# Sur la définition temporelle des fonctions aléatoires

J. Bass

► To cite this version:

J. Bass. Sur la définition temporelle des fonctions aléatoires. Annales de l'ISUP, 1957, VI (3), pp.199-211. hal-04093683

HAL Id: hal-04093683

https://hal.science/hal-04093683

Submitted on 10 May 2023

HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of sci-
entific research documents, whether they are pub-
lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d'enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.

<figure><img src="image_1.png" /></figure>

Distributed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License
SUR LA DÉFINITION TEMPORELLE
DES FONCTIONS ALÉATOIRES

par

J. BASS

I - INTRODUCTION

Considérons un phénomène naturel auquel on puisse associer une grandeur u de caractère scalaire. Ou bien u a une valeur bien déterminée, qui reste la même lorsqu'on fait une série de mesures successives comparables. u est alors une constante physique. Ou bien les valeurs de u changent d'une mesure à l'autre. S'il est possible d'organiser une succession continue de mesures de u en fonction du temps t, u devient une fonction continue de t, définie pour t > 0, et représentée par une courbe continue Γ. Deux cas se présentent alors. Dans le premier cas, la courbe Γ a une apparence simple, et, lorsqu'on recommence l'enregistrement dans les mêmes conditions, on obtient, aux erreurs d'expérience près, la même courbe. Γ caractérise alors la loi d'un phénomène macroscopique évolutif. Dans le second cas au contraire, Γ présente un aspect compliqué. La valeur de u(t) pour un instant t choisi ne semble pas avoir de signification en soi, et deux expériences successives fournissent deux courbes non superposables. Il n'en résulte d'ailleurs pas que le phénomène étudié ne soit pas soumis à des lois précises. Il peut même arriver que, évolutif dans le détail, il soit en réalité permanent dans son ensemble. Mais il est bien connu que son étude est simplifiée par l'emploi des méthodes statistiques. Si u(t) est une fonction plus ou moins périodique et irrégulière de t, des valeurs moyennes telles que

$$
\frac{1}{T} \int_{0}^{T} u(t) \, dt \ , \quad \frac{1}{T} \int_{0}^{T} u^2(t) \, dt \ , \quad \frac{1}{T} \int_{0}^{T} u(t) u(t+h) \, dt
$$

présentent, d'une expérience à une autre, un caractère de permanence très remarquable, pourvu que T soit suffisamment grand.

Un exemple de phénomènes de ce genre est fourni par la *turbulence*.
u(t) est une des composantes de la vitesse en un point fixé par rapport
auquel s'écoule un fluide. Si l'écoulement est permanent, au sens habituel
de ce mot en mécanique des fluides, la mesure grossière de u(t) fournit
une valeur constante, appelée vitesse moyenne, ou vitesse d'ensemble, ou
même vitesse tout court du fluide. Mais un enregistrement plus fin conduit
à une représentation essentiellement fluctuante, caractéristique du phénomè-
mène de turbulence, et à laquelle il est aujourd'hui classique d'appliquer
les méthodes statistiques, ou plutôt probabilistes.
Si les données macroscopiques sont maintenues constantes d'une expérience à la suivante, il semble intuitif que les grandeurs moyennes contenus dans la courbe Γ conservent les mêmes valeurs. Il résulte de cette remarque qu'un seul enregistrement, prolongé sur une durée suffisamment longue, permet de calculer ou de mesurer toutes les moyennes intéressantes. Or, si l'on associe à la fonction $u(t)$ diverses moyennes, on est tout de suite conduit à traiter $u(t)$ comme une fonction aléatoire du temps, stationnaire puisqu'elle représente un phénomène permanent. La question se pose donc de savoir de quelle façon une seule épreuve sur une fonction aléatoire stationnaire permet de définir cette fonction.

La réponse à cette question est fournie d'une façon générale par les théorèmes ergodiques, et leur application à la turbulence a fait l'objet d'un grand nombre de travaux récents (1). Mais il semble que certains aspects pratiques de ce problème n'aient pas toujours été suffisamment mis en évidence. Ce sont ces aspects que je me propose d'examiner ici.

## 2 - LOIS DE PROBABILITÉ A UNE VARIABLE

Si $u(t)$ est bornée et continue, toutes les intégrales

$$ \frac{1}{T} \int_{0}^{T} u^{n}(t) \, dt $$

existent, et peuvent se rassembler dans une unique fonction

$$ (2.1) \qquad \varphi(z) = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} e^{izu(t)} dt $$

$\varphi(z)$, moyenne de fonctions caractéristiques, est la fonction caractéristique, au sens du calcul des probabilités, d'une variable aléatoire $U$. Cette remarque a été souvent faite. La fonction de répartition $F(u)$ de $U$ se calcule de la façon suivante :

$TF(u)$ est la mesure (au sens de Lebesgue) de l'ensemble des valeurs de $t$ pour lesquelles $u(t) < u$, $0 < t < T$. Le résultat peut d'ailleurs être étendu à la fonction

$$ (2.2) \qquad \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T e^{izu(t)} dt, $$

moyennant certaines restrictions (2). Je reviendrai plus loin sur ce point.

