réuni les résultats du déplacement transversal non-dimensionnel (w̄), pour différents maillages et différents rapports d'épaisseurs (a/h = 2, 3, 4, 5 et 10).

$$ \bar{w} = (100 D_w / a^4 q_0) \quad \text{avec} \quad D = Eh^3 / 12(1 - v^2) \qquad (3.25) $$

Les résultats obtenus par l'élément développé (RSFT52) sont en bon accord avec la solution analytique de Kant [82]; et ceux trouvés par des modèles d'éléments finis, basés sur des théories du premier ordre [263, 264] et des théories d'ordre supérieur [219].

<table><caption>**Tableau 3.2** Déflexion normalisé (w̄) d'une plaque carrée isotrope simplement appuyée.</caption><thead><tr><th rowspan="2">Références</th><th rowspan="2">Modèles</th><th colspan="5">Rapport d'épaisseur a/h</th></tr><tr><th>2</th><th>3</th><th>4</th><th>5</th><th>10</th></tr></thead><tbody><tr><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.8873</td><td>0.6179</td><td>0.5211</td><td>0.4742</td><td>0.3912</td></tr><tr><td>Présent élément (10×10)</td><td>RSFT52</td><td>0.8856</td><td>0.6185</td><td>0.5230</td><td>0.4774</td><td>0.4029</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.8850</td><td>0.6190</td><td>0.5241</td><td>0.4792</td><td>0.4095</td></tr><tr><td>Présent élément (14×14)</td><td>RSFT52</td><td>0.8850</td><td>0.6190</td><td>0.5247</td><td>0.4802</td><td>0.4136</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.8847</td><td>0.6191</td><td>0.5251</td><td>0.4809</td><td>0.4164</td></tr><tr><td>Kant et al. [219]</td><td>HSDT</td><td>0.8530</td><td>0.6120</td><td>0.5222</td><td>0.4800</td><td>0.4230</td></tr><tr><td>Kant [82]</td><td>HSDT</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>0.4800</td><td>0.4240</td></tr><tr><td>Yuan et Miller [264]</td><td>FSDT</td><td>-</td><td>-</td><td>0.6139</td><td>0.5544</td><td>0.4614</td></tr><tr><td>Rao et al. [263]</td><td>FSDT</td><td>-</td><td>-</td><td>0.5157</td><td>0.4763</td><td>0.4237</td></tr></tbody></table>

### 3.3.2.2 Plaques isotropes rectangulaires simplement appuyées

On considère une plaque rectangulaire simplement appuyée et soumise à un chargement uniforme. Dans ce test, différents rapports d'aspect (a/b) avec différents coefficients de Poisson (v) ont été considérés. Les résultats obtenus par notre élément (RSFT52) sont normalisés par la formule (3.26).

$$ \bar{w} = \frac{w G}{h p_0}; \quad \bar{\tau}_{xz} = \frac{\tau_{xz}}{p_0} \qquad (3.26) $$

Les résultats du déplacement transversal (w̄) ainsi que la contrainte de cisaillement transversal (τ̄$_{xz}$) sont représentés dans le tableau 3.3. La comparaison a été faite avec la solution analytique de Kant et al. [265]. Les résultats obtenus par l'élément RSFT52 montrent les performances de la formulation proposée.
<table><caption>**Tableau 3.3** Déflexion normalisé ($\overline{w}$) et contrainte de cisaillement ($\overline{\tau}_{xz}$), d'une plaque isotrope simplement appuyée ($E=1 \text{ GPa}$, $\nu=0.2, 0.3$ et $0.4$).</caption><thead><tr><th rowspan="2">v</th><th rowspan="2">a/b</th><th rowspan="2">a/h</th><th colspan="2">-w(a/b, b/2, 0)</th><th colspan="2">-τ<sub>xz</sub>(0, b/2, 0)</th></tr><tr><th>Présent élément</th><th>Élasticité [265]</th><th>Présent élément</th><th>Élasticité [265]</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="6">0.3</td><td rowspan="2">0.2</td><td>10</td><td>535.684</td><td>558.175</td><td>7.311</td><td>7.313</td></tr><tr><td>7.14</td><td>145.161</td><td>148.390</td><td>5.087</td><td>5.183</td></tr><tr><td rowspan="2">0.5</td><td>10</td><td>423.515</td><td>437.520</td><td>6.742</td><td>6.765</td></tr><tr><td>7.14</td><td>114.961</td><td>116.730</td><td>4.698</td><td>4.792</td></tr><tr><td rowspan="2">1.0</td><td>10</td><td>174.890</td><td>178.440</td><td>4.686</td><td>4.850</td></tr><tr><td>7.14</td><td>47.952</td><td>48.446</td><td>3.283</td><td>3.422</td></tr><tr><td rowspan="2">2.0</td><td rowspan="2">1.0</td><td>10</td><td>29.472</td><td>29.604</td><td>2.345</td><td>2.552</td></tr><tr><td>7.14</td><td>8.470</td><td>8.440</td><td>1.639</td><td>1.785</td></tr><tr><td>0.2</td><td>1.0</td><td>10</td><td>198.116</td><td>203.150</td><td>4.708</td><td>4.846</td></tr><tr><td>0.4</td><td>1.0</td><td>10</td><td>151.530</td><td>153.760</td><td>4.663</td><td>4.846</td></tr></tbody></table>

### 3.3.3 Plaques stratifiées

Dans cette section, trois exemples ont été considérés pour mettre en évidence la performance du modèle proposé dans l'analyse du comportement des plaques stratifiées.

#### 3.3.3.1 Plaque carrée à trois couches (0/90/0) sous chargement sinusoïdal

Dans le premier exemple, une plaque starifiée carrée simplement appuyée (SSSS), soumise une charge doublement sinusoïdale ($q(x,y)=q_0 \sin(\pi x/a) \sin(\pi y/b)$), a été considérée (figure 3.3). La plaque est constituée de trois couches identiques (0/90/0) dont les caractéristiques mécaniques sont présentées dans le tableau 3.4. Différents types de maillages (4×4, 6×6, 8×8, 10×10, 12×12, 14×14 et 16×16), ainsi que différents rapports d'épaisseurs ($a/h = 0,25, 0,1$ et $0,05$), ont été considérés.

Les résultats du déplacement transversal sont normalisés par la formule suivante:

$$ \bar{w} = \frac{w 100 E_2 h^3}{a^4 q_0} \qquad (3.27) $$
<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>**Fig.3.3 Plaque stratifiée carrée à trois couches, simplement appuyée sous chargement doublement sinusoïdal**</figcaption></figure>

<table><caption>**Tableau 3.4 Propriétés des matériaux (normalisés) utilisés pour les plaques stratifiées.**</caption><thead><tr><th>Propriétés mécaniques</th><th>Location</th><th>E<sub>1</sub></th><th>E<sub>2</sub></th><th>G<sub>12</sub></th><th>G<sub>13</sub></th><th>G<sub>23</sub></th><th>ν<sub>12</sub> = ν<sub>21</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>Plaques stratifiées</td><td>All layer</td><td>25E</td><td>E</td><td>0.500E</td><td>0.50E</td><td>0.20E</td><td>0.25</td></tr></tbody></table>

La convergence du déplacement transversal est montrée sur le tableau 3.5 et sur la figure 3.4. Les résultats obtenus par le présent élément (RSFT52) sont comparés avec les solutions d'élasticité-3D, données par Pagano [24]; avec les modèles d'ordre supérieur (HSDT) de Reddy [78] et de Kant [30]; et d'autre part, avec ceux obtenus par des modèles d'éléments finis basés sur différentes théories [160, 233, 250, 260, 266, 267]:

* FEM-T6-HSDT: Élément fini triangulaire à six nœuds, basé sur la théorie d'ordre supérieur, présenté par Sheikh et Chakrabarti [233].

* FEM-T45-LW: Élément fini triangulaire à quarante-cinq nœuds, basé sur la théorie layerwise, présenté par Ramesh et al. [250].

* FEM-T45-TSDT: Élément fini triangulaire à quarante-cinq nœuds, basé sur la théorie du troisième ordre, présenté par Ramesh et al. [250].

* FEM-T6-HZZT: Élément fini triangulaire à six nœuds, basé sur la théorie de zig-zag d'ordre supérieur, présenté par Chakrabarti et Sheikh [260].

* FEM-Q4-RTOST: Élément fini quadrilatère à quatre nœuds, basé sur la théorie du troisième ordre raffinée, présenté par Kulkarni et Kapuria [266].

* FEM-Q9-HZZT: Élément fini quadrilatère à neuf nœuds, basé sur la théorie de zig-zag d'ordre supérieur, présenté par Khandelwal et al. [160].
* FEM-SFR8O: Éléments fini hexaèdre à huit nœuds, basé sur le concept " Space Fiber Rotation", présenté par Meftah [267]

D'après les résultats qui figurent sur le tableau 3.5, on remarque que le modèle d'élément fini développé **RSFT52** donne des résultats très satisfaisants, en terme de stabilité et rapidité de convergence, notamment dans le cas des plaques épaisses ($h/a = 0.25$), où les résultats sont en excellent accord avec les solutions de références, à titre d'exemple pour un maillage de 4x4, on trouve une erreur de 0.0273 %.

### 3.3.3.2 Plaques carrées à trois et cinq couches sous chargement uniforme

On considère une plaque starifiée carrée simplement appuyée et soumise à une charge uniformément répartie. Les propriétés mécaniques sont celles de l'exemple 3.3.3.1. Deux types de stratifications croisées, dont lesquelles, trois couches (0/90/0) et cinq couches (0/90/90/90/0), ont été étudiées. Dans les deux cas, les couches de même orientation ont la même épaisseur. Différents maillage (4x4, 6x6, 8x8, 10x10, 12x12, 14x14 et 16x16) ont été considérés. Dans les tableaux 3.6 et 3.7, on présente les résultats du déplacement transversal au centre de la plaque pour les deux stratifications. Les résultats obtenus sont normalisés par la formule précédente (3.27).

Les résultats obtenus sont comparés avec ceux issus de la solution analytique donnée par la théorie d'ordre supérieur de Reddy [78], la méthode EFG<fnref n="28" />, basée sur la théorie FSDT, présentée par Belinha et al. [268], et à ceux obtenus par d'autres modèles numériques de la littérature [163, 233, 267, 269]. Par exemple: Xiao et al. [270] ont utilisé le logiciel commercial ABAQUS pour modéliser ce type de plaque, en choisisant un élément fini brique (3D) à 20 nœuds, avec un maillage de 4800 éléments, pour le quart de la plaque. Les auteurs ont également utilisé deux éléments MQ-MLPG et TPS-MLPG, qu'ils ont développé sur la base de " la théorie d'ordre supérieur et la déformation normale de la plaque " (HOSNDPT)<fnref n="29" />; et la formulation de point fini (MLPG)<fnref n="30" /> basée sur la méthode de la fonction de base radiale multiquadrique (RBFs)<fnref n="31" />. La comparaison montre la précision et l'efficacité de l'élément RSFT52, dans l'analyse des plaques stratifiées multicouches.

<footnote n="28">²⁸ Element-Free Galerkin</footnote>

<footnote n="29">²⁹ Higher Order Shear and Normal Deformable Plate Theory</footnote>

<footnote n="30">³⁰ Meshless Local Petrov-Galerkin</footnote>

<footnote n="31">³¹ Radial Basis Functions</footnote>
<table><caption>**Tableau 3.5** Déplacement transversal non-dimensionnel (w̄) d'une plaque stratifiée carrée à trois couches (0 / 90 / 0) simplement appuyée sous chargement doublement sinusoïdal.</caption><thead><tr><th rowspan="2">Références</th><th rowspan="2">Modèles EF</th><th colspan="3">Rapport d'épaisseur (h/a)</th></tr><tr><th>0.25</th><th>0.1</th><th>0.05</th></tr></thead><tbody><tr><td>Presént élément (4×4)</td><td>RSFT52</td><td>2.0564</td><td>0.6735</td><td>0.4096</td></tr><tr><td>Presént élément (6×6)</td><td>RSFT52</td><td>2.0334</td><td>0.6921</td><td>0.4562</td></tr><tr><td>Presént élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>2.0253</td><td>0.6989</td><td>0.4751</td></tr><tr><td>Presént élément (10×10)</td><td>RSFT52</td><td>2.0216</td><td>0.7021</td><td>0.4844</td></tr><tr><td>Presént élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>2.0195</td><td>0.7038</td><td>0.4889</td></tr><tr><td>Presént élément (14×14)</td><td>RSFT52</td><td>2.0024</td><td>0.7049</td><td>0.4921</td></tr><tr><td>Presént élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>2.0017</td><td>0.7056</td><td>0.4942</td></tr><tr><td>Reddy [78]</td><td>HSDT-Anal</td><td>1.9220</td><td>0.7130</td><td>0.5041</td></tr><tr><td>Pagano [24]</td><td>Elasticity solution</td><td>2.0059</td><td>0.7405</td><td>0.5164</td></tr><tr><td>Sheikh et Chakrabarti [233]</td><td>FEM-T6-HSDT</td><td>1.9230</td><td>0.7140</td><td>-</td></tr><tr><td>Ramesh et al. [250]</td><td>FEM-T45-LW</td><td>1.9927</td><td>0.7535</td><td>0.5166</td></tr><tr><td>Ramesh et al. [250]</td><td>FEM-T45-TSDT</td><td>1.9136</td><td>0.7178</td><td>0.5060</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>1.9502</td><td>0.7522</td><td>0.5066</td></tr><tr><td>Kulkarni et Kapuria [266]</td><td>FEM-Q4-RTOST</td><td>1.9248</td><td>0.7136</td><td>-</td></tr><tr><td>Kant et Swaminathan [30]</td><td>HSDT-Anal</td><td>1.8948</td><td>0.7151</td><td>0.5053</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>2.0151</td><td>0.7480</td><td>-</td></tr><tr><td>Meftah [267]</td><td>FEM-SFR8O</td><td>2.0900</td><td>0.7460</td><td>-</td></tr></tbody></table>

<figure><img src="image_32.png" /><figcaption>**Fig.3.4** Convergence du déplacement transversal d'une plaque carrée starifiée à trois couches, simplement appuyée, sous chargement doublement sinusoïdal (h/a = 0.25)</figcaption></figure>
<table><caption>**Tableau 3.6 Déplacement transversal non-dimensionnel (w̄) d'une plaque stratifiée carrée à trois couches (0/90/0), simplement appuyée, sous chargement uniforme.**</caption><thead><tr><th rowspan="2">Références</th><th rowspan="2">Modèles EF</th><th colspan="3">Rapport d'épaisseur (a/h)</th></tr><tr><th>4</th><th>10</th><th>20</th></tr></thead><tbody><tr><td>Présent élément (4x4)</td><td>RSFT52</td><td>3.1327</td><td>1.0423</td><td>0.6437</td></tr><tr><td>Présent élément (6x6)</td><td>RSFT52</td><td>3.0574</td><td>1.0541</td><td>0.7076</td></tr><tr><td>Présent élément (8x8)</td><td>RSFT52</td><td>3.0364</td><td>1.0615</td><td>0.7336</td></tr><tr><td>Présent élément (10x10)</td><td>RSFT52</td><td>3.0273</td><td>1.0649</td><td>0.7460</td></tr><tr><td>Présent élément (12x12)</td><td>RSFT52</td><td>3.0225</td><td>1.0668</td><td>0.7529</td></tr><tr><td>Présent élément (14x14)</td><td>RSFT52</td><td>3.0196</td><td>1.0679</td><td>0.7572</td></tr><tr><td>Présent élément (16x16)</td><td>RSFT52</td><td>3.0178</td><td>1.0686</td><td>0.7590</td></tr><tr><td>Reddy [78]</td><td>HSDT-Anal</td><td>2.9091</td><td>1.0900</td><td>0.7760</td></tr><tr><td>Belinha et Dinis [268]</td><td>FSDT-EFG</td><td>-</td><td>1.0225</td><td>0.7583</td></tr><tr><td>Topdar et al. [163]</td><td>FEM-R4- PRHSDT</td><td>3.0244</td><td>1.1584</td><td>-</td></tr><tr><td>Topdar et al. [163]</td><td>FEM-R4-PFSDT</td><td>2.6589</td><td>1.0220</td><td>-</td></tr><tr><td>Xiao et al. [270]</td><td>MQ-MLPG1</td><td>-</td><td>0.9465</td><td>0.7252</td></tr><tr><td>Xiao et al. [270]</td><td>TPS-MLPG1</td><td>-</td><td>0.9415</td><td>0.7188</td></tr><tr><td>Xiao et al. [270]</td><td>FEM-3D</td><td>-</td><td>1.1543</td><td>0.7951</td></tr><tr><td>Ghosh et Dey [269]</td><td>FEM-T6-HSDT</td><td>-</td><td>0.9650</td><td>0.7572</td></tr><tr><td>Sedira [195]</td><td>FEM-Q4-DMQPz</td><td>2.9836</td><td>1.1357</td><td>-</td></tr><tr><td>Meftah [267]</td><td>SFR8O</td><td>-</td><td>1.1450</td><td>0.7880</td></tr></tbody></table>

<table><caption>**Tableau 3.7 Déplacement transversal (w̄) d'une plaque stratifiée carrée à cinq couches (0/90/90/90/0), simplement appuyée, sous chargement uniforme.**</caption><thead><tr><th rowspan="2">Références</th><th rowspan="2">Modèles EF</th><th colspan="3">Rapport d'épaisseur (a/h)</th></tr><tr><th>5</th><th>10</th><th>20</th></tr></thead><tbody><tr><td>Présent élément (4x4)</td><td>RSFT52</td><td>1.8406</td><td>0.9670</td><td>0.6733</td></tr><tr><td>Présent élément (6x6)</td><td>RSFT52</td><td>1.8220</td><td>0.9836</td><td>0.7224</td></tr><tr><td>Présent élément (8x8)</td><td>RSFT52</td><td>1.8231</td><td>0.9898</td><td>0.7411</td></tr><tr><td>Présent élément (10x10)</td><td>RSFT52</td><td>1.8213</td><td>0.9926</td><td>0.7500</td></tr><tr><td>Présent élément (12x12)</td><td>RSFT52</td><td>1.8204</td><td>0.9941</td><td>0.7548</td></tr><tr><td>Présent élément (14x14)</td><td>RSFT52</td><td>1.8198</td><td>0.9950</td><td>0.7578</td></tr><tr><td>Présent élément (16x16)</td><td>RSFT52</td><td>1.8194</td><td>0.9956</td><td>0.7597</td></tr><tr><td>Reddy [1]</td><td>FSDT-Anal</td><td>-</td><td>0.9727</td><td>0.7581</td></tr><tr><td>Belinha et Dinis [268]</td><td>FSDT-EFG</td><td>-</td><td>0.9722</td><td>0.7584</td></tr><tr><td>Xiao et al. [270]</td><td>FEM-3D</td><td>2.1044</td><td>1.0576</td><td>0.7794</td></tr><tr><td>Xiao et al. [270]</td><td>MQ-MLPG1</td><td>1.5864</td><td>0.9085</td><td>0.7288</td></tr><tr><td>Xiao et al. [270]</td><td>TPS-MLPG1</td><td>1.5804</td><td>0.9040</td><td>0.7219</td></tr></tbody></table>
### 3.3.3.3 Plaque stratifiée à neuf couches sous chargement doublement sinusoïdal

On considère une plaque carrée multicouches à neuf couches (0/90/0/90/0/90/0/90/0) (figure 3.5), simplement appuyée, et soumise à un chargement doublement sinusoïdal. Les couches de même orientation sont d'une épaisseur identique. Le matériau de base est un composite unidirectionnel fortement orthotrope, dont les propriétés mécaniques sont celles de l'exemple 3.3.3.1.

<figure><img src="image_33.png" /><figcaption>Fig.3.5 Plaque stratifiée carrée à neuf couches</figcaption></figure>

Les résultats du déplacement transversal au centre de la plaque, normalisé par la formule 3.28, sont représentés dans le tableau 3.8 pour différents maillages (8×8, 12×12 et 16×16) et différents rapports d'épaisseur ($a/h = 4, 10, 50$ et $100$).

$$ \bar{w} = w \frac{\pi^4 Q}{12 S^4 h q_0} \quad \text{avec} \quad Q = 4G_{12} + \frac{E_1 + E_2 (1 + 2\nu_{23})}{(1 - \nu_{12}\nu_{21})} \quad \text{et} \quad S = \frac{a}{h} \quad (3.28) $$

Les résultats obtenus sont en accord avec la solution analytique, fournie par Pagano [271] et ceux obtenus par des modèles d'éléments finis de Lardeur [70], Engblom et Ochoa [220] Sakami [217] et Sedira [195]. On peut remarquer aussi que le présent modèle est applicable pour les deux types de plaques, minces ou épaisses.

<table><caption>**Tableau 3.8** Déplacement transversal non-dimensionnel ($\bar{w}$) d'une plaque stratifiée carrée à neuf couches (0/90/0/90/0/90/0/90/0) simplement appuyée, sous chargement doublement sinusoïdal.</caption><thead><tr><th rowspan="2">a/h</th><th colspan="3">Présent élément avec différents maillages</th><th rowspan="2">Sedira [195] DMQPz</th><th rowspan="2">Sakami [217] DMQPml</th><th rowspan="2">Lardeur [70] DSQ</th><th rowspan="2">Élasticité [271]</th></tr><tr><th>8×8</th><th>12×12</th><th>16×16</th></tr></thead><tbody><tr><td>4</td><td>3.5761</td><td>3.5669</td><td>3.5636</td><td>3.6217</td><td>4.1872</td><td>4.2350</td><td>4.0790</td></tr><tr><td>10</td><td>1.4640</td><td>1.4701</td><td>1.4722</td><td>1.4353</td><td>1.5171</td><td>1.5160</td><td>1.5120</td></tr><tr><td>50</td><td>0.9734</td><td>1.0282</td><td>1.0485</td><td>1.0750</td><td>1.0210</td><td>1.0150</td><td>1.0210</td></tr><tr><td>100</td><td>0.7460</td><td>0.8846</td><td>0.9462</td><td>1.0042</td><td>1.0049</td><td>1.0050</td><td>1.0050</td></tr></tbody></table>
### 3.3.4 Plaques sandwichs

#### 3.3.4.1 Plaque sandwich carrée symétrique ($f/c/f$) sous chargement sinusoïdal

Dans cet exemple, une plaque sandwich carrée symétrique ($f/c/f$), simplement appuyée, soumise à une charge doublement sinusoïdale (Fig. 3. 6) a été considérée. Les propriétés matérielles de l'âme et celles des peaux sont représentées dans le tableau 3.9. L'épaisseur de chaque peau est égale à 0.1 $h$ et celle de l'âme est 0.8 $h$, où $h$ étant l'épaisseur totale de la plaque. La plaque est analysée pour différents rapports d'épaisseurs ($a/h = 2, 4, 5, 10$ et $20$) avec différents types de maillages (8×8, 10×10, 12×12, 14×14 et 16×16).

<table><caption>**Tableau 3.9** Propriétés des matériaux (normalisés) utilisés pour les plaques sandwichs.</caption><thead><tr><th>Propriétés mécaniques</th><th></th><th>E<sub>1</sub></th><th>E<sub>2</sub></th><th>G<sub>12</sub></th><th>G<sub>13</sub></th><th>G<sub>23</sub></th><th>ν<sub>12</sub> = ν<sub>21</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">Plaques sandwich</td><td>Âme</td><td>0.04E</td><td>0.04E</td><td>0.016E</td><td>0.06E</td><td>0.06E</td><td>0.25</td></tr><tr><td>Peaux</td><td>25E</td><td>E</td><td>0.500E</td><td>0.5E</td><td>0.20E</td><td>0.25</td></tr></tbody></table>

Les résultats du déplacement transversal ($w$) et les contraintes de cisaillement transversal ($τ_{xz}$ et $τ_{yz}$) sont normalisés par les équations (3.29) et (3.30), respectivement, et sont représentés dans le tableau 3.10.

$$ \bar{w} = \frac{100 E_2 h^3}{a^4 q_0} w \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right) \qquad (3.29) $$

$$ (\bar{\tau}_{xz}, \bar{\tau}_{yz}) = \frac{h}{q_0 a} (\tau_{xz}, \tau_{yz}) \qquad (3.30) $$

<figure><img src="image_34.png" /><figcaption>**Fig.3.6** Plaque sandwich carrée symétrique sous chargement doublement sinusoïdal</figcaption></figure>
Les courbes de la figure 3.7 à 3.9 montrent, respectivement, les variations du déplacement transversal et les contraintes de cisaillement transversal, en fonction du rapport d'épaisseur (a/h). On constate que les valeurs du déplacement transversal et la contrainte de cisaillement ($\bar{\tau}_{xz}$), diminuent lorsque l'on augmente le rapport d'épaisseur (a/h), tandis que les valeurs de la contrainte de cisaillement ($\bar{\tau}_{yz}$) augmentent lorsqu'on augmente le rapport d'épaisseur (a/h). Cela est dû à l'effet de l'épaisseur de l'âme qui joue un rôle très important dans les plaques sandwichs, car il peut affecter considérablement la rigidité à la flexion.

D'après les figures 3.7 à 3.9 et le tableau 3.10, on observe une bonne corrélation entre les résultats obtenus par l'élément développé (RSFT52) et les résultats obtenus avec la solution d'élasticité-3D de Pagano [24], ainsi qu'avec ceux obtenus par des modèles d'éléments finis, basés sur différentes théories; la théorie de zig-zag [160, 162, 163, 261, 262], la théorie layerwise [242, 246] et la théorie d'ordre supérieur [223, 227, 231, 236], notamment lorsqu'il s'agit des contraintes de cisaillement transversal, à titre d'exemple:

* Pour un rapport d'épaisseur (a/h) = 10 ; et pour un maillage de 10×10, l'erreur est de 0.0014 % pour le déplacement transversal et 0.04 %, 0.0075 % pour les contraintes de cisaillement transversal ($\bar{\tau}_{xz}$ et $\bar{\tau}_{yz}$), respectivement.

* Pour un rapport d'épaisseur (a/h) = 4 ; et pour un maillage de 10×10, l'erreur est de 0.02 % pour le déplacement transversal et de 0.036 % et 0.018 % pour les contraintes de cisaillement transversal ($\bar{\tau}_{xz}$ et $\bar{\tau}_{yz}$), respectivement.

* Pour un rapport d'épaisseur (a/h) = 2 ; et pour un maillage de 10×10, l'erreur est de 0.07 % pour le déplacement transversal et de 0.02 % et 0.008 % pour les contraintes de cisaillement transversal ($\bar{\tau}_{xz}$ et $\bar{\tau}_{yz}$), respectivement.

