ressesemblants. Les composantes C3 et C4 rappellent respectivement les facteurs F3 et F1.

<figure><img src="image_109.png" /><figcaption>Figure 105 : Profils temporels des facteurs/composantes extraites par PMF ou ACI de la variation des concentrations de particules dans le bureau individuel</figcaption></figure>

Les contributions de chaque facteurs aux différentes tailles de particules selon les différentes méthodes sont représentées sur la figure suivante. La numérotation des composantes variant selon la méthode, elle n'est pas à prendre en compte. Les composantes obtenues par ICA et NMF présentent des profils de contributions relativement similaires. La composante C2 de l'ACI et H3 de la NMF pourraient correspondre en termes de profils de contributions à l'association des facteurs F2 et F4 de la PMF. A l'inverse, le facteur 1 de la PMF semble plutôt combiner les composantes C3 et C4 de l'ACI ou H2 et H4 de la NMF. Les trois méthodes fournissent des résultats assez proches en termes d'interprétation possible. La PMF se différencie des deux autres par le fait que ses facteurs affichent un contraste marqué dans les contributions des différentes tailles de particules, alors que pour l'ACI et la NMF les contributions sont rarement nulles.

Les composantes extraites par l'ACI représentent des sources (ou groupes de sources « indépendantes » au sens statistique. Quel que soit le critère statistique utilisé (indépendance) ou mathématique (positivité des matrices), les 3 méthodes de séparation des sources fournissent des facteurs robustes interprétables sur le plan temporel et sur la contribution moyenne des particules.
<figure><img src="image_110.png" /><figcaption>Figure 106 : Profils de contribution moyenne des facteurs aux différentes tailles de particules selon la méthode d'extraction</figcaption></figure>

Pour l'ACP, chaque composante est une combinaison linéaire des différentes tailles de particules. Pour être homogène avec les autres procédures, seules les 4 premières composantes sont prises en compte. La contribution est alors calculée en comparant le coefficient de la variable aux coefficients de cette même variable sur les quatre composantes. Ce coefficient correspond à la contribution de la variable au facteur. Les contributions négatives sont prises en compte et conduisent à la difficulté d'interpréter les profils de contributions. Ces contributions calculées sont plus associées à la corrélation linéaire de la variable avec la composante que des contributions au sens strictes.

Le choix des quatre premières composantes est arbitraire et d'autres composantes moins bien représentées pouvaient avoir également du sens. Toutes les tailles de particules contribuent à la première composante du fait de leur corrélation significative entre elles. L'information qu'elle fournit est donc assez pauvre. De manière générale, il apparaît nécessaire d'adapter l'ACP ou d'utiliser des variantes de l'ACP pour permettre l'interprétation des composantes de la même façon que les autres méthodes.

#### 4.7.3.5 Discussion sur la séparation des sources de fluctuations

Ces premiers travaux montrent la similitude des différentes méthodes pour séparer à l'aveugle les sources contributives au niveau de particules observé dans un environnement intérieur. L'ACP classique n'offre pas le même confort d'interprétation que les autres méthodes.

Pour autant, séparer n'est pas identifier. Sans informations extérieures, les facteurs extraits restent difficilement identifiables autrement que par l'observation de fluctuations caractéristiques d'un processus particulier. Après leur extraction, une seconde phase d'exploitation doit donc être menée pour rechercher les associations avec d'autres phénomènes observés.

Ces travaux ont pris appui sur des mesures de particules en nombre relativement corrélées entre elles dont l'ACI, la NMF et la PMF ont su extraire les composantes indépendantes ou caractéristiques. Il est donc nécessaire de disposer de plusieurs
enregistrements d'un même polluant pour que l'ACI soit utilisable. Néanmoins, nous nous posons la question de son utilisation sur un jeu de données hétérogènes, mais pour lequel nous suspectons des processus ou sources communes permettant d'expliquer les différentes variations observées. Ainsi, des variables exogènes comme la température, l'humidité, l'occupation et l'ouverture des fenêtres seraient autant de paramètres qui permettraient de se prononcer sur l'interprétation des composantes extraites. Pour l'instant, ces données sont utilisées a posteriori de l'analyse. Mais rien n'interdit de les introduire dans l'analyse elle-même à condition de les exprimer toutes sous une même métrique.
## 4.8 Prévision des concentrations intérieures de polluants

L'ouverture des fenêtres influence en partie les variations de la concentration des polluants gazeux et particulaires des environnements intérieurs, et en particulier le formaldéhyde et les particules de taille intermédiaire. Prévoir la variation de leur concentration intérieure serait sans doute facilitée par la prévision préalable de l'ouverture des fenêtres.

### 4.8.1 Prévision de l'ouverture des fenêtres

Plusieurs approches statistiques ont été appliquées afin de prédire l'ouverture des fenêtres. Des régressions logistiques ont été réalisées pour expliquer les 3 variables associées à l'ouverture des fenêtres (le nombre de fenêtres ouvertes, l'état global ouvert ou fermée de toutes les fenêtres (0/1), l'état global d'ouverture en 3 catégories (fenêtres fermées / 1 ou plusieurs fenêtres ouvertes / toutes fenêtres ouvertes). Neuf variables quantitatives explicatives (heure de la journée, vitesse du vent, température extérieure, irradiance extérieure, pression, pluie, CO₂ intérieur, température intérieure et l'humidité relative intérieure) et 5 variables qualitatives explicatives (présence, direction du vent, jour de la semaine) ont été introduites. La variable « état de la porte » n'a pas été introduite car elle était significativement dépendante de la présence. La direction du vent n'a pas été prise en compte non plus. La procédure PROC LOGISTIC du logiciel SAS a été utilisée. Cette procédure utilise une approximation d'une étape de validation croisée pour obtenir des probabilités prédites. Les observations sont ensuite classées selon que les probabilités d'événements prévus sont au-dessus ou au-dessous une valeur de césure z dans la gamme de 0 à 1. Une observation est prédite comme un événement si la probabilité de l'événement prédit est supérieure ou égale à z. En outre, les faux positifs et faux négatifs peuvent être calculés comme des probabilités a posteriori en utilisant le théorème de Bayes. Les modèles présentés dans ce rapport convergent.

De plus, deux régressions logistiques polytomiques additives ont été appliquées pour rechercher les déterminants des ouvertures des fenêtres composées de plus de 2 modalités. La régression logistique polytomique additive permet de comparer une catégorie de la variable dépendante (aucune fenêtre ouverte) avec toutes les autres catégories qui lui sont supérieures (au moins une fenêtre ouverte/toutes les fenêtres ouvertes et 1, 2, 3 ou 4 fenêtres ouvertes). Ce type de régression a été préféré à la régression logistique polytomique cumulative car l'effet d'une variable est significativement différent selon sa modalité. Les modèles présentés dans ce rapport vérifient cette hypothèse. La technique d'optimisation utilisée est l'algorithme de Newton-Raphson.

Par ailleurs, une régression linéaire généralisée a été effectuée sur le nombre de fenêtres prise comme variable continue. Une k-validation croisée a été effectuée (avec
k = 10). De plus, une recherche du meilleur modèle a été effectuée par la méthode STEPWISE.

Pour finir, les prévisions ont également été effectuées par arbre de classification à l'aide de la méthode CART (Classification And Regression Tree). Les méthodes de segmentation qui regroupent les arbres de classification et de régression cherchent à résoudre les problèmes de discrimination ou de régression en segmentant de façon progressive l'échantillon pour obtenir un arbre de décision binaire. Elle vise à prédire une variable cible, qualitative (arbre de classification) ou quantitative (arbre de régression), à partir de variables « prédictives » qualitatives ou quantitatives. C'est une méthode non paramétrique et non linéaire : aucune hypothèse implicite n'est faite sur la relation entre la variable expliquée et les variables indépendantes.

Le principe est de chercher la dichotomie (induite à chaque pas par l'une des variables) la plus "liée" à la variable à expliquer. La méthode de segmentation consiste à rechercher d'abord la variable qui explique le mieux l'ouverture des fenêtres. Cette variable définit une première division de l'échantillon en deux sous-ensembles appelés segments. La procédure est réitérée à l'intérieur de chacun de ces deux segments en recherchant la deuxième meilleure variable, et ainsi de suite.

Lorsque la variable à expliquer est continue, le critère de sélection de la meilleure division d'un nœud est basé sur la variance de cette variable dans les segments descendants. Celle-ci doit être plus faible dans le segment descendant par rapport au nœud parent.

Le résultat final de la segmentation par arbre binaire est une règle de décision qui conduit à classer les individus de la population étudiée dans un des nœuds terminaux de l'arbre de classification ou de régression retenu.

Le défaut de la méthode tient à son caractère séquentiel car les covariations qui servent à sélectionner les variables ne mesurent pas un lien causal et une variable peut en cacher une autre, beaucoup plus fondamentale, qui n'a plus aucune chance d'apparaître dans la suite du processus (Lebart et al., 2006).

Différents algorithmes sont disponibles pour construire un arbre de décision binaire. La méthode CART a été utilisée. La méthode CART (Classification and Regression Tree) n'impose aucune règle (ou seuil) d'arrêt de division des segments (Breiman et al., 1984). Elle fournit à partir de l'arbre binaire complet, la séquence des sous-arbres obtenue en utilisant une procédure d'élagage. Celle-ci est basée sur la suppression successive des branches les moins informatives en terme de discrimination, permettant d'obtenir un sous-arbre optimal en se fondant sur l'estimation de l'erreur théorique d'affectation obtenue par un échantillon test ou par validation croisée.

La détermination de la bonne taille de l'arbre s'effectue par post-élagage. L'arbre est dans un premier temps complètement développé avec le critère de pureté sur un premier échantillon, puis, dans un second temps, il est réduit de manière à optimiser le taux de mauvais classement calculé sur un second échantillon dit d'élagage. La
variable cible ayant deux modalités, le critère de division (critère d'impureté, c'est-à-dire l'homogénéité du nœud) est le critère de Gini : l'indice d'impureté représente la probabilité qu'une observation tirée au hasard parmi les individus du nœud soit mal classée.

Le logiciel utilisé (CART, Salford Systems) ne permet pas d'utiliser plus de 50 000 observations pour réaliser l'arbre de classification. Une sélection aléatoire des données a été réalisée en conservant 50 000 observations parmi les 525 600 disponibles sur une année. Une k-validation croisée a été réalisée avec k=10 pour l'élagage. Pour chaque modèle, l'arbre optimal choisi correspond à l'arbre avec le moins de nœuds possibles apportant une sensibilité de 98 %. En effet, 2% d'erreur sur une année, c'est plus de 10 000 minutes d'erreur soit plus de 150 heures d'erreur. Cet arbre peut être différent de l'arbre optimal déterminé par le logiciel. La variable MOIS a été prise en compte dans les arbres de classification. Néanmoins, lors de la prédiction pour les autres années cette variable a été remplacée par la variable concurrente car pour l'année 2015 les données sont collectées entre janvier et juillet.

### 4.8.1.1 Résultats de la régression logistique binaire sur l'année 2015

La variable à expliquer est une variable binaire (fenêtre ouverte/fenêtre fermée). 244 379 observations ont été incluses dans le modèle (sur 305 220) dont 34 634 avec une fenêtre ouverte (soit 14 %).

Les résultats du modèle sont présentés au Tableau 10 et Tableau 11. La présence des occupants, la vitesse du vent, la température intérieure et extérieure contribuent le plus à l'ouverture des fenêtres. A l'inverse, la pluie et l'heure de la journée contribue plus à leur fermeture.

Le modèle prédit correctement les situations de fenêtres fermées dans 96,6 % des cas (spécificité) et les situations de fenêtres ouvertes dans seulement 54,5 % des cas (sensibilité). Un état de fenêtres prédit comme fermées l'est effectivement dans 93 % des cas (valeur prédictive négative). Un état de fenêtres prédit comme ouvertes l'est effectivement dans 73 % des cas (valeur prédictive positive ou VPP). Le gain apporté par le modèle dans la prévision des situations de fenêtres ouvertes, mesuré comme l'écart entre la VPP et la prévalence initiale de 14 %, est de 58 %.

