Stathmes euclidiens et séries formelles

par

FRANÇOIS DRESS (Talence)

**1. Introduction. Rappels.** Nous avons démontré ([1], p. 17) que, si $\mathcal{A}$ est un anneau euclidien pour un stathme $\varphi$, alors l'anneau des séries formelles généralisées $\mathcal{A}_X = S^{-1}\mathcal{A}[[X]]$, où $S$ est la partie multiplicativement stable $\{X^n \mid n \ge 0\}$, est un anneau euclidien pour le stathme $\varphi_X$ ainsi défini:

$$ \text{si } F(X) = \sum_{n \ge h} a_n X^n \quad (h \in \mathbb{Z}, a_h \ne 0), $$

$$ \varphi_X(F(X)) = \varphi(a_h). $$

Notre propos est de reprendre cette étude pour établir une correspondance entre les stathmes de $\mathcal{A}$ et certains stathmes remarquables de $\mathcal{A}_X$, ce qui nous permettra en particulier de démontrer une réciproque du résultat que nous avons rappelé.

Auparavant nous allons redonner brièvement les définitions relatives aux stathmes euclidiens et à la notion de plus petit stathme. Nous y ajouteons l'énoncé du théorème fondamental que nous aurons à utiliser. Ces généralités ont été introduites par T. Motzkin [2], mais nous suivrons ici la présentation qu'en a donné P. Samuel [3], avec parfois des additifs personnels à la terminologie.

**DEFINITION.** Étant donnés un anneau commutatif intègre $\mathcal{A}$ et un ordinal $\mathcal{N}$, on dit qu'une application $\varphi: \mathcal{A} \to \mathcal{N}$ est un préstathme euclidien (sur $\mathcal{A}$) si elle vérifie

$$ \text{E 1) } \varphi(0) = 0, $$

E 2) si $a, b \in \mathcal{A}, b \ne 0$, il existe $q, r \in \mathcal{A}$ tels que $a = bq+r$, avec $\varphi(r) < \varphi(b)$.

**DEFINITION.** On dit que le préstathme $\varphi: \mathcal{A} \to \mathcal{N}$ est un stathme euclidien si de plus il vérifie

$$ \text{E 3) si } a, b \in \mathcal{A}, a \ne 0, $$

$b \text{ divise } a \text{ entraîne } \varphi(b) \le \varphi(a).$
On dit qu'un stathme $\varphi$ est incompressible si $Im\varphi$ est un segment initial de $\mathcal{N}$ (et alors $\varphi(x) = 1 \Leftrightarrow x$ est inversible).

**DEFINITION.** Étant donnés deux préstathmes $\varphi$ et $\psi: A \to \mathcal{N}$, on dit que $\varphi \le \psi$ si on a

$$ \varphi(x) \leq \psi(x) \text{ pour tout } x \in A. $$

On obtient alors les deux résultats suivants (dont on trouvera les démonstrations dans [3]):

1. à partir de tout préstathme euclidien on peut construire un stathme euclidien (stathme qui est plus petit que le préstathme donné);

2. tout anneau euclidien possède un plus petit stathme (manifestement unique et qui est également, d'après le résultat précédent, le plus petit préstathme).

Étant donné un anneau commutatif intègre $A$, on peut définir par récurrence sur les ordinaux les ensembles suivants:

$$ \begin{align*} S_0 &= \{0\}, \\ S'_n &= \bigcup_{k<n} S_k, \\ S_n &= \{b \mid b \in A - S'_n \text{ tel que l'application canonique } S'_n \to A/bA \text{ soit surjective}\}. \end{align*} $$

On remarquera que la propriété „$S'_n \to A/bA$ est surjective” équivaut à „pour tout $a \in A$, il existe $r \in S'_n$ tel que $a-r \in bA$, i.e. $a = bq+r$”.

