<figure><img src="image_1.png" /></figure>

BLAISE PASCAL

HERVÉ QUEFFÉLEC

Espaces de séries de Dirichlet et leurs opérateurs de
composition

Volume 22, n° S2 (2015), p. 267-344.

<http://ambp.cedram.org/item?id=AMBP_2015__22_S2_267_0>

© Annales mathématiques Blaise Pascal, 2015, tous droits réservés.

L'accès aux articles de la revue « Annales mathématiques Blaise Pascal » (http://ambp.cedram.org/), implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://ambp.cedram.org/legal/). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

Publication éditée par le laboratoire de mathématiques
de l'université Blaise-Pascal, UMR 6620 du CNRS
Clermont-Ferrand — France
# Espaces de séries de Dirichlet et leurs opérateurs de composition

HERVÉ QUEFFÉLEC

## Résumé

Ce survol est divisé en trois chapitres : le premier porte sur les propriétés générales des séries de Dirichlet $\sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$ et de leur somme, et présente le point de vue de Bohr (relèvement). Le second étudie les espaces de Hardy-Dirichlet de telles séries sur un demi-plan vertical, avec une application aux systèmes de Riesz. Le troisième enfin porte sur les opérateurs de composition agissant sur ces espaces et leurs nombres d'approximation. Le comportement de ces nombres se révèle assez différent de ceux rencontrés dans le cas des espaces de Hardy classiques.

## Chapitre 1 : Séries de Dirichlet

### 1.1. Introduction

Nous présentons ici un analogue multiplicatif des séries entières, les séries de Dirichlet, séries qui vont jouer un rôle central tout au long de ce travail.

#### 1.1.1. Séries génératrices

Chacun connaît l'importance de la série génératrice $g(x) = \sum_{n \ge 0} u_n x^n$, associée à une suite $(u_n)$ de nombre complexes. Par exemple, dans le problème combinatoire des parenthésages, la suite $(u_n)$ est donnée par son premier terme $u_0 = 1$ et la relation de récurrence d'apparence compliquée $u_{n+1} = \sum_{k=0}^n u_k u_{n-k}$. Mais la règle du produit de Cauchy transforme cette relation en l'équation algébrique $xg^2(x) = g(x) - 1$, d'où

$$g(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\binom{2n}{n}}{n+1} x^n, \quad 0 \le x < 1/4$$

<footnote>Mots-clés: Dirichlet series, Composition operators, Approximation numbers.</footnote>

<footnote>Classification math.: 47B33, 30B50, 30H10.</footnote>
ce qui donne $u_n = \frac{\binom{2n}{n}}{n+1}$. De façon générale, ces séries génératrices sont bien adaptées à la théorie additive des nombres par le biais de l'équation fonctionnelle

$$x^{i+j} = x^i \times x^j$$

pour i, j entiers $\ge 0$. Pour la théorie multiplicative des nombres, des séries génératrices d'un autre type, les séries de Dirichlet, seront plus adaptées par le biais de la nouvelle équation fonctionnelle

$$(ij)^{-s} = i^{-s} \times j^{-s}$$

pour i, j entiers $\ge 1$. Développons un peu ce point de vue.

### 1.1.2. Origine des séries de Dirichlet

Soit $(a_n)_{n\ge 1}$ une suite de nombres complexes. La fonction $n \mapsto a_n$ s'appelle une *fonction arithmétique* et la fonction $A(x) = \sum_{n\le x} a_n$ la fonction sommatoire associée. Par exemple (notant $a|b$ pour $a$ divise $b$)

$$a_n = \varphi(n), \mu(n), d(n), 1_P(n)$$

où $\varphi, \mu, d, 1_P$ désignent respectivement : $\varphi$ la “totient function” d'Euler, soit le nombre d'entiers $m \le n$ et premiers avec $n, \mu$ la fonction de Möbius définie par

$$\mu(1) = 1, \mu(n) = 0 \text{ si } p^2|n, \mu(n) = (-1)^k \text{ si } n = p_1 \cdots p_k$$

où $p$ désigne un nombre premier et les $p_j$ des nombres premiers distincts, $d$ la fonction nombre de diviseurs de $n$ et enfin $1_P$ la fonction indicatrice de l'ensemble $P$ des nombres premiers. Comme on le voit, ces fonctions sont très irrégulières, mais ont en moyenne des propriétés plus sympathiques, qui se reflèteront bien sur leur série de Dirichlet génératrice, définie plus loin. Par exemple

$$\sum_{d|n} \varphi(d) = n, \quad \sum_{d|n} \mu(d) = 0 \text{ si } n > 1. \qquad (1.1)$$

Ou bien, lorsque $x \to \infty$ :

$$\sum_{n \le x} d(n) = D(x) \sim x \log x, \quad \sum_{n \le x} 1_P(n) = \pi(x) \sim \frac{x}{\log x}. \qquad (1.2)$$

Ces relations demandent des preuves. (1.1) est élémentaire, mais les deux relations de (1.2) constituent respectivement le problème de l'hyperbole de Dirichlet et le théorème des nombres premiers !
Un type de régularité arithmétique se rencontre aussi souvent ; une fonction arithmétique $f \neq 0$ est dite

(1) Multiplicative si $(m, n) = 1 \Rightarrow f(mn) = f(m)f(n)$ (alors, $f(1) = 1$).

(2) Complètement multiplicative (c.m.) si $f(mn) = f(m)f(n)$ pour tous $m, n \geq 1$.

(3) Complètement sous-multiplicative si $f \geq 0$ et $f(mn) \leq f(m)f(n)$ pour tous $m, n \geq 1$.

(4) Complètement sur-multiplicative si $f \geq 0$ et $f(mn) \geq f(m)f(n)$ pour tous $m, n \geq 1$.

Par exemple, un caractère de Dirichlet est une fonction complètement multiplicative. Les fonctions $\varphi, \mu, d$ sont multiplicatives. La fonction $d$ est complètement sous-multiplicative et la fonction $\varphi$ est complètement sur-multiplicative. Prouvons ce dernier point : soit

$$m = \prod_{p \in P} p^{\alpha_p}, \quad n = \prod_{p \in P} p^{\beta_p}, \quad mn = \prod_{p \in P} p^{\alpha_p + \beta_p} \quad \text{avec } \alpha_p, \beta_p \geq 0.$$

Nous avons

$$\varphi(m) = m \prod_{p \in P} \delta_p \text{ avec } \delta_p = 1 \text{ si } \alpha_p = 0 \text{ et } \delta_p = 1 - 1/p \text{ si } \alpha_p \ge 1.$$

De même, $\varphi(n) = n \prod_{p \in P} \varepsilon_p$ et $\varphi(mn) =: mn \prod_{p \in P} \zeta_p$. Et on a toujours $\zeta_p \geq \delta_p \varepsilon_p$. En effet, $\delta_p = \varepsilon_p = \zeta_p = 1$ si $\alpha_p = \beta_p = 0$. Et sinon $\zeta_p = 1 - 1/p \geq \delta_p \varepsilon_p$. Ces deux types de régularité (en moyenne ou arithmétique) se reflètent bien dans la série de Dirichlet génératrice de $n \mapsto a_n$ donnée par (en termes d'intégrale de Stieltjes)

$$G(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s} = \int_{1/2}^{\infty} x^{-s} dA(x) \text{ avec } A(x) = \sum_{n \le x} a_n. \quad (1.3)$$

Rappelons par exemple que (p désignant toujours un nombre premier)

**Proposition 1.1** (L. Euler). *Soit f une fonction multiplicative sommable (i.e. $\sum |f(n)| < \infty$) et de module < 1. Alors*

$$\sum_{n \ge 1} f(n) = \prod_p \left[ 1 + \sum_{k=1}^{\infty} f(p^k) \right]. \quad (1.4)$$

*En particulier, si g est c.m. et $|g(n)| \le 1$, on a pour $\Re s > 1$*

$$\zeta_g(s) := \sum_{n \ge 1} g(n) n^{-s} = \prod_p (1 - g(p) p^{-s})^{-1}.$$
Outre la brique qu'est la fonction $\zeta := \zeta_1$ associée à $g \equiv 1$, d'autres séries de Dirichlet classiques sont

$$ \sum_{n \ge 1} \mu(n) n^{-s} = \frac{1}{\zeta(s)}, \quad \sum_{n \ge 1} |\mu(n)| n^{-s} = \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}, $$

$$ \sum_{n \ge 1} \varphi(n) n^{-s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}, \quad \sum_{n \ge 1} d(n) n^{-s} = [\zeta(s)]^2. $$

Ces identités sont immédiates en termes de produit de convolution de Dirichlet, comme nous le verrons un peu plus loin. Par exemple l'identité $\sum_{d|n} \varphi(d) = n$, soit encore $\varphi * e = I$ avec $e(n) = 1$ et $I(n) = n$ pour tout $n \ge 1$ donne

$$ (\sum_{n \ge 1} \varphi(n) n^{-s})(\sum_{n \ge 1} e(n) n^{-s}) = \sum_{n \ge 1} I(n) n^{-s}, $$

c'est-à-dire la troisième relation.

Le succès de la théorie des séries de Dirichlet est dû historiquement à deux théorèmes majeurs :

(1) Le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet

(2) Le théorème des nombres premiers de Hadamard et de la Vallée-Poussin.

Plus généralement, soixante ans plus tard, les théorèmes “taubériens” (Ikehara, Delange, cf. [7] p. 154) disaient en gros :

f fait ceci et $a_n$ est “sage” (par exemple $a_n \ge 0$) implique $A(x)$ fait cela.

C'est ainsi, comme on vient de le dire, que l'on peut prouver le théorème des nombres premiers (TNP), ou celui de Dirichlet sur les progressions arithmétiques. Mais bien d'autres résultats encore.

Un autre point de vue, dû à H. Bohr, est d'étudier ces séries de Dirichlet pour elles-mêmes, un peu comme on a étudié les espaces de Banach, dont l'introduction était motivée par des problèmes d'analyse classique, de Fourier par exemple. C'est le chemin qui sera suivi ici, avec trois volets :

(1) Séries de Dirichlet individuelles (ce chapitre)

(2) Espaces de Banach de séries de Dirichlet

(3) Opérateurs de composition sur les espaces de séries de Dirichlet.

Aujourd'hui encore, une excellente référence pour la théorie des séries de Dirichlet générales $\sum_{n=1}^{\infty} a_n e^{-\lambda_n s}$ est le livre de Hardy et Riesz ([25]).
## 1.2. Domaine de convergence

Nous utiliserons constamment la notation, pour tout nombre réel $\theta$ :

$$C_{\theta} = \{s \in \mathbb{C} ; \Re s > \theta\}.$$

### 1.2.1. Lemme de Jensen

Le point de départ de l'étude des séries de Dirichlet est l'analogue du lemme d'Abel pour les séries entières.

**Lemme 1.2 (Jensen).** Si une série de Dirichlet $f(s) = \sum_{n \ge 1} a_n n^{-s}$ converge en un point $s_0$, elle converge uniformément dans tout secteur de sommet $s_0$

$$S_{\alpha} = \{s \in \mathbb{C} ; |s - s_0| \le \frac{\Re(e(s - s_0))}{\cos \alpha}\}$$

avec $0 \le \alpha < \pi/2$.

Pour la preuve, on renvoie à [48], chapitre 4.

### 1.2.2. Abscisse de convergence simple

D'après le Lemme 1.2, on peut associer à chaque série de Dirichlet

$$f(s) = \sum_{n \ge 1} a_n n^{-s} \qquad (1.5)$$

un nombre $\sigma_c \ge -\infty$, appelé l'abscisse de convergence, qui est l'analogue du rayon de convergence pour une série entière, et qui vérifie :

$$\Re s > \sigma_c \implies (1.5) \text{ converge;} \quad \Re s < \sigma_c \implies (1.5) \text{ diverge.}$$

De plus, $f$ est holomorphe dans $C_{\sigma_c}$.

En effet, la série de fonctions holomorphes $\sum_{n \ge 1} a_n n^{-s}$ converge uniformément sur tout compact de $C_{\sigma_c}$ d'après le lemme de Jensen.

Mais contrairement au cas des séries entières, plusieurs autres abscisses seront associées à (1.5). Observons déjà que la plus simple des séries de Dirichlet, analogue à la série entière $\sum_{n=0}^{\infty} z^n = \frac{1}{1-z}$, n'est autre que la série $\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}$, la fameuse fonction zeta de Riemann !
## 1.3. Abscisses de convergence

### 1.3.1. Les formules de Bohr-Cahen

Pour une série de Dirichlet $\sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$, toujours supposée diverger au point 0, nous définissons de façon évidente trois abscisses $\sigma_a, \sigma_u, \sigma_c$, respectivement les abscisses de convergence absolue, uniforme, simple dans un demi-plan vertical. Cahen puis Bohr ont montré les formules suivantes ([48], chapitre 4), analogues à la formule de Hadamard pour le rayon de convergence d'une série entière, à savoir, en posant

$$A_N = \sum_{n=1}^{N} a_n, \quad U_N = \sup_{t \in \mathbb{R}} \left| \sum_{n=1}^{N} a_n n^{-it} \right| = \left\| \sum_{n=1}^{N} a_n n^{-it} \right\|_{\infty}, \quad A_N^* = \sum_{n=1}^{N} |a_n| \quad (1.6)$$

**Théorème 1.3.** *Les abscisses de convergence d'une série de Dirichlet qui diverge en 0, $\sigma_c \le \sigma_u \le \sigma_a$, sont données par les formules*

$$\sigma_a = \limsup_{N \to \infty} \frac{\log A_N^*}{\log N}, \quad \sigma_u = \limsup_{N \to \infty} \frac{\log U_N}{\log N}, \quad \sigma_c = \limsup_{N \to \infty} \frac{\log |A_N|}{\log N}. \quad (1.7)$$

*On a de plus $\sigma_a - \sigma_c \le 1$ et la constante 1 est optimale.*

Une application de ces formules est le

**Théorème 1.4 (Bohr).** *On a toujours $\sigma_a - \sigma_u \le 1/2$, et c'est optimal.*

*Démonstration.* On a clairement pour $T > 0$ :

$$U_N^2 \ge \frac{1}{T} \int_0^T \left| \sum_{n=1}^N a_n n^{it} \right|^2 dt.$$

D'où $U_N^2 \ge \sum_{n=1}^N |a_n|^2$ en développant le carré du module, en intégrant et en faisant tendre $T$ vers l'infini. Ensuite, Cauchy-Schwarz donne $A_N^* \le \sqrt{N}(\sum_{1 \le n \le N} |a_n|^2)^{1/2} \le \sqrt{N} U_N$, puis

$$\frac{\log A_N^*}{\log N} \le \frac{1}{2} + \frac{\log U_N}{\log N}$$

et le début du résultat s'ensuit. L'optimalité de la constante 1/2 est un résultat hautement non-trivial pour lequel on renvoie à ([48], p. 134). □

Une autre application est le
**Théorème 1.5.** Soit $0 < \alpha < 1$ et $a_n = e^{in^\alpha}$. On a $\sigma_a = 1$ et $\sigma_c = 1 - \alpha$. En particulier, la différence $\sigma_a - \sigma_c$ peut prendre toute valeur entre 0 et 1.

*Démonstration.* D'après les formules de Bohr-Cahen, il suffit de montrer que

$$A_N \sim \frac{N^{1-\alpha}}{i\alpha} e^{iN^\alpha}.$$

Nous ferons la preuve seulement pour $\alpha < 1/2$, utilisant une formule de Euler-McLaurin à l'ordre 1 et notant $\{t\}$ la partie fractionnaire de $t$ :

$$\sum_{n=1}^{N} f(n) = \int_{0}^{N} f(t)dt + \int_{0}^{N} \{t\}f'(t)dt$$

pour $f$ de classe $C^1$ sur $(0, \infty)$, intégrable en 0 ainsi que sa dérivée. Cela donne ici

$$A_N = \int_0^N e^{it^\alpha} dt + \int_0^N \{t\} i\alpha t^{\alpha-1} e^{it^\alpha} dt =: I_N + J_N.$$

Une double intégration par parties montre que

$$I_N = \frac{N^{1-\alpha}}{i\alpha} e^{iN^\alpha} + O(N^{1-2\alpha}).$$

On a clairement $J_N = O(N^\alpha)$, d'où le résultat puisque $\alpha < 1 - \alpha$. Le cas général est analogue, avec une formule d'Euler-McLaurin d'ordre de plus en plus élevé quand $\alpha$ s'approche de 1. $\square$

### 1.3.2. Produit de séries de Dirichlet

Dans cette section de survol, nous nous contenterons d'énoncés, pour la preuve desquels nous renvoyons à ([48], chapitre 4). Voici l'analogue du produit de Cauchy dans notre cadre.

Soit $A(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$ et $B(s) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n n^{-s}$ deux séries de Dirichlet, et $s_0 \in \mathbb{C}$. Une sommation par paquets donne l'important résultat suivant (même si la preuve est évidente dans le premier cas) :

**Théorème 1.6.** Supposons que les séries de Dirichlet $A(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$ et $B(s) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n n^{-s}$ sont absolument convergentes en $s_0$, et soit $C(s) = A(s)B(s)$. Alors, $C(s_0) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n n^{-s_0}$, où $c = (c_n)$ est le produit de Dirichlet de $a = (a_n)$ et $b = (b_n)$, c'est-à-dire ($d|n$ signifiant $d$ divise $n$) :

$$c_n = \sum_{d|n} a_d b_{n/d} = \sum_{ij=n} a_i b_j. \qquad (1.8)$$
Le résultat reste vrai si l'une des séries converge absolument, et l'autre simplement, en $s_0$.

À cause de l'importance de cette formule, on écrit $c = a * b = b * a$. L'ensemble des fonctions arithmétiques, c'est-à-dire l'ensemble $\mathcal{R}$ de toutes les fonctions $f: \mathbb{N}^* \to \mathbb{C}$, muni de l'addition naturelle et de la convolution de Dirichlet (aussi appelée convolution arithmétique) * comme produit, devient un anneau local dont l'idéal maximal des éléments non-inversibles est l'ensemble des $f$ telles que $f(1) = 0$, et dont l'unité $\delta$ est définie par

$$ \delta(1) = 1; \quad \delta(n) = 0 \text{ si } n \ge 2. $$

Observons que $\mathcal{R}$ n'est pas noethérien car la suite $(I_n)$ d'idéaux engendrés par $(p_1^{-s}, p_2^{-s}, \dots, p_n^{-s})$, où $(p_n)$ désigne la suite des nombres premiers, est croissante et non-stationnaire. Malgré tout, il a la jolie propriété de finitude suivante ([17]) :

**Théorème 1.7.** *L'anneau $\mathcal{R}$ est factoriel.*

Ce résultat a été étendu (de façon non-triviale) au sous-anneau $\mathcal{R}_c$ des séries de Dirichlet convergentes ([8]), c'est-à-dire ayant une abscisse de convergence $\sigma_c < \infty$.

**Théorème 1.8.** *L'anneau $\mathcal{R}_c$ est factoriel.*

Deux éléments importants de $\mathcal{R}$ sont $e$ défini par $e(n) = 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et son inverse pour $*$, la fonction de Möbius $\mu$ déjà évoquée définie par

$$ \mu(1) = 1 \\ \mu(n) = \begin{cases} (-1)^k & \text{si } n = p_1 \dots p_k \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases} \qquad (1.9) $$

Avec cette définition, dans laquelle $p_1, \dots, p_k$ sont des nombres premiers distincts, on vérifie facilement que $\mu = e^{-1}$, à savoir :

$$ \sum_{d|n} \mu(d) = 1 \text{ si } n = 1 \text{ et } \sum_{d|n} \mu(d) = 0 \text{ sinon.} $$

Cette définition très artificielle de $\mu$ est bien sûr motivée par la fonction zeta et son produit d'Euler :

$$ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} e(n) n^{-s} = \prod_{p} (1 - p^{-s})^{-1}, $$
d'où via (1.8)

$$ \frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infty} \mu(n)n^{-s} = \prod_{p} (1 - p^{-s}), $$

et en développant formellement le membre de droite, on arrive à la définition (1.9) de la fonction de Möbius.

On a dit que le théorème 1.6 restait valable quand par exemple A est absolument convergente et B convergente en $s_0$, mais que la série $C(s_0)$ peut diverger si A et B sont seulement convergentes en $s_0$. Un exemple est fourni par

$$ a = b, a_n = \varepsilon_n \chi(n), \text{où } \varepsilon_n \downarrow 0 \text{ lentement} $$

et où $\chi$ est le caractère non-principal modulo 3 :

$$ \chi(3n) = 0, \chi(3n+1) = 1, \chi(3n+2) = -1. $$

Si $c = a * b$, on voit que $c_n = \chi(n) \sum_{ij=n} \varepsilon_i \varepsilon_j$ et donc, si n est pas divisible par 3 :

$$ |c_n| = \sum_{ij=n} \varepsilon_i \varepsilon_j \geq \varepsilon_n^2 |d(n)|, \text{ puis } |c_{2n}| \geq (n+1)(\varepsilon_{2n})^2. $$

On ajuste $\varepsilon_n$ pour que ce dernier terme soit $\geq 1$. Alors, A et B = A convergent en zéro, mais $c_n$ ne tend pas vers zéro.

Mais on pourrait espérer que $C(s_0 + \varepsilon)$ converge pour tout $\varepsilon > 0$. Il n'en est rien, et le théorème suivant ([48], p. 113) est a priori surprenant, et non-trivial :

**Théorème 1.9.** Si $A(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$ et $B(s) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n n^{-s}$ convergent en $s = 0$, la série produit $C$ converges en $\frac{1}{2} + i\tau = s$, pour tout $\tau$ réel. Et le résultat est optimal en ce qui concerne $\mathbb{R}$ s.

### 1.4. Comportement au bord

Là aussi, on renvoie à ([48], chapitre 4) pour plus de détails. On sait bien que toute série entière a au moins un point singulier sur son cercle de convergence. On pourrait penser que de même une série de Dirichlet, d'abscisse de convergence simple $\sigma_c \in \mathbb{R}$, a au moins un point singulier sur sa droite de convergence $\mathbb{R} s = \sigma_c$. Il n'en est rien...

**Théorème 1.10.** Il existe une série de Dirichlet $A(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$ d'abscisse de convergence simple $\sigma_c = 0$ et qui se prolonge en une fonction entière.
*Démonstration.* On pourrait prendre pour *A* la fonction zeta alternée

$$A(s) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n^{-s} = (1 - 2^{1-s})\zeta(s).$$

Voici un exemple plus élémentaire si on connaît les rudiments sur la fonction $\Gamma$: $A(s) = \sum_{n=0}^{\infty} w_n(n+1)^{-s}$ où $(w_n)$ est la suite de Morse définie inductivement par

$$w_0 = 1, w_{2n} = w_n, w_{2n+1} = -w_n.$$

Soit encore, si $f(q) = \sum_{n=0}^{\infty} w_n q^n$,

$$f(q) = (1-q)f(q^2). \qquad (1.10)$$

Si $W_n = w_0 + \dots + w_n$, une récurrence montre que $|W_{2n}| = 1$, $W_{2n+1} = 0$. On a donc $\sigma_c = 0$. Et la série entière génératrice de $(w_n)$ est d'après (1.10) :

$$f(q) = \sum_{n=0}^{\infty} w_n q^n = \prod_{j=0}^{\infty} (1 - q^{2j}) =: P(q), \quad |q| < 1. \qquad (1.11)$$

En utilisant (1.11) et la représentation

$$(n+1)^{-s} = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_{0}^{\infty} t^{s-1} e^{-(n+1)t} dt, \quad \Re s > 0$$

on obtient par permutation somme-intégrale

$$A(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_{0}^{\infty} t^{s-1} e^{-t} P(e^{-t}) dt, \quad \Re s > 1.$$

Mais le second membre est le produit de deux fonctions entières, car $t \mapsto P(e^{-t})$ a un zéro d'ordre infini à l'origine, qui compense la singularité de $t \mapsto t^{s-1}$ pour toute valeur de $s$. $\square$

Il y a quand même deux cas où l'analogie avec les séries entières a lieu.

**Théorème 1.11 (Landau).** Soit $A(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$ une série de Dirichlet à coefficients $a_n$ positifs, d'abscisse de convergence $\sigma_c = \sigma_a \in \mathbb{R}$. Alors, le point $s = \sigma_a$ est un point singulier pour la somme $A$.

L'exemple de la fonction zeta, pour laquelle $\sigma_c = 1$ et seul le point 1 est singulier, montre que le résultat de Landau est optimal.

Tous les points de la droite $\Re s = \sigma_c$ peuvent aussi être singuliers (on parle alors de coupure), comme dans le cas des séries entières. On peut utiliser l'analogue du théorème de Borel pour les séries entières ("le cercle de convergence est en général une coupure"), sous forme d'un argument
probabiliste ([33], p. 44). En pensant à l'espace $\mathcal{H}^2$ des séries de Dirichlet à coefficients de carré sommable, qui jouera un rôle important aux chapitres 2 et 3 de ce travail, nous nous placerons plutôt dans un cadre topologique (théorème de Baire) : soit $\Omega = \{-1, 1\}^{\mathbb{N}^*}$ l'ensemble de Cantor abstrait dont on note les points $\omega = (\varepsilon_n(\omega))$. On dira que $E \subset \Omega$ est quasi-sûr si $E$ contient un $G_\delta$ dense. Soit aussi $f(s) = \sum_{n=1}^\infty b_n e^{-\lambda_n s}$ une série de Dirichlet générale (i.e. $\lambda_n \ge 0$ et $\lambda_n$ croît strictement vers $+\infty$) d'abscisse de convergence absolue $\sigma_a = \alpha$. On pose, pour tout $\omega \in \Omega$,

$$f_{\omega}(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \varepsilon_{n}(\omega)b_{n}e^{-\lambda_{ns}}, \text{ avec } \sigma_{a}(f_{\omega}) = \alpha.$$

Avec cette terminologie, on a le résultat suivant ([47], avec une coquille p. 270) :

**Théorème 1.12.** Soit $f(s) = \sum_{n=1}^\infty b_n e^{-\lambda_n s}$ une série de Dirichlet générale d'abscisse de convergence absolue $\sigma_a = \alpha \in \mathbb{R}$; alors, la droite Re $s = \alpha$ est quasi-sûrement une coupure pour $f_\omega$.

