# Kreivumo teorija atraminių elementų erdvėje $Y_n$

Jolita PAKALNYTĖ, Algimantas Pranas URBONAS (VPU)
el. paštas: urbonas@vpu.lt

## Įvadas

Atraminių elementų erdvų kreivumo teorija buvo sukurta B.Laptevo [2], V. Blizniko [1] ir kitų geometrų. Plačiausi apibendrinimai atlikti V. Blizniko, kuris parodė, kad šių erdvų geometrijai vystyti turi būti duoti du fundamentalieji afininės sieties ir tiesinės sietės objektai.

Šiame darbe mes nagrinėjame atraminių elementų erdvę, kurioje atraminis objektas yra antros eilės diferencialinis geometrinis objektas. Įrodyta, kad šioje erdvėje tiesinės sieties objektas pilnai nusako erdvės geometriją.

## 1. Atraminių elementų erdvė $Y_n$

Tegul $V_n$ yra $n$-matė klasės $C^r$ diferencijuojama daugdara, kurią mes vadinsime baze (arba bazine erdvę). Kiekviename daugdaros $V_n$ taške $x(x^1, x^2, \dots, x^n)$ prijungsime objektą $y_k$. Šį objektą laikysime atraminiu objektu. Pora ($x^i, y_k$) vadinama atraminiu elementu. Gautą atraminių elementų erdvę pažymėsime $Y_n$.

Šioje atraminių elementų daugdaroje nagrinėsime tokias koordinačių transformacijas:

$$ \bar{x}^i = f^i(x^k), \qquad (1.1) $$

iššaukiančias atitinkamą atraminio objekto $y_k$ kitimą:

$$ \bar{y}_i = g_i^k y_k + f_s^k g_{ki}^s, \qquad (1.2) $$

kur

$$ \begin{aligned} f_j^i &= \frac{\partial \bar{x}^i}{\partial x^j}, & f_{jk}^i &= \frac{\partial^2 \bar{x}^i}{\partial x^j \partial x^k}, & \dots \\ g_j^i &= \frac{\partial x^i}{\partial \bar{x}^j}, & g_{jk}^i &= \frac{\partial^2 x^i}{\partial \bar{x}^j \partial \bar{x}^k}, & \dots, & (i, j, k, \dots = 1, 2, 3, \dots, n). \end{aligned} $$

Jeigu erdvėje $Y_n$ duotas diferencialinio-geometrinio objekto $\Gamma_{ij}$ ($\Gamma_{ij} = \Gamma_{ji}$) laukas, kurio komponentės transformacijų (1.1) ir (1.2) atveju kinta pagal taisyklę

$$ \bar{\Gamma}_{ij} = g_i^k g_j^l \Gamma_{kl} - g_{ij}^p y_p - g_{ijp}^s f_s^p - f_{sp}^k g_{ki}^s g_j^p, \qquad (1.3) $$

tai objektas $\Gamma_{ij}(x, y)$ vadinamas tiesine sietimi [1] erdvėje $Y_n$.
## 2. Sietys atraminių elementų erdvėje $Y_n$

Nustatysime vektorinių laukų invariantinių diferenciavimą taip, kad tenzoriaus diferencialas būtų tenzoriumi.

Vektorinio lauko $\xi^i (x, y)$, kurio komponentės kinta pagal dėsnį $\bar{\xi}^i = f_k^i \xi^k$, invariantinių diferencialą nustatysime objekto $\Gamma_{kp}^i$ pagalba, kur

$$ \Gamma_{jk}^i = - \frac{\partial \Gamma_{jk}}{\partial y_i}. \qquad (2.1) $$

Rasime $\Gamma_{jk}^i$ transformacijų dėsnį, jei koordinatės keičiamos (1.1) ir (1.2) dėsniais.

