C'est, je crois, faire trop d'honneur aux notations de Leibniz; plus généralement, ce n'est pas en termes de ce que les notations permettent ou ne permettent pas dans l'absolu qu'il faut poser le problème. C'est ce que je voudrais montrer d'abord, pour préparer une discussion plus positive.

## 3.1 Une comparaison : les notations de Newton et de Taylor

Pour commencer, il n'est pas vrai que les notations de Newton ne permettent rien d'analogue. Non seulement elles peuvent, en principe, être adaptées pour en faire autant que celles de Leibniz, mais nous verrons que Newton lui-même fait des essais dans cette direction dans un brouillon; surtout, Brook Taylor (1715) introduit dans un contexte newtonien une notation qui est remarquablement parallèle à $d^{-1} = \int$.

Bien sûr, la comparaison entre les différentielles de Leibniz et les fluxions de Newton est délicate; ce sont des objets différents, insérés dans des cadres conceptuels assez éloignés. Néanmoins, pour la question qui nous occupe, il y a un parallèle clair entre les deux calculs : Leibniz associe à toute quantité géométrique variable ses différences et ses sommes, selon un procédé qui peut être répété pour produire les différences des différences, les sommes des sommes, etc.; de même Newton sait associer à une quantité variable sa fluxion et sa fluente, et, du moins<fnref n="4" /> dans ses travaux plus approfondis des années 1691-1693, la fluxion de la fluxion, la fluente de la fluente, etc. De ce parallèle découle un problème notationnel similaire : comment noter toutes ces quantités que l'on peut former à partir d'une quantité variable $x$ ?

Newton résout ce problème de diverses manières au fil des années, et certaines sont, il est vrai, très éloignées de la notation de Leibniz. Dans ses premiers manuscrits de 1664-1665⁵, il note généralement par des lettres, comme *m*, *n*, *r* etc. ce qu'il appellera plus tard les fluxions de *x*, *y*, *z*, etc. Leibniz critique ce genre de notation (quoique sans viser spécifiquement celle de Newton, qu'il ne connaît sans doute pas) dans une lettre à Huygens de 1690 :

> [C]e que j'apelle dx ou dy, vous le pouvés designer par quelque autre lettre, ainsi rien ne vous empeche d'exprimer les choses à vostre maniere. Cependant je m' imagine qu'il y a certaines vues qui ne viennent pas aussi aisément que par mon expression, et c'est à peu près comme si, au lieu des racines et

<footnote n="4">4. On trouve dès 1666 chez Newton des gestes vers une réitération du passage aux fluxions, mais seulement dans des cas particuliers; voir Panza 2005, p. 490 et suivantes.</footnote>

<footnote n="5">5. Publiés dans NMP, I; voir l'analyse de Panza (2005).</footnote>
puissances, on vouloit toujours substituer des lettres, et au lieu de $xx$, ou $x^3$, prendre $m$, ou $n$, après avoir déclaré, que ce doivent estre les puissances de la grandeur $x$. Jugés Monsr combien cela embarrasseroit. Il en est de meme de $dx$ ou de $ddx$, et les differences ne sont pas moins des affections des grandeurs indeterminées dans leurs lieux <fnref n="6" />, que les puissances sont des affections d'une grandeur prise à part. Il me semble donc qu'il est plus naturel de les designer ensorte qu'elles fassent connoistre immediatement la grandeur dont elles sont les affections <fnref n="7" />.

Effectivement, la lettre $n$ n'indique ni s'il s'agit d'une fluxion, ni, si oui, de quelle quantité elle provient. Dans d'autres textes, dont les *Philosophiæ naturalis principia mathematica* de 1687, Newton adopte une convention qui évite cette première critique : pour des quantités variables $A, B, C$, il note $a, b, c$ (en minuscules) ce qu'il appelle dans ce texte leurs « moments » <fnref n="8" />. Il est alors clair que $a$ vient de $A$. Leibniz, qui connaît les *Principia*, pointe cependant un autre problème : cette écriture-là ne se généralise pas aux différences d'ordre supérieur.

Je voy que M. Neuton se sert des minuscules pour les differences, mais quand on vient aux differences des differences, et au de là, comme il peut arriver, il faudra encor changer, de sorte qu'il me semble qu'on fait mieux de se servir d'une expression qui s'etend à tout <fnref n="9" />.

Mais précisément, les choix notationnels de Newton s'expliquent aussi par le fait qu'il ne s'intéresse guère, à l'époque, aux fluxions d'ordre supérieur. Comme le remarque Panza, c'est justement lorsqu'en 1691 il se met à réfléchir au problème de la résolution d'une équation fluxionnelle d'ordre quelconque qu'il introduit une notation plus générale <fnref n="10" />. À partir de là, le parallèle avec Leibniz devient plus étroit.

Dans ses manuscrits de 1691-1692 <fnref n="11" />, donc, Newton introduit la notation suivante <fnref n="12" /> :

<footnote n="6">6. Leibniz entend par là que les différences ne sont définies que pour ce que Bos appelle une « quantité géométrique variable » associée à une courbe (cf. *supra*, section 1.1).</footnote>

<footnote n="7">7. Lettre de Leibniz à Huygens du 3/13 octobre 1690, LAA, III.4, p. 620 = LMS, II, p. 49.</footnote>

<footnote n="8">8. Voir par exemple le lemme II du livre II : « Igitur sensus Lemmatis est, ut si quantitatum quarumcunque perpetuo motu crescentium vel decrescentium A,B,C, &c. [m]omenta vel mutationum velocitates dicantur a, b, c, &c. momentum vel mutatio rectanguli AB fuerit Ab+aB [...] » (Newton 1687, p. 251; « Le sens de ce lemme est donc, que si A, B, C, etc. sont des quantités quelconques croissantes ou décroissantes par un mouvement continu, et que leurs moments ou vitesses de changement soient nommées a, b, c, etc. le moment ou le changement du rectangle AB sera Ab + aB [...] », trad. adaptée de celle d'Émilie du Châtelet : Newton 1759, vol. 1, p. 261).</footnote>

<footnote n="9">9. Id., LAA, III.4, p. 620 = LMS, II, p. 50.</footnote>

<footnote n="10">10. Voir Panza 1992, vol. 1, note 97 p. 154.</footnote>

<footnote n="11">11. Voir NMP, VII.</footnote>

<footnote n="12">12. La notation semble apparaître vers novembre 1691 (cf. NMP, VII, p. 131, note 5), puis est utilisée massivement.</footnote>
« $\dot{v}$ est la fluxion de la quantité $v$, $\ddot{v}$ est la fluxion de la quantité $\dot{v}$, et $\ddot{v}$ est la fluxion de la quantité $\ddot{v}$¹³ ». (À la suite de Newton, cette notation reste largement dominante en Angleterre jusqu'au début du XIXe siècle, par opposition au reste de l'Europe qui adopte généralement la notation de Leibniz.) Quelques mois plus tard, il y ajoute $\acute{z}$ pour la fluente de $z$, de sorte que « $\acute{z}$, $\acute{z}$, $z$, $\acute{z}$, $\ddot{z}$, $\ddot{z}$, $\dddot{z}$, $\dddot{z}$ » etc. désignent une série de quantités dont chacune est la fluxion de la précédente et est la quantité fluente ayant pour fluxion celle qui la suit¹⁴ ». On a ainsi une situation très analogue aux $\int\int x$, $\int x$, $x$, $dx$, $ddx$, $dddx$ etc. de Leibniz avant la notation exponentielle $d^n$. D'ailleurs, comme l'écrit Niccolò Guicciardini, les praticiens des premières décennies du XVIIIe siècle n'ont aucune difficulté à passer d'une notation à l'autre et le font routinièrement¹⁵.

Est-ce, alors, la possibilité d'indiquer l'ordre de différentiation par un chiffre, et donc aussi d'écrire $d^n$ voire $d^{-1} = \int$, qui manque aux newtoniens? À lire les légers sarcasmes d'Euler contre les « Anglais », on pourrait le croire : après avoir présenté la notation newtonienne, il construit un véritable gratte-ciel de points pour en faire voir l'inanité.

Qui notandi modus, uti ab arbitrio pendens, etsi improbari nequit, si punc-
torum numerus fuerit parvus, ut numerando facile percipi queat; tamen si
plura puncta inscribi debeant, maximam confusionem plurimaque incommoda
affert. Differentiale enim seu fluxio decima perquam incommode hoc modo
$\overline{\overline{y}}$ repraesentatur, cum nostro signandi modo $d^{10}y$ facillime comprehendatur.
Oriuntur autem casus, quibus multo adhuc superiores differentialium ordines
atque adeo indefiniti exprimi debent, ad quos Anglorum modus prorsus sit
ineptus ¹⁶.

vement dans un manuscrit de décembre (cf. id., p. 64, note 35).

13. « [...] $\dot{v}$ est fluxio quantitatis $v$, & $\ddot{v}$ fluxio ipsius $\dot{v}$, & $\ddot{v}$ fluxio ipsius $\ddot{v}$ » . Ce passage vient d'un document que Newton prépare pour Wallis (cf. NMP, VII, p. 174, note 12), que ce dernier publie verbatim dans son De Algebra Wallis 1693, p. 392. Via Wallis, cette notation est donc diffusée dès 1693 au-delà du cercle restreint des proches de Newton.

14. « Designant igitur $\acute{z}$, $\acute{z}$, $z$, $\acute{z}$, $\ddot{z}$, $\ddot{z}$, $\dddot{z}$, $\dddot{z}$ &c. seriem quantitatum quarum quælibet posterior est fluxio præcedentis et quælibet prior fluens quantitas fluxionem habens subsequentem » (Newton 1704, p. 171). Ce passage vient du *Tractatus de quadratura curvarum* que Newton publie en 1704 en appendice de son *Optique*, mais qu'il a pour l'essentiel rédigé dès 1693, dans le cadre d'une ébauche de grand traité de géométrie; pour le passage parallèle de ce manuscrit, voir NMP, VII, p. 510.

15. Cf. Guicciardini 1999, p. 250-253.

16. « Cette notation, dans la mesure où elle dépend d'un choix arbitraire, ne peut être critiquée si le nombre de points est assez petit pour qu'on le saisisse facilement en comptant; mais s'il faut inscrire davantage de points, elle occasionne une grande confusion et des embarras plus grands encore. En effet, il est tout à fait incommode de représenter la différentielle ou fluxion dixième de cette manière $\overline{\overline{y}}$, alors qu'avec notre manière de noter $d^{10}y$ elle se saisit très facilement. D'autre part, il survient aussi des cas où il faut exprimer des ordres de différentiation encore beaucoup plus élevés et même indéfinis, ce dont la manière des Anglais est absolument incapable. », Euler 1755, p. 100-101. Voir aussi la traduction anglaise de John Blanton : Euler [1755] 2000,
En réalité, déjà dans ses brouillons de 1691, Newton se met à écrire en chiffres le nombre de points quand celui-ci devient trop élevé <fnref n="17" />. Certes, ce ne sont que des abréviations à usage privé, manifestement conçues pour faciliter ses longs calculs et non pour la publication. Mais l'idée est simple et on la voit réapparaître régulièrement, dans le contexte anglais, quand la nécessité s'en fait sentir. Ainsi Taylor, qui utilise la notation newtonienne, précise-t-il que « pour une plus grande généralité, j'écris parfois à la place des points des caractères qui désignent le nombre de points <fnref n="18" /> ». Après avoir expliqué la notation newtonienne $\acute{x}$, $\ddot{x}$ des fluentes, il ajoute même :

> Et hæ lineolæ in indicibus fluentûm vim habent punctorum (ut ita dicam) ne-gativorum in indicibus Fluxionum : Sic si sit $n = 2$, & $\dot{x}^n$ designet $\ddot{x}$, mutato signo designabitur $\acute{x}$ per $\dot{x}^{n-1}$ <fnref n="19" />.

On a donc non seulement une écriture des ordres de fluxion par des chiffres et des lettres, mais même l'idée de traiter les fluentes comme des fluxions d'ordre négatif, exactement comme le $d^{-1} = \int$ de Leibniz. L'ouvrage de Taylor mériterait une analyse plus appro-fondie, mais remarquons seulement que ce n'est pas un hasard si cette notation apparaît précisément là : les résultats-clés de Taylor sont des séries infinies comportant des fluxions d'indice arbitraire, qui ont une certaine ressemblance avec la « série très générale » de Bernoulli <fnref n="20" />. Les mêmes causes semblent produire les mêmes effets notationnels, plutôt que l'inverse.

Qu'en est-il de l'« analogie des puissances et des différences » ? Serait-elle possible avec les notations de Taylor, par exemple ? L'ironie est que, si on s'en tient aux notations, elle serait peut-être même plus facile : $\dot{x}^n$ ressemble davantage à $x^n$ que $d^n x$. Cette dangereuse proximité avec les puissances est même le premier reproche qu'adresse Robert Woodhouse à la notation newtonienne lorsqu'un siècle plus tard, en 1803, il publie un argumentaire en faveur de l'adoption de la notation leibnizienne :

Take a case from [Waring 1785, p. 299]

$$P\left(\frac{\dot{V}}{\dot{x}^n}\right) + Q\left(\frac{\dot{V}}{\dot{x}^{n-1}\dot{y}}\right) + \&c.;$$

<footnote>p. 64-65.</footnote>

<footnote n="17">17. Cf. NMP, VII, p. 162-163.</footnote>

<footnote n="18">18. « majoris generalitatis gratiâ, vice punctorum nonnunquam scribo characteres punctorum numeros designantes [...] », B. Taylor 1715, p. 1.</footnote>

<footnote n="19">19. « Et ces petites lignes dans les indices des fluentes ont le sens de points pour ainsi dire négatifs dans les indices des fluxions : ainsi, si $n = 2$ et si $\dot{x}^n$ désigne $\ddot{x}$, alors en changeant le signe $\acute{x}$ est désigné par $\dot{x}^{n-1}$, B. Taylor 1715, p. 2.</footnote>

<footnote n="20">20. Il y a d'ailleurs eu une controverse de priorité entre les deux auteurs. Voir *supra*, notes 37 et 38 p. 30.</footnote>
this by differential notation is,

$$P \cdot \frac{d^n V}{dx^n} + Q \cdot \frac{d^n V}{dx^{n-1} dy} + \text{&c.}$$

in which it appears to me, that $\dot{x}^n$ is not so clearly distinguished from $\dot{x}$ as $dx^n$ is from $d^n x$.<fnref n="21" />

(Waring 1785, que cite ici Woodhouse, utilise $\dot{x}^n$ au lieu du $\dot{x}^n$ de Taylor, mais la différence est minime; dans tous les cas, il est clair que l'écriture de fluxions d'ordre quelconque ne pose pas de problème particulier aux mathématiciens anglais qui en ont besoin, quoi qu'en dise Euler <fnref n="22" />.)

En fait, si les commentateurs de l'« analogie de Leibniz » tiennent souvent pour acquise l'importance de la notation $d$, c'est parce qu'ils lisent les travaux de Leibniz et Bernoulli à la lumière de développements mathématiques ultérieurs et considèrent donc que ce qui s'y cache, c'est un « calcul opérationnel » ou « calcul des opérations » qui manipulerait algébriquement les opérateurs $d$ ou $\int$. Pourtant, ce n'est pas vraiment ce qu'on trouve dans nos textes. Le mathématicien Lionel Cooper ne s'y trompe pas : lorsqu'il tente de retracer l'histoire longue du calcul opérationnel, il a du mal à le reconnaître chez Leibniz.

[Leibniz's] analogy seems to be not the one on which the modern symbolic calculus rests [...] but a less far-reaching and more awkward one between differentiation and raising a quantity to a power; to use suggestive notation, not that between $D^n u$ and $a^n u$, but that between $u^{(n)}$ and $u^n$ [...].<fnref n="23" />

C'est si vrai que lorsqu'il présente son analogie, Leibniz semble plus encombré qu'autre chose par ses $d$, qui induisent un écart avec les puissances; cela le conduit même à changer la notation usuelle $x^n$ en $p^n x$ <fnref n="24" />. Lagrange, comme nous l'avons vu, préférera plus simplement jeter les $d$ par-dessus bord <fnref n="25" />.

<footnote n="21">21. « Prenons un exemple tiré de [Waring 1785, p. 299] [...] ce qui en notation différentielle s'écrit [...] où il me semble que $\dot{x}^n$ ne se distingue pas aussi clairement de $\dot{x}^n$ que $dx^n$ de $d^n x$ », Woodhouse 1803, p. xxvii.</footnote>

<footnote n="22">22. Edward Waring, qui était l'un des mathématiciens anglais les plus éminents de sa génération (il a occupé pendant près de quarante ans la prestigieuse chaire « lucasienne » de mathématiques de Cambridge), discute amplement, dans ce traité, l'analyse continentale en la traduisant tout naturellement en notation fluxionnelle. Il écrit par exemple qu'Euler a résolu l'équation différentielle « $\dot{y}^n + a \dot{y}^{n-1} + b \dot{y}^{n-2} + c \dot{y}^{n-3} + ... + Ay \dot{x}^n = 0$ » (Waring 1785, p. v).</footnote>

<footnote n="23">23. « [L'analogie de Leibniz] ne semble pas être celle sur laquelle repose le calcul symbolique moderne [...] mais une autre, moins générale et plus maladroite, entre la differentiation et le fait d'élever une quantité à une puissance; pour utiliser une notation suggestive, non pas l'analogie entre $D^n u$ et $a^n u$ mais celle entre $u^{(n)}$ et $u^n$ [...].», J. L. B. Cooper 1952, p. 6.</footnote>

<footnote n="24">24. Dans une lettre à l'Hôpital, puis dans son mémoire de 1710; voir *supra*, p. 55 et 56.</footnote>

<footnote n="25">25. Dans le cadre de l'analogie, il écrit $x^m$ pour $d^m x$ (cf. p. 72).</footnote>
Même le « genre singulier de calcul » de Bernoulli 26 est concevable, voire plus clair, sans les *d*. Il est bien sûr tentant, puisque Bernoulli manipule algébriquement les *d*, d'y voir une sorte de calcul des opérations dans lequel la séparation de l'opérateur est cruciale. La raison pour laquelle ce n'est pas si simple, c'est que Bernoulli ne fait pas abstraction des variables auxquels les *d* s'appliquent : dans son calcul, un *d* qui s'applique à *x* est différent d'un *d* qui s'applique à *y* 27 ; comme nous l'avons vu, Lenore Feigenbaum suggère de voir sa démarche comme un calcul algébrique avec des quantités $d_x$, $d_y$, en mettant *x* et *y* en indice. Certes, on pourrait s'appuyer sur cette notation pour donner une véritable interprétation opérationnelle du calcul de Bernoulli, selon laquelle $d_x$ et $d_y$ seraient des opérateurs de différentiation vis-à-vis de *x* et *y* respectivement (c'est-à-dire par exemple $d_x(x) = dx$ et $d_x(y) = 0$) et les formules de Bernoulli désigneraient des opérateurs complexes, qu'il suffirait d'appliquer systématiquement à *xy* pour retrouver les formules différentielles sur lesquelles Bernoulli croit travailler 28. S'il s'agit de proposer une reconstruction de la méthode de Bernoulli pour en justifier les bons résultats, c'est parfaitement légitime. Toutefois, cela nous conduit assez loin du texte, et donne une importance qu'elle n'a pas à la notion d'opérateur : quitte à modifier les notations de Bernoulli, on resterait sans doute plus près de sa manière de penser en remplaçant $d^n x$ par $x^n$ et en décrétant qu'il faut calculer avec ces quasi-exposants placés à la verticale comme avec les exposants usuels 29. Là encore, comme l'écrivait Cooper, l'analogie fondamentale est entre $d^n x$ et $x^n$ et l'importance des *d* n'est qu'apparente.

Bien sûr, le *d* leibnizien a pu jouer un rôle essentiel plus tard au XVIIIe siècle, et on peut invoquer toutes sortes d'autres raisons de le défendre, par exemple la lisibilité. Mais il ne faut pas le fétichiser, surtout en ce qui concerne nos textes, dans lesquels son importance est en bonne part une illusion rétrospective. Plus largement, comme le montre notre comparaison avec Newton et Taylor, les avantages éventuels des notations de Leibniz ne doivent pas se comprendre en termes de ce qu'elles permettent d'exprimer et qui serait impossible ou impensable sans elles.

<footnote n="26">26. Cf. section 2.4.</footnote>

<footnote n="27">27. « Les lettres x, y, qui dénotent habituellement une quantité, ne doivent pas être considérées comme telles, mais uniquement dans la mesure où elles déterminent *d*, *d*², *d*³ etc. », écrit-il ainsi (voir *supra*).</footnote>

<footnote n="28">28. Par exemple, les calculs que Bernoulli croit appliquer à la quantité $d^0 x d^3 y + d^1 x d^2 y$ porteraient en fait sur l'opérateur $d_x^0 d_y^3 + d_x^1 d_y^2 = d_y^3 + d_x d_y^2$, sachant que $(d_y^3 + d_x d_y^2)(xy) = x d^3 y + x d^2 y$.</footnote>

<footnote n="29">29. Les règles de Bernoulli ne se formulent pas plus mal ainsi qu'avec la notation leibnizienne : on aurait $(\mathring{y})^2 = \mathring{y}^2, \mathring{y}^2 \times \mathring{y}^3 = \mathring{y}^5, \text{etc.}$</footnote>
## 3.2 La notation $d^n$ permet-elle d'exprimer des choses auparavant impossibles ?

Admettons : écrire $d^n x$ plutôt que $\dot{x}^n$ n'est pas crucial pour l'analogie. Malgré tout, n'est-il pas indispensable de pouvoir noter $n$ un ordre de différentiation ou de sommation quel-conque, qu'on l'écrive en exposant de $d$, au-dessus des lettres ou ailleurs encore ? Au-delà des particularités de la notation de Leibniz, ce pourrait être cela, l'ingrédient notationnel sans lequel l'analogie serait impossible. Pourtant, là encore, les choses sont moins simples. En un certain sens, on peut réécrire tout ce que font Leibniz et Bernoulli sans la moindre notation générale de l'ordre de différentiation. La nouvelle notation apporte certes quelque chose, mais ce n'est pas, à proprement parler, un pouvoir expressif supérieur.

Commençons par l'analogie sous sa forme la plus simple, qui ne concerne que les différentes et pas les sommes. Voici comment un résultat apparenté, dit « formule de Leibniz », est présentée dans un manuel de premier cycle contemporain <fnref n="30" /> :

$$ (fg)^{(n)} = \sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p} f^{(p)} g^{(n-p)} $$

La notation $f^{(n)}$, qui indique ici la dérivée $n$-ième de la fonction $f$, y intervient partout et paraît indispensable. Il peut sembler évident qu'un tel résultat général, portant sur des dérivées ou différentes d'ordre quelconque, ne peut être écrit sans une notation générale.

Il faut pourtant se garder de cette évidence : un résultat peut très bien être conçu comme général et pourtant présenté à travers ce qui semble au premier abord être des cas particuliers <fnref n="31" />. C'est exactement ainsi qu'Euler présente l'analogie dans son manuel de calcul différentiel, plus d'un demi-siècle après les investigations de Leibniz et Bernoulli. Le passage en question intervient au chapitre 8, « De la différentiation supérieure des formules différentes <fnref n="32" /> », au cours de la discussion des fonctions de deux variables. Le but d'Euler y est de montrer comment différentier plusieurs fois n'importe quelle formule; il

<footnote n="30">30. Deschamps et Warusfel 2003, p. 387.</footnote>

<footnote n="31">31. C'est même un phénomène fréquent, qui pose un problème spécifique à l'historien : la variabilité des conceptions et manières d'exprimer la généralité signifie qu'une lecture superficielle ne suffit pas forcément à évaluer la généralité visée, comme le souligne Chemla 2003, 2006 (pour davantage d'exemples, voir le collectif Chemla, Chorlay et Rabouin 2016). Le problème que posent les lettres de Leibniz est similaire, mais inverse : à première vue, sa manière d'exprimer la généralité peut nous paraître évidente et inévitable parce qu'elle est proche de la nôtre, alors qu'il s'agit d'un choix méthodologique très fort (voir infra). C'est ce sentiment d'évidence que je veux ébranler ici.</footnote>

<footnote n="32">32. « De formularum differentialium ulteriori differentiatione », Euler 1755, p. 204 sq.; cf. aussi la traduction anglaise de John Blanton (Euler [1755] 2000, p. 141 sq.) en prenant garde que celui-ci n'a aucun scrupule à moderniser les notations et remplace systématiquement dd par d².</footnote>
commence d'ailleurs en introduisant $V$ « une fonction finie quelconque de $x$ et $y$ » avec $dV = Pdx + Qdy$<fnref n="33" />. Mais après avoir calculé $ddV$, il délaisse ce niveau de généralité et préfère passer à des exemples :

Simili modo differentialia tertia ac sequentia invenientur, quod in exemplo particulari ostendisse magis expediet quam formulas generales adhibendo.