Des résultats du même ordre ont été observés en utilisant 2013 ou 2014 comme données d'apprentissage, avec des sensibilités parfois meilleures mais au détriment d'une plus mauvaise spécificité.
<table><caption>Tableau 10 : Résultats de la régression logistique binaire (modalité de la probabilité d'ouvrir les fenêtres)</caption><thead><tr><th></th><th>Odd-<br>Ratio</th><th colspan="2">95% Intervalle de confiance<br>de Wald</th></tr></thead><tbody><tr><td>Présence (Réf : aucun mouvement)</td><td>1.611</td><td>1.515</td><td>1.714</td></tr><tr><td>Température_ext</td><td>1.290</td><td>1.283</td><td>1.297</td></tr><tr><td>VitesseVent</td><td>1.167</td><td>1.160</td><td>1.175</td></tr><tr><td>Température_int</td><td>1.140</td><td>1.126</td><td>1.155</td></tr><tr><td>Humidité relative_int</td><td>1.081</td><td>1.079</td><td>1.084</td></tr><tr><td>Pression atmosphérique</td><td>1.065</td><td>1.062</td><td>1.067</td></tr><tr><td>Irradiance_ext</td><td>0.999</td><td>0.999</td><td>1.000</td></tr><tr><td>CO<sub>2</sub>_int</td><td>0.995</td><td>0.995</td><td>0.995</td></tr><tr><td>Heure de la journée</td><td>0.913</td><td>0.910</td><td>0.915</td></tr><tr><td>Pluie</td><td>0.756</td><td>0.732</td><td>0.781</td></tr></tbody></table>

p-value du test du rapport de vraisemblance : <0,0001

p-value du test de Wald : <0,0001

AIC : 107607

-2LL : 107586

D de Somers : 0,855

Gamma : 0,855

Tau-a : 0,208

c = 0,927

AUC(ROC) = 0.9273

<table><caption>Tableau 11 : Tableau de classification : ouverture observée / prédite</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th rowspan="2">Effectif<br>%<br>% en ligne<br>% en colonne</th><th colspan="3">Ouverture prédite</th></tr><tr><th>CLOSE</th><th>OPEN</th><th>Total</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="3">Ouverture observée</td><td>CLOSE</td><td>202616<br>82.91<br>96.60<br>92.79</td><td>7129<br>2.92<br>3.40<br>27.41</td><td>209745<br>85.83</td></tr><tr><td>OPEN</td><td>15754<br>6.45<br>45.49<br>7.21</td><td>18880<br>7.73<br>54.51<br>72.59</td><td>34634<br>14.17</td></tr><tr><td>Total</td><td>218370<br>89.36</td><td>26009<br>10.64</td><td>244379<br>100.00</td></tr></tbody></table>
### 4.8.1.2 Résultats de la prévision de l'ouverture de plus d'une fenêtre par régression

Un modèle de régression logistique polytomique cumulatif a été utilisé pour expliquer la variable d'ouverture des fenêtres en 3 modalités (toutes les fenêtres sont ouvertes – au moins une fenêtre est ouverte – les fenêtres sont fermées) sur l'année 2015 notamment. 244 379 observations ont été incluses dans le modèle (sur 305 220) dont 3 758 où toutes les fenêtres sont ouvertes, 30 876 où au moins une fenêtre est ouverte et 209 745 où toutes les fenêtres sont fermées.

Le modèle est moins sensible pour prédire les situations avec au moins une fenêtre ouverte (44,7 %) et surtout les situations où toutes les fenêtres sont ouvertes sont considérées à 85 % comme les cas à une seule fenêtre ouverte.

Le même constat est observé en utilisant comme variable à expliquer le nombre de fenêtres ouvertes en 4 modalités (1, 2, 3 ou 4+ fenêtres ouvertes). 244 379 observations ont été incluses dans le modèle (sur 305 220) dont 3 079 où 4 fenêtres ou plus sont ouvertes, 4 209 observations où 3 fenêtres sont ouvertes, 6 930 observations où 2 fenêtres sont ouvertes, 20 416 observations où 1 fenêtre est ouverte et 209 745 observations où aucune fenêtre n'est ouverte.

Le modèle présente la meilleure sensibilité pour la prédiction des situations avec 2 fenêtres ouvertes (60 %), mais affiche une sensibilité inférieure à 18 % dans les autres cas. Ces modèles apparaissent donc moins performants que la régression logistique binaire.

Des régressions linéaires multiples (RLM) ont également été utilisées pour prédire le nombre de fenêtres ouvertes selon la présence et les paramètres climatiques. La performance de ces modèles n'est pas exceptionnelle notamment pour la prévision des situations où les fenêtres sont fermées. Par contre, une situation où une seule fenêtre est ouverte est rarement considérée comme une situation avec fenêtres fermées. Le modèle RLM ne permet pas de distinguer entre 1 et plusieurs fenêtres ouvertes.
<figure><img src="image_111.png" /><figcaption>Figure 107 : Prévision du nombre de fenêtres ouvertes en 2015 selon le modèle RLM de 2013.</figcaption></figure>

### 4.8.1.3 Prévision de l'ouverture des fenêtres par arbre de décision (CART)

Sans conteste les meilleures performances ont été observées avec la méthode CART pour la prévision de l'état d'ouverture général des fenêtres (variable binaire : ouvert / fermé). La méthode CART a été utilisée sur les données des années 2013, 2014 et 2015 prises séparément. Les données d'apprentissage étaient composées à chaque fois de 50 000 observations (données sur 1 minute) en intégrant comme variables explicatives les données calendaires, de présence et les paramètres climatiques.

Pour l'année 2013, la variable à expliquer à travers l'arbre de classification est l'ouverture des fenêtres (en binaire). L'arbre optimal a un coût relatif de 0,087 et possède 704 nœuds terminaux. Pour l'année 2014, l'arbre optimal obtenu a un coût relatif de 0,030 et possède 598 nœuds terminaux. Et sur les données de 2015, l'arbre optimal a un coût relatif de 0,009 et possède 132 nœuds terminaux.

Le Tableau 12 regroupe les principales variables qui ont contribué à la construction de l'arbre optimal de classification de l'état d'ouverture des fenêtres selon les années. La variable principale est le mois de l'année suivie par les conditions de température et d'humidité extérieures et intérieures.
<table><caption>Tableau 12 : Importance relative de l'ensemble des variables (séparatrices, concurrentes et suppléantes) dans l'arbre de classification selon les années</caption><thead><tr><th rowspan="2">Variable</th><th>2013</th><th>2014</th><th>2015</th></tr><tr><th>Score</th><th>Score</th><th>Score</th></tr></thead><tbody><tr><td>Mois</td><td>100,00</td><td>100,00</td><td>100,00</td></tr><tr><td>Température_Ext</td><td>96,89</td><td>68,23</td><td>52,86</td></tr><tr><td>Humidité Relative_Int</td><td>95,58</td><td>44,71</td><td>2,28</td></tr><tr><td>Température_Int</td><td>93,17</td><td>36,12</td><td>43,22</td></tr><tr><td>Humidité Spécifique_Int</td><td>93,04</td><td>64,98</td><td>41,63</td></tr><tr><td>Humidité Spécifique_Ext</td><td>87,76</td><td>67,46</td><td>37,36</td></tr><tr><td>CO<sub>2</sub>_Int</td><td>85,53</td><td>19,85</td><td>3,82</td></tr><tr><td>Pression atmosphérique</td><td>85,26</td><td>29,22</td><td>7,81</td></tr><tr><td>Humidité Relative_Ext</td><td>56,70</td><td>16,81</td><td>2,78</td></tr><tr><td>Irradiance_Ext</td><td>49,04</td><td>8,10</td><td>1,09</td></tr><tr><td>Jour_Semaine</td><td>46,30</td><td>26,98</td><td>2,55</td></tr><tr><td>Vitesse_vent</td><td>36,61</td><td>6,29</td><td>0,83</td></tr><tr><td>Irradiance_Int</td><td>27,15</td><td>5,07</td><td>5,01</td></tr><tr><td>Heure de la journée</td><td>17,91</td><td>8,47</td><td>1,92</td></tr><tr><td>Etat de la porte</td><td>9,38</td><td>5,66</td><td>Non utilisé</td></tr><tr><td>Direction du vent</td><td>8,37</td><td>7,16</td><td>0,56</td></tr><tr><td>Pluie</td><td>6,13</td><td>0,68</td><td>0,04</td></tr><tr><td>Présence</td><td>1,75</td><td>0,31</td><td>0,00</td></tr></tbody></table>

La performance des trois modèles CART obtenus sur les données d'apprentissage est présentée au Tableau 13. La sensibilité et la spécificité dépassent systématiquement 95 %. Il reste toutefois à vérifier les performances des modèles sur des observations qui n'ont pas servi à la construction de l'arbre.

Pour vérifier ces performances, les règles qui définissent l'arbre de classification ont été exportées et appliquées à l'ensemble des autres observations de la même année. Cela permet de vérifier le pouvoir prédictif de l'ouverture des fenêtres la même année. Les résultats sont présentés au Tableau 14. La prédiction de l'ouverture des fenêtres reste correcte avec près de 78 % pour l'année 2013 avec l'arbre CART 2013. Ces données souffrent d'importantes données manquantes relatives à l'état d'ouverture des fenêtres. Par contre, la prédiction fournie par les arbres CART de 2013 et 2014 montre d'excellentes performances avec respectivement une sensibilité de 98,5 % et 99,3 % sur les observations de 2013 et 2014, tout en conservant une spécificité (prédiction des situations de fermeture des fenêtres de plus de 98 %).
Le modèle CART construit sur quelques observations d'une année parvient donc à prédire l'état d'ouverture et de fermeture des fenêtres de l'espace de bureau sur la même année par l'intermédiaire de données calendaires, de données climatiques et de présence des occupants avec un taux d'erreur inférieur à 2 %.

