probablement obtenues à l'issue de l'élaboration en cours de méthodes mixant des modèles
analytiques approchés et des évaluations numériques de solutions exactes.

5.2.1. *Prise en compte des ondes de tête*

A ce titre, pour la prise en compte des ondes de tête sur des défauts plans, deux modèles sont en cours d'étude en collaboration avec Sound Mathematics - SMLtd - (dirigé par Larissa FRADKIN):

- une méthode mixte GTD/numérique exacte pour traiter les interférences entre ondes diffractées et ondes de tête intervenant dans les échos de diffraction d'arêtes est en phase de validation [82], [120].

- une modification de l'approximation de Kirchhoff par injection de données issues d'une solution exacte est en cours de développement et vise à modéliser les interférences entre ondes de tête et ondes réfléchies intervenant dans les échos de coin de défauts.

Ces méthodes font l'objet d'un focus important ci-après.

5.2.1.1 Les ondes de tête dans les échos de diffraction

Une méthode mixte GTD/numérique exacte permettant d'améliorer la prédiction GTD près de l'angle critique pour la diffraction par un défaut semi-infini [82], [120] a été proposée en collaboration avec Sound Mathematics.

Le champ en ondes T diffractées par un défaut-semi-infini, tel que prédit par la GTD, présente une discontinuité près de l'angle critique longitudinal due à la présence d'interférences entre les ondes de volume T diffractées et des ondes de tête diffractées (détaillées Figure 4 de [56]). Une collaboration avec Sound Mathematics Ltd (travaux de Mark HARMER et L. FRADKIN) a été mise en œuvre dans le but de corriger les coefficients de diffraction GTD près de l'angle critique.

Ce problème de diffusion d'une onde plane élastique par un défaut-semi-infini a une solution
analytique bien connue exprimée sous forme intégrale [29]. Dans ce problème, les ondes
réfléchies (ou incidentes), diffractées et les ondes de tête peuvent être considérés comme les
contributions respectives à l'intégrale exacte des points (appelés critiques) suivants : pôles
(singularités de l'intégrant), points de phase stationnaire (la dérivée de la phase y est nulle) et
points de branchement [82], [120]. Un point de branchement est un point singulier d'une
fonction analytique complexe multivaluée présente dans l'intégrant, telle que la fonction racine
ou le logarithme complexe. En ce point s'échangent les différentes déterminations de la fonction
multivaluée. Lorsque l'observation de la diffraction (point de phase stationnaire) a lieu à l'angle
critique (point de branchement), deux points critiques coalescent voire trois si l'observation se
fait aussi le long de la direction de réflexion spéculaire (pôle). De nombreux phénomènes dans
les domaines de la physique et des mathématiques sont décrits par des intégrales dont les
intégrants contiennent trois points critiques coalescents. L'évaluation de ces intégrales est le
challenge relevé dans le papier [82]. Aucun modèle asymptotique à haute fréquence n'est
disponible lorsque les zones de transition critiques chevauchent les pénombres c.à.d. quand les
trois points critiques coalescent [121]; mais quand ce n'est pas le cas (2 points coalesçant), les
zones critiques peuvent être décrites par des modèles asymptotiques impliquant les fonctions
de Weber (fonctions paraboliques cylindriques) [3], [121]. Dans certaines situations d'intérêt
(matériau en acier), aucun de ces modèles asymptotiques ne s'avère satisfaisant [27], [28].

Une nouvelle procédure numérique issue de la méthode de Simpson est proposée, et son efficacité est démontrée en revisitant le problème élastodynamique de diffusion par un défaut-semi-infini. Le modèle numérique Simpson consiste à exprimer le champ diffusé exact sous une forme similaire à celui prédit par la GTD, c.à.d. sous la forme d'une onde cylindrique ou conique pondérée par un coefficient de diffraction. Ce coefficient calculé numériquement est
donc directement comparable à celui de la GTD ou de la PTD mais dépend de la distance entre l'arête et le point d'observation. La méthode Simpson est ensuite utilisée au sein d'un schéma semi-numérique rapide et précis, qui permet la description des effets non classiques de diffraction qui ont lieu près de l'angle critique. Ceux-ci comprennent les pics de diffraction en champ lointain du défaut et les figures d'interférence en champ proche.

Le schéma semi-numérique proposé consiste à combiner la méthode numérique Simpson développée avec des solutions approchées du problème de la diffusion par le demi-plan comme la GTD ou la PTD de sorte à étendre les limites de validité de ces dernières autour de l'angle critique. Le schéma semi-numérique repose en effet sur la méthode numérique Simpson autour de l'angle critique et sur la GTD ou la PTD ailleurs tout en assurant que les coefficients de diffraction résultant sont des fonctions continues de l'angle d'observation.

Evaluons le modèle mixte dans les zones critiques ($\theta_T = 57°$ ou $\theta_T = 360-57=303°$ sur la Figure 5.2.a et b) où les ondes de tête interfèrent seulement avec les ondes diffractées (coalescence de deux points critiques : point de branchement et point de phase stationnaire, les pôles des ondes géométriques (incidence $\theta_T = 0°$ ou réflexion $\theta_T = 360°$) se trouvant loin de ces deux points critiques). Aux petites distances $R_T$ du bord diffractant ($a_T = k_T R_T / (2\pi = 10)$), les pics critiques de coefficients de diffusion sont lissés. A de plus grandes distances, de façon surprenante, les pics obtenus avec le modèle numérique se révèlent être les mêmes que ceux des coefficients GTD. Ainsi, en champ très lointain du défaut, la GTD fournit une description précise des ondes volumiques diffractées dans les zones critiques, de sorte que les pics critiques des coefficients GTD sont physiques. Cela résulte du fait que les ondes de tête s'atténuent plus vite avec la distance de propagation que les ondes volumiques diffractées qui sont donc prédominantes en champ lointain et prédites correctement par la GTD. Aux petites distances de l'arête, le lissage des coefficients de diffusion doit être dû à une interference destructive entre les ondes de tête et les ondes diffractées.

