# Simulation numérique de l'écoulement compressible supersonique
## Application aux tuyères propulsives à combustible liquide hydrogène

El-Ahcene Mahfoudi <fnref n="1" />*, Abderrahmane Gahmousse <fnref n="2" />,
Athmane Harizi <fnref n="3" />, Kamel Talbi <fnref n="1" /> et Abdellah Hadjadj <fnref n="4" />

(reçu le 15 Juillet 2012 - accepté le 30 Septembre 2012)

**Résumé** - Ce travail porte sur la simulation numérique de l'écoulement supersonique adapté dans les tuyères propulsives où le gaz d'essai supposé parfait est le gaz de combustion de l'Hydrogène. Il vise à déterminer les paramètres de l'écoulement Eulérien supersonique dans la tuyère convergente divergente. La méthode numérique utilisée pour la résolution de l'écoulement est basée sur une approche des volumes finis en coordonnées généralisées. L'intégration du système pour les équations de conservation d'Euler s'effectue sur un volume élémentaire quadrilatère. Dans cette étude, le traitement des flux convectifs est effectué en utilisant la méthode de Roe. Pour la discrétisation temporelle des équations, un schéma explicite de type Runge-Kutta du second ordre est utilisé.

**Abstract** – This work focuses on the numerical simulation of supersonic flow in propelling nozzle. Test gas is the combustion gas of Hydrogen, it is assumed to be an ideal gas. The study aims to determine the parameters of the flow in the supersonic Euler converging-diverging nozzle. Discretisation and numerical solution of Euler equations are based on the theory of hyperbolic systems. The numerical method used for solving the flow is based on a finite volume approach in generalized coordinates with the use of structured meshes. Integration system for the conservation equations Euler is carried out on an elementary volume quadrilateral. In this study the treatment of convective flow is performed using the method of Roe. For the time discretisation of the equations, an explicit scheme of Runge-Kutta second order is used.

**Mots clés:** Tuyère propulsive - Hydrogène - Ecoulement compressible - Jet supersonique - Modélisation - Volumes finis.

## 1. INTRODUCTION

Dès les origines de l'industrie spatiale, l'hydrogène a immédiatement joué un rôle important en tant que carburant des moteurs fusées. L'hydrogène est le carburant qui concentre le plus d'énergie pour une masse donnée. La combustion de l'hydrogène produit une énorme quantité de vapeur d'eau qui est détendue à très grande vitesse à travers la tuyère du moteur Vulcain d'Ariane 5. C'est l'éjection de gaz à grande vitesse qui va propulser la fusée, selon le principe d'action réaction.

<footnote n="1">¹ Département de Génie Mécanique, Université des Frères Mentouri,
Route El Bey, Constantine, Algérie</footnote>

<footnote n="2">² Laboratoire d'Energétique & Turbomachines, Département de Génie Mécanique,
Université Cheikh Larbi Tébessi, Tébessa, Algérie</footnote>

<footnote n="3">³ Faculté des Sciences et Technologie, Université Larbi Ben M'hidi,
Ain Beida, Algérie</footnote>

<footnote n="4">⁴ Institut National des Sciences Appliquées, LMFN-CORIA UMR 6614 CNRS
Avenue de l'Université, 76801 Saint Etienne du Rouvray, France</footnote>

<footnote>* el_mahfoudi@yahoo.fr</footnote>
Le domaine pratique de l'étude est les tuyères propulsives des moteurs-fusées à combustible liquide l'hydrogène. Ce domaine de l'aérospatial est le point de départ vers un grand nombre de domaines aussi bien civils que militaires: l'internet, la télévision, la communication téléphonique, les satellites artificiels en orbites géostationnaires, les lanceurs spatiaux.

Ce domaine d'étude est devenu après la seconde guerre mondiale un domaine d'actualité, de concurrence et compétitive entre les Etats-Unis, l'Union Européenne, la Russie, le Japon et la Chine. Plusieurs agences de programmes (ESA, CNES, SNSB,...), d'organismes de recherches (NASA, ONERA, NASDA, DLR, LEA-Poitier,...) et industriels (Boeing, Rocketdyne, Pratt & Whitney, Snecma Moteurs, Volvo AC, Astrium, Mitsubishi Heavy Industries,...) travaillent sur l'amélioration des performances des moteurs-fusées et les tuyères propulsives.