<table><caption>Tableau 13 : Performance de classification des modèles CART sur données d'apprentissage</caption><thead><tr><th colspan="2">2013</th></tr><tr><th rowspan="2">OBSERVE</th><th>% bonne prédiction<br>(en ligne)</th><th colspan="2">PREDIT</th></tr><tr><th></th><th>Fermée</th><th>Ouverte</th></tr></thead><tbody><tr><th>Fermée</th><td>95,56 %</td><td>23 778</td><td>1 104</td></tr><tr><th>Ouverte</th><td>95,76 %</td><td>609</td><td>13 763</td></tr></tbody></table><table><thead><tr><th colspan="2">2014</th></tr><tr><th rowspan="2">OBSERVE</th><th>% bonne prédiction<br>(en ligne)</th><th colspan="2">PREDIT</th></tr><tr><th></th><th>Fermée</th><th>Ouverte</th></tr></thead><tbody><tr><th>Fermée</th><td>98,67 %</td><td>26 997</td><td>365</td></tr><tr><th>Ouverte</th><td>98,35 %</td><td>363</td><td>21 637</td></tr></tbody></table><table><thead><tr><th colspan="2">2015</th></tr><tr><th rowspan="2">OBSERVE</th><th>% bonne prédiction<br>(en ligne)</th><th colspan="2">PREDIT</th></tr><tr><th></th><th>Fermée</th><th>Ouverte</th></tr></thead><tbody><tr><th>Fermée</th><td>99,65 %</td><td>37 895</td><td>134</td></tr><tr><th>Ouverte</th><td>99,49 %</td><td>61</td><td>11 900</td></tr></tbody></table>
<caption>Tableau 14 : Performance de prédiction de l'ouverture des fenêtres la même année</caption>

Prédiction 2013 | CART 2013

<table><thead><tr><th rowspan="2"></th><th rowspan="2">Fréquence<br>%<br>% en ligne<br>% en col.</th><th colspan="3">Prédit</th></tr><tr><th>CLOSE</th><th>OPEN</th><th>Total</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">Observée</td><td rowspan="3">CLOSE</td><td>208 258</td><td>17 342</td><td>225 600</td></tr><tr><td>58.87</td><td>4.9</td><td>63.77</td></tr><tr><td>92.31</td><td>7.69</td><td></td></tr><tr><td>87.85</td><td>14.86</td><td></td></tr><tr><td rowspan="4">OPEN</td><td>28 794</td><td>99 353</td><td>128 147</td></tr><tr><td>8.14</td><td>28.09</td><td>36.23</td></tr><tr><td>22.47</td><td>77.53</td><td></td></tr><tr><td>12.15</td><td>85.14</td><td></td></tr><tr><td rowspan="2">Total</td><td>237 052</td><td>116 695</td><td>353 747</td></tr><tr><td>67.01</td><td>32.99</td><td>100</td></tr></tbody><tfoot><tr><td colspan="4">Fréquence manquante = 121 854</td></tr></tfoot></table>

Prédiction 2014 | CART 2014

<table><thead><tr><th rowspan="2"></th><th rowspan="2">Fréquence<br>%<br>% en ligne<br>% en col.</th><th colspan="3">Prédit</th></tr><tr><th>CLOSE</th><th>OPEN</th><th>Total</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">Observée</td><td rowspan="3">CLOSE</td><td>256 139</td><td>3 905</td><td>260 044</td></tr><tr><td>54.55</td><td>0.83</td><td>55.39</td></tr><tr><td>98.5</td><td>1.5</td><td></td></tr><tr><td>98.77</td><td>1.86</td><td></td></tr><tr><td rowspan="4">OPEN</td><td>3 181</td><td>206 290</td><td>209 471</td></tr><tr><td>0.68</td><td>43.94</td><td>44.61</td></tr><tr><td>1.52</td><td>98.48</td><td></td></tr><tr><td>1.23</td><td>98.14</td><td></td></tr><tr><td rowspan="2">Total</td><td>259 320</td><td>210 195</td><td>469 515</td></tr><tr><td>55.23</td><td>44.77</td><td>100</td></tr></tbody><tfoot><tr><td colspan="4">Fréquence manquante = 6 085</td></tr></tfoot></table>

Prédiction 2015 | CART 2015

<table><thead><tr><th rowspan="2"></th><th rowspan="2">Fréquence<br>%<br>% en ligne<br>% en col.</th><th colspan="3">Prédit</th></tr><tr><th>CLOSE</th><th>OPEN</th><th>Total</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">Observée</td><td rowspan="3">CLOSE</td><td>188 577</td><td>413</td><td>188 990</td></tr><tr><td>79.79</td><td>0.17</td><td>79.96</td></tr><tr><td>99.78</td><td>0.22</td><td></td></tr><tr><td>99.82</td><td>0.87</td><td></td></tr><tr><td rowspan="4">OPEN</td><td>336</td><td>47 025</td><td>47 361</td></tr><tr><td>0.14</td><td>19.9</td><td>20.04</td></tr><tr><td>0.71</td><td>99.29</td><td></td></tr><tr><td>0.18</td><td>99.13</td><td></td></tr><tr><td rowspan="2">Total</td><td>188 913</td><td>47 438</td><td>236 351</td></tr><tr><td>79.93</td><td>20.07</td><td>100</td></tr></tbody><tfoot><tr><td colspan="4">Fréquence manquante = 18 869</td></tr></tfoot></table>

La question se pose de savoir si un modèle construit sur une année permet de prédire l'état d'ouverture des fenêtres sur d'autres années. Le modèle est-il performant au-delà de l'année en cours ? Pour répondre à cette question, les règles de l'arbre de classification testées ont été appliquées aux données observées les autres années. Les résultats obtenus sont présentés du Tableau 15 au Tableau 17. Les performances ne sont pas à la hauteur de celles atteintes pour prédire l'ouverture des fenêtres la même année. Le modèle CART 2013 est le moins performant lorsqu'il est appliqué sur les données de 2015. En effet, il affiche la sensibilité la plus faible de 39 %, et surtout ses prédictions de fenêtres ouvertes sont fausses dans près de 73 % des cas (VPP de 27 %). Le modèle CART 2014 n'est pas non plus très performant lorsqu'il est appliqué sur les données de 2013 malgré une sensibilité de 61 %, mais sa prédiction de fenêtres
ouvertes est fausse dans 60 % des cas et il affiche la plus mauvaise spécificité de 48 %. C'est pourtant le modèle CART 2014 qui fournit les meilleures performances lorsqu'il est appliqué sur les données 2015 avec une sensibilité de 82 % et surtout une valeur prédictive négative de 93 % (prédiction de fenêtres fermées correctes dans 93 % des cas). C'est finalement le modèle CART 2015 qui apparaît comme le plus robuste avec des résultats de sensibilité (47 %) et de spécificité (82 %) très voisins sur 2013 et 2014. Il affiche également les VPP les plus élevées, supérieures à 57 %.

<table><caption>Tableau 15 : Performance de prédiction de l'ouverture des fenêtres avec le modèle CART 2013 sur d'autres années</caption><thead><tr><th colspan="4">Prédiction 2014 | CART 2013</th><th colspan="4">Prédiction 2015 | CART 2013</th></tr><tr><th></th><th>Fréquence<br>%<br>% en ligne<br>% en col.</th><th colspan="3">Prédit</th><th></th><th>Fréquence<br>%<br>% en ligne<br>% en col.</th><th colspan="3">Prédit</th></tr><tr><th></th><th></th><th>CLOSE</th><th>OPEN</th><th>Total</th><th></th><th></th><th>CLOSE</th><th>OPEN</th><th>Total</th></tr></thead><tbody><tr><th rowspan="4">Observée</th><th>CLOSE</th><td>191 334<br>38.43</td><td>84 165<br>16.9</td><td>275 499<br>55.33</td><th rowspan="4">Observée</th><th>CLOSE</th><td>140 967<br>50.69</td><td>69 338<br>24.93</td><td>210 305<br>75.63</td></tr><tr><th>OPEN</th><td>69.45<br>62.01</td><td>30.55<br>44.44</td><td></td><th>OPEN</th><td>67.03<br>77.24</td><td>32.97<br>72.55</td><td></td></tr><tr><th></th><td>117 198<br>23.54</td><td>105 223<br>21.13</td><td>222 421<br>44.67</td><th>OPEN</th><td>41 546<br>14.94</td><td>26 231<br>9.43</td><td>67 777<br>24.37</td></tr><tr><th></th><td>52.69<br>37.99</td><td>47.31<br>55.56</td><td></td><th>Total</th><td>22.76</td><td>38.7<br>27.45</td><td></td></tr></tbody><tfoot><tr><th></th><th>Total</th><td>308 532<br>61.96</td><td>189 388<br>38.04</td><td>497 920<br>100</td><th></th><th>Total</th><td>182 513<br>65.63</td><td>95 569<br>34.37</td><td>278 082<br>100</td></tr></tfoot><tfoot><tr><td colspan="4">Fréquence manquante = 27 680</td><td colspan="4">Fréquence manquante = 27 138</td></tr></tfoot></table>

<table><caption>Tableau 16 : Performance de prédiction de l'ouverture des fenêtres avec le modèle CART 2014 sur d'autres années</caption><thead><tr><th colspan="4">Prédiction 2013 | CART 2014</th><th colspan="4">Prédiction 2015 | CART 2014</th></tr><tr><th></th><th>Fréquence<br>%<br>% en ligne<br>% en col.</th><th colspan="3">Prédit</th><th></th><th>Fréquence<br>%<br>% en ligne<br>% en col.</th><th colspan="3">Prédit</th></tr><tr><th></th><th></th><th>CLOSE</th><th>OPEN</th><th>Total</th><th></th><th></th><th>CLOSE</th><th>OPEN</th><th>Total</th></tr></thead><tbody><tr><th rowspan="4">Observée</th><th>CLOSE</th><td>115 484<br>31.05</td><td>122 948<br>33.06</td><td>238 432<br>64.11</td><th rowspan="4">Observée</th><th>CLOSE</th><td>175 006<br>57.87</td><td>54 722<br>18.1</td><td>229 728<br>75.97</td></tr><tr><th>OPEN</th><td>48.43<br>69.05</td><td>51.57<br>60.07</td><td></td><th>OPEN</th><td>76.18<br>93.02</td><td>23.82<br>47.89</td><td></td></tr><tr><th></th><td>51 751<br>13.92</td><td>81 716<br>21.97</td><td>133 467<br>35.89</td><th>OPEN</th><td>13 124<br>4.34</td><td>59 535<br>19.69</td><td>72 659<br>24.03</td></tr><tr><th></th><td>38.77<br>30.95</td><td>61.23<br>39.93</td><td></td><th>Total</th><td>18.06<br>6.98</td><td>81.94<br>52.11</td><td></td></tr></tbody><tfoot><tr><th></th><th>Total</th><td>167 235<br>44.97</td><td>204 664<br>55.03</td><td>371 899<br>100</td><th></th><th>Total</th><td>188 130<br>62.21</td><td>114 257<br>37.79</td><td>302 387<br>100</td></tr></tfoot><tfoot><tr><td colspan="4">Fréquence manquante = 103 702</td><td colspan="4">Fréquence manquante = 2 833</td></tr></tfoot></table>
<table><caption>Tableau 17 : Performance de prédiction de l'ouverture des fenêtres avec le modèle CART 2015 sur d'autres années</caption><thead><tr><th colspan="2">Fréquence %</th><th colspan="3">Prédit</th></tr><tr><th></th><th></th><th>CLOSE</th><th>OPEN</th><th>Total</th></tr></thead><tbody><tr><th rowspan="4">Observée</th><th rowspan="3">CLOSE</th><td>126 738</td><td>26 235</td><td>152 973</td></tr><tr><td>54.91</td><td>11.37</td><td>66.28</td></tr><tr><td>82.85</td><td>17.15</td><td></td></tr><tr><td>75.08</td><td>42.31</td><td></td></tr><tr><th rowspan="3">OPEN</th><td>42 070</td><td>35 767</td><td>77 837</td></tr><tr><td>18.23</td><td>15.5</td><td>33.72</td></tr><tr><td>54.05</td><td>45.95</td><td></td></tr><tr><th></th><th>Total</th><td>168 808</td><td>62 002</td><td>230 810</td></tr></tbody><tfoot><tr><td colspan="2">Fréquence manquante = 244 791</td><td>73.14</td><td>26.86</td><td>100</td></tr></tfoot></table>

<table><caption>Prédiction 2013 | CART 2015</caption><thead><tr><th colspan="2">Fréquence %</th><th colspan="3">Prédit</th></tr><tr><th></th><th></th><th>CLOSE</th><th>OPEN</th><th>Total</th></tr></thead><tbody><tr><th rowspan="4">Observée</th><th rowspan="3">CLOSE</th><td>230 718</td><td>49 195</td><td>279 913</td></tr><tr><td>45.48</td><td>9.7</td><td>55.18</td></tr><tr><td>82.42</td><td>17.58</td><td></td></tr><tr><td>65.56</td><td>31.67</td><td></td></tr><tr><th rowspan="3">OPEN</th><td>121 226</td><td>106 121</td><td>227 347</td></tr><tr><td>23.9</td><td>20.92</td><td>44.82</td></tr><tr><td>53.32</td><td>46.68</td><td></td></tr><tr><th></th><th>Total</th><td>351 944</td><td>155 316</td><td>507 260</td></tr></tbody><tfoot><tr><td colspan="2">Fréquence manquante = 2 833</td><td>69.38</td><td>30.62</td><td>100</td></tr></tfoot></table>

<caption>Prédiction 2014 | CART 2015</caption>

La différence de performance du modèle CART lorsqu'il est appliqué la même année en comparaison à d'autres années pourrait s'expliquer par le fait que les conditions combinées de calendrier, de paramètres climatiques et de présence qui ont conduit à l'ouverture des fenêtres une année donnée n'entraîne plus forcément l'ouverture des fenêtres pour d'autres années. Les occupants n'étant pas toujours les mêmes d'une année sur l'autre peuvent avoir des critères de décision d'ouverture des fenêtres différents entre eux. De la même manière, un occupant donné peut modifier son critère de décision d'une année sur l'autre. Néanmoins, les performances du modèle comparées à la fréquence initiale d'ouverture des fenêtres sur une année montrent que le modèle CART améliore la prédiction par rapport à une répartition des évènements d'ouverture dues au hasard. Le modèle CART 2015 fournit ainsi un gain de +24 % pour prédire l'ouverture des fenêtres et de +10 % pour prédire la fermeture des fenêtres.