*Démonstration.* Soit $\mathbb{Q}$ l'ensemble des rationnels, et $E$ l'ensemble des $\omega \in \Omega$ tels que $\Re s = \alpha$ n'est pas une coupure pour $f_\omega$. On a

$$E = \bigcup_{a,r,N, \text{ où } a = \alpha + it, t \in \mathbb{Q}, r \in \mathbb{Q}^{+}, N \in \mathbb{N}^{*}} E_{a,r,N},$$

et où $E_{a,r,N}$ est l'ensemble des $\omega$ tels que $\sum_{n=1}^\infty b_n \varepsilon_n(\omega) e^{-\lambda_n s}$ a un prolongement analytique (toujours noté $f_\omega$) à $D(a,r) = \{s ; |s - a| < r\}$ avec $|f_\omega| \le N$ pour $s \in D(a,r)$. Un argument de famille normale montre que $E_{a,r,N}$ est fermé dans $\Omega$. Si jamais $\omega_0 = (\delta_n)$ est intérieur à $E_{a,r,N}$, soit $M$ un entier tel que $\varepsilon_n(\omega') = \delta_n$ pour $n \le M$ implique $\omega' \in E_{a,r,N}$. Pour tout $\omega \in \Omega$, on peut écrire

$$f_{\omega}(s) = \left[ \sum_{n=1}^{M} \delta_n b_n e^{-\lambda_n s} + \sum_{n=M+1}^{\infty} \varepsilon_n(\omega) b_n e^{-\lambda_n s} \right] + \left[ \sum_{n=1}^{M} (\varepsilon_n(\omega) - \delta_n) b_n e^{-\lambda_n s} \right] \\ =: f_{\omega'}(s) + P(s)$$

avec $\omega' \in E_{a,r,N}$ et $P$ un polynôme de Dirichlet. On peut donc étendre $f_\omega$ à $D(a,r)$ avec $|f_\omega(s)| \le N + 2 \sum_{n=1}^M |b_n| e^{-\lambda_n(\alpha-r)} =: C$. Fixons $0 < \rho < r/3$ si bien que $\bar{D}(a + \rho, 2\rho) \subset D(a,r)$. Les inégalités de Cauchy et une dérivation terme à terme permise (noter que $a + \rho \in \mathbb{C}_\alpha$) impliquent

$$\frac{|f_{\omega}^{(j)}(a + \rho)|}{j!} = \frac{|\sum_{n=1}^{\infty} b_n \varepsilon_n(\omega) \lambda_n^j e^{-\lambda_n(a+\rho)}|}{j!} \le \frac{C}{(2\rho)^j}, \quad j = 0, 1, \dots$$
Cela ayant lieu pour tout choix de signes $\omega$, et puisque d'autre part $\sup_{\omega} |\sum_{n=1}^{\infty} \varepsilon_n(\omega)z_n| \ge \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} |z_n|$ pour toute série absolument convergente $\sum z_n$ de complexes, on en déduit

$$ \frac{\sum_{n=1}^{\infty} |b_n| \lambda_n^j e^{-\lambda_n(\alpha+\rho)}}{j!} \le \frac{2C}{(2\rho)^j}. \quad (1.12) $$

Fixons $\rho < R < 2\rho$, multiplions chaque terme de (1.12) par $R^j$, ajoutons et permutons, il vient

$$ \sum_{n=1}^{\infty} |b_n| e^{-\lambda_n(\alpha+\rho-R)} \le 2C \sum_{j=0}^{\infty} \left(\frac{R}{2\rho}\right)^j < \infty. $$

Mais ceci est impossible car $\alpha+\rho-R < \alpha$. Cette contradiction montre que chaque fermé $E_{a,r,N}$ est d'intérieur vide, ainsi que leur union dénombrable $E$, par le théorème de Baire. Le résultat est ainsi prouvé. $\square$

**Corollaire 1.13.** Il existe une série de Dirichlet $A(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$ à coefficients $a_n$ de carré sommable, soit $\sum |a_n|^2 < \infty$, qui vérifie :

$$ (1) \quad \sigma_c = 1/2 $$

$$ (2) \quad \text{La droite de convergence } \Re s = 1/2 \text{ est une coupure pour } A. $$

*Démonstration.* On applique le théorème précédent avec $\lambda_n = \log n$ et $b_n = \frac{1}{\sqrt{n \log(n+1)}}$, pour lequel on a $\sigma_a(f) = 1/2$. Si $f_\omega(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \varepsilon_n(\omega) b_n n^{-s}$, on peut trouver $\omega_0$ tel que $\sigma_c(f_{\omega_0}) = 1/2$ et la droite $\Re s = 1/2$ est une coupure pour $f_{\omega_0}$. Il n'y a plus qu'à prendre $A = f_{\omega_0}$, soit $a_n = \varepsilon_n(\omega_0)b_n$, qui vérifie les deux conditions requises puisque

$$ \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \log^2(n+1)} < \infty, \quad \text{et} \quad \sigma_c(A) = 1/2. \quad \square $$

## 1.5. Point de vue de Bohr

Une série de Dirichlet $\sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$ est par définition une fonction d'une variable complexe $s$. Mais H. Bohr a développé un point de vue original qui en fait des fonctions de plusieurs variables complexes indépendantes, voire d'une infinité de telles variables. Il se basait pour cela sur le théorème d'approximation diophantienne de Kronecker que nous allons d'abord décrire.
### 1.5.1. Théorème de Kronecker

**Définition 1.14.** Une suite $(x_1, \dots, x_r)$ de réels sera dite *indépendante* si elle est linéairement indépendante dans le $\mathbb{Z}$-module $\mathbb{R}$, soit encore si

$$ \sum_{j=1}^{r} n_j x_j = 0 \text{ et } n_j \in \mathbb{Z} \Rightarrow n_1 = \dots = n_r = 0. $$

Un exemple fondamental dans ce travail est celui de $x_j = \log p_j$ où $p_1, \dots, p_r$ sont des nombres premiers distincts. Cela est une reformulation de l'unicité de la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers. D'autre exemples sont $x_j = \theta^j$, où encore $x_j = \log(j + \theta)$, où $\theta$ est un nombre transcendant. L'importance de cette notion tient au théorème d'approximation simultanée suivant, qui joue un rôle essentiel en théorie analytique des séries de Dirichlet

**Théorème 1.15 (Kronecker).** Soit $x_1, \dots, x_r$ des réels indépendants, soit aussi $w_1, \dots, w_r \in \mathbb{T}$ et $\varepsilon > 0$. Alors, il existe $t \in \mathbb{R}$ tel que

$$ \sup_{1 \le j \le r} |e^{ix_j t} - w_j| \le \varepsilon. $$

De façon équivalente, si $f(t) = \sum_{j=1}^{r} c_j e^{ix_j t}$, on a toujours

$$ \|f\|_{\infty} := \sup_{t \in \mathbb{R}} |f(t)| = \sum_{j=1}^{r} |c_j|. $$

Ou encore si $K_t u = (u_1 e^{ix_1 t}, \dots, u_r e^{ix_r t})$, avec $u = (u_j) \in \mathbb{T}^r$, est le flot de Kronecker associé sur $\mathbb{T}^r$, $e = (1, \dots, 1)$ et $h(t) = K_t e$ :

$$ h : \mathbb{R} \to \mathbb{T}^r \text{ est d'image dense.} $$

Pour la preuve (qui découle aussi du théorème de Birkhoff-Khintchine à venir), cf. ([48], p. 49-51). Voici une application du théorème de Kronecker, qui servira au chapitre 2.

**Proposition 1.16.** Soit $f$ une fonction c.m. sommable. Alors

$$ \sup_{t \in \mathbb{R}} \left| \sum_{n \ge 1} \mu(n) f(n) n^{it} \right| = \sum_{n \ge 1} |\mu(n) f(n)|. $$

En particulier, si $\tau = \alpha + i\beta \in \mathbb{C}_1$,

$$ \sup_{s \in \mathbb{C}_0} |1/\zeta(s + \tau)| = \sum_{n=1}^{\infty} |\mu(n)|n^{-\alpha} = \frac{\zeta(\alpha)}{\zeta(2\alpha)}. $$
*Démonstration.* Soit $M$ le sup en question. On a clairement

$$M \leq \sum_{n=1}^{\infty} |\mu(n)f(n)|.$$

On observe ensuite que, pour tout entier $N \geq 1$ :

$$\sup_{t \in \mathbb{R}} \left| \sum_{n=1}^{N} \mu(n) f(n) n^{it} \right| = \sum_{n=1}^{N} |\mu(n) f(n)|. \qquad (1.13)$$

En effet, on peut par Kronecker trouver $t \in \mathbb{R}$ tel que $-p^{it}f(p)$ approche $|f(p)|$ pour $p$ premier $\leq N$. Soit $1 \leq n \leq N$. Si $n$ a des facteurs carrés, $f(n)\mu(n)n^{it} = |f(n)\mu(n)| = 0$. Si $n = p_1 \cdots p_r$ est sans facteurs carrés, on a

$$\mu(n)f(n)n^{it} = \prod_{1 \leq j \leq r} (-f(p_j)p_j^{it}) \sim \prod_{1 \leq j \leq r} |f(p_j)| = |f(n)| = |\mu(n)f(n)|.$$

Il s'ensuit que $M \geq \sum_{1 \leq n \leq N} |\mu(n)f(n)| - \sum_{n > N} |\mu(n)f(n)|$. Puis enfin $M \geq \sum_{n=1}^{\infty} |\mu(n)f(n)|$ en faisant tendre $N$ vers l'infini. Le cas particulier correspond à $f(n) = n^{-\tau}$. $\square$

### 1.5.2. Théorème de Birkhoff-Khintchine

**Théorème 1.17 (Birkhoff-Khintchine).** Soit $K_t$ le flot de Kronecker associé à un r-uplet $(x_1, \dots, x_r)$ de réels indépendants. Et soit $m$ la mesure de Haar sur le tore $\mathbb{T}^r$. Alors on a pour toute fonction $f : \mathbb{T}^r \to \mathbb{C}$ continue :

$$\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T f(K_t e) dt = \int_{\mathbb{T}^r} f(z) dm(z). \qquad (1.14)$$

Plus généralement, si $V \subset \mathbb{T}^r$ est un ouvert de frontière Haar-négligeable, $m(\partial V) = 0$, et si $f : \mathbb{T}^r \to \mathbb{C}$ est continue, on a

$$\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T \mathbf{1}_V(K_t e) f(K_t e) dt = \int_{\mathbb{T}^r} \mathbf{1}_V(z) f(z) dm(z). \qquad (1.15)$$

*Démonstration.* Vu la densité des polynômes trigonométriques dans les fonctions continues sur $\mathbb{T}^r$, il suffit de montrer (1.14) pour $f$ un caractère de $\mathbb{T}^r$, i.e. $f(z) = \prod_{j=1}^r z_j^{\alpha_j}$ avec $z = (z_j) \in \mathbb{T}^r$ et $\alpha_j \in \mathbb{Z}$. L'indépendance des $x_j$ joue un rôle clé pour montrer que les deux membres de (1.14) valent 0 quand les $\alpha_j$ ne sont pas tous nuls. Et ils valent trivalement 1 quand tous les $\alpha_j$ sont nuls. On en déduit (1.15) par approximation continue de
1<sub>V</sub>. Plus précisément, étant donné ε > 0, utilisant l'hypothèse $m(\partial V) = 0$, on peut trouver u, v continues positives telles que

$$u \le \mathbf{1}_V \le v \quad \text{et} \quad \int_{\mathbb{T}^r} (v-u)dm \le \varepsilon$$

et ensuite on conclut aisément.

On pourrait aussi bien utiliser les limites de moyennes symétriques

$$\lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} \dots \quad \square$$

### 1.5.3. Les transferts de Bohr

Bohr s'intéressait à l'abscisse de convergence uniforme $\sigma_u$ pour la raison suivante : si une série de Dirichlet $\sum a_n n^{-s}$ de somme $f$ est uniformément convergente dans un demi-plan $C_\theta$, alors la restriction de $f$ à toute droite verticale $\Re s = \sigma$ avec $\sigma > \theta$ est presque-périodique (de plus, un théorème de convergence uniforme ([48]) a lieu quand $f$ est bornée, comme on le verra au chapitre 2 sous une forme quantitative). À cet effet, il a développé une méthode originale pour étudier finement la norme-sup $U_N$ apparaisant dans (1.7), que nous allons décrire : soit $(p_j)$ la suite croissante des nombres premiers et soit $f(s) = \sum_{n=1}^{N} a_n n^{-s}$ un polynôme de Dirichlet. Notons $r$ l'indice tel que $p_r \le N < p_{r+1}$, soit encore $r = \pi(N)$, et écrivons la décomposition d'un entier $n \le N$ en produit de facteurs premiers :

$$n = \prod_{j=1}^{r} p_j^{\alpha_j(n)} =: p^{\alpha} \quad \text{avec} \quad \alpha = \alpha(n) = (\alpha_1(n), \dots, \alpha_r(n)) \in \mathbb{N}^r.$$

Notons comme précédemment (avec $x_j = \log p_j$)

$$h(t) = K_t e = (p_1^{it}, \dots, p_r^{it}).$$

Si $\alpha = \alpha(n)$ et $z = (z_1, \dots, z_r) \in \mathbb{T}^r$, on définit le polynôme algébrique $\Delta f$ par :

$$c_{\alpha} = a_n, \quad z^{\alpha} = \prod_{j=1}^{r} z_j^{\alpha_j} \quad \text{et} \quad \Delta f(z) = \sum_{\alpha} c_{\alpha} z^{\alpha}.$$

Observons maintenant que

$$f(-it) = \sum_{n=1}^{N} a_n n^{it} = \sum_{n=1}^{N} a_n \left( \prod_{j=1}^{r} p_j^{\alpha_j(n)} \right)^{it} = \sum_{n=1}^{N} a_n \prod_{j=1}^{r} (p_j^{it})^{\alpha_j(n)},$$
en d'autres termes on a la relation

$$f(-it) = \Delta f[h(t)]. \qquad (1.16)$$

Cette équation fondamentale de Bohr est plus qu'une identité formelle. En effet, on sait que $h(\mathbb{R})$ est dense dans $\mathbb{T}^r$ par le théorème de Kronecker. On pose

$$\|\Delta f\|_{\infty} = \sup_{|z_1|=\cdots=|z_r|=1} |\Delta f(z)| = \sup_{|z_1|\le 1, \dots, |z_r|\le 1} |\Delta f(z)|,$$

la dernière égalité étant due au principe du maximum distingué pour les fonctions analytiques dans le polydisque unité de $\mathbb{C}^d$. On pose aussi

$$\|f\|_p = \left( \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T |f(-it)|^p dt \right)^{\frac{1}{p}}$$

et

$$\|\Delta f\|_p = \left( \int_G |\Delta f(z)|^p(z) dm(z) \right)^{\frac{1}{p}}.$$

On peut alors écrire :

$$\|f\|_{\infty} = \|\Delta f\|_{\infty} \quad \text{et} \quad \|f\|_{p} = \|\Delta f\|_{p}, \quad 1 \le p < \infty. \qquad (1.17)$$

La dernière égalité de (1.17) provient du théorème de Birkhoff-Khintchine appliqué à la fonction continue $|\Delta f|^p$. Voici une application de la première égalité de (1.17) (cf. [48], p. 116).

**Théorème 1.18 (Bohr).** Soit $f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$ avec $\sigma_c \le 0$ et bornée sur $\mathbb{C}_0$, i.e. $\|f\|_{\infty} = \sup_{s \in \mathbb{C}_0} |f(s)| < \infty$. Alors, on a

$$\sum_{p} |a_p| \le \|f\|_{\infty}.$$

En particulier, l'abscisse de convergence uniforme de $\sum_{n=1}^{\infty} \mu(n)n^{-s}$ est 1.

## 1.6. L'espace $\mathcal{H}^p$

### 1.6.1. Définition via Bohr

L'égalité (1.17) est fondamentale pour étudier l'espace de Hardy $\mathcal{H}^p$ (avec $1 \le p < \infty$) des séries de Dirichlet, défini a priori comme le com- plété des polynômes de Dirichlet $P(s) = \sum_{n=1}^{n} a_n n^{-s}$ pour la norme de
Besicovitch déjà citée

$$
\|P\|_p = \left( \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T |P(-it)|^p dt \right)^{1/p} = \|\Delta P\|_p.
$$

Mais le plongement isométrique $P \mapsto \Delta P$, qui s'étend à $\mathcal{H}^p$, nous permet
d'identifier $\mathcal{H}^p$ et le sous-espace $H^p(\mathbb{T}^\infty)$ de $L^p(\mathbb{T}^\infty)$ formé des fonctions
$f \in L^p(\mathbb{T}^\infty)$ telles que, pour tout $\alpha = (\alpha_j) \notin \mathbb{N}^\infty$, le "narrow cone" de
H. Helson, on ait $\hat{f}(\alpha) = 0$. Et l'on a clairement l'inclusion contractante

$$
1 \le p < q \Rightarrow \mathcal{H}^q \subset \mathcal{H}^p.
$$

Le plus "gros" espace est donc $\mathcal{H}^1$. Le cas $p=2$ est facile :

$$
\mathcal{H}^2 = \{ f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s} ; \|f\|_2^2 = \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^2 < \infty \}.
$$

Mais le cas général nécessite le théorème de Birkhoff-Khintchine. Cette
définition de l'espace $\mathcal{H}^p$ peut paraître très abstraite, mais un résultat
d'hypercontractivité de Helson ([29], voir aussi [30]), améliorant lui-même
un résultat de même nature dû à Bayart ([9]), permet d'avoir une définition
plus manipulable, et en particulier de voir les éléments de $\mathcal{H}^p$ comme des
fonctions analytiques sur $\mathbb{C}_{1/2}$, fait que nous exploiterons au chapitre 3 :

**Théorème 1.19** (Helson). *Soit $f \in \mathcal{H}^1$. Alors, $f$ se représente par une série de Dirichlet $\sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$ telle que*

$$
\left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|a_n|^2}{d(n)} \right)^{1/2} \le \|f\|_1. \qquad (1.18)
$$

En particulier, $\sigma_a(f) \le 1/2$.

Dans cet énoncé, $d(n)$ représente le nombre de diviseurs de $n$. Comme il est notoire ([7], [31] p. 74) que $d(n) \le C_\varepsilon n^\varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$, la seconde partie de l'énoncé découle de la première et de l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Quant à "se représente", cela signifie qu'on peut associer de façon unique à chaque $f \in \mathcal{H}^p$ une série de Dirichlet formelle $\sum_n a_n n^{-s}$ avec, pour chaque $n$ :

$$
a_n = \lim_{j \to \infty} a_n^j \text{ où } P_j(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n^j n^{-s},
$$

la suite de polynômes de Dirichlet ($P_j$) étant de Cauchy dans $\mathcal{H}^p$. Le théorème nous dit que la série formelle est une série convergente, et un
peu mieux (elle converge dans $C_{1/2}$). Mais comme on va le voir, quand $p \neq 2$, l'espace $H^p(\mathbb{T}^\infty)$ n'est pas si sympathique que cela.

### 1.6.2. Non-complémentation de $H^p(\mathbb{T}^\infty)$

Quand on veut étudier l'espace $\mathcal{H}^p$ et ses opérateurs de composition (chapitre 3), à l'aide du transfert de Bohr vers $H^p(\mathbb{T}^\infty)$, on rencontre une difficulté intrinsèque liée au nombre infini de variables qui sous-tend le point de vue de Bohr, et se reflète dans le résultat suivant d'Ebenstein ([20]), qui mérite d'être mieux connu.

**Théorème 1.20.** Pour $1 < p < \infty$ et $p \neq 2$, le sous-espace $H^p(\mathbb{T}^\infty)$ n'est pas complémenté dans $L^p(\mathbb{T}^\infty)$.

*Démonstration.* Soit $(e_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ la base des caractères de $\mathbb{T}$ ($e_n(t) = e^{int}$) et soit $R: L^p(\mathbb{T}) \to H^p(\mathbb{T})$ la projection de Riesz définie formellement par

$$R(\sum_{-\infty}^{\infty} a_n e_n) = \sum_{0}^{\infty} a_n e_n.$$

On sait que $R$ est bornée (théorème de Riesz) et plus précisément que, pour $p \neq 2$ ([32]) :

$$\|R\| = \frac{1}{\sin \pi/p} =: \Delta_p > 1. \qquad (1.19)$$

La preuve complète de (1.19) est fort difficile, mais la minoration $\|R\| \ge \Delta_p$ est élémentaire, et nous suffira. On identifie une fonction de $H^p(\mathbb{D})$ et sa valeur au bord dans $H^p(\mathbb{T})$, et on considère, pour $0 < \gamma < 1/p$, la fonction $g = g_\gamma$ définie par $g(z) = (\frac{1+z}{1-z})^\gamma$ avec la détermination principale du log dans le demi-plan droit. Il est clair que $g \in H^p(\mathbb{D})$ et que, désignant par $\sigma(\theta)$ le signe de $\theta$ et posant $\delta = (\pi/2)\gamma$, nous avons

$$g(e^{i\theta}) = (i \cot(\theta/2))^\gamma = e^{i\delta\sigma(\theta)}|g(e^{i\theta})|, \quad |\theta| \le \pi.$$

Soit encore $g = u + iv$ avec

$$u = \cos \delta |g| \text{ et } v = \sigma \sin \delta |g|.$$

Ecrivant $g(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$, nous voyons que $R(g) = g$ et $R(\bar{g}) = \bar{a}_0 = 1$. Soit alors, pour $\alpha, \beta$ réels, $f = \alpha u + i\beta v$. Puisque $|a + ib| = |a - ib|$ pour $a, b$ réels, on a $|f| = |\alpha \cos \delta + i\beta \sin \delta| |g|$ ainsi que les deux relations

$$\|f\|_p = |\alpha \cos \delta + i\beta \sin \delta| \|g\|_p \qquad (1.20)$$

$$2f = (\alpha + \beta)g + (\alpha - \beta)\bar{g} \quad \text{et} \quad 2R(f) = (\alpha + \beta)g + (\alpha - \beta). \qquad (1.21)$$
D'où

$$2\|R\| \ge \frac{\|2R(f)\|_p}{\|f\|_p} \ge \frac{|\alpha + \beta||g\|_p - |\alpha - \beta|}{|\alpha \cos \delta + i\beta \sin \delta||g\|_p}$$

Mais $\|g\|_p = \|g_\gamma\|_p \to \infty$ quand $\gamma \to 1/p$, d'où posant $\delta_0 = \frac{\pi}{2p}$

$$2\|R\| \ge \frac{|\alpha + \beta|}{|\alpha \cos \delta_0 + i\beta \sin \delta_0|}.$$

Ajustant maintenant $\alpha = \sin^2 \delta_0$, $\beta = \cos^2 \delta_0$, on obtient

$$\|R\| \ge \frac{1}{2 \sin \delta_0 \cos \delta_0} = \frac{1}{\sin \pi/p}.$$

Maintenant, pour montrer que $H^p(\mathbb{T}^\infty)$ n'est pas complémenté dans $L^p(\mathbb{T}^\infty)$ pour $1 < p < \infty$ et $p \neq 2$, on utilise un fait classique d'analyse harmonique : soit $G$ un groupe abélien compact de mesure de Haar $m$ et de dual $\Gamma$, $\Lambda \subset \Gamma$ et soit

$$L_{\Lambda}^{p} = \{ f \in L^{p}(G) ; \hat{f}(\gamma) := \int_{G} f(t)\gamma(-t)dm(t) = 0 \text{ pour } \gamma \notin \Lambda \}.$$

**Fait.** S'il existe une projection continue $Q : L^p(G) \to L^p_\Lambda$, il existe une autre projection continue $P : L^p(G) \to L^p_\Lambda$ telle que

$$P(\gamma) = \gamma \text{ si } \gamma \in \Lambda \text{ et } P(\gamma) = 0 \text{ si } \gamma \notin \Lambda. \qquad (1.22)$$

On définit pour cela $P$ par l'intégrale vectorielle

$$P(f) = \int_G T_{-t} Q T_t(f) dm(t)$$

où $T_a$ est l'opérateur de translation défini par $T_a f(x) = f(x + a)$. Cela est permis puisque la translation $t \mapsto T_t f : G \to L^p(G)$ est continue pour $p < \infty$. Cette nouvelle projection vérifie $\|P\| \le \|Q\|$ et commute avec les translations $T_a$, d'où la relation (1.22) par un calcul facile.

Utilisons le fait précédent dans le cas

$$G = \mathbb{T}^{\infty}, \Gamma = \mathbb{Z}^{(\infty)}, \Lambda = \mathbb{N}^{(\infty)}.$$

(Ce $\Lambda$ s'appelle le "narrow cone" de Helson comme on l'a déjà dit). Supposons que $L^p_\Lambda$ est complémenté dans $L^p(\mathbb{T}^\infty)$. Soit donc $P : L^p(\mathbb{T}^\infty) \to L^p_\Lambda$ une projection continue vérifiant (1.22). Soit $\varepsilon > 0$ et $f \in L^p(\mathbb{T})$ telle que $\|f\|_p = 1$ et $\|R(f)\|_p \ge \Delta_p - \varepsilon$. Puis soit $N$ un entier $\ge 1$ et $f_N \in L^p(\mathbb{T}^\infty)$
définie par $f_N = f \otimes f \cdots \otimes f$ $N$ fois, c'est-à-dire $f_N(x) = \prod_{j=1}^N f(x_j)$ si $x = (x_j) \in \mathbb{T}^\infty$. Il est clair que $\|f_N\|_p = 1$ et que

$$P(f_N) = Rf \otimes \cdots \otimes Rf \quad \text{et donc} \quad \|P(f_N)\|_p = \|R(f)\|_p^N.$$

Par suite, $\|P\| \ge (\Delta_p - \varepsilon)^N$ puis $\|P\| \ge \Delta_p^N$. Mais cela est impossible car $\Delta_p^N \to \infty$ avec $N$ puisque $\Delta_p > 1$ ! Cette contradiction montre le théorème 1.20. $\square$

*Remarque 1.21.* Cette preuve illustre aussi l'importance des phénomènes (d'hyper)contractivité, comme c'était déjà le cas pour le théorème 1.19. Le simple fait qu'un opérateur $R$ en dimension un ait une norme $> 1$ empêche sa “tensorisation infinie”(même si, par itération du théorème de Riesz, $H^p(\mathbb{T}^N)$ est complémenté dans $L^p(\mathbb{T}^N)$ pour tout entier $N$ fixé). Si au contraire un opérateur $T$ en dimension un a une norme $\le 1$, sa tensorisation est souvent possible et se révèle très utile (voir [9] et [29] par exemple).
# Chapitre 2 : Espaces de séries de Dirichlet

## 2.1. Définitions hilbertiennes

### 2.1.1. Suites de Riesz

Les définitions suivantes (cf. [57]) nous serviront dans la suite de ce chapitre, et au chapitre suivant sur les opérateurs de composition. Soit $H$ un espace de Hilbert et $(x_j)_{j \ge 1}$ une suite de $H$. Nous dirons que

(1) $(x_j)$ est une suite de Riesz supérieure s'il existe une constante $B < \infty$ (appelée constante de Riesz supérieure) telle que

$$ \| \sum \lambda_j x_j \|^2 \le B^2 \sum |\lambda_j|^2 \|x_j\|^2 $$

pour toute suite finie $(\lambda_j)$ de scalaires ("le carré de la somme est dominé par la somme des carrés").

(2) $(x_j)$ est une suite de Riesz inférieure s'il existe une constante $A > 0$ (appelée constante de Riesz inférieure) telle que

$$ \| \sum \lambda_j x_j \|^2 \ge A^2 \sum |\lambda_j|^2 \|x_j\|^2 $$

pour toute suite finie $(\lambda_j)$ de scalaires ("le carré de la somme domine la somme des carrés").

(3) $(x_j)$ est une suite de Riesz s'il existe deux constantes $A$ et $B$ telles que

$$ A^2 \sum |\lambda_j|^2 \|x_j\|^2 \le \| \sum \lambda_j x_j \|^2 \le B^2 \sum |\lambda_j|^2 \|x_j\|^2 $$

pour toute suite finie $(\lambda_j)$ de scalaires ("le carré de la somme est comme la somme des carrés"). Autrement dit, les suites de Riesz sont celles qui sont à la fois de Riesz supérieures et de Riesz inférieures.

