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# Valeurs aux entiers négatifs de fonctions multizêta de type Hurwitz généralisées et de leurs dérivées. Applications à certaines fonctions zêta de Witten rattachées à des algèbres de Lie semi-simples

Simon Rutard

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## To cite this version:

Simon Rutard. Valeurs aux entiers négatifs de fonctions multizêta de type Hurwitz généralisées et de leurs dérivées. Applications à certaines fonctions zêta de Witten rattachées à des algèbres de Lie semi-simples. Mathématiques [math]. Université Jean Monnet (Saint-Etienne), 2024. Français. NNT: 2024STET003. tel-04377718

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Submitted on 7 Jan 2024

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Public Domain
Soutenue publiement le 12/01/2024, par :
**Simon Rutard**

Valeurs aux entiers négatifs de fonctions
multizêta de type Hurwitz généralisées et de
leurs dérivées. Applications à certaines
fonctions zêta de Witten rattachées à des
algèbres de Lie semi-simples

Devant le jury composé de :

<table><tr><td><strong>Boris Adamczewski</strong><br>Directeur de recherche, CNRS, Université Claude Bernard Lyon 1</td><td>Examineur</td></tr><tr><td><strong>Gautami Bhowmik</strong><br>Maîtresse de conférence HDR, Université de Lille</td><td>Examinatrice</td></tr><tr><td><strong>Driss Essouabri</strong><br>Professeur, Université Jean Monnet St-Étienne</td><td>Directeur de thèse</td></tr><tr><td><strong>Stéphane Gaussent</strong><br>Professeur, Université Jean Monnet St-Étienne</td><td>Examineur</td></tr><tr><td><strong>Dominique Manchon</strong><br>Chargé de recherche HDR, CNRS, Université de Clermont-Auvergne</td><td>Rapporteur</td></tr><tr><td><strong>Kohji Matsumoto</strong><br>Professeur, Nagoya university, Japan</td><td>Rapporteur</td></tr><tr><td><strong>Marc Munsch</strong><br>Maître de conférence, Université Jean Monnet St-Étienne</td><td>Examineur</td></tr><tr><td><strong>Federico Pellarin</strong><br>Professeur, University of Rome Sapienza</td><td>Examineur</td></tr></table>
# Valeurs aux entiers négatifs de fonctions multizêta de type Hurwitz généralisées et de leurs dérivées. Applications à certaines fonctions zêta de Witten rattachées à des algèbres de Lie semi-simples

## Résumé

Le but de cette thèse est de fournir des formules explicites pour les valeurs directionnelles et les valeurs des dérivées directionnelles de fonctions multizêta de Hurwitz généralisées en des multi-entiers négatifs. On exprimera en particulier les valeurs directionnelles de ces fonctions multizêta en fonction de polynômes de Bernoulli. De plus, on exprimera les valeurs des dérivées directionnelles de ces fonctions multizêta en fonction de polynômes de Bernoulli, de valeurs aux entiers négatifs de la dérivée suivant la variable $s$ de la fonction zêta d'Hurwitz, et de valeurs aux entiers négatifs de la dérivée de certaines fonctions zêta de type Barnes généralisé.

Comme première application, on déterminera des formules pour les valeurs en $s = 0$ de la fonction zêta de Witten $\zeta_{g_2}$ et de sa dérivée, ainsi que des valeurs en $s = 0$ de la fonction zêta de Witten $\zeta_{s0(5)}$ et de sa dérivée. On trouvera en particulier une formule asymptotique explicite du nombre de représentations de l'algèbre de Lie $g_2$ en combinant nos résultats avec un théorème de type Meinardus généralisé obtenu par Bridges, Brindle, Bringmann et Franke.

Comme seconde application, on déterminera des formules explicites des fonctions multigamma de type Shintani via des fonctions multigamma de type Barnes.

**Mots-clés :** Fonctions multizêta de type Hurwitz généralisées, Fonctions zêta de Witten, Valeurs et valeurs des dérivées aux entiers négatifs des fonctions multizêta, Représentations des algèbres de Lie semi-simples

## Special values of generalized multiple Hurwitz zeta functions and their derivatives. Applications towards some Witten zeta functions attached to semi-simple Lie algebras

## Abstract

The goal of this thesis is to provide explicit formulas for directional values and directional derivative values of generalized Hurwitz multizeta functions at non positive integers. We will express the directional values of these multizeta functions in terms of Bernoulli polynomials. Furthermore, we will express the directional derivative values of these multizeta functions in terms of Bernoulli polynomials, of values at nonpositive integer values of the derivative with respect to the variable $s$ of the Hurwitz zeta function, and of values at nonpositive integers of the derivative of some generalized Barnes zeta functions.

As a first application, we will determine formulas for the values at $s = 0$ of the Witten zeta function $\zeta_{g_2}$ and its derivative, as well as values at $s = 0$ of the Witten zeta function $\zeta_{s0(5)}$ and its derivative. In particular, we will find an explicit asymptotic formula for the number of representations of the exceptional Lie algebra $g_2$ by combining our result with a generalized Meinardus-type theorem proved by Bridges, Brindle, Bringmann, and Franke.

As a second application, we will determine explicit formulas for Shintani's multigamma functions in terms of Barnes' multigamma functions.

**Keywords:** Generalized multiple zeta functions of Hurwitz type, Witten zeta functions, Values and derivative values at nonpositive integers of multiple zeta functions, Representations of semi-simple Lie algebra
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Valeurs aux entiers négatifs de fonctions multizêta de
type Hurwitz généralisées et de leurs dérivées.
Applications à certaines fonctions zêta de Witten
rattachées à des algèbres de Lie semi-simples

Thèse de doctorat en Mathématiques
**Simon Rutard**

Sous la direction de Driss Essouabri

Institut Camille Jordan, Université Jean Monnet

12 Janvier 2024
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Remerciements

Je souhaite tout d'abord remercier Driss Essouabri pour m'avoir encadré pendant ces quatres dernières années. Ses qualités scientifiques et humaines ont beaucoup apporté à ma formation et à la rédaction de ce manuscrit. Sa culture mathématique et ses talents de pédagogue m'ont marqué dès notre premier rendez-vous, et j'espère que cette thèse saura rendre honneur à son encadrement.

Je suis très reconnaissant envers Dominique Manchon et Kohji Matsumoto pour avoir accepté de relire ce manuscrit. Celui-ci a gagné en clarté et en précision à la lueur de leurs conseils. Je remercie également Boris Adamczewski, Gautami Bhowmik, Stéphane Gaussent, Marc Munsch et Federico Pellarin d'avoir accepté d'être les examinateurs de cette thèse.

Je remercie tous les membres de l'Institut Camille Jordan à l'université Jean Monnet à Saint-Étienne pour m'avoir accueilli très amicalement pendant mes premiers mois de thèse. Il m'est impossible de citer tout le monde, mais je tenais tout de même à remercier en particulier Stéphane Gaussent, Michael Bulois, Roland Berger, Filippo Nuccio, François Hennecart et Frédéric Chardard pour leurs conseils professionnels toujours très justes. Je suis très redevable envers tous ceux faisant vivre le groupe de travail Algèbre-Théorie des nombres de Saint-Étienne. C'est une manière très dynamique et agréable d'apprendre de nouvelles maths.

Malgré la redondance de ses blagues, je tiens à souligner l'apport humoristique de Julian Tugaut, ainsi que sa remarquable contribution à l'excellente ambiance qui règne au sein du laboratoire. Je souhaite aussi remercier toutes celles et ceux ayant contribué à l'atmosphère conviviale au bureau des doctorants et postdocs : Farshid, Christopher, Kenny, Romain, Rita, Ashot, Lyuben, Jun, Kyriaki, Mohamed, Paul, Ahmed, Nhan-Trong, Bouasy, Karen, et Sheila.

J'ai également une pensée particulière pour tous les professeurs m'ayant poussé à faire des maths et que j'ai eus pendant mon parcours. Plus particulièrement, je souhaite remercier Stephan Céroi et Bertrand Hauchecorne, en saluant au passage les talents vulgarisateurs de ce dernier, ainsi que François Charles, David Harari, Stéphane Fischler, Huayi Chen et Gérard Freixas i Montplet pour leurs apprentissages et leurs recommandations durant mes années d'études à Orsay et à Paris.

Je remercie chaleureusement mes amis Cyril, Ivann, Alexis, Pierre, Antonin, Darya, Alexandre (dit Pedro), Coralie, Deborah et Arthur pour avoir égayé mes soirées, weekends et vacances.

L'aide précieuse que ma famille m'a apportée à travers toute ma scolarité a été remarquable. Je remercie tout particulièrement mon père, mes grands-parents, mon frère et ma belle-sœur, qui ont tant fait pour moi, ainsi que mon cousin Julien et mon oncle Joël pour m'avoir motivé durant mes études. Je suis également ravi d'avoir vu naître pendant cette thèse mon neveu Noé. Il convient tout de même de préciser au lecteur que la contribution de Noé à ce manuscrit demeure epsilonesque.

Enfin, cette thèse doit énormément à Nihal, qui partage ma vie et qui me soutiens depuis six ans. Elle constitue une grosse partie de ma motivation et de mon inspiration, et elle n'a eu de cesse de me pousser sans relâche tout au long de mon parcours. Je lui en suis infiniment reconnaissant et j'espère lui rendre le sentiment à l'aube de sa propre soutenance.
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# Sommaire

<table><thead><tr><th></th><th></th></tr></thead><tbody><tr><td>1 Introduction</td><td>1</td></tr><tr><td>1.1 Notations</td><td>1</td></tr><tr><td>1.2 Tour d'horizon sur les fonctions zêta et multizêta</td><td>3</td></tr><tr><td>1.2.1 Quelques résultats sur les valeurs spéciales de certaines fonctions zêta</td><td>4</td></tr><tr><td>1.2.2 Quelques résultats sur certaines fonctions multizêta</td><td>12</td></tr><tr><td>1.2.3 Sur les formules asymptotiques de différents nombres de partitions</td><td>14</td></tr><tr><td>1.3 Premières définitions</td><td>20</td></tr><tr><td>1.4 Principaux résultats</td><td>23</td></tr><tr><td>2 Expansion de Crandall de Z(s, s')</td><td>37</td></tr><tr><td>2.1 Démonstration de la Proposition 1.3.9</td><td>37</td></tr><tr><td>2.2 Enoncé de la formule de prolongement de Z<sub>N,N'</sub>(s)</td><td>39</td></tr><tr><td>2.3 Expansion de Crandall directionnelle pour Z(s, s')</td><td>42</td></tr><tr><td>2.3.1 Lemmes</td><td>42</td></tr><tr><td>2.3.2 Résultats préliminaires</td><td>46</td></tr><tr><td>2.3.3 Démonstration de la Proposition 2.2.2</td><td>57</td></tr><tr><td>2.3.4 Démonstration de la Proposition 2.2.4</td><td>64</td></tr><tr><td>3 Calculs des coefficients Q<sup>0</sup><sub>N,N'</sub>(P, j, k) et Q<sup>1</sup><sub>N,N'</sub>(P, j, k)</td><td>69</td></tr><tr><td>3.1 Lemmes</td><td>69</td></tr><tr><td>3.2 Valeurs et dérivées de h<sub>N,N',P,j,k</sub>(s)</td><td>73</td></tr><tr><td>3.2.1 Préliminaires</td><td>73</td></tr><tr><td>3.2.2 Calcul de Q<sup>0</sup><sub>N,N'</sub>(P, j, k)</td><td>75</td></tr><tr><td>3.2.3 Calcul de Q<sup>1</sup><sub>N,N'</sub>(P, j, k)</td><td>76</td></tr><tr><td>4 Démonstration du Théorème A et de ses corollaires</td><td>83</td></tr><tr><td>4.1 Enoncé du Théorème A</td><td>83</td></tr><tr><td>4.2 Démonstration du Théorème A</td><td>84</td></tr><tr><td>4.3 Sur les corollaires du Théorème A</td><td>84</td></tr><tr><td>4.3.1 Démonstration du Corollaire A1</td><td>85</td></tr><tr><td>4.3.2 Démonstration du Corollaire A2</td><td>85</td></tr><tr><td>4.3.3 Démonstration du Corollaire A3</td><td>86</td></tr><tr><td>5 Démonstration de la Proposition B et du Théorème D</td><td>87</td></tr><tr><td>5.1 Enoncé de la Proposition B et du Théorème D</td><td>87</td></tr><tr><td>5.2 Fonctions auxiliaires</td><td>88</td></tr><tr><td>5.2.1 Démonstration de la Proposition B</td><td>91</td></tr><tr><td>5.3 Démonstration du Théorème D</td><td>94</td></tr><tr><td>5.4 Sur les corollaires du Théorème D</td><td>102</td></tr></tbody></table>
<table><tbody><tr><td>5.4.1</td><td>Démonstration du Théorème C</td><td>102</td></tr><tr><td>5.4.2</td><td>Démonstration du Corollaire C1</td><td>104</td></tr><tr><td>5.4.3</td><td>Démonstration du Corollaire D1</td><td>104</td></tr><tr><td>5.4.4</td><td>Démonstration du Corollaire D2</td><td>105</td></tr><tr><td>5.4.5</td><td>Démonstration du Corollaire D3</td><td>107</td></tr><tr><td><b>6</b></td><td><b>Fonctions zêta de Witten</b></td><td><b>109</b></td></tr><tr><td>6.1</td><td>Généralités sur les algèbres de Lie</td><td>109</td></tr><tr><td>6.2</td><td>Système de racine d'une algèbre de Lie</td><td>110</td></tr><tr><td>6.3</td><td>Quelques résultats sur ζ<sub>g2</sub> et ζ<sub>so(5)</sub></td><td>113</td></tr><tr><td>6.3.1</td><td>Pôles et résidus de ζ<sub>g2</sub></td><td>119</td></tr><tr><td>6.3.2</td><td>Valeurs aux entiers négatifs de ζ<sub>g2</sub> et de ζ'<sub>g2</sub></td><td>121</td></tr><tr><td>6.3.3</td><td>Pôles et résidus de ζ<sub>so(5)</sub></td><td>122</td></tr><tr><td>6.3.4</td><td>Valeurs aux entiers négatifs de ζ<sub>so(5)</sub> et ζ'<sub>so(5)</sub></td><td>124</td></tr><tr><td>6.4</td><td>Application à l'étude du comportement asymptotique de r<sub>g2</sub>(n)</td><td>125</td></tr><tr><td><b>7</b></td><td><b>Annexe</b></td><td><b>129</b></td></tr><tr><td>7.1</td><td>Codes SAGE</td><td>129</td></tr></tbody></table>
# Chapitre 1

# Introduction

## 1.1 Notations

**Notation.** Soit A, B des ensembles. On notera l'inclusion large $A \subset B$ (ce que certains auteurs notent $A \subseteq B$), et l'inclusion stricte $A \subsetneq B$.

**Notation.** Soit A un ensemble, et $B \subset A$ un sous ensemble de A, on notera $B^c = A \setminus B$. On note $|A| \in \mathbb{N} \cup \{+\infty\}$ le cardinal de A.

**Notation.** On notera par une lettre en gras pour désigner les multi-indices de la forme $\mathbf{x} = (x_a)_{a \in A} \in \mathbb{C}^A$ avec A un ensemble fini. Soit $B \subset A$, on notera $|\mathbf{x}|_B := \sum_{b \in B} x_b$. Si $B = A$, on notera directement $|\mathbf{x}| := |\mathbf{x}|_A$.

**Notation.** Soit $1 \le k \le n$ des entiers. On notera $\mathbf{e}_k = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0) \in \mathbb{C}^n$ le vecteur avec un 1 à la k-ième composante, et des 0 ailleurs.

**Notation.** Soit A et B des ensembles finis, et $\mathbf{x} = (\mathbf{x}_a)_{a \in A} \in (\mathbb{N}^B)^A$, avec $\mathbf{x}_a = (x_{a,b})_{b \in B}$ pour tout $a \in A$. On pose pour tout $b \in B$,

$$ \mathbf{x}(b) := \sum_{a \in A} x_{a,b}. $$

**Remarque 1.1.1.** Soit A et B des ensembles finis, et $\mathbf{x} = (\mathbf{x}_a)_{a \in A} \in (\mathbb{N}^B)^A$. Le multi-indice $\mathbf{x}$ correspond à une application $\mathbf{x} : A \times B \to \mathbb{N}, (a, b) \mapsto x_{a,b}$. En particulier, si A ou B est vide, $\mathbf{x}$ correspond à l'application vide. Dans ce cas, on a alors pour tout sous ensemble $A \subset A$,

$$ |\mathbf{x}|_A = 0, $$

et pour tout $b \in B$,

$$ \mathbf{x}(b) = 0. $$

**Notation.** Soit $s \in \mathbb{C}$ un nombre complexe. On note $s = \sigma + i\tau$ avec $\sigma$ et $\tau$ respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de s.

**Notation.** Soit $x \in \mathbb{R}$ un réel. On note $H_x$ le demi-plan complexe ouvert d'abscisse x, et $\bar{H}_x$ son adhérence :

$$ H_x := \{s \in \mathbb{C} | \sigma > x\}, $$

$$ \bar{H}_x := \{s \in \mathbb{C} | \sigma \geq x\}. $$

**Notation.** Soit $a \in \mathbb{C}$, $r \in \mathbb{R}_+$. On note $\bar{D}_a(r)$ le disque fermé de centre a et de rayon r :

$$ \bar{D}_a(r) := \{z \in \mathbb{C} \mid |z - a| \leq r\}. $$
**Notation.** Soit $s \in \mathbb{C}$ un nombre complexe, et $k \in \mathbb{N}$. On note $s_{\Delta,k} := (s, \dots, s) \in \mathbb{C}^k$. Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, on notera simplement $s_{\Delta}$.

**Notation.** Soit $n \in \mathbb{N}$ un entier. On appelle n-ième nombre harmonique le nombre rationnel suivant

$$h_n := \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k},$$

avec la convention $h_0 = 0$.

On notera $\gamma = 0.5772156649...$ la constante d'Euler [OEI23a].

**Définition-Propriété 1.1.2.** [EMOT81, Chap.1] On note $\Gamma$ la fonction gamma d'Euler définie sur $H_0$ par l'intégrale

$$\forall s \in H_0, \quad \Gamma(s) = \int_{0}^{+\infty} x^{s-1}e^{-x}dx.$$

La fonction $\Gamma$ est holomorphe sur $H_0$, et admet un prolongement méromorphe sur $\mathbb{C}$ avec des pôles simples aux entiers négatifs. On note $\Gamma$ son prolongement. On note également $\psi$ la fonction digamma définie sur $H_0$ par la relation

$$\forall s \in H_0, \quad \psi(s) = \frac{\Gamma'(s)}{\Gamma(s)}.$$

La fonction $\psi$ est holomorphe sur $H_0$, et admet un prolongement méromorphe sur $\mathbb{C}$, avec des pôles simples aux entiers négatifs.

Rappelons que $\Gamma$ admet l'équation fonctionnelle suivante :

$$\Gamma(s+1) = s\Gamma(s) \quad (s \notin -\mathbb{N}),$$

et au voisinage de $s = 0$, on a le développement asymptotique suivant

$$\Gamma(s) = \frac{1}{s} - \gamma + \frac{1}{2} \left( \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6} \right) s + O(s^2).$$

Aux entiers positifs, on a

$$\Gamma(N + 1) = N!.$$

Rappelons également que la fonction $\frac{1}{\Gamma}$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$, qu'elle s'annule en les entiers négatifs.

**Notation.** On pose les coefficients binomiaux et multinomiaux de la manière suivante :

Pour tout $k \in \mathbb{Z}$, et $s \in \mathbb{C}$, on pose

$$\binom{s}{k} = \begin{cases} \frac{s(s-1)\dots(s-k+1)}{k!} & \text{si } k \ge 0, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}$$

Pour tout entiers $\mathbf{k} = (k_1, \dots, k_p)$ tels que $n = k_1 + \dots + k_p$, on considère le coefficient multinomial :

$$\binom{n}{k} = \begin{cases} \frac{n!}{k_1!\dots k_p!} & \text{si } k_p \ge 0 \text{ pour tout } p \in [1, P], \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}$$

Dans ce manuscrit, on utilisera la détermination principale du logarithme, et on écrira pour tout complexe $z \in \mathbb{C}$, $z = |z|e^{i \arg(z)}$ avec $\arg(z) \in [-\pi, \pi]$.

Par convention, on dira qu'une somme sur l'ensemble vide est nulle, et qu'un produit sur l'ensemble vide vaut 1.
1.2 Tour d'horizon sur les fonctions zêta et multizêta

On s'intéressera dans cette thèse à une classe de fonctions multizêta définie par la série de Dirichlet

$$
Z(\mathbf{s}, \mathbf{s}') = \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{-s_p} \prod_{q=1}^{Q} (l_q(\mathbf{n} + \mathbf{d}))^{-s'_q},
$$

avec $P \ge 1$, $Q \ge 1$, $\mathbf{d} \in H_0^P$, et $l_q$ des formes linéaires de rang $P$, dépendants de chaque variable $n_p$
pour $1 \le p \le P$. On étudiera en particulier un domaine de convergence, son prolongement méromorphe,
puis on établira des relations entre les valeurs directionnelles aux entiers négatifs de $Z$ et aussi les valeurs
spéciales de sa dérivée selon cette même direction.

Dans [Kom08], Komori obtient une nouvelle représentation intégrale des fonctions double zêta de
type Mordell-Tornheim. Il déduit de ce résultat une formule des valeurs aux entiers négatifs de cette
fonction zêta. Par la suite, via une méthode similaire et en utilisant des nombres de Bernoulli généralisés,
il prouvera une formule pour les valeurs aux entiers négatifs des fonctions multizêta plus générales dans
[Kom10]. Cependant, ces nombres de Bernoulli généralisés sont souvent difficiles à calculer. Pour des
fonctions multizêta de type Euler-Zagier, des formules explicites ont été obtenus par Onozuka [Ono13],
et pour une classe plus générale de fonction multizêta de type Euler-Zagier dans [EM20]. Ces formules
s'expriment à l'aide de nombres de Bernoulli classiques.

Les travaux exposés ici permettent d'obtenir des relations explicites en fonction de polynômes de
Bernoulli classiques pour les valeurs directionnelles aux entiers négatifs de Z(s, s'). De plus, on obtient
egalement des valeurs explicites pour la dérivée directionnelle en les entiers négatifs de Z(s, s'). On
obtient ces expressions à l'aide d'une expansion de Crandall (c.f. [Cra12, §9.2]). Dans [BD18], cette
stratégie a déjà fourni des approximations pour ζ<sup>AV</sup>(-N) et ∂<sub>s</sub>ζ<sup>AV</sup>(-N), avec ζ<sup>AV</sup> la fonction zêta de
type Apostol-Vu sur la diagonale :

$$
\zeta^{AV}(s) = \sum_{n_1, n_2 \ge 1} \frac{1}{n_1^s n_2^s (n_1 + n_2)^s}.
$$

Dans [BD18], Borwein et Tomkins étudient une fonction zêta de type Tornheim :

$$
\zeta_P^T(s) := \sum_{n_1, \dots, n_P \ge 1} \frac{1}{n_1^{s_1} \dots n_P^{s_P} (n_1 + \dots + n_P)^s},
$$

et calculent les valeurs aux entiers négatifs de ζ<sub>P</sub><sup>T</sup>(s), et de la dérivée ∂<sub>s</sub>ζ<sub>P</sub><sup>T</sup>(s). Dans [Ono21], Onodera étudie également cette classe de fonction zêta, et calcule également les valeurs de la dérivée seconde en s de ζ<sub>P</sub><sup>T</sup>(s) en les entiers négatifs.

On pourra déduire de nos travaux des formules pour les valeurs spéciales des deux fonctions zêta de
Witten suivantes, ainsi que de leurs dérivées :

$$
\begin{align*}
\zeta_{s0(5)}(s) &:= 6^s \sum_{n_1, n_2 = 1}^{+\infty} \frac{1}{n_1^s n_2^s (n_1 + n_2)^s (n_1 + 2n_2)^s} \\
\zeta_{g2}(s) &:= 120^s \sum_{n_1, n_2 = 1}^{+\infty} \frac{1}{n_1^s n_2^s (n_1 + n_2)^s (n_1 + 2n_2)^s (n_1 + 3n_2)^s (2n_1 + 3n_2)^s}
\end{align*}
$$

De même, on pourra en déduire des formules pour les valeurs spéciales de certaines fonctions zêta de type
Shintani, ainsi que de leurs dérivées :

$$
\zeta^{Sh}(s, \mathbf{d}|\mathbf{c}_1, \dots, \mathbf{c}_Q) := \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{q=1}^{Q} \left( d_q + \sum_{p=1}^{P} c_{q,p} n_p \right)^{-s},
$$

avec $P, Q \ge 1$ des entiers, et $d_q \in H_0$ et $c_{q,p} \in H_0$ pour tout $1 \le p \le P$ et $1 \le q \le Q$.
1.2.1 Quelques résultats sur les valeurs spéciales de certaines fonctions zêta

On souhaite donner ici un bref récapitulatif des résultats sur les valeurs spéciales de la fonction zêta de Riemann, sur la fonction zêta de Hurwitz, sur les fonctions zêta de Barnes, sur les fonctions zêta d'Euler-Zagier, sur certaines fonctions zêta de Witten et sur les fonctions zêta de Shintani. On mentionnera également leur domaine d'holomorphie et de méromorphie. On donnera en particulier des résultats sur les valeurs aux entiers négatifs pour certaines de ces fonctions.

Toutes les fonctions zêta mentionnées dans le paragraphe précédent ont un domaine de convergence de la forme H<sub>σ₀</sub> = {s = σ + iτ ∈ C | σ > σ₀} avec σ₀ ∈ ℝ, et elles sont holomorphes sur leur demi-plan de convergence. Pour donner un sens aux valeurs aux entiers s = N ∈ Z ne se situant pas dans le demi-plan de convergence de ces fonctions, on doit au préalable discuter de leur prolongement méromorphe, et de montrer que ce prolongement est régulier en l'entier que l'on considère.

On se propose tout d'abord de rappeler la formule d'Euler-Maclaurin.

**Théorème 1.2.1** (Formule d'Euler-Maclaurin). [*Ten15*] *Soit k ∈ N un entier, et f : [a, b + 1] → C une fonction de classe C<sup>k+1</sup> sur [a, b]. Alors, on a*

$$
\sum_{n=a}^{b-1} f(n) = \int_{a}^{b} f(t)dt + \sum_{n=0}^{k} \frac{(-1)^{n+1}B_{n+1}}{(n+1)!} (f^{(n)}(b) - f^{(n)}(a)) \\
+ \frac{(-1)^k}{(k+1)!} \int_{a}^{b} b_{k+1}(x)f^{(k+1)}(x)dx,
$$

où $B_n$ désigne le n-ième nombre de Bernoulli, et $b_n(t)$ désigne le n-ième polynôme de Bernoulli périodisé.

On rappelle également l'expression de la fonction zêta de Riemann.

**Définition 1.2.2.** *Soit s ∈ C. On appelle fonction zêta de Riemann la fonction suivante*

$$
\forall s \in H_1, \quad \zeta(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^s}.
$$

On verra dans la proposition suivante que l'on peut prolonger cette fonction sur $\mathbb{C}$ :

**Proposition 1.2.3.** *La fonction zêta de Riemann est holomorphe sur $H_1$, elle se prolonge méromorphiquement sur $\mathbb{C}$ avec un seul pôle en $s = 1$, qui est simple, de résidu 1.*

On peut démontrer le prolongement méromorphe à l'aide de la formule d'Euler-Maclaurin 1.2.1, et cette formule donne au passage les valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers négatifs en fonction des nombres de Bernoulli :

$$
\forall N \in \mathbb{N}, \quad \zeta(-N) = (-1)^N \frac{B_{N+1}}{N+1}.
$$

En particulier, on en déduit que $\zeta(-2N) = 0$ pour tout entier $N \in \mathbb{N}^*$.

A l'aide de l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann, on peut également relier les valeurs
de ζ aux entiers positifs avec les valeurs de sa dérivée aux entiers négatifs.

**Théorème 1.2.4.** *Soit s ∈ C \ {0, 1}, on a la relation fonctionnelle*

$$
\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s).
$$

On en déduit en particulier que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,

$$
\zeta'(-2N) = \frac{(-1)^N (2N)!}{2^{2N+1} \pi^{2N}} \zeta(2N + 1).
$$

Pour des petites valeurs, on a également ces résultats-ci :

$$
\begin{align*}
\zeta'(0) &= -\frac{1}{2} \ln(2\pi), \\
\zeta'(-1) &= \frac{1}{12} - \ln(A),
\end{align*}
$$

avec $A = 1.28242712...$ la constante de Glaisher-Kinkelin définie dans [*OEI23b*].
**Définition 1.2.5.** Soit $d \in H_0$ un complexe, on appelle fonction zêta d'Hurwitz la fonction zêta

$$ \forall s \in H_0, \quad \zeta(s, d) := \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+d)^s}. $$

Observons qu'en $d=1$, on retrouve la fonction zêta de Riemann. Cette fonction zêta admet un prolongement méromorphe sur $\mathbb{C}$.

**Proposition 1.2.6.** La fonction zêta de Hurwitz se prolonge méromorphiquement sur $\mathbb{C}$, avec un unique pôle en $s=1$, qui est simple. De plus, le résidu en ce pôle vaut 1.

*Démonstration.* Soit $n \in \mathbb{N}^*$ un entier. Via la formule d'Euler-Maclaurin, on obtient pour $\sigma > 1$ que

$$ \zeta(s, d) = \frac{d^{1-s}}{1-s} + \sum_{i=0}^{n} \binom{-s}{i} \frac{(-1)^i B_{i+1}}{i+1} d^{-s-i} \\ + (-1)^n \binom{-s}{n+1} \int_0^{+\infty} b_{n+1}(x)(x+d)^{-s-n-1} dx. \quad (1.1) $$

L'intégrale présente dans la formule précédente converge absolument pour tout $\sigma > -n$. Ainsi, cette formule permet de prolonger méromorphiquement la fonction zêta de Hurwitz pour $\sigma > -n$, avec un pôle unique en $s=1$, d'ordre 1, et de résidu 1. $\square$

On a également des résultats sur les valeurs aux entiers négatifs de la fonction zêta de Hurwitz (voir [Apo76, Théorème 12.13]):

$$ \forall N \in \mathbb{N}, \quad \zeta(-N, x) = - \frac{b_{N+1}(x)}{n+1}, $$

avec $b_{N+1}(x)$ le $N+1$-ième polynôme de Bernoulli. De même, il était connu par Hurwitz (voir [Ber85, Formule (3)]) que

$$ (\partial_s \zeta(s, d))|_{s=0} = \ln(\Gamma(d)) + \zeta'(0) = \ln(\Gamma(d)) - \frac{1}{2} \ln(2\pi). \quad (1.2) $$

Observons également que, pour tout $s \neq 1$, et tout $d \in H_0$, on a $\zeta(s, d) = d^{-s} + \zeta(s, d+1)$. En dérivant selon $s$, on trouve alors

$$ \partial_s \zeta(s, d)|_{s=-N} = -d^N \ln(d) + \partial_s \zeta(s, d+1)|_{s=-N}. \quad (1.3) $$

Par un jeu de réécriture de la série de Dirichlet $\zeta\left(s, \frac{1}{2}\right)$, on obtient que $\zeta\left(s, \frac{1}{2}\right) = (2^s - 1)\zeta(s)$. Ainsi, en dérivant des deux côtés par rapport à $s$, on trouve

$$ \partial_s \zeta \left( s, \frac{1}{2} \right) \Big|_{s=-1} = - \frac{\ln(2)}{6} - \frac{1}{2} \zeta'(-1). \quad (1.4) $$

Des travaux de Miller et Adamchik (voir [MA98]) ont établi des relations explicites entre les valeurs des dérivées de la fonction zêta d'Hurwitz suivant $s$, en les entiers négatifs, avec un coefficient rationnel $d$, et des valeurs spéciales de logarithme, de fonctions polygamma, et de la fonction zêta de Riemann.

