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# Super matrice des mineurs et calcul du déterminant en développant suivant plusieurs lignes ou plusieurs colonnes

David Pigeon

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David Pigeon. Super matrice des mineurs et calcul du déterminant en développant suivant plusieurs lignes ou plusieurs colonnes. 2024. hal-04594295v3

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# Super matrice des mineurs et calcul du déterminant en développant suivant plusieurs lignes ou plusieurs colonnes

David Pigeon

► To cite this version:

David Pigeon. Super matrice des mineurs et calcul du déterminant en développant suivant plusieurs lignes ou plusieurs colonnes. 2025. hal-04594295v5

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# Super matrice des mineurs et calcul du déterminant en développant suivant plusieurs lignes ou plusieurs colonnes

David Pigeon

7 juin 2024

**Mots clés** : déterminant, inverse d'une matrice, matrice des cofacteurs, cotransposée, mineurs d'une matrice, super matrice des mineurs.

## Résumé

On donne une preuve détaillée du calcul du déterminant en développant suivant plusieurs lignes ou plusieurs colonnes. On définit ainsi la super matrice des mineurs associée à une matrice carrée qui nous permet de généraliser la formule usuelle reliant le déterminant, la matrice et la matrice des cofacteurs.

## Table des matières

<table><tr><td>1 Introduction</td><td>2</td></tr><tr><td>2 Mineurs d'une matrice</td><td>6</td></tr><tr><td>2.1 Ordre sur l'ensemble des parties d'un ensemble</td><td>6</td></tr><tr><td>2.2 Mineurs d'une matrice</td><td>8</td></tr><tr><td>3 Super matrices</td><td>16</td></tr><tr><td>3.1 Notations</td><td>16</td></tr><tr><td>3.2 Matrices de Kronecker</td><td>16</td></tr><tr><td>3.3 Super matrices des mineurs et des cofacteurs</td><td>18</td></tr><tr><td>3.4 Développement suivants des colonnes</td><td>24</td></tr><tr><td>4 Exemples</td><td>27</td></tr><tr><td>4.1 Cas de la dimension 3</td><td>27</td></tr><tr><td>4.2 Un exemple en dimension 4</td><td>28</td></tr><tr><td>A Matrices de permutations</td><td>31</td></tr><tr><td>A.1 Groupes symétriques</td><td>31</td></tr><tr><td>A.2 Déterminant d'une matrice carrée</td><td>33</td></tr><tr><td>A.3 Matrices de permutation</td><td>35</td></tr><tr><td>A.4 Exemples</td><td>37</td></tr><tr><td>B La transposée et la cotransposée</td><td>39</td></tr><tr><td>B.1 Notations</td><td>39</td></tr><tr><td>B.2 Propriétés</td><td>41</td></tr><tr><td>Références</td><td>44</td></tr></table>
# Super matrice des mineurs et calcul du déterminant en développant suivant plusieurs lignes ou plusieurs colonnes

David Pigeon*

30 janvier 2025

**Mots clés** : déterminant, inverse d'une matrice, matrice des cofacteurs, cotransposée, mineurs d'une matrice, super matrice des mineurs, super matrice des cofacteurs.

## Résumé

On donne une preuve détaillée du calcul du déterminant en développant suivant plusieurs lignes ou plusieurs colonnes. On définit ainsi la super matrice des mineurs associée à une matrice carrée. Cela nous permet de généraliser la formule usuelle reliant le déterminant, la matrice et la matrice des cofacteurs.

## Table des matières

<table><tr><td>1 Introduction</td><td>2</td></tr><tr><td>2 Mineurs d'une matrice</td><td>6</td></tr><tr><td>2.1 Ordre sur l'ensemble des parties d'un ensemble</td><td>6</td></tr><tr><td>2.2 Mineurs d'une matrice</td><td>8</td></tr><tr><td>3 Super matrices</td><td>16</td></tr><tr><td>3.1 Notations</td><td>16</td></tr><tr><td>3.2 Matrices de Kronecker</td><td>16</td></tr><tr><td>3.3 Super matrices des mineurs et des cofacteurs</td><td>18</td></tr><tr><td>3.4 Développement suivants des colonnes</td><td>24</td></tr><tr><td>4 Exemples</td><td>27</td></tr><tr><td>4.1 Cas de la dimension 3</td><td>27</td></tr><tr><td>4.2 Un exemple en dimension 4</td><td>28</td></tr><tr><td>A Matrices de permutations</td><td>31</td></tr><tr><td>A.1 Groupes symétriques</td><td>31</td></tr><tr><td>A.2 Déterminant d'une matrice carrée</td><td>33</td></tr><tr><td>A.3 Matrices de permutation</td><td>34</td></tr><tr><td>A.4 Exemples</td><td>37</td></tr><tr><td>B La transposée et la cotransposée</td><td>39</td></tr><tr><td>B.1 Notations</td><td>39</td></tr><tr><td>B.2 Propriétés</td><td>41</td></tr><tr><td>Références</td><td>44</td></tr></table>

<footnote>*https://sites.google.com/view/davidpigeon/</footnote>
## 1 Introduction

Commençons par un exemple. Calculons le déterminant de la matrice carrée de taille 4 :

$$A := (a_{ij})_{ij} := \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & 2 & -1 \\ -2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$

Une technique usuelle pour calculer le déterminant de $A$ est de développer suivant une ligne (ou une colonne). Le développement suivant la $i$-ème ligne est donné par :

$$\det(A) = \sum_{j=1}^{4} (-1)^{i+j} a_{ij} \Delta_{\{i\},\{j\}}(A)$$

avec $\Delta_{\{i\},\{j\}}(A)$ le déterminant de taille 3 de la matrice $A$ à laquelle on a enlevé la ligne $i$ et la colonne $j$. Calculons le déterminant de $A$ en développant suivant la ligne 3 de $A$ puis en développant chaque déterminant de taille 3 suivant leurs premières lignes, et en utilisant la formule du déterminant de taille 2 :

$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc.$$

On a :

$$
\begin{aligned}
\det(A) &= (-1)^{3+1} \times (-2) \times \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 2 & -1 \\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{3+2} \times 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \\
&\quad + (-1)^{3+3} \times 3 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{3+4} \times 4 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} \\
&= -2 \left( (-1)^{1+1} \times 2 \times \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+2} \times 1 \times \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+3} \times (-2) \times \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \right) \\
&\quad - \left( (-1)^{1+1} \times 1 \times \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+2} \times 1 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+3} \times (-2) \times \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \right) \\
&\quad + 3 \left( (-1)^{1+1} \times 1 \times \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+2} \times 2 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+3} \times (-2) \times \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \right) \\
&\quad - 4 \left( (-1)^{1+1} \times 1 \times \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} + (-1)^{1+2} \times 2 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + (-1)^{1+3} \times 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \right) \\
&= -2(2(2+3) - (3-1) - 2(9+2)) - ((2+3) - (1+1) - 2(3-2)) \\
&\quad + 3((3-1) - 2(1+1) - 2(-1-3)) - 4((9+2) - 2(3-2) + (-1-3)) \\
&= 28 - 1 + 18 - 20 \\
&= 25
\end{aligned}
$$

