# Modelisation non-lineaire de propagation de houle sur un fond variable tridimensionnel

Maïté Gouin, Guillaume Ducrozet, Pierre Ferrant

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Maïté Gouin, Guillaume Ducrozet, Pierre Ferrant. Modelisation non-lineaire de propagation de houle sur un fond variable tridimensionnel. La Houille Blanche - Revue internationale de l'eau, 2017, 5, pp.42 - 48. 10.1051/lhb/2017043. hal-01644321

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# Modelisation non-lineaire de propagation de houle sur un fond variable tridimensionnel

Maïté Gouin, Guillaume Ducrozet & Pierre Ferrant

To cite this article: Maïté Gouin, Guillaume Ducrozet & Pierre Ferrant (2017) Modelisation non-lineaire de propagation de houle sur un fond variable tridimensionnel, La Houille Blanche, 103:5, 42-48, DOI: 10.1051/lhb/2017043

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Published online: 07 Nov 2017.

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# Modelisation non-lineaire de propagation de houle sur un fond variable tridimensionnel

Maïté GOUIN<fnref n="1" />,<fnref n="2" />, Guillaume DUCROZET <fnref n="1" />, Pierre FERRANT<fnref n="1" />

RÉSUMÉ. – L’objectif de ce papier est de montrer les capacités du modèle High-Order Spectral (HOS) développé au LHEEA (Ecole Centrale Nantes) à modéliser la propagation de houle sur un fond variable tridimensionnel et de le comparer au modèle différences finies OceanWave3D développé à l’Université Technique du Danemark (DTU). Le modèle HOS initial est un modèle pseudo-spectral résolvant le problème non-linéaire complet surfacique avec un fond plat ou supposé infini. De récents développements ont permis d’étendre ce modèle à la prise en compte d’un fond 2D variable en espace. Des validations bidimensionnelles ont déjà été présentées. Ici, nous nous intéressons à l’écriture de la méthode en formalisme 3D. Le cas test tridimensionnel de propagation de houle au-dessus d’un ellipsoïde immergé a été choisi afin de démontrer l’efficacité du modèle développé et de le comparer au modèle OW3D.

Mots-clés : Vagues non-linéaires, Méthode HOS (High-Order Spectral), focalisation de houle, 3D.

## Nonlinear wave propagation over a 3D variable bathymetry

ABSTRACT. – A fully non-linear High-Order Spectral (HOS) model, already developed for a flat bottom in the LHEEA Lab of Ecole Centrale de Nantes, has been expanded to a variable bottom. This paper deals with the validation of the HOS model for wave propagation over a 3D variable bottom. A comparison to the finite difference scheme OceanWave3D developed at the Technical University of Denmark (DTU) is presented. This model is an accurate and efficient method thanks to the surface formulation coupled with the spectral resolution. Validations in 2D have already been presented and here we focus on the three-dimensional problem by presenting wave focusing of regular and irregular waves over an elliptical mound. Several comparisons with OW3D are included.

Key-words: Nonlinear water waves, High-Order Spectral method, wave focusing, 3D.

## I. INTRODUCTION

Afin de pouvoir dimensionner correctement les structures en mer, de connaître leurs conditions de survie ou bien leur efficacité (par exemple le rendement des systèmes de récuperation d'énergie), le calcul des interactions entre la houle et ces structures diverses présentes en mer ou à la côte par des techniques numériques est aujourd'hui indispensable. La modélisation précise de la houle est la première étape dans la détermination des interactions fluide/structure. On s'intéressera dans ce papier plus spécifiquement à la propagation sur un fond variable tridimensionnel, où les dispositifs d'énergies marines renouvelables ont vocation à s'implanter. Lors de la propagation sur un tel fond, des interactions non-linéaires entre les différentes composantes de la houle entrent en jeu, ainsi que des interactions avec le fond. Cela se traduit par la génération d'ondes libres et d'ondes liées, qui ne sont pas reproduites par une théorie linéaire. Un modèle non-linéaire est donc nécessaire afin de reproduire précisément la houle se propageant dans des zones de profondeur variable.

Dans ce cadre, le projet de recherche «SimAvHy» (Simulation Avancée en Hydrodynamique), porté par l'Institut de Recherche Technologique Jules Verne, s'intéresse au développement de modèles numériques avancés en vue de créer la prochaine génération d'outils de simulation déterministe du génie océanique. Au sein de ce projet, les travaux de recherche ont pour objectif le développement d'une méthode

numérique permettant la simulation déterministe d'états de mer à grande échelle dans des zones géographiques où la profondeur d'eau est limitée et variable en espace. L'intérêt est de modéliser plus finement la propagation de la houle près des côtes.

La méthodologie développée consiste à enrichir un modèle pseudo-spectral, appelé HOS (High-Order Spectral), initié par (Dommermuth and Yue, 1987) et (West et al., 1987), et développé à l'Ecole Centrale de Nantes par le LHEEA depuis 2003 (notamment à travers les thèses de (Le Touzé, 2003), (Bonnefoy, 2005) et (Ducrozet, 2007)). Il modélise la propagation d'états de mer de façon déterministe, dans des domaines de grande dimension (jusqu'à 100km<fnref n="2" />) et présentant une profondeur constante. Il permet la résolution du problème non-linéaire complet et a été largement validé et appliqué à la propagation d'états de mer en profondeur constante, arbitraire dans des domaines supposés infinis dans le plan horizontal. Le choix du modèle HOS et son placement au sein des différentes méthodes existantes a été documenté dans (Gouin, 2016). L'extension 2D de la méthode HOS à un fond variable, inspirée notamment des travaux de (Liu and Yue, 1998), (Craig et al., 2005) et (Guyenne and Nicholls, 2007) est donnée en détails dans (Gouin et al., 2016) et sera brièvement introduite en 3D dans ce papier. Les aspects relatifs au temps de calcul du modèle HOS, et le surcoût introduit par la prise en compte du fond variable sont disponibles dans (Gouin, 2016).

