where $y \in E$, and $g$ is a Lebesgue-integrable function. Thus it is also the general form of linear functionals in $G$. The integration by parts gives

$$F(y) = (D) \int_a^b y'(t) [\hat{g}(b) - \hat{g}(t)] dt,$$

where $\hat{g}(t) = \int_a^t g(t) dt$ is an absolutely continuous function.

Let $(D)$ be the space of Denjoy-integrable functions in $\langle a, b \rangle$ with the usual definition of addition. A sequence $\{x_n\}$ of elements of $(D)$ will be called convergent to $x$ if the sequence $\{(D) \int_a^t x_n(t) dt\}$ is uniformly bounded and asymptotically convergent to $x$. Then we obtain the following theorem:

The general form of linear functionals in $(D)$ is

$$F(x) = (D) \int_a^b x(t) h(t) dt,$$

where $h(t)$ is any absolutely continuous function vanishing at $b$.

## SUR LES PRESQUE-PÉRIODES DES FONCTIONS PÉRIODIQUES

PAR

S. HARTMAN, H. STEINHAUS ET H. FAST (WROCLAW)

**I. Le problème** (S. Hartman). Désignons par $\delta_f(\varepsilon)$ le $\varepsilon$-module de continuité uniforme de la fonction $f(x)$ uniformément continue, c'est-à-dire la borne supérieure des nombres $\delta > 0$ pour lesquels

$$|x' - x''| < \delta \quad \text{entraîne} \quad |f(x') - f(x'')| < \varepsilon.$$

Appelons $\varepsilon$-presque-période d'une fonction continue $f(x)$ — et désignons par $\tau_f(\varepsilon)$ — tout nombre pour lequel on a

$$|f[x + \tau_f(\varepsilon)] - f(x)| < \varepsilon$$

quel que soit $x$.

Les fonctions $f(x)$ sont supposées définies pour tout $x$ réel.

La notion de presque-période est étudiée d'habitude pour les fonctions presque périodiques, mais elle se montre utile dans l'étude des fonctions périodiques, où elle permet, par exemple, de simplifier les démonstrations de certains théorèmes. Tel est, entre autres, le théorème suivant de Gottschalk <fnref n="1" />):

Quels que soient les nombres réels $t, a_1, ..., a_k$ non nuls et $\delta$ positif, il existe un ensemble relativement dense <fnref n="2" />) $N$ de nombres entiers tel que $n \in N$ entraîne l'existence des entiers $m_1, ..., m_k$ pour lesquels on a

$$(1) \qquad |nt - m_i a_i| < \delta \qquad (i=1, ..., k).$$

Faisons d'abord deux remarques qui trouveront leur application aussi dans la partie III de ce travail.

Soit $f(x)$ une fonction non-constante, périodique et continue. Désignons par $\omega_f$ sa période minimum, c'est-à-dire la plus petite période positive.

<footnote n="1">¹) W. H. Gottschalk, *Almost-periodicity*, *Equi-continuity and Total-boundedness*, Bulletin of the American Mathematical Society 52 (1946), p. 635-636.</footnote>

<footnote n="2">²) c'est-à-dire que l'ensemble des différences entre ses éléments voisins est borné.</footnote>
Alors:

1º Si a est un $τ_f(ε)$, il en est de même de $(-a)$ et de $b=a+nω_f$ où n est un entier arbitraire.

On peut donc se borner à considérer les $ε$-presque-périodes
qui appartiennent au segment $\langle 0, \omega_f/2 \rangle$.

2º Pour tout $δ>0$, il existe un $ε_0>0$ tel qu'à tout $τ_f(ε)$ où $ε < ε_0$ correspond un entier $n$ pour lequel on a $|τ_f(ε) - nω_f| < δ$.

C'est une conséquence immédiate de 1º et de la continuité
de $f(x)$, qui implique que, pour toute suite $\{τ_f(ε_k)\}$ où $0 \le \tau_f(ε_k) \le \omega_f/2$ et $ε_k \to 0$, on a $\lim_{k \to \infty} τ_f(ε_k) = τ_f(0) = 0$.

Ceci établi, on peut démontrer le théorème de Gottschalk comme il suit.

