# Contribution à la prévision des efforts de contact pneumatique/chaussée pour la réduction du bruit routier

Julien Cesbron¹, Fabienne Anfosso-Lédée¹, Denis Duhamel²,
Honoré Yin², Donatien Le Houédec³

¹ LCPC, 44341 Bouguenais Cedex, France, courriels: julien.cesbron@lcpc.fr, fabienne.anfosso@lcpc.fr

² ENPC - LAMI, 77455 Marne la Vallée Cedex 2, France, courriels: duhamel@lami.enpc.fr, yin@lami.enpc.fr

³ ECN - GeM, 44321 Nantes Cedex 3, France, courriel: Donatien.Lehouedec@ec-nantes.fr

## Résumé

Le bruit de contact pneumatique/chaussée est fortement lié aux forces d'interaction dynamiques entre le pneu et la chaussée. Actuellement, la prévision des efforts de contact est basée sur une formulation analytique du problème en deux ou trois dimensions.

Cet article est consacré au modèle analytique de contact multipoints développé à l'ENPC. La bande de roulement du pneu est modélisée par un massif semi-infini élastique et la surface de la chaussée par un ensemble d'aspérités rigides de formes quelconques. La loi de contact au niveau de chaque pointe est formulée en fonction du volume interpénétré, de l'aire et du périmètre de sa base. Le modèle est tridimensionnel et tient compte de l'interaction des pointes de contact entre elles.

Une validation expérimentale du modèle est effectuée dans le cas du contact statique entre un pavé de gomme et une surface périodique composée de plusieurs pointes sphériques. Les forces et les aires de contact sont mesurées à l'aide du papier Fuji Prescale. La précision du dispositif de mesure a été évaluée au préalable à l'aide de la théorie de Hertz dans le cas d'une bille en acier en contact avec le pavé de gomme.

Les travaux suivants auront pour objectif de valider le modèle pour des échantillons de chaussées réelles d'abord en statique, puis lors du roulement d'un pneumatique.

## Introduction

Le bruit de contact pneumatique/chaussée est aujourd'hui la première source de bruit du trafic routier hors agglomération. Il est fortement influencé par les forces de contact dynamiques générées à l'interface entre la bande de roulement du pneu et la surface rugueuse de la chaussée.

Dès les années 80, Sandberg et Descornet [1] montrent à partir de corrélations statistiques que le niveau de bruit de roulement est lié au niveau de texture de la chaussée. L'INRETS (Klein et al. [2]) a ensuite mis au point une procédure d'enveloppement en deux dimensions permettant de calculer les déformations de la surface du pneu à partir du profil de texture de la chaussée. Un modèle analytique de contact pneu/chaussée en trois dimensions et dans des conditions de roulement a également été développé par Wullens et Kropp [3].

Au cours de sa thèse à l'ENPC, Sameur [4] a proposé une approche analytique multipoints pour modéliser l'interaction pneu/chaussée en trois dimensions. Le but de cet article est de valider ce modèle en mesurant les aires et les pressions de contact pour une configuration simple. Des cas plus complexes seront étudiés par la suite.

## Modèle de contact multipoints

Le modèle analytique de contact multipoints est formulé pour des pointes de formes simples dans la thèse de Sameur [4]. Le problème est ici élargi à des pointes de formes quelconques en utilisant le théorie du potentiel d'interaction de Wilke [4].

### Hypothèses

La bande de roulement du pneu est modélisée par un massif semi-infini élastique parfaitement plan, de module d'Young *E* et de coefficient de Poisson *ν*. La surface de la chaussée est composée de plusieurs pointes de formes quelconques supposées parfaitement rigides. Le frottement entre les surfaces de contact est négligé, ce qui signifie qu'il n'existe pas d'efforts transversaux et que seule la pression normale à l'interface de contact est prise en compte.

Le problème de contact en trois dimensions est d'abord résolu en statique le long de la trace de roulement du pneu pour chaque pas de déplacement $\Delta x$. Les forces de contact dynamiques sont ensuite obtenues à partir des résultats statiques pour chaque pas de temps $\Delta t = \Delta x/V$, où *V* est la vitesse de déplacement du véhicule.

### Loi de contact pour une pointe quelconque

Le contact entre le massif semi-infini élastique et une seule pointe de forme quelconque est décrit à l'aide de la théorie du potentiel d'interaction de Wilke [4]. Lorsqu'une charge normale *P* est appliquée en amont du massif semi-infini, sa surface se déforme au contact de la pointe. La déformation normale au niveau du sommet de la pointe est appelée interpénétration et notée $\delta$.

La relation entre *P* et $\delta$ est appelée loi de contact. Elle est calculée à partir du potentiel d'interaction *U* en utilisant l'équation (1), où *c* est une constante qui dépend de la forme de la pointe et $\Omega$, $\Sigma$ et $\Gamma$ sont des fonctions de $\delta$ et
correspondent respectivement au volume interpénétré, à l'aire et au périmètre de sa base.

$$P(\delta) = \frac{\partial U(\delta)}{\partial \delta} \quad \text{où} \quad U(\delta) = c \frac{8\pi^{\frac{3}{4}}}{15} \frac{E}{1-\nu^2} \frac{\Omega^2}{\Sigma^{\frac{7}{4}}} \quad (1)$$

Le modèle a été validé de façon analytique et expérimentale pour une pointe sphérique ou conique par Sameur [4]. La constante c est égale à 0,36 pour une sphère et 0,45 pour un cône, ce qui signifie que sa valeur influence peu la loi de contact.