$$ \bar{\Gamma}_{jk} = g_j^q g_k^l \Gamma_{ql} - g_{jk}^p y_p - g_{jp}^r g_k^t f_{rt}^p - f_s^p g_{jkp}^s, $$

$$ \bar{y}_i = g_i^t y_t + f_l^d g_{id}^l, $$

$$ \bar{\Gamma}_{jk}^i = - \frac{\partial \bar{\Gamma}_{jk}}{\partial \bar{y}_i} = -g_j^q g_k^l \frac{\partial \Gamma_{ql}}{\partial y_s} \cdot \frac{\partial y_s}{\partial \bar{y}_i} + g_{jk}^p \cdot \frac{\partial y_p}{\partial \bar{y}_i} = g_j^q g_k^l f_s^i \Gamma_{ql}^s + g_{jk}^p f_p^i, $$

nes

$$ y_i = f_i^t \bar{y}_t + g_l^d f_{id}^l, \qquad \frac{\partial y_s}{\partial \bar{y}_i} = f_s^i. $$

Taigi, $\Gamma_{jk}^i$ yra afininės sieties objektas. Vektorinio lauko $\xi^i (x, y)$ invariantinių diferencialą apibrėšime taip:

$$ D\xi^i = d\xi^i + \xi^k \Gamma_{kp}^i dx^p. \qquad (2.2) $$

Parodysime, kad $D\xi^i$ kinta pagal tenzorinių dėsnį:

$$ \overline{D\xi^i} = f_k^i D\xi^k, $$

$$ \begin{aligned} \overline{D\xi^i} &= d\bar{\xi}^i + \bar{\xi}^k \bar{\Gamma}_{kp}^i d\bar{x}^p \\ &= (f_j^i \xi^j) + (f_s^k \xi^s) (g_k^t g_p^l f_r^i \Gamma_{tl}^r + f_l^i g_{kp}^l) (f_j^p dx^j) \\ &= f_j^i d\xi^j + \xi^j f_{jk}^i dx^k + f_r^i \xi^s \Gamma_{sl}^r dx^l + f_s^k f_l^i g_{kp}^l f_j^p \xi^s dx^j \\ &= f_k^i d\xi^k + f_k^i \Gamma_{ps}^k \xi^p dx^s = f_k^i D\xi^k, \end{aligned} $$

nes

$$ \begin{aligned} \xi^j f_{jk}^i dx^k + f_s^k f_l^i g_{kp}^l f_j^p \xi^s dx^j &= \xi^s f_{sj}^i dx^j + f_s^k f_l^i g_{kp}^l f_j^p \xi^s dx^j \\ &= \xi^s dx^j (f_{sj}^i + f_s^k f_l^i f_j^p g_{kp}^l). \end{aligned} $$
Be to, $\frac{\partial(\sigma_k^i)}{\partial x^j} = 0$, tai $\frac{\partial(f_l^i g_k^l)}{\partial x^j} = f_{lj}^i g_k^l + f_l^i f_j^p g_{kp}^l = 0$.

Padauginus abi paskutinės lygybės puses iš $f_s^k$, turėsime:

$$f_{sj}^i + f_s^k f_l^i f_j^p g_{kp}^l = 0, \quad \text{t.y.} \quad f_{sj}^i + f_s^k f_l^i f_j^p g_{kp}^l = 0.$$

### 3. Pfafo išvestinės

Jeigu $f(x, y)$ yra $C^2$ klasės skaliarinė funkcija, apibrėžta $Y_n$, tai šios funkcijos invariantinio diferencialo tiesinės išraiškos per formas $dx^i$ ir $\theta_k = dy_{ki} + \Gamma_{kij} dx^j$ koeficientai vadinami nagrinėjamos funkcijos Pfafo išvestinėmis.

Rasime šias išvestines.

Kadangi

$$df(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x^i} dx^i + \frac{\partial f}{\partial y_k} dy_k = \left( \frac{\partial f}{\partial x^i} - \frac{\partial f}{\partial y_k} \Gamma_{ks} \right) dx^s + \frac{\partial f}{\partial y_k} \theta_k,$$

tai įvedę pažymėjimus

$$\Gamma_i f = \frac{\partial f}{\partial x^i} - \frac{\partial f}{\partial y_k} \Gamma_{ki},$$

$$\Gamma^k f = \frac{\partial f}{\partial y_k},$$

galėsime užrašyti

$$df(x, y) = \Gamma_i f dx^i + \Gamma^k f \theta_k.$$

$\Gamma_i f$ vadinsime pirmos rūšies išvestine, o $\partial^k f$ – antros rūšies. Jos yra tenzoriai.

