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laboratoire de recherche
en informatique
et automatique

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

CONTRÔLE OPTIMAL
DE SYSTÈMES GOUVERNÉS
PAR DES
INÉQUATIONS VARIATIONNELLES

APPLICATIONS
A DES PROBLÈMES
DE FRONTIÈRE LIBRE

C. SAGUEZ

Rapport de Recherche N° 191
Octobre 1976
CONTROLE OPTIMAL DE SYSTEMES GOUVERNÉS
PAR DES INÉQUATIONS VARIATIONNELLES
APPLICATION A DES PROBLEMES DE FRONTIERE LIBRE

C. Saguez

Résumé :

Dans cet article, nous étudions le contrôle optimal de systèmes gouvernés par des inéquations variationnelles en dimension 1. Nous considérons deux types d'observation, une observation distribuée et le cas où l'observation est la frontière libre associée. Après avoir donné des résultats d'existence, nous définissons sur le système discrétisé, un état adjoint, ce qui nous permet d'utiliser un algorithme de gradient. Une autre méthode fondée sur le principe de pénalisation est présentée. Elle permet de se ramener à un système gouverné par une équation non linéaire. Dans chaque cas des applications numériques sont données.

Abstract :

In this paper, we study the optimal control problem of systems governed by variational inequalities in one dimensional case. Two types of observation are considered, a distributed observation and the case of the observation of the free boundary associated to the problem. After results of existence, we define for the discrete system an adjoint state. So a gradient algorithm can be used. An other method based on the penalty method is presented. Then we must solve a non linear optimal control problem. Numerical results for the different methods are given.
# PLAN

## A/ OBSERVATION DISTRIBUEE

I. Position du problème

II. Existence et unicité d'une solution à l'inéquation variationnelle

III. Existence d'un contrôle optimal

IV. Le problème de contrôle pénalisé

V. Approximation numérique du problème de contrôle

VI. Résolution du problème pénalisé.

## B/ OBSERVATION DE LA FRONTIERE LIBRE

I. Position du problème

II. Existence d'un contrôle optimal

III. Un problème approché

IV. Résolution numérique

## C/ PROBLEME DE STEPHAN A DEUX PHASES

I. Position du problème général

II. Un problème de contrôle régularisé

III. Résultats de convergence

IV. Application au problème de Stéphan à deux phases.

## BIBLIOGRAPHIE.
CONTROLE OPTIMAL DE SYSTEMES GOUVERNES
PAR DES INEQUATIONS VARIATIONNELLES
APPLICATION A DES PROBLEMES DE FRONTIERE LIBRE

C. Saguez

La plupart des corps peuvent se présenter sous plusieurs phases.
Citons par exemple la fonte de la glace, la sublimation du bouclier ther-
mique d'un véhicule spatial lors de la rentrée dans l'atmosphère, la soli-
dification d'une coulée d'acier dans un haut-fourneau. Dans cet article,
on considère deux exemples d'un corps se présentant sous deux phases, La
surface de séparation entre ces phases détermine une frontière libre qui
varie au cours du temps. On étudie le contrôle optimal d'un tel système en
ramenant la détermination de l'état à la résolution d'une inéquation varia-
tionnelle. On s'intéresse successivement au cas d'une observation distri-
buée et au cas où l'observation est la frontière libre elle-même en dimer-
sion 1.

Après avoir donné des résultats d'existence d'un contrôle optimal,
nous déterminons, selon les résultats de MIGNOT [1], un état adjoint et un
gradient pour le système discrétisé associé. Ceci nous permet d'utiliser
un algorithme de gradient pour résoudre ce problème. Pour la résolution nu-
mérique nous avons également employé une méthode de pénalisation, ce qui
permet de se ramener à un problème de contrôle optimal d'un système gouver-
né par une équation non linéaire. Nous donnons enfin des exemples numériques
pour ces diverses méthodes.
A/ CAS D'UNE OBSERVATION DISTRIBUTUEE :

I. Position du problème.

Dans cet exemple, on considère un corps se présentant sous deux phases. On note S(t) la frontière libre qui sépare les deux phases.

Ω étant un ouvert borné de Rⁿ, ayant deux frontières distinc-
tes Γ' et Γ", on pose Q = Ω × ]0,T[ ; Σ' = Γ' × ]0,T[ ; Σ" = Γ" × ]0,T[
On note Ω₁(t) la région de la phase 1, soit la région limitée par Γ' et
S(t).

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Γ''

On considère la variable d'état θ(x,t) ≥ 0
avec θ(x,t) = 0 dans la phase 2.

On suppose Ω assez grand pour contenir
Ω₁(t) ∀ t ∈ ]0,T[

On note enfin $Q_1(t) = U_\Omega(s) \times ]0,T[$ et
$s \in ]0,T[$

$\chi_1(t)$ la fonction caractéristique de $Q_1(t)$

Nous avons pour la phase 1 le système d'équations suivant :

$$
(1.1) \qquad \frac{\partial \theta}{\partial t} - \Delta \theta = \theta \quad \text{dans } Q_1(t)
$$

$$
(1.2) \qquad \theta|_{\Sigma'} = v_o(x,t)
$$

$$
(1.3) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\theta|_{S(t)} = \theta \\
\theta|_{\bar{S}(t)} = \theta
\end{array}
\right.
$$

$$
(1.4) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial \theta}{\partial n} = - L \cdot V \cdot n \\ \theta|_{S(t)} = \theta \end{array} \right.
$$

$$
(1.5) \qquad \theta(x,0) = \theta_0(x) \quad \text{dans } \Omega_1(0)
$$

avec

$v_c(x,t)$ une fonction $\ge 0$

L la chaleur latente de fusion ($L \ge 0$ ; $L \in \mathbb{R}$)

V la vitesse de déplacement de la frontière libre S(t)
n la normale extérieure à S(t)
$\theta_o(x) \ge 0$ donné

On note $\tilde{\Theta}(x,t)$ le prolongement par zéro de $\Theta(x,t)$ à $Q = \Omega \times ]0,T[$.

On obtient alors :

$$
(1.6) \qquad \frac{\partial \tilde{\Theta}}{\partial t} - \Delta \tilde{\Theta} = - L \frac{\partial X_1}{\partial t} \quad \text{dans } \Omega \times ]0,T[
$$

$$
(1.7) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\tilde{\Theta}(x,t) \Big|_{\Sigma'} = v_o(x,t) \\
\\
\tilde{\Theta}|_{\Sigma''} = 0
\end{array}
\right.
$$

$$
(1.8) \qquad \tilde{\Theta}|_{\Sigma''} = 0
$$

$$
(1.9) \qquad \tilde{\Theta}(x,0) = \tilde{\Theta}_0(x) \quad \text{dans } \Omega.
$$

si on pose :

$$
(1.10) \qquad y(x,t) = \int_{0}^{t} \tilde{\Theta}(x.s) \, ds
$$

y est solution de l'inéquation variationnelle :

$$
(1.11) \qquad \frac{\partial y}{\partial t} - \Delta y + f \geq 0
$$

$$
(1.12) \qquad y \ge 0 \quad \text{dans } Q
$$

$$
(1.13) \qquad \left( \frac{\partial y}{\partial t} - \Delta y - f \right) y = 0
$$

$$
(1.14) \qquad y|_{\Sigma'} = v(x,t)
$$

$$
(1.15) \qquad \begin{cases} y = 0 \\ y|_{\Sigma''} = 0 \end{cases}
$$

$$
(1.16) \qquad y(x,0) = 0
$$

avec

$$
f = \tilde{\Theta}_0(x) - L X_{20}(x)
$$

$X_{20}(x)$ étant la fonction caractéristique de $\int_{\Omega_1}(0)$
$v(x,t) = \int_{0}^{t} v_{o}(x,s) \, ds$
et on suppose $f \in L^2(\Omega)$

Nous allons étudier alors le système gouverné par cette inéquation variationnelle, y représentera l'état du système.

On introduit l'espace des contrôles suivant :

$$ (1.17) \quad \left\{ \begin{array}{l} u = H^{2,1}(\Gamma' \times \Omega, T) = H^0(0, T; H^2(\Gamma')) \cap H^1(0, T; H^0(\Gamma')) \\ u_{ad} \text{ un convexe fermé borné de } u \text{ tel que} \\ u(x,0)|_{\Gamma'} = 0 \; ; \; 0 \le \frac{du}{dt} \le C \end{array} \right. $$

(on prend le contrôle dans un espace de ce type afin d'avoir une régularité suffisante sur la solution de l'inéquation)

On définit la fonctionnelle :

$$ (1.18) \quad J(v) = \int_0^T \int_\Omega |y-z_d|^2 + v \|u\|^2_{u} $$

avec $z_d$ donné dans $L^2(\Omega)$ ; $v \ge 0$

On considère le problème de contrôle optimal :

$$ (1.19) \quad \left\{ \begin{array}{l} \text{Trouver } \bar{u} \in u_{ad} \text{ tel que} \\ J(\bar{u}) = \begin{cases} \text{Inf} & v \in u_{ad} \\ J(v) & v \notin u_{ad} \end{cases} \end{array} \right. $$

## II. Existence et unicité d'une solution à l'inéquation variationnelle.

Dans cette partie nous rappelons des résultats donnés dans LIONS [1]

$$ \text{Soient} \quad \begin{aligned} a(\varphi, \Psi) &= \int_{\Omega} \operatorname{grad} \varphi \operatorname{grad} \Psi \, d\Omega \\ (\varphi, \Psi) &= \int_{\Omega} \varphi \Psi \, d\Omega \end{aligned} $$
$$
(2.1) \qquad K(t) = \{y \mid y \in V, y \ge 0 , y|_{\Gamma'} = v\}
$$
$$
\text{avec } V = \{y \mid y \in H^1(\Omega), y|_{\Gamma''} = 0\}
$$

On obtient la formulation forte :

Trouver $y \in L^2(0,T;V)$; $\frac{\partial y}{\partial t} \in L^2(0,T;L^2(\Omega))$ tel que

$$
(2.2) \quad \left\{ \begin{array}{l} \left(\frac{\partial y}{\partial t}, z-y \right) + a(y,z-y) - (f,z-y) \ge 0 \quad \forall z \in K(t) \\ y(t) \in K(t) \end{array} \right.
$$

$$
(2.3) \quad y(t) \in K(t)
$$

$$
(2.4) \quad y(0) = 0
$$

On définit de même la formulation faible suivante :

$$
(2.5) \quad K = \left\{ y \mid y \in L^2(0,T;V) ; \frac{\partial y}{\partial t} \in L^2(0,T;L^2(\Omega)) , y \ge 0 ; y|_{\Sigma'} = v \right\}
$$
Trouver $y \in L^2(0,T,V)$, $y \ge 0$ dans $Q$ tel que

$$
(2.6) \quad \left\{ \int_0^T \left[ \left( \frac{\partial z}{\partial t} \right)_{|\Sigma} + a(y, z-y) - (f, z-y) \right] dt + \frac{1}{2} |z(0)|^2 \ge 0 \quad \forall z \in K
$$

$$
(2.7) \quad y|_{\Sigma'} = v
$$

On introduit le problème pénalisé :

$$
(2.8) \quad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{\partial y_\varepsilon}{\partial t} - \Delta y_\varepsilon - \frac{1}{\varepsilon} y_\varepsilon = f \quad \text{dans } Q \\ y_\varepsilon = v \quad \text{ sur } \Sigma' \end{array} \right.
$$

$$
(2.9) \quad \left\{
\begin{array}{l}
y_{\varepsilon}|_{\Sigma'} = v \\
y_{\varepsilon}|_{\Sigma} = 0
\end{array}
\right.
$$

$$
(2.10) \quad \left\{
\begin{array}{l}
y_{\varepsilon}|_{\Sigma''} = 0 \\
y(x,o) = 0
\end{array}
\right.
$$

$$
(2.11) \quad y_{\varepsilon}(x,0) = 0
$$

Grâce à la monotonie du terme non linéaire, on obtient l'existence et l'unicité
d'une solution au problème (2.8)... (2.11)
$$y_{\epsilon} \in L^2(0,T;V) \ ; \ \frac{\partial y_{\epsilon}}{\partial t} \in L^2(0,T;V')$$

Par passage à la limite on en déduit la

**Proposition 1** : l'inéquation variationnelle (1.11)...(1.16) admet une solution forte et une seule telle que :

$$(2.12) \quad y \in L^{\infty}(0,T;V)$$

$$(2.13) \quad y \in L^2(0,T;H^2(\Omega))$$

$$(2.14) \quad \|y-y_{\epsilon}\|_{L^2(0,T;V) \cap L^{\infty}(0,T;L^2(\Omega))} \le C \sqrt{\epsilon}.$$

De plus d'après MIGNOT - PUEL [1] nous pouvons affirmer que $y_{\epsilon} \le y$.
(On remarque que la régularité v est nécessaire afin d'obtenir les bonnes estimations à priori). Dans toute la suite nous nous placerons maintenant dans le cas de dimension 1 ($n=1$).

### III. Existence d'un contrôle optimal

**Proposition 2** : l'application qui à v associe $y(v)$ est continue de $u_{ad} \in H^{3/2,3/4}(\Sigma')$ fort dans $L^2(0,T;H^1(\Omega))$ faible.