Les écoulements dans les tuyères propulsives ont fait l'objet de plusieurs travaux expérimentaux, numériques et de thèses de doctorat [1-23]. Le présent travail est l'une des orientations et contributions réalisées dans ce domaine d'actualité [24-27].

## 2. MISE EN FORME DES EQUATIONS D'EULER

Les équations d'Euler régissent les écoulements de gaz parfaits adiabatiques (i.e. dans lesquels on néglige les effets de viscosité et de transfert de chaleur).

Ainsi, pour un écoulement Eulérien bidimensionnel, dont les forces de pesanteur sont négligeables, les équations à résoudre, exprimées dans un repère cartésien (x, y), prennent la forme suivante [28, 29]:

* Continuité (conservation de la masse)

$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \rho u}{\partial y} + \frac{\partial \rho v}{\partial y} = 0 \qquad (1) $$

* Quantité de mouvement selon x

$$ \frac{\partial \rho u}{\partial t} + \frac{\partial (p + \rho u^2)}{\partial x} + \frac{\partial \rho u v}{\partial y} = 0 \qquad (2) $$

* Quantité de mouvement selon y

$$ \frac{\partial \rho v}{\partial t} + \frac{\partial \rho u v}{\partial x} + \frac{\partial (p + \rho v^2)}{\partial y} = 0 \qquad (3) $$

* Equation d'énergie

$$ \frac{\partial \rho E_t}{\partial t} + \frac{\partial (\rho E_t + p)u}{\partial x} + \frac{\partial (\rho E_t + p)v}{\partial y} = 0 \qquad (4) $$

* Equation des gaz parfaits

$$ p = \rho \times R T \qquad (5) $$
Avec $\rho$, la masse volumique, $p$, la pression statique, $u$ et $v$, les composantes du vecteur vitesse et $E_t$, l'énergie totale par unité de masse. Les quatre équations (1 à 4) de bilan et l'équation d'état (5) lient l'évolution des cinq grandeurs inconnues $\rho, p, u, v, E_t$.

### 3. DONNEES DU PROBLEME

On considère la tuyère du moteur Vulcain2 d'Ariane 5. Les conditions génératrices régnant dans la chambre de combustion sont: $P_0 = 115$ Bars, $T_0 = 3655$ K.

Les gaz de combustion (Hydrogène liquide + Oxygène liquide) sont assimilés à un gaz parfait de constante $r_{gaz} = 519.23$ J/kg.K, avec un coefficient de détente isentropique $\gamma = 1.2$.

La vitesse d'éjection dans le vide des gaz est de 4228 m/s. Le profil de la tuyère Vulcain est connu. (Données: voir Site Internet du constructeur SNECMA).

### 4. DOMAINE DE CALCUL ET CONDITIONS AUX LIMITES

En profitant de la symétrie de l'écoulement par rapport à l'axe de la tuyère, le domaine de calcul est réduit à une demi tuyère délimité par les frontières suivantes (Fig.1):

* une *entrée* représentée par un segment de droit vertical, où l'écoulement est subsonique. Il faut imposer deux conditions aux limites qui sont la pression et la température génératrices.

* une frontière inférieure constituée d'un *axe de symétrie* horizontal, où une condition de symétrie est appliquée.

* une *sortie* représentée par un segment de droit vertical, où l'écoulement est supersonique. Aucune condition aux limites n'est à imposer (extrapolation).

* une frontière supérieure constituée par la *paroi* de la tuyère. Une condition de non-glissement est imposée.

<figure><img src="image_1.png" /><figcaption>Fig. 1: Domaine de calcul et conditions aux limites</figcaption></figure>
# 5. MAILLAGE

Plusieurs grilles de maillage sont utilisées pour étudier l'indépendance des résultats du maillage. Ces maillages sont raffinés dans la région du col et près de la paroi (les régions où les propriétés locales de l'écoulement varient rapidement).

Le maillage utilisé pour les calculs, comprend 301 points selon la direction X et 61 points dans la direction Y. (Fig. 2)

<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig. 2: Maillage 301 points en X et 61 points en Y</figcaption></figure>

# 6. RESULTATS ET INTERPRETATIONS

On considère le régime supersonique adapté dans la tuyère du moteur Vulcain2. La figure 3 montre la distribution du nombre de Mach dans la tuyère.