Le modèle CART ne prend pas en compte la dimension temporelle ni les changements d'état. Les observations sont utilisées comme des états indépendants. Les fluctuations des variables explicatives peuvent conduire à basculer plusieurs fois d'un état ouvert à un état fermé dans un court laps de temps, ce qui n'est pas toujours le cas en réalité. Les excellentes performances des modèles observées sur une même année ne vont pas dans ce sens. Mais ces modèles pourraient sans doute être améliorés en intégrant cette dimension temporelle.
Un modèle CART a également été utilisé pour prédire le nombre de fenêtres ouvertes (variable qualitative). L'arbre optimal construit sur les données de 2014 a un coût relatif de 0,087 et possède 1250 nœuds terminaux. Sa performance sur les données d'apprentissage varie de 97,7 % (0 fenêtre ouverte) à 89,1 % (5 fenêtres ouvertes). Ses performances de prédiction sur l'année 2015 restent médiocres avec un taux de bien classés au global de 60 % concentrés sur les deux modalités principales (0 et 1 fenêtre ouverte).

### 4.8.2 Prévision de la concentration intérieure en formaldéhyde par régression

Un premier moyen de prédire la concentration intérieure en formaldéhyde est d'utiliser les autres données disponibles. Une régression linéaire de la concentration intérieure de formaldéhyde a été réalisée en intégrant comme variables du modèle les paramètres climatiques intérieurs (température, humidité spécifique, irradiance) et extérieurs (vitesse et direction du vent, pression atmosphérique, pluie, température, humidité spécifique et irradiance), les occupants (présence, concentration de CO2, activité de l'imprimante mesurée par impulsions électriques) et l'état des ouvrants (porte et fenêtres codées en binaire ouvert/fermé). Etant donné que la régression vise essentiellement la prédiction et non l'explication de la concentration du formaldéhyde, la multicolinéarité entre variables n'est pas prise en compte.

Un exemple de prédiction par régression linéaire a été réalisé sur les données de 2015. Il a ensuite été appliqué aux données observées en 2013 et 2014. Les résultats de ce modèle sont présentés au Tableau 18, Tableau 19 et Figure 108. Les concentrations de CO et d'ozone intérieures étaient initialement introduites dans le modèle mais elles n'amélioraient pas sensiblement les performances et ont donc été retirées.

<figure><img src="image_112.png" /><figcaption>Figure 108 : Prédiction de la concentration intérieure en formaldéhyde par régression en 2015</figcaption></figure>
<table><caption>Tableau 18 : Paramètres d'ajustement de la régression linéaire du formaldéhyde (2015)</caption><thead><tr><th colspan="2">Test d'ajustement global</th></tr><tr><th>Libellé de la statistique</th><th>Valeur</th></tr></thead><tbody><tr><td>Somme des carrés des écarts (SCE)</td><td>46767</td></tr><tr><td>Coefficient de corrélation multiple (R)</td><td>0.7324</td></tr><tr><td>Coefficient de corrélation multiple (R<sup>2</sup>)</td><td>0.5365</td></tr><tr><td>Variance estimée des résidus (S<sup>2</sup>)</td><td>9.60</td></tr><tr><td>Ecart-type estimé des résidus (S)</td><td>3.10</td></tr><tr><th colspan="2">Test de nullité simultanée des coefficients</th></tr><tr><td>Fisher</td><td>352.5</td></tr><tr><td>Nb de degrés de liberté au numérateur</td><td>16</td></tr><tr><td>Nb de degrés de liberté au dénominateur</td><td>4873</td></tr><tr><td>Probabilité critique</td><td>&lt; 0.0001</td></tr><tr><td>Valeur-Test</td><td>60.4428</td></tr></tbody></table>

<table><caption>Tableau 19 : Coefficients de la régression linéaire de la concentration intérieure en formaldéhyde (2015)</caption><caption>Ajustement des moindres carrés (avec terme constant)<br>4890 individus, 17 paramètres (constante en queue).</caption><thead><tr><th>Paramètre</th><th>Coefficient</th><th>Ecart-type</th><th>Student - 4873</th><th>Probabilité</th></tr></thead><tbody><tr><td>Porte - fermée | ouverte</td><td>-1.17036</td><td>0.077</td><td>15.292</td><td>&lt;0.0001</td></tr><tr><td>Humidité spécifique_int</td><td>2.12439</td><td>0.161</td><td>13.161</td><td>&lt;0.0001</td></tr><tr><td>Température extérieure</td><td>0.25500</td><td>0.023</td><td>11.260</td><td>&lt;0.0001</td></tr><tr><td>CO<sub>2</sub>_intérieur</td><td>-0.00728</td><td>0.001</td><td>8.020</td><td>&lt;0.0001</td></tr><tr><td>Pluie - non | oui</td><td>-0.68189</td><td>0.092</td><td>7.416</td><td>&lt;0.0001</td></tr><tr><td>Température_intérieure</td><td>0.39008</td><td>0.054</td><td>7.262</td><td>&lt;0.0001</td></tr><tr><td>Vitesse du vent</td><td>-0.18517</td><td>0.029</td><td>6.346</td><td>&lt;0.0001</td></tr><tr><td>Humidité spécifique_ext</td><td>-0.37040</td><td>0.113</td><td>3.264</td><td>0.001</td></tr><tr><td>Direction du vent</td><td>-0.00124</td><td>0.000</td><td>2.845</td><td>0.004</td></tr><tr><td>Impulsions imprimante</td><td>0.07953</td><td>0.037</td><td>2.156</td><td>0.031</td></tr><tr><td>Pression</td><td>0.00963</td><td>0.005</td><td>1.945</td><td>0.052</td></tr><tr><td>Irradiance_extérieure</td><td>0.00071</td><td>0.000</td><td>1.444</td><td>0.149</td></tr><tr><td>Présence - non | oui</td><td>-0.10393</td><td>0.094</td><td>1.109</td><td>0.267</td></tr><tr><td>Fenêtres - fermées | ouvertes</td><td>0.19150</td><td>0.268</td><td>0.714</td><td>0.475</td></tr><tr><td>Irradiance_int</td><td>-0.00070</td><td>0.001</td><td>0.498</td><td>0.618</td></tr><tr><td>CONSTANTE</td><td>-12.2737</td><td>4.887</td><td>2.511</td><td>0.012</td></tr></tbody></table>

La régression parvient à s'ajuster assez bien à la concentration de formaldéhyde observée tant que les données des variables d'entrée sont disponibles. La présence
de valeurs manquantes dans ces paramètres ne permet pas de fournir des prédictions sur certaines périodes. Le modèle se basant sur 15 variables d'entrée, le risque n'en est que plus grand. L'irradiance, la présence (mais pas la concentration en CO₂) et l'état des fenêtres contribuent peu à la prédiction du formaldéhyde. L'état de la porte d'accès à l'espace de bureau et l'humidité spécifique intérieure sont par contre des paramètres importants dans la prédiction.

Lorsque ce modèle est appliqué aux données de 2013, les prédictions sont systématiquement supérieures aux observations. Cela indique qu'il manque un ou plusieurs paramètres au modèle responsable des variations observées entre 2013 et 2015. Sur l'année 2014, le modèle de régression ne rend pas compte des importantes amplitudes de variation observées au cours de l'année.

<figure><img src="image_113.png" /><figcaption>Figure 109 : Application du modèle de régression 2015 pour prédire la concentration de formaldéhyde en 2013 (gauche) et 2014 (droite).</figcaption></figure>

Pour faire de la prévision, ce type de modèle n'est pas optimal car il nécessite de disposer des mesures et surtout des prévisions de chacun des paramètres entrant dans le modèle pour permettre de prédire à chaque instant futur la concentration du formaldéhyde. Les prévisions des paramètres climatiques extérieures existent et pourraient être utilisées. Ceux de l'environnement intérieur pourraient également être estimés à partir des prévisions extérieures. Mais la présence, les activités et l'état des ouvrants nécessitent le développement de modèles de prévision spécifiques.

A des fins de prévision de l'évolution de la concentration, il est dès lors plus intéressant de se pencher sur des modèles ne requérant qu'un minimum de connaissances, à savoir un historique des mesures de concentration enregistrées au préalable sans introduire d'informations complémentaires (par exemple des données climatiques ou d'autres mesures de polluants). Ce type de prévision va chercher à exploiter les propriétés intrinsèques à la dynamique des séries temporelles.
### 4.8.3 Structure temporelle des mesures en continu et prévisions

Les paramètres mesurés dans l'environnement fournissent généralement des suites numériques, et les valeurs prises par un paramètre donné sont des réalisations d'un ensemble de variables aléatoires et forment, avec l'indice temps ($t \in T$) une "image de la trajectoire". Pour des applications empiriques, on dispose que d'un nombre fini de données, donc de réalisation d'un nombre fini de variables ($X(t_1), X(t_2), ..., X(t_n)$) pour une suite finie d'instants {$t_1 < t_2 < ... < t_n$}. Ici, $X_{t_i}$ et $X(t_i)$ sont interchangeables du moment qu'on ne spécifie pas le nature discrète ou continue de $T$. $X(t)$ étant réservée généralement aux processus à temps continu, nous ne distinguerons pas le processus $X_t$ d'une de ses réalisations $X_t(\omega)$.

La suite d'observations possède au moins deux caractéristiques :

- (a) en dehors de l'évolution à peu près polynômiale d'une tendance, les observations présentent des aspects locaux très irréguliers, nécessitant un très grand nombre de liberté pour pouvoir modéliser la courbe associée aux observations,

- (b) le processus "physique" est irréversible : impossible de reproduire la suite de mesures dans leurs conditions réelles.

Qu'elle soit exprimée par une concentration ou par un rapport de quantités, la série d'observations associée aux réalisations des variables aléatoires fournit des informations sur l'état du système qui l'a générée. Les informations portées par ces variables sont plus au moins "bruitées", elles dépendent du type du paramètre étudié et les causes qui l'ont généré. En résumé, l'aspect irrégulier traduit la variabilité des observations, elle est d'autant plus importante avec une résolution temporelle fine.

Lorsqu'on travaille sur un nombre fini de variables aléatoires, nous cherchons souvent les dépendances ou des structures de corrélations entre les différents retards des observations, en d'autres termes leur niveau d'autocorrélation. Les processus à mémoire courte se manifestent par une décroissance rapide (exponentielle) de la fonction d'autocorrélation vers zéro. Au contraire, une série comporte une mémoire longue si l'autocorrélation décroit très lentement (fonction puissance) vers zéro. Puisque les fonctions d'autocorrélation et la densité spectrale forment une paire de transformée de Fourier, la connaissance de l'une implique la connaissance de l'autre.

La transformée de Fourier est un outil de base de l'analyse spectrale pour représenter les séries temporelles, et qui va permettre de décomposer les séries en fonction de leurs périodicités. Ainsi, les basses fréquences vont représenter les dynamiques de long terme et de faible variabilité tandis que les hautes fréquences vont décrire les dynamiques de court terme.