Ces résultats confirment la performance, la fiabilité et la convergence de l'élément développé (RSFT52) dans le calcul de déplacement transversal et les contraintes de cisaillement transversal des plaques sandwichs.
<table><caption>**Tableau 3.10** Déplacement transversal ($\bar{w}$) et contraintes de cisaillement transversal ($\bar{\tau}_{xz}, \bar{\tau}_{yz}$), d'une plaque sandwich symétrique ($f/c/f$) simplement appuyée sous chargement doublement sinusoïdal.</caption><thead><tr><th>a/h</th><th>Référence</th><th>Modèles EF</th><th>τ̄<sub>xz</sub>(0, b/2, 0)</th><th>τ̄<sub>yz</sub>(a/2, 0, 0)</th><th>w̄(a/2, b/2, 0)</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="10">20</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.2944</td><td>0.0430</td><td>1.1766</td></tr><tr><td>Présent élément (10×10)</td><td>RSFT52</td><td>0.3025</td><td>0.0407</td><td>1.1953</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.3069</td><td>0.0393</td><td>1.2058</td></tr><tr><td>Présent élément (14×14)</td><td>RSFT52</td><td>0.3097</td><td>0.0385</td><td>1.2122</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.3115</td><td>0.0379</td><td>1.2164</td></tr><tr><td>Pagano [24]</td><td>Elasticity solution</td><td>0.3174</td><td>0.0361</td><td>1.2264</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-IHZZT</td><td>0.3342</td><td>0.0392</td><td>1.2254</td></tr><tr><td>Singh et al. [261]</td><td>FEM-Q8-HZZT</td><td>0.3429</td><td>-</td><td>1.2424</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.3374</td><td>0.0415</td><td>1.2128</td></tr><tr><td>Chalak et al. [262]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.3272</td><td>0.0399</td><td>1.2121</td></tr><tr><td>Ramtekkar et al. [246]</td><td>MFEM-3D-LW</td><td>0.3170</td><td>0.0360</td><td>-</td></tr><tr><td>Wu et Lin [242]</td><td>MFEM-3D-LW</td><td>0.3530</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td rowspan="10">10</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.2815</td><td>0.0538</td><td>2.1964</td></tr><tr><td>Présent élément (10×10)</td><td>RSFT52</td><td>0.2880</td><td>0.0534</td><td>2.2036</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.2916</td><td>0.0532</td><td>2.2075</td></tr><tr><td>Présent élément (14×14)</td><td>RSFT52</td><td>0.2938</td><td>0.0531</td><td>2.2099</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.2952</td><td>0.0530</td><td>2.2115</td></tr><tr><td>Pagano [24]</td><td>Elasticity solution</td><td>0.3000</td><td>0.0530</td><td>2.2004</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-IHZZT</td><td>0.3158</td><td>0.0570</td><td>2.2002</td></tr><tr><td>Tu et al. [236]</td><td>FEM-Q9-TSDT</td><td>0.3181</td><td>0.0532</td><td>2.2027</td></tr><tr><td>Singh et al. [261]</td><td>FEM-Q8-HZZT</td><td>0.3237</td><td>-</td><td>2.2389</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.3185</td><td>0.0598</td><td>2.1786</td></tr><tr><td>Chalak et al. [262]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.3058</td><td>0.0575</td><td>2.1775</td></tr><tr><td>Ramtekkar et al. [246]</td><td>MFEM-3D-LW</td><td>0.3030</td><td>0.0550</td><td>-</td></tr><tr><td>Wu et Lin [242]</td><td>MFEM-3D-LW</td><td>0.3240</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Pandya et al. [223]</td><td>FEM-Q9-HSDT</td><td>0.2841</td><td>0.0559</td><td>0.2023</td></tr><tr><td>Topdar et al. [163]</td><td>FEM-Q4-HZZT</td><td>0.3188</td><td>-</td><td>2.1990</td></tr><tr><td>Nayak et al. [231]</td><td>FEM-Q4-HSDT</td><td>0.3465</td><td>0.0574</td><td>-</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau 3.10 Suite</caption><thead><tr><th>a/h</th><th>Référence</th><th>Modèles EF</th><th>τ̄<sub>xz</sub>(0, b/2, 0)</th><th>τ̄<sub>yz</sub>(a/2, 0, 0)</th><th>w̄(a/2, b/2, 0)</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="6">5</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.2424</td><td>0.0893</td><td>5.5650</td></tr><tr><td>Présent élément (10×10)</td><td>RSFT52</td><td>0.2476</td><td>0.0903</td><td>5.5599</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.2505</td><td>0.0908</td><td>5.5571</td></tr><tr><td>Présent élément (14×14)</td><td>RSFT52</td><td>0.2523</td><td>0.0911</td><td>5.5555</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.2535</td><td>0.0913</td><td>5.5554</td></tr><tr><td>Pagano [24]</td><td>Elasticity solution</td><td>0.2569</td><td>0.0918</td><td>5.4746</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.2530</td><td>0.1025</td><td>5.4464</td></tr><tr><td rowspan="14">4</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.2255</td><td>0.1038</td><td>7.7651</td></tr><tr><td>Présent élément (10×10)</td><td>RSFT52</td><td>0.2303</td><td>0.1052</td><td>7.7515</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.2330</td><td>0.1059</td><td>7.7457</td></tr><tr><td>Présent élément (14×14)</td><td>RSFT52</td><td>0.2346</td><td>0.1064</td><td>7.7415</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.2357</td><td>0.1067</td><td>7.7388</td></tr><tr><td>Pagano [24]</td><td>Elasticity solution</td><td>0.2390</td><td>0.1072</td><td>7.5962</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-IHZZT</td><td>0.2520</td><td>0.1156</td><td>7.6552</td></tr><tr><td>Tu et al. [236]</td><td>FEM-Q9-TSDT</td><td>0.2447</td><td>0.1184</td><td>7.5610</td></tr><tr><td>Singh et al. [261]</td><td>FEM-Q8-HZZT</td><td>0.2611</td><td>-</td><td>7.8556</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.2538</td><td>0.1192</td><td>7.5873</td></tr><tr><td>Chalak et al. [262]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.2436</td><td>0.1147</td><td>7.5822</td></tr><tr><td>Ramtekkar et al. [246]</td><td>MFEM-3D-LW</td><td>0.2400</td><td>0.1080</td><td>-</td></tr><tr><td>Wu et al. [242]</td><td>MFEM-3D-LW</td><td>0.2497</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Pandya et al. [223]</td><td>FEM-Q9-HSDT</td><td>0.2382</td><td>0.1132</td><td>0.6947</td></tr><tr><td>Manjunatha et al. [227]</td><td>FEM-Q9-HSDT</td><td>0.2750</td><td>0.1137</td><td>7.1596</td></tr><tr><td>Manjunatha et al. [227]</td><td>FEM-Q16-HSDT</td><td>0.2632</td><td>0.1134</td><td>7.1561</td></tr><tr><td>Topdar et al. [163]</td><td>FEM-Q4-HZZT</td><td>0.2543</td><td>-</td><td>7.6227</td></tr><tr><td rowspan="7">2</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.1766</td><td>0.1363</td><td>23.4200</td></tr><tr><td>Présent élément (10×10)</td><td>RSFT52</td><td>0.1803</td><td>0.1388</td><td>23.3493</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.1823</td><td>0.1401</td><td>23.3106</td></tr><tr><td>Présent élément (14×14)</td><td>RSFT52</td><td>0.1835</td><td>0.1409</td><td>23.2875</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.1843</td><td>0.1414</td><td>23.2725</td></tr><tr><td>Pagano [24]</td><td>Elasticity solution</td><td>0.1850</td><td>0.1400</td><td>21.6531</td></tr><tr><td>Ramtekkar et al. [246]</td><td>MFEM-3D-LW</td><td>0.1860</td><td>0.1420</td><td>-</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_35.png" /><figcaption>**Fig. 3.7** Influence du rapport d'épaisseur (a/h) sur le déplacement transversal (w) d'une plaque sandwich (f/c/f) simplement appuyée sous chargement doublement sinusoïdal</figcaption></figure>

<figure><img src="image_36.png" /><figcaption>**Fig. 3.8** Influence du rapport d'épaisseur (a/h) sur la contrainte de cisaillement ($\bar{\tau}_{xz}$) d'une plaque sandwich (f/c/f) simplement appuyée sous chargement doublement sinusoïdal</figcaption></figure>
<figure><img src="image_37.png" /><figcaption>Fig. 3.9 Influence du rapport d'épaisseur (a/h) sur la contrainte de cisaillement ($\bar{\tau}_{yz}$) d'une plaque sandwich (f/c/f) simplement appuyée sous chargement doublement sinusoïdal</figcaption></figure>

### 3.3.4.2 Plaque sandwich carrée (f/c/f) sous chargement uniforme

Cet exemple a été proposé et étudié pour la première fois par Azar [22], puis repris par d'autres auteurs, dont Khatua et Cheung [210], Topdar et al. [163] et Chakrabarti et Sheikh [260]. Il s'agit d'une plaque sandwich carrée de dimensions ($a = b = 254$ mm), simplement appuyée (SSSS), et soumise à un chargement réparti uniforme d'intensité $P = 0.00688 N/mm^2$. L'épaisseur totale de la plaque (h) est de 20.4724 mm, où l'épaisseur de chaque peau est de 0.7112 mm. L'étude a été faite en considérant trois types de matériaux:

* Matériau 1:

Peaux: $E_{11} = E_{22} = 68.8$ GPa, $G_{13} = G_{23} = 27.52$ GPa et $v_{13} = 0.3$

L'âme: $E_{11} = E_{22} = 6.88 \times 10^{-12}$ GPa, $G_{13} = G_{23} = 0.2064$ GPa et $v_{13} = 0.3$

* Matériau 2:

Peaux: $E_{11} = 68.8$ GPa, $E_{22} = 27.52$ GPa, $G_{12} = 12.9$ GPa, $G_{13} = G_{23} = 27.52$ GPa et $v_{13} = 0.3$
$$E_{11} = 68.8 \times 10^{-12} \text{ GPa}, E_{22} = 27.52 \times 10^{-13} \text{ GPa}, v_{13} = 0.3$$

L'âme:

$$G_{12} = 12.9 \times 10^{-13} \text{ GPa}, G_{13} = 0.2064 \text{ GPa}, G_{23} = 0.0826 \text{ GPa}$$

### Matériau 3:

Peaux: $E_{11} = E_{22} = 68.8 \text{ GPa}, G_{13} = G_{23} = 27.52 \text{ GPa et } v_{13} = 0.3$

L'âme: $E_{11} = E_{22} = 6.88 \times 10^{-12} \text{ GPa}, G_{13} = G_{23} = 0.3131 \text{ GPa et } v_{13} = 0.3$

Dans le dernier cas (matériau 3), la plaque sandwich est considérée encastrée sur les quatres côtés (CCCC). Les résultats du déplacement transversal au centre de la plaque, avec différents maillages (4×4, 8×8, 12×12 et 16×16), sont rapportés dans le tableau 3.11. Les résultats obtenus par l'élément RSFT52 présentent une très bonne concordance avec la solution analytique donnée par Azar [22] et ceux obtenus par les modèles d'éléments finis de Khatua et Cheung [210], Topdar et al. [163] et Chakrabarti et Sheikh [260].

### 3.3.4.3 Plaque sandwich carrée avec des peaux composites stratifiées ($f(0/90)/C/f(0/90)$) pour différents types de conditions aux limites

Cet exemple a été choisi dans le but d'évaluer la polyvalence du modèle d'élément fini développé dans l'analyse des plaques sandwichs ayant des peaux composites stratifiées. Il s'agit d'une plaque sandwich stratifiée non-symétrique (0/90/C/0/90) soumise à une charge sinusoïdale (figure 3.10). L'épaisseur de l'âme est de $0.8 \text{ h}$, tandis que celle de chaque couche de stratifiée elle est de $0.05 \text{ h}$, $h$ étant l'épaisseur totale de la plaque. Les propriétés mécaniques des matériaux utilisés pour l'âme et les deux peaux sont résumées dans le tableau 3.9. Dans ce problème, trois types de conditions aux limites (CCCC, SCSC et SSSS) avec six rapports d'épaisseur ($h/a = 0.01, 0.05, 0.1, 0.2, 0.25 \text{ et } 0.5$), ont été considérés.

<figure><img src="image_38.png" /><figcaption>Fig.3.10 Plaque sandwich avec des peaux stratifiées</figcaption></figure>
<table><caption>**Tableau 3.11** Déplacement transversal (\bar{w}) d'une plaque sandwich carrée (f/c/f), sous chargement réparti uniforme.</caption><thead><tr><th></th><th>Références</th><th>Modèles EF</th><th>w 100(mm) (a/2, b/2, 0)</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="10">Cas I</td><td>Presént élément (4x4)</td><td>RSFT52</td><td>1.8343</td></tr><tr><td>Presént élément (8x8)</td><td>RSFT52</td><td>1.8679</td></tr><tr><td>Presént élément (12x12)</td><td>RSFT52</td><td>1.8745</td></tr><tr><td>Presént élément (16x16)</td><td>RSFT52</td><td>1.8767</td></tr><tr><td>Khatua et Cheung [210]</td><td>FEM solution</td><td>1.8697</td></tr><tr><td>Azar [22]</td><td>Analytical solution</td><td>1.8780</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>1.8750</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-HSDT</td><td>1.7233</td></tr><tr><td>Topdar et al. [163]</td><td>FEM-Q4-HZZT</td><td>1.7323</td></tr><tr><td>Topdar et al. [163]</td><td>FEM-Q4-RHZZT</td><td>1.8793</td></tr><tr><td rowspan="10">Cas II</td><td>Presént élément (4x4)</td><td>RSFT52</td><td>3.3733</td></tr><tr><td>Presént élément (8x8)</td><td>RSFT52</td><td>3.4936</td></tr><tr><td>Presént élément (12x12)</td><td>RSFT52</td><td>3.5243</td></tr><tr><td>Presént élément (16x16)</td><td>RSFT52</td><td>3.5350</td></tr><tr><td>Khatua et Cheung [210]</td><td>FEM solution</td><td>3.0810</td></tr><tr><td>Azar [22]</td><td>Analytical solution</td><td>3.1140</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>3.1056</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-HSDT</td><td>2.9112</td></tr><tr><td>Topdar et al. [163]</td><td>FEM-Q4-HZZT</td><td>1.9863</td></tr><tr><td>Topdar et al. [163]</td><td>FEM-Q4-RHZZT</td><td>3.1013</td></tr><tr><td rowspan="10">Cas III</td><td>Presént élément (4x4)</td><td>RSFT52</td><td>0.9236</td></tr><tr><td>Presént élément (8x8)</td><td>RSFT52</td><td>0.8813</td></tr><tr><td>Presént élément (12x12)</td><td>RSFT52</td><td>0.8750</td></tr><tr><td>Presént élément (16x16)</td><td>RSFT52</td><td>0.8717</td></tr><tr><td>Khatua et Cheung [210]</td><td>FEM solution</td><td>0.8707</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>0.9535</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-RFSDT</td><td>0.8880</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-HSDT</td><td>0.7779</td></tr><tr><td>Folie [272]</td><td>FEM solution</td><td>0.8814</td></tr></tbody></table>

Les résultats du déplacement et les contraintes de cisaillement transversal, normalisés respectivement par les formules (3.29, 3.30), sont regroupés dans le tableau 3.12. La comparaison a été faite avec des modèles d'éléments finis, disponibles dans la littérature scientifique, basés sur la théorie de zig-zag d'ordre supérieur (HZZT) [160, 162, 261, 262]. D'après les résultats obtenus, on peut noter que le pourcentage d'augmentation dans le déplacement transversal pour des rapports d'épaisseurs élevés, i.e.0.2 à 0.5, est beaucoup plus
élevé que ceux de plus faibles rapports d'épaisseurs, i.e. 0.01 à 0.05, respectivement, pour les
deux conditions aux limites (CCCC et SCSC). La cause principale derrière tout cela est due à
l'effet de la flexibilité transversale de l'âme et aux effets de la déformation en cisaillement,
qui sont plus prononcés dans le cas des rapports d'épaisseurs élevés. Le même genre
d'observations peut également être noté pour la contrainte de cisaillement transversal non-
dimensionnel ($\bar{\tau}_{yz}$) qui diminue lorsque le rapport d'épaisseur augmente, dans le cas de
conditions aux limites (SCSC). En outre, pour les conditions aux limites (CCCC), les deux
contraintes de cisaillement transversal ($\bar{\tau}_{xz}, \bar{\tau}_{yz}$) diminuent avec l'augmentation du rapport
d'épaisseur. Les résultats obtenus mettent en évidence la bonne performance de l'élément
RSFT52, en termes de stabilité, de rapidité de convergence et de précision, pour les deux
types de plaques; minces ou épaisses.

### 3.3.4.4 Plaque sandwich carrée avec des peaux stratifiées alternés (angle-ply)
$$ (f(\theta/\theta + 90)/C / f(\theta/\theta + 90)) \text{ soumise à une charge uniformément répartie} $$

Ce problème a été traité par Chakrabarti et Sheikh [158] et Khandelwal et al. [160]. Il s'agit d'une plaque sandwich carrée ayant des peaux stratifiées alternées (angle-ply) $(f(\theta/\theta + 90)/C / f(\theta/\theta + 90))$, simplement appuyée sur les quatres cotés et soumise à une charge uniformément répartie. Les mêmes propriétés du problème précédent (3.3.4.3) qu'elles soient géométriques ou mécaniques, ont été adoptées.

L'analyse est effectuée pour trois types de maillage (8×8, 12×12 et 16×16), trois rapports d'épaisseur ($h/a = 0.05, 0.1$ et $0.2$) ainsi que pour trois angles d'orientation (0°, 30° et 45°). Les résultats du déplacement transversal ($\bar{w}$), au centre de la plaque ($x = a/2, y = b/2$ et $z = 0$), la contrainte de cisaillement transverse ($\bar{\tau}_{xz}$), au centre de l'arête ($x = 0, y = a/2$ et $z = \pm 0.4h$) et la contrainte de cisaillement transverse ($\bar{\tau}_{yz}$), au centre de l'arête ($x = a/2, y = 0$ et $z = \pm 0.4h$), sont représentés dans le tableau 3.13. Les résultats obtenus par le présent élément sont comparés à ceux obtenus avec les éléments de Chakrabarti et Sheikh [158] et Khandelwal et al. [160]. Cette comparaison a montré la bonne performance de l'élément développé ainsi que sa robustesse.
<table><caption>**Tableau 3.12** Déplacement transversal ($\bar{w}$) et contraintes de cisaillement transversal ($\bar{\tau}_{xz}$, $\bar{\tau}_{yz}$), d'une plaque sandwich ayant des peaux stratifiées non-symétriques (0/90/C/0/90), sous chargement doublement sinusoïdal, avec différents types de conditions aux limites.</caption><thead><tr><th>h/a</th><th>Références</th><th>Modèles EF</th><th>τ̄<sub>xz</sub>(0, b/2, 0)</th><th>τ̄<sub>yz</sub>(a/2, 0, 0)</th><th>w̄(a/2, b/2, 0)</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="6">Conditions aux limites: CCCC</td></tr><tr><td rowspan="6">0.01</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.1877</td><td>0.1877</td><td>0.1075</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.1981</td><td>0.1981</td><td>0.1519</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.2008</td><td>0.2008</td><td>0.1778</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.2198</td><td>0.2190</td><td>0.2279</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-IHZZT</td><td>0.2189</td><td>0.2189</td><td>0.2286</td></tr><tr><td>Singh et al. [261]</td><td>FEM-Q8-HZZT</td><td>0.2348</td><td>-</td><td>0.2260</td></tr><tr><td rowspan="6">0.05</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.1639</td><td>0.1639</td><td>0.4166</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.1694</td><td>0.1694</td><td>0.4226</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.1682</td><td>0.1682</td><td>0.4245</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.1661</td><td>0.1661</td><td>0.4299</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-IHZZT</td><td>0.1828</td><td>0.1828</td><td>0.4296</td></tr><tr><td>Singh et al. [261]</td><td>FEM-Q8-HZZT</td><td>0.2004</td><td>-</td><td>0.4462</td></tr><tr><td rowspan="6">0.1</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.1518</td><td>0.1518</td><td>1.0538</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.1513</td><td>0.1513</td><td>1.0451</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.1474</td><td>0.1474</td><td>1.0443</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.1380</td><td>0.1383</td><td>1.0513</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-IHZZT</td><td>0.1587</td><td>0.1586</td><td>1.0489</td></tr><tr><td>Singh et al. [261]</td><td>FEM-Q8-HZZT</td><td>0.1651</td><td>-</td><td>1.0213</td></tr><tr><td rowspan="6">0.2</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.1377</td><td>0.1377</td><td>3.4824</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.1336</td><td>0.1336</td><td>3.4560</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.1283</td><td>0.1283</td><td>3.4501</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.1240</td><td>0.1242</td><td>3.4741</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-IHZZT</td><td>0.1396</td><td>0.1394</td><td>3.4521</td></tr><tr><td>Singh et al. [261]</td><td>FEM-Q8-HZZT</td><td>0.1422</td><td>-</td><td>3.3421</td></tr><tr><td rowspan="6">0.25</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.1325</td><td>0.1325</td><td>5.2499</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.1279</td><td>0.1279</td><td>5.2157</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.1227</td><td>0.1227</td><td>5.2046</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.1228</td><td>0.1231</td><td>5.2470</td></tr><tr><td>Chalak et al. [262]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.1157</td><td>0.1766</td><td>5.2305</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau 3.12 Suite</caption><thead><tr><th>h/a</th><th>Références</th><th>Modèles EF</th><th>τ̄<sub>xz</sub>(0, b/2, 0)</th><th>τ̄<sub>yz</sub>(a/2, 0, 0)</th><th>w̄(a/2, b/2, 0)</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="7">0.5</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.1147</td><td>0.1147</td><td>18.9206</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.1107</td><td>0.1107</td><td>18.7881</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.1068</td><td>0.1068</td><td>18.7406</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-IHZZT</td><td>0.1227</td><td>0.1217</td><td>18.3454</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.1264</td><td>0.1265</td><td>19.1560</td></tr><tr><td>Singh et al. [261]</td><td>FEM-Q8-HZZT</td><td>0.1325</td><td>-</td><td>18.3450</td></tr><tr><td>Chalak et al. [262]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.1182</td><td>0.1427</td><td>19.0444</td></tr><tr><td colspan="6">Conditions aux limites: SCSC</td></tr><tr><td rowspan="7">0.01</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.0674</td><td>0.2774</td><td>0.1622</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.0703</td><td>0.2859</td><td>0.2297</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.0714</td><td>0.2868</td><td>0.2689</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.0782</td><td>0.3061</td><td>0.3451</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-IHZZT</td><td>0.0778</td><td>0.3086</td><td>0.3453</td></tr><tr><td>Singh et al. [261]</td><td>FEM-Q8-HZZT</td><td>0.0944</td><td>-</td><td>0.3920</td></tr><tr><td>Chalak et al. [262]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.0775</td><td>0.3311</td><td>0.3430</td></tr><tr><td rowspan="7">0.05</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.0928</td><td>0.2301</td><td>0.5827</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.0962</td><td>0.2357</td><td>0.5935</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.0974</td><td>0.2333</td><td>0.5975</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.1075</td><td>0.2288</td><td>0.6053</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-IHZZT</td><td>0.1061</td><td>0.2527</td><td>0.6052</td></tr><tr><td>Singh et al. [261]</td><td>FEM-Q8-HZZT</td><td>0.1542</td><td>-</td><td>0.6080</td></tr><tr><td>Chalak et al. [262]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.1012</td><td>0.3209</td><td>0.6022</td></tr><tr><td rowspan="7">0.1</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.1248</td><td>0.1893</td><td>1.2998</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.1288</td><td>0.1881</td><td>1.2961</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.1302</td><td>0.1830</td><td>1.2964</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.1437</td><td>0.1711</td><td>1.3039</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-IHZZT</td><td>0.1418</td><td>0.1967</td><td>1.3026</td></tr><tr><td>Singh et al. [261]</td><td>FEM-Q8-HZZT</td><td>0.1523</td><td>-</td><td>1.3096</td></tr><tr><td>Chalak et al. [262]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.1366</td><td>0.2696</td><td>1.2994</td></tr><tr><td rowspan="7">0.2</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.1483</td><td>0.1524</td><td>3.8333</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.1530</td><td>0.1476</td><td>3.8112</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.1546</td><td>0.1418</td><td>3.8053</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.1708</td><td>0.1369</td><td>3.8288</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-IHZZT</td><td>0.1683</td><td>0.1539</td><td>3.8087</td></tr><tr><td>Singh et al. [261]</td><td>FEM-Q9-IHZZT</td><td>0.1620</td><td>-</td><td>3.8500</td></tr></tbody></table>
<table><caption>**Tableau 3.13** Déplacement transversal ($\overline{w}$) et contraintes de cisaillement transversal ($\overline{\tau}_{xz}, \overline{\tau}_{yz}$), d'une plaque sandwich ayant des peaux stratifiées non-symétrique ($\theta/\theta + 90/C/\theta/\theta + 90$), simplement appuyée, sous un chargement uniformément distribué</caption><thead><tr><th>h/a</th><th>Références</th><th>Modèles EF</th><th>τ̄<sub>xz</sub></th><th>τ̄<sub>yz</sub></th><th>w̄</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;">θ = 0°</td></tr><tr><td rowspan="7">0.2</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.3033</td><td>0.3033</td><td>6.3228</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.3242</td><td>0.3242</td><td>6.2940</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.3343</td><td>0.3343</td><td>6.2909</td></tr><tr><td>Pagano [24]</td><td>Elasticity solution</td><td>0.3436</td><td>0.3413</td><td>6.2981</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Const)*</td><td>0.3982</td><td>0.3993</td><td>6.3001</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Equil)**</td><td>0.3455</td><td>0.3332</td><td>6.3001</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [158]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>0.3482</td><td>-</td><td>6.3016</td></tr><tr><td rowspan="7">0.1</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.3110</td><td>0.3110</td><td>2.6104</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.3337</td><td>0.3337</td><td>2.6149</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.3447</td><td>0.3447</td><td>2.6168</td></tr><tr><td>Pagano [24]</td><td>Elasticity solution</td><td>0.3496</td><td>0.3503</td><td>2.6295</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Const)</td><td>0.4142</td><td>0.4366</td><td>2.6168</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Equil)</td><td>0.3489</td><td>0.3397</td><td>2.6168</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [158]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>0.3612</td><td>-</td><td>2.6296</td></tr><tr><td rowspan="7">0.05</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.3176</td><td>0.3176</td><td>1.6419</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.3408</td><td>0.3408</td><td>1.6766</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.3522</td><td>0.3522</td><td>1.6891</td></tr><tr><td>Pagano [24]</td><td>Elasticity solution</td><td>0.3560</td><td>0.3563</td><td>1.7107</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Const)</td><td>0.4515</td><td>0.5230</td><td>1.6957</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Equil)</td><td>0.3663</td><td>0.3612</td><td>1.6957</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [158]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>0.3732</td><td>-</td><td>1.7126</td></tr><tr><td colspan="6" style="text-align: center; font-weight: bold;">θ = 30°</td></tr><tr><td rowspan="7">0.2</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.3185</td><td>0.3185</td><td>5.9480</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.3382</td><td>0.3382</td><td>5.9326</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.3472</td><td>0.3472</td><td>5.9308</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Const)</td><td>0.4376</td><td>0.4321</td><td>5.9579</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Equil)</td><td>0.3064</td><td>0.2951</td><td>5.9579</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [158]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>0.3762</td><td>-</td><td>5.9463</td></tr><tr><td rowspan="7">0.1</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.3211</td><td>0.3211</td><td>2.2081</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.3406</td><td>0.3406</td><td>2.2137</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.3503</td><td>0.3503</td><td>2.2176</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Const)</td><td>0.4280</td><td>0.4409</td><td>2.2322</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Equil)</td><td>0.3275</td><td>0.3200</td><td>2.2322</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [158]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>0.3659</td><td>-</td><td>2.2237</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau 3.13 Suite</caption><thead><tr><th>h/a</th><th>Références</th><th>Modèles EF</th><th>τ̄<sub>xz</sub></th><th>τ̄<sub>yz</sub></th><th>τ̄<sub>w</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="6">0.05</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.3261</td><td>0.3261</td><td>1.2028</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.3465</td><td>0.3465</td><td>1.2199</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.3570</td><td>0.3570</td><td>1.2270</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Const)</td><td>0.4637</td><td>0.5097</td><td>1.2450</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Equil)</td><td>0.3592</td><td>0.3480</td><td>1.2450</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [158]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>0.3603</td><td>0.3603</td><td>1.2381</td></tr><tr><td colspan="6">θ = 45°</td></tr><tr><td rowspan="6">0.2</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.2955</td><td>0.2955</td><td>5.6998</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.3144</td><td>0.3144</td><td>5.6615</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.3231</td><td>0.3231</td><td>5.6516</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Const)</td><td>0.4612</td><td>0.4484</td><td>5.6329</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Equil)</td><td>0.3399</td><td>0.3187</td><td>5.6329</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [158]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>0.2197</td><td>-</td><td>5.6079</td></tr><tr><td rowspan="6">0.1</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.3025</td><td>0.3025</td><td>2.0132</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.3223</td><td>0.3223</td><td>2.0035</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.3320</td><td>0.3320</td><td>2.0019</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Const)</td><td>0.4445</td><td>0.4592</td><td>1.9950</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Equil)</td><td>0.3375</td><td>0.3232</td><td>1.9950</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [158]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>0.2203</td><td>-</td><td>1.9764</td></tr><tr><td rowspan="6">0.05</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>RSFT52</td><td>0.3034</td><td>0.3034</td><td>1.0615</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>RSFT52</td><td>0.3215</td><td>0.3215</td><td>1.0671</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>RSFT52</td><td>0.3311</td><td>0.3311</td><td>1.0697</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Const)</td><td>0.4621</td><td>0.5309</td><td>1.0773</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Equil)</td><td>0.3419</td><td>0.3335</td><td>1.0773</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [158]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>0.2197</td><td>-</td><td>1.0615</td></tr></tbody></table>

### 3.3.4.5 Comparaison avec des résultats expérimentaux sur des plaques sandwichs rectangulaires ayant des peaux stratifiées de type CFRP

L'objectif de cet exemple est de procéder à une confrontation de l'élément développé avec des résultats expérimentaux disponibles dans la littérature. Kanematsu et al. [273] ont réalisé des tests sur des plaques sandwichs rectangulaires (450 mm × 300 mm), encastrées sur les quatres côtés. Les peaux des sandwichs sont des composites stratifiés symétriques

<footnote>* Valeurs de contraintes de cisaillement transversal obtenues à partir des relations constitutives</footnote>

<footnote>** Valeurs de contraintes de cisaillement transversal obtenues via des équations d'équilibres</footnote>
constitués de plis croisés en fibre de carbone-époxy (CFRP)<fnref n="32" />, tandis que l'âme est un matériau en nids-d'abeilles en aluminium (Aluminum Honeycomb Core). Les spécifications et les propriétés mécaniques des matériaux utilisés dans l'analyse sont présentées, respectivement dans les tableaux 3.14 à 3.17. Quatre types de séquence d'empilement dont les désignations sont SP1, SP2, SP3 et SP4 ont été adoptés pour les faces de la plaque sandwich (figure3.11). L'épaisseur de chaque couche est de 0,125 mm, tandis que l'épaisseur de l'âme est de 10 mm pour les cas SP1 et SP2, et de 7 mm pour les cas SP3 et SP4. La plaque est soumise à un chargement réparti uniforme d'intensité P = 1,01 KPa. Dans ces tests, les auteurs ont contrôlé la pression appliquée par un manomètre, et la déflexion au centre de la plaque a été mesurée en utilisant des transformateurs différentiels à variation linéaire (LVDT)<fnref n="33" />. Une technique holographique a été utilisée afin de visualiser les modes de flexion.

