traditional model is, then the requisite operations on information will not be
available. <fnref n="29" />

Effectivement, la sémantique habituelle telle que présentée en logique est étroitement liée
à la syntaxe des langages logiques associés : la définition même des structures d'interpré-
tation d'un langage du premier ordre fait intervenir les symboles du langage considéré.
Barwise s'en plaint très explicitement dans un autre article :

[T]he starting point of the standard theory is that structures are defined only
relative to a specific language. It is as though God first created language and
then the world, not the other way around. <fnref n="30" />

De fait, lorsque Shin munit les diagrammes de Venn d'une sémantique, elle se trouve
obligée de définir les interprétations différemment, en partant des courbes; lorsque Ham-
mer enrichit ce système pour le rendre hétérogène, il doit ajouter des mécanismes de co-
référence *ad hoc* pour que diagrammes et énoncés puissent parler de la même chose <fnref n="31" />.

Cette objection pointe un problème technique plutôt qu’un argument de fond contre
l’usage de modèles pour décrire la signification ou l’information. En réalité, les défenses
philosophiques de l’usage de mondes possibles en sémantique (par exemple celle de Stal-
naker 1984) affirment souvent que l’un des avantages de capturer une proposition par un
ensemble de mondes possibles est précisément que cette description est indépendante de
la forme linguistique particulière sous laquelle la proposition se présente.

Au mieux, cet argument de Barwise et Etchemendy peut motiver l'idée d'introduire
l'« information » (telle que Barwise et Etchemendy la définissent) comme strate intermé-
diaire entre représentations et modèles, et ainsi d'éviter ces difficultés de manière sys-
tématique en séparant deux étapes dans l'interprétation : tout d'abord, on assignerait à

<footnote n="29">29. « L’analyse sémantique la plus largement acceptée de la conséquence représente le contenu d’information d’une phrase par la collection des structures dans lesquelles la phrase est vraie, et décrète qu’une phrase est conséquence d’une autre si le contenu d’information de la première est inclus dans le contenu de la seconde, c’est-à-dire si tous les modèles de la seconde sont modèles de la première. [...] Ces techniques familières ont été faites sur mesure pour le cas homogène et linguistique. Lorsque nous nous tournons vers l’inférence hébergène, nous sommes naturellement enclins à chercher un modèle de l’information qui soit indépendant de la forme particulière dans laquelle l’information est représentée. Ainsi, lorsque nous étudions des inférences qui comportent à la fois des phrases et des diagrammes, il nous faut une manière de combiner l’information fournie par les deux formes de représentation. Si notre modèle de l’information est trop étroitement lié à la syntaxe d’un quelconque système représentationnel particulier, comme l’est le modèle traditionnel, alors les opérations sur l’information dont nous avons besoin ne seront pas disponibles. » (Barwise et Etchemendy 1990a, p. 33–34).</footnote>

<footnote n="30">30. « [L]e point de départ de la théorie standard est que les structures ne sont définies que relativement à un langage particulier. C'est comme si Dieu avait créé le langage d'abord et le monde seulement ensuite, plutôt que l'inverse. » (Barwise 1983, p. 65).</footnote>

<footnote n="31">31. Voir note 44 ci-dessus.</footnote>
chaque représentation son contenu d'information, ce qui serait fait différemment pour un diagramme et pour une phrase; ensuite, on ferait le lien entre informations et modèles, on définirait la relation de conséquence, etc., cette seconde étape étant alors indépendante de la forme particulière de la représentation utilisée. En ce sens, le contenu d'information jouerait le rôle d'un intermédiaire entre les représentations elles-mêmes et les modèles dont elles parlent.

Il n'est cependant pas clair qu'un tel intermédiaire soit nécessaire. Le système de Hammer, par exemple, montre que des ensembles de modèles peuvent remplir le rôle de sémantique commune entre des représentations de nature différente et permettent de définir une relation de conséquence logique entre elles. Certes, la manière dont on détermine les modèles associés à une représentation donnée dépendra du type de celle-ci, mais il faut bien que cette différence-là réapparaisse quelque part; introduire un nouveau concept pour cette seule raison ne semble pas se justifier.

En définitive, il me semble que si Barwise et Etchemendy ont besoin d'un nouveau concept d'information, différent d'ensembles de modèles, ce n'est pas vraiment à cause de ce problème de neutralité; c'est fondamentalement pour respecter les intuitions de la sémantique des situations et surtout, dans le contexte de leur article de 1990, parce que c'est *au niveau de l'information* qu'ils veulent modéliser l'inférence. Comme nous le verrons, les « opérations sur l'information » qu'ils visent vont au-delà de la simple conséquence logique définissable en termes de modèles et exigent donc un nouveau cadre.

## 9.2 La sémantique des situations

Le travail de Barwise et Etchemendy sur les diagrammes partage non seulement certaines motivations, mais aussi nombre de présupposés et de concepts avec la sémantique des situations. Avant de poursuivre, il est donc utile de survoler rapidement les fondements de celle-ci<fnref n="32" />.

Un organisme vivant, écrivent Barwise et Perry, n'est jamais confronté qu'à ce qu'ils appellent des *situations*, c'est-à-dire des portions de monde limitées dans l'espace et dans le temps<fnref n="33" />. Pour s'orienter dans cet environnement changeant, chaque organisme catégorise les situations qu'il rencontre en identifiant parmi elles certaines régularités (« uniformi-

<footnote n="32">³². Ce survol est très rudimentaire; je me concentre sur les aspects les plus utiles pour comprendre les travaux de Barwise et Etchemendy sur les diagrammes. Pour une introduction plus détaillée, voir références citées *supra*, n. 3, p. 226.</footnote>

<footnote n="33">³³. Le choix de partir de situations plutôt que de mondes possibles, qui donne son nom à la théorie, prend sa source dans le travail d'Austin (en particulier Austin 1950) et dans l'analyse de certaines constructions particulières de l'anglais; voir Barwise 1981 et, pour une introduction, Ginzburg 2011a, sect. 2.</footnote>
ties »); les individus, propriétés, relations et lieux qui figurent dans les descriptions humaines du monde sont ultimement de telles régularités. Nos auteurs s'inspirent ici d'une perspective « écologique », mise à l'époque au centre des discussions par le travail de Gibson sur la perception visuelle (Gibson 1979).

S'il y a de l'information, c'est parce que les organismes peuvent identifier des régularités dans les relations entre situations, par exemple savoir que s'il y a de la fumée dans une situation, il y a du feu à proximité. Ces régularités d'ordre supérieur, que Barwise et Perry appellent des contraintes (« constraints »), permettent aux organismes qui y sont sensibles d'utiliser une situation (par exemple catégorisée comme une situation où il y a de la fumée) pour apprendre quelque chose sur une autre situation (par exemple, qu'une situation voisine doit être catégorisée comme contenant du feu). L'information que peut porter un fait est ainsi toujours relative à la contrainte considérée et donc à l'organisme qui y est sensible <fnref n="34" />.

Les concepts de base sont ainsi ceux de situation, de type de situation et de contrainte. Les types de situation sont parfois appelés états de faits (« states of affairs ») ou « infons ». En pratique, Barwise et Perry modélisent souvent les situations par des constructions ensemblistes formées d'objets et de relations, appelées situations abstraites, et les infons par des sortes de propositions structurées dont les composants sont ces mêmes objets et relations. Il importe toutefois de comprendre que ces modèles ensemblistes ne sont pas consubstantiels à la théorie; ils reposent sur des hypothèses supplémentaires et substantielles sur l'ontologie du langage naturel, c'est-à-dire sur les uniformités effectivement repérées entre situations par les humains <fnref n="35" />.

Dans ce cadre, la signification (« meaning ») linguistique n'est qu'une forme de contrainte, qui, pour caricaturer, ne relie pas fumée et feu mais plutôt situations comportant le cri « au feu ! » et situations où il y a du feu. La signification est donc fondamentalement une relation entre situations d'élocution et situations décrites. Une conséquence en est que cette théorie accorde d'emblée une place centrale au contexte. Les porteurs d'information ne sont pas les phrases abstraites, mais seulement les phrases prononcées dans un contexte particulier. Hors contexte, une phrase a certes un sens, déterminé par les conventions de la langue, mais ce sens est relationnel : ce n'est qu'un potentiel de porter certaines informations, qui dépendront de la situation d'élocution.

Intéressons-nous de plus près au cas d'une phrase déclarative, prononcée dans un certain contexte d'élocution <fnref n="36" />. En vertu de son sens, qui est relationnel, cette phrase peut

<footnote n="34">34. Pour une analyse plus approfondie, voir Israel et Perry 1990.</footnote>

<footnote n="35">35. Voir Ginzburg 2011a.</footnote>

<footnote n="36">36. Les facteurs qui peuvent intervenir dans la détermination de l'interprétation d'une phrase vont en fait</footnote>
donner à l'auditeur toutes sortes d'informations : certaines portent sur le monde (la situation décrite), d'autres sur la situation d'élocution et sur le locuteur. Concentrons-nous, comme le fait la sémantique traditionnelle, sur les liens de la phrase avec la situation décrite. Barwise et Perry suivent ici Austin (1950) et en distinguent deux aspects. Le premier aspect, qu'Austin appelait démonstratif, est ce dont la phrase parle, c'est-à-dire une situation particulière ou éventuellement plusieurs si la phrase est ambiguë. Nos auteurs parlent d'interprétation de la phrase. L'interprétation joue un rôle analogue à celui de la référence dans d'autres approches – les composants de la phrase ont aussi une interprétation, par exemple celle d'un nom est un objet, etc. – à la différence capitale que l'interprétation d'une phrase est une situation et non une valeur de vérité 37. En second lieu, il y a l'aspect qu'Austin appelait descriptif : de la situation décrite, la phrase affirme un certain nombre de choses. (Un certain nombre de choses, et non une chose précise : Barwise et Perry sou-lignent la multiplicité de ce qui est affirmé par une phrase, même simple. Ainsi, si je vous dis que « Shachar est assise par terre sur la terrasse », vous pouvez apprendre où ma nièce Shachar se trouve, mais aussi – grâce à l'accord au féminin – que c'est une fille.) Cet aspect descriptif est ce que nos auteurs appellent parfois contenu d'information : c'est un ensemble d'infons, c'est-à-dire un ensemble de types de situations sous lesquels je peux apprendre que la situation décrite tombe.

Toujours à la suite d'Austin (1950), nos auteurs distinguent alors soigneusement information et proposition. Le contenu d'information, argumentent-ils, ne suffit pas à déterminer la situation décrite, qui dépend elle aussi du contexte et des intentions du locuteur; or sans la donnée d'une situation dont on peut juger si elle vérifie nos infons, on ne saurait attribuer à ceux-ci de valeur de vérité. Pour évaluer la valeur de vérité d'une phrase déclarative, il faut donc tenir compte des deux aspects, la situation décrite et le contenu descriptif ou contenu d'information. Pour eux, une proposition – ils parlent parfois, pour clarifier, de proposition austinienne – est donc toujours de la forme « *s* est de type *φ* », pour *s* une situation et *φ* un type de situation ou infon 38.

Beaucoup de ces idées ne s'appliquent pas immédiatement au cas du raisonnement diagrammatique ou hétérogène. En particulier, dans les exemples que Barwise et Etche-

<footnote>au-delà du contexte au sens étroit du terme : ils incluent les intentions du locuteur, prises en charge par ce que Barwise et Perry appellent les « connexions » (« connections »).</footnote>

<footnote n="37">37. Cette position, très hétérodoxe, force Barwise et Perry à réfuter plusieurs arguments classiques d'après lesquels la référence d'une phrase ne peut être que sa valeur de vérité. L'argument principal est celui qu'ils appellent, pour des raisons obscures, « la fronde » (« *the slingshot* »); voir Barwise et Perry 1983, p. 24-26 et, pour une discussion plus approfondie, Barwise et Perry 1981a; Perry 1996.</footnote>

<footnote n="38">38. Cette distinction, entre type de situation (c'est-à-dire information possible) et proposition qui affirme qu'une situation donnée est d'un certain type, est développée en détail par Barwise et Etchemendy 1987b et sert de base à leur solution au paradoxe du menteur.</footnote>
mendy (1990a) discutent, toute dépendance au contexte est éliminée. Ce qu'ils retiennent principalement de la sémantique des situations, c'est l'idée d'associer à une représentation un *contenu d'information* formé d'infons. Le but principal de leur article, comme nous le verrons, est en fait de clarifier cette notion de contenu d'information et de l'enrichir suffisamment pour qu'elle permette l'étude de l'inférence; pour eux, il s'agit donc de contribuer non seulement à l'étude du raisonnement hétérogène, mais aussi aux fondements de la sémantique des situations en général.

## 9.3 Information et inférence d'après Barwise et Etchemendy (1990a)

Venons-en à Barwise et Etchemendy (1990a), qui tentent d'appliquer certaines idées de la sémantique des situations à l'inférence hétérogène. Ils procèdent en trois étapes. Tout d'abord, ils développent une théorie mathématique très générale de l'information en suivant une méthode axiomatique. La structure d'algèbre d'infons qu'ils dégagent est applicable tant à la sémantique habituelle en termes de modèles qu'à leurs nouvelles notions non standard de contenu, qu'ils présentent dans un second temps. Pour finir, ils se tournent vers l'inférence.

### a) Infons et algèbres d'infons

Barwise et Etchemendy (1990a) commencent par proposer une théorie mathématique très générale de l'information. Le point de départ est un ensemble *Sit* de situations dont on veut parler; ces situations jouent un rôle entièrement analogue aux modèles de la sémantique habituelle. Une information possible, c'est-à-dire un type de situation ou infon, détermine une partie de *Sit*, à savoir l'ensemble des situations dont cet infon est vrai <fnref n="39" />. Pour eux, la sémantique en termes de modèles ou de mondes possibles revient à prendre comme infons tout simplement les parties de *Sit*, mais Barwise et Etchemendy cherchent un cadre plus général et n'interdisent pas à deux infons distincts d'être vrais du même ensemble de situations <fnref n="40" />. En général, les infons ne sont donc pas entièrement déterminés par l'ensemble des situations dont ils sont vrais.

<footnote n="39">39. Nos auteurs, qui évitent la terminologie traditionnelle pour lever toute ambiguïté, parlent des situations qui *supportent* un infon.</footnote>

<footnote n="40">40. Ils appellent *fortement équilibrée* (« strongly balanced ») une algèbre d'infons qui respecte cette condition supplémentaire, comme l'algèbre d'infons formée des parties de *Sit*.</footnote>
Pour trouver un tel cadre plus général, nos auteurs ne cherchent pas à décrire la structure interne des infons, mais adoptent une méthode axiomatique. Ils se demandent quelle structure l'ensemble I des infons doit avoir. Tout d'abord, on doit avoir une relation d'implication $\Rightarrow$ entre infons, qui capture le fait que certains infons découlent logiquement d'autres infons. Il faut pour cela que si $\sigma \Rightarrow \tau$, toute situation vérifiant $\sigma$ vérifie aussi $\tau$. Barwise et Etchemendy imposent en outre à la relation $\Rightarrow$ d'être réflexive, transitive, et anti-symétrique, c'est-à-dire d'être une relation d'ordre (partiel) sur I. Ensuite, il faut qu'on puisse former des conjonctions et disjonctions d'informations. La conjonction $\sigma \wedge \tau$ doit être l'information la plus faible qui est impliquée (au sens de $\Rightarrow$) par $\sigma$ et $\tau$, la disjonction $\sigma \vee \tau$ doit être l'information la plus forte qui implique tant $\sigma$ que $\tau$. En d'autres termes, il faut que deux infons admettent toujours une borne supérieure et une borne inférieure (relativement à la relation d'ordre $\Rightarrow$), c'est-à-dire que $(I, \Rightarrow, \wedge, \vee)$ forme ce qu'on appelle un treillis (« lattice » en anglais), dont on demande de plus qu'il soit distributif$^{41}$. Il faut de surcroît que ces conjonctions et disjonctions se comportent comme attendu vis-à-vis des situations, c'est-à-dire que toute situation vérifiant $\sigma \wedge \tau$ vérifie aussi $\sigma$ et $\tau$, et que toute situation vérifiant $\sigma$ ou $\tau$ vérifie aussi $\sigma \vee \tau$. Pour finir, Barwise et Etchemendy imposent l'existence d'un infon trivial 1, élément maximal du treillis et vrai de toutes les situations, et d'un infon contradictoire 0, élément minimal du treillis et vrai d'aucune situation.

Ces conditions définissent la structure d'algèbre d'infons$^{42}$. Comme nous l'avons dit, un exemple simple en est $I = \mathcal{P}(Sit)$, où les infons sont les parties de Sit. Une situation s vérifie alors l'infon $\sigma$ si $s \in \sigma$, $\sigma \Rightarrow \tau$ se réduit à $\sigma \subseteq \tau$, et on a tout simplement $\sigma \wedge \tau = \sigma \cap \tau$, $\sigma \vee \tau = \sigma \cup \tau$, $1 = Sit$ et $0 = \emptyset$. Mais tout l'intérêt de ce cadre général est de permettre des notions moins classiques d'information, dont nos auteurs développent ensuite un exemple.

## b) Infons élémentaires et contenu d'information

La notion de contenu d'information utilisée par Barwise et Etchemendy pour modéliser l'inférence (et en particulier l'inférence hétérogène) repose non sur la notion d'algèbre d'infons dans toute sa généralité, mais sur des algèbres d'infons particulières. Leur idée est de construire les infons à partir d'un ensemble $B$ dont ils appellent les éléments infons

<footnote n="41">41. La distributivité correspond aux axiomes $\sigma \wedge (\tau_1 \vee \tau_2) = (\sigma \wedge \tau_1) \vee (\sigma \wedge \tau_2)$ et $\sigma \vee (\tau_1 \wedge \tau_2) = (\sigma \vee \tau_1) \wedge (\sigma \vee \tau_2)$. Cela revient à demander que nos conjonctions et disjonctions se comportent comme attendu l'une vis-à-vis de l'autre.</footnote>

<footnote n="42">42. Pour l'étude de l'inférence, une condition supplémentaire peut s'avérer utile : c'est l'existence, pour tous $\sigma, \tau \in I$, d'un infon $[\sigma \to \tau]$ qui, conjointement avec $\sigma$, implique $\tau$, et qui soit l'infon le plus faible ayant cette propriété (c'est-à-dire que pour tout $\pi$ vérifiant $\sigma \wedge \pi \Rightarrow \tau$, on a $\pi \Rightarrow [\sigma \to \tau]$). Dans ce cas, $(I, \Rightarrow, \wedge, \vee, \to)$ est une algèbre de Heyting et l'algèbre d'infons associée est dite de Heyting. Les algèbres d'infons construites par Barwise et Etchemendy pour capturer leur notion de contenu d'information sont de ce type.</footnote>
élémentaires (« basic infons »). Techniquement, nous verrons que ces infons élémentaires ne font pas eux-mêmes partie de l'algèbre d'infons, mais sont les briques élémentaires qui permettent de la composer.

Qu'est-ce qu'un infon élémentaire ? L'important pour la construction qui suit est seulement qu'il détermine un ensemble de situations, celles dont il est vrai : il faut donc seulement que soit donné un ensemble *B* et une application $B \to \mathcal{P}(\mathcal{S}it)$. En pratique, cependant, Barwise et Etchemendy utilisent comme infons élémentaires des sortes de formules atomiques, c'est-à-dire des relations appliquées à des objets. Reprenons par exemple le problème des chaises discuté ci-dessus <fnref n="43" />. Les infons élémentaires de nos auteurs y sont formés à partir des relations suivantes : les relations unaires d'être assis (pour une personne) et d'être occupée (pour une chaise), les relations binaires (entre personnes) d'être assis immédiatement à gauche de, immédiatement à droite de, à gauche de, à droite de, la relation entre une personne et une chaise d'être assis sur, et la relation ternaire (entre personnes) d'être plus proche de quelqu'un que quelqu'un d'autre. Un infon élémentaire, ce sera donc par exemple « A est assis immédiatement à gauche de B ».

L'idée essentielle est ensuite de construire les infons à partir d'ensembles d'infons élémentaires. Par exemple, l'une des données du problème des chaises dit que quatre personnes doivent être assises : l'infon que Barwise et Etchemendy y associent doit comprendre les infons élémentaires « A est assis », « B est assis », « C est assis » et « D est assis ».

Barwise et Etchemendy ne veulent cependant pas accepter comme infon n'importe quel ensemble d'infons élémentaires. Ils proposent de restreindre les ensembles acceptables selon deux critères intuitifs. Tout d'abord, il est naturel de chercher à ce que les composants d'un infon soient *cohérents* entre eux : dans le problème des chaises, on ne veut par exemple pas d'infon contenant à la fois « A est assis à gauche de B » et « A est assis à droite de B ». Ensuite, écrivent-ils, on peut vouloir que nos ensembles d'infons élémentaires soient *clos* eu égard à certaines contraintes. Dans notre exemple, on peut exiger que tout ensemble qui contient « A est assis à gauche de B » contienne aussi « B est assis à droite de A ». C'est une manière de capturer l'idée qu'on ne peut pas avoir certaines informations sans en avoir automatiquement d'autres, qu'on n'a pas besoin d'inférence pour posséder expliquement. Pour capturer ces deux notions, ils proposent de compléter la donnée de *B* (et de l'application $B \to \mathcal{P}(\mathcal{S}it)$) par le choix d'un ensemble de parties de *B* correspondant aux ensembles qu'on appellera *cohérents* et *clos* d'infons élémentaires <fnref n="44" /> (comme mes auteurs, j'abrégerai en *ensembles c.c.* pour la suite). En fait, leur cadre est très souple : en fonction

<footnote n="43">43. Voir section 9.1.b).</footnote>

<footnote n="44">44. On appelle alors cohérente (mais pas nécessairement close) n'importe quelle sous-partie d'un tel ensemble cohérent et clos.</footnote>
de l'application en vue, on peut se fixer à peu près n'importe quelles contraintes et même considérer que n'importe quel ensemble d'infons élémentaires est c.c.; la seule exigence de Barwise et Etchemendy est que pour toute situation s, l'ensemble des infons élémentaires vrais dans s soit c.c.

Mais les ensembles d'infons élémentaires, même cohérents et clos, ne suffisent pas en-
core à définir les éléments de l'algèbre d'infons qu'ils veulent construire. Dans l'exemple
des chaises, comment exprimer l'information « A est assis à côté de B » ? Aucun infon
élémentaire ne le permet. Ce n'est possible que disjonctivement : ou bien « A est assis
à gauche de B », ou bien « A est assis à droite de B ». D'une manière générale, écrivent
nos auteurs, une information peut être réalisée par différents ensembles cohérents et clos
d'infons élémentaires. Pour cette raison, ils définissent finalement un infon comme un en-
semble d'ensembles c.c., qu'il faut comprendre comme une disjonction d'ensembles c.c. dont
chacun correspond à une possibilité.

Une dernière complication se présente. Pour des raisons techniques <fnref n="45" />, Barwise et Et-
chemendy ne prennent pas comme infons tous les ensembles d'ensembles c.c., mais seule-
ment ceux qui sont maximaux en un certain sens <fnref n="46" /> : un ensemble $\sigma$ d'ensembles c.c. est
un infon si n'importe quel sur-ensemble c.c. Y d'un ensemble c.c. X de $\sigma$ est aussi dans $\sigma$.
Il est alors facile de munir ces éléments d'une structure d'algèbre d'infons. Pour $\sigma$, $\tau$ deux
infons,

$$
\sigma \Rightarrow \tau \quad \text{si} \quad \forall X \in \sigma, \exists Y \in \tau, Y \subseteq X
$$

et comme dans le cas des sémantiques en termes de modèles, on a tout simplement $\sigma \wedge \tau =$
$\sigma \cap \tau$ et $\sigma \vee \tau = \sigma \cup \tau$.

c) Modéliser l'inférence

Barwise et Etchemendy utilisent ensuite leur notion générale d'algèbre d'infons pour
développer une théorie de l'inférence. Cette théorie est donc compatible tant avec une
sémantique en termes de modèles ou mondes possibles qu'avec leur sémantique non stan-
dard en termes de contenu d'information, que je viens de présenter. Elle se distingue des
conceptions plus usuelles de l'inférence en deux points principaux. D'une part, elle est
fondée sur une distinction inhabituelle entre informations explicites et informations im-

<footnote n="45">45. Le problème est que si l'on accepte n'importe quel ensemble d'ensembles c.c., plusieurs infons distincts peuvent s'impliquer mutuellement au sens de la relation $\Rightarrow$ définie plus loin. La solution de Barwise et Etchemendy revient à choisir un unique ensemble d'ensembles c.c. dans chaque classe d'équivalence pour la relation d'implication mutuelle.</footnote>

<footnote n="46">46. Barwise et Etchemendy appellent ouverts ces ensembles d'ensembles c.c. maximaux, parce qu'ils forment les ouverts d'une topologie.</footnote>
plicites. D'autre part, elle emploie cinq principes sémantiques différents d'inférence, alors qu'on considère d'habitude que sur le plan sémantique, toutes les inférences sont justifiées de la même manière (par le principe que l'inférence est valide dès lors que tout modèle des prémisses est modèle de la conclusion). Cette seconde différence vise à mieux rendre compte des preuves hétérogènes, comme nous le verrons.

