# Chapitre 6. Les réglettes de Genaille et Lucas (1885)... et quelques autres instruments

Marc Thomas

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

OpenEdition
Journals

## Édition électronique

URL : https://journals.openedition.org/sabix/3288

DOI : 10.4000/sabix.3288

ISSN : 2114-2130

## Éditeur

Société des amis de la bibliothèque et de l'histoire de l'École polytechnique (SABIX)

## Édition imprimée

Date de publication : 1 mai 2023

Pagination : 78-85

ISSN : 0989-3059

## Référence électronique

Marc Thomas, « Chapitre 6. Les réglettes de Genaille et Lucas (1885)... et quelques autres instruments », *Bulletin de la Sabix* [En ligne], 70 | 2023, mis en ligne le 28 octobre 2023, consulté le 20 septembre 2025. URL : http://journals.openedition.org/sabix/3288 ; DOI : https://doi.org/10.4000/sabix.3288

<figure><img src="image_2.png" /></figure>
Le Caleul Instantanee
ARITHMOGRAPHE TRONCET

SOUSTRACTION

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

ADDITION

PARIS
V. P. LAROUSSE & C.

19, rue Montmartre, 19
Chapitre 6

Les réglettes de Genaille
et Lucas (1885)...
et quelques autres instruments

Marc Thomas*

Les réglettes de Genaille et Lucas entrent
dans la catégorie de la rhabdologie, qui
est la science du calcul à l'aide de bâtons,
de petites planchettes, etc. L'instrument
le plus connu dans cette catégorie (les
bâtons de Neper ou Napier's rods) a été inventé et
présenté par Napier en 1617. Le but de cet article est
de montrer que Henri Genaille a conçu, non seule-
ment les réglettes, mais bien d'autres instruments,
et aussi, et peut-être surtout, de faire apparaître
qu'il était considéré par Charles-Ange Laisant,
Édouard Lucas et bien d'autres comme possédant
des qualités tout à fait exceptionnelles pour la
conception pratique d'instruments de calcul.

Le XIXe siècle, surtout sa seconde partie, avec l'industrialisation rapide, la naissance et le développement du chemin de fer, a nécessité une énorme quantité de calculs. C'est alors que se sont développées de nouvelles méthodes et que sont apparus de nouveaux instruments de calcul comme les abaques, les règles à calcul etc. Cependant ceux-ci ne permettaient pas vraiment le calcul arithmétique proprement dit, car les résultats fournis ne sont qu'approchés, même si l'approximation est presque toujours suffisante pour les besoins. En ce qui concerne les instruments de calcul arithmétique au sens strict, les machines à calculer mécaniques sont encore très rares et très chères. L'arithmomètre de Charles Xavier Thomas (1820) est une très belle machine, mais

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 45. — Réglettes de Genaille
pour la multiplication et
l'addition de nombres de
plusieurs chiffres. (11.301.)</figcaption></figure>

Fig. 1.
Les réglettes
dans le catalogue
du CNAM.

<footnote>* Docteur en histoire des mathématiques.</footnote>

<footnote n="1">1. [CNAM, 1942, 87-92].</footnote>
très coûteuse, surtout destinée aux entreprises (banques, assurances etc.), qui a eu beaucoup de succès pendant presque un siècle. Les premières autres machines à calculer mécaniques apparaissent vers 1880. Ces machines, inventées par Willgodt Theophil Odhner, d'abord complètement mécaniques, puis peu à peu munies d'un moteur électrique pour certaines, n'ont été complètement remplacées qu'à l'arrivée des calculatrices électroniques dans les années 1970. Elles sont également relativement chères, très lourdes et nécessitent un entretien attentif.

Beaucoup plus abordables, mais de capacité limitée, les additionneurs à crosses, sur le modèle de celui de J. Troncet, permettent d'effectuer additions et soustractions. Ce type de petit instrument a été vendu jusqu'aux années 1960. On peut trouver également les bâtons de Neper qui permettent déjà de simplifier les calculs de produits, et aussi de nombreux livres de tables de multiplication, parfois gigantesques, qui existent depuis longtemps mais comportent très souvent des erreurs d'impression aléatoires.

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. 2. L'arithmographe de Troncet<fnref n="2" />.</figcaption></figure>

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Fig. 3. Une table de multiplication (détail)<fnref n="3" />.</figcaption></figure>

## Quels sont les personnages et institutions qui apparaissent dans ce chapitre ?

### L'Association française pour l'avancement des sciences

L'Association française pour l'avancement des sciences (AFAS), a été fondée en 1872 et reconnaît d'utilité publique en 1876. Elle a joué, et joue toujours, un rôle important dans la diffusion et l'information scientifiques. À l'époque qui nous

intéresse, nous y retrouvons la plupart des grands noms des milieux scientifiques (voir par exemple chap. 2, chap. 4, chap. 5). Charles-Ange Laisant en sera élu président en 1904.

<footnote n="2">2. Collection de l'auteur.</footnote>

<footnote n="3">3. Collection de l'auteur.</footnote>
## Le mathématicien Édouard Lucas

Édouard Lucas est né à Amiens en 1842, admis à L'École normale supérieure en 1861. Il est reçu deuxième à l'agrégation de mathématiques (derrière Gaston Darboux). Il est nommé à l'Observatoire de Paris où la cohabitation avec son directeur, Urbain Le Verrier, se passe très mal, celui-ci demandant même son renvoi, qu'il n'obtiendra pas. Lucas y reste jusqu'en 1869. Pendant la guerre franco-prussienne de 1870-1871 il est mobilisé dans l'artillerie. Puis il est nommé professeur au lycée de Moulins (1872-1876), au lycée Charlemagne (1876-1879) puis 1890-1891 et au lycée Saint-Louis (1879-1890). C'est un membre très actif de l'AFAS depuis 1876.

Ses recherches mathématiques portent entre autres sur l'arithmétique, particulièrement les

nombres premiers, ce qui explique probablement son intérêt pour les instruments de calcul. Il est aussi bien connu pour ses *Récréations mathématiques*, dont Laisant et quelques autres assurèrent la publication après sa mort au nom de la Société Mathématique de France.

Il meurt prématurément en 1891 pendant le congrès de l'AFAS à Marseille. Au cours du banquet, il reçoit des assiettes sur la tête, la blessure s'envenime et il meurt de septicémie trois jours plus tard.

## L'ingénieur Henri Genaille

Henri Genaille est beaucoup moins connu que Lucas. Il est né en le 2 octobre 1856⁴ à Riaucourt (Haute-Saône).

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Fig. 4. L'acte de naissance de Henri Genaille<fnref n="5" />.</figcaption></figure>

Il est ingénieur civil aux chemins de fer de l'État à Lyon, Tours, puis à Paris où il occupe un poste d'inspecteur chargé du service intérieur.

Il est nommé officier d'Académie au journal officiel du 15 février 1900. On peut donc penser que certaines de ses inventions ont été remarquées pour leur intérêt pédagogique. Il meurt en 1903, à l'âge de seulement 46 ans. Il est membre de l'AFAS, c'est à cette association qu'il présente ses inventions, et c'est très probablement par l'intermédiaire de l'AFAS qu'il a rencontré Édouard Lucas. Genaille est surtout connu pour les Réglettes multiplicatrices, un instrument ingénieux se présentant comme un perfectionnement des bâtons de Neper car il permet de se passer des additions intermédiaires et diminue donc les

risques d'erreurs. Nous allons voir que ses travaux vont bien au-delà de cet instrument.

