# Les représentations en mathématiques

David Waszek

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David Waszek. Les représentations en mathématiques. Philosophie. Université Paris 1 Panthéon Sorbonne, 2018. Français. NNT: 2018PA01H231. tel-04292120

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UNIVERSITÉ PARIS 1

PANTHÉON SORBONNE

ÉCOLE DOCTORALE DE PHILOSOPHIE

IHØST

Thèse pour l'obtention du grade de
Docteur en philosophie de l'Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne
présentée et soutenue publiquement par

David WASZEK

le 16 décembre 2018

LES REPRÉSENTATIONS EN
MATHÉMATIQUES

Directeur de thèse :

M. Marco PANZA

Directeur de recherches au CNRS (IHPST)
Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne

Composition du jury :

M. Jeremy AVIGAD

Mme Hourya BENIS-SINACEUR

M. Jeremy GRAY

M. Brice HALIMI

M. David RABOUIN

M. Jean-Jacques SZCZECINIARZ

Professor, Carnegie Mellon University

Directrice de recherches émérite au CNRS (IHPST)

Emeritus Professor, Open University (rapporteur)

Maître de conf. hab., Univ. Paris Ouest (rapporteur)

Chargé de recherches au CNRS (SPHERE)

Professeur, Université Paris Diderot
<figure><img src="image_3.png" /></figure>
# Table des chapitres

<table><tr><td>Remerciements</td><td>5</td></tr><tr><td>Introduction</td><td>9</td></tr></table>

## I Étude de cas : l'« analogie des puissances et des différences » 21

Introduction : une étude de cas historique, pourquoi, comment ? 25

1 Éléments de contexte : le calcul différentiel leibnizien en 1694 31

2 Récit : la découverte de l'« analogie » 43

3 Analyse : le rôle des notations 75

Synthèse : un pari notationnel 91

## II Équivalence informationnelle, différences computationnelles 93

Introduction : un slogan séduisant 97

4 Herbert Simon : représentations et types de données 101

5 Différences computationnelles partout ? 131

6 De Simon à la pratique des mathématiques 153

Conclusion : avancées et limites 169

## III Syntaxe et sémantique des diagrammes 171

Introduction : logique et information 175

7 Sun-Joo Shin et les diagrammes logiques 181

8 Les diagrammes comme texte : un cadre général 211

9 Le contenu d'information, une nouvelle sémantique ? 225

10 Dynamique du raisonnement diagrammatique 255

Conclusion : une sémantique en quel sens ? 269

## IV Faut-il parler de représentation ? 271

Introduction : plusieurs objections 275

11 Usages informels des diagrammes et contextualité 277

12 Manipulations sans représentation ? 291

Conclusion générale 307

Table des matières détaillée 309

Table des figures 315

Références bibliographiques 319

Index des noms 359
<figure><img src="image_4.png" /></figure>
Remerciements

En quatre ans de doctorat, j’ai reçu des impulsions et des idées de toutes parts, certaines fortes et manifestes, d’autres à peine perceptibles et pourtant crucales, d’autres encore, à n’en pas douter, dont je n’ai même pas conscience. Sans prétendre pouvoir rendre son dû à chacun, j’aimerais exprimer toute ma gratitude à ceux qui suivent.

Les encouragements de Marco Panza et son soutien permanent m’ont été indispensables pour entamer cette thèse, et plus encore pour la terminer alors qu’il me semblait en être encore au travail préliminaire. Avec Annalisa Coliva, il m’a aussi accueilli pour un séjour fructueux de quelques mois au département de philosophie de l’université de Californie à Irvine.

David Rabouin m'a consacré beaucoup de temps, et le travail qui suit est profondément marqué par nos discussions. Jeremy Avigad et Ken Manders m'ont accueilli à Pittsburgh pour quelques jours ; mes échanges avec eux m'ont beaucoup apporté, là-bas comme ici ou encore à Toulouse lors de leurs visites. Jeremy Heis a pris le temps de plusieurs discussions approfondies lors de mon séjour à Irvine. Gianni (Juan-Luis) Gastaldi a été généreux de son temps et sa perspective éloignée de ma formation m'a été précieuse. M'ont également été précieuses mes discussions, sur un continent ou sur un autre, avec Valeria Giardino, Penélope Maddy, Yacin Hamami, Sébastien Gandon, Brice Halimi, Dirk Schlimm, John Mumma, Sun-Joo Shin, Alberto Naibo et Maël Pégny. Je voudrais également remercier Andy Arana et Sébastien Maronne pour leurs commentaires lors de ma soutenance de mi-parcours. Stéphane Dugowson a eu l'amabilité de me faire parvenir un exemplaire de sa thèse de doctorat. Isidora Stojanovic m'a aidé à m'orienter dans les labyrinthes quelque peu oubliés de la sémantique des situations, et Gabriel Scherer m'a fourni quelques indications utiles sur l'informatique théorique d'aujourd'hui.

Un simple commentaire à l'issue d'une intervention, et même un unique conseil de lecture, peut s'avérer décisif. C'est ainsi que lors de ma toute première présentation, quelques mois à peine après le début de ma thèse, Jean Gayon m'a recommandé une lecture mar-
quante qui a joué un rôle crucial dans la genèse de ma seconde partie. Pour leurs commentaires ou leurs conseils, je voudrais également remercier Gerhard Heinzmann, Jessica Carter, Silvia de Toffoli, Danielle Macbeth, Jean-Michel Salanskis, Hourya Benis-Sinaceur, Olivier Rey, Roi Wagner, Gabriel Sandu et Atsushi Shimojima.

Ce travail doit beaucoup aux écoles d'été, journées d'étude et colloques auxquels j'ai eu la chance de participer. Jean-Michel Salanskis m'a permis d'assister à une école de philosophie des sciences organisée à Nancy par Léna Soler, où j'ai beaucoup appris. Sébastien Maronne (souvent avec l'aide de David Rabouin et Brice Halimi) a organisé d'innombrables événements à Toulouse et à Saint-Flour dont j'ai énormément profité. Valeria Giardino m'a permis de me rendre à plusieurs conférences très intéressantes pour moi qu'elle a organisées à Nancy. Les éditions successives du *French PhilMath Workshop* ont aussi été formatrices; je voudrais remercier les organisateurs de celle de Marseille où j'ai eu l'occasion d'intervenir, en particulier Paola Cantù. L'équipe des rencontres franco-mexicaines d'histoire et de philosophie des sciences, dont Carlos Alvarez et Vincent Jullien, m'ont offert un cadre sympathique et fructueux pour présenter mon travail (David Rabouin y est aussi pour beaucoup). Je garde également un excellent souvenir de la *Novembertagung* de 2016 à Sønderborg, et remercie Line Andersen pour ses efforts d'organisation. Dans deux domaines très différents, l'école d'été de la SoPhA de 2014 (organisée par Filipe Drapeau Vieira Contim, Pascal Ludwig et Max Kistler) et celle de méthodes quantitatives en histoire des mathématiques de 2018 (organisée par Catherine Goldstein, Alexandre Guilbaud et Irène Passeron) m'ont permis de compléter ma formation; au début de ma thèse, la première rencontre, à Helsinki, du projet avorté de réseau doctoral européen en philosophie a aussi été formatrice (qu'Alberto Naibo soit ici remercié pour y avoir conduit notre petite délégation parisienne).

Pour ces divers déplacements, le soutien financier de l'école doctorale de philosophie de Paris 1 m'a souvent été précieux, ainsi que celui de l'IHPST et, à l'occasion, des projets de recherche de Marco Panza. Une aide substantielle du collège des écoles doctorales m'a aussi permis un séjour plus long à l'étranger; je voudrais ici remercier Pierre-Marie Morel d'avoir soutenu ma candidature.

Plusieurs collègues et amis ont pris le temps de relire et de discuter avec moi des passages plus ou moins longs de ma thèse, dont encore une fois Gianni Gastaldi et David Rabouin, ainsi que Henri Salha, Nicolas Michel et Julien Gusthiot (sans parler des relevures extrêmement minutieuses de Marco Panza). Toutes les coquilles et aberrations qui subsistent sont évidemment de mon fait, comme l'étaient les nombreuses erreurs qu'ils m'ont permis d'éliminer.
Les discussions avec les jeunes chercheurs et chercheuses de l'IHPST et de SPHERE m'ont aussi été très profitables. Je voudrais en particulier remercier João Cortese pour avoir organisé un groupe de travail d'histoire des mathématiques à SPHERE où j'ai énormément appris, Marina Imocrante qui a rassemblé plus récemment un groupe de travail très productif à l'IHPST, ainsi que Pascal Bertin, Nicolas Michel, Mourtaza Chopra, Julien Gusthiot, Eleonora Sammarchi, Matias Osta et, dans les dernières semaines de ma thèse, CHANG Chun Hao. Emmylou Haffner finissait lorsque j'ai commencé, mais heureusement, cela ne m'a pas empêché de bénéficier de son soutien amical tout au long de mon doctorat et de sa compagnie rassurante dans les séminaires parisiens comme aux colloques les plus exotiques. À Paris 1, la bonne humeur de Marie Michon, Delphine Olivier, Vincent Legeay, Louis Guerpillon, Alexis Anne-Braun, Antoine Naïk, Ludmilla Lorrain, Victor Lefèvre, So-phia Rousseau-Mermans, Nicola Bertoldi et bien d'autres m'a rendu la thèse plus heureuse. À Bordeaux, la compagnie de Benjamin Le Roux et de Marcin Krasnodębski m'a été d'un soutien inestimable, de même que celle d'un ami d'études qui se reconnaîtra; et, dans la triste ville d'Irvine, celle de Francesca Biagioli.

Ce doctorat a aussi été, pour moi, une période d'enseignement. Pendant mes trois ans de monitorat à Paris 1, la bienveillance de Pierre Wagner m'a permis d'organiser mon service de manière à réserver du temps pour la recherche. Je suis reconnaissant à Pascal Duris et Jérôme Pierrel, de l'université de Bordeaux, de m'avoir fait confiance et accordé un poste d'ATER pour ma quatrième année. Les derniers mois de ce travail, enfin, n'auraient pas été possibles sans le poste que m'a accordé le département SPH de l'université Paris Diderot : je tiens à remercier Jean-Jacques Szczeciniarz et Nadine de Courtenay, ainsi que mes collègues ATERs et moniteurs (Nicolas Michel, Youna Tonnerre, Jean Sanchez, Laura Barbier et Smadar Bustan), pour m'avoir permis de consacrer le début de l'automne à achever ce manuscrit.

Cette thèse n'est guère que le produit de l'éducation que j'ai reçue. Je ne peux finir sans dire ma reconnaissance aux institutions qui m'ont formé. Y étudier a été un immense privilège, dans tous les sens du terme. Les classes préparatoires du lycée Louis-le-Grand m'ont offert une formation scientifique d'une qualité exceptionnelle, à laquelle cette thèse doit beaucoup. L'École Normale Supérieure m'a offert un environnement intellectuel unique et une liberté d'étude qui est peut-être sans équivalent. Je suis particulièrement reconnaissant à Marwan Rashed, qui m'a encouragé tout au long de ma scolarité, et à tous ceux qui ont regardé avec indulgence mon permanent vagabondage disciplinaire, parmi lesquels Pierre Pansu et François Loeser au département de mathématiques, Mathias Girel, Jean-Pascal Anfray, Francis Wolff et Sophie Roux au département de philosophie, ainsi que François
Recanati et Daniel Andler. L'équipe de la licence de lettres classiques de Paris 4 m'a accueilli sans hésiter lorsque j'ai frappé à leur porte. L'UFR de philosophie de Paris 1 a bien voulu m'admettre en master, et Jocelyn Benoist y a dirigé mon premier mémoire en consacrant des heures de son temps à discuter mes idées pourtant très confuses. Je voudrais aussi remercier ceux qui ont dirigé mes mémoires de mathématiques : Olivier Benoist à l'ENS, Ian Grojnowski à l'université de Cambridge et Benoit Fresse à l'université de Lille. Un autre privilège crucial que m'a accordé l'ENS a été la possibilité de séjours à l'étran ger, à Cambridge d'abord puis à Boston College, dont le département de langues romanes m'a accueilli pour une année très productive pendant laquelle j'ai conçu le projet de cette thèse. Pour remonter plus loin encore dans le temps, je voudrais remercier l'association France-IOI, qui m'a enseigné à programmer avant que je connaisse quoi que ce soit aux mathématiques et à laquelle je n'ai jamais convenablement exprimé ma gratitude. Leur enseignement s'est avéré utile à cette thèse de la façon la plus inattendue.

Le soutien que mes proches ont apporté à ce travail est bien peu de choses par rapport
à tout ce que je leur dois, mais il m'a été indispensable. Merci à celui qui, pendant que
j'écrivais des jours sans m'arrêter, est venu sur mon balcon discuter de pays lointains ; à
celle qui est venue, chargée d'un plat de fèves, me parler de pays proches ; et à celui qui
m'a accueilli pour de nombreux festins en me racontant les merveilles de pays imaginaires.
Merci à celle dont je vis entouré des belles lettres et cartes postables. Merci à celui qui, en
soutenant l'an dernier, m'a montré le chemin. Merci à celle qui, malgré ses pérégrinations
permanentes entre quatre ou cinq pays, a toujours trouvé du temps pour me réjouir de
sa bonne humeur inépuisable. Merci à tous ceux avec qui j'ai voyagé pendant ces années.
Merci à celle dont les messages et souvent la compagnie, presque tous les jours de ces quatre
années, m'ont été le bonheur le plus sûr. Merci à ma famille de Nouvelle-Angleterre, dont la
maison est un port chaleureux ; à ma grand-mère, chez qui j'ai écrit bien des pages de cette
thèse ; et à ma sœur, qui comprend souvent mes inquiétudes. Merci, enfin, à mes parents.
# Introduction

Pour résoudre un problème de mathématiques ou comprendre une démonstration, une figure bien choisie est parfois d'un grand secours. Ce fait souvent remarqué peut être vu comme un cas particulier d'un phénomène plus général. Utiliser une figure plutôt que des phrases, reformuler un problème sous la forme d'une équation, employer telles notations plutôt que telles autres : dans tous ces cas, en un sens, on ne fait que représenter sous une nouvelle forme ce qu'on sait déjà, et pourtant, cela peut permettre d'avancer. Plus large- ment, on peut lire de ce point de vue certaines des transformations les plus importantes de l'histoire des mathématiques, et y voir des évolutions non seulement conceptuelles, mais aussi représentationnelles. Pour prendre des exemples célèbres, songeons au développement de l'algèbre, du calcul différentiel ou même plus récemment de la théorie des catégories : il est tentant d'y voir (entre autres !) l'élaboration de modes de représentation permettant de traiter efficacement et uniformément toute une famille de problèmes.

Ce travail part d'une perplexité vis-à-vis de ces phénomènes. Comment est-il possible que l'on puisse progresser par le simple fait de représenter autrement ce que l'on sait déjà ? Comment comprendre les concepts de représentation et d'information, souvent invoqués de manière vague pour parler de ce problème ? Ces concepts sont-ils même adaptés ou faut-il les abandonner ? Voilà, en première approximation, les questions qui orientent cette thèse.

Ces questions sont largement orthogonales aux problèmes centraux de la philosophie des mathématiques du XXe siècle. Pour caricaturer, prenons des théorèmes mathématiques, par exemple des résultats élémentaires de géométrie et d'arithmétique. Les questions clas- siques sont de savoir de quoi ils parlent (d'objets abstraits ? de propriétés du monde phy- sique ? de rien du tout ? etc.) et d'où viennent leur validité. Ce travail, au contraire, concerne non pas ce *dont* on parle mais *comment* on en parle. Dans un manuel, peut-être notre théo- rème de géométrie est-il présenté à l'aide d'une figure et notre théorème d'arithmétique à l'aide d'une formule algébrique. Qu'apportent la figure et la formule ? Est-il plus facile de
comprendre le théorème, de le démontrer ou de découvrir sa preuve avec elles que sans elles, et si oui pourquoi ? C'est ce genre de questions qui m'intéressent ici ; si elles sont indéniablement importantes pour bien décrire les mathématiques comme activité humaine, elles n'en concernent pourtant pas directement l'ontologie ou les fondements. De ce point de vue, mon travail, comme beaucoup des travaux sur lesquels je m'appuierai, peut être rattaché à la « philosophie de la pratique mathématique » telle que la définit Mancosu (2008a).

Les problèmes que j’ai présentés dépassent bien sûr le cadre des mathématiques : toutes les sciences, sans doute, utilisent aujourd’hui avec profit des graphes, des diagrammes, des illustrations diverses ou encore des formules. Je m’appuierai d’ailleurs régulièrement sur des travaux de philosophie des sciences et de philosophie générale. Les mathématiques sont néanmoins l’objet principal de ma réflexion et ma source essentielle d’exemples. Au-delà du fait contingent que l’histoire et la philosophie des mathématiques sont mon ancrage disciplinaire, ce choix, je crois, se justifie. Nombre des situations scientifiques où, par exemple, un diagramme bien choisi s’avère précieux peuvent être transposées dans un contexte purement mathématique qui en préserve les traits essentiels ; et la rigueur et la précision des mathématiques permettent d’étudier les contributions de différentes représentation de plus près qu’il ne serait aisé de le faire ailleurs. Si les mathématiques sont loin d’épuiser le problème, il me semble donc qu’elles sont un bon laboratoire pour l’aborder.

## État des lieux

Le point de départ de cette thèse est un ensemble de travaux récents qui soulignent que les mathématiques ne sont pas qu’affaire de raisonnements pouvant être conduits dans la langue naturelle, mais impliquent de manière essentielle des supports de raisonnement : écritures symboliques, figures, diagrammes <fnref n="1" />, etc. À vrai dire, l’existence même de cette littérature mérite une clarification préalable. Ne semblerait-t-il pas évident à tout collègien que les mathématiques sont une affaire de triangles, de cercles, et d’équations avec x et y ? En fait, cette littérature ne peut se comprendre que relativement à une vision des mathématiques bien particulière, issue des bouleversements subis par la discipline autour du tournant du vingtième siècle, selon laquelle toutes les mathématiques peuvent être re-

<footnote n="1">1. Dans ce travail, j’ai choisi d’employer le terme de « figure » dans le cas de la géométrie élémentaire et de réserver celui de « diagramme » pour des représentations plus abstraites (diagrammes de Venn, diagrammes commutatifs, etc.); c’est, d’expérience, l’usage qui semble le plus naturel à ceux qui ne sont pas familiers de la littérature récente de langue anglaise, où le terme « diagram » tend à prendre un sens très large. Cela me conduit à traduire l’anglais « diagram » tantôt par « figure », tantôt par « diagramme ».</footnote>
construites formellement d'une manière qui efface toute différence représentationnelle. Je reviendrai plus bas sur ce contexte mathématique et philosophique très particulier.

Contre cette vision des mathématiques se sont développés, depuis un quart de siècle, divers travaux autour du « raisonnement diagrammatique » ou de la « visualisation ». Ces deux expressions correspondent à deux courants de recherche différents issus d'un point de départ commun : l'un comme l'autre critiquent la mise à l'écart des figures ou diagrammes dans l'analyse des mathématiques.

Le premier courant, fait d'études logiques, a été initié autour de 1990 par les logiciens Jon Barwise et John Etchemendy <fnref n="2" />. Leur but était de montrer que l'on peut raisonner de manière parfaitement rigoureuse avec des diagrammes. Pour ce faire, ils ont développé de premiers exemples de systèmes formels diagrammatiques ainsi qu'hétérogènes, c'est-à-dire employant à la fois des diagrammes et des formules logiques. Leur travail a été poursuivi par leurs élèves, entre autres Sun-Joo Shin, qui a développé des systèmes formels pour plusieurs types de diagrammes logiques, et Atsushi Shimojima, qui prolonge leur réflexion sur la distinction entre diagrammes et formules et sur l'apport spécifique des diagrammes au raisonnement. Ces études, quoiqu'elles soient très stimulantes et aient révélé des spécificités logiques précises de certains raisonnements diagrammatiques, sont toutefois limitées à des exemples très simples.

Le second courant, au contraire, étudie des mathématiques plus avancées. Il est pour l'essentiel fondé sur des études de cas historiques ou portant sur la pratique de mathématiciens contemporains <fnref n="3" />. Les philosophes de ce courant rejettent volontiers les investigations logiques précédentes : selon les termes de Paolo Mancosu, celles-ci seraient « au mieux insuffisantes, au pire malavisées <fnref n="4" /> », parce qu'en reproduisant les ambitions uniquement justificationnelles de la tradition logique, elles seraient à leur tour incapables de rendre compte de l'usage réel des diagrammes à des fins de découverte ou de compréhension. Les études de cas que proposent ces auteurs, qui sont souvent très descriptives, ont révélé de nombreux phénomènes intéressants, par exemple sur les différents usages heuristiques des diagrammes, sur les cas dans lesquels ils peuvent induire en erreur ou sur les mécanismes cognitifs de visualisation. On peut rattacher à cette seconde tendance une ligne d'investigation distincte, venue de l'histoire des mathématiques, qui met l'accent sur l'importance des figures comme outils de preuve, en particulier dans des traditions mathématiques non

<footnote n="2">2. Le collectif Allwein et Barwise (1996) rassemble l'essentiel de leurs premiers travaux et de ceux de leurs élèves. Je reviendrai longuement sur ces travaux dans la troisième partie de cette thèse.</footnote>

<footnote n="3">3. Pour un aperçu récent de ces travaux, voir Giaquinto 2015 ou Giardino et Hamami 2019.</footnote>

<footnote n="4">4. Mancosu 2005, p. 25.</footnote>
occidentales 5. Peu de travaux ont su combiner la rigueur du premier courant et l'attention soigneuse aux mathématiques du second. Une exception, qui aura pour cette raison une importance toute particulière dans ce travail, est le travail de Ken Manders sur la géométrie d'Euclide 6.

L'enjeu principal de tous ces travaux est de pointer la distance qui existe entre ce qui compte comme une preuve ou une justification dans diverses pratiques mathématiques (celles d'aujourd'hui comme à travers l'histoire) et l'idéal philosophique de démonstration formelle, et au fond de remettre cet idéal en cause. L'important, pour moi, est ailleurs. Ces recherches soulèvent, quoique parfois de manière seulement implicite, la question de savoir comment comprendre l'idée de différences représentationnelles.

Certains auteurs, au premier rang desquels Ken Manders 7, ont tenté d'inscrire la question des figures et diagrammes en mathématiques dans le cadre d'une réflexion plus générale sur les formes de représentation, qui couvre aussi, par exemple, la différence, en géométrie, entre l'emploi d'équations à la manière de Descartes et l'emploi de figures à la manière d'Euclide. Cette idée est reprise, et élargie, par Brown (2008, chap. 6) ou encore Colyvan (2012, chap. 8), mais ces textes ne sont que programmatiques. De manière plus récente, Dirk Schlimm (2018; 2008) s'est intéressé à la question des différences notationnelles, mais le sujet reste peu exploré.

## Délimitation du problème

Ce qui m'intéresse, ce sont les situations où les représentations particulières que l'on utilise font une différence. C'est un problème large et vague. Pour commencer, j'ai donc dû faire des choix. En fait de « représentations », je me limite principalement à ce qu'on pourrait appeler les supports matériels utilisés au cours de l'activité mathématique : figures, graphes, diagrammes en tous genres, formules, etc.

Ce choix, comme toute délimitation préalable d'un objet d'étude, reflète au fond des hypothèses de travail et des décisions méthodologiques, que l'on peut contester. Par exemple, on peut vouloir traiter aussi les images mentales du mathématicien; j'ai toutefois préféré éviter le détour vers la psychologie et m'en tenir à des représentations plus concrètes, que l'on peut étudier directement. Dans une autre direction, il peut être tentant d'élargir la problématique à ce qu'on appelle « représentations » en un sens technique en mathéma-

<footnote n="5">5. Voir en particulier Chemla 2012; Høyrup 1990, 2002.</footnote>

<footnote n="6">6. Écrit en 1995, l'article en question a longtemps circulé informellement avant d'être publié (Manders 2008b). J'y reviendrai à plusieurs reprises dans ce travail, en particulier aux chapitres 8, 11 et 12.</footnote>

<footnote n="7">7. Voir en particulier Manders 1999, 2012, 2017.</footnote>
tiques <fnref n="8" />, dans l'espoir d'utiliser des outils strictement mathématiques (par exemple issus
de la théorie des catégories) pour éclairer le problème dans son ensemble. C'est un projet
légitime, mais là encore, j'ai préféré m'en tenir à des objets concrets plutôt que de monter
en abstraction.

La langue naturelle pose un problème spécifique. Beaucoup des auteurs que j'étudierai
comparent par exemple des figures et des « représentations sous forme de phrases » (sou-
vent d'ailleurs sans distinguer entre une phrase en langue naturelle et sa formalisation dans
quelque langage logique), et je les suivrai sur ce terrain. En revanche, j'ai laissé de côté les
problèmes qui relèvent plus directement de la philosophie du langage, par exemple celui
du changement conceptuel. Cela ne va pas de soi : changer de terminologie ou reconcep-
tualiser, n'est-ce pas aussi une manière qui peut être fructueuse de re-représenter ? Je n'ai
pas non plus voulu prendre comme point de départ les distinctions philosophiques usuelles
pour la langue naturelle, comme celle qui est souvent faite, à la suite de Frege, entre signi-
fication ou contenu et référence <fnref n="9" />. C'est pourtant aussi une façon de penser la possibilité de
parler de la même chose de différentes manières, et c'est peut-être la bonne façon d'aborder
certaines des différences représentationnelles que l'on rencontre en mathématiques. Nous
aurons amplement l'occasion d'y revenir dans la troisième partie. Mais quitte à revenir à
la philosophie du langage au cours de mon investigation, j'ai préféré partir de travaux plus
spécifiques sur les figures ou sur les notations plutôt que d'un cadre général de philosophie
du langage dans lequel j'aurais tenté de faire entrer aussi, à toute force, des phénomènes
non linguistiques.

$$
\rho: \begin{array}{rcl} G & \rightarrow & GL_2(\mathbb{C}) \\ a & \mapsto & \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & j \end{pmatrix} \end{array}
$$

<footnote n="8">8. La théorie des représentations de groupes, par exemple, peut être vue comme une manière d'étudier des
objets très abstraits (par exemple des groupes définis uniquement par générateurs et relations) à travers leurs
« représentations », qui sont ici des sous-groupes de transformations linéaires d'un espace vectoriel. Selon
cette acception du terme, les « représentations » d'un groupe sont elles-mêmes des objets mathématiques. En
ce qui me concerne, j'emploie ici le terme de représentation en un sens plus matériel : l'écriture d'un groupe
par générateurs et relations, par exemple $G = \{a | a^3\}$ est déjà une représentation en ce sens ; l'écriture</footnote>

<footnote>est encore une représentation, toujours en ce sens matériel; en revanche, le morphisme $\rho$ lui-même en tant
qu'objet abstrait, qui est précisément ce qu'en mathématiques on appelle une représentation du groupe $G$, ne
fait pas partie des représentations qui m'intéressent ici. Dans le même esprit, on pourrait également penser à
des cas apparentés, mais pour lesquels le terme technique de « représentation » n'est pas utilisé en mathéma-
tiques, par exemple la relation entre une variété abstraite et ses plongements dans $\mathbb{R}^n$. Mais là encore, du point
de vue auquel je me place, tant la variété que ses plongements sont des objets abstraits et tombent en-dehors
du champ de ce travail.</footnote>

<footnote n="9">9. L'emploi de ces termes soulève deux problèmes de traduction superposés : il y a la traduction des termes allemands de Frege et la traduction des termes anglais couramment utilisés pour des notions apparentées, quoique pas identiques. Sur tous ces points, cf. infra, section 9.1.a), en part. notes 6 et 9 p. 228.</footnote>
# Mise en perspective du problème

J'ai dit plus haut que les questions qui guident ce travail concernaient non pas ce dont on parle en mathématiques, mais comment on en parle. J'ai ensuite rattaché à cette problématique des questions diverses : l'emploi d'écritures symboliques plutôt que phrases, le choix des notations, l'utilisation de figures. Or poser le problème ainsi risque de soulever une objection immédiate. J'ai fait comme s'il était évident qu'utiliser des figures ou des symboles plutôt que des phrases était une simple affaire de commodité ou d'efficacité. Mais peut-on vraiment mettre ainsi entre parenthèses toute question ontologique ? Ne pourrait-on pas défendre que la construction de figures est indispensable au raisonnement géométrique, à l'instar de Kant; ou encore que les écritures symboliques sont consubstantielles à l'analyse ?

