c = W^t A W, B^c = W^t B W, R^c(v) = v^t A^c v / v^t B^c v
$$

$A^c$ est non négative et $B^c$ définie positive.

D'autre part, si $L$ est une matrice de liaison quelconque, on a l'équivalence
triviale :

$$
\left.
\begin{array}{l}
L^c u = 0 \\
L u = 0
\end{array}
\right\} \iff \left\{
\begin{array}{l}
u = W v \\
L W v = 0
\end{array}
\right.
\qquad (8.28)
$$

On peut donc écrire d'après (8.27) :

$$
\lambda^c(p) = \max_{L \in \mathcal{L}^{-}(p)} \min_{v \in \ker(LW)} R^c(v) = \max_{L \in \mathcal{L}^{-}(p)} \min_{u \in \ker L^c \cap \ker(L)} R(u)
$$

et donc

$$
\lambda^c(p) \le \max_{L \in \mathcal{L}^{-}(p)} \min_{u \in \ker(L)} R(u) = \lambda(p) \quad (8.29)
$$

Inversement, puisque $\mathcal{L}^{-}(p+h)$ contient en particulier la matrice consti-
tuée des $h$ lignes de $L^c$ suivies de $p-1$ lignes arbitraires :

$$
\lambda^c(p) = \max_{L \in \mathcal{L}^{-}(p)} \min_{u \in \ker L^c \cap \ker(L)} R(u) \le \max_{L \in \mathcal{L}^{-}(p+h)} \min_{u \in \ker(L)} R(u) = \lambda(p+h) \quad (8.30)
$$

On peut donc énoncer le

**Théorème 8.4.** *Entrelacement des valeurs propres*

Si $\lambda^c(1), \dots, \lambda^c(n-h)$ désigne les valeurs propres du faisceau contraint et $\lambda(1), \dots, \lambda(n)$
celles du faisceau libre (les unes et les autres ordonnées dans l'ordre croissant) on a les
inégalités :

$$
\lambda(p) \le \lambda^c(p) \le \lambda(p+h), \quad p = 1, \dots, n-h \tag{8.31}
$$

Faisceau contraint et faisceau libre associé

Le théorème 8.4, fondé sur les propriétés de stationnarité du "quotient de Rayleigh" $u'Au/u'Bu$, donne un résultat indépendant de la façon dont on ex-prime la contrainte $Lu$. En particulier si

$$
Lu = 0 \iff u = Wv \text{ où } v \in \mathbb{R}^{n-h} \tag{8.32}
$$

alors le faisceau contraint

$$
(u, \lambda) \in \mathbb{V}^L \times \mathbb{R} \mapsto F^c(u, \lambda, L) = u'Au - \lambda u'u \in \mathbb{R} \quad (8.33)
$$

s'identifie au faisceau libre régulier :

$$
(v, \lambda) \in \mathbb{V} \times \mathbb{R} \mapsto F^t(v, \lambda) = v^t W^t A W v - \lambda v^t W^t W v \quad (8.34)
$$

qui admet les mêmes valeurs propres $\lambda_k^c$ et les $v_k$ pour vecteurs propres, les
$Wv_k$ désignant les vecteurs propres de $F_c(u, \lambda^c, L)$.

**Proposition 8.9.**

Si la contrainte $L$ exercée sur le faisceau $F_c$ est définie par le changement de variables (8.32), alors les faisceaux $F_l$ et $F_c$ possèdent les mêmes valeurs propres pour les vecteurs propres respectifs $v_k$ et $Wv_k$.
**Remarque 8.2. On peut toujours supposer W et $W^t$ pseudo-inverses**

Lorsque $W$ et $W^t$ sont pseudo-inverses, i.e. $W^t W = I_{n-h}$, les $v_k$ sont les vecteurs propres de $W^t A W$.

Lorsque $W$ et $W^t$ ne sont pas pseudo-inverses il reste que, $W$ étant de noyau réduit à $\{0\}$, la matrice $W^t W$ est définie positive. Si $T$ est une base orthonormée de ses vecteurs propres alors $T^t W^t W T = I_{n-h}$ en sorte que $WT$ et $T^t W^t$ sont pseudo-inverses. On peut donc remplacer $W$ par $WT$ dans la définition du changement de variables pour se ramener au cas précédent. La raideur initiale $K$ n'est pas concernée par cette opération qui constitue une sorte de mise à l'échelle de $W$.

Le calcul effectif de $T$ est inutile : son existence permet de supposer que $W$ et $W^t$ sont pseudo-inverses dans les considérations théoriques, ce qui évitera, dans les paragraphes qui suivent, d'invoquer à nouveau cette mise à l'échelle.

**8.4 L'approximation cinématique**

Reportons-nous à la théorie générale exposée au paragraphe 8.2, et au sens qu'on y a conféré aux matrices $A$ et $B$. L'approximation cinématique, notée $S_c$, consiste à choisir $m = n$ et $A = I_n$ en sorte que :

$$u = Bv, \ g = B^t f \tag{8.35}$$

où, comme indiqué par la remarque 8.2, on peut toujours se ramener au cas où :

$$B^t B = I_p \tag{8.36}$$

Le déplacement $u$ de $S$ est donc fonction de celui de $S^c$ tandis que l'effort $g$ sur $S^c$ est fonction de l'effort $f$ sur $S$. La raideur de la réduction est alors simplement :

$$K^c = B^t K B \tag{8.37}$$

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 8.4 – approximation cinématique</figcaption></figure>

Le noyau $ker(B^t) = B(V)^o$ contient les efforts associés à la liaison

$$u \in B(V)$$

La notion d'approximation cinématique coïncide avec celle de quotient droit objet de la définition 3.8 du chapitre 3.

