LA FORMULE DE CAUCHY DANS LES ALGÈBRES

PIERRE BONNEAU* AND EMMANUEL MAZZILLI**

(*)Equipe Emile Picard, Institut de Mathématiques, Université Paul Sabatier, 31062 Toulouse Cedex 9 <fnref n="1" />.

(**)Laboratoire Paul Painlevé, Université Nord de France, 59655 Villeneuve-d'ascq <fnref n="2" />.

0. INTRODUCTION.

De nombreux essais de généralisation algébrique de C, en dimensions supérieures, eurent lieu,
au 19° siècle, mais se heurtèrent à de fortes limitations, puisque d'après un théorème de Bott-
Milnor ([BM]) et Kervaire ([K]), l'espace vectoriel Rn possède une opération produit R-bilinéaire
sans diviseur de 0 seulement pour n = 1, 2, 4 ou 8 – et les seules algèbres de division qui sont
associatives sont (à isomorphisme près), d'après le théorème de Frobenius, R, C et l'algèbre H
des quaternions. Nous n'adopterons pas ce point de vue algébrique, ici, mais allons plutôt tenter
d'obtenir des généralisations analytiques de C.

En effet, le succès de C repose, pour beaucoup, sur les propriétés remarquables des fonctions
de C dans C qui sont C-différentiables (les fonctions holomorphes). C'est l'analyse complexe.
Deux façons de l'aborder sont traditionnelles ; ce sont les points de vue de Weierstrass d'une
part, de Cauchy et Riemann d'autre part. C'est ce dernier point de vue que nous essaierons ici
de généraliser. L'outil principal en est la représentation intégrale des fonctions holomorphes. Cet
outil permet une approche particulièrement féconde de l'analyse complexe, dans [R], par exem-
ple. Cauchy et Riemann caractérisent les fonctions holomorphes *f* par certaines conditions, les
conditions de Cauchy-Riemann, qui se traduisent par l'équation $\overline{\partial}f = 0$ où $\overline{\partial}$ est l'opérateur de
Cauchy-Riemann dont les fonctions holomorphes constituent ainsi le noyau. Une solution fonda-
mentale de l'opérateur $\overline{\partial}$ fournit alors une représentation intégrale de la fonction holomorphe *f* à
partir de ses valeurs sur le bord du domaine de définition *D*, c'est la formule (de représentation
intégrale) de Cauchy. On déduit de cette formule de représentation intégrale des propriétés de la
fonction *f* elle même.

Nous avions déjà, dans le cadre de la superanalyse, étudié ainsi, pour une superalgèbre $\Lambda$ les fonctions superdifférentiables (voir [BC1] et [BC2]).

Nous nous proposons, ici, de revenir sur cette question de la représentation intégrale pour des fonctions à valeurs dans une algèbre, fonctions auxquelles nous imposerons certaines conditions du premier ordre que nous appellerons de Cauchy et qui caractériseront le noyau d'un opérateur

<footnote>Date: February 4, 2025.</footnote>

<footnote n="1">¹pierre.bonneau@math.univ-toulouse.fr</footnote>

<footnote n="2">²emmanuel.mazzilli@univ-lille.fr</footnote>
différentiel que nous dirons de Cauchy-Riemann. Nous chercherons dès lors une solution fondamentale de cet opérateur, donc une représentation intégrale des fonctions vérifiant ces conditions de Cauchy. Nous serons ainsi en mesure de démontrer certaines propriétés intéressantes pour ces fonctions.

Le premier paragraphe nous permettra de tester notre méthode pour en déterminer les contraintes, dans un cas trivial et sans intérêt.

Dans le deuxième paragraphe, nous étudierons le cas de conditions de Cauchy-Riemann à coefficients constants. Après avoir considéré le cas général, nous nous intéresserons au cas d'une algèbre commutative et utiliserons les déterminants à valeurs dans $A$. Dans ce second paragraphe, nous donnerons des exemples précis, dans diverses algèbres de dimension 2 ou 4, de classes de fonctions admettant une formule de Cauchy, et démontrerons l'impossibilité d'une telle formule en dimension 3.

Dans le troisième paragraphe, nous expliquerons le cas de l'algèbre des quaternions muni des équations de Cauchy-Fueter qui avait déjà été traité dans [WW1] et [WW2]. Enfin, nous démontrerons les applications classiques dans les algèbres munies d' équations de Cauchy-Riemann admettant des formules de Cauchy pour les fonctions vérifiant ces équations, le théorème de Hartogs ainsi que les solutions à support compact pour les données à support compact.

Dans le dernier paragraphe, nous étudierons, succinctement, le cas où les conditions de Cauchy-Riemann ont des coefficients qui sont des fonctions. Comme au paragraphe précédent, nous envisagerons les cas commutatif et non commutatif.

Comme dans [BC1] et [BC2], nous obtiendrons des contraintes sur l'algèbre $A$ utilisée, et, comme nous l'avions déjà expliqué alors, cela est bien dû à la nature du problème étudié. Si le système des conditions de Cauchy n'est pas elliptique, nous ne pouvons obtenir de formules de représentation intégrale pour la classe des fonctions vérifiant ces conditions.

Pour terminer, nous remarquerons, d'abord, que nous définissons, dans cet article, la singularité du noyau de la formule de Cauchy à l'aide d'une norme euclidienne. Ceci, bien sûr, n'est pas obligatoire, et nous pourrions tout aussi bien utiliser une norme non euclidienne, par exemple la jauge induite par un voisinage de 0, à frontière lisse, mais éventuellement non analytique.

Par ailleurs, nous pouvons aussi remarquer que l'outil essentiel pour établir une formule de Cauchy est le théorème de Stokes. Or il s'agit là d'un outil d'analyse réelle. Cela nous fait présumer que le cadre naturel pour l'étude de classes de fonctions vérifiant une formule de Cauchy n'est pas l'étude de fonctions à valeurs dans une algèbre, mais de fonctions de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}^p$. Nous n'abordons pas cela ici, mais ce sera l'objet d'un prochain article. Enfin, nous renvoyons à un article en préparation pour les formules de représentation des formes et non plus uniquement des fonctions, autrement dit l'équivalent de la formule de Koppelmann en analyse pluri-complexe.

# 1. LE CAS DES FONCTIONS RÉELLES DE VARIABLES RÉELLES.

Notre objectif est donc de généraliser le point de vue de Cauchy-Riemann. Pour étudier l'apport de la méthode proposée, mais aussi les limitations, nous allons d'abord considérer le cas le plus naif, celui où l'algèbre considérée est $\mathbb{R}$ et où la singularité du noyau intégral est fournie par une norme euclidienne. Comme une algèbre de dimension finie $n$ est isomorphe, en tant qu'espace vectoriel, à $\mathbb{R}^n$, les composantes d'une fonction définie sur une puissance d'une algèbre $A$ et à valeurs dans $A$ relèvent de ce cas.
Nous considérons une fonction définie sur un ouvert $D$ de $\mathbb{R}^n$ à bords lisses, $f : D \to \mathbb{R}$ dont les variables seront notées $(x_1, ..., x_n)$, fonction que nous supposons, a priori, de classe $C^1$ (nous verrons, plus loin, que cette hypothèse est inutile) et à laquelle nous imposons $q$ conditions de Cauchy-Riemann d'ordre 1:

$$P_m(\frac{\partial}{\partial x})(f) := \sum_{j=1}^{n} a_m^j \frac{\partial f}{\partial x_j} = 0; \quad m = 1, ..., q; \quad a_m^j \in \mathbb{R}.$$

Nous définissons alors l'opérateur de Cauchy-Riemann $d''$ par:

$$d'' = \sum_{m=1}^{q} dx_m \sum_{j=1}^{n} a_m^j \frac{\partial}{\partial x_j}$$

de sorte que $f$ est dans le noyau de $d''$ si et seulement si elle satisfait les conditions de Cauchy-Riemann.

Si $D$ est un domaine de $\mathbb{R}^n$ borné et à frontière lisse, si $f$ est une fonction continue dans $\bar{D}$, de classe $C^1$ dans $D$ et à valeurs réelles, nous cherchons une représentation intégrale de $f$, c'est-à-dire nous essayons d'écrire

$$f(x) = \int_{\partial D} f(y) K(y, x) - \int_{D} d'' f(y) K(y, x), \quad x \in D \quad (1)$$

Cette représentation intégrale peut s'écrire en termes de courants $d_y'' K(y, x) = [\Delta]_{n-1}$ où $[\Delta]$ est le courant d'intégration sur la diagonale $\Delta = \{(x, x) : x \in D\}$ et $[\Delta]_{n-1}$ est la composante de degré $n-1$ en $y$ de $[\Delta]$ (voir [HP]). Un noyau $K(y, x)$ vérifiant cette dernière égalité est lié à une solution fondamentale de l'opérateur de Cauchy-Riemann $d''$.

Soit $\Psi : \bar{D} \times \bar{D} \to \mathbb{R}^n$ définie par $\Psi(y, x) = y - x$. Alors $[\Delta] = \Psi^*([0])$ où $[0]$ est le courant d'évaluation en $0 \in \mathbb{R}^n$. Donc $d''K = [\Delta]$ s'écrit aussi $d''\Omega = [0]$ si l'on pose $K = \Psi^*\Omega$ (le premier $d''K$ porte sur les deux variables $(x,y)$, $d'' = d_y'' + d_x''$, tandis que le second $d''\Omega$ porte sur la variable $x' = y - x$ que nous noterons $x$).

Nous devons donc chercher $\Omega$ vérifiant $d''\Omega = [0]$ i.e. une solution fondamentale de $d''$.

Notons $dV = dx_1 \wedge dx_2 \wedge \dots \wedge dx_n$, et $\widehat{dx_m} = dx_1 \wedge dx_2 \wedge \dots \wedge dx_{m-1} \wedge dx_{m+1} \wedge \dots \wedge dx_n$. Nous cherchons cette solution fondamentale $\Omega$ sous la forme:

$$\Omega = \frac{1}{\|x\|^n} \sum_{m=1}^{q} (-1)^{m-1} \widehat{dx_m} \sum_{j=1}^{n} b_m^j x_j = \frac{1}{\|x\|^n} \sum_{m=1}^{q} (-1)^{m-1} \widehat{dx_m} Q_m(x) = \sum_{m=1}^{q} (-1)^{m-1} \widehat{dx_m} \Omega_m. \quad (2)$$

Hors de 0, $\Omega$ est lisse, et, par un calcul direct:

$$\begin{aligned} d''\Omega &= \frac{1}{\|x\|^{n+2}} \left[ \|x\|^2 \sum_{m=1}^{q} \sum_{j=1}^{n} a_m^j b_m^j - n \sum_{m=1}^{q} \sum_{j,j'=1}^{n} a_m^j b_m^{j'} x_j x_{j'} \right] \\ &= \frac{1}{\|x\|^{n+2}} \left[ \|x\|^2 \sum_{m,j} a_m^j b_m^j - n \sum_{m,j} a_m^j b_m^j x_j^2 - n \sum_{m,j<j'} (a_m^j b_m^{j'} + a_m^{j'} b_m^j) x_j x_{j'} \right]. \end{aligned} \quad (3)$$

La nullité, hors de 0, de $d''\Omega$ s'écrit:

$$\left\{ \begin{array}{l} \sum_{m=1}^{q} a_m^j b_m^j = \frac{1}{n} \sum_{m=1}^{q} \sum_{j=1}^{n} a_m^j b_m^j; \quad \forall j = 1, \dots, n. \\ \sum_{m=1}^{q} (a_m^j b_m^{j'} + a_m^{j'} b_m^j) = 0; \quad j \neq j'. \end{array} \right. \quad (4)$$
La première ligne dit, tout simplement, qu'il existe une constante $C$ telle que, pour tout $j = 1, ..., n$, on ait $\sum_{m=1}^{q} a_m^j b_m^j = C$. Le système précédent s'écrit donc:

$$ \sum_{m=1}^{q} (a_m^j b_m^{j'} + a_m^{j'} b_m^{j}) = 2C \delta_j^{j'}. \qquad (5) $$

Il reste maintenant à étudier la singularité en 0. De façon tout à fait analogue au lemme 1 de [BC2], nous démontrons que si $\varphi$ est une fonction test, alors $<d''\Omega, \varphi> = nC\varphi(0).Vol(B(0,1))$. Si nous choisissons $C = [nVol(B(0,1))]^{-1}$, nous avons pour $\Omega$ une solution fondamentale de $d''$ et donc une formule de représentation intégrale 1.

La condition 5 s'écrit aussi, en notant $Q_m(x)$ le polynôme $Q_m(x) = \sum_{j=1}^{n} b_m^j x_j$,

$$ \sum_{m=1}^{q} P_m(x)Q_m(x) = C \sum_{j=1}^{n} x_j^2, \qquad (6) $$

ce qui prouve que l'opérateur $d''$ est elliptique s'il admet une solution fondamentale du type 2. En effet, $P_1(x) = ... = P_q(x) = 0$ implique que $x = 0$. Comme nous l'avons annoncé en début de paragraphe, la condition de régularité $C^1$ faite sur $f$ est donc superflue.

Par ailleurs, la condition 6 impose que les formes linéaires $P_1(x), ..., P_q(x)$ dont l'intersection des noyaux se réduit à $\{0\}$ sont au moins au nombre de $n$, donc $q \ge n$, et, parmi elles, $n$ sont indépendantes (par exemple, et sans particulariser $P_1, ..., P_n$ qui forment donc une base du dual de $\mathbb{R}^n$,) tandis que les autres sont des combinaisons linéaires de ces $n$ premières. Notons $U_1, ..., U_n$ les vecteurs suivants de $\mathbb{R}^n$ écrits dans la base canonique $(e_1, ..., e_n)$ de $\mathbb{R}^n$

$$ U_m = \sum_{j=1}^{n} a_m^j e_j. $$

Ces $n$ vecteurs de $\mathbb{R}^n$ sont indépendants, puisque $P_1, ..., P_n$ le sont, et les conditions $P_m(\frac{\partial}{\partial x})(f) = 0$ s'écrivent $\frac{\partial f}{\partial U_m} = 0$. Ainsi, les $n$ conditions imposées à $f$ traduisent le fait que $df = 0$, donc que $f$ est constante.

Ainsi, si $d''f = 0$, et si $d''$ admet une solution fondamentale, alors $f$ est une constante.

Nous déduisons, des calculs ci-dessus, trois enseignements.

Tout d'abord, plus nous imposons de conditions de Cauchy-Riemann, plus il est aisé d'obtenir une solution fondamentale; mais moins il existe de fonctions satisfaisant les conditions imposées. Il s'agit donc de maintenir une sorte d'équilibre entre la quantité de fonctions vérifiant les conditions de Cauchy-Riemann et l'existence d'une solution fondamentale pour l'opérateur de Cauchy-Riemann $d''$ associé.

Ensuite, si nous voulons obtenir une représentation intégrale de la forme 1 pour une fonction de $D$ dans $\mathbb{R}^p$, alors le noyau $K(y, x)$ ne peut être réel. Sinon, la représentation intégrale s'effectue composante par composante, et donc, pour chaque composante, nous sommes ramenés au cas précédent, avec la limitation $d''f = 0$ impliquant que $f$ est constante.

Enfin, comme nous avons besoin, dans 1, du produit de $f(y)$ par $K(y, x)$, il faut définir dans l'espace d'arrivée $\mathbb{R}^p$ un produit bilinéaire, donc une structure d'algèbre, et cette structure ne peut se résumer au produit composante par composante, sous peine de revenir aux limitations précédentes, et pour les mêmes raisons.
## 2. CONDITIONS DE CAUCHY À COEFFICIENTS CONSTANTS.

Soit une fonction définie sur l'adhérence d'un domaine $D$ de $\mathbb{R}^n$ à bords lisses, $f : \bar{D} \to A$ dont les variables seront notées $(x_1, ..., x_n)$, fonction que nous supposons, a priori, de classe $C^1$, à valeurs dans l'algèbre unitaire $A = Vect(e_0, e_1, ..., e_p)$, $e_0$ étant l'élément unité et le produit étant défini, dans la base $(e_0, e_1, ..., e_p)$, par:

$$e_i e_j = \sum_{k=0}^{p} \Gamma_{i,j}^{k} e_k, \quad \Gamma_{i,j}^{k} \in \mathbb{R}.$$

Nous allons, dans ce paragraphe, imposer à $f, q$ conditions de Cauchy-Riemann à coefficients constants dans $A$ et d'ordre 1:

$$P_m(\frac{\partial}{\partial x})(f) := \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_j} a_m^j = 0; \quad m = 1, ..., q; \quad a_m^j \in A. \qquad (7)$$

Nous définissons, par conséquent, les opérateurs de Cauchy-Riemann par:

$$d'' = \sum_{m=1}^{q} dx_{im} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_j} a_m^j, \quad 1 \le i_m < i_{m+1} \le n,$$

$$\hat{d}'' = \sum_{m=1}^{q} dx_{im} \sum_{j=1}^{n} a_m^j \frac{\partial}{\partial x_j}, \quad 1 \le i_m < i_{m+1} \le n,$$

de façon que $f$ soit dans le noyau de $d''$ si et seulement il satisfait les $q$ conditions de Cauchy-Riemann.

Ces deux opérateurs $d''$ et $\hat{d}''$ se confondent dans le cas d'une algèbre $A$ commutative, mais nous les explicitons précisément pour être en mesure de traiter le cas non commutatif.

Nous cherchons une représentation intégrale de la forme 1 pour $f$, c'est-à-dire une solution fondamentale pour $\hat{d}''_y$ de la forme:

$$\begin{aligned} K(y, x) &= \frac{1}{\|y - x\|^n} \sum_{m=1}^{q} (-1)^{(i_m - 1)} \widehat{dy_{im}} \varphi_m(x, y) \\ &= \sum (-1)^{(i_m - 1)} \widehat{dy_{im}} \Omega_m. \end{aligned} \qquad (8)$$

où $\varphi_m$ est une fonction à valeurs dans $A$, et au moins $C^1$ qui s'annule sur $\Delta$.

Hors de $\Delta$, le calcul de $\hat{d}''_y K(y, x)$ est tout à fait analogue au calcul correspondant du paragraphe 1, en gardant toutefois à l'esprit que $A$ peut n'être pas commutatif. On note $dV = dx_1 \wedge dx_2 \wedge \dots \wedge dx_n$.

$$\begin{aligned} \hat{d}''_y K(y, x) &= \frac{1}{\|y - x\|^n} \sum_{m=1}^{q} \sum_{j=0}^{p} a_m^j \frac{\partial \varphi_m(x, y)}{\partial y_j} dV - \frac{n}{2 \|y - x\|^{n+2}} \sum_{m=1}^{q} dy_{im} \sum_j a_m^j \frac{\partial \|y - x\|^2}{\partial y_j} \\ &= \frac{1}{\|y - x\|^{n+2}} \left[ \|y - x\|^2 \sum_{m=1}^{q} \sum_{j=0}^{p} a_m^j \frac{\partial \varphi_m}{\partial y_j} - \frac{n}{2} \sum_{m,j} a_m^j \frac{\partial \|y - x\|^2}{\partial y_j} \varphi_m(x, y) \right] dV \end{aligned} \qquad (9)$$
de sorte que la nullité de $\hat{d}''K(y, x)$ hors de $\Delta$ s'écrit:

$$ \|y - x\|^2 \sum_{m,j} a_m^j \frac{\partial \varphi_m}{\partial x_j} = n \sum_{m,j} a_m^j (y_j - x_j) \varphi_m(x, y). \quad (10) $$
Nous allons maintenant étudier la singularité de $\hat{d}''K(y, x)$, et, comme $A$ n'est pas commutatif, nous allons détailler un peu ce calcul.

$$
\begin{align*}
\int_D d''f(y) \wedge K(y, x) &= \int_D \frac{1}{\|y-x\|^n} \sum_{m=1}^q \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial y_j}(y) a_m^j \varphi_m(x, y) dV \\
&= \lim_{\epsilon \to 0} \int_{D-B(x, \epsilon)} \frac{1}{\|y-x\|^n} \sum_{m=1}^q \sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial y_j}(y) a_m^j \varphi_m(x, y) dV \\
&= \lim_{\epsilon \to 0} \int_{D-B(x, \epsilon)} d\left[\sum_{m,j} f(y) a_m^j \frac{\varphi_m(x, y)}{\|y-x\|^n} (-1)^{j-1} \hat{dy}_j\right] - f(y) \hat{d}''_y K(y, x) \\
&= \int_{\partial D} f(y) \sum_{m,j} a_m^j \frac{\varphi_m(x, y)}{\|y-x\|^n} (-1)^{j-1} \hat{dy}_j \\
&\quad - \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\partial B(x, \epsilon)} f(y) \sum_{m,j} a_m^j \frac{\varphi_m(x, y)}{\|y-x\|^n} (-1)^{j-1} \hat{dy}_j \\
&= \int_{\partial D} f(y) \sum_{m,j} a_m^j \frac{\varphi_m(x, y)}{\|y-x\|^n} (-1)^{j-1} \hat{dy}_j \\
&\quad - \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\partial B(x, \epsilon)} \sum_{m,j} (f(x) + O(\epsilon)) a_m^j \frac{O(\epsilon)}{\epsilon^n} (-1)^{j-1} \hat{dy}_j \\
&= \int_{\partial D} f(y) \sum_{m,j} a_m^j \frac{\varphi_m(x, y)}{\|y-x\|^n} (-1)^{j-1} \hat{dy}_j \\
&\quad - f(x) \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\partial B(x, \epsilon)} \sum_{m,j} \frac{a_m^j \varphi_m(x, y) (-1)^{j-1}}{\epsilon^n} \hat{dy}_j \\
&= \int_{\partial D} f(y) \sum_{m,j} a_m^j \frac{\varphi_m(x, y)}{\|y-x\|^n} (-1)^{j-1} \hat{dy}_j \\
&\quad - f(x) \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon^n} \int_{B(x, \epsilon)} \sum_{m,j} a_m^j \frac{\partial \varphi_m(x, y)}{\partial y_j} dV \\
&= \int_{\partial D} f(y) \sum_{m,j} a_m^j \frac{\varphi_m(x, y)}{\|y-x\|^n} (-1)^{j-1} \hat{dy}_j \\
&\quad - f(x) \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon^n} \int_{B(x, \epsilon)} \sum_{m,j} a_m^j \left(\frac{\partial \varphi_m(x, x)}{\partial y_j} + O(\epsilon)\right) dV \\
&= \int_{\partial D} f(y) \sum_{m=1}^q \left(\sum_{j=1}^n a_m^j \frac{\partial}{\partial y_j}\right) \left(-\frac{\varphi_m(x, y)}{\|y-x\|^n} dV\right) \\
&\quad - f(x) \mathrm{Vol}(B(0, 1)) \sum_{m=1}^q \sum_{j=1}^n a_m^j \frac{\partial \varphi_m(x, x)}{\partial y_j}.
\end{align*}
$$
On veut que le dernier terme, à la dernière ligne, soit $f(x)$. Tenant compte de 10, pour que $K(y, x)$ soit une solution fondamentale, nous avons donc :

$$ \left\{ \begin{array}{l} \sum_{m=1}^{q} \sum_{j=1}^{n} a_m^j \frac{\partial \varphi_m}{\partial y_j}(x, x) = \frac{e_0}{\mathrm{Vol}(B(0,1))}, \\ \|y - x\|^2 \sum_{m,j} a_m^j \frac{\partial \varphi_m}{\partial y_j} = n \sum_{m,j} a_m^j (y_j - x_j) \varphi_m(x, y), \end{array} \right. \qquad (12) $$

et nous obtenons la formule de représentation intégrale

$$ f(x) = \int_{\partial D} f(y) \sum_{m=1}^{q} \left( \sum_{j=1}^{n} a_m^j \frac{\partial}{\partial y_j} \right) \rfloor \left( \frac{\varphi_m(x, y)}{\|y - x\|^n} dV \right) - \int_{D} d''f(y) \wedge K(y, x). \quad (13) $$

Si $d''f(y) = 0$, alors le dernier terme est nul. Nous obtenons, par conséquent, la formule de Cauchy

$$ f(x) = \int_{\partial D} f(y) \sum_{m=1}^{q} \left( \sum_{j=1}^{n} a_m^j \frac{\partial}{\partial y_j} \right) \rfloor \left( \frac{\varphi_m(x, y)}{\|y - x\|^n} dV \right) \quad (14) $$

pour la classe des fonctions vérifiant $d''f = 0$, c'est-à-dire la classe des fonctions vérifiant les conditions de Cauchy 7.

