# Loi des sinus = Loi des cosinus

Maurice Clerc

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Maurice Clerc. Loi des sinus = Loi des cosinus. 2025. hal-05170696

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Preprint submitted on 19 Jul 2025

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# Loi des sinus = Loi des cosinus

Maurice Clerc *

2025-07

## Résumé

Dans un triangle il est facile de montrer que la loi des cosinus implique celle des sinus. La réciproque est très peu documentée, probablement parce que des analyses publiées l'ont longtemps considérée comme fausse. Trois démonstrations sans raisonnement circulaire sont présentées, dont deux nouvelles, montrant que la loi des sinus implique le théorème de Pythagore. Ce dernier permettant de prouver la loi des cosinus cela suffit pour conclure que, indirectement, elle est impliquée par la loi des sinus.

## 1 Le contexte

Considérons les six éléments d'un triangle : les trois côtés a, b, c et les trois angles α, β et γ (voir la figure 1).

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>FIGURE 1 – Les six éléments d'un triangle</figcaption></figure>

La loi des cosinus<fnref n="1" /> énonce

$$ 
\begin{array}{l@{\qquad}l}
1) & a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\alpha) \\
2) & b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos(\beta) \\
3) & c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)
\end{array}
\qquad (1)
$$

<footnote>*Maurice.Clerc@WriteMe.com</footnote>

<footnote n="1">1. Parfois appelée formule d'Al Kashi, particulièrement en francophonie.</footnote>
Une démonstration classique utilise deux fois le théorème dit « de Pytha-
gore », qui sera dans ce qui suit souvent simplement appelé la Relation.

Ceci peut être schématisé par

$$
\text{la Relation} \implies \text{loi des cosinus} \qquad (2)
$$

La loi des sinus énonce, quant à elle

$$
\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} = 2R \quad (3)
$$

où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle.

Ces lois comprenant trois équations reliant six éléments, intuitivement on
peut penser que la connaissance de trois d'entre eux permet de trouver les trois
autres. Ce n'est cependant pas tout-à-fait exact. Par exemple, avec trois angles
on ne peut pas trouver les côtés ou, plus précisément, on ne peut les trouver
qu'à un rapport près (triangles semblables).

Disons qu’un triangle est parfaitement défini quand les trois côtés sont connus. Grâce à la loi des cosinus, connaissant deux côtés et l’angle qu’il font, on peut trouver le troisième et, donc, avoir un triangle parfaitement défini. Mais quelles sont toutes les possibilités minimales ?

Elles ne sont pas au nombre de combinaisons de six éléments trois à trois
car, en fait, il faut connaître au moins un côté.

Nous avons en réalité les cas suivants :

1. Trois côtés, trivial.

2. Deux côtés et l'angle entre eux.

3. Deux côtés et un angle qui n'est pas entre eux.

4. Un côté et deux angles.

Les cas 2, 3 et 4 se ramènent classiquement au cas 1 et, c'est le point important ici, en n'appliquant que la loi des cosinus *ou* que la loi des sinus, même si, par exemple, le cas 4 se traite bien plus facilement par la loi des sinus.

Dit autrement : la connaissance de trois éléments du triangle (sur six), dont
au moins un côté, le définit entièrement, aussi bien par la loi des cosinus que
par celle des sinus.

On s'attend donc à une équivalence des deux lois, mais encore faut-il la
prouver.

2 Loi des cosinus $\implies$ Loi des sinus

En additionnant les égalités 2 et 3 on a

$$
0 = a^2 - a(c \cos(\beta) + b \cos(\gamma))
$$

$$
0 = a - (c \cos(\beta) + b \cos(\gamma))
$$

$$
c = \frac{a - b \cos(\gamma)}{\cos(\beta)}
$$
En additionnant les égalités 1 et 2 on a

$$0 = 2c^2 - 2bc \cos(\alpha) - 2ca \cos(\beta)$$

$$0 = c - b \cos(\alpha) - a \cos(\beta)$$

$$c = b \cos(\alpha) + a \cos(\beta)$$

En identifiant les deux expressions de $c$ et en utilisant la Relation (qui n'est qu'un cas particulier de la loi des cosinus) sous la forme $1 - \cos(\beta)^2 = \sin(\beta)^2$