Les comptes rendus de L'AFAS nous en disent un peu plus sur Genaille, et nous permettent de voir comment il était ressenti dans ce milieu. Son nom est cité dans les actes des congrès de l'AFAS en 1878, 1883, 1884, 1885, 1891 et 1894.

Au congrès de Blois en 1884, Édouard Lucas fait une conférence sur les machines à calculer. Il en vient à présenter Henri Genaille en ces termes<fnref n="6" /> :

> Un ingénieur aux chemins de fer de l'État, à Tours, M. Henri Genaille, obscur hier, illustre demain, a eu l'idée excessivement remarquable et ingénieuse de remplacer ces additions par des dessins très simples qui

<footnote n="4">4. [Zlatoposti, 2021, 49].</footnote>

<footnote n="5">5. Archives du département de la Haute-Saône.</footnote>

<footnote n="6">6. [Lucas, 1885, 111-141].</footnote>
permettent de lire instantanément tous ces
produits partiels. [...] Nous présenterons
prochainement au public un appareil qui,
sous une forme modeste et dont le prix ne
dépasse pas 2 fr, supprime d'un seul coup les
opérations de la multiplication et de la divi-
sion, en les remplaçant par une addition ou
une soustraction.[...] Mais là ne s'arrêtent
pas les admirables inventions de Genaille.
[...] Pour les calculs spéciaux, de toute
nature, il vous imaginera, d'une manière
tellement rapide qu'il m'est souvent difficile
de la suivre, des tableaux graphiques pour la
solution des calculs proposés. En un mot, il a
le génie des calculs pratiques.

Les termes employés par Lucas dans ce texte
sont admiratifs et élogieux. Il reconnaît même
avoir des difficultés à suivre le cheminement de
Genaille lorsqu’il imagine ses appareils. Cela
montre bien que celui-ci possédait, au moins en
ce qui concerne la conception des instruments de
calcul, des qualités tout à fait exceptionnelles.

Instruments présentés par Henri Genaille
dans divers congrès de L'AFAS

Dès 1878 au congrès de Paris, Genaille fait une
communication « Sur une nouvelle machine
à calculer ». Cette communication est suivie,
dans les actes du congrès, d'une discussion<fnref n="7" />.

M. GENAILLE fait une communication
sur les principes de sa nouvelle méthode de
calcul. Celle-ci permet aux personnes qui
n'ont pas l'habitude des opérations arith-
métiques d'apprendre à compter mécani-
quement, avec une exactitude rigoureuse.
L'addition s'effectue par la transcription des
nombres, et, dès que le premier nombre est
inscrit, on obtient le total en quatre ou cinq
secondes pour les nombres de six chiffres. Il
fait remarquer la simplicité de construction
des tables de multiplication et de division.
On obtient mécaniquement, par la simple
lecture, les produits partiels les plus compli-
qués et aussi l'intérêt d'une somme placée à
un taux quelconque.

Discussion

M. COLLIGNON: On doit féliciter l'au-
teur de cette méthode ingénieuse et engager

les personnes qui font des calculs à prendre
connaissance de cette méthode. [...]

M. LAISANT fait remarquer que, tout
en s'appliquant à la recherche d'un procédé
de calcul, en dehors des machines arith-
métiques, l'auteur a trouvé, en réalité, le
principe d'une machine à multiplication,
remarquable par sa grande simplicité. Il
suffit, en effet, de remplacer les lignes tra-
cées sur les planchettes, par de petites cloi-
sons matérielles, de placer les planchettes
horizontalement, et dans un plan vertical,
pour qu'une bille pesante suive nécessaire-
ment le chemin que doit suivre l'œil dans
le procédé de l'inventeur. Une disposition
facile à imaginer permettrait à cette bille de
verre de faire apparaître, automatiquement,
l'un des chiffres du produit. On aurait ainsi
une machine fonctionnant sous l'action de
la pesanteur et qui donnerait, presque ins-
tantanément, le produit d'un nombre quel-
conque par un multiplicateur d'un seul
chiffre.

Il s'agit ici des réglettes multiplicatrices, et l'on voit
que Laisant envisage de les transformer en une
machine automatique mue par la pesanteur. Et en
effet, il a tenté de le faire, car le musée du CNAM
contient dans ses réserves un « Mécanisme de
Laisant, réglettes multiplicatrices Genaille fonc-
tionnant sous l'action de la pesanteur ». Il ne
semble pas que cet instrument ait passé le stade
d'un prototype.

En 1885 à Grenoble, « M. GENAILLE présente
deux nouveaux appareils à calculer : les dominos
additionneurs avec un appareil de démonstra-
tion ; en second lieu les dominos multiplicateurs,
dont le maniement est analogue». Le terme
« domino » vient du fait que ces appareils sont
constitués de cases blanches et noires »<fnref n="8" />.

En 1891, nous lisons<fnref n="9" /> :

M. GENAILLE, à Paris
Calculateur ou table de multiplication
Le calculateur est une table de multiplica-
tion extrêmement simple puisqu'il suffit
d'écrire les deux facteurs sur deux rangées
de réglettes pour qu'en additionnant, suiv-
vant les couleurs d'une plaque directrice,

<footnote n="7">7. [Genaille, 1878, 181-182].</footnote>

<footnote n="8">8. [Genaille, 1886, 94].</footnote>

<footnote n="9">9. [Genaille, 1891, 159].</footnote>
le total donnât le produit. Cet appareil
simple supprime les produits partiels et sera
d'une application pratique très importante
pour tous ceux qui ont de grands calculs à
effectuer. Cette table de multiplication et la
machine suivante ont été admirées par tous
les membres de la Section.

En 1894, Genaille présente un « calculateur pour
faciliter les grands calculs arithmétiques ». Cette
présentation est suivie de commentaires et d'une
discussion qui montrent que cet instrument a fait
l'objet d'une grande attention<fnref n="10" />.

M. GENAILLE, ing. civil à Paris. Calculateur
pour faciliter les grands calculs arithmétiques:
M. H GENAILLE présente à la section de
Mathématiques un nouveau calculateur
pour faciliter les grands calculs arithmé-
tiques. Cet appareil est d'une simplicité telle
que le prix de revient ne dépasserait pas cin-
quante francs. Son emploi dans les grandes
administrations rendrait les plus grands
services.

Discussion :

M. GUIMARAES insiste sur l'intérêt que présente l'appareil de M. Genaille et fait valoir sa supériorité sur les appareils à calculer connus et tout particulièrement sur une machine en usage aujourd'hui à l'Observatoire astronomique de Lisbonne, machine rapportée tout récemment de Chicago.

M. LAISANT ajoute à son tour quelques
observations sur le haut intérêt, théorique et
pratique à la fois, que présentent les appa-
reils et les méthodes de M. Genaille, et sur-
tout son nouveau calculateur.

Le catalogue du musée du CNAM de 1942¹¹
contient une section entière sur « La rhabdolo-
gie de Genaille ». Il donne la liste de 26 objets
ou instruments inventés par Genaille. Presque
tous portent l'indication « Don de M. Lucas »
et ont été offerts en 1888. On y trouve bien sûr
les réglettes multiplicatrices en plusieurs exem-
plaires, mais aussi les réglettes multisectrices
pour la division, les réglettes financières, les
réglettes népériennes ou « joujoux calculateurs »,
des tables de calculs, les dominos additionneurs,

les dominos multiplicateurs etc. La librairie clas-
sique Eugène Belin a édité et commercialisé en
1885 les réglettes multiplicatrices, les réglettes
multisectrices et les réglettes népériennes. Elles
sont présentées comme : « inventées par Henri
Genaille et perfectionnées par Édouard Lucas »..
Il semble que Lucas ait essentiellement amélioré
la lisibilité des réglettes pour le grand public. Ces
instruments, en particulier les réglettes multipli-
catrices qui sont les plus connues, ont eu quelque
succès jusqu'à la première guerre mondiale. Les
réglettes multiplicatrices, surtout, constituent un
instrument pédagogique simple et souvent utilisé
dans les classes primaires bien après cette date.