Dans le convergent, l'écoulement est subsonique (Mach < 1). L'écoulement dans le col est transsonique (0.8 < Mach < 1.2). Dans le divergent, l'écoulement devient supersonique et atteint une valeur maximal égale à 3.33 à la sortie de la tuyère.

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Fig. 3: Distribution du nombre de Mach 'Iso-Mach'</figcaption></figure>
Ainsi le profil convergent divergent de la tuyère permet d'accélérer les gaz d'une vitesse subsonique à une vitesse supersonique.

La figure 4 présente l'évolution du nombre de Mach au niveau de l'axe de la tuyère.

L'écoulement du fluide suit le profil de la tuyère. A la paroi, la vitesse n'est pas nulle pour l'écoulement Eulérien.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Fig. 4: Evolution du nombre de Mach le long de l'axe de la tuyère</figcaption></figure>

La figure 5 montre la condition de glissement qui consiste à écrire que le vecteur vitesse est tangent à la paroi. La même condition s'applique sur l'axe de la tuyère pour le vecteur vitesse (Fig. 5).

La vitesse maximale du jet de gaz obtenu par le code est égale à 4215 m/s. Cette vitesse est très projet de la vitesse donnée par le constructeur (V = 4228 m/s).

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Fig. 5: Direction des vecteurs vitesses avec condition de glissement à la paroi</figcaption></figure>
Dans la tuyère convergente-divergente, les gaz subissent une grande opération de détente pour transformer l'énergie thermique et l'énergie de pression des gaz en énergie cinétique.

La figure 6 montre la chute de la pression statique dans la tuyère vulcain2. Les gaz se détendent de la pression 1.15 bars dans la chambre de combustion à la pression 1.28 bars à la sortie de la tuyère.

La figure 7 montre le profil de la pression statique axiale pour la tuyère Vulcain complètement amorcée fonctionnant en régime supersonique adapté.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Fig. 6: Distribution de la pression statique en bars</figcaption></figure>

<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>Fig. 7: Profil de pression statique axiale adimensionnelle</figcaption></figure>

## 7. CONCLUSION

Un code pour la résolution des écoulements compressibles, basé sur la méthode des volumes finis est utilisé. Le code de calcul est un code instationnaire, l'évolution temporelle est réalisée par la méthode explicite de Runge-Kutta du second ordre. Le schéma de Roe est utilisé pour la modélisation de la partie convective non linéaire des équations d'Euler compressibles.
Les résultats obtenus par le code appliqué à la tuyère du moteur Vulcain2 à combustible hydrogène sont en bon accord avec les données techniques du constructeur SNECMA.

Pour les perspectives, un intérêt particulier sera donné à la combustion hydrogène oxygène et aux conditions aux limites basé sur la théorie des caractéristiques. La maîtrise et l'incorporation dans le code de nouveaux schémas de la famille TVD. Enfin le passage à la méthode implicite pour réduire le temps de calcul.

## REMERCIEMENTS

Nous remercions le Professeur A. Hadjadj de l'Institut National des Sciences Appliquées, LMFN-CORIA UMR 6614 CNRS, France pour les stages de formation et la disponibilité de la documentation dans le domaine de la simulation numérique des écoulements compressibles.

## REFERENCES

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[2] B.W. Donald, W.J. Baars and C.E. Tinney, 'Acoustic Characterization of Sub-Scale Rocket Nozzles', 50th AIAA Aerospace Sciences Meeting including the New Horizons Forum and Aerospace Exposition, Nashville, Tennessee, USA, pp. 1–14, 09-12 January 2012, AIAA 2012-0544

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[24] E. Mahfoudi et A. Gahmousse, ‘Simulation Numérique des Différents Régimes de Fonctionnement d'une Tuyère Supersonique', Conférence sur les Sciences de la Mécanique, CSM'2006, Oum El Bouaghi, 18-20 Novembre 2006.

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[26] E. Mahfoudi, A. Harizi, K. Talbi et A. Gahmousse, 'Résolution Numérique de l'Ecoulement Compressible Eulérien Bidimensionnel. Applications aux Tuyères Propulsives', JM'EMP08, EMP, Bordj El Bahri, 10-11 Avril 2012.

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