Voici les résultats relevés :

<table><thead><tr><th></th><th>Nombre d'élèves du g.A (sur 11 présents)</th><th>Nombre d'élèves du g.B (sur 13 présents)</th><th>Nombre total d'élèves (sur 24 présents)</th></tr></thead><tbody><tr><td>N'ont pas abordé l'exercice.</td><td>1</td><td>8</td><td>9</td></tr><tr><td>Ont réussi l'exercice.</td><td>6</td><td>0</td><td>6</td></tr><tr><td>N'ont pas obtenu le maximum des points.</td><td>4</td><td>5</td><td>9</td></tr></tbody></table>

Cet exercice se caractérise par une forte proportion d'échecs et de « non abordés » : seuls 6 élèves, soit le quart de la classe, parviennent au résultat attendu. Lors des analyses a priori des tâches proposées en évaluation, nous avions souligné la difficulté des adaptations nécessaires ici pour réussir, et ceci alors même qu'aucune connaissance nouvelle sur les racines carrées n'est en jeu. Il s'agit d'appliquer la propriété de Thalès dans une configuration classique, après utilisation de la question 1 dans laquelle le parallélisme a été prouvé. Jusqu'ici, c'est un énoncé classique sur la configuration de Thalès vue en troisième. Cependant, une valeur exacte est demandée (c'est souligné dans la consigne). Et elle ne peut être trouvée qu'en remplaçant dans l'égalité obtenue la longueur ST par sa valeur exacte. Deux problèmes se posent alors : dans la question 3), qui demande de calculer ST, le résultat n'est pas donné. Or, 3 élèves avaient déjà, on l'a vu, donné une valeur approchée de ST et 9 n'avaient soit rien trouvé, soit écrit un résultat faux. Ceux-là ne parviendront dans le meilleur des cas, en écrivant des calculs justes, qu'à donner aussi une valeur approchée de MN. En outre, les 12 élèves restant (soit la moitié des présents ce jour là) devront remplacer ST par $\sqrt{5}$ dans leur égalité de quotients et calculer ensuite avec cette valeur inhabituelle jusqu'à obtenir MN : seule la moitié d'entre eux, tous dans le g.A, y parviendront.

Regardons plus en détail les erreurs page suivante :
<table><thead><tr><th></th><th>(g.A_g.B) sur (4_5) élèves concernés.</th><th>Nombre total d'élèves sur 9 élèves concernés.</th></tr></thead><tbody><tr><td>Code « 2 » : utilisent la propriété de Thalès mais n'aboutissent à aucun résultat (soit ne remplacent aucune longueur par sa valeur numérique, soit les remplacent toutes sauf ST)</td><td>(1_2)</td><td>3</td></tr><tr><td>Code « 4 » : pensent à utiliser la propriété de Thalès, remplacent mais obtiennent un résultat faux, approché ou non.</td><td>(1_1)</td><td>2</td></tr><tr><td>Code « 6 » : n'appliquent pas la propriété de Thalès dont :</td><td>(2_2) dont :</td><td>4 dont :</td></tr><tr><td>essaient avec celle de Pythagore</td><td>(1_2)</td><td>3</td></tr><tr><td>essaient avec les relations trigonométriques</td><td>(1_0)</td><td>1</td></tr></tbody></table>

Commentons plus en détail chaque erreur identifiée :

- *Erfurur codée « 2 » :* Ces 3 élèves échouent lors de la phase dans laquelle on remplace les longueurs connues par leur valeur numérique. 2 parmi eux remplacent TM et RS (données de la figure, soit directement, soit grâce à un codage) mais laissent ST alors même qu'ils avaient trouvé sa valeur exacte $\sqrt{5}$ dans la question précédente : tout se passe comme si $\sqrt{5}$ n'était « pas assez » un nombre pour qu'on puisse le substituer puis calculer avec. Si une valeur décimale de ST avait été trouvée, il est probable que ces élèves auraient terminé leurs calculs. Là, ils sont conscients du problème de la « valeur exacte », puisqu'ils ne remplacent pas par une valeur approchée, mais restent bloqués à ce stade, comme s'il leur manquait une donnée.

- *Erfurur codée « 4 » :* 2 élèves ne parviennent pas à résoudre l'équation « $\frac{MN}{2} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ ». Leurs erreurs peuvent venir d'un manque de connaissances sur les équations du type « $\frac{x}{b} = \frac{c}{d}$ » ou de la gène occasionnée par la présence de $\sqrt{5}$ dans ce genre de calculs : il s'agirait dans ce cas de
difficultés liées à l'adaptation « fausse A1 » décrite en 3-2, les élèves n'étant pas capables de reproduire une résolution d'équation connue si des radicaux interviennent.

- *Erfurtr codée « 6 » :* 4 élèves n'utilisent pas la propriété de Thalès : 3 essaient avec celle de Pythagore, comme à la question précédente (mais ne parviennent pas au résultat car il manque la donnée numérique de TN), 1 essaie avec les relations trigonométriques (il utilise les angles alternes/internes mais se trompe sur l'angle intermédiaire trouvé donc se trompe aussi lorsqu'il utilise une valeur connue du cosinus ; sa production est cependant très intéressante). Ces élèves ont tous choisi de travailler avec des propriétés s'appliquant dans le triangle rectangle TNM, peut-être par analogie avec la question précédente : les modalités d'application sont correctement reconnues mais il est impossible de parvenir au résultat exact par ces voies. On peut penser que Pythagore reste pour eux LE théorème de géométrie associée aux radicaux : ils n'ont jamais en classe, à notre connaissance, utilisé les racines carrés dans la mise en fonctionnement de la propriété de Thalès.

Ainsi, avec des nombres s'écrivant avec des radicaux, appliquer la propriété de Thalès semble plus difficile qu'appliquer celle de Pythagore. Ceci ne nous surprend pas et peut s'expliquer par l'habitude d'associer en classe deux connaissances : tant au moment, en quatrième, de la première rencontre avec les racines carrées, qu'après dans les problèmes « classiques » des annales du brevet des collèges, c'est le théorème de Pythagore, pas celui de Thalès, qui est classiquement associé au travail avec des radicaux. Ceci nous laisse penser que la proximité, du point de vue des contenus, avec ce qui est fait en classe est ici un facteur de - relative- réussite. Ce résultat nous intéresse car il apporte des éléments de réponse à certaines des questions posées au début de ce travail.

brevet blanc partie numérique exercice 1 2) : développer (5 + √5)²

Voici les résultats relevés :

<table><thead><tr><th></th><th>Nombre d'élèves du g.A (sur 13 présents)</th><th>Nombres d'élèves du g.B (sur 13 présents)</th><th>Nombre total d'élèves (sur 26 présents)</th></tr></thead><tbody><tr><td>N'ont pas abordé la question.</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td></tr><tr><td>Ont réussi.</td><td>12</td><td>3</td><td>15</td></tr><tr><td>Ont échoué.</td><td>1</td><td>8</td><td>9</td></tr></tbody></table>
Regardons quelles ont été les erreurs commises :

<table><thead><tr><th></th><th>(g.A_g.B) sur (13_13) présents.</th><th>Nombre total d'élèves (sur 26 présents).</th></tr></thead><tbody><tr><td>Codé 3 : (5 + √5)² = 5² + √5² = 25 + 5 = 30</td><td>(1_1)</td><td>2</td></tr><tr><td>Codé 4 : (5 + √5)² = 5² + 2 x 5 x √5 + √5² = 20 + 10√5 + 5 = 25 + 10√5 + 5 = 40√5</td><td>(0_2)</td><td>2</td></tr><tr><td>Codé 5 : identité remarquable appliquée ou retour à la définition du carré mais erreur de calcul</td><td>(0_3)</td><td>3</td></tr><tr><td>Codé 6 : aucune trace d'utilisation d'une identité remarquable ni d'un retour à la définition du carré (hors erreur codée 3).</td><td>(0_2)</td><td>2</td></tr></tbody></table>

## Comparons avec les tâches proposées en classe :

Les développements à partir d'expressions s'écrivant avec des radicaux ont été travaillés à maintes reprises en classe : dans la fiche 11, exercices 16 à 24 et la fiche 12, exercices 2 et 3. Parmi les 50 expressions proposées, 38 utilisent une identité remarquable dont 13 la première, c'est-à-dire celle à utiliser ici. L'expression proposée au brevet blanc fait partie de celles demandant le moins d'adaptations : un seul des termes s'écrit avec un radical, ce qui évite d'avoir à mettre en fonctionnement P2 dans le double produit, et ce radical n'est précédé d'aucun coefficient, ce qui minimise les risques d'erreurs quand on l'élève au carré. On peut par exemple la rapprocher du e) de l'exercice 2 de la fiche 12 : (√5+3)² et il y en a 3 autres exactement du même type au sein des fiches 11 et 12. Ainsi, cet exercice a été répété, dans des cas similaires et des cas plus difficiles, et pourtant.9 élèves échouent et 2 n'abordent pas l'exercice.

Parmi eux, un seul élève du g.A, Luci (copie 11) échoue avec l'erreur codée 3 : elle égale le carré de la somme à la somme des carrés. Pourtant, le tableau récapitulatif montre qu'elle sait, dans un cadre littéral, appliquer cette identité remarquable puisqu'elle réussit les développements y faisant appel. Ce serait ainsi la présence des radicaux, et donc le fait de prolonger la validité de cette identité remarquable à ces nombres, qui poserait problème ici. C'est la même élève qui, quand elle utilise l'expression factorisée pour substituer -√3 dans l'exercice 2 de ce brevet blanc, explicite un signe « plus » au lieu d'un « fois » entre les deux facteurs entre parenthèses, erreur qu'elle ne fait pas si les facteurs sont des expressions littérales ou des nombres entiers. Ceci semble aller dans le sens de ce que nous avions
conjecturé alors : cette élève a des difficultés avec l'adaptation « fausse A1 », qui permet de prolonger les règles et conventions vues avant aux « nouveaux nombres » s'écrivant avec des radicaux. Comme nous l'avions suggéré, il faudrait observer ce qu'elle fait avec des nombres irrationnels mais ne s'écrivant pas avec des radicaux (par exemple pi) pour conclure ou non au rôle des racines carrées dans les difficultés qu'elle rencontre ; il s'agit peut-être d'un problème plus vaste de représentation des ensembles de nombres, peu étudiés on l'a dit en collège (on peut se référer ici au « vide didactique » décrit par A.Bronner, dont nous avons décrit les caractéristiques dans la partie 2 consacrée à la notion « racine carrée » et à son enseignement).