En regardant plus en détails ce calcul, on se rend compte que l'on fait plusieurs fois le même calcul. Chaque déterminant de taille 2 apparaît deux fois. Notons d'une même couleur, les déterminants de taille 2 identiques et laissons les $(-1)^{\bullet}$ avec tous les détails en puissance, on a :

$$\det(A) = (-1)^{3+1} \times (-2) \times \left( (-1)^{1+1} \times 2 \times \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+2} \times 1 \times \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+3} \times (-2) \times \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \right)$$
## 1 Introduction

Commençons par un exemple. Calculons le déterminant de la matrice carrée de taille 4 :

$$A := (a_{ij})_{ij} := \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & 2 & -1 \\ -2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$

Une technique usuelle pour calculer le déterminant de $A$ est de développer suivant une ligne (ou une colonne). Le développement suivant la $i$-ème ligne est donné par :

$$\det(A) = \sum_{j=1}^{4} (-1)^{i+j} a_{ij} \Delta_{\{i\},\{j\}}(A)$$

avec $\Delta_{\{i\},\{j\}}(A)$ le déterminant de taille 3 de la matrice $A$ à laquelle on a enlevé la ligne $i$ et la colonne $j$. Calculons le déterminant de $A$ en développant suivant la ligne 3 de $A$ puis en développant chaque déterminant de taille 3 suivant leurs premières lignes, et en utilisant la formule du déterminant de taille 2 :

$$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc.$$

On a :

$$
\begin{align*}
\det(A) &= (-1)^{3+1} \times (-2) \times \begin{vmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 3 & 2 & -1 \\ -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{3+2} \times 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \\
&\quad + (-1)^{3+3} \times 3 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{3+4} \times 4 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} \\
&= -2 \left( (-1)^{1+1} \times 2 \times \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+2} \times 1 \times \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+3} \times (-2) \times \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \right) \\
&\quad - \left( (-1)^{1+1} \times 1 \times \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+2} \times 1 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+3} \times (-2) \times \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \right) \\
&\quad + 3 \left( (-1)^{1+1} \times 1 \times \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+2} \times 2 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+3} \times (-2) \times \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \right) \\
&\quad - 4 \left( (-1)^{1+1} \times 1 \times \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} + (-1)^{1+2} \times 2 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + (-1)^{1+3} \times 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \right) \\
&= -2(2(2+3) - (3-1) - 2(9+2)) - ((2+3) - (1+1) - 2(3-2)) \\
&\quad + 3((3-1) - 2(1+1) - 2(-1-3)) - 4((9+2) - 2(3-2) + (-1-3)) \\
&= 28 - 1 + 18 - 20 \\
&= 25
\end{align*}
$$

En regardant plus en détails ce calcul, on se rend compte que l'on fait plusieurs fois le même calcul. Chaque déterminant de taille 2 apparaît deux fois. Notons d'une même couleur, les déterminants de taille 2 identiques et laissons les $(-1)^{\bullet}$ avec tous les détails en puissance, on a :

$$\det(A) = (-1)^{3+1} \times (-2) \times \left( (-1)^{1+1} \times 2 \times \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+2} \times 1 \times \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+3} \times (-2) \times \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \right)$$
$$ 
\begin{aligned}
&+ (-1)^{3+2} \times 1 \times \left( (-1)^{1+1} \times 1 \times \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+2} \times 1 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+3} \times (-2) \times \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \right) \\
&+ (-1)^{3+3} \times 3 \times \left( (-1)^{1+1} \times 1 \times \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+2} \times 2 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+3} \times (-2) \times \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \right) \\
&+ (-1)^{3+4} \times 4 \times \left( (-1)^{1+1} \times 1 \times \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} + (-1)^{1+2} \times 2 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + (-1)^{1+3} \times 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \right)
\end{aligned}
$$

Regroupons les déterminants de taille 2 identiques, on a :

$$ 
\begin{aligned}
\det(A) = & ((-1)^{3+2+1+1} \times (-1) \times 1 + (-1)^{3+1+1+1} \times (-2) \times 2) \times \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \\
& + ((-1)^{3+3+1+1} \times 3 \times 1 + (-1)^{3+1+1+2} \times (-2) \times 1) \times \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} \\
& + ((-1)^{3+4+1+1} \times 4 \times 1 + (-1)^{3+1+1+3} \times (-2) \times (-2)) \times \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \\
& + ((-1)^{3+3+1+2} \times 3 \times 2 + (-1)^{3+2+1+2} \times 1 \times 1) \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\
& + ((-1)^{3+4+1+2} \times 4 \times 2 + (-1)^{3+2+1+3} \times 1 \times (-2)) \times \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \\
& + ((-1)^{3+4+1+3} \times 4 \times 1 + (-1)^{3+3+1+3} \times 3 \times (-2)) \times \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}
\end{aligned}
$$

Les termes en facteurs devant chacun des déterminants de taille 2 sont aussi des déterminants de taille 2, on a :

$$ 
\begin{aligned}
\det(A) = & (-1)^{3+2+1+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{3+3+1+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} \\
& + (-1)^{3+4+1+1} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} + (-1)^{3+3+1+2} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\
& + (-1)^{3+4+1+2} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + (-1)^{3+4+1+3} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}
\end{aligned}
$$

Pour tous $i,j,k,l \in \{1,2,3,4\}$ tels que $i \neq j$ et $k \neq l$, notons :

$$ \Delta_{\{i,j\},\{k,l\}}(A) $$

le déterminant de taille 2 de la matrice $A$ à laquelle on a enlevé les lignes $i,j$ et les colonnes $k,l$. On a alors en réordonnant les éléments dans les puissances de $-1$ :

$$ 
\begin{aligned}
\det(A) = & (-1)^{1+3+1+2} \Delta_{\{2,4\},\{3,4\}}(A) \times \Delta_{\{1,3\},\{1,2\}}(A) + (-1)^{1+3+1+3} \Delta_{\{2,4\},\{2,4\}}(A) \times \Delta_{\{1,3\},\{1,3\}}(A) \\
& + (-1)^{1+3+1+4} \Delta_{\{2,4\},\{2,3\}}(A) \times \Delta_{\{1,3\},\{1,4\}}(A) + (-1)^{1+3+2+3} \Delta_{\{2,4\},\{1,4\}}(A) \times \Delta_{\{1,3\},\{2,3\}}(A) \\
& + (-1)^{1+3+2+4} \Delta_{\{2,4\},\{1,3\}}(A) \times \Delta_{\{1,3\},\{2,4\}}(A) + (-1)^{1+3+3+4} \Delta_{\{2,4\},\{1,2\}}(A) \times \Delta_{\{1,3\},\{3,4\}}(A)
\end{aligned}
$$

Les éléments dans les puissances de $-1$ sont exactement les sommes des éléments des ensembles apparaissant en indice des $\Delta$ à droite i.e. on a des termes du type :

$$ (-1)^{a+b+c+d} \times \cdots \times \Delta_{\{a,b\},\{c,d\}}(A). $$

Pour les termes du milieu, on voit en indices les complémentaires des ensembles apparaissant dans les termes $\Delta$ de droite. Posons alors pour tout sous-ensemble $I$ de $\{1,2,3,4\}$ :
$$ 
\begin{aligned}
&+ (-1)^{3+2} \times 1 \times \left( (-1)^{1+1} \times 1 \times \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+2} \times 1 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+3} \times (-2) \times \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \right) \\
&+ (-1)^{3+3} \times 3 \times \left( (-1)^{1+1} \times 1 \times \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+2} \times 2 \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{1+3} \times (-2) \times \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \right) \\
&+ (-1)^{3+4} \times 4 \times \left( (-1)^{1+1} \times 1 \times \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} + (-1)^{1+2} \times 2 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + (-1)^{1+3} \times 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \right)
\end{aligned}
$$

