partitions peuvent être considérées comme les mêmes. Le reste de son travail montre bien que ce genre de considérations ne sont pas limitées aux suites de symboles des langages formels<fnref n="1" />.

b) Un sens minimal du terme d'information

Sous quelles conditions peut-on parler de l'« information » que porte une représentation ? La leçon de ce qui précède, c'est qu'on a au moins besoin de savoir quels aspects de la représentation sont pertinents, c'est-à-dire au fond de savoir quelles représentations traiter comme les mêmes. On peut aller plus loin : cette seule condition est non seulement nécessaire, mais même suffisante pour parler, comme Simon, comme Simon, de « la même », de « plus » ou de « moins » d'information, en un sens du terme que l'on pourrait dire *minimal*. On peut ainsi parler d'information sans donner à notre représentation une véritable sémantique.

Cette remarque vaut, d'une manière générale, pour tout emploi du terme qui s'inspire de près ou de loin de la stratégie de Claude Shannon <fnref n="2" />. On peut effectivement parler d'information sans introduire de sémantique, mais il est pour cela indispensable de bien saisir le *type* dont la représentation qui nous intéresse est un *token*, et plus largement l'ensemble des autres *types* qui seraient possibles. Comme l'écrit Shannon,

> [The] semantic aspects of communication are irrelevant to the engineering problem. The significant aspect is that the actual message is one *selected from a set* of possible messages. <fnref n="3" />

Cela peut créer beaucoup de confusion que de négliger ce point, et donc de présupposer que l'information que porte une représentation en est une propriété intrinsèque.

Ken Manders, dans un article peu connu, diagnostique bien ce problème en préalable d'une discussion sur l'emploi de figures en mathématiques :

<footnote n="1">1. Voir Goodman 1968, en part. chap. IV, section 2. Il parle d'*inscriptions* (qui peuvent être visuelles, auditives, etc.) et de *caractères*, qui sont des « classes » d'inscriptions; il parle de *schème notationnel* lorsqu'inscriptions et caractères sont tels que chaque inscription peut être assignée de manière unique à un caractère, c'est-à-dire lorsqu'inscriptions et caractères jouent respectivement le rôle de nos *tokens* et *types*. Il s'emploie alors à analyser plus exactement ce qui est requis pour qu'on ait un schème notationnel : il faut que les caractères forment des classes disjointes, mais aussi qu'on puisse déterminer par une inspection matérielle finie à quel caractère une inscription donnée correspond. Pour une présentation plus approfondie, voir aussi Kulvicki 2006, chap. 1 ou encore Vorms 2009b, section 7.1.</footnote>

<footnote n="2">2. Voir l'introduction de cette partie, en part. p. 97-98.</footnote>

<footnote n="3">3. « Les aspects sémantiques de la communication ne sont pas pertinents pour le problème d'ingénierie. L'aspect important est que le message effectivement transmis n'est qu'une possibilité sélectionnée dans un ensemble de messages possibles. » (Shannon 1948, p. 379).</footnote>
The notion of representational content is a difficult one, for many reasons. Many of its problems are inherited by contemporary notions of information. [...]

For the term ‘information’, [a] systematic ambiguity is abetted by the communication engineer’s quantitative conception of information [...], which succeeded marvellously in separating engineering concerns from those of the user. [...]

Genuine application of the Shannon theory requires individuating the events of interest, to which the statistical measures are applied, at each stage of the communication channel. On the user side, for example, telephone carriers put major research into picking out components of a voice signal most important to understanding transmitted speech [...].

Such specialized tasks figure little in an outsider's conception of the Shannon theory, leaving the mis-impression that individuation of events in statistical ensembles at various stages of the channel is intrinsically given, and that information in the Shannon sense can be unproblematically identified between various stages of a channel.<fnref n="4" />

En d'autres termes, toute mesure de l'information au sens de Shannon suppose que l'on sache identifier les signaux concrets que l'on traite comme des instances de l'un des signaux possibles<fnref n="5" />.

<footnote n="4">4. « La notion de contenu représentationnel est délicate, et ce pour de nombreuses raisons. Les notions contemporaines d'information héritent de beaucoup de ses difficultés. [...] Pour le terme d'‘information', une ambiguïté systématique est encouragée par la conception quantitative de l'information des ingénieurs en télécommunications [...], qui a merveilleusement bien réussi à séparer les questions d'ingénierie de celles qui intéressent l'utilisateur. [...] Une authentique application de la théorie de Shannon exige d'individuer les événements d'intérêt auxquels on appliquera les mesures statistiques à chaque étape du canal de communication. Du côté de l'utilisateur, par exemple, les opérateurs de téléphonie consacrent de grands efforts de recherche à identifier quels composants d'un signal vocal sont les plus importants pour comprendre la parole retransmise [...]. De telles tâches spécialisées font rarement partie de la conception que se font les profanes de la théorie de Shannon ; cela laisse l'impression fausse que l'individuation des événements au sein d'ensembles statistiques [de possibilités] à différentes étapes du canal [de communication] est donnée intrinsèquement, et que l'on peut identifier sans problèmes l'information au sens de Shannon présente à différentes étapes d'un canal. » (Manders 1996, p. 389-390).</footnote>

<footnote n="5">5. C'est en fait l'hypothèse essentielle sur laquelle repose la théorie mathématique de la communication de Shannon : « [The] semantic aspects of communication are irrelevant to the engineering problem. The significant aspect is that the actual message is one *selected from a set* of possible messages. » (« Les aspects sémantiques de la communication ne sont pas pertinents pour le problème d'ingénierie. L'aspect important est que le message effectivement transmis n'est qu'une possibilité * sélectionnée dans un ensemble* de messages possibles. » Shannon 1948, p. 379.)</footnote>
<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>FIGURE 6.2 – Deux « figures étiquetées » équivalentes du système **Eu** de Mumma (Mumma 2006, p. 21)</figcaption></figure>

c) Un exemple : Miller et Mumma sur les figures d'Euclide

De manière révélatrice, c'est précisément en un tel sens minimal que John Mumma
et Nathaniel Miller emploient le terme d'information dans leurs études sur la géométrie
d'Euclide 6.

Tous deux proposent des systèmes formels (respectivement nommés **Eu** et **FG**) destinés à rendre compte des démonstrations d'Euclide, figures comprises ; tous deux commencent donc par expliquer comment ils encodent les figures. Mumma, par exemple, part de grilles de *n* sur *n* cases (n ≥ 1) dont certaines positions marquées désignent des points, des segments, des demi-droites, des droites et des cercles, comme à la fig. 6.2(a) ; il les appelle *figures étiquetées* (« *labeled diagrams* »). Or juste après avoir les définies, il écrit :

[L]abeled diagrams carry too much information. For any one labeled diagram there will be an infinite number of others which [...] support the same inferences in a Euclidean proof. For example the differences between the two labeled diagrams [of fig. 6.2] would have no bearing on what one could do with them in a Euclidean proof. [...] To group such diagrams together, **Eu** possesses an equivalence relation ~ which abstracts away all irrelevant information. <fnref n="7" />

<footnote n="6">6. Cf. Miller 2001, 2007 et Mumma 2006. J'aurai l'occasion de revenir sur ces travaux à plusieurs reprises dans la suite de ce travail; pour une présentation générale, voir infra, p. 220-221. Plus largement, cf. chap. 8 et 12.</footnote>

<footnote n="7">7. « Les figures étiquetées portent trop d'informations. Pour chaque figure étiquetée, il y en aura une infi-</footnote>
Mumma ne donne pas de véritable sémantique à ses figures <fnref n="8" />; isoler les « informations » pertinentes revient ici uniquement à indiquer quelles figures on peut considérer comme les mêmes.

Au départ, Miller définit ses figures autrement; mais à la même étape de son développement, il s'exprime en des termes très proches :

> We have now defined a primitive diagram to be a particular kind of geometric object. These diagrams contain somewhat too much information, though. [...] As it stands, if we have a diagram containing only a single dot, that dot could be at any one of an infinite number of points [...]. We don't actually care exactly where the point is, however. [...] Instead, we're only going to use our diagrams to show the topology of how lines and circles might lie in the plane. For example, all of the diagrams that only contain a single dot have the same topology, even though each one is slightly different, so we'd like to consider them to all be the same diagram in some sense. In other words, we'd really like to look at equivalence classes of diagrams that contain the same topological information.<fnref n="9" />

Contrairement à Mumma, Miller donne une sémantique à ses figures, mais elle joue un rôle limité dans son système et, à vrai dire, elle dépend elle-même de l'équivalence entre figures, ce qui lui donne un goût de circularité : en substance, un modèle d'une figure *F* est une configuration du plan euclidien qui, si elle était utilisée comme diagramme, serait équivalente à *F*<fnref n="10" />. On le voit bien, la notion cruciale est celle d'équivalence entre figures.

En l'espèce, tant Miller que Mumma (quoique ce dernier soit plus clair sur ce point) choisissent de considérer comme équivalentes informationnellement les figures que l'on

<footnote>nité d'autres qui [...] permettent les mêmes inférences dans une démonstration Euclidienne. Par exemple, les différences entre les deux figures étiquetées [de la fig. 6.2] n'auraient pas d'influence sur ce que l'on pourrait faire avec eux dans une démonstration Euclidienne. [...] Pour grouper de tels diagrammes ensemble, **Eu** possède une relation d'équivalence ~ qui permet de faire abstraction de toutes les informations non pertinentes. » (Mumma 2006, p. 20-21).</footnote>

<footnote n="8">8. Du moins dans la version originale de son système; pour une version ultérieure incluant une sémantique, développée à la suite des commentaires de Miller 2012, voir Mumma 2014.</footnote>

<footnote n="9">9. « Selon la définition que nous venons de donner, une figure primitive est un objet géométrique d'une certaine sorte. Cependant, ces figures contiennent un peu trop d'information. [...] En l'état, si nous avons une figure qui ne contient qu'un unique point, ce point pourrait se trouver à une infinité de positions différentes [...]. La position exacte du point, cependant, n'a pas d'importance pour nous. [...] Au contraire, nous n'utiliserons nos figures que pour montrer la topologie de la manière dont des droites et des cercles pourraient être disposées dans le plan. Par exemple, toutes les figures qui ne contiennent qu'un unique point ont la même topologie, même si elles sont toutes un peu différentes; en un certain sens, nous aimerions donc toutes les considérer comme la même figure. Autrement dit, ce que nous voudrions en réalité, c'est considérer les classes d'équivalence de figures qui contiennent les mêmes informations topologiques. » (Miller 2007, p. 27).</footnote>

<footnote n="10">10. Cf. Miller 2007, section 2.3, p. 31-33.</footnote>
pourrait substituer sans faire de différences pour les démonstrations. Ce choix fait écho à
la célèbre définition du « contenu conceptuel » que donne Frege dans sa *Begriffsschrift* :

[D]ie Inhalte von zwei Urtheilen [können] in doppelter Weise verschieden
[sein]: erstens so, dass die Folgerungen, die aus dem einen in Verbindung mit
bestimmten andern gezogen werden können, immer auch aus dem zweiten
in Verbindung mit denselben andern Urtheilen folgen; zweitens so, dass dies
nicht der Fall ist. Die beiden Sätze: „bei Plataeae siegten die Griechen über die
Perser“ and „bei Plataeae wurden die Perser von den Griechen besiegt“ unter-
scheiden sich in der erstem Weise. [...] Ich nenne nun denjenigen Theil des
Inhaltes, der in beiden *derselbe* ist, den *begrifflichen Inhalt*.<fnref n="11" />

Le point de départ de Miller et Mumma est donc la pratique inférentielle qu’est la géométrie euclidienne élémentaire, ou plutôt certaines hypothèses descriptives sur la manière dont les figures y interviennent dans les preuves. Quand ils parlent d’élucider l’« information » présente dans les figures, ce qu’ils font est ni plus ni moins qu’identifier les figures que l’on peut considérer comme identiques sans dommage pour les démonstrations.

## 6.2 Équivalence informationnelle et intertraductibilité algorithmique

Un autre aspect de l'équivalence informationnelle, qui va de soi dans le cas informa-
tique mais requiert prudence au-delà, est qu'elle doit être algorithmique <fnref n="12" />. Ce point est
essentiel parce que, pour mon propos, l'intérêt principal de l'idée d'équivalence informa-
tionnelle est d'offrir un critère précis et opératoire.

Le chapitre précédent fournit un exemple dans lequel ce critère ne semble pas rempli :
c'est celui de l'équivalence entre équations newtoniennes, lagrangiennes ou encore hamil-

<footnote n="11">11. « [L]es contenus de deux jugements peuvent différer de deux manières : selon la première, les conclusions qui peuvent être tirées à partir de l'un d'eux en relation avec d'autres déterminés découlent toujours du second en relation avec ces mêmes autres jugements; selon la deuxième, ce n'est pas le cas. Les deux propositions : "les Grecs ont vaincu les Perses à Platée" et "les Perses ont été vaincus par les Grecs à Platée" diffèrent suivant la première manière. [...] J'appelle alors *contenu conceptuel*, cette partie du contenu qui est *la même* dans les deux. » (Frege 1879, p. 2-3; l'auteur souligne. Trad. fr. adaptée de Frege 1999, p. 16-17).</footnote>

<footnote n="12">12. Un argument intéressant et apparenté se trouve chez Haugeland [1991] 1998c. D'après lui, toute l'idée qu'images et phrases seraient différentes manières de représenter un même contenu (nous dirions ici, à la suite de Simon, les mêmes informations) est une erreur. Or, il considère que la source de cette erreur est précisément une confusion entre des processus purement mécaniques comme ceux qui permettent de transcrire une image en liste de pixels (donc avec identité de contenu) et des processus beaucoup plus exigeants comme ceux qui permettent de décrire une scène en phrases (sans identité de contenu).</footnote>
toniennes pour un même système, dont parle Marion Vorms <fnref n="13" />. Pour rappel, Vorms part du constat de Humphreys que, si ces équations sont équivalentes « en principe », elles ne le sont pas du tout « en pratique » : résoudre les équations différentielles qui gouvernent l'évolution d'un système peut par exemple être très difficile dans un cadre newtonien mais très facile dans un cadre lagrangien. Sa reformulation de ce contraste est que ces équations ont le même « contenu informationnel », mais un « contenu cognitivement accessible » très différent, c'est-à-dire qu'il y a entre elles une différence radicale de « format ». Mon propos n'est pas de critiquer ce contraste général, qui me semble convaincant, ni de contester qu'il y a un sens en lequel les formulations de la mécanique classique sont équivalentes : on peut effectivement démontrer que des équations sous ces différentes formes pour un même système prédiront la même évolution. En outre, il est clair que Vorms a tout intérêt à définir sa notion initiale d'équivalence de la manière la plus large possible, puisque son but est de montrer que cette équivalence n'a d'intérêt que théorique. Mes objectifs, cependant, sont différents, et pour exigent de distinguer la notion d'équivalence qu'utilise Vorms de celle de Simon.

Or, dans l'exemple de Vorms, on n'a pas équivalence informationnelle au sens de Simon. Sans doute n'existe-t-il pas de méthode pleinement générale pour passer d'équations lagrangiennes à des équations newtoniennes du même problème. En tout cas, ce passage est souvent délicat et n'a rien d'automatique; c'est même l'un des arguments principaux qu'utilise Vorms pour affirmer que ces deux formulations sont différentes en pratique <fnref n="14" />. L'identité de « contenu informationnel » au sens de Vorms est donc une notion nettement plus large que celle d'équivalence informationnelle. (En réalité, et malgré la terminologie informationnelle et la référence à Simon, il s'agit plutôt d'une identité sémantique comme nous en verrons dans la partie suivante.)

Pour clarifier le problème, prenons un exemple mathématique apparenté à ceux de Vorms, mais plus simple. Une même courbe plane, disons un même cercle, peut être représenté de diverses manières : par exemple en coordonnées cartésiennes, comme l'ensemble des points $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ tels que $x^2+y^2 = 1$; en coordonnées polaires, par l'équation $\rho(\theta) = 1$; ou encore de manière paramétrique, comme l'image de la fonction

$$ 
\begin{aligned}
\mathbf{R} & \rightarrow \mathbb{R}^2 \\
t & \mapsto (\cos t, \sin t).
\end{aligned}
 $$

<footnote n="13">13. Cf. *supra*, section 5.3.</footnote>

<footnote n="14">14. Voir Vorms 2011, p. 24 sq. Elle écrit par exemple que pour certains systèmes, « l'étape de la mise en équation [est] pratiquement impossible » dans un cadre newtonien, alors qu'écrire des équations lagrangiennes est très facile.</footnote>
On peut démontrer que ces représentations définissent la même courbe plane, mais elles peuvent en rendre différentes propriétés plus ou moins faciles d'accès. Vorms dirait là encore que l'on a le même contenu informationnel, mais une différence de format.

Confrontons maintenant cet exemple à celui de Kulvicki, qui compare deux manières de présenter des relevés de température : sous la forme d'une liste, ou disposés sur une grille bidimensionnelle <fnref n="15" />. Intuitivement, on a bien là les mêmes données sous des formes différentes, ou organisées différemment. En revanche, il est tentant d'aborder tout autrement l'exemple des équations du cercle, en s'inspirant plutôt des concepts usuels de la philosophie du langage : il est naturel de voir ces différentes équations comme des descriptions ayant, dans la terminologie de Frege, la même référence mais des sens différents. Que l'on accepte ou non cette intuition (que la prochaine partie nous donnera des outils pour préciser), ce qui importe ici est de prendre la mesure du problème : on a un fouillis de situations dans lesquelles il est tentant de dire de manière vague que deux représentations « représentent la même chose », « contiennent les mêmes informations », etc. et il n'est pas du tout clair qu'il faille les mettre sur le même plan.

C'est précisément là que le critère de Simon, s'il est utilisé avec rigueur, peut permettre de progresser. Il invite à se poser des questions précises : peut-on délimiter deux classes de représentations entre lesquelles on peut définir des algorithmes de traduction dans chaque sens ? De ce point de vue, beaucoup d'équivalences apparentes s'avèrent problématiques. Ainsi, même la conversion pourtant simple entre coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes n'est pas entièrement triviale <fnref n="16" />; dans beaucoup de cas plus complexes, par exemple le passage d'une équation en x et y à une équation paramétrique ou inversement, il n'y a pas du tout de méthode générale. À l'inverse, ce critère peut légitimer l'idée qu'il y a effectivement des différences purement notationnelles. Tout cela, cependant, requiert de donner un sens précis à l'intertraductibilité requise par la définition de Simon.

## 6.3 Différences computationnelles et opérations

L'idée de différences computationnelle est plus délicate, et nous place face à un délemme. Soit on conserve la méthode de Simon et on propose des modèles informatiques; alors, comme nous l'avons dans le cas de Larkin et Simon <fnref n="17" />, on ne capturera pas la représentation elle-même mais plutôt son rôle fonctionnel dans un contexte particulier. Soit,

<footnote n="15">15. Voir *supra*, section 5.2.</footnote>

<footnote n="16">16. Les (petites, mais réelles) difficultés sont liées au fait qu'il y plusieurs choix possibles pour exprimer l'angle $\theta$ en fonction de x et y.</footnote>

<footnote n="17">17. Voir *supra*, section 4.5.</footnote>
comme Kulvicki, on se retrouve contraint d'utiliser le terme en un sens très large.

Commençons par la première possibilité. Pour rendre plus clair la difficulté décelé chez Larkin et Simon, prenons un autre exemple, celui du système formel *E* d'Avigad, Dean et Mumma (2009) pour les *Éléments* d'Euclide. À première vue, leur but est différent de celui de Simon : ils ne cherchent pas à simuler informatiquement des procédures de résolution de problème, mais seulement à formaliser des démonstrations. Il y a pourtant une parenté. Les démonstrations d'Euclide s'appuient sur des figures, et *E* vise à capturer leur rôle dans les démonstrations. Certains éléments d'une preuve de *E*, à savoir les « assertions diagrammatiques »<fnref n="18" />, sont censés correspondre à la figure. Mais, tout comme chez Larkin et Simon, ces assertions, loin de capturer la figure elle-même, en capturent seulement un certain rôle. Vis-à-vis des figures utilisées par Euclide, il y a en fait un double décalage.

Tout d'abord, les assertions diagrammatiques d'une preuve de *E* ne peuvent pas être reconstruites simplement en examinant la figure. Comme l'écrivent les auteurs,

> in *E*, the diagram is nothing more than the collection of generally valid diagrammatic features<fnref n="19" /> that are *guaranteed by the construction*.<fnref n="20" />

Les assertions diagrammatiques qui apparaissent dans une preuve dépendent donc aussi du texte, qui indique comment la figure a été construite. J'y reviendrai plus en détail au chapitre 11 (section 11.2).

Le second décalage est que ces assertions diagrammatiques ne peuvent pas rendre compte de tous les usages possibles de la figure. J'ai repris au chapitre précédent un exemple de Netz, tiré d'Aristarque, dans lequel la figure permet d'observer une symétrie<fnref n="21" />. Certes, on peut considérer qu'il y a, à cet endroit de la démonstration, un argument implicite dont *E* pourrait parfaitement rendre compte (bien que ce système n'ait jamais prétendu traiter Aristarque !). Mais précisément, la manière dont la figure permet à Aristarque son raccourci (en rendant une symétrie manifeste) n'apparaît pas dans *E*. Encore une fois, ce que *E* capture, de même que les systèmes de Larkin et Simon, c'est un rôle fonctionnel particulier des figures.

Bien sûr, cela n'empêche pas *E* d'accomplir sa fonction, qui est de formaliser les preuves d'Euclide sans trop s'éloigner du texte d'origine. Cela ne condamne pas non plus une stratégie comme celle de Larkin et Simon. Les pistes ébauchées par Jessica Carter ou encore

<footnote n="18">18. Voir Avigad, Dean et Mumma 2009, p. 710</footnote>

<footnote n="19">19. Ce que nos auteurs appellent ici « diagrammatic features », ce sont, dans la terminologie de Manders 2008b, les « attributions co-exactes » qui seraient permises par la figure. Pour plus de détails, voir infra, chap. 8.</footnote>

<footnote n="20">20. « [D]ans *E*, la figure n'est rien de plus que la collection des caractéristiques diagrammatiques généralement valables qui sont garanties par sa construction. » (Avigad, Dean et Mumma 2009, p. 706).</footnote>

<footnote n="21">21. Cf. p. 135-136.</footnote>
Dirk Schlimm que j’ai évoquées au chapitre précédent <fnref n="22" /> montrent que l’on peut poursuivre
dans cette voie avec profit. Il faut toutefois garder conscience des limites intrinsèques d’une
telle approche.

Examinons maintenant l'aut autre possibilité. Si l'on abandonne la méthodologie de Simon
et qu'on veut appliquer ses concepts directement à des représentations externes, sans si-
mulation ou modèle informatique, l'expression de « différences computationnelles » est
condamnée à recouvrir n'importe quelle différence que l'on pourra déceler entre repré-
sentations informationnellement équivalentes. Les exemples de visualisations de données
de la section 5.2 le montrent bien : la tâche de délimiter tout ce qui peut apparaître sur
une représentation semble désespérée. En réalité, on ne fait que nommer la difficulté, qui
est que deux représentations équivalentes au sens clair que nous fournit Simon peuvent
néanmoins faciliter des observations différentes à notre système visuel.

6.4 Le vrai problème : une équivalence avec quoi ?

Ces clarifications en main, venons-en au vrai problème : dans les cas les plus inté-
ressants de différences représentationnelles, on pourrait sans doute parler d'équivalence
informationnelle, mais ce ne serait pas très éclairant.

Pour commencer, tournons-nous vers une difficulté qui frappe déjà le tout premier
exemple de Simon. Au début de son article de 1978, lorsqu'il compare l'énoncé en phrases
d'un problème de géométrie et la fig. 4.2 (p. 109), il écrit que la figure nous permet d'obte-
nir plus facilement la solution, qui est que les droites EF et AC se coupent à l'intérieur du
rectangle ABCD. Simon tient pour acquise l'équivalence informationnelle entre les deux,
mais est-elle si évidente ? Admettons avec lui que l'on puisse construire la figure à par-
tir de l'énoncé du problème. L'autre direction en revanche pose un problème inattendu :
si l'on traduit naïvement la figure en phrases, la traduction comprendra non seulement
l'énoncé, mais aussi... la solution du problème, c'est-à-dire l'existence et la position du
point d'intersection de EF et AC. Avec quel ensemble de phrases la figure est-elle donc
« informationnellement équivalente » ?