(4) $(x_j)$ est une base de Riesz si $(x_j)$ est une suite de Riesz qui est de plus totale dans $H$ : l'espace engendré par les $x_j$ est dense dans $H$.

*Remarque 2.1.* Il est clair qu'une suite de Riesz supérieure n'est pas toujours une suite de Riesz inférieure, car on peut répéter des vecteurs : par exemple $x_{2j-1} = x_{2j} = e_j$ où $(e_j)_{j \ge 1}$ est une base hilbertienne de $H$. C'est essentiellement la seule chose qu'on peut faire. La conjecture de Kadison-Singer ou plutôt de Feichtinger, résolue affirmativement par Marcus, Spielman, Srivastava (cf. article d'E. Matheron dans ces Annales) devient le théorème suivant ([39])
**Théorème 2.2.** *Toute suite de Riesz supérieure ($x_j$) normalisée, au sens où $0 < a \le \|x_j\| \le b < \infty$, est union finie de suites de Riesz.*

On peut maintenant se demander si une suite de Riesz inférieure normalisée n'est pas automatiquement une suite de Riesz supérieure, d'autant que cela arrive quand $x_j = \frac{K_{z_j}}{\|K_{z_j}\|}$ est une suite normalisée de noyaux reproduisants de l'espace $H^2$ du disque ([22] p. 278, [54]). Dans le jargon des spécialistes (cf. sous-sections suivantes), une suite d'interpolation (ici la suite $(z_j)$) est une suite de Carleson (pour $H^2$). Et K. Seip ([53]) m'a informé du fait que cela reste vrai pour d'autres espaces de Hilbert de fonctions, par exemple les espaces de Bergman, Paley-Wiener et Fock. Mais cela n'est pas impliqué par la propriété de Nevanlinna-Pick complète, qui irait plutôt en sens opposé.

Voici un contre-exemple dans le cas général ([15]) que m'a indiqué J.F. Burnol ; cet exemple est en dimension $n$, mais s'étend immédiatement par somme hilbertienne à la dimension infinie. Soit $(e_j)_{1\le j\le n}$ la base canonique de $\mathbb{C}^n$ et $u$ le vecteur unitaire $(1/\sqrt{n})\sum_{j=1}^n e_j$, ainsi que $T$ l'opérateur qui agit comme $I$ sur $u^\perp$ et comme $\sqrt{n}I$ sur la droite engendrée par $u$ ($I$ étant l'identité de $\mathbb{C}^n$). On pose $x_j = T(e_j)$ et on voit que

$$e_j = (1/\sqrt{n}) u + v_j \text{ avec } \langle v_j, u \rangle = 0, \quad x_j = u + v_j, \quad 1 \le \|x_j\| \le \sqrt{2}.$$

La suite $(x_j)$ est de Riesz supérieure avec une constante explosive, car

$$\| \sum_{j=1}^{n} x_j \| \ge n \|u\| = n \quad \text{alors que} \quad \left( \sum_{j=1}^{n} \|x_j\|^2 \right)^{1/2} \le \sqrt{2n}.$$

Par contre, elle est de Riesz inférieure avec une constante uniformément minorée quand $n \to \infty$. On a en effet, en utilisant le symbole de Kronecker

$$\langle x_j, x_k \rangle = 1 + \langle v_j, v_k \rangle = \left(1 - \frac{1}{n}\right) + \delta_{j,k}$$

si bien que, pour toute suite $(\lambda_j)$ de scalaires :

$$\| \sum_{j=1}^{n} \lambda_j x_j \|^2 = \sum_{1 \le j,k \le n} \lambda_j \overline{\lambda_k} \langle x_j, x_k \rangle = \sum_{j=1}^{n} |\lambda_j|^2 + (1-\frac{1}{n}) \sum_{j=1}^{n} |\lambda_j|^2 \ge \sum_{j=1}^{n} |\lambda_j|^2.$$

### 2.1.2. Suites de Carleson

**Définition 2.3** ([57]). Soit $H$ un espace de Hilbert et $(x_j)_{j \ge 1}$ une suite de vecteurs non nuls de $H$. On pose $y_j = x_j/\|x_j\|$ (souvent, $x_j$ est normée,
i.e. $\|x_j\| = 1$). Nous dirons que $(x_j)$ est une suite de Bessel s'il existe une constante $C$ telle que

$$ \sum_{j=1}^{\infty} |\langle x, y_j \rangle|^2 \le C \|x\|^2, \quad \forall x \in H. $$

(nous mettons ici $C$ au lieu de $C^2$ pour nous conformer aux usages sur les mesures de Carleson). La meilleure constante $C$ s'appelle la constante de Bessel de $(x_j)$ (s'il existait aussi une minoration $\sum_{j=1}^{\infty} |\langle x, y_j \rangle|^2 \ge c \|x\|^2$, on dirait que $(x_j)$ est un *frame*).

Les suites de Bessel normées ne sont autres que les suites de Riesz supérieures ([12]), comme le montre la

**Proposition 2.4 (Boas).** *Soit $(x_j)$ une suite normée de $H$. Alors, $(x_j)$ est de Riesz supérieure si et seulement si elle est de Bessel. De plus, si $C$ est sa constante de Bessel, $C^{1/2}$ est sa constante de Riesz supérieure.*

*Démonstration.* Par définition, $(x_j)$ est de Riesz supérieure avec constante $B$ si et seulement si $\|\sum_j \lambda_j x_j\|^2 \le B^2 \|\sum_j \lambda_j e_j\|^2$ où $(e_j)_{j \ge 1}$ désigne la base canonique de $\ell^2$, donc s'il existe un opérateur $T : \ell^2 \to H$ tel que $T(e_j) = x_j$ et $\|T\| \le B$. L'opérateur adjoint $T^* : H \to \ell^2$ vérifie $\|T^*\| = \|T\|$ et il est donné via un calcul facile par

$$ T^*(x) = (\langle x, x_j \rangle)_{j \ge 1} $$

ce qui implique immédiatement le résultat. $\square$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

Nous particularisons maintenant au cas d'un espace de Hilbert $H$ de fonctions définies sur un espace topologique $\Omega$, de noyau reproduisant $K_a$, c'est-à-dire

$$ f(a) = \langle f, K_a \rangle \quad \text{pour toute } f \in H \text{ et tout } a \in \Omega. $$

(1) Une mesure borélienne positive $\mu$ sur $\Omega$ est une mesure de Carleson pour $H$ s'il existe une constante $C$ telle que

$$ \int_{\Omega} |f(z)|^2 d\mu(z) \le C \|f\|^2, \quad \forall f \in H. $$

La meilleure constante $C$ s'appelle la norme de Carleson de $\mu$, et se note $C = \|\mu\|_{C,H}$.
(2) Soit $Z = (z_j)$ une suite de points de $\Omega$. On dit que $Z$ est une suite de Carleson si la suite de vecteurs $x_j = \|K_{z_j}\|^{-1}K_{z_j}$ est de Bessel, autrement dit si la mesure discrète

$$ \mu_{Z,H} := \sum_j \|K_{z_j}\|^{-2} \delta_{z_j} $$

est de Carleson pour $H$. La constante de Carleson de $(z_j)$ est par définition $\|\mu_{Z,H}\|_{C,H}$, ou encore la constante de Bessel de $(x_j)$.

### 2.1.3. Suites d'interpolation

**Définition 2.5.** On dit qu'une suite $X = (x_j)$ d'un espace de Hilbert $H$ est une suite d'interpolation (ou de Riesz-Fischer) si, pour tout $w = (w_j) \in \ell^2$, on peut trouver $x \in H$ tel que

$$ \langle x, x_j \rangle = w_j, \quad j = 1, 2, \dots \qquad (2.1) $$

Alors, il existe une constante $C$ telle que l'on puisse trouver un tel $x$ avec $\|x\| \le C\|w\|$. Soit en effet $M$ l'espace fermé engendré par les $x_j$ et $T: \ell^2 \to M$ définie par $T(w) = x$ où $x \in M$ vérifie (2.1), ce vecteur existant (remplacer $x$ par sa projection orthogonale sur $M$) et étant unique. L'application $T$ est linéaire, a son graphe fermé, et donc est continue. Et la constante $C = \|T\|$ convient. Le lemme de Zabrejko ([56], p. 190), appliqué à la semi-norme sigma-sous-additive sur $\ell^2$ définie par

$$ N(w) = \inf\{\|x\|; \langle x, x_j \rangle = w_j \quad \forall j\} $$

donnerait aussi l'existence de $C$. Le meilleur $C$ possible s'appelle la constante d'interpolation de $X$, et se note $M_H(X)$.

Les suites d'interpolation normées ne sont autres que les suites de Riesz inférieures ([12]), comme le montre la

**Proposition 2.6** (Boas). Soit $X = (x_j)$ une suite normée de $H$. Alors, $(x_j)$ est de Riesz inférieure si et seulement si elle est d'interpolation. De plus, si $M_H(X)$ est sa constante d'interpolation, $[M_H(X)]^{-1}$ est sa constante de Riesz inférieure.

*Démonstration.* Soit $M$ l'espace fermé engendré par les $x_j$, qu'on a supposés normés. De nouveau, si $X$ est de Riesz inférieure de constante $A$, il existe par définition $S: M \to \ell^2$ telle que $S(x_j) = e_j$ pour tout $j$ et $\|S\| \le A^{-1}$. L'adjoint $S^*$ vérifie

$$ \langle S^*(w), x_j \rangle = \langle w, e_j \rangle = w_j \quad \forall w = (w_k) \in \ell^2, \quad \forall j \ge 1 $$
avec $\|S^*(w)\| \le \|S\|\|w\| \le A^{-1}\|w\|$, ce qui montre que $X$ est d'interpolation avec $M_H(X) \le A^{-1}$. La réciproque s'établit de même, en considérant l'adjoint de l'opérateur $T : \ell^2 \to M$ défini après (2.1) qui vérifiera

$$T^*(\sum_j \lambda_j x_j) = \sum_j \lambda_j e_j$$

et donnera pour $(x_j)$ une constante de Riesz inférieure $A \ge [M_H(X)]^{-1}$. $\square$

Passons au cas d'un espace de Hilbert $H$ de fonctions définies sur un espace topologique $\Omega$, de noyau reproduisant $K_a$. La suite de points $Z = (z_j) \subset \Omega$ est une suite d'interpolation pour $H$ si la suite de vecteurs $x_j = \|K_{z_j}\|^{-1} K_{z_j}$ est d'interpolation, ou encore si, pour toute suite $(w_j)$ telle que l'on ait $\sum_j |w_j|^2 \|K_{z_j}\|^{-2} < \infty$, il existe $f \in H$ telle que

$$\langle f, K_{z_j} \rangle = f(z_j) = w_j \quad \text{et} \quad \|f\| \le C \left( \sum_j |w_j|^2 \|K_{z_j}\|^{-2} \right)^{1/2}.$$

### 2.2. Critères de “Rieszitude”

Le sous-espace $E$ engendré par des $K_{z_j}$ s'appelle *un espace modèle*. La proposition suivante reformule les Propositions 2.4 et 2.6, appliquées à la suite $x_j = \|K_{z_j}\|^{-1} K_{z_j}$, dans le langage des espaces de fonctions, et donne une condition nécessaire et suffisante pour qu'une suite $(K_{z_j})$ de noyaux reproduisants soit une suite de Riesz supérieure (resp. inférieure) pour l'espace modèle $E$ qu'elle engendre, avec contrôle des constantes.

**Proposition 2.7.** *Soit $Z = (z_j)$ une suite finie dans $\Omega$. Alors*

(1) $\| \sum_j \lambda_j K_{z_j} \|^2 \le \|\mu_{Z,H}\|_{C,H} \sum_j |\lambda_j|^2 \|K_{z_j}\|^2$, et de plus $\|\mu_{Z,H}\|_{C,H}^{1/2}$ est la constante de Riesz supérieure de $(K_{z_j})$.

(2) $\| \sum_j \lambda_j K_{z_j} \|^2 \ge [M_H(Z)]^{-2} \sum_j |\lambda_j|^2 \|K_{z_j}\|^2$, et de plus $[M_H(Z)]^{-1}$ est la constante de Riesz inférieure de $(K_{z_j})$.

*Remarque 2.8.* On pourrait se contenter de parler de suites de Bessel et de suites de Riesz-Fischer, mais ce “langage à la Carleson” munit d’une intuition géométrique utile (via un théorème de plongement de Carleson) dans l’étude des opérateurs de composition $C_\varphi$ associés à une application holomorphe $\varphi : \Omega \to \Omega$ lorsque $\Omega$ est un ouvert du plan complexe (le
disque unité, ou un demi-plan pour les séries de Dirichlet). Ces opérateurs
(cf. chapitre 3) sont formellement définis par

$$
C_{\varphi}(f) = f \circ \varphi, \quad \text{avec } C_{\varphi} : H \to H(\Omega).
$$

2.3. L'espace de Hilbert H²

Rappelons la notation, pour tout nombre réel θ :

$$
\mathbb{C}_{\theta} = \{ s \in \mathbb{C} ; \Re s > \theta \}.
$$

2.3.1. Bases de dilatées de l'espace de Hilbert L²(0, 1)

Soit $H$ l'espace de Hilbert $L^2(0,1)$.
On convient qu'une fonction $\varphi \in H$
s'étend d'abord en une fonction *impaire* sur $(-1,1)$ puis en une fonction 2-périodique sur $\mathbb{R}$, toujours notée $\varphi$. On remarque (exercice) que
si $\psi(x) = \sqrt{2} \sin \pi x$, les dilatées $\psi_n(x) := \psi(nx)$, $n = 1,2,\dots$ forment
une *base* orthonormale de $H$ ou encore que toute fonction $\varphi \in H$ a un
développement de Fourier

$$
\varphi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sqrt{2} \sin n\pi x \quad \text{avec} \quad \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^2 < \infty.
$$

Et il est naturel de se demander quelles sont les fonctions $\varphi \in H$ qui
possèdent la même propriété. La question posée est tout à fait naturelle
et dans l'esprit du théorème de Wiener sur la totalité des translatées
d'une fonction (remplacées ici par leurs dilatées). Mais elle est trop ri-
gide : seules les fonction $a_1\sqrt{2}\sin n\pi x$ avec $|a_1| = 1$ conviennent, ce qui
demande une preuve ([14], théorème 2.4, voir aussi la remarque 2 qui suit
le théorème 2.30). Assouplissons-la en demandant

(1) Quelles sont les $\varphi \in H$ telles que les $(\varphi_n)_{n \ge 1}$ forment une base de Riesz de $H$ ?

(2) Quelles sont les $\varphi \in H$ telles que les $(\varphi_n)_{n \ge 1}$ forment un système total de $H$ ?

Comme on le verra, il existe une réponse satisfaisante à la première ques-
tion, en termes de séries de Dirichlet. Considérons la correspondance

$$
\varphi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sqrt{2} \sin n\pi x \in H \rightarrow S\varphi(s) := \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}.
$$
Puisque $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^2 < \infty$, cela amène naturellement à considérer l'espace $\mathcal{H}^2$ défini ainsi :

$$ \mathcal{H}^2 := \left\{ f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s} ; \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^2 =: \|f\|^2 < \infty \right\}. \quad (2.2) $$

Puisque

$$ f \in \mathcal{H}^2 \text{ et } \sigma > 1/2 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| n^{-\sigma} < \infty $$

par Cauchy-Schwarz, on voit que $\mathcal{H}^2$ est un espace de Hilbert de fonctions analytiques sur $\mathbb{C}_{1/2}$ et que les fonctions $u_n$ définies par $u_n(s) = n^{-s}$, $n = 1, 2, \dots$, forment une base orthonormale de $\mathcal{H}^2$. Le noyau reproduisant $K_a$ de $\mathcal{H}^2$, c'est-à-dire

$$ f(a) = \langle f, K_a \rangle \quad \forall f \in \mathcal{H}^2 $$

est donc donné pour $s, a \in \mathbb{C}_{1/2}$ par

$$ K_a(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \overline{u_n(a)} u_n(s) = \zeta(s + \bar{a}) \quad \text{avec } \|K_a\|^2 = K_a(a) = \zeta(2\Re a). $$

On a aussi clairement $K_a^{(j)} \in \mathcal{H}^2$ pour tout entier $j \ge 0$ et de plus

$$ f^{(j)}(a) = \langle f, K_a^{(j)} \rangle \quad \forall f \in \mathcal{H}^2. $$

Une réponse complète à la Question 1 sera donnée en termes de l'espace des multiplicateurs de $\mathcal{H}^2$ et de la “fonction génératrice” $S\varphi$. Considérons l'exemple fondateur suivant.

### 2.3.2. L'exemple de Wintner

Soit $\tau \in \mathbb{C}_{1/2}$ et $\varphi = \varphi^\tau \in H$ de développement de Fourier

$$ \varphi(x) = \sqrt{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n\pi x}{n^{\tau}}. \quad (2.3) $$

Wintner a démontré

**Théorème 2.9** (Wintner). Si $\varphi = \varphi^\tau$ avec $\tau \in \mathbb{C}_{1/2}$ est comme dans (2.3), les dilatées $(\varphi_n)_{n \ge 1}$ sont totales dans $H$.

*Démonstration.* Voici une preuve simple, basée sur le lemme classique suivant :
**Lemme 2.10.** Soit $(a_m)$ une série absolument convergente de complexes telle que $S_d := \sum_{k=1}^{\infty} a_{kd} = 0$ pour tout entier $d \ge 1$. Alors, $a_m = 0$ identiquement.

*Démonstration du lemme.* On utilise un argument de *crible* basé sur la fonction de Möbius $\mu$ en notant que, pour tout entier $n \ge 1$ :

$$ \sum_{d|n} \mu(d) S_d = \sum_{(m,n)=1} a_m = 0 $$

où $(m, n)$ désigne le p.g.c.d des entiers $m$ et $n$. En effet, le membre de droite vaut (séparation des variables)

$$ \sum_{m=1}^{\infty} a_m \left( \sum_{d|(m,n)} \mu(d) \right) = \sum_{m=1}^{\infty} a_m \left( \sum_{\substack{d|m, \\ d|n}} \mu(d) \right) = \sum_{d|n} \mu(d) \left( \sum_{k \ge 1} a_{kd} \right). $$

Il en résulte que

$$ a_1 = - \sum_{\substack{(m,n)=1, \\ m>1}} a_m, $$

d'où

$$ |a_1| \le \sum_{\substack{(m,n)=1, \\ m>1}} |a_m|. $$

En prenant $n = p_1 \cdots p_N$ où $(p_j)$ est la suite des nombres premiers, on obtient

$$ |a_1| \le \sum_{m>p_N} |a_m| $$

puis $a_1 = 0$ en faisant tendre $N$ vers l'infini. Soit ensuite $l$ un entier $\ge 1$ et $b_k := a_{lk}$. On a $\sum_{k \ge 1} |b_k| < \infty$ et $\sum_{k \ge 1} b_{kd} = S_{ld} = 0$ pour tout $d \ge 1$. Par ce qui précède, $a_l = b_1 = 0$. $\square$

Finissons maintenant la preuve du théorème 2.9. Pour cela, posons une fois pour toutes $e_j(x) = \sqrt{2} \sin 2\pi jx$ et considérons $g = \sum_{j=1}^{\infty} g_j e_j \in H$, orthogonale aux $\varphi_n = \sum_{k=1}^{\infty} k^{-\tau} e_{kn}$. Alors

$$ 0 = \langle \varphi_n, g \rangle = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\overline{g_{kn}}}{k^{\tau}} = n^{\tau} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\overline{g_{kn}}}{(kn)^{\tau}}. $$

Les hypothèses du lemme sont vérifiées pour la suite $a_m = \overline{g_m} m^{-\tau}$, sommable puisque $\Re \tau > 1/2$ et $(g_m) \in \ell^2$. On en déduit que tous les $g_m$ et $g$ sont nuls, ce qui achève la preuve. $\square$
Le lemme devient faux en l'absence de convergence absolue, comme le montre l'exemple $a_n = \frac{\lambda(n)}{n}$ où $\lambda$ est la fonction complètement multiplicative de Liouville ([45], p. 29), qui vaut $-1$ sur les nombres premiers. Un autre exemple, signalé par O. Ramaré ([50]), est $a_n = \frac{\mu(n)}{n}$ où $\mu$ est la fonction de Möbius. Voici la preuve.

**Proposition 2.11.** Soit $q$ un entier $\ge 1$. Alors

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(qn)}{n} = 0. $$

(c'est-à-dire que la série converge avec somme nulle).

*Démonstration.* Soit $\chi_0$ le caractère principal modulo $q$ et $L(s, \chi_0) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi_0(n)}{n^s}$, d'inverse (par produit d'Euler et puisque $\mu(p) = -1$ et $\mu(p^k) = 0$ pour $k \ge 2$)

$$ 1/L(s, \chi_0) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)\chi_0(n)}{n^s} = [\zeta(s)]^{-1} \prod_{p|q} (1-p^{-s})^{-1}. $$

Nous avons alors pour $\Re s > 1$ :

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \mu(qn)n^{-s} &= \sum_{\substack{n \ge 1, \\ (q,n)=1}} \mu(q)\mu(n)n^{-s} = \mu(q)\sum_{n \ge 1} \mu(n)\chi_0(n)n^{-s} \\ &= \mu(q)[\zeta(s)]^{-1} \prod_{p|q} (1-p^{-s})^{-1} =: G(s). \end{aligned} $$

Le produit fini jouant un rôle inerte, cela implique par le lemme taubérien complexe d'Ingham-Newman ([34], p. 133) : $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(qn)}{n} = G(1) = 0$. $\square$

*Remarque 2.12.* De très intéressants compléments au théorème de Winter, avec des exemples de suites orthonormales “exotiques” de dilatées, se trouvent dans l'article [14]. En particulier (théorème 3.1 de cet article) si $\varphi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \sqrt{2} \sin n\pi x$ avec $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| < \infty$, alors $(\varphi_n)$ est une *suite orthonormale* si et seulement si, posant $S\varphi(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$, on a

$$ |S\varphi(-iy)| = \left| \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{iy} \right| = 1 \quad \text{pour tout } y \in \mathbb{R}. \qquad (2.4) $$

Soit en effet $T(y) = |S\varphi(-iy)|^2 = \sum_{m,n \ge 1} a_m \overline{a_n} \left(\frac{m}{n}\right)^{iy}$ et $\mu$ la mesure de Haar du compactifié de Bohr $\mathbb{R}$ de $\mathbb{R}$ ([48], ch.1), pour laquelle les
exponentielles $e_λ(x) = e^{iλx}$, $λ \in \mathbb{R}$ forment une base orthonormale de $L^2(\mu)$. On voit que $T$ est à spectre de Fourier-Bohr dans $F := \log E$ où $E$ est l'ensemble des rationnels $> 0$ et on a l'identité (qui en un sens annonce [27])

$$r = p/q \in E \Rightarrow \int T(y)r^{-iy}d\mu(y) = \langle \varphi_q, \varphi_p \rangle. \quad (2.5)$$

En effet, le second membre de (2.5) vaut

$$\sum_{qm=pn} a_m \bar{a}_n = \sum_{m/n=r} a_m \bar{a}_n.$$

Et le premier aussi puisque $m/n \neq r \Rightarrow \int (m/n)^{iy} r^{-iy} d\mu(y) = 0$. Et (2.4) en découle. Par exemple, si $(\varphi_n)$ est une suite orthonormale, (2.5) montre que le spectre de Fourier-Bohr de $T$ est réduit à $\log 1 = 0$, la fonction $T$ vaut donc une constante $c$ et $c = \int T(y)d\mu(y) = \sum_{k=1}^{\infty} |a_k|^2 = 1$. Et (2.5) donne immédiatement la réciproque. Des monômes comme $\varphi(x) = \sqrt{2} \sin k\pi x$ conviennent, mais aussi des fonctions plus inattendues, comme celle (avec $-1 < a < 1$) correspondant à

$$a_1 = -a, a_{2n} = a^{n-1}(1-a^2) \text{ pour } n \ge 1, a_m = 0 \text{ sinon}$$

pour laquelle $S\varphi(s) = \frac{2^{-s}-a}{1-a2^{-s}}$. Plus généralement, étant donné des entiers $n_1, \dots, n_r \ge 2$ et des points $z_1, \dots, z_r \in \mathbb{D}$, on peut prendre $\varphi$ définie par

$$S\varphi(s) = \prod_{j=1}^{r} \frac{n_j^{-s} - z_j}{1 - \bar{z}_j n_j^{-s}}.$$

Par contre, si $S\varphi(s) = \sum_{n=1}^N a_n n^{-s}$ est un polynôme de Dirichlet uni-modulaire, c'est un monôme, comme conséquence du lemme simple suivant

**Lemme 2.13.** Soit $\lambda_1 < \dots < \lambda_N \in \mathbb{R}$ et $P(t) = \sum_{n=1}^N a_n e^{i\lambda_n t}$. Si $|P(t)| = 1$ sur $\mathbb{R}$, alors $P$ est un monôme.

*Démonstration.* On peut supposer $a_1 \neq 0$ et $\lambda_1 = 0$, quitte à multiplier par $e^{-i\lambda_1 t}$, ce qui ne change pas le module, et à remplacer $\lambda_n$ par $\lambda_n - \lambda_1$. Si $N \ge 2$, on a $|P(t)|^2 = \sum a_m \bar{a}_n e^{i(\lambda_m - \lambda_n)t} = 1$ et le coefficient de $e^{i\lambda_N t}$ est $a_N \bar{a}_1$ car $\lambda_m - \lambda_n = \lambda_N \Rightarrow m = N$ et $n = 1$. D'où $a_N = 0$ et finalement $P(t) = a_1$. $\square$

Cela ne passe pas aux polynômes trigonométriques $P(x) = \sum_{j=1}^n a_j \gamma_j(x)$ sur les groupes abéliens compacts $G$ dont le dual $\Gamma = \{\gamma_1, \dots, \gamma_n\}$ a de la
torsion, comme le montre l'exemple du groupe fini (avec $n = 2^N$)

$G_0 = \{\pm 1\}$, $\Gamma_0 = \{1, \gamma\}$, $Q = 1 + i\gamma$, $G = G_0^N$, $\Gamma = \Gamma_0^N$, $P = Q \otimes \cdots \otimes Q$ pour lequel on a $|Q(y)| = \sqrt{2}$ pour tout $y \in G_0$ et $|P(x)| = \sqrt{n}$ pour tout $x = (x_j)_{1 \le j \le n} \in G$ alors que P n'est pas un monôme. Les sommes de Gauss ([2], p. 168) donnent aussi des exemples intéressants.