<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>Figure 5.2 : Coefficients de diffusion d'un défaut-semi-infini semi-numériques GTD/Simpson (notés Simpson sur graphiques) comparés à ceux GTD, en fonction de l'angle d'observation, dans une configuration à singularité double (incidence 2D : $\theta_T = 0°$ ; (a) $a_T = 10$, (b) $a_T = 500$) et coefficients semi-numériques PTD/Simpson comparés à ceux de la PTD pour une singularité triple (incidence 3D : $\theta_T = 77°$ ; (c) $a_T = 10$, (d) $a_T = 500$).</figcaption></figure>

Etudions maintenant les zones critiques ($\theta_T = 76°$ ou $\theta_T = 360-76=284°$ sur la Figure 5.2 c) et d)) où les ondes de tête interfèrent avec les ondes diffractées et les ondes incidentes ($\theta_T = 77°$) ou réfléchies (coalescence de trois points critiques : point de branchement, point de phase stationnaire et pôle). En présence d'ondes incidentes ou réfléchies, la GTD est invalide et il est plus approprié d'utiliser la PTD et ensuite d'appliquer la méthode numérique Simpson à la PTD. Dans cette configuration de singularité triple (Figure 5.2 c) et d)), les conclusions sont les mêmes que pour la singularité double (Figure 5.2 a) et b)), en remplaçant la GTD par la PTD qui supprime les divergences de la GTD aux pôles.

Le modèle mixte PTD/Simpson proposé peut être utilisé pour simuler les ondes diffractées par l'arête d'un demi-plan quand elles interfèrent avec les ondes de la tête issues de l'arête et même
avec les ondes réfléchies. Une mise en œuvre dans CIVA du modèle mixte PTD/Simpson proposé a été envisagée afin d'améliorer la simulation de la réponse ultrasonores de grandes fissures près de l'angle critique. L'implémentation pour le CND et la validation d'un modèle d'échos fondé sur PTD/Simpson ont démarré pendant la rédaction de ce mémoire lors du stage en 2014 de Yu-Lin HUANG puis sont poursuivis par mes soins. Les premières validations numériques par comparaison avec CIVA/ATHENA ont montré que le modèle PTD/Simpson produit à juste titre un pic à l'angle critique pour les échos de diffraction d'un défaut extrêmement grand (hauteur 150mm), mimant la situation d'un demi-plan infini, inspecté en champ très lointain en ondes T à 5MHz (voir Figure 8 de [56]). En revanche, pour des défauts de hauteurs 5 et 20mm plus représentatives de celles rencontrées en CND, la courbe FEM est lisse et un simple algorithme de lissage de la PTD autour de l'angle critique donne une meilleure prédiction que celle de PTD/Simpson (voir Figure 7 de [56]). Le lissage des résultats FEM est due à l'interférence des ondes de tête multiplement réfléchies aux deux extrémités de la fissure [122]. Ce lissage n'est pas offert par les PTD ou GTD/Simpson, aucune réflexion multiple n'ayant lieu sur les défauts semi-infinis.

Il faut noter que les ondes de tête prédites par PTD/Simpson sont issues forcément d'une interaction avec l'arête d'un défaut semi-infini. Ce modèle avait donc pour vocation d'améliorer la réponse en échos directs de diffraction de bords de défauts. Dans le cas d'échos de coin de défaut (traité en section suivante), des ondes de tête peuvent être générées non seulement aux arêtes de défauts mais surtout sur les surfaces de la pièce ou des défauts : l'intersection de ces surfaces avec les bordures du faisceau incident agit comme une collection de sources secondaires de diffraction en ondes de tête.

### 5.2.1.2 Les ondes de tête dans les échos de coin

Une modélisation de la prise en compte des ondes de tête dans le calcul des échos de coin a été proposée (2.4.3.) durant le Post-Doc de Guillaume HUET. Des validations numériques (avec CIVA/Athena) et expérimentales en ondes T45° ont été effectuées afin de cerner les limites de validité du modèle développé. Pour les pentes en fond de pièce allant de 8° à 14°, l'ajout de la contribution en onde de tête au calcul CIVA améliore la prédiction de l'échodynamique. Pour les pentes 15° à 17°, la prise en compte de l'onde de tête est moins efficace : elle a plus un effet qualitatif que quantitatif. Un des résultats les moins probants est obtenu pour la pente de 15° (cf. Figure 5.3) pour laquelle l'écho de coin mesuré se dissocie en plusieurs échos, même si le maximum d'amplitude d'écho est efficacement prédit.

<figure><img src="image_45.png" /></figure>
<caption>Figure 5.3 : Comparaison des B-scans (a) et échodynamiques (b) expérimentaux et simulés par différents modèles pour un fond de pièce de pente 15°.</caption>

Depuis quelques années, des recherches ont été initiées pour proposer une modélisation plus réaliste des ondes de tête contribuant aux échos de coin de défauts de type plan. Un des enjeux majeurs est de modéliser convenablement les interférences entre les ondes de tête et les ondes réfléchies. La modélisation précédemment proposée s'avère bien adaptée aux configurations de pièce à pente. Pour une pièce à pente 10°, certaines interactions d'ondes de tête intervenant sont décrites en Figure 5.4. Les diffractions d'arête (B) et (D) sont supposées de faible amplitude. Les réflexions en ondes de tête (C) et les doubles réflexions (échos de coin classiques) en onde de volume (Figure 2.9) ne reviennent pas dans l'axe du capteur. Dans cette configuration, on pouvait donc supposer comme fait au sein du modèle précédemment développé que la réflexion (A) de l'onde rasante sur le coin soit la contribution majoritaire.