Peut-être cet exemple, que Simon n'utilise que pour motiver initialement ses concepts,
est-il trop vague. En voici un autre plus précis, sur lequel je reviendrai dans la troisième
partie. Soient trois ensembles A, B et C tels que $A \times C = \emptyset$ et $C \cap (A \cup B) = \emptyset$. Je peux les
représenter par un diagramme de Venn (fig. 6.3), c'est-à-dire représenter chaque ensemble
par une courbe fermée avec la convention que les régions grisées correspondent à des

<footnote n="22">22. Voir respectivement sections 5.1 et 5.4.</footnote>
<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>FIGURE 6.3 – Diagramme de Venn pour trois ensembles A, B et C tels que $A \cup C = \emptyset$ et $C \cap (A \cup B) = \emptyset$</figcaption></figure>

ensembles vides $^{23}$. Ce diagramme peut ensuite m'aider à voir certaines *conséquences* de mes hypothèses, par exemple que $A = \emptyset$.

L'avantage qu'offre ce diagramme peut-il être décrit dans les termes de Simon ? Il faut d'abord se demander en quel sens le diagramme est équivalent aux énoncés. Or si les deux énoncés dont je suis parti me permettent bien de construire le diagramme, le sens inverse pose problème : une traduction systématique des diagrammes de Venn en énoncés en fournira davantage, par exemple $A = \emptyset$ ou $A \cup B = \emptyset$. Bien sûr, avec quelques efforts, nous pourrions concocter un algorithme capable de retrouver exactement nos énoncés de départ dans ce cas particulier, mais il serait nécessairement très artificiel. Pour le voir, remarquons par exemple que B et C jouent des rôles symétriques : le même diagramme aurait donc pu être construit à partir des prémisses $A \cup B = \emptyset$ et $B \cap (A \cup C) = \emptyset$. Pour retrouver spécifiquement les énoncés de départ $A \cup C = \emptyset$ et $C \cap (A \cup B) = \emptyset$ plutôt que $A \cup B = \emptyset$ et $B \cap (A \cup C) = \emptyset$, il faudrait donc un algorithme qui ne traite pas les différents ensembles représentés de manière symétrique. C'est dire à quel point il faudrait tricher pour retrouver exactement certaines hypothèses particulières.

Ces deux exemples soulignent le même problème. Pour parler d'équivalence informationnelle, il ne suffit pas de dire de manière vague que l'on peut traduire telle figure en phrases ou telles phrases en une figure. Il faut pouvoir préciser *quel* ensemble de phrases, ou *quelle* figure, et pouvoir donner des algorithmes permettant d'accomplir cette traduction dans les deux sens de manière systématique. Or si l'on se livre soigneusement à cet exercice, on s'aperçoit que l'avantage qu'apportent la figure dans l'exemple de Simon, ou le diagramme de Venn dans le mien, ne se laissent pas formuler en termes de différences computationnelles sur fond d'équivalence informationnelle.

Une difficulté apparentée se manifeste dans un autre genre d'exemples. Revenons au changement notationnel de Leibniz étudié dans la première partie. Au chapitre précédent,

<footnote n="23">23. Pour plus de détails sur les diagrammes de Venn, voir *infra*, section 7.1.b).</footnote>
j'ai tenté de le reformuler en termes d'équivalence informationnelle <fnref n="24" />. J'ai été délibérément vague; soyons maintenant plus précis. Il est clair que l'on pourrait passer algorithmiquement de formules comme

$$ dddd(xy) = xddddy + 4xdddddy + 6ddxdddy + 4ddddxdy + yddddx $$

à des formules comme

$$ d^4(xy) = d^0xd^4y + 4d^1xd^3y + 6d^2xd^2y + 4d^3xd^1y + d^0yd^4x $$

et inversement. Plus précisément, si l'on restreint la notation $d^\bullet$ à des exposants entiers finis (positifs ou négatifs), comme $d^2, d^3, d^{-1}, d^{-2}$, etc., on peut définir un ensemble de formules possibles écrites en employant la nouvelle notation, un ensemble de formules possibles ne l'employant pas, et un algorithme de traduction simple entre les deux.

Même si l'on autorise des exposants indéterminés, comme $d^n$, la notation de Leibniz reste éliminable ; c'est du moins ce que j'ai soutenu au chapitre 3 <fnref n="25" />. Certes, c'est plus délicat, parce que cela implique de remplacer une formule générale par plusieurs cas particuliers. Par exemple, au lieu d'écrire, à la manière de Leibniz,

$$ d^e(xy) = d^e x d^0 y + \frac{e}{1} d^{e-1} x \cdot d^1 y + \frac{e \cdot e - 1}{1 \cdot 2} d^{e-2} x \cdot d^2 y + \frac{e \cdot e - 1 \cdot e - 2}{1 \cdot 2 \cdot 3} d^{e-3} x \cdot d^3 y \text{ etc.} $$

on peut écrire à la manière d'Euler

$$ d(xy) = ydx + xdy $$

$$ dd(xy) = yddx + 2dxdy + xddy $$

$$ ddd(xy) = ydddx + 3dyddx + 3ddydx + xdddy $$

et aussi, pour y ajouter le cas d'exposants négatifs (qu'Euler ne traite pas),

$$ \int(xy) = \left(\int x\right)y - \left(\int\int x\right) \cdot dy + \left(\int\int\int x\right) \cdot ddy \text{ etc.} $$

et ainsi de suite. Pour rendre précise l'idée d'une intertraductibilité systématique, il faudrait introduire une syntaxe pour exprimer « le résultat général dont voici des cas particuliers ». Pour pouvoir passer des cas particuliers à la formule générale, il faudrait aussi concevoir un algorithme capable d'inférer une formule générale à partir de quelques exemples. En l'occurrence, ce serait certainement délicat à cause des coefficients binomiaux, mais on pourrait

<footnote n="24">24. Cf. section 5.5.</footnote>

<footnote n="25">25. Voir section 3.2.</footnote>
tricher et aider un peu l'algorithme, puisque, après tout, Euler lui-même accompagne ses exemples d'explications en langue naturelle pour souligner que les coefficients numériques qui apparaissent sont ceux du binôme.

Admettons (ne serait-ce que pour l'argument) que l'on soit parvenu à régler ces difficultés et que l'on puisse donc parler d'équivalence informationnelle. Restent les problèmes que j'ai soulignés à la fin du chapitre 3. Quand on élimine la notation $d^n$, on se retrouve avec une série de cas particuliers au lieu d'une formule générale. Mais qu'est-ce qui justifie de traiter ces cas particuliers ensemble (section 3.4) ? C'est encore plus clair dans le cas du calcul de Bernoulli (section 3.5). La notation de Leibniz permet à Bernoulli de concevoir une règle que l'on pourrait écrire $(d^k x d^m y)(d^l x d^n y) = d^{k+l} x d^{m+n} y$; sans cette notation, cette règle se décompose en des instances aussi hétéroclites que

$$ \frac{ddxdy}{dxddy} = ddx \int y, \quad dddxdy \times dy \int x = ddxddy, \quad \text{ou encore} \quad \frac{dxdy}{dy \int x} = yddx. $$

Sans doute pourrait-on, là encore, les rassembler plus ou moins artificiellement pour maintenir une traductibilité théorique. Mais on voit bien que c'est précisément l'intérêt central de la notation leibnizienne que de les rapprocher. Ce serait donc passer à côté de l'essentiel que de voir, dans ce changement notationnel, une manière de représenter les mêmes informations sous une autre forme.

Comme je l'ai suggéré en passant au chapitre précédent 26, on peut penser que les diagrammes commutatifs présentent un problème similaire. Certes, on peut traduire tout diagramme donné en une liste de relations de commutation. Pour autant, la situation n'est pas comparable à l'exemple de visualisation de données de Kulvicki, où l'on a des données de températures délimitées d'avance que l'on peut représenter sous différentes formes. En effet, l'une des fonctions des diagrammes commutatifs peut être, précisément, de nous aider à délimiter quels morphismes et relations de commutation sont intéressants. Il s'agit sans doute d'un phénomène répandu; on pourrait multiplier les exemples. Pour le traiter adéquatement, il nous faudra toutefois d'autres outils.

<footnote n="26">26. Cf. section 5.1, p. 132-133.</footnote>
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Conclusion : avancées et limites

Les concepts de Simon nous ont permis de progresser. Tout d'abord, nous avons vu qu'il était possible de parler de manière précise d'information, et d'équivalence informationnelle, sans définir de véritable sémantique. Ensuite, nous avons pu mettre le doigt avec précision sur un phénomène général : des représentations informationnellement équivalentes peuvent néanmoins présenter des différences cruciales, comme le montre l'exemple de la visualisation de données, ou encore celui de l'analogie de Leibniz de la première partie.

Toutefois, nous avons aussi vu que nombre des différences représentationnelles que l'on rencontre en mathématiques ne se laissent pas penser de cette manière ; c'est en particulier le cas de certains des aspects les plus intéressants du changement notationnel de Leibniz auquel est consacrée la première partie. Il nous faut donc poursuivre notre enquête.
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Troisième partie

Syntaxe et sémantique des
diagrammes
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# Sommaire de la troisième partie

## Introduction : logique et information 175

## 7 Sun-Joo Shin et les diagrammes logiques 181

### 7.1 Diagrammes d'Euler, de Venn et de Peirce 181

#### a) Les diagrammes d'Euler 182

#### b) Les diagrammes de Venn-Peirce 185

### 7.2 Syntaxe et sémantique des diagrammes de Venn-Peirce 191

#### a) Préliminaires : comment raisonne-t-on dans le système de Shin? 192

#### b) Diagrammes bien formés 192

#### c) Règles de transformation 196

#### d) Interprétations 198

#### e) Relation de conséquence; correction et complétude 198

### 7.3 Un système hétérogène pour les diagrammes de Venn 199

### 7.4 Difficultés sémiologiques et formalité 200

#### a) Types et tokens de diagrammes 201

#### b) Ces systèmes sont-ils formels? 206

### 7.5 Conclusion : diagrammes, formalisation et rigueur 209

## 8 Les diagrammes comme texte : un cadre général 211

### 8.1 De Tarski's World à Hyperproof 212

#### a) Tarski's World ou les diagrammes comme sémantique 212

#### b) Hyperproof ou la sémantique des diagrammes 217

### 8.2 Généralisation : les figures géométriques 220

### 8.3 Conclusion : comparer des représentations différentes 223

## 9 Le contenu d'information, une nouvelle sémantique? 225

### 9.1 Pourquoi une nouvelle sémantique? 226

#### a) La sémantique des situations : information contre mondes possibles 227

#### b) Diagrammes et raisonnements sémantiques 233

#### c) Une notion d'information indépendante du type de représentation 236

### 9.2 La sémantique des situations 238

### 9.3 Information et inférence d'après Barwise et Etchemendy (1990a) 241

#### a) Infons et algèbres d'infons 241

#### b) Infons élémentaires et contenu d'information 242

#### c) Modéliser l'inférence 244

### 9.4 La position ambiguë du contenu d'information 250

### 9.5 Conclusion : une impasse seulement en apparence 252
<table><tr><td>10 Dynamique du raisonnement diagrammatique</td><td>255</td></tr><tr><td>10.1 Introduction : la distinction linguistique-graphique</td><td>255</td></tr><tr><td>10.2 L'insuffisance des approches précédentes</td><td>259</td></tr><tr><td>10.3 La théorie de Shimojima</td><td>260</td></tr><tr><td>a) Le cadre formel</td><td>260</td></tr><tr><td>b) « Passagers clandestins » (« Free rides »)</td><td>261</td></tr><tr><td>c) « Signification dérivée » (« Derivative meaning »)</td><td>262</td></tr><tr><td>10.4 Sémantique ou syntaxe?</td><td>265</td></tr><tr><td>10.5 Le cas de l'analogie de Leibniz</td><td>267</td></tr><tr><td>10.6 Conclusion</td><td>268</td></tr><tr><td>Conclusion : une sémantique en quel sens?</td><td>269</td></tr></table>
Introduction : logique et
information

Il y a un quart de siècle, Jon Barwise et John Etchemendy ont ébauché un programme
radical : refonder la logique sur les notions de représentation et d'information pour l'élargir
aux raisonnements qui emploient des diagrammes. C'est à leur travail, et à celui de leurs
élèves, que cette troisième partie est consacrée. Voici comment ils présentent leur projet :

Valid deductive inference is often described as the extraction or making explicit of information that is only implicit in information already obtained. Modern logic builds on this intuition by modeling inference as a relation between sentences, usually sentences of a formal language like the first-order predicate calculus. [...] But of course language is just one of the many forms in which information can be couched. Visual images, whether in the form of geometrical diagrams, maps, graphs, or visual scenes of real-world situations, are other forms.<fnref n="27" />

Diagrammes, figures, plans, graphes, etc. entrent alors dans la même catégorie que les énoncés du calcul des prédicats, celle de représentation portant de l'information, et la logique doit les traiter de la même manière.

Au premier abord, Barwise, Etchemendy et leurs élèves semblent se contenter d'inté-
grer les diagrammes à la logique sans transformer celle-ci, en étendant aux diagrammes les
concepts usuels de syntaxe et de sémantique développés pour les langages formels. C'est
ainsi, par exemple, que procède Sun-Joo Shin (1994) dans un ouvrage devenu embléma-

<footnote n="27">27. « On dit souvent que l’inférence déductive valide consiste à extraire ou à rendre explicite de l’information qui n’est qu’implicite dans l’information déjà obtenue. La logique moderne développe cette intuition en modélisant l’inférence comme une relation entre des énoncés, d’habitude des énoncés d’un langage formel comme le calcul des prédicats du premier ordre. [...] Mais bien sûr, le langage n’est que l’une des nombreuses formes sous lesquelles on peut exprimer de l’information. Les images visuelles, que ce soit sous la forme de diagrammes géométriques, de plans, de graphes, ou de portraits visuels de situations du monde réel, en sont d’autres. » (Barwise et Etchemendy [1991] 1996b, p. 4).</footnote>
tique de tout ce programme de recherche, qui me servira d'entrée en matière (chapitre 7) : elle définit, pour certains diagrammes logiques (apparentés aux « diagrammes de Venn »), des règles de formation et de transformation et leur donne une sémantique en termes de modèles.

Cette approche, qui peut paraître simple et naturelle, implique en réalité un important changement de perspective. Elle s'oppose en effet à une position par défaut, qui était au départ celle de nos auteurs, d'après laquelle les diagrammes seraient fondamentalement non discursifs : on aurait d'un côté des suites de raisons données en langue naturelle (ou dans des langages formels conçus comme des enrégimentations de la langue naturelle), qui seraient l'objet de la logique, et de l'autre des diagrammes qui peuvent certes être utiles parce qu'ils nous donnent un accès plus direct aux objets du discours, mais qui n'expriment pas de proposition et ne peuvent faire partie intégrante de raisonnements. Nos auteurs, au contraire, accordent aux diagrammes le même statut qu'aux énoncés, ce qui veut dire qu'on peut avoir d'authentiques *inférences* entre diagrammes, ou entre énoncés et diagrammes. C'est à ce changement de perspective et à ses conséquences que je consacre le chapitre 8. Nous verrons que ce cadre permet de comparer, eu égard à leur contenu, des représentations très différentes, par exemple des figures géométriques et des équations, et de clarifier certaines idées sur la « granularité » des représentations développées par Ken Manders (1996).

Le projet initial de Barwise et Etchemendy, cependant, va plus loin qu'une simple gé-
néralisation aux diagrammes des sémantiques en termes de modèles. Comme je le mon-
trerai au chapitre 9, ils ébauchent une nouvelle théorie de l'inférence autour du concept
de *contenu d'information* qu'ils empruntent à la sémantique des situations, une approche
novatrice de la sémantique des langues naturelles développée quelques années plus tôt par
Barwise en collaboration avec John Perry. Sur cette base, Barwise et son élève Atsushi Shi-
mojima développent une analyse originale des vertus inférentielles des diagrammes, qui
fait l'objet du chapitre 10.

En un sens très général, leur projet affronte donc la même question que Simon : com-
ment comprendre les notions de représentation et d'information ? Comment concevoir la
possibilité de représenter les mêmes informations de différentes manières ? Mais Barwise
et Etchemendy s'inscrivent dans une tradition intellectuelle différente, celle de la logique,
et abordent ces questions avec d'autres outils ; là où Simon se contente de donner une ca-
ractérisation de l'équivalence informationnelle, eux cherchent à employer les outils de la
logique mathématique pour proposer une analyse substantielle de ce qu'est l'information.

Pour situer les problèmes auxquels nos auteurs font face, j'aimerais donc, à titre de pré-
liminaire, revenir sur la notion d'information en logique. Comme le remarquent van Ben-
them et Martinez (2008), le terme est souvent employé informellement dans les cours d'in-
troduction à la logique, mais de manière vague et pas toujours cohérente. Ainsi, on entend
que l'inférence consiste à « extraire de l'information » des prémisses, comme l'écrivent
Barwise et Etchemendy plus haut; pourtant, on dit aussi que ce qui caractérise l'inférence
déductive, c'est qu'elle n'apporte « aucune nouvelle information ». Comment comprendre
cette notion ?

Commençons par l'idée qu'une inférence déductive n'apporte « aucune nouvelle in-
formation ». John Corcoran (1998) explicite soigneusement comment il faut employer le
terme si l'on suit cette intuition-là :

First, a given proposition follows from, is a consequence of, a given postulate set if all of the information contained in the proposition is contained within the set. Second, a given proposition is independent of, not a consequence of, a given postulate set if the proposition contains any information outside of the information content of the set. Third, a proposition is tautological if it is devoid of information [...]. Fourth, a proposition is contradictory if it contains all information (pertaining to the domain of investigation) [...]. Fifth, no proposition has any information in common with its own negation [...]. Sixth, the disjunction of one given proposition with a second contains exactly the information that the first has in common with the second [...].<sup>28</sup>

Cet usage est en harmonie avec la métaphore classique d'après laquelle la conclusion d'une
inférence déductive est « contenue » dans ses prémisses. Dans ce cadre, les propositions
ont à la fois une forme (leur forme logique) et un contenu, et l'information est du côté du
contenu. Ainsi, deux propositions logiquement équivalentes contiennent la même informa-
tion mais ont des formes différentes. L'information est alors conçue comme une sorte de
substance amorphe que l'on peut mettre dans différents récipients<sup>29</sup>. Pour filer une compa-

<footnote n="28">28. « Premièrement, une proposition donnée découle de (est conséquence de) un ensemble donné de postulats si toute l'information contenue dans la proposition est contenue dans cet ensemble. Deuxièmement, une proposition donnée est indépendante de (n'est pas une conséquence de) un ensemble donné de postulats si la proposition contient quelque information que ce soit en-dehors de l'information contenue dans l'ensemble. Troisièmement, une proposition est tautologique si elle est dépourvue d'information [...]. Quatrièmement, une proposition est contradictoire si elle contient toutes les informations (concernant le domaine d'investigation) [...]. Cinquièmement, aucune proposition n'a d'information en commun avec sa propre négation [...]. Sixièmement, la disjonction d'une proposition donnée avec une seconde contient exactement les informations que la première a en commun avec la deuxième [...]. » (Corcoran 1998, p. 115).</footnote>

<footnote n="29">29. Cet usage est facilité par une particularité grammaticale de l'anglais, qui pose d'ailleurs un problème de traduction : le terme d'« *information* » est un nom indénombrable (« *mass noun* »), qui n'admet pas de singulier et de pluriel; on ne peut pas dire « une *information* » (sinon *via* une périphrase comme « *a piece of*</footnote>
raison suggérée par Corcoran 30, faire une inférence serait comme tirer de l'eau d'un puits qui contiendrait l'information des prémisses; passer de la conclusion ainsi obtenue à une autre, logiquement équivalente, serait comme transvaser dans une bouteille le seau tiré du puits.

À elles seules, ces élucidations ne disent rien de substantiel sur ce qu'est l'information (Corcoran, d'ailleurs, propose d'en faire une notion primitive). Néanmoins, elles s'accordent bien avec les sémantiques en termes de modèles ou de mondes possibles. L'idée centrale, qui remonte à Carnap et Bar-Hillel (1952), est d'assimiler le contenu d'information d'une proposition à l'ensemble des états du monde avec lesquels elle est compatible : plus une proposition est informative, moins elle laisse de possibilités ouvertes. Il est alors facile de traduire le vocabulaire informationnel en termes d'ensemble de possibilités, à condition de veiller à inverser la relation d'inclusion au passage : par exemple, le contenu d'information d'une proposition Q est inclus dans celui d'une proposition P (i.e. $P \to Q$) si l'ensemble des possibilités permises par Q contient celui des possibilités permises par P. Pour van Benthem et Martinez (2008), il s'agit de la première de trois grandes conceptions de l'information en logique 31. Ils l'appellent « l'information comme éventail de possibilités » (« information as range »), et identifient toute une famille d'approches qui en sont dérivées.

Mais alors, comment comprendre l'autre expression informelle dont nous sommes partis, d'après laquelle l'inférence déductive est une « extraction d'information » ? Elle suggère qu'une inférence déductive peut nous apprendre quelque chose; or, dans le cadre précédent, on rencontre ce que Jaakko Hintikka a appelé le « scandale » de la déduction : celle-ci n'est jamais informative. Une pirouette pour s'en sortir est de dire que la déduction ne nous donne pas de nouvelles informations simpliciter, mais seulement de nouvelles informations explicites. (C'est d'ailleurs ce que font Barwise et Etchemendy dans la citation ci-dessus.) Toutefois, c'est seulement déplacer le problème. Le fait même de parler de nouvelles informations explicites – plutôt que de changement de forme de l'information qu'on a déjà – montre bien qu'on vise ici une autre conception de l'information, liée à la forme des propositions.

<footnote>information ») ni « des informations » (en toute rigeur, le pluriel « informations » est incorrect). Pour rester au plus près de l'anglais, il faudrait donc traduire par « de l'information », ce qui n'est guère idiomatique ni toujours possible. Je l'ai fait là où cela me semblait tolérable; dans les autres cas, j'ai choisi le pluriel (traduire « information » par « une information » me semble en effet plus trompeur, parce que cela introduit une idée d'atomicité complètement absente de l'original).</footnote>

<footnote n="30">30. Voir Corcoran 1998, p. 122.</footnote>

<footnote n="31">31. La typologie de van Benthem et Martinez 2008 en trois grandes approches est reprise dans Martinez et Sequoiah-Grayson 2018, qui est plus complet et plus à jour techniquement, mais peut-être moins clair concernant les motivations et les difficultés des différentes approches.</footnote>
Ce constat conduit naturellement à une autre des trois grandes familles de conceptions de l'information identifiées par van Benthem et Martinez, « l'information comme code », appuyée sur la syntaxe plutôt que sur des modèles. Bien sûr, il ne serait pas raisonnable de prendre en compte tous les détails syntaxiques de tel ou tel système formel : l'enjeu est alors de capturer des invariances pertinentes pour l'information portée sans quitter le domaine de la syntaxe <fnref n="32" />. La difficulté principale, toutefois, est d'expliquer comment des structures purement formelles de règles de formation et de transformation peuvent capturer de l'information sur le monde. Une première stratégie est de soutenir que la donnée de telles règles suffit à déterminer la signification des termes de nos langues ; c'est la voie suivie par les sémantiques preuve-théoriques <fnref n="33" />. Une autre stratégie est d'essayer de combiner une notion syntaxique d'information avec une approche en termes de modèles <fnref n="34" />.