### 2.4. L'espace de Banach $\mathcal{H}^\infty$

#### 2.4.1. Définition et premières propriétés

Soit $\mathcal{D}$ l'espace des séries de Dirichlet $f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$ convergentes : $\sigma_c(f) < \infty$ ou encore $|a_n| \le Cn^A$ pour des constantes $C, A$ convenables. Et soit $\mathcal{H}^\infty(\mathbb{C}_0)$ l'espace des fonctions analytiques bornées dans le demi-plan droit $\mathbb{C}_0$. On a par définition :

$$ \mathcal{H}^{\infty} = \mathcal{H}^{\infty}(\mathbb{C}_0) \cap \mathcal{D} $$

et on appelle $\mathcal{H}^\infty$ l'espace des séries de Dirichlet bornées. On le munit de la norme

$$ \|f\|_{\infty} = \sup_{s \in \mathbb{C}_0} |f(s)| $$

qui en fait un espace de Banach (non-séparable) et même une algèbre de Banach ([48], p. 142). Une fonction $f \in \mathcal{H}^\infty$ est donc une fonction qui vérifie deux conditions, l'une de croissance, l'autre de développement en série de Dirichlet. Voici quelques exemples :

(1) Soit $g \in \mathcal{H}^\infty(\mathbb{D})$. Alors, la fonction $f(s) = g(2^{-s})$ est dans $\mathcal{H}^\infty$. En effet, $f$ est analytique bornée dans $\mathbb{C}_0$ et de plus, si $g(z) = \sum_{n=0}^\infty g_n z^n$, on a $f(s) = \sum_{n=0}^\infty g_n (2^n)^{-s}$, donc $f \in \mathcal{D}$.

(2) Si $a > 1$ n'est pas entier, $f(s) = a^{-s} \notin \mathcal{H}^\infty$. En effet, $f \in \mathcal{H}^\infty(\mathbb{C}_0)$ mais $f \notin \mathcal{D}$ comme on le vérifie facilement, par exemple en comparant le comportement de $f(s)$ et d'une série de Dirichlet $\sum_{n=k}^\infty a_n n^{-s}$ avec $a_k \neq 0$ quand $\Re s \to \infty$. Plus généralement, une série de Hurwitz de la forme $\sum_{j=0}^\infty a_j (j + \theta)^{-s}$ avec $0 < \theta < 1$ n'est jamais dans $\mathcal{H}^\infty$.

(3) Soit $f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n^{-s-1} = (1-2^{-s})\zeta(s+1)$. Alors, $f \notin \mathcal{H}^\infty$. En effet, $f \in \mathcal{D}$ et même $\sigma_c(f) = 0$. Mais $f \notin \mathcal{H}^\infty(\mathbb{C}_0)$ d'après les propriétés de la fonction zeta, par exemple (voir aussi l'inégalité de Bohr du chapitre 1).
### 2.4.2. Bases de Riesz de dilatées

Le théorème de Wintner nous dit que les dilatées de la fonction $\varphi = \varphi^\tau$ de (2.3) engendrent $H = L^2(0,1)$ dès que $\Re \tau > 1/2$. Mais il ne dit pas quand elles forment une base de Riesz. Le théorème suivant ([27]) va fournir la réponse.

**Théorème 2.14** (Hedenmalm-Lindqvist-Seip). Soit $\varphi \in H$ de développement $\varphi(x) = \sqrt{2} \sum_{k=1}^\infty a_k \sin k\pi x$. On a équivalence entre :

(1) Les dilatées $(\varphi_n)_{n \ge 1}$ de $\varphi$ forment une base de Riesz de $H$.

(2) La fonction génératrice $S\varphi(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$ est dans $\mathcal{H}^\infty$ ainsi que son inverse. Dans ce cas, on a

$$ \|S\varphi\|_{\infty} = B\|\varphi\|_{2} \text{ et } \|1/S\varphi\|_{\infty} = (A\|\varphi\|_{2})^{-1} \text{ ou encore} \\ s \in \mathbb{C}_{0} \Rightarrow A\|\varphi\|_{2} \le |S\varphi(s)| \le B\|\varphi\|_{2} $$

où A et B sont respectivement les constantes de Riesz inférieure et supérieure de $(\varphi_n)$.

En particulier, les dilatées de $\varphi^\tau$ forment une base de Riesz de $H$ si et seulement si $\Re \tau > 1$.

Ce théorème sera montré plus loin, mais l'application à $\varphi^\tau$ est claire; on a

$$ S\varphi^\tau(s) = \zeta(s + \bar{\tau}), \text{ et } \frac{1}{S\varphi^\tau}(s) = \sum_{n=1}^\infty \mu(n) n^{-s-\bar{\tau}} $$

où $\mu$ désigne la fonction de Möbius. Ces fonctions sont bornées dans $\mathbb{C}_0$ si et seulement si $\Re \tau =: \sigma > 1$. On a alors

$$ \|\varphi^\tau\|_2 = \sqrt{\zeta(2\sigma)}, \quad \|S\varphi^\tau\|_\infty = \zeta(\sigma), \quad \|1/S\varphi^\tau\|_\infty = \zeta(\sigma)/\zeta(2\sigma) $$

(voir aussi [38]), comme on l'a vu au chapitre 1. Soit encore

$$ B = A^{-1} = \zeta(\sigma) / \sqrt{\zeta(2\sigma)} $$

Voici maintenant une formule due à E. Saksman ([51]), qui se révèle aussi fondamentale dans l'étude de $\mathcal{H}^\infty$ que la formule de convolution de Fejér dans l'étude des séries de Fourier. Ce n'est d'ailleurs pas pour rien que son auteur baptise ce résultat "formule de convolution verticale"!
## 2.5. La formule de convolution verticale de Saksman

Désignons par $E$ l'ensemble des fonctions $\psi$ de $L^1(\mathbb{R})$ dont la transformée de Fourier $\hat{\psi}$,

$$ \hat{\psi}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(t)e^{-it\xi}dt $$

est à support compact. Nous avons le

**Théorème 2.15 (Saksman).** Soit $f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s} \in D$, $\theta$ un réel $\ge \sigma_c(f)$ et $\psi \in E$. On suppose $f$ bornée dans tout demi-plan $C_{\theta+\epsilon}$ avec $\epsilon > 0$. Alors

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s} \hat{\psi}(\log n) = \int_{-\infty}^{\infty} f(s + it)\psi(t)dt, \quad \forall s \in \mathbb{C}_{\theta}. \quad (2.6) $$

*Démonstration.* Observons d'abord que les deux membres de (2.6) ont un sens dans $C_{\theta}$ et y définissent des fonctions analytiques. C'est évident pour le membre de gauche, qui est un polynôme de Dirichlet puisque $\psi \in E$. C'est clair pour le membre de droite puisque $f$ est bornée sur chaque $C_{\theta+\epsilon}$. Soit maintenant, en notant que $\sigma_a(f) < \infty$, $\alpha$ un réel $> \max(\theta, \sigma_a(f))$. Si $s \in C_{\alpha}$, on a

$$ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(s + it)\psi(t)dt &= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s-it}\psi(t)dt \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s} \int_{-\infty}^{\infty} n^{-it}\psi(t)dt = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s} \hat{\psi}(\log n), \end{aligned} $$

l'intervention étant justifiée par la convergence de la série de terme général

$$ u_n = \int |a_n n^{-s-it} \psi(t)| dt \quad \text{avec} \quad u_n \le |a_n| n^{-\alpha} \|\psi\|_1. $$

On a donc l'égalité voulue dans $C_{\alpha}$ et, par prolongement analytique des identités, dans $C_{\theta}$. $\square$

Malgré la simplicité de sa preuve (les arguments usuels de changement de contour, un peu lourds techniquement, sont remplacés par le prolongement analytique des identités), l'identité de convolution verticale (2.6) va se révéler d'une utilité capitale.
## 2.6. Applications de la formule de Saksman

### 2.6.1. Une inégalité basique

Voici d'abord une reformulation utile de (2.6) quand $f \in \mathcal{H}^\infty$ et $\theta = 0$.

**Théorème 2.16.** Soit $f(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s} \in \mathcal{H}^\infty$ et $\psi \in E$. Alors, on a pour tout entier $N \ge 2$ et tout $s \in \mathbb{C}_0$ :

$$ \left| \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s} \hat{\psi} \left( \frac{\log n}{\log N} \right) \right| \le \|f\|_{\infty} \|\psi\|_1. \qquad (2.7) $$

*Démonstration.* On applique (2.6) à la fonction $\psi_\lambda(t) = \lambda\psi(\lambda t)$ où $\lambda = \log N$, qui vérifie $\|\psi_\lambda\|_1 = \|\psi\|_1$ et $\widehat{\psi}_\lambda(\xi) = \widehat{\psi}(\xi/\lambda)$. Le premier membre de (2.7) vaut donc

$$ \left| \int_{\mathbb{R}} f(s + it) \psi_{\lambda}(t) dt \right| \le \|f\|_{\infty} \|\psi_{\lambda}\|_{1} = \|f\|_{\infty} \|\psi\|_{1}. \quad \square $$

L'inégalité simple suivante est fondamentale dans l'étude de $\mathcal{H}^\infty$. Elle intervient d'ailleurs dans la preuve de la complétude de $\mathcal{H}^\infty$ ([48], p. 142).

**Théorème 2.17.** Soit $f(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s} \in \mathcal{H}^\infty$. Alors, on a

$$ |a_N| \le \|f\|_{\infty} \quad \text{pour tout} \quad N \ge 1. \qquad (2.8) $$

*En particulier, $\sigma_c(f) \le 1$.*

*Démonstration.* Notons d'abord que $a_1 = \lim_{\Re s \to \infty} f(s)$, donc $|a_1| \le \|f\|_{\infty}$. Fixons ensuite un entier $N \ge 2$ et $s = \sigma + it \in \mathbb{C}_0$. Soit $h > 0$ tel que $h < \inf_{n \ne N} |\log n/\log N - 1|$, puis $\varphi \in E$ telle que $\varphi \ge 0$ et $\hat{\varphi}$ soit la fonction triangle $\hat{\varphi}(\xi) = (1 - |\xi|/h)^+$, et soit enfin $\psi(t) = e^{it}\varphi(t)$ si bien que

$$ \hat{\psi}(\xi) = (1 - |\xi - 1|/h)^+ \text{ et } \|\psi\|_1 = \|\varphi\|_1 = \hat{\varphi}(0) = 1, \hat{\psi}(1) = 1. $$

On a par construction :

$$ \hat{\psi}\left(\frac{\log n}{\log N}\right) = 1 \text{ si } n = N, \quad \text{et} = 0 \text{ si } n \ne N. $$

L'inégalité (2.7) se lit donc $|a_N| N^{-\sigma} \le \|f\|_{\infty}$. Il reste à faire tendre $\sigma$ vers zéro. □
### 2.6.2. Sommes partielles des séries de Dirichlet et théorème de Bohr

Si $f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s} \in \mathcal{H}^{\infty}$ et si $N$ est un entier $\ge 1$, on note $S_N(f)$ la $N$-ième somme partielle de $f$. C'est le polynôme de Dirichlet défini par

$$S_N(f)(s) = \sum_{n=1}^{N} a_n n^{-s}. \qquad (2.9)$$

Un résultat fondamental de Bohr ([13]) est le suivant :

**Théorème 2.18 (Bohr).** *Soit $f \in \mathcal{H}^{\infty}$. Alors, la série de Dirichlet associée à $f$ converge uniformément dans tout demi-plan $\mathbb{C}_{\varepsilon}$ avec $\varepsilon > 0$, en d'autres termes*

$$\sigma_u(f) \le 0. \qquad (2.10)$$

Dans [6] on a prouvé un résultat plus fort, sous forme quantitative, en montrant que

$$\|S_N(f)\|_{\infty} \le C \log(N+1) \|f\|_{\infty}. \qquad (2.11)$$

Le résultat est plus fort car, si l'on en dispose, on obtient le théorème 2.18 en écrivant pour $s \in \mathbb{C}_0$ :

$$a_n n^{-s-\varepsilon} = n^{-\varepsilon} [S_n(f)(s) - S_{n-1}(f)(s)]$$

et en faisant une transformation d'Abel.

La preuve de (2.11) utilisait une méthode complexe. On partait de la formule de sommation de Perron pour exprimer $S_N$ comme une intégrale le long d'un segment vertical, à un terme d'erreur près; puis à l'aide du théorème de Cauchy on décalait le segment vers la gauche, et enfin on optimisait ce décalage par rapport à un certain paramètre. La formule de convolution de Saksman permet de donner une preuve essentiellement réelle et "self-contained", que nous reproduisons ici avec la permission de l'auteur ([51]).

**Théorème 2.19 (Balasubramanian-Calado-Queffélec).** *Soit $f \in \mathcal{H}^{\infty}$ et $N$ un entier $\ge 1$. Alors*

$$\|S_N(f)\|_{\infty} \le C \log(N+1) \|f\|_{\infty} \qquad (2.12)$$

où $C$ est une constante numérique.

*Démonstration.* On utilise l'inégalité (2.7) et un bon choix de la fonction $\psi$ figurant dans cette inégalité, donné par le lemme suivant
**Lemme 2.20 (Fonction Test).** Soit $T$ la fonction paire sur $\mathbb{R}$ définie par

$$T(t) = 1 \text{ pour } 1 \le t \le 1 - 1/N, \quad T(t) = 0 \text{ pour } t \ge 1 + 1/N,$$ \\ $T$ linéaire sur $[1 - 1/N, 1 + 1/N]$.

Alors, $T = \hat{\psi}$ avec $\psi \in E$ et

$$\|\psi\|_1 \le \frac{4 + 2 \log N}{\pi} \qquad (2.13)$$

Démonstration du lemme. Si $h > 0$, soit $\chi_h$ la fonction indicatrice de $(-h, h)$. Alors, $\hat{\chi}_h(\xi) = 2^{\frac{\sin h\xi}{\xi}}$ et

$$T = \frac{1}{2a} \chi_a * \chi_b$$

avec $a = 1/N$ et $b = 1$. D'où

$$\hat{T}(\xi) = 2N \frac{\sin \xi/N}{\xi} \frac{\sin \xi}{\xi}$$

Nous voyons alors que

$$\|\hat{T}\|_1 \le 8 + 4 \log N. \qquad (2.14)$$

En effet, la parité de $T$ et le changement de variable $\xi = Ny$ donnent

$$\|\hat{T}\|_1 = 4 \int_0^\infty \frac{|\sin y| |\sin Ny|}{y^2} dy \le 4 \left( \int_0^{1/N} N dy + \int_{1/N}^1 \frac{dy}{y} + \int_1^\infty \frac{dy}{y^2} \right) \\ = 8 + 4 \log N.$$

Maintenant, la formule d'inversion de Fourier et la parité impliquent

$$T = \hat{\psi} \text{ avec } \|\psi\|_1 \le \frac{4 + 2 \log N}{\pi}. \qquad (2.15) \qquad \square$$

On applique pour finir (2.7) avec $\psi$ comme dans le lemme. Ce qui nous donne pour $s \in C_0$, puisque $\hat{\psi} = T$ :

$$\left| \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s} T\left(\frac{\log n}{\log N}\right) \right| \le \|f\|_{\infty} \|\psi\|_1. \qquad (2.16)$$

On peut supposer que $\|f\|_{\infty} = 1$ et on note que

$$1 - \frac{1}{N} < \frac{\log n}{\log N} \le 1 + \frac{1}{N} \iff \le Ne^{-\log N/N} < n \le Ne^{\log N/N}$$
si bien que le membre de gauche de (2.16) ne diffère de $S_N(f)(s)$ que par
au plus

$$
N[e^{\log N/N} - e^{-\log N/N}] \ll \log N
$$

termes, tous de taille ≪ ||f||_∞ = 1 d'après (2.8). Comme on a de plus
||ψ||_1 ≪ log N, prenant le sup sur s ∈ C₀, on obtient le théorème 2.19. □

2.6.3. L'identité de Carlson

Voici maintenant une formule utile de type Parseval pour les séries de
Dirichlet, dont la validité en général pose des problèmes délicats ([48],
chap. 7), mais pas pour les séries de Dirichlet bornées.

**Théorème 2.21.** Soit $f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s} \in \mathcal{H}^{\infty}$ et $\varepsilon > 0$. Alors, on a

$$
\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T |f(\varepsilon + it)|^2 dt = \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^2 n^{-2\varepsilon} \le \|f\|_{\infty}^2. \quad (2.17)
$$

En particulier, on a l'inclusion contractante $\mathcal{H}^\infty \subset \mathcal{H}^2$, au sens où

$$
f \in \mathcal{H}^{\infty} \Longrightarrow f \in \mathcal{H}^{2} \text{ et } \|f\|_{2} \le \|f\|_{\infty}.
$$

Démonstration. Il suffit de remarquer que la série $\sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-\varepsilon} n^{-it}$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$ d'après le théorème 2.18, et que pour une série du type $f(t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n e^{-i\lambda_n t}$, uniformément convergente sur $\mathbb{R}$, on a toujours (avec ici $\lambda_n = \log n$)

$$
\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} |f(t)|^{2} dt = \sum_{n=1}^{\infty} |b_{n}|^{2}.
$$

Ceci se vérifie à l'arme blanche grâce à la convergence uniforme. En termes plus savants, c'est l'identité de Parseval pour $f$ continue sur le compactifié de Bohr $\bar{\mathbb{R}}$ de $\mathbb{R}$ muni de sa mesure de Haar $\mu$ qui vérifie

$$
\int_{\mathbb{R}} g \, d\mu = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} g(t) \, dt
$$

pour toute $g$ continue sur $\bar{\mathbb{R}}$. Quoi qu'il en soit, on a (2.17) et la seconde
assertion s'obtient en faisant tendre $\varepsilon$ vers 0. $\square$

Remarque 2.22. Si $f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s} \in \mathcal{H}^{\infty}$, la limite radiale $f(it) = \lim_{\epsilon \to 0} f(\epsilon + it)$ existe presque partout par le théorème de Fatou, et on
peut logiquement se demander si l'on a encore

$$ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} |f(it)|^2 dt = \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^2. $$

Il n'en est rien ([52]), et le membre de gauche peut même ne pas avoir de limite !

### 2.6.4. Les multiplicateurs de $\mathcal{H}^2$

Nous noterons dans ce paragraphe $\| \cdot \|_2$ la norme dans $\mathcal{H}^2$. Nous alons montrer ici le résultat fondamental suivant ([27]) par la méthode de Saksman (voir aussi [1]), et en donnerons une application.

**Théorème 2.23** (Hedenmalm-Lindqvist-Seip). *Les multiplicateurs de $\mathcal{H}^2$ s'identifient isométriquement à $\mathcal{H}^\infty$. De façon plus précise, soit $f$ une fonction complexe définie sur $\mathbb{C}_{1/2}$. Alors*

$$ fg \in \mathcal{H}^2 \quad \forall g \in \mathcal{H}^2 \Leftrightarrow f \in \mathcal{H}^\infty, \quad \text{et de plus} \quad \|f\|_\infty = \sup_{\|g\|_2 \le 1} \|fg\|_2. $$

*Démonstration.* Elle va nécessiter les deux lemmes qui suivent

**Lemme 2.24.** Soit $f \in \mathcal{H}^\infty$ et $g \in \mathcal{H}^2$. Alors, $fg \in \mathcal{H}^2$ et

$$ \|fg\|_2 \le \|f\|_\infty \|g\|_2. \quad (2.18) $$

*Démonstration du lemme.* Soit

$$ f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}, \quad g(s) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n n^{-s}, \quad (fg)(s) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n n^{-s} $$

puis soit $g_N(s) = \sum_{n=1}^{N} b_n n^{-s}$ et $(fg_N)(s) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n^{(N)} n^{-s}$ où N est un entier $\ge 1$. On applique le théorème 2.21 (identité de Carlson) à $fg_N \in \mathcal{H}^\infty$. Pour $\varepsilon > 0$ donné :

$$ \begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} |c_n^{(N)}|^2 n^{-2\varepsilon} &= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T |f(\varepsilon + it)|^2 |g_N(\varepsilon + it)|^2 dt \\ &\le \|f\|_{\infty}^2 \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T |g_N(\varepsilon + it)|^2 dt = \|f\|_{\infty}^2 \sum_{n=1}^N |b_n|^2 n^{-2\varepsilon} \\ &\le \|f\|_{\infty}^2 \|g\|_2^2. \end{align*} $$
D'où $\sum_{n=1}^{\infty} |c_n^{(N)}|^2 \le \|f\|_{\infty}^2 \|g\|_2^2$ en faisant tendre $\varepsilon$ vers 0 et en utilisant
le lemme de Fatou. Il reste à remarquer que, pour chaque $n$ fixé, on a

$$c_n^{(N)} = \sum_{\substack{ij=n, \\ j \le N}} a_i b_j \xrightarrow{N \to \infty} \sum_{ij=n} a_i b_j = c_n$$

et à réappliquer le lemme de Fatou. □

Dans le lemme à venir, nous noterons, pour $r$ entier $\ge 1$, $N_r$ l'ensemble
des entiers qui n'ont que des diviseurs premiers $\le p_r$, le $r$-ième nombre
premier. Et $\mathcal{P}_r$ l'ensemble des polynômes de Dirichlet à spectre dans $N_r$,
i.e. tels que $f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n n^{-s}$ et $c_n \ne 0 \Rightarrow n \in N_r$.

**Lemme 2.25.** Pour chaque $s \in \mathbb{C}_0$ et chaque $r$ entier $\ge 1$, il existe une constante $C_{s,r} > 0$ telle que

$$f \in \mathcal{P}_r \Rightarrow |f(s)| \le C_{s,r} \|f\|_2. \qquad (2.19)$$

*Démonstration du lemme.* Soit $s = \sigma + it \in \mathbb{C}_0$ et $f(s) = \sum_{n \in N_r} c_n n^{-s} \in \mathcal{P}_r$. Une identité d'Euler tronquée montre que

$$C_{s,r} := \sum_{n \in N_r} n^{-2\sigma} = \prod_{j=1}^{r} (1 - p_j^{-2\sigma})^{-1} < \infty.$$

Cauchy-Schwarz donne maintenant

$$|f(s)| \le \left( \sum_{n \in N_r} |c_n|^2 \right)^{1/2} \left( \sum_{n \in N_r} n^{-2\sigma} \right)^{1/2} = C_{s,r} \|f\|_2. \quad \square$$

Revenons à la preuve du théorème 2.23. Soit $f$ un multiplicateur de $\mathcal{H}^2$. On note $M_f : \mathcal{H}^2 \to \mathcal{H}^2$ l'opérateur de multiplication par $f$. On a $f \in \mathcal{H}^2$ car $f = M_f(1)$, et $M_f$ est un opérateur borné par le théorème du graphe fermé. On note $\lambda$ sa norme. Le Lemme 2.24 nous dit qu'une fonction $f \in \mathcal{H}^{\infty}$ est un multiplicateur, avec $\lambda \le \|f\|_{\infty}$. La réciproque va s'établir en trois étapes.

*Étape 1 (“Power trick”).* On a $\lambda = \|f\|_{\infty}$ si $f$ est un polynôme de Dirichlet. En effet, fixons $r$ tel que $f \in \mathcal{P}_r$, et $s \in \mathbb{C}_0$. On voit de proche en proche que $\|f^k\|_2 \le \lambda^k$ pour $k$ entier $\ge 1$, puisque $f^k = M_f(f^{k-1})$ et $f^0 = 1$. Le Lemme 2.25, applicable à $f^k \in \mathcal{P}_r$, nous donne maintenant :

$$|f(s)|^k \le C_{s,r} \|f^k\|_2 \le C_{s,r} \lambda^k \quad \text{puis} \quad |f(s)| \le \lambda (C_{s,r})^{1/k}.$$

En faisant tendre $k$ vers l'infini, on obtient $|f(s)| \le \lambda$ puis $\|f\|_{\infty} \le \lambda$.
Etape 2. Écrivons $f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$. Soit $\psi \in E$ et $P(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \hat{\psi}(\log n) n^{-s}$. Alors

$$ \|M_P\| \le \|M_f\| \times \|\psi\|_1 = \lambda \|\psi\|_1. \qquad (2.20) $$

Soit en effet, pour $t$ réel, $T_t$ l'opérateur de translation verticale par $it$ défini par $T_t g(s) = g(s + it)$. Cet opérateur est une isométrie sur $\mathcal{H}^2$ et de plus $T_t f$ est encore un multiplicateur, avec $\|M_{T_t f}\| = \|M_f\|$. En effet, puisque $(T_t f)g = T_t(f(T_{-t}g))$, on a

$$ \|(T_t f)g\|_2 = \|f(T_{-t} g)\|_2 \le \|M_f\| \|T_{-t} g\|_2 = \|M_f\| \|g\|_2. $$

Maintenant, la formule de convolution verticale de Saksman s'écrit sous forme d'intégrale vectorielle (avec $\int = \int_{\mathbb{R}}$)

$$ P = \int (T_t f) \psi(t) dt $$

d'où, si $g \in \mathcal{H}^2$, $Pg = \int (T_t f g) \psi(t) dt$ puis

$$ \|Pg\|_2 \le \int \|T_t f g\|_2 |\psi(t)| dt \le \int \|M_f\| \|g\|_2 |\psi(t)| dt = \|M_f\| \|g\|_2 \|\psi\|_1 $$

ce qui prouve (2.20).

Etape 3. Soit $(\psi_j)$ une approximation de l'identité dans $L^1$, par exemple telle que $\hat{\psi}_j(\xi) = (1 - \frac{|\xi|}{j})^+$. Et soit $P_j$ le polynôme de Dirichlet correspondant :

$$ P_j(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \hat{\psi}_j(\log n) n^{-s} = \int (T_t f)(s) \psi_j(t) dt. $$

D'après les deux premières étapes, on a $\|P_j\|_{\infty} = \|M_{P_j}\| \le \lambda$. Modulo extraction, le théorème de Montel permet de supposer que $P_j$ tend uniformément sur tout compact de $\mathbb{C}_0$ vers une fonction $F \in H^{\infty}(\mathbb{C}_0)$ avec $\|F\|_{\infty} \le \lambda$. Soit maintenant $s = \sigma + it \in \mathbb{C}_{1/2}$. Alors, $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| n^{-\sigma} < \infty$ et $\hat{\psi}_j(\log n) \to 1$ quand $j \to \infty$, avec $0 \le \hat{\psi}_j(\log n) \le 1$, donc

$$ P_j(s) \to \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s} = f(s), $$

ce qui donne $f(s) = F(s)$. Ainsi, $f$ se prolonge en une fonction analytique bornée par $\lambda$ sur $\mathbb{C}_0$. Et $f \in \mathcal{D}$ puisque $f \in \mathcal{H}^2$, ce qui achève la démonstration. $\square$
Un corollaire immédiat et utile de ce théorème des multiplicateurs, que nous utiliserons au prochain paragraphe, est le suivant :

**Corollaire 2.26.** Soit $\varphi \in \mathcal{H}^{\infty}$. Alors, l'opérateur $M_{\varphi}$ de multiplication par $\varphi$ est un isomorphisme de $\mathcal{H}^2$ si et seulement si $1/\varphi \in \mathcal{H}^{\infty}$. Dans ce cas, on a

$$ \|M_{\varphi}^{-1}\| = \|1/\varphi\|_{\infty}. $$

*Remarque 2.27.* D'intéressantes généralisations de ce théorème des multiplicateurs à d'autres espaces de Hilbert pondérés de séries de Dirichlet ont été obtenues par J. McCarthy ([40]) et plus récemment par M. Bailleul ([3]).