La fonction zêta d'Hurwitz admet une relation fonctionnelle appelée formule d'Hurwitz. Avant de l'exprimer, on a besoin d'introduire la fonction zêta de Lerch :

**Définition 1.2.7.** Soit $s \in \mathbb{C}$ tel que $\sigma > 1$, $d \in H_0$, et $z \in \mathbb{C}$ tel que $|z| \le 1$. On pose

$$ \phi(z, s, d) := \sum_{n \ge 0} \frac{z^n}{(n+d)^s}. $$

Cette fonction zêta admet un prolongement méromorphe sur $\mathbb{C}$. Elle est même holomorphe pour tout $z \neq 1$, et elle admet un unique pôle, qui est simple, en $s=1$ lorsque $z=1$ [EMOT81, §1.11].
**Théorème 1.2.8** (Formule d'Hurwitz). [Apo76, §12.7] *Soit d∈]0,1] un réel, et s ∈ C un complexe tel que, soit d ∈]0,1[ et Re(s) > 0, soit d = 1 et Re(s) > 1. Alors,*

$$
\zeta(1-s, d) = \frac{\Gamma(s)}{(2\pi)^s} \left( e^{-i\pi s/2} \phi(e^{2i\pi d}, s, 1) + e^{i\pi s/2} \phi(e^{-2i\pi d}, s, 1) \right).
$$

Remarquons au passage que le cas $d=1$ de la formule précédente correspond à l'équation fonctionnelle de la fonction zêta de Riemann.

On mentionne maintenant quelques résultats sur les fonctions zêta de Barnes. On utilisera certains de ces résultats plus tard dans le manuscrit.

**Définition 1.2.9.** *Soit P ∈ N un entier, et (c₁, ..., cₚ) une famille de complexes dans H₀, et d ∈ H₀. On appelle fonction zêta de Barnes la fonction zêta de la forme*

$$
\forall s \in H_P, \quad \zeta^B(s, d|c_1, \dots, c_P) := \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \frac{1}{(\sum_{p=1}^P c_p n_p + d)^s}.
$$

Il était connu de Barnes que cette fonction zêta était méromorphe sur $\mathbb{C}$, avec des pôles simples en certains entiers positifs. Plus précisément :

**Proposition 1.2.10.** [Bar04] La fonction zêta de Barnes $s \mapsto \zeta^B(s, d|c_1, \dots, c_P)$ admet un prolongement méromorphe sur $\mathbb{C}$, avec comme seules singularités des pôles simples en les $s = 1, \dots, P$.

La valeur de la dérivée en $s=0$ de ces fonctions a été étudiée par Barnes en développant la théorie des fonctions multigamma (voir [Bar01] et [Bar04]). Par la suite, Vardi obtient une relation explicite entre la valeur en $\frac{1}{2}$ de la fonction multigamma de dimension $n$, et le déterminant régularisé du Laplacien de la $n$-sphère dans [Var88]. Il fournit également une formule explicite de la valeur en $\frac{1}{2}$ de la fonction multigamma de dimension $n$ en fonction des valeurs aux entiers négatifs de la dérivée de la fonction zêta de Riemann.

Quelques-uns de nos résultats s'exprima en fonction de valeurs spéciales de ces fonctions là. On aura en particulier besoin d'un résultat démontré par Sakane et Aoki dans [SA22]. On pose tout d'abord

$$
C_{P,x}(t) := (t - x + P - 1)(t - x + P - 2)\dots(t - x + 1) \in (\mathbb{Z}[x])|_t \quad (P \ge 2),
$$

et $C_{1,x}(t) = 1$. Remarquons au passage que $C_{2,x}(t) = t - x + 1$.

**Théorème 1.2.11.** [SA22, Théorème 4] *Soit $d \in H_0$, et $\mathbf{c} = (c_1, \dots, c_P) \in \mathbb{Q}^P$ des rationnels. On écrit $c_1 = \frac{a_1}{b_1}, \dots, c_P = \frac{a_P}{b_P}$ avec $a_p, b_p \ge 1$ des entiers premiers entre eux pour tout $p$. On pose $x(\mathbf{c}) := \frac{\text{ppcm}(a_1, \dots, a_P)}{\text{pgcd}(b_1, \dots, b_P)}$, et $\beta_1 := \frac{x(\mathbf{c})}{c_1}, \dots, \beta_P := \frac{x(\mathbf{c})}{c_P}$, alors on a*

$$
\zeta^B(s, d|c_1, \dots, c_P) = \frac{x(\mathbf{c})^{-s}}{(P-1)!} \sum_{v_1=0}^{\beta_1-1} \dots \sum_{v_P=0}^{\beta_P-1} \sum_{k=0}^{P-1} C_{P, \frac{d+c_1v_1+\dots+c_Pv_P}{x(\mathbf{c})}}^{(k)} (0) \zeta \left( s-k, \frac{d+c_1v_1+\dots+c_Pv_P}{x(\mathbf{c})} \right)
$$

On démontrera une généralisation du théorème précédent dans le Théorème B, en utilisant une stratégie similaire à celle utilisée par Aoki et Sakane dans [SA22].
**Exemple 1.2.12. On trouve**

$$ \zeta^B(s, d|1, 1) = (1 - d)\zeta(s, d) + \zeta(s - 1, d), $$

$$ \zeta^B(s, d|1, 2) = 2^{-s} \left[ \left(1 - \frac{d}{2}\right) \zeta\left(s, \frac{d}{2}\right) + \left(1 - \frac{d+1}{2}\right) \zeta\left(s, \frac{d+1}{2}\right) + \zeta\left(s-1, \frac{d}{2}\right) + \zeta\left(s-1, \frac{d+1}{2}\right) \right], $$

$$ \zeta^B(s, d|1, 3) = 3^{-s} \left[ \left(1 - \frac{d+2}{3}\right) \zeta\left(s, \frac{d+2}{3}\right) + \left(1 - \frac{d+1}{3}\right) \zeta\left(s, \frac{d+1}{3}\right) + \left(1 - \frac{d}{3}\right) \zeta\left(s, \frac{d}{3}\right) \right. \\ \left. + \zeta\left(s-1, \frac{d+2}{3}\right) + \zeta\left(s-1, \frac{d+1}{3}\right) + \zeta\left(s-1, \frac{d}{3}\right) \right], $$

$$ \begin{aligned} \zeta^B(s, d|2, 3) = & 6^{-s} \left[ \left(1 - \frac{d+7}{6}\right) \zeta\left(s, \frac{d+7}{6}\right) + \left(1 - \frac{d+5}{6}\right) \zeta\left(s, \frac{d+5}{6}\right) + \left(1 - \frac{d+4}{6}\right) \zeta\left(s, \frac{d+4}{6}\right) \right. \\ & \left. + \left(1 - \frac{d+3}{6}\right) \zeta\left(s, \frac{d+3}{6}\right) + \left(1 - \frac{d+2}{6}\right) \zeta\left(s, \frac{d+2}{6}\right) + \left(1 - \frac{d}{6}\right) \zeta\left(s, \frac{d}{6}\right) \right. \\ & \left. + \zeta\left(s-1, \frac{d+7}{6}\right) + \zeta\left(s-1, \frac{d+5}{6}\right) + \zeta\left(s-1, \frac{d+4}{6}\right) + \zeta\left(s-1, \frac{d+3}{6}\right) + \zeta\left(s-1, \frac{d+2}{6}\right) \right. \\ & \left. + \zeta\left(s-1, \frac{d}{6}\right) \right]. \end{aligned} $$

On obtient au passage les valeurs spéciales $\zeta^B(0, 2|1, 1) = \frac{5}{12}$, $\zeta^B(0, 3|1, 2) = \frac{11}{24}$, $\zeta^B(0, 4|1, 3) = \frac{19}{36}$, et $\zeta^B(0, 5|2, 3) = \frac{31}{72}$. On peut également dériver les formules obtenues précédemment pour $\zeta^B(s, d|c_1, c_2)$. On obtient alors

$$ (\zeta^B)'(0, 2|1, 1) = -\zeta'(0, 2) + \zeta'(-1, 2), $$

$$ (\zeta^B)'(0, 3|1, 2) = -\frac{11 \ln(2)}{24} - \frac{1}{2} \zeta'\left(0, \frac{3}{2}\right) - \zeta'(0, 2) + \zeta'\left(-1, \frac{3}{2}\right) + \zeta'(-1, 2), $$

$$ (\zeta^B)'(0, 4|1, 3) = -\frac{19 \ln(3)}{36} - \zeta'(0, 2) - \frac{2}{3} \zeta'\left(0, \frac{5}{3}\right) - \frac{1}{3} \zeta'\left(0, \frac{4}{3}\right) + \zeta'(-1, 2) + \zeta'\left(-1, \frac{5}{3}\right) + \zeta'\left(-1, \frac{4}{3}\right), $$

$$ \begin{aligned} (\zeta^B)'(0, 5|2, 3) = & -\frac{31 \ln(6)}{72} - \zeta'(0, 2) - \frac{2}{3} \zeta'\left(0, \frac{5}{3}\right) - \frac{1}{2} \zeta'\left(0, \frac{3}{2}\right) - \frac{1}{3} \zeta'\left(0, \frac{4}{3}\right) - \frac{1}{6} \zeta'\left(0, \frac{7}{6}\right) + \frac{1}{6} \zeta'\left(0, \frac{5}{6}\right) \\ & + \zeta'(-1, 2) + \zeta'\left(-1, \frac{5}{3}\right) + \zeta'\left(-1, \frac{3}{2}\right) + \zeta'\left(-1, \frac{4}{3}\right) + \zeta'\left(-1, \frac{7}{6}\right) + \zeta'\left(-1, \frac{5}{6}\right), \end{aligned} $$

en notant $(\zeta^B)' = \partial_s \zeta^B$, et $\zeta'(s, d) = \partial_s \zeta(s, d)$.

Shintani a introduit des fonctions zêta lui permettant d'étudier des fonctions zêta de Dedekind rattachées à un corps de nombre totalement réel (voir [Shi76b] [Shi76a], [Shi77a], [Shi77b], [Shi77c], [Shi80]). Ces fonctions généralisent en particulier les fonctions zêta de Barnes :

**Définition 1.2.13.** Soit $P, Q \in \mathbb{N}$ des entiers, $c = (c_{q,p})_{1 \le p \le P, 1 \le q \le Q}$ et $(d_q)_{1 \le q \le Q}$ deux familles de complexes dans $H_0$. On appelle fonction zêta de Shintani la fonction zêta suivante

$$ \zeta^{Sh}(s, \mathbf{d}|\mathbf{c}) = \sum_{n_1, \dots, n_P \ge 0} \prod_{q=1}^{Q} (c_{q,1} n_1 + \dots + c_{q,P} n_P + d_q)^{-s}. $$

Observons que, pour $Q = 1$, on retrouve la définition de la fonction zêta de Barnes. Cette fonction zêta est holomorphe sur $H_{P/Q}$, et admet un prolongement méromorphe sur $\mathbb{C}$. Shintani a prouvé que cette fonction possède les mêmes pôles que ceux de la fonction $\frac{\Gamma(Ps - Q)}{\Gamma(s)}$. Il a également prouvé certaines formules aux entiers négatifs de ces fonctions. Une partie de notre travail permet en particulier d'étudier les valeurs de certaines de ces fonctions aux entiers négatifs, ainsi que les valeurs de leurs dérivées.
On déduit de ce qui précède que les fonctions zêta de Barnes et de Shintani sont régulières en les entiers négatifs. La valeur de leurs dérivées par rapport à la variable s en s = 0 permettent de définir des fonctions multigamma, introduites par Barnes dans [Bar04], puis généralisées par Friedmann et Ruijsenaars.

**Définition 1.2.14.** Soit $P \in \mathbb{N}^*$ un entier, et $(c_1, ..., c_P)$ une famille de complexes dans $H_0$, et $d \in H_0$. On appelle fonction multigamma de Barnes la fonction

$$ \Gamma_P(d|c_1, ..., c_P) := \exp((\partial_s \zeta^B(s, d|c_1, ..., c_P)))|_{s=0}). $$

**Exemple 1.2.15.** Soit $d \in H_0$, on a

$$ \Gamma_0(d) = \frac{1}{d} \\ \Gamma_1(d|1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \Gamma(d), $$

où $\Gamma$ désigne la fonction gamma d'Euler.

Barnes obtient aussi une relation fonctionnelle

$$ \Gamma_P(d|c_1, ..., c_P) = \Gamma_{P-1}(d|c_1, ..., c_{P-1})\Gamma_P(d + c_P|c_1, ..., c_P), $$

qui généralise la relation fonctionnelle de la fonction gamma d'Euler.

Via les fonctions zêta de type Shintani, Friedman et Ruijsenaars ont introduit dans [FR04] des fonctions multigamma de type Shintani, via une construction similaire à celle utilisée par Barnes.

**Définition 1.2.16.** Soit $P, Q \in \mathbb{N}^*$ des entiers, $\mathbf{c} = (c_{q,p})_{1 \le p \le P, 1 \le q \le Q}$ et $(d_q)_{1 \le q \le Q}$ deux familles de complexes dans $H_0$. On appelle fonction multigamma de Shintani la fonction :

$$ \Gamma_P(\mathbf{d}|\mathbf{c}_1, ..., \mathbf{c}_P) := \exp((\partial_s \zeta^{Sh}(s, \mathbf{d}|\mathbf{c}_1, ..., \mathbf{c}_Q)))|_{s=0}), $$

en notant $\mathbf{c}_q = (c_{q,p})_{p \in [1,P]}$.

Dans [FR04], Friedman et Ruijsenaars étudient ces fonctions multigamma de Shintani pour en déduire des formules de type Raabe, généralisant la formule de Raabe suivante :

$$ \int_{0}^{1} \ln(\Gamma(x))dx = \ln(\sqrt{2\pi}). $$

On discutera à présent d'une classe de fonctions zêta rattachées à des algèbres de Lie. Witten a introduit dans [Wit91] la série

$$ \sum_{\rho} \frac{1}{\dim(\rho)^{2g}}, $$

où $g$ est un entier positif, et $\rho$ parcourt les représentations irréductibles, à isomorphisme près, d'une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$, et $g \in \mathbb{N}^*$. Witten démontre en particulier que

$$ \sum_{\rho} \frac{1}{\dim(\rho)^{2g}} \in \pi^{2g}\mathbb{Q}. $$

Zagier introduira par la suite les fonctions zêta de Witten :

**Définition 1.2.17.** [Zag94] Soit $\mathfrak{g}$ une algèbre de Lie semisimple. On appelle fonction zêta de Witten rattachée à $\mathfrak{g}$ la fonction zêta

$$ \zeta_{\mathfrak{g}}(s) := \sum_{\rho} \dim(\rho)^{-s}, $$

où $\rho$ parcourt les classes d'isomorphismes des représentations irréductibles de $\mathfrak{g}$.
On introduit ensuite $r_g(n)$ le nombre de classes d'isomorphismes parmi les représentations de dimension $n$.

**Définition 1.2.18.** *Soit $\mathfrak{g}$ une algèbre de Lie semi-simple. Notons $r_{\mathfrak{g}}(n)$ le nombre de représentations de dimension $n$ de $\mathfrak{g}$, à isomorphisme près.*

Il est bien connu qu'une représentation d'une algèbre de Lie semi-simple se décompose de manière unique en somme directe de représentations irréductibles. Ainsi pour une représentation $\rho$ de $\mathfrak{g}$, on a en particulier qu'il existe des entiers $k_1, ..., k_m$ et des représentations irréductibles $\phi_1, ..., \phi_m$ tels que

$$ \dim(\rho) = \sum_{i=1}^{m} k_i \dim(\phi_i). $$

Plus précisément, pour les algèbres de Lie $\mathfrak{so}(5)$ et $\mathfrak{g}_2$, on a :

**Exemple 1.2.19.** [Hum72, §24.3]

1) L'ensemble des classes d'isomorphismes des représentations irréductibles de $\mathfrak{sl}(3)$ est de la forme $(\phi_{i,j})_{i,j \ge 1}$, avec

$$ \dim(\phi_{i,j}) = \frac{ij(i+j)}{2}. $$

On obtient que le nombre de représentations irréductibles de dimension $n$ de $\mathfrak{sl}(3)$ est

$$ \left| \left\{ (i,j) \in \mathbb{N}^{*2} \middle| \frac{ij(i+j)}{2} = n \right\} \right|, $$

et on obtient une expression du nombre de représentations $r_{\mathfrak{sl}(3)}(n)$ de $\mathfrak{sl}(3)$ :

$$ \begin{aligned} r_{\mathfrak{sl}(3)}(n) &= \left| \left\{ (k_{i,j})_{i,j \ge 1} \in (\mathbb{N})^{\mathbb{N}^{*2}} \middle| \sum_{i,j \ge 1} k_{i,j} \dim(\phi_{i,j}) = n \right\} \right|, \\ &= \left| \left\{ (k_{i,j})_{i,j \ge 1} \in (\mathbb{N})^{\mathbb{N}^{*2}} \middle| \sum_{i,j \ge 1} k_{i,j} \frac{ij(i+j)}{2} = n \right\} \right|. \end{aligned} $$

2) L'ensemble des classes d'isomorphismes des représentations irréductibles de $\mathfrak{so}(5)$ est de la forme $(\phi_{i,j})_{i,j \ge 1}$, avec

$$ \dim(\phi_{i,j}) = \frac{ij(i+j)(i+2j)}{3!}. $$

On obtient que le nombre de représentations irréductibles de dimension $n$ de $\mathfrak{so}(5)$ est

$$ \left| \left\{ (i,j) \in \mathbb{N}^{*2} \middle| \frac{ij(i+j)(i+2j)}{3!} = n \right\} \right|, $$

et on obtient une expression du nombre de représentations $r_{\mathfrak{so}(5)}(n)$ de $\mathfrak{so}(5)$ :

$$ \begin{aligned} r_{\mathfrak{so}(5)}(n) &= \left| \left\{ (k_{i,j})_{i,j \ge 1} \in (\mathbb{N})^{\mathbb{N}^{*2}} \middle| \sum_{i,j \ge 1} k_{i,j} \dim(\phi_{i,j}) = n \right\} \right| \\ &= \left| \left\{ (k_{i,j})_{i,j \ge 1} \in (\mathbb{N})^{\mathbb{N}^{*2}} \middle| \sum_{i,j \ge 1} k_{i,j} \frac{ij(i+j)(i+2j)}{3!} = n \right\} \right|. \end{aligned} $$
3) L'ensemble des classes d'isomorphismes des représentations irréductibles de $\mathfrak{g}_2$ est de la forme $(\phi_{i,j})_{i,j \ge 1}$, avec

$$ \dim(\phi_{i,j}) = \frac{ij(i+j)(i+2j)(i+3j)(2i+3j)}{5!}. $$

On obtient que le nombre de représentations irréductibles de dimension $n$ de $\mathfrak{g}_2$ est

$$ \left| \left\{ (i, j) \in \mathbb{N}^{*2} \middle| \frac{ij(i+j)(i+2j)(i+3j)(2i+3j)}{5!} = n \right\} \right|, $$

et on obtient une expression du nombre de représentations $r_{\mathfrak{g}_2}(n)$ de $\mathfrak{g}_2$ :

$$ \begin{aligned} r_{\mathfrak{g}_2}(n) &= \left| \left\{ (k_{i,j})_{i,j \ge 1} \in (\mathbb{N})^{\mathbb{N}^{*2}} \middle| \sum_{i,j \ge 1} k_{i,j} \dim(\phi_{i,j}) = n \right\} \right| \\ &= \left| \left\{ (k_{i,j})_{i,j \ge 1} \in (\mathbb{N})^{\mathbb{N}^{*2}} \middle| \sum_{i,j \ge 1} k_{i,j} \frac{ij(i+j)(i+2j)(i+3j)(2i+3j)}{5!} = n \right\} \right|. \end{aligned} $$

Posons $f_{\mathfrak{g}}(n)$ le nombre de représentations irréductibles de dimension $n$ d'une algèbre de Lie semi-simple $\mathfrak{g}$. Alors par définition des fonctions zêta de Witten, on a

$$ \zeta_{\mathfrak{g}}(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{f_{\mathfrak{g}}(n)}{n^s}. $$

On verra dans le Chapitre 6 que ces fonctions zêta admettent une écriture simplifiée à l'aide de produits de formes linéaires, via le Théorème de Weyl 6.2.9.

**Exemple 1.2.20.** [KMT24] On pose $\mathfrak{sl}_{n+1} = \{X \in \mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{C}) | \mathrm{tr}(X) = 0\}$, et $\mathfrak{so}_{2n+1} = \{X \in \mathcal{M}_{2n+1}(\mathbb{C}) | {}^tX + X = 0\}$, où $\mathrm{Tr}$ désigne la trace, et ${}^tX$ désigne la transposée d'une matrice. Pour ces algèbres de Lie, on peut associer des fonctions de zêta de Witten :

$$ \begin{aligned} \zeta_{\mathfrak{sl}(2)}(s) &= \zeta(s), \\ \zeta_{\mathfrak{sl}(3)}(s) &= 2^s \sum_{n_1, n_2 \ge 1} \frac{1}{n_1^s n_2^s (n_1 + n_2)^s}, \\ \zeta_{\mathfrak{so}(5)}(s) &= 6^s \sum_{n_1, n_2 \ge 1} \frac{1}{n_1^s n_2^s (n_1 + n_2)^s (n_1 + 2n_2)^s}. \end{aligned} $$

Pour l'algèbre de Lie exceptionnelle $\mathfrak{g}_2$ décrite dans [Bou81], on a

$$ \zeta_{\mathfrak{g}_2}(s) = 120^s \sum_{n_1, n_2 \ge 1} \frac{1}{n_1^s n_2^s (n_1 + n_2)^s (n_1 + 2n_2)^s (n_1 + 3n_2)^s (2n_1 + 3n_2)^s}. $$

Notons que dans la littérature, on trouve parfois des variantes multivariables de ces fonctions zêta dans les travaux de Matsumoto, Komori, Yasushi et Tsumura [KMT10c], [KMT10b], [KMT12], [KMT11b]. Ces auteurs donnent une expression de l'ensemble des singularités de ces fonctions multizêta de Witten. Cela nous permet en particulier d'obtenir des candidats pôles pour la fonction zêta de Witten univariable correspondante.

* De [KMT10d, Théorème 6.2], on en déduit que la fonction zêta $\zeta_{\mathfrak{so}(5)}(s)$ admet des pôles de la forme

$$ s = \frac{1}{2}, \quad s = \frac{1-k}{3} \quad (k \in \mathbb{N}). \qquad (1.5) $$

* De [KMT11a, Théorème 3.1], on en déduit que la fonction zêta $\zeta_{\mathfrak{g}_2}(s)$ admet des pôles de la forme

$$ s = \frac{1}{3}, \quad s = \frac{1-k}{5} \quad (k \in \mathbb{N}). \qquad (1.6) $$
On montrera via la Proposition 2.2.4 que les entiers négatifs ne sont pas des pôles pour $\zeta_{s\theta(5)}(s)$ et pour $\zeta_{g_2}(s)$.

Ces fonctions zêta sont très adaptées pour étudier les représentations des algèbres de Lie semi-simples, et on peut exprimer leurs valeurs spéciales afin d'obtenir des informations sur ses représentations. En particulier, des travaux de Romik [Rom17] permettent d'étudier le comportement asymptotique du nombre de représentations de degré $n$ de $\mathfrak{sl}(3)$ en fonctions des valeurs $\zeta_{\mathfrak{sl}(3)}(0)$ et $\zeta'_{\mathfrak{sl}(3)}(0)$, ainsi que des résidus de $\zeta_{\mathfrak{sl}(3)}(s)$ en des singularités de $\zeta_{\mathfrak{sl}(3)}$. Kurokawa et Ochiai dans [KO13] ont étudié les valeurs aux entiers négatifs de $\zeta_{\mathfrak{sl}(3)}(s)$, puis en ont déduit des résultats pour les valeurs de certaines fonctions zêta de Witten p-adiques.

Onodera a par la suite obtenu d'autres formules en étudiant une fonction zêta de type Mordell-Tornheim :

$$ \zeta_P^{MT}(s) := \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \frac{1}{(n_1 + d_1)^s \dots (n_P + d_P)^s (n_1 + d_1 + \dots + n_P + d_P)^s}, $$

avec $P \ge 2$ un entier. Observons qu'en posant $P = 2$, on obtient $2^{-s}\zeta_{\mathfrak{sl}(3)}(s)$.

Onodera calcule les valeurs de cette fonction zêta en les entiers négatifs via une expansion de Crandall. Cette stratégie consiste à découper le domaine d'intégration d'une représentation intégrale de la fonction zêta qui nous intéresse, le domaine dépendant d'une variable libre. Dans les faits, Onodera obtient l'expression suivante :

$$ \zeta_P^{MT}(s, \mathbf{d}) = \frac{1}{\Gamma(s)} \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \frac{1}{(n_1 + d_1)^s \dots (n_P + d_P)^s (n_1 + d_1 + \dots + n_P + d_P)} \int_{\theta(n_1+d_1+\dots+n_P+d_P)}^{+\infty} e^{-y} y^{s-1} dy \\ + \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\theta \prod_{p=1}^P e^{-d_p y_p} \phi(e^{-y}, s, d_p) dy_1 \dots dy_P $$

avec $\phi$ la fonction zêta de Lerch décrite dans la Définition 1.2.7, et où $\theta$ est une variable libre réelle suffisamment petite. Le premier terme à droite de l'égalité précédente aura le bon goût d'être holomorphe et de s'annuler en les entiers négatifs. Le second terme peut être réexprimé via la formule d'Erdélyi 2.6, et Onodera obtient finalement les formules suivantes :

**Théorème 1.2.21.** [Ono21, Théorème 3, Théorème 4] *Soit $\mathbf{d} \in \mathbb{R}_*^{+P}$ et $t \in [1, P-1]$ tel que $t < |\mathbf{d}|$. Pour tout entier $N \in \mathbb{N}$, on a*

$$ \zeta_P^{MT}(-N, \mathbf{d}) = \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \frac{(-1)^{(N+1)(|\mathcal{P}|)N!|\mathcal{P}|+1}}{|\mathcal{P}|+1} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}} \\ |\mathbf{k}|_{|\mathcal{P}|}=(|\mathcal{P}|+1)N+|\mathcal{P}|}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N-k_p, d_p)}{k_p!} $$

$$ \zeta_P^{MT'}(-N, \mathbf{d}) = \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} (-1)^{|\mathcal{P}|^c|(N+1)-1} N!^{|\mathcal{P}|^c} \left( \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}} \\ u \ge 0 \\ |\mathbf{k}|_{|\mathcal{P}|+u}+(|\mathcal{P}|^c+1)N+|\mathcal{P}|^c|}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N-k_p, d_p)}{k_p!} \right) \cdot \left( \frac{(-1)^N \zeta'(-N-u, |\mathbf{d}|-t)}{u!} + \frac{1}{|\mathcal{P}|^c} \sum_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{(-1)^N \zeta'(-N-u, d_p)}{u!} \right) $$

où l'on a noté $\zeta_P^{MT'}(s, \mathbf{d}) := \partial_s \zeta_P^{MT}(s, \mathbf{d})$

Onodera obtient également des valeurs pour les dérivées secondes [Ono21, Théorème 5], que l'on ne détaillera pas ici. On cherchera dans cette thèse à généraliser le théorème ci-dessus pour une classe de fonctions zêta plus large. Cela nous permettra en particulier d'obtenir des valeurs aux entiers négatifs de $\zeta_{s\theta(5)}(s)$ et de $\zeta_{g_2}(s)$, ainsi que celles de leurs dérivées premières.
1.2.2 Quelques résultats sur certaines fonctions multizêta

On donnera ici quelques résultats sur les valeurs spéciales de certaines fonctions multizêta rattachées à des produits de formes linéaires. En particulier, on détaillera des expressions de ces valeurs pour les fonctions multizêta d’Euler Zagier :

**Définition 1.2.22.** Soit $P \in \mathbb{N}^*$, et $\mathbf{c} = (c_1, ..., c_P) \in \mathbb{H}_0^P$, $\mathbf{d} = (d_1, ..., d_P) \in \mathbb{C}^P$ des complexes tels que $\mathrm{Re}(d_i) > -\mathrm{Re}(c_1)$ pour tout $p \in [1, P]$. On appelle fonction multizêta d’Euler-Zagier généralisée la fonction

$$
\zeta_P^{EZ}(\mathbf{s}, \mathbf{d}) = \sum_{\substack{n_1 \ge 1 \\ n_2, \dots, n_P \ge 0}} \prod_{p=1}^{P} (c_1 n_1 + \dots + c_P n_P + d_p)^{-s_p}.
$$

On notera $\zeta_P^{EZ}(\mathbf{s}) := \zeta(\mathbf{s}, \mathbf{1}, (0, 1, \dots, P-1))$ la fonction multizêta d'Euler Zagier.