Ce qui est clair, c'est que les intuitions liées au concept d'information s'accordent mal avec la division habituelle des tâches entre syntaxe et modèles. On peut voir le travail de Barwise et Etchemendy comme une tentative d'échapper à ce dilemme en important en logique les idées développées pour la langue naturelle par la sémantique des situations. Dans la typologie de van Benthem et Martinez, celle-ci est justement à la base de la troisième grande approche, « l'information comme corrélation ». Je la présenterai au chap. 9. D'ici-là, les systèmes logiques des chapitres 7 et 8 nous permettront de mieux comprendre pourquoi, au-delà des tensions générales que je viens d'exposer, les concepts habituels de syntaxe et de modèles posent des problèmes particulièrement aigus pour les diagrammes et invitent à une reconceptualisation.

<footnote n="32">32. Pour un survol de différentes approches récentes, voir Martinez et Sequoiah-Grayson 2018, section 3.</footnote>

<footnote n="33">33. Pour une introduction, voir Sundholm [1986] 2002 ou encore Schroeder-Heister 2018. De ce point de vue, on peut concevoir ces sémantiques comme une sorte de version logique des positions inférentialistes brièvement évoquées dans la partie précédente (cf. *supra*, note 38 p. 147).</footnote>

<footnote n="34">34. C'est une solution fréquemment ébauchée en philosophie du langage, où un problème proche est connu sous un autre nom : celui de la nature et de l'individuation des propositions. Pour une introduction au débat contemporain, voir Soames 2012 ; cf. aussi King, Soames et Speaks 2014.</footnote>
<figure><img src="image_37.png" /></figure>
# Chapitre 7

## Sun-Joo Shin et les diagrammes logiques

Pour comprendre comment Barwise, Etchemendy et leurs élèves étendent aux diagrammes les notions de syntaxe et de sémantique, commençons par un exemple, celui des diagrammes de Venn. C'est l'un des tout premiers cas traités en détails par leur groupe de recherche <fnref n="1" /> : Sun-Joo Shin l'étudie dès la fin des années 1980 pour sa thèse de doctorat <fnref n="2" />, et son travail est prolongé par d'autres jeunes chercheurs, en particulier Eric Hammer <fnref n="3" />. Il a pour eux valeur paradigmatique.

### 7.1 Diagrammes d'Euler, de Venn et de Peirce

L'expression « diagramme de Venn » est souvent employée abusivement pour toutes les représentation d'ensembles ou de notions par des courbes fermées, alors qu'il existe plusieurs conventions bien distinctes <fnref n="4" />. Pour lever toute ambiguïté, je commence ici par présenter informellement les deux systèmes les plus connus, celui d'Euler et celui de Venn (discuté et amélioré par Peirce, comme nous le verrons). Shin concentre ses efforts de formalisation sur le système de Venn, mais discute aussi en détail les diagrammes d'Euler,

<footnote n="1">1. L'autre grand exemple de Barwise et Etchemendy à cette époque est leur système *Hyperproof*, qu'ils développent pour l'enseignement de la logique. Nous le discutons plus en détail dans la section suivante.</footnote>

<footnote n="2">2. Son travail circule d'abord sous la forme d'un rapport interne daté de 1990, correspondant à une conférence, puis est diffusé par un article Shin [1991] 1996. Sa thèse Shin 1991 sera ultérieurement publiée sous forme de livre (Shin 1994).</footnote>

<footnote n="3">3. Hammer 1994; Hammer et Danner 1996.</footnote>

<footnote n="4">4. Pour une introduction générale à l'histoire des diagrammes en logique, voir Moktefi et Shin 2012. Pour une présentation efficace des systèmes les plus courants, voir Shin, Lemon et Mumma 2013, section 2.</footnote>
qu'elle finit par rejeter : ils seraient ambigus, non rigoureux et même trompeurs. Cette différence de traitement rend la comparaison entre les deux systèmes particulièrement instructive. J'aurai l'occasion, dans la dernière partie de ce travail, de réfléchir aux raisons pour lesquelles la pratique informelle d'Euler semble échapper au genre de formalisation que Shin propose <fnref n="5" />.

### a) Les diagrammes d'Euler

La convention la plus répandue, et sans doute la plus naturelle, a été popularisée par le mathématicien Leonhard Euler <fnref n="6" /> (qui n'est toutefois pas le premier à utiliser de tels diagrammes en logique <fnref n="7" />). Euler représente une « notion générale », par exemple la notion d'homme, par l'intérieur d'un cercle « dans lequel on conçoit que tous les hommes sont compris <fnref n="8" /> ». Les relations entre cercles représentent alors les relations entre notions : si A correspond à la notion d'homme et B à la notion de mortel, la figure 7.1(a) fait voir que « tous les hommes sont mortels ». Plus généralement, Euler utilise ce principe pour illustrer les quatre types de propositions <fnref n="9" /> reconnues par la logique aristotélicienne, à savoir « Tout A est B », « Nul A n'est B », « Quelque A est B » et « Quelque A n'est pas B » (fig. 7.1).

<footnote n="5">5. Cf. section 11.1.</footnote>

<footnote n="6">6. Leonhard Euler emploie ces diagrammes en 1761 dans une série de lettres didactiques adressées à la jeune princesse Frédérique Charlotte, fille du prince Frédéric Henri de Brandenburg-Schwedt (sur cette correspondance, voir Speiser 1960, Calinger 2015, p. 417). Les lettres d'Euler à la princesse sont publiées dans leur intégralité à partir de 1768 (ELP); rapidement traduites dans la plupart des langues européennes (voir la longue liste des éditions dans EOO, III/11, p. LXI-LXX), elles connaissent d'après Andreas Speiser un succès « sans égal dans toute l'histoire des sciences » (Speiser 1960, p. VIII). Les diagrammes en question se trouvent dans les lettres cii-cv (ELP, vol. 2, p. 95-126), souvent numérotées lettres xxxiv à xxxvii de la deuxième partie dans les éditions ultérieures (p. ex. Euler 1843, p. 258-273). Ces lettres assureront une telle diffusion à nos diagrammes qu'en 1881, John Venn les retrouvera dans 34 traités de logique sur 60 qu'il a consultés (Venn 1881, p. 100, n. 1).</footnote>

<footnote n="7">7. L'emploi de cercles s'intersectant pour représenter des collections partageant certains éléments a pu être redécouverte plusieurs fois ; quoi qu'il en soit d'éventuelles transmissions, on en trouve déjà trace dans un manuscrit musical au Xle siècle (Edwards 2006), et peut-être chez Raymond Lulle (Baron 1969, p. 115). En logique, l'emploi de diagrammes proches de ceux d'Euler pour illustrer la syllogistique remonte au moins à un traité de 1661 de Johann Christian Sturm, *Universalia Euclidea* (Sturm 1661, p. 84-96; un extrait est reproduit dans Risse 1970, p. 168, n. 678). D'après Maarten Bullynck, Sturm aurait pu les développer à partir d'autres représentations venues de son maître Erhard Weigel (Bullynck 2013, p. 31). Leibniz les emploie à son tour vers 1686 dans un manuscrit longtemps resté inédit (Leibniz 1903, p. 292-321), sans toutefois prétendre à la nouveauté ; il les tenait sans doute de Sturm, dont il connaissait bien le traité (il le cite entre autres dans les *Essais de Théodicée*, §212 : LPS, vol. VI, p. 245; voir aussi De Risi 2007, p. 223, n. 90). On retrouve ensuite un usage systématique de ces diagrammes dans un traité de logique du début du XVIIIe siècle (Lange 1712, en part. p. 249-268; voir aussi Risse 1970, p. 561-564). Il est vraisemblable qu'Euler ait eu connaissance, directement ou indirectement, de l'une de ces sources.</footnote>

<footnote n="8">8. ELP, vol. 2, p. 98.</footnote>

<footnote n="9">9. Notons qu'Euler, selon l'usage de son époque, entend par proposition l'expression linguistique d'un jugement, et non une entité abstraite qui serait le sens d'une phrase ou le contenu d'un jugement. La différence n'a pas d'importance pour nous ici.</footnote>
<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>(a) Tout A est B.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>(b) Nul A n'est B.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_40.png" /></figure>

<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>(c) Quelque A est B.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>(d) Quelque A n'est pas B.</figcaption></figure>

FIGURE 7.1 – Représentation diagrammatique des propositions par Euler, d'après ELP, vol. 2, p. 99-100

<figure><img src="image_43.png" /></figure>

FIGURE 7.2 – Illustration du syllogisme « Tout A est B ; nul B n'est C ; donc nul A n'est C » d'après ELP, vol. 2, p. 106

Il s'en sert ensuite pour illustrer des syllogismes, c'est-à-dire des raisonnements à deux prémisses et une conclusion. La figure 7.2 illustre par exemple les deux prémisses « Tout A est B » et « Nul B n'est C » ; elle est obtenue en combinant leurs diagrammes et permet d'observer la conclusion « Nul A n'est C ».

Cette idée, à première vue très claire, souffre cependant d'une ambiguïté fondamentale. Euler le remarque lui-même : la proposition « Quelque B est A », par exemple, est compatible non seulement avec la figure 7.1(c), mais aussi avec la figure 7.1(a). Le problème est que les diagrammes d'Euler en disent toujours davantage que les propositions de la logique aristotélicienne. Ainsi, le diagramme 7.1(c) montre non seulement que « Quelque B est A », mais aussi « Quelque A est B », « Quelque A n'est pas B » et « Quelque B n'est pas A » ; de même, le diagramme 7.1(a) montre non seulement « Quelque B est A », mais aussi « Quelque B n'est pas A » et « Tout A est B<fnref n="10" /> ». En d'autres termes, on ne peut pas représenter « Quelque B est A », par exemple, sans trancher d'autres questions, comme celle de savoir s'il y a des A qui ne sont pas B. Les diagrammes sont plus spécifiques que les propositions. Ce problème a un analogue bien connu en géométrie : on ne peut pas, écrit-on souvent, dessiner un triangle sans décider s'il a ou non un angle obtus (c'est-à-dire plus grand qu'un angle droit).

Le même problème, à savoir que les diagrammes sont plus spécifiques que les propositions, se repose dès que l'on veut combiner deux prémisses. Pour illustrer « Tout A est B » et « Quelque C est A », Euler est par exemple contraint de considérer deux cas (fig. 7.3) avant de conclure que « Quelque C est B ». En se limitant au premier diagramme, on risquerait

<footnote n="10">10. ELP, vol. 2, p. 102-103.</footnote>
<figure><img src="image_44.png" /></figure>

FIGURE 7.3 – Illustrations du syllogisme « Tout A est B; quelque C est A; donc quelque C est B » d'après ELP, vol. 2, p. 105

<figure><img src="image_45.png" /></figure>

FIGURE 7.4 – Illustrations des prémisses « Quelque A est B » et « Tout C est A » d'après ELP, vol. 2, p. 112

de conclure à tort que « Tout C est B ».

Une solution simple pour contourner ces difficultés est de représenter tous les cas possibles. Il faut tout d'abord envisager tous les diagrammes correspondant à chaque prémisse : par exemple, pour « Quelque A est B », il faut envisager les diagrammes 7.1(c) et 7.1(a) mais aussi le cas où les deux cercles sont confondus. Puis, pour chaque choix d'un diagramme par prémisse, il faut envisager toutes les manières dont ces deux diagrammes peuvent se combiner.

Cependant, Euler ne fait pas ainsi : il ne varie jamais la représentation des prémisses. Il représente systématiquement « Quelque A est B », par exemple, par le diagramme 7.1(c). Certes, il envisage ensuite les différents cas qui résultent de la combinaison des diagrammes des prémisses. Mais cela ne suffit pas. Si l'on ne varie pas aussi la représentation des prémisses, on peut tirer des conclusions fausses. Considérons par exemple les trois diagrammes qu'Euler utilise pour illustrer « Quelque A est B » et « Tout C est A » (fig. 7.4). Il affirme qu'« on n'en saurait rien conclure, puisqu'il serait possible que la notion C fut dans la notion B toute entière, ou en partie, ou point du tout<fnref n="11" /> ». Ses diagrammes représentent pourtant tous « Quelque B n'est pas C » ! Pour éviter cette erreur en procédant par cas, il

<footnote n="11">11. ELP, vol. 2, p. 113.</footnote>
<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>FIGURE 7.5 – Diagramme où « Quelque A est B » et « Tout C est A » mais où on n'a pas « Quelque B n'est pas C »</figcaption></figure>

faudrait envisager un diagramme où tout B est A (fig. 7.5). Puisque Euler n'envisage pas ce diagramme, qu'est-ce qui l'empêche de tirer cette conclusion fausse ?

Hammer et Shin (1998) envisagent la possibilité qu'Euler utilise la position des lettres pour lever l'ambiguïté de ses diagrammes<fnref n="12" />. De fait, et quoiqu'il ne le dise pas explicitement, il ne place pas les lettres aux mêmes endroits pour « Quelque A est B » et pour « Quelque A n'est pas B » (cf. fig. 7.1 ci-dessus). Toutefois, Hammer et Shin montrent en détail que systématiser cet artifice est délicat (il faut par exemple aussi tenir compte de l'ordre des lettres, pour distinguer « Quelque A n'est pas B » de « Quelque B n'est pas A ») et qu'en définitive il ne suffit pas à lever toute ambiguïté. D'ailleurs, il arrive à Euler de ne pas l'utiliser, comme le prouve le troisième diagramme de la fig. 7.4.

Hammer et Shin en concluent que la démarche d'Euler n'est pas rigoureuse. Son système, d'après eux, ne fonctionne correctement que pour les propositions universelles. Pour pouvoir traiter aussi les propositions existentielles, Shin se fonde sur un autre système, mis au point au siècle suivant par John Venn.

## b) Les diagrammes de Venn-Peirce

C'est entre autres pour pallier les défauts du système d'Euler <fnref n="13" /> que John Venn développe les diagrammes qui portent aujourd'hui son nom <fnref n="14" />. Comme nous l'avons vu, la source des difficultés d'Euler est que ses diagrammes sont plus spécifiques que les propositions qu'ils sont censés représenter : on ne peut pas figurer « Quelque B est A » sans trancher d'autres questions, comme celle de savoir si « Quelque A n'est pas B ». Venn est très explicite :

<footnote n="12">12. C'est une idée assez répandue dans la littérature; voir par exemple Stenning 2002, chap. 4 ou Moktefi et Shin 2012, p. 617.</footnote>

<footnote n="13">13. En réalité, Venn cherche avant tout à mettre au point un système de représentation plus adapté à la nouvelle logique de Boole, mais cet aspect de l'histoire n'est pas essentiel pour nous.</footnote>

<footnote n="14">14. Venn publie son idée d'abord dans un article (Venn 1880), ensuite dans le traité de logique issu de son enseignement à l'université de Cambridge (Venn 1881, 1894). Dans ces textes, Venn n'explique pas comment représenter les propositions existentielles; il le fera brièvement au détour d'une digression dans un compte-rendu (Venn 1883).</footnote>
<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>FIGURE 7.6 – Diagramme de Venn générique pour trois termes</figcaption></figure>

The weak point about [Euler's circles] consists in the fact that they only il-
lustrate in strictness the actual relations of classes to one another, rather than
the imperfect knowledge of these relations which we may possess, or wish to
convey, by means of the proposition. [...] If we want to represent our uncer-
tainty about the correct employment of a diagram, the only consistent way is
to draw all the figures which are covered by the assigned propositions and say
frankly that we do not know which is the appropriate one.<fnref n="15" />

Lui-même évite cette difficulté en adoptant des conventions radicalement différentes.

Tout d'abord, à la différence d'Euler, les relations d'intersection et d'inclusion entre courbes ne sont pas signifiantes : dans un diagramme de Venn, toutes les régions délimitées par des courbes doivent s'intersecter (cf. fig. 7.6), et les informations à représenter sont portées en grisant certaines régions ou en les marquant par des croix. En d'autres termes, chez Venn, on ne peut jamais rien conclure de la simple disposition des courbes. Clarifions ce que cela veut dire que toutes les intersections possibles doivent être représentées. Considérons *n* courbes fermées. Notons $A_1, ..., A_n$ leurs intérieurs et $\overline{A_1}, ..., \overline{A_n}$ leurs extérieurs (les complémentaires de leurs intérieurs). Alors tous les

$$
X_1 \cap X_2 \cap \dots \cap X_n \quad \text{où pour } 1 \le i \le n, X_i = A_i \text{ ou } X_i = \overline{A_i}
$$

doivent être *non vides* et *connexes*. Un diagramme de Venn à *n* courbes découpe donc le
plan en 2ⁿ régions. Ce n'est pas immédiatement évident, mais il est possible de construire
de tels diagrammes pour tout entier *n* : Venn (1880) en donne une construction générale,

<footnote n="15">15. « Le point faible [des cercles d’Euler] est qu’ils ne font qu’illustrer de manière stricte les relations existant entre certaines classes, plutôt que la connaissance imparfaite de ces relations que nous pouvons posséder ou vouloir transmettre au moyen de la proposition. [...] Si nous voulons représenter notre incertitude sur l’emploi correct d’un diagramme, la seule manière cohérente de procéder est de dessiner toutes les figures couvertes par les propositions assignées et de dire franchement que ne ignorons laquelle convient » (Venn 1881, p. 424–425, 1894, p. 510–511).</footnote>
<figure><img src="image_48.png" /><figcaption>FIGURE 7.7 – Diagramme de Venn représentant « Tout A est B » et « Nul C n'est A »</figcaption></figure>

<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>FIGURE 7.8 – Illustrations des prémisses « Tout A est B » et « Nul C n'est A » d'après ELP, vol. 2, p. 105-106</figcaption></figure>

et il y en a de nombreuses autres<fnref n="16" />.

On représente ensuite les informations dont on dispose en enrichissant ces diagrammes génériques. En premier lieu, on marque les régions dont on sait qu'elles sont vides en les grisant. Ainsi, pour représenter « Tout A est B » on grise la partie de A en-dehors de B; pour « Nul C n'est A », la partie commune à C et A (fig. 7.7). On peut donc représenter ces deux prémisses simultanément en un unique diagramme, là où Euler avait besoin de trois diagrammes distincts (fig. 7.8). En effet, un diagramme d'Euler doit inévitablement trancher la question de savoir si B et C ont des éléments en commun, alors que le système de Venn peut laisser cette question ouverte.

On peut représenter les propositions existentielles, comme « Quelque B est A », de manière similaire. Venn est assez vague sur ce point<fnref n="17" />; Sun-Joo Shin reprend la solution proposée par Peirce dans un manuscrit de 1903¹⁸, qui est conforme à l'esprit des remarques de Venn. Cette solution consiste à représenter « Quelque A est B » en marquant l'intersection des deux régions A et B par une croix (fig. 7.9 – nous utilisons le signe $\otimes$, comme

<footnote n="16">16. Voir par exemple Ruskey et Weston 2005.</footnote>

<footnote n="17">17. Il ne l'explique que brièvement dans un compte-rendu; voir note 14 *supra*.</footnote>

<footnote n="18">18. C'est le manuscrit Ms. 479, qui n'a été publié qu'en 1933 (PCP, vol. 4, §347-371). Pour une discussion détaillée des différents manuscrits de Peirce sur les diagrammes d'Euler et de Venn, voir Pietarinen 2016.</footnote>
<figure><img src="image_50.png" /><figcaption>FIGURE 7.9 – Diagramme de Venn-Peirce pour « Quelque A est B »</figcaption></figure>

<figure><img src="image_51.png" /><figcaption>FIGURE 7.10 – Diagramme de Venn-Peirce pour « Quelque A est B », s'il y a un troisième ensemble C</figcaption></figure>

Shin). S'il y a trois ensembles, Peirce fait deux croix reliées par une ligne (fig. 7.10) pour indiquer qu'il existe un élément *dans l'une au moins des deux régions marquées*. On peut joindre autant de croix qu'on veut, sachant que les lignes se lisent disjonctivement : il doit exister un élément correspondant à l'une des croix ainsi reliées. En d'autres termes, pour indiquer qu'une certaine région est non vide, il faut placer une croix dans chacune de ses sous-régions minimales et les relier. Par ailleurs, rien n'empêche plusieurs groupes de croix reliées de coexister, par exemple lorsqu'on représente « Quelque A n'est pas B » et « Quelque C est B » (fig. 7.11; on ne peut rien en conclure). Dans ces « diagrammes de Venn-Peirce <fnref n="19" /> », les ambiguïtés du système d'Euler sont éliminées : aucune distinction de cas n'est plus nécessaire. En effet, chaque proposition de la logique aristotélicienne reçoit une représentation univoque, et la combinaison de plusieurs propositions se fait sans difficulté en les superposant sur le même diagramme de base.

En contrepartie, raisonner n'est plus aussi simple qu'avec les diagrammes d'Euler. Certes, dans les cas les plus simples, il suffit encore de combiner les diagrammes des prémisses pour lire la conclusion : ainsi, le diagramme pour « Tout A est B » et « Nul B n'est C » (fig. 7.12) montre immédiatement que « nul A n'est C », parce que l'intersection de A et C est grisée. Mais souvent, il faut en outre transformer le diagramme obtenu. Représenté-

<footnote n="19">19. C'est Shin qui nomme ainsi ce système, qui est hybride parce qu'il associe l'idée initiale de Venn aux croix reliées introduites par Peirce, sans pour autant reprendre toutes les modifications proposées par ce dernier : Peirce marque les zones vides par des o (que l'on peut ensuite relier avec d'autres o ou avec des croix) au lieu de les griser. Pour plus de détails, voir Shin 1994, chap. 2 ou Shin, Lemon et Mumma 2013, sec. 2.</footnote>
<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>FIGURE 7.11 – Diagramme de Venn-Peirce pour « Quelque A n'est pas B » et « Quelque C est B »</figcaption></figure>

<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>FIGURE 7.12 – Diagramme de Venn pour « Tout A est B » et « Nul B n'est C »</figcaption></figure>

tons par exemple « Tout A est B » et « Quelque C est A » (fig. 7.13). Pour conclure, il faut remarquer que l'une des deux croix reliées est dans une région grisée, c'est-à-dire vide : on peut donc la supprimer (fig. 7.14), puis déduire de la croix restante qu'il existe un élément dans l'intersection des trois ensembles et donc que « Quelque C est B ». Pour cette raison, Peirce se rend compte qu'il faut introduire des règles de transformation des diagrammes<fnref n="20" />. Comme nous le verrons, cette idée est essentielle pour Shin.

Ces diagrammes de Venn-Peirce sont ceux dont Sun-Joo Shin formalise l'usage dans son système « Venn-I », à une différence près. S'inspirant là encore d'une remarque de Peirce <fnref n="21" />, Shin encadre ses diagrammes dans un rectangle qui figure l'univers du discours. Cette modification permet de représenter des propositions comme « Tout est A » (fig. 7.15).

Pour compléter ce passage en revue des diagrammes logiques fondés sur des courbes fermées, je voudrais mentionner une dernière variante. Le système de Venn est souvent présenté comme moins « visuellement clair », moins « intuitif » ou moins « naturel » que celui d'Euler <fnref n="22" />. Pour cette raison, Hammer et Shin 1996, 1998 proposent un système hy-

<footnote n="20">20. PCP, Vol. 4, §361-362 (cf. note 18 *supra*).</footnote>

<footnote n="21">21. PCP, vol. 4, §365.</footnote>

<footnote n="22">22. Cf. par exemple Shin, Lemon et Mumma 2013, sec. 2.3, Giardino 2013, p. 143-144, ou pour une discussion plus approfondie, Giardino et G. Greenberg 2014, p. 9-14. Dans tous les cas, l'idée est qu'en passant du système</footnote>
<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>FIGURE 7.13 – Diagramme de Venn-Peirce pour « Tout A est B » et « Quelque C est A »</figcaption></figure>

<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>FIGURE 7.14 – Diagramme de Venn-Peirce pour « Tout A est B » et « Quelque C est A » après transformation</figcaption></figure>

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>FIGURE 7.15 – Diagramme de Venn-Peirce-Shin pour « Tout est A »</figcaption></figure>
bride. Ils conservent une partie du système d'Euler, à savoir que deux cercles délimitant des régions disjointes correspondent à des ensembles disjoints et que l'inclusion de cercles correspond à l'inclusion des ensembles correspondants. En revanche, lorsque deux cercles s'intersectent, on ne peut rien conclure sur la relation des ensembles correspondants, qui peuvent donc être disjoints, inclus l'un dans l'autre ou n'avoir en commun qu'une partie de leurs éléments respectifs. Ce système, d'après eux, conserve certains des avantages intuitifs du système d'Euler sous une forme rigoureuse et cohérente (voir aussi Hammer 1995, chap. 6, qui appelle « cercles d'Euler » sans autre précision ce système modifié). Ce système ne permet cependant pas d'exprimer de propositions existentielles, contrairement à celui que formalise Shin dans son travail principal.

