References

[1] P. Erdős, On the arithmetical density of the sum of two sequences one of which forms a basis for the integers, Acta Arith. 1 (1936), pp. 197-200.

[2] H. Halberstam and K. F. Roth, Sequences, Clarendon Press, Oxford 1966.

[3] H. B. Mann, A proof of the fundamental theorem on the density of sums of sets of positive integers, Ann. Math. (2) 43 (1942), pp. 523-527.

[4] L. G. Schnirelmann, Über additive Eigenschaften von Zahlen, Math. Ann. 107 (1933), pp. 649-690.

[5] A. Stöhr, Gelöste und ungelöste Fragen über Basen der natürlichen Zahlenreihe, J. Reine Angew. Math. 194 (1955), pp. 111-140.

WASHINGTON STATE UNIVERSITY

Received on 15.4.1982
and in revised form on 4.3.1983
(1302)

Sommes de carrés de polynômes irréductibles dans $F_q[X]$

par

MIREILLE CAR (Marseille)

**I. Introduction.** Soit $F_q$ le corps fini à $q$ éléments, $q$ étant un entier impair, et $F_q[X]$ l'anneau des polynômes à une variable sur le corps $F_q$. Certaines analogies entre les propriétés arithmétiques de l'anneau $F_q[X]$ et l'anneau $Z$ des entiers relatifs ont été mises en évidence. En particulier, en ce qui concerne l'arithmétique additive les problèmes de Waring ([13]) et de Goldbach ([10]) ont été étudiés, et plus particulièrement, le problème de Waring pour les carrés ([3]–[9]). Il est démontré dans [7] que tout polynôme de $F_q[X]$ est somme de trois carrés sans que l'on ait une limitation des degrés des polynômes intervenant dans cette somme. Ceci conduit à introduire la définition suivante:

Si $M$ est un polynôme de $F_q[X]$ de degré $2n$ ou $2n-1$, toute solution $(M_1, \dots, M_k)$ de l'équation

$$ (E) \qquad M = M_1^2 + \dots + M_k^2 $$

en polynômes $M_1, \dots, M_k$ de degré au plus égal à $n$, est appelée représentation restreinte de $M$ en sommes de $k$ carrés. On a une estimation asymptotique du nombre $R_k(M)$ de ces représentations restreintes (cf. [1]), qui montre que, pour $k \ge 4$, tout polynôme de $F_q[X]$ de degré assez élevé admet une représentation restreinte en somme de $k$ carrés, et que, pour $q \ge 53$, tout polynôme de $F_q[X]$ de degré assez élevé admet une représentation restreinte en somme de trois carrés. On peut aussi démontrer que pour $q \ne 3$, tout polynôme de $F_q[X]$ admet une représentation restreinte en somme de trois carrés, et que tout polynôme de $F_3[X]$ de degré différent de 3, admet une représentation restreinte en somme de trois carrés, [12].

On s'intéresse ici aux solutions $(P_1, \dots, P_k)$ de l'équation (E) en polynômes irréductibles $P_1, \dots, P_k$ satisfaisant aux mêmes conditions de degré, et au nombre $I_k(M)$ de représentations restreintes du polynôme $M$ en somme de $k$ carrés de polynômes irréductibles. On obtient, pour $k \ge 5$, une estimation asymptotique des nombres $I_k(M)$ qui montre que, pour $q \ne 3$, tout polynôme de $F_q[X]$ de degré assez élevé admet une représentation restreinte en somme de $k$ carrés de polynômes irréductibles, et que, pour
$q=3$, ce résultat reste vrai pour les polynômes non divisibles par les polynômes $X, X+1, X-1$.

**II. Notations et conventions.** Nous reprenons les notations introduites dans [2] et [10].

Soit $H$ un polynôme de $F_q[X]$. On note $d^\circ H$ son degré, sgn$(H)$ le coefficient du terme de plus haut degré de $H$, $\phi_H$ l'ensemble de polynômes de degré strictement inférieur au degré de $H$ identifié à l'ensemble des classes de congruence modulo $H$. Le groupe multiplicatif des classes inversibles modulo $H$ sera noté $\mathfrak{F}_H^*$, l'ordre de ce groupe sera noté $\Phi(H)$. La fonction ainsi définie a les mêmes propriétés que la fonction d'Euler classique. Le nombre de diviseurs irréductibles unitaires distincts de $H$ sera noté $\omega(H)$.

On désigne par $\mathfrak{H}$ l'ensemble des polynômes unitaires, par $\mathfrak{A}$ l'ensemble des polynômes irréductibles.

Sur le corps $F_q(X)$ des fractions rationnelles on définit une valuation $v$ par

$$v\left(\frac{A}{B}\right) \doteq d^\circ A - d^\circ B,$$

si $A$ et $B$ sont des polynômes non nuls. Le complété de $F_q(X)$ pour cette valuation s'identifie au corps $K$ des séries de Laurent en $1/X$, la valuation $v$ se prolongeant à $K$ par

$$v\left(\sum_{s \in \mathbb{Z}} a_s X^s\right) = -\sup \{r \in \mathbb{Z}, a_r \neq 0\}.$$

A cette valuation $v$ on associe la valeur absolue $|v|$ définie par

$$|a|_v = q^{-v(a)} \quad \text{si } a \neq 0, \quad |0|_v = 0.$$

Nous noterons simplement $|v|$ cette valeur absolue, bien que ce symbole soit aussi utilisé pour désigner la valeur absolue classique sur le corps $R$ des nombres réels, ou le corps $C$ des nombres complexes.