Regroupons les déterminants de taille 2 identiques, on a :

$$ 
\begin{aligned}
\det(A) = & ((-1)^{3+2+1+1} \times (-1) \times 1 + (-1)^{3+1+1+1} \times (-2) \times 2) \times \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \\
& + ((-1)^{3+3+1+1} \times 3 \times 1 + (-1)^{3+1+1+2} \times (-2) \times 1) \times \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} \\
& + ((-1)^{3+4+1+1} \times 4 \times 1 + (-1)^{3+1+1+3} \times (-2) \times (-2)) \times \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \\
& + ((-1)^{3+3+1+2} \times 3 \times 2 + (-1)^{3+2+1+2} \times 1 \times 1) \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\
& + ((-1)^{3+4+1+2} \times 4 \times 2 + (-1)^{3+2+1+3} \times 1 \times (-2)) \times \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \\
& + ((-1)^{3+4+1+3} \times 4 \times 1 + (-1)^{3+3+1+3} \times 3 \times (-2)) \times \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}
\end{aligned}
$$

Les termes en facteurs devant chacun des déterminants de taille 2 sont aussi des déterminants de taille 2, on a :

$$ 
\begin{aligned}
\det(A) = & (-1)^{3+2+1+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-1)^{3+3+1+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} \\
& + (-1)^{3+4+1+1} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} + (-1)^{3+3+1+2} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\
& + (-1)^{3+4+1+2} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + (-1)^{3+4+1+3} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}
\end{aligned}
$$

Pour tous $i,j,k,l \in \{1,2,3,4\}$ tels que $i \neq j$ et $k \neq l$, notons :

$$ \Delta_{\{i,j\},\{k,l\}}(A) $$

le déterminant de taille 2 de la matrice A à laquelle on a enlevé les lignes $i,j$ et les colonnes $k,l$. On a alors en réordonnant les éléments dans les puissances de $-1$ :

$$ 
\begin{aligned}
\det(A) = & (-1)^{1+3+1+2} \Delta_{\{2,4\},\{3,4\}}(A) \times \Delta_{\{1,3\},\{1,2\}}(A) + (-1)^{1+3+1+3} \Delta_{\{2,4\},\{2,4\}}(A) \times \Delta_{\{1,3\},\{1,3\}}(A) \\
& + (-1)^{1+3+1+4} \Delta_{\{2,4\},\{2,3\}}(A) \times \Delta_{\{1,3\},\{1,4\}}(A) + (-1)^{1+3+2+3} \Delta_{\{2,4\},\{1,4\}}(A) \times \Delta_{\{1,3\},\{2,3\}}(A) \\
& + (-1)^{1+3+2+4} \Delta_{\{2,4\},\{1,3\}}(A) \times \Delta_{\{1,3\},\{2,4\}}(A) + (-1)^{1+3+3+4} \Delta_{\{2,4\},\{1,2\}}(A) \times \Delta_{\{1,3\},\{3,4\}}(A)
\end{aligned}
$$

Les éléments dans les puissances de $-1$ sont exactement les sommes des éléments des ensembles apparaissant en indice des $\Delta$ à droite i.e. on a des termes du type :

$$ (-1)^{a+b+c+d} \times \cdots \times \Delta_{\{a,b\},\{c,d\}}(A). $$

Pour les termes du milieu, on voit en indices les complémentaires des ensembles apparaissant dans les termes $\Delta$ de droite. Posons alors pour tout sous-ensemble $I$ de $\{1,2,3,4\}$ :
* $\bar{I}$ le complémentaire de $I$ dans $\{1, 2, 3, 4\}$;

* $|I|$ la somme des éléments de $I$ i.e. :

$$|I| := \sum_{i \in I} i.$$

Chaque terme est donc du type :

$$(-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{I}, \bar{J}} \Delta_{I, J}$$

avec $I$ et $J$ deux sous-ensembles de $\{1, 2, 3, 4\}$ de cardinal 2.

L'ensemble $\{1, 3\}$ et son complémentaire $\{2, 4\}$ apparaissent dans chaque terme, posons alors :

$$K := \{1, 3\}.$$

On a :

$$\det(A) = (-1)^{|K|+|\{1,2\}|} \Delta_{\overline{K}, \overline{\{1,2\}}} (A) \times \Delta_{K, \{1,2\}} (A) + (-1)^{|K|+|\{1,3\}|} \Delta_{\overline{K}, \overline{\{1,3\}}} (A) \times \Delta_{K, \{1,3\}} (A) \\ + (-1)^{|K|+|\{1,4\}|} \Delta_{\overline{K}, \overline{\{1,4\}}} (A) \times \Delta_{K, \{1,4\}} (A) + (-1)^{|K|+|\{2,3\}|} \Delta_{\overline{K}, \overline{\{2,3\}}} (A) \times \Delta_{K, \{2,3\}} (A) \\ + (-1)^{|K|+|\{2,4\}|} \Delta_{\overline{K}, \overline{\{2,4\}}} (A) \times \Delta_{K, \{2,4\}} (A) + (-1)^{|K|+|\{3,4\}|} \Delta_{\overline{K}, \overline{\{3,4\}}} (A) \times \Delta_{K, \{3,4\}} (A)$$

Dernière simplification, il apparaît six ensembles :

$$\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}.$$

Ces six ensembles sont exactement les sous-ensembles à 2 éléments de $\{1, 2, 3, 4\}$. On note $\mathcal{P}_{4,2}$ l'ensemble des sous-ensembles à 2 éléments de $\{1, 2, 3, 4\}$. On obtient donc la formule :

$$\det(A) = \sum_{L \in \mathcal{P}_{4,2}} (-1)^{|K|+|L|} \Delta_{\overline{K}, \overline{L}}(A) \times \Delta_{K,L}(A)$$

appelée **développement suivant les lignes de $\{1, 3\}$ de $A$**.

On généralisera la formule au développement suivant $k$ lignes et par transposée au développement suivant $k$ colonnes.

Reprenons la formule :

$$(*) \det(A) = \sum_{j=1}^{4} (-1)^{i+j} a_{ij} \Delta_{\{i\}, \{j\}}(A)$$

On note :

$$\mathcal{P}_{4,1} := \{\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}\}$$

l'ensemble des sous-ensembles à 1 éléments de $\{1, 2, 3, 4\}$. La formule (*) devient donc :

$$\det(A) = \sum_{L \in \mathcal{P}_{4,1}} (-1)^{i+|L|} \Delta_{\overline{\{i\}}, \overline{L}}(A) \times \Delta_{\{i\}, L}(A)$$

appelée **développement suivant la ligne $i$ de $A$**.