Quant aux élèves du g.B, ils sont nombreux à échouer à cet exercice pourtant on l'a dit abondamment préparé en classe. Une explication possible peut se trouver dans l'éloignement dans le temps entre le chapitre consacré aux radicaux et le brevet blanc. En outre, parmi les 8 qui ont échoué, certains auraient probablement échoué aussi s'il s'était agi de développer $(x+5)^2$ mais, les développements littéraux proposés dans les évaluations étant tous plus difficiles, nous ne pouvons avoir aucune certitude. Restent les 3 élèves dont on a répertorié les erreurs, « classiques » : un qui, comme Lucie dans le g.A, a écrit $(5+\sqrt{5})^2=30$. Lui aussi a réussi les développements littéraux proposés donc nous pouvons interpréter son erreur de la même façon. Les 2 autres ont bien appliqué la première identité remarquable mais c'est dans la réduction de leur résultat qu'ils ont échoué. Eux aussi ont pourtant réussi le développement de l'exercice 2 comportant $(2x+3)^2$: il semble donc que ce soit là encore la manifestation du phénomène dû à l'adaptation « fausse A1 » décrit précédemment. Ces élèves ne parviennent pas à calculer avec des radicaux, en dehors éventuellement de la tâche 1 qu'ils sont capables d'effectuer de façon mécanique. Ils n'auraient pas écrit $25x^2 + 10x + 5=35x$ (les colonnes grisées du tableau l'attestent) mais écrivent $25 + 10\sqrt{5} + 5=35\sqrt{5}$. Tout se passe comme si ces élèves n'avaient pas intégré la règle implicite « je calcule avec les racines carrées presque comme avec les $x$, je ne mélange pas les termes avec et les termes sans », formulée souvent par les collégiens quand on les interroge sur leurs méthodes. Ceci pose évidemment encore la question de la nature de $\sqrt{5}$ : c'est un nombre mais pour réussir à calculer avec, il faut emprunter les règles habituellement utilisées en calcul littéral !

### Brevet blanc partie 2 exercice 2 2) : calcul d'une distance dans un repère orthonormé :

Voici les résultats relevés :

<table><thead><tr><th></th><th>Nombre d'élèves du g.A (sur 13 présents)</th><th>Nombre d'élèves du g.B (sur 13 présents)</th><th>Nombre total d'élèves (sur 26 présents)</th></tr></thead><tbody><tr><td>N'ont pas abordé l'exercice.</td><td>0</td><td>8</td><td>8</td></tr></tbody></table>
<table><tr><td>Ont réussi l'exercice.</td><td>10</td><td>2</td><td>12</td></tr><tr><td>Ont échoué.</td><td>3</td><td>3</td><td>6</td></tr></table>

Regardons plus précisément les erreurs commises :

<table><thead><tr><th></th><th>(g.A_g.B) sur (13_13) présents.</th><th>Nombre total d'élèves (sur 26 présents).</th></tr></thead><tbody><tr><td>Codé 4 : formule de calcul de distance dans un repère orthonormé fausse.</td><td>(1_2)</td><td>3</td></tr><tr><td>Codé 5 : essai d'utiliser la propriété de Pythagore avec des longueurs « intuitées » alors qu'on ne sait pas si le triangle est rectangle.</td><td>(2_0)</td><td>2</td></tr><tr><td>Codé 6 : bonne formule mais erreur(s) de calcul sans lien apparent avec les racines carrées.</td><td>(0_1)</td><td>1</td></tr></tbody></table>

Nous n'avons fait aucune analyse détaillée pour cet exercice puisqu'aucune des erreurs commises n'a apparemment de lien direct avec les racines carrées. Nous pouvons juste dire que la différence entre résultats des élèves du g.A et du g.B est encore bien là.

Brevet blanc partie 2 exercice 2 3) :application de la réciproque de la propriété de Pythagore avec des longueurs s'écrivant avec des radicaux :

Voici les résultats relevés :

<table><thead><tr><th></th><th>Nombre d'élèves du g.A (sur 13 présents).</th><th>Nombre d'élèves du g.B (sur 13 présents).</th><th>Nombre total d'élèves (sur 26 présents).</th></tr></thead><tbody><tr><td>N'ont pas abordé l'exercice.</td><td>1</td><td>11</td><td>12</td></tr><tr><td>Ont réussi l'exercice.</td><td>12</td><td>0</td><td>12</td></tr><tr><td>N'ont pas obtenu le maximum des points</td><td>0</td><td>2</td><td>2</td></tr></tbody></table>
Cet exercice est marqué par un taux exceptionnellement haut de « non abordés » dans le g.B. Peut-être est-ce dû au stress et au manque de temps lors du brevet blanc. Nous étions curieux de voir comment les élèves géraient les calculs du type $(a\sqrt{b})^2 = a^2b$ : nous savons juste que 12 réussissent mais n'avons aucun moyen ici de savoir pourquoi les 12 autres échouent (les 3 erreurs relevées ne viennent pas de ce calcul).

Regardons quelles ont été les trois erreurs commises :

<table><thead><tr><th></th><th>(g.A_g.B) sur (0_3) élèves concernés.</th><th>Nombre total d'élèves (sur 3 élèves concernés).</th></tr></thead><tbody><tr><td>Codé 4 : Valeurs numériques mesurées pour appliquer la réciproque de la propriété de Pythagore.</td><td>(0_1)</td><td>1</td></tr><tr><td>Codé 6 : bonne formule mais erreur(s) de calcul sans lien apparent avec les racines carrées</td><td>(0_2)</td><td>2</td></tr></tbody></table>

Il faudrait pouvoir comparer ces résultats (et surtout le nombre de « non abordé ») avec ceux d'un énoncé similaire dans lequel la réciproque de la propriété de Pythagore permettrait de conclure, mais avec des nombres s'écrivant sans radicaux : n'ayant pas cette possibilité, il parait difficile de poursuivre pour cet exercice nos analyses.
# 5 Conclusion

Revenons maintenant à notre problématique initiale sur les liens entre enseignement et apprentissages et essayons de rassembler les éléments de réponse apportés par nos analyses à chacune des questions que nous nous étions posés dans l'introduction.

Nous pouvons désormais affirmer que les tâches proposées en classe et les déroulements associés ont une influence sur les résultats des élèves aux évaluations, et donc sur leurs apprentissages (via « l'approximation » décidée au préalable). Essayons de décrire ce lien le plus précisément possible, en considérant successivement la nature, la difficulté et la fréquence des adaptations travaillées en classe par rapport à celles demandées en devoir.

Commençons par nous intéresser à l'influence de la *nature des adaptations* proposées. Nous pouvons dire, de façon globale et un peu simpliste, que, oui, les élèves réussissent ce qu'ils ont travaillé en classe : ainsi, les transformations d'expressions sous la forme $a\sqrt{b}$ (que nous avons regroupées sous la dénomination « tâche 1 ») et, dans une moindre mesure, les substitutions de $\pm\sqrt{a}$ dans des écritures littérales (regroupées sous la dénomination « tâche 2 »), atteignent des taux de réussite tout à fait honorables. Néanmoins, il nous faut très vite nuancer ce propos : les élèves réussissent en évaluation si les énoncés proposés sont exactement semblables à ceux qu'ils ont déjà traités, avec des niveaux de mises en fonctionnement identiques. Et certains des exercices de l'interrogation ont ainsi donné des résultats mitigés : quand la tâche 1 intervient en tant qu'outil de résolution et n'est plus objet de l'exercice, ou quand les expressions proposées dans les consignes ne sont pas exactement du type de celles travaillées en classe (à cause de la présence d'un trait de fraction, d'un des termes des sommes algébriques habituelles écrit sous la forme d'un produit ou d'un résultat qui ne s'écrit pas $a\sqrt{b}$ par exemple), certains élèves ont des difficultés.

Regardons maintenant les résultats que nous avons obtenus en rapport avec la difficulté des *adaptations* proposées. Pour l'application d'une même propriété, un niveau de mise en fonctionnement plus élevé en évaluation qu'en classe est assez naturellement source d'échec : il est difficile pour les élèves de surmonter la difficulté accrue. De façon plus étonnante, travailler une adaptation considérée difficile en classe ne garantit pas du tout que les élèves parviendront à le refaire en contrôle : ainsi, et même si ce n'est pas arrivé très souvent, les élèves ont transformé en classe des expressions autrement que sous la forme $a\sqrt{b}$ ($a+b\sqrt{c}$ ou $a+b\sqrt{c}+d\sqrt{e}$ par exemple) mais très peu y arrivent quand c'est nécessaire dans les exercices 4 et 5 de l'interrogation. Nous devons toutefois rester prudents : il est en effet difficile de savoir si c'est la fréquence importante des résultats de la forme « $a\sqrt{b}$ » dans ce qui a été travaillé, ou bien le surcroit de difficulté pour transformer les expressions ne donnant pas un résultat de
cette forme, qui explique dans ce cas les taux d'échec élevés. Il est probable que les deux y participent. En outre, en ce qui concerne la tâche 2, la difficulté de l'adaptation « choix de l'expression la plus appropriée pour substituer » est partiellement surmontée au contrôle tandis que celle liée à la gestion d'un calcul numérique avec des radicaux ne l'est pas. Nous ferons ultérieurement le point sur la part de responsabilité du mélange avec certaines connaissances anciennes dans les échecs des élèves.

Rassemblons enfin nos conclusions liées à la fréquence des adaptations proposées. Nous pouvons également maintenant faire l'hypothèse que la répétition d'une même tâche en classe accroit encore la réussite lors des évaluations, toujours à la condition que la tâche proposée nécessite les mêmes adaptations. Dans le cas contraire, si les niveaux de mise en fonctionnement varient, avoir répété la tâche à de nombreuses reprises n'est d'aucun recours pour surmonter les difficultés posées par les nouvelles adaptations nécessaires. Et il arrive même que l'effet inverse se produise et que les répétitions, en plus d'être inefficaces, soient nuisibles à la réussite de certains exercices. Ainsi, certaines productions d'élèves laissent penser que la répétition de la tâche 1 en classe a pu être un obstacle à la réussite en devoir. Les élèves, conditionnés par le contrat entre eux et l'enseignante, contrat implicite mais très fort qui demande d'écrire toute expression avec des radicaux sous la forme $a\sqrt{b}$, sont désarçonnés quand cette transformation s'avère impossible. Ils ne parviennent pas à se détacher des habitudes prises et leurs tentatives de décomposition sous les radicaux (avec la présentation en deux colonnes vue dans la leçon associée) attestent de leur volonté de se ramener au cas qu'ils ont tant de fois traité. Quelques élèves du g.A cependant, en minorité, surmontent alors ce réflexe et réussissent. La majorité d'entre eux laissent leur réponse inachevée, réalisant le caractère impossible de leur démarche mais n'arrivant pas, la plupart du temps, à en envisager une autre. Les élèves du g.B, eux, sont souvent amenés à écrire des assertions fausses : ils font davantage confiance pour valider leur réponse aux habitudes prises qu'aux mathématiques et « s'arrangent » pour parvenir à un résultat qui leur convienne. Tout se passe ainsi comme si, pour appartenir au g.A et mieux encore réussir à adapter les connaissances différemment d'en classe, il fallait paradoxalement pouvoir « oublier » les méthodes apprises en classe, garder l'esprit ouvert aux initiatives, faire preuve d'une capacité d'anticipation des calculs. Or, ces conditions paraissent difficilement compatibles avec l'application systématique d'une démarche dont les étapes sont à l'avance figées et n'ont pas ou peu été justifiées.