## 7.2 Syntaxe et sémantique des diagrammes de Venn-Peirce

C'est sur la base des diagrammes de Venn-Peirce que Shin élabore ses systèmes formels diagrammatiques. Ce qui rend ces diagrammes adaptés, c'est que contrairement aux diagrammes d'Euler on peut clarifier leur contenu de manière univoque, indépendante du contexte. Cela permet à Shin de les munir d'une syntaxe et d'une sémantique, comme on fait d'ordinaire pour les langages formels. Voici comment Shin, Lemon et Mumma (2013) résument cette démarche :

> Since the development of modern logic, important concepts, e.g., syntax, semantics, inference, logical consequence, validity, and completeness, have been applied to sentential representation systems only. However, none of these turned out to be intrinsic to these traditional symbolic logics only. For any representation system, whether it is sentential or diagrammatic, we can discuss two levels, a syntactic and a semantic level. What inference rules tell us is how to manipulate a given unit, whether symbolic or diagrammatic, to another.<fnref n="23" />

Énoncés comme diagrammes peuvent donc être munis d'une syntaxe et d'une sémantique. La syntaxe consiste en règles de formation qui délimitent les représentations bien for-

<footnote>d'Euler à celui de Venn, l'on perd en naturalité ce que l'on gagne en pouvoir expressif.</footnote>

<footnote n="23">23. « Depuis que la logique moderne a été développée, ses concepts importants, par exemple la syntaxe, la sémantique, l'inférence, la conséquence logique, la validité et la complétude, n'ont été appliqués qu'aux systèmes de représentation phrastiques [sentential representation systems]. Cependant, aucun d'eux ne s'est avéré intrinsèque à ces seules logiques symboliques traditionnelles. Pour tout système de représentation, qu'il soit phrastique [sentential] ou diagrammatique, nous pouvons discuter deux niveaux, un niveau syntaxique et un niveau sémantique. Ce que les règles d'inférence nous disent, c'est comment manipuler une unité donnée, qu'elle soit symbolique ou diagrammatique, pour la transformer en une autre. » (Shin, Lemon et Mumma 2013).</footnote>
mées, et en règles d'inférence qui indiquent comment transformer une représentation en une autre. La sémantique définit une classe d'interprétations et une relation de satisfaction entre une représentation et une interprétation. La satisfaction permet de définir une relation de conséquence logique entre représentations. Examinons brièvement comment Shin applique chacune de ces notions aux diagrammes de Venn-Peirce.

### a) Préliminaires : comment raisonne-t-on dans le système de Shin ?

Le système de Shin est purement diagrammatique : un raisonnement doit partir de diagrammes et aboutir à un diagramme. Or les syllogismes sont des raisonnements qui conduisent de prémisses exprimées par des phrases à une conclusion exprimée par une phrase. Pour les traiter dans le système de Shin, il faut donc d'abord remplacer chaque prémisse, ainsi que la conclusion, par un diagramme. Cette première étape est extérieure au système (même si, comme nous le verrons plus loin, rien n'empêche de mettre au point un système *hétérogène*, dont la syntaxe contienne à la fois des phrases et des diagrammes ainsi que des règles permettant de passer des unes aux autres). On *combine* ensuite les diagrammes des prémisses et le cas échéant on *transforme* le diagramme résultant. Enfin, la conclusion découle des prémisses si le diagramme correspondant à la conclusion est *inclus* dans le diagramme final.

### b) Diagrammes bien formés

Les diagrammes bien formés (DBFs) sont définis à partir des « objets primitifs » suivants : rectangles, courbes fermées <fnref n="24" />, grisages, croix, segments. Une **région basique** d'un diagramme est l'intérieur d'un rectangle ou d'une courbe fermée; les **régions** d'un diagramme sont définies inductivement à partir des régions basiques : l'intersection, l'union et la différence de deux régions sont encore des régions. Une **région minimale** est une région dans laquelle aucune autre région du diagramme n'est comprise. Les diagrammes bien formés sont alors définis inductivement comme suit :

1. un rectangle est un diagramme bien formé;

2. à partir d'un diagramme bien formé, chacune des opérations suivantes conduit à un nouveau diagramme bien formé :

(a) ajouter une courbe qui est intérieure au rectangle, de telle manière qu'elle ne rencontre aucune croix et que l'intersection de son intérieur avec chaque région

<footnote n="24">24. Pour s'assurer qu'on ne puisse pas confondre une courbe fermée et un rectangle, il faut imposer aux courbes fermées une forme arrondie (par exemple en demandant qu'elles soient dérivables).</footnote>
<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>FIGURE 7.16 – Diagrammes mal formés (adapté de Shin 1994, p. 59)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_58.png" /><figcaption>FIGURE 7.17 – Diagramme mal formé parce que deux croix reliées sont dans la même région minimale, d'après Shin 1994, p. 62</figcaption></figure>

minimale soit un sous-ensemble strict, connexe et non vide de celle-ci;

(b) griser une région entière (minimale ou non);

(c) ajouter une croix à l'intérieur d'une région minimale;

(d) relier par un segment deux croix situées dans des régions minimales différentes.

Un premier effet de ces règles est que toutes les intersections possibles entre courbes doivent correspondre à une région non vide et connexe, ce qui est précisément la condition qui caractérise les diagrammes de Venn <fnref n="25" />. La raison en est qu'on ne peut introduire de nouvelle courbe que par la condition 2a. Les diagrammes suivants (fig. 7.16) sont donc mal formés.

Une seconde conséquence à noter est qu'aucune croix ne peut chevaucher une courbe : toute croix est à l'intérieur d'une région minimale bien déterminée. De plus, si une même région minimale peut contenir plusieurs croix différentes, deux croix d'une même région minimale ne peuvent pas être reliées (la fig. 7.17 est donc mal formée). Par conséquent, une famille de croix reliées – nous dirons comme Shin une « suite de x » – est déterminée par la plus petite région qui contient toutes les croix de la famille. La suite de x de la figure

<footnote n="25">25. Pour plus de précisions, voir *supra*, section 7.1.b).</footnote>
<figure><img src="image_59.png" /><figcaption>FIGURE 7.18 – « Suite de x » dans la région A, d’après Shin 1994, p. 69</figcaption></figure>

<figure><img src="image_60.png" /><figcaption>FIGURE 7.19 – Diagrammes pour « Tous les A sont B » (à gauche) et « Aucun B n’est C » (à droite)</figcaption></figure>

7.18 correspond par exemple à la région A : il y a exactement une croix dans chaque région minimale incluse dans A et elles sont reliées.

Le diagramme précédent, comme beaucoup de ceux qu'utilise Shin, contient des lettres qui servent à étiqueter les courbes fermées. Ces lettres facilitent la référence à telle ou telle partie du diagramme, mais ne font pas partie de la syntaxe officielle du système de Shin. Elles font seulement partie du métalangage.

La syntaxe se complique d'un élément supplémentaire dès lors qu'on considère plusieurs diagrammes simultanément. Par exemple, si l'on veut traiter le syllogisme « Tous les A sont B; aucun B n'est C; donc aucun A n'est C » on commence par représenter séparément chaque prémisse (fig. 7.19). Ces deux diagrammes ne sont pas indépendants : la courbe de droite du premier est censée représenter le même ensemble que la courbe de gauche du second. Il faut le savoir, sans quoi on serait bien en peine de combiner ces diagrammes comme voulu (fig. 7.20). Or, jusqu'ici, rien dans la syntaxe de notre système ne permet de l'indiquer. La méthode la plus naturelle, déjà utilisée par Euler, serait d'utiliser des lettres pour étiqueter les courbes et d'employer la même lettre pour les courbes censées représenter le même ensemble 26. Ce n'est pas la solution de Shin, qui a choisi d'exclure les lettres-étiquettes de la syntaxe de son système (probablement pour éviter le problème délicat d'éviter toute amiguïté dans la position des lettres par rapport aux courbes qu'elles étiquettent). Elle est donc forcée d'ajouter à son système un dernier élément : une relation

<footnote n="26">26. Cette solution plus naturelle est en général utilisée par les auteurs ultérieurs qui reprennent le système de Shin, par exemple Hammer 1995, chap. 4 et Hammer et Danner 1996.</footnote>
<figure><img src="image_61.png" /><figcaption>FIGURE 7.20 – Diagramme pour représenter conjointement « Tous les A sont B » et « Aucun B n’est C »</figcaption></figure>

d'équivalence qui relie les courbes fermées censées représenter les mêmes ensembles<fnref n="27" />. Elle l'appelle *relation de contrepartie*<fnref n="28" />. Dans notre exemple précédent, la courbe de droite du diagramme de gauche de la figure 7.19 serait en relation avec la courbe de gauche du diagramme de droite<fnref n="29" />. On en vient cependant vite à des formulations compliquées pour exprimer quelles courbes sont en relation, comme le montre la phrase précédente. L'emploi de lettres-étiquettes, extérieures au système, permet à Shin d'indiquer plus facilement de quelles courbes elle parle. Les deux diagrammes correspondant à nos prémisses pourraient par exemple être représentés, avec des étiquettes, comme à la figure 7.21. Au lieu de parler de la courbe de gauche du diagramme de droite, et ainsi de suite, on peut tout simplement dire que les courbes $A_2$ et $A_3$ sont en relation<fnref n="30" />. Remarquons bien que les étiquettes servent ici de noms propres pour des courbes, et n'indiquent pas directement – comme c'était le cas chez Euler – quelles courbes sont censées représenter le même ensemble. Cette manière contournée de procéder a été largement abandonnée par la suite au

<footnote n="27">27. Plus précisément, c'est une relation d'équivalence entre *régions basiques*, c'est-à-dire entre intérieurs de rectangles ou de courbes fermées. Cette relation indique donc aussi si deux diagrammes ont ou non le même univers du discours. Cette relation doit satisfaire les conditions suivantes : un rectangle ne peut être en relation qu'avec un rectangle et une courbe fermée avec une courbe fermée; de plus, deux éléments distincts ne peuvent être en relation que s'ils appartiennent à des diagrammes distincts (en d'autres termes, on ne peut pas décider de représenter un même ensemble par deux courbes d'un même diagramme). Cette relation peut naturellement s'étendre en une relation d'équivalence entre régions (et plus seulement régions basiques). Par exemple, si l'on a deux diagrammes, le premier avec deux courbes A et B, le second avec deux courbes A' et B', et que A et A' d'une part, B et B' d'autre part sont en relation, l'intersection de A et B et celle de A' et B' devront aussi représenter le même ensemble. Notons que nous utilisons ici les lettres-étiquettes comme Shin : elles servent de noms pour certaines courbes, ce qui nous permet de dire lesquelles sont censées représenter le même ensemble, mais ces lettres-étiquettes font partie du métalangage et pas du système lui-même.</footnote>

<footnote n="28">28. Le mot anglais est « counterpart », que l'on emploie par exemple dans une phrase comme « *the French prime minister met his British counterpart in London yesterday* », c'est-à-dire « le premier ministre français a rencontré son homologue britannique à Londres hier ». On pourrait donc traduire « relation d'homologie » si ce terme français n'était pas déjà surchargé de sens techniques.</footnote>

<footnote n="29">29. De plus, les deux rectangles seraient en relation pour indiquer qu'on fait référence au même univers de discours.</footnote>

<footnote n="30">30. De même pour les rectangles $D_1$ et $D_2$.</footnote>
<figure><img src="image_62.png" /><figcaption>FIGURE 7.21 – Diagrammes avec lettres-étiquettes pour « Tous les A sont B » (à gauche) et « Aucun B n’est C » (à droite)</figcaption></figure>

profit de lettres-étiquettes, y compris par Shin elle-même <fnref n="31" />.

Les diagrammes bien formés sont ainsi définis inductivement, comme les formules bien formées des langages formels habituels. Cependant, on peut construire un même diagramme bien formé de différentes manières <fnref n="32" /> : à première vue, il n’y a donc pas, contraire au cas des langages formels, de théorème de lecture unique. En conséquence, il est difficile de définir inductivement des propriétés des diagrammes en suivant l’ordre d’application des règles de formation : de telles définitions supposeraient en effet des preuves fastidieuses d’invariance pour toutes les constructions possibles, ce qui explique certainement que Shin n’en utilise pas. Il serait cependant possible de modifier le système de Shin pour remédier assez largement à ce défaut <fnref n="33" />.

### c) Règles de transformation

Sur le modèle des règles d’inférence usuelles, Shin introduit ensuite des règles de transformation permettant de passer de certains diagrammes à d’autres <fnref n="34" />. Comme nous l’avons vu, l’idée essentielle est déjà présente chez Peirce; Shin clarifie et complète les règles de celui-ci, et les décrit sous une forme qui distingue soigneusement syntaxe et sémantique <fnref n="35" />.

Il y a par exemple une « règle d’unification » qui permet de combiner deux diagrammes

<footnote n="31">31. Voir par exemple Hammer 1995; Hammer et Danner 1996; Howse, Molina, Shin et J. Taylor 2002.</footnote>

<footnote n="32">32. Il est en effet souvent possible de changer l’ordre des règles appliquées et même leur nombre (du fait de la règle 2b qui permet de griser des régions non minimales).</footnote>

<footnote n="33">33. Pour ce faire, il faudrait exiger que l’on applique les règles dans l’ordre : d’abord la règle 1, puis la règle 2a autant de fois que nécessaire, puis de même la 2b, la 2c (modifiée de manière à ce qu’on ne puisse griser qu’une région minimale à la fois) et enfin la 2d. On aurait alors lecture unique à l’ordre près des applications de chaque règle : on pourrait donc utiliser des définitions inductives, à condition de démontrer leur invariance par permutation des applications de chaque règle. Voir aussi Scotto di Luzio 2002.</footnote>

<footnote n="34">34. Signalons que l’une des règles de transformation de Shin, qui permet d’effacer une courbe d’un diagramme, comporte une difficulté : son application indiscriminée lorsqu’il y a quatre courbes ou plus peut parfois conduire à des diagrammes qui ne sont pas bien formés (Scotto di Luzio 2002). Voir infra, section 7.4.a).</footnote>

<footnote n="35">35. Voir la discussion des règles de Peirce dans Shin 1994, p. 27-40.</footnote>
<figure><img src="image_63.png" /><figcaption>FIGURE 7.22 – Application correcte de la règle d’élimination des x, d’après Shin 1994, p. 85</figcaption></figure>

en un seul. Cette règle est cruciale pour raisonner, puisque le principe du système est de représenter chaque prémisse séparément puis de les combiner. Une autre règle permet d’effacer les croix qui se trouvent dans des régions grisées. Nous avons déjà discuté un cas où cette règle est nécessaire : celui du syllogisme « Tout A est B; quelque C est A; donc quelque C est B » (voir figures 7.13 et 7.14).

Je me contenterai ici d’illustrer la démarche de Shin en présentant plus en détails la règle d’élimination des croix. Shin écrit :

> We may copy a *wfd* omitting any subpart of an x-sequence<sup>36</sup> if that part is in a shaded region. The number of x-sequences in a diagram does not increase. That is, if $⊗$ in a shaded region is at the end of an x-sequence, we may erase $-⊗$ or $⊗-$ so that the remaining part is one x-sequence. If $⊗$ in a shaded region is in the middle of an x-sequence, after erasing this $⊗$ we should connect both of the remaining parts so that we have one x-sequence (not two x-sequences by disconnection).<sup>37</sup>

On peut donc supprimer toute croix qui se trouve dans une région grisée dès lors qu’elle est reliée à d’autres croix (fig. 7.22). Il faut cependant s’assurer que les croix restantes qui faisaient partie d’une même suite de x restent reliées après la transformation (fig. 7.23). Shin illustre sa règle par des exemples d’application correcte, que nous venons de donner, ainsi que par des contre-exemples.

Les règles de transformation permettent à Shin de définir une relation $\vdash$ analogue à la relation de prouvabilité en logique ordinaire : si $\Delta$ est un ensemble de diagrammes et $D$ un autre diagramme (tous bien formés), alors $\Delta \vdash D$ si l’on peut obtenir $D$ à partir des

<footnote n="36">36. C’est-à-dire une famille de croix reliées.</footnote>

<footnote n="37">37. « Nous pouvons recopier un diagramme bien formé en omettant toute sous-partie d’une suite de x qui est dans une région grisée. Le nombre de suites de x dans le diagramme n’augmente pas. En d’autres termes, si le $⊗$ dans une région grisée est à la fin d’une suite de x, nous pouvons supprimer $-⊗$ ou $⊗-$ de sorte que la partie restante ne constitue qu’une unique suite de x. Si le $⊗$ dans une région grisée est au milieu d’une suite de x, après avoir effacé ce $⊗$ nous devons relier les deux parties restantes de manière à avoir une unique suite de x et non deux suites de x déconnectées. » (Shin 1994, p. 85).</footnote>
<figure><img src="image_64.png" /><figcaption>FIGURE 7.23 – Élimination correcte d'une croix située au milieu d'une suite de x, d'après Shin 1994, p. 85</figcaption></figure>

diagrammes de $\Delta$ via une suite finie d'applications de règles de transformation.

## d) Interprétations

Pour Shin, interpréter un diagramme, c'est associer à chaque région du diagramme un certain ensemble. Plus précisément, une interprétation est la donnée

- d'un ensemble $U$ qui correspond à l'univers du discours,

- d'une fonction qui assigne à chaque région du diagramme une partie de $U$.

Déterminer une interprétation revient en fait à associer chaque courbe fermée (c'est-à-dire, dans la terminologie de Shin, chaque **région basique** du diagramme) à une partie de $U$: par union et intersection, les interprétations des autres régions du diagramme en découlent<fnref n="38" />.

Quand on interprète simultanément plusieurs diagrammes, il faut en outre que les régions basiques associées par la relation de contrepartie correspondent aux mêmes ensembles.

On peut alors définir ce que c'est pour une interprétation de *satisfaire* un diagramme : il suffit que les régions grisées correspondent à des ensembles vides et que les régions contenant entièrement une suite de croix reliées correspondent à des ensembles non vides. <fnref n="39" />.

## e) Relation de conséquence; correction et complétude

Une fois qu'on a défini ce qu'est une interprétation d'un diagramme, et ce que c'est pour une interprétation de satisfaire un diagramme, on peut définir une relation de conséquence

<footnote n="38">³⁸. Shin 1994, section 3.3.1.</footnote>

<footnote n="39">³⁹. Cette sémantique est définie directement à partir de propriétés du diagramme (les régions grisées ou contenant des suites de croix reliées) et non inductivement en suivant les règles de formation, comme on le fait d'ordinaire en logique ; j'ai déjà signalé plus haut (section 7.2.b)) que les règles de formation de Shin se prêtent mal à des définitions de ce type. En faisant les modifications suggérées à la note 33, on pourrait cependant donner une définition inductive de la sémantique.</footnote>
comme on le fait habituellement en logique : Shin dit qu’un diagramme *D* est conséquence d’un ensemble *P* de diagrammes (ce qu’elle note $P \models D$) si toute interprétation qui satisfait les diagrammes *P* satisfait aussi le diagramme *D*.

On peut alors démontrer la correction des règles de transformation du système. En d'autres termes, si les règles permettent de dériver *D* de certains autres diagrammes *P* (c'est-à-dire si $P \vdash D$), alors *D* est bien conséquence de *P* (c'est-à-dire $P \models D^{40}$). À l'inverse, Shin montre aussi la complétude de son système : si $P \models D$, alors $P \vdash D^{41}$. Shin montre même qu'une variante de son système (permettant de considérer des disjonctions de diagrammes bien formés) est équivalente à un calcul des prédicats monadique simple $^{42}$. Le système de Shin a donc les propriétés habituellement attendues d'un système logique.

## 7.3 Un système hétérogène pour les diagrammes de Venn

La manière dont Shin étend aux diagrammes les notions de représentation bien formée, de règle d'inférence, de structure d'interprétation, de satisfaction et de conséquence logique se généralise. Barwise et Hammer ([1994] 1996) en déduisent un concept élargi de « système logique », qui ne se distingue des habitudes de la logique que sur un point : ils abandonnent l'idée que « les représentations bien formées sont de forme finie et linéaire et peuvent donc être modélisées par des suites finies de symboles 43 ». On peut donc avoir des systèmes logiques fondés sur des diagrammes.

Dans ce cadre, rien n'empêche de concevoir également des systèmes formels qui com-
bineraient diagrammes et formules logiques. Pour reprendre la terminologie de Barwise et
Etchemendy ([1995] 1996a), de tels systèmes sont non plus diagrammatiques, mais « hété-
rogènes ». Leur syntaxe juxtapose deux (ou davantage) types de représentations différentes
dont chacun a ses propres règles de formation, mais qui ont les mêmes structures d'inter-
prétation, de manière à ce qu'on puisse définir une relation de conséquence sémantique
entre représentations de types différents. On peut alors codifier des règles de transforma-
tion permettant de passer de formules à des diagrammes ou réciproquement, et ainsi de se
rapprocher de la pratique mathématique.

Hammer (1994, 1995) développe par exemple un système hétérogène pour les dia-

<footnote n="40">40. Shin 1994, §3.6.</footnote>

<footnote n="41">41. Plus précisément, Shin ne démontre ce résultat que pour un ensemble *fini* P de diagrammes de départ (Shin 1994, §3.7). Hammer et Danner 1996 étendent le théorème au cas général. (Voir aussi Miller 2006 pour une preuve plus simple.)</footnote>

<footnote n="42">42. Shin 1994 présente cette extension de son système, qu'elle appelle Venn-II, au chap. 4. Elle en montre l'équivalence avec un calcul des prédicats monadique sans symboles de fonction ni de constante au chap. 5.</footnote>

<footnote n="43">43. Barwise et Hammer [1994] 1996, p. 54.</footnote>
grammes de Venn. Côté formules, Hammer reprend une logique du premier ordre usuelle ; côté diagrammes, il reprend essentiellement le système Venn-I de Shin <fnref n="44" />. Mais à ces deux composants, il ajoute des règles d'inférence hétérogènes. Ainsi, si une région d'un diagramme est grisée, on peut déduire que l'ensemble correspondant est vide par une règle formelle qui a pour prémisse un diagramme et pour conclusion une formule logique <fnref n="45" />. À l'inverse, à partir d'une formule affirmant qu'un certain ensemble est vide et d'un diagramme qui représente cet ensemble par une courbe, on peut déduire un nouveau diagramme où l'intérieur de cette courbe est grisé (la règle a cette fois pour prémisses un diagramme et une formule, et pour conclusion un diagramme <fnref n="46" />). La sémantique permet dans les deux cas de vérifier que ces règles d'inférence sont correctes, au sens où leur conclusion est toujours conséquence de leurs prémisses. Nous avions remarqué que le système de Shin s'écartait de l'usage habituel des diagrammes de Venn parce qu'il était purement diagrammatique et que, par conséquent, la traduction des prémisses en diagrammes lui échappait. Le système de Hammer montre qu'il est facile de remédier à ce défaut.

## 7.4 Difficultés sémiologiques et formalité

Peut-on vraiment qualifier de *formels* le système de Shin et ses variantes ? Certains ingrédients essentiels semblent manquer. Tout d'abord, pour parler de système formel au sens habituel du terme, il faut pouvoir distinguer *types* et *tokens* de diagrammes ; or je n'ai pas expliqué dans quels cas considérer deux diagrammes comme les mêmes, et comme nous le verrons, cette question cache une difficulté assez sérieuse. En second lieu, on s'attend d'ordinaire à ce que les règles de transformation de nos systèmes formels soient mécanisables ; mais comment comprendre cette idée dans le cas d'entités syntaxiques qui ne sont pas de simples suites de symboles ?