Les valeurs propres du faisceau libre

$$F(u, \lambda) = u^t K u - \lambda u^t u$$
sont celles de la raideur "originelle" K,
tandis que, d'après (8.35) et (8.37), le faisceau contraint

$$
F(u, \lambda; B(\mathbb{V})) = u'Ku - \lambda u'u
$$

s'identifie, d'après la proposition 8.9 et la relation (8.36), au faisceau libre

$$
(v, \lambda) \in \mathbb{V} \times \mathbb{R} \mapsto G(v, \lambda^0) = v^t K^c v - \lambda v^t B_c^t B_c v = v^t K^c v - \lambda v^t v
$$

Le théorème 8.4 permet alors d’énoncer la

**Proposition 8.10.**

La réduction cinématique S<sup>c</sup> est plus raide que la structure originelle S. Plus précisément on a les inégalités<sup>2</sup> :

$$
\forall k \in [1, \dots, p] \quad \lambda^k \le \lambda_k^c \le \lambda_{k+n-p} \quad (8.38)
$$

8.5 L'approximation sthénique

Inversibilité de K

Les déplacements rigides d'une structure constituent le noyau de sa raideur K et sont donc les vecteurs propres associés à la valeur propre nulle. Dans ce paragraphe on ne s'intéresse qu'aux états déformés sur lesquels K est définie positive. On peut donc considérer l'espace U comme le quotient de l'espace des déplacements par celui des déplacements rigides, quotient en dualité avec F, espace des charges de torseur nul.

<caption>FIGURE 8.5 – Approximation sthénique</caption>

$$
\begin{array}{ccc}
K^{-1}A^t(\mathbb{G}) \oplus^K \ker(A) = \mathbb{U} & \langle \cdot, \cdot \rangle & \mathbb{F} = (K^{-1}A^t(\mathbb{G}))^\circ \oplus^{K-1} A^t(\mathbb{G}) \\
A (p \times n) \searrow & \uparrow & \\
\mathbb{V} = A(\mathbb{U}) & \langle \cdot, \cdot \rangle & \mathbb{G} \\
\downarrow & & S_s \text{ (raideur } K_s\text{)}
\end{array}
$$

8.5.1 Définition et propriétés algébriques

Généralités

Revenons à la théorie générale de la réduction, exposée au paragraphe 8.2. La réduction sthénique (plus généralement qualifiée d'"approximation statique" dans la littérature) choisit $m = p$ et $B = I_p$ en sorte que :

$$
v = Au, f = A^t g
$$

où, comme précédemment, on s'est ramené au cas où :

$$
A A^t = I_p \tag{8.39}
$$

<footnote n="2">2. qui sont les inégalités (8.31) où l'indice supérieur "0" a été remplacé par "c"</footnote>
La figure 8.5 décrit la situation dont cet alinéa développe quelques propriétés.
La raideur de la réduction sthénique est :

$$
K^s = (AK^{-1}A')^{-1} \qquad (8.40)
$$

Le noyau $ker(A) = A'(\mathbb{G})^o$ contient les déplacements $u \in \mathbb{U}$ dans lesquels les efforts $f = A'g$ ne travaillent pas.

C'est la situation duale de la précédente : la notion de réduction sthénique coïncide avec celle de quotient gauche objet de la définition 3.8 du chapitre 3.

**Proposition 8.11.** *Deux couples de supplémentaires orthogonaux*

Les sous-espaces $ker(A)$ et $K^{-1}(A'(\mathbb{G}))$ sont des supplémentaires orthogonaux pour le
produit scalaire $(u_1, u_2) \in \mathbb{U} \times \mathbb{U} \mapsto u_1' K u_2$. On note cette propriété par :

$$
\mathbb{U} = K^{-1}(A'(\mathbb{G})) \oplus^{\mathcal{K}} \ker(A) \quad (8.41)
$$

Symétriquement on a :

$$
\mathbb{F} = K^{-1}(A'(\mathbb{G}))^{\circ} \oplus K^{-1} A'(\mathbb{G}) \quad (8.42)
$$

Si $A^\dagger$ est la pseudo-inverse de $A$ le projecteur de $\mathbb{U}$ sur $K^{-1}(A'(\mathbb{G}))$ est $A^\dagger A$.

En effet, notons temporairement $K^{-1}(A'(\mathbb{G}))^{\perp}$ l'orthogonal de $K^{-1}(A'(\mathbb{G}))$
pour le produit scalaire associé à $K$ dans $\mathbb{U}$. On a les équivalences suivantes :

$$
\begin{align*}
u_2 \in K^{-1}(A'(\mathbb{G}))^{\perp} &\iff \forall u_1 \in K^{-1}(A'(\mathbb{G})) : u_2' K u_1 = 0 \\
&\iff \forall f_1 \in A'(\mathbb{G}) : u_2' f_1 = 0 \iff u_2 \in A'(\mathbb{G})^{\circ} = \ker(A)
\end{align*}
$$

**Proposition 8.12.**

Soit $K'$ la restriction de $K$ à $(K^{-1}A'(G))$ ; on a l'égalité

$$
K' = A' K_s A \tag{8.43}
$$

en sorte que la structure originelle et sa réduction répondent identiquement aux efforts
$f = A'(g)$ et $g \in \mathbb{G}$.

En effet :

$$
\begin{align*}
u \in K^{-1}(A'(\mathbb{G})) &\mapsto g = K A u \in \mathbb{G} \mapsto f = A' K_s A u \in A'(\mathbb{G}) \\
K_s^{-1} g &= Au \Rightarrow A K^{-1} A' g = Au \Rightarrow A(K^{-1} f - u) = 0
\end{align*}
$$

L'équivalence des réponses de la structure originelle et de sa réduction sthénique, pour la classe de sollicitations définie par la proposition 8.12, fonde la méthode de "condensation statique" :

**8.5.2 La condensation statique**

La condensation, ou "méthode frontale" est une réduction sthénique dans
laquelle $A$ est une matrice d'extraction, i.e. une matrice dont toutes les lignes
et toutes les colonnes ne contiennent que des 0, à l'exception d'une fois et une
seule la valeur 1. La matrice $B$ est unité.
Dans les calculs par éléments finis on considère une partie $\mathcal{P}$ de la structure ; A sélectionne alors les ddl des nœuds de $\mathcal{P}$ qui sont effectivement en relation avec l'extérieur de $\mathcal{P}$. Cette opération permet d'éliminer d'un coup un grand nombre de ddl sans engendrer d'erreur théorique. En contrepartie la matrice de raideur obtenue est quasi-pleine et l'on perd les facilités d'inversion propres aux matrices "creuses".

N.B. On peut légèrement généraliser la méthode au cas où certains efforts donnés constants s'exercent sur les nœuds qu'on veut éliminer.

### 8.5.3 Liaisons et réduction sthénique

Lorsque la structure originelle $S$ est soumise à une liaison, sa réduction sthénique $S^{sth}$ ne lui est plus équivalente en général, mais plus souple.