<footnote n="1">¹ Ecole Centrale Nantes, LHEEA Lab., UMR CNRS 6598, Nantes, France - e-mail: maite.gouin@ec-nantes.fr</footnote>

<footnote n="2">² Institut de Recherche Technologique Jules Verne, Bouguenais, France.</footnote>
Les validations bidimensionnelles ayant déjà été largement traitées (Gouin et al., 2016), l'objectif de ce papier est donc de présenter des applications tridimensionnelles de propagation de houles régulières et irrégulières au dessus d'un fond elliptique. Ces cas de validations sont comparés aux résultats expérimentaux disponibles (Vincent and Briggs, 1989) et aux résultats numériques obtenus avec le code OceanWave3D<fnref n="1" /> (OW3D). On montre ainsi que le modèle HOS est très précis et plus efficace que le modèle OW3D pour reproduire des houles régulières et irrégulières sur une bathymétrie 3D.

## II. PRÉSENTATION DE LA MÉTHODE HOS

L'objectif de cette partie est de présenter la résolution du problème tridimensionnel avec une bathymétrie variable. Le système d'équations est présenté ainsi que le coeur de la méthode HOS.

### II.1. Hypothèses

Nous nous plaçons ici, dans un domaine 3D, défini par les axes horizontaux $x$ et $y$ et l'axe vertical $z$ (dirigé vers le haut). La fonction $z = \eta(x,y,t)$ décrit la position de la surface libre. L'axe $z$ est défini de telle manière que $z=0$ représente le niveau moyen pour lequel il n'y ait pas de perturbation de la surface libre.

On se place, classiquement, dans le cadre de la théorie des écoulements potentiels en supposant le fluide incompressible, non-visqueux et l'écoulement irrotationnel. Le champ de vitesse $\vec{V}$ dérive d'un potentiel de vitesse $\varphi$. L'ensemble des effets visqueux (frottements sur le fond, dissipation interne, dissipation à l'interface air/eau) est donc négligé. D'autre part, le caractère irrotationnel impose de négliger le déferlement.

On suppose que $h(x,y)$ représente la profondeur totale d'eau, $h_0$ la profondeur de référence et $\beta(x,y)$ la variation du fond autour de $h_0$: $h(x,y) = h_0 + \beta(x,y)$. Aucune hypothèse intrinsèque ne découle de cette décomposition. Une vue schématique du domaine de calcul ainsi défini est présentée sur la Figure 1. A noter qu'on se restreint ici à des fonds constants au cours du temps. Il serait envisageable d'étendre la méthode à des cas de mouvements de fond, comme cela a été réalisé avec la méthode DNO (c.f. (Guyenne and Nicholls, 2007)) dont le formalisme est similaire à la méthode HOS d'après (Le Touzé, 2003) et (Schäffer, 2008).

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>Figure 1 : Description du domaine rectangulaire avec une profondeur moyenne et une variation de fond</figcaption></figure>

### II.2. Système d'équations

Avec les hypothèses réalisées ci-dessus, le système d'équations à résoudre est le suivant ($\tilde{\varphi} = \varphi(z = \eta)$):

Conservation de la masse :

$$ \Delta\varphi = 0, \quad (1) $$

Condition au fond :

$$ \frac{\partial \varphi}{\partial x} \frac{\partial \beta}{\partial x} + \frac{\partial \varphi}{\partial y} \frac{\partial \beta}{\partial y} - \frac{\partial \varphi}{\partial z} = 0 \quad \text{en } z = -h_0 + \beta(x, y), \quad (2) $$

Condition Cinématique de Surface Libre :

$$ \frac{\partial \eta}{\partial t} = (1 + |\nabla \eta|^2) \frac{\partial \varphi}{\partial z} - \frac{\partial \tilde{\varphi}}{\partial x} \frac{\partial \eta}{\partial x} - \frac{\partial \tilde{\varphi}}{\partial y} \frac{\partial \eta}{\partial y} \quad \text{en } z = \eta, \quad (3) $$

Condition Dynamique de Surface Libre :

$$ \frac{\partial \tilde{\varphi}}{\partial t} = -g\eta - \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \tilde{\varphi}}{\partial x} + \frac{\partial \tilde{\varphi}}{\partial y} \right)^2 + \frac{1}{2} (1 + |\nabla \eta|^2) \left( \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right)^2 \quad \text{en } z = \eta, \quad (4) $$

Conditions de périodicité dans les directions horizontale $x$ et verticale $y$ :

$$ \tilde{\varphi}(x+L_x, y) = \tilde{\varphi}(x, y) \text{ et } \tilde{\varphi}(x, y+L_y) = \tilde{\varphi}(x, y), \quad (5) $$

$$ \eta(x+L_x, y) = \eta(x, y) \text{ et } \eta(x, y+L_y) = \eta(x, y), \quad (6) $$

Le problème est ainsi exprimé au niveau de la surface libre dans les deux conditions de surface libre (Eq.(3) et Eq.(4)). Le problème initial 3D est donc transformé en un problème 2D. Ces équations peuvent être avancées en temps à condition de connaître la vitesse verticale $W(x,t) = \frac{\partial \varphi}{\partial z}(x,z=\eta)$, seule inconnue du système précédent (Eq.(3) et Eq.(4)). Le coeur de la méthode HOS permet d'évaluer la vitesse verticale en connaissant $\eta$ et $\tilde{\varphi}$.