Sit igitur $V = xy$;

$$ \text{Erit } dV = ydx + xdy $$

$$ ddV = yddx + 2dxdy + xddy $$

$$ d^3 V = yd^3 x + 3dyddx + 3ddydx + xd^3 y $$

$$ d^4 V = yd^4 x + 4dyd^3 x + 6ddxddy + 4dxd^3 y + xd^4 y $$

&c.

in quo exemplo coefficientes numerici legem potestatum binomii sequuntur indeque, quousque libuerit, continuari possunt <fnref n="34" />.

Euler procède par l'exemple en un double sens : il traite des cas particuliers comme $V = xy$ plutôt qu'un $V$ quelconque, et calcule $dV$, $ddV$, $d^3V$ et $d^4V$ plutôt que $d^nV$. Cet extrait, d'ailleurs, est représentatif du traitement qu'Euler réserve aux différentielles ; dans les près de 900 pages de ce traité, je n'ai trouvé que deux passages où figure un $d^n$ avec $n$ quelconque <fnref n="35" />. Il est vrai que Leibniz, lui, utilise cette écriture, à la fois lorsqu'il présente son analogie au marquis de l'Hôpital et lorsqu'il la publie <fnref n="36" />, mais c'est plutôt lui l'exception : même son proche collaborateur Jean Bernoulli la présente à Varignon via un cas particulier <fnref n="37" />. En fait, Leibniz a des préoccupations méthodologiques très spécifiques, comme nous le verrons.

Or si, comme Euler, on présente l'analogie par l'exemple, écrire $d^n$ n'est plus nécessaire. En fait, même la notation $d^3, d^4$ n'est pas clairement requise : contrairement à Leibniz qui, dans ce contexte, écrit soigneusement $d^0x, d^1x, d^2x$, Euler s'en tient aux notations usuelles $x, dx, ddx$, et on pourrait très bien imaginer qu'il écrive aussi $dddx$ plutôt que

<footnote n="33">33. « Denotet ergo V functionem quamcunque finitam ipsarum x et y sitque $dV = Pdx + Qdy$ », Euler 1755, p. 207.</footnote>

<footnote n="34">34. « On trouvera de la même manière les différentielles troisièmes et les suivantes, ce qu'il sera plus à propos de montrer sur un exemple particulier qu'en exhibant des formules générales. Soit donc $V = xy$; on aura [...]. Dans cet exemple, les coefficients numériques suivent la loi des puissances d'un binôme et de ce fait peuvent être continués aussi loin qu'on voudra. », Euler 1755, §249, p. 209-210; Euler [1755] 2000, p. 144-145.</footnote>

<footnote n="35">35. Cf. Euler 1755, p. 324-326, 587. En revanche, les puissances quelconques $x^n$ y sont très nombreuses.</footnote>

<footnote n="36">36. Voir *supra*, p. 55 et 56.</footnote>

<footnote n="37">37. Cf. lettre de Jean Bernoulli à Varignon du 24 décembre 1697, BBW, II, p. 154-155.</footnote>
$d^3x$. Certes, la notation exponentielle rend sans doute l'analogie plus visible; mais pour
bien comprendre cette idée, à laquelle je reviendrai, il faut d'abord voir qu'on peut faire
sans.

Pourrait-on aussi éliminer la notation $d^\bullet$ (sous ses différentes formes : $d^3$, $d^{-1}$, $d^n$, etc.)
des formules plus complexes de Leibniz, celles qui valent aussi pour les intégrales ? Prenons
un exemple. Comme nous l'avons vu <fnref n="38" />, Leibniz introduit la notation $d^{-1} = \int$ pour pouvoir
écrire la formule <fnref n="39" />

$$
\int \overline{z^e d^m n} = z^e d^{\frac{m-1}{e}} n - e \cdot z^{\frac{e-1}{e}} d^{\frac{m-2}{e}} n \cdot dz + e \cdot e - 1 \cdot z^{\frac{e-2}{e}} d^{\frac{m-3}{e}} n \cdot \overline{dz^2} \\ - e \cdot e - 1 \cdot e - 2 \cdot z^{\frac{e-3}{e}} d^{\frac{m-4}{e}} n \cdot \overline{dz^3} \text{ etc.}
$$

qu'il obtient par une méthode analogue à une application répétée de notre « intégration
par parties ». Il y a une difficulté apparente pour éliminer la notation $d^{-1} = \int$, qui est que
la règle de formation des termes devrait changer au bout de $m$ étapes : quand on passe
d'un terme au suivant, $d^{m-1}n$ devient $d^{m-2}n$ puis $d^{m-3}n$ et ainsi de suite jusqu'à atteindre
$dn$ puis $n$, et il faut ensuite passer à $\int n, \int\!\! n$. Mais comme je viens de le faire, cette règle
peut parfaitement s'expliquer en langue naturelle sans introduire de nouvelle convention
notationnelle. Il y a plus : on peut éliminer non seulement $d^n$ mais même $d^3, d^4$ etc. en
procédant via des exemples, comme Euler plus haut. Leibniz lui-même, juste après avoir
donné la formule générale, traite les cas $m=1$ et $m=2^{40}$ :

$$
\int \overline{z^e dn} = z^e n - e \cdot z^{\frac{e-1}{e}} \int \overline{n} + e \cdot e - 1 \cdot z^{\frac{e-2}{e}} \iint n - e \cdot e - 1 \cdot e - 2 \cdot z^{\frac{e-3}{e}} \int^3 n, \text{ etc.}
$$

$$
\int \overline{z^e d\overline{dn}} = z^e dn - e \cdot z^{\frac{e-1}{e}} n + e \cdot e - 1 \cdot z^{\frac{e-2}{e}} \int n - e \cdot e - 1 \cdot e - 2 \cdot z^{\frac{e-3}{e}} \int^2 n, \text{ etc.}
$$

Ici, la notation exponentielle est quasiment absente, et on pourrait en éliminer la dernière
trace en remplaçant $\int^3$ par $\int\!\!\!\!\!$, $\int^2$ par $\int\!\!$. Or ces deux exemples auraient certainement
suffi à Bernoulli pour en saisir la généralité; on peut d'ailleurs conjecturer que c'est ainsi
que lui-même aurait procédé plutôt que d'introduire une notation exotique. Encore une
fois, la notation exponentielle s'avère en principe dispensable.

À ce stade, nous pouvons mieux comprendre comment il faut interpréter une affir-
mation comme celle de Michel Serfati citée en tête de chapitre. Quand il écrit que « [la]

<footnote n="38">38. Cf. section 2.2.</footnote>

<footnote n="39">39. Je donne ici la formule que donne Bernoulli dans sa réponse du 20-30 avril 1695, où il corrige les fautes de calcul de Leibniz; cf. p. 48.</footnote>

<footnote n="40">40. L'erreur de calcul initiale de Leibniz se répercute dans ces cas particuliers, cf. note 31 p. 49. J'ai ici corrigé les formules pour éviter une distraction inutile.</footnote>
substitution [...] de $A = x^2 + x + 2$ dans $A^2 + A$ demeura une opération inconcevable [...] dans le cadre de l'écriture médiévale des mathématiques » (je souligne), la dernière clause introduit une nuance cruciale : l'opération est parfaitement concevable sans la notation moderne des puissances, mais il faut pour cela mobiliser des ressources extérieures aux signes utilisés <fnref n="41" />. C'est exactement ce que l'on observe dans le cas de l'intégrale $\int \sqrt[3]{x} dx$. À se concentrer sur les notations prises isolément, on risque de conclure qu'il est impossible de l'exprimer sans écrire $d^n$ ou quelque chose d'équivalent. Ce serait une erreur, parce que les notations ne fonctionnent jamais seules : elles peuvent être accompagnées d'explications en langue naturelle, et en tout cas sont toujours interprétées par un lecteur qui peut, à partir d'exemples, comprendre une règle générale.

Nous sommes maintenant en mesure de mieux poser le problème des notations. Il ne faut pas se demander si elles rendent possible quelque chose qui ne l'était pas : on peut toujours trouver moyen de faire sans, et il y a fort à parier qu'en cherchant bien, on trouvera même quelqu'un qui l'a fait. Je propose plutôt de comparer la manière de procéder sans et la manière de procéder avec telle nouvelle notation, pour mieux comprendre ce que la nouvelle notation apporte. En un sens, cette démarche est une instance de la méthodologie comparative mise en avant par Ken Manders <fnref n="42" />. Le but est alors de clarifier et préciser l'idée qu'une bonne notation peut rendre certaines choses plus « simples », certaines découvertes plus « faciles », etc.

## 3.3 Voir des régularités dans les formules

Dans notre épisode, le rôle le plus évident et le plus explicite des changements de notation est celui de rendre l'analogie plus claire (« analogiæ clarioris causa <fnref n="43" /> », écrit Leibniz lorsqu'il introduit la notation $p^n x$ pour $x^n$) ou visible en un coup d'œil (« ut [...] totum uno oculi ictu perspiciatur <fnref n="44" /> », écrit Lagrange, qui utilise $x^n$ au lieu de $d^n x$). Au contraire, comme l'écrit Bernoulli à Varignon, si après avoir trouvé $d^4(xy)$ via l'analogie on élimine les $d^\bullet$, cela dissimule le procédé :

> pour cacher maintenant l'artifice, pour $d^0x, d^1x, d^0y, d^1y$ j'écrirois simplement $x, dx, y, dy$, &c. ce qui me donneroit pour la differentielle cherchée une

<footnote n="41">41. C'est bien cela que constate Serfati dans son exemple, qui vient d'un passage de Michael Stifel : Serfati 2006, p. 107-111.</footnote>

<footnote n="42">42. Lors de nombreux séminaires et communication personnelle; voir aussi ses brouillons non publiés, par exemple Manders 1999.</footnote>

<footnote n="43">43. Leibniz 1710b, p. 161.</footnote>

<footnote n="44">44. Voir n. 109 p. 72.</footnote>
expression en termes ordinaires $xddddy + 4dxdddy + 6ddxddy + 4dddxdy + yddddx$ <fnref n="45" />.

Cela ne veut pas dire que la notation crée l'analogie : en un sens, il y a toujours une
similitude de structure entre la formule précédente, malgré tous ses d, et

$$ (m + y)^4 = n^0 m^4 + 4n^1 m^3 + 6n^2 m^2 + 4n^3 m^1 + n^4 m^0. $$

Il y a le même nombre de termes, les mêmes coefficients, et les nombres de $d$ devant $x$ ou $y$ correspondent aux exposants de $m$ ou $n$. La différence est que cette relation est bien moins apparente ; ce que les notations permettent, c'est de la rendre plus saillante.

Dans les découvertes de Leibniz aussi, les notations ont certainement joué un rôle sem-
blable; le phénomène n'est donc pas limité aux contextes expositoires des citations que je
viens de donner. En effet, comme nous l'avons vu <fnref n="46" />, une étape importante pour Leibniz a
sans doute été de reconnaître une analogie entre

$$ \int \overline{z^e \cdot d^{m'}} n = z^e \cdot d^{\frac{m-1}{e}} n - e \cdot z^{\frac{e-1}{e}} \cdot d^{\frac{m-2}{\frac{e-2}{e}}} n \cdot dz + e \cdot e - 1 \cdot z^{\frac{e-2}{\frac{e-3}{e}}} \cdot d^{\frac{m-3}{\frac{e-4}{e}}} n \cdot \overline{dz^2} \\ - e \cdot e - 1 \cdot e - 2 \cdot z^{\frac{e-3}{\frac{e-4}{e}}} \cdot d^{\frac{m-4}{\frac{e-5}{e}}} n \cdot \overline{dz^3} + \text{etc.} $$

et la formule du binôme de Newton. Les deux formules en question sont obtenues par des
procédés très différents <fnref n="47" />, ce qui rend d'autant plus probable que l'observation de Leibniz
ait été authentiquement visuelle : l'analogie réside dans les formules elles-mêmes, pas dans
leur méthode de construction. Or cette observation est certainement facilitée par la nota-
tion $d^*$, exactement comme dans le cas de $d^4(xy)$ et $(n+m)^4$ que discute Bernoulli dans
sa lettre à Varignon. Bien sûr, là encore, la découverte n'aurait pas été impossible sans la
notation; en principe, Leibniz aurait pu n'écrire que des cas particuliers en utilisant des
suites de $d$, et pourtant se rendre compte qu'en passant d'un terme au suivant, le nombre
de $d$ devant $n$ diminuait et le nombre de $d$ devant $z$ augmentait, et ainsi pressentir un rap-
port – que par ailleurs il appelait de ses vœux – avec la formule du binôme. Mais il faut
bien admettre que la notation $d^*$ facilite ce constat considérablement.

<footnote n="45">45. Lettre de Jean Bernoulli à Varignon du 24 décembre 1697, BBW, II, p. 155.</footnote>

<footnote n="46">46. Cf. section 2.3.</footnote>

<footnote n="47">47. Leibniz obtient sa formule pour $\int \overline{z^e d^{m'}} n$ par la méthode de Bernoulli, apparentée à notre intégration par parties (cf. section 2.2). Le cas de la formule du binôme est plus complexe. Pour des exposants entiers positifs, elle peut être obtenue par des considérations combinatoires; dans le cas d'exposants négatifs ou fractionnaires, on peut utiliser la méthode de Mercator (cf. *supra*, note 67 p. 61). Newton procède autrement (en s'inspirant des méthodes de Wallis, cf. Panza 2005), mais il est probable que Leibniz n'ait pas eu connaissance des détails de ses travaux. Quoi qu'il en soit, dans le cas général, Leibniz ne peut guère concevoir la formule que *via* la règle de formation de ses termes successifs.</footnote>
## 3.4 Construire des théorèmes généraux

Les notations de Leibniz lui permettent aussi de rassembler en théorèmes généraux ce qui serait sans cela des formules éparses. Cet avantage est plus subtil qu'il n'y paraît. N'ai-je pas soutenu plus haut 48 que même sans $d^{-1} = \int$, il est possible, en passant par des cas particuliers, d'exprimer un résultat aussi général que sa formule pour $\int z^e d^m n? À ce stade de son investigation, c'est exact, mais si l'on continue l'exercice d'éliminer les $d^*$, on recontre une difficulté instructive.

Nous l'avons vu, Leibniz introduit $d^{-1} = \int$ afin que les termes successifs de son développement en série pour $\int z^e d^m n$ suivent une loi uniforme. Mais il a immédiatement l'idée d'utiliser cette nouvelle notation *dans l'expression même de l'intégrale à calculer*, c'est-à-dire de prendre $m = -r^{49}$ :

$$ \int \overline{z^e \int r \cdot n} = z^e \int n \cdot e \cdot z^{\frac{e-1}{r}} \int n + e \cdot e-1 \cdot z^{\frac{e-2}{r}} \int n - e \cdot e-1 \cdot e-2 \cdot z^{\frac{e-3}{r}} \int n^{\frac{e-4}{r}}, \text{etc.} $$

On peut jouer au même petit jeu que ci-dessus et remplacer cette formule par des cas particuliers comme $r = 1$,

$$ \int \overline{z^e \int n} = z^e \iint n - e \cdot z^{\frac{e-1}{2}} \iint\int n + e \cdot e-1 \cdot z^{\frac{e-2}{2}} \iint\int\int n, \text{etc.} $$

puis aussi $r = 2$, et expliquer que le résultat est généralement valable pour autant d'intégrales qu'on veut; ainsi, la notation exponentielle serait à nouveau éliminée. La question importante, cependant, est ailleurs : est-ce le même résultat que celui qui donne $\int z^e dn$ et $\int z^e ddn$? Au fond, la question de ce qui fait l'unité des formules contenant $dn, ddn, dddn$ se pose déjà, mais elle est beaucoup plus aiguë ici, où l'on y ajoute $\int n, \iint n$, etc. Dans les deux cas, on pourrait dire que ce qui les rassemble est la règle de formation des termes successifs : pour passer de l'intégrale à calculer au premier terme, il faut (a) supprimer le $\int$ initial et (b) supprimer un $d$ ou ajouter un $\int$ au terme en $n$; pour passer d'un terme du développement au suivant, il faut (a) supprimer un $d$ ou ajouter un $\int$ au terme en $n$, et (b) différentier le terme en $z$. Si, comme je viens de le faire, on traite et écrit $d$ et $\int$ différemment, on obtient alors une règle un peu complexe parce que disjonctive. Mais il y a plus. L'énoncé même du résultat devrait juxtaposer deux familles de cas différents : d'une part $\int z^e dn$ et ses analogues avec $ddn, dddn$, etc., d'autre part $\int z^e \int n$ et ses analogues avec $\iint$ etc. En bref, ce serait un drôle d'énoncé. Pourquoi en ferait-on un théorème unique ? On

<footnote n="48">48. Section 3.2.</footnote>

<footnote n="49">49. Voir *supra*, p. 49. Encore une fois, j'ai corrigé les erreurs de calcul de Leibniz.</footnote>
pourrait se contenter d'y voir diverses applications d'une même méthode, celle qui conduit
Bernoulli à sa série très générale puis Leibniz aux généralisations de celle-ci.

Ce problème est encore plus clair pour l'analogie généralisée de Leibniz <fnref n="50" /> :

$$
d^e \overline{x y} = d^e x d^0 y + \frac{e}{1} d^{e-1} x \cdot d^1 y + \frac{e \cdot e - 1}{1 \cdot 2} d^{e-2} x \cdot d^2 y + \frac{e \cdot e - 1 \cdot e - 2}{1 \cdot 2 \cdot 3} d^{e-3} x \cdot d^3 y \text{ etc.}
$$

Si on cherche à la traduire sans d•, on obtient d'un côté les formules finies donnant les
différentielles supérieures d'un produit (cas e > 0), de l'autre des développements infinis
qui rappellent la série universelle de Bernoulli (cas e < 0). Là encore, le problème n'est pas
une impossibilité d'exprimer le résultat sans la nouvelle notation; c'est plutôt qu'au lieu
d'une formule unique, on en obtient plusieurs qui n'ont plus de rapport clair les unes avec
les autres. Le contenu du théorème serait conservé... sauf qu'on n'aurait plus de théorème.

En fait, chercher autant que possible des formules générales est un choix méthodologique fort de Leibniz <fnref n="51" />. Il croit de longue date à l'importance de rassembler des cas apparemment différents en des formules uniques, comme le montre déjà un manuscrit de 1674, « De la methode de l'universalité », qui commence ainsi :

La Methode de l'universalité nous enseigne de trouver par une seule operation
des formules analytiques et des constructions geometriques generales pour des
sujets ou cas differens dont chacun sans cela auroit besoin d'une analyse ou
synthese particuliere <fnref n="52" />.

Tout l'intérêt, écrit-il plus loin, de « la Reduction de plusieurs Cas differens à une seule formule, regle, equation ou construction » est qu'elle « diminue la peine <fnref n="53" /> ». Cela peut faire écho à un thème très répandu, sous diverses formes, dans les mathématiques du XXe siècle, où il est fréquent de louer le choix de « bons concepts » ou de « bonnes définitions » pour l'« économie de pensée » qu'ils procurent en synthétisant une multitude de phénomènes particuliers. La différence, c'est que c'est ici au choix des « caractères » ou « signes », donc à ce que nous appelons les notations, que Leibniz fait jouer ce rôle unificateur. Cette démarche est très nette dans notre exemple : c'est bien l'uniformité notationnelle permise par $d^{-1} = \int$ qui justifie de considérer comme un même résultat des formules qui, sans cela, seraient distinctes.

<footnote n="50">50. Cf. p. 55.</footnote>

<footnote n="51">51. Pour plus de détails sur l'importance que Leibniz accorde à la généralité, et les valeurs qu'il lui associe (concision, beauté, mémorabilité, etc.) voir Knobloch 2016. Michel Serfati 2001, section 5 fait même de la recherche d'« harmonie », c'est-à-dire d'unité permettant de saisir par une formule unique une diversité de cas particuliers, le principe fondamental de la méthode leibnizienne.</footnote>

<footnote n="52">52. Leibniz 1903, p. 97.</footnote>

<footnote n="53">53. Id., p. 98.</footnote>
Il faut préciser que, chez Leibniz, la relation entre notations et formules générales est
à double sens. D'un côté, les notations sont choisies pour permettre la généralité; mais
en retour, la possibilité même d'écrire des formules concises et générales suggère que les
notations qui les permettent sont bien fondées. Dans notre cas, Leibniz pose $d^{-1} = \int$ sim-
plement pour pouvoir écrire sa première formule pour $\int z^e d^m n$; quand il se rend compte
que la formule reste valable en remplaçant $d^m n$ par $d^{-m} n = \int n$; c'est-à-dire que sa nota-
tion permet d'écrire une formule légèrement plus générale que ce qu'il avait initialement
prévu, il écrit que cela « confirme » $d^{-1} = \int^5$, et il déclare même à l'Hôpital quelques
jours plus tard que le calcul des différences « est le même avec celuy des sommes, l'un es-
tant seulement reciproque de l'autre »^55». Pour Leibniz, la possibilité d'écrire une formule
générale simple confère donc immédiatement à $d^{-1} = \int$ un statut privilégié. On explique
souvent cette tendance leibnizienne à traiter la simplicité comme indice de la vérité en la
liant à ses positions philosophiques et théologiques^56, et Serfati va même jusqu'à quali-
fier les pratiques symboliques leibniziennes d'« irrationalistes »^57». Il me semble cependant
qu'on pourrait gagner en perspective en établissant un parallèle avec les jugements de
« naturalité » émis dans le cadre de mathématiques plus récentes^58: la généralité peut être
l'un des buts visés lorsqu'on élabore de nouvelles définitions, mais en retour, il n'est pas
rare de considérer des définitions qui permettent des énoncés simples et généraux comme
« naturelles ». Il y a là un brouillage tout à fait comparable entre considérations apparem-
ment épistémiques et questions ontologiques, sauf qu'encore une fois, c'est dans notre cas
pour les notations que des questions de généralité et de naturalité se posent.

3.5 Une réorganisation du paysage

En dernier lieu, une fois adoptées, les notations $d^{\bullet}$ changent ce qui peut s'exprimer de manière simple et par là réorientent les recherches de Leibniz et Bernoulli. C'est déjà vrai de la formule générale pour $d^e(xy)$, qui tire une grande partie de son intérêt du fait qu'elle peut s'exprimer simplement dans la nouvelle notation (tout en légitimant cette notation en retour) : comme nous l'avons vu, si on n'utilisait pas la notation $d^{\bullet}$, cette formule dégénérait en un énoncé artificiel et disjonctif, sans intérêt au-delà de celui des cas particuliers qui la constituent. C'est plus vrai encore de la formule que donne Leibniz^59 pour $d^{\frac{1}{2}}$, qui tire

<footnote n="54">54. Voir *supra*, p. 49.</footnote>

<footnote n="55">55. Cf. p. 50.</footnote>

<footnote n="56">56. Voir par exemple Knobloch 2016.</footnote>

<footnote n="57">57. Serfati 2008.</footnote>

<footnote n="58">58. Jamie Tappenden, dans ses travaux, a clairement problématisé cette question; cf. par exemple 2008a,b.</footnote>

<footnote n="59">59. Cf. section 2.5.</footnote>
toute sa plausibilité du fait qu'elle peut alors s'écrire de manière apparemment naturelle. Toutefois, le meilleur exemple est sans doute l'étrange calcul de Bernoulli <fnref n="60" />.

