<figure><img src="image_1.png" /></figure>

# Caractérisation du champ de température par ultrasons, Application à la fabrication additive par fusion sur lit de poudre

Marie Palla<fnref n="1" />*, Florian Le Bourdais<fnref n="1" />, Jean-Paul Garandet<fnref n="1" />,<fnref n="2" />,

## Résumé

Les procédés de fabrication additive par fusion laser sur lit de poudre (FLLP) permettent aujourd'hui de fabriquer des composants métalliques à géométrie complexe, aux propriétés performantes. Parmi les différents paramètres impliqués dans le procédé, la température joue un rôle fondamental, car elle contrôle la fusion de la poudre, la solidification et la formation de la microstructure à partir du bain liquide. Différentes techniques existent pour mesurer la température à la surface d'une pièce, comme des mesures par pyromètres ou caméra infra-rouge. Cependant, le champ de température interne reste difficile à estimer par ces méthodes conventionnelles. L'objectif de nos travaux est d'étudier l'évolution du champ de température d'un objet en cours de construction, en proposant une technique de suivi in situ, basée sur la sensibilité des ondes élastiques à la température du milieu de propagation. Un dispositif expérimental a été développé afin de mesurer simultanément des temps de vol en impulsion-écho pendant l'élaboration d'une pièce cylindrique ainsi que températures à l'aide de thermocouples. Un modèle thermique par éléments finis a été développé afin de corréler les variations de temps de vol et de température observées au cours de la fabrication. Dans ce papier, la technique ultrasonore proposée ainsi que les mesures expérimentales réalisées sont exposées. Le modèle et la confrontation de ses résultats aux données expérimentales sont présentés.

## 1. Introduction

### 1.1. La Fabrication Additive

La fabrication additive consiste à construire un objet couche par couche à partir d'un modèle CAO 3D. De nombreux procédés existent, permettant de construire un objet à partir de différents types de matériaux, comme des métaux, céramiques, ou encore des plastiques. Concernant les alliages métalliques, une technique basée sur la fusion laser d'un lit de poudre (FLLP) est très répandue dans l'industrie médicale, pour la construction d'implants ou prothèses, et

dans l'industrie aéronautique, pour la fabrication de turbines à gaz ou échangeurs de chaleur [1]–[3]. Ce procédé est très apprécié pour sa capacité à produire des pièces à géométrie complexe, et aux propriétés matériaux performantes, en terme de densité et de résistance. Il consiste à faire fondre une couche de poudre métallique de manière localisée à l'aide d'un laser. La poudre est déposée sur un plateau de fabrication à l'aide d'un système de pistons et d'un racleur, ou rouleau, qui étale en fine couche la poudre fournie par le bac d'alimentation, comme le montre la Figure 1A. Au passage du laser, la poudre se liquéfie et forme le bain liquide, comme l'illustre la Figure 1B, qui se solidifie ensuite par refroidissement après le passage du faisceau laser. La répétition de ces opérations permet de former la pièce finale.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1: Principe de fabrication par procédé FLLP : A) Dépôt d'une couche de poudre par le racleur dans la zone de fabrication et B) Fusion de la poudre par le faisceau laser, et solidification du bain de fusion</figcaption></figure>

En faisant fondre la poudre, le laser génère un fort gradient de température dans la pièce, et particulièrement autour du bain de fusion. Ce gradient induit une microstructure de la pièce particulière [4], ainsi que des contraintes résiduelles, capables de faire apparaître des déformations de la pièce, jusqu'à la formation de fissures [5]. La quantité de chaleur apportée par le laser, qui dépend principalement de la puissance du laser, de sa vitesse de balayage à la surface du lit de poudre, et de l'absorptivité de la poudre et du bain de

<footnote n="1">¹Université Paris Saclay, CEA, LIST, F-91191 Palaiseau, France;</footnote>

<footnote n="2">²Université Grenoble Alpes, CEA, LITEN, F-38000 Grenoble, France</footnote>

<footnote>*corresponding author, E-mail: marie.palla@cea.fr</footnote>
fusion, peut générer des instabilités type keyhole ou lack of fusion, si elle est respectivement trop élevée, ou trop faible. L'évolution du champ de température interne de la pièce est alors un paramètre qui influence directement la qualité de la pièce fabriquée. Afin d'élaborer des pièces de qualité, et fiables pour une utilisation industrielle, il est important de pouvoir mesurer l'évolution du champ de température interne d'une pièce pendant sa fabrication.