En fonction de la position de balayage ou la configuration angulaire (angles d'incidence et de la pente du fond), les ondes de tête et les ondes de volume doublement réfléchies peuvent ne plus avoir de contributions dissociables et être couplées. Ce couplage rend la modélisation de ces phénomènes complexe et explique les écarts observés précédemment en configuration en ondes incidentes T45° pour certaines pentes.

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>Figure 5.4 : Différentes interactions d'ondes de tête et d'ondes rasantes avec un défaut débouchant en fond de pièce de pente 10° pour une incidence en ondes T45°.</figcaption></figure>

En configuration T60°, outre la réflexion de l'onde rasante sur la base du défaut (Figure 5.5.a), la réflexion sur le fond de l'onde de tête générée le long de la surface du défaut (Figure 5.5.b) qui ne revenait pas vers le récepteur en configuration T45° (Figure 5.4.G) est bien dirigée le
long de l'axe du capteur en configuration T60° (Figure 5.5.b) et joue un rôle dans l'écho de coin total observé en T60°. Des développements de codes ont été effectués par moi [123] ou dans le cadre du stage de Steve Moses DJAFA TCHUSPA, conduisant à modéliser de manière isolée les deux contributions précédentes (Figure 5.5. a et b). Cette étude a eu le mérite de montrer que la contribution de la réflexion sur le fond de l'onde de tête (Figure 5.5.b) est relativement faible par rapport à la réflexion de l'onde rasante sur la base du défaut (Figure 5.5.a). En effet, en Figure 5.5.b, un rayon incident à l'angle critique sur la face du défaut ne génère pas des rayons rasants sur toute la surface du défaut mais que sur une moindre partie (matérialisée par la flèche verte en Figure 5.5.b) délimitée par le point d'impact du rayon incident et la base du défaut alors qu'en Figure 5.5.a), les rayons générés après réflexion sur la base peuvent se propager jusqu'au sommet du défaut avant réémission en onde de tête.

Néanmoins, tous ces développements supposent que chaque contribution, vue comme un champ de rayons, peut être calculée indépendamment et additionnée. Une telle technique ne peut être utilisée pour les configurations en ondes T60 sur défaut vertical débouchant sur un fond horizontal, en raison des interférences entre les différentes ondes (ondes de volume, ondes de tête - Figure 5.5. a et b -).

<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>Figure 5.5 : Certaines interactions d'ondes de tête et d'ondes rasantes avec un défaut vertical débouchant en fond de pièce horizontal pour une incidence en ondes T57°.</figcaption></figure>

En outre, il faut aussi tenir compte d'une onde de tête supplémentaire diffractée par l'arête du dièdre (formé par une fissure débouchante et un fond de pièce) et identifiée dans un article récent [124]. Dans ce papier, nous étudions le problème complexe de la diffusion d'un faisceau d'ondes transversales (T) haute fréquence à une incidence quasi-critique par un dièdre dont l'arête est située en dehors du faisceau incident principal. Dans la documentation technique en CND, cette situation est généralement décrite comme l'interaction entre un dièdre et une «onde rasante» sur le fond que le faisceau transversal génère près de l'incidence critique. Près de la surface du fond, il a été montré [124] que le champ généré est un triplé d'ondes non-géométriques : une onde latérale longitudinale (L) se propageant le long de la surface, une onde de tête T rayonnée dans le volume à l'angle critique, et une composante ondulatoire longitudinale quelque peu inhabituelle, l'onde de Goodier-Bishop [125] dont l'amplitude croît proportionnellement à la distance à sa direction de propagation rasante. Les ondes de Goodier-Bishop n'avaient jusqu'à présent été mises en évidence que pour des incidences rasantes en onde longitudinales [125], [126] et pas dans le cas d'incidences critiques. Les ondes latérales et de tête ont aussi été déterminées dans le cas d'un faisceau réaliste gaussien incident à l'angle critique sur une surface plane alors qu'elles n'avaient été jusqu'à présent mises en évidence et calculées que pour une onde incidente sphérique [26]–[29].

La diffraction en ondes de volume sur le dièdre de ce triplet d'ondes a aussi été calculée pour la première fois par une procédure dérivant de la GTD standard [124]. Ce triplet d'ondes interagit ensuite avec le coin de la fissure.
<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>Figure 5.6 : Simulations CIVA/ATHENA de l'incidence d'un faisceau transversal d'angle 55° par rapport au fond. Ligne noire épaisse: fissure débouchante et fond horizontal. L'angle du dièdre défaut/fond est de 100°. Instantanés consécutifs des champs incident (a) et diffusé (b, c et d).</figcaption></figure>