Les réglettes multiplicatrices

Cet instrument appartient à la famille des bâtons
de Neper, avec une disposition nouvelle qui per-
met de reporter les retenues sans calcul. Il suffit de
suivre le chemin indiqué par les triangles colorés.

Elles permettent la multiplication par un nombre
d'un seul chiffre. Pour multiplier deux nombres
à plusieurs chiffres, il faut donc calculer séparé-
ment les produits partiels et ensuite les addition-
ner avec le décalage approprié.

L'exemple est tiré du livre de Maurice d'Ocagne
Le Calcul simplifié.

Exemple : 42457 × 8 = ?

<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>Fig. 5.
Utilisation
des réglettes<fnref n="12" />.</figcaption></figure>

<footnote n="10">10. [Genaille, 1894, 105].</footnote>

<footnote n="11">11. [CNAM, 1942, 87-92].</footnote>

<footnote n="12">12. [Ocagne, 1905, 15].</footnote>
On commence toujours en haut à droite, donc 6 (colonne des unités).

Puis on suit les triangles noirs : successivement 5, 6, 9, 3, 3. Le résultat est donc 339 656.

On trouve facilement des explications très détaillées sur ces réglettes, avec de nombreux schémas, en particulier sur le site de l'Association des professeurs de mathématiques de l'enseignement public<fnref n="13" />.

De plus, depuis plusieurs années, Genaille cherche à électrifier son instrument<fnref n="14" />.

Malgré les avantages incontestables de la méthode perfectionnée, l'auteur [Genaille] ne s'est pas déclaré satisfait, car depuis longtemps il fait des essais de détail pour la construction d'une machine électrique à calculer. Les résultats, déjà obtenus par M. Genaille, permettent d'indiquer succinctement la marche de la nouvelle machine: pour faire une multiplication, on pressera sur des boutons électriques représentant les chiffres significatifs du multiplicande, ensuite, il suffira d'appuyer sur les boutons représentant le multiplicateur pour que des cadrans indiquent instantanément le produit.

La description fait penser à une calculette électronique ! Genaille était-il trop en avance sur son temps ? En tout cas, il semble bien que ces recherches n'ont pas été couronnées de succès.

## Le « piano arithmétique »

Cette fois il ne s'agit plus du tout d'un instrument de calcul élémentaire, mais destiné à aider les recherches de Lucas sur la primalité de grands nombres<fnref n="15" />.

M. GENAILLE

Piano arithmétique pour la vérification des grands nombres premiers

Le piano arithmétique permet de donner une suite pratique à la méthode formulée par M. E. Lucas, au Congrès de Clermont-Ferrand, pour la vérification des grands nombres premiers. Par la manœuvre simple de quelques chevilles, la vérification des nombres premiers de la forme $2^n-1$ se trouve réduite dans la plus grande partie des cas à un travail de quelques heures. Cette machine, qui peut arriver à faire automatiquement des calculs de la plus grande importance, réalisera un jour la solution d'une machine à calculer faisant seule les opérations arithmétiques.

D'après Anne-Marie Décaillot<fnref n="16" /> dans la Revue d'histoire des mathématiques de 2002, on ne trouve plus trace de cet instrument. C'est probablement à lui que Lucas faisait référence en parlant des « grands calculs arithmétiques ».

Le nom de Genaille est presque toujours associé aux réglettes. Nous avons vu ici que ses inventions s'étendent bien au-delà, et surtout qu'il était admiré par de grands scientifiques pour ses qualités exceptionnelles dans la conception d'instruments de calcul. Il apparaît ainsi bien plus qu'un inventeur ingénieux. Pour conclure, je laisse la parole à Maurice d'Ocagne,

M. Genaille, mort le 16 mai 1903, était doué d'un véritable génie pour l'invention des instruments arithmétiques. Parmi les appareils très curieux qu'on lui doit, il convient encore de citer une règle à chevilles permettant de vérifier si les nombres de la forme $2^n-1$ sont premiers, qui l'a mis à même de reconnaître ce caractère pour de fort grands nombres de cette forme. [...] M. Genaille a dressé aussi le projet d'une machine à calculer électrique, qui, malheureusement, n'a pas été réalisé⁷.

<footnote n="13">13. [Alaplantive, 2010].</footnote>

<footnote n="14">14. [Genaille, 1884, 177-178].</footnote>

<footnote n="15">15. [Genaille, 1892, 159].</footnote>

<footnote n="16">16. [Décaillot, 1998, 223].</footnote>

<footnote n="17">17. [Ocagne, 1905, 14].</footnote>
# Références

## Archives

Archives du département de la Haute-Saône.

## Sources primaires

**Genaille Henri**, (1878). « Sur une nouvelle machine à calculer », *Compte-rendu du congrès de l'AFAS de Paris, 7ᵉ session*, Paris, AFAS, 181-182.

**Genaille Henri**, (1886). *Compte-rendu du congrès de l'AFAS de Grenoble, 14ᵉ session*, Paris, AFAS, Masson, 94.

—, (1892). *Compte-rendu du congrès de l'AFAS de Paris, 20ᵉ session*, Paris, AFAS, Masson, 159.

—, (1894). *Compte-rendu du congrès de l'AFAS de Paris, 23ᵉ session*, Paris, AFAS, Masson, 105.

**Lucas Edouard**, (1885). « Le calcul et les machines à calculer », conférence, *Compte-rendu du congrès de l'AFAS de Blois, 13ᵉ session*, Paris, AFAS, 111-141.

## Sources secondaires

**CNAM**, (1942). *Catalogue du musée, Section A Instruments et machines à calculer*, Paris, CNAM, XIX, 87-92.

**Décaillot Anne-Marie**, (1998). « L'arithméticien Edouard Lucas (1842-1891) : Théorie et instrumenta-
tion », *Revue d'histoire des mathématiques*, 191-236.

**Hébert Elisabeth**, (2004). *Instruments scientifiques à travers l'histoire*, Paris, Ellipses.

**Ocagne Maurice d'**, (1905). *Le Calcul simplifié par les procédés mécaniques et graphiques*, Paris, Gauthier-Villars.

**Zlatopolski Dmitry**, (2021). « Computing devices by Henri Genaille », *Journal of the Oughtred Society*, 30, n° 1, The Oughtred Society, 49-52.

## Sources sitographiques

**Alaplantive Bruno**, (2010). « Créer ses réglettes de Genaille et Lucas », https://www.apmep.fr/Creer-ses-reglettes-de-Genaille-et-consulté-le-3-février-2022.

**Archives du département de la Haute-Saône**, https://archives.haute-saone.fr/ark:/77977/vta9b6fdb5cb7642579/daogrp/0/layout:table/idsearch:RECH_cc074e81728f8e78272335da2032d7e1#id:918994826?gallery=true&brightnes s=100.00&contrast=100.00&center=1123.564,-1623.612&zoom=10&rotation=0.000&print=true consulté le 3 février 2022.
LA
GRANDE ENCYCLOPÉDIE

INVENTAIRE RAISONNÉ

DES SCIENCES, DES LETTRES ET DES ARTS

PAR UNE

SOCIÉTÉ DE SAVANTS ET DE GÉNS DE LETTRES

SOUS LA DIRECTION DE

MM. BERTHELOT, sénateur, membre de l'Institut.