### II.3. Expression du potentiel des vitesses

La première étape dans le calcul de la vitesse verticale $W$ consiste en un développement de Taylor de $\varphi$ autour de la position moyenne de la surface libre $z=0$. On obtient un premier système triangulaire :

$$ \varphi^{(1)}(x, y, 0, t) = \tilde{\varphi}(x, y, t), \quad (7) $$

$$ \text{et } \varphi^{(m)}(x, y, 0, t) = - \sum_{k=1}^{m-1} \frac{\cdot k}{k!} \frac{\partial^k \varphi^{(m-k)}}{\partial z^k} (x, y, 0, t) \text{ pour } m > 1, \quad (8) $$

On exprime alors le potentiel total $\varphi = \varphi_{tot}$ comme la somme de $\varphi_{h_0}^{(m)}(x,y,z,t)$ et $\varphi_{\beta}^{(m)}(x,y,z,t)$ :

$$ \varphi_{h_0}^{(m)}(x, y, z, t) = \sum_{i} \sum_{j} A_{ij}^{(m)}(t) \frac{\cosh(k_{ij}(z+h_0))}{\cosh(k_{ij}h_0)} e^{pk_{ij}x + pk_{ij}y}, \quad (9) $$

$$ \varphi_{\beta}^{(m)}(x, y, z, t) = \sum_{i} \sum_{j} B_{ij}^{(m)}(t) \frac{\sinh(k_{ij}(z+h_0))}{\cosh(k_{ij}h_0)} e^{pk_{ij}x + pk_{ij}y}, \quad (10) $$

Avec $k_{ij} = \frac{2\pi}{L_x}, k_{yj} = \frac{2\pi}{L_y}$ et $k_{ij} = \sqrt{k_{xj}^2 + k_{yj}^2}$. $p$ représente l'unité imaginaire.

Le potentiel $\varphi_{h_0}$ résout le problème dû au fond plat alors que le potentiel $\varphi_{\beta}$ prend en compte les variations du fond et son influence sur la cinématique du champ de houle étudié.

On peut alors calculer les amplitudes modales $B_{ij}$ à l'aide de la méthode présentée ci-après.

<footnote n="1">1. http://www2.imm.dtu.dk/~apek/OceanWave3D</footnote>
## II.4. Méthode itérative originelle

On s'intéresse à l'approche proposée dans (Liu and Yue, 1998) permettant de prendre en compte une bathymétrie variable dans le modèle HOS. Comme dans le formalisme fond plat, un développement de Taylor de $\varphi_{tot}$ autour de $z=0$ est réalisé, auquel un deuxième développement est ajouté mais cette fois-ci de $\varphi_{tot}$ autour de $z=-h_0$. L'ordre de troncature $M$ est identique à l'ordre de troncature sur la surface libre. Avec la méthode itérative originelle, le potentiel $\varphi_{\beta}$ est finalement exprimé par :

$$ \text{Pour } m = 1 : \frac{\partial \varphi_{\beta}^{(1)}}{\partial z} (x, y, z = -h_0, t) = 0, \quad (11) $$

Pour $m = 2, \dots, M$ :

$$ \frac{\partial \varphi_{\beta}^{(m)}}{\partial z} (x, y, z = -h_0, t) = \sum_{l=1}^{m-1} \frac{1}{\partial x} \left[ \frac{\beta^l}{l!} \frac{\partial^{l-1}}{\partial z^{l-1}} \frac{\partial \varphi_{tot}^{(m-l)}}{\partial z} \right]_{z=-h_0} , \quad (12) $$

Ce nouveau développement (Eq.(11) et Eq.(12)) combiné avec les Eq.(9) et Eq.(10) permet de calculer directement les amplitudes modales $B_{ij}^{(m)}(t)$ à chaque ordre, en fonction des $A_{ij}^{(m)}(t)$, indépendamment de la position $x$ (la formule est donnée ci-dessous et les détails sont disponibles dans (Gouin, 2016)). Les FFTs peuvent donc être utilisées, permettant ainsi a priori de conserver l'efficacité numérique du modèle HOS initial. En écrivant que $k_{ij} B_{ij}^{(m)} = \sum_{l=1}^{m-1} k_{ij} B_{ij}^{(l)}$, on obtient la formule suivante pour le calcul des amplitudes modales dues au fond à chaque ordre (I représente l'unité imaginaire) :

Pour $l$ pair :

$$ k_{ij} B_{ij}^{(l)} = -I \frac{\partial \beta}{\partial x (l-1)!} \beta^{l-1} B_{ij}^{(m-l)} k_{s_x} k_{s_y}^{l-1} - I \frac{\partial \beta}{\partial y (l-1)!} \beta^{l-1} B_{ij}^{(m-l)} k_{s_x} k_{s_y}^{l-1} + \frac{\beta^l}{l!} B_{ij}^{(m-l)} k_{s_x}^{l+1} + B_{ij}^{(m-l)} k_{s_y}^{l+1}, \quad (13) $$