Considérons les fonctions

$$
(2) \quad f_0(x) = \sin \frac{2\pi}{t} x \quad \text{et} \quad f_i(x) = \sin \frac{2\pi}{a_i} x \quad (i=1, \dots, k).
$$

Il existe en vertu de 2º un ε>0 suffisamment petit pour qu'à
tout système de nombres τ₀(ε), ..., τₖ(ε) vienne correspondre un
système d'entiers n, m₁, ..., mₖ tels que l'on ait simultanément

$$
(3) \quad |\tau_{f_0}(\varepsilon) - nt| < \delta/2 \quad \text{et} \quad |\tau_{f_i}(\varepsilon) - m_i a_i| < \delta/2 \quad (i = 1, \dots, k).
$$

Fixons un tel $\epsilon$. On sait <fnref n="3" /> que, pour tout $\epsilon > 0$, les nombres $\tau(\epsilon)$ qui sont des $\epsilon$-presque-périodes des fonctions (3) simultanément constituent un ensemble relativement dense. En vertu de (3), on a pour $\epsilon$ fixé

$$
(4) \quad |\tau(\epsilon) - nt| < \delta/2 \quad \text{et} \quad |\tau(\epsilon) - m_i a_i| < \delta/2 \quad (i = 1, \dots, k),
$$
ce qui entraîne (1).

Soit N l'ensemble de tous les n satisfaisant à (4), donc à (1).
L'ensemble des τ(ε) étant relativement dense, N l'est également,
ce qui achève la démonstration.

Un autre exemple d'application de la notion de presque-période
d'une fonction périodique est fourni-par le travail de Kaluza jr <fnref n="4" />),
qui s'est servi de cette notion pour établir un théorème sur les
fonctions presque-périodiques quelconques.

Il est évident que toute fonction $f(x)$ continue périodique est uniformément continue sur toute la droite. Une telle fonction admet des $\epsilon$-presque-périodes pour tout $\epsilon>0$, car tout nombre $n\omega_f$, où $n$ est un entier, est une période de $f(x)$ et en même temps un $\tau_f(\epsilon)$ pour tout $\epsilon>0$.

Cependant, les périodes $n\omega_f$ de $f(x)$ n'épuisent l'ensemble des $\tau_f(\epsilon)$ pour aucun $\epsilon$ donné: en effet, tout nombre $\tau$ satisfaisant à l'inégalité $|\tau - n\omega_f| < \delta_f(\epsilon)$ pour une valeur entière de $n$ est un $\tau_f(\epsilon)$. D'autre part, on conclut de la définition de $\delta_f(\epsilon)$ que tout intervalle ouvert $(n\omega_f - \eta, n\omega_f + \eta)$, où $\eta > \delta_f(\epsilon)$ et où $n$ est un entier, contient des nombres qui ne sont pas des $\tau_f(\epsilon)$. On est ainsi amené à introduire les définitions suivantes pour les fonctions continues périodiques $f(x)$.

Soit $\epsilon > 0$. Une $\epsilon$-presque-période $\tau_f(\epsilon)$ s'appellera *non-singulière* s'il existe un entier $n$ tel que

$$
n\omega_f - \delta_f(\epsilon) < \tau_f(\epsilon) < n\omega_f + \delta_f(\epsilon);
$$

sinon, elle sera dite $\epsilon$-presque-période singulière de $f(x)$.

Une fonction continue périodique $f(x)$ s'appellera non-singuli-
lière s'il existe un $\epsilon_0>0$ tel que chaque $\tau_f(\epsilon)$ est pour tout
$\epsilon < \epsilon_0$ une $\epsilon$-presque-période non-singulière de cette fonction; si-
non, la fonction s'appellera singulière.

On prouve aisément l'existence des fonctions admettant des
$\epsilon$-presque-périodes singulières pour un $\epsilon > 0$ donné. Telle est par
exemple la fonction

$$
(5) \quad f(x) = \begin{cases} \cos \eta & \text{si } 8(n+1)\pi/2 - \eta < x < 8(n+1)\pi/2 + \eta, \\ \sin x & \text{ailleurs,} \end{cases}
$$

$n$ étant un entier arbitraire et $η$ un nombre fixe quelconque entre
0 et $π/2$. Choisissons un $ε$ entre $1 - \cos η$ et 1. On voit aussi-
tôt que $ω_f = 4π$ et $δ_f(ε) < π/2$. Cependant, le nombre $2π$ est aussi
un $τ_f(ε)$, donc une $ε$-presque-période singulière de la fonction (5).