Si on formulait les règles de calcul de Bernoulli sans utiliser la notation $d^*$, on les trouverait certainement difficiles et contournées. On aurait par exemple

$$ \frac{dddx dy}{dx dy} = ddx \int y, \quad ddx dy \times dy \int x = ddx dy, \quad \frac{dxdy}{dy \int x} = yddx, $$

et ainsi de suite. Certes, il reste possible de les formuler ainsi, quoique cela suppose sans doute plus ou moins de concevoir l'intégrale comme une sorte d'inverse algébrique de la différentielle. Mais on voit bien que la médiation de la notation $d^{-1} = \int$ joue un rôle important pour faire de ces règles une voie qu'il est raisonnable d'explorer.

<footnote n="60">60. Voir section 2.4.</footnote>
Synthèse : un pari notationnel

L'importance des nouvelles notations de Leibniz n'est pas qu'elles permettent d'écrire
des choses qui, sans elles, seraient impensables. Il n'est pas vrai non plus que la notation
newtonienne n'aurait rien permis de similaire. Pour autant, écrire $d^4, d^n$ ou $d^{-3}$ plutôt que
de s'en tenir à des dddd et fff (ou faire l'équivalent du côté newtonien), cela a des consé-
quences. Cela fait ressortir plus clairement des régularités dans des formules complexes
qui, autrement, seraient beaucoup moins nettes. Cela change aussi le paysage mathéma-
tique ouvert à l'exploration : des résultats qui ne s'exprimaient que de manière complexe
et disjonctive deviennent simples et paraissent plausibles; de nouvelles voies deviennent
prometteuses à explorer.

De la sorte, les notations introduites par Leibniz semblent effectivement aider nos au-
teurs dans leurs découvertes. Ce n’est pas un simple accident, dans la mesure où Leibniz
avait des raisons de les choisir de préférence à d’autres. Mais ce n’est pas non plus un choix
fait en pleine connaissance de cause, parce qu’en fin de compte, les motivations initiales
de Leibniz n’ont qu’un lien indirect et imparfait avec les découvertes qui en sortent. Au
fond, ses choix notationnels sont un pari, un pari informé sans doute, mais un pari tout de
même, qui aurait aussi bien pu ne mener nulle part.
<figure><img src="image_10.png" /></figure>
Deuxième partie

Équivalence informationnelle,
différences computationnelles
<figure><img src="image_11.png" /></figure>
# Sommaire de la deuxième partie

## Introduction : un slogan séduisant 97

### 4 Herbert Simon : représentations et types de données 101

4.1 Sciences cognitives et formes de représentation 101

4.2 Représentations et heuristiques 106

4.3 Des représentations aux types de données 109

4.4 Mais que sont les types de données de Simon? 112

a) Une variante de la notion usuelle? 112

b) « Structures » plutôt que « types » de données 114

c) Un niveau d'abstraction problématique 117

4.5 Retour aux représentations externes 119

a) Un problème de statique 121

b) Un problème de géométrie 124

c) Simon : pionnier paradoxal de la « cognition étendue »? 126

4.6 Conclusion : la démarche de Simon 128

### 5 Différences computationnelles partout? 131

5.1 Diagrammes et figures en mathématiques 131

5.2 Visualisation de données 136

a) Le cadre de Kulvicki 136

b) Une application des concepts de Simon? 139

c) Un exemple mathématique 142

5.3 Un élargissement : Humphreys et Vorms 145

5.4 Dirk Schlimm et les notations 148

5.5 La notation exponentielle de Leibniz 149

5.6 Un premier bilan 150

### 6 De Simon à la pratique des mathématiques 153

6.1 Un prérequis sémiologique de la notion d'information 153

a) Une distinction préalable *type-token* 154

b) Un sens minimal du terme d'information 156

c) Un exemple : Miller et Mumma sur les figures d'Euclide 158

6.2 Équivalence informationnelle et intertraductibilité algorithmique 160

6.3 Différences computationnelles et opérations 162

6.4 Le vrai problème : une équivalence avec quoi? 164

## Conclusion : avancées et limites 169
<figure><img src="image_12.png" /></figure>
Introduction : un slogan séduisant

Herbert Simon introduit en 1978 un slogan qui a, depuis, rencontré un certain suc-
cès tant en sciences cognitives qu’en philosophie : deux représentations peuvent être in-
formationnellement équivalentes mais computationnellement différentes<fnref n="61" />. Pour lui, ce qui
distingue avant tout images et phrases, par exemple, n’est donc pas qu’elles auraient un
contenu différent, mais qu’elles rendraient différentes opérations plus ou moins faciles ou
difficiles.

Pour une analyse des représentations utilisées en sciences ou en mathématiques, les
idées de Simon ont deux attraits principaux. Tout d'abord, sa définition de l'équivalence
informationnelle est séduisante parce qu'elle permet, du moins à première vue, de comparer
des représentations en contournant la question délicate de savoir de quoi elles parlent. Voici
comment Simon introduit son projet :

It is impossible to find an entirely neutral language in which to describe rep-
resentations of information, for a language is itself a form of representation.
We can avoid this difficulty, at least in part, by not attempting to describe
representations directly, but by talking instead in terms of the equivalence of
representations. [...] Specifically, I shall talk about informational equivalence
and computational equivalence. [...] Two representations are informationally
equivalent if the transformation from one to the other entails no loss of infor-
mation, i.e., if each can be constructed from the other. 62

Cet usage du terme d'information s'inscrit dans le prolongement de la « théorie mathé-

<footnote n="61">61. Sa première publication sur le sujet est Simon 1978, mais son article le plus lu est Larkin et Simon 1987.</footnote>

<footnote n="62">62. « Il est impossible de trouver un langage entièrement neutre pour décrire des représentations d'information, parce que tout langage est lui-même une forme de représentation. Nous pouvons éviter cette difficulté, au moins en partie, en ne tentant pas de décrire les représentations directement, mais en parlant à la place en termes d'équivalence de représentations. [...] Plus précisément, je parlerai d'équivalence *informationnelle* et d'équivalence *computationnelle*. [...] Deux représentations sont informationnellement équivalentes si la transformation de l'une à l'autre n'implique pas de perte d'information, c'est-à-dire si chacune peut être construite à partir de l'autre. » (Simon 1978, p. 4; l'auteur souligne.)</footnote>
matique de la communication » (souvent appelée, justement, « théorie de l'information ») développée au milieu du XXe siècle, en particulier dans la formulation de Claude Shannon <fnref n="63" /> :

> The fundamental problem of communication is that of reproducing at one point either exactly or approximately a message selected at another point. Frequently the messages have *meaning*; that is they refer to or are correlated according to some system with certain physical or conceptual entities. The semantic aspects of communication are irrelevant to the engineering problem. <fnref n="64" />

Comme l'écrit George Markowsky dans son introduction au travail de Shannon,

> A key step in Shannon's work was his realization that, in order to have a theory, communication signals must be treated in isolation from the meaning of the messages that they transmit. This view is in sharp contrast with the common conception of information, in which meaning has an essential role. <fnref n="65" />

Quoiqu'il n'emploie pas l'appareillage technique de Shannon, Simon se repose sur cette intuition-là : on peut dire qu'une représentation contient « la même », ou « plus », ou « moins » d'information qu'une autre sans se demander ce qu'est cette information exactement ou sur quoi elle porte. Par exemple, si je peux, à partir d'une figure géométrique, en construire une description en phrases, puis à partir de cette description reconstruire la figure, alors je peux dire que ces deux représentations sont informationnellement équivalentes sans jamais avoir à me demander de quoi parle la géométrie.

En second lieu, à travers son idée de différences computationnelles, Simon offre un modèle clair pour comprendre comment deux représentations informationnellement équivalentes peuvent néanmoins différer. Ce modèle vient de l'informatique. D'une manière générale, quand on conçoit un logiciel (mettons un logiciel de courrier électronique), il y a de nombreuses manières d'organiser les données à traiter (par exemple des courriers électroniques) dans la mémoire de l'ordinateur. Quelle que soit la manière dont on les organise,

<footnote n="63">63. Pour une introduction claire à cette théorie, voir Markowsky 2017. Pour un manuel récent, voir par exemple Yeung 2008.</footnote>

<footnote n="64">64. « Le problème fondamental de la communication est de reproduire à un endroit, de manière exacte ou approximative, un message sélectionné en un autre endroit. Fréquemment, les messages ont du sens, c'est-à-dire qu'ils renvoient ou sont corrélatés, d'après un système ou un autre, à certaines entités physiques ou conceptualles. Les aspects sémantiques de la communication n'ont aucune importance pour le problème d'ingénierie. » (Shannon 1948, p. 379 ; l'auteur souligne). Je remercie Gianni Gastaldi pour avoir attiré mon attention sur ce texte.</footnote>

<footnote n="65">65. « Une étape-clé du travail de Shannon a été de se rendre compte que, pour avoir une théorie, les signaux de communication devaient être traités séparément du sens des messages qu'ils transmettent. Cette perspective est en nette opposition avec la conception usuelle de l'information, pour laquelle le sens joue un rôle essentiel. » (Markowsky 2017, p. 1).</footnote>
ce seront les mêmes données; on aura donc équivalence informationnelle. Cependant, le
mode d'organisation choisi peut faire une différence cruciale : il peut rendre certaines opé-
rations de traitement des données plus ou moins faciles ou difficiles, c'est-à-dire plus ou
moins lentes ou rapides en temps de calcul ou plus ou moins gourmandes en mémoire. Pour
rendre cette intuition précise, Simon se tourne vers des concepts venus de l'informatique
théorique, ceux de *type de données* et de *structure de données*, puis leur assimile la notion de
représentation. En d'autres termes, pour Simon, images et phrases (par exemple) sont fon-
damentalement deux manières différentes manières d'organiser les mêmes données, qui se
prêtent bien à différentes opérations.

Les idées de Simon semblent donc promettre un cadre clair pour progresser sur notre
problème. Il y a cependant des difficultés. Nous verrons au chapitre 4 que le travail de Simon
s'ancre dans une méthodologie très spécifique d'analyse de la cognition à travers le modèle
de l'ordinateur ; de surcroît, le contexte initial de ses articles est la psychologie cognitive et
plus précisément le problème des « images mentales ». Or quel que soit l'intérêt heuristique
de ses concepts, il n'est pas évident, du moins sans en sacrifier la rigueur, de les transposer à
des représentations non plus mentales mais « externes », comme les figures ou les formules
qui nous intéressent ici. Nous aurons l'occasion de nous en rendre compte au chapitre 5,
qui passe en revue diverses tentatives récentes d'appliquer la terminologie de Simon aux
représentations utilisées en sciences, et plus spécifiquement en mathématiques ; je tente
aussi de m'en inspirer pour éclairer l'étude de cas de la partie 1. À l'issue de ce survol de la
littérature, le chapitre 6, plus analytique, vise à faire le point : sous quelles conditions peut-
on appliquer le modèle informatique de Simon, de manière rigoureuse, aux représentations
utilisées en mathématiques ? Que nous apporte-t-il et quelles en sont les limites ?
<figure><img src="image_13.png" /></figure>
# Chapitre 4

## Herbert Simon : représentations et types de données

L'idée d'une équivalence informationnelle associée à des différences computationnelles est régulièrement reprise dans la littérature récente. Toutefois, ce n'est souvent que de manière allusive, et par des auteurs qui sont loin de partager les postulats sur lesquels elle était initialement fondée. Avant toute discussion plus approfondie, il me semble donc important de comprendre ce que Simon lui-même cherchait à accomplir. C'est le but de ce chapitre.

### 4.1 Sciences cognitives et formes de représentation

Les travaux de Simon sur les représentations s'inscrivent dans le contexte de ce que nous appellerions aujourd'hui les sciences cognitives, et plus précisément d'un débat qui agite ce champ dans les années 1970 (et au-delà) : le débat sur l'« imagerie mentale ».

Il n'est pas question de retracer ici en détail l'histoire des sciences cognitives. Pour aller vite, disons seulement qu'à partir des années 1950 se développent de nouveaux programmes de recherche sur le comportement humain qui partagent certains postulats liés au modèle de l'ordinateur <fnref n="1" />. Tout d'abord, « ce qui se passe à l'intérieur de l'individu » peut

<footnote n="1">1. On parle parfois de « cognitivisme » (Haugeland 1978), ou d'un paradigme cognitiviste qui unirait des chercheurs venus de domaines divers. Le meilleur point de départ pour explorer le domaine ainsi délimité est certainement la collection d'articles Haugeland 1981a, à commencer par son excellente introduction Haugeland 1981b (pour une discussion plus approfondie, voir Haugeland 1985). Pour des introductions rapides en français, on pourra consulter Andler 1990, p. 99-102, Andler 2004 ou, pour une présentation qui souligne les liens avec la théorie mathématique de la calculabilité, P. Wagner 1998, chap. VII. D'un point de vue historique, il faut toutefois souligner la diversité des chercheurs qui seront ultérieurement rattachés aux sciences cogni-</footnote>
être étudié et décrit au niveau physiologique (et en particulier neurophysiologique) mais aussi à un niveau plus abstrait en termes d'opérations de traitement de l'information, de la même manière qu'un ordinateur peut être décrit au niveau matériel mais aussi en termes de programmes. (C'est ce qu'en philosophie on appelle souvent fonctionnalisme.) Ensuite, cette description « informationnelle » est formulée en termes d'états mentaux représentationnels (ou « représentations mentales ») et de processus qui opèrent sur ces représentations. Beaucoup d'auteurs poussent plus loin encore l'analogie avec l'informatique, ou plus précisément avec les modèles logico-mathématiques abstraits des ordinateurs (comme les machines de Turing). Cela les conduit à un postulat supplémentaire : les représentations mentales en question sont des systèmes de symboles, et les processus qui les manipulent sont des processus effectifs au sens de la théorie mathématique de la calculabilité. Cette thèse forte, qui implique que la cognition humaine peut en théorie être simulée par un ordinateur, est particulièrement mise en avant dans une discipline qui joue un rôle strutturant au sein des sciences cognitives naissantes : l'intelligence artificielle. Herbert Simon en est l'un des pionniers, et en écrit avec Allen Newell un manifeste resté canonique<fnref n="2" />.

C'est dans ce cadre, où l'existence de représentations mentales est généralement admise, qu'intervient la controverse sur l'existence d'images mentales. L'intérêt pour mon propos est que ce débat soulève des questions de fond : qu'est-ce que cela veut dire, représenter le monde sous forme d'images ? Plus généralement, comment comprendre l'idée qu'on puisse représenter la même chose sous des formes différentes ? Ce sont exactement les questions que Simon se pose :

> The human brain encodes, modifies, and stores information that is received through its various sense organs, transforms that information by the processes that are called “thinking,” and produces motor and verbal outputs of various kinds based on the stored information. So much is noncontroversial [...]. What *is* highly controversial is *how* information is stored in the brain—in the usual terminology, how it is “represented”—or even how we can describe representations, and what we mean when we say that information is represented in

<footnote>tives, et noter que l'unité théorique de ces courants ne se construit que progressivement et n'apparaît au grand jour que dans les années 1970. Par ailleurs, le choix d'isoler comme essentiels les postulats que je reprends ici (qui sont fréquemment mis en avant) est marquée par une tendance à accorder une place théorique centrale aux travaux d'intelligence artificielle comme ceux de Newell et Simon, et répond moins à un objectif historique qu'à une volonté de systématisation philosophique, qui peut être déterminée par des débats extérieurs au champ (problème corps-esprit, matérialisme, etc.) ou par des polémiques pour ou contre diverses tentatives de constituer des paradigmes rivaux (connexionnisme, cognition incarnée, bayésianisme, etc.). Ma brève introduction ne vise donc qu'à fournir une reconstruction logique à grands traits du débat sur l'imagerie et à situer Simon, à la pensée duquel ma brève présentation me semble suffisamment fidèle.</footnote>

<footnote n="2">2. Newell et Simon 1976, reproduit dans Haugeland 1981a.</footnote>
<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>FIGURE 4.1 – Exemples de paires de dessins utilisées par Shepard et Metzler (1971) : à gauche, deux figures qui peuvent s'obtenir l'une de l'autre par rotation (ici dans le plan de l'image), à droite deux figures qui ne le peuvent pas</figcaption></figure>

one way rather than another. <fnref n="3" />

La controverse est déclenchée par certains résultats de psychologie expérimentale, dont sans doute le plus célèbre est dû à Roger Shepard et Jacqueline Metzler (1971). Ceux-ci ont présenté à leurs sujets expérimentaux des dessins d'objets tridimensionnels, par paires (figure 4.1), et leur ont demandé dans chaque cas si les deux objets dessinés pouvaient, ou non, s'obtenir l'un de l'autre par rotation. Shepard et Metzler ont alors mesuré le temps de réponse des sujets, et c'est là qu'arrive le résultat important : le délai nécessaire avant d'arriver à une réponse positive est en moyenne proportionnel à l'angle de la rotation mettant les deux objets en coïncidence, comme si les sujets pratiquaient une rotation mentale à une vitesse déterminée. L'interprétation de ce type de résultats a donné lieu à une controverse vive et durable, qui ne porte pas seulement sur l'existence d'images mentales mais aussi sur la cohérence même de cette notion, souvent accusée de reposer sur une analogie obscure avec les images externes <fnref n="4" />.

Sans entrer en détail dans l'écheveau entremêlé d'ambiguïtés et de confusions qui tra-
verse ces débats, il importe, pour situer Simon, de distinguer plusieurs oppositions pos-
sibles. Tout d'abord, la cognition est-elle entièrement symbolique au sens où l'est une
machine de Turing, comme tendent à le penser les pionniers de l'intelligence artificielle ?
On peut tenter d'utiliser les images mentales pour répondre par la négative, en soutenant
qu'elles sont des représentations fondamentalement « analogiques » et non « digitales »,

<footnote n="3">3. « Le cerveau humain encode, modifie et enregistre des informations qu'il reçoit *via* ses divers organes sensoriels; il transforme ces informations par des processus qu'on appelle “penser”; et produit diverses sorties motrices ou verbales sur la base des informations enregistrées. Rien jusqu'ici ne prête à controverse [...]. Ce qui est controversé, en revanche, c'est la question de savoir *comment* les informations sont enregistrées dans le cerveau – dans la terminologie habituelle, comment elles sont “représentées” – ou même tout simplement comment nous pouvons décrire des représentations, et ce que nous voulons dire quand nous disons que des informations sont représentées d'une certaine manière plutôt que d'une autre. » (Simon 1978, p. 3)</footnote>

<footnote n="4">4. Pour se faire une idée du débat, voir par exemple, par ordre chronologique, Pylyshyn 1973, Kosslyn et Pomerantz 1977, Anderson 1978, Kosslyn 1980 et Pylyshyn 1981. Plus récemment, de nouvelles méthodes d'étude de l'activité cérébrale par IRMf ont fait rebondir la controverse; voir Kosslyn, Ganis et Thompson 2001 et Pylyshyn 2002.</footnote>
distinction souvent glosée en invoquant l'opposition entre continu et discret<fnref n="5" />. Grossièrement, l'idée est alors que les images mentales seraient plutôt comme des photographies classiques que comme des photographies numériques, et qu'à ce titre, si l'esprit est peut-être susceptible d'une analyse comme dispositif physico-chimique complexe qui traite des signaux voire forme des représentations, il n'est en tout cas pas comparable à un ordinateur au sens de Turing<fnref n="6" />.

Ce n'est pas à ce niveau-là que se présente le problème pour Simon : une photographie numérique et une description en français de la scène photographiée sont toutes deux symboliques au sens de la théorie de la calculabilité, et encodables dans un ordinateur ; la différence est à chercher ailleurs. Cette remarque simple est pourtant souvent occultée par une confusion entre « symbolique » et « logique ». L'idée, centrale en intelligence artificielle, que les représentations mentales sont formées de symboles – et donc réalisables par ordinateur – est régulièrement présentée en disant que ce sont « des formules d'un langage interne ou “mentalais” proche des langages formels de la logique <fnref n="7" /> », pour citer par exemple Daniel Andler. Au sens large, c'est sans doute exact, dans la mesure où les langages formels de la logique ont, historiquement, servi de modèle pour le développement de la théorie de la calculabilité ; mais en un sens plus restreint, c'est trompeur. Il existe bien des thèses philosophiques spécifiques, comme celle de Fodor (1975), qui postulent l'existence d'un authentique « langage de la pensée » très semblable à la logique du premier ordre. Il existe aussi des chercheurs en intelligence artificielle qui expriment leurs représentations dans un langage logique. En revanche, l'opinion de Simon est sans ambiguïté :

> An influential coterie of contemporary artificial intelligence researchers, including Nils Nilsson, John McCarthy, and others, believe that formal logic provides the appropriate language for A.I. programs, and that problem solving is a process of proving theorems. They are horriby wrong on both counts [...].<fnref n="8" />

En fait, à en croire l'autobiographie de Simon, si la logique formelle est importante pour l'intelligence artificielle, c'est seulement parce qu'elle fournit le paradigme d'une mani-

<footnote n="5">5. Il n'est pas si facile de formuler cette distinction de manière claire. Pour des tentatives particulièrement intéressantes, voir Goodman 1968, en part. chap. 4, Lewis 1971 et Haugeland [1981] 1998a.</footnote>

<footnote n="6">6. Pour une introduction rapide à l'enjeu, qui est la distinction entre « ordinateur analogique » et ordinateur au sens habituel, voir Haugeland 1981b, section V. Pour une discussion plus approfondie, voir Haugeland [1981] 1998a.</footnote>

<footnote n="7">7. Andler 2004, p. 18.</footnote>

<footnote n="8">8. « Il y a aujourd'hui une coterie influente de chercheurs en intelligence artificielle, dont Nils Nilsson et John McCarthy, qui croient que la logique formelle fournit le langage adapté pour les programmes d'I.A., et que la résolution de problèmes est un processus de démonstration de théorèmes. Ce sont deux erreurs calamiteuses [...] » (Simon 1991, p. 192, note).</footnote>
pulation réglée de symboles, que l'ordinateur généralise ensuite<fnref n="9" />. Il écrit même que c'est devant un programme produisant des images bidimensionnelles (en l'occurence, de fausses images radar destinées à la simulation d'un poste de défense anti-aérienne) qu'il a pour la première fois compris, quoique confusément encore, que les ordinateurs pouvaient manipuler des symboles quelconques et pas seulement faire des calculs numériques<fnref n="10" />. Il est vrai que le premier travail en intelligence artificielle de Simon – avec son collaborateur Allen Newell – est un programme qui prouve des théorèmes de logique<fnref n="11" />, programme qu'il a immédiatement décrit, non sans quelque exagération, comme une « machine qui pense<fnref n="12" /> ». Plus généralement, dans les travaux ultérieurs de Newell et Simon, la recherche de démonstration d'un théorème sert parfois de paradigme de problème à résoudre. Cela explique sans doute bien des malentendus sur leur position. Mais en réalité, les représentations internes des systèmes successifs de Newell et Simon sont très différentes des propositions d'un langage logique; ce sont des « structures associatives », des sortes de graphes<fnref n="13" />. Ce qui est sûr, c'est que si les expériences sur l'imagerie suggèrent l'existence de représentations mentales différentes de formules d'un langage de la pensée, elles ne remettent pas en cause pour Simon l'idée d'une cognition symbolique en général.

On peut aussi placer le débat à un second niveau, qui est celui qui occupe principalement Zenon Pylyshyn, sans doute le critique le plus célèbre de l'idée d'images mentales<fnref n="14" /> : dans quelle mesure les représentations mentales sont-elles abstraites, c'est-à-dire en gros séparées des détails des stimuli initialement reçus par de nombreuses étapes de catégorie sation? Sur ce plan-là et quoiqu'il garde une nette ouverture d'esprit, Simon se placerait plutôt du côté de Pylyshyn<fnref n="15" />.