Dans cette optique, plusieurs dispositifs de mesures ont été utilisés pour suivre ce paramètre dans un monitoring in situ. De nombreuses études ont porté sur monitoring du bain de fusion, en termes de dimensions et de température, par l'utilisation de caméra thermique, de pyromètre, et de caméra ultra-rapides [6], [7]. Si les capteurs à rayonnement infra-rouge permettent une mesure de température sans contact, ils nécessitent cependant de connaître l'émissivité de la surface étudiée, qui varie beaucoup au cours de ce procédé, ou d'être calibrés avec précision préalablement [8]. Des thermocouples de type K mesurent la température en un point de contact, mais restent difficile à intégrer dans la pièce. Ces techniques permettent une mesure de température au niveau de la surface de la pièce, ou en certains points, mais non du champ interne. Une possibilité pour atteindre cet objectif d'utiliser les ultrasons, qui présentent l'avantage d'être non invasifs, mais également d'être sensibles aux variations de température.

## 1.2. Ultrasons et température

La propagation d'ultrasons a été l'objet de nombreuses études en vue de la mise au point de techniques de thermométrie [9]–[12]. Cela s'explique par la propriété des ondes acoustiques à voir leur vitesse varier en fonction de la température du milieu de propagation [13], [14]. Dans un matériau solide, selon les gammes de températures observées, la vitesse $v$ des ultrasons varie linéairement en fonction de la température $T$, selon la relation (1). Les coefficients $a > 0$ et $b$ sont généralement déterminés expérimentalement.

$$v(T) = -aT + b \quad (1)$$

Cette particularité a permis de mettre au point des techniques de thermométrie basées sur des mesures de temps de vol par impulsion-écho et l'implémentation de modèles inverses, pour des applications variées. La possibilité de mesurer des temps de vol par technique d'impulsion-écho dans une machine FLLP a de plus été démontrée par Rieder et al. [15], en plaçant un transducteur ultrasonore sous le plateau de fabrication afin de générer et capter des ondes élastiques se propageant dans le plateau puis dans une pièce cylindrique en construction, en configuration de réflexion. Cette technique a initialement été développée, à des fins de détection de porosités, volontairement générées en modifiant la puissance laser.

Notre objectif est d'appliquer cette technique au développement d'une technique de thermométrie par ultrasons. Dans un premier temps, nous proposons

d'effectuer des mesures de temps de vol par impulsion-écho par une méthode similaire à celle de Rieder et al., et de les corréler à des mesures de température surfaciques et ponctuelles, afin d'observer des variations simultanées de ces deux grandeurs. La section 3 détaille la mise en œuvre de cette instrumentation, et expose les résultats expérimentaux obtenus. Un modèle thermique est développé dans un second temps, afin d'associer les variations de temps de vol observé en machine aux variations de température. La section 4 propose une modélisation acousto-thermique du procédé FLLP. Les simulations obtenues pour différents paramètres sont confrontées aux données expérimentales.

## 2. Approche expérimentale de la dynamique thermique dans une machine FLLP

Une machine 3D Systems ProX DMP 320 a été instrumentée afin d'observer des variations de temps de vol causés par des variations de température pendant la fabrication d'un cylindre. Ce cylindre a été fabriqué à partir de poudre d'Inconel 625, de faible diffusivité thermique. Ce cylindre de 25 mm de diamètre et de 100 mm de hauteur a été fabriqué par le dépôt de 1733 couches durant 12h20, à partir des paramètres de fabrication de la Table 1. Afin de limiter les concentrations de contraintes et d'assurer une transition en douceur entre le cylindre et la plaque de fabrication, le diamètre des 65 premières couches a été varié en continu à partir d'une valeur supérieure à celui du cylindre cible, avec une vitesse de balayage de 2000 mm/s.