Au vu des conditions 12, il semble naturel de chercher les fonctions $\varphi_m$ sous la forme de polynômes homogènes de degré 1. C'est pourquoi nous posons:

$$ \varphi_m(x, y) = \sum_{i=1}^{n} b_m^i (y_i - x_i), \quad b_m^i \in A. \qquad (15) $$

Les conditions 12 s'écrivent alors:

$$ \left\{ \begin{array}{l} \sum_{m=1}^{q} \sum_{j=1}^{n} a_m^j b_m^j = \frac{e_0}{\mathrm{Vol}(B(0,1))}, \\ \|y - x\|^2 \sum_{m,j} a_m^j b_m^j = n \sum_{m,j} a_m^j (y_j - x_j) \sum_{i=1}^{n} b_m^i (y_i - x_i). \end{array} \right. \qquad (16) $$

Le terme de droite dans la dernière équation s'écrit:

$$ n \sum_{j=1}^{n} (y_j - x_j)^2 \sum_{m=1}^{q} a_m^j b_m^j + n \sum_{j<i} (y_j - x_j)(y_i - x_i) \sum_{m=1}^{q} (a_m^j b_m^i + a_m^i b_m^j), $$

$$ \left\{ \begin{array}{l} \sum_{m=1}^{q} a_m^j b_m^j = \frac{e_0}{n \mathrm{Vol}(B(0,1))}, \quad \text{pour tout } j = 1, \dots, n; \\ \sum_{m=1}^{q} a_m^j b_m^i + a_m^i b_m^j = 0, \quad \text{pour } i \neq j. \end{array} \right. \qquad (17) $$

Si nous appelons $\tilde{A}$ (respectivement B) les matrices à n lignes et q colonnes comportant comme entrée, à la ligne j et à la colonne m, l'élément $a_m^j$ (respectivement $b_m^j$) de l'algèbre A, et I la matrice carrée d'ordre n comportant $e_0$ sur chaque entrée de la diagonale principale, et 0 partout ailleurs, alors les conditions 17 s'écrivent:

$$ \tilde{A}^t B + {}^t(\tilde{A}^t B) = \frac{2}{n \mathrm{Vol}(B(0,1))} I, \qquad (18) $$

ou encore:

$$ \tilde{A}^t B = \frac{1}{n \mathrm{Vol}(B(0,1))} I + A \qquad (19) $$

où $A$ est une matrice antisymétrique à coefficients dans l'algèbre A.
Une autre façon de traduire les conditions 17 est de définir les polynômes $P_m(X)$ et $Q_m(X)$ à coefficients dans l'algèbre $A$ et variable $X = (X_1, ..., X_n) \in \mathbb{R}^n$ par

$$P_m(X) = \sum_{j=1}^{n} a_m^j X_j$$

et

$$Q_m(X) = \sum_{j=1}^{n} b_m^j X_j.$$

Les conditions 17 deviennent alors

$$\sum_{m=1}^{q} P_m(X)Q_m(X) = \frac{e_0}{n\mathrm{Vol}(B(0,1))} \|X\|^2. \qquad (20)$$

Ainsi, $P_1(X) = P_2(X) = ... = P_q(X) = 0$ implique $X = 0$.

**Remarque 2.1.** Ellipticité des conditions de Cauchy.

Les conditions 17 nécessaires et suffisantes pour l'obtention d'une formule de Cauchy impliquent donc l'ellipticité des ces conditions.

Bien sûr, nous pourrions aussi traduire la nullité de chaque polynôme $P_i(X)$ par la nullité de toutes ses composantes si nous voulions travailler avec des polynômes à coefficients réels.

**Remarque 2.2.** Dans ces calculs, l'algèbre $A$ peut ne pas être associative.

Nous allons encore traduire d'une autre façon les conditions 17.

Puisque les fonctions $\varphi_m$ sont des polynômes homogènes du premier degré, nous posons, pour tout $j = 1, ..., n$,

$$\Psi^j(x, y) = \mathrm{Vol}(B(0,1)) \sum_{m=1}^{q} a_m^j \varphi_m(x, y) = \sum_{i=1}^{n} c_i^j (y_i - x_i),$$

de sorte que les conditions 12 s'écrivent:

$$\left\{ \begin{array}{l} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial \Psi^j}{\partial y_j}(x, x) = e_0, \\ \|y - x\|^2 \sum_j \frac{\partial \Psi^j}{\partial y_j}(x, y) = n \sum_j (y_j - x_j) \Psi^j(x, y). \end{array} \right. \qquad (21)$$

Dans ce système, toute référence aux conditions de Cauchy a disparu. Il est aisé de le résoudre car la deuxième équation s'écrit:

$$\|y - x\|^2 \sum_{j=1}^{n} c_j^j = n \sum_{i=1}^{n} c_i^i (y_i - x_i)^2 + n \sum_{i<j} (y_i - x_i)(y_j - x_j)(c_i^j + c_j^i)$$

donc, en identifiant les deux membres des deux équations, nous obtenons:

$$\left\{ \begin{array}{l} \sum_{j=1}^{n} c_j^j = nc_i^i = e_0, \\ c_j^i + c_i^j = 0, \quad \text{si } i \neq j, \end{array} \right. \qquad (22)$$
soit aussi:

$$
\left\{
\begin{array}{l}
c_i^i = \frac{e_0}{n} \quad \text{pour tout } i = 1, \dots, n, \\
c_j^i + c_i^j = 0, \quad \text{si } i \neq j.
\end{array}
\right.
\qquad (23)
$$

Nous avons ainsi

$$
\Psi^j(x, y) = (y_j - x_j) \frac{e_0}{n} + \sum_{i \neq j} (y_i - x_i) c_i^j \quad \text{avec} \quad c_i^j = -c_j^i.
$$

Il reste maintenant à résoudre le système de $n$ équations à $q$ inconnues $\varphi_m(x, y)$

$$
\forall j = 1, \dots, n, \quad \frac{\Psi^j(x, y)}{\mathrm{Vol}(B(0, 1))} = \sum_{m=1}^{q} a_m^j \varphi_m(x, y). \qquad (24)
$$

soit, en explicitant,

$$
\frac{(y_j - x_j) \frac{e_0}{n} + \sum_{i \neq j} (y_i - x_i) c_i^j}{\mathrm{Vol}(B(0, 1))} = \sum_{m=1}^{q} a_m^j \sum_{i=1}^{n} b_m^i (y_i - x_i), \quad (25)
$$

ou encore

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\sum_{m=1}^{q} a_m^j b_m^j = \frac{e_0}{n \mathrm{Vol}} \\
\sum_{m=1}^{q} a_m^j b_m^i = \frac{c_i^j}{\mathrm{Vol}} \quad \text{si } i \neq j,
\end{array}
\right.
\qquad (26)
$$

qui, pour chaque $i = 1, \dots, n$ et un système à $n$ équations (dans $A$) et $q$ inconnues (dans $A$).
Si nous arrivons à résoudre ce système, la connaissance des fonctions $\varphi_m$ permet d'expliciter le
noyau $K(y, x)$, et d'écrire la formule de représentation intégrale 13. Pour la classe des fonctions
vérifiant 7, nous disposons, alors, de la formule de Cauchy 14.

Nous recherchons donc à quelles conditions ce système a des solutions.

Il s'écrit, en notant $A_{m,l}^j = a_m^j e_l = \sum_{s=0}^p A_{m,l}^{j,s} e_s$,

$$
\begin{align}
\sum_{m=1}^{q} a_m^j \sum_{i=1}^{n} b_m^i (y_i - x_i) &= \sum_{m=1}^{q} a_m^j \sum_{l=0}^{p} \sum_{i=1}^{n} b_m^{i,l} (y_i - x_i) e_l \nonumber \\
&= \sum_{m=1}^{q} \sum_{i=1}^{n} \sum_{l=0}^{p} b_m^{i,l} (y_i - x_i) A_{m,l}^{j} = \sum_{m=1}^{q} \sum_{i=1}^{n} \sum_{l=0}^{p} b_m^{i,l} (y_i - x_i) \sum_{s=0}^{p} A_{m,l}^{j,s} e_s \tag{27} \\
&= (y_j - x_j) \frac{e_0}{n \mathrm{Vol}(B(0,1))} + \sum_{i \neq j} (y_i - x_i) c_i^j \quad \text{avec } c_i^j = -c_i^{j,s} \nonumber \\
&= (y_j - x_j) \frac{e_0}{n \mathrm{Vol}(B(0,1))} + \sum_{i \neq j} (y_i - x_i) \sum_{s=0}^{p} c_i^{j,s} e_s, \nonumber
\end{align}
$$

donc, en identifiant les composantes $\forall i, j = 1, \dots, n$ avec $i \neq j, \forall s = 0, \dots, p,$

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\sum_{m=1}^{q} \sum_{l=0}^{p} b_m^{j,l} A_{m,l}^{j,s} = \frac{\delta_0^s}{n \mathrm{Vol}} := c_j^{j,s} \\
\sum_{m=1}^{q} \sum_{l=0}^{p} b_m^{i,l} A_{m,l}^{j,s} = c_i^{j,s}.
\end{array}
\right.
\qquad (28)
$$

Pour chaque $i = 1, \dots, n$, nous avons le système

$$
S_i : \left\{ \sum_{m,l} b_m^{i,l} A_{m,l}^{j,s} = c_i^{j,s}. \right. \qquad (29)
$$
Pour tous les $i = 1, ..., n$, les coefficients du premier membre de $S_i$ sont les mêmes, mais pas les inconnues $b_m^{i,l}$, ni les seconds membres. Chaque système $S_i$ comporte $n(p+1)$ équations et $q(p+1)$ inconnues. Chaque équation est repérée par son indice $(j, s)$. Nous notons $r$ le rang de chaque système $S_i$. Nous choisissons $r$ équations principales. Ces $r$ équations principales sont repérées par $r$ indices $(j, s)$ que nous classons dans l'ordre alphabétique, ce qui donne les indices $(j_1, s_1)$, $(j_2, s_2)$, ..., $(j_r, s_r)$, pour les équations principales. Pour les équations non principales, nous aurons les indices

$$ (j_{r+1}, s_{r+1}), (j_{r+2}, s_{r+2}), \dots, (j_{n(p+1)}, s_{n(p+1)}). $$

Remarquons que, d'après le classement dans l'ordre alphabétique,

$$ \begin{aligned} & si \ k \le l \ \text{alors} \ j_k \le j_l, \\ & si \ j_k < j_l \ \text{alors} \ k < l. \end{aligned} \tag{30} $$

Nous notons

$$ \begin{aligned} I &= \{(j_1, s_1), (j_2, s_2), \dots, (j_r, s_r)\} \\ \bar{I} &= [1, n] \times [0, p] - I = \{(j_{r+1}, s_{r+1}), \dots, (j_{n(p+1)}, s_{n(p+1)})\} \tag{31} \\ \forall i = 1, \dots, n, \quad I_i &= \{k = 1, \dots, r : (i, s_k) \in I\} \\ \forall i = 1, \dots, n, \quad \bar{I}_i &= \{k = 1, \dots, r : (i, s_k) \in \bar{I}\} \end{aligned} $$

Le système des équations principales admet un déterminant d'ordre $r$ non nul. Nous le noterons $D_0$.

$$ D_0 = \det(A_{m_t, l_t}^{j_k, s_k})_{k,t=1,...,r} \neq 0. \tag{32} $$

Il détermine, bien sûr, les inconnues principales.

Pour que le système complet $S_i$ admette comme solutions les solutions du système principal, il faut et il suffit que les $n(p+1) - r$ déterminants caractéristiques s'annulent, ce qui s'écrit, $\forall (j_0, s_0) \in \bar{I}$,

$$ \left| \begin{array}{cccc} A_{m_1, l_1}^{j_1, s_1} & \dots & A_{m_r, s_r}^{j_1, s_1} & c_i^{j_1, s_1} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ A_{m_1, l_1}^{j_r, s_r} & \dots & A_{m_r, s_r}^{j_r, s_r} & c_i^{j_r, s_r} \\ A_{m_1, l_1}^{j_0, s_0} & \dots & A_{m_r, l_r}^{j_0, s_0} & c_i^{j_0, s_0} \end{array} \right| = 0. \tag{33} $$

En développant cela par rapport à la dernière colonne, et en notant $D_{j_0, s_0, i}^{j_k, s_k}$ le déterminant obtenu en supprimant la ligne $(j_k, s_k)$ et le dernières colonne,

$$ \sum_{k=1}^{r} (-1)^{r+1-k} c_i^{j_k s_k} D_{j_0, s_0, i}^{j_k s_k} + c_i^{j_0, s_0, i} D_0 = 0, \tag{34} $$

c'est à dire $\forall (j, s) \in \bar{I}$, $\forall i = 1, ..., n$,

$$ c_i^{j,s} = -\frac{1}{D_0} \sum_{k=1}^{r} (-1)^{r+1-k} c_i^{j_k s_k} D_{j,s,i}^{j_k s_k}. \tag{35} $$

Si $j \neq i$, alors 35 peut être considéré comme une définition de $c_i^{j,s}$ et s'écrit aussi
$$
\begin{align}
c_i^{j,s} &= -\frac{1}{D_0} \sum_{k=1}^{r} (-1)^{r+1-k} c_i^{j_k,s_k} D_{j,s,i}^{j_k,s_k} \nonumber \\
&= -\frac{1}{D_0} \sum_{k \in I_i} (-1)^{r+1-k} c_i^{j_k,s_k} D_{j,s,i}^{j_k,s_k} + \frac{1}{D_0} \sum_{k \in \bar{I}_i} (-1)^{r+1-k} c_{j_k}^{i,s_k} D_{j,s,i}^{j_k,s_k} \tag{36} \\
&= -\frac{1}{D_0} \sum_{k \in I_i} (-1)^{r+1-k} c_i^{j_k,s_k} D_{j,s,i}^{j_k,s_k} \nonumber \\
&\quad - \frac{1}{D_0^2} \sum_{k \in \bar{I}_i, l=1,\dots,r} (-1)^{k+l} D_{j,s,i}^{j_k,s_k} c_{j_k}^{j_l,s_l} D_{i,s_k,j_k}^{j_l,s_l}, \nonumber
\end{align}
$$

Mais, 35 impose aussi, d'après 23, la condition nécessaire $\forall (i, s) \in \bar{I}$,

$$
c_i^{i,s} = \frac{\delta_0^s}{n} = -\frac{1}{D_0} \sum_{k=1}^{r} (-1)^{r+1-k} c_i^{j_k s_k} D_{i,s,i}^{j_k s_k}. \quad (37)
$$

Ainsi, tous les $c_i^{j,s}$ s'expriment en fonctions des $c_{j_l}^{j_k,s_k}$ avec $k, l = 1, \dots, r$. Nous allons préciser
cela en envisageant quatre cas.

Premier cas : $(j, s) \in I$ et $(i, s) \in I$.

Alors $(j,s) = (j_k, s_k) \in I$ et $(i,s) = (j_l, s_l) \in I$ donc $k,l \le r$, donc $c_i^{j,s}$ est connu. Il faut toutefois garder à l'esprit que $c_j^{i,s} = -c_i^{j,s}$ si $i \ne j$, et aussi $c_i^{i,s} = \frac{\delta_0^s}{nVol}$.

Second cas : $(j, s) \in \bar{I}$ et $(i, s) \in I$.

Alors, $(j, s) = (j_{k_1}, s_{k_1})$ et $(i, s) = (j_{k_2}, s_{k_2})$ avec $k_2 \le r < k_1$, donc

$$
c_i^{j,s} = -c_j^{i,s} = -\frac{1}{D_0} \sum_{k=1}^{r} (-1)^{r+1-k} c_{j_{k2}}^{j_k,s_k} D_{j,s,i}^{j_k,s_k} \quad (38)
$$

Troisième cas : $(j, s) \in I$ et $(i, s) \in \bar{I}$.

Alors $(j,s) = (j_{k_1}, s_{k_1})$ et $(i,s) = (j_{k_2}, s_{k_2})$, donc

$$
c_i^{j,s} = -c_j^{i,s} = \frac{1}{D_0} \sum_{k=1}^{r} (-1)^{r+1-k} c_{j_{k1}}^{j_k,s_k} D_{i,s,j}^{j_k,s_k} \quad (39)
$$

D'après ces second et troisième cas, $c_i^{j,s}$ est connu, en fonction des $c_{j_l}^{j_k,s_k}$ avec $k,l = 1,...,r$, si $(j,s)$ ou $(i,s) \in \bar{I}$.

Nous remarquons que ce deuxième et ce troisième cas sont les mêmes : on passe de l’un à l’autre en intervertissant *i* et *j*, et en changeant de signe.

Quatrième cas : $(j, s)$ et $(i, s) \in \bar{I}$, $i \neq j$,

Alors, $(j,s) = (j_{k_1}, s_{k_1})$ et $(i,s) = (j_{k_2}, s_{k_2})$ avec $k_1$ et $k_2 > r$, donc
$$c_i^{j,s} = -\frac{1}{D_0} \sum_{k \in I_{j_{k2}}} (-1)^{r+1-k} c_{j_{k2}}^{j_k, s_k} D_{j,s,i}^{j_k, s_k} \\ - \frac{1}{D_0^2} \sum_{k \in \bar{I}_{j_{k2}}, l=1,...,r.} (-1)^{k+l} D_{j,s,i}^{j_k, s_k} c_{j_k}^{j_l, s_l} D_{i,s_k,j_k}^{j_l, s_l}, \qquad (40)$$

mais aussi

$$c_i^{j,s} = -c_j^{i,s} = \frac{1}{D_0} \sum_{k \in I_{j_{k1}}} (-1)^{r+1-k} c_{j_{k1}}^{j_k, s_k} D_{i,s,j}^{j_k, s_k} \\ + \frac{1}{D_0^2} \sum_{k \in \bar{I}_{j_{k1}}, l=1,...,r.} (-1)^{k+l} D_{i,s,j}^{j_k, s_k} c_{j_k}^{j_l, s_l} D_{j,s_k,j_k}^{j_l, s_l}. \qquad (41)$$

Ainsi, $c_i^{j,s}$ est écrit de deux façons qui doivent être égales, et donc, si $(j, s) = (j_{k_1}, s_{k_1}) \in \bar{I}$, $(i, s) = (j_{k_2}, s_{k_2}) \in \bar{I}$, et $i \neq j$,

$$\sum_{k=1}^{r} (-1)^k [c_j^{j_k, s_k} D_{i,s,j}^{j_k, s_k} + c_i^{j_k, s_k} D_{j,s,i}^{j_k, s_k}] = 0, \qquad (42)$$

ou

$$\sum_{k \in I_{j_{k2}}} (-1)^{r+1-k} c_{j_{k2}}^{j_k, s_k} D_{j,s,i}^{j_k, s_k} + \sum_{k \in I_{j_{k1}}} (-1)^{r+1-k} c_{j_{k1}}^{j_k, s_k} D_{i,s,j}^{j_k, s_k} \\ + \frac{1}{D_0} \left[ \sum_{k \in \bar{I}_{j_{k2}}, l=1,...,r.} (-1)^{k+l} D_{j,s,i}^{j_k, s_k} c_{j_k}^{j_l, s_l} D_{i,s_k,j_k}^{j_l, s_l} \right. \\ \left. + \sum_{k \in \bar{I}_{j_{k1}}, l=1,...,r.} (-1)^{k+l} D_{i,s,j}^{j_k, s_k} c_{j_k}^{j_l, s_l} D_{j,s_k,j_k}^{j_l, s_l} \right] = 0. \qquad (43)$$

De plus, d'après 37, si $(j, s) \in \bar{I}$, alors

$$\begin{aligned} c_j^{j,s} &= \frac{\delta_0^s}{n} = -\frac{1}{D_0} \sum_{l=1}^{r} (-1)^{r+1-l} c_j^{j_l, s_l} D_{j,s,j}^{j_l, s_l} \\ &= \frac{1}{D_0} \sum_{l \in I_j} (-1)^{r+1-l} c_j^{j_l, s_l} D_{j,s,j}^{j_l, s_l} + \frac{1}{D_0} \sum_{l \in \bar{I}_j} (-1)^{r+1-l} c_{j_l}^{j_l, s_l} D_{j,s,j}^{j_l, s_l} \\ &= \frac{1}{D_0} \sum_{l \in I_j} (-1)^{r+1-l} c_j^{j_l, s_l} D_{j,s,j}^{j_l, s_l} - \frac{1}{D_0^2} \sum_{l \in \bar{I}_j, l'=1,...,r} (-1)^{l+l'} c_{j_{j'l}}^{j_{j'l}, s_{s'l}} D_{j,s,j}^{j_l, s_l} D_{j,s_l,j_l}^{j_{l'}, s_{s'l}} \\ &= \frac{1}{D_0} \sum_{l \in I_j, j_l \neq j} (-1)^{r+1-l} c_j^{j_l, s_l} D_{j,s,j}^{j_l, s_l} - \frac{1}{D_0^2} \sum_{l \in \bar{I}_j, j_{l'} \neq j_l} (-1)^{l+l'} c_{j_{j'l}}^{j_{j'l}, s_{s'l}} D_{j,s,j}^{j_l, s_l} D_{j,s_l,j_l}^{j_{l'}, s_{s'l}} \\ &\quad - \frac{1}{D_0} \sum_{l \in I_j, j_l = j} (-1)^{r+1-l} \frac{\delta_0^{s_l}}{n} D_{j,s,j}^{j_l, s_l} - \frac{1}{D_0^2} \sum_{l \in \bar{I}_j, j_{l'} = j_l} (-1)^{l+l'} \frac{\delta_0^{s_{l'}}}{D_0} D_{j,s,j}^{j_l, s_l} D_{j,s_l,j_l}^{j_{l'}, s_{l'}} \end{aligned} \qquad (44)$$
et donc

$$
\begin{align}
& \sum_{l \in I_j, j_l \neq j} (-1)^{r+1-l} c_j^{j_l, s_l} D_{j,s,j}^{j_l, s_l} + \frac{1}{D_0} \sum_{l \in \bar{I}_j, j_l' \neq j_l} (-1)^{l+l'} c_{j_{j_l}}^{j_{l'}, s_{l'}} D_{j,s,j}^{j_{l'}, s_{l'}} D_{j,s_l, j_l}^{j_{l'}, s_{l'}} \tag{45} \\
&= -\frac{\delta_0^s}{n} D_0 - \frac{1}{n} \sum_{l \in I_j, j_l = j} (-1)^{r+1-l} D_{j,s,j}^{j,0} - \frac{1}{D_0} \sum_{l \in \bar{I}_j, j_l' = j_l} (-1)^{l+l'} D_{j,s,j}^{j_l, s_l} D_{j,s_l, j_l}^{j_l, 0} \nonumber
\end{align}
$$

Comme déjà dit, dans tous les cas, les coefficients $c_i^{j,s}$ s'écrivent en fonction des $c_{j_l}^{j_k,s_k}$ avec $k$ et $l \le r$. Dans le premier terme de 43 (et, de façon analogue, dans le deuxième terme), on pourrait penser que l'indice $j_{k2}$ ne peut s'écrire sous la forme $j_l$ avec $l \le r$. Mais en fait, puisque dans ce premier terme $k \in I_{j_{k2}}$, c'est que $(j_{k2}, s_k) \in I$, et donc il existe $l \le r$ tel que $(j_{k2}, s_k) = (j_l, s_l)$, et, par conséquent, $j_{k2} = j_l$ avec $l \le r$.

Puisque tous les $c_i^{j,s}$ s'écrivent en fonction des $c_{j_l}^{j_k,s_k}$ avec $k,l \le r$, nous devons choisir les
$c_{j_l}^{j_k,s_k}$, $k,l \le r$ et $j_k \ne j_l$, tels que les $c_i^{j,s}$ ainsi définis vérifient 23 et 36.

Pour ce faire, si $c_i^{j,s}$ relève du quatrième cas, il nous faut imposer 43 et 45.

Si $c_i^{j,s}$ relève du troisième ou du deuxième cas (qui sont les mêmes), nous avons forcément $i \neq j$
car, parmi $(i,s)$ et $(j,s)$, l'un est dans $I$, l'autre dans $\bar{I}$, et alors $c_i^{j,s} = -c_j^{i,s}$.

Si $k, l \le r$, tels que $(j_l, s_k) \in \bar{I}$,

$$
c_{j_l}^{j_k, s_k} = -c_{j_k}^{j_l, s_k} = \frac{1}{D_0} \sum_{l'=1}^{r} (-1)^{r+1-l'} c_{j_k}^{j_{l'}, s_{l'}} D_{j_l, s_k, j_k}^{j_{l'}, s_{l'}}, \quad (46)
$$

ou encore

$$
D_0 c_{j_l}^{j_k, s_k} - \sum_{l': j_{l'} \neq j_k} (-1)^{r+1-l'} c_{j_k}^{j_{l'}, s_{l'}} D_{j_l, s_k, j_k}^{j_{l'}, s_{l'}} = \sum_{l': j_{l'} = j_k, s_{l'} = 0}^{r} \frac{(-1)^{r+1-l'}}{n} D_{j_l, s_k, j_k}^{j_k, 0}. \quad (47)
$$

Enfin, si $c_i^{j,s}$ relève du premier cas, alors $c_{j_l}^{j_k,s_k}$, $k,l \le r$ et, si $j_k \ne j_l$, alors $c_{j_l}^{j_k,s_k} = -c_{j_l}^{j_k,s_k}$.