Tout d'abord, pour Barwise et Etchemendy, faire une inférence, c'est partir de certaines informations dont on dispose explicitement et en extraire de nouvelle informations qui n'étaient qu'implicitement présentes dans les prémisses :

> We imagine that we have been given some pieces of information (or purported information) about something, call it a situation s. Our task is to extract additional information, information that is implicit in the information given.

> We will model the information about s present at some stage of an inference by a set Σ of infons. We use a set, rather than a single infon, because we are interested in the pieces of information explicitly present. We want to study the move from Σ to some larger set Σ' ⊇ Σ that has additional infons present, all of which were implicit in Σ taken as a whole. 47

Plus loin, ils réitèrent qu'à chaque étape d'une inférence, les informations explicitement présentes correspondent à un ensemble d'infons et non à un infon unique qui serait, par exemple, leur conjonction (au sens de l'opération ∧ de l'algèbre d'infons). Dans le cas contraire, on « brouillerait la distinction entre information explicite et implicite »^48^.

Ici, une clarification s'impose. Comme je l'ai expliqué en introduction de cette partie 49, la conception de l'information qu'il est naturel d'associer à l'idée que « l'inférence déductive valide consiste à extraire ou à rendre explicite de l'information qui n'est qu'implicite dans l'information déjà obtenue » est syntaxique : ce qui est explicite à chaque étape d'un raisonnement, ce sont les propositions supposées ou déjà déduites, individuées par leur forme syntaxique ; ce qui est implicite, ce sont leurs conséquences valides (quelle que soit la manière, syntaxique ou sémantique, dont on les caractérise). Dans ce genre de perspective, le terme d'« information » ne peut pas faire référence à une sémantique en termes

<footnote n="47">47. « Imaginons qu'on nous a donné des informations (ou de prétendues informations) sur quelque chose, disons une situation s. Notre tâche est d'en extraire des informations additionnelles, qui sont implicites dans l'information donnée. Nous modéliserons l'information sur s présente à une certaine étape d'une inférence par un ensemble Σ d'infons. Nous utilisons un ensemble, plutôt qu'un infon unique, parce que nous nous intéressons aux informations présentes explicitement. Ce que nous voulons étudier, c'est le passage de Σ à un ensemble plus étendu Σ' ⊇ Σ contenant des infons supplémentaires, qui étaient tous implicites dans l'ensemble Σ pris comme un tout. » (Barwise et Etchemendy 1990a, p. 36-37).</footnote>

<footnote n="48">48. Barwise et Etchemendy 1990a, p. 62.</footnote>

<footnote n="49">49. Cf. p. 176-179.</footnote>
de modèles. En effet, ce qu'on a « explicitement » ne saurait être l'ensemble des modèles des propositions déjà dérivées : cela conduirait à présupposer une forme d'omniscience lo-gique, toutes les propositions logiquement équivalentes ayant les mêmes modèles ; or c'est tout le contraire de ce que la distinction entre explicite et implicite est censée accomplir.

Pourtant, quand nos auteurs parlent d'« information » explicite ou implicite, ils com-prennent le terme sémantiquement : l'information portée par une représentation (énoncé ou diagramme), c'est l'ensemble d'infons associé, et non la forme syntaxique de la repré-sentation. Cela se comprend bien si l'on adopte leur nouvelle notion de contenu d'infor-mation. Mais si l'on choisit comme infons des ensembles de situations, on retombe sur l'idée que ce qu'on a explicitement est un ensemble de modèles. Les affirmations de Bar-wise et Etchemendy sont alors difficiles à comprendre. Supposons par exemple que nos prémisses soient les axiomes de Peano (disons au premier ordre). Quelle différence y a-t-il à les considérer comme un groupe d'axiomes séparés ou à considérer leur conjonction ? Dans le premier cas, il faut connaître les ensembles de modèles de chaque axiome sépa-rément; dans le second cas, il faut connaître l'intersection de ces ensembles de modèles, c'est-à-dire les modèles de l'arithmétique, ce qui en un sens est plus exigeant. Cependant, ce que veut dire connaître un ensemble de modèles n'est pas clair. En réalité, il me semble que leur idée n'a guère de sens que si l'on adopte une sémantique non standard, conçue pour modéliser le raisonnement et pas seulement la validité.

À chaque étape d'un raisonnement, on a donc un ensemble d'infons correspondant aux informations explicites. Barwise et Etchemendy modélisent ensuite le raisonnement dans son ensemble par un graphe orienté<fnref n="50" /> dont chaque nœud correspond à une étape, et donc à un ensemble d'infons. Plus précisément, une étape peut être un cas, raison pour laquelle la structure est en graphe plutôt que linéaire (voir le graphe correspondant à la solution du problème des chaises, fig. 9.2). Chaque nœud peut être « ouvert » (représenté avec un intérieur blanc, comme le dernier nœud en bas sur la fig. 9.2) ou « fermé » (représenté avec un intérieur noir). Les nœuds ouverts correspondent aux conclusions du raisonnement et les nœuds fermés aux étapes intermédiaires. Par ailleurs, un nœud peut aussi être mar-qué « réalisé », ce qui signifie qu'on est parvenu à reconnaître que les informations qu'il présente sont cohérentes (c'est-à-dire qu'il existe une situation où elles sont toutes vraies simultanément). Les nœuds réalisés sont représentés par des losanges, les autres par des cercles.

Barwise et Etchemendy expliquent ensuite comment construire inductivement les gra-phes correspondant à des raisonnement valides. Ces graphes valides, qu'ils appellent Gra-

<footnote n="50">50. Plus précisément, un graphe orienté sans cycles ni branches infinies.</footnote>
<figure><img src="image_78.png" /><figcaption>FIGURE 9.2 – Graphe inférentiel correspondant à la solution du problème des chaises, d'après Barwise et Etchemendy (1990a, p. 74)</figcaption></figure>

phes d'Écoulement de l'Information (« *Information Flow Graphs* », IFGs), se lisent de la manière suivante : un graphe dont un seul nœud est ouvert (i.e. blanc), comme l'exemple ci-dessus, signifie que l'information portée par le nœud initial du graphe – celui qui est parent de tous les autres – permet de conclure l'information portée par le nœud ouvert. S'il y a plusieurs nœuds ouverts, alors l'information portée par le nœud initial permet seulement de conclure la *disjonction* des informations portées par les différents nœuds ouverts. Les Graphes d'Écoulement de l'Information sont construits selon cinq règles : *Admettre comme donné*, *Supposer*, *Subsumer*, *Fusionner*, *Reconnaître comme possible*. La première règle ne sert qu'à commencer un raisonnement. La règle *Fusionner* ne sert que pour les distinctions de cas, et la règle *Reconnaître comme possible* sert pour constater que certaines hypothèses sont cohérentes (ce que l'on peut faire sur la base du diagramme dans *Hyperproof*). Les deux règles les plus importantes sont *Supposer* et *Subsumer*. Pour les clarifier, commençons par un exemple.

La figure 9.3 indique comment construire en trois étapes le graphe d'un raisonnement très simple, qui part des infons $\sigma_0$ et $\sigma_1$ et en déduit l'infon $\sigma_2$. Tout d'abord, la règle *Admettre comme donné* permet d'introduire un premier nœud ouvert portant l'ensemble d'infons $\{\sigma_0, \sigma_1\}$. Ensuite, la règle *Supposer* permet de lui ajouter un nœud enfant portant un
<figure><img src="image_79.png" /><figcaption>FIGURE 9.3 – Construction en trois étapes d'un Graphe d'Écoulement de l'Information correspondant à une inférence simple</figcaption></figure>

infon supplémentaire, $\sigma_2$. À ce stade, rien ne dit que $\sigma_2$ est conséquence de nos hypothèses $\sigma_0$ et $\sigma_1$: comme les deux nœuds sont ouverts, notre graphe affirme seulement la chose triviale que $\{\sigma_0, \sigma_1\}$ a pour conséquence la disjonction des informations portées par les nœuds ouverts, c'est-à-dire $(\sigma_0 \wedge \sigma_1) \lor (\sigma_0 \wedge \sigma_1 \wedge \sigma_2)$. La règle *Subsumer* permet alors de fermer le nœud initial sur la base du fait que $(\sigma_0 \wedge \sigma_1) \Rightarrow (\sigma_0 \wedge \sigma_1 \wedge \sigma_2)$.

Il peut paraître étrange de séparer la règle *Supposer*, qui dans notre exemple introduit la conclusion comme si c'était une nouvelle hypothèse, de la règle *Subsumer*. La raison en est que chacune de ces règles a d'autres usages. La règle *Supposer* sert aussi à introduire les différentes branches d'un raisonnement par cas. Dans ce contexte, la règle *Subsumer* sert à fermer le nœud parent des différents cas que l'on considère : l'appliquer revient alors à constater que ces cas sont exhaustifs. La règle *Subsumer* permet aussi de fermer un nœud dont les informations sont contradictoires, ce qui est utile pour raisonner par l'absurde.

Voici une description complète des différentes règles :

1. *Admettre comme donné:* on peut commencer un graphe par un nœud unique, ouvert, étiqueté par n'importe quel ensemble d'infons.

2. *Supposer:* on peut ajouter un fils à n'importe quel nœud, à condition que l'ensemble d'infons portés par ce fils contienne l'ensemble d'infons portés par son père (typiquement, il comprendra en outre des infons supplémentaires). Cette règle a deux usages principaux : elle permet d'introduire une conclusion, comme dans l'exemple précédent, mais aussi d'ouvrir les différentes branches d'une distinction de cas.

3. *Subsumer:* on peut marquer un nœud ouvert comme fermé s'il y a d'autres nœuds ouverts qui en sont conséquence, au sens suivant. Notons $a$ le nœud que nous voulons fermer, $\Sigma_a$ l'ensemble des infons qu'il porte, et $\hat{\Sigma}_a$ la conjonction de ces infons (dans l'exemple traité ci-dessus, $\Sigma_a = \{\sigma_0, \sigma_1\}$ et $\hat{\Sigma}_a = \sigma_0 \wedge \sigma_1$). Notons $E$ un ensemble de nœuds ouverts qui ne contient pas $a$; pour chaque nœud $e \in E$, notons $\Sigma_e$ l'ensemble des infons qu'il porte et $\hat{\Sigma}_e$ leur conjonction. (L'ensemble $E$ peut se réduire à un seul élément, comme dans l'exemple précédent, ou contenir plusieurs éléments, par exemple plusieurs fils de $a$ correspondant à des cas dont on veut montrer qu'ils épuisent toutes les possibilités.) La règle *Subsumer* nous permet de marquer $a$ comme
fermé dès lors que $\Sigma_a \Rightarrow \bigvee_{e \in E} \Sigma_e$.

4. *Fusionner* : on peut ajouter un fils commun à plusieurs nœuds ouverts. L'ensemble d'infons portés par ce nouveau nœud sera l'intersection des ensembles d'infons portées par ses parents.

5. *Reconnaître comme possible* : on peut marquer comme « réalisé» un nœud s'il existe une situation dans laquelle tous les infons qu'il porte sont conjointement vrais.

Pour Barwise et Etchemendy, ces règles de construction des graphes correspondent à des principes généraux censés permettre de justifier, au niveau informationnel, n'importe quelle règle d'inférence syntaxique. Ils écrivent ainsi que « nous avançons, du moins à titre provisoire, la thèse que *tout raisonnement déductif valide peut être justifié par une combination de ces cinq principes*<fnref n="51" /> ».

Pourquoi ce cadre exotique, avec des graphes et cinq principes sémantiques ? Essentiellement parce que nos auteurs veulent se rapprocher du genre de raisonnement informel avec diagrammes que leur a révélé l'examen de *Tarski's World*, et qui a motivé leur développement du système *Hyperproof*<fnref n="52" />. Les embranchements que permettent *Supposer* et *Subsumer* servent ainsi à rendre compte du raisonnement par cas ; le principe *Reconnaître comme Possible* autorise à constater que certaines hypothèses sont cohérentes, comme le permettent tant *Tarski's World* que *Hyperproof*<fnref n="53" />.

Au-delà de ces innovations, il faut toutefois remarquer que la règle cruciale, *Subsumer*, est très proche du traitement habituel de la conséquence sémantique. Imaginons en effet que l'on prenne pour infons des ensembles de modèles, et que l'on veuille justifier une inférence simple, comme le passage, dans notre exemple ci-dessus<fnref n="54" />, de $\sigma_0$ et $\sigma_1$ à $\sigma_2$. La règle *Subsumer* nous autorise à fermer le nœud initial si tout modèle appartenant à $\sigma_0$ et $\sigma_1$ appartient aussi à $\sigma_2$, c'est-à-dire si $\sigma_2$ est conséquence sémantique de $\sigma_0 \wedge \sigma_1$ au sens le plus banal.

S'il y a une différence de fond entre cette théorie de l'inférence et le traitement sémantique habituel, elle ne peut donc apparaître que si, à la suite de Barwise et Etchemendy, on choisit de prendre comme infons quelque chose d'autre que des ensembles de modèles, par exemple leur nouvelle notion de contenu d'information.

<footnote n="51">51. « We tentatively put forward the thesis that all valid deductive reasoning can be justified by a combination of these five principles. » (Barwise et Etchemendy 1990a, p. 61).</footnote>

<footnote n="52">52. Voir ci-dessus, section 8.1.</footnote>

<footnote n="53">53. Voir ci-dessus, p. 217 et p. 219–220.</footnote>

<footnote n="54">54. Cf. p. 247–248 et fig. 9.3.</footnote>
## 9.4 La position ambiguë du contenu d'information

Le cadre de Barwise et Etchemendy admet des situations, qui correspondent aux modèles de la sémantique usuelle, et des représentations – phrases ou diagrammes – qui correspondent à la syntaxe. Entre les deux, le contenu d'information occupe une position ambiguë et problématique, sur laquelle je voudrais revenir.

À première vue, le but de nos auteurs est de clarifier l'idée d'un raisonnement conduit au niveau de l'information plutôt que selon des règles syntaxiques rigides. Ils écrivent ainsi :

> Our strategy is to work at the level of information, rather than its representation, and to try to find a few basic principles of information flow that suffice to account for all valid inference.<fnref n="55" />

> Les principes de base en question sont ceux que j'ai présentés plus haut : *Admettre comme donné, Supposer, Subsumer, Fusionner, Reconnaître comme possible.*

> Il y a cependant une vraie ambiguïté sur le statut de ces principes. Barwise et Etchemendy affirment que ce sont des principes sémantiques selon lesquels on peut *justifier* un raisonnement. Ils écrivent par exemple :

> [W]hen one works with any given form or forms of representation, be they visual, linguistic, or whatever, one can search for rules that can be *justified* by appeal to these basic principles.<fnref n="56" />

> Plus loin, quand ils appliquent leurs outils à l'analyse du problème des chaises, ils insistent :

> We emphasize that we are presenting a mathematical model that shows the reasoning above<fnref n="57" /> to be valid. This is a distinct enterprise from modeling the reasoning itself. It is analogous to a model-theoretic proof of the soundness of principles used in a piece of syntactic reasoning. Needless to say, this is not something that the reasoner does in the course of the reasoning.<fnref n="58" />

<footnote n="55">55. « Notre stratégie est de travailler au niveau de l'information plutôt que de sa représentation, et d'essayer de trouver un petit nombre de principes de base d'écoulement de l'information qui suffisent à rendre compte de toutes les inférences valides » (Barwise et Etchemendy 1990a, p. 60).</footnote>

<footnote n="56">56. « [Q]uand on travaille avec une ou plusieurs formes de représentations, quelles qu'elles soient (visuelles, linguistiques, ou autre), on peut alors chercher des règles qui peuvent être *justifiées* d'après ces principes de base. » (Barwise et Etchemendy 1990a, p. 60; je souligne).</footnote>

<footnote n="57">57. Il s'agit de la solution du problème des chaises.</footnote>

<footnote n="58">58. « Soulignons que ce que nous présentons est un modèle mathématique qui montre que le raisonnement ci-dessus est valide. Ce n'est pas la même chose que de modéliser le raisonnement lui-même. Ce que nous faisons est analogue à une preuve par la théorie des modèles que les principes utilisés au cours d'un raisonnement syntaxique sont corrects. Inutile de préciser que ce n'est pas quelque chose que celui qui raisonne fait au cours de son raisonnement. » (Barwise et Etchemendy 1990a, p. 68).</footnote>
Comme je l'ai déjà dit, on risque alors d'en arriver à la conclusion décevante qu'il n'y a
que peu de différence entre le cadre de nos auteurs et la sémantique habituelle en termes
de modèles. Au fond, les seules différences substantielles seraient les règles *Fusionner* (qui
permet un traitement allégé des distinctions de cas – un avantage mineur) et surtout *Recon-
naître comme possible* (qui admet que certaines représentations puissent avoir un rapport
d'isomorphisme assez étroit avec leurs modèles pour qu'on puisse reconnaître syntaxique-
ment que certaines propositions sont compatibles, c'est-à-dire admettent un modèle). La
règle *Subsumer*, qui sert le plus fréquemment aux inférences, se rapproche en revanche
d'une notion banale de conséquence logique; elle s'y réduit même entièrement, comme
nous l'avons vu, si on prend comme infons des ensembles de situations.

Pourtant, le travail de nos auteurs devient largement incompréhensible si le contenu
d'information ne sert qu'à la justifications *a posteriori* d'inférences conduites syntaxique-
ment, et ne vise pas au moins en partie à modéliser les inférences elles-mêmes. D'abord,
nous avons vu que Barwise et Etchemendy insistent sur la distinction entre informations
explicites et implicites à une étape d'un raisonnement. Or que sont les informations ex-
plicites sinon des informations directement accessibles à l'agent qui raisonne, c'est-à-dire
accessibles sans inférence ? Cette limitation aux informations explicites n'a pas d'intérêt du
strict point de vue de la justification ; elle n'a aucune place dans les formulations habituelles
de la conséquence logique en termes de modèles. En second lieu, s'il s'agissait simplement
de justification, Barwise et Etchemendy pourraient s'en tenir à prendre comme infons des
ensembles de situations. Leur développement d'une notion sophistiquée de contenu d'in-
formation, dans laquelle les infons sont définis à partir d'ensembles de formules atomiques
ou « infons élémentaires », n'a d'intérêt que si l'on cherche une sémantique plus proche
de ce qui est accessible à l'agent qui raisonne. Si le contenu d'information ne sert qu'à
justifier les inférences, il faudrait conclure que ces longs développements, empruntés à la
sémantique des situations, n'ont en fait rien à faire dans le contexte logique de cet article.

Sun-Joo Shin, d'ailleurs, interprète spontanément les principes informationnels de Bar-
wise et Etchemendy comme des règles d'inférence :

A major role Barwise and Etchemendy assigned to the information theory in
the heterogeneous reasoning project is that their inference rules are written at
the level of information, not at the level of representation. They allow us to
manipulate pieces of information, not to manipulate units of representation.
[...] I find the main framework presented in "Information, Infons, and Infer-
ence"<fnref n="59" /> intuitive and convincing as well as clever and revolutionary for the

<footnote n="59">59. Barwise and Etchemendy 1990a.</footnote>
following reasons. At a naïve level, the reason why we judge certain steps in
our reasoning valid and others not valid has nothing to do with any form of
representation. In many cases, we are not aware of what kind of representa-
tion has been used in the reasoning process. [...] Instead, we intuitively think
of valid reasoning in terms of information [...].<sup>60</sup>

Bien sûr, cette interprétation n'est pas sans difficultés. La règle « Subsumer », qui est la plus importante, fait appel à la conjonction des infons explicitement disponibles, donc repose sur un genre d'omniscience quant aux conséquences de nos prémisses – surtout, mais pas seulement, si l'on interprète les infons comme des ensembles de situations.

Cette ambiguïté permanente vient de leur double objectif. D'un côté, leur tâche la plus urgente et la plus claire était de montrer que l'on peut raisonner rigoureusement en combinant différentes formes de représentation ; pour cela, il leur fallait pouvoir parler de conséquence logique. D'un autre côté, le but plus général de leur projet sur les diagrammes était bien de rapprocher nos modèles logiques du raisonnement réel, ce qui impliquait de clarifier l'idée de raisonnement d'après le sens.

9.5 Conclusion : une impasse seulement en apparence

Le concept de contenu d'information de Barwise et Etchemendy (1990a) répond ainsi
à deux motivations difficilement conciliables : d'une part, à la suite de la sémantique des
situations, décrire ce que savent les agents qui raisonnent ; d'autre part, à l'image de la
sémantique usuelle, rendre compte de la validité des inférences. Ces deux tâches sont en
tension, et le résultat n'est véritablement adapté ni à l'une ni à l'autre. Si les infons de la
sémantique des situations semblent raisonnablement adaptés à la première, la seconde ac-
cule essentiellement Barwise et Etchemendy à reconstruire les ensembles de modèles sous
forme d'ensembles d'ensembles d'infons. À ce compte-là, pourquoi ne pas se contenter de
modèles, qui sont bien plus simples et (comme nous l'avons vu dans le premier chapitre)
parfaitement capables de traiter l'inférence hétérogène ? Peut-être est-ce la conclusion à la-

<footnote n="60">60. « Un rôle majeur que Barwise et Etchemendy attribuent à la théorie de l'information dans leur projet sur le raisonnement hétérogène est que leurs règles d'inférence sont écrites au niveau de l'information, non au niveau de la représentation. Elles nous permettent de manipuler des informations et non des représentations. [...] Je trouve le cadre principal présenté dans l'article "Information, Infons, and Inference" non seulement intuitif et convaincant, mais aussi astucieux et révolutionnaire, pour les raisons suivantes. À un niveau naïf, la raison pour laquelle nous jugeons certaines étapes de nos raisonnements valides et d'autres non n'a rien à voir avec une forme de représentation en particulier. Dans de nombreux cas, nous n'avons même pas conscience de la forme de représentation utilisée au cours du raisonnement. [...] Au contraire, c'est en termes d'information que nous concevons intuitivement le raisonnement valide [...].» (Shin 2004, p. 98–100; je souligne).</footnote>
quelle sont arrivés nos auteurs eux-mêmes à la suite des travaux de Shin sur les diagrammes
de Venn. En tout cas, dans les travaux qui visent à montrer que l'on peut raisonner rigou-
reusement avec des diagrammes (comme ceux de Shin, Hammer ou encore Luengo) on ne
trouve plus guère d'infons.

Néanmoins, ces deux motivations peuvent être dissociées : on peut conserver les infons
sans la machinerie complexe étudiée ci-dessus. C'est ce que Barwise tente de faire tout au
long des années 1990. Cela le conduit à une nouvelle théorie mathématique de l'informa-
tion, développée en collaboration avec Jerry Seligman <fnref n="61" />.

Dans le cas particulier des diagrammes, utiliser des ensembles d'infons plutôt que de
modèles s'est avéré très fructueux, non pour justifier la validité de raisonnements hétéro-
gènes – tâche pour laquelle les modèles conviennent mieux – mais pour expliquer pourquoi
un diagramme peut être inférentiellement plus efficace que des phrases. C'est ce que fait
Atsushi Shimojima, l'un des étudiants de Barwise, sur la base de la nouvelle théorie de
l'information de Barwise et Seligman. Son travail fait l'objet du prochain chapitre.

<footnote n="61">61. Barwise 1993; Barwise et Seligman 1994, 1997.</footnote>
<figure><img src="image_80.png" /></figure>
# Chapitre 10

# Dynamique du raisonnement diagrammatique

## 10.1 Introduction : la distinction linguistique-graphique

À la fin de leur article programmatique ([1991] 1996b), Barwise et Etchemendy se demandent ce qui distingue les « représentations visuelles » et les rend « si utiles, en mathématiques, pour la découverte, la démonstration et l'enseignement<fnref n="1" /> ». En quoi sont-elles différentes des « représentations linguistiques » dont traite d'ordinaire la logique ?