<table><caption>Table 1 : Paramètres de fabrication sélectionnés pour la fabrication du cylindre</caption><thead><tr><td>Paramètres</td><td>Valeurs</td></tr></thead><tbody><tr><td>Puissance Laser (W)</td><td>254</td></tr><tr><td>Ecart Vecteur (µm)</td><td>100</td></tr><tr><td>Vitesse de scan (mm/s)</td><td>900</td></tr><tr><td>Diamètre Spot Laser (µm)</td><td>60</td></tr><tr><td>Epaisseur de couche (µm)</td><td>60</td></tr></tbody></table>

Il est également important de noter que la détermination des coefficients $a$ et $b$ de la relation (1) a fait l'objet de mesures expérimentales dans une étude préliminaire [16] sur une autre pièce cylindrique fabriquée par la même machine 3D Systems, également à partir d'une poudre d'Inconel 625. La vitesse ultrasonore a été mesurée sur un cylindre de 12 mm de diamètre et de 80 mm de hauteur, chauffé uniformément de 20°C à 100°C, dans une chambre thermique. Pour cette gamme de température, la relation (2) a été déterminée, pour $v$ en m/s et $T$ en °C.

$$v(T) = -0.6T + 5573 \quad (2)$$

### 2.1. Dispositif expérimental

Afin de mettre en évidence des variations de temps de vol ultrasonore induites par des variations de température, différents instruments de mesures sont intégrés dans une
machine FLLP pendant la fabrication de cylindres. La schématise l'instrumentation de la machine. La technique développée par Rieder et al. est adaptée ici, en fixant un transducteur sur la face inférieure du plateau de fabrication, de manière à être aligné avec le cylindre pendant sa fabrication. Un transducteur Panametrics de diamètre 25 mm, et de fréquence de résonance centrée à 5 MHz, générant des ondes longitudinales a été choisi, et fixé à l'aide d'un couplant Sofranel et d'aimants. Les signaux ultrasonores ont été acquis à l'aide d'une carte PicoScope avec une fréquence d'échantillonnage de 52 MHz et une fréquence d'acquisition (Pulse Repetition Frequency) de 10 Hz. Deux thermocouples de type K sont également placés sous le plateau de fabrication, à l'aide d'un aimant, respectivement à 2 et 4,4 cm du centre du transducteur, pour y mesurer la température.

Une caméra thermique FLIR a été placée à l'intérieur de la chambre de construction pour enregistrer la température à la surface de l'échantillon, en utilisant un miroir pour éviter l'exposition directe de la caméra au laser. La fréquence d'enregistrement est de 10 Hz, ce qui permet une moyenne de 258 images par fabrication de couche. Une photodiode Thorlabs a été fixée à côté de la caméra, pour mesurer l'intensité lumineuse à l'intérieur de la chambre de fabrication. L'instrumentation complète est illustrée par la Figure 2.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2: Schéma de l'instrumentation de la machine 3D Systems</figcaption></figure>

Les images enregistrées par caméra thermique sont ensuite traitées par le logiciel de traitement FLIR, afin d'obtenir une température moyennée sur la surface lasée du cylindre à chaque instant de fabrication.

Chaque signal ultrasonore acquis est également traité pour obtenir un temps de vol. Etant donné que les réflexions de l'onde associés à plusieurs allers-retours entre transducteur et sommet du cylindre ne sont pas perceptibles, le temps de vol est calculé à partir du premier écho de l'onde. De multiples méthodes existent et plusieurs ont été testées pour le cas de ces mesures, mais notre choix s'est arrêté sur le calcul de l'enveloppe de l'écho par transformée de Hilbert, avec un fit parabolique autour du maximum de l'enveloppe, afin d'améliorer la précision de mesure de ce temps de vol au delà de la fréquence d'échantillonnage [17]. Cette méthode a été adaptée de la technique développée par Svilainis et al. [18].

Ce temps de vol est ensuite mis en relation avec la température moyennée à la surface de la pièce, mesurée à partir des images de caméra thermique, avec les températures enregistrées par thermocouples, et les temps de lasage relevés par photodiode.