Il nous faut donc rechercher les $c_{j_l}^{j_k,s_k}$ avec $k$ et $l \le r$, $j_k \ne j_l$, vérifiant les conditions 43, 45 et 47, c'est à dire
$$
\left\{
\begin{array}{l}
\forall (i, s) \text{ et } (j, s) \in \bar{I}, \ i \neq j, \\
\sum_{l \in I_j, \ j_l \neq j} (-1)^{r+1-l} c_{j_k}^{j_l, s_l} D_{i,s,j}^{j_l, s_l} + \sum_{l \in I_j, \ j_l \neq i} (-1)^{r+1-l} c_{j_k}^{j_l, s_l} D_{j,s,i}^{j_l, s_l} \\
\qquad + \frac{1}{D_0} \left[ \sum_{l \in \bar{I}_j, \ l':j_l' \neq j_l} (-1)^{l+l'} c_{j_l}^{j_l', s_l'} D_{i,s,j}^{j_l', s_l'} D_{j,s,l_j}^{j_l', s_l'} + \sum_{l \in \bar{I}_i, \ l':j_l' \neq j_l} (-1)^{l+l'} c_{j_l}^{j_l', s_l'} D_{j,s,i}^{j_l', s_l'} D_{i,s,l_j}^{j_l', s_l'} \right] \\
= -\frac{1}{n} \left\{ \sum_{l \in I_j, \ j_l=j, \ s_l=0} (-1)^{r+1-l} D_{j,s,i}^{j_l, 0} + \sum_{l \in I_i, \ j_l=i, \ s_l=0} (-1)^{r+1-l} D_{j,s,i}^{j_l, 0} \right. \\
\qquad \left. + \frac{1}{D_0} \left[ \sum_{l \in \bar{I}_j, \ l':j_l' \neq j_l} (-1)^{l+l'} D_{i,s,j}^{j_l, s_l} D_{j,s,l_j}^{j_l, 0} + \sum_{l \in \bar{I}_i, \ l':j_l' \neq j_l} (-1)^{l+l'} D_{j,s,i}^{j_l, s_l} D_{i,s,l_j}^{j_l, 0} \right] \right\} \\
\forall (j, s) \in \bar{I}, \\
\sum_{l \in I_j, \ j_l \neq j} (-1)^{r+1-l} c_{j_k}^{j_l, s_l} D_{i,s,j}^{j_l, s_l} + \frac{1}{D_0} \sum_{l \in \bar{I}_j, \ l':j_l' \neq j_l} (-1)^{l+l'} c_{j_l}^{j_l', s_l'} D_{i,s,j}^{j_l', s_l'} D_{j,s,l_j}^{j_l', s_l'} \\
= -\frac{1}{nD_0} \left[ D_0 \delta_0^s + \sum_{l \in I_j, \ j_l=j, \ s_l=0} (-1)^{r+1-l} D_{i,s,j}^{j_l, 0} + \frac{1}{D_0} \sum_{l \in \bar{I}_j, \ l':j_l' \neq j_l} (-1)^{l+l'} D_{i,s,j}^{j_l, s_l} D_{j,s,l_j}^{j_l, 0} \right] \\
\forall k, l \le r, \text{ et } (j_l, s_k) \in \bar{I} \\
D_0 c_{j_l}^{j_k, s_k} - \sum_{l'=1}^{r} c_{j_l}^{j_l', s_l'} D_{j_l, s_k, j_k}^{j_l', s_l'} = \frac{1}{n} \sum_{l'=1}^{r} c_{j_l}^{j_l', s_l'} D_{j_l, s_k, j_k}^{j_l', s_l'} \\
\forall k, l \le r, \text{ et } (j_l, s_k) \in I, \\
c_{j_l}^{j_k, s_k} = -c_{j_k}^{j_l, s_k}.
\end{array}
\right.
\qquad (48)
$$

C'est donc ce système dont les inconnues sont les $c_{j_l}^{j_k, s_k}$, $k, l \le r$, $j_k \ne j_l$ que nous voulons résoudre.

Nous avons une formule de Cauchy pour la classe des fonctions vérifiant $d''f = 0$ si et seulement si ce système admet des solutions.

Le nombre $N$ des équations de ce système et son rang $R$ dépendent des équations principales. Donc, nous n'irons pas plus loin dans l'étude du cas général.

Rappelons simplement que si $R = N$, alors nous pouvons fixer arbitrairement les valeurs des inconnues non principales (sil y en a) et résoudre le système. Si $R < N$, alors nous pouvons fixer les valeurs des inconnues non principales (s'il y en a), mais, pour que le système admette des solutions, nous avons $N - R$ conditions données par la nullité des déterminants caractéristiques.

Pour la mise en œuvre de cette méthode, on se reportera aux exemples ci-dessous, en particulier au cas de dimension 4.

**Remarque 2.3.** Les résultats précédents fournissent une formule de Cauchy pour la classe des fonctions vérifiant $\mathfrak{J}$ et continues jusqu'au bord. Toutefois, ils ne disent rien, a priori, de la taille, la richesse (le "nombre" de fonctions) de la classe considérée.

Les fonctions de cette classe sont $\mathbb{R}$-analytiques puisque $K(y, x)$ l'est. On peut donc utiliser le théorème de Cauchy-Kowalevskia (si l'un des coefficients de $\mathfrak{J}$ est inversible), ou les résultats de [BCGGG] (torsion nulle et tableau involutif (voir p. 140)) pour s'assurer de la richesse de cette classe.

Dans les exemples qui suivent, aussi bien dans le cas commutatif que non commutatif, le lecteur pourra facilement s'assurer de la taille de la classe considérée.

2.1. **Le cas particulier d'une algèbre commutative.** Lorsque l'algèbre $A$ est commutative, nous supposerons que le système $\mathfrak{G}$ est de rang $q$, c'est-à-dire qu'il existe un déterminant $D_0$ (dont les entrées sont des éléments de l'algèbre commutative $A$) inversible et d'ordre maximal $q$
extrait de la matrice du système, et que ce déterminant est formé par les q premières équations qui correspondent à $j = 1, ..., q$. Comme le système comporte n équations, nous obtiendrons $n-q$ conditions de compatibilité, pour que le système admette des solutions, en écrivant la nullité des déterminants caractéristiques obtenus en rajoutant à $D_0$ la ligne $q+k$, $k = 1, ..., n-q$, et les seconds membres correspondants. Si nous appelons $D_m^k$ le déterminant obtenu à partir de $D_0$ en supprimant la ligne $m$ et en rajoutant la ligne $q+k$, les $n-q$ conditions de compatibilité, obtenues comme précisé ci-dessus en développant un déterminant caractéristique, s'écrivent :

$$ \sum_{m=1}^{q} (-1)^{q-1+m} D_m^k c_i^m + D_0 c_i^{q+k} = 0 \quad \text{pour tout } i = 1, \dots, n, \quad \text{et tout } k = 1, \dots, n-q. \qquad (49) $$

Ainsi

$$ c_i^{q+k} = D_0^{-1} \sum_{m=1}^{q} (-1)^{q+m} D_m^k c_i^m \qquad (50) $$

exprime $c_i^{q+k}$ en fonction des $c_i^m$, $m \le q$.

Les coefficients $c_i^j$ étant choisis vérifiant 23, pour $1 \le i, j \le q$, nous pouvons, dans un premier temps, grâce à 50, calculer les coefficients $c_i^{q+k}$, $i = 1, ..., q$, $k = 1, ..., n-q$, puis, dans un second temps, exprimer les coefficients $c_{q+k}^i = -c_i^{q+k} = -D_0^{-1} \sum_{m=1}^q (-1)^{q+m} D_m^k c_i^m$, enfin, dans un troisième temps, obtenir, pour $1 \le k, l \le n-q$, les coefficients

$$ \begin{align} c_{q+k}^{q+l} &= D_0^{-1} \sum_{m=1}^{q} (-1)^{q+m} D_m^l c_{q+k}^m \nonumber \\ &= -D_0^{-2} \sum_{m=1}^{q} (-1)^{q+m} D_m^l \sum_{m'=1}^{q} (-1)^{q+m'} D_{m'}^k c_m^{m'} \nonumber \\ &= -D_0^{-2} \sum_{m,m'=1}^{q} (-1)^{m+m'} D_m^l D_{m'}^k c_m^{m'} \tag{51} \\ &= -D_0^{-2} \sum_{m=1}^{q} D_m^l D_m^k \frac{e_0}{n} - D_0^{-2} \sum_{1 \le m < m' \le q} (-1)^{m+m'} (D_m^l D_{m'}^k c_m^{m'} + D_{m'}^l D_m^k c_{m'}^m) \nonumber \\ &= -D_0^{-2} \sum_{m=1}^{q} \frac{D_m^l D_m^k}{n} - D_0^{-2} \sum_{1 \le m < m' \le q} (-1)^{m+m'} (D_m^l D_{m'}^k - D_{m'}^l D_m^k) c_m^{m'} \nonumber \end{align} $$

Il reste maintenant à s'assurer que ces coefficients $c_i^j$ satisfont les conditions 23. Dans le cas où $1 \le i, j \le q$, cela relève de notre choix du départ. $c_i^{q+k} + c_{q+k}^i = 0$ $i \le q$, $k \le n-q$ est
vérifié, de par la définition de $c_{q+k}^i$. Il reste à vérifier que

$$ 
\begin{align} 
c_{q+k}^{q+k} &= \frac{e_0}{n} = D_0^{-1} \sum_{m=1}^{q} (-1)^{q+m} D_m^k c_{q+k}^m \nonumber \\ 
&= -D_0^{-1} \sum_{m=1}^{q} (-1)^{q+m} D_m^k c_m^{q+k} \nonumber \\ 
&= -D_0^{-2} \sum_{m=1}^{q} (-1)^{q+m} D_m^k \sum_{m'=1}^{q} (-1)^{q+m'} D_{m'}^k c_{m'}^{m'} \tag{52} \\ 
&= -\frac{D_0^{-2}}{n} \sum_{m=1}^{q} (D_m^k)^2 - D_0^{-2} \sum_{m<m'} (-1)^{m+m'} D_m^k D_{m'}^k (c_m^{m'} + c_{m'}^m) \nonumber \\ 
&= -\frac{D_0^{-2}}{n} \sum_{m=1}^{q} (D_m^k)^2 \nonumber 
\end{align} 
$$

et que, pour $1 \le k \ne l \le n-q$,

$$ 
\begin{align} 
c_{q+k}^{q+l} + c_{q+l}^{q+k} &= -\frac{D_0^{-2}}{n} \sum_m D_m^l D_m^k - D_0^{-2} \sum_{m<m'} (-1)^{m+m'} (D_m^l D_{m'}^k - D_{m'}^l D_m^k) C_m^{m'} \nonumber \\ 
&\quad + \frac{D_0^{-2}}{n} \sum_m D_m^k D_m^l - D_0^{-2} \sum_{m<m'} (-1)^{m+m'} (D_m^k D_{m'}^l - D_{m'}^k D_m^l) C_m^{m'} \tag{53} \\ 
&= -\frac{2D_0^{-2}}{n} \sum_m D_m^l D_m^k \nonumber \\ 
&= 0. \nonumber 
\end{align} 
$$

L'avant dernière équation implique

$$ D_0^2 + \sum_{m=1}^{q} (D_m^k)^2 = 0, $$

quand la dernière entraîne

$$ \sum_{m=1}^{q} D_m^l D_m^k = 0. $$

Finalement, nous obtenons, comme conditions d'existence d'une représentation intégrale pour les fonctions $f$ satisfaisant nos conditions de Cauchy-Riemann 7 :

**Théorème 2.4.** Dans une algèbre commutative, les fonctions $f$ vérifiant les équations de Cauchy-Riemann admettent une représentation intégrale si les conditions ci-dessous sont vérifiées

$$ \textit{Conditions (A)} : \quad \sum_{m=1}^{q} D_m^l D_m^k + \delta_k^l D_0^2 = 0 \quad \textit{pour tout } 1 \le k, l \le n-q. \tag{54} $$

Pour terminer ce cas commutatif, il nous reste à remarquer que, les conditions ci-dessus étant satisfaites, les solutions obtenues pour le système 24, sont données par:

$$ \varphi_m = D_0^{-1} \tilde{D}^m $$
où $\widetilde{D}^m$ est obtenu, à partir de $D_0$, en remplaçant la colonne $m$ par $(\Psi_1, ..., \Psi_q)$. Par conséquent, $\varphi_m(x, y) = \sum_{i=1}^n b_m^i(y_i - x_i)$ avec

$$b_m^i = \sum_{l=1}^{q} (-1)^{m+l} c_l^i D_0^{-1} \widehat{D_m^l} = D_0^{-1} \widetilde{D_m^i} \quad (55)$$

où $\widehat{D_m^l}$ est obtenu, à partir de $D_0$, en retirant la ligne $l$ et la colonne $m$, et $\widetilde{D_m^i}$ en remplaçant la colonne $m$ de $D_0$ par la colonne $(c_1^i, ..., c_i^q)$.

**Remarque 2.5.** Le cas $q = n - 1$.

Les conditions (A) sont au nombre de $\frac{(n-q)(n-q+1)}{2}$. Si $q = n - 1$, alors il n'y a qu'une seule condition qui s'écrit

$$D_0^2 + \sum_{m=1}^{n-1} (D_m^1)^2 = 0.$$

**Exemple 2.6.** Le cas d'une fonction A-différentiable.

Supposons que $f$ est une fonction continue sur la ferméture $\overline{D}$ d'un ouvert $D$ de l'algèbre commutative $A$, et $A$-différentiable, c'est-à-dire que pour tout $x \in D$, la différentielle $df(x)$ est $A$-linéaire. Ceci est équivalent à dire que, pour tout $m = 1, ..., p$,

$$\begin{aligned} \frac{\partial f(x)}{\partial x_m} &= df(x)(e_m) \\ &= e_m df(x)(e_0) \\ &= e_m \frac{\partial f(x)}{\partial x_0}. \end{aligned} \quad (56)$$

Ainsi, dire que $f$ est $A$-différentiable est équivalent à imposer $p$ conditions de Cauchy à $f$ :

$$\frac{\partial f}{\partial x_m} - e_m \frac{\partial f}{\partial x_0} = 0, \quad m = 1, ..., p. \quad (57)$$

Nous sommes dans le cas de la remarque précédente avec $a_m^0 = -e_m$, $a_m^m = e_0$, et tous les autres coefficients $a_m^j$ nuls. Adaptons la démonstration générale à ce cas particulier.
Le système 24 s'écrit

$$\begin{cases} (y_0 - x_0) \frac{e_0}{n} + \sum_{i=1}^{p} (y_i - x_i) c_i^0 = - \mathrm{Vol} \sum_{m=1}^{p} \sum_{i=0}^{p} e_m b_m^i (y_i - x_i) \\ (y_j - x_j) \frac{e_0}{n} + \sum_{i \neq j} (y_i - x_i) c_i^j = \mathrm{Vol} \sum_{i=0}^{p} b_j^i (y_i - x_i), \end{cases} \quad (58)$$

qui se traduit par

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{e_0}{n} = - \mathrm{Vol} \sum_{m=1}^{p} e_m b_m^0 \\ c_i^0 = - \mathrm{Vol} \sum_{m=1}^{p} e_m b_m^i \\ \frac{e_0}{n} = \mathrm{Vol} \ b_j^j, \quad \forall j \ge 1 \\ c_i^j = \mathrm{Vol} \ b_j^i, \quad \forall j \ge 1, \ i \neq j. \end{array} \right. \quad (59)$$

Reportant $b_j^j$ et $b_i^j$ extraits des deux dernières équations dans les deux premières, nous obtenons :

$$\left\{ \begin{array}{l} \frac{e_0}{n} = - \sum_{m=1}^{p} e_m c_0^m \\ c_i^0 - \sum_{m=1}^{p} e_m c_i^m. \end{array} \right. \quad (60)$$
Nous reportons $c_i^0 = -c_i^j$, donné par la dernière équation, dans la première pour obtenir, en utilisant la commutativité de l'algèbre,

$$ 
\begin{align} 
\frac{e_0}{n} &= - \sum_{m=1}^{p} e_m \sum_{m'=1}^{p} e_{m'} c_m^{m'} \nonumber \\
&= - \sum_{m<m'} e_m e_{m'} c_m^{m'} - \sum_{m=1}^{p} e_m^2 c_m^m - \sum_{m>m'} e_m e_{m'} c_m^{m'} \nonumber \\
&= - \sum_{m<m'} e_m e_{m'} c_m^{m'} - \sum_{m=1}^{p} \frac{e_m^2}{n} - \sum_{m<m'} e_m e_{m'} c_m^{m'} \tag{61} \\
&= - \sum_{m<m'} e_m e_{m'} (c_m^{m'} + c_{m'}^m) - \sum_{m=1}^{p} \frac{e_m^2}{n} \nonumber \\
&= - \sum_{m=1}^{p} \frac{e_m^2}{n}. \nonumber
\end{align} 
$$

Ainsi, nous obtenons le corollaire,

**Corollaire 2.7.** Une fonction A-différentiable vérifie une formule de Cauchy si l'algèbre A satisfait la condition

$$ \sum_{m=0}^{p} e_m^2 = 0. \tag{62} $$

Nous reconnaissions ici la condition $(A_0)$ de [BC1] et [BC2]. En dimension 2, c'est-à-dire lorsque $A = \mathbb{C}$, nous reconnaissions tout simplement la condition $1 + i^2 = 0$.

## Le cas de la dimension 2.

Une algèbre A unitaire de dimension 2 est toujours commutative. Si $(e_0, e_1)$ est une base, avec $e_0$ qui est l'élément unité, alors, il suffit, pour définir le produit dans l'algèbre A, de donner

$$ (e_1)^2 = ae_0 + be_1. $$

**Remarque 2.8.**

Il est alors très facile de vérifier que les assertions suivantes sont équivalentes :

* A est intègre,

* A est un corps,

* il existe $e'_1 \in A$ tel que $(e'_1)^2 = -e_0$

* $b^2 + 4a < 0$.

Ainsi, dans la base $(e_0, e'_1)$, nous avons alors une version de $\mathbb{C}$.

**Théorème 2.9.** Une algèbre A définie par une seule condition de Cauchy $\gamma$ ($q=1$) et admettant une formule de Cauchy est un corps, et donc est isomorphe à $\mathbb{C}$.
En effet, 17 s'écrit

$$ egin{cases} a_1^1 b_1^1 = \frac{e_0}{2Vol} \\ a_1^2 b_1^2 = \frac{e_0}{2Vol} \\ a_1^1 b_1^2 + a_1^2 b_1^1 = 0. \end{cases} \qquad (64) $$

Les deux premières équations traduisent le fait que $b_1^1 = \frac{(a_1^1)^{-1}}{2Vol}$ et $b_1^2 = \frac{((a_1^2)^{-1})}{2Vol}$. En reportant dans la troisième équation, $a_1^1(a_1^2)^{-1} + a_1^2(a_1^1)^{-1} = 0$, c'est à dire $a_1^1(a_1^2)^{-1} = -a_1^2(a_1^1)^{-1}$, ou encore

$$ -e_0 = \left(\frac{a_1^2}{a_1^1}\right)^2 = \left(\frac{a_1^1}{a_1^2}\right)^2, \qquad (65) $$

et, d'après la remarque ci-dessus, $\tilde{A}$ est une version de $\mathbb{C}$.

Nous allons maintenant revenir au cas général, c'est à dire au cas d'une algèbre non commutative de dimension quelconque.

Dans les exemples ci-dessous, les conditions (A) nécessaires et suffisantes pour l'obtention d'une formule de Cauchy pour la classe des fonctions satisfaisant aux conditions de Cauchy 7 seront traduites par l'appartenance d'un vecteur à un sous-module du A-module $A^{C_{n-q+1}^2}$.

Un cas particulier avec $q = p$ et $n = p + 1$.

Nous allons utiliser la condition matricielle 19.

$\tilde{A}$ est alors une matrice à $p+1$ lignes et $p$ colonnes.

Nous supposons que la première ligne de $\tilde{A}$ est:

$$ (\alpha_1 \ \alpha_2 \ \dots \ \alpha_p) $$

et que les $p$ dernières lignes de $\tilde{A}$ forment une matrice carrée d'ordre $p$ diagonale comportant, sur la diagonale principale $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_p$, éléments inversibles de $\mathbb{A}$. Nous cherchons une matrice à $p+1$ lignes et $p$ colonnes

$$ B = (b_m^j)_{j=0,...,p; m=1,...,p} $$

vérifiant la condition 19. Nous calculons

$$ \tilde{A}^t B = \begin{pmatrix} \sum_{m=1}^{p} \alpha_m b_m^0 & \sum_{m=1}^{p} \alpha_m b_m^1 & \dots & \sum_{m=1}^{p} \alpha_m b_m^p \\ \beta_1 b_1^0 & \beta_1 b_1^1 & \dots & \beta_1 b_1^p \\ \beta_2 b_2^0 & \beta_2 b_2^1 & \dots & \beta_2 b_2^p \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \beta_p b_p^0 & \beta_p b_p^1 & \dots & \beta_p b_p^p \end{pmatrix} \qquad (66) $$

et écrivons les conditions 19

$$ \left\{ \begin{array}{l} \sum_{m=1}^{p} \alpha_m b_m^0 = \beta_k b_k^k = \frac{e_0}{(p+1)Vol(B(0,1))} \quad \text{pour } k=1, \dots, p, \\ \beta_k b_k^0 = - \sum_{m=1}^{p} \alpha_m b_m^k \quad \text{pour } k=1, \dots, p, \\ \beta_k b_k^l + \beta_l b_k^l = 0, \quad \text{pour } k \neq l, \end{array} \right. $$
qui se traduisent par

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \sum_{m=1}^{p} \alpha_m b_m^0 = \frac{e_0}{(p+1)\mathrm{Vol}(B(0,1))}, \\[2ex]
b_k^k = \frac{\beta_k^{-1}}{(p+1)\mathrm{Vol}(B(0,1))} \quad \text{pour } k=1, \dots, p, \\[2ex]
b_k^0 = -\beta_k^{-1} \sum_{m=1}^{p} \alpha_m b_m^k \quad \text{pour } k=1, \dots, p, \\[2ex]
b_k^l = -\beta_k^{-1} \beta_l b_l^k.
\end{array}
\right.
$$

Nous en déduisons la condition de possibilité :

$$
\begin{align*}
\frac{e_0}{(p+1)\mathrm{Vol}(B(0,1))} &= \sum_{m=1}^{p} \alpha_m b_m^0 \\
&= - \sum_{m,k=1}^{p} \alpha_m \beta_m^{-1} \alpha_k b_k^m \\
&= \frac{1}{(p+1)\mathrm{Vol}(B(0,1))} \sum_{m=1}^{p} (\alpha_m \beta_m^{-1})^2 - \sum_{k<m} (\alpha_k \beta_k^{-1} \alpha_m b_m^k - \alpha_m \beta_m^{-1} \alpha_k \beta_k^{-1} \beta_m b_m^k) \\
&= \frac{-1}{(p+1)\mathrm{Vol}(B(0,1))} \sum_{m=1}^{p} (\alpha_m \beta_m^{-1})^2 - \sum_{k<m} (\alpha_k \beta_k^{-1} \alpha_m \beta_m^{-1} - \alpha_m \beta_m^{-1} \alpha_k \beta_k^{-1}) \beta_m b_m^k. \tag{67}
\end{align*}
$$

Comme les éléments $b_m^k \in A$, $k < m$, peuvent être choisis arbitrairement, cette condition conduit au théorème,

**Théorème 2.10.** Dans ce cas particulier, les fonctions de Cauchy-Riemann de A vérifient une formule de Cauchy si les conditions suivantes sont satisfaites :

$$
e_0 + \sum_{m=1}^{p} (\alpha_m \beta_m^{-1})^2 \in I(\alpha_m \beta_m^{-1} \alpha_k \beta_k^{-1} - \alpha_k \beta_k^{-1} \alpha_m \beta_m^{-1}, 1 \le k < m \le p) \quad (68)
$$

où $I(\alpha_m \beta_m^{-1} \alpha_k \beta_k^{-1} - \alpha_k \beta_k^{-1} \alpha_m \beta_m^{-1}, k < m)$ désigne l'idéal de A engendré par les éléments $\alpha_m \beta_m^{-1} \alpha_k \beta_k^{-1} - \alpha_k \beta_k^{-1} \alpha_m \beta_m^{-1}$.

Un cas encore plus particulier : le cas d'une fonction A-différentiable.

Une fonction *f* définie sur un ouvert *D* de l'algèbre *A*, et à valeurs dans *A*, est dite *A*-différentiable,
à gauche, si sa différentielle vérifie les conditions (57). Il s'agit donc d'un cas encore plus
particulier du cas particulier précédent, cas plus particulier obtenu en posant $\alpha_m = -e_m$ et
$\beta_m = e_0$, $m = 1, \dots, p$. La condition (A), qui doit être satisfaite pour que nous puissions obtenir
une représentation intégrale pour *f*, se déduit de (68) et nous obtenons le corollaire

**Corollaire 2.11.** *Si f est une fonction A-différentiable, elle vérifie une formule de Cauchy si les conditions ci-dessous sont vérifiées*

$$
\sum_{m=0}^{p} e_m^2 \in I(e_m e_k - e_k e_m, 1 \le k < m \le p), \qquad (69)
$$

où, encore une fois, $I(e_m e_k - e_k e_m, 1 \le k < m \le p)$ désigne l'idéal à gauche de A engendré par les éléments $e_m e_k - e_k e_m, 1 \le k < m \le p$ de A.
Dans le cas commutatif, cet idéal est nul, et l'on retrouve la condition (A) de (62).
Bien sûr, dans le cas de la A-différentiabilité à droite, on obtient une condition analogue.