Néanmoins, la fonction (5) est une fonction périodique non-singulière en posant $\epsilon_0=1-\cos\eta$. Parmi les autres fonctions périodiques non-singulières, citons encore $\sin\lambda x$ (pour $\lambda$ réel arbitraire), où l'on peut admettre même $\epsilon_0=+\infty$.

Le problème se pose donc: y a-t-il des fonctions continues périodiques singulières?

<footnote n="3">³) H. Bohr, *Fastperiodische Funktionen*, Berlin 1932, p. 31-32.</footnote>

<footnote n="4">⁴) T. Kaluza jr, Untersuchung fastperiodischer Funktionen mittels säquidistanten Zahlenmengen, Journal für reine und angewandte Mathematik 181 (1939), p. 153-176, en particulier p. 157.</footnote>
## II. Un exemple (H. Steinhaus). La réponse au problème qui précède est affirmative.

Divisons l'intervalle semi-ouvert $\langle 0, 1 \rangle$ en une suite d'intervalle partiels sans points communs

$$ (6) \qquad I'_0, I_1, I'_1, I_2, I'_2, \dots $$

dont les $I'_k$ sont fermés et les $I_k$ — ouverts ; il recouvrent $\langle 0, 1 \rangle$ en se succédant sur l'axe des $x$ dans l'ordre indiqué par (6). La longueur de $I'_0$ est $7/11$ ; la longueur de $I_k$ est $2h_k$ et celle de $I'_k$ est la même. ($k=1, 2, \dots$). En désignant la longueur par $|I_k|$, on aura donc

$$ |I'_0| + \sum_{k=1}^{\infty} (|I_k| + |I'_k|) = 7/11 + 4 \sum_{k=1}^{\infty} h_k = 1 $$

pour $h_k$ convenablement choisi. On peut poser par exemple $h_k=1/12^k$; c'est ce que nous allons faire.

Désignons par $a_k$ le milieu de $I_k$; soit

$$ (7) \qquad \varepsilon_k = (3/5)^k. $$

Définissons la fonction $f(x)$ comme suit:

$$ (8) \qquad f(x) = \begin{cases} 0 & \text{pour } x \in I'_k \quad (k=0, 1, \dots), \\ \varepsilon_k \sin[\pi(x - a_k)/h_k] & \text{pour } x \in I_k \quad (k=1, 2, \dots), \end{cases} $$

$$ (9) \qquad f(x) = \begin{cases} 0 & \text{pour } x \in I'_k \quad (k=0, 1, \dots), \\ \varepsilon_k \sin[\pi(x - a_k)/h_k] & \text{pour } x \in I_k \quad (k=1, 2, \dots), \end{cases} $$

$$ (10) \qquad f(x+1) = f(x) \qquad \text{pour tous les } x. $$

(8) et (10) impliquent $f(1)=0$. Comme $\lim_{k \to \infty} \varepsilon_k=0$ d'après (7), on a continuité à gauche pour $x=1$; la continuité à l'intérieur de $\langle 0, 1 \rangle$ est évidente, car $\sin[\pi(x-a_k)/h_k]=0$ pour $x=a_k \pm h_k$.

On a pour $k=1, 2, \dots$ les relations :

$$ (11) \qquad \max_{-\infty < x < +\infty} |f(x+2h_k) - f(x)| = \varepsilon_k, $$

$$ (12) \qquad \max_{-\infty < x < +\infty} |f(x+h_k) - f(x)| \ge 2\varepsilon_k, $$

qui se démontrent par induction comme suit.

Soit d'abord $x=a_1+h_1/2$; on a alors $x+2h_1=a_1+5h_1/2$, de sorte que $f(x)=\varepsilon_1$ d'après (9) et $f(x+2h_1)=0$ d'après (8), car $x+2h_1 \in I'_1$; en conséquence $|f(x+2h_1)-f(x)|=\varepsilon_1$ pour cette valeur de $x$.