Considérons en effet une liaison définie sur la structure originelle par

$$u \in \mathbb{U}_1 \subset \mathbb{U} \qquad (8.44)$$

qui, sur la réduction sthénique, engendre la liaison

$$u \in \mathbb{V}_1 = A(\mathbb{U}_1) \qquad (8.45)$$

La raideur de la structure originelle $S$ soumise à la liaison (8.44) a pour valeurs propres $\lambda_k^1$ celles du faisceau contraint

$$F_1(u, \lambda; \mathbb{U}_1) = u' K u - \lambda u' u$$

Tandis que celle de la réduction $S_s$ a pour valeurs propres celles du faisceau contraint

$$G(v, \lambda; \mathbb{V}_1) = v' K_s v - \lambda v' v \qquad (8.46)$$

Considérons maintenant un autre faisceau contraint de la structure originelle :

$$F_2(u, \lambda; \ker(A) + \mathbb{U}_1) = u' A' K_s A u - \lambda u' u$$

Comme $F_2$ est moins contraint que $F_1$ ses valeurs propres $\lambda_k^2$ sont inférieures à celles $\lambda_k^1$ de $F_1$.

D'après ce qui précède $u$ admet la décomposition orthogonale

$$u = u_1 + u_2 : \begin{cases} u_1 = A^{\dagger} A u \in K^{-1}(A^{\dagger}(\mathbb{G})) \\ u_2 \in \ker(A) \end{cases}$$

de sorte que :

$$u \in \mathbb{U}_1 \Rightarrow u_1 \in A^{\dagger} A(\mathbb{U}_1)$$

Comme

$$u' K u = u_2' K u_2 + u_1' K u_1 \ge u_1' K u_1 = u_1' A' K_s A u_1 = u' A' K_s A u$$

le théorème 8.2 montre que les valeurs propres $\lambda_k^3$ du faisceau

$$F_3(u, \lambda; A^{\dagger} A(\mathbb{U}_1)) = u' A' K_s A u - \lambda u' u$$

sont elles-mêmes inférieures aux $\lambda_k^2$.
Mais, en utilisant de nouveau la proposition 8.9 pour la dernière égalité :

$$ \left. \begin{array}{l} u = A^{\dagger}v \\ A^{\dagger} = A^{\dagger} \end{array} \right\} \Rightarrow F_3(u, \lambda; A^{\dagger}A(\mathbb{U}_1)) = v^{\dagger}K^s v - \lambda v^{\dagger}A^{\dagger}A^{\dagger}v = v^{\dagger}K_s v - \lambda v^{\dagger}v $$

en sorte que $F_3$ s'identifie au faisceau $G$ de la structure réduite.

On peut énoncer le résultat suivant :

**Proposition 8.13.** *En présence d'une liaison la réduction sthénique est plus souple que la structure originelle*

Soient $\lambda_k$ les valeurs propres de la structure originelle $K$ soumise à la liaison (8.44) et $\lambda_k^s$ celles de la réduction soumise à la liaison correspondante (8.45). On a :

$$ \forall k \in \{1, \dots, q\} : \lambda_k^s \le \lambda_k \qquad (8.47) $$

où $q$ est la dimension de $\mathbb{V}_1$.

## 8.6 Charges critiques, stabilité et fréquences propres de vibration

### Charges critiques

On connaît la notion de "raideur géométrique" $K_g$; calculée pour une charge de référence $F_0 = 1$ elle modélise, au second ordre près, l'influence des déplacements finis sur la raideur globale de la structure. qui s'écrit $K - \lambda K_g$ où $\lambda$ est la charge de la structure et $K$ la raideur habituelle, dite aussi "raideur matérielle".

Le calcul de $K_g$ permet de définir les "modes de flambement" $u_k$ et les charges critiques $\lambda_k$ qui leurs sont associées : ce sont les vecteurs propres et les inverses des valeurs propres $\omega_k$ du faisceau régulier :

$$ u'K^g u - \omega u'Ku $$

En pratique seule est intéressante la plus petite des charges critiques puisqu'elle correspond déjà à la ruine de la structure.

Notons $\lambda_k^s$ et $\lambda_k^c$ les charges critiques calculées pour une approximation sthénique et pour une approximation cinématique; la comparaison des trois quotients de Rayleigh conduit facilement à l'encadrement :

$$ \lambda_k^s \le \lambda_k \le \lambda_k^c $$

### Modes et fréquences propres

Par le même type de comparaison on obtient le résultat analogue pour les pulsations propres de vibration $\omega_k$ qui sont les racines carrées des valeurs propres du faisceau :

$$ u'Ku - \omega_k^2 u'Mu $$

où $M$ est la matrice de masse de la structure, définie positive.

## 8.7 Éléments finis : approximations cinématiques et sthéniques

Dans cette section nous considérons les méthodes d'éléments finis fondées sur les petits déplacements de nœuds dotés de six paramètres de liberté : trois
de translation et trois de rotation. Nous noterons $\mathcal{N}^6$ la famille des structures ainsi modélisées, famille dont plaques et coques constituent les membres les plus courants. Les méthodes de réduction décrites ci-dessous s'appliquent évidemment à des modèles où les nœuds présentent une liberté moindre.

Nous parlerons plutôt de champs de vitesses que de champs de déplacements afin d'utiliser le vocabulaire de la cinématique et de la cinétique. Nous verrons en effet les quantités de mouvement et les moments cinétiques permettent une représentation familière des grandeurs utilisées.

## 8.7.1 Notations diverses

### Formes vectorielles et matricielles

On écrit souvent avec une flèche, $\vec{V}$ par exemple, les vecteurs de l'espace euclidien ordinaire. On notera, sans flèche la colonne $V$ de ses composantes. Le numéro de la composante, s'il en est besoin, sera placé en indice supérieur, tandis que l'indice inférieur sera réservé au numéro du vecteur concerné. Ainsi $\vec{V}_j^i$ est-elle la $i^{ème}$ composante du vecteur $\vec{V}_j$.

Plus généralement on désignera par $Mat(x)$ l'expression matricielle de la quantité $x$, par exemple $V = Mat(\vec{V})$.

