# Note sur la distance d'une variable aléatoire X à l'origine

Edouard Bonet

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Edouard Bonet. Note sur la distance d'une variable aléatoire X à l'origine. Annales de l'ISUP, 1960, IX (4), pp.399-400. hal-04092997

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Submitted on 9 May 2023

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# NOTE SUR LA DISTANCE
D'UNE VARIABLE ALÉATOIRE X A L'ORIGINE

Edouard BONET

## a) Définition de M. Ky-Fan.

La distance $d(O, X)$ est définie comme la borne inférieure des des valeurs $x$ positives telles que :

$$ \text{Prob} [|X| > x] < x $$

Il faut noter que cette inégalité n'impose aucune condition quand $x$ est supérieur à 1, parce que toute probabilité est toujours inférieure ou égale à 1. Cela entraîne quelques conséquences :

$$ 1/ - d(O, X) \le 1 ; $$

$$ 2/ - d(O, X) = 1 \iff \text{Prob} [|X| < 1] = 0 ; $$

3/ - Quand $X$ est une variable certaine comprise entre -1 et 1 alors cette distance devient la valeur absolue de $X$, mais cette propriété n'est plus vraie quand $X$ a une valeur plus grande et en conséquence on ne peut pas considérer cette distance comme une extension du concept de distance entre variables certaines.

On obtient une représentation graphique de la façon suivante : si $F(x)$ est la fonction de répartition de $|X|$ et $R(x)$ la droite menée par les points $(0,1)$, $(1,0)$ alors $d(O,X)$ est la borne inférieure des valeurs positives de $x$ pour lesquelles $F(x) > R(x)$.
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b) **Proposition de distance.**

On peut proposer comme définition de $d(O,X)$ la borne infé- rieure des valeurs positives de $x$ pour lesquelles :

Prob $[|X| > x] < x - [x]$ avec $[x]$ = partie entière de $x$

Cette nouvelle définition entraîne :

$$1/ - d(O,X) < \infty;$$

2/ - Quand $X$ est une variable certaine alors $d(O,X)$ devient la valeur absolue de cette variable.

Cette distance est une extension de la distance entre variables certaines.

Représentation graphique.

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