Un autre cas particulier avec $q = p - 1$ et $n = p + 1$.

Ici, nous prendrons pour $\tilde{A}$ une matrice à $p+1$ lignes et $p-1$ colonnes (et donc $B$ aussi). Nous noterons

$$ \tilde{A} = \begin{pmatrix} \alpha_2 & \alpha_3 & \alpha_4 & \dots & \alpha_p \\ \beta_2 & \beta_3 & \beta_4 & \dots & \beta_p \\ \gamma_2 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \gamma_3 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \gamma_4 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \gamma_p \end{pmatrix} \quad (70) $$

et

$$ B = \begin{pmatrix} b_2^0 & b_3^0 & \dots & b_p^0 \\ b_2^1 & b_3^1 & \dots & b_p^1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_2^p & b_3^p & \dots & b_p^p \end{pmatrix} \quad (71) $$

donc

$$ \tilde{A}^t B = \begin{pmatrix} \sum_{m=2}^{p} \alpha_m b_m^0 & \sum_{m=2}^{p} \alpha_m b_m^1 & \sum_{m=2}^{p} \alpha_m b_m^2 & \dots & \sum_{m=2}^{p} \alpha_m b_m^p \\ \sum_{m=2}^{p} \beta_m b_m^0 & \sum_{m=2}^{p} \beta_m b_m^1 & \sum_{m=2}^{p} \beta_m b_m^2 & \dots & \sum_{m=2}^{p} \beta_m b_m^p \\ \gamma_2 b_2^0 & \gamma_2 b_2^1 & \gamma_2 b_2^2 & \dots & \gamma_2 b_2^p \\ \gamma_3 b_3^0 & \gamma_3 b_3^1 & \gamma_3 b_3^2 & \dots & \gamma_3 b_3^p \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \gamma_p b_p^0 & \gamma_p b_p^1 & \gamma_p b_p^2 & \dots & \gamma_p b_p^p \end{pmatrix} \quad (72) $$

Ainsi, les conditions 19 s'écrivent:

$$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{e_0}{(p+1)\mathrm{Vol}(B(0,1))} = \sum_{m=2}^{p} \alpha_m b_m^0 = \sum_{m=2}^{p} \beta_m b_m^1 = \gamma_k b_k^k \quad \text{pour } k=2, \dots, p; \\ \sum_{m=2}^{p} \beta_m b_m^0 = -\sum_{m=2}^{p} \alpha_m b_m^1; \\ \gamma_k b_k^0 = -\sum_{m=2}^{p} \alpha_m b_m^k \quad \text{pour } k=2, \dots, p; \\ \gamma_k b_k^1 = -\sum_{m=2}^{p} \beta_m b_m^k \quad \text{pour } k=2, \dots, p; \\ \gamma_k b_k^l = -\gamma_l b_l^k \quad \text{pour } 2 \le k < l \le p. \end{array} \right. \quad (73) $$

La première ligne nous dit que les $\gamma_k$ sont inversibles et donne la valeur de $b_k^k = \frac{\gamma_k^{-1}}{(p+1)\mathrm{Vol}(B(0,1))}$, les troisième et quatrième permettent d'écrire $b_k^0 = -\sum_{m=2}^{p} \gamma_k^{-1} \alpha_m b_m^k$ et $b_k^1 = -\sum_{m=2}^{p} \gamma_k^{-1} \beta_m b_m^k$; la cinquième donne $b_k^l = -\gamma_k^{-1} \gamma_l b_l^k$;

Il reste donc trois conditions données par les deux premières égalités de la première ligne, et par la deuxième ligne. Nous les écrivons:

$$ \begin{aligned} \frac{e_0}{(p+1)\mathrm{Vol}(B(0,1))} &= - \sum_{m,m'=2}^{p} \alpha_m \gamma_m^{-1} \alpha_{m'} b_{m'}^m \\ &= - \sum_{m=2}^{p} \frac{(\alpha_m \gamma_m^{-1})^2}{(p+1)\mathrm{Vol}(B(0,1))} - \sum_{m<m'} (\alpha_m \gamma_m^{-1} \alpha_{m'} - \alpha_{m'} \gamma_m^{-1} \alpha_m \gamma_m^{-1} \gamma_{m'}) b_{m'}^m, \end{aligned} \quad (74) $$
et

$$
\begin{align}
\frac{e_0}{(p+1)\mathrm{vol}(B(0,1))} &= - \sum_{m,m'=2}^{p} \beta_m \gamma_m^{-1} \beta_{m'} b_{m'}^m \nonumber \\
&= - \sum_{m=2}^{p} \frac{(\beta_m \gamma_m^{-1})^2}{(p+1)\mathrm{Vol}(B(0,1))} - \sum_{m<m'} (\beta_m \gamma_m^{-1} \alpha_{m'} - \beta_{m'} \gamma_{m'}^{-1} \beta_m \gamma_m^{-1} \gamma_{m'}) b_{m'}^m, \tag{75}
\end{align}
$$

et aussi

$$
\begin{align}
\sum_{m=2}^{p} \beta_m b_m^0 &= - \sum_{m,m'=2}^{p} \beta_m \gamma_m^{-1} \alpha_{m'} b_{m'}^m \nonumber \\
&= - \sum_{m=2}^{p} \frac{(\beta_m \gamma_m^{-1} \alpha_m \gamma_m^{-1})}{(p+1)\mathrm{Vol}(B(0,1))} - \sum_{m<m'} (\beta_m \gamma_m^{-1} \alpha_{m'} - \beta_{m'} \gamma_{m'}^{-1} \alpha_m \gamma_m^{-1} \gamma_{m'}) b_{m'}^m \nonumber \\
&= - \sum_{m=2}^{p} \alpha_m b_m^1 \tag{76} \\
&= \sum_{m,m'=2}^{p} \alpha_m \gamma_m^{-1} \beta_{m'} b_{m'}^m \nonumber \\
&= \sum_{m=2}^{p} \frac{(\alpha_m \gamma_m^{-1} \beta_m \gamma_m^{-1})}{(p+1)\mathrm{Vol}(B(0,1))} + \sum_{m<m'} (\alpha_m \gamma_m^{-1} \beta_{m'} - \alpha_{m'} \gamma_{m'}^{-1} \beta_m \gamma_m^{-1} \gamma_{m'}) b_{m'}^m. \nonumber
\end{align}
$$

Comme les éléments $b_m^m$ de A sont arbitraires, nous pouvons écrire ces trois conditions:

$$
\left( e_0 + \sum_{m=2}^{p} (\alpha_m \gamma_m^{-1})^2, e_0 + (\beta_m \gamma_m^{-1})^2, \sum_{m=2}^{p} (\alpha_m \gamma_m^{-1} \beta_m \gamma_m^{-1} + \beta_m \gamma_m^{-1} \alpha_m \gamma_m^{-1}) \right) \in \\
I \left[ \begin{aligned}
& (\alpha_{m'} \gamma_{m'}^{-1})(\alpha_m \gamma_m^{-1}) \gamma_{m'} - (\alpha_m \gamma_m^{-1}) \alpha_{m'}, && (\beta_{m'} \gamma_{m'}^{-1})(\beta_m \gamma_m^{-1}) \gamma_{m'} - (\beta_m \gamma_m^{-1}) \beta_{m'}, \\
& (\beta_{m'} \gamma_{m'}^{-1})(\alpha_m \gamma_m^{-1}) \gamma_{m'} + (\alpha_{m'} \gamma_{m'}^{-1})(\beta_m \gamma_m^{-1}) \gamma_{m'} - (\beta_m \gamma_m^{-1}) \alpha_{m'} - (\alpha_m \gamma_m^{-1}) \beta_{m'}
\end{aligned} \right], \quad m < m' \tag{77}
$$

où $I[(a(m, m'), b(m, m'), c(m, m')) : m < m']$ désigne le sous-module de $A^3$ engendré par les éléments $(a(m, m'), b(m, m'), c(m, m'))$, $m < m'$, de $A^3$.
Dans ce cas, nous pouvons résumer les résultats dans le théorème suivant.

**Théorème 2.12.** Dans ce cas particulier, la classe des fonctions à valeurs dans A vérifiant les q
conditions de Cauchy (7) admet une formule de Cauchy

$$
f(x) = \int_{\partial D} f(y) \sum_{m=1}^{q} \left( \sum_{j=1}^{n} a_m^j \frac{\partial}{\partial y_j} \right) - \left( \frac{\varphi_m(x, y)}{\|y-x\|^n} \right) dV \quad (78)
$$

avec

$$
\varphi_m(x, y) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{l=0}^{p} b_m^{i,l} (y_i - x_i) e_l \quad (79)
$$
si et seulement si la condition (A) donnée ci-dessus par 77 est vérifiée.

Nous avons, précédemment, étudié le cas des algèbres de dimension 2.

Nous allons maintenant rechercher des exemples dans des algèbres de dimension 3 et 4.

Comme dans l'exemple de la dimension 2 précédemment étudié, nous allons considérer ici un domaine D borné et à bord lisse dans l'algèbre A et allons chercher des classes de fonctions $f: \bar{D} \to A$ admettant une formule de Cauchy 14. Ces classes de fonctions seront définies par les q conditions de Cauchy 7.

Nous rencontrerons ainsi des exemples d'algèbres possédant de telles classes de fonctions vérifiant une formule de Cauchy, et d'autres qui n'en possèdent point.

## Le cas de la dimension 3.

Si A est une algèbre unitaire de dimension 3, nous noterons $(e_0, e_1, e_2)$ une base de A avec $e_0$ l'élément unité. Pour connaître le produit, il suffit de donner dans la base précédente

$$e_i e_j = \sum_{k=0}^{2} \Gamma_{i,j}^{k} e_k, \quad \text{pour } 1 \le i, j \le 2.$$

Nous allons considérer la classe de fonctions $f$ de A dans A vérifiant une condition de Cauchy

$$a_0 \frac{\partial f}{\partial x_0} + a_1 \frac{\partial f}{\partial x_1} + a_2 \frac{\partial f}{\partial x_2} = 0 \quad \text{avec } a_0, a_1, a_2 \in A, \qquad (80)$$

c'est-à-dire nous avons $q = 1$, et nous demander si cette classe vérifie une formule de Cauchy. En fait, nous allons démontrer le résultat suivant.

**Théorème 2.13.** Il n'y a pas d'algèbre associative unitaire A de dimension 3, munie d'une classe de fonctions définie par la condition 80 admettant une formule de Cauchy 14. Dans le cas commutatif, le résultat reste vrai, même si l'on n'a pas l'associativité.

Nous allons d'abord considérer le cas d'une algèbre commutative qui est très simple. Les égalités 17 s'écrivent

$$\left\{ \begin{array}{l} a_0 b_0 = \frac{e_0}{3Vol} \\ a_1 b_1 = \frac{e_0}{3Vol} \\ a_2 b_2 = \frac{e_0}{3Vol} \\ a_0 b_1 + a_1 b_0 = 0 \\ a_0 b_2 + a_2 b_0 = 0 \\ a_1 b_2 + a_2 b_1 = 0. \end{array} \right.$$

Les trois premières équations s'écrivent $b_0 = \frac{a_0^{-1}}{3Vol}$, $b_1 = \frac{a_1^{-1}}{3Vol}$, $b_2 = \frac{a_2^{-1}}{3Vol}$ et on remporte dans les trois dernières

$$\left\{ \begin{array}{l} a_0 a_1^{-1} + a_1 a_0^{-1} = 0 \\ a_0 a_2^{-1} + a_2 a_0^{-1} = 0 \\ a_1 a_2^{-1} + a_2 a_1^{-1} = 0, \end{array} \right.$$
et on multiplie chaque ligne respectivement par $a_0a_1$, $a_0a_2$ et $a_1a_2$, pour obtenir

$$ \begin{cases} a_0^2 + a_1^2 = 0 \\ a_0^2 + a_2^2 = 0 \\ a_1^2 + a_2^2 = 0, \end{cases} $$

d'où l'on tire $a_0^2 = -a_1^2 = -a_2^2 = a_1^2 = a_2^2$, donc $a_0^2 = a_2^2 = 0$, et, de même, $a_0^2 = 0$. Mais ceci est impossible, car si $a_0^2 = 0$, par exemple, alors la première ligne du premier de ces trois systèmes donne, en la multipliant par $a_0 : \frac{a_0}{3Vol} = a_0^2b_0 = 0$.

**Remarque 2.14.** Nous n'avons pas utilisé l'associativité dans cette démonstration.

Il reste maintenant à envisager le cas d'une algèbre non commutative.

Pour une algèbre $A$, la propriété la plus délicate à satisfaire dans le choix des coefficients de structure $\Gamma_{i,j}^k$ est l'associativité. Nous allons l'exprimer sous forme matricielle. Soit $\Gamma_{.k} = (\Gamma_{j,k}^i)$ la matrice (3,3) qui comporte l'élément $\Gamma_{j,k}^i$ à la ligne d'indice $i$ et la colonne d'indice $j$, pour $0 \le i, j \le 2$. De même $\Gamma_k = (\Gamma_{k,j}^i)$ comporte $\Gamma_{k,j}^i$ à la ligne $i$ et la colonne $j$. Ainsi, l'indice de ligne est toujours en haut, et l'indice de colonne toujours en bas. On vérifie facilement que l'associativité s'écrit, pour tout $1 \le k, i \le 2$,

$$ \Gamma_{.k} \Gamma_{i.} = \Gamma_{i.} \Gamma_{.k}. $$

Ici, nous avons tenu compte, bien sûr, du fait que, si $i$ ou $j$ ou $k = 0$ alors $(e_i e_j)e_k = e_i(e_j e_k)$ est toujours vérifié.

Avec les 4 couples $(k, i)$, nous obtenons ainsi 4 équations qui traduisent l'égalité de deux matrices (3, 3).

Les équations qui correspondent aux trois termes sur la diagonale se simplifient un peu et s'écrivent

$$ \left\{ \begin{aligned} \Gamma_{1,k}^0 \Gamma_{i,0}^1 + \Gamma_{2,k}^0 \Gamma_{i,0}^2 &= \Gamma_{i,1}^0 \Gamma_{0,k}^1 + \Gamma_{i,2}^0 \Gamma_{0,k}^2 \\ \Gamma_{0,k}^1 \Gamma_{i,1}^0 + \Gamma_{2,k}^1 \Gamma_{i,1}^2 &= \Gamma_{i,0}^1 \Gamma_{1,k}^0 + \Gamma_{i,2}^1 \Gamma_{1,k}^2 \\ \Gamma_{0,k}^2 \Gamma_{i,2}^0 + \Gamma_{1,k}^2 \Gamma_{i,2}^1 &= \Gamma_{i,0}^2 \Gamma_{2,k}^0 + \Gamma_{i,1}^2 \Gamma_{2,k}^1, \end{aligned} \right. \quad (81) $$

soit aussi

$$ \left\{ \begin{aligned} \Gamma_{1,k}^0 \Gamma_{i,0}^1 - \Gamma_{0,k}^1 \Gamma_{i,1}^0 &= \Gamma_{0,k}^2 \Gamma_{i,2}^0 - \Gamma_{2,k}^0 \Gamma_{i,0}^2 \\ \Gamma_{1,k}^0 \Gamma_{i,0}^1 - \Gamma_{0,k}^1 \Gamma_{i,1}^0 &= \Gamma_{2,k}^1 \Gamma_{i,1}^2 - \Gamma_{1,k}^2 \Gamma_{i,2}^1 \\ \Gamma_{0,k}^2 \Gamma_{i,2}^0 - \Gamma_{2,k}^0 \Gamma_{i,0}^2 &= \Gamma_{2,k}^1 \Gamma_{i,1}^2 - \Gamma_{1,k}^2 \Gamma_{i,2}^1 \end{aligned} \right. \quad (82) $$

ou encore

$$ \Gamma_{1,k}^0 \Gamma_{i,0}^1 - \Gamma_{0,k}^1 \Gamma_{i,1}^0 = \Gamma_{2,k}^1 \Gamma_{i,1}^2 - \Gamma_{1,k}^2 \Gamma_{i,2}^1 = \Gamma_{0,k}^2 \Gamma_{i,2}^0 - \Gamma_{2,k}^0 \Gamma_{i,0}^2, \quad (83) $$

qui s'écrit aussi, en tenant compte du fait que $\Gamma_{0,j}^i = \Gamma_{j,0}^i = \delta_j^i$

$$ \Gamma_{1,k}^0 \delta_1^i - \delta_1^k \Gamma_{i,1}^0 = \Gamma_{2,k}^1 \delta_1^2 - \Gamma_{1,k}^2 \Gamma_{i,2}^1 = \delta_2^k \Gamma_{i,2}^0 - \Gamma_{2,k}^0 \delta_2^i. \quad (84) $$

Nous introduisons les notations

$$ \Gamma^i = \Gamma_{1,2}^i - \Gamma_{2,1}^i \quad \forall i = 0, 1, 2; \quad (85) $$

qui sont nulles dans le cas commutatif, et aussi

$$ S^i = \Gamma_{1,2}^i + \Gamma_{2,1}^i, \quad (86) $$
donnons alors au couple $(i, k)$ les quatre valeurs qu'il est susceptible de prendre, et obtenons

$$ egin{cases} 
\Gamma_{1,1}^2 \Gamma^1 = 0 \\
\Gamma_{2,2}^1 \Gamma^2 = 0 \\
\Gamma_{1,2}^0 = \Gamma_{2,2}^1 \Gamma_{1,1}^2 - \Gamma_{1,2}^2 \Gamma_{1,2}^1 \\
\Gamma_{2,1}^0 = \Gamma_{1,1}^2 \Gamma_{2,2}^1 - \Gamma_{2,1}^1 \Gamma_{2,1}^2.
\end{cases} 
\quad (87) $$

Nous remarquons, ce qui est attendu, que le système de ces quatre équations reste inchangé si nous intervertissons les indices 1 et 2. Les deux premières équations sont échangées, et les deux dernières aussi.

Mais il reste six équations sur les neuf qui traduisent l'égalité des matrices (3, 3). Nous les explicitons. Pour tout $i, k = 1, 2$,

$$ egin{cases} 
\Gamma_{0,k}^0 \Gamma_{i,1}^0 + \Gamma_{1,k}^0 \Gamma_{i,1}^1 + \Gamma_{2,k}^0 \Gamma_{i,1}^2 = \Gamma_{i,0}^0 \Gamma_{1,k}^0 + \Gamma_{i,1}^0 \Gamma_{1,k}^1 + \Gamma_{i,2}^0 \Gamma_{1,k}^2 \\
\Gamma_{0,k}^0 \Gamma_{i,2}^0 + \Gamma_{1,k}^0 \Gamma_{i,2}^1 + \Gamma_{2,k}^0 \Gamma_{i,2}^2 = \Gamma_{i,0}^0 \Gamma_{2,k}^0 + \Gamma_{i,1}^0 \Gamma_{2,k}^1 + \Gamma_{i,2}^0 \Gamma_{2,k}^2 \\
\Gamma_{0,k}^1 \Gamma_{i,0}^0 + \Gamma_{1,k}^1 \Gamma_{i,0}^1 + \Gamma_{2,k}^1 \Gamma_{i,0}^2 = \Gamma_{i,0}^1 \Gamma_{0,k}^0 + \Gamma_{i,1}^1 \Gamma_{0,k}^1 + \Gamma_{i,2}^1 \Gamma_{0,k}^2 \\
\Gamma_{0,k}^1 \Gamma_{i,2}^0 + \Gamma_{1,k}^1 \Gamma_{i,2}^1 + \Gamma_{2,k}^1 \Gamma_{i,2}^2 = \Gamma_{i,0}^1 \Gamma_{2,k}^0 + \Gamma_{i,1}^1 \Gamma_{2,k}^1 + \Gamma_{i,2}^1 \Gamma_{2,k}^2 \\
\Gamma_{0,k}^2 \Gamma_{i,0}^0 + \Gamma_{1,k}^2 \Gamma_{i,0}^1 + \Gamma_{2,k}^2 \Gamma_{i,0}^2 = \Gamma_{i,0}^2 \Gamma_{0,k}^0 + \Gamma_{i,1}^2 \Gamma_{0,k}^1 + \Gamma_{i,2}^2 \Gamma_{0,k}^2 \\
\Gamma_{0,k}^2 \Gamma_{i,1}^0 + \Gamma_{1,k}^2 \Gamma_{i,1}^1 + \Gamma_{2,k}^2 \Gamma_{i,1}^2 = \Gamma_{i,0}^2 \Gamma_{1,k}^0 + \Gamma_{i,1}^2 \Gamma_{1,k}^1 + \Gamma_{i,2}^2 \Gamma_{1,k}^2.
\end{cases} 
\quad (88) $$

Les troisième et cinquième équations du système ci-dessus sont trivialment vérifiées pour toutes les valeurs du couple $(i, k)$. Il reste alors quatre équations pour chacune des quatre valeurs du couple $(i, k)$. Nous explicitons ces 16 équations et nous obtenons

$$ egin{cases} 
\Gamma_{2,1}^0 \Gamma_{1,1}^2 = \Gamma_{1,2}^0 \Gamma_{1,1}^2 \\
\Gamma_{1,2}^0 \Gamma_{2,1}^1 + \Gamma_{2,2}^0 \Gamma_{2,1}^2 = \Gamma_{2,1}^0 \Gamma_{1,2}^1 + \Gamma_{2,2}^0 \Gamma_{1,2}^2 \\
\Gamma_{1,2}^0 \Gamma_{1,1}^1 + \Gamma_{2,2}^0 \Gamma_{1,1}^2 = \Gamma_{1,1}^0 \Gamma_{1,2}^1 + \Gamma_{1,2}^0 \Gamma_{1,2}^2 \\
\Gamma_{1,1}^0 \Gamma_{2,1}^1 + \Gamma_{2,1}^0 \Gamma_{2,1}^2 = \Gamma_{2,1}^0 \Gamma_{1,1}^1 + \Gamma_{2,2}^0 \Gamma_{1,1}^2 \\
\Gamma_{1,1}^0 \Gamma_{1,2}^1 + \Gamma_{2,1}^0 \Gamma_{1,2}^2 = \Gamma_{1,1}^0 \Gamma_{2,1}^1 + \Gamma_{1,2}^0 \Gamma_{2,1}^2 \\
\Gamma_{1,2}^0 \Gamma_{2,2}^1 = \Gamma_{2,1}^0 \Gamma_{2,2}^1 \\
\Gamma_{1,2}^0 \Gamma_{1,2}^1 + \Gamma_{2,2}^0 \Gamma_{2,2}^1 = \Gamma_{1,1}^0 \Gamma_{2,2}^1 + \Gamma_{1,2}^0 \Gamma_{2,2}^2 \\
\Gamma_{1,2}^0 \Gamma_{2,2}^1 + \Gamma_{2,1}^0 \Gamma_{2,2}^2 = \Gamma_{2,1}^0 \Gamma_{1,2}^1 + \Gamma_{2,2}^0 \Gamma_{2,2}^2 \\
\Gamma_{1,2}^0 + \Gamma_{1,1}^1 \Gamma_{1,2}^1 + \Gamma_{2,1}^1 \Gamma_{2,2}^1 = \Gamma_{2,1}^0 + \Gamma_{1,1}^1 \Gamma_{2,1}^1 + \Gamma_{1,2}^1 \Gamma_{2,1}^2 \\
\Gamma_{1,2}^1 \Gamma_{2,2}^1 = \Gamma_{2,1}^1 \Gamma_{2,2}^1 \\
\Gamma_{1,2}^1 \Gamma_{1,2}^1 + \Gamma_{2,2}^1 \Gamma_{1,2}^2 = \Gamma_{2,2}^0 + \Gamma_{1,1}^1 \Gamma_{2,2}^1 + \Gamma_{1,2}^1 \Gamma_{2,2}^2 \\
\Gamma_{2,2}^0 + \Gamma_{1,1}^1 \Gamma_{2,2}^1 + \Gamma_{2,1}^1 \Gamma_{2,2}^2 = \Gamma_{2,1}^1 \Gamma_{2,1}^1 + \Gamma_{2,2}^1 \Gamma_{2,1}^2 \\
\Gamma_{2,1}^2 \Gamma_{1,1}^2 = \Gamma_{1,2}^2 \Gamma_{1,1}^2 \\
\Gamma_{2,1}^0 + \Gamma_{1,2}^2 \Gamma_{2,1}^1 + \Gamma_{2,2}^0 \Gamma_{2,1}^2 = \Gamma_{1,2}^0 + \Gamma_{1,1}^2 \Gamma_{2,1}^2 + \Gamma_{2,2}^0 \Gamma_{2,1}^2 \\
\Gamma_{1,1}^0 + \Gamma_{1,2}^2 \Gamma_{1,1}^1 + \Gamma_{2,2}^0 \Gamma_{1,1}^2 = \Gamma_{1,1}^0 + \Gamma_{1,1}^1 \Gamma_{1,2}^1 + \Gamma_{1,2}^0 \Gamma_{1,2}^2 \\
\Gamma_{1,1}^2 \Gamma_{2,1}^1 + \Gamma_{2,1}^2 \Gamma_{2,1}^2 = \Gamma_{1,1}^0 + \Gamma_{1,1}^1 \Gamma_{2,1}^2 + \Gamma_{2,2}^0 \Gamma_{1,1}^2.
\end{cases} 
\quad (89) $$
Les équations 15, 16, 11 et 12 du système ci-dessus s'écrivent aussi

$$
\left\{
\begin{aligned}
\Gamma_{1,1}^0 &= \Gamma_{1,2}^2(\Gamma_{1,2}^2 - \Gamma_{1,1}^1) + \Gamma_{1,1}^2(\Gamma_{1,2}^1 - \Gamma_{2,2}^2) \\
&= \Gamma_{2,1}^2(\Gamma_{2,1}^2 - \Gamma_{1,1}^1) + \Gamma_{1,1}^2(\Gamma_{2,1}^1 - \Gamma_{2,2}^2) \\
\Gamma_{2,2}^0 &= \Gamma_{1,2}^1(\Gamma_{1,2}^1 - \Gamma_{2,2}^2) + \Gamma_{2,2}^1(\Gamma_{1,2}^2 - \Gamma_{1,1}^1) \\
&= \Gamma_{2,1}^1(\Gamma_{2,1}^1 - \Gamma_{2,2}^2) + \Gamma_{2,2}^1(\Gamma_{2,1}^2 - \Gamma_{1,1}^1),
\end{aligned}
\right.
\qquad (90)
$$

ou encore

$$
\left\{
\begin{aligned}
\Gamma_{1,1}^0 &= \Gamma_{1,2}^2(\Gamma_{1,2}^2 - \Gamma_{1,1}^1) + \Gamma_{1,1}^2(\Gamma_{1,2}^1 - \Gamma_{2,2}^2) \\
\Gamma_{2,2}^0 &= \Gamma_{1,2}^1(\Gamma_{1,2}^1 - \Gamma_{2,2}^2) + \Gamma_{2,2}^1(\Gamma_{1,2}^2 - \Gamma_{1,1}^1) \\
\Gamma^2(S^2 - \Gamma_{1,1}^1) + \Gamma^1\Gamma_{1,1}^2 &= 0 \\
\Gamma^1(S^1 - \Gamma_{2,2}^2) + \Gamma^2\Gamma_{2,2}^1 &= 0.
\end{aligned}
\right.
\qquad (91)
$$

Par ailleurs, les équations 9 et 14 donnent

$$
\left\{
\begin{aligned}
\Gamma^0 &= \Gamma_{1,2}^2 \Gamma^1 - \Gamma_{1,2}^1 \Gamma^2 - \Gamma_{1,1}^1 \Gamma^1 \\
&= \Gamma_{21}^1 \Gamma^2 - \Gamma_{2,1}^2 \Gamma^1 - \Gamma_{2,2}^2 \Gamma^2.
\end{aligned}
\right.
\qquad (92)
$$

Ainsi, une algèbre $\mathcal{A}$ de dimension 3 doit satisfaire, pour être associative, à la fois les conditions 87 et 89.