Une idée classique, explicitée par Peirce, est de distinguer deux sortes de signes : les symboles, arbitraires et conventionnels, et les icônes, qui ont une ressemblance (peut-être seulement de structure) avec ce qu'elles représentent<fnref n="2" />. Suivant une intuition apparentée, Barwise et Etchemendy écrivent qu'« un bon diagramme est isomorphe, ou du moins homomorphe, à la situation qu'il représente<fnref n="3" /> » (les structures d'interprétation tenant lieu, dans leurs systèmes formels, de situations représentées). Pour les diagrammes de Venn, on peut par exemple établir un morphisme entre régions du plan munies de la relation

<footnote n="1">1. « In the concluding section, we present some thoughts about what it is that makes diagrams and other forms of visual representation so useful for mathematical discovery, proof, and pedagogy. » (Barwise et Etchemendy [1991] 1996b, p. 4).</footnote>

<footnote n="2">2. Sur cette distinction, voir pour commencer le texte assez précoce Peirce 1885 (où il parle de « tokens » plutôt que de symboles); sur la sémiotique de la maturité, voir PE, vol. 2, p. 289-299 et plus largement les textes rassemblés dans PCP, vol. 2, §227-308. Pour des commentaires, on pourra consulter Short 2007, chap. 8, Hookway 1985, chap. IV ou encore Chauviré 2008. D'une manière générale, l'œuvre de Peirce est assez difficile d'accès, entre autres pour des raisons éditoriales : l'édition classique PCP est un collage thématique assez inextricable d'extraits de manuscrits, et la future édition de référence Peirce 1982- n'a encore atteint que l'année 1892. L'anthologie PE peut servir de point de départ.</footnote>

<footnote n="3">3. « a good diagram is isomorphic, or at least homomorphic, to the situation it represents, at least along certain crucial dimensions » (Barwise et Etchemendy [1991] 1996b, p. 24).</footnote>
<figure><img src="image_81.png" /><figcaption>FIGURE 10.1 – Diagramme de Venn pour « Tout A est B » et « Nul B n'est C »</figcaption></figure>

d'inclusion (spatiale) et ensembles munis de l'inclusion (ensembliste). Les diagrammes de Tarski's World ou d'Hyperproof ont aussi, comme nous l'avons vu, une relation suffisamment étroite avec leurs structures d'interprétation pour que l'on puisse établir sur leur base des résultats de cohérence 4. Cependant, clarifier ce critère d'homomorphisme ne va pas de soi. Il faut entre autres le rendre suffisamment précis et restrictif pour ne pas intégrer du même coup tous les langages formels, puisque la fonction d'interprétation habituellement utilisée en sémantique, qui est définie récursivement sur la structure des formules, peut aussi être considérée comme un morphisme 5 ; c'est ce que tentent ultérieurement Barwise et Hammer ([1994] 1996, p. 71-74).

Le critère qui m'intéresse ici est différent, mais peut également être relié à une remarque de Peirce. Pour clarifier l'intérêt pour le raisonnement des « icônes », c'est-à-dire des signes qui ressemblent à leur signifié, il écrit :

> [A] great distinguising property of the icon is that by the direct observation of it other truths concerning its object can be discovered than those which suffice to determine its construction. 6

Les diagrammes de Venn (ou d'Euler) en sont un bon exemple : pour construire le diagramme 10.1, les prémisses « Tout A est B » et « Nul B n'est C » suffisent ; pourtant, on peut ensuite obtenir la conclusion (« Nul A n'est C ») par simple observation. En un sens, comme l'écrit le peircéen Frederik Stjernfelt, ce critère n'est qu'une « élaboration du concept de ressemblance 7 », l'idée étant que c'est parce qu'elle a une structure commune avec son objet que l'icône peut nous en apprendre davantage sur lui. D'un autre point de vue toutefois,

<footnote n="4">4. Cf. *supra*, section 8.1, en part. p. 217.</footnote>

<footnote n="5">5. Cette objection est par exemple soulevée par Stenning 2000, p. 137.</footnote>

<footnote n="6">6. « Une grande propriété caractéristique de l'icône est qu'en l'observant directement, on peut découvrir d'autres propriétés de son objet que celles qui suffisent à déterminer sa construction. » (PCP, vol. 2, §279. Manuscrit intitulé « That Categorical and Hypothetical Propositions are One in Essence, with Some Connected Matters », dont divers extraits sont éparpillés dans PCP ; l'éditeur, Arthur Burks, date notre passage de 1895, cf. PCP, vol. 8, p. 286.)</footnote>

<footnote n="7">7. Cf. Stjernfelt 2006, p. 71; Stjernfelt 2007, p. 78 et plus généralement chap. 4.</footnote>
cela donne de la substance à l'idée vague de ressemblance en fournissant un « critère opérationnel <fnref n="8" /> » pour reconnaître l'icônicité. On pourrait même aller plus loin et considérer que cela permet de ne plus parler de ressemblance du tout.

C'est une idée apparentée que Barwise et Etchemendy formulent dans le langage de la sémantique des situations :

> Diagrams are physical situations. [...] As such, they obey their own set of constraints. In our example from *Hyperproof*, when we represent tetrahedron *a* as large, a host of other facts are thereby supported by the diagram. By choosing a representational scheme appropriately, so that the constraints on the diagrams have a good match with the constraints on the described situation, the diagram can generate a lot of information that the user never need infer. Rather, the user can simply read off facts from the diagram as needed. <fnref n="9" />

Rappelons qu'une « contrainte », en sémantique des situations, est une régularité de la forme suivante : si telle situation est de tel type (vérifie tel infon), alors telle situation est de tel autre type (vérifie tel autre infon). En l'occurence, les contraintes dont il s'agit sont « locales <fnref n="10" /> », c'est-à-dire ne portent que sur une seule situation, le diagramme : elles disent que dès qu'un diagramme vérifie tels infons, il en vérifie aussi d'autres.

Illustrons leur idée sur un exemple plus simple qu'*Hyperproof*. Reprenons le diagramme de Venn ci-dessus (fig. 10.1), mais cette fois, pour simplifier, dans le cadre ensembliste de Shin plutôt que dans un cadre syllogistique. En utilisant les notations de Shin <fnref n="11" /> (qui utilise brièvement le formalisme des infons <fnref n="12" />), on peut dire que notre diagramme vérifie par

<footnote n="8">8. Stjernfelt 2006, p. 71.</footnote>

<footnote n="9">9. « Les diagrammes sont des situations physiques. [...] En tant que telles, ils obéissent à un ensemble de contraintes qui leur est propre. Dans notre exemple tiré d'*Hyperproof*, lorsque nous représentons le tétraèdre *a* comme étant grand, une pléthore d'autres faits sont par là même supportés par le diagramme. Si l'on choisit un schème représentationnel approprié, de telle manière que les contraintes qui pèsent sur les diagrammes s'alignent bien avec les contraintes qui pèsent sur la situation décrite, le diagramme peut engendrer beaucoup d'informations que leur utilisateur n'a jamais besoin d'inférer. Au contraire, il peut se contenter de les lire sur le diagramme en fonction de ses besoins. » (Barwise et Etchemendy [1991] 1996b, p. 23).</footnote>

<footnote n="10">10. C'est le terme qu'utilisent, par exemple, Barwise et Shimojima 1995, p. 15.</footnote>

<footnote n="11">11. Si $R_1$ et $R_2$ désignent deux régions du diagramme, Shin note $R_1 + R_2$ leur union, $R_1$-and-$R_2$ leur intersection, et $R_1 - R_2$ la partie de $R_1$ qui n'est pas dans $R_2$ (voir Shin 1994, p. 52-53). Les infons que je donne sont alors faciles à comprendre. Notons seulement que le dernier argument d'un infon, qui est toujours un 0 ou un 1, indique ce que les théoriciens des situations appellent sa « polarité », c'est-à-dire s'il est affirmatif ou négatif. Ainsi, «Shading, A; 0» signifierait que la région A n'est pas grisée.</footnote>

<footnote n="12">12. Elle emploie des infons dans son premier article, Shin [1991] 1996 ainsi que dans son livre : Shin 1994, section 3.3.2, p. 68-71. Dans le livre, toutefois, leur rôle est largement cosmétique et je n'ai pas eu de mal à présenter son travail sans les mentionner.</footnote>
construction les infons ou « faits représentants <fnref n="13" /> » suivants :

«Shading, A – B; 1» et «Shading, B-and-C; 1»,

qui, selon les conventions de lecture des diagrammes de Venn, sont équivalents aux asser-
tions A \ B = Ø et B \ C = Ø. Or – c’est là qu’il y a une « contrainte » – un diagramme qui
vérifie ces infons vérifie aussi

«Shading, A-and-C; 1»

et nous donne donc la conclusion $A \cap C = \emptyset$. Celle-ci, dans les termes de Barwise et Etche-
mendy, peut être lue directement (« read off ») sur le diagramme, alors que sans lui, elle ne
s'obtient à partir des assertions $A \setminus B = \emptyset$ et $B \cap C = \emptyset$ que via une inférence.

Ce qui est spécifique aux diagrammes ou figures, dans cette perspective, c'est donc qu'en exploitant des contraintes comme la précédente, ils nous permettent d'en apprendre davantage par simple observation. Atsushi Shimojima approfondit cette idée dans la deuxième moitié des années 1990 <fnref n="14" /> ; c'est à ses travaux qu'est consacré ce chapitre.

Toutefois, il est hasardeux de fonder une distinction diagrammatique-linguistique sur quelque chose comme le critère « opérationnel » d’icônicité, dont l’idée précédente n’est au fond qu’une variante. Le cas de Peirce le montre bien. J’ai sorti de son contexte la citation ci-dessus sur l’avantage des icônes, mais voici les phrases qui la précèdent :

[A]n algebraic formula is an icon, rendered such by the rules of commutation, association, and distribution of the symbols. It may seem at first glance that it is an arbitrary classification to call an algebraic expression an icon; that it might as well, or better, be regarded as a compound conventional sign. But it is not so. For a great distinguishing property of the icon [etc., cf. *supra* p. 256]. <fnref n="15" />

Si ce qui distingue les icônes est seulement qu’en les observant, on peut en apprendre da-
vantage sur ce qu’elles représentent, alors la catégorie d’icône est extrêmement large et ne

<footnote n="13">13. Cf. Shin 1994, p. 68.</footnote>

<footnote n="14">14. Pour un aperçu du projet général tel que le concevait Barwise, un bon point de départ est Barwise et Shimojima 1995. La meilleure introduction à la version actuelle de la théorie de Shimojima est l'exposé Shimojima 2014 ou son ouvrage de 2015. Shimojima 1999c discute la distinction linguistique-graphique. Il a publié toute une série d'articles qui permettent de retracer l'évolution de ses idées à partir de sa thèse (Shimojima 1996a); voir en particulier Shimojima 1996b, 1999a,b, 2003, 2008.</footnote>

<footnote n="15">15. « Une formule algébrique est une icône, rendue telle par les règles de commutation, d'association, et de distribution des symboles. À première vue, il peut sembler que c'est une classification arbitraire que d'appeler une expression algébrique une icône; que l'on pourrait aussi bien, ou mieux, la considérer comme un sign conventionnel composé. Mais il n'en est rien. En effet, une grande propriété caractéristique de l'icône [...]. » (PCP, vol.2, §279. Pour plus de détails sur ce texte, voir *supra*, note 6 p. 256.)</footnote>
respecte guère l'idée intuitive de ce qu'est un diagramme. Cette tension, comme le montre Stjernfelt (2006), est présente chez Peirce lui-même : lorsque celui-ci met au point des systèmes logiques diagrammatiques <fnref n="16" />, il se trouve obligé, pour les distinguer des logiques symboliques, d'élaborer une définition plus restrictive de l'icônicité. Shimojima se trouve lui aussi confronté à ce problème. Il tente de le résoudre en distinguant différentes sortes de contraintes : les contraintes « nomiques » (par exemple, écrit-il, « géométriques » ou « topologiques »), comme celle de notre diagramme de Venn, et les contraintes « conventionnelles », qui seraient seules présentes dans le cas des formules <fnref n="17" />. Il essaie ultérieurement d'établir une gradation plus progressive entre degrés de « graphicalité <fnref n="18" /> ». En fin de compte, il n'est pas clair qu'il parvienne à une distinction convaincante.

Je voudrais ici laisser cette question de côté, comme le fait d'ailleurs Shimojima lui-même dans ses publications récentes <fnref n="19" />. L'intérêt pour moi de son travail est plutôt qu'il propose, au passage, une analyse fine de l'utilité de certaines représentations et une typologie des différentes manières dont l'inspection d'une représentation peut nous apprendre du nouveau.

## 10.2 L'insuffisance des approches précédentes

Le diagramme de Venn de la section précédente est caractéristique des exemples qui intéressent Shimojima : son travail porte sur des cas où tracer un diagramme permet de progresser par simple inspection. À titre de préalable, je voudrais souligner que les approches que nous avons abordées jusqu'ici ne rendent pas bien compte de ces cas-là.

Tout d'abord, il n'est pas très éclairant de parler de différences « computationnelles » sur fond d'équivalence « informationnelle ». Certes, on peut traduire un diagramme de Venn en une suite de phrases; sans doute pourrait-on aussi, dans l'esprit de Larkin et Simon <fnref n="20" />, défendre l'idée que le diagramme permet de regrouper efficacement en un seul endroit tout ce que l'on sait, mettons, sur l'ensemble A. Mais dans l'exemple précédent, ce qui importe est que l'on part de moins que ce que le diagramme permet d'observer directement. Sachant seulement que $A \times B = \emptyset$ et $B \cap C = \emptyset$, quelles sont les relations entre

<footnote n="16">16. Peirce a en particulier développé un système logique diagrammatique, les « graphes existentiels », capable de traiter ce que nous appelons logique propositionnelle et logique du premier ordre; voir Shin 2002.</footnote>

<footnote n="17">17. Cf. par exemple Shimojima 1999c.</footnote>

<footnote n="18">18. Voir Shimojima 2003.</footnote>

<footnote n="19">19. De manière significative, la question est largement absente de son livre Shimojima 2015. Ses exemples paradigmatiques vont d'ailleurs au-delà des diagrammes; il discute beaucoup les tableaux, par exemple. Il est néanmoins clair que, de son point de vue, les formules algébriques ou logiques ne présentent que peu, ou pas du tout, les phénomènes qui l'intéressent (sur ce point, voir Shimojima 2003).</footnote>

<footnote n="20">20. Voir sections 4.5 et 5.1.</footnote>
A et C ? Ce que le diagramme facilite, d'après Barwise, Etchemendy et Shimojima, c'est de répondre à cette question, c'est-à-dire de passer de nos hypothèses à A ∩ C = Ø. Or, comme je l'ai déjà signalé 21, on ne peut pas raisonnablement dire que le diagramme soit informationnellement équivalent à nos hypothèses ; il l'est plutôt à un ensemble de phrases qui comprend déjà A ∩ C = Ø.

Il y a bien un sens en lequel le diagramme a le même contenu que les hypothèses
A \ B = Ø et B ∩ C = Ø : tous deux admettent les mêmes modèles, si l'on associe des modèles
tant aux diagrammes qu'aux énoncés à la manière des chapitres 7 et 8. Mais précisément,
cela montre bien qu'à ce niveau sémantique-là, il n'y a pas de différence entre eux et donc
qu'on ne peut pas expliquer l'avantage du diagramme. Face à cette difficulté, Shimojima
suit l'idée de Barwise et Etchemendy, présentée au chapitre précédent, d'introduire une
sémantique plus fine pour capturer ce que diagramme ou énoncés disent « explicitement ».

10.3 La théorie de Shimojima

a) Le cadre formel

À l'arrière-plan du travail de Shimojima, il y a la théorie de l'information de Barwise et Seligman 22, aussi appelée « théorie des canaux » (« channel theory »). Heureusement pour nous, Shimojima n'en utilise qu'une version simplifiée, et nous pouvons donc nous limiter ici à quelques rudiments 23.

Un système représentationnel, pour Shimojima, comporte deux niveaux <fnref n="24" />. Au premier niveau, il y a les situations « sources », qui sont les représentations elles-mêmes (par exemple les diagrammes bien formés du système de Shin), et les situations « cibles », qui sont les situations représentées (par exemple, les modèles possibles des diagrammes de Shin); lorsque l'on utilise un diagramme pour représenter certains ensembles particuliers, on établit une relation de représentation entre une situation source et une situation cible. Au second niveau, il y a les « types » de situations sources et les « types » de situations cibles (que Shimojima n'exprime pas dans le formalisme des infons, mais l'idée sous-jacente est la même). C'est à ce second niveau qu'opèrent les conventions de représentation, que

<footnote n="21">21. Cf. section 6.4.</footnote>

<footnote n="22">22. Cf. Barwise et Seligman (1997). Cet ouvrage n'est pas encore paru lorsque Shimojima publie ses premiers articles, mais Barwise et Seligman avaient déjà développé l'essentiel de leur théorie (voir par exemple Barwise 1993; Barwise et Seligman 1994).</footnote>

<footnote n="23">23. Barwise et Seligman 1997, chap. 20 reformulent le travail de Shimojima dans le cadre de leur théorie générale ; Shimojima et Barker-Plummer 2014 tentent de motiver les concepts généraux de Barwise et Seligman et d'expliquer pourquoi ils sont utiles pour analyser les représentations.</footnote>

<footnote n="24">24. Cf. par exemple Shimojima 2015, section 2.2.</footnote>
<figure><img src="image_82.png" /><figcaption>FIGURE 10.2 – Structure d’un exemple de « free ride » (schéma inspiré de Shimojima 2014, p. 8, 2015, §2.3)</figcaption></figure>

Shimojima modélise par une relation d'« indication » entre types sources et types cibles. Ainsi, dans le cas des diagrammes de Venn, le type source « la région A est grisée » *indique* le type cible « l'ensemble A est vide ». Il y a donc deux relations représentationnelles distinctes : une relation entre *situations* et une relation entre *types*. Cette distinction s'inscrit dans le prolongement de la sémantique des situations et ultimement de la distinction d'Austin entre les aspects démonstratif et descriptif d'une assertion<fnref n="25" />.

b) « Passagers clandestins » (« Free rides »)

L'avantage de certains diagrammes pour le raisonnement vient alors de ce qu'ils sont soumis à des contraintes : un diagramme de Shin bien formé, par exemple, ne peut pas être de certains types sans être du même coup d'autres types, comme nous l'avons vu plus haut. Si ces contraintes sur les diagrammes correspondent à des contraintes sur les situations cibles, le diagramme permet des inférences correctes, que Shimojima appelle des « passagers clandestins » (« free rides »). Le diagramme de Venn ci-dessus en est un bon exemple; on peut schématiser les contraintes en jeu comme à la fig. 10.2. (Pour souligner que les types du bas portent sur les diagrammes alors que les types du haut portent sur les ensembles qui interviennent dans leurs modèles, j'ai conservé la notation de Shin et noté par exemple *A-et-B* l'intersection des régions *A* et *B* d'un diagramme <fnref n="26" />.) Remarquons que les relations d'indication entre types sources et types cibles (flèches verticales) sont toutes, ici, des instances d'un même principe : si une région est grisée, l'ensemble correspondant est vide.

Ce phénomène est répandu. L'exemple introductif favori de Shimojima exploite non pas

<footnote n="25">25. Voir ci-dessus, section 9.2, en part. p. 239-240.</footnote>

<footnote n="26">26. Voir ci-dessus, note 11 p. 257.</footnote>
<figure><img src="image_83.png" /><figcaption>FIGURE 10.3 – Un diagramme de Venn symétrique par permutation de A, B, C</figcaption></figure>

des contraintes sur l'inclusion entre régions du plan, mais sur l'ordre d'éléments disposés le long d'une ligne. Imaginons, écrit-il, que l'on représente l'ordre d'arrivée des participants à une course en écrivant le nom des participants sur une ligne, selon la convention que le nom A est placé à gauche du nom B si A est arrivé avant B. Si je sais que A est arrivé avant B et B avant C et que j'applique la convention précédente, j'obtiendrai le « diagramme positionnel »

A B C

qui montre nécessairement (du fait d'une contrainte à laquelle est soumis le système des diagrammes positionnels) que *A* est arrivé avant *C*. Ce passager clandestin, d'après Shimojima, nous évite de faire intervenir la transitivité de l'ordre d'arrivée *via* une inférence explicite<fnref n="27" />. Mumma (2010, p. 278-279) considère ce genre d'exemples comme caractéristiques des avantages que fournissent les figures en géométrie élémentaire.

### c) « Signification dérivée » (« *Derivative meaning* »)

Les passagers clandestins de Shimojima n'épuisent pas les bénéfices que l'on peut tirer d'un diagramme : on fait souvent des observations qui vont au-delà des conventions sémantiques élémentaires qui le définissent. Par exemple, avec un peu d'habitude des diagrammes de Venn, on peut remarquer directement sur celui de la fig. 10.3 que les ensembles A, B et C sont deux à deux disjoints. Plus simplement, on peut remarquer que ce diagramme est symétrique, et donc que les ensembles A, B et C jouent des rôles invariants par permutation. On peut aussi penser aux visualisations de données de la section 5.2. Dans tous ces cas, on observe sur le graphique ou sur le diagramme des choses qui vont au-delà des

<footnote n="27">27. Remarquons au passage que la même contrainte qui permet le passager clandestin a ici une autre conséquence : il est impossible de représenter que *A* est arrivé avant *B* et avant *C* sans trancher la question supplémentaire de savoir si *B* est arrivé avant *C* ou inversement. C'est un phénomène que nous avons déjà rencontré pour les diagrammes d'Euler et que Shimojima appelle « sur-spécificité » (« over-specificity »); voir par exemple Shimojima 2015, chap. 3.</footnote>
<table><thead><tr><th></th><th>USA</th><th>CHN</th><th>KOR</th><th>BRA</th><th>TUR</th><th>SRB</th></tr></thead><tbody><tr><th>USA</th><td>-</td><td>○</td><td>○</td><td>○</td><td>○</td><td>○</td></tr><tr><th>CHN</th><td>●</td><td>-</td><td>○</td><td>●</td><td>○</td><td>○</td></tr><tr><th>KOR</th><td>●</td><td>●</td><td>-</td><td>○</td><td>●</td><td>○</td></tr><tr><th>BRA</th><td>●</td><td>○</td><td>●</td><td>-</td><td>○</td><td>○</td></tr><tr><th>TUR</th><td>●</td><td>●</td><td>○</td><td>●</td><td>-</td><td>○</td></tr><tr><th>SRB</th><td>●</td><td>●</td><td>●</td><td>●</td><td>●</td><td>-</td></tr></tbody></table>

FIGURE 10.4 – Un tableau présentant les résultats d'une phase initiale de compétition sportive, d'après Shimojima (2014, p. 21) : un disque blanc à la ligne KOR et à la colonne BRA indique que l'équipe coréenne a battu l'équipe brésilienne; le nombre de disques blancs à la ligne BRA indique le nombre de matchs gagnés par l'équipe brésilienne; le fait qu'il y ait davantage de disques blancs à la ligne BRA qu'à la ligne KOR indique que l'équipe brésilienne est arrivée avant l'équipe coréenne dans cette phase initiale

conventions élémentaires qui définissent la représentation (par exemple que les régions grisées correspondent à des ensembles vides), mais semblent malgré tout en découler.

Notons d'ailleurs que ce phénomène se présente aussi dans des cas moins évidemment diagrammatiques. L'exemple préféré de Shimojima<sup>28</sup> est les tableaux que l'on utilise parfois dans les compétitions sportives pour présenter les résultats des phases initiales ou « phases de poule » (voir par exemple fig. 10.4). On peut y lire le résultat de chaque match individuellement, mais aussi l'utiliser de manière plus globale : on peut par exemple compter directement le nombre de victoires ou de défaites d'une équipe, ou comparer les équipes entre elles. Pour prendre un exemple mathématique, voici une table décrivant une loi de composition interne sur un ensemble à quatre éléments notés 1, a, b, et c (il s'agit en fait du Vierergruppe de Klein).

<table><tr><td></td><td>1</td><td>a</td><td>b</td><td>c</td></tr><tr><td>1</td><td>1</td><td>a</td><td>b</td><td>c</td></tr><tr><td>a</td><td>a</td><td>1</td><td>c</td><td>b</td></tr><tr><td>b</td><td>b</td><td>c</td><td>1</td><td>a</td></tr><tr><td>c</td><td>c</td><td>b</td><td>a</td><td>1</td></tr></table>

Si je l'ignorais, je pourrais remarquer que l'opération représentée est inversible (parce que

<footnote n="28">28. Cf. p. ex. Shimojima 2015, p. 112-114.</footnote>
<figure><img src="image_84.png" /><figcaption>FIGURE 10.5 – Un autre diagramme de Venn symétrique par permutation de A, B, C</figcaption></figure>

chaque élément est représenté une et une seule fois dans chaque ligne et chaque colonne). Je peux aussi remarquer, par symétrie, qu'elle est commutative. Dans le même esprit, l'histoire du calcul matriciel semble présenter des exemples plus substantiels<sup>29</sup> d'exploitation de propriétés visuelles de matrices, qui au fond sont des tableaux.