On note de même :

$$\mathcal{P}_{4,3} := \{\{1,2,3\}, \{1,2,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}\}$$

l'ensemble des sous-ensembles à 3 éléments de $\{1, 2, 3, 4\}$. On a alors la dernière formule :

$$\det(A) = \sum_{L \in \mathcal{P}_{4,1}} (-1)^{i+|L|} \Delta_{\overline{\{i\}}, \overline{L}}(A) \times \Delta_{\{i\}, L}(A) \\ = \sum_{L \in \mathcal{P}_{4,1}} (-1)^{10-i+10-|L|} \Delta_{\overline{\{i\}}, \overline{L}}(A) \times \Delta_{\{i\}, L}(A)$$
* $\bar{I}$ le complémentaire de $I$ dans $\{1, 2, 3, 4\}$;

* $|I|$ la somme des éléments de $I$ i.e. :

$$|I| := \sum_{i \in I} i.$$

Chaque terme est donc du type :

$$(-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{I}, \bar{J}} \Delta_{I, J}$$

avec $I$ et $J$ deux sous-ensembles de $\{1, 2, 3, 4\}$ de cardinal 2.

L'ensemble $\{1, 3\}$ et son complémentaire $\{2, 4\}$ apparaissent dans chaque terme, posons alors :

$$K := \{1, 3\}.$$

On a :

$$\det(A) = (-1)^{|K|+|\{1,2\}|} \Delta_{\overline{K}, \overline{\{1,2\}}} (A) \times \Delta_{K, \{1,2\}} (A) + (-1)^{|K|+|\{1,3\}|} \Delta_{\overline{K}, \overline{\{1,3\}}} (A) \times \Delta_{K, \{1,3\}} (A) \\ + (-1)^{|K|+|\{1,4\}|} \Delta_{\overline{K}, \overline{\{1,4\}}} (A) \times \Delta_{K, \{1,4\}} (A) + (-1)^{|K|+|\{2,3\}|} \Delta_{\overline{K}, \overline{\{2,3\}}} (A) \times \Delta_{K, \{2,3\}} (A) \\ + (-1)^{|K|+|\{2,4\}|} \Delta_{\overline{K}, \overline{\{2,4\}}} (A) \times \Delta_{K, \{2,4\}} (A) + (-1)^{|K|+|\{3,4\}|} \Delta_{\overline{K}, \overline{\{3,4\}}} (A) \times \Delta_{K, \{3,4\}} (A)$$

Dernière simplification, il apparaît six ensembles :

$$\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}.$$

Ces six ensembles sont exactement les sous-ensembles à 2 éléments de $\{1, 2, 3, 4\}$. On note $\mathcal{P}_{4,2}$ l'ensemble des sous-ensembles à 2 éléments de $\{1, 2, 3, 4\}$. On obtient donc la formule :

$$\det(A) = \sum_{L \in \mathcal{P}_{4,2}} (-1)^{|K|+|L|} \Delta_{\overline{K}, \overline{L}}(A) \times \Delta_{K,L}(A)$$

appelée **développement suivant les lignes de $\{1, 3\}$ de $A$**.

On généralisera la formule au développement suivant $k$ lignes et par transposée au développement suivant $k$ colonnes.

Reprenons la formule :

$$ (*) \quad \det(A) = \sum_{j=1}^{4} (-1)^{i+j} a_{ij} \Delta_{\{i\}, \{j\}}(A)$$

On note :

$$ \mathcal{P}_{4,1} := \{\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}\} $$

l'ensemble des sous-ensembles à 1 éléments de $\{1, 2, 3, 4\}$. La formule (*) devient donc :

$$\det(A) = \sum_{L \in \mathcal{P}_{4,1}} (-1)^{i+|L|} \Delta_{\overline{\{i\}}, \overline{L}}(A) \times \Delta_{\{i\}, L}(A)$$

appelée **développement suivant la ligne $i$ de $A$**.

On note de même :

$$ \mathcal{P}_{4,3} := \{\{1,2,3\}, \{1,2,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}\} $$

l'ensemble des sous-ensembles à 3 éléments de $\{1, 2, 3, 4\}$. On a alors la dernière formule :

$$\det(A) = \sum_{L \in \mathcal{P}_{4,1}} (-1)^{i+|L|} \Delta_{\overline{\{i\}}, \overline{L}}(A) \times \Delta_{\{i\}, L}(A) \\ = \sum_{L \in \mathcal{P}_{4,1}} (-1)^{10-i+10-|L|} \Delta_{\overline{\{i\}}, \overline{L}}(A) \times \Delta_{\{i\}, L}(A)$$
$$ 
\begin{aligned}
&= \sum_{L \in \mathcal{P}_{4,1}} (-1)^{|\overline{\{i\}}|+|\overline{L}|} \Delta_{\overline{K},\overline{L}}(A) \times \Delta_{\{i\},L}(A) \\
&= \sum_{L \in \mathcal{P}_{4,3}} (-1)^{|K|+|L|} \Delta_{\overline{K},\overline{L}}(A) \times \Delta_{\{i\},L}(A)
\end{aligned}
$$

avec $K := \overline{\{i\}}$ appelée **développement suivant les lignes de K de A**.

On vient de voir qu'avec une matrice de taille 4, on peut développer le déterminant de la matrice suivant une ligne, deux lignes ou trois lignes. La section suivante traitera du cas général. Dans le livre [1], on trouvera une idée de preuve (voir aussi [2]).
$$ 
\begin{aligned}
&= \sum_{L \in \mathcal{P}_{4,1}} (-1)^{|\overline{\{i\}}|+|\overline{L}|} \Delta_{\overline{K}, \overline{L}}(A) \times \Delta_{\{i\},L}(A) \\
&= \sum_{L \in \mathcal{P}_{4,3}} (-1)^{|K|+|L|} \Delta_{\overline{K}, \overline{L}}(A) \times \Delta_{\{i\},L}(A)
\end{aligned}
$$

avec $K := \overline{\{i\}}$ appelée **développement suivant les lignes de K de A**.

On vient de voir qu'avec une matrice de taille 4, on peut développer le déterminant de la matrice suivant une ligne, deux lignes ou trois lignes. Dans cet exemple, on voit aussi que la formule du développement du déterminant suivant deux lignes se déduit de la formule du développement du déterminant suivant une ligne, on exploitera cela dans le cas général (on fera une preuve par récurrence).

La section suivante traitera du cas général.

**Référence.** L'idée de ce texte m'est venue en cherchant pour mes élèves une autre formule pour le déterminant des matrices de taille 4. En réfléchissant à la possibilité de développer le déterminant le long de deux lignes, j'ai découvert, par calcul manuel, la formule introduite plus tôt dans ce document. Cette découverte m'a conduit à me demander s'il existait une formule plus générale. J'ai alors conjecturé la formule énoncée dans la Proposition 2.2.4, que j'ai ensuite programmée en Python, et les résultats se sont révélés concluants.

Lors de mes recherches en ligne, je n'ai trouvé qu'une seule source, la page Wikipédia [2], où la formule proposée est présentée avec des notations différentes et une référence au livre [1]. Ce livre offre une esquisse très succincte d'une preuve pour cette formule. Ce texte vise à fournir une démonstration complète et détaillée, tout en introduisant la notion de supermatrice pour aboutir à une formule plus simple.
## 2 Mineurs d'une matrice

On généralise ce qui a été vu dans l'introduction aux matrices carrées de taille quelconque. Si rien n'est précisé, $n$ et $k$ sont des entiers naturels tels que $k \le n$ et $n > 0$.

### 2.1 Ordre sur l'ensemble des parties d'un ensemble

On commence par définir des notations sur les sous-ensembles de $\{1, \dots, n\}$.