**THÉORÈME FONDAMENTAL** (T. Motzkin [2]). $A$ est un anneau euclidien si et seulement si il existe un ordinal $\mathcal{N}$ tel que

$$ A = \bigcup_{n < \mathcal{N}} S_n. $$

Et dans ces conditions, l'application $\psi: A \to \mathcal{N}$ définie par $\psi(x) = n$ si $x \in S_n$ est le plus petit stathme de $A$.

**2. Stathmes euclidiens sur les anneaux de séries formelles.** Le cas des anneaux de séries formelles $\mathcal{A} = A[[X]]$ est trivial. Si $A$ est un corps, l'anneau $\mathcal{A}$ est euclidien car c'est un anneau de valuation discrète, et si $A$ n'est pas un corps, l'anneau $\mathcal{A}$ est non euclidien car il n'est pas principal.

Nous nous intéresserons donc aux anneaux de séries formelles généralisées que nous avons définis dans notre introduction: $\mathcal{A}_X = S^{-1}A[[X]]$.

**DEFINITION.** Soient $A$ un anneau (commutatif intègre dans ce qui suit), $\mathcal{A}_X$ l'anneau $S^{-1}A[[X]]$, et $E$ un ensemble. Si $\varphi$ est une application de $A$ dans $E$, on désignera par $\varphi_X$ l'application de $\mathcal{A}_X$ dans $E$ définie par

$$ \begin{align*} \text{si } F(X) &\equiv \sum_{n \ge h} a_n X^n \quad (h \in \mathbb{Z}, a_h \ne 0), \\ \varphi_X(F(X)) &= \varphi(a_h). \end{align*} $$

Inversement, étant donnée une application de $\mathcal{A}_X$ dans $E$, on dira qu'elle est $A$-déterminée si elle ne dépend que de la valeur du coefficient initial de la série formelle considérée, et on la notera alors $\varphi_X$ ($\varphi$ étant l'application correspondante de $A$ dans $E$).

**THÉORÈME 1.** La fonction $\varphi \mapsto \varphi_X$ est une bijection entre les stathmes euclidiens de $A$ et les stathmes euclidiens $A$-déterminés de $\mathcal{A}_X$.

1. Soit $\varphi$ un stathme sur $A$. Alors $\varphi_X$ est un préstathme sur $\mathcal{A}_X$. Il faut donc établir l'existence d'une division euclidienne dans $\mathcal{A}_X$. Nous en avons déjà donné la démonstration dans [1], nous allons la rappeler brièvement.

On se place dans le corps $K(X)$, $K$ étant le corps des fractions de $A$. Étant données deux séries $F(X)$ et $G(X)$ de $\mathcal{A}_X$, ou bien leur quotient est dans $\mathcal{A}_X$, i.e. $F(X)$ est divisible par $G(X)$, ou bien il existe un indice $\lambda$ tel que

$$ \frac{F(X)}{G(X)} = c_s X^s + c_{s+1} X^{s+1} + \dots + c_\lambda X^\lambda + \dots, $$

avec

$$ c_s, \dots, c_{\lambda-1} \in A, \quad c_\lambda \notin A. $$

Si $q$ est le coefficient initial de $G(X)$, on vérifie alors sans difficulté que $qc_\lambda \in A$. Cela conduit à poser

$$ c_\lambda = c'_\lambda + \frac{q'}{q}, \quad \text{avec } c'_\lambda \in A \text{ et } \varphi(q') < \varphi(q). $$

En définissant ensuite le polynôme généralisé

$$ P(X) = c_s X^s + \dots + c_{\lambda-1} X^{\lambda-1} + c'_\lambda X^\lambda, $$

on montre que la série $R(X) = F(X)-G(X)P(X) \in \mathcal{A}_X$ vérifie

$$ \varphi_X(R) < \varphi_X(F) $$

car son coefficient initial est $q'$.