## a) Mathématiques modernes et représentations

En fait, la forme que prend le problème, ici comme dans une bonne part de la littérature récente, ne peut se comprendre que par référence aux bouleversements subis par les mathématiques dans les décennies autour de 1900, que Jeremy Gray a appelé leur « transformation moderniste <fnref n="10" /> ». Il n'est pas question de rendre ici justice à cette histoire complexe. Concernant la place des représentations, il faudrait sans doute étudier la convergence de plusieurs facteurs. Il y a d'abord des développements, tout au long du XIXe siècle (entre autre l'étude systématique des séries de Fourier et l'émergence de la géométrie projective et des géométries non-euclidiennes) qui suggèrent l'inadéquation ou l'insuffisance de l'intuition géométrique <fnref n="11" />. Ceux-ci conduisent à reformuler l'analyse puis la géométrie sous une forme qui permet de se passer de figures géométriques, et débouchent sur une conception normative de ce qu'est une démonstration qui exclut celles-ci <fnref n="12" />. D'un autre côté, il faudrait tenir compte de la diffusion progressive d'un idéal méthodologique visant à éliminer autant que possible, au profit d'une approche « conceptuelle », les calculs dépendant de notations particulières <fnref n="13" />.

<footnote n="10">10. Voir Gray 2008 ou, pour une introduction plus rapide, Gray 2009. D'un point de vue philosophique, Benis-Sinaceur 2002 offre une synthèse de certaines de transformations générales les plus frappantes de la période.</footnote>

<footnote n="11">11. Pour ce qui est du lien entre évolutions de l'analyse et statut de l'intuition géométrique, cf. Volkert 1986. Voir Grattan-Guinness [1980] 2000 pour une introduction à l'histoire de l'analyse au XIXe siècle et Gray 2007 pour une introduction à celle de la géométrie à la même période.</footnote>

<footnote n="12">12. Pour quelques références, voir Mancosu 2005, p. 13-15 ou Giaquinto 2015, section 2.</footnote>

<footnote n="13">13. Pour un panorama des multiples manières dont cette histoire peut être racontée, voir Haffner 2014, p. 39-77.</footnote>
Ce qui est sûr, c'est qu'au milieu du XXe siècle, le statut des représentations (figures géométriques d'abord, mais aussi écritures algébriques) a profondément changé. Il est assez largement admis qu'en principe, toutes les mathématiques ou presque pourraient être reformulées dans un cadre uniforme, par exemple dans le langage de la théorie des ensembles, ce qui éliminerait toutes les différences représentationnelles. De manière associée quoique plus diffuse, il devient fréquent de considérer que la discipline porte sur des objets abstraits définissables axiomatiquement et n'ayant de lien intrinsèque avec aucune forme particulière de représentation. Le collectif Bourbaki, qui a une profonde influence sur les mathématiques pures dans les décennies d'après-guerre, est emblématique de ce type de vision des mathématiques<fnref n="14" />. Non seulement leurs ouvrages évitent largement le recours aux figures, mais les calculs aussi y sont réduits à un rôle subalterne et si possible éliminés : Claude Chevalley, l'un des fondateurs du groupe, dira rétrospectivement que « tout ce qui est purement le résultat d'un calcul n'était pas considéré par nous comme une bonne démonstration<fnref n="15" /> ».

Dans ce contexte, il est clair que l'emploi de telle représentation plutôt que telle autre n'est plus dicté par la nature du sujet : la géométrie n'est pas essentiellement affaire de figures, ni l'analyse d'expressions algébriques. Le choix des représentations en est alors réduit à une question d'efficacité voire de goût ; en témoigne le fait qu'André Weil, lui aussi membre fondateur de Bourbaki, puisse écrire comme une évidence que « [l]e contenu d'un théorème ne change guère, qu'on l'exprime en mots ou en formules ; le choix, comme nous le savons tous, est pour l'essentiel une affaire de goût et de style<fnref n="16" /> ».

## b) Évolutions plus récentes

La discipline a changé, cependant, depuis que le collectif Bourbaki était à son apogée, et sa vision des mathématiques est aujourd'hui moins dominante<fnref n="17" />. Certes, pour l'essentiel, le cadre précédent persiste, en particulier l'idée que les mathématiques pourraient être formulées dans un langage uniforme. Mais on reconnaît plus volontiers l'importance pratique cruciale des figures ou des calculs concrets conduits dans des notations particulières, et plus seulement des présentations axiomatiques. Il me semble que si le problème des représentations suscite aujourd'hui tant d'intérêt, ce n'est pas seulement en raison d'un tournant plus

<footnote n="14">14. Sur le collectif de mathématiciens Bourbaki et sa vision des mathématiques, voir par exemple Corry 1997.</footnote>

<footnote n="15">15. Guedj 1981, p. 24.</footnote>

<footnote n="16">16. « The content of a theorem does not change greatly, whether it is expressed in words or in formulas; the choice, as we all know, is mostly a matter of taste and of style. » (Weil 1978, p. 92).</footnote>

<footnote n="17">17. Cf. par exemple Dahan-Dalmedico 2001.</footnote>
général vers la pratique ou d'une certaine lassitude, de la part des philosophes, quant aux problèmes de fondements; c'est aussi en réaction à ces évolutions récentes de la discipline.

Le cas des figures est particulièrement net : Paolo Mancosu a même pu parler d'un « retour du visuel <fnref n="18" /> ». Certes, rien n'interdisait à un mathématicien « moderniste », pour qui les figures n'ont pas leur place dans une démonstration rigoureuse, d'en faire un large usage à des fins heuristiques ou pédagogiques, et certains l'ont beaucoup fait, à commencer par David Hilbert <fnref n="19" />. Il est cependant indéniable que les nouvelles mathématiques, en particulier chez Bourbaki <fnref n="20" />, ont été associées à un style d'exposition qui vise avant tout la perfection de l'organisation logique du matériau et ne laisse que peu de place à d'éventuelles figures. Les choses ont toutefois changé. Le souci pédagogique a certainement joué un rôle dans le reflux progressif du style bourbachique dans les manuels <fnref n="21" />, de même que la grande utilité des visualisations dans certains domaines (comme l'étude des équations différentielles ainsi que la géométrie et la topologie, en particulier en basse dimension). D'autre part, de nouveaux types de visualisation permis par les ordinateurs ont émergé et pris de l'importance <fnref n="22" />.

Dans le même registre, on pourrait parler d'un « retour du calculatoire », qui remet

<footnote n="18">18. Mancosu 2005, p. 17.</footnote>

<footnote n="19">19. Les figures sont omniprésentes dans son ouvrage sur les fondements de la géométrie (Hilbert 1899), dont Jeremy Gray, se faisant l'écho d'un sentiment fréquemment partagé, dit que « s'il y a une seule œuvre exemplaire qui a fait entrer le modernisme, c'est sans doute [celle-là] » (Gray 2008, p. 5). La position de Hilbert transparaît clairement de notes prises lors d'un de ses cours de 1902 sur les fondements de la géométrie : « Man könnte auch von Figuren absehen, wir werden dies aber nicht thun, sondern häufig Figuren gebrauchen, uns aber niemals auf sie verlassen. » (« On pourrait aussi renoncer aux figures, mais nous ne le ferons pas; au contraire, nous utiliserons souvent des figures, sans cependant jamais nous reposer sur elles. », Hilbert 2004, p. 541.) Il co-écrit plus tard un ouvrage entier de Géométrie intuitive (Hilbert et Cohn-Vossen 1932), richement illustré.</footnote>

<footnote n="20">20. L'emploi d'un style d'exposition qui évite les figures dépasse cependant le cas spécifique de Bourbaki. Johansen, Misfeldt et Pallavicini ont par exemple procédé à un inventaire des diagrammes et figures publiés dans un grand nombre d'articles représentatifs de la revue *Annals of Mathematics* entre 1885 à 2005, et ont constaté une diminution drastique du nombre de figures dans la première moitié du XXe siècle (conférence donnée le 19 juin 2018 dans le cadre du colloque *Diagrams 2018* à Édimbourg; la version publiée de leur article ne contient pas le détail des chiffres : Johansen, Misfeldt et Pallavicini 2018). Il faut néanmoins distinguer le style d'exposition écrit des autres pratiques. Même parmi les membres de Bourbaki, il est possible que les pratiques d'enseignement ou de communication informelle de la recherche aient été très éloignées de ce que suggèrent leurs manuels. Plus largement, il serait utile de mener une étude fine des attitudes envers les figures en fonction des différents contextes locaux ou nationaux, des différentes sous-disciplines et des différents types de pratiques (enseignement, conférences, publication d'articles ou de manuels). Je n'ai pas connaissance d'un tel travail et m'en tiens donc ici à des remarques générales et sans doute superficielles.</footnote>

<footnote n="21">21. Claude Chevalley lui-même regrettera rétrospectivement la méthode d'exposition choisie par Bourbaki. « Il y avait quelque chose que nous refoulions tous, » déclare-t-il en 1981, « c'était que tout ce que nous écrivions était inutilisable dans l'enseignement » ; il ajoute que « [c]e à quoi je n'adhère certainement plus c'est à la méthode d'exposition. Elle est inutilisable pour un débutant par exemple. » (Guedj 1981, p. 24).</footnote>

<footnote n="22">22. Les travaux présentés (de manière accessible et richement illustrée) par Mumford, Series et Wright 2002 en sont un bon exemple.</footnote>
sur le devant de la scène les questions de notations et d'organisation des calculs <sup>23</sup>. Là en-
core, même au milieu du XX<sup>e</sup> siècle, le dédain de Bourbaki pour le calcul était certainement
loin d'être largement partagé, en particulier dans les branches plus appliquées des mathé-
matiques; avec la perte d'influence de leur idée de la hiérarchie des sous-disciplines, le
paysage devait nécessairement changer <sup>24</sup>. Mais il y a plus. L'aide des outils informatiques
de calcul symbolique <sup>25</sup> rend aujourd'hui accessibles computationnellement des questions
qui, auparavant, n'étaient guère abordables que *via* des théorèmes généraux, ce qui remet
en cause le primat des méthodes abstraites même en mathématiques pures.

Objectifs et plan

La première ambition de ce travail est de compléter et de mettre en perspective la litté-
rature existante en étudiant un exemple de changement notationnel. Comme nous l'avons
vu, de nombreuses études récentes se sont penchées sur le rôle des diagrammes ou des
figures dans diverses pratiques mathématiques, mais très peu, en revanche, a encore été
écrit sur les notations. Ma première partie vise à combler cette lacune. Elle est consacrée à
l'étude d'une innovation notationnelle apparemment minime introduite par Leibniz et de
son impact sur quelques investigations ultérieures de Leibniz et Jean Bernoulli.

Armé de cette étude de cas et de la littérature existante, je me tourne ensuite vers le
problème général posé plus haut : comment est-il possible que l'on puisse progresser par
le simple fait de représenter autrement ce que l'on sait déjà ?

Ce que je propose ici n'est pas un travail systématique qui chercherait à proposer une
théorie générale des représentations à partir de premiers principes. Mon approche est ex-
ploratoire. Je suis parti de différentes manières dont les différences représentationnelles
sont pensées dans la littérature récente de philosophie des mathématiques. J'ai tenté de les
comprendre, de les clarifier, de les confronter à mon étude de cas et à d'autres, et finalement
de voir comment elles pouvaient permettre de répondre au problème de départ.

Le problème difficile est de comprendre l'idée assez obscure que l'on puisse représenter
la même chose sous différentes formes. Pour avancer, je me tourne, dans ma deuxième par-
tie, vers le travail de Herbert Simon, une figure centrale des sciences cognitives naissantes
dans la seconde moitié du XXe siècle. En se fondant sur la notion informatique de *structure*

<footnote n="23">23. Sur ce point, je suis redevable à une journée d'étude sur le calcul organisée à l'université Paris 7 par Jean-Jacques Szczeciniarz le 12 octobre 2015, et en particulier à l'intervention de Joël Merker.</footnote>

<footnote n="24">24. Cf. encore une fois Dahan-Dalmedico 2001.</footnote>

<footnote n="25">25. Pour un exemple célèbre de succès précoce de ces nouvelles méthodes, voir Petkovšek, Wilf et Zeilberger 1996 (pour une introduction rapide, cf. par ex. Tefera 2010).</footnote>
de données, celui-ci propose une définition claire de ce que c'est, pour deux représentations, que d'être « informationnellement équivalentes » et explique qu'elles peuvent néanmoins être « computationnellement différentes ». Nous verrons que cette formulation – qui jouit ces dernières années d'une certaine popularité en philosophie des sciences – est assez adaptée à l'étude des notations et éclaire certains des aspects de mon étude de cas. Elle a cependant des limites. D'une part, le modèle informatique sous-jacent, à y bien regarder, n'est pas très clair et ne s'applique qu'imparfaitement aux représentations concrètes qui font l'objet de ce travail. D'autre part, il s'avère que beaucoup des phénomènes présentés plus haut ne relèvent pas d'une authentique équivalence informationnelle au sens de Simon : texte et figure, dans la géométrie d'Euclide, ne sont pas équivalents mais portent plutôt des informations de types différents; chez Descartes, la configuration géométrique analysée n'est pas équivalente à l'équation qu'il en tire. Les avantages centraux du changement notationnel de Leibniz de la première partie y échappe également. Faire cette distinction est déjà un progrès. Mais comment analyser ces cas-là ? Il faudrait pouvoir comparer des représentations qui parlent de la même chose mais portent des informations différentes, un peu comme ce que permet la notion de contenu en philosophie du langage. Le cadre de Simon ne le permet pas, parce qu'il s'en tient à l'équivalence informationnelle sans donner d'outils pour décrire les informations qu'une représentation donnée porte.

Pour ce faire, je consacre ma troisième partie au travail des logiciens Jon Barwise, John Etchemendy et Sun-Joo Shin. Ceux-ci ont, dans les années 1990, tenté d'étendre aux diagrammes les concepts logiques de syntaxe et de sémantique. Cette généralisation donne le moyen d'appliquer les outils usuels des sémantiques en termes de modèles à des représentations de types différents, par exemple des diagrammes et des formules algébriques. Cette approche en termes de modèles permet de progresser sur de nombreux cas, mais en un sens, elle ne permet pas de rendre compte de certains des avantages les plus fréquents de l'usage de diagrammes. Pour prendre un exemple très simple, considérons trois nombres x, y et z tels que $x < y$ et $z < y$. Pour conclure que $x < z$, j'ai besoin de faire une inférence, certes simple, fondée sur la transitivité de la relation $<$. Si au contraire je représente $x$, $y$ et $z$ sur une droite horizontale (selon la convention que si $a < b$, alors $a$ est à gauche de $b$), dès lors que je représente $x < y$ et $z < y$, je ne peux pas ne pas représenter aussi $x < z$ : en quelque sorte, cette représentation par une figure me donne cette conclusion « gratuitement ». Pourtant, les modèles du diagramme et de la conjonction $x < y \land y < z$ sont les mêmes et font disparaître cette différence. Barwise et Etchemendy étaient conscients de cette difficulté : dans leurs termes, une sémantique en termes de modèles ne distingue pas bien les informations « explicitement » représentées, comme l'est $x < z$ sur la figure,
et celles qui ne sont qu'implicites, comme l'est $x < z$ dans le cas des formules. Un aspect peu connu de leurs travaux est qu'ils ont tenté de développer une nouvelle sémantique que l'on pourrait dire *informationnelle* pour remédier à ce défaut; des idées apparentées ont ensuite été appliquées par leur élève Atsushi Shimojima pour rendre compte de manière plus fine du raisonnement diagrammatique. Toujours dans la troisième partie, je consacre deux chapitres à cet aspect moins connu de leurs travaux. J'y confronte pour finir mon étude de cas, qui est apparemment difficile à traiter dans ce cadre.

Les deux parties précédentes sont fondées sur un présupposé commun : ce que j'ai appelé jusqu'ici représentations (les figures, formules, etc. utilisées dans la pratique des mathématiques) portent des informations bien délimitées, en un sens à analyser. Peut-être ce présupposé lui-même est-il une fausse piste. Si la plupart des travaux que j'ai discutés jusqu'ici emploient bien, par défaut, le terme de « représentations », il faut toutefois signaler que certains des auteurs cités essaient d'éliminer le terme, lui préférant par exemples ceux d'« artefacts » (Manders 1999), ou, à la suite de Hutchins (2005), d'« ancrages matériels » (Johansen 2010, 2014; Rabouin 2017). La quatrième partie explore quelques raisons que l'on peut avoir d'abandonner ainsi le terme.
<figure><img src="image_5.png" /></figure>
Première partie

Étude de cas : l’« analogie des
puissances et des différences »
<figure><img src="image_6.png" /></figure>
# Sommaire de la première partie

<table><tr><td>Introduction : une étude de cas historique, pourquoi, comment?</td><td>25</td></tr><tr><td>Note bibliographique</td><td>29</td></tr><tr><td>a) Sources primaires</td><td>29</td></tr><tr><td>b) Littérature secondaire</td><td>29</td></tr><tr><td>1 Éléments de contexte : le calcul différentiel leibnizien en 1694</td><td>31</td></tr><tr><td>1.1 Le cadre : la géométrie cartésienne des courbes</td><td>31</td></tr><tr><td>1.2 Les différentielles de Leibniz</td><td>32</td></tr><tr><td>1.3 Le problème inverse : propriétés des tangentes, quadratures et équations différentielles</td><td>34</td></tr><tr><td>1.4 Une analogie : différences et sommes, puissances et racines</td><td>36</td></tr><tr><td>1.5 Stratégies de résolution du problème inverse</td><td>40</td></tr><tr><td>2 Récit : la découverte de l'« analogie »</td><td>43</td></tr><tr><td>2.1 L'apparition de la notation exponentielle des différences</td><td>43</td></tr><tr><td>2.2 De la formule de Bernoulli à l'écriture d<sup>-1</sup> = ∫</td><td>46</td></tr><tr><td>2.3 L'analogie des puissances et des différences de Leibniz</td><td>51</td></tr><tr><td>2.4 Le « genre singulier de calcul » de Bernoulli</td><td>59</td></tr><tr><td>2.5 Les différentielles fractionnaires</td><td>65</td></tr><tr><td>2.6 Diffusion et postérité</td><td>69</td></tr><tr><td>3 Analyse : le rôle des notations</td><td>75</td></tr><tr><td>3.1 Une comparaison : les notations de Newton et de Taylor</td><td>76</td></tr><tr><td>3.2 La notation d<sup>n</sup> permet-elle d'exprimer des choses auparavant impossibles?</td><td>82</td></tr><tr><td>3.3 Voir des régularités dans les formules</td><td>85</td></tr><tr><td>3.4 Construire des théorèmes généraux</td><td>87</td></tr><tr><td>3.5 Une réorganisation du paysage</td><td>89</td></tr><tr><td>Synthèse : un pari notationnel</td><td>91</td></tr></table>
<figure><img src="image_7.png" /></figure>
## Introduction : une étude de cas historique, pourquoi, comment ?

En 1695, en l'espace de quelques mois, Leibniz et Jean Bernoulli font une série de découvertes remarquables. Les formules et les notations y jouent un rôle crucial, paradigmatique de certains des phénomènes que je voudrais approfondir dans ce travail : c'est sans doute en inspectant visuellement des formules complexes que Leibniz est conduit à l'une de ses idées les plus fructueuses ; et c'est en manipulant des formules de manière apparemment insensée – en torturant véritablement les notations admises – que Bernoulli découvre des régularités inattendues. Pour mon propos, cet épisode est donc exemplaire. J'y puiserai tout au long de ce travail, pour y confronter les positions philosophiques que je discuterai.

Cette partie est donc une étude de cas : quoiqu'elle puisse, par ailleurs, avoir un intérêt historique propre, son but ici est d'enrichir une discussion philosophique plus générale. Méthodologiquement, mon travail s'inscrit ainsi dans la démarche mise en avant par Paolo Mancosu dans son volume collectif *The Philosophy of Mathematical Practice* (2008b)<fnref n="26" />, qui s'est considérablement développée en philosophie des mathématiques depuis une quinzaine d'années.

Cependant, même dans le cadre de cette littérature-là, mener une étude historique détaillée ne va pas de soi : si l'on feuillette le collectif dirigé par Paolo Mancosu, on se rend vite compte que les exemples discutés sont le plus souvent contemporains ou du moins traités d'un point de vue contemporain, et sont discutés de manière bien moins approfondie. Pourquoi avoir choisi cette démarche-là, et pourquoi cet épisode historique en particulier ?

Certaines de mes motivations sont contingentes. Tout d'abord, cette étude de cas vient d'un travail historique plus large que j'ai entrepris, mais qui dépasse le cadre de cette thèse (il vise à réévaluer ce qu'on appelle parfois le « calcul des opérations » au XVIIIe siècle

<footnote n="26">26. Voir en particulier son introduction : Mancosu 2008a.</footnote>
et son rôle dans le développement de l'algèbre <fnref n="27" />). Une autre raison de me tourner vers l'histoire, qui a un goût de paradoxe, est que je tenais à étudier des mathématiques en train de se faire. Les études que l'on trouve par exemple dans Mancosu (2008b) tendent à discuter des mathématiques bien établies, venues de manuels. Cela se comprend. Pour les mathématiques contemporaines, il faut en effet choisir : ou bien l'on s'en tient à des questions relativement élémentaires, ou bien l'on rend les détails incompréhensibles à la plupart des lecteurs. L'épisode que j'ai choisi permet d'éviter ce dilemme. D'un côté, il concerne d'authentiques découvertes en train de se faire : comme Leibniz et Bernoulli explorent ensemble, il est facile de suivre pas à pas leurs progrès au fil des lettres qu'ils échangent; on peut y observer leurs idées se développer comme au ralenti, voir comment l'une conduit à l'autre. D'un autre côté, le sujet reste plutôt facile d'accès, la plupart des spécialistes en histoire et philosophie des mathématiques ayant une certaine familiarité avec le XVIIᵉ siècle.

Mon choix de l'histoire, et de cet épisode, répond toutefois aussi à des motivations plus profondes. Si nous voulons parler des mathématiques plus généralement et pas seulement des mathématiques contemporaines, il me semble essentiel d'élargir notre champ de vision ; d'ailleurs, notre regard sur les mathématiques contemporaines elles-mêmes ne peut qu'être biaisé si l'on ne se donne pas les moyens de voir ce qui leur est spécifique <fnref n="28" />. Les articles de Ken Manders – les seuls du volume de Mancosu qui aient une authentique dimension historique – sont à cet égard exemplaires pour moi; plus largement, un récent volume collectif sur la notion de preuve dirigé par Karine Chemla (2012) montre bien ce qu'un tel élargissement peut apporter à notre réflexion. Pour mon travail, qui cherche à aborder les mathématiques au niveau le plus concret de la manipulation de représentations, il m'a semblé utile de choisir une étude de cas qui comporte des usages complexes de formules, mais offre toutefois un peu de recul vis-à-vis de la distinction qui est faite aujourd'hui entre celles-ci et les diagrammes.

Dans ce contexte, se tourner vers l'âge classique et plus spécifiquement vers Leibniz peut sembler naturel. L'exemple précis que j'ai choisi est assez célèbre, et est régulièrement cité comme un cas de découverte guidée par les notations : il apparaît souvent dans la littérature française sur Leibniz depuis Couturat <fnref n="29" />, et il a même récemment fait son apparition

<footnote n="27">27. Pour se faire une idée du sujet, voir par exemple Koppelman 1971 ou Lubet 2010.</footnote>

<footnote n="28">28. Une telle démarche historique n'a pas besoin de présupposer qu'il existe quelque chose d'universel et d'atemporel comme « les mathématiques », dont la nature et les frontières n'auraient jamais varié. Bien sûr, des jugements initiaux de similarité nous guident nécessairement quand il s'agit de choisir quels cas étudier pour éclairer nos mathématiques, mais on peut laisser de côté toute question normative.</footnote>

<footnote n="29">29. Celui-ci y consacre en effet quelques paragraphes en appendice de sa *Logique de Leibniz* : Couturat 1901, p. 497-498.</footnote>
dans la littérature anglo-saxonne de philosophie des mathématiques <fnref n="30" />.

Travailler sur Leibniz pose cependant un problème historiographique considérable. Dans le cas de Leibniz, la question des notations en mathématiques (ou, comme il le dirait lui-même, celle de la « caractéristique ») est loin d'être mineure ou négligée comme elle l'est parfois chez d'autres auteurs. Tout au contraire, les commentateurs y attachent souvent une importance exorbitante et abordent le sujet chargés d'un bagage philosophique très lourd, marqué entre autres par les discussions explicites qu'y consacre Leibniz lui-même; ils s'intéressent alors aux échos, dans les mathématiques de Leibniz, de sa philosophie et des principes généraux de sa méthode <fnref n="31" />. Dans le cas de l'épisode que j'ai choisi, l'effet de ce parti-pris de lecture est clair. Cela conduit souvent à y voir une illustration triomphale de la Caractéristique, de l'ars combinatoria ou de l'ars inveniendi leibniziens.