Antrųjų pirmos rūšies Pfafo išvestinių alternavimas duoda:

$$2 \Gamma_{[i} \Gamma_{j]} f = \partial^k f R_{ijk}, \quad (3.1)$$

kur

$$R_{ijk} = \frac{\partial \Gamma_{ki}}{\partial x^j} - \frac{\partial \Gamma_{kj}}{\partial x^i} + \frac{\partial \Gamma_{kj}}{\partial y_t} \Gamma_{ti} - \frac{\partial \Gamma_{ki}}{\partial y_t} \Gamma_{tj}. \quad (3.2)$$

**Teorema.** Pirmosios Pfafo išvestinės ir $R_{ijk}$ yra tenzoriai.

**Įrodymas.** Iš skaliarinės funkcijos diferencialo formos invariantiškumo seka

$$df = \Gamma_i^\Gamma f dx^i + \partial^k f \theta_k = \bar{\Gamma}_i f d\bar{x}^i + \bar{\Gamma}^k f \bar{\theta}_k. \quad (3.3)$$
Kadangi (3.3) lygybė nepasikeičia kintant $dx^i$ ir $\theta_k$, tai

$$ \bar{\Gamma}_i f = f_i^j \bar{\Gamma}_j f, \qquad (3.4) $$

$$ \bar{\partial}^k f = g_p^k \bar{\partial}^p f. \qquad (3.5) $$

Tokiu būdu, skaliarinės funkcijos pirmosios Pfafo išvestinės yra tenzoriai.

Parodysim, kad $\bar{\partial}_{[i} \bar{\partial}_{j]} f$ yra tenzorius.

Iš (3.4) gausime:

$$ \begin{aligned} \bar{\partial}_j \bar{\partial}_i f &= g_j^l \bar{\partial}_l \bar{\partial}_i f = g_j^l \left( \frac{\partial}{\partial x^l} \left( \bar{\Gamma}_i^l f \right) - \partial^k \left( \bar{\Gamma}_i^k f \right) \Gamma_{kl} \right) \\ &= g_j^l \left( \frac{\partial}{\partial x^l} \left( g_i^t \bar{\partial}_t f \right) - \partial^k \left( \bar{\Gamma}_i^k f \right) \Gamma_{kl} \right) \\ &= g_{ij}^t \bar{\partial}_i f + g_i^t g_j^l \left( \frac{\partial}{\partial x^l} \partial_t f - \partial^k \partial_t \Gamma_{kl} \right) = g_{ij}^t \bar{\partial}_i f + g_i^t g_j^l \bar{\partial}_l f \bar{\partial}_t f. \end{aligned} $$

Analogiškai gausime:

$$ \bar{\partial}_i \bar{\partial}_j f = g_{ij}^t \bar{\partial}_i f + g_i^t g_j^l \bar{\partial}_i \bar{\partial}_l f. $$

Paėmę skirtumą, gausime:

$$ \bar{\partial}_i \bar{\partial}_j f - \bar{\partial}_j \bar{\partial}_i f = g_i^t g_j^l \left( \bar{\partial}_t \bar{\partial}_l f - \bar{\partial}_l \bar{\partial}_t f \right). \qquad (3.6) $$

Iš formulių (3.4), (3.5) ir (3.6) išplaukia, kad $R_{ijk}$ taip pat tenzorius.

Tenzorius $R_{ijk}$ vadinamas $Y_n$ kreivumo tenzoriumi. Jeigu $R_{ijk} = 0$, tai pirmos rūšies antrosios Pfafo išvestinės yra simetrinės bet kokiai skaliarinei funkcijai. Šiuo atveju tiesinė sietis vadinama plokščia.