On désigne par $\mathcal{P}$ l'idéal de valuation, et, pour tout entier $j$, par $\mathcal{P}_j$ l'idéal

$$|t \in K| \quad v(t) > j.$$

Les ensembles $\mathcal{P}_j$ sont des sous-groupes compacts du groupe additif localement compact $K$. Désignons par $dt$ la mesure de Haar sur $K$ normalisée à 1 sur $\mathcal{P}$.

Soit $e$ un caractère non principal du groupe additif de $F_q$. On définit un caractère non principal du groupe additif $K$ en posant

$$E\left(\sum_{s \in \mathbb{Z}} a_s X^s\right) = e(a_{-1}).$$

On note $F_q^0$ l'ensemble des éléments non nuls de $F_q$, et, pour tout élément $a \in F_q$, on désigne par $\varrho_j(a)$ le nombre de solutions $(a_1, ..., a_j)$ dans $F_q^0 \times ... \times F_q^0$ de l'équation

$$a = a_1^2 + ... + a_j^2.$$

Dans ce qui suit, le mot polynôme désignera toujours un polynôme de $F_q[X]$.

**III. Propriétés du caractère $E$ et de la mesure $dt$.** Nous rappelons ici quatre résultats établis dans [10] que nous utiliserons fréquemment par la suite.

**PROPOSITION III.1.** Pour tout entier rationnel $j$, $\mathcal{P}_j$ a pour mesure $q^{-j}$.

**PROPOSITION III.2.** (i) Pour tout polynôme $A$, $E(A) = 1$.

(ii) Si $u \in \mathcal{P}^2$, $E(u) = 1$.

(iii) Pour tout polynôme $H$ non nul, si $A$ et $B$ sont des polynômes congrus modulo $H$, $E(A/H) = E(B/H)$.

**PROPOSITION III.3.** Soient un entier $j \ge 0$, $u \in K$ et $b \in \mathcal{P}$. Alors,

$$(\text{III.1}) \qquad \int_{b+\mathcal{P}_j} E(ut) dt = \begin{cases} q^{-j} E(ub) & \text{si } v(u) > -j, \\ 0 & \text{si } v(u) \le -j. \end{cases}$$

**PROPOSITION III.4.** Si $G$ et $H$ sont des polynômes premiers entre eux,

$$(\text{III.2}) \qquad \sum_{R \in \mathcal{P}_H} E\left(\frac{G}{H} R\right) = 0.$$

**IV. La méthode du cercle.** Soft un entier $k \ge 5$. Dans ce paragraphe et dans les paragraphes suivants, s'il n'y a pas d'indication supplémentaire, les constantes impliquées par les symboles $\ll$ ne dépendront que de $q$ et de $k$ ou ne dépendront que de $q$.

Soit un nombre réel $h > 0$ fixé. Il sera choisi ultérieurement en fonction de $k$. Soit un entier $n$ tel que

$$(\text{IV.1}) \qquad n > 4h \frac{\log n}{\log q} + 1, \qquad n > h^2 \frac{\log^2 n}{\log^2 q} \left[ \frac{q}{\log^2 q} + \frac{1}{8} \right].$$

Soit $f$ l'application de $\mathcal{P}$ dans $C$ définie par

$$(\text{IV.2}) \qquad f(t) = \sum_{\substack{P \in \mathcal{P} \\ d^2 P \le n}} E(tP^2).$$

Si $M$ est un polynôme de degré $2n$ ou $2n-1$, la relation (III.1) montre que l'on a

$$(\text{IV.3}) \qquad I_k(M) = \int_{\mathcal{P}} f^k(t) E(-Mt) dt,$$
$I_k(M)$ désignant le nombre de représentations restreintes de $M$ en somme de $k$ carrés de polynômes irréductibles.

Posons

$$
(IV.4) \qquad s = [h \log(n)/\log(q)],
$$

$$
(IV.5) \qquad N = 2n - 2s.
$$

On appelée fraction de Farey à l'ordre N toute fraction rationnelle G/H telle
que

(i) H est un polynôme unitaire de degré au plus N,

(ii) $G \in \mathcal{G}_H^*$.

Si $G/H$ est une fraction de Farey à l'ordre $N$, la boule

$$
\mathcal{U}_{G/H} = \left\{ t \in \mathcal{P}, v\left(t - \frac{G}{H}\right) > N + d^\circ H \right\}
$$

est appelée arc de Farey à l'ordre N de centre G/H.

Lorsque G/H décrit l'ensemble des fractions de Farey à l'ordre N, les
arcs de Farey $\mathcal{U}_{G/H}$ forment une partition de $\mathcal{P}$. C'est le théorème 4.3 de
[10].

Dans ce paragraphe, une fraction ou un arc de Farey désigneront
toujours une fraction ou un arc de Farey à l'ordre N.

Sur les arcs de Farey $\mathcal{U}_{G/H}$ tels que $d^\circ H \le 2s$ on a une bonne approximation de $f(t)$, ces arcs seront dits *majeurs*. Soit $\cdot/\cdot$ leur réunion. Soit $\cdot/\cdot'$ la réunion des arcs restant qui seront dits *mineurs*. Sur $\cdot/\cdot'$ on a seulement une majoration de $|f(t)|$.