J'ai tenté d'aborder mes textes indépendamment de tout ce bagage, de m'en tenir aux mathématiques de l'épisode, et de mettre en avant, plutôt que le récit univoque d'une dé couverte permise par une notation bien choisie, la multiplicité des pistes de réflexion mal ajustées avec lesquelles Leibniz compose. Cela me permet, je l'espère, d'arriver à une éva luation un peu plus nuancée du rôle que jouent les notations leibniziennes.

Cet objectif – analyser le rôle exact que jouent les notations dans mon épisode – m'im pose une étude plus détaillée qu'il est usuel dans la littérature récente. Il est trop facile, en effet, d'attribuer aux notations un rôle important voire moteur dans une découverte si l'on omet de regarder de près pourquoi elles ont été introduites. Colyvan (2012), par exemple, écrit que de bonnes notations peuvent « faciliter » ou « suggérer » de « nouvelles mathé matiques », et même qu'elles peuvent « inciter l'utilisateur à garder en tête des distinctions que l'inventeur de la notation n'avait peut-être même pas remarquées <fnref n="32" /> ». Pourtant, il est légitime de soupçonner que les notations qu'il prend comme exemples ont été introduites précisément en raison des bénéfices qu'il leur attribue <fnref n="33" />; faut-il plutôt dire qu'une bonne

<footnote n="30">30. Cf. Larvor 2010, p. 199, Johansen 2010, p. 151 et Johansen 2014, p. 93. Larvor le tient probablement de Serfati 2005.</footnote>

<footnote n="31">31. Cette attitude est nette chez des auteurs aussi différents que Couturat 1901, Serres 1968 ou Granger 1981, par exemple. Le cas de Serfati 2008 est particulièrement frappant : quoiqu'il s'intéresse avant tout à l'histoire des mathématiques et non à la philosophie de Leibniz, il présente toute l'invention du calcul différentiel comme le résultat d'une pure démarche d'exploration combinatoire.</footnote>

<footnote n="32">32. « [G]ood notation can facilitate new mathematics [...]. [N]ote how once again good notation might suggest new mathematics. [...] Good notation, it seems, prompts the user to keep track of distinctions the inventor of the notation may not have even noticed. » (Colyvan 2012, p. 158-159).</footnote>

<footnote n="33">33. Il discute d'abord notre écriture usuelle des nombres (c'est-à-dire l'écriture positionnelle en chiffres arabes), et suggère un scénario fantaisiste dans lequel une société dépourvue des « concepts d'infinité ou de récursion » aurait néanmoins introduit cette écriture et aurait compris l'infinité des nombres entiers grâce à elle (p. 156-157). Il se tourne ensuite vers les notations de Leibniz et de Newton, mais sous une forme anachronique qui rend difficile d'évaluer historiquement ses jugements (p. 158-159). Il discute enfin la représentation de</footnote>
notation peut permettre à l'étudiant de redécouvrir certaines des raisons pour lesquelles
elle a été adoptée? Pour comprendre de près si et comment les nouvelles notations de
Leibniz aident Leibniz et Bernoulli dans leurs explorations, un examen plus minutieux est
nécessaire. J'essaierai en particulier de comprendre comment les notations de Leibniz lui
permettent de progresser au-delà des motivations qu'il pouvait avoir à les introduire. En
d'autres termes, j'essaie de tracer une voie moyenne entre d'un côté la glorification exces-
sive des notations que l'on trouve parfois dans la littérature, de l'autre l'idée qu'elles sont
une affaire entièrement superficielle. Comme l'écrit Jeremy Gray :

> Historians of mathematics sometimes used to claim that without this or that
> piece of notation some idea was unthinkable. This does not seem entirely sat-
> isfactory, especially to mathematicians who know very well that new symbols
> are easy to devise, but the claim has some merit. <fnref n="34" />

Les deux premiers chapitres contiennent respectivement une présentation du contexte
et une étude de détail de mes textes. Ils sont strictement historiques. Je ne veux pas dire par
là que je m'interdis absolument toute reconstruction ou toute utilisation de mathématiques
plus récentes lorsqu'elles me semblent authentiquement éclairantes; je veux dire plutôt
que je cherche à comprendre ce que Leibniz et Bernoulli pensaient faire, dans leurs propres
termes. Le passage au troisième chapitre marque en revanche une rupture méthodologique
nette. J'y mène une analyse destinée à préparer mon usage de l'étude de cas dans la suite
de la thèse. Quoique j'y fasse peut-être autant d'histoire que dans les deux précédents, mon
objectif y est différent : je confronte l'étude de cas à une problématique venue d'ailleurs,
celle du rôle des notations.

<footnote>surfaces compactes par des polygones dont certains côtés sont supposés identifiés (cf. p. 160-163; pour des introductions à cette forme de représentation, voir par exemple de Toffoli et Giardino 2015, p. 317-318 ou Hatcher 2002, p. 5-8). Peut-être a-t-il raison d'écrire qu'elle pourrait conduire à l'idée de surfaces comme la bouteille de Klein qui ne peuvent être plongées dans l'espace à trois dimensions. Il faut cependant souligner qu'elle a été introduite à un moment où ce genre d'objet était déjà parfaitement compris (sur ce point, voir Eckes et Giardino 2018, p. 125-128).</footnote>

<footnote n="34">34. « Il fut un temps où les historiens des mathématiques affirmaient que sans telle ou telle notation, telle idée était impensable. Cela ne semble pas entièrement satisfaisant, surtout pour les mathématiciens, qui savent très bien qu'il est facile d'introduire de nouveaux symboles; pourtant, l'affirmation n'est pas sans mérite. » (Gray 2001, p. 59)</footnote>
# Note bibliographique

## a) Sources primaires

Mon étude s'appuie avant tout sur des lettres, pour la plupart publiées par Carl Immanuel Gerhardt dans son édition classique des œuvres mathématiques de Leibniz, que j'abrégerai désormais **LMS** (une liste des abréviations avec références détaillées se trouve en tête de la bibliographie). La publication récente des volumes pertinents de la nouvelle et plus rigoureuse édition de référence de Leibniz, dite édition des académies (= LAA), m'a permis de vérifier les transcriptions de **LMS**. Lorsque les deux éditions diffèrent (du fait de coquilles de Gerhardt ou de sa tendance à moderniser les notations) j'ai systématiquement suivi l'édition des académies. Je continue néanmoins à donner aussi les références à **LMS**, qui est aisément disponible dans la plupart des bibliothèques universitaires.

Pour ce qui est des autres sources primaires, les vastes efforts de numérisation entrepris depuis quelques années m'ont le plus souvent permis de les citer d'après leur édition d'origine, et donc d'éviter tout risque de modernisation ultérieure des notations. Les articles mathématiques les plus importants de Leibniz sur le thème du calcul infinitésimal ont été traduits en français par Marc Parmentier, et accompagnés de notices utiles, dans un volume intitulé *La naissance du calcul différentiel* (= LNC); je m'en suis parfois aidé pour les traductions <fnref n="35" />.

Dans tous les cas, j'ai pris soin de reproduire les notations originales aussi exactement que possible.

## b) Littérature secondaire

Les textes dont je traite sont décrits sommairement par Knobloch (2002) dans le cadre d'une étude générale de la correspondance entre Leibniz et Jean Bernoulli. Pour le reste, ils ont été analysés par les historiens des mathématiques dans trois contextes principaux.

Tout d'abord, à tort ou à raison, presque toutes les études d'ensemble sur l'histoire du « calcul des opérations », « calcul des opérateurs » ou « calcul symbolique » voient dans ces textes la naissance de ce domaine des mathématiques. La plupart ne leur consacrent cependant que quelques lignes et aucune n'en fait une analyse poussée. Les traitements les moins réduits se trouvent chez Davis (1936) et Koppelman (1971).

Ensuite, ces textes sont également évoqués dans le cadre d'histoires générales de la dérivation d'ordre non entier. L'étude de Ross (1977) est fréquemment citée, mais truffée d'er-

<footnote n="35">35. Une récente traduction allemande des articles mathématiques de Leibniz, par Heinz-Jürgen Hess and Malte-Ludolf Babin (Leibniz 2011), m'a aussi été utile. Elle est plus complète et souvent plus rigoureuse.</footnote>
reurs de lecture et d'approximations. La thèse de Dugowson (1994), non publiée, contient en revanche une analyse soigneuse (la seule que je connaisse) des brèves remarques de Leibniz sur les différences d'ordre fractionnaire.

Le dernier contexte dans lequel les historiens se sont intéressés à nos textes concerne une formule publiée par Jean Bernoulli en 1694 <fnref n="36" />, qui est souvent rapprochée de notre « formule de Taylor » (elle a été identifiée dès le XVIIIᵉ siècle à plusieurs résultats de Taylor <fnref n="37" /> et a donné lieu à une querelle de priorité souvent étudiée <fnref n="38" />). C'est cette formule de Bernoulli qui sert de point de départ aux réflexions de Leibniz sur l'« analogie des puis- sances et des différences », et, surtout, Leibniz et Bernoulli en donnent plusieurs démons- trations différentes dans nos lettres. L'importance capitale que prendront, au XVIIIᵉ siècle, les développements en série a donc conduit de nombreux historiens à s'y intéresser, sou- vent en parallèle avec une étude des travaux de Taylor. C'est dans ce cadre que l'on trouve les études les plus solides et approfondies de notre corpus, en particulier celles de Feigen- baum (1985) <fnref n="39" /> et de Panza (1992, p. 386-418), ou encore celle de Ferraro (2008, p. 45-51).

<footnote n="36">36. Jean Bernoulli 1694; voir infra.</footnote>

<footnote n="37">37. B. Taylor 1715, proposition 11 ou théorème 4; corollaire 2 de la proposition 7 ou théorème 3.</footnote>

<footnote n="38">38. Voir Pringsheim 1900 et surtout Auchter 1937, p. 28-36 et Fleckenstein 1946.</footnote>

<footnote n="39">39. Voir aussi Feigenbaum 1986, un article moins complet mais aussi moins touffu qui se concentre sur la comparaison entre Taylor et Leibniz.</footnote>
# Chapitre 1

## Éléments de contexte : le calcul différentiel leibnizien en 1694

Avant de plonger dans la correspondance de Leibniz et de Jean Bernoulli, il faut comprendre le contexte de leur travail : qu'est-ce que le calcul différentiel pour eux en 1694 ?
Quels sont les problèmes qu'ils cherchent à résoudre ?

Outre ces questions très générales, je voudrais examiner ici un point spécifique, mais essentiel pour nous, des réflexions de Leibniz sur ses nouvelles méthodes. Il remarque en effet une analogie entre son calcul différentiel et l'« analyse ordinaire », qui traite de la résolution d'équations et de l'extraction de racines. Cette analogie le guide, et bien la comprendre nous aidera beaucoup à interpréter son vocabulaire et à comprendre ses intentions ; cet arrière-plan est également crucial pour distinguer ce qu'il y a de réellement neuf dans les découvertes qui nous occuperont au chapitre 2.

### 1.1 Le cadre : la géométrie cartésienne des courbes

Tout d'abord, qu'est-ce que le calcul différentiel de Leibniz ? Il s'agit d'une méthode nouvelle, mais qui s'inscrit pleinement dans le cadre de la géométrie de Descartes : c'est avant tout un outil pour l'étude de certains objets géométriques, les courbes (cercles, ellipses, paraboles, spirales, etc.), au moyen de *quantités variables* dénotées par des lettres<fnref n="1" />. Les plus usuelles de ces quantités variables sont illustrées à la figure 1.1 : l'ordonnée y (distance à une droite des ordonnées parallèlement à un axe des abscisses), l'abscisse x,

<footnote n="1">1. Je m'appuie tout au long de cette section sur l'excellente étude de Bos 1974, à laquelle je renvoie pour davantage de détails.</footnote>
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>FIGURE 1.1 – Quantités géométriques variables associées à une courbe, d'après Bos (1974) : l'abscisse x, l'ordonnée y, l'arc s, le rayon r, l'arc polaire a, la sous-tangente σ, la tangente τ, la normale v, la région OPR sous la courbe, etc.</figcaption></figure>

l'arc *s* (portion de courbe à partir d'un point de départ fixé et jusqu'au point considéré), etc. Ces quantités ne sont définies que dans un contexte géométrique, sur la base d'une figure : pour définir l'ordonnée *y* d'une courbe, il faut choisir des droites qui pourront servir d'axes; pour définir l'arc *s*, il faut choisir un point de départ (le point *O* pour la fig. 1.1). Elles sont variables au sens où elles prennent des valeurs différentes suivant le point considéré : à chaque point de la courbe, on peut associer une valeur de *x*, de *y*, de *s*, etc. Toutes ces quantités varient simultanément lorsque le point se déplace sur la courbe et ne sont pas considérées (comme on le fait parfois aujourd'hui) comme des *fonctions* d'une quantité privilégiée *x*, *s* ou autre. Bien sûr, leurs variations ne sont pas indépendantes les unes des autres : la courbe incarne certaines relations entre les variables. Par exemple, pour la courbe de la fig. 1.1, quand *x* augmente, *y* et *s* aussi. Dans certains cas, ces relations peuvent être exprimées exactement par une équation algébrique; ainsi, pour une définition convenable des axes, les quantités *x* et *y* associées à une parabole vérifient l'équation *xx* = *ay* (où *a* est une certaine longueur constante).

## 1.2 Les différentielles de Leibniz

Dans ce cadre général, Leibniz innove en introduisant de nouvelles quantités variables, les *différentielles*, dont les valeurs ne sont plus finies mais *infiniment petites*. Pour cela, il se fonde sur une analogie avec les suites de nombres. D'une manière générale, à toute suite de nombres

*a* *b* *c* *e* *f* etc.
Leibniz associe la suite

$a - b \quad b - c \quad c - e \quad e - f \quad \text{etc.}$

de leurs différences<fnref n="2" />. Si l'on approxime une courbe par un polygone, et qu'on ne prend en considération que les sommets de ce polygone, chaque quantité variable associée à notre courbe conduit à une suite de nombres dont on peut alors prendre les différences (puis éventuellement les différences des différences, etc.). Par exemple, si l'on considère une parabole d'équation $ay = xx$ et que l'on place des points de notre polygone à intervalles réguliers selon l'axe des $x$, on trouve<fnref n="3" /> (en posant pour simplifier $a = 1$) :

<table><tr><td>x =</td><td>0</td><td>1</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>etc.</td></tr><tr><td>dx =</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td>1</td><td></td><td>etc.</td></tr><tr><td>ddx =</td><td></td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>0</td><td>etc.</td></tr><tr><td>y =</td><td>0</td><td>1</td><td>4</td><td>9</td><td>16</td><td>25</td><td>etc.</td></tr><tr><td>dy =</td><td></td><td>1</td><td>3</td><td>5</td><td>7</td><td>9</td><td>etc.</td></tr></table>

Par extrapolation, Leibniz étend cette idée au cas d'une approximation polygonale ayant une infinité de côtés infiniment petits : il identifie la courbe à un tel polygone à une infinité de côtés, et traite les quantités variables $x, y$ comme des suites composées d'une infinité de termes dont les différences $dx, dy$ (appelées dans ce cas *différentielles*) entre termes successifs prennent des valeurs infiniment petites. Ces différentielles sont bien à leur tour des quantités géométriques variables, c'est-à-dire que leur valeur dépend du point de la courbe considéré : dans l'exemple précédent, en supposant que le polygone infini est obtenu en rapprochant les points tout en conservant leur disposition régulière selon l'axe des $x$, on trouve que $dx$ est constante (ce que l'on peut écrire $ddx = 0$, c'est-à-dire que les différences des différences des $x$ sont nulles), mais que $dy$ ne l'est pas et prend des valeurs différentes en chaque point de la courbe.

Il y a toutefois une difficulté : les différentielles ainsi définies ne sont pas uniques. Pour la parabole précédente, on aurait aussi pu partir d'une approximation polygonale finie dont les points sont régulièrement disposés selon l'axe des $y$, obtenant quelque chose comme

$$ 
\begin{array}{lcccccc}
y = & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \text{etc.} \\
x = & 0 & 1 & \sqrt{2} & \sqrt{3} & 2 & \sqrt{5} & \text{etc.}
\end{array}
 $$

<footnote n="2">2. Il y a deux conventions de signe pour les différences : $a - b, b - c$ etc. ou $b - a, c - b$ etc. Dans la pratique, Leibniz travaille habituellement avec des suites monotones (croissantes ou décroissantes) et adopte la convention qui conduit à des différences positives.</footnote>

<footnote n="3">3. Je précise que cet exemple ne figure pas tel quel dans les textes de Leibniz : ici encore, je m'appuie sur la reconstruction de Bos (1974).</footnote>
d'où une extrapolation au cas infini conduisant à $ddy = 0$ et $ddx \neq 0$. Leibniz est parfaite-ment conscient de cette sous-détermination des différentielles, et écrit qu'on peut toujours choisir de supposer constantes les différences d'une des variables, selon ce qui nous est le plus commode. Henk Bos a étudié ce problème en détail et a bien montré que ce choix joue dans la théorie de Leibniz un rôle analogue à notre choix d'une variable indépendante (c'est-à-dire à notre choix de considérer toutes les autres variables comme fonctions d'une variable particulière <fnref n="4" />). Dans tous les cas, ce choix n'a pas d'impact sur les relations qui ne font intervenir que les différentielles premières (c'est-à-dire où ne figurent pas de double différentiation comme $ddx$); on peut donc l'ignorer pour les problèmes les plus simples <fnref n="5" />.

L'intérêt d'introduire les nouvelles variables $dx$, $dy$, etc. tient au fait suivant. Les règles de l'« algorithme du calcul différentiel », publiées par Leibniz en 1684 <fnref n="6" />, permettent de passer de l'équation d'une courbe <fnref n="7" />, par exemple $ay = xx$, à une équation différentielle, c'est-à-dire une équation où apparaissent des quantités infiniment petites comme $dx, dy$ en plus des quantités usuelles : l'équation précédente conduit ainsi à $ady = 2xdx$. Cette équation différentielle permet, entre autres, de déterminer les tangentes <fnref n="8" /> et les points extrémaux de la courbe étudiée.

## 1.3 Le problème inverse : propriétés des tangentes, quadra-tures et équations différentielles

Inversement, si l'on connaît les tangentes à une certaine courbe, se pose alors la question de déterminer la courbe en question : en trouver une équation algébrique finie, dans la mesure du possible, ou en donner des approximations (par exemple sous la forme d'une expression par série infinie <fnref n="9" />). C'est le « problème inverse des tangentes », plus difficile <fnref n="10" />.

<footnote n="4">4. Bos 1974, en part. §2.16–18, §3.1, §3.2.</footnote>

<footnote n="5">5. Voir Bos 1974, §2.21.</footnote>

<footnote n="6">6. Leibniz 1684b.</footnote>

<footnote n="7">7. Dans ce contexte, une équation algébrique peut contenir des radicaux, c'est-à-dire des puissances fractionnaires; il n'est pas nécessaire de se ramener d'abord à une équation ne contenant que des puissances entières positives, comme l'exigeaient les méthodes des tangentes de Descartes et de Fermat.</footnote>

<footnote n="8">8. À l'époque, il est habituel de repérer la position de la tangente par la sous-tangente (souvent notée $\sigma$, voir fig. 1.1; nous l'exprimerions par la formule $y\frac{dx}{dy}$). Leibniz la calcule en passant par le rapport $\frac{dx}{dy}$, égal à notre dérivée, que l'on obtient facilement à partir de l'équation différentielle, mais ce rapport n'est qu'un intermédiaire et n'a pas le statut privilégié que nous lui donnons depuis le XVIIIe siècle; voir Bos 1974.</footnote>

<footnote n="9">9. Peut-on démontrer l'impossibilité, pour certaines courbes, d'une expression algébrique finie ? Cette question fonde la distinction entre courbes « algébriques » et courbes « transcendantes » et est d'une grande importance pour Leibniz, qui tente d'y répondre dès Leibniz 1684a.</footnote>

<footnote n="10">10. Le prototype des problèmes de ce type, qui conduit à une courbe apparentée au graphe de notre fonction logarithme, a été posé par Florimond de Beaune à Descartes. La solution de Descartes, dans une lettre du 20</footnote>
Or comme le calcul leibnizien permet de traduire une propriété des tangentes à une courbe en équation différentielle de cette courbe <fnref n="11" />, le problème inverse des tangentes s'avère être un cas particulier d'un problème inverse plus général : étant donnée une équation différentielle – issue ou non d'une propriété des tangentes – déterminer la courbe correspondante, sous la forme d'une équation algébrique finie ou d'une série infinie.

Une découverte importante de Leibniz est que la recherche de quadratures, c'est-à-dire le calcul de l'aire d'un trapézoïde délimité par une courbe donnée, se ramène aussi à ce problème inverse : puisque la différence entre deux valeurs de l'aire sous la courbe pour des points infiniment proches sera le petit rectangle $ydx$, il s'agit de trouver $S$ vérifiant l'équation différentielle $dS = ydx$. Cette équation différentielle est d'un type particulièrement simple, qui peut se résoudre en trouvant une quantité (ici $S$) dont on connaît la différentielle. Par exemple, si $y = 2x$, il faut trouver $S$ tel que $dS = ydx = 2xdx$; or il est facile de voir, d'après les règles du calcul différentiel, qu'on peut prendre $S = xx$. Les frères Bernoulli, au début des années 1690, appellent cette quantité $S$ « intégrale » de $ydx$ (en écriture abrégée, I. $ydx$). Ainsi, Jean Bernoulli définit en 1691-92, dans un cours destiné au marquis de l'Hôpital, les intégrales des différentielles comme « les quantités dont elles sont les différentielles <fnref n="12" /> ». Leibniz, quant à lui, avait de cette opération inverse de la différentiation une conception un peu différente, issue là encore de l'analogie avec les suites de nombres : pour lui, il s'agit d'une opération de sommation. Par exemple <fnref n="13" />, à partir d'une suite décroissant vers zéro

a b c d etc.

<footnote>février 1639 qui sera publiée dans sa correspondance en 1667 (Descartes 1657-1667, III, p. 409-416; cf. Maronne 2007) rend ce problème célèbre. Leibniz le traite explicitement et nommément dès la fin de son premier article sur le calcul différentiel (Leibniz 1684b), quoique sans utiliser, à ce moment-là, de méthode inverse générale.</footnote>

<footnote n="11">11. En effet, la tangente est entièrement connue dès lors que l'on connaît les variables $x, y$ et leurs différentielles $dx, dy$ ou même simplement le quotient différentiel $\frac{dx}{dy}$; il est donc facile d'exprimer une propriété des tangentes sous la forme d'une équation contenant $x, y, dx, dy$. À titre d'exemple, voir la traduction différentielle que donne Leibniz du problème de Florimond de Beaune à la fin de la *Nova methodus* (Leibniz 1684b, p. 473 = LMS, V, p. 226).</footnote>

<footnote n="12">12. « [...] quomodo differentialium *Integrales*, id est, eæ quantitates quarum sunt differentiales, inveniantur, monstrabimus. » (« [...] nous montrerons maintenant comment l'on trouve les *Intégrales* des différentielles, c'est-à-dire les quantités dont elles sont les différentielles. », *Lectiones mathematicæ de methodo integralium, aliisque*, BOO, III, p. 387. Ces cours n'ont été publiés qu'en 1742 dans les œuvres complètes de Jean Bernoulli, mais leur datation en 1691-92, plausible d'après leur contenu, semble hors de doute depuis la découverte d'un manuscrit datant vraisemblablement de 1705 les contenant exactement; voir Schafheitlin 1922, p. 1-3.) Pour une autre occurence précoce du terme, cette fois chez son frère aîné Jacques, voir Jacques Bernoulli 1690.</footnote>

<footnote n="13">13. Je reprends ici dans ses grandes lignes la présentation que fait Leibniz de la réciprocité entre sommes et différences dans sa lettre à Bernoulli du 28 février 1695 (LAA, III.6A, p. 313 = (LMS, V, p. 168)).</footnote>
on obtient, par somme, la suite

$a + b + c + d + \text{etc.}$ &nbsp;&nbsp;&nbsp; $b + c + d + \text{etc.}$ &nbsp;&nbsp;&nbsp; $c + d + \text{etc.}$ &nbsp;&nbsp;&nbsp; etc.

et par différence la suite

$a - b$ &nbsp;&nbsp;&nbsp; $b - c$ &nbsp;&nbsp;&nbsp; $c - d$ &nbsp;&nbsp;&nbsp; etc.

Les sommes des différences sont alors

$a - b + b - c + c - d + \text{etc.} = a$ &nbsp;&nbsp;&nbsp; $b - c + c - d + \text{etc.} = b$ &nbsp;&nbsp;&nbsp; $c$ &nbsp;&nbsp;&nbsp; $d$ &nbsp;&nbsp;&nbsp; etc.

c'est-à-dire qu'on retrouve la suite de départ; les différences des sommes sont, de même, les éléments de la suite de départ. Le passage aux différences et le passage aux sommes sont donc deux opérations inverses sur les suites. Sur ce modèle, Leibniz conçoit l'opération inverse de la différentiation d'une quantité comme une opération de sommation : il écrit ainsi $\int ydx$, le symbole $\int$ étant un S (pour somme) stylisé, plutôt que $I$. $ydx$, et interprète cette quantité comme la somme infinie des valeurs infiniment petites successives de la quantité variable $ydx$. Les quadratures sont alors intrinsèquement conçues comme des sommes infinies de rectangles infinitésimaux. Jean Bernoulli adoptera la notation de Leibniz, mais non sa terminologie, préférant continuer à parler d'intégrales; c'est l'usage qui nous est resté.

En bref, le problème inverse général, sur lequel se concentrent Leibniz et Bernoulli à l'époque qui nous occupe, consiste à retrouver une quantité variable à partir d'une équation différentielle quelconque; un cas particulier important est celui des équations différentielles comme $dS = ydx$ qui peuvent se résoudre par intégration ou sommation (l'opération réciproque à la différentiation).

## 1.4 Une analogie : différences et sommes, puissances et racines

Une remarque importante pour la suite est que Leibniz met en rapport cette configuration problématique avec celle de l'« analyse ordinaire », où il y a également deux problèmes : la résolution d'équations algébriques générales et l'extraction de racines (qui en est un cas particulier).