Observons que, via un changement de variable, on peut réécrire la fonction zêta d'Euler-Zagier
"classique" sous la forme suivante,

$$
\zeta_P^{EZ}(\mathbf{s}) = \sum_{0 < n_1 < \dots < n_P} \frac{1}{n_1^{s_1} \dots n_P^{s_P}}.
$$

**Proposition 1.2.23.** La fonction multizêta d’Euler-Zagier généralisée $\zeta_P^{EZ}(\mathbf{s}, \gamma, \mathbf{d})$ est holomorphe sur $\{(s_1, \dots, s_P) \in \mathbb{C}^P | \sigma_k + \dots + \sigma_P > P + 1 - k, 1 \le k \le P\}$, et est méromorphe sur $\mathbb{C}^P$, avec des pôles inclus dans les hyperplans de la forme

$$
s_p + \dots + s_P = (P + 1 - p) - k_p, \quad (1 \le p \le P, k_1, \dots, k_P \in \mathbb{N}).
$$

On voit de la proposition précédente que la quantité ζ_{P}^{EZ}(-N, d) n'a pas toujours un sens. De plus,
un résultat de [AET01] précise même que la plupart des multi-entiers négatifs sont en fait des singularités
pour ζ_{P}^{EZ}(s). Afin d'étudier tout de même les valeurs de cette fonction, Akiyama, Egami et Tanigawa
étudient les valeurs "régulières" de cette fonction zêta en posant

$$
\zeta_P^{EZ,reg}(-\mathbf{N}) := \lim_{s_1 \to -N_1} \dots \lim_{s_P \to -N_P} \zeta_P^{EZ}(\mathbf{s}).
$$

Les auteurs introduisent également des valeurs "non régulières" en inversant les limites précédentes, en posant

$$
\zeta_P^{EZ,non-reg}(-\mathbf{N}) := \lim_{s_P \to -N_P} \dots \lim_{s_1 \to -N_1} \zeta_P^{EZ}(\mathbf{s}).
$$

Dans [AET01] et dans [AT01], les auteurs obtiennent une formule récursive entre les valeurs régulières
$\zeta_P^{EZ,reg}(-\mathbf{N})$ (respectivement $\zeta_P^{EZ,non-reg}(-\mathbf{N})$) avec $\mathbf{N} \in \mathbb{N}^P$, et les valeurs régulières de la forme
$\zeta_{P-1}^{EZ,reg}(-\mathbf{N}')$ (respectivement $\zeta_{P-1}^{EZ,non-reg}(-\mathbf{N}')$), avec $\mathbf{N}' \in \mathbb{N}^{P-1}$ afin d'obtenir une expression explicite
des valeurs régulières et non régulières aux entiers négatifs. Ces résultats ont par la suite été généralisés
par Sasaki dans [Sas09a] et dans [Sas09b] à des ordres de limites différentes que celles des valeurs régulières
et non-régulières aux multi-entiers négatif.

On peut également étudier les valeurs "directionnelles" de cette fonction multizêta. Dans [Kom10], Komori introduit la notion de valeur directionnelle pour de telles fonctions multizêta, et donne une expression de celles-ci pour des fonctions multi-zêta de type Hurwitz-Lerch. Komori en déduit alors des formules pour les valeurs aux entiers négatifs de la fonction zêta de Shintani et d'Euler-Zagier, en utilisant des nombres de Bernoulli généralisés (souvent non explicites).

**Définition 1.2.24.** *Soit P, Q ∈ N*\* des entiers, **d** = (d₁, ..., dQ), **c** = (cq,p)(q,p)∈[1,Q]×[1,P] et ξ = (ξ₁, ..., ξP) des complexes tels que cq,p ∈ H̄₀, dq ∈ H₀ et ξq ∈ T = C/2iπZ. On appelle fonction multizêta d'Hurwitz-Lerch la fonction multizêta*

$$
\zeta^{HL}(\xi, \mathbf{d}, \mathbf{c}, \mathbf{s}) = \sum_{n_1=0}^{+\infty} \dots \sum_{n_P=0}^{+\infty} \frac{e^{\xi_1 n_1} \dots e^{\xi_P n_P}}{(c_{1,1} n_1 + \dots + c_{1,P} n_P + d_1)^{s_1} \dots (c_{Q,1} n_1 + \dots + c_{Q,P} n_P + d_Q)^{s_Q}}
$$
On pose également les valeurs directionnelles de $\zeta^{HL}$, suivant une direction $\mu \in \mathbb{C}^P$ :

$$ \zeta^{HL}(\xi, \mathbf{d}, \mathbf{c}, -\mathbf{N}_{\mu}) := \lim_{s \to 0} \zeta^{HL}(\xi, \mathbf{d}, \mathbf{c}, -\mathbf{N} + s\mu). $$

Komori montre que cette fonction multizêta est holomorphe sur $\{s \in \mathbb{C} | \forall q \in [1, Q], \mathrm{Re}(s_q) > \sigma_{0,q}\}$ avec $\sigma_{0,q} > 0$ pour tout $q \in [1, Q]$. Il démontre également que cette fonction multizêta admet un prolongement méromorphe sur $\mathbb{C}^Q$, et que les valeurs directionnelles définies précédemment ont un sens. Avant de brièvement résumer ses résultats, on doit imposer les conditions suivantes sur les données de la fonction multizêta $\zeta^{HL}$ :

On suppose qu'il existe un entier $P_0 \in [1, P]$ et un ensemble $\mathcal{B} \subset [1, Q] \times [1, P_0]$ tel que

$$ \begin{cases} c_{q,p} = 0 & \text{si et seulement si } (q, p) \in \mathcal{B}^c \\ \xi_p = 0 & \text{si et seulement si } p \in [1, P_0], \end{cases} $$

avec $\mathcal{B}^c = [1, Q] \times [1, P_0] \setminus \mathcal{B}$. On pose $\mathcal{B}_{\bullet p} := \{q | (q, p) \in \mathcal{B}\}$. On suppose que $\mathcal{B}_{\bullet p} \neq \emptyset$ pour tout $p \in [1, P_0]$.

Komori donne dans [Kom10] une représentation intégrale surfacique (c'est-à-dire une représentation intégrale dont le domaine est une surface) de la fonction multizêta $\zeta^{HL}(\xi, \mathbf{d}, \mathbf{c}, \mathbf{s})$. Cette représentation intégrale surfacique généralise en particulier la représentation intégrale usuelle de la fonction zêta de Riemann

$$ \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)(e^{2i\pi s} - 1)} \int_C \frac{z^{s-1}}{e^z - 1} dz, $$

où $C$ désigne le contour de Hankel [EMOT81, §1.10]. Au passage, il est bon de rappeler que cette représentation intégrale de $\zeta(s)$ permet en particulier d'obtenir une formule pour les valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers négatifs à l'aide des nombres de Bernoulli, en utilisant la relation

$$ \frac{z}{e^z - 1} = \sum_{k=0}^{+\infty} B_k \frac{z^k}{k!}. $$

Dans la même veine, Komori utilise ensuite la représentation intégrale surfacique obtenue dans [Kom10, Théorème 3.14] pour obtenir une expression des valeurs directionnelles en fonction de nombres de Bernoulli généralisés $B_w(\xi, \mathbf{d}, \mathbf{c}, \mathbf{k})$ avec $\mathbf{k} \in \mathbb{N}^Q$. Pour voir la construction de ces nombres, voir [Kom10, Définition 3.20].

**Théorème 1.2.25.** [Kom10, Théorème 3.14, Corollaire 3.16] Sous les hypothèses décrites précédemment, la fonction multizêta $\zeta^{HL}(\xi, \mathbf{d}, \mathbf{c}, \mathbf{s})$ admet un prolongement méromorphe en $\mathbf{s}$ sur tout $\mathbb{C}^P$. De plus, ses singularités sont incluses dans les hyperplans de la forme

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \sum_{q \in \mathcal{Q}} s_q = Q - k & (Q \subset [1, Q], |\mathcal{Q}| \ge 2, k \in \mathbb{N}) \\ s_q = 1, \dots, P & (1 \le q \le Q). \end{array} \right. $$

De plus, Komori démontre dans [KMT10a, Théorème 3.22] que les valeurs directionnelles $\zeta^{HL}(\xi, \mathbf{d}, \mathbf{c}, -\mathbf{N}_{\mu})$ ont un sens, et il en donne une expression non explicite en général, en imposant une condition de non-annulation sur la somme des directions. On obtient au passage que, si l'on arrive à réexprimer les nombres de Bernoulli généralisés dans la formule obtenue par Komori, alors cette formule permet de montrer si un multientier négatif est une singularité pour $\zeta^{HL}$. En effet, si l'on obtient deux valeurs distinctes de $\zeta^{HL}$ en un multientier négatif, selon deux directions différentes, cela implique en particulier que le multientier négatif est une singularité.

**Remarque 1.2.26.** La formule directionnelle [KMT10a, Théorème 3.22] obtenue par Komori n'est pas très explicite, puisqu'il est parfois difficile d'obtenir une expression satisfaisante des nombres de Bernoulli généralisés qu'il introduit dans son article.
Dans [EM20], Essouabri et Matsumoto ont étudié les valeurs directionnelles de la fonction multizêta d'Euler-Zagier généralisée. On donnera ici seulement une formule très simplifiée et beaucoup moins détaillée :

**Théorème 1.2.27.** [EM20, Théorème 1] *Soit $\mathbf{N} \in \mathbb{N}^P$, et $\mathbf{c} = (c_1, ..., c_P) \in \mathbb{C}^P$ tel que $\mathrm{Re}(\mu_p + ... + \mu_P) \neq 0$ pour tout $p \in [1, P]$. Alors la quantité $\zeta_P^{EZ}(-\mathbf{N}, \mathbf{c}, \mathbf{d}) := \lim_{s \to 0} \zeta_P^{EZ}(-\mathbf{N} + s\mathbf{\mu}, \mathbf{c}, \mathbf{d})$ existe, et on a :*

$$ \zeta_P^{EZ}(-\mathbf{N}, \mathbf{c}, \mathbf{d}) = \sum_{\mathbf{k}=(k_1, ..., k_P) \in [0, |\mathbf{N}|+P+1]^P} P_{\mathbf{k}}(\mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{\mu}) \prod_{i=1}^{P} B_{k_i}, $$

avec $B_n$ qui désigne le n-ième nombre de Bernoulli, et $P_{\mathbf{k}}(\mathbf{b}, \mathbf{\gamma}, \mathbf{\mu})$ qui est un polynôme explicite en les $\gamma_p, d_p$ et $\mu_p$ pour $p \in [1, P]$.

**Remarque 1.2.28.** 1) Dans [EM21], Essouabri et Matsumoto ont obtenu un résultat similaire pour les valeurs spéciales d'une classe de fonction multizêta plus générale de la forme

$$ \zeta_m(\mathbf{s}, \mathbf{P}) = \sum_{n_1, \dots, n_m} \frac{1}{\prod_{j=1}^m P_j(n_1, \dots, n_j)}, $$

avec $P_j$ un polynôme en les $X_1, ..., X_j$ variables, pour $1 \le j \le m$, vérifiant la condition H0S (voir [Ess97]) tels que

$$ \lim_{x_1+...+x_j \to +\infty} P_j(x_1, ..., x_j) = +\infty, $$

et en imposant que le polynôme $P_m$ est homogène et elliptique.

2) Dans [MW02], Matsumoto et Weng ont étudié des fonctions zêta de la forme

$$ \zeta^{MW}(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{P(n)}{Q(n)^s}, $$

avec $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls tels que $Q$ ne s'annule pas en les entiers strictement positifs. Matsumoto et Weng obtiennent une formule de la dérivée en $s = 0$. L'intérêt de ce genre de formule provient de l'étude du déterminant régularisé du Laplacien de la n-sphère (voir [Var88], [WY96], [QC96], [Kum99]).

### 1.2.3 Sur les formules asymptotiques de différents nombres de partitions

On détaillera dans cette sous-section quelques applications au calcul des valeurs spéciales de certaines fonctions zêta de Witten, et de leurs dérivées. On discutera également du théorème de Meinardus qui fournit une formule asymptotique de certains nombres de partition généré par des produits infinis. On mentionnera également des travaux récents de Bridges, Brindle, Bringmann, Craig, Franke, Males à propos de formule asymptotique de certains nombres de partition dans les préprints [BB23], [BBF23], [BCM23], [BBBF23]. On donnera en particulier quelques résultats obtenus par Bridges, Bringmann, Brindle, Franke dans [BBBF23], et on parlera de leur approche.

En combinatoire, il est classique d'utiliser une série génératrice de la forme

$$ \omega(q) = \sum_{n \ge 0} r(n)q^n, $$

afin d'étudier le comportement d'une suite de réels $r(n)$. Si la fonction $\omega$ est holomorphe sur $|q| < 1$, alors on a par théorème de Cauchy que

$$ r(n) = \frac{1}{2i\pi} \int_C \frac{\omega(q)}{q^{n+1}} dq, $$

avec $C$ un cercle centré en 0 parcouru dans le sens trigonométrique, inclus dans le disque unité. En général, il n'existe pas de résultat permettant d'obtenir une relation asymptotique pour une suite $r(n)$.
On se concentrera dans la suite de cette section sur une série génératrice s'écrivant sous la forme d'un produit infini.

On considère une fonction $G_f(q)$ de la forme

$$G_f(q) = \prod_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(1 - q^n)^{f(n)}},$$

avec $f(n)$ des réels. En distribuant le produit, on obtient

$$G_f(q) = \sum_{n=0}^{+\infty} p_f(n)q^n, \qquad (1.7)$$

On considère la série de Dirichlet

$$L_f(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{f(n)}{n^s} \quad (s = \sigma + i\tau, \sigma > \sigma_0),$$

avec $\sigma_0$ son abscisse de convergence.

**Exemple 1.2.29.** [And76, 5.1.2] Le plus simple produit infini auquel on puisse penser correspond à l'étude du nombre de partitions $p(n)$ d'un entier $n$ :

$$\prod_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{1 - q^n} = \sum_{n=1}^{+\infty} p(n)q^n.$$

La série de Dirichlet correspondante est la fonction zêta de Riemann. Hardy et Ramanujan ont démontré que, lorsque $n \to +\infty$, on a

$$p(n) \sim \frac{1}{4n\sqrt{3}} \exp\left(\pi\sqrt{\frac{2n}{3}}\right).$$

On pose maintenant

$$g_f(z) := \sum_{n=1}^{+\infty} f(n)e^{-nz}.$$

On suppose les conditions suivantes :

i) $\sigma_0 > 0$.

ii) $L_f$ admet un prolongement méromorphe sur $H_{-C_0}$, avec $0 < C_0 < 1$ et tel que $L_f$ n'ait qu'un seul pôle en $s = \sigma_0$ sur ce domaine, que ce pôle soit d'ordre 1, et de résidu $A$.

iii) On a la majoration suivante lorsque $\tau \to +\infty$, et uniforme en $\sigma > -C_0$,

$$|L_f(s)| = O(|\tau|^{C_1}),$$

$$\text{avec } C_1 > 0 \text{ et } s = \tau + i\sigma.$$

iv) Soit $\epsilon > 0$. Pour tout $z = x + 2i\pi y$ tel que $\arg(z) > \frac{\pi}{4}$, $|x| \le \frac{1}{2}$ et $|y| \ll 1$, on a

$$\mathrm{Re}(g_f(z)) - g_f(x) \le -C_2 x^{-\epsilon},$$

$$\text{avec } C_2 > 0 \text{ une constante dépendant de } \epsilon.$$

Le théorème de Meinardus donne alors une relation asymptotique pour la suite $p_f(n)$
**Théorème 1.2.30** (de Meinardus). [And76, Théorème 6.2] Pour $n \to +\infty$, on a

$$p_f(n) = C n^{\kappa} \exp \left( n^{\frac{\alpha}{\alpha+1}} \left( 1 + \frac{1}{\alpha} \right) \left( A\Gamma(\alpha+1)\zeta(\alpha+1) \right)^{\frac{1}{\alpha}} \right) (1 + O(n^{-\kappa_1})),$$

avec $p_f(n)$ définie via la formule (1.7), et $C, \kappa, \kappa_1$ des réels dépendant de $L_f(0)$, $L'_f(0)$, $C_0$ et $\alpha$.

La démonstration de ce théorème repose sur la méthode du point selle, dont on expliquera quelques points clés ici. Pour les détails de la méthode, on se réfère à [FS09, VIII.3]. La méthode exploite le fait que l'intégrale $\frac{1}{2i\pi} \int_C \frac{G_f(q)}{q^{n+1}} dq$ est indépendante du rayon du cercle $C$ inclus dans le disque unité. On peut alors utiliser cette indépendance en choisissant judicieusement un rayon $\rho_0(n)$ adéquat. La méthode du point selle consiste à choisir ce rayon de tel sorte à minimiser $\left| \frac{G_f(q)}{q^n} \right|$ sur un arc de cercle mineur du cercle $C_1(\theta_0(n))$. Concrètement, on choisit un tel point selle de tel sorte que la dérivée de l'intégrande en $q = \rho_0(n)$ soit un $O(n^\delta)$, avec $\delta$ bien choisie. Alternativement, on peut chercher $\rho_n$ en étudiant la dérivée de la fonction

$$h_f(z) := \ln(L_f(z)) - n \log(z).$$

On cherche alors $\rho_n$ de tel sorte que $h'_f(\rho_0(n)) = -n + O(n^\delta)$.

On aura alors une approximation quadratique lorsque $\theta \to 0$ :

$$h_f(\rho_0(n)e^{i\theta}) - h_f(\rho_0(n)) =: -\frac{1}{2}\beta(\rho_0(n))\theta^2 + o(\theta^3) + O(n^\delta),$$

où $\beta(\rho(n))$ est une constante dépendant de $\rho(n)$, et du choix de $\delta$. On cherchera alors à déterminer un angle $\theta_0(n)$ de tel sorte que

$$\beta(\rho_0(n))\theta_0(n)^2 \xrightarrow{\theta \to 0} +\infty, \quad h''(\rho_0(n))\theta_0(n)^3 \xrightarrow{\theta \to 0} 0.$$

Pour un tel choix de $\theta_0(n)$, on en déduit en particulier que le comportement de l'intégrale sur l'arc mineur $C_0$ se comporte comme une intégrale gaussienne, dont les bornes dépendent de $n$, que l'on sait approximer.

Debruyne et Tennenbaum ont obtenu dans [DT20] une version plus générale du théorème de Meinardus en raffinant la condition iii) sur la croissance de $L_f$ lorsque la partie imaginaire $\tau$ est grande. En étudiant les fonctions zêta de Witten, on s'apercevra que l'on ne peut pas appliquer simplement le théorème de Meinardus pour obtenir une expression asymptotique du nombre de représentations des algèbres de Lie $r_g(n)$ qui nous intéressent. Cependant, en modifiant astucieusement la preuve du Théorème de Meinardus, puis en étudiant les résidus de $\zeta_{s(3)}(s)$ en $s = \frac{1}{2}, \frac{2}{3}$, et en calculant les valeurs spéciales $\zeta_{s(3)}(0)$ et $\zeta'_{s(3)}(0)$, Romik a obtenu le Théorème suivant :

**Théorème 1.2.31.** [Rom17, Théorème 1.1] Au voisinage de $+\infty$, on a

$$r_{s(3)}(n) = (1 + o(1)) \frac{K}{n^{3/5}} \exp \left( A_1 n^{2/5} - A_2 n^{3/10} - A_3 n^{1/5} - A_4 n^{1/10} \right),$$

avec les constantes $A_1, A_2, A_3, A_4$ et $K$ des constantes explicites : On pose tout d'abord

$$X = \left( \frac{1}{9} \Gamma \left( \frac{1}{3} \right)^2 \zeta \left( \frac{5}{3} \right) \right), \quad Y = -\sqrt{\pi} \zeta \left( \frac{1}{2} \right) \zeta \left( \frac{3}{2} \right).$$

Les constantes $A_1, A_2, A_3, A_4, K$ sont alors définies par les relations suivantes :

$$A_1 = 5X^2 = 6.858260476...$$

$$A_2 = X^{-1}Y = 5.77360174...$$

$$A_3 = \frac{3}{80}X^{-4}Y^2 = 0.91134107...$$

$$A_4 = \frac{11}{3200}X^{-7}Y^3 = 0.35163754...$$

$$K = \frac{2\sqrt{3\pi}}{\sqrt{5}} X^{1/3} \exp \left( -\frac{1}{2560} X^{-10} Y^4 \right) = 2.44629033486...$$
Notons que dans [Rom17], le calcul de la constante $Y$ dépend en particulier de la valeur spéciale $\zeta'_{sl(3)}(0) = -\ln(2\pi) + \ln(2)$ calculée dans [BD18]. De plus, toutes ces constantes dépendent également du calcul des résidus de $\zeta_{sl(3)}(s)$ en $s = \frac{1}{2}$ et en $s = \frac{2}{3}$.

Par la suite, Bridges, Bringmann et Franke ont obtenu dans [BBF23] une formule asymptotique pour le nombre de représentations irréductible de dimension $n$ de $sl(3)$ en étudiant la fonction zêta de Witten $\zeta_{sl(3)}(s)$, et en utilisant un théorème Taubérien.

Romik conjecture qu'il est possible d'obtenir des résultats similaires sur des nombres de représentations $r_g(n)$ pour d'autres algèbres de Lie $g$. Pour étendre ce résultat, on a besoin d'établir un théorème de type Meinardus, et également d'obtenir des informations sur les pôles et les résidus de la fonction zêta de Witten correspondant dans la bande $0 \le \Re(s) \le 1$ pour la fonction zêta de Witten $\zeta_g(s)$, puis d'obtenir une expression de $\zeta'_g(0)$.

Motivés par cette question, Bridges, Brindle, Bringmann et Franke ont établi une variante du Théorème de Meinardus plus général dans le preprint [BBBF23]. Soit $f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{N}$. On pose pour tout $q = e^{-z}$, $z \in H_0$ les fonctions

$$G_f(z) = \sum_{n \ge 0} p_f(n) q^n = \prod_{n \ge 1} \frac{1}{(1 - q^n)^{f(n)}}, \quad L_f(s) = \sum_{n \ge 1} \frac{f(n)}{n^s}.$$

On pose $\Lambda := \mathbb{N}\setminus f^{-1}(\{0\})$. On suppose les conditions suivantes :

(P1) Soit $\alpha > 0$ le pôle le plus large de $L_f$. Il existe un entier $L \in \mathbb{N}$ tel que, pour tout nombre premier $p$,

$$|\Lambda \setminus (p\mathbb{N} \cap \Lambda)| \ge L > \frac{\alpha}{2}.$$

(P2) Il existe un réel $R \in \mathbb{R}_+$ tel que $L_f$ soit méromorphe sur $\bar{H}_{-R} = \{z \in \mathbb{C}, Re(z) \ge -R\}$, et tel que $L_f$ soit holomorphe sur la droite $(Re(z) = -R)$. De plus, on suppose que la fonction méromorphe $L_f^*(s) := \Gamma(s)\zeta(s+1)L_f(s)$ possède uniquement des pôles réels $\alpha := \gamma_1 > \dots$, que ces pôles sont simples à part en $s = 0$, où le pôle peut être un pôle double.

(P3) Il existe un réel $a < \frac{\pi}{2}$ tel que, sur chaque bande $\sigma_1 \le \sigma \le \sigma_2$ dans le domaine d'holomorphie de $L_f$, on a

$$L_f(s) = O_{\sigma_1, \sigma_2} \left( e^{a|\tau|} \right) \quad (s = \sigma + i\tau),$$

$$\text{lorsque } |\tau| \to +\infty.$$

**Théorème 1.2.32.** [BBBF23, Théorème 1.4] On suppose les conditions (P1), (P2) et (P3). Notons $L$ le réel de la condition (P1) et $R$ le réel de la condition (P2). Alors pour $M, N \in \mathbb{N}$, on a

$$p_f(n) = \frac{C}{n^{\beta}} \exp \left( A_1 n^{\frac{\alpha}{\alpha+1}} + \sum_{j=2}^{M} A_j n^{\alpha_j} \right) \left( 1 + \sum_{j=2}^{N} \frac{B_j}{n^{\nu_j}} + O_{L,R} \left( n^{-\min\left\{\frac{2L-\alpha}{2(\alpha+1)}, \frac{R}{\alpha+1}\right\}} \right) \right),$$

$$\text{avec } 0 \le \alpha_M < \dots < \alpha_1 := \frac{\alpha}{\alpha+1}, \ 0 < \nu_2 < \dots < \nu_N, \ A_1, \dots, A_M \text{ et } B_2, \dots, B_N \text{ des réels explicites.}$$

Lorsque la fonction méromorphe $L_f$ ne possède que deux pôles strictement positifs, Bridges, Brindle, Bringmann et Franke obtiennent une formule plus précise. Introduisons tout d'abord les constantes suivantes : Posons $\alpha > \beta > 0$ les deux seuls pôles positifs de $L_f$. On note $\omega_\alpha = \text{Res}_{s=\alpha}(L_f(s))$ et $\omega_\beta = \text{Res}_{s=\beta}(L_f(s))$ les résidus de $L_f$ en ses pôles positifs, et on pose $c_1 = \omega_\alpha\Gamma(\alpha+1)\zeta(\alpha+1)$, $c_2 = \omega_\beta\Gamma(\beta+1)\zeta(\beta+1)$, $c_3 = L_f(0)$. On note

$$C = \frac{e^{L_f(0)} (\omega_\alpha \Gamma(\alpha+1) \zeta(\alpha+1))^{\frac{1}{2}-\frac{L_f(0)}{\alpha+1}}}{\sqrt{2\pi(\alpha+1)}} \quad b = \frac{1 - L_f(0) + \frac{\alpha}{2}}{\alpha+1}.$$
On note $\mathcal{P}_R$ l'union du singleton $\{0\}$ et des pôles plus grand que $-R$ de $L_f^*$

$$ 
\begin{aligned}
\mathcal{L} &= \frac{1}{\alpha+1} \mathcal{P}_R + \sum_{\mu \in \mathcal{P}_R} \left( \frac{\mu+1}{\alpha+1} - 1 \right) \mathbb{N}, \\
\mathcal{M} &:= \frac{\alpha}{\alpha+1} \mathbb{N} + \left( - \sum_{\mu \in \mathcal{P}_R} \left( \frac{\mu+1}{\alpha-1} - 1 \right) \mathbb{N} \right) \cap \left[ 0, \frac{R+\alpha}{\alpha+1} \right].
\end{aligned}
$$

**Théorème 1.2.33.** [BBBF23, Théorème 4.4] On suppose les conditions (P1), (P2) et (P3). Notons $L$ le réel de la condition (P1) et $R$ le réel de la condition (P2). De plus, on suppose que $L_f$ n'a que deux pôles $\alpha > \beta > 0$ tels qu'il existe un entier $l \in \mathbb{N}^*$ vérifiant l'inégalité $\frac{l+1}{l}\beta < \alpha < \frac{l}{l-1}\beta$. Alors on a

$$ p_f(n) = \frac{C}{n^b} \exp \left( A_1 n^{\frac{\alpha}{\alpha+1}} + A_2 n^{\frac{\beta}{\alpha+1}} + \sum_{j=3}^{l+1} A_j n^{\frac{(j-1)\beta}{\alpha+1} + \frac{j-2}{\alpha+1} + 2-j} \right) \left( 1 + \sum_{j=2}^{N} \frac{B_j}{n^{\nu_j}} + O_{L,R} \left( n^{-\min\left\{\frac{2L-\alpha}{2(\alpha+1)}, \frac{R}{\alpha+1}\right\}} \right) \right), $$

avec $A_1 := (\omega_\alpha \Gamma(\alpha+1) \zeta(\alpha+1))^{\frac{1}{\alpha+1}} \left(1+\frac{1}{\alpha}\right)$, et $A_2 := \frac{\omega_\beta \Gamma(\beta) \zeta(\beta+1)}{(w_\alpha \Gamma(\alpha) \zeta(\alpha+1))^{\frac{\beta}{\alpha+1}}}$, et pour tout $j \ge 3$,

$$ 
\begin{aligned}
A_j := & K_j + \frac{c_1^{\frac{1}{\alpha+1}}}{\alpha} \sum_{m=1}^{l} \binom{-\alpha}{m} \sum_{\substack{0 \le k_1 \le \dots \le k_l \le m \\ |\mathbf{k}|=m \\ k_1+2k_2+\dots+l k_l=j-1}} \binom{m}{\mathbf{k}} \frac{K_2^{k_1} \dots K_{l+1}^{k_l}}{c_1^{\frac{m}{\alpha+1}}} \\
& + \frac{c_2}{\beta c_1^{\frac{\beta}{\alpha+1}}} \sum_{m=1}^{l} \binom{-\beta}{m} \sum_{\substack{0 \le k_1 \le \dots \le k_l \le m \\ |\mathbf{k}|=m \\ k_1+2k_2+\dots+l k_l=j-2}} \binom{m}{\mathbf{k}} \frac{K_2^{k_1} \dots K_{l+1}^{k_l}}{c_1^{\frac{m}{\alpha+1}}},
\end{aligned}
$$

avec $(K_j)_{j \ge 3}$ décrit dans [BBBF23, Lemme 4.3], et $0 < \nu_2 < \dots$ les éléments strictement positifs de $\mathcal{L} + \mathcal{M}$.

**Remarque 1.2.34.** Pour étudier le comportement asymptotique de $r_{g_2}(n)$, on aurait besoin de connaître $K_3$, et d'après [BBBF23, Lemme 4.3], on a

$$ K_3 = \frac{c_2^2(\alpha - 2\beta)}{2(\alpha + 1)^2 c_1^{\frac{2\beta+1}{\alpha+1}}}, $$

avec $c_1$ et $c_2$ des constantes explicites telles que

$$ c_1 = \omega_{\alpha} \Gamma(\alpha + 1) \zeta(\alpha + 1), \quad c_2 = \omega_{\beta} \Gamma(\beta + 1) \zeta(\beta + 1). $$

De plus, pour étudier le comportement asymptotique de $r_{g_2}(n)$, on verra que l'entier $l = 2$ fonctionne car, on aurait alors $L_f(s) = \zeta_{g_2}(s)$, et les pôles positifs de cette fonction zêta sont $s = \frac{1}{3}$ et $s = \frac{1}{5}$.

En appliquant ce théorème, les 4 auteurs ont obtenu des résultats similaires à Romik pour le nombre de représentations $r_{s_0(5)}(n)$ :

**Théorème 1.2.35.** [BBBF23, Théorème 1.3] Pour tout entier $N \ge 1$, on a

$$ r_{s_0(5)}(n) = \frac{C}{n^{\frac{7}{12}}} \exp \left( A_1 n^{\frac{1}{3}} + A_2 n^{\frac{2}{9}} + A_3 n^{\frac{1}{9}} + A_4 \right) \left( 1 + \sum_{j=2}^{N+1} \frac{B_j}{n^{\frac{j-1}{9}}} + O_N \left( n^{-\frac{N+1}{9}} \right) \right), $$
avec

$$b = \frac{7}{12}, \quad C = \frac{e^{\zeta'_{s_0(5)}(0)} \Gamma(\frac{1}{4})^{\frac{1}{6}} \zeta(\frac{3}{2})^{\frac{1}{12}}}{2^{\frac{1}{3}} 3^{\frac{11}{24}} \sqrt{\pi}}, \quad A_1 = \frac{3^{\frac{4}{3}} \Gamma(\frac{1}{4})^{\frac{4}{3}} \zeta(\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{8}{3}}},$$

$$A_2 = \frac{2^{\frac{8}{9}} (2^{\frac{1}{3}} + 1) \Gamma(\frac{1}{3}) \zeta(\frac{1}{3}) \zeta(\frac{4}{3})}{3^{\frac{7}{9}} \Gamma(\frac{1}{4})^{\frac{4}{9}} \zeta(\frac{3}{2})^{\frac{2}{9}}}, \quad A_3 = \frac{2^{\frac{40}{9}} (2^{\frac{1}{3}} + 1)^2 \Gamma(\frac{1}{3})^2 \zeta(\frac{1}{3})^2 \zeta(\frac{4}{3})^2}{3^{\frac{44}{9}} \Gamma(\frac{1}{4})^{\frac{20}{9}} \zeta(\frac{3}{2})^{\frac{10}{9}}}$$

$$A_4 = \frac{2^8 (2^{\frac{1}{3}} + 1)^3 \Gamma(\frac{1}{3})^3 \zeta(\frac{1}{3})^3 \zeta(\frac{4}{3})^3}{3^8 \Gamma(\frac{1}{4})^4 \zeta(\frac{3}{2})^2}.$$

En revanche, ces 4 auteurs ne disposaient pas d'une formule explicite de $\zeta'_{s_0(5)}(0)$. On donnera dans notre travail une expression des valeurs spéciales $\zeta'_{s_0(5)}(0)$ et $\zeta'_{g_2}(0)$. On donnera également des formules pour les résidus de $\zeta_{s_0(5)}(s)$ en $s = \frac{1}{2}$ et en $s = \frac{1}{3}$, et des formules pour les résidus de $\zeta_{g_2}(s)$ en $s = \frac{1}{3}$ et en $s = \frac{1}{5}$. On pourra alors obtenir une formule asymptotique explicite pour le nombre de représentations $r_{s_0(5)}(n)$, en donnant une expression du coefficient C du théorème précédent.