Posons $y_o$ solution de :

$$(3.1) \quad \left\{ \frac{\partial y_o}{\partial t} - \Delta y_o = 0$$

$$(3.2) \quad y_o|_{\Sigma'} = v$$

$$(3.3) \quad y_o|_{\Sigma''} = 0$$

$$(3.4) \quad y_o(x,o) = 0$$

on a alors $y_o \in H^{2,1}(\Omega)$, $y_o \ge 0$ et l'application qui à v associe $y_o$ est continue de $H^{3/2,3/4}(\Omega)$ fort dans $H^{2,1}(\Omega)$ fort. En effet $v \in u_{ad}$ vérifie les conditions de compatibilité (cf. 1.17).
on pose

$$
(3.5) \qquad y = y_o + z
$$

alors z est solution de :

$$
(3.6) \quad \left( \frac{\partial z}{\partial t} + \varphi(z, \varphi-z) \right) + a(z, \varphi-z) \ge (f, \varphi-z) \quad \forall \varphi \in K_{y_o} (t)
$$

avec

$$
K_{y_o}(t) = \{ \varphi \mid \varphi \in H_o^1(\Omega), \varphi \ge -y_o \quad \text{p.p.} \}
$$

Considérons une suite $v_n$ de fonctions de $u_{ad}$ telle que

$$
v_n \to v \text{ dans } H^{3/2, 3/4}(\Sigma') \text{ fort}
$$

alors $y_o^n \to y_o$ dans $H^{2,1}(Q)$

Démontrons d'abord le lemme suivant :

Lemme 1 : $\forall \varphi \in K_{y_o}(t)$, $\exists \varphi_n \in K_{y_o^n}(t)$ telle que $\varphi_n \to \varphi$ dans $H_o^1(\Omega)$ fort $\forall t$

il suffit de prendre

$$
\varphi_n = \varphi + \mathcal{M} (y_o - y_n)^+
$$

avec $\mathcal{M}$ défini ainsi

$$
\mathcal{M} \in \mathcal{C}^1(\Omega), \quad 0 \le \mathcal{M} \le 1
$$

* comme $v_n(t)$ est une famille, bornée, continue, monotone (d'après les hypothèses sur $u_{ad}$), on a d'après le théorème de Helly ([1] Liusternik - Sobolev)

$$
v_n(t) \to v(t) \text{ pour tout } t
$$

et

$$
\left\{
\begin{array}{l}
y_o^n(t) \to y_o(t) \text{ dans } H^1(\Omega) \quad \forall t \\
y_o^n(t) \in C(\Omega)
\end{array}
\right.
$$

alors fixons $t$ on prend :
si $v = 0$ on prend $M \equiv 1$

si $v \neq 0$ on a $v_n \geq \alpha > 0$ pour n assez grand ($n \geq N$)

soient

$$E_n = \{x \mid \varphi \geq -y_o^n\}$$

$$E = \bigcap_{n \geq N} E_n; \quad E \text{ est un compact, non vide de } \mathbb{R}$$

on peut définir

$$F \in C^1(\Omega) \text{ avec } \text{supp } F \subset E; \quad 0 \leq F \leq 1$$

$$F(o) = 1$$

on prend

$$M = 1 - F.$$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Reprenons la démonstration de la proposition 2

$$ (3.7) \quad \left\{ \begin{array}{l} z_n \text{ associé à } v_n \text{ vérifie} \\ \\ \left(\frac{\partial z_n}{\partial t}, \varphi - z_n\right) + a(z_n, \varphi - z_n) \ge (f, \varphi - z_n) \quad \forall \varphi \in K_{y_o^n}(t) \\ \\ z_n(o) = 0 \end{array} \right. $$

comme $y_o^n \ge 0$ on peut prendre $\varphi = 0$ dans (3.7) et on en déduit que $z_n$ est borné dans $L^2(0,T;H^1(\Omega))$.

Si on considère alors le problème pénalisé on a

$$ \frac{\partial y_o^n}{\partial t} \quad \text{borné dans } L^2(Q) \text{ indépendemment de } \varepsilon \text{ et de } n \text{ (car } v_n \text{ est borné)} $$

et

$$ \frac{\partial y_o^n}{\partial t} \rightarrow \frac{\partial y^n}{\partial t} \quad \text{dans } L^2(Q) \text{ faible} $$

donc

$$ \frac{\partial y^n}{\partial t} \quad \text{et par conséquent} \quad \frac{\partial z^n}{\partial t} \quad \text{reste dans un borné de } L^2(Q) $$
On peut alors extraire une sous-suite telle que

$$
z_n \to \tilde{z} \text{ dans } L^2(0,T; H^1(\Omega)) \text{ faible.}
$$

$$
\frac{\partial z_n}{\partial t} \to \frac{\partial \tilde{z}}{\partial t} \text{ dans } L^2(0,T; L^2(\Omega)) \text{ faible}
$$

et donc $$ z_n \to \tilde{z} \text{ dans } L^2(\Omega) \text{ fort.} $$

alors en prenant $\varphi = \varphi_n$ défini par le lemme 1 on obtient à la limite (puisque l'application norme est f.s.c.i)

$$
\left( \frac{\partial \tilde{z}}{\partial t}, \varphi - \tilde{z} \right) + a(\tilde{z}, \varphi - \tilde{z}) \geq (f, \varphi - \tilde{z}) \quad \forall \varphi \in K_y(t)
$$

Donc $\tilde{z} = z(v)$ et on a le résultat.

On déduit alors la proposition

**Proposition 3** : *Le problème de contrôle optimal (1.19) admet au moins une solution.*

IV. Etude du problème de contrôle pénalisé.

On introduit le problème pénalisé suivant :

$$
(4.1) \quad y_{\varepsilon} \text{ est solution de (2.8) \ldots (2.11)}
$$

$$
(4.2) \quad J_{\varepsilon}(v) = \int_{0}^{T} \int_{\Omega} |y_t - z_d|^2 dxdt + v \|v\|_{u}^{2}
$$

$$
(4.3) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\text{Trouver } \bar{u}_\varepsilon \in \mathcal{U}_{ad} \text{ tel que} & \\
\quad J_\varepsilon(\bar{u}_\varepsilon) = \inf_{v \in \mathcal{U}_\varepsilon} J(v) & \\
\quad \qquad v \in \mathcal{U}_{ad}
\end{array}
\right.
$$

En prenant encore $y_o$ définie par (3.1) ... (3.4), on pose

$$
y_{\varepsilon} = y_{0} + z_{\varepsilon}
$$
on note d'autre part

$$
(4.4) \qquad \varphi_{\varepsilon}(y) = - \frac{1}{\varepsilon} y^{-}
$$

$(\varphi_{\epsilon}$ est un opérateur de pénalisation et donc en particulier monotone)

$z_{\epsilon}$ est solution de :

$$
(4.5) \qquad \frac{\partial z_{\epsilon}}{\partial t} - \Delta z_{\epsilon} + \varphi_{\epsilon}(z_{\epsilon} + y_{o}) = f
$$

$$
(4.6) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
z_{\epsilon} = 0 \\
z_{\epsilon}|_{\Sigma} = 0
\end{array}
\right.
$$

$$
(4.7) \qquad \bar{z}_{\epsilon}(x,0) = 0
$$

**Proposition 4** : L'application qui à v associe y(v) sódution de (2.8) ... (2.11)
est lipschitzienne de L²(0,T;L²(Γ')) dans L²(0,T;L²(Ω)).

Démonstration.

Soient $(y_1, z_1, y_o^1)$ et $(y_2, z_2, y_o^2)$ les solutions associées respectivement
à $v_1$ et $v_2$. On a

$$
\left(\frac{\partial (z_1 - z_2)}{\partial t}, z_1 - z_2 \right) + a(z_1 - z_2, z_1 - z_2) + \int_{\Omega} (\varphi_{\varepsilon}(z_1 + y_o^1) - \varphi_{\varepsilon}(z_2 + y_o^2), z_1 - z_2) = 0
$$

en intégrant sur ]0,T[ on obtient

$$
\begin{align*}
& \frac{1}{2} \left| (z_1 - z_2)(T) \right|_{L^2(\Omega)}^2 + \alpha \| z_1 - z_2 \|_{L^2(0,T;V)}^2 + \int_0^T \int_{\Omega} (\varphi_{\varepsilon}(z_1 + y_o^1) - \varphi_{\varepsilon}(z_2 + y_o^2)) (z_1 - z_2) \le 0 \\
& \frac{1}{2} \left| (z_1 - z_2)(T) \right|_{L^2(\Omega)}^2 + \alpha \| z_1 - z_2 \|_{L^2(0,T;V)}^2 + \int_0^T \int_{\Omega} (\varphi_{\varepsilon}(z_1 + y_o^1) - \varphi_{\varepsilon}(z_2 + y_o^2)) (z_1 + y_o^1 - z_2 - y_o^2) \\
& \le \int_0^T \int_{\Omega} (\varphi_{\varepsilon}(z_1 + y_o^1) - \varphi_{\varepsilon}(z_2 + y_o^2), y_o^1 - y_o^2)
\end{align*}
$$

D'après la monotonie de φ<sub>ε</sub> on obtient :
$$
\begin{align*}
\frac{1}{2} |(z_1 - z_2)(T)|_{L^2(\Omega)}^2 + \alpha |z_1 - z_2|_{L^2(0,T;V)}^2 &\le \frac{1}{\epsilon} \int_0^T |(z_1 + y_o^1)^T - (z_2 + y_o^2)^T| |y_o^1 - y_o^2| \\
&\le \frac{1}{\epsilon} \int_0^T \int_\Omega |z_1 - y_o^1 - z_2 + y_o^2| |y_o^1 - y_o^2| \\
&\le \frac{1}{\epsilon} \left[ \left(1 + \frac{1}{2\gamma}\right) |y_o^1 - y_o^2|_{L^2(Q)}^2 + \frac{\gamma}{2} \| z_1 - z_2 \|_{L^2(Q)}^2 \right] \quad \forall \gamma > 0
\end{align*}
$$

on choisit $\gamma$ tel que

$$
\bar{\alpha} = \alpha - \frac{\gamma}{2\epsilon} > 0
$$

alors

$$
\frac{1}{2} |(z_1 - z_2)(T)|_{L^2(\Omega)}^2 + \bar{\alpha} \|z_1 - z_2\|_{L^2(0, T; V)}^2 \le \frac{1}{\epsilon} \left(1 + \frac{1}{2\gamma}\right) \|v_o^1 - y_o^2\|_{L^2(Q)}^2
$$

donc on obtient

$$
(4.8) \quad \|z_1 - z_2\|_{L^2(0,T;V)}^2 \le K \|v_1 - v_2\|_{L^2(0,T;L^2(\Gamma'))}^2
$$

ce qui permet d'obtenir

$$
(4.9) \quad \| y_1 - y_2 \|_{L^2(0,T;L^2(\Omega))}^2 \le K \| v_1 - v_2 \|_{L^2(0,T;L^2(\Gamma'))}^2
$$

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

**Proposition 5** : Le problème de contrôle pénalisé (4.3) admet une solution.

Démonstration :

Soit $v_n$ une suite minimisante de $J_\epsilon$. Par définition de $u_{ad}$, $v_n$ est borné
dans $H^{2,1}(\Sigma')$ et $u_{ad}$ est faiblement fermé. Donc on peut extraire une sous-suite,
encore notée $v_n$ telle que :

$$
(4.10) \quad v_n \to v_\epsilon \quad \text{dans } H^{2,1}(\Sigma') \text{ faible}
$$

$$
(4.11) \quad v_n \to v_\epsilon \quad \text{dans } L^2(\Sigma') \text{ fort.}
$$
De (4.9) on déduit

$$
(4.12) \quad y_{\varepsilon}(v_n) \to y_{\varepsilon}(v) \quad \text{dans } L^2(0,T; L^2(\Omega)) \text{ fort}
$$

Or comme l'application norme est f.s.c.i on a alors

$$
\lim_{\varepsilon \to 0} J_{\varepsilon}(v) \geq J(v)
$$

on en déduit donc que $v_{\varepsilon}$ est un contrôle optimal de (4.3).

On note $y_{\varepsilon}$ l'état associé à $v_{\varepsilon}$ contrôle optimal.

On a le résultat de convergence suivant :

**Proposition 6** : *Le problème de contrôle optimal (1.19) admet une solution (v,y(v)) et on a*

$$
v_{\epsilon} \to v \quad \text{dans } L^2(0,T; H^1(\Gamma')) \text{ fort}
$$

$$
y_{\epsilon} \to y(v) \text{ dans } L^2(0,T;V) \text{ faible.}
$$

Démonstration.