Pour $l$ impair :

$$ \begin{aligned} k_{ij} B_{ij}^{(l)} = & I \frac{\partial \beta}{\partial x (l-1)!} \beta^{l-1} A_{ij}^{(m-l)} k_{s_x} k_{s_y}^{l-1} \operatorname{sech}(k_{s_x} h_0) - I \frac{\partial \beta}{\partial x (l-1)!} \beta^{l-1} B_{ij}^{(m-l)} k_{s_x} k_{s_y}^{l-1} \tanh(k_{s_x} h_0) \\ & + I \frac{\partial \beta}{\partial y (l-1)!} \beta^{l-1} A_{ij}^{(m-l)} k_{s_x} k_{s_y}^{l-1} \operatorname{sech}(k_{s_y} h_0) - I \frac{\partial \beta}{\partial y (l-1)!} \beta^{l-1} B_{ij}^{(m-l)} k_{s_x} k_{s_y}^{l-1} \tanh(k_{s_y} h_0) \end{aligned} \quad (14) \\ - \frac{\beta^l}{l!} A_{ij}^{(m-l)} k_{s_x}^{l+1} \operatorname{sech}(k_{s_x} h_0) + \frac{\beta^l}{l!} B_{ij}^{(m-l)} k_{s_y}^{l+1} \tanh(k_{s_y} h_0) \end{aligned} $$

Dans les deux formules précédentes Eq.(13) et Eq.(14), les calculs sont réalisés dans l'espace modal, sauf pour les multiplications par les grandeurs $\frac{\partial \beta}{\partial x (l-1)!}$, $\frac{\partial \beta}{\partial y (l-1)!}$ et $\frac{\beta^l}{l!}$ qui sont réalisées dans l'espace physique. Des FFTs sont utilisées pour passer d'un espace à l'autre. Les amplitudes modales $B_{ij}^{(m)}$ sont donc déterminées à chaque ordre $m$ en fonction des amplitudes modales $A_{ij}^{(l)}$ et $B_{ij}^{(l)}$ aux ordres précédents ($l$ varie de 1 à m-1). Avec ce formalisme, les ordres de non-linéarité au fond et à la surface libre sont identiques. Une autre méthode (appelée méthode améliorée) a été développée afin de pouvoir choisir indépendamment les ordres de non-linéarité sur la surface libre et sur le fond. Elle n'est pas développée ici car les applications montrées dans ce papier peuvent être traitées de manière efficace avec la méthode présentée ci-dessus (méthode itérative originelle).

## II.5. Calcul de la vitesse verticale W

Une fois les amplitudes modales $B_{ij}$ déterminées à chaque ordre $m$ avec la méthode originelle, on peut calculer la vitesse verticale $W$ grâce au deuxième système triangulaire :

$$ W^{(1)}(x, y, t) = \frac{\partial \mathcal{E}_{tot}^{(1)}}{\partial z}(x, y, 0, t), \quad (16) $$

$$ \text{et } W^{(m)}(x, y, t) = -\sum_{k=0}^{m-1} \frac{\eta^k}{k!} \frac{\partial^{k+1} \varphi_{tot}^{(m-k)}}{\partial z^{k+1}} (x, y, 0, t) \text{ pour } m > 1, \quad (17) $$

Ainsi, les conditions de surface libre Eq.(3) et Eq.(4) peuvent être avancées en temps et l'on peut calculer les amplitudes modales $A_{ij}$ au pas de temps suivant.

## II.6. Bilan et mise en œuvre

Nous avons donc présenté dans cette partie une méthode de résolution en fond variable qui conserve a priori l'efficacité de la méthode HOS initiale grâce à l'emploi de FFTs. Cette méthode considère le même ordre de non-linéarité $M$ à la surface libre et au fond, avec un temps de calcul théorique supplémentaire proportionnel à $M^2$. Nous avons d'ores et déjà vérifié dans [Gouin, 2016] la précision de la méthode développée ainsi que la validité de l'hypothèse réalisée lors des développements en série de Taylor. Nous avons notamment montré que la variation de fond $\beta/h_0 \ll 1$ permet d'obtenir de bonnes précisions avec la méthode HOS. Nous rappelons également que la méthode suppose qu'il n'y ait pas de déferlement et que la profondeur relative minimum est pour le moment limitée par ce critère (et par le rapport $\beta/h_0$).

Avant de s'intéresser aux cas applicatifs, il s'avère nécessaire de porter attention aux conditions de périodicité Eq.(5) et Eq.(6). En effet, cette condition n'introduisait pas de difficultés particulières dans le cas d'une propagation en océan ouvert sur un fond plat, mais nécessite un traitement particulier des CSL et de la bathymétrie dans le modèle HOS fond variable. Afin de traiter des cas 2D, il est tout d'abord nécessaire de modifier la bathymétrie afin que les profondeurs d'entrée et de sortie soient identiques selon la direction de propagation $x$. Ensuite, des zones de relaxation sont utilisées comme expliqué dans [Gouin, 2016]. Pour les cas 3D, le fond doit également présenter des profondeurs identiques aux frontières (selon les directions de propagation $x$ et transverse $y$). Nous employons également des zones de relaxation dans la direction de propagation. Néanmoins, cela n'est pas suffisant donc nous avons choisi de travailler avec une bathymétrie présentant un axe de symétrie selon $L_y/2$. Cela nous permet de traiter tout type de bathymétrie, même très complexe, en reproduisant des conditions de réflexion selon la direction $y$. Plus de détails sur cette méthode sont également disponibles dans [Gouin, 2016].