Mais ce qui rend la position de Simon intéressante, c'est que pour lui le problème de l'imagerie n'est pas là non plus. Même si toutes les représentations mentales conservées en mémoire de travail étaient abstraites (ou, dans les termes de Simon 1972, sémantiques), ce que Simon trouve plausible mais non certain, la distinction entre formes de représentation, par exemple entre images et phrases, aurait encore un sens. Son travail de clarifica-

<footnote n="9">9. Cf. Simon 1991, p. 193.</footnote>

<footnote n="10">10. Simon 1991, p. 201. Voir aussi les entretiens rassemblés par Pamela McCorduck 2004, chap. 6.</footnote>

<footnote n="11">11. Ce programme, appelé « Logic Theory Machine », démontre des théorèmes des Principia Mathematica de Russell et Whitehead. Newell et Simon l'ont mis au point fin 1955 et publié en 1956; voir Newell et Simon 1956, [1957] 1963. MacKenzie 2001, chap. 3 fait un récit agréable et bien contextualisé de ces travaux. Pour plus de références, voir ci-dessous, note 16.</footnote>

<footnote n="12">12. Simon 1991, p. 206.</footnote>

<footnote n="13">13. Voir par exemple Newell et Simon 1972.</footnote>

<footnote n="14">14. Voir supra, note 4.</footnote>

<footnote n="15">15. Pylyshyn 1973 (en part. p. 12–15) discute d’ailleurs les représentations en forme de graphes utilisées entre autres par Simon, et conclut que les différences avec des représentations par formules d’un langage logique ne sont pas essentielles pour le contraste qui l’intéresse.</footnote>
tion conceptuelle, qui vise à comprendre de manière générale « ce que nous voulons dire quand nous disons que des informations sont représentées d'une certaine manière plutôt que d'une autre », est en fait largement transversal au débat tel qu'il existe en psychologie.

## 4.2 Représentations et heuristiques

Simon arrive face au problème des formes de représentation, que je viens de décrire, avec l'expérience issue d'un parcours très original. Je voudrais d'abord en dire quelques mots, qui éclaireront la suite <fnref n="16" />.

C'est en fait en sciences politiques, et plus précisément en théorie des organisations, que Simon a commencé sa carrière. Aujourd'hui encore, il reste avant tout cité pour son concept de « rationalité limitée » (« *bounded rationality* »), qui s'oppose aux modèles idéalisés d'un agent parfaitement rationnel et parfaitement informé qui dominaient et dominent largement encore l'économie. (Ces travaux-là lui vaudront le « Nobel d'économie » en 1978, mais aussi, paradoxalement, une relative mise au ban de la profession.) Il écrit ainsi en 1947 :

> It is impossible for a single, isolated individual to reach any high degree of rationality. The number of alternatives he must explore is so great, the information he would need to evaluate them so vast that even an approximation to objective rationality is hard to conceive. <fnref n="17" />

Comment s'orienter dans cet immense espace de possibilités ? Dans le contexte de ses premiers travaux, Simon en conclut que les organisations doivent contraindre l'environnement du choix, en limitant les possibilités des agents et en leur fournissant les informations pertinentes ; plus tard, il en conclura d'une manière générale que la rationalité humaine implique de trouver des stratégies pour s'orienter dans un espace de possibilités trop vaste, stratégies qui, à défaut d'être optimales, peuvent tout de même être efficaces <fnref n="18" />.

<footnote n="16">16. Les sources sur la carrière de Simon en intelligence artificielle sont nombreuses, à commencer par son autobiographie (Simon 1991). Le livre d'entretiens rassemblés par Pamela McCorduck 2004 offre un contrepoint utile en ce qu'il donne la parole à de nombreux autres acteurs (voir aussi Crevier 1993). La meilleure introduction rapide et accessible à ses travaux des années 1950 et 1960 sur la démonstration automatique est sans doute le chapitre 3 de MacKenzie 2001. Pour une vue d'ensemble sur sa carrière (qui englobe de nombreuses disciplines mais témoigne d'une forte cohérence méthodologique), voir Crowther-Heyck 2005, et pour une réévaluation originale et très stimulante, voir Mirowski 2002, en part. p. 452-479, 529-533.</footnote>

<footnote n="17">17. « Il est impossible pour un individu seul et isolé d'atteindre un niveau quelque peu élevé que ce soit de rationalité. Le nombre d'alternatives qu'il doit explorer est si grand, l'information dont il aurait besoin pour évaluer celles-ci est si vaste, que même une approximation de la rationalité objective est difficile à concevoir. » (Simon 1976, p. 79 ; déjà dans la première édition : Simon 1947, p. 79, cité par MacKenzie 2001, p. 63-64.)</footnote>

<footnote n="18">18. Sur la genèse du concept de « rationalité limitée », qui n'apparaît qu'en germe dans *Administrative Behavior* (1947) malgré les efforts de Simon pour l'y introduire (dans ses nouvelles introductions et même en l'insérant dans l'index, cf. Takahashi 2015), voir Crowther-Heyck 2005 ainsi que Mirowski 2002, p. 456 sq.</footnote>
Lorsqu’en collaboration avec Allen Newell, il se tourne vers l’intelligence artificielle, c’est-à-dire pour commencer vers la conception de programmes capables de jouer aux échecs et de démontrer des théorèmes de logique, il s’exprime en des termes étonnamment proches :

> In a fundamental sense, proving theorems and playing chess involve the same problem: reasoning with heuristics that select fruitful paths of exploration in a space of possibilities that grows exponentially.<fnref n="19" />

Au-delà du terme d’heuristique (qui viendrait ici de George Pólya, dont Allen Newell avait suivi les cours à Stanford <fnref n="20" />), l’idée est analogue : l’important est de trouver des solutions qui nous soient accessibles malgré l’extrême limitation de nos capacités. Mais surtout, Simon en tire l’objectif de *simuler* les heuristiques et plus généralement les processus humains de résolutions de problème. Sa conception de l’intelligence artificielle implique donc certes de construire des machines capables de tâches complexes, mais de le faire en respectant l’esprit des limitations qui pèsent sur la résolution humaine de problèmes et puisse donc imiter la manière humaine de procéder. Le travail accompli sert alors autant à éclairer la cognition humaine qu’à la reproduire artificiellement.

Or comme le montre bien Donald MacKenzie <fnref n="21" />, cette conception de l’intelligence artificielle était loin d’être partagée par beaucoup de ses collègues. La meilleure manière de résoudre un problème informatiquement peut être très différente de celle qui convient à un être humain. Dans les termes d’Allen Newell,

> In Herbert [Simon]’s and my stuff [...] the concern for artificial intelligence [is always] right there with the concern for cognitive psychology. Large parts of the rest of the AI field believe that is exactly the wrong way to look at it: you ought to know whether you’re being a psychologist or an engineer. Herb and I have always taken the view that maximal confusion between those is the way to make progress. <fnref n="22" />

C’est cette originalité de Simon et de ses collaborateurs qui nous ramène au problème

<footnote n="19">19. « Fondamentalement, prouver des théorèmes et jouer aux échecs, cela implique le même problème : celui de raisonner avec des heuristiques permettant de choisir des voies fructueuses d’exploration dans un espace de possibilités qui croît exponentiellement. » (Newell, Shaw et Simon [1958] 1963, p. 50).</footnote>

<footnote n="20">20. Voir Simon 1991, p. 199.</footnote>

<footnote n="21">21. MacKenzie 2001, chap. 3.</footnote>

<footnote n="22">22. « Dans nos trucs, à Herbert [Simon] et à moi [...] le souci de l’intelligence artificielle [est toujours] juste à côté du souci pour la psychologie cognitive. Une grande part du reste du domaine de l’IA pense que c’est précisément la mauvaise manière de voir les choses ; il faut savoir si on est en train de parler en psychologue ou en ingénieur. Herb et moi avons toujours considéré que la meilleure manière de progresser passait par la confusion maximale entre les deux. » (Crevier 1993, p. 258 ; l’interview date du début des années 1990).</footnote>
des représentations. Newell et lui réfléchissent en effet dès les années 1950 à la démonstration automatique de théorèmes en géométrie, ce qui les conduit au rôle heuristique que peuvent jouer les figures. J'ai déjà mentionné que leur première réussite en intelligence artificielle avait été la « *Logic Theory Machine* » mise au point fin 1955<sup>23</sup>. Il s'avère en fait que leur projet initial était de mettre au point un logiciel capable de découvrir des preuves en géométrie et non en logique; ils ne changent de domaine que dans un second temps, parce que, écrit Simon, « confrontés à la question de savoir comment traiter les figures, nous nous sommes rendu compte que nous avions encore à affronter des problèmes élémentaires de perception<sup>24</sup> ». Ils n'abandonnent pourtant le sujet que temporairement. Quelques mois plus tard, le problème est discuté lors d'une rencontre d'été qui rassemble, outre Newell et Simon, plusieurs autres pionniers de l'intelligence artificielle, dont John McCarthy et Marvin Minsky<sup>25</sup>. Ce dernier y propose une méthode heuristique, fondée sur les figures, pour la recherche de preuves en géométrie<sup>26</sup> ; celle-ci donnera lieu à un programme relativement efficace mis au point par Herbert Gelernter, qui emploie des figures représentées sous forme de tableaux de pixels<sup>27</sup>. Simon est donc familier de longue date avec l'idée que des représentations bien adaptées peuvent fournir des heuristiques efficaces et donc un avantage computationnel dans la recherche de solutions.

Notre point de départ, cependant, était un problème de psychologie, celui des représentations mentales. Mais une seconde conséquence de la « confusion maximale » évoquée par Newell est qu'à un certain niveau d'analyse, Simon n'hésite pas à assimiler des processus souvent considérés comme appartenant à des ordres de phénomènes distincts. D'un côté, on a les processus inconscients, rapides et automatiques de la perception et de la mémoire. De l'autre, on a les processus délibérés et (partiellement) conscients de la résolution de problèmes mathématiques. La stratégie de Simon consiste à considérer que, conçus comme des problèmes généraux de traitement de l'information, ces deux situations sont comparables. En fait, sa vision d'ensemble est plus vaste encore : il défend l'idée de « sciences de l'artificiel » traitant non seulement de la psychologie et de la résolution de problèmes, mais aussi par exemple du fonctionnement des organisations, et dont la simulation informatique est la méthode centrale<sup>28</sup>.

<footnote n="23">23. Voir *supra*, note 11.</footnote>

<footnote n="24">24. « Facing the question of how to do the diagrams, we saw that we still had to deal with some basic problems of perception. » (Simon 1991, p. 205).</footnote>

<footnote n="25">25. C'est la « conférence de Dartmouth », qui est parfois considérée comme un moment fondateur de l'intelligence artificielle. Pour quelques témoignages, voir McCorduck 2004, chap. 5.</footnote>

<footnote n="26">26. Cf. McCorduck 2004, p. 126 et Simon 1991, p. 210.</footnote>

<footnote n="27">27. Cf. Gelernter [1959] 1963.</footnote>

<footnote n="28">28. Cf. Simon 1996. Pour se faire une idée de l'ampleur du projet, voir citation *infra*, p. 127.</footnote>
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>FIGURE 4.2 – Une figure géométrique qui, d’après Simon (1978, p. 6), permet de résoudre un problème élémentaire plus facilement qu’une description en phrases équivalente</figcaption></figure>

C'est donc sans surprise que, pour clarifier les fondements conceptuels du débat sur l'imagerie, Simon (1978) se tourne vers la manière dont les figures peuvent faciliter la ré-solution de problèmes en géométrie. Voici l'un des exemples qu'il prend pour motiver son idée centrale. Soit ABCD un rectangle avec AB double de BC, soit E le milieu de AB et soit F le milieu de CD. Les droites EF et AC ont-elles un point d'intersection à l'intérieur de ABCD ? Pour Simon, la phrase énonçant les données du problème constitue une première représentation du problème, à partir de laquelle on pourrait, quoique difficilement, le ré-soudre (étant donnée une axiomatisation de la géométrie plane). Mais on pourrait aussi représenter les données du problème autrement : par des équations en coordonnées carté-siennes, ou plus simplement par la fig. 4.2. (Notons au passage qu'il ne se pose absolument pas la question de savoir s'il est légitime de conclure à l'existence d'une intersection sur la base de la figure.) Ce qui distingue ces différentes représentations n'est pas leur contenu (elles sont d'après lui « informationnellement équivalentes », comme je l'expliquerai), mais les opérations qu'elles facilitent.

## 4.3 Des représentations aux types de données

L'intuition fondamentale de Simon est donc la suivante : ce qui distingue avant tout entre elles les différentes manières de représenter les mêmes informations, c'est qu'elles rendent certaines opérations plus ou moins faciles ou difficiles.

Cette idée est naturelle si l'on réfléchit à l'expérience emblématique de Shepard et Metzler. Celle-ci nous renseigne en effet sur la difficulté de la tâche demandée, estimée via le temps de réponse des participants. Qu'est-ce qui nous permet d'en conclure quoi que ce soit sur l'existence d'images mentales, donc sur les formes de représentation qu'utiliserait le cerveau humain ? C'est précisément l'idée – certes vague – que seule une représentation « sous forme d'images » peut expliquer la distribution spécifique de niveaux de difficulté
que révèle l'expérience (en l'occurence, le fait que la difficulté dépend de l'angle entre les deux objets présentés). Dans l'interprétation de cette expérience, la difficulté relative de certaines opérations sert donc, sinon de définition des images mentales, du moins de critère opérationnel pour les caractériser.

Pour clarifier et approfondir son idée, c'est encore une fois vers le modèle informatique que Simon se tourne : il assimile la notion de représentation à celle de stockage de données dans un ordinateur. Pour ce faire, il s'appuie sur la notion de « *type de données* » (« *data type* »), venue de l'informatique théorique. Pour simplifier, commençons par un exemple du même esprit que les siens mais qui ne requiert pas de familiarité avec la programmation.

Imaginons une université qui n'est pas informatisée, et qui conserve les dossiers complets de ses étudiants sur papier dans ses sous-sols. Le système de classement est très simple. Chaque étudiant reçoit un numéro de matricule à sa première inscription, et les dossiers sont simplement rangés sur des étagères par ordre de matricule. Lorsqu'un nouvel étudiant s'inscrit, on lui crée un nouveau dossier et un archiviste le range au bout de la dernière étagère utilisée. Ultérieurement, quand l'étudiant doit accomplir une formalité administrative, il donne son numéro, ce qui permet de remonter son dossier facilement. Tout fonctionne très bien dans notre université imaginaire, sauf dans un cas : quand un étudiant distrait perd son numéro, les archivistes sont obligés de parcourir les dossiers un par un jusqu'à trouver son dossier, une tâche très fastidieuse...

Un jour, une nouvelle équipe est élue à la tête de notre université. Pour régler le problème des étudiants qui oublient leur numéro (et aussi par opposition idéologique aux numéros d'étudiant, une invention technocratique déshumanisante), ils décident de changer de système. Désormais, les dossiers sont rangés par ordre alphabétique, et pour toute démarche, les étudiants doivent simplement indiquer leurs nom et prénom, et éventuellement leur date de naissance. Comme il y a peu d'étudiants assez négligeants pour oublier jusqu'à leur nom de famille, les archivistes n'ont plus guère besoin de parcourir tous les dossiers pour en retrouver un. L'inconvénient principal de ce nouveau système est que ranger un nouveau dossier est plus difficile : il ne suffit pas de l'ajouter au bout de la dernière étagère, mais il faut l'insérer au bon endroit selon l'ordre alphabétique, ce qui force régulièrement les archivistes à décaler beaucoup d'autres dossiers pour faire de la place.

Cette petite histoire permet d'illustrer de manière simple les deux idées centrales que Herbert Simon tire de l'informatique. Tout d'abord, il distingue deux manières pour des représentations (c'est-à-dire, si l'on suit son analogie, pour des manières de stocker des données) d'être « équivalentes ». En un premier sens, l'ancien et le nouveau système de rangement des dossiers étudiants sont équivalents parce que « la transformation de l'un à
l'autre n'implique pas de perte d'information, c'est-à-dire que chacun peut être construit à partir de l'autre <fnref n="29" /> ». C'est ce que Simon appelle l'équivalence *informationnelle*. Mais deux représentations (ou systèmes de stockage) peuvent aussi être équivalentes en un sens plus fort, si « les mêmes informations peuvent être extraites de chacune [...] avec à peu près la même quantité de calculs <fnref n="30" /> » – Simon dit alors qu'elles sont *computationnellement équivalentes*. Ce n'est manifestement pas le cas dans notre exemple : l'ancien système (par numéro d'étudiant) et le nouveau (par ordre alphabétique) ne sont pas computationnellement équivalents parce que certaines tâches difficiles dans le premier système, par exemple trouver un dossier à partir du seul nom de l'étudiant, sont faciles dans le second et inver-sement. Certes, pour illustrer l'idée de Simon, je me repose ici sur une notion vague de quantité d'efforts requise. Mais si l'on suit Simon et que l'on se place strictement dans un cadre informatique, on peut rendre l'idée rigoureuse : la « quantité de calcul » peut alors se mesurer en nombre d'opérations élémentaires requises.

La seconde idée essentielle de Simon est qu'on peut décrire une représentation de ma-nière *abstraite*, indépendamment de sa réalisation physique. Pour le comprendre, revenons encore une fois à notre université imaginaire. Les services administratifs, dans les étages, n'ont pas besoin de savoir en détail comment les dossiers sont rangés dans les sous-sols. Pour faire leur travail, une connaissance très approximative leur suffit : ils ont seulement besoin de savoir que les dossiers sont accessibles par numéro d'étudiant (dans le premier système), ou par nom (dans le second système). Ce qui compte pour eux, c'est de savoir quelles requêtes seront facilement satisfaites par les archivistes. En fait, on peut très bien imaginer que le service d'archivage, découragé par l'idée de réorganiser leurs dizaines de milliers de dossiers à cause d'une lubie de la présidence, choisisse une solution de contournement. Plutôt que de déplacer leurs dossiers, ils peuvent continuer à utiliser les numéros d'étudiants en interne, mais créer un nouveau petit fichier des étudiants rangé par ordre alphabétique (par exemple un genre de catalogue de bibliothèque à l'ancienne, fait de fiches cartonnées), indiquant pour chaque étudiant son numéro et permettant donc de retrouver son dossier. Les services administratifs n'ont pas besoin de savoir si, quand ils demandent le dossier de Sophie Michon, l'archiviste va directement le chercher sur les étagères ou s'il consulte d'abord la petite fiche de Sophie ; la seule chose importante pour eux est que le dossier soit sur leur bureau quelques minutes plus tard, ce qui n'était pas possible dans l'ancien système. Dans ce scénario, on peut dire que les archivistes réalisent ou émulent

<footnote n="29">29. « Two representations are informationally equivalent if the transformation from one to the other entails no loss of information, i.e., if each can be constructed from the other. » (Simon 1978, p. 4).</footnote>

<footnote n="30">30. « Two representations are computationally equivalent if the same information can be extracted from each (the same inferences drawn) with about the same amount of computation. » (Simon 1978, p. 5).</footnote>
un système alphabétique sur la base physique d'un système classé par numéro, de telle manière que les services administratifs et la présidence de l'université n'y voient que du feu.

En d'autres termes, ce qui définit un système de stockage de données (ou, si l'on suit Simon, une représentation), ce n'est pas les détails de sa mise en œuvre mais une caractérisation plus abstraite, fondée sur les requêtes auxquelles elle permet de répondre facilement. C'est sur cette base que Simon peut écrire que « les ordinateurs modernes ont libéré notre réflexion sur les représentations <fnref n="31" /> ».

Nous pouvons, finalement, résumer le projet de Simon (1978). Son idée centrale consiste à caractériser les représentations par leurs propriétés computationnelles. Sur cette base, il cherche à opérationnaliser la notion de forme de représentation et donc à établir le cadre d'un programme de recherche sur les représentations mentales ; ce programme consiste à étudier systématiquement quelles opérations sont faciles ou difficiles pour les sujets expérimentaux et à comparer ces résultats à ceux que produiraient des modèles informatiques bien choisis. Simon tente aussi, dans cet article, un premier essai dans cette direction. Il imagine une structure de données qui pourrait expliquer nombre des résultats expérimentaux rattachés à l'imagerie mentale : computationnellement, cette structure serait caractérisée par le fait qu'à partir de chaque élément, elle donnerait un accès rapide aux éléments spatialement voisins. Mais ce n'est qu'une esquisse, qu'il reprend une dizaine d'années plus tard. Avant d'y venir, j'aimerais toutefois approfondir les notions informatiques qu'invoque Simon, qui sont beaucoup moins claires qu'il ne semble au premier abord.

## 4.4 Mais que sont les types de données de Simon ?

Simon précise son idée d'une caractérisation abstraite des représentations en invoquant la notion informatique de type de données (« *data type* »). Il faut y regarder de plus près, parce que s'il y a bien aujourd'hui une notion usuelle qui porte ce nom, Simon lui donne un sens assez différent, qui s'avère lourd de difficultés.

### a) Une variante de la notion usuelle ?

Les histoires de l'informatique font souvent remonter l'idée de type de données (ou type de données abstrait, « *abstract data type* ») à des travaux du début des années 1970, en particulier de Tony Hoare et de David Parnas, un collègue de Simon à l'université Car-

<footnote n="31">31. « Modern computers have freed our thinking about representations. » (Simon 1978, p. 9).</footnote>
negie Mellon <fnref n="32" />. Ces travaux ont une motivation commune : la nécessité de maintenir sous contrôle la complexité grandissante des logiciels; pour ce faire, l'idée est de décomposer des logiciels complexes en composants plus simples dont on peut spécifier le comportement indépendamment les uns des autres, l'exemple paradigmatique d'une telle méthodologie étant la « programmation structurée » défendue à l'époque par Edsjer Dijkstra <fnref n="33" />. (Simon lui-même met fréquemment en avant le principe d'une organisation des systèmes complexes en sous-systèmes largement indépendants les uns des autres et insérés dans une structure hiérarchique <fnref n="34" />.) Dans le cas des données, l'important est alors d'isoler du reste du programme les décisions concernant le détail du stockage, et donc codifier explicitement, par avance, les manières dont le reste du programme peut interagir avec les données. Pour reprendre mon exemple universitaire, l'important est de séparer les services administratifs du service d'archivage des dossiers, ce dernier pouvant se débrouiller comme il veut pour organiser ses rayonnages tant qu'il est capable de répondre aux requêtes qui lui sont faites, requêtes qui, pour cette raison, doivent être codifiées au préalable. La première définition explicite d'un type de données se trouve vraisemblablement chez Barbara Liskov et Stephen Zilles en 1974 :

> An abstract data type defines a class of abstract objects which is completely characterized by the operations available on those objects. This means that an abstract data type can be defined by defining the characterizing operations for that type. <fnref n="35" />

> Les « opérations disponibles » sur un type de données forment ce qu'on appelle d'ordinaire son *interface*.

Cependant, pour Simon, codifier les opérations permises ne suffit pas : il est crucial de savoir quelles opérations sont *rapides*. Dans l'exemple de l'université, on pourrait définir le service d'archivage des dossiers par les opérations d'ajouter un dossier, d'obtenir un dossier par matricule, et d'obtenir un dossier par nom. Or les deux systèmes (numérique et alphabétique) répondent à cette spécification. Ce qui les distingue, c'est la rapidité relative des différentes requêtes, comme le comprend bien Simon :

<footnote n="32">32. En particulier Parnas 1972a,b et Hoare 1972. Voir par exemple Kutzler et Lichtenberger 1983, p. 1, et pour des travaux historiques, Priestley 2011, chap. 10 et Tucker 2018.</footnote>

<footnote n="33">33. MacKenzie 2001, chap. 2 raconte très bien l'atmosphère qui prévalait et replace dans un contexte large les différents programmes de recherche qui allaient dans cette direction. Pour une histoire techniquement plus riche, voir Priestley 2011, chap. 9–11. Parnas 2002 explique rétrospectivement ses motivations de manière très claire.</footnote>

<footnote n="34">34. Voir par exemple son article Simon 1962.</footnote>

<footnote n="35">35. « *Un type de données abstrait* définit une classe d'objets abstraits qui est complètement caractérisée par les opérations disponibles sur ces objets. Cela veut dire qu'un type de données abstrait peut être défini en définissant les opérations caractéristiques de ce type. » (Liskov et Zilles 1974, p. 51).</footnote>
Defining a representation means (1) specifying one or more data types, and (2) specifying the primitive (i.e., “fast”) operations that can be performed on information in those data types.<fnref n="36" />

À première vue, l'idée de Simon semble donc être de compléter la notion usuelle de type de données en spécifiant quelles opérations sont « rapides ». Pour rendre cette idée plus précise, on peut demander que chaque opération permise (par exemple obtenir un dossier par matricule) soit accompagnée d'une spécification explicite de sa vitesse, ou en termes techniques, de sa complexité<fnref n="37" />. En informatique même, l'idée que les spécifications des opérations permises devraient en fixer la complexité est maintenant répandue, mais à ma connaissance n'a pas cours dans les années 1970. Ainsi, Meng Lee et Alexander Stepanov – qui ont joué un rôle central dans le domaine en développant une « bibliothèque » standard de fonctions et structures de données pour le langage C++ – peuvent écrire en 1994 :

> It has been commonly assumed that the (time and space) complexity of an operation is part of its implementation and should not be specified at the interface level. This assumption is incorrect since it invalidates the main reason for the separation of interfaces and implementations, namely, ability to substitute one module for another with the conforming interface.<fnref n="38" />

b) « Structures » plutôt que « types » de données

L'idée de Simon est-elle donc de définir une représentation comme un type de données (au sens usuel) pour lequel on aurait spécifié quelles opérations sont rapides ? En fait, non.

