# Estimation fonctionnelle de la température avec la méthode Monte Carlo : vers la caractérisation des propriétés thermiques et application à la méthode flash

Léa Penazzi, Olivier Farges, Yves Jannot, Johann Meulemans, Vincent Schick

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Léa Penazzi, Olivier Farges, Yves Jannot, Johann Meulemans, Vincent Schick. Estimation fonctionnelle de la température avec la méthode Monte Carlo : vers la caractérisation des propriétés thermiques et application à la méthode flash. 31ème congrès Français de Thermique (SFT 2023), May 2023, Reims, France. , Actes du Congrès Annuel de la Société Française de Thermique 2023. hal-04171617

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Submitted on 26 Jul 2023

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<figure><img src="image_1.png" /></figure>

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# Estimation fonctionnelle de la température avec la méthode Monte Carlo : vers la caractérisation des propriétés thermiques et application à la méthode flash

Léa Penazzi(1,2*), Olivier Farges(1,2), Yves Jannot(1,2), Johann Meulemans(2,3), Vincent Schick(1,2)

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

## Introduction & Contexte

* Proposition d'un modèle rapide sans dégradation de la potentielle complexité physique et géométrique du cas d'étude.

* Preuve de concept : fonctionnelle estimée avec un unique calcul Monte Carlo pouvant être utilisée dans une procédure d'inversion.

* Construction de la fonction pour l'estimation de la diffusivité thermique et du coefficient de convection pour la méthode flash.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Figure 1:** Méthodologie d'estimation des variables s'appuyant sur le triptyque modèle-expérience-algorithme d'inversion.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Figure 2:** Organigramme représentant les étapes itératives d'un algorithme de type Levenberg-Marquardt cherchant à minimiser les écarts entre résultats issus du modèle et mesures expérimentales.</figcaption></figure>

## Formulation du problème physique en intégrales de chemins

### Modèle thermique

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Figure 3:** Représentation schématique de la méthode flash dans un cas monocouche.</figcaption></figure>

$$ 
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} = \frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t} & \forall x \in \mathcal{D}, t > 0 \\
\\
T(x, 0) = T_I & \forall x \in \mathcal{D}, t = 0 \\
\\
-\lambda \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right|_{x=0} = \phi(t) - h_f(T(0, t) - T_{BF}) & \forall x \in \partial \mathcal{D}_f, t > 0 \\
\\
-\lambda \left. \frac{\partial T}{\partial x} \right|_{x=L} = h_b(T(L, t) - T_{BF}) & \forall x \in \partial \mathcal{D}_b, t > 0
\end{array}
\right.
$$

### Méthode flash (Parker, 1961) :

* Excitation d'un échantillon plan cylindrique de petite dimension par une **brève impulsion thermique** en face avant.

* Mesure de la réponse en température sur la face opposée arrière (ou bien avant) grâce à un thermocouple ou détecteur infrarouge.

### Modèle statistique équivalent

* Traduction statistique du modèle physique permettant une estimation de la température avec un **algorithme Monte Carlo**

$$ T(x, t) = \begin{cases} 
\mathcal{H}(t \le 0) T_I + \left( \begin{array}{l} \mathcal{H}(x \in \mathcal{D}) \left[ \frac{1}{2} T(x - \delta_x, t - \delta_t) + \frac{1}{2} T(x + \delta_x, t + \delta_t) \right] \\ + \mathcal{H}(x = 0) \left[ \frac{\phi(t)}{\delta_x} + h_f \right] + \mathcal{P}_{\text{ref,f}} \frac{\mathcal{P}(h_f)}{\mathcal{P}_{\text{ref,f}}} T_{\text{BF}} + (1 - \mathcal{P}_{\text{ref,f}}) \frac{(1 - \mathcal{P}(h_f))}{(1 - \mathcal{P}_{\text{ref,f}})} T(\delta_x, t) \end{array} \right. & \text{Pas de discrétisation spatial} \\
\mathcal{H}(t > 0) \left( \begin{array}{l} \mathcal{H}(x \in \mathcal{D}) \left[ \frac{\phi(t)}{\delta_x} + h_f \right] + \mathcal{P}(h_f) T_{\text{BF}} + (1 - \mathcal{P}(h_f)) T(L - \delta_x, t) \end{array} \right. & \text{Probabilité pour un chemin de terminer en convection} \\
\mathcal{H}(x = L) \left[ \mathcal{P}_{\text{ref,b}} \frac{\mathcal{P}(h_b)}{\mathcal{P}_{\text{ref,b}}} T_{\text{BF}} + (1 - \mathcal{P}_{\text{ref,b}}) \frac{(1 - \mathcal{P}(h_b))}{(1 - \mathcal{P}_{\text{ref,b}})} T(L - \delta_x, t) \right] & \text{Probabilité pour un chemin d'être réinjecté}
\end{cases} $$