## III. PRÉSENTATION DE LA MÉTHODE OW3D

Nous allons ici présenter la méthode aux différences finies OW3D prise en main lors d'un séjour à DTU Mechanical Engineering (Copenhague) dans l'équipe de Harry Bingham.

Avec cette méthode aux différences finies, les dérivées sont exprimées par des schémas d'ordre arbitraire. L'utilisation de schémas d'ordre 4 est optimale [Bingham and Zhang, 2007]. La méthode σ-transform introduite par [Philipps, 1957] est utilisée sur la verticale et permet de ramener le domaine étudié à une géométrie fixe. Dans le plan horizontal, un maillage structuré curviligne est utilisé, avec la possibilité de prendre un pas d'espace non-uniforme pour inclure des points supplémentaires où on le souhaite. L'intégration en temps se fait de manière explicite grâce à un schéma Runge-Kutta d'ordre 4. Le modèle présente une condition CFL de stabilité qui est gouvernée uniquement par la physique du problème et non pas par la méthode numérique employée (pour la plupart des méthodes, la condition CFL impose des pas de temps très petits lorsque la discrétisation spatiale augmente).

Cette méthode permet de traiter des géométries complexes, mais en tant que méthode volumique elle requiert
un grand nombre de nœuds pour représenter le domaine de calcul. Cependant, cette formulation conduit à des matrices creuses, ce qui permet l'utilisation d'algorithmes de résolution numériques efficaces. Ainsi, en 2D, la méthode GMRES (Generalised Minimal RESidual) préconditionnée par une solution directe du système linéaire discrétisé par un schéma d'ordre deux (indépendant du temps), donne un temps de calcul proportionnel au nombre de points dans la direction de propagation. En 3D, une méthode appelée «Multigrid Preconditioned Defect Correction» (PDC) est employée afin de préconditionner la matrice et ensuite d'employer la technique GMRES (c.f. [Engsig-Karup et al. 2009]), afin d'optimiser le temps de calcul de la méthode. Cela permet de réduire le temps de calcul par rapport à la solution sans PDC. Il faut noter que la technique est employée uniquement pour le préconditionnement à l'étape initiale. De plus, des points fantômes sont utilisés à l'extérieur du domaine fluide pour garder l'ordre de convergence du schéma et donc la précision, notamment pour des fonds non-uniformes. Plus de détails sont disponibles dans [Bingham and Zhang, 2007] en 2D et [Engsig-Karup et al., 2009] en 3D.

## IV. APPLICATION AU CAS D'UNE ELLIPSE IMMERGÉE

On étudie la transformation d'une houle se propageant au-dessus d'une ellipse immergée. Une focalisation de la houle derrière l'ellipse est observée expérimentalement [Vincent and Briggs, 1989] : nous étudierons ici plusieurs configurations de houle incidente disponibles dans [Vincent and Briggs, 1989]. Le premier cas reproduit une houle régulière et le suivant une houle irrégulière. Les premiers résultats ont été présentés dans [Gouin et al., 2015]. Les simulations numériques seront comparées aux données expérimentales (disponibles dans le rapport de [Briggs, 1987]) et aux simulations obtenues avec le code différences finies OW3D développé à DTU et pris en main dans le cadre d'un séjour financé par le LabexMer<fnref n="2" />.

### IV.1. Description de l'expérience

La frontière de l'ellipsoïde est définie dans [Vincent and Briggs, 1989] par :

$$ \left( \frac{x - x_0}{3.05} \right)^2 + \left( \frac{y - y_0}{3.96} \right)^2 = 1, \quad (18) $$

<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Figure 2 : (a) Vue 3D du domaine expérimental. (b) Vue de dessus de l'ellipse immergée. Traits blancs: localisation des transects 4 et 7+9. Sonde 10 : sonde de référence utilisée par (Vincent and Briggs, 1989).</figcaption></figure>

Et l'élévation en tout point de cet ellipsoïde vaut :

$$ \beta(x, y) = -0.4572 + 0.7620 \left[ 1 - \left( \frac{x - x_0}{3.81} \right)^2 + \left( \frac{y - y_0}{4.95} \right)^2 \right]^{0.5}, \quad (19) $$

Avec $(x_0, y_0) = (6.1m, 13.72m)$ le centre de l'ellipse. En dehors de l'ellipse, $\beta(x, y) = 0$. La variation totale du fond vaut alors $h(x) = h_0 - \beta$. Une vue du domaine avec $L_x = 25m$, $L_y = 30m$, et $h_0 = 0.4572m$ est visible sur la Figure 2. La plus faible profondeur d'eau est alors $h_1 = 0.1524m$.

Différentes sondes ont été utilisées expérimentalement. Nous avons utilisés les transects 4 (perpendiculaire à la direction de propagation) et 7 et 9 (parallèles à la direction de propagation) introduits dans [Vincent and Briggs, 1989] et tracés sur la Figure 2. Afin de comparer nos résultats aux données expérimentales, une analyse vague-par-vague en zero-crossing sera réalisée. Cette analyse permet de s'intéresser aux statistiques de vagues individuelles définies par l'intervalle de temps entre deux moments successifs, où, à un point de mesure donné, la vague traverse le niveau moyen en descendant (zero down-crossing) ou en montant (zero up-crossing). On s'intéressera alors à la quantité $H_{1/3}$ (correspondant à la moyenne du $1/3$ des vagues les plus hautes). De plus, pour les cas de houle régulière, on choisit comme longueur d'onde de référence $\lambda_0$, et en houle irrégulière on utilise $\lambda_p$ (défini par la période de pic $T_p$).