On pose pour tout entier $j \ge 1$,

$$
(IV.6) \qquad \sigma_j = (q-1) \sum_{r=1}^{j} \frac{q^r}{r}.
$$

On note $\Psi$ l'application de $\mathcal{P}_N$ dans $\mathcal{C}$ définie par

$$
(IV.7) \quad \Psi(u) = \begin{cases}
\sigma_n & \text{si } v(u) > 2n+1, \\
\sigma_{j-1} & \text{si } v(u) = 2j \text{ avec } j \le n, \\
\sigma_{j-1} + (q^j/j) \sum_{b \in F_q^0} e(ab^2) & \text{si } v(u) = 2j+1 \text{ avec } j \le n, \\
\text{et si } a \in F_q^0 \text{ est tel que } v(u - aX^{-v(u)}) > v(u).
\end{cases}
$$

On remarque que si $u = aX^{-v(u)} + v$, avec $a \in F_q^0$ et $v(v) > v(u)$, $\Psi(u)$ ne
dépend que de $a$ et de $v(u)$. On pose alors

$$
(IV.8) \qquad \Psi(u) = \varphi(a, v(u)).
$$

PROPOSITION IV.1. Soit $t = G/H + u$ appartenant à l'arc majeur de centre $G/H$. Alors,

$$
(IV.9) \qquad \left| f^k(t) - \frac{W^k(G, H)}{\Phi^k(H)} \Psi^k(u) \right| \le sq^{4s} q^{n/2} (\sigma_n)^{k-1},
$$

où,

$$
(IV.10) \qquad W(G, H) = \sum_{R \in \mathcal{R}_H^0} E \left( \frac{G}{H} R^2 \right).
$$

Démonstration. La proposition X.3 de [2] nous donne

$$
\left| f(t) - \frac{W(G, H)}{\Phi(H)} \Psi(u) \right| \le sq^{4s} q^{n/2}.
$$

On remarque que

$$
\left| \frac{W(G, H)}{\Phi(H)} \Psi(u) \right| \le |\Psi(u)| \le \sigma_n,
$$

et que, d'après le lemme 20 de [11],

$$
|f(t)| \le \sigma_n.
$$

PROPOSITION IV.2. Si $t$ appartient à un arc mineur,

$$
(IV.11) \qquad |f(t)| \le n s^{5/2} (\log n) q^n q^{-s/8}.
$$

Démonstration. C'est la proposition X.4 de [2].

PROPOSITION IV.3. Soit G/H le centre d'un arc majeur. Soit

$$
(IV.12) \qquad I_{G/H,k}(M) = \int_{\mathcal{U}_{G/H}} f^k(t) E(-Mt) dt.
$$

Alors, on a

$$
(IV.13) \quad \left| I_{G/H,k}(M) - \frac{W^k(G, H)}{\Phi^k(H)} E\left(-M \cdot \frac{G}{H}\right) A_k(M) \right| \le sq^{8s} q^{-3n/2} (\sigma_n)^{k-1} |H|^{-1},
$$

avec

(IV.14)

$$
A_k(M) = \begin{cases} q^{-2n} \sum_{j=1}^{k} \binom{k}{j} [\sigma_{n-1}]^{k-j} q^{nj} n^{-j} \varrho_j(0) & \text{si } d^\circ M = 2n-1, \\ q^{-2n} \sum_{j=1}^{k} \binom{k}{j} [\sigma_{n-1}]^{k-j} q^{nj} n^{-j} \varrho_j(\operatorname{sgn}(M)) & \text{si } d^\circ M = 2n. \end{cases}
$$
## Démonstration. Posons

$$J_k(M) = \int_{\mathcal{H}^n} \Psi^k(u) E(-Mu) du.$$

Les relations (IV.9) et (III.1) nous donnent

$$\left| I_{G/H,k}(M) - \frac{W^k(G, H)}{\Phi^k(H)} E\left(-M \frac{G}{H}\right) J_k(M) \right| \ll s (\sigma_n)^{k-1} q^{4s + (n/2) - N - d'\mathcal{H}}.$$

Il suffit donc d'établir l'égalité

$$J_k(M) = A_k(M).$$

D'après (IV.7) et (IV.8),

$$J_k(M) = (\sigma_n)^k \int_{\mathcal{H}^{2n+1}} E(-Mu) du + \\ + \sum_{j=1}^{2n+1} \sum_{a \in \mathcal{F}_q^0} \varphi^k(a, j) E(-MaX^{-j}) \int_{\mathcal{H}^j} E(-Mu) du,$$

d'où, avec (III.1),

$$J_k(M) = (\sigma_n)^k q^{-2n-1} + \sum_{j=d'M+1}^{2n+1} q^{-j} \sum_{a \in \mathcal{F}_q^0} \varphi^k(a, j) E(-MaX^{-j}).$$

On applique alors la définition du caractère $E$. Si $d^\circ M = 2n-1$, les relations (IV.7) et (IV.8) nous donnent

$$J_k(M) = (\sigma_n)^k q^{-2n-1} + q^{-2n}(\sigma_{n-1})^k \times \\ \times \sum_{a \in \mathcal{F}_q^0} e(-a \operatorname{sgn}(M)) + q^{-2n-1} \sum_{a \in \mathcal{F}_q^0} \left( \sigma_{n-1} + \frac{q^n}{n} \sum_{b \in \mathcal{F}_q^0} (ab^2) \right)^k,$$

$$J_k(M) = q^{-2n-1} \left\{ (\sigma_n)^k - (\sigma_{n-1})^k + \sum_{j=1}^k \binom{k}{j} (\sigma_{n-1})^{k-j} q^{nj} n^{-j} [q\varrho_j(0) - (q-1)^j] \right\},$$

$$J_k(M) = q^{-2n-1} \sum_{j=1}^{k} \binom{k}{j} (\sigma_{n-1})^{k-j} q^{nj+1} n^{-j} \varrho_j(0),$$

ce qui est l'égalité cherchée. Le cas $d^\circ M = 2n$ se traite de la même façon.