En 1694, quelques mois avant nos textes, Leibniz compare ainsi les couples d'opérations réciproques différences-sommes et puissances-racines :
Car cette méthode, ou ce *calculus différentialis*, sert non seulement aux différences, mais encore aux sommes, qui sont le réciproque des différences, à peu près comme le calcul ordinaire ne sert pas seulement aux puissances, mais encore aux racines, qui sont le réciproque des puissances<fnref n="14" />.

Pour expliciter, la réciprocité entre puissances et racines permet de transformer une équation de la forme

$$y^n = \dots \quad \text{en} \quad y = \sqrt[n]{\dots}$$

et inversement; de la même manière, on peut passer de

$$dy = \dots \quad \text{à} \quad y = \int \dots$$

et inversement. L'analogie, remarque Leibniz, ne s'arrête pas là. Comme il l'avait déjà signalé plus haut dans le même texte, on ne sait pas, en général, résoudre une équation algébrique par radicaux : « le public n'a pas encore le moyen de trouver les racines du cinquième degré et au dela<fnref n="15" />». En d'autres termes, on ne sait pas toujours éliminer les puissances (c'est-à-dire résoudre en y) dans une équation complexe qui contient plusieurs puissances différentes d'une même quantité y; en revanche, on peut toujours éliminer les racines présentes dans une expression en élevant à la puissance (plusieurs fois le cas échéant). De la même manière, alors qu'on peut toujours éliminer les sommes dans une équation (en différentiant autant de fois que nécessaire), on ne peut pas toujours éliminer les différentielles dans une équation où figurent plusieurs ordres de différentielles d'une même quantité (dy et ddy, ou tout simplement dy et y, par exemple) :

Et l'analogie va plus loin qu'on ne pense. Dans l'analyse ordinaire on peut toujours délivrer le calcul *a vinculo* et des racines par le moyen des puissances : mais le public n'a pas encore la méthode de le délivrer des puissances impliquées par le moyen des racines pures. De même dans notre Analyse des transcendantes, on peut toujours délivrer le calcul *a vinculo* et des sommes par le moyen des différences : mais le public n'a pas encore la méthode de le délivrer des différences impliquées par le moyen des sommes pures ou quadratures [...]<fnref n="16" />.

J'interprète ici l'expression de « puissances impliquées » comme désignant les puissances $y^e$ données par une expression contenant d'autres puissances de y : « délivrer le calcul des

<footnote n="14">14. Leibniz 1694a (LMS, V, p. 308).</footnote>

<footnote n="15">15. Leibniz 1694a (LMS, V, p. 308).</footnote>

<footnote n="16">16. Leibniz 1694a (LMS, V, p. 308).</footnote>
puissances impliquées », c'est donc résoudre une équation algébrique par radicaux. De la même manière, j'interprète « différences impliquées » comme désignant les différences *dy* (ou *ddy*, etc.) données par une expression en *y*, *dy*, etc. : délivrer le calcul de ces différences impliquées, c'est donc résoudre une équation différentielle. Cette interprétation semble confirmée par des passages analogues mais plus explicites. Ainsi, en 1702, dans un contexte très similaire Leibniz parle (cette fois en latin) de racines « affectées », terme dont le sens est bien établi par ailleurs<sup>17</sup> :

> Ut in Algebra reciprocae sibi sunt *Potentiae* et *Radices*, ita in calculo infinitesimali *Differentiae* et *Summae*: et uti in Algebra seu scientia generali finitae magnitudinis potissimus scopus est *extrahere radices* formularum, ita in scientia infiniti *invenire summas* serierum [...]. Et quemadmodum aliae radices *purae* sunt, cum valores ex solis cognitis habentur, aliae *affectae*, cum ipsae eorum potentiae valorem ipsarum ingrediuntur: ita quae summanda sunt, aut pure et plante sunt cognita, aut rursus implicant summam quasitam, ut si sit
> 
> $dy = ayxdx:$, $ax + yy$, ubi $y$ summa quaesita ingreditur valorem summandi
> 
> $dy^{18}$.

La résolution d'une équation différentielle par sommes, qui n'est pas toujours possible, est
donc analogue à la résolution d'une équation algébrique par radicaux.

Cette analogie a une dernière facette, qui jouera un rôle central par la suite. L'évaluation
des sommes présente une difficulté analogue à l'extraction de racines : de même que les
racines conduisent parfois à des nombres irrationnels, qu'on ne sait pas exprimer sous

<footnote n="17">17. Par exemple, dans sa lettre à Leibniz dite *Epistola prior* de 1676 (cf. infra, n. 20 p. 39), Newton, après avoir montré comment utiliser sa formule du binôme pour trouver des développements en série de diverses fractions et racines, présente une méthode pour obtenir des développements en série pour les racines d'« équations affectées », c'est-à-dire de polynômes. Pour d'autres passages parallèles où figure aussi ce terme, voir par exemple un brouillon de lettre à Huygens d'octobre 1690 (LAA, III.4, p. 595-596) ou encore une lettre ultérieure à Reyneau : Costabel 1949, p. 314.</footnote>

<footnote n="18">18. « Il y a dans le calcul infinitésimal entre les *Différences* et les *Sommes* la même réciprocité qu’en Algèbre entre les *Puissances* et les *Racines*, et tout comme en Algèbre, science générale de la quantité finie, l’objectif principal est d’*extraire les racines* des expressions, il est pour la science de l’infini, de *trouver les sommes* des séries [...] Si la valeur des racines ne fait apparaître que des termes connus, ces racines sont *pures*, mais lorsqu’elles interviennent elles-mêmes avec une certaine puissance dans l’expression qui en donne la valeur, elles sont *affectées*; de la même manière, les expressions à sommer ou bien sont purement et simplement données, ou bien renferment elles-mêmes la somme cherchée, par exemple $dy = \frac{ayxdx}{ax+yy}$ faisant intervenir la somme inconnue $y$ dans le $dy$ qu’il faut sommer. » (Leibniz 1702, p. 210 = LMS, V, p. 350-351, trad. fr. de LNC.) L’objet de cet article est d’introduire une technique analogue à ce que nous appelons la décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle, afin de ramener la quadrature de courbes données par des équations compliquées à des transcendantes connues, par exemple à la quadrature de l’hyperbole. L’introduction de cet article vise à situer cette contribution dans le programme d’ensemble de la science de l’infini : il faut d’abord savoir ramener la solution d’une équation différentielle à une quadrature, puis — contribution spécifique de cet article — savoir ramener les quadratures à des quadratures plus simples.</footnote>
forme rationnelle finie, de même les sommes conduisent parfois à des grandeurs qu'on ne sait pas exprimer sous la forme d'une expression algébrique finie. Leibniz écrit ainsi, à la suite du passage de 1694 cité plus haut :

> [...] comme il n'est pas toujours possible de tirer les racines effectivement pour parvenir aux grandeurs rationnelles de l'Arithmétique commune, il n'est pas toujours possible non plus de donner effectivement les sommes ou quadratures, pour parvenir aux grandeurs ordinaires ou algébriques de l'analyse commune. Cependant par le moyen des séries infinies on peut toujours exprimer des grandeurs rompues comme en entiers, et des incommensurables en rationnelles, et des transcendantes en ordinaires<fnref n="19" />.

Ce qui importe ici est que pour les racines, il existe une méthode générale d'approximation en séries infinies, qui servira de modèle à Leibniz pour les différentielles. Leibniz tient cette méthode générale d'une célèbre lettre que lui envoie Newton en 1676, dite *Epistola Prior*<fnref n="20" />. Newton y propose une généralisation de la notation exponentielle pour les puissances<fnref n="21" /> :

> [S]ikut Analystæ, pro aa, aaa, &c. scribere solent a², a³, &c. sic ego, pro $\sqrt{a}$, $\sqrt{a^3}$, $\sqrt{c.a^5}$<fnref n="22" />, &c. scribo a½, a¾, a⅜; & pro $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{aa}$, $\frac{1}{aaa}$, scribo a⁻¹, a⁻², a⁻³²³.

À l'aide de cette notation, Newton donne ensuite une formule générale, habituellement connue sous le nom de « formule du binôme », pour développer en série infinie n'importe quelle somme de deux termes élevée à une puissance quelconque (entière ou fractionnaire, positive ou négative). Dans sa lettre, il ne donne les termes successifs qu'au moyen de formules récursives, mais Leibniz en écrit immédiatement une version non récursive en marge<fnref n="24" />, et en utilise dès 1677-78 la version suivante : en posant « x aequ. A + B », il

<footnote n="19">19. Leibniz 1694a (LMS, V, p. 308).</footnote>

<footnote n="20">20. Lettre de Newton à Oldenburg du 13 juin 1676, recopiée par Oldenburg et envoyée à Leibniz le 26 juillet 1676; Collins 1712, p. 49-57 ou LMS, I, p. 100-113. Newton a adressé en tout et pour tout deux lettres à Leibniz, toutes deux d'une grande importance mathématique; celle-ci est la première, d'où son appellation.</footnote>

<footnote n="21">21. Cette notation vient de la Géométrie de Descartes : « [j'écris] aa, ou a², pour multiplier a par soy mesme; Et a³, pour le multiplier encore une fois par a, & ainsi a l'infini. » (Descartes 1637, p. 299). Quarante ans plus tard, elle est largement utilisée.</footnote>

<footnote n="22">22. √c désigne ici la racine cubique. C'est une notation répandue, qui se trouve aussi dans la Géométrie de Descartes.</footnote>

<footnote n="23">23. « De la même manière que les analystes, pour aa, aaa, etc. ont l'habitude d'écrire a², a³, etc., de même moi, pour $\sqrt{a}$, $\sqrt{a^3}$, $\sqrt{c.a^5}$, etc. j'écris $a^{\frac{1}{2}}$, $a^{\frac{3}{2}}$, $a^{\frac{5}{2}}$; et pour $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{aa}$, $\frac{1}{aaa}$, j'écris $a^{-1}$, $a^{-2}$, $a^{-3}$. » (Collins 1712, p. 49 ou LMS, I, p. 101.)</footnote>

<footnote n="24">24. Cf. LMS, I, p. 100, note.</footnote>
obtient pour $\boxed{z} x$ (c'est-à-dire $x^z$) l'expression

$$A^z + \frac{z}{1}A^{z-1}B^1 + \frac{z, z-1}{1, 2}A^{z-2}B^2 + \frac{z, z-1, z-2}{1, 2, 3}A^{z-3}B^3 \text{ etc.}$$

et précise que si z n'est pas entier, on obtient une série infinie<fnref n="25" />. Plus près de la période qui nous occupera, Leibniz continue à employer cette formule. Par exemple<fnref n="26" />, dans un article d'août 1694 consacré à la courbe élastique, il en écrit un cas particulier comme ceci<fnref n="27" /> :

$$\boxed{e} 1 + \boxed{b} = 1 + \frac{e}{1}b + \frac{e \cdot e - 1}{1 \cdot 2}bb + \frac{e \cdot e - 1 \cdot e - 2}{1 \cdot 2 \cdot 3}b^3 \text{ &c.}$$

Leibniz est impressionné par le fait qu'une notation bien choisie permette d'écrire une formule très générale, subsumant les diverses méthodes connues de développement en séries infinies pour les fractions et les racines<fnref n="28" />. Lorsqu'il s'agira de développer en série non plus des racines, mais des sommes, Leibniz gardera en tête cette série générale, et nous la verrons réapparaître au prochain chapitre.

## 1.5 Stratégies de résolution du problème inverse

Pour résumer, le problème inverse général – remonter d'une équation différentielle à la courbe correspondante – présente plusieurs difficultés, qui forment le contexte problématique essentiel des textes de Leibniz et Bernoulli qui nous occupent. Tout d'abord, il n'est pas toujours possible de se ramener à des sommes ou intégrales pour résoudre une équation différentielle; ensuite, même quand on peut le faire (par exemple pour les quadratures et rectifications), on ne peut pas forcément exprimer de manière algébrique finie la somme obtenue.

Que faire face à une somme que l'on ne sait pas calculer ? On peut chercher à la transformer de manière à se ramener à des sommes les plus simples possibles. Cela revient à introduire de nouvelles courbes apparemment non exprimables au moyen d'une équation algébrique finie, dites pour cette raison « transcendantes », par exemple les quadratures du cercle ou de l'hyperbole (logarithme), et à exprimer la quantité recherchée au moyen

<footnote n="25">25. Manuscrit publié par Eberhard Knobloch (dans Leibniz 1976, p. 74-77), qui le date de 1677-78. Pour un commentaire de ce manuscrit, voir Knobloch 1973, section 2.2, en part. p. 98-99.</footnote>

<footnote n="26">26. Pour une autre occurence datée de juillet 1695, donc déjà au même moment que les recherches qui font l'objet du prochain chapitre, voir Leibniz 1695, p. 312 = LMS, V, p. 323.</footnote>

<footnote n="27">27. Leibniz 1694b, p. 369 = LMS, V, p. 313 (sur cet article, voir infra, note 30).</footnote>

<footnote n="28">28. Serfati (2005, p. 390-391) va même jusqu'à soutenir que l'Epistola Prior est la source première de toutes les préoccupations ultérieures de Leibniz pour la symbolique.</footnote>
de ces transcendantes élémentaires <fnref n="29" /> (déjà bien étudiées et pour lesquelles on connaît des procédés d'approximation).

Une autre stratégie, qui est la seule possible dans le cas d'équations différentielles qu'on ne sait pas résoudre par sommes, consiste à exprimer directement la quantité recherchée au moyen d'une série infinie. La technique principale <fnref n="30" /> dont dispose Leibniz pour obtenir de telles séries est la *méthode des coefficients indéterminés*, qu'il utilise dans le cas d'expressions finies (à la suite de Descartes) déjà dans les années 1680 <fnref n="31" /> mais n'étend au cas des séries infinies qu'en 1693 <fnref n="32" />. En voici un exemple. Partons de l'équation différentielle

$$dy = adx\;, a + x \quad (\text{c'est-à-dire } dy = \frac{adx}{a + x})$$

que Leibniz réécrit

$$ady : dx + xdy : dx - a = 0 \quad (\text{c'est-à-dire } \frac{ady}{dx} + \frac{xdy}{dx} - a = 0).$$

Le principe est alors de supposer que la quantité recherchée, ici $y$, est donnée par une série $y = bx + cx^2 + ex^3 + fx^4$ etc. dont les coefficients sont laissés indéterminés et notés par des lettres. Ici, en remplaçant $y$ par cette série, Leibniz obtient :

$$ady : dx = ab + 2acx + 3aex^2 + 4afx^3 \quad \text{etc.}$$

$$+xdy : dx = +bx + 2cx^2 + 3ex^3 \quad \text{etc.}$$

$$-a = -a$$

Comme la somme de la colonne de gauche est nulle (c'est notre équation différentielle), la somme de la colonne de droite l'est aussi : on obtient donc une série infinie égale à zéro. La méthode repose alors sur l'idée que tous les coefficients d'une série nulle doivent être nuls : ainsi, Leibniz conclut que $ab - a = 0$ d'où $b = 1$ (terme constant); puis $2ac + b = 0$ d'où $c = -1 : 2a$ (coefficient de $x$); puis $3ae + 2c = 0$ d'où $e = 1 : 3a^2$ (coefficient de $x^2$), et ainsi de suite. Finalement, il en déduit que $y$ peut s'écrire

$$y = \frac{x}{1} - \frac{x^2}{2a} + \frac{x^3}{3a^2} - \frac{x^4}{4a^3} \quad \text{etc.}$$

Cette méthode est très générale : elle s'applique à toutes sortes d'équations différentielles,

<footnote n="29">29. C'est le programme qu'expose Leibniz 1686 en l'illustrant brièvement dans le cas de la cycloïde.</footnote>

<footnote n="30">30. On rencontre à l'occasion une autre méthode : Leibniz utilise l'intégration terme à terme d'une série infinie obtenue par la formule générale du binôme (cf. section 1.4) pour calculer $\int xxdx : \sqrt{1-x^4}$, c'est-à-dire $\int \frac{xx}{1-x^4}$ (Leibniz 1694b, p. 369).</footnote>

<footnote n="31">31. Voir Leibniz 1684a, 1686.</footnote>

<footnote n="32">32. Leibniz 1693.</footnote>
même contenant des différentielles secondes ou supérieures, et même si elles ne peuvent pas se résoudre par simples intégrations ou sommations.

L'inconvénient de cette méthode, écrit Jean Bernoulli quelques mois plus tard lorsqu'il en propose une autre, est qu'elle exige un calcul différent dans chaque cas particulier <fnref n="33" />. Sa méthode à lui est au contraire directe et uniforme, quoiqu'elle soit moins générale : elle ne s'applique qu'aux quantités que l'on peut exprimer sous la forme d'une intégrale de ndz (ce qui est certes déjà beaucoup puisque, comme le souligne Bernoulli, cela permet d'exprimer tous les problèmes de quadrature et de rectification en une seule formule). Elle repose sur la série infinie suivante <fnref n="34" />, que Bernoulli qualifie d'« universelle » et de « très générale » :

$$ \text{integr. } ndz = +nz - \frac{1}{1.2}zz\frac{dn}{dz} + \frac{1}{1.2.3}\frac{z^3 ddn}{dz^2} - \frac{1}{1.2.3.4}\frac{z^4 dddn}{dz^3} \text{ &c.} $$

Cette formule exhibe la forme générale de la série solution en termes de différentielles d'ordre supérieur de $n$; il suffit donc pour l'utiliser de différentier $n$ de manière répétée, comme on en a aujourd'hui l'habitude quand on utilise le théorème de Taylor. Par exemple, la quantité $y$ donnée par $dy = \frac{adx}{a+x}$ (que Leibniz avait exprimée par une série infinie via la méthode des coefficients indéterminés) peut se ramener à la forme Integr. $ndz$ en prenant $z = x$ et $n = \frac{a}{r}$ avec $r = a + x$. La formule de Bernoulli conduit alors facilement à la série

$$ y = \frac{ax}{r^1} + \frac{axx}{2r^2} + \frac{ax^3}{3r^3} + \frac{ax^4}{4r^4} \text{ &c.} $$

qui se ramène à celle de Leibniz <fnref n="35" />.

Pour Bernoulli, cette série apporte une contribution majeure au calcul différentiel, et nous pouvons maintenant comprendre pourquoi : non seulement elle résout un cas central du problème inverse, mais elle le fait *via* une formule générale. La démonstration qu'en donne Bernoulli frappe tout particulièrement Leibniz, parce qu'elle est généralisable et ouvre donc la porte de tout un monde de séries générales de sommes et de différences. C'est là que commence notre histoire.

<footnote n="33">33. « [...] in quovis exemplo singularis calculus instituendus [est], quo non nisi singularis series provenit quæsito respondens [...] » (« [...] dans n'importe quel exemple, il faut faire un calcul particulier, dont ne provient rien d'autre que la série particulière répondant à la question posée [...] », Jean Bernoulli 1694, p. 437).</footnote>

<footnote n="34">34. Jean Bernoulli 1694, p. 438.</footnote>

<footnote n="35">35. On passe facilement de la série de Bernoulli à celle de Leibniz en remplaçant $a$ par $r-x$ dans chaque numérateur.</footnote>
# Chapitre 2

## Récit : la découverte de l'« analogie »

En 1694, Jean Bernoulli découvre la formule remarquable suivante, déjà mentionnée<fnref n="1" /> :

$$ \text{integr. } ndz = +nz - \frac{1}{1.2}zz\frac{dn}{dz} + \frac{1}{1.2.3}\frac{z^3ddn}{dz^2} - \frac{1}{1.2.3.4}\frac{z^4dddn}{dz^3} \text{ &c.} $$

Stimulés par cette découverte qui les impressionne, Leibniz et Jean Bernoulli sont conduits, d'investigation en investigation, à ce qu'ils appellent l'« analogie des puissances et des différences ». C'est leur chemin que je veux ici retracer pas à pas.

### 2.1 L'apparition de la notation exponentielle des différences

Dans une lettre du 2 septembre 1694, Bernoulli annonce son résultat à Leibniz en quelques lignes<fnref n="2" />; pour la démonstration, il renvoie à un article à paraître dans les *Acta Eruditorum*<fnref n="3" />. Le 6-16 décembre, Leibniz – qui n'a pas encore reçu l'article publié et n'a donc pas vu la démonstration – lui répond qu'il avait déjà découvert un résultat similaire longtemps auparavant, et lui envoie sa preuve de l'époque, fondée sur la considération de sommes et différences finies<fnref n="4" />. Je ne l'examinerai pas en détail<fnref n="5" />, mais un point mérite une

<footnote n="1">1. Jean Bernoulli 1694, p. 438. Cette formule est valable « pour dz constant »; pour quelques explications, voir section 1.2.</footnote>

<footnote n="2">2. LAA, III.6A, p. 172 = LMS, III/1, p. 150.</footnote>

<footnote n="3">3. Jean Bernoulli 1694, publié dans le volume de novembre.</footnote>

<footnote n="4">4. LAA, III.6A, p. 243-244 = LMS, III/1, p. 155-156.</footnote>

<footnote n="5">5. Voir Feigenbaum 1985, p. 84-87, Feigenbaum 1986 ou Panza 1992, vol. 1, p. 395-397.</footnote>
attention toute particulière : Leibniz y utilise une notation nouvelle <fnref n="6" />.

En effet, Leibniz emploie ici une notation « exponentielle » pour les différentielles d'ordre supérieur : il écrit $d^3y$ là où Bernoulli écrivait $ddd_n$. C'est sans doute l'une des toutes premières occurences de cette notation <fnref n="7" />. Avant 1694, je ne l'ai trouvée nulle part chez Leibniz, ni dans les premiers manuscrits (aujourd'hui publiés <fnref n="8" />) où il introduit les symboles $d$ et $∫$, ni dans sa correspondance savante, ni dans ses articles mathématiques. Elle est absente même dans les passages où on l'attendrait : quand Leibniz rédige des présentations de son calcul pour Tschirnhaus <fnref n="9" /> ou pour Huygens <fnref n="10" />, il énumère *dy*, *ddy*, *dddy* sans abréviation; de même l'Hôpital, dans son manuel de calcul différentiel tiré des cours que lui donne Jean Bernoulli au début des années 1690, écrit : « on marquera par *dd* la différence seconde ou du second genre ; par *ddd* la différence troisième ou du troisième genre ; par *dddd* la différence quatrième ou du quatrième genre ; & de même des autres <fnref n="11" /> ». Cette absence est frappante parce qu'à partir de 1695, Leibniz utilise très systématiquement la notation $d^3$ dans ce genre de contexte <fnref n="12" />. En 1694 même, j'en ai trouvé en tout et pour tout deux apparitions discrètes avant notre lettre de décembre <fnref n="13" />.

Ce qui est sûr, c'est que dans les premiers temps du calcul infinitésimal, il est rarement nécessaire d'employer des différentielles au-delà du second ordre, et jamais (à ma connaissance) au-delà du troisième; or tant qu'on en reste au second ordre, il n'est pas gênant d'écrire $ddx$, et ce d'autant moins que l'usage d'alors préfère *aa* à $a^2$, voire parfois *aaa* à $a^3$. Si Leibniz, l'Hôpital et les frères Bernoulli sont parfaitement conscients du fait qu'on peut itérer la différentiation autant autant de fois qu'on le souhaite, cette possibilité

<footnote n="6">6. Leibniz dit avoir découvert la preuve en question des années plus tôt, mais c'était avant d'avoir introduit la notation *d*, exponentielle ou non : si la preuve est ancienne, la notation est neuve. C'est du moins ce qu'il affirme dans un manuscrit rédigé autour de 1715, l'*Historia et origo calculi differentialis*, qu'il meurt avant de diffuser et qui ne sera publié qu'au XIXe siècle : il y reprend la même preuve que dans cette lettre et écrit : « [...] loquendo stylo a se postea introducto, et terminum seriei vocando y [...] licebit differentiam primam vocare dy, secundam ddy, tertiam d³y, quartam d⁴y [...] » (« en parlant dans un style introduit plus tard, et en appelant y le terme de la série [...] on pourra appeler dy la différentielle première, ddy la seconde, d³y la troisième, d⁴y la quatrième [...] », Leibniz 1846, p. 6).</footnote>

<footnote n="7">7. Cajori 1928-1929, II, p. 204-205 et Serfati 2001, p. 209 en situent l'apparition en 1695, ce qui est au mieux légèrement inexact (il y en a quelques occurences en 1694, dont la lettre qui nous occupe ; voir *infra*) mais suggère tout de même qu'elle n'est guère présente auparavant.</footnote>

<footnote n="8">8. Voir LAA, VII.3, VII.5.</footnote>

<footnote n="9">9. « ∫∫ y, ∫∫∫ y, ddy, dddy », lettre de Leibniz à Tschirnhaus (non datée, sans doute 17 octobre 1684, peut-être non envoyée ou seulement indirectement *via* Mencke), LAA, III.4, p. 164 = LMS, IV, p. 507 = Leibniz 1899, p. 459.</footnote>

<footnote n="10">10. « *dȳ*, *dȳy*, *ddȳy* » (lettre de Leibniz à Huygens du 15/25 juillet 1690, LAA, III.4, p. 534 = LMS, II, p. 43).</footnote>

<footnote n="11">11. L'Hôpital 1696, p. 55.</footnote>

<footnote n="12">12. Pour quelques exemples, voir *infra*, note 89 p. 69.</footnote>

<footnote n="13">13. Lettre de Leibniz à Huygens du 12/22 juin 1694 (LAA, III.6A, p. 127 = LMS, II, p. 181); lettre de l'Hôpital à Jean Bernoulli du 7 juin 1694 et réponse du 27 juin (BBW, I, p. 224 et 229).</footnote>
reste donc théorique : même s'ils avaient connu cette notation, il n'en auraient guère eu l'usage. C'est précisément avec la formule intégrale générale de Bernoulli que la situation change. Pour la première fois, Leibniz est confronté à une formule qui fait apparaître des différentielles d'ordre quelconque, et ce n'est qu'à partir de là que la notation exponentielle devient réellement utile. Les découvertes que nous étudierons dans les pages qui suivent convaincront ensuite Leibniz de la pertinence de cette notation, et à partir de l'été 1695, il ne manquera plus une occasion de la mettre en avant<fnref n="14" />.