## 4. Kovariantinės išvestinės ir Riči tapatybės

Formulę (2.2) galima perrašyti tokiu būdu:

$$ D\xi^i = \nabla_k \xi^i dx^k + \nabla^k \xi^i \theta_k, \qquad (4.1) $$
kur

$$ \nabla_k \xi^i = \partial_k \xi^i + \xi^p \Gamma^i_{pk}, \qquad (4.2) $$

$$ \nabla^k \xi^i = \partial^k \xi^i. \qquad (4.3) $$

Dydžiai $\nabla_k \xi^i$ ir $\nabla^k \xi^i$ vadinami pirmos ir antros rūšies kovariantinėmis išvestinėmis. Analogiškai apibrėžiamos ir bet kokių tenzorių kovariantinės išvestinės.

$$ \text{Pvz.: } \nabla_k T^i_j = \partial_k \Gamma^i_j + T^p_j \Gamma^i_{pk} - \Gamma^p_j \Gamma^i_{jk}. $$

**Teorema.** Kovariantinės išvestinės $\nabla_k \xi^i$ ir $\nabla^k \xi^i$ yra tenzoriai.

*Įrodymas.* Kadangi $D\xi^i$, $dx^k$ ir $\theta_k$ yra tenzoriai, tai

$$ D\bar{\xi}_i = f_k^i D\xi^k, \\ d\bar{x}^k = f_l^k dx^l, \qquad (4.4) $$

$$ \theta_k = g_k^i \theta_i, \qquad (4.5) \\ \bar{\nabla}_k \bar{\xi}^i d\bar{x}^k + \bar{\nabla}^k \bar{\xi}^i \bar{\theta}_k = f_l^i (\nabla_k \xi^l dx^k + \nabla^k \xi^l \theta_k). $$

Įstačius į šią formulę atitinkamas (4.4) ir (4.5) išraiškas, gausime:

$$ \bar{\nabla}_k \bar{\xi}^i d\bar{x}^k + \bar{\nabla}^k \bar{\xi}^i \bar{\theta}_k = f_l^i g_k^l \nabla_t \xi^l d\bar{x}^k + f_l^i f_t^k \nabla^t \xi^l \bar{\theta}_k. $$

Kadangi šios išraiškos turi būti patenkintos bet kokiems $d\bar{x}^k$ ir $\bar{\theta}_k$, tai

$$ \bar{\nabla}_k \bar{\xi}^i = f_l^i g_k^l \nabla_t \xi^l, \qquad (4.6) $$

$$ \bar{\nabla}^k \bar{\xi}^i = f_l^i f_t^k \nabla^t \xi^l, \qquad (4.7) $$

kas ir įrodo teoremą.

Kovariantinių vektorinio lauko antrosios eilės išvestinių alternavimas padeda gauti apibendrintas Riči tapatybes.

Kadangi

$$ \nabla_k \xi^i = \partial_k \xi^i + \xi^p \Gamma^i_{pk}, \qquad (4.8) $$

kur

$$ \partial_k \xi^i = \frac{\partial \xi^i}{\partial x^k} \quad \text{ir} \quad \partial^k \xi^i = \frac{\partial \xi^i}{\partial y_k}, $$
tai