**COROLLAIRE. On a la relation :**

$$(IV.15) \quad \left| \int_{\mathcal{H}^n} f^k(t) E(-Mt) dt - A_k(M) \sum_{\substack{H \in \mathcal{H}^n \\ d^\circ H \le 2s}} \sum_{G \in \mathcal{G}^n} \frac{W^k(G, H)}{\Phi^k(H)} E\left(-M \frac{G}{H}\right) \right| \\ \ll sq^{10s} q^{-3n/2} (\sigma_n)^{k-1}.$$

## V. Les séries singulières. L'estimation précédente fait apparaître les premiers termes d'une série qui est absolument convergente pour $k \ge 5$, série que l'on va étudier dans ce paragraphe.

On pose, $M$ et $H$ étant des polynômes,

$$(V.1) \qquad C_k(M, H) = \sum_{G \in \mathcal{G}^n} \frac{W^k(G, H)}{\Phi^k(H)} E\left(-M \frac{G}{H}\right).$$

Dans ce qui suit, le polynôme $M$ est supposé fixé.

**PROPOSITION V.1.** La fonction $H \mapsto C_k(M, H)$ est multiplicative.

### Démonstration. Immédiate.

**PROPOSITION V.2.** Soient $P$ un polynôme irréductible, $G$ un polynôme premier à $P$ et $r$ un entier au moins égal à 2. Alors, on a

$$(V.2) \qquad W(G, P^r) = 0.$$

### Démonstration. On a

$$W(G, P^r) = \sum_{R \in \mathcal{R}^r} \sum_{L \in \mathcal{L}^r} E \left( \frac{G}{P^r} [P^{r-1} L + R]^2 \right) \\ = \sum_{R \in \mathcal{R}^r} E \left( \frac{G}{P^r} R^2 \right) \sum_{L \in \mathcal{L}^r} E \left( 2 \frac{G}{P} LR \right).$$

On conclut avec la relation (III.2).

**PROPOSITION V.3.** Soient $P$ un polynôme irréductible et $G$ un polynôme premier à $P$. Alors, on a

$$(V.3) \qquad |W(G, P)| \le 1 + |P|^{1/2}.$$

### Démonstration. (V.3) est une conséquence de la proposition VI.2 de [1]. Si $P$ est un polynôme irréductible, on pose

$$(V.4) \qquad \chi_k(M, P) = 1 + C_k(M, P),$$

et on désigne par $\mathcal{A}_k(M, P)$ le nombre de solutions $(M_1, \dots, M_k)$ de la congruence

$$M \equiv M_1^2 + \dots + M_k^2 \pmod{P}$$

telles que $M_1, \dots, M_k$ soient non nuls modulo $P$.

**PROPOSITION V.4.** Soit $P$ un polynôme irréductible. Alors, on a

$$(V.5) \qquad \Phi(P)^k \chi_k(M, P) = |P| N_k(M, P).$$
Démonstration. On a

$$ 
\begin{aligned}
\Phi^k(P) C_k(M, P) &= \sum_{G \in \mathcal{G}_P} \left\{ \sum_{R \in \mathcal{R}_P} E\left(\frac{G}{P} R^2\right) \right\}^k E\left(-M \frac{G}{P}\right) \\
&= \sum_{R_1 \in \mathcal{R}_P} \dots \sum_{R_k \in \mathcal{R}_P} \sum_{G \in \mathcal{G}_P} E\left(\frac{G}{P} [R_1^2 + \dots + R_k^2 - M]\right).
\end{aligned}
$$

La relation (III.2) nous donne alors,

$$ 
\begin{aligned}
\Phi^k(P) C_k(M, P) &= \Phi(P) \cdot \Gamma_k(M, P) - (\Phi(P))^k \cdot \Gamma_k(M, P) \\
&= |P| \cdot \Gamma_k(M, P) - \Phi(P)^k.
\end{aligned}
$$

Les nombres $\Gamma_k(M, P)$ nous seront donnés par l'étude des sommes de k carrés d'éléments non nuls dans le corps fini à $|P|$ éléments. Les résultats dont nous avons besoin sont donnés par la proposition suivante.

**PROPOSITION V.5.** Soit $F_v$, le corps fini à $v$ éléments. Soit $\lambda$ le caractère quadratique du groupe multiplicatif $F_v^0$. Pour tout $a \in F_v$, soit $\theta_k(a)$ le nombre de solutions $(a_1, \dots, a_k) \in F_v^0 \times \dots \times F_v^0$ de l'équation

$$ a = a_1^2 + \dots + a_k^2. $$

Alors,

$$ (V.6) \qquad \text{pour tout } a \in F_v, \theta_k(a) \le 2(v-1)^{k-1}; $$

$$ (V.7) \qquad \theta_5(0) = v^4 - 5v^3 + 5v^2 - 5v(1 + 2\lambda(-1)) + 4 + 10\lambda(-1); $$

$$ (V.8) \qquad \theta_5(a) = v^4 - 5v^3 + v^2(10 + \lambda(a)) - 5v(1 - 2\lambda(-a)) + 5 + 10\lambda(-1) + 5\lambda(a) \quad \text{si } a \in F_v^0; $$