## 2.2. Résultats de mesures et Analyse

La Figure 3 présente les différents enregistrements effectués pendant la construction complète du cylindre. En se concentrant tout d'abord sur les données thermiques, à l'échelle de temps de l'ensemble de la construction, la Figure 3A expose la température moyenne sur la surface de l'échantillon enregistrée par la caméra thermique, qui semble osciller entre des valeurs élevées et basses. Les températures maximales augmentent de 210°C à 490°C, tandis que les températures inférieures augmentent de 50°C à 350°C. Comme indiqué précédemment, les valeurs absolues de température provenant d'une caméra infra-rouge doivent être prises avec précaution, mais pour chaque cycle de fabrication, les valeurs élevées de l'enveloppe correspondent à la fin de la phase de fusion, tandis que les valeurs plus basses sont celles enregistrées à la fin de la phase de refroidissement,

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3: Données acquises pendant la fabrication complète d'un cylindre par: A) caméra thermique, B) thermocouples, C) temps de vol ultrasonore</figcaption></figure>
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4: Données acquises pendant la fabrication de quelque couches du cylindre, par A) caméra thermique, B) thermocouples, C) temps de vol ultrasonore</figcaption></figure>

juste avant la réactivation du laser. Sur la Figure 3B, la température sous la plaque enregistrée par le thermocouple Th 1, le plus proche du transducteur, augmente soudainement jusqu'à atteindre un plateau à 3h, et diminue légèrement pendant le reste du cycle de fabrication. Le thermocouple Th 2, le plus éloigné du transducteur, présente une évolution similaire tout au long de la fabrication, mais avec une amplitude plus faible.

La Figure 3C montre que la tendance de la courbe du temps de vol semble linéaire en première approximation tout au long des constructions. Une légère courbure peut néanmoins être observée en début de fabrication, qui peut être associée aux différents paramètres utilisés dans les 65 premières couches. Cette évolution linéaire globale est cohérente avec la construction des cylindres, dont la hauteur augmente de façon similaire à chaque ajout de couche, avec une vitesse de propagation des ondes constante. Un tel comportement linéaire a également été observé sur les scans enregistrés par Rieder et al. En termes quantitatifs, en supposant que la vitesse des ultrasons est constante dans la direction radiale du cylindre, le temps de vol $t_L$ à l'instant $t$ est donné par la relation (2), avec $L(t)$ la distance entre le transducteur et le sommet du cylindre (y compris l'épaisseur de la plaque), $v$ la vitesse des ultrasons et $z$ la coordonnée le long de l'axe du cylindre.

$$t_L(t) = 2 \int_0^{L(t)} \frac{dz}{v(t, z)} \quad (3)$$

En raison des étapes successives de dépôt de poudre, de fusion et de solidification du processus de fabrication additive, $L(t)$ devrait évoluer en escalier. À l'échelle de temps d'une fabrication entière, les variations en escalier ne sont pas visibles et $L(t)$ se comporte donc, en première approximation, de manière linéaire en fonction du temps de fabrication. Cependant, un tel comportement linéaire observé semble a priori en contradiction avec les données de la caméra IR et des thermocouples, qui montrent des variations de température significatives tout au long de la fabrication.

L'observation de ces données à l'échelle de temps de la couche de construction permet de fournir des informations complémentaires sur la cinétique de chauffage et de refroidissement en plus des données sur les amplitudes discutées précédemment. La Figure 4 montre la température moyenne à la surface de l'échantillon, les températures enregistrées sous le plateau et le temps de vol au début de la fabrication. Les instants où le laser est activé sont représentés par des lignes verticales en tirets, et les instants où le laser est désactivé sont représentés par les lignes verticales en pointillés pour chaque couche.

La Figure 4A montre que la température enregistrée par caméra thermique augmente fortement lorsque le laser est activé, et qu'il diminue entre les cycles de fusion/solidification, dès que le laser est éteint. Les deux discontinuités apparaissent de manière périodique à chaque phase de refroidissement sont dues au passage du racleur. Les données de la Figure 4A confirment que les valeurs élevées de l'enveloppe sont atteintes en fin de phase de lasage, tandis que les valeurs plus faibles sont enregistrées en fin de phase de refroidissement, pour chaque cycle de fabrication. À l'échelle de quelques couches, aucune dérive n'est observable sur les valeurs maximale et minimale du signal, il semble que la température moyenne à la surface de l'échantillon retrouve sa valeur initiale sur une échelle de temps de quelques secondes.