Notons au passage que nous trouverons une valeur différente pour $\zeta_{s_0(5)}(0)$ que dans [BBBF23, Proposition 5.15]. Nous interprétons cette différence de résultats en suggérant que les auteurs ont vraisemblablement commis une erreur en remplaçant $\zeta(0)$ par $\frac{1}{2}$, à la place de $-\frac{1}{2}$ dans la preuve de la Proposition 5.15.

On obtiendra également des formules explicites pour $\zeta_{g_2}(0)$ et $\zeta'_{g_2}(0)$, et on pourra alors établir un théorème similaire au théorème précédent, pour le nombre de représentations $r_{g_2}(n)$ en utilisant le Théorème 1.2.33.

**Remarque 1.2.36.** Quand on appliquera le Théorème 1.2.32 à l'étude asymptotique du nombre de représentations $r_g(n)$ d'une algèbre de Lie semi-simple, on verra que les coefficients $f(n)$ correspondent au nombre de représentations irréductibles de dimension $n$ de $g$.
## 1.3 Premières définitions

On fixera dans tout ce manuscrit une famille $(l_q)_{q \in [1, Q]}$ de formes linéaires de rang $P$ à coefficients dans le demi-plan de Poincaré $H_0 = \{s = \sigma + i\tau \in \mathbb{C} | \sigma > 0\}$ avec $P \ge 1$ et $Q \ge 1$ des entiers. On fixe également $\mathbf{d} = (d_p)_{i \in [1, P]}$, $\mathbf{d}' = (d'_q)_{q \in [1, Q]}$ des complexes dans $H_0$ tels que $d'_q := l_q(\mathbf{d})$ pour tout $1 \le q \le Q$.

**Notation.** Soit $q \in [1, Q]$, on note

$$l_q(\mathbf{n}) = \sum_{p=1}^{P} c_{q,p} n_p.$$

Par souci de clarté, on choisira tout le long de ce manuscrit d'utiliser l'indice $p$ (ou l'indice $i$ si $p$ est déjà utilisée) lorsque l'on parcourra n'importe quel sous-ensemble $\mathcal{P}$ de $[1, P]$, et on utilisera l'indice $q$ (ou l'indice $j$ si $q$ est déjà utilisée) lorsque l'on parcourra n'importe quel sous-ensemble $\mathcal{Q}$ de $[1, Q]$.

On définira tout d'abord les fonctions gamma incomplètes

**Définition 1.3.1.** Soit $\nu \in H_0$, $\theta > 0$, $s \in \mathbb{C}$. On pose alors

$$ \begin{aligned} \Gamma(s, \theta, \nu) &= \int_{\theta}^{+\infty} e^{-\nu y} y^{s-1} dy, \\ \gamma(s, \theta, \nu) &= \int_{0}^{\theta} e^{-\nu y} y^{s-1} dy, \quad \text{lorsque } \operatorname{Re}(s) > 0. \end{aligned} $$

Ces fonctions gamma sont plus générales que celles que l'on peut trouver dans la littérature (par exemple dans [EMOT81, Chap.IX] ou dans [Cra12, §3]). On retrouve les fonctions gamma incomplètes classiques en posant $\nu = 1$. Pour nos usages, on aura besoin d'un $\nu$ quelconque dans $H_0$.

On introduit maintenant des constantes qui apparaitrons dans le théorème D. Par une décomposition en éléments simples, on trouve aisément :

**Proposition 1.3.2.** Soit $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$. Notons $\mathbb{K}$ le corps engendré par $\mathbb{Q}$ et par les coefficients $c_{q,p}$, avec $1 \le q \le Q$ et $1 \le p \le P$. Soit $\mathcal{P} \subset [1, P]$, $j, f \in [1, Q]$, $\mathbf{v} = (\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]\setminus\{j,f\}})^\mathcal{P}$, $\mathbf{w} = (\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}^c}$. On note $\mathcal{P}^c = [1, P]\setminus\mathcal{P}$, $\mathbf{w}_p = (w_{p,q})_{q \in [1,Q]}$ et $\mathbf{v}_p = (v_{p,q})_{q \in [1,Q]\setminus\{j,f\}}$. Il existe un polynôme $\tilde{P}_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'} \in \mathbb{K}[x]$ et deux familles de constantes $(C_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\lambda}(\mathbf{N}, \mathbf{N}'))_{\lambda \in \mathbb{N}}$ et $(D_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},(\lambda,p)}(\mathbf{N}, \mathbf{N}'))_{\lambda \in \mathbb{N}, p \in \mathcal{P}}$ dont chacun des termes appartient au corps $\mathbb{K}$, tels que

$$ \begin{aligned} x^{-N'_f - 1 + \mathbf{w}(f)} \cdot \prod_{p \in \mathcal{P}} (c_{j,p} + c_{f,p}x)^{-N_p - 1 - |\mathbf{v}_p|} = & \tilde{P}_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}(x) + \sum_{\lambda=1}^{N'_f + 1 - \mathbf{w}(f)} \frac{C_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\lambda}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')}{x^\lambda} \\ & + \sum_{p \in \mathcal{P}} \sum_{\lambda=1}^{(|\mathbb{N}|_\mathcal{P} + |\mathcal{P}| + |\mathbf{v}|)} \frac{D_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},(\lambda,p)}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')}{(c_{j,p} + c_{f,p}x)^\lambda} \end{aligned} $$

On note $P_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}$ la primitive s'annulant en 1 de $\tilde{P}_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}$. On note $E_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{K}$ le terme constant de $P_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}$.

On note

$$ \begin{aligned} F_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}') = & -E_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}') - \sum_{\lambda=2}^{N'_f+1-\mathbf{w}(f)} \frac{C_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\lambda}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')}{\lambda-1} \\ & - \frac{1}{c_{f,p}} \sum_{p \in \mathcal{P}} \sum_{\lambda=2}^{(|\mathbb{N}|_\mathcal{P} + |\mathcal{P}| + |\mathbf{v}|)} \frac{D_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},(\lambda,p)}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')}{\lambda-1} ((c_{j,p} + c_{f,p})^{1-\lambda} - c_{j,p}^{1-\lambda}) \\ & + \frac{1}{c_{f,p}} \sum_{p \in \mathcal{P}} D_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},(1,p)}(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \ln \left(1 + \frac{c_{f,p}}{c_{j,p}}\right). \end{aligned} $$
**Remarque 1.3.3.** 1) Notons que si $-N'_f - 1 + \mathbf{w}(f) \ge 0$, alors $C_{\mathcal{P},j,f,v,w,\lambda} = 0$ pour tout $\lambda$.

2) Dans le produit $\prod_{p \in \mathcal{P}} (c_{j,p} + c_{f,p}x)^{(-N_p-1-|\mathbf{v}_p|)}$, certains termes du produit peuvent apparaître plusieurs fois. C'est la raison pour laquelle la somme $\sum_{\lambda=1}^{(|\mathcal{N}|_P + |\mathcal{P}| + |\mathbf{v}|)}$ porte jusqu'à $|\mathcal{N}|_P + |\mathcal{P}| + |\mathbf{v}|$. Si cela se produit, on a alors plusieurs choix possibles pour les constantes $D_{\mathcal{P},j,f,v,w,(\lambda,p)}$. Notons que ces différents choix n'auront aucun impact dans la définition de la constante $F_{\mathcal{P},j,f,v,w}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$.

3) La constante $F_{\mathcal{P},j,f,v,w}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$ apparaîtra dans le calcul d'une intégrale, dans le Lemme 3.1.4.

**Exemple 1.3.4.** Soit $\mathcal{P} = \emptyset$, on a pour tout $\lambda \ge 1$,

$$C_{\emptyset, j, f, v, w, \lambda}(\mathbf{N}, \mathbf{N}') = \delta_{\lambda, N'_f + 1 - \mathbf{w}(f)}$$

$$D_{\emptyset, j, f, v, w, (\lambda, p)}(\mathbf{N}, \mathbf{N}') = 0$$

$$E_{\emptyset, j, f, v, w}(\mathbf{N}, \mathbf{N}') = 0 \text{ si } \mathbf{w}(f) \le N'_f$$

$$E_{\emptyset, j, f, v, w}(\mathbf{N}, \mathbf{N}') = -\frac{1}{\mathbf{w}(f) - N'_f} \text{ si } \mathbf{w}(f) > N'_f,$$

où l'on a noté $\delta$ le symbole de Kronecker.

On obtient en particulier que $F_{\emptyset, j, f, 0, 0}(0, 0) = 0$.

**Exemple 1.3.5.** Soit $\mathcal{P} = \{p\}, j \ne f \in [1, Q]$, $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') = (0, 0)$, $\mathbf{v} = \mathbf{0}$ et $\mathbf{w} = \mathbf{e}_f$, alors on a

$$x_f^{-N'_f - 1 + \mathbf{w}(f)} (c_{j,p} + c_{f,p} x_f)^{-N_p - 1 - |\mathbf{v}_p|} = (c_{j,p} + c_{f,p} x_f)^{-1}.$$

$$\text{Ainsi, on a } F_{\{p\},j,f,0,\mathbf{e}_f} = \frac{1}{c_{f,p}} \ln \left( 1 + \frac{c_{f,p}}{c_{j,p}} \right).$$

**Exemple 1.3.6.** Soit $\mathcal{P} = \{p\}, j \ne f \in [1, Q]$, $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') = (0, 0)$, $\mathbf{v} = \mathbf{0}$ et $\mathbf{w} = \mathbf{e}_j$, alors on a

$$x_f^{-N'_f - 1 + \mathbf{w}(f)} (c_{j,p} + c_{f,p} x_f)^{-N_p - 1 - |\mathbf{v}_p|} = x_f^{-1} (c_{j,p} + c_{f,p} x_f)^{-1} = \frac{1}{c_{j,p}} x^{-1} - \frac{c_{f,p}}{c_{j,p}} (c_{j,p} + c_{f,p} x_f)^{-1}.$$

$$\text{Ainsi, on a } F_{\{p\},j,f,0,\mathbf{e}_j} = -\frac{1}{c_{j,p}} \ln \left( 1 + \frac{c_{f,p}}{c_{j,p}} \right).$$

On étudiera dans ce manuscrit la fonction multizêta suivante :

**Définition 1.3.7.** Soit $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \in H_1^P \times H_1^Q$, on pose

$$Z(\mathbf{s}, \mathbf{s}') = Z(\mathbf{c}, \mathbf{d}, \mathbf{s}, \mathbf{s}') := \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^P (n_p + d_p)^{-s_p} \prod_{q=1}^Q (l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{-s'_q}.$$

**Remarque 1.3.8.** Cette fonction multizêta est de la même forme d'une fonction multizêta de type Hurwitz-Lerch décrite dans 1.2.24, sans torsion :

$$Z(\mathbf{s}, \mathbf{s}') = \zeta^{\mathrm{HL}}(0, \tilde{\mathbf{d}}, \tilde{\mathbf{c}}, (s_1, \dots, s_P, s'_1, \dots, s'_Q)) = \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \frac{1}{\prod_{q=1}^{\tilde{Q}} (\tilde{d}_q + \sum_{p=1}^{P} \tilde{c}_{q,p} n_p)^{s_q}},$$

avec $P_0 = P$, $\tilde{Q} := P + Q$, $\mathcal{B}^c = \cup_{1 \le p \le P} [1, P] \setminus \{p\} \times \{p\} \subset [1, Q + P] \times [1, P]$, $\tilde{\mathbf{d}} = (\mathbf{d}, \mathbf{d}')$, et avec $\tilde{\mathbf{c}} = (c_{(q,p)})(q,p) \in [1, Q'] \times [1, P]$ tels que

$$\left\{ \begin{array}{l} \tilde{c}_{q,p} = 0 \text{ si } q \ne p \text{ et } q \le P \\ \tilde{c}_{p,p} = 1 \text{ si } p \in [1, P] \\ \tilde{c}_{q,p} = c_{q-P,p} \text{ si } q > P. \end{array} \right.$$

En particulier, on pourra appliquer le Théorème 1.2.25 à $Z(\mathbf{s}, \mathbf{s}')$.
A l'aide de la remarque précédente, et du Théorème 1.2.25), on voit que la fonction multizêta $Z(s, s')$ est méromorphe sur tout $\mathbb{C}^P \times \mathbb{C}^Q$, et ce même théorème fournit également des informations sur l'ensemble des singularités de $Z(s, s')$. On dispose également d'un domaine de convergence, cependant pour nos besoins, on a besoin d'un domaine de convergence plus large que ce que propose le Théorème 1.2.25. On montrera alors un domaine de convergence plus précis dans la proposition suivante :

**Proposition 1.3.9.** On pose

$$ \mathcal{D} = \mathcal{D}_{P,Q} := \left\{ (s, s') \in \mathbb{C}^P \times \mathbb{C}^Q \middle| \sum_{p \in \mathcal{P}} \sigma_p + \sigma_1' + \dots + \sigma_Q' > |\mathcal{P}|, \emptyset \neq \mathcal{P} \subset \llbracket 1, P \rrbracket \right\}. $$

La fonction multizêta $Z(s, s')$ a pour domaine de convergence $\mathcal{D}$, et est méromorphe sur $\mathbb{C}^P \times \mathbb{C}^Q$, avec des singularités incluses dans l'union d'hyperplans :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} \sum_{p \in \mathcal{P}} s_p + \sum_{q \in \mathcal{Q}} s_q' = Q + P - n & (\mathcal{P} \subset \llbracket 1, P \rrbracket, \mathcal{Q} \subset \llbracket 1, Q \rrbracket, |\mathcal{P} \cup \mathcal{Q}| \ge 2, n \in \mathbb{N}) \\ s_p = 1, \dots, P & (1 \le p \le P) \\ s_q' = 1, \dots, P & (1 \le q \le Q). \end{array} \right. $$

On notera de la même manière $Z(s, s')$ son prolongement méromorphe. En général, les valeurs aux multientiers négatifs n'ont pas de sens puisque certains multientiers négatifs sont des pôles pour $Z$. C'est pourquoi on fixera une direction $(\mu, \mu')$ et un multi-entier négatif $-(N, N')$, et l'on étudiera la fonction multizêta $Z$ en ce multi-entier, et selon la direction choisie. Il découle de la Proposition 1.3.9 que $s \mapsto Z(-N + s\mu, -N' + s\mu')$ est méromorphe sur $\mathbb{C}$, et est holomorphe pour $s = \sigma + i\tau$, avec $\sigma$ suffisamment grand. On peut alors définir la fonction zêta suivante :

**Définition 1.3.10.** Soit $(N, N') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$, et $(\mu, \mu') \in (\mathbb{R}_+)^P \times (\mathbb{R}_+^*)^Q$. On pose alors pour tout $s \in \mathbb{C}$,

$$ Z_{N,N'}(s) := Z(-N + s\mu, -N' + s\mu'). $$

On considère également la fonction univariable suivante, qui consiste à évaluer la fonction décrite précédemment selon la direction $(\mu, \mu') = (\mathbf{1}, \mathbf{1})$, et pour $(N, N') = (\mathbf{0}, \mathbf{0})$.

**Définition 1.3.11.** Soit $s \in \mathbb{C}$ tel que $\sigma \gg 1$. On pose

$$ Z_{\Delta} : s \in \mathbb{C} \mapsto Z((s, \dots, s), (s, \dots, s)). $$

**Remarque 1.3.12.** Si l'on pose $\mu = \mathbf{0}$, et $\mu' = \mathbf{1}$, alors $Z_{\mathbf{0},\mathbf{0}'}(s)$ correspond à une fonction zêta de type Shintani

$$ Z_{\mathbf{0},\mathbf{0}}(s) = \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{q=1}^{Q} (l_q(\mathbf{n}) + d_q')^{-s}. $$

Gardons tout de même en tête que les coefficients $d'_q$ ne sont pas libres, et dépendent des choix de $d_p$ et des choix des coefficients $(c_{p,q})_{1 \le p \le P, 1 \le q \le Q}$.

Par la Proposition 1.3.9, on sait que $Z_{N,N'}$ est holomorphe sur $\{s \in \mathbb{C}|(-N + \mu s, -N' + \mu' s) \in \mathcal{D}\}$. Ainsi, il existe un réel $\sigma_{0,N,N'}$ tel que l'application $Z_{N,N'}$ soit holomorphe sur $H_{\sigma_{0,N,N'}}$. On dira que $Z_{N,N'}$ est holomorphe pour $\sigma \gg_{N,N'} 1$, ou parfois seulement $\sigma \gg 1$ lorsqu'il n'y aura pas d'ambiguïté.

Afin de donner un sens aux valeurs directionnelles de $Z$ en les multi-entiers négatifs, on doit prouver que $Z_{N,N'}$ est régulière en $s = 0$. Des travaux de Komori prouvent bien que cette valeur directionnelle a un sens. Dans ce manuscrit, on détaillera une méthode de prolongement différente dans la Proposition 2.2.4 pour prouver que ces valeurs directionnelles ont un sens, ce qui nous permettra **surtout** d'obtenir des formules explicites sur les valeurs spéciales directionnelles de $Z$, ainsi que celles de sa dérivée.
**Notation.** Soit $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$, et $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in (\mathbb{R}_+)^P \times (\mathbb{R}_+^*)^Q$. On pose alors la valeur en $(-\mathbf{N}, -\mathbf{N}')$ de $Z(\mathbf{s}, \mathbf{s}')$ selon la direction $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}')$,

$$Z(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}')) := Z_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}(0),$$
$$\underset{\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}'}{Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}'))} := \partial_s(Z_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}(s))|_{s=0}.$$

et on pose la valeur de la dérivée directionnelle en $(-\mathbf{N}, -\mathbf{N}')$ de $Z(\mathbf{s}, \mathbf{s}')$ selon la direction $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}')$,

$$Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}')) := \partial_s(Z_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}(s))|_{s=0}.$$

On introduit désormais des fonctions auxiliaires (que l'on appellera des fonctions zêta de Barnes généralisés) dont le rôle sera crucial dans les formules de $Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}'))$.

$\underset{\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}'}{Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}'))}$

**Définition 1.3.13.** Soit $\mathbf{R} \in \mathbb{N}^P$, et $j \in [1, Q]$. On pose pour tout $\sigma \gg 1$,

$$\varphi_{\mathbf{R}}^{j}(s) = \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^{P}} (n_{1} + d_{1})^{R_{1}} \dots (n_{P} + d_{P})^{R_{P}} (l_{j}(\mathbf{n}) + d'_{j})^{-s}.$$

**Remarque 1.3.14.** Si $\mathbf{R} = \mathbf{0}$, on obtient une fonction zêta de Barnes : $\varphi_{\mathbf{0}}^{j}(s) = \zeta_{P}^{B}(s, d'_{j} | c_{j,1}, \dots, c_{j,P})$.

La fonction $\varphi_{\mathbf{R}}^j(s)$ correspond à une fonction de type $Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(s)$, avec $Q=1$, $\boldsymbol{\mu}=\mathbf{0}$, $\boldsymbol{\mu}'=1$, $\mathbf{N}=\mathbf{R}$ et $\mathbf{N}'=0$. On en déduit en particulier qu'elle admet un prolongement méromorphe, et qu'elle est régulière en les entiers négatifs. La dérivée première de ces fonctions auxiliaires interviendra dans l'expression de $Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}'))$, il est donc très intéressant d'avoir une expression exploitable des valeurs spéciales en les entiers négatifs de ces fonctions auxiliaires.

1.4 Principaux résultats

Comme il est mentionné dans la section précédente, on démontrera par une autre méthode le résultat de Komori sur l'existence des valeurs directionnelles $Z(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}'))$ dans la Proposition 2.2.4. Pour obtenir

ce résultat, on utilise dans le chapitre 2 une stratégie appelée expansion de Crandall, développée dans [Cra12], qui était initialement utilisée pour obtenir des approximations numériques de certaines fonctions zêta et certaines fonctions $L$. Cette stratégie a par la suite été utilisée par Borwein et Dilcher dans [BD18] pour étudier les valeurs d'une fonction zêta de type Mordell-Torheim, et approximer sa dérivée en les entiers négatifs. Par la suite, Onodera a donné des formules exactes pour les valeurs aux entiers négatifs d'une fonction zêta de type Mordell-Torheim généralisée, ainsi que des valeurs de ses dérivées d'ordre 1 et 2 dans [Ono21]. L'astuce utilisée par Onodera pour calculer les valeurs des dérivées aux entiers négatifs repose en partie sur le fait d'introduire des fonctions auxiliaires ressemblant à des fonctions zêta de Barnes, avec un terme polynomial au numérateur du terme général de la série, puis de donner une formule des dérivées de ces fonctions auxiliaires.

Plus précisément, on décrira une formule de prolongement pour la fonction méromorphe $Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}$ dans la Proposition 2.2.4 :

$$Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(s) = K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s) + J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s),$$

où $K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}$ sera holomorphe sur tout $\mathbb{C}$, et s'annulant en $s=0$, et $J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$ une fonction méromorphe sur $\mathbb{C}$, avec des pôles qui sont tous simples, de la forme

$$s = \frac{n}{\mu_p} \qquad (1 \le p \le P \text{ tel que } \mu_p \ne 0, n \in \mathbb{Z}_{\ge N_p+1})$$
$$s = \frac{n}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} \qquad (\emptyset \ne \mathcal{P} \subset [1, P], n \in \mathbb{Z}^*_{\le |\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} + |\mathbf{N}'| + |\mathcal{P}|})$$
En particulier, on constatera que $0$ n'est pas un pôle pour la fonction méromorphe $Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}$, et donc on
reprouvera que les valeurs directionnelles ont un sens pour la fonction $Z(\mathbf{s}, \mathbf{s}')$.

Le fait que $Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}$ admette un prolongement méromorphe sur $\mathbb{C}$ découle directement de la Proposition 1.3.9, et ce même théorème donne également des candidats pour les pôles de cette fonction. Il suffit en effet de remplacer $s_p$ par $-N_p + \mu_p s$ et $s'_q$ par $-N'_q + \mu'_q s$ pour obtenir des candidats pôles. Cependant, l'ensemble de pôles que l'on donne ici est plus précis.

Remarquons au passage que le terme $K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$ ne contribuera pas à la formule des valeurs spéciales directionnelles, puisqu'il s'annule en $s=0$. En revanche, si on dérive ce terme, il n'est pas nul en général, et est particulièrement pathologique. On introduira alors des fonctions auxiliaires $(\varphi_{\mathbf{R}}^j)_{j \in [1,Q]}$ qui aideront à récupérer l'information du terme $\partial_s(K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s))$ en $s=0$. On pourra alors évaluer la formule de prolongement en $s=0$ pour obtenir une formule explicite sur les valeurs directionnelles des dérivées.

**Théorème A.** *Soit $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in \mathbb{R}_+^P \times \mathbb{R}_+^{Q}$. Soit $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q*. On a*

$$
Z(-\begin{pmatrix} \mathbf{N}, \mathbf{N}' \\ \mu, \mu' \end{pmatrix}) = (-1)^{|\mathbf{N}'|} \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} (-1)^{|\mathbf{N}|_{||\mathcal{P}||} + |\mathcal{P}|} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{P^c} \\ |\mathbf{k}|=|\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}|_{||\mathcal{P}||}+|\mathcal{P}|}} \sum_{j=1}^{Q} \frac{(-1)^{N'_j} \mu'_j N'_j!}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{||\mathcal{P}||}} Q_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \tag{1.8}
$$

$$
\prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!},
$$

avec

$$
Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) = (-1)^{|\mathbf{N}'|_{||[1,Q]\setminus\{j\}|}} \left(\prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q N'_q!\right) \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^Q)^{P^c} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c |\mathbf{w}_p|=k_p}} \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]\setminus\{j\}})^{P} \\ \forall q \neq j, \mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)=N'_q}} \\
\left(\prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}}\right) \left(\prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{|\mathbf{v}_p|} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q c_{q,p}^{v_{p,q}}\right),
$$

où l'on rappelle les notations

$$
\forall q \in [1, Q], \quad \mathbf{w}(q) = \sum_{p \in \mathcal{P}^c} w_{p,q},
$$

et

$$
\forall q \in [1, Q] \setminus \{j\}, \quad \mathbf{v}(q) = \sum_{p \in \mathcal{P}} v_{p,q}.
$$

**Remarque 1.4.1.** 1) L'expression décrivant $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k})$ est une somme finie. En effet, on voit que

$$
\sum_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} (N'_{q} - \mathbf{w}(q)) = \sum_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} \mathbf{v}(q) = \sum_{(p,q) \in \mathcal{P} \times ([1,Q] \setminus \{j\})} v_{p,q}. \text{ Comme } \mathbf{w}(q) \text{ est positif pour tout } q \in [1,Q], \text{ on en}
$$

déduit la majoration suivante :

$$
\sum_{(p,q) \in \mathcal{P} \times ([1,Q] \setminus \{j\})} v_{p,q} \leq |\mathbf{N}'|.
$$

Ainsi, pour tout $p \in \mathcal{P}$, et tout $q \in [1, Q] \setminus \{j\}$, on a que $0 \le v_{p,q} \le |\mathbf{N}'|$.

2) L'expression des valeurs de $Z_{\mu,\mu'}(\mathbf{N},\mathbf{N}')$ est décrite par une somme finie. En effet, pour tout $\mathbf{k} \in \mathbb{N}^{P^c}$ tel que $|\mathbf{k}| = |\mathbf{N}'| + |\mathbf{N}|_{||\mathcal{P}||} + |\mathcal{P}|$ on a $0 \le k_p \le \mathbf{N}'| + |\mathbf{N}|_{||\mathcal{P}||} + |\mathcal{P}|$ pour tout $p \in \mathcal{P}^c$.
3) Les termes de la forme $\zeta(-n, d)$ avec $n \in \mathbb{N}$ et $d \in H_0$ s'expriment à l'aide des polynômes de Bernoulli :

$$ \zeta(-n, d) = - \frac{B_{n+1}(d)}{n+1}. $$

De plus, en $d=1$, on a $\zeta(-n, 1) = \zeta(-n)$, et

$$ \zeta(-n) = (-1)^n \frac{b_{n+1}}{n+1}, $$

où $b_{n+1}$ est le $n+1$-ième nombre de Bernoulli.

4) Si tous les coefficients $d_p$ valent 1, alors le produit $\prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!}$ sera fréquemment nul.

En effet, s'il existe $p \in \mathcal{P}^c$ tel que $N_p + k_p$ soit pair et plus grand que 2, alors le produit est nul.

En $(\mathbb{N}, \mathbb{N}') = (\mathbf{0}, \mathbf{0})$, on obtient les expressions simplifiées suivantes :

**Corollaire A1.** Soit $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in \mathbb{R}_+^P \times \mathbb{R}_*^{+Q}$. On a

$$ Z(-\begin{pmatrix} \mathbf{0}, \mathbf{0} \end{pmatrix}) = \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} (-1)^{|\mathcal{P}|} \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}} \sum_{|\mathbf{k}| = |\mathcal{P}|}^{Q} \frac{\mu_j'}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}}|\boldsymbol{\mu}'| \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \frac{\zeta(-k_p, d_p)}{k_p!}. \quad (1.9) $$

**Remarque 1.4.2.** On obtient au passage la même formule que [Ono21] en $N = 0$, une fois avoir remplacé toutes les directions par 1.

Via le Théorème A, on a également une formule pour les valeurs sur la diagonale de $Z(s, s')$ en considérant la direction $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') = (\mathbf{1}, \mathbf{1})$ :

**Corollaire A2.** Soit $N \in \mathbb{N}$. On a

$$ Z_{\Delta}(-N) = \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \frac{(-1)^{(|\mathcal{P}|+1+Q)N+|\mathcal{P}|}}{Q + |\mathcal{P}|} N!^{|\mathcal{P}|+1} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=(Q+|\mathcal{P}|)N+|\mathcal{P}|}} Q_N^0(\mathcal{P}, \mathbf{k}) \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N-k_p, d_p)}{k_p!}, $$

avec

$$ Q_N^0(\mathcal{P}, \mathbf{k}) = (-1)^{N(Q-1)} N!^{Q-1} \sum_{\substack{j=1 \\ \mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}^c} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p| = k_p}} \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]} \setminus \{j\})^P \\ \forall q \neq j, \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) = N}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_p,q} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{|\mathbf{w}_p|} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q c_{q,p}^{v_p,q} \right), $$

où l'on rappelle les notations

$$ \forall q \in [1, Q], \quad \mathbf{w}(q) = \sum_{p \in \mathcal{P}^c} w_{p,q}, $$

et

$$ \forall q \in [1, Q] \setminus \{j\}, \quad \mathbf{v}(q) = \sum_{p \in \mathcal{P}} v_{p,q}. $$
**Remarque 1.4.3.** Observons à l'aide du corollaire précédent que, si l'on pose $Q = 1$, $P \ge 1$ un entier quelconque, et $l_1(\mathbf{n}) = n_1 + \dots + n_P$, on trouve via les formules précédentes que $Q_N^0(\mathcal{P}, \mathbf{k}) = 1$, et que

$$Z_{\Delta}(-N) = \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \frac{(-1)^{|\mathcal{P}|N+|\mathcal{P}|}}{1 + |\mathcal{P}|} N!^{|\mathcal{P}|+1} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=(1+|\mathcal{P}|)N+|\mathcal{P}|}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N - k_p, d_p)}{k_p!}.$$

Cette formule coïncide avec celle obtenue par Onodera dans [Ono21, Théorème 3].

On peut également fournir une variante qualitative du Théorème A sur les valeurs directionnelles aux entiers négatifs de $Z(\mathbf{s}, \mathbf{s}')$ :

**Corollaire A3.** Soit $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in \mathbb{R}_+^P \times \mathbb{R}_+^Q$, et $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$. On note $\mathbb{K}$ le corps engendré par $\mathbb{Q}$, par les coefficients complexes $(d_p)_{p \in [1, P]}$ et $(c_{q,p})_{p \in [1, P], q \in [1, Q]}$, et par les directions $\mu_p$ pour tout $p \in [1, P]$, et $\mu'_q$ pour tout $q \in [1, Q]$. Alors $Z(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}')) \in \mathbb{K}$. $\mathbf{\mu}, \mathbf{\mu}'$

On a également une expression de la dérivée directionnelle en les entiers négatifs de $Z$. Cette expression fait intervenir des fonctions "auxiliaires", que l'on appellera fonction zêta de type Barnes généralisée.