<footnote n="44">44. Il faut signaler une différence. Diagrammes et formules doivent avoir les mêmes structures d'interprétation, ce qui n'est pas immédiatement le cas si l'on combine le système de Shin avec un langage du premier ordre : les interprétations d'un langage du premier ordre sont des fonctions qui assignent des ensembles à des *symboles* (de constante et de prédicat), alors que les interprétations d'un diagramme de Shin assignent des ensembles à des *courbes* (ou à des classes d'équivalence de courbes pour la relation de contrepartie, cf. 7.2.b)). Hammer modifie donc la syntaxe du système de Shin pour que les courbes soient étiquetées par des termes de son langage du premier ordre (en fait des termes à une variable libre, c'est-à-dire qui définissent un ensemble). La relation de contrepartie n'est alors plus nécessaire, et une interprétation des symboles de constante et de prédicat suffit à interpréter aussi les courbes. (Une solution encore plus simple, mais moins flexible, aurait été d'étiquer les courbes par des symboles de prédicat unaire du langage du premier ordre utilisé.)</footnote>

<footnote n="45">45. C'est la règle « $\forall$-Observe » (Hammer 1994, p. 82).</footnote>

<footnote n="46">46. C'est la règle « $\forall$-Apply » (Hammer 1994, p. 82).</footnote>
a) Types et tokens de diagrammes

Les langages formels dont nous avons l'habitude sont fondés sur une distinction très
robuste entre *types* et *tokens* de formules. Cette distinction est cruciale si l'on veut justi-
fier l'idée que différentes personnes, travaillant sur des inscriptions matérielles différentes,
puissent procéder de manière uniforme : si l'on veut affirmer que deux personnes ont appli-
qué la même règle pour passer d'une inscription à une autre, il faut (au minimum) pouvoir
reconnaître leurs points de départ comme identiques, et de même pour leurs points d'ar-
rivée. La distinction *type-token* est donc essentielle pour remplir l'objectif d'explicitation
complète des procédures qui est consubstantiel au projet même de mathématiques forma-
lisées.

Il est vrai que d'ordinaire, on n'applique la distinction *type-token* qu'aux symboles et
suites de symboles caractéristiques des langages formels. Toutefois, rien n'empêche de la
généraliser, ce que fait déjà Nelson Goodman (1968) quoique dans une terminologie diffé-
rente, comme nous l'avons déjà vu <fnref n="47" />.

Or dans son livre, Shin n'introduit pas vraiment de distinction analogue. Pour for-
muler ses règles de transformation, elle se contente d'une notion floue de « copie » d'un
diagramme <fnref n="48" /> : par exemple, la règle d'élimination des croix se trouvant dans une région
grisée permet de « recopier un diagramme bien formé en omettant toute suite de x qui est
dans une région grisée <fnref n="49" /> ». Quand on recopie un diagramme en ce sens, a-t-on le droit
de réorganiser spatialement les courbes ou faut-il respecter aussi exactement que possible
leurs positions ? La définition de Shin est trop vague pour répondre avec certitude, mais ses
exemples suggèrent qu'elle pense plutôt à une copie exacte. Cette interprétation poserait
problème, parce qu'en pratique, tous les diagrammes concrets seront un peu différents, et
on se retrouverait sans critère permettant de dire s'il faut les traiter ou non comme iden-
tiques.

Shin définit en outre une notion d'« équivalence syntaxique » entre diagrammes. Même
si Shin ne l'utilise pas ainsi, cette notion est plus adaptée pour remplir le rôle d'une dis-
tinction *type-token* ; d'ailleurs, Howse, Molina, Shin et J. Taylor (2002) la reprennent ulté-
rieurement en ces termes-là <fnref n="50" />. L'idée est de caractériser un diagramme par la liste de ses
courbes, de ses grisures et de ses suites de croix reliées. Formellement, Shin introduit pour

<footnote n="47">47. Voir *supra*, section 6.1.a), en part. n. 1 p. 156.</footnote>

<footnote n="48">48. Voir Shin 1994, p. 81.</footnote>

<footnote n="49">49. Shin 1994, p. 85 (je souligne). Pour plus de détails sur cette règle, voir *supra*, section 7.2subsec :shin-transformations.</footnote>

<footnote n="50">50. Le cadre formel de Howse, Molina, Shin et J. Taylor 2002 est assez différent de celui de Shin et ils s'en tiennent à des diagrammes de Venn sans croix, mais l'idée est bien la même.</footnote>
<figure><img src="image_65.png" /><figcaption>FIGURE 7.24 – Diagrammes syntaxiquement équivalents, adaptés de Howse, Molina, Shin et J. Taylor (2002, p. 149)</figcaption></figure>

chaque diagramme un nouvel objet, qu'elle appelle sa « suite » (« sequence »), formé de la
liste des éléments suivants :

1. ses régions basiques (c'est-à-dire son rectangle et ses courbes);

2. ses régions grisées ;

3. pour chaque suite de croix reliées, la plus petite région qui la contient entièrement.

Elle considère ensuite deux diagrammes comme syntaxiquement équivalents (je dirai :
comme deux *tokens* du même *type*) si leurs listes sont les mêmes<sup>51</sup>. Le résultat est de consi-
dérer les diagrammes de la fig. 7.24 comme des *tokens* du même *type*, comme le sont par
exemple les deux formules

$$
A \wedge B \quad \text{et} \quad A \wedge B.
$$

Au contraire, les diagrammes de la fig. 7.25 sont certes sémantiquement équivalents, mais ne sont pas des *tokens* d'un même *type* : leur cas serait donc plutôt analogue à celui des formules $A \wedge B$ et $B \wedge A$. Il peut sembler étonnant de traiter ces deux formules comme de *types* distincts et les deux premiers diagrammes de la fig. 7.24, pourtant pas plus différents, comme deux *tokens* du même *type*. Mais à y bien regarder, l'identité de *type* entre formules des langages formels repose elle aussi sur des habitudes et des conventions, qui nous font négliger des différences typographiques parfois considérables et, au contraire, nous font insister sur une distinction essentielle entre des formules comme $x + y$ et $y + x$ dont un

<footnote n="51">51. Voir Shin 1994, section 3.3.2, en part. p. 70. En fait, il faut faire une correction mineure à la définition de Shin; celle-ci comporte en effet une bizarrerie qui s'explique par le fait que Shin ne pensait manifestement pas faire jouer le rôle de distinction *type-token* à sa notion d'équivalence syntaxique. Le problème est que dans son système, une même région minimale peut comporter plusieurs croix, mais celles-ci sont redondantes sémantiquement si elles ne font pas partie de suites de x différentes (c'est-à-dire si elles ne sont pas reliées à des croix différentes dans d'autres régions). De même, on peut avoir plusieurs suites de croix qui relient exactement les mêmes régions minimales. Or quand Shin définit la « suite » d'un diagramme, c'est-à-dire ce qu'elle voit comme la liste de ses éléments syntaxiques pertinents, elle ne compte qu'une croix ou qu'une suite de croix à chaque fois. Deux diagrammes qui diffèrent par le nombre de croix dans une certaine région minimale, par exemple, seront donc considérés comme syntaxiquement équivalents (voir l'exemple qu'elle donne p. 77). Il faut corriger cela si l'on veut faire jouer à l'équivalence syntaxique le rôle d'une distinction *type-token*.</footnote>
<figure><img src="image_66.png" /><figcaption>FIGURE 7.25 – Diagrammes sémantiquement, mais non syntaxiquement équivalents, adaptés de Shin (1994, p. 74)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_67.png" /><figcaption>FIGURE 7.26 – Diagrammes à quatre courbes syntaxiquement équivalents, adaptés de Scotto di Luzio (2002)</figcaption></figure>

mathématicien comme Descartes aurait sans doute eu du mal à comprendre l'intérêt. La notion de *type* de diagramme définie ici ne semble donc pas insensée.

Malheureusement, cette distinction *type-token*, qui fonctionne bien tant qu'on s'en tient à des diagrammes à deux ou trois courbes, pose problème dès qu'on veut aller plus loin. Tout d'abord, reconnaître que deux diagrammes comme ceux de la fig. 7.26 sont du même *type*, quoique possible, devient plus difficile. Surtout, deux diagrammes du même *type* peuvent être topologiquement différents : les régions colorées en rouge et en vert sur les deux diagrammes de la fig. 7.27, par exemple, se correspondent<sup>52</sup> mais sont contiguës dans un cas et non dans l'autre. Ces différences topologiques ont des conséquences sur l'utilisation du système. Comme l'a remarqué Scotto di Luzio (2002), l'une des règles de transformation de Shin peut induire en erreur dès qu'on a quatre courbes ou plus. Cette règle permet d'effacer une courbe quelconque d'un diagramme. Essayons de l'appliquer pour supprimer la courbe $A_2$ des deux diagrammes précédents, en procédant naïvement, c'est-à-dire en les recopiant (sans les réorganiser) à l'exception de $A_2$ (fig. 7.28). À droite, il n'y a pas de problème, mais à gauche, on se retrouve avec un diagramme mal formé parce que certaines des intersections possibles se retrouvent en deux morceaux : en notant (par abus de notation) $A_i$ les intérieurs des courbes du même nom, $A_1 \cap \bar{A}_3 \cap A_4$ correspond par exemple aux deux régions marquées en rouge, et $\bar{A}_1 \cap \bar{A}_2 \cap A_4$ aux deux régions marquées en vert.

<footnote n="52">52. Dans chacun des deux diagrammes, la région rouge correspond à $A_1 \cap A_2 \cap \bar{A}_3 \cap A_4$ et la région verte à $A_1 \cap \bar{A}_2 \cap \bar{A}_3 \cap A_4$ (en employant, par abus de langage, la même notation pour les courbes et pour leur intérieur).</footnote>
<figure><img src="image_68.png" /><figcaption>FIGURE 7.27 – Diagrammes syntaxiquement équivalents mais topologiquement différents, adaptés de Scotto di Luzio (2002)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_69.png" /><figcaption>FIGURE 7.28 – Diagrammes précédents après suppression de la courbe $A_2$, adaptés de Scotto di Luzio (2002). Le diagramme de gauche n'est pas bien formé parce que les régions rouges et vertes ne sont pas connexes.</figcaption></figure>

(Le diagramme de droite, lui, comporte bien seulement $2^3 = 8$ régions.) En fait, la distance entre *type* et *token* devient intolérable dès lors que l'on va au-delà de trois courbes.

Pour régler ce problème, Howse, Molina, Shin et J. Taylor (2002) introduisent une distinction entre règles de transformation au niveau des *tokens* et règles au niveau des *types*. Leur idée est que, contrairement à la plupart des règles de Shin, la règle d'élimination des courbes ne peut être correctement définie qu'au niveau des *types* : il faudrait d'abord passer du *token* particulier que l'on considère au diagramme abstrait correspondant, éliminer une courbe, puis tracer un *token* bien formé correspondant au diagramme abstrait résultant, qui peut ne pas ressembler du tout au *token* de départ.

Leur emploi ici de la terminologie *type-token* me semble inadapté. Le rôle fondamental que doit jouer une distinction *type-token* dans le cadre d'un système formel est de garantir l'uniformité de procédure en indiquant quelles inscriptions doivent être traitées comme identiques. En toute rigueur, une règle « au niveau des *tokens* » est donc une contradiction dans les termes, puisque par définition une règle doit pouvoir être appliquée de manière uniforme à des *tokens* différents. Dès lors que l'on a plus de quatre courbes, la distinction définie plus haut introduit trop de distance entre prétendus *types* et prétendus *tokens* pour qu'on puisse continuer à employer cette terminologie de manière cohérente. Je suggère donc d'employer une terminologie différente dont ils font également usage, et de parler de *diagrammes abstraits* contre *diagrammes concrets*.
Reformulons leur idée dans cette nouvelle terminologie. Certaines règles peuvent être formulées au niveau des diagrammes concrets, écrivent-ils, mais d'autres doivent passer par les diagrammes abstraits. Examinons ces deux cas tour à tour. Une règle sur les diagrammes concrets, ce serait, comme dans le système de Shin, une règle qui implique de « recopier » le diagramme en ajoutant ou supprimant certains éléments, mais sans changer la disposition des autres courbes. Le problème est ici le même que plus haut : on n'a pas de critères clairs sur ce qu'est une bonne copie, et le piège des diagrammes topologiquement différents montre que l'on ne peut pas utiliser notre première tentative de distinction *type-token*. On peut s'en sortir en introduisant une nouvelle distinction *type-token* plus fine ; une idée pourrait être de ne considérer comme du même *type* que les diagrammes de Venn topologiquement équivalents, c'est-à-dire que l'on peut continûment déformer l'un en l'autre. On aurait alors une nouvelle distinction *type-token*, coïncidant avec celle introduite plus haut jusqu'à trois courbes, mais plus fine au-delà. À partir de quatre courbes, il serait en effet possible pour des diagrammes « syntaxiquement équivalents » au sens initial de Shin – c'est-à-dire pour des instances d'un même diagramme abstrait – d'être pourtant de *types* distincts. Certaines règles de transformation seraient définies de manière à ne pas toucher à la disposition des courbes, et on pourrait donc les considérer comme des règles sur les diagrammes concrets bien qu'elles ne soient pas définies au niveau des *tokens*, ce qui n'aurait guère de sens. En fait, une fois cette nouvelle distinction *type-token* en main, ce sont tout simplement des règles au sens le plus habituel.

Que faire alors des autres règles, celles qui, d'après Howse, Molina, Shin et J. Taylor (2002), ne peuvent être formulées qu'au niveau des diagrammes abstraits ? L'exemple qu'ils donnent est bien sûr la règle d'élimination des courbes, mais il y en a d'autres, comme la règle d'unification (permettant de combiner deux diagrammes en un seul). Pour eux, ces règles-là impliquent de faire un détour par une représentation abstraite, qui est invariante par rapport aux particularités topologiques du diagramme concret considéré. Mais s'il en est ainsi, peut-on encore les considérer comme formelles ? À tout le moins, il faudrait les décomposer, et expliquer en détail comment on passe (sur la seule base de l'apparence du diagramme) du diagramme concret à sa description abstraite, comment on transforme cette description abstraite, puis comment on construit un nouveau diagramme. Si l'on procédait ainsi, on aurait une authentique règle formelle, mais au prix d'un nouveau problème : elle ne serait plus vraiment diagrammatique !

Une solution différente permet d'éviter cette conclusion désagréable : on peut introduire une règle de *réécriture* permettant de passer d'un diagramme à n'importe quelle autre instance du même diagramme abstrait. Si passer d'un diagramme concret à sa représentation
tion abstraite implique de quitter le domaine du diagrammatique, en revanche évaluer si
deux diagrammes correspondent au même diagramme abstrait peut se faire de manière
formelle sur la seule base des diagrammes, en mettant en correspondance les courbes deux
à deux et en examinant si cette correspodance préserve les grisures, etc. Les règles pro-
blématiques, comme celle d’élimination des courbes, pourraient alors être restreintes aux
cas où elle ne posent pas de problème topologique. En fin de compte, on aurait un sys-
tème diagrammatique et formel et la distinction entre deux sortes de règles ne serait plus
nécessaire.

Ces difficultés peuvent donc être résolues. Au fond, elles viennent du fait que le système de Shin n’est jamais utilisé en pratique pour plus de quatre courbes; le problème de la formalisation se superpose donc à la simple question de savoir comment procéder. Une autre leçon de ces difficultés est qu’il est hasardeux de définir *types* et *tokens* par stipulation : une telle distinction n’est opérante que s’il est facile de traiter les *tokens* d’un même *type* de manière invariante, ce sur quoi on ne peut légiférer sans expérience du système considéré.

b) Ces systèmes sont-ils formels ?

À première vue, il semble clair que les systèmes de Shin sont *formels* au sens minimal suivant : les règles de formation et de transformation données par Shin ne font référence qu’à l’apparence des diagrammes et pas à leur signification<sup>53</sup> ; elles sont rédigées avec pré-cision, manifestement dans le but qu’elles puissent être suivies par quelqu’un qui n’aurait aucune notion de logique et ne saurait pas comment ces diagrammes sont censés être interprétés. John Macfarlane, dans son étude sur la formalité de la logique, nomme « formalité syntaxique <sup>54</sup> » ce sens du terme.

Il faut toutefois faire une distinction supplémentaire. La formalité de Shin est « hu-

<footnote n="53">53. Un problème particulier est posé par la relation de « contrepartie » (cf. section 7.2.b)) qui, dans le système original de Shin, associe certaines courbes de différents diagrammes (celles qui sont destinées à représenter le même ensemble, quoiqu’il n’y ait bien sûr pas besoin de faire référence à ce concept sémantique pour comprendre l’idée d’une relation entre courbes). La difficulté est que Shin considère cette relation comme faisant partie de la syntaxe de son système alors qu’elle n’est pas visible sur les diagrammes. On a donc besoin de quelque chose de plus que la simple apparence des diagrammes pour appliquer les règles correctement. Toutefois, ce problème n’est pas très profond. D’une part, cette relation relie des éléments visibles des diagrammes et ne fait donc pas entrer de concepts sémantiques par la petite porte. D’autre part, on pourrait la remplacer par l’usage de lettres-étiquettes directement visibles sur les diagrammes, comme le font en général les variantes ultérieures du système de Shin (Hammer 1995; Hammer et Danner 1996, Voir). Ce n’est donc pas une menace sérieuse pour la formalité du système.</footnote>

<footnote n="54">54. MacFarlane 2000, section 2.1. Il range cette notion de formalité dans la catégorie des « leurres » (« de-coys »), non parce qu’elle serait inutile ou incohérente, mais seulement parce qu’elle ne donne pas de critère de logicité : on peut avoir des systèmes « formels » (au sens syntaxique) destinés à capturer les mouvements autorisés aux échecs, par exemple, donc la formalité en ce sens est inutile pour délimiter la logique.</footnote>
maine » : l'important est qu'un être humain puisse comprendre et appliquer les règles sur la seule base de la forme des diagrammes. Or nous avons l'habitude d'exiger davantage de nos langages formels ; nous souhaitons qu'ils puissent être manipulés non seulement par un être humain ignorant tout de leur signification, mais aussi par une machine. Cette exigence est fréquemment interprétée à travers la théorie de la calculabilité, qui cherche à réduire toutes les opérations mécanisables à des transformations élémentaires de suites finies de symboles <fnref n="55" />. Les diagrammes posent alors un problème spécifique, puisque ce ne sont pas des suites de symboles et que leurs règles de manipulation reposent sur des opérations plus complexes que simplement reconnaître les instances d'un symbole ; dans le cas des diagrammes de Shin, il faut par exemple reconnaître les inclusions de régions. A priori, le critère de calculabilité mécanique ne leur est donc pas applicable. Le problème est qu'on y perd en précision : la formalité « humaine », contrairement à la calculabilité, ne se laisse pas délimiter rigoureusement.

Faut-il s'en tenir là, ou peut-on dire que les systèmes de Shin sont formels en un sens plus serré ? Dans son travail sur la géométrie d'Euclide, Nathaniel Miller propose une stratégie pour réconcilier diagrammes et critère de calculabilité, en prenant d'ailleurs les diagrammes de Venn-Peirce comme exemple :

> The simplest possible definition that we can adopt here is that a system is completely formal if it can be completely implemented on a computer. [...] [This] means that the objects manipulated by the formal system can be anything at all as long as they can be translated into finite objects that a computer can manipulate. In the case of Euclidean geometry, this means that our formal system can manipulate diagrams, as long as we have some way representing the diagrams as finite objects in a computer. [...] For example, a Venn diagram consists of a finite number of regions each of which can contain an *x*, an *o*<fnref n="56" />, both, or neither, and in which some of the *xs* can be connected to each other. If we know what is in each region and how they are connected, then we have all the information contained in the diagram. It is clear that we can capture all of this information in a finite array.<fnref n="57" />

<footnote n="55">55. Comme le souligne Dutilh Novaes 2012, chap. 1, il faut donc distinguer deux notions au sein de ce que Macfarlane appelle « formalité syntaxique » : la formalité comme « dé-sémantification » (c'est-à-dire que les manipulations se font sans référence au sens) et la formalité comme calculabilité.</footnote>

<footnote n="56">56. Miller fait ici référence aux symboles que Peirce utilise à la place des grisages; cf. p. 188 n. 19.</footnote>

<footnote n="57">57. « La définition la plus simple possible que nous puissions adopter ici est qu’un système est complètement formel s’il peut être complètement implémenté dans un ordinateur. [...] [Cela] veut dire que les objets manipulés par le système formel peuvent être absolument n’importe quoi, dès lors que l’on peut les traduire en objets finis qui peuvent être manipulés par un ordinateur. Dans le cas de la géométrie euclidienne, cela veut</footnote>
À vrai dire, les choses sont moins claires que ne l'affirme Miller. Certes, étant donné
un diagramme de Venn-Peirce, ce que Shin appelle sa « suite » (la liste de ses régions,
grisures et suites de croix, cf. sous-section précédente) en contient « toute l'information »
au sens où elle suffit à en définir la sémantique. Il est moins clair, en revanche, qu'elle lui
soit informationnellement équivalente en un sens plus strict comme celui de Simon : s'il y
a trois courbes ou moins, elle suffit certes à reconstruire, sinon le diagramme lui-même, du
moins un diagramme du même *type* ; mais au-delà de quatre courbes, comme nous l'avons
vu, il y a des différences topologiques qui peuvent jouer un rôle pour l'application des règles
et que pourtant la « suite » fait disparaître. Miller, sans doute, n'était pas conscient de cette
subtilité. Dans tous les cas, cela ne suffit pas à remettre en cause la légitimité générale de
son critère. Si l'on s'en tient aux diagrammes de moins de trois courbes qu'on utilise le
plus souvent, sa remarque est légitime : on peut remplacer les diagrammes par leurs suites
et formuler les règles de transformation au niveau des suites plutôt que des diagrammes
eux-mêmes.

La difficulté de fond, cependant, est différente. Si l'on s'intéresse au système diagram-
matique de départ, ce critère de formalité par traduction ne fait que déplacer le problème. Il
revient à dire qu'on peut juxtaposer au système diagrammatique de départ un système for-
mel au sens le plus classique du terme, constitué de suites de symboles et de règles définies
sur celles-ci. Mais le lien entre les diagrammes et leur traduction symbolique ne peut être
défini qu'informellement, ou plutôt selon le genre de formalité humaine qui caractérise le
système de Shin : pour traduire un diagramme de Venn-Peirce en sa suite, par exemple,
il faut l'inspecter, reconnaître des inclusions de régions, etc. En d'autres termes, pour re-
connaître la légitimité de la traduction symbolique proposée, il faut avoir exactement les
capacités humaines mal délimitées qu'on cherchait à éliminer de l'analyse. La calculabilité
permet de juger la formalité d'une reconstruction non diagrammatique du système de dé-
part, et non celle du système diagrammatique lui-même. Pour cela, il faut en rester à un
critère de formalité plus vague, qui se contente d'exiger que les manipulations ne fassent
référence qu'à l'apparence des diagrammes.

<footnote>dire que notre système formel peut manipuler des diagrammes, tant que nous avons une manière de repré-
senter les diagrammes comme des objets finis dans un ordinateur. [...] Un diagramme de Venn, par exemple,
consiste en un nombre fini de régions dont chacune peut contenir un *x*, un *o*, les deux, ou ni l'un ni l'autre,
et où certains des $x$s peuvent être reliés. Si nous savons ce qu'il y a dans chaque région et comment les
différents éléments sont reliés, alors nous avons toute l'information contenue dans le diagramme. Il est clair
que nous pouvons capturer toute cette information dans un tableau fini. » (Miller 2007, p. 13).</footnote>
7.5 Conclusion : diagrammes, formalisation et rigueur

Le travail de Shin montre que l’on peut étendre la sémantique en termes de modèles
au-delà des langages formels.

Le but principal de Shin, cependant, est plus large : elle veut montrer qu’on peut raisonner rigoureusement avec des diagrammes. À la suite de Barwise et Etchemendy ([1991] 1996b), elle cherche ainsi à contrer une « attitude négative envers les diagrammes 58 » de la part des logiciens et mathématiciens, qui cantonneraient les diagrammes à un rôle heuристique et rejetteraient leur emploi dans les preuves.