<footnote n="36">36. « Définir une représentation, cela veut dire (1) spécifier un ou plusieurs types de données, et (2) spécifier les opérations primitives (c'est-à-dire “rapides”) qui peuvent être exécutées sur les informations dans ces types de données. » Simon 1978, p. 7-8.</footnote>

<footnote n="37">37. Pour comprendre la notion technique de complexité, il faut voir qu’en informatique, la question importante est d’habitude de savoir comment la vitesse d’une opération dépend de la taille des données. C’est à nouveau la même chose dans notre exemple universitaire. Pour une université qui n’aurait que trois étudiants, n’importe quel système de stockage ferait l’affaire ; c’est seulement quand le nombre d’étudiants augmente que les problèmes commencent, et qu’il devient important de distinguer entre les différents systèmes possibles. C’est à faire ce genre de distinctions que sert la notion de complexité. Avec un classement par matricule, par exemple, retrouver un dossier par numéro d’étudiant est aussi facile s’il y a trois étudiants ou trente mille : cette opération a une complexité en temps « constante » (à vrai dire, ce n’est pas tout à fait exact : plus il y a d’étudiants, plus il faudra marcher longtemps entre les rayonnages, mais laissons cela de côté pour simplifier !). Retrouver un dossier par nom, en revanche, requiert de parcourir tous les dossiers, une tâche dont la durée est en gros proportionnelle au nombre d’inscrits : l’opération a une complexité en temps « linéaire ».</footnote>

<footnote n="38">38. « On est en général parti du principe que la complexité (en temps et en espace) d’une opération fait partie de son implémentation et n’a pas à être spécifiée au niveau de l’interface. Ce postulat est incorrect parce qu’il entre en contradiction avec la raison principale de séparer les interfaces et les implémentations, à savoir la possibilité de remplacer un module par un autre ayant une interface conforme. » (Lee et Stepanov 1994, p. 26). Je remercie Gabriel Scherer d’avoir attiré mon attention sur ce texte.</footnote>
À y regarder de plus près, Simon semble entendre « type de données » en un sens moins abstrait.

A data type is some particular way of organizing information in memory. For example, among the data types that are commonly used in computing are lists and arrays. [...] The declaration that information will be represented in lists or in arrays does not say anything about the physical location of the information in memory. <fnref n="39" />

Dans les termes de notre exemple universitaire, un type de données ne concerne donc pas uniquement les requêtes que l'on peut adresser au service d'archivage, mais aussi l'organisation interne de ce service. Cela dit, prise au pied de la lettre, la définition de Simon semble contradictoire : qu'est-ce que cela peut vouloir dire exactement, « une manière particulière d'organiser des informations en mémoire » qui néanmoins « ne dit rien sur la localisation physique des informations » ?

Pour comprendre l'intuition de Simon, il faut revenir à la pratique de la programmation, d'où viennent les « listes » et « tableaux » (« arrays ») de la citation précédente. À cette fin, examinons le premier exemple que traite Donald Knuth dans son traité classique de programmation, auquel Simon renvoie <fnref n="40" />.

Imaginons que nous ayons à travailler avec une liste ordonnée d'éléments (par exemple des dossiers d'étudiants, des messages électroniques, ou n'importe quoi d'autre). On peut vouloir accomplir différentes opérations sur cette liste : consulter le premier élément, le dernier élément, ou en toute généralité l'élément numéro *k* ; insérer ou supprimer un élément au début, à la fin, ou plus généralement à une position *k* ; etc. Il y a de nombreuses manières d'organiser notre liste en mémoire, mais aucune qui rende toutes ces opérations également faciles. Toutefois, beaucoup d'applications informatiques peuvent se contenter de faire un usage intensif de certaines opérations seulement, que l'on peut alors optimiser aux dépens des autres.

Ainsi, on peut avoir besoin d'une liste pour mettre en œuvre une file d'attente, par exemple une file de messages électroniques à envoyer ; dans ce cas, deux opérations suffisent : ajouter un message à la fin (à l'arrière de la file) et récupérer le message qui se trouve au début (à l'avant de la file) pour le transmettre. De quoi a-t-on besoin pour les accomplir efficacement ? Tout d'abord, il faut pouvoir trouver facilement le premier élément de la file

<footnote n="39">39. « Un type de données est une manière particulière d'organiser des informations en mémoire. Il y a par exemple, parmi les types de données communément utilisées en informatique, les listes et les tableaux. [...] La déclaration que des informations seront représentées par des listes ou par des tableaux ne dit rien sur la localisation physique des informations en mémoire. » (Simon 1978, p. 8).</footnote>

<footnote n="40">40. Voir Knuth [1968] 1997, chap. 2. L'exemple que je prends est expliqué plus en détail à la section 2.2.1.</footnote>
<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>FIGURE 4.3 – Représentation d’une structure de file (« *queue* »), d’après Knuth ([1968] 1997, p. 241)</figcaption></figure>

(le prochain message à transmettre) ainsi que le dernier élément (après lequel on devra insérer de nouveaux messages). Il faut ensuite pouvoir, à partir de chaque élément de la file, retrouver facilement le suivant, de telle manière qu’après chaque traitement d’un message on sache quel sera l’élément suivant à expédier et supprimer. En d’autres termes, les seules *relations* entre éléments qui doivent être faciles d’accès sont celles qui apparaissent sur la figure 4.3.

Ce genre de schéma, s'il spécifie ce que Knuth appelle les « relations structurelles 41 » pertinentes pour notre programme, ne spécifie en revanche pas la manière exacte dont les éléments doivent être disposés en mémoire : ils pourraient être disposés consécutivement ou loin les uns des autres, dans l'ordre ou dans le désordre. Pour rendre plus concrète cette multiplicité de possibilités, examinons rapidement une manière classique de faire qui permet de disperser les éléments de notre liste à travers toute la mémoire de l'ordinateur. L'idée est simple : on adjoint à chaque élément, c'est-à-dire par exemple à chaque mail à envoyer, une donnée supplémentaire qui indique l'adresse en mémoire de l'élément suivant ; on garde également trace des adresses du premier et du dernier élément de notre file de mails. Cela permet, au fur et à mesure de l'arrivée de nouveaux mails à envoyer, de les stocker à n'importe quel emplacement libre de la mémoire ; cela permet aussi, dès qu'on a transmis un mail de notre file, de libérer directement la mémoire qu'il occupait 42. Or, que l'on fasse ainsi ou que l'on préfère s'en tenir à un stockage consécutif des mails, on peut considérer que l'on a mis en œuvre une file : tout ce qui compte est que l'on ait un moyen rapide de trouver les deux extrémités et, pour chaque élément, de trouver le suivant, selon le schéma de la fig. 4.3. C'est en ce sens que Simon peut parler d'une organisation en mémoire qui ne fixe pas « la localisation physique des informations » ; il est très familier de

<footnote n="41">41. Knuth parle de « relations structurelles » (« *structural relationships* ») au début de son chapitre (Knuth [1968] 1997, p. 232); il parle aussi régulièrement d'« information structurelle » (voir *infra*, note 48).</footnote>

<footnote n="42">42. C'est ce que l'on appelle ordinairement une « liste chaînée » ; pour plus de détails, voir Knuth [1968] 1997, §2.2.1.</footnote>
ce genre de considérations depuis les années 1950 <fnref n="43" />.

Les « files » (« *queues* ») que je viens de décrire sont un exemple de ce que Knuth appelle *structure d'information* (« *information structure* »), et qu'il est aujourd'hui usuel d'appeler *structure de données* (« *data structure* »). Cette notion est moins abstraite que les types de données, qui spécifient seulement les opérations permises sans rien dire de leur mise en œuvre ; d'un autre côté, comme nous venons de le voir, cela reste une abstraction vis-à-vis des détails du programme, qui seraient plus précis sur l'organisation physique des données en mémoire. C'est bien cette notion, je crois, que Simon vise ; il faut tenir compte du fait que dans les années 1970, la terminologie n'est pas encore bien fixée et qu'il n'est pas lui-même informaticien. C'est en tout cas bien en termes de *structures* de données qu'il s'exprime dans son article suivant sur le sujet (Larkin et Simon 1987).

### c) Un niveau d'abstraction problématique

Il me semble pourtant que l'hésitation de Simon entre « types de données » (comme il l'écrit en 1978) et « structures de données » (comme l'écrivent Larkin et Simon 1987) trahit une difficulté qui n'est pas seulement terminologique. Son objectif d'ensemble est clair : il lui faut une notion de représentation qui soit suffisamment abstraite pour s'appliquer indifféremment à sa réalisation physique, que ce soit « dans une tête humaine ou dans un ordinateur <fnref n="44" /> ». Le problème, c'est que la discussion précédente nous fournit non pas une, mais *deux* approches possibles : *via* une interface d'opérations rapides ou *via* un modèle abstrait d'organisation des données. Quel est le lien entre ces deux approches ?

Dans son article de 1978, Simon semble hésiter. Dans un passage déjà cité, il commence par écrire :

> Defining a representation means (1) specifying one or more data types, and (2) specifying the primitive (i.e., “fast”) operations that can be performed on information in those data types. [...] A *data type* is some particular way of organizing information in memory. <fnref n="45" />

<footnote n="43">43. Dès les années 1950, Allen Newell, Cliff Shaw et lui avaient en effet mis au point, pour leur *Logic Theory Machine*, le premier langage de programmation fournissant des opérations primitives de manipulation de données éloignées de l'organisation matérielle de la mémoire des ordinateurs sur lesquels ils travaillaient. Les langages de manipulation de listes qu'ils ont développé à cette époque ont d'ailleurs eu un impact important sur l'histoire ultérieure des langages de programmation, en particulier sur le développement du langage LISP et plus généralement sur la naissance de ce que l'on appelle aujourd'hui les langages de programmation « fonctionnels » ; sur ce point, voir Priestley 2017.</footnote>

<footnote n="44">44. « Since we are concerned with representation at the symbolic or information-processing level, it will matter little whether the memory we are talking about resides in a human head or in a computer. » (Simon 1978, p. 4).</footnote>

<footnote n="45">45. « Définir une représentation, cela veut dire (1) spécifier un ou plusieurs types de données, et (2) spécifier</footnote>
Cela suggère clairement qu'organisation en mémoire et opérations rapides sont deux in-
grédients distincts. Mais quelques lignes plus bas, il poursuit :

[T]he declaration of a data type means that certain *primitive operations* are
available for accessing, storing, and modifying data. A list representation re-
quires a primitive operation of *find.next*, which, given a particular symbol as
its argument, will access the succeeding symbol in the list to which the first
belongs. <fnref n="46" />

Ici, Simon semble au contraire suggérer qu'une certaine organisation en mémoire (il parle de liste, mais on pourrait aussi bien penser aux files que nous avons discutées dans la partie précédente) est comme naturellement équipée de certaines opérations primitives. Représentons le schéma que Knuth utilise pour illustrer la structure de file (fig. 4.3 p. 116). En suivant la terminologie de Knuth, j'ai dit que les flèches indiquaient les « relations structurelles » entre éléments qui sont pertinentes pour un programme utilisant une file. Les remarques de Simon que je viens de citer suggèrent de les interpréter autrement, à savoir comme indiquant les opérations primitives permises. Peut-être est-ce là l'idée de Simon pour unifier les deux descriptions abstraites de ce qu'est une représentation.

Il n'est pas si facile, cependant, de résoudre la tension entre opérations rapides et organisation en mémoire. La notion de type de données, telle qu'elle est comprise aujourd'hui en informatique, se laisse formaliser de manière précise <fnref n="47" />, et peut être entièrement séparée de toute considération d'implémentation dans une architecture computationnelle particulière. En revanche, la notion de structure de données que semble invoquer Simon est beaucoup moins claire. Elle vient de la pratique de la programmation, et (à ma connaissance) n'a pas de définition pleinement satisfaisante. On peut être tenté de dire que choisir une structure pour certaines données revient à choisir quelles relations structurelles représenter « directement » (selon le terme qu'emploie Knuth <fnref n="48" />) ou encore « explicitement <fnref n="49" /> »,

<footnote>les opérations primitives (c'est-à-dire "rapides") qui peuvent être exécutées sur les informations dans ces types de données. [...] Un *type de données* est une manière particulière d'organiser des informations en mémoire. »
(Simon 1978, p. 7-8).</footnote>

<footnote n="46">46. « La déclaration d'un type de données signifie que certaines *opérations primitives* sont disponibles pour accéder aux données, pour les enregistrer et pour les modifier. Une représentation en liste requiert une opération primitive *trouver.suivant* qui, à partir d'un symbole particulier donné en argument, accède au symbole suivant dans la liste auquel appartient le premier. » (Simon 1978, p. 8; l'auteur souligne.)</footnote>

<footnote n="47">47. Voir par exemple Dale et Walker 1996.</footnote>

<footnote n="48">48. Cf. par exemple Knuth [1968] 1997, p. 238 (je souligne) : « Data usually has much more structural information than we actually want to represent *directly* in a computer [...]. We must decide in each case how much structure to represent [...]. » (« En général, les données comportent beaucoup plus d'informations structurelles que nous voulons n'en représenter *directement* dans un ordinateur [...]. Dans chaque cas, nous devons décider combien de structure représenter [...]. »)</footnote>

<footnote n="49">49. Larkin et Simon 1987 s'expriment parfois ainsi (par ex. p. 67).</footnote>
mais ce sont des expressions peu claires<sup>50</sup> ; à moins de se rabattre sur la notion de type de données, en considérant (comme je l'ai suggéré plus haut) que parler de relations struc- turelles représentées directement n'est qu'une périphrase pour stipuler les primitives de l'interface, on a une vraie difficulté. En fait, la manière dont on comprend et présente habi- tuellement les structures de données présuppose certaines caractéristiques spécifiques aux ordinateurs usuels, par exemple l'existence d'adresses en mémoire pour accéder aux don- nées; Knuth, par exemple, se place exclusivement dans ce cadre. Or, si l'on travaille avec des ordinateurs conçus différemment sur le plan matériel, par exemple équipés de mémoire accessible par le contenu (« *content-addressable memory* ») plutôt que par adresse, les liens entre organisation des données et opérations rapides seront complètement différents. Mais précisément, Simon a besoin de pouvoir traiter simultanément l'IBM 7090 et le cerveau hu- main ! Pour cela, le niveau d'abstraction intermédiaire auquel correspond la notion usuelle de structure de données (plus précise qu'une simple stipulation d'interface, moins précise que les détails de l'implémentation) ne semble pas satisfaisante.

Cette discussion, qui peut paraître oiseuse, a un enjeu crucial. Le point de départ de Si-
mon était celui des représentations mentales : quelles formes ont-elles ? Y a-t-il des images
mentales ? Face à ce problème, son but était clair : opérationnaliser le concept de repré-
sentation en termes de l'efficacité computationnelle de certaines opérations, ce qui permet
d'étudier la question des formes de représentations mentales au moyen de modèles infor-
matiques bien choisis. Or s'il faut séparer nettement organisation des données et opéra-
tions rapides sur ces données, parce que le lien entre les deux dépend profondément des
spécificités matérielles de l'ordinateur ou du cerveau dont on traite, ce projet-là s'effondre.
Cela ne signifie pas que les idées de Simon sont sans valeur, mais cela veut dire qu'elles
ne suffisent pas à résoudre complètement un problème comme celui des images mentales :
la question des formes de représentations mentales ne peut pas se réduire sans reste à
une affaire d'efficacité computationnelle. À mon avis, les hésitations de l'article de Simon
pointent donc un problème essentiel, qu'il n'a pas résolu.

4.5 Retour aux représentations externes

Simon revient à ces questions plus en détail dans les années 1980, en collaboration avec la psychologue Jill Larkin (Larkin et Simon 1987). (Dans la même veine, il poursuivra au cours des années 1990 une activité de recherche intense sur la question du raisonnement

<footnote n="50">50. Dans un article fouillé, Kirsh 1990 montre bien que dans un cadre informatique, la notion de représen-
tation « explicite » n'est pas du tout claire.</footnote>
avec de multiples formes de représentation <fnref n="51" />.) Son travail avec Larkin traite cette fois uniquement de ce qu’il appelle des représentations « externes » et est apparemment prudent sur la généralisation aux représentations mentales, mais il faut bien voir que cela reste pour Simon fondamentalement le même problème ; d’ailleurs, il écrira deux ans plus tard :

> In order to deal with the difficulties one by one, [Jill Larkin and I] fudged a bit, alleging that we were talking about diagrams on paper rather than mental pictures; but most of our argument carries over in a straightforward way. <fnref n="52" />

Pourtant, il y a une inflexion de problématique. Larkin et Simon (1987) évitent toute discussion théorique d'une notion abstraite de représentation : ils ne cherchent plus explicitement à caractériser ou à définir les représentations d'après les opérations qu'elles rendent faciles, ce qui était l'aspect le plus ambitieux de l'article de 1978 mais aussi, comme l'a montré la discussion précédente, le plus problématique. Ils se contentent d'étudier les avantages ou les inconvénients d'utiliser telle représentation plutôt que telle autre, comme l'indique leur titre : « Why a Diagram Is (Sometimes) Worth Ten Thousand Words <fnref n="53" /> ». Leur démarche est de proposer, pour des problèmes simples, des modèles informatiques de deux procédures différentes de résolution, l'une étant censée correspondre à l'usage d'une figure et l'autre à une résolution utilisant uniquement des phrases. Les différentes représentations utilisées sont cette fois modélisées au moyen de « structures de données » (expression qui remplace ici celle de « types de données » de 1978) et d'opérations qui agissent sur elles, ainsi que d'un mécanisme attentionnel qui explicite, à chaque étape, quel élément de la structure de données est examiné :

> A representation consists of both data structures and programs operating on them to make new inferences. [...] Since data structures for a problem are complex, we must also provide for an attention management system that determines what portion of the data structure is currently attended to and can trigger the productions <fnref n="54" /> of the program. The nature of attention management depends crucially on the linkages provided in the data structure since

<footnote n="51">51. Les articles Qin et Simon 1995 et Tabachneck-Schijf, Leonardo et Simon 1997 sont représentatifs de ses deux projets de recherche principaux sur le sujet.</footnote>

<footnote n="52">52. « Dans l'idée de traiter les difficultés une par une, [Jill Larkin et moi] avons été un peu évasifs et avons prétendu que nous parlions de figures sur papier plutôt que d'images mentales ; mais l'essentiel de notre argument se transpose sans problèmes. » (Simon 1989, p. 383).</footnote>

<footnote n="53">53. « Pourquoi une figure vaut (parfois) dix mille mots. »</footnote>

<footnote n="54">54. Ce que Simon appelle les « productions » du programme sont des sortes de règles d'inférence qui peuvent être appliquées si certaines prémisses sont disponibles. À chaque étape de l'exécution du programme, seules les données sur lesquelles porte le mécanisme d'attention peuvent servir de prémisses à l'application éventuelle d'une telle règle.</footnote>
this is the only information available for guiding shifts in attention. [...] In
general the computational efficiency of a representation depends on all three
of these factors (data structure, program, attention management) and on how
well they work together.<fnref n="55" />

L'hésitation que j'ai notée dans l'article de 1978, sur la question de savoir s'il y a un lien
intrinsèque entre une structure de données et les opérations rapides qu'elle permet, est ici
éliminée : Larkin et Simon séparent clairement données et opérations qui agissent sur elles,
même s'ils admettent bien sûr que l'organisation des données impose des contraintes sur
les opérations efficaces.

Dans ce cadre, ils expliquent alors l'efficacité supérieure (dans certains contextes) de
représentations « diagrammatiques » de deux manières principales, qu'ils illustrent sur
deux problèmes élémentaires : un problème de statique et un problème de géométrie.
Examinons-les tour à tour.

a) Un problème de statique

Leur première idée reprend dans les grandes lignes une suggestion que Simon avait déjà ébauchée en 1978⁵⁶; ils l'illustrent sur un problème de statique à base de poulies et de poids. Ce problème est posé en phrases, du genre de « Soient trois poulies A, B et C, deux poids et des cordes telles que le premier poids est suspendu à l'extrémité gauche d'une corde qui passe sur la poulie A et dont l'autre extrémité est attachée à l'autre poids, etc. ». Larkin et Simon commencent par formaliser ces phrases pour obtenir une première structure de données (fig. 4.4). Pour résoudre le problème, ils fournissent et formalisent ensuite un certain nombre de règles, par exemple que les deux côtés d'une corde attachée à une poulie ont la même tension.

Une méthode naïve de résolution consiste alors à tenter d'appliquer ces règles pour
obtenir des propositions supplémentaires, en parcourant phrase par phrase, dans l'ordre,
les éléments de la structure de données de la fig. 4.4, puis de recommencer. Cette méthode

<footnote n="55">55. « Une représentation consiste à la fois en des structures des données et en des programmes qui opèrent sur celles-ci pour faire de nouvelles inférences. [...] Puisque les structures de données pour un problème sont complexes, nous devons aussi fournir un système de gestion de l'attention qui détermine quelle portion de la structure de données est examinée à un moment donné et peut déclencher les productions du programme. La nature de la gestion de l'attention dépend cruciallement des liens fournis dans la structure de données, parce que ce sont les seules informations disponibles pour guider des déplacements de l'attention. [...] En général, l'efficacité computationnelle d'une représentation dépend à la fois de ces trois facteurs (structure de données, programme, gestion de l'attention) et de la manière dont ils travaillent ensemble » (Larkin et Simon 1987, p. 67-68).</footnote>

<footnote n="56">56. Cf. *supra*, p. 112.</footnote>
<table><tr><td></td><td>(Weight W1) (Rope Rp) (Rope Rq) (Pulley Pa)</td></tr><tr><td>(1a.1)</td><td>(hangs W1 from Rp)</td></tr><tr><td>(1a.2)</td><td>(pulley-system Rp Pa Rq)</td></tr><tr><td></td><td>(Weight W2)</td></tr><tr><td>(1b.1)</td><td>(hangs W2 from Rq)</td></tr><tr><td></td><td>(Rope Rx) (Pulley Pb) (Rope Ry) (Pulley Pc) (Rope Rz)</td></tr><tr><td></td><td>(Rope Rt) (Rope Rs) (Ceiling c)</td></tr><tr><td>(2a.1)</td><td>(hangs Pa from Rx)</td></tr><tr><td>(2a.2)</td><td>(pulley-system Rx Pb Ry)</td></tr><tr><td>(2a.3)</td><td>(pulley-system Ry Pc Rz)</td></tr><tr><td>(2b.1)</td><td>(hangs Pb from Rt)</td></tr><tr><td>(2b.2)</td><td>(hangs Rt from c)</td></tr><tr><td>(3a.1)</td><td>(hangs Rx from c)</td></tr><tr><td>(3a.2)</td><td>(hangs Rs from Pc)</td></tr><tr><td>(3b.3)</td><td>(hangs W2 from Rs)</td></tr><tr><td>(4.1)</td><td>(value W1 1)</td></tr></table>

FIGURE 4.4 – Structure de données correspondant au problème de statique qu'étudiant Larkin et Simon (1987, p. 74)

est coûteuse, parce qu'à chaque étape, on risque de devoir parcourir une bonne partie des données dont on dispose avant d'en trouver une qui permette d'appliquer une de nos règles et donc de progresser.

D'après Larkin et Simon, si une figure (cf. fig. 4.5(a)) nous facilite le travail, c'est parce qu'elle permet de limiter cette recherche. Plus précisément, on peut résoudre le problème de proche en proche en parcourant la figure élément par élément. Si on connaît la valeur du poids W1, on peut en déduire la tension de la corde p, puis celle de la corde q, etc. Ainsi, on n'a pas besoin de parcourir tout ce que l'on sait à chaque étape.