Si par exemple $u(t) = \sin t$, $F(u)$ admet une densité qui est exactement

$$ \begin{align*} F'(u) &= \frac{1}{\pi \sqrt{1 - u^2}} & \text{si } |u| < 1 \\ &= 0 & \text{si } |u| > 1, \end{align*} $$

<footnote>(1) Cf. J. Kampé de Fériet, dans A. Blanc-Lapierre et R. Fortet, théorie des fonctions aléatoires, Masson, 1953, page 579.</footnote>

<footnote>(2) Cf. en particulier C. R. Putnam, Journal of the society for industrial and applied math., 3, 1955, page 137.</footnote>
pourvu que T soit un multiple de $2\pi$, et qui tend vers la fonction ci-dessus lorsque $T \to \infty$.

Mais un tel résultat ne permet pas d'affirmer que, à $u(t)$, on ait attaché une fonction aléatoire. On a seulement défini une fonction de répartition, ce qui est tout différent. Or, les grandeurs qui intéressent le physicien ne sont pas seulement les moyennes de $u(t)$, mais aussi certaines moyennes plus compliquées telles que la fonction d'autocorrélation :

$$ \frac{1}{T} \int_{0}^{T} u(t) u(t+h) dt $$

pour diverses valeurs de $h > 0$. De telles fonctions doivent être rattachées aux lois de probabilités de la fonction aléatoire considérée en deux ou plusieurs instants distincts. On est ainsi conduit à examiner si la connaissance d'une seule épreuve portant sur $u(t)$ entraîne celle des lois temporelles de $u(t)$ (1). Que ces lois temporelles suffisent à définir $u(t)$ en tant que fonction aléatoire, cela est plus difficile à prouver, et je n'aborderai pas ici ce problème, qui est d'une importance moins immédiate pour le physicien.

En pratique, le problème des lois de probabilité à plusieurs variables se pose d'ailleurs d'une façon un peu plus générale. Par exemple, dans le cas de la turbulence, $u(t)$ dépend de l'espace, et il est intéressant de faire la comparaison statistique des valeurs de $u(t)$ au même instant $t$, mais en plusieurs points. Si $u(t)$ et $v(t)$ désignent deux composantes de la vitesse en deux points, on se pose la question suivante : la fonction

$$ (2.3) \qquad \varphi (z_1, z_2) = \frac{1}{T} \int_0^T e^{i[z_1 u(t) + z_2 v(t)]} dt $$

est-elle une fonction caractéristique, et quelles sont ses propriétés ?

Au lieu de deux fonctions $u(t)$ et $v(t)$, il est naturellement possible d'étudier un système de n fonctions $u_i(t)$, ..., $u_n(t)$ auxquelles on se propose d'associer une loi de probabilité à n dimensions. Pour simplifier, je me limiterai dans la suite à $n = 2$.

Je me propose donc d'examiner les propriétés de $\varphi (z_1, z_2)$, considérée comme une fonction caractéristique, d'abord lorsque $T$ est fini, puis lorsque $T \to \infty$.

### 3 - LOIS DE PROBABILITÉ A DEUX VARIABLES

Il est presque évident que $\varphi (z_1, z_2)$, définie par (2.3), est la fonction caractéristique d'un couple $(U, V)$ de variables aléatoires. Mais ces deux variables aléatoires ne sont pas quelconques. Si l'on se donne la valeur de $U$, cette valeur est prise par la fonction $u(t)$ en un certain nombre $d$ d'ins-

<footnote>(1) Au sens de A. Blanc-Lapierre et R. Fortet, Théorie des fonctions aléatoires, Masson, 1953.</footnote>
tants t auxquels correspondent des valeurs $v(t)$ bien déterminées de V. En d'autres termes, le point de coordonnées aléatoires U, V décrit, en fonction de t, la courbe C qui a pour équations paramétriques

$$ (3.1) \qquad \xi = u(t), \quad \eta = v(t), \quad 0 < t < T $$

On peut donc dire qu'on n'obtient pas une véritable loi de probabilité à deux variables. Toute la probabilité est rassemblée sur une courbe C intérieure au rectangle $\mathcal{R}$ qui est défini par les inégalités

$$ |\xi| < \max. |u(t)|, \quad |\eta| < \max. |v(t)| $$

Cependant cette conclusion n'est pas très précise. Si l'on suppose seulement que les fonctions $u(t)$ et $v(t)$ sont continues, elles peuvent être fort compliquées. Elles peuvent par exemple ne jamais être dérivables, ou ne pas être à variation bornée, auquel cas la courbe C n'est pas rectifiable. Il est bien clair que de telles circonstances ne correspondent pas à la réalité. L'expérience fournit des courbes dont la tangente existe et varie d'une façon continue. On peut cependant se demander si, pour donner une représentation mathématique de courbes expérimentales compliquées, il n'y aurait pas intérêt à renoncer à certaines propriétés de régularité, qui sont peut être davantage l'image des instruments de mesure que celle du phénomène étudié proprement dit, et à introduire des fonctions d'un type mathématique moins élémentaire.