Nous nous étions également demandé quel était le rôle du facteur temps dans l'acquisition des connaissances. Au regard de nos analyses, il n'y a pas d'évolution majeure sur le court, moyen ou long terme : ceux qui réussissaient/échouaient à court terme réussissent/échouent encore à moyen et à long terme. Cependant, nous avons observé au cours de notre étude quelques phénomènes particuliers intéressants. Si les erreurs persistent, leurs causes évoluent, elles, au cours du temps : d'erreurs identifiées spécifiques dans la mise en fonctionnement des connaissances nouvelles à court terme, on passe à moyen et surtout à long terme, à une grande proportion d'abstention (ou, dans une moindre proportion, à des erreurs plus difficilement identifiables). Certains élèves n'essaient même plus : soit ils savent « en
automate », soit non. Bien que nous n'ayons pas accès à leurs brouillons, il semblerait que la
phase de recherche soit très réduite voire inexistante. Or, nous l'avons souligné à plusieurs
reprises dans cette étude, les interventions de l'enseignante visent, en partie au moins, à
rassurer les élèves : elle propose en effet, en particulier pour la première étape de la tâche 1,
d'effectuer des transformations avec lesquelles on est sûr d'arriver au résultat souhaité. Elle
décourage donc de fait les démarches du type « essais/erreurs », les initiatives permettant
d'arriver plus vite ou de façon plus astucieuse au même résultat. Il semble raisonnable de faire
alors l'hypothèse d'un lien entre l'automatisation systématique recherchée des tâches,
reposant au moins autant sur la mémoire que sur une réelle compréhension des étapes, et
l'évolution constatée à long terme vers un nombre croissant d'erreurs et de questions non
abordées. Ainsi, pour la tâche 1, les élèves du g.B progressent entre l'interrogation et le
contrôle, très proche dans le temps de ce qui a été fait en classe, mais obtiennent de moins
bons résultats lors du brevet blanc, alors que les adaptations y sont clairement plus simples
(Cela nous amène à nous poser une nouvelle question : si une connaissance semblait acquise à
un moment donnée mais ne l'est plus deux mois plus tard, qu'a-t-on approché grâce au
contrôle : les apprentissages ou les qualités de mémorisation à court terme des élèves ?). Nous
pouvons peut-être parler ici de « connaissances fragiles », de « pré-connaissances » ou encore
d'« apprentissages transitoires » qu'il faudrait « transformer », à la manière d'un essai au
rugby, pour qu'elles trouvent leur place, consolidées, dans un réseau plus large de
connaissances. Pour cela, on peut imaginer qu'il faudrait par exemple ne pas restreindre les
exercices sur les racines carrées à des techniques, proposer des énoncés autres, des discours
peut-être différents, en liaison avec la « zone proximale de développement » de chaque élève.
Les résultats que nous obtenons laissent en tout cas penser que le découpage, le caractère isolé
et la répétition des tâches proposées en classe favorisent la perte des « connaissances
fragiles » évoquées : elles ne sont accrochées à rien et, à long terme, ne peuvent se
transformer en connaissances. Cette interprétation peut participer à expliquer le phénomène
de régression dans le temps constaté pour certains élèves du g.B. Evitons cependant de
généraliser ce résultat à toutes les adaptations travaillées : pour une des adaptations proposées,
le temps semble en effet avoir joué un rôle favorable. Il s'agit du choix de l'expression
développée pour substituer un nombre s'écrivant avec un radical dans une écriture littérale :
sur ce point précis, les élèves du g.B ont réellement progressé, et pourtant, ils ne réussissent
toujours pas l'exercice associé, car ils ne parviennent pas à gérer la suite des calculs.

Cette dernière remarque nous mène naturellement à examiner le rôle des connaissances
anciennes dans les réussites et échecs constatés. En raison des analyses qui précèdent, nous
allons en particulier faire le point sur la question des ensembles de nombres et celle du calcul
algébrique.

Nous avons évoqué, dans la partie 2 consacrée à la notion « racine carrée » et son
enseignement, le statut particulier des nombres s'écrivant avec un radical. Le symbole √, tel
qu'il a été vu en quatrième sur la calculatrice, privilégie l'aspect transformation (on prend la
racine carrée d'un nombre). Et cette première approche peut inciter les élèves à considérer
qu'un nombre s'écrivant avec un radical n'est pas un résultat mais plutôt une étape dans une
suite de transformations d'écritures. Dans ce que nous avons observé, ceci ne semble pas faire obstacle à la réussite des exercices présentés dans le cadre numérique. Par contre, dans le cadre géométrique, des difficultés apparaissent : problème pour donner une longueur de segment avec un radical, questions liées aux valeurs exactes ou approchées à utiliser dans les calculs intermédiaires pour avoir un résultat final exact, attestent des difficultés à considérer $\sqrt{5}$ ou $\sqrt{2}$, par exemple, comme des nombres « comme les autres ». Et rien dans les programmes n'est véritablement proposé pour remédier à cela. De plus, dans la gestion des calculs, les élèves travaillent avec les racines carrées presque comme ils avaient l'habitude de le faire jusque là avec les « x » : on peut faire l'hypothèse que ceci n'aide pas les à considérer comme des nombres.

On en vient alors à la question, largement décrite dans nos analyses, du jeu implicite entre cadre numérique et cadre algébrique : ce sont les connaissances anciennes apprises dans un cadre algébrique, souvent dans les chapitres traitant du calcul littéral, qu'il faut utiliser ici pour calculer correctement avec les racines carrées. Nous avons qualifié dans notre étude le cadre associé de « pseudo-algébrique » (pas de lettres mais une gestion des calculs comme s'il y en avait). Cependant, ce ne sont pas strictement des connaissances anciennes puisqu'elles ont été vues pour des nombres autres que les racines carrées : il faut donc prolonger à cette nouvelle catégorie de nombres s'écrivant avec des radicaux, non identifiée précisément, les conventions, le formalisme algébrique, la distributivité de l'addition sur la multiplication, la commutativité et l'associativité de ces opérations, les identités remarquables... Néanmoins, ce problème, identifié dés le départ comme obstacle à la justification mathématiquement correcte des propriétés liées au produit et au quotient des racines carrées et même au tout début de la définition, ne nous en semblait pas vraiment un du point de vue des élèves. Suite à nos analyses, nous avons moins de certitudes. C'est en effet quand il faut faire face à cette adaptation, que nous avons appelé « fausse A1 », que les erreurs sont les plus nombreuses : en particulier, la ré-explicitation du signe « fois » supprimé est source de nombreuses difficultés. Les copies attestent, dans les calculs avec les radicaux, de confusions fréquentes entre addition et multiplication. Cependant, même si elles sont moins nombreuses, ces difficultés persistent si on demande dans le même exercice (essentiellement ceux dans lesquels la tâche 2 est proposée) à ces élèves de travailler avec des nombres sans radical. Ce sont ces observations qui nous poussent à qualifier la notion « racine carrée » davantage de « révélatrice de difficultés » que de « créatrice de difficultés ». Le problème se situerait à une échelle plus grande, dans le jeu permanent mais implicite entre cadre numérique et algébrique au sein duquel on fait travailler les élèves au collège.

Il nous reste à conclure sur les éléments de différentiation mis en évidence par nos analyses. Nous avons différentié les résultats en créant les g.A et B, observé une stabilité étonnante des résultats de ces groupes dans le temps, peut-être liée, nous l'avons dit, à certaines caractéristiques de l'enseignement proposé (pas d'aide constructive pour le mélange avec les connaissances anciennes par exemple). Nous avons aussi dégagé un lien entre la nature et la difficulté des adaptations et les résultats au sein de chaque groupe : moins ces adaptations ont été travaillées en classe (ou plus elles sont difficiles), plus les différences se
creusent entre les groupes. Nous avons de plus caractérisé grâce aux copies des comportements propres à chaque groupe : laisser inabouti (g.A) ou écrire des choses fausses (g.B), prendre des initiatives (g.A) ou chercher à se ramener à tout prix à un automatisme (g.B). Nous avons enfin mis en relation ces différences de comportement avec le rapport au savoir des élèves. Les élèves du g.B, nous l'avons noté à plusieurs reprises dans nos analyses, font souvent des erreurs du type « la fin justifie les moyens » : leur rapport au savoir semble moins lié à des apprentissages qu'à des productions de résultats. Pour ces élèves-là, le caractère parfois négatif des répétitions, évoqué page 75, serait alors renforcé.

Nous devons cependant faire attention : nous avons cherché dans ce travail à établir des liens entre les résultats et les activités possibles des élèves. Or, nous disposons des données nécessaires pour différencier les résultats (et nous l'avons fait) mais nous n'avons pas assez d'informations pour différentier les activités (en particulier, rappelons le, les activités à la maison). Nous pouvons tenter des conjectures sur des rapprochements possibles entre ce qu'ont pu faire/dire/penser (ou pas) les élèves des groupes A et B et les réussites ou échecs au sein de chacun de ces groupes mais il nous est difficile de donner sur ce point des résultats. Ceci nous amène à envisager les limites de notre recherche.
# 6 limites et perspectives

## 6-1 limites (et déjà quelques perspectives de travail proposées)

### 6-1-a Limites liées à ce que nous n'avons pas analysé

Parmi les données que nous avons recueillies, nous n'avons pas tout analysé. Par exemple, nous n'avons pas transcrit les vidéos réalisées : nous n'avons donc pas étudié de façon analytique les discours de l'enseignante, les interactions professeur/élèves et les indicateurs langagiers correspondants.

Il existe aussi des données relatives à la classe de troisième observée que nous n'avons pas recueillies (par choix nécessaire de restreindre notre étude, par manque de temps, parce que c'était difficile matériellement...). Ainsi, nous n'avons pas regardé les évaluations « devoir maison » dans lesquelles intervient la notion « racine carrée » : peut-être des adaptations non travaillées en classe y étaient-elles abordées. Cela pourrait alors expliquer en partie les différences importantes de performance entre les élèves le jour des évaluations en classe (mais cette analyse aussi aurait eu ses limites : sont-ils bons parce qu'ils travaillent à la maison ou y travaillent-ils car ils sont bons ?). En outre, pour apporter des réponses aux questions concernant les facteurs de différentiation, il aurait fallu analyser les activités possibles de façon individuelle, élève par élève, ce qui aurait demandé d'autres données : des points de vue différents pour les vidéos, des entretiens en tête à tête avec les élèves par exemple. Nous n'avons pas non plus pris en compte ce qui se passe (ou pas) à la maison, hors évaluation notée : le temps que les élèves passent à faire leurs exercices ou apprendre leurs leçons, la façon dont ils révisent en vue d'un contrôle... Il pourrait être ainsi intéressant d'étudier les relations entre les activités possibles des élèves en classe, reconstituées grâce aux tâches et aux déroulements, et la forme de travail personnel à la maison, accompagné ou non, des élèves de cette classe. En particulier, nous n'avons que très peu d'informations - et nous ne les avons pas utilisées dans ce travail - sur le type d'aide éventuellement apporté à l'élève en dehors de la classe (aide de l'entourage proche ou même cours particuliers), susceptible d'avoir une influence sur les apprentissages.