En ce qui concerne les signaux des thermocouples de la Figure 4B, les oscillations sont à peine visibles sur Th 2, qui est situé le plus loin du cylindre, mais significatives sur Th 1, en raison de sa position plus proche par rapport au cylindre. Il est intéressant de noter qu'une petite dérive est observable à la fois sur Th 1 et Th 2, ce qui indique que la température au bas de la plaque de fabrication est sensible à la chaleur accumulée pendant les premières minutes de la fabrication. Il convient également de noter que les oscillations observées sur Th 1 ne sont pas en phase avec les cycles du laser, ce qui est cohérent avec le temps nécessaire à la chaleur pour qu'elle se propage à l'intérieur du cylindre construit et dans le plateau de fabrication.

Comme observé pour la caméra thermique, le signal de temps de vol de la Figure 4C augmente et diminue le long
des cycles du laser. En ce qui concerne les phases d'activation du laser, l'augmentation peut être due à la fois à un changement de géométrie, le matériau ajouté contribuant à la distance à parcourir par les ondes ultrasonores, et à une augmentation de la température due à la chaleur injectée par le laser, selon l'équation (1). Cependant, une fois le cycle de fusion/solidification terminé, la hauteur du cylindre n'évolue pas jusqu'au cycle suivant, de sorte que la diminution du temps de vol dans les phases d'extinction du laser ne peut être attribuée qu'à un refroidissement global du cylindre et du plateau.

Les ajouts de matière peuvent expliquer le fait que, contrairement à ce qui avait été observé sur les données de la caméra thermique, le signal de temps de vol ne retrouve pas sa valeur initiale après chaque étape de construction et présente une évolution globalement linéaire. On peut noter que la diminution du signal de temps de vol se produit tout au long de la phase d'extinction du laser, et n'est pas terminée lorsque le laser reprend au cycle de construction suivant. Le temps de vol étant sensible au champ de température tout au long du trajet de propagation des ultrasons, on peut s'attendre à un temps caractéristique de refroidissement plus long que pour le signal issu de la caméra thermique, qui est représentatif d'une fine couche à la surface de la pièce.

### 3. Modélisation thermique et acoustique

Afin de mieux appréhender l'évolution thermique du procédé FLLP, un modèle thermique a été développé à l'aide du logiciel de simulation thermomécanique Cast3M. La simulation du procédé FLLP a suscité de nombreuses études, en raison de la quantité et la variété des mécanismes physiques intervenant pendant le procédé, et à plusieurs échelles spatiales différentes [4], [19]–[21]. Ce code de calcul a permis de modéliser la géométrie du système étudié, à savoir le plateau de fabrication, ainsi que le cylindre. La poudre située autour du cylindre n'est pas prise en compte, en raison de sa faible conductivité thermique en regard de celle du cylindre dense, qui ne peut donc transférer qu'une quantité minime de chaleur apportée par le laser. La Figure 5 illustre la géométrie construite, ainsi que les différents mécanismes physiques considérés.

L'équation de diffusion de la chaleur (3) est résolue par éléments finis, où $\rho(T)$, $c_p(T)$ et $\lambda(T)$ représentent respectivement la densité, la capacité thermique massique et la conductivité thermique des différents milieux. $q(t)$ représente l'apport de chaleur par le laser par unité de volume, qui est considéré comme uniforme pendant la durée de lasage, uniforme sur toute la surface lasée du cylindre et qui est calculée à partir de la puissance du laser. Cette source volumique est pondérée par l'absorptivité effective $\alpha$ de la poudre puis du bain liquide. Il est

important de noter que ce paramètre est difficile à estimer dans le procédé FLLP, puisqu'il dépend