$$ (V.9) \qquad \text{pour tout } a \in F_v, \text{ pour tout entier } k \ge 5, $$

$$ \theta_k(a) \ge (v-1)^{k-4} (v^3 - 4v^2 + v - 4 - 10\lambda(-1)). $$

**Démonstration.** (1) Soit $a \in F_v$. $\theta_1(a)$ vaut 0 ou 2. La relation (V.6) s'établit par récurrence sur l'entier $k$ en remarquant que

$$ (\varepsilon) \qquad \theta_{k+1}(a) = \sum_{b \in F_v^0} \theta_k(a-b^2). $$

(2) Notons $r_k(a)$ le nombre de solutions $(a_1, \dots, a_k) \in (F_v)^k$ de l'équation

$$ a = a_1^2 + \dots + a_k^2. $$

Alors, on a

$$ r_k(0) = \theta_k(0) + \binom{k}{1} \theta_{k-1}(0) + \dots + \binom{k}{k-2} \theta_2(0) + r_1(0), $$

$$ r_k(a) = \theta_k(a) + \binom{k}{1} \theta_{k-1}(a) + \dots + \binom{k}{k-2} \theta_2(a) + \binom{k}{k-1} \theta_1(a), \quad \text{si } a \in F_v^0. $$

On en déduit les relations

$$ \theta_k(0) = r_k(0) - \binom{k}{1} r_{k-1}(0) + \dots + (-1)^{k-2} \binom{k}{k-2} r_2(0) + (-1)^{k-1} \binom{k-1}{k-2} r_1(0), $$

$$ \theta_k(a) = r_k(a) - \binom{k}{1} r_{k-1}(a) + \dots + (-1)^{k-1} \binom{k}{k-1} r_1(a), \quad \text{si } a \in F_v^0. $$

Au chapitre V de [1] on a établi les relations

$$ 
\begin{aligned}
r_{2j}(0) &= v^{2j-1} - v^{j-1} \lambda(-1)^j + v^j \lambda(-1)^j, \quad r_{2j+1}(0) = v^{2j}, \\
r_{2j}(a) &= v^{2j-1} - v^{j-1} \lambda(-1)^j, \quad r_{2j+1}(a) = v^{2j} + v^j \lambda(-1)^j \lambda(a), \quad \text{si } a \in F_v^0,
\end{aligned}
$$

valables pour tout entier $j \ge 1$.

Les relations (V.7) et (V.8) s'en déduisent.

Les relations (V.7) et (V.8) donnent la minoration

$$ \theta_5(a) \ge (v-1)(v^3 - 4v^2 + v - (4 + 10\lambda(-1))) $$

valable pour tout $a \in F_v$. La minoration (V.9) se déduit de l'égalité (ε).

**COROLLAIRE.** Soit un entier $k \ge 5$ et P un polynôme irréductible. Alors,

(i) si $q > 3$, ou si $q = 3$ et si $d^\circ P > 1$,

$$ (V.10) \qquad \chi_k(M, P) \ge \frac{|P|}{\Phi(P)^4} [|P|^3 - 4|P|^2 + |P| - 14]; $$

(ii) si $q = 3$, si $d^\circ P = 1$, et si P ne divise pas M,

$$ (V.11) \qquad \chi_k(M, P) \ge 3. $$

**Démonstration.** La relation (V.10) s'obtient à partir des relations (V.5) et (V.9). La relation (V.11) s'obtient à partir des relations (ε), (V.8) et (V.5).

**PROPOSITION V.6.** Soient un entier $k \ge 1$ et P un polynôme irréductible. Alors, on a

$$ (V.12) \qquad |C_k(M, P)| \le \left( \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{q-1}} \right)^k |P|^{(2-k)/2}. $$

**Démonstration.** Avec les relations (V.1) et (V.3).

**PROPOSITION V.7.** Pour $k \ge 5$, la série

$$ (V.13) \qquad \mathfrak{S}_k(M) = \sum_{H \in \mathcal{H}} C_k(M, H) $$
est absolument convergente, et on a

$$
(V.14) \qquad \mathfrak{S}_k(M) = \prod_{P \in \mathcal{P} \cap \mathcal{S}} \chi_k(M, P);
$$

de plus, pour tout $\epsilon \in ]0, \frac{1}{2}[$, pour tout entier $t \ge 0$,

$$
(V.15) \qquad \sum_{\substack{H \in \mathcal{H} \\ d^2 H > t}} |C_k(M, H)| \ll q^{\left\lfloor \epsilon + 2 - \frac{k}{2} \right\rfloor},
$$

la constante impliquée par le symbole $\ll$ ne dépendant que de $q$, $k$ et $\epsilon$. En
outre, si $q$ n'est pas égal à 3, il existe des constantes $c_1 = c_1(q, k)$, $c_2$
$= c_2(q, k)$, strictement positives, ne dépendant que de $q$ et de $k$, telles que

$$
(V.16) \qquad c_1 \le \mathfrak{S}_k(M) \le c_2.
$$

Enfin, si $q=3$, la relation ci-dessus reste vraie si le polynôme $M$ n'est pas divisible par les polynômes $X, X+1, X-1$.