Une autre approche à l'analyse des séries temporelles est la décomposition en tendance, cycles (ou/et saisonnalité) et en composantes aléatoires. Cette décomposition repose sur l'idée selon laquelle la structure inhérente de la série
temporelle est un composite de plusieurs éléments déterministes et stochastiques qu'il faut étudier séparément.

Le problème de prévision se résume à une question fondamentale, à savoir comment à partir des observations $x_1, ..., x_T$, il est possible d'obtenir des valeurs futures $x_{T+1}; x_{T+2}; ...$ jugées "utiles" compte tenu du phénomène étudié. Pour des observations univariées, il s'agit de modéliser la dynamique à travers laquelle les valeurs passées influencent la valeur présente. Dans le cadre des processus stochastiques, les valeurs observées sont supposées être des réalisations des variables aléatoires $X_1, ..., X_T$ dont il faudra spécifier la dynamique. La prévision à la date T+1 consiste, d'un point de vu mathématique, à projeter $x_{T+1}$ sur un ensemble de fonctionnelles de $X_1, ..., X_T$ (projection linéaire, espérance conditionnelle, etc.), et à estimer l'intervalle de précision associé à cette projection.

La modélisation univariée et la démarche générale de prévision par la procédure de Box-Jenkins (1970) sont fondées sur les processus ARIMA(p; d; q) : *Autoregressive Integrated Moving Average* avec p l'ordre du modèle autoregressif, d le degré de différenciation et q l'ordre de la moyenne mobile. La procédure proposée est en quatre étapes :

- **Identification** : on utilise généralement l'estimation de la fonction d'autocorrélation (ACF) et de la fonction d'autocorrélation partielle (PACF). En revanche, il existe d'autres méthodes d'identification développées à partir des critères d'entropie. Citons, entre autre le critère AIC d'Akaike (1974) (Akaike's Information Criterion), le critère BIC de Schwarz et al. (1978) (Bayesian Information Criterion) et le critère CAT de Parzen (1975) (Criterion Autoregressive Transfer Function);

- **Estimation** : différentes procédures itératives peuvent être appliquées pour l'estimation des paramètres du processus ARMA. Les plus utilisées pour le critère des moindres carrés sont les méthodes de type Gauss-Newton ou le "compromis de Marquardt";

- **Tests de diagnostic** : il s'agit d'examiner si le modèle estimé est ou non compatible avec les hypothèses sous-jacentes aux modèles. Il en existe plusieurs : des tests graphiques de l'autocorrélation des résidus et des tests basés sur la statistique de 2 tel que le test de Ljung-Box ou celui de Box-pièrce;

- **Prévisions** : consiste à respecter le principe d'extrapolation en utilisant les formules de la prévision optimale pour les processus ARMA (voir ci-après).

Dans le cadre de l'analyse des structures de variabilité de la concentration en polluants dans l'air intérieur, l'hypothèse de stationnarité n'est pas tenable. Donc, la prévision par un modèle de type ARMA sur ces séries, conduit dans la plupart des cas à un échec. En revanche, si l'on considère une série de transformation des données, par exemple, une désaisonnalisation du logarithme de la série puis différentiation, l'hypothèse de
stationnarité devient plus vraisemblable. Le résultat de la désaisonnalisation (la série désaisonnalisée) est ensuite modélisé par, une approche type ARMA, lissage exponentiel, ou autre. Les différents types de transformations dépendent énormément de la nature du polluant, de la présence des variations abruptes, ainsi que de la résolution temporelle (pas de temps).

### 4.8.4 Prévision de la concentration intérieure en formaldéhyde par régression non-paramétrique STL

La méthode "Seasonal Trend Loess" (STL) proposée par Cleveland (1979) est une méthode de régression non-paramétrique par une pondération localement lisse (locally weighted scatterplot smoother (lowess)). Pour une application aux concentrations de CO₂ extérieures, Cleveland et al. (1990) montrent l'effet de la tendance au cours des dernières années.

Soit $(x_i)_{i=1,...,n}$ la série temporelle à décomposer, avec le temps comme variable indépendante et $x_t$ variable dépendante. L'idée de la régression linéaire locale réside dans l'analyse des moindres carrées localement polynomiale (type ajustement k-NN). De manière plus précise, elle consiste à ajuster une fonction polynomiale au voisinage du point $t_0$ de la variable d'intérêt. On note le voisinage de $t$ par $N(t_0)$. Il s'agit de trouver le paramètre $\beta$ :

$$ \arg\min_{\beta} \sum_{t_i \in N(t_0)} w \left( \frac{t_i - t_0}{\lambda} \right) \left[ X_i - \sum_{j=0}^{p} \beta_j t^j \right]^2 $$

avec le paramètre de lissage $\lambda$ et la pondération par une fonction kernel $w$. Le noyau proposé par Cleveland (1979) et qui a été dès lors, le plus utilisé est le noyau cubique :

$$ w(t_i - t_0; \lambda) = \max \left( \left[ 1 - \left| \frac{t_i - t_0}{\lambda} \right|^3 \right]^3, 0 \right) $$

L'approche par décomposition STL requiert de fixer la fréquence. La procédure STL est conçue principalement pour des séries de basses fréquences, donc pour des données journalières, voire même mensuelles. Ceci constitue un inconvénient majeur pour l'analyse de nos données, qui sont enregistrées avec un pas de temps fin. Néanmoins, cette méthode peut être appliquée pour des séries qui exhibent un comportement saisonnier.

Les performances de cette méthode ont été évaluées sur un enregistrement en continu du formaldéhyde au pas de temps de 1 minute réalisé en 2010 dans le séjour de la maison expérimentale MARIA du CSTB en absence d'occupants. Ces données montraient en effet un caractère saisonnier marqué, idéal pour tester la méthode. Elle a également été testée sur des données avec un caractère saisonnier moins
prononcé : la concentration de particules également mesurées dans la maison expérimentale sur la même période.

Les décompositions obtenues sont présentées sur les deux figures suivantes. Chaque figure indique les données de départ, sa composante saisonnière, sa tendance et le reste de la décomposition.

<figure><img src="image_114.png" /><figcaption>Figure 110 : Décomposition par STL de la variabilité de la concentration en formaldéhyde dans la maison expérimentale (gauche) et comparaison avec le CO₂ mesuré dans l'espace de bureau en 2012 (droite).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_115.png" /><figcaption>Figure 111 : Décomposition par STL de la variabilité de la concentration en particules de 0,35 µm et 2,5 µm dans la maison expérimentale.</figcaption></figure>

Les fréquences fondamentales de la décomposition saisonnière sont d'un jour⁻¹ pour le formaldéhyde et à titre de comparaison de 7 jours⁻¹ pour le CO₂ mesuré dans l'espace de bureau en 2012.
Cette méthode permet également de donner une indication sur la contribution de chaque composante dans les fluctuations de la série originale. Elle se calcule en termes d'écart-type relatif par rapport à l'écart-type de la série originale et aux écarts-types des autres composantes. Après décomposition de la série, la somme des écarts-types des trois composantes est généralement supérieure à l'écart-type estimé de la série temporelle initiale ($\sigma_p$). La contribution relative ($Ct_r$) de variabilité de chaque composante peut être estimée comme suit :

$$ \hat{C}_{t_r} = \frac{\hat{\sigma}_C - \frac{\hat{\sigma}_{diff}}{3}}{\hat{\sigma}_p} $$

où $\hat{\sigma}_C$ est l'écart-type de chaque composante : la saisonnalité $S$, la tendance $T$ et le reste $e$ ($\hat{\sigma}_S$, $\hat{\sigma}_T$, $\hat{\sigma}_e$), et $\hat{\sigma}_{diff} = (\hat{\sigma}_S + \hat{\sigma}_T + \hat{\sigma}_e) - \hat{\sigma}_p$.

Le Tableau 20 donne les contributions relatives de chaque composante de la décomposition STL de quelques séries temporelles de polluants et paramètres mesurés dans la maison expérimentale et dans l'espace de bureau.

<table><caption>Tableau 20 : Contribution relative en variabilité des composantes de différents paramètres mesurés dans la maison expérimentale (MARIA) ou dans l'espace de bureau en 2012 (OS2012). La colonne t:span (trend span) correspond à la taille de la fenêtre retard (délai) pour l'extraction de la tendance.</caption><thead><tr><th rowspan="2">Environnement</th><th rowspan="2">Variable</th><th rowspan="2">t.span<br>(h)</th><th colspan="3">Contribution (Ct<sub>r</sub> %)</th></tr><tr><th>Saisonnalité</th><th>Tendance</th><th>Reste</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="8">MARIA</td><td>HCHO</td><td>8</td><td>60.34</td><td>35.94</td><td>3.72</td></tr><tr><td>P<sub>0.35</sub>-P<sub>0.45</sub></td><td>8</td><td>7.36-6.21</td><td>79.26-75.60</td><td>13.38-18.19</td></tr><tr><td>P<sub>0.575</sub>-P<sub>0.725</sub></td><td>8</td><td>5.48-9.35</td><td>64.01-44.92</td><td>30.51-45.72</td></tr><tr><td>P<sub>0.9</sub>-P<sub>1.3</sub></td><td>8</td><td>8.26-7.52</td><td>46.56-54.62</td><td>45.18-37.86</td></tr><tr><td>P<sub>1.8</sub>-P<sub>2.5</sub></td><td>8</td><td>7.52-6.78</td><td>54.62-64.47</td><td>37.86-28.75</td></tr><tr><td>P<sub>3.5</sub>-P<sub>4.5</sub></td><td>8</td><td>7.27-14.46</td><td>42.48-20.12</td><td>50.25-65.41</td></tr><tr><td>P<sub>6.25</sub>-P<sub>8.75</sub></td><td>8</td><td>20.20-20.26</td><td>6.12-3.27</td><td>73.67-76.47</td></tr><tr><td>P<sub>12.5</sub>-P<sub>17.5</sub></td><td>1.2</td><td>19.46-23.38</td><td>27.57-18.32</td><td>52.96-58.28</td></tr><tr><td rowspan="6">OS2012</td><td>CO<sub>2</sub></td><td>6</td><td>57.25</td><td>39.19</td><td>3.56</td></tr><tr><td>P<sub>0.35</sub>-P<sub>0.9</sub></td><td>4</td><td>9.16-12.96</td><td>87.12-80.37</td><td>3.72-6.67</td></tr><tr><td>P<sub>1.8</sub>-P<sub>4.5</sub></td><td>4</td><td>17.05-36.61</td><td>75.65-58.05</td><td>7.29-5.34</td></tr><tr><td>P<sub>8.75</sub></td><td>5</td><td>46.69</td><td>42.24</td><td>11.07</td></tr><tr><td>T<sub>int</sub>-HS<sub>int</sub></td><td>8-9</td><td>34.43-11.04</td><td>62.01-88.37</td><td>3.56-0.59</td></tr><tr><td>T<sub>ext</sub>-HS<sub>ext</sub></td><td>12-6</td><td>19.23-9.37</td><td>80.46-89.21</td><td>0.31-1.42</td></tr></tbody></table>

Bien que la série du formaldéhyde soit au pas de temps d'une minute, la décomposition semble relativement facile et une prévision par un modèle basée sur cette décomposition est envisageable car la composante saisonnière (ici diurne) est majoritaire, de l'ordre de 60 %, contre 36 % pour la tendance et 4 % pour le reste de la décomposition.
La contribution de la tendance polynomiale reste majoritaire pour les particules de taille entre 0:35 µm et 2:5 µm et diminue avec l'augmentation de leur diamètre. La contribution relative de la saisonnalité augmente avec la taille des particules. Les plus grosses particules sont plutôt associées à une contribution importante des résidus de la décomposition.

