ANNALES MATHÉMATIQUES BLAISE PASCAL

ALAIN FAISANT

Interprétation factorielle du nombre de classes dans
les ordres des corps quadratiques

Annales mathématiques Blaise Pascal, tome 7, n° 2 (2000), p. 13-18

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# Interprétation factorielle du nombre de classes dans les ordres des corps quadratiques

Alain FAISANT

**Résumé** : Soit $\mathcal{O}$ un ordre d'un corps quadratique, de conducteur $f$ et de nombre de classes $h$ ; l'anneau $\mathcal{O}$ n'est pas en général factoriel ; on définit une notion d'élément $h$ - premier qui donne une « sorte de factorialité » à une certaine partie $A_f$ de $\mathcal{O}$.

## 1. Notations et rappels

1.1. $K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ ($d \in \mathbb{Z}$ sans facteur carré) étant donné, on définit $O_K$ comme étant l'anneau des entiers de $K$ : $O_K = \mathbb{Z} + Z\omega$ où $\omega = \frac{1+\sqrt{d}}{2}$ si $d \equiv 1 \pmod 4$ et $\omega = \sqrt{d}$ si $d \equiv 2, 3 \pmod 4$.

1.2. Soit $\mathcal{O}$ un ordre de $K$ (i.e. un sous-anneau unitaire de rang 2 de $K$) ; $\mathcal{O}$ est de la forme $\mathcal{O} = O_f = \mathbb{Z} + Zf\omega$, où $f \in \mathbb{N}$, $f \ge 1$ : $\mathcal{O}$ est caractérisé par son **conducteur** $f$ ; pour alléger les notations on ne précise pas toujours $f$ ; $\mathcal{O}$ est un anneau nœthérien et $O_f \subset O_1 = O_K$.

1.3. $M_f$ désigne le groupe des modules de $K$ associés à $O_f$, c'est-à-dire : $M \in M_f$ si et seulement si $M$ est un sous-groupe additif de $K$ dont l'anneau de stabilisateurs $\{x \in K; xM \subset M\}$ est exactement $O_f$.

Si $P_f = \{M \in M_f; M = \alpha O_f, \alpha \in K\}$, alors le groupe $Cl_f = M_f/P_f$ des classes de l'ordre $O_f$ est un groupe fini ; son ordre est noté $h_f$.

1.4. Pour $M \in M_f$ on note $\mathcal{N}(M)$ la **norme** de $M$ ($0 \le \mathcal{N}(M) \in \mathbb{Q}$, et $\mathcal{N}(M) \in \mathbb{N}$ si et seulement si $M \subset O_f$) ; si $\alpha \in K$ et $M = \alpha O_f$, alors $\mathcal{N}(M) = |\mathcal{N}(\alpha)|$.

1.5. Si $M \in M_f$ et $M \subset O_f$ on dit que $M$ est un **$O_f$-idéal** : $M$ est en particulier un idéal de l'anneau $O_f$ ; un idéal $I$ de $O_f$ n'est pas forcément un $O_f$-idéal ; néanmoins si $I$ est premier avec $fO_f$, on montre que $I$ est un $O_f$-idéal : cf [3] (lemme IV.5, p.163) ou [2] (Exercice 8, p.169).
1.6. Un $O$-idéal $I$ de l'ordre $O$ est dit $O$-irréductible si : $I \neq O$ et $I = I_1 \cdot I_2$, où $I_1$ et $I_2$ sont des $O$-idéaux entraîne $I_1 = O$ ou $I_2 = O$.

* Tout $O_f$-idéal (non nul si $f = 1$) est produit de $O_f$-idéaux $O_f$-irréductibles (ceci est dû au fait que $O_f$ est nœthérien).

1.7. Un $O$-idéal $I$ est dit *$O$-premier* si : $I$ divise $I_1 \cdot I_2$ implique $I$ divise $I_1$ ou $I_2$ (où $I$ divise $I_1$ signifie qu'il existe un $O$-idéal $L$ tel que $I_1 = I \cdot L$). Il est clair que $O$-premier implique $O$-irréductible (la réciproque est fausse : cf [3], exercice IV.15) ; pour remédier à cela on introduit :

1.8. $J_f = \{I; I O_f$-idéal et $I + f O_f = O_f\}$ : c'est donc l'ensemble des $O_f$-idéaux premiers avec l'idéal $f O_f$ de $O_f$.