Considérons les autres $x$. Si l'un des points $x$ et $x+2h_1$ appartient à $I_1$, l'autre appartient nécessairement à $I'_0$ ou à $I'_1$, et comme la fonction s'annule dans ces intervalles d'après (8), la différence $|f(x+2h_1)-f(x)|$ ne peut pas surpasser le maximum de $|f(x)|$ dans $I_1$, qui est égal à $\varepsilon_1$ d'après (9). Si, par contre, ni $x$, ni $x+2h_1$ n'appartient à $I_1$, on a $|f(x)| \le \varepsilon_2$, car $\varepsilon_2$ est d'après (9) le maximum de la fonction dans $\langle 0, 1 \rangle - I_1$ (puisque tout $\varepsilon_k$ l'est dans $I'_{k-1}+I_k$ et $\varepsilon_2 > \varepsilon_3 > \dots$); en même temps l'un au moins des points $x$ et $x+2h_1$ n'appartient pas à $I_2$, puisque $|I_2| < 2h_1$, de sorte que

$$ |f(x+2h_1) - f(x)| \le \varepsilon_2 + \varepsilon_3 = (3/5)^2 + (3/5)^3 = 72/125 < 3/5 = \varepsilon_1. $$

L'égalité (11) est ainsi établie pour $k=1$, et comme $|f(a_1+h_1/2)-f(a_1-h_1/2)|=2\varepsilon_1$, il en est de même de (12).

Passons à $k=2$. Pour établir (11), on n'a d'abord qu'à répéter le même raisonnement avec la fonction $f(x)$ dont la partie sinusoidale dans $I_1$ est imaginée supprimée en posant $f(x)=0$ pour $x \in I_1$ dans la définition; mais pour compléter la démonstration, il restera à examiner l'expression $|f(x+2h_2)-f(x)|$ pour la fonction primitive dans le cas où soit l'un des points $x$
et $x+2h_2$, soit les deux appartiennent à $l_1$; or, le maximum de cette expression est atteint pour $x=a_1-h_2$ et $x+2h_2=a_1+h_2$, et il est égal d'après (9) à $2\varepsilon_1 \sin(\pi h_2/h_1)=2\varepsilon_1 \sin(\pi/12)<\varepsilon_1\pi/6<0,56=\varepsilon_2$, ce qui achève la démonstration de (11) pour $k=2$. Comme $|f(a_2+h_2/2)-f(a_2-h_2/2)|=2\varepsilon_2$, il en est de même de (12).

Pour passer à k naturel quelconque, remarquons que (12) résulte immédiatement de la définition de $f(x)$ et que (11) n'exige, pour tout $k=2, 3, ..., $, que l'étude de $f(x)$ dans $I_k$ et $I_{k-1}$; en effet, les maxima dans $I_{k+1}, k+2, ...$ sont plus petits que dans $I_k$ et les sinusoïdes dans $I_{k-2}, ..., I_1$ sont plus applaties que dans $I_{k-1}$, donc sans influence sur le maximum (11). Ainsi, la démonstration pour $k=1$ et $k=2$ contient tout ce qu'il faut pour établir les relations (11) et (12) en toute généralité.

Ceci fait, posons $\varepsilon_k^*=3\varepsilon_k/2$. Il résulte de (11) que $2h_k$ est un $\tau_f(\varepsilon_k^*)$, et de (12) que $\delta_f(\varepsilon_k^*)<h_k$; ainsi, $2h_k$ est une $\varepsilon_k^*$-presque-période singulière de $f(x)$. Enfin, comme $\varepsilon_k^* \to 0$, la fonction continue $f(x)$, qui est périodique d'après (10), est bien une fonction périodique singulière au sens de la définition de M. Hartman.

**III. Un théorème (H, Fast).** On peut chercher à établir des simples conditions suffisantes pour qu'une fonction continue périodique $f(x)$ soit non-singulière. Je vais démontrer le théorème suivant:

> Si l'intervalle $\langle 0, \omega_f \rangle$ se décompose en un nombre fini de sous-intervalles dans lesquels la fonction $f(x)$ est monotone, elle est non-singulière.