$u_{ad}$ étant un borné convexe fermé de $H^{2,1}(\Sigma')$ on en déduit que

$$
(4.13) \quad v_{\epsilon} \to v \quad \text{dans } H^{2,1}(\Sigma') \quad \text{faible}
$$

$$
(4.14) \quad v_{\epsilon} \to v \quad \text{dans } L^2(0,T; H^1(\Sigma')) \text{ fort}
$$

De plus d'après la définition de $y_o^\epsilon$ on a

$$
(4.15) \quad \| y_o^\epsilon \|_{L^2(0,T; H^1(\Omega))}^2 \le K
$$

A partir de (4.5) on obtient :

$$
\left( \int_{\Omega} \phi_{\epsilon}(z + y_{\epsilon}^{\epsilon}) dz \right) - \int_{\Omega} r \cdot z_{\epsilon} dz
$$
Soit en intégrant sur $]0,T[$

$$ \frac{1}{2}|z_{\varepsilon}(T)|_{L^2(\Omega)}^2 + \alpha \|z_{\varepsilon}\|_{L^2(0,T;V)}^2 + \int_{0}^{T} \int_{\Omega} (\varphi_{\varepsilon}(z_{\varepsilon} + y_{0}^{\varepsilon}), z_{\varepsilon}) \le \int_{0}^{T} \int_{\Omega} f z_{\varepsilon} $$

soit

$$ \frac{1}{2}|z_{\varepsilon}(T)|_{L^2(\Omega)}^2 + \alpha \|z_{\varepsilon}\|_{L^2(0,T;V)}^2 - \frac{1}{\varepsilon} \int_{0}^{T} \int_{\Omega} (z_{\varepsilon} + y_{0}^{\varepsilon})^{-} (z_{\varepsilon} + y_{0}^{\varepsilon}) + \frac{1}{\varepsilon} \int_{0}^{T} \int_{\Omega} (z_{\varepsilon} + y_{0}^{\varepsilon})^{-} y_{0}^{\varepsilon} \\ \le \int_{0}^{T} \int_{\Omega} f z_{\varepsilon} $$

or

$$ - \frac{1}{\varepsilon} \int_{0}^{T} \int_{\Omega} (z_{\varepsilon} + y_{0}^{\varepsilon})^{-} (z_{\varepsilon} + y_{0}^{\varepsilon}) \ge 0 $$

et comme on a de plus $y_0^\varepsilon \ge 0$ on en déduit que

$$ \frac{1}{\varepsilon} \int_{0}^{T} \int_{\Omega} (z_{\varepsilon} + y_{0}^{\varepsilon})^{-} y_{0}^{\varepsilon} \ge 0 $$

Donc $\forall \gamma > 0$

$$ \frac{1}{2}|z_{\varepsilon}(T)|_{L^2(\Omega)}^2 + \alpha \|z_{\varepsilon}\|_{L^2(0,T;V)}^2 \le \int_{0}^{T} \int_{\Omega} f z_{\varepsilon} \le \frac{1}{2\gamma} \|f\|_{L^2(\Omega)}^2 + \frac{\gamma}{2} \|z_{\varepsilon}\|_{L^2(0,T;V)}^2 $$

Soit $\gamma$ tel que $\bar{\alpha} = \alpha - \frac{\gamma}{2} \ge 0$ on obtient alors

$$ (4.16) \qquad \| z_{\varepsilon} \|_{L^2(0,T;V)}^2 \le K \| f \|_{L^2(\Omega)}^2 $$

et donc de (4.15) et (4.16)

$$ (4.17) \qquad \| y_{\varepsilon} \|_{L^2(0,T;V)} \le K \text{ indépendant de } \varepsilon $$

Comme dans LIONS [1] on peut également établir, comme $v_\varepsilon$ est borné, que

$$ (4.18) \qquad \left\| \frac{\partial y_\varepsilon}{\partial t} \right\|_{L^2(\Omega)} \le K \text{ indépendant de } \varepsilon $$

donc on peut extraire une sous-suite telle que :
$$
(4.19) \quad \left\{
\begin{array}{l}
y_{\varepsilon} \to \tilde{y} \text{ dans } L^2(0,T; H^1(\Omega)) \text{ faible} \\
\\
\frac{\partial y_{\varepsilon}}{\partial t} \to \tilde{\frac{\partial y}{\partial t}} \text{ dans } L^2(0,T; L^2(\Omega)) \text{ faible} \\
\\
y_{\varepsilon} \to \tilde{y} \text{ dans } L^2(\Omega) \text{ fort}
\end{array}
\right.
$$

En multipliant (2.8) par $y_{\varepsilon}^{-}$ on obtient

$$
\left( \frac{\partial y_{\varepsilon}}{\partial t}, y_{\varepsilon}^{-} \right) - \left( \Delta y_{\varepsilon}, y_{\varepsilon}^{-} \right) + \left( \varphi_{\varepsilon}(y_{\varepsilon}^{-}), y_{\varepsilon}^{-} \right) = \left( f, y_{\varepsilon}^{-} \right)
$$

et donc

$$
\begin{gather*}
\frac{1}{2} \left\| y_{\varepsilon}^{-}(T) \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + \left\| \operatorname{grad} y_{\varepsilon}^{-} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + \frac{1}{\varepsilon} \left\| y_{\varepsilon}^{-} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 = - \int_{\Omega}^{T} (f, y_{\varepsilon}^{-}) \\
\frac{1}{\varepsilon} \left\| y_{\varepsilon}^{-} \right\|_{L^2(\Omega)}^2 \le \left\| f \right\|_{L^2(\Omega)} \left\| y_{\varepsilon}^{-} \right\|_{L^2(\Omega)}
\end{gather*}
$$

soit

$$
\| \bar{y}_{\epsilon} \|_{L^2(\Omega)}^2 \le K \epsilon \quad \text{K indépendant de } \epsilon
$$

on en deduit que

$$
(4.20) \quad \tilde{y} \ge 0 \quad \text{p.p.}
$$

Montrons que $\tilde{y} = y(v)$

on a

$$
(4.21) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \left( \frac{\partial z}{\partial t} , \zeta - z_{\epsilon} \right) + a \left( z_{\epsilon} , \zeta - z_{\epsilon} \right) + \left( \varphi_{\epsilon} (z_{\epsilon} + y_{0}^{\epsilon}) , \zeta - z_{\epsilon} \right) = (f , \zeta - z_{\epsilon}) \\[2ex]
\forall \zeta \in K, y_{0}^{\epsilon}(t) = \{ \varphi | \varphi \in H_{0}^{1}(\Omega), \varphi \ge -y_{0}^{\epsilon} \}
\end{array}
\right.
$$

Or d'après le lemme 1 on a

$$
\forall \zeta \in K, \exists \zeta_{\epsilon} \in K, \text{ telle que } \zeta_{\epsilon} \to \zeta \text{ dans } H_0^1(\Omega) \text{ fort pour tout } t
$$

on prend $\zeta = \zeta_{\epsilon}$ dans (4.21)

et comme

$$
(\varphi_{\epsilon}(z_{\epsilon} + y_{0}^{\epsilon}), \zeta_{\epsilon} - z_{\epsilon}) = (\varphi_{\epsilon}(y_{\epsilon}) - \varphi_{\epsilon}(\zeta_{\epsilon} + y_{0}^{\epsilon}), \zeta_{\epsilon} - z_{\epsilon}) \le 0
$$
car $\varphi_{\varepsilon}$ est monotone et $\zeta_{\varepsilon} + y_{o}^{\varepsilon} \geq 0$

on en déduit par passage à la limite que

$$ \left(\frac{\partial \tilde{z}}{\partial t}, \zeta - \tilde{z}\right) + a(\tilde{z}, \zeta - \tilde{z}) \geq (f, \zeta - \tilde{z}) \quad \forall \zeta \in K_{y_o} (t) $$

et donc $\tilde{y} = y(v)$

Montrons que $v$ est contrôle optimal de (1.19)

Supposons qu'il existe $\tilde{v} \in u_{ad}$ tel que

$$ J(y(\tilde{v}), \tilde{v}) < J(y(v), v) $$

par définition de $v_{\varepsilon}$ on a

$$ J(y_{\varepsilon}(v_{\varepsilon}), v_{\varepsilon}) \leq J(y_{\varepsilon}(\tilde{v}), \tilde{v}) $$

et donc par passage à la limite on obtient comme $f$ est $f$, $s$, $c$, $i$

$$ J(y(v), v) \leq J(y(\tilde{v}), \tilde{v}) $$

d'où une contradiction.

## V. Approximation d'un problème de contrôle d'inéquations variationnelles.

1) Ici nous allons nous placer dans un cadre plus général. On considère une inéquation variationnelle de la forme

$$ (5.1) \quad \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \left(\frac{\partial y}{\partial t}, z-y\right) + a(y,z-y) \geq (f+Bu, z-y) & \forall z \in K = \{y \mid y \in V, y \geq 0\} \\ \text{avec } B \in \mathcal{L}(u, L^2(0,T;V')) \\ y \in K \\ y(0) = y_o \end{array} \right. $$

on définit
* $V$, $H$ deux espaces de Hilbert
* $u$ l'espace de Hilbert des contrôles
* $u_{ad}$ un fermé borné convexe de $u$ (contrôle admissible)
$$
(5.2) \quad J(v) = \int_0^T \| y - z_d \|_H^2 + v \| u \|_{u}^2 du
$$

On considère alors le problème de contrôle

$$
(5.3) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\text{Trouver } \bar{u} \in u_{ad} \text{ tel que} \\
\quad J(\bar{u}) = \inf_{v \in u_{ad}} J(v) \\
\text{soient } \|\cdot\|_h \text{ et } |\cdot|_h. \text{ On a alors}
\end{array}
\right.
$$

Le problème (5.3) admet au moins une solution.

On suppose $u = L^2(0,T;E)$ ; $u_{ad} = L^2(0,T;E_{ad})$. On définit :

- une approximation interne $V_h$ de $V$, $V_h$ de dimension finie. On munit $V_h$
de deux normes équivalentes induites respectivement par les normes sur $V$ et sur
$H$, soient $\|\cdot\|_h$ et $|\cdot|_h$. On a alors

$$
K_2(h) |u_h|_h \le \|u_h\|_h \le K_1(h) |u_h|_h
$$

- une approximation $K_h$ de $K$ avec $K_h$ convexe fermé de $V_h$, $K_h \subset K$, l'ap-
proximation étant consistante et convergente ([1] Trémolières, [2] Glowinski)

- une approximation interne $E_h$ de $E$.

Soit d'autre part $k = \frac{T}{N}$,

Notons :

$$
a_1(u,v) = \frac{1}{k}(u,v) + \theta a(u,v)
$$

$$
a_2(u,v) = \frac{1}{k}(u,v) - (1-\theta) a(u,v)
$$

On a le problème approché :

$$
(5.4) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\text{Trouver } y_h^n, \ n = 0,1,\dots,N \text{ tels que} \\
\quad a_1(y_h^{n+1}, z_h - y_h^{n+1}) \ge a_2(y_h^n, z_h - y_h^{n+1}) + (f_h^n, z_h - y_h^{n+1}) + (B u_h^n, z_h - y_h^{n+1}) \\
\text{et } \forall z_h \in K_h, \ y_h^{n+1} \in K_h \\
\\
y_h^o = y_{oh}
\end{array}
\right.
$$

A E$_{ad}$ on associe E$_{ad}$$_{h}$ convexe borné fermé de E$_{h}$.
On a le problème de contrôle approché

$$
(5.5) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\text{Trouver } u_h^n \ (n = 0, \dots, N-1), \quad u_h^n \in E_{ad_h} \text{ tel que} \\
\\
J_h(u_h) = \operatorname{Inf}_{v_h \in (E_{ad_h})^N} J_n(v_h)
\end{array}
\right.
$$

avec

$$
(5.6) \quad J_h(u_h) = \sum_{n=0}^{N} k^n |y_h^n - z_{d_h^n}|^2
$$

On peut alors démontrer comme dans [1] Trémolières l'existence et la con-
vergence de la solution du problème approché si $(1-\theta)\sum_{h,k} [K_1(h)]^2 \to 0$

2) Etude du problème de contrôle discrétisé

i) l'application $u_h \to y_h$ de $(E_h)^N$ dans $(V_h)^N$ est Lipschitzienne.

**Démonstration.**

Soient $(y_1, y_2)$ les solutions associées à $u_1 = u_1$ et $u_2 = u_2$ (on omettra
par la suite les indices $h$).

En écrivant (5.4) pour $y_1$ et $y_2$, en prenant z égal respectivement à $y_2$ et $y_1$ et
en sommant, on obtient

$$
\left( \frac{y_1^{n+1} - y_2^{n+1} - (y_1^n - y_2^n)}{k} \right) + A(\theta(y_1^{n+1} - y_2^{n+1}) + (1-\theta)(y_1^n - y_2^n)) - B(u_1^n - u_2^n), y_1^{n+1} - y_2^{n+1} \Big|_{h=0} \le 0
$$

Soit :

$$
\begin{align*}
& \frac{1}{k} \left| y_1^{n+1} - y_2^{n+1} \right|_{h}^{2} - \frac{1}{k} (y_1^{n+1} - y_2^{n+1}, y_1^n - y_2^n) + \alpha [K_2(h)]^2 \theta \left| y_1^{n+1} - y_2^{n+1} \right|_{h}^{2} \\
& \le \| B \|_{E_h} \| u_1^n - u_2^n \|_{h}^{2} - (1-\theta) (A(y_1^n - y_2^n), y_1^{n+1} - y_2^{n+1})
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
& \left(\frac{1}{k} + \alpha \theta [K_2(h)]^2\right) \left|y_1^{n+1} - y_2^{n+1}\right|_h^2 \le \|B\|_{K_1(h)} \|u_1^n - u_2^n\|_{E_h} \left|y_1^{n+1} - y_2^{n+1}\right|_h \\
& \qquad + \left(\frac{1}{k} + \alpha(1-\theta) \|A\|_{[K_1(h)]^2} \right) \left|y_1^{n+1} - y_2^{n+1}\right|_h \left|y_1^n - y_2^n\right|_h
\end{align*}
$$
Posons

$$C_1 = \frac{1}{k} + \alpha \theta [K_2(h)]^2$$

$$C_2 = \left| \frac{1}{k} + \alpha(1-\theta) \right| \| A \| [K_2(h)]^2 ; \quad C = \| B \| K_1(h)$$

on a alors

$$C_1 |y_1^{n+1} - y_2^{n+1}|_h \le C_2 |y_1^n - y_2^n|_h + C \| u_1^n - u_2^n \|_{E_h}$$

$$\text{et } |y_1^o - y_2^o|_h = 0$$

ce qui permet d'obtenir

$$|y_1^{n+1} - y_2^{n+1}| \le \frac{C}{C_1} \left( \| u_1^n - u_2^n \|_{E_h} + \frac{C_2}{C_1} \left\| u_1^{n-1} - u_2^{n-1} \right\|_{E_h} + \dots + \left( \frac{C_2}{C_1} \right)^n \left\| u_1^o - u_2^o \right\|_{E_h} \right)$$

et donc

$$(5.7) \qquad \sum_{n=0}^{N} |y_1^n - y_2^n|_h \le K(h) \sum_{n=0}^{N-1} \| u_1^n - u_2^n \|_{E_h}$$

ce qui démontre le résultat.