On sait par exemple qu'il est possible de choisir des fonctions continues $u(t)$, $v(t)$, définies sur un intervalle fini $0 < t < T$, telles que la courbe C passe par chaque point du rectangle $\mathcal{R}$. Peano et Hilbert ont donné des exemples simples de telles courbes. Contrairement aux courbes rectifiables, ces courbes ont une mesure superficielle positive et non nulle. La fonction de répartition du couple aléatoire (U, V) associé aux fonctions $u(t)$ et $v(t)$ est le quotient par T de la mesure linéaire de l'ensemble des valeurs de t pour lesquelles

$$ u(t) < U \qquad v(t) < V $$

Que tout rectangle $\mathcal{R}'$ intérieur au rectangle $\mathcal{R}$ contienne des points de la courbe C, cela veut dire qu'il y a des valeurs de t, de mesure positive, pour lesquelles le point $u(t)$, $v(t)$ est intérieur à $\mathcal{R}'$ et par conséquent que $\mathcal{R}'$ contient une probabilité positive; la probabilité est donc distribuée en réalité dans un ensemble de mesure superficielle non nulle. Elle n'a plus le caractère de dégénérescence qui l'avait fait rejeter comme inadéquate. Elle n'est plus distribuée sur une "courbe", au sens courant du mot courbe.

Il semble cependant que la représentation mathématique de $u(t)$ et $v(t)$ par des fonctions de cette nature soit trop compliquée pour fournir une image raisonnable des courbes expérimentales. Mais il existe un autre moyen plus simple et plus naturel pour extraire de $u(t)$ et $v(t)$ une véritable loi de probabilité. Il suffit de supposer que T est très grand, et, du point de vue mathématique, de poser

$$ (3.2) \qquad \varphi(z_1, z_2) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T e^{i[z_1 u(t) + z_2 v(t)]} dt $$
Il peut alors arriver que la courbe C, sans passer par *tous* les points du rectangle $\mathcal{R}$, passe, pour des valeurs de t convenables, aussi près qu'on le veut de chaque point de ce rectangle. On dit qu'elle a pour fermeture le rectangle, ou encore qu'elle est *dense* dans le rectangle.

La probabilité pour que le point $(\xi, \eta)$ appartienne à un rectangle $\mathcal{R}'$ contenu dans $\mathcal{R}$ n'est positive que si $\mathcal{R}'$ est traversé par C. Si C est dense dans $\mathcal{R}$, il y aura dans tout rectangle $\mathcal{R}'$ une probabilité positive, et la loi de probabilité associée à $\varphi(z_1, z_2)$ échappera au caractère de dégénérance qu'elle avait lorsque T était borné.

L'existence d'une fonction $\varphi(z_1, z_2)$ définie par (3.2) a été reconnue par B. Jessen et A. Wintner (1) qui ont énoncé le théorème suivant :

Si $u(t)$ et $v(t)$ sont deux fonctions presque périodiques continues,

$$ \varphi(z_1, z_2) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T e^{i} [z_1 u(t) + z_2 v(t)] dt $$

est une fonction caractéristique. L'ensemble des points $(\xi, \eta)$ du plan tels que tout rectangle contienne une probabilité positive est la fermeture de la courbe

$$ \xi = u(t) $$

$$ \eta = v(t) $$

pour $t > 0$.

Ce théorème justifie donc la représentation statistique des fonctions $u(t)$ et $v(t)$. Il montre en particulier que, si l'on se donne convenablement la seule fonction $u(t)$, la quantité

$$ \varphi(z_1, z_2) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T e^{i} [z_1 u(t) + z_2 u(t+h)] dt $$

est la fonction caractéristique d'un couple de variables aléatoires n'ayant entre elles aucune dépendance fonctionnelle, au sens habituellement donné à cette expression. Il semble d'ailleurs que, jusqu'à un certain point, les courbes expérimentales s'accordent d'une façon satisfaisante avec la représentation de $u(t)$ et $v(t)$ par des fonctions presque périodiques continues. Je vais admettre qu'il en est bien ainsi. La question qui se pose maintenant est donc la suivante :

$u(t)$ et $v(t)$ étant des fonctions presque périodiques continues, sous quelles conditions la courbe

$$ (C) \qquad \xi = u(t) $$

$$ \eta = v(t) $$

est-elle dense dans un domaine D d'aire positive du plan (2) ?