<figure><img src="image_39.png" /><figcaption>**Fig.3.11 Plaques sandwichs avec différentes séquences d'empilement**</figcaption></figure>

Par ailleurs, les auteurs ont fourni des solutions analytiques, basées sur la méthode de Rayleigh-Ritz, pour le même problème de plaque, en utilisant deux types de conditions aux limites, simplement appuyée (SSSS) et encastrée (CCCC). Les résultats du déplacement

<footnote n="32">³² Carbon Fiber-Reinforced Plastic</footnote>

<footnote n="33">³³ Les capteurs de déplacement LVDT (Linear Variable Differential Transformer) ou transformateur différentiel à variation linéaire sont des capteurs qui servent à déterminer avec une bonne précision la position d'un point. Les capteurs de déplacement LVDT sont constitués par deux enroulements électromagnétiques indépendants dont le primaire est alimenté en courant électrique. Lorsque la tige subit un mouvement, celle-ci provoque un changement de flux magnétique. Ce changement engendre alors un courant électrique dans l'enroulement secondaire. Ce courant secondaire permet de quantifier la position des points [lien]</footnote>
transversal (w), obtenus par le présent élément sont représentés dans le tableau 3.18, en utilisant un maillage de 16×16. La comparaison a été faite avec des solutions analytiques données par Kanematsu et al. [273], avec des solutions basées sur des travaux expérimentaux présentés par les mêmes auteurs [273] et avec les modèles d'éléments finis de Lee et Fan [243] et Nayak et al. [231]. La comparaison a montré l'efficacité et la fiabilité du modèle d'élément fini développé (RSFT52) dans les analyses de ce type de structures.

<table><caption>**Tableau 3. 14 Spécifications des matériaux**</caption><thead><tr><td>Matériaux</td><td>Spécification</td></tr></thead><tbody><tr><td>Peaux (CFRP)</td><td>TORAYKA Pre-preg S305-125</td></tr><tr><td>Âme (A1 Honeycomb)</td><td>Al 3/8-5056-0007</td></tr><tr><td>adhésif</td><td>REDUX 312 UL/REDUX 540</td></tr></tbody></table>

<table><caption>**Tableau 3. 15 Propriétés des matériaux de peaux (CFRP)**</caption><thead><tr><th rowspan="2">Matériaux de peaux</th><th colspan="5">Propriétés mécaniques en GPa</th></tr><tr><th>E<sub>L</sub></th><th>E<sub>T</sub></th><th>ν<sub>LT</sub></th><th>G<sub>LT</sub></th><th>ρ<sub>f</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td>Carbon/epoxy</td><td>105</td><td>8.74</td><td>0.327</td><td>4.56</td><td>1.60×10<sup>3</sup> Kg/m<sup>3</sup></td></tr></tbody></table>

<table><caption>**Tableau 3. 16 Propriétés des matériaux de l'âme**</caption><thead><tr><th rowspan="2">Matériaux de l'âme</th><th colspan="7">Propriétés mécaniques en MPa</th></tr><tr><th>E<sub>L</sub></th><th>E<sub>T</sub></th><th>G<sub>LT</sub></th><th>G<sub>LZ</sub></th><th>G<sub>TZ</sub></th><th>ν<sub>LT</sub></th><th>ρ<sub>f</sub> (Kg/m<sup>3</sup>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Al/Honeycomb</td><td>68.6</td><td>68.6</td><td>26.4</td><td>103</td><td>62.1</td><td>0.3</td><td>1.60×10<sup>3</sup></td></tr></tbody></table>

<table><caption>**Tableau 3. 17 Propriétés des matériaux de l'adhésif**</caption><thead><tr><td>Adhésif</td><td>Échantillons</td><td>Densité de masse (ρ<sub>fa</sub>)</td></tr></thead><tbody><tr><td>REDUX 312UL</td><td>SP1, SP2</td><td>1.0×10<sup>-1</sup> Kg/m<sup>2</sup></td></tr><tr><td>REDUX 540</td><td>SP3, SP4</td><td>1.8×10<sup>-1</sup> Kg/m<sup>2</sup></td></tr></tbody></table>
<table><caption>**Tableau 3. 18 Déflexion (w) d'une plaque sandwich rectangulaire ayant des peaux stratifiées, sous chargement réparti uniforme**</caption><thead><tr><th rowspan="2">Références</th><th rowspan="2">Modèles EF</th><th colspan="4">Déflexion central w(a/2, b/2, 0) (mm)</th></tr><tr><th>SP1</th><th>SP2</th><th>SP3</th><th>SP4</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="6"><strong>Encastrée (CCCC)</strong></td></tr><tr><td>Présent élément</td><td>RSFT52</td><td>0.04906</td><td>0.05647</td><td>0.07506</td><td>0.05525</td></tr><tr><td>Nayak et al. [231]</td><td>FEM-Q9-HSDT</td><td>-</td><td>0.05248</td><td>-</td><td>0.05797</td></tr><tr><td>Kanematsu et al. [273]</td><td>Analytical solution</td><td>0.05040</td><td>0.05400</td><td>0.07720</td><td>0.06130</td></tr><tr><td>Kanematsu et al. [273]</td><td>Experimental solution</td><td>0.06900</td><td>0.08500</td><td>0.09400</td><td>0.09000</td></tr><tr><td>Lee et Fan [243]</td><td>FEM-Q9-LW</td><td>0.05190</td><td>0.05524</td><td>0.07834</td><td>0.06216</td></tr><tr><td colspan="6"><strong>Simplement appuyée (SSSS)</strong></td></tr><tr><td>Présent élément</td><td>RSFT52</td><td>0.1160</td><td>0.1733</td><td>0.1695</td><td>0.2010</td></tr><tr><td>Nayak et al. [231]</td><td>FEM-Q9-HSDT</td><td>-</td><td>0.1754</td><td>-</td><td>0.2111</td></tr><tr><td>Kanematsu et al. [273]</td><td>Analytical solution</td><td>0.1173</td><td>0.1829</td><td>0.1794</td><td>0.2206</td></tr><tr><td>Lee et Fan [243]</td><td>FEM-Q9-LW</td><td>0.1213</td><td>0.1774</td><td>0.1729</td><td>0.2138</td></tr></tbody></table>

### 3.3.4.6 Étude Paramétrique

Cette étude vise à démontrer l'influence de différents paramètres liés au matériau constituant la structure sandwich sur la variation du déplacement transversal (w̄). Dans cette étude, on considère les paramètres suivants:

* Le rapport entre l'épaisseur de l'âme et l'épaisseur totale du sandwich ($h_c/h$),

* Le rapport d'épaisseur ($a/h$)

* Le rapport d'aspect ($a/b$)

* Les conditions aux limites.

* Le degré d'orthotropie de la peau ($E_1/E_2$).

* Le rapport des modules d'élasticité (transversal par rapport au longitudinal) ($G_c/E_c$).

L'analyse est effectuée pour une plaque sandwich symétrique soumise à une charge sinusoïdale. Le matériau utilisé est un sandwich constitué d'une âme en mousse HEREX C70-
130 et deux peaux stratifiées de plis croisés [0°/90°/0°] en fibre de verre / polyester. L'épaisseur de chaque pli est de 0,125 mm, tandis que l'épaisseur de l'âme est de 10 mm. Les propriétés mécaniques de ces matériaux sont présentées dans le tableau 3.19. Les valeurs du déplacement transversal (w̄) sont normalisées par la relation (3.27).

<table><caption>**Tableau 3.19** Propriétés des matériaux utilisés [274]</caption><thead><tr><th rowspan="2">Matériaux</th><th colspan="7">Propriétés mécaniques en GPa</th></tr><tr><th>E<sub>1</sub></th><th>E<sub>2</sub></th><th>G<sub>12</sub></th><th>G<sub>13</sub></th><th>G<sub>23</sub></th><th>ν<sub>12</sub> = ν<sub>13</sub></th><th>ρ (Kg/m<sup>3</sup>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Peaux en fibre de verre / polyester</td><td>24.51</td><td>7.77</td><td>3.34</td><td>3.34</td><td>1.34</td><td>0.078</td><td>1800</td></tr><tr><td>Âme en mousse de HEREX - C70.130</td><td>0.1036</td><td>0.1036</td><td>0.05</td><td>0.05</td><td>0.05</td><td>0.32</td><td>130</td></tr></tbody></table>

Les courbes de la figure 3.12 représentent l'effet de l'épaisseur de l'âme ($h_c$) sur le déplacement transversal (w̄) d'une plaque sandwich (0/90/0/C/0/90/0), pour différents cas de conditions aux limites. On constate que les quatre courbes ont la même allure et que les valeurs de déplacement transversal (w̄) augmentent avec l'augmentation du rapport ($h_c/h$). Cette élévation est due probablement à la chute de la rigidité flexionnelle, causée par la réduction de l'épaisseur des peaux.

Les deux courbes de la figure 3.13, montrent l'effet du rapport d'épaisseur ($a/h$) sur le déplacement transversal (w̄) d'une plaque sandwich (0/90/0/C/0/90/0), pour les deux cas de conditions aux limites; simplement appuyée et encastrée. On remarque, pour les deux conditions aux limites, la diminution des valeurs du déplacement transversal non-dimensionnel avec l'augmentation du rapport d'épaisseur ($a/h$) pour garder une valeur pratiquement constante à partir du rapport $a/h = 20$.

L'influence du rapport d'aspect ($a/b$) sur le déplacement transversal (w̄) d'une plaque sandwich (0/90/0/C/0/90/0) simplement appuyée est montré dans la figure 3.14. On constate que la variation du déplacement transversal (w̄) diminue avec l'augmentation du rapport d'aspect ($a/b$).
La variation du déplacement transversal (w̄) en fonction du rapport degré d'orthotropie ($E_1/E_2$) de la peau d'une plaque sandwich (0/90/0/C/0/90/0) simplement appuyée, est montrée sur la figure 3.15 pour des valeurs différentes de $h_c/h$. À partir de cette figure, on remarque, pour différentes valeurs de l'épaisseur de l'âme, que la variation du déplacement transversal non-dimensionnelle (w̄) diminue avec l'augmentation du degré d'orthotropie des peaux. Pour comprendre la tendance générale des courbes de la figure 3.15, il est nécessaire d'examiner l'effet de la rigidité sur le comportement des plaques sandwichs. Il est bien connu, d'après la littérature, que l'augmentation de la rigidité d'un panneau sandwich conduit à une diminution de son déplacement transversal.

<figure><img src="image_40.png" /><figcaption>**Fig. 3.12** Effet de l'épaisseur de l'âme ($h_c$) sur le déplacement transversal (w̄) d'une plaque sandwich (0/90/0/C/0/90/0) avec différentes conditions aux limites.</figcaption></figure>
<figure><img src="image_41.png" /><figcaption>**Fig. 3. 13** Effet du rapport d'épaisseur ($a/h$) sur le déplacement transversal ($\bar{w}$) d'une plaque sandwich (0/90/0/C/0/90/0) encastrée et simplement appuyée</figcaption></figure>

<figure><img src="image_42.png" /><figcaption>**Fig. 3. 14** Effet du rapport d'aspect ($a/b$) sur le déplacement transversal ($\bar{w}$) d'une plaque sandwich (0/90/0/C/0/90/0) simplement appuyée ($a/h = 10$)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_43.png" /><figcaption>**Fig. 3. 15** Effet du rapport d'orthotropie ($E_1/E_2$) de la peau et le rapport ($h_c/h$), sur le déplacement transversal ($\bar{w}$) d'une plaque sandwich (0/90/0/C/0/90/0) simplement appuyée ($a/h = 10$)</figcaption></figure>

## 3.4 Conclusion

Dans ce chapitre, un nouvel élément fini de forme rectangulaire à quatre nœuds avec treize degrés de liberté par nœud, a été développé. Il est formulé sur la base du modèle layerwise que nous avons proposé et présenté dans le chapitre précédent. Cet élément est destiné à l'analyse statique des plaques sandwichs, qu'elles soient symétriques ou non-symétriques, ainsi que les plaques isotropes et les composites stratifiées multicouches.

La performance, la fiabilité et la polyvalence de l'élément développé ont été évaluées à travers une série d'applications en flexion de plaques isotropes, composites stratifiées et sandwichs symétriques et non symétriques, avec différents cas de chargement, de géométrie et de conditions aux limites. Les résultats obtenus ont été comparés avec les résultats donnés analytiquement et ceux obtenus par d'autres modèles d'éléments finis disponibles dans la littérature. Les exemples numériques ont montré la simplicité, la stabilité et le moindre coût en termes de temps du calcul de l'élément développé (RSFT52). D'autant plus, l'élément est capable de donner d'excellents résultats, notamment en ce qui concerne les contraintes de cisaillement transversal.
On peut conclure que l'utilisation de l'élément fini développé et la combinaison de la théorie de déformation en cisaillement du premier ordre et celle du troisième ordre (FSDT, TSDT), pour modéliser respectivement les deux peaux et l'âme, ont montré une bonne précision dans l'analyse des plaques isotropes, sandwichs et composites stratifiées.

Par ailleurs, on a aussi montré à travers une étude paramétrique, l'effet de certains paramètres, tels que les caractéristiques géométriques et mécaniques, sur la variation du déplacement transversal d'une plaque sandwich ayant des peaux stratifiées.

Peut-on généraliser, maintenant, cet élément aux problèmes structurels de formes relativement plus complexes, i.e. impliquant des frontières irrégulières? Dans le chapitre qui suit, une étude dans ce sens va être lancée pour répondre à cette question.
# Chapitre 4

## Développement d'un nouvel élément fini isoparamétrique (QSFT52) en introduisant la technique de déformation naturelle (ANS)

### 4.1 Introduction

Dans le chapitre précédent, on a présenté la formulation et la validation d'un nouvel élément fini de forme rectangulaire. Ce dernier possède une forme géométrique régulière, i.e. traite uniquement les structures qui ont des bords droits. On peut imaginer cet élément comme ayant une forme irrégulière ou distordue dont le domaine géométrique serait défini par des interpolations quadratiques ou cubiques des coordonnées des nœuds principaux sans l'introduction de nœuds intermédiaires [68]. En plus, en analysant des problèmes structurels de formes relativement plus complexes, i.e. impliquant des frontières courbes qui exigent des maillages fins et grossiers, les éléments rectangulaires simples, ne fournissent plus de résultats précis.

Par conséquent, pour généraliser notre élément fini **RSFT52** dans l'analyse des structures de formes quelconques, ce chapitre a été consacré au développement d'un nouvel élément quadrilatéral, nommé **QSFT52** (Quadrilateral Sandwich First Third with 52- degrees of freedom), à quatre nouds et 13 ddl par nœud. Il est construit sur la base du modèle layerwise, présenté dans le chapitre II. La transformation a été accomplie en introduisant la notion d'isoparamétrie. En outre, la méthode des déformations naturelles de substitution
(ANS)<fnref n="34" /> est introduite dans la présente formulation afin d'atténuer d'éventuels phénomènes de verrouillage en cisaillement.

## 4.2 Construction d'un élément isoparamétrique

### 4.2.1 Définition

Le contenu théorique de cette partie est issu d'une petite synthèse des références consultées par: Belarbi [68] et Tati [275].

L'utilisation des éléments finis isoparamétriques dont les côtés peuvent être courbes (appelés "éléments distordus"), ont été introduits pour la première fois par Ergatoudis et al. [276]. Le concept d'isoparamétrie permet à la fois de systématiser l'utilisation des variables réduites, et de générer aussi des éléments finis à bordes courbes; il est donc très avantageux pour certaines discrétisations. Ce concept est basé sur la transformation entre le domaine physique de l'élément et un domaine simple sans dimensions, en utilisant les coordonnées intrinsèques. Cette transformation permet de créer facilement les fonctions d'interpolation des déplacements. Donc, la construction d'un élément fini fait intervenir deux types d'interpolations: l'interpolation géométrique et l'interpolation des déplacements. Un élément est dit iso-paramétrique si les interpolations de la géométrie et des déplacements sont identiques. Les propriétés de l'élément isoparamétrique distordu pourront être établies moyennant la connaissance :

* de la transformation géométrique (appelé souvent "élément distordu").

* des fonctions d'interpolation utilisées pour discrétiser le champ de déplacement dans l'élément distordu.

### 4.2.2 Transformation géométrique

La figure 4.1 représente un élément parent carré ainsi qu'un élément distordu qui en dérive.

La transformation définissant la forme géométrique de l'élément isoparamétrique, doit répondre aux conditions suivantes:

i) La transformation doit être biunivoque: le déterminant du Jacobien de la transformation ne peut être nul ou infini (pour tout point P' de l'élément parent).

<footnote n="34">³⁴ Assumed Natural Strains method</footnote>
ii) La transformation doit être définie uniquement par les coordonnées $x_i$, $y_i$ des 4 nœuds de l'élément distordu.

iii) Si le point P' coïncide avec un nœud de l'élément parent, le point P correspondant est le nœud de même numéro de l'élément distordu.

Il s'agit d'assurer une correspondance biunivoque entre les coordonnées cartésiennes et curvilignes, c'est-à-dire, d'établir une relation de la forme:

$$ \begin{Bmatrix} x \\ y \end{Bmatrix} = f \begin{Bmatrix} \xi \\ \eta \end{Bmatrix} \qquad (4.1) $$

La relation (4.1) permet de générer un élément fini à frontière courbe.

<figure><img src="image_44.png" /><figcaption>Fig.4.1 Transformation géométrique de l'élément réel vers l'élément parent</figcaption></figure>

### 4.2.3 Approximation nodale des coordonnées

La façon la plus habile de définir la géométrie et le champ de déplacement d'une forme curviligne, i.e. représentation isoparamétrique, est d'écrire la relation (4.1), à l'aide des fonctions d'interpolation, sous la forme suivante:
## ▪ Représentation de la géométrie

$$ 
\begin{cases}
x(\xi, \eta) = \sum_{i=1}^{4} N_i(\xi, \eta) x_i \\
y(\xi, \eta) = \sum_{i=1}^{4} N_i(\xi, \eta) y_i
\end{cases}
\quad \text{(Interpolation géométrique)} \tag{4.2}
$$

## ▪ Représentation du champ de déplacement

Comme l'élément est isoparamétrique, l'approximation nodale pour le champ des déplacements dans le plan de l'élément s'écrit en utilisant les mêmes fonctions de formes que l'approximation géométrique, soit:

$$ 
\begin{cases}
u(\xi, \eta) = \sum_{i=1}^{4} N_i(\xi, \eta) u_i \\
v(\xi, \eta) = \sum_{i=1}^{4} N_i(\xi, \eta) v_i
\end{cases}
\quad \text{(Interpolation des déplacements)} \tag{4.3}
$$

où:

ξ et η sont les coordonnées paramétriques

(x, y) sont les coordonnées d'un point de l'élément

(xᵢ, yᵢ) sont les coordonnées du nœud i de l'élément réel

(u, v) sont les composantes du déplacement membranaire du point quelconque (ξ, η)

(uᵢ, vᵢ) sont les déplacements d'un nœud i

Pour un quadrilatère à quatre nœuds, les fonctions d'interpolation Nᵢ ne sont plus en fonction de x, y, mais en fonction des variables paramétriques ξ, η qui prennent leurs valeurs entre (-1, +1), ces dernières s'écrivent:

$$ 
\begin{align*}
N_1(\xi, \eta) &= \frac{1}{4}(1-\xi)(1-\eta) \\
N_2(\xi, \eta) &= \frac{1}{4}(1+\xi)(1-\eta) \\
N_3(\xi, \eta) &= \frac{1}{4}(1+\xi)(1+\eta) \\
N_4(\xi, \eta) &= \frac{1}{4}(1-\xi)(1+\eta)
\end{align*}
\tag{4.4}
$$
### 4.2.4 Fonctions d'interpolations de l'élément réel

Les dérivées des fonctions d'interpolation géométriques seront calculées par la formule suivante:

$$ 
\begin{aligned}
\frac{\partial N_i}{\partial x} &= \frac{\partial N_i}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial N_i}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x} \\
\frac{\partial N_i}{\partial y} &= \frac{\partial N_i}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial y} + \frac{\partial N_i}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial y}
\end{aligned}
\qquad (4.5) $$

Soit sous une forme matricielle:

$$ \left\{ \begin{matrix} \frac{\partial N_i}{\partial x} \\ \frac{\partial N_i}{\partial y} \end{matrix} \right\} = \left[ \begin{matrix} \frac{\partial \xi}{\partial x} & \frac{\partial \eta}{\partial x} \\ \frac{\partial \xi}{\partial y} & \frac{\partial \eta}{\partial y} \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \frac{\partial N_i}{\partial \xi} \\ \frac{\partial N_i}{\partial \eta} \end{matrix} \right\} \qquad (4.6) $$

Les dérivées $\frac{\partial \xi}{\partial x}$, $\frac{\partial \xi}{\partial y}$, $\frac{\partial \eta}{\partial x}$ et $\frac{\partial \eta}{\partial y}$ se déterminent à partir de la matrice Jacobienne inversée $[J]^{-1}$, dont la matrice Jacobienne de la transformation $[J]$ est donnée par:

$$ [J] = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial \xi} & \frac{\partial y}{\partial \xi} \\ \frac{\partial x}{\partial \eta} & \frac{\partial y}{\partial \eta} \end{bmatrix} \qquad (4.7) $$

Où $J$ est déterminée en fonction des coordonnées nodales de l'élément par :

$$ [J] = \sum_{i=1}^{4} \begin{bmatrix} \frac{\partial N_i}{\partial \xi} & x_i & \frac{\partial N_i}{\partial \xi} & y_i \\ \frac{\partial N_i}{\partial \eta} & x_i & \frac{\partial N_i}{\partial \eta} & y_i \end{bmatrix} \qquad (4.8) $$

Dans la transformation d'intégrale, le déterminant de la matrice Jacobienne ($J$) doit être évalué, en passant en variables locales nous aurons :

$$ \iint_{-1}^{1} dx dy = \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \det(J) d\xi d\eta \qquad (4.9) $$
## 4.3 Formulation de l'élément QSFT52

### 4.3.1 Description

L'élément sandwich développé dans ce chapitre, nommé **QSFT52** (Quadrilateral Sandwich First Third with 52 degrees of freedom), est un quadrilatéral isoparamétrique à quatre nœuds avec treize degrés de liberté par nœud (13 ddl/nœud). Cet élément est formulé sur la base du modèle layerwise que nous avons proposé dans le chapitre II.

La figure 4.2 montre la géométrie de l'élément QSFT52 et les variables cinématiques correspondantes. Chaque nœud contient: deux degrés de liberté de rotation pour chaque peau, six degrés de liberté de rotation aussi pour l'âme, alors que les trois degrés de liberté de type translation sont communs aux trois couches.

<figure><img src="image_45.png" /><figcaption>**Fig. 4.2** La géométrie de l'élément QSFT52 et les variables cinématiques nodales correspondantes</figcaption></figure>
### 4.3.2 Approximation nodale des coordonnées de l'élément QSFT52

Le vecteur déplacement en tous les points de la plaque est donné par:

$$ \delta = \sum_{i=1}^{4} N_i (\xi_i, \eta_i) \delta_i \quad (4.10) $$

où $\delta_i = \{u_i, v_i, w_i, \psi_{xi}^c, \psi_{yi}^c, \eta_{xi}^c, \eta_{yi}^c, \zeta_{xi}^c, \zeta_{yi}^c, \psi_{xi}^t, \psi_{yi}^t, \psi_{xi}^b, \psi_{yi}^b\}^T$ est le vecteur des déplacements correspondant au nœud $i$ ($i=1,2,3,4$).

L'approximation des variables cinématiques de trois couches peut être exprimée comme suit:

a. Au plan médian de la plaque sandwich:

$$ u(\xi, \eta) = \sum_{i=1}^{4} N_i(\xi, \eta) u_{0i} \quad ; \quad v(\xi, \eta) = \sum_{i=1}^{4} N_i(\xi, \eta) v_{0i} \quad ; \quad w(\xi, \eta) = \sum_{i=1}^{4} N_i(\xi, \eta) w_{0i} \quad (4.11) $$

b. L'âme:

$$ \begin{aligned} \psi_x^c(\xi, \eta) &= \sum_{i=1}^{4} N_i(\xi, \eta) \psi_{xi}^c, & \psi_y^c(\xi, \eta) &= \sum_{i=1}^{4} N_i(\xi, \eta) \psi_{yi}^c \\ \eta_x^c(\xi, \eta) &= \sum_{i=1}^{4} N_i(\xi, \eta) \eta_{xi}^c, & \eta_y^c(\xi, \eta) &= \sum_{i=1}^{4} N_i(\xi, \eta) \eta_{yi}^c \quad (4.12) \\ \zeta_x^c(\xi, \eta) &= \sum_{i=1}^{4} N_i(\xi, \eta) \zeta_{xi}^c, & \zeta_y^c(\xi, \eta) &= \sum_{i=1}^{4} N_i(\xi, \eta) \zeta_{yi}^c \end{aligned} $$

c. Peau supérieure:

$$ \psi_x^t(\xi, \eta) = \sum_{i=1}^{4} N_i(\xi, \eta) \psi_{xi}^t, \qquad \psi_y^t(\xi, \eta) = \sum_{i=1}^{4} N_i(\xi, \eta) \psi_{yi}^t \quad (4.13) $$

d. Peau inférieure:

$$ \psi_x^b(\xi, \eta) = \sum_{i=1}^{4} N_i(\xi, \eta) \psi_{xi}^b, \qquad \psi_y^b(\xi, \eta) = \sum_{i=1}^{4} N_i(\xi, \eta) \psi_{yi}^b \quad (4.14) $$

L'approximation nodale du vecteur de déformation de l'âme (Eq.2.2-2.4), en un point quelconque de coordonnée $(x, y)$, pourra être exprimée par les dérivées des déplacements nodaux comme suite:

$$ \begin{aligned} \{\chi^{(1)}\}^e &= [B_{\chi}^{(1)}]^{(e)} \{\delta_i\}_{(e)} \quad ; \quad \{\chi^{(2)}\}^e = [B_{\chi}^{(2)}]^{(e)} \{\delta_i\}_{(e)} \quad ; \quad \{\chi^{(3)}\}^e = [B_{\chi}^{(3)}]^{(e)} \{\delta_i\}_{(e)} \quad (4.15) \\ \{\gamma_s^{(0)}\}^e &= [B_{\gamma_s}^{(0)}]^{(e)} \{\delta_i\}_{(e)} \quad ; \quad \{\chi_s^{(1)}\}^e = [B_{\chi_s}^{(1)}]^{(e)} \{\delta_i\}_{(e)} \quad ; \quad \{\chi_s^{(2)}\}^e = [B_{\chi_s}^{(2)}]^{(e)} \{\delta_i\}_{(e)} \end{aligned} $$
Où les matrices de déformation $[B_{\chi}^{(1)}]$, $[B_{\chi}^{(2)}]$, $[B_{\chi}^{(3)}]$, $[B_{\gamma_i}^{(0)}]$, $[B_{\chi_s}^{(1)}]$ et $[B_{\chi_s}^{(2)}]$ peuvent être
obtenues à partir la dérivation des fonctions de forme. Soit :

$$
[B_{\chi}^{(1)}] = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial x} & \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

$$
[B_{\chi}^{(2)}] = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial x} & \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

$$
\begin{equation}
\begin{split}
\left[ B_{\chi}^{(3)} \right] = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\
\qquad \tag{4.16}
\end{split}
\end{equation}
$$

$$
\left[ B_{\gamma_i}^{(0)} \right] = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial x} & N_i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & N_i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
$$

$$
\left[ B_{\chi_i}^{(1)} \right] = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2N_i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2N_i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
$$

$$
\left[ B_{\chi_i}^{(2)} \right] = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3N_i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3N_i & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
$$
Pour la peau supérieure, les matrices déformation-déplacement généralisées peuvent être
données comme ci-dessous

$$
\{\epsilon_m^i\}^e = [B_m^i]^e \{\delta_i\}_e ; \quad \{\epsilon_f^i\}^e = [B_f^i]^e \{\delta_i\}_e ; \quad \{\gamma_c^i\}^e = [B_c^i]^e \{\delta_i\}_e \quad (4.17)
$$

d'où

$$
\[
[B'_m] = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & c \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & d \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & e \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & f \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & c \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & d \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & e \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & f \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & c \frac{\partial N_i}{\partial y} & c \frac{\partial N_i}{\partial x} & d \frac{\partial N_i}{\partial y} & d \frac{\partial N_i}{\partial x} & e \frac{\partial N_i}{\partial y} & e \frac{\partial N_i}{\partial x} & f \frac{\partial N_i}{\partial y} & f \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\]
$$
avec :
$$
c = \frac{h_c}{2}, \quad d = \frac{h_c^2}{4}, \quad e = \frac{h_c^3}{8}, \quad f = -\frac{h_c}{2}
$$
$$
[B'_f] = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
$$
[B'_c] = \begin{bmatrix}
0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N_i & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N_i & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

$$
c = \frac{h_c}{2}, \quad d = \frac{h_c^2}{4}, \quad e = \frac{h_c^3}{8}, \quad f = -\frac{h_c}{2}
$$

$$
\begin{bmatrix} B'_{f} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 \end{bmatrix}
$$

$$
\begin{bmatrix} B'_{c} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N_i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N_i & 0 & 0 \end{bmatrix}
$$

Même façon pour la peau inférieure, les matrices déformation-déplacement généralisées sont
données par :

$$
\{\epsilon_m^b\}^e = [B_m^b]^e \{\delta_i\}_e ; \quad \{\epsilon_f^b\}^e = [B_f^b]^e \{\delta_i\}_e ; \quad \{\gamma_c^b\}^e = [B_c^b]^e \{\delta_i\}_e \quad (4.19)
$$

d'où,
$$
[B_m^b] = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & f \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & d \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & h \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 & c \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & f \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & d \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & h \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & c \frac{\partial N_i}{\partial y} \\ 0 & 0 & 0 & f \frac{\partial N_i}{\partial y} & f \frac{\partial N_i}{\partial x} & d \frac{\partial N_i}{\partial y} & d \frac{\partial N_i}{\partial x} & h \frac{\partial N_i}{\partial y} & h \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & c \frac{\partial N_i}{\partial y} & c \frac{\partial N_i}{\partial x} \end{bmatrix}
$$

avec :

$f = -\frac{h_c}{2},$

$d = \frac{h_c^2}{4},$

$h = -\frac{h_c^3}{8},$

$c = \frac{h_c}{2}$

$$
\begin{bmatrix} B_f^b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & \frac{\partial N_i}{\partial x} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & \frac{\partial N_i}{\partial x} \end{bmatrix} \quad (4.20)
$$

$$
[B_c^b] = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N_i & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N_i \end{bmatrix}
$$

4.3.3 Introduction de la méthode des déformations naturelles de substitution (ANS)

Dans l'analyse des plaques minces, en utilisant des théories tenant compte de l'effet de
cisaillement transverse, un phénomène appelé blocage ou verrouillage, en cisaillement
("Locking") pourrait survenir. La raison de ce blocage est que l'élément, lorsqu'il est chargé
en flexion pure, présentera une surestimation de la rigidité en cisaillement, i.e. le
comportement en cisaillement devient prédominant devant les autres comportements. Afin de
remédier à ce problème, Dvorkin and Bathe [234] et Huang and Hinton [235] ont proposé la
méthode dite: "méthode des déformations naturelles de substitution (ANS)" comme une
solution pour l'éviter ou du moins pour en limiter ses effets (pour plus de détails, le lecteur
pourra consulter les articles [231, 239, 277, 278]).