Quoi qu'il en soit, Leibniz avait-il, déjà à ce stade, des raisons de choisir cette notation-là plutôt qu'une autre ? Elle reprend le principe de répétition des puissances usuelles, au sens où $d^3$ signifie ddd comme $a^3$ signifie aaa (quoique ici, la juxtaposition ne vaille plus multiplication mais application répétée de la différentiation), et ce parallèle la rend commode et facile à comprendre ; peut-être n'est-il pas nécessaire de chercher plus loin. Il se peut cependant que Leibniz ait eu d'autres motivations. Pour commencer, il n'est pas complètement impossible qu'il ait eu en tête son idée d'une analogie entre les paires puissances-racines et différences-sommes<fnref n="15" />, quoique le lien avec son choix notationnel me semble très vague.

Surtout, Leibniz pourrait avoir pensé à ce qu'il appellera plus tard la « loi transcendante des homogènes ». Voici l'idée : de même que $dx$ est infiniment petit par rapport à $x$, $ddx$ et $dxdx$ sont infiniment petits par rapport à $dx$, etc. de sorte qu'il n'y a guère de sens à ajouter entre eux $dx$ et $ddx$, par exemple, puisque le second est négligeable par rapport au premier. De la même manière que classiquement, tous les termes d'une expression doivent être homogènes en dimension (c'est-à-dire qu'on ne doit pas ajouter de lignes à des surfaces, etc.), ils doivent donc aussi être homogènes en « ordre d'infinité », pour reprendre une expression de Henk Bos<fnref n="16" />. Leibniz fait allusion à ce principe dès 1690, dans une lettre à Huygens; il y défend son choix de désigner les différences successives de $x$ par $dx$, $ddx$ etc. plutôt que par des lettres arbitraires, qui ne feraient pas voir quelle quantité est différentiée et combien de fois elle l'est, et ajoute :

> [C]ela paroist sur tout convenable quand il y a plusieurs lettres, et plusieurs degrés de differences à combiner, comme il m'est arrivé quelques fois car il y a alors à observer *une certaine loy d'homogenes toute particulière*, et la seule vüe decouvre ce qu'on ne deméleroit pas si aisement par des notes vagues, comme sont des simples lettres <fnref n="17" />.

<footnote n="14">14. Pour quelques exemples, voir *infra*, note 89 p. 69.</footnote>

<footnote n="15">15. Voir section 1.4.</footnote>

<footnote n="16">16. Sur ces deux lois d'homogénéité, cf. par exemple Bos 1974, p. 6, 33-34.</footnote>

<footnote n="17">17. Lettre à Huygens du 3/13 octobre 1690, LAA, III.4, p. 620 = LMS, II, p. 49 (je souligne). Pour une discussion plus approfondie de cette lettre, voir *infra*, p. 76 sq..</footnote>
On peut expliciter le propos de Leibniz ainsi : si $x, y, z$ désignent des lignes, on peut observer que $xxz$ et $xyy$ sont homogènes en dimension en comptant leurs nombres respectifs de facteurs ; de la même manière, on peut observer que $zdx dy$ et $xzddy$ sont homogènes en ordre d'infinité (ou comme dira Leibniz, « transcendantalement ») en comptant leurs nombres respectifs de lettres $d$. Or à partir de là, un parallèle direct, que Leibniz ne rend explicite que vingt ans plus tard<sup>18</sup>, justifie une notation exponentielle pour les différences : si l'on écrit $xxz = x^2z^1$ et $xyy = x^1y^2$, on peut constater l'homogénéité de ces deux termes en additionnant leurs exposants, c'est-à-dire $2+1=3=1+2$ ; et si l'on écrit $zdx dy = zd^1xd^1y$ ou $d^0zd^1xd^1y$, et $xzddy = xzd^2y$ ou $d^0xd^0zd^2y$, on peut procéder de la même manière pour la loi transcendantale des homogènes. Il est tout à fait possible qu'en 1694, Leibniz ait déjà remarqué ce parallélisme.

## 2.2 De la formule de Bernoulli à l'écriture $d^{-1} = \int$

Face à la formule de Bernoulli, Leibniz pense à une démonstration par les différences finies. C'est, pour lui, une démarche très naturelle : comme nous l'avons vu<sup>19</sup>, son calcul différentiel est à l'origine une extrapolation à partir des sommes et différences finies; et c'est, comme il l'écrit à de multiples reprises<sup>20</sup>, via la réciprocité des sommes et différences finies qu'il a découvert que le problème des tangentes et celui des quadratures sont inverses l'un de l'autre. Revenir aux sommes ou différences finies pour démontrer la formule de Bernoulli, c'est donc revenir à la nature même des sommes et des différences et au fondement de leur réciprocité.

La démonstration que Bernoulli donne de sa formule est toute différente : comme il l'écrit dans sa réponse à Leibniz, « concernant mon autre série [...] tu verras peut-être sans tarder dans les *Acta* que je n'en fais pas venir l'origine d' aussi loin<sup>21</sup> ». Sa démonstration repose sur un usage habile, apparenté à notre « intégration par parties », de la règle de

<footnote n="18">18. Cf. Leibniz 1710b, p. 165 = LMS, V, p. 381-382, où il introduit l'expression de « loi transcendantale des homogènes » ; voir aussi infra, section 2.3.</footnote>

<footnote n="19">19. Voir section 1.2.</footnote>

<footnote n="20">20. Par exemple, au cours de la même correspondance : « Ego certe in totam hanc methodum me fateor, ex hac consideratione reciprocationis inter summas differentiasque, incidisse, et a Seriebus numerorum ad linearum seu ordinatarum considerationes processisse. » (« Quant à moi, je le proclame, c'est la considération de la réciprocité entre les sommes et les différences qui m'a conduit à toute cette méthode; je suis allé des séries de nombres à l'examen des lignes ou ordonnées. » Lettre du 28 février 1695, LAA, III.6A, p. 314 = LMS, III/1, p. 168.) Voir aussi Bos 1974, p. 13-14.</footnote>

<footnote n="21">21. « Quod concernit alteram meam seriem [...] jam forsan in Actis videbis, me ejus originem non ita longe accersere [...] » (Lettre du 2-12 février 1695, LAA, III.6A, p. 288 = LMS, III/1, p. 160.)</footnote>
différentiation d'un produit. Il écrit d'abord<fnref n="22" />

$$ ndz = +ndz + \underbrace{zdn - zdn}_{\text{différentiation}} - \underbrace{\frac{zzddn}{1.2 \cdot dz} + \frac{zzddn}{1.2 \cdot dz}}_{\text{différentiation}} + \underbrace{\frac{z^3 dddn}{1.2 \cdot 3 \cdot dz^2}}_{\text{différentiation}} \&c. $$

où tous les termes du membre de droite sauf le premier s'annulent deux à deux (comme Feigenbaum 1985, j'ai ajouté des accolades pour clarifier). Si l'on regroupe les termes autrement, comme ceci (les accolades étant à nouveau de moi),

$$ ndz = +ndz + zdn - \underbrace{zdn - \frac{zzddn}{1.2 \cdot dz}}_{\text{différentiation}} + \underbrace{\frac{zzddn}{1.2 \cdot dz} + \frac{z^3 dddn}{1.2 \cdot 3 \cdot dz^2}}_{\text{différentiation}} \&c. $$

on peut reconnaître dans chaque groupe de deux termes consécutifs la différentielle d'un produit <fnref n="23" />, d'où en intégrant :

$$ \text{integr. } ndz = +nz - \frac{1}{1.2}zz\frac{dn}{dz} + \frac{1}{1.2.3}\frac{z^3 ddn}{dz^2} - \frac{1}{1.2.3.4}\frac{z^4 dddn}{dz^3} \&c. $$

Notons qu'on passe d'un terme au suivant en intégrant les expressions en z et en différenciant les expressions en n.

Dès sa lettre suivante, Leibniz (qui a entre temps reçu les Acta et lu l'article de Bernoulli) qualifiera cette preuve de « très belle et inattendue <fnref n="24" /> ». Inattendue, sans doute, parce que contrairement à la preuve de Leibniz qui requiert un retour un peu complexe à la définition des différences successives et de la somme, celle de Bernoulli conduit au résultat presque sans rien, uniquement au moyen de la règle formelle de dérivation d'un produit. Elle ouvre ainsi un domaine de relations générales entre sommes et différences explorable au seul moyen de l'algorithme du calcul différentiel.

En tout cas, cette « très belle » méthode retient grandement l'attention de Leibniz, qui y revient avec enthousiasme dès le post-scriptum de la même lettre <fnref n="25" /> : il la généralise en calculant $\int \overline{z^e d^m n}$ pour e quelconque et m entier positif <fnref n="26" />. À la différence de Bernoulli

$$ ndz + zdn = d(nz), \quad -zdn - \frac{zzddn}{1 \cdot 2 \cdot dz} = d\left(\frac{zzdn}{1 \cdot 2 \cdot dz}\right), \quad \frac{zzddn}{1 \cdot 2 \cdot dz} + \frac{z^3 dddn}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot dz^2} = d\left(\frac{z^3 ddn}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot dz^2}\right) $$

et ainsi de suite (en se rappelant qu'on prend dz constant).

<footnote n="22">22. Jean Bernoulli 1694, p. 438.</footnote>

<footnote n="24">24. « Pulcherrima mihi profecto Tua seriei obtinendae ratio visa est, quam in Actis explicuisti, et inexpectata. » (Lettre du 28 février 1695, LAA, III.6A, p. 310 = LMS, III/1, p. 164.)</footnote>

<footnote n="23">23. Pour expliciter, nous pouvons écrire :</footnote>

<footnote n="25">25. Lettre du 28 février 1695, LAA, III.6A, p. 312-315 = LMS, III/1, p. 166-169.</footnote>

<footnote n="26">26. À une légère différence notationnelle près – l'interversion de z et n – l'intégrale de ndz calculée par Bernoulli est le cas particulier e = 1, m = 1; mais Bernoulli avait supposé dz constant (donc dans la notation de Leibniz, dn constant), alors que Leibniz suppose dz constant, ce qui explique que la formule dérivée par Bernoulli ne s'obtienne pas comme cas particulier de celle de Leibniz.</footnote>
dans les Acta, Leibniz rédige la démonstration directement sous forme intégrale et avance de proche en proche, écrivant successivement les termes qu'il faut ajouter ou retrancher et le terme correspondant de la série finale. Il semble cependant avoir écrit ce post-scriptum en hâte, et fait de multiples erreurs de calcul <fnref n="27" /> :

$$
\begin{align*}
\int \overline{z^e d^m n} + e \int \overline{z^{\frac{e-1}{\cdot}} d^{\frac{m-1}{\cdot}} n \cdot dz} &= z^e d^m n \\
&\quad - edz \int \overline{z^{\frac{e-1}{\cdot}} d^{\frac{m-1}{\cdot}} n} - eedz \int \overline{z^{\frac{e-2}{\cdot}} d^{\frac{m-2}{\cdot}} n \cdot dz} &= -e \cdot z^{\frac{e-1}{\cdot}} d^{\frac{m-1}{\cdot}} n \cdot dz \\
&\quad + eed\overline{z^2} \int \overline{z^{\frac{e-2}{\cdot}} d^{\frac{m-2}{\cdot}} n} + e^3 \overline{dz^2} \int \overline{z^{\frac{e-3}{\cdot}} d^{\frac{m-3}{\cdot}} ndz} &= +ee \cdot z^{\frac{e-2}{\cdot}} d^{\frac{m-2}{\cdot}} n \cdot \overline{dz^2}
\end{align*}
$$

Si l'on additionne ces lignes, la somme des membres de gauche sera égale à la somme des membres de droite. Or, selon le même principe que ci-dessus, la somme des termes à gauche se simplifie en $\int \overline{z^e d^m n}$ (le second terme de chaque ligne s'annule avec le premier terme de la suivante) d'où la série :

$$
\int \overline{z^e d^m n} = z^e d^m n - e \cdot z^{\frac{e-1}{\cdot}} d^{\frac{m-1}{\cdot}} n \cdot dz + e^2 \cdot z^{\frac{e-2}{\cdot}} d^{\frac{m-2}{\cdot}} ndz^2 - e^3 \cdot z^{\frac{e-3}{\cdot}} d^{\frac{m-3}{\cdot}} n \cdot \overline{dz^3} \text{ etc.}
$$

Il y a deux erreurs : d'une part une simple erreur d'exposants (le membre de droite de la première ligne devrait être $z^e d^{m-1} n$ et non $z^e d^m n$, par exemple; la même erreur est reproduite à chaque ligne, donc les exposants du $d$ devant $n$ sont décalés à chaque étape); d'autre part, Leibniz semble considérer que $d^2(z^e) = e^2 z^{e-2} dz^2$ et non $e(e-1)z^{e-2} dz^2$, et ainsi de suite pour les puissances plus élevées. Les calculs corrects sont donnés par Bernoulli dans sa réponse <fnref n="28" />, et approuvés par Leibniz <fnref n="29" /> :

$$
\begin{align*}
\int \overline{z^e d^m n} + e \cdot \int \overline{z^{\frac{e-1}{\cdot}} d^{\frac{m-1}{\cdot}} n \cdot dz} &= z^e d^{\frac{m-1}{\cdot}} n \\
&\quad - edz \cdot \int \overline{z^{\frac{e-1}{\cdot}} d^{\frac{m-1}{\cdot}} n} - e \cdot e - 1 \cdot dz \cdot \int \overline{z^{\frac{e-2}{\cdot}} d^{\frac{m-2}{\cdot}} n \cdot dz} \\
&= -e \cdot z^{\frac{e-1}{\cdot}} d^{\frac{m-2}{\cdot}} n \cdot dz \\
&\quad + e \cdot e - 1 \cdot \overline{dz^2} \int \overline{z^{\frac{e-2}{\cdot}} d^{\frac{m-2}{\cdot}} n} + e \cdot e - 1 \cdot e - 2 \cdot \overline{dz^2} \int \overline{z^{\frac{e-3}{\cdot}} d^{\frac{m-3}{\cdot}} n \cdot dz} \\
&= +e \cdot e - 1 \cdot z^{\frac{e-2}{\cdot}} d^{\frac{m-3}{\cdot}} n \cdot \overline{dz^2}
\end{align*}
$$

d'où la série :

$$
\int \overline{z^e d^m n} = z^e d^{\frac{m-1}{\cdot}} n - e \cdot z^{\frac{e-1}{\cdot}} d^{\frac{m-2}{\cdot}} n \cdot dz + e \cdot e - 1 \cdot z^{\frac{e-2}{\cdot}} d^{\frac{m-3}{\cdot}} n \cdot \overline{dz^2}
$$

<footnote n="27">27. De surcroît, l'édition de Gerhardt comporte une coquille de plus; cf. LAA, III.6A, p. 313, LMS, III/1, p. 167.</footnote>

<footnote n="28">28. Lettre du 20-30 avril 1695, LAA, III.6A, p. 346-347 = LMS, III/1, p. 171. Ici aussi, il y a des coquilles sur les exposants dans l'édition de Gerhardt absentes de l'édition des académies.</footnote>

<footnote n="29">29. Lettre du 6-16 mai 1695, LAA, III.6A, p. 353 = LMS, III/1, p. 175.</footnote>
$$
2.2. \text{DE LA FORMULE DE BERNOULLI À D}^{-1} = \int
$$

$$
-e \cdot e - 1 \cdot e - 2 \cdot z^{\frac{e-3}{2}} \cdot d^{\frac{m-4}{2}} \cdot n \cdot \overline{dz^3} + \text{etc.}
$$

Là encore, on passe d'un terme au suivant en sommant les $n$ et en différentiant les $z$.
Tant que $n$ est affecté d'une différentielle, l'intégrer revient à abaisser son ordre de différen-
tiation : on passe de $d^m n$ à $d^{m-1} n$ puis $d^{m-2} n$, etc. ; mais lorsqu'on atteint $dn$, la sommation
doit conduire à $n$, puis à $\int n$, $\int\!\!\!\int n$, et ainsi de suite. Pour pouvoir traiter ce passage des
différentielles aux sommes dans le cadre d'une formule unique, Leibniz introduit une in-
novation notationnelle :

Etsi autem sic exhauriri m videatur, posito esse integrum affirmativum, non
tamen hoc fit, nam $d^0 n = \int^0 n = n$ et $d^{-\frac{1}{2}} n = \int^1 n$ et $d^{-2} n$ est $\int\!\!\!\int$ seu $\int^2 {}^{30}$.

Leibniz illustre cette convention en donnant les premiers termes pour $m = 1$ et $m = 2$, cas où les intégrales apparaissent rapidement<fnref n="31" />. Sans cette innovation notationnelle, Leibniz ne pourrait pas aussi simplement écrire de formule générale, puisque la règle de formation des termes devrait changer après $m$ étapes.

Cette notation, qui repose sur la réciprocité $\int dx = x$, est donc très naturelle dans ce contexte précis, puisqu'elle permet de traiter tous les cas de manière uniforme et ainsi à écrire une formule simple et générale. Cette innovation s'inscrit parfaitement dans une préoccupation méthodologique constante de Leibniz : la recherche de notations générales permettant de traiter des cas en apparence différents de manière uniforme<fnref n="32" />.

Toutefois, à première vue, cette nouvelle notation n'est vraiment utile que dans certains cas particuliers, à savoir les situations où l'on manipule les opérateurs $d$ et $\int$ en leur appliquant d'autres opérateurs $d$ ou $\int$ et où l'on se sert de la réciprocité entre $d$ et $\int$. Pourtant, Leibniz semble voir dès cette première occurence la promesse d'une unité plus profonde et plus substantielle entre sommes et différences, qui permettrait d'obtenir des formules générales contenant des $d^n$, valables tant pour des différences ($n$ positif) que pour des sommes ($n$ négatif). En ce sens, Leibniz écrit <fnref n="33" /> :

$$
\int \overline{z^e dn} = z^e n - e \cdot z^{\frac{e-1}{2}} \cdot \int \overline{n + e \cdot e - 1} \cdot z^{\frac{e-2}{2}} \cdot \int\!\!\!\int n - e \cdot e - 1 \cdot e - 2 \cdot z^{\frac{e-3}{2}} \cdot \int\!\!\!\!\int\!\!\! n \text{ etc.}
$$

<footnote n="30">30. « Quoiqu'il semble qu'ainsi m s'épuise – on a posé m entier positif – ce n'est en fait pas le cas : car $d^0 n = n$ et $d^{-1} n = \int^1 n$ et $d^{-2}$ est $\int\!\!\!\int$ ou $\int^2$ » (Lettre du 28 février 1695, LAA, III.6A, p. 313 = LMS, III/1, p. 167).</footnote>

<footnote n="31">31. Les formules de Leibniz sont évidemment fausses, puisqu'il les déduit de sa formule générale. Pour $m=1$, la formule correcte est par exemple</footnote>

<footnote>qui – contrairement à celle que donne Leibniz – donne lieu à une série finie si $e$ est un entier positif, parce que
le produit $e(e-1)(e-2)\dots$ finit par s'annuler. Dans le cas $e=1$ correspondant à l'intégrale de Bernoulli, on
obtient par exemple $\int zdn = zn - \int n$, et non une série infinie comme Bernoulli. La raison en est que Leibniz
calcule l'intégrale pour $dz$ constant, et non $dn$ constant comme il faudrait le faire pour trouver la série de
Bernoulli (voir aussi note 26 ci-dessus). Cette différence a peut-être échappé à Leibniz, parce que sa formule
originale (fausse) contient $e^2$ au lieu de $e(e-1)$ et ainsi de suite, et conduit donc toujours à une série infinie.</footnote>

<footnote n="32">32. Voir infra, section 3.4.</footnote>

<footnote n="33">33. Encore une fois, la formule que donne Leibniz est fausse; pour la corriger, il faut décaler les exposants</footnote>
Unum addam quod etiam hanc reciprocationem confirmat, si ponamus in aequ.

1.³⁴ m esse numerum negativum seu $m = -r$ fore $d^m = \int r$, unde ex aequ. 1 fiet, (posita $dz = 1$) $\int z^e \int r \bar{n} = z^e \int r (n - e \cdot z)^{\frac{e-1}{e}} \int \frac{r+1}{n+ee \cdot z} \int \frac{r+2}{n - e^3 \cdot z} \int \frac{r+3}{n}$, etc. ³⁵

Il essaie donc immédiatement de remplacer les exposants positifs de $d$ par des exposants négatifs dans sa formule précédente. (Il ne justifie pas, mais la méthode de démonstration suivie reste valable : on passe toujours d'un terme au suivant en intégrant les expressions en $n$ et en différentiant les expressions en $z$.) Dans le même esprit, il envoie peu après sa formule (fausse ³⁶) pour $\int z^e d^m n$ au marquis de l'Hôpital et lui écrit :

En donnant la méthode des Differences dans vostre écrit ³⁷, vous donnerés Monsieur la Methode des sommes virtuellement; et en effect je ne distingue pas ces deux calculs. [...] Il ne sera point nécessaire aussi, que vous vous borniés aux seules différences puisque leur calcul est le même avec celuy des sommes, l'un estant seulement reciproque de l'autre. Par exemple j'ay trouvé comme $x^{-1}$ est $1 : x$ que de même $\frac{1}{x} = \int x$. Par exemple, ayant trouvé cette equation generale

$$ \int \overline{z^e d^m n} = z^e d^m n - e z^{\frac{e-1}{e}} \frac{d^{\frac{m-1}{m}}}{d} n + e e z^{\frac{e-2}{e}} \frac{d^{\frac{m-2}{m}}}{d} n - e^3 z^{\frac{e-3}{e}} \frac{d^{\frac{m-3}{m}}}{d}, \text{ etc.} $$

(supposant que $dz$ est l'unité) et faisant spécialement $m = 1$, il en proviendra cette equation

$$ \int \overline{z^e dn} = z^e dn - e z^{\frac{e-1}{e}} n + e e z^{\frac{e-2}{e}} \int \bar{n} - e^3 z^{\frac{e-3}{e}} \iint n, \text{ etc.} $$

Car $d^0 n = n$ et $d^{-1} n = \int n$ et $d^{-2} n = \iint n$ ou $\int \int n^2$ $n$, c'est-à-dire $\int \overline{ndzdz}$. Si $m$ estoit 2, $d^m n$ seroit $ddn$, $\frac{d^{m-1}}{n}$ seroit $dn$, $\frac{d^{m-2}}{n}$ seroit $n$, $\frac{d^{m-3}}{n}$ seroit $\int n$, et $\frac{d^{m-4}}{n}$ seroit $\iint n$, etc. ³⁸

Les affirmations de Leibniz semblent ici aller au-delà de ce que ses découvertes lui per-

des intégrales et remplacer *ee* par *e* · *e* − 1, etc.

34. Il s'agit de l'expression générale de $\int \overline{z^e d^m n}$ ci-dessus.

35. « J'ajouterai une chose qui confirme encore cette réciprocity : si, dans l'équation (1) nous posons $m$ négatif, soit $m = -r$, nous aurons $d^m = \int r$, d'où l'équation (1) fera (en posant $dz = 1$) [...] » (Lettre du 28 février 1695, LAA, III.6A, p. 314 = LMS, III/1, p. 168.)

36. Il rectifiera selon la correction faite par Bernoulli dans une lettre ultérieure du 12-22 juillet 1695 (pré-servée en deux morceaux; voir LAA, III.6B, p. 450 et LMS, II, p. 294).

37. Leibniz fait référence au futur manuel de calcul infinitésimal de l'Hôpital, qui sera publié en 1696 sous le titre *Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes* (L'Hôpital 1696).

38. Lettre de Leibniz à l'Hôpital non datée, mais probablement du 18 mars 1695 (LAA, III.6A, p. 315-316 = LMS, II, p. 274-275).
mettent : si la réciprocité entre sommes et différences permet avec profit d'écrire $d^{-1}$ pour $\int$, les seules formules dans lesquelles la substitution est possible sont la série infinie de Leibniz et ses variantes.

Pour Leibniz, le succès partiel de la notation $d^{-1} = \int$ soulève donc avant tout le pro-
blème de l’unification des calculs des différences et des sommes : la question qui dominera
la suite de notre épisode, à savoir celle de l’analogie entre le comportement des différences
et celui des puissances, est à ce stade absente. Il est vrai qu’il peut être tentant de la voir déjà
ici, parce que la notation $d^{-1} = \int$, en mettant l’accent sur la réciprocité entre différences
et sommes, peut rappeler l’analogie remarquée par Leibniz entre les paires puissances-
sommes et différences-racines<fnref n="39" />. Mais il faut se garder d’aller trop vite. En réalité, le $d^{-1}$
s’aligne assez mal avec cette idée de départ, puisque en algèbre, la puissance $-1$ correspond
à l’inverse et non à la racine.

2.3 L'analogie des puissances et des différences de Leibniz

Comme nous l'avons vu, Leibniz envoie le 28 février 1695 la formule générale fausse qu'il tire de la méthode de Bernoulli, et celui-ci lui répond le 20-30 avril 1695 en corrigeant les calculs. C'est dans la lettre suivante de Leibniz, datée du 6-16 mai 1695, qu'apparaît l'« analogie des puissances et des différences » :

Recte correxisti calculum meum. Nam dum festinabundus in chartam conji-
cio, quod literas scribenti calculus suggerit, errorem admisi, seriemque male
expressi. Multa adhuc in istis summarum et differentiarum progressionibus
latent, quae paulatim prodibunt. Ita notabilis est consensus inter numeros po-
testatum a binomio, et differentiarum a rectangulo <fnref n="40" /> et puto nescio quid arcani
subesse. Ex. gr.

$$
\begin{array}{l}
\boxed{1}, x + y = 1x + 1y \\
\quad \text{ou} \\
\quad 1x^1 y^0 + 1x^0 y^1
\end{array}
$$

$$
\boxed{2}, x + y = 1x^2 + 2xy + 1y^2
$$

$$
\boxed{3}, x + y = 1x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 1y^3
$$

$$
\boxed{4}, x + y = 1x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 \\ \qquad +4xy^3 + 1y^4
$$

$$
\begin{array}{l}
d^1, xy = 1ydx + 1xdy \\
\quad \text{ou} \\
\quad 1d^1xd^0y + 1d^0xd^1y
\end{array}
$$

$$
d^2, xy = 1yddx + 2dydx + 1xddy
$$

$$
d^3, xy = 1y d^3 x + 3y d^2 x + 3d^2 y dx + 1 x d^3 y
$$

$$
\begin{array}{l}
d^4, xy = 1y d^4 x + 4y d^3 x + 6d^2 x d^2 y \\
\qquad + 4d^3 y dx + 1x d^4 y
\end{array}
$$

Et ita porro. Ubi perfectissimus est consensus. Nempe ubi ab una parte ponitur

<footnote n="39">39. Cf. 1.4.</footnote>

<footnote n="40">40. Les différences d'un rectangle, c'est-à-dire d'un produit de deux facteurs.</footnote>
$x^m y^n$, ab altera ponitur $d^m x d^n y$. Ita respondent sibi $x^2$ et $y d d x$. Nam $x^2$ est $x^2 y^0$ et $d d x$ y est $d^2 x d^0 y$. Nam $d^0 y = y$. Atque ita realis quidam consensus inter potentiarum indices seu Logarithmos, et nostros differentialium quasi Logarithmos reperitur, qui etiam ad polynomia et multi-rectangula, seu rectangula solida et supersolida <fnref n="41" /> extenditur [...] <fnref n="42" />.