$$a - b \cos(\gamma) = \cos(\beta) (b \cos(\alpha) + a \cos(\beta))$$

$$b(\cos(\beta) \cos(\alpha) + \cos(\gamma)) = a(1 - \cos(\beta)^2)$$

$$b = a \frac{\sin(\beta)^2}{\cos(\beta) \cos(\alpha) + \cos(\gamma)}$$

Sachant que $\cos(\gamma) = \cos(\pi - \beta - \alpha) = -\cos(\beta + \alpha)$

$$b = a \frac{\sin(\beta)^2}{\cos(\beta) \cos(\alpha) - \cos(\beta + \alpha)}$$

et que $\cos(\beta + \alpha) = \cos(\beta) \cos(\alpha) - \sin(\beta) \sin(\alpha)$
l'on retrouve bien

$$b = a \frac{\sin(\beta)}{\sin(\alpha)} \qquad (4)$$

Pour terminer complètement la preuve on peut remplacer $b$ par $c$ et $\beta$ par $\gamma$ dans 4

$$c = a \frac{\sin(\gamma)}{\sin(\alpha)}$$

L'égalité à $2R$ dans la formule 3 n'apparaît pas directement mais elle se déduit facilement de la démonstration géométrique usuelle de la loi des sinus qui montre que, par exemple, $\frac{c}{\sin(\gamma)} = 2R$, mais, de toute façon, nous n'en aurons pas besoin.

## 3 Loi des sinus ⇌ Loi des cosinus.

Il nous suffira de prouver que la loi des sinus implique la Relation puisque, comme nous l'avons indiqué, celle-ci permet de prouver la loi des cosinus. On aura alors l'enchaînement suivant

$$\text{loi des sinus} \implies \text{la Relation} \implies \text{loi des cosinus} \qquad (5)$$

En naviguant sur l'Internet<fnref n="2" /> on ne trouve qu'un seul article original, d'ailleurs récent, contenant une preuve de cette implication (et quelques autres qui l'utilisent).

Et en interrogeant des IAs aucune n'a fourni de réponse correcte. À la question « Est-il possible de déduire le théorème de Pythagore à partir de la loi des sinus ? » les réponses se partagent en deux groupes :

<footnote n="2">2. Ceci est écrit en juillet 2025 mais les choses évoluent vite, particulièrement concernant les IAs.</footnote>
— « C'est impossible et voici pourquoi », suivi d'une explication filandreuse comme quoi, par exemple, la raison en est que le théorème de Pythagore utilise des formes quadratiques et pas la loi des sinus.

— « C'est possible et voici comment », suivi d'une pseudo-démonstration circulaire utilisant la formule $sin(\theta)^2 + cos(\theta)^2 = 1$ provenant indirectement du théorème de Pythagore.

Une réponse typique d'IA « prouvant » l'impossibilité, avec références à l'appui, est d'ailleurs donnée en Annexe (4).

Il ne semble pas donc superflu de présenter quelques preuves de la possibilité. D'abord, rapidement, celle utilisée dans l'unique article trouvé, puis deux autres plus détaillées définies pour l'occasion.

Loi des sinus ⇌ la Relation — Preuve 1

D'après ((JACKSON et JOHNSON, 2024)), légèrement modifiée.

Dans le triangle rectangle on ajoute un segment auxiliaire, créant le triangle isocèle ADB (figure 2). Une suite de calculs algébriques et trigonométriques permet alors d'arriver au résultat.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>FIGURE 2 – Loi des sinus vers la Relation. La clé du raisonnement est de construire le triangle isocèle ADB.</figcaption></figure>