## Formulation du problème multipoints

Lorsque le massif semi-infini entre en contact avec une surface composée de N pointes quelconques, la charge totale appliquée P se répartit en N forces normales $P_i$ appliquées au sommet $M_i$ de chaque aspérité (Figure 1).

Les forces $P_i$ sont déterminées en utilisant le potentiel d'interaction $U_i$ (équation (1)). L'interpénétration locale $\delta_i$ au point $M_i$ est calculée à partir de l'interpénétration totale $\delta_0$, de la hauteur $H_i$ du sommet et du déplacement $u_i = \sum T_{ij}P_j$ dû aux forces existant aux autres points de contact $M_j$. Les coefficients d'interaction $T_{ij}$ sont calculés en utilisant la théorie de Boussinesq [5] pour une force normale ponctuelle appliquée en surface d'un massif semi-infini élastique.

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Figure 1: Contact entre le massif semi-infini élastique et plusieurs pointes rigides de formes quelconques.</figcaption></figure>

Le problème multipoints se résume à un système (2) de N équations non-linéaires à N inconnues $P_i$. Il est résolu en utilisant la méthode itérative de Newton-Raphson.

$$\forall i \in [1, N], \quad P_i = \frac{\partial U_i}{\partial \delta} (\delta_0 - H_i - \sum_{j=1}^{N} T_{ij} P_j) \quad (2)$$

Les aires de contact et la distribution de pression au niveau de chaque pointe sont ensuite calculées à partir des forces $P_i$.

## Validation expérimentale pour un problème de contact simple

L'objectif de cette partie est de valider le modèle multipoints à partir de la mesure des forces et des aires de con-

tact en quasi-statique, pour une configuration de contact simple entre un pavé de gomme et une surface périodique composée de pointes sphériques.

## Dispositif expérimental

Le pavé de gomme est un parallélépipède carré de 140 mm de côté et 20 mm de hauteur. Le module d'Young $E = 5,25$ MPa de la gomme a été estimé à partir d'un essai de compression pure et son coefficient de Poisson $\nu$ est supposé égal à 0,5.

La surface périodique est constituée de 25 billes de roulement dépolies en acier, toutes à la même hauteur et de même rayon $R = 5$ mm. La disposition des billes est illustrée Figure 2.

Les deux corps sont mis en contact en utilisant une presse de traction-compression (Figure 2). La charge normale P est mesurée au cours des essais.

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 2: Surface périodique et dispositif expérimental pour les essais de contact.</figcaption></figure>

## Mesure des forces et des aires de contact

Les forces et les aires de contact sont mesurées à l'aide des papiers Fuji Prescale LLW et LLLW placés à l'interface de contact. Ce type de papier est constitué de microbulles d'encre qui éclatent lorsqu'elles sont soumises à un chargement. Plus la pression appliquée est importante et plus la teinte de l'empreinte obtenue est foncée. Chaque papier a une gamme de sensibilité donnée. Le papier LLW permet de mesurer des pressions comprises entre 0,5 et 2,5 MPa. Il est bien adapté pour la mesure des forces de contact mais moins précis pour les aires. Au contraire, le papier LLLW est sensible aux pressions comprises entre 0,2 et 0,6 MPa et sature donc très vite. En revanche, il permet de mesurer la quasi-totalité des aires de contact.

La précision du papier Fuji a été évaluée à l'aide de la théorie de Hertz [6] dans le cas du contact entre une bille en acier et le pavé de gomme. Les différences entre expérience et théorie sont dans ce cas inférieures à 6 %, en considérant un module d'Young équivalent $E = 6,54$ MPa du massif semi-infini lorsque le papier est ajouté à l'interface.
**Méthode de mesure des forces de contact** Les forces de contact sont mesurées à l'aide du papier Fuji LLW. Le niveau de gris moyen de l'empreinte obtenue pour chaque pointe est d'abord calculé. Il est ensuite converti en pression moyenne en utilisant une courbe d'étalonnage, établie en suivant les recommandations de Liggins *et al.* [7]. Les forces de contact $P_i$ sont alors calculées en multipliant la pression moyenne par l'aire de contact apparente, elle-même évaluée à partir du nombre de pixels ayant réagi. Les forces mesurées sont ensuite comparées à celles données par le modèle multipoints. Un exemple de résultat est donné Figure 3 pour une charge totale $P = 419$ N.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 3:** Comparaison entre les forces mesurées et les forces théoriques pour $P = 419$ N.</figcaption></figure>