Nous remarquons, comme prévu, que le système des ces 20 équations reste inchangé si nous intervertissons les indices 1 et 2. Pour mettre ce fait en évidence, réécrivons ce système en plaçant une équation dans une ligne impaire, et l'équation qui s'en déduit par interversion des indices 1 et 2 dans la ligne paire qui suit immédiatement. De façon précise, nous écrivons les équations 1 et 2 de 87, puis les équations 1, 6, 13 et 10 de 89, suivies des deux dernières équations de 87, des
équations de 91, puis 92, et enfin les équations 3, 8, 7, 4, 5 et 2 de 89. Nous obtenons

$$
\left\{
\begin{aligned}
\Gamma_{1,1}^2 \Gamma^1 &= 0 \\
\Gamma_{2,2}^1 \Gamma^2 &= 0 \\
\Gamma_{1,1}^2 \Gamma^0 &= 0 \\
\Gamma_{2,2}^1 \Gamma^0 &= 0 \\
\Gamma_{1,1}^2 \Gamma^2 &= 0 \\
\Gamma_{2,2}^1 \Gamma^1 &= 0 \\
\Gamma_{1,2}^0 &= \Gamma_{2,2}^1 \Gamma_{1,1}^2 - \Gamma_{1,2}^2 \Gamma_{1,2}^1 \\
\Gamma_{2,1}^0 &= \Gamma_{1,1}^2 \Gamma_{2,2}^1 - \Gamma_{2,1}^1 \Gamma_{2,2}^2 \\
\Gamma_{1,1}^0 &= -\Gamma_{1,2}^2 (\Gamma_{1,1}^1 - \Gamma_{1,2}^2) - \Gamma_{1,1}^2 (\Gamma_{2,2}^2 - \Gamma_{1,2}^1) \\
\Gamma_{2,2}^0 &= -\Gamma_{2,1}^1 (\Gamma_{2,2}^2 - \Gamma_{2,1}^1) - \Gamma_{2,2}^1 (\Gamma_{1,1}^1 - \Gamma_{2,1}^2) \\
\Gamma^2 (S^2 - \Gamma_{1,1}^1) + \Gamma^1 \Gamma_{1,1}^2 &= 0 \\
\Gamma^1 (S^1 - \Gamma_{2,2}^2) + \Gamma^2 \Gamma_{2,2}^1 &= 0 \\
\Gamma^0 &= \Gamma_{1,2}^2 \Gamma^1 - \Gamma_{1,2}^1 \Gamma^2 - \Gamma_{1,1}^1 \Gamma^1 \\
\Gamma^0 &= \Gamma_{21}^1 \Gamma^2 - \Gamma_{2,1}^2 \Gamma^1 - \Gamma_{2,2}^2 \Gamma^2 \\
\Gamma_{1,2}^1 \Gamma_{1,1}^2 \Gamma^2 + \Gamma_{1,1}^2 S^1 \Gamma^1 - \Gamma_{1,1}^2 \Gamma_{2,2}^2 \Gamma^1 &= 0 \\
\Gamma_{1,1}^2 \Gamma_{2,2}^1 \Gamma^1 + \Gamma_{2,2}^1 S^2 \Gamma^2 - \Gamma_{2,2}^1 \Gamma_{1;1}^1 \Gamma^2 &= 0 \\
\Gamma_{1,2}^2 [\Gamma^1 (S^1 - \Gamma_{2,2}^2) + \Gamma_{2,2}^1 \Gamma^2] &= 0 \\
\Gamma_{2,1}^1 [\Gamma^2 (S^2 - \Gamma_{1,1}^1) + \Gamma_{1,1}^2 \Gamma^1] &= 0 \\
\Gamma_{1,1}^0 \Gamma^1 &= -\Gamma_{2,2}^1 \Gamma_{1,1}^2 \Gamma^2 - \Gamma_{1,2}^2 \Gamma_{2,1}^2 \Gamma^1 \\
\Gamma_{2,2}^0 \Gamma^2 &= -\Gamma_{1,1}^2 \Gamma_{2,2}^1 \Gamma^1 - \Gamma_{2,1}^1 \Gamma_{1,2}^1 \Gamma^2.
\end{aligned}
\right.
\qquad (93)
$$

Dans ce système, les équations 7, 8, 9 et 10 peuvent être considérées comme des définitions de $\Gamma_{1,2}^0, \Gamma_{2,1}^0, \Gamma_{1,1}^0, \Gamma_{2,2}^0$.

Puisque le cas d'une algèbre commutative a déjà été étudié, nous considérons désormais, le cas non commutatif

Alors, $\Gamma^1 \text{ ou } \Gamma^2$ est non nul. Donc, d'après les six premières équations, $\Gamma_{2,2}^1 = \Gamma_{1,1}^2 = 0$. Si, par exemple, $\Gamma^2 \neq 0$ (la cas $\Gamma^1 \neq 0$ se traite de façon tout à fait similaire), alors 93 s'écrit
$$
\left\{
\begin{aligned}
\Gamma_{1,1}^2 &= \Gamma_{2,2}^1 = 0 \\
\Gamma_{1,2}^0 &= -\Gamma_{1,2}^1 \Gamma_{1,2}^2 \\
\Gamma_{2,1}^0 &= -\Gamma_{2,1}^1 \Gamma_{2,1}^2 \\
\Gamma_{1,1}^0 &= \Gamma_{1,2}^2 (\Gamma_{1,2}^2 - \Gamma_{1,1}^1) \\
\Gamma_{2,2}^0 &= \Gamma_{2,1}^1 (\Gamma_{2,1}^1 - \Gamma_{2,2}^2) \\
S^2 &= \Gamma_{1,1}^1 \\
\Gamma^1(S^1 - \Gamma_{2,2}^2) &= 0 \\
\Gamma^0 &= \Gamma_{1,2}^2 \Gamma^1 - \Gamma_{1,2}^1 \Gamma^2 - \Gamma_{1,1}^1 \Gamma^1 = (\Gamma_{21}^1 \Gamma^2 - \Gamma_{2,1}^2 \Gamma^1 - \Gamma_{2,2}^2 \Gamma^2) \\
\Gamma^1 S^2 - \Gamma^2 S^1 &= \Gamma_{1,1}^1 \Gamma^1 - \Gamma_{2,2}^2 \Gamma^2 \\
\Gamma_{1,2}^2 \Gamma^1 (S^1 - \Gamma_{2,2}^2) &= 0 \\
\Gamma_{1,1}^0 \Gamma^1 &= -\Gamma_{1,2}^2 \Gamma_{2,1}^2 \Gamma^1 \\
\Gamma_{2,2}^0 \Gamma^2 &= -\Gamma_{2,1}^1 \Gamma_{1,2}^1 \Gamma^2.
\end{aligned}
\right.
\qquad (94)
$$

Ici, la ligne 9 traduit l'égalité dans la parenthèse de la ligne 8.

La ligne 9 s'écrit $\Gamma^1(S^2 - \Gamma_{1,1}^1) = \Gamma^2(S^1 - \Gamma_{2,2}^2)$, ce qui, puisque le membre de gauche est nul, implique $S^1 = \Gamma_{2,2}^2$. La dixième ligne est satisfaite.

La quatrième ligne s'écrit $\Gamma_{1,1}^0 = (\Gamma_{1,2}^2)^2 - \Gamma_{1,2}^2(\Gamma_{1,2}^2 + \Gamma_{2,1}^2) = -\Gamma_{1,2}^2\Gamma_{2,1}^2$, et donc l'avant dernière ligne est vérifiée. De façon analogue, la cinquième ligne implique $\Gamma_{2,2}^0 = -\Gamma_{1,2}^1\Gamma_{2,1}^1$, et la dernière ligne est satisfaite. La huitième aussi, comme on le vérifie aisément.

Au total, dans le cas non commutatif, l'associativité se traduit par

$$
\left\{
\begin{aligned}
\Gamma_{1,1}^2 &= \Gamma_{2,2}^1 = 0 \\
\Gamma_{1,2}^0 &= -\Gamma_{1,2}^1 \Gamma_{1,2}^2 \\
\Gamma_{2,1}^0 &= -\Gamma_{2,1}^1 \Gamma_{2,1}^2 \\
\Gamma_{1,1}^0 &= -\Gamma_{1,2}^2 \Gamma_{2,1}^2 \\
\Gamma_{2,2}^0 &= -\Gamma_{1,2}^1 \Gamma_{2,1}^1 \\
S^2 &= \Gamma_{1,1}^1 \\
S^1 &= \Gamma_{2,2}^2.
\end{aligned}
\right.
\qquad (95)
$$

Maintenant que nous connaissons les conditions d'obtention d'une algèbre de dimension 3, nous allons regarder si la classe des fonctions vérifiant 80 possède une formule de Cauchy, c'est à dire satisfait les conditions 17 explicitées en 2.1.

$$
\left\{
\begin{aligned}
b_0 &= \frac{a_0^{-1}}{3V_{ol}} \\
b_1 &= \frac{a_1^{-1}}{3V_{ol}} \\
b_2 &= \frac{a_2^{-1}}{3V_{ol}},
\end{aligned}
\right.
\qquad (96)
$$

et, en reportant dans les trois dernières lignes,

$$
\left\{
\begin{aligned}
a_0 a_1^{-1} + a_1 a_0^{-1} &= 0 \\
a_0 a_2^{-1} + a_2 a_0^{-1} &= 0 \\
a_1 a_2^{-1} + a_2 a_1^{-1} &= 0.
\end{aligned}
\right.
\qquad (97)
$$
Ces équations sont équivalentes à $\forall (i,j) = (0,1), (0,2), (1,2), e_0 + (a_j a_i^{-1})^2 = 0$, que nous écrirons

$$e_0 + (c_j^i)^2 = 0, \qquad (98)$$

en posant $c_j^i = a_j a_i^{-1}$. Nous allons donc chercher $c_j^i$ vérifiant $e_0 + (c_j^i)^2 = 0$. Il nous faudra ensuite trouver $a_0, a_1, a_2$ vérifiant

$$\left\{ \begin{array}{l} a_1 a_0^{-1} = c_1^0 \\ a_2 a_0^{-1} = c_2^0 \\ a_2 a_1^{-1} = c_2^1. \end{array} \right. \qquad (99)$$

Les deux premières lignes donnent

$$\left\{ \begin{array}{l} a_1 = c_1^0 a_0 \\ a_2 = c_2^0 a_0, \end{array} \right. \qquad (100)$$

et la troisième ligne devient

$$c_2^1 = c_2^0 a_0 a_0^{-1} (c_1^0)^{-1} = c_2^0 (c_1^0)^{-1}, \qquad (101)$$

soit

$$c_2^1 c_1^0 = c_2^0. \qquad (102)$$

Par conséquent, nous cherchons d'abord $c = ae_0 + be_1 + ce_2$ vérifiant $e_0 + c^2 = 0$. Sur les composantes, cela donne

$$\left\{ \begin{array}{l} 1 + a^2 + b^2 \Gamma_{1,1}^0 + bcS^0 + c^2 \Gamma_{2,2}^0 = 0 \\ 2ab + b^2 \Gamma_{1,1}^1 + bcS^1 + c^2 \Gamma_{2,2}^1 = 0 \\ 2ac + b^2 \Gamma_{1,1}^2 + bcS^2 + c^2 \Gamma_{2,2}^2 = 0. \end{array} \right. \qquad (103)$$

Nous utilisons 95 et 103 devient

$$\left\{ \begin{array}{l} 1 + a^2 - b^2 \Gamma_{1,2}^2 \Gamma_{2,1}^2 - bc[\Gamma_{1,2}^1 \Gamma_{1,2}^2 + \Gamma_{2,1}^1 \Gamma_{2,1}^2] - c^2 \Gamma_{1,2}^1 \Gamma_{2,1}^1 = 0 \\ b[2a + bS^2 + cS^1] = 0 \\ c[2a + bS^2 + cS^1] = 0. \end{array} \right. \qquad (104)$$

D'après la première équation, $b$ ou $c$ est non nul. Donc, les deux dernières équations disent simplement que

$$a = - \frac{bS^2 + cS^1}{2}, \qquad (105)$$

ce qui donne, en reportant dans la première équation

$$1 + \frac{b^2(S^2)^2 + 2bcS^1S^2 + c^2(S^1)^2}{4} - b^2\Gamma_{1,2}^2\Gamma_{2,1}^2 - bc[\Gamma_{1,2}^1\Gamma_{1,2}^2 + \Gamma_{2,1}^1\Gamma_{2,1}^2] - c^2\Gamma_{1,2}^1\Gamma_{2,1}^1 = 0, \qquad (106)$$

ou encore, par un calcul facile,

$$b^2 \frac{(\Gamma^2)^2}{4} - bc \frac{\Gamma^1 \Gamma^2}{2} + c^2 \frac{(\Gamma^1)^2}{4} = -1, \qquad (107)$$

soit

$$(b\Gamma^2 - c\Gamma^1)^2 = -1, \qquad (108)$$

ce qui est manifestement impossible. Ainsi, il n'y a pas de formule de Cauchy.
## Le cas de la dimension 4.

Nous allons considérer deux exemples d'algèbres de dimension 4, et, d'abord, l'exemple de l'espace $\mathfrak{M}_2(\mathbb{R})$ des matrices carrées d'ordre 2.

**Exemple 2.15.** $A = \mathfrak{M}_2(\mathbb{R})$

Nous choisisons, par exemple, comme base de $A = \mathfrak{M}_2(\mathbb{R})$, la base $(e_0, e_1, e_2, e_3)$ suivante

$$e_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad e_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad e_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad e_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad (109)$$

à laquelle est associée la table suivante pour le produit

<table><thead><tr><th>×</th><th>e<sub>0</sub></th><th>e<sub>1</sub></th><th>e<sub>2</sub></th><th>e<sub>3</sub></th></tr></thead><tbody><tr><th>e<sub>0</sub></th><td>e<sub>0</sub></td><td>e<sub>1</sub></td><td>e<sub>2</sub></td><td>e<sub>3</sub></td></tr><tr><th>e<sub>1</sub></th><td>e<sub>1</sub></td><td>0</td><td>e<sub>3</sub></td><td>0</td></tr><tr><th>e<sub>2</sub></th><td>e<sub>2</sub></td><td>e<sub>0</sub> - e<sub>3</sub></td><td>0</td><td>e<sub>2</sub></td></tr><tr><th>e<sub>3</sub></th><td>e<sub>3</sub></td><td>e<sub>1</sub></td><td>0</td><td>e<sub>3</sub></td></tr></tbody></table>

Nous calculons les éléments $A_{m,l}^j = a_m^j e_l$ pour $m = 1, \dots, q$ où $q$ reste à fixer :

$$ 
\begin{align} 
A_{m,0}^j &= a_m^{j,0} e_0 + a_m^{j,1} e_1 + a_m^{j,2} e_2 + a_m^{j,3} e_3 \notag \\ 
A_{m,1}^j &= a_m^{j,0} e_1 + a_m^{j,2} (e_0 - e_3) + a_m^{j,3} e_1 \tag{110} \\ 
A_{m,2}^j &= a_m^{j,0} e_2 + a_m^{j,1} e_3 \notag \\ 
A_{m,3}^j &= a_m^{j,0} e_3 + a_m^{j,2} e_2 + a_m^{j,3} e_3. \notag 
\end{align} 
$$

Nous allons considérer la classe des fonctions de $\mathfrak{M}_2(\mathbb{R})$ dans $\mathfrak{M}_2(\mathbb{R})$ qui satisfont les conditions de Cauchy 7 et cherchons une formule de Cauchy pour cette classe.

Nous voulons donc traduire les relations 29. Pour tout $i = 0, 1, 2, 3$, fixé, le système $S_i$ s'écrit

$$\sum_{m=0}^{q} \sum_{l=0}^{3} b_m^{i,l} A_{m,l}^{j,s} = c_i^{j,s} \quad \text{avec} \quad c_i^{j,s} = \delta_0^s \text{ et } c_j^{i,s} = -c_i^{j,s} \quad \text{si } i \neq j. \qquad (111)$$

Nous avons remarqué que les équations principales jouent un rôle décisif dans les formules obtenues. Aussi, nous allons faire plusieurs hypothèses sur ces équations principales.

### Première hypothèse

Nous supposons que $q = 1$. Alors, la seule valeur permise pour le paramètre $m$ est $m = 1$. Par conséquent, nous supprimons, dans cette partie, l'indice $m$. Notre hypothèse est que les équations principales sont au nombre de 4, et sont données par les indices

$$I = \{(j_0, s_0) = (0,0), (j_1, s_1) = (0,1), (j_2, s_2) = (0,2), (j_3, s_3) = (0,3)\} \qquad (112)$$

et donc
$$ \bar{I} = \{(j, s) : j = 1, 2, 3, \ s = 0, 1, 2, 3\}. \qquad (113) $$

Ainsi, 36 et 43 s'écrivent

$$ \begin{aligned} \forall j \ge 1, \quad c_i^{j,s} &= -\frac{1}{D_0} \sum_{l=0}^{3} (-1)^l c_i^{0,l} D_{j,s,i}^{0,l} \\ &= \frac{-1}{4D_0} D_{j,s,i}^{0,0} - \frac{1}{D_0} \sum_{l=1}^{3} (-1)^l c_0^{i,l} D_{j,s,i}^{0,l} \qquad (114) \\ &= \frac{-1}{4D_0} D_{j,s,i}^{0,0} - \frac{1}{D_0^2} \sum_{l=1,2,3, \ l'=0,1,2,3} (-1)^{l+l'} D_{j,s,i}^{0,l} c_0^{0,l'} D_{i,l,0}^{0,l'} \\ &= \frac{-1}{4D_0} D_{j,s,i}^{0,0} - \frac{1}{4D_0^2} \sum_{l=1}^{3} (-1)^l D_{j,s,i}^{0,l} D_{i,l,0}^{0,0} \end{aligned} $$

et

$$ \forall i, j \ge 1, \quad D_{j,s,i}^{0,0} + D_{i,s,j}^{0,0} + \frac{1}{D_0} \sum_{l=1}^{3} (-1)^l [D_{j,s,i}^{0,l} D_{i,l,0}^{0,0} + D_{i,s,j}^{0,l} D_{j,l,0}^{0,0}] = 0 \qquad (115) $$

tandis que 45 devient

$$ \begin{aligned} \forall j \ge 1, \quad c_j^{j,s} &= \frac{\delta_0^s}{4} = \frac{-1}{D_0} \sum_{l=0}^{3} (-1)^l c_j^{0,l} D_{j,s,j}^{0,l} = \frac{1}{D_0} \sum_{l=0}^{3} (-1)^l c_0^{j,l} D_{j,s,j}^{0,l} \\ &= \frac{-1}{D_0^2} \sum_{l,l'=0}^{3} (-1)^{l+l'} D_{j,s,j}^{0,l} c_0^{0,l'} D_{j,l,0}^{0,l'} \qquad (116) \\ &= \frac{-1}{4D_0^2} \sum_{l=0}^{3} (-1)^l D_{j,s,j}^{0,l} D_{j,l,0}^{0,0}, \end{aligned} $$

ou

$$ \sum_{l=0}^{3} (-1)^l D_{j,s,j}^{0,l} D_{j,l,0}^{0,0} = -D_0^2 \delta_0^s. \qquad (117) $$

Nous avons ici les deux premiers type d'équations qui constituent 48. Quant au troisième type, les équations conditionnées à $j_k \ne j_l$, il n'y en a pas ici, car $k, l \le r$ implique $j_k = j_l = 0$, et donc il est impossible d'avoir $((i, s_k) = (0, s_k) \in \bar{I}$.

Ici, le système 48 qui donne les conditions d'existence d'une formule de Cauchy pour la classe des fonctions vérifiant les conditions de Cauchy 7 s'écrit : $\forall i, j \ge 1$,

$$ \left\{ \begin{array}{l} D_{j,s,i}^{0,0} + D_{i,s,j}^{0,0} + \frac{1}{D_0} \sum_{l=1}^{3} (-1)^l [D_{j,s,i}^{0,l} D_{i,l,0}^{0,0} + D_{i,s,j}^{0,l} D_{j,l,0}^{0,0}] = 0 \\ \sum_{l=0}^{3} (-1)^l D_{j,s,j}^{0,l} D_{j,l,0}^{0,0} = -D_0^2 \delta_0^s. \end{array} \right. \qquad (118) $$

Ce sont les conditions (A) pour qu'existe une formule de Cauchy.

111 donne les équations principales :
$$ \left\{ \begin{array}{l} \sum_{l=0}^{3} b^{i,l} A_l^{0,0} = c_i^{0,0} \\ \sum_{l=0}^{3} b^{i,l} A_l^{0,1} = c_i^{0,1} \\ \sum_{l=0}^{3} b^{i,l} A_l^{0,2} = c_i^{0,2} \\ \sum_{l=0}^{3} b^{i,l} A_l^{0,3} = c_i^{0,3}, \end{array} \right. \qquad (119) $$

c'est à dire $\forall s = 0, ..., 3$, d'après 110,

$$ b^{i,o}[a^{0,0}e_0 + a^{0,1}e_1 + a^{0,2}e_2 + a^{0,3}e_3] + b^{i,1}[a^{0,0}e_1 + a^{0,2}(e_0 - e_3) + a^{0,3}e_1] \\ + b^{i,2}[a^{0,0}e_2 + a^{0,1}e_3] + b^{i,3}[a^{0,0}e_3 + a^{0,2}e_2 + a^{0,3}e_3] = c c_i^0, \qquad (120) $$

soit, en séparant les quatre composantes

$$ \left\{ \begin{array}{ll} b^{i,0}a^{0,0} + b^{i,1}a^{0,2} & = c_i^{0,0} \\ b^{i,0}a^{0,1} + b^{i,1}(a^{0,0} + a^{0,3}) & = c_i^{0,1} \\ b^{i,0}a^{0,2} & = c_i^{0,2} \\ b^{i,0}a^{0,3} - b^{i,1}a^{0,2} & = c_i^{0,3} \end{array} \right. \qquad (121) $$

Nous allons maintenant supposer (ce qui n'est pas vraiment restrictif) que la matrice de ce système de 4 équations de rang 4 est la matrice Identité, c'est à dire

$$ \left\{ \begin{array}{l} a^{0,0} = 1 \\ a^{0,1} = a^{0,2} = a^{0,3} = 0. \end{array} \right. \qquad (122) $$

Le déterminant de ce système est donc $D_0 = 0$.