Démonstration. Si $q=3$, on fait ici l'hypothèse supplémentaire que le polynôme $M$ n'est divisible par aucun polynôme de degré 1. Soit $H$ un polynôme sans facteur carré. D'après (V.12),

$$
|C_k(M, H)| \le \left( \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{q-1}} \right)^{k\omega(H)} |H|^{1-k/2}.
$$

On a alors, pour tout nombre réel $\epsilon > 0$,

$$
|C_k(M, H)| \le |H|^{\epsilon + 1 - k/2},
$$

la constante impliquée par le symbole $\ll$ ne dépendant que de $q$, $k$ et $\epsilon$, ainsi
que les constantes impliquées par les symboles $\ll$ qui vont suivre. La
proposition V.2 nous donne

$$
\sum_{\substack{H \in \mathcal{H} \\ d^2 H = j}} |C_k(M, H)| \le q^{j(\epsilon + 2 - k/2)}, \quad \text{pour tout } j \ge 0.
$$

La relation (V.15) s'en déduit. Ceci prouve que la série $\mathfrak{S}_k(M)$ est absolument
convergente. La fonction $H \mapsto C_k(M, H)$ étant multiplicative, la somme
$\mathfrak{S}_k(M)$ s'écrit comme produit eulérien absolument convergent, d'où, (V.14).
Les relations (V.4) et (V.12) nous donnent

$$
1 - \left( \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{q-1}} \right)^k |P|^{1-k/2} \le \chi_k(M, P) \le 1 + \left( \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{q-1}} \right)^k |P|^{1-k/2}.
$$

Le produit

$$
\prod_{P \in \mathcal{P} \cap \mathcal{S}} \left( 1 + \left( \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{q-1}} \right)^k |P|^{1-k/2} \right)
$$

est convergent. Soit $c_2(q, k)$ ce produit. On a ainsi la deuxième inégalité de (V.16).

Soit

$$
d = \frac{2k \log \left( \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{q-1}} \right)}{(k-2) \log q}.
$$

Si $P$ est un polynôme irréductible tel que $d^\circ P > d$, $\chi_k(M, P) > 0$. Le produit

$$
\gamma(q, k) = \prod_{\substack{P \in \mathcal{S} \\ d^2 P > d}} \left( 1 - \left( \frac{\sqrt{q}}{\sqrt{q-1}} \right)^k \right) |P|^{1-k/2}
$$

est convergent et strictement positif. On a

$$
\mathfrak{S}_k(M) \ge \gamma(q, k) \left\{ \prod_{\substack{P \in \mathcal{S} \\ d^2 P \le d}} \chi_k(M, P) \right\}.
$$

Si $q \neq 3$, on pose

$$
c_1(q, k) = \gamma(q, k) \prod_{\substack{P \in \mathcal{S} \\ d^2 P \le d}} (\Phi(P)^{-4} (|P|^4 - 4|P|^3 + |P|^2 - 14|P|))
$$

et la relation (V.10) donne la première inégalité de (V.16). Posons aussi

$$
c_1(3, k) = 3^3 \gamma(3, k) \prod_{\substack{P \in \mathcal{S} \\ 1 < d^2 P \le d}} (\Phi(P)^{-4} (|P|^4 - 4|P|^3 + |P|^2 - 14|P|)).
$$

La relation (V.11) nous donne alors la première inégalité de (V.16) lorsque
$q = 3$.

VI. Estimation de $I_k(M)$. Nous reprenons les hypothèses du paragraphe
IV.

PROPOSITION VI.1. *Soit un entier $j \ge 2$. Alors,*

$$
(VI.1) \quad \int_{\mathcal{S}'} |f(t)|^{2j} dt \le \begin{cases} nq^{2n} & \text{si } j=2, \\ q^{2n(j-1)} & \text{si } j>2, \end{cases}
$$

la constante impliquée par le symbole $\ll$ ne dépendant que de $q$ et de $j$.

Démonstration. Posons pour $t \in \mathcal{S}$,

$$
(i) \qquad g(t) = \sum_{\substack{A \in \mathcal{F}_q[\chi] \\ d^2 A \le n}} E(tA^2).
$$

L'intégrale

$$
\int_{\mathcal{S}} |g(t)|^{2j} dt \quad (\text{resp.} \quad \int_{\mathcal{S}} |f(t)|^{2j} dt)
$$
est égale au nombre de solutions $(A_1, \dots, A_j, B_1, \dots, B_j)$ en polynômes (resp. en polynômes irréductibles) $A_1, \dots, A_j, B_1, \dots, B_j$ de degré au plus $n$ de l'équation

$$A_1^2 + \dots + A_j^2 = B_1^2 + \dots + B_j^2.$$

Par suite,

$$(ii) \quad \int_{\mathcal{P}'} |f(t)|^{2j} dt \le \int_{\mathcal{P}} |f(t)|^{2j} dt \le \int_{\mathcal{P}} |g(t)|^{2j} dt.$$

Considérons ici une partition de $\mathcal{P}$ donnée par les arcs de Farey à l'ordre $n$

$$\mathcal{P} = \bigcup_{\substack{H \in \mathcal{H} \\ d'H \le n \\ G \in \mathcal{G}_H}} \mathcal{A}_{G/H}, \text{ avec } \mathcal{A}_{G/H} = \left\{ t \in \mathcal{P}, v\left(t - \frac{G}{H}\right) > n + d^\circ H \right\}.$$

Lorsque $t$ décrit l'arc $\mathcal{A}_{G/H}$, on a

$$(iii) \quad g(t) = |H|^{-1} g\left(t - \frac{G}{H}\right) \sum_{R \in \mathcal{G}_H} E\left(\frac{G}{H} R^2\right).$$