### IV.2. Mise en oeuvre

L'ellipse n'étant pas centrée dans la direction y (le centre de l'ellipse se situe en $y_0 = 13.72m$ et la largeur du domaine est $L_y = 30m$), des conditions de réflexion sont utilisées le long de l'axe y afin de reproduire le cas expérimental d'une ellipse décentrée. Pour cela, nous avons modifié la bathymétrie en prenant le symétrique de l'ellipse par rapport à $L_y/2$ (tel que mentionné au paragraphe II.6). Une vue de dessus du domaine de calcul est représentée sur la Figure 3. Des zones de relaxation où la solution imposée est non-nulle (voir Figure 3) sont utilisées dans la direction de propagation x. Une zone de génération de 3 longueurs d'onde est imposée à gauche du domaine (selon l'axe x) et une zone d'absorption de 3 longueurs d'onde est utilisée à droite du domaine (le domaine total fait alors 18 longueurs d'onde). Avec cette méthode de relaxation, on utilise également la méthode de [Dommermuth, 2000] permettant de faire apparaître progressivement les termes non-linéaires à la surface libre et au fond avec $T_a = 10T_p$ et $n = 4$.

<footnote n="2">2. http://www.labexmer.eu/fr</footnote>
<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>**Figure 3** : Domaine de calcul avec des zones de relaxation selon x et des conditions de réflexion selon y.</figcaption></figure>

Afin d'atteindre l'état stationnaire, il est nécessaire de s'assurer auparavant que la houle, qui se propage à la vitesse de groupe dans la direction x, ait parcouru tout le domaine. Pour le cas de houle régulière M1, nous analyserons les résultats et calculerons $H_{1/3}$ à l'aide d'une analyse vague par vague à partir de $t = 40s$ et pendant 28 périodes de houle (36.4s) afin de se conformer au travail expérimental qui utilise cette grandeur $H_{1/3}$ et analyse les données sur la même durée [Vincent and Briggs, 1989]. Pour le cas de houle irrégulière U3, il faut calculer le temps mis par les plus hautes fréquences du spectre pour parcourir tout le domaine. Ainsi $H_{1/3}$ sera déterminée à l'aide d'une analyse vague par vague à partir de $t = 80s = 62T_p$ et pendant 138 périodes de houle (180s).

### IV.3. Houle régulière unidirectionnelle - cas M1

On utilise ici les résultats de l'expérience M1 de [Vincent and Briggs, 1989]. Une houle monochromatique et unidirectionnelle est propagée dans la direction x. Numériquement, la houle régulière est générée grâce à une solution non-linéaire de (Rienecker and Fenton, 1981) de hauteur $H_0 = 0.0465m$ et de profondeur relative $k_0h_0 = 1.27$. La période est fixée à $T_0 = 1.3s$ et la cambrure vaut alors $k_0a_0 = 0.065$. Le lecteur remarquera que la hauteur imposée pour le cas M1 dans [Vincent and Briggs, 1989] est de $H_0 = 0.055m$. Néanmoins, comme décrit dans (Lynett and Liu, 2004), il est nécessaire de recalier l'amplitude de la houle incidente pour se confronter aux résultats expérimentaux, d'où la valeur choisie de $0.0465m$. Pour cela, nous avons vérifié que l'on obtenait la même amplitude que les essais sur une sonde de

référence placée dans le domaine non-perturbé (sonde 10 de la Figure 2) à l'aide d'une analyse vague par vague.

La convergence est atteinte avec un nombre de modes par longueurs d'onde ($N_x = 13$ par $\lambda_0$ ; $N_y = 5$ par $\lambda_0$) soient ($n_1 = 256, n_2 = 128$) et un ordre HOS $M = 5$. Sur un Intel(R) Xeon(R) 2.50GHz avec 16.0 Go RAM, le temps CPU par période de houle est de 15s. Ce temps de calcul faible montre l'efficacité de la méthode en 3D.

Avec le modèle OceanWave3D, la convergence est atteinte avec ($N_x = 257, N_y = 129$) pour un domaine plan de 29 x 40 m² et avec $N_z = 5$ points dans la verticale. Sur les frontières du domaine, on suppose que l'on a des murs solides verticaux du fond jusqu'à la surface libre. Comme pour la méthode HOS, 3120 pas de temps ont été simulés, ce qui représente 78 périodes de houle. Le schéma $DC + L_2U_2$ (PDC + factorisation LU) est utilisé avec le même pas de temps $dt=0.025s$ que pour la méthode HOS. Sur un Intel(R) Xeon(R) 2.50GHz avec 16.0 Go de RAM, le temps CPU par période de houle est de 105s.

Un instantané de l'élévation de surface libre obtenu à l'état stationnaire avec le modèle HOS est présenté sur la Figure 4 (gauche). On observe nettement qu'il existe une zone de forte convergence derrière le fond elliptique, avec un facteur d'amplification maximum d'environ $A = H_{1/3} / H_0 \approx 2$ par rapport à la houle incidente. Sur cette figure, on voit que la houle incidente arrive de la gauche et que le front de vague est ralentit en arrivant sur l'ellipse immergée (où la profondeur est plus faible). Cela provoque une augmentation de la cambrure de la houle. Derrière l'ellipse, les vagues réfractées se rencontrent, créant une zone de focalisation de forte amplitude. Les interactions de vagues obliques dominent derrière l'ellipse, ce qui crée un comportement irrégulier. On remarque également l'existence de plusieurs zones, quasiment rectilignes, où la hauteur de houle est plus faible que la hauteur incidente. De plus, on observe de la réflexion sur les parois latérales à partir d'environ $x = 10m$. On rappelle que les expériences ont été réalisées dans un bassin avec des murs créant de la réflexion donc on s'attend à des réflexions similaires.

