# Identification de fonction seuils non quadratiques pour la modélisation de l'hydroformage

Patrick Duroux, Mohamed Rachik, Joël Wilsius

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Patrick Duroux, Mohamed Rachik, Joël Wilsius. Identification de fonction seuils non quadratiques pour la modélisation de l'hydroformage. 8e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2007, Giens, France. hal-01495587

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Submitted on 25 Mar 2017

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Identification de fonctions seuils non quadratiques pour la modélisation de l'hydroformage

Patrick Duroux* — Mohamed Rachik** — Joël Wilsius*

*ARCELOR, Centre de Recherche Auto Applications, route de S* Leu, 60160 Montataire, France

patrick.duroux@arcelor.com

joel.wilsius@arcelor.com

**Université de Technologie de Compiègne
Laboratoire Roberval FRE 2833

BP 20529, 60205 Compiègne, France
mohamed.rachik@utc.fr

RÉSUMÉ. La fonction seuil Hill'48 est largement utilisée dans les codes éléments finis car son identification est assez aisée à partir d'essais de traction simples. Cependant, dans le cas de l'hydroformage de tubes, des différences importantes entre simulation et expérience ont pu être notées. Ces écarts montrent que le modèle de Hill décrit mal l'état de traction plane qui est prédominant en hydroformage. C'est pourquoi d'autres fonctions seuil ont été testées. Dans le cadre de ce travail, une méthode d'identification inverse basée sur différents essais expérimentaux représentatifs du procédé d'hydroformage a été utilisée pour déterminer les paramètres des modèles.

ABSTRACT. Hill'48 model is largely used in FE codes because its parameters are easy to identify by using simple tensile tests. However, in the case of tube hydroforming, we noticed important gaps between simulation and experiment. These differences point out that Hill's model doesn't reliably represent some strain states, and particularly plane strain that is predominant in hydroforming. Therefore, investigations were carried out on other yield functions. In this work, a reverse engineering method based on various experimental tests representative of the tube hydroforming process was used to identify the parameters of the constitutive models.

MOTS-CLÉS: Hydroformage, Elastoplasticité, Anisotropie, Identification inverse, Hill, Barlat.

KEYWORDS: Hydroforming, Elastoplasticity, Anisotropy, Inverse Identification, Hill, Barlat.
# 1. Introduction

L'hydroformage de tubes est un procédé de mise en forme de corps creux par déformation à froid d'un tube, droit ou préalablement cintré, par l'action d'un fluide interne sous très haute pression. Cette technique, utilisée depuis peu dans l'industrie automobile, permet de réaliser des formes complexes, tout en permettant de réaliser de l'allègement. La simulation numérique est aujourd'hui utilisée massivement pour concevoir des pièces et vérifier leur formabilité. C'est pourquoi les modèles doivent être précis pour être capable de simuler l'hydroformage, prédire les déformations dans le tube et définir les paramètres optimaux du processus. La fonction seuil Hill'48 (Hill, 1948) est largement utilisée dans les codes éléments finis car son identification est assez aisée. En effet, pour les tôles, les paramètres du modèle Hill'48 peuvent être déterminés moyennant trois essais de traction uniaxiale à 0°, 45° et 90°. Cependant, la simulation d'essais d'hydroformage relativement simples tels que l'expansion libre de tube fait apparaître des écarts importants entre les prédictions du modèle et les mesures. Ces différences sont liées à l'incapacité du modèle Hill'48 à représenter certains modes de déformations tels que la traction large qui est prédominante en hydroformage. Ce procédé de mise en forme étant très sensible aux propriétés mécaniques, le modèle Hill'48 ne convient pas. L'objectif de ce travail est d'évaluer d'autres fonctions seuils telles que les fonctions seuils non quadratiques proposées par Barlat (Barlat et al., 1997). Différentes nuances et différentes fonctions seuils ont été étudiées dans le cadre de ce travail mais les résultats présentés dans cette communication seront limités à une comparaison entre le modèle Hill'48 et le modèle Yld96 et pour une seule nuance d'acier en Arcelor04.

# 2. Procédure d'identification

Lorsqu'on souhaite identifier des modèles de comportement relativement complexes ou lorsqu'on utilise des essais non homogènes, la technique d'identification inverse s'avère bien adaptée. Elle consiste à ajuster les paramètres caractéristiques d'un modèle de comportement pour minimiser les écarts entre les mesures et les prédictions du modèle en utilisant une ou plusieurs réponses mesurées. Le problème ainsi défini se ramène au problème d'optimisation suivant :

$$Min(\phi(p)) = \frac{1}{N_m} \sum_{i=1}^{N_m} r^T Q r \quad [1]$$

$<p> = <p_1,p_2,...,p_n>$ sont les paramètres matériau à identifier, $N_m$ le nombre de cas tests, Q une matrice de pondération utilisée pour tenir compte de la précision des mesures, R = u*-u représente l'écart entre la réponse mesurée et la réponse calculée. Pour des essais non homogènes, la ou les réponses calculées sont le résultat d'une analyse par éléments finis. Dans le cadre de ce travail, les simulations ont été
réalisées avec le code Abaqus tandis que les calculs d'optimisation pour l'identification inverse ont été menés avec le logiciel SiDoLo.