Il s'avère que la méthode STL est très sensible au caractère discret de la variabilité des grosses particules, l'estimation de chaque composante nécessite le contrôle de la taille de la fenêtre nécessaire pour l'extraction de la tendance, sinon elle est biaisée. Cette méthode est alors inadaptée pour la prévision des fluctuations des séries des grosses particules.

Un modèle autoregressif ARIMA combiné à une décomposition STL a été utilisé pour prédire les concentrations de formaldéhyde et de particules mesurées dans la maison expérimentale, mais également dans l'espace de bureau où la présence des occupants et leurs activités rendent la saisonnalité moins marquée. Les données d'apprentissages correspondent aux premiers huit jours et la partie test correspond aux quatre derniers jours, sur un total de douze jours. La partie ombrée des prévisions sur les figures est associée à l'intervalle de prévision obtenue par la modélisation ARIMA.

Pour le formaldéhyde, le modèle affiche de très bonnes performances avec un horizon de 2 jours de prévision sur les mesures réalisées dans la maison expérimentale. Il est clairement moins performant sur les mesures réalisées dans l'espace de bureau en février 2015 qui montrent une saisonnalité plus bruitée.

<figure><img src="image_116.png" /><figcaption>Figure 112 : Prévision des concentrations du formaldéhyde dans la maison expérimentale en 2010 (à gauche) et dans l'espace paysager en 2015 (à droite) par un modèle STL/ARIMA.</figcaption></figure>
Pour les particules, la performance du modèle varie avec leur taille. Pour les particules fines, la prévision est basée sur une transformation en log de la concentration en nombre $Ln[N]$. L'évolution de la concentration des particules fines avec une saisonnalité très peu marquée n'est pas restituée par le modèle malgré des écarts de prévisions faibles. La saisonnalité plus marquée des plus grosses particules est mieux restituée par le modèle mais les autres variations avec un caractère plus aléatoire ne le sont pas.

<figure><img src="image_117.png" /><figcaption>Figure 113 : Prévision des concentrations horaires de particules de 0,35 µm et 8,75 µm dans l'espace paysager en 2012 par un modèle STL/ARIMA.</figcaption></figure>

### 4.8.5 Prévision de la concentration intérieure en formaldéhyde après décomposition spectrale

Un modèle combinant la décomposition par bande spectrale au moyen d'une transformée de Fourier (FFT) avec un modèle non-linéaire des composantes FFT a été testé pour prévoir la concentration du formaldéhyde dans l'espace de bureaux. Une série continue de 14 jours au pas de temps de 1 minute du 24 mai au 7 juin 2013 a été retenue pour tester cette configuration de modèle. Deux modèles non-linéaires ont été comparés : un modèle autoregressif à seuil (TAR) et un autre basé sur la théorie des systèmes dynamiques (chaos). Les données (20 000 minutes) ont été divisées en 3 groupes. 80 % de ces données représentent le jeu d'apprentissage avec lequel les paramètres des modèles sont déterminés. Une première validation du modèle est
réalisée sur 15 % des données permettant de l'optimiser au besoin. Et les 5 % restants servent à déterminer les performances effectives du modèle.

La présence de points de variations abruptes dans l'évolution des concentrations justifie le choix de modèles de prévision non-linéaires et en particulier ceux gérant les changements de régime d'une série temporelle, comme par exemple un modèle SETAR (Self-Exciting Threshold Auto-Regressive) développé par Tong et al. (1980 ; 2011). La transition entre les régimes dans les modèles à seuil de type TAR est gouvernée par un mécanisme qui s'effectue à l'aide d'une variable de transition observable, d'un seuil et d'une fonction de transition. Typiquement, deux mécanismes de transition sont envisageables suivant la forme de la fonction de transition. Les modèles à seuils à transition de phase abrupte et les modèles à transition lisse où le passage d'un régime à l'autre se fait moins brutalement. Lorsque la variable de transition sélectionnée est une variable endogène retardée $X_{t-d}$ d'un délai d, le modèle TAR devient un modèle SETAR. A cause du caractère discret de la variable indicatrice, les transitions dans ces modèles sont abruptes et le passage d'un régime à l'autre se fait instantanément au pas de temps près.

Ce modèle a été appliqué dans un premier temps à des données préalablement filtrées par transformée de Fourier (FFT) pour ne conserver que la tendance globale de variation du formaldéhyde. Les résidus de ce premier lissage ont été filtrés à leur tour par FFT et ainsi de suite. Les n composantes FFT ainsi obtenues sont ensuite modélisées chacune par SETAR ou par dynamique du chaos avant que les résultats soit additionnés pour reconstituer la concentration finale prévue.

Dans la dynamique du chaos ou théorie des systèmes dynamiques, disposer de toute l'information du système dynamique déterministe permet de prédire complètement l'évolution de ce système. Ce pouvoir prédictif remarquable peut être préservé pour les variables observées de ce système sous certaines conditions. L'étude d'un système complexe fait entrer en ligne de compte l'ensemble des positions de trajectoire, des vitesses de variations que le système est a priori susceptible d'adopter, qui est appelé espace d'état. Tout système dont les états varient dans le temps est un système dynamique ; pour un tel système, un état est une fonction $s(t)$ du temps $t$. Dans un système dynamique déterministe, l'état initial $s(0)$ est le seul qui détermine les états futurs $s(t)$ ; $t > 0$: Dans le cas d'un système dynamique stochastique, une application unique entre les états (futur, présent et passé) peut ne pas exister. Il est donc possible qu'il n'y ait aucune corrélation entre les états ; d'ailleurs un bruit aléatoire pur comme un bruit blanc, l'est par définition.

L'observation directe de tous les états de l'environnement intérieur comme états d'un système dynamique $s(t)$ n'est pas directement accessible. L'attention va donc se focaliser sur les propriétés évolutives de la variable mesurée, tant pour sa prévision que dans sa relation avec son passé. La reconstitution de la dynamique consiste en la détermination de la relation empirique entre les états $s(t)$ et la seule connaissance des variables observées $x(t)$. A partir d'une seule variable, la seule manière d'obtenir de l'information additionnelle est de revenir aux observations précédentes. Cette
reconstitution nécessite le choix approprié de deux paramètres clés : le délai et la dimension de plongement. Le délai est généralement estimé à partir de la fonction d'autocorrélation et la dimension de plongement par la méthode des « Faux Plus Proches Voisins » (FNN, Kennel et al., 1992).

La procédure de prévision à partir de la théorie des systèmes dynamiques suppose que si le système a été observé durant un temps suffisamment long, il existe alors probablement des états du passé aux caractéristiques proches de l'état présent. La prévision consiste alors à appliquer l'évolution observée dans le passé dans des conditions quasi-identiques. L'algorithme de prévision permettant de rechercher les plus proches voisins de l'état présent est généralement la prédiction par constante locale (Local Constant Prediction, Kantz et Schreiber, 2004).

La décomposition spectrale permet d'améliorer les prévisions comparées à l'utilisation des données brutes. Elle permet d'éliminer du bruit nuisible au modèle mais écarte également la possibilité de reproduire des fluctuations très courtes de la concentration selon le niveau de lissage effectué. Elle permet également d'améliorer le temps de calcul et du coup fournit de meilleures performances. En règle générale, la performance du modèle hybride est un compromis entre le niveau de lissage des données réalisé par la décomposition spectrale et la performance du modèle de prévision sur les données lissées.

En effet, le prétraitement des données joue sur la qualité des prévisions, mais surtout elle permet de s'interroger sur l'importance que l'on veut donner aux variations observées et quelles variabilités sont utiles à la prévision. Les données prises en compte avec un pas de temps de 1 min présentes un bruit en partie liée aux fluctuations du signal de l'instrument et donc à l'incertitude de mesure qu'il est inutile de chercher à reproduire. Dans notre cas, nous avons pris en compte des variations de période supérieures à 4,5 heures. Il serait certainement souhaitable de descendre à l'échelle de 1 heure, pour des prévisions de court terme.

Les deux modèles utilisés reproduisent l'aspect non-linéaire de l'évolution de la concentration du formaldéhyde avec des performances légèrement supérieures pour le modèle basé sur la dynamique du chaos. Ces modèles hybrides permettent de prévoir la concentration du formaldéhyde avec de bonnes performances à un horizon de 12 heures.
<figure><img src="image_118.png" /><figcaption>Figure 114 : Processus de prévision par un modèle hybride FFT/TAR ou FFT/Chaos.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_119.png" /><figcaption>Figure 115 : Prévisions obtenues sur les données tests par FFT/SETAR et FFT/Chaos</figcaption></figure>

En général, la prévision de la première composante FFT1, celle qui extrait la tendance générale de variation de la concentration détermine en grande partie la qualité de la prévision finale. Lorsqu'elle n'est pas performante, les prévisions sur les autres composantes FFT ne permettent pas d'améliorer la prévision finale.

La décomposition spectrale n'est pas toujours nécessaire si les paramètres étudiés présentent une saisonnalité marquée. C'est le cas des particules les plus grosses, pour lesquelles une décomposition spectrale par FFT introduit des oscillations parasites lors des périodes monotones comme les week-ends. A titre de comparaison, la figure suivante montre les résultats de la prévision sur des concentrations de particules
mesurées dans l'espace de bureaux en 2012 par chaos. Les particules fines de 0,9 µm nécessitent une décomposition spectrale préalable de leur concentration alors qu'un résultat correct est observé pour les particules de 8,75 µm en appliquant directement le modèle sur les données brutes.

<figure><img src="image_120.png" /><figcaption>Figure 116 : Prévisions obtenues sur les données tests par FFT/Chaos pour les particules de 0,9 µm et directement par chaos pour les particules de 8,75 µm</figcaption></figure>

Plus de détails sur ces modèles hybrides sont fournies dans une première version d'article qui a été soumis à la revue *Environmetrics* et disponible en annexe. Les travaux préalables à cet article notamment sur le développement du modèle FFT/SETAR ont fait l'objet de deux communications dans des conférences internationales également disponibles en annexe. Enfin, la thèse de Rachid Ouaret (2016) reprend en détail les différents aspects et contraintes de la prévision des paramètres de la qualité de l'air intérieur.

### 4.8.6 Discussion sur la prévision des concentrations intérieures de polluants

La prévision de l'évolution des paramètres mesurés dans les environnements intérieurs basée sur la dynamique des séries temporelles visait en premier lieu l'identification des spécificités des environnements intérieurs. Dans ces environnements, la présence des occupants et leurs actions sur les ouvrants se traduit par des variations irrégulières plus brutales comparées à ce qui peut être observé dans l'environnement extérieur. Ramener les données mesurées à un pas de temps long permettrait de lisser ces variations brutales et on serait alors amener à traiter des données qui seraient assez voisines de celles enregistrées à l'extérieur. Mais pour
autant, la part de variation relative à la présence des occupants et de leurs activités serait en grande partie gommée. La prise en compte de ces phénomènes se fait avec un pas de temps fin et en fonction de la nature du polluant, la variabilité est généralement plus fluctuante. Des composantes aléatoires viennent alors se greffer au sein de la série en modifiant les structures de régularité. Elles nécessitent donc une modélisation plus complexe par rapport à ce qui est réalisé pour l'air extérieur avec une résolution temporelle de l'ordre de l'heure ou de la journée.

D'autre part, ces modèles de prévisions sont très peu étudiés et appliqués aux environnements intérieurs. Il s'agissait donc dans un premier temps d'examiner les différentes approches possibles pour fournir des prévisions bonnes et utiles aux gestionnaires-décideurs. Pour ces raisons, notre travail s'est appuyé sur les résultats des modèles de prévisions obtenus dans différentes disciplines, tant au niveau théorique que pratique. Par exemple, les prévisions délivrées par un modèle type ARMA convergent rapidement vers la moyenne parce que l'on perd très vite de l'information sur les perturbations aléatoires quand l'horizon de prévision augmente. C'est précisément ce que nous voulions éviter étant donnée la résolution temporelle utilisée dans la plupart de nos séries.