Dans ce chapitre, nous allons introduire cette méthode, dans les deux peaux, pour
atténuer l'éventuel phénomène de verrouillage en cisaillement. Les déformations naturelles de
substitution sont dérivées en utilisant des fonctions d'interpolation, basées sur le polynôme de
Lagrange et les valeurs de déformation angulaire aux points (sampling points) où il n'existe pas de verrouillage [239].

Les points de prélèvement utilisés pour les déformations de cisaillement transverse naturelles des deux peaux $\gamma_{xz}^{f(A)}$ et $\gamma_{yz}^{f(A)}$ ($f = sup, inf$) sont présentés dans la figure 4. 3:

$$ \gamma_{xz}^{f(A)} \rightarrow (0,1)_1 : (0,-1)_2, \quad \gamma_{yz}^{f(A)} \rightarrow (1,0)_1 : (-1,0)_2 \qquad (4.21) $$

<figure><img src="image_46.png" /><figcaption>Fig. 4.3 Position du point de prélèvement pour les composantes: $\gamma_{xz}^{f(A)}$ (à gauche) et $\gamma_{yz}^{f(A)}$ (à droite)</figcaption></figure>

En utilisant l'équation (4.21), les déformations de cisaillement transverse naturelles de substitution peuvent être définies sous la forme suivante:

$$ \gamma_{xz}^{f(A)} = \sum_{i=1}^{2} P_{\delta}(\eta) \gamma_{xz}^{\delta}, \quad \gamma_{yz}^{f(A)} = \sum_{i=1}^{2} Q_{\delta}(\xi) \gamma_{yz}^{\delta} \qquad (4.22) $$

Où $\delta$ indique la position du point de prélèvement comme illustré dans la figure 4.3. Les fonctions $P$ et $Q$ sont interpolés d'une manière linéaire, deux à deux, comme suit:

$$ \begin{aligned} P_1 &= \frac{1}{2}(1 + \eta), & P_2 &= \frac{1}{2}(1 - \eta) \\ Q_1 &= \frac{1}{2}(1 + \xi), & Q_2 &= \frac{1}{2}(1 - \xi) \end{aligned} \qquad (4.23) $$

La relation déplacement-déformation de cisaillement transverse, produit par la méthode des déformations naturelles de substitution, peut être écrite sous la forme matricielle suivante:

$$ \begin{aligned} \{\bar{\gamma}'_s\} &= \sum_{i=1}^{4} \left[ \bar{B}_s^{i(A)} \right] \{\delta_i\} \\ \{\bar{\gamma}^b_s\} &= \sum_{i=1}^{4} \left[ \bar{B}_s^{b(A)} \right] \{\delta_i\} \end{aligned} \qquad (4.24) $$
où $\overline{\overline{B}}_s^{(A)}$ et $\overline{\overline{B}}_s^{(B)}$ sont les matrices de déformations naturelles de substitution de peau supérieure et inférieure, respectivement.

### 4.3.4 Évaluation de la matrice de rigidité

Pour élaborer la matrice de rigidité de l'élément QSFT52, il suffit d'utiliser le principe des travaux virtuels que nous avons présenté dans le chapitre précédent.

Dans le modèle proposé, le travail virtuel des efforts internes ($\delta U$) de la plaque sandwich peut être écrit comme la somme des énergies de déformation de ses trois couches (peau supérieure, âme et peau inférieure), soit:

$$ \delta U = \delta U_c + \delta U_t + \delta U_b \quad (4.25) $$

où

$$ \delta U = \int_v (\sigma^{(c)})^T \delta \varepsilon^{(c)} dv + \int_v (\sigma^{(t)})^T \delta \varepsilon^{(t)} dv + \int_v (\sigma^{(b)})^T \delta \varepsilon^{(b)} dv \quad (4.26) $$

Le travail virtuel effectué par les forces externes est donnés par:

$$ \delta W = \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} f(x, y) \delta w \det(J) d\xi d\eta \quad (4.27) $$

#### 4.3.4.1 Matrice de rigidité de l'âme

La substitution des expressions de contraintes résultantes (Eqs. (2.48-2.49) dans l'expression de l'énergie de déformation de l'âme (Eq.4.26), nous permet d'écrire:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \left( \left\{ \delta\epsilon^{(0)} \right\}^{\mathrm{T}} [A] \left\{ \epsilon^{(0)} \right\} + \left\{ \delta\epsilon^{(0)} \right\}^{\mathrm{T}} [B] \left\{ \chi^{(1)} \right\} + \left\{ \delta\epsilon^{(0)} \right\}^{\mathrm{T}} [D] \left\{ \chi^{(2)} \right\} \right. \\
& \qquad + \left\{ \delta\epsilon^{(0)} \right\}^{\mathrm{T}} [E] \left\{ \chi^{(3)} \right\} + \left\{ \delta\chi^{(1)} \right\}^{\mathrm{T}} [B] \left\{ \epsilon^{(0)} \right\} + \left\{ \delta\chi^{(1)} \right\}^{\mathrm{T}} [D] \left\{ \chi^{(1)} \right\} \\
& \qquad + \left\{ \delta\chi^{(1)} \right\}^{\mathrm{T}} [E] \left\{ \chi^{(2)} \right\} + \left\{ \delta\chi^{(1)} \right\}^{\mathrm{T}} [F] \left\{ \chi^{(3)} \right\} + \left\{ \delta\chi^{(2)} \right\}^{\mathrm{T}} [D] \left\{ \epsilon^{(0)} \right\} \\
& \qquad + \left\{ \delta\chi^{(2)} \right\}^{\mathrm{T}} [E] \left\{ \chi^{(1)} \right\} + \left\{ \delta\chi^{(2)} \right\}^{\mathrm{T}} [F] \left\{ \chi^{(2)} \right\} + \left\{ \delta\chi^{(2)} \right\}^{\mathrm{T}} [G] \left\{ \chi^{(3)} \right\} \\
& \qquad + \left\{ \delta\chi^{(3)} \right\}^{\mathrm{T}} [E] \left\{ \epsilon^{(0)} \right\} + \left\{ \delta\chi^{(3)} \right\}^{\mathrm{T}} [F] \left\{ \chi^{(1)} \right\} + \left\{ \delta\chi^{(3)} \right\}^{\mathrm{T}} [G] \left\{ \chi^{(2)} \right\} \\
& \qquad + \left\{ \delta\chi^{(3)} \right\}^{\mathrm{T}} [H] \left\{ \chi^{(3)} \right\} + \left\{ \delta\gamma_s^{(0)} \right\}^{\mathrm{T}} [A^s] \left\{ \gamma_s^{(0)} \right\} + \left\{ \delta\gamma_s^{(0)} \right\}^{\mathrm{T}} [B^s] \left\{ \chi_s^{(1)} \right\} \\
& \qquad + \left\{ \delta\gamma_s^{(0)} \right\}^{\mathrm{T}} [D^s] \left\{ \chi_s^{(2)} \right\} + \left\{ \delta\chi_s^{(1)} \right\}^{\mathrm{T}} [B^s] \left\{ \gamma_s^{(0)} \right\} + \left\{ \delta\chi_s^{(1)} \right\}^{\mathrm{T}} [D^s] \left\{ \chi_s^{(1)} \right\} \\
& \qquad + \left\{ \delta\chi_s^{(1)} \right\}^{\mathrm{T}} [E^s] \left\{ \chi_s^{(2)} \right\} + \left\{ \delta\chi_s^{(2)} \right\}^{\mathrm{T}} [D^s] \left\{ \gamma_s^{(0)} \right\} + \left\{ \delta\chi_s^{(2)} \right\}^{\mathrm{T}} [E^s] \left\{ \chi_s^1 \right\} \\
& \qquad \left. + \left\{ \delta\chi_s^{(2)} \right\}^{\mathrm{T}} [F^s] \left\{ \chi_s^{(2)} \right\} \right) \det(J) d\xi d\eta - \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} f \delta w \det(J) d\xi d\eta = 0
\end{aligned}
\tag{4.28}
\end{equation}
$$

L'introduction des relations déformation-déplacement dans l'expression (4.28), mène à
l'équation d'équilibre suivante:

$$
[K_e^{(c)}] \{d_e\} = \{f_e^{(c)}\} \tag{4.29}
$$

où $[K_e^{(c)}]$ est la matrice de rigidité élémentaire de l'âme de dimension (52×52).

Les composantes de la matrice de rigidité et des vecteurs forces, de l'âme, sont évaluées
par intégration numérique en utilisant (2x2) points de Gauss, soit:

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
[K^{(c)}] = & \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \left( \left[ B_{\epsilon}^{(0)} \right]^T [A] \left[ B_{\epsilon}^{(0)} \right] + \left[ B_{\epsilon}^{(0)} \right]^T [B] \left[ B_{\chi}^{(1)} \right] + \left[ B_{\epsilon}^{(0)} \right]^T [D] \left[ B_{\chi}^{(2)} \right] \right. \\
& \left. + \left[ B_{\epsilon}^{(0)} \right]^T [E] \left[ B_{\chi}^{(3)} \right] + \left[ B_{\chi}^{(1)} \right]^T [B] \left[ B_{\epsilon}^{(0)} \right] + \left[ B_{\chi}^{(1)} \right]^T [D] \left[ B_{\chi}^{(1)} \right] \right. \\
& \left. + \left[ B_{\chi}^{(1)} \right]^T [E] \left[ B_{\chi}^{(2)} \right] + \left[ B_{\chi}^{(1)} \right]^T [F] \left[ B_{\chi}^{(3)} \right] + \left[ B_{\chi}^{(2)} \right]^T [D] \left[ B_{\epsilon}^{(0)} \right] \right. \\
& \left. + \left[ B_{\chi}^{(2)} \right]^T [E] \left[ B_{\chi}^{(1)} \right] + \left[ B_{\chi}^{(2)} \right]^T [F] \left[ B_{\chi}^{(2)} \right] + \left[ B_{\chi}^{(2)} \right]^T [G] \left[ B_{\chi}^{(3)} \right] \right. \\
& \left. + \left[ B_{\chi}^{(3)} \right]^T [E] \left[ B_{\epsilon}^{(0)} \right] + \left[ B_{\chi}^{(3)} \right]^T [F] \left[ B_{\chi}^{(1)} \right] + \left[ B_{\chi}^{(3)} \right]^T [G] \left[ B_{\chi}^{(2)} \right] \right. \\
& \left. + \left[ B_{\chi}^{(3)} \right]^T [H] \left[ B_{\chi}^{(3)} \right] + \left[ B_{\gamma_s}^{(0)} \right]^T [A^s] \left[ B_{\gamma_s}^{(0)} \right] + \left[ B_{\gamma_s}^{(0)} \right]^T [B^s] \left[ B_{\chi_s}^{(1)} \right] \right. \\
& \left. + \left[ B_{\gamma_s}^{(0)} \right]^T [D^s] \left[ B_{\chi_s}^{(2)} \right] + \left[ B_{\chi_s}^{(1)} \right]^T [B^s] \left[ B_{\gamma_s}^{(0)} \right] + \left[ B_{\chi_s}^{(1)} \right]^T [D^s] \left[ B_{\gamma_s}^{(1)} \right] \right. \\
& \left. + \left[ B_{\chi_s}^{(1)} \right]^T [E^s] \left[ B_{\chi_s}^{(2)} \right] + \left[ B_{\chi_s}^{(2)} \right]^T [D^s] \left[ B_{\gamma_s}^{(0)} \right] + \left[ B_{\chi_s}^{(2)} \right]^T [E^s] \left[ B_{\gamma_s}^{(1)} \right] \right. \\
& \left. + \left[ B_{\chi_s}^{(2)} \right]^T [F^s] \left[ B_{\gamma_s}^{(2)} \right] \right) \det(J) d\xi d\eta
\end{aligned}
\tag{4.30}
\end{equation}
$$
### 4.3.4.2 Matrice de rigidité des deux peaux

Les mêmes étapes ont été suivies pour élaborer la matrice de rigidité globale de deux peaux, on aura donc:

#### a. Peau supérieure

$$[K^{(t)}] = \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \left( \underbrace{[B_m^t]^T [A^{(t)}] [B_m^t]}_{\text{membranaire}} + \underbrace{[B_m^t]^T [B^{(t)}] [B_f^t]}_{\text{couplage membrane-flexion}} + \underbrace{[B_f^t]^T [B^{(t)}] [B_m^t]}_{\text{couplage flexion-membrane}} + \underbrace{[B_f^t]^T [D^{(t)}] [B_f^t]}_{\text{flexionnelle}} + \underbrace{[B_c^t]^T [A_c^{(t)}] [B_c^t]}_{\text{cisaillement}} \right) \det(J) d\xi d\eta \quad (4.32)$$

#### b. Peau inférieure

$$[K^{(b)}] = \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \left( \underbrace{[B_m^b]^T [A^{(b)}] [B_m^b]}_{\text{membranaire}} + \underbrace{[B_m^b]^T [B^{(b)}] [B_f^b]}_{\text{couplage membrane-flexion}} + \underbrace{[B_f^b]^T [B^{(b)}] [B_m^b]}_{\text{couplage flexion-membrane}} + \underbrace{[B_f^b]^T [D^{(b)}] [B_f^b]}_{\text{flexionnelle}} + \underbrace{[B_c^b]^T [A_c^{(b)}] [B_c^b]}_{\text{cisaillement}} \right) \det(J) d\xi d\eta \quad (4.33)$$

Finalement, la matrice de rigidité totale $[K_e^T]$ de l'élément QSFT52 est la somme des matrices de rigidité de trois couches, elle est exprimée comme ci-dessous:

$$[K_e^T] = [K_e^{(t)}] + [K_e^{(c)}] + [K_e^{(b)}] \quad (4.34)$$

La matrice de rigidité globale s'obtient par l'assemblage des matrices de rigidité élémentaires.

### 4.4 Performance et efficacité de l'élément QSFT52

Le but de cette partie est de montrer, à travers une série d'applications, la performance de l'élément QSFT52 dans la résolution des problèmes de flexion des plaques composites stratifiées et sandwichs, de forme rectangulaires et biaises (skew plates). Cet élément permet d'évaluer le déplacement transversal, les contraintes de cisaillement transversal ainsi que les contraintes normales. Dans ces tests, différents cas de chargements, de géométries et de conditions aux limites ont été considérés. Les résultats numériques obtenus sont comparés
avec les solutions analytiques et ceux obtenus par d'autres modèles d'éléments finis disponibles dans la littérature.

### 4.4.1 Plaque composite starifiée biaise (0/90/0) simplement appuyée et soumise à un chargement uniformément réparti

Afin d'étudier l'influence de la distorsion géométrique sur la précision du modèle, le cas d'une plaque composite starifiée biaise (figure 4.4) a été traité. Ce test est suffisant pour montrer les principales performances de l'élément développé QSFT52 dans le traitement de ce type de géométrie. La plaque est simplement appuyée sur les quatres côtés et soumise à un chargement uniformément réparti. Elle est constituée de trois couches identiques (0/90/0) dont les caractéristiques mécaniques sont les mêmes que celles adoptées dans l'exemple 3.3.3.1 (chapitre III). Dans la présente analyse, trois angles de biaises (30°, 45° et 60°) avec deux rapports d'épaisseur ($h/a = 0.1$ et $0.2$) sont considérés.

<figure><img src="image_47.png" /><figcaption>**Fig.4.4 Plaque biaise simplement appuyée avec un maillage de m×n**</figcaption></figure>

Les valeurs du déplacement transversal ($\bar{w}$), normalisé par la formule (3.26), sont représentées dans le tableau 4.1, en utilisant un maillage de (12×12). On remarque que les résultats obtenus par le présent élément QSFT52 sont en très bon accord avec ceux obtenus via des modèles d'éléments finis de, Chakrabarti et Sheikh [260], Sheikh et Chakrabarti [233], Kabir [279], Ramesh et al. [250], Chalak et al. [280] et Kulkarni et Kapuria [266], basés sur différentes théories (FSDT, HSDT, RTSDT, LW et HZZT).
<table><caption>**Tableau 4.1** Déplacement transversal (w̄) d'une plaque composite stratifiée biaise (0/90/0) simplement appuyée sous chargement uniforme</caption><thead><tr><th>h/a</th><th>Angle biaise</th><th>Références</th><th>Modèles EF</th><th>w̄(a/2,b/2,0)</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="12">0.1</td><td rowspan="8">30°</td><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td>0.8452</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>0.8814</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-FSDT</td><td>0.9182</td></tr><tr><td>Sheikh et Chakrabarti [233]</td><td>FEM-T6-HSDT</td><td>0.8621</td></tr><tr><td>Ramesh et al. [250]</td><td>FEM-T45-LW</td><td>0.9013</td></tr><tr><td>Ramesh et al. [250]</td><td>FEM-T45-TSDT</td><td>0.8666</td></tr><tr><td>Kulkarni et Kapuria [266]</td><td>FEM-Q4-RTSDT</td><td>0.8666</td></tr><tr><td>Chalak et al. [280]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.8366</td></tr><tr><td>Dey et al. [281]</td><td>FEM-T6-FSDT</td><td>0.8406</td></tr><tr><td rowspan="8">45°</td><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td>0.5758</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>0.5742</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-FSDT</td><td>0.6045</td></tr><tr><td>Sheikh et Chakrabarti [233]</td><td>FEM-T6-HSDT</td><td>0.5939</td></tr><tr><td>Ramesh et al. [250]</td><td>FEM-T45-LW</td><td>0.5745</td></tr><tr><td>Ramesh et al. [250]</td><td>FEM-T45-TSDT</td><td>0.5707</td></tr><tr><td>Kulkarni et Kapuria [266]</td><td>FEM-Q4-RTSDT</td><td>0.5725</td></tr><tr><td>Chalak et al. [280]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.5611</td></tr><tr><td>Dey et al. [279]</td><td>FEM-T6-FSDT</td><td>0.5499</td></tr><tr><td rowspan="8">60°</td><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td>0.2599</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>0.2481</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-FSDT</td><td>0.2642</td></tr><tr><td>Sheikh et Chakrabarti [233]</td><td>FEM-T6-HSDT</td><td>0.2602</td></tr><tr><td>Ramesh et al. [250]</td><td>FEM-T45-LW</td><td>0.2541</td></tr><tr><td>Ramesh et al. [250]</td><td>FEM-T45-TSDT</td><td>0.2505</td></tr><tr><td>Kulkarni et Kapuria [266]</td><td>FEM-Q4-RTSDT</td><td>0.2461</td></tr><tr><td>Chalak et al. [280]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.2490</td></tr><tr><td>Kabir [279]</td><td>FEM-T6-FSDT</td><td>0.2600</td></tr><tr><td rowspan="8">0.2</td><td rowspan="8">30°</td><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td>1.8328</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>1.6811</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-FSDT</td><td>1.8642</td></tr><tr><td>Ramesh et al. [250]</td><td>FEM-T45-LW</td><td>1.7350</td></tr><tr><td>Ramesh et al. [250]</td><td>FEM-T45-TSDT</td><td>1.6713</td></tr><tr><td>Chalak et al. [280]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>1.6904</td></tr><tr><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td>1.3089</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>1.1790</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-FSDT</td><td>1.2174</td></tr><tr><td rowspan="4">45°</td><td>Ramesh et al. [250]</td><td>FEM-T45-LW</td><td>1.1248</td></tr><tr><td>Ramesh et al. [250]</td><td>FEM-T45-TSDT</td><td>1.0980</td></tr><tr><td>Chalak et al. [280]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>1.1496</td></tr><tr><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td>0.6208</td></tr><tr><td rowspan="4">60°</td><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>0.5196</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-FSDT</td><td>0.5158</td></tr><tr><td>Ramesh et al. [250]</td><td>FEM-T45-LW</td><td>0.5210</td></tr><tr><td>Ramesh et al. [250]</td><td>FEM-T45-TSDT</td><td>0.5185</td></tr><tr><td>Chalak et al. [280]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.5073</td></tr></tbody></table>
### 4.4.2 Plaque sandwich carrée ($f/c/f$) simplement appuyée sous chargement doublement sinusoïdal

Il s'agit d'une plaque sandwich carrée symétrique ($f/c/f$), simplement appuyée et soumise à un chargement doublement sinusoïdal. Les propriétés matérielles de l'âme et celles des peaux sont les mêmes que celles adoptées dans l'exemple 3.3.4.1 (chapitre III). L'épaisseur de chaque peau est égale à 0.1 h et celle de l'âme est 0.8 h, h étant l'épaisseur totale de la plaque. Durant cette étude, les rapports d'épaisseur suivants ($a/h = 2, 4, 5, 10, 20$ et $50$) ont été considérés. Les résultats du déplacement transversal ($\bar{w}$) au centre de la plaque, les contraintes planes ($\bar{\sigma}_{xx}, \bar{\sigma}_{yy}, \bar{\tau}_{xy}$) et de cisaillement transverse ($\bar{\tau}_{xz}, \bar{\tau}_{yz}$) sont normalisés respectivement par les formules suivantes :

$$ (\bar{\sigma}_x, \bar{\sigma}_y, \bar{\tau}_{xy}) = \frac{h^2}{q_0 a^2} (\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}) \quad (4.35) $$

$$ (\bar{\tau}_{xz}, \bar{\tau}_{yz}) = \frac{h}{q_0 a} (\tau_{xz}, \tau_{yz}) \quad (4.36) $$

$$ \bar{w} = \left( \frac{100 \, \text{E}_2 h^3 w}{a^4 q_0} \right) \quad (4.37) $$

Les résultats obtenus sont rapportés dans le tableau 4.2 pour différents types de maillage. Ces derniers sont comparés avec la solution d'élasticité-3D donnée par Pagano [24], d'une part, et d'autre part avec des modèles d'éléments finis basés sur des théories différentes, connues dans la littérature scientifique (MFEM-3D-LW, FEM-Q9-TSDT, FEM-Q9-IHZZT, FEM-Q8-HZZT, FEM-Q9-HZZT, FEM-Q9-HSDT):

* MFEM-3D-LW: Élément fini mixte 3D, basé sur l'approche layerwise, présenté par Ramtekkar et al. [246]

* FEM-Q9-TSDT: Élément fini quadrilatère à neuf nœuds, basé sur la théorie du troisième ordre, présenté par Tu et al. [236]

* FEM-Q9-IHZZT: Élément fini quadrilatère à neuf nœuds, basé sur la théorie de zig-zag d'ordre supérieur amélioré, présenté par Pandit et al. [162]

* FEM-Q8-HZZT: Élément fini quadrilatère à huit nœuds, basé sur la théorie de zig-zag d'ordre supérieur, présenté par Singh et al. [261]
* FEM-Q9-HZZT: Élément fini quadrilatère à neuf nœuds, basé sur la théorie de zig-zag d'ordre supérieur, présenté par Khandelwal et al. [160]

* FEM-Q9-HSDT: Élément fini quadrilatère à neuf nœuds, basé sur la théorie d'ordre supérieur, présenté par Manjunatha et Kant [227]

Les figures 4.5 et 4.6, illustrent les distributions de contraintes planes, suivant l'épaisseur de la plaque sandwich, pour les deux rapports d'épaisseur (h/a = 0.1 et 0.25), respectivement.

Le tableau 4.2 et les figures 4.5 et 4.6, montrent que l'élément développé QSFT52 donne des résultats très satisfaisants par rapport aux valeurs de référence, spécialement en ce qui concerne les valeurs de contraintes de cisaillement transversal.

### 4.4.3 Plaque sandwich carrée (f/c/f) encastrée et soumise à une charge uniformément répartie

Cet exemple a notamment été traité par Pandit [162]. Il s'agit d'une plaque sandwich carrée encastrée dans les quatres côtés et soumise à une charge uniformément répartie. Les mêmes propriétés géométriques et mécaniques du problème précédent ont été adoptées. L'étude a été faite pour différents rapports d'épaisseur (a/h = 100, 50, 20, 10 et 4) avec un maillage de 16×16. Les résultats non-dimensionnels, du déplacement transversal (w), les contraintes planes (σₓ, σᵧ, τₓ) et les contraintes de cisaillement transversal (τₓ, τᵧ), obtenus par la présente formulation aux différents points, sont résumés dans le tableau 4.3.