### 3. Description des essais utilisés

Pour les besoins de l'identification, les essais de traction uniaxiale dans les 3 directions (0°, 45° et 90°) ont été menés sur des éprouvettes prélevées dans la tôle, car pour le tube les éprouvettes ne peuvent être prélevées que dans le sens de la longueur du tube (Figure 1). La tôle testée ici est la même que celle qui a servi à fabriquer les tubes. Dans le cas présent, les courbes de traction étant proches, nous avons fait l'hypothèse que les propriétés mécaniques sur tôle et tube sont identiques. Les coefficients de Lankford mesurés sur la tôle sont : r₀=1.592, r₄₅=1.624 et r₉₀=2.207.

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>**Figure 1.** Essai de traction uniaxiale (a) prélèvement d'éprouvette ; (b) courbes de traction de la nuance Arcelor04 (ARCELOR).</figcaption></figure>

Pour caractériser le comportement du matériau lors du processus d'hydroformage, des essais d'éclatement de tubes (bulge tests) avec différentes longueurs libres d'expansion (notées L) ont été réalisés à l'université technique de Darmstadt : L=4xD, 2xD, 1.5xD et 1xD où D est le diamètre extérieur du tube. Lors de ces essais, l'expansion des tubes est contrôlée en volume permettant ainsi d'aboutir à des taux d'expansion importants. L'essai, dont le schéma de principe est présenté sur la figure 2, permet de mesurer la pression interne dans le tube en fonction de l'accroissement de rayon maxi ΔR.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>**Figure 2.** Bulge test (a) schéma du dispositif ; (b) mesures pour la nuance Arcelor04 (ARCELOR).</figcaption></figure>
4. Fonctions seuils étudiées

Pour rendre compte du comportement élastoplastique anisotrope, différentes fonctions seuils ont été proposées. Le modèle le plus populaire est celui de Hill. La fonction $\varphi$ définissant la contrainte équivalente associée à ce modèle dans le cas des contraintes planes est donnée par :

$$ \varphi(\sigma) = \left[ \frac{1}{2} \left( F \sigma_{22}^2 + G \sigma_{11}^2 + H (\sigma_{11} - \sigma_{22})^2 - 6N \sigma_{12}^2 \right) \right]^{1/2} \quad [2] $$

F, G, H et N peuvent être reliés aux limites d'élasticité ($\sigma_0$, $\sigma_{45}$, $\sigma_{90}$ et $\sigma_b$) et/ou aux rapports de Lankford $r_0$, $r_{45}$ et $r_{90}$. Il est à noter que le modèle de Hill est entièrement défini par l'identification des coefficients $r_0$, $r_{45}$ et $r_{90}$. En effet les rapports des contraintes d'écoulement sont directement reliés à ces coefficients. Ceci constitue une insuffisance importante de ce modèle dans le cas général (Butuc *et al.*, 2003) et en particulier dans le cas des nuances d'acier à l'étude qui ont la caractéristique de posséder des limites d'élasticité quasi identiques mais des coefficients de Lankford sensiblement différents. Cette insuffisance a motivé l'investigation du modèle de Barlat Yld96 :

$$ \varphi(\sigma) = \left[ \frac{1}{2} \left( \alpha_3 |S_1 - S_2|^m + \alpha_1 |S_2 - S_3|^m + \alpha_2 |S_3 - S_1|^m \right) \right]^{1/m} \quad [3] $$

$S_1$, $S_2$ et $S_3$ sont les valeurs propres du déviateur modifié.

$$ \begin{Bmatrix} S_{xx} \\ S_{yy} \\ S_{xy} \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{C_2+C_3}{3} & \frac{-C_3}{3} & 0 \\ \frac{-C_3}{3} & \frac{C_1+C_3}{3} & 0 \\ 0 & 0 & C_6 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \sigma_{xy} \end{Bmatrix} \quad [4] $$

Les constantes $\alpha_1$, $\alpha_2$ et $\alpha_3$ sont reliées aux paramètres matériau $\alpha_x$, $\alpha_y$, $\alpha_{z0}$ et $\alpha_{z1}$ par les relations suivantes :

$$ \begin{cases} \alpha_1 = \alpha_x \cos^2 \theta + \alpha_y \sin^2 \theta \\ \alpha_2 = \alpha_x \sin^2 \theta + \alpha_y \cos^2 \theta \\ \alpha_3 = \alpha_{z0} \cos^2 2\theta + \alpha_{z1} \sin^2 2\theta \end{cases} \quad \text{avec } \theta = \arctan \left( \frac{S_1 - S_{xx}}{S_{xy}} \right) \quad [5] $$