Les travaux menés dans le cadre de ce projet ont permis de poser quelques "jalons", mais les éléments de réponses pour d'autres paramètres de la QAI demanderont des études supplémentaires pour être précisés.

Les modèles d'ajustement appliquées ici pour la QAI ne reposent pas forcément ni sur une construction théorique unique ni sur la théorie physique de l'environnement intérieur. L'extraction des composantes déterministes via une méthode statistique consiste à identifier l'équilibre de long terme (tendance) de la variabilité et la fluctuation oscillatoire (saisonnalité) clairement reconnaissable. Cette distinction ne suffit pas pour l'extraction des différentes composantes, elle nécessite donc des hypothèses supplémentaires.

La manifestation de quelques patterns statistiques dans la concentration de certains polluants relève le fait que la vraie variable dépend fortement des facteurs endogènes et/ou exogènes imprévisibles dont l'influence varie selon des conditions partiellement identifiables. Par conséquent, le vrai modèle doit contenir ces facteurs de manière à refléter au mieux le comportement des fluctuations. Donc, un bon modèle serait en mesure de prévoir cette dynamique sur un horizon donné.

Les modèles à changements de régimes décrivent un ensemble d'états dans lesquelles chaque portion de variabilité se révèle explicative du phénomène environnemental étudié. Si la succession de ces phases de variabilité se manifestent de façon régulière, celles-ci peuvent être attribuées à une forme de saisonnalité. En effet, la succession des états occupations-inoccupations dans un environnement réel serait la cause directe et indirecte d'au moins deux types de variation : un comportement quasi-saisonnier des concentrations du CO₂ et un comportement plus erratique des concentrations du formaldéhyde. Pour ce dernier, la dynamique du
formaldéhyde est liée d'une certaine mesure aux variations de l'état des ouvrants qui sont déterminées par la succession des phases d'occupations et d'inoccupations.

L'aspect délicat de la prévision en règle générale est qu'il est d'une part nécessaire d'avoir pour chaque environnement et paramètre étudié un temps d'observation suffisamment long et que d'autre part la paramétrisation du modèle de prévision va autant dépendre des données observées qui ont servi à l'apprentissage que de l'horizon de prévision souhaité. Un modèle bien paramétré peut être performant à un horizon donné, et ne pas l'être pour des horizons plus courts ou plus longs pour lesquels une autre paramétrisation apporterait de meilleurs résultats. C'est un aspect à prendre en compte pour toute volonté d'automatisation du processus de prévision.

Enfin, la qualité de prévision dépend du "niveau de prédicibilité" des observations. En d'autres termes, la prévision des concentrations de certains polluants est plus "facile" que d'autres. Par exemple, une variabilité qui présente un profil régulier s'avère plus facile à estimer. Par contre, une forte irrégularité de la variabilité nécessite une exploitation plus approfondie dans la recherche des périodicités. En outre, la prévision sur certaines périodes est plus facile que pendant d'autres périodes, car la complexité d'un phénomène est conditionnée par la dynamique de ses différentes composantes. Cette paramétrisation gagnerait en précision avec une meilleure connaissance de la structure des séries temporelles étudiées comme par exemple ses dimensions fractales.

D'autres modèles de type lissage exponentiel et notamment le modèle de Holt-Winters ont été appliqué sur certaines données avec des résultats parfois satisfaisants (bonne performance après 41 heures pour prévoir le formaldéhyde dans la maison expérimentale).

Des modèles introduisant des variables exogènes observées ou prédites comme la température, l'humidité spécifique ou relative ou encore l'ouverture des fenêtres, sont en cours d'évaluation. Il s'agit notamment de modèles exogènes autorégressifs non-linéaires (NARX). Leur fonction non-linéaire est ici assurée par un réseau de neurones.
# 5 Conclusion

La concentration de particules et de formaldéhyde a été suivie avec un pas de temps fin (entre 1 et 20 minutes) dans un espace de bureau entre 2012 et 2015. Ces mesures ont été systématiquement accompagnées d'enregistrement des paramètres climatiques intérieurs et extérieurs, ainsi que d'un suivi expérimental de la présence des occupants et de l'état des ouvrants.

Ce jeu de données conséquent malgré la présence inéluctable de valeurs manquantes constitue une formidable base de travail à partir de laquelle il est possible d'étudier et de développer des outils permettant de séparer et d'identifier les sources ou encore de prévoir l'évolution des concentrations à venir.

Ces données seront mises à disposition de la communauté scientifique et du public une fois les principaux résultats de cette étude publiée dans un journal à comité de lecture que les utilisateurs pourront citer. La mise à disposition de ces données permettra, nous l'espérons, de voir de nouveaux outils se développer pour la caractérisation de la structure temporelle des paramètres relatifs à la qualité de l'air intérieur et de nouveaux modèles de prévision.

La variabilité de la concentration intérieure en formaldéhyde et en particules a été caractérisée à différentes échelles temporelles. Le formaldéhyde montre des variations importantes au jour le jour liées en partie à des conditions d'ouverture des ouvrants et d'occupation variables aux conséquences également variables, mais également aux fluctuations d'humidité spécifique et de température. La concentration intérieure de particules montre des fluctuations variables selon leur taille. Les plus fines de 0,35 µm suivent les fluctuations observées à l'extérieur pour la même gamme de taille alors que les plus grosses reproduisent le schéma d'occupation de la pièce.

Le profil d'occupation de l'espace de bureaux a été caractérisé. Il est relativement stable d'un jour sur l'autre et d'une semaine sur l'autre. L'occupation varie beaucoup plus d'un mois sur l'autre et d'une année sur l'autre.

L'influence de l'occupation est peu marquée sur les concentrations de formaldéhyde avec des variations en moyenne annuelle de l'ordre de 10 %. Elle modifie par contre la façon dont le formaldéhyde varie au cours de la journée. Son influence est plus importante sur les particules et caractérisée par un ratio O/U moyen (rapport de la concentration en présence sur la concentration en absence d'occupants) variant de 1 pour les particules fines et ultrafines à 4 pour les plus grosses particules. L'occupation modifie également le ratio I/E moyen (rapport de la concentration en présence sur la concentration en absence d'occupants) pour les plus grosses particules d'environ 3 en absence d'occupants à 10 en leur présence. Le fonctionnement de l'imprimante dans l'espace de bureau pendant les périodes d'occupation contribue en grande partie à cet impact.
Les pratiques d'ouvertures des fenêtres varient essentiellement selon le mois de l'année et d'une année sur l'autre. L'ouverture des fenêtres permet de diminuer de façon modérée la concentration intérieure en formaldéhyde en moyenne d'environ 20 % pour une fenêtre ouverte jusqu'à 40 % pour plus de 3 fenêtres ouvertes. Le ratio I/E diminue de 5 (fenêtres fermées) à 3-4 (fenêtres ouvertes). Néanmoins, en 2014 l'ouverture d'une fenêtre est associée en moyenne à une augmentation de la concentration de 10 %. L'influence de l'ouverture des fenêtres n'est donc pas systématique et dépend d'autres facteurs. Elle est en général plus marquée en absence d'occupants que durant les périodes de présence.

L'impact de l'ouverture des fenêtres sur la concentration de particules est également fonction de la présence des occupants. Il peut se décliner de trois façons selon la taille de particules :

- Pour les plus fines particules (0,35 µm), la concentration intérieure reste systématiquement inférieure à la concentration extérieure et en moyenne du même niveau quelle que soit la présence des occupants ou l'ouverture des fenêtres. Le ratio O/F moyen est de l'ordre de 1,2 et le ratio I/E se maintient à 0,5 quelle que soit la présence des occupants. La présence comme l'ouverture des fenêtres viennent finalement très peu perturbés les variations de cette gamme de particules.

- Pour les particules de diamètre intermédiaire (2,5 µm), la concentration intérieure est en moyenne du même ordre en absence ou en présence des occupants pour un même état d'ouverture des fenêtres. De ce fait, l'influence de l'occupant sur la concentration de cette gamme de taille intervient surtout au travers de son action sur les ouvrants et très peu du fait de sa présence.

- L'impact de l'ouverture des fenêtres est moins prononcé pour les plus grosses particules (12,5 µm notamment), sauf lorsque l'ensemble des fenêtres sont ouvertes. L'ouverture des fenêtres ne vient pas diminuer la concentration intérieure de ces particules, mais au contraire l'augmenter. Le ratio O/F atteint en moyenne 30 en absence d'occupants mais reste autour de 2 en leur présence. Pour cette taille de particules, l'occupant influence plus par sa présence que par son action sur les ouvrants.

Un modèle par arbre de classification CART a cherché à prédire l'ouverture des fenêtres. Il permet de prédire à plus de 98 % sur une année les situations où au moins une fenêtre est ouverte à partir des données calendaires et climatiques intérieures et extérieures, et de la présence des occupants et de l'état de la porte d'accès. Les performances du modèle se dégradent lorsqu'il est utilisé pour prédire les situations de fenêtre ouverte d'une autre année. L'association d'évènements qui ont conduit à l'ouverture d'une fenêtre une année n'est pas complètement transposable l'année suivante. Il nécessite encore quelques améliorations pour pouvoir être couplé à un modèle de prévision des concentrations.
Le calcul de l'exposition moyenne sur l'année des occupants de l'espace de bureau a été déterminé par différentes méthodes soit basé sur le capteur de mouvement, soit intégré sur une durée de 8 h, 24 h ou 5 jours. Il montre que l'erreur associée à la non-prise en compte des périodes d'occupation est négligeable dans le calcul de l'exposition annuelle au formaldéhyde. Pour les particules, elle conduit toutefois à une surestimation des particules les plus fines de 10 % à 20 % et par contre une forte sous-estimation des plus grosses particules jusqu'à 70 % et donc par conséquent à une modification notable du profil granulométrique. Cela peut induire des erreurs dans l'interprétation des expositions à certaines substances particulaires comme les composés organiques semi-volatils, issues d'analyses de fractions particulaires collectées sans tenir compte des périodes d'occupation et des activités qui en dépendent.

A partir des données recueillies, il a été possible d'estimer le taux de renouvellement d'air durant chaque épisode de décroissance de la concentration de CO₂ par une méthode automatisée de calcul. Bien que parcellaire, car ne prenant pas en compte les périodes de présence des occupants correspondant à une production de CO₂, cette démarche a permis d'appréhender la variabilité de ce renouvellement d'air au cours du temps. Alors qu'il est stable autour de 0,4 h⁻¹ avec 40 % de variation en période nocturne, il atteint en moyenne 1,5 h⁻¹ entre 08h00 et 20h00 mais avec des variations plus importantes avec une amplitude pouvant être supérieure à 5. Le renouvellement d'air est en général plus faible lorsque la porte d'accès est ouverte. L'effet de l'ouverture de la porte sur le renouvellement d'air disparaît lorsque les fenêtres sont ouvertes. Il n'est significatif qu'à partir du moment où les fenêtres sont fermées. L'influence de l'ouverture des fenêtres reste par contre systématique quel que soit l'état de la porte.

La variabilité du renouvellement d'air associée à celle de l'occupation et à celle de l'ouverture des fenêtres nous montre que les pratiques des occupants sont au cœur de l'évolution de la concentration des polluants dans l'air intérieur. Pour déterminer cette évolution en situation réelle d'occupation, il est primordial de renseigner la variabilité du renouvellement d'air qui représente la fonction de transfert de matière entre les deux compartiments intérieur et extérieur, et de coupler cette information avec les variations des paramètres climatiques.

Un exercice similaire a été entrepris pour estimer le dépôt des particules. Mais, la méthodologie employée pour ces premiers travaux est à revoir.