<footnote>(1) Trans. amer. math. soc., 38, 1935.</footnote>

<footnote>(2) Dans un travail antérieur (Les Méthodes modernes du calcul des probabilités, et leur application au problème de la turbulence, 1947), je n'avais pas suffisamment tenu compte de cette éventualité, et j'avais conclu que le coefficient de corrélation, introduit dans la théorie de la turbulence par sir G. I. Taylor, n'avait aucune signification statis-</footnote>
## 4 - ÉTUDE DE LA COURBE $\xi = u(t), \eta = v(t)$

$u(t)$ et $v(t)$ sont par hypothèse deux fonctions presque périodiques continues. Il est bien évident que, par exemple, la courbe

$$ \xi = \cos t, \qquad \eta = \cos 2t $$

n'est pas dense dans le carré $|\xi| < 1, |\eta| < 1$, ni dans aucun domaine D intérieur à ce carré. C'est en effet un arc de la parabole

$$ \eta = 2\xi^2 - 1 $$

Au contraire, un raisonnement élémentaire montre que, si $\frac{\lambda_2}{\pi\lambda_1}$ est irrationnel, la courbe

$$ \xi = \sin \lambda_1 t \qquad \eta = \sin \lambda_2 t $$

est dense dans le carré ci-dessus.

L'étude du cas général résultera facilement de celle du cas où $\xi$ et $\eta$ sont deux polynômes trigonométriques à un nombre fini n de termes, de la forme

$$ (4.1) \qquad \begin{cases} \xi = \sum_{i=1}^{n} a_i \sin (\lambda_i t + \varphi_i) \\ \eta = \sum_{i=1}^{n} b_i \sin (\lambda_i t + \varphi_i) \end{cases} $$

$a_i, b_i, \lambda_i, \varphi_i$ sont 4 n constantes données. $a_i, b_i, \varphi_i$ peuvent être nuls, mais on doit naturellement supposer que $a_i$ et $b_i$ ne sont pas simultanément nuls pour une même valeur de $\lambda_i$. Certains des $\lambda_i$ peuvent être égaux. Si par exemple $\xi$ contient le terme $a \sin \lambda t$ et $\eta$ le terme $b \cos \lambda t$, on peut écrire les termes correspondant à $\lambda$ sous la forme

$$ a \sin (\lambda t + \varphi) + a' \sin (\lambda t + \varphi') $$

$$ b \sin (\lambda t + \varphi) + b' \sin (\lambda t + \varphi') $$

$$ \text{avec } \varphi = 0, \quad \varphi' = \frac{\pi}{2}, \quad a' = 0, \quad b = 0 $$

Considérons d'abord, dans un espace $E_n$ à n dimensions, la courbe $\gamma$ qui a pour équations

$$ (4.2) \qquad x_i = \sin (\lambda_i t + \varphi_i) \qquad i = 1, 2, \dots, n $$

Cherchons si, dans $E_n$, la courbe $\gamma$ peut passer arbitrairement près d'un point donné $x_i$. Dire que $\sin (\lambda_i t + \varphi_i)$ est voisin de $x'_i$, c'est aussi dire

On doit noter d'ailleurs que la représentation de la turbulence par des fonctions presque périodiques, dont l'aspect local peut sembler très satisfaisant, risque de ne pas être tout à fait correcte car elle ne correspond pas à la forme à l'infini des fonctions de corrélation fournies par l'expérience. Cf. sur ce point J.Bass, C.R.Ac.Sc., 245, 1957, p.1217

<footnote>...tique. Cette conclusion n'était pas exacte. Indépendamment de l'interprétation spectrale de la fonction de corrélation, on va voir que l'existence de certains types de relations fonctionnelles entre deux variables aléatoires $U$ et $V$ n'est pas incompatible avec l'usage statistique du coefficient de corrélation, c'est-à-dire avec l'existence pratique d'une véritable liaison stochastique entre $U$ et $V$.</footnote>
que, si $\alpha_i$ est l'arc compris entre $-\frac{\pi}{2}$ et $\frac{\pi}{2}$ tel que $\sin \alpha_i = x_i'$, les quantités $\lambda_i t + \varphi_i$ sont arbitrairement voisines de $\alpha_i$, à un multiple de $2\pi$ près. On demande donc s'il existe un nombre $t$ positif et des entiers $k_i$ tels que

$$| \lambda_i t + \varphi_i - \alpha_i + 2\pi k_i | < \varepsilon$$

c'est-à-dire plus simplement s'il existe un nombre $t$ positif tel que

$$(4.3) \qquad | \lambda_i t + \varphi_i - \alpha_i | < \varepsilon \pmod{2\pi}$$

Or la réponse à cette question est donnée par un théorème de Kronecker (1):