Hartwig DERENBOURG, professeur à l'École spéciale des langues orientales.

A. Giry, professeur à l'École des chartes.

GLASSON, membre de l'Institut, professeur à la Faculté de droit de Paris.

D. L. HAHN, bibliothécaire en chef de la Faculté de médecine de Paris.

C.-A. LAISANT, docteur ès sciences mathématiques, ancien élève de l'Ecole polytechnique.

MM. H. LAURENT, docteur ès sciences mathématiques, examinateur à l'École polytechnique.

E. LEVASSEUR, membre de l'Institut, professeur au Collège de France et au Conservatoire des arts et métiers.

H. MARION, professeur à la Faculté des lettres de Paris.

E. MÜNTZ, membre de l'Institut, conservateur de l'École nationale des beaux-arts.

A. WALTZ, professeur à la Faculté des lettres de Bordeaux.

TOME VINGT ET UNIÈME
ACCOMPAGNÉ DE TROIS CARTES EN COULEURS, HORS TEXTÉ
(JAPON, JURA, LANDES)

JANIÇON — LEMOS

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

<figure><img src="image_10.png" /></figure>

PARIS
H. LAMIRAULT ET Cie, ÉDITEURS
61, RUE DE RENNES, 61

Tous droits réservés.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>
# Charles-Ange Laisant
un mathématicien encyclopédiste

André-Jean Glière*

D'après le Petit Larousse, le mot encyclopédiste avec un petit « e » signifie auteur ou collaborateur d'une encyclopédie, le mot « Encyclopédiste » avec un grand « E » étant réservé à un collaborateur de l'Encyclopédie de Diderot et de d'Alembert. Toujours d'après le même dictionnaire, une encyclopédie (générale) est un ouvrage où l'on expose méthodiquement ou alphabétiquement l'ensemble des connaissances universelles.

Dans cet article, nous nous proposons de montrer que Charles-Ange Laisant peut être considéré comme un encyclopédiste. En effet, ses connaissances mathématiques étendues et variées, son intérêt pour l'enseignement et la pédagogie et ses engagements dans diverses sociétés scientifiques ne pouvaient que le prédestiner à être un auteur et un collaborateur d'une telle entreprise. La Grande Encyclopédie était le projet qui lui convenait.

Mais pourquoi une telle aventure ? Pourquoi en cette fin du XIXe siècle tant de scientifiques, de gens de lettres, de linguistes, d'historiens, de géographes, d'économistes se mobilisèrent et s'associèrent pour écrire une nouvelle encyclopédie ?

Nous répondrons tout d'abord à cette question légitime. Dans une première partie, nous lirons l'avant-propos et la préface de La Grande

Encyclopédie dans lesquels sont données les motivations, la méthode et la répartition des articles suivant les différents domaines. Nous détaillerons ensuite la liste des directeurs et parcourrons celle des collaborateurs, actualisée de tome en tome. Ensuite, dans une seconde partie, nous braquerons notre objectif sur l'apport de Laisant, les articles signés et ceux qui ne le sont pas, que nous classerons et que nous mettrons en perspective avec ses intérêts mathématiques. Nous dégagerons enfin d'éventuels réseaux. L'apport de Laisant nous apparaîtra alors clairement.

## La Grande Encyclopédie ou l'inventaire des connaissances humaines

Elle paraît entre 1885 et 1902 sous forme de fascicules<fnref n="1" />, qui sont ensuite regroupés en volumes, 31 au total. Cette publication se fait sous la direction de douze savants, professeurs à l'université ou au Collège de France, membres de l'Institut, conservateurs, bibliothécaires et d'un secrétaire général qui est Ferdinand-Camille Dreyfus jusqu'au tome 18 et André Berthelot à partir du tome 23. Les 22 premiers tomes de La Grande Encyclopédie sont publiés par les éditions Henri Lamirault et Compagnie et les 9 derniers par la Société anonyme de La Grande Encyclopédie. Des difficultés financières obligent Berthelot à prendre

<footnote>* Docteur en histoire des sciences et des techniques.</footnote>

<footnote n="1">1. [Jacquet-Pfau, 2007, 24].</footnote>
en charge les frais occasionnés par la publica-
tion des derniers tomes. En 1910, la Société est
liquidée et est rachetée par la librairie Larousse
qui, de fait, supprime un concurrent potentiel à
son Grand Dictionnaire Universel du xixᵉ siècle<fnref n="2" />.
Depuis, La Grande Encyclopédie n'a fait l'objet que
d'une seule réédition, celle des éditions nîmoises
Lacour-Ollé en 1998. L'entreprise n'a donc pas
eu le succès escompté. Pourtant l'ambition était
grande ainsi que le sous-entend Dreyfus dans un
avant-propos de trois pages et dans la préface de
dix pages.

L'avant-propos et la préface

L'avant-propos<fnref n="3" /> est une sorte de notice technique. On y apprend que le nombre de volumes est fixé à 25, que chaque volume est de 1200 pages environ, que chaque page est formée de deux colonnes, que chaque colonne est composée de 73 lignes et chaque ligne de 50 lettres. Berthelot précise dans son article « Encyclopédie<fnref n="4" /> » que ce nombre est porté à 28 avec 15 000 gravures, 200 cartes et 200 000 articles. Finalement, comme nous pouvons le constater aujourd'hui, La Grande Encyclopédie contient 31 volumes, 6 de plus que ce qui était prévu initialement. Chaque matière se voit attribuer un quota approximatif de lignes. En particulier, les Mathématiques et l'Astronomie ensemble en auront 219 000, soit 5 % du total. Ainsi sont les chiffres. Quant à la méthode, une liste de mots par ordre alphabétique est établie par les directeurs. Ceux-ci la transmettent aux collaborateurs avec le nombre de lignes fixé pour chaque article. Dreyfus vante la richesse du vocabulaire, l'utilisation systématique des renvois et l'importance de la partie bibliographique. Berthelot conclut dans son article : « Ce qui est remarquable est que le comité de direction a pu donner cette abondance et cette variété de détails sans rien sacrifier du caractère encyclopédique<fnref n="5" /> ».

Dans la préface<fnref n="6" />, non signée, mais du même auteur comme on l'apprend dans l'article « Dreyfus<fnref n="7" /> », sont exposées les idées qui inspirent le projet. Tout d'abord, une constatation : contrairement à l'Angleterre, à l'Allemagne ou aux États-Unis, depuis

un siècle la France n'a pas connu de grand ouvrage
digne de l'Encyclopédie de d'Alembert et de Diderot
qui soit à la fois populaire et au fait des plus récents
progrès de la science moderne. En s'assignant le
but élevé, plus élevé qu'un simple dictionnaire, de
faire l'inventaire des connaissances humaines, de
les relier et de les classer, La Grande Encyclopédie se
veut l'héritière de celle de d'Alembert. Bien qu'im-
parfaite puisque la Psychologie lui fait défaut,
la classification des sciences d'Auguste Comte:
Mathématiques, Astronomie, Physique terrestre,
Chimie, Biologie et Sociologie, est adoptée. Même
si La Grande Encyclopédie est le reflet d'une société
cherchant à se débarrasser des formes politiques
du passé qui entravent la démocratie, conclut
Dreyfus, elle n'est pas une œuvre de combat mais
d'exposition avec, comme seule règle, l'impartialité
de la science.