Si l'on suppose qu'une forme linéaire $l_j$ est à coefficients rationnels, on dispose d'une relation entre la fonction auxiliaire $\varphi_{\mathbf{R}}^j(s)$ et la fonction zêta de Hurwitz :

**Proposition B.** Soit $j \in [1, Q]$ un entier. On suppose que $l_j$ est une forme linéaire à coefficients rationnels pour $1 \le j \le Q$. Pour tout $1 \le p \le P$, on pose $c_{j,p} = \frac{a_{j,p}}{b_{j,p}}$ la décomposition irréductible de $c_{j,p}$ avec $a_{j,p} > 0$ et $b_{j,p} > 0$. On pose alors $x_j(\mathbf{c}) = \frac{\text{ppcm}(a_{j,p})}{\text{pgcd}(b_{j,p})} \in \mathbb{Q}_+^*$, et $\beta_{j,p}(\mathbf{c}) := \frac{x_j(\mathbf{c})}{c_{j,p}} \in \mathbb{N}^*$ pour tout $1 \le p \le P$. Alors pour tout $\mathbf{R} \in \mathbb{N}^P$, la fonction $\varphi_{\mathbf{R}}^j(s)$ admet la relation suivante pour tout $s \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{N}^*$,

$$\varphi_{\mathbf{R}}^j(s) = x_j(\mathbf{c})^{-s} \prod_{p=1}^{P} \beta_{j,p}^{R_p} \sum_{\substack{0 \le v_1 \le \beta_{j,1}(\mathbf{c})-1 \\ 0 \le v_P \le \beta_{j,P}(\mathbf{c})-1}} \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} R_p! \sum_{\substack{\mathbf{k} \in \mathbb{N}^P, k' \in \mathbb{N} \\ |\mathbf{k}|+k'=|\mathbf{R}|+|\mathcal{P}^c|+|\mathcal{P}^c|-1}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{\zeta\left(-R_p - k_p, \frac{d_p+v_p}{\beta_{j,p}(\mathbf{c})}\right)}{k_p!} \cdot \frac{\zeta(s-k', l_j(x_j(\mathbf{c})^{-1}(\mathbf{d}+\mathbf{v})))}{k'!}$$

En dérivant en $s$ la fonction auxiliaire $\varphi_{\mathbf{R}}^j(s)$, puis en évaluant la dérivée en $s = -N$ avec $N$ un entier positif, on trouve aisément le corollaire suivant via la proposition précédente.

**Corollaire B1.** Avec les mêmes notations que la Proposition B, on a pour tout $\mathbf{R} \in \mathbb{N}^P$,

$$\varphi_{\mathbf{R}}^{j'}(-N) = x_j(\mathbf{c})^N \prod_{p=1}^{P} \beta_{j,p}(\mathbf{c})^{R_p} \sum_{\substack{0 \le v_1 \le \beta_{j,1}(\mathbf{c})-1 \\ 0 \le v_P \le \beta_{j,P}(\mathbf{c})-1}} \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} R_p! \right) \cdot \sum_{\substack{\mathbf{k} \in \mathbb{N}^P, k' \in \mathbb{N} \\ |\mathbf{k}|+k'=|\mathbf{R}|+|\mathcal{P}^c|+|\mathcal{P}^c|-1}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{\zeta\left(-R_p - k_p, \frac{d_p+v_p}{\beta_{j,p}(\mathbf{c})}\right)}{k_p!} \cdot \left( \frac{\zeta'(-N - k', l_j(x_j(\mathbf{c})^{-1}(\mathbf{d}+\mathbf{v})))}{k'!} - \ln(x_j(\mathbf{c})) \frac{\zeta(-N - k', l_j(x_j(\mathbf{c})^{-1}(\mathbf{d}+\mathbf{v})))}{k'!} \right).$$

On commence par énoncer une version qualitative sur les valeurs spéciales de la dérivée directionnelle de $Z(\mathbf{s}, \mathbf{s}')$ :
**Théorème C.** Soit $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$, et $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in \mathbb{R}^{+P} \times \mathbb{R}_*^{+Q}$. On note $\mathbb{K}$ le corps engendré par $\mathbb{Q}$, par les coefficients complexes $(d_p)_{p \in \llbracket 1, P \rrbracket}$ et $(c_{q,p})_{p \in \llbracket 1, P \rrbracket, q \in \llbracket 1, Q \rrbracket}$, et par les directions $(\mu_p)_{p \in \llbracket 1, P \rrbracket}$, $(\mu'_q)_{q \in \llbracket 1, Q \rrbracket}$. Alors,

$$ Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}')) \in \mathrm{Vect}_{\mathbb{K}} \left[ \gamma, \ln \left( 1 + \frac{c_{q,p}}{c_{j,p}} \right)_{1 \le q, j \le Q, 1 \le p \le P}, \begin{array}{l} (\zeta'(-n, d_p)_{n \in \mathbb{P}, |\mathbf{N}|+|\mathbf{N}'|+P}), \\ (\varphi_{\mathbf{n}}^j(-N_j')_{\mathbf{n} \in [0, |\mathbf{N}|+|\mathbf{N}'|]^P, j \in \llbracket 1, Q \rrbracket}) \end{array} \right], $$

où $\gamma$ désigne la constante d'Euler, et les $\varphi_j$ sont les fonctions auxiliaires, dites de Barnes généralisées, décrites dans la Définition 1.3.13.

Si les formes linéaires $(l_j)_{j \in \llbracket 1, Q \rrbracket}$ sont à coefficients rationnels, alors on peut utiliser le Corollaire B1 pour obtenir un résultat plus précis :

**Corollaire C1.** Soit $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$, et $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in \mathbb{R}^{+P} \times \mathbb{R}_*^{+Q}$. On suppose que les formes linéaires $(l_j)_{j \in \llbracket 1, Q \rrbracket}$ et les coefficients $(d_p)_{p \in \llbracket 1, P \rrbracket}$ sont rationnels. On note $\mathbb{K}$ le corps engendré par $\mathbb{Q}$, et par les directions $(\mu_p)_{p \in \llbracket 1, P \rrbracket}$, $(\mu'_q)_{q \in \llbracket 1, Q \rrbracket}$. Pour tout $1 \le p \le P$, on pose $c_{q,p} = \frac{a_{q,p}}{b_{q,p}} \in \mathbb{Q}$ la décomposition irréductible de $c_{q,p}$ avec $a_{q,p} > 0$ et $b_{q,p} > 0$. On pose alors $x_q(\mathbf{c}) = \frac{\mathrm{ppcm}(a_{q,p})}{\mathrm{pgcd}(b_{q,p})} \in \mathbb{Q}_+^*$, et $\beta_{q,p}(\mathbf{c}) := \frac{x_q(\mathbf{c})}{c_{q,p}} \in \mathbb{N}^*$ pour tout $1 \le p \le P$. Posons également l'ensemble

$$ A := \{ l_j(x_c^{-1}(\mathbf{d} + \mathbf{v})) | j \in \llbracket 1, Q \rrbracket, \mathbf{v} \in \llbracket 0, \beta_{j,1} - 1 \rrbracket \times \dots \times \llbracket 0, \beta_{j,P} - 1 \rrbracket \}. $$

On a alors

$$ Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}')) \in \mathrm{Vect}_{\mathbb{K}} \left[ \gamma, \ln \left( 1 + \frac{c_{q,p}}{c_{j,p}} \right)_{q,j \in \llbracket 1, Q \rrbracket}, (\ln(x_j(\mathbf{c})))_{1 \le j \le Q}, (\zeta'(-n, y))_{0 \le n \le P} \middle| \mathbf{N} + \mathbf{N}' + P \right] $$

où $\gamma$ désigne la constante d'Euler

La formule pour $Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}'))$ est en fait explicite. Elle admet une formule faisant intervenir les valeurs spéciales des dérivées des fonctions zêta de Barnes généralisées $\varphi_j^{\mathbb{R}}$, des valeurs spéciales des dérivées en $s$ de la fonction zêta de Hurwitz, et des valeurs spéciales de la fonction zêta de Hurwitz. On détaille cette formule dans le théorème ci-dessous.
**Théorème D.** *Soit (N, N') ∈ N<sup>P</sup> × N<sup>Q</sup>, et (μ, μ') ∈ R<sup>+P</sup> × R<sub>*</sub><sup>+Q</sup>, alors*

$$
Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}')) = \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,P]} \sum_{j=1}^{Q} (-1)^{|\mathbf{N}|+|\mathbf{N}'|+|\mathcal{P}|+N'_j} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) \frac{\mu'_j N'_j!}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}c} \\ |\mathbf{k}|=|\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}|_{\mathcal{P}}+|\mathcal{P}|}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!} \quad (1.10)
$$

$$
\begin{align*}
& \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,P]} \sum_{j=1}^{Q} (-1)^{|\mathbf{N}|+|\mathbf{N}'|+|\mathcal{P}|+N'_j} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) \frac{\mu'_j N'_j!}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}c} \\ |\mathbf{k}|=|\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}|_{\mathcal{P}}+|\mathcal{P}|}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!} \\
& \qquad \cdot \left( Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \left( \sum_{p \in \mathcal{P}} \mu_p(\gamma - h_{N_p}) + \mu'_j(\gamma - h_{N'_j}) \right) + Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^1(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \right) \\
& \qquad + \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,P]} \sum_{j=1}^{Q} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) (-1)^{|\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}|_{\mathcal{P}}+|\mathcal{P}|+N'_j} \frac{\mu'_j N'_j!}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}c} \\ |\mathbf{k}|=|\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}|_{\mathcal{P}}+|\mathcal{P}|}} Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \\
& \qquad \cdot \left( \sum_{i \in \mathcal{P}^c} \mu_i \frac{\zeta'(-N_i - k_i, d_i)}{k_i!} \prod_{p \in \mathcal{P}^c \setminus \{i\}} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!} \right) \\
& \qquad + \sum_{j=1}^{Q} \mu'_j \sum_{\substack{\mathbf{u}=(\mathbf{u}_q)_{q \in [1,Q] \setminus \{j\}} \in (\mathbb{N}^P)^{[1,Q] \setminus \{j\}} \\ \forall q \in [1,Q] \setminus \{j\}, |\mathbf{u}_q|=N'_q}} \left( \prod_{q=1}^{Q} \binom{N'_q}{q \neq j} \prod_{p=1}^{P} c_{q,p}^{u_{q,p}} \right) \partial_s \varphi_{\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})}^j(s)|_{s=-N'_j} \\
& \qquad - \sum_{j=1}^{Q} (\gamma - h_{N'_j}) \mu'_j N'_j! \sum_{\substack{\mathbf{u}=(\mathbf{u}_q)_{q \in [1,Q] \setminus \{j\}} \in (\mathbb{N}^P)^{[1,Q] \setminus \{j\}} \\ \forall q \in [1,Q] \setminus \{j\}, |\mathbf{u}_q|=N'_q}} \left( \left( \prod_{q=1}^{Q} \binom{N'_q}{q \neq j} \prod_{p=1}^{P} c_{q,p}^{u_{q,p}} \right) \partial_s \varphi_{\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})}^j(s) \right) \\
& \qquad \cdot \left( \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,P]} (-1)^{|\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})|_{\mathcal{P}}+|\mathcal{P}|} \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{-R(\mathbf{N},j,\mathbf{u})_p-1} R(\mathbf{N},j,\mathbf{u})_p! \right) \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}c} \\ |\mathbf{k}|=N'_j+|\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})|_{\mathcal{P}}+|\mathcal{P}|}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \frac{\zeta(-\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})_p - k_p, d_p)}{k_p!}
\end{align*}
$$

où l'on a posé

$$
\mathbf{R}(\mathbf{N}, j, \mathbf{u}) := (N_p + \mathbf{u}(p))_{p \in [1, P]},
$$

pour tout $\mathbf{u} = (\mathbf{u}_q)_{q \in [1,Q] \setminus \{j\}}$, et tout $j \in [1,Q]$,

$$
Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) = \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}c} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c |\mathbf{w}_p|=k_p \\ \forall q \in [1,Q] \setminus \{j\}, N'_q=\mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)}} \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]}\setminus\{j\})^P \\ \forall q \in [1,Q] \setminus \{j\}, N'_q=\mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^{Q} c_{q,p}^{w_p,q} \right) \\
\cdot \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} c_{q,p}^{v_p,q} \right) \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} (-1)^{N'_q} N'_q!.
$$
et

$$
\begin{align*}
Q_{\mu, \mu'}^{1, \mathbf{N}, \mathbf{N}'}(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) = & (-1)^{|\mathbf{N}'| \cup [1, Q] \setminus \{j\}} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} N_q'! \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p| = k_p \\ \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]} \setminus \{j\})^\mathcal{P} \\ \forall q \neq j, \mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)=N'_q}}}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \left( \frac{k_p}{\mathbf{w}_p} \right) \prod_{q=1}^{Q} c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \\
& \qquad \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( \frac{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \right) \left( \frac{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \right) \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \left( \sum_{p \in \mathcal{P}} \mu_p (h_{N_p} - h_{N_p+|\mathbf{v}_p|}) + \sum_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} \mu'_q (\gamma - h_{N'_q}) \right) \\
& + (-1)^{|\mathbf{N}'| \cup [1, Q] \setminus \{j\}} \left( \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} N_q'! \right) \sum_{\substack{f=1 \\ f \neq j}}^{Q} \mu'_f \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p| = k_p \\ \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]} \setminus \{j,f\})^\mathcal{P} \\ \forall q \neq j, \mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)=N'_q}}}} \mathbf{v} = (\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]} \setminus \{j,f\})^\mathcal{P} \\
& \qquad \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \left( \frac{k_p}{\mathbf{w}_p} \right) \prod_{q=1}^{Q} c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( \frac{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \right) \left( \frac{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \right) \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j, f}}^{Q} c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) F_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')
\end{align*}
$$

avec $F_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$ la constante posée dans la Proposition 1.3.2.

**Remarque 1.4.4.** Ce théorème ramène ainsi le calcul des dérivées directionnelles en les multientiers négatifs $Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}'))$ aux calculs des valeurs aux entiers négatifs de la dérivée des fonctions auxiliaires $\mu, \mu'$

$$
\varphi_{\mathbf{R}}^{j}(s) = \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^{p}} (n_{1} + d_{1})^{R_{1}} \dots (n_{P} + d_{P})^{R_{P}} (l_{j}(\mathbf{n}) + d'_{j})^{-s} \quad (j \in [1, Q], \mathbf{R} \in \mathbb{N}^{p}).
$$

Si les coefficients des formes linéaires $l_j$ sont rationnels, alors on dispose d'une expression explicite de la valeur de $\partial_s \varphi_{\mathbf{R}}^j(-N)$ en fonction des valeurs spéciales des dérivées de la fonction zêta d'Hurwitz via la Proposition B.

**Remarque 1.4.5.** On observe que la formule pour $Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}'))$ ne fait intervenir que des sommes finies. $\mu, \mu'$

En effet, il est clair que la somme $\sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}}} |\mathbf{k}| = |\mathbf{N}'| + |\mathbf{N}'| + |\mathcal{P}|$ est finie. De même, on a que la somme

$$
\sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p| = k_p \\ \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]} \setminus \{j\})^\mathcal{P} \\ \forall q \neq j, \mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)=N'_q}}}} \text{présente dans le calcul de } Q_{\mu, \mu'}^{1, \mathbf{N}, \mathbf{N}'} \text{ et de } Q_{\mu, \mu'}^{0, \mathbf{N}, \mathbf{N}'}(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \text{ est finie}
$$

$$
\sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p| = k_p \\ \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]} \setminus \{j\})^\mathcal{P} \\ \forall q \neq j, \mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)=N'_q}}}} \text{puisque}
$$

$$
\forall a \in \mathcal{P}, \forall b \in [1, Q] \setminus \{j\}, \quad 0 \le v_{a,b} \le \sum_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) = |\mathbf{N}'|
$$

$$
\forall p \in \mathcal{P}^c, \forall q \in [1, Q], \quad 0 \le w_{p,q} \le |\mathbf{w}_p| = k_p \le |\mathbf{k}| = |\mathbf{N}'| + |\mathbf{N}'|_{\mathcal{P}^c} + |\mathcal{P}|.
$$

Pour les mêmes raisons, la somme $\sum_{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}}} |\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]} \setminus \{j,f\})^\mathcal{P} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p| = k_p}$ est également finie.

$$
\sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p| = k_p \\ \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]} \setminus \{j,f\})^\mathcal{P} \\ \forall q \neq j, \mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)=N'_q}}}} \text{est également finie.}
$$

Si les coefficients $c$ sont rationnels, on peut remplacer les dérivées des fonctions auxiliaires aux entiers négatifs par la formule obtenue dans le Corollaire B1 :
**Corollaire D1.** Soit $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$, et $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in \mathbb{R}^{+P} \times \mathbb{R}_*^{+Q}$. Pour tout $1 \le p \le P$, on pose $c_{q,p} = \frac{a_{q,p}}{b_{q,p}} \in \mathbb{Q}$ la décomposition irréductible de $c_{q,p}$ avec $a_{q,p} > 0$ et $b_{q,p} > 0$. On pose alors $x_q(\mathbf{c}) = \frac{\text{ppcm}(a_{q,p})}{\text{pgcd}(b_{q,p})} \in \mathbb{Q}_+^*, \text{ et } \beta_{q,p}(\mathbf{c}) := \frac{x_q(\mathbf{c})}{c_{q,p}} \in \mathbb{N}^*$ pour tout $1 \le p \le P$. On a

$$
\begin{align*}
Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}')) &= \\
&\quad \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,P]} \sum_{j=1}^{Q} (-1)^{|\mathbf{N}|+|\mathbf{N}'|+|\mathcal{P}|+N'_j} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) \frac{\mu'_j N'_j!}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=|\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}|_{|\mathcal{P}|+|\mathcal{P}}|}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!} \\
&\quad \cdot \left( Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \left( \sum_{p \in \mathcal{P}} \mu_p(\gamma - h_{N_p}) + \mu'_j(\gamma - h_{N'_j}) \right) + Q_{\boldsymbol{\mu},\boldsymbol{\mu}'}^1(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \right) \\
&\quad + \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,P]} \sum_{j=1}^{Q} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) (-1)^{|\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}|_{|\mathcal{P}|+|\mathcal{P}}+N'_j} \frac{\mu'_j N'_j!}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=|\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}|_{|\mathcal{P}|+|\mathcal{P}}|}} Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \\
&\quad \cdot \left( \sum_{i \in \mathcal{P}^c} \mu_i \frac{\zeta'(-N_i - k_i, d_i)}{k_i!} \prod_{p \in \mathcal{P}^c \setminus \{i\}} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!} \right) \\
&\quad + \sum_{j=1}^{Q} \mu'_j x_j(\mathbf{c})^{N'_j} \sum_{\substack{\mathbf{u}=(\mathbf{u}_\mathbf{q})_{q \in [1,Q] \setminus \{j\}} \in (\mathbb{N}^P)^{[1,Q] \setminus \{j\}} \\ \forall q \in [1,Q] \setminus \{j\}, |\mathbf{u}_\mathbf{q}|=N'_q}} \left( \prod_{q=1}^{Q} \binom{N'_q}{\mathbf{u}_\mathbf{q}} \prod_{p=1}^{P} c_{q,p}^{u_{q,p}} \right) \prod_{p=1}^{P} \beta_{j,p}(\mathbf{c})^{\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})_p} \\
&\quad \cdot \sum_{\substack{0 \le v_1 \le \beta_{j,1}(\mathbf{c})-1 \\ 0 \le v_P \le \beta_{j,P}(\mathbf{c})-1}} \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,P]} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})_p! \right) \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}, k' \in \mathbb{N} \\ |\mathbf{k}|+k'=|\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})|_{|\mathcal{P}^c|+|\mathcal{P}|}-1}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{\zeta(-\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})_p - k_p, \frac{d_p+v_p}{\beta_{j,p}(\mathbf{c})})}{k_p!} \right) \\
&\quad \cdot \left( \frac{\zeta'(-N'_j - k', l_j(x_j(\mathbf{c})^{-1}(\mathbf{d}+\mathbf{v})))}{k'} - \ln(x_j(\mathbf{c})) \frac{\zeta(-N'_j - k', l_j(x_j(\mathbf{c})^{-1}(\mathbf{d}+\mathbf{v})))}{k'} \right) \\
&\quad - \sum_{j=1}^{Q} (\gamma - h_{N'_j}) \mu'_j N'_j! \sum_{\substack{\mathbf{u}=(\mathbf{u}_\mathbf{q})_{q \in [1,Q] \setminus \{j\}} \in (\mathbb{N}^P)^{[1,Q] \setminus \{j\}} \\ \forall q \in [1,Q] \setminus \{j\}, |\mathbf{u}_\mathbf{q}|=N'_q}} \left( \left( \prod_{q=1}^{Q} \binom{N'_q}{\mathbf{u}_\mathbf{q}} \prod_{p=1}^{P} c_{q,p}^{u_{q,p}} \right) \right) \\
&\quad \cdot \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,P]} (-1)^{|\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})|_{|\mathcal{P}|+|\mathcal{P}|}} \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{-R(\mathbf{N},j,\mathbf{u})_p-1} R(\mathbf{N},j,\mathbf{u})_p! \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=N'_j+|\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})|_{|\mathcal{P}|+|\mathcal{P}|}|}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \frac{\zeta(-\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})_p - k_p, d_p)}{k_p!}
\end{align*}
$$

où l'on a posé

$$
\mathbf{R}(\mathbf{N}, j, \mathbf{u}) := (N_p + \mathbf{u}(p))_{p \in [1, P]},
$$
pour tout $\mathbf{u} = (\mathbf{u}_q)_{q \in [1,Q] \setminus \{j\}}$, et tout $j \in [1,Q]$,

$$
Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) = \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p|=k_p}} \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]} \setminus \{j\})^{\mathcal{P}} \\ \forall q \in [1,Q] \setminus \{j\}, N'_q=\mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^{Q} c_{q,p}^{w_p,q} \right) \\
\cdot \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} c_{q,p}^{v_p,q} \right) \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} (-1)^{N'_q} N'_q!.
$$

et

$$
Q_{\mu, \mu'}^{1}(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) = (-1)^{|\mathbf{N}'| \cup [1, Q] \setminus \{j\}} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} N'_{q}! \sum_{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}}} \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]} \setminus \{j\})^{\mathcal{P}} \\ \forall q \neq j, \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) = N'_{q}}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^{Q} c_{q,p}^{w_p,q} \right) \\
\left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} c_{q,p}^{v_p,q} \right) \left( \sum_{p \in \mathcal{P}} \mu_p (h_{N_p} - h_{N_p+|\mathbf{v}_p|}) + \sum_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} \mu'_{q} (\gamma - h_{N'_{q}}) \right) \\
+ (-1)^{|\mathbf{N}'| \cup [1, Q] \setminus \{j\}} \left( \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} N'_{q}! \right) \sum_{\substack{f=1 \\ f \neq j}}^{Q} \mu'_{f} \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p|=k_p}} \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]} \setminus \{j,f\})^{\mathcal{P}} \\ \forall q \neq j, \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) = N'_{q}}} \\
\left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^{Q} c_{q,p}^{w_p,q} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j, f}}^{Q} c_{q,p}^{v_p,q} \right) F_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}').
$$

avec $F_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$ la constante posée dans la Proposition 1.3.2.

**Remarque 1.4.6.** Posons $Q=1$, et $P \ge 1$ un entier quelconque, on considère $l_1(\mathbf{n}) = n_1 + \dots + n_P$ (et donc $c_{1,1} = \dots = c_{1,P} = 1$), $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') = (\mathbf{1}, \mathbf{1})$, et $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') = (N_\Delta, N_\Delta)$, en rappelant que $N_\Delta = (N, \dots, N)$.
On trouve alors via le corollaire précédent que

* Pour tout $\mathcal{P} \subsetneq [1, P]$, et $\mathbf{k} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}}$, on a $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(1, \mathcal{P}, \mathbf{k}) = 1$ et $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^1(1, \mathcal{P}, \mathbf{k}) = 0$.

* Avec les notations du Corollaire D1, on a $\mathbf{x}_1(\mathbf{c}) = 1$, et $\beta_{1,p} = 1$ pour tout $1 \le p \le P$.

* On a $\mathbf{R}(\mathbf{N}, j, \mathbf{u}) := \mathbf{N}_\Delta \in \mathbb{N}^P$.

* Dans l'expression de $Z'(-(N_\Delta, N_\Delta))$ du corollaire précédent, on trouve que la première somme de la formule s'annule avec la dernière somme de la formule.

Via les quatre points précédents, on trouve que

$$
Z'(-(N_\Delta, N_\Delta)) = \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,P]} \frac{N!^{|\mathcal{P}|+1}}{|\mathcal{P}|+1} (-1)^{|\mathcal{P}|(N+1)} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}} \\ |\mathbf{k}|=|\mathcal{P}|(N+1)+|\mathcal{P}|}} \left( \sum_{i \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta'(-N-k_i, d_i)}{k_i!} \prod_{p \in \mathcal{P}^c \setminus \{i\}} \frac{\zeta(-N-k_p, d_p)}{k_p!} \right) \\
+ \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,P]} N!^{|\mathcal{P}|} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^P, k' \in \mathbb{N} \\ |\mathbf{k}|+k'=|\mathcal{P}|(N+1)+|\mathcal{P}|-1}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \frac{\zeta'(-N-k', d'_1)}{k'!} \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{\zeta(-N-k_p, d_p)}{k_p!}.
$$
Cette expression correspond à une forme développée de la formule obtenue par Onodera dans [Ono21, Théorème 4] (avec le paramètre $d_1 = 0$ dans le Théorème d'Onodera).

En posant $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') = (\mathbf{0}, \mathbf{0})$ dans le Théorème D, on obtient le corollaire suivant :

**Corollaire D2.** Soit $(\mu, \mu') \in \mathbb{R}^{+P} \times \mathbb{R}_*^{+Q}$, alors

$$ Z'(-(\mathbf{0}, \mathbf{0})) = \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \sum_{j=1}^{Q} (-1)^{|\mathcal{P}|} \frac{\mu_j'}{|\mu'| + |\mu||_{\mathcal{P}}|} \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-k_p, d_p)}{k_p!} \left( \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \right) \gamma(\mu_j' + |\mu||_{\mathcal{P}}|) + Q_{\mu, \mu'}^1(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \right) \\ + \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \sum_{j=1}^{Q} (-1)^{|\mathcal{P}|} \frac{\mu_j'}{|\mu'| + |\mu||_{\mathcal{P}}|} \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \left( \sum_{i \in \mathcal{P}^c} \mu_i \frac{\zeta'(-k_i, d_i)}{k_i!} \prod_{p \in \mathcal{P}^c \setminus \{i\}} \frac{\zeta(-k_p, d_p)}{k_p!} \right) \\ + \sum_{j=1}^{Q} \mu_j' (\zeta^B)'(0, d'_j |\mathbf{c}_j) - \sum_{j=1}^{Q} \gamma \mu_j' \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} (-1)^{|\mathcal{P}|} \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{-1} \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \frac{\zeta(-k_p, d_p)}{k_p!}, $$

avec

$$ Q_{\mu, \mu'}^1(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) = \sum_{\substack{f=1 \\ f \neq j}}^Q \mu_f' \sum_{\mathbf{w}'=(w'_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \prod_{p \in \mathcal{P}^c} [0, k_p]} F_{\mathcal{P}, j, f, \mathbf{0}, (w'_p \mathbf{e}_f + (k_p - w'_p) \mathbf{e}_j)_{p \in \mathcal{P}^c}}(\mathbf{0}, \mathbf{0}) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{w'_p} c_{f,p}^{w'_p} c_{j,p}^{k_p - w'_p} \right) \\ + \gamma |\mu'|_{|[1,Q]} \setminus \{j\} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p}, $$

et $F_{\mathcal{P}, j, f, \mathbf{v}, \mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N})$ la constante définie dans la Proposition 1.3.2.

**Remarque 1.4.7.** Les termes de la forme $F_{\mathcal{P}, j, f, \mathbf{0}, (w'_p \mathbf{e}_f + (k_p - w'_p) \mathbf{e}_j)_{p \in \mathcal{P}^c}}(\mathbf{0}, \mathbf{0})$ dans le corollaire précédent découlent de l'étude de la fraction rationnelle

$$ x^{-1+k_p} \prod_{p \in \mathcal{P}} (c_{j,p} + c_{f,p} x)^{-1}. $$

**Remarque 1.4.8.** Notons que Matsumoto et Weng ont obtenu dans [MW02] un résultat similaire pour la valeur de la dérivée en $s = 0$ d'une fonction zêta définit par deux polynômes dans $\mathbb{C}[X]$.

En étudiant $\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0}$, et $\boldsymbol{\mu}' = \mathbf{1}$, on obtient que $Z'(-(\mathbf{0}, \mathbf{0})) = \partial_s(\zeta^{Sh}(s, (\mathbf{c}_1, \dots, \mathbf{c}_Q), \mathbf{d}')|_{s=0})$, c'est-à-dire la dérivée première par rapport à $s$, en $s = 0$, de la fonction zêta de Shintani définie dans 1.2.13. Rappelons que, avec la Définition 1.2.16 et la Définition 1.2.14, on a $(\partial_s \zeta^B(s, d|c_1, \dots, c_P))|_{s=0} = \ln(\Gamma_P(d|c_1, \dots, c_P))$, et $\partial_s(\zeta^{Sh}(s, \mathbf{d}'|\mathbf{c}))|_{s=0} = \ln(\Gamma_P(\mathbf{d}'|\mathbf{c}))$. On obtient alors via le corollaire précédent que le logarithme de la fonction multigamma de Shintani $\Gamma_P^{Sh}(\mathbf{d}'|\mathbf{c}_1, \dots, \mathbf{c}_Q)$ s'exprime complètement à l'aide du logarithme de la fonction gamma de type Barnes.