En un sens, ces phénomènes ne sont pas mystérieux. Observer sur le diagramme de Venn 10.3 que les ensembles A, B et C sont deux à deux disjoints se réduit immédiatement à trois usages successifs de la convention de lecture de base, conduisant à $A \cap B = \emptyset$, $B \cap C = \emptyset$ et $A \cap C = \emptyset$. Mais si l'on veut expliquer la possibilité de lire, de manière directe et systématique, des aspects du diagramme sans revenir à chaque fois aux conventions de base liant régions grisées et ensembles vides, il faut un peu plus. En effet, une même propriété, par exemple la symétrie par permutation observée sur la fig. 10.3, peut être réalisée par de nombreux diagrammes de Venn différents (la fig. 10.5 en présente un autre).

C'est cela que Shimojima veut expliquer : il cherche à rendre compte de la manière dont des conventions de lecture élémentaires peuvent en légitimer d'autres, plus sophistiquées. Il parle, à partir de 1999<sup>30</sup>, de « signification dérivée » (« *derivative meaning* »). Le schéma général de son analyse est donné à la fig. 10.6. Son idée est très simple. On se donne des conventions sémantiques de départ, qui définissent une relation d'indication entre certains types sources et certains types cibles. On a alors une relation d'indication *dérivée* entre un type source $\sigma$ et un type cible $\theta$ sous deux conditions. D'une part, il faut que les types $\sigma$ et $\theta$ soient équivalents à des disjonctions de conjonctions de types qui apparaissent dans les conventions sémantiques de départ ; chacune des conjonctions peut être conçue comme une manière particulière, pour une situation source (resp. cible), d'être du type $\sigma$ (resp. $\theta$). D'autre part, il faut que les conventions sémantiques de départ établissent une bijection entre types sources et types cibles de chacune de ces conjonctions (voir fig. 10.6). (Rien

<footnote n="29">29. Voir Brechenmacher 2006. Je remercie David Rabouin pour cette remarque.</footnote>

<footnote n="30">30. Shimojima 1999a présente des phénomènes apparentés, mais sans les distinguer clairement des cas de « free rides » ; la distinction n’est thématisée explicitement qu’à partir de Shimojima 1999b.</footnote>
<figure><img src="image_85.png" /><figcaption>FIGURE 10.6 – Principe du « derived meaning » (cf. Shimojima 2014, p. 24, 2015, p. 114-124)</figcaption></figure>

n'empêche, bien sûr, de démontrer que ces conditions sont vérifiées sans traiter tous les cas un par un ; Shimojima se contente ici d'expliciter une condition théorique qui doit être vérifiée pour que le type source $\theta$ indique le type cible $\sigma$, étant données nos conventions sémantiques.)

Comme le remarque Shimojima, la notion de signification dérivée est relative 31 : elle ne dépend pas seulement du système représentationnel, mais aussi des conventions sémantiques qui ont été choisies au départ ; or pour un même système, plusieurs choix différents de conventions sont possibles. Reprenons par exemple les « diagrammes positionnels » introduits dans la section précédente pour représenter l'ordre d'arrivée de coureurs, en nous limitant aux diagrammes où figurent tous les participants à la course. Si nous partons de la convention sémantique d'après laquelle A est écrit à gauche de B si A est arrivé avant B, alors nous obtenons, comme « signification dérivée », la convention supplémentaire que si C est écrit en troisième position, alors il était troisième à l'arrivée. Mais on pourrait très bien adopter comme convention sémantique de départ que si le nom A est écrit en position n, alors A était $n^e$ à l'arrivée de la course ; c'est dans ce cas notre première convention qui devient « dérivée ».

## 10.4 Sémantique ou syntaxe ?

Pour mieux comprendre le but de Shimojima, il est utile de reformuler son travail en éliminant complètement la notion d'information. Reprenons une nouvelle fois l'exemple des

<footnote n="31">31. Cf. Shimojima 2015, p. 123.</footnote>
diagrammes de Shin. Comme nous l'avons vu à la section 7.3, on peut les insérer dans des systèmes logiques hétérogènes. Ce que j'ai appelé, à la suite de Shimojima, les « conventions » des diagrammes de Venn correspondent alors à des règles d'inférence : dans le système de Hammer, par exemple, on a une règle $\forall$-Observe permettant d'inférer qu'un ensemble est vide sur la base d'une région grisée, et une règle $\forall$-Apply permettant de griser une région si l'on sait que l'ensemble correspondant est vide <fnref n="32" />.

Dans ce cadre, les passagers clandestins de Shimojima sont des énoncés que je peux inférer en n'utilisant que des règles de construction et d'observation (comme $\forall$-Apply et $\forall$-Observe). Étudier les avantages des diagrammes, c'est alors faire deux choses : d'une part, distinguer certaines règles d'inférence comme particulièrement simples, peut-être parce qu'elles semblent relever d'une simple observation; d'autre part, étudier systématiquement quelles inférences l'emploi d'un diagramme permet de faire en n'utilisant que ces règles simples. C'est ainsi, en substance, que Shimojima reformule l'idée de passagers clandestins dans certains travaux récents <fnref n="33" />.

Dans le même esprit, on peut modéliser les cas de signification dérivée : il suffit d'introduire, pour chacune, une nouvelle règle (syntaxique) de lecture des diagrammes. Si on souhaite en montrer la validité, on peut le faire simplement en termes de modèles plutôt qu'en suivant le schéma 10.6 ci-dessus.

Pourquoi, alors, utiliser un cadre hétérodoxe comme celui de la section précédente ? Une première réponse nous ramène aux préjugés de Barwise, et ultérieurement de Shimojima, sur ce qu'il faut entendre par *information*. J'ai écrit plus haut <fnref n="34" /> qu'une analyse des diagrammes de Venn en termes de modèles ne pouvait être satisfaisante, parce que, par exemple, le diagramme 10.1 et les énoncés $A \setminus B = \emptyset$ et $B \cap C = \emptyset$ avaient les mêmes modèles, et qu'on ne pouvait donc pas capturer ainsi la différence entre eux. L'idée de Barwise est qu'il faut pour cette raison une autre sémantique, plus fine, qui capture l'information « explicite » supplémentaire que porte le diagramme. Mais c'est omettre une autre possibilité : on peut comprendre la différence en termes *syntaxiques*, comme je viens de le suggérer; on rejoint ainsi une conception de l'« information comme code », selon l'expression de van Benthem et Martinez <fnref n="35" />, à la manière des sémantiques preuve-théoriques.

Il y a cependant une objection, déjà présentée au chapitre précédent <fnref n="36" /> : notre usage informel des diagrammes ne semble pas guidé par des règles syntaxiques rigides, mais plutôt

<footnote n="32">32. Voir *supra*, section 7.3, en part. notes 45 et 46.</footnote>

<footnote n="33">33. Voir Stapleton, Jamnik et Shimojima 2017; Stapleton, Shimojima et Jamnik 2018.</footnote>

<footnote n="34">34. Section 10.2.</footnote>

<footnote n="35">35. Voir l'introduction de cette partie, en part. p. 176-179.</footnote>

<footnote n="36">36. Cf. section 9.1.b).</footnote>
par l'information que les diagrammes portent d'après leurs conventions de représentation. Si l'on s'en tient à des règles simples comme $\forall$-Apply et $\forall$-Observe, l'argument n'est pas très convaincant. Certes, au lieu d'avoir une unique convention de représentation, on a deux règles, mais ces règles sont inverses l'une de l'autre; un défenseur des sémantiques preuve-théoriques pourrait sans mal justifier le lien intrinsèque de ces deux règles en invoquant leur « harmonie <fnref n="37" /> », et considérer que ces règles sont constitutives de l'information portée par le diagramme.

En fait, ce sont les cas de signification dérivée qui donnent toute sa force à l'objection précédente. Comme le montre le travail de Shimojima, on lit souvent davantage sur les diagrammes que ce que permettent nos conventions initiales de représentation, mais ces lectures supplémentaires peuvent être justifiées par nos conventions initiales. C'est là que la perspective générale de Barwise et Shimojima est cruciale : pour arriver à ces lectures supplémentaires, on raisonne non seulement sur le diagramme, mais sur ses conventions de représentation. Or si l'on examine l'usage informel des diagrammes, on s'aperçoit qu'un tel raisonnement sur leurs conventions de représentation est souvent nécessaire. C'était, d'ailleurs, l'une des leçons de notre étude de la visualisation de données (section 5.2). Un cadre plus classique ne donne pas vraiment d'espace à cette possibilité; celui de Shimojima le permet, parce qu'il hérite du choix de la sémantique des situations de traiter la signification comme quelque chose sur quoi les locuteurs peuvent raisonner <fnref n="38" />.

## 10.5 Le cas de l'analogie de Leibniz

Il est également éclairant de voir quels cas les concepts de Shimojima ne permettent pas de traiter. Au chapitre 5, nous avons rencontré divers exemples où traduire un tableau de nombres en graphique, changer de notation, etc. peut rendre visible des choses qui ne l'étaient guère <fnref n="39" />. Beaucoup de ces exemples, en particulier en visualisation de données, peuvent être traités au titre de la « signification dérivée » de Shimojima. Son analyse rend précise l'idée que l'on peut *justifier*, par exemple, l'usage d'un graphique pour lire davantage que ce que permettent les règles élémentaires d'après lesquelles il a été construit. (Dans le contexte d'une visualisation de données à des fins exploratoires, cette justification ne viendra peut-être qu'après coup, mais elle est en tout cas possible.)

Toutefois, on ne peut pas traiter ainsi tous nos exemples. Un cas particulièrement in-

<footnote n="37">37. Pour une introduction à l'usage de ce terme en sémantique preuve-théorique, voir par exemple Schroeder-Heister 2018, sect. 2.2.1.</footnote>

<footnote n="38">38. Voir *supra*, section 9.1.a).</footnote>

<footnote n="39">39. Voir en particulier sections 5.2 et 5.5.</footnote>
téressant qui y échappe est celui de l'analogie de Leibniz étudiée dans la première partie. La structure que Leibniz remarque dans ses formules <fnref n="40" /> ne se laisse pas décrire en termes d'une conjonction de propriétés de la formule pouvant être interprétées individuellement, comme le veut Shimojima. Cette remarque est vraie, plus généralement, des structures que l'on peut observer sur les formules, parce que celles-ci ont une syntaxe complexe qui rend impossible d'en interpréter isolément certains morceaux <fnref n="41" /> ; on ne peut donc pas en rendre compte en revenant à des conventions sémantiques simples.

## 10.6 Conclusion

La théorie de Shimojima est silencieuse sur un point essentiel. Comment savons-nous que les conventions sémantiques que nous adoptons sont cohérentes et qu'elles produiront des résultats fiables ?

Cependant, dès lors que l'on admet certaines conventions de représentation, Shimojima montre bien que les diagrammes peuvent offrir une authentique normativité : étant données nos conventions, si l'on représente certains faits, on en représente d'autres par là-même (ce sont les « passagers clandestins »). Par ailleurs, son travail montre qu'il est tout à fait possible de lire davantage, sur un diagramme, que ce que les conventions sémantiques de départ permettent, et que cela n'a rien d'intrinsèquement mystérieux : on peut en rendre compte sans faire appel à une similarité de structure non élucidée entre représentation et représenté.

Au-delà des détails techniques, qui mériteraient peut-être d'être reformulés, la force du cadre de Shimojima (héritée des réflexions de Barwise et Etchemendy présentées au chap. 9) est surtout qu'il permet de rendre compte de la manière dont on peut utiliser un diagramme en raisonnant explicitement sur ses conventions de représentation.

<footnote n="40">40. Voir en particulier sections 3.3 et 5.5.</footnote>

<footnote n="41">41. C'est en fait là que Stenning (2000) localise la distinction essentielle entre graphique et linguistique ; mais comme le montre Shimojima (2003), il y a là aussi des gradations.</footnote>
Conclusion : une sémantique en
quel sens ?

À travers le travail de Barwise, Etchemendy et leurs élèves, nous avons rencontré non
pas une, mais deux conceptions substantielles de la sémantique applicables dans un cadre
général qui inclut énoncés, formules, diagrammes et figures. En premier lieu, nous avons
vu comment généraliser aux diagrammes une sémantique en termes de modèles. En second
lieu, nous avons vu comment définir une sémantique plus fine, que l'on peut appeler, à la
suite de nos auteurs, « informationnelle ».

Ces deux sémantiques nous apportent des bénéfices différents. La première permet de
comparer des représentations différentes eu égard à leur contenu, et peut-être, dans cer-
tains cas, d'expliquer les avantages systématiques dont jouissent certaines formes de repré-
sentations par rapport à d'autres. Elle est aussi adaptée à parler de vérité et de conséquence
logique.

La seconde permet de modéliser de plus près le raisonnement des agents qui utilisent
des diagrammes : elle montre en effet comment rendre compte de la manière dont les agents
qui les utilisent *comprennent* ce que leurs représentations représentent, et comment ils
peuvent les utiliser pour acquérir des « informations explicites » supplémentaires, c'est-à-
dire pour dériver de nouvelles propositions. Elle permet aussi de rendre compte de l'impres-
sion de normativité que donnent certains diagrammes. Celle-ci est due à ce que Shimojima
appelle les « passagers clandestins » : lorsqu'on utilise des diagrammes, il arrive que repré-
senter certaines prémisses selon certaines conventions en fasse immédiatement apparaître
des conséquences *selon les mêmes conventions*. Cette normativité, toutefois, dépend du fait
que les conventions adoptées sont cohérentes, ce que les diagrammes eux-mêmes sont bien
incapables de justifier.
<figure><img src="image_86.png" /></figure>
Quatrième partie

Faut-il parler de représentation ?
<figure><img src="image_87.png" /></figure>
# Sommaire de la quatrième partie

## Introduction : plusieurs objections 275

## 11 Usages informels des diagrammes et contextualité 277

### 11.1 Retour sur les diagrammes d'Euler 278

#### a) Le problème 278

#### b) La démarche d'Euler 278

#### c) Formaliser la méthode 281

#### d) Une sémantique contextuelle? 283

### 11.2 Un parallèle chez Euclide 284

#### a) Manders et Miller : une décontextualisation des figures 284

#### b) Mumma : une recontextualisation à un autre niveau 287

### 11.3 Conclusion 289

## 12 Manipulations sans représentation? 291

### 12.1 Manders contre la sémantique 291

#### a) Une vision classique des figures 292

#### b) L'objection des démonstrations par l'absurde 293

#### c) Est-ce réellement un problème? 296

#### d) Une solution sémantique 299

#### e) Le vrai problème : une sémantique, pour quoi faire? 303

### 12.2 Les règles de Bernoulli, un calcul sans justification? 304

### 12.3 Conclusion : le rôle de la sémantique 306

## Conclusion générale 307
<figure><img src="image_88.png" /></figure>
Introduction : plusieurs objections

Les parties précédentes sont fondées sur un double postulat. Tout d'abord, les nom-
breux éléments non discursifs rencontrés en mathématiques (formules, figures, etc.) doivent
être vus comme des représentations qui, en un sens à clarifier, portent de l'information.
D'autre part, c'est à partir de leur contenu informationnel qu'il faut comprendre l'usage
qu'on en fait. Cette dernière partie, un peu hétéroclite, examine différents arguments contre
cette idée.

Tout d'abord, on peut soupçonner qu'en pratique, les figures utilisées en mathéma-
tiques sont trop floues pour se prêter à ce genre de traitement : peut-on vraiment leur iden-
tifier un contenu clair ? Le chapitre 11 examine cette objection et cherche à y répondre. Je
reviens, en particulier, sur les deux exemples que sont les diagrammes d'Euler, dont nous
avons vu dans la partie précédente qu'ils semblent peu rigoureux 42, et les figures de la
géométrie élémentaire. Je montre que l'on peut rendre compte de leur usage, mais que cela
exige de leur donner une sémantique contextuelle, c'est-à-dire de reconnaître qu'ils ne sont
pas indépendants du texte qui les accompagne, contrairement aux diagrammes de Shin de
la partie précédente.

Une seconde objection est due à Manders : il est vain, écrit-il, de chercher à rendre compte des figures géométriques qu'utilise Euclide en termes sémantiques. Le chapitre 12 vise à comprendre cette objection, et fait le lien avec certains des phénomènes observés dans l'étude de cas de la première partie.

Bien sûr, il existe en philosophie du langage des positions philosophiques plus générales, que l'on peut appeler *inférentialistes*, d'après lesquelles il importe de partir des inférences et non d'une supposée signification donnée d'avance. C'est, par exemple, la position de Robert Brandom (1994, 2000). Une véritable discussion de ces positions dépasse le cadre de ce travail. Ici encore, ma stratégie est de partir du cas particulier des représentations utilisées en mathématiques, quitte à rejoindre, en fin de compte, des discussions plus gé-

<footnote n="42">42. Il s'agit ici des diagrammes d'Euler, par opposition aux diagrammes de Venn avec lesquels ils sont sou-
vent confondus; voir ci-dessus, section 7.1.</footnote>
nérales de philosophie du langage.
# Chapitre 11

## Usages informels des diagrammes et contextualité

Les systèmes formels de Barwise, Etchemendy et Shin fournissent un modèle clair de raisonnement rigoureux fondé sur des diagrammes. Mais en pratique, les usages de diagrammes en mathématiques ne sont-ils pas trop vagues pour entrer dans ce cadre ? C'est un soupçon légitime, auquel je voudrais ici répondre.

Les diagrammes d'Euler sont à première vue un bon exemple : Shin les étudie, mais conclut qu'ils souffrent d'un « problème fatal d'ambiguïté » et les laisse finalement de côté au profit des diagrammes de Venn. N'est-ce pas un cas typique d'emploi « peu rigoureux » de diagrammes ? Effectivement, comme nous l'avons vu<fnref n="1" />, à y regarder de près, ils risquent d'induire en erreur; on peut se demander s'il est vraiment possible de les utiliser de manière fiable sans les contrôler par une bonne connaissance – non diagrammatique ! – des syllogismes. Euler, pourtant, ne commet pas d'erreur. Je voudrais ici montrer que l'on peut rendre raison de sa démarche<fnref n="2" />. Des travaux récents de John Mumma arrivent à une conclusion similaire pour l'emploi des figures dans la géométrie élémentaire d'Euclide.

Ces solutions soulèvent toutefois une difficulté : il s'avère que l'on ne peut interpréter correctement les diagrammes d'Euler, ni les figures d'Euclide, indépendamment des prémisses qu'ils sont censés représenter. S'il n'est pas nécessaire d'abandonner l'idée de donner aux diagrammes ou figures une sémantique précise, il faut en revanche abandonner le présupposé que celle-ci peut forcément être définie, à la manière de Shin, sur la seule base de leur apparence. Souvent, il faut aussi tenir compte de leur contexte.

<footnote n="1">1. Cf. section 7.1.a).</footnote>

<footnote n="2">2. Une version préliminaire de cette première section a été publiée en anglais : Waszek 2018.</footnote>
<figure><img src="image_89.png" /><figcaption>FIGURE 11.1 – Trois diagrammes compatibles avec « Quelque A est B »</figcaption></figure>

<figure><img src="image_90.png" /><figcaption>FIGURE 11.2 – Pour représenter « Quelque A est B » et « Tout C est A », Euler trace les diagrammes (a)-(c) (ELP, vol. 2, p. 112) mais omet le (d).</figcaption></figure>

## 11.1 Retour sur les diagrammes d'Euler

### a) Le problème

Pour rappel, le problème fondamental du système d'Euler est que les diagrammes sont plus spécifiques que les propositions aristotéliennes qu'ils sont censés représenter<fnref n="3" />. La proposition « Quelque A est B », par exemple, est compatible avec les trois diagrammes de la fig. 11.1; pourtant, Euler utilise toujours le 11.1(a). En toute logique, cela devrait l'induire en erreur. Par exemple, pour les prémisses « Quelque A est B » et « Tout C est A », il trace les diagrammes (a)-(c) de la fig. 11.2 et omet le (d), qui exigerait de représenter « Quelque A est B » par 11.1(c) plutôt que par 11.1(a). Ses trois diagrammes semblent donc représenter la conclusion fausse « Quelque B n'est pas C ». Pourtant, Euler ne commet pas l'erreur et déduit le bon résultat, qui est que ses deux prémisses n'admettent pas de conclusion. Comment fait-il ? Faut-il tout simplement en conclure qu'il connaît déjà la bonne réponse, et que les diagrammes ne lui servent que d'illustration ? C'est au fond le jugement auquel sont acculés les commentateurs précédents, dont Hammer et Shin (1998).

### b) La démarche d'Euler

Pour mieux comprendre comment Euler procède, tournons-nous vers sa lettre cv (ELP, vol. 2, p. 119-126). Il y réexplique sa méthode sur un exemple de la forme « Nul A n'est

<footnote n="3">3. Pour plus de détails, voir *supra*, section 7.1.a).</footnote>
<figure><img src="image_91.png" /><figcaption>FIGURE 11.3 – Diagrammes tracés par Euler dans la lettre cv (ELP, vol. 2, p. 120-121)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_92.png" /><figcaption>FIGURE 11.4 – Diagrammes d'Euler avec étoiles pour « Nul A n'est B ; quelque B est C ; donc quelque C n'est pas A » (ELP, vol. 2, p. 121-122). Dans le diagramme (b), il faut imaginer que la frontière de l'espace A longe celle de l'espace B sans la couper ; ce diagramme n'est pas toujours bien reproduit dans les éditions ultérieures.</figcaption></figure>

B; quelque B est C; donc quelque C n'est pas A ». Pour « Nul A n'est B », il utilise le diagramme habituel, mais pour « Quelque B est C », il ajoute une étoile au diagramme attendu, et explique :

[...] dans la premiere proposition [...] on soutient que [...] l'espace A se trouve tout entier hors de l'espace B, en cette sorte [fig. 11.3(a)]. Mais dans la seconde proposition [...] on dit qu'une partie de l'espace B se trouve dans l'espace C, en sorte [fig. 11.3(b)] où la partie de l'espace B comprise dans C est marquée d'une étoile * qui sera donc aussi une partie de l'espace C. Donc puisque une partie de l'espace C est en B & que tout l'espace B se trouve hors de l'espace A, il est évident que la même partie de l'espace C doit aussi être hors de l'espace A [...].

Il faut bien remarquer que cette conclusion ne regarde que la partie * de la notion C qui est plongée dans la notion B. Pour le reste [de la notion C] il est incertain, s'il est aussi exclû de la notion A, comme dans cette figure [fig. 11.4(a)], ou s'il y est renfermé tout entier comme [fig. 11.4(b)] ou seulement en partie comme dans cette figure : [fig. 11.4(c)]. Or puisque cela est incertain, le reste de l'espace C n'entre dans aucune consideration : la conclusion se borne uniquement à ce qui est certain, c'est à dire, que la même partie de l'espace C, qui
est contenuë dans l'espace B se trouve certainement hors de l'espace A [...] <fnref n="4" />.

L'objectif d'Euler, ici, ne semble pas être d'introduire une version modifiée de son système ; si c'était le cas, il tenterait d'expliquer plus systématiquement comment utiliser sa nouvelle étoile pour toutes les formes de prémisses, ce qu'il ne fait pas du tout. À mon sens, il cherche plutôt à expliciter la manière dont il comprend la démarche qu'il utilisait jusque là : l'étoile lui sert à attirer l'attention de sa lectrice sur la partie pertinente du diagramme, ou plus précisément à expliquer comment il regarde ses diagrammes.

C'est ici que les explications d'Euler nous fournissent un indice crucial : il utilise ses diagrammes conjointement avec les prémisses qu'ils sont censés illustrer. Lorsqu'il regarde ses cercles, il garde à l'esprit quelles sont les régions dont les prémisses affirment quelque chose; dans le passage cité ci-dessus, Euler explique clairement que les autres régions du diagramme ne peuvent pas servir à tirer de conclusion. C'est cette manière de regarder le diagramme qu'il cherche à rendre visible à la princesse en ajoutant une croix.

Cela explique pourquoi Euler ne fait pas les erreurs auxquelles ses diagrammes invitent. Reprenons l'exemple ci-dessus (fig. 11.2). Dans chacun des diagrammes (a)-(c), les régions A et B illustrent la prémisse « Quelque A est B », donc n'affirment quelque chose que sur l'intersection de A et B : sur la région de B qui est en-dehors de A, en revanche, on ne sait rien. Or c'est de cette région qu'on aurait besoin pour affirmer « Quelque B n'est pas C ». Si l'on garde cela à l'esprit, on peut éviter de tirer cette conclusion fausse sans tracer de diagramme supplémentaire.