### Alterneur de Levi-civita et produit vectoriel

On nomme ainsi le tenseur totalement antisymétrique à trois indices $R_{ijk}$ :

$$ \begin{cases} i = j \text{ ou } j = k \text{ ou } k = i \end{cases} \mapsto R_{ijk} = 0 \\ \begin{cases} i \neq j \text{ et } j \neq k \text{ et } k \neq i \end{cases} \mapsto R_{ijk} = \text{signature de } \{i, j, k\} $$

Sa représentation matricielle dans le langage Mathematica<fnref n="3" /> est

$$ R = \begin{bmatrix} (0,0,0) & (0,0,1) & (0,-1,0) \\ (0,0,-1) & (0,0,0) & (1,0,0) \\ (0,1,0) & (-1,0,0) & (0,0,0) \end{bmatrix} \qquad (8.48) $$

et celle de sa transposée (par rapport aux deux premiers indices) :

$$ R^t = \begin{bmatrix} (0,0,0) & (0,0,-1) & (0,1,0) \\ (0,0,1) & (0,0,0) & (-1,0,0) \\ (0,-1,0) & (1,0,0) & (0,0,0) \end{bmatrix} \qquad (8.49) $$

On a aussi :

$$ R^t R = R R^t $$

On a alors les formules suivantes :

Pour le **produit vectoriel** :

$$ \Omega^t R^t X = X^t R \Omega = Mat(\vec{\Omega} \wedge \vec{X}) \qquad (8.50) $$

Pour les **champs équiprojectifs** de rotation $\vec{\Omega}$ :

$$ Mat(\vec{V}_G + \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{GM_j}) = V_G + \Omega \cdot R^t (X_j - X_G) \qquad (8.51) $$

<footnote n="3">3. l'instruction est "R=Table[Signature[i,j,k],[i,3],[j,3],[k,3]]"</footnote>
Pour les **tenseurs d'inertie**, x, y, z désignant les composantes de X :

$$
X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \longmapsto \mathrm{In}_X = X^t R^t RX = X^t RR^t X = \begin{bmatrix} y^2 + z^2 & -xy & -xz \\ -xy & z^2 + x^2 & -yz \\ -xz & -yz & x^2 + y^2 \end{bmatrix} \quad (8.52)
$$

Pour les **moments cinétiques à l'origine** :

$$
\mathrm{In}_X \Omega = X^t R^t \Omega R^t X = (X^t R^t RX) \Omega = \begin{bmatrix} y^2 + z^2 & -xy & -xz \\ -xy & x^2 + z^2 & -yz \\ -xz & -yz & x^2 + y^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Omega_1 \\ \Omega_2 \\ \Omega_3 \end{bmatrix} \quad (8.53)
$$

Les notations Mathematica

La présence de la matrice à trois indices *R* peut ne pas être familière au
lecteur. Les choix de *Mathematica* sont différents de ceux du calcul matriciel
classique,et plus riches de possibilités.

Tout d'abord les quantités qui dépendent d'un seul indice sont tous nom-
més "vecteurs". La distinction entre ligne et colonne disparaît donc avec la pos-
sibilité de passer de l'une à l'autre par transposition, celle-ci consistant toujours
en la permutation de deux indices. Une matrice-colonne M<sub>j1</sub> est une matrice
rectangulaire ne comportant qu'un seul vecteur-colonne, l'indice de colonne
ne prenant que la valeur 1. Sa transposée M<sub>1j</sub> est alors une matrice-ligne qui ne
comporte qu'un seul vecteur-ligne.

La notion de matrice est étendue à celle de "tableau", "array" en anglais,
dépendant de un ou plusieurs indices. Le produit de deux tableaux est noté par
un point et correspond au produit contracté sur les indices voisins de l'un et de
l'autre. Ainsi, en traduisant deux des expressions précédentes dans l'écriture
indicielle classique puis dans l'écriture Mathematica :

$$
\mathrm{Mat}(\vec{\Omega} \wedge \vec{X}) = X^t R \Omega = X_i R_{ilm} \Omega_m = X \cdot R \cdot \Omega = \begin{bmatrix} \Omega_2 z - \Omega_3 y \\ \Omega_3 x - \Omega_1 z \\ \Omega_1 y - \Omega_2 x \end{bmatrix}
$$

$$
R^t R = R_{jik} R_{kmn} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} \Omega_2 z - \Omega_3 y \\ \Omega_3 x - \Omega_1 z \\ \Omega_1 y - \Omega_2 x \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix}
$$

Attention : défaut d'associativité
Les produits multiples ne sont pas toujours associatifs ; en effet on a, par exemple :

$$
\begin{bmatrix} X_3Y_2 - X_2Y_3 \\ X_1Y_3 - X_3Y_1 \\ X_2Y_1 - X_1Y_2 \end{bmatrix} = R.X.Y = (R.X).Y \neq R.(X.Y) = X.Y.R \\
= \begin{bmatrix} (0,0,0) & (0,0,1) & (0,-1,0) \\ (0,0,-1) & (0,0,0) & (1,0,0) \\ (0,1,0) & (-1,0,0) & (0,0,0) \end{bmatrix} (X_1, Y_1 + X_2, Y_2 + X_3, Y_3)
$$

En effet *Mathematica* exécute les produits possibles les uns après les autres et de gauche à droite. C'est pourquoi $R.(X.Y) = X.Y.R$ où $X.Y.R$ est effectué en commençant par le produit scalaire $X.Y$ tandis que le calcul de $R.X.Y$ commence par le produit $R.X$.

Ce logiciel est merveilleux pour l'utilisateur averti qui l'utilise fréquem-
ment. Pour la commodité du lecteur nous resterons dans les notations du calcul
matriciel classique étendues aux tableaux de dimension supérieure à 2.

8.7.2 Groupes de nœuds et représentants

Notations

Lorsque la structure ainsi modélisée est de type $\mathcal{N}^6$ on souhaite que soient aussi de ce type ses approximations par réduction du nombre de ddl. La voie la plus simple consiste à définir un "représentant" $P_k$ d'un groupe de nœuds $\Gamma_k = \{M_j / j \in K_k\}$, où $K_k$ désigne un ensemble fini de numéros de nœud associé au représentant $P_k$.