Les directeurs
et les collaborateurs

Au début de chaque changement de lettre, sur
une page, figure une composition graphique
originale (Fig. 1.) et, au début de chaque tome,
figurent, rangés par ordre alphabétique et
inchangés jusqu'au tome 18 inclus, les noms des
douze membres du comité de direction.

Le chimiste Marcellin Berthelot, plusieurs fois
ministre, auteur de plus 1200 brevets, est la cau-
tion scientifique de La Grande Encyclopédie et dirige
les sciences physiques et la chimie. Le spécialiste
des langues sémitiques Hartwig Derenbourg, est
chargé de la philosophie orientale; l'archiviste
paléographe Arthur Giry, membre actif dans
différents comités de défense des minorités, est
chargé de l'histoire de France et de l'Europe; le
juriste Ernest Glasson, historien du droit romain,
est chargé précisément du droit; le docteur Louis
Hahn (1844-1921), le premier d'une dynastie de
médecins bibliothécaires qui règnera sur la bibliothèque de la Faculté de médecine de Paris pendant
85 ans, est chargé des sciences naturelles et médicales; Charles-Ange Laisant et Hermann Laurent
sont chargés des mathématiques; le spécialiste
d'histoire économique Émile Levasseur, célèbre
pour ses études sur la classe ouvrière, est chargé

<footnote n="2">2. [Larousse, 1866-1876].</footnote>

<footnote n="3">3. [Berthellot, 1885-1902, t. 1, xi-xiii].</footnote>

<footnote n="4">4. [Berthellot, 1885-1902, t. 15, 1013-1014].</footnote>

<footnote n="5">5. [Berthellot, 1885-1902, t. 15, 1014].</footnote>

<footnote n="6">6. [Berthellot, 1885-1902, t. 1, I-x].</footnote>

<footnote n="7">7. [Berthellot, 1885-1902, t. 14, 1087].</footnote>
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Fig. 1. Les composition graphiques originales des lettres A et Z<fnref n="8" />.</figcaption></figure>

de la géographie; le titulaire de la première chaire des sciences de l'éducation à Paris Henri Marion est chargé de la philosophie; l'historien de l'art français Eugène Müntz est chargé des beaux-arts et l'auteur d'anthologies des poètes grecs et latins Adolphe Waltz est chargé de l'antiquité classique. Enfin le journaliste Dreyfus, député de la Seine, en plus d'être secrétaire général, dirige les sciences politiques, l'administration et les finances. Au tome 19, suite à une peine de prison ferme pour chantage, ce dernier disparaît de la liste des directeurs et le poste de secrétaire général reste vacant jusqu'au tome 22 inclus. À partir du tome 23, La Grande Encyclopédie semble une affaire de famille, puisque les quatre fils de Marcellin Berthelot deviennent des collaborateurs, en particulier l'aîné André remplace Dreyfus au poste de secrétaire général, et ses deux gendres, l'historien Charles-Victor Langlois et l'enseignant de philosophie Georges Lyon, remplacent Dreyfus et Waltz. Un réseau d'universitaires dirige désormais La Grande Encyclopédie.

Dans chaque tome, au-dessous du comité de direction, s'étale sur plusieurs pages la liste des collaborateurs dont le nombre passe de 242 au tome 1 à 483 au tome 23 et à 445 au tome 31. Au total, compte tenu du fait que d'un tome à l'autre l'équipe change et que certains articles sont signés par des auteurs non-référencés, on peut sans trop

de risque estimer le nombre des collaborateurs entre 500 et 600. Certains sont des personnalités comme l'écrivain Maurice Barrès, le philosophe et pédagogue Ferdinand Buisson ou l'homme politique Raymond Poincaré. L'équipe mathématique se compose d'une trentaine de scientifiques, c'est-à-dire 5 % de l'ensemble des collaborateurs, en accord avec le pourcentage des lignes réservées à cette science. Cependant, comme nous allons le constater, les contributions sont très inégales, allant d'un simple article à plusieurs centaines.

## La contribution de Charles-Ange Laisant à La Grande Encyclopédie

Laisant codirige avec son condisciple à l'École polytechnique Laurent la partie mathématique de La Grande Encyclopédie<fnref n="9" />. Ce dernier est un auteur prolifique. Il publie de nombreux traités, d'algèbre, d'analyse, en particulier sur les fonctions elliptiques, de mécanique, de calcul des probabilités et de statistique. Il s'intéresse également aux mathématiques actuarielles. Il n'est pas étonnant alors qu'il signe les articles « Assurance », « Chrématistique », « Escompte » et « Jeux de hasard<fnref n="10" /> ». Comme nous allons l'observer, Laisant écrit lui-aussi sur les sujets qu'il affectionne particulièrement comme les équilibrences et les quaternions.

<footnote n="8">8. [Berthellot, 1885-1902, t. 1, xvi, t. 31, 1295].</footnote>

<footnote n="9">9. [Berthellot, 1885-1902].</footnote>

<footnote n="10">10. [Berthellot, 1885-1902, t. 4, 342, t. 11, 254, t. 16, 279, t. 21, 152].</footnote>
La répartition des articles entre les collaborateurs

<table><caption>Tab. 1. Répartition des articles mathématiques selon leurs auteurs.</caption><thead><tr><th>Articles de Hermann Laurent</th><th>Articles de Léon Sagnet</th><th>Articles de Charles-Ange Laisant</th><th>Articles de Paul Tannery</th><th>Articles non signés</th><th>Articles des autres collaborateurs</th><th>Total des articles</th></tr></thead><tbody><tr><td>208</td><td>190</td><td>148</td><td>78</td><td>370</td><td>87</td><td>1081</td></tr><tr><td>19,2 %</td><td>17,6 %</td><td>13,7 %</td><td>7,2 %</td><td>34,2 %</td><td>8,1 %</td><td>100 %</td></tr></tbody></table>

Dans le tableau précédent, nous avons fait le décompte de tous les articles libellés « Math., Arithm., Algèbre ou Géom. » de La Grande Encyclopédie, en laissant de côté ceux de mécanique, à l'exception de ceux de cinématique. Même si ce point de vue n'est pas partagé par tous les auteurs de l'époque, nous suivons l'avis donné par Laisant dans son article « Mécanique<fnref n="11" /> ». Selon lui, l'étude de l'espace, la cinématique et la géométrie des forces et des masses sont la préparation mathématique de la dynamique, à laquelle la mécanique se réduit.

Les résultats du comptage, résumés dans le tableau précédent (Tab. 1), méritent quelques commentaires.

Notre première remarque concerne le nombre total d'articles mathématiques, soit 1081 sur 200 000. Il est aussi en accord avec les 5 % des lignes, annoncés dans l'avant-propos par Dreyfus. Notre deuxième remarque porte sur le nombre élevé d'articles non signés : 370 sur 1081, soit un article sur trois. Notre surprise est d'autant plus grande que Dreyfus déclare dans l'avant-propos : « En général, les articles sont signés, soit du nom de leur auteur, soit de ses initiales. Cette signature autorise l'écrivain à produire avec plus d'indépendance ses vues personnelles et donne en même temps au public les garanties qu'il est en droit d'exiger<fnref n="12" />. » Question signatures, Laisant n'en manque pas. Jusqu'au tome 21, il signe 19 fois « A. Laisant » et, parallèlement, jusqu'au tome 24, il paraphe 14 fois « A. L. ». Puis, sa signature change et devient « C.-A. Laisant ». Il l'appose 80 fois en alternance avec le paraphe « C.-A. L. » qui appa-

raît 34 fois! La longueur de l'article, donc son importance, ou le manque de place pourraient justifier le choix d'une signature ou d'un paraphe, mais des contre-exemples viennent contredire cette thèse comme l'article « Symétrie<fnref n="13" /> » qui est deux fois plus long que l'article « Variable<fnref n="14" /> » et qui n'est que paraphé malgré une place suffisante tandis que le second est signé. Mais revenons aux articles non signés. Leur lecture attentive nous a convaincu que certains d'entre eux avaient été rédigés par Laisant. Selon le thème abordé, le style adopté, les références précisées et les renvois indiqués, nous attribuons à Laisant au moins 95 articles anonymes, comme par exemple « Affixe », « Anallagmatique », « Anharmonique », « Développoïde », « Distributif », « Duodécimal », « Icosien », « Impair » ou « Isogonales<fnref n="15" /> ». Si bien que la contribution de Laisant frise les 25 % de l'apport mathématique. Qu'en est-il des autres collaborateurs ?