Une comparaison aux données expérimentales est donnée sur la Figure 4 (droite). Celle-ci représente la hauteur $H_{1/3}$ le long du transect 4 (placé en aval de l'ellipse, voir Figure 2 pour la localisation) obtenue avec la méthode HOS et avec OW3D. On observe que nos simulations sont en bon accord avec les mesures expérimentales de [Vincent and Briggs, 1989] et que les deux modèles donnent des résultats très similaires en termes de précision le long du transect 4. On retrouve la forte amplification observée sur

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>**Figure 4** : (gauche) : Instantané de l'élévation de surface libre à l'état stationnaire - Pointillés: ellipse. (droite) : Hauteur crête à creux le long du Transect 4 - Comparaisons HOS/OW3D. Cas M1 avec $H_0 = 0.0465m$ et $T_0 = 1.3s$.</figcaption></figure>
Figure 4 (gauche) qui est d'environ 2.2, ainsi que deux zones où la hauteur de houle moyenne est plus faible que la hauteur incidente. Le lecteur remarquera que les courbes présentent une asymétrie, qui est plus marquée pour les données expérimentales : en effet, comme vu précédemment, l'ellipse n'est pas centrée dans la direction transverse, donc la réflexion sur les murs donne un résultat légèrement différent.

La Figure 5 représente également la hauteur crête à creux mais cette fois dans la direction de propagation le long des Transects 7 à 9 (au-dessus du centre de l'ellipse). On compare nos résultats aux expériences et au modèle développé par (Lynett and Liu, 2004). Ces derniers utilisent un modèle de Boussinesq amélioré en supposant que le fluide est composé de deux couches. On remarque que la hauteur significative donnée par HOS et OW3D est légèrement différente de celle mesurée en bassin et plus précise que celle obtenue avec le modèle de (Lynett and Liu, 2004) (surtout entre x=12 et 15m). De plus, si on regarde la courbe expérimentale entre x=4m et x=6m sur la Figure 5, on peut supposer que lors de la génération en bassin réalisée avec un batteur, la réflexion sur le batteur n'est pas toujours bien absorbée, alors que c'est le cas avec les zones de relaxation utilisées dans les modèles HOS et OW3D. Cela pourrait donc expliquer une partie des différences observées.

En terme de temps de calcul, le temps CPU par période de houle est de 15s pour le modèle HOS et de 105s pour le modèle OW3D (il faut noter que l'on n'utilise pas ici le modèle multigrille dans OW3D, les résultats devraient être bien meilleurs en terme d'efficacité avec son utilisation). Ainsi, les deux méthodes sont très précises pour reproduire

<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>**Figure 5** : Hauteur crête à creux le long des Transects 9 et 7 - houle régulière - Cas M1 avec $H_0 = 0.0465 \text{ m}$ et $T_0 = 1.3 \text{ s}$ - Comparaisons HOS/OW3D.</figcaption></figure>

la focalisation 3D d'une houle régulière unidirectionnelle sur la totalité du champ 3D, comme le montrent les analyses suivant les différents transects. La méthode HOS paraît plus efficace, néanmoins il faudrait s'intéresser au modèle multigrille de OceanWave3D.

#### IV.4. Houle irrégulière unidirectionnelle - cas U3

On utilise ici les résultats de l'expérience U3 de [Vincent and Briggs, 1989]. L'ellipse est définie comme précédemment, seules les conditions de houle incidente changent. Ce cas vise à reproduire la transformation d'une houle irrégulière unidirectionnelle. La houle irrégulière est générée linéairement grâce à un spectre TMA [Hugues, 1984] avec $\gamma = 2$ en définissant $H_s = 0.0254 \text{ m}$ et $T_p = 1.3 \text{ s}$. La cambrure vaut alors $k_p H_s = 0.07$ et la profondeur relative $k_p h_0 = 1.27$. La convergence est atteinte avec un nombre de modes par longueurs d'onde au pic ($N_x = 13$ par $\lambda_p$ ; $N_y = 10$ par $\lambda_p$) et un ordre HOS $M = 5$. Le temps CPU par période de houle est de 35s avec cette méthode, montrant une nouvelle fois l'efficacité du modèle numérique développé.

La Figure 6 (gauche) représente un instantané de surface libre à $t = 72T_p$. Le champ de vagues obtenu est clairement irrégulier avec des composantes présentant différentes fréquences de houle. La zone de convergence est toujours présente mais seulement une bande de fréquence est supposée converger. On observe donc un état de mer très compliqué après l'ellipse et un peu de réflexion sur les murs latéraux comme pour le cas précédent M1. La Figure 6 (droite) présente la hauteur $H_{1/3}$ obtenue par une analyse vague par vague en fonction de la position le long du transect 4. On observe un très bon accord avec les résultats expérimentaux. Le facteur d'amplification $A = H_{1/3} / H_s \approx 1.8$, et l'on a toujours l'existence de deux zones où la hauteur moyenne est plus faible que la hauteur incidente.