La démonstration sera basée sur ce lemme:

3° $f(x)$ étant une fonction continue périodique, la fonction $|f[x+\delta_f(\varepsilon)]-f(x)|$, considérée pour un $\varepsilon>0$ fixé arbitrairement, atteint son maximum en un point $x_\varepsilon \in \langle 0, \omega_f \rangle$ et on a

$$ (13) \qquad |f[x_\varepsilon + \delta_f(\varepsilon)] - f(x_\varepsilon)| = \varepsilon. $$

Evidemment, il ne s'agit que d'établir la partie (13) de la thèse. Elle est triviallement vraie avec $\leq$ au lieu de $=$. Reste à exclure $<$. Or, en supposant ce signe admissible, on aurait $|f[x+\delta_f(\varepsilon)]-f(x)|<\varepsilon'$ pour un $\varepsilon'<\varepsilon$ quel que soit $x$, et comme les inégalités

$$ \begin{aligned} & x+\delta_f(\varepsilon)<x'<x+\delta_f(\varepsilon)+\delta_f(\varepsilon-\varepsilon'), \\ & x-\delta_f(\varepsilon)-\delta_f(\varepsilon-\varepsilon')<x'<x-\delta_f(\varepsilon) \end{aligned} $$

entraînent respectivement les inégalités

$$ \begin{aligned} & |f(x') - f[x + \delta_f(\varepsilon)]| < \varepsilon - \varepsilon', \\ & |f(x') - f[x - \delta_f(\varepsilon)]| < \varepsilon - \varepsilon', \end{aligned} $$

tous les $x_1$ et $x_2$ tels que $|x_1 - x_2| < \delta_f(\varepsilon) + \delta_f(\varepsilon - \varepsilon')$ satisferaient à l'inégalité $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$, contrairement à la définition du $\varepsilon$-module de continuité uniforme (voir I, p. 297). Ainsi, 3° se trouve démontré.

Il en résulte immédiatement d'après la définition de $\delta_f(\varepsilon)$ que

4° Pour tout $x'$ situé entre $x_\varepsilon$ et $x_\varepsilon + \delta_f(\varepsilon)$, la valeur $f(x')$ est comprise entre $f(x_\varepsilon)$ et $f[x_\varepsilon + \delta_f(\varepsilon)]$.

Ceci établi, reprenons la démonstration du théorème. Fixons $n$ points

$$ (14) \qquad a_1, a_2, \dots, a_n $$

de manière que la fonction $f(x)$ soit monotone dans les intervalles $\langle 0, a_1 \rangle$, $\langle a_1, a_2 \rangle$, ..., $\langle a_n, \omega_f \rangle$.

Soit $l$ la longueur du plus court de ces intervalles.

En vertu de la remarque 1° (voir I, p. 298), il suffit de considérer les $\varepsilon$-presque-périodes non-négatives ne dépassant pas $\omega_f/2$.

Soit

$$ (15) \qquad T(\varepsilon) = \sup_{0 \le \tau_f(\varepsilon) \le \omega_f/2} \tau_f(\varepsilon), $$

d'où

$$ (16) \qquad \delta_f(\varepsilon) \le T(\varepsilon) \text{ pour tout } \varepsilon. $$

Conformément à la définition des fonctions périodiques non-singulières (voir I, p. 299), il s'agit donc d'établir l'existence d'un $\varepsilon_0>0$ tel que l'on ait

$$ (17) \qquad \delta_f(\varepsilon) \ge T(\varepsilon) \text{ pour tout } \varepsilon < \varepsilon_0. $$

En vertu de la remarque 2° (voir I, p. 298), il existe un $\varepsilon_0$ tel que

$$ (18) \qquad T(\varepsilon) < l/2 \text{ pour tout } \varepsilon < \varepsilon_0. $$

Il suffit de montrer que cet $\varepsilon_0$ satisfait à (17).
En effet, on a d'après (16) et (18) $\delta_f(\varepsilon) < l/2$ pour tout $\varepsilon < \varepsilon_0$, de sorte que, pour de tels $\varepsilon$, il n'y a entre $x_\varepsilon$ et $x_\varepsilon + \delta_f(\varepsilon)$ tout au plus qu'un seul des points 0, (14) et $\omega_f$. Il en résulte en vertu de 4º que $\langle x_\varepsilon, x_\varepsilon + \delta_f(\varepsilon) \rangle$ est contenu dans un intervalle de monotonie de $f(x)$ et cet intervalle de monotonie contient en vertu de (18) l'un au moins des points $x_\varepsilon + T(\varepsilon)$ et $x_\varepsilon + \delta_f(\varepsilon) - T(\varepsilon)$.