Les courbes de variation du déplacement transversal non-dimensionnel, en fonction du rapport d'épaisseur (a/h) ont été présentées sur la figure 4.7. D'après cette figure, on observe une excellente corrélation entre les résultats obtenus par l'élément développé (QSFT52) et à ceux obtenus par l'élément de Pandit et al. [162]. On peut noter que l'élément développé est applicable aux problèmes de flexion des plaques sandwichs qu'elles soient minces ou épaisses (aucun phénomène de verrouillage en cisaillement).
<table><caption>**Tableau. 4. 2 Déplacement transversal ($\overline{w}$), contraintes planes ($\overline{\sigma}_{xx}, \overline{\sigma}_{yy}, \overline{\tau}_{xy}$) et contraintes de cisaillement transversal ($\overline{\tau}_{xz}, \overline{\tau}_{yz}$), d'une plaque sandwich symétrique ($f/c/f$), simplement appuyée, sous chargement doublement sinusoïdal**</caption><thead><tr><th>h/a</th><th>Références</th><th>Modèles EF</th><th>σ̄<sub>w</sub>(a/2, b/2, 0)</th><th>σ̄<sub>xx</sub>(a/2, b/2, h/2)</th><th>σ̄<sub>yy</sub>(a/2, b/2, h/2)</th><th>τ̄<sub>xz</sub>(0, b/2, 0)</th><th>τ̄<sub>yz</sub>(a/2, 0, 0)</th><th>τ̄<sub>xy</sub>(0, 0, h/2)</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="8">0.5</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>QSFT52</td><td>23.4200</td><td>2.2463</td><td>0.3931</td><td>0.1766</td><td>0.1363</td><td>0.2283</td></tr><tr><td>Présent élément (10×10)</td><td>QSFT52</td><td>23.3493</td><td>2.2886</td><td>0.4014</td><td>0.1803</td><td>0.1388</td><td>0.2330</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>QSFT52</td><td>23.3106</td><td>2.3119</td><td>0.4060</td><td>0.1823</td><td>0.1401</td><td>0.2356</td></tr><tr><td>Présent élément (14×14)</td><td>QSFT52</td><td>23.2875</td><td>2.3260</td><td>0.4088</td><td>0.1835</td><td>0.1409</td><td>0.2372</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>QSFT52</td><td>23.2725</td><td>2.3351</td><td>0.4106</td><td>0.1843</td><td>0.1414</td><td>0.2382</td></tr><tr><td>Pagano [24]</td><td>Elasticity solution</td><td>21.6531</td><td>2.6530</td><td>0.3920</td><td>0.1850</td><td>0.1400</td><td>0.2340</td></tr><tr><td>Ramtekkar et al. [246]</td><td>MFEM-3D-LW</td><td>-</td><td>2.6840</td><td>0.3960</td><td>0.1860</td><td>0.1420</td><td>0.2360</td></tr><tr><td>Kant et Kommineni [225]</td><td>FEM-Q9-TSDT</td><td>21.3707</td><td>2.7985</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>0.2371</td></tr><tr><td rowspan="20">0.25</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>QSFT52</td><td>7.7651</td><td>1.3281</td><td>0.2399</td><td>0.2255</td><td>0.1038</td><td>0.1386</td></tr><tr><td>Présent élément (10×10)</td><td>QSFT52</td><td>7.7526</td><td>1.3563</td><td>0.2452</td><td>0.2303</td><td>0.1052</td><td>0.1417</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>QSFT52</td><td>7.7457</td><td>1.3719</td><td>0.2481</td><td>0.2330</td><td>0.1059</td><td>0.1434</td></tr><tr><td>Présent élément (14×14)</td><td>QSFT52</td><td>7.7416</td><td>1.3813</td><td>0.2499</td><td>0.2346</td><td>0.1064</td><td>0.1444</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>QSFT52</td><td>7.7388</td><td>1.3875</td><td>0.2511</td><td>0.2357</td><td>0.1067</td><td>0.1451</td></tr><tr><td>Pagano [24]</td><td>Elasticity solution</td><td>7.5962</td><td>1.5160</td><td>0.2595</td><td>0.2390</td><td>0.1072</td><td>0.1440</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-IHZZT</td><td>7.6552</td><td>1.5218</td><td>0.2506</td><td>0.2520</td><td>0.1156</td><td>0.1468</td></tr><tr><td>Tu et al. [236]</td><td>FEM-Q9-TSDT</td><td>7.5610</td><td>1.5518</td><td>0.2483</td><td>0.2447</td><td>0.1184</td><td>0.1459</td></tr><tr><td>Singh et al. [261]</td><td>FEM-Q8-HZZT</td><td>7.8556</td><td>1.5480</td><td>-</td><td>0.2611</td><td>-</td><td>0.1671</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>7.5873</td><td>1.5316</td><td>0.2674</td><td>0.2538</td><td>0.1192</td><td>-</td></tr><tr><td>Chalak et al. [262]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>7.5822</td><td>1.5306</td><td>0.2581</td><td>0.2436</td><td>0.1147</td><td>0.1445</td></tr><tr><td>Ramtekkar et al. [246]</td><td>MFEM-3D-LW</td><td>-</td><td>1.5700</td><td>0.2600</td><td>0.2400</td><td>0.1080</td><td>0.1450</td></tr><tr><td>Wu et Lin [242]</td><td>MFEM-3D-LW</td><td>-</td><td>1.5480</td><td>0.2413</td><td>0.2497</td><td>-</td><td>0.1339</td></tr><tr><td>Pandya et Kant [223]</td><td>FEM-Q9-HSDT</td><td>0.6947</td><td>1.5230</td><td>0.2414</td><td>0.2750</td><td>-</td><td>0.1419</td></tr><tr><td>Manjunatha et Kant [227]</td><td>FEM-Q9-HSDT</td><td>7.1596</td><td>-</td><td>-</td><td>0.2370</td><td>0.1040</td><td>-</td></tr><tr><td>Kant et Kommineni [225]</td><td>FEM-Q9-TSDT</td><td>7.1502</td><td>1.4989</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>0.1428</td></tr><tr><td>Kant et Swaminathan [30]</td><td>HSDT-Anal</td><td>7.0551</td><td>1.5137</td><td>0.2648</td><td>-</td><td>-</td><td>0.1379</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau 4.2 Suite</caption><thead><tr><th>h/a</th><th>Références</th><th>Modèles EF</th><th>σ<sub>w</sub>(a/2, b/2, 0)</th><th>σ<sub>xx</sub>(a/2, b/2, h/2)</th><th>σ<sub>yy</sub>(a/2, b/2, h/2)</th><th>τ<sub>xz</sub>(0, b/2, 0)</th><th>τ<sub>yz</sub>(a/2, 0, 0)</th><th>τ<sub>xy</sub>(0, 0, h/2)</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="8">0.2</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>QSFT52</td><td>5.5650</td><td>1.2038</td><td>0.1972</td><td>0.2424</td><td>0.0893</td><td>0.1157</td></tr><tr><td>Présent élément (10×10)</td><td>QSFT52</td><td>5.5600</td><td>1.2311</td><td>0.2017</td><td>0.2476</td><td>0.0903</td><td>0.1183</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>QSFT52</td><td>5.5571</td><td>1.2461</td><td>0.2042</td><td>0.2505</td><td>0.0908</td><td>0.1197</td></tr><tr><td>Présent élément (14×14)</td><td>QSFT52</td><td>5.5554</td><td>1.2552</td><td>0.2057</td><td>0.2523</td><td>0.0911</td><td>0.1206</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>QSFT52</td><td>5.5554</td><td>1.2612</td><td>0.2067</td><td>0.2535</td><td>0.0913</td><td>0.1212</td></tr><tr><td>Pagano [24]</td><td>Elasticity solution</td><td>5.4746</td><td>1.3704</td><td>0.2094</td><td>0.2569</td><td>0.0918</td><td>-</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>5.4464</td><td>1.3617</td><td>0.2216</td><td>0.2530</td><td>0.1025</td><td>-</td></tr><tr><td rowspan="20">0.1</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>QSFT52</td><td>2.1964</td><td>1.0484</td><td>0.1020</td><td>0.2815</td><td>0.0538</td><td>0.0662</td></tr><tr><td>Présent élément (10×10)</td><td>QSFT52</td><td>2.2036</td><td>1.0777</td><td>0.1047</td><td>0.2880</td><td>0.0534</td><td>0.0680</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>QSFT52</td><td>2.2075</td><td>1.0939</td><td>0.1062</td><td>0.2916</td><td>0.0532</td><td>0.0690</td></tr><tr><td>Présent élément (14×14)</td><td>QSFT52</td><td>2.2099</td><td>1.1038</td><td>0.1071</td><td>0.2938</td><td>0.0531</td><td>0.0696</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>QSFT52</td><td>2.2115</td><td>1.1103</td><td>0.1077</td><td>0.2952</td><td>0.0530</td><td>0.0699</td></tr><tr><td>Pagano [24]</td><td>Elasticity solution</td><td>2.2004</td><td>1.1531</td><td>0.1104</td><td>0.3000</td><td>0.0530</td><td>0.0707</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>2.2002</td><td>1.1483</td><td>0.1086</td><td>0.3158</td><td>0.0570</td><td>0.0709</td></tr><tr><td>Tu et al. [236]</td><td>FEM-Q9-TSDT</td><td>2.2027</td><td>1.1466</td><td>0.1105</td><td>0.3181</td><td>0.0532</td><td>0.0715</td></tr><tr><td>Singh et al. [261]</td><td>FEM-Q8-HZZT</td><td>2.2389</td><td>1.1594</td><td>-</td><td>0.3237</td><td>-</td><td>0.0759</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>2.1786</td><td>1.1539</td><td>0.1184</td><td>0.3185</td><td>0.0598</td><td>-</td></tr><tr><td>Chalak et al. [262]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>2.1775</td><td>1.1528</td><td>0.1143</td><td>0.3058</td><td>0.0575</td><td>0.0705</td></tr><tr><td>Ramtekkar et al. [246]</td><td>MFEM-3D-LW</td><td>-</td><td>1.1590</td><td>0.1110</td><td>0.3030</td><td>0.0550</td><td>0.0720</td></tr><tr><td>Wu et al. [242]</td><td>MFEM-3D-LW</td><td>-</td><td>1.2100</td><td>0.1115</td><td>0.3240</td><td>-</td><td>0.0713</td></tr><tr><td>Pandya et al. [223]</td><td>FEM-Q9-HSDT</td><td>0.2023</td><td>1.1660</td><td>0.1052</td><td>0.3400</td><td>-</td><td>0.0692</td></tr><tr><td>Kant et al. [225]</td><td>FEM-Q9-TSDT</td><td>2.0864</td><td>1.1657</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>0.0692</td></tr><tr><td>Kant et al. [225]</td><td>HSDT-Anal</td><td>2.0798</td><td>1.1523</td><td>0.1100</td><td>-</td><td>-</td><td>0.0685</td></tr><tr><td>Nayak et al. [231]</td><td>FEM-Q4-HSDT</td><td>-</td><td>1.1410</td><td>0.1034</td><td>0.3465</td><td>0.0574</td><td>0.0685</td></tr><tr><td>Nayak et al. [231]</td><td>FEM-Q9-HSDT</td><td>-</td><td>1.1510</td><td>0.1043</td><td>0.3506</td><td>0.0580</td><td>0.0689</td></tr></tbody></table>
<table><caption>Tableau 4.2 Suite</caption><thead><tr><th>h/a</th><th>Références</th><th>Modèles EF</th><th>σ<sub>w</sub>(a/2, b/2, 0)</th><th>σ<sub>xx</sub>(a/2, b/2, h/2)</th><th>σ<sub>yy</sub>(a/2, b/2, h/2)</th><th>τ<sub>xz</sub>(0, b/2, 0)</th><th>τ<sub>yz</sub>(a/2, 0, 0)</th><th>τ<sub>xy</sub>(0, 0, h/2)</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="12">0.05</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>QSFT52</td><td>1.1766</td><td>0.9895</td><td>0.0627</td><td>0.2944</td><td>0.0430</td><td>0.0459</td></tr><tr><td>Présent élément (10×10)</td><td>QSFT52</td><td>1.1953</td><td>1.0292</td><td>0.0652</td><td>0.3025</td><td>0.0407</td><td>0.0477</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>QSFT52</td><td>1.2058</td><td>1.0516</td><td>0.0666</td><td>0.3069</td><td>0.0393</td><td>0.0487</td></tr><tr><td>Présent élément (14×14)</td><td>QSFT52</td><td>1.2122</td><td>1.0653</td><td>0.0674</td><td>0.3097</td><td>0.0385</td><td>0.0493</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>QSFT52</td><td>1.2164</td><td>1.0743</td><td>0.0680</td><td>0.3115</td><td>0.0379</td><td>0.0497</td></tr><tr><td>Pagano [24]</td><td>Elasticity solution</td><td>1.2264</td><td>1.1100</td><td>0.0700</td><td>0.3174</td><td>0.0361</td><td>0.0511</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>1.2254</td><td>1.1055</td><td>0.0694</td><td>0.3342</td><td>0.0392</td><td>0.0509</td></tr><tr><td>Singh et al. [261]</td><td>FEM-Q8-HZZT</td><td>1.2424</td><td>1.1161</td><td>-</td><td>0.3429</td><td>-</td><td>0.0536</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>1.2128</td><td>1.1113</td><td>0.0769</td><td>0.3374</td><td>0.0415</td><td>-</td></tr><tr><td>Chalak et al. [262]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>1.2121</td><td>1.1103</td><td>0.0742</td><td>0.3272</td><td>0.0399</td><td>0.0508</td></tr><tr><td>Ramtekkar et al. [246]</td><td>MFEM-3D-LW</td><td>-</td><td>1.1150</td><td>0.0700</td><td>0.3170</td><td>0.0360</td><td>0.0510</td></tr><tr><td>Wu et Lin [242]</td><td>MFEM-3D-LW</td><td>-</td><td>1.1730</td><td>0.0724</td><td>0.3530</td><td>-</td><td>0.0525</td></tr><tr><td>Kant et Kommineni [225]</td><td>FEM-Q9-TSDT</td><td>1.1947</td><td>1.1246</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>0.0506</td></tr><tr><td>Kant et Swaminathan [30]</td><td>HSDT-Anal</td><td>1.1933</td><td>1.1110</td><td>0.0705</td><td>-</td><td>-</td><td>0.0504</td></tr><tr><td rowspan="12">0.02</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>QSFT52</td><td>0.7347</td><td>0.8099</td><td>0.0419</td><td>0.2801</td><td>0.0646</td><td>0.0329</td></tr><tr><td>Présent élément (10×10)</td><td>QSFT52</td><td>0.7962</td><td>0.8979</td><td>0.0465</td><td>0.2937</td><td>0.0547</td><td>0.0365</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>QSFT52</td><td>0.8341</td><td>0.9523</td><td>0.0493</td><td>0.3019</td><td>0.0483</td><td>0.0387</td></tr><tr><td>Présent élément (14×14)</td><td>QSFT52</td><td>0.8588</td><td>0.9877</td><td>0.0511</td><td>0.3072</td><td>0.0441</td><td>0.0401</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>QSFT52</td><td>0.8756</td><td>1.0119</td><td>0.0524</td><td>0.3107</td><td>0.0412</td><td>0.0411</td></tr><tr><td>Pagano [24]</td><td>Elasticity solution</td><td>0.9348</td><td>1.0990</td><td>0.0569</td><td>0.3230</td><td>0.0306</td><td>0.0446</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.9341</td><td>1.0948</td><td>0.0566</td><td>0.3403</td><td>0.0333</td><td>0.0445</td></tr><tr><td>Singh et al. [261]</td><td>FEM-Q8-HZZT</td><td>0.9458</td><td>1.1050</td><td>-</td><td>0.3617</td><td>-</td><td>0.0465</td></tr><tr><td>Chalak et al. [262]</td><td>FEM-Q9-HZZT</td><td>0.9248</td><td>1.0997</td><td>0.0611</td><td>0.3300</td><td>0.0321</td><td>0.0443</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_48.png" /></figure>

<figure><img src="image_49.png" /><figcaption>Fig. 4.5 Distribution des contraintes planes (a) $\bar{\sigma}_{xx}$ et (b) $\bar{\sigma}_{yy}$, à travers l'épaisseur pour une plaque sandwich carrée simplement appuyée soumise à une charge sinusoïdale ($h/a = 0.1$)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_50.png" /></figure>

<figure><img src="image_51.png" /></figure>
<figure><img src="image_52.png" /><figcaption>**Fig. 4.6** Distribution des contraintes planes (a) $\overline{\sigma}_{xx}$, (b) $\overline{\sigma}_{yy}$ et (c) $\overline{\tau}_{xy}$, à travers l'épaisseur pour une plaque sandwich carrée simplement appuyée soumise à une charge sinusoïdale ($h/a = 0.25$)</figcaption></figure>

<figure><img src="image_53.png" /><figcaption>**Fig. 4.7** Influence du rapport d'épaisseur ($a/h$) sur le déplacement transversal ($\overline{w}$) d'une plaque sandwich ($f/c/f$) encastrée sous chargement uniforme</figcaption></figure>
<table><caption>**Tableau 4.3** Déplacement transversal ($\overline{w}$), contraintes planes ($\overline{\sigma}_{xx}, \overline{\sigma}_{yy}, \overline{\tau}_{xy}$) et contraintes de cisaillement transversal ($\overline{\tau}_{xz}, \overline{\tau}_{yz}$), d'une plaque sandwich symétrique ($f/c/f$), encastrée, sous chargement uniforme</caption><thead><tr><th>a/h</th><th>Références</th><th>Modèles EF</th><th>W&#773;(a/2, b/2, z)</th><th>σ&#773;<sub>xx</sub>(a/2, b/2, ±h/2)</th><th>σ&#773;<sub>yy</sub>(a/2, b/2, ±h/2)</th><th>τ&#773;<sub>xz</sub>(0, b/2, 0)</th><th>τ&#773;<sub>yz</sub>(a/2, 0, 0)</th><th>τ&#773;<sub>xy</sub>(0, 0, ±h/2)</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">100</td><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td>0.2458</td><td>0.4490<br>-0.4490</td><td>0.0178<br>-0.0178</td><td>0.5120</td><td>0.2321</td><td>-0.0018<br>0.0018</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-IHZZT</td><td>0.2897</td><td>0.5398<br>-0.5398</td><td>0.0099<br>-0.0099</td><td>0.5429</td><td>0.1764</td><td>-0.0025<br>0.0025</td></tr><tr><td rowspan="2">50</td><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td>0.3458</td><td>0.5226<br>-0.5226</td><td>0.0189<br>-0.0189</td><td>0.5024</td><td>0.1841</td><td>-0.0037<br>0.0037</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-IHZZT</td><td>0.3549</td><td>0.5478<br>-0.5478</td><td>0.0131<br>-0.0131</td><td>0.5138</td><td>0.1806</td><td>-0.0040<br>0.0040</td></tr><tr><td rowspan="2">20</td><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td>0.7871</td><td>0.5576<br>-0.5576</td><td>0.0402<br>-0.0402</td><td>0.4528</td><td>0.1776</td><td>-0.0098<br>0.0098</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-IHZZT</td><td>0.7793</td><td>0.5754<br>-0.5754</td><td>0.0371<br>-0.0371</td><td>0.4368</td><td>0.2020</td><td>-0.0089<br>0.0089</td></tr><tr><td rowspan="2">10</td><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td>2.0585</td><td>0.6011<br>-0.6011</td><td>0.0999<br>-0.0999</td><td>0.3761</td><td>0.2049</td><td>-0.0197<br>0.0197</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-IHZZT</td><td>2.0090</td><td>0.6346<br>-0.6346</td><td>0.0951<br>-0.0952</td><td>0.3367</td><td>0.2372</td><td>-0.0171<br>0.0163</td></tr><tr><td rowspan="2">4</td><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td>8.4575</td><td>1.0148<br>-1.0148</td><td>0.2070<br>-0.2070</td><td>0.2751</td><td>0.2212</td><td>-0.0457<br>0.0457</td></tr><tr><td>Pandit et al. [162]</td><td>FEM-Q9-IHZZT</td><td>8.2090</td><td>1.1809<br>-1.1819</td><td>0.1919<br>-0.1923</td><td>0.2242</td><td>0.2630</td><td>-0.0401<br>0.0314</td></tr></tbody></table>
### 4.4.4 Plaque sandwich carrée ($f/c/f$) sous chargement uniformément réparti

Dans cet exemple, une plaque sandwich carrée aux dimensions $a=b=254 \text{ mm}$, soumise un chargement réparti uniforme ($P = 0.00688 \text{ N/mm}^2$) a été considérée. Les propriétés mécaniques sont représentées dans le tableau 4.4. L'épaisseur totale de la plaque ($h$) est de $20.4724 \text{ mm}$, où l'épaisseur de chaque peau est de $0.7112 \text{ mm}$. Deux types de matériaux avec deux types de conditions aux limites (SSSS et CCCC) ont été étudiés. Pour la modélisation, trois types de maillage ont été utilisés ($8 \times 8$, $12 \times 12$ et $16 \times 16$).

Les valeurs du déplacement transversal au centre de la plaque ($w$), les contraintes planes ($\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \tau_{xy}$) et les contraintes de cisaillement transversal ($\tau_{xz}, \tau_{yz}$), obtenus par notre élément, sont comparés à ceux obtenus par la solution analytique de Azar [22] (pour le matériau I) et ceux obtenus à partir des modèles d'éléments finis rencontrés dans la littérature basés sur la théorie de zig-zag (tableau 4.5). Les résultats obtenus sont en très bon accord avec les solutions de références de Khatua et Cheung [210], Topdar et al. [163] et Chakrabarti et Sheikh [260]. Ces derniers confirment la fiabilité et la robustesse de l'élément développé QSFT52 en termes de convergence et de stabilité.

<table><caption>Tableau 4.4 Propriétés mécaniques utilisés dans l'exemple 4.4.4</caption><thead><tr><th rowspan="2"></th><th rowspan="2">Matériaux</th><th colspan="5">Propriétés mécaniques en GPa</th></tr><tr><th>E<sub>11</sub></th><th>E<sub>22</sub></th><th>G<sub>12</sub></th><th>G<sub>13</sub></th><th>G<sub>23</sub></th><th>ν<sub>12</sub> = ν<sub>13</sub></th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">Cas I (SSSS)</td><td>Peaux</td><td>68.800</td><td>68.800</td><td>26.461</td><td>27.520</td><td>27.520</td><td>0.3</td></tr><tr><td>Âme</td><td>6.88×10<sup>-12</sup></td><td>6.88×10<sup>-12</sup></td><td>2.646×10<sup>-12</sup></td><td>0.2064</td><td>0.2064</td><td>0.3</td></tr><tr><td rowspan="2">Cas II (CCCC)</td><td>Peaux</td><td>68.800</td><td>68.800</td><td>26.461</td><td>27.520</td><td>27.520</td><td>0.3</td></tr><tr><td>Âme</td><td>6.88×10<sup>-12</sup></td><td>6.88×10<sup>-12</sup></td><td>2.646×10<sup>-12</sup></td><td>0.3131</td><td>0.3131</td><td>0.3</td></tr></tbody></table>

### 4.4.5 Plaque sandwich carrée avec des peaux stratifiées alternés (angle-ply)

On considère pour cette étude, une plaque sandwich carrée ayant des peaux stratifiées alternées (angle-ply) ($f(\theta/\theta + 90)/c/f(\theta/\theta + 90)$). La plaque est simplement appuyée sur les quatres cotés et soumise à une charge uniformément répartie. L'épaisseur de l'âme est de $0.8 \text{ h}$, tandis que celle de chaque couche de stratifiée est de $0.05 \text{ h}$, $h$ étant l'épaisseur totale
de la plaque. Les propriétés mécaniques des matériaux utilisés pour l'âme et les deux peaux sont les mêmes que celles adoptées dans l'exemple 3.3.4.4 (chapitre III). L'analyse est effectuée pour trois rapports d'épaisseur ($h/a = 0.05, 0.1$ et $0.2$) et trois angles d'orientation< (0°, 30° et 45°).

Dans le tableau 4.6, on présente les résultats du déplacement transversal, les contraintes planes au centre de la plaque, et les contraintes de cisaillement transversal aux milieux des côtés. Les résultats obtenus par le présent élément (QSFT52) sont comparés à ceux obtenus avec des modèles d'éléments finis de Chakrabarti et Sheikh [158] et Khandelwal et al. [160], en utilisant la théorie de zig-zag d'ordre supérieur (FEM-Q9-HZZT, FEM-T6-HZZT). D'après les résultats qui figurent sur le tableau 4.5, on remarque que l'élément développé QSFT52 donne des résultats très satisfaisants et totalement comparables avec les résultats de références.

## 4.5 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons pu généraliser et réaliser une reformulation de l'élément fini rectangulaire RSFT52, développé dans le chapitre précédent, en faisant introduire la notion d'isoparamétrie. La nouvelle version de l'élément RSFT52 est nommée QSFT52. Ce dernier est un élément quadrilatère isoparamétrique à quatre nœuds avec treize degrés de liberté par nœud. Il est construit sur la base du modèle layerwise, proposé dans le chapitre 2.

La performance et la robustesse de ce nouvel élément développé a été également démontrée à travers une série d'exemples, rencontrés dans la littérature, dans les cas de problèmes de flexion des plaques composites stratifiées et sandwichs dont la forme est quelconque. La comparaison a été faite par rapport aux éléments de type triangulaire à six nœuds (T6) et quadrilatère à huit et neuf nœuds (Q8 et Q9), en utilisant des théories raffinées notamment la théorie de zig-zag d'ordre supérieur. Les résultats de comparaison reflètent clairement l'efficacité et la précision de l'élément fini développé.