**Notation 2.1.1**

On note $\mathcal{P}_n$ l'ensemble des parties de $\{1, \dots, n\}$ et $\mathcal{P}_{n,k}$ l'ensemble des parties de $\{1, \dots, n\}$ de cardinal $k$. On a donc :

$$ \mathrm{Card} (\mathcal{P}_n) = 2^n $$

$$ \mathrm{Card} (\mathcal{P}_{n,k}) = \binom{n}{k} $$

(1) On définit deux ordres.

(a) Sur $\mathcal{P}_{n,k}$, on définit l'**ordre lexicographique** $\leq$ i.e. pour tous éléments $I := \{i_1, \dots, i_k\}$ et $J := \{j_1, \dots, j_k\}$ de $\mathcal{P}_{n,k}$ tels que $i_1 < \dots < i_k$ et $j_1 < \dots < j_k$, on note $I \leq J$ si :

$$ i_1 < j_1 \lor [\exists k \in \{1, \dots, n-1\}, i_k < j_k \land (\forall l \in \{1, \dots, k\}, i_l = j_l)]. $$

(b) Sur $\mathcal{P}_n$, on définit l'ordre $\leq$ qui étend l'ordre sur $\mathcal{P}_{n,k}$ défini en (a) : pour tous éléments $I$ et $J$ de $\mathcal{P}_n$, on note que $I \leq J$ si :

$$ \mathrm{Card}(I) < \mathrm{Card}(J) \lor [\mathrm{Card}(I) = \mathrm{Card}(J) \land I \leq J]. $$

(2) Pour tout $I \in \mathcal{P}_n$, on note $\bar{I}$ le complémentaire de $I$ dans $\{1, \dots, n\}$;

(3) Pour tout $I \in \mathcal{P}_n$, on note $|I|$ la somme des éléments de $I$ i.e. :

$$ |I| := \sum_{i \in I} i. $$

On pose :

$$ |\emptyset| := 0. $$

(4) Pour tout ensemble ordonné, on utilisera les parenthèses pour dire que l'ensemble est ordonné i.e. $E := \{i_1, \dots, i_k\}$ un ensemble si on a :

$$ i_1 < \dots < i_k $$

Alors $E$ sera noté $(i_1, \dots, i_k)$. Par exemple, on notera :

$$ (1, 3, 4, 7) := \{3, 7, 4, 1\} $$

et avec l'ordre total donné sur $\mathcal{P}_2$ en (1.b), on a :

$$ \mathcal{P}_2 = (\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}). $$
## 2 Mineurs d'une matrice

On généralise ce qui a été vu dans l'introduction aux matrices carrées de taille quelconque. Si rien n'est précisé, $n$ et $k$ sont des entiers naturels tels que $k \le n$ et $n > 0$.

### 2.1 Ordre sur l'ensemble des parties d'un ensemble

On commence par définir des notations sur les sous-ensembles de $\{1, \dots, n\}$.

#### Notation 2.1.1

On note $\mathcal{P}_n$ l'ensemble des parties de $\{1, \dots, n\}$ et $\mathcal{P}_{n,k}$ l'ensemble des parties de $\{1, \dots, n\}$ de cardinal $k$. On a donc :

$$ \mathrm{Card} (\mathcal{P}_n) = 2^n $$

$$ \mathrm{Card} (\mathcal{P}_{n,k}) = \binom{n}{k} $$

(1) On définit deux ordres.

(a) Sur $\mathcal{P}_{n,k}$, on définit l'**ordre lexicographique** $\leq$ i.e. pour tous éléments $I := \{i_1, \dots, i_k\}$ et $J := \{j_1, \dots, j_k\}$ de $\mathcal{P}_{n,k}$ tels que $i_1 < \dots < i_k$ et $j_1 < \dots < j_k$, on note $I \leq J$ si :

$$ I = J \lor i_1 < j_1 \lor [\exists k \in \{2, \dots, n-1\}, i_k < j_k \land (\forall l \in \{1, \dots, k-1\}, i_l = j_l)]. $$

(b) Sur $\mathcal{P}_n$, on définit l'ordre $\leq$ qui étend l'ordre sur $\mathcal{P}_{n,k}$ défini en (a) : pour tous éléments $I$ et $J$ de $\mathcal{P}_n$, on note que $I \leq J$ si :

$$ \mathrm{Card}(I) < \mathrm{Card}(J) \lor [\mathrm{Card}(I) = \mathrm{Card}(J) \land I \leq J]. $$

(2) Pour tout $I \in \mathcal{P}_n$, on note $\bar{I}$ le complémentaire de $I$ dans $\{1, \dots, n\}$;

(3) Pour tout $I \in \mathcal{P}_n$, on note $|I|$ la somme des éléments de $I$ i.e. :

$$ |I| := \sum_{i \in I} i. $$

On pose :

$$ |\emptyset| := 0. $$

(4) Pour tout ensemble ordonné, on utilisera les parenthèses pour dire que l'ensemble est ordonné i.e. un ensemble $E := \{i_1, \dots, i_k\}$ tel que :

$$ i_1 < \dots < i_k $$

sera noté $(i_1, \dots, i_k)$. Par exemple, on notera :

$$ (1, 3, 4, 7) := \{3, 7, 4, 1\} $$

et avec l'ordre total donné sur $\mathcal{P}_2$ en (1.b), on a :

$$ \mathcal{P}_2 = (\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}). $$
Exemple 2.1.2

Prenons le cas où $n := 4$. On a :

$$
\mathcal{P}_4 = (\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}, \\
\{1,2,3\}, \{1,2,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}, \{1,2,3,4\})
$$

et

$$
\mathcal{P}_{4,0} = (\emptyset)
$$

$$
\mathcal{P}_{4,1} = (\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\})
$$

$$
\mathcal{P}_{4,2} = (\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\})
$$

$$
\mathcal{P}_{4,3} = (\{1, 2, 3\}, \{1, 2, 4\}, \{1, 3, 4\}, \{2, 3, 4\})
$$

$$
\mathcal{P}_{4,4} = (\{1, 2, 3, 4\})
$$

Dans les démonstrations, on utilisera une autre notation qui permet de repérer les éléments dans un ensemble
ordonné.

Notation 2.1.3

Soit l'ensemble ordonné $E := (x_1, \dots, x_k)$ i.e. :

$x_1 < \dots < x_k.$

Pour tout $x \in E$, il existe $l \in \{1, \dots, k\}$ tel que $x = x_l$, on note :

$$
\mathfrak{p}(x, E) := x
$$

appelée la **position de x dans E**.