$$
\begin{align*}
\nabla_l (\nabla_k \xi^i) &= \partial_l (\nabla_k \xi^i) + \nabla_k \xi^s \Gamma_{sl}^i - \nabla_s \xi^i \Gamma_{kl}^s \\
&= \partial_l (\nabla_k \xi^i) - \partial^t (\nabla_k \xi^i) \Gamma_{tl} + \left( \partial_k \xi^s + \xi^p \Gamma_{pk}^s \right) \Gamma_{sl}^i - \nabla_s \xi^i \Gamma_{kl}^s \\
&= \partial_l (\partial_k \xi^i - \partial^v \xi^i \Gamma_{vk} + \xi^p \Gamma_{pk}^i) - \partial^t (\partial_k \xi^i - \partial^v \xi^i \Gamma_{vk} + \xi^p \Gamma_{pk}^i) \Gamma_{tl} \\
&\quad + (\partial_k \xi^s - \partial^u \xi^s \Gamma_{uk} + \xi^p \Gamma_{pk}^s) \Gamma_{sl}^i - \nabla_s \xi^i \Gamma_{kl}^s \\
&= \partial_l \partial_k \xi^i - \partial_l \partial^v \xi^i \Gamma_{vk} - \partial_l \Gamma_{vk} \partial^v \xi^i + \partial_l \xi^p \Gamma_{pk}^i + \xi^p \partial_l \Gamma_{pk}^i \\
&\quad - (\partial^t \partial_k \xi^i - \partial^t \partial^v \xi^i \Gamma_{vk} - \partial^v \xi^i \partial^t \Gamma_{vk} + \partial^t \xi^p \Gamma_{pk}^i + \partial^t \Gamma_{pk}^i \xi^p) \Gamma_{tl} \\
&\quad + (\partial_k \xi^s - \partial^u \xi^s \Gamma_{uk} + \xi^p \Gamma_{pk}^s) \Gamma_{sl}^i - \nabla_s \xi^i \Gamma_{kl}^s \\
&= \partial_l \partial_k \xi^i - \partial_l \partial^v \xi^i \Gamma_{vk} - \partial^v \xi^i \partial_l \Gamma_{vk} - \partial^t \xi^p \Gamma_{pk}^i \Gamma_{tl} - \xi^p \partial^t \Gamma_{pk}^i \Gamma_{tl} + \partial_k \xi^s \Gamma_{sl}^i \\
&\quad - \partial^u \xi^s \Gamma_{uk} \Gamma_{sl}^i + \xi^p \partial_l \Gamma_{pk}^i - \partial^t \partial_k \xi^i \Gamma_{tl} + \xi^p \Gamma_{pk}^s \Gamma_{sl}^i + \partial^v \xi^i \partial^t \Gamma_{vk} \Gamma_{tl} \\
&\quad + \partial^t \partial^v \xi^i \Gamma_{vk} - \partial^u \xi^s \Gamma_{uk} \Gamma_{sl}^i - \nabla_s \xi^i \Gamma_{kl}^s.
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\nabla_k (\nabla_l \xi^i) &= \partial_k \partial_l \xi^i - \partial_k \partial^v \xi^i \Gamma_{vl} - \partial^v \xi^i \partial_k \Gamma_{vl} - \partial^t \xi^p \Gamma_{pl}^i \Gamma_{tk} \\
&\quad - \xi^p \partial^t \Gamma_{pl}^i \Gamma_{tk} + \partial_l \xi^s \Gamma_{sk}^i - \partial^u \xi^s \Gamma_{ul} \Gamma_{sk}^i + \xi^p \partial_k \Gamma_{pl}^i - \partial^t \partial_l \xi^i \Gamma_{tk} \\
&\quad + \xi^p \Gamma_{pl}^s \Gamma_{sk}^i + \partial^v \xi^i \partial^t \Gamma_{vl} \Gamma_{tk} + \partial^t \partial^v \xi^i \Gamma_{vl} - \partial^u \xi^s \Gamma_{ul} \Gamma_{sk}^i - \nabla_s \xi^i \Gamma_{lk}^s.
\end{align*}
$$

Alternuojant pagal indeksus *k* ir *l*, gausime:

$$
\begin{align*}
-2\nabla_{[k} \nabla_{l]} \xi^i &= \nabla_l \nabla_k \xi^i - \nabla_k \nabla_l \xi^i \\
&= \xi^p (2\partial_{[l} \Gamma^i_{|p|k]} - 2\partial^t \Gamma^i_{p[k} \Gamma^i_{|t|l]} + 2\Gamma^i_{s[k} \Gamma^s_{|p|l]}) \\
&\quad -2\nabla_s \xi^i \Gamma^s_{[kl]} - \partial^t \xi^i (\partial_l \Gamma_{tk} - \partial_k \Gamma_{tl} - \partial^v \Gamma_{tk} \Gamma_{vl} + \partial^v \Gamma_{tl} \Gamma_{vk}).
\end{align*}
$$