### 2.7. Le Théorème des dilatées

Le but de ce paragraphe est de prouver le théorème 2.14. On note $H = L^2(0,1)$ et $(e_k)_{k \ge 1}$ sa base orthonormale définie par $e_k(x) = \sqrt{2} \sin k\pi x$ ainsi que $\sum_{k=1}^{\infty} a_k e_k$ le développement de $\varphi \in H$ fixée. On dispose d'un opérateur de transfert unitaire $S : H \to \mathcal{H}^2$ défini par (notant $u_n(s) = n^{-s}$)

$$ S(f) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n u_n \quad \text{si} \quad f = \sum_{n=1}^{\infty} c_n e_n. $$

*Supposons d'abord que $(\varphi_n)$ est une base de Riesz de $H$, nous disposons aussi d'un opérateur de Toeplitz $T_{\varphi} : H \to H$ défini par*

$$ T_{\varphi} f = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \varphi_n \quad \text{si} \quad f = \sum_{n=1}^{\infty} c_n e_n \quad \text{avec} \quad \sum_{n \ge 1} |c_n|^2 < \infty. $$

Le lemme suivant exprime une relation utile d'entrelacement entre $S$ et $T_{\varphi}$.

**Lemme 2.28.** Si $(\varphi_n)_{n \ge 1}$ est une base de Riesz de $H$, on a

$$ S(T_{\varphi} f) = S\varphi Sf \quad \text{pour toute} \quad f \in H. \qquad (2.21) $$

*Autrement dit, $ST_{\varphi} = M_{\varphi}S$ où $M_{\varphi}$ est l'opérateur de multiplication par $S\varphi$.*

*Démonstration.* Si $f = \sum_{n \ge 1} c_n e_n$, on a

$$ T_{\varphi} f = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \varphi_n = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \left( \sum_{k=1}^{\infty} a_k e_{nk} \right) = \sum_{N=1}^{\infty} e_N \left( \sum_{nk=N} \sum_{N=1}^{\infty} c_n a_k \right) = \sum_{N=1}^{\infty} e_N (a*c)_N $$
(où * désigne la convolution de Dirichlet) si bien que

$$S(T_{\varphi}f) = \sum_{N=1}^{\infty} (a*c)_N N^{-s} = \left(\sum_{k=1}^{\infty} a_k k^{-s}\right) \left(\sum_{n=1}^{\infty} c_n n^{-s}\right) = S\varphi Sf$$

ce qui prouve (2.21).

□

Comme conséquence du Lemme 2.28 (écrivant $\| \cdot \|_2$ pour la norme dans $H = L^2(0, 1)$ et notant que $\|\varphi_n\|_2 = \|\varphi\|_2$), on voit que pour tout $f \in H$ :

$$\|S\varphi Sf\|_{H^2} = \|S(T_{\varphi}f)\|_{H^2} = \|T_{\varphi}f\|_2 \le B\|\varphi\|_2\|f\|_2 = B\|\varphi\|_2\|Sf\|_{H^2}$$

où $B$ est la constante de Riesz supérieure de $(\varphi_n)$. Comme $S$ est surjective, cela exprime que $S\varphi$ est un multiplicateur de $H^2$ de norme $\le B\|\varphi\|_2$, et donc $\|S\varphi\|_{\infty} \le B\|\varphi\|_2$. On a par un calcul analogue (écrivant $g = Sf$)

$$\|(S\varphi)g\|_{H^2} \ge A\|\varphi\|_2 \|g\|_{H^2} \quad \forall g \in H^2 \quad (2.22)$$

où $A$ est la constante de Riesz inférieure de $(\varphi_n)$. Notons $M = M_{\varphi}: H^2 \to H^2$ cet opérateur de multiplication par $S\varphi$. On a $M = ST_{\varphi}S^{-1}$ d'après le Lemme 2.28 donc $M$ est bijectif puisque $T_{\varphi}$ est surjectif, les $\varphi_n$ formant une base de Riesz. En particulier, il existe $g \in H^2$ telle que $M(g) = (S\varphi)g = 1$. Par suite, $S\varphi$ ne s'annule pas sur $C_{1/2}$ (l'hypothèse de totalité des $\varphi_n$ est essentielle à cet égard : dans l'exemple de la remarque qui suit le théorème de Wintner, la fonction $S\varphi$ vérifie

$$\|S\varphi g\|_{H^2} = \|g\|_{H^2}$$

pour toute $g \in H^2$ et pourtant a des zéros dans $C_{1/2}$ dès que $|a| < 1/\sqrt{2}$. La relation (2.22) s'écrit aussi bien, puisque $M$ est surjectif et puisque $S\varphi$ ne s'annule pas sur $C_{1/2}$

$$\|g/S\varphi\|_{H^2} \le (A\|\varphi\|_2)^{-1} \|g\|_{H^2} \quad \forall g \in H^2. \quad (2.23)$$

Il en résulte que $1/S\varphi$ est un multiplicateur de $H^2$ de norme $\le (A\|\varphi\|_{\infty})^{-1}$, ce qui montre au passage que $S\varphi$ ne s'annule pas sur $C_0$ et achève, modulo le théorème 2.23 et son corollaire 2.26, la preuve de l'implication (2) $\Rightarrow (1)$ du théorème 2.14.

Supposons maintenant que $S\varphi$ et $1/S\varphi$ sont dans $H^{\infty}$. Nous avons encore, désignant par $V \subset H$ l'espace vectoriel (non fermé) engendré par les $e_n$, la relation (2.21) pour $f \in V$, qui montre que

$$(\|1/S\varphi\|_{\infty})^{-1} \|f\|_2 \le \|T_{\varphi}f\|_2 \le \|S\varphi\|_{\infty} \|f\|_2 \quad \forall f \in V. \quad (2.24)$$
D'autre part, (2.21) de nouveau montre que $T_\varphi : V \to H$ est d'image
dense, puisque l'opérateur $M : SV \to \mathcal{H}^2$ de multiplication par $S\varphi$ est
d'image dense sachant que $S\varphi$ et $1/S\varphi$ sont dans $\mathcal{H}^\infty$. Mais (2.24) et
la densité de $T_\varphi(V)$ montrent que $(\varphi_n)$ est une base de Riesz de $H$ de
constantes $B$ et $A$ vérifiant $B\|\varphi\|_2 \le \|S\varphi\|_\infty$ et $(A\|\varphi\|_2)^{-1} \le \|1/S\varphi\|_\infty$.
Cela prouve l'implication (1) $\Rightarrow$ (2) du théorème 2.14.

*Remarques 2.29.*

(1) Une version affaiblie du théorème 2.14 a été obtenue dans ([24]) sous la forme suivante (cf. [48], p. 25 pour la définition de presque-périodique)

Théorème 2.30. Supposons que $S\varphi(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$ se prolonge dans $\bar{\mathbb{C}}_0$ avec $S\varphi(it)$ presque-périodique sur $\mathbb{R}$ au sens de Bohr. Alors, $(\varphi_n)$ est une base de Riesz si et seulement si $1/S\varphi \in \mathcal{H}^2$ et

$$
\inf_{t \in \mathbb{R}} |S\varphi(it)| > 0.
$$

Mais il est remarqué dans [28] que cette forme est strictement plus faible
que le théorème 2.14, avec l'exemple (déduit de la fonction intérieure sin-
gulière $z \mapsto e^{-(1+z)/(1-z)}$)

$$
S\varphi(s) = \frac{1}{4} \left[ 3 + e^{-(1+2^{-s})/(1-2^{-s})} \right]
$$

qui vérifie clairement $1/2 < |S\varphi(s)| < 1$ dans $\mathbb{C}_0$, mais pour lequel $S\varphi(it)$
n'est même pas continue sur $\mathbb{R}$.

(2) Voici comment prouver une assertion gratuite de l'introduction. Sup-
posons que $\varphi = \sum_{n=1}^{\infty} a_n e_n \in H$ et que $(\varphi_n)_{n \ge 1}$ soit une base orthonor-
male de $H$. Nous pouvons écrire $e_1 = \sum_{k \ge 1} c_k \varphi_k$ avec $\sum |c_k|^2 < \infty$. D'où
$e_n = \sum_{k \ge 1} c_k \varphi_{kn}$ puisque $e_n = (e_1)_n$. En particulier, si $n > 1$ :

$$
a_n = \langle \varphi, e_n \rangle = \langle \varphi_1, \sum_{k \ge 1} c_k \varphi_{kn} \rangle = \sum_{k \ge 1} \bar{c}_k \langle \varphi_1, \varphi_{kn} \rangle = 0
$$

puisque $kn \ge n > 1$ et donc $\varphi_1 \perp \varphi_{kn}$. Il vient $\varphi = a_1 e_1$ avec $|a_1| = 1$.

2.8. Propriétés supplémentaires de $\mathcal{H}^2$

Les deux résultats suivants aident à l'étude des opérateurs de composi-
tion sur $\mathcal{H}^2$ du chapitre 3.
### 2.8.1. Représentation intégrale

Il est utile de disposer d'une formule de représentation intégrale pour la norme dans $\mathcal{H}^2$, analogue à la formule de Parseval pour l'espace de Hardy $H^2$ du disque. Plusieurs formules semblables existent, en particulier une formule de type Littlewood-Paley, valable aussi pour les espaces $\mathcal{H}^p$ de séries de Dirichlet ([9], [10], [11]). La suivante, très élémentaire, suffira à nos besoins.

**Théorème 2.31.** Soit $f(s) = \sum_{n \ge 1} a_n n^{-s} \in \mathcal{H}^2$, dont la série de Dirichlet converge uniformément sur $\mathbb{C}_0$. Soit $u \in L^1(\mathbb{R})$ avec $u \ge 0$ et $\|u\|_1 = 1$, de dilatées $u_a(t) = \frac{1}{a} u(\frac{t}{a})$, $a > 0$. Alors

$$ \|f\|_{\mathcal{H}^2}^2 = \lim_{a \to \infty} \int_{\mathbb{R}} |f(it)|^2 u_a(t) dt. $$

*Démonstration.* La preuve formelle qui suit est valide si $f$ est un polynôme de Dirichlet, i.e. $a_m = 0$ pour $m$ grand. On a puisque $\hat{u}_a(\xi) = \hat{u}(a\xi)$ et $\hat{u}(0) = 1$ :

$$ \begin{aligned} \int_{\mathbb{R}} |f(it)|^2 u_a(t) dt &= \sum_{m,n} a_m \bar{a}_n \int_{\mathbb{R}} (m/n)^{-it} u_a(t) dt = \sum_{m,n} a_m \bar{a}_n \hat{u}_a(\log(m/n)) \\ &= \sum_{m,n} a_m \bar{a}_n \hat{u}[a(\log m - \log n)] \xrightarrow{a \to \infty} \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^2 = \|f\|_{\mathcal{H}^2}^2 \end{aligned} $$

d'après le lemme de Riemann-Lebesgue. Dans le cas général, soit $\varepsilon > 0$ et $N_0$ un entier tel que $\sup_{t \in \mathbb{R}} |f(it) - f_N(it)| \le \varepsilon$ pour $N \ge N_0$, où l'on pose $f_N(s) = \sum_{n=1}^N a_n n^{-s}$. L'inégalité triangulaire et le fait que $\int_{\mathbb{R}} u_a(t) dt = 1$ donnent pour $N \ge N_0$, notant ici $\mu_a = u_a(t) dt$ et $f$, $f_N$ pour $f(it)$, $f_N(it)$ :

$$ \begin{aligned} \left(\int_{\mathbb{R}} |f|^2 d\mu_a\right)^{1/2} &\le \left(\int_{\mathbb{R}} |f - f_N|^2 d\mu_a\right)^{1/2} + \left(\int_{\mathbb{R}} |f_N|^2 d\mu_a\right)^{1/2} \\ &\le \varepsilon + \left(\int_{\mathbb{R}} |f_N|^2 d\mu_a\right)^{1/2} \end{aligned} $$

d'où par ce qui précède

$$ \limsup_{a \to \infty} \left( \int_{\mathbb{R}} |f|^2 d\mu_a \right)^{1/2} \le \varepsilon + \left( \sum_{n=1}^{N} |a_n|^2 \right)^{1/2} \le \varepsilon + \|f\|_{\mathcal{H}^2}. $$
On obtient de même pour $N \ge N_0$

$$ \liminf_{a \to \infty} \left( \int_{\mathbb{R}} |f|^2 d\mu_a \right)^{1/2} \ge -\varepsilon + \left( \sum_{n=1}^{N} |a_n|^2 \right)^{1/2} $$

et le résultat s'ensuit en faisant tendre $N$ vers l'infini puis $\varepsilon$ vers zéro. $\square$

### 2.8.2. Plongement local

Soit $H^2(\mathbb{C}_{1/2})$ l'espace de Hardy du demi-plan $\mathbb{C}_{1/2}$, défini comme l'ensemble des fonctions $h$ analytiques dans $\mathbb{C}_{1/2}$ pour lesquelles

$$ \|h\|_{H^2(\mathbb{C}_{1/2})}^2 := \sup_{\sigma>1/2} \int_{-\infty}^{\infty} |h(\sigma + it)|^2 dt < \infty. \quad (2.25) $$

Chaque $h$ dans $H^2(\mathbb{C}_{1/2})$ a (théorème de Fatou) une limite non-tangentielle en presque chaque point de la droite verticale $\sigma = 1/2$, et la fonction limite correspondante $h \mapsto h(1/2 + it)$ est dans $L^2(\mathbb{R})$ ; la norme $L^2$ de cette fonction coïncide avec la norme $H^2$ définie par (2.25). Le résultat suivant, très utile, fait le lien entre $H^2(\mathbb{C}_{1/2})$ et l'espace $\mathcal{H}^2$ ([43]). Il est basé sur une inégalité de Hilbert généralisée due à Montgomery et Vaughan ([42]) qui s'énonce comme suit :

**Théorème 2.32 (Montgomery-Vaughan).** Soit $(\lambda_n)$ une suite discrète de réels distincts, et $\delta_n = \inf_{m \ne n} |\lambda_m - \lambda_n| > 0$, $n = 1, 2, \dots$. Alors, pour toute suite finie $(a_n)_{1 \le n \le N}$ de complexes, on a :

$$ \left| \sum_{\substack{1 \le m, n \le N, \\ m \ne n}} \frac{a_m \bar{a}_n}{\lambda_m - \lambda_n} \right| \le C \sum_{n=1}^{N} \frac{|a_n|^2}{\delta_n} \quad (2.26) $$

où $C$ est une constante numérique ($C=\frac{3}{2}$ convient). En conséquence, si $S(t) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n e^{i\lambda_n t}$ est une série de Dirichlet uniformément convergente sur $\mathbb{R}$, on a uniformément par rapport à $a, b \in \mathbb{R}$ tels que $a \le b$

$$ \int_a^b |S(t)|^2 dt \ll \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^2 (b - a + \delta_n^{-1}) \quad (2.27) $$

*Démonstration.* L'implication “(2.26) entraîne (2.27)” découle de

$$ \int_a^b |S(t)|^2 dt = (b-a) \sum |a_n|^2 + \sum_{m \ne n} a_m \bar{a}_n \frac{e^{i(\lambda_m - \lambda_n)b} - e^{i(\lambda_m - \lambda_n)a}}{i(\lambda_m - \lambda_n)} $$
changeant $a_m$ en $a_m e^{i\lambda_m b}$ ou $a_m e^{i\lambda_m a}$, de même module que $a_m$. $\square$

Nous pouvons maintenant énoncer le (cf. [43])

**Théorème 2.33** (Théorème de plongement). Soit $f \in \mathcal{H}^2$. Alors, la fonction $F(s) = f(s)/s$ est dans l'espace de Hardy ordinaire $H^2(\mathbb{C}_{1/2})$ et de plus

$$ \|F\|_{H^2(\mathbb{C}_{1/2})}^2 \leq C \|f\|_{\mathcal{H}^2}^2 \quad (2.28) $$

où $C$ est une constante numérique. De façon équivalente : pour chaque $b > 0$, il existe une constante $C_b > 0$ telle que, si $f \in \mathcal{H}^2$

$$ \int_{\mathbb{R}} |f(1/2 + ix)|^2 P_b(x) dx \leq C_b \|f\|_{\mathcal{H}^2}^2 \quad (2.29) $$

où $P_b$ est le noyau de Poisson de $\mathbb{C}_0$ en $b$, $P_b(x) = \frac{b}{\pi(b^2+x^2)}$.

**Démonstration.** Notons que (2.28) implique, modulo le théorème de Fatou pour $H^2(\mathbb{C}_{1/2})$, l'existence presque partout de la limite radiale

$$ f(1/2 + ix) = \lim_{\epsilon \to 0} f(1/2 + \epsilon + ix) $$

quand $f \in \mathcal{H}^2$. Montrons maintenant la forme (2.29). On note d'abord que (2.27) entraîne, prenant $\lambda_n = \log n$ et donc $\delta_n \approx 1/n$ et changeant $a_n$ en $a_n n^{-1/2-\epsilon}$ lorsque $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^2 < \infty$ et $\epsilon > 0$ :

$$ \int_k^{k+1} \left| \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-1/2 - \epsilon - ix} \right|^2 dx \leq C \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|^2 = C \|f\|_{\mathcal{H}^2}^2 $$

où $C$ est une constante numérique. Ensuite

$$ \begin{align*} \int_{\mathbb{R}} |f(1/2 + \epsilon + ix)|^2 P_b(x) dx &= \sum_{k \in \mathbb{Z}} \int_k^{k+1} |f(1/2 + \epsilon + ix)|^2 P_b(x) dx \\ &\ll \sum_{k \in \mathbb{Z}} \int_k^{k+1} \frac{1}{k^2 + 1} |f(1/2 + \epsilon + ix)|^2 dx \\ &\ll \sum_{k \in \mathbb{Z}} \int_k^{k+1} \frac{1}{k^2 + 1} \|f\|_{\mathcal{H}^2}^2 \\ &\ll \|f\|_{\mathcal{H}^2}^2 \end{align*} $$

où les constantes sous-jacentes ne dépendent que de $b$. Il reste à faire tendre $\epsilon$ vers zéro et à appliquer le théorème et le lemme de Fatou. $\square$
## 2.9. Propriétés supplémentaires de $H^\infty$

L'amélioration suivante du théorème de Bohr a été obtenue dans [49]

### 2.9.1. Un théorème de Bohr pour la partie réelle

**Théorème 2.34.** Soit $f \in H(\mathbb{C}_0) \cap \mathcal{D}$ avec $\Re f > 0$. Alors, $\sigma_u(f) \le 0$ et en particulier $\sigma_c(f) \le 0$.

*Démonstration.* On rappelle le théorème de Herglotz ([22], p. 17), disant que toute fonction $h$ harmonique positive sur $\mathbb{C}_0$ s'écrit

$$h(\sigma + it) = c\sigma + \int_{\mathbb{R}} P_{\sigma}(t - \tau)d\mu(\tau) \quad (2.30)$$

où $c$ est une constante $\ge 0$, $\mu$ une mesure positive telle que $\int_{\mathbb{R}} \frac{d\mu(\tau)}{1+\tau^2} < \infty$ et $P_\sigma$ le noyau de Poisson en $\sigma > 0$, déjà rencontré :

$$P_{\sigma}(v) = \frac{1}{\pi} \frac{\sigma}{\sigma^2 + v^2}.$$

Il est clair que

$$0 < \sigma \le \theta \Rightarrow P_{\sigma}(v) \le \frac{\theta}{\sigma} P_{\theta}(v) \quad \text{pour tout } v \in \mathbb{R}.$$

Par (2.30), on en déduit une inégalité de Harnack précisée

$$h(\sigma + it) \le \frac{\theta}{\sigma} h(\theta + it). \quad (2.31)$$

Maintenant, puisque $f \in \mathcal{D}$, $f$ est bornée par une constante $M$ dans un demi-plan $\mathbb{C}_\theta$ avec $\theta > 0$. Fixons $0 < \alpha < 1$ et appliquons (2.31) à la fonction harmonique positive $h = \Re f^\alpha$, qui vérifie de plus (sur $\mathbb{C}_0$)

$$|f|^\alpha \le \frac{1}{\cos(\alpha\pi/2)} h =: C_\alpha h.$$

Nous obtenons, pour $0 < \sigma \le \theta$, les inégalités

$$|f(\sigma + it)|^\alpha \le C_\alpha h(\sigma + it) \le C_\alpha \frac{\theta}{\sigma} h(\theta + it) \le C_\alpha \frac{\theta}{\sigma} |f(\theta + it)|^\alpha \le C_\alpha \frac{\theta}{\sigma} M^\alpha.$$

Ainsi, $f$ est bornée dans $C_\varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$. D'après le théorème 2.18 de Bohr, translé, on en déduit $\sigma_u(f) \le \varepsilon$, puis $\sigma_u(f) \le 0$ puisque $\varepsilon > 0$ est arbitraire. $\square$
2.9.2. Un théorème de Montel pour $H^\infty$

Le résultat ([9]) que nous allons montrer constitue un remarquable ren-
forcement du théorème classique de Montel sur les familles normales de
fonctions holomorphes. Il permet de donner une caractérisation très simple
des opérateurs de composition compacts sur $H^\infty$ ([10]).

**Théorème 2.35 (Bayart).** Soit $(f_j)$ une suite de $H^\infty$ bornée en norme. Alors, cette suite contient une suite extraite convergeant uniformément vers une fonction $f \in H^\infty$ sur tout demi-plan $\mathbb{C}_\varepsilon$, $\varepsilon > 0$.

Démonstration. Soit $f_j(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n^{(j)} n^{-s}$. On sait que $|a_n^{(j)}| \le \|f_j\|_{\infty} \le C$ pour une certaine constante $C$. Par le procédé diagonal, modulo une extraction, on peut supposer que $a_n^{(j)} \xrightarrow{j \to \infty} a_n$ pour tout $n$ avec $|a_n| \le C$ et un argument de double limite montre que

$$
s \in \mathbb{C}_1 \Rightarrow f_j(s) \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s} =: f(s).
$$

Par le théorème usuel de Montel et modulo une autre extraction, $f_j \to g$
uniformément sur tout compact de $\mathbb{C}_0$ où $g \in H^\infty(\mathbb{C}_0)$, et on a $f = g$ sur
$\mathbb{C}_1$, ce qui montre que $f \in H^\infty$. Reste à montrer que, pour $\varepsilon > 0$ fixé,

$$
g_j(s) := f_j(s + \varepsilon) - f(s + \varepsilon) = \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^{(j)} - a_n) n^{-s-\varepsilon} \to 0 \quad \text{dans } \mathcal{H}^{\infty}.
$$

On pose

$$
\Delta_n^{(j)}(s) = \sum_{k=1}^{n} (a_k^{(j)} - a_k) k^{-s} \quad \text{si } n \ge 1, \Delta_0^{(j)}(s) = 0
$$

et on voit que

$$
|g_j(s)| \le \sum_{n=1}^{N} |a_n^{(j)} - a_n| + \sum_{n>N} \left| (\Delta_n^{(j)} - \Delta_{n-1}^{(j)})(s) n^{-\epsilon} \right|.
$$

Mais $\|f_j - f\|_{\infty} \le 2C$; la version "sommes partielles" du théorème de Bohr nous donne donc $\|\Delta_n^{(j)}\|_{\infty} \le K \log n$ où K est une constante. Une transformation d'Abel donne alors

$$
\|g_j\|_{\infty} \le \sum_{n=1}^{N} |a_n^{(j)} - a_n| + \sum_{n>N} \frac{K\epsilon \log n}{n^{1+\epsilon}}.
$$
D'où, à N fixé :

$$ \limsup_{j \to \infty} \|g_j\|_{\infty} \le \sum_{n>N} \frac{K\epsilon \log n}{n^{1+\epsilon}}. $$

Il reste à faire tendre N vers l'infini. □

### 2.9.3. Compléments

Le lecteur trouvera d'autres compléments sur les espaces $\mathcal{H}^2$ et $\mathcal{H}^\infty$, par exemple la caractérisation par Seip des suites d'interpolation bornées de $\mathcal{H}^\infty$ ou la convergence presque partout au bord de $\mathbb{C}_{1/2}$ de la série de Dirichlet d'une fonction de $\mathcal{H}^2$, dans [48], chapitre 6.
# Chapitre 3 : Opérateurs de composition sur $\mathcal{H}^2$

## 3.1. Généralités

Les notations sont celles des chapitres précédents, si ce n’est qu’on désigne par $\sum_{n=1}^{\infty} b_n n^{-s}$ l’élément générique de $\mathcal{H}^2$, le symbole $a_n$ étant réservé aux nombres d’approximation à venir. On note $f_n \xrightarrow{uc} f$ pour désigner la convergence uniforme de $f_n$ vers $f$ sur tout compact de $\mathbb{C}_{1/2}$ (ou de $\mathbb{D}$ selon le contexte). Dans un espace de Hilbert $H$ de produit scolaire $(\cdot, \cdot)$ et de norme associée $\|\cdot\|$, on note $x_n \xrightarrow{w} x$ pour désigner la convergence faible de $x_n$ vers $x$, soit

$$ \langle x_n, z \rangle \to \langle x, z \rangle \text{ pour tout } z \in H. $$

Si $T \subset H$ est totale, il est classique et facile de prouver l’équivalence

$$ x_n \xrightarrow{w} x \Leftrightarrow \|x_n\| = O(1) \text{ et } \langle x_n, z \rangle \to \langle x, z \rangle \text{ pour tout } z \in T. $$

Un corollaire utile (on prend pour $T$ les noyaux reproduisants) est

**Lemme 3.1.** *Pour une suite $f_n$ de $\mathcal{H}^2$ et $f \in \mathcal{H}^2$, on a équivalence entre :*

$$ (1) \quad f_n \xrightarrow{w} f. $$

$$ (2) \quad f_n \xrightarrow{uc} f \text{ et } \|f_n\| = O(1). $$

Soit maintenant $\varphi : \mathbb{C}_{1/2} \to \mathbb{C}_{1/2}$ analytique et $C_\varphi$ l’opérateur de composition associé, défini formellement par

$$ C_\varphi f = f \circ \varphi $$

qui envoie $\mathcal{H}^2$ dans l'espace $H(\mathbb{C}_{1/2})$ des fonctions analytiques sur $\mathbb{C}_{1/2}$, et dont on se demande s'il envoie plus précisément $\mathcal{H}^2$ dans lui-même. On dira alors que $\varphi$ est un symbole (pour $\mathcal{H}^2$).

### 3.1.1. Equation de l'image

Les équations générales suivantes, dans laquelle $K_a$ désigne le noyau reproduisant de $\mathcal{H}^2$ en $a$, se révèleront très utiles ([10]).
**Théorème 3.2** (Équation de l'image). Si $\varphi$ est un symbole, j un entier positif et $a \in \mathbb{C}_{1/2}$, on a

$$C_{\varphi}^{*}(K_{a}) = K_{\varphi(a)}$$

et plus généralement

$$C_{\varphi}^{*}(K_{a}^{(j)}) = \overline{\varphi'(a)^{j}} K_{\varphi(a)}^{(j)} + \sum_{l<j} c_{l} K_{\varphi(a)}^{(l)}$$

où les $c_l$ ne dépendent que de $\varphi$, j et a.