Enfin, nous avons observé UN professeur, UNE année, dans UNE classe et sur UN chapitre : notre travail peut certes alimenter des analyses étudiant elles aussi les relations entre enseignement et apprentissages mais il reste partiel. Les conclusions obtenues ne sont que des contributions nouvelles, apportées à un faisceau d'hypothèses déjà émises lors de travaux du même type. Il faudrait s'engager dans une étude d'une toute autre envergure (plusieurs classes avec des professeurs différents sur plusieurs années) pour nous permettre éventuellement un accès à un plus grand niveau de généralité.
### 6-1-b limites au sein même de notre analyse

Si l' « approximation » de l'enseignement proposé par les tâches et les déroulements, via la reconstitution des activités possibles des élèves, apparaît satisfaisante au sein du cadre théorique choisi, l' « approximation » des apprentissages par la réussite aux devoirs en classe pose elle davantage problème, et ce pour plusieurs raisons :

D'une part, nous n'avons pas choisi les textes de ces devoirs donc nous n'avons pas non plus choisi ni la difficulté, ni la diversité des adaptations associées. Nous aurions pu faire passer une évaluation supplémentaire aux élèves, dont nous aurions construit les consignes sur le modèle des tests proposés dans le dossier bleu sur « racine carrée », pour tester plus exactement le niveau de mise en fonctionnement atteint des connaissances concernant les radicaux.

D'autre part, et même si nous avions fait passer ce test supplémentaire, réussir à un devoir en classe ne signifie pas forcément avoir appris. Quand il y a échec, les erreurs trouvées font ici penser que les contrôles sont assez informatifs. Mais quand un élève réussit ? A-t-il appris ?, à long terme ?, à court terme ? si oui, qu'a-t-il appris ? Quels liens établir entre la capacité à reproduire un automatisme, avec des adaptations éventuelles, et ce que nous avons choisi d'appeler apprentissages, composés certes d'une part de savoir-faire, mais aussi accompagnés d'une certaine conceptualisation de la notion étudiée ? Ces questions sont étroitement liées à la notion « racine carrée » choisie : le problème posé en introduction d'un juste équilibre entre travail du sens et de la technique n'est toujours pas résolu et les textes officiels sont insuffisants pour répondre à la question à laquelle nous revenons toujours : quel est le degré de conceptualisation associé à la notion « racine carrée » qu'il est souhaitable d'atteindre en fin de collège ?

## 6-2 alternatives et perspectives

### 6-2-a alternatives

L'enseignante est ici clairement animée d'un souci d'efficacité : elle nous a d'ailleurs expliqué vouloir faire en sorte que la majorité de ses élèves réussissent des exercices dits « classiques » de troisième. Cependant, rappelons les contraintes auxquelles elle doit faire face : la préparation au brevet des collèges, les orientations très différentes (voie générale, technique, professionnelle) envisagées par les élèves de la classe (et donc la forme à donner à une préparation éventuelle à une classe de seconde de lycée général), la pression du temps et des programmes (on ne peut guère envisager de passer plus de sept séances sur la notion « racine carrée » en troisième) rendent difficile l'organisation d'un enseignement favorable à tous.
Nous pouvons tout de même proposer des alternatives pour travailler avec les radicaux en troisième au sein des programmes existants : activités d'introduction, justification des propriétés et des méthodes, variété des adaptations proposées... De nombreuses pistes sont données dans le dossier sur « racine carrée » à l'usage des formateurs. Devant les difficultés rencontrées pour prolonger des règles et conventions connues, nous pourrions envisager de dire aux élèves quelque chose comme « nous allons faire avec les racines carrées ce que nous avions l'habitude de faire avec les nombres avec lesquels nous avons travaillé jusqu'alors », et d'expliciter au moins une fois chaque règle ou convention ancienne utilisée avec les racines carrées.

Nous pouvons également nous poser la question des possibilités offertes par des textes officiels un peu différents. Nous attendons donc avec impatience les nouveaux programmes de troisième qui entreront en vigueur à la rentrée 2008 pour observer les modifications éventuelles. En particulier, permettront-ils de rétablir une transposition didactique satisfaisante entre savoir savant et savoir enseigné ? Aideront-ils à combler le vide didactique institutionnel décrit par A.Bronner ? Permettront-ils aux professeurs, sans être « hors programme », de consacrer une partie du temps d'enseignement aux différents ensembles de nombres ?

## 6-2-b perspectives

Plusieurs pistes de recherche, parfois déjà évoquées au fil de nos analyses, peuvent être envisagées pour poursuivre ce travail.

Les questions liées à la calculatrice, éventuellement aux logiciels, n'ont été que très peu prises en compte dans notre étude : nous pourrions nous demander dans quelle mesure leur usage serait susceptible d'aider à donner un statut aux nombres s'écrivant avec des radicaux. Cela pourrait alors questionner tous les résultats énoncés dans la conclusion.

En préparant ce travail, nous avons également souvent eu envie d'étudier comment les cours portant sur les radicaux se passaient « avant » (du point de vue des contenus, des déroulements associés et des apprentissages obtenus), avec les anciens programmes dont nous avons parlé dans le paragraphe 2 consacré à la notion « racine carrée » et son enseignement. Dans la pratique, cela apparaît néanmoins difficile.

On l'a évoqué en décrivant les limites de notre travail, cette étude n'a concerné qu'un seul enseignant. Or, la notion traitée « racine carrée », du fait du peu de précisions apportées par les textes officiels actuels, offre une grande marge de manœuvre aux professeurs. Il serait par
conséquent intéressant de regarder les choix de contenus faits par d'autres et de comparer les apprentissages obtenus via l'analyse des résultats des évaluations. Nous pourrions également tenter de déterminer les effets d'une organisation différente du travail dans la classe, avec un choix identique de contenus, en nous demandant en quoi, par exemple, varier les formes de travail en classe, favoriser les interactions entre élèves modifierait les apprentissages. Cependant, nous ne pourrons trouver un profil de classe exactement similaire et notre travail éventuel aurait donc lui-aussi des limites.

Ce sont les informations et les résultats sur le travail personnel des élèves qui nous ont le plus manqué dans cette étude. Logiquement, nous aurions donc envie d'analyser cet intermédiaire dont nous n'avons pas pu tenir compte : dans quelle mesure l'enseignement proposé influence-t-il le travail personnel ? Quelle est la nature exacte des liens entre travail personnel et apprentissages ?

Par ailleurs, comme on l'a souvent observé ici, il arrive que les interventions et répétitions du professeur puissent ne pas toucher certains élèves, qui ne peuvent alors progresser. Il faudrait être capable de repérer les « zones proximales de développement » de chaque élève, en tenir compte dans l'enseignement proposé et ainsi mieux cibler les interventions, aides, rappels ou commentaires, du professeur. Ce travail a juste été amorcé ici, quand par exemple nous avons évoqué, pour certains élèves, le problème du passage des « pré-connaisances » ou des « connaissances fragiles », aux connaissances mathématiques visées. Nous avions alors discuté, entre sens et technique, raisonnement et mémorisation, des conséquences d'un trop grand isolement des tâches. Nous avions parlé de la possibilité d'insérer les connaissances nouvelles dans un réseau plus large, permettant de retenir les « connaissances fragiles », de « transformer » les apprentissages transitoires. Il serait intéressant de voir, dans le contexte particulier de la notion racine carrée, ce qu'un travail plus approfondi sur ces thèmes pourrait apporter.

En outre, nous n'avons pas eu assez de temps pour analyser la notion racine carrée comme nous l'aurions souhaité : à la lecture du document IREM « mettre du relief sur les mathématiques à enseigner au collège et au lycée » (M.Pariès, N.Pouyanne, A.Robert, E.Roditi, M.Rogalski), nous avons eu envie de réfléchir à quel type de notions (extensions de concept, RAP (réponse à un problème) ou FUG (formalisatrices, unificatrices, généralisatrices) nous aurions apparenté la racine carrée. La définition actuelle semble pencher plutôt du côté de la deuxième (réponse au problème « quel est le nombre positif dont le carré est... ?) mais l'étude de T.Assude sur l'évolution des curricula montre que cela n'a pas toujours été le cas. De plus, sur la notion « racine carrée », travailler davantage, en liaison par exemple avec l'épistémologie ou la sémiotique, la question de l'écriture symbolique est une perspective intéressante. Ainsi, dans « la révolution symbolique », M.Serfati réfléchit sur le statut de l'interprétation des écritures symboliques (procédures ou résultats ?), évoque la
« capacité opératoire d'une écriture » ou encore les « assemblages à deux places » qui représentent les « quatre opérations », alors que l'extraction de racines est historiquement représentée par un « assemblage à une place » (la définition aujourd'hui donnée est elle à deux places). Grâce à tous ces éléments, nous pourrions discuter le caractère spécifique (ou non) des difficultés rencontrées sur la notion « racine carrée ».

Enfin, nous avons ébauché dans la conclusion un petit lien entre deux connaissances didactiques, l'une du côté de l'épistémologie, l'autre de la didactique de l'algèbre : la réelle ambigüité du statut des nombres s'écrivant avec des radicaux (et n'ayant pas d'autre écriture possible exacte à ce niveau), entre nombre et nombre généralisé, serait à mettre en relation avec l'arrêt de la transposition didactique concernant la notion « racine carrée », phénomène décrit par T.Assude dont nous avons parlé dans la partie 2 de ce travail. Les théories et résultats obtenus en didactique de l'algèbre pourraient alors, en nous aidant à mieux étudier la confusion et les ruptures, ignorées par l'enseignement, entre travail dans le cadre numérique et dans le cadre algébrique au collège, nous donner accès à un point de vue un peu différent pour étudier les problèmes liées au manque de statut des racines carrées. Nous n'avons pas eu le temps de « creuser cette idée » mais nous souhaiterions éventuellement approfondir la piste de recherche ainsi ouverte.
# 7 Bibliographie

Assude T. (1989) Racines carrées : conceptions et mises en situation d'élèves de quatrième et troisième, *revue Petit x* n° 20 pp. 5 à 33.

Assude T. (1992) Un phénomène d'arrêt de la transposition didactique. Ecologie de l'objet « racine carrée » et analyse du curriculum, *thèse* (université de Grenoble).

Bernard D. (2002) nombres et calculs au collège : instituer une cohérence, *Repères IREM* n°47, pp 5-16.

Bessot A. Une étude du contrat didactique à propos de racine carrée, *revue petit x*, n° 36

Bronner A. (1997) Les rapports d'enseignants de troisième et seconde aux objets « nombre réel » et « racine carrée », *Recherches en didactique des mathématiques*, Vol.17, n°3, pp 55-80.

Cissé F. (2006) Un dossier sur « racine carrée » à l'usage des formateurs (collège/lycée) *document pour la formation des enseignants* (université Paris 7 – Denis Diderot)

Corlay M. et Cissé F. (2006) déroulement des cours et apprentissages (sur le chapitre des triangles semblables) *mémoire de master de didactique des mathématiques parcours recherche, dirigé par A. Robert*.

Douady R. (1984) jeux de cadres et dialectique outil-objet, *thèse d'état* (université Paris 7).

Horoks J. (2004) des tâches aux activités des élèves sur les triangles semblables en classe de seconde : une comparaison entre ce qui est fait en classe et ce qui est fait lors des évaluations, *cahier didirem* n° 47.

Horoks J (2006) Les triangles semblables en classe de seconde : des enseignements aux apprentissages. Etude de cas. *Thèse dirigée par A. Robert*.