Nous présentons les résultats numériques obtenus avec la méthode éléments finis CIVA/ATHENA et décrivons l'interaction complexe d'un faisceau réaliste avec un défaut débouchant au fond. En Figure 5.6, l'angle critique correspondant (dans l'acier) est de 57° par rapport au fond et la configuration (incidence 55°) est équivalente à celle d'une incidence en ondes T45° sur une pente de 10° et un défaut vertical (Figure 5.4). Le faisceau incident impacte le fond suffisamment loin à gauche de la fissure de sorte qu'il génère le triplet d'ondes critiques, qui se propage le long du fond et atteint ensuite le coin de la fissure. En Figure 5.6, les directions de propagation correspondantes des ondes T diffusées sont matérialisées par des segments issus de l'arête du dièdre, segments qui constituent aussi les frontières d'ombre de ces ondes; les directions des fronts des ondes de tête sont aussi indiqués. La plupart des ondes diffusées sont identifiées grâce à la Figure 5.7 (une identification plus précise des taches observées qui résultent généralement d'interférences entre les différentes ondes est donnée dans [124]): T₀ est due à la réflexion sur le défaut de la composante Goodier-Bishop du triplet incident, T₁ et T₂ sont les ondes T doublement réfléchies sur fond et défaut; H₁ et H₂ sont les ondes de tête des triplets rétrodiffusés et transmis par le dièdre.

En effet, quand une onde rasante (le triplet d'ondes de tête plus exactement) se propageant sur une face d'un dièdre atteint l'arête de ce dernier, deux triplets d'ondes de tête et donc deux ondes «rasantes» sont diffractés sur chaque face du coin. La première est l'onde rasante se propageant sur le fond dans la direction opposée à celle de l'onde rasante incidente et elle est accompagnée de l'onde de tête H₂ qui est à l'origine de la contribution de la Figure 5.4.A, modélisée par les travaux de G. HUET (2.4.3.). Le front H₂ est donc localisé entre la face horizontale du dièdre et sa frontière d'ombre, la direction critique faisant un angle de 57° avec l'horizontale (Figure 5.7.a et Figure 5.6.c). La seconde onde rasante est celle se propageant sur la seconde face du dièdre (la fissure) qui crée une autre onde de tête H₁ (Figure 5.7.a). L'onde H₁ paraît moins intense que H₂ en Figure 5.6.c car ces deux ondes se propagent respectivement sur le défaut et sur le fond et car le défaut (10mm) est plus petit que la partie insonifiée du fond.
<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>Figure 5.7 : a) Une représentation schématique des ondes diffusées. Arc continu et arc en pointillés: les fronts d'ondes de volume diffractées respectivement L et T; lignes pointillées et tiret-point : les rayons critiques et les fronts des ondes de tête H₁ et H₂; b, c et d) chemins des ondes T réfléchies.</figcaption></figure>

Cette onde de tête H₁ doit être prise en considération en modélisation dans une configuration quelconque de dièdre et comme indiqué dans [124], les deux ondes de tête H₁ et H₂ interfèrent, le long de la bissectrice du dièdre, entre elles et avec les ondes volumiques T (avec les ondes T diffractées partout et aussi dans certaines régions avec les ondes doublement réfléchies - formant l'écho de coin classique -).

En conclusion, notamment pour les configurations en ondes T60° défaut vertical / fond horizontal (Figure 5.5), il y a des interférences entre un grand nombre d'ondes (ondes de volume, ondes de tête H₁ et H₂ et leurs réflexions sur le fond ou le défaut (comme la réflexion sur le fond de l'onde de tête générée le long de la surface du défaut en Figure 5.5.b)).

Il a donc été montré qu'un ensemble d'ondes rasantes et d'ondes de tête devaient être prises en compte dans des configurations de contrôle proche d'un angle critique. Tous les modèles de la plate-forme de simulation Civa évoqués ci-dessus ne modélisent pas correctement tous ces phénomènes ni leurs interférences. Un modèle susceptible de le faire est actuellement à l'étude dans le cadre de la collaboration avec SMLtd. Ce modèle appelé «Kirchhoff Alternatif» propose une solution du champ diffusé par un défaut sous la forme d'une intégrale sur sa surface ; cette intégrale diffère de celle de Kirchhoff essentiellement par la fonction de Green qu'elle contient. Le modèle « alternatif » consiste à modifier l'intégrale de Kirchhoff de sorte à remplacer la fonction de Green dans un milieu infini par la solution au problème de Lamb (point source sur une interface infinie) : cela est motivé par le fait que la fonction de Green initiale ne tient pas compte de la diffusion par la surface diffusante (surface d'intégration de Kirchhoff). Cette modification permettrait de prendre en compte les ondes de surface et de tête générées par interaction avec la surface d'intégration.

En un point $\mathbf{x}(x_1, x_2, x_3)$ défini dans le repère cartésien $\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\}$ avec $\mathbf{e}_3$, la normale au plan de la surface, le champ de déplacement diffusé peut être trouvé en utilisant le modèle Kirchhoff alternatif c.à.d. par la convolution du tenseur de Green-Lamb avec la contrainte incidente $t^{\text{inc}}$ appliquée à la surface (intégrale de Rayleigh):

$$u_k^{\text{diff}}(\mathbf{x}) = - \int_a^b \int_c^d G_{kl}^{\text{Lamb}}(x_1 - x'_1, x_2 - x'_2, x_3) t_l^{\text{inc}}(x'_1, x'_2, 0) dx'_1 dx'_2, \quad k,l = 1,2,3, \quad (35)$$
où $\mathbf{x}(x'_1, x'_2, 0)$ est un point arbitraire sur la surface finie $\{a \le x_1 \le b; c \le x_2 \le d; x_3 = 0\}$. Chaque composante tensorielle $G_{kl}^{\text{Lamb}}$ représente la k-ième composante du déplacement provoqué par une contrainte unitaire agissant dans la direction $\mathbf{e}_l$. Cette formule est exacte et donne une représentation du principe de Huygens, qui stipule que le déplacement observé est la superposition des déplacements dus à des contraintes ponctuelles élémentaires agissant sur la surface diffusante.