S'il existe entre les $\lambda_i$ p relations linéaires à coefficients entiers, de la forme

$$(4.4) \qquad \sum m_i \lambda_i = 0$$

il existe une solution $t$ des inégalités (4.3) pour tout point $\alpha_i$ tel que

$$(4.5) \qquad \sum m_i (\varphi_i - \alpha_i) = 0 \pmod{2\pi}$$

Pour mieux comprendre ce théorème, examinons d'abord un exemple. Supposons que la courbe initiale C ait pour équations

$$(4.6) \qquad \left\{ \begin{array}{l} \xi = \sin t + \sin \pi t \\ \eta = \cos t \end{array} \right.$$

On peut écrire

$$\left\{ \begin{array}{l} \xi = \sin t + a \sin\left(t + \frac{\pi}{2}\right) + \sin\pi t \\ \eta = \sin\left(t + \frac{\pi}{2}\right) \end{array} \right.$$

avec $a = 0$. On doit associer à C la courbe $\delta$ définie par

$$(4.7) \qquad x_1 = \sin t \qquad x_2 = \sin\left(t + \frac{\pi}{2}\right) \qquad x_3 = \sin \pi t$$

avec

$\lambda_1 = 1$

$\lambda_2 = 1$

$\lambda_3 = \pi$

$\varphi_1 = 0$

$\varphi_2 = \frac{\pi}{2}$

$\varphi_3 = 0$

Entre les $\lambda_i$ existe la relation $\lambda_1 = \lambda_2$. La courbe $\delta$ passe au voisinage de tout point $x_i'$ tel que

$$\alpha_i = \alpha_2 - \frac{\pi}{2} \quad \text{ou} \quad \sin \alpha_i = \cos \alpha_2$$

c'est-à-dire

$$x_i' = \pm \sqrt{1 - x_i^2} \quad \text{ou} \quad x_i'^2 + x_i'^2 = 1$$

<footnote>(1) Cf. Favard, Leçons sur les fonctions presque périodiques, Gauthier-Villars, 1933. Consulter aussi les Leçons sur la théorie des nombres, de A. Châtelet (Gauthier-Villars, 1913), à propos des modules de nombres entiers.</footnote>
Ce résultat, qui pourrait se prévoir plus élémentairement, exprime
que, dans $E_3$, la courbe $\delta$ est tracée sur un cylindre de révolution d'axe
$0x_3$. Sa projection sur le plan des $x_1 x_3$ par exemple est dense dans le
carré $|x_1|<1, |x_3|<1$. La courbe $\mathcal{C}$ est donc dense sur la portion de ce
cylindre comprise entre les cotes -1 et 1. Elle n'est pas dense dans le
cube $|x_i|<1$.

Revenons au cas général. Dans l'espace des $\alpha_i$, les $p$ relations (4.5) représentent un système de variétés linéaires à $n$-p dimensions, dont seules sont utiles les parties intérieures au cube $|\alpha_i|<\frac{\pi}{2}$. Dans l'espace des $x_i^1$, il leur correspond une variété algébrique à $n$-p dimensions. Cette variété est décomposée en nappes sur chacune desquelles la courbe $\delta$ est dense. Aux points $(x_i)$ d'une V de ces nappes, faisons correspondre le point

$$
\text{(4.8)} \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\xi = \sum_{i=1}^{n} a_i x_i \\[1em]
\eta = \sum_{i=1}^{n} b_i x_i
\end{array}
\right.
\\
\text{Si la matrice} \quad \begin{pmatrix} a_1 & \cdots & a_n \\ b_1 & \cdots & b_n \end{pmatrix}
$$

est de rang 2, à tout point $x_i$ de l'espace $E_n$ correspond un point $(\xi, \eta)$, et
réciproquement, à tout point $(\xi, \eta)$ correspond au moins un point de l'es-
pace. Faisons alors un changement de coordonnées où $\xi$ et $\eta$ soient les
deux premières coordonnées. Désignons par $\mathfrak{S}_3, \dots, \mathfrak{S}_n$ les $n-2$ autres,
fonctions linéaires des $x_i$. A la variété V correspond une variété $V'$ dans
le nouvel espace. On s'intéresse à la projection d'un point de $V'$ sur le
plan des $\xi, \eta$.

En général cette projection remplit un certain domaine D d'aire posi-
tive. Il en résulte que, en général, la courbe C est dense dans D. Il peut
cependant arriver que la variété V' appartienne à un hypercylindre algé-
brique projetant sur le plan des $\xi, \eta$. Dans ce cas, les points de V' se
projettent suivant une courbe algébrique, qui n'est pas dense dans le plan
des $\xi, \eta$.

Si donc il se trouve que, entre $\xi$ et $\eta$, il existe une relation algébrique
qui soit conséquence algébrique des relations existant entre les $x_i$, la
courbe C n'est pas dense dans un domaine du plan des $\xi, \eta$. Dans tout
autre cas elle est dense.