* Poids Monte Carlo :

$$ w_i = \sum_{j=1}^{J_i} \frac{\phi(t - m_{j,i} \delta_t)}{\delta_x + h_f} + \left\{ \begin{array}{ll} \mathcal{H}(x \in \mathcal{D}) T_I & \mathcal{H}(x \in \mathcal{D}) T_{\text{BF}} \\ + & \mathcal{H}(x \in \partial \mathcal{D}) T_{\text{BF}} \end{array} \right\} \left\{ \begin{array}{ll} T(x, t) \approx m = \frac{1}{N_{\text{MC}}} \sum_{i=1}^{N_{\text{MC}}} w_i & \mathcal{H}(x \in \mathcal{D}) T_I \\ s = \frac{1}{\sqrt{N_{\text{MC}}}} \sqrt{\frac{1}{N_{\text{MC}}} \sum_{i=1}^{N_{\text{MC}}} w_i^2 - m^2} & \mathcal{H}(x \in \partial \mathcal{D}) T_{\text{BF}} \end{array} \right. $$

## Construction de la température fonctionnelle

* Reformulation avec la technique d'échantillonnage préférentiel :

$$ T(x,t) = \begin{cases} \mathcal{H}(t \le 0) T_I + \left( \begin{array}{l} \mathcal{H}(x \in \mathcal{D}) \left[ \frac{1}{2} T(x - \delta_x, t - \delta_t) + \frac{1}{2} T(x + \delta_x, t + \delta_t) \right] \\ + \mathcal{H}(x = 0) \left[ \frac{\phi(t)}{\delta_x} + h_f \right] + \mathcal{P}_{\text{ref,f}} \frac{\mathcal{P}(h_f)}{\mathcal{P}_{\text{ref,f}}} T_{\text{BF}} + (1 - \mathcal{P}_{\text{ref,f}}) \frac{(1 - \mathcal{P}(h_f))}{(1 - \mathcal{P}_{\text{ref,f}})} T(\delta_x, t) \end{array} \right. & \text{Pas de discrétisation spatial} \\
\mathcal{H}(t > 0) \left( \begin{array}{l} \mathcal{H}(x = 0) \left[ \frac{\phi(t)}{\delta_x} + h_f \right] + \mathcal{P}(h_f) T_{\text{BF}} + (1 - \mathcal{P}(h_f)) T(L - \delta_x, t) \end{array} \right. & \text{Probabilité pour un chemin de terminer en convection} \\
\mathcal{H}(x = L) \left[ \mathcal{P}_{\text{ref,b}} \frac{\mathcal{P}(h_b)}{\mathcal{P}_{\text{ref,b}}} T_{\text{BF}} + (1 - \mathcal{P}_{\text{ref,b}}) \frac{(1 - \mathcal{P}(h_b))}{(1 - \mathcal{P}_{\text{ref,b}})} T(L - \delta_x, t) \right] & \text{Probabilité pour un chemin d'être réinjecté}
\end{cases} $$