Pariès M., Pouyanne N., Robert A., Roditi E., Rogalski M. (2007) Mettre du relief sur les mathématiques à enseigner au collège et au lycée – quelques exemples. *Document pour la formation des enseignants* (université Paris 7 – Denis Diderot)

Picot M. $\sqrt{2} + \sqrt{3}$, on ne peut pas le faire. *Repères IREM n°49*, pp 5-15.

Robert.A. (1992) Problèmes méthodologiques en didactique des mathématiques. *RDM n°12.1*, pp 33-58.

Robert A. (2003) Tâches mathématiques et activités des élèves : une discussion sur le jeu des adaptations individuelles introduites au démarrage des exercices cherchés en classe. *Revue Petit x*, n° 62, pp 61-71.

Robert A. et Rogalski J. à paraitre

Roditi E (1996) La racine carrée en troisième Etude d'une activité *document de travail pour la formation des enseignants* (université Paris 7 – Denis Diderot)
Serfati M. (2005) La révolution symbolique – La constitution de l’écriture symbolique mathématique
éditions PETRA, collection « transphilosophiques»
# 8 Les annexes

*Annexe 1 : fiche d'exercices 10*

*Annexe 2 : fiche d'exercice 11*

*Annexe 3 : fiche d'exercice 12*

*Annexe 4 : le sujet de l'interrogation*

*Annexe 5 : le sujet du contrôle*

*Annexe 6 : le sujet du brevet blanc (extraits)*

*Annexe 7 : le cours*
1. Donner une autre écriture de :

a) $\sqrt{9}$; $\sqrt{36}$; $\sqrt{1}$; $\sqrt{49}$; $\sqrt{0}$.

b) $\sqrt{400}$; $\sqrt{1600}$; $\sqrt{10000}$; $\sqrt{8100}$.

c) $\sqrt{0,01}$; $\sqrt{0,04}$; $\sqrt{0,25}$; $\sqrt{0,64}$.

2. Parmi les nombres ci-dessous, lesquels ne sont pas le carré d'un entier ?

$4; 40; 400; 10^3; 121; \frac{27}{3}; -25; 9^6.$

3. Les nombres suivants sont-ils des carrés ?
Si oui, de quel nombre ?

$$ 
\begin{array}{l}
0; 4; -4; 3 + 2 \times 6,5; 1,21; \\
1,21 \times 10^8; 9 \times 10^{-6}; 100; 10; \\
\sqrt{25}; -\sqrt{36}; \frac{9}{4}; \frac{3}{4}; 2^2 \times 3^4.
\end{array}
 $$

4. - Complete : ... est le carré de 5
64 a pour carré ...
... est la racine carrée de 9
... est la racine carrée de 7.

5. Complete ($x > 0$) :

<table><thead><tr><th>x</th><th>25/16</th><th></th><th>3/4</th><th></th><th></th><th>9 x 10<sup>4</sup></th></tr></thead><tbody><tr><td>x<sup>2</sup></td><td></td><td>81/16</td><td></td><td></td><td>25/16</td><td></td></tr><tr><td>√x</td><td></td><td>2/3</td><td></td><td>10<sup>2</sup></td><td>√7</td><td></td></tr></tbody></table>

6. Trouve, si possible, tous les nombres x tels que :

$$ 
\begin{aligned}
x^2 &= 25; x^2 = 49; x^2 = 81; x^2 = 0; x^2 = 1; \\
x^2 &= -4; x^4 = 81.
\end{aligned}
 $$

7. Trouve, si possible, tous les nombres x tels que :

$$ \sqrt{x} = 11; \sqrt{x} = 9; \sqrt{x} = 0; $$

$$ \sqrt{x} = -1; \sqrt{x} = \frac{9}{4}; \sqrt{x} = \frac{3}{2}. $$

8. Sachant que $\sqrt{144} = 12$, calcule :

$$ 
\begin{array}{l}
7. \text{ Calcule :} \\
\sqrt{16}; \sqrt{0,16}; \sqrt{1600}; \\
\sqrt{1,6 \times 10^7}; \sqrt{16 \times 10^{-4}}.
\end{array}
 $$

9. Quelle est la racine carrée de :

a) 16 ; 25 ; 36 ; 81 ; 100 ; 0 ; 121 ?

b) $\frac{9}{4}$; $\frac{25}{16}$; $\frac{81}{64}$; $\frac{121}{100}$?

c) 961 ; 7 225 ; 4 489 ?

10. Sans calculatrice, ecrire les nombres suivants sans radical.

$$ a = \sqrt{14 \times \sqrt{56}} \quad b = \sqrt{27 \times \sqrt{12}} \quad c = \sqrt{24 \times \sqrt{54}} $$

$$ d = \sqrt{15 \times \sqrt{60}} \quad e = \sqrt{28 \times \sqrt{63}} \quad f = \sqrt{45 \times \sqrt{20}} $$

11. Sans calculatrice, donner l'écriture la plus simple possible des nombres suivants.

$$ a = \frac{\sqrt{28}}{\sqrt{7}} \qquad b = \frac{\sqrt{198}}{\sqrt{22}} \qquad c = \frac{\sqrt{140}}{\sqrt{315}} $$

$$ d = \frac{2\sqrt{98}}{\sqrt{18}} \qquad e = \frac{\sqrt{108}}{2\sqrt{27}} \qquad f = \frac{\sqrt{152}}{\sqrt{38}} $$

12. Écrire les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers, $b$ étant le plus petit possible.

$$ a = \sqrt{80} \qquad b = \sqrt{48} \qquad c = \sqrt{72} \qquad d = \sqrt{84} $$

$$ e = \sqrt{56} \qquad f = \sqrt{60} \qquad g = \sqrt{90} \qquad h = \sqrt{52} $$

$$ i = \sqrt{98} \qquad j = \sqrt{24} \qquad k = \sqrt{20} \qquad l = \sqrt{18} $$

13. Écrire les nombres suivants avec un seul radical.

$$ a = \sqrt{3} \times \sqrt{5} \qquad b = \sqrt{2} \times \sqrt{7} $$

$$ c = \sqrt{5} \times \sqrt{7} \qquad d = \sqrt{0,2} \times \sqrt{3} $$

$$ e = \sqrt{0,5} \times \sqrt{0,3} \qquad f = \sqrt{1,3} \times \sqrt{0,7} $$

$$ g = 4\sqrt{14} \times \sqrt{3} \qquad h = 5\sqrt{2} \times 3\sqrt{13} $$

14. Écris sous la forme $a\sqrt{b}$, $b$ étant un entier le plus petit possible

A) a) $\sqrt{50}$; $\sqrt{75}$; $\sqrt{45}$; $\sqrt{288}$; $\sqrt{72}$;

b) $\sqrt{300}$; $\sqrt{160}$; $\sqrt{80}$; $\sqrt{162}$; $\sqrt{32}$;

c) $\sqrt{243}$; $\sqrt{1445}$; $\sqrt{392}$.

B) a) $\sqrt{8}$; $\sqrt{12}$; $\sqrt{27}$;

$$ \sqrt{98}; \sqrt{48}; \sqrt{108} $$

b) $\sqrt{120}$; $\sqrt{360}$; $\sqrt{200}$;

$$ \sqrt{1000}; \sqrt{7500}; \sqrt{8000} $$

C) $2\sqrt{50}$; $5\sqrt{27}$; $3\sqrt{12}$;

$$ 4\sqrt{45}; 4\sqrt{32}; \frac{2}{3}\sqrt{180} $$

15. On donne $A = 9x^2 + 3x - 1$.

a. Calculer $A$ pour $x = \sqrt{3}$.

16. Un triangle a un côté qui mesure 7 cm et la hauteur correspondante mesure 4 cm. Quelle est, à 1 mm près, la mesure du côté d'un carré qui a une aire égale à celle du triangle ?

17. Un jardin rectangulaire dont la longueur est le triple de la largeur a une aire de 196 m². Quelles sont les dimensions de ce jardin ?
Ecrire sous la forme la plus simple
口 possible

$$
\begin{align*}
\textcircled{2} \quad \sqrt{5} \times \sqrt{80} &; \quad \sqrt{45} \times \sqrt{20} &; \quad \sqrt{40} \times \sqrt{360} \\
&; \quad \sqrt{21} \times \sqrt{84} &; \quad \sqrt{48} \times \sqrt{75} &; \quad \sqrt{12,1} \times \sqrt{0,9}.
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\textcircled{3} \quad \sqrt{\frac{20}{11}} \times \sqrt{\frac{44}{5}} &; \quad \sqrt{5} \times \sqrt{\frac{3}{10}} \times \sqrt{6} \\
&; \quad \sqrt{\frac{30}{7}} \times \sqrt{\frac{21}{40}} &; \quad \sqrt{\frac{3}{50}} \times \sqrt{\frac{8}{27}} &; \quad \sqrt{\frac{15}{14}} \times \sqrt{\frac{35}{6}}
\end{align*}
$$

$$
\textcircled{3} \quad \sqrt{24} \times \sqrt{72} \times \sqrt{3} ; \quad \sqrt{7,5} \times \sqrt{90} \times \sqrt{0,03} .
$$

$$
\textcircled{4} \quad \sqrt{45} \times \sqrt{\frac{26}{30}} \times \sqrt{\frac{27}{13}} ; \sqrt{\frac{6,3}{72}} \times \sqrt{\frac{18}{2,8}}
$$

Ecrire sans radical du d'nominateur

$$
\textcircled{5} \quad \frac{\sqrt{28}}{\sqrt{7}} ; \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} ; \frac{\sqrt{0,9}}{\sqrt{10}} ; \sqrt{\frac{1}{9}} ; \sqrt{\frac{9}{49}}
$$

$$
\textcircled{6} \quad \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{48}} ; \frac{\sqrt{200}}{\sqrt{162}} ; \frac{\sqrt{0,12}}{\sqrt{3}} ; \sqrt{\frac{7}{50}} \times \frac{\sqrt{40}}{\sqrt{35}}
$$

$$
\textcircled{7} \quad \frac{1}{\sqrt{2}}; -\frac{3}{\sqrt{3}}; \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}; \frac{5+\sqrt{5}}{\sqrt{5}}
$$

$$
\textcircled{8} \quad \begin{array}{l} \text{Écris le plus simplement possible : } ( 8 a^{-15} ) \\ a = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 7\sqrt{3} \\ b = 2\sqrt{7} - 5\sqrt{7} + 3\sqrt{7} - 4\sqrt{7} \\ c = -\sqrt{8} + 10\sqrt{8} - 2\sqrt{8} - 7\sqrt{8} \\ d = \frac{3}{4}\sqrt{5} - \frac{2}{3}\sqrt{5}. \end{array}
$$