SMLtd propose alors d'utiliser une solution exacte pour la fonction de Green-Lamb. Cette méthode a d'ores et déjà été implémentée en 2D en acoustique et en elastodynamique pour modéliser l'interaction d'un faisceau avec une interface plane libre.

<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>Figure 5.8 : modules des champs T 2D simulés a) par l'approximation de Kirchhoff et b) par le modèle alternatif issus de l'interaction d'un faisceau gaussien T incident à l'angle critique (60°) avec une surface plane libre dans un matériau élastique isotrope.</figcaption></figure>

Des comparaisons avec l'approximation de Kirchhoff (Figure 5.8) montrent alors des différences à l'incidence critique entre les deux modèles et une prédiction uniquement par le modèle alternatif d'une « translation » du faisceau le long de l'interface caractéristique de la présence d'ondes rasantes et de tête.

Pour traiter le cas 3D, l'emploi d'un modèle numérique est envisagé pour calculer l'intégrale représentant la solution 3D de Green-Lamb dans le domaine de Fourier spatial. Le modèle alternatif présentera l'avantage de pouvoir être corrigé de la même manière que le modèle Kirchhoff (par le biais de la PTD) afin de modéliser quantitativement avec précision les échos de diffraction d'arêtes de défaut.

Une modification de l'approximation de Kirchhoff par injection de données issue d'une solution exacte est donc en cours de développement pour la prise en compte des ondes de tête sur des défauts plans.

Les travaux récents sur les ondes de tête qui donnent lieu à trois articles de revue [56], [82], [124] vont donc se poursuivre.

### 5.2.2. Modèles rayons de simulation d'inspections

#### 5.2.2.1 UTD élastodynamique

Une première perspective en termes de modèles rayons est d'étendre les possibilités d'application de l'UTD, très pratique pour le calcul d'échos de grands diffuseurs (échos de géométrie) en milieu liquide ou solide. L'UTD est une méthode purement rayons car mixant deux théories des rayons : l'Acoustique Géométrique pour la réflexion et une GTD corrigée pour la diffraction. Pour prendre en compte en diffraction l'extension finie des contours de
défauts, les modèles incrémentaux peuvent aussi être mis en œuvre sous forme de rayons issus de sources sphériques. La fin de thèse d'Audrey KAMTA DJAKOU et les travaux suivants essaieront de développer une solution UTD en milieu élastique (voir 3.2.2.2) pour un dièdre mou voire un dièdre impédant. L'objectif à terme serait de disposer d'une méthode GTD (et de corrections uniformes) valable pour tous les angles de dièdre et pour les configurations 3D.

### 5.2.2.2 Ondes de tête sur surface irrégulière

Les travaux menés par A. FERRAND (sections 2.4.2. et 3.3.2.) concernant les ondes de tête sur surfaces irrégulières en TOFD ouvrent de nombreuses perspectives :

- Les validations expérimentales et numériques du modèle rayon d'amplitude doivent se poursuivre pour mieux en cerner les limitations.

- Des validations expérimentales de l'onde de tête sur surface plane menées par l'équipe de validation du DISC [21] se sont avérées moins efficaces pour des capteurs au contact qu'en mode immersion. Deux hypothèses non prises en comptes dans la modélisation existante sont émises pour expliquer ces écarts : 1) la présence au-dessus de l'interface d'un second milieu, l'air, entre les deux sabots en plexiglas ; 2) l'existence d'une lame de couplant fluide entre le sabot et la pièce.

Le stage de Philippe de BRABANDER (ayant lieu durant la finalisation de ce manuscrit) initie des travaux sur les deux points précédents (validations sur surfaces irrégulières et écarts observés sur surfaces planes).

- Etendre la modélisation des ondes de tête à des configurations 3D et à d'autres irrégularités de surface (dièdres par emploi de l'UTD), à des interfaces impédantes et aux milieux anisotropes.

- Simuler l'interaction de l'onde de tête avec des défauts situés dans l'ombre de la pièce.

- Développer un module complet de tracé de rayons de toute onde existante (fondé sur GIRT) et enrichi de modèles rayons d'amplitude. Par exemple, le modèle GIRT peut être utilisé pour trouver le trajet de toutes les ondes diffusées par une inclusion solide, notamment celles se propageant à l'intérieur du diffuseur.

### 5.2.2.3 Approches tout rayons pour le CND

Pour la modélisation complète d'une inspection, les approches purement « rayons » sont à privilégier à court/moyen terme : alors que les modèles d'échos actuels consistent à approcher le champ incident en un point du défaut par une onde plane moyenne [12], [13], les approches rayons permettront de bien rendre compte de toutes les incidences sur le défaut et des diffractions successives sur des arêtes.