Dans ce qui suit, l'élément QSFT52 sera utilisé dans l'analyse dynamique des plaques qu'elles soient isotropes, composites stratifiées ou sandwichs. Et cela fait l'objet du chapitre suivant.
<table><caption>**Tableau 4.5** Déplacement transversal (w), contraintes planes $(\sigma_{xx}, \sigma_{yy}, \tau_{xy})$ et contraintes de cisaillement transversal $(\tau_{xz}, \tau_{yz})$, d'une plaque sandwich symétrique (f/c/f), sous chargement uniforme</caption><thead><tr><th></th><th>Références</th><th>Modèles EF</th><th>w(<sup>a</sup><sub>2</sub>, <sup>b</sup><sub>2</sub>, <sup>c</sup><sub>2</sub>)×100</th><th>σ<sub>xx</sub>(<sup>a</sup><sub>2</sub>, <sup>b</sup><sub>2</sub>, <sup>c</sup><sub>2</sub>)</th><th>σ<sub>yy</sub>(<sup>a</sup><sub>2</sub>, <sup>b</sup><sub>2</sub>, <sup>c</sup><sub>2</sub>, ±<sup>h</sup><sub>2</sub>)</th><th>τ<sub>xz</sub>(0, <sup>b</sup><sub>2</sub>, 0)</th><th>τ<sub>yz</sub>(<sup>a</sup><sub>2</sub>, 0, 0)</th><th>τ<sub>xy</sub>(0, 0, <sup>h</sup><sub>2</sub>)</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="8">Cas I</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>QSFT52</td><td>1.8679</td><td>1.5146</td><td>1.5146</td><td>0.0244</td><td>0.0244</td><td>-0.9700</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>QSFT52</td><td>1.8745</td><td>1.5588</td><td>1.5588</td><td>0.0262</td><td>0.0262</td><td>-1.0396</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>QSFT52</td><td>1.8767</td><td>1.5742</td><td>1.5742</td><td>0.0270</td><td>0.0270</td><td>-1.0704</td></tr><tr><td>Khatua et Cheung [210]</td><td>FEM solution</td><td>1.8697</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Azar [22]</td><td>Analytical solution</td><td>1.8780</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>1.8750</td><td>1.5817</td><td>1.5817</td><td>0.0284</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-RFSDT</td><td>1.8682</td><td>1.5816</td><td>1.5816</td><td>0.0297</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-HSDT</td><td>1.7233</td><td>1.5766</td><td>1.5766</td><td>0.0045</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Topdar et al. [163]</td><td>FEM-Q4-RHZZT</td><td>1.8793</td><td>-</td><td>-</td><td>0.0232</td><td>0.0232</td><td>-</td></tr><tr><td rowspan="8">Cas II</td><td>Présent élément (8×8)</td><td>QSFT52</td><td>0.8813</td><td>0.7906</td><td>0.7906</td><td>0.0221</td><td>0.0221</td><td>-0.1802</td></tr><tr><td>Présent élément (12×12)</td><td>QSFT52</td><td>0.8750</td><td>0.8149</td><td>0.8149</td><td>0.0246</td><td>0.0246</td><td>-0.1762</td></tr><tr><td>Présent élément (16×16)</td><td>QSFT52</td><td>0.8717</td><td>0.8141</td><td>0.8141</td><td>0.0252</td><td>0.0252</td><td>-0.1664</td></tr><tr><td>Khatua et Cheung [210]</td><td>FEM solution</td><td>0.8707</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>0.9535</td><td>0.8916</td><td>0.8916</td><td>0.0558</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-RFSDT</td><td>0.8880</td><td>0.8225</td><td>0.8225</td><td>0.0475</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [260]</td><td>FEM-T6-HSDT</td><td>0.7779</td><td>0.8076</td><td>0.8076</td><td>0.0106</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td>Folie [272]</td><td>FEM solution</td><td>0.8814</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td></tr></tbody></table>
<table><caption>**Tableau 4.6** Déplacement transversal ($\overline{w}$), contraintes planes ($\overline{\sigma}_{xx}, \overline{\sigma}_{yy}, \overline{\tau}_{xy}$) et contraintes de cisaillement transversal ($\overline{\tau}_{xz}, \overline{\tau}_{yz}$), d'une plaque sandwich carrée avec des peaux stratifiées ($f(\theta/\theta + 90)/c/f(\theta/\theta + 90)$), simplement appuyée et soumise un chargement uniforme</caption><thead><tr><th>h/a</th><th>Références</th><th>Modèles EF</th><th>w(a/2, b/2, 0)</th><th>σ<sub>xx</sub>(a/2, b/2, h/2)</th><th>σ<sub>yy</sub>(a/2, b/2, ±h/2)</th><th>τ<sub>xz</sub>(0, b/2, ±0.4h)</th><th>τ<sub>yz</sub>(a/2, 0, ±0.4h)</th></tr></thead><tbody><tr><td colspan="8" style="text-align: center; font-weight: bold;">θ = 0°</td></tr><tr><td rowspan="5">0.05</td><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td>1.6766</td><td>1.6197</td><td>1.6197</td><td>0.3408</td><td>0.3408</td></tr><tr><td>Pagano [24]</td><td>Elasticity solution</td><td>1.6957</td><td>1.5851</td><td>1.5692</td><td>0.3560</td><td>0.3563</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Const)<sup>x</sup></td><td>1.7107</td><td>1.6265</td><td>1.5653</td><td>0.4515</td><td>0.5230</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Equil)<sup>xx</sup></td><td>1.7107</td><td>1.6265</td><td>1.5653</td><td>0.3663</td><td>0.3612</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [158]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>1.7126</td><td>1.5988</td><td>-</td><td>0.3732</td><td>-</td></tr><tr><td rowspan="5">0.1</td><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td>2.6149</td><td>1.7320</td><td>1.7320</td><td>0.3337</td><td>0.3337</td></tr><tr><td>Pagano [24]</td><td>Elasticity solution</td><td>2.6168</td><td>1.6004</td><td>1.5794</td><td>0.3496</td><td>0.3503</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Const)</td><td>2.6295</td><td>1.6537</td><td>1.5829</td><td>0.4142</td><td>0.4142</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Equil)</td><td>2.6295</td><td>1.6537</td><td>1.5829</td><td>0.3489</td><td>0.3397</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [158]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>2.6296</td><td>1.6249</td><td>-</td><td>0.3612</td><td>-</td></tr><tr><td rowspan="5">0.2</td><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td>6.2940</td><td>2.1538</td><td>2.1538</td><td>0.3242</td><td>0.3242</td></tr><tr><td>Pagano [24]</td><td>Elasticity solution</td><td>6.2981</td><td>1.7093</td><td>1.7523</td><td>0.3436</td><td>0.3413</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Const)</td><td>6.3001</td><td>1.8111</td><td>1.7328</td><td>0.3982</td><td>0.3993</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Equil)</td><td>6.3001</td><td>1.8111</td><td>1.7328</td><td>0.3455</td><td>0.3332</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [158]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>6.3016</td><td>1.7792</td><td>-</td><td>0.3482</td><td>-</td></tr><tr><td colspan="8" style="text-align: center; font-weight: bold;">θ = 30°</td></tr><tr><td rowspan="5">0.05</td><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td>1.2199</td><td>0.7884</td><td>0.7884</td><td>0.3465</td><td>0.3465</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Const)</td><td>1.2450</td><td>0.7985</td><td>0.7666</td><td>0.4637</td><td>0.5079</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Equil)</td><td>1.2450</td><td>0.7985</td><td>0.7666</td><td>0.3592</td><td>0.3480</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [158]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>1.2381</td><td>0.7653</td><td>-</td><td>0.3603</td><td>-</td></tr></tbody></table>
<table><caption>**Tableau 4.6 Suite**</caption><thead><tr><th>h/a</th><th>Références</th><th>Modèles EF</th><th>w(a/2, b/2, 0)</th><th>σ<sub>xx</sub>(a/2, b/2, h/2)</th><th>σ<sub>yy</sub>(a/2, b/2, ±h/2)</th><th>τ<sub>xz</sub>(0, b/2, ±0.4h)</th><th>τ<sub>yz</sub>(a/2, 0, ±0.4h)</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="4">0.1</td><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td>2.2137</td><td>0.9575</td><td>0.9575</td><td>0.3406</td><td>0.3406</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Const)</td><td>2.2322</td><td>0.9290</td><td>0.8840</td><td>0.4280</td><td>0.4409</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Equil)</td><td>2.2322</td><td>0.9290</td><td>0.8840</td><td>0.3275</td><td>0.3200</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [158]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>2.2237</td><td>0.8882</td><td>-</td><td>0.3659</td><td>-</td></tr><tr><td rowspan="4">0.2</td><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td>5.9326</td><td>2.1538</td><td>2.1538</td><td>0.3382</td><td>0.3382</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Const)</td><td>5.9579</td><td>1.1733</td><td>1.1074</td><td>0.4376</td><td>0.4321</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Equil)</td><td>5.9579</td><td>1.1733</td><td>1.1074</td><td>0.3064</td><td>0.2951</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [158]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>5.9463</td><td>1.1165</td><td>-</td><td>0.3762</td><td>-</td></tr><tr><td colspan="8" style="text-align: center; background-color: #E0E0E0;">θ = 45°</td></tr><tr><td rowspan="4">0.05</td><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td>1.0671</td><td>0.4366</td><td>0.4366</td><td>0.3215</td><td>0.3215</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Const)</td><td>1.0773</td><td>0.4479</td><td>0.4228</td><td>0.5309</td><td>0.5309</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Equil)</td><td>1.0773</td><td>0.4479</td><td>0.4228</td><td>0.3335</td><td>0.3335</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [158]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>1.0615</td><td>0.4247</td><td>-</td><td>-</td><td>-</td></tr><tr><td rowspan="4">0.1</td><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td>2.0035</td><td>0.4991</td><td>0.4991</td><td>0.3223</td><td>0.3223</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Const)</td><td>1.9950</td><td>0.4698</td><td>0.4422</td><td>0.4445</td><td>0.3320</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Equil)</td><td>1.9950</td><td>0.4698</td><td>0.4422</td><td>0.3375</td><td>0.4592</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [158]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>1.9764</td><td>0.4444</td><td>-</td><td>0.2203</td><td>0.3232</td></tr><tr><td rowspan="4">0.2</td><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td>5.6615</td><td>0.7022</td><td>0.7022</td><td>0.3144</td><td>0.3144</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Const)</td><td>5.6329</td><td>0.5755</td><td>0.5408</td><td>0.4612</td><td>0.4484</td></tr><tr><td>Khandelwal et al. [160]</td><td>FEM-Q9-HZZT (Equil)</td><td>5.6329</td><td>0.5755</td><td>0.5408</td><td>0.3399</td><td>0.3187</td></tr><tr><td>Chakrabarti et Sheikh [158]</td><td>FEM-T6-HZZT</td><td>5.6079</td><td>0.5516</td><td>-</td><td>0.2197</td><td>-</td></tr></tbody></table>

<footnote>* Valeurs de contraintes de cisaillement transversal obtenues à partir des relations constitutives</footnote>

<footnote>** Valeurs de contraintes de cisaillement transversal obtenues via des équations d'équilibres</footnote>
# PARTIE III

## APPLICATION DE L'ELEMENT QSFT52 POUR L'ETUDE DYNAMIQUE DES PLAQUES SANDWICHS ET DES STRATIFIEES
# Chapitre 5

## Vibration libre des plaques sandwichs et des composites stratifiées

### 5.1 Introduction

Dans le chapitre précédent, nous avons présenté la formulation et la validation d'un nouvel élément fini isoparamétrique, basé sur le modèle layerwise, proposé dans le chapitre 2. La bonne performance de cet élément, en statique, a été clairement démontrée à travers une série d'exemples numériques. Cependant, lorsqu'une structure est soumise à un chargement variable, il est raisonnable d'admettre que sa réponse varie aussi avec le temps. Dans ce cas, une analyse dynamique est indispensable. Dans ce chapitre, nous procédons à la validation de l'élément QSFT52 dans la résolution des problèmes de vibration libre des plaques isotropes, composites stratifiées et sandwichs. Les résultats des fréquences propres seront comparés à ceux déterminés analytiquement et à ceux obtenus à l'aide d'autres modèles d'éléments finis disponibles dans la littérature.

### 5.2 Revue des travaux antérieurs sur l'analyse dynamique des plaques multicouches et des sandwichs

D'après la littérature scientifique, on remarque qu'une quantité importante de travaux a été faite sur l'analyse statique de plaques composites stratifiées et sandwichs. Alors que les travaux concernant l'analyse dynamique des plaques stratifiées et notamment les plaques sandwichs sont plutôt rares.

Les premières études sur le comportement dynamique de plaques stratifiées ont été entreprises vers les années 1960 par Yu [282, 283], puis d'autres chercheurs, dont Srinivas et
Rao [284], Chan et Cheung [285], Noor [286], Ibrahim et al. [287], Reddy et Kuppusamy [288] et Wang et al. [289], qui ont effectué une analyse dynamique sur des plaques multicouches/sandwichs, en proposant des solutions analytiques, basées sur les équations d'élasticité tridimensionnelle.

En 1988, Kanematsu et al. [273] ont utilisé la méthode analytique de Rayleigh-Ritz pour étudier le comportement en vibration et en flexion des plaques sandwichs rectangulaires avec des peaux stratifiées. Ils ont également mené des expériences grâce à des techniques holographiques pour obtenir la flèche et les modes de vibration. Meunier et Shenoi [274] ont étudié la faisabilité de l'utilisation de méthodes analytiques, basées, soit sur la théorie du premier ordre, soit sur la théorie d'ordre supérieur de Reddy [78], pour analyser le comportement dynamique en vibration libre des plaques sandwichs simplement appuyées avec des peaux stratifiées de type FRP. De plus, les auteurs ont effectué une étude paramétrique, afin de montrer l'effet de certains paramètres, tels que les propriétés géométriques et mécaniques du matériau sur les fréquences naturelles. Plus tard, Kant et Swaminathan [290] ont proposé une formulation analytique basée sur des théories d'ordre supérieur, développée par Pandya et Kant [237], servant à l'analyse dynamique des plaques composites multicouches et sandwichs simplement appuyées. Les équations du mouvement sont obtenues en utilisant le principe de Hamilton. Récemment, Jam et al. [291] ont présenté un modèle de type layerwise pour étudier le comportement dynamique des structures en sandwich comprenant une âme flexible et des peaux stratifiées. Les peaux sont modélisées en utilisant la théorie du premier ordre, tandis que l'âme est modélisée en utilisant la théorie du troisième ordre. La formulation théorique de ce modèle est basée sur la méthode analytique de Navier. Dans cette formulation, les contraintes normales dans le plan de l'âme et leurs effets sur les valeurs des fréquences naturelles sont prises en compte.

Cependant, les solutions analytiques rencontrées dans les travaux cités ci-dessus, sont disponibles uniquement pour des cas de géométries et de conditions aux limites simples. Par conséquent, il est donc naturel de chercher d'autres techniques numériques telles que la méthode des éléments finis pour résoudre les problèmes dynamiques des structures composites multicouches et sandwichs ayant des géométries complexes et pour divers conditions aux limites.
De nombreux modèles d'éléments finis, basés sur des diverses théories, ont été proposés par les chercheurs. Khatua et Cheung [210] sont les premiers à prédire les fréquences naturelles de plaques sandwichs, en utilisant deux éléments finis de type triangulaire et rectangulaire. D'autre part, basant sur la théorie d'ordre supérieur de Reddy [78], Nayak et al. [277] ont élaboré deux éléments finis quadrilatères isoparamétriques $C^0$ (quatre et neuf nœuds), avec 7 ddl/nœud, afin d'étudier le comportement dynamique en vibration libre des plaques: isotropes, orthotropes, composites stratifiées et sandwichs. La matrice consistante de masse a été adoptée dans cette formulation. Ils ont utilisé la méthode ANS pour éviter le problème de verrouillage en cisaillement ainsi que les modes parasites. Les auteurs ont achevé leur travail par une étude paramétrique, afin d'étudier l'effet de l'anisotropie, le rapport d'aspect, le rapport longueur/épaisseur et le nombre de couches, sur la variation des fréquences naturelles. Par ailleurs, Khare et al. [292] ont utilisé un élément fini isoparamétrique quadrilatère à continuité $C^0$ pour étudier les vibrations libres des plaques sandwichs. La formulation de cet élément a été basée sur deux théories d'ordre supérieur, nommées HOST11 et HOST9. Une année plus tard, Garg et al. [293] ont présenté l'étude des vibrations libres des plaques biaises (skew) en matériaux composites stratifiés et sandwichs, en utilisant un élément fini isoparamétrique $C^0$, formulé sur la base de la théorie du troisième ordre, où les composants de champ des déplacements membranaires sont des fonctions cubiques et le déplacement transversal est supposé constant sur l'épaisseur de la plaque.

Basant sur l'approche layerwise, Lee et Fan [243] ont présenté un élément fini isoparamétrique à 9 nœuds avec 5 ddl/nœud, afin d'étudier la flexion et la vibration des plaques sandwichs. Cet élément a été formulé sur la base d'un nouveau modèle de type layerwise, où la théorie du premier ordre est utilisée pour modéliser les deux peaux, tandis que les déplacements au niveau de l'âme sont exprimés en fonction des déplacements des deux peaux. En outre, Nabarrete et al. [294] ont publié un travail concernant le développement d'un nouveau modèle de type layerwise pour l'analyse du comportement en vibration des plaques sandwichs avec des peaux stratifiées. Dans ce modèle, les peaux sont modélisées comme des plaques de Riessner-Mindlin, tandis que l'âme est modélisée en utilisant la théorie du troisième ordre, où le champ de déplacement est cubique pour les composantes *u*, *v* et quadratique pour la composante *w*, dans le sens de l'épaisseur. En partant de ce modèle, les auteurs ont construit un élément fini tridimensionnel (3D) contenant 240 degrés de liberté. Citons aussi l'article de Roque et ses collègues [295] qui a été concentré sur
l'utilisation de la théorie layerwise trigonométrique pour l'analyse de la vibration libre des plaques stratifiées et sandwichs. Dans leur travail, la formulation de point fini (Meshless Discretization Method), basée sur la méthode des Fonctions à Base Radiale multiquadrique « Radial Basis Functions » (RBFs), a été utilisée. Les équations du mouvement et les conditions aux limites sont dérivées et interpolées via la méthode RBFs. Dans un autre ordre d'idées, la théorie global-local d'ordre supérieur (GLHSDT), présentée par Zhen et Wanji [192] pour l'analyse de la flexion des plaques, a été étendue par Zhen et al. [296], afin d'être applicable dans les domaines des vibrations libres des plaques stratifiées composites et sandwichs. En partant de ce modèle, un élément fini isoparamétrique $C^0$ à huit nœuds a été formulé. En plus, les auteurs ont donné des solutions analytiques, basées sur le principe de Hamilton et la technique de Navier, aux problèmes des plaques composites simplement appuyées. Plus récemment, Elmalich et Rabinovitch [297] ont entrepris une analyse de dynamique sur les plaques sandwichs, en employant un élément fini de forme rectangulaire à continuité $C^0$. La formulation de cet élément est basée sur l'utilisation d'un nouveau modèle layerwise, où les peaux sont représentées par la théorie du premier ordre et l'âme est représentée par la théorie du troisième ordre.

Basant sur la théorie de zig-zag d'ordre supérieur, Chakrabarti et Sheikh [298] ont exploité le potentiel de leur élément, développé précédemment par les auteurs présents [299], dans des analyses de vibration libre des plaques multicouches et sandwichs avec des peaux stratifiées. Cet élément est un triangle à six nœuds avec 7 ddl/nœud. Ce dernier a présenté des résultats satisfaisants, cependant, le seul problème signalé est que cet élément nécessite la continuité $C^1$ de déplacement transversal aux interfaces. D'autre part, Kulkarni et Kapuria [300] ont exploité le potentiel des éléments DKQ<fnref n="35" /> et IDKQ<fnref n="36" />, développés respectivement par Batoz et Tahar [301] et Jeyachandrabose et al. [302], pour analyser le comportement dynamique des plaques stratifiées composites et sandwichs. Ces deux éléments ont été formulés en se basant sur la théorie de zig-zag du troisième ordre (ZIGT)<fnref n="37" />. Le principe de Hamilton est adopté afin de calculer la matrice de masse consistante, la matrice de rigidité élémentaire et le vecteur de charge. De plus, les auteurs ont tenté d'étudier l'effet des fonctions d'interpolation des éléments DKQ et IDKQ sur la précision des éléments de type quadrilatères, basés sur les théories d'ordre supérieur et zig-zag. En 2013, Chalak et al. [303]

<footnote n="35">³⁵ Discret Kirchhoff Quadrilateral</footnote>

<footnote n="36">³⁶ Improved Discret Kirchhoff Quadrilateral</footnote>

<footnote n="37">³⁷ Third-order Zig-zag Theory</footnote>
ont élaboré un modèle d'élément fini efficace, à continuité ($C^0$), destiné pour l'analyse dynamique des plaques sandwichs à âme molle et peaux stratifiées. L'élément est un quadrilatère isoparamétrique à 9 nœuds et 11ddl/nœud, formulé sur la base de la théorie de zig-zag d'ordre supérieur (HZZT). Ce modèle a fourni des résultats très satisfaisants pour les fréquences naturelles par rapport aux autres théories 2D citées en littérature. Une année plus tard, d'autres scientifiques, dont Sahoo et Singh [304] ont présenté une nouvelle théorie de type zig-zag trigonométrique (TZZT)<fnref n="38" />, dans laquelle, un élément fini isoparamétrique à huit nœuds avec sept variables nodales, a été développé. Ce modèle est destiné pour l'étude des réponses des structures composites stratifiées et sandwichs, aux vibrations et flambement.

## 5.3 Formulation da la matrice masse consistante élémentaire du modèle QSFT52

La formulation de la matrice masse élémentaire est nécessaire pour évaluer le comportement dynamique des plaques multicouches en vibrations libres. Elle a été développée à partir de l'expression de l'énergie cinétique $T$ qui est exprimée, pour les trois couches des sandwichs, comme suit:

$$ \delta T = \delta T_t + \delta T_c + \delta T_b \quad (5.1) $$

$$ \delta T = \int_{V_t} \rho_t (\ddot{u}_t \delta u_t + \ddot{v}_t \delta v_t + \ddot{w}_t \delta w_t) dV_t + \int_{V_c} \rho_c (\ddot{u}_c \delta u_c + \ddot{v}_c \delta v_c + \ddot{w}_c \delta w_c) dV_c + \int_{V_b} \rho_b (\ddot{u}_b \delta u_b + \ddot{v}_b \delta v_b + \ddot{w}_b \delta w_b) dV_b \quad (5.2) $$

où

$u_i$, $v_i$ et $w_i$ sont les composantes du vecteur de déplacement pour les trois couches du sandwich ($i=t,c,b$), $\rho_i$ et $V_i$ sont respectivement la densité du matériau et le volume de chaque couche du sandwich ($i=t,c,b$); et (·) est une dérivée seconde par rapport au temps.

### a. Énergie cinétique de l'âme

D'après le champ de déplacement de l'âme qui est défini par l'équation (2.1), l'énergie cinétique de l'âme peut être exprimée comme suit:

<footnote n="38">³⁸ Trigonometric Zig-zag Theory</footnote>
$$
\begin{align}
\delta T_c = \int_{\Omega_0} & \left[ I_0 (\ddot{u}_0 \delta u_0 + \ddot{v}_0 \delta v_0 + \ddot{w}_0 \delta w_0) + I_1 (\ddot{u}_0 \delta \psi_x^c + \ddot{\psi}_x^c \delta u_0 + \ddot{v}_0 \delta \psi_y^c + \ddot{\psi}_y^c \delta v_0) \right. \nonumber \\
& \left. + I_2 (\ddot{u}_0 \delta \eta_x^c + \ddot{\psi}_x^c \delta \psi_x^c + \ddot{\eta}_x^c \delta u_0 + \ddot{v}_0 \delta \eta_y^c + \ddot{\psi}_y^c \delta \psi_y^c + \ddot{\eta}_y^c \delta v_0) \right. \nonumber \\
& \left. + I_3 (\ddot{u}_0 \delta \zeta_x^c + \ddot{\psi}_x^c \delta \eta_x^c + \ddot{\eta}_x^c \delta \psi_x^c + \ddot{\zeta}_x^c \delta u_0 + \ddot{v}_0 \delta \zeta_y^c + \ddot{\psi}_y^c \delta \eta_y^c + \ddot{\eta}_y^c \delta \psi_y^c + \ddot{\zeta}_y^c \delta v_0) \right] \tag{5.3} \\
& + I_4 (\ddot{\psi}_x^c \delta \zeta_x^c + \ddot{\eta}_x^c \delta \eta_x^c + \ddot{\zeta}_x^c \delta \psi_x^c + \ddot{\psi}_y^c \delta \zeta_y^c + \ddot{\eta}_y^c \delta \eta_y^c + \ddot{\zeta}_y^c \delta \psi_y^c) \nonumber \\
& + I_5 (\ddot{\eta}_x^c \delta \zeta_x^c + \ddot{\zeta}_x^c \delta \eta_x^c + \ddot{\eta}_y^c \delta \zeta_y^c + \ddot{\zeta}_y^c \delta \eta_y^c) + I_6 (\ddot{\zeta}_x^c \delta \zeta_x^c + \ddot{\zeta}_y^c \delta \zeta_y^c) \nonumber
\end{align}
$$

Où les moments d'inerties $I_i = (0,1,2,3,4,5$ et $6)$ de l'âme sont définis par:

$$
(I_0, I_1, I_2, I_3, I_4, I_5, I_6) = \int_{-\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c}{2}} \rho_c (1, z, z^2, z^3, z^4, z^5, z^6) dz \quad (5.4)
$$

b. Énergie cinétique de la peau supérieure

L'énergie cinétique de la peau supérieure est exprimée à partir de l'expression du
champ de déplacement (2.8), telle que:

$$
\begin{align}
\delta T_t = \int_{\Omega_0} & \left[ I_{0t} \left( \ddot{u}_0 \delta u_0 + \ddot{u}_0 \left(\frac{h_c}{2}\right) \delta \psi_x^c + \ddot{u}_0 \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \delta \eta_x^c + \ddot{u}_0 \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \delta \zeta_x^c + \ddot{u}_0 \left(-\frac{h_c}{2}\right) \delta \psi_x^t \right. \right. \nonumber \\
& \left. \left. + \ddot{v}_0 \delta v_0 + \ddot{v}_0 \left(\frac{h_c}{2}\right) \delta \psi_y^c + \ddot{v}_0 \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \delta \eta_y^c + \ddot{v}_0 \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \delta \zeta_y^c + \ddot{v}_0 \left(-\frac{h_c}{2}\right) \delta \psi_y^t + \ddot{w}_0 \delta w_0 \right) \right. \nonumber \\
& + I_{0t} \left( \left(\frac{h_c}{2}\right) \ddot{\psi}_x^c \delta u_0 + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \ddot{\psi}_x^c \delta \psi_x^c + \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\psi}_x^c \delta \eta_x^c + \left(\frac{h_c^4}{16}\right) \ddot{\psi}_x^c \delta \zeta_x^c + \left(-\frac{h_c^2}{4}\right) \ddot{\psi}_x^c \delta \psi_x^t \right. \nonumber \\
& \left. + \left(\frac{h_c}{2}\right) \ddot{\psi}_y^c \delta v_0 + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \ddot{\psi}_y^c \delta \psi_y^c + \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\psi}_y^c \delta \eta_y^c + \left(\frac{h_c^4}{16}\right) \ddot{\psi}_y^c \delta \zeta_y^c + \left(-\frac{h_c^2}{4}\right) \ddot{\psi}_y^c \delta \psi_y^t \right) \right. \nonumber \\
& + I_{0t} \left( \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \ddot{\eta}_x^c \delta u_0 + \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\eta}_x^c \delta \psi_x^c + \left(\frac{h_c^4}{16}\right) \ddot{\eta}_x^c \delta \eta_x^c + \left(\frac{h_c^5}{32}\right) \ddot{\eta}_x^c \delta \zeta_x^c + \left(-\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\eta}_x^c \delta \psi_x^t \right. \nonumber \\
& \left. + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \ddot{\eta}_y^c \delta v_0 + \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\eta}_y^c \delta \psi_y^c + \left(\frac{h_c^4}{16}\right) \ddot{\eta}_y^c \delta \eta_y^c + \left(\frac{h_c^5}{32}\right) \ddot{\eta}_y^c \delta \zeta_y^c + \left(-\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\eta}_y^c \delta \psi_y^t \right) \right. \nonumber \\
& + I_{0t} \left( \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\zeta}_x^c \delta u_0 + \left(\frac{h_c^4}{16}\right) \ddot{\zeta}_x^c \delta \psi_x^c + \left(\frac{h_c^5}{32}\right) \ddot{\zeta}_x^c \delta \eta_x^c + \left(\frac{h_c^6}{64}\right) \ddot{\zeta}_x^c \delta \zeta_x^c + \left(-\frac{h_c^4}{16}\right) \ddot{\zeta}_x^c \delta \psi_x^t \right. \right. \nonumber \\
& \left. \left. + \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\zeta}_y^c \delta v_0 + \left(\frac{h_c^4}{16}\right) \ddot{\zeta}_y^c \delta \psi_y^c + \left(\frac{h_c^5}{32}\right) \ddot{\zeta}_y^c \delta \eta_y^c + \left(\frac{h_c^6}{64}\right) \ddot{\zeta}_y^c \delta \zeta_y^c + \left(-\frac{h_c^4}{16}\right) \ddot{\zeta}_y^c \delta \psi_y^t \right) \right] \tag{5.5}
\end{align}
$$
$$
\begin{align*}
&+I_{0t} \left( \left( -\frac{h_c}{2} \right) \ddot{\psi}_x^t \delta u_0 + \left( -\frac{h_c^2}{4} \right) \ddot{\psi}_x^t \delta \psi_x^c + \left( -\frac{h_c^3}{8} \right) \ddot{\psi}_x^t \delta \eta_x^c + \left( -\frac{h_c^4}{16} \right) \ddot{\psi}_x^t \delta \zeta_x^c + \left( \frac{h_c^2}{4} \right) \ddot{\psi}_x^t \delta \psi_x^t \right. \\
&\qquad \left. + \left( -\frac{h_c}{2} \right) \ddot{\psi}_y^t \delta v_0 + \left( -\frac{h_c^2}{4} \right) \ddot{\psi}_y^t \delta \psi_y^c + \left( -\frac{h_c^3}{8} \right) \ddot{\psi}_y^t \delta \eta_y^c + \left( -\frac{h_c^4}{16} \right) \ddot{\psi}_y^t \delta \zeta_y^c + \left( \frac{h_c^2}{4} \right) \ddot{\psi}_y^t \delta \psi_y^t \right) \\
&+I_{1t} \left( \ddot{u}_0 \delta \psi_x^t + \left( \frac{h_c}{2} \right) \ddot{\psi}_x^c \delta \psi_x^t + \left( \frac{h_c^2}{4} \right) \ddot{\eta}_x^c \delta \psi_x^t + \left( \frac{h_c^3}{8} \right) \ddot{\zeta}_x^c \delta \psi_x^t + \left( -\frac{h_c}{2} \right) \ddot{\psi}_x^t \delta \psi_x^t \right. \\
&\qquad \left. + \ddot{v}_0 \delta \psi_y^t + \left( \frac{h_c}{2} \right) \ddot{\psi}_y^c \delta \psi_y^t + \left( \frac{h_c^2}{4} \right) \ddot{\eta}_y^c \delta \psi_y^t + \left( \frac{h_c^3}{8} \right) \ddot{\zeta}_y^c \delta \psi_y^t \left( -\frac{h_c}{2} \right) \ddot{\psi}_y^t \delta \psi_y^t \right) \\
&+I_{2t} \left( \ddot{\psi}_x^t \delta u_0 + \left( \frac{h_c}{2} \right) \ddot{\psi}_x^t \delta \psi_x^c + \left( \frac{h_c^2}{4} \right) \ddot{\psi}_x^t \delta \eta_x^c + \left( \frac{h_c^3}{8} \right) \ddot{\psi}_x^t \delta \zeta_x^c + \left( -\frac{h_c}{2} \right) \ddot{\psi}_x^t \delta \psi_x^t \right. \\
&\qquad \left. + \ddot{\psi}_y^t \delta v_0 + \left( \frac{h_c}{2} \right) \ddot{\psi}_y^t \delta \psi_y^c + \left( \frac{h_c^2}{4} \right) \ddot{\psi}_y^t \delta \eta_y^c + \left( \frac{h_c^3}{8} \right) \ddot{\psi}_y^t \delta \zeta_y^c + \left( -\frac{h_c}{2} \right) \ddot{\psi}_y^t \delta \psi_y^t \right) \\
&+I_{3t} \left( \ddot{\psi}_x^t \delta \psi_x^t + \ddot{\psi}_y^t \delta \psi_y^t \right) \right] dxdy
\end{align*}
$$