**Corollaire D3.** On a

$$ \ln(\Gamma_P(\mathbf{d}'|\mathbf{c})|_{s=0} = \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \sum_{j=1}^{Q} \frac{(-1)^{|\mathcal{P}|}}{Q} \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-k_p, d_p)}{k_p!} \left( \gamma \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \right) + Q^1(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \right) \\ + \sum_{j=1}^{Q} \ln(\Gamma_P(d'_j | \mathbf{c}_j)) - \gamma \sum_{j=1}^{Q} \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} (-1)^{|\mathcal{P}|} \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{-1} \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \frac{\zeta(-k_p, d_p)}{k_p!}, $$
avec

$$
Q^1(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) = \sum_{\substack{f=1 \\ f \neq j}}^{Q} \sum_{\mathbf{w}' = (w'_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \prod_{p \in \mathcal{P}^c} [0, k_p]} F_{\mathcal{P}, j, f, \mathbf{0}, (w'_p e_f + (k_p - w'_p) e_j)_{p \in \mathcal{P}^c}} (\mathbf{0}, \mathbf{0}) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \begin{pmatrix} k_p \\ w'_p \end{pmatrix} c_{f,p}^{w'_p} c_{j,p}^{k_p - w'_p} \right) \\
+ \gamma(Q-1) \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p}.
$$

En appliquant le Corollaire A1 et le Corollaire D2 aux deux fonctions zêta de Witten ζ<sub>g2</sub> et ζ<sub>so(5)</sub>, on
obtient les formules suivantes :

**Théorème E.** On a les valeurs spéciales pour ζ<sub>g2</sub>(s) et ζ<sub>so(5)</sub>(s) en s = 0 :

$$
\zeta_{g2}(0) = \frac{29}{60},
$$

De plus, on a les valeurs spéciales pour ζ'_{g2}(s) et ζ'_{so(5)}(s) en s = 0 :

$$
\begin{align*}
\zeta'_{g2}(0) &= \frac{29}{60} \ln(120) + 2\gamma\zeta(0)^2 + \frac{1}{4}\zeta(0)\zeta'(0) - 4\gamma\zeta(-1) + \frac{1}{5}\zeta(-1)(\ln(3) + 2\ln(2)) - \frac{14}{5}\zeta'(-1) \\
&\quad - \frac{11}{9}\ln(2) - \frac{23}{24}\ln(3) - \frac{1}{2}\ln(\pi) - 5\zeta'(0) + 3\zeta'(-1) - \frac{4}{3}\zeta'\left(0, \frac{5}{3}\right) - \frac{1}{3}\zeta'\left(0, \frac{4}{3}\right) \\
&\quad + \zeta'\left(-1, \frac{5}{3}\right) + \zeta'\left(-1, \frac{4}{3}\right) - \frac{1}{6}\zeta'\left(0, \frac{7}{6}\right) + \frac{1}{6}\zeta'\left(0, \frac{5}{6}\right), \\
\zeta'_{so(5)}(0) &= \frac{7}{18}\ln(6) - \frac{11}{24}\ln(2) - \frac{1}{4}\ln(\pi) + \left(\frac{1}{2}\zeta(0)^2 - \frac{1}{2}\zeta(-1)\right)\gamma - \frac{11}{4}\zeta'(0) - \frac{13}{6}\zeta'(-1)
\end{align*}
$$

On peut simplifier la formule de ζ'_{so(5)}(0) sous cette forme :

$$
\zeta'_{so(5)}(0) = -\frac{13}{6} \left( \frac{1}{12} - \ln(A) \right) + \frac{1}{6}\gamma + \frac{47}{36}\ln(2) + \frac{7}{18}\ln(3) + \frac{9}{8}\ln(\pi) \approx 2.94635\dots
$$

avec A la constante de Gleicher-Kinkelin [OEI23b], et γ la constante d'Euler [OEI23a].

Via la formule précédente, on obtient une expression explicite de la constante C dans le Théorème
1.2.35 :

$$
C = \frac{e^{\frac{1}{6}\gamma} 2^{\frac{35}{36}} \pi^{\frac{9}{8}} A^{\frac{13}{6}} \Gamma\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{6}} \zeta\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{12}}}{3^{\frac{5}{72}} e^{\frac{13}{72}} \sqrt{\pi}}.
$$

On obtient alors une version explicite du Théorème 1.2.35 obtenu par Bridges, Brindle, Bringmann et Franke dans [BBBF23, Théorème 1.3] :

**Corollaire F.** Pour tout entier $N \ge 1$, on a

$$
r_{so(5)}(n) = \lim_{n \to +\infty} \frac{C}{n^{\frac{\gamma}{12}}} \exp \left( A_1 n^{\frac{1}{3}} + A_2 n^{\frac{2}{9}} + A_3 n^{\frac{1}{9}} + A_4 \right) \left( 1 + \sum_{j=2}^{N+1} \frac{B_j}{n^{\frac{j-1}{9}}} + O_N \left( n^{-\frac{N+1}{9}} \right) \right),
$$

avec

$$
\begin{align*}
b &= \frac{7}{12}, \quad C = \frac{2^{\frac{35}{36}} \pi^{\frac{9}{8}} A^{\frac{13}{6}} \Gamma\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{6}} \zeta\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{12}}}{3^{\frac{5}{72}} e^{\frac{13}{72}} + \frac{1}{9}\gamma \sqrt{\pi}}, \quad A_1 = \frac{3^{\frac{4}{3}} \Gamma\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{4}{3}} \zeta\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{8}{3}}}, \\
A_2 &= \frac{2^{\frac{8}{9}} \left(2^{\frac{1}{3}} + 1\right) \Gamma\left(\frac{1}{3}\right) \zeta\left(\frac{1}{3}\right) \zeta\left(\frac{4}{3}\right)}{3^{\frac{7}{5}} \Gamma\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{4}{9}} \zeta\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{9}}}, \quad A_3 = \frac{2^{\frac{40}{9}} \left(2^{\frac{1}{3}} + 1\right)^2 \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^2 \zeta\left(\frac{1}{3}\right)^2 \zeta\left(\frac{4}{3}\right)^2}{3^{\frac{44}{9}} \Gamma\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{20}{9}} \zeta\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{10}{9}}}, \\
A_4 &= \frac{2^8 \left(2^{\frac{1}{3}} + 1\right)^3 \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)^3 \zeta\left(\frac{1}{3}\right)^3 \zeta\left(\frac{4}{3}\right)^3}{3^8 \Gamma\left(\frac{1}{4}\right)^4 \zeta\left(\frac{3}{2}\right)^2}.
\end{align*}
$$
On souhaite désormais appliquer les résultats obtenus dans le Théorème E afin d’obtenir une formule asymptotique du nombre de représentations $r_{g_2}(n)$ de l’algèbre de Lie exceptionnelle $g_2$, formule que l’on obtient via le Théorème 1.2.33 obtenu par Bridges, Brindle, Bringmann et Franke dans [BBBF23, Théorème 4.4]. On pose tout d’abord

$$ 
\begin{aligned}
l_1^*(x_1, x_2) &= x_1 + x_2 + x_3 + 2x_4, \\
l_2^*(x_1, x_2) &= x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4,
\end{aligned}
$$

et on pose

$$ 
\begin{aligned}
\omega_{\beta} := &120 \frac{\Gamma(\frac{4}{5})}{\Gamma(\frac{1}{5})^4} \zeta(\frac{1}{5}) \left( \int_{[0,1]^3} (x_2 x_3 x_4)^{-\frac{4}{5}} (l_1^*(1, x_2, x_3, x_4)^{-\frac{4}{5}} + l_2^*(1, x_2, x_3, x_4)^{-\frac{4}{5}}) dx_2 dx_3 dx_4 \right. \\
&\qquad \left. + \int_{[0,1]^3} (x_1 x_3 x_4)^{-\frac{4}{5}} (l_1^*(x_1, 1, x_3, x_4)^{-\frac{4}{5}} + l_2^*(x_1, 1, x_3, x_4)^{-\frac{4}{5}}) dx_1 dx_3 dx_4 \right. \\
&\qquad \left. + \int_{[0,1]^3} (x_1 x_2 x_4)^{-\frac{4}{5}} (l_1^*(x_1, x_2, 1, x_4)^{-\frac{4}{5}} + l_2^*(x_1, x_2, 1, x_4)^{-\frac{4}{5}}) dx_1 dx_2 dx_4 \right. \\
&\qquad \left. + \int_{[0,1]^3} (x_1 x_2 x_3)^{-\frac{4}{5}} (l_1^*(x_1, x_2, x_3, 1)^{-\frac{4}{5}} + l_2^*(x_1, x_2, x_3, 1)^{-\frac{4}{5}}) dx_1 dx_2 dx_3 \right)
\end{aligned}
$$

et

$$ 
\begin{aligned}
\omega_{\alpha} = &120 \frac{\Gamma(\frac{2}{3})^2}{\Gamma(\frac{1}{3})} \left( \int_{[0,1]^3} (x_1 x_2 x_3)^{-\frac{2}{3}} \prod_{p=1}^{2} l_p^*(x_1, x_2, x_3, 1)^{-\frac{2}{3}} dx_1 dx_2 dx_3, \right. \\
&\qquad \left. + \int_{[0,1]^3} (x_1 x_2 x_4)^{-\frac{2}{3}} \prod_{p=1}^{2} l_p^*(x_1, x_2, 1, x_4)^{-\frac{2}{3}} dx_1 dx_2 dx_4 \right. \\
&\qquad \left. + \int_{[0,1]^3} (x_1 x_3 x_4)^{-\frac{2}{3}} \prod_{p=1}^{2} l_p^*(x_1, 1, x_3, x_4)^{-\frac{2}{3}} dx_1 dx_3 dx_4 \right. \\
&\qquad \left. + \int_{[0,1]^3} (x_2 x_3 x_4)^{-\frac{2}{3}} \prod_{p=1}^{2} l_p^*(1, x_2, x_3, x_4)^{-\frac{2}{3}} dx_2 dx_3 dx_4 \right).
\end{aligned}
$$

On trouve alors une formule asymptotique de $r_{g_2}(n)$, dont certains de ces coefficients s’expriment en fonction des résidus $\omega_{\alpha}$ et $\omega_{\beta}$, et des valeurs spéciales $\zeta_{g_2}(0)$ et $\zeta'_{g_2}(0)$.

**Théorème G.** *Soit $N \in \mathbb{N}^*$. Lorsque $n$ tend vers $+\infty$, on a*

$$ r_{g_2}(n) = \frac{C}{n^b} \exp \left( A_1 n^{\frac{1}{4}} + A_2 n^{\frac{3}{20}} + A_3 n^{\frac{1}{20}} \right) \left( 1 + \sum_{j=2}^{N+1} \frac{B_j}{n^{\frac{j-1}{20}}} + O \left( n^{-\frac{N+1}{20}} \right) \right), $$

avec $B_j$ des réels explicites, et avec $C, b, A_1, A_2, A_3$ tels que :
$$C = \frac{e^{\zeta'_{g_2}(0)} \left(\omega_{\alpha} \Gamma\left(\frac{4}{3}\right) \zeta\left(\frac{4}{3}\right)\right)^{\frac{1-6\zeta_{g_2}(0)}{8}} \sqrt{3}}{\sqrt{8\pi}}, \quad b = \frac{6-6\zeta_{g_2}(0)+1}{8},$$

$$K_2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{\omega_{\beta} \Gamma\left(\frac{6}{5}\right) \zeta\left(\frac{6}{5}\right)}{\left(\omega_{\alpha} \Gamma\left(\frac{4}{3}\right) \zeta\left(\frac{4}{3}\right)\right)^{\frac{3}{20}}}, \quad K_3 = -\frac{3}{160} \cdot \frac{\left(\omega_{\beta} \Gamma\left(\frac{6}{5}\right) \zeta\left(\frac{6}{5}\right)\right)^2}{\left(\omega_{\alpha} \Gamma\left(\frac{4}{3}\right) \zeta\left(\frac{4}{3}\right)\right)^{\frac{21}{20}}}$$

$$A_1 := 4 \left( \omega_{\alpha} \Gamma \left( \frac{4}{3} \right) \zeta \left( \frac{4}{3} \right) \right)^{\frac{3}{4}}, \quad A_2 := \frac{\omega_{\beta} \Gamma \left( \frac{1}{5} \right) \zeta \left( \frac{6}{5} \right)}{\left( \omega_{\alpha} \Gamma \left( \frac{1}{3} \right) \zeta \left( \frac{4}{3} \right) \right)^{\frac{3}{20}}}$$

$$A_3 := K_3 + 3 \left( \binom{-1/3}{1} K_3 + \binom{-1/3}{2} \frac{K_2^2}{\left(\omega_{\alpha} \Gamma\left(\frac{4}{3}\right) \zeta\left(\frac{4}{3}\right)\right)^{\frac{3}{4}}} \right) + \frac{5 \left(\omega_{\beta} \Gamma\left(\frac{6}{5}\right) \zeta\left(\frac{6}{5}\right)\right)}{\left(\omega_{\alpha} \Gamma\left(\frac{4}{3}\right) \zeta\left(\frac{4}{3}\right)\right)^{\frac{18}{20}}} \binom{-1/5}{1} K_2$$

$$\zeta'_{g_2}(0) = \frac{29}{60} \ln(120) + 2\gamma\zeta(0)^2 + \frac{1}{4}\zeta(0)\zeta'(0) - 4\gamma\zeta(-1) + \frac{1}{5}\zeta(-1)(\ln(3) + 2\ln(2)) - \frac{14}{5}\zeta'(-1) \\ - \frac{11}{9}\ln(2) - \frac{23}{24}\ln(3) - \frac{1}{2}\ln(\pi) - 5\zeta'(0) + 3\zeta'(-1) - \frac{4}{3}\zeta'\left(0, \frac{5}{3}\right) - \frac{1}{3}\zeta'\left(0, \frac{4}{3}\right) \\ + \zeta'\left(-1, \frac{5}{3}\right) + \zeta'\left(-1, \frac{4}{3}\right) - \frac{1}{6}\zeta'\left(0, \frac{7}{6}\right) + \frac{1}{6}\zeta'\left(0, \frac{5}{6}\right),$$

$$\zeta_{g_2}(0) = \frac{29}{60}.$$

**Remarque 1.4.9.** Les $B_j$ peuvent être calculés d'après les coefficients $b_j$ obtenus via [BBBF23, Lemme 3.6].
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# Chapitre 2

## Expansion de Crandall de $Z(s, s')$

On fixera dans ce chapitre des coefficients $\mathbf{c} = (c_{q,p})_{q \in [1,Q], p \in [1,P]}$, des complexes $\mathbf{d} = (d_p)_{p \in [1,p]}$, $\mathbf{d}' = (d'_q)_{q \in [1,Q]}$ tels que $d_p \in H_0$ pour tout $1 \le p \le P$, et vérifiant pour tout $1 \le q \le Q$,

$$ \forall q \in [1, Q], \quad d'_q = \mathbf{c}_q \cdot \mathbf{d} = \sum_{p=1}^{P} c_{q,p} d_p. $$

De plus, on fixera dans ce chapitre un multi-entier $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$, et une direction $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}_*^+. Toutes les majorations de ce chapitre dépendront potentiellement de ces constantes, mais l'on choisira de ne pas spécifier cette dépendance pour des soucis de clarté dans la rédaction.

On étudiera tout d'abord le prolongement méromorphe de $Z(s, s')$ et on étudiera ses singularités dans la démonstration de la Proposition 1.3.9. Ensuite on décomposera la fonction méromorphe $Z(s, s')$ à l'aide d'une expansion de Crandall, et on obtiendra que une formule de prolongement pour la fonction univariable $Z(-\mathbf{N} + \boldsymbol{\mu}s, -\mathbf{N} + \mathbf{m}u's)$. Plus précisément, on obtiendra décomposition de cette fonction méromorphe suivant une somme entre une fonction holomorphe s'annulant en $s = 0$, et une fonction méromorphe correspondant à une série de type Erdélyi. Cette formule de prolongement sera cruciale dans la démonstration des Théorèmes A et D.

### 2.1 Démonstration de la Proposition 1.3.9

Le prolongement méromorphe de $Z(s, s')$ et la forme des singularités découlent du Théorème 1.2.25. On cherche ici à montrer que $Z(s, s')$ est absolument convergente sur le domaine $\mathcal{D}$ introduit dans la Proposition 2.1.1. Il suffira de montrer que la série décrivant $Z(s, s')$ est normalement convergente sur tout compact de $\mathcal{D}$. On se propose de démontrer la proposition suivante, plus générale que ce que l'on veut prouver dans la Proposition 1.3.9 :

**Proposition 2.1.1.** Soit $P, Q \ge 1$ deux entiers, et $\gamma = (\gamma_q)_{q \in [1,Q]} \in (H_0^P)^Q$, $\alpha = (\alpha_p) \in H_0^P$, $\beta = (\beta_q) \in H_0^Q$. On pose

$$ \mathcal{D} = \mathcal{D}_{P,Q} := \left\{ (\mathbf{s}, \mathbf{s}') \in \mathbb{C}^P \times \mathbb{C}^Q \mid \sum_{p \in \mathcal{P}} \sigma_p + \sigma'_1 + \dots + \sigma'_Q > |\mathcal{P}|, \emptyset \ne \mathcal{P} \subset [1, P] \right\}. $$

La fonction $Z_{\gamma, \alpha, \beta}^{P,Q}(s, s') := \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^P (n_p + \alpha_p)^{-s_p} \prod_{q=1}^Q \left( \sum_{p=1}^P \gamma_{q,p} n_p + \beta_q \right)^{-s'_q}$ converge normalement sur tout compact de $\mathcal{D}$.

*Démonstration.* Toutes les constantes intervenantes dans la preuve de cette proposition dépendront implicitement du choix des coefficients $(\gamma_q)_{q \in [1,Q]}$, de $\alpha$ et de $\beta$. On ne marquera pas cette dépendance
pour améliorer la clarté de la rédaction. On démontrera ce résultat par principe de récurrence. Le cas $P = 1$ est trivial.

Supposons que le résultat est vrai pour tout $k < P$. Soit $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \in H_0^{P+Q}$, et $\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P$. Alors on a les inégalités suivantes

$$ (n_p + 1) \ll n_p + \mathrm{Re}(\alpha_p) \le |n_p + \alpha_p| \le n_p + |\alpha_p| \ll (n_p + 1), $$

De même, on obtient que

$$ \sum_{p=1}^{P} n_p + P \ll \sum_{p=1}^{P} \mathrm{Re}(\gamma_{q,p})n_p + \mathrm{Re}(\beta_q) \le \left| \sum_{p=1}^{P} \gamma_{q,p} n_p + \beta_q \right| \le \sum_{p=1}^{P} |\gamma_{q,p}|n_p + |\beta_q| \ll \sum_{p=1}^{P} n_p + P. $$

En prenant le produit sur $\llbracket 1, P \rrbracket$ et $\llbracket 1, Q \rrbracket$, on trouve que

$$ \left| \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{-s_p} \prod_{q=1}^{Q} (l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{-s'_q} \right| \ll e^{(\sum_{p=1}^{P} |\tau_p| + \sum_{q=1}^{Q} |\tau'_q|)\pi/2} \prod_{p=1}^{P} (n_p + 1)^{-\sigma_p} (P + \sum_{p=1}^{P} n_p)^{-(\sigma'_1 + \dots + \sigma'_Q)}. $$

On souhaite désormais montrer que la série $\sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^{P} (n_p + 1)^{-\sigma_p} (P + \sum_{p=1}^{P} n_p)^{-(\sigma'_1 + \dots + \sigma'_Q)}$ est normalement convergente sur tout compact de $\mathcal{D}$. On peut découper cette série en somme finie de séries de la forme $\sum_{0 \le n_{f(1)} \le \dots \le n_{f(P)}} \prod_{p=1}^{P} (n_p + 1)^{-\sigma_p} (P + \sum_{p=1}^{P} n_p)^{-(\sigma'_1 + \dots + \sigma'_Q)}$, avec $f \in \mathfrak{S}_P$, et en termes de la forme $Z_{1,1,P}^{k,1}((\sigma_1 + \dots + \sigma_{i_1}, \dots, \sigma_{i_{k-1}+1} + \dots + \sigma_{i_k}), \sigma'_1 + \dots + \sigma'_Q)$ avec $1 = i_1 < i_2 < \dots < i_k = P$ et $(i_1, \dots, i_k) \ne (1, \dots, P)$ (ce qui implique en particulier $k < P$). Par principe de récurrence, la série de Dirichlet $Z_{1,1,P}^{k,1}((\sigma_1 + \dots + \sigma_{i_1}, \dots, \sigma_{i_{k-1}+1} + \dots + \sigma_{i_k}), \sigma'_1 + \dots + \sigma'_Q)$ converge normalement sur tout compact de

$$ \left\{ (\mathbf{s}, \mathbf{s}') \in \mathbb{C}^P \times \mathbb{C}^Q \left| \left[ \sum_{p \in \mathcal{P}} (\sigma_{i_p} + \dots + \sigma_{i_{p+1}-1}) \right] + \sigma'_1 + \dots + \sigma'_Q > |\mathcal{P}|, \mathcal{P} \subset \{i_1, \dots, i_{k-1}\} \right\}, $$

et on observe que cet ensemble ci-dessus contient bien l'ensemble $\mathcal{D}_{P,Q}$.

Fixons la permutation triviale $f = \mathrm{Id} \in \mathfrak{S}_P$. On trouve alors par changement de variable que

$$ \sum_{0 \le n_{f(1)} \le \dots \le n_{f(P)}} \prod_{p=1}^{P} (n_p + 1)^{-\sigma_p} (P + \sum_{p=1}^{P} n_p)^{-(\sigma'_1 + \dots + \sigma'_Q)} = \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^{P} \left(1 + \sum_{i=1}^{p} n_i\right)^{-\sigma_p} \left(P + \sum_{p=1}^{P} p n_p\right)^{-(\sigma'_1 + \dots + \sigma'_Q)}. $$

Comme précédemment, on trouve la majoration suivante :

$$ \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^{P} \left(1 + \sum_{i=1}^{p} n_i\right)^{-\sigma_p} \left(P + \sum_{p=1}^{P} p n_p\right)^{-(\sigma'_1 + \dots + \sigma'_Q)} \ll \zeta_P^{EZ}(\sigma_1, \dots, \sigma_{P-1}, \sigma'_1 + \dots + \sigma'_Q + \sigma_P), $$

Par le Lemme 1.2.23, on en déduit que ce terme là converge normalement sur tout compact de l'ensemble

$$ \{(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \in \mathbb{C}^P \times \mathbb{C}^Q | \sigma_p + \dots + \sigma_P + \sigma'_1 + \dots + \sigma'_Q > P + 1 - p, 1 \le p \le P\}. $$

On obtient alors que la série $\sum_{0 \le n_{f(1)} \le \dots \le n_{f(P)}} \prod_{p=1}^{P} (n_p + 1)^{-\sigma_p} (P + \sum_{p=1}^{P} n_p)^{-(\sigma'_1 + \dots + \sigma'_Q)}$, avec $f \in \mathfrak{S}_P$ converge normalement sur tout compact de

$$ \{(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \in \mathbb{C}^P \times \mathbb{C}^Q | \sigma_{f(p)} + \dots + \sigma_{f(P)} + \sigma'_1 + \dots + \sigma'_Q > P + 1 - p, 1 \le p \le P\}. $$

On trouve finalement que $Z_{\gamma, \alpha, \beta}^{P,Q}$ converge normalement sur tout compact de

$$ \left\{ (\mathbf{s}, \mathbf{s}') \in \mathbb{C}^P \times \mathbb{C}^Q \left| \sum_{p \in \mathcal{P}} \sigma_p + \sigma'_1 + \dots + \sigma'_Q > |\mathcal{P}|, \emptyset \ne \mathcal{P} \subset [1, P] \right\}. $$

□
Pour obtenir le prolongement méromorphe de la fonction multizêta $Z(s, s')$, et les singularités de cette fonction multizêta, il suffit d'utiliser le Théorème 1.2.25. En effet, via la Remarque 1.3.8, la fonction multizêta $Z(s, s')$ est de la forme $\zeta^{\mathrm{HL}}(0, \tilde{\mathbf{d}}, \tilde{\mathbf{c}}, (s_1, \dots, s_P, s'_1, \dots, s'_Q))$ introduite dans la Définition 1.2.24. On peut donc appliquer le Théorème 1.2.25 pour cette fonction multizêta.

## 2.2 Enoncé de la formule de prolongement de $Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(s)$
$\mu,\mu'$

On souhaite ici établir une formule de prolongement de $Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(s)$. Avant d'exprimer cette formule, on se doit d'introduire des fonctions de la forme $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s)$, qui apparaîtront dans la formule de prolongement.

**Définition 2.2.1.** Soit $\mathcal{P} \subset [1, P]$, $j \in [1, Q]$, et $\mathbf{k} = (k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}$. On pose $l_p^*(\mathbf{x}) = c_{1,p}x_1 + \dots + c_{Q,p}x_Q$ pour tout $1 \le p \le P$. Pour tout $s = \sigma + i\tau \in \mathbb{C}$, avec $\sigma \gg 1$, on considère les fonctions

$$h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s) = \frac{1}{\prod_{q=1}^{Q} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \cdot \int_0^1 \dots \int_0^1 \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} \prod_{p \in \mathcal{P}} l_p^*(\hat{\mathbf{x}}^j)^{-N_p + \mu_p s - 1} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} l_p^*(\hat{\mathbf{x}}^j)^{k_p} dx_1 \dots \widehat{dx_j} \dots dx_Q,$

et

$$h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',[1,P],j}(s) = \frac{1}{\prod_{q=1}^{Q} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \int_0^1 \dots \int_0^1 \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} \prod_{p=1}^{P} l_p^*(\hat{\mathbf{x}}^j)^{-N_p + \mu_p s - 1} dx_1 \dots \widehat{dx_j} \dots dx_Q,$$

où l'on a posé $dx_1 \dots \widehat{dx_j} \dots dx_Q = dx_1 \dots dx_{j-1} dx_{j+1} \dots dx_Q$, et où l'on a posé $\hat{\mathbf{x}}^j = (x_1, \dots, x_{j-1}, 1, x_{j+1}, \dots, x_Q)$, avec $1 \le j \le Q$.

On dispose de la proposition suivante pour majorer ces fonctions, et pour calculer plus tard la valeur en $s = 0$ de $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s)$ et de $h'_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s)$.

**Proposition 2.2.2.** Soit $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in \mathbb{R}_+^P \times \mathbb{R}_+^Q$, et $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$. Soit $\mathcal{P} \subset [1, P]$, $j \in [1, Q]$ et $\mathbf{k} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}$. Alors

i) $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}$ et $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',[1,P],j}$ sont holomorphes sur $\mathbb{C}$.

ii) Pour tout entier $r \in \mathbb{N}^*$, on a la majoration suivante, uniformément pour $s \in D_0(r)$ :

$$|h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s)| \ll (QM)^{|\mathbf{k}|}, \qquad (2.1)$$

avec $M := \max_{1 \le q \le Q, 1 \le p \le P} (|c_{q,p}|)$.
iii) Soit $\epsilon > 0$ suffisamment petit, et $s \in \mathbb{C}$, on a

$$
\begin{align*}
h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s) = & \sum_{\mathcal{Q} \subset [1,\mathcal{Q}] \setminus \{j\}} \sum_{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^\mathcal{Q})^\mathcal{P}} \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^\mathcal{Q})^{\mathcal{P}^c} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p| = k_p}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q \in [1,\mathcal{Q}]} c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \\
& \cdot \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p + \mu_p s - 1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{q \in \mathcal{Q}} c_{q,p}^{v_{p,q}} \right) \frac{1}{\prod_{q \in [1,\mathcal{Q}] \setminus \{j\}} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s) \prod_{q \in \mathcal{Q}} (-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q))} \\
& \cdot \int_{\epsilon}^{1} \dots \int_{\epsilon}^{1} \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1 + \mathbf{v}(q)} \cdot \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( c_{j,p} + \sum_{f \in \mathcal{Q}^c} c_{f,p} x_f \right)^{-N_p + \mu_p s - 1 - |\mathbf{v}_p|} \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} dx_q, \tag{2.2}
\end{align*}
$$

avec les notations $\mathbf{v}(q) = \sum_{p \in \mathcal{P}} v_{p,q}$ pour tout $q \in \mathcal{Q}$, et $\mathbf{w}(q) = \sum_{p \in \mathcal{P}^c} w_{p,q}$ pour tout $q \in [1, \mathcal{Q}]$. De plus, on peut dériver le terme général de la série précédente en $s$ pour obtenir une expression de $\partial_s h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s)$.

**Remarque 2.2.3.** 1) Le point iii) de cette proposition sera critique pour évaluer $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s)$ et $\partial_s h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s)$ en $s = 0$ dans les sous-sections 3.2.2 et 3.2.3.

$\mu, \mu'$

2) On peut obtenir des résultats similaires au points ii) et iii) de la proposition précédente pour les fonctions de la forme $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',[1,P],j}(s)$, cependant nous n'auront pas besoin d'étudier en détail ce type de fonction.

On peut désormais énoncer la formule de prolongement de $Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(s)$. On découpera cette fonction analytique en deux parties qui dépendront de $s$ et d'une variable libre $\theta > 0$ suffisamment petite. La première, que l'on notera $K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$, sera holomorphe en $s$ et s'annulera en $s = 0$. L'autre terme sera une série de type Erdélyi (dans le genre de la série présente dans la formule d'Erdélyi, c.f. 2.6), que l'on notera $J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$. Ce second terme contiendra les hypothétiques singularités de $Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(s)$, et l'on notera cet ensemble de singularités $S(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$, dont l'expression est

$$
S(\mathbf{N}, \mathbf{N}') = \left[ \bigcup_{\substack{1 \le p \le P \\ \mu_p \ne 0}} \frac{1}{\mu_p} \mathbb{Z}_{\ge N_p + 1} \right] \bigcup \left[ \bigcup_{\mathcal{P} \subset [1, P]} \frac{1}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} \mathbb{Z}^*_{\le |\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} + |\mathbf{N}'| + |\mathcal{P}|} \right].
$$

**Proposition 2.2.4.** *Soit $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{C}^P \times \mathbb{C}^Q$, et $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in \mathbb{R}_+^P \times \mathbb{R}_+^Q$. Alors la fonction univariable $Z_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}(s)$ est méromorphe sur $\mathbb{C}$, et ses pôles sont contenus dans $S(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$. Plus précisément, on a la formule de prolongement suivante :
Pour tout $\theta > 0$ suffisamment petit, et tout $s \in \mathbb{C} \setminus S(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$, on a
$\mu, \mu'$

$$
Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(s) = J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s) + K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s), \quad (2.3)
$$

avec $J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$ et $K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$ tels que :
## 2.2. ENONCÉ DE LA FORMULE DE PROLONGEMENT DE $Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(s)$
$\mu, \mu'$

1) Pour tout $s \in \mathbb{C}$, on pose

$$ K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s) = \sum_{\emptyset \neq \mathcal{Q} \subseteq [1,Q]} \sum_{A_{\mathcal{Q}} \subset \mathcal{Q}^c} (-1)^{|\mathcal{Q}^c| - |A_{\mathcal{Q}}|} \prod_{q \in [1,Q] \setminus A_{\mathcal{Q}}} \frac{1}{\Gamma(-N_q' + \mu_q's)} \left( \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^P (n_p + d_p)^{N_p - \mu_p s} \cdot \prod_{q \in A_{\mathcal{Q}}} (l_q(\mathbf{n}) + d_q')^{N_q' - \mu_q's} \prod_{q \in [1,Q] \setminus A_{\mathcal{Q}}} \Gamma(-N_q' + \mu_q's, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d_q') \right). \quad (2.4) $$

2) Pour tout $s \in \mathbb{C} \setminus S(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$, on pose

$$ J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s) = \tag{2.5} $$

$$ \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \Gamma(1 + N_p - \mu_p s) \right) \sum_{\mathbf{k} = (k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \left( \sum_{j=1}^{Q} h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s) \frac{\theta(|\mathbf{\mu}'|+|\mathbf{\mu}|_{\mathcal{P}})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|}{\Gamma(-N_j' + \mu_j's)((|\mathbf{\mu}'| + |\mathbf{\mu}|_{\mathcal{P}})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|)} \right) \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p + \mu_p s - k_p, d_p)}{k_p!} + \left( \prod_{p=1}^P \Gamma(1 + N_p - \mu_p s) \right) \left( \sum_{j=1}^{Q} h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',[1,P],j}(s) \frac{\theta(|\mathbf{\mu}'|+|\mathbf{\mu}|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}| - P}{\Gamma(-N_j' + \mu_j's)((|\mathbf{\mu}'| + |\mathbf{\mu}|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}| - P)} \right). $$

De plus, on a que :

i) $K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$ est une fonction holomorphe en $s$ sur tout $\mathbb{C}$, et $s$-annule en $s = 0$.

ii) $J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$ est une fonction méromorphe en $s$ sur $\mathbb{C}$, avec des pôles inclus dans $S(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$. De plus, on peut dériver suivant $s$ la série décrite dans l'expression de $J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$, terme à terme.