Voici un exemple de circonstance exceptionnelle. Supposons que C ait
pour équation

$$
(4.9) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\xi = \sin t + \sin\pi t \\
\eta = \cos 2t + \cos 2\pi t - 2 \cos(\pi - 1) t + 2 \cos(\pi + 1) t
\end{array}
\right.
$$
Posons

$$
(4.10) \quad \left\{
\begin{array}{l}
x_1 = \sin t \qquad x_2 = \sin \pi t \qquad x_3 = \cos 2t \qquad x_4 = \cos 2\pi t \\
x_5 = \cos (\pi - 1) t \qquad x_6 = \cos (\pi + 1) t
\end{array}
\right.
$$

de sorte que

$$
\begin{cases}
\xi = x_1 + x_2 \\
\eta = x_3 + x_4 - 2x_5 + 2x_6
\end{cases}
$$

Entre les 6 coordonnées, il existe les relations algébriques suivantes :

$$
\begin{align*}
A &= x_3 + 2x_1^2 - 1 = 0 & B &= x_4 + 2x_2^2 - 1 = 0 \\
(4.11) \qquad C &= x_6 - x_5 + 2x_1x_2 = 0 \quad & \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
(x_5 - x_1 x_2)^2 = (1 - x_1^2)(1 - x_2^2) \\
\text{ou } D = x_1^2 + x_2^2 + x_5^2 - 2x_1x_2x_5 - 1 = 0
\end{array}
\right.
\end{align*}
$$

Or on voit que $\eta + 2 \xi^2 - 2$ est une combinaison algébrique des 4 poly-
nômes A, B, C, D, qui sont nuls sur la courbe $\delta$ de $E_6$. On a en effet

$$
\eta + 2 \xi^2 - 2 = A + B + 2C
$$

Par suite, la courbe C décrite par le point $(\xi, \eta)$ est un arc de parabole.
Elle n'est pas dense dans le plan.

Si les $\lambda_i$ ne sont liés par aucune relation linéaire à coefficients cons-
tants, ce qui implique en particulier que deux $\lambda_i$ correspondant à deux $\varphi_i$
distincts soient eux-mêmes différents, la courbe $\delta$ est dense dans le cube
$|x_i| < 1$ entier, et C est dense dans le domaine polygonal déduit de ce
cube par la transformation

$$
(4.12) \qquad \xi = \sum a_i x_i \qquad \eta = \sum b_i x_i
$$

Par exemple, la courbe (c) :

$$
(4.13) \qquad \left\{
\begin{array}{l}
\xi = \sin t + \sin \sqrt{2} t \\
\eta = \sin \pi t
\end{array}
\right.
$$

est dense dans le domaine déduit du cube à 3 dimensions par la transfor-
mation

$$
(4.14) \qquad \xi = x_1 + x_2 \qquad \eta = x_3
$$

c'est-à-dire dans le rectangle

$$
|\xi| < 2 \qquad |\eta| < 1 \qquad (\text{Fig. 1})
$$

Voici enfin un exemple de courbe C dense dans un domaine du plan des
(ξ,η), bien que la courbe δ ne soit pas dense dans le cube |xᵢ| < 1 de E₃.
La courbe

$$
\left\{
\begin{array}{l}
\xi = \sin t + \sin \pi t \\
\eta = \cos t
\end{array}
\right.
$$

résulte par la transformation (4.14) de la courbe $\delta$ qui a pour équations

$$
\begin{align*}
x_1 &= \sin t & x_2 &= \sin \pi t & x_3 &= \cos t
\end{align*}
$$
Cette courbe est dense sur la partie du cylindre de révolution $x_1^2+x_3^2=1$ comprise entre les plans $x_2 = \pm 1$. La courbe est donc dense dans le domaine du plan des $\xi, \eta$ obtenu en projetant les points du cylindre parallèlement à la direction (1, 0, -1). Ce domaine est constitué par les points intérieurs au carré $\equiv |\xi| < 1, |\eta| < 1$, complété par l'intérieur de deux demi-cercles faciles à placer (fig. 2).

Remarquons encore que le domaine $D_4$, n'est pas forcément un domaine convexe, ni même simplement connexe. Si l'on considère par exemple la courbe

$$ (4.15) \qquad \begin{cases} \xi = \sin t - a \sin \pi t \\ \eta = \cos t \end{cases} $$

sa fermeture se déduit des points du cylindre ci-dessus par une projection parallèle à la direction 1, 0, $-\frac{1}{a}$. Si $a < 1$, le domaine D est alors double -ment connexe (fig. 3).