Exemple 2.1.4

(1) Soit un sous-ensemble $I := (i_1, \dots, i_k)$ (ordonné) de $\{1, \dots, n\}$ de cardinal $k \in \{1, \dots, n\}$ et $j \in I$ i.e. il existe $l \in \{1, \dots, k\}$ tel que $j = i_l$. On a donc :

$$
\mathfrak{p}(j, I) := l
$$

Posons $I' := I - \{j\}$, on a donc $j \in \bar{I}'$. On a la formule :

$$
\mathfrak{p}(j, I) + \mathfrak{p}(j, \overline{I'}) = j + 1. \tag{2.1.1}
$$

Regardons sur un exemple pourquoi il y a un +1 (il vient du fait que l'on compte deux fois le $j$). Pour $I := \{2,4,5,6,10\}$ sous-ensemble de $\{1,\dots,12\}$ et $j := 6$. La position de 6 dans $I$ est $\mathfrak{p}(6, I) = 4$. Comme $I' := I - \{6\} = \{2,4,5,10\}$, on a $\overline{I'} = \{1,3,6,7,8,9,11,12\}$ et $\mathfrak{p}(6, \overline{I'}) = 3$. Ainsi on a :

$$
\mathfrak{p}(j, I) + \mathfrak{p}(j, \overline{I'}) = 4 + 3 = 6 + 1 = j + 1.
$$

(2) Soit $I \in \mathcal{P}_{n,k}$. On a $\overline{I} \in \mathcal{P}_{n,n-k}$ et :

$$
\mathfrak{p}(I, \mathcal{P}_{n,k}) + \mathfrak{p}(\overline{I}, \mathcal{P}_{n,n-k}) = \binom{n}{k} + 1. \quad (2.1.2)
$$
Exemple 2.1.2

Prenons le cas où $n := 4$. On a :

$$
\mathcal{P}_4 = (\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}, \\
\{1,2,3\}, \{1,2,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}, \{1,2,3,4\})
$$

et

$$
\mathcal{P}_{4,0} = (\emptyset)
$$

$$
\mathcal{P}_{4,1} = (\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\})
$$

$$
\mathcal{P}_{4,2} = (\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\})
$$

$$
\mathcal{P}_{4,3} = (\{1, 2, 3\}, \{1, 2, 4\}, \{1, 3, 4\}, \{2, 3, 4\})
$$

$$
\mathcal{P}_{4,4} = (\{1, 2, 3, 4\})
$$

Dans les démonstrations, on utilisera une autre notation qui permet de repérer les éléments dans un ensemble ordonné.

Notation 2.1.3

Soit l'ensemble ordonné $E := (x_1, \dots, x_k)$ i.e. :

$x_1 < \dots < x_k.$

Pour tout $x \in E$, il existe un unique $l \in \{1, \dots, k\}$ tel que $x = x_l$, on note :

$$
\mathfrak{p}(x, E) := l
$$

appelée la **position de x dans E**.

Exemple 2.1.4

(1) Soit un sous-ensemble $I := (i_1, \dots, i_k)$ (ordonné) de $\{1, \dots, n\}$ de cardinal $k \in \{1, \dots, n\}$ et $j \in I$ i.e. il existe $l \in \{1, \dots, k\}$ tel que $j = i_l$. On a donc :

$$
\mathfrak{p}(j, I) := l
$$

Posons $I' := I - \{j\}$, on a donc $j \in \overline{I}'$. On a la formule :

$$
\mathfrak{p}(j, I) + \mathfrak{p}(j, \overline{I}') = j + 1. \tag{2.1.1}
$$

Regardons sur un exemple pourquoi il y a un +1 (il vient du fait que l'on compte deux fois le $j$). Pour $I := \{2,4,5,6,10\}$ sous-ensemble de $\{1,\dots,12\}$ et $j := 6$. La position de 6 dans $I$ est $\mathfrak{p}(6, I) = 4$. Comme $I' := I - \{6\} = \{2,4,5,10\}$, on a $\overline{I}' = \{1,3,6,7,8,9,11,12\}$ et $\mathfrak{p}(6, \overline{I}') = 3$. Ainsi on a :

$$
\mathfrak{p}(j, I) + \mathfrak{p}(j, \overline{I}') = 4 + 3 = 6 + 1 = j + 1.
$$

(2) Soit $I \in \mathcal{P}_{n,k}$. On a $\overline{I} \in \mathcal{P}_{n,n-k}$ et :

$$
\mathfrak{p}(I, \mathcal{P}_{n,k}) + \mathfrak{p}(\overline{I}, \mathcal{P}_{n,n-k}) = \binom{n}{k} + 1. \quad (2.1.2)
$$
Regardons sur deux exemples pourquoi il y a un +1. On reprend l'exemple 2.1.2, on a :

$$ \mathcal{P}_{4,1} = (\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}) $$

$$ \mathcal{P}_{4,2} = (\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}) $$

$$ \mathcal{P}_{4,3} = (\{1,2,3\}, \{1,2,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}) $$

(a) Pour $I := \{2\} \in \mathcal{P}_{4,1}$, on a $\bar{I} = \{1,3,4\} \in \mathcal{P}_{4,3}$ et :

$$ \mathfrak{p}(I, \mathcal{P}_{4,1}) + \mathfrak{p}(\bar{I}, \mathcal{P}_{4,3}) = 2 + 3 = 4 + 1 = \binom{4}{1} + 1. $$

(b) Pour $I := \{1,4\} \in \mathcal{P}_{4,2}$, on a $\bar{I} = \{2,3\} \in \mathcal{P}_{4,2}$ et :

$$ \mathfrak{p}(I, \mathcal{P}_{4,2}) + \mathfrak{p}(\bar{I}, \mathcal{P}_{4,2}) = 3 + 4 = 6 + 1 = \binom{4}{2} + 1. $$

(3) Soit $I \in \mathcal{P}_n$. On a $\bar{I} \in \mathcal{P}_n$ et :

$$ \mathfrak{p}(I, \mathcal{P}_n) + \mathfrak{p}(\bar{I}, \mathcal{P}_n) = 2^n + 1. \qquad (2.1.3) $$

Regardons sur deux exemples pourquoi il y a un +1. On reprend l'exemple 2.1.2, on a :

$$ \mathcal{P}_4 = (\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}, \\ \{1,2,3\}, \{1,2,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}, \{1,2,3,4\}) $$

(a) Pour $I := \{2\} \in \mathcal{P}_4$, on a $\bar{I} = \{1,3,4\} \in \mathcal{P}_4$ et :

$$ \mathfrak{p}(I, \mathcal{P}_4) + \mathfrak{p}(\bar{I}, \mathcal{P}_4) = 3 + 14 = 16 + 1 = 2^4 + 1. $$

(b) Pour $I := \{1,4\} \in \mathcal{P}_4$, on a $\bar{I} = \{2,3\} \in \mathcal{P}_4$ et :

$$ \mathfrak{p}(I, \mathcal{P}_4) + \mathfrak{p}(\bar{I}, \mathcal{P}_4) = 8 + 9 = 16 + 1 = 2^4 + 1. $$

## 2.2 Mineurs d'une matrice

On étudie dans cette sous-section les sous-matrices associées à une matrice (voir l'appendice A pour les notations utilisées sur les matrices). On définit la **matrice vide** (sans ligne et sans colonne) :

$$ \mathfrak{M}(\emptyset) \in \mathcal{M}_0(\mathbb{C}). $$

et on pose :

$$ \det(\mathfrak{M}(\emptyset)) := 1. $$

### Définition 2.2.1

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $I, J \in \mathcal{P}_{n,k}$.

(i) La **sous-matrice** $A_{I,J}$ est la matrice de $\mathcal{M}_{n-k}(\mathbb{C})$ où on a enlevé les lignes numérotées par $I$ et les colonnes numérotées par $J$.