Les paramètres matériau intervenant dans le modèle sont m, $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_6$, $\alpha_x$, $\alpha_y$, $\alpha_{z0}$ et $\alpha_{z1}$
## 5. Résultats et discussion

Les deux modèles décrits précédemment sont comparés sur une nuance d'acier Arcelor04. Nous disposons de bulge tests sur tube de diamètre 60 mm et d'épaisseur 1 mm ainsi que des essais de traction uniaxiale sur des éprouvettes prélevées dans la tôle et dans le tube. La loi d'écrouissage du matériau utilisée pour la simulation est représentée par :

$$ \bar{\sigma}(\bar{\varepsilon}^p) = 584 (\bar{\varepsilon}^p + 0.0079)^{0.258} \quad (\text{MPa}) \quad [6] $$

L'anisotropie n'étant pas affectée par le procédé de fabrication du tube, les coefficients de Lankford utilisés pour le tube sont ceux mesurés sur la tôle. Ces coefficients de Lankford sont sensiblement différents alors que les contraintes d'écoulement sont relativement proches (Figure 1(b)). Les simulations des bulge tests et des essais de traction ont été réalisées à l'aide du modèle Hill'48 et comparées aux courbes expérimentales sur la figure 3(a) pour les essais de traction et sur la figure 4(b) pour les bulge tests.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 3.** Comparaison entre les prédictions du modèle de Hill et les mesures (a) essais de traction ; (b) bulge tests.</figcaption></figure>

On constate une différence sensible entre les prédictions et les mesures aussi bien dans le cas des essais de traction que dans le cas des bulge tests. Par ailleurs, lorsqu'on identifie les coefficients de Lankford, on trouve des valeurs quasi identiques pour $r_0$, $r_{45}$ et $r_{90}$. Ceci permet de mettre en évidence les insuffisances du modèle de Hill pour décrire le comportement de la nuance concernée. Pour évaluer l'apport de fonctions seuils non quadratiques, le modèle Yld96 a été intégré dans Abaqus/standard et ses constantes matériau ont été identifiées à partir des mêmes mesures que le modèle de Hill. Les valeurs du jeu de paramètres obtenu sont données dans le tableau 1. Compte tenu de la structure cristallographique de l'acier Arcelor04, le paramètre m a été fixé à 6. La figure 4 représente une comparaison entre les réponses calculées à l'aide du modèle Yld96 et les réponses mesurées pour les essais de traction (a) et les bulge tests (b).
<table><caption>**Tableau 1.** Paramètres du modèle Yld96 identifiés sur 4 bulge tests et 3 essais de traction.</caption><thead><tr><th>C<sub>1</sub></th><th>C<sub>2</sub></th><th>C<sub>3</sub></th><th>C<sub>6</sub></th><th>α<sub>x</sub></th><th>α<sub>y</sub></th><th>α<sub>z1</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>0.872</td><td>0.908</td><td>1.123</td><td>1.002</td><td>0.867</td><td>1.094</td><td>1.030</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 4.** Comparaison entre les prédicitions du modèle Yld96 et les mesures (a) essais de traction ; (b) bulge tests.</figcaption></figure>

A l'examen des résultats, on constate que l'utilisation d'une fonction seuil non quadratique améliore la qualité des prédicitions. Néanmoins, des différences sensibles entre les réponses calculées et les réponses mesurées subsistent. Ces différences sont notamment liées à la différence d'écrouissage entre la tôle et le tube. Pour trancher cette question, des investigations on été menées sur d'autres nuances d'acier en utilisant soit des essais sur tube uniquement soit des essais sur tôle uniquement. Dans ce dernier cas, les essais de traction uniaxiale ont été combinés à des essais Jovignot. De plus, le modèle Yld2000-2d (Barlat et al., 2003) a également été évalué. Les résultats obtenus sont très satisfaisants.

## 6. Bibliographie

* Hill R., «A theory of the yielding and plastic flow of anisotropic metals», *Proc. Roy. Soc. Lond.*, A193, 1948, p. 281-297.

* Barlat F., Lege D. J., Brem J. C., «A six component yield function for anisotropic materials», *Int. J. of Plasticity*, vol. 7, n° 7, 1997, p. 385-401.

* Barlat F., Brem J. C., Yoon J. W., Chung K., Lege D. J., Pourboghrat F., Choi S. H., Chu E., «Plane stress yield function for aluminum alloy sheets – part I: theory», *J. of Material Processing Technology*, vol. 142, n° 3, 2003, p. 714-724.

* Butuc M. C., Gracio J. J., Barata da RochaA., «A theoretical study on forming limit diagrams prediction», *Int. J. of Plasticity*, vol. 7, n° 7, 1997, p. 385-401.