Au passage, cela éclaire le rôle de la position des lettres. Euler semble l'utiliser pour distinguer les diagrammes de « Quelque A est B » et « Quelque A n'est pas B », quoiqu'il ne l'écrive nulle part explicitement, qu'il ne s'y tienne pas toujours, et que cela ne fonctionne pas comme convention systématique de représentation <fnref n="5" />. Ce qui précède permet de lever le mystère. Pour utiliser ses diagrammes, Euler a besoin de garder à l'esprit de quelle région sa prémisse existentielle affirme quelque chose. La position des lettres peut servir d'aide-mémoire commode, même si ce n'est ni indispensable, ni toujours suffisant.

Bien sûr, tout cela n'est possible que parce qu'Euler travaille dans le cadre (de notre point de vue restreint et rigide) de la syllogistique, c'est-à-dire qu'il n'étudie que des raisonnements à deux prémisses aristotéliennes ayant un seul terme en commun. Dès que l'on veut aller un peu plus loin, on rencontre des difficultés ; on voit mal, par exemple, comment représenter simultanément « Tout A est B » et « Tout B est A », ou encore « Tout A

<footnote n="4">4. ELP, vol. 2, pp. 121-122.</footnote>

<footnote n="5">5. C'est ce que montrent Hammer et Shin, comme nous l'avons vu plus haut (voir p. 185).</footnote>
est B » et « Aucun A n'est B »<fnref n="6" />. J'ai choisi ici de juger le système d'Euler dans ses propres termes, c'est-à-dire vis-à-vis des problèmes qu'il est censé résoudre. Or contrairement aux apparences, dans ce cadre restreint, il est adéquat et on peut s'y fier.

Que la méthode d'Euler soit fiable ne signifie pas qu'elle soit simple. Ce que fait Euler est d'autant plus subtil qu'il n'explicite pas pleinement les règles selon lesquelles il inspecte ses diagrammes. Peut-être ce genre de pratique, dont les règles sont à la fois implicites et contextuelles, est-il intrinsèquement difficile à transmettre. Il est d'ailleurs révélateur, comme l'ont noté Hammer et Shin <fnref n="7" />, que lorsqu'Euler tente de réexpliquer sa démarche dans la lettre cv, il se retrouve à enrichir ses diagrammes (ne serait-ce que temporairement) par un nouveau symbole : une étoile, qui rappelle les croix que Peirce utilisera plus tard. En fait, ce que l'on gagne lorsque l'on passe aux diagrammes de Venn ou de Peirce, c'est précisément que ceux-ci sont pleinement autonomes et indépendants du contexte de lecture.

### c) Formaliser la méthode

À ce stade, puisque les diagrammes ne peuvent être utilisés seuls, il est tentant de conclure qu'ils sont seulement illustratifs, c'est-à-dire sans rôle réel dans le raisonnement, ou seulement heuristiques, parce que les conclusions qu'ils suggèrent devraient être continuellement vérifiées par d'autres voies.

Il n'en est rien. En premier lieu, Euler s'appuie bien sur ses diagrammes, pour y observer l'inclusion de certaines régions dans d'autres. En second lieu, il n'a pas besoin de vérifier systématiquement ses conclusions en utilisant ce qu'il sait par ailleurs des syllogismes. Pour les conclusions universelles, il peut se reposer entièrement sur les diagrammes. Pour les conclusions existentielles, il doit certes faire intervenir les prémisses (qu'il a besoin de garder à l'esprit quand il examine les diagrammes, pour savoir quelles régions peuvent permettre une conclusion), mais seulement de manière bien précise.

Pour clarifier, explicitons les règles qu'Euler semble suivre. Partons de deux prémisses syllogistiques et d'un diagramme censé les illustrer. Alors :

1. si le diagramme comporte deux régions étiquetées A et B et que la région A est incluse dans la région B, on peut conclure « Tout A est B »;

2. si le diagramme comporte deux régions étiquetées A et B qui sont disjointes, on peut conclure « Nul A n'est B »;

<footnote n="6">6. Pour des critiques de ce genre, voir par exemple Shin 1994, p. 14-16 ou Shin, Lemon et Mumma 2013, section 2.1.</footnote>

<footnote n="7">7. Hammer et Shin 1998, p. 11.</footnote>
3. si le diagramme comporte trois régions étiquetées A, B et C, que l'intersection des régions A et C est contenue dans la région B et que le diagramme illustre la prémisse « Quelque A est C », on peut conclure « Quelque A est B »;

4. si le diagramme comporte trois régions étiquetées A, B et C, que l'intersection des régions A et C est hors de la région B et que le diagramme illustre la prémisse « Quelque A est C », on peut conclure « Quelque A n'est pas B »;

5. si le diagramme comporte trois régions étiquetées A, B et C, que la partie de la région A hors de la région C est comprise dans la région B et que le diagramme illustre la prémisse « Quelque A n'est pas C », on peut conclure « Quelque A est B »;

6. si le diagramme comporte trois régions étiquetées A, B et C, que la partie de la région A hors de la région C est hors de la région B et que le diagramme illustre la prémisse « Quelque A n'est pas C », on peut conclure « Quelque A n'est pas B ».

Les deux premières règles (celles qui mènent à des conclusions universelles) s'appuient uniquement sur le diagramme. Les règles 3 à 6 (celles qui mènent à des conclusions existentielles) s'appuient conjointement sur le diagramme et sur l'une des prémisses. Dans les deux cas, le diagramme est utile : il sert à observer l'inclusion de certaines régions dans d'autres.

Ces six règles pourraient être formalisées avec les outils de Barwise, Etchemendy et Shin. Dans leur terminologie, ce seraient tout simplement des règles d'inférence hétérogènes<sup>8</sup>. À vrai dire, cela requiert de pousser leur idée un peu plus loin qu'ils ne l'ont fait : en pratique, dans leurs travaux, ils se limitent à des règles passant de diagrammes à des énoncés ou d'énoncés à des diagrammes, alors que les règles 3 à 6 ci-dessus ont pour prémisses à la fois un diagramme et un énoncé. Mais leur cadre s'en accomoderait sans difficultés.

On pourrait, sur cette base, formaliser complètement la pratique d'Euler. Pour déduire une conclusion de deux prémisses aristotéliennes ayant un terme en commun, il trace d'abord un diagramme par prémisse selon les conventions de la fig. 7.1 p. 183. Ensuite, il les superpose, traçant autant de diagrammes qu'il y a de relations possibles entre les termes « extrêmes », c'est-à-dire les termes qui n'apparaissent pas dans les deux prémisses. (Il faudrait donc décrire un algorithme d'énumération des cas. Une stratégie plus simple, correspondant à la pratique de Leibniz et Lange, qui utilisent des diagrammes similaires avant Euler<sup>9</sup>, serait de ne tracer qu'un seul diagramme, en choisissant – lorsqu'il y en a plusieurs possibles – celui où les courbes des termes extrêmes s'intersectent, pour éviter

<footnote n="8">8. Voir *supra*, section 7.3.</footnote>

<footnote n="9">9. Voir note 7 p. 182.</footnote>
<figure><img src="image_93.png" /><figcaption>FIGURE 11.5 – Un diagramme d'Euler, d'après ELP, vol. 2, p. 106. Sans information supplémentaire, ce diagramme est ambigu.</figcaption></figure>

les conclusions universelles incorrectes.) Pour finir, Euler ne tire une conclusion que si tous les diagrammes qu'il a tracés le permettent d'après les règles hétérogènes ci-dessus.

### d) Une sémantique contextuelle ?

On peut donc rendre compte de ce que fait Euler au moyen d'un système formel hétérogène, dont j'ai ébauché les règles. Mais quelle sémantique donner aux diagrammes ?

À première vue, selon ma reconstruction, on ne peut pas lire un diagramme d'Euler sans savoir quelles prémisses il est censé représenter. Si vous me montrez la figure 11.5 sans rien me dire de plus, je serais bien en peine de dire s'il permet de conclure « Quelque A est B », « Quelque B n'est pas A », « Quelque C n'est pas B » ou que sais-je encore. Sans éléments supplémentaires, on ne pourrait donc pas lui donner de sémantique. En ce sens, il est tentant de dire que les diagrammes d'Euler n'acquèrent de sémantique qu'en contexte.

Pourtant, on peut aussi donner une sémantique non contextuelle aux diagrammes d'Euler pour laquelle les règles du système formel hétérogène précédent sont correctes<fnref n="10" />. L'idée serait que les diagrammes d'Euler ne représentent jamais que des propositions universelles ; la fig. 11.5 ci-dessus, par exemple, ne représenterait que « Tout C est A ». Plus précisément, un diagramme d'Euler serait équivalent à la conjonction des propositions « Aucun X n'est Y » pour toutes courbes X et Y qui ne s'intersectent pas et des propositions « Tout X est Y » pour toutes courbes X et Y telles que X est entièrement incluse dans Y. On a donc une division du travail entre diagrammes et texte : le diagramme prend en charge les prémisses universelles, et le texte les prémisses existentielles. C'est bien ce que l'on observe dans nos règles hétérogènes. Pour tirer une conclusion universelle de deux prémisses universelles (règles 1 et 2), le diagramme seul suffit. Pour tirer une conclusion existentielle (règles 3 à 6), il faut en revanche une prémisse universelle, portée par le diagramme, et une prémisse existentielle, qui exige le recours au texte.

<footnote n="10">10. « Correct » est ici à prendre au sens technique : vis-à-vis d'une sémantique, une règle d'inférence est correcte (« sound ») si tout modèle des prémisses est modèle de la conclusion.</footnote>
<figure><img src="image_94.png" /><figcaption>FIGURE 11.6 – Le diagramme d’Euler pour « Quelque A est B »</figcaption></figure>

Cette sémantique (et les règles hétérogènes qu’elle fonde) permet de rendre raison de la pratique d’Euler, mais il faut bien voir qu’elle est en décalage avec la manière dont lui-même comprend et décrit son système. Elle conduit par exemple à conclure qu’essentiellement, la fig. 11.6 ne représente rien. Nos efforts de formalisation nous acculent ici à un dilemme. Ou bien on considère que la position des lettres est une authentique convention de représentation; on peut alors accepter que la fig. 11.6 représente « Quelque A est B », mais on doit conclure que le système d’Euler est incorrect voire incohérent. Ou bien on accepte la sémantique précédente et les règles hétérogènes associées, mais alors les diagrammes ne peuvent plus représenter que les propositions universelles, au contraire de ce qu’écrit Euler. Informellement, pourtant, la pratique d’Euler est à la fois fiable et claire, comme j’ai tenté de le montrer : ses figures doivent être lues conjointement avec le texte et la position des lettres lui sert d’aide-mémoire.

Cela nous conduit au cœur de ce qui distingue une pratique informelle, comme celle d’Euler, de formalisations à la Barwise-Etchemendy : dans la pratique informelle, en rester à la forme des représentations utilisées, sans tenir compte du contexte et des intentions de l’utilisateur, ne suffit pas. Pour atteindre une formalisation qui respecte la pratique informelle, il faudrait admettre une sémantique authentiquement contextuelle.

## 11.2 Un parallèle chez Euclide

L’exemple des diagrammes d’Euler peut, du fait de sa grande simplicité, servir de modèle pour éclairer des cas plus complexes. Je voudrais ici montrer qu’il permet de mieux comprendre les multiples tentatives récentes de formaliser l’usage des figures dans les premiers livres des *Éléments* d’Euclide<fnref n="11" />.

### a) Manders et Miller : une décontextualisation des figures

Un poncif de la littérature récente sur les figures géométriques est qu’on ne peut pas tracer deux segments ou deux angles exactement égaux, deux droites exactement parallèles, etc. et qu’en conséquence, il faut distinguer entre deux classes de propriétés géométriques :

<footnote n="11">11. Pour une présentation rapide de cette littérature, voir *supra*, p. 220-221.</footnote>
<figure><img src="image_95.png" /><figcaption>FIGURE 11.7 – Figure de la proposition I.45 des *Coniques* d’Apollonius (cas de l’hyperbole) d’après Netz (1999, p. 28)</figcaption></figure>

celles que l’on peut et celles que l’on ne peut pas observer sur une figure raisonnablement bien construite. Miller (2007) écrit, dans un passage déjà cité, que ses figures ne sont censées montrer que la « topologie » de la disposition de droites et de cercles dans le plan <fnref n="12" />. Manders (2008b) distingue entre attributs « exacts » et « co-exacts » (ou, dans des textes antérieurs, « non-exacts <fnref n="13" /> »); Panza distingue les attributs « diagrammatiques » et non diagrammatiques <fnref n="14" />.

Un examen naïf montre pourtant que lorsqu'on utilise des figures, on se repose sans cesse, par exemple, sur le parallélisme de certaines droites. Un expert identifie immédiatement les angles alternes-internes sur une figure, comme nous l'avons déjà remarqué <fnref n="15" /> en étudiant le problème géométrique discuté par Larkin et Simon (1987). Reviel Netz en donne un exemple clair tiré de la proposition I.45 d'Apollonius <fnref n="16" /> (fig. 11.7). Au cours de

<footnote n="12">12. Voir *supra*, p. 159.</footnote>

<footnote n="13">13. Cf. Manders 1996, p. 392.</footnote>

<footnote n="14">14. Panza 2012, p. 75 sq.</footnote>

<footnote n="15">15. Cf. ci-dessus, p. 126.</footnote>

<footnote n="16">16. Voir Netz 1999, p. 27-29. Il s'agit plus précisément du cas de l'hyperbole de la proposition I.45, cette</footnote>
la preuve, Apollonius s'appuie implicitement sur le fait que les triangles MКΓ et ΓΔΔ sont semblables, comme si ce fait était plus ou moins évident. D'où vient cette évidence ? Pour le genre de raisons évoqué plus haut, « les figures ne peuvent pas, à elles seules, montrer de manière satisfaisante que des triangles sont semblables'<fnref n="17" /> ». Il semble bien, cependant, que la figure nous rende disponible les différentes relations de parallélisme nécessaires; comme le remarque Netz :

[I]t is not the case that the diagram asserts information such as 'TK is parallel to ΔΘ'. Such assertions cannot be shown to be true in a diagram. But once the text secures that the lines are parallel, this piece of knowledge may be encoded into the reader's representation of the diagram. When necessary, such pieces of knowledge may be mobilised to yield, as an ensemble, further results. <fnref n="18" />

Ce que l'on utilise en géométrie, ce n'est pas la figure telle qu'elle est dessinée mais la figure « perçue d'une certaine manière »<fnref n="19" /> », soumise aux hypothèses que l'on a faite sur elle.

En d'autres termes, les figures géométriques – exactement comme les diagrammes d'Euler – doivent être lues conjointement avec le texte. Cela nous permet de mieux comprendre l'exercice auquel se livre, par exemple, Manders. Ce qu'il fait revient à isoler, de manière un peu artificielle, les contributions justificationnelles de la figure et du texte, exactement comme quand nous avons dit qu'un diagramme d'Euler ne représente que des propositions universelles et que les propositions existentielles sont seulement portées par le texte.

Cette démarche est très productive, mais a des conséquences contre-intuitives. De même qu'il est étrange de dire que, contrairement à ce qu'affirme Euler, son diagramme pour « Quelque A est B » ne représente au sens strict rien du tout, de même il est étrange d'affirmer qu'une figure ne représente jamais de droites ni de cercles, mais seulement des courbes ouvertes et fermées, parce que la propriété pour une ligne d'être droite ou pour

<footnote>dernière couvrant toutes les côniques à centre (Heiberg 1891-1893, I, p. 136-140 = Rashed 2008-2010, 1.1, p. 416-420, 1.2, p. 156-161; le diagramme que donne Netz est semblable à celui de Heiberg). Ici n'est pas le lieu de discuter précisément ce que démontre cette proposition ni à quoi elle sert. Disons seulement qu'on peut la considérer comme un lemme pour les propositions qui suivent et qui montrent comment exprimer la propriété caractéristique d'une conique par référence à un diamètre quelconque. Pour mieux comprendre le texte, on peut se référer au commentaire de Roshdi Rashed 2008-2010, 1.1, p. 162-172 ou encore à Heath 1896, p. 31-41.</footnote>

<footnote n="17">17. « Now diagrams cannot, in themselves, show satisfactorily the similarity of triangles. » (Netz 1999, p. 27).</footnote>

<footnote n="18">18. « [I]l ne faut pas croire que la figure affirme une information comme 'TK est parallèle à ΔΘ'. De telles assertions ne peuvent pas être démontrées sur la base du diagramme. Mais une fois que le texte assure que les droites sont parallèles, cette connaissance peut être encodée dans la représentation que le lecteur se fait de la figure. De telles connaissances peuvent, au besoin, être mobilisées et combinées pour fournir de nouveaux résultats. » (Netz 1999, p. 29; l'auteur souligne).</footnote>

<footnote n="19">19. Netz 1999, p. 33.</footnote>
<figure><img src="image_96.png" /><figcaption>FIGURE 11.8 – Figure de la proposition I.2 des Éléments d'après Heiberg (EEHei, I, p. 15)</figcaption></figure>

une courbe fermée d'être un cercle sont « exactes » au sens de Manders. C'est toutefois le prix à payer pour donner une interprétation de la figure qui soit entièrement indépendante de son contexte textuel.

## b) Mumma : une recontextualisation à un autre niveau

L'étude du rôle des figures dans les Éléments d'Euclide réserve toutefois un rebon-dissement. Comme le montre bien John Mumma, la distinction établie par Manders entre attributs exacts et co-exacts ne suffit pas à rendre l'interprétation de la figure indépendante du contexte.

Le parallèle avec les diagrammes d'Euler est ici très étroit. La difficulté avec ces diagrammes, comme nous l'avons vu, est qu'ils sont plus spécifiques que les prémisses à traiter. On ne peut pas représenter « Quelque A est B » sans décider s'il est vrai aussi que « Quelque A n'est pas B », par exemple. Or Euler, au lieu de dessiner tous les cas possibles compatibles avec ses prémisses, n'en trace que certains, mais les contrôle de telle manière que les conclusions restent vraies en général.

Un problème similaire se pose chez Euclide : il ne fait pas toujours les distinctions de cas qui semblent nécessaires. Certes, si l'on admet la distinction de Manders entre attributs exacts et co-exacts (ou une autre apparentée), beaucoup de distinctions qui peuvent à première vue paraître requises s'avèrent inutiles. Par exemple, une proposition qui traite de triangles n'a pas besoin de traiter le cas des triangles isocèles, équilatéraux, rectangles ou scalènes via des figures séparées : les longueurs relatives des différents côtés ou la valeur exacte des angles ne sont pas le genre de choses que l'on peut observer sur une figure ; tous ces cas ayant les mêmes attributs co-exacts, on peut se contenter d'en traiter un seul. De plus, Euclide évite de formuler des propositions dont les énoncés recouvriraient d'emblée des cas aux attributs co-exacts différents.
<figure><img src="image_97.png" /><figcaption>FIGURE 11.9 – Figure de la proposition I.2 des *Éléments* dans le codex b, d'après la reproduction de Saito (2006, p. 98)</figcaption></figure>

Pourtant, il reste de nombreuses situations, chez Euclide, où des distinctions de cas que le texte ne fait pas seraient apparemment nécessaires. La raison en est que la plupart des propositions d'Euclide requièrent de faire une construction ; or deux figures ayant les mêmes attributs co-exacts au sens de Manders peuvent, après une même construction, présenter des attributs co-exacts différents. Mumma (2010) prend l'exemple de la proposition I.2, qui indique comment « placer, en un point donné, une droite égale à une droite donnée<fnref n="20" /> ». En termes modernes, étant donné un segment ВГ et un point А, le but est de construire un segment АА de même longueur que ВГ. La construction que propose Euclide est assez complexe, et requiert de tracer successivement deux cercles. Le problème est que, pour différentes positions relatives initiales de ВГ et de А, cette construction produit des résultats notablement différents. La plupart des éditions récentes présentent une variante de la fig. 11.8, qui est celle de Heiberg, mais on pourrait aussi bien tracer la fig. 11.9, qui vient d'un manuscrit byzantin du XIᵉ siècle<fnref n="21" />.

Si l'on considère que les preuves euclidiennes s'appuient sur les attributs co-exacts de leurs figures, et qu'il y a des cas présentant des attributs co-exacts distincts qu'Euclide n'a pas envisagé, ne faut-il pas conclure que les démonstrations d'Euclide sont incorrectes ? On peut, il est vrai, simplement considérer qu'il y a là un (léger) manque de rigueur de la part d'Euclide. Proclus, dans son commentaire ancien du premier livre des *Éléments*, complète par exemple la proposition I.2 en traitant une pléthore de cas supplémentaires<fnref n="22" />. Heath, de son côté, affirme que « la méthode d'Euclide est de ne donner qu'un seul cas – tant qu'à choisir, le plus difficile – et de laisser le reste au lecteur<fnref n="23" /> ». La rigueur complète

<footnote n="20">20. Cf. EEV, I, p. 197-199 = EEHea, I, p. 244-246 = EEHei, I, p. 12-15.</footnote>

<footnote n="21">21. Sur les figures dans la traduction manuscrite des *Éléments*, voir infra, note 7 p. 294.</footnote>

<footnote n="22">22. Cf. Friedlein 1873, p. 222-228 = Proclus 1970, p. 175-179; voir aussi EEHea, I, p. 245-246.</footnote>

<footnote n="23">23. « Euclid's method is to give one case only, for choice the most difficult, leaving the reader to supply the</footnote>
exigerait alors de les traiter tous ; dans cet esprit, le système formel de Miller (2007) requiert
systématiquement une énumération exhaustive de tous les cas possibles.

La réponse de Mumma est différente<sup>24</sup>. D'après lui, Euclide peut en toute rigueur se
contenter d'une seule figure parce qu'il prend soin de ne s'appuyer que sur des attributs
co-exacts qui resteraient vrais dans tout autre cas possible. Mumma montre que l'on peut
formaliser cette démarche, en adjoignant à la figure un objet supplémentaire – qu'il appelle
précisément son « contexte » – qui en retrace la construction et permet de contrôler l'usage
qu'il est légitime d'en faire. (On peut considérer que les règles d'inférences de son système
sont en fait des règles hétérogènes, qui s'appuient à la fois sur la figure et sur ce contexte
textuel, comme celles que j'ai proposées pour les diagrammes d'Euler.) Avigad, Dean et
Mumma (2009) reprennent l'idée de Mumma, mais se dispensent entièrement de la figure et
dérivent directement les attributs co-exacts qui seraient vrais pour n'importe quelle figure
construite selon les mêmes règles à partir de données vérifiant les hypothèses.

L'important, ici, est que la solution de Mumma force à *contextualiser* les figures, c'est-
à-dire à admettre à nouveau qu'on ne peut les lire indépendamment du texte (plus préci-
sement, indépendamment de la manière dont elles ont été construites). Comme j'ai tenté
de le faire pour Euler, Mumma montre que si l'on procède ainsi, on peut rendre compte
adéquatement des preuves d'Euclide sans les trouver déficientes.

11.3 Conclusion

Nous avons examiné deux exemples apparemment paradigmatiques de l'usage peu ri-
goureux de diagrammes ou figures dans la pratique des mathématiques : les diagrammes
d'Euler et les figures en géométrie élémentaire, en particulier chez Euclide. Dans les deux
cas, il s'avère qu'on peut en rendre compte de manière satisfaisante, mais qu'il faut aban-
donner l'un des présupposés des travaux de Barwise, Etchemendy et Shin, qui est que l'on
doit pouvoir donner aux diagrammes une sémantique indépendante de leur contexte.

En fait, ce phénomène n’est sans doute pas limité aux diagrammes. Le développement
de la pragmatique en linguistique ces dernières décennies a bien montré que le langage
courant présente un grand nombre de dépendances contextuelles systématiques. Il serait
surprenant que les mathématiques informelles en soient exemptes. M. Wilson (1994) sug-
gère une piste intéressante. Il propose de comprendre en termes de dépendances contex-

<footnote>rest for himself. » (EEHea, I, p. 246).</footnote>

<footnote n="24">24. Pour une introduction, voir Mumma 2010 ou encore Shin, Lemon et Mumma 2013, sect. 4.2.2 et 4.3; le système complet de Mumma se trouve dans sa thèse (2006). (Voir aussi Mumma 2014 pour des corrections rendues nécessaires par les critiques de Miller 2012.)</footnote>
tuelles certaines pratiques mathématiques fréquemment jugées peu rigoureuses, comme l'emploi de « points infiniment proches » dans la géométrie algébrique du XIXe siècle ou les infinitésimaux de l'analyse leibnizienne. Là encore, les praticiens semblent globalement capables de les utiliser sans erreur, mais prises au pied de la lettre et utilisées sans discernement, leurs méthodes conduisent facilement aux pires incohérences. L'idée de Wilson est de capturer l'usage qu'en font les praticiens par des « grammaires contraintes » qui, essentiellement, explicitent des contraintes contextuelles tacites. Est-il pertinent d'y voir une variante de ce que nous avons observé ici pour les diagrammes ? La piste, me semble-t-il, mériterait d'être creusée.
# Chapitre 12

## Manipulations sans représentation ?

Faut-il penser les figures de la géométrie euclidienne en termes sémantiques, c'est-à-dire, en un sens ou en un autre, comme des représentations ? Non, d'après Ken Manders, qui soutient que ce n'est pas une approche prometteuse, ni dans le cas de la géométrie d'Euclide ni en général<fnref n="1" />. Mon premier but ici est d'évaluer ses arguments. Cela me forcera, au passage, à tenter de clarifier certaines ambiguïtés dans l'usage des termes de représentation et de sémantique<fnref n="2" />. J'aborderai ensuite un autre genre d'exemple : celui des manipulations symboliques non justifiées ou mal justifiées, comme on en rencontre dans mon étude de cas.