En plus de la loi des sinus, nous aurons besoin de certaines formules trigonométriques, en prenant bien soin de ne surtout pas en utiliser qui découlent implicitement de la Relation, comme par exemple $sin(\theta)^2 + cos(\theta)^2 = 1$. En l'occurrence, en se référant à la figure 2, nous avons

$$sin(\beta) = \frac{b}{c}$$

$$cos(\beta) = \frac{a}{c}$$

$$sin(\pi - \delta) = sin(\delta)$$

$$\delta = \pi - 2\beta \Rightarrow sin(\delta) = sin(2\beta) = 2 sin(\beta) cos(\beta) = 2 \frac{ab}{c^2}$$
$$ \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \beta = \frac{\pi}{2} - \alpha \Rightarrow \alpha - \beta = 2\alpha - \frac{\pi}{2} \Rightarrow \sin(\alpha - \beta) = -\cos(2\alpha) = -\cos(\alpha)^2 + \sin(\alpha)^2 = \frac{a^2-b^2}{c^2} $$

Les formules pour sin (2β) et cos (2α) peuvent se démontrer sans faire appel à la Relation, par exemple en utilisant la formule d'Euler e^{iθ} = cos(θ) + i sin(θ).

$$ \begin{aligned} e^{i2\theta} &= e^{i\theta}e^{i\theta} \\ &= (\cos(\theta) + i \sin(\theta)) (\cos(\theta) + i \sin(\theta)) \\ \cos(2\theta) + i \sin(2\theta) &= \cos(\theta)^2 - \sin(\theta)^2 + 2i \cos(\theta) \sin(\theta) \end{aligned} $$

En identifiant les parties réelles et imaginaires des deux côtés du signe = on obtient les formules souhaitées.

Appliquons la loi des sinus dans le triangle ABD pour trouver BD en fonction des côtés a et c du triangle rectangle

$$ \begin{aligned} \frac{BD}{\sin(\beta)} &= \frac{AB}{\sin(\delta)} = \frac{c}{\sin(\delta)} \\ BD &= c \frac{\sin(\beta)}{\sin(\delta)} = c \frac{1}{2\cos(\beta)} \\ BD &= \frac{c^2}{2a} \end{aligned} $$

Et dans le triangle ACD pour trouver DC en fonction de a et b

$$ \begin{aligned} \frac{DC}{\sin(\alpha-\beta)} &= \frac{CA}{\sin(\pi-\delta)} = \frac{b}{\sin(\delta)} \\ DC &= b \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\sin(\delta)} = b \frac{a^2-b^2}{c^2} \frac{c^2}{2ab} \\ DC &= \frac{a^2-b^2}{2a} \end{aligned} $$

Finalement, en écrivant que $BD + DC = BC = a$ on obtient bien

$$ \begin{aligned} \frac{c^2}{2a} + \frac{a^2-b^2}{2a} &= a \\ c^2 + a^2 - b^2 &= 2a^2 \\ c^2 &= a^2 + b^2 \end{aligned} \qquad (6) $$

Remarque : Quand $\alpha = \beta$ (triangle rectangle isocèle, donc $a = b$), on ne peut pas écrire $\frac{DC}{\sin(\alpha-\beta)}$ mais l'on a directement $DC = 0$ et la formule pour BD reste valide.

D'où, à nouveau

$$ \begin{aligned} \frac{c^2}{2a} &= a + 0 \\ c^2 &= 2a^2 \\ c^2 &= a^2 + b^2 \end{aligned} $$

## Loi des sinus ⇒ la Relation — Preuve 2

Considérons d'abord le cas particulier d'un triangle ADB isocèle rectangle en D (voir la figure 3 pour les notations).

Pour l'angle $\alpha = \angle DAB$ on a $\sin(\alpha) = \frac{BD}{AB}$ et $\cos(\alpha) = \frac{AD}{AB}$. Comme $BD = AD$ on en déduit $\sin(\alpha) = \cos(\alpha)$.
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>FIGURE 3 – Un triangle rectangle isocèle.</figcaption></figure>

De plus

$$2\alpha = \frac{\pi}{2} \implies \sin(2\alpha) = 1 \implies 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 1 \implies 2\sin(\alpha)^2 = 1 \implies \sin(\alpha)^2 = \frac{1}{2} \text{ et donc aussi } \cos(\alpha)^2 = \frac{1}{2}.$$

$$\frac{AB}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{AD}{\sin(\alpha)} \implies AB^2 = 2AD^2 \implies AB^2 = AD^2 + BD^2$$

Ainsi, dans ce cas, la Relation découle bien de la loi des sinus.