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

ii) On obtient alors l'existence et la convergence de la solution du problème approché sous les mêmes hypothèses que précédemment.

iii) Nous allons maintenant définir un état adjoint discret. Nous utilisons ici les résultats de MIGNOT (MIGNOT [1]).

Nous avons l'inéquation variationnelle

$$a_1(y_h^{n+1}, z_h - y_h^{n+1}) \ge a_2(y_h^n, z_h - y_h^{n+1}) + (f_h^n + B u_h^n, z_h - y_h^{n+1})_h \quad \forall z \in K_h$$

L'application qui à $(y_h^n, u_h^n)$ associe $y_h^{n+1}$ admet en tout point une dérivée conique et plus précisément il existe un ensemble $\mathcal{A}^n$ négligeable de $L^2$ tel que $y_h^{n+1}$ soit différentiable au sens de Fréchet sur $L^2 \setminus \mathcal{A}^n$.

Par récurrence on obtient donc sauf sur un ensemble $\mathcal{A}$ négligeable, la différentielle de $y_h^n$ dans la direction $w_j$, notée $D_j^n$, solution de :
$$
\left\{
\begin{array}{ll}
a_1(D_j^{n+1}, \theta) = a_2(D_j^n, \theta) + (\delta_j^n B w_n, \theta)_h & \forall \theta \in S_y^{n+1} \\
D_j^{n+1} \in S_y^{n+1} & n = 0, \dots, N-1 \\
D_j^0 = 0 &
\end{array}
\right.
$$

avec

$\delta_j^n$ symbole de Kronecker

$$
S^y = \{ z \mid z \in V_h, z = 0 \text{ sur } Z(y) \}
$$

$$
Z(y) = \{x \in \mathbb{Q} \mid y(x) = 0\}
$$

Si on suppose que la solution optimale n'appartient pas à $\mathcal{A}$, on a alors les
conditions d'optimalité suivantes :

On définit l'état adjoint :

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
a_1^*(p^n, \theta) = a_2^*(p^{n+1}, \theta) + 2k(y^{n+1} - z_d^{n+1}), & \theta)_h \quad \forall \theta \in S_y^{n+1} \\
p^n \in S_y^{n+1} & n = 0, \dots, N-1 \\
p^N = 0 &
\end{array}
\right.
$$

On a alors :

$$
\begin{align*}
J_h^i, W_j^i &= \sum_{n=1}^{N} 2k(y^n - z_d^n, D_j^n)_h \\
&= \sum_{n=1}^{N} a_1^*(p^{n-1}, D_j^n) a_2^*(p^n, D_j^n) = \sum_{n=1}^{N-1} a_1^*(p^{n-1}, D_j^n) - \sum_{n=1}^{N} a_2^*(p^n, D_j^n)_h \\
&= \sum_{n=0}^{N-1} a_1(D_j^{n+1}, p^n) - \sum_{n=1}^{N} a_2(D_j^n, p^n) \\
&= a_1(D_j^1, p^0) + \sum_{n=1}^{N-1} a_1(D_j^{n+1}, p^n) - a_2(D_j^n, p^n) \\
&= (\delta_j^1 B w_1, p^0)_h + \sum_{n=1}^{N-1} (\delta_j^n B w_n, p^n)_h \\
&= (B w_j, p^j)_h.
\end{align*}
$$

La condition d'optimalité s'écrit alors :
$$
(5.8) \quad \left\{
\begin{array}{l}
(a_1 (y_h^{n+1}, z_h - y_h^{n+1}) \ge a_2 (y_h^n, z_h - y_h^{n+1}) + (B_h u_h^n + f_h^n, z_h - y_h^{n+1})_h, \forall z_h \in K_h \\
y_h \in K_h, n = 0, \dots, N-1 \\
y_h^0 = y_{oh}
\end{array}
\right.
$$

$$
(5.9) \quad \left\{
\begin{array}{l}
a_1^*(p_h^n, \theta_h) = a_2^*(p_h^{n+1}, \theta_h) + 2k((y_h^{n+1}-z_d^{n+1})^T, \theta_h)_h \quad \forall \theta_h \in S^{y_h^{n+1}} \\
p_h^n \in S^{y_h^{n+1}} \qquad n = 0, \dots, N-1 \\
p_h^N = 0
\end{array}
\right.
$$

$$
(5.10) \quad \left\{
\begin{array}{l}
(B(w_j^-, u_h^j), p_h^j) \ge 0 \quad \forall w_j^- \in E_{ad_h} \\
j = 0, \dots, N-1
\end{array}
\right.
$$

3) **_Discrétisation du problème (1.19)_**

On a considéré ici une discrétisation par différences finies. Dans le
cas du problème (1.19) on définit le système discrétisé suivant

$$
\begin{gather*}
\left( \frac{y_i^{n+1} - y_i^n}{k} - \frac{y_{i+1}^{n+1} - 2y_i^{n+1} + y_{i-1}^{n+1}}{h^2} - f_i, z_i - y_i^{n+1} \right) \ge 0 \\
\forall z_i \ge 0 \quad y_i^{n+1} \ge 0 \quad i = 3, \dots, p-1
\end{gather*}
$$

$$
\begin{gather*}
\left( \frac{y_2^{n+1} - y_2^n}{k} - \frac{y_3^{n+1} - 2y_2^{n+1}}{h^2} - f_2 - \frac{u^n}{h^2}, z_2 - y_2^{n+1} \right) \ge 0 \\
\forall z_2 \ge 0 \quad y_2^{n+1} \ge 0
\end{gather*}
$$

$$
\begin{gather*}
\left( \frac{y_p^{n+1} - y_p^n}{k} - \frac{y_{p-1}^{n+1} - 2y_p^{n+1}}{h^2} - f_p, z_p - y_p^{n+1} \right) \ge 0 \\
\forall z_p \ge 0 \quad y_p^{n+1} \ge 0
\end{gather*}
$$
avec $y_i^1 = 0 \quad \forall i = 1, \dots, p+1$

On se trouve donc bien devant un système du type (5.4). La méthode numérique de résolution a été une méthode de relaxation avec projection (Glowinski [1], Trémolières [1], Glowinski - Lions - Trémolières [1]).
Nous pouvons alors appliquer les résultats précédents :
On a alors l'état adjoint :

$$ \frac{- p_i^{n+1} + p_i^n}{k} - \frac{p_{i+1}^n - 2p_i^n + p_{i-1}^n}{h^2} = 2k(y_i^{n+1} - z_i^{n+1}) $$

pour $(i,n+1)$ tel que $y_i^{n+1} > 0$

sinon $p_i^n = 0$ si $y_i^n = 0$

on a alors l'expression

$$ J'_{h} \cdot w_{j} = \left( \frac{p_{2}^{j}}{n^{2}} , w_{j} \right) $$

Pour résoudre numériquement le problème de contrôle, nous avons utilisé une méthode de gradient avec projection.

L'exemple traité numériquement a été le suivant :

$$ f(x,t) = -5, \quad v = 0 $$

**cas 1** : $z_d$ calculé numériquement comme solution du système direct pour $v(t) = t$.

**cas 2** : $z_d(x,t) = [(1-2x)t]^+$

**cas 3** : $z_d(x,t) = [(1-2x)t^2]^+$

Les résultats sont présentés figures 1, 2, 3.

Nous avons également représenté les frontières libres associées à l'état désiré et à l'état obtenu, mais il faut remarquer qu'elles n'ont aucune raison d'être voisinnes (Ici elles n'interviennent pas dans le critère). Les temps de calcul sur IBM 370-168 sont de l'ordre de 3,50 secondes.

Pour illustrer la convergence, nous donnons dans le cas de l'exemple 1 les valeurs de la fonctionnelle avec le nombre d'itérations :
<table><thead><tr><th>Nombre d'itérations</th><th>fonctionnelle</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>0,1467</td></tr><tr><td>1</td><td>0,1740 × 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>2</td><td>0,1335 × 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>3</td><td>0,2999 × 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>4</td><td>0,2649 × 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>0,2575 × 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>6</td><td>0,1554 × 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>7</td><td>0,1495 × 10<sup>-3</sup></td></tr></tbody></table>

Nous avons également testé le problème en dimension 2. On considère le domaine suivant :

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Γ' et Γ" sont deux cercles concentriques de rayon R₁ et R₂

L'approximation a été faite par éléments finis conformes d'ordre 1. La discrétisation est représentée figure 4.

Le code d'éléments finis utilisé est présenté dans Thomasset [1]. Dans les exemples traités nous avons pris

$$f(x,t) = -4$$
$$R_1 = 0,36 \quad ; \quad R_2 = 7,8 \quad , \quad v = 0$$
cas 1 : $z_d$ calculé numériquement comme solution du système avec
$v(t) = 10 t$

cas 2 : $z_d$ calculé numériquement comme solution du système avec
$v(t) = 10 t^2$

cas 3 : $z_d$ calculé numériquement comme solution du système avec
$v(t) = 10 \sqrt{t}$.

les temps de calculs sont de l'ordre de 2 mm sur IBM 370-168.
Les résultats sont présentés figures 5-6-7.

Pour illustrer la convergence de la méthode, nous donnons les variations de la fonction coût avec le nombre d'itérations dans l'exemple 1

<table><thead><tr><td>Nombre d'itérations</td><td>fonctionnelle</td></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>2,1380</td></tr><tr><td>2</td><td>0,34 x 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>3</td><td>0,18 x 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>4</td><td>0,04 x 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>5</td><td>0,43 x 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>6</td><td>0,16 x 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>7</td><td>0,90 x 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>8</td><td>0,72 x 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>9</td><td>0,67 x 10<sup>-3</sup></td></tr><tr><td>10</td><td>0,64 x 10<sup>-3</sup></td></tr></tbody></table>

Dans les autres exemples la convergence se présente de la même façon.

Il faut remarquer qu'une certaine imprécision apparaît au niveau du contrôle à cause de la discrétisation. En effet, il faudrait faire une discrétisation variable pour avoir un état adjoint précis, car lorsque la frontière libre est proche de la frontière intérieure, on calcule p sur une couronne très petite et donc ceci nécessiterait une triangulation fine sur le bord intérieur.
<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Exemple 1

$$
\begin{cases}
z_d \text{ calculé pour } v \text{ donné} \\
f = -5, \quad v = 0 \\
\text{dimension } 1
\end{cases}
$$

On trouve dans ce cas une solution identique à la solution désirée.

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 1</figcaption></figure>
<figure><img src="image_9.png" /></figure>

Exemple 2

$$
\begin{cases}
z_d = [(1-2x)t]^+ \\
f = -5, \quad v = 0 \\
\text{dimension } 1
\end{cases}
$$

Etat du système

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>FIGURE 2</figcaption></figure>

Frontière libre
<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>FIGURE 3</figcaption></figure>

<figure><img src="image_12.png" /></figure>
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Figure 4</figcaption></figure>

Triangulation du domaine
<figure><img src="image_14.png" /></figure>

Exemple 1

$$
\begin{cases}
f = -4, & v = 0 \\
z_d \text{ calculé avec } v = 10t \\
\text{dimension 2}
\end{cases}
$$

<caption>FIGURE 5</caption>
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>Figure 6</figcaption></figure>

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Figure 7</figcaption></figure>
## VI. Résolution du problème pénalisé.

Nous avons également testé la méthode de pénalisation. Le système a encore été discrétisé par un schéma aux différences finies implicite et résolu par une méthode de relaxation.

Nous avons d'autre part régularisé le terme non linéaire par un terme $\Psi_{\varepsilon}(y)$ différentiable, afin de pouvoir définir un état adjoint.

$$ \Psi_{\varepsilon}(y) = \begin{cases} \frac{y}{\varepsilon} & y \le -\varepsilon^2 \\ -\frac{1}{4\varepsilon^3}(y-\varepsilon^2) & -\varepsilon^2 \le y \le \varepsilon^2 \\ 0 & y \ge \varepsilon^2 \end{cases} $$

Avec $\Psi_{\varepsilon}$ nous pourrions obtenir les mêmes résultats de convergence qu'au IV avec $\varphi_{\varepsilon}$. Pour les applications numériques nous avons considéré les mêmes exemples qu'au V.

Il faut remarquer qu'ici l'intégration de l'état adjoint se fait sur tout le domaine et on supprime ainsi la difficulté innérante à la méthode du V). La détermination du gradient est donc plus précise et la convergence meilleure.