$$
\begin{align*}
\textcircled{9} \quad & a = 2\sqrt{5} + 3\sqrt{2} - 4\sqrt{5} + 5\sqrt{2} + 6\sqrt{5} \\
& b = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 5\sqrt{2} \\
& c = 7\sqrt{3} - 3\sqrt{5} + 4\sqrt{3} + 5\sqrt{5} - \sqrt{3} \\
& d = (3 + 5\sqrt{2}) - (6\sqrt{2} + 7).
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\textcircled{10} \quad & a = \sqrt{18} + \sqrt{50} - \sqrt{8} + \sqrt{32} \\
& b = \sqrt{20} + \sqrt{125} - \sqrt{245} + \sqrt{5} \\
& c = 2\sqrt{50} + 3\sqrt{162} - 5\sqrt{8} \\
& d = 5\sqrt{12} + 3\sqrt{48} - 2\sqrt{75}.
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\textcircled{11} \quad & \text{a) } 5\sqrt{2} - 4\sqrt{8} + 17\sqrt{32} \\
& \text{b) } \sqrt{12} + 4\sqrt{75} - 5\sqrt{48}.
\end{align*}
$$

$$
\textcircled{12} \quad \begin{array}{l} a) 3\sqrt{5} \times 5\sqrt{2} \times 2\sqrt{15} \\ \text{b) } 3\sqrt{15} - 7\sqrt{15} + 2\sqrt{10} \end{array}
$$

$$
\begin{align*}
\textcircled{13} \quad & \text{a) } 7\sqrt{6} - 2\sqrt{96} \times \sqrt{24} \\
& \text{b) } 4\sqrt{3} \times 7\sqrt{6} \times 2\sqrt{8}.
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\textcircled{14} \quad & \text{a) } 2\sqrt{3} - \sqrt{300} + 3\sqrt{12} \\
& \text{b) } 3\sqrt{125} \times 2\sqrt{21} \times \sqrt{35}.
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\textcircled{15} \quad & a = 3\sqrt{8} + \sqrt{32} - \sqrt{72} - 2\sqrt{128} \\
& b = 4\sqrt{27} + 2\sqrt{48} - \sqrt{75} \\
& c = 2\sqrt{12} + 3\sqrt{27} - 2\sqrt{48} \\
& d = 3\sqrt{80} - 2\sqrt{45} + \sqrt{20} \\
& e = 5\sqrt{54} - 3\sqrt{24} + 2\sqrt{6} \\
& f = 3\sqrt{125} - 2\sqrt{45} + \sqrt{20} - 2\sqrt{80} \\
& g = \sqrt{363} - 5\sqrt{3} + \sqrt{108} - 3\sqrt{12}.
\end{align*}
$$

$$
\textcircled{16} \quad \begin{array}{l} \text{Développe et réduis (exercices 16 à 22).} \\ \text{a) } (\sqrt{2} + 1)^2; (\sqrt{3} - 1)^2; (\sqrt{5} + 2)^2; \\ \text{b) } (\sqrt{7} - 3)^2; (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2; (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2. \end{array}
$$

$$
\textcircled{17} \quad \ldots (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1); (\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 2); \\
(\sqrt{5} + \sqrt{7})(\sqrt{5} - \sqrt{7}).
$$

$$
\textcircled{18} \quad (2\sqrt{3} + 5)^2; (2\sqrt{7} - 3)^2; \\
(2\sqrt{5} + 3)(2\sqrt{5} - 3).
$$

$$
\textcircled{19} \quad (3\sqrt{2} + 4)^2; (3\sqrt{2} - 4)^2; \\
(3\sqrt{2} - 4)(3\sqrt{2} + 4).
$$

$$
\textcircled{20} \quad (5\sqrt{3} + \sqrt{2})^2; (3\sqrt{2} - 5\sqrt{7})^2; \\
(2\sqrt{3} - 3\sqrt{2})(2\sqrt{3} + 3\sqrt{2}).
$$

$$
\textcircled{21} \quad (1 - \sqrt{2})(5\sqrt{2} + 3); \\
(\sqrt{2} - 5\sqrt{3})(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}); \\
(2 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) - (4 - \sqrt{2})(3 - 5\sqrt{2}).
$$

$$
\textcircled{22} \quad \begin{aligned} & (\frac{3}{4}\sqrt{2} + 5)(\frac{2}{3}\sqrt{2} - 3); \\ & (\frac{3}{5}\sqrt{3} + 2\sqrt{5})(7\sqrt{3} - \frac{2}{3}\sqrt{5}). \end{aligned}
$$

$$
\textcircled{23} \quad \begin{array}{l} \text{Parmi les quatre nombres suivants, quels sont} \\ \text{ceux qui sont égaux ?} \\ A = (\sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{3} - \sqrt{5}); \quad B = (\sqrt{3} + \sqrt{5})^2; \\ C = -2; \quad D = 2\sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{5}) + 2. \end{array}
$$

$$
A = (\sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{3} - \sqrt{5}); \quad B = (\sqrt{3} + \sqrt{5})^2; \\
C = -2; \quad D = 2\sqrt{3}(\sqrt{3} + \sqrt{5}) + 2.
$$

$$
\textcircled{24} \quad \begin{array}{l} \text{Est-il vrai qu'un} \\ \text{seul des quatre} \\ \text{nombres A, B, C et D peut} \\ \text{s'écrire sans radical ?} \end{array}
$$

$$
A = (3 + \sqrt{2})^2;
$$

$$
B = (3 - \sqrt{2})^2;
$$

$$
C = \sqrt{2}(3 + \sqrt{2});
$$

$$
D = (3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2}).
$$

$$
\textcircled{25} \quad \begin{array}{l} \text{Une bouteille cylindrique de 12 cm de} \\ \text{hauteur a une capacité de 1 l. Quel est le} \\ \text{diamètre de sa base ?} \end{array}
$$

$$
\textcircled{26} \quad \begin{array}{l} \text{Quelle est la longueur du côté d'un carré} \\ \text{ayant la même aire qu'un disque de 1 m de} \\ \text{ravon ? Quelle est alors la longueur de la dia-} \end{array}
$$
Ex 1) Simplifier le plus possible l'écriture des nombres suivants :

$$
\begin{align*}
A &= 2\sqrt{12} + 3\sqrt{27} - 2\sqrt{48} \\
B &= 3\sqrt{8} + \sqrt{32} - \sqrt{72} = \\
C &= 3b\sqrt{3} + 42b\sqrt{27} = \\
D &= b\sqrt{4} - b\sqrt{36} + b\sqrt{64} = \\
E &= 3\sqrt{8} + \sqrt{32} - \sqrt{72} - 2\sqrt{288} = \\
F &= 5\sqrt{54} - 3\sqrt{24} + 2\sqrt{6} = \\
G &= 2a\sqrt{2} + 5a\sqrt{8} + a\sqrt{18} = \\
H &= 4\sqrt{27} - 2\sqrt{48} - \sqrt{75} =
\end{align*}
\begin{align*}
I &= 3\sqrt{80} - 2\sqrt{45} + \sqrt{20} = \\
J &= a\sqrt{16} + a\sqrt{9} - a\sqrt{25} = \\
K &= 5\sqrt{54} - 3\sqrt{64} + 2\sqrt{6} = \\
L &= 6\sqrt{128} - 2\sqrt{72} + 4\sqrt{12} = \\
M &= 3\sqrt{2} + \sqrt{8} - 2\sqrt{2} = \\
N &= 3\sqrt{12} + 3\sqrt{27} - 2\sqrt{3} = \\
O &= 5\sqrt{25} + 2\sqrt{125} + \sqrt{75} = \\
P &= \sqrt{729} - 4\sqrt{162} + 2\sqrt{324} =
\end{align*}
$$

Ex 2) Développer puis simplifier, si possible :

$$
\begin{align*}
a) (2\sqrt{3} + 4)(2\sqrt{3} - 4) &= (5\sqrt{3} + 2\sqrt{4})^2 = & (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) &= \\
b) (2\sqrt{7} - 4\sqrt{5})^2 &= (4\sqrt{9} - 4\sqrt{4})^2 &= & (\sqrt{5} - \sqrt{7})^2 &= \\
c) (2\sqrt{5} + 2)(3 - \sqrt{5}) &= (6\sqrt{5} + 2\sqrt{3})^2 &= & (\sqrt{3} + 2)^2 &= \\
d) (3\sqrt{3} - 4)(6 - 2\sqrt{3}) &= (5 - \sqrt{11})^2 &= & (\sqrt{7} + 2\sqrt{5})^2 &= \\
e) (\sqrt{5} + 3)^2 &= (4\sqrt{7} - 1)^2 &= & (\sqrt{5} + 3\sqrt{3})(5\sqrt{3} - 2\sqrt{5}) &= \\
f) (\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5}) &= (\sqrt{8} + 5)(2\sqrt{2} + 2) &= & (4\sqrt{2} + 5\sqrt{3})(5\sqrt{3} - 4\sqrt{2}) &=
\end{align*}
$$

Ex 3) 1°) Calculer :

$$
(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}); (\sqrt{5}-\sqrt{2})^2; \sqrt{13^2-12^2}
$$

2)° On pose : $A = 25x^2 - 4 - (2x + 3)(5x + 2)$

a) factoriser 25x² - 4

b) utiliser ce résultat pour factoriser A

c) Développer, réduire et ordonner A et calculer A pour x= 1 puis pour x= -√2

Ex 4) Soit $A = 4x^2 + 7x - 3$

Calculer A pour $x = 0$ ; pour $x = \sqrt{2}$ ; pour $x = -\frac{\sqrt{2}}{3}$ ; pour $x = \sqrt{5}$

Ex 5) Soit $A = 2x^2 + 3x - 2$

Calculle A pour $x = 0$ ; pour $x = \frac{2}{3}$ ; pour $x = \sqrt{3}$

Ex 6) Soit $A = 4x^2 - 6x - 8$

Calculle A pour $x = -\sqrt{2}$ ; pour $x = 3\sqrt{2}$ ; pour $x = \sqrt{2} + 3$

Ex 7) Soit $A = \frac{x-1}{x^2+1}$

Calculle A pour $x = \sqrt{2}$ ; $x = 3\sqrt{5}$

Ex 8) Soit $B = 1+x^2+x^4$

Calculer B pour $x = 0$ ; pour $x = \sqrt{3}$ ; pour $x = -\sqrt{3}$

Ex 9) Résoudre les équations suivantes :

$$
\begin{array}{l@{\quad}l@{\quad}l@{\quad}l@{\quad}l}
 & & & & x^2 + 16 = 0 \\
\begin{array}{l} X^2 = 25 \\ X^2 = 0 \end{array} & x^2 + 9 = 0 & x^2 = 1 & x^2 - 17 = 0 & x^2 + 36 = 0 \\
 & x^2 - 11 = 0 & x^2 = 64 & x^2 - 256 = 0 & x^2 + 1 = 0 \\
\begin{array}{l} X^2 = 1,6 \times 10^{-3} \\ (x-1)^2 = 25 \end{array} & x^2 - 169 = 0 & x^2 = 25 \times 10^4 & x^2 + 144 = 0 & (x+1)^2 = 16 \\
 & (x-3)^2 = 49 & x^2 = 12 & x^2 + 20 = 0 & (2x)^2 = 36 \\
 & x^2 = 36 & 5x^2 = 180 & -6x^2 = -54 & x^2 = 18 \\
 & & & 16x^2 = 25 & x^2 = 8100 & x^2 + 16 = 0
\end{array}
$$

Ex 10) Soit $C = (3x - 5)^2 - (3x - 5)(4x + 3) + 9x^2 - 25$

1°) Développer C

2°) Factoriser C

3)° Calculer C pour $x = \frac{3}{4}$ ; pour $x = \sqrt{2}$ ; pour $x = \sqrt{3} + 1$