**Lemme 1.** Soit $I$ un idéal de $O_f$.

Pour que $I \in J_f$ il faut et suffit que $\text{PGCD}(\mathcal{N}(I), f) = 1$.

*Preuve*. cf [3], p.163.

**Théorème 1.**

1) Si $I \in J_f$ on a : $I$ est $O_f$-irréductible si et seulement si $I$ est $O_f$-premier

2) Tout $O_f$-idéal, non nul lorsque $f = 1$, de $J_f$ est, de façon unique, produit de $O_f$-idéaux $O_f$-irréductibles

*Preuve.* 1) provient essentiellement du lemme 1 ; 2) est alors évident.

## 2. Éléments k-premiers ; k-factorialité

$O_f$ étant nœthérien, on sait que tout $x \in O_f \setminus \{0\}$ admet une décomposition en produit de facteurs irréductibles ; comme en général « irréductible $\not\rightarrow$ premier » on n'a pas unicité de la décomposition. L'idée consiste à introduire le nombre de classes $h_f$, ou mieux $k_f$, pour retrouver cette unicité ; à cet effet on définit

$$A_f = \{x \in O_f; \text{PGCD}(\mathcal{N}(x), f) = 1\},$$

analogue de $J_f$ pour les éléments.

**Lemme 2.**

i) $O_f^* \subset A_f$ ($O_f^*$ est le groupe des unités de $O_f$)

ii) Si $f = 1$ on a $A_f = O_K$
iii) Si $f > 1$, alors $A_f$ est un sous-demi-groupe multiplicatif de $O_f$ ; de plus $A_f$ est consistant : si $x$ et $y \in O_f$ et $xy \in A_f$, alors $x$ et $y \in A_f$.

iv) Si $x \in O_f$ et $x \neq 0$ on a : $x \in A_f \Leftrightarrow xO_f \in J_f$.

### Preuve.

i) et ii) sont clairs.

iii) Si $\text{PGCD}(\mathcal{N}(xy), f) = 1$ alors $\text{PGCD}(\mathcal{N}(x), f) = \text{PGCD}(\mathcal{N}(y), f) = 1$.

iv) $I = xO_f$ est un idéal de l'anneau $O_f$ ; d'après le lemme 1 on a $I \in J_f$ si et seulement si $\mathcal{N}(I)$ est premier à $f$, mais $\mathcal{N}(I) = |\mathcal{N}(x)|$, d'où le résultat.

On désigne par $k_f$ l'exposant du groupe $Cl_f$ ($k_f$ est le maximum des ordres des éléments de $Cl_f$ ; on sait que $k_f$ divise l'ordre $h_f$ de $Cl_f$) ; on dira que $\pi \in A_f$ est $k_f$-premier s'il vérifie :

$$ (\pi \text{ divise } xy \text{ dans } A_f) \Rightarrow (\pi \text{ divise } x^{k_f} \text{ ou } \pi \text{ divise } y^{k_f} \text{ dans } A_f). $$

### Lemme 3.

Soient P un élément $O_f$-irréductible de $J_f$, $\alpha \ge 1$ l'ordre de $cl(P)$ dans $Cl_f$ et $\pi \in O_f$ tel que $P^\alpha = \pi O_f$. Alors :

i) $\pi \in A_f$

ii) $\pi$ est irréductible dans $A_f$ : si $\pi = xy$, où $x$ et $y \in A_f$, on a $x \in O_f^x$ ou $y \in O_f^x$

iii) $\pi$ est $k_f$-premier.