Pour les exemples numériques, nous avons pris $\varepsilon = 10^{-5}$. Le temps de calcul sur IBM 370-168 est de l'ordre de 3s.

Sur l'exemple 1, on obtient en 7 itérations une valeur de la fonctionnelle $0,243 \times 10^{-4}$ et en 20 itérations, $0,10 \times 10^{-9}$.

Par les deux méthodes on obtient pour le contrôle des valeurs très proches. Nous donnons, en Figure 8 le contrôle obtenu pour l'exemple 2.

En conclusion sur les deux méthodes, la méthode de pénalisation présente l'avantage de définir un état adjoint sur tout le domaine. Ainsi lorsqu'on peut définir un schéma stable pour l'équation pénalisée cette méthode semble préférable à la méthode avec l'inéquation variationnelle, la précision sur le calcul du gradient étant bien meilleure.
<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>Figure 8</figcaption></figure>

Les valeurs numériques du contrôle sont :

<table><thead><tr><th>t</th><th>Méthode V</th><th>Méthode VI</th></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,210</td><td>0,240</td></tr><tr><td>0,2</td><td>0,392</td><td>0,414</td></tr><tr><td>0,3</td><td>0,547</td><td>0,531</td></tr><tr><td>0,4</td><td>0,680</td><td>0,654</td></tr><tr><td>0,5</td><td>0,745</td><td>0,736</td></tr><tr><td>0,6</td><td>0,838</td><td>0,807</td></tr><tr><td>0,7</td><td>0,893</td><td>0,885</td></tr><tr><td>0,8</td><td>0,958</td><td>0,951</td></tr><tr><td>0,9</td><td>1,019</td><td>1,013</td></tr><tr><td>1</td><td>1,117</td><td>1,132</td></tr></tbody></table>
B/ CAS OU L'OBSERVATION EST LA FRONTIERE LIBRE

Dans tout ce chapitre on sera en dimension 1 (n=1)

I. Position du problème.

L'état y du système est toujours solution de l'inéquation variationnelle

A) (1.11)...(1.16) . On définit les ensembles suivants :

$$
(1.1) \quad \left\{
\begin{array}{l}
K(v) = \{(x,t) \in Q \mid y_v(x,t) = 0\} \\
E(v) = \{(x,t) \in Q \mid y_v(x,t) > 0\} \\
K(v,t) = \{x \in \Omega \mid y_v(x,t) = 0\} \\
E(v,t) = \{x \in \Omega \mid y_v(x,t) > 0\}
\end{array}
\right.
$$

y_v(x,t) représentant l'état du système associé au contrôle v.
y ∈ C(Q), donc K(v) est un compact de Q, de même K(v,t) est un compact de Q.

On définit la fonctionnelle suivante :

$$
(1.2) \quad J(v) = \int_0^T \int_\Omega |X_{K(v)} - X_d|^2 dxdt + v \|v\|_u^2 \quad v \ge 0
$$

avec $\bar{X}_{K(v)}$ la fonction caractéristique de $K(v)$

$X_d$ la fonction caractéristique d'un fermé donné de Q

On considère le problème de contrôle optimal :

$$
(1.3) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\text{Trouver } u \in \mathcal{U}_{ad} \text{ tel que} \\
\quad J(u) = \begin{array}{l@{\,=\,}l}
\inf_{v \in \mathcal{U}_{ad}} & J(v) \\
\text{v}' \in \mathcal{U}_{ad}
\end{array}
\end{array}
\right.
$$

II. Existence d'une solution au problème de contrôle optimal

La frontière libre est constituée d'un seule courbe d'équation :

$x = s(t)$
([1] Friedman, [1] - [2] Van Moerbecke).

**Proposition 7.** *la fonction s(t) est non décroissante*

Nous reprenons ici une démonstration développée dans [1] Bensoussan -
Lions. Par hypothèse on a $v(x,t)$ qui est une fonction croissante en $t$. On a
l'inéquation variationnelle

$$
(2.1) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial y}{\partial t}, \varphi-y) + a(y, \varphi-y) \ge (f, \varphi-y) \quad y(0) = 0 \\[1em]
\forall \varphi \in K(t) = \{\varphi \mid \varphi \in H^1(\Omega), \varphi|_{\Gamma} = v(x,t), \varphi|_{\Gamma''} = 0; \varphi \ge 0 \}
\end{array}
\right.
$$

On introduit une discrétisation de $]0,T[$

$0, k, 2k, ..., Nk = T$

et on pose :

$$
(2.2) \quad \left\{
\begin{array}{l}
f_n(x) = f(x) \\
v_n(x) = \frac{1}{k} \int_{nk}^{(n+1)k} v(x,t) \, dt
\end{array}
\right.
$$

on a alors $f_{n+1} = f_n$ ; $v_{n+1} \ge v_n$ (par hypothèse sur $u_{ad}$)

On considère la suite de problèmes :

$$
(2.3) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \left( \frac{y^{n+1} - y^n}{k}, \varphi - y^{n+1} \right) + a(y^{n+1}, \varphi - y^{n+1}) \ge (f_n, \varphi - y^{n+1}) \\[2em]
\forall \varphi \in K_n = \{\varphi \mid \varphi \in H^1(\Omega), \varphi|_{\Gamma} = v_n, \varphi|_{\Gamma''} = 0, \varphi \ge 0\} \\[2em]
\displaystyle y^1 = 0
\end{array}
\right.
$$

On pose

$$
(2.4) \quad \tilde{a}(u,v) = \frac{1}{k}(u,v) + a(u,v)
$$
i) $y^2 \in K_1$ et donc $y^2 \ge 0$

$$ \Rightarrow y^2 \ge y^1 = 0 $$

$$ \text{ii) } y^n \ge y^{n-1} \quad \Rightarrow \quad y^{n+1} \ge y^n $$

en effet on a :

$$ \tilde{a}(y^{n+1}, y^{-n}) \ge (f_n, y^{-n}) + \frac{1}{k}(y^n, y^{-n}) $$

on peut prendre

$$ \varphi = y^{n+1} + (y^{n+1} - y^n)^{-} $$

ce qui donne

$$ (2.5) \qquad \tilde{a}(y^{n+1}, (y^{n+1}-y^n)^{-}) \ge (f_n, (y^{n+1}-y^n)^{-}) + \frac{1}{k}(y^n, (y^{n+1}-y^n)^{-}) $$

de même dans

$$ \tilde{a}(y^n, z - y^n) \ge (f_n, z - y^n) + \frac{1}{k}(y^n, z - y^n) $$

on peut prenare

$$ \varphi = y^n - (y^{n+1} - y^n)^{-} $$

$$ \text{(en effet alors } \varphi = \inf(y^n, y^{n+1}) \ge 0 $$

$$ \varphi|_{\Gamma} = v_{n-1} - (v_n - v_{n-1})^{-} = v_{n-1} $$

on obtient :

$$ (2.6) \qquad - \tilde{a}(y^n, (y^{n+1}-y^n)^{-}) \ge (f_{n-1}, -(y^{n+1}-y^n)^{-}) + \frac{1}{k}(y^{n-1}, -(y^{n+1}-y^n)^{-}) $$

ce qui donne en additionnant (2.5) et (2.6)

$$ (2.7) \qquad \tilde{a}(y^{n+1}-y^n, (y^{n+1}-y^n)^{-}) \ge \frac{1}{k}(y^n - y^{n-1}, (y^{n+1}-y^n)^{-}) $$

$$ \text{comme } y^n - y^{n-1} \ge 0 \text{ on en déduit} $$

$$ (y^{n+1}-y^n)^{-} = 0 \text{ p.p. donc } y^{n+1} \ge y^n \text{ p.p.} $$
iii) par récurrence on a donc $y^{n+1} \geq y^n$ p.p. $\forall n$.

on pose :

$$
(2.8) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
y_k(t) = y^n \quad \text{dans } ]nk, (n+1)k[ & \\
\tilde{y}_k(t) = \frac{(n+1)k-t}{k} y^n + \frac{(t-nk)}{k} y^{n+1} \quad \text{dans } ]nk, (n+1)k[ &
\end{array}
\right.
$$

montrons maintenant que

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\tilde{y}_k(t) \to y(t) \quad \text{dans } L^2(0,T; H^1(\Omega)) \quad \text{faible} \\
\\
\frac{\partial \tilde{y}_k}{\partial t}(t) \to \frac{\partial y}{\partial t}(t) \quad \text{dans } L^2(\Omega) \quad \text{faible}
\end{array}
\right.
$$

avec $y(t)$ solution de (2.1).

on définit $y_o^n$ $n=1,...,N+1$ par :

$$
(2.9) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{y_o^{n+1}}{k} - \Delta y_o^{n+1} = \frac{1}{k} y_o^n \\[2ex]
\begin{array}{l@{\quad}l}
\multirow{2}{*}{$y_o^{n+1}$} & \left.\vphantom{\frac{\Delta y_o^{n+1}}{k}}\right|_{\Gamma'} = v_n \\[1ex]
\multirow{2}{*}{$y_o^{n+1}$} & \left.\vphantom{\frac{\Delta y_o^{n+1}}{k}}\right|_{\Gamma''} = 0
\end{array}
\end{array}
\right.
$$

$y_o^1 = 0$

et on pose $y^{n+1} = y_o^{n+1} + z^{n+1}$

alors $z^{n+1}$ est solution de :

$$
(2.10) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \tilde{a}(z^{n+1}, \varphi - z^{n+1}) \ge (f_n + \frac{1}{k} y^n - \frac{1}{k} y_o^n, \varphi - y^{n+1}) \\[2ex]
\quad \forall \varphi \le \{ \varphi \mid \varphi \in H_o^1(\Omega), \varphi \ge -y_o^{n+1} \}
\end{array}
\right.
$$

comme $y_o^{n+1} \ge 0$ on peut prendre $\varphi \equiv 0$ et donc on en déduit

$$
\frac{1}{k} |z^{n+1}|^2 + \alpha ||z^{n+1}||^2 \le \frac{\gamma}{2} |f_n|^2 + \frac{1}{\gamma} |z^{n+1}|^2 + \frac{\gamma}{2} |z^n|^2 \quad \forall \gamma > 0
$$
et donc par addition $z_k(t)$ borné dans $L^2(0,T;H_0^1(\Omega))$
$$
\Rightarrow y_k(t) \text{ borné dans } L^2(0,T;H^1(\Omega))
$$

or $\| \tilde{y}_k(t) \| \le [ \| y^n \| + \| y^{n+1} \| ] \quad \text{n k < t < (n+1)k.}$

et donc $\tilde{y}_k(t)$ est borné dans $L^2(0,T;H^1(\Omega))$

on a
$$
(2.11) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \left( \frac{z_{n+1} - z_n}{k} , \varphi - z_{n+1} \right) + a(z_{n+1}, \varphi - z_{n+1}) \ge (f_n, \varphi - z_{n+1}) \\[2ex]
\forall \varphi \in \{\varphi \mid \varphi \in H_0^1(\Omega)\}, \varphi \ge -y_o^{n+1}
\end{array}
\right.
$$

or $y_o^{n+1} \ge y_o^n$ donc on peut prendre $\varphi = z_n$ dans (2.11).

On obtient :

$$
\frac{1}{k} |z_{n+1} - z_n|^2 + a(z_{n+1}, z_{n+1} - z_n) \le (f_n, z_{n+1} - z_n)
$$

or on a :

$$
a(z_{n+1}-z_n, z_{n+1}-z_n) = -a(z_n, z_{n+1}-z_n) + a(z_{n+1}, z_{n+1}-z_n)
$$

et

$$
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N} a(z_{n+1}+z_n, z_{n+1}-z_n) &= a(z_{N+1}, z_{N+1}) - a(z_1, z_1) \\
&= a(z_{N+1}, z_{N+1})
\end{align*}
$$

donc

$$
\sum_{n=1}^{N} a(z_n, z_{n+1} - z_n) = - \sum_{n=1}^{N} a(z_{n+1}, z_{n+1} - z_n)
$$

$$
\Rightarrow \quad \sum_{n=1}^{N} a(z_{n+1}, z_{n+1} - z_n) = \frac{1}{2} \left[ \sum_{n=1}^{N} a(z_{n+1} - z_n, z_{n+1} - z_n) + a(z_{N+1}, z_{N+1}) \right] \ge 0
$$

ce qui donne avec (2.11)

$$
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{k} |z_{n+1} - z_n|^2 &\le \sum_{n=1}^{N} (f_n, z_{n+1} - z_n) \\
&\le \sum_{n=1}^{N} |f_n| |z_{n+1} - z_n|
\end{align*}
$$
et donc
$$ \left| \frac{\partial \tilde{y}_k}{\partial t} \right|_{L^2(Q)} \le K \quad \text{indépendant de } k. $$

Donc

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
y_k \to y & \text{dans } L^2(0,T;H^1) \text{ faible} \\
\tilde{y}_k \to \tilde{y} & \text{dans } L^2(0,T;H^1) \text{ faible} \\
\frac{\partial \tilde{y}_k}{\partial t} \to \frac{\partial \tilde{y}}{\partial t} & \text{dans } L^2(Q) \text{ faible}
\end{array}
\right.
$$

or

$$
\begin{gather*}
\int_0^T |\tilde{z}_k - z_k| = k^2 \int_0^T |\tilde{z}_k(t)|^2 \to 0 \\
k \to 0 \\
\Rightarrow \quad y = \tilde{y}
\end{gather*}
$$

d'autre part on a (comme au lemme 1)

$$
\begin{gather*}
\forall \varphi \in K(t) \quad \exists \varphi_n \text{ avec } \varphi_n \in K_n \quad \text{pour } nk < t < (n+1)k \quad \text{tel que} \\
\varphi_n \to \varphi \quad \text{dans } H^1(\Omega) \quad \text{fort}
\end{gather*}
$$

on en déduit que

y est solution de (2.1)

or :

$$
\frac{\partial \tilde{y}_k}{\partial t} = - \frac{y^n - y^{n+1}}{k} \ge 0 \quad \text{donc} \quad \frac{\partial y}{\partial t} \ge 0 \quad \text{p.p.}
$$

ce qui donne le résultat.