L'influence des paramètres climatiques a été abordée au travers du croisement des données observées selon la présence des occupants et l'ouverture des ouvrants au regard de la vitesse et de la direction du vent. Cette dernière est très peu prise en compte dans l'exploitation des données de paramètres intérieurs alors qu'elle peut permettre d'expliquer certaines variations observées. Les concentrations élevées en formaldéhyde sont par exemple associées à des directions du vent particulières qui varient selon l'ouverture des fenêtres. Pour les particules, les directions de vent associées aux concentrations les plus élevées varient en fonction de la taille des
particules. Ces travaux soulignent la nécessité de déconvoluer la contribution des différents paramètres qui parfois évoluent de manière conjointes aux mêmes périodes.

Différentes méthodes de séparation des sources ont donc été utilisées pour extraire les différentes sources de fluctuations et estimer leur contribution. Ces méthodes ont principalement été utilisées sur les données de particules mesurées dans l'espace de bureau, mais également dans d'autres environnements comme la maison expérimentale ou un bureau individuel situés dans le même cadre. Quatre différentes méthodes ont été comparées : l'ACI (analyse par composantes indépendantes), la NMF (non-negative matrix factorization), la PMF (positive matrix factorization) et l'ACP (analyse par composantes principales). Les composantes ou facteurs identifiées représentent autant de sources de fluctuations séparées. Les composantes peuvent être interprétées en termes de contributions variables selon le diamètre des particules, mais également en termes de fluctuations ou d'occurrence au fil du temps.

Ces premiers travaux montrent la similitude des différentes méthodes pour séparer à l'aveugle les sources contributives au niveau de particules observé dans un environnement intérieur. L'ACP classique n'offre pas le même confort d'interprétation que les autres méthodes.

Pour autant, séparer n'est pas identifier. Sans informations extérieures, les facteurs extraits restent difficilement identifiables autrement que par l'observation de fluctuations caractéristiques d'un processus particulier. Après leur extraction, une seconde phase d'exploitation doit donc être menée pour rechercher les associations avec d'autres phénomènes observés.

Un modèle de mélange gaussien a été appliqué à la distribution des concentrations de formaldéhyde mesurées dans la maison expérimentale pour séparer les sources. La méthode permet de distinguer les différentes densités de distributions qui contribuent à la distribution globale observée. Elle distingue deux processus, l'un centré sur un mode à 11 ppb et l'autre centré sur 16 ppb. Les hypothèses sur la forme des distributions et surtout le manque d'informations sur les fluctuations temporelles rendent difficiles l'interprétation des processus identifiés.

Pour prédire les concentrations observées de formaldéhyde, une première approche a été d'utilisée un modèle de régression linéaire simple basées sur les autres données observées en particulier les données calendaires, climatiques intérieures et extérieures et celles relatives à l'occupation et aux ouvrants. Tout comme le modèle prédictif de l'ouverture, ce modèle restitue des prédictions convenables pour l'année en cours, mais insuffisants pour restituer les variations observées les autres années.

Pour faire de la prévision, ce type de modèle n'est pas optimal car il nécessite de disposer des mesures et surtout des prévisions de chacun des paramètres entrant dans le modèle pour permettre de prédire à chaque instant futur la concentration du formaldéhyde. Les prévisions des paramètres climatiques extérieures existent et pourraient être utilisées. Ceux de l'environnement intérieur pourraient également être
estimés à partir des prévisions extérieures. Mais la présence, les activités et l'état des ouvrants nécessitent le développement de modèles de prévision spécifiques.

A des fins de prévision de l'évolution de la concentration, il est dès lors plus intéressant de se pencher sur des modèles ne requérant qu'un minimum de connaissances, à savoir un historique des mesures de concentration enregistrées au préalable sans introduire d'informations complémentaires (par exemple des données climatiques ou d'autres mesures de polluants). Ce type de prévision va chercher à exploiter les propriétés intrinsèques à la dynamique des séries temporelles.

Un modèle de prévision hybride a été développé en couplant un processus de décomposition spectrale de la concentration mesurée dans le temps par plusieurs FFT successives avec un modèle de prévision autorégressif à seuil (FFT/SETAR) ou un modèle basé sur la théorie des systèmes dynamiques (FFT/Chaos). L'horizon de prévision obtenu dans ces conditions est d'une dizaine d'heures.

Lorsque la saisonnalité de la concentration est suffisamment marquée, une décomposition saisonnière associée à un modèle autorégressif simple (STL/ARIMA) peut suffire et conduire selon le niveau de bruit de la saisonnalité à des horizons de prévision de plusieurs dizaines d'heures.

Une plus grande connaissance de la structure temporelle de l'évolution des paramètres dans les environnements intérieurs est nécessaire pour optimiser la paramétrisation de ces modèles.

L'utilisation de variable exogène observée ou prédite comme l'ouverture des fenêtres dans des modèles autorégressifs non-linéaires de type NARX est actuellement à l'étude.

Bien que ce projet utilise des technologies parfois délicates à mettre en œuvre, ce qui se ressent notamment lors de l'étape fatidique de validation des données, il montre l'opportunité offerte par l'enregistrement conjoint de données de diverses origines pour mieux comprendre la dynamique de l'évolution des polluants dans des environnements intérieurs réels en présence des occupants.

Il serait nécessaire de poursuivre cette même approche d'observation sur le long terme dans d'autres environnements intérieurs. Chacun ayant sa spécificité, les résultats obtenus dans l'un ne sont pas complètement transposables dans un autre où l'occupation et les pratiques d'ouverture des fenêtres diffèrent.

Un aspect nécessiterait d'être développé pour approfondir ces analyses. Il s'agit de la possibilité de suivre en temps réel les propriétés de surfaces des matériaux notamment les variations des émissions de composés organiques volatils dont le formaldéhyde. Cela permettrait de mettre plus en évidence les interactions matériaux-environnement très peu caractérisées dans les environnements réels.
Le bâtiment numérique, la multiplication des objets connectés et surtout les nouvelles technologies de capteurs vont permettre par l'observation de croiser des données d'origines variées dans leur dimension temporelle et ainsi de mieux comprendre le processus à l'origine des fluctuations observées, de prévoir et d'anticiper les situations à risques, d'utiliser cette connaissance pour optimiser leur gestion en adaptant les pratiques d'ouverture des ouvrants extérieurs et intérieurs, en modifiant les scénarios de ventilation selon ces pratiques et la présence des occupants ou encore en temporisant certaines activités en fonction des conditions extérieures.

Bien sûr, cela nécessitera d'avoir foi dans les données observées et donc qu'elles soient un minimum validées pour permettre leur exploitation. Le gestionnaire du bâtiment le plus à même d'être récepteur de ces données, si ce n'est l'occupant lui-même, aura-t-il l'expertise suffisante pour valider ces données ? Devra-t-il passer par un tiers ? La validation est sans doute le principal frein aujourd'hui, en dehors de la disponibilité des technologies à grande échelle, et certainement la protection des libertés (car toute mesure reste intrusive), au déploiement de ces réseaux d'observations dans le bâtiment.

Notre étude a finalement cherché à montrer avec un minimum de paramètres mesurés comment traiter cette masse d'informations collectées au fil du temps et avec quels outils disponibles, comment la qualité de l'air dépend d'autres facteurs tous rattachés au temps et comment cette structure temporelle des données peut nous aider à mieux comprendre la QAI pour mieux la prédire. L'homme y joue un rôle central en perturbant les relations existantes entre les différents paramètres. Mieux comprendre son comportement, c'est mieux comprendre notre environnement et la manière dont il évolue. Nous en avons dévoilé finalement qu'une petite partie dans le cadre de ce rapport tant les possibilités d'exploitation de ces données restent nombreuses en les croisant ou non avec d'autres données disponibles.

Nous pensons également avoir montré l'intérêt de suivre de manière expérimentale les évènements propres au comportement des occupants de leur simple présence à l'ouverture des ouvrants ou à certaines de leurs activités comme l'utilisation d'une imprimante par la mesure de ses impulsions électriques.

Pour finir, il existe encore trop peu d'études qui ont exploré la dimension temporelle de la qualité de l'air dans les environnements intérieurs. Nous en sommes encore à la photographie ou au court-métrage, mais aucun film ne nous permet d'appréhender vraiment l'environnement dans lequel nous passons le plus de temps et comment il interagit au fil du temps avec l'extérieur et comment nous interagissons au jour le jour avec lui.
# 6 Valorisations

## 6.1 Articles :

IONESCU A. (2013), Prévision statistique des concentrations de particules dans l'air : tour d'horizon des principaux outils mathématiques, Pollution atmosphérique, n° 217, [En ligne], mis à jour le : 16/04/2013, URL : http://lodel.irevues.inist.fr/pollution-atmospherique/index.php? id=873

OUARET R., IONESCU A., PETREHUS V., CANDAU Y., RAMALHO O. (2016), Spectral Band Decomposition Coupled with Nonlinear Models for Indoor Formaldehyde Concentration Forecasting, Environmetrics, soumis.

## 6.2 Communications :

OUARET R., IONESCU A., RAMALHO O., PETREHUS V., CANDAU Y. (2014), Caractérisation et identification de la variabilité temporelle des sources de particules dans un environnement intérieur : approche statistique, 29ème Congrès Français sur les Aérosols, Paris, 22-23 janvier 2014, 6 p.

OUARET R., IONESCU A., RAMALHO O., PETREHUS V., CANDAU Y. (2014), Identification des sources de variabilité des niveaux de polluants par analyse en composantes indépendantes et par estimation de mélange des données de l'air intérieur, Journées Interdisciplinaires de la Qualité de l'Air, Villeneuve d'Ascq, 10-11 février 2014, Paris, 18 p.

OUARET R., IONESCU A., RAMALHO O., CANDAU Y., PETREHUS V. (2014), Forecasting indoor pollutants concentrations using Fast Fourier Transform (FFT) and Regime Switching Models, ITISE 2014, International work-conference on Time-Series analysis, June 25-27 2014, Granada (Spain), Vol. 1, 52-63.

OUARET R., IONESCU A., RAMALHO O., CANDAU Y., PETREHUS V., LABAT L. (2014), Modelling the time fluctuation of indoor air formaldehyde concentrations: variability structure identification and forecasting using non-linear models, Proc. Indoor Air 2014, July 7-12 2014, Hong Kong, Vol. V, 321-328.

OUARET R., IONESCU A., RAMALHO O., CANDAU Y., GEHIN E., PETREHUS V. (2014), Analysis of the temporal variability of indoor particulate matter concentrations using Blind Source Separation methods: a comparative study, International Aerosol Conference 2014, Aug. 28 – Sep. 2, 2014, Busan, South Korea, poster.

OUARET R., IONESCU A., PETREHUS V., CANDAU Y., RAMALHO O. (2016), Forecasting particulate matter concentrations in an indoor environment, 22nd European Aerosol Conference, Tours (France), September 4th - 9th 2016, Poster. (accepted)

OUARET R., IONESCU A., PETREHUS V., CANDAU Y., RAMALHO O. (2016), Particulate matter variability sources in an open-plan office: comparison of two monitoring campaigns, 22nd European Aerosol Conference, Tours (France), September 4th - 9th 2016, Poster. (accepted)
# 7 Références

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CSTB
le futur en construction

## Le futur en construction

Établissement public au service de l'innovation dans le bâtiment, le CSTB, Centre Scientifique et Technique du Bâtiment, exerce quatre activités clés : la recherche et expertise, l'évaluation, la certification et la diffusion des connaissances, organisées pour répondre aux enjeux de la transition énergétique dans le monde de la construction. Son champ de compétence couvre les produits de construction, les bâtiments et leur intégration dans les quartiers et les villes.

Avec plus de 900 collaborateurs, ses filiales et ses réseaux de partenaires nationaux, européens et internationaux, le groupe CSTB est au service de l'ensemble des parties prenantes de la construction pour faire progresser la qualité et la sécurité des bâtiments.