Nous arrivons à notre troisième remarque. S'il ne fait aucun doute que l'on puisse mettre au crédit de Laurent et de Laisant plus de la moitié des occurrences mathématiques, les deux directeurs et Léon Sagnet, attaché au ministère des Travaux publics, auteur de 190 biographies dont celles de ses deux collègues, sont les grands pourvoyeurs des articles mathématiques de La Grande Encyclopédie. En effet, à eux trois, ils en ont écrit près des deux-tiers. Viennent ensuite, dans l'ordre, trois polytechniciens, l'historien des sciences Paul Tannery avec 78 biographies dont celles de « Descartes », d'« Euclide », de « Fermat » ou de « Thalès », le professeur à l'École des mines Léon Lecornu, auteur de 34 articles comme « Chaînette », « Coordonnées »

<footnote n="11">11. [Berthellot, 1885-1902, t. 23, 484-486].</footnote>

<footnote n="12">12. [Berthellot, 1885-1902, t. 1, xii].</footnote>

<footnote n="13">13. [Berthellot, 1885-1902, t. 30, 756].</footnote>

<footnote n="14">14. [Berthellot, 1885-1902, t. 31, 714].</footnote>

<footnote n="15">15. [Berthellot, 1885-1902, t. 1,723, t. 2, 907, t. 2, 1211, t. 14, 374, t. 14, 706, t. 15, 74, t. 20, 530, t. 20, 599, t. 20, 1024].</footnote>
ou « Courbure<fnref n="16" /> », et l'ingénieur et militaire Adrien-Marie Trasbot, né en 1840, chargé de plus de la moitié des articles mathématiques du tome 1, soit 17 sur 33, et pratiquement absent du reste de La Grande Encyclopédie. Une vingtaine d'autres collaborateurs occasionnels dont le beau-père d'Hermann Laurent, Théodore Moutard, examinateur à l'École polytechnique, surnommé par les étudiants 'Moutardus ferox' à cause de sa sévérité féroce, rédigent la trentaine d'articles restants.

Comme nous l'avons déjà dit, La Grande Encyclopédie a d'abord été publiée sous forme de fascicules, puis en volumes, entre 1885 et 1902.

Durant ces dix-sept années, l'équipe des collaborateurs change progressivement comme on peut s'en apercevoir en consultant leur liste au début de chaque tome. Par contre, l'équipe des directeurs n'est remaniée qu'une seule fois, lors de la démission de Dreyfus. Même si Laisant contribue continuellement à la rédaction de La Grande Encyclopédie, la fréquence de ses articles varie d'un tome à l'autre. L'apport de celui-ci augmente tout au long de la publication, ainsi que l'on peut le constater dans l'histogramme suivant (Tab. 2). Ce phénomène s'accentue nettement à partir du tome 24 lorsqu'en 1893 Laisant abandonne la vie politique et se consacre pleinement à ses activités mathématiques.

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Tab. 2. Comparaison de la totalité des articles avec ceux de Laisant par tranche de 5 volumes.</figcaption></figure>

## La longueur et la structure des articles

Dans l'ensemble, les articles de Laisant sont courts. En effet, près de 80 % ont moins de 35 lignes, autrement dit une demi-colonne, comme par exemple « Parabole », « Sinus », « Tore » ou « Trifolium<fnref n="17" /> », et seulement 5 % font plus d'une colonne. Il n'a écrit que quatre articles dépassant une page : « Généralisation », « Mécanique », « Nomographie » et « Quaternion<fnref n="18" /> ». Comme

Dreyfus l'explique dans l'avant-propos, le nombre de lignes a été décidé à l'avance et l'autre doit s'y conformer. La contrainte a dû être forte. À de nombreuses reprises, Laisant explique qu'il n'a pas la place pour développer, comme par exemple dans les articles « Couleur<fnref n="19" /> » à propos du « Problème des quatre couleurs » et « Diatomiques<fnref n="20" /> » à propos des « Suites diato-

<footnote n="16">16. [Berthellot, 1885-1902, t. 10, 212, t. 12, 887, t. 13, 105].</footnote>

<footnote n="17">17. [Berthellot, 1885-1902, t. 25, 1025, t. 30, 65, t. 31, 174, t. 31, 391].</footnote>

<footnote n="18">18. [Berthellot, 1885-1902, t. 18, 711, t. 24, 484, t. 24, 1192, t. 27, 1119].</footnote>

<footnote n="19">19. [Berthellot, 1885-1902, t. 13, 47].</footnote>

<footnote n="20">20. [Berthellot, 1885-1902, t. 14, 456].</footnote>
miques », ou plus généralement dans les articles « Équipollences », « Surface » ou « Tangente<fnref n="21" /> ». À la contrainte du nombre limité de lignes, s'est ajoutée celle de la structure même des articles, dictée par une abondance et une variété de détails et par une influence réciproque des sciences les unes sur les autres. Ces objectifs revendiqués ont dû nécessiter de la part des collaborateurs et des directeurs une coopération exemplaire et surtout une très bonne organisation. Il n'est pas rare en effet qu'un article comporte de nombreuses entrées et chaque entrée plusieurs sous-paragraphes signés ou non par des auteurs différents. Ainsi l'article « Pile<fnref n="22" /> » comporte cinq entrées : « I Architecture » signé « Ch. Lucas », deux renvois : « II Travaux publics (V. Pont) » et « III Technologie (V. Papier) », un très long paragraphe « IV Physique » signé « A. Joannis » avec une dizaine de sous-paragraphes « Pile de Volta, Pile Bunsen, Pile Leclanché » etc., l'entrée « V Mathématiques » composée de deux sous-paragraphes, le premier signé « C.-A. Laisant » traitant des « Piles de boulets » dans le cas d'une « Pile triangulaire », le second signé « H. Laurent » traitant de « Pile ou Face ou Pile ou Croix », enfin le paragraphe « VI Géographie » non signé. L'imbrication des contributions mérite souvent une attention particulière. Dans l'article « Mouvement<fnref n="23" /> », qui comporte onze entrées, le paragraphe « ii Mécanique » signé « C.-A. Laisant » renferme trois sous-paragraphes : « Petits mouvements » signé « L. Lecornu », « Mouvement différentiel » signé « Gaudez » et « Mouvement perpétuel » à nouveau signé « C.-A. Laisant », et un renvoi « Mouvement parallèle de Hayden (V. Articulé [Système]) ». On pourrait ainsi multiplier les exemples.