C'est la proposition VIII.2 de [2]. On a aussi, et c'est la proposition V.2 de [1],

$$(iv) \quad \left| \sum_{R \in \mathcal{G}_H} E \left( \frac{G}{H} R^2 \right) \right| = |H|^{1/2}.$$

Avec (iii) et (iv) il vient

$$(v) \quad \int_{\mathcal{P}} |g(t)|^{2j} dt \le \sum_{\substack{H \in \mathcal{H} \\ d'H \le n}} \Phi(H) |H|^{-j} \int_{\mathcal{P}_n + d'H} |g(t)|^{2j} dt.$$

On applique la proposition VIII.1 de [2].

$$g(t) = \begin{cases} q^{n+1} & \text{si } v(t) > 2n+1, \\ q^i & \text{si } v(t) = 2i \text{ avec } i \le n, \\ q^i \sum_{b \in \mathcal{F}_q} e(ab^2) & \text{si } v(t) = 2i+1 \text{ avec } i \le n, \text{ et si } a \in \mathcal{F}_q^0 \\ & \text{est tel que } v(t - aX^{-2i-1}) > 2i+1. \end{cases}$$

Si $H \in \mathcal{H}$ est tel que $d^\circ H \le n$,

$$\int_{\mathcal{P}_n + d^\circ H} |g(t)|^{2j} dt = q^{2n(j-1)+2j-1} + \sum_{r=n+1+d^\circ H}^{2n+1} \int_{\mathcal{P}_r-1 \setminus \mathcal{P}_r} |g(t)|^{2j} dt, \\ \int_{\mathcal{P}_n + d^\circ H} |g(t)|^{2j} dt \le q^{2n(j-1)+2j-1} + \sum_{r=i}^{n} (q-1)(q^{2rj-2r} + q^{2(r+1)j-2r-1}),$$

où $i$ est la partie entière de $(n+1+d^\circ H)/2$, d'où,

$$\int_{\mathcal{P}_{n+d^\circ H}} |g(t)|^{2j} dt \ll q^{2n(j-1)},$$

la constante impliquée par le symbole $\ll$ ne dépendant que de $q$ et de $j$. (II en sera de même pour tous les autres symboles $\ll$ utilisés au cours de cette démonstration.) De (v) on déduit alors que

$$\int_{\mathcal{P}} |g(t)|^{2j} dt \ll q^{2n(j-1)} \sum_{\substack{H \in \mathcal{H} \\ d'H \le n}} \Phi(H) |H|^{-j} \ll q^{2n(j-1)} \sum_{r=0}^{n} q^{r(2-j)}.$$

On conclut alors avec (ii).

**COROLLAIRE.** Soit un entier $j \ge 3$. Alors, on a

$$(VI.2) \quad \int_{\mathcal{P}'} |f(t)|^{2j+1} dt \ll n s^{5/2} \log(n) q^{n(2j-1)-s/8},$$

$$(VI.3) \quad \int_{\mathcal{P}'} |f(t)|^{2j+2} dt \ll n^2 s^5 \log(n)^2 q^{2jn-s/4},$$

les constantes impliquées par les symboles $\ll$ ne dépendant que de $q$ et de $j$. On a aussi,

$$(VI.4) \quad \int_{\mathcal{P}'} |f(t)|^5 dt \ll n^2 s^{5/2} \log(n) q^{3n-s/8},$$

$$(VI.5) \quad \int_{\mathcal{P}'} |f(t)|^6 dt \ll n^3 s^5 \log(n)^2 q^{4n-s/4}.$$

**Démonstration.** Avec la relation (IV.11).

**LEMME.** On a les majorations

$$(VI.6) \quad n^{-k} q^{n(k-2)} \ll A_k(M) \ll n^{-k} q^{n(k-2)}.$$

**Démonstration.** Les relations (IV.14) et (V.6) nous donnent

$$A_k(M) \ll q^{-2n} \sum_{j=1}^{k} \binom{k}{j} (\sigma_{n-1})^{k-j} n^{-j} q^{nj} (2(q-1)^{j-1}) \ll 2(q-1)^{-1} q^{-2n} (\sigma_n)^k.$$

Avec la relation (IV.6) on voit aisément que

$$\sigma_n \ll n^{-1} q^n,$$

d'où la deuxième relation.

Les relations (V.9) et (IV.14) nous donnent, pour $q \ne 3$,

$$A_k(M) \gg q^{-2n} n^{-k} q^{nk} (q-1)^{k-4} (q^3 - 4q^2 + q - 14).$$

Si $q=3$, on a en particulier,

$$\mathcal{Q}_3(0) = 2^3, \quad \mathcal{Q}_4(1) = 2^4, \quad \mathcal{Q}_5(-1) = 2^5.$$
La relation (IV.14) nous donne

$$A_k(M) \ge 2^{3-2n} \binom{k}{3} (2^{n-1}/n)^{k-3} n^{-3} 2^{3n} \quad \text{si} \quad d^\circ M = 2n-1,$$

$$A_k(M) \ge 2^{4-2n} \binom{k}{4} (2^{n-1}/n)^{k-4} n^{-4} 2^{4n} \quad \text{si} \quad d^\circ M = 2n \text{ et si } \operatorname{sgn} M = 1,$$

$$A_k(M) \ge 2^{5-2n} \binom{k}{5} (2^{n-1}/n)^{k-5} n^{-5} 2^{5n} \quad \text{si} \quad d^\circ M = 2n \text{ et si } \operatorname{sgn} M = -1.$$