Pour modéliser cette méthode humaine de résolution, Larkin et Simon suggèrent une structure de données dans laquelle les données, au lieu d'être organisées séquentiellement dans un ordre arbitraire, sont organisées par localisation. Cela permet un mécanisme attentionnel qui procède de proche en proche. Intuitivement, leur idée est la suivante. Il faut imaginer que tout ce que l'on sait sur la poulie A est rassemblé dans un même emplacement en mémoire, et que cet emplacement est muni de liens vers trois autres emplacements en mémoire : ceux qui contiennent tout ce que l'on sait sur, respectivement, les cordes p, q et x. Le mécanisme attentionnel peut alors suivre les liens d'un emplacement mémoire à un autre qui y est relié, et ainsi procéder de proche en proche. Pour clarifier l'organisation de cette structure de données, ils la représentent à la fig. 4.5(b). (Il faut prendre garde au fait que cette figure n'est qu'une manière de clarifier les liens de la structure de données sous-jacente, qui n'est pas elle-même une figure au sens usuel du terme!) L'avantage est
<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>FIGURE 4.5 – Figures (a) d’un problème de statique, (b) de la structure de données que Larkin et Simon utilisent pour modéliser une résolution de ce problème s’appuyant sur la figure précédente (Larkin et Simon 1987, p. 73, 79)</figcaption></figure>
<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>FIGURE 4.6 – Une figure pour le problème de géométrie qu'étudient Larkin et Simon (1987, section 3)</figcaption></figure>

que cette structure de données permet de localiser efficacement les composants du système dont on a besoin à chaque étape de résolution, et donc de raccourcir la recherche, à chaque étape, des données qui peuvent être utiles.

b) Un problème de géométrie

Leur seconde idée, très différente, se fonde sur l'exemple d'un problème de géométrie élémentaire, que l'on peut paraphraser ainsi (voir aussi fig. 4.6) :

Soient deux droites sécantes qui coupent deux droites parallèles et se ren-
contrent en un point x situé entre ces deux droites parallèles; montrer que si
l'une de ces droites sécantes bisecte le segment de l'autre qui se trouve entre
les deux parallèles, alors les deux triangles formés par les sécantes sont sem-
blables.

Il faut noter d'emblée que ce problème peut se résoudre sans faire appel ni à une figure ni
à des axiomes sophistiqués : quelques propositions élémentaires de géométrie suffisent <sup>57</sup>.
Ce n'était pas le cas de l'exemple que Simon avait utilisé pour motiver son article de 1978,
dans lequel la figure permettait d'observer l'existence d'un point d'intersection <sup>58</sup>. Ici, au
contraire, tous les points d'intersection entre les droites mentionnées sont explicitement
introduits par l'énoncé : Larkin et Simon choisissent donc un cas particulièrement simple.
Cela leur permet de proposer d'abord une méthode de résolution sans figure, puis de spé-
culer sur les étapes de celles-ci que l'usage d'une figure rend « faciles et automatiques <sup>59</sup> »
grâce à nos capacités perceptuelles.

<footnote n="57">57. On a besoin de l'égalité des angles alternes internes et des angles opposés par le sommet, et de la super-
posabilité de deux triangles si deux de leurs angles, et le côté entre ces deux angles, sont égaux.</footnote>

<footnote n="58">58. Voir *supra*, p. 109.</footnote>

<footnote n="59">59. Larkin et Simon 1987, p. 91.</footnote>
Plus précisément, ils partent d'une structure de données initiale ne mentionnant que des points et des droites, qui est inutilisable telle quelle puisque les théorèmes à appliquer parlent d'angles et de triangles. Ils expliquent alors comment déterminer algorithmiquement triangles et angles de manière à produire une structure de données « enrichie », sur la base de laquelle le problème peut être résolu. Ils se contentent ensuite de suggérer que c'est le passage de la structure de données initiale à la structure enrichie (c'est-à-dire l'identification des angles et triangles) qui est immédiate par inspection de la figure :

> We have seen that formally producing perceptual elements<fnref n="60" /> does most of the work of solving the geometry problem. But we have a mechanism—the eye and the diagram—that produces exactly these “perceptual” results with little effort. We believe the right assumption is that diagrams and the human visual system provide, at essentially zero cost, all of the inferences we have called “perceptual.”<fnref n="61" />

En d'autres termes, ils ne proposent pas vraiment deux modèles informatiques, mais un seul; seulement, ils postulent qu'on peut simuler le travail d'un être humain utilisant une figure directement sur la base de la structure de données « enrichie ».

On est loin, dans ce second exemple, de la rigueur programmatique de l'article de 1978. Il y a deux difficultés principales. La première est qu'au lieu de proposer un modèle computationnel pleinement explicite, ils invoquent ici des processus perceptuels non élucidés, qu'ils ne modélisent pas directement. Une conséquence en est que transposer leurs idées au cas des représentations mentales supposerait tout un travail supplémentaire, à moins de postuler un « œil de l'esprit » inspectant des images mentales, ce qui est précisément la stratégie que moquent traditionnellement les critiques de l'imagerie en psychologie <fnref n="62" />, et que l'article de 1978 évitait. On peut se demander, d'ailleurs, si ce n'est pas pour cela que malgré les convictions de Simon, nos auteurs sont ici contraints à battre en retraite vers les images externes <fnref n="63" />.

La seconde difficulté est qu'ici la figure géométrique n'est pas identifiable à une « représentation » (c'est-à-dire, pour eux, une structure de données munie d'opérations et d'un mécanisme attentionnel) bien déterminée. Larkin et Simon en définissent en fait deux :

<footnote n="60">60. Il s'agit des angles et des triangles du problème.</footnote>

<footnote n="61">61. « Nous avons vu que l'essentiel du travail, pour résoudre le problème de géométrie, est de produire formellement des éléments perceptuels. Or nous avons un mécanisme – l'œil et la figure – qui produit précisément ces résultats « perceptuels » pour peu d'efforts. La bonne hypothèse, d'après nous, est que les figures et le système visuel humain fournissent, de manière gratuitement gratuite, toutes les inférences que nous avons appelées « perceptuelles». » (Larkin et Simon 1987, p. 92).</footnote>

<footnote n="62">62. Voir par ex. Pylyshyn 1973.</footnote>

<footnote n="63">63. Voir toutefois leur brève note sur les images mentales : Larkin et Simon 1987, p. 97-98.</footnote>
une structure de données initiale, qui parle de points et de droites, et une structure « per-
ceptuellement enrichie » qui parle aussi de segments, d'angles et de triangles, dont les
éléments « sont perceptuellement évidents pour toute personne éduquée qui regarde [la]
figure <fnref n="64" /> ». C'est cette seconde structure de données qui est censée correspondre à une
représentation géométrique du problème. Or il est clair qu'elle ne capture pas la figure
elle-même, mais plutôt ce qu'un utilisateur compétent, quoique pas non plus expert, peut
en tirer facilement ; en effet, comme le reconnaissent les auteurs, « nous pourrions ajouter
des configurations [*patterns*] comme les angles alternes-internes, mais il n'est pas clair que
ces configurations soient évidentes pour tout le monde [...] <fnref n="65" /> ». Il faudrait en fait conce-
voir des structures enrichies différentes pour chaque utilisateur et chaque contexte. Loin de
caractériser ou de définir les figures géométriques elles-mêmes par les opérations rapides
qu'elles permettent, nos auteurs se contentent donc ici de capturer le rôle fonctionnel de
la figure dans un contexte particulier et pour un agent particulier.

c) Simon : pionnier paradoxal de la « cognition étendue » ?

La discussion qui précède soulève une question très intriguante. Ce que Larkin et Si-
mon modélisent informatiquement, ce sont en fait des processus entiers de résolution de
problèmes. Or il s'avère (au moins dans le second exemple) que les composants de leurs pro-
grammes qui sont *a priori* censés modéliser les figures capturent en fait les figures *telles que*
*perçues et utilisées par un agent particulier, dans un contexte particulier*. En d'autres termes,
les composants de leur programme ne respectent pas les frontières étroites du crâne. Faut-
il en conclure que Simon est un praticien convaincu de la cognition « étendue », selon le
slogan « *Cognitive processes ain't (all) in the head!*** <fnref n="66" /> » de David Chalmers et Andy Clark ?

Ce serait, bien sûr, paradoxal. C'est en opposition explicite à l'intelligence artificielle traditionnelle, dont Simon sert souvent d'emblème, qu'ont été conçus les mots d'ordre d'une cognition « étendue », « incarnée » ou « imbriquée »<fnref n="67" />, ainsi que les travaux de

<footnote n="64">64. « We argue that all elements currently in the perceptually enhanced representation (including points, segments, angles, and triangles) are perceptually obvious to any educated person looking at a diagram like that in Figure 3. » (Larkin et Simon 1987, p. 88).</footnote>

<footnote n="65">65. « Although we could add patterns like alternate interior angles, it is not clear that such patterns are obvious to everyone [...] » (Larkin et Simon 1987, p. 88).</footnote>

<footnote n="66">66. « Les processus cognitifs ne sont pas (tous) dans la tête ! » (Clark et Chalmers 1998, p. 8). La tournure est un clin d'œil à la célèbre formule de Putnam : « 'meanings' just ain't in the *head* ! » (Putnam 1975, p. 227).</footnote>

<footnote n="67">67. En anglais respectivement « *extended* », « *embodied* » et « *embedded* ». Ces termes ne sont pas du tout synonymes (le premier met plutôt l'accent sur l'importance de supports de raisonnement externes, le second sur le du corps, le dernier sur l'environnement) mais les distinctions n'ont pas grande importance pour moi ici. On rencontre aussi une multitude d'expressions apparentées, comme celle de « computationnalisme large » (« *wide computationalism* », cf. R. A. Wilson 1994). Pour une introduction, voir par exemple le bel essai de John</footnote>
sciences cognitives sur lesquels ils s'appuient<fnref n="68" />. Il est vrai que, par rapport à ce que proposent ces auteurs, on peut trouver le travail de Larkin et Simon plutôt conventionnel. Edwin Hutchins, l'un des défenseurs de ce genre d'approche, écrit par exemple :

> I think it is fair to say that in the twenty years since the publication of *Human Problem Solving* [Newell and Simon 1972] the use of material structure in the problem-solving environment has not been a central topic in the physical-symbol-system research agenda. Some recent work within this tradition takes the "external world" into account [Larkin 1989⁶⁹; Vera et Simon 1993] but treats the world only as an extra memory on which the same sorts of operations are applied as are applied to internal memories. Structure in the world can be much more than an augment to memory.<fnref n="70" />

Peut-être Simon lui-même aurait-il accepté cette description de son travail. Pour mon pro-
pos, toutefois, l'essentiel est ailleurs : du point de vue de Simon, la distinction même entre
mémoire externe et mémoire interne n'a que peu de sens. Les représentations ne sont qu'un
rôle fonctionnel au sein d'un processus de résolution, dont la réalisation matérielle peut
être diffuse. Chez Larkin et Simon, comme nous l'avons vu, il est bien difficile de localiser
d'un côté ou de l'autre la « structure de données enrichie » de leur problème de géométrie.

En réalité, c'est la méthode même de simulation informatique de Simon qui est intrinsèquement radicale et tend à brouiller les frontières usuelles. Y a-t-il d'ailleurs meilleur exemple de ce brouillage systématique que son projet de « sciences de l'artificiel », qu'il introduit, dans un passage célèbre, en comparant la recherche d'une démonstration au chemin d'une fourmi sur une plage ?

We watch an ant make his laborious way across a wind- and wave-molded
beach. He moves ahead, angles to the right to ease his climb up a steep dunelet,
detours around a pebble, stops for a moment to exchange information with

<footnote>Haugeland, « *Mind embodied and embedded* » : Haugeland [1995] 1998b.</footnote>

<footnote n="68">68. Parmi les travaux les plus souvents évoqués dans ce contexte, mentionnons Gibson 1979 et Brooks 1991, qui insistent sur l'importance de l'environnement, ainsi que Kirsh et Maglio 1994 et Hutchins 1995 qui se concentrent sur l'emploi de supports externes au cours du raisonnement.</footnote>

<footnote n="69">69. Cet article de Larkin est d'un esprit très proche de celui que nous avons étudié, que Hutchins aurait tout aussi bien pu citer.</footnote>

<footnote n="70">70. « Il est juste de dire, je pense, que dans les vingt ans écoulés depuis la publication de *Human Problem Solving* [Newell et Simon 1972], cela n’a pas été un thème central du programme de recherche sur les systèmes physiques de symboles que d’étudier comment la structure matérielle de l’environnement de résolution de problème était utilisée. Il y a certes des travaux récents de cette tradition qui prennent en compte le “monde extérieur” [Larkin 1989; Vera et Simon 1993], mais ils ne traitent le monde que comme une mémoire supplémentaire qui permet les mêmes opérations que les mémoires internes. La structure disponible dans le monde peut être bien plus qu’un auxiliaire à la mémoire. » (Hutchins 1995, p. 369).</footnote>
a compatriot. [...] I sketch the path on a piece of paper. It is a sequence of irregular, angular segments—not quite a random walk, for it has an underlying sense of direction, of aiming toward a goal.

I show the unlabelled sketch to a friend. Whose path is it? An expert skier, perhaps, slaloming down a steep and somewhat rocky slope. Or a sloop, beating upwind in a channel dotted with islands or shoals. Perhaps it is a path in a more abstract space: the course of search of a student seeking the proof of a theorem in geometry.<fnref n="71" />

À titre d'exemple, Simon suggère dans cet ouvrage que pour simuler la résolution humaine de problème, il peut être utile de considérer la mémoire (au sens habituel du terme) comme une partie de l'environnement <fnref n="72" />; c'est dire si les frontières du crâne le préoccupent peu.

## 4.6 Conclusion : la démarche de Simon

Résumons la démarche de Simon. Il part d'un modèle informatique, celui du stockage de données dans un ordinateur. C'est dans ce contexte qu'il introduit les notions d'équivalence informationnelle et d'équivalence computationnelle, qui ont alors un sens clair. Il tente ensuite d'aborder, à l'aide de ce modèle informatique, les représentations mentales mais aussi les représentations « externes » dans les sciences ou les mathématiques.

Le passage du modèle informatique aux représentations en général se justifie de deux manières. Il est tout d'abord fondé sur un postulat fondamental qui parcourt toute l'œuvre de Simon : au bon niveau d'analyse, le niveau « informationnel » ou « fonctionnel », tout processus de résolution de problème est identifiable à un programme informatique. D'autre part et plus spécifiquement, Simon tente d'élaborer une notion abstraite de représentation qui fasse sens à ce niveau d'analyse-là; celle-ci est censée légitimer sa démarche en montrant que d'un point de vue de traitement de l'information, représentations externes,

<footnote n="71">71. « Observons une fourmi qui progresse laborieusement sur une plage façonnée par le vent et par les vagues. Elle avance, tourne à droite pour escalader plus facilement une dunelette raide, contourne un galet, s'arrête un moment pour échanger des informations avec une congénère. [...] J'esquisse son chemin sur un bout de papier. C'est une ligne brisée et irrégulière – pas vraiment une marche aléatoire, parce qu'elle témoigne d'un sens de la direction, de la visée d'un but. Je montre l'esquisse à un ami, sans légende. De qui est-ce le chemin ? D'un skieur expérimenté, peut-être, qui descend en slalomant une pente raide et un peu caillouteuse, ou d'un petit voilier, luttant contre le vent dans un chenal étroit parsemé d'îles ou de récifs. Peut-être est-ce un chemin dans un espace plus abstrait : l'itinéraire exploratoire d'un étudiant qui cherche la démonstration d'un théorème de géométrie. » (Simon 1996, chap. 3, p. 51. Il faut prendre garde au fait que Simon a profité de chaque nouvelle édition des Sciences de l'artificiel pour réécrire de larges parties de l'ouvrage. L'image de la fourmi est toutefois présente dès la première édition de 1969.)</footnote>

<footnote n="72">72. Simon 1996, chap. 4 : « Remembering and Learning: Memory As Environment for Thought ». Ce chapitre, absent de la première édition (Simon 1969) a été introduit en 1981.</footnote>
représentations mentales et organisation des données dans un ordinateur peuvent être as-
similées. Nous avons vu, cependant, que ses tentatives de clarifier sa notion abstraite de
représentation conduisaient à des difficultés de fond, parce que le lien entre organisation
des données et efficacité computationnelle des opérations portant sur elles n'est pas clair
et semble dépendre de l'architecture computationnelle utilisée.

En collaboration avec la psychologue Jill Larkin (1987), Simon traite de manière plus
précise deux exemples d'usage de figures, l'un en statique, l'autre en géométrie. Dans le
prolongement de la méthodologie générale de Simon, ils proposent des programmes in-
formatiques censés modéliser des procédures de résolution de problème et identifient les
figures à des composants de ces programmes. Cela permet de conserver un sens précis
aux notions d'équivalence informationnelle et d'équivalence (ou de différences) computa-
tionnelle, mais induit un décalage avec les figures concrètes qui étaient le point de départ
de l'analyse. C'est cette tension qu'il importera avant tout de garder à l'esprit lorsque, au
prochain chapitre, nous lirons les travaux d'auteurs qui reprennent les concepts de Simon
mais pas sa méthodologie très particulière.
<figure><img src="image_19.png" /></figure>
# Chapitre 5

## Différences computationnelles partout ?

Que peut-on faire des concepts de Simon ? La littérature existante offre de nombreuses pistes. Ils ont été utilisés pour décrire et unifier les phénomènes les plus divers, de la visualisation de données aux différentes formes des équations de la mécanique en passant par les notations en logique propositionnelle. Je voudrais ici en dresser un panorama, puis revenir, sur cette base, à l'étude de cas de la partie I.

Avant de commencer, toutefois, un avertissement s'impose : il faut garder, vis-à-vis de ces travaux, une certaine distance critique. Souvent, les concepts de Simon y sont réinterprétés ou utilisés de manière purement heuristique; il arrive aussi que les tensions déjà présentes chez Simon y atteignent le point de rupture. Je tente ici de suivre les intuitions des auteurs que je traite, et me contente de noter au passage les difficultés les plus claires. Une évaluation sérieuse devra attendre le prochain chapitre.

### 5.1 Diagrammes et figures en mathématiques

Un travail récent de Jessica Carter (2018) fournit un premier exemple d'application des idées de Simon aux mathématiques. Son but est de comparer l'efficacité de représentations « diagrammatiques » et « formelles » de graphes (en l'occurence dans le contexte d'une méthode de calcul de K-groupes, mais les détails n'ont pas d'importance ici). Elle prend l'exemple d'un graphe simple, que l'on peut représenter « diagrammatiquement » (fig. 5.1) mais aussi de manière « formelle », c'est-à-dire en spécifiant l'ensemble $E^0 = \{v_1, v_2, v_3\}$ de ses sommets, l'ensemble $E^1 = \{e_1, e_2, e_3, e_4, e_5\}$ de ses arêtes, et les fonctions $r, s : E^1 \to E^0$
<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>FIGURE 5.1 – Un diagramme représentant un graphe orienté (Carter 2018, p. 4)</figcaption></figure>

donnant respectivement la destination et l'origine de chaque arête :

$r(e_1) = r(e_2) = v_1,$

$r(e_3) = v_2,$

$r(e_4) = r(e_5) = v_3,$

$s(e_1) = s(e_2) = s(e_3) = v_1,$

$s(e_4) = v_2,$

$s(e_5) = v_3.$

« Le contenu informationnel », écrit-elle, « est le même<fnref n="1" /> », et le calcul qui l'intéresse peut être fait sur la base de ces deux représentations. Mais, comme elle l'écrit en faisant référence à Larkin et Simon (1987), partir de la représentation formelle « requiert davantages de ressources cognitives, c'est-à-dire davantage d'observations de faits et de déplacements d'attention qu'en regardant le diagramme <fnref n="2" /> ». Selon son analyse, l'avantage de la représentation diagrammatique est essentiellement dû au fait que toutes les arêtes liées à un même sommet sont accessibles au même endroit, ce qui diminue les efforts requis pour localiser les données nécessaires à chaque étape. On est donc très proche du premier avantage des diagrammes repéré par Larkin et Simon <fnref n="3" />.

Bon nombre de ce que l'on appelle « diagrammes » dans les mathématiques contemporaines seraient susceptibles d'une analyse similaire, parce que leur élimination systématique, c'est-à-dire leur traduction en énoncés, ne pose aucune difficulté de principe. Les « diagrammes commutatifs » largement utilisés en algèbre, géométrie et topologie ou encore en théorie des catégories en sont un exemple clair <fnref n="4" />. Le diagramme commutatif suivant, par exemple,

<figure><img src="image_21.png" /></figure>

<footnote n="1">1. « [...] the informational content is the same [...] », Carter 2018, p. 8.</footnote>

<footnote n="2">2. « [...] it requires more cognitive resources, that is, recording a greater number of facts and more shifts of attention than by looking at the diagram. » (Carter 2018, p. 9).</footnote>

<footnote n="3">3. Voir *supra*, section 4.5.</footnote>

<footnote n="4">4. Pour une introduction aux diagrammes commutatifs, voir par exemple Lang 2002, p. ix-x, ou à peu près n'importe quel manuel raisonnablement récent de deuxième cycle en géométrie, topologie ou algèbre. Silvia de Toffoli 2017 en donne une présentation destinée à un public de philosophes dans le contexte plus spécifique de l'algèbre homologique élémentaire.</footnote>
se laisse traduire sans reste par le fait que $f$ est une application 5 de $A$ dans $B$, $f'$ de $A'$ dans $B'$, $\phi_A$ de $A$ dans $A'$, $\phi_B$ de $B$ dans $B'$, et par la relation de commutation $f'\phi_A = \phi_Bf$. On pourrait en dire autant des nombreuses variantes de ce genre de diagrammes qui permettent de les enrichir au moyen de conventions supplémentaires 6. La grande facilité de ce genre de traduction (qui explique, au passage, pourquoi ce genre de diagrammes ne posent pas les problèmes de rigueur souvent associés à l'usage de figures au cours de démonstrations et sont admis sans inquiétude 7) appelle tout naturellement une analyse dans le style de Simon de ce que les diagrammes commutatifs apportent. À vrai dire, leur avantage essentiel est peut-être ailleurs. Parler d'équivalence informationnelle entre le diagramme et une liste de relations de commutation risque d'occulter que l'on sait normalement beaucoup plus que ce que le diagramme représente : on en sait plus sur les applications que leurs seules relations de commutation, et on a en général affaire à bien plus d'applications que celles qui figurent sur le diagramme. Le diagramme peut en fait servir à isoler les informations pertinentes autant qu'à les présenter sous une forme efficace ; j'y reviendrai. Néanmoins, le fait que les diagrammes commutatifs permettent de localiser efficacement, à chaque étape de la preuve, les flèches dont on peut avoir besoin fait indéniablement partie de leurs qualités. Lorsque de Toffoli (2017) écrit que les diagrammes commutatifs fonctionnent « comme des cartes 8 », elle ne dit pas autre chose, et on pourrait en rendre compte à la manière de Carter ou de Larkin et Simon.