Comme nous l'avons déjà dit, les contributions très éclectiques de Laurent et de Laisant sont

les reflets de leurs domaines de prédilection. Laisant écrit de nombreux articles de géométrie : géométrie dans l'espace comme « Polyèdre » ou « Tronc<fnref n="24" /> », géométrie plane comme « Polygone<fnref n="25" /> », géométrie du triangle comme précisément « Triangle<fnref n="26" /> », courbes comme « Spirale » ou « Strophoïde<fnref n="27" /> », géométrie analytique comme « Ordonnée<fnref n="28" /> », géométrie des surfaces comme « Unicursale<fnref n="29" /> ». Il en rédige également sur les opérations algébriques comme « Associative » ou « Multiplication<fnref n="30" /> », sur la numération comme « Deux<fnref n="31" /> », sur les mathématiques discrètes comme « Échiquier » ou « Quinconces<fnref n="32" /> ».

## Deux articles emblématiques

La liste précédente serait incomplète si on ne citait pas les deux articles emblématiques : « Équipollences » et « Quaternion<fnref n="33" /> » que nous nous proposons de parcourir.

Dès le début de l'article « Équipollences », Laisant met en garde le lecteur de ne pas confondre la théorie des équipollences avec l'algèbre directive qui est l'interprétation géométrique des imaginaires, comme il l'explique dans l'article « Directive<fnref n="34" /> » auquel il renvoie. Il convoque Giusto Bellavitis dont Sagnet a écrit la biographie. Celui-ci, explique-t-il, a su créer une algèbre des faits géométriques d'une réalité et d'une clarté absolues et dont les règles sont identiques à celles appliquées aux quantités imaginaires. En trente-cinq lignes, c'est-à-dire sur une colonne et demi, Laisant résume la théorie de Bellavitis. Bel exercice de synthèse ! Tout d'abord, il définit des droites équipollentes comme des droites parallèles, égales et dirigées dans le même sens, privilégiant le signe « = » au signe originel « ≅ » cher au maître italien. Puis, il les ajoute en les

<footnote n="21">21. [Berthellot, 1885-1902, t. 16, 153, t. 30, 724, t. 30, 911].</footnote>

<footnote n="22">22. [Berthellot, 1885-1902, t. 26, 925-929].</footnote>

<footnote n="23">23. [Berthellot, 1885-1902, t. 24, 512-517].</footnote>

<footnote n="24">24. [Berthellot, 1885-1902, t. 27, 162, t. 31, 423].</footnote>

<footnote n="25">25. [Berthellot, 1885-1902, t. 27, 165].</footnote>

<footnote n="26">26. [Berthellot, 1885-1902, t. 31, 368].</footnote>

<footnote n="27">27. [Berthellot, 1885-1902, t. 30, 399, t. 30, 547].</footnote>

<footnote n="28">28. [Berthellot, 1885-1902, t. 25, 502].</footnote>

<footnote n="29">29. [Berthellot, 1885-1902, t. 31, 577].</footnote>

<footnote n="30">30. [Berthellot, 1885-1902, t. 4, 308, t. 24, 551].</footnote>

<footnote n="31">31. [Berthellot, 1885-1902, t. 14, 352].</footnote>

<footnote n="32">32. [Berthellot, 1885-1902, t. 15, 317, t. 27, 1162].</footnote>

<footnote n="33">33. [Berthellot, 1885-1902, t. 16, 153, t. 27, 1119].</footnote>

<footnote n="34">34. [Berthellot, 1885-1902, t. 14, 651].</footnote>
mettant bout à bout et les multiplie en formant des triangles semblables. Leur division lui permet de faire le lien avec l'algèbre des imaginaires via le symbole de perpendicularité « i ». Laisant exprime le souhait que la méthode des équipollences soit enseignée car, affirme-t-il, sa simplité et son élégance permettent d'innombrables résultats en géométrie pure, en mécanique ou en théorie des courbes, résultats qu'il ne peut même pas esquisser par manque de place. Il termine ce plaidoyer par une bibliographie fournie, où figurent en bonne place sa traduction<fnref n="35" /> de 1874, son ouvrage<fnref n="36" /> de 1887 et le petit livre<fnref n="37" /> de Jules Houël publié en 1869.

Après le panégyrique de Bellavitis et de son algèbre des faits géométriques dans le plan, Laisant fait dans l'article « Quaternion » celui de William Rowan Hamilton et de son algèbre des faits géométriques dans l'espace. Il commence par la notion de vecteur, autrement dit un segment caractérisé par sa grandeur, sa direction et son sens. Lorsqu'il définit l'égalité de deux vecteurs, on croirait lire la définition de droites équipollentes. Cependant, ainsi qu'il l'affirme dans son article « Vecteur<fnref n="38" /> », il réserve ce mot à l'espace. Le vecteur peut y être transporté n'importe où. Il est le symbole d'une translation et représente parfaitement un couple statique. En l'exprimant sous la forme $xi+jy+zk$ dans un système d'axes rectangulaires Oxyz, explique Laisant, il est facile de définir l'addition et la multiplication par une quantité algébrique. Puis, Hamilton écrit le rapport géométrique de deux vecteurs comme la somme d'un vecteur et d'une quantité algébrique, autrement dit sous la forme $ai+bj+ck+d$, appelée quaternion. Des conditions : $i^2=j^2=k^2=-1$, $ij=-ji=-k$, $jk=-kj=-i$, $ki=-ik=-j$, découle la multiplication des quaternions qui est associative et distributive par rapport à l'addition. Sa non-commutativité n'est pas un vice, insiste Laisant, mais constitutive du calcul des faits géométriques considérés. Il continue en faisant le même constat que pour la méthode des équipollences : contrairement à l'Angleterre et aux USA, la France n'enseigne pas

la méthode des quaternions qui, pourtant, simplifie l'étude des surfaces et des rotations. Sans compter ses applications à la physique mathématique ! Toutefois, Laisant fait une exception : « Depuis quelques années, le mot de "vecteur" a pris à peu près droit de cité chez nous, mais le mot seulement ; il y a lieu de s'en féliciter, car le progrès se fait toujours si lentement ! Peut-être avant l'an 2000 la chose suivra-t-elle le mot, et finira-t-on par comprendre que trois ou quatre mois de travail peuvent économiser des années d'efforts stériles<fnref n="39" /> ». Les efforts stériles dont il parle sont un usage trop systématique des coordonnées. Laisant exhorte l'enseignement supérieur à s'emparer du calcul des quaternions et à l'associer aux clefs de Cauchy et à la méthode de Grassmann. L'article « Quaternion » ne déroge pas à la règle et se conclut par une bibliographie. Ce ne sont que de courtes indications bibliographiques, regrette-t-il, mais on y lit tout de même qu'avant les publications sur le sujet de Houël<fnref n="40" /> en 1874 et de Laisant<fnref n="41" /> en 1881, le docteur ès sciences de la Faculté de Paris Alexandre Allé regret avait fait paraître en 1862 un *Essai sur le calcul des quaternions de M. W. Hamilton*<fnref n="42" />.

## L'enseignement selon Laisant

On connaît la curiosité de Laisant pour les notions nouvelles et son intérêt pour leur transmission. Dans au moins 25 articles de *La Grande Encyclopédie*, il critique les méthodes d'enseignement. Nous pourrions en donner un florilège, mais nous nous limiterons à deux exemples.