On utilisera les notations suivantes, pour $j = 1, \dots, n$ et $k = 1, \dots, p$ :

<table>
  <thead>
    <tr>
      <th></th>
      <th>Structure<br>originelle</th>
      <th>Structure<br>réduite</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <td>Nœuds</td>
      <td>M<sub>j</sub></td>
      <td>P<sub>k</sub></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Coordonnées</td>
      <td>X<sub>j</sub></td>
      <td>Y<sub>k</sub></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Vitesses</td>
      <td>V<sub>j</sub></td>
      <td>W<sub>k</sub></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Vitesses de rotation</td>
      <td>ω<sub>j</sub></td>
      <td>Ω<sub>k</sub></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Numéros j des nœuds</td>
      <td></td>
      <td>j &isin; K<sub>k</sub></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Centre d'inertie du groupe Γ<sub>k</sub></td>
      <td></td>
      <td>G<sub>k</sub></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Coordonnées de G<sub>k</sub></td>
      <td></td>
      <td>Y<sub>Gk</sub></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Vitesse de G<sub>k</sub></td>
      <td></td>
      <td>W<sub>Gk</sub></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>Tenseur ou matrice d'inertie en G<sub>k</sub> du groupe Γ<sub>k</sub></td>
      <td></td>
      <td><span style="text-decoration: overline;">In</span><sub>k</sub> ou In<sub>k</sub></td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

Tous les nœuds de la structure originelle appartiennent à un groupe dont ils sont
eventuellement le seul membre et le représentant.

On a donc *p* groupes définis par un ensemble d'indices $K_k$ et représentés par les $P_k$ dont les coordonnées constituent la colonne $Y_k$.

Trois principes à respecter

– 1. *Principe d'appartenance unique*

Pour assurer l'indépendance des nouveaux degrés de liberté on veillera
à ce qu’un nœud n’appartienne qu’à un seul groupe.

Notons que le numéro *k* du groupe est alors une fonction *k* = *g*(*j*) du numéro de nœud *j*.

2. Principe de conservation des champs solidifiants

On peut utiliser diverses stratégies pour construire les matrices de liaison A ou B; l'une d'elles, qui s'avère très efficace, est de s'appuyer sur la cinématique des corps rigides pour la réduction cinématique et sur la cinétique des systèmes pour la réduction sthénique.

– 3. Principe de liberté du choix géométrique

On doit pouvoir placer n'importe où le représentant d'un groupe ce qui
permet l'assemblage de sous-structures dont les nœuds frontaliers ne
coïncident pas nécessairement (incompatibilité des maillages).

Les deux premiers principes sont évidemment euristiques : le premier évite
les situations pathologiques, le deuxième facilite l'intuition du mécanicien. Le
troisième s'impose à l'évidence.

**8.7.3 Approximation cinématique**

On considère un groupe de nœuds et son représentant comme un solide
indéformable : leur vecteur rotation est égal à Ωₖ et leur vitesse $\vec{V}_j$ déduite de
celle, $\vec{W}_k$, du point Pₖ et du vecteur rotation :

$$
j \in K_k \mapsto \begin{cases} V_j = W_k + (X_j - Y_k)^t R \Omega_k \\ \omega_j = \Omega_k \end{cases} \qquad (8.54)
$$

équations qu'on peut encore écrire en termes des colonnes

$$
\Phi_j = \begin{bmatrix} V_j \\ \omega_j \end{bmatrix} \text{ et } \Psi_k = \begin{bmatrix} W_k \\ \Omega_k \end{bmatrix}
$$

à savoir :

$$
\Phi_j = B_{jk} \Psi_k \text{ avec : } B_{jk} = \begin{cases} \begin{bmatrix} I_3 & (X_j - Y_k)^t R \\ O_3 & I_3 \\ O_6 & O_6 \end{bmatrix} & \text{si } j \in K_k \\ \begin{bmatrix} B_{j1,k_1} & O_6 \\ B_{j1+1,k_1} & O_6 \\ \vdots & \vdots \\ B_{n-1,p} & O_6 \\ B_{n,p} & O_6 \end{bmatrix} & \text{si } j \notin K_k \end{cases} \quad (8.55)
$$

où *I*<sub>*m*</sub> et *O*<sub>*m*</sub> désignent respectivement les matrices unité et nulle de dimension
*m* × *m*.

Alors la matrice globale *B* est la diagonale des blocs *B*<sub>jk</sub> pour *j* = 1,...,n et *k* =
1,...,p.

Elle se présente donc comme ceci :

$$
B = \begin{bmatrix}
B_{1,1} & O_6 & \dots & \dots & \dots & O_6 \\
B_{2,1} & O_6 & \dots & \dots & \dots & O_6 \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
\dots & O_6 & B_{j_1,k_1} & O_6 & \dots & \dots \\
\dots & O_6 & B_{j_1+1,k_1} & O_6 & \dots & \dots \\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\
\dots & \dots & \dots & \dots & O_6 & B_{n-1,p} \\
\dots & \dots & \dots & \dots & O_6 & B_{n,p}
\end{bmatrix}
$$
lorsque les indices de nœud et de groupe rangés en ordre croissant les uns par rapport aux autres :

$$ \left. \begin{array}{l} k > k' \\ j \in K_k \\ j' \in K'_k \end{array} \right\} \Rightarrow j > j' $$

Autrement dit si l'on note $\Lambda_k$ la colonne des blocs $B_{jk}$ pour $j \in K_k$ la matrice B est la bloc-diagonale des $\Lambda_k$.

Passons maintenant à la transposée de $B_{jk}$. On a :

$$ j \in K_k \Rightarrow (B_{jk})^t B_{jk} = \begin{bmatrix} I_3 & (X_j - Y_k)^t R \\ R^t (X_j - Y_k) & I_3 + (X_j - Y_k)^t R R^t (X_j - Y_k) \end{bmatrix} \quad (8.56) $$

Rappelons qu'on note respectivement $G_k$ et $I_n$ le centre et le moment d'inertie du groupe $H_k$ lorsque ses nœuds sont affectés de masses $m_j$ de somme 1. La matrice globale $B^t B$ est alors la diagonale des blocs :

$$ C_{kk} = \sum_{j \in K_k} m_j (B_{jk})^t B_{jk} = \begin{bmatrix} I_3 & (Y_{G_k} - Y_k)^t R \\ R^t (Y_{G_k} - Y_k) & I_{n_k} \end{bmatrix} \quad (8.57) $$

### Choix d'une matrice B pseudo-inverse de sa transposée

Soit $W_k$ une base orthonormée par rapport à $C_{kk}$; alors $W_k^t C_{kk} W_k = I_6$ et si l'on remplace les $B_{jk}$ par des $B_{jk} W_k$ on remplace aussi les $C_{kk}$ par la matrice unité $I_6$. Si W désigne la colonne des blocs $W_k$ on a donc $W^t B^t B W = I_p$.