#### 5.2.2.3.1 Limitations de l'approximation onde plane

Illustrons ces limitations à l'aide d'une étude effectuée durant le stage de J. JACQUOT. Dans [13], les réponses à 5MHz en incidence normale en ondes L0° de défauts plans circulaires de différentes tailles simulées avec le modèle Kirchhoff et un modèle de référence, la méthode numérique MOOT [127], sont comparées. La modélisation des faisceaux émission/réception du capteur n'est alors pas prise en compte : cela revient à écrire $q_{em}(x, y, z) = q_{re}(x, y, z) = 1$ dans l'eq. (19) ; la réponse échographique est obtenue par simple convolution d'un signal d'entrée et de l'opérateur $A(M, t)$ qui modélise la diffusion par le défaut. L'écart en dB obtenu entre ces deux modèles sans champ est représenté Figure 5.9.a) en fonction de la largeur de bande du
signal d'entrée et du facteur *ka*. Une seconde comparaison a été effectuée par nos soins dans une configuration pulse-echo L0° mais en modélisant en sus les champs émission/réception du capteur avec CIVA (c.à.d. en utilisant l'eq. (19) telle quelle). Dans cette seconde étude, les réponses des défauts simulées par les modèles d'échos CIVA/Kirchhoff et CIVA/ATHENA sont comparés Figure 5.9.b). De manière analogue à la dénomination « CIVA/ATHENA », le modèle d'échos Kirchhoff avec prise en compte des champs est noté CIVA/Kirchhoff pour signaler que les champs sont modélisés par CIVA et la diffusion par le défaut par Kirchhoff.

En Figure 5.9.a), Kirchhoff (sans champ) s'écarte de MOOT pour les petits défauts ($ka < 2.5$) et, à *ka* fixé, les deux modèles sans champ semblent présenter moins de différences si on augmente la largeur de bande du signal d'entrée. En revanche, Figure 5.9.b, la tendance à *ka* fixé s'inverse, les modèles CIVA/Kirchhoff et CIVA/ATHENA s'écartant beaucoup plus aux grandes largeurs de bande.

L'hypothèse émise pour expliquer ces différences de comportement entre les deux figures (Figure 5.9.a et Figure 5.9.b) est que, contrairement à CIVA/ATHENA, le modèle CIVA/Kirchhoff approche les champs des capteurs sur le défaut par une onde plane. Les Figure 5.9.c),d) et e) montrent que le champ à 20mm du bord (profondeur des défauts) ne ressemble pas à une onde plane. Cette profondeur se situe en fin de zone de champ proche avant le maximum d'amplitude du champ ; le maximum du spectre du champ avoisine alors les 3MHz en raison des interférences entre l'onde quasi-plane issue de la surface du capteur et les deux ondes diffractées par ses extrémités. La fréquence du maximum d'amplitude tend vers 5MHz (fréquence d'émission) lorsque la profondeur augmente. En plaçant les défauts à une profondeur de 80mm, en champ lointain, à grandes largeurs de bande (entre 60 et 100% en Figure 5.9.f), les écarts entre Kirchhoff et ATHENA sont fortement réduits, inférieurs à 0.6dB contre 2dB à une profondeur de 20mm (Figure 5.9.b).

Comme illustré par cette validation numérique ou montré lors de mes travaux de validation [128], [129], la validité des modèles analytiques de CIVA peut être mise en défaut en raison de l'approximation d'onde plane moyenne si les diffuseurs sont situés près des capteurs ou loin de leur axe focal ou derrière des interfaces à géométrie irrégulière susceptibles de diviser le faisceau.
<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>Figure 5.9 : Inspection pulse-echo L0° à 5MHz de défauts plans circulaires de différentes tailles. a) écarts entre les réponses simulées avec Kirchhoff et MOOT, reproduits de [13] et b) écarts entre CIVA/Kirchhoff et CIVA/ATHENA pour $0.5 < ka < 5$ ; champ rayonné par le capteur : c) B-Scan, d) et e) amplitude et spectre du champ le long de l'axe central du capteur en fonction respectivement du temps et de la profondeur ; écarts entre CIVA/Kirchhoff et CIVA/ATHENA pour $0.5 < ka < 9$ : f) à 80mm de profondeur, g) et h) à 20mm du bord avec les modèles CIVA/Kirchhoff standard (g) (cas identique à Figure b) et CIVA/Kirchhoff Multivoies (h).</figcaption></figure>

Une première idée d'amélioration, visant à éliminer l'approximation d'onde plane moyenne, est de proposer une approximation « multi-rayons » dans le cadre du formalisme fondé sur la réciprocity des champs (section 2.3.1.). Cette approximation consiste à décomposer les champs emission(e)/reception(r) au point M du défaut en une somme de rayons e/r, chacun de ces rayons étant vus comme une onde plane locale au niveau du défaut. En définissant $h_e(M,t)$ comme la
RI du rayon d'indice e en émission, $h_r(M,t)$ comme la RI du champ du rayon d'indice r en réception et $A_e^r(M,t)$ l'opérateur de diffusion en onde sphérique du rayon e incident au point M du défaut et diffusé en rayon indicé r, l'écho est donc une double somme (qui remplace l'eq (14) de l'approximation onde plane moyenne) :

$$F_M(t) = 2\pi\rho_1 \frac{\partial}{\partial t} v_{em}(t) * \sum_r \sum_e h_e^r(M,t) * h_r^r(M,t) * A_e^r(M,t). \quad (36)$$

En assimilant localement chaque rayon au point du défaut à une onde plane, l'équation précédente devient, en remplacement de l'eq. (19) de l'approximation onde plane moyenne :

$$F_M(t) = 2\pi\rho_1 \frac{\partial}{\partial t} \sum_r \sum_e A_e^r(M,t) * (v_{em}(t-T_{em}-T_{re})q_e(x,y,z)q_r(x,y,z)). \quad (37)$$

Un développement de codes CIVA, provisoire mais bien utile, dénommé Multivoies et développé par S. CHATILLON, permet d'approcher le résultat de l'approximation « multi-rayons » proposée ci-dessus : le capteur monoélément est discrétisé par l'utilisateur CIVA en éléments plus petits et l'algorithme somme les échos issus des différents couples d'éléments émetteur/récepteur, calculés chacun avec l'approximation d'onde plane moyenne. Les écarts entre CIVA/Kirchhoff Multivoies (460 éléments - en Figure 5.9.h) et CIVA/ATHENA sont fortement réduits pour les grandes largeurs de bande (par rapport à la Figure 5.9.g), adoptant un comportement à ka fixé plus proche de celle de la Figure 5.9.a obtenue sans modélisation du champ.