### Preuve.

i) car $\pi \in O_f$ et $|\mathcal{N}(\pi)| = \mathcal{N}(P)^\alpha$ est premier à $f$.

ii) Si $\pi = xy$, alors $P^\alpha = xO_f.yO_f$ et $xO_f, yO_f \in J_f$ ; le théorème 1 donne $xO_f = P^u$ et $yO_f = P^v$, où $u+v=\alpha$ ; alors $P^u$ est principal donc $\alpha$ divise $u$ ; de même $\alpha$ divise $v$ : si $u = \alpha u'$ et $v = \alpha v'$ on a $\alpha = u+v = \alpha(u'+v')$ qui impose $u'+v' = 1$, d'où par exemple $u' = 0, v' = 1$, auquel cas $u=0, v=\alpha$, alors $yO_f = P^\alpha = \pi O_f$ : il existe $\varepsilon \in O_f^x$ tel que $y = \varepsilon\pi$, et enfin $x = \varepsilon^{-1} \in O_f^x$.

iii) Si $\pi$ divise $xy$ alors $\pi O_f = P^\alpha$ divise $xO_f.yO_f$, donc par exemple P divise $xO_f$ : si $xO_f = P.J$, alors $x^\alpha O_f = P^\alpha.J^\alpha = \pi J^\alpha$, donc $x^\alpha \in \pi J^\alpha$ et $\pi$ divise $x^\alpha$ ; comme $\alpha$ divise $k_f$, a fortiori $\pi$ divise $x^{k_f}$.

Il n'y a pas d'autres irréductibles $k_f$-premiers que ceux du lemme 3 :
**Lemme 4.**

Soit $\pi \in A_f$ irréductible et $k_f$ - premier ; alors il existe un élément $O_f$ - irréductible
$P$ de $J_f$ tel que $\pi O_f = P^\alpha$ (où $\alpha$ est l'ordre de $cl(P)$ dans $Cl_f$).

Preuve.

On note $\mathcal{O}$ pour $\mathcal{O}_f$ et $k$ pour $k_f$. Le théorème 1 donne $\pi\mathcal{O} = P_1\dots P_n$, où les $P_i$ sont
$\mathcal{O}$ - irréductibles ; alors si $\alpha_i$ est l'ordre de $cl(P_i)$ dans $Cl_f$ il existe $p_i \in \mathcal{O}$ tel que
$P_i^{\alpha_i} = p_i\mathcal{O}$ ; soit $s_i = k/\alpha_i$ de sorte que $\pi^k\mathcal{O} = (p_1\mathcal{O})^{s_1}\dots(p_n\mathcal{O})^{s_n} = p_1^{s_1}\dots p_n^{s_n}\mathcal{O}$, donc
$\pi^k = \epsilon p_1^{s_1}\dots p_n^{s_n}$ où $\epsilon \in \mathcal{O}^\times$ ; comme $\pi$ est $k$-premier il existe $i$ tel que $\pi$ divise $p_i^{s_i}k$ :
si $p_i^{s_i}k = \pi x$ on a $p_i^{s_i}k\mathcal{O} = \pi\mathcal{O}.x\mathcal{O} = P_i^{s_i\alpha_i}k$ et l'unicité (théorème 1) donne $\pi\mathcal{O} = P_i^{\tau_i}$,
donc $\alpha_i$ divise $r_i$ : si $r_i = \alpha_i t$ on a $\pi = up_i^t$, où $u \in \mathcal{O}^\times$ ; comme $\pi$ est irréductible on
a $p_i \notin \mathcal{O}^\times$ et on en déduit que $t=1$ donc $\pi\mathcal{O} = P_i^{\alpha_i}$.

**Théorème 2.**

Soit $x \in A_f$ tel que $x \notin O_f^\times$ et $x \neq 0$, alors

i) il existe $\pi_1, \dots, \pi_r$ irréductibles, $k_f$ - premiers et non associés deux à deux tels que
$x^{k_f} = \pi_1^{s_1} \dots \pi_r^{s_r}$, où les nombres entiers $s_i$ sont $\ge 1$ ;

ii) cette décomposition est unique à l'ordre près des facteurs et à unité près.

On dit que $A_f$ est $k_f$-factoriel.