■

**Proposition 8.** *L'application qui à v associe $K(v)$ est continue dans le sens suivant :*

$$
\left\{
\begin{array}{ll}
v_n \to v & \text{dans } \mathcal{U} \text{ faible} \\
K(v_n) \to K(v) & \text{au sens de Hausdorff}
\end{array}
\right.
$$

et de plus

$$
X_{K(v_n)} \to X_{K(v)} \text{ dans } L^\infty(\Omega) \text{ faible étoile.}
$$
démonstration.

A $v_n$ (resp. $v$) on associe $y_n = y(v_n)$, $s_n(t)$, $K_n = K(v_n)$ (resp. $y, s(t), K$) solution de l'inéquation variationnelle.

$s_n(t)$ étant une fonction monotone non décroissante on peut appliquer le théorème de Helly ([1] Liusternik - Sobolev).

Il existe une sous suite $s_n(t)$ telle que

$$
s_n(t) \to \tilde{s}(t) \text{ pour tout } t
$$

$\tilde{s}(t)$ monotone non décroissante.

On en déduit alors comme

$$
K_n = \{(x,t) \mid 0 \le t \le T, s_n(t) \le x \le 1\}
$$

que

$$
K_n \to \tilde{K} = \{(x,t) | 0 \le t \le T, \tilde{s}(t) \le x \le 1\} \text{ au sens de Hausdorff}
$$

et

$$
X_{K_n} \to X_K \text{ dans } L^\infty(Q) \text{ faible étoile}
$$

on a en fait

$$
X_{K_n} \to X_K \quad \text{p.p. dans } Q
$$

([2] Lions, [1] Murat - Simon)

Nous énonçons maintenant trois lemmes qui permettent d'obtenir le résul-
tat.

Lemme 2 :

si $v(x,t) \in H^{3/2,3/4}(\Sigma')$ et si $s(t)$ est une fonction monotone non décroissante alors le problème.

$$
(2.12) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial y}{\partial t} - \Delta y = f \\
y(0,t) = v(t) \\
y(s(t),t) = 0 \\
y(x,0) = 0
\end{array}
\right.
$$
admet une solution unique dans

$$
\gamma = \{ v | v \in H^1_0(Q) \cap W^{-1}(Q-K) = \emptyset, \frac{dv}{dt} \in F'(Q-K), v(s,t), t = 0, v(x,0) = 0 \}
$$

on effectue d'abord la translation suivante

$$
y = z + cy_0 \quad \text{avec } y_0 \text{ solution de } A) (3.1) - (3.4)
$$

et

$$
\left\{
\begin{array}{l}
c \in C^1(Q), \quad c|_{\Sigma'} = 1 \\
\text{Supp } c \subset (Q-K)
\end{array}
\right.
$$

on a z solution de

$$
(2.13) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} - \Delta z = f \\
\\
\displaystyle z|_{\Sigma'} = 0 \\
\\
\displaystyle z(s(t),t) = 0 \\
\\
\displaystyle z(x,0) = 0
\end{array}
\right.
$$

x = s(t) étant monotone non décroissante, si on définit

$$
s^{-1}(x) = \sup \{ t \mid s(t) = x \}
$$

on obtient la formule :

$$
\begin{align*}
\int_0^T \int_0^T s(t) \left( \frac{\partial u}{\partial t} v + u \frac{\partial v}{\partial t} \right) dt dt ={}& \int_0^T s(T) \int_{s^{-1}(x)}^T \left( \frac{\partial u}{\partial t} v + u \frac{\partial v}{\partial t} \right) dt dt \\
={}& \int_0^T s(T) (u(x,T) v(x,T) - u(s^{-1}(x),x) v(s^{-1}(x),x)) dx \\
={}& \int_0^T s(T) u(x,T) v(x,T) dx.
\end{align*}
$$

on introduit

$$
W = \{ \varphi \mid \varphi \in H_0^1 Q \setminus F = V(Q-F), \frac{d\varphi}{dt} \in V'(Q-K), \varphi(x,T) = 0 \}
$$
on obtient alors la formulation faible.

$$ (2.14) \quad \int_0^T \int_0^T s(t) \left( -z \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \operatorname{grad} z \operatorname{grad} \varphi \right) = \int_0^T \int_0^T f \varphi \quad \forall \varphi \in W $$

On a alors existence et unicité d'une solution.

■

**Lemme 3 :**

Soit $W_n$ l'espace du type W associé à $K_n$. On a alors

$$ \forall \varphi \in W, \quad \exists \varphi_n \in W_n \quad \varphi_n \to \varphi \quad \text{dans } W \text{ fort} $$

On démontre ce résultat comme dans [1] Pironneau, grâce à la densité de l'ensemble des fonctions de $\mathcal{B}(\overline{Q-K})$ nulles dans un voisinage de $x=0$, $x=s(t)$, $t=T$ dans W.

■

**Lemme 4 :**

Si on a $s_n(t) \to \tilde{s}(t)$ pour tout $t$, $y_{s_n(t)}$ solution de (2.14) converge vers $y_{\tilde{s}(t)}$ dans $L^2(0,T,H^1)$ faible.

On désigne encore par $y_0$ la solution de (3.1)(3.4) et on effectue la translation :

$$ y_n = z_n + My_0^n $$

$$ \text{avec} \quad \left\{ \begin{array}{l} M \in C^1(Q), \quad M|_{\Sigma'} = 1 \\ \text{supp } M \subset \bigcap_n (\Omega - K_n) \end{array} \right. $$

$$ \text{on a} \quad My_0^n \to My_0 \quad \text{dans } H^{2,1}(Q) \text{ fort} $$

$z_n$ vérifie :

$$ \int_0^T \int_0^T s_n(t) \left( -z_n \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \operatorname{grad} \varphi \operatorname{grad} z_n \right) = \int_0^T \int_0^T f \varphi \quad \forall \varphi \in W $$
De plus si on note $\hat{z}_n$ le prolongement par 0 de $z_n$ dans $Q$, on a

$$ \int_{0}^{T} \int_{0}^{t} s_{n}(t) \left( -\hat{z}_{n} \frac{d\hat{z}_{n}}{dt} + \operatorname{grad} \hat{z}_{n} \operatorname{grad} \hat{z}_{n} \right) = \int_{0}^{T} \int_{0}^{t} s_{n}(t) f \hat{z}_{n} $$

on en déduit alors que $\hat{z}_n$ est borné dans $L^2(0,T;H^1(\Omega))$. On peut donc extraire une sous-suite convergente faiblement dans $L^2(0,T;H^1(\Omega))$ vers $\tilde{z}$

Comme on a $X_{Q-K} \to X_{Q-\tilde{K}}$ dans $L^\infty(Q)$ faible étoile et d'après le lemme 3 on obtient à la limite

$$ \int_{0}^{T} \int_{0}^{t} \tilde{s}(t) \left( - \tilde{z} \frac{\partial \varphi}{\partial t} + \operatorname{grad} \tilde{z} \operatorname{grad} \varphi \right) = \int_{0}^{T} \int_{0}^{t} f \tilde{s}(t) \quad \forall \varphi \in W. $$

ce qui démontre le lemme.

Montrons maintenant que $\tilde{K}=K(v)$.

Si on note $\tilde{y}$ la limite faible de $y_n$, on a $y \ge 0$.

Supposons $\tilde{K} \neq K(v)$ et soit $O = (\Omega-\tilde{K}) \cap (\Omega-K(v))$ comme $y > 0$ dans $\Omega-K(v)$ et que dans $O$ y et $\tilde{y}$ vérifie la même équation on a

$$ \Omega-K(v) \subset \Omega-\tilde{K}(v). $$

Soit $O_1 = \Omega-\tilde{K}(v) \setminus \Omega-K(v)$ alors sur $O_1$ $\tilde{y}$ vérifie une équation du type (2.14) avec les conditions initiales et sur les frontières latérales nulles.

De plus $f(x) = -L$ sur $O_1$.

D'après le principe du maximum on aboutit à $\tilde{y} = 0$ sur $O_1$ (car on doit avoir $\tilde{y} \ge 0$).

Donc $\tilde{K} = K(v)$

**Proposition 9** : *Le problème de contrôle optimal (1.3) admet au moins une solution*
Soit $v_n$ une suite minimisante, comme $v_n \in u_{ad}$ on peut extraire une sous-suite telle que

$$v_n \to v \text{ dans } H^{3/2,3/4}(\Sigma) \text{ fort}$$

On a alors

$$y(v_n) \to y(v) \text{ dans } L^2(0,T;H^1(\Omega)) \text{ faible}$$

$$\frac{dy_n}{dt} \to \frac{dy}{dt} \text{ dans } L^2(\Omega) \text{ faible}$$

de plus

$$X_{K_n} \to X_K \text{ dans } L^\infty(\Omega) \text{ faible étoile}$$

mais on a aussi

$$X_{K_n} \to X_K \text{ dans } L^2(\Omega) \text{ faible}$$

(car $X_{K_n}$ borné dans $L^2(\Omega)$)

ce qui entraine que l'application $v \to J(v)$ est f.s.c.i et donc l'existence d'un contrôle optimal.

■

### III. Un problème approché.

Dans le but de résoudre numériquement le problème (1.3), on introduit le problème approché suivant :

$$(3.1) \qquad J_{\varepsilon}(v) = \left\| \frac{y}{y+\varepsilon} - (1-x_d) \right\|_{L^2(\Omega)}^2 + v \|u\|_{u}^{2} \quad \text{avec } \varepsilon > 0 \text{ donné}$$

$$(3.2) \qquad \begin{cases} \text{Trouver } \bar{u}_{\varepsilon} \in u_{ad} \text{ tel que} \\ J_{\varepsilon}(\bar{u}_{\varepsilon}) = \operatorname{Inf}_{u \in u_{ad}} J(v) \end{cases}$$
**Proposition 10** : *Le problème de contrôle optimal (3.2) admet au moins une solution.*

Soit $v_n$ une suite minimisante, $v_n \in u_{ad}$

$$ egin{cases} v_n \to v \text{ dans } H^{3/2,3/4}_{(\Omega)} \text{ fort, } & v \in u_{ad} \\ y_n \to y(v) \text{ dans } L^2(\Omega) \text{ fort} \end{cases} $$

et on a :

$$ \int_Q \left( \frac{y_n}{y_n + \epsilon} - \frac{y}{y + \epsilon} \right)^2 d\epsilon = \int_Q \left[ \frac{\epsilon(y_n - y)}{(y_n + \epsilon)(y + \epsilon)} \right]^2 d\epsilon \le \int_Q \frac{(y_n - y)^2}{\epsilon^2} d\epsilon \xrightarrow{n \to +\infty} 0 $$

donc

$$ \frac{y_n}{y_n + \epsilon} \to \frac{y}{y + \epsilon} \text{ dans } L^2(\Omega) \text{ fort} $$

ce qui entraîne que $J_{\epsilon}(v)$ est continue et donc l'existence d'un contrôle optimal.

**Proposition 11** : *Si $(v_\epsilon, y_\epsilon)$ désigne la solution de (3.2) et $(v, y)$ la solution de (1.3), on a*

$$ egin{cases} v_{\epsilon} \to v \text{ dans } H^{3/2,3/4}_{(\Omega)} \text{ fort} \\ y_{\epsilon} \to y \text{ dans } L^2(0,T; H^1(\Omega)) \text{ faible} \\ \frac{dy_{\epsilon}}{dt} \to \frac{dy}{dt} \text{ dans } L^2(0,T; L^2(\Omega)) \text{ faible.} \end{cases} $$

**Démonstration :**

$v_\epsilon$ est borné dans $H^{2,1}(\Sigma')$

donc

$v_\epsilon \to \tilde{v}$ dans $H^{3/2,3/4}(\Sigma')$ fort.

on en déduit que

$y_\epsilon \to y(\tilde{v})$ dans $L^2(0,T; H^1(\Omega))$ faible
$\frac{dy}{dt} \xrightarrow{\sim} \frac{dy(\tilde{v})}{dt}$ dans $L^2(0,T; L^2(\Omega))$ faible

$\Rightarrow$ $y_{\varepsilon} \to y(\tilde{v})$ dans $L^2(\Omega)$ fort

et donc $y_{\varepsilon} \to y(\tilde{v})$ p.p.

et $X_{y_{\varepsilon}} \to X_{y(\tilde{v})}$ p.p.