*Démonstration.* Soit $f \in \mathcal{H}^2$. Alors

$$\begin{align*}
\langle f, C_{\varphi}^{*}(K_a) \rangle &= \langle C_{\varphi}(f), K_a \rangle = \langle f \circ \varphi, K_a \rangle \\
&= (f \circ \varphi)(a) = f[\varphi(a)] = \langle f, K_{\varphi(a)} \rangle.
\end{align*}$$

Dans le cas général, une forme simple de la formule de Faà di Bruno ([46], p. 260) donne

$$\begin{align*}
\langle f, C_{\varphi}^{*}(K_{a}^{(j)}) \rangle &= \langle C_{\varphi}(f), K_{a}^{(j)} \rangle = \langle f \circ \varphi, K_{a}^{(j)} \rangle = (f \circ \varphi)^{(j)}(a) \\
&= [\varphi'(a)]^{j} f^{(j)}[\varphi(a)] + \sum_{l<j} d_l f^{(l)}[\varphi(a)]
\end{align*}$$

ce qui donne le résultat avec $c_l = \overline{d_l}$ puisque $f^{(l)}[\varphi(a)] = \langle f, K_{\varphi(a)}^{(l)} \rangle$, $l \ge 0$. $\square$

### 3.1.2. La classe $\mathcal{G}$ de Gordon-Hedenmalm

Soit $\varphi : \mathbb{C}_{1/2} \to \mathbb{C}_{1/2}$ analytique. On se demande quand $\varphi$ est un symbole. La réponse fait apparaître la classe $\mathcal{G}$ des fonctions $\varphi : \mathbb{C}_{1/2} \to \mathbb{C}_{1/2}$ telles que

$$(1) \quad \varphi(s) = c_0 s + \psi(s) \text{ avec } c_0 \in \mathbb{N} \text{ et } \psi(s) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n n^{-s} \text{ avec } \sigma_c(\psi) < \infty.$$

$$(2) \quad \psi \text{ et donc } \varphi \text{ se prolonge analytiquement à } \mathbb{C}_0, \text{ et de plus } \sigma_u(\psi) \le 0.$$

$$(3) \quad \psi(\mathbb{C}_0) \subset \mathbb{C}_{1/2} \text{ si } c_0 = 0 \text{ et } \psi(\mathbb{C}_0) \subset \mathbb{C}_0 \text{ si } c_0 \ge 1.$$

### 3.2. Théorème fondamental

Le point de départ de l'étude des opérateurs de composition sur $\mathcal{H}^2$ est le résultat suivant ([23]).
**Théorème 3.3 (Gordon-Hedenmalm).** Soit $\varphi : C_{1/2} \to C_{1/2}$. Les asser-
tions suivantes sont équivalentes :

$$
(1) C_{\varphi} : \mathcal{H}^2 \to \mathcal{H}^2.
$$

$$
(2) \varphi \in \mathcal{G}.
$$

De plus, $C_\varphi : \mathcal{H}^2 \to \mathcal{H}^2$ est une contraction si et seulement si $c_0 \ge 1$.

Démonstration. Pour l'implication (1) ⇒ (2), nous renvoyons à [23]. En fait, dans [23], la précision σ_u(ψ) ≤ 0 ne figure pas. Ce renforcement de l'énoncé a été obtenu dans [49], et peut être vu comme une conséquence immédiate de la version “partie réelle” du Théorème de Bohr du chapitre 2. Ajoutons une remarque souvent utile dans ce contexte ([9], Lemme 11) :

$$
\varphi(s) \neq s + i\tau \Rightarrow \varphi(C_{1/2}) \subset C_{1/2+\epsilon} \quad \text{pour au moins un } \epsilon > 0. \quad (3.1)
$$

En particulier, si $\varphi \in \mathcal{G}$ avec $c_0 = 0$, on a

$$
\mathfrak{R}e \, c_1 \geq 1/2 + \epsilon > 1/2
$$

puisque $\varphi(s) \to c_1$ quand $\mathfrak{R}e s \to \infty$.

Prouvons maintenant que (2) ⇒ (1) en supposant d'abord $c_0 \ge 1$. Soit
$f$ un polynôme de Dirichlet

$$
f(s) = \sum_{n=1}^{N} b_n n^{-s}.
$$

Partons des égalités

$$
n^{-c_j j^{-s}} = e^{-c_j j^{-s} \log n} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-c_j \log n)^k}{k!} j^{-ks}, \quad j \ge 2. \quad (3.2)
$$

Nous procédons ensuite en trois étapes.

Etape 1. On a $C_\varphi f \in \mathcal{D}$, l'anneau des séries de Dirichlet convergentes. En effet, pour $n \ge 1$ fixé et $\mathfrak{R}e s > \sigma_a(\psi)$, (3.2) implique

$$
n^{-\varphi(s)} = n^{-c_0 s - c_1} \prod_{j=2}^{\infty} \left( \sum_{k \ge 0} \frac{(-c_j \log n)^k}{k!} j^{-ks} \right) = n^{-c_0 s - c_1} \sum_{m=1}^{\infty} d_m m^{-s}, \quad (3.3)
$$

ce qui définit les $d_m = d_m^{(n)}$. Par une méthode simple de série majorante, on a $|d_m| \le D_m$, où les $D_m$ sont définis par leur série de Dirichlet génératrice

$$
\sum_{m=1}^{\infty} D_m m^{-s} = \prod_{j=2}^{\infty} \left( \sum_{k \ge 0} \frac{(|c_j| \log n)^k}{k!} j^{-ks} \right).
$$
(cela a un sens, car $m \ge 2$ s'écrit d'un nombre fini de façons $m = \prod_{\substack{j_r \ge 2 \\ k_r \ge 1}} j_r^{k_r}$).

Si on fixe $s > \sigma_a(\psi)$, on obtient donc

$$ \sum_{m=1}^{\infty} D_m m^{-s} = \prod_{j=2}^{\infty} \exp(j^{-s} |c_j| \log n) = \exp \left[ \left( \sum_{j=2}^{\infty} j^{-s} |c_j| \right) \log n \right] < \infty, $$

a fortiori $\sum_{m=1}^{\infty} |d_m| m^{-s} < \infty$, montrant que $\sigma_a(d) \le \sigma_a(\psi) < \infty$ où l'on note $d(s) = \sum d_m m^{-s}$, et par suite que $C_{\varphi}f \in \mathcal{D}$.

**Etape 2.** De plus, $C_{\varphi}f \in H^{\infty}(\mathbb{C}_0)$. En effet, $|f[\varphi(s)]| \le \sum_{n=1}^{N} |b_n|$ pour $s \in \mathbb{C}_0$. Par conséquent, $C_{\varphi}f \in H^{\infty}$, a fortiori $C_{\varphi}f \in H^2$ (ces deux étapes restent valables quand $c_0 = 0$).

**Etape 3.** Reste à contrôler plus finement $\|C_{\varphi}f\|_{H^2}$. Soit pour cela, quand $a > 0$, $T_a : \mathbb{C}_0 \to \mathbb{D}$ définie par

$$ T_a(s) = \frac{s-a}{s+a} \quad \text{avec} \quad T_a^{-1}(z) = a \frac{1+z}{1-z} : \mathbb{D} \to \mathbb{C}_0 \text{ et } T_a^{-1}(e^{it}) = ia \cot t/2. $$

Le changement de variable $a \cot(t/2) = x$, $t = \pi - 2 \arctan(x/a)$ montre que, pour toute fonction test $h$ :

$$ \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} h[T_a^{-1}(e^{it})]dt = \int_{\mathbb{R}} h(ix)P_a(x)dx \quad (3.4) $$

où $P_a$ est le noyau de Poisson en $a$ du demi-plan $\mathbb{C}_0$,

$$ P_a(x) = \frac{a}{\pi(a^2 + x^2)} = \frac{1}{a}u\left(\frac{x}{a}\right) \quad \text{où} \quad u(x) = \frac{1}{\pi(1 + x^2)} $$

Pour $a, b, \varepsilon > 0$, soit $\varphi_{\varepsilon}(s) = \varphi(s + \varepsilon)$ et $\omega = T_b \circ \varphi_{\varepsilon} \circ T_a^{-1} : \mathbb{D} \to \mathbb{D}$, ainsi que $F = f \circ T_b^{-1}$. On a $F \in H^{\infty}(\mathbb{D})$ car $|F(z)| \le \sum_{n=1}^{N} |b_n|$, a fortiori $F \in H^2(\mathbb{D})$ et (3.4) donne

$$ \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |F(e^{it})|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |f(ix)|^2 P_b(x) dx. \quad (3.5) $$

Mais le principe de subordination de Littlewood ([55], p. 16) dit que

$$ \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |F \circ \omega(e^{it})|^2 dt \le \frac{1 + |\omega(0)|}{1 - |\omega(0)|} \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} |F(e^{it})|^2 dt. \quad (3.6) $$

Soit encore par (3.4) et (3.5), puisque $F \circ \omega = f \circ \varphi_{\varepsilon} \circ T_a^{-1}$

$$ \int_{\mathbb{R}} |f \circ \varphi_{\varepsilon}(ix)|^2 P_a(x) dx \le \frac{1 + |\omega(0)|}{1 - |\omega(0)|} \int_{\mathbb{R}} |f(ix)|^2 P_b(x) dx. \quad (3.7) $$
Passons maintenant à la limite dans (3.7) quand $a \to \infty$ et $b = c_0 a$, en
nous souvenant que $f$ et $C_{\varphi_{\varepsilon}}f$ ont des séries de Dirichlet uniformément
convergentes dans $\mathbb{C}_0$. C'est évident pour $f$; on a d'autre part

$$
(f \circ \varphi_{\varepsilon})(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \beta_n n^{-s-\varepsilon} \quad \text{si} \quad (f \circ \varphi)(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \beta_n n^{-s}
$$

et le théorème de Bohr (applicable puisque $f \circ \varphi$ est dans $\mathcal{H}^{\infty}$) garantit la
convergence uniforme de la série $\sum_{n=1}^{\infty} \beta_n n^{-s}$ dans $\mathbb{C}_{\varepsilon}$. Remarquons que
de plus

$$
\omega(0) = \frac{1 - b/\varphi_{\varepsilon}(a)}{1 + b/\varphi_{\varepsilon}(a)} \xrightarrow{a \to \infty} 0 \quad \text{car} \quad \varphi_{\varepsilon}(a) \sim c_0 a = b.
$$

Nous obtenons, utilisant le théorème 2.30 du chapitre 2 : $\|f \circ \varphi_{\varepsilon}\|_{\mathcal{H}^2}^2 \le \|f\|_{\mathcal{H}^2}^2$ puis

$$
\|f \circ \varphi\|_{\mathcal{H}^2}^2 \le \|f\|_{\mathcal{H}^2}^2
$$

en faisant tendre $\varepsilon$ vers zéro et cette inégalité s'étend par approximation
à toutes les fonctions de $\mathcal{H}^2$. En effet, si $f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n n^{-s} \in \mathcal{H}^2$ et si
$f_N(s) = \sum_{n=1}^{N} b_n n^{-s}$, on a d'après ce qui précède $\|C_{\varphi} f_N\|_{\mathcal{H}^2} \le \|f_N\|_{\mathcal{H}^2} \le$
$\|f\|_{\mathcal{H}^2}$ d'où $C_{\varphi} f_N \xrightarrow{w} g \in \mathcal{H}^2$ avec nécessairement $g = C_{\varphi} f$ puisqu'on a
$f_N \circ \varphi \xrightarrow{uc} f \circ \varphi$, impliquant $C_{\varphi} f \in \mathcal{H}^2$ et

$$
\|C_{\varphi} f\|_{\mathcal{H}^2} \le \liminf_{N \to \infty} \|C_{\varphi} f_N\|_{\mathcal{H}^2} \le \|f\|_{\mathcal{H}^2}.
$$

Supposons maintenant $c_0 = 0$. Soit $S : \mathbb{C}_{1/2} \to \mathbb{C}_0$ le “décalage” défini par
$S(s) = s - 1/2$. Le diagramme

$$
\mathbb{D} \xrightarrow{T_a^{-1}} \mathbb{C}_0 \xrightarrow{\varphi} \mathbb{C}_{1/2} \xrightarrow{S} \mathbb{C}_0 \xrightarrow{T_b} \mathbb{D}
$$

justifié par l'hypothèse $\varphi(\mathbb{C}_0) \subset \mathbb{C}_{1/2}$ montre que $\omega = T_b \circ S \circ \varphi \circ T_a^{-1}$
envoie $\mathbb{D}$ dans lui-même et que

$$
\omega(0) = T_b[\varphi(a) - 1/2].
$$

Si $f$ est un polynôme de Dirichlet et $F = f \circ S^{-1} \circ T_b^{-1}$, on a $F \circ \omega = f \circ \varphi \circ T_a^{-1}$ et désignant par $m$ la mesure de Haar normalisée de $T$, le principe de Littlewood donne en posant $\frac{1+|\omega(0)|}{1-|\omega(0)|} = K_{a,b}$ :

$$
\int_{\mathbb{T}} |f \circ \varphi \circ T_a^{-1}|^2 dm \leq K_{a,b} \int_{\mathbb{T}} |f \circ S^{-1} \circ T_b^{-1}|^2 dm
$$
soit encore d'après (3.4) et le théorème 8.3 de plongement du chapitre 2 :

$$ \int_{\mathbb{R}} |(f \circ \varphi)(ix)|^2 P_a(x) dx \leq K_{a,b} \int_{\mathbb{R}} |f(1/2 + ix)|^2 P_b(x) dx \leq C_b K_{a,b} \|f\|_{\mathcal{H}^2}^2. $$

Passons à la limite dans cette inégalité quand $a \to \infty$, en laissant $b$ fixé. Puisque $f \circ \varphi$ a une série de Dirichlet uniformément convergente dans $\mathbb{C}_{1/2}$ et puisque $K_{a,b} \xrightarrow{a \to \infty} K_b := (1 + |T_b(c_1 - 1/2)|)(1 - |T_b(c_1 - 1/2)|)^{-1}$ (rappeons que $c_0 = 0$ et que $\mathfrak{Re} c_1 > 1/2$), nous obtenons via le théorème 2.30 du chapitre 2

$$ \|f \circ \varphi\|_{\mathcal{H}^2}^2 \leq C_b K_b \|f\|_{\mathcal{H}^2}^2 $$

et cette inégalité s'étend par approximation à $f \in \mathcal{H}^2$ quelconque (là aussi, il faudrait d'abord considérer $\varphi_\varepsilon$ puis faire tendre $\varepsilon$ vers 0, on omet cet intermédiaire).

Montrons enfin que $C_\varphi$ n'est pas une contraction, et que plus précisément

$$ \|C_\varphi\| \geq [\zeta(2\mathfrak{Re}c_1)]^{1/2} > 1. \qquad (3.8) $$

En effet, le théorème 3.2 de ce chapitre donne pour $a > 1/2$ :

$$ \zeta(2\mathfrak{Re}\,\psi(a)) = \|K_{\varphi(a)}\|_{\mathcal{H}^2}^2 = \|C_{\varphi}^*(K_a)\|_{\mathcal{H}^2}^2 \\ \leq \|C_{\varphi}\|^2 \|K_a\|_{\mathcal{H}^2}^2 = \|C_{\varphi}\|^2 \zeta(2a). $$

En faisant tendre $a$ vers $+\infty$, on obtient le résultat car $\mathfrak{Re}\,\psi(a) \to \mathfrak{Re}\,c_1$, $\zeta(2a) \to 1$ et $\zeta$ envoie $]1, \infty[$ dans lui-même. Tout ceci achève la preuve. $\square$

*Remarque 3.4.* D'autres espaces de Hilbert de séries de Dirichlet, les espaces de Bohr-Bergman, ainsi que leurs opérateurs de composition, ont été récemment étudiés par M. Bailleul et O. F. Brevig ([4]). Voir aussi ([5]). Nous recommandons vivement la lecture de ces articles.

Voici maintenant quelques exemples simples :

*Exemple 1.* $\varphi(s) = s + \tau$ avec $\mathfrak{Re}\,\tau \geq 0$. On a $\varphi \in \mathcal{G}$ et $C_\varphi$ est une isométrie (surjective) si et seulement $\mathfrak{Re}\,\tau = 0$.

*Exemple 2.* $\varphi(s) = c_0 s$ avec $c_0 \geq 1$. $C_\varphi$ est une isométrie (non-surjective si $c_0 \geq 2$).
*Exemple 3.* $\varphi(s) = c_1 + c_2 2^{-s}$ avec donc $\Re c_1 \ge |c_2| + 1/2$. Lorsque $\Re c_1 = |c_2| + 1/2$, $C_\varphi$ n'est pas compact ([10] et [21] indépendamment). Lorsque $\Re c_1 > |c_2| + 1/2$, anticipant sur la définition des nombres d'approximation $a_n(T)$ qui suit, on a

$$a_n(C_\varphi) \le Cr^n \quad \text{où} \quad r = \frac{2|c_2|}{2\Re c_1 - 1} < 1. \qquad (3.9)$$

En effet, supposant $c_1, c_2 > 0$ pour simplifier les notations et écrivant $f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n n^{-s} \in \mathcal{H}^2$ avec $b_n = b_n(f)$, nous avons d'abord

$$\begin{align*}
C_{\varphi} f(s) &= \sum_{n=1}^{\infty} b_n n^{-c_1} \exp(-c_2 \log n 2^{-s}) \\
&= \sum_{n=1}^{\infty} b_n n^{-c_1} \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-c_2)^k}{k!} (\log n)^k 2^{-ks} \right) \\
&= \sum_{k=0}^{\infty} 2^{-ks} \frac{(-c_2)^k}{k!} \left( \sum_{n=1}^{\infty} b_n \frac{(\log n)^k}{n^{c_1}} \right) =: \sum_{j=1}^{\infty} d_j j^{-s}
\end{align*}$$

et l'inégalité de Cauchy-Schwarz donne

$$\sum_{j=1}^{\infty} |d_j|^2 \le \sum_{k=0}^{\infty} \frac{c_2^{2k}}{(k!)^2} \left( \sum_{n=1}^{\infty} |b_n|^2 \right) \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\log n)^{2k}}{n^{2c_1}} \right).$$

Supposant $\|f\|_{\mathcal{H}^2} = 1$, nous avons donc par comparaison à une intégrale et $C$ étant une constante numérique :

$$\begin{align*}
\sum_{j=1}^{\infty} |d_j|^2 &\le C \sum_{k=0}^{\infty} \frac{c_2^{2k}}{(k!)^2} \int_1^{\infty} \frac{(\log t)^{2k}}{t^{2c_1}} dt = C \sum_{k=0}^{\infty} \frac{c_2^{2k}}{(k!)^2} \int_0^{\infty} x^{2k} e^{-(2c_1-1)x} dx \\
&= C \sum_{k=0}^{\infty} \frac{c_2^{2k}}{(k!)^2} \frac{(2k)!}{(2c_1-1)^{2k+1}} \le C \sum_{k=0}^{\infty} \frac{c_2^{2k}}{(2c_1-1)^{2k+1}} 4^k
\end{align*}$$

car $\frac{(2k)!}{(k!)^2} = \binom{2k}{k} \le \sum_{j=0}^{2k} \binom{2k}{j} = 4^k$. Et la série géométrique précédente converge car $2c_2 < 2c_1 - 1$ par définition de $\mathcal{G}$ (on a $\varphi(\mathbb{C}_0) \subset \mathbb{C}_{1/2}$). Ceci redémontre à la main la continuité de $C_\varphi$, et en approchant $C_\varphi f$ par une somme partielle d'ordre $\le N - 1$, à savoir par

$$R(f) = \sum_{k=0}^{N-1} 2^{-ks} \frac{(-c_2)^k}{k!} \left( \sum_{n=1}^{\infty} b_n(f) \frac{(\log n)^k}{n^{c_1}} \right)$$

donne aussi la relation (3.9) : $a_N(C_\varphi) \le Cr^N$.
### 3.3. Opérateurs compacts et nombres d'approximation

#### 3.3.1. Définitions

Soit $H$ un Hilbert (séparable) de boule unité fermée $B_H$, $\mathcal{L}(H)$ l'algèbre des opérateurs continus sur $H$ et $T \in \mathcal{L}(H)$. L'image $T(B_H)$ de la boule unité est toujours fermée : soit en effet $(x_n)$ une suite de $B_H$ telle que $T(x_n) \to y$. Modulo extraction, on peut supposer que $x_n \xrightarrow{w} x$ avec $x \in B_H$. On a alors $T(x_n) \xrightarrow{w} T(x)$ car si $z \in H$,

$$ \langle T(x_n), z \rangle = \langle x_n, T^*(z) \rangle \to \langle x, T^*(z) \rangle = \langle T(x), z \rangle $$

Comme on a aussi $T(x_n) \xrightarrow{w} y$, il vient $y = T(x)$ d'après l'unicité de la limite faible (de façon plus conceptuelle : $B_H$ est faiblement compacte et $T$ faiblement continue, donc $T(B_H)$ est faiblement compacte, et par suite fermée).

On dira que $T$ est compact si $T(B_H)$, fermée, est de plus compacte en norme. Si on remplace $H$ par un espace de Banach $X$, on définit la compacité de $T$ en demandant que $T(B_X)$ soit relativement compacte. On peut noter le résultat suivant, dans lequel $T$ parcourt $\mathcal{L}(X)$ ([35])

$$ T(B_X) \text{ toujours fermée} \iff X \text{ réflexif.} $$

En effet, si $X$ est réflexif, le même raisonnement que ci-dessus montre que $T(B_X)$ est fermée. Réciproquement, si on teste l'hypothèse sur l'opérateur de rang un défini par $T(x) = f(x) e$ où $f \in X^*$ et $e \in X - \{0\}$, on voit que toute forme linéaire continue $f$ sur $X$ atteint sa norme. Il résulte alors d'un théorème de James ([36], p. 280-281) que $X$ est réflexif.

D'autre part, on notera $\sigma(T)$ le spectre de $T$, le compact non-vide du plan complexe défini par

$$ \sigma(T) = \{\lambda \in \mathbb{C} ; T - \lambda I \text{ n'est pas inversible dans } \mathcal{L}(H)\} $$

où $I$ désigne l'identité de $H$. On a clairement $\sigma(T^*) = \overline{\sigma(T)}$, où la barre désigne la conjugaison, et l'on notera $\sigma_p(T)$ l'ensemble des valeurs propres de $T$, aussi appelé spectre ponctuel

$$ \sigma_p(T) = \{\lambda \in \mathbb{C} ; T - \lambda I \text{ n'est pas injectif.}\} $$

Un critère utile de compacité dans ce contexte est le suivant ([55], p. 29 pour $H^2$, mais la preuve vaut pour les espaces de Hilbert de fonctions analytiques sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{C}^d$)
**Théorème 3.5.** Si $\varphi : C_{1/2} \to C_{1/2}$ est un symbole, on a équivalence entre

$$
(1) \ C_{\varphi} : \mathcal{H}^2 \to \mathcal{H}^2 \text{ est compact.}
$$

$$
(2) \text{ Si } f_n \xrightarrow{uc} f \text{ avec } \|f_n\|_{H^2} = O(1), \text{ alors } f_n \circ \varphi \to f \circ \varphi \text{ dans } \mathcal{H}^2.
$$

F. Riesz ([16], chapitre 4) a montré que la théorie spectrale des opéra-
teurs compacts est très proche de celle des opérateurs en dimension finie,
et notamment que

**Théorème 3.6.** *Soit T ∈ L(X) compact, et λ ∈ σ(T) − {0}. Alors, λ est une valeur propre de T, et elle est de multiplicité finie.*

Une application remarquable de ce théorème aux opérateurs de compos-
sition est la suivante ([55], p. 91)

**Théorème 3.7** (Équation de Königs). *Soit Ω un ouvert connexe de C conformément équivalent au disque, H un espace de Hilbert de fonctions analytiques sur Ω et ϕ : Ω → Ω analytique, ayant un point fixe a ∈ Ω avec ϕ'(a) ≠ 0, et telle que l'opérateur de composition Cϕ envoie H dans lui-même de façon compacte. Alors, l'équation fonctionnelle de Königs f ◦ ϕ = ϕ'(a)f possède dans H(Ω) une unique solution σ telle que σ(a) = 0 et σ'(a) = 1. On a donc aussi σⁿ ◦ ϕ = (ϕ'(a))ⁿσⁿ pour tout entier n ≥ 0. De plus, f ◦ ϕ = λf avec f ∈ H(Ω) et f ≠ 0 implique λ = [ϕ'(a)]ⁿ avec n entier positif, f proportionnelle à σⁿ et f ∈ H. Ainsi, σⁿ ∈ H pour tout entier n ≥ 0.*

*Démonstration.* Soit $\mu = \varphi'(a)$ et $\varphi_j$ la $j$-ième itérée de $\varphi$. On a $|\mu| < 1$ et
$\varphi_j \xrightarrow{j \to \infty} \varphi(a)$ uniformément sur tout compact de $\Omega$ puisque $\varphi$ n'est pas un
automorphisme (théorème de H. Cartan, [46] p. 155), $C_\varphi$ étant compact.
Le théorème de Königs ([55], p. 90-93) dit alors qu'il existe une fonction
$\sigma \in H(\Omega)$, avec $\sigma(a) = 0$ et $\sigma'(a) = 1$, telle que $\sigma \circ \varphi = \mu \sigma$ (en fait, $\sigma$ est
la limite des itérées renormalisées $\mu^{-j}\varphi_j$). On a donc aussi $\sigma^n \circ \varphi = \mu^n \sigma$
pour $n = 0, 1, 2, \dots$ et le théorème dit de plus que les solutions dans $H(\Omega)$
de $f \circ \varphi = \mu^n f$ sont toutes proportionnelles à $\sigma^n$.