Si nécessaire, il est donc facile et rapide d'effectuer cette opération.

### 8.7.4 Approximation sthénique du solide moyen

#### Définition

On considère le représentant $P_k$ comme un point du "solide moyen" du groupe au sens suivant : le solide moyen est le corps rigide dont le champ de vitesses est le plus proche, au sens des moindres carrés pondérés, du groupe à représenter. On cherche donc $W_k$ et $\Omega_k$ qui minimisent la forme quadratique :

$$ Q(Y_k, W_k, \Omega_k) = \sum_{j \in K_k} m_j ||W_k + (X_j - Y_k)^t R \Omega - V_j||^2 \quad (8.58) $$

où les $m_j$ sont des masses positives de somme 1.

Pour obtenir des équations découplées on commence par minimiser :

$$ Q(Y_{G_k}, W_k, \Omega_k) = \sum_{j \in K_k} m_j ||W_k + (X_j - Y_{G_k})^t R \Omega - V_j||^2 \quad (8.59) $$

Les équations de stationnarité de cette dernière s'écrivent alors :

$$ V_{G_k} = \sum_{j \in K_k} m_j V_j = Mat(\sum_{j \in K_k} m_j \vec{V}_j) \quad (8.60) $$

$$ \mathrm{In}_{G_k} \Omega = \sum_{j \in K_k} m_j (X_j - Y_{G_k})^t R^t V_j = \sum_{j \in K_k} m_j \overrightarrow{G_k M_j} \wedge \overrightarrow{V_j} \quad (8.61) $$

L'interprétation mécanique est des plus simples :
**Proposition 8.14.** *Propriété du solide moyen*

Le solide moyen a la même quantité de mouvement et le même moment cinétique que le groupe qu'il représente.

On note que dans le calcul du moment cinétique on n'a pris en compte que les vitesses $V_j$ à l'exclusion des vitesses de rotation $\omega_j$. Rien n'interdit de prendre ces dernières en compte, ce qu'on fera d'ailleurs lorsque les nœuds sont alignés ou dans l'approximation des "paramètres moyens" que nous définissons à l'alinéa 8.7.5.

Cas où les nœuds du groupe ne sont pas alignés

La matrice d'inertie est alors régulière ; on a donc la solution :

$$
W_k = \sum_{j \in K_k} m_j V_j + \Omega_k^t R^t (X_k - X_{G_k}) = \mathrm{Mat} \left( \sum_{j \in K_k} m_j \vec{V}_j + \vec{\Omega} \wedge \overline{G_k P_k} \right) \quad (8.62)
$$

$$
\Omega_k = \mathrm{In}_k^{-1} \sum_{j \in K_k} m_j (X_j - Y_{G_k})^t R^t V_j = \mathrm{Mat} \left( \vec{\mathrm{In}}_k^{-1} \sum_{j \in K_k} m_j \overline{G_k \mathrm{M}_j} \wedge \vec{V}_j \right) \quad (8.63)
$$

Revenant à la théorie générale des réductions on peut donc écrire la matrice
de liaison $A$ comme la diagonale des blocs :

$$
j \in K_k \mapsto A_{kj} = m_j \left[ \begin{array}{c} I_3 + (Y_k - Y_{G_k})^t R \, \mathrm{In}_k^{-1} (X_j - Y_{G_k})^t R^t \\ \qquad \mathrm{In}_k^{-1} (X_j - Y_{G_k})^t R^t \end{array} \right] \quad \text{O_3} \quad (8.64)
$$

$$
j \notin K_k \mapsto A_{kj} = O_6 \tag{8.65}
$$

Cas où les nœuds du groupe sont alignés

Soient $(\vec{x}_o, \vec{y}_o, \vec{z}_o)$ la base de référence et $(\vec{x}, \vec{y}, \vec{z})$ une autre base orthonormée,
le vecteur $\vec{z}$ étant porté par la droite d'alignement. on désigne par $x, y, z$ les co-
lonnes de composantes de $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ sur $(\vec{x}_o, \vec{y}_o, \vec{z}_o)$.

Le tenseur d'inertie est de révolution autour de la droite $G_k z$; $\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}$ sont
donc tous vecteurs propres pour des valeurs propres notées respectivement
$\lambda, \lambda, 0$. L'équation vectorielle (8.61) se réduit à deux équations scalaires indé-
pendantes obtenues par projection sur $\vec{x}$ et $\vec{y}$ tandis que la projection sur $\vec{z}$ donne
$0 = 0$.

Si l'on écrit le moment cinétique $\vec{\sigma}_G$ et le vecteur rotation $\vec{\Omega}$

$$
\vec{\sigma}_G = \sigma_x \vec{x} + \sigma_y \vec{y} \\
\vec{\Omega}_k = \Omega_{k,x} \vec{x} + \Omega_{k,y} \vec{y} + \Omega_{k,z} \vec{z}
$$

l'équation (8.61) impose alors :

$$
\Omega_{k,x} = \sigma_x / \lambda, \quad \Omega_{k,y} = \sigma_y / \lambda
$$

tandis que la troisième composante, $\Omega_{k,z}$, est arbitraire. Comme il faut bien lui
donner une valeur en fonction des ddl d'origine on choisit la moyenne pondé-
rée :

$$
\Omega_{k,z} = \sum_{j \in K_k} m_j \omega_{j,z}
$$
$\Omega_k$ vaut alors :

$$ \Omega_k = (xx^t + yy^t)\sigma/\lambda + z\bar{z}^t \sum_{j \in K_k} \omega_j \quad (8.66) $$

Notons les projecteurs ci-dessus :

$$ D_1 = xx^t + yy^t, \quad D_3 = z\bar{z}^t $$

Les équations (8.64) et (8.65) doivent être remplacées par

$$ j \in K_k \mapsto A_{kj} = m_j \begin{bmatrix} I_3 + \frac{1}{\lambda}(Y_k - Y_{G_k})^t R D_1 (X_j - Y_{G_k})^t R^t & O_3 \\ \frac{1}{\lambda} D_1 (X_j - Y_{G_k})^t R^t & D_3 \end{bmatrix} \quad (8.67) $$

$$ j \notin K_k \mapsto A_{kj} = O_6 \quad (8.68) $$

### Remarque

Évidemment lorsque le groupe se réduit au seul nœud $M_m$ ; $K_k = \{m\}$ on choisit

$$ \vec{W}_k = \vec{V}_m + \vec{\omega}_m \wedge \overline{M_m P_k} \quad (8.69) $$

$$ \vec{\Omega}_k = \vec{\omega}_m \quad (8.70) $$

et la matrice de liaison :

$$ A_{km} = \begin{bmatrix} I_3 & (Y_k - X_m)R \\ O_3 & I_3 \end{bmatrix} \quad (8.71) $$

