# Sur la condition de Weierstrass pour le minimum d'une intégrale à plusieurs dimensions*

par M. PICONE (Roma)

J'emploierai les notations suivantes. Je désignerai:

par $D$ un domaine régulier de l'espace réel à $r$ dimensions, dont le point sera indiqué par $x$, les coordonnées de celui-ci étant indiquées par $x_1, x_2, \dots, x_r$;

par $\partial D$ la frontière de $D$;

par $\circ y(x)$ un vecteur à $n$ coordonnées réelles

$$ \circ y_1(x), \circ y_2(x), \dots, \circ y_n(x), $$

fonctions du point $x$ de classe $C^1$ dans le domaine $D$;

par $\varrho'(x), \varrho''(x)$ deux vecteurs, eux aussi à $n$ coordonnées réelles

$$ \varrho_i'(x), \varrho_i''(x) \quad (i = 1, 2, \dots, n) $$

fonctions du point $x$, définies dans le domaine $D$, pouvant, celles-ci, devenir ou être toujours infinies et vérifiant les conditions:

$$ \varrho_i'(x) \ge 0, \quad \varrho_i''(x) \ge 0 \quad \text{pour } x \in D, $$

$$ \varrho_i'(x) + \varrho_i''(x) > 0 \quad \text{pour } x \text{ dans l'intérieur de } D \ (i = 1, 2, \dots, n); $$

par $T(\circ y, \varrho', \varrho'')$ l'ensemble, supposé un domaine, de l'espace à $r+n$ dimensions des points

$$ (x, y) = (x_1, x_2, \dots, x_r, y_1, y_2, \dots, y_n) $$

défini par les conditions

$$ x \in D, \quad \circ y_i(x) - \varrho_i'(x) \le y_i \le \circ y_i(x) + \varrho_i''(x) \quad (i = 1, 2, \dots, n); $$

<footnote>* Conférence donnée le 17 mai 1962 à la séance de la Section de Cracovie de la Société Polonaise de Mathématiques.</footnote>
par $p$ la matrice à $n$ lignes et $r$ colonnes

$$ \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} & \cdots & p_{1r} \\ p_{21} & p_{22} & \cdots & p_{2r} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ p_{n1} & p_{n2} & \cdots & p_{nr} \end{bmatrix}; $$

par

$$ f(x, y, p) \equiv f(x_1, x_2, \dots, x_r, y_1, y_2, \dots, y_n, p_{11}, p_{12}, \dots, p_{nr}) $$

une fonction réelle du point $(x, y, p) \equiv (x_1, x_2, \dots, x_r, y_1, y_2, \dots, y_n, p_{11}, \dots, p_{nr})$ continue dans l'ensemble des points $(x, y, p)$ pour lesquels le point $(x, y)$ est dans $T$ et le point $p$ est arbitraire;

par $E$ l'ensemble, auquel appartient le vecteur $\gamma(y(x))$, des vecteurs $y(x)$ à $n$ coordonnées réelles

$$ y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x), $$

fonctions du point $x$, de classe $C^1$ dans $D$, pour lesquelles, $x$ étant dans $D$, le point $[x, y(x)] = [x_1, x_2, \dots, x_r, y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x)]$ est dans $T$, vérifiant la condition

$$ y(x) = \gamma y(x) \quad \text{pour} \quad x \in \partial D. $$

En désignant, pour chaque vecteur $y(x)$ de l'ensemble $E$, par $y'(x)$ la matrice jacobienne

$$ \frac{\partial(y_1, y_2, \dots, y_n)}{\partial(x_1, x_2, \dots, x_r)}, $$

l'identité

$$ \begin{align*} I(y) &\equiv \int_D f[x, y(x), y'(x)]dx \\ &\equiv \int_D f\left[x_1, x_2, \dots, x_r, y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x), \right. \\ &\qquad \left. \frac{\partial}{\partial x_1} y_1(x), \frac{\partial}{\partial x_2} y_2(x), \dots, \frac{\partial}{\partial x_r} y_r(x), \dots, \frac{\partial}{\partial x_n} y_n(x) \right] dx_1 dx_2 \dots dx_r \end{align*} $$

déginit dans l'ensemble $E$ une fonction réelle $I(y)$ du vecteur $y(x)$.