Maintenant, sur le cercle trigonométrique, faisons « glisser » le sommet D vers un point C pour former un triangle rectangle quelconque et montrons que la Relation tient toujours. En fait, une simple astuce de calcul met en évidence une quantité x telle que $AC^2 = AD^2 - x$ et $BC^2 = BD^2 + x$.

Détaillons, en utilisant les projections orthogonales O et H de D et C sur AB (voir la figure 4). Notons que O est le milieu de AB.

Alors $x = cHO$.

En effet

$$HO = AO - AH = \frac{c}{2} - b \cos(\frac{\pi}{2} - \delta) = \frac{c}{2} - b \sin(\delta) = \frac{c}{2} - b \frac{b}{c}$$

D'où la « tautologie »

$$AC^2 = b^2 = \frac{c^2}{2} - c(\frac{c}{2} - b\frac{b}{c})$$

$$\text{soit } b^2 = \frac{c^2}{2} - cHO$$

Mais aussi

$$HO = OH = BH - BO = a \cos(\delta) - \frac{c}{2} = a \frac{a}{c} - \frac{c}{2}$$

et, donc, on peut écrire

$$BC^2 = a^2 = \frac{c^2}{2} + c(a\frac{a}{c} - \frac{c}{2})$$

$$\text{soit } a^2 = \frac{c^2}{2} + cHO$$

ce qui implique bien finalement la Relation

$$AC^2 + BC^2 = c^2 = AB^2 \qquad (7)$$
<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>FIGURE 4 – Le sommet de l’angle droit D est déplacé vers C sur le cercle trigonométrique. Alors $AD^2$ est diminué de x et devient $AC^2$ pendant que $BD^2$ est augmenté de x et devient $BC^2$. De ce fait la Relation continue à tenir.</figcaption></figure>

Loi des sinus ⇒ la Relation — Preuve 3

Ici encore on utilise le fait que la loi des sinus implique la Relation pour un triangle rectangle isocèle. Plus précisément, en se référant à la figure 5, elle prouve que $AD = b\sqrt{2}$ et $\sin(\gamma) = \cos(\gamma) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

On a alors, $D'$ étant la projection orthogonale de D sur AB
$$AD' = AD \cos(\alpha - \gamma) = b\sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos(\alpha) + \sin(\alpha)) = \frac{b}{c}(a+b)$$

De même

$$D'B = BD \cos(\beta) = (a-b) \frac{a}{c}$$

D'où

$$ 
\begin{aligned}
AD' + D'B &= AB = c \\
\frac{b}{c}(a+b) + (a-b)\frac{a}{c} &= c \\
a^2 + b^2 &= c^2
\end{aligned} 
\qquad (8) 
$$
<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>FIGURE 5 – En construisant un triangle isocèle rectangle dans le triangle rectangle initial quelques manipulations algébriques simples prouvent la Relation pour ce dernier.</figcaption></figure>

# 4 Conclusions

- Il est possible de déduire le théorème dit « de Pythagore » à partir de la loi des sinus et de formules trigonométriques n'impliquant pas de circularité du raisonnement.

- Illustration de la fameuse citation attribuée à Mark Twain (mais aussi à Marcel Pagnol et bien d'autres) : « Ils ne savaient pas que c'était impossible alors ils l'ont fait ».

- Plus de 2000 ans après Euclide (loi des cosinus), plus de 1000 ans après Abu Nasr al-Mansur ibn Ali ibn Iraq (loi des sinus), le triangle dit péjorativement « quelconque » n'a sans doute pas livré tous ses secrets.

- Au moins dans le domaine mathématique les affirmations péremptoires des IAs sont à considérer avec la plus grand prudence, voire avec suspicion. Mais ça, on le savait déjà.