Nous démontrons d'abord le lemme suivant :

**lemme 5 :**

$\frac{y}{y+\varepsilon} \to 1 - X_y$ dans $L^2(\Omega)$ fort
$\varepsilon \to 0$

en effet

$$ \frac{y}{y+\varepsilon} = 1 - X_y \quad \text{si } y = 0 $$

$$ \begin{array}{l} \frac{y}{y+\varepsilon} \to 1 - X_y \quad \text{si } y \neq 0. \\ \varepsilon \to 0 \end{array} $$

On a $\frac{y_{\varepsilon}}{y_{\varepsilon}+\varepsilon} \to \tilde{X} \ge 1 - X_y$ p.p.

en effet

si $y \neq 0$ $\frac{y_{\varepsilon}}{y_{\varepsilon}+\varepsilon} \to 1 - X_y$ p.p.

si $y = 0$ $\frac{y_{\varepsilon}}{y_{\varepsilon}+\varepsilon} \to \tilde{X} \ge 1 - X_y$ p.p.

Donc pour $\varepsilon$ suffisamment petit

$$ 1 - X_{y_{\varepsilon}} \ge \frac{y_{\varepsilon}}{y_{\varepsilon}+\varepsilon} \ge 1 - X_y $$

et comme $1 - X_{y_{\varepsilon}} \to 1 - X_y$ p.p. on obtient :
$$ \frac{y_{\epsilon}}{y_{\epsilon} + \epsilon} \rightarrow 1 - X_y \quad \text{p.p.} $$

et donc d'après le théorème de Lebesgue

$$ \frac{y}{y_{\epsilon} + \epsilon} \rightarrow 1 - X_y \quad \text{dans } L^2(Q) \text{ fort.} $$

Or on a

$$ J_{\epsilon}(v) \leq J_{\epsilon}(v) $$

et par passage à la limite grâce aux résultats précédents :

$$ J(\tilde{v}) \leq J(v) $$

donc $\tilde{v}$ est un contrôle optimal.

### Remarque :

On peut obtenir des résultats analogues en dimension 2 stationnaire, pour le problème étudié dans Kinderlehrer - Stampacchia [1].

## IV. Résolution numérique.

Numériquement au lieu de résoudre le problème (1.3), nous résolvons donc le problème approché (3.2) pour $\epsilon$ donné. Nous pouvons alors utiliser une méthode de gradient analogue à celle exposée au A) V). L'état adjoint est exactement le même.

Il faut d'autre part remarquer que dans le problème discrétisé la frontière libre est donné point par point. Et en fait numériquement nous avons donc résolu le problème discret, avec une frontière libre, associé à $X_d$, formée de segments de droite (la précision au niveau de la frontière libre correspond au pas de discrétisation).

Expérimentalement on remarque d'autre part que la convergence est no- toirement accélérée si on utilise pour déterminer $\rho$ et comme test d'arrêt la fonctionnelle $J(v)$ discrète au lieu de la fonctionnelle $J_{\epsilon}(v)$ discrète.

Dans les exemples nous avons pris :

$$ \begin{cases} f(x,t) = -5 \\ \epsilon = 10^{-4} \end{cases} $$
le temps de calcul est de l'ordre de 5 s sur IBM 370-168.

Pour illustrer la convergence nous donnons la valeur de la fonctionnelle avec le nombre d'itérations en considérant $J$ et $J_ε$ dans l'exemple 3. Dans les deux cas les valeurs du contrôle sont très semblables.

Dans tous les cas les frontières libres discrètes désirées et obtenues coincident (Voir Figures 9-10-11).

<table><thead><tr><th>Nombre d'itérations</th><th>J(v)</th><th>J<sub>ε</sub>(v)</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1,12</td><td>1,109</td></tr><tr><td>2</td><td>1,06</td><td>1,106</td></tr><tr><td>3</td><td>1,04</td><td>1,105</td></tr><tr><td>4</td><td>0,64</td><td>0,849</td></tr><tr><td>5</td><td>0,52</td><td>0,607</td></tr><tr><td>6</td><td>0,22</td><td>0,541</td></tr><tr><td>7</td><td>0,12</td><td>0,494</td></tr><tr><td>8</td><td>0,06</td><td>0,447</td></tr><tr><td>9</td><td>0</td><td>0,352</td></tr><tr><td>10</td><td>0</td><td>0,347</td></tr><tr><td>11</td><td>0</td><td>0,307</td></tr><tr><td>12</td><td>0</td><td>0,281</td></tr><tr><td>13</td><td>0</td><td>0,080</td></tr><tr><td>14</td><td>0</td><td>0,074</td></tr><tr><td>15</td><td>0</td><td>0,038</td></tr><tr><td>16</td><td>0</td><td>0,036</td></tr><tr><td>17</td><td>0</td><td>0,0015</td></tr><tr><td>18</td><td>0</td><td>0,0011</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_18.png" /></figure>

Frontière libre

Exemple 1

$$ \begin{cases} f = -5 \\ \varepsilon = 10^{-4} \end{cases} $$

<table><caption>valeurs de contrôle</caption><thead><tr><td>t</td><td>v(t)</td></tr></thead><tbody><tr><td>0</td><td>0</td></tr><tr><td>0,1</td><td>0,47 × 10<sup>-2</sup></td></tr><tr><td>0,2</td><td>0,94 × 10<sup>-1</sup></td></tr><tr><td>0,3</td><td>0,117</td></tr><tr><td>0,4</td><td>0,245</td></tr><tr><td>0,5</td><td>0,251</td></tr><tr><td>0,6</td><td>0,355</td></tr><tr><td>0,7</td><td>0,459</td></tr><tr><td>0,8</td><td>0,617</td></tr><tr><td>0,9</td><td>0,626</td></tr><tr><td>1</td><td>0,919</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Figure 9</figcaption></figure>

temps de calcul : 4,71 s sur IBM 370-168
<figure><img src="image_20.png" /></figure>

Exemple 2 ($f = -5$ ; $\varepsilon = 10^{-4}$)

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Figure 10</figcaption></figure>

Exemple 3 ($f = -5$ ; $\varepsilon = 10^{-4}$)

<caption>Figure 11</caption>
C/ CAS D'UN PROBLEME DE STEPHAN A DEUX PHASES.

Tout d'abord nous étudions un problème plus général, de contrôle d'iné-
quation variationnelle.

I. Position du problème.

Soit Ω un ouvert borné de Rⁿ, de frontière Γ' et Γ'' (Γ' et Γ'' distinctes)
On pose V = H¹(Ω) ; H = L²(Ω)
On définit l'inéquation variationnelle

$$
(1.1) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
  (y', \zeta - y') + a(y, \zeta - y') + \Psi(\zeta) - \Psi(y') \ge (f, \zeta - y') \quad \forall \zeta \in K_v(t) \\
  y(t) \in H^1(\Omega), \quad y'(t) \in K_v \quad \forall t \in ]0, T[ \\
  y(0) = 0
\end{array}
\right.
$$

avec

$$
\text{(1.2)} \quad K_v(t) = \{ \zeta \mid \zeta \in H^1(\Omega), \zeta|_{\Gamma'} = v(t) \}
$$
$$
\text{(1.3)} \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}}
  \text{f donné dans } L^2(0,T;H), \quad f' \in L^2(0,T;H) & \\
  \text{a}(u,u) + \gamma|u|_H^2 \ge \alpha \|u\|_V^2 & \alpha > 0 \quad \text{(dans la suite on supposera } \gamma = 0 \text{)} \\
  |a(u,v)| \le c \|u\|_V \|v\|_V & c > 0 \\
  \Psi(\xi) = \int_{\Omega} \varphi(\xi) \, d\xi & ; \quad \varphi \text{ étant une fonction convexe, propre, continue}
\end{array}
\right.
$$

On définit :

$$
(1.4) \quad u = \{v \mid \text{le système } \frac{\partial y}{\partial t} - \Delta y = 0 ; y|_{\Gamma_r} = \int_0^t v(x,t)dt, \frac{\partial y}{\partial n}|_{\Gamma''} = 0, y(x,0) = 0\}
$$

admette une solution y telle que l'application v → (y, y') soit continue
de u faible dans L²(O.T;V) faible × L²(O.T;H) fort }.

$u_{\text{ad}}$ un convexe fermé borné de $u$ avec $0 \le v \le b$
On considère le problème de contrôle optimal

$$
(1.5) \qquad J(v) = \| y - z_d \|_{L^2(Q)}^2 + v \| v \|_{u}^{2}
$$

$$
(1.6) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\text{Trouver } \bar{u} \in u_{ad} \text{ tel que} \\
J(\bar{u}) = \operatorname{Inf} J(u) \\
u \in u_{ad}
\end{array}
\right.
$$

On effectue la translation

$$
y = z + y_o \quad (y_o \text{ définit comme en A) (3.1)...(3.4))
$$

alors z est solution de :

$$
(1.7) \quad \left\{
\begin{array}{l}
(z', \zeta - z') + a(z, \zeta - y') + \Psi(\zeta + y'_o) - \Psi(z' + y'_o) \ge (f, \zeta - z') \quad \forall \zeta \in K_o \\
z(0) = 0 \\
z \in H^1(\Omega), \ z' \in K_o
\end{array}
\right.
$$

D'après [1] Duvaut - Lions, on a l'existence et l'unicité d'une solution à (1.7)

z ∈ L^∞(0,T;K_o)

z' ∈ L^2(0,T;K_o)

II. Un problème de contrôle optimal régularisé

$\varphi$ étant convexe propre continue, alors $\beta = \partial\varphi$ est un opérateur maximal
monotone. On peut donc définir l'approximation de Yosida de $\beta$ (Brezis [1])

$$
(2.1) \qquad \beta_{\lambda} = \frac{I - J_{\lambda}}{\lambda} \quad \text{avec} \quad J_{x} = (I + \lambda \beta)^{-1}
$$

$$
\text{Soient} \quad \varphi_{\lambda}(r) = \int_{0}^{r} \beta_{\lambda}(\sigma) \, d\sigma \\
\qquad \Psi_{\lambda}(\xi) = \int_{\Omega} \varphi_{\lambda}(\xi) \, d\Omega
$$

On fait ici les hypothèses suivantes :
$$
(2.2) \quad \text{i) } \beta_{\lambda}(\zeta) \text{ est borné dans } L^2(\Omega) \text{ indépendamment de } \lambda \quad \forall \zeta \text{ borné dans } L^2(\Omega)
$$

$$
ii) \Psi(\zeta) \geq \Psi_{\lambda}(\xi) \quad \forall \xi
$$

On définit $y_λ = z_λ + y_o$ avec $z_λ$ solution de :

$$
(2.3) \quad (z'_{\lambda}, \zeta) + a(z'_{\lambda}, \zeta) + \int_{\Omega} \beta_{\lambda} (z'_{\lambda} + y'_{0}) \zeta \, d\Omega = (f, \zeta) \quad \forall \zeta \in K_{o}
$$

$\beta_\lambda$ étant un opérateur monotone continue, (2.3) admet une solution unique
([1] Lions) tel que $z \in L^2(0,T;K_o)$; $z' \in L^2(0,T;K_o)$.

On considère le problème de contrôle régularisé :

$$
(2.4) \quad J(v) = \| y_{\lambda} - z_{d} \|_{L^{2}(Q)}^{2} + v \| v \|_{U}^{2}
$$

$$
(2.5) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
\text{Trouver } \bar{u}_{\lambda} \in u_{ad} \text{ tel que} & \\
J(\bar{u}_{\lambda}) = \begin{cases} \text{Inf} & J(u) \\ u \in u_{ad} \end{cases} & \\
&
\end{array}
\right.
$$

**Proposition 12** : si $v_n \to v$ dans $u$ faible, $v_n \cdot v \in u_{ad}$ alors $y_n$ solution associée par (2.3) à $v_n$ converge vers $y$ solution associée à $v$ au sens suivant :

$$
\left|
\begin{array}{l}
y_n \to y \text{ dans } L^\infty(0,T;V) \text{ faible étoile} \\
y_n \to y \text{ dans } L^2(0,T;V) \text{ fort} \\
\frac{dy_n}{dt} \to \frac{dy}{dt} \text{ dans } L^2(0,T;H) \text{ fort}
\end{array}
\right.
$$

Démonstration.

$v_n$ appartient à un borné de $u$.

Soient $y_n$, $z_n$ et $y_o^n$ les solutions associées à $v_n$. On a donc

$$
y_o^n \to y_o \text{ dans } W(0,T) \cap L^\infty(0,T;V) \text{ fort}
$$
et en particulier $y_n^0$ est borné indépendamment de n dans $W(o,T) \cap L^\infty(o,T;V)$.