Preuve. On note encore $\mathcal{O}$ pour $\mathcal{O}_f$ et $k$ pour $k_f$.

i) On a $x\mathcal{O} = P_1\dots P_n$ et l'ordre $\alpha_i$ de $cl(P_i)$ divise $k$ : si $k = \alpha_i\sigma_i$ et $P^{\alpha_i} = \pi_i\mathcal{O}$, où $\pi_i \in \mathcal{O}$, on a $x^k\mathcal{O} = \pi_1^{\sigma_1}\mathcal{O}\dots\pi_n^{\sigma_n}\mathcal{O}$ donc $x^k = \epsilon\pi_1^{\sigma_1}\dots\pi_n^{\sigma_n}$, où $\epsilon \in \mathcal{O}^\times$ ; les $\pi_i$ sont irréductibles et $k$-premiers (lemme 3) ; après regroupement on obtient $x^k = \epsilon\pi_1^{s_1}\dots\pi_r^{s_r}$.

ii) Si $x^k = \rho_1^{t_1} \dots \rho_n^{t_n}$ est une décomposition du même type, alors $\rho_1$ divise $\pi_1^{s_1} \dots \pi_r^{s_r}$,
donc, quitte à renuméroter, $\rho_1$ divise $\pi_1^{s_1} k$ (car $\rho_1$ est $k$-premier) : si $\pi_1^{s_1} k = a\rho_1$,
comme $\pi_1 \mathcal{O} = P_1^{\alpha_1}$ (lemme 4), on a $P_1^{\alpha_1 s_1 k} = \rho_1 \mathcal{O}.a \mathcal{O}$ ; l'unicité de la décomposition des
$\mathcal{O}$-idéaux et le fait que $\rho_1$ et $a \in A_f$ montrent que $\rho_1 \mathcal{O} = P_1^w$. Ainsi $\alpha_1$ divise $w$ : si
$w = \alpha_1 v_1$, on a $\rho_1 \mathcal{O} = \pi_1^v \mathcal{O}$, donc $\rho_1 = u\pi_1^v$, où $u \in \mathcal{O}^\times$ ; comme $\rho_1$ est irréductible
on a $v_1 = 1$ donc $\rho_1$ et $\pi_1$ sont associés.

On montre maintenant que $s_1 = t_1$ :

a) Si $t_1 > s_1$ on écrit $t_1 = s_1 + \sigma$, où $\sigma > 0$, d'où, après simplification :

$$
\pi_2^{s_2} \dots \pi_r^{s_r} = u \pi_1^{\sigma} \rho_2^{t_2} \dots \rho_n^{t_n}
$$
donc $\pi_1$ divise $\pi_2^{s_2} \dots \pi_r^{s_r}$ ; comme $\pi_1$ est $k$-premier, $\pi_1$ divise, par exemple, $\pi_2^k$ :
si $\pi_2^k = \pi_1 y$ on a $P_2^{\alpha_2 k} = P_1^{\alpha_1} yO$ ; l'unicité de la décomposition des $O$-idéaux impose
$P_1 = P_2$ et $\pi_2$ serait associé à $\pi_1$, ce qui n'est pas.

b) On a donc $s_1 \ge t_1$ donc $s_1 = t_1 + \sigma$, où $\sigma \ge 0$, d'où $\pi_1^\sigma \pi_2^{s_2} \dots \pi_r^{s_r} = u \rho_2^{t_2} \dots \rho_n^{t_n}$.
Si on avait $\sigma > 0$ on en déduirait que $\pi_1$ divise, par exemple, $\rho_2^k$, donc que $\rho_1$ diviserait
$\rho_2^k$ ; en raisonnant comme en a), on conclurait que $\rho_1$ et $\rho_2$ sont associés, ce qui n'est
pas. Ainsi $\sigma = 0$ et $s_1 = t_1$.

On conclut par itération.

### Corollaire.

Si $h_f = 1$ le demi-groupe $A_f$ est factoriel en ce sens que tout $x \in A_f \setminus O_f^x$ et non nul s'écrit $x = \pi_1^{s_1} \dots \pi_r^{s_r}$, où les $\pi_i$ sont irréductibles et premiers dans $A_f$ non associés deux à deux, et cette écriture est unique à l'ordre près des facteurs et à unité près.