### 12.1 Manders contre la sémantique

Manders commence ainsi :

> Artifacts in a practice that gives us a grip on life are sometimes thought of in semantic terms—say, as representing something in life. There is, of course, an age-old debate on how geometrical diagrams are to be treated in this regard.<fnref n="3" />

<footnote n="1">1. Concernant la géométrie d'Euclide, voir Manders 2008b, section 4.1.2, p. 84–87; quant à ses thèses plus générales, voir Manders 1999, 2017.</footnote>

<footnote n="2">2. L'ensemble de cette section doit beaucoup à mes discussions avec David Rabouin, que je tiens d'autant plus à remercier qu'il risque d'être en désaccord avec l'essentiel.</footnote>

<footnote n="3">3. « Parfois, on conçoit les artefacts d'une pratique qui nous donne prise sur la vie en termes sémantiques – par exemple, comme représentant quelque chose dans la vie. Il y a, bien sûr, un débat ancien sur la manière dont il faut, à cet égard, traiter les figures géométriques. » (Manders 2008b, p. 84).</footnote>
<figure><img src="image_98.png" /><figcaption>FIGURE 12.1 – La « vision classique » des figures</figcaption></figure>

Les « artefacts » qui intéressent ici Manders sont les figures de la géométrie euclidienne. Le problème est de savoir s’il faut leur donner une sémantique, et si oui laquelle ; l’expression vague de représenter quelque chose « dans la vie » suggère que cette sémantique serait à chercher du côté des situations réelles auxquelles la géométrie peut être appliquée (champs à mesurer, tunnels à creuser, bâtiments à construire ou autres). La stratégie de Manders n’est toutefois pas de réfuter frontalement cette idée générale. Il tente plutôt d’en saper la plausibilité en détruisant une thèse plus spécifique, comme nous allons le voir.

a) Une vision classique des figures

La thèse principale que Manders réfute est en fait la suivante :

Long-standing philosophical difficulties, on the nature of geometric objects
and our knowledge of them, arise from *the assumption that the geometrical*
*text is in an ordinary sense true of the diagram or a 'perfect counterpart'.*<fnref n="4" />

Cette thèse, que j'appellerai la « vision classique » des figures, peut être schématisée comme
à la fig. 12.1.

Il faut bien voir que c'est une vision intuitivement plausible de la géométrie élémentaire. Celle-ci porterait sur des objets géométriques parfaits auxquelles nos figures dessinées nous donneraient un accès certes approximatif (nos traits sont épais, parfois un peu tordus, etc.), mais fiable, du moins en ce qui concerne certaines de leurs propriétés. Panza (2012) défend par exemple une position de ce genre.

<footnote n="4">4. « Des difficultés philosophiques anciennes, sur la nature des objets géométriques et de la connaissance que nous en avons, proviennent de ce que l'on suppose que le texte géométrique est, en un sens ordinaire, vrai de la figure ou d'une 'contrepartie parfaite' de celle-ci. » (Manders 2008b, p. 84; je souligne).</footnote>
<figure><img src="image_99.png" /><figcaption>FIGURE 12.2 – Figure de la proposition III.5 des *Éléments* dans le codex B, d'après la reproduction de Saito (2011, p. 54)</figcaption></figure>

b) L'objection des démonstrations par l'absurde

Contre cette vision classique, Manders invoque les démonstrations par l'absurde :

[A] genuinely semantic relationship between the geometrical diagram and text is incompatible with the successful use of diagrams in proof by contradiction: reductio contexts serve precisely to assemble a body of assertions which patently could not together be true; hence no genuine geometrical situation could in a serious sense be pictured in which they were. This simple-minded objection has nothing to do specifically with geometry: proofs by contradiction never admit of semantics in which each entry in the proof sequence is true (in any sense which entails their joint compatibility).<fnref n="5" />

Pour rendre manifeste le problème que pose Manders, un bon exemple est la proposition III.5 (proposition 5 du livre III) : « si deux cercles se coupent l'un l'autre, ils n'auront pas le même centre <fnref n="6" /> ».

Après avoir introduit deux cercles ABΓ et ΓΔΗ se coupant en deux points B et Γ, Euclide suppose qu'ils ont le même centre E. Or ces hypothèses, comme il le démontre ensuite, sont contradictoires : il est donc impossible de dessiner correctement deux cercles concentriques qui se couperaient en deux points. Le problème, c'est que malgré tout, et comme toujours chez Euclide, il y a une figure (fig. 12.2). Seulement, elle n'obéit manifestement pas aux

<footnote n="5">5. « [U]ne relation authentiquement sémantique entre la figure géométrique et le texte est incompatible avec le fait que l'on puisse utiliser des figures, avec succès, dans les preuves par l'absurde. Les contextes de reductio servent précisément à assembler un ensemble d'assertions qui, manifestement, ne peuvent être vraies simultanément; on ne saurait donc représenter (en aucun sens raisonnable du terme) une authentique situation géométrique dans lesquels elles le seraient. Cette objection naïve n'a rien de spécifique à la géométrie : les preuves par l'absurde n'admettent jamais de sémantique dans laquelle tous les énoncés successifs de la preuve sont vrais en même temps (en aucun sens du terme qui implique leur compatibilité conjointe). » (Manders 2008b, p. 84).</footnote>

<footnote n="6">6. Cf. EEV, I, p. 399–400 = EEHea, II, p. 12 = EEHei, I, p. 176–177.</footnote>
hypothèses : il y a bien deux cercles qui se coupent, mais le point E ne semble guère être
le centre ni de l'un ni de l'autre. (À vrai dire, nous ignorons quelles figures pouvait bien
utiliser Euclide lui-même ; j'ai choisi, dans ce chapitre, de reproduire les figures du « codex
B », l'un des plus anciens manuscrits des Éléments dont nous disposions <fnref n="7" />.) Il est donc clair,
ici comme dans toutes les démonstrations par l'absurde des Éléments, que le texte n'est pas
vrai de la figure.

D'après Manders, si cela pose un vrai problème, c'est parce que la vision classique des figures remplit traditionnellement un rôle essentiel : elle explique pourquoi nous pouvons nous appuyer sur la figure au cours de nos raisonnements.

If diagram imperfections only were in play, one might well hold that the func-
tion of diagrams could fruitfully be approached by first elaborating a notion of
perfect geometricals of which the text is literally true, then treating diagrams
actually drawn in geometrical demonstrations as approximations to perfect
ones; finally deriving from all this an understanding of the bearing of the im-
perfect diagram on inferences in the text. But no detour through ontology
and semantics which treats of truth in a diagram in a sense which entails joint
compatibility of all claims in force in the reductio context can speak to the dif-
ficulty with the role of diagrams in reductio arguments, which are pervasive
in Euclid.<fnref n="8" />

Toutes les figures géométriques que nous dessinons sont (au moins un peu) fausses. Il serait
sans espoir de chercher à mesurer les angles d'un triangle qu'on a construit pour savoir si
ceux d'une version idéale présumée sont exactement égaux. Il est plausible, en revanche, de

<footnote n="7">7. Comme l'a récemment montré Ken Saito, les manuscrits byzantins des textes mathématiques grecs présentent souvent des figures assez différentes de celles des éditions modernes. (Pour une introduction, voir Saito et Sidoli 2012, Saito 2009, p. 817-825 ou encore Saito 2012, qui s'intéresse entre autres à la propostion que je discute ici. Pour un aperçu plus complet des figures dans les manuscrits des premiers livres des Éléments, voir Saito 2006, 2011.) Dans le cas des démonstrations par l'absurde, la différence est particulièrement intéressante : les figures des manuscrits sont souvent plus caricaturalement impossibles que celles des éditions modernes. C'est la raison pour laquelle j'ai choisi, dans toute cette section, de reproduire les figures d'un manuscrit daté de 888, qui (bien que postérieur à Euclide de près de 1200 ans !) est l'un des plus anciens que nous possédions : le « codex B ». (Les sigles utilisés pour désigner les différents manuscrits des Éléments ont été introduits par Heiberg ; pour des références complètes, voir Heiberg 1883 ou Saito 2006, p. 95-96.)</footnote>

<footnote n="8">8. « S'il ne s'agissait que d'imperfections des figures, on pourrait bien soutenir que la fonction des figures pourrait être abordée avec profit en commençant par élaborer une notion d'[objets] géométriques parfaits dont le texte est littéralement vrai, puis en traitant les figures dessinées en pratique au cours des démonstrations géométriques comme des approximations des figures parfaites; et enfin, en dérivant de tout cela une compréhension du rôle de la figure imparfaite pour les inférences conduites dans le texte. Mais aucun détour par l'ontologie et la sémantique qui traite la vérité dans une figure en un sens qui implique la compatibilité simultanée de toutes les assertions en vigueur dans le contexte d'une démonstration par l'absurde ne peut répondre à la difficulté que pose le rôle des figures dans les arguments par l'absurde, qui sont omniprésents chez Euclide. » (Manders 2008b, p. 85-86).</footnote>
<figure><img src="image_100.png" /><figcaption>FIGURE 12.3 – Figure de la proposition I.1 des Éléments dans le codex B (Saito 2006, p. 97)</figcaption></figure>

penser que certaines propriétés du diagramme ne sont pas affectées par ces approximations, et qu'elles reflètent les propriétés de l'objet géométrique idéal visé; c'est en particulier la position que défend Panza. Prenons un exemple célèbre, celui de la proposition I.1 des Éléments (fig. 12.3), qui montre comment construire un triangle équilatéral sur un segment donné<fnref n="9" />. D'après Panza, il est légitime, dans le cadre de la géométrie plane d'Euclide, de conclure sur la base de la figure que les deux cercles s'intersectent<fnref n="10" />.

Tout le problème est que les démonstrations par l'absurde aussi s'appuient sur leurs figures. Reprenons par exemple la proposition III.5 (cf. fig. 12.2 ci-dessus). Après avoir introduit les deux cercles ABΓ, ΓΔΗ, leurs intersections B, Γ et leur centre E, Euclide écrit :

> [Q]ue soit jointe EΓ et que soit conduite EZH, au hasard. Et puisque le point E est le centre du cercle ABΓ, EΓ est égale à EZ. Ensuite puisque le point E est le centre du cercle ΓΔΗ, EΓ est égale à EH. Or il a été démontré aussi que EΓ est égale à EZ. Et donc EZ est égale à EH, la plus petite à la plus grande. Ce qui est impossible.<fnref n="11" />

La démonstration repose sur la ligne EZH, tirée « au hasard », qui est supposée rencontrer ABΓ en Z et ΓΔΗ en H (dans cet ordre). Seule la figure nous fournit une ligne remplissant ces conditions. Si l'on voulait, d'un point de vue moderne, réécrire la preuve sans figure, il serait nécessaire de faire appel à un axiome supplémentaire du même genre que pour le point d'intersection de la proposition I.1¹².

<footnote n="9">9. Cf. EEV, I, p. 194-195 = EEHea, I, p. 241-242 = EEHei, I, p. 10-13</footnote>

<footnote n="10">10. D'une manière générale, Panza appelle « rôle local » des figures dans la géométrie plane d'Euclide le fait qu'elles permettent d'attribuer certaines propriétés aux objets géométriques correspondants; Panza appelle « diagrammatic attributes » les propriétés que les objets géométriques héritent de leurs figures. (Voir Panza 2012, en part. p. 72-82.)</footnote>

<footnote n="11">11. Trad. de EEV, I, p. 400, où (par cohérence avec ma figure) j'ai réinséré les lettres grecques que l'on trouve chez Heiberg. Cf. aussi EEHea, II, p. 12 = EEHei, I, p. 177.</footnote>

<footnote n="12">12. Voici une possibilité qui peut se formaliser dans le système d'Avigad, Dean et Mumma 2009 (j'indique entre crochets, à chaque étape, la règle de ce système que j'invoque; le point crucial est qu'on a besoin des</footnote>
L’argument de Manders est alors clair. Les démonstrations par l’absurde des Éléments, tout comme les démonstrations directes, font un usage essentiel de la figure. Or si dans le cas des preuves directes, cela peut se justifier en supposant que la figure reflète certaines au moins des propriétés d’objets géométriques idéaux, cette réponse n’est plus disponible pour les preuves par l’absurde, puisque précisément il ne pourrait pas exister d’objets géométriques répondant aux hypothèses. À moins de postuler que les figures fonctionnent de manière fondamentalement différente dans les preuves directes et dans les preuves par l’absurde, il faut donc chercher une autre interprétation de leur rôle.

c) Est-ce réellement un problème ?

À première vue, l’argument de Manders n’est pas convaincant. Comme il l’écrit lui-même,

> It does not follow that there could not be a picturing-like relationship between
> the diagram and some claims in force within a reductio context. <fnref n="13" />

En d'autres termes, on pourrait conserver une version *partielle* de la vision classique (schématisée à la fig. 12.4) d'après laquelle seulement certaines des assertions du texte seraient vraies de la figure. Dans notre exemple de III.5, la figure montre bien deux cercles qui se coupent en deux points ; seulement, le point E n'est pas leur centre.

De ce point de vue, l’usage de la figure en III.5 s’explique sans mal. La figure représente adéquatement deux cercles et un point *qui leur est intérieur* ; sur cette base inattaquable, on peut construire Z et H. On peut ensuite obtenir la contradiction en faisant intervenir l’hypothèse supplémentaire que E est le centre des deux cercles, mais là, plus aucune référence à la figure n’est nécessaire. Pour citer Panza (qui parle d’un autre exemple de preuve

<footnote>règles de construction d'intersection 4 et 5). Puisque les deux cercles ABΓ et ΓΔΗ sont différents [hypothèse], on peut prendre un point H de ΓΔΗ qui n'est pas sur ABΓ [règle de construction de point n°7]. De deux choses l'une. Ou bien H est à l'extérieur de ABΓ, et alors, puisque E est à l'intérieur de ABΓ, la droite EH intersecte ABΓ en un point Z situé entre E et H [règle de construction d'intersection n°4]; on peut alors terminer comme Euclide [plusieurs possibilités, par exemple axiomes de transfert figure-segment n°1 et 3]. Ou bien H est à l'intérieur de ABΓ, et alors la droite EH intersecte ABΓ en un point Z tel que H est entre E et Z [règle de construction d'intersection n°5]; on peut alors terminer comme Euclide en inversant les rôles de Z et H [comme précédemment]. En réalité, dans le système d'Avigad, Dean et Mumma 2009, cette preuve est inutile : ce système comporte un principe plus fort que ceux d'Euclide, l'axiome de transfert figure-segment n°2, qui rend triviale la proposition III.5 (voir infra, p. 302-303). Cela n'a toutefois pas d'importance pour mon propos ici.</footnote>

<footnote n="13">13. « Il ne s'ensuit pas qu'il ne peut pas y avoir un genre de relation de dépiction entre la figure et certaines des assertions en vigueur dans un contexte de reductio. » (Manders 2008b, p. 85). Les « hypothèses en vigueur dans un contexte de reductio », ce sont les hypothèses sous lesquelles on arrive à une contradiction; le terme de « contexte » vient ici de la déduction naturelle.</footnote>
<figure><img src="image_101.png" /><figcaption>FIGURE 12.4 – Une version partielle de la vision classique des figures</figcaption></figure>

<figure><img src="image_102.png" /><figcaption>FIGURE 12.5 – Figure de la proposition III.2 dans le codex B (Saito 2011, p. 52)</figcaption></figure>

par l'absurde), « cet argument ne démontre aucune impossibilité relative à la figure qui y intervient <fnref n="14" /> ».

Malheureusement, le problème de Manders ne se laisse pas écarter si vite. Tout d'abord, il y a des preuves par l'absurde plus problématiques, qui exigent une figure impossible en un sens plus fort. Examinons par exemple III.2, « si deux points sont pris au hasard sur la circonférence d'un cercle, la droite joignant ces points tombera à l'intérieur du cercle <fnref n="15" /> » (fig. 12.5) ou encore III.10, « un cercle ne coupe pas un cercle en plus de deux points <fnref n="16" /> » (fig. 12.6). Dans le premier cas, la ligne droite AB ne peut être droite; dans le second, au

<footnote n="14">14. « Clearly, this argument does not show any impossibility relative to the diagram involved in it. » (Panza 2012, 83, n. 53). Cette remarque porte sur la démonstration par l'absurde de I.6.</footnote>

<footnote n="15">15. Cf. EEV, I, p. 394-395 = EEHea, II, p. 8-9 = EEHei, I, p. 168-171.</footnote>

<footnote n="16">16. Cf. EEV, I, p. 412-413 = EEHea, II, p. 23-24 = EEHei, I, p. 192-195.</footnote>
<figure><img src="image_103.png" /><figcaption>FIGURE 12.6 – Figure de la proposition III.10 dans le codex B (Saito 2011, p. 59)</figcaption></figure>

moins l'un des deux cercles ne peut être un cercle. Cette fois, il semble bien y avoir une
authentique impossibilité relative aux figures. Plus exactement, si l'on voulait adopter la
même stratégie que pour III.5 ci-dessus, il faudrait considérer que certaines des assertions
essentielles du texte (que AB est une ligne droite, que ABΓ et ΔEZ sont des cercles) ne
sont pas représentées. Or contrairement à III.5, ce qui reste n'est alors plus un assemblage
familier de cercles et de lignes droites, mais un dessin exotique fait de lignes courbes mal
définies. Est-ce un problème ? Notre but était de justifier l'usage démonstratif des figures en
soutenant qu'elles reflétaient adéquatement certaines des propriétés d'objets géométriques
idéaux. Les propositions III.2 et III.10 (par exemple) ne rendent pas ce projet impossible,
mais il y a un prix à payer : il faut admettre que les figures peuvent nous permettre, au
détour d'une preuve, de découvrir les propriétés d'objets géométriques plus généraux que
les cercles et les droites d'Euclide, par exemple des lignes courbes quelconques.

On peut ajouter une seconde objection, plus générale et plus profonde, contre les ten-
tatives précédentes de sauver la vision classique des figures *via* une variante partielle. On
peut bien suggérer, comme je l'ai fait (cf. fig. 12.4), que la figure de III.5 ne représente pas E
comme le centre des deux cercles, mais seulement comme un point à l'intérieur de ceux-ci;
ou encore que la figure de III.2 représente ne représente pas AB comme une ligne droite.
Il faut cependant admettre que le texte d'Euclide ne dit rien de précis sur ce que la figure
représente ou ne représente pas. Pour expliciter le rôle de la figure dans III.5 (fig. 12.4 ci-
dessus), j'ai même été conduit à introduire une assertion fantôme, absente du texte et que
j'ai notée entre crochets ([E est à l'intérieur de ABΓ et ΓΔH]). Autant la vision classique
(fig. 12.1) était simple, autant sa variante partielle est soumise à des normes peu claires : qu'a-t-on le droit de ne pas représenter ? Quelles déformations peut-on faire subir à nos cercles et à nos droites ?

On comprend donc pourquoi Manders peut considérer qu'une fois qu'on a admis que la figure n'est pas purement et simplement un modèle (peut-être approximatif) du texte, on a concédé l'essentiel : le fonctionnement des figures dans les preuves par l'absurde n'est pas transparent et mérite une analyse plus approfondie. Il écrit ainsi :

> Thus one is forced back to a direct attack on the way diagrams are used in reductio argument; the problem of the relationship between diagram and geometric inference here turns out to be one of standards of inference not reducible in a straightforward way to an interplay of ontology, truth, and approximate representation. But once this is admitted, there seems to be no reason why direct inferential analysis of diagram-based geometrical reasoning should not be the approach of choice to characterizing geometrical reasoning overall, with or without reductio.<fnref n="17" />

L'« analyse inférentielle directe » de Manders consiste avant tout à mettre au premier plan, non plus ce que les figures représentent, mais l'exigence que différents praticiens puissent se mettre d'accord sur ce que les figures montrent. Par exemple, si l'on ne peut pas observer sur une figure que deux lignes sont égales, c'est fondamentalement parce que deux praticiens traçant des figures différentes pourraient arriver à des conclusions différentes. J'ai déjà évoqué les résultats de son analyse plus en détail <fnref n="18" />.

## d) Une solution sémantique

L'argument des démonstrations par l'absurde ne suffit cependant pas à réfuter l'idée d'une sémantique en général : s'il est convaincant contre la vision classique des figures (fig. 12.1), il ne dit rien contre l'idée que les figures elles-mêmes pourraient avoir une sémantique (fig. 12.7). La conclusion naturelle de l'argument est, dans les termes de Manders lui-même, qu'il faut traiter les figures comme des « composants textuels » de la preuve

<footnote n="17">17. « On est donc contraint de revenir à une attaque directe de la manière dont les figures sont utilisées dans les arguments par l'absurde; le problème du lien entre figure et inférence géométrique s'avère ici être celui de normes d'inférences qui ne sont pas réductibles de manière directe à des questions d'ontologie, de vérité et de représentation approximative. Mais une fois cela admis, on ne voit pas pourquoi une analyse inférentielle directe ne serait pas l'approche privilégiée pour caractériser le raisonnement géométrique en général, avec ou sans preuve par l'absurde. » (Manders 2008b, p. 86).</footnote>

<footnote n="18">18. Voir *supra*, en part. section 11.2.</footnote>
<figure><img src="image_104.png" /><figcaption>FIGURE 12.7 – Une conception des figures géométriques dans l’esprit de Barwise et Etchemendy</figcaption></figure>

« plutôt que comme des contreparties sémantiques <fnref n="19" /> ». Mais précisément, cela n'exclut pas de donner une sémantique à la fois aux figures et au texte, à la manière de Barwise et Etchemendy <fnref n="20" />.

À quoi une telle sémantique des figures pourrait-elle ressembler, et comment rendrait-elle intelligibles les démonstrations par l'absurde ? Pour y voir plus clair, examinons d'abord un exemple en arithmétique qui ne requiert pas de figure <fnref n="21" />, la proposition 22 du livre VII : « les nombres les plus peits parmi ceux qui ont le même rapport qu'eux sont premiers entre eux <fnref n="22" /> ». Euclide raisonne par l'absurde et se donne deux nombres *A* et *B* sur lesquels il fait deux hypothèses : *A* et *B* sont les plus petits parmi ceux qui ont le même rapport qu'eux (nous noterons cette hypothèse *p*), et ne sont pas premiers entre eux (ce que nous noterons *q*). Rien n'empêche de donner une sémantique à ces deux hypothèses, ni même à leur conjonction *p* ∧ *q*. Certes, dans ce dernier cas, l'ensemble de modèles correspondant sera vide, puisqu'il n'existe pas de nombres *A* et *B* qui vérifient à la fois *p* et *q*. On peut toutefois utiliser *p* ∧ *q* comme point de départ pour une véritable démonstration par l'absurde, parce qu'il n'y a pas de règle d'inférence (syntaxique) permettant d'en déduire une contradiction de manière immédiate : les hypothèses, pour ainsi dire, ne s'auto-détruisent pas.