**Méthode de mesure des aires de contact** Les aires de contact sont mesurées à l'aide du papier Fuji LLLW. Pour chaque pointe, le rayon de l'aire de contact apparente, noté $a_s$, est estimé à partir de l'approximation de l'empreinte en niveau de gris par une ellipse (Haddadnia *et al.* [8]). Les rayons mesurés sont ensuite comparés aux rayons théoriques, calculés à partir des forces $P_i$ en utilisant localement la théorie de Hertz. Un exemple de résultat est donné Figure 4 pour une charge totale $P = 500$ N.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 4:** Comparaison entre les rayons mesurés et les rayons théoriques pour $P = 500$ N.</figcaption></figure>

## Résultats

Les forces de contact et les rayons des aires de contact ont été mesurés à l'aide du papier Fuji et comparés au modèle multipoints dans quatre cas de charge, pour $P$ variant entre 289 N et 500 N. Les pourcentages d'erreur moyens $\bar{\varepsilon}_P$ et $\bar{\varepsilon}_a$, respectivement pour les forces et les rayons, ainsi que leurs écart-types $\Delta\bar{\varepsilon}_P$ et $\Delta\bar{\varepsilon}_a$ sont calculés pour chaque cas envisagé. Les résultats sont donnés dans le Tableau 1.

<table><caption>**Tableau 1:** Résultats pour les quatre cas de charge étudiés.</caption><thead><tr><th>P (N)</th><th>ε̄<sub>P</sub> (%)</th><th>Δε̄<sub>P</sub> (%)</th><th>ε̄<sub>a</sub> (%)</th><th>Δε̄<sub>a</sub> (%)</th></tr></thead><tbody><tr><td>289</td><td>5,6</td><td>± 5,8</td><td>5,1</td><td>± 3,9</td></tr><tr><td>355</td><td>7,3</td><td>± 5,1</td><td>4,4</td><td>± 3,3</td></tr><tr><td>419</td><td>8,0</td><td>± 5,4</td><td>3,5</td><td>± 3,0</td></tr><tr><td>500</td><td>8,8</td><td>± 6,8</td><td>2,4</td><td>± 1,9</td></tr></tbody></table>

Les différences entre les mesures et la théorie sont inférieures à 10 % pour les rayons de contact, ce qui est très acceptable. En revanche, les différences peuvent dépasser 10 % pour les forces de contact, ce qui peut s'expliquer par l'étalonnage difficile du papier LLW, qui introduit de fortes incertitudes. Ce problème doit être approfondi pour pouvoir valider le modèle multipoints de façon plus fiable.
## Conclusion

Le modèle analytique de contact multipoints est formulé pour le contact entre un massif semi-infini élastique et plusieurs pointes de formes quelconques. Il est validé expérimentalement du point de vue des aires de contact pour une surface périodique composée de pointes sphériques. En revanche, les résultats pour les forces de contact sont moins satisfaisants.

Des études complémentaires doivent être menées pour valider le modèle multipoints. À cet effet, l'utilisation d'un dispositif de mesure plus fiable, tel que l'appareil Tekscan, est envisagée. Le modèle multipoints pourra également être comparé à un modèle aux éléments finis.

Les travaux futurs seront consacrés à la validation du modèle pour des configurations plus complexes, d'abord en statique puis dans des conditions de roulement. Le modèle pourra être développé pour tenir compte notamment de la géométrie du pneu et de la visco-élasticité de la gomme.

## References

[1] U. Sandberg and G. Descornet. Road surface influence on tire/road noise. Dans *Proceedings of the 9th International Conference on Noise Control Engineering (Internoise 80)*, pages 1-16, Miami, Florida, 8-10 décembre 1980.

[2] P. Klein, J-F. Hamet, and F. Anfosso-Lédée. An envelopment procedure for tire/road contact. Dans *Surf 2004 - Symposium AIPCR sur les caractéristiques de surface de chaussée*, Toronto, Juin 2004.

[3] F. Wullens and W. Kropp. A three-dimensional contact model for tyre/road interaction in rolling conditions. *Acta Acustica united with Acustica, 90* (2004), 702-711.

[4] A. Sameur. *Modèle de contact pneumatique/chaussée pour la prévision du bruit de roulement*. Thèse de doctorat, École Nationale des Ponts et Chaussées, 2004.

[5] J. Boussinesq. *Application des potentiels à l'étude de l'équilibre et du mouvement des solides élastiques*. Paris, Gauthier-Villars, 1885.

[6] H. Hertz. Über die Berührung fester elastischer Körper (On the contact of elastic solids). *J. Reine und Angewandte Mathematik, 92* (1882), 156-171.

[7] A. B. Liggins, J. C. E. Stranart, J. B. Finlay, and C. H. Rorabeck. Calibration and manipulation of data from Fuji pressure-sensitive film. Dans *Experimental Mechanics - Technology Transfer between High Tech Engineering and Biomechanics, Éd. E. G. Little*, pages 61-70. Elsevier Science Publishers B. V., 1992.

[8] J. Haddadnia, M. Ahmadi, and K. Faez. An efficient feature extraction method with pseudo-Zernike moment in RBF neural network-based human face recognition system. *Eurasip Journal on Applied Signal Processing, 9* (2003), 890-901.