Fixons maintenant l'entier $n \ge 1$ et soit $E = E_n$ le sous-space de $H$
engendré par le noyau reproduisant $K_a$ et ses dérivées $K_a^{(l)}$, $0 \le l \le n$.
L'équation de l'image (théorème 3.2) montre que $E$ est stable par $C_\varphi^*$ et
que la matrice de $C_\varphi^*$ sur la base $K_a^{(l)}$, $0 \le l \le n$ est triangulaire supérieure
avec éléments diagonaux $(\overline{\varphi'(a)})^k$, $0 \le k \le n$. Les $(\overline{\varphi'(a)})^k$ sont des valeurs
propres, donc spectrales, de $C_{\varphi}^*$ et par suite les $(\varphi'(a))^k$ sont des valeurs
spectrales, donc des valeurs propres, de $C_{\varphi}: H \to H$ d'après le théorème
de Riesz. Il existe donc $f_n \in H$ non-nulle telle que $f_n \circ \varphi = \mu^n f_n$. Et
d'après le théorème de Königs $f_n$ est proportionnelle à $\sigma^n$, ce qui montre
que $\sigma^n \in H$, fait hautement non-évident a priori. L'exemple “lenticulaire”
$\varphi = T^{-1} \circ \gamma \circ T$ avec $T(z) = \frac{1-z}{1+z} : \mathbb{D} \to \mathbb{C}_0$ et $\gamma(w) = w^{1/2} : \mathbb{C}_0 \to \mathbb{C}_0$,
pour lequel on a $C_{\varphi}: H^2 \to H^2$ compact et $\sigma(z) = \frac{1}{2} \log \frac{1+z}{1-z}$ ([55], p. 94),
est très instructif. On voit que $\sigma^n \in H^2$ pour tout $n$ et même $\sigma \in \text{BMOA}$
(l'espace des fonctions analytiques à oscillation moyenne bornée), mais
quand même pas $\sigma \in H^{\infty}$. $\square$

Soit maintenant $n$ entier $\ge 1$. Le $n$-ième nombre d'approximation $a_n(T)$ de $T$ est défini comme la distance de $T$ aux opérateurs de rang $< n$ ([16], chapitre 2), soit

$$
a_n(T) = \inf_{\text{rang}(R)<n} \|T-R\| = \inf_{\text{rang}(R)<n} \left[ \sup_{f \in B_H} \|Tf-Rf\| \right]. \quad (3.10)
$$

On notera que $a_n(T)$ est défini comme un minimax. Il sera commode
d'introduire aussi les *nombres de Bernstein* $b_n(T)$ définis comme des maxi-
min ($S_E$ ci-dessous désignant la sphère-unité de $E$) :

$$
b_n(T) = \sup_{\dim E=n} \left[ \inf_{f \in S_E} \|Tf\| \right] =: \sup_{\dim E=n} [\gamma_E(T)]. \quad (3.11)
$$

Nous prouverons que $a_n(T) = b_n(T)$. Il est également facile de voir que
$(H$ étant un Hilbert)

$$
T \text{ compact} \iff a_n(T) \to 0. \tag{3.12}
$$

(et, dans le cas banachique, les opérateurs $T$ tels que $b_n(T) \to 0$ sont
appelés *finiment strictement singuliers*). On entre ici dans le domaine
de l'approximation non-commutative, à comparer au théorème classique
d'approximation de Weierstrass disant que, si $f \in L^\infty(0,1)$, et

$$
E_n(f) = \inf_{\text{degré}(P) \le n} \|f - P\|_{\infty},
$$

alors

$$
f \text{ continue} \iff E_n(f) \to 0. \tag{3.13}
$$

Des théorèmes de Bernstein ([19]) relient la régularité de $f$ à la vitesse de
convergence vers zéro de $E_n(f)$. Par analogie, il est naturel de s’intéresser
à la vitesse de convergence vers zéro de $a_n(T)$ et de considérer $T$ comme
“très compact” si $a_n(T) \to 0$ très vite. Pour cela, il est commode de
disposer du théorème suivant ([16], p. 46)

**Théorème 3.8** (Décomposition de Schmidt). *Soit T : H → H compact. Alors, il existe deux suites orthonormales $(u_j)$, $(v_j)$ et une suite de réels positifs $(s_j)$ décroissant vers 0 telles que*

$$
T(x) = \sum_{j=1}^{\infty} s_j \langle x, v_j \rangle u_j \quad \forall x \in H.
$$

Les $s_j = s_j(T)$ s'appellent les *nombres singuliers* de $T$. On a le

**Théorème 3.9.** *Soit T : H → H compact. On a pour tout $n \ge 1$ :*

$$
s_n(T) = a_n(T) = b_n(T).
$$

Démonstration. Soit $R_{n-1}$ défini par $R_{n-1}(x) = \sum_{j=1}^{n-1} s_j \langle x, v_j \rangle u_j$, si bien
que $(T - R_{n-1})(x) = \sum_{j=n}^{\infty} s_j \langle x, v_j \rangle u_j$, et

$$
\|(T - R_{n-1})(x)\|^2 = \sum_{j=n}^{\infty} s_j^2 |\langle x, v_j \rangle|^2 \leq s_n^2 \sum_{j=n}^{\infty} |\langle x, v_j \rangle|^2 \leq s_n^2 \|x\|^2,
$$

puis

$$
a_n(T) \le \|T - R_{n-1}\| \le s_n(T). \tag{3.14}
$$

D'autre part, on a toujours (que $T$ soit compact ou non)

$$
b_n(T) \le a_n(T). \tag{3.15}
$$

Soit en effet *E* de dimension *n* et *R* de rang *< n*. *R* ne peut être injectif sur *E*, donc il existe *x*₀ ∈ *S*_E tel que *Rx*₀ = 0. Par suite :

$$
\|T - R\| \ge \|Tx_0 - Rx_0\| = \|Tx_0\| \ge \inf_{x \in S_E} \|Tx\| = \gamma_E(T).
$$

D'où successivement $\|T - R\| \ge b_n(T)$ et $a_n(T) \ge b_n(T)$. Enfin,

$$
b_n(T) \geq s_n(T). \tag{3.16}
$$

Prenons en effet pour *E* l'espace de dimension *n* engendré par *v*₁, ..., *v*ₙ.
Si *x* ∈ *S*<sub>*E*</sub>, *T*(*x*) = ∑<sub>*j*=1</sub><sup>*n*</sup> *s*<sub>*j*</sub>{*x*, *v*<sub>*j*</sub>} *u*<sub>*j*</sub> et donc

$$
\|T(x)\|^2 = \sum_{j=1}^{n} s_j^2 |\langle x, v_j \rangle|^2 \geq s_n^2 \sum_{j=1}^{n} |\langle x, v_j \rangle|^2 = s_n^2 \|x\|^2 = s_n^2.
$$

Il en résulte que $b_n(T) \ge \gamma_E(T) \ge s_n(T)$. Les trois inégalités (3.14), (3.15), (3.16) achèvent la preuve. $\square$
### 3.3.2. Propriétés des nombres d'approximation

#### 3.3.3. Un mini-catalogue

Les nombres d'approximation d'un opérateur sur un Hilbert ont les propriétés simples suivantes ([16]) :

(1) $\|T\| = a_1(T) \ge a_2(T) \ge \dots \ge a_n(T) \ge \dots \ge 0$.

(2) $(a_n(T)) = (\varepsilon_n)$ est une suite décroissante arbitraire de limite nulle.

(3) $a_n(T) = a_n(T^*) = \sqrt{a_n(T^*T)}$.

(4) $a_n(\mathit{ATB}) \le \|A\| a_n(T) \|B\|$ (propriété d'idéal bilatère).

(5) $S_p = \{T; (a_n(T)) \in \ell_p, 0 < p < \infty\}$ s'appelle la classe de Schatten d'indice $p$, et croît avec $p$. Lorsque $p \ge 1$, c'est un espace de Banach (un espace $\ell_p$ non-commutatif) pour la norme

$$ \|T\|_p = \left( \sum_{n=1}^{\infty} [a_n(T)]^p \right)^{1/p} $$

(6) $S_2$ coïncide isométriquement avec la classe des opérateurs Hilbert-Schmidt, les opérateurs $T$ pour lesquels

$$ \|T\|_2 = \left( \sum_{n=1}^{\infty} \|T(e_n)\|^2 \right)^{1/2} < \infty $$

où $(e_n)$ désigne une base orthonormale arbitraire de $H$.

Ces propriétés utiles se vérifient immédiatement. Par exemple, pour (2), il suffit de prendre pour $T$ un opérateur diagonal sur une base orthonormale de $H$, d'éléments diagonaux $\varepsilon_n$. Mais dès qu'on restreint $T$ à une classe $C$ d'opérateurs sur $H$, la question devient beaucoup plus difficile. Par exemple, si $C$ est la classe des opérateurs de Hankel, on peut montrer ([41], avec une preuve très élaborée) que la suite $(a_n(T))$ est encore décroissante arbitraire. Mais si $C$ est la classe des opérateurs de composition sur l'espace de Hardy usuel $H^2$ du disque, cette suite n'est plus arbitraire et son étude est également non-triviale ([37]): en particulier, on a toujours $a_n(T) \ge \delta r^n$ avec $\delta, r > 0$. On va présenter ici une étude analogue pour les opérateurs de composition sur les espaces de Hardy-Dirichlet $H^p$, issue de [49] et [11]. Un changement d'échelle ($r^n$ remplacé par $n^{-A}$) va se produire. Nous commençons par le cas $p = 2$.
### 3.3.4. Inégalités multiplicatives de H.Weyl

Soit $T : H \to H$ compact, $(a_n)$ la suite de ses nombres d'approximation et $(\lambda_n)$ la suite de ses valeurs propres rangées par ordre décroissant de module. Le lemme suivant nous sera très utile, car nous connaîtrons déjà les $\lambda_n$ dans notre contexte, grâce au théorème de Königs revisité par F.Riesz.

**Lemme 3.10 (Inégalités multiplicatives de H.Weyl).** *Pour tout entier $n \ge 1$, on a*

$$|\lambda_1 \cdots \lambda_n| \le a_1 \cdots a_n.$$

En particulier,

$$|\lambda_n| \le (a_1 \cdots a_n)^{1/n}$$

et

$$\sum_{n=1}^{\infty} |\lambda_n|^p \le \sum_{n=1}^{\infty} a_n^p$$

pour tout $p > 0$.

*Démonstration.* Voici la preuve initiale de Weyl (voir aussi [16], p. 157). On considère l'opérateur $S$ puissance extérieure $n$-ième de $T$ agissant sur la $n$-ième puissance extérieure de $H$, soit $S = \wedge^{(n)}T : \wedge^{(n)}H \to \wedge^{(n)}H$. Le rayon spectral de $S$ est $|\lambda_1 \cdots \lambda_n|$, sa norme est $a_1 \cdots a_n$. Enfin, le rayon spectral d'un opérateur est inférieur à sa norme. Quant au passage de la forme multiplicative des inégalités de Weyl à leur forme additive (plus faible), il est dû à des propriétés générales des fonctions convexes ([16], p. 157). $\square$

*Remarque 3.11.* L'inégalité tentante $|\lambda_n| \le a_n$ est fausse, comme le montre un exemple important de H. König ([16], p. 154) en dimension $n$: soit $(e_j)_{1 \le j \le n}$ la base canonique de $\mathbb{C}^n$, $0 < \sigma < 1$ et $T : \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ le backward shift (shift arrière) perturbé défini par

$$T(e_1) = \sigma e_n \quad \text{et} \quad T(e_j) = e_{j-1} \quad \text{si} \quad 2 \le j \le n.$$

On a

$$T^*(e_n) = \sigma e_1 \quad \text{et} \quad T(e_j) = e_{j+1} \quad \text{si} \quad 1 \le j \le n-1.$$

Donc $T^n = \sigma I$ et les valeurs propres de $T$ sont les nombres

$$\lambda_j = \sigma^{1/n} e^{2ij\pi/n}, \quad 1 \le j \le n.$$
Tandis que $T^*T$ est l'opérateur diagonal d'éléments diagonaux $(\sigma^2, 1, \dots, 1)$
si bien que

$$a_1 = \cdots = a_{n-1} = 1 \quad \text{et} \quad a_n = \sigma.$$

On a bien $|\lambda_1 \cdots \lambda_n| \le a_1 \cdots a_n$ puisque les deux membres valent $\sigma$, mais
$|\lambda_n| = \sigma^{1/n}$ peut être beaucoup plus grand que $a_n = \sigma$.

Cela dit, le substitut suivant rend presque autant de services.

**Lemme 3.12.** Avec les notations précédentes, on a pour tout entier $q \ge 2$

$$|\lambda_{qn}|^q \le a_1 a_n^{q-1}.$$

En particulier

$$|\lambda_{2n}|^2 \le a_1 a_n.$$

*Démonstration.* Dans le Lemme 3.10, on change $n$ en $qn$ et on élève à la puissance $q$ pour obtenir :

$$|\lambda_{qn}|^q \le (a_1 \cdots a_{qn})^{1/n} \le (a_1^n a_n^{(q-1)n})^{1/n} = a_1 a_n^{q-1}. \quad \square$$

Nous pourrons exploiter ces inégalités multiplicatives de Weyl dans le
cas qui nous intéresse grâce au résultat suivant dû à F. Bayart ([10]),
intéressant en lui-même.

**Théorème 3.13.** Soit $\varphi(s) = c_0s + \sum_{n=1}^{\infty} c_n n^{-s}$ définissant un opérateur de composition compact sur $\mathcal{H}^2$. Alors, les valeurs propres de $C_\varphi$ sont de multiplicité un et valent

(a) $\lambda_n = [\varphi'(\alpha)]^{n-1}$, $n = 1, 2, \dots$, quand $c_0 = 0$, où $\alpha$ est le point fixe de $\varphi$ dans $\mathbb{C}_{1/2}$.

(b) $\lambda_n = n^{-c_1}$, $n = 1, 2, \dots$, quand $c_0 = 1$.

(c) $1 \text{ si } c_0 \ge 2$, et alors $\sigma(C_\varphi) = \{0, 1\}$.

*Démonstration.* Le point (a) du théorème 3.13 demande une première justification. La voici, même si nous n’en aurons pas vraiment besoin ici !

**Lemme 3.14.** Soit $C_\varphi : \mathcal{H}^2 \to \mathcal{H}^2$ avec $c_0 = 0$. Alors, $\varphi$ a un point fixe dans $\mathbb{C}_{1/2}$.

*Démonstration du lemme.* On s’appuie sur (3.1) que l’on rappelle

$$\varphi(s) \neq s + i\tau \Rightarrow \varphi(\mathbb{C}_{1/2}) \subset \mathbb{C}_{1/2+\epsilon} \text{ pour un } \epsilon > 0.$$
Observons maintenant que $\varphi$ ne peut être une translation verticale $s + i\tau$
lorsque $c_0 = 0$. Soit $T : \mathbb{D} \to \mathbb{C}_{1/2}$ la transformation conforme donnée par

$$T(z) = \frac{1}{2} + \frac{1-z}{1+z}.$$

Soit $\omega = T^{-1} \circ \varphi \circ T : \mathbb{D} \to \mathbb{D}$. Supposons que $\omega$ n'a pas de point fixe dans $\mathbb{D}$. Alors, le théorème de Denjoy-Wolff ([55], p. 78) implique l'existence d'un point $u \in \partial \mathbb{D}$ tel que $\omega_n \xrightarrow{uc} u$, où $\omega_n$ désigne la $n$-ième iterée de $\omega$. Si $u \neq -1$, $\varphi_n = T \circ \omega_n \circ T^{-1} \xrightarrow{uc} T(u) \in \partial \mathbb{C}_{1/2}$. Mais ceci est impossible d'après (3.1) puisque $\varphi_n(\mathbb{C}_{1/2}) \subset \mathbb{C}_{1/2+\varepsilon}$. Si $u = -1$, on a $\varphi_n \xrightarrow{uc} \infty$. Ceci est de nouveau impossible car, d'après le théorème 3.3, la série de Dirichlet de $\varphi = \psi$ converge uniformément sur $\mathbb{C}_{1/2+\varepsilon}$ si bien qu'il existe une partie bornée $B$ de $\mathbb{C}_{1/2}$, par exemple $B = \varphi(\mathbb{C}_{1/2+\varepsilon})$, telle que $\varphi_n(\mathbb{C}_{1/2}) \subset B$ pour $n \ge 2$, puisque

$$n \ge 2 \Rightarrow \varphi_n(\mathbb{C}_{1/2}) \subset \varphi_2(\mathbb{C}_{1/2}) \subset B.$$

Tout ceci montre que $\omega$ possède un point fixe $u \in \mathbb{D}$ et que $\varphi$ possède le point fixe $\alpha = T(u) \in \mathbb{C}_{1/2}$. $\square$

Pour le reste de la preuve, on a besoin du lemme élémentaire suivant, intéressant en lui-même ([18], p. 270)

**Lemme 3.15.** Soit $X = Y \oplus Z$ un espace de Banach, somme directe de deux sous-espaces fermés $Y$ et $Z$ avec $Y$ de dimension finie. Soit $T : X \to X$ un opérateur qui, sur $Y \oplus Z$, a l'une des deux représentations

$$T = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix} \quad \text{ou} \quad T = \begin{pmatrix} A & 0 \\ C & D \end{pmatrix}$$

Alors, $\sigma(T) = \sigma(A) \cup \sigma(D)$. En d'autres termes, $T$ est inversible si et seulement si $A$ et $D$ le sont.

Dans le cas $c_0 = 0$, $\varphi$ ne peut être un automorphisme de $\mathbb{C}_{1/2}$ car ces derniers sont les translations verticales $s \mapsto \varphi(s) = s + i\tau$ lorsque de plus $\varphi \in \mathcal{G}$. Le théorème 3.7 s'applique et nous donne bien

$$\sigma(C_{\varphi}) = \{(\varphi'(\alpha))^k, k = 0, 1, \dots, \infty\}.$$

Dans le cas $c_0 \ge 1$, montrons d'abord que

$$\sigma_p(C_{\varphi}) \subset \{n^{-c_1}, n \ge 1\} \quad \text{si} \quad c_0 = 1 \quad \text{et} \quad \sigma_p(C_{\varphi}) = \{1\} \quad \text{si} \quad c_0 > 1.$$
Soit en effet $f \in \mathcal{H}^2$, avec $f(s) = \sum_{k \ge l} a_k k^{-s}$, $a_l \ne 0$, telle que $f \circ \varphi = \lambda f$
et $\lambda \ne 0$. Nous savons que

$$f \circ \varphi(s) = \sum_{k \ge l} a_k k^{-c_0 s} k^{-c_1} \prod_{n=2}^{\infty} \left[ 1 + \sum_{j=1}^{\infty} \frac{(-c_n \log k)^j}{j!} n^{-js} \right].$$

Si $c_0 > 1$, il n'y a pas de terme en $l^{-s}$ sauf pour $l = 1$ et $f = \text{constante}$. D'où $\lambda = 1$, qui convient, car $C_\varphi(1) = 1$.

Si $c_0 = 1$, le terme devant $l^{-s}$ est $a_l l^{-c_1}$ ; on en déduit $a_l l^{-c_1} = \lambda a_l$ et $\lambda = l^{-c_1}$. Pour l'inclusion réciproque $\{n^{-c_1}\} \subset \sigma_p(C_\varphi)$, on fixe un entier $m \ge 1$ et on applique le Lemme 3.15 avec $Y = \text{Vect}(1, 2^{-s}, \dots, m^{-s})$ et $Z = \text{Vect}((m+1)^{-s}, (m+2)^{-s}, \dots) = Y^{\perp}$ ainsi que $T = C_\varphi$. Il est clair que $Z$ est stable par $T$, qui a donc sur la somme directe $Y \oplus Z$ une représentation matricielle de la forme

$$T = \begin{pmatrix} A & 0 \\ C & D \end{pmatrix}$$

avec plus précisément

$$C_{\varphi}(k^{-s}) = k^{-s}k^{-c_1} + \sum_{j>k} \alpha_j j^{-s}.$$

La matrice $(m \times m)$ associée à $A$ est donc triangulaire inférieure avec les éléments diagonaux $k^{-c_1}$, $1 \le k \le m$, ce qui montre que $m^{-c_1} \in \sigma(A) \subset \sigma(C_\varphi)$ d'après le lemme. Ceci achève la preuve du théorème 3.13. $\square$

### 3.4. Un premier théorème de minoration

Le but de ce paragraphe est de démontrer le résultat suivant

**Théorème 3.16.** Soit $\varphi(s) = c_0s + \psi(s) = c_0s + \sum_{n=1}^{\infty} c_n n^{-s} \in \mathcal{G}$, induisant un opérateur de composition compact sur $\mathcal{H}^2$. Alors, on a toujours $\Re c_1 > 0$. De plus, $\delta$ étant une constante > 0 :

(1) Si $c_0 = 0$, on a $a_n(C_\varphi) \ge \delta r^n$ pour un $0 < r < 1$.

(2) Si $c_0 \ge 1$, on a $a_n(C_\varphi) \ge \delta(n \log n)^{-\Re c_1}$. En particulier, $C_\varphi \notin S_p$ pour $p \le 1/\Re c_1$.

Le résultat de (1) est optimal, et celui de (2) aussi, au facteur logarithmique près.
*Démonstration.* L'inégalité $\Re c_1 > 0$ sera montrée dans la preuve du théorème 3.24 à venir. Distinguons maintenant deux cas :

Cas 1 : $c_0 = 0$. Nous nous appuierons sur un lemme simple ([49], Lemme 6.1) pour nous ramener au cas où $\varphi$ a un point fixe attractif, mais pas super-attractif.

**Lemme 3.17.** Soit $\alpha$ et $\beta$ deux points de $\mathbb{C}_{1/2}$. Il existe un polynôme de Dirichlet $\chi$ tel que

$$ \chi(\mathbb{C}_0) \subset \mathbb{C}_{1/2}, \quad \chi(\beta) = \alpha \quad \text{et} \quad \chi'(\beta) \neq 0. $$

Soit alors $\alpha \in \mathbb{C}_{1/2}$ tel que $\varphi'(\alpha) \neq 0$ et $\beta = \varphi(\alpha) \in \mathbb{C}_{1/2}$. Posons $\psi = \chi \circ \varphi$, qui est dans la classe $\mathcal{G}$ et vérifie :

$$ \psi(\alpha) = \chi(\beta) = \alpha \text{ et } \psi'(\alpha) = \chi'(\beta)\varphi'(\alpha) \neq 0. $$

On a de plus $C_\psi = C_\varphi C_\chi$ et donc, par la propriété d'idéal des nombres d'approximation, $a_n(C_\psi) \le \|C_\chi\| a_n(C_\varphi)$. Quitte à remplacer $\varphi$ par $\chi$, on peut donc supposer sans perte de généralité que $\varphi(\alpha) = \alpha$ et $\varphi'(\alpha) \neq 0$. Soit $r_0 := |\varphi'(\alpha)| > 0$. On utilise ensuite le théorème 3.13 et le Lemme 3.12 pour obtenir

$$ r_0^{4n-2} = |\lambda_{2n}|^2 \le a_1 a_n, $$

impliquant le résultat.

Cas 2 : $c_0 = 1$. Nous donnerons deux preuves, la seconde ayant le mérite de s'étendre au cas $c_0 \ge 2$.

*Preuve a.* Utilisons le théorème 3.13 et l'inégalité de Weyl modifiée du Lemme 3.12 avec $qn$, où $q \ge 2$ est un entier à choisir. Soit $\gamma_1 = \Re c_1$. Puisque $\lambda_j(C_\varphi) = j^{-c_1}$, nous obtenons

$$ (qn)^{-\gamma_1 \frac{q}{q-1}} = |\lambda_{qn}|^{\frac{q}{q-1}} \le a_1^{\frac{1}{q-1}} a_n \ll a_n. $$

Ceci implique

$$ a_n \gg (qn)^{-\gamma_1} (qn)^{-\frac{\gamma_1}{q-1}}. $$

Ajustant $q = q_n$ comme la partie entière de $\log n + 2$ et observant que $n^{1/q} \to e$, nous obtenons finalement

$$ a_n \gg (n \log n)^{-\gamma_1}, \quad \square $$

*Preuve b.* Elle se base sur la définition de $a_n$ comme nombres de Bernstein et sur un bon choix de l'espace test $E$ de dimension $n$. On désigne par $(p_k)$ la suite des nombres premiers.
**Lemme 3.18.** Fixons un entier $n \ge 1$. Soit $\varphi(s) = c_0s + \sum_{j=1}^{\infty} c_j j^{-s} \in \mathcal{G}$ avec $c_0 \ge 1$. Soit aussi E le sous-espace de dimension $n$ de $\mathcal{H}^2$ engendré par les vecteurs unitaires $p_1^{-s}, p_2^{-s}, \dots, p_n^{-s}$. Alors pour toute $f(s) = \sum_{k=1}^n b_k p_k^{-s}$ dans E, on a

$$ C_{\varphi}f(s) = g(s) + h(s) \quad \text{où} \quad g(s) = \sum_{k=1}^{n} b_k p_k^{-c_1} (p_k^{c_0})^{-s} \quad \text{et} \quad \langle h, g \rangle = 0. \tag{3.17} $$

*Démonstration du lemme.* La preuve du théorème 3.3 (cf. aussi [23]) nous a montré que le calcul formel suivant est permis pour trouver les coefficients de Dirichlet de $C_\varphi(p_k^{-s})$, $1 \le k \le n$ :

$$ \begin{aligned} C_{\varphi}(p_k^{-s}) &= p_k^{-c_0 s} p_k^{-c_1} \prod_{j=2}^{\infty} \left(1 + \sum_{l=1}^{\infty} \frac{(-c_j \log p_k)^l}{l!} j^{-ls}\right) \\ &=: p_k^{-c_0 s} p_k^{-c_1} \left(1 + \sum_{m \ge 2} \alpha_{k,m} m^{-s}\right) =: g_k(s) + h_k(s) \end{aligned} $$

avec $g_k(s) = p_k^{-c_1}(p_k^{c_0})^{-s}$, et il reste à noter que les vecteurs $g = \sum_{k=1}^n b_k g_k$ et $h = \sum_{k=1}^n b_k h_k$ sont orthogonaux comme ayant des spectres de Dirichlet disjoints : en effet, les $p_j$ étant premiers et $c_0$ étant $\ge 1$, une égalité de le forme $p_k^{c_0} = p_j^{c_0}$ m' avec $m \ge 2$ est impossible, que $j$ soit égal à $k$ ou non. $\square$

Nous pouvons maintenant achever la seconde preuve de (2), et elle vaut aussi pour $c_0 \ge 2$, alors que la méthode spectrale de la première preuve échoue ici. Choisissons E comme dans le Lemme 3.18 et soit f un vecteur de la sphère unité de E. D'après ce lemme, nous obtenons

$$ \begin{aligned} \|C_{\varphi}(f)\|_{\mathcal{H}^2} &= \|g+h\|_{\mathcal{H}^2} \ge \|g\|_{\mathcal{H}^2} = \left(\sum_{k=1}^{n} |b_k|^2 p_k^{-2\gamma_1}\right)^{1/2} \\ &\ge \left(\sum_{k=1}^{n} |b_k|^2 p_n^{-2\gamma_1}\right)^{1/2} = p_n^{-\gamma_1}. \end{aligned} $$

Il en résulte que $b_n(C_\varphi) \ge \gamma_E(C_\varphi) \ge p_n^{-\gamma_1}$. Mais d'après une moitié du théorème des nombres premiers sous la forme donnée par Chebyshev ([26] p. 340-345), on a (p parcourant les nombres premiers)

$$ \pi(x) := \sum_{p \le x} 1 \gg \frac{x}{\log x}. $$
Faisant $x = p_n$, pour lequel $\pi(x) = n$, on en déduit $p_n \ll n \log n$. Cela donne les minorations souhaitées. $\square$

Reste l'optimalité.

Cas 1 : $c_0 = 0$. Ce cas est couvert par l'exemple $\varphi(s) = c_1 + c_2 2^{-s}$ avec $\Re c_1 > 1/2 + |c_2|$ pour lequel on a vu (cf.(3.9)) que

$$a_n(C_\varphi) \le Cr^n \quad \text{où} \quad r = \frac{2|c_2|}{2\Re c_1 - 1} < 1.$$

Plus généralement ([49]), si $\varphi \in \mathcal{G}$ et si $\overline{\varphi(\mathbb{C}_{1/2})}$ est un compact de $\mathbb{C}_{1/2}$, $a_n(C_\varphi) \le Cr^n$ pour un $r < 1$. Mais la preuve est plus compliquée et utilise la notion de mesure de Carleson.