Ex 11) Un triangle équilatéral ABC est tel que AB = 8 cm. Soit [AH] la hauteur issue de A. Calculer AH

Ex 12) Un carré est inscrit dans un cercle de 54 cm de rayon. Quelle est la longueur de son côté ?
Ex1) Retrouver l'entier parmi les deux nombres divินent

$$A = \sqrt{20} =$$

$$B = \sqrt{80} =$$

$$C = 2\sqrt{2} \times \sqrt{10} =$$

L'entier est ...

$$D = \sqrt{15} =$$

$$E = \sqrt{\frac{90}{2}} =$$

$$F = 7\sqrt{5} - 3\sqrt{5} =$$

Ex2) Ecrire le pluוי simplement positive :

$$G = \sqrt{18} + \sqrt{50} - \sqrt{8} + \sqrt{32} =$$

$$I = 2\sqrt{50} + 3\sqrt{162} - 5\sqrt{8} =$$

Ex3) Dans chaque ligne, cocher l'une des deux réponses :

<table><thead><tr><th>et/or égal à</th><th>0</th><th>3</th><th>√3</th><th>2√3</th><th>3√3</th></tr></thead><tbody><tr><td>√3 + √3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>√27</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>√3 × √3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>√75/5</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>(√5+√2)(√5-√2)</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>(√3+1)² - 4</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></tbody></table>

Ex4) Prouver que $A$ est un nombre enhosé

$$a = \sqrt{8} \times \sqrt{2} - 2\sqrt{75} + 5\sqrt{12}$$

$A = ...$

Ex5) Trouver le nombre égal à zéro parmi :

$$N = \sqrt{45} - \sqrt{80} + \sqrt{5}$$

$$U = \sqrt{98} - \sqrt{32} - \sqrt{18}$$
<figure><img src="image_5.png" /></figure>

3ème

CONTROLE N° 5

CHAP 4 & 5

Ex 1) Donner les résultats des calculs suivants sous la forme $a\sqrt{b}$ (b est un nombre entier)

$$A = \sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{50} - \sqrt{32} - \sqrt{98}$$

$$B = 3\sqrt{45} + 2\sqrt{20} - 4\sqrt{80}$$

$$C = 5\sqrt{300} - 2\sqrt{12} + \sqrt{363}$$

Ex 2) Soit $A = 4x(x+3) - 10x + 5$

1- Développer et réduire A

2- Calculer $A$ si $x = -1$ ; si $x = \sqrt{2}$ et si $x = -\sqrt{3}$

Ex 3) Soit la figure ci-contre (elle n'est pas à la bonne échelle)

1- Démontrer que les droites (RS) et (MN) sont parallèles

2- Calculer la valeur exacte de la longueur ST

3- Calculer la valeur exacte de la longueur MN

4- Calculer la mesure de l'angle RST à 0,1 degré près

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

Ex 4) Tracer un cercle de centre O et de rayon 6 cm. On place deux points distincts A et B sur ce cercle tel que $\widehat{OAB} = 26^\circ$. La droite (OB) coupe le cercle en C (C est diamétralement opposé à B)

1- Donner la mesure de l'angle $\widehat{ABO}$ le justifier

2- Donner la nature du triangle ABC le justifier

3- Calculer AB et donner sa valeur arrondie à 1 mm près
# EPREUVES COMMUNES

## ANNEE 2005/2006

## EPREUVE de MATHEMATIQUES

<table><tr><td>RAPPEL :</td><td>Toutes les réponses doivent être justifiées.<br>Les théorèmes utilisés doivent être clairement et complètement énoncés.<br>Les réponses en écriture fractionnaires seront écrites sous forme de fractions irréductibles.</td></tr></table>

### EXERCICES NUMERIQUES

14 points

**Exercice 1 :**

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

1) Soit le nombre $A = \sqrt{500} - 2\sqrt{5} + 3\sqrt{20}$.

1.5 pt

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

Montrer que A peut s'écrire sous la forme $a\sqrt{5}$, où a est un nombre entier

1 nt.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

2) Développer et réduire $B = (5+\sqrt{5})^2$.

3) Calculer C et D et donner chaque résultat sous la forme la plus simple possible :

$$C = \frac{1}{4} + \frac{3}{2} \times \frac{5}{12}$$

$$D = \frac{\left(\frac{8}{7} - 2\right)}{\frac{9}{14}}$$

C 1 nt et D 1 nt

4) Simplifier le nombre E, donner son écriture scientifique et son écriture décimale.

$$E = \frac{-24 \times 10^7 \times 8 \times 10^{-13}}{3 \times 10^{-3}}$$

1.5 pt

**Exercice 2 :**

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

On considère l'expression : $F = (2x+3)^2 - (2x+3)(x-7)$

1,5 pt

1. Développer puis réduire F.

1 pt

2. Factoriser F.

1 pt

3. Résoudre l'équation : $(2x+3)(x+10) = 0$.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

4. Calculer F pour $x = -\frac{3}{2}$ ; $x = 7$ et $x = -\sqrt{3}$ (pour le dernier calcul, on donnera la réponse sous forme $a-b\sqrt{3}$ où a et b sont des entiers).

0,5 par
réponse

<table><tr><td>Epreuves communes : Année 2002/2003</td><td>Durée : 2 heures</td></tr><tr><td>Epreuve de mathématiques</td><td>Page 1 sur 4</td></tr></table>
**Exercice 3 :**

<table><tr><td>3 pt</td></tr></table>

1. Calculer le plus grand diviseur commun de 9240 et 3822 (on indiquera la méthode utilisée).

<table><tr><td>2 pt</td></tr></table>

2. Simplifier la fraction $\frac{3822}{9240}$ pour la rendre irréductible ; vous noterez sur votre copie le détail des calculs.

<table><tr><td>1 pt</td></tr></table>

**TRAVAUX GEOMETRIQUES**

**Exercice 1 :**

<table><tr><td>6,5 pt</td></tr></table>

12 points

Dans cet exercice, l'unité de mesure de longueur est le centimètre. Vous répondrez aux différents questions en citant les théorèmes utilisés et en justifiant leur application.

Sur le schéma ci-contre :

les points B, A, O, F et H sont situés sur la droite $\mathcal{D}_1$;

les points D, C, O, E et G sont situés sur la droite $\mathcal{D}_2$;

les droites (AC) et (BD) sont parallèles ;

$$OA = 6; OB = 9; OC = 5; OE = 2,5;$$

$$OF = 3; OG = 4,5; OH = 5,3$$

1. Calculer la mesure exacte de la distance OD.

2. Les droites (EF) et (AC) sont-elles parallèles ?
Pourquoi ?

3. Les droites (GH) et (AC) sont-elles parallèles ?
Pourquoi ?

<figure><img src="image_12.png" /></figure>

<figure><img src="image_13.png" /></figure>

<figure><img src="image_14.png" /></figure>

**Exercice 2 :**

<table><tr><td>5,5 pt</td></tr></table>

1. Soit un repère orthonormé (O, I, J). (On prendre $OI = OJ = 1$ cm)
Placer les points A(-2;1) ; B(-1;3) et C(5;0)

<table><tr><td>1.5 mt</td></tr></table>

2. Démontrer que la valeur exacte de AB est $\sqrt{5}$.

<table><tr><td>1 pt</td></tr></table>

3. On admet dans la suite de l'exercice que : $AC = 5\sqrt{2}$ et $BC = 3\sqrt{5}$
Démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.

<table><tr><td>1 nt dont 0.5 jour, th</td></tr></table>

4. Tracer le cercle circonscrit au triangle ABC, préciser son centre et calculer son rayon.

<table><tr><td>0,5 + 0,5</td></tr></table>

5. Soit M le milieu de [AC], construire le point D symétrique de B par rapport à M. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse.

<table><tr><td>1 nt</td></tr></table>

<table><tr><td>Epreuves communes : Année 2002/2003</td><td>Durée : 2 heures</td></tr><tr><td>Epreuve de mathématiques</td><td>Page 2 sur 4</td></tr></table>
PROBLEME

13 points

Soit ABC un triangle rectangle en A, on donne AC = 15 cm et BC' = 30 cm

1. Faire la figure à l'échelle $\frac{1}{2}$ sur la feuille annexe que l'on complétera au fur et à mesure.

1 nt

1 nt

2. Calculer la longueur AB en donner la valeur exacte.

3. Calculer la mesure exacte de l'angle $\text{ÂBC}$

0,5 pt

4. On appelle I le milieu de [BC], la médiatrice de [BC] coupe la droite (AB) en J et la droite (AC) en K. Montrer que $CI = 15$

1,5 pt dont 0,5 pour triangle rectangle

5. Quelle est la nature du triangle KIC. En déduire que les angles $\text{ÂBC} = \text{CKI} = 30°$

2 nt

6. Calculer les mesures exactes de KC et de KI puis donner la valeur arrondie au millimètre près de KI.

1,5 + 1,5 pt

7. On trace la hauteur (AH) issue de A du triangle ABC, elle coupe [BC] en H
Que peut-on dire des droites (AH) et (KI) ?

1 pt

8. Calculer la mesure exacte de AH puis sa valeur arrondie au millimètre.

2 pt

Fin.

1 point présentation

<table><tr><td>Epreuves communes : Année 2002/2003</td><td>Durée : 2 heures</td></tr><tr><td>Epreuve de mathématiques</td><td>Page 3 sur 4</td></tr></table>

<figure><img src="image_15.png" /></figure>

<figure><img src="image_16.png" /></figure>
<figure><img src="image_17.png" /></figure>

I) INTRODUCTION :

1- Manipulation de la machine à calculer :

$7,3^2=$

$\sqrt{7}=$

$8,5^3=$

$\sqrt{27}=$

$(-3)^2=$

$(\sqrt{26})^2=$

$6^8=$

$\sqrt{0}=$

2- carré, racine carrée :

<table><tr><td>a</td><td>4</td><td>9</td><td>16</td><td>25</td><td>36</td><td>49</td><td>1,44</td><td>1,96</td><td>-9</td><td>-25</td></tr><tr><td>√a</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>(√a)²</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>

⇒ Conclusion : - un nombre négatif n'a...

- un nombre et son opposé...

3- racine carré : addition et soustraction :

<table><tr><td>a</td><td>b</td><td>√a</td><td>√b</td><td>√a + √b</td><td>a + b</td><td>√a + b</td><td>√a - √b</td><td>a - b</td><td>√a - b</td></tr><tr><td>2</td><td>3</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>9</td><td>16</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>5</td><td>20</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>-3</td><td>12</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>

⇒ conclusions : - √a + √b ...

√a - √b...