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 5: Modélisation du procédé FLLP pour la résolution de l'équation de diffusion de la chaleur par éléments finis</figcaption></figure>

de nombreux paramètres, en particulier des caractéristiques du laser utilisé, comme sa longueur d'onde, ou son angle d'incidence, ainsi que des propriétés de la surface, notamment sa rugosité, ainsi que sa température. En pratique, il est peu probable que $\alpha$ soit constant pendant toute la fabrication, ni même pendant la fusion d'une couche de poudre, cependant, étant difficile à estimer, nous le considérerons constant dans un premier temps. Des conditions aux limites de refroidissement sont appliquées sous le plateau de fabrication selon l'équation (5), ainsi qu'à la surface chauffée de la poudre selon l'équation (6), afin de modéliser au mieux les phénomènes de convection et rayonnement qui s'y produisent. A noter que le coefficient d'échange $h_c$ est plus important que le coefficient $h_p$, en raison des mouvements de convection forcée générés par un flux laminaire de gaz inertiel en machine. Des conditions adiabatiques sont considérés sur les autres bords, à savoir aux extrémités du plateau, ainsi que sur la surface radiale du cylindre, et sur la surface supérieure du plateau qui n'est pas en contact avec le cylindre.

$$ \rho(T)c_p(T)\frac{\partial T}{\partial t} + \nabla \cdot (-\lambda(T)\nabla T) = -\alpha \cdot q(t) \quad (4) $$

$$ q_p = -h_p (T - T_\infty) \quad (5) $$

$$ q_c = -h_c (T - T_\infty) \quad (6) $$

L'ajout de matière est un des enjeux les plus importants dans la modélisation du procédé FLLP [22], [23]. Différentes méthodes existent, nous avons choisi dans ce cas-là de générer des nouveaux points du maillage, correspondant à la nouvelle couche de poudre, à l'itération en temps précédent celle de début de lasage. Les nouveaux points du maillage sont construits par extrusion des points de la couche précédente, et leur température initiale correspond à la température ambiante. Un maillage
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Figure 6: Comparaison du modèle pour différentes valeurs de α aux données expérimentales de : A) Caméra thermique, B) Thermocouple Th1 et C) Temps de vol Ultrasonore</figcaption></figure>

tétraédrique est choisi pour calculer le champ de température dans le système complet, avec un élément par couche dans la direction z.

Après calcul du champ de température, le temps de vol de l'onde élastique est calculé à partir du champ solution, et en connaissant la relation (2) entre vitesse et température. La vitesse ultrasonore est calculée en chaque point du système à partir de l'équation (2), puis l'équation (3) est approchée à partir de la formule des trapèzes. Une telle modélisation permet de simuler l'évolution du champ de température dans le plateau et le cylindre, ainsi que l'évolution du temps de vol en fonction du temps de fabrication. Ici, nous présentons des premiers résultats de 3 simulations réalisées pour 3 valeurs différentes de α, avec $h_c = 0 \text{ W.m}^{-1}.\text{K}^{-1}$ et $h_p = 0 \text{ W.m}^{-1}.\text{K}^{-1}$. La température moyennée sur le volume de la couche lasée est comparée aux données de caméra thermique, la température simulée à 2 cm du centre du plateau est comparée à la température enregistrée par le thermocouple Th 1, et les temps de vol expérimentaux et simulés sont confrontés sur la Figure 6.

La Figure 6A montre la confrontation des températures moyennées à la surface. Etant donné que le laser est modélisé comme une source uniforme est constante pendant toute la durée du lasage, ce qui n'est pas représentatif de la réalité puisque la taille du spot laser est très inférieur au diamètre de la surface qu'il balaye, les résultats de simulation ne peuvent être comparés aux mesures expérimentales pendant les phases de chauffage. La Figure 6A montre bien que l'amplitude des températures enregistrées par caméra thermique pendant les phases de chauffage sont plus élevées que les températures simulées, et elles présentent plusieurs pics au cours d'une phase de lasage, sûrement induits par la stratégie de lasage, qui n'est pas prise en compte dans notre modèle. Notre attention se porte donc essentiellement sur les phases de refroidissement, pendant lesquelles la température simulée moyennée à la surface semblent en bonne adéquation avec la température mesurée pour $\alpha = 0.45$, pour les 5 premières couches, puis pour $\alpha = 0.55$, pour les couches suivantes. Malgré l'hypothèse peu probable que le

paramètre $\alpha$ reste constant pendant toute une phase de lasage et pendant toute la fabrication, les dynamiques de refroidissement simulées et mesurées semblent très similaire, excepté pour la première couche, où la température mesurée pendant la phase de lasage est beaucoup plus faible que pour les autres cycles, ce qui peut sûrement être modélisé en choisissant un coefficient $\alpha$ plus faible pour cette première couche.