Revenons maintenant à une démonstration par l'absurde comme celle de la proposition III.10. Elle peut très bien être pensée sur le même modèle. À vrai dire, on peut concevoir

<footnote n="19">19. L'auteur souligne. Cette citation vient d'une version précédente de son article sur la géométrie d'Euclide ; voir *supra*, p. 222.</footnote>

<footnote n="20">20. Voir *supra*, en particulier chap. 8.</footnote>

<footnote n="21">21. À vrai dire, les propositions arithmétiques des *Éléments* comportent aussi des sortes de figures, qui représentent les nombres dont il est question dans le texte par des segments; mais contrairement aux propositions des livres de géométrie, ces figures ne jouent guère de rôle dans les démonstrations (cf. par ex. Mueller 1981, p. 67).</footnote>

<footnote n="22">22. Cf. EEV, II, p. 328 = EEHea, II, p. 323-324 = EEHei, II, p. 234-237.</footnote>
au moins deux approches sémantiques différentes pour la fig. 12.6 qui l’illustre. Dans l’es-
prit des discussions qui précèdent, on peut considérer qu’elle représente seulement deux
courbes fermées s’intersectant en quatre points. Elle serait alors comparable à l’une des
hypothèses de la *reductio* de VII.22, par exemple *p* : elle n’est pas sémantiquement contra-
dictoire à elle seule, mais le devient si on lui adjoint des hypothèses supplémentaires, à
savoir que ABΓ et ΔΕΖ sont des cercles. On peut aussi en faire une lecture plus naïve, qui,
dans la terminologie du chapitre précédent, ne cherche pas à décontextualiser les figures <fnref n="23" />,
et considérer qu’elle représente bien deux *cercles* qui s’intersectent en quatre points. Cette
fois, c’est à la conjonction *p* ∧ *q* plutôt qu’à l’une des hypothèses de VII.22 qu’elle serait
comparable, c’est-à-dire qu’elle aurait pour sémantique un ensemble vide de modèles. Mais
même dans cette hypothèse, rien n’empêche de l’utiliser pour une démonstration par l’ab-
surde : tout ce qui compte est qu’il ne soit pas permis d’en déduire une contradiction direc-
tement (par exemple en observant que les cercles n’en sont pas). En bref, comme pour les
hypothèses de VII.22, il suffit que la figure ne s’auto-détruise pas. Le fait qu’elle soit contra-
dictoire au sens sémantique (c’est-à-dire qu’elle n’ait pas de modèles) n’est pas davantage
un problème pour la figure qu’elle ne l’est pour *p* ∧ *q*.

Dans une note, Manders semble rejeter une nouvelle fois la possibilité d'une séman-
tique des figures qui permette les démonstrations par l'absurde, mais son argument est, là
encore, fondé sur une équivoque : il critique une forme particulière de « sémantique » (en
fait la vision classique des figures, selon laquelle elles sont la sémantique du texte), mais
parle de sémantique des figures en général, comme s'il avait les moyens de réfuter aussi
une sémantique des figures à la Barwise-Etchemendy, ce qui n'est pas le cas. Voici ce qu'il
écrit :

Jerry Seligman has suggested that one might avoid the argument [of *reductio*
proofs] via some kind of ‘compositional semantics’ of diagrams. To avoid the
argument, however, geometrically incompatible sets of sentences would have
to be ‘compositionally true’ in the same diagram. That is to say (and the point
has nothing to do with diagrams or even geometry), a ‘semantics’ that fills
the bill here thereby lacks *minimal soundness*, the minimum requirement for
notions of (weak) truth, that a set of sentences all ‘true’ in the same situation,
cannot trivially entail a contradiction.<fnref n="24" />

<footnote n="23">23. Voir ci-dessus, section 11.2.</footnote>

<footnote n="24">24. « Jerry Seligman a suggéré que l’on pourrait échapper à l’argument [des démonstrations par l’absurde] *via* une ‘sémantique compositionnelle’ des figures, sous une forme ou une autre. Pour échapper à l’argument, cependant, il faudrait que des ensembles d’énoncés géométriquement incompatibles soit ‘compositionnelle-ment vrais’ dans la même figure. En d’autres termes (et cela n’a rien à voir avec les figures ni même avec la</footnote>
La remarque de Jerry Seligman, un collaborateur de Jon Barwise évoqué plus haut<sup>25</sup>, peut être reconstituée : la fig. 12.6 de la proposition III.10 pourrait représenter, *via* différents de ses éléments (c’est là l’aspect compositionnel), à la fois que ABΓ et ΔEZ sont des cercles et qu’ils se coupent en quatre points B, H, Z, Θ; ces énoncés sont certes incompatibles (la figure n’admet donc pas de modèles) mais ont un sens individuellement, de sorte que la figure n’est pas plus absurde que l’énoncé p ∧ q de notre exemple arithmétique. Le malentendu est que Manders persiste à traiter la figure comme une sorte de modèle, alors que Seligman la traite manifestement comme une représentation susceptible d’admettre une sémantique.

En bref, la polémique de Manders contre un traitement sémantique des figures est fon-
dée sur un malentendu. Il n’envisage pas de traiter les figures comme représentations mu-
nies de sémantique ou porteuses d’information, une possibilité qui est parfaitement claire,
non seulement pour Barwise, Etchemendy et Seligman, mais aussi pour Netz dans son
'étude sur la géométrie grecque :

Diagrams, just like words, may be a way of encoding information. If, then,
diagrams are seen in this way, to ask ‘how can diagrams be true?’ is like ask-
ing ‘how can language be true?’ – not a meaningless question, but clearly a
different question from that we started from.<fnref n="26" />

L’argument de Manders est donc insuffisant.

Pour finir, et quoique la question n'ait qu'une importance tangentielle pour mon pro-
pos, je voudrais souligner que les considérations qui précèdent ne suffisent pas à régler le
problème des démonstrations par l'absurde ; elles montrent seulement que Manders en tire
une conclusion exagérée. Il reste en effet une difficulté : quelles sont les figures qui sont
acceptables dans une démonstration ? Comme le remarque Rabouin (2015), si l'on pouvait,
en toutes circonstances, tracer des cercles écrasés ou des droites tordues, on pourrait faci-
lement écrire des preuves fausses <fnref n="27" />. Le système formel d'Avigad, Dean et Mumma (2009)

<footnote>géométrie), une 'sémantique' qui conviendrait ici ne satisferait pas à la *correction minimale*, l'exigence mini-
male pour les notions de vérité (faible), qui est qu'un ensemble d'énoncés tous 'vrais' dans la même situation
ne peuvent pas trivialement impliquer une contradiction. » (Manders 2008b, p. 86, n. 3).</footnote>

<footnote n="25">25. Ils ont développé ensemble la théorie de l'information de Barwise et Seligman 1997, mentionnée aux chapitres 9 et 10.</footnote>

<footnote n="26">26. « Les diagrammes, comme les mots, peuvent être une manière d'encoder de l'information. Or si l'on voit les diagrammes de cette manière, demander "comment les diagrammes peuvent-ils être vrais?" est comme demander "comment la langue peut-elle être vraie?" – une question qui n'est pas dépourvue de sens, mais qui est clairement différente de celle dont nous sommes partis. » (Netz 1999, p. 33).</footnote>

<footnote n="27">27. Voir Rabouin 2015, en part. p. 115-118 et 126-131. Manders discute assez longuement la question de savoir comment les normes qui exigent qu'un figure doive être raisonnablement précis doivent être relâchées sélectivement pour les démonstrations par l'absurde; cf. Manders 2008b, p. 109-118.</footnote>
permet d'explorer la question plus précisément et confirme la difficulté. Si l'on peut y re-
construire toutes les démonstrations par l'absurde des trois premiers livres des Éléments<sup>28</sup>,
même celles qui exigent apparemment une figure impossible<sup>29</sup>, un certain nombre de celles
du livre III sont rendues inutiles par les axiomes ou règles du système<sup>30</sup>, et ce pour une
bonne raison : ces règles, trop fortes pour le livre III, sont requises pour certaines propo-
sitions du livre I<sup>31</sup>. On peut reformuler ce problème en disant que le livre I suppose des
normes d'acceptabilité des figures qui excluent certaines des démonstrations par l'absurde
du livre III.

e) Le vrai problème : une sémantique, pour quoi faire ?

En un sens cependant, la discussion précédente passe à côté de la vraie leçon du texte
de Manders. Peut-être une sémantique des diagrammes n'est-elle pas impossible, mais elle
serait sans intérêt. Comme il écrit :

If this order of analysis [a direct inferential analysis of diagram-based geo-
metrical reasoning] proves fruitful, ontological and semantic considerations
will seem decidedly less central to the philosophical project of appreciating
geometry as a means of understanding. For in their then remaining role of
making the standards of geometrical reasoning seem appropriate, ontological-
and-semantic pictures will have to compete with other types of considerations
which we will find have potential to shape a reasoning practice. <fnref n="32" />

En d'autres termes, on peut peut-être donner une sémantique aux figures comme je l'ai
proposé, mais celle-ci ne serait pas très éclairante parce qu'elle ne vient qu'après coup. Ce
qui explique la manière dont les figures sont utilisées dans la pratique euclidienne, ce n'est
pas fondamentalement ce qu'elles représentent, d'après Manders; ce sont plutôt d'autres

<footnote n="28">28. Il s'agit là d'un avantage du système d'Avigad, Dean et Mumma (2009) sur ceux de Miller et de Mumma, qui obligent à sacrifier certaines de ces démonstrations, comme le souligne Rabouin 2015, note 33 p. 121.</footnote>

<footnote n="29">29. Les auteurs semblent affirmer le contraire dans le cas de la proposition III.5 (Avigad, Dean et Mumma 2009, p. 740) mais c'est sans doute une erreur (cf. ci-dessus, note 12 p. 295).</footnote>

<footnote n="30">30. La proposition III.2 est trivialisée par l'axiome de cercle n°2 (ainsi que par l'axiome de transfert figure-segment n°4) et les propositions III.5 et III.6 par l'axiome de transfert figure-segment n°2.</footnote>

<footnote n="31">31. Voir par exemple la proposition I.22.</footnote>

<footnote n="32">32. « Si cet ordre d'analyse [c'est-à-dire une analyse inférentielle directe du raisonnement géométrique fondé sur des figures] s'avère fructueux, les considérations ontologiques et sémantiques apparaîtront résolument moins centrales pour le projet philosophique d'évaluer la géométrie comme mode de compréhension. En effet, pour le rôle qui leur reste, celui de donner aux normes du raisonnement géométrique l'apparence de la plausibilité, les perspectives ontologiques-et-sémantiques seront en compétition avec d'autres genres de considérations dont nous verrons qu'elles peuvent influer sur la forme d'une pratique de raisonnement. » (Manders 2008b, p. 86).</footnote>
genres de facteurs, par exemple l'exigence que les praticiens de la géométrie puissent tou-
jours se mettre d'accord sans difficultés sur leurs inférences. On peut certes donner une sé-
mantique qui rende compte des normes de la pratique, par exemple, comme le fait Miller, en
disant que les diagrammes euclidiens ne représentent que les propriétés topologiques (en
un sens à préciser) des configurations géométriques, mais ce n'est qu'une reconstruction *a
posteriori*, qui vient légitimer des normes dont la source est ailleurs.

Face à une pratique mathématique, conclut Manders, ce qu’il importe d’étudier avant tout, ce sont ses normes inférentielles ; on peut peut-être y ajouter une analyse sémantique, mais chercher à l’utiliser comme point de départ risque surtout d’induire en erreur. C’est d’ailleurs la raison principale pour laquelle il préfère, à partir de la fin des années 1990, parler d’« utilisation d’artefacts <fnref n="33" /> » ou plus récemment de « moyens expressifs <fnref n="34" /> ». Dans des notes de cours récentes, il clarifie sa position comme suit :

> The accont we will be developing would probably be classified by Brandom<sup>35</sup>
> as “expressivist functionalism”; except that we remain agnostic as to whether
> or not our focus on expression could be usefully supplemented by what he
> calls representationalist accounts of the role of expressions.<sup>36</sup>

Il est donc clair que ce qui lui importe n'est pas tant d'affirmer l'impossibilité d'une ap-
proche « représentationnelle » (qui, par exemple, donnerait une sémantique aux figures)
que de *marginaliser* une telle approche au profit d'une analyse inférentielle.

12.2 Les règles de Bernoulli, un calcul sans justification ?

Mon étude de cas présente un autre genre d'exemple dans lequel parler de représenta-
tion pose problème. Les règles du « genre singulier de calcul » de Bernoulli <fnref n="37" /> ne peuvent
pas être justifiées d'après la manière dont Leibniz et Bernoulli comprennent jusqu'alors les
symboles d, d², etc. En dernière instance, ce qui les légitime est seulement leur succès à
produire des résultats corrects, vérifiables par ailleurs.

La réaction de Pierre Varignon face au calcul de Bernoulli rend cela très clair <fnref n="38" />. Vari-

<footnote n="33">33. « Artifact use »; voir par exemple Manders 1999, p. 9, n. 12 pour une discussion explicite.</footnote>

<footnote n="34">34. Cf. par exemple Manders 2012, 2017.</footnote>

<footnote n="35">35. Cf. Brandom 2000.</footnote>

<footnote n="36">36. « La manière de rendre compte des mathématiques que nous allons développer serait probablement classifiée par Brandom comme un “fonctionnalisme expressiviste”, à ceci près que nous restons agnostique sur la question de savoir s’il serait utile d’ajouter à notre étude centrée sur les expressions ce que Brandom appelle une analyse représentationnaliste du rôle des expressions. » (Manders 2017, p. 4).</footnote>

<footnote n="37">37. Voir première partie, en part. section 2.4.</footnote>

<footnote n="38">38. Varignon découvre cette méthode à travers des extraits de la correspondance entre Leibniz et Jean Ber-</footnote>
gnon commence par interpréter les règles de Bernoulli comme des égalités valables selon l'interprétation habituelle des symboles $d, d^2$, etc. et elles lui paraissent donc tout simplement fausses :

[E]n faisant insy $d^1x \cdot d^1x = d^2x = ddx$, ce seroit confondre [...] une différence seconde avec le quarré d'une première [...]. Il est vray que 1, $ddx$ ou $ddx$ & $dx \times dx$ sont grandeurs homogenes; mais elles ne sont pas égales, à moins [...] que 1, $dx$, $ddx$, ne soient en proportion continue <fnref n="39" />.

Après plusieurs élucidations de Bernoulli, Varignon finit par comprendre que ces règles ne sont véritablement justifiées que par leurs résultats :

> Je voy presentement tout l'artifice de votre nouvelle manière d'integrer. Ce qui me fesoit de la peine, c'est que je ne pouvois me résoudre au double sens que vous donnez à la lettre *d*, n'étant pas permis dans un raisonnement juste de passer insy d'un sens à l'autre. Mais je voy bien presentement que vous ne concluez pas l'un de l'autre : vous les employez seulement tous deux comme arbitrairement d'abord & sans consequence; & à la fin vous vous trouvez comme sans y penser, à une grandeur que vous sçavez d'ailleurs, & non pas par ce calcul, être l'intégrale cherchée. D'où vous concluez, non en vertu d'aucun raisonnement qu'il y ait dans ce calcul, mais par le seul succès de l'intégrale generale qui se trouve au bout [...] <fnref n="40" />.

Certes, Bernoulli pourrait justifier ses règles non seulement par leur succès dans certains cas, mais aussi, heuristiquement, par l'analogie proposée par Leibniz entre puissances et différences. Toutefois, il ne dispose pas d'une interprétation de ses symboles qui permettrait de les justifier véritablement. Bien sûr, rien n'empêche de donner une telle interprétation *a posteriori*, mais à quoi cela sert-il ? Cela permet seulement d'expliquer après coup le succès de ses calculs, mais pas de comprendre, pour reprendre les termes de Manders, les pressions qui les ont façonnés.

Ce n'est pas un cas isolé. À vrai dire, la tension entre interprétation et manipulations guidées par la syntaxe est fréquemment mise en avant dans la littérature récente, et la manipulation algébrique d'opérateurs (dont on considère parfois Bernoulli comme le pionnier)

<footnote>Bernoulli qu'il consulte chez le marquis de l'Hôpital (cf. *supra*, note 98 p. 70). Il écrit ensuite plusieurs fois à Bernoulli pour lui demander des éclairissements, ce qui donne lieu à un échange de plusieurs mois : voir les lettres de Varignon à Bernoulli des 4 septembre (BBW, II, p. 201-202) et 16 décembre 1698 (p. 207-208) et des 19 février (p. 217) et 19 mars 1699 (p. 223), ainsi que les réponses de Bernoulli du 4 octobre 1698 (p. 202-204) et du 24 janvier 1699 (p. 213-214).</footnote>

<footnote n="39">39. Lettre de Varignon à Bernoulli du 4 octobre 1698, BBW, II, p. 201-202.</footnote>

<footnote n="40">40. Lettre de Varignon à Bernoulli du 19 mars 1699, BBW, II, p. 223.</footnote>
en sert régulièrement d'exemple paradigmatique <fnref n="41" />.

12.3 Conclusion : le rôle de la sémantique

Ces deux exemples sont très différents. À travers Euclide, Manders (2008b) cherche à analyser une pratique démonstrative relativement homogène et stable (quoique, comme je l'ai mentionné en passant, certaines des difficultés qu'il rencontre viennent peut-être de décalages entre les différents livres des Éléments 42); les facteurs non sémantiques qu'il met en avant pour expliquer cette pratique sont sociaux, à savoir l'importance de pouvoir résoudre tous les désaccords sans ambiguïté. Mon étude de cas traite au contraire d'un contexte de découverte, où les manipulations sont plutôt légitimées par les résultats auxquelles elles conduisent. L'intérêt de les mettre malgré tout côte à côte est de montrer les limites d'une approche sémantique. Dans ces exemples, attribuer une sémantique aux figures ou aux formules permet certes d'en justifier a posteriori l'usage, mais ne l'éclaire pas.

Il est clair, toutefois, qu'il ne faut pas pousser cet argument trop loin. Les phénomènes que Shimojima appelle « signification dérivée », discutés au chapitre 10, seraient incompréhensibles si l'on n'attribuait pas aux utilisateurs des diagrammes concernés une compréhension des conventions sémantiques qui les gouvernent.

<footnote n="41">41. Du côté des mathématiciens, voir par exemple Cartier 2000; du côté des philosophes, on peut citer M. Wilson 2006, en part. section 8.viii et plus largement R. Wagner 2017, en part. chap. 4. En un sens, on pourrait aussi ajouter Ferreirós 2016, chap. 4.</footnote>

<footnote n="42">42. Cf. ci-dessus, p. 302-303.</footnote>
Conclusion générale

Comment comprendre l'idée de différences représentationnelles, et plus précisément le fait que l'on puisse progresser en changeant de représentation ? Pour répondre à cette question, j'ai commencé par étudier un changement notationnel apparemment anodin introduit par Leibniz, et essayé de comprendre en détail ce qu'il apportait (première partie) ; en particulier, nous avons vu qu'il rendait plus manifeste certaines structures dans les formules et qu'en transformant ce qui pouvait s'exprimer de manière simple, il rendait certaines voies plus accessibles à l'exploration (chap. 3). J'ai ensuite tenté de clarifier différentes manières dont les notions d'information ou de sémantique sont comprises et appliquées à des représentations de différentes sortes dans la littérature contemporaine de philosophie des mathématiques.

Le premier résultat de mon enquête est qu’il faut distinguer soigneusement différents sens en lesquels on peut parler d’information. On peut le faire en un sens minimal qui ne présuppose aucune véritable sémantique (deuxième partie). On peut identifier l’information portée par une représentation à un ensemble de modèles (troisième partie, chap. 7 et 8). On peut enfin viser une notion d’information explicite, modélisant ce que les utilisateurs des représentations comprennent des conventions qui gouvernent celles-ci (troisième partie, chap. 9 et 10).

Employer cette notion en ces différentes acceptations sert des fonctions différentes. Parler d'information au sens minimal de la deuxième partie revient à identifier quelles caractéristiques de nos représentations nous considérons comme pertinentes, c'est-à-dire quelles paires de représentations nous traiterions comme essentiellement identiques. Cela permet aussi de comparer des représentations quant à leur contenu d'information, mais seulement de manière grossière : on peut dire qu'une représentation contient les mêmes, ou plus, ou moins d'informations qu'une autre, mais rien de plus. Définir une sémantique en termes de modèles permet de parler de vérité et de se doter d'une relation de conséquence entre représentations, c'est-à-dire de justifier un certain usage de représentations « de l'exté-
rieur », pour ainsi dire, comme le fait usuellement la sémantique dans le cas des langages logiques. (Les justifications de ce genre, qui peuvent être *a posteriori* et éloignées de la pratique, ne sont toutefois pas toujours très éclairantes, comme nous l'avons vu au chap. 12.) Cela permet aussi de comparer le contenu d'information de représentations de manière plus fine, en comparant leurs ensembles de modèles. Enfin, la dernière approche permet de rester au plus près de la manière dont les utilisateurs de représentations les interprètent et les emploient pour progresser.

Ces clarifications préalables en main, nous pouvons revenir au problème de départ, celui des différences représentationnelles. Trois réponses se dégagent des pages qui précèdent.

Tout d'abord, la deuxième partie nous a montré que deux représentations informationnellement équivalentes au sens minimal – le plus exigeant – peuvent néanmoins différer « computationnellement », comme l'écrit Herbert Simon. Cependant, nous avons vu que son modèle informatique ne fonctionne que si l'on fixe d'avance toutes les opérations permises sur nos représentations (par exemple, tout ce qu'on a le droit d'observer sur une figure) : il ne permet d'éclairer que des *reconstructions* de l'usage de certaines représentations. En pratique, on ne peut pas délimiter *a priori* tout ce que l'on peut observer sur une représentation donnée, comme le montrent les exemples de la visualisation de données (sect. 5.2), mais aussi les structures que Leibniz observe dans ses formules, étudiées dans la première partie. Sur ce point, nous n'avons guère fait que mettre le doigt sur la difficulté; mais peut-être n'y a-t-il rien de plus à en dire.

Le chapitre 10 nous a montré que certaines des différences importantes entre formes de représentations, et en particulier certains des avantages essentiels des diagrammes, ne peuvent se comprendre que si l'on conduit une analyse informationnelle (ou, si l'on veut, « sémantique ») au troisième sens du terme, c'est-à-dire si l'on s'en tient aux conventions que comprennent les utilisateurs des représentations. À travers ce qu'il appelle les les « passagers clandestins » et la « signification dérivée », Shimojima montre comment certains diagrammes peuvent être précieux au cours du raisonnement.