# Annexe

## Une réponse typique d'une IA (DeepSeek 2025), 19 juillet

### Avec Commentaires ajoutés.

Il n'existe pas de références publiées spécifiques qui démontrent formellement l'impossibilité de déduire le théorème de Pythagore à partir de la loi des sinus, car cette question relève davantage d'une analyse logique et structurelle des deux théorèmes. Cependant, je peux expliquer pourquoi une telle déduction est impossible et citer des travaux connexes sur les limites de la trigonométrie dans la preuve du théorème de Pythagore.

Pourquoi la loi des sinus ne permet pas de déduire le théorème de Pythagore ?
1. Indépendance logique :

- Le théorème de Pythagore (dans un triangle rectangle, $a^2 + b^2 = c^2$) est une propriété métrique liée aux longueurs des côtés et à l'orthogonalité.

- La loi des sinus ($\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$) est une relation trigonométrique qui relie les angles aux côtés, mais elle ne contient pas d'information intrinsèque sur l'angle droit ou les carrés des longueurs.

*Commentaire :* *En réalité la loi des sinus contient une information métrique, puisque* $2R = c$.

2. Circularité :

Certaines preuves trigonométriques du théorème de Pythagore (comme celle utilisant l'identité $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$) reposent déjà sur le théorème de Pythagore implicite dans la définition des fonctions trigonométriques (via le cercle unité). La loi des sinus, elle, est dérivée à partir de propriétés géométriques plus générales et ne permet pas de retrouver la relation quadratique spécifique à Pythagore.

*Commentaire :* *Ironiquement, quand la question posée est explicitement « Donner une preuve de la déduction du théorème de Pythagore à partir de la loi des sinus », l'IA fournit précisément une telle fausse preuve circulaire !*

3. Généralité vs spécificité :

La loi des sinus s'applique à tous les triangles (pas seulement rectangles), alors que le théorème de Pythagore est spécifique aux triangles rectangles. Une déduction directe nécessiterait une restriction non fournie par la loi des sinus.

*Commentaire :* *Verbiage incohérent. Rien n'empêche, au moins en principe, de déduire une loi particulière au triangle rectangle d'une loi générale valable pour tous les triangles.*

*Références connexes :*

- Euclid's Elements, Book I, Proposition 47 : La preuve originale de Pythagore repose sur des constructions géométriques, pas sur la trigonométrie.

- Barrett O'Neill (2006), *Elementary Differential Geometry*, discute les limites des outils trigonométriques pour déduire des propriétés métriques pures.

- Richter (2015), *On the Independence of the Pythagorean Theorem*, souligne que certaines lois trigonométriques ne peuvent pas remplacer une preuve géométrique directe.

*Commentaire :* *Les deux dernières références font peut-être partie de celles qui ont incité nombre de chercheurs et d'enseignants à croire à l'impossibilité de l'implication étudiée.*

Conclusion :

Aucun travail ne prouve explicitement cette impossibilité car elle découle de l'analyse des axiomes requis. Le théorème de Pythagore repose sur la notion d'aire ou de produit scalaire, absente de la loi des sinus. Pour une discussion plus approfondie, consulter des textes sur les fondements de la géométrie (comme ceux de Hilbert ou Hartshorne).

Si vous cherchez une preuve formelle de cette indépendance logique, une approche par la théorie des modèles en géométrie différentielle pourrait être explorée, mais cela dépasse le cadre des références classiques.
*Commentaire : Insidieux argument d'autorité. On pourrait le reformuler par*
« Des travaux de haut niveau impliquent cette impossibilité, mais peut-être sont-
ils trop difficiles pour vous »

Références

DeepSeek (2025). URL : https://chat.deepseek.com (visité le 19/07/2025).

JACKSON, Ne'Kiya et Calcea JOHNSON (20 oct. 2024). “Five or Ten New Proofs of the Pythagorean Theorem”. In : *The American Mathematical Monthly*
131.9. Publisher : Taylor & Francis _eprint : https://doi.org/10.1080/00029890.2024.2370240,
p. 739-752. ISSN : 0002-9890. DOI : 10.1080/00029890.2024.2370240.
URL : https://doi.org/10.1080/00029890.2024.2370240 (visité le
30/12/2024).