Tokiu būdu,

$$2\nabla_{[l} \nabla_{k]} \xi^i = \xi^p R_{plk}^i - 2\nabla_s \xi^i R_{sl}^s - \partial^t \xi^i R_{tlk}, \quad (4.9)$$

kur

$$R_{plk}^{i} = 2 \left( \partial_{[l} \Gamma_{|p|k]} - \partial^{t} \Gamma_{p[k}^{i} \Gamma_{|t|l]} + \Gamma_{s[k}^{i} \Gamma_{|p|l]} \right), \quad (4.10)$$

$$R_{kl}^{q} = \Gamma_{[kl]}^{q} \qquad (4.11)$$

ir

$$R_{tlk} = 2 (\partial_{[l} \Gamma_{|t|k]} + \partial^v \Gamma_{t[l} \Gamma_{|v|k]}). \quad (4.12)$$

Tenzorius $R_{kl}^q$ vadinamas erdvės $Y_n$ sukimo tenzoriumi, o tenzorius $R_{plk}^i$ – tos pačios erdvės afininės sieties kreivumo tenzoriumi.

Lygybės (4.9) yra erdvės $Y_n$ Riči tapatybės.
## 5. Geodezinės kreivės erdvėje $Y_n$

Bet kokios kreivės

$$ \begin{cases} x^i = x^i(t) \\ y_k = y_k(t) \end{cases}, \quad 0 \le t \le 1, \qquad (5.1) $$

erdvėje $Y_n$ liestinės vektorius $\tau$ turi pavidalą

$$ \tau = \tau^i e_i + \tau_k e^k, \quad \text{kur } \tau^i = \frac{dx^i}{dt}, \quad \tau_k = \frac{dy_k}{dt} + \Gamma_{kl} \frac{dx^l}{dt}. $$

**Apibrėžimas.** Kreivė (5.1) vadinama horizontaliąja, jei $\tau_k = 0$, t.y.

$$ \frac{dy_k}{dt} + \Gamma_{kl} \frac{dx^l}{dt} = 0. \qquad (5.2) $$

**Apibrėžimas.** Erdvės $Y_n$ kreivę (5.1) vadinsime geodezine kreive, jeigu ji horizontali ir jos liestinės vektorius kovariantiškai pastovus (kovariantinė išvestinė lygi nuliui).

Šios kreivės yra Finslerio erdvės kvazigeodezinių kreivių analogai [1]. Akivaizdu, kad erdvės $Y_n$ geodezinės kreivės yra sprendiniai sistemos

$$ \begin{cases} \frac{d^2 x^i}{dt^2} + \Gamma^i_{lp} \frac{dx^l}{dt} \frac{dx^p}{dt} = 0, \\ \frac{dy_k}{dt} + \Gamma_{kl} \frac{dx^l}{dt} = 0. \end{cases} \qquad (5.3) $$

Iš čia seka, kad per duotą atraminių elementą ($x_0^i, y_k^0$) duotąja horizontaliąja kryptimi $\tau_0^i$ eina vienintelė geodezinė kreivė. Pastebėsim, kad (5.3) diferencialinių lygčių sistema priklauso tik nuo afininio sąryšio $\Gamma^i_{jk}$ objekto simetriškosios dalies. Be to, ši sistema yra invariantsiška transformacijų $\bar{x}^i = \bar{x}^i(x^i)$, $\bar{y}_k = \bar{y}_k(y_k, f_j^i, f_{jp}^i)$ atžvilgiu. Parametrą $t$ galima keisti tiesiškai su koeficientais $a$ ir $b$:

$$ \tilde{t} = at + b. $$

Jeigu visos nagrinėjamos funkcijos yra $C^\omega$ klasės, tai (5.3) sistemos sprendinių, tenkinantį pradines sąlygas

$$ t = 0, \quad x^i = x_0^i, \quad y_k = y_k^0, \quad \frac{dx^i}{dt} = \tau_0^i, $$

galima parašyti laipsninių eilučių pavidalu. Laipsniškai diferencijuodami (5.3) lygybes pagal $t$, gausime tas eilutes. Tada turėsime tokią lygybių seką:

$$ \frac{d^a x^i}{dt^a} + \Gamma^i_{i1} \dots \Gamma^i_{ia} \frac{dx^{i1}}{dt} \dots \frac{dx^{ia}}{dt} = 0, \qquad (5.4) $$