Cas 2 : $c_0 = 1$. Soit $\varphi(s) = c_0s + c_1$. Alors, $a_n(C_\varphi) = n^{-\gamma_1}$. Écrivons en effet

$$\varphi = T \circ \chi \quad \text{avec} \quad \chi(s) = c_0s \quad \text{et} \quad T(s) = s + c_1.$$

Alors $C_\varphi = C_\chi C_T$, $C_\chi$ est une isométrie de $\mathcal{H}^2$ et la multiplication à gauche par une isométrie préserve les nombres d'approximation. Donc $a_n(C_\varphi) = a_n(C_T) = n^{-\gamma_1}$ car $C_T$ est diagonal d'éléments diagonaux $n^{-c_1}$ sur la base hilbertienne canonique $(u_n)$ de $\mathcal{H}^2$, $u_n(s) = n^{-s}$. $\square$

Remarques 3.19.

(1) Les premiers résultats sur les nombres d'approximation des opérateurs de composition (sur les espaces de Hardy et Bergman du disque) sont apparus dans [37]. Voir aussi [49] pour l'espace de Hardy des séries de Dirichlet.

(2) Le lecteur trouvera dans [49] des résultats plus précis (en particulier des majorations) sur les nombres d'approximation des $C_\varphi : \mathcal{H}^2 \to \mathcal{H}^2$, où des techniques plus élaborées (mesures de Carleson, suites d'interpolation, résolution du $\partial$-bar avec estimées) sont utilisées, ainsi que la définition des $a_n$ comme nombres de Gelfand. Cf. le paragraphe suivant.

(3) L'extension des résultats de ce chapitre aux espaces de Hardy-Dirichlet $\mathcal{H}^p$ avec $p \neq 2, \infty$, espaces introduits dans [9], a été obtenue dans [11]. On travaille alors dans un cadre non-hilbertien, avec des espaces dont le dual est mal connu, et les preuves sont plus difficiles. Mais les résultats sont à peu près les mêmes. On y revient plus loin.
### 3.5. Un second théorème de minoration

Un résultat donnant des informations plus précises, dans lequel les no-
tions de suite de Riesz, de Carleson, d’interpolation du chapitre 2 sont
exploitées à fond, est le suivant ([49])

**Théorème 3.20.** Soit $\varphi : \mathbb{C}_{1/2} \to \mathbb{C}_{1/2}$ un symbole tel que $C_\varphi$ soit compact sur $\mathcal{H}^2$. Soit $S = (s_j)$ et $S' = (s'_j)$ deux suites finies de n points distincts de $\mathbb{C}_{1/2}$ telles que $\varphi(s'_j) = s_j$, $1 \le j \le n$. Alors

$$ a_n(C_\varphi) \geq [M_{\mathcal{H}^2}(S)]^{-1} \|\mu_{S'}\|_{\mathcal{C}, \mathcal{H}^2}^{-1/2} \inf_{1 \le j \le n} \left( \frac{\zeta(2 \mathfrak{Re} s_j)}{\zeta(2 \mathfrak{Re} s'_j)} \right)^{1/2} . \quad (3.18) $$

*Démonstration.* On utilise la définition de $a_n(C_\varphi^*)$ comme nombre de Bern-
stein et on choisit pour espace-test $E$ l'espace modèle de dimension $n$
engendré par les $g_j$ où l'on pose $g_j = K_{s'_j}$, $1 \le j \le n$. Pour simpli-
fier les notations, on écrira $\| \cdot \|$ pour la norme dans $\mathcal{H}^2$ et on posera
$\mu_n = \inf_{1 \le j \le n} \sqrt{\frac{\zeta(2 \mathfrak{Re} s_j)}{\zeta(2 \mathfrak{Re} s'_j)}}$. Nous avons $C_\varphi^*(g_j) = K_{s_j}$ d'après l'équation
de l'image, et aussi, puisque $a_n(C_\varphi) = a_n(C_\varphi^*) = b_n(C_\varphi^*)$

$$ a_n(C_\varphi) \geq \inf_{f \in E, \|f\|=1} \|C_\varphi^*(f)\|. \quad (3.19) $$

Soit maintenant $f = \sum_{j=1}^{n} b_j g_j \in E$ avec $\|f\| = 1$. Je dis d'abord que

$$ 1 \le \|\mu_{S'}\|_{C, \mathcal{H}^2} \sum_{j=1}^{n} |b_j|^2 \zeta(2 \mathfrak{Re} s'_j). \quad (3.20) $$

Cela découle des propositions 2.6 et 2.7 (Boas) du chapitre 2, puisque
$\|K_{s'_j}\|^2 = \zeta(2\mathfrak{Re} s'_j)$. Je dis ensuite que

$$ \|C_{\varphi}^{*} f\|^{2} \geq \delta^{-2} \sum_{j=1}^{n} |b_{j}|^{2} \zeta(2 \mathfrak{Re} s_{j}) \geq \delta^{-2} \mu_{n}^{2} \sum_{j=1}^{n} |b_{j}|^{2} \zeta(2 \mathfrak{Re} s_{j}') \quad (3.21) $$

où $\delta = M_{\mathcal{H}^2}(S)$. Cela découle à nouveau des propositions 2.6 et 2.7 du chapitre 2 et de l'équation de l'image, puisque $\|K_{s_j}\|^2 = \zeta(2\mathfrak{Re} s_j)$ et $C_\varphi^*(g_j) = K_{s_j}$. Enfin, les trois estimées (3.19), (3.20), (3.21) donnent clairement le résultat. $\square$

Comme on le voit, la preuve de ce théorème est simple, tout en utilisant
l'équation de l'image et les critères quantitatifs du chapitre 2 sur les suites
de Riesz. Mais la mise en oeuvre du résultat est difficile et ne sera pas
abordée ici : on a l'embarras du choix pour $S$ et $S'$ (même si $\varphi(S') = S$),
et ensuite on doit estimer chacun des trois termes du membre de droite
de (3.18). Le troisième pose peu de problèmes. Pour le second, on utilise le
théorème de plongement de Carleson et les fenêtres de Carleson. Quant au
premier terme $M_{\mathcal{H}^2}(S)$, il nécessite des techniques délicates de $\partial$-bar pour
se ramener à l'espace de Hardy usuel de $C_{1/2}$, mieux connu. On renvoie le
lecteur à [49] pour les détails.

Des majorations des $a_n(C_\varphi)$ sont également obtenues dans [49], en
termes de mesures de Carleson et les résultats sont très précis pour des
symboles “d-dimensionnels” ($d \ge 2$) de la forme

$$
\varphi(s) = c_1 + \sum_{j=1}^{d} c_{q_j} q_j^{-s}
$$

où les $q_j$ sont des nombres entiers indépendants (i.e. les $\log q_j$ sont rationnellement indépendants, par exemple $q_1 = 2$, $q_2 = 6$), et où

$$
\Re c_1 = \frac{1}{2} + \sum_{j=1}^{d} |c_{q_j}|.
$$

Il faut alors raffiner le choix des $g_j$ en utilisant des *barycentres de noyaux reproduisants* et modifier un peu l'énoncé, mais le principe est le même que dans le théorème 3.20. On obtient dans ce cas, à un facteur logarithmique près

$$
a_n(C_\varphi) \approx n^{-(d-1)/2}.
$$

En particulier, on sait exactement à quelles classes de Schatten on a droit :

$$
C_{\varphi} \in S_p \iff p > \frac{2}{d-1}.
$$

Pour $d=2$, on a donc $C_\varphi \notin S_2$ (résultat déjà dans [21]) mais $C_\varphi \in S_p$
pour $p > 2$, alors que dans [21] le résultat est seulement prouvé pour $p \ge 4$.

3.6. Le cas des espaces H^p

On renvoie au chapitre 1, section 6, pour la définition de l'espace $\mathcal{H}^p$.
On rencontre dès le début une difficulté : la description complète des
opérateurs de composition bornés sur $\mathcal{H}^p$ n'est pas connue. Cela est tou-
jours lié au fait (chapitre 1, section 6) que $H^p(\mathbb{T}^\infty)$ n'est pas complémenté
dans $L^p(\mathbb{T}^\infty)$. Nous pouvons énoncer une condition nécessaire et suffisante quand $c_0 \ge 1$, mais devons nous contenter de ce qui suit quand $c_0 = 0$ :

**Théorème 3.21 (Bayart).** Soit $\varphi : \mathbb{C}_{1/2} \to \mathbb{C}_{1/2}$ analytique et $1 \le p < \infty$.

(a) Si $C_\varphi : \mathcal{H}^p \to \mathcal{H}^p$, on doit avoir $\varphi \in \mathcal{G}$.

(b) $C_\varphi$ est une contraction sur $\mathcal{H}^p$ si et seulement si $\varphi \in \mathcal{G}$ et $c_0 \ge 1$.

(c) Si $\varphi \in \mathcal{G}$ et $c_0 = 0$, $C_\varphi$ est borné sur $\mathcal{H}^p$ quand $p$ est un entier pair.

Nous avons aussi le théorème suivant ([11]), qui montre que la description du spectre donnée par le théorème 3.13 s'étend au cas de $\mathcal{H}^p$ :

**Théorème 3.22.** Soit $\varphi(s) = c_0s + \sum_{n=1}^\infty c_n n^{-s}$ définissant un opérateur de composition compact sur $\mathcal{H}^p$. Alors, les valeurs propres de $C_\varphi$ sont de multiplicité un et valent

(a) $\lambda_n = [\varphi'(\alpha)]^{n-1}$, $n = 1, 2, \dots$, quand $c_0 = 0$, où $\alpha$ est le point fixe de $\varphi$ dans $\mathbb{C}_{1/2}$.

(b) $\lambda_n = n^{-c_1}$, $n = 1, 2, \dots$, quand $c_0 = 1$.

(c) $1 \text{ si } c_0 \ge 2$, et alors $\sigma(C_\varphi) = \{0, 1\}$.

Cette description du spectre sera exploitée à l'aide de la généralisation suivante par Pietsch ([44]) des inégalités multiplicatives de Weyl à un espace de Banach. Ces inégalités doivent alors être affaiblies, mais sous une forme qui suffira à nos besoins :

**Théorème 3.23 (Pietsch).** Soit $T : X \to X$ un opérateur compact d'un espace de Banach $X$ dans lui-même. Alors pour tout entier $n \ge 1$

$$|\lambda_{2n}(T)| \le e \left( \prod_{j=1}^{n} a_j(T) \right)^{1/n} \quad (3.22)$$

où $\lambda_j(T)$ et $a_j(T)$ désignent respectivement les valeurs propres et les nombres d'approximation de $T$, rangés en ordre décroissant.

Nous nous baserons sur ces théorèmes pour esquisser la preuve du théorème suivant ([11]) :
**Théorème 3.24.** Supposons que $c_0$ est un entier $\ge 0$, que $p \ge 1$, et enfin que $\varphi(s) = c_0s + \sum_{n=1}^{\infty} c_n n^{-s} = c_0s + \psi(s) \in \mathcal{G}$ est une fonction non constante engendrant un opérateur de composition compact $C_\varphi$ sur $\mathcal{H}^p$. Alors $\Re c_1 := \gamma_1 > 0$. De plus

(a) Si $c_0 = 0$, alors $a_n(C_\varphi) \gg \delta^n$ pour un $0 < \delta < 1$.

(b) Si $c_0 \ge 1$, alors $a_n(C_\varphi) \ge \delta_p(n \log n)^{-\gamma_1}$, où $\delta_p > 0$ dépend seulement de $p$. En particulier

$$ \sum_{n=1}^{\infty} [a_n(C_{\varphi})]^{1/\gamma_1} = \infty. \quad (3.23) $$

Ces bornes inférieures sont optimales en général.

*Démonstration.* Montrons d'abord que $\gamma_1 > 0$ dès que $C_\varphi$ est compact. Nous distinguons deux cas.

— Si $\psi(s) = c_1$, on a $\varphi = T \circ I$ où $I(s) = c_0s$ et $T(s) = s + c_1$, d'où $C_\varphi = C_I C_T$. Comme $C_I : \mathcal{H}^p \to \mathcal{H}^p$ est une isométrie, on voit que

$$ C_{\varphi} \text{ compact} \iff C_T \text{ compact} \iff \gamma_1 > 0. $$

— Si $\psi(s) = c_1 + c_q q^{-s} + \sum_{n>q} c_n n^{-s}$ avec $q \ge 2$ et $c_q \ne 0$, soit $t_0 \in \mathbb{R}$ tel que $c_q q^{-it_0} = -|c_q|$ et $s = \sigma + it_0$ avec $\sigma \to \infty$. On sait que $\psi(\mathbb{C}_0) \subset \mathbb{C}_0$, donc

$$ 0 < \Re \psi(s) \le \gamma_1 - |c_q|q^{-\sigma} + \sum_{n>q} |c_n|n^{-\sigma} = \gamma_1 - |c_q|q^{-\sigma} + o(q^{-\sigma}) $$

et par suite, pour $\sigma$ assez grand : $\gamma_1 \ge (1/2)|c_q|q^{-\sigma} > 0$.

Nous nous limitons au cas $p > 1$ et commençons par l'optimalité. Soit d'abord $\varphi \in \mathcal{G}$ avec $c_0 = 0$ et $\varphi(\mathbb{C}_0) \subset \mathbb{C}_{1/2}$. On montre alors ([11], (a)) du théorème 8.1) qu'il existe $\delta < 1$ tel que

$$ a_n(C_\varphi) \ll \delta^n. $$

Soit ensuite $\varphi(s) = c_0s + A$ avec $c_0 \ge 1$ et $A > 0$. En utilisant le fait que les $u_n$, $u_n(s) = n^{-s}$ forment une base de Schauder de $\mathcal{H}^p$ ([1]), on montre que ([11], théorème 8.1(b))

$$ a_n(C_\varphi) \ll n^{-A}. $$

Cela s'étend, par la propriété d'idéal des nombres d'approximation, au cas plus général de $\varphi(s) = c_0s + \psi(s)$ vérifiant $\varphi(\mathbb{C}_0) \subset \mathbb{C}_A$. Reste à prouver les minorations dans le cas général. Nous distinguons deux cas.
Cas $c_0 = 0$. La preuve est analogue à la première preuve du cas $p = 2$, en
utilisant cette fois les théorèmes 3.22 et 3.23, le raisonnement taubérien
étant le même.

Cas $c_0 \ge 1$. Il faut adapter le Lemme 3.18 comme suit ([11], Lemme 7.1) :

**Lemme 3.25.** Soit $n$ un entier $\ge 1$. Supposons que $\varphi(s) = c_0 s + \sum_{j=1}^{\infty} c_j j^{-s}$ est dans $\mathcal{G}$ avec $c_0 \ge 1$. Soit $E$ le sous-espace $n$-dimensionnel de $\mathcal{H}^p$ engendré par les vecteurs $p_1^{-s}, p_2^{-s}, \dots, p_n^{-s}$. Alors, pour toute fonction

$$
f(s) = \sum_{k=1}^{n} b_k p_k^{-s} \in E,
$$

on a

$$
\begin{equation} \tag{3.24}
\begin{split}
C_{\varphi} f(s) &= g(s) + h(s) \\
\text{où } g(s) &= \sum_{k=1}^{n} b_k p_k^{-c_1} (p_k^{c_0})^{-s} \quad \text{et} \quad \|g\|_{\mathcal{H}^p} \le \|C_{\varphi} f\|_{\mathcal{H}^p}.
\end{split}
\end{equation}
$$

On peut maintenant finir la preuve du théorème 3.24. Choisissons $E$
comme dans le Lemme 3.25 et soit $f$ un vecteur unitaire de $E$. Ce lemme
et un relèvement de Bohr (remplacement de $g$ par $\Delta g$ avec les notations
du chapitre 1) nous donnent

$$
\|C_{\varphi}(f)\|_{\mathcal{H}^p} \ge \|g\|_{\mathcal{H}^p} = \left\| \sum_{k=1}^{n} c_k p_k^{-c_1} z_k^{c_0} \right\|_{H^p(\mathbb{T}^{\infty})} = \left\| \sum_{k=1}^{n} c_k p_k^{-c_1} z_k \right\|_{H^p(\mathbb{T}^{\infty})}
$$

la dernière relation venant de l'invariance de la mesure de Haar $m_\infty$ de
$\mathbb{T}^\infty$ par la transformation $(z_j) \mapsto (z_j^{c_0})$. Appliquant deux fois les inégalités
de Khintchine aux variables de Steinhaus $z_j$, nous obtenons

$$
\begin{align*}
\|C_{\varphi}(f)\|_{\mathcal{H}^p} &\gg \left\| \sum_{k=1}^{n} c_k p_k^{-c_1} z_k \right\|_{H^2(\mathbb{T}^{\infty})} \\
&\ge p_n^{-\Re c_1} \left\| \sum_{k=1}^{n} c_k z_k \right\|_{H^2(\mathbb{T}^{\infty})} \\
&\gg p_n^{-\Re c_1} \left\| \sum_{k=1}^{n} c_k z_k \right\|_{H^p(\mathbb{T}^{\infty})} = p_n^{-\Re c_1} \|f\|_{\mathcal{H}^p}.
\end{align*}
$$

Il en résulte que

$a_n(C_\varphi) \ge b_n(C_\varphi) \gg p_n^{-\Re c_1}.$

Par une forme simple du théorème des nombres premiers, déjà utilisée
dans le cas de $\mathcal{H}^2$, on a $p_n \ll n \log n$, ce qui achève la preuve. On pourrait
aussi (cf. [11]) utiliser les théorèmes 3.22 et 3.23. $\square$
## Remerciements

Ce travail a bénéficié d'une aide du Labex CEMPI (ANR-11-LABX-0007-01). Je remercie vivement F. Bayart, Y. Heurteaux et A. Stos pour m'avoir invité à donner ce mini-cours en Juin 2014, et m'avoir ensuite donné la possibilité d'en rédiger une version détaillée dans les Annales Mathématiques Blaise Pascal.

## Références

[1] A. ALEMAN, J.-F. OLSEN et E. SAKSMAN – « Fourier multipliers for Hardy spaces of Dirichlet series », *Int. Math. Res. Not. IMRN* (2014), no. 16, p. 4368–4378.

[2] T. M. APOSTOL – *Introduction to analytic number theory*, 5e éd., Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1998, Undergraduate Texts in Mathematics.

[3] M. BAILLEUL – « Espaces de Banach de séries de Dirichlet et leurs opérateurs de composition », Thèse, Université d'Artois (France), 2014.

[4] M. BAILLEUL et O. F. BREVIG – « Composition operators on Bohr-Bergman spaces of dirichlet series », http://arxiv.org/abs/1409.3017v1, 2014.

[5] M. BAILLEUL et P. LEFÈVRE – « Some Banach spaces of Dirichlet series », *Studia Math.* **226** (2015), no. 1, p. 17–55.

[6] R. BALASUBRAMANIAN, B. CALADO et H. QUEFFÉLEC – « The Bohr inequality for ordinary Dirichlet series », *Studia Math.* **175** (2006), no. 3, p. 285–304.

[7] P. T. BATEMAN et H. G. DIAMOND – *Analytic number theory*, Monographs in Number Theory, vol. 1, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Hackensack, NJ, 2004, An introductory course.

[8] F. BAYART et A. MOUZE – « Division et composition dans l'anneau des séries de Dirichlet analytiques », *Ann. Inst. Fourier (Grenoble)* **53** (2003), no. 7, p. 2039–2060.

[9] F. BAYART – « Hardy spaces of Dirichlet series and their composition operators », *Monatsh. Math.* **136** (2002), no. 3, p. 203–236.

[10] ———, « Compact composition operators on a Hilbert space of Dirichlet series », *Illinois J. Math.* **47** (2003), no. 3, p. 725–743.
[11] F. BAYART, H. QUEFFÉLEC et K. SEIP – « Approximation numbers of composition operators on $H^p$ spaces of Dirichlet series », à paraître dans Ann. Inst. Fourier.

[12] R. P. BOAS, JR. – « A general moment problem », Amer. J. Math. **63** (1941), p. 361–370.

[13] H. BOHR – « Über die gleichmäßige Konvergenz Dirichletscher Reihen », J. Reine Angew. Math. **143** (1913), p. 203–211.

[14] D. G. BOURGIN et C. W. MENDEL – « Orthonormal sets of periodic functions of the type $\{f(nx)\}$ », Trans. Amer. Math. Soc. **57** (1945), p. 332–363.

[15] J. BURNOL – 2014, Communication personnelle.

[16] B. CARL et I. STEPHANI – *Entropy, compactness and the approximation of operators*, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 98, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.

[17] E. D. CASHWELL et C. J. EVERETT – « The ring of number-theoretic functions », Pacific J. Math. **9** (1959), p. 975–985.

[18] C. C. COWEN et B. D. MACCLUER – *Composition operators on spaces of analytic functions*, Studies in Advanced Mathematics, CRC Press, Boca Raton, FL, 1995.

[19] P. J. DAVIS – *Interpolation and approximation*, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. New York-Toronto-London, 1963.

[20] S. E. EBENSTEIN – « Some $H^p$ spaces which are uncomplemented in $L^p$ », Pacific J. Math. **43** (1972), p. 327–339.

[21] C. FINET, H. QUEFFÉLEC et A. VOLBERG – « Compactness of composition operators on a Hilbert space of Dirichlet series », J. Funct. Anal. **211** (2004), no. 2, p. 271–287.

[22] J. B. GARNETT – *Bounded analytic functions*, first éd., Graduate Texts in Mathematics, vol. 236, Springer, New York, 2007.

[23] J. GORDON et H. HEDENMALM – « The composition operators on the space of Dirichlet series with square summable coefficients », Michigan Math. J. **46** (1999), no. 2, p. 313–329.

[24] R. P. GOSSELIN et J. H. NEUWIRTH – « On Paley-Wiener bases », J. Math. Mech. **18** (1968/69), p. 871–879.

[25] G. H. HARDY et M. RIESZ – *The general theory of Dirichlet's series*, Dover Phenix Editions, Second Edition, 2005.
[26] G. H. HARDY et E. M. WRIGHT – *An introduction to the theory of numbers*, fifth éd., The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979.

[27] H. HEDENMALM, P. LINDQVIST et K. SEIP – « A Hilbert space of Dirichlet series and systems of dilated functions in $L^2(0,1)$ », *Duke Math. J.* **86** (1997), no. 1, p. 1–37.

[28] __________, « Addendum to : “A Hilbert space of Dirichlet series and systems of dilated functions in $L^2(0,1)$” », *Duke Math. J.* **99** (1999), no. 1, p. 175–178.

[29] H. HELSON – « Hankel forms and sums of random variables », *Studia Math.* **176** (2006), no. 1, p. 85–92.

[30] __________, « Hankel forms », *Studia Math.* **198** (2010), no. 1, p. 79–84.

[31] E. HLAWKA, J. SCHOISSENGEIER et R. TASCHNER – *Geometric and analytic number theory*, Universitext, Springer-Verlag, Berlin, 1991, Translated from the 1986 German edition by Charles Thomas.

[32] B. HOLLENBECK et I. E. VERBITSKY – « Best constants for the Riesz projection », *J. Funct. Anal.* **175** (2000), no. 2, p. 370–392.

[33] J.-P. KAHANE – *Some random series of functions*, second éd., Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 5, Cambridge University Press, Cambridge, 1985.

[34] J. KOREVAAR – *Tauberian theory*, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 329, Springer-Verlag, Berlin, 2004, A century of developments.

[35] D. LI – 2014, Communication orale.

[36] D. LI et H. QUEFFÉLEC – *Introduction à l'étude des espaces de Banach*, Cours Spécialisés [Specialized Courses], vol. 12, Société Mathématique de France, Paris, 2004, Analyse et probabilités. [Analysis and probability theory].

[37] D. LI, H. QUEFFÉLEC et L. RODRÍGUEZ-PIAZZA – « On approximation numbers of composition operators », *J. Approx. Theory* **164** (2012), no. 4, p. 431–459.

[38] P. LINDQVIST et K. SEIP – « Note on some greatest common divisor matrices », *Acta Arith.* **84** (1998), no. 2, p. 149–154.

[39] A. W. MARCUS, D. A. SPIELMAN et N. SRIVASTAVA – « Interlacing families II : Mixed characteristic polynomials and the Kadison-Singer problem », *Ann. of Math. (2)* **182** (2015), no. 1, p. 327–350.
[40] J. E. MCCARTHY – « Hilbert spaces of Dirichlet series and their multipliers », *Trans. Amer. Math. Soc.* **356** (2004), no. 3, p. 881-893 (electronic).

[41] A. V. MEGRETSKIǐ, V. V. PELLER et S. R. TREIL – « The inverse spectral problem for self-adjoint Hankel operators », *Acta Math.* **174** (1995), no. 2, p. 241–309.

[42] H. L. MONTGOMERY et R. C. VAUGHAN – « Hilbert’s inequality », *J. London Math. Soc. (2)* **8** (1974), p. 73–82.

[43] J.-F. OLSEN et K. SEIP – « Local interpolation in Hilbert spaces of Dirichlet series », *Proc. Amer. Math. Soc.* **136** (2008), no. 1, p. 203–212 (electronic).

[44] A. PIETSCH – « Weyl numbers and eigenvalues of operators in Banach spaces », *Math. Ann.* **247** (1980), no. 2, p. 149–168.

[45] G. PÓLYA et G. SZEGŐ – *Problems and theorems in analysis. I, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften* [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], Springer-Verlag, Berlin-New York, 1972, Series, integral calculus, theory of functions, Translated from the German by D. Aeppli.

[46] H. QUEFFÉLEC et C. ZUILY – *Analyse pour l’Agrégation*, 4ᵉ éd., Dunod, 2013.

[47] H. QUEFFÉLEC – « Composition operators in the Dirichlet series setting », *Perspectives in operator theory, Banach Center Publ.*, vol. 75, Polish Acad. Sci., Warsaw, 2007, p. 261–287.

[48] H. QUEFFÉLEC et M. QUEFFÉLEC – *Diophantine approximation and Dirichlet series*, Harish-Chandra Research Institute Lecture Notes, vol. 2, Hindustan Book Agency, New Delhi, 2013.

[49] H. QUEFFÉLEC et K. SEIP – « Approximation numbers of composition operators on the $H^2$ space of Dirichlet series », *J. Funct. Anal.* **268** (2015), no. 6, p. 1612–1648.

[50] O. RAMARÉ – 2013, Communication personnelle.

[51] E. SAKSMAN – 2012, Communication personnelle.

[52] E. SAKSMAN et K. SEIP – « Integral means and boundary limits of Dirichlet series », *Bull. Lond. Math. Soc.* **41** (2009), no. 3, p. 411–422.

[53] K. SEIP – 2014, Communication personnelle.

[54] H. S. SHAPIRO et A. L. SHIELDS – « On some interpolation problems for analytic functions », *Amer. J. Math.* **83** (1961), p. 513–532.
Hervé QUEFFÉLEC

[55] J. H. SHAPIRO – *Composition operators and classical function theory*, Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1993.

[56] D. WERNER – *Funktionalanalysis*, 6ᵉ éd., Springer-Verlag, Berlin, 2007.

[57] R. M. YOUNG – *An introduction to nonharmonic Fourier series*, Pure and Applied Mathematics, vol. 93, Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1980.

HERVÉ QUEFFÉLEC
Université Lille Nord de France
UMR 8524 CNRS
59655 Villeneuve d'Ascq CEDEX, France
Herve.Queffelec@univ-lille1.fr