**2. Propriétés du continu S.** Nommons — pour abréger — angulaires les 4 points: (0,0), (0,1), (1,0) et (1,1). Soit G un sous-ensemble ouvert de S.

**1. Tout point non angulaire de G est point intérieur d'un segment rectiligne contenu dans G.**

Soit, en effet, $p=(x,y) \in C \times I$. Il s'agit de définir un segment $qr$ tel que $p \in qr \subset G$ et $q \cup p = r$.

Dans le cas où $0<y<1$, il existe un intervalle $y'y''$ tel que

$$y'<y<y'' \quad \text{et} \quad (x \times y'y'') \subset G$$

(vu que G est ouvert et que $x \times I \subset S$).

On posera dans ce cas $q=(x,y')$ et $r=(x,y'')$.

Dans le cas où $y=0$, on a $0<x<1$ (le point $p$ n'étant pas angulaire); il existe par conséquent un intervalle $x'x''$ tel que

$$x'<x<x'' \quad \text{et} \quad (x'x'' \times 0) \subset G$$

(vu que le point 0 appartient à C, d'où $I \times 0 \subset S$).

On posera dans ce cas $q=(x',y')$ et $r=(x'',y')$.

**2. A tout couple de points p et s, dont p est un point non angulaire de G, correspond un point $p'$ de G tel que**

$$(4) \qquad |s-p'|>|s-p|.$$

Car, $p$ étant un point intérieur du segment $qr \subset G$, on a soit $|s-q|>|s-p|$, soit $|s-r|>|s-p|$.

La propriété 2 implique la suivante:

**3. Soient p et s deux points de $\bar{G}$ tels que**

$$(5) \qquad |p-s|=\delta(G).$$

Alors, si $p$ n'est pas un point angulaire, il appartient à la frontière de G; autrement dit:

$$p \in \mathbb{R}G.$$

Car, en supposant que $p \in G$, il existerait un point $p'$ de G vérifiant l'inégalité (4); on aurait donc $|p'-s| > \delta(G)$, contrairement à la définition du diamètre.

Nous en déduirons la propriété suivante du continu S, sur laquelle repose la solution du problème envisagé.

**4. Si $\delta(G)<1$, on a**

$$(6) \qquad \delta(G) \le \delta(\bar{G}-G) \cdot \sqrt{2}.$$

Soient, en effet, $p$ et $s$ deux points de $\bar{G}$ satisfaisant à (5).

Deux cas peuvent se présenter:

(a) Ni $p$ ni $s$ n'est un point angulaire. On a alors d'après 3 $p, s \in (\bar{G}-G)$, d'où $|p-s| \le \delta(\bar{G}-G)$, donc $\delta(G) \le \delta(\bar{G}-G)$ en vertu de (5).

(b) L'un des deux points $p$ et $s$ est angulaire. Il est légitime d'admettre que ce soit $p$ et que $p=(0,0)$. Comme $\delta(G)<1$, le point $s$ n'est donc pas angulaire et l'on a d'après 3:

$$(7) \qquad s \in \mathbb{R}G, \text{ donc } s \in \bar{G}-G.$$

Posons $s=(x,y)$. On a évidemment soit $|s| \le x\sqrt{2}$, soit $|s| \le y\sqrt{2}$. On peut admettre que

$$(8) \qquad |s| \le x\sqrt{2}, \text{ c'est-à-dire } |p-s| \le x\sqrt{2}.$$

Le diamètre de l'ensemble G étant inférieur à 1, le point (0,1) n'appartient pas à G. Le segment $0 \le y \le 1$ de l'axe Y étant contenu dans S et unissant le point (0,0) de $\bar{G}$ au point (0,1) de S-G, il existe sur ce segment un point $t$ de la frontière $\bar{G}-G$. On a par conséquent d'après (7)

$$(9) \qquad |s-t| \le \delta(\bar{G}-G).$$

D'autre part, on a évidemment $x \le |s-t|$, donc d'après (8)

$$(10) \qquad |p-s| \le |s-t| \cdot \sqrt{2}.$$

Les formules (5), (9) et (10) entraînent aussitôt l'inégalité (6).

**3. Conclusion.** Soit $G_1, \dots, G_n$ un système d'ensembles ouverts (non vides) tels que

$$S=G_1+\dots+G_n \quad \text{et} \quad \delta(G_i)<1 \quad \text{pour } i=1,2,\dots,n.$$

Soit $p_i \in G_i$. Soit $A_i$ un cercle fermé de centre $p_i$ et de rayon $\delta(G_i)$. On a donc $G_i \subset A_i$, d'où $S \subset A_1+\dots+A_n$. En vertu de (6), la mesure plane $m(S)$ de S vérifie par conséquent les relations:

$$m(S) \le \sum_i m(A_i) = \pi \cdot \sum_i |\delta(G_i)|^2 \le 2\pi \cdot \sum_i |\delta(\bar{G}_i - G_i)|^2.$$

Il en résulte d'après (2), pour $\varepsilon<1$, que $m(S) \le 2\pi \cdot a(\varepsilon)$, c'est-à-dire $a(\varepsilon) \ge m(S)/2\pi$.

Comme $m(S) > 0$, l'égalité (3) est en défaut.