Concernant les températures ponctuelles simulée et mesurée sous plateau à la Figure 6B, les températures simulées pour différentes valeurs de $\alpha$ sont légèrement plus élevées que la température mesurée en machine. De plus, un décalage entre les pics de chaleur simulés et expérimentaux est observé, également pour les 3 valeurs de $\alpha$. Cela pourrait s'expliquer par le fait que les températures enregistrées par thermocouples ont été enregistrées avec une carte d'acquisition différente que les données de photodiode, qui ont permis de relever les temps de cycle de lasage. Cela peut d'ailleurs se remarquer au premier temps de fabrication, où la température expérimentale sous plateau augmente dès le premier instant de lasage, alors que la diffusion de la chaleur prend un certain temps pour se propager du haut du cylindre vers le bas du plateau, ce qui est d'ailleurs visible sur les températures simulées. Néanmoins, les variations de température simulée au cours d'une couche semblent se rapprocher des variations de température mesurée pour la valeur $\alpha = 0.65$. Cette valeur est plus élevée que celles observées sur la Figure 6, mais les résultats présentés ici ont été calculés pour des coefficients $h_c = 0 \text{ W.m}^{-1}.\text{K}^{-1}$ et $h_p = 0 \text{ W.m}^{-1}.\text{K}^{-1}$. En prenant un coefficient $h_p$ non nul, une valeur de $\alpha$ plus faible permettrait sûrement d'observer des variations de température simulées au cours d'une couche plus proches de celles mesurées expérimentalement.

Enfin, la Figure 6C expose les temps de vol mesurés en machine avec ceux calculés à partir du modèle proposé, pour différentes valeurs de $\alpha$. Le résultat majeur de cette confrontation est l'observation des temps de vol calculés, qui augmentent pendant les phases de lasage, et diminuent pendant les cycles de refroidissement, de la même façon que les temps de vol expérimentaux. On peut alors affirmer
que l'évolution du champ de température a une influence non négligeable sur l'évolution du temps de vol au cours d'une couche. L'observation des simulations pour les valeurs différentes de $\alpha$ le montre : plus le coefficient $\alpha$ est élevé, donc plus l'apport de chaleur est important pendant les phases de lasage, plus le temps de vol augmente fortement pendant ces phases-là. Les trois temps de vol calculés semblent revenir à la même valeur en fin de cycle de refroidissement, avant chaque reprise du cycle de lasage représenté en tirets. Cette valeur est d'ailleurs plus élevée à chaque couche, traduisant l'effet de la construction du cylindre sur le temps de vol. Pour aller plus loin, on remarque tout de même que les temps de vol simulés augmentent de manière plus importante à chaque couche que le temps de vol expérimental. Cela peut s'expliquer par le fait que durant les 7 premières couches, la hauteur de poudre déposée en machine, et donc la hauteur de matériau ajoutée n'est pas la même en raison de la compacité de la poudre [24]. Cette hauteur se stabilise après les 10 premières couches autour de la valeur définie de la Table 1. Les temps de vol simulés semblent d'ailleurs se rapprocher des temps de vol mesurés au bout de 15 couches. De plus, on peut constater que les dynamiques de refroidissement des temps de vol simulés sont moins importantes que celles mesurées expérimentalement. A ce stade, plusieurs paramètres peuvent influencer cet aspect, dont les paramètres $h_c$ et $h_p$, mais également la relation (2). En effet, les coefficients de la relation entre vitesse et température ont été déterminés expérimentalement à partir d'une pièce cylindrique similaire à celle fabriquée en machine, mais non identique. De plus, le plateau de fabrication étant composé d'acier Toolox, cette relation peut en réalité être différente, ce qui peut expliquer que les variations de temps de vol simulés diffèrent encore des temps de vol mesurés en machine. Néanmoins, ces premiers résultats permettent de mettre en évidence des variations de temps de vol générées par une évolution du champ de température dans un procédé FLLP.