### 5.2.2.3.2 Axes de développements futurs

Dans l'avenir proche, le développement d'une simulation semi-analytique appropriée pour les échos qui ne peuvent être calculés en utilisant des ondes planes est prévu. Mon collègue V. DORVAL, constatant que l'approximation « multi-rayons » (dont j'avais contribué à la proposition) nécessite le calcul d'un grand nombre de coefficients de diffusion lié à la double somme de l'eq. (37), propose une solution [130] moins couteuse en temps de calcul fondée sur le théorème de réciprocité d'Auld [19]. Je serai amené à participer à la validation de cette approche [131].

### 5.2.3. Une approche alternative : les faisceaux gaussiens

Les modèles semi-analytiques de propagation et de diffusion par des défauts présentent des limitations étudiées et quantifiées par mes travaux de validation [132]. Les approches rayons standard comme la méthode des pinceaux [133] fondés sur l'Elastodynamique Géométrique [132] ne gèrent pas les phénomènes de caustique ni d'ondes de tête [134]. Une thèse, encadrée par N. LEYMARIE, devrait démarrer fin 2015 au DISC sur l'apport des faisceaux gaussiens pour la modélisation des faisceaux ultrasonores après traversées d'interfaces. Les faisceaux gaussiens permettent en effet de modéliser correctement les caustiques [135][136] mais leur paramétrage et définition doivent être améliorés pour rendre compte à la fois des ondes de tête et de la diffraction d'arêtes [136], [137].

## 5.3. LE DEVELOPPEMENT DE MODELES NUMERIQUES

Une des principales limitations des modèles Hautes Fréquences de diffusion par des défauts (approximations de Kirchhoff [55], GTD et leurs corrections uniformes [56], [119]) est de mener à des erreurs de prédiction pour des défauts petits devant la longueur d'onde. Des études de validation en cours [55], [56] visent à cerner les limites de validité de ces modèles notamment en termes de ka mais aussi de directions d'observation. Des calculs que j'ai effectués avec
CIVA/ATHENA montrent par exemple la présence d'ondes de Rayleigh multiplement réfléchies aux deux extrémités d'un défaut plan ainsi que d'ondes de tête (voir Figures 5, 6, 10 et 11 de [56]). La non prise en compte de ces ondes dans la modélisation analytique actuelle de CIVA est un facteur important limitant ses performances pour de petits défauts : plus les défauts sont petits, plus les temps de parcours de ces ondes sont proches de ceux des ondes de volume plus rapides (diffractions directes, échos de coin), causant de multiples interférences.

De par la démultiplication des capacités de calcul (clusters de calcul, architectures parallèles), les méthodes numériques vont jouer un rôle croissant à l'avenir. Pour améliorer la modélisation existante des petits défauts, une thèse (Laure PESUDO, encadrée par A. IMPERIALE) a démarré au DISC, consacrée à l'emploi comme modèle de diffusion de la méthode numérique BEM (Boundary Element Method) [138] qui consiste à résoudre des équations intégrales en maillant la surface du défaut. En parallèle, un code éléments finis [139], [140] CND de référence est en cours de développement au DISC. Néanmoins, beaucoup reste à faire pour améliorer ces méthodes numériques : leur application est pour l'instant difficile dans le cas de configurations d'inspection 3D (les fréquences élevées utilisées en CND exigeant le choix de très petits éléments et donc un temps de calcul élevé), ou de pièces et matériaux complexes. Le développement de méthodes hybrides [134] reste également un axe prioritaire : des couplages entre approches (généralement méthodes numériques pour l'interaction avec des défauts et méthodes analytiques rayon pour le calcul des champ émission/réception sur les surfaces des boites de calcul numérique entourant les défauts) seront souvent privilégiés pour diminuer les temps de calcul. Dans le cadre de la thèse dédiée à BEM, un couplage innovant dit « fort » (c.à.d. avec le moins d'approximation possible) fera la connexion [141] à la sortie des boites numériques entre les champs diffusés calculés par le modèle numérique BEM et ceux injectés en entrée du modèle rayon asymptotique. Cette stratégie de réinjection du champ numérique dans le modèle rayon permettra de traiter efficacement les interactions multiples entre défauts et/ou surfaces de la pièce.

J'utiliserai à l'avenir ces modèles numériques dans mes taches de validation, notamment pour mieux cerner encore les limites des modèles analytiques.

## 5.4. DES AVANCEES EN MODELISATION/CARACTERISATION DE MATERIAUX COMPLEXES OU ENDOMMAGES

La modélisation de l'influence de la microstructure des matériaux sur les ultrasons (bruit de structure, atténuation) doit progresser avec la prise en compte des diffusions multiples et être étendue à des matériaux plus complexes (multiphasiques, à forte densité de diffuseurs...). Les modèles de diffusion multiple devront répondre aux besoins applicatifs que sont l'inspection de matériaux fibreux (réseaux périodiques de diffuseurs et distributions aléatoires), la caractérisation de l'endommagement (distribution de microfissures ou inclusions).