Avec le code OW3D, le domaine de 29 x 40 m² est décrit par ($N_x = 257, N_y = 129$) points et $N_z = 5$ points sont utilisés dans la verticale. Le temps de calcul par période de houle est alors de 145s. Les résultats sont également présentés sur la Figure 6 (droite) et sont proches des résultats obtenus avec la méthode HOS. On note que les résultats obtenus avec HOS ont toujours des valeurs légèrement supérieures aux résultats obtenus avec OW3D. Cela vient peut être de la prise en compte de la réflexion qui est différente entre les deux modèles. Comme pour le cas M1, le modèle multigrille n'a pas pu être utilisé pour les calculs OW3D, le temps de calcul obtenu est donc à nuancer.

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>**Figure 6** : (gauche) : Instantané de l'élévation de surface libre à l'état stationnaire. (droite) : $H_{1/3}$ le long du Transect 4 - cas U3 avec un spectre TMA, $\gamma = 2$, $H_s = 0.0254 \text{ m}$ et $T_p = 1.3 \text{ s}$. - $t = 72T_p$.</figcaption></figure>
## V. CONCLUSION

Nous avons donc étudié la propagation de 2 houles inci-
dentes au-dessus d'une ellipse immergée. Les simulations
présentées considèrent de fortes variations du fond et de
faibles profondeurs relatives. Nous avons montré que la
méthode HOS était très efficace car le temps de calcul par
période de houle est compris entre 15s pour les cas de houle
régulière et 35s pour les cas de houle irrégulière direction-
nelle. En comparaison, la méthode de différences finies uti-
lisée dans OW3D présente un temps de calcul 4 à 7 fois
supérieur (rappelons que ce temps de calcul est à nuancer car
les calculs n'ont pas été réalisés avec la méthode multigrille).

## VI. REMERCIEMENTS

Les auteurs remercient chaleureusement Harry Bingham
pour son accueil ainsi que ses nombreux conseils. Le séjour
à DTU a été financé par le LabeXMer dans le cadre du pro-
gramme de bourse de mobilité à destination des doctorants.

## VII. REFERENCES

BINGHAM H.B., ZHANG H. (2007) – On the accuracy of finite-dif-
ference solutions for nonlinear water waves. *J. Eng. Math, 58*,
211-228.

BONNEFOY F. (2005) – *Modelisation expérimentale et numérique des états de mer complexes*. Ecole Centrale Nantes.

BRIGGS M. (1987) – Memorandum for Record (MFR): Summary of WET Shoal Test Results. *Unpubl. Memo. Rec. Coast. Engrg Res Cent. USAE Waterw. Exp. Stn. Vicksbg. MS*.

CRAIG W., GUYENNE P., NICHOLLS D.P., SULEM C. (2005) – Hamiltonian long-wave expansions for water waves over a rough bottom. *Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. The Royal Society*, 839–873.

DOMMERMUTH D. (2000) – The initialization of nonlinear waves using an adjustment scheme. *Wave Motion, 32*, 307-317.

DOMMERMUTH D.G., YUE D.K.P. (1987) – A high-order spectral method for the study of non-linear gravity waves. *J. Fluid Mech, 184*, 267-288.

DUCROZET G. (2007) – *Modélisation des processus non-linéaires de génération et de propagation d'états de mer par une approche spectrale*. Ecole Centrale Nantes.

ENGSIG-KARUP A.P., BINGHAM H.B., LINDBERG O. (2009) – An efficient flexible-order model for 3D nonlinear water waves. *J. Comput. Phys, 228*, 2100-2118.

GOUIN M. (2016) – *Modélisation déterministe d'états de mer à grande échelle en profondeur variable*. Ecole Centrale Nantes.

GOUIN M., DUCROZET G., FERRANT P. (2016) – Development and validation of a non-linear spectral model for water waves over variable depth. *Eur. J. Mech. - BFluids, 57*, 115-128.

GUYENNE P., NICHOLLS D.P. (2007) – A high-order spectral method for nonlinear water waves over moving bottom topography. *J. Sci. Comput, 30*, 81-101.

HUGUES S.A. (1984) – The TMA shallow-water spectrum description and applications. *Coast. Eng. Res. Cent. US Eng. Res. Dev. Cent. US*.

LE TOUZE D. (2003) – *Modélisation expérimentale et numérique des états de mer complexes*.

LIU Y., YUE D.K.P. (1998) – On generalized Bragg scattering of surface waves by bottom ripples. *J. Fluid Mech, 356*, 297-326.

M. GOUIN, G. DUCROZET, FERRANT, P. (2015) – 2D and 3D nonlinear wave propagation over a non-uniform bottom by pseudo-spectral method. *Proceedings of the 11th European Wave and Tidal Energy Conference (EWTEC2015)*.

PHILLIPS N.A. (1957) – A coordinate system having some special advantages for numerical forecasting. *J. Meteorol, 14*, 184-185.

SCHÄFFER H.A. (2008) – Comparison of Dirichlet-Neumann operator expansions for nonlinear surface gravity waves. *Coast. Eng, 55*, 288-294.

VINCENT C., BRIGGS M. (1989) – Refraction-Diffraction of Irregular Waves over a Mound. *J. Waterw. Port Coast. Ocean Eng, 115*, 269-284.

WEST B.J., BRUECKNER K.A., JANDA R.S., MILDER D.M., MILTON R.L. (1987) – A new numerical method for the surface hydrodynamics. *J. Geophys. Res, 92*, 11803-11824.