On a avec $(z, y_0, y)$ associées à v

$$ (z'_n, z''_n - z'_n) + a(z_n, z'_n - z'_n) + \int_{\Omega} \beta_{\lambda}(z'_n + y_n^{n'}) (z'_n - z'_n) d\Omega = (f, z'_n - z'_n) $$

et

$$ (z', z''_n - z'_n) + a(z', z''_n - z'_n) + \int_{\Omega} \beta_{\lambda}(z' + y_n^{n'}) (z'_n - z'_n) d\Omega = (f, z'_n - z'_n) $$

ce qui donne par soustraction

$$ (z' - z'_n, z''_n - z'_n) + a(z - z'_n, z''_n - z'_n) + \int_{\Omega} (\beta_{\lambda}(z' + y_n^{n'}) - \beta_{\lambda}(z'_n + y_n^{n'}))(z' - z'_n) d\Omega = 0 $$

Or $\beta_{\lambda}'$ est monotone, lispchitzien de rapport $1/\lambda$, $[1]$ Brezis), donc en intégrant sur $]0,t[$ on obtient :

$$ \int_{0}^{t} |z' - z'_n|_{L^2}^2 + \frac{\alpha}{2} \|(z - z_n)(t)\|_{V}^2 \le \int_{0}^{t} \int_{\Omega} (\beta_{\lambda}(z' + y_n^{n'}) - \beta_{\lambda}(z'_n + y_n^{n'}))(y_n - y_0^{n'}) $$

$$ \int_{0}^{t} |z' - z'_n|_{L^2}^2 + \frac{\alpha}{2} \| z(t) - z_n(t) \|_{V}^2 \le \frac{1}{\lambda} \int_{0}^{t} \int_{\Omega} |z' + y_n^{n'} - (z'_n + y_n^{n'})| |y_n - y_0^{n'}| $$

$$ \int_{0}^{t} |z' - z'_n|_{L^2}^2 + \frac{\alpha}{2} \| z(t) - z_n(t) \|_{V}^2 \le \frac{1}{\lambda} (1 + \frac{1}{\gamma_1}) \int_{0}^{t} |y_n^{n'} - y_0^{n'}|_{L^2}^2 + \\ + \frac{\gamma_1}{\lambda} \int_{0}^{t} |z' - z'_n|_{L^2}^2 $$

ce qui donne avec un choix convenable de $\gamma_1$

$$ (2.6) \qquad K_1 \int_0^t |z' - z'_n|_{L^2}^2 + K_2 \| z(t) - z_n(t) \|_V^2 \le K_3 |y_0' - y_0^n|_{L^2(O,T; L^2(\Omega))}^2 $$

ce qui démontre le résultat.

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

**Proposition 13** : *Le problème de contrôle optimal (2.5) admet au moins une solution.*

C'est une conséquence immédiate de la proposition 12.
### III. Résultats de convergence.

On a la proposition suivante :

**Proposition 14** : Soit $(y_λ, v_λ)$ une solution du problème (2.5) alors

$v_λ \to v$ dans $u$ faible

$y_λ \to y$ dans $L^∞(O,T;V)$ faible étoile

$y'_λ \to y'$ dans $L^2(O,T;H)$ faible

avec $(y,v)$ solution de (1.6).

$v_λ$ appartient à $u_{ad}$ donc $v_λ$ est borné dans $u$. On peut alors extraire une sous-suite telle que

$v_λ \to v$ dans $u$ faible.

Soit $(y_λ, z_λ, y_0^λ)$ les solutions associées à $v_λ$.

On prend $ζ = z'_λ$ dans (2.3) on obtient :

$$ \int_0^t |z'_\lambda|^2 L^2 dt + \frac{1}{2} \|a(z_\lambda(t), z_\lambda(t))\|_{L^\infty(0,T;H)}^2 = \int_0^t \int_\Omega \beta_\lambda (z'_\lambda + y_0^\lambda) z'_\lambda dt = \int_0^t (f, z'_\lambda) $$

On obtient d'après la monotonie de $β_λ$

$$ \int_0^t |z'_\lambda|^2 L^2 dt + \frac{\alpha}{2} \|z_\lambda(t)\|_V^2 \le \int_0^t (f, z'_\lambda) + \int_0^t \int_\Omega \beta_\lambda (y_0^\lambda) z'_\lambda dt $$

d'après l'hypothèse (2.2)i) on obtient :

$z'_λ$ borné dans $L^2(O,T;H)$

$z_λ$ borné dans $L^∞(O,T;V) \cap L^2(O,T;V)$

et on en déduit les mêmes estimations pour $y_λ$. On a

$$ (3.1) \qquad (z'_\lambda, \zeta - z'_\lambda) + a(z_\lambda, \zeta - z'_\lambda) + \Psi_\lambda (\zeta + y_0^\lambda) - \Psi_\lambda (z'_\lambda + y_0^\lambda) \ge (f, \zeta - z'_\lambda) $$

$$ \forall \zeta \in K_0 $$
or on $a([1] \text{ Brezis})$

$$ (3.2) \qquad \Psi_{\lambda}(\xi) = \frac{\lambda}{2} |\beta_{\lambda}(\xi)|^2 + \Psi(J_{\lambda}(\xi)) $$

$$ (3.3) \qquad (\xi' - J_{\lambda}(\xi'), \varphi) = \lambda(\beta_{\lambda}(\xi'), \varphi) = \lambda[(f, \varphi) - (\xi', \varphi) - a(\xi, \varphi)] $$

$$ \text{Donc comme } \begin{cases} y_o^{\lambda} \to y_o & \text{dans } L^2(0,T;V) \text{ faible} \\ y_o^{\lambda'} \to y_o' & \text{dans } L^2(0,T;H) \text{ fort} \end{cases} $$

$$ \text{et} \quad \int_{0}^{T} (y_o' - J_{\lambda}(y_o^{\lambda'}), \varphi) dt = \int_{0}^{T} [(y_o' - y_o^{\lambda'}, \varphi) + (y_o^{\lambda'} - J_{\lambda}(y_o^{\lambda'}), \varphi)] dt $$

on déduit de (3.3) que :

$$ J_{\lambda}(y_o^{\lambda'}) \to y_o' \quad \text{dans } L^2(Q) \text{ faible} $$

or $\Psi$ étant convexe, continue est $f$. s.c.i et d'après (2.2)i)

$$ \liminf \int_{0}^{T} \Psi_{\lambda}(y_{o}^{\lambda'}) dt \geq \int_{0}^{T} \Psi(y_{o}') dt $$

de plus on a d'après (2.2)ii)

$$ \Psi(y_o^\lambda) \geq \Psi_{\lambda}(y_o^\lambda) $$

$$ \text{comme } y_o^{\lambda'} \to y_o' \quad \text{dans } L^2(0,T;H) \text{ fort} $$

on obtient comme $\Psi$ est continue

$$ \liminf \int_{0}^{T} \Psi(y_{o}^{\lambda'}) = \int_{0}^{T} \Psi(y_{o}') \geq \liminf \int_{0}^{T} \Psi_{\lambda}(y_{o}^{\lambda'}) \geq \int_{0}^{T} \Psi(y_{o}') $$

$$ \text{et donc } \int_{0}^{T} \Psi_{\lambda}(y_{o}^{\lambda'}) \to \int_{0}^{T} \Psi(y_{o}') $$

compte tenu de ces résultats on peut passer à la limite dans (3.1) et on obtient :

$$ \int_{0}^{T} \left[ (z', \zeta - z') + a(z, \zeta - z') + \Psi(\zeta + y_o') - \Psi(z' + y_o') \right] dt \geq \int_{0}^{T} (f, \zeta - z') dt \\ \forall \zeta \in L^2(0, T; K_o). $$
on en déduit que

$$
\left\{
\begin{array}{l}
y_{\lambda} \rightarrow y(v) \quad \text{dans } L^{\infty}(0,T;V) \text{ faible étoile, } L^2(0,T;V) \text{ faible} \\
\\
\frac{dy_{\lambda}}{dt} \rightarrow \frac{dy}{dt}(v) \quad \text{dans } L^2(0,T;H) \text{ faible}
\end{array}
\right.
$$

Montrons maintenant que v est contrôle optimal de (1.6)

Supposons qu'il existe $\tilde{v}$ tel que

$$
J(\tilde{v}) < J(v)
$$

on a

$$
J_{\lambda}(v_{\lambda}) \leq J_{\lambda}(u) \quad \forall v \in \mathcal{U}_{ad}.
$$

d'autre part on démontre comme précédemment que

$$
\left\{
\begin{array}{l}
y_{\lambda}(v) \rightarrow y(v) \quad \text{dans } L^2(Q) \text{ fort} \\
\\
\lambda \rightarrow 0
\end{array}
\right.
$$

donc en passant à la limite dans l'inégalité précédente on obtient :

$$
J(v) \leq J(u) \quad \forall u \in \mathcal{U}_{ad}
$$

d'où la contradiction. Ce qui démontre le résultat.

IV. Application au problème de Stephan à deux phases.

On utilise ici la formulation sous forme d'inéquation variationnelle
due à Duvaut ([1] Duvaut)

$$
(4.1) \qquad c_1 \frac{\partial \theta}{\partial t} - k_1 \Delta \theta = 0 \quad \text{dans } \Omega_1(t)
$$

$$
(4.2) \qquad c_2 \frac{\partial \theta}{\partial t} - k_2 \Delta \theta = 0 \quad \text{dans } \Omega_2(t)
$$
$$
(4.3) \qquad \Theta|_{\Sigma_1} = v
$$

$$
(4.4) \qquad \left. \frac{\partial \theta}{\partial n} \right|_{\Sigma_2} = 0
$$

$$
(4.5) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\theta = 0 \\
(\kappa_2 \operatorname{grad} \theta_2 - \kappa_1 \operatorname{grad} \theta_1) \operatorname{grad} l = -k \quad k > 0
\end{array}
\right.
\quad \text{sur } S(t)
$$

avec $S(t)$ défini par $t = l(x)$

On pose alors

$$
(4.6) \quad \left\{
\begin{array}{ll}
y = \kappa_1 \int_o^t \theta(x, \tau) \, d\tau & \text{si } t < l(x) \\
y = \kappa_1 \int_o^1 \theta(x, \tau) \, d\tau + \kappa_2 \int_1^t \theta(x, \tau) \, d\tau & \text{si } t > l(x)
\end{array}
\right.
$$

alors y vérifie l'inéquation variationnelle.

$$
(4.7) \quad \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{c_1}{k_1}(y', \zeta-y') + a(y, \zeta-y') + \Psi(\zeta) - \Psi(y') \ge (f, \zeta-y') \quad \forall \zeta \in K \\
\text{si } t < l(x) \\
\\
y(0) = 0 \\
\\
y(t) \in H^1(\Omega) ; \quad u'(t) \in K = \{\varphi \mid \varphi \in H^1(\Omega), \varphi|_{\Gamma_1} = v\}
\end{array}
\right.
$$

avec

$$
\Psi(\xi) = \begin{cases} 0 & \text{si } \xi < 0 \\ k\xi + \left(\frac{c_2}{k_2} - \frac{c_1}{k_1}\right) \frac{\xi^2}{2} & \text{pour } \xi \ge 0 \end{cases}
$$

$$
(dans \text{ le cas } \frac{c_2}{k_2} - \frac{c_1}{k_1} = \gamma_1 > 0)
$$

et $f(x,t) = c_1 \theta(x,0)$

Dans ce cas on voit que le sous-différentiel de $\Psi(\xi)$ est donné par :
<figure><img src="image_23.png" /></figure>

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

donc l'hypothèse 2.2)i) est vérifiée

<figure><img src="image_25.png" /></figure>

$$ \text{on a } \Psi = \Psi_{\lambda} = 0 \text{ si } \xi \le 0 $$

$$ \Psi = k\xi + \gamma_1 \frac{\xi^2}{2} \quad \text{si } \xi \ge 0 $$

$$ \Psi_{\lambda} = \frac{\xi^2}{2\lambda} \quad \text{si } 0 \le \xi \le \lambda k $$

$$ \Psi_{\lambda} = \left(k\xi + \frac{\gamma_1 \xi^2}{2}\right) \frac{1}{1+\lambda\gamma_1} $$

$$ \text{si } \xi > \lambda k $$

on a donc bien $\Psi(\xi) \ge \Psi_{\lambda}(\xi)$ (Hypothèse 2.2)ii))

On peut donc appliquer la partie précédente. Ce qui nous assure l'existence d'un contrôle optimal.

**Remarque** : On peut aussi dans ce cas, définir

$$ \Psi_{\varepsilon}(\xi) = \frac{k(\xi^{+})^{1+\varepsilon}}{1+\varepsilon} + \alpha_{2} \frac{(\xi^{+})^{2}}{2} $$

et on obtient des résultats analogues.
La résolution numérique sur l'exemple considéré a été effectuée par
une méthode de gradient, sur un système régularisé afin d'obtenir la diffé-
rentiabilité. La méthode de résolution du système direct est la même que
celle développée dans Bourgat [1]. Les résultats présentés ont été obtenus
avec 60 itérations de gradient, pour un temps de calcul de 14 s sur IBM
370-168. Les résultats sont présentés figure 12.
<figure><img src="image_26.png" /></figure>

Données :

$$
\begin{cases}
f(x,t) = -5 \\
c_1/k_1 = 700 \\
c_2/k_2 - c_1/k_1 = -600
\end{cases}
$$

Pour le contrôle on obtient
les valeurs numériques

<table>
  <thead>
    <tr>
      <th>t</th>
      <th>exact</th>
      <th>obtenu</th>
    </tr>
  </thead>
  <tbody>
    <tr>
      <td>0</td>
      <td>0</td>
      <td>0,89 &times; 10<sup>-2</sup></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0,1</td>
      <td>1</td>
      <td>0,975</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0,2</td>
      <td>2</td>
      <td>1,959</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0,3</td>
      <td>3</td>
      <td>2,975</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0,4</td>
      <td>4</td>
      <td>4,054</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0,5</td>
      <td>5</td>
      <td>4,945</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0,6</td>
      <td>6</td>
      <td>5,912</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0,7</td>
      <td>7</td>
      <td>7,064</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0,8</td>
      <td>8</td>
      <td>8,011</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>0,9</td>
      <td>9</td>
      <td>8,963</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>1</td>
      <td>10</td>
      <td>9,915</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Figure 12</figcaption></figure>
BIBLIOGRAPHIE

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