D'une simple notation commune – l'emploi dans les deux cas d'exposants – on passe ici, d'après Leibniz, à un « accord réel ».

Quel est le lien entre les réflexions qui précèdent et cette analogie ? Quelles sont les « progressions de sommes et de différences » dont parle Leibniz ?

Une première hypothèse <fnref n="43" /> est que les « progressions » en question, ce seraient par exemple

$$\iint x = d^{-2}x, \quad \int x = d^{-1}x, \quad x = d^{0}x, \quad d^{1}x, \quad d^{2}x, \quad d^{3}x, \quad \text{etc.}$$

ce qui dans cette écriture exponentielle est analogue à une suite (ou « progression ») géométrique comme

$$a^{-2}, \quad a^{-1}, \quad 1 = a^{0}, \quad a = a^{1}, \quad a^{2}, \quad a^{3}, \quad \text{etc.}$$

La réciprocité différences-sommes, ainsi revenue sur le devant de la scène *via* la notation $d^{-1} = \int$, aurait donc rappelé à Leibniz son idée d'une analogie entre les paires d'opérations réciproques différences-sommes et puissances-racines, et l'aurait conduit à l'approfondir. Je trouve, toutefois, que c'est aller un peu vite. Comme je l'ai déjà signalé, l'analogie de Leibniz entre les deux réciprocités ne s'aligne pas si bien avec sa nouvelle notation $d^{-1}$ : prendre la racine carrée, dans une progression géométrique comme la précédente, c'est remonter à $a$ de $a^2$, à $a^3$ de $a^6$, etc. donc prendre la puissance $\frac{1}{2}$; sommer, en revanche,

<footnote n="41">41. Comme Leibniz l'explique ensuite, il s'agit de comparer par exemple $\underline{m}x + y + z$ et $d^m xyz$, et de même en dimensions supérieures.</footnote>

<footnote n="42">42. « Tu as bien corrigé mon calcul. Pendant que je jetais en hâte sur le papier ce que me suggérait le calcul en écrivant la lettre, j'ai effectivement commis une erreur et mal exprimé la série. Il reste encore beaucoup de choses cachées dans ces progressions de sommes et de différences et elles apparaîtront peu à peu. Il faut noter par exemple l'accord entre les puissances d'un binôme et les différences d'un rectangle ; je pense qu'il y a là-dessous je ne sais quoi de secret. Par exemple : [...] et ainsi de suite, où l'accord est total. De fait lorsque d'un côté on pose $x^m y^n$ on a de l'autre $d^m x d^n y$. C'est ainsi que $x^2$ et $y d d x$ se correspondent, puisque $x^2$ est $x^2 y^0$ et que $y d d x$ est $d^0 y d^2 x$. Car $d^0 y = y$. On découvre ainsi un certain accord réel entre les indices des puissances, c'est-à-dire les logarithmes, et nos quasi-logarithmes différentiels ; accord qui s'étend même aux polynômes et aux produits de termes plus nombreux, c'est-à-dire solides et supra-solides [...]. » (Lettre du 6-16 mai 1695, LAA, III.6A, p. 353-354 = LMS, III/1, p. 175. Traduction en partie reprise de LNC, p. 410-411.)</footnote>

<footnote n="43">43. C'est plus ou moins, si je le comprends bien, ce que suggère Marc Parmentier dans ses notes sur le mémoire Leibniz 1710b (cf. LNC, p. 410).</footnote>
c'est se décaler d'un cran vers la gauche, c'est-à-dire prendre la puissance $-1$. Un second problème avec cette hypothèse est qu'elle n'explique pas comment Leibniz serait passé de l'idée très générale d'une analogie différences-puissances à une comparaison entre les différentielles d'un produit de deux termes et les puissances d'une somme de deux termes. Il faudrait supposer qu'il y serait arrivé en expérimentant au hasard, ou peut-être qu'il avait déjà remarqué l'accord entre les coefficients (ou le nombre de termes) de $dd(xy)$ et $(x+y)^2$ etc., et que la notation nouvellement acquise $x = d^0 x$ lui a seulement permis de le préciser.

Je voudrais proposer une autre hypothèse, qui, si elle n'exclut pas nécessairement la précédente, du moins la complète et la précise. Il est naturel, dans le contexte de la lettre de Leibniz, de supposer que ces « progressions de sommes et de différences » désignent les successions des termes des séries infinies précédemment obtenues par Leibniz et Bernoulli, en particulier la dernière en date :

$$ \int \overline{z^e \cdot d^m n} = z^e \cdot d^{\frac{m-1}{e}} n - e \cdot z^{\frac{e-1}{e}} \cdot d^{\frac{m-2}{e}} n \cdot dz + e \cdot e - 1 \cdot z^{\frac{e-2}{e}} \cdot d^{\frac{m-3}{e}} n \cdot \overline{dz^2} \\ - e \cdot e - 1 \cdot e - 2 \cdot z^{\frac{e-3}{e}} \cdot d^{\frac{m-4}{e}} n \cdot \overline{dz^3} + \text{etc.} $$

Quand on passe d'un terme au suivant dans cette formule, l'exposant de différentiation de $n$ diminue, tandis que celui de $z^e$ augmente (on passe de $d^m n$ et $z^e$ à $d^{m-1} n$ et $d(z^e)$ – d'où un $dz$ – puis à $d^{m-2} n$ et $d^2(z^e)$ – d'où un $dz^2$ – puis encore à $d^{m-3} n$ et $d^3(z^e)$ – d'où un $dz^3$ – et ainsi de suite). Ce type de « progression », où un exposant diminue et l'autre augmente, est caractéristique de la formule du binôme de Newton, que Leibniz connaît bien et utilise régulièrement. Pour rappel $^{44}$, il l'écrit par exemple comme ceci dans un manuscrit : pour ce que nous noterions $(A+B)^z$, il donne

$$ A^z + \frac{z}{1} A^{z-1} B^1 + \frac{z, z-1}{1, 2} A^{z-2} B^2 + \frac{z, z-1, z-2}{1, 2, 3} A^{z-3} B^3 \text{ etc.} $$

Il ne fait pas de doute que Leibniz avait cette formule en tête. En effet, comme nous l'avons vu, il avait déjà repéré l'analogie suivante entre les problèmes posés par les racines et par les sommes : dans les deux cas, on ne peut pas toujours les exprimer en quantités « ordinaires » (nombres rationnels dans un cas, expressions algébriques finies dans l'autre), mais il faut se tourner vers des séries infinies. Pour ce qui est des racines, Newton, en s'appuyant sur une notation bien choisie, avait pu exprimer ces séries infinies par une formule générale. Leibniz, qui vient d'introduire une innovation notationnelle similaire, se demande très certainement s'il n'est pas possible d'écrire une formule analogue pour les

<footnote n="44">44. Cf. section 1.4, en part. p. 40.</footnote>
sommes. La similarité de structure entre la formule du binôme et les développements en série obtenus avec Bernoulli ne pouvait que le renforcer dans cette idée. Or la formule de Bernoulli se présente, précisément, comme la somme (ou $d^{-1}$) d'un produit de deux termes. Le chemin qui conduit à l'analogie entre les puissances d'une somme (formule du binôme) et les différentielles d'un produit est alors clair.

Selon mon hypothèse, Leibniz est donc guidé par l'analogie de structure entre la formule du binôme et les développements d'intégrale en séries infinies découverts avec Bernoulli (et pas seulement par l'idée générale d'une analogie entre les réciproités différences-sommes et puissances-racines). Sur cette base, il aurait conçu dès cette lettre le projet d'une version différentielle et intégrale de la formule du binôme, valable tant pour les exposants positifs (cas des différentielles d'ordre supérieur, qu'il traite ici) que pour les entiers négatifs, correspondant aux intégrales : son but aurait été de déduire les développements de $\int ndz$ et $\int z^e d^m n$ tout juste découverts d'une loi générale analogue à celle de Newton pour les puissances. Ce qu'il écrit après son analogie semble le confirmer :

> Imo videndum an non in summationibus concipere aliquid liceat respondens radicibus irrationalibus, imo affectis <fnref n="45" />.

On voit bien que Leibniz a en tête le parallèle avec les racines. Voici, je crois, son idée : de même qu'on peut obtenir par la formule du binôme un développement en série pour les racines irrationnelles, de même est-il peut-être possible de donner une formule pour développer toute intégrale en série, dont les formules obtenues dans les lettres précédentes ne seraient que des cas particuliers. On peut même, suggère-t-il, imaginer aller encore plus loin, jusqu'aux « racines affectées ». Que veut-il dire ? J'ai mentionné plus haut <fnref n="46" /> que dans l'Epistola prior de 1676, Newton avait envoyé à Leibniz non seulement la formule du binôme, mais aussi une méthode pour développer en série les racines d'« équations affectées », c'est-à-dire de polynômes. Sans doute Leibniz rêve-t-il ici à une méthode permettant de développer en série non seulement les sommes, c'est-à-dire les quantités y données par $dy = ...$, mais aussi les solutions d'équations différentielles générales, c'est-à-dire les quantités y données par une équation plus complexe en y, $dy$, $ddy$ etc., qui seraient l'analogue différentiel des « racines affectées ». Cela donnerait une nouvelle méthode de résolution de ce que j'ai appelé plus haut le problème inverse général <fnref n="47" />, que Leibniz ne sait jusqu'alors traiter que par la méthode des coefficients indéterminés.

<footnote n="45">45. « Et même, il faut voir s'il ne se laisse pas concevoir pour les sommes quelque chose de correspondant aux racines irrationnelles, ou même affectées. » (Lettre du 6-16 mai 1695, LAA, III.6A, p. 354 = LMS, III/1, p. 175.)</footnote>

<footnote n="46">46. Voir toujours section 1.4, en part. note 17.</footnote>

<footnote n="47">47. Cf. chapitre précédent, en part. sections 1.3 et 1.5.</footnote>
Leibniz, donc, aurait d'emblée espéré une formule générale pour les sommes et différences récapitulant les divers procédés trouvés jusqu'alors; mais dans un premier temps, il n'aurait réussi à dégager une analogie que pour les différences. Ce n'est que quelques mois plus tard, en septembre 1695, qu'il parvient à ce qui est, d'après moi, son but initial. Au marquis de l'Hôpital, qui voulait en apprendre davantage sur l'analogie dont Bernoulli lui avait apparemment parlé <fnref n="48" />, Leibniz envoie ce qui devait apparemment être une courte introduction, commencée dans une marge, mais qui va finalement plus loin et comprend des résultats nouveaux <fnref n="49" />. Tout d'abord, il présente la même chose qu'à Bernoulli, quoique avec une notation nouvelle pour les puissances ($p^e x$ pour $x^e$) certainement destinée à rendre l'analogie plus visible. Il étend ensuite l'analogie au cas de la puissance $-1$, qui le conduit à la « série universelle » de Bernoulli, puis passe finalement au cas général : de même que

$$ 
\begin{aligned}
p^{e}\overline{x+y} &= x^{e} + \frac{e}{1}x^{e-1}y^{1} + \frac{e \cdot e - 1}{1 \cdot 2}x^{e-2}y^{2} + \frac{e \cdot e - 1 \cdot e - 2}{1 \cdot 2 \cdot 3}x^{e-3}y^{3} \text{ etc.} \\
&= p^{e}x \cdot p^{0}y + \frac{e}{1}p^{e-1}x \cdot p^{1}y + \frac{e \cdot e - 1}{1 \cdot 2}p^{e-2}x \cdot p^{2}y + \frac{e \cdot e - 1 \cdot e - 2}{1 \cdot 2 \cdot 3}p^{e-3}x \cdot p^{3}y \text{ etc.}
\end{aligned}
$$

on a

$$ 
\begin{aligned}
d^{e}\overline{xy} &= d^{e}xd^{0}y + \frac{e}{1}d^{e-1}x \cdot d^{1}y + \frac{e \cdot e - 1}{1 \cdot 2}d^{e-2}x \cdot d^{2}y + \frac{e \cdot e - 1 \cdot e - 2}{1 \cdot 2 \cdot 3}d^{e-3}x \cdot d^{3}y \text{ etc.} \\
&= d^{e}x \cdot y + \frac{e}{1}d^{e-1}x \cdot dy + \frac{e \cdot e - 1}{1 \cdot 2}d^{e-2}x \cdot ddy \text{ etc.}
\end{aligned}
$$

On peut supposer que cette lettre à l'Hôpital a été l'occasion pour Leibniz de reprendre le fil de ses réflexions, et de finalement réussir à obtenir une formule générale, valable aussi pour les intégrales, sur le modèle de celle du binôme; en tout cas, dès sa lettre suivante à Bernoulli, Leibniz lui envoie cette version généralisée de l'analogie, ce qui semble confirmer qu'il s'agit d'un résultat nouveau <fnref n="50" />.

Cette lettre à l'Hôpital (et celle du 20-30 octobre à Bernoulli contenant le même résultat) réalise l'ambition de départ de Leibniz et semble clore pour lui cette ligne d'investigation. À ma connaissance, il ne développe plus l'analogie; il se contente de la publier en 1710, sous une forme restreinte aux exposants entiers positifs et soigneusement justifiée <fnref n="51" />. Ce texte paraît dans le premier numéro des *Miscellanea Berolinensia*, le journal nouvellement créé de l'académie des sciences de Berlin; il est probable que Leibniz ait souhaité contribuer à son lancement et ait eu l'idée d'y envoyer des résultats plus anciens, mais encore jamais

<footnote n="48">48. Peut-être dans la lettre de Jean Bernoulli à l'Hôpital du 21 août 1695, qui est perdue (voir *BBW*, I, p. 303, 306).</footnote>

<footnote n="49">49. Lettre du 30 septembre 1695 (nouveau style), *LAA*, III.6B, p. 508-510 = *LMS*, II, p. 300-302.</footnote>

<footnote n="50">50. Lettre du 20-30 octobre 1695, *LAA*, III.6B, p. 528 = *LMS*, III/1, p. 221.</footnote>

<footnote n="51">51. Leibniz *1710b*.</footnote>
publiés<fnref n="52" />. Toutefois, malgré l'absence de résultats nouveaux, cet article apporte quelques éléments intéressants.

Tout d'abord, Leibniz le commence en rappelant le parallèle, déjà longuement discuté, entre les réciprocités différences-sommes et puissances-racines, mais souligne bien que l'analogie qu'il veut présenter est différente et « plus cachée » (« arcanior ») :

> Ut cujuslibet quantitatis facile est invenire potentiam, ita cujuslibet certa lege variantis possumus invenire differentiam seu Elementum. Sed regressus a potentia ad radicem per extractionem, et regressus a differentia ad terminum per summationem non semper in potestate est. Et uti impossibilitas extractionis in numeris rationalibus quasitae producit quantitates surdas, ita impossibilitas summationis in quantitatibus Algebraicis quasitae producit quantitaes transcendentes, quarum considerationem in Analysin jam olim induximus. [...] Sed arcanior quaedam subest inter Potentias et Differentias Analogia, quam hoc loco exponere operae pretium erit. Et primum potentias binomii (seu summae nominum duorum) comparabimus cum differentiis rectanguli (seu facti ex Factoribus binis) [...]<fnref n="53" />.

En second lieu, Leibniz reprend l'innovation notationnelle ($p^e x$ pour $x^e$) qu'il avait introduite dans sa lettre à l'Hôpital, en la justifiant explicitement par le souhait de rendre l'analogie plus claire (« analogiæ clarioris causa<fnref n="54" /> »); il précise d'ailleurs plus loin que « par cette nouvelle manière d'écrire, l'analogie entre les puissances et les différences apparaît clairement, alors que par la manière commune ce n'est pas le cas<fnref n="55" /> », faisant référence tant à sa notation $p^e x$ pour $x^e$ qu'au fait d'écrire soigneusement $d^0 x$ pour $x$, $d^1 x$ pour $dx$ et $d^2 x$ pour $ddx$.

<footnote n="52">52. Il publie d'ailleurs dans le même numéro un article mineur qui passe en revue diverses formes de notation en algèbre : Leibniz 1710a.</footnote>

<footnote n="53">53. « De même qu'il est facile de prendre une puissance de n'importe qu'elle quantité, de même nous pouvons trouver la différence, c'est-à-dire l'Élément, de toute quantité variant selon une loi déterminée. Mais le retour d'une puissance à sa racine par extraction, et le retour d'une différence à son terme par sommation, ne sont pas toujours en notre pouvoir. Et de même que l'impossibilité de l'extraction [de racine], si elle est cherchée en nombres rationnels, produit les quantités sourdes [irrationnelles], de même l'impossibilité de la sommation, si elle est cherchée en quantités algébriques, produit les quantités transcendantes, dont nous avons il y a déjà longtemps introduit la considération en Analyse. [...] Mais il existe une certaine Analogie plus cachée entre les Puissances et les Différences, qui devrait valoir la peine d'être exposée ici. Tout d'abord, nous comparerons les puissances d'un binôme (ou somme de deux noms) avec les différences d'un rectangle (ou produit de deux facteurs) [...]. » (Leibniz 1710b, p. 160-161 = LMS, V, p. 724-725; trad. adaptée de LNC, p. 414-415.)</footnote>

<footnote n="54">54. Leibniz 1710b, p. 161.</footnote>

<footnote n="55">55. « [...] patet, novo scribendi more apparere analogiam inter potentias et differentias, vulgato [...] non apparere. » Leibniz 1710b, p. 165.</footnote>
Troisièmement, Leibniz discute en quelques lignes la « loi transcendantale des homogènes » (« *lex homogeneorum transcendentalis* ») mentionnée plus haut, que nous n’avons pas rencontrée dans ses lettres avec Bernoulli. Elle s’intègre sans mal dans son article, puisqu’elle aussi bénéficie des notations $p^e$ et $d^e$ : comme l’écrit Leibniz, « la notation courante ne permet pas de saisir [cette loi] aussi bien 56 ». Cependant, il faut bien voir que Leibniz la connaissait déjà en 1690 ; peut-être est-ce même elle qui l’a initialement motivé à écrire $d^3$ pour $ddd$ 57 . Quoi qu’il en soit, elle est largement indépendante de ses découvertes ultérieures sur les puissances et les différences, et en fait ne s’harmonise qu’imparfaitement avec elles : la dissymétrie entre sommes (notées par des puissances négatives) et racines (notées par des exposants fractionnaires) fait qu’elle ne se généralise pas de manière transparente.

Enfin, le fait de se limiter aux exposants positifs permet à Leibniz de justifier l'analogie
via un parallélisme entre le passage d'une puissance de x + y à la suivante d'une part, le
passage d'une différentielle de xy à la suivante d'autre part :

Quae analogia inter differentiationem & potentiationem servatur perpetuò,
continuata potentiatione (seu Potentiæ excitatione) & differentiatione. Nempe
ut in nova potentiatione Binomii totum præcedens multiplicatur tam per y
quam per x, & priore casu p ipsius y, posteriore p ipsius x, augetur unitate;
ita in differentiando totum præcedens differentiatur tam secundum y quam
secundum x, & priore casu d ipsius y, posteriore autem d ipsius x augetur
unitate [...] <fnref n="58" />.

Leibniz peut ensuite ramener les coefficients de la formule commune pour $d^e(xy)$ et $p^e(x+y)$ à des considérations combinatoires sur le nombre de termes de chaque sorte qui sont produits par un développement exhaustif. C'est cela qui permet à Couturat d'écrire :

[À] quoi tient cette analogie frappante, qui paraît d'abord à Leibniz et à Bernoulli quelque chose de secret et de mystérieux ? Simplement à ce fait que les règles formelles des deux opérations (élévation aux puissances et différentiation) sont les mêmes, si différentes que soient en elles-mêmes ces opérations.

<footnote n="56">56. « Eâdem etiam opera apparet quænam sit *Lex homogeneorum transcendentalis*, quam vulgari modo scribendi differentias, non æque agnoscas. » Leibniz *1710b*, p. 165.</footnote>

<footnote n="57">57. Voir section 2.1, p. 1.</footnote>

<footnote n="58">58. « Cette analogie entre la différentiation et l'élévation à une puissance se perpétue si nous poursuivons cette dernière (c'est-à-dire si nous augmentons la puissance), ainsi que la différentiation. En effet, de même que pour obtenir une nouvelle puissance d'un binôme, on multiplie tout ce qui précède tant par y que par x, et que le p de x dans le premier cas, le p de y dans le second cas sont augmentés d'une unité ; de même, dans la différentiation tout ce qui précède est différentié tant selon y que selon x, et le d de y dans le premier cas, le d de x dans le second cas sont augmentés d'une unité. » Leibniz *1710b*, p. 162-163, trad. LNC, p. 417 (modifiée).</footnote>
Et cette analogie formelle vient, en dernière analyse, de ce que l'une et l'autre
obéissent aux mêmes lois générales de combinaison [...]. Cela montre bien
que la Combinatoire est plus générale que l'Algèbre, puisqu'on voit les mêmes
formules de combinaison s'appliquer à divers calculs hétérogènes<fnref n="59" />.

Que Leibniz identifie un principe combinatoire commun aux deux calculs, c'est indéniable. C'est souvent cet aspect, il est vrai remarquable, qui a le plus frappé les commentateurs. Lorsque Hourya Benis-Sinaceur cherche à comprendre comment Gödel a pu voir en la théorie des modèles robinsonienne une réalisation de l'ars inveniendi leibnizien, notre exemple est l'un des premiers qu'elle met en avant :

Ainsi les opérations d'élévation à une puissance et de différentiation, en elles-mêmes distinctes, peuvent s'écrire de même façon. Calcul algébrique et calcul différentiel ont des langages, et donc des structures parallèles. Or, on a là le germe de la démarche de la théorie des modèles : constituer une métathéorie de théories mathématiques par l'analyse de leur caractéristique, c'est-à-dire de leur langage<fnref n="60" />.

Sur un point, toutefois, Couturat va trop loin : la combinatoire ne lève pas le mystère et n'apporte aucune clôture à l'investigation. Sans doute se laisse-t-il tromper par la date tar-dive du mémoire de 1710. Leibniz, pourtant, a pleinement compris le contenu de ce mémoire dès sa lettre du 28 février 1695 : il y expose déjà la correspondance entre les puissances d'un binôme et les différences d'un rectangle, sa généralisation aux trinômes ou davantage, et le lien avec la combinatoire. Or c'est précisément dans cette lettre qu'il écrit : « je pense qu'il y a là-dessous je ne sais quoi de secret <fnref n="61" /> »... En 1710, ce n'est plus une hypothèse : il sait que l'analogie se généralise aux sommes et déborde donc le cadre de la petite justification combinatoire qu'il en donne ici. Le cas des puissances positives n'est qu'une manifesta-tion élémentaire d'un phénomène plus profond, pas encore tout à fait clair ; ce n'est qu'un point de départ, pas un aboutissement, et certainement pas l'accomplissement d'un pro-gramme de réduction de l'algèbre à la combinatoire. Leibniz peut bien avoir des rêves plus généraux ; comme l'écrit Benis-Sinaceur, l'essentiel reste pour lui « de bâtir le plus possible sans attendre d'avoir les moyens de parachever l'analyse ou de garantir définitivement les fondements <fnref n="62" /> ».

<footnote n="59">59. Couturat 1901, p. 498</footnote>

<footnote n="60">60. Benis-Sinaceur 1989, p. 209 (cf. aussi Benis-Sinaceur 1988a,b qui contiennent d'autres versions du même matériau).</footnote>

<footnote n="61">61. « puto nescio quid arcani subesse ». Voir ci-dessus, p. 51.</footnote>

<footnote n="62">62. Benis-Sinaceur 1989, p. 209.</footnote>
## 2.4 Le « genre singulier de calcul » de Bernoulli

Si Leibniz semble satisfait des résultats obtenus et ne cherche pas à les approfondir davantage, Bernoulli, en revanche, tente d'aller plus loin : au cours de l'été 1695, avec les encouragements de Leibniz, il tire de l'analogie une méthode d'intégration suprenante.

L'idée de départ est que les différentielles successives $dx, d^2x, d^3x$ etc. d'une quantité $x$ sont analogues à ses puissances $x, x^2, x^3$ etc. À ce stade, cette analogie est toutefois très limitée. Elle a été introduite comme simple notation, pour permettre d'exprimer des différentielles de n'importe quel ordre; elle a ensuite été étendue aux puissances négatives pour des raisons locales, pour écrire de manière uniforme une certaine formule particulière; mais elle n'a encore qu'une seule confirmation substantielle : les différentielles d'un produit ont la même forme que les puissances d'une somme. Bernoulli tente cependant de la prendre au sérieux, et traite $d^n$ exactement comme si c'était la puissance d'une quantité usuelle.

Plus précisément, dans sa lettre du 8-18 juin 1695, Bernoulli introduit les règles de calcul suivantes. Le principe est de traiter $d^n$ comme une puissance, en ignorant la variable différentiée (sachant qu'il faut systématiquement ajouter $d^0$ quand la variable apparaît seule : par exemple, on remplace $x$ par $d^0x$) :

> Nota, quod in hoc scrutinio literae ipsae, quae alias quantitatem denotant $x, y$, non considerandae sunt ut tales, sed dumtaxat quatenus determinant $d, d^2, d^3$ etc. Hoc modo quadratum ipsius $d^3y$ non est $d^3yy$, sed $d^6y$; cubus ipsius $d^3y$ non $d^3y^3$, sed $d^9y$: Idem puta de multiplicatione, divisione et extractione radicum $d^2y \times d^3y = d^5y, \sqrt[3]{d^6y} = d^2y$; item $\frac{d^2y}{d^2y} = d^0y = y$, et hac ratione $\frac{x}{x}$ non est = 1, sed $\frac{d^0x}{d^0x} = d^0x = x$; quoniam autem $d^{-m} = \int^{+m}$, erit ex. gr. $\frac{d^4y}{d^5y} = d^{-1}y = \int y[...]^{63}$.

Malgré tout, on ne peut pas omettre complètement les variables $x, y$, etc. : il faut par exemple pouvoir distinguer $d^2x$ de $d^2y$. En fait – pour reprendre un artifice notationnel proposé par Lenore Feigenbaum<fnref n="64" /> – tout se passe comme si on calculait algébriquement avec plusieurs variables distinctes $d_x, d_y$, etc.