Où les moments d'inerties $I_{it} = (0,1 \text{ et } 2)$ de la peau supérieure, pour une stratification de $n$ couches, sont donnés par:

$$ (I_{0t}, I_{1t}, I_{2t}) = \int_{\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c+h_t}{2}} \rho_t (1, z, z^2) dz = \sum_{k=1}^{n \text{ layer}} \rho_t \int_{h^k}^{h^{k+1}} (1, z, z^2) dz \quad (5.6) $$

### c. Énergie cinétique de la peau inférieure

D'une manière similaire, l'énergie cinétique de la peau inférieure est exprimée à partir de l'expression du champ de déplacement (2.11) telle que:

$$
\begin{align}
\delta T_b = \int_{\Omega_0} & \left[ I_{0b} \left( \ddot{u}_0 \delta u_0 + \ddot{u}_0 \left(-\frac{h_c}{2}\right) \delta \psi_x^c + \ddot{u}_0 \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \delta \eta_x^c + \ddot{u}_0 \left(-\frac{h_c^3}{8}\right) \delta \zeta_x^c + \ddot{u}_0 \left(\frac{h_c}{2}\right) \delta \psi_x^b \right. \right. \nonumber \\
& \left. \left. + \ddot{v}_0 \delta v_0 + \ddot{v}_0 \left(-\frac{h_c}{2}\right) \delta \psi_y^c + \ddot{v}_0 \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \delta \eta_y^c + \ddot{v}_0 \left(-\frac{h_c^3}{8}\right) \delta \zeta_y^c + \ddot{v}_0 \left(\frac{h_c}{2}\right) \delta \psi_y^b + \ddot{v}_0 \delta w_0 \right) \right. \nonumber \\
& \left. + I_{0b} \left( \left(-\frac{h_c}{2}\right) \ddot{\psi}_x^c \delta u_0 + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \ddot{\psi}_x^c \delta \psi_x^c + \left(-\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\psi}_x^c \delta \eta_x^c + \left(\frac{h_c^4}{16}\right) \ddot{\psi}_x^c \delta \zeta_x^c + \left(-\frac{h_c^2}{4}\right) \ddot{\psi}_x^c \delta \psi_x^b \right) \right. \nonumber \\
& \left. + \left(-\frac{h_c}{2}\right) \ddot{\psi}_y^c \delta v_0 + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \ddot{\psi}_y^c \delta \psi_y^c + \left(-\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\psi}_y^c \delta \eta_y^c + \left(\frac{h_c^4}{16}\right) \ddot{\psi}_y^c \delta \zeta_y^c + \left(-\frac{h_c^2}{4}\right) \ddot{\psi}_y^c \delta \psi_y^b \right) \right. \nonumber \\
& \left. + I_{0b} \left( \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \ddot{\eta}_x^c \delta u_0 + \left(-\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\eta}_x^c \delta \psi_x^c + \left(\frac{h_c^4}{16}\right) \ddot{\eta}_x^c \delta \eta_x^c + \left(-\frac{h_c^5}{32}\right) \ddot{\eta}_x^c \delta \zeta_x^c + \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\eta}_x^c \delta \psi_x^b \right) \right] dxdy
\end{align}
$$
$$
\begin{aligned}
& + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \ddot{\eta}_y^c \delta v_0 + \left(-\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\eta}_y^c \delta \psi_y^c + \left(\frac{h_c^4}{16}\right) \ddot{\eta}_y^c \delta \eta_y^c + \left(-\frac{h_c^5}{32}\right) \ddot{\eta}_y^c \delta \zeta_y^c + \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\eta}_y^c \delta \psi_y^b \\
& + I_{0b} \left( \left(-\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\zeta}_x^c \delta u_0 + \left(\frac{h_c^4}{16}\right) \ddot{\zeta}_x^c \delta \psi_x^c + \left(-\frac{h_c^5}{32}\right) \ddot{\zeta}_x^c \delta \eta_x^c + \left(\frac{h_c^6}{64}\right) \ddot{\zeta}_x^c \delta \zeta_x^c + \left(-\frac{h_c^4}{16}\right) \ddot{\zeta}_x^c \delta \psi_x^b \right. \\
& \qquad \left. + \left(-\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\zeta}_y^c \delta v_0 + \left(\frac{h_c^4}{16}\right) \ddot{\zeta}_y^c \delta \psi_y^c + \left(-\frac{h_c^5}{32}\right) \ddot{\zeta}_y^c \delta \eta_y^c + \left(\frac{h_c^6}{64}\right) \ddot{\zeta}_y^c \delta \zeta_y^c + \left(-\frac{h_c^4}{16}\right) \ddot{\zeta}_y^c \delta \psi_y^b \right) \\
& + I_{0b} \left( \left(\frac{h_c}{2}\right) \ddot{\psi}_x^b \delta u_0 + \left(-\frac{h_c^2}{4}\right) \ddot{\psi}_x^b \delta \psi_x^c + \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\psi}_x^b \delta \eta_x^c + \left(-\frac{h_c^4}{16}\right) \ddot{\psi}_x^b \delta \zeta_x^c + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \ddot{\psi}_x^b \delta \psi_x^b \right. \\
& \qquad \left. + \left(\frac{h_c}{2}\right) \ddot{\psi}_y^b \delta v_0 + \left(-\frac{h_c^2}{4}\right) \ddot{\psi}_y^b \delta \psi_y^c + \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\psi}_y^b \delta \eta_y^c + \left(-\frac{h_c^4}{16}\right) \ddot{\psi}_y^b \delta \zeta_y^c + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \ddot{\psi}_y^b \delta \psi_y^b \right) \\
& + I_{1b} \left( \ddot{u}_0 \delta \psi_x^b + \left(-\frac{h_c}{2}\right) \ddot{\psi}_x^c \delta \psi_x^b + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \ddot{\eta}_x^c \delta \psi_x^b + \left(-\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\zeta}_x^c \delta \psi_x^b + \left(\frac{h_c}{2}\right) \ddot{\psi}_x^b \delta \psi_x^b \right. \\
& \qquad \left. + \ddot{v}_0 \delta \psi_y^b + \left(-\frac{h_c}{2}\right) \ddot{\psi}_y^c \delta \psi_y^b + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \ddot{\eta}_y^c \delta \psi_y^b + \left(-\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\zeta}_y^c \delta \psi_y^b \left(\frac{h_c}{2}\right) \ddot{\psi}_y^b \delta \psi_y^b \right) \\
& + I_{1b} \left( \ddot{\psi}_x^b \delta u_0 + \left(-\frac{h_c}{2}\right) \ddot{\psi}_x^b \delta \psi_x^c + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \ddot{\psi}_x^b \delta \eta_x^c + \left(-\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\psi}_x^b \delta \zeta_x^c + \left(\frac{h_c}{2}\right) \ddot{\psi}_x^b \delta \psi_x^b \right. \\
& \qquad \left. + \ddot{\psi}_y^b \delta v_0 + \left(-\frac{h_c}{2}\right) \ddot{\psi}_y^b \delta \psi_y^c + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \ddot{\psi}_y^b \delta \eta_y^c + \left(-\frac{h_c^3}{8}\right) \ddot{\psi}_y^b \delta \zeta_y^c + \left(\frac{h_c}{2}\right) \ddot{\psi}_y^b \delta \psi_y^b \right) \right) \\
& + I_{2b} \left( \ddot{\psi}_x^b \delta \psi_x^b + \ddot{\psi}_y^b \delta \psi_y^b \right) \Bigg] dxdy
\end{aligned}
$$

Où les moments d'inerties $I_{ib} = (0,1 \text{ et } 2)$ de la peau inférieure, pour une stratification de $n$ couches, sont donnés par:

$$ (I_{0b}, I_{1b}, I_{2b}) = \int_{-\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c}{2}} \rho_b (1, z, z^2) dz = \sum_{k=1}^{n \text{ layer}} \rho_b \int_{h^k}^{h^{k+1}} (1, z, z^2) dz \quad (5.8) $$

À partir de l'équation 5.2, la matrice de masse consistante élémentaire (consistent mass matrix) $[M_e]$ de la plaque est définie par la somme des trois matrices de chaque constituant (deux peaux et l'âme), en employant l'intégration numérique de Gauss (2×2). En introduisant les fonctions de forme de l'élément, la matrice masse s'écrit comme suit:

$$ [M_e] = \sum_e \int_{-1}^{1} \int_{-1}^{1} \left( [N]^T [m^{(t)}] [N] + [N]^T [m^{(c)}] [N] + [N]^T [m^{(b)}] [N] \right) \det(J) d\xi d\eta \quad (5.9) $$
Où $[m^{(t)}]$, $[m^{(c)}]$ et $[m^{(b)}]$ sont respectivement les matrices de masse de la peau supérieure, de l'âme et de la peau inférieure, contenant des termes d'inertie; et $[N]$ est la matrice d'interpolation de l'élément qui est donnée par:

$$[N] = \begin{bmatrix} N_i & & & & & & & \\ & N_i & & & & & & \\ & & N_i & & & & & \\ & & & N_i & & & & \\ & & & & N_i & & & \\ & & & & & N_i & & \\ & & & & & & N_i & \\ & & & & & & & N_i \\ & & & & & & & & N_i \\ & & & & & & & & & N_i \end{bmatrix}, i=1 \text{ à } 4 \quad (5.10)$$

L'équation dynamique de la structure sandwich, en l'absence de charges extérieures, est obtenue en utilisant le principe de Hamilton (Eq. 5.11), soit:

$$\delta \int_{t_1}^{t_2} (U - W - T) dt = 0 \quad (5.11)$$

Ce qui conduit à l'équation usuelle:

$$[M_T]\{\ddot{\delta}\} + [K_T]\{\delta\} = 0 \quad (5.12)$$

Où $[M_T]$ et $[K_T]$ sont respectivement les matrices globales de masse et de rigidité de la plaque, $\{\delta\}$ et $\{\ddot{\delta}\}$ sont respectivement le vecteur des variables nodales et le vecteur d'accélération nodale du système défini au temps $t$.

Après avoir évalué la matrice de rigidité et la matrice de masse pour tous les éléments, les équations du mouvement, pour l'analyse de la vibration libre, peuvent être établies sous la forme de problème aux valeurs propres généralisées comme suit:

$$[K_T]\{\chi\} - \omega^2 [M_T]\{\chi\} = 0 \quad (5.13)$$
Où $\omega$ est la fréquence naturelle associée au mode $i$ et $\{\chi\}$ sont les modes de vibration.

## 5.4 Tests de validation

### 5.4.1 Plaque isotrope carrée avec différents types de conditions aux limites

On considère une plaque isotrope carrée avec un rapport d'épaisseur $a/h=10$. Les propriétés mécaniques du matériau sont: $E = 10.92$, $\nu = 0.3$ et $\rho = 1$. Un maillage de 12×12 a été utilisé. Les résultats de la fréquence naturelle ($\bar{\omega}$), normalisés par la formule (5.14), sont présentés dans le tableau 5.1 avec différents types de conditions aux limites.

$$ \bar{\omega} = \omega a \sqrt{\frac{\rho}{G}} \qquad (5.14) $$

On peut remarquer que les résultats obtenus par le présent élément QSFT52 sont en bon accord avec ceux obtenus par Ferreira [305] qui a utilisé un élément quadrilatère à quatre nœuds formulé sur la base de la théorie du premier ordre.

### 5.4.2 Plaques composites stratifiées carrées de trois, cinq et neuf couches (0/90/.../0)

Dans cet exemple, l'effet du nombre de couches ($n$) ainsi que l'effet de l'anisotropie ($E_{11}/E_{22}$) sur la fréquence fondamentale ($\bar{\omega}_1$) d'une plaque stratifiée carrée simplement appuyée sont étudiées. Trois types de stratifications croisées de trois (0/90/0), cinq (0/90/0/90/0) et neuf (0/90/0/90/0/90/0/90/0) couches, en gardant la même épaisseur totale, sont analysés pour un rapport d'épaisseur $a/h=5$. Les caractéristiques mécaniques de chaque couche sont les suivantes:

$$ \frac{G_{12}}{E_{22}} = \frac{G_{13}}{E_{22}} = 0.6, $$

$$ \frac{G_{23}}{E_{22}} = 0.5, $$

$$ \nu_{12} = 0.25, \quad \rho = 1.0 $$
<table><caption>**Tableau 5.1** Fréquences propres ($\bar{\omega}$) d'une plaque carrée isotrope avec différents types de conditions aux limites</caption><thead><tr><th>Conditions aux limites</th><th>Modes</th><th>m</th><th>N</th><th>Présent élément QSFT52</th><th>Ferreira [305] FEM-Q4-FSDT</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="8">SSSS</td><td>1st</td><td>1</td><td>1</td><td>0.0946</td><td>0.0934</td></tr><tr><td>2nd</td><td>2</td><td>1</td><td>0.2285</td><td>0.2254</td></tr><tr><td>3rd</td><td>1</td><td>2</td><td>0.2285</td><td>0.2254</td></tr><tr><td>4th</td><td>2</td><td>2</td><td>0.3459</td><td>0.3459</td></tr><tr><td>5th</td><td>3</td><td>1</td><td>0.4364</td><td>0.4303</td></tr><tr><td>6th</td><td>1</td><td>3</td><td>0.4364</td><td>0.4303</td></tr><tr><td>7th</td><td>3</td><td>2</td><td>0.5349</td><td>0.5353</td></tr><tr><td>8th</td><td>2</td><td>3</td><td>0.5349</td><td>0.5353</td></tr><tr><td rowspan="8">CCCC</td><td>1st</td><td>1</td><td>1</td><td>0.1656</td><td>0.1595</td></tr><tr><td>2nd</td><td>2</td><td>1</td><td>0.3221</td><td>0.3066</td></tr><tr><td>3rd</td><td>1</td><td>2</td><td>0.3221</td><td>0.3066</td></tr><tr><td>4th</td><td>2</td><td>2</td><td>0.4494</td><td>0.4292</td></tr><tr><td>5th</td><td>3</td><td>1</td><td>0.5495</td><td>0.5123</td></tr><tr><td>6th</td><td>1</td><td>3</td><td>0.5546</td><td>0.5173</td></tr><tr><td>7th</td><td>3</td><td>2</td><td>0.6539</td><td>0.6158</td></tr><tr><td>8th</td><td>2</td><td>3</td><td>0.6539</td><td>0.6158</td></tr><tr><td rowspan="8">SCSC</td><td>1st</td><td>1</td><td>1</td><td>0.1350</td><td>0.1294</td></tr><tr><td>2nd</td><td>2</td><td>1</td><td>0.2513</td><td>0.2397</td></tr><tr><td>3rd</td><td>1</td><td>2</td><td>0.3071</td><td>0.2929</td></tr><tr><td>4th</td><td>2</td><td>2</td><td>0.4041</td><td>0.3839</td></tr><tr><td>5th</td><td>3</td><td>1</td><td>0.4590</td><td>0.4347</td></tr><tr><td>6th</td><td>1</td><td>3</td><td>0.5426</td><td>0.5135</td></tr><tr><td>7th</td><td>3</td><td>2</td><td>0.5834</td><td>0.5509</td></tr><tr><td>8th</td><td>2</td><td>3</td><td>0.6252</td><td>0.5897</td></tr></tbody></table>

Les résultats de la fréquence fondamentale qui sont obtenus à l'aide d'un maillage de 12×12 sont rapportés dans le tableau 5.2 pour les trois types de stratifications. D'après ce tableau, on observe une excellente corrélation entre les résultats obtenus par l'élément développé (QSFT52) et les résultats obtenus par la solution d'élasticité-3D, donnée par Noor [286], ainsi que ceux obtenus par des modèles d'éléments finis basés sur différentes théories:

* FEM-Q8-GLHSDT: Élément fini quadrilatère à huit nœuds, basé sur la théorie global-local d'ordre supérieur, présenté par Zhen et al. [296]

* FEM-Q4-LW: Élément fini quadrilatère à quatre nœuds, basé sur l'approche layerwise, présenté par Marjanović et Vuksanović [306]
* FEM-Q9-LW: Élément fini quadrilatère à neuf nœuds, basé sur l'approche layerwise, présenté par Marjanović et Vuksanović [306]

* FEM-Q9-HSDT: Élément fini quadrilatère à neuf nœuds, basé sur la théorie d'ordre supérieur de Reddy, présenté par Nayak et al. [277]

Afin de mettre en évidence l'effet de l'anisotropie ($E_{11}/E_{22}$) sur la fréquence fondamentale ($\bar{\omega}_1$) d'une plaque stratifiée carrée simplement appuyée, nous avons illustré les résultats réunis dans le tableau 5.2 sur la figure 5.1. D'après cette dernière, on remarque que les trois courbes ont pratiquement la même allure et que les valeurs des fréquences fondamentales augmentent avec l'augmentation du rapport d'anisotropie.

### 5.4.3 Plaque sandwich carrée simplement appuyée ($f/c/f$)

Cet exemple a été initialement traité par Srinivas et Rao [284] et Di Sciuva [150]. Il s'agit d'une plaque sandwich carrée simplement appuyée ayant des peaux orthotropes. L'épaisseur de chaque peau est égale à 0.1 h et celle de l'âme est 0.8 h, où h est l'épaisseur totale de la plaque. Les propriétés matérielles de peaux ($P_p$) sont exprimées en fonction des propriétés du cœur ($P_c$); ($P_p/P_c = R$) où R = 1, 2, 5, 10 et 15. Les propriétés matérielles du cœur sont:

$$ \frac{E_{22}}{E_{11}} = 0.543, \quad \frac{G_{12}}{E_{11}} = 0.2629, \quad \frac{G_{13}}{E_{11}} = 0.1599, $$

$$ \frac{G_{23}}{E_{11}} = 0.2668, \quad \nu_{12} = 0.3 \text{ et } \rho = 1.0 $$

La fréquence fondamentale est normalisée par la formule suivante:

$$ \bar{\omega} = 100 \sqrt{\omega \frac{\rho h^2}{E_{11}}} \qquad (5.15) $$

Les résultats de la première fréquence propre obtenue dans la présente analyse sont présentés dans le tableau 5.3 avec les solutions d'élasticité 3D de Srinivas et Rao [284] et celles de Di Sciuva [150]. Les résultats de l'élément QSFT52 sont en bon accord avec les résultats d'élasticités 3D.
<table><caption>**Tableau 5.2** Effet de l'anisotropie ($E_{11}/E_{22}$) sur la fréquence fondamentale ($\bar{\omega}_1$) de plaques stratifiées carrées (0/90/.../0) simplement appuyée</caption><thead><tr><th rowspan="2">Références</th><th rowspan="2">Modèles EF</th><th rowspan="2">Nbr de couches</th><th colspan="4">E<sub>11</sub>/E<sub>22</sub></th></tr><tr><th>3</th><th>10</th><th>20</th><th>30</th></tr></thead><tbody><tr><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td></td><td>0.2646</td><td>0.3252</td><td>0.3640</td><td>0.3840</td></tr><tr><td>Noor [286]</td><td>3D-Elasticity</td><td></td><td>0.2647</td><td>0.3284</td><td>0.3842</td><td>0.4109</td></tr><tr><td>Vuksanović [307]</td><td>CPLT</td><td></td><td>0.2920</td><td>0.4126</td><td>0.5404</td><td>0.6434</td></tr><tr><td>Owen et Li [308]</td><td>RHSDT</td><td></td><td>0.2695</td><td>0.3392</td><td>0.3898</td><td>0.4194</td></tr><tr><td>Vuksanović [307]</td><td>HSDT</td><td>[0/90/0]</td><td>0.2673</td><td>0.3318</td><td>0.3749</td><td>0.4015</td></tr><tr><td>Marjanović et Vuksanović [306]</td><td>FEM-Q9-LW</td><td></td><td>0.2621</td><td>0.3262</td><td>0.3691</td><td>0.3927</td></tr><tr><td>Marjanović et Vuksanović [306]</td><td>FEM-Q4-LW</td><td></td><td>0.2683</td><td>0.3297</td><td>0.3685</td><td>0.3886</td></tr><tr><td>Nayak et al. [277]</td><td>FEM-Q9-HSDT</td><td></td><td>0.2623</td><td>0.3264</td><td>0.3667</td><td>0.3941</td></tr><tr><td>Zhen et al. [296]</td><td>FEM-Q8-GLHSDT</td><td></td><td>0.2620</td><td>0.3258</td><td>0.3688</td><td>0.3928</td></tr><tr><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td></td><td>0.2662</td><td>0.3404</td><td>0.3966</td><td>0.4300</td></tr><tr><td>Noor [286]</td><td>3D-Elasticity</td><td></td><td>0.2659</td><td>0.3409</td><td>0.3979</td><td>0.4314</td></tr><tr><td>Vuksanović [307]</td><td>CPLT</td><td></td><td>0.2920</td><td>0.4126</td><td>0.5404</td><td>0.6434</td></tr><tr><td>Owen et Li [308]</td><td>RHSDT</td><td></td><td>0.2699</td><td>0.3453</td><td>0.4030</td><td>0.4370</td></tr><tr><td>Vuksanović [307]</td><td>HSDT</td><td>[0/90/0/90/0]</td><td>0.2684</td><td>0.3442</td><td>0.3939</td><td>0.4269</td></tr><tr><td>Marjanović et Vuksanović [306]</td><td>FEM-Q9-LW</td><td></td><td>0.2618</td><td>0.3330</td><td>0.3858</td><td>0.4166</td></tr><tr><td>Marjanović et Vuksanović [306]</td><td>FEM-Q4-LW</td><td></td><td>0.2683</td><td>0.3396</td><td>0.3918</td><td>0.4219</td></tr><tr><td>Nayak et al. [277]</td><td>FEM-Q9-HSDT</td><td></td><td>0.2636</td><td>0.3372</td><td>0.3929</td><td>0.4257</td></tr><tr><td>Présent élément</td><td>QSFT52</td><td></td><td>0.2672</td><td>0.3459</td><td>0.4086</td><td>0.4467</td></tr><tr><td>Noor [286]</td><td>3D-Elasticity</td><td></td><td>0.2664</td><td>0.3443</td><td>0.4054</td><td>0.4421</td></tr><tr><td>Nayak et al. [277]</td><td>FEM-Q9-HSDT</td><td>[0/90/0/90/0/90/0/90/0]</td><td>0.2636</td><td>0.3372</td><td>0.3929</td><td>0.4257</td></tr><tr><td>Nayak et al. [277]</td><td>FEM-Q4-HSDT</td><td></td><td>0.2641</td><td>0.3378</td><td>0.3935</td><td>0.4263</td></tr><tr><td>Zhen et al. [296]</td><td>FEM-Q8-GLHSDT</td><td></td><td>0.2636</td><td>0.3402</td><td>0.4002</td><td>0.4362</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_54.png" /><figcaption>**Fig.5.1** Effet du nombre de couches et le rapport d'anisotropie ($E_{11}/E_{22}$) sur la fréquence fondamentale ($\bar{\omega}_1$) d'une plaque stratifiée carrée simplement appuyée</figcaption></figure>

<table><caption>**Tableau 5.3** Fréquence propre fondamentale ($\bar{\omega}_1$) d'une plaque sandwich carrée ($f/c/f$) simplement appuyée</caption><thead><tr><th>R</th><th>Présent élément QSFT52</th><th>Di Sciuva [150] 3D-Elasticity</th><th>Srinivas et Rao [284] 3D-Elasticity</th></tr></thead><tbody><tr><td>1</td><td>4.8989</td><td>4.7698</td><td>4.7419</td></tr><tr><td>2</td><td>5.8309</td><td>5.7244</td><td>5.7041</td></tr><tr><td>5</td><td>7.8740</td><td>7.7296</td><td>7.7148</td></tr><tr><td>10</td><td>10.0498</td><td>9.8222</td><td>9.8104</td></tr><tr><td>15</td><td>11.4891</td><td>11.2137</td><td>11.2034</td></tr></tbody></table>

### 5.4.4 Plaque sandwich carrée simplement appuyée ayant des peaux composites stratifiées symétriques

Dans ce test, deux plaques sandwichs carrées simplement appuyées avec des peaux composites stratifiées symétriques $[0/90/C/90/0]$ et $[0/90/0/90/0/90/0/90/C/]_{Sym}$ sont étudiées. L'épaisseur de l'âme est de $0.8 h$, tandis que celle de chaque peau est de $0.1 h$, où $h$ est l'épaisseur totale de la plaque. Les propriétés mécaniques des matériaux utilisés pour l'âme et les deux peaux sont résumées dans le tableau 5.4. L'étude a été menée pour
différents rapports d'épaisseur ($a/h = 6.67, 10$ et $20$) avec un maillage de $12 \times 12$. Les résultats des fréquences propres sont normalisés par la formule suivante:

$$ \bar{\omega} = 100\omega a \sqrt{\frac{\rho_c}{E_{11f}}} \qquad (5.16) $$

<table><caption>**Tableau 5.4** Propriétés mécaniques des matériaux utilisés dans l'exemple 5.4.4</caption><thead><tr><th rowspan="2">Matériaux</th><th colspan="7">Propriétés mécaniques en GPa</th></tr><tr><th>E<sub>11</sub></th><th>E<sub>22</sub></th><th>G<sub>12</sub></th><th>G<sub>13</sub></th><th>G<sub>23</sub></th><th>ν<sub>12</sub> = ν<sub>13</sub></th><th>ρ (Kg/m<sup>3</sup>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Peaux</td><td>276.0</td><td>6.9</td><td>6.9</td><td>6.9</td><td>6.9</td><td>0.25</td><td>681.8</td></tr><tr><td>Âme</td><td>0.5776</td><td>0.5776</td><td>0.1079</td><td>0.1079</td><td>0.2221</td><td>0.0025</td><td>1000</td></tr></tbody></table>

Les fréquences propres obtenues pour les six premiers modes sont rapportées dans les tableaux 5.5 et 5.6. Les résultats obtenus par l'élément **QSFT52** sont comparés avec la solution d'élasticité 3D de Kulkarni et Kapuria [300], les solutions analytiques de Wang et al. [289], basées sur la méthode de p-Ritz, et avec ceux obtenus par les modèles d'éléments finis de Chakrabarti et Sheikh [298] et de Kulkarni et Kapuria [300], basés sur la théorie HZZT.