**Remarque 2.2.5.** 1) $J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$ sera l'unique contributeur lors du calcul de la valeur directionnelle $Z(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}'))$, puisque la fonction $K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$ s'annule en $s = 0$. En revanche, lorsque l'on étudiera la valeur de la dérivée $Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}'))$, il faudra tenir compte du terme $K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$.

2) On verra dans la preuve de la Proposition 2.2.4 que la série

$$ \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{N_p - \mu_p s} \prod_{q \in A_{\mathcal{Q}}} (l_q(\mathbf{n}) + d_q')^{N_q' - \mu_q's} \prod_{q \in [1,Q] \setminus A_{\mathcal{Q}}} \Gamma(-N_q' + \mu_q's, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d_q'), $$

décrit une fonction holomorphe en $s$ sur $\mathbb{C}$ (la série est en fait absolument convergente sur $\mathbb{C}$). En particulier, on pourra considérer la dérivée de cette série en $s$, et l'évaluer en $s = 0$ dans la démonstration du Théorème D. Notons que l'on ne cherchera jamais à calculer directement les valeurs de cette série, ou les valeurs de sa dérivée en $s$.

A l'aide de cette proposition, on obtiendra au passage que la fonction $Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}$ est régulière en 0, et on aura alors démontré par une autre méthode que Komori dans [KMT10a] l'existence de valeurs directionnelles pour la classe de fonction zêta qui nous intéresse. On obtient également une information sur les pôles de $Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}$:
**Corollaire 2.2.6.** Soit $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$, et $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in (\mathbb{R}_+)^P \times (\mathbb{R}_+^*)^Q$. Alors la fonction $Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}$ a des pôles, qui sont tous simples, de la forme

$$s = \frac{n}{\mu_p} \qquad (1 \le p \le P, n \in [1, P])$$

$$s = \frac{n}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} \qquad (\emptyset \neq \mathcal{P} \subset [1, P], n \in \mathbb{N} - \mathbb{N} - \mathbb{P})$$

Pour montrer cette proposition, on multipliera la série de Dirichlet $Z(s, s')$ par $\Gamma(s'_1)...\Gamma(s'_Q)$. Cela revient à considérer une transformation de Mellin multivariable en un certain sens. Cette stratégie est classique pour prolonger et étudier les valeurs de la fonction zêta de Riemann [Hid93, Chap. 2], pour obtenir une représentation intégrale d'une fonction zêta de Shintani dans [Hid93, Chap. 2], pour calculer les valeurs de la fonction zêta de Hurwitz multiple de type Mordell-Tornheim [Ono21].

Ensuite, on procédera à un découpage du domaine d'intégration en introduisant une variable libre $\theta$. Ce faisant, on pourra isoler un voisinage de l'origine du reste du domaine d'intégration. Enfin, on remarquera que l'intégrale au voisinage de l'origine peut être réexprimée à l'aide d'une formule d'Erdélyi (c.f. 2.6), puis on démontrera également que le reste des intégrales définissent en fait une fonction holomorphe en $(\mathbf{s}, \mathbf{s}')$. Pour découper les intégrales apparaissant dans nos calculs, on utilisera les fonctions gammas incomplètes $\Gamma(\mathbf{s}, \theta, \nu)$ et $\gamma(\mathbf{s}, \theta, \nu)$ définies dans la Définition 1.3.1.

## 2.3 Expansion de Crandall directionnelle pour $Z(\mathbf{s}, \mathbf{s}')$

### 2.3.1 Lemmes

On commence par énoncer une identité classique qui découle d'un développement de Taylor :

**Lemme 2.3.1.** Soit $X_1, ..., X_d$ des complexes tels que $|X_1 + ... + X_d| < 1$. On a alors

$$(1 + X_1 + ... + X_d)^{-s} = \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in [1, d]}} \binom{-s}{|\mathbf{k}|} \binom{|\mathbf{k}|}{\mathbf{k}} X_1^{k_1} ... X_d^{k_d}.$$

Les expressions présentes dans ce chapitre feront intervenir une série dont le terme général contiendra $\zeta(s - k, d)$ avec $k \in \mathbb{N}$, et $d \in H_0$. Dans [Ono21], Onodera dispose également de ces termes dans une de ses expressions, et il contrôle ces termes à l'aide du lemme suivant, dans le cas où $d \in \mathbb{R}_+^*$ :

**Lemme 2.3.2.** [Ono21, Lemme 2.1] Soit $\alpha > 0$. On pose pour tout $\delta \in \mathbb{R}_+^*$ et $r \in \mathbb{N}^*$,

$$D(\delta, r) := \left\{ s \in \mathbb{C} \mid \min_{n \in \mathbb{N}^*} |s - n| \ge \delta, |s| \le r \right\}.$$

Alors, pour tout $s \in D(\delta, r)$, $k \in \mathbb{N}$, $x > 0$, $m \in \mathbb{N}$, on a

$$|\partial_s^m \zeta(s-k,d)| \ll k!(k+1)^{r+\alpha}.$$

Ce lemme n'est cependant pas suffisant ici, puisque l'on souhaite majorer $\zeta(s - k, d)$ avec $d \in H_0$. La démonstration du lemme précédent utilise une équation fonctionnelle vérifiée par la fonction zêta d'Hurwitz $\zeta(s, d)$ pour $d \in \{0, 1\}$. A priori, on ne peut pas obtenir de la même manière une majoration similaire pour $d \in H_0$. On utilisera donc la formule d'Euler-Maclaurin sur la fonction zêta d'Hurwitz afin d'obtenir une inégalité similaire au lemme précédent.

**Lemme 2.3.3.** Soit $\delta \in \mathbb{R}_+^*$, $r \in \mathbb{N}^*$, et $r' \in \{1, +\infty\}$. Alors on a

$$\forall s \in D(\delta, r), \forall d \in \bar{H}_{1/r'} \cap D_0(r'), \forall k \in \mathbb{N}, \quad |\zeta(s-k,d)| \ll_{r,r',\delta} \left(\frac{e}{\pi}\right)^k k!(k+1)^{r+1}(1+r'^{2k}).$$
Démonstration. Soit $r \in \mathbb{N}^*$, on pose $n = r + 1$. On souhaite majorer $|\zeta(s-k,d)|$ uniformément en $s \in D(\delta,r)$ et en $d \in \bar{H}_{1/r'} \cap D_0(r')$. Soit $s \in D(\delta,r)$ et $d \in H_{1/r'} \cap D_0(r')$. On remarque que l'on a $n > -\sigma$. Soit $k \in \mathbb{N}$, comme on a que $n+k > -\sigma+k$, on peut reprendre l'expression de la fonction zêta de Hurwitz par la formule d'Euler-Maclaurin 1.2.6 à l'ordre $n+k$, et l'évaluer en $s-k$

$$
\zeta(s-k, d) = \frac{d^{1-s+k}}{1-s+k} + \sum_{i=0}^{n+k} \binom{-s+k}{i} \frac{(-1)^i B_{i+1}}{i+1} d^{-s-i+k} \\
+ (-1)^{n+k} \binom{-s+k}{n+1+k} \int_0^{+\infty} B_{n+k+1}(x)(x+d)^{-s-n-1} dx,
$$

avec $B_i(x)$ le $i$-ième polynôme de Bernoulli périodisé, et $B_i$ le $i$-ième nombre de Bernoulli. En majorant chaque terme de l'égalité, on trouve

$$
|\zeta(s-k, d)| \le \frac{|d|^{1-\sigma+k}}{|1-s+k|} e^{|\tau|\pi/2} + \sum_{i=0}^{n+k} \left| \binom{-s+k}{i} \right| \frac{|B_{i+1}|}{i+1} |d|^{-\sigma-i+k} e^{|\tau|\pi/2} \\
+ \left| \binom{-s+k}{n+k+1} \right| \int_0^{+\infty} |B_{n+k+1}(x)||x+d|^{-\sigma-n-1} e^{|\tau|\pi/2} dx.
$$

On cherche désormais à majorer chacun de ces termes. On a clairement que $e^{|\tau|\pi/2} \le e^{r\pi/2}$. Par continuité de l'application $(x, y) \in [1/r', r'] \times [-r, r] \mapsto x^y$, on obtient que

$$
|d|^{-\sigma+k} \ll_{r,r'} r'^k.
$$

Par construction de $D(\delta, r)$, on a

$$
\frac{|d|^{1-\sigma+k}}{|1-s+k|} \ll_{r,r'} \frac{r'^k}{\delta} \\
\ll_{r,r',\delta} r'^k.
$$

Pour la majoration des coefficients binomiaux, on observe tout d'abord que

$$
\forall i \in [0, n+k], \quad \left| \binom{-s+k}{i} \right| \le \binom{r+k+i-1}{i} \le \binom{2n+2k}{i}.
$$

Soit $i \in \mathbb{N}$. Par [Leh40], on sait que si $i \neq 2 \pmod 4$, on a

$$
\forall i \in \mathbb{N}, \forall x \in \mathbb{R}, \quad |B_i(x)| < \frac{2i!}{(2\pi)^i},
$$

et lorsque $i = 2 \pmod 4$, on obtient que

$$
\forall x \in \mathbb{R}, \quad |B_i(x)| < \frac{2i!\zeta(i)}{(2\pi)^i} \le \frac{2i!\zeta(2)}{(2\pi)^i}.
$$

Notons $\psi$ la fonction digamma d'Euler. On sait que $\lim_{x \to +\infty} \psi(x) = +\infty$. Ainsi, il existe un rang $x_0$ tel que pour tout $x \ge x_0$, la fraction $\frac{\Gamma(x)}{(2\pi)^x} (\psi(x) - \ln(2\pi))$ est positive. On trouve alors que la fonction

$$
x \in \mathbb{R}_+^* \mapsto \frac{\Gamma(x)}{(2\pi)^x},
$$

est croissante à partir de ce même $x_0$. On en déduit donc que, pour $n$ grand,

$$
\forall i \in [0, n+k], \quad \frac{i!}{(2\pi)^i} \ll \frac{(n+k)!}{(2\pi)^{n+k}} \ll \frac{1}{(2\pi)^k} k!(k+1)\dots(k+n).
$$
En majorant chaque terme du produit à droite de la dernière inégalité, on trouve aisément $(k+1)...(k+n) \ll n (k+1)^n$, et donc comme $n = r + 1$ :

$$ \forall i \in [0, n+k], \forall x \in \mathbb{R}, \quad |B_i(x)| \ll_r \frac{k!}{(2\pi)^k} (k+1)^{r+1}. $$

En évaluant l'inégalité précédente en $x = 0$, on obtient que

$$ \forall i \in [0, n+k], \quad |B_i| \ll_r \frac{k!}{(2\pi)^k} (k+1)^{r+1}. $$

On obtient alors l'inégalité suivante

$$ \begin{aligned} \sum_{i=0}^{n+k} \left| \binom{-s+k}{i} \right| \frac{|B_{i+1}|}{i+1} |d|^{-\sigma-i+k} & \ll_r |d|^{-\sigma+k} \frac{k!}{(2\pi)^k} (k+1)^n \sum_{i=0}^{2n+2k} \binom{2n+2k}{i} |d|^{-i} \\ & \ll_{r,r'} \frac{k!}{(2\pi)^k} r'^k (k+1)^{r+1} (1+|d|^{-1})^{2n+2k} \\ & \ll_{r,r'} \frac{k!}{(2\pi)^k} (k+1)^{r+1} (1+r')^{2k}. \end{aligned} $$

Comme $-\sigma - n \le -1$ il est clair que

$$ \forall x \in \mathbb{R}_+, \quad |x+d|^{-\sigma-n-1} \le (x+\mathrm{Re}(d))^{-\sigma-n-1}. $$

et cette dernière quantité est intégrable sur $\mathbb{R}_+$. On obtient donc

$$ \left| \binom{-s+k}{n+k+1} \right| \int_0^{+\infty} |B_{n+k+1}(x)| |x+d|^{-\sigma-n-1} e^{\tau|\pi/2} dx \le \binom{n+2k+1}{n+k+1} \frac{2(n+k+1)!}{(2\pi)^{n+k+1}} \frac{\mathrm{Re}(d)^{-\sigma-n}}{\sigma+n}. $$

Par l'inégalité classique

$$ \binom{m}{i} \le e^i \left(\frac{m}{i}\right)^i \quad (0 \le i \le m), $$

on obtient :

$$ \begin{aligned} \left| \binom{-s+k}{n+k+1} \right| \int_0^{+\infty} |B_{n+k+1}(x)| |x+d|^{-\sigma-n-1} e^{\tau|\pi/2} dx & \le 2e^k \left( \frac{n+2k+1}{k} \right)^k \frac{(n+k+1)!}{(2\pi)^{n+k+1}} \frac{\mathrm{Re}(d)^{-\sigma-n}}{\sigma+n} \\ & \le 2(2e)^k \left( 1 + \frac{n+1}{2k} \right)^k \frac{(n+k+1)!}{(2\pi)^{n+k+1}} \frac{\mathrm{Re}(d)^{-\sigma-n}}{\sigma+n}. \end{aligned} $$

Comme on a la majoration suivante

$$ \forall 0 \le x < k, \quad \left(1 + \frac{x}{k}\right)^k \le e^x, $$

on en déduit que

$$ \forall k > (n+1)/2, \quad \left(1 + \frac{n+1}{2k}\right)^k \le e^{(n+1)/2}. $$

Comme $n = r + 1$, on obtient

$$ \forall k \in \mathbb{N}, \quad \left(1 + \frac{n+1}{2k}\right)^k \ll_r 1. $$
On obtient finalement que

$$ \begin{aligned} |\zeta(s-k,d)| &\ll_{r,r',\delta} r'^k + \frac{k!}{(2\pi)^k} (k+1)^n (1+r'^{2k}) + \frac{(2e)^k k!}{(2\pi)^k} (k+1)^{n+1} \\ &\ll_{r,r',\delta} \left(\frac{e}{\pi}\right)^k k!(k+1)^{r+1} (1+r'^{2k}). \end{aligned} $$

□

Pour tout entier naturel $a \in \mathbb{N}$, on observe que la fonction $s \mapsto \frac{1}{\Gamma(s)(s+a)}$ admet un prolongement holomorphe sur $\mathbb{C}$. On observe alors le lemme suivant :

**Lemme 2.3.4.** Soit $r \in \mathbb{N}^*$. Alors on a

$$ \begin{gathered} \forall s \in D_0(r), \quad \left| \frac{1}{\Gamma(s)} \right| \ll 1 \\ \forall s \in D_0(r), \forall a \in \mathbb{N}, \quad \left| \frac{1}{\Gamma(s)(s+a)} \right| \ll 1 \end{gathered} $$

*Démonstration.* Comme $\frac{1}{\Gamma}$ et $s \mapsto \frac{1}{\Gamma(s)s}$ sont holomorphes sur $\mathbb{C}$, on a uniformément sur $D_0(r)$ :

$$ \left| \frac{1}{\Gamma(s)} \right| \ll_1 1 \\ \left| \frac{1}{\Gamma(s)s} \right| \ll_1 1 $$

Enfin, il est clair que

$$ \forall |s| > \frac{1}{2}, \quad \left| \frac{1}{s} \right| < 2. $$

On peut alors montrer l'inégalité souhaitée. Soit $s \in \mathbb{C}$ tel que $\sigma \in [-r, r]$.

Si $|s+a| > \frac{1}{2}$, alors

$$ \left| \frac{1}{\Gamma(s)(s+a)} \right| \ll 1. $$

Si $|s+a| \le \frac{1}{2}$ alors par l'inégalité triangulaire, on obtient que $a \le |s| + 1/2 \le r + 1/2$. Par l'équation fonctionnelle de $\Gamma$, on a que

$$ \frac{1}{\Gamma(s)(s+a)} = \frac{(s+a-1)...s}{\Gamma(s+a)(s+a)}, $$

on en déduit l'inégalité suivante :

$$ \left| \frac{1}{\Gamma(s)(s+a)} \right| \ll (2r+1)...r. $$

Comme $a \le 1/2 + r$, on obtient la majoration suivante pour le produit au numérateur

$$ |(s+a-1)...s| \le (2r+1)! $$

On obtient alors que

$$ \forall s \in \bar{D}_0(r), \quad \left| \frac{1}{\Gamma(s)(s+a)} \right| \ll 1. $$

□
La formule d'Erdélyi [EMOT81, §1.11] décrite dans la proposition suivante est cruciale pour réexprimer des intégrandes faisant intervenir la fonction zêta de Lerch que l'on a définit dans la Définition 1.2.7 :

**Proposition 2.3.5.** [On021, Lemme 2.2]

Soit $u \in \mathbb{C}\setminus\{-\infty, 0\}$ tel que $|u| < 2\pi$, $s \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{N}^*$, et $d \in \mathbb{R}_+^*$. Alors

$$e^{-du}\phi(e^{-u}, s, d) = \Gamma(1-s)u^{s-1} + \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-u)^k}{k!} \zeta(s-k, d).$$

On souhaite obtenir une formule d'Erdélyi pour $d \in H_0$. La majoration que l'on a du terme $\zeta(s-k, d)$ n'est pas aussi bonne lorsque $d$ est complexe que lorsque $d$ est réel, ainsi on doit imposer une condition supplémentaire sur le complexe $u$ :

**Proposition 2.3.6.** *Soit $d \in H_0$, $s \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{N}^*$ et $u \in \mathbb{C}\setminus\{-\infty, 0\}$ avec $|u| \ll 1$. Alors*

$$e^{-du}\phi(e^{-u}, s, d) = \Gamma(1-s)u^{s-1} + \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-u)^k}{k!} \zeta(s-k, d). \quad (2.6)$$

*Démonstration.* Soit $r' \in [1, +\infty[$ un réel, on cherchera à montrer le résultat pour $d \in H_{1/r'} \cap D_0(r')$. Soit $u \in \mathbb{C}\setminus\{-\infty, 0\}$ tel que $|u| < \frac{\pi}{e(1+r')^2}$. On fixe un $s \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{N}^*$, et on pose $r := |s|$. On sait déjà que la formule que l'on souhaite démontrer est valable lorsque $d \in \mathbb{R}_+^*$. On cherche alors à démontrer cette formule pour tout $d \in H_0$ par prolongement analytique. Pour cela, on doit d'abord montrer que les différents termes dans l'expression de la formule voulue sont holomorphes en la variable $d$ sur $H_0$.

On sait que l'application $d \in H_0 \mapsto e^{-du}\phi(e^{-u}, s, d)$ est holomorphe [EMOT81, §1.11], il ne reste qu'à montrer que la série présente dans la formule l'est aussi. On a déjà que chaque terme $d \in H_0 \mapsto \zeta(s-k, d)$ est holomorphe sur $H_0$ pour tout entier $k \in \mathbb{N}$. Pour démontrer cela, il suffit de reprendre la formule obtenue par le développement d'Euler-Maclaurin de la fonction zêta d'Hurwitz obtenue dans la preuve de la Proposition 1.2.6. Il ne nous reste plus qu'à montrer que la série présente dans (2.6) est normalement convergente en $d$ sur $\bar{H}_{1/r'} \cap D_0(r')$. On a la majoration suivante

$$\forall k \in \mathbb{N}, \quad |\zeta(s-k, d)| \ll \left(\frac{e}{\pi}\right)^k k!(k+1)^{r+1}(1+r')^{2k},$$

Ainsi, on obtient que le terme général de la série 2.6 admet la majoration suivante

$$\frac{|\zeta(s-k, d)|}{k!} |u|^k \ll \left(u \frac{e}{\pi} (1+r')^2\right)^k (k+1)^{r+1},$$

or la série entière $\sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac{e}{\pi}(1+r')^2\right)^k k^{r+1}z^k$ est absolument convergente dans le disque ouvert

$$\left\{z \in \mathbb{C}, |z| < \frac{\pi}{e(1+r')^2}\right\}$. On obtient alors que la série $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\zeta(s-k, d)}{k!} (-u)^k$ est normalement convergente en $d$ sur $H_{1/r'} \cap D_0(r')$. Ainsi la formule (2.6) est vraie pour tout $d \in H_0$ par prolongement analytique, via la Proposition 2.3.5. $\square$

## 2.3.2 Résultats préliminaires

On souhaite établir dans cette section une expansion de Crandall pour la fonction multizêta

$$Z(\mathbf{s}, \mathbf{s}') := \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{-s_p} \prod_{q=1}^{Q} (l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{-s'_q}.$$
Rappelons la Définition 1.3.1 : Soit $\nu \in H_0$, $\theta > 0$, $s \in \mathbb{C}$. On a posé

$$
\begin{align*}
\Gamma(s, \theta, \nu) &= \int_{\theta}^{+\infty} e^{-\nu y} y^{s-1} dy, \\
\gamma(s, \theta, \nu) &= \int_{0}^{\theta} e^{-\nu y} y^{s-1} dy, \quad \text{lorsque } \operatorname{Re}(s) > 0.
\end{align*}
$$

On notera que l'intégrale décrivant $\Gamma(s, \theta, \nu)$ est absolument convergente pour tout $s \in \mathbb{C}$, mais que
celle décrivant $\gamma(s, \theta, \nu)$ n'est absolument convergente que pour $s \in H_0$. Plus précisément, on a :

**Proposition 2.3.7.** *Soit $\nu \in H_0$ et $\theta > 0$. Alors les fonctions $(s, \nu) \in \mathbb{C} \times H_0 \mapsto \Gamma(s, \theta, \nu)$ et $(s, \nu) \in H_0 \times H_0 \mapsto \gamma(s, \theta, \nu)$ sont holomorphes respectivement sur $\mathbb{C} \times H_0$ et sur $H_0 \times H_0$.*

Démonstration. La proposition découle du théorème d'holomorphie sous le signe intégral.

**Proposition 2.3.8.** *Soit $\nu \in H_0$, $\theta > 0$. On a*

$$
\forall s \in H_0, \quad \Gamma(s, \theta, \nu) + \gamma(s, \theta, \nu) = \nu^{-s} \Gamma(s).
$$

Démonstration. Supposons que $\nu \in \mathbb{R}_+^*$. On a alors par changement de variable :

$$
\begin{align*}
\Gamma(s, \theta, \nu) &= \nu^{-s} \int_{\nu\theta}^{+\infty} e^{-x} x^{s-1} dx, \\
\gamma(s, \theta, \nu) &= \nu^{-s} \int_{0}^{\nu\theta} e^{-x} x^{s-1} dx, \quad \text{lorsque } \operatorname{Re}(s) > 0.
\end{align*}
$$

En additionnant les deux termes, on obtient

$$
\Gamma(s, \theta, \nu) + \gamma(s, \theta, \nu) = \nu^{-s} \Gamma(s).
$$

Soit $s \in H_0$. La fonction $\nu \in H_0 \mapsto \Gamma(s, \theta, \nu) + \gamma(s, \theta, \nu) - \nu^{-s}\Gamma(s)$ est holomorphe, et s'annule sur tout $\mathbb{R}_+^*$, donc par principe des zéros isolés, on obtient le résultat voulu. $\square$

**Corollaire 2.3.9.** La fonction $s \mapsto \gamma(s, \theta, \nu)$ admet un prolongement méromorphe sur $\mathbb{C}$, ayant pour seuls pôles des pôles simples en les entiers strictement négatifs, et le résidu en $s = -n$ est $\frac{(-1)^n \nu^n}{n!}$.

**Lemme 2.3.10.** *Soit $\theta > 0$ un réel positif, et $\nu \in H_0$. Soit $s \in \mathbb{C}$. On a la majoration suivante :*

$$
|\Gamma(s, \theta, \nu)| \leq 2^{\sigma} e^{-\frac{Re(\nu)\theta}{2}} \Gamma\left(\sigma, \frac{\theta}{2}; Re(\nu)\right).
$$

Démonstration. Après le changement de variable $x = \frac{x'}{2}$, on obtient

$$
\Gamma(s, \theta, \nu) = 2^s \int_{\theta/2}^{+\infty} e^{-2\nu x} x^{s-1} dx.
$$

Comme $|e^{-\nu x}| = e^{-\operatorname{Re}(\nu)x}$ pour tout $x \in \mathbb{R}_+$ et tout complexe $\nu \in H_0$, on obtient la majoration suivante :

$$
\begin{align*}
|\Gamma(s, \theta, \nu)| &\le |2^s| \int_{\theta/2}^{+\infty} e^{-\operatorname{Re}(\nu)x} e^{-\operatorname{Re}(\nu)x} x^{\sigma-1} dx \\
&\le 2^\sigma \int_{\theta/2}^{+\infty} e^{-\operatorname{Re}(\nu)\theta/2} e^{-\operatorname{Re}(\nu)x} x^{\sigma-1} dx,
\end{align*}
$$

ce qui conclut la preuve. $\square$
On étudie maintenant le produit $\prod_{q=1}^{Q} \Gamma(s'_q)Z(s, s')$. Soit $q \in [1, Q]$, $\theta > 0$, et $s'_q \in H_0$. Par la Proposition 2.3.8, on obtient

$$ \Gamma(s'_q)(l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{-s'_q} = \Gamma(s'_q, \theta, (l_q(n) + d'_q)) + \gamma(s'_q, \theta, (l_q(\mathbf{n}) + d'_q)). $$

On se donne un multi-entier $\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P$, et des complexes $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \in \mathbb{C}^P \times H_1^Q$. On obtient ainsi l'égalité suivante en distribuant la somme ci-dessus sur le produit suivant :

$$
\begin{align*}
\prod_{q=1}^{Q} \Gamma(s'_q)(l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{-s'_q} &= \prod_{q=1}^{Q} \left[ \Gamma(s'_q, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_q) + \gamma(s'_q, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_q) \right] \\
&= \sum_{\emptyset \neq \mathcal{Q} \subset [1, Q]} \prod_{q \in \mathcal{Q}} \Gamma(s'_q, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_q) \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} \gamma(s'_q, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_q) \\
&\quad + \prod_{q=1}^{Q} \gamma(s'_q, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_q) \\
&= \sum_{\emptyset \neq \mathcal{Q} \subset [1, Q]} \prod_{q \in \mathcal{Q}} \Gamma(s'_q, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_q) \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} \left( (l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{-s'_q} \Gamma(s'_q) - \Gamma(s'_q, \theta, l'_q(\mathbf{n}) + d'_q) \right) \\
&\quad + \prod_{q=1}^{Q} \gamma(s'_q, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_q).
\end{align*}
$$

En distribuant les termes de la forme $(l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{-s'_q} \Gamma(s'_q) - \Gamma(s'_q, \theta, l'_q(\mathbf{n}) + d'_q)$, on obtient

$$
\begin{align*}
\prod_{q=1}^{Q} \Gamma(s'_q)(l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{-s'_q} &= \sum_{\emptyset \neq \mathcal{Q} \subset [1, Q]} \sum_{A_{\mathcal{Q}} \subset \mathcal{Q}^c} \prod_{q \in \mathcal{Q}} \Gamma(s'_q, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_q) \prod_{q \in A_{\mathcal{Q}}} (l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{-s'_q} \\
&\quad \prod_{q \in A_{\mathcal{Q}}} \Gamma(s'_q) \prod_{q \in \mathcal{Q}^c \setminus A_{\mathcal{Q}}} (-1) \Gamma(s'_q, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_q) \\
&\quad + \prod_{q=1}^{Q} \gamma(s'_q, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_q)
\end{align*}
$$

Soit $(x_p)_{p \in [1, P]} \in H_0^P$, alors par l'égalité précédente on a

$$
\begin{align*}
\prod_{q=1}^{Q} \Gamma(s'_q)(l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{-s'_q} \prod_{p=1}^{P} x_p^{-s_p} &= \\
&\quad \sum_{\emptyset \neq \mathcal{Q} \subset [1, Q]} \sum_{A_{\mathcal{Q}} \subset \mathcal{Q}^c} (-1)^{|\mathcal{Q}^c| - |A_{\mathcal{Q}}|} \prod_{p=1}^{P} x_p^{-s_p} \prod_{q \in \mathcal{Q} \cup (\mathcal{Q}^c \setminus A_{\mathcal{Q}})} \Gamma(s'_q, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_q) \left( \prod_{q \in A_{\mathcal{Q}}} (l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{-s'_q} \Gamma(s'_q) \right) \\
&\quad + \prod_{p=1}^{P} x_p^{-s_p} \prod_{q=1}^{Q} \gamma(s'_q, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_q)
\end{align*}
$$
Comme $Q \cup (Q^c \setminus A_Q) = [1, Q] \setminus A_Q$, en remplaçant $x_p$ par $n_p + d_p$ :

$$ \prod_{q=1}^{Q} \Gamma(s'_{q}) (l_{q}(\mathbf{n}) + d'_{q})^{-s'_{q}} \prod_{p=1}^{P} (n_{p} + d_{p})^{-s_{p}} = \tag{2.7} \\ \sum_{\emptyset \neq Q \subseteq [1, Q]} \sum_{A_Q \subseteq Q^c} (-1)^{|Q^c| - |A_Q|} \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{-s_p} \prod_{q \in [1, Q] \setminus A_Q} \Gamma(s'_{q}, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_{q}) \left( \prod_{q \in A_Q} (l_q(\mathbf{n}) + d'_{q})^{-s'_{q}} \Gamma(s'_{q}) \right) \\ + \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{-s_p} \prod_{q=1}^{Q} \gamma(s'_{q}, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_{q}). $$

En sommant ces égalités sur $n_p \in \mathbb{N}$ pour tout $p \in [1, P]$, on cherchera par la suite à prouver que, pour $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \in \mathcal{D}$ (avec $\mathcal{D}$ l'ensemble définit dans la Proposition 2.1.1), on a

$$ Z(\mathbf{s}, \mathbf{s}') = \sum_{\emptyset \neq \mathcal{Q} \subseteq [1, Q]} \sum_{A_{\mathcal{Q}} \subseteq \mathcal{Q}^c} (-1)^{|\mathcal{Q}^c| - |A_{\mathcal{Q}}|} \prod_{q \in [1, Q] \setminus A_{\mathcal{Q}}} \frac{1}{\Gamma(s'_{q})} \left( \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{-s_p} \right. \\ \left. \cdot \prod_{q \in A_{\mathcal{Q}}} (l_q(\mathbf{n}) + d'_{q})^{-s'_{q}} \prod_{q \in [1, Q] \setminus A_{\mathcal{Q}}} \Gamma(s'_{q}, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_{q}) \right) \\ + \frac{1}{\prod_{q=1}^{Q} \Gamma(s'_{q})} \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{-s_p} \prod_{q=1}^{Q} \gamma(s'_{q}, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_{q}) $$

Par la formule 2.7, il suffira de prouver que les séries présentes dans la série précédente converge absolument. On étudiera ces séries dans les deux propositions suivantes :

**Proposition 2.3.11.** Soit $\theta > 0$, et $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \in \mathbb{C}^P \times \mathbb{C}^Q$. On pose :

$$ K(\theta, \mathbf{s}, \mathbf{s}') = \sum_{\emptyset \neq \mathcal{Q} \subseteq [1, Q]} \sum_{A_{\mathcal{Q}} \subseteq \mathcal{Q}^c} (-1)^{|\mathcal{Q}^c| - |A_{\mathcal{Q}}|} \prod_{q \in [1, Q] \setminus A_{\mathcal{Q}}} \frac{1}{\Gamma(s'_{q})} \left( \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{-s_p} \right. \\ \left. \cdot \prod_{q \in A_{\mathcal{Q}}} (l_q(\mathbf{n}) + d'_{q})^{-s'_{q}} \prod_{q \in [1, Q] \setminus A_{\mathcal{Q}}} \Gamma(s'_{q}, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_{q}) \right). \tag{2.8} $$

Alors la série précédente est normalement convergente sur tout compact de $\mathbb{C}^P \times \mathbb{C}^Q$. De plus, la fonction $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \mapsto K(\theta, \mathbf{s}, \mathbf{s}')$ est holomorphe sur $\mathbb{C}^P \times \mathbb{C}^Q$, et $K(\theta, -\mathbf{N}, -\mathbf{N}') = 0$ pour tout multi-entiers $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$.