On termine alors la démonstration en remarquant que $\varphi_X$ est non seulement un préstathme mais aussi un stathme sur $\mathcal{A}_X$, ce qui découle immédiatement du fait que $\varphi$ est un stathme: si $G$ divise $F$, le coefficient initial de $G$ divise le coefficient initial de $F$.

2. Soit $\varphi_X$ un stathme $A$-déterminé sur $\mathcal{A}_X$. Si $\varphi$ est un préstathme sur $A$, il sera là aussi trivial de constater que c'est un stathme. Il suffit donc d'établir l'existence d'une division euclidienne dans $A$.

Étant donnés $a, b \in A$, $a \ne 0$, on divise $a$ par $b$ dans $\mathcal{A}_X$:

$$ a = b(q_s X^s + q_{s+1} X^{s+1} + \dots) + (r_t X^t + r_{t+1} X^{t+1} + \dots) $$

avec

$$ \varphi_X(r_t X^t + \dots) < \varphi_X(b), \quad \text{i.e. } \varphi(r_t) < \varphi(b). $$
Deux cas sont alors possibles:

— ou $s \le -1$, et alors $s = t$, $r_t = -bq_s$, d'où une contradiction avec la propriété E 3) des stathmes euclidiens car

$$ \varphi_X(r_t X^t + \dots) = \varphi_X(r_t) < \varphi_X(b); $$

— ou $s \ge 0$, et alors $t \ge 0$, ce qui donne la division euclidienne cherchée: $a = bq_0 + r_0$ ($q_0$ pouvant éventuellement être nul), avec

$$ \varphi(r_0) < \varphi(b) \quad \text{ou} \quad r_0 = 0. $$

**THÉORÈME 2.** Si $\mathcal{A}_X$ est un anneau euclidien, alors son plus petit stathme $\varphi$ est $A$-déterminé.

Nous allons montrer, par récurrence sur les ordinaux $n$, la propriété suivante: si une série $b_k X^k + b_{k+1} X^{k+1} + \dots (b_k \ne 0)$ appartient à l'ensemble $S_n$ (défini au paragraphe 1), alors toute autre série de coefficient initial $b_k$ appartient à $S_n$.

Supposons donc que cette propriété soit vraie pour tous les ordinaux inférieurs à $n$. Si on considère un élément $a \in A$, $a \ne 0$, on peut le diviser dans $\mathcal{A}_X$ par la série $b_k + b_{k+1} X + \dots = X^{-k}(b_k X^k + b_{k+1} X^{k+1} + \dots)$ qui est également le plus petit stathme $n$ (ceci pour simplifier les écritures):

$$ a = (b_k + b_{k+1} X + \dots) (q_s X^s + \dots) + (r_t X^t + \dots) $$

avec

$$ \psi(r_t X^t + \dots) < \psi(b_k + \dots) = n. $$

Deux cas sont alors possibles:

— ou $s \le -1$, et alors $s = t$, $r_t = -b_k q_s$. Mais alors $\psi(r_t X^t + \dots) < \psi(b_k + \dots) = n$ entraîne, d'après l'hypothèse de récurrence, $\psi(r_t) = \psi(r_t X^t + \dots) < n$. Comme $b_k$ divise $r_t$, on en déduit $\psi(b_k) \le \psi(r_t) < n$ et, en appliquant une seconde fois l'hypothèse de récurrence, on aboutit à une contradiction:

$$ \psi(b_k) = \psi(b_k + b_{k+1} X + \dots) < n; $$

— ou $s \ge 0$, et alors $t \ge 0$, ce qui donne une division euclidienne dans $A$ de $a$ par $b_k$: $a = b_k q_0 + r_0$ ($q_0$ pouvant éventuellement être nul), avec

$$ \psi(r_0) = \psi(r_0 + r_1 X + \dots) < n \quad \text{ou} \quad r_0 = 0. $$

Ayant ainsi montré que tout $a \in A$, $a \ne 0$, peut être divisé euclidienne-ment dans $A$ par $b_k$, avec le plus petit stathme $\psi$ de $\mathcal{A}_X$, on applique alors la méthode utilisée au 1 de la démonstration du théorème 1; on montre de cette manière que, si $F(X)$ est une série quelconque de $\mathcal{A}_X$ et $G(X)$ une série de coefficient initial $b_k$, on peut toujours écrire une division