En supposant donc, contrairement à (17), que $\delta_f(\varepsilon) < T(\varepsilon)$ pour un $\varepsilon < \varepsilon_0$, on aurait en vertu du lemme 3º, pour tout $p \in (\delta_f(\varepsilon), T(\varepsilon))$, l'une ou l'autre des formules:

$$ (19) \qquad \begin{aligned} |f(x_\varepsilon) - f(x_\varepsilon + p)| &\ge |f(x_\varepsilon) - f[x_\varepsilon + \delta_f(\varepsilon)]| = \varepsilon, \\ |f[x_\varepsilon + \delta_f(\varepsilon)] - f[x_\varepsilon + \delta_f(\varepsilon) - p]| &\ge |f[x_\varepsilon + \delta_f(\varepsilon)] - f(x_\varepsilon)| = \varepsilon. \end{aligned} $$

On en conclut d'après la définition de $\varepsilon$-presque-période que $p$ n'en est pas une. Il en résulte en particulier que $T(\varepsilon)$ n'est pas une $\varepsilon$-presque-période de $f(x)$ (ce qui est d'ailleurs vrai pour tout $\varepsilon > 0$ si la fonction $f(x)$ est continue et périodique), mais aussi que $T(\varepsilon)$ n'est pas un point-limite à droite des $\varepsilon$-presque-périodes de cette fonction, contrairement à (15). On a donc (17), c. q. f. d.

## ÉVALUATION DE LA DIFFÉRENCE ENTRE L'AIRE D'UNE RÉGION PLANE CONVEXE ET LE NOMBRE DES POINTS AUX COORDONNÉES ENTIÈRES COUVERTS PAR ELLE

PAR
M. NOSARZEWSKA (WROCŁAW)

1. En réponse à une question posée par H. Steinhaus, je vais démontrer que l'estimation de l'erreur commise au mesurage de l'aire plane par le nombre des points aux coordonnées entières qu'elle couvre, évaluée par V. Jarník<fnref n="1" />), peut être améliorée pour les régions convexes comme il suit<fnref n="2" />):

I étant une région plane convexe, $a$ — son aire, $l$ — la longueur de sa frontière et $w$ — le nombre des points aux coordonnées entières couverts par $I$, on a

$$ (1) \qquad -(l/2)l + 1 < a - w < l/2l. $$

Je vais montrer aussi que l'estimation (1) ne se laisse pas reserrer davantage (dans le domaine des fonctions linéaires de $l$).

2. Soit $J$ la frontière de la région convexe $I$. On peut représenter les points $p$ de la courbe $J$ paramétriquement:

$$ (2) \qquad p = p(t) \text{ où } 0 \le t \le 1, $$

de façon que $p(t') = p(t'')$ équivaille à $t' = 0$ et $t'' = 1$ (pour $t' < t''$). Faisons correspondre à chaque valeur du paramètre $t$ une demi-droite d'appui au point $p(t)$ — l'une quelconque s'il y en a plus d'une — orientée dans le sens de $t$ croissant; désignons-la par $D(t)$. Assignons à chaque angle entre $D(0)$ et $D(t)$, compté dans une direction fixe, sa mesure $\varphi(t)$ (longueur d'arc de rayon 1). Ainsi:

$$ (3) \qquad \begin{aligned} 0 \le \varphi(t) \le 2\pi \text{ et } \varphi(1) &= \varphi(0) + 2\pi, \\ t' < t'' \text{ entraîne } \varphi(t') \le \varphi(t''). \end{aligned} $$

<footnote n="1">1) Voir H. Steinhaus, *Sur un théorème de M. V. Jarník*, ce volume, p. 1-5.</footnote>

<footnote n="2">2) Cf. ma communication du 18 avril 1947 à la Société Polonaise de Mathématique (Section de Wrocław), ce volume, p. 45.</footnote>