À première vue, le cas des figures en géométrie élémentaire est plus délicat. Quand on parle aujourd'hui de figures géométriques en mathématiques, on pense d'abord à une question très différente de celle de Simon : leur usage est-il légitime ? N'introduisent-elles pas des éléments qui, précisément, ne sont pas dans le texte ? Dans son premier article, Simon évacue la question en supposant qu'on dispose d'une « axiomatisation appropriée

<footnote n="5">5. Ou un morphisme ou plus généralement une flèche, en fonction du contexte, mais cela n'a pas d'importance ici.</footnote>

<footnote n="6">6. On peut par exemple décorer les flèches pour indiquer si ce sont des isomorphismes (→), des surjections (→) ou des injections (↔); d'autres conventions permettent de suggérer diagrammatiquement que certaines suites de flèches forment des « suites exactes » ; et ainsi de suite.</footnote>

<footnote n="7">7. Il faudrait nuancer ce jugement. Si en principe les diagrammes commutatifs ne posent aucun problème intrinsèque de rigueur et qu'ils sont largement acceptés, en pratique ils peuvent s'avérer dangereux et sont une source récurrente d'erreurs et d'omissions dans les preuves. Ils permettent en effet de représenter simultanément plusieurs relations de commutation et donc potentiellement de ne pas trop attirer l'attention sur le fait que toutes n'ont pas été justifiées explicitement... Jean-Pierre Serre se plaint par exemple dans un entretien de ces « preuves fondées sur des diagrammes prétendument commutatifs, des flèches qui sont prétendument les mêmes et des arguments laissés au lecteur. » (« proofs based on diagrams which are claimed to commute, arrows which are supposed to be the same, and arguments which are left to the reader. », Raussen et Skau 2004, p. 212-213.)</footnote>

<footnote n="8">8. De Toffoli 2017, p. 177-178, section 4.2 : « CDs function as maps ».</footnote>
<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>FIGURE 5.2 – Figure de la prop. I.5 des Éléments d'Euclide, d'après Netz (1999, p. 175)</figcaption></figure>

de la géométrie plane <fnref n="9" /> » ; il tient ensuite pour acquis qu'une figure géométrique peut nous montrer l'existence d'un point d'intersection entre deux droites <fnref n="10" />. Dans son second article écrit avec Jill Larkin, il prend soin de choisir un exemple où aucun détour par des axiomes complexes n'est nécessaire pour écrire le raisonnement sans figure <fnref n="11" />.

Mais en réalité, même dans ce cas l'approche de Simon est pertinente, comme le montre par exemple l'étude de Reviel Netz sur la géométrie grecque (1999). Netz y examine les diverses manières dont les figures interviennent dans les preuves <fnref n="12" />. Plus précisément, il s'intéresse aux assertions qu'il appelle les « points de départ » (« *starting points* ») : celles qui, au cours d'une preuve, ne sont pas justifiées par celles qui précèdent. Certains de ces points de départ sont manifestement fondés sur une inspection de la figure. Certes, écrit Netz, il y a des cas où on peut identifier des postulats manquants, sans lesquels la preuve ne peut pas être reformulée sans figure <fnref n="13" />. Dans un grand nombre de cas, ajoute-t-il cependant, si l'appel à la figure n'est pas indispensable en ce sens, il offre pourtant un genre de « raccourci » très utile.

Penchons-nous sur deux des exemples de Netz. Le premier concerne la proposition I.5 des Éléments d'Euclide, qui montre (entre autres) que les angles à la base d'un triangle

<footnote n="9">9. « an appropriate axiomatization of plane geometry », Simon 1978, p. 6.</footnote>

<footnote n="10">10. Voir *supra*, p. 109.</footnote>

<footnote n="11">11. Cf. p. 124 ci-dessus.</footnote>

<footnote n="12">12. Cf. Netz 1999, chap. 5, section 1, en part. p. 175-182.</footnote>

<footnote n="13">13. Cf. p. 180.</footnote>
<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>FIGURE 5.3 – Figure de la prop. 12 du *Traité sur les grandeurs et les distances du Soleil et de la Lune* d'Aristarque de Samos, d'après Netz (1999, p. 179)</figcaption></figure>

isocèle sont égaux <fnref n="14" /> (voir fig. 5.2). Une étape de la preuve est de reconnaître que les angles ZAΓ et HAB sont en fait le même angle, à savoir ZAH. Cela peut se faire sans la figure; tout au plus faudrait-il ajouter une justification, à savoir que Z, B, A d'une part, H, Γ, A d'autre part sont alignés, ce qui est vrai par définition de Z et H. La figure offre cependant un raccourci manifeste pour vérifier cette égalité, qui permet d'en laisser la justification implicite.

Le second exemple de Netz est tiré de la proposition 12 du *Traité sur les grandeurs et les distances du Soleil et de la Lune* d'Aristarque de Samos <fnref n="15" /> (fig. 5.3). L'étape qui intéresse Netz est que (l'arc) ΔΕΓ est double de (l'arc) ΓΕ. Là encore, l'affirmation n'est pas justifiée,

<footnote n="14">14. Cf. *EEV*, I, p. 204-205 = *EEHea*, I, p. 251-252 = *EEHei*, I, p. 20-23</footnote>

<footnote n="15">15. Cf. Heath 1913, p. 388-391.</footnote>
cette fois parce que la figure présente une symétrie évidente; pour autant, elle pourrait
l’être au moyen d’un argument implicite facile à reconstituer. Netz conclut en des termes
que Simon n’aurait pas reniés :

> This does not mean that the diagram adds information, but it does mean that
> the diagram saves ‘logical space’, as it were, and thus makes deduction at least
> easier.<fnref n="16" />

5.2 Visualisation de données

En philosophie des sciences, John Kulvicki (2010) a proposé de penser aussi en termes de différences computationnelles certains phénomènes assez différents, caractéristiques de la visualisation de données. L'enjeu de ce domaine est bien résumé par la figure 5.4, tirée d'un ouvrage fondateur de Jacques Bertin <fnref n="17" /> : on a des colonnes de chiffres à n'en plus finir ; comment présenter ces données d'une manière éclairante, c'est-à-dire qui permette facilement de les comparer, de remarquer des corrélations, etc. ? Il peut sembler naturel de dire que les nombreuses manières de représenter les mêmes données diffèrent par les informations auxquelles elles nous donnent un accès facile, donc par leurs propriétés computationnelles plutôt qu'informationnelles.

a) Le cadre de Kulvicki

Kulvicki prend un exemple simple. Partons d'une liste de températures relevées à diffé-
rents endroits d'un pays (pour simplifier, on supposera que ce pays a la forme d'une grille
rectangulaire de 4 cases sur 4 et que les relevés sont indexés par deux coordonnées entre

<footnote n="16">16. « Cela ne signifie pas que la figure ajoute de l'information ; ce que cela signifie en revanche, c'est que la figure épargne pour ainsi dire de l'espace logique', et ainsi rend la déduction pour le moins plus facile. » (Netz 1999, p. 179-180).</footnote>

<footnote n="17">17. Bertin 1967, p. 100. Jacques Bertin, cartographe à l'EPHE, a fortement marqué la réflexion de générations de chercheurs français sur les modes de représentation, en particulier en géographie (pour une introduction illustrée à son travail, voir par exemple Palsky 2017; pour une contextualisation, voir Palsky et Robic 2000 et Palsky 2012). À l'échelle mondiale, il a été un acteur parmi d'autres d'un renouveau de la visualisation après une période de reflux pendant laquelle, entre autres sous l'influence des nouvelles méthodes statistiques pour estimer rigoureusement les corrélations, les méthodes visuelles avaient quelque peu perdu de leur légitimité scientifique (une certaine méfiance vis-à-vis du manque de rigueur et du caractère potentiellement trompeur des graphiques persiste d'ailleurs encore). Dans le monde anglo-saxon et en-dehors de la cartographie, un auteur essentiel de ce renouveau a été le statisticien John Tukey (voir en particulier Tukey 1972, pour une présentation rapide, et son *magnum opus* Tukey 1977), qui a mis l'accent sur la productivité des visualisations pour l'analyse exploratoire de données. Les beaux livres de son collègue et collaborateur Edward Tufte ont ensuite beaucoup fait pour attirer l'attention d'un public large sur le potentiel de représentations graphiques rigoureuses et bien réfléchies (voir avant tout Tufte 1983, et aussi Tufte 1990, 1997). Pour une introduction à l'histoire de la visualisation de données, voir par exemple Friendly 2008.</footnote>
<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>FIGURE 5.4 – « Le problème graphique » d’après Bertin (1967, p. 100) : « La décision de transcrire graphiquement une information devrait reposer sur une appréciation de l’efficacité de chaque langage, de chaque système d’expression. » Les données à illustrer donnent la population active en France en 1954, par département et grand secteur d’activité (pri-maire, secondaire, tertiaire).</figcaption></figure>
<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>FIGURE 5.5 – Deux représentations de relevés de température (adaptées de Kulvicki 2010, p. 303, 305)</figcaption></figure>

1 et 4). On peut représenter ces températures sous la forme d'une liste (fig. 5.5(a)) ou les disposer sur une carte; une variante possible est de colorer la carte en fonction de la température, disons en choisissant des nuances de bleu plus ou moins foncées <fnref n="18" /> (fig. 5.5(b)). Il est clair ici que l'on peut reconstituer la liste à partir de la carte et inversement; selon le critère de Simon, elles sont donc informationnellement équivalentes. Pourtant, elles ne nous facilitent pas les mêmes observations. La seule chose que la liste (fig. 5.5(a)) nous offre immédiatement, d'après Kulvicki, c'est « la température en tel endroit est de tant », alors que la carte colorée (fig. 5.5(b)) nous donne immédiatement non seulement les valeurs exactes, mais aussi leur ordre de grandeur, et bien davantage : le fait que les températures maximales et minimales sont dans les coins, que les températures sont plus basses dans le sud-ouest et plus hautes dans le nord-est, et ainsi de suite. Plus généralement, Kulvicki écrit que l'avantage central des graphiques, diagrammes, etc. est qu'ils nous donnent immédiatement accès à des informations à différents niveaux d'abstraction : des valeurs plus ou moins précises, mais aussi leurs ordres de grandeur, des propriétés générales de leur répartition, etc.

Kulvicki parle comme je l'ai fait d'informations « immédiatement disponibles », ce qui lui sert à fonder les différences computationnelles entre représentations sur quelque chose d'apparenté à un contenu explicite. Il définit les informations immédiatement disponibles par trois conditions. Tout d'abord, il faut qu'il y ait une caractéristique de la représentation qui porte cette information et aucune autre plus précise (« extractibilité »). Ensuite, il faut que cette caractéristique soit facile à reconnaître pour l'observateur (« saillance syntaxique »). Enfin, il faut qu'il soit facile à l'observateur d'interpréter cette caractéristique

<footnote n="18">18. Les températures représentées sont données en degrés Fahrenheit et vont donc de -14 °C à 18 °C environ. Kulvicki enseigne en Nouvelle-Angleterre, où les hivers sont rudes. En tout cas, on comprend le choix du bleu.</footnote>
(« saillance sémantique »).

b) Une application des concepts de Simon ?

Cette adaptation de l'idée de Simon requiert des modifications profondes. Une première différence importante avec Simon est que celui-ci cherchait initialement à caractériser les représentations au moyen d'opérations élémentaires clairement définies. Le passage à la visualisation de données suppose au contraire d'invoquer des processus perceptuels vagues et mal délimités; ce qui « saute aux yeux » dépend à la fois des détails du système perceptuel humain en général et de l'expertise particulière de l'observateur. Nous avons déjà rencontré le problème de l'expertise dans la partie la plus spéculative de l'article de Larkin et Simon <fnref n="19" />: sur une figure de géométrie, faut-il considérer que les angles alternes-internes sont immédiatement évidents? Cela dépend de qui la regarde <fnref n="20" />. Mais même sans entrer dans ce genre de différences individuelles, il est bien difficile de décrire précisément ce que le système visuel humain rend facile à identifier.

Les méthodes de visualisation les plus folkloriques rendent ce problème particulièrement clair. Une illustration frappante, que j'emprunte à Mark Wilson <fnref n="21" />, en est les « visages » introduits par Hans Chernoff (1973) pour visualiser des données en de nombreuses variables. Les statisticiens suisses Bernhard Flury et Hans Riedwyl (1981) les emploient par exemple pour distinguer billets authentiques et faux billets de 1000 francs suisses <fnref n="22" /> : ils font six mesures sur chaque billet (fig. 5.6) puis encodent ces six variables dans des déformations de visages schématiques (fig. 5.7). Ils écrivent :

> Though the univariate frequency distributions of all six variables overlap considerably, real and forged notes can easily be distinguished by a first glance at the faces. This is because of the human ability to perceive not only details of an object but its gestalt. The real faces seem to look at us in a way that is hard to describe but that is quite striking. Beside this, a lot of detailed information can be taken from the faces [...]. <fnref n="23" />

<footnote n="19">19. Voir *supra*, section 4.5.</footnote>

<footnote n="20">20. Cf. ci-dessus, section 4.5.b), en particulier note 65 p. 126.</footnote>

<footnote n="21">21. M. Wilson 2006, p. 492.</footnote>

<footnote n="22">22. Voir aussi leur manuel Flury et Riedwyl [1983] 1988, qui utilise l'exemple des billets de banque comme fil directeur pour présenter diverses méthodes d'analyse de données (dont les visages de Chernoff).</footnote>

<footnote n="23">23. « Bien qu'il y ait beaucoup de chevauchements entre les distributions statistiques de chacune des six variables prise individuellement, on distingue les billets authentiques des faux au premier coup d'œil sur les visages. Cela s'explique par la capacité humaine à percevoir non seulement les détails d'un objet mais aussi sa gestalt. Les visages authentiques semblent nous regarder d'une manière difficile à décrire, mais qui est très frappante. Par ailleurs, on peut tirer des visages beaucoup d'informations détaillées [...] » (Flury et Riedwyl 1981, p. 761-762).</footnote>
<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>FIGURE 5.6 – Ce billet de 1000 francs suisses est-il un faux ? Pour le déterminer, Flury et Riedwyl mesurent les longueurs $x_1, ..., x_6$ et les encodent dans des visages (Flury et Riedwyl [1983] 1988, p. 4).</figcaption></figure>

<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>FIGURE 5.7 – Visages encodant les mesures réalisées sur 16 billets authentiques, à gauche, et 16 billets produits par un même faussaire, à droite (Flury et Riedwyl 1981, p. 762)</figcaption></figure>
En d'autres termes, toute la difficulté est qu'aucune des mesures prise individuellement n'est suffisante pour distinguer vrais et faux billets, parce que pour chacune d'entre elles, la variation entre billets authentiques est déjà très grande. C'est quand on les considère ensemble qu'on commence à voir apparaître des régularités; les visages de la fig. 5.7 attirent par exemple notre attention sur l'épaisseur des cheveux, qui correspond ici en gros à la somme des marges du haut et du bas de nos billets. C'est pour nous aider dans cette exploration que les visages sont particulièrement efficaces. Or s'ils le sont, c'est uniquement à cause d'une spécificité de notre système visuel, qui est extrêmement sensible aux expressions faciales. Le projet de délimiter précisément ce qui peut sauter aux yeux d'un être humain s' annonce drôlement complexe.

Parler de « différences computationnelles » dans le cas de la visualisation de données soulève un second problème, plus sérieux : dans ce contexte, il est délicat de délimiter non seulement ce qu'il est *aisé*, mais même ce qu'il est *légitime* de lire sur un graphique. D'une manière générale, le projet de Simon implique de présupposer que les opérations permises par les différentes représentations sont fixées pour comparer ensuite leur efficacité; cela le conduit à laisser complètement de côté la question classique de savoir si un diagramme peut nous induire en erreur. Kulvicki ne fait pas autrement. Il considère que ce qui est lisible sur un graphique est fixé dès le départ par nos pratiques (c'est-à-dire par des conventions implicites) et qu'on peut le tenir pour acquis :

> [T]here are doubtless many ways to interpret any given artifact as a representation. Nelson Goodman [1968, p. 229], for example, used the example of treating a Hokusai woodblock print as an electrocardiogram. Doing so means that one takes on different commitments concerning how nonsemantic features of the graph relate to what they represent. This article offers no account of how these practices conspire to generate such norms of use. Given that they are established, this article asks questions about those practices.<fnref n="24" />

Pourtant, si ce problème est minoré, chez Simon, par les exemples qu'il prend soin de choisir, il est omniprésent en visualisation de données.

Pour être plus précis, il faut distinguer deux usages des graphiques. Il arrive qu'on les utilise pour faire voir de manière particulièrement persuasive une conclusion que l'on tient

<footnote n="24">24. « Il est clair qu'il y a de nombreuses manières d'interpréter n'importe quel artefact donné comme une représentation. Nelson Goodman [1968, p. 229], par exemple, donne l'exemple d'une gravure de Hokusai que l'on traite comme un électrocardiogramme. Faire cela revient à adopter des engagements différents concernant le lien entre caractéristiques non sémantiques du graphe et ce qu'elles représentent. Cet article ne cherche pas à rendre compte de la manière dont de telles pratiques engendrent de telles normes d'usage; il suppose que ces pratiques sont établies et s'interroge sur elles. » (Kulvicki 2010, p. 299-300).</footnote>
pour acquise, par exemple « le déficit budgétaire de l'État explose » ; ce que l'on est censé
lire sur le graphique est alors très limité et le contexte le rend limpide. John Tukey, lorsqu'il
entreprend de réhabiliter les méthodes de visualisation 25, parle dans ce cas de « graphiques
de propagande 26 », qu'il oppose aux graphiques qui l'intéressent, dont l'usage est essen-
tiellement *exploratoire*. C'est bien de ceux-là que traite aussi Kulvicki : on représente des
données pour favoriser leur inspection, sans savoir exactement par avance ce qu'on pourra
y voir. Or dans ce contexte, le lien entre les observations que l'on fait sur le graphique et
leur interprétation est intrinsèquement problématique. Nous examinons cinquante visages
et croyons reconnaître chez certains une physionomie récurrente, aux longs cheveux et au
regard torve. D'accord, mais qu'est-ce que cela veut dire ? Y a-t-il vraiment un groupe de
billets qui se détache, qui sont plus proches entre eux que de la majorité des autres ? Y a-t-il
vraiment un faussaire à l'œuvre ? Ce sont là des questions substantielles, qui, *pace* Kulvicki,
ne se réduisent pas à une affaire de « saillance sémantique » donnée d'avance.

c) Un exemple mathématique

Afin d'y voir plus clair, examinons un exemple un peu moins exotique, qui a l'avantage
supplémentaire de montrer que la visualisation exploratoire de données a parfois sa place
en mathématiques, et ce jusque dans leurs branches les plus pures. En 1963, Stanislaw
Ulam découvre par hasard une propriété étrange de la distribution des nombres premiers.
À en croire Martin Gardner, qui rend cet épisode célèbre <fnref n="27" />, c'est initialement pour tromper
l'ennui lors d'une conférence qu'Ulam se met à représenter les entiers sous forme de spirale,
comme à la figure 5.8(a). En marquant machinalement les nombres premiers (figure 5.8(b)),
il s'aperçoit qu'ils semblent se regrouper le long de diagonales. Comme il l'écrit lorsqu'il
publie sa découverte :

A glance at [such] a picture [...] reveals many such lines. It is a property of the
visual brain which allows one to discover such lines at once and also notice
many other peculiarities of distribution of points in two dimensions. <fnref n="28" />

Au passage, cela montre une nouvelle fois la difficulté de codifier ce qui peut, sur une figure,
sauter aux yeux d'un être humain. Mais ce qui m'importe ici, c'est autre chose. Que faut-il

<footnote n="25">25. Voir *supra*, note 17, pour la position de Tukey dans l'histoire de la visualisation de données.</footnote>

<footnote n="26">26. Tukey 1972, p. 293.</footnote>

<footnote n="27">27. Voir Gardner 1964, p. 122. (En ce qui me concerne, j'ai découvert cette anecdote dans Delahaye 2000, p. 29-31 au hasard de la préparation d'un cours d'arithmétique.)</footnote>

<footnote n="28">28. « Le premier coup d'œil à une [telle] image [...] révèle de nombreuses droites de ce genre. C'est une propriété du cerveau visuel qui permet de découvrir immédiatement de telles droites, et aussi de remarquer bien d'autres bizarreries dans la distribution de points en deux dimensions. » (Stein, Ulam et Wells 1964, p. 517).</footnote>
<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>FIGURE 5.8 – Début d’une spirale d’Ulam ; à droite, les nombres premiers sont entourés.</figcaption></figure>

conclure de ces droites qui nous apparaissent ? Faut-il en déduire que les nombres premiers
aiment les diagonales ? que les nombres premiers inférieurs à 64 aiment les diagonales ? ou
peut-être que c’est notre cerveau qui aime les lignes bien régulières et croit volontiers
en apercevoir dans une répartition tout ce qu’il y a de plus aléatoire ? D’ailleurs, à quels
ensembles de nombres ces diagonales correspondent-elles donc ? En pratique, reconnaître
des alignements dans notre spirale n’est qu’un début.

Remarquons tout d'abord, à la suite de Gardner, que les nombres *pairs* et *impairs* se répartissent selon des diagonales : si l'on traçait notre spirale sur un plateau d'échecs, les uns occuperaient les cases noires, les autres les cases blanches. Comme les nombres premiers sont impairs, ils apparaîtront donc naturellement le long de diagonales à condition d'être suffisamment nombreux parmi les nombres impairs pour ne pas laisser trop de trous. Or il y a beaucoup de nombres premiers parmi les entiers de 1 à 64 (environ un impair sur deux); cela pourrait donc suffire à expliquer les alignements de la figure 5.8(b). Mais s'il en est ainsi, l'effet devrait s'atténuer à mesure que l'on prolonge la spirale, puisque les nombres premiers se font de plus en plus rares. Ulam, qui travaillait aux laboratoires atomiques de Los Alamos, avait accès à l'un des tout premiers ordinateurs électroniques, le « MANIAC II » ; avec deux collègues, il fait alors produire à cette machine des spirales allant jusqu'à environ 65000, et constate que l'effet reste très net (Stein, Ulam et Wells 1964). C'est sans doute la première visualisation assistée par ordinateur de toute l'histoire des mathématiques. La fig. 5.9(a) présente une spirale de 4000 entiers où les nombres premiers sont marqués par des points noirs; deux diagonales particulièrement frappantes y sont mises en couleur. (À titre de comparaison, la fig. 5.9(b) présente la même spirale de 4000
<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>FIGURE 5.9 – Spirale d’Ulam pour les 4000 premiers entiers, avec en noir (a) les nombres premiers, (b) des entiers impairs choisis au hasard, en même nombre que les premiers entre 1 et 4000</figcaption></figure>

entiers, où ont été marqués en noir non pas les nombres premiers, mais une quantité égale
de nombres impairs choisis au hasard.)

L'effet est donc robuste, et il faut poursuivre la réflexion. Un examen plus poussé
montre que toutes les diagonales correspondent à des ensembles d'entiers de la forme
$4n^2 + an + b$. (C'est d'ailleurs aussi le cas des droites horizontales et verticales, dont certaines
semblent également concernées par le phénomène ; seulement, elles sont moins visibles sur
les figures parce qu'elles sont entrecoupées de nombres pairs et apparaissent donc comme
en pointillés.) Parmi ces expressions quadratiques, il y en a qui peuvent se factoriser et
produisent donc des diagonales vides de nombres premiers, ce qui peut déjà aider à faire
ressortir les diagonales dont le polynôme ne se factorise pas ; mais il semble bien que même
parmi ces dernières, certaines soient étonnamment riches en nombres premiers, ce qu'Ulam
et ses collègues tâchent de quantifier par quelques statistiques à la fin de leur article 29. Pour
autant que je sache, la question reste aujourd'hui non élucidée, quoiqu'on l'ait reliée à des
conjectures plus générales.

Ce qui m'importe ici, c'est que rien dans ce processus interprétatif ne va de soi : je peux
comprendre comment tracer la spirale sans savoir à quoi correspondent les alignements
que je crois remarquer sur mon diagramme, ni même s'ils correspondent à quoi que ce
soit.

<footnote n="29">29. Voir Stein, Ulam et Wells 1964, p. 520.</footnote>
5.3 Un élargissement : Humphreys et Vorms

Marion Vorms <fnref n="30" /> reprend les idées de Simon et de Kulvicki mais leur donne une ex-
tension plus large encore, en les combinant à une problématique apparemment différente,
venue du travail du philosophe des sciences Paul Humphreys.