En supposant la fonction $f$ continue dans $T$, avec ses dérivées partielles du premier ordre par rapport aux variables $p_{ik}$, que je désignerai par la notation

$$ f_{p_{ik}}(x, y, p) \quad (i = 1, 2, \dots, n; \ k = 1, 2, \dots, r), $$
on peut introduire la fonction de Weierstrass, relative à la fonction $f$, définie par l'identité

$$E_f^r(x, y, p, p') \equiv f(x, y, p') - f(x, y, p) - \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{r} f_{p_{ik}}(x, y, p)(p'_{ik} - p_{ik}),$$

ayant désigné par $p'$ la matrice d'éléments arbitraires $p'_{ik}$.

Je dirai que la variété $y = \circ y(x)$, où la fonction $\circ y(x)$, vérifie, par rapport à la fonction $f$, la condition de Weierstrass, positivement, si l'on a toujours, dans $D$, la matrice $p$ étant arbitraire,

$$(1) \qquad E_f[x, \circ y(x), \circ y'(x), p] \ge 0,$$

négativement, si l'on a toujours

$$(2) \qquad E_f[x, \circ y(x), \circ y'(x), p] \le 0.$$

Or, comme il est bien connu, si

$$(n-1)(r-1) = 0,$$

la condition (1) est nécessaire pour que la fonction $\circ y(x)$ donne à $I(y)$ le minimum dans l'ensemble $E$ et, par conséquent, la condition (2) est nécessaire pour que la même fonction donne à $I(y)$ le maximum.

Or, on démontre immédiatement que:

I. La condition de Weierstrass n'est pas nécessaire si

$$(3) \qquad (n-1)(r-1) > 0.$$

Soit, en effet, $I(y)$ constante dans $E$, alors chaque fonction $y(x)$ de $E$ donne simultanément le minimum et le maximum de $I(y)$ dans $E$, et pourtant, si la condition de Weierstrass était nécessaire, chaque fonction $y(x)$ de $E$ devrait satisfaire, par rapport à la fonction $f$, à cette condition, à la fois positivement et négativement. On devrait donc avoir dans $D$

$$E_f[x, y(x), y'(x), p] \equiv f(x, y(x), p) - f(x, y(x), y'(x)) - \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{r} f_{p_{ik}}[x, y(x), y'(x)] \left(p_{ik} - \frac{\partial y_i}{\partial x_k}\right) \equiv 0$$

pour n'importe quelle fonction $y(x)$ de $E$ et toute matrice $p$. Il en suivrait que $f(x, y, p)$ doit être une fonction linéaire des variables $p_{ik}$. Si donc, la condition (3) étant vérifiée, nous donnons un exemple d'une fonction $f$ non linéaire par rapport à ses variables $p_{ik}$, pour laquelle $I(y)$
est constante dans $E$, nous aurons démontré que la condition de Weierstrass n'est pas nécessaire dans ce cas. Voici l'exemple.

Soit $n = r \ge 2$, $D$ un domaine rectangulaire de l'espace $(x_1, x_2, \dots, x_r)$,

$\rho_i'(x) = \rho_i''(x) \equiv +\infty \ (i = 1, 2, \dots, n), \quad \circ y(x) = 0 \ \text{sur} \ \partial D,$

$$I(y) = \int_D \frac{\partial(y_1, y_2, \dots, y_n)}{\partial(x_1, x_2, \dots, x_n)} dx_1 dx_2 \dots dx_n.$$

On a, dans $E$,

$$(4) \qquad I(y) \equiv 0,$$

et $f$ n'est pas une fonction linéaire des variables $p_{ik}$. L'identité (4) suit du théorème

II. Si les fonctions $y_1(x), y_2(x), \dots, y_n(x)$ des $n$ variables $x_1, x_2, \dots, x_n$ sont de classe $C^1$ dans le domaine rectangulaire $D$, et l'une d'elles est identiquement nulle sur $\partial D$, on a

$$\int_D \frac{\partial(y_1, y_2, \dots, y_n)}{\partial(x_1, x_2, \dots, x_n)} dx_1 dx_2 \dots dx_n = 0.$$

Soit, en effet, par exemple, $y_1(x) \equiv 0$ sur $\partial D$ et les fonctions $y_2(x), y_3(x), \dots, y_n(x)$ soient de classe $C^2$ dans $D$. Désignant par $Y_k$ le complèment algébrique de l'élément $\partial y_1 / \partial x_k$ dans le déterminant jacobien considéré, on a

$$I(y) = \int_D \sum_{k=1}^n \frac{\partial y_1}{\partial x_k} Y_k dx = - \int_D y_1 \sum_{k=1}^n \frac{\partial Y_k}{\partial x_k} dx$$

et

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial Y_k}{\partial x_k} \equiv 0 \quad \text{dans} \quad D.$$

Si les fonctions $y_2(x), y_3(x), \dots, y_n(x)$ ne sont pas de classe deux, mais seulement de classe $C^1$, elles et leurs dérivées partielles du premier ordre peuvent, respectivement, être approchés uniformément dans $D$, par des polynomes des variables $x_1, x_2, \dots, x_n$, et des dérivées partielles homonymes de ceux-ci.