## 8.7.5 Approximation sthénique des paramètres moyens

Un autre choix, très simple, est de construire une approximation sthénique à l'aide des paramètres moyens ; on choisit :

$$ \vec{V}_{G_k} = \sum_{j \in K_k} m_j \vec{V}_j $$

$$ \vec{\Omega}_k = \sum_{j \in K_k} m_j \vec{\omega}_j $$

$$ \vec{W}_k = \vec{V}_{G_k} + \vec{\Omega}_k \wedge \overline{G_k P_k} $$

d'où la matrice de liaison :

$$ A_{kj} = m_j \begin{bmatrix} I_3 & (Y_k - Y_{G_k})R \\ O_3 & I_3 \end{bmatrix} \quad (8.72) $$

qui généralise la formule (8.71) à n'importe quel groupe (non vide...).
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[47] **Wikipedia** *Pseudo-inverses* Utiliser le lien suivant : http://fr.wikipedia.org/wiki/Pseudo-inverse
# Table des matières

<table><tbody><tr><td>1</td><td>Introduction à l'algèbre des structures</td><td>2</td></tr><tr><td>1.1</td><td>Un paradigme : la dualité à quatre espaces en mécanique des structures</td><td>3</td></tr><tr><td>1.2</td><td>Orthogonalité</td><td>3</td></tr><tr><td>1.3</td><td>Réductions de liberté et quotients</td><td>5</td></tr><tr><td>1.3.1</td><td>Liaisons implicites et quotient droit</td><td>5</td></tr><tr><td>1.3.2</td><td>Sous-structuration et quotient gauche</td><td>5</td></tr><tr><td>2</td><td>Espaces vectoriels et dualité</td><td>7</td></tr><tr><td>2.1</td><td>Supplémentaires, projecteurs et pseudo-inverses</td><td>7</td></tr><tr><td>2.1.1</td><td>Sous-espaces supplémentaires</td><td>7</td></tr><tr><td>2.1.2</td><td>Projecteurs</td><td>8</td></tr><tr><td>2.1.3</td><td>Pseudo-inverses</td><td>8</td></tr><tr><td>2.2</td><td>Supplémentaires et projecteurs : aspects topologiques</td><td>11</td></tr><tr><td>2.2.1</td><td>Topologie projetée ou topologie quotient</td><td>11</td></tr><tr><td>2.2.2</td><td>Topologie produit et supplémentaires topologiques</td><td>12</td></tr><tr><td>2.3</td><td>Dualité</td><td>13</td></tr><tr><td>2.3.1</td><td>Dualité et séparation</td><td>13</td></tr><tr><td>2.3.2</td><td>Formes linéaires et topologies compatibles avec la dualité</td><td>15</td></tr><tr><td>2.3.3</td><td>Ensembles convexes et ensembles polaires</td><td>16</td></tr><tr><td>2.3.4</td><td>Transposition</td><td>17</td></tr><tr><td>2.3.5</td><td>Dualité entre un sous-espace vectoriel et un espace quotient</td><td>20</td></tr><tr><td>2.3.6</td><td>Dualités entre espaces produits</td><td>22</td></tr><tr><td>2.3.7</td><td>Caractérisation des topologies compatibles avec la dualité : S-familles et théorèmes de Mackey</td><td>23</td></tr><tr><td>2.4</td><td>Topologie et point de vue des mécaniciens</td><td>24</td></tr><tr><td>2.4.1</td><td>Motivation</td><td>24</td></tr><tr><td>2.4.2</td><td>Deux dualités isomorphes</td><td>24</td></tr><tr><td>2.4.3</td><td>Espaces de Sobolev, norme des mécaniciens et inégalité du type de Korn</td><td>26</td></tr><tr><td>2.5</td><td>Différentiabilité faible et stationnarité</td><td>28</td></tr><tr><td>3</td><td>Opérations algébriques en mécanique des structures</td><td>30</td></tr><tr><td>3.1</td><td>Éléments mécaniques et lois d'effort</td><td>30</td></tr><tr><td>3.1.1</td><td>Introduction</td><td>30</td></tr><tr><td>3.1.2</td><td>Quelques définitions</td><td>31</td></tr><tr><td>3.1.3</td><td>Équilibre d'un élément mécanique</td><td>32</td></tr><tr><td>3.1.4</td><td>Configurations déformées et lois d'effort intérieur</td><td>33</td></tr></tbody></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>3.1.5</td>
      <td>Lois d'effort intérieur et lois de comportement</td>
      <td>34</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.1.6</td>
      <td>Produit d'éléments mécaniques</td>
      <td>35</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.2</td>
      <td>Quotient droit et quotient gauche</td>
      <td>36</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.3</td>
      <td>Le double quotient</td>
      <td>37</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.4</td>
      <td>Deux exemples en dimension 3</td>
      <td>40</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5</td>
      <td>Exemple de double quotient : la théorie des plaques de Kirchhoff</td>
      <td>41</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5.1</td>
      <td>Introduction</td>
      <td>41</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5.2</td>
      <td>Géométrie et coordonnées</td>
      <td>41</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5.3</td>
      <td>Notations</td>
      <td>42</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5.4</td>
      <td>Efforts extérieurs ou charges</td>
      <td>43</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5.5</td>
      <td>Quotient droit</td>
      <td>44</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5.6</td>
      <td>Quotient gauche pour la flexion pure</td>
      <td>45</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5.7</td>
      <td>Opérateur déformation des plaques de Kirchhoff</td>
      <td>46</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>3.5.8</td>
      <td>Équations d'équilibre</td>
      <td>47</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4</td>
      <td>Structures en petites transformations</td>
      <td>49</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.1</td>
      <td>Les variables mécaniques</td>
      <td>49</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2</td>
      <td>Opérateurs de déformation et d'équilibre</td>
      <td>50</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.1</td>
      <td>Définitions</td>
      <td>50</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2.2</td>
      <td>Orthogonalités</td>
      <td>51</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3</td>
      <td>Cas d'un assemblage de sous-structures</td>
      <td>52</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.1</td>
      <td>Structure produit</td>
      <td>52</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3.2</td>
      <td>Structure assemblée</td>
      <td>53</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5</td>
      <td>La compatibilité des déformations</td>
      <td>55</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1</td>
      <td>Introduction</td>
      <td>55</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2</td>
      <td>Formulation différentielle de la compatibilité locale</td>
      <td>56</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2.1</td>
      <td>Rappel de résultats pour le solide tridimensionnel</td>
      <td>56</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2.2</td>
      <td>Formulation différentielle de la compatibilité locale pour le modèle de Reissner-Mindlin</td>
      <td>57</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3</td>
      <td>Formulation duale de la compatibilité</td>
      <td>60</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3.1</td>
      <td>Deux théorèmes de base</td>
      <td>60</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3.2</td>
      <td>Hypothèses générales sur le choix fonctionnel pour un solide isolé</td>
      <td>60</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3.3</td>
      <td>Solide bidimensionnel ou tridimensionnel</td>