<footnote n="63">63. « Remarque que dans cette investigation les lettres $x, y$, qui dénotent habituellement une quantité, ne doivent pas être considérées comme telles, mais uniquement dans la mesure où elles déterminent $d, d^2, d^3$ etc. Ainsi, le carré de $d^3y$ n'est pas $d^3yy$ mais $d^6y$; le cube de $d^3y$ n'est pas $d^3y^3$ mais $d^9y$. De même par exemple pour la multiplication, la division et l'extraction de racines : $d^2y \times d^3y = d^5y, \sqrt[3]{d^6y} = d^2y$; pareillement $\frac{d^2y}{d^2y} = d^0y = y$, et pour cette raison $\frac{x}{x}$ n'est pas égal à 1, mais à $\frac{d^0x}{d^0x} = x$; d'autre part puisque $d^{-m} = \int^{+m}$, on aura par exemple $\frac{d^4y}{d^5y} = d^{-1}y = \int y[...]$ » (Lettre du 8-18 juin 1695, LAA, III.6A, p. 399 = LMS, III/1, p. 180.)</footnote>

<footnote n="64">64. Feigenbaum 1985, p. 88. On trouve en fait la même suggestion chez Couturat (1901, p. 497).</footnote>
Ces règles de calcul, Bernoulli les emploie dans le cadre d'une méthode d'intégration. Celle-ci repose à nouveau sur un usage créatif de l'analogie de Leibniz. Dans le cas algébrique, $x$ est la « troisième proportionnelle » de $x^2$ et $x^3$, c'est-à-dire que

$$ \frac{x}{x^2} = \frac{x^2}{x^3}, $$

ce qui permet de calculer $x$ ainsi :

$$ x = \frac{(x^2)^2}{x^3}. $$

De la même manière, raisonne Bernoulli, « la troisième proportionnelle de $d^3$ et $dd$ sera $d$, celle de $d^4$ et $d^3$ sera $dd$, et ainsi des autres <fnref n="65" />. » Étant donnée une quantité différentielle, disons $d^3z$, on peut alors l'intégrer, c'est-à-dire retrouver $d^2z$, de la manière suivante. Pour commencer, on calcule $d^4z$, ce qui est facile : il suffit de différentier $d^3z$. Puis on prend la troisième proportionnelle de $d^3z$ et $d^4z$, par exemple en écrivant

$$ d^2 z = \frac{(d^3 z)^2}{d^4 z}. $$

le calcul devant être fait d'après les règles ci-dessus. Dans les termes de Bernoulli :

[V]idetur tamen quantitatem propositam differentialem cujusvis gradus sum-
mari posse, eam primo differentiando, et dein sumendo tertiam proportiona-
lem hujus novae quantitatis differentialis ad differentialem propositam, consi-
deratis interim d, d², d³, d⁴ etc. tanquam quantitatibus algebraicis et non ut
literis tantummodo caracteristicis <fnref n="66" />.

Reconstruisons en détail le premier exemple donné par Bernoulli, celui de l'intégration de $xd^3y+xdxy$ $= d^0xd^3y+xdx^2y$. Tout d'abord, on différentie : on trouve $2xdx^3y+d^0xd^4y+ d^2xd^2y$. La troisième proportionnelle voulue s'écrit donc

$$ 
\begin{aligned}
\frac{(d^0xd^3y + dx^2y)^2}{2xdx^3y + d^0xd^4y + d^2xd^2y} &= \frac{2xdx^5y + d^0xd^6y + d^2xd^4y}{2xdx^3y + d^0xd^4y + d^2xd^2y} \\
&= \frac{d^0xd^2y(2xdx^3y + d^0xd^4y + d^2xd^2y)}{2xdx^3y + d^0xd^4y + d^2xd^2y} \\
&= d^0xd^2y = xddy,
\end{aligned}
$$

<footnote n="65">65. « tertia proportionalis d³ ad dd erit d, et d⁴ ad d³ erit dd, et ita de aliis » (Lettre du 8-18 juin 1695, LAA, III.6A, p. 398 = LMS, III/1, p. 180.)</footnote>

<footnote n="66">66. « Il semble que l'on puisse sommer une quantité différentielle proposée d'ordre quelconque en la dif-
férentiant d'abord puis en prenant la troisième proportionnelle de cette nouvelle quantité différentielle et de
la proposée, si $d$, $d^2$, $d^3$ etc. sont pendant ce temps-là considérées comme des quantités algébriques et pas
simplement comme des lettres caractéristiques. » (Lettre du 8-18 juin 1695, LAA, III.6A, p. 398 = LMS, III/1,
p. 179-80.)</footnote>
ce qui est bien l'intégrale recherchée puisque $d(xddy) = x d^3 y + d x ddy$. Cependant, Bernoulli ne donne pas les détails du calcul et il s'y cache une difficulté : la simplification qui conduit à la dernière ligne n'est pas très claire. Au numérateur, pourquoi factoriser par $d^0 x d^2 y$ plutôt que par $d^2 y$ seul, ce qui conduirait à l'intégrale fausse $ddy$ ? La réponse, sans doute, est que la fraction $\frac{2dxd^3y+d^0xd^4y+d^2xd^2y}{2dxd^3y+d^0xd^4y+d^2xd^2y}$ ne doit pas être simplifiée en 1, comme dans un calcul algébrique usuel, mais en $d^0 x d^0 y$. Cette simplification exotique est dans l'esprit des règles données par Bernoulli : pour mémoire, « $\frac{d^2y}{d^2y} = d^0y = y$, et pour cette raison $\frac{x}{x}$ n'est pas égal à 1, mais à $\frac{d^0x}{d^0x} = x$ ». Cependant, elle ne s'en déduit pas. Faut-il comprendre que lorsqu'on simplifie une expression, le résultat doit faire apparaître un $d^0 z$ pour chaque variable $z$ qui y apparaît ? En fait, cette difficulté en cache de plus profondes, auxquelles je reviendrai.

Bernoulli applique ensuite sa méthode à un cas plus intéressant : une expression non intégrable de manière finie, à savoir $xd^3y+2xdxy$ (c'est-à-dire $d^0xd^3y+2d^1xd^2y$). Comme précédemment, il commence par différentier l'expression : on trouve $d^0xd^4y + 3dxd^3y + 2d^2xd^2y$. Puis il cherche à calculer

$$ \frac{(d^0 x d^3 y + 2 d^1 x d^2 y)^2}{d^0 x d^4 y + 3 d x d^3 y + 2 d^2 x d^2 y} = \frac{d^0 x d^6 y + 4 d^1 x d^5 y + 4 d^2 x d^4 y}{d^0 x d^4 y + 3 d x d^3 y + 2 d^2 x d^2 y} $$

À ce stade, il ne peut plus continuer comme ci-dessus, parce que cette fraction n'est pas simplifiable. Bernoulli procède alors à une « division continue », c'est-à-dire qu'il applique ce que nous appelons l'algorithmme de division polynômiale <fnref n="67" />. Il n'explicite pas le calcul, mais pour clarifier le procédé, voici les premières étapes :

$$ \begin{array}{c|c} d^0 x d^4 y + 3 d^1 x d^3 y + 2 d^2 x d^2 y & \\ d^0 x d^2 y + d x d y - d^2 x d^0 y + d^3 x d^{-1} y \dots & \\ \hline d^0 x d^6 y + 4 d^1 x d^5 y + 4 d^2 x d^4 y & \\ - d^0 x d^6 y - 3 d^1 x d^5 y - 2 d^2 x d^4 y & \\ \hline 0 & + d x d^5 y + 2 d^2 x d^4 y \\ & - d x d^5 y - 3 d^2 x d^4 y - 2 d^3 x d^3 y \\ \hline 0 & - d^2 x d^4 y - 2 d^3 x d^3 y + 2 d^2 x d^4 y + 3 d^3 x d^3 y + 2 d^4 x d^2 y \\ \hline 0 & + d^3 x d^3 y + 2 d^4 x d^2 y \\ & \dots & \end{array} $$

(Par souci de clarté, j'ai ici choisi la disposition scolaire française pour les divisions : le

<footnote n="67">67. Au XVIIᵉ siècle, la méthode consistant à appliquer indéfiniment l'algorithmme de division à des expressions symboliques pour obtenir des séries infinies est souvent appelée « méthode de Mercator » (en référence à Nicholas Mercator 1668, qui l'a introduite). Elle est bien connue et souvent utilisée. La formule du binôme de Newton (dans le cas d'exposants négatifs) la subsume ; cf. note 30.</footnote>
dividende est en haut à gauche, le diviseur en haut à droite et le quotient juste en-dessous du diviseur <fnref n="68" />.) Le principe est le même que pour la division polynômiale. On divise le premier terme du dividende, $d^0xd^6y$, par le premier terme du diviseur, $d^0xd^4y$ : on obtient le premier terme du quotient, $d^0xd^2y$. On multiplie ce premier terme par le diviseur tout entier, et on soustrait le résultat au dividende. Le reste obtenu remplace le diviseur de départ, et on recommence. Bernoulli trouve

$$ 
\begin{aligned}
d^0xddy + dydx - d^0yddx + d^{-1}yd^3x - d^{-2}yd^4x + d^{-3}yd^5x \text{ etc.} \\
&= xddy + dydx - yddx + \int yd^3x - \iint yd^4x + \int yd^5x \text{ etc.}
\end{aligned}
$$

Pour finir, il présente une variante de ce calcul. Remarquons que dans la division précédente, les termes du dividende et du diviseur sont ordonnés selon les puissances décroissantes de $y$; en conséquence, les termes de la série obtenue le sont aussi. Si l'on ordonne au contraire selon les puissances décroissantes de $x$, on trouve une série différente, et c'est ce que fait ensuite Bernoulli <fnref n="69" />, qui obtient

$$ 2xddy - \int x d^3 y + \iint x d^4 y - \int x d^5 y + \int x d^6 y \text{ etc.} $$

Cette méthode est très surprenante, ce que Leibniz et Bernoulli ne cessent de souligner dans leurs lettres. Pourquoi ? Avant tout parce que Bernoulli manipule les formules d'une manière contraire à leur syntaxe apparente : comme nous l'avons vu, il écrit que dans sa méthode « $d$, $d^2$, $d^3$ etc. sont considérées comme des quantités algébriques et pas simplement comme des lettres caractéristiques ». C'est aussi ce qui frappe Leibniz, qui répond :

> Non sine admiratione vidi quam facile et quam alte penetraveris in ea quae proposueram de singulari calculi genere quo rectangulorum differentiales cum polynomiorum potentiis conferuntur, tantum pro literae x exponentibus, substituendo exponentes ipsius d ipsam x afficiens. Et pulchre notasti, hoc modo ipsas d tractari quasi literas non considerando ipsas x vel y nisi tanquam afficientes literam d, versa rerum vice; cum alias d sit tantum nota quaedam syncategorematica, x autem et y sint quantitates <fnref n="70" />.

<footnote n="68">68. Avec une organisation verticale des calculs et un quotient à droite, cette disposition n'est pas si éloignée de celle que l'on trouve habituellement chez les auteurs de l'époque ; la différence principale est qu'en général, ils mettent plutôt le diviseur à gauche du dividende. Voir par exemple Mercator 1668, p. 29 ; Wallis 1693, p. 362-364, 367 ; ou le manuel de Guisnée 1705, p. xvii-xxii.</footnote>

<footnote n="69">69. « En commençant la division par le dernier membre, on obtient une autre série [...] » (« Alia invenitur series incipiendo divisionem ab ultimo membro [...] », lettre du 8-18 juin 1695, LAA, III.6A, p. 399 = LMS, III/1, p. 181.)</footnote>

<footnote n="70">70. « J'ai vu non sans admiration combien facilement et profondément tu es entré dans les études que je</footnote>
Pourtant, la méthode fonctionne, au sens où les résultats sont vérifiables par ailleurs. En effet, quoique Bernoulli ne le fasse pas explicitement, on peut différentier terme à terme les séries obtenues. Différentions par exemple jusqu'au cinquième terme la seconde série que Bernoulli donne pour $\int 2dx dy + x d^3 y$ :

$$2dx dy + x d^3 y - \int x d^4 y + \int x d^4 y + \iiiint x d^5 y - \iiiint x d^5 y - \int x d^6 y + \int x d^6 y + \int x d^7 y \text{ etc.}$$

Dans sa lettre suivante, Bernoulli fournit une « confirmation » supplémentaire de sa méthode : il parvient à l'utiliser pour retrouver sa « série très universelle » – celle-là même qui avait servi de point de départ à toute cette investigation<fnref n="71" />. Sa démarche est toujours la même : pour calculer $\int ndz$, il différentie $ndz$ en $dndz + nddz$ puis calcule, toujours en traitant les $d$ algébriquement, la fraction

$$\frac{(ndz)^2}{dndz + nddz} = \frac{d^0 nd^2 z}{d^1 nd^1 z + d^0 nd^2 z} = \frac{d^0 nd^1 z}{d^1 nd^0 z + d^0 nd^1 z}$$

(où il simplifie par $d^1 z$). Il effectue alors la « division continue » en commençant par le terme $d^0 nd^1 z$. Encore une fois, Bernoulli omet les calculs, que j'explicite ici à nouveau selon la disposition scolaire française :

$$\begin{array}{l@{\hspace{2em}}r@{\hspace{2em}}r}
\begin{array}{@{}c@{\,}c@{\,}c@{}}
d^0 & nd & z \\
- & d^0 & nd^0 z \\
\hline
0 & - & d^1 nd^0 z \\
& + & d^1 nd^0 z + d^2 nd^{-1} z \\
\hline
0 & + & d^2 nd^{-1} z \\
& - & d^2 nd^{-1} z - d^3 nd^{-2} z \\
\hline
0 & - & d^3 nd^{-2} z \\
\multicolumn{3}{@{}c@{}}{\ldots}
\end{array}
&
\begin{array}{@{}c@{\,}c@{\,}c@{}}
d^0 & nd^1 z + d^1 & nd^0 z \\
- & d^0 & nd^0 z - d^1 nd^{-1} z + d^2 nd^{-2} z - & \\
& & d^3 nd^{-3} z \ldots
\end{array}
\end{array}$$

<footnote>t'avais proposées, concernant ce genre singulier de calcul où les différentielles des produits sont rapprochées des puissances des polynômes en remplaçant les exposants de la lettre $x$ par ceux du $d$ qui affecte ce $x$. Et tu as joliment remarqué que de cette manière les $d$ eux-mêmes sont traités comme si c'étaient des lettres, en négligeant $x$ ou $y$ sinon dans la mesure où ils affectent $d$: on inverse ainsi les choses, puisque en d'autres circonstances $d$ n'est qu'une sorte de signe syncatégorématique alors que $x$ et $y$ sont des quantités. » (Lettre du 24 juin 1695, LAA, III.6B, p. 424 = LMS, III/1, p. 191.)</footnote>

<footnote n="71">71. Lettre du 17 juillet 1695 (ancien style), LAA, III.6B, p. 453-454 = LMS, III/1, p. 199-200.</footnote>
Cette division conduit ainsi à la série

$$ 
\begin{aligned}
\int \overline{ndz} &= d^0 nd^0 z - d^1 nd^{-1} z + d^2 nd^{-2} z - d^3 nd^{-3} z \text{ etc.} \\
&= nz - dn \int z + d^2 n \int z^2 - d^3 n \int z^3 \text{ etc.}
\end{aligned}
 $$

Pour $dz$ constant, écrit ensuite Bernoulli, on a les égalités $\int z = \frac{zz}{1 \cdot 2dz}$, $\int^2 z = \frac{z^3}{1 \cdot 2 \cdot 3dz^2}$, $\int^3 z = \frac{z^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4dz^4}$, $\int^4 z = \frac{z^5}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5dz^4}$ d'où en remplaçant dans la série précédente

$$ \int \overline{ndz} = nz - dn \frac{zz}{1 \cdot 2dz} + d^2 n \frac{z^3}{1 \cdot 2 \cdot 3dz^2} - d^3 n \frac{z^4}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4dz^3} \text{ etc.} $$

qui est exactement la série de Bernoulli discutée ci-dessus. Bernoulli s'en félicite :

hunc enim eventum cum haec inciperem scribere non sperabam, putans longe aliam seriem hac methodo proventuram : Elegans iste consensus mirifice methodorum probitatem praeprimis hujus posterioris ubi tam mirabiliter et contra omnem consuetudinem cum literis d, proceditur, confirmat <fnref n="72" />.

Leibniz, lui aussi, y voit une « confirmation merveilleuse de notre méthode <fnref n="73" /> ».

Malgré ses succès remarquables, cette méthode cache des difficultés profondes, et c'est à mon avis pour cela que les recherches de Leibniz et de Bernoulli s'arrêteront là. Bernoulli est beaucoup trop optimiste quand il écrit, juste après avoir montré comment intégrer en séries infinies :

Video me hic inter scribendum et quidem ex insperato incidisse in methodum universalem summandi vel per vel citra seriem, quantitaem differentialem cujuscunque gradus; video etiam infinita alia adhucdum abscondita hic latere, ea autem eruere, et studiosius excolere nunc non vacat [...] <fnref n="74" />.

En fait, sa méthode n'est valable que pour une classe très particulière d'expressions, à savoir les sommes de termes de la forme $d^k x d^l y$ (ou leurs analogues en davantage de variables, par exemple $d^k x d^l y d^m z$). Autrement dit, il faut que toutes les variables qui figurent dans l'expression apparaissent dans chaque terme, que ce soit différentiées (affectées de $d^n$ pour

<footnote n="72">72. « Je n'espérais pas ce résultat quand j'ai commencé à écrire : je pensais que cette méthode conduirait à une série bien différente. Cet accord élégant confirme merveilleusement la fiabilité des méthodes, surtout de la seconde, où l'on emploie la lettre de $d$ de manière si extraordinaire et si contraire à toutes les habitudes. » (Lettre à Leibniz du 17 juillet 1695, nouveau style, LAA, III.6B, p. 454 = LMS, III/1, p. 200.)</footnote>

<footnote n="73">73. « methodi hujus nostrae mirabilis confirmatio » (Lettre du 29 juillet 1695, LMS, III/1, p. 206.)</footnote>

<footnote n="74">74. « Je me rends compte qu'en écrivant cette lettre, j'ai découvert contre toute attente une méthode universelle pour sommer soit avec soit sans série une quantité différentielle de degré quelconque; je vois aussi qu'une infinité d'autres choses jusqu'à présent dissimulées s'y cachent; mais je n'ai pas en ce moment le loisir de les tirer au grand jour ni de les cultiver avec davantage d'application [...] » (Lettre à Leibniz du 8-18 juin 1695, LAA, III.6A, p. 400 = LMS, III/1, p. 168.)</footnote>
$n > 0$), intégrées (affectées de $d^n$ pour $n < 0$) ou sous forme non modifiée (c'est-à-dire affectées de $d^0$); de plus, l'expression à intégrer ne peut contenir de puissances, puisque les règles de calcul utilisées rendent indiscernables, par exemple, $d^2x$ et $(dx)^2$.

Dans ce cas très particulier, voici pourquoi la méthode fonctionne. Considérons pour simplifier une somme de termes du type $d^k x d^l y$ (c'est-à-dire limitons-nous à deux variables) et notons-la $z$. Comme l'écrit Feigenbaum (1985, p. 88), différentier une telle expression revient à multiplier par $d^1 x d^0 y + d^0 x d^1 y$ au sens des règles de Bernoulli, puisque

$$d(d^k x d^l y) = d^{k+1} x d^l y + d^k x d^{l+1} y = (d^1 x d^0 y + d^0 x d^1 y) d^k x d^l y.$$

Donc $z$, $dz$, $d^2z$, $d^3z$ etc. forment bien une progression géométrique, dont la raison est $d^1 x d^0 y + d^0 x d^1 y$. Cela éclaire la méthode de Bernoulli et permet même de la simplifier : inutile de calculer une troisième proportionnelle, il suffit de diviser directement la quantité à intégrer par $d^1 x d^0 y + d^0 x d^1 y$ (c'est d'ailleurs exactement ce que Bernoulli se retrouve à faire, après simplification, dans le calcul qui conduit à sa « série très universelle »).

En définitive, Bernoulli a eu de la chance; en général, il ne suffit pas de traiter algébriquement les opérateurs différentiels pour obtenir des résultats corrects. Après avoir reçu la lettre de Bernoulli, Leibniz s'imagine tout de suite que « d'une manière générale, les opérations qui ont lieu dans le cas d'une progression géométrique et de ses logarithmes peuvent être imitées ici 75 ». Ce n'est pas aussi simple, et c'est pour cela, sans doute, que Bernoulli et lui n'iront pas plus loin.

## 2.5 Les différentielles fractionnaires

Peut-on avoir des différentielles d'ordre fractionnaire ? À première vue, si l'on part de l'analogie des suites de nombres pour définir les différentielles, cela n'a aucun sens. En effet, étant donnée une suite de nombres, on peut former la suite de ses différences; on peut prendre les différences des différences (les différences d'ordre 2); les différences des différences des différences (différences d'ordre 3); et ainsi de suite. On peut aussi former la suite de ses sommes, et puisque sommer et différentier sont des opérations inverses, il est raisonnable de considérer conventionnellement les sommes comme des différences d'ordre $-1$. Mais prendre les différences d'ordre $\frac{1}{2}$, qu'est-ce que cela pourrait bien vouloir dire ? Prendre les différences à moitié ? Quand on conçoit les différentielles ainsi, il n'y a pas de réponse claire.

<footnote n="75">75. « Et omnino, quae in geometrica progressione et logarithmis operationes locum habent, eas hic imitari licet [...] » (Lettre du 24 juin 1695, LAA, III.6B, p. 424-425 = LMS, III/1, p. 191.)</footnote>
Dans la correspondance que nous avons étudiée, la situation change : Leibniz dispose maintenant de formules générales portant sur $d^n$ avec $n$ quelconque. Il se demande alors immédiatement ce que l'on obtiendrait en remplaçant $n$ par une fraction. Cette démarche est certainement très naturelle pour lui, puisque la formule du binôme elle-même est une généralisation de ce genre, valable pour des exposants tant entiers que fractionnaires. Donc, dès qu'il obtient sa première formule générale, à savoir (sans corriger les erreurs de calcul)

$$ \int \overline{z^e \cdot d^{m}} n = z^e d^m n - e \cdot z^{e-1} \cdot \overline{d^{m-1}} n \cdot dz + e^2 \cdot z^{e-2} \cdot \overline{d^{m-2}} n \cdot dz^2 - e^3 \cdot z^{e-3} \cdot \overline{d^{m-3}} n \cdot \overline{dz^3} \text{ etc.} $$

Leibniz se pose la question de ses limites de validité, et écrit à Bernoulli :

posse quidem e esse numerum non integrum, sed m semper integrum esse, nisi quis ad instar Metaphysicarum potentiarum (seu Logarithmorum) etiam metaphysicas nescio quas differentias (vel summas) fingere vellet <fnref n="76" />.

Cette première formule ne fait toutefois apparaître $d^m n$ qu'au milieu de beaucoup d'autres termes, et n'est donc pas très adaptée pour caractériser d'éventuelles différentielles d'ordre fractionnaire. La version différentielle de la formule du binôme est un bien meilleur point de départ :

$$ d^e \overline{x y} = d^e x d^0 y + \frac{e}{1} d^{e-1} x \cdot d^1 y + \frac{e \cdot e - 1}{1 \cdot 2} d^{e-2} x \cdot d^2 y + \frac{e \cdot e - 1 \cdot e - 2}{1 \cdot 2 \cdot 3} d^{e-3} x \cdot d^3 y \text{ etc.} $$

Comme nous l'avons vu plus haut, Leibniz découvre apparemment cette formule en écrivant à l'Hôpital. Dans la même lettre, juste après la formule, il ajoute :

Vous voyés par là Monsieur, qu'on peut exprimer par une serie infinie une grandeur comme $d^{\frac{1}{2}}\overline{x y}$ ou $d^{1:2}\overline{x y}$, quoyque cela paroisse eloigné de la Géometrie, qui ne connoist ordinairement que les différences à exposans entiers affirmatifs, ou les negatifs à l'egard des sommes, et pas encor celles, dont les exposans sont rompus. Il est vray, qu'il s'agit encor de donner $d^{1:2}x$ pro illa serie <fnref n="77" />; mais encor cela se peut expliquer en quelque façon <fnref n="78" />.

Leibniz traite ensuite un cas particulier <fnref n="79" />, celui d'une variable $x$ dont les valeurs ou ordon-

<footnote n="76">76. « si e peut être un nombre non entier, m en revanche est toujours entier, à moins que quelqu'un ne veuille créer, à l'instar des puissances (ou logarithmes) métaphysiques, je ne sais quelles différences (ou sommes) également métaphysiques. » (Je souligne. Lettre du 28 février 1695, LAA, III.6A, p. 313 = LMS, III/1, p. 167.)</footnote>

<footnote n="77">77. « au lieu de cette série ».</footnote>

<footnote n="78">78. Lettre à l'Hôpital du 30 septembre 1695 (nouveau style), LAA, III.6B, p. 510 = LMS, II, p. 301-302.</footnote>

<footnote n="79">79. Il avait utilisé le même exemple quelques mois plus tôt pour justifier l'existence des différentielles d'ordre 2 contre les objections de Nieuwentijt (Leibniz 1695), et avait expliqué cet argument à l'Hôpital dans une lettre précédente (datée du 14-24 juin 1695, LAA, III.6A, p. 416 = LMS, II, p. 288.)</footnote>
nées sont en progression géométrique (Leibniz choisit une raison unité pour simplifier les calculs) eu égard à des abscisses $\beta$ de différentielle $d\beta$ constante, de sorte que $dx = x d\beta$. En termes modernes, cela revient à choisir une fonction dont la dérivée est proportionnelle à la valeur, c'est-à-dire une exponentielle. On trouve alors sans surprise

$$dx = x d\beta, \quad ddx = x \cdot \overline{d\beta^2}, \quad d^3 x = x \cdot \overline{d\beta^3}, \quad \text{et} \quad d^e x = x \cdot \overline{d\beta^e}$$

formule qui s'interpole tout naturellement pour des exposants non entiers :

par cette adresse l'exposant différentiel est changé en exposant potentiel et remettant $d\overline{x} : x$ pour $d\beta$, il y aura $d^e x = \overline{d\overline{x}} : x^e \cdot x$. Ainsi il s'en suit que $d^{1:2}x$ sera égal à $x \cdot \sqrt[2]{dx} : x$. Il y a de l'apparence qu'on tirera un jour des consequences bien utiles de ces paradoxes, car il n'y a gueres de paradoxes sans utilité <fnref n="80" />.