Vu le théorème I, on doit se proposer la question suivante:

Quelle condition nécessaire doit-on substituer à celle de Weierstrass, dans le cas $(n-1)(r-1) > 0$?

A cet égard on possède un théorème dû à M. McShane, dont voici l'énoncé:
### III. En posant :

$$^\circ y'(x) \equiv ^\circ p(x), \quad \frac{\partial^\circ y_i}{\partial x_k} \equiv ^\circ p_{ik}(x),$$

une condition nécessaire pour que la fonction $^\circ y(x)$ donne à l'intégrale $I(y)$ le minimum dans $E$, est que l'on ait, dans $D$,

$$E_f[x, ^\circ y(x), ^\circ p(x), p] \ge 0$$

pour toutes les matrices $p$ pour lesquelles le rang de la matrice

$$(5) \qquad p - ^\circ p(x) \equiv (p_{ik} - ^\circ p_{ik}(x))$$

est non supérieur à 1.

Comme l'a remarqué Bliss, cette condition est simplement une extension de celle qui subsiste dans le cas $(n-1)(r-1) = 0$, dans lequel le rang de la matrice (5), qui se réduit à une ligne si $n=1$ ou à une colonne si $r=1$ est toujours non supérieur à 1. Mais j'ai bien des motifs — qui trouvent un bon fondement dans des résultats de certains de mes travaux récents — pour croire qu'il existe une condition nécessaire bien plus forte que celle de M. Mc Shane, selon le théorème suivant:

### IV. Si $(n-1)(r-1) > 0$, à chaque fonction $f(x, y, p)$ correspondent des fonctions

$$C_f^{ihjk}(x, y, p, q) \quad (i < j, h < k; i, j = 1, 2, \dots, n; h, k = 1, 2, \dots, r),$$

dont le nombre est $n(n-1)r(r-1)/4$, pour lesquelles la condition nécessaire pour que la fonction $^\circ y(x)$ donne le minimum à $I(y)$ dans $E$, est qu'on ait dans le domaine $D$, pour n'importe quelle matrice $p$,

$$E_f[x, ^\circ y(x), ^\circ p(x), p] - \sum_{i,j=1}^{n} \sum_{h<k}^{n} C_f^{ihjk}(x, ^\circ y(x), ^\circ p(x), p - ^\circ p(x)) \begin{vmatrix} p_{ih} - ^\circ p_{ih} & p_{ik} - ^\circ p_{ik} \\ p_{jh} - ^\circ p_{jh} & p_{jk} - ^\circ p_{jk} \end{vmatrix} \ge 0.$$

Evidemment, si, en particulier, le rang de la matrice $p - ^\circ p$ est égal à 1, on retrouve la condition de M. Mc Shane.

Je n'ai pas encore démontré ce théorème. Mais on peut le vérifier dans des cas particuliers.

Par exemple, si la fonction $f(x, y, p)$ est telle que $I(y)$ soit constante dans $E$, chaque fonction $\bar{y}(x)$ de $E$ donne à la fois le minimum et le maximum à $I(y)$ dans $E$, et par conséquent, selon le théorème de M. Mc Shane, on doit avoir

$$(6) \qquad E_f[x, \bar{y}, \bar{p}, p] = 0$$
pour toutes les matrices $p$ pour lesquelles la matrice $p-\bar{p}$ a un rang non supérieur à 1. On trouve la dite constante, comme on a vu tout à l'heure, par exemple, pour $r=n=2$, $D$ étant un domaine rectangulaire et $\circ y(x) \equiv 0$ sur $\partial D$, si

$$f \equiv p_{11}p_{22} - p_{12}p_{21},$$

et l'on trouve, conformément au théorème II,

$$E_f(x, \bar{y}, \bar{p}, p) - \begin{vmatrix} p_{11} - \bar{p}_{11} & p_{12} - \bar{p}_{12} \\ p_{21} - \bar{p}_{21} & p_{22} - \bar{p}_{22} \end{vmatrix} \equiv 0$$

et non pas seulement (6), pour toutes les matrices $p$, pour lesquelles le rang de la matrice $p-\bar{p}$ est non supérieur à 1.

Reçu par la Rédaction le 16. 7. 1962