      <td>61</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3.4</td>
      <td>Plaques de Reissner-Mindlin</td>
      <td>62</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3.5</td>
      <td>Plaques de Kirchhoff</td>
      <td>62</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6</td>
      <td>Quelques notions d'analyse convexe</td>
      <td>64</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.1</td>
      <td>Intérêt pour la mécanique</td>
      <td>64</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2</td>
      <td>Bases de l'analyse convexe</td>
      <td>66</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2.1</td>
      <td>L'ensemble ℝ</td>
      <td>66</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2.2</td>
      <td>Fonctions et ensembles convexes, ensembles polaires</td>
      <td>67</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.2.3</td>
      <td>L'inf-convolution</td>
      <td>69</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3</td>
      <td>Fonctions polaires</td>
      <td>70</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3.1</td>
      <td>Définition et propriétés générales</td>
      <td>70</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3.2</td>
      <td>Fonctions indicatrices et fonctions d'appui</td>
      <td>71</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.3.3</td>
      <td>Bipolaire et Γ-régularisée</td>
      <td>71</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4</td>
      <td>Fonctions duales et sous-gradients</td>
      <td>72</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>6.4.1</td>
      <td>Quelques définitions</td>
      <td>72</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4.2</td>
      <td>Quelques propriétés</td>
      <td>73</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.4.3</td>
      <td>Addition des sous-différentiels</td>
      <td>75</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.5</td>
      <td>Existence et unicité éventuelles d'un minimum</td>
      <td>76</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.5.1</td>
      <td>La minimisation de l'énergie potentielle</td>
      <td>76</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.5.2</td>
      <td>Certaines circonstances assurent l'existence d'un minimum</td>
      <td>77</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.6</td>
      <td>Intégrandes convexes et dualité</td>
      <td>78</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.6.1</td>
      <td>Motivation</td>
      <td>78</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.6.2</td>
      <td>Intégrabilité</td>
      <td>79</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.6.3</td>
      <td>Dualité des intégrales pour une paire d'espaces "décom- posables"</td>
      <td>80</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>6.6.4</td>
      <td>Cas où E = L∞<sub>n</sub>(Ω) ou C<sup>o</sup><sub>n</sub>(Ω)</td>
      <td>80</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7</td>
      <td>Convexité, lois d'effort et problèmes d'équilibre</td>
      <td>82</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.1</td>
      <td>Introduction</td>
      <td>82</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.2</td>
      <td>Fonctions duales et lois d'effort dans la dualité déplacements- charges</td>
      <td>83</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.3</td>
      <td>Fonctions duales et lois d'effort dans la dualité déformations- contraintes</td>
      <td>83</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.3.1</td>
      <td>Un exemple en l'élasticité non-linéaire</td>
      <td>84</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.4</td>
      <td>Problèmes d'équilibre</td>
      <td>85</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.4.1</td>
      <td>Les données d'un problème d'équilibre</td>
      <td>85</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.4.2</td>
      <td>Propriétés d'extremum et existence des solutions</td>
      <td>88</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.4.3</td>
      <td>La fonctionnelle de Reissner</td>
      <td>90</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8</td>
      <td>Réduction du nombre de degrés de liberté en élasticité linéaire</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1</td>
      <td>Pourquoi réduire le nombre des degrés de liberté</td>
      <td>91</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2</td>
      <td>Méthode générale de réduction en élasticité linéaire</td>
      <td>93</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2.1</td>
      <td>Deux éléments mécaniques pour la même structure</td>
      <td>93</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2.2</td>
      <td>Deux remarques</td>
      <td>94</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2.3</td>
      <td>Existence et unicité de la solution</td>
      <td>94</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2.4</td>
      <td>Correspondance entre les noyaux de K et de K<sup>r</sup></td>
      <td>96</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2.5</td>
      <td>Modèles rhéologiques</td>
      <td>96</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3</td>
      <td>Rappel sur les faisceaux de formes quadratiques</td>
      <td>99</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.1</td>
      <td>Faisceaux libres</td>
      <td>99</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3.2</td>
      <td>Faisceaux contraints et quotient de Rayleigh</td>
      <td>101</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.4</td>
      <td>L'approximation cinématique</td>
      <td>105</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.5</td>
      <td>L'approximation sthénique</td>
      <td>106</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.5.1</td>
      <td>Définition et propriétés algébriques</td>
      <td>106</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.5.2</td>
      <td>La condensation statique</td>
      <td>107</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.5.3</td>
      <td>Liaisons et réduction sthénique</td>
      <td>108</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.6</td>
      <td>Charges critiques, stabilité et fréquences propres de vibration</td>
      <td>109</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.7</td>
      <td>Éléments finis : approximations cinématiques et sthéniques</td>
      <td>109</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.7.1</td>
      <td>Notations diverses</td>
      <td>110</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.7.2</td>
      <td>Groupes de nœuds et représentants</td>
      <td>112</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.7.3</td>
      <td>Approximation cinématique</td>
      <td>113</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.7.4</td>
      <td>Approximation sthénique du solide moyen</td>
      <td>114</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.7.5</td>
      <td>Approximation sthénique des paramètres moyens</td>
      <td>116</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>