4- racine carrée : produit et quotient

<table><tr><td>a</td><td>b</td><td>a x b</td><td>a/b</td><td>√a</td><td>√b</td><td>√a x √b</td><td>√a x b</td><td>√a/√b</td><td>√a/b</td></tr><tr><td>4</td><td>25</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>9</td><td>36</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr><tr><td>5</td><td>12</td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td></tr></table>

⇒ conclusions :
I) INTRODUCTION :

1- Manipulation de la machine à calculer :

$7,3^2 = 83,29$

$8,5^2 = 614,125$

$(-3)^2 = 9$

$6^2 = 169,616$

$\sqrt{7} = 2,45377...$

$(\sqrt{26})^2 = 26$

$\sqrt{0} = 0$

2- carré, racine carrée :

<table><thead><tr><th>a</th><th>4</th><th>9</th><th>16</th><th>25</th><th>36</th><th>49</th><th>1,44</th><th>1,96</th><th>-9</th><th>-25</th></tr></thead><tbody><tr><td>√a</td><td>2</td><td>3</td><td>4</td><td>5</td><td>6</td><td>7</td><td>1,2</td><td>1,14</td><td></td><td>▲</td></tr><tr><td>(√a)^2</td><td>4</td><td>9</td><td>16</td><td>25</td><td>36</td><td>49</td><td>1,44</td><td>1,96</td><td></td><td>▲</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_18.png" /></figure>

<figure><img src="image_19.png" /></figure>

⇒ Conclusion : - un nombre négatif n'a... pas de racine carrée
- un nombre et son opposé... est le même nombre (la)$^2$ = a, √a = a, a est un nombre tel que a > 0

La condition que a > 0 est la même que la condition que a > 0

3- racine carré : addition et soustraction :

<table><thead><tr><th>a</th><th>b</th><th>√a</th><th>√b</th><th>√a + √b</th><th>a + b</th><th>√a + √b</th><th>√a - √b</th><th>a - b</th><th>√a - b</th></tr></thead><tbody><tr><td>2</td><td>3</td><td>1,414</td><td>1,732</td><td>3,146</td><td>5</td><td>2,236</td><td>-0,318</td><td>-1</td><td>▲</td></tr><tr><td>9</td><td>16</td><td>3</td><td>4</td><td>7</td><td>25</td><td>√25 = 5</td><td>-1</td><td>-7</td><td>▲</td></tr><tr><td>5</td><td>20</td><td>2,236</td><td>4,492</td><td>6,708</td><td>25</td><td>√25 = 5</td><td>-2,236</td><td>-15</td><td>▲</td></tr><tr><td>-3</td><td>12</td><td>▲</td><td>3,464</td><td>-</td><td>9</td><td>3</td><td>-</td><td>-15</td><td>▲</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_20.png" /></figure>

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

<figure><img src="image_22.png" /></figure>

<figure><img src="image_23.png" /></figure>

⇒ conclusions : - $\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a+b}$, a > 0
- $\sqrt{a} - \sqrt{b} \neq \sqrt{a-b}$, a > 0

La condition que a > 0 et b > 0 est la même que la condition que a > 0

4- racine carrée : produit et quotient

<table><thead><tr><th>a</th><th>b</th><th>a x b</th><th>a/b</th><th>√a</th><th>√b</th><th>√ax√b</th><th>√axb</th><th>√a/√b</th><th>√a/b</th></tr></thead><tbody><tr><td>4</td><td>25</td><td>100</td><td>1/25<br>0,16</td><td>2</td><td>5</td><td>10</td><td>√100<br>= 10</td><td>2/5 = 0,4</td><td>0,4</td></tr><tr><td>9</td><td>36</td><td>324</td><td>1/4<br>0,25</td><td>3</td><td>6</td><td>12</td><td>√324<br>= 12</td><td>3/6 = 0,5</td><td>√0,25 = 0,5</td></tr><tr><td>5</td><td>12</td><td>60</td><td>5/12</td><td>2,236</td><td>3,464</td><td>7,746</td><td>√60 = 7,746</td><td>0,645</td><td>0,645</td></tr></tbody></table>

⇒ conclusions : $\sqrt{ax} \sqrt{b} = \sqrt{axb}$, la condition que a > 0 et b > 0 est la même que la condition que a > 0

$\sqrt{a}/\sqrt{b} = \sqrt{a/b}$, la condition que a > 0 et b > 0 est la même que la condition que a > 0
Il aurait parfois qu'on tente un nombre, qui se remaining zero : ce nombre n'est ni en entier, ni un décimal, ni un rational :

c'est un irrationnel :

$$ \sqrt{5} \approx 2,2360679472 $$

Il n'est pas de nombre décimal dont la carre est égal à 5 ou dont de contenter de donner une valeur approchée :

$$ \sqrt{5} \approx 2,236 \ (\text{par défaut } a \sim 10^{-3} \text{ près}) $$

## II. Racine carrière

### 1) Définition

La racine carrière d'un nombre pointé, la racine carrière de a est le nombre pointé dont la carre est a :

la racine carrière de a est notée $\sqrt[\underline{\hspace{20pt}}]{a}$

$\sqrt{a}$ — radicande ( $\sqrt{a}^2 = a$ )

$$ \sqrt{0} = 0 $$

$$ \sqrt{1} = 1 $$

**Remarque :**

* $\sqrt{a}$ n'a pas de sens lorsque a est répétitif (comme on l'a vu dans le rétrograd. $\sqrt{-3}$ impossible)

* en rattachant l'équité $-\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ tient à la vérité : elle désigne l'opposé de $\sqrt{3}$

en effet $-\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$ ont tous les deux pour carre 3

$$ (-\sqrt{3})^2 = 3 $$

$$ (\sqrt{3})^2 = 3 $$

▲ Lorsque a est un nombre non nul :

$$ \sqrt{a}^2 = -a $$

$$ \sqrt{a^2} = \sqrt{9} = 3 \quad \text{si } a < 0 $$

ou -3

$$ \sqrt{-3} = -3 $$

## III. Propriété de racine carrière :

### 1) Simplification d'une racine carrière

Certaines racines carrières ont un radicande qui est un nombre non nul :

permet de factoriser ce nombre, il faut d'avoir le radicande en produit de facteur premier.

$$ \text{(rapport : nombre premier $1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29$}, \\ \text{ou $3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29$)}) $$

$$ \begin{array}{l@{\hspace{2em}}c@{\hspace{1em}}l} \sqrt{180} & = & 2 \\ \sqrt{90} & = & 2 \\ \sqrt{45} & = & 3 \\ \sqrt{15} & = & 3 \\ \sqrt{5} & = & 5 \end{array} $$

$$ \sqrt{180} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 5} $$

ou il faut apparaître de

$$ \sqrt{5^2 \times 2} $$

$$ 5 \times 5 $$

$$ \sqrt{180} = 2 \times 3 \sqrt{5} \quad \text{ou} \quad \sqrt{5} $$

$$ \sqrt{20 \times 52} $$

$$ \sqrt{172} = \sqrt{2^2 \times 43} \\ \sqrt{36} = 2 \\ \sqrt{43} = 43 $$

$$ \sqrt{172} = \sqrt{2^2 \times 43} \\ = 2 \sqrt{43} $$
Comme nous l'avons eu dans le tableau

$$ \begin{array}{r} \sqrt{ax} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \\ \uparrow \quad \downarrow \\ \sqrt{4} \times \sqrt{25} = \sqrt{100} = 10 \end{array} $$

$$ \begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} & \sqrt{4} & \times \sqrt{25} \\ \equiv & \downarrow & \downarrow \\ & 2a & \times 5 = 10 \end{array} $$

Le produit de 2 racines carrées est égal à la racine carrée du produit.
$$ \text{avec } a \ge 0 \text{ et } b \ge 0 $$

$$ \sqrt{ab} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} $$

Ex. Simplifier l'équation

$$ \begin{align*} \sqrt{75} \times \sqrt{32} &= \sqrt{75 \times 32} \\ &= \sqrt{3 \times 25 \times 2 \times 16} \\ &= 4 \times 5 \sqrt{3 \times 2} \\ &= 20 \sqrt{6} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} \sqrt{\frac{4}{21}} \times \sqrt{\frac{35}{16}} &= \sqrt{\frac{4 \times 35}{21 \times 16}} = \sqrt{\frac{4 \times 7 \times 5}{7 \times 3 \times 16}} \\ &= \sqrt{\frac{5}{12}} \end{align*} $$

3) Racine carrée d'un quotient

Comme nous l'avons eu dans le tableau

$$ \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{12^2}} $$

Le quotient de 2 racines carrées est égal à la racine carrée du quotient avec $a \ge 0$ et $b > 0$.

$$ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $$

Ex. Simplifier l'équation

$$ \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{175}} = \sqrt{\frac{6 \times 7}{45 \times 17}} = \sqrt{\frac{6}{25}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{6}}{5} $$

<figure><img src="image_24.png" /></figure>

ATTENTION

$$ \text{Ex. } \sqrt{9+16} \neq \sqrt{9} + \sqrt{16} \text{ en effectuant le tableau} $$

$$ \begin{align*} \sqrt{9+16} &= \sqrt{25} = 5 \\ \sqrt{9} + \sqrt{16} &= 3 + 4 = 7 \end{align*} $$

demême

$$ \begin{align*} \sqrt{100-36} & \neq \sqrt{100} - \sqrt{36} \\ \sqrt{64}=8 & \neq 10-6=4 \end{align*} $$

Comme nous l'avons eu dans

La racine carrée d'une somme n'est pas la somme des racines. Cela se comprend d'une différence n'est pas la différence de racines carrées.
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IREM Université Paris 7
Case 7018
2 place Jussieu
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## TITRE :

La racine carrée en troisième. Des enseignements aux apprentissages.

## AUTEUR :

Anne Dumail, dirigée par Aline Robert.

## RÉSUMÉ :

Ce mémoire, situé dans le cadre général de la théorie de l'activité, présente une étude de cas concernant 27 élèves d'une classe de troisième : il cherche à établir et à caractériser les liens entre l'enseignement proposé sur la notion « racine carrée » et les apprentissages des élèves. L'analyse des données recueillies, traitées grâce à une méthodologie spécifique associée au cadre théorique choisi (attentive en particulier à la nature, la difficulté et la fréquence des adaptations proposées), permet ainsi de mettre en relation les activités possibles des élèves, inférées par le couple tâches/déroulement, avec leurs productions lors des évaluations. De plus, grâce aux trois évaluations à trois moments différents de l'enseignement de la notion, le rôle du facteur temps se trouve questionné. En particulier, l'observation d'un phénomène de régression à long terme, pour certains élèves, amène à s'interroger sur l'existence de « connaissances fragiles » : l'enseignement proposé, caractérisé par des tâches isolées et très découpées, ne permettrait pas de les transformer en connaissances solides. En outre, sont mis en évidence des éléments de différentiation très nets : deux groupes d'élèves, aux résultats et aux comportements très différents, sont distingués tout au long des analyses. Enfin, la notion « racine carrée », enseignée en troisième dans un cadre qualifié de « pseudo-algébrique », permet de pointer la question du jeu permanent mais implicite, entre cadre numérique et cadre algébrique, au sein duquel on fait travailler les élèves en collège. En ce sens, les radicaux ne seraient pas des sources mais plutôt des révélateurs de difficultés liées à un problème plus vaste.

## MOTS CLES :

racine carrée, activités, tâches, déroulements, adaptations, contrôles, différentiation.

Editeur : IREM

Université PARIS 7-Denis Diderot

Directeur responsable de la

publication : R. CORI

Case 7018 - 2 Place Jussieu

75251 PARIS Cedex 05

Dépôt légal : 2007

ISBN : 978-2-86612-294-2