Mais réussit-elle ? Elle montre de manière convaincante qu’on peut raisonner sans risque d’erreur avec les diagrammes de Venn-Peirce. Cet argument convaincrait certainement un mathématicien qui rejetterait en bloc de ses preuves tout ce qui ne ressemble pas une suite de mots ou de symboles. Toutefois, il me semble que cette attitude est rare ; c’est d’ailleurs le reproche que Larvor (1996) adresse à Shin. On rencontre plus fréquemment une attitude sélective, qui emploie sans hésitation certaines sortes de diagrammes (diagrammes commutatifs en algèbre et théorie des catégories, par exemple, ou diagrammes de nœuds en topologie) et en traite d’autres avec davantage de méfiance (comme en géométrie et en analyse). Dans un tel contexte, le travail de Shin montre seulement que les diagrammes de Venn-Peirce sont à ranger parmi ceux qui sont sans danger. Ce qui pose ici problème, c’est la notion même de diagramme, qui n’est pas bien définie : peut-être est-il plus pertinent, précisément parce qu’on peut les utiliser de manière rigoureuse, de rapprocher les diagrammes de Venn-Peirce des formules que des diagrammes euclidiens. En l’absence d’une distinction claire entre représentations diagrammatiques et symboliques, le projet général de Shin perd son sens. C’est l’une des raisons pour lesquelles nos auteurs, à commencer par Barwise et Shin, chercheront par la suite à clarifier cette distinction. J’y reviendrai au chapitre 10.

<footnote n="58">58. Shin 1994, p. 1.</footnote>
<figure><img src="image_70.png" /></figure>
# Chapitre 8

## Les diagrammes comme texte : un cadre général

Une idée particulièrement importante est sous-jacente aux systèmes diagrammatiques du chapitre précédent : c'est celle de traiter les diagrammes, à égalité avec le texte, comme des représentations susceptibles d'avoir une sémantique et de permettre des inférences.

Sans doute l'idée n'est-elle pas neuve : Ken Manders et John Mumma, qui comme nous le verrons développent des idées apparentées<fnref n="1" />, invoquent respectivement le précédent de Leibniz<fnref n="2" /> et de Wittgenstein<fnref n="3" /> ; et l'on pourrait mentionner bien d'autres auteurs<fnref n="4" />.

<footnote n="1">1. Voir *infra*, section 8.2 ; concernant Manders, cf. aussi chapitre 12.</footnote>

<footnote n="2">2. Manders (1996, p. 391) renvoie à un dialogue de Leibniz de 1677 : « A. [...] si characteres abessent nunquam quicquam distincte cogitaremus, neque ratiocinaremur. B. At quando figuras Geometriae inspicimus saepe ex accurata earum meditatione veritates eruimus. A. Ita est, sed sciendum etiam has figuras habendas pro characteribus, neque enim circulus in charta descriptus verus est circulus, neque id opus est, sed sufficit eum a nobis pro circulo haberi. » (« A. [...] s'il n'y avait pas de caractères, nous ne penserions jamais rien distinctement, ni ne raisonnerions. B. Pourtant, quand nous inspectons les figures de la Géométrie, il arrive souvent que nous découvrions des vérités par une réflexion soigneuse sur elles. A. Certes, mais il faut savoir que ces figures aussi doivent être considérées comme des caractères ; en effet, le cercle tracé sur du papier n'est pas un vrai cercle et il n'est pas nécessaire qu'il le soit, mais il suffit que nous le tenions pour un cercle. », LPS, VII, p. 191 = LAA, VI.4, p. 23).</footnote>

<footnote n="3">3. Mumma (2006, p. 14) signale un passage d'un cours de Wittgenstein : « The figure of the Euclidean proof [of the constructibility of a regular pentagon] as used in mathematics is just as rigorous as writing—because it has nothing to do with whether it is drawn well or badly. The main difference between a proof by drawing lines and a proof in writing is that it doesn't matter how you draw lines, or whether the r's and l's and m's and e's are written well. » (« La figure de la preuve Euclidienne (de la constructibilité d'un pentagone régulier) telle qu'on l'utilise en mathématiques est tout aussi rigoureuse que l'écriture – parce qu'elle n'a rien à voir avec la question de savoir si elle est bien ou mal dessinée. La différence principale entre une preuve faite en dessinant des droites et une preuve faite en écrivant est que [dans le premier cas], la manière dont on dessine les droites n'a pas d'importance, [alors que dans le second cas] si on écrit bien les r et l et m et e n'a pas d'importance. », Wittgenstein 1976, p. 134, traduction libre pour clarifier le sens).</footnote>

<footnote n="4">4. Dans le cas des diagrammes logiques, nous avons recontré l'idée assez clairement chez Venn, lorsqu'il dit</footnote>
Cependant, généralisée et combinée avec une sémantique en termes de modèles, cette
idée permet d'avancer sur les problèmes qui guident ce travail. Elle fournit une première
manière de décrire précisément comment deux représentations qui, en un sens, « parlent de
la même chose » peuvent avoir un contenu différent, et offre un modèle pour comprendre
comment ce genre de différences représentationnelles peut permettre de progresser.

8.1 De Tarski's World à Hyperproof

Pour mieux comprendre l'idée de traiter les diagrammes comme du texte, revenons
tout d'abord en arrière. La première étape du projet de Barwise et Etchemendy sur le raï-
sonnement diagrammatique, avant les travaux de Shin, est le système *Hyperproof*, qu'ils
développent à partir de 1988 pour l'enseignement de la logique. Retracer leur cheminement
jusqu'à ce système permet de mieux comprendre l'important changement de perspective
qui les conduit à leur vision des diagrammes.

Au départ, Barwise et Etchemendy conçoivent en effet leurs diagrammes comme *ce
dont* parlent les énoncés de leur système logique, c'est-à-dire comme une sorte de séman-
tique. À l'issue de leur travail sur *Hyperproof*, ils y voient plutôt des représentations qui,
à l'instar des énoncés de la logique du premier ordre, servent à parler d'autre chose : le
diagramme n'est plus objet du discours, mais fait lui-même partie du discours ; il n'est plus
la sémantique, mais admet lui-même une sémantique.

a) *Tarski's World ou les diagrammes comme sémantique*

À l'origine d'*Hyperproof*<fnref n="5" />, il y a le logiciel *Tarski's World*, mis au point par Barwise et Etchemendy à Stanford à partir du milieu des années 1980. L'université de Stanford, située

<footnote>rechercher des diagrammes qui ne soient pas le reflet exact de certaines relations entre classes, mais expriment
la « connaissance imparfaite » que nous pouvons en avoir (cf. *supra*, p. 186) ; Peirce en comprenait parfaitement
les enjeux, jusqu'à mettre au point divers systèmes logiques tant symboliques que diagrammatiques pour
lesquels il formule des règles de transformation explicites. Dans un autre registre, le théoricien W. J. T. Mitchell
a pu écrire dans les années 1980 que « le lieu commun des travaux modernes sur les images est qu'elles doivent
être comprises comme une sorte de langage » (Mitchell 1986, p. 8), dans des domaines aussi différents que la
théorie de l'art, la critique littéraire et jusqu'à la philosophie analytique à travers l'œuvre de Nelson Goodman
(dans cette littérature, comme le suggère Mitchell, l'assimilation des images au texte répond souvent au souhait
de dévoiler, sous la transparence trompeuse des images, des dispositifs de représentation conventionnels voire
idéologiquement chargés). Du reste, ranger phrases et images dans la même catégorie n'est pas inhabituel non
plus dans le contexte intellectuel analytique et imprégné de cognivisme de Barwise et Etchemendy : comme
nous l'avons vu dans la première partie, c'est pour les sciences cognitives des années 70 et 80 une question
centrale que de savoir sous quelle forme le cerveau représente le monde, et un emploi très large du terme de
représentation est omniprésent dans ces travaux-là.</footnote>

<footnote n="5">5. Mon aperçu historique s'appuie essentiellement sur le récit rétrospectif de Barwise et Etchemendy 1998.</footnote>
en pleine « Silicon Valley » et étroitement associée à l'informatique naissante, employait
des logiciels d'enseignement de la logique depuis les années 1960. Développés sous l'im-
pulsion du philosophe Patrick Suppes, ceux-ci portaient sur les aspects syntaxiques de la
logique : application des règles d'inférences, construction de preuves. Le but de Tarski's
World était d'y ajouter un enseignement de concepts sémantiques comme la vérité dans
un modèle. Publié pour la première fois en 1987 et intégré depuis lors à plusieurs manuels
de logique <fnref n="6" />, ce logiciel reste populaire aux États-Unis. Aujourd'hui encore, il est régulièrement
mis à jour par l'ancienne équipe de recherche de Barwise et Etchemendy à Stanford <fnref n="7" />.

Tarski's World permet d'interagir avec un langage du premier ordre simple. Les struc-
tures d'interprétation de ce langage sont des « mondes » de 8 cases sur 8, faciles à repré-
senter diagrammatiquement (figure 8.1), dont chaque case peut être occupée par un objet
caractérisé par sa forme – tétraédrique, cubique ou dodécaédrique – et sa taille – petit,
moyen ou grand. Les objets représentés sur les diagramme peuvent en outre porter des éti-
quettes, qui permettent de spécifier l'interprétation de symboles de constante a, b, c, etc.
Le langage du premier ordre associé comprend divers prédicats et relations pour parler de
ces mondes, par exemple le prédicat unaire « x est un tétraèdre » ou les relation binaires
« x est à gauche de y », « x est plus grand que y ».

L'intérêt pédagogique du logiciel est qu'on peut y poser des exercices. Les plus simples
demandent aux étudiants de dire si un certain énoncé est vrai dans un monde affiché à
l'écran<fnref n="8" />, ou de construire un monde vérifiant ou falsifiant certains énoncés; le logiciel
permet de vérifier immédiatement les réponses. Des exercices plus sophistiqués permettent
d'apprendre à traduire des phrases de la langue naturelle en énoncés du premier ordre :
étant donné par exemple « tous les objets sont des cubes ou sont à côté d'un tétraèdre »,
le but du jeu est de trouver une traduction formelle ayant les mêmes valeurs de vérité
dans différents mondes, le logiciel permettant d'expérimenter. Le manuel de Tarski's World

<footnote n="6">6. D'abord testé à l'université de Stanford, le logiciel *Tarski's World* est diffusé en 1987 pour la première fois (Barwise et Etchemendy 1987a). Il est ensuite intégré aux éditions successives du manuel Barwise et Etchemendy 1990b, puis au manuel Barwise et Etchemendy 1999, qui reste régulièrement réédité et est utilisé dans de nombreuses universités américaines. À côté de ces manuels de logique, il existe aussi une version séparée du logiciel, qui n'est accompagnée que d'un petit livre explicatif (Barwise et Etchemendy 1991; Barker-Plummer, Barwise et Etchemendy 2008). On peut également acheter le logiciel seul.</footnote>

<footnote n="7">7. Il s'agit du « *Center for the Study of Language and Information* » (CSLI). John Etchemendy en est encore membre et supervise l'effort de développement des logiciels pédagogiques, quoique ses responsabilités administratives ne lui laissent guère le temps d'y travailler lui-même (il est « *Provost* », c'est-à-dire numéro 2, de l'université de Stanford depuis 2000).</footnote>

<footnote n="8">8. Si l'étudiant se trompe en déclarant vrai un énoncé qui est faux dans le monde présenté (par exemple),
le logiciel sait décomposer cet énoncé en composants de plus en plus simples, demandant à chaque fois à
l'étudiant s'ils sont vrais ou faux. C'est un genre de jeu, qui s'arrête lorsque l'erreur de l'étudiant lui devient
manifeste.</footnote>
<figure><img src="image_71.png" /><figcaption>FIGURE 8.1 – Capture d'écran de *Tarski's World* dans une version pour Macintosh des années 1990, d'après Barwise et Etchemendy (1998, p. 98)</figcaption></figure>

propose de nombreux exercices de ce genre.

À première vue, il n'y a là rien de révolutionnaire. On a d'un côté un langage du premier ordre, de l'autre ses modèles, ici représentés par des diagrammes affichés à l'écran. Le langage du premier ordre vise à modéliser le raisonnement sous forme d'inférences entre énoncés. Les diagrammes, de leur côté, tiennent lieu des modèles de ce langage. En plus de permettre l'enseignement de la sémantique, ils rendent donc possible de démontrer des résultats inaccessibles dans le langage associé, comme la cohérence de certains énoncés ou le fait qu'un énoncé ne découle pas de certains autres. Énoncés et diagrammes (c'est-à-dire modèles) jouent donc des rôles fondamentalement différents.

Mais certains exercices que posent Barwise et Etchemendy dans *Tarski's World* les conduisent à rejeter cette distinction nette entre énoncés et diagrammes. Outre les exercices déjà mentionnés, comme « cet énoncé est-il vrai de ce diagramme ? », le logiciel permet en effet aussi d'en poser d'autres, qui exigent un raisonnement plus complexe. Par exemple, étant donnée la figure 8.2, et sachant que « les cases voisines de b sont vides », « c n'est pas un cube et n'est pas de taille moyenne », « b est à l'arrière des deux tétraèdres » et « b est plus grand que c », pouvez-vous déterminer la forme de c ? Un raisonnement simple, qui s'appuie sur le diagramme, montre que b est le dodécaèdre au fond à droite, et que c ne peut être que l'un des deux petits dodécaèdres (fig. 8.3). On peut donc conclure que c
<figure><img src="image_72.png" /><figcaption>FIGURE 8.2 – Un monde de Tarski’s World dans lequel il faut identifier deux objets b et c (d’après Barwise et Etchemendy 1998, p. 99)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_73.png" /><figcaption>FIGURE 8.3 – Les deux identifications possibles de c (d’après Barwise et Etchemendy 1998, p. 101)</figcaption></figure>
est un dodécaèdre. Dans cet exercice, les diagrammes semblent jouer un rôle essentiel, non
pour prouver une propriété métathéorique comme la cohérence ou la non-conséquence,
mais au cours d'un raisonnement banal qui part de données et en déduit une conséquence.

Face à ce constat, deux réponses sont possibles. La première est de remplacer le dia-
gramme de départ par des énoncés (par exemple « il y a deux tétraèdres de taille moyenne, 5
dodécaèdres dont deux petits, trois moyens et un grand et deux cubes dont un moyen et un
grand, et rien d'autre ; l'un des tétraèdres moyens est derrière tous les autres objets ; etc. »),
et de maintenir que tout le raisonnement peut être capturé par des inférences entre énon-
cés. Barwise et Etchemendy rejettent cette solution, principalement parce qu'elle conduit
à des formalisations vraiment trop éloignées du raisonnement original. Ils avancent deux
arguments. Tout d'abord, « il faut faire beaucoup de choix arbitraires pour passer d'une
représentation visuelle à un ensemble d'énoncés plus ou moins équivalent <fnref n="9" /> », et pour cha-
cun de ces choix, « une mauvaise décision rendrait le problème insoluble, donc en pratique
la conversion vers la logique traditionnelle ne pourrait se faire qu'après que le problème a
été résolu <fnref n="10" /> ». En second lieu, les méthodes suivies en raisonnant sur le diagramme ne se
traduisent pas fidèlement :

> If you examine the steps in the above reasoning <fnref n="11" />, it becomes evident that
> the methods are quite different from those we usually teach in logic. They
> have a distinctly “semantic” character [...]. For example, you are as likely to
> break into cases based on atomic, negated or quantified sentences as you are
> on the basis of a disjunctive claim. As a consequence, attempts to represent the
> reasoning using sentences do not faithfully model the real character of the rea-
> soning. Simple proofs explode into proofs involving hundreds of steps, proofs
> in which the key steps in the original reasoning are obscured or obliterated. <fnref n="12" />

Barwise et Etchemendy choisissent donc une autre solution : ils mettent diagrammes et
énoncés sur le même plan, les considérant comme deux manières différentes de représenter

<footnote n="9">9. « [T]here are many arbitrary choices to be made in going from a a visual representation to a roughly equivalent set of sentences » (Barwise et Etchemendy 1998, p. 102).</footnote>

<footnote n="10">10. « In each case, the wrong decision would make the problem unsolvable, and so practically speaking, the conversion to traditional logic could only be accomplished *after* the problem had been solved. » (Barwise et Etchemendy 1998, p. 102; les auteurs soulignent).</footnote>

<footnote n="11">11. Ils parlent de la résolution d'exercices comme celui que j'ai présenté.</footnote>

<footnote n="12">12. « Si vous examinez les étapes du raisonnement précédent, il vous apparaîtra que les méthodes en sont bien différentes de celles que nous enseignons habituellement en logique. Elles ont un caractère nettement "sémantique" [...]. Par exemple, vous êtes tout aussi susceptible d'introduire des distinctions de cas sur la base d'énoncés atomiques, niés ou quantifiés que sur la base d'une assertion disjonctive. Il en découle que les tentatives de représenter le raisonnement en utilisant des phrases ne modélise pas fidèlement le véritable caractère du raisonnement. Des preuves simples explosent en preuves ayant des centaines d'étapes, dans lesquelles les étapes-clé du raisonnement original sont cachées ou éliminées. » (Barwise et Etchemendy 1998, p. 102).</footnote>
de l'information sur ce dont on veut parler (en l'occurence des mondes de 8 cases sur 8). Certes, on peut traduire les diagrammes en énoncés, mais, écrivent nos auteurs, « nous nous sommes aperçus qu'en fait, ces énoncés n'étaient que des *conséquences* du diagramme, et donc que l'inférence permettant de passer du diagramme aux énoncés était elle-même *affaire de logique*, qu'elle pouvait elle-même être valide ou invalide <fnref n="13" /> ». En d'autres termes, on n'a plus de distinction entre le raisonnement au sens strict, qui ferait l'objet de la logique et consisterait en inférences entre énoncés, et une éventuelle lecture du diagramme qui pourrait fournir des prémisses aux inférences. L'usage du diagramme devient une étape du raisonnement à part entière et peut être étudié avec les outils de la logique.

Dans cette perspective, diagrammes comme énoncés peuvent être munis d'une sémantique sous la forme d'un *ensemble* de modèles. À y bien regarder, le diagramme de départ de l'exercice ci-dessus (fig. 8.2), par exemple, ne suffit pas à déterminer un modèle unique. Pour fixer un modèle bien défini, il faudrait en effet spécifier l'interprétation de tous les symboles de constante, or ce diagramme ne dit pas quels blocs sont *b* et *c*. Il ne correspond donc pas à un modèle particulier, mais plutôt à un *ensemble* de modèles, comme c'est en général le cas des énoncés d'un langage du premier ordre.

Entre diagrammes et énoncés subsiste pourtant une différence importante. Même si l'on incorpore les diagrammes à la syntaxe, ils fonctionnent encore comme des modèles au sens où on peut les utiliser pour démontrer la *cohérence* ou la *non-conséquence* de certains ensembles d'énoncés. (On peut par exemple démontrer qu'un certain ensemble d'énoncés est cohérent en construisant un diagramme qui les vérifie tous, ou qu'un énoncé ne découle pas de certains autres en construisant un diagramme qui vérifie ces derniers mais pas leur conséquence présumée.) L'explication qu'en donnent Barwise et Etchemendy est qu'au contraire des énoncés, les diagrammes ont une relation privilégiée à leurs modèles, plus précisément un isomorphisme <fnref n="14" />. En fait, c'est cette relation privilégiée qui, entre autres, distinguerait le graphique du linguistique. Je reviendrai brièvement sur cette idée au chapitre 10.

b) Hyperproof ou la sémantique des diagrammes

Certains exercices posés aux étudiants dans le cadre de Tarski's World conduisent donc Barwise et Etchemendy à voir les diagrammes autrement, non plus comme de simples

<footnote n="13">13. « we realized that those sentences were in fact merely consequences of the diagram, and consequently that the inference from the diagram to the sentences was itself a matter of logic, could itself be valid or invalid. » (Barwise et Etchemendy 1998, p. 103; je souligne).</footnote>

<footnote n="14">14. Du moins en l'absence de symboles de constante, ou lorsque ceux-ci figurent tous sur le diagramme; sinon, il y a plusieurs modèles possibles.</footnote>
<figure><img src="image_74.png" /><figcaption>FIGURE 8.4 – Exemple de diagramme du système Hyperproof</figcaption></figure>

images des modèles mais comme des représentations qui elles-mêmes délimitent des ensembles de modèles :

> When thinking about reasoning and problem solving, a useful metaphor is that of exploration: to solve a reasoning problem, we explore a space of possible situations or worlds consistent with the initial information we are given. [...] Sentences, whether of English or first-order logic, partition this space of possibilities, dividing it up into fiefdoms with a multitude of overlapping claims. [...] Diagrams, like sentences, carry information: they carve up the same space of possibilities, though perhaps in very different ways.<fnref n="15" />

Dans le cas de Tarski's World, le diagramme détermine un modèle quasiment unique : il spécifie la forme, la taille et la position de tous les objets. La seule chose qui peut rester indéterminée, comme nous l'avons vu, est l'interprétation d'éventuels symboles de constante, et cela uniquement dans le contexte très particulier de certains exercices de raisonnement. Pourtant, une fois qu'on traite le diagramme non comme un modèle, mais comme une représentation munie de modèles, rien n'empêche d'utiliser des diagrammes beaucoup plus incomplets.

C'est en tirant les conséquences de cette idée que Barwise et Etchemendy sont conduits à Hyperproof. Dans ce nouveau système, les diagrammes ne donnent plus qu'une information très partielle sur leurs modèles. Comme l'écrivent Barwise et Etchemendy,

> Tarski's World only allows you to construct 'complete' or 'total' worlds <fnref n="16" />,

<footnote n="15">15. « Lorsque l'on réfléchit au raisonnement et à la résolution de problèmes, la métaphore de l'exploration est utile : résoudre un problème de raisonnement, c'est explorer un espace de situations ou mondes possibles cohérents avec les informations initialement données. [...] Les phrases, qu'elles soient en anglais ou en logique du premier ordre, partitionnent cet espace de possibilités, le divisant en fiefs dont les revendications territoriales se chevauchent. [...] Les diagrammes, comme les phrases, portent de l'information : ils découpent le même espace de possibilités, quoique peut-être de manière différente. » (Barwise et Etchemendy 1998, p. 109).</footnote>

<footnote n="16">16. Il y a une exception : les exercices de raisonnement comme celui que j'ai présenté dans la section précédente, qui sont en fait posés aux étudiants en-dehors du logiciel.</footnote>
worlds in which every object has a particular size, shape, and location, and
in which all the names in use are assigned to specific objects.

In Hyperproof you reason about complete worlds, but the pictorial informa-
tion you are given about the worlds is, in general, only partial. For example,
you may know that there is an object located at a certain point on the grid,
but not know the size or shape of that object. Or you may know the size and
shape of an object, but not know where on the grid it is located.<fnref n="17" />

La fig. 8.4 fait voir les différentes manières dont les diagrammes d'*Hyperproof* peuvent représenter de l'incertitude. Le cylindre marqué d'un point d'interrogation est un objet dont on ignore la taille et la forme ; le cylindre marqué d'un triangle est un tétraèdre dont on ignore la taille ; le sac de petite taille est un objet de petite taille dont on ignore la forme ; le tétraèdre qui se trouve en-dehors de la grille est un objet dont on connaît forme et taille, mais dont on ignore la position.

Dans *Hyperproof*, les diagrammes font ainsi partie de la syntaxe du système et ont pour sémantique des ensembles de modèles, comme les énoncés du langage du premier ordre associé. Comme dans *Tarski's World*, les diagrammes gardent néanmoins une relation suffisamment étroite avec les modèles pour qu'on puisse les utiliser pour démontrer qu'un certain ensemble d'énoncés est cohérent.