De plus, les méthodes ultrasonores classiques sont peu sensibles pour détecter des microfissures (comme dans les bétons), des interfaces imparfaites (décollements dans les matériaux composites, défauts d'adhésion dans les collages ou de soudage par diffusion) ou des fissures partiellement fermées (fissures à un stade précoce d'endommagement). L'interaction d'ondes de forte amplitude avec ce type de défauts fait apparaître des effets non-linéaires comme des harmoniques supérieures [142]–[144]. La simulation des techniques d'inspection par ultrasons non-linéaires constitue un enjeu d'avenir majeur. La simulation numérique de défauts par éléments finis est généralement privilégiée [142]–[144]; afin de pouvoir traiter des défauts d'adhésion, elle devra être enrichie par l'emploi de lois comportementales de contact (couplage contact/glissement/adhésion [145]). Parmi les techniques de CND non linéaires, la méthode de
mixage d'ondes non-colinéaire [146]–[150] récemment mise en œuvre m'apparait
particulièrement prometteuse ; elle utilise généralement l'interaction entre deux ondes
transverses sous incidence oblique. L'interaction non-colinéaire de ces deux ondes sur une zone
endommagée entraîne la génération d'une troisième onde, longitudinale, dont la fréquence est
la somme des fréquences des ondes incidentes. Cette technique est attrayante car les effets non
linéaires attribuables à la fissure peuvent être étudiés de manière isolée [146] : elle est moins
sensible, que la technique consistant à mesurer les harmoniques supérieurs, à d'autres non
linéarités imputables au système électronique ou au couplage entre le capteur et l'échantillon.
Le développement d'un modèle analytique pour une fissure fermée permettrait de paramétrer
et d'optimiser cette technique [144] (choix des modes d'ondes et angles incidents). Je
souhaiterais travailler à l'avenir sur la modélisation de non-linéarités pour le CND.
Un autre thème d'intérêt en CND est de modéliser l'effet d'écoulements de fluides (au sein de
structures solides) sur la propagation des ultrasons. Par exemple, pour la télémétrie en sodium
liquide, le LMA étudie actuellement tout comme le CEA la possibilité de prendre en compte
l'influence du flux de vitesse du sodium éjecté en sortie de cœur du réacteur sur le champ
ultrasonore se propageant en sodium et ce par le biais d'un modèle numérique [151].

5.5. LE DEVELOPPEMENT DE METHODES INVERSE POUR LE
DIAGNOSTIC AUTOMATIQUE

Les méthodes inverses, dont le but est de reconstruire à partir d'une échographie les caractéristiques géométriques/acoustiques d'un défaut structurel ou de la pièce inspectée, se fondent sur l'inversion des modèles directs de calculs d'échos. Elles sont encore très peu utilisées dans le domaine du contrôle industriel. En vue de concevoir par inversion un outil de diagnostic automatique, des verrous seront à lever : l'application de méta-modèles construits à partir de bases de données simulées pourrait réduire les temps de calcul souvent rédhibitoires des méthodes inverses ; les limitations des modèles directs ultrasonores peuvent aussi fournir après inversion des informations erronées sur le défaut à caractériser. En attendant l'inversion, la communauté s'est surtout concentrée sur le développement d'algorithmes de reconstruction de données acquises par la technique Full Matrix Capture [152] consistant à collecter indépendamment les signaux correspondants à toutes les paires d'émetteurs récepteurs possibles d'un capteur multi-éléments. L'application à cette technique d'un algorithme de focalisation synthétique comme la Total Focusing Method [152] offre des possibilités d'imagerie de défauts. Des recherches visent à améliorer les méthodes d'imagerie actuelles afin d'éliminer les fausses indications [153], [154], de réduire le bruit de structure observé [155], [154] et de viser une imagerie temps réelle [156], [154] intégrée à des dispositifs portables d'expertise en CND.

Un contrat de collaboration avec SMLtd dont je suis le responsable au CEA vient actuellement d'être monté : il vise à fournir à SMLtd des données expérimentales et simulées obtenues au laboratoire d'instrumentation du DISC par Sébastien ROBERT afin de tester et améliorer un algorithme [157] développé par SMLtd d'imagerie de défauts (par reconstruction) de type Total Focusing Method.
## 5.6. LA TRANSPOSITION DE LA SIMULATION ULTRASONORE A DES DOMAINES CONNEXES

L'acoustique sous-marine (détection et caractérisation de cibles) et la sismologie sont des domaines où les outils de simulation ultrasonores pour le CND peuvent être utilisés ou étendus. Certaines des thématiques abordées en CND (tracé de rayons, faisceaux gaussiens, ondes de tête) sont aussi primordiales en sismologie.

Un axe de développement majeur de la simulation CIVA pourrait surtout être à l'avenir sa transposition dans le domaine médical. Le DISC a initié des premières études de modélisation ultrasonore pour des applications de thérapie et plus particulièrement pour la technique HIFU (thermothérapie des tumeurs au moyen d'ultrasons focalisés) [158]. Des techniques innovantes pour la santé émergent (échographie des dents et implants, imagerie ultrasonore du cerveau...) et ouvrent des perspectives considérables en matière de simulation. Par exemple, la réponse ultrasonore d'implants dentaires est sensible à la quantité de tissu osseux repoussant autour de l'implant, laquelle évolue au cours de la phase de cicatrisation [159]. Autre exemple, une méthode d'inspection envisagée des os trabéculaires (constitués de trabécules en forme de plaque ou de poutres) pourrait consister à mesurer par transmission ultrasonore la dispersion de vitesse et d'atténuation du son : la simulation de ces quantités pourrait se faire par le biais de modèles de diffusion multiple [160] applicables aussi bien à la diffusion par les trabécules qu'au CND de matériaux composites fibreux [161]. Je suis intéressé pour engager des travaux en simulation sur de telles techniques médicales.
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