### Exemples 1

Les ordres $Z + Z\sqrt{-3}$, $Z + Z\sqrt{-7}$, $Z + Z2i$ des corps $Q(\sqrt{-3})$, $Q(\sqrt{-7})$, $Q(i)$ ont pour conducteur $f=2$ et nombre de classes $h_2=1$: le demi-groupe correspondant $A_2$ est factoriel; il en est de même pour l'ordre $O_3$ de $Q(\sqrt{-3})$: $f=3$, $h_3=1$; ces quatre ordres sont les seuls ordres de corps quadratiques imaginaires de conducteur $f \ge 2$ pour lesquels le nombre de classes $h_f$ vaut 1. Par contre le demi-groupe $A_2$ de $Z + Z\sqrt{-11}$ est « 3-factoriel » : on a $x^3 = \pi_1^{s_1} \dots \pi_r^{s_r}$ pour tout $x \in A_2 \setminus O_2^x$, où les $\pi_i$ sont des éléments irréductibles et 3-premiers de $A_2$. C'est la factorialité du $A_2$ de $Z + Z2i$ qui est utilisée dans [1].

### Exemple 2

L'anneau des entiers de $K = Q(\sqrt{-5})$ est $O_K = Z[\omega]$, où $\omega^2 = -5$; le nombre de classes est $h=2$; l'exemple classique (cf [4]) est

$$x = 6 = 2 \times 3 = (1 + \omega)(1 - \omega).$$

Pour avoir la décomposition de $x^2$ selon le théorème 2 (ici $f=1$) on calcule

$$(1 \pm \omega)^2 = 2(-2 \pm \omega), \text{ d'où}$$

$$x^2 = 2^2 (-2 + \omega)(-2 - \omega).$$

C'est la décomposition recherchée :

* 2 est irréductible et 2-premier puisque $2O_K = P^2$ (2 est ramifié car $\text{Disc}K = -20$) et d'après le lemme 3
• 3 est décomposé (car $\text{Disc } K$ est un résidu quadratique modulo 3) donc $3O_K = Q.Q'$.
On a $Q^2 = (2+\omega)O_K$ et $Q'^2 = (2-\omega)O_K$, donc $-2 \pm \omega$ sont 2-premiers, et irréductibles
car de norme 9 et, dans $O_K$ il n'y a pas d'élément de norme 3 ($a^2+5b^2=3$ n'a pas
de solution dans $\mathbb{Z}^2$).

La décomposition $x^2 = 2^2 \times 3^2$ est à rejeter car le nombre $\pi = 3$ est irréductible, mais
n'est pas 2-premier : 3 divise $(1+\omega)(1-\omega) = 6$ mais ne divise pas $(1\pm\omega)^2 = -4\pm 2\omega$
(car 3 ne divise pas 4 dans $\mathbb{Z}$) ; de même $x^2 = (1+\omega)^2(1-\omega)^2$ est à rejeter puisque
l'irréductible $\pi = 1+\omega$ divise $2 \times 3$ mais ne divise ni $2^2$ ni $3^2$ ($N(\pi) = 6$, $N(2^2) = 16$,
$N(3^2) = 81$).

Remarque : Il est facile de voir que, si le nombre premier $p$ est ramifié ou inerte dans $K$,
alors $p$ est irréductible et $k$ - premier dans $O_K (f = 1)$ ; alors que si $p$ est décomposé,
il n'est pas $k$ - premier.

Bibliographie

[1] L. BAPOUNGUÉ. – *Sur la résolubilité de l'équation diophantienne ax² + 2bxy - kay² = ±1* ; C. R. Acad. Sci. Paris, série I, t.309 (1989), 235-238.

[2] Z. BOREVITCH et I. CHAFAREVITCH. – Théorie des nombres ; Gauthier-Villars, Paris, 1967.

[3] A. FAISANT. – L'équation diophantienne du second degré ; Hermann, Paris, 1991.

[4] P. SAMUEL. – Théorie algébrique des nombres ; Hermann, Paris, 1967.

Alain FAISANT
Équipe de Théorie des Nombres
Faculté des Sciences
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