Cette position ambiguë des diagrammes, intégrés à la syntaxe mais néanmoins plus
proches des modèles que les énoncés, a une conséquence importante. Dans les présen-
tations habituelles de la logique du premier ordre, il y a une asymétrie entre prouver
qu'une conclusion découle de certaines hypothèses (ce qui peut se faire syntaxiquement,
en construisant une preuve) et prouver que certaines hypothèses sont cohérentes (ce qui
se fait sémantiquement, en construisant un modèle <fnref n="18" />). Dans *Hyperproof*, au contraire, les
deux sortes de raisonnement sont sur le même plan. Les exercices posés au sein du système
peuvent ainsi avoir les formes les plus diverses <fnref n="19" /> : démontrer un énoncé donné à partir de

<footnote n="17">17. « *Tarski's World* ne permet de construire que des mondes “complets” ou “totaux”, c’est-à-dire des mondes dans lesquels la taille, la forme et la position de chaque objet sont déterminés et dans lesquels tous les noms utilisés sont assignés à des objets particuliers. Dans *Hyperproof*, le raisonnement porte encore sur des mondes complets, mais l’information graphique donnée sur ces mondes n’est en général que partielle. Ainsi, on peut savoir qu’il y a un objet à une certaine position sur la grille, mais ne pas connaître sa taille ou sa forme. Ou alors, on peut connaître la forme et la taille d’un objet mais ne pas savoir où il se trouve sur la grille. » (Barwise et Etchemendy 1994, p. 4).</footnote>

<footnote n="18">18. Cette remarque ne concerne que les présentations habituelles de la logique du premier ordre dans les manuels. En se donnant une machinerie adaptée, rien n'empêche de démontrer (syntaxiquement) dans un système du premier ordre que certains ensembles d'énoncés de ce système formel lui-même sont cohérents; cette possibilité n'a rien à voir avec les diagrammes.</footnote>

<footnote n="19">19. Une liste récapitulative des énoncés possibles est donnée en appendice du livre qui accompagne le lociciel : Barwise et Etchemendy 1994, app. 2, p. 239–243.</footnote>
certaines prémisses, montrer qu’un énoncé donné ne découle pas de certaines prémisses, montrer qu’un ensemble d’énoncés est cohérent ou contradictoire, déterminer la forme ou la taille d’un objet, déterminer la référence d’un symbole de constante comme « *a* », etc.

Par ailleurs, *Hyperproof* est pleinement hétérogène : il permet d'utiliser les diagrammes au cours du raisonnement. Comme le système de Hammer pour les diagrammes de Venn-Peirce discuté plus haut <fnref n="20" />, il admet en effet des règles d'inférence mélangeant diagrammes et énoncés. Une règle *Observer* permet ainsi de déduire un énoncé d'un diagramme, et une règle *Appliquer* d'enrichir un diagramme d'après un énoncé (si le diagramme comporte un sac *c*, c'est-à-dire un objet de forme indéterminée, l'énoncé « *c* est un tétraèdre » permet par exemple de remplacer ce sac par un tétraèdre de même taille). Ces règles sont spécifiées par des algorithmes : contrairement aux diagrammes de Venn-Peirce, les diagrammes dans *Hyperproof* se présentent en effet d'emblée comme des objets discrets, faciles à représenter par des suites de symboles et donc sur lesquels on peut sans problème définir des algorithmes au sens habituel.

## 8.2 Généralisation : les figures géométriques

L'idée de Barwise et Etchemendy est donc d'assimiler leurs diagrammes au texte. Il en découle deux conséquences importantes. D'une part, cela introduit une distance entre le diagramme et les objets du discours : le diagramme peut ne pas refléter exactement une configuration particulière d'objets, et ne donner que des informations partielles. Les diagrammes d'*Hyperproof*, par exemple, ne suffisent pas à déterminer un monde de blocs particulier mais ne font que restreindre les mondes possibles. D'autre part, cela conduit le chercheur à prêter une attention systématique aux transformations des diagrammes et aux transitions entre diagramme et texte, en les considérant toutes comme des inférences susceptibles d'être codifiées comme le sont les inférences entre énoncés.

Tout l'intérêt de ce changement de perspective apparaît quand on passe à des cas moins simples que celui d'*Hyperproof* ou des diagrammes de Venn. L'exemple des figures géométriques est particulièrement éclairant et a suscité une littérature assez abondante, qui commence elle aussi chez nos auteurs et dont il faut d'abord dire quelques mots. Les figures utilisées en géométrie élémentaire étant paradigmatiques de l'usage de diagrammes ou figures en mathématiques (et, depuis la fin du XIXe siècle, de leur usage répréhensible) Barwise et Etchemendy cherchent rapidement à s'y attaquer. Une étudiante de Barwise,

<footnote n="20">20. Cf. section 7.3.</footnote>
Isabel Luengo, rédige sa thèse sur la question quelques années après Shin 21. Il s'avère cependant que le problème est plus difficile que celui des diagrammes de Venn et que, pour des raisons fondamentales, le système de Luengo est incohérent 22. À la même époque, Ken Manders (qui a certainement connaissance du regain d'intérêt pour le raisonnement diagrammatique en général, et des travaux de Barwise et Etchemendy en particulier 23) écrit un texte non formel sur le rôle des figures dans la géométrie plane d'Euclide 24. Plusieurs autres systèmes formels portant spécifiquement sur les premiers livres des Éléments d'Euclide voient le jour dans les années qui suivent 25 : celui de Miller (2001, 2007), dont le point de départ est le travail de Barwise, Etchemendy et Luengo ; celui de Mumma (2006, 2010), qui s'inspire plutôt des idées de Manders ; et celui d'Avigad, Dean et Mumma (2009), dérivé du précédent.

Examinons donc l'effet du changement de perspective de nos auteurs dans ce cas. Traditionnellement, on considère que les figures de la géométrie élémentaire exhibent les objets dont parlent les énoncés 26. Certes, ils n'en sont qu'un reflet imparfait : nos traits sont épais, nos cercles ne sont pas exactement circulaires et nos droites, pas vraiment droites. Il n'en reste pas moins qu'à condition de ne pas se laisser tromper par ces imperfections, on peut considérer que notre dessin de triangle nous donne un accès fiable à un certain triangle idéal sur lequel on peut raisonner. Deux problèmes philosophiques principaux se posent alors : celui de la généralité et celui de la nature des objets géométriques. Comment puis-je démontrer un théorème général valable pour tous les triangles à partir d'une figure particulière, qui exhibe un triangle particulier possédant des propriétés que tous les triangles ne partagent pas ? Et quelle est la nature de ces triangles idéaux que mes figures sont censées refléter imparfaitement ?

Mettre figures et énoncés sur le même plan conduit à des questions toutes différentes. Le double effet du changement de perspective opéré par nos auteurs est ici très clair. Tout

<footnote n="21">21. Voir Luengo 1995, 1996. (Comme Shin, elle se place pour simplifier dans un cadre purement diagrammatique, le but ultime restant un système hétérogène.)</footnote>

<footnote n="22">22. Voir Miller 2007, appendice C.</footnote>

<footnote n="23">23. Manders connaissait les travaux de Barwise, Etchemendy et leurs élèves. En fait, il développe une critique générale de la sémantique des situations (qui est l'un des points de départ du projet de nos auteurs sur le raisonnement diagrammatique, voir prochain chapitre) à l'époque où il écrit son article sur les diagrammes chez Euclide (voir Manders 1996).</footnote>

<footnote n="24">24. Voir en particulier Manders 2008b. (En substance, cet article date de 1995; il a longtemps circulé informellement avant d'être publié.) L'article Manders 1996 contient une discussion plus brève des mêmes idées.</footnote>

<footnote n="25">25. Pour une comparaison des approches assez différentes de Miller et de Mumma, voir Mumma 2008, Miller 2012 ainsi que Manders 2008a, en part. p. 70-71. Il faut noter que comme le montre Miller 2012, le système de Mumma est incohérent sous sa forme originale. Mumma en prépare une version corrigée, non encore publiée; voir déjà Mumma 2014.</footnote>

<footnote n="26">26. Pour une analyse plus poussée, voir infra, section 12.1.a)</footnote>
d'abord, la distance nouvellement introduite entre la représentation et son contenu a pour
conséquence qu'on peut facilement interpréter un figure de triangle, non plus comme le
reflet imparfait d'un triangle idéal particulier, mais comme la représentation simultanée de
toute une famille de configurations triangulaires. John Mumma, l'un des auteurs qui ont
récemment tenté de formaliser l'usage des figures dans les premiers livres des Éléments
d'Euclide, écrit ainsi :

> Once it is understood how the diagrams function as proof symbols, any particular diagram can comprise a general mathematical claim.<fnref n="27" />

D'autre part, l'attention se porte alors sur les transitions entre figures et énoncés, désormais
conçues comme des inférences. Il devient central de savoir ce qu'on a le droit d'observer
sur une figure, c'est-à-dire quels énoncés on peut en inférer.

La perspective de Barwise et Etchemendy conduit alors à formaliser l'usage de figures
géométriques au moyen de règles syntaxiques hétérogènes. Les constructions d'une figure *ab initio* correspondraient par exemple à des règles ayant pour prémisses des énoncés et pour conclusion une figure. Les constructions sur une figure déjà existante correspondraient à des règles ayant pour prémisses à la fois une figure et des énoncés, et pour conclusion une figure. Les inférences faites sur la base d'une figure, quant à elles, correspondraient à des règles ayant pour prémisse une figure et pour conclusion un énoncé. Le programme est clair, quoique difficile à mettre en œuvre.

L'idée générale dépasse cependant le cadre étroit de la perspective syntaxico-sémantique
de Barwise et Etchemendy. Ken Manders, dans son travail sur les figures dans la géométrie
d'Euclide, accomplit un geste similaire (c'est en fait de Manders que s'inspire John Mumma,
cité plus haut) :

> I treat diagrams as *textual* components of a traditional geometrical text or argument, rather than semantic counterparts.<fnref n="28" />

Pour lui aussi, la figure n'est donc pas ce dont parle le texte (une « contrepartie sémantique ») mais est sur le même plan que le texte ; l'important est alors d'étudier systématiquement les inférences qu'elle permet. La convergence, il est vrai, s'arrête là. Dans une perspective à la Barwise et Etchemendy, figures comme énoncés portent de l'information sur un domaine commun, et c'est cette sémantique commune qui fonde toutes nos inférences, c'est-à-dire à la fois le passage de certains énoncés à d'autres et le passage d'un

<footnote n="27">27. « Dès lors que l'on comprend comment les figures fonctionnent en tant que symboles de preuves, n'importe quelle figure particulière peut englober une affirmation mathématique générale » (Mumma 2010, p. 267).</footnote>

<footnote n="28">28. « Je traite les diagrammes comme des composants *textuels* des textes ou arguments géométriques traditionnels, plutôt que comme des contreparties sémantiques. » (Manders 1996, p. 391). Sa position est la même dans l'article plus connu Manders 2008b.</footnote>
figure à un énoncé ou inversement. Manders, en revanche, cherche à se dispenser de toute référence à une quelconque sémantique et tente de décrire la pratique euclidienne comme un jeu à deux supports – textes et diagrammes – sans donner à ces supports de signification extérieure. J’y reviendrai plus en détail dans la dernière partie <fnref n="29" />.

## 8.3 Conclusion : comparer des représentations différentes

Les exemples des diagrammes de Venn et d'*Hyperproof* montrent ainsi comment on peut appliquer en pratique le slogan de Barwise et Etchemendy selon lequel diagrammes comme énoncés sont des « représentations » qui portent de l’« information ». On peut alors comparer des représentations de différentes sortes (par exemple des énoncés et des diagrammes) au moyen de leur sémantique commune; on peut par exemple donner un sens précis à l'idée qu'un certain diagramme et une certaine liste d'énoncés ont « le même contenu » ou portent « les mêmes informations ». On peut imaginer analyser ainsi les avancées systématiques de certaines formes de représentation par rapport à d'autres : on peut imaginer qu'elles redécoupent de manière plus efficace le même espace de modèles possibles.

Toutefois, concernant le travail de Barwise et Etchemendy, ces exemples peuvent donner une impression trompeuse : identifier l’« information » que porte une représentation à un ensemble de modèles leur pose de nombreux problèmes, et ils cherchent à faire autrement. C’est ce que nous verrons au prochain chapitre.

<footnote n="29">29. Voir section 12.1.</footnote>
<figure><img src="image_75.png" /></figure>
# Chapitre 9

## Le contenu d'information, une
nouvelle sémantique ?

Pour Barwise et Etchemendy, diagrammes comme énoncés sont fondamentalement des
porteurs d'information. Mais que faut-il entendre ici par information ? En pratique, comme
nous l'avons vu, nos auteurs associent à leurs diagrammes des ensembles de modèles. Ils
ont pourtant des objections de fond vis-à-vis de cette approche et conçoivent l'information
tout autrement, reprenant en cela des idées de la « sémantique des situations », une théorie
de la sémantique des langues naturelles mise au point par Barwise en collaboration avec
John Perry dans la décennie qui précède. Sur la base de ces idées, ils tentent de développer
une nouvelle sémantique pour l'étude des diagrammes et plus généralement de l'inférence
hétérogène (Barwise et Etchemendy 1990a).

Shin, par exemple, adopte cette nouvelle approche dans son premier article sur les dia-
grammes de Venn <fnref n="1" />. Elle y définit le « contenu <fnref n="2" /> » du diagramme 9.1 non pas comme l'en-
semble de ses interprétations possibles, mais comme un ensemble de « faits représentés »,
à savoir que les régions A et B représentent des ensembles, que l'ensemble représenté par
A est vide et que l'ensemble représenté par B est non vide. Empruntant notations et termi-
nologie à la sémantique des situations et à Barwise et Etchemendy (1990a), Shin modélise

<footnote n="1">1. Shin [1991] 1996, en part. p. 94-97.</footnote>

<footnote n="2">2. « [T]he content of a wfd [well-formed diagram] D, Cont(D), is defined as the set of the represented facts. [...] [O]ur definition of the content of a wfd tells us the information that the diagram conveys. » (« Le contenu d'un dbf [diagramme bien formé] D, Cont(D), est défini comme l'ensemble des faits représentés [...] notre définition du contenu d'un DBF nous dit quelle est l'information que le diagramme transmet. » Shin [1991] 1996, p. 97.)</footnote>
<figure><img src="image_76.png" /><figcaption>FIGURE 9.1 – Exemple de diagramme de Shin-Venn</figcaption></figure>

ces faits par des « infons », ou unités d'information, qu'elle note comme ceci :

«Set, f(A); 1», «Set, f(B); 1», «Empty, f(A); 1», «Empty, f(B); 0»

(où f(A), f(B) désignent les objets représentés par les régions A et B respectivement). À première vue et malgré ces notations déroutantes, tout semble donc se passer comme si nos auteurs identifiaient l'information portée par un diagramme à un ensemble de propositions, ce qui mérite d'être clarifié.

Le but de ce chapitre est d'exposer cette sémantique exotique et surtout d'en comprendre les motivations, ce qui exigera, au passage, un examen sommaire de la sémantique des situations de Barwise et Perry. Il est vrai que l'approche précise de Barwise et Etchemendy (1990a) a ensuite été abandonnée, même par nos auteurs. Cependant, certaines idées en ont été reprises dans des théories ultérieures de l'information développées par Barwise, et, par ce biais, ont servi de base à d'intéressants travaux sur le raisonnement diagrammatique, ceux d'Atsushi Shimojima, auxquels est consacré le prochain chapitre. Plus profondément, l'intérêt d'étudier le cheminement de Barwise et Etchemendy est qu'il met bien en évidence les difficultés inhérentes à toute modélisation du raisonnement diagrammatique qui ne laisse pas de place au raisonnement explicite sur le sens ou sur les conventions de représentation des diagrammes.

## 9.1 Pourquoi une nouvelle sémantique ?

Le travail de Barwise et Etchemendy (1990a) sur les diagrammes s'inscrit dans le cadre de la sémantique des situations de Barwise et Perry 3. Cette théorie a pour but de clarifier

<footnote n="3">3. Jon Barwise et John Perry commencent à travailler à cette nouvelle approche à la fin des années 70 (pour quelques éléments sur la genèse de leur projet, voir Barwise et Perry 1983, p. xiv-xxii), et publient leurs idées sous forme d'articles (Barwise et Perry 1980, 1981b), puis du livre Barwise et Perry 1983 (cf. aussi Devlin 2004 pour une bibliographie complète des travaux de Barwise en sémantique). La sémantique des situations se développe ensuite dans plusieurs directions. Certains travaux portent sur la logique, les fondements de la sémantique et la nature de l'information (Barwise 1989; Barwise et Etchemendy 1987b; Devlin 1991; Israel et</footnote>
les notions de signification et d'information, en particulier telles qu'elles s'appliquent à la langue naturelle. Sur de nombreux plans, elle rompt radicalement avec les sémantiques des mondes possibles en vogue dans les années 1970, et aura un impact important sur la recherche ultérieure en sémantique des langues naturelles, en particulier par sa prise en compte massive du contexte d'énonciation.

Plutôt que de résumer en toute généralité les multiples motivations de la sémantique des situations, je voudrais ici me concentrer sur un parti pris de Barwise et Perry qui, à mon sens, joue pour l'étude des diagrammes un rôle crucial : pour eux, la signification est une chose accessible aux utilisateurs de la langue, sur laquelle ceux-ci peuvent raisonner. Ce parti pris rend inadéquates, comme théories de la signification, non seulement la sémantique telle qu'utilisée en logique, mais aussi ses dérivés pour les langues naturelles que sont les sémantiques des mondes possibles (section a). Cette critique générale qu'adressent Barwise et Perry aux sémantiques en termes de modèles trouve une résolution toute particulière dans le cas des diagrammes, parce que l'usage des diagrammes suggère assez naturellement l'idée d'un raisonnement au niveau de l'information plutôt que de la syntaxe (section b). Barwise et Etchemendy (1990a) motivent leur travail en écrivant que la sémantique usuelle a été conçue uniquement pour les langages formels et n'est donc pas assez générale pour les systèmes hétérogènes ; cette idée prend un sens plus clair dans le cadre de ce projet général d'un raisonnement au niveau de l'information (section c).

## a) La sémantique des situations : information contre mondes possibles

Pour Barwise et Perry, la signification d'un énoncé et l'information qu'il porte sont des choses auxquelles les utilisateurs de la langue ont accès et sur lesquelles ceux-ci peuvent

<footnote>Perry 1990), tandis que d'autres utilisent ces nouveaux outils pour l'étude de divers aspects de la sémantique des langues naturelles (R. Cooper et Poesio 1994; Gawron et Peters 1990; Ginzburg et Sag 2000). Pour se faire une idée de la diversité des travaux liés à la sémantique des situations, on pourra consulter les recueils Aczel, Israel, Katagiri et Peters 1993; Barwise, Gawron, Plotkin et Tutiya 1991; R. Cooper, Kuniaki et Perry 1990. Stojanovic 2012 dresse une présentation générale utile de l'approche de Barwise et Perry en insistant sur ses motivations philosophiques. Ginzburg 2011b est également une introduction très claire, qui s'adresse toutefois plutôt à des linguistes et suppose une certaine familiarité avec la sémantique contemporaine. Enfin, Devlin 2006 donne, d'un point de vue interne à cette tradition, une présentation synthétique des fondements techniques de la théorie sous sa forme aboutie des années 1990.</footnote>

<footnote>S'il n'y a plus guère de chercheurs qui travaillent encore dans le cadre original de Barwise et Perry, nombreuses sont leurs idées qui ont été intégrées à la sémantique et à la pragmatique contemporaines. Pour s'en faire une idée, on pourra consulter Ginzburg 2011b, axé sur des applications de leurs idées à l'étude du dialogue, et Kratzer 2014, qui passe en revue les avantages, en sémantique, d'employer des situations (ou portions de mondes) plutôt que des mondes possibles complets.</footnote>
raisonner 4. Ce desideratum sur les théories de la signification ne va pas de soi : de nombreux auteurs comprennent autrement le but principal de la sémantique.

Pour bien saisir ces divergences, il est utile de revenir à Frege. Celui-ci 5 distingue la référence (« Bedeutung 6 ») d'une expression, qui est un objet ou une propriété du monde, de son sens (« *Sinn* »), qui est la manière dont cette référence est donnée au locuteur. Le sens, écrit Frege, est saisi 7 par les locuteurs de la langue, mais ceux-ci n'ont qu'un accès partiel à la référence : on peut comprendre les expressions « le point d'intersection des droites a et b » et « le point d'intersection des droites b et c », c'est-à-dire en saisir le sens, sans savoir si elles ont la même référence. Entre ces deux pôles du sens et de la référence, où situer la notion intuitive de « signification », qui doit faire l'objet de la sémantique ? La question est certes terminologique, mais cache aussi des enjeux techniques et conceptuels, comme nous allons le voir.

Une première possibilité est de comprendre la notion intuitive de signification comme le fait Michael Dummett, qui dans son commentaire de Frege écrit que le but d'une théorie de la signification doit être de rendre compte « de ce qu'une personne sait quand elle sait ce que signifie un mot ou une expression, c'est-à-dire quand elle le comprend 8 ». Selon cette interprétation du terme, le sens (« *Sinn* ») de Frege fait partie de la signification, mais *pas la référence*, puisque comme nous l'avons dit on peut comprendre parfaitement une expression sans en connaître la référence. Cet usage du terme de signification est assez fréquent aujourd'hui en philosophie analytique, où il est usuel de considérer que la tâche d'une théorie de la signification est d'assigner aux expressions linguistiques un « contenu sémantique » qui joue un rôle analogue au « *Sinn* » de Frege en ce qu'il est distinct de la référence mais la détermine 9.

Toutefois, de nombreux auteurs emploient les termes de signification et de sémantique

<footnote n="4">4. Dans son article d'introduction, Ginzburg 2011b, p. 854-855 voit dans ce parti pris, qu'il appelle « réification du sens », l'une des innovations principales de leur théorie : « Meaning reification : the reification of meanings as entities on which humans reason (rather than as metatheoretical entities, as standard in logic). »</footnote>

<footnote n="5">5. Frege 1892. Pour un commentaire approfondi, voir Dummett 1973, chap. 5-6.</footnote>

<footnote n="6">6. Contrairement à Claude Imbert (voir Claude Imbert 1971, p. 15), je ne traduirai pas « Bedeutung » par « dénotation » mais par « référence », de manière à pouvoir, sans créer de confusion, utiliser le même terme aussi pour sa traduction anglaise usuelle « reference ».</footnote>

<footnote n="7">7. Le verbe allemand qui apparaît chez Frege est « erfassen » : « Der Sinn eines Eigennamens wird von jedem erfaßt, der die Sprache oder das Ganze von Bezeichnungen hinreichend kennt, der er angehört; damit ist die Bedeutung aber, falls sie vorhanden ist, doch immer nur einseitig beleuchtet. » (Frege 1892, p. 27; je souligne.)</footnote>

<footnote n="8">8. « What we have to give an account of is what a person knows when he knows what a word or expression means, that is, when he understands it » (Dummett 1973, p. 92).</footnote>

<footnote n="9">9. Voir par ex. Speaks 2014, ou encore l'introduction à la philosophie du langage, largement diffusée, de Soames 2010, sections 1.11-1.12, qui assimile sans autre forme de procès signification (« meaning ») et « *Sinn* » fregéen.</footnote>
en un sens plus large, qui inclut aussi la référence. (Pour lever l'ambiguïté, je distinguerai ici entre signification ou sémantique *au sens strict*, qui exclut la référence, et *au sens large*.)
En fait, lorsque le terme de sémantique commence à se diffuser dans les années 1930, il recouvre tout ce qui concerne le lien entre expressions et objets, donc aussi et même surtout les notions de référence et de vérité : la question centrale est alors celle de savoir à quels objets du monde renvoient nos mots. C'est en particulier l'usage qu'en fait Alfred Tarski <fnref n="10" />, dont la terminologie est devenue usuelle en logique.