111 donne les équations non principales, et nous obtenons les déterminants caractéristiques qui fournissent les conditions pour que les systèmes $S_i$ aient des solutions : $\forall i = 0, ..., 3$, $\forall j = 1, 2, 3$,

$$ c_i^{j,s} = A_0^{j,s} c_i^{0,0} + A_1^{j,s} c_i^{0,1} + A_2^{j,s} c_i^{0,2} + A_3^{j,s} c_i^{0,3}, \qquad (123) $$

c'est à dire que l'on a $\forall j \ge 1$, $\forall k = 0, ..., 3$, $D_{j,s,i}^{0,k} = (-1)^{k+1} A_k^{j,s}$.

Ainsi, les conditions d'obtention d'une formule de Cauchy 115 et 117 s'écrivent $\forall i, j \ge 1$,

$$ \left\{ \begin{array}{l} -A_0^{j,s} - A_0^{i,s} + \sum_{l=0}^{3} (A_l^{j,s} A_0^{i,l} + A_l^{i,s} A_0^{j,l}) = 0 \\ \sum_{l=0}^{3} A_l^{j,s} A_0^{j,s} = -\delta_0^s. \end{array} \right. \qquad (124) $$

110 donne les composantes $A_i^{j,s}$ de $A_i^j$, et donc nous pouvons expliciter ces conditions. Nous explicitons d'abord la deuxième équation de 124 pour $s = 0, ..., 3$, et $j = 1, 2$.

$$ \left\{ \begin{array}{l} 1 + (a^{1,0})^2 + a^{1,2}a^{1,1} = 0 \\ 1 + (a^{2,0})^2 + a^{2,2}a^{2,1} = 0 \\ 1 + (a^{3,0})^2 + a^{3,2}a^{3,1} = 0 \\ a^{1,1}[2a^{1,0} + a^{1,3}] = 0 \\ a^{2,1}[2a^{2,0} + a^{2,3}] = 0 \\ a^{3,1}[2a^{3,0} + a^{3,3}] = 0. \end{array} \right. \qquad (125) $$

D'après la première équation, $a^{1,1}$, $a^{2,1}$ et $a^{3,1}$ sont non nuls. Et donc
$$ egin{cases} a^{1,3} = -2a^{1,0} \\ a^{2,3} = -2a^{2,0} \\ a^{3,3} = -2a^{3,0}. \end{cases} \qquad (126) $$

Explicitons, maintenant, la première équation de 124 pour $(i, j, s) = (1, 2, 1)$, $(1, 3, 1)$ et $(2, 3, 1)$.

$$ egin{cases} -a^{2,1} - a^{1,1} + (a^{2,1}a^{1,0} + a^{1,1}a^{2,0}) + ((a^{2,0} + a^{2,3})a^{1,1} + (a^{1,0} + a^{1,3})a^{2,1}) = 0 \\ -a^{3,1} - a^{1,1} + (a^{3,1}a^{1,0} + a^{1,1}a^{3,0}) + ((a^{3,0} + a^{3,3})a^{1,1} + (a^{1,0} + a^{1,3})a^{3,1}) = 0 \\ -a^{3,1} - a^{2,1} + (a^{3,1}a^{2,0} + a^{2,1}a^{3,0}) + ((a^{3,0} + a^{3,3})a^{2,1} + (a^{2,0} + a^{2,3})a^{3,1}) = 0. \end{cases} \qquad (127) $$

Nous reportons les valeurs de 126 dans cette équation et obtenons

$$ egin{cases} -a^{2,1} - a^{1,1} = 0 \\ -a^{3,1} - a^{1,1} = 0 \\ -a^{3,1} - a^{2,1} = 0, \end{cases} \qquad (128) $$

donc, nous avons

$$ a^{1,1} = -a^{2,1} = -a^{3,1} = a^{2,1}, \qquad (129) $$

et, en comparant le deuxième et le quatrième terme, nous déduisons que tous ces termes sont nuls. La nullité de $a^{1,1}$ est rigoureusement incompatible avec la première équation de 125. Ainsi, dans le cas étudié, nous n'avons pas de formule de Cauchy.

Nous avons déjà remarqué que, moins nous avons de conditions de Cauchy, plus il est difficile d'avoir une formule de Cauchy, mais plus est grande la classe des fonctions considérées. Nous avons donc un certain équilibre à respecter, et, en choisissant $q = 1$, nous avons trop peu de conditions de Cauchy.

### Deuxième hypothèse

Nous supposons $q = 3$, et voulons traduire les relations 28. Dans le cas présent, elles s'écrivent, pour tout $i, j = 0, 1, 2, 3$,

$$ \sum_{m=1}^{3} b_m^{i,0}(a_m^{j,0}e_0 + a_m^{j,1}e_1 + a_m^{j,2}e_2 + a_m^{j,3}e_3) + b_m^{i,1}(a_m^{j,0}e_1 + a_m^{j,2}(e_0 - e_3) + a_m^{j,3}e_1) + b_m^{i,2}(a_m^{j,0}e_2 + a_m^{j,1}e_3) + b_m^{i,3}(a_m^{j,0}e_3 + a_m^{j,2}e_2 + a_m^{j,3}e_3) = c_i^j, \qquad (130) $$

soit, en séparant les quatre composantes,

$$ egin{cases} b_1^{i,0}a_1^{j,0} + b_1^{i,1}a_1^{j,2} + b_2^{i,0}a_2^{j,0} + b_2^{i,1}a_2^{j,2} + b_3^{i,0}a_3^{j,0} + b_3^{i,1}a_3^{j,2} = c_i^{j,0} \\ b_1^{i,0}a_1^{j,1} + b_1^{i,1}(a_1^{j,0} + a_1^{j,3}) + b_2^{i,0}a_2^{j,1} + b_2^{i,1}(a_2^{j,0} + a_2^{j,3}) + b_3^{i,0}a_3^{j,1} + b_3^{i,1}(a_3^{j,0} + a_3^{j,3}) = c_i^{j,1} \\ b_1^{i,0}a_1^{j,2} + b_1^{i,2}a_1^{j,0} + b_1^{i,3}a_1^{j,2} + b_2^{i,0}a_2^{j,2} + b_2^{i,2}a_2^{j,0} + b_2^{i,3}a_2^{j,2} + b_3^{i,0}a_3^{j,2} + b_3^{i,2}a_3^{j,0} + b_3^{i,3}a_3^{j,2} = c_i^{j,2} \\ b_1^{i,0}a_1^{j,3} - b_1^{i,1}a_1^{j,2} + b_1^{i,2}a_1^{j,1} + b_1^{i,3}(a_1^{j,0} + a_1^{j,3}) + b_2^{i,0}a_2^{j,3} - b_2^{i,1}a_2^{j,2} + b_2^{i,2}a_2^{j,1} + b_2^{i,3}(a_2^{j,0} + a_2^{j,3}) + b_3^{i,0}a_3^{j,3} + b_3^{i,2}a_3^{j,0} + b_3^{i,3}a_3^{j,3} = c_i^{j,3} \end{cases} \qquad (131) $$

Pour chaque valeur de $i = 0, 1, 2, 3$, nous avons un système $S_i$ de 16 équations (4 équations pour chaque valeur de $j = 0, 1, 2, 3$) à 12 inconnues $b_m^{i,l}$, $m = 1, 2, 3$; $l = 0, 1, 2, 3$. Dans chaque système $S_i$, les inconnues et les seconds membres dépendent de $i$, mais pas les coefficients dans
les premiers membres. Les seize équations sont rangées dans l'ordre suivant : d'abord, les quatre équations relatives à $j = 0$, (dans l'ordre ci-dessus), puis les quatre correspondant à $j = 1$, suivies des quatre de $j = 2$, et enfin les quatre dernières avec $j = 3$.

Nous supposons, c'est là notre deuxième hypothèse, que les équations principales de chaque système $S_i$ sont les 12 équations qui correspondent à $j = 0, 1, 2$. Nous notons toujours $D_0$ le déterminant de ce système principal. Les quatre équations non principales correspondent à $j = 3$. Pour énoncer les quatre conditions de compatibilité, nous désignerons, par $D_l^{13+k}$, $l = 1, ..., 12$; $k = 0, 1, 2, 3$, le déterminant obtenu, à partir de $D_0$, en supprimant la ligne $l$ et en ra-joutant, en bas, la ligne $13+k$. Nous obtenons les quatre conditions de compatibilité en développant les déterminants caractéristiques et obtenons : pour tout $k = 0, 1, 2, 3$,

$$c_i^{3,k} D_0 - c_i^{2,3} D_{12}^{13+k} + c_i^{2,2} D_{11}^{13+k} - c_i^{2,1} D_{10}^{13+k} + c_i^{2,0} D_9^{13+k} - c_i^{1,3} D_8^{13+k} + c_i^{1,2} D_7^{13+k} - c_i^{1,1} D_6^{13+k} \\ + c_i^{1,0} D_5^{13+k} - c_i^{0,3} D_4^{13+k} + c_i^{0,2} D_3^{13+k} - c_i^{0,1} D_2^{13+k} + c_i^{0,0} D_1^{13+k} = 0, \qquad (132)$$

donc

$$c_i^{3,k} = \frac{1}{D_0} [c_i^{2,3} D_{12}^{13+k} - c_i^{2,2} D_{11}^{13+k} + c_i^{2,1} D_{10}^{13+k} - c_i^{2,0} D_9^{13+k} + c_i^{1,3} D_8^{13+k} - c_i^{1,2} D_7^{13+k} + c_i^{1,1} D_6^{13+k} \\ - c_i^{1,0} D_5^{13+k} + c_i^{0,3} D_4^{13+k} - c_i^{0,2} D_3^{13+k} + c_i^{0,1} D_2^{13+k} - c_i^{0,0} D_1^{13+k}] \qquad (133)$$

ou, sous forme matricielle,

$$c_i^3 = M_1 c_i^2 + M_2 c_i^1 + M_3 c_i^0, \qquad (134)$$

en notant

$$c_i^j = \begin{pmatrix} c_i^{j,0} \\ c_i^{j,1} \\ c_i^{j,2} \\ c_i^{j,3} \end{pmatrix}, \quad M_1 = \frac{1}{D_0} \begin{pmatrix} -D_9^{13} & +D_9^{13} & -D_9^{13} & +D_9^{13} \\ -D_9^{14} & +D_9^{14} & -D_9^{14} & +D_9^{14} \\ -D_9^{15} & +D_9^{15} & -D_9^{15} & +D_9^{15} \\ -D_9^{16} & +D_9^{16} & -D_9^{16} & +D_9^{16} \end{pmatrix}, \\ M_2 = \frac{1}{D_0} \begin{pmatrix} -D_5^{13} & +D_5^{13} & -D_5^{13} & +D_5^{13} \\ -D_5^{14} & +D_5^{14} & -D_5^{14} & +D_5^{14} \\ -D_5^{15} & +D_5^{15} & -D_5^{15} & +D_5^{15} \\ -D_5^{16} & +D_5^{16} & -D_5^{16} & +D_5^{16} \end{pmatrix}, \quad M_3 = \frac{1}{D_0} \begin{pmatrix} -D_1^{13} & +D_1^{13} & -D_1^{13} & +D_1^{13} \\ -D_1^{14} & +D_1^{14} & -D_1^{14} & +D_1^{14} \\ -D_1^{15} & +D_1^{15} & -D_1^{15} & +D_1^{15} \\ -D_1^{16} & +D_1^{16} & -D_1^{16} & +D_1^{16} \end{pmatrix}. \qquad (135)$$

Conformément à 23, nous posons alors, pour $i \le 2$, $c_i^i = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} := \frac{1}{4} \delta_0$, et choisissons arbitrairement $c_i^j$ pour $0 \le j < i \le 2$ (c'est-à-dire $c_1^0, c_2^0, c_1^1$).

on en déduit, de façon à satisfaire 23, $c_j^i = -c_i^j$ pour $0 \le j < i \le 2$ (c'est-à-dire $c_0^1, c_0^2, c_1^2$). On
calcule alors, à l'aide de 134,

$$
\begin{align}
c_0^3 &= M_1 c_0^2 + M_2 c_0^1 + M_3 c_0^0 = -M_1 c_2^0 - M_2 c_1^0 + \frac{1}{4} M_3 \delta_0 \nonumber \\
c_1^3 &= M_1 c_1^2 + M_2 c_1^1 + M_3 c_1^0 = -M_1 c_2^1 + \frac{1}{4} M_2 \delta_0 + M_3 c_1^0 \tag{136} \\
c_2^3 &= M_1 c_2^2 + M_2 c_2^1 + M_3 c_2^0 = \frac{1}{4} M_1 \delta_0 + M_2 c_2^1 + M_3 c_2^0. \nonumber
\end{align}
$$

On en déduit, d'après 23,

$$
\begin{align}
c_3^0 &= -c_0^3 = M_1 c_2^0 + M_2 c_1^0 - \frac{1}{4} M_3 \delta_0 \nonumber \\
c_3^1 &= -c_1^3 = M_1 c_2^1 - \frac{1}{4} M_2 \delta_0 - M_3 c_1^0 \tag{137} \\
c_3^2 &= -c_2^3 = -\frac{1}{4} M_1 \delta_0 - M_2 c_2^1 - M_3 c_2^0, \nonumber
\end{align}
$$

et l'on calcule, d'après 134,

$$
\begin{align}
c_3^3 &= M_1 c_3^2 + M_2 c_3^1 + M_3 c_3^0 \nonumber \\
&= -\frac{1}{4} M_1^2 \delta_0 - M_1 M_2 c_2^1 - M_1 M_3 c_2^0 + M_2 M_1 c_2^1 - \frac{1}{4} M_2^2 \delta_0 - M_2 M_3 c_1^0 + M_3 M_1 c_2^0 + M_3 M_2 c_1^0 - \frac{1}{4} M_3^2 \delta_0 \nonumber \\
&= -\frac{1}{4} (M_1^2 + M_2^2 + M_3^2) \delta_0 + (M_2 M_1 - M_1 M_2) c_2^1 + (M_3 M_1 - M_1 M_3) c_2^0 + (M_3 M_2 - M_2 M_3) c_1^0, \tag{138}
\end{align}
$$

dont on veut, pour que 23 soit toujours vérifié, que la valeur soit $\frac{\delta_0}{4}$, c'est-à-dire

$$
\frac{\delta_0}{4} + \frac{1}{4}(M_1^2 + M_2^2 + M_3^2)\delta_0 = (M_2 M_1 - M_1 M_2)c_2^1 + (M_3 M_1 - M_1 M_3)c_2^0 + (M_3 M_2 - M_2 M_3)c_1^0. \quad (139)
$$

Puisque $c_2^1, c_2^0, c_1^0$ peuvent être choisis arbitrairement, cela signifie simplement que

$$
\delta_0 + (M_1^2 + M_2^2 + M_3^2)\delta_0 \in \operatorname{Im}(M_2 M_1 - M_1 M_2) + \operatorname{Im}(M_3 M_1 - M_1 M_3) + \operatorname{Im}(M_3 M_2 - M_2 M_3), \quad (140)
$$

où, si $M \in \mathfrak{M}_4(\mathbb{R})$, nous notons $\mathrm{Im}(M) = \{MX : X \in \mathbb{R}^4\}$.

Nous supposons maintenant que, dans les membres de gauche des 12 premières équations du système $S_i$ ci-dessus (c'est-à-dire dans les membres de gauche des équations principales du système $S_i$), tous les coefficients $a_i^{j,k}$ sont nuls, sauf $a_1^{0,0}$, $a_2^{1,0}$ et $a_3^{2,0}$ qui sont non nuls. La matrice du système principal est alors diagonale, et son déterminant est $D_0 = (a_1^{0,0})^4 (a_2^{1,0})^4 (a_3^{2,0})^4 \neq 0$. Nous calculons alors les $D_l^{13+k}$ :

$$
\begin{align}
\text{si } 9 \le l \le 12, \quad D_l^{13+k} &= \frac{(-1)^l D_0}{a_3^{2,0}} A_{3,3-(12-l)}^{3,k} \notag \\
\text{si } 5 \le l \le 8, \quad D_l^{13+k} &= \frac{(-1)^l D_0}{a_2^{1,0}} A_{2,3-(8-l)}^{3,k} \tag{141} \\
\text{si } 1 \le l \le 4, \quad D_l^{13+k} &= \frac{(-1)^l D_0}{a_1^{0,0}} A_{1,3-(4-l)}^{3,k}, \notag
\end{align}
$$
et, par conséquent,

$$
M_3 = \frac{1}{a_1^{0,0}} \begin{pmatrix} a_1^{3,0} & a_1^{3,1} & a_1^{3,2} & a_1^{3,3} \\ a_1^{3,2} & a_1^{3,0} + a_1^{3,3} & 0 & -a_1^{3,2} \\ 0 & 0 & a_1^{3,0} & a_1^{3,1} \\ 0 & 0 & a_1^{3,2} & a_1^{3,0} + a_1^{3,3} \end{pmatrix}, \quad
M_2 = \frac{1}{a_2^{1,0}} \begin{pmatrix} a_2^{3,0} & a_2^{3,1} & a_2^{3,2} & a_2^{3,3} \\ a_2^{3,2} & a_2^{3,0} + a_2^{3,3} & 0 & -a_2^{3,2} \\ 0 & 0 & a_2^{3,0} & a_2^{3,1} \\ 0 & 0 & a_2^{3,2} & a_2^{3,0} + a_2^{3,3} \end{pmatrix}, \\
M_1 = \frac{1}{a_3^{2,0}} \begin{pmatrix} a_3^{3,0} & a_3^{3,1} & a_3^{3,2} & a_3^{3,3} \\ a_3^{3,2} & a_3^{3,0} + a_3^{3,3} & 0 & -a_3^{3,2} \\ 0 & 0 & a_3^{3,0} & a_3^{3,1} \\ 0 & 0 & a_3^{3,2} & a_3^{3,0} + a_3^{3,3} \end{pmatrix}. \tag{142}
$$

On calcule alors $M_3 M_2$, puis $M_3 M_2 - M_2 M_3$, et l'on trouve

$$
M_3 M_2 - M_2 M_3 = \frac{1}{a_3^{2,0} a_2^{1,0}} \begin{pmatrix} \tilde{A} & C & -B & -2\tilde{A} \\ -B & -\tilde{A} & 0 & B \\ 0 & 0 & \tilde{A} & C \\ 0 & 0 & -B & -\tilde{A} \end{pmatrix}, \quad (143)
$$

où

$$
\left\{
\begin{aligned}
\tilde{A} &= a_1^{3,1} a_2^{3,2} - a_2^{3,1} a_1^{3,2} \\
B &= a_1^{3,2} a_2^{3,3} - a_2^{3,2} a_1^{3,3} \\
C &= a_1^{3,1} a_2^{3,3} - a_2^{3,1} a_1^{3,3}.
\end{aligned}
\right.
\qquad (144)
$$

**Remarque 2.16.**

Remarquons, d'une part, que $\tilde{A}$, $B$, $C$ sont alors liés : en effet, si, par exemple, $a_1^{3,1} \neq 0$, alors,
d'après les première et dernière équations,

$$
a_2^{3,2} = \frac{\tilde{A} + a_2^{3,1} a_1^{3,2}}{a_1^{3,1}} \quad \text{et} \quad a_2^{3,3} = \frac{C + a_2^{3,1} a_1^{3,3}}{a_1^{3,1}}, \qquad (145)
$$

et, en reportant dans la deuxième équation,

$$
B = a_1^{3,2} \frac{C + a_2^{3,1} a_1^{3,3}}{a_1^{3,1}} - a_1^{3,3} \frac{\tilde{A} + a_2^{3,1} a_1^{3,2}}{a_1^{3,1}} = \frac{a_1^{3,2} C - a_1^{3,3} \tilde{A}}{a_1^{3,1}}, \quad (146)
$$

c'est-à-dire

$$
\tilde{A}a_1^{3,3} + Ba_1^{3,1} - Ca_1^{3,2} = 0; \tag{147}
$$

et, d'autre part, que la réciproque est vraie : si $\tilde{A}$, $B$, $C$ sont trois nombres vérifiant 147, alors on peut trouver trois nombres $a_2^{3,1}$, $a_2^{3,2}$, $a_2^{3,3}$ tels que 144 soit vérifiée. En effet, on choisit arbitrairement $a_2^{3,1}$, et l'on pose $a_2^{3,2} = \frac{\tilde{A}+a_2^{3,1}a_1^{3,2}}{a_1^{3,1}}$ et $a_2^{3,3} = \frac{C+a_2^{3,1}a_1^{3,3}}{a_1^{3,1}}$.

Nous calculons le déterminant de $M_3 M_2 - M_2 M_3$,

$$
\mathrm{Det}(M_3 M_2 - M_2 M_3) = \frac{1}{a_2^{1,0} a_3^{2,0}} (\tilde{A}^2 - BC)^2, \qquad (148)
$$
et utilisons la relation ci-dessus entre $\tilde{A}$, $B$, $C$, pour obtenir

$$ Det(M_3 M_2 - M_2 M_3) = \frac{1}{a_2^{1,0} a_3^{2,0} (a_1^{3,2})^2} (a_1^{3,2} \tilde{A}^2 - a_1^{3,3} \tilde{A} B - a_1^{3,1} B^2)^2 \quad (149) $$

où $\tilde{A}$ et $B$ peuvent être choisis arbitrairement. Nous pouvons les choisir de façon à ce que le déterminant soit non nul, ou bien choisir $\tilde{A}$ et $B$ quelconques (mais pas tous deux nuls) si $(a_1^{3,3})^2 - 4a_1^{3,2}a_1^{3,1} < 0$, ce qui assure aussi la non nullité du déterminant. Alors $Im(M_3 M_2 - M_2 M_3) = A = \mathfrak{M}_2(\mathbb{R})$.

Par conséquent, la condition 140 est satisfaite, et nous pouvons calculer $c_1^0, c_2^0, c_2^1$ vérifiant 139, puis les autres $c_i^j$ conformément aux formules ci-dessus. Nous sommes alors en mesure de résoudre les systèmes $(S_i)$, $i = 0, 1, 2, 3$ ci-dessus, dont les solutions $(b_m^{i,l})$ permettent d'expliciter les $\varphi_m$. Alors, la classe des fonctions vérifiant 7 vérifie la formule de Cauchy 14.

Nous pouvons faire des calculs tout à fait analogues avec $M_1 M_3 - M_3 M_1$ et $M_1 M_2 - M_2 M_1$; il suffit, pour obtenir une formule de Cauchy que l'un des trois déterminants soit non nul, mais ce n'est bien sûr pas nécessaire puisque la condition recherchée est 140 qui est la vraie condition (A) pour que la classe des fonctions vérifiant les conditions de Cauchy 7 admette une formule de Cauchy.

**Exemple 2.17. Algèbres de Clifford de dimension 4.**

Pour une définition des algèbres de Clifford, nous renvoyons, par exemple à [LS]. Soit $E$ un espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire $g$, et d'une base orthogonale (pour $g$) $(v_1, v_2)$. Nous posons $g(v_i, v_i) = a_i$.