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig. 1</figcaption></figure>

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig. 2</figcaption></figure>

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 3</figcaption></figure>

## 5 - FIN DE L'ÉTUDE DE LA COURBE $\xi = u(t), \eta = v(t)$ - CONCLUSION

Il reste enfin à examiner le cas où $\xi$ et $\eta$ sont définies par des séries presque périodiques ayant un nombre infini de termes

$$ (5.1) \qquad \begin{cases} \xi = \sum_{n=1}^{\infty} a_i \sin (\lambda_i t + \varphi_i) \\ \eta = \sum_{n=1}^{\infty} b_i \sin (\lambda_i t + \varphi_i) \end{cases} $$

On supposera que les séries $\sum |a_n|$ et $\sum |b_n|$ sont convergentes, de telle sorte que $\xi$ et $\eta$ soient des fonctions continues de t. On peut alors trouver un rang N tel que, si $n > N$, les restes des deux séries données soient uniformément inférieurs à $\frac{\epsilon}{2}$. Supposons alors que la courbe

$$ (5.2) \qquad \begin{cases} \xi_l = \sum_{n=1}^{N} a_i \sin (\lambda_i t + \varphi_i) \\ \eta_l = \sum_{n=1}^{N} b_i \sin (\lambda_i t + \varphi_i) \end{cases} $$
soit dense dans un certain domaine D. Nous savons reconnaître s'il en est bien ainsi. Etant donné un point $(\xi', \eta')$ du plan, on peut trouver une valeur de t telle que

$$ |\xi' - \xi| < \frac{\epsilon}{2} \qquad |\eta' - \eta| < \frac{\epsilon}{2} $$

Or

$$ \begin{gathered} |\xi - \xi'| \le |\xi - \xi'| + |\xi' - \xi'| < \epsilon \\ |\eta - \eta'| \le |\eta - \eta'| + |\eta' - \eta'| < \epsilon \end{gathered} $$

Le point $(\xi, \eta)$ correspondant à la valeur trouvée de t s'écarte donc de moins de $\epsilon$ du point choisi. La courbe C est donc dense dans C.

On voit en définitive que, suivant les circonstances, la courbe C définie par les équations (5.1) peut avoir une structure très variable. Mais, d'après ce qui précède, on sait reconnaître si cette courbe est dense dans un domaine d'aire positive du plan. Ce domaine peut d'ailleurs ne pas être simplement connexe.

Du point de vue pratique, les courbes fournies par l'expérience ne sont pas assez précises pour qu'on puisse leur appliquer rigoureusement les résultats théoriques. Mais on peut dire que, dans des cas aussi compliqués que celui de la vitesse d'un fluide turbulent, les conditions pratiques pour que la courbe C soit dense dans un domaine (en général simplement connexe) sont vérifiées.

La théorie nous autorise donc à utiliser les résultats d'un enregistrement unique pour associer au phénomène correspondant une loi de probabilité à deux variables, pourvu que l'enregistrement soit de durée suffisamment longue. Cela veut dire que cette durée doit être grande par rapport aux plus grandes périodes des harmoniques en jeu. Si cette condition n'était pas réalisée, certaines anomalies, peu sensibles dans le cas de lois à une variable, risqueraient de se manifester dès qu'on passerait aux lois à deux variables.

En physique mathématique, on rencontre souvent des équations aux dérivées partielles qui admettent pour solution des fonctions presque périodiques par rapport au temps. Cette simple circonstance rend alors possible d'appliquer à ces solutions les méthodes statistiques. Elle se présente fréquemment lorsque les équations sont linéaires, l'ensemble des valeurs des $\lambda_k$ constituant le spectre d'un certain opérateur linéaire. Mais elle n'est pas incompatible avec la nature des solutions d'équations non linéaires. Pour terminer, nous allons étudier certaines solutions presque périodiques d'une équation non linéaire voisine des équations de l'hydrodynamique.

# 6 - APPLICATION A UNE ÉQUATION AUX DÉRIVÉES PARTIELLES

L'équation

$$ (6.1) \qquad \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$
a été proposée et exploitée à plusieurs reprises par J.M. Burgers (1) comme modèle simplifié des équations de l'hydrodynamique des fluides visqueux. Elle est en effet du second ordre et son premier membre, non linéaire, a bien la forme du premier membre des équations de l'hydrodynamique (avec une seule dimension). Je me propose ici, non pas d'en rechercher a priori des solutions aléatoires, mais seulement d'en former des solutions périodiques ou presque périodiques, qui soient une image acceptable d'un écoulement turbulent schématisé. (avec les réserves de la note, p.204).

On sait que la transformation $u = -\frac{1}{2} \frac{\partial \log z}{\partial x}$ ramène l'équation (6.1) à l'équation de la chaleur

$$ (6.2) \qquad \frac{\partial z}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} $$