Dans l'article « Mécanique » qui s'étale sur deux pages, il propose de « présenter quelques observations sur le mode d'enseignement à employer pour en faire comprendre les principes et pour préparer aux applications<fnref n="43" /> ». Pour lui, la mécanique est la dynamique. Afin d'éviter de confondre l'instrument avec l'objet lui-même, son étude doit suivre celle de la géométrie de l'espace, de la cinématique et de la géométrie des forces et des masses. Il énonce un programme : la mécanique

<footnote n="35">35. [Bellavitis, 1874].</footnote>

<footnote n="36">36. [Laisant, 1887].</footnote>

<footnote n="37">37. [Houël, 1869].</footnote>

<footnote n="38">38. [Berthellot, 1885-1902, t. 31, 763].</footnote>

<footnote n="39">39. [Berthellot, 1885-1902, t. 27, 1120].</footnote>

<footnote n="40">40. [Houël, 1874].</footnote>

<footnote n="41">41. [Laisant, 1881].</footnote>

<footnote n="42">42. [Allé regret, 1862].</footnote>

<footnote n="43">43. [Berthellot, 1885-1902, t. 23, 484].</footnote>
doit être dégagée des études parasites qui s'y greffent et le rôle de l'analyse mathématique doit être réduit.

Dans l'article « Signe » dont nous reproduisons le paragraphe V (Fig. 2.), il s'insurge contre l'héritage encombrant de l'Antiquité :

C'est grâce à l'introduction des signes qu'on a sur une droite, entre trois segments AB, BC, CA, la relation AB + BC + CA = 0 qui existe toujours, quelles que soient les positions des points A, B, C sur la droite. Il y a lieu de remarquer aussi la relation

$$ (OAB) + (OBC) + (OCA) = (ABC) $$

entre les aires des quatre triangles OAB,... sur un même plan, relation qui est toujours vraie, si l'on tient compte des signes, pour quatre points arbitraires du plan. Il est très désirable que ces notions claires, simples et fécondes soient introduites dans l'enseignement, même dès le début, ce qui n'a pas encore lieu assez généralement. Cela vaudrait mieux que de forcer la mémoire des élèves à retenir une foule de démonstrations de propositions à peu près inutiles, héritage encombrant de l'antiquité, qui sont restées daus les traditions de l'enseignement et contribuent fréquemment à fatiguer l'esprit et provoquer le dégoût des commençants.
C.-A. LAISANT.

Fig. 2.
Dernier paragraphe
de l'article « Signe V
Mathématiques »<fnref n="44" />.

## Un réseau de polytechniciens

Laisant n'a signé que cinq biographies, ce qui est peu en regard des 190 de Sagnet et des 78 de Tannery. Celles-ci devaient lui tenir à cœur. Nous conclurons sur l'une d'entre elles, celle qu'il a consacrée à un condisciple, entré à l'École polytechnique en 1860, mathématicien et (dixit) dilettante, Émile-Michel-Hyacinthe Lemoine. Après une brève carrière d'enseignant écourtée par

une maladie du larynx, celui-ci exerce le métier d'ingénieur civil à la ville de Paris. Il consacre une partie de son temps libre aux mathématiques, en particulier à la géométrie du triangle (point et cercle de Lemoine). Il est membre fondateur de l'Association française pour l'avancement des sciences (AFAS), de la Société mathématique de France (SMF) et fonde avec Laisant le périodique *L'Intermédiaire des mathématiciens*<fnref n="45" />. Le qualificatif de dilettante surprend et fait sans doute allusion à la passion de Lemoine pour la musique. Celui-ci anime des soirées musicales hebdomadaires, qui deviennent une véritable institution appelée « La Trompette » et auxquelles participent des virtuoses et des compositeurs célèbres comme Camille Saint-Saëns. Ces soirées ont pour origine les réunions des élèves de l'École polytechnique durant les récréations. Encore aujourd'hui, le souvenir de Lemoine est vivace car il est à l'origine de la fête estudiantine la plus ancienne, surnommée le « point gamma » en l'honneur de l'endroit où se trouve la Terre à l'équinoxe de printemps. L'esprit d'école a marqué *La Grande Encyclopédie*. Nous avons dénombré pas moins de 22 anciens polytechniciens cités par Laisant dans ses différents articles parmi lesquels Henri Brocard à propos de géométrie du triangle<fnref n="46" />, Charles Peaucellier à propos de son inverseur ou Maurice d'Ocagne à propos de nomographie<fnref n="47" /> et bensûr Lemoine et Laurent. Si, sous l'influence du clan Berthellot, un réseau d'universitaires a veillé à ce que la publication de *La Grande Encyclopédie* aille jusqu'à son terme, le réseau de polytechniciens de l'encyclopédiste Laisant a régné sur sa partie mathématique.

<footnote n="44">44. [Berthellot, 1885-1902, t. 30, 14].</footnote>

<footnote n="45">45. [Pineau-Gonord, 2011].</footnote>

<footnote n="46">46. [Romera-Lebret, 2009].</footnote>

<footnote n="47">47. [Daval, 2020].</footnote>
Références

Sources primaires

Allégroît Alexandre, (1862). Essai sur le calcul des quaternions de M. W. Hamilton, Paris, Leiber.

Bellavitis Giusto, (1874). *Exposition de la méthode des équipollences*, traduit de l'italien par Charles-Ange Laisant, Paris, Gauthier-Villars.

Berthellot Marcellin, Derenbourg Hartwig, Dreyfus Ferdinand-Camille et al., (dir.), (1885-1902).
*La Grande Encyclopédie, Inventaire raisonné des sciences, des lettres et des arts par une société de savants et de gens de lettres*, Paris, H. Lamirault, t. 1-23, Société anonyme de La Grande Encyclopédie, t. 24-31.

Houël Guillaume Jules, (1869). « Sur le calcul des équipollences, méthode d'analyse géométrique de M. Bellavitis », *Nouvelles annales de mathématiques*, 2ᵉ série, t. 8, 289-312.

—, (1874). *Théorie élémentaire des quantités complexes*, Paris, Gauthier-Villars.

Laisant Charles-Ange, (1881). *Introduction à la méthode des quaternions*. Paris, Gauthier-Villars.

—, (1887). *Théorie et applications des équipollences*, Paris, Gauthier-Villars.

Larousse Pierre, (1866-1876). *Grand dictionnaire universel du XIXᵉ siècle*. Paris, Administration du grand dictionnaire universel, t. 1 à t. 15.

Sources secondaires

Jacquet-Pfau Christine, (2007). « Lexicographie et terminologie au détour du XIXᵉ siècle : *La Grande Encyclopédie* », *Langages*, 168, 24-38.

—, (2015). « Élaboration et destinée d'une encyclopédie à la fin du XIXᵉ siècle : les trente-et-un volumes de La Grande Encyclopédie », *Éla. Études de linguistique appliquée*, 177, 85-100

Romera-Lebret Pauline, (2009). *La nouvelle géométrie du triangle: passage d'une mathématique d'amateurs à une mathématique d'enseignants (1873-1929)*, thèse de l'Université de Nantes, sous la direction d'Évelyne Barbin, Lille, Atelier national de reproduction des thèses.

Sources sitographiques

Daval Nathalie, (2020). *Les archives nomographiques de l'ENPC: un nouveau regard sur Maurice d'Ocagne et l'histoire de la nomographie*, thèse de l'Université de la Réunion sous la direction de Dominique Tournès, https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-03124973/document.

Pineau-Gonord François, (2011). *L'Intermédiaire des mathématiciens. Un forum pour les mathématiques au tournant du XXᵉ siècle, mémoire de DEA de l'Université de Nantes, https://www.academia.edu/40367856/L_Interm%C3%A9diaire_des3%3A9maticiens. Un forum pour les_ math%3C3%A9matiques_au_tournant_du_XXe_sCiC3%A8cle*.
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Mathes (on Mathasor) n'at-il par un pare...
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Salut cordial.

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