SUR LES SUITES DE FONCTIONS APPROXIMATIVEMENT CONTINUES ET CONTINUES PRESQUE PARTOUT

PAR

ZBIGNIEW GRANDE (ELBLĄG)

Soit $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels. Etant donnée une famille $\mathcal{X}$ de fonctions réelles d'une variable réelle, désignons par $B_1(\mathcal{X})$ la famille des fonctions qui sont les limites des suites de fonctions de la famille $\mathcal{X}$ convergentes en chaque point $x \in \mathbb{R}$. Soient $\mathcal{C}$ la famille des fonctions continues, $P$ — la famille des fonctions continues presque partout relativement à la mesure de Lebesgue et $A$ — la famille des fonctions approximativement continues. Dans son article [3] Preiss a démontré que $B_1(A) = B_2(C)$, où $B_2(C) = B_1(B_1(C))$. Dans l'article [2] Mauldin a donné la caractérisation suivante de la famille $B_1(P)$:

THÉORÈME 0 ([2], Theorem 3). *Pour qu'une fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ appartienne à la famille $B_1(P)$, il faut et il suffit qu'elle satisfasse à la condition suivante:*

(a) — il existe une fonction $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de première classe de Baire et un ensemble $Y \subset \mathbb{R}$ du type $F_\sigma$ et de mesure lebesguienne zéro tels que

$$ \{x \in \mathbb{R}: f(x) \neq g(x)\} \subset Y. $$

Dans cette communication je démontre que

$$ B_1(C) \subsetneq B_1(A \cap P) \subsetneq B_1(A) \cap B_1(P). $$

THÉORÈME 1. Si une fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ appartient à la famille $B_1(A \cap P)$, alors elle satisfait à la condition suivante:

(b) — étant donnés deux nombres réels $a$ et $b$ tels que $a > b$, si des ensembles non-vides

$$ U \subset \{x \in \mathbb{R}: f(x) > a\} \quad \text{et} \quad V \subset \{x \in \mathbb{R}: f(x) < b\} $$

sont tels que la densité supérieure de la fermeture $Cl(U)$ de l'ensemble $U$ soit positive en chaque point $x \in U$ et la densité supérieure de la fermeture $Cl(V)$ de l'ensemble $V$ soit positive en chaque point $x \in V$, alors $U \notin Cl(V)$ ou $V \notin Cl(U)$.
Démonstration. Supposons par impossible qu'il existe une fonction $f \in B_1(A \cap P)$, deux nombres $a$ et $b$ tels que $a > b$, deux ensembles non-vides $U \subset \{x \in R: f(x) > a\}$ et $V \subset \{x \in R: f(x) < b\}$ tels que $Cl(U) = Cl(V)$, et la densité supérieure de l'ensemble $Cl(U)$ soit positive en chaque point $x \in U \cup V$. Soit

$$ (*) \qquad f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) \quad \text{pour tout point } x \in R, $$

où toutes les fonctions $f_n \in A \cap P$. Fixons un point $x_1 \in U$. Il existe un indice naturel $n_1$ tel que $f_{n_1}(x_1) > a$. La fonction $f_{n_1}$ étant approximativement continue, $x_1$ est un point de densité de l'ensemble $\{x \in R: f_{n_1}(x) > a\}$. La densité supérieure de l'ensemble $Cl(U)$ au point $x_1$ est positive, on a donc

$$ m(Cl(U) \cap \{x \in R: f_{n_1}(x) > a\}) > 0, $$

où $m(Y)$ désigne la mesure lebesguienne de l'ensemble $Y$. La fonction $f_n$ étant également continue presque partout, il existe donc un point

$$ x'_1 \in Cl(U) \cap \{x \in R: f_{n_1}(x) > a\} $$

qui est un point de continuité de la fonction $f_{n_1}$. Par conséquent, il existe un intervalle fermé $I_1$ tel que $x'_1 \in \text{Int}(I_1)$ (l'intérieur de l'intervalle $I_1$) et $f_{n_1}(x) > a$ pour tout point $x \in I_1$.

D'autre part, comme $Cl(U) = Cl(V)$, il existe un point $x_2 \in V \cap \text{Int}(I_1)$. Par conséquent, il existe un indice naturel $n_2 > n_1$ tel que $f_{n_2}(x_2) < b$. La fonction $f_{n_2}$ étant approximativement continue et continue presque partout, il existe un intervalle fermé $I_2 \subset \text{Int}(I_1)$ tel que $f'_{n_2}(x) < b$ pour tout point $x \in I_2$. En procédant par induction, nous définissons une suite d'indices naturels $n_1 < n_2 < \dots$ et une suite d'intervallees fermés $\{I_k\}$ telles que $I_{k+1} \subset \text{Int}(I_k)$ pour $k = 1, 2, \dots$ et $f_{n_{2k-1}}(x) > a$ et $f_{n_{2k}}(x) < b$ pour tout point $x \in I_k$ et $k = 1, 2, \dots$. Par conséquent, il existe un point

$$ x_0 \in \bigcap_{k=1}^{\infty} I_k. $$

On vérifie facilement que la suite $\{f_n(x_0)\}$ n'est pas convergente, contrairement à (*), ce qui achève la démonstration.