**PROPOSITION VI.2.** On a les majorations

$$(VI.7) \quad |I_5(M) - A_5(M) \Xi_5(M)| \le A_5(M) n^7 s^{5/2} \log(s) q^{-s/8},$$

$$(VI.8) \quad |I_6(M) - A_6(M) \Xi_6(M)| \le A_6(M) n^9 s^5 \log(s)^2 q^{-s/4},$$

$$(VI.9) \quad |I_k(M) - A_k(M) \Xi_k(M)| \le A_k(M) n^{k+1} s^{5/2} \log(s) q^{-s/8}, \\ \text{pour } k \ge 7, \text{ impair,}$$

$$(VI.10) \quad |I_k(M) - A_k(M) \Xi_k(M)| \le A_k(M) n^{k+2} s^5 \log(s)^2 q^{-s/4}, \\ \text{pour } k \ge 8, \text{ pair.}$$

**Démonstration.** Soit un entier $k \ge 5$. Soit $\varepsilon \in ]0, \frac{1}{2}[$. Alors, d'après (IV.15), (V.15) et (VI.6),

$$|I_k(M) - A_k(M) \Xi_k(M)| \le A_k(M) q^{2s(\varepsilon + 2 - k/2)} + s q^{10s - (3n/2)} (\sigma_n)^{k-1} + \int_{\sigma_n}^{\infty} |f(t)|^k dt.$$

Les relations (VI.2), (VI.3), (VI.4), (VI.5) et (VI.6) donnent alors le résultat annoncé.

Nous pouvons énoncer le théorème final.

**THÉORÈME.** Soit un entier $k \ge 5$. Alors, pour tout nombre réel $\alpha > 0$, pour tout polynôme $M$ non constant, on a

$$I_k(M) = A_k(M) \Xi_k(M) + O(A_k(M) (d^\circ M)^{-\alpha}),$$

les constantes impliquées par le symbole $O$ ne dépendant que de $q, k$ et $\alpha$.

**Démonstration.** On choisit $h$ en fonction de $k$ et de $\alpha$. Pour

$$k=5 \quad \text{on prend} \quad h=8\alpha+57,$$

$$k=6 \quad \text{on prend} \quad h=4\alpha+37,$$

$$k \text{ impair} \ge 7 \quad \text{on prend} \quad h=8\alpha+8k+9,$$

$$k \text{ pair} \ge 8 \quad \text{on prend} \quad h=4\alpha+4k+9.$$

Soit alors $n(q, k, \alpha)$ le plus petit entier $n$ vérifiant (IV.1). Soit un entier $n \ge n(q, k, \alpha)$. On applique la proposition précédente à tout polynôme $M$ de degré $2n$ ou $2n-1$.

On déduit du théorème que, pour tout polynôme $M$ de degré “assez grand”, le nombre $I_k(M)$ de représentations restreintes de $M$ en somme de $k$ carrés de polynômes irréductibles est strictement positif. Notons qu’énoncé ainsi, ce résultat pouvait être obtenu à partir de la seule estimation de $I_5(M)$. En effet, d’après les relations (V.16) et (VI.6), pour tout polynôme $M$ de degré $2n$ ou $2n-1$,

$$I_5(M) \ge n^{-5} q^{3n}.$$

Soit un entier $k \ge 5$. Si $M$ est de degré $2n$ ou $2n-1$,

$$I_k(M) \ge \sum_{\substack{P_1 \le f \\ d^\circ P_1 < n}} \dots \sum_{\substack{P_k - 5 \le f \\ d^\circ P_k - 5 < n}} I_5(M - P_1^2 - \dots - P_{k-5}^2),$$

et, d'après le lemme 20 de [11],

$$I_k(M) \ge n^{-k} q^{n(k-2)}.$$

References

[1] M. Car, *Sommes de carrés dans $F_q[X]$*, Dissertationes Mathematicae 215, Warszawa 1983.

[2] — *Sommes de carrés et d'irréductibles dans $F_q[X]$*, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. 3 (1981), p. 129-166.

[3] L. Carlitz, *On the representation of a polynomial on a Galois field as the sum of an even number of squares*, Trans. Amer. Math. Soc. 35 (1933), p. 397-410.

[4] — *On the representation of a polynomial on a Galois field as the sum of an odd number of squares*, Duke Math. J. 1 (1935), p. 298-315.

[5] — *Sums of squares of polynomials*, ibid. 3 (1937), p. 1-7.

[6] — *The singular series for sums of squares of polynomials*, ibid. 14 (1947), p. 1105-1120.

[7] — *A note on sums of three squares of polynomials in GF[q, x]*, Math. Mag. 48 (1975), p. 109-110.

[8] Eckford Cohen, *Sums of an even number of squares in GF[p*, x], I, Duke Math. J. 14 (1947), p. 251-267.

[9] — *Sums of an even number of squares in GF[p*, x], II, ibid. 14 (1947), p. 543-557.

[10] D. R. Hayes, *The expression of a polynomial as the sum of three irreducibleibles*, Acta Arith. 11 (1966), p. 461-488.

[11] G. Rhin, *Répartition modulo 1 dans un corps de séries formelles sur un corps fini*, Dissertationes Mathematicae 95, Warszawa 1972.

[12] J. P. Serre, *Communication personnelle*.

[13] W. Webb, *Waring's problem in GF[q, x]*, Acta Arith. 22 (1972), p. 207-220.