Cela ne satisfait pas le marquis de l'Hôpital. Après avoir répondu à Leibniz avec perplexité <fnref n="81" />, il écrit à Jean Bernoulli que « [M]. Leibniz] me fait part aussi d'une suitte par laquelle on peut exprimer les differences qui ont pour exposans des nombres rompus. cependant cela ne me contente pas encore, car je ne vois point comment on pourroit se former une idée nette de ces sortes de differences en geometrie <fnref n="82" /> ». Dès réception de cette lettre, et avant de répondre à l'Hôpital, Jean Bernoulli – qui n'avait pas encore entendu parler de différences fractionnaires – demande des explications à Leibniz <fnref n="83" />. Ce dernier lui envoie presque la même chose qu'à l'Hôpital, à ceci près que Leibniz traite cette fois le cas d'une variable $x$ en progression géométrique de raison $a$ quelconque (plus seulement $a = 1$), ce qui le conduit à $d^{1:2}x = x\sqrt{dh} : a$, où $h$ remplace le $\beta$ de la lettre à l'Hôpital <fnref n="84" />. Leibniz conclut ainsi :

Unde vides talium differentiarum valores hoc modo haberi posse per radicem vel potentiam ordinariae differentiae. Quod cum memorabile sit, Tibi non ingratum fore puto. Easdem extraordinarias differentias per seriem infinitam ex ordinariis conflatam exprimi posse, me non monente vides, adeoque suo modo reales esse, etiam hinc patet <fnref n="85" />.

<footnote n="80">80. Lettre à l'Hôpital du 30 septembre 1695 (nouveau style), LAA, III.6B, p. 510 = LMS, II, p. 302.</footnote>

<footnote n="81">81. « Je trouve bien difficile de se former une idée nette de ces differences qui ont pour exposans des nombres rompus et que vous avez trouvé le moyen d'exprimer par des suittes infinies. » (Lettre du 1er décembre 1695, LAA, III.6B, p. 556 = LMS, II, p. 304.)</footnote>

<footnote n="82">82. Lettre de l'Hôpital à Jean Bernoulli du 24 décembre 1695, Jean Bernoulli (BBW, I, p. 308).</footnote>

<footnote n="83">83. Lettre du 17-27 décembre 1695, LAA, III.6B, p. 589 = LMS, III/1, p. 225.</footnote>

<footnote n="84">84. En termes modernes, nous dirions qu'il traite $x = e^{ah}$.</footnote>

<footnote n="85">85. « On voit qu'ainsi, les valeurs de telles différences peuvent être données par des racines ou des puis-</footnote>
Leibniz veut sans doute dire que (par exemple) la racine de $dh$ qui apparaît dans l'expression $d^{\frac{1}{2}} x = x\sqrt{dh} : a$, dont le sens n'est pas très clair, peut être remplacée par une série infinie de puissances ordinaires de $dh$ (ce qui est effectivement facile en utilisant la formule du binôme). On peut donc exprimer $d^{\frac{1}{2}} x$ en n'utilisant que des objets parfaitement admis jusqu'alors.

Mais pourquoi, dans les deux lettres, Leibniz passe-t-il si abruptement de la formule très générale du binôme au cas très particulier d'un $x$ en progression géométrique ? Leibniz semble raisonner ainsi : la formule du binôme conduit facilement à des relations générales vérifiées par d'éventuelles différentielles fractionnaires ; ces relations générales semblent cohérentes, ce qui indique qu'on peut sans doute donner un sens à ces nouveaux objets ; essayons donc de les définir autrement, au moins dans un cas particulier. Je voudrais cependant proposer une autre interprétation de la démarche de Leibniz, plus conjecturale. Peut-être Leibniz songe-t-il à utiliser sa formule du binôme pour donner une authentique définition des différentielles fractionnaires, selon la démarche suivante. Écrivons tout d'abord la formule du binôme pour $d^{\frac{1}{2}}(xy)$ (ce qu'aucun de nos auteurs ne fait explicitement) :

$$d^{\frac{1}{2}}(xy) = d^{\frac{1}{2}}x d^0 y + \frac{1}{2} d^{-\frac{1}{2}} x \cdot d^1 y - \frac{1}{2} d^{-\frac{3}{2}} x \cdot d^2 y + \frac{1}{4} d^{-\frac{5}{2}} x \cdot d^3 y \text{ etc.}$$

Le problème avec cette formule est qu'il y a des différentielles fractionnaires non seulement à gauche, mais aussi à droite. A priori, elle ne permet donc pas de définir $d^{\frac{1}{2}}$ de manière non circulaire. Toutefois, dans le membre de droite c'est seulement la quantité $x$ qui est affectée de différentielles fractionnaires : si l'on sait définir les différentielles d'ordre quelconque $d^e x$ de $x$, on pourra aussi exprimer $d^{\frac{1}{2}}xy$ par une série infinie ; en posant $y = \frac{z}{x}$, on pourra même définir $d^{\frac{1}{2}}z$ pour une quantité $z$ quelconque. En d'autres termes, le cas particulier que traite Leibniz peut ouvrir la porte à une définition générale, et c'est peut-être ce qu'il a en tête lorsqu'il écrit à Bernoulli que « ces différences extraordinaires peuvent être exprimées par une série infinie composée d'ordinaires »... Ce n'est toutefois qu'une conjecture.

Leibniz ne reviendra pas en détail sur les différentielles d'ordre fractionnaire. En réponse aux perplexités du marquis de l'Hôpital, il se contentera d'admettre :

> Quant aux différences dont les exposans sont des nombres rompus, j'avoue qu'on ne les sçauroit comprendre, mais ces sortes de grandeurs quand elles ne seroient qu'imaginaires peuvent servir à trouver des verités réelles. Et il est

<footnote>sances de différences ordinaires. Voilà qui est mémorable : tu seras, je pense, heureux de l'admettre. Tu constates sans que j'aie besoin de le dire que ces différences extraordinaires peuvent être exprimées par une série infinie composée d'ordinaires; cela aussi montre qu'à leur manière, elles sont réelles. » (Lettre du 23 décembre 1695, LAA, III.6B, p. 601-602 = LMS, III/1, p. 228.)</footnote>
tousjours vray qu’elles ont un *fundamentum in re*<sup>86</sup>.

Il établit donc une comparaison avec les nombres imaginaires (que Bernoulli, dans sa propre réponse à l'Hôpital, rend plus explicite <sup>87</sup>).

Jusqu'à sa mort, Leibniz mentionnera occasionnellement les différentielles d'ordre fractionnaire, en général comme argument pour souligner les avantages de sa notation exponentielle : ainsi écrit-il dans une lettre à Wallis que dans son calcul, on peut employer *dy*, *d²y*, *d³y* et que « même *d*½ y apparaît utilement <sup>88</sup> ». Mais aucun de ces passages (rencensés par Dugowson 1994, p. 33–54) n’apporte d’élément nouveau.

## 2.6 Diffusion et postérité

La diffusion de ces innovations est contrastée. L'abréviation exponentielle pour les différentesielles d'ordre supérieur (*d*³ pour *ddd*, etc.) est rapidement et largement adoptée par les utilisateurs du calcul leibnizien. En revanche, l'analogie entre *d*ⁿ(*xy*) et (*x* + *y*)ⁿ, et plus encore sa généralisation aux intégrales fondée sur la notation *d*⁻¹ = ∫, restent assez confidentielles. Lagrange, qui est le premier à les approfondir des décennies plus tard, les redécouvre en fait par lui-même – il est vrai sur la base de la notation exponentielle, qui parsème ses manuels comme un indice.

Penchons-nous tout d'abord sur l'abréviation exponentielle *d*³, *d*⁴, etc. À partir de 1695, Leibniz ne manque jamais de l'utiliser lorsqu'il présente son calcul<sup>89</sup> ; si elle est absente du

<footnote n="86">86. « un fondement dans la chose », c'est-à-dire un fondement en-dehors de notre esprit ; l'expression est d'origine scolastique. (Lettre de Leibniz à l'Hôpital du 15 janvier 1696, LAA, III.6B, p. 625 = LMS, II, p. 311.)</footnote>

<footnote n="87">87. « Les différentesielles qui ont pour exposant des nombres rompûs ne sont en effet que metaphysiques comme dit Mr. Leibnitz, ou plutôt imaginaires, qui ne sont pas determinables ou qui n'existent pas, et ainsi ce que est par exemple $\sqrt{-aa}$ parmi les quantités algebraiques, ou $a^{\sqrt{2}}$ parmi les puissances, la même chose est aussi $d^{\frac{1}{2}}$ parmi les différences, sans pourtant que ces choses chimeriques fassent tort aux autres qui sont reelles ; c'est pourquoi il seroit inutile de demander une idée plus nette de ces sortes de différences, de même qu'on ne peut pas avoir une autre idée de $\sqrt{-aa}$, ou de $a^{\sqrt{2}}$ que celle qu'on a d'une chose qu'on peut demontrer qu'elle n'existe pas in *rerum naturâ*, quoique on en puisse dire des verités reelles, par ex. que $\sqrt{-aa}$ est la racine de $-aa$, que $\sqrt{-aa}$ est plus petit en son espece d' *etre* que $3\sqrt{-aa}$; que $a^{\sqrt{2}}$ est la racine de $a^{2\sqrt{2}}$, que son logarithme est $\sqrt{2a^2\sqrt{2}}$; et ainsi que $d^{\frac{1}{2}}$ est l'intégrale ou la somme de $d^{\frac{3}{2}}$ etc. » (lettre de Jean Bernoulli à l'Hôpital du 10 janvier 1696, BBW, I, p. 311).</footnote>

<footnote n="88">88. «imo utiliter etiam occurrit $d^{\frac{1}{2}}y$» (lettre à Wallis du 28 mai 1697, LMS, IV, p. 25).</footnote>

<footnote n="89">89. Voici quelques exemples. Dès l'été 1695, il parle dans un article des « *ddx* ou *d²x*, *ddddx* ou *d³x* » (Leibniz 1695, p. 310 = LMS, V, p. 321); voir aussi sa lettre à Huygens du 21 juin 1695, LAA, III.6A, p. 421 = (LMS, II, p. 207). Dans une lettre à Wallis de 1697, il écrit : « judicavi, praeter affectiones quantitatis hactenus receptas *y*, *y*², *y*³, *y*½, *y*⅜ etc. [...] posse adhiberi novas differentiarum vel fluxionum affectiones *dy*, *d²y* (seu *ddy*), *d³y* (seu *ddddy*) » (« j'ai jugé qu'outre les affections de quantités admises jusqu'ici *y*, *y*², *y*³, *y*½, *y*⅜, etc. [...] on pouvait employer de nouvelles affections des différences ou fluxions *dy*, *d²y* (ou *ddy*), *d³y* (ou *ddddy*) »; lettre de Leibniz à Wallis du 28 mai 1697, LMS, IV, p. 25); et dans l'*Historia et origo...*, composé vers 1715 : « ut</footnote>
manuel très diffusé de l'Hôpital <fnref n="90" />, rédigé trop tôt, elle se trouve en revanche dans celui de
Reyneau quelques années plus tard <fnref n="91" />.

Dans la première moitié du XVIIIe siècle, l'usage semble assez généralement être le suivant : les différentielles secondes sont écrites dd (ce qui n'est guère surprenant alors que les carrés sont plus volontiers écrits xx que x²), mais dès qu'une différentielle d'ordre 3 ou plus apparaît, elle est notée exponentiellement. Cela reste plutôt rare, dans la mesure où la plupart des applications du calcul différentiel ne requièrent pas de dépasser l'ordre 2, mais cela arrive, que ce soit au détour d'un calcul, dans les présentations générales des différentielles d'ordre supérieur ou encore pour écrire des séries infinies de différentielles comme celle de Bernoulli. À titre d'échantillon, il en est ainsi des ouvrages qu'étudie le jeune Lagrange en 1753-1754, dans les mois qui précédent sa redécouverte de l'analogie <fnref n="92" /> : la notation figure dans le manuel de calcul différentiel de Maria Agnesi <fnref n="93" />, dans la *Mécanique* d'Euler <fnref n="94" /> et se trouve en bonne place dans le mémoire d'Euler *Methodus inveniendi lineas curvas...* qui joue pour Lagrange un rôle crucial <fnref n="95" />.

L'analogie entre $d^n(xy)$ et $(x+y)^n$ a une diffusion plus restreinte. Comme nous l'avons vu, Leibniz finit par publier le cas des exposants positifs en 1710, sans évoquer la généralisation aux sommes <fnref n="96" />. L'analogie circule aussi *via* des extraits de lettres : Jean Bernoulli copie pour l'Hôpital les passages sur le sujet de sa correspondance avec Leibniz, y compris ceux qui traitent de son nouveau calcul <fnref n="97" />, puis envoie Varignon consulter ces morceaux choisis chez le marquis <fnref n="98" />. Bernoulli en fait aussi publier quelques extraits en 1721 <fnref n="99" />, dans le cadre de sa querelle de priorité avec Brook Taylor <fnref n="100" />. Finalement, une grande partie de

<footnote>habuimus hactenus x, xx, x³ etc. y, yy, y³ etc. ita posse adhiberi dx, ddx, d³x etc. dy, ddy, d³y etc. » (« de la même manière que nous avions jusque là x, xx, x³ etc., y, yy, y³ etc., on peut employer dx, ddx, d³x etc., dy, ddy, d³y etc. »; Leibniz 1846, p. 17).</footnote>

<footnote n="90">90. Voir *supra*, p. 44 note 11.</footnote>

<footnote n="91">91. Reyneau 1708, §544, p. 654.</footnote>

<footnote n="92">92. Sur la formation de Lagrange, voir Borgato et Pepe 1990, p. 7 ou Pepe 2008, p. 38-40; leur source principale sur les lectures de Lagrange à cette période est Maurice 1814.</footnote>

<footnote n="93">93. « La differenze seconde si sogliono marcare con doppia *d*, le terze con trè *d* ec. La differenza adunque di *dx*, cioè la differenza seconda di *x* si scriverà *ddx*, o pure *d²x* [...] ; la differenza terza farà *ddddx*, o pure *d³x* ec. » (Agnesi 1748, II, p. 438).</footnote>

<footnote n="94">94. Euler 1736, p. ex. vol. 1, p. 377, 381.</footnote>

<footnote n="95">95. Euler 1744, p. 9.</footnote>

<footnote n="96">96. Voir *supra*, p. 55.</footnote>

<footnote n="97">97. Lettre de Jean Bernoulli à l'Hôpital du 10 janvier 1696, BBW, I, p. 311.</footnote>

<footnote n="98">98. Voir la lettre de Jean Bernoulli à Varignon du 24 décembre 1697 (BBW, II, p. 154), puis la lettre de Varignon du 18 février 1697 où il confirme que l'Hôpital les lui a communiquées (BBW, II, p. 159).</footnote>

<footnote n="99">99. Burkhard [Mencke] 1721.</footnote>

<footnote n="100">100. Sur cette querelle, voir Feigenbaum 1985 et Panza 1992, section III.2.d, et les références citées note 38 p. 30.</footnote>
sa correspondance avec Leibniz, dont nos passages, paraît en 1745 <fnref n="101" />.

Malgré ces différentes voies de diffusion, l'analogie n'est manifestement pas le genre de résultat que l'on trouve routinièrement dans les manuels <fnref n="102" />. Une étude plus poussée du corpus leibnizien de la première moitié du XVIIIe siècle, que je n'ai pas entreprise, serait nécessaire pour voir si et où elle est mentionnée; les remarques qui suivent sont donc conjecturales. Mon impression, toutefois, est que tous ne partageraient pas le jugement enthousiaste de Bernoulli :

> Si on veut prendre la différentielle d'un certain degré, par ex. du quatrième, d'une quantité composée de deux indeterminées comme de xy, selon la methode ordinaire vous prendriez d'abord la différentielle du premier degrés et vous auriez xdy + ydx, en differentiant cela vous trouveriez xddy + 2dxdy + yddx pour la différentielle du second degrez, laquelle étant differentiée encore une fois, vous auriez celle du troisieme degré, qui enfin par sa differentiation vous donneroit la quatrieme que l'on cherche, mais quel long proces ? quelle grande peine ? au lieu que par une merveilleuse analogie l'affaire se fait dans un instant, fust ce meme la différentielle du centieme degrez que l'on cherche [...] <fnref n="103" />.

À vrai dire, l'intérêt de calculer la différentielle du centième degré de xy ne saute pas aux yeux. Ce résultat pris isolément n'a, me semble-t-il, que peu d'utilité pour le praticien : tant que le calcul leibnizien est considéré avant tout comme un outil pour résoudre des problèmes géométriques ou physiques, il reste donc anecdotique. Il vaut surtout pour l'ouverture qu'il offre vers les formes générales que prennent les différentielles, et c'est par là qu'il devient central pour Lagrange.

C'est effectivement, écrit Lagrange à Euler, la recherche de « quelque ordre sûr <fnref n="104" /> » dans les différentielles et dans les puissances qui le conduit, en juin 1694, à redécouvrir l'analogie de Leibniz y compris pour les intégrales. Il s'empresse d'en faire part non seulement à Euler, mais aussi à Fagnano, sur le conseil de qui <fnref n="105" /> il la publie <fnref n="106" />. Euler, lui, connaissait la découverte de Leibniz : il ignore la lettre de Lagrange, et ce n'est que quand

<footnote n="101">101. Leibniz et Jean Bernoulli 1745.</footnote>

<footnote n="102">102. Mon recensement n'a pas été très méthodique, mais le premier traité dans lequel j'aie trouvé l'analogie est la somme quasi-encyclopédique d'Euler sur le calcul différentiel, où elle n'est mentionnée qu'en passant et dans le cas d'exposants positifs.</footnote>

<footnote n="103">103. Lettre de Jean Bernoulli à Varignon du 24 décembre 1697, BBW, II, p. 154.</footnote>

<footnote n="104">104. « certus aliquid ordo » (lettre de Lagrange à Euler du 28 juin 1754, EOO IV.A.5, p. 361).</footnote>

<footnote n="105">105. « Questo che sarà un bel monumento dell'acutezza del suo ingegno merita la pubblica luce [...] » (« Ce résultat, qui sera un beau monument à l'acuité de votre intelligence, mérite la lumière publique [...] » ; lettre de Fagnano à Lagrange du 3 juillet 1754, Fagnano 1911-1912, III, p. 179).</footnote>

<footnote n="106">106. Sous la forme d'une lettre ouverte à Fagnano datée du 23 juillet : Lagrange 1754.</footnote>
celui-ci lui envoie, un an plus tard, un résultat plus intéressant qu’Euler finit par répondre, lui signalant au passage que « quant à l’analogie des différentielles d’ordre quelconque de la formule xy avec les termes de la puissance du binôme $(a+b)^m$ que vous m’avez annoncée dans votre première lettre, je me rappelle qu’elle a déjà été remarquée par Leibniz, ce que, sauf erreur erreur de ma part, vous trouverez dans sa correspondance avec Bernoulli <fnref n="107" /> ».

Lagrange, comme Leibniz avant lui <fnref n="108" />, altère les notations usuelles et met les deux formules l’une sous l’autre, « afin que s’il y a entre elles quelque ressemblance, celle-ci puisse être perçue toute entière d’un seul coup d’œil <fnref n="109" /> » :

$$ 
\begin{aligned}
\overline{a+b}^m = {}& a^m b^0 + m a^{m-1} b^1 + \overline{m} \times \frac{\overline{m-1}}{2} a^{m-2} b^2 + \overline{m} \times \frac{\overline{m-1}}{2} \times \frac{\overline{m-2}}{3} a^{m-3} b^3 \\
& + \overline{m} \times \frac{\overline{m-1}}{2} \times \frac{\overline{m-2}}{3} \times \frac{\overline{m-3}}{4} a^{m-4} b^4 \quad \text{etc.}
\end{aligned}
$$

$$ 
\begin{aligned}
\overline{xy}^m = {}& x^m y^0 + m x^{m-1} y^1 + \overline{m} \times \frac{\overline{m-1}}{2} x^{m-2} y^2 + \overline{m} \times \frac{\overline{m-1}}{2} \times \frac{\overline{m-2}}{3} x^{m-3} y^3 \\
& + \overline{m} \times \frac{\overline{m-1}}{2} \times \frac{\overline{m-2}}{3} \times \frac{\overline{m-3}}{4} x^{m-4} y^4 \quad \text{etc.}
\end{aligned}
$$

(Il écrit ici tout simplement $x^m$ à la place $d^m x$.) Toujours comme Leibniz, il retrouve ensuite la « série universelle » de Bernoulli <fnref n="110" /> en faisant $m = -1$.

À en croire Lagrange, c’est une authentique redécouverte <fnref n="111" />, et c’est bien possible :

<footnote n="107">107. « Quod autem in prioribus litteris de analogia differentialium cuiusque ordinis formulae xy et terminorum bino[mii] potestatis $(a+b)^m$ attulisti, eam iam a Leibnizio obse[rvatam] esse memini, quod, nisi fallor, in ejus cum Bernoullio c[ommer]cio reperies » (lettre d’Euler à Lagrange du 6 septembre 1755, EOO IVA.5, p. 376; trad. fr. p. 377-378, modifiée).</footnote>

<footnote n="108">108. Voir sa lettre à l’Hôpital puis sa publication de 1710, cf. p. 55 et 56.</footnote>

<footnote n="109">109. « ut si quid in ipsis inest similitudinis, totum uno oculi ictu perspiciatur » (lettre de Lagrange à Euler du 28 juin [1754], loc. cit.); selon la formulation de la lettre ouverte à Fagnano : « Dunque primieramente propongo le due serie [...] sicchè in una sola occhiata se ne comprenda ogni possibile rapporto, e corrispondenza [...] » (OL, VII, p. 584).</footnote>

<footnote n="110">110. Dans sa lettre à Euler, il attribue cette série à Leibniz; dans sa lettre ouverte à Fagnano, qui est plus détaillée, il cite en revanche Jean Bernoulli 1694.</footnote>

<footnote n="111">111. Quelques semaines après sa première lettre à Fagnano, son petit texte à peine publié, il affirme avoir trouvé par hasard sa découverte dans la correspondance Leibniz-Bernoulli : « [E]ssendo io l’altro dì a casa del Proffessor nostro di Teoria medica, Ignazio Somis e cercando non so che, in un certo libro che egli avea, contenente lettere latine private di Matematica, tra Leibnitz e Bernulli [...] [Leibniz et Jean Bernoulli 1745] il caso ha voluto che ivi io trovassi quella serie, che ho poco fa pubblicata per i differenziali ed integrali. [...] Questo veramente da principio m’ha crucciato non poco, considerando sopra tutto, che quando questo si spargesse [...] molti si troverebbero certo, che risguarderebbero me, come un plagiario, ed impostore. » (« [A]lors que j’étais, l’autre jour, chez notre professeur de théorie médicale Ignazio Somis et que je cherchais je ne sais quoi dans un certain livre qu’il avait, contenant des lettres latines privées de mathématiques entre Leibniz et Bernoulli [...] le sort a voulu que j’y trouve la série que j’ai fait publier il y a peu pour les différentielles et les intégrales [...]. Cela m’a tout de suite inquiété, et plus qu’un peu, considérant surtout que lorsque cela se saura [...] il s’en trouvera certainement beaucoup pour me considérer comme un plagiaire et un imposteur. » Lettre de Lagrange à Fagnano du 14 août 1754, Fagnano 1911-1912, III, p. 189.)</footnote>
connaissant la formule du binôme et la série de Bernoulli, il avait les mêmes ingrédients que Leibniz cinquante ans plus tôt, et même davantage, puisque la notation exponentielle pour les différentielles d'ordre supérieur s'était entre temps imposée. Quoi qu'il en soit, c'est par l'intermédiaire des usages heuristiques très fructueux que Lagrange fait ultérieurement de cette analogie qu'elle devient, dans la seconde moitié du XVIIIe siècle, un important sujet de recherches, chez Laplace, Arbogast, Servois et d'autres <fnref n="112" />.

<footnote n="112">112. Voir en particulier Lagrange 1774. Pour une discussion approfondie de ce mémoire et des tentatives de Laplace pour en justifier les méthodes, voir Panza 1992, section III.4. Pour un aperçu général des recherches suscitées par ces travaux de Lagrange, voir par exemple Koppelman 1971 ou Lubet 2010.</footnote>
<figure><img src="image_9.png" /></figure>
# Chapitre 3

## Analyse : le rôle des notations

Je reviendrai sur différents aspects de cet épisode tout au long de ce travail, en fonction des besoins de la discussion. Un point particulièrement délicat mérite cependant une analyse préalable : quel rôle les notations jouent-elles dans les découvertes de Leibniz et Jean Bernoulli ? Plus précisément, la question porte sur la notation exponentielle généralisée que Leibniz introduit dans sa lettre du 28 février 1695, et qui semble si intimement liée aux découvertes substantielles de nos auteurs : $d^3x$ pour $ddd_x$, $d^{-2}x$ pour $\int\!x$, $d^n x$ pour une différentielle ou somme d'ordre quelconque, etc.

Il peut être tentant d'affirmer, comme Parmentier, que « l'analogie entre différences et puissances exploite une richesse propre à la notation leibnizienne, elle serait impossible sans la notation exponentielle de l'ordre de différentiation<fnref n="1" /> ». L'idée sous-jacente est que certaines choses ne sont pas exprimables, voire pas pensables, en l'absence d'une écriture appropriée ; c'est par exemple dans cet esprit que Serfati soutient, à propos des avantages de notre notation usuelle des puissances, qu'« une substitution aussi simple pour nous à écrire et à opérer que celle de $A = x^2+x+2$ dans $A^2+A$ demeura une opération inconcevable – elle ne pouvait se penser – dans le cadre de l'écriture médiévale des mathématiques<fnref n="2" /> ». Dans notre cas, Parmentier affirme ainsi que la notation $d^n$ est cruciale parce qu'elle « permet de représenter une différentielle d'ordre quelconque » ; d'ailleurs, ajoute-t-il, cette notation elle-même n'est possible que grâce à une spécificité antérieure de l'écriture leibnizienne, à savoir que « l'algorithme $dx$, à la différence de la notation newtonienne, sépare les variables et l'opération de différentiation, susceptible dès lors d'être considérée pour elle-même<fnref n="3" /> ».

<footnote n="1">1. LNC, p. 411 (je souligne).</footnote>

<footnote n="2">2. Serfati 2006, p. 113 (l'auteur souligne). Sa position est plus nuancée que cette citation peut le laisser croire ; j'y reviendrai ci-dessous, p. 84.</footnote>

<footnote n="3">3. LNC, p. 411.</footnote>