**THÉORÈME 2.** $B_1(A \cap P) \subsetneq B_1(A) \cap B_1(P)$.

Démonstration. L'inclusion $B_1(A \cap P) \subset B_1(A) \cap B_1(P)$ est évidente. Posons

$$ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{lorsque } x \text{ est un nombre rationnel,} \\ 0 & \text{lorsque } x \text{ est un nombre irrationnel.} \end{cases} $$

La fonction $f$ est de deuxième classe de Baire, on a donc, en vertu du théorème de Preiss, $f \in B_1(A)$. D'après le théorème 0, $f \in B_1(P)$. D'autre
part, en admettant dans la condition (b) du théorème 1 que $a=3/4$, $b=1/4$, $U$ est l'ensemble des nombres rationnels et $V = R-U$, on en conclut que $f \notin B_1(A \cap P)$.

**THÉORÈME 3.** $B_1(C) \subsetneq B_1(A \cap P)$.

**Démonstration.** L'inclusion $B_1(C) \subset B_1(A \cap P)$ est évidente.

Soient $A \subset R$ un ensemble parfait et non-dense et $\{r_n\} \subset A$ un ensemble dénombrable dense dans $A$ et tel que tous ses points soient des points d'éclaircie de l'ensemble $A$. Posons

$$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{lorsque } x = r_n, n = 1, 2, \dots, \\ 0 & \text{lorsque } x \notin \{r_n\}. \end{cases}$$

Evidemment $f \notin B_1(C)$. Démontrons encore que $f \in B_1(A \cap P)$. Soit $\{J_n^{i,j}\}$, où $i, n = 1, 2, \dots$ et $j = 1, 2, \dots, i$, une famille d'intervalle fermés telle que les conditions suivantes soient satisfaites:

(1) étant fixés $i$ et $j$, la suite $\{J_n^{i,j}\}$ est convergente au sens de la métrique de Hausdorff ([1], p. 106) vers l'ensemble $\{r_j\}$;

(2) étant fixés $i$ et $j$, les intervalles $J_n^{i,j}$ sont disjoints deux à deux;

(3) étant fixés $i$ et $j$, le diamètre de l'ensemble $\bigcup_{n=1}^{\infty} J_n^{i,j}$ ne surpasse pas $1/i$;

(4) étant fixés $i$ et $j$, tout point $r_j$ ($j = 1, 2, \dots, i$) est un point de densité de l'ensemble $\bigcup_{n=1}^{\infty} J_n^{i,j}$;

$$(5) \quad A \cap \bigcup_{i=1}^{\infty} \bigcup_{j=1}^{i} \bigcup_{n=1}^{\infty} J_n^{i,j} = \emptyset;$$

(6) étant fixé $j \le i$,

$$\bigcup_{n=1}^{\infty} J_n^{i+1,j} \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} J_n^{i,j} \quad \text{pour tout } i = 1, 2, \dots;$$

(7) étant fixé $i$,

$$\bigcup_{n=1}^{\infty} J_n^{i,j_1} \cap \bigcup_{n=1}^{\infty} J_n^{i,j_2} = \emptyset \quad \text{pour } j_1 \neq j_2.$$

A chaque intervalle $J_n^{i,j}$ correspond un intervalle fermé $I_n^{i,j} \subset \text{Int}(J_n^{i,j})$ de manière que, quels que soient $i$ et $j$, $r_j$ est un point de densité de l'ensemble $\bigcup_{n=1}^{\infty} I_n^{i,j}$. Posons, pour $i = 1, 2, \dots$,

$$f_i(x) = \begin{cases} 1 & \text{pour } x = r_j, j = 1, 2, \dots, i, \\ 1 & \text{pour } x \in \bigcup_{n=1}^{\infty} I_n^{i,j}, j = 1, 2, \dots, i, \\ 0 & \text{pour } x \notin \bigcup_{n=1}^{\infty} J_n^{i,j} \text{ et } x \neq r_j, j = 1, 2, \dots, i, \\ \text{linéaire} & \text{pour } x \in J_n^{i,j} - I_n^{i,j}, j = 1, 2, \dots, i \text{ et } n = 1, 2, \dots \end{cases}$$
On vérifie facilement que toutes les fonctions $f_i$ sont approximativement continuës et continues presque partout et

$$ \lim_{i \to \infty} f_i(x) = f(x) \quad \text{pour tout point } x \in \mathbb{R}. $$

**PROBLÈME.** La condition (b) du théorème 1 est-elle suffisante pour que $f \in B_1(A \cap P)?$ (P 1023)

TRAVAUX CITÉS

[1] C. Kuratowski, *Topologie I*, Warszawa 1958.

[2] R. D. Mauldin, *σ-ideals and related Baire functions*, Fundamenta Mathematicae 71 (1971), p. 171-177.

[3] D. Preiss, *Limits of approximately continuous functions*, Czechoslovak Mathematical Journal 96 (1971), p. 371-372.

Reçu par la Rédaction le 2. 4. 1976