Il importe donc de souligner que ce qu'on appelle sémantique en logique (à la suite de Tarski) n'est pas une théorie de la signification au sens strict. Un système logique vise à modéliser une certaine forme de raisonnement en codifiant des règles d'inférence. La sémantique d'un système logique consiste alors en deux choses. La première est ce qu'on pourrait appeler une théorie de la référence pour les énoncés du langage étudié : on explique comment les références des expressions complexes (y compris les valeurs de vérité des énoncés) dépendent des références de leurs composants. La seconde est ce qu'on pourrait appeler une théorie des références possibles : on fait un modèle mathématique (d'habitude ensembliste) de toutes les références imaginables des expressions de notre langage <fnref n="11" />. Cette théorie des références possibles permet alors d'évaluer la validité des règles d'inférences, en examinant si elles préservent bien la vérité *quelles que soient les références choisies* pour les composants des énoncés considérés. Vis-à-vis de notre problème, deux

<footnote n="10">10. Tarski écrit ainsi : « Nous entendons par sémantique l'ensemble des études qui traitent des concepts qui, en gros, expriment certaines relations entre les expressions d'un langage et les objets et états de choses auxquels ces expressions se réfèrent. Comme exemples typiques de concepts sémantiques, nous pouvons mentionner les concepts de désignation, de satisfaction et de définition [...]. Le concept de vérité également [...] doit être considéré comme un concept sémantique » (Tarski 1936a, p. 1, trad. fr. Tarski 1972-1974, vol. 2, p. 133 ; voir aussi Tarski [1933] 1935, 1936b). Tarski emprunte sans doute le terme à Charles Morris, qui a introduit la terminologie aujourd'hui courante d'une tripartition syntaxe, sémantique, pragmatique. Celui-ci écrit : « L'analyse révèle que les signes linguistiques entretiennent trois types de relations (à d'autres signes de la langue, à des objets signifiés, à des personnes qui les utilisent et comprennent) qui définissent trois dimensions de la signification [meaning]. Ces dimensions, à leur tour, sont les objets d'investigation pour la syntaxe, la sémantique et la pragmatique [...] » (Morris 1937, p. 4). À son tour, Carnap reprend cette terminologie, qu'il attribue à Tarski et à Morris (Carnap 1936-1937, p. 2, n. 2 : « Notre problème de la signification appartient au domaine que Tarski appelle Sémantique ; c'est la théorie des relations entre les expressions d'une langue et les choses, propriétés, faits etc. décrits dans cette langue » ; pour la référence à Morris, voir par exemple Carnap 1942, §4.)</footnote>

<footnote n="11">11. Etchemendy 1990 insiste sur la différence entre deux manières de comprendre cette seconde étape. On peut tout d'abord considérer que les modèles correspondent à des états possibles du monde. En faisant varier la référence du mot *vert* d'un modèle à l'autre, on fait alors varier quels objets sont verts : dans un monde possible voisin du nôtre, il se pourrait par exemple que les pêches soient vertes. On peut au contraire considérer que les modèles correspondent à des interprétations des termes non logiques du langage, en laissant le monde fixé. Le mot *vert* pourra alors correspondre, dans certains modèles, à l'ensemble des objets triangulaires ou à n'importe quoi d'autre. Le but d'Etchemendy, qui s'intéresse à l'analyse tarskienne de la conséquence logique, est de montrer que celle-ci est fondée sur une confusion entre ces deux interprétations (sur ce point, voir Sher 1996). Pour la question qui nous occupe, cependant, cette distinction peut être ignorée.</footnote>
conclusions s'imposent alors. Non seulement la sémantique ainsi comprise n'a pas pour
ambition de capturer la signification au sens strict, mais elle joue même un rôle explicite-
ment méta-théorique : elle ne sert pas à modéliser le raisonnement – tâche qui revient aux
règles d'inférence –, elle sert plutôt à en évaluer la validité de l'extérieur. On est donc très
loin d'une conception de la signification comme quelque chose sur quoi les agents peuvent
raisonner.

Derrière ce problème terminologique sur ce qu'on entend par « sémantique » se cache néanmoins un problème plus profond : de nombreux auteurs, à partir de Carnap (1947), ont tenté d'utiliser des outils issus de la sémantique tarskienne pour modéliser quelque chose d'apparenté au « *Sinn* » fregéen, c'est-à-dire à la signification au sens strict. Les approches de ce genre, enrichies par les travaux de Hintikka et Kripke sur la sémantique des modalités et généralisées de manière décisive par le logicien Richard Montague 12, ont permis de grandes avancées : ils ont fourni une théorie systématique et souvent convaincante liant la signification de phrases complexes de la langue naturelle à celle de leurs constituants, et expliquant quelles inférences entre phrases sont valides. La tradition sémantique qui en est issue peut être appelée, de manière plus ou moins vague et selon l'extension qu'on lui donne, sémantique de Montague, sémantique des mondes possibles ou sémantique modéle-théorique 13. Pourtant, comme nous allons le voir, si le but est une théorie de la signification au sens strict, les outils mathématiques que ces approches utilisent sont inadaptés ou du moins insuffisants.

L'idée de départ de toute cette tradition, idée qui fonde le lien entre signification au
sens strict et sémantique tarskienne, est que le sens d'un énoncé n'est rien d'autre que ses
conditions de vérité <fnref n="14" />. Selon ce point de vue, connaître le sens d'un énoncé, c'est connaître
sa valeur de vérité dans toutes les circonstances possibles. C'est ainsi que Carnap (1947)
remplace le *Sinn* de Frege par ce qu'il appelle l'intension : schématiquement, l'intension
d'une expression est une fonction associant à chaque monde possible la référence, dans ce
monde, de cette expression <fnref n="15" />. En particulier, comme Carnap conserve la thèse fregéenne

<footnote n="12">12. Richard Montague, un élève d'Alfred Tarski, est connu pour une poignée d'articles sur la sémantique des langues naturelles rédigés autour de 1970, tous reproduits à titre posthume dans Montague 1974b (voir en particulier Montague [1970] 1974a et Montague [1973] 1974c).</footnote>

<footnote n="13">13. Partee 1989 décrit de manière très claire et synthétique le développement de ces approches. Pour une discussion des différentes variantes de cette approche et des postulats philosophiques qui les sous-tendent, voir Zimmermann 2011.</footnote>

<footnote n="14">14. Cette thèse, apparentée au vérificationnisme défendu par Carnap plus tôt dans sa carrière, est souvent attribuée à Wittgenstein, qui écrit dans le *Tractatus* que « la proposition est l'expression de ses conditions de vérité » (Wittgenstein [1921] 1993, §4.431).</footnote>

<footnote n="15">15. Pour alléger mon propos, je me permets ici quelques approximations. D'une part, Carnap ne remplace pas seulement la notion fregéenne de sens par celle d'intension, mais aussi la notion de référence par celle</footnote>
d'après laquelle la référence d'un énoncé est sa valeur de vérité, l'intension d'un énoncé correspond à la donnée de sa valeur de vérité dans chaque monde possible.

Or plusieurs problèmes rendent difficile de faire le lien entre l'intension carnapienne d'une expression et la compréhension que peuvent en avoir les agents. Ces problèmes sont par exemple rassemblés dans un article de Barbara Partee (1979), dont le titre révélateur (« La sémantique – mathématiques ou psychologie ? ») est symptômatique du malaise, dans les années 1970, de certains praticiens de cette nouvelle sémantique, qui ne comprenaient plus bien le statut de leurs propres théories.

Le problème principal n'est *pas* que les ensembles de mondes possibles seraient des entités trop riches pour qu'on puisse en attribuer la connaissance aux locuteurs. Certes, il serait absurde de supposer que les utilisateurs du langage aient la totalité des mondes possibles dans la tête. Cependant, cette hypothèse n'est pas indispensable : on peut considérer que les mondes possibles fournissent un bon modèle mathématique des conditions de vérité, mais que les agents n'en maîtrisent qu'une approximation dont la psychologie devra élucider les détails. L'objectif serait alors de faire une théorie de la compétence sémantique idéale, celle qu'aurait un agent omniscient, ou, comme l'écrit Partee, une théorie de « l'anglais tel que le comprendrait Dieu ».

Mais il y a un problème plus grave, celui des « attitudes propositionnelles ». Considérons par exemple deux phrases logiquement équivalentes $\phi$ et $\psi$. Elles sont vraies exactement dans les mêmes mondes possibles, et ont donc la même intension au sens de Carnap. Est-il plausible de leur attribuer la même signification ? On pourrait peut-être le défendre en invoquant encore une fois l'idée d'une compétence sémantique idéale, celle d'un agent omniscient. Mais considérons à présent « John croit que $\phi$ » et « John croit que $\psi$ ». En sémantique des mondes possibles, on n'a pas le choix : le principe de compositionnalité – d'après lequel la signification d'un énoncé est déterminée par celle de ses parties – force à attribuer la même signification aussi à ces deux phrases. Montague l'admet sans ambages :

> [I]f $\phi$ and $\psi$ are logically equivalent sentences [...], then 'John believes that $\phi$'
> and 'John believes that $\psi$' will turn out also to be logically equivalent [...].
> 
> This may at first appear strange, but is a conclusion that I believe we should
> accept [...].<fnref n="16" />

<footnote>d'extension, ce qui transforme le traitement des prédicats en éliminant la distinction qu'établit Frege entre la propriété qui est référence d'un prédicat et l'extension de cette propriété (pour une introduction, voir Recanati 2008, chap. 1). D'autre part, Carnap représente ses mondes possibles non par des modèles comme nous en avons depuis l'habitude, mais par des « descriptions d'états » (« state descriptions ») qui correspondent à l'attribution de valeurs de vérité à toutes les propositions atomiques.</footnote>

<footnote n="16">16. « si $\phi$ et $\psi$ sont des phrases logiquement équivalentes [...], alors 'John croit que $\phi$' et 'John croit que $\psi$' vont aussi s'avérer logiquement équivalentes [...]. Au premier abord, cela peut sembler étrange, mais je pense</footnote>
Pourtant, si John n'est pas omniscient, il peut croire $\phi$ sans croire $\psi$. Les phrases « John croit que $\phi$ » et « John croit que $\psi$ » ne sont donc apparemment pas vraies dans les mêmes mondes possibles. Contrairement à Montague, la plupart des auteurs l'admettent, même au sein de cette tradition. Dowty, Wall et Peters (1981), dans leur manuel d'introduction à la sémantique de Montague, écrivent qu'il s'agit d'« un problème fondamental pour la sémantique des mondes possibles » qui pourrait bien conduire à l'abandonner ou à la transformer radicalement <fnref n="17" />.

À vrai dire, Carnap (1947) est conscient de ce problème (des exemples du même genre se trouvent en fait déjà chez Frege <fnref n="18" />) et tente de le résoudre. Pour ce faire, il propose d'ajouter à la notion d'intension celle de *structure intensionnelle* : deux phrases sont substituables dans des contextes d'attitudes propositionnelles (comme « John croit que… ») si, en plus d'avoir la même intension, elles sont *construites de la même manière* à partir d'expressions qui ont la même intension <fnref n="19" />. David Lewis reprend cette idée dans sa célèbre défense de la sémantique des mondes possibles (Lewis 1970). Les intensions, écrit-il, font partie de la signification (« *meaning* ») mais ne l'épuisent pas; il faut leur ajouter d'autres ingrédients, analogues à la *structure intensionnelle carnapienne* <fnref n="20" />. Au cours des années 1970 et 1980, des auteurs comme Cresswell (1985) tentent d'intégrer pleinement des solutions de ce genre à la sémantique des mondes possibles. Il semble toutefois que les problèmes techniques à résoudre soient nombreux et que les théories hybrides qui en résultent perdent la clarté, la simplicité et la généralité qui font l'attrait de la sémantique de Montague <fnref n="21" />.

Barwise et Perry, quant à eux, tentent de refonder la sémantique sur de nouvelles bases, cognitivement plus réalistes, plutôt que de réparer ou compléter la sémantique des mondes possibles. Pour autant, ils reconnaissent l'avantage qu'ont les sémantiques en termes de mondes possibles d'établir un lien direct entre expressions du langage et monde extérieur. Ils positionnent donc leur propre théorie non seulement contre les variantes usuelles de la

<footnote>qu'il faut accepter cette conclusion. » (Montague [1970] 1974a, p. 218).</footnote>

<footnote n="17">17. Dowty, Wall et Peters 1981, p. 175.</footnote>

<footnote n="18">18. Frege, bien sûr, ne développe pas une sémantique des mondes possibles. Pour lui, le problème se pose donc différemment : la difficulté est que, dans une phrase comme « John croit que $\phi$ », la référence (« *Bedeutung* ») de $\phi$, c'est-à-dire sa valeur de vérité, ne suffit pas à déterminer la référence de la phrase complète, puisque John peut croire certaines vérités et pas d'autres. L'idée de Frege est que dans ces contextes, la référence d'une phrase $\phi$ doit être son sens (« *Sinn* ») et non sa référence habituelle qui est sa valeur de vérité. Reste alors à clarifier la notion vague de sens. Le problème que j'ai exposé ci-dessus est que si, comme Carnap, on remplace la notion de sens par celle d'intension, la solution de Frege ne peut plus fonctionner : l'intension de $\phi$ ne suffit à déterminer ni la valeur de vérité, ni l'intension de « John croit que $\phi$ ».</footnote>

<footnote n="19">19. Carnap 1947, §13-15.</footnote>

<footnote n="20">20. Voir Lewis 1970, p. 25, 31-35.</footnote>

<footnote n="21">21. Pour un survol des solutions proposées, voir Bäuerle et Cresswell [1989] 2003. Pour un traitement plus récent, voir Fox et Lappin 2005.</footnote>
sémantique des mondes possibles, mais aussi contre les sémantiques qui se contentent d'as-
socier aux mots et aux phrases des représentations mentales <sup>22</sup>. Pour eux, ces approches-là
ne font que déplacer le problème : elles traduisent la langue naturelle en un langage de la
pensée, mais laissent ouvert le problème du lien entre ce langage de la pensée et le monde
extérieur <sup>23</sup>. Ils cherchent donc une voie moyenne. Le concept de signification qu'ils visent
doit permettre de parler à la fois de l'état du monde et de l'état mental des locuteurs.

b) Diagrammes et raisonnements sémantiques

Jusqu'ici, j'ai parlé de la sémantique en général. Mais le cas particulier des diagrammes
fournit aussi des raisons d'abandonner les sémantiques en termes de modèles. Dans cette
section, je voudrais examiner un argument qui est à mon avis déterminant pour Barwise et
Etchemendy, et éclaire leur choix de faire appel à la sémantique des situations pour étudier
le raisonnement diagrammatique. (Je reviendrai au prochain chapitre sur la question de
savoir si cet argument est pleinement convaincant <sup>24</sup>.)

Le problème est qu'il y a un fossé particulièrement profond entre les systèmes formels diagrammatiques que j'ai présenté plus haut (par exemple pour les diagrammes d'Euler ou de Venn) et nos pratiques informelles avec les diagrammes. À en croire ces systèmes formels, raisonner avec des diagrammes consiste à suivre des règles syntaxiques de manipulation données d'avance. Pourtant, ce n'est pas du tout ce que nous faisons informellement, comme le montrent bien certains exemples traités par Barwise et Etchemendy eux-mêmes. Examinons un cas simple<sup>25</sup>.

Imaginez que vous deviez asseoir quatre personnes, notées A, B, C et D, sur une rangée
de cinq chaises, en respectant les contraintes suivantes : A et C doivent être assis à côté
de la chaise vide (de part et d'autre); C doit être plus près du centre que D; D doit être à
côté de B. Pouvez-vous déduire de ces contraintes que C doit être assis au centre ? Voici
une solution simple, qui s'appuie sur des diagrammes. Comme A et C doivent être assis de

<footnote n="22">22. Aujourd'hui, on parle volontiers de « sémantiques cognitives » pour décrire ce genre de travaux. À l'époque, Barwise et Perry font surtout référence à un programme de recherche concurrent de celui de Montague, associé entre autres au nom de Jerrold Katz ; pour plus de détails, voir Kempson 2011, qui le décrit en ces termes (p. 218 ; l'auteure souligne) : « Much of the focus was on exploring appropriate semantic representations in some internalised language of thought to assign to words to secure a basis for predicting such entailment relations as John killed Bill, Bill died, or John is a bachelor, John is an unmarried man [...]. There was no detailed mapping defined from such constructs onto the objects/events which the natural language expression might be presumed to depict. »</footnote>

<footnote n="23">23. Cette critique n'a rien d'original à l'époque et est par exemple développée vigoureusement par Lewis 1970.</footnote>

<footnote n="24">24. Cf. *infra*, section 10.4.</footnote>

<footnote n="25">25. Il s'agit d'un une version abrégée d'un exemple de Barwise et Etchemendy 1990a.</footnote>
part et d'autre de la chaise vide, que nous noterons par une croix, seuls sont possibles les trois cas suivants (et leurs symétriques, où A et C sont inversés) :

<figure><img src="image_77.png" /></figure>

Dans le second cas, B ne peut être voisin de D faute de deux places libres côte à côte; dans le troisième cas, C ne peut être plus près du centre que D puisqu'il est aussi loin du centre que possible. Le seul cas possible est donc le premier, où C est assis au centre, comme voulu.

Vous n'aviez sans doute jamais vu ce type particulier de diagrammes, et ne sauriez sans doute pas dire sur quelles règles syntaxiques le raisonnement repose. Pourtant, vous avez certainement pu le suivre sans problème et vous convaincre qu'il était correct. Comment est-ce possible ? Barwise et Etchemendy semblent parfois suggérer que c'est parce que le raisonnement a lieu au niveau de l'information contenue dans les diagrammes, et non au niveau de leur forme. Une fois que l'on a compris selon quelles conventions ces diagrammes représentent de l'information (les segments horizontaux représentent des chaises; un segment surmonté d'une croix indique une chaise vide; etc.), on sait évaluer les inférences : par exemple, on reconnaît qu'il est légitime de déduire du premier diagramme que C est assis au centre, parce que cela fait partie des informations que ce diagramme porte. En d'autres termes, tout se passe comme si, pour décider si le passage d'une représentation à une autre est légitime, on se laissait guider par le contenu de ces représentations plutôt que par leur forme : par leur sémantique plutôt que par leur syntaxe.

Soulignons ce que ce problème a de spécifique aux diagrammes. Dans le cas des systèmes logiques habituels, les règles d'inférence spécifiées syntaxiquement peuvent être considérées comme correspondant à des lois de la pensée, ou comme constituant le sens des constantes logiques : on peut défendre l'idée qu'elles ont une justification intrinsèque. Dans le cas des diagrammes de Shin ou de nos diagrammes de chaises, ce serait inconcevable. Non seulement la seule justification possible des règles du système de Shin étudié plus haut passe par le sens attribué aux diagrammes, mais encore ces règles seront différentes pour chaque nouvelle sorte de diagramme que l'on considérera. C'est ainsi que Barwise et Etchemendy justifient leur décision de modéliser le raisonnement au niveau de l'information plutôt que de la syntaxe :

> When we look at a particular formal language, such as the first-order predicate calculus, it is often possible to find a dozen or so basic syntactic rules that suffice for all valid reasoning that can be carried out within that language.
[...] [W]hen we go beyond traditional formal languages and start admitting all
possible forms of visual representation, the idea of finding a few fundamental
rules, stated in terms of “syntactic” operations on representations, becomes
implausible.

Our strategy is to work at the level of information, rather than its representa-
tion, and try to find a few basic principles of information flow that suffice to
account for all valid inference.<fnref n="26" />

Cette idée semble rompre avec la division des tâches entre syntaxe et sémantique qui est habituelle en logique. En effet, la syntaxe sert d'ordinaire à modéliser nos inférences, c'est-à-dire les étapes élémentaires de nos raisonnements. La sémantique, au contraire, sert à définir une relation de conséquence entre propositions qui est indépendante des moyens inférentiels dont on cherche à rendre compte. Certes, dans de nombreux systèmes logiques, un théorème de complétude garantit qu'une proposition est démontrable syntaxiquement à partir de certaines hypothèses si et seulement si elle en est conséquence sémantique, de sorte qu'en définitive dérivabilité syntaxique et conséquence sémantique définissent la même relation de conséquence logique. Mais malgré cette coïncidence occasionnelle, syntaxe et sémantique jouent des rôles fondamentalement distincts. Il ne serait par exemple pas raisonnable d'introduire, dans un système logique d'arithmétique, une règle d'inférence permettant de déduire directement le grand théorème de Fermat des axiomes de Peano : une telle règle, bien que valide sémantiquement, ne correspondrait pas à une étape élémentaire de raisonnement. Dans ce cadre familier, une inférence « d'après le sens », c'est-à-dire sémantique plutôt que syntaxique, n'a de place qu'à l'extérieur du système formel considéré : c'est une inférence qui va au-delà de la pratique inférentielle que l'on a capturée.

Une réponse naturelle serait de dire que ce problème apparent repose sur une confu-
sion : les systèmes diagrammatiques formels des chapitres précédents ne serviraient qu’à
justifier *a posteriori* les raisonnements diagrammatiques, et n’auraient rien à dire sur les
processus mentaux des utilisateurs des diagrammes. Barwise et Etchemendy eux-mêmes

<footnote n="26">26. « Lorsque nous examinons un langage formel particulier, comme le calcul des prédicats du premier ordre, il est souvent possible de trouver mettons une douzaine de règles syntaxiques de base, qui suffisent pour tous les raisonnements valides que l’on peut conduire dans ce langage. [...] [L]orsque nous allons au-delà des langages formels traditionnels et que nous commençons à admettre toutes les formes possibles de représentations visuelles, l’idée de trouver quelques règles fondamentales, formulées en termes de manipulations “syntaxiques” sur les représentations, devient peu plausible. Notre stratégie est de travailler au niveau de l’information plutôt que de sa représentation, et d’essayer de trouver quelques principes de base d’écoulement de l’information qui suffisent à rendre compte de toutes les inférences valides. » (Barwise et Etchemendy 1990a, p. 59–60).</footnote>
décrivent parfois ainsi leur travail, comme nous le verrons. Il me semble cependant que leur projet est plus ambitieux. Ils cherchent manifestement à rapprocher la logique du raisonnement informel, et l'un de leurs buts centraux est de mieux rendre compte de l'usage de diagrammes *ad hoc* pour résoudre de petits problèmes de raisonnement comme le précédent, typique de ceux qui sont posés à l'examen « GRE » aux États-Unis 27. Ils parlent souvent de la manière dont les diagrammes facilitent la découverte d'une solution 28. Sur tout, beaucoup de leurs formulations montrent qu'ils conçoivent l'information portée par un diagramme (ou, d'ailleurs, par un énoncé) comme quelque chose à quoi la personne qui raisonne doit avoir accès.

À mon sens, c'est bien là qu'il faut chercher la raison la plus profonde pour laquelle, dans leur unique article plus technique sur le raisonnement hétérogène (Barwise et Etchemendy 1990a), nos auteurs empruntent à la théorie des situations une notion de « contenu d'information » plus fine que la sémantique en termes de modèles : cette nouvelle sémantique ouvre une piste pour clarifier l'idée que l'on raisonne sur les diagrammes d'après leur sens.

### c) Une notion d'information indépendante du type de représentation

Dans leur introduction, Barwise et Etchemendy (1990a) justifient autrement leur projet d'une nouvelle sémantique :

> The most widely accepted semantic analysis of consequence represents the information content of a sentence with the collection of structures in which the sentence is true, and declares one sentence to be a consequence of another if the information content of the first is contained in the content of the second, that is, if all the models of the second are models of the first. [...] These familiar techniques have been tailor-made for the homogeneous, linguistic case. When we turn our attention to heterogeneous inference, we are naturally drawn to look for a model of information that is independent of the particular form in which the information is represented. Thus, if we are studying inferences that involve both sentences and diagrams, we need a way to combine the information provided by both forms of representation. If our model of information is too closely tied to the syntax of any particular system of representation, as the

<footnote n="27">27. Le GRE, ou « *Graduate Record Examination* », est un test standardisé utilisé aux États-Unis pour évaluer les candidats à des formations universitaires de deuxième ou troisième cycle ; Barwise et Etchemendy l'utilisent régulièrement comme source d'exemples. Pour un autre problème dans le même esprit que celui des chaises, voir Barwise et Etchemendy 1998, p. 103-104.</footnote>

<footnote n="28">28. Voir en particulier Barwise et Etchemendy [1991] 1996b, 1998.</footnote>