(ii) Le **mineur** $(I, J)$ de $A$ est le déterminant de la matrice $A_{I,J}$. On le note :

$$ \Delta_{I,J}(A) := \det(A_{I,J}). $$
Regardons sur deux exemples pourquoi il y a un +1. On reprend l'exemple 2.1.2, on a :

$$ \mathcal{P}_{4,1} = (\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}) $$

$$ \mathcal{P}_{4,2} = (\{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}) $$

$$ \mathcal{P}_{4,3} = (\{1,2,3\}, \{1,2,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}) $$

(a) Pour $I := \{2\} \in \mathcal{P}_{4,1}$, on a $\bar{I} = \{1,3,4\} \in \mathcal{P}_{4,3}$ et :

$$ \mathfrak{p}(I, \mathcal{P}_{4,1}) + \mathfrak{p}(\bar{I}, \mathcal{P}_{4,3}) = 2 + 3 = 4 + 1 = \binom{4}{1} + 1. $$

(b) Pour $I := \{1,4\} \in \mathcal{P}_{4,2}$, on a $\bar{I} = \{2,3\} \in \mathcal{P}_{4,2}$ et :

$$ \mathfrak{p}(I, \mathcal{P}_{4,2}) + \mathfrak{p}(\bar{I}, \mathcal{P}_{4,2}) = 3 + 4 = 6 + 1 = \binom{4}{2} + 1. $$

(3) Soit $I \in \mathcal{P}_n$. On a $\bar{I} \in \mathcal{P}_n$ et :

$$ \mathfrak{p}(I, \mathcal{P}_n) + \mathfrak{p}(\bar{I}, \mathcal{P}_n) = 2^n + 1. \qquad (2.1.3) $$

Regardons sur deux exemples pourquoi il y a un +1. On reprend l'exemple 2.1.2, on a :

$$ \mathcal{P}_4 = (\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}, \\ \{1,2,3\}, \{1,2,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}, \{1,2,3,4\}) $$

(a) Pour $I := \{2\} \in \mathcal{P}_4$, on a $\bar{I} = \{1,3,4\} \in \mathcal{P}_4$ et :

$$ \mathfrak{p}(I, \mathcal{P}_4) + \mathfrak{p}(\bar{I}, \mathcal{P}_4) = 3 + 14 = 16 + 1 = 2^4 + 1. $$

(b) Pour $I := \{1,4\} \in \mathcal{P}_4$, on a $\bar{I} = \{2,3\} \in \mathcal{P}_4$ et :

$$ \mathfrak{p}(I, \mathcal{P}_4) + \mathfrak{p}(\bar{I}, \mathcal{P}_4) = 8 + 9 = 16 + 1 = 2^4 + 1. $$

## 2.2 Mineurs d'une matrice

On étudie dans cette sous-section les sous-matrices associées à une matrice (voir l'appendice A pour les notations utilisées sur les matrices). On définit la **matrice vide** (sans ligne et sans colonne) :

$$ \mathfrak{M}(\emptyset) \in \mathcal{M}_0(\mathbb{C}). $$

et on pose :

$$ \det(\mathfrak{M}(\emptyset)) := 1. $$

### Définition 2.2.1

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $I, J \in \mathcal{P}_{n,k}$.

(i) La **sous-matrice** $A_{I,J}$ est la matrice de $\mathcal{M}_{n-k}(\mathbb{C})$ où on a enlevé les lignes numérotées par $I$ et les colonnes numérotées par $J$.

(ii) Le **mineur** $(I, J)$ de $A$ est le déterminant de la matrice $A_{I,J}$. On le note :

$$ \Delta_{I,J}(A) := \det(A_{I,J}). $$
(iii) Le cofacteur (I, J) de A est défini par :

$$ \mathrm{Cof}_{I,J}(A) := (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{I,J}(A). $$

Exemple 2.2.2

Soit $A := (a_{ij})_{ij} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

(1) Cas $I := J := \emptyset$. On a :

$$ \begin{align*} A_{\emptyset, \emptyset} &= A \\ \Delta_{\emptyset, \emptyset}(A) &= \det(A_{\emptyset, \emptyset}) \\ &= \det(A) \\ \mathrm{Cof}_{\emptyset, \emptyset}(A) &= (-1)^{|\emptyset|+|\emptyset|} \Delta_{\emptyset, \emptyset}(A) \\ &= \det(A) \end{align*} $$

(2) Cas $I := \{1, \dots, n\} - \{i\} = \overline{\{i\}}$ et $J := \{1, \dots, n\} - \{j\} = \overline{\{j\}}$. On a :

$$ \begin{align*} A_{\overline{\{i\}}, \overline{\{i\}}} &= a_{i,j} \\ \Delta_{\overline{\{i\}}, \overline{\{i\}}} (A) &= \det (a_{i,j}) \\ &= a_{i,j} \\ \mathrm{Cof}_{\overline{\{i\}}, \overline{\{i\}}} (A) &= (-1)^{|\overline{\{i\}}|+|\overline{\{i\}}|} \Delta_{\overline{\{i\}}, \overline{\{i\}}} (A) \\ &= (-1)^{(n(n+1)/2 - i + (n(n+1)/2 - j)a_{i,j}}} \\ &= (-1)^{i+j} a_{i,j} \end{align*} $$

(3) Cas $I := J := \{1, \dots, n\}$. On a :

$$ \begin{align*} A_{\{1,...,n\},\{1,...,n\}} &= \mathfrak{M}(\emptyset) \\ \Delta_{\{1,...,n\},\{1,...,n\}}(A) &= \det(A_{\{1,...,n\},\{1,...,n\}}) \\ &= \det(\mathfrak{M}(\emptyset)) \\ &= 1 \\ \mathrm{Cof}_{\{1,...,n\},\{1,...,n\}}(A) &= (-1)^{|\{1,...,n\}|+|\{1,...,n\}|} \Delta_{\emptyset,\emptyset}(A) \\ &= (-1)^{(n(n+1))/2 + (n(n+1))/2} \det(A) \\ &= \det(A) \end{align*} $$

On commence par montrer le lemme usuel de développement suivant une ligne. Pour tous éléments $a$ et $b$, on note $\delta_{a,b}$ le symbole de Kronecker défini par :

$$ \delta_{a,b} := \begin{cases} 1 & \text{si } a = b \\ 0 & \text{si } a \neq b \end{cases} $$
(iii) Le cofacteur (I, J) de A est défini par :

$$
\mathrm{Cof}_{I,J}(A) := (-1)^{|I|+|J|} \mathrm{Cof}_{I,J}(A).
$$

Exemple 2.2.2

Soit $A := (a_{ij})_{ij} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

(1) Cas $I := J := \emptyset$. On a :

$$
\begin{align*}
A_{\emptyset, \emptyset} &= A \\
\Delta_{\emptyset, \emptyset}(A) &= \det(A_{\emptyset, \emptyset}) \\
&= \det(A) \\
\mathrm{Cof}_{\emptyset, \emptyset}(A) &= (-1)^{|\emptyset|+|\emptyset|} \Delta_{\emptyset, \emptyset}(A) \\
&= \det(A)
\end{align*}
$$

(2) Cas $I := \{1, \dots, n\} - \{i\} = \overline{\{i\}}$ et $J := \{1, \dots, n\} - \{j\} = \overline{\{j\}}$. On a :

$$
\begin{align*}
A_{\overline{\{i\}}, \overline{\{i\}}} &= a_{i,j} \\
\Delta_{\overline{\{i\}}, \overline{\{i\}}} (A) &= \det (a_{i,j}) \\
&= a_{i,j} \\
\mathrm{Cof}_{\overline{\{i\}}, \overline{\{i\}}} (A) &= (-1)^{|\overline{\{i\}}|+|\overline{\{i\}}|} \Delta_{\overline{\{i\}}, \overline{\{i\}}} (A) \\
&= (-1)^{(n(n+1)/2 - i + (n(n+1)/2 - j)a_{i,j})} \\
&= (-1)^{i+j} a_{i,j}
\end{align*}
$$