$$ \frac{d^{a-1} y_k}{dt^{a-1}} + \Gamma_{k i_1 \dots i_{a-1}} \frac{dx^{i_1}}{dt} \dots \frac{dx^{i_{a-1}}}{dt} = 0, \quad (a = 3, 4, \dots), \qquad (5.5) $$
kur

$$
\begin{align}
\Gamma_{i_1 \dots i_{a+1}}^i &= \partial_{(i_1} \Gamma_{i_2 \dots i_{a+1})}^i - a \Gamma_{(i_1 \dots i_{a-1}}^i \Gamma_{i_a i_{a+1})}^l - \partial^p \Gamma_{(i_1 \dots i_a}^i \Gamma_{p | i_{a+1})}, \\
\Gamma_{k i_1 \dots i_{a+1}} &= \partial_{(i_1} \Gamma_{k | i_2 \dots i_{a+1})} - a \Gamma_{k l | (i_1 \dots i_{a-1}} \Gamma_{i_a i_{a+1})}^l - \partial^p \Gamma_{k (i_1 \dots i_a} \Gamma_{p | i_{a+1})}.
\end{align}
$$

Tokiu būdu, (5.3) sistemos sprendinys yra tokio pavidalo:

$$
x^i = x_0^i + \tau_0^i t - \sum_{a=2}^{\infty} \frac{1}{a} \left( \overset{o}{\Gamma}_{i_1 \dots i_a}^i \tau_0^{i_1} \dots \tau_0^{i_a} \right) t^a,
$$

$$
y_k = y_k^0 - \sum_{a=0}^{\infty} \frac{1}{a} \left( \overset{o}{\Gamma}_{k i_1 \dots i_a} \tau_0^{i_1} \dots \tau_0^{i_a} \right) t^a,
$$

kur

$$
\overset{o}{\Gamma}_{i_1 \dots i_a}^i = \Gamma_{i_1 \dots i_a}^i |_{t=0}, \quad \overset{o}{\Gamma}_{k i_1 \dots i_a} = \Gamma_{k i_1 \dots i_a} |_{t=0}.
$$

Bazinėje erdvėje $V_n$ atliksim tokį koordinačių pakeitimą $x \rightarrow \bar{x}$:

$$
x^i = x_o^i + \bar{x}^i - \sum_{a=2}^{\infty} \frac{1}{a} \Gamma_{i_1 \dots i_a}^{o} \bar{x}^{i_1} \bar{x}^{i_a}.
$$

Naujoje koordinačių x̄ sistemoje lygybės (5.7) turės paprastą pavidalą:

$$
\bar{x}^i = \tau_o^i t. \tag{5.9}
$$

Taigi, eilučių (5.8) ir

$$
y_k = y_k^0 - \sum_{a=1}^{\infty} \frac{1}{a} \Gamma_{k i_1 \dots i_a}^0 \bar{x}^{i_1} \dots \bar{x}^{i_a} \quad (5.10)
$$

konvergavimo srityje per duotą atraminį elementą (x<sub>o</sub><sup>i</sup>, y<sub>k</sub><sup>o</sup>) kryptimi τ<sub>o</sub><sup>i</sup> eina tik viena horizonta-
lioji geodezinė kreivė. Koordinačių sistemą, kurioje (5.3) sistemos sprendinys turi (5.9) ir (5.10)
pavidalą, vadinsime normaliaja koordinačių sistema, atitinkančia pradinę koordinačių sistemą ir
duotą atraminį elementą.

Literatūra

[1] В.И. Близникас, К теории кривизны пространства опорных элементов, *Liet. Matem. Rink.*, **1**(5),
9–24 (1965).

[2] Б.Л. Лаптев, Ковариантный дифференциал и теория дифференциальных инвариантов в пространстве тензорных опорных элементов, Уч. зан. Казанского ун-та, 4(118), 75–147 (1958).
# La géométrie de l'espace des éléments d'appuis $Y_n$

J.Pakalnytė, A.P. Urbonas

L'espace $Y_n$ des éléments d'appuis dont un élément d'appui est un objet du deuxième ordre. On développe la théorie de courbure de cet espace à connexion linéaire et on trouve des courbes géodésiques.