La troisième et dernière réponse est la plus délicate. L'étude de cas de la première partie montre que l'une des contributions essentielles du changement notationnel de Leibniz est de transformer ce qui peut s'écrire sous une forme simple. Beaucoup des cas les plus intéressants de différences représentationnelles importantes en mathématiques pourraient sans doute être pensés sur ce modèle; or il ne semble pas éclairant d'utiliser les outils précédents pour les comprendre. Ils méritent une réflexion plus poussée, pour un travail ultérieur.
# Table des matières détaillée

Table des chapitres 3

Remerciements 5

Introduction 9

État des lieux 10

Délimitation du problème 12

Mise en perspective du problème 14

a) Mathématiques modernes et représentations 14

b) Évolutions plus récentes 15

Objectifs et plan 17

I Étude de cas : l'« analogie des puissances et des différences » 21

Introduction : une étude de cas historique, pourquoi, comment? 25

Note bibliographique 29

a) Sources primaires 29

b) Littérature secondaire 29

1 Éléments de contexte : le calcul différentiel leibnizien en 1694 31

1.1 Le cadre : la géométrie cartésienne des courbes 31

1.2 Les différentielles de Leibniz 32

1.3 Le problème inverse : propriétés des tangentes, quadratures et équations différentielles 34

1.4 Une analogie : différences et sommes, puissances et racines 36

1.5 Stratégies de résolution du problème inverse 40

2 Récit : la découverte de l'« analogie » 43

2.1 L'apparition de la notation exponentielle des différences 43

2.2 De la formule de Bernoulli à l'écriture $d^{-1} = \int$ 46

2.3 L'analogie des puissances et des différences de Leibniz 51

2.4 Le « genre singulier de calcul » de Bernoulli 59

2.5 Les différentielles fractionnaires 65
<table><tbody><tr><td>2.6</td><td>Diffusion et postérité</td><td>69</td></tr><tr><td>3</td><td>Analyse : le rôle des notations</td><td>75</td></tr><tr><td>3.1</td><td>Une comparaison : les notations de Newton et de Taylor</td><td>76</td></tr><tr><td>3.2</td><td>La notation d<sup>n</sup> permet-elle d'exprimer des choses auparavant impossibles ?</td><td>82</td></tr><tr><td>3.3</td><td>Voir des régularités dans les formules</td><td>85</td></tr><tr><td>3.4</td><td>Construire des théorèmes généraux</td><td>87</td></tr><tr><td>3.5</td><td>Une réorganisation du paysage</td><td>89</td></tr><tr><td colspan="2">Synthèse : un pari notationnel</td><td>91</td></tr><tr><td colspan="2">II Équivalence informationnelle, différences computationnelles</td><td>93</td></tr><tr><td colspan="2">Introduction : un slogan séduisant</td><td>97</td></tr><tr><td>4</td><td>Herbert Simon : représentations et types de données</td><td>101</td></tr><tr><td>4.1</td><td>Sciences cognitives et formes de représentation</td><td>101</td></tr><tr><td>4.2</td><td>Représentations et heuristiques</td><td>106</td></tr><tr><td>4.3</td><td>Des représentations aux types de données</td><td>109</td></tr><tr><td>4.4</td><td>Mais que sont les types de données de Simon ?</td><td>112</td></tr><tr><td></td><td>a) Une variante de la notion usuelle ?</td><td>112</td></tr><tr><td></td><td>b) « Structures » plutôt que « types » de données</td><td>114</td></tr><tr><td></td><td>c) Un niveau d'abstraction problématique</td><td>117</td></tr><tr><td>4.5</td><td>Retour aux représentations externes</td><td>119</td></tr><tr><td></td><td>a) Un problème de statique</td><td>121</td></tr><tr><td></td><td>b) Un problème de géométrie</td><td>124</td></tr><tr><td></td><td>c) Simon : pionnier paradoxal de la « cognition étendue » ?</td><td>126</td></tr><tr><td>4.6</td><td>Conclusion : la démarche de Simon</td><td>128</td></tr><tr><td>5</td><td>Différences computationnelles partout ?</td><td>131</td></tr><tr><td>5.1</td><td>Diagrammes et figures en mathématiques</td><td>131</td></tr><tr><td>5.2</td><td>Visualisation de données</td><td>136</td></tr><tr><td></td><td>a) Le cadre de Kulvicki</td><td>136</td></tr><tr><td></td><td>b) Une application des concepts de Simon ?</td><td>139</td></tr><tr><td></td><td>c) Un exemple mathématique</td><td>142</td></tr><tr><td>5.3</td><td>Un élargissement : Humphreys et Vorms</td><td>145</td></tr><tr><td>5.4</td><td>Dirk Schlimm et les notations</td><td>148</td></tr><tr><td>5.5</td><td>La notation exponentielle de Leibniz</td><td>149</td></tr><tr><td>5.6</td><td>Un premier bilan</td><td>150</td></tr><tr><td>6</td><td>De Simon à la pratique des mathématiques</td><td>153</td></tr><tr><td>6.1</td><td>Un prérequis sémiologique de la notion d'information</td><td>153</td></tr><tr><td></td><td>a) Une distinction préalable type-token</td><td>154</td></tr></tbody></table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>b)</td>
      <td>Infons élémentaires et contenu d'information</td>
      <td>242</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>c)</td>
      <td>Modéliser l'inférence</td>
      <td>244</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.4</td>
      <td>La position ambiguë du contenu d'information</td>
      <td>250</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.5</td>
      <td>Conclusion : une impasse seulement en apparence</td>
      <td>252</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>10 Dynamique du raisonnement diagrammatique</b></td>
      <td></td>
      <td><b>255</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.1</td>
      <td>Introduction : la distinction linguistique-graphique</td>
      <td>255</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.2</td>
      <td>L'insuffisance des approches précédentes</td>
      <td>259</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.3</td>
      <td>La théorie de Shimojima</td>
      <td>260</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>a)</td>
      <td>Le cadre formel</td>
      <td>260</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>b)</td>
      <td>« Passagers clandestins » (« Free rides »)</td>
      <td>261</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>c)</td>
      <td>« Signification dérivée » (« Derivative meaning »)</td>
      <td>262</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.4</td>
      <td>Sémantique ou syntaxe?</td>
      <td>265</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.5</td>
      <td>Le cas de l'analogie de Leibniz</td>
      <td>267</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.6</td>
      <td>Conclusion</td>
      <td>268</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>Conclusion : une sémantique en quel sens?</b></td>
      <td></td>
      <td><b>269</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>IV Faut-il parler de représentation?</b></td>
      <td></td>
      <td><b>271</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>Introduction : plusieurs objections</b></td>
      <td></td>
      <td><b>275</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>11 Usages informels des diagrammes et contextualité</b></td>
      <td></td>
      <td><b>277</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.1</td>
      <td>Retour sur les diagrammes d'Euler</td>
      <td>278</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>a)</td>
      <td>Le problème</td>
      <td>278</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>b)</td>
      <td>La démarche d'Euler</td>
      <td>278</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>c)</td>
      <td>Formaliser la méthode</td>
      <td>281</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>d)</td>
      <td>Une sémantique contextuelle?</td>
      <td>283</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.2</td>
      <td>Un parallèle chez Euclide</td>
      <td>284</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>a)</td>
      <td>Manders et Miller : une décontextualisation des figures</td>
      <td>284</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>b)</td>
      <td>Mumma : une recontextualisation à un autre niveau</td>
      <td>287</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3</td>
      <td>Conclusion</td>
      <td>289</td>
    </tr>
    <tr>
      <td><b>12 Manipulations sans représentation?</b></td>
      <td></td>
      <td><b>291</b></td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.1</td>
      <td>Manders contre la sémantique</td>
      <td>291</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>a)</td>
      <td>Une vision classique des figures</td>
      <td>292</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>b)</td>
      <td>L'objection des démonstrations par l'absurde</td>
      <td>293</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>c)</td>
      <td>Est-ce réellement un problème?</td>
      <td>296</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>d)</td>
      <td>Une solution sémantique</td>
      <td>299</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>e)</td>
      <td>Le vrai problème : une sémantique, pour quoi faire?</td>
      <td>303</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.2</td>
      <td>Les règles de Bernoulli, un calcul sans justification?</td>
      <td>304</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.3</td>
      <td>Conclusion : le rôle de la sémantique</td>
      <td>306</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table><tr><td>TABLE DES MATIÈRES DÉTAILLÉE</td><td>313</td></tr><tr><td>Conclusion générale</td><td>307</td></tr><tr><td>Table des matières détaillée</td><td>309</td></tr><tr><td>Table des figures</td><td>315</td></tr><tr><td>Références bibliographiques</td><td>319</td></tr><tr><td>Abréviations</td><td>319</td></tr><tr><td>Autres références</td><td>323</td></tr><tr><td>Index des noms</td><td>359</td></tr></table>
<figure><img src="image_105.png" /></figure>
Table des figures

<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>1.1</td>
      <td>Quantités géométriques variables associées à une courbe, d'après Bos (1974): l'abscisse x, l'ordonnée y, l'arc s, le rayon r, l'arc polaire a, la sous-tangente σ, la tangente τ, la normale ν, la région OPR sous la courbe, etc.</td>
      <td>32</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.1</td>
      <td>Exemples de paires de dessins utilisées par Shepard et Metzler (1971): à gauche, deux figures qui peuvent s'obtenir l'une de l'autre par rotation (ici dans le plan de l'image), à droite deux figures qui ne le peuvent pas</td>
      <td>103</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.2</td>
      <td>Une figure géométrique qui, d'après Simon (1978, p. 6), permet de résoudre un problème élémentaire plus facilement qu'une description en phrases équivalente</td>
      <td>109</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.3</td>
      <td>Représentation d'une structure de file (« queue »), d'après Knuth ([1968] 1997, p. 241)</td>
      <td>116</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.4</td>
      <td>Structure de données correspondant au problème de statique qu'étudiant Larkin et Simon (1987, p. 74)</td>
      <td>122</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.5</td>
      <td>Figures (a) d'un problème de statique, (b) de la structure de données que Larkin et Simon utilisent pour modéliser une résolution de ce problème s'appuyant sur la figure précédente (Larkin et Simon 1987, p. 73, 79)</td>
      <td>123</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>4.6</td>
      <td>Une figure pour le problème de géométrie qu'étudiant Larkin et Simon (1987, section 3)</td>
      <td>124</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.1</td>
      <td>Un diagramme représentant un graphe orienté (Carter 2018, p. 4)</td>
      <td>132</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.2</td>
      <td>Figure de la prop. I.5 des Éléments d'Euclide, d'après Netz (1999, p. 175)</td>
      <td>134</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.3</td>
      <td>Figure de la prop. 12 du Traité sur les grandeurs et les distances du Soleil et de la Lune d'Aristarque de Samos, d'après Netz (1999, p. 179)</td>
      <td>135</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.4</td>
      <td>« Le problème graphique » d'après Bertin (1967, p. 100): « La décision de transcrire graphiquement une information devrait reposer sur une appréciation de l'efficacité de chaque langage, de chaque système d'expression. » Les données à illustrer donnent la population active en France en 1954, par département et grand secteur d'activité (primaire, secondaire, tertiaire).</td>
      <td>137</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>5.5</td>
      <td>Deux représentations de relevés de température (adaptées de Kulvicki 2010, p. 303, 305)</td>
      <td>138</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
5.6 Ce billet de 1000 francs suisses est-il un faux ? Pour le déterminer, Flury et Riedwyl mesurent les longueurs $x_1, \dots, x_6$ et les encodent dans des visages (Flury et Riedwyl [1983] 1988, p. 4). 140

5.7 Visages encodant les mesures réalisées sur 16 billets authentiques, à gauche, et 16 billets produits par un même faussaire, à droite (Flury et Riedwyl 1981, p. 762). 140

5.8 Début d'une spirale d'Ulam; à droite, les nombres premiers sont entourés. 143

5.9 Spirale d'Ulam pour les 4000 premiers entiers, avec en noir (a) les nombres premiers, (b) des entiers impairs choisis au hasard, en même nombre que les premiers entre 1 et 4000. 144

6.1 Deux figures pour le même problème de statique (la figure (a) vient de Lar-kin et Simon 1987, p. 73). 155

6.2 Deux « figures étiquetées » équivalentes du système Eu de Mumma (Mumma 2006, p. 21). 158

6.3 Diagramme de Venn pour trois ensembles A, B et C tels que $A \cup C = \emptyset$ et $C \cap (A \cup B) = \emptyset$. 165

7.1 Représentation diagrammatique des propositions par Euler, d'après ELP, vol. 2, p. 99-100. 183

7.2 Illustration du syllogisme « Tout A est B; nul B n'est C; donc nul A n'est C » d'après ELP, vol. 2, p. 106. 183

7.3 Illustrations du syllogisme « Tout A est B; quelque C est A; donc quelque C est B » d'après ELP, vol. 2, p. 105. 184

7.4 Illustrations des prémisses « Quelque A est B » et « Tout C est A » d'après ELP, vol. 2, p. 112. 184

7.5 Diagramme où « Quelque A est B » et « Tout C est A » mais où on n'a pas « Quelque B n'est pas C ». 185

7.6 Diagramme de Venn générique pour trois termes. 186

7.7 Diagramme de Venn représentant « Tout A est B » et « Nul C n'est A ». 187

7.8 Illustrations des prémisses « Tout A est B » et « Nul C n'est A » d'après ELP, vol. 2, p. 105-106. 187

7.9 Diagramme de Venn-Peirce pour « Quelque A est B ». 188

7.10 Diagramme de Venn-Peirce pour « Quelque A est B », s'il y a un troisième ensemble C. 188

7.11 Diagramme de Venn-Peirce pour « Quelque A n'est pas B » et « Quelque C est B ». 189

7.12 Diagramme de Venn pour « Tout A est B » et « Nul B n'est C ». 189

7.13 Diagramme de Venn-Peirce pour « Tout A est B » et « Quelque C est A ». 190

7.14 Diagramme de Venn-Peirce pour « Tout A est B » et « Quelque C est A » après transformation. 190

7.15 Diagramme de Venn-Peirce-Shin pour « Tout est A ». 190

7.16 Diagrammes mal formés (adapté de Shin 1994, p. 59). 193
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>7.17</td>
      <td>Diagramme mal formé parce que deux croix reliées sont dans la même région minimale, d'après Shin 1994, p. 62</td>
      <td>193</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.18</td>
      <td>« Suite de x » dans la région A, d'après Shin 1994, p. 69</td>
      <td>194</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.19</td>
      <td>Diagrammes pour « Tous les A sont B » (à gauche) et « Aucun B n'est C » (à droite)</td>
      <td>194</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.20</td>
      <td>Diagramme pour représenter conjointement « Tous les A sont B » et « Aucun B n'est C »</td>
      <td>195</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.21</td>
      <td>Diagrammes avec lettres-étiquettes pour « Tous les A sont B » (à gauche) et « Aucun B n'est C » (à droite)</td>
      <td>196</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.22</td>
      <td>Application correcte de la règle d'élimination des x, d'après Shin 1994, p. 85</td>
      <td>197</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.23</td>
      <td>Élimination correcte d'une croix située au milieu d'une suite de x, d'après Shin 1994, p. 85</td>
      <td>198</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.24</td>
      <td>Diagrammes syntaxiquement équivalents, adaptés de Howse, Molina, Shin et J. Taylor (2002, p. 149)</td>
      <td>202</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.25</td>
      <td>Diagrammes sémantiquement, mais non syntaxiquement équivalents, adaptés de Shin (1994, p. 74)</td>
      <td>203</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.26</td>
      <td>Diagrammes à quatre courbes syntaxiquement équivalents, adaptés de Scotto di Luzio (2002)</td>
      <td>203</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.27</td>
      <td>Diagrammes syntaxiquement équivalents mais topologiquement différents, adaptés de Scotto di Luzio (2002)</td>
      <td>204</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>7.28</td>
      <td>Diagrammes précédents après suppression de la courbe A<sub>2</sub>, adaptés de Scotto di Luzio (2002). Le diagramme de gauche n'est pas bien formé parce que les régions rouges et vertes ne sont pas connexes.</td>
      <td>204</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.1</td>
      <td>Capture d'écran de Tarski's World dans une version pour Macintosh des années 1990, d'après Barwise et Etchemendy (1998, p. 98)</td>
      <td>214</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.2</td>
      <td>Un monde de Tarski's World dans lequel il faut identifier deux objets b et c (d'après Barwise et Etchemendy 1998, p. 99)</td>
      <td>215</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.3</td>
      <td>Les deux identifications possibles de c (d'après Barwise et Etchemendy 1998, p. 101)</td>
      <td>215</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>8.4</td>
      <td>Exemple de diagramme du système Hyperproof</td>
      <td>218</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.1</td>
      <td>Exemple de diagramme de Shin-Venn</td>
      <td>226</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.2</td>
      <td>Graphe inférentiel correspondant à la solution du problème des chaises, d'après Barwise et Etchemendy (1990a, p. 74)</td>
      <td>247</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>9.3</td>
      <td>Construction en trois étapes d'un Graphe d'Écoulement de l'Information correspondant à une inférence simple</td>
      <td>248</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.1</td>
      <td>Diagramme de Venn pour « Tout A est B » et « Nul B n'est C »</td>
      <td>256</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.2</td>
      <td>Structure d'un exemple de « free ride » (schéma inspiré de Shimojima 2014, p. 8, 2015, §2.3)</td>
      <td>261</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.3</td>
      <td>Un diagramme de Venn symétrique par permutation de A, B, C</td>
      <td>262</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
<table>
  <tbody>
    <tr>
      <td>10.4</td>
      <td>Un tableau présentant les résultats d'une phase initiale de compétition sportive, d'après Shimojima (2014, p. 21) : un disque blanc à la ligne KOR et à la colonne BRA indique que l'équipe coréenne a battu l'équipe brésilienne ; le nombre de disques blancs à la ligne BRA indique le nombre de matchs gagnés par l'équipe brésilienne ; le fait qu'il y ait davantage de disques blancs à la ligne BRA qu'à la ligne KOR indique que l'équipe brésilienne est arrivée avant l'équipe coréenne dans cette phase initiale</td>
      <td>263</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.5</td>
      <td>Un autre diagramme de Venn symétrique par permutation de A, B, C</td>
      <td>264</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>10.6</td>
      <td>Principe du « derived meaning » (cf. Shimojima 2014, p. 24, 2015, p. 114-124)</td>
      <td>265</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.1</td>
      <td>Trois diagrammes compatibles avec « Quelque A est B »</td>
      <td>278</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.2</td>
      <td>Pour représenter « Quelque A est B » et « Tout C est A », Euler trace les diagrammes (a)-(c) (ELP, vol. 2, p. 112) mais omet le (d).</td>
      <td>278</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.3</td>
      <td>Diagrammes tracés par Euler dans la lettre cv (ELP, vol. 2, p. 120-121)</td>
      <td>279</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.4</td>
      <td>Diagrammes d'Euler avec étoiles pour « Nul A n'est B ; quelque B est C ; donc quelque C n'est pas A » (ELP, vol. 2, p. 121-122). Dans le diagramme (b), il faut imaginer que la frontière de l'espace A longe celle de l'espace B sans la couper ; ce diagramme n'est pas toujours bien reproduit dans les éditions ultérieures.</td>
      <td>279</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.5</td>
      <td>Un diagramme d'Euler, d'après ELP, vol. 2, p. 106. Sans information supplémentaire, ce diagramme est ambigu.</td>
      <td>283</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.6</td>
      <td>Le diagramme d'Euler pour « Quelque A est B »</td>
      <td>284</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.7</td>
      <td>Figure de la proposition I.45 des Coniques d'Apollonius (cas de l'hyperbole) d'après Netz (1999, p. 28)</td>
      <td>285</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.8</td>
      <td>Figure de la proposition I.2 des Éléments d'après Heiberg (EEHei, I, p. 15)</td>
      <td>287</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>11.9</td>
      <td>Figure de la proposition I.2 des Éléments dans le codex b, d'après la reproduction de Saito (2006, p. 98)</td>
      <td>288</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.1</td>
      <td>La « vision classique » des figures</td>
      <td>292</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.2</td>
      <td>Figure de la proposition III.5 des Éléments dans le codex B, d'après la reproduction de Saito (2011, p. 54)</td>
      <td>293</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.3</td>
      <td>Figure de la proposition I.1 des Éléments dans le codex B (Saito 2006, p. 97)</td>
      <td>295</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.4</td>
      <td>Une version partielle de la vision classique des figures</td>
      <td>297</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.5</td>
      <td>Figure de la proposition III.2 dans le codex B (Saito 2011, p. 52)</td>
      <td>297</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.6</td>
      <td>Figure de la proposition III.10 dans le codex B (Saito 2011, p. 59)</td>
      <td>298</td>
    </tr>
    <tr>
      <td>12.7</td>
      <td>Une conception des figures géométriques dans l'esprit de Barwise et Etchemendy</td>
      <td>300</td>
    </tr>
  </tbody>
</table>
# Références bibliographiques

## Abréviations

**BBW** Bernoulli, Jean (1955-1992). *Der Briefwechsel von Johann I Bernoulli*. Hrsg. von der Naturforschenden Gesellschaft in Basel. Basel: Birkhäuser.

Bd. I: *Hrsg. von O. Spiess. 1955.*

Bd. II: *Der Briefwechsel mit Pierre Varignon, Erster Teil: 1692-1702*. Hrsg. von Pierre Costabel und Jeanne Peiffer. 1988.

Bd. III: *Der Briefwechsel mit Pierre Varignon, Zweiter Teil: 1702-1714*. Hrsg. von Pierre Costabel und Jeanne Peiffer. Basel: Springer. 1992.

**BOO** Bernoulli, Jean (1742). *Opera omnia. Tam antea sparsim edita, quam hactenus inedita*. Éd. par Gabriel Cramer. 4 vol. Lausannæ et Genevæ : M.-M. Bousquet & soc.

Vol. I: *Quo continentur ea quæ ab Anno 1690 ad Annum 1713 prodierunt.*

Vol. II: *Quo continentur ea quæ ab Anno 1714 ad Annum 1726 prodierunt.*

Vol. III: *Quo continentur ea quæ ab Anno 1727 ad hanc usque diem prodierunt.*
*Accedunt Lectiones Mathematicæ de Calculo Integralium.*

Vol. IV: *Quo continentur Ανεκδοτα.*

**EEHea** *The Thirteen Books of Euclid's Elements* (1908). *Translated from the text of Heiberg.* Trans. and comm., with an introd., by Thomas L. Heath. 3 vols. Cambridge: at the University Press.

Vol. I: *Introduction and Books I, II.*

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Vol. III: *Books X-XIII and Appendix.*
EEHei Heiberg, J. L., éd. et trad. (1883-1888). *Euclidis Elementa*. 5 vol. Lipsiæ [Leipzig] : B. G. Teubner.

Vol. I : *Libros I-IV continens*. Lipsiæ [Leipzig] : B. G. Teubner. 1883.

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EEV Euclide d'Alexandrie (1990-2001). *Les Éléments. Traduits du texte de Heiberg*. Trad. et notes par Bernard Vitrac. Avec une introd. de Maurice Caveing. Paris : Presses Universitaires de France. (Bibliothèque d'histoire des sciences).

Vol. I : *Introduction générale. Livres I-IV : Géométrie plane*. 1990.

Vol. II : *Livres V-VI : Proportions et similitudes. Livres VII-IX : Arithmétique*. 1994.

Vol. III : *Livre X : Grandeurs commensurables et incommensurables, classification des lignes irrationnelles*. 1998.

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ELP Euler, Leonhard (1768-1772). *Lettres à une princesse d'Allemagne sur divers sujets de physique & de philosophie*. 3 vol. Saint Pétersbourg : Imprimerie de l'Académie Impériale des Sciences. Réimpr. in EOO, vol. III.11-12.

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Vol. II : [*Lettres LXXX-CLIV*]. 1768.

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EOO Euler, Leonhard (1911-). *Opera Omnia*. Societas Scientiarum Naturalium Helvetica.

Vol. I.10 : *Institutiones Calculi Differentialis*. Éd. par Gerhard Kowalewski. Lipsiae [Leipzig] et Berolini [Berlin] : B.G. Teubner. 1913.

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Vol. III.11-12 : *Lettres à une princesse d'Allemagne. Rettung der göttlichen Offenbarung. Éloge d'Euler par le Marquis de Condorcet*. Éd. par Andreas Speiser. Turici [Zürich] : Orell Füssli. 1960.

Vol. IVA.5 : *Correspondance avec A. C. Clairaut, J. D'Alembert et J. L. Lagrange*. Éd. par Adolf P. Juškevič et René Taton. Avec la coll. de Charles Blanc, Ašot T. Grigorijan, Walter Habicht et Guy Picolet. Bâle : Birkhäuser. 1980.
LAA Leibniz, Gottfried Wilhelm (1923–). *Sämtliche Schriften und Briefe (Die Akademie-Ausgabe)*. Hrsg. von den Berlin-Brandenburgischen und Göttinger Akademien der Wissenschaften. Berlin: Akademie Verlag.

Bd. III.4: *Mathematischer, naturwissenschaftlicher und technischer Briefwechsel*. 4. Band: Juli 1683–1690. Hrsg. von Heinz-Jürgen Hess, James G. O’Hara und Herbert Breger. 1995.

Bd. III.5: *Mathematischer, naturwissenschaftlicher und technischer Briefwechsel*. 5. Band: 1691–1693. Hrsg. von Heinz-Jürgen Hess und James G. O’Hara. 2003.

Bd. III.6: *Mathematischer, naturwissenschaftlicher und technischer Briefwechsel*. 6. Band: 1694–Juni 1696. Hrsg. von Heinz-Jürgen Hess und James G. O’Hara. 2004.

Bd. III.7: *Mathematischer, naturwissenschaftlicher und technischer Briefwechsel*. 7. Band: Juli 1696–Dezember 1698. Hrsg. von James G. O’Hara, Charlotte Wahl, Ralf Krömer und Heike Sefrin-Weis. 2011.

Bd. VI.4: *Philosophische Schriften*. 4. Band: 1677–Juni 1690. Hrsg. von Heinrich Schepers u. a. 1999.

Bd. VII.3: *Mathematische Schriften*. 3. Band: 1672–1676. Differenzen, Folgen, Reihen. Hrsg. von Siegmund Probst, Eberhard Knobloch und Nora Gädke. 2003.

Bd. VII.5: *Mathematische Schriften*. 5. Band: 1674–1676. *Infinitesimalmathematik*. Hrsg. von Siegmund Probst, Uwe Mayer und Heike Sefrin-Weis. 2008.

LMS Leibniz, Gottfried Wilhelm (1849–1863). *Mathematische Schriften*. Hrsg. und mit einer Einl. vers. von Carl Immanuel Gerhardt. 7 Bde. Berlin: A. Ascher & Comp. (Bde. I-II); Halle: H. W. Schmidt (Bde. III-VII). (Réimp. en fac-similé : Hildesheim: Georg Olms, 1962, avec renum. des vol. : I-II rassemblés au vol. 1, III/1 au vol. 2, III/2 au vol. 3.)

Bd. I: *Briefwechsel zwischen Leibniz und Oldenburg, Collins, Newton, Galloys, Vitale Giordano*. 1849.

Bd. II: *Briefwechsel zwischen Leibniz, Hugens van Zulichem und dem Marquis de l'Hospital*. 1850.

Bd. III/1: *Briefwechsel zwischen Leibniz, Jacob Bernoulli und Nicolaus Bernoulli*. [Jacob Bernoulli, Johann Bernoulli bis zum 7. Juni 1697]. 1855.

Bd. III/2: *Briefwechsel zwischen Leibniz, Jacob Bernoulli und Nicolaus Bernoulli*. [Johann Bernoulli ab dem 15. Juni 1697, Nicolaus Bernoulli]. 1856.

Bd. IV: *Briefwechsel zwischen Leibniz, Wallis, Varignon, Guido Grandi, Zendrini, Hermann und Freiherrn von Tschirnhaus*. 1859.

Bd. V (o. 2. Abt., Bd. I): [*Dissertatio de Arte Combinatoria. De Quadratura Arithmeti-