Humphreys (2004) reproche à une bonne part de la philosophie des sciences héritière de
l'empirisme logique de se concentrer sur ce que les théories scientifiques affirment et per-
mettent « en principe », et de négliger les limitations de nos méthodes mathématiques, qui
« en pratique » contraignent drastiquement les calculs et prédictions possibles <fnref n="31" /> ; pour-
tant, des équations différentielles que nous ne savons pas résoudre n'ont guère d'utilité.
Il est par exemple habituel, écrit-il, de considérer que les différentes formulations de la
mécanique classique (la formulation de Newton lui-même et ce qu'on appelle aujourd'hui
les reformulations lagrangiennes et hamiltoniennes) sont de simples variantes d'une même
théorie, parce qu'on peut mathématiquement en démontrer l'équivalence et qu'on sait donc
qu'en un sens, elles disent la même chose du monde. Or il peut être très facile de prédire
l'évolution d'un système en partant d'équations hamiltoniennes, alors qu'on ne sait pas
résoudre les équations lagrangiennes correspondantes et qu'en termes newtoniens, il est
pratiquement impossible ne serait-ce que de formuler le problème ; Vorms, qui approfondit
cet exemple, le montre en détail <fnref n="32" />. Plus généralement, Humphreys souligne combien l'or-
ganisation toute entière des sciences est déterminée par nos limitations computationnelles.
Celles-ci expliquent entre autres l'apparente bizarrie que l'on ne cesse de rencontrer les
quelques mêmes modèles mathématiques (comme celui de l'oscillateur harmonique) dans
les domaines les plus divers de la physique : c'est en fait parce que ce sont les rares équa-
tions différentielles que l'on sache résoudre <fnref n="33" />. Ces analyses lui servent à préparer le terrain
pour sa thèse principale, qui est que la généralisation des simulations par ordinateur, en
permettant de contourner les limitations de nos méthodes mathématiques de résolution,
est en passe de transformer profondément la méthode scientifique.

L'idée de Vorms est que l'on peut parler des exemples de Humphreys (équations new-
toniennes contre lagrangiennes) dans les mêmes termes que de ceux de Kulvicki (liste de
relevés de température contre carte colorée) :

<footnote n="30">30. Le travail que je vais discuter est issu de sa thèse de doctorat (Vorms 2009b); je citerai de préférence les textes publiés Vorms 2009a, 2011, 2012, mais renverrai aussi à l'occasion à sa thèse, qui est souvent plus approfondie.</footnote>

<footnote n="31">31. Voir en particulier Humphreys 2004, section 3.12, p. 95–100.</footnote>

<footnote n="32">32. Vorms 2011, chap. 1 ou Vorms 2009b, partie I.</footnote>

<footnote n="33">33. Pour une analyse plus poussée de cet argument, voir Barberousse et Cyrille Imbert 2013 ou (pour une version en anglais, un peu plus brève) Barberousse et Cyrille Imbert 2014.</footnote>
Although they contain, at least partially, the same information, these repre-
sentations do not convey this information the same way. The different pieces
of information they contain are not equally accessible to agents. [...] *These
different representations do not play the same role in the agent's inferential pro-
cesses.*<sup>34</sup>

Ces différences computationnelles sur fond d'équivalence informationnelle sont ce que Vorms appelle des différences de « format <fnref n="35" /> », choisissant délibérément un terme qui rappele le modèle informatique initial de Simon (ou plus précisément de Larkin et Simon 1987, qui est l'article qu'elle cite).

Cet élargissement supplémentaire, cependant, creuse encore l’écart avec les idées initiales de Simon. Son extension à la visualisation de données rendait déjà flou le sens des « différences computationnelles », dans la mesure où les opérations permises n’étaient plus bien délimitées. Cette fois, c’est l’idée d’« équivalence informationnelle » qui prend un sens moins précis. Chez Simon, cette équivalence a un sens clair et opératoire : deux représentations sont informationnellement équivalentes si chacune peut être reconstruite à partir de l’autre. Pour les visualisations de la section précédente, ce critère reste plus ou moins respecté, du moins jusqu’à un certain niveau de précision des données. Vorms, en revanche, n’affirme pas que l’on puisse systématiquement traduire les équations newtoniennes d’un système en équations lagrangiennes ou inversement.

C'est qu'à y bien regarder, Vorms combine l'idée d'équivalence informationnelle, em-
pruntée à Simon, avec des définitions d'« information » et de « contenu informationnel »
qui sont complètement étrangères à celui-ci :

[A] piece of information is a proposition that can be object of belief. One can start by defining the informational content of a representation as the set of all the pieces of information that an agent mastering its symbol system could in principle extract from it. <fnref n="36" />

Avant toute chose, ces définitions méritent clarification. À première vue, elles induisent une dissymétrie gênante entre phrases et figures, que Simon a pris soin d'éviter : les phrases

<footnote n="34">34. « Bien qu'elles contiennent, au moins en partie, les mêmes informations, ces représentations ne les transmettent pas de la même manière. Les différentes informations qu'elles contiennent ne sont pas égale-ment accessibles aux agents. [...] *Ces différentes représentations ne jouent pas le même rôle dans les processus inférentiels de l'agent.* » (Vorms 2012, p. 257; l'auteure souligne.)</footnote>

<footnote n="35">35. Sur cette notion qui est introduite par Vorms, voir Vorms 2012 (dont est issu la citation précédente), Vorms 2009b, section 2 ou Vorms 2009b, section 7.2.</footnote>

<footnote n="36">36. « [U]ne information est une proposition qui peut faire l'objet d'une croyance. À titre de point de départ, on peut définir le contenu informationnel d'une représentation comme l'ensemble des informations qu'un agent qui maîtrise son système symbolique pourrait en principe en extraire. » (Vorms 2012, p. 260; cf. aussi Vorms 2009b, p. 360-361).</footnote>
auraient un contenu réduit à une seule proposition ou information, de la manière la plus classique; les figures auraient pour contenu l'ensemble des propositions que l'on peut y lire, en un sens ou un autre. Mais ce n'est sans doute pas cela que Vorms veut dire. Tout d'abord, elle semble employer le terme de proposition en un sens inhabituellement large, qui l'identifie à tout ce qui peut faire l'objet, par exemple, d'une croyance, ce qui n'exclut pas que l'on puisse croire directement en une figure <fnref n="37" />. Surtout, elle défend en fait un inférentialisme radical <fnref n="38" />. Quand elle parle d'« extraire » des informations de représentations, elle est prête à inclure sous cette rubrique une large gamme d'inférences (ce terme aussi étant compris en un sens très large, qui est, pour le coup, similaire à celui que lui donne Simon) : lire une valeur dans l'un des tableaux de températures de Kulvicki peut compter au même titre que faire une déduction simple, ou même résoudre une équation différentielle <fnref n="39" />.

À vrai dire, une définition aussi radicale du contenu (qu'on l'appelle informationnel ou non) semble difficilement tenable : cela en fait une notion extrêmement ouverte et vague. Elle mériterait à tout le moins d'être précisée. De toute manière, chez Vorms, elle sert surtout de point de référence pour définir ensuite la notion de contenu « cognitivement accessible », qui dépend du « format » de la représentation et qui est seule pertinente en pratique <fnref n="40" />. Quoi qu'il en soit, la seule chose qui importe pour mon propos est que, quand Vorms dit que deux représentations contiennent les mêmes informations, elle ne pense pas à l'équivalence informationnelle au sens que lui donne Simon : elle veut plutôt dire que les deux représentations ont le même « contenu informationnel » au sens de sa propre définition. Les deux définitions ont, certes, un point commun : toutes deux sont (au moins en

<footnote n="37">37. « [J]e me contenterai », écrit-elle dans sa thèse, « de définir une information comme ce qui peut faire l'objet d'une attitude propositionnelle (que la proposition en question soit exprimée linguistiquement ou non) » (Vorms 2009b, p. 360).</footnote>

<footnote n="38">38. Elle s'appuie en fait, de manière plus ou moins assumée (cf. Vorms 2009b, chap. 6, §1.3.2, p. 309-314), sur les sémantiques dites « du rôle conceptuel » (« *conceptual role semantics* ») défendues entre autres par Ned Block et Gilbert Harman (pour une introduction aux versions de cette position que Vorms a en tête, voir M. Greenberg et Harman 2008 ou Block 1998). D'une manière plus générale, c'est une idée que l'on peut faire remonter au slogan wittgensteinien que « le sens, c'est l'usage », *via* en particulier Wilfrid Sellars (cf. surtout Sellars 1963). Il en existe aujourd'hui diverses variantes; outre les auteurs déjà cités, il faudrait mentionner l'œuvre difficile de Robert Brandom 1994, 2000.</footnote>

<footnote n="39">39. Elle écrit en effet : « [I]l serait déraisonnable d'affirmer que la maîtrise du système symbolique dans lequel les équations différentielles fonctionnent n'inclut pas la maîtrise de tout un ensemble de règles de calcul; si je suis simplement capable, face à des équations newtoniennes, d'en tirer les informations qui y sont explicitement présentées (la valeur des variables représentant la force et la masse, et la relation de proportionnalité entre force et masse), on ne peut pas dire que j'en maîtrise vraiment le système. Si l'on s'en tient à ce qui est explicitement représenté par ces équations, leur contenu est bien pauvre. » (Vorms 2009b, p. 365). Elle semble donc même prête à intégrer les solutions d'une équation différentielle au « contenu informationnel » de celle-ci.</footnote>

<footnote n="40">40. Voir Vorms 2012 ou Vorms 2009b, chap. 7, section 2.2, p. 396-406.</footnote>
partie) motivées par le souhait de parler d'équivalence entre représentations en mettant
entre parenthèses la question de savoir ce qui est représenté exactement; Simon le fait par
un critère d'intertraductibilité, Vorms le fait en ne parlant que des inférences que la repré-
sentation permet. Au-delà de ce point commun, toutefois, leurs définitions de l'équivalence
informationnelle sont différentes et même incompatibles.

5.4 Dirk Schlimm et les notations

Un dernier genre d'exemples que le cadre de Simon est a priori bien adapté pour traiter
est celui des notations : l'écriture d'une même formule dans deux notations différentes
semble un cas paradigmatique d'équivalence informationnelle. C'est effectivement dans ce
contexte que l'on trouve certaines des applications les plus claires de la méthodologie de
Simon aux mathématiques, à travers les travaux de Dirk Schlimm. Avec Hansjörg Neth <sup>41</sup>,
il a par exemple comparé l'efficacité computationnelle des chiffres romains et des chiffres
arabes, sur la base d'un modèle assez sophistiqué prenant en compte les déplacements
attentionnels nécessaires, les ressources requises en mémoire à long terme et en mémoire
de travail, etc.

Plus récemment, Schlimm a appliqué une démarche analogue à différentes notations
pour la logique propositionnelle : les arbres syntaxiques, les graphes existentiels de Peirce,
la notation dite « polonaise » (dans laquelle les constantes logiques comme la conjonction,
la disjonction ou l'implication sont placées avant les expressions auxquelles elles s'ap-
pliquent), ainsi que les notations de Frege, Peano et Russell<sup>42</sup>. Dans ce second exemple,
l'intérêt de la stratégie de Simon est particulièrement net. Schlimm peut en effet montrer
l'équivalence « informationnelle » des formules écrites dans ces différentes notations (ou
dans des fragments bien choisis de celles-ci) en indiquant comment les traduire les unes
dans les autres, sans jamais se poser la question de savoir de quoi elles parlent; après avoir
délimité plusieurs notations qui, en ce sens clair, sont équivalentes, Schlimm peut alors
tenter d'en comparer les avantages et les inconvénients, en particulier computationnels.

Dans ces travaux, le critère d'intertraductibilité joue un rôle essentiel. Loin d'être tri-
vial, il permet de distinguer des différences strictement notationnelles et des différences
plus substantielles. Par exemple, le logicien anglais du XIXe siècle Augustus De Morgan

<footnote n="41">41. Schlimm et Neth 2008, Voir.</footnote>

<footnote n="42">42. Dans l'ensemble, ce travail n'est pas encore publié, mais Schlimm le présente régulièrement dans des conférences. J'ai pu en entendre des versions au congrès de l'APMP à Paris le 4 novembre 2015 et lors d'un atelier à Nancy le 5 avril 2018. Pour certains aspects de ce travail concernant la notation de Frege, voir Schlimm 2018.</footnote>
propose d'écrire la négation de X par x, en passant simplement de la majuscule à la minuscule ou inversement <fnref n="43" />. Or cette écriture-là ne permet pas d'itérer la négation, et n'est donc pas informationnellement équivalente à nos notations usuelles pour la logique propositionnelle.

## 5.5 La notation exponentielle de Leibniz

Tournons-nous, pour finir, vers l'étude de cas de la première partie. Face aux changements notationnels introduit par Leibniz ($d^3$ pour ddd, par exemple, ou $d^{-1}$ pour $\int$, et plus généralement $d^n$), les travaux que nous venons de voir invitent à se poser les questions suivantes. Y a-t-il équivalence informationnelle, au sens où l'on peut traduire ce qui est écrit dans une notation en l'autre ? Et si oui, y a-t-il néanmoins des différences que l'on peut caractériser computationnellement ?

Commençons par un cas simple. La différentielle quatrième de xy peut s'écrire

$$d^4(xy) = d^0 x d^4 y + 4 d^1 x d^3 y + 6 d^2 x d^2 y + 4 d^3 x d^1 y + d^0 y d^4 x$$

en utilisant la notation exponentielle des différences, ou

$$dddd(xy) = xddddy + 4xdddddy + 6ddxddy + 4ddddxdy + ydddddx$$

sans elle. Cela semble un cas clair d'équivalence informationnelle, parce qu'on peut manifestement passer d'une notation à l'autre de manière réversible. Pourtant, ce changement de notation fait une différence : comme l'écrit Bernoulli en parlant de l'exemple précédent <fnref n="44" />, éliminer la notation exponentielle des différences « cache » l'analogie de $d^4(xy)$ avec

$$(x + y)^4 = x^0 y^4 + 4x^1 y^3 + 6d^2 x d^2 y + 4d^3 x d^1 y + d^0 y d^4 x.$$

En d'autres termes, la notation de Leibniz fait ressortir une régularité qui, sans elle, est moins manifeste. On pourrait en dire autant des cas plus complexes que nous avons étudiés à la section 3.3.

Il est tentant de rapprocher ces exemples de la visualisation de données <fnref n="45" />. D'ailleurs, il y a les mêmes difficultés : on peut certes parler, de manière vague, de différences « computationnelles », mais il serait bien difficile de délimiter exactement ce que l'on peut déceler

<footnote n="43">43. « Let x, y, z be the contrary names of X, Y, Z [...] » (De Morgan 1847, p. 60). Schlimm a évoqué cet exemple lors de l'une de ses conférences.</footnote>

<footnote n="44">44. Cf. *supra*, p. 86.</footnote>

<footnote n="45">45. Voir ci-dessus, section 5.2.</footnote>
facilement dans nos formules. Une complication supplémentaire qui apparaît ici est qu'il
s'agit d'un exemple d'analogie, c'est-à-dire que la régularité qui frappe Leibniz est en fait
une similarité avec des formules qu'il connaît déjà. Ce qu'une formule peut faire apparaître
est donc relatif, non seulement, peut-être, aux spécificités du système visuel humain, mais
aussi aux formules préalablement familières.

Plus généralement, j’ai défendu dans la partie précédente <fnref n="46" /> que la notation exponen-
tielle de Leibniz n’avait pas véritablement un pouvoir expressif supérieur aux notations
qui lui préexistaient.

5.6 Un premier bilan

Dans tous ces travaux, les concepts de Simon jouent avant tout un rôle heuristique. D’abord, l’idée d’équivalence informationnelle fournit un critère clair permettant de comparer des représentations sans avoir à se demander ce qu’elles représentent au juste. Une fois que deux représentations ont été identifiées comme informationnellement équivalentes, l’idée de différences computationnelles sert ensuite de vocabulaire pour regrouper les diverses manières dont elles peuvent pourtant rendre la résolution de certains problèmes plus ou moins facile ou difficile.

Les concepts de Simon, toutefois, auraient-ils perdu au passage beaucoup de leur pré-
cision voire de leur substance ? La différence essentielle est que les auteurs discutés ici
reprennent certes la terminologie de Simon, mais pas du tout sa méthodologie. Cela intro-
duit un décalage crucial.

Pour le voir, revenons d'abord à l'article de Larkin et Simon (1987) discuté plus haut <fnref n="47" />.
Fondamentalement, ce que ceux-ci proposent, ce sont des *simulations informatiques* de
processus de résolution de problème. Ils appellent alors « représentations » non pas des
figures concrètes dessinées sur du papier, mais les composants de leur programme qui
sont censés leur correspondre (à savoir les structures de données utilisées, les opérations
qui agissent sur celles-ci et un mécanisme attentionnel associé <fnref n="48" />). Se placer directement sur
ce terrain informatique leur permet de donner aux notions d'équivalence informationnelle
et de différences computationnelles un sens rigoureux.

En contrepartie de cette rigueur, l’usage que Larkin et Simon font du terme de représen-
tation n’est, en un sens, pas très intuitif. Par exemple, lorsqu’ils modélisent des procédures

<footnote n="46">46. Voir en particulier section 3.2.</footnote>

<footnote n="47">47. Cf. *supra*, section 4.5.</footnote>

<footnote n="48">48. Voir p. 120 ci-dessus.</footnote>
de résolution d'un problème de géométrie élémentaire <fnref n="49" />, ce qu'ils appellent représentation n'est pas un ensemble de marques sur du papier; c'est plutôt le rôle fonctionnel que les éléments du programme correspondant à ces marques jouent dans la résolution du problème. Or si, comme il semble, la figure joue un rôle différent pour un collégien et pour un mathématicien expérimenté, il faudra modéliser leurs démarches respectives de résolution par des programmes différents et donc considérer qu'on a affaire à des représentations différentes. Cela peut sembler contredire la notion intuitive de représentation, d'après laquelle la figure serait la même pour le collégien et pour l'expert : les marques sur le papier ne sont-elles pas identiques ? Tant pis, répondraient sans doute Larkin et Simon, pour la notion intuitive.

Au contraire de Larkin et Simon, les auteurs que nous venons d'étudier s'épargnent
le détour par des simulations informatiques : ils appliquent les concepts de Simon *direc-
tement* aux représentations externes que l'on rencontre dans la pratique scientifique ou
mathématique. Dans le modèle computationnel qu'ils ont en tête, la représentation est la
figure concrète tracée sur du papier, et le scientifique qui l'utilise joue le rôle du programme
qui interagit avec la représentation. C'est un point de vue plus naïf que celui de Simon, qui,
comme nous l'avons vu, fait passer la simulation informatique avant tout <fnref n="50" />. De ce fait, ils
sont beaucoup plus proches de la notion intuitive de représentation, mais fatalement, les
concepts de Simon prennent alors un sens plus vague. Trop vague ? Toute la question est de
savoir s'il est malgré tout possible de les adapter rigoureusement à ce nouvel usage. C'est
l'objet du prochain chapitre.

<footnote n="49">49. Voir section 4.5.b).</footnote>

<footnote n="50">50. Voir ci-dessus, section 4.5.c).</footnote>
<figure><img src="image_30.png" /></figure>
# Chapitre 6

## De Simon à la pratique des mathématiques

Les concepts de Simon peuvent-ils nous aider à comprendre les représentations utilisées en mathématiques ? Le chapitre précédent a ouvert de nombreuses pistes, mais soulève un problème. Prenons par exemple l'idée d'équivalence informationnelle. Les auteurs que nous avons discutés l'appliquent directement à des graphes, figures ou formules, sans passer par les modèles informatiques qui servaient chez Simon d'intermédiaire et lui donnaient un sens précis. Peut-on malgré tout l'appliquer rigoureusement, et sous quelles conditions ? Les mêmes questions se posent pour l'idée de différences computationnelles. Mon premier objectif ici est d'apporter les clarifications requises. Celles-ci me permettront ensuite de montrer que, malgré leur intérêt dans certains cas, les idées de Simon sont insuffisantes pour beaucoup des différences représentationnelles que l'on rencontre en mathématiques.

### 6.1 Un prérequis sémiologique de la notion d'information

Commençons par le concept d'équivalence informationnelle. Dans le cadre informatique initial de Simon, il est clair : deux structures de données A et B sont informationnellement équivalentes si l'on a un algorithme de conversion qui permet de passer d'une instance a de A à une instance b de B, et un autre en sens inverse. De surcroît, ce critère semble parfaitement syntaxique, c'est-à-dire qu'il ne fait aucune référence à ce sur quoi les données portent.

Les choses se compliquent, toutefois, lorsque l'on veut passer aux représentations externes utilisées en mathématiques ou en sciences. L'idée même d'un critère syntaxique
d'équivalence entre représentations suppose que celles-ci soient, en un certain sens, muni-
nies d'une syntaxe. Plus précisément, il faut que l'on sache distinguer quels aspects des
représentations concrètes que l'on examine sont pertinents informationnellement, c'est-à-
dire que l'on sache quelles représentations on peut considérer comme « (essentiellement)
les mêmes ». C'est ce que je voudrais montrer ici.

a) Une distinction préalable type-token

Revenons pour commencer au cas informatique. Supposons que j'aie une structure de données A qui décrit comment encoder en mémoire une liste alphabétique de dossiers d'étudiants, et une structure de données B qui fait de même pour une liste triée par numéro d'étudiant. J'ai des algorithmes qui permettent de convertir une liste alphabétique donnée a en la liste par numéro correspondante b et vice versa. Dans la mesure où je peux toujours reconstruire a à partir de b et inversement, on peut alors parler d'équivalence informationnelle. Ce que je veux souligner ici, c'est que a et b, en tant que valeurs d'entrée et de sortie sur lesquelles agissent ces algorithmes, sont déjà des entités abstraites, pas des réalités physiques particulières. En pratique, si on transforme une liste alphabétique stockée dans un serveur de Paris 1 en une liste par numéro avant de refaire l'opération inverse, la liste alphabétique d'arrivée ne sera sans doute pas la même, au niveau matériel, que la liste de départ (elle sera par exemple très probablement à un autre endroit de la mémoire de l'ordinateur). Tout l'intérêt d'une description « fonctionnelle » est précisément qu'on peut faire abstraction de ce genre de différences-là, et donc affirmer que la liste alphabétique peut être reconstruite à partir de la liste par numéro et inversement.

Examinons, au contraire, le problème des poulies étudié par Larkin et Simon (1987). En quel sens la fig. 6.1(a) est-elle informationnellement équivalente à une description (« Le poids W1 est suspendu à une corde pendant de la poulie A dont l'autre extrémité soutient partiellement le poids W2, etc. »)? Sans doute puis-je, à partir de la figure, produire une description semblable à celle que donnent Larkin et Simon. Mais si ensuite, sur la seule base de cette description, vous traciez une figure, elle serait bien différente de celle de départ. Non seulement ces deux figures seraient des objets concrets différents, tracés avec des stylos différents, etc. mais il se pourrait même que vous ayiez mis le poids W1 à droite de W2 plutôt qu'à gauche, par exemple, ou les poulies à des hauteurs différentes (fig. 6.1(b)). Bien sûr, ces différences sont inessentielles pour résoudre le problème. Encore faut-il le savoir. On ne peut qualifier figure et description d'« informationnellement équivalentes » que relativement au choix préalable des figures que l'on considère comme les mêmes. Or ce choix est un problème substantiel (en l'occurence, il dépend entre autres de notre connais-
<figure><img src="image_31.png" /><figcaption>FIGURE 6.1 – Deux figures pour le même problème de statique (la figure (a) vient de Larkin et Simon 1987, p. 73)</figcaption></figure>

sance d'arrière-plan qu'une symétrie droite-gauche ne fait pas de différence pour notre problème).

D'emblée, Simon fait disparaître cette difficulté en remplaçant figures et phrases par des structures de données définies de manière rigoureuse ; l'équivalence informationnelle prend alors un sens parfaitement précis. C'est une démarche tout à fait légitime. Il faut bien voir, cependant, qu'elle s'appuie nécessairement sur un choix préalable, celui de la structure de données qu'il utilise pour modéliser, par exemple, les figures. Ce choix, encore une fois, revient à décider quels aspects de la figure sont pertinents et donc quelles figures on peut traiter comme essentiellement les mêmes. Il ne faut pas s'imaginer que cette question-là peut être résolue de manière purement syntaxique, en évacuant toute réflexion sur ce que la figure est censée représenter.

En d'autres termes, pour pouvoir parler d'équivalence informationnelle entre deux formes de représentation, on a besoin d'une distinction *type-token* pour chacune. Dans une terminologie différente, le philosophe américain Nelson Goodman conduit une analyse très semblable dans son ouvrage *Langages de l'art*, dans le contexte d'un problème apparenté : quelles conditions doit remplir un système de notation de performances de musique ou de danse pour pouvoir adéquatement identifier une même œuvre à travers ses réalisations successives ? Il faut au moins, écrit Goodman, que l'on sache quand deux