Nous considérons l'espace vectoriel $A$ engendré par une base indicée par les sous ensembles de $\{1, 2\}$. Donc, nous notons $e_0 = e_\emptyset$, $e_1 = e_{\{1\}}$, $e_2 = e_{\{2\}}$, $e_3 = e_{\{1,2\}}$ et appelons algèbre de Clifford associée à $g$, l'algèbre de base $(e_0, e_1, e_2, e_3)$ dans laquelle la table du produit est donnée par

<table><thead><tr><th>×</th><th>e<sub>0</sub></th><th>e<sub>1</sub></th><th>e<sub>2</sub></th><th>e<sub>3</sub></th></tr></thead><tbody><tr><th>e<sub>0</sub></th><td>e<sub>0</sub></td><td>e<sub>1</sub></td><td>e<sub>2</sub></td><td>e<sub>3</sub></td></tr><tr><th>e<sub>1</sub></th><td>e<sub>1</sub></td><td>a<sub>1</sub>e<sub>0</sub></td><td>e<sub>3</sub></td><td>a<sub>1</sub>e<sub>2</sub></td></tr><tr><th>e<sub>2</sub></th><td>e<sub>2</sub></td><td>-e<sub>3</sub></td><td>a<sub>2</sub>e<sub>0</sub></td><td>-a<sub>2</sub>e<sub>1</sub></td></tr><tr><th>e<sub>3</sub></th><td>e<sub>3</sub></td><td>-a<sub>1</sub>e<sub>2</sub></td><td>a<sub>2</sub>e<sub>1</sub></td><td>-a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>e<sub>0</sub></td></tr></tbody></table>

En vue de résoudre 26, nous calculons d'abord $A_{m,l}^j = a_m^j e_l$ pour $m = 1, ..., q$,

$$ \left\{ \begin{aligned} A_{m,0}^j &= a_m^{j,0} e_0 + a_m^{j,1} e_1 + a_m^{j,2} e_2 + a_m^{j,3} e_3 \\ A_{m,1}^j &= a_m^{j,0} e_1 + a_1 a_m^{j,1} e_0 - a_m^{j,2} e_3 - a_1 a_m^{j,3} e_2 \\ A_{m,2}^j &= a_m^{j,0} e_2 + a_m^{j,1} e_3 + a_2 a_m^{j,2} e_0 + a_2 a_m^{j,3} e_1 \\ A_{m,3}^j &= a_m^{j,0} e_3 + a_1 a_m^{j,1} e_2 - a_2 a_m^{j,2} e_1 + a_1 a_2 a_m^{j,3} e_0, \end{aligned} \right. \quad (150) $$

et, dès lors, résoudre le système 26 revient à résoudre, pour chaque $i = 0, 1, 2, 3$,

$$ \sum_{m=0}^{2} \sum_{l=0}^{3} b_m^{i,l} A_{m,l}^j = c_i^j, \quad 0 \le j \le 3, \quad (151) $$
ce qui, donne le système $S_i$ de 16 équations à 12 inconnues $\forall j = 0, ..., 3$,

$$ \left\{ \begin{array}{l} \sum_{m=0}^{3} b_m^{i,0} a_m^{j,0} + b_m^{i,1} a_m^{j,1} + b_m^{i,2} a_m^{j,2} - b_m^{i,3} a_1 a_2 a_m^{j,3} = c_i^{j,0} \\ \sum_{m=0}^{3} b_m^{i,0} a_m^{j,1} + b_m^{i,1} a_m^{j,0} + b_m^{i,2} a_2 a_m^{j,3} - b_m^{i,3} a_1 a_2 a_m^{j,2} = c_i^{j,1} \\ \sum_{m=0}^{3} b_m^{i,0} a_m^{j,2} - b_m^{i,1} a_1 a_m^{j,3} + b_m^{i,2} a_m^{j,0} + b_m^{i,3} a_m^{j,1} = c_i^{j,2} \\ \sum_{m=0}^{3} b_m^{i,0} a_m^{j,3} - b_m^{i,1} a_m^{j,2} + b_m^{i,2} a_m^{j,1} + b_m^{i,3} a_m^{j,0} = c_i^{j,3}. \end{array} \right. \qquad (152) $$

Nous supposons que les équations principales de chaque $S_i$ sont les équations qui correspondent à $j = 1, 2, 3$.

Pour que le système $S_i$ ait des solutions, nous écrivons, comme dans l'exemple précédent, deuxième hypothèse, la nullité des déterminants caractéristiques, et traduisons, comme dans cet exemple, le résultat sous forme matricielle : $\forall i = 0, ..., 3$,

$$ c_i^0 = M_1 c_i^1 + M_2 c_i^2 + M_3 c_i^3 \qquad (153) $$

où $M_1, M_2, M_3$ sont définis de façon analogue à l'exemple cité. Nous en déduisons

$$ \begin{aligned} c_0^0 &= M_1 c_0^1 + M_2 c_0^2 + M_3 c_0^3 \\ &= -M_1(M_1 c_1^1 + M_2 c_1^2 + M_3 c_1^3) - M_2(M_1 c_2^1 + M_2 c_2^2 + M_3 c_2^3) - M_3(M_1 c_3^1 + M_2 c_3^2 + M_3 c_3^3) \\ &= -(M_1^2 + M_2^2 + M_3^2) \frac{\delta_0}{4} - (M_2 M_1 - M_1 M_2) c_2^1 - (M_3 M_1 - M_1 M_3) c_3^1 - (M_3 M_2 - M_2 M_3) c_3^2, \end{aligned} \qquad (154) $$

soit

$$ \frac{\delta_0}{4} + (M_1^2 + M_2^2 + M_3^2) \frac{\delta_0}{4} = -(M_2 M_1 - M_1 M_2) c_2^1 - (M_3 M_1 - M_1 M_3) c_3^1 - (M_3 M_2 - M_2 M_3) c_3^2, \quad (155) $$

ou encore

$$ (I + M_1^2 + M_2^2 + M_3^2) \frac{\delta_0}{4} \in \operatorname{Im}(M_2 M_1 - M_1 M_2) + \operatorname{Im}(M_3 M_1 - M_1 M_3) + \operatorname{Im}(M_3 M_2 - M_2 M_3). \quad (156) $$

Nous avons ici la condition (A) nécessaire et suffisante pour obtenir notre formule de Cauchy. Comme précédemment, nous allons explicitier, dans un cas particulier, une condition suffisante. En effet, si l'une des matrices $M_2 M_1 - M_1 M_2$, ou $M_3 M_1 - M_1 M_3$ ou $M_2 M_3 - M_3 M_2$ est inversible, alors la condition (A) est vérifiée.

Nous supposons que la matrice donnée par les équations principales et les variables principales de $S_i$ est la matrice identité $I$ (dans l'exemple précédent, nous suppositions quelle était diagonale). Nous calculons alors

$$ M_1 = \begin{pmatrix} a_{1,0}^{0,0} & a_{1,0}^{0,1} & a_{1,0}^{0,2} & -a_1 a_{1,0}^{0,3} \\ a_{1,0}^{0,1} & a_{1,0}^{0,0} & a_{2,0} a_{1,0}^{0,3} & -a_2 a_{1,0}^{0,2} \\ a_{1,0}^{0,2} & -a_1 a_{1,0}^{0,3} & a_{1,0}^{0,0} & a_1 a_{1,0}^{0,1} \\ a_{1,0}^{0,3} & -a_{1,0}^{0,2} & a_{1,0}^{0,1} & -a_{1,0}^{0,0} \end{pmatrix}, \qquad M_2 = \begin{pmatrix} a_{2,0}^{0,0} & a_{2,0}^{0,2} & a_{2,0}^{0,2} & -a_1 a_{2,0}^{0,3} \\ a_{2,0}^{0,1} & a_{2,0}^{0,0} & a_{2,0} a_{2,0}^{0,3} & -a_2 a_{2,0}^{0,2} \\ a_{2,0}^{0,2} & -a_1 a_{2,0}^{0,3} & a_{2,0}^{0,0} & a_1 a_{2,0}^{0,1} \\ a_{2,0}^{0,3} & -a_{2,0}^{0,2} & a_{2,0}^{0,1} & -a_{2,0}^{0,0} \end{pmatrix} \qquad (157) $$
$$ M_3 = \begin{pmatrix} a_{3,0}^{0,0} & a_{3,0}^{0,1} & a_{3,0}^{0,2} & -a_1 a_{3,0}^{0,3} \\ a_{3,0}^{0,1} & a_{3,0}^{0,0} & a_{2,0} a_{3,0}^{0,3} & -a_2 a_{3,0}^{0,2} \\ a_{3,0}^{0,2} & -a_1 a_{3,0}^{0,3} & a_{3,0}^{0,0} & a_1 a_{3,0}^{0,1} \\ a_{3,0}^{0,3} & -a_{3,0}^{0,2} & a_{3,0}^{0,1} & -a_{3,0}^{0,0} \end{pmatrix}. $$
Un calcul facile mais long donne

$$M_3 M_2 - M_2 M_3 = \begin{pmatrix} 0 & a_1(1+a_2)A_{2,3} & -(a_1+a_2)A_{1,3} & a_2(1+a_1)A_{1,2} \\ 2a_2A_{2,3} & 0 & -2a_2A_{1,2} & a_1(1+a_2)A_{1,3} \\ -2a_1A_{1,3} & (1+a_1)A_{1,2} & 0 & a_1(1+a_2)A_{2,3} \\ -2A_{1,2} & A_{1,3} - A_{0,2} & 2a_2A_{2,3} & 0 \end{pmatrix} \quad (158)$$

où $A_{i,j} = a_2^{0,i} a_3^{0,j} - a_2^{0,j} a_3^{0,i}$. On calcule le déterminant de cette matrice et l'on obtient

$$2\left\{ \begin{aligned} & 2a_2^2(1+a_1)^2 A_{1,2}^4 + a_1^2(1+a_1)(1+a_2)(a_1+a_2)A_{1,3}^4 + 2a_1^2 a_2^2(1+a_1)^2 A_{2,3}^4 \\ & - a_1(1+a_1)[2a_2^2(1+a_1) + (1+a_2)(a_1+a_2)]A_{1,2}^2 A_{1,3}^2 \\ & - 2a_1^2[a_1(1+a_1)^2 + a_2(1+a_2)^2]A_{1,2}^2 A_{2,3}^2 \\ & + a_1 a_2(1+a_2)[(1+a_1)(a_1+a_2) + 2a_1^2(1+a_2)]A_{1,3}^2 A_{2,3}^2 \end{aligned} \right\}. \quad (159)$$

Lorsque ce déterminant est non nul, la condition (A) est vérifiée. Et, il est facile de voir que cela peut être. Par exemple, si $a_1 = 0$, alors ce déterminant est $4a_2^2 A_{1,2}^2 (A_{1,2}^2 - a_2 A_{2,3}^2)$.

Nous pouvons également donner des exemples plus explicites avec $q = 3$: choisissons $a_1$ et $a_2$ tels que $1 + a_1 + a_2 - a_1 a_2 = 0$, alors nous avons $e_0 + (e_1)^2 + (e_2)^2 + (e_3)^2 = 0$ et, d'après ce qui précède, nous avons une formule de Cauchy pour les fonctions A-différentiables.

### 3. UN AUTRE EXEMPLE DANS UNE ALGÈBRE DE DIMENSION 4 ET QUELQUES APPLICATIONS

Considérons $H$ le corps des quaternions, $q$ un élément de $H$ s'écrit de manière habituelle $x_0+ix_1+jX_2+kx_3$ ce qui permet d'identifier $H$ à $\mathbb{R}^4$. Avec cette identification, on peut introduire l'opérateur de Cauchy-Fueter $\bar{\partial}_q := \partial_{x_0} + i\partial_{x_1} + j\partial_{x_2} + k\partial_{x_3}$ et les fonctions de Cauchy-Fueter qui sont les fonctions

$$f : \mathbb{R}^4 \to H, \quad (x_0, x_1, x_2, x_3) \to f_0 + if_1 + jf_2 + kf_3$$

vérifiant $\bar{\partial}_q f = 0$. Pour ces fonctions, les conditions de Cauchy correspondantes, avec les notations (2.1) est le suivant: $a_1^0 = 1$, $a_1^1 = i$, $a_1^2 = j$, $a_1^3 = k$. Pour avoir une formule de Cauchy pour ces fonctions, il faut pouvoir résoudre le système (2.11) soit trouver des $(b_1^i)$ tels que :

$$a_1^i b_1^i = \frac{1}{4\mathrm{Vol}(B_{\mathbb{R}^4}(0,1))} \quad (1), \quad a_1^j b_1^j + a_1^i b_1^i = 0 \quad (2),$$

ceci pour tous $i, j \in \{0, 1, 2, 3\}$ et $i \neq j$. Les équations (1) fixent les $b_1^i$, posons $\alpha = \frac{1}{4\mathrm{Vol}(B_{\mathbb{R}^4}(0,1))}$ alors $b_1^0 = \alpha, b_1^1 = -i\alpha, b_1^2 = -j\alpha, b_1^3 = -k\alpha$. Avec ces $(b_1^i)$, il est aisé de vérifier que les équations (2) sont satisfaites et nous avons donc un noyau de Cauchy.

Avant de développer, notons $\alpha_n := \frac{1}{4n\mathrm{Vol}_{\mathbb{R}^{4n}}}$ On introduit très souvent les fonctions de Cauchy-Fueter de plusieurs variables quaternioniques similairement aux fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes, ce sont les fonctions $f$ de $\mathbb{R}^{4n} \to H$ vérifiant $\bar{\partial}_{q_l} = 0$ avec $l \in \{0, \dots, n-1\}$ où $\bar{\partial}_{q_l} = \partial_{x_{4l}} + i\partial_{x_{4l+1}} + j\partial_{x_{4l+2}} + k\partial_{x_{4l+3}}$. Le système (2.11) correspondant admet alors les solutions suivantes $b_l^k = 0$ si $k < 4l$ ou $k > 4l + 3$ et $b_l^{4l} = 1$, $b_l^{4l+1} = -i\alpha_n$, $b_l^{4l+2} = -j\alpha_n$, $b_l^{4l+3} = -k\alpha_n$. On obtient donc le noyau reproduisant correspondant habituel pour ces fonctions.
En fait, le passage des fonctions Cauchy-Fueter d'une variable à celles de plusieurs variables se fait simplement car on itère les conditions de Cauchy d'une variable quaternionique sur les variables réelles {$4l, \dots, 4l+3$} avec $l \in \{0, \dots, n-1\}$. Il est bien entendu que ceci est un fait général, si A est une algèbre de dimension $k$ et si $(e_0, e_1, \dots, e_{k-1})$ est une base avec $e_0$ unitaire, on peut identifier A à $\mathbb{R}^k$ en tant qu'espace vectoriel en considérant les coordonnées dans cette base; maintenant les fonctions de A dans A sont identifiées aux fonctions de $\mathbb{R}^k$ dans A. Considérons des conditions de Cauchy qui admettent un noyau reproduisant pour les fonctions de A dans A vérifiant ces conditions, alors nous pouvons considérer les fonctions de $A^n$ dans A vérifiant les conditions de Cauchy d'une variable dans A itérées sur les variables réelles prises par paquet de $k$ séparément. De la même manière que ci-dessus, le système (2.11) aura des solutions et donc les fonctions de $A^n$ dans A vérifiant ces conditions de Cauchy admettront un noyau reproduisant. Ce résultat n'est pas nouveau pour les fonctions de Cauchy-Fueter de plusieurs variables, il avait été obtenu dans [WW1] et [WW2] par des méthodes différentes.

**3.1. Théorème de Hartogs.** Regardons les fonctions Cauchy-Fueter d'une variable quaternionique, clairement au vu du noyau de Cauchy nous avons l'estimation suivante sur les dérivées de $f$:

$$ \partial_{x_i} f(x) \leq MSup|f|_{\partial B(x,r)}/R. $$

En effet, la formule (2.2) donne immédiatement l'estimation suivante sur les dérivées du noyau:

$$ |\partial_{x_i} K(y, x)| \leq \frac{1}{||y - x||^4}. $$

Maintenant toute fonction de Cauchy-Fueter satisfait la formule :

$$ \partial_{x_i} f(x) = \int_{\partial B_4(x,R)} f(y) \partial_{x_i} K(y, x), $$

et donc, en notant $ds$ l'élément de mesure d'aire de la sphère de dimension 3 et de rayon R:

$$ |\partial_{x_i} f(x)| \leq \int_{\partial B_4(x,R)} \frac{|f(y)|}{||y - x||^4} ds(y), $$

ce qui donne l'estimation de Cauchy voulue.

Si $f$ est une fonction entière et bornée (c'est à dire, Cauchy-Fueter au voisinage de tout point de $H$) alors

$$ |\partial_{x_i} f(q)| \leq M ||f||_{\infty} / R, $$

sur toute boule de rayon $R$, on en déduit donc le théorème de Liouville pour ces fonctions. Il en serait de même pour toutes les fonctions de A dans A, avec A une algèbre unitaire et associative, vérifiant des conditions de Cauchy admettant un noyau reproduisant, en itérant le raisonnement au vu de la forme des noyaux (voir (2.2)).

Nous aurons désormais besoin des deux définitions suivantes:

**Definition 3.1.** Soit A une algèbre unitaire et associative, si des conditions de Cauchy du type (2.1) admettent un noyau de Cauchy pour les fonctions de $A^n$ dans A vérifiant ces conditions, on dira que ces conditions de Cauchy sont admissibles dans $A^n$.

**Definition 3.2.** Soit A une algèbre unitaire, associative, et des conditions de Cauchy admissibles pour A. Les conditions de Cauchy sur $A^n$ issues de celles de A par le procédé décrit ci-dessus seront appelées conditions de Cauchy sur $A^n$ induites par A.
Pour simplifier les écritures, nous dirons qu'une fonction vérifiant des conditions de Cauchy admissibles est de Cauchy.

Il est clair d'après ce que l'on a vu que des conditions de Cauchy sur $A^n$ induites par $A$ sont admissibles pour $A^n$. Nous avons donc démontrer le principe de Liouville pour les fonctions de Cauchy:

**Proposition 3.3.** *Soit A une algèbre unitaire, associative, et des conditions de Cauchy admissibles sur A. Alors les fonctions de A dans A entières et bornées sur A sont constantes.*

De ce résultat découle le principe de Hartogs pour ces fonctions:

**Théorème 3.4.** *Soit A une algèbre unitaire, associative, et des conditions de Cauchy sur $A^n$ induites par A. Soit $f$ une fonction de $A^n$ dans A qui est de Cauchy sur une couronne contenant $\partial D$ le bord d'un domaine borné lisse, D, alors $f$ s'étend en une fonction de Cauchy sur D tout entier.*

Pour $A = H$ le corps des quaternions et les conditions de Cauchy-Fueter, le résultat a été obtenu dans [WW1] en résolvant les équations de Cauchy-Fueter non homogènes à support compact: $\bar{\partial}_{q_1}u = f$ pour tout $l \in \{0, \dots, n-1\}$ avec $u$ lisse et à support compact, si $f$ est lisse à support compact et vérifie les conditions de compatibilité ad hoc; De plus, le support de $u$ est inclu dans le support de $f$.

Preuve: nous allons reproduire la preuve classique du cas holomorphe voir par exemple [R]. Supposons que $D := \{\rho < 0\}$ avec $\rho$ lisse au voisinage de $D$ alors considérons $D_2 := \{\rho < \varepsilon\}$ et $D_1 := \{\rho < -\varepsilon\}$ avec $\varepsilon$ suffisamment petit et appliquons la formule de Cauchy sur la couronne $D_2/D_1$, on obtient:

$$f(x) = \int_{\partial D_2} f(y)K(y, x) - \int_{\partial D_1} f(y)K(y, x), \quad \forall x \in D_2/D_1.$$

Si nous pouvons démontrer que $\int_{\partial D_1} f(y)K(y, x) = 0$ pour tout $x$ dans le complémentaire de $\bar{D}_1$ alors pour tout $x$ dans $D_2/D_1$, $f(x) = \int_{\partial D_2} f(y)K(y, x)$ et la fonction à droite de l'égalité étant de Cauchy sur $D$, car $\hat{d}''K(y, x) = 0$ hors de la diagonale (voir (2.3)), nous avons le résultat souhaité.

Notons $x = (x', x_n)$ où $x'$ est une variable de $A^{n-1}$ et $x_n$ la dernière composante dans $A$ du vecteur $x \in A^n$; si $x'$ est fixé suffisamment grand alors la fonction en $x$, $\int_{\partial D_1} f(y)K(y, x)$, est entière en $x_n$ pour les conditions de Cauchy sur $A$ qui induisent celles sur $A^n$. De plus, cette fonction tend vers zéro quand $x_n$ tend vers l'infini et elle est donc bornée sur $A$. D'après la propriété de Liouville, elle est constante et donc nulle pour tout $y'$ suffisamment grand, ce qui entraîne $\int_{\partial D_1} f(y)K(y, x) = 0$ sur la composante non bornée de $A^n/\partial D_1$.

**3.2. Solution de Cauchy à support compact.** Considérons des conditions de Cauchy sur $A^n$ induites par les conditions de Cauchy admissibles sur $A$. Si l'algèbre $A$ est de dimension $p$ alors elle peut être représentée par $\mathbb{R}^p$ muni d'une forme bilinéaire donnée par le produit dans $A$ (le produit n'est pas forcément le produit composante par composante). Ainsi toute fonction de $A^n$ vers $A$ devient une fonction de $\mathbb{R}^{pn}$ dans $\mathbb{R}^p$. Introduisons les notations suivantes pour les conditions de Cauchy induites:

$$\sum_{i} a_{m}^{ij} \frac{\partial f_j}{\partial x_i}, \quad m = 1, \dots, p, \quad 1 \le j \le p, \quad 1 \le i \le np.$$
Dans ce qui suit, nous voulons résoudre le sytème d'EDP suivant :

$$ \sum_{i} a_{m}^{ij} \frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}} = g_{m} \quad m = 1, \dots, p. $$

Supposons que le tableau induit par ces conditions de Cauchy soit en involution (voir [BM1] pour les détails) alors les conditions de compatibilités pour pouvoir résoudre le système précédent est également un système d'EDP d'ordre 1 à coefficients constants. Ces conditions de compatibilités sont données par le calcul de la torsion et notées $\text{tor}_1(g)$ si $g$ est le second membre du sytème de départ (voir [BM1] pour la définition précise de la torsion).

Nous allons prouver le théorème suivant:

**Théorème 3.5.** Soit $A$ une algèbre unitaire, associative, et des conditions de Cauchy sur $A^n$ induites par $A$ avec un tableau associé en involution au sens de Cartan. Alors si $g$ est une fonction lisse de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}^p$, à support compact et vérifiant $\text{tor}_1(g) = 0$ alors le système :

$$ \sum_{i} a_{m}^{ij} \frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}} = g_{m} \quad m = 1, \dots, p. $$

a une solution $f$ lisse à support compact.

De plus, $g$ est donnée par la formule:

$$ f(y) = \int_{B(0,r)} g(x)K(x, y), \quad y \in A^n, $$

où $K$ est le noyau de Cauchy associé aux conditions de Cauchy sur $A^n$ induite par $A$ et $B(0, r)$ est une boule de rayon suffisamment grand.

**Remarque 3.6.** Il n'est pas nécessaire d'avoir le tableau associé au système des équations de Cauchy en involution. La seule différence est qu'alors la torsion peut être un opérateur à coefficients constants d'ordre supérieur à 1 mais le théorème reste valable pourvu que la torsion s'annule évidemment. C'est le cas pour les équations de Cauchy-Fueter, la torsion est un opérateur à coefficients constants d'ordre 2 et le théorème est vrai pour les formes à support compact vérifiant $\text{tor}_1(g) = 0$. Ce résultat pour les conditions de Cauchy-Fueter était connu mais obtenu par d'autres méthodes (voir [WW1] et [WW2]). Le cas du tableau en involution est celui qui se rapproche le plus du complexe de De Rham ou Dolbeault, et nous avons pris le parti de traiter uniquement ce cas.

Preuve : D'après [BM1], sous les hypothèses du théorème, il existe une solution $f$ au système sur n'importe quel domaine convexe, par exemple sur n'importe quelle boule, $B(0, r)$. En général, la solution n'est pas à support compact mais nous allons la corriger. Prenons $B(0, r)$ une boule contenant le support de $g$ alors sur la couronne $C(r, 2r)$, la fonction $f$ est de Cauchy et elle se prolonge en une fonction de Cauchy $\tilde{f}$ sur $B(0, 2r)$ d'après le théorème de Hartogs. Maintenant $f - \tilde{f}$ vérifie le système car $\tilde{f}$ est de Cauchy et elle est à support compact dans $A^n$.

Il reste à démontrer la formule: il suffit d'appliquer la formule de Cauchy (13) à la solution $f$ à support compact sur une boule $B(0, r)$ contenant son support.

## 4. CONDITIONS DE CAUCHY À COEFFICIENTS VARIABLES.

Dans ce paragraphe, nous allons changer au minimum les notations du précédent paragraphe. Soit encore $f : \bar{D} \to A$ une fonction de classe $C^1$, à valeurs dans l'algèbre unitaire $A$. Soient
aussi $a_m^j(x)$; $j = 1, ..., n$; $m = 1, ..., q$; des fonctions de classe $C^1$ de $\bar{D}$ dans $A$.
Nous définissons, aussi, les opérateurs de Cauchy-Riemann:

$$d'' = \sum_{m=1}^{q} dx_{i_m} \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_j} a_m^j(x), \quad 1 \le i_m < i_{m+1} \le n.$$

et

$$\hat{d}'' = \sum_{m=1}^{q} dx_{i_m} \sum_{j=1}^{n} a_m^j(x) \frac{\partial}{\partial x_j}, \quad 1 \le i_m < i_{m+1} \le n.$$

En fait, pour définir la singularité sur la diagonale, nous n’avons pas besoin d’utiliser la distance euclidienne, comme nous avons fait ci-dessus, ni même une norme. Aussi, nous noterons:

$$|||\cdot||| : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$$

une application de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}$ telle que $|||x||| \ge 0$, $|||\lambda x||| = |\lambda| |||x|||$, $\lambda \in \mathbb{R}$, et $|||x||| = 0$ implique $x = 0$.