L'équation (6.2) admet des solutions exponentielles de la forme

$$ e^{-(1+i)\lambda x + i\lambda^2 t} $$

où $\lambda$ est un nombre réel positif. Elle admet par suite des solutions périodiques ou presque périodiques, de la forme

$$ (6.3) \qquad z = 1 - \sum_{k=1}^{p} e^{-(1+i)\lambda_k x + i\lambda_k^2 t} $$

Il en résulte que, si $\sum_{k=1}^{p} |A_k| < 1$, la fonction

$$ (6.4) \qquad u = -(1+i) \frac{\sum_{k=1}^{p} A_k \lambda_k e^{-(1+i)\lambda_k x + i\lambda_k^2 t}}{1 - \sum_{k=1}^{p} A_k e^{-(1+i)\lambda_k x + i\lambda_k^2 t}} $$

est une solution particulière de (6.1). C'est en général une fonction continue presque périodique du temps. Si $x$ est non négatif, on peut représenter $u$ par une série d'exponentielles. On trouve

$$ (6.5) \quad u = -(1+i) \sum_{k=1}^{p} \frac{(\alpha_l + \dots + \alpha_p - 1)!}{\alpha_l! \dots \alpha_p!} \left( \sum_{k=1}^{p} \lambda_k \alpha_k \right) A_1^{\alpha_1} \dots A_p^{\alpha_p} e^{-(1+i) \sum_{k=1}^{p} \lambda_k \alpha_k + it \sum_{k=1}^{p} \lambda_k^2 \alpha_k} \\ \alpha_l, \alpha_p \text{ étant des entiers qui prennent toutes les valeurs à partir de 1.} $$

Par rapport au temps, $u$ apparaît bien comme une fonction presque périodique dont toutes les pulsations sont de la forme

$$ \sum_{k=1}^{p} \lambda_k^2 \alpha_k, \quad \alpha_k \text{ entier} $$

<footnote>(1) Cf. en particulier la référence suivante (où sont rappelées diverses références antérieures) : Proc. Koninklijke Nederlandse Akad. van Wettenschappen B, vol. LVII, n° 2, 1954.</footnote>
Elles appartiennent à un module entier, u est une "fonction quasi périodique" au sens d'Esclangon. Si p = 1, u est une fonction périodique :

$$
(6.6) \quad u = -(1+i)\lambda \sum_{\alpha=1}^{\infty} A^{\alpha} e^{-(1+i)\lambda \alpha x + i\lambda^2 \alpha t}
$$

Si p = 2, on trouve

$$
(6.7) \quad u = -(1+i) \sum_{\alpha, \beta=1}^{\infty} \frac{(\alpha + \beta - 1)!}{\alpha! \beta!} A^{\alpha} B^{\beta} e^{-(1+i)(\lambda_1 \alpha + \lambda_2 \beta) x + i(\lambda_1^2 \alpha + \lambda_2^2 \beta) t}
$$

Si l'on remplace les sommes finies par des séries (p infini), les résultats se généralisent aisément, à condition que la série $\sum_{k=1}^{\infty} |A_k|$ ait une somme inférieure à 1. u, quotient de deux fonctions presque périodiques continues, est, dans les conditions indiquées, une fonction presque périodique, qu'il est possible de développer en série de Fourier. On peut cependant remarquer que, dans le cas simple de la formule (6.7), l'ensemble des pulsations $\lambda_1^2 \alpha + \lambda_2^2 \beta$ est dense sur le demi-axe réel positif (à condition que $\frac{\lambda_1^2}{\lambda_2^2}$ soit irrationnel). Du point de vue pratique, le spectre se distingue difficilement d'un spectre continu, tout au moins pour les grandes valeurs de $\alpha$ et $\beta$.

On notera enfin que les formules ci-dessus donnent des solutions presque périodiques complexes de l'équation (6.1). Cette équation n'étant pas linéaire, ces solutions ne fournissent pas directement les solutions réelles, qui seules sont physiquement intéressantes. Pour obtenir des solutions réelles, on devra remplacer (6.4) par

$$
z = 1 - \sum_{k=1}^{p} \left[ A_k e^{\frac{\lambda_k}{\lambda} x - i \frac{\lambda_k}{\lambda} \lambda_k^2 t} + B_k e^{-\frac{\lambda_k}{\lambda} x + i \frac{\lambda_k}{\lambda} \lambda_k^2 t} \right]
$$

ou par

$$
z = 1 - \sum_{k=1}^{p} c_k e^{-\lambda_k x} \sin (\lambda_k x - \lambda_k^2 t + \varphi_k)
$$

Mais les formules finales sont plus compliquées à écrire.
Il est de mon convenience, pour éviter tout malentendu, d'établir ici une solution unique, en supposant que la solution unique est la plus simple.

Il est en outre possible d'établir une solution unique, en supposant que la solution unique est la plus simple.

Il est en outre possible d'établir une solution unique, en supposant que la solution unique est la plus simple.

Il est en outre possible d'établir une solution unique, en supposant que la solution unique est la plus simple.

Il est en outre possible d'établir une solution unique, en supposant que la solution unique est la plus simple.

Il est en outre possible d'établir une solution unique, en supposant que la solution unique est la plus simple.

Il est en outre possible d'établir une solution unique, en supposant que la solution unique est la plus simple.

Il est en outre possible d'établir une solution unique, en supposant que la solution unique est la plus simple.