# Sur un crible universel.

Par

W. Sierpiński (Varsovie).

Un ensemble plan C sera dit *crible normal* (plan) de M. Lusin, s'il est une somme d'une infinité dénombrable de segments parallèles à l'axe $Ox$ et dont les extrémités ont des coordonnées rationnelles<fnref n="1" />).

Pareillement, nous dirons qu'un ensemble $\Gamma$ situé dans l'espace est un crible normal à 3 dimensions, s'il est une somme d'une infinité dénombrable de rectangles, dont les côtés sont parallèles aux axes $Ox$ et $Oy$ et dont les sommets ont des coordonnées rationnelles.

M. Lusin m'a posé le problème de construire un crible universel à 3 dimensions, c'est-à-dire un crible normal à 3 dimensions, $U$, tel que, quel que soit le crible normal plan $C$, il existe un nombre réel $c$, tel que l'intersection de l'ensemble $U$ par le plan $y=c$ est le crible $C$.

Le but de cette Note est la construction d'un tel crible $U$.

Soit

$$ (1) \qquad r_1, r_2, r_3, \dots $$

la suite formée de tous les nombres rationnels (difiérents), et soit

$$ (2) \qquad \delta_1, \delta_2, \delta_3, \dots $$

la suite formée de tous les intervalles aux extrémités rationnelles, l'intervalle vide $y$ inclus.

Nous dirons qu'un rectangle $R$ situé dans l'espace jouit de la

<footnote n="1">¹) Cf. N. Lusin *Fund. Math.* t. X, p. 9 et p. 20; cf. aussi le livre de M. Lusin: *Legons sur les ensembles analytiques*, Paris, Gauthier-Villars 1930, p. 178.</footnote>
propriété P, si ses côtés sont parallèles aux axes Ox et Oy et s'il
existe des nombres naturels

$$
k, l, n_1, n_2, n_3, \dots, n_{2k-1}(2l-1),
$$

tels que R est située sur le plan $z = r_k$ et que les projections
de R sur les axes Ox et Oy sont respectivement les intervalles

$$
(3) \qquad \delta_{n_2 k-1 (2l-1)}
$$

et

$$
(4) \quad \left( \frac{1}{|n_1|} + \frac{1}{|n_2|} + \dots + \frac{1}{|n_{2k-1}(2l-1)|} \right) , \quad \left( \frac{1}{|n_1|} + \frac{1}{|n_2|} + \dots + \frac{1}{|n_{2k-1}(2l-1)|} + \frac{1}{|n_2|} \right) .
$$

Soit U l'ensemble-somme de tous les rectangles R jouissant de
la propriété P. Je dis que U est le crible universel cherché.

Soit C un crible normal plan donné quelconque, situé sur le
plan X0Z. k étant un indice donné, désignons par

$$
(5) \qquad \delta_{m_1^{(k)}}, \delta_{m_2^{(k)}}, \delta_{m_3^{(k)}}, \dots
$$

tous les intervalles de la suite (2) appartenant à C et situés sur la
droite $z=r_k$. (Nous pourrons toujours supposer la suite (5) infinie,
en repetant, s'il y a besoin, une infinité de fois l'intervalle vide).

p étant un nombre naturel, il existe, comme on sait, deux nom-
bres naturels bien déterminés par p, k et l, tels que

$p = 2^{k-1} (2l - 1):$

désignons-les resp. par $\varphi(p)$ et $\psi(p)$.

Posons

$$
(6) \qquad \nu_p = m_{\psi(p)}^{(\varphi(p))}, \quad \text{pour } p = 1, 2, 3, \dots
$$

et

$$
(7) \qquad \eta = \frac{1}{|v_1|} + \frac{1}{|v_2|} + \frac{1}{|v_3|} + \dots
$$

Je dis que l'intersection de l'ensemble U par le plan $y = \eta$ est
le crible C.

Il suffira évidemment de démontrer que, quel que soit le nom-
bre naturel k donné, l'intersection de U par la droite $y = \eta$, $z = r_k$
est la somme des intervalles (5)..

Soit l un indice donné et désignons par R le rectangle situé
dans le plan $z=r_k$ aux côtés parallèles aux axes Ox et Oy et dont

les projections sur les axes Ox et Oy sont respectivement les intervalles

$$
\delta_{v_{2k-1}(2l-1)}
$$

et

$$
(8) \quad \left( \frac{1}{|v_1|} + \frac{1}{|v_2|} + \dots + \frac{1}{|v_{2k-1}(2l-1)|} \right) , \quad \left( \frac{1}{|v_1|} + \frac{1}{|v_2|} + \dots + \frac{1}{|v_{2k-1}(2l-1)|} + \frac{1}{|v_2|} \right)
$$

Le rectangle R jouit évidemment de la propriété P.

D'après (6) et d'après la définition des fonctions $\varphi$ et $\psi$, nous avons:

$$
\delta_{v_{2k-1}(2l-1)} \equiv \delta_{m_l^{(k)}}.
$$

Or, d'après (7), le nombre $\eta$ appartient à l'intervalle (8). On en déduit sans peine que la droite $y=\eta$, $z=r_k$ a en commun avec R, donc, à plus forte raison, avec U, l'intervalle $\delta_{m_l^{(k)}}$.

L'indice *l* pouvant être quelconque, nous avons démontré que la somme des intervalles (5) appartient à la fois à U est à la droite $y = \eta$, $z = r_k$.

Soit maintenant R un rectangle jouissant de la propriété P qui
a des points communs avec la droite $y=\eta$, $z=r_k$ et dont les pro-
jections sur les axes Ox et Oy sont respectivement les intervalles
(3) et (4). Le nombre $\eta$ appartient donc à l'intervalle (4) et on en
déduit tout de suite que

$$
n_i = v_i, \text{ pour } i \le 2^{k-1}(2l-1);
$$

donc, d'après (6):

$$
\delta_{n_2^{k-1}(2l-1)} = \delta_{v_2^{k-1}(2l-1)} = \delta_{m_k^{(k)}}
$$

d'où résulte que l'intersection de R par la droite $y = \eta$, $z = r_k$ est un des intervalles (5). R pouvant être un rectangle quelconque jouissant de la propriété P et ayant des points communs avec la droite $y = \eta$, $z = r_k$, nous avons ainsi démontré que le produit de U par la droite $y = \eta$, $z = r_k$ est contenu dans la somme des intervalles (5).

Il est ainsi établi que l'intersection de U par la droite $y = \eta$,
$z=r_k$ est la somme des intervalles (5), et cela prouve, comme
nous avons, que l'ensemble U est un crible universel, c. q. f. d.

Une Note ultérieure de M. Lusin contiendra une application
importante du crible universel <fnref n="1" />).

<footnote n="1">1) ce volume, p. 4.</footnote>