Afin d'améliorer l'adéquation entre mesures expérimentales et modèle, une étude paramétrique du modèle est envisagée, afin de déterminer la valeur des paramètres $\alpha$, $h_c$ et $h_p$, qui permettent de traduire au mieux les mesures expérimentales. Pour cela, la définition de fonctions coûts entre grandeurs simulées et mesurées est envisagée, ainsi que leur minimisation en fonction de ces paramètres, notamment pendant les phases de refroidissement. Une seconde mesure de la relation (2) est également envisagée à partir du cylindre nouvellement fabriqué, en vue d'observer des variations de temps de vol calculés au cours d'une couche plus représentatives des mesures de temps de vol en machine.

## 4. Conclusions

Dans l'optique de développer une technique de thermométrie par ultrasons, des mesures de temps de vol en mode impulsion-écho sont réalisées dans une machine FLLP 3D Systems ProX, pendant la construction d'une pièce cylindrique en Inconel 625. Des signaux ultrasonores

ont été acquis en appliquant la méthode développée par Rieder et al., basée sur la fixation d'un transducteur sous le plateau de fabrication. Des instruments de mesure de température ont également été installés sous le plateau, ainsi que dans l'enceinte de la machine, afin de mettre en évidence des variations de température en fonction des multiples apports de chaleur par le laser. Le temps de vol calculé à partir des signaux ultrasonores acquis présente des variations en fonction de la construction du cylindre, mais également en fonction des variations de température à l'intérieur de celui-ci.

Afin de quantifier ces variations, un modèle thermique et ultrasonore a été développé. Des premiers résultats ont été confrontés aux mesures expérimentales. La modélisation proposée du procédé FLLP ne permet pas de rendre compte des variations de température moyennée à la surface lasée pendant les périodes où le laser balaye la surface du lit de poudre, en raison du choix de l'hypothèse d'un apport de chaleur uniforme et constant pendant toute la période de lasage. Cependant, la comparaison des résultats simulés et mesurés pendant les phases de refroidissement montre un potentiel certain du modèle proposé. La modélisation du temps de vol montre que celui-ci présente bien des variations en fonction de l'évolution du champ de température, qui semblent être en accord avec les temps de vol mesurés expérimentalement.

Une première perspective évidente du présent travail serait d'optimiser le modèle thermique et ultrasonore proposé, en déterminant les valeurs des paramètres fondamentaux permettant de rendre compte des dynamiques de refroidissement, en terme de température mais aussi en terme de temps de vol. Pour cela, la définition de fonctions coûts entre grandeurs simulées et mesurées est envisagée, ainsi que leur minimisation en fonction de certains paramètres, notamment le coefficient d'absorption du laser, ainsi que des coefficients d'échanges thermiques permettant le refroidissement du plateau de fabrication.

Parallèlement, une amélioration de la qualité des données de temps de vol est envisagée, notamment par la mise en place de procédure permettant un alignement précis du transducteur avec le cylindre en vue d'augmenter le rapport signal/bruit des données acquises, ainsi qu'une amélioration de l'acquisition, par un moyennage des signaux, et une augmentation de la fréquence d'échantillonnage.

En combinant ces deux aspects, le modèle thermique et ultrasonore serait capable de modéliser fidèlement les évolutions simultanées du champ de température et du temps de vol en machine FLLP. L'implémentation d'un modèle inverse permettrait par la suite de pouvoir mesurer le champ de température complet à chaque instant de fabrication, à partir d'une mesure de temps de vol, présentant ainsi un potentiel certain en ce qui concerne la surveillance in situ du champ de température interne d'une pièce en cours de construction dans une machine FLLP, étant donné que les autres techniques actuelles ne permettent qu'une mesure de la température de surface des pièces fabriquées. Étant donné que le champ de
température interne est à la base d'un certain nombre de mécanismes thermomécaniques clés, sa surveillance contribuerait certainement aux procédures permettant la certification de la qualité des pièces imprimées.

## 5. Remerciements

Nous remercions nos collègues de la plateforme Additive Factory Hub, Pierre Lapouge Corinne Dupuy et Socona Traoré pour leur aide très appréciée dans la mise en place des expériences sur l'imprimante 3D Systems ProX DMP 320.

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