* Poids Monte Carlo avec échantillonnage préférentiel :

$$ w_i = \sum_{j_i=0}^{J_i-1} \left( \frac{1 - \mathcal{P}(h_f)}{1 - \mathcal{P}_{\text{ref,f}}} \right)^{j_i} \left( \frac{1 - \mathcal{P}(h_b)}{1 - \mathcal{P}_{\text{ref,b}}} \right)^{k_i} \frac{\phi(t - m_{j_i, i} \delta_t)}{\delta_x + h_f} \left( \begin{array}{l} \text{Nombre de pas courant lorsque la face avant est visitée} \\ + \mathcal{H}(x_{\text{end}} = 0) \left( \frac{1 - \mathcal{P}(h_f)}{1 - \mathcal{P}_{\text{ref,f}}} \right)^{j_i} \left( \frac{1 - \mathcal{P}(h_b)}{1 - \mathcal{P}_{\text{ref,b}}} \right)^{k_i} \frac{\mathcal{P}(h_f)}{\mathcal{P}_{\text{ref,f}}} T_{\text{BF}} + \frac{\phi(t - m_{j_i, i} \delta_t)}{\delta_x + h_f} \right) \\ + \mathcal{H}(x_{\text{end}} = L) \left( \frac{1 - \mathcal{P}(h_f)}{1 - \mathcal{P}_{\text{ref,f}}} \right)^{j_i} \left( \frac{1 - \mathcal{P}(h_b)}{1 - \mathcal{P}_{\text{ref,b}}} \right)^{k_i} \frac{\mathcal{P}(h_b)}{\mathcal{P}_{\text{ref,b}}} T_{\text{BF}} \\ + \mathcal{H}(x_{\text{end}} \in \mathcal{D}) \left( \frac{1 - \mathcal{P}(h_f)}{1 - \mathcal{P}_{\text{ref,f}}} \right)^{j_i} \left( \frac{1 - \mathcal{P}(h_b)}{1 - \mathcal{P}_{\text{ref,b}}} \right)^{k_i} T_I \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} \text{Nombre de réinjections en face arrière au chemin n° i sachant J_i} \\ + \mathcal{H}(x_{\text{end}} \in \mathcal{D}) \left( \frac{1 - \mathcal{P}(h_f)}{1 - \mathcal{P}_{\text{ref,f}}} \right)^{j_i} \left( \frac{1 - \mathcal{P}(h_b)}{1 - \mathcal{P}_{\text{ref,b}}} \right)^{k_i} T_I \end{array} \right) $$

* Exemples et visualisation des chemins thermiques échantillonnés :

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Figure 4:** Premier exemple de chemin thermique effectuant une marche conductive jusqu'à rencontrer la température initiale $T_I$ mettant fin au chemin.</figcaption></figure>

<table><thead><tr><th>i</th><th>J<sub>i</sub></th><th>k<sub>i,Ji</sub></th><th>m<sub>j,i</sub></th><th>N<sub>tot-pas</sub></th><th>T<sub>end</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>1</td><td>2</td><td>m<sub>1,1</sub></td><td>12</td><td>T<sub>I</sub></td></tr><tr><td>2</td><td>3</td><td>0</td><td>m<sub>2,1</sub>; m<sub>2,2</sub>; m<sub>2,3</sub></td><td>15</td><td>T<sub>BF</sub> (arrière)</td></tr><tr><td>3</td><td>0</td><td>1</td><td>m<sub>3,end</sub></td><td>9</td><td>T<sub>BF</sub> (avant)</td></tr><tr><td colspan="6">...</td></tr><tr><td>N<sub>MC</sub> - 1</td><td>2</td><td>3</td><td>m<sub>NMC - 1,1</sub>; m<sub>NMC - 1,2</sub></td><td>13</td><td>T<sub>I</sub></td></tr><tr><td>N<sub>MC</sub></td><td>3</td><td>5</td><td>m<sub>NMC,1</sub>; m<sub>NMC,2</sub>; m<sub>NMC,3</sub>; m<sub>NMC,end</sub></td><td>19</td><td>T<sub>BF</sub> (arrière)</td></tr></tbody></table>

**Légende :**

Source de chaleur (au sens de Green)

Probabilité

Compteur lié aux réinjections

en face arrière

Paramètre thermo physique

Compteur lié aux réinjections en face avant

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

<footnote>(*) Auteur correspondant
(lea.penazzi@univ-lorraine.fr)</footnote>

<footnote>(1) Université de Lorraine, CNRS, LEMTA, F-54500, Vandœuvre-lès-Nancy, France</footnote>

<footnote>(2) Laboratoire Commun Canopée, CNRS, Université de Lorraine, Saint-Gobain</footnote>

<footnote>(3) Saint-Gobain Research Paris, 39 quai Lucien Lefranc, F-93303, Aubervilliers, France</footnote>