Nous chercherons $K(y, x)$, solution fondamentale pour $\hat{d}''$, sous la forme:

$$K(y, x) = \frac{1}{|||y - x|||^n} \sum_{m=1}^{q} \hat{dy}_{i_m} (-1)^{i_m - 1} \varphi_m(x, y),$$

avec $\varphi_m$ fonction $C^1$, à valeurs dans $A$ et vérifiant $\varphi_m(x, x) = 0$ pour tout $x \in D$. Notant $dV = dy_1 \wedge \dots \wedge dy_n$, nous avons, hors de la diagonale:

$$\begin{aligned} \hat{d}_y'' K(y, x) &= dV \sum_{m=1}^{q} \sum_{j=1}^{n} a_m^j(y) \frac{\partial}{\partial y_j} \left( \frac{\varphi_m(x, y)}{|||y - x|||^n} \right) \\ &= \frac{dV}{|||y - x|||^n} \sum_{m,j} a_m^j(y) \left[ \frac{\partial \varphi_m(x, y)}{\partial y_j} - \frac{n}{2 |||y - x|||^2} \frac{\partial |||y - x|||^2}{\partial y_j} \varphi_m(x, y) \right]. \end{aligned} \quad (160)$$

Donc, $\hat{d}_y'' K(y, x) = 0$, hors de $\Delta$, si et seulement si:

$$\sum_{m,j} a_m^j(y) \left[ \frac{\partial \varphi_m(x, y)}{\partial y_j} - \frac{n}{2 |||y - x|||^2} \frac{\partial |||y - x|||^2}{\partial y_j} \varphi_m(x, y) \right] = 0. \quad (161)$$
Nous allons, maintenant, étudier la singularité sur la diagonale.

$$
\begin{align*}
\int_D \sum_{m,j} \frac{\partial}{\partial y_j} \left( f(y) a_m^j(y) \right) \frac{\varphi_m(x,y)}{\|y-x\|^n} dV &= \lim_{\epsilon \to 0} \int_{D-B(x,\epsilon)} \sum_{m,j} \frac{\partial}{\partial y_j} \left( f(y) a_m^j(y) \right) \frac{\varphi_m(x,y)}{\|y-x\|^n} dV \\
&= \lim_{\epsilon \to 0} \int_{D-B(x,\epsilon)} d \left[ \sum_{m,j} f(y) a_m^j(y) \frac{\varphi_m(x,y)}{\|y-x\|^n} (-1)^{j-1} \widehat{dy_j} \right] - \sum_{m,j} f(y) a_m^j(y) \frac{\partial}{\partial y_j} \left( \frac{\varphi_m(x,y)}{\|y-x\|^n} \right) dV \\
&= \int_{\partial D} \sum_{m,j} f(y) a_m^j(y) \frac{\varphi_m(x,y)}{\|y-x\|^n} (-1)^{j-1} \widehat{dy_j} - \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\partial B(x,\epsilon)} \sum_{m,j} f(y) a_m^j(y) \frac{\varphi_m(x,y)}{\|y-x\|^n} (-1)^{j-1} \widehat{dy_j} \\
&\quad - \int_{D-B(x,\epsilon)} f(y) \widehat{d_y'' K}(y,x) \\
&= \int_{\partial D} f(y) \sum_m \left[ \left( \sum_j a_m^j(y) \frac{\partial}{\partial y_j} \right) \left( \frac{\varphi_m(x,y)}{\|y-x\|^n} dV \right) \right] - f(x) \mathrm{Vol}(B(0,1) \sum_{m,j} a_m^j(x) \frac{\partial \varphi_m(x,x)}{\partial y_j}. \tag{162}
\end{align*}
$$

Comme l'on veut que ce dernier membre de droite soit $f(x)$, on doit prendre $\sum_{m,j} a_m^j(x) \frac{\partial \varphi_m(x,x)}{\partial y_j} = \frac{e_0}{\mathrm{Vol}(B(0,1))}$. En tenant compte de 161, nous obtenons les conditions suivantes pour avoir une représentation intégrale:

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \sum_{m=1}^{q} \sum_{j=1}^{n} a_m^j(x) \frac{\partial \varphi_m(x,x)}{\partial y_j} = \frac{e_0}{\mathrm{Vol}(B(0,1))} \\
\displaystyle \sum_{m,j} a_m^j(y) \left[ \frac{\partial \varphi_m(x,y)}{\partial y_j} - \frac{\partial \log \|y-x\|^n}{\partial y_j} \varphi_m(x,y) \right] = 0 \quad \text{hors de } \Delta.
\end{array}
\right.
\tag{163}
$$

Ces conditions sur $K(y, x)$ étant satisfaites, nous avons la formule de représentation intégrale

$$
f(x) = \int_{\partial D} f(y) \sum_m \left[ \left( \sum_j a_m^j(y) \frac{\partial}{\partial y_j} \right) \left( \frac{\varphi_m(x,y)}{\|y-x\|^n} dV \right) \right] - \int_D \sum_{m,j} \frac{\partial}{\partial y_j} \left( f(y) a_m^j(y) \right) \frac{\varphi_m(x,y)}{\|y-x\|^n}. \quad (164)
$$

Pour toute fonction $f$ de la classe des fonctions vérifiant les conditions de Cauchy

$$
\sum_{j=1}^{n} \frac{\partial}{\partial y_j} \left( f(y) a_m^j(y) \right) = 0 \quad \text{pour tout } m = 1, \dots, q, \tag{165}
$$

nous avons la formule de Cauchy

$$
f(x) = \int_{\partial D} f(y) \sum_{m} \left[ \left( \sum_{j} a_{m}^{j}(y) \frac{\partial}{\partial y_{j}} \right) \left( \frac{\varphi_{m}(x, y)}{\|y-x\|^{n}} dV \right) \right]. \quad (166)
$$

Nous rappelons que $\varphi_m(x, x) = 0$ pour tout $x \in D$.

Par conséquent, nous posons :

$$
\varphi_m(x, y) = \sum_{j=1}^{n} b_m^j(x)(y_j - x_j) + \Phi_m(x, y)
$$
avec $\Phi_m(x, y) = O(||y - x||^2)$. Dès lors, 163 s'écrit:

$$
\left\{
\begin{aligned}
\sum_{m=1}^{q} \sum_{j=1}^{n} a_m^j(x) b_m^j(x) &= \frac{e_0}{\mathrm{Vol}(B(0,1))} \\
\sum_{m,j} a_m^j(y) \left[ \frac{\partial \Phi_m(x,y)}{\partial y_j} - \frac{n}{2 ||y-x||^2} \frac{\partial ||y-x||^2}{\partial y_j} \Phi_m(x,y) \right] &= \\
&= - \sum_{m,j} (a_m^j(y) - a_m^j(x)) \left[ b_m^j(x) - \frac{n}{2 ||y-x||^2} \frac{\partial ||y-x||^2}{\partial y_j} \sum_{i=1}^{n} b_m^i(x)(y_i-x_i) \right] \\
&\quad - \frac{e_0}{\mathrm{Vol}(B(0,1))} + \frac{n}{2 ||y-x||^2} \sum_{m,i,j} a_m^j(x) \left[ \frac{\partial ||y-x||^2}{\partial y_j} b_m^i(x)(y_i-x_i) \right].
\end{aligned}
\right.
\quad (167)
$$

$\frac{\partial \Phi_m(x,y)}{\partial y_j}$ est un $O(||y-x||)$, $(a_m^j(y) - a_m^j(x))$ aussi ; donc si, dans la dernière équation du système précédent, nous identifions les termes d'ordre 0 en $||y-x||$ d'une part (ils constituent la troisième ligne de la deuxième équation de 167), et les termes d'ordre supérieur ou égal à un (les deux premières lignes de la deuxième équation) d'autre part, nous obtenons:

$$
\left\{
\begin{aligned}
\sum_{m=1}^{q} \sum_{j=1}^{n} a_m^j(x) b_m^j(x) &= \frac{e_0}{\mathrm{Vol}(B(0,1))}, \\
\frac{||y-x||^2}{\mathrm{Vol}(B(0,1))} &= \frac{n}{2} \sum_{i,j=1}^{n} (y_i - x_i) \frac{\partial ||y-x||^2}{\partial y_j} \sum_{m=1}^{q} a_m^j(x) b_m^i(x), \\
\sum_{m,j} \left[ \frac{\partial \Phi_m(x,y)}{\partial y_j} - \frac{n}{2 ||y-x||^2} \frac{\partial ||y-x||^2}{\partial y_j} \Phi_m(x,y) \right] &= \\
&= - \sum_{m,j} (a_m^j(y) - a_m^j(x)) \left[ b_m^j(x) - \frac{n}{2 ||y-x||^2} \frac{\partial ||y-x||^2}{\partial y_j} \sum_{i=1}^{n} b_m^i(x)(y_i-x_i) \right].
\end{aligned}
\right.
\quad (168)
$$

La deuxième équation de 168 devient spécialement intéressante si nous prenons pour $||\cdot||$ la norme euclidienne. Alors elle s'écrit:

$$
\begin{align}
\|y-x\|^2 \frac{e_0}{\mathrm{Vol}(B(0,1))} &= n \sum_{i,j=1}^{n} (y_i - x_i)(y_j - x_j) \sum_m a_m^j(x) b_m^i(x) \nonumber \\
&= n \sum_{j=1}^{n} (y_j - x_j)^2 \sum_m a_m^j(x) b_m^j(x) \tag{169} \\
&\quad + n \sum_{i<j} (y_i - x_i)(y_j - x_j) \sum_m (a_m^j(x) b_m^i(x) + a_m^i(x) b_m^j(x)), \nonumber
\end{align}
$$

et, en identifiant les deux membres, on obtient:

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \sum_{m=1}^{q} a_m^j(x) b_m^j(x) = \frac{e_0}{n \mathrm{Vol}(B(0,1))} \\[1em]
\displaystyle \sum_{m=1}^{q} a_m^j(x) b_m^i(x) + a_m^i(x) b_m^j(x) = 0, \quad \text{si } i \neq j.
\end{array}
\right.
\qquad (170)
$$

Nous retrouvons ici les conditions 17.

Dans le paragraphe 2, ces conditions nous ont conduits, dans le cas commutatif, aux conditions
(A) (voir 2.4). De même ici, si nous appelons $\tilde{\varphi}_m(x, y) = \sum_{j=1}^n b_m^j(x)(y_j - x_j)$ la partie d'ordre
1 de $\varphi_m(x, y)$, alors, dans le cas commutatif, les mêmes calculs que ceux du paragraphe 2 nous
mènent à la condition nécessaire (A). De façon plus précise, nous suivons les calculs effectués au
paragraphe 2 dans le cas commutatif. Nous définissons

$$ \Psi^j(x, y) = \mathrm{Vol}(B(0, 1)) \sum_{m=1}^{q} a_m^j(x) \tilde{\varphi}_m(x, y) = \sum_{i=1}^{n} c_i^j(x) (y_i - x_i), $$

sommes conduits à

$$ \Psi^j(x, y) = (y_j - x_j) \frac{e_0}{n} + \sum_{i \neq j} (y_i - x_i) c_i^j(x) \quad \text{avec} \quad c_i^j = -c_j^i, $$

et amenés à résoudre le système, analogue au système 24, à coefficients fonctions de x:

$$ \Psi^j(x, y) = \sum_{m=1}^{q} a_m^j(x) \tilde{\varphi}_m(x, y). \qquad (171) $$

Comme au paragraphe 2, nous appelons $D_0(x)$ un déterminant, extrait du système, d'ordre $q$ et
inversible. Des calculs analogues au paragraphe 2 nous imposent les conditions nécessaires (A):

$$ (A) : \quad \sum_{m=1}^{q} D_m^l(x) D_m^k(x) + \delta_k^l(D_0(x))^2 = 0 \quad \text{pour tout } 1 \le k, l \le n-q, \quad (172) $$

et, dans le cas où elles sont satisfaites, nous donnent les solutions (voir 55):

$$ b_i^m(x) = \sum_{l=1}^{q} (-1)^{m+l} c_i^l(x) (D_0(x))^{-1} \widehat{D_m^l(x)} = (D_0)^{-1}(x) \widetilde{D_m^l(x)} \quad (173) $$

avec des notations analogues à celles du paragraphe 2.

Nous avons donc le:

**Théorème 4.1.** Soient $D$ un domaine borné à bord lisse de $\mathbb{R}^n$, des fonctions

$$ a_m^j(x) : \bar{D} \to A; \quad m = 1, \dots, q; \quad j = 1, \dots, n, $$

de classe $C^1$ et à valeurs dans $A$, et $f : \bar{D} \to A$ une fonction de classe $C^1$ sur $\bar{D}$ à valeurs dans $A$ vérifiant les conditions de Cauchy (165).

Alors, la formule de représentation intégrale (166) est vérifiée avec $\varphi_m(x, y)$ vérifiant les conditions (163), ou, dans le cas de la norme euclidienne, les conditions 170.

Pour que ces conditions puissent être vérifiées, il faut, dans le cas commutatif, que les conditions (A), données par (172) soient vérifiées, et les solutions sont données par (173).

Nous allons appliquer ceci à des exemples, en choisissant, d'abord, pour les coefficients $a_m^j$ des conditions de Cauchy des polynômes de degré 1 en $y - x$.

**Exemple 4.2.** Conditions de Cauchy-Riemann à coefficients de degré 1, dans le cas A commutatif.

Ici encore, nous choisisons A commutatif, afin de mener les calculs à l'aide de l'outil que sont les déterminants. Nous choisissons pour $|||\cdot|||$ la norme euclidienne. Nous allons imposer, à $f, q$ conditions de Cauchy à coefficients affines $a_m^j(y) = a_m^j(x) + \sum_{i=1}^n d_m^{j,i}(y_i - x_i)$, avec $d_m^{j,i} \in A$ vérifiant les conditions:

$$ \begin{aligned} d_m^{j,i} + d_m^{i,j} &= 0 \quad \text{si} \quad m = 1, \dots, q; \quad \text{et} \quad i \neq j, \\ d_m^{j,j} &= d_m, \end{aligned} \qquad (174) $$
(d'autres conditions seront encore imposées ci-dessous), et chercher $\varphi_m(x, y)$ sous la forme d'un polynôme de degré 1 : $\varphi_m(x, y) = \sum_{i=1}^{n} b_m^i(x)(y_i - x_i)$ (rappelons que $\varphi_m$ doit s'annuler sur la diagonale).

En tenant compte de 170, les conditions 168 se réduisent à:

$$ egin{cases} 
\sum_{m=1}^{q} a_m^j(x) b_m^j(x) = \frac{e_0}{n \mathrm{Vol}(B(0,1))} \\ 
\sum_{m=1}^{q} a_m^j(x) b_m^i(x) + a_m^i(x) b_m^j(x) = 0, \quad \text{si } i \neq j, \\ 
\|y - x\|^2 \sum_{m,j,i} d_m^{j,i}(y_i - x_i) b_m^j(x) = n \sum_{m=1}^{q} \sum_{j,i,l=1}^{n} d_{m}^{j,l}(y_l - x_l)(y_j - x_j)(y_i - x_i) b_m^i(x). 
\end{cases} 
\quad (175) $$

Les deux premières lignes, comme nous l'avons expliqué ci-dessus, nous conduisent aux conditions (A) et à la solution fournie par 55. En identifiant, dans la dernière ligne, les polynômes dans chaque membre, nous obtenons:

$$ egin{cases} 
\sum_{m=1}^{q} \sum_{l=1}^{n} d_m^{l,j} b_m^l = \sum_m d_m^{j,j} b_m^j, & \text{pour tout } j = 1, \dots, n; \\ 
n \sum_m d_m^{j,j} b_m^i + d_m^{i,j} b_m^j + d_m^{j,i} b_m^i = \sum_{m,l} d_m^{l,i} b_m^l, & \text{pour } i \neq j; \\ 
\sum_m b_m^l (d_m^{i,j} + d_m^{j,i}) + b_m^j (d_m^{i,l} + d_m^{l,i}) + b_m^i (d_m^{j,l} + d_m^{l,j}) = 0, & \text{si } i, j \text{ et } l \text{ tous distincts.} 
\end{cases} 
\quad (176) $$

Nous pouvons remplacer la deuxième équation par l'équation obtenue en lui soustrayant la première. Nous obtenons ainsi:

$$ \sum_m (d_m^{i,i} - d_m^{j,j}) b_m^i + (d_m^{i,j} + d_m^{j,i}) b_m^j = 0, \quad i \neq j. $$

D'après 174, cette équation est satisfaite, ainsi que la troisième équation du système. Il ne reste donc plus que la première. D'après 55, celle-ci s'écrit:

$$ \sum_{m,l} d_m^{l,i} \tilde{D}_m^l = n \sum_m d_m \tilde{D}_m^i, \quad \text{pour } i = 1, \dots, n, $$

ou encore:

$$ \sum_{m,l \neq i} d_m^{l,i} \tilde{D}_m^l = (n-1) \sum_m d_m \tilde{D}_m^i, \quad \text{pour } i = 1, \dots, n. $$

Supposons que l'un (au moins) des $a_m^j(x)$ est inversible, pour tout $x \in D$, $a_1^1$, par exemple.

Alors, puisque $D_0 = \sum_{l=1}^{q} (-1)^{l+1} a_l^1 \tilde{D}_1^l$, et puisque $\tilde{D}_1^1 = \sum_{l=1}^{q} (-1)^{l+1} c_1^l \tilde{D}_1^l = \frac{\tilde{D}_1^1}{n} + \sum_{l=2}^{q} (-1)^{l+1} c_1^l \tilde{D}_1^l$, il est possible de choisir les éléments $(c_1^2, c_1^3, \dots, c_1^q)$ qui sont arbitraires, alors que $c_1^1$, lui, ne l'est pas (voir 23), de telle façon que $\tilde{D}_1^1$ soit inversible. Alors, pour tout $i = 2, \dots, n$, la condition ci-dessus s'écrit:

$$ d_1^{1,i} \tilde{D}_1^1 + \sum_{2 \le l \neq i} d_1^{l,i} \tilde{D}_1^l + \sum_{m \ge 2, l} d_m^{l,i} \tilde{D}_m^l = (n-1) \sum_m d_m \tilde{D}_m^i, $$

et, puisque $\tilde{D}_1^1$ est inversible, on peut choisir $d_1^{1,i}$ pour que cette équation soit satisfaite. Il reste encore l'équation pour $i = 1$. Elle s'écrit $(n-1) \sum_m d_m \tilde{D}_m^1 = \sum_{l \neq i, m} d_m^{l,i} \tilde{D}_m^l$, et, pour la même raison, on peut choisir $d_1$ pour qu'elle soit vérifiée.

**Exemple 4.3.** *Un exemple dans le cas non commutatif.*

Ici aussi, il semble difficile, dans le cas non commutatif, de mener à terme les calculs dans le cas général. Nous donnerons donc un exemple.

Les conditions pour l'obtention d'une représentation intégrale sont données, rappelons le, en 163.
Nous choisisons encore la norme euclidienne, et supposerons, dans cet exemple, que $f$ est une fonction d'un ouvert connexe $D$ de $A$ dans $A$ à laquelle nous imposons $p$ conditions de Cauchy

$$ \sum_{j=0}^{p} a_{m}^{j}(x) \frac{\partial f}{\partial x_{j}}(x) = 0, \quad \text{pour } m = 1, \dots, p. $$

avec tous les coefficients $a_m^j(x)$ nuls, sauf $a_m^0(x)$ et $a_m^m(x)$. Nous cherchons $\varphi_m(x, y)$ sous la forme:

$$ \varphi_m(x, y) = \sum_{j=0}^{p} b_m^j(x)(y_j - x_j). $$

Les conditions 163 s'écrivent:

$$ \left\{ \begin{array}{l} \sum_{m=1}^{p} a_{m}^{0}(x)b_{m}^{0}(x) + a_{m}^{m}(x)b_{m}^{m}(x) = \frac{e_0}{\mathrm{Vol}(B(0,1))}, \\ \sum_{m=1}^{p} a_{m}^{0}(y)b_{m}^{0}(x) + a_{m}^{m}(y)b_{m}^{m}(x) = \frac{p+1}{\|y-x\|^2} \sum_{m} [a_{m}^{0}(y)(y_0 - x_0) \\ \qquad + a_{m}^{m}(y)(y_m - x_m)] \sum_{j=0}^{p} b_{m}^{j}(x)(y_j - x_j). \end{array} \right. \quad (177) $$

En multipliant la deuxième équation par $\|y - x\|^2$, nous obtenons:

$$ \begin{aligned} \|y - x\|^2 \sum_m (a_m^0(y)b_m^0(x) + a_m^m(y)b_m^m(x)) ={}& (p+1)(y_0 - x_0)^2 \sum_m a_m^0(y)b_m^0(x) \\ & + (p+1) \sum_{j=1}^p (y_0 - x_0)(y_j - x_j) \sum_m a_m^0(y)b_m^j(x) \\ & + (p+1) \sum_m (y_0 - x_0)(y_m - x_m)a_m^m(y)b_m^0(x) \\ & + (p+1) \sum_m (y_m - x_m)^2 a_m^m(y)b_m^m(x) \\ & + (p+1) \sum_{1 \le j < m} (y_j - x_j)(y_m - x_m)(a_m^m(y)b_m^j(x) + a_j^j(y)b_j^m(x)). \end{aligned} \quad (178) $$

Nous identifions les termes d'ordre 2 en $y - x$ dans les deux membres de cette égalité, et, tenant compte de la première équation du système précédent, nous obtenons:

$$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \sum_m (a_m^0(x)b_m^0(x) + a_m^m(x)b_m^m(x)) = (p+1) \sum_m a_m^0(x)b_m^0(x) \\ \displaystyle \qquad = (p+1) a_j^j(x)b_j^j(x) = \frac{e_0}{\mathrm{Vol}(B(0,1))}, \quad \text{pour } j=1, \dots, p; \\[1.5ex] \displaystyle a_m^m(x)b_m^j(x) + a_j^j(x)b_j^m(x) = 0, \quad \text{si } 1 \le j \ne m \ge 1; \\[1.5ex] \displaystyle \sum_m a_m^0(x)b_m^j(x) + a_j^j(x)b_j^0(x) = 0, \quad \text{pour } j=1, \dots, p; \end{array} \right. \quad (179) $$

ce qui est équivalent à:

$$ \left\{ \begin{array}{l} a_j^j(x)b_j^j(x) = \frac{e_0}{(p+1)\mathrm{Vol}(B(0,1))} = \sum_m a_m^0(x)b_m^0(x) \quad \text{pour } j=1, \dots, p; \\ a_m^m(x)b_m^j(x) + a_j^j(x)b_j^m(x) = 0, \quad \text{si } 1 \le j \ne m \ge 1; \\ a_j^j(x)b_j^0(x) = -\sum_m a_m^0(x)b_m^j(x), \quad \text{pour } j=1, \dots, p. \end{array} \right. \quad (180) $$
Le premier concerne l'algèbre des Tessarines qui peut être obtenue par la donnée d'une base $(1, i, j, k)$ vérifiant $i^2 = -1$, $j^2 = 1$, $k = ij$, et le reste de la table de multiplication s'obtient en imposant l'associativité et la commutativité. En utilisant ceci, $k^2 = -1$. Maintenant considérons $f: A \to A$ ; $A$ étant commutative, en itérant la preuve de la non existence en dimension 3 et dans le cas commutatif d'une formule de Cauchy satisfaisant une seule équation de Cauchy, nous obtenons la non existence d'une formule de Cauchy, pour $f$, dans le cas des Tessarines avec une seule condition dans l'algèbre (voir preuve dans le cas commutatif du théorème 2.12). Par contre, pour les fonctions $A$-différentiables, nous avons une formule de Cauchy d'après le corollaire 2.6 car $1 + i^2 + j^2 + k^2 = 0$.

Pour l'obtention d'une formule de Cauchy pour les fonctions de $A$ dans $A$ dans le cas d'une seule condition de Cauchy dans l'algèbre $A$, le caractère associatif impose des contraintes assez strictes : nous avons des exemples, bien sûr dans $\mathbb{C}$, et dans l'algèbre des quaternions munie de la condition de Cauchy-Fueter (voir section 3). Si l'on omet cette condition, nous avons plus d'exemples et nous allons montrer comment les générer. Si $A$ est une algèbre unitaire ou unifère de dimension $p$ ayant pour base $(1, e_2, \cdots, e_p)$, alors les conditions 17 avec $m = 1$ sont vérifiées si la base vérifie $e_i^2 = -1$ et $e_i e_j = -e_j e_i$ pour tous les $i, j > 1$ et $i \neq j$, et nous avons donc une formule de Cauchy pour les fonctions $f$ satisfaisant la condition de Cauchy :

$$ \frac{\partial f}{\partial x_1} + e_2 \frac{\partial f}{\partial x_2} + \cdots e_p \frac{\partial f}{\partial x_p} = 0. $$

Ces conditions sont satisfaites, par exemple, avec $A$ les octonions ou les sédénions munis de leur base standard.

Enfin, pour finir, dans le cas d'une condition de Cauchy ($m = 1$) alors le noyau $K$ est une solution fondamentale et nous avons donc beaucoup de fonctions $f$ de $A$ dans $A$ vérifiant la condition de Cauchy. Si $m > 1$, ce n'est plus le cas, et la classe de fonction vérifiant les conditions de Cauchy peut être plus restreinte. C'est exactement le phénomène que nous rencontrons dans $\mathbb{C}$ et $\mathbb{C}^n$ pour les fonctions d'une et plusieurs variables complexes, en une variable le noyau de Cauchy est holomorphe, en plusieurs variables, le noyau de Bochner ne l'est plus.

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