**Démonstration.** Soit $\theta > 0$ un réel. Pour démontrer l'holomorphie de $K$ en les variables $(\mathbf{s}, \mathbf{s}')$, il suffit de montrer que la série décrivant $K(\theta, \mathbf{s}, \mathbf{s}')$ est normalement convergente sur tout compact.

La fonction $K(\theta, \mathbf{s}, \mathbf{s}')$ est une somme finie de termes de la forme

$$ (-1)^{|\mathcal{Q}^c| - |A_{\mathcal{Q}}|} \prod_{q \in [1, Q] \setminus A_{\mathcal{Q}}} \frac{1}{\Gamma(s'_{q})} \left( \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{-s_p} \prod_{q \in A_{\mathcal{Q}}} (l_q(\mathbf{n}) + d'_{q})^{-s'_{q}} \prod_{q \in [1, Q] \setminus A_{\mathcal{Q}}} \Gamma(s'_{q}, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_{q}) \right). \tag{2.9} $$

avec $\emptyset \neq \mathcal{Q} \subset [1, Q]$, et $A_Q \subset \mathcal{Q}^c$. On observe que les fonctions $\frac{1}{\Gamma(s'_{q})}$, et $\Gamma(s'_{q}, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_{q})$ sont bien définis, et holomorphe, sur $\mathbb{C}$. On note

$$ T_{\mathcal{Q}, A_{\mathcal{Q}}} (\theta, \mathbf{n}, \mathbf{s}, \mathbf{s}') = \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{-s_p} \prod_{q \in A_{\mathcal{Q}}} (l_q(\mathbf{n}) + d'_{q})^{-s'_{q}} \prod_{q \in [1, Q] \setminus A_{\mathcal{Q}}} \Gamma(s'_{q}, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_{q}), \quad (\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P) \tag{2.10} $$
le terme général de la série présente dans (2.9).

En utilisant le Lemme 2.3.10, on obtient, que pour tout $q \in [1, Q]$, et pour tout $\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P$,

$$|\Gamma(s'_q, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_q)| \le 2^{\sigma'_q} e^{-(Re(l_q(\mathbf{n})+d'_q))^{\frac{\theta}{2}}} \Gamma(\sigma'_q, \theta/2, Re(l_q(\mathbf{n}) + d'_q)).$$

A l'aide de l'inégalité précédente, et par décroissance de $x \in \mathbb{R}_+^* \mapsto \Gamma(\sigma, \theta, x)$ pour $\theta > 0$, on obtient finalement

$$|\Gamma(s'_q, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_q)| \le 2^{\sigma'_q} e^{-(Re(l_q(\mathbf{n})+d'_q))^{\frac{\theta}{2}}} \Gamma(\sigma'_q, \theta/2, Re(d'_q)).$$

Enfin, comme pour tout complexe $z \in H_0$, $s = \sigma + i\tau \in \mathbb{C}$, on a $|z^s| = |z|^\sigma e^{-\arg(z)\tau}$. Comme $z \in H_0$, on en déduit que $\arg(z) \in [-\pi/2, \pi/2]$, et donc

$$|z^s| \le |z|^\sigma e^{\tau|\pi/2|}.$$

On en déduit alors l'inégalité suivante

$$\begin{aligned} |T_{Q,A_Q}(\theta, \mathbf{n}, \mathbf{s}, \mathbf{s}')| & \le \left| \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{-s_p} \prod_{q \in A_Q} (l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{-s_q} \right| \prod_{q \in [1, Q] \setminus A_Q} 2^{\sigma'_q} e^{-(Re(l_q(\mathbf{n})+d'_q))^{\frac{\theta}{2}}} \Gamma(\sigma'_q, \theta/2, Re(d'_q)) \\ & \le \prod_{q \in [1, Q] \setminus A_Q} e^{-(Re(l_q(\mathbf{n})+d'_q))\theta/2} 2^{\sigma'_q} \Gamma(\sigma'_q, \theta/2, d'_q) \\ & \quad \cdot \prod_{p=1}^{P} e^{\tau_p|\pi/2|} |n_p + d_p|^{-\sigma_p} \prod_{q \in A_Q} e^{\tau'_q|\pi/2|} |(l_q(\mathbf{n}) + d'_q|^{-\sigma'_q}. \end{aligned} \quad (2.11)$$

Notons au passage que, si les coefficients $c_{p,q}$, $d_p$ et $d'_q$ sont tous réels pour tout $1 \le p \le P$ et tout $1 \le q \le Q$, on peut remplacer les termes de la forme $e^{\tau_p|\pi/2|}$ et $e^{\tau'_q|\pi/2|}$ par 1.

Comme l'ensemble $\mathcal{Q}$ est non vide, et que $A_Q \subset \mathcal{Q}^c$, alors il contient au moins un entier $j \in A_Q$, et par hypothèse, $l_j(\mathbf{n}) = \sum_{p=1}^P c_{j,p} n_p$, avec $c_{j,p} \in H_0$ pour tout $p \in [1, P]$. On a aussi $d'_q \in H_0$ pour tout $q \in [1, Q]$. On obtient alors

$$\prod_{q \in \mathcal{Q}} e^{-Re(l_q(\mathbf{n})+d'_q)\theta/2} \le e^{-Re(l_j(\mathbf{n}))\theta/2}.$$

Soit $R > 0$ un réel, et $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \in D_0(R)^{P+Q}$, alors on a en particulier $(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\sigma}') \in [-R, R]^{P+Q}$ et $(\boldsymbol{\tau}, \boldsymbol{\tau}') \in [-R, R]^{P+Q}$. Comme l'application $x \in [-R, R] \mapsto \Gamma(x, \theta, \nu)$ est continue pour tout $\theta > 0$, et $\nu \in H_0$, on en déduit la majoration suivante, uniforme en $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \in D_0(R)^P \times D_0(R)^Q$

$$\prod_{q \in [1, Q] \setminus A_Q} \Gamma(\sigma'_q, \theta/2, Re(d'_q)) \ll 1.$$

De l'inégalité 2.11, on en déduit alors que, pour tout $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \in D_0(R)^P \times D_0(R)^Q$

$$|T_{Q,A_Q}(\theta, \mathbf{n}, \mathbf{s}, \mathbf{s}')| \ll 2^{(Q-|A_Q|)R} \prod_{p=1}^{P} e^{\pi/2R} e^{-Re(c_{j,p})n_p\theta/2} |n_p + d_p|^{-\sigma_p} \cdot \prod_{q \in A_Q} e^{\pi/2R} |l_q(\mathbf{n}) + d'_q|^{-\sigma'_q}. \quad (2.12)$$

Comme $\theta > 0$, et que $Re(c_{j,p}) > 0$ pour tout $p \in [1, P]$, on sait que la série

$$\sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^{P} e^{-Re(c_{j,p})n_p\theta/2} |n_p + d_p|^{-\sigma_p} \prod_{q \in A_Q} |l_q(\mathbf{n}) + d'_q|^{-\sigma'_q},$$

est normalement convergente sur tout compact de $\mathbb{C}^P \times \mathbb{C}^Q$. En particulier, on en déduit que la série $\sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} T_{Q,A_Q}(\theta, \mathbf{n}, \mathbf{s}, \mathbf{s}')$ est normalement convergente sur $D_0(R)^{P+Q}$. On conclut alors que $K$ est holomorphe sur $\mathbb{C}^P \times \mathbb{C}^Q$.
On observe enfin que pour tout $\emptyset \neq Q \subset [1, Q]$ et pour tout $A_Q \subset Q^c$, on a que $[1, Q] \setminus A_Q \neq \emptyset$. Ainsi, le produit $\prod_{q \in [1, Q] \setminus A_Q} \frac{1}{\Gamma(s'_q)}$ est non vide. En particulier, lorsque l'on évalue $K(\theta, s, s')$ en $s' = -N'$, on obtient 0. $\square$

**Remarque 2.3.12.** En évaluant la formule 2.8 en remplaçant $\mathbf{s}$ par $(-N_p + \mu_p s)_{p \in [1, P]}$, et $\mathbf{s}'$ par $(-N'_q + \mu'_q s)_{q \in [1, Q]}$, on retrouve l'expression 2.4 dans la Proposition 2.2.4.

**Proposition 2.3.13.** Soit $\theta > 0$, et $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \in \mathcal{D} \cap (\mathbb{C}^P \times H_0^Q)$, avec $\mathcal{D}$ l'ensemble définit dans la Proposition 2.1.1. On pose

$$ J(\theta, \mathbf{s}, \mathbf{s}') = \frac{1}{\prod_{q=1}^{Q} \Gamma(s'_q)} \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{-s_p} \prod_{q=1}^{Q} \gamma(s'_q, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_q). \quad (2.13) $$

La série précédente est normalement convergente sur tout compact de $\mathcal{D} \cap (\mathbb{C}^P \times H_0^Q)$. En particulier, la fonction $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \mapsto J(\theta, \mathbf{s}, \mathbf{s}')$ est holomorphe sur $\mathcal{D} \cap (\mathbb{C}^P \times H_0^Q)$.

**Démonstration.** Soit $\theta > 0$, et $R > 0$ des réels positifs. On reprend les notations de la proposition précédente, en particulier la formule 2.10 pour décrire le terme général des séries présentes dans $K(\theta, \mathbf{s}, \mathbf{s}')$. Par l'égalité 2.7, on sait que, pour tout $\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P$ et $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \in \mathbb{C}^P \times H_1^Q$ :

$$ \frac{1}{\prod_{q=1}^{Q} \Gamma(s'_q)} \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{-s_p} \prod_{q=1}^{Q} \gamma(s'_q, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_q) = - \left( \sum_{\emptyset \neq \mathcal{Q} \subset [1, Q]} \sum_{A_Q \subset \mathcal{Q}^c} \frac{(-1)^{|\mathcal{Q}^c| - |A_Q|}}{\prod_{q \in [1, Q] \setminus A_Q} \Gamma(s'_q)} T_{\mathcal{Q}, A_Q}(\theta, \mathbf{n}, \mathbf{s}, \mathbf{s}') \right) + \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{-s_p} \prod_{q=1}^{Q} (l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{-s'_q} $$

Dans la démonstration de la Proposition 2.3.11, on a montré à l'aide de l'inégalité 2.12 que la série de terme général $T_{\mathcal{Q}, A_Q}(\theta, \mathbf{n}, \mathbf{s}, \mathbf{s}')$ était normalement convergente sur tout compact de $\mathbb{C}^P \times \mathbb{C}^Q$. On a montré dans la Proposition 2.1.1 que la série de fonction en $(\mathbf{s}, \mathbf{s}')$

$$ \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{-s_p} \prod_{q=1}^{Q} (l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{-s'_q}, $$

est normalement convergente sur tout compact de $\mathcal{D}$. Ainsi, on obtient que la série

$$ \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \frac{1}{\prod_{q=1}^{Q} \Gamma(s'_q)} \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{-s_p} \prod_{q=1}^{Q} \gamma(s'_q, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_q), $$

est normalement convergente sur tout compact de $\mathcal{D} \cap (\mathbb{C}^P \times H_0^Q)$.

**Proposition 2.3.14.** Soit $\theta > 0$, et $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \in \mathcal{D} \cap (\mathbb{C}^P \times H_0^Q)$. On a :

$$ Z(\mathbf{s}, \mathbf{s}') = K(\theta, \mathbf{s}, \mathbf{s}') + J(\theta, \mathbf{s}, \mathbf{s}'), \quad (2.14) $$

De plus, la fonction $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \mapsto J(\theta, \mathbf{s}, \mathbf{s}')$ admet un prolongement méromorphe sur $\mathbb{C}^P \times \mathbb{C}^Q$.

**Démonstration.** La première égalité découle des deux dernières propositions. Comme $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \mapsto Z(\mathbf{s}, \mathbf{s}')$ est méromorphe sur $\mathbb{C}^P \times \mathbb{C}^Q$, et que $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \mapsto K(\theta, \mathbf{s}, \mathbf{s}')$ est holomorphe sur ce même espace, on en déduit que $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \mapsto J(\theta, \mathbf{s}, \mathbf{s}')$ est méromorphe sur $\mathbb{C}^P \times \mathbb{C}^Q$. $\square$

**Corollaire 2.3.15.** La fonction méromorphe $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \mapsto Z(\mathbf{s}, \mathbf{s}')$ et la fonction méromorphe $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \mapsto J(\theta, \mathbf{s}, \mathbf{s}')$ partagent exactement les mêmes singularités, et la multiplicité de leur diviseur polaire est identique en une même singularité. De plus, $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \mapsto J(\theta, \mathbf{s}, \mathbf{s}')$ est holomorphe sur le domaine $\mathcal{D}$, avec $\mathcal{D}$ l'ensemble définit dans la Proposition 2.1.1.
Afin de calculer les valeurs de Z en les multi-entiers négatifs, il ne reste plus qu’à étudier $J(\theta, s, s')$. Pour ce faire, on réexprimera ce terme en tant qu’intégrale d’une fonction zêta de Lerch, puis on simplifiera l’intégrande à l’aide d’une formule de Erdélyi sur chaque terme du produit.

Rappelons les notations suivantes pour les fonctions $l_p^* : \text{Soit } p \in [1, P]. \text{ On considère } l_p^* : \mathbb{R}^Q \to \mathbb{C} \text{ la fonction linéaire suivante}$

$$l_p^*(x) := \sum_{q=1}^{Q} c_{q,p} x_q.$$

En reprenant l’expression précédente de $J(\theta, s, s')$ pour $(s, s') \in \mathcal{D} \cap (\mathbb{C}^P \times H_0^Q)$ on obtient que

$$ \begin{aligned} J(\theta, s, s') &= \frac{1}{\prod_{q=1}^{Q} \Gamma(s'_q)} \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{-s_p} \int_0^\theta \dots \int_0^\theta \prod_{q=1}^{Q} e^{-(l_q(\mathbf{n})+d'_q)x_q} x_q^{s'_q-1} dx_q \quad (2.15) \\ &= \frac{1}{\prod_{q=1}^{Q} \Gamma(s'_q)} \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{-s_p} \int_0^\theta \dots \int_0^\theta \prod_{p=1}^{P} e^{-l_p^*(x)n_p} \prod_{q=1}^{Q} e^{-d'_q x_q} x_q^{s'_q-1} dx_q. \end{aligned} $$

**Définition 2.3.16.** Soit $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$, et $(\mu, \mu') \in \mathbb{R}_+^P \times \mathbb{R}_+^Q$. On pose pour tout $s \in \mathbb{C}$,

$$J_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}(\theta, s) := J(\theta, -\mathbf{N} + \mu s, -\mathbf{N}' + \mu' s)$$

$$K_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}(\theta, s) := K(\theta, -\mathbf{N} + \mu s, -\mathbf{N}' + \mu' s)$$

Pour $\theta$ suffisamment petit, on a par (2.14) que, pour tout $s \in \mathbb{C}$ tel que $(-\mathbf{N} + \mu s, -\mathbf{N}' + \mu' s) \in \mathcal{D} \cap (\mathbb{C}^P \times H_0^Q)$,

$$Z_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}(s) = J_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}(\theta, s) + K_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}(\theta, s).$$

Or par construction du domaine d'holomorphie $\mathcal{D}$ dans la Proposition 1.3.9, on en déduit que la condition sur $s$ précédente est vérifiée si

$$ \begin{aligned} \forall \mathcal{P} \subset [1, P], \quad & -|\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} - |\mathbf{N}'| + (|\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}} + |\boldsymbol{\mu}'|)\sigma > 1 + |\mathcal{P}| \\ \forall q \in [1, Q], \quad & -N'_q + \mu'_q \sigma > 0 \end{aligned} $$

On pose $\sigma_0(\mathbf{N}, \mathbf{N}') := \max_{\mu, \mu'} \left( \frac{N'_1}{\mu'_1}, \dots, \frac{N'_Q}{\mu'_Q}, \max_{\mathcal{P} \subset [1, P]} \left( \frac{1+|\mathcal{P}|+|\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}|_{\mathcal{P}}}{|\boldsymbol{\mu}'|+|\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} \right) \right)$.

On en déduit alors la proposition suivante :

**Proposition 2.3.17.** Pour tout $s \in H_{\sigma_0(\mathbf{N}, \mathbf{N}')}$, on a

$$Z_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}(s) = J_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}(\theta, s) + K_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}(\theta, s).$$

**Remarque 2.3.18.** 1) Plutôt que d’utiliser la notation $s = \sigma + i\tau \in H_{\sigma_0(\mathbf{N}, \mathbf{N}')}$, on préfèrera noter $\sigma \gg_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'} 1$, voir même parfois $\sigma \gg 1$.

2) On utilise ici le fait que $\mu'_q > 0$ pour tout $1 \le q \le Q$. On pourrait également généraliser cette approche en considérant des directions $\mu'_q \in H_0$, en revanche cela alourdirait les raisonnements pour ce chapitre.

On sait déjà par la Proposition 2.3.11 que $s \mapsto K_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}(\theta, s)$ est holomorphe et s'annule en $s = 0$. Il reste à étudier le terme $J_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}(\theta, s)$. Le point clé de l'étude de cette fonction est la formule d'Erdélyi (2.6).
**Proposition 2.3.19.** Soit $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$, et $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in \mathbb{R}_+^P \times \mathbb{R}_+^* \mathbb{Q}$ Soit $s \in \mathbb{C}$ tel que $\mu_p s \notin \mathbb{N}^*$ pour tout $p \in [1, P]$, et $\sigma \gg 1$. Alors,

$$ J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s) = \frac{1}{\prod_{q=1}^{Q} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \int_0^\theta \dots \int_0^\theta \prod_{p=1}^{P} e^{-d_p l_p^*(x)} \phi(e^{-l_p^*(x)}, -N_p + \mu_p s, d_p) \prod_{q=1}^{Q} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} dx_q. \quad (2.16) $$

*Démonstration.* Soit $s = \sigma + i\tau \in \mathbb{C}$ tel que $\sigma \gg_{\mathbf{N},\mathbf{N}'} 1$. Par la formule 2.15, on en déduit que

$$ J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s) = \frac{1}{\prod_{q=1}^{Q} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{N_p - \mu_p s} \int_0^\theta \dots \int_0^\theta \prod_{p=1}^{P} e^{-(\sum_{q=1}^Q c_{q,p} x_q) n_p} \prod_{q=1}^{Q} e^{-d'_q x_q} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} dx_1 \dots dx_Q $$

On souhaite désormais effectuer une permutation série intégrale. On cherchera donc à majorer le terme général de la série précédente. On pose pour tout $q \in [1, Q]$,

$$ v_q(\mathbf{n}) := \sum_{p=1}^{P} \mathrm{Re}(c_{q,p}) n_p. $$

On a la majoration suivante :

$$ \forall \mathbf{n} \in \mathbb{N}^P, \quad \left| \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{N_p - \mu_p s} \int_0^\theta \dots \int_0^\theta \prod_{p=1}^{P} e^{-(\sum_{q=1}^Q c_{q,p} x_q) n_p} \prod_{q=1}^{Q} e^{-d'_q x_q} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} dx_1 \dots dx_Q \right| \\ \le \prod_{p=1}^{P} |n_p + d_p|^{N_p - \mu_p s} e^{\mu_p |\tau| \pi/2} \int_0^\theta \dots \int_0^\theta \prod_{q=1}^{Q} e^{-(v_q(\mathbf{n}) + \mathrm{Re}(d'_q)) x_q} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} dx_1 \dots dx_Q $$

Par un changement de variable de la forme $y_q := (v_q(\mathbf{n}) + \mathrm{Re}(d'_q))x_q$ pour tout $q \in [1, Q]$, on obtient finalement :

$$ \left| \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{N_p - \mu_p s} \int_0^\theta \dots \int_0^\theta \prod_{p=1}^{P} e^{-(\sum_{q=1}^Q c_{q,p} x_q) n_p} \prod_{q=1}^{Q} e^{-d'_q x_q} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} dx_1 \dots dx_Q \right| \\ \le \prod_{p=1}^{P} |n_p + d_p|^{N_p - \mu_p s} e^{\mu_p |\tau| \pi/2} \prod_{q=1}^{Q} (v_q(\mathbf{n}) + \mathrm{Re}(d'_q))^{N'_q - \mu'_q \sigma} \\ \cdot \int_0^{(v_1(\mathbf{n}) + \mathrm{Re}(d'_1))\theta} \dots \int_0^{(v_Q(\mathbf{n}) + \mathrm{Re}(d'_Q))\theta} \prod_{p=1}^{P} e^{-y_q} \prod_{q=1}^{Q} y_q^{-N'_q + \mu'_q \sigma - 1} dy_1 \dots dy_Q \\ \le \prod_{p=1}^{P} |n_p + d_p|^{N_p - \mu_p s} e^{\mu_p |\tau| \pi/2} \prod_{q=1}^{Q} (v_q(\mathbf{n}) + \mathrm{Re}(d'_q))^{N'_q - \mu'_q \sigma} \Gamma(-N'_q + \mu'_q \sigma) $$

Or la série $\sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^{P} |n_p + d_p|^{N_p - \mu_p s} e^{\mu_p |\tau| \pi/2} \prod_{q=1}^{Q} (v_q(\mathbf{n}) + \mathrm{Re}(d'_q))^{N'_q - \mu'_q \sigma}$ est convergente pour

$\sigma \gg_{\mathbf{N},\mathbf{N}'} 1$ par la Proposition 2.1.1. Par le théorème de convergence dominée, on obtient alors pour tout $s = \sigma + i\tau \in \mathbb{C}$ tel que $\sigma \gg_{\mathbf{N},\mathbf{N}'} 1$,

$$ J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s) = \frac{1}{\prod_{q=1}^{Q} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \int_0^\theta \dots \int_0^\theta \prod_{p=1}^{P} e^{-l_p^*(x) d_p} \left( \sum_{n_p=1}^{+\infty} (n_p + d_p)^{N_p - \mu_p s} e^{-l_p^*(x) n_p} \right) \prod_{q=1}^{Q} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} dx_1 \dots dx_Q, $$
ce qui conclut la preuve.

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

Une fois cette formule intégrale obtenue pour $J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$, on peut utiliser la Formule d'Erdélyi sur chaque fonction zêta de Lerch dans le produit de l'intégrande, puis distribuer l'expression pour obtenir la proposition suivante :

**Proposition 2.3.20.** Soit $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$, et $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in \mathbb{R}_+^P \times \mathbb{R}_+^Q$. Soit $s \in \mathbb{C}$ tel que $\mu_p s \notin \mathbb{N}^*$ pour tout $p \in [1, P]$, et $\sigma \gg 1$. Alors, pour tout $\theta > 0$ suffisamment petit, on a

$$ J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s) = \frac{1}{\prod_{q=1}^{Q} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \sum_{\mathbf{P} \subseteq [1,P]} \prod_{p \in \mathcal{P}} \Gamma(1+N_p - \mu_p s) \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p + \mu_p s - k_p, d_p)}{k_p!} \\ \cdot \int_0^\theta \dots \int_0^\theta \prod_{q=1}^Q x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} \prod_{p \in \mathcal{P}} l_p^*(x)^{-N_p + \mu_p s - 1} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} l_p^*(x)^{k_p} dx_1 \dots dx_Q \\ + \frac{\prod_{p=1}^P \Gamma(1+N_p - \mu_p s)}{\prod_{q=1}^Q \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \int_0^\theta \dots \int_0^\theta \prod_{q=1}^Q x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} \prod_{p=1}^P l_p^*(x)^{-N_p + \mu_p s - 1} dx_1 \dots dx_Q. \quad (2.17) $$

*Démonstration.* Soit $M = \max_{1 \le p \le P, 1 \le q \le Q} (|c_{q,p}|)$, et $\theta \in [0, \frac{1}{QM}]$. Soit $s \in \mathbb{C}$ tel que $\mu_p s \notin \mathbb{N}^*$ pour tout $p \in [1, P]$, et $\sigma \gg 1$. Par la relation 2.16, on a que

$$ J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s) = \int_0^\theta \dots \int_0^\theta \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^P e^{-d_p l_p^*(x)} \phi(e^{-l_p^*(x)}, -N_p + \mu_p s, d_p) \prod_{q=1}^Q x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} dx_q. $$

Par la Proposition 2.6, on a que, pour tout $(x_q)_{q \in [1, Q]} \in [0, \theta]^Q$,

$$ \prod_{p=1}^{P} e^{-d_p l_p^*(x)} \phi(e^{-l_p^*(x)}, -N_p + \mu_p s, d_p) \prod_{q=1}^{Q} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} \\ = \prod_{q=1}^{Q} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} \prod_{p=1}^{P} \left( \Gamma(1 + N_p - \mu_p s) l_p^*(x)^{-N_p + \mu_p s - 1} + \sum_{k_p \ge 0} (-1)^{k_p} \frac{l_p^*(x)^{k_p}}{k_p!} \zeta(-N_p + \mu_p s - k_p, d_p) \right) $$

En distribuant le produit précédent, on obtient pour tout $\mathbf{x} = (x_q)_{q \in [1, Q]} \in [0, \theta]^Q$,

$$ \prod_{p=1}^{P} e^{-d_p l_p^*(x)} \phi(e^{-l_p^*(x)}, -N_p + \mu_p s, d_p) \prod_{q=1}^{Q} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} \\ = \prod_{q=1}^{Q} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} \sum_{\mathbf{P} \subseteq [1, P]} \prod_{p \in \mathcal{P}} \Gamma(1 + N_p - \mu_p s) \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \\ \cdot \prod_{p \in \mathcal{P}} l_p^*(x)^{-N_p + \mu_p s - 1} \prod_{p \in \mathcal{P}} l_p^*(x)^{k_p} \frac{\zeta(-N_p + \mu_p s - k_p, d_p)}{k_p!} \\ + \prod_{q=1}^{Q} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} \prod_{p=1}^{P} \Gamma(1 + N_p - \mu_p s) \prod_{p=1}^{P} l_p^*(x)^{-N_p + \mu_p s - 1}. \quad (2.18) $$
On obtient alors que

$$
\begin{equation} \tag{2.19}
\begin{split}
J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s) = \frac{1}{\prod_{q=1}^Q \Gamma(-N_q' + \mu_q')} & \sum_{\mathcal{P} \subsetneq [1,P]} \prod_{p \in \mathcal{P}} \Gamma(1+N_p - \mu_p s) \int_0^\theta \dots \int_0^\theta \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}\mathcal{C}}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \\
& \prod_{q=1}^Q x_q^{-N_q'+\mu_q's-1} \cdot \prod_{p \in \mathcal{P}} l_p^*(x)^{-N_p+\mu_p s-1} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} l_p^*(x)^{k_p} \frac{\zeta(-N_p+\mu_p s-k_p, d_p)}{k_p!} dx_1 \dots dx_Q \\
& + \frac{\prod_{p=1}^P \Gamma(1+N_p-\mu_p s)}{\prod_{q=1}^Q \Gamma(-N_q'+\mu_q's)} \int_0^\theta \dots \int_0^\theta \prod_{q=1}^Q x_q^{-N_q'+\mu_q's-1} \prod_{p=1}^P l_p^*(x)^{-N_p+\mu_p s-1} dx_1 \dots dx_Q.
\end{split}
\end{equation}
$$

On cherche maintenant à majorer le terme général de la série présente dans l'intégrande. Par
compacité, on obtient uniformément sur $\mathbf{x} = (x_1, ..., x_Q) \in [0, \frac{1}{QM}]^Q$ que

$$
\left| \prod_{q=1}^{Q} x_{q}^{-N'_{q} + \mu'_{q} s - 1} \right| \ll 1
$$
$$
\left| l_{p}^{*}(x)^{-N_{p} + \mu_{p} s - 1} \right| \ll 1.
$$

Comme $l_p^*$ est une forme linéaire pour tout $p \in [1, P]$, on a que

$$
\forall x \in [0, \theta]^Q, \quad |l_p^*(x)| \le QM\theta.
$$

Enfin, par le Lemme 2.3.2, on a la majoration suivante :

$$
\forall p \in [1, P], \quad \left| \frac{\zeta(-N_p + \mu_p s - k_p, d_p)}{k_p!} \right| \ll \frac{(k_p + N_p)!}{k_p!} (k_p + N_p + 1)^{1+\lceil \mu_p |s| \rceil}.
$$

On obtient alors la majoration suivante : pour tout $\mathcal{P} \subsetneq [1, P]$, et pour tout $\mathbf{x} = (x_q)_{q \in [1, Q]} \in [0, \theta]^Q$, on a

$$
\left| \prod_{q=1}^{Q} x_q^{-N_q' + \mu_q' s - 1} \prod_{p \in \mathcal{P}} l_p^*(x)^{-N_p + \mu_p s - 1} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} l_p^*(x)^{k_p} \frac{\zeta(-N_p + \mu_p s - k_p, d_p)}{k_p!} \right| \\
\ll \prod_{s \in \mathcal{P}^c} \frac{(k_p + N_p)!}{k_p!} (k_p + N_p + 1)^{1+\lceil \mu_p |s| \rceil} (QM\theta)^{k_p},
$$

Or la série suivante converge absolument sur tout $\theta \in [0, \frac{1}{QM}]$ :

$$
\sum_{\mathbf{k} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}\mathcal{C}}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{(k_p + N_p)!}{k_p!} (k_p + N_p + 1)^{1+\lceil \mu_p |s| \rceil} (QM\theta)^{k_p},
$$

on peut alors permuter la série et l'intégrale pour obtenir le résultat demandé.

<figure><img src="image_8.png" /></figure>

**Proposition 2.3.21.** *Soit (N, N') ∈ N<sup>P</sup> × N<sup>Q</sup>, et (μ, μ') ∈ R<sub>+</sub><sup>P</sup> × R<sub>+</sub><sup>*Q</sup>. Soit s ∈ C tel que μ<sub>p</sub>s ∉ N<sup>*</sup>*