$$ F(X) = G(X)P(X) + R(X), \quad \text{avec} \quad \psi(R(X)) < n. $$

Cela montre que, pour toute série $G(X) \in \mathcal{A}_X$ de coefficient initial $b_k$, on a $\psi(G(X)) = n$. En effet, si $\psi(G(X))$ était supérieur à $n$, on pourrait, d'après ce qui précède, poser $\psi_1(G(X)) = n$ et $\psi_1(F(X)) = \psi(F(X))$ pour

tout $F(X) \ne G(X)$, et obtenir ainsi un préstathme $\psi_1$ inférieur au plus petit stathme $\psi$, ce qui est impossible; par ailleurs, l'hypothèse de récurrence interdit que l'on ait $\psi(G(X)) < n$, ce qui entraînerait $\psi(b_k + b_{k+1} X + \dots) < n$ également.

**THÉORÈME 3.** *Pour que $\mathcal{A}_X = S^{-1}\mathcal{A}([X])$ soit euclidien, il faut et il suffit que $A$ soit euclidien. Dans ce cas, leurs plus petits stathmes respectifs sont en correspondance dans la bijection $\varphi \to \varphi_X$ (précédemment définie).*

Démonstration par simple conjonction des théorèmes 1 et 2.

Nous terminerons ce paragraphe en indiquant une remarque qui nous a été suggérée par T. Motzkin: il est bien connu que l'intersection de deux sous-anneaux principaux n'est pas en général un sous-anneau principal; on peut même énoncer que l'intersection de deux sous-anneaux euclidiens n'est pas en général un sous-anneau principal. Un contre-exemple peut être fourni par $Z_X = S^{-1}Z([X])$ et $Q[X]$, sous-anneaux euclidiens de $Q([X])$ et dont l'intersection $Z[X]$ n'est pas principale.

**3. Stathmes et topologies.** Étant donné un anneau $B$ muni d'une topologie $\mathcal{T}$ et d'un stathme euclidien $\varphi$, on peut définir la compatibilité de $\varphi$ avec $\mathcal{T}$ par la propriété suivante:

tout $x \in B$, $x \ne 0$, possède un voisinage $V(x)$ tel que, quel que soit $y \in V(x)$, $\varphi(y) = \varphi(x)$.

(Ce qui revient à exprimer que les ensembles $\{x \in B | \varphi(x) = n\}$ — à l'exception de $\{0\}$ si la topologie n'est pas discrète — sont ouverts dans $\mathcal{T}$).

On peut alors faire les deux remarques suivantes:

— pour les anneaux euclidiens $\mathcal{A}_X$ étudiés précédemment, les stathmes $A$-déterminés sont compatibles avec la topologie définie par la famille fondamentale $X^n A([X])$ de voisinages de 0;

— si le groupe des unités d'un anneau euclidien $B$ est fini, aucun stathme sur $B$ n'est compatible avec une topologie autre que la topologie discrète (un ensemble fini ne pouvant être ouvert dans un groupe topologique que si la topologie est discrète).

Bibliographie

[1] F. Dress, *Familles de séries formelles et ensembles de nombres algébriques*, Ann. scient. Ec. Norm. Sup., 4e série, 1 (1968), pp. 1-44.

[2] T. S. Motzkin, *The euclidean algorithm*, Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949), pp. 1142-1146.

[3] P. Samuel, *Anneaux euclidiens* (rédigé par Mme Rhin). Séminaire Algèbre et Théorie des Nombres, Fac. Sc. Caen, 1968.

DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES
FACULTÉ DES SCIENCES DE BORDEAUX

33 — Talence, France