Il apparaît clairement qu' à partir du tableau 5.5, les résultats de l'élément développé sont en excellent accord avec les résultats trouvés dans la littérature, à titre d'exemple:

* Pour un rapport d'épaisseur ($a/h = 6.67$, l'erreur est de 0.0038 % pour la fréquence propre fondamentale ($\bar{\omega}_1$), par rapport à la solution d'élasticité-3D

* Pour un rapport d'épaisseur ($a/h = 10$, l'erreur est de 0.0043 % pour la fréquence propre fondamentale ($\bar{\omega}_1$), par rapport à la solution d'élasticité-3D

* Pour un rapport d'épaisseur ($a/h = 20$, l'erreur est de 0.0070 % pour la fréquence propre fondamentale ($\bar{\omega}_1$), par rapport à la solution d'élasticité-3D

Par ailleurs, la plaque sandwich (0/90/C/90/0) a été analysée en considérant deux conditions aux limites différentes, i.e. CCCC et SCSC. Les fréquences propres non-dimensionnelles obtenues pour les six premiers modes sont résumées dans le tableau 5.7 avec différents rapports d'épaisseur ($a/h = 5, 10$ and $20$). On peut observer, en comparaison avec des modèles d'éléments finis basés sur la théorie HZZT [298, 300, 303, 309], que le présent élément présente des performances très satisfaisantes.
<table><caption>**Tableau 5.5** Fréquence propre non-dimensionnelle, pour différents modes, d'une plaque sandwich carrée simplement appuyée ayant des peaux composites stratifiées symétriques (0/90/C/90/0)</caption><thead><tr><th>a/h</th><th>Modes</th><th>Présent élément QSFT52</th><th>Kulkarni et Kapuria [300] 3D-Elasticity</th><th>Kulkarni et Kapuria [300] FEM-Q4-TSDT</th><th>Wang et al. [289] Anal-Solution</th><th>Chakrabarti et Sheikh [298] FEM-T6-HZZT</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="6">6.67</td><td>1st</td><td>10.564</td><td>10.524</td><td>13.315</td><td>11.414</td><td>10.560</td></tr><tr><td>2nd</td><td>16.329</td><td>16.149</td><td>21.561</td><td>17.552</td><td>14.455</td></tr><tr><td>3rd</td><td>18.962</td><td>18.728</td><td>23.177</td><td>20.426</td><td>18.735</td></tr><tr><td>4th</td><td>22.745</td><td>22.434</td><td>28.713</td><td>24.436</td><td>20.580</td></tr><tr><td>5th</td><td>23.867</td><td>23.172</td><td>31.140</td><td>-</td><td>23.373</td></tr><tr><td>6th</td><td>28.722</td><td>27.879</td><td>34.055</td><td>-</td><td>26.165</td></tr><tr><td rowspan="6">10</td><td>1st</td><td>9.871</td><td>9.828</td><td>12.088</td><td>10.555</td><td>10.051</td></tr><tr><td>2nd</td><td>15.681</td><td>15.505</td><td>20.615</td><td>16.830</td><td>14.409</td></tr><tr><td>3rd</td><td>18.310</td><td>18.075</td><td>22.152</td><td>19.648</td><td>18.962</td></tr><tr><td>4th</td><td>21.999</td><td>21.696</td><td>27.675</td><td>23.616</td><td>19.424</td></tr><tr><td>5th</td><td>22.816</td><td>22.202</td><td>30.143</td><td>-</td><td>21.252</td></tr><tr><td>6th</td><td>27.861</td><td>26.915</td><td>35.329</td><td>-</td><td>24.496</td></tr><tr><td rowspan="6">20</td><td>1st</td><td>7.742</td><td>7.688</td><td>8.721</td><td>8.029</td><td>7.927</td></tr><tr><td>2nd</td><td>14.039</td><td>13.845</td><td>17.705</td><td>14.858</td><td>13.042</td></tr><tr><td>3rd</td><td>16.196</td><td>15.920</td><td>18.530</td><td>16.984</td><td>17.315</td></tr><tr><td>4th</td><td>19.992</td><td>19.656</td><td>24.105</td><td>21.111</td><td>18.834</td></tr><tr><td>5th</td><td>21.278</td><td>20.676</td><td>27.714</td><td>-</td><td>20.091</td></tr><tr><td>6th</td><td>25.604</td><td>24.948</td><td>32.136</td><td>-</td><td>24.139</td></tr></tbody></table>
<table><caption>**Tableau 5.6** Fréquence propre non-dimensionnelle, pour différents modes, d'une plaque sandwich carrée simplement appuyée ayant des peaux composites stratifiées symétriques [0/90/0/90/0/90/0/90/C/]$_{Sym}$</caption><thead><tr><th>a/h</th><th>Modes</th><th>Présent élément QSFT52</th><th>Kulkarni et Kapuria [300] 3D-Elasticity</th><th>Kulkarni et Kapuria [300] FEM-Q4-TSDT</th><th>Chakrabarti et Sheikh [298] FEM-T6-HZZT</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="6">6.67</td><td>1st</td><td>10.798</td><td>10.757</td><td>13.441</td><td>10.553</td></tr><tr><td>2nd</td><td>16.764</td><td>16.555</td><td>21.538</td><td>15.263</td></tr><tr><td>3rd</td><td>20.098</td><td>19.826</td><td>23.958</td><td>18.738</td></tr><tr><td>4th</td><td>23.902</td><td>23.539</td><td>29.272</td><td>21.104</td></tr><tr><td>5th</td><td>25.628</td><td>24.669</td><td>31.459</td><td>25.064</td></tr><tr><td>6th</td><td>30.865</td><td>29.885</td><td>37.303</td><td>26.159</td></tr><tr><td rowspan="6">10</td><td>1st</td><td>10.024</td><td>9.980</td><td>12.172</td><td>9.993</td></tr><tr><td>2nd</td><td>15.738</td><td>15.554</td><td>20.421</td><td>14.933</td></tr><tr><td>3rd</td><td>19.144</td><td>18.887</td><td>22.797</td><td>18.669</td></tr><tr><td>4th</td><td>22.673</td><td>22.346</td><td>28.016</td><td>20.913</td></tr><tr><td>5th</td><td>23.369</td><td>22.644</td><td>29.938</td><td>21.368</td></tr><tr><td>6th</td><td>28.533</td><td>27.776</td><td>35.538</td><td>25.477</td></tr><tr><td rowspan="6">20</td><td>1st</td><td>7.803</td><td>7.749</td><td>8.753</td><td>7.886</td></tr><tr><td>2nd</td><td>13.815</td><td>13.624</td><td>17.377</td><td>13.420</td></tr><tr><td>3rd</td><td>16.792</td><td>16.505</td><td>19.067</td><td>16.873</td></tr><tr><td>4th</td><td>20.304</td><td>19.960</td><td>24.273</td><td>19.705</td></tr><tr><td>5th</td><td>20.965</td><td>20.351</td><td>27.155</td><td>19.980</td></tr><tr><td>6th</td><td>25.716</td><td>25.048</td><td>31.967</td><td>24.528</td></tr></tbody></table>
<table><caption>**Tableau 5.7** Fréquences propres non-dimensionnelles d'une plaque sandwich carrée ayant des peaux composites stratifiées symétriques (0/90/C/90/0) avec différents types de conditions aux limites</caption><thead><tr><th>a/h</th><th>Conditions aux limites</th><th>Modes</th><th>Présent QSFT52</th><th>Khandelwal et al. [309] FEM-Q9-HZZT</th><th>Chalak et al. [303] FEM-Q9-HZZT</th><th>Kulkarni et Kapuria [300] FEM-Q4-HZZT</th><th>Chakrabarti et Sheikh [298] FEM-T6-HZZT</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="10">5</td><td rowspan="6">SCSC</td><td>1st</td><td>11.445</td><td>11.591</td><td>11.408</td><td>11.516</td><td>11.063</td></tr><tr><td>2nd</td><td>18.267</td><td>17.108</td><td>18.014</td><td>18.379</td><td>15.199</td></tr><tr><td>3rd</td><td>19.707</td><td>20.409</td><td>19.485</td><td>19.626</td><td>18.255</td></tr><tr><td>4th</td><td>24.448</td><td>24.079</td><td>24.086</td><td>24.722</td><td>19.781</td></tr><tr><td>5th</td><td>27.657</td><td>24.593</td><td>26.559</td><td>27.409</td><td>20.127</td></tr><tr><td>6th</td><td>29.866</td><td>29.989</td><td>29.014</td><td>29.231</td><td>22.907</td></tr><tr><td rowspan="6">CCCC</td><td>1st</td><td>12.200</td><td>12.121</td><td>12.138</td><td>12.440</td><td>11.864</td></tr><tr><td>2nd</td><td>18.733</td><td>18.453</td><td>18.469</td><td>19.106</td><td>15.672</td></tr><tr><td>3rd</td><td>21.120</td><td>20.706</td><td>20.764</td><td>21.442</td><td>19.477</td></tr><tr><td>4th</td><td>25.614</td><td>25.058</td><td>25.138</td><td>26.691</td><td>20.057</td></tr><tr><td>5th</td><td>27.959</td><td>26.849</td><td>26.860</td><td>28.043</td><td>21.167</td></tr><tr><td>6th</td><td>29.866</td><td>30.908</td><td>31.050</td><td>32.257</td><td>23.628</td></tr><tr><td rowspan="6">10</td><td rowspan="6">SCSC</td><td>1st</td><td>10.346</td><td>10.860</td><td>10.344</td><td>10.378</td><td>10.422</td></tr><tr><td>2nd</td><td>16.399</td><td>16.131</td><td>16.310</td><td>16.411</td><td>15.021</td></tr><tr><td>3rd</td><td>18.547</td><td>18.962</td><td>18.349</td><td>18.395</td><td>19.135</td></tr><tr><td>4th</td><td>22.523</td><td>22.438</td><td>22.294</td><td>22.494</td><td>20.372</td></tr><tr><td>5th</td><td>24.079</td><td>22.628</td><td>23.554</td><td>23.718</td><td>21.642</td></tr><tr><td>6th</td><td>27.934</td><td>27.532</td><td>27.211</td><td>27.258</td><td>25.215</td></tr></tbody></table>
<table><caption>**Tableau 5.7 Suite**</caption><thead><tr><th>a/h</th><th>Conditions aux limites</th><th>Modes</th><th>Présent QSFT52</th><th>Khandelwal et al. [309] FEM-Q9-HZZT</th><th>Chalak et al. [303] FEM-Q9-HZZT</th><th>Kulkarni et Kapuria [300] FEM-Q4-HZZT</th><th>Chakrabarti et Sheikh [298] FEM-T6-HZZT</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="6">20</td><td rowspan="6">CCCC</td><td>1st</td><td>11.318</td><td>11.349</td><td>11.356</td><td>11.468</td><td>11.524</td></tr><tr><td>2nd</td><td>16.967</td><td>16.900</td><td>16.909</td><td>17.135</td><td>15.691</td></tr><tr><td>3rd</td><td>19.332</td><td>19.214</td><td>19.236</td><td>19.494</td><td>19.946</td></tr><tr><td>4th</td><td>23.187</td><td>23.003</td><td>23.041</td><td>23.659</td><td>20.783</td></tr><tr><td>5th</td><td>24.428</td><td>23.925</td><td>23.935</td><td>24.253</td><td>22.356</td></tr><tr><td>6th</td><td>27.934</td><td>28.502</td><td>28.539</td><td>28.918</td><td>25.812</td></tr><tr><td rowspan="6">SCSC</td><td>1st</td><td>8.635</td><td>9.502</td><td>8.666</td><td>8.649</td><td>8.623</td></tr><tr><td>2nd</td><td>14.604</td><td>14.853</td><td>14.645</td><td>14.601</td><td>13.533</td></tr><tr><td>3rd</td><td>16.581</td><td>17.233</td><td>16.367</td><td>16.357</td><td>17.601</td></tr><tr><td>4th</td><td>20.390</td><td>20.708</td><td>20.234</td><td>20.233</td><td>19.441</td></tr><tr><td>5th</td><td>22.006</td><td>21.310</td><td>21.767</td><td>21.673</td><td>20.416</td></tr><tr><td>6th</td><td>26.107</td><td>25.768</td><td>25.342</td><td>25.324</td><td>24.620</td></tr><tr><td rowspan="6">CCCC</td><td>1st</td><td>10.253</td><td>10.330</td><td>10.336</td><td>10.332</td><td>10.536</td></tr><tr><td>2nd</td><td>15.530</td><td>15.598</td><td>15.609</td><td>15.600</td><td>14.709</td></tr><tr><td>3rd</td><td>17.605</td><td>17.644</td><td>17.659</td><td>17.674</td><td>18.708</td></tr><tr><td>4th</td><td>21.217</td><td>21.246</td><td>21.278</td><td>21.404</td><td>20.182</td></tr><tr><td>5th</td><td>22.568</td><td>22.354</td><td>22.368</td><td>22.323</td><td>21.369</td></tr><tr><td>6th</td><td>26.107</td><td>26.636</td><td>26.683</td><td>26.893</td><td>25.406</td></tr></tbody></table>
### 5.4.5 Plaque sandwich carrée simplement appuyée ayant des peaux composites stratifiées non-symétriques (0/90/C/0/90)

On considère une plaque sandwich carrée simplement appuyée ayant des peaux composites stratifiées non-symétriques (0/90/C/0/90) et une âme isotrope. Les propriétés mécaniques des matériaux utilisés pour l'âme et les deux peaux sont résumées dans le tableau 5.8. Afin d'évaluer la performance de l'élément développé QSFT52 dans l'analyse des vibrations libres des plaques sandwichs minces ou épaisses, différents rapport d'épaisseur (a/h) variant de 2 à 100 ont été considérés. Le rapport de l'épaisseur de l'âme à l'épaisseur de la peau a été fixé à 10. Un maillage de 12×12 a été adopté.

<table><caption>**Tableau 5.8** Propriétés mécaniques des matériaux utilisés dans l'exemple 5.4.5</caption><thead><tr><th rowspan="2">Matériaux</th><th colspan="7">Propriétés mécaniques en GPa</th></tr><tr><th>E<sub>11</sub></th><th>E<sub>22</sub></th><th>G<sub>12</sub></th><th>G<sub>13</sub></th><th>G<sub>23</sub></th><th>ν<sub>12</sub> = ν<sub>13</sub></th><th>ρ (Kg/m<sup>3</sup>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Peaux</td><td>131</td><td>10.34</td><td>6.9</td><td>6.9</td><td>6.9</td><td>0.22</td><td>1627</td></tr><tr><td>Âme</td><td>0.0069</td><td>0.0069</td><td>0.0034</td><td>0.0034</td><td>0.0034</td><td>10<sup>-5</sup></td><td>97</td></tr></tbody></table>

Les résultats des fréquences propres sont normalisés par la formule 5.17.

$$ \bar{\omega} = \omega \frac{b^2}{h} \sqrt{\frac{\rho_c}{E_{22f}}} \qquad (5.17) $$

Les résultats des fréquences propres obtenus par le présent élément sont rapportés dans le tableau 5.9 avec ceux de la littérature.

* 3D-Elasticity: Solutions d'élasticité-3D données par Rao et al. [310]

* GLHSDT-Anal: Solutions analytiques basées sur la théorie global-local d'ordre supérieur, présentées par Zhen et al. [296]

* HSDT-Anal: Solutions analytiques basées sur la théorie d'ordre supérieur, présentées par Kant et Swaminathan [290, 311]

* FEM-Q8-TZZT: Élément fini quadrilatère à huit nœuds, basé sur la théorie de zigzag trigonométrique, présenté par Sahoo et Singh [304]
* FEM-Q9-HZZT: Élément fini quadrilatère à neuf nœuds, basé sur la théorie de zigzag d'ordre supérieur, présenté par Chalak et al. [303]

Pour les deux rapports d'épaisseur ($a/h = 10$ et $100$), les fréquences propres obtenues pour les six premiers modes sont rapportées dans le tableau 5.10.

D'autre part, la même plaque sandwich (0/90/C/0/90) a été analysée pour différents rapports $h_c/h_f$ en considérant le rapport d'épaisseur $a/h = 10$. Les résultats de la fréquence fondamentale sont présentés dans le tableau 5.11. On peut constater, d'après les tableaux 5.9, 5.10 et 5.11 ainsi que les figures 5.2 et 5.3, que les résultats de l'élément développé QSFT52 sont en excellent accord avec ceux obtenus par les solutions de références. On peut également noter que le présent élément se comporte bien, que ce soit en plaques minces ou épaisses (aucun phénomène de verrouillage en CT).

Afin de vérifier l'applicabilité de l'élément développé QSFT52 dans l'analyse des vibrations libres des plaques sandwichs aux formes rectangulaires, la même plaque sandwich (0/90/C/0/90) est analysée pour différents rapports d'aspect ($a/b$) en conservant les même rapports $a/h = 10$ et $h_c/h_f = 10$. Les premières fréquences propres non-dimensionnelles sont résumées dans le tableau 5.12. La comparaison des résultats est montrée sur la figure 5.4. Les résultats obtenus par l'élément QSFT52 montrent et confirment la bonne performance et la robustesse de la formulation proposée dans l'évaluation des fréquences propres des plaques sandwichs.

### 5.4.6 Vibration libre des plaques sandwichs stratifiées en utilisant une mousse de PVC dans l'âme:

Dans cet exemple, deux plaques sandwichs stratifiées avec différentes séquences d'empilement [0/90/0/core/0/90/0] et [45/-45/45/core/-45/45/45] sont considérées. Le matériau utilisé est un sandwich constitué d'une âme en mousse PVC (polychlorure de vinyle) et deux peaux stratifiées en fibre de verre / polyester. Les propriétés mécaniques de ces matériaux sont présentées dans le tableau 5.13 [274]. L'épaisseur de chaque pli est de 0,125 mm tandis que l'épaisseur de l'âme est de 10 mm. Les caractéristiques géométriques de la plaque sont: $a/h = 10$, $a/b = 1$ et $h_c/h = 0.88$.
Les valeurs des fréquences propres sont normalisées par la relation suivante:

$$ \bar{\omega} = \omega \frac{a^2}{h} \sqrt{\frac{\rho_c}{E_c}} \qquad (5.17) $$

Les résultats des fréquences propres obtenues pour les quatres premiers modes sont présentés dans le tableau 5.14. La comparaison a été faite avec des solutions analytiques de type layerwise, présentées par Jam et al. [291], ainsi qu'avec des éléments finis (Q4 et Q9) de Nayak et al. [277]. Les résultats obtenus par l'élément montrent que les valeurs des fréquences propres sont comparables avec ceux obtenus via la littérature.

### 5.4.7 Vibration libre des plaques composites starifiées biaises (skew plate)

Dans cet exemple, le problème d'une plaque composite starifiée biaise symétrique a été étudié afin de montrer l'influence de la distorsion géométrique sur les fréquences naturelles. La plaque est constituée de cinq couches (90/0/90/0/90) ayant la même épaisseur. Dans la présente étude, deux conditions aux limites i.e. SSSS et CCCC, avec différentes angles de biaises (0°, 15°, 30° et 45°) sont considérées. Les caractéristiques mécaniques de chaque couche sont les suivantes:

$$ \frac{E_{11}}{E_{22}} = 40, \quad \frac{G_{12}}{E_{22}} = 0.6, \quad \frac{G_{13}}{E_{22}} = \frac{G_{23}}{E_{22}} = 0.5, \quad \nu_{12} = 0.25, \quad \rho = 1.0 $$

Les valeurs des fréquences propres sont normalisées par la relation suivante:

$$ \bar{\omega} = \omega \frac{b^2}{\pi^2} \sqrt{\frac{\rho}{E_2}} \qquad (5.18) $$

Les résultats des fréquences propres (ω), obtenues pour les sept premiers modes, sont rapportés dans le tableau 5.15 pour un rapport d'épaisseur ($a/h=10$). On remarque que les résultats obtenus par le présent élément QSFT52 sont également bons en comparaison avec ceux obtenus via la solution analytique de Wang [313], basée sur la méthode de Rayleigh-Ritz, ainsi que les deux modèles d'éléments finis (FEM-Q9-FSDT, FEM-Q9-TSDT) de Garg et al. [293]. Ces résultats sont légèrement dépendant de l'angle d'inclinaison α (la valeur de fréquence propre s'éloigne de celle de la solution 3D avec l'augmentation de l'angle α).
<table><caption>**Tableau 5.9** Fréquence fondamentale non-dimensionnelle ($\bar{\omega}_1$) avec différents rapports d'épaisseurs ($a/h$) pour une plaque sandwich carrée simplement appuyée ayant des peaux composites stratifiées non-symétriques (0/90/C/0/90)</caption><thead><tr><th>a/h</th><th>Présent QSFT52</th><th>Rao et al. [310] 3D-Elasticity</th><th>Sahoo et Singh [304] FEM-Q8-TZZT</th><th>Chalak et al. [303] FEM-Q9-HZZT</th><th>Zhen et al. [296] FEM-Q8-GLHSDT</th><th>Zhen et al. [296] GLHSDT-Anal</th><th>Kant et Swaminathan [290] HSDT-Anal</th></tr></thead><tbody><tr><td>2</td><td>0.7192</td><td>0.7141</td><td>0.7170</td><td>0.7086</td><td>0.7368</td><td>0.7251</td><td>1.1734</td></tr><tr><td>4</td><td>0.9415</td><td>0.9363</td><td>0.9461</td><td>0.9447</td><td>0.9904</td><td>0.9699</td><td>2.0913</td></tr><tr><td>10</td><td>1.8481</td><td>1.8480</td><td>1.8789</td><td>1.8420</td><td>1.9712</td><td>1.9418</td><td>4.8519</td></tr><tr><td>20</td><td>3.4740</td><td>3.4791</td><td>3.5231</td><td>3.4568</td><td>3.6836</td><td>3.6601</td><td>8.5838</td></tr><tr><td>30</td><td>5.0306</td><td>5.0371</td><td>5.0976</td><td>5.0032</td><td>5.3034</td><td>5.2875</td><td>11.0788</td></tr><tr><td>40</td><td>6.4588</td><td>6.4634</td><td>6.5356</td><td>6.4212</td><td>6.7727</td><td>6.7624</td><td>12.6555</td></tr><tr><td>50</td><td>7.7360</td><td>7.7355</td><td>7.8148</td><td>7.6882</td><td>8.0698</td><td>8.0634</td><td>13.6577</td></tr><tr><td>60</td><td>8.8577</td><td>8.8492</td><td>8.9318</td><td>8.7995</td><td>9.1929</td><td>9.1894</td><td>14.3133</td></tr><tr><td>70</td><td>9.8305</td><td>9.8118</td><td>9.8946</td><td>9.7618</td><td>10.1530</td><td>10.1515</td><td>14.7583</td></tr><tr><td>80</td><td>10.6674</td><td>10.6368</td><td>10.7176</td><td>10.5880</td><td>10.9672</td><td>10.9672</td><td>15.0702</td></tr><tr><td>90</td><td>11.3844</td><td>11.3408</td><td>11.4180</td><td>11.2940</td><td>11.6552</td><td>11.6561</td><td>15.2946</td></tr><tr><td>100</td><td>11.9978</td><td>11.9400</td><td>12.0131</td><td>11.8960</td><td>12.2358</td><td>12.2374</td><td>15.4647</td></tr></tbody></table>
<table><caption>**Tableau 5.10** Fréquence propre non-dimensionnelle ($\bar{\omega}$), pour différents modes, d'une plaque sandwich carrée simplement appuyée ayant des peaux composites stratifiées non-symétriques (0/90/C/0/90) avec différents rapports d'épaisseurs ($a/h$)</caption><thead><tr><th>a/h</th><th>Modes</th><th>Présent QSFT52</th><th>Rao et Desai [312] LW-Anal</th><th>Chalak et al. [303] FEM-Q9-HZZT</th><th>Zhen et al. [296] FEM-Q8-GLHSDT</th><th>Zhen et al. [296] GLHSDT-Anal</th><th>Kant et Swaminathan [311] HSDT-Anal</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="6">10</td><td>1st</td><td>1.8481</td><td>1.8480</td><td>1.8420</td><td>1.9712</td><td>1.9418</td><td>4.8594</td></tr><tr><td>2nd</td><td>3.2650</td><td>3.2196</td><td>3.2089</td><td>3.4024</td><td>3.3625</td><td>8.0187</td></tr><tr><td>3rd</td><td>4.3711</td><td>4.2894</td><td>4.3354</td><td>4.5556</td><td>4.4677</td><td>10.2966</td></tr><tr><td>4th</td><td>5.4734</td><td>5.2236</td><td>5.2839</td><td>5.5906</td><td>5.4086</td><td>11.7381</td></tr><tr><td>5th</td><td>6.3663</td><td>6.0942</td><td>6.1836</td><td>6.5647</td><td>6.3060</td><td>13.4706</td></tr><tr><td>6th</td><td>8.1066</td><td>7.6762</td><td>7.9270</td><td>8.5328</td><td>7.9154</td><td>16.1320</td></tr><tr><td rowspan="6">100</td><td>1st</td><td>11.9978</td><td>11.9401</td><td>11.8960</td><td>12.2358</td><td>12.2374</td><td>15.5093</td></tr><tr><td>2nd</td><td>23.6804</td><td>23.4017</td><td>23.4467</td><td>24.3246</td><td>24.3213</td><td>39.0293</td></tr><tr><td>3rd</td><td>31.3304</td><td>30.9432</td><td>30.7691</td><td>32.4813</td><td>32.2539</td><td>54.7618</td></tr><tr><td>4th</td><td>37.1015</td><td>36.1434</td><td>36.2601</td><td>37.9669</td><td>37.8300</td><td>72.7572</td></tr><tr><td>5th</td><td>42.4094</td><td>41.4475</td><td>41.4050</td><td>44.5687</td><td>43.3894</td><td>83.4412</td></tr><tr><td>6th</td><td>51.1194</td><td>49.7622</td><td>49.5575</td><td>52.0489</td><td>52.1795</td><td>105.3781</td></tr></tbody></table>
<table><caption>**Tableau 5.11** Fréquence fondamentale non-dimensionnelle ($\overline{\omega_t}$) avec différents rapports ($h_c/h_f$) pour une plaque sandwich carrée simplement appuyée ayant des peaux composites stratifiées non-symétriques (0/90/C/0/90)</caption><thead><tr><th>$\frac{h_c}{h_f}$</th><th>Présent QSFT52</th><th>Rao et al. [310] 3D-Elasticity</th><th>Sahoo et Singh [304] FEM-Q8-TZZT</th><th>Chalak et al. [303] FEM-Q9-HZZT</th><th>Zhen et al. [296] FEM-Q8-GLHSDT</th><th>Zhen et al. [296] GLHSDT-Anal</th><th>Kant et Swaminathan [290] HSDT-Anal</th></tr></thead><tbody><tr><td>4</td><td>1.9256</td><td>1.9084</td><td>1.9427</td><td>1.9176</td><td>2.0962</td><td>1.9405</td><td>8.9690</td></tr><tr><td>10</td><td>1.8481</td><td>1.8480</td><td>1.8789</td><td>1.8420</td><td>1.9712</td><td>1.9418</td><td>4.8519</td></tr><tr><td>20</td><td>2.1405</td><td>2.1307</td><td>2.1462</td><td>2.1271</td><td>2.2880</td><td>2.2831</td><td>3.1407</td></tr><tr><td>30</td><td>2.3419</td><td>2.3321</td><td>2.3432</td><td>2.3301</td><td>2.5153</td><td>2.5146</td><td>2.8466</td></tr><tr><td>40</td><td>2.4789</td><td>2.4690</td><td>2.4765</td><td>2.4679</td><td>2.6687</td><td>2.6694</td><td>2.8255</td></tr><tr><td>50</td><td>2.5759</td><td>2.5658</td><td>2.5569</td><td>2.5659</td><td>2.7765</td><td>2.7777</td><td>2.8614</td></tr></tbody></table>

<table><caption>**Tableau 5.12** Fréquence fondamentale non-dimensionnelle ($\overline{\omega_t}$) avec différents rapports d'aspects (a/b) pour une plaque sandwich carrée simplement appuyée ayant des peaux composites stratifiées non-symétriques (0/90/C/0/90), en considérant le rapport $a/h=10$ et $h_c/h_f=10$</caption><thead><tr><th>$\frac{a}{b}$</th><th>Présent QSFT52</th><th>Rao et al. [310] 3D-Elasticity</th><th>Chalak et al. [303] FEM-Q9-HZZT</th><th>Zhen et al. [296] FEM-Q8-GLHSDT</th><th>Zhen et al. [296] GLHSDT-Anal</th><th>Kant et Swaminathan [290] HSDT-Anal</th></tr></thead><tbody><tr><td>0.5</td><td>5.7288</td><td>5.7326</td><td>5.7451</td><td>6.1069</td><td>6.0280</td><td>15.0316</td></tr><tr><td>1.0</td><td>1.8481</td><td>1.8464</td><td>1.8420</td><td>1.9712</td><td>1.9418</td><td>4.8594</td></tr><tr><td>1.5</td><td>1.0919</td><td>1.0900</td><td>1.0837</td><td>1.1644</td><td>1.1430</td><td>2.8188</td></tr><tr><td>2.0</td><td>0.8071</td><td>0.8048</td><td>0.7989</td><td>0.8584</td><td>0.8406</td><td>2.4560</td></tr><tr><td>2.5</td><td>0.6654</td><td>0.6627</td><td>0.6572</td><td>0.7045</td><td>0.6891</td><td>1.5719</td></tr><tr><td>3.0</td><td>0.5834</td><td>0.5804</td><td>0.5749</td><td>0.6145</td><td>0.6009</td><td>1.3040</td></tr><tr><td>5.0</td><td>0.4524</td><td>0.4494</td><td>0.4322</td><td>0.4676</td><td>0.4585</td><td>0.8187</td></tr></tbody></table>
<figure><img src="image_55.png" /><figcaption>**Fig.5.2 Plaque sandwich carrée simplement appuyée avec des peaux stratifiées (0/90/C/0/90) pour différents rapports d'épaisseur - Comparaison des fréquences naturelles**</figcaption></figure>

<figure><img src="image_56.png" /><figcaption>**Fig.5.3 Plaque sandwich carrée simplement appuyée avec des peaux stratifiées (0/90/C/0/90) pour différents rapports ($h_c/h_f$) - Comparaison des fréquences naturelles**</figcaption></figure>
<figure><img src="image_57.png" /><figcaption>**Fig.5.4** Plaque sandwich simplement appuyée ayant des peaux stratifiées (0/90/C/0/90) avec différents rapports d'aspect (a/b) - Comparaison des fréquences naturelles</figcaption></figure>

<table><caption>**Tableau 5.13** Propriétés mécaniques des peaux et de l'âme (HEREX - C70.130) [274]</caption><thead><tr><th rowspan="2">Matériaux</th><th colspan="7">Propriétés mécaniques en GPa</th></tr><tr><th>E<sub>1</sub></th><th>E<sub>2</sub></th><th>G<sub>12</sub></th><th>G<sub>13</sub></th><th>G<sub>23</sub></th><th>ν<sub>12</sub> = ν<sub>13</sub></th><th>ρ (Kg/m<sup>3</sup>)</th></tr></thead><tbody><tr><td>Peaux en fibre de verre / polyester</td><td>24.51</td><td>7.77</td><td>3.34</td><td>3.34</td><td>1.34</td><td>0.078</td><td>1800</td></tr><tr><td>Âme en mousse de HEREX - C70.130</td><td>0.1036</td><td>0.1036</td><td>0.05</td><td>0.05</td><td>0.05</td><td>0.32</td><td>130</td></tr></tbody></table>