(3) Cas $I := J := \{1, \dots, n\}$. On a :

$$
\begin{align*}
A_{\{1,...,n\},\{1,...,n\}} &= \mathfrak{M}(\emptyset) \\
\Delta_{\{1,...,n\},\{1,...,n\}}(A) &= \det(A_{\{1,...,n\},\{1,...,n\}}) \\
&= \det(\mathfrak{M}(\emptyset)) \\
&= 1 \\
\mathrm{Cof}_{\{1,...,n\},\{1,...,n\}}(A) &= (-1)^{|\{1,...,n\}|+|\{1,...,n\}|} \Delta_{\emptyset,\emptyset}(A) \\
&= (-1)^{(n(n+1))/2 + (n(n+1))/2} \det(A) \\
&= \det(A)
\end{align*}
$$

On commence par montrer le lemme usuel de développement suivant une ligne. Pour tous éléments $a$ et $b$, on note $\delta_{a,b}$ le **symbole de Kronecker** défini par :

$$
\delta_{a,b} := \begin{cases} 1 & \text{si } a = b \\ 0 & \text{si } a \neq b \end{cases}
$$
Lemme 2.2.3

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $i, l \in \{1, \dots, n\}$. Alors on a :

$$
\begin{align*}
\det(A)\delta_{i,l} &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} [A]_{l,j} \Delta_{\{i\},\{j\}}(A) \\
&= \sum_{j=1}^{n} [A]_{l,j} \mathrm{Cof}_{\{i\},\{j\}}(A).
\end{align*}
$$

Démonstration. Posons $A := (a_{ij})_{ij}$. Montrons le résultat en deux parties.

(1) Cas $i = l$. On montre que :

$$
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{i,j} \Delta_{\{i\},\{j\}}(A).
$$

(2) Cas $i \neq j$. On montre que :

$$
\sum_{k=1}^{n} (-1)^{i+k} a_{l,j} \Delta_{\{i\}, \{j\}}(A) = 0.
$$

(1) **Cas i = j.** On a par linéarité du déterminant par rapport à la *i*-ème ligne (voir la sous-section A.3 pour les notations sur les matrices de permutations) :

$$
\begin{align*}
\det(A) &= \det(\mathcal{L}_1(A)^T, \dots, \mathcal{L}_n(A)^T) \\
&= \det \left( \mathcal{L}_1(A)^T, \dots, \mathcal{L}_{i-1}(A)^T, \sum_{j=1}^n a_{i,j} e_k, \mathcal{L}_{i-1}(A)^T, \dots, \mathcal{L}_n(A)^T \right) \\
&= \sum_{j=1}^n a_{i,j} \det \left( \mathcal{L}_1(A)^T, \dots, \mathcal{L}_{i-1}(A)^T, e_j, \mathcal{L}_{i-1}(A)^T, \dots, \mathcal{L}_n(A)^T \right) \\
&= \sum_{j=1}^n a_{i,j} \det \left( \mathcal{P}_{(1,2,...,i)} \right) \det \left( \mathbf{P}_{(1,2,...,i)} \begin{pmatrix} \mathcal{L}_1(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_{i-1}(A) \\ e_j^T \\ \mathcal{L}_{i+1}(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_n(A) \end{pmatrix} \right) \\
&= \sum_{j=1}^n a_{i,j} \det \left( \mathbf{P}_{(1,2,...,i)} \right) \det \left( \mathbf{P}_{(1,2,...,i)} \begin{pmatrix} \mathcal{L}_1(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_{i-1}(A) \\ e_j^T \\ \mathcal{L}_{i+1}(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_n(A) \end{pmatrix} \right) \tag*{par A.3.1}
\end{align*}
$$
Lemme 2.2.3

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $i, l \in \{1, \dots, n\}$. Alors on a :

$$
\begin{align*}
\det(A)\delta_{i,l} &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} [A]_{l,j} \Delta_{\{i\},\{j\}}(A) \\
&= \sum_{j=1}^{n} [A]_{l,j} \mathrm{Cof}_{\{i\},\{j\}}(A).
\end{align*}
$$

Démonstration. Posons $A := (a_{ij})_{ij}$. Montrons le résultat en deux parties.

(1) Cas $i = l$. On montre que :

$$
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{i,j} \Delta_{\{i\},\{j\}}(A).
$$

(2) Cas $i \neq l$. On montre que :

$$
\sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{l,j} \Delta_{\{i\},\{j\}}(A) = 0.
$$

(1) **Cas i = l.** On a par linéarité du déterminant par rapport à la i-ème ligne de A (voir la sous-section A.3 pour les notations sur les matrices de permutations) :

$$
\begin{align*}
\det(A) &= \det(\mathcal{L}_1(A)^T, \dots, \mathcal{L}_n(A)^T) \\
&= \det\left(\mathcal{L}_1(A)^T, \dots, \mathcal{L}_{i-1}(A)^T, \sum_{j=1}^n a_{i,j} e_k, \mathcal{L}_{i-1}(A)^T, \dots, \mathcal{L}_n(A)^T\right) \\
&= \sum_{j=1}^n a_{i,j} \det\left(\mathcal{L}_1(A)^T, \dots, \mathcal{L}_{i-1}(A)^T, e_j, \mathcal{L}_{i-1}(A)^T, \dots, \mathcal{L}_n(A)^T\right) \\
&= \sum_{j=1}^n a_{i,j} \det\left(\mathbf{P}_{(1,2,...,i)} \mathbf{P}_{(1,2,...,i)}^{-1}\right) \det\left(\begin{pmatrix} \mathcal{L}_1(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_{i-1}(A) \\ e_j^T \\ \mathcal{L}_{i+1}(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_n(A) \end{pmatrix}\right) \\
&= \sum_{j=1}^n a_{i,j} \det\left(\mathbf{P}_{(1,2,...,i)}\right) \det\left(\mathbf{P}_{(1,2,...,i)}\begin{pmatrix} \mathcal{L}_1(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_{i-1}(A) \\ e_j^T \\ \mathcal{L}_{i+1}(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_n(A) \end{pmatrix}\right) \quad \text{car } \mathbf{P}_{(1,2,...,i)}^{-1} = \mathbf{P}_{(1,2,...,i)}^T
\end{align*}
$$
$$ = \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} (-1)^{i-1} \det \begin{pmatrix} e_j^T \\ \mathcal{L}_1(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_{i-1}(A) \\ \mathcal{L}_{i+1}(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_n(A) \end{pmatrix} \quad \text{par la propostion A.4.1} $$

$$ = \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} (-1)^{i-1} \det \begin{pmatrix} e_j^T \\ \mathcal{L}_1(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_{i-1}(A) \\ \mathcal{L}_{i+1}(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_n(A) \end{pmatrix} \mathbf{P}_{(1,2,...,j)} \det(\mathbf{P}_{(1,2,...,j)}) $$

$$ = \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} (-1)^{i-1} \varepsilon((1, 2, \dots, j)) \det \begin{pmatrix} e_j^T \\ \mathcal{L}_1(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_{i-1}(A) \\ \mathcal{L}_{i+1}(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_n(A) \end{pmatrix} \mathbf{P}_{(1,2,...,j)} \quad \text{par A.3.1} $$

$$ = \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} (-1)^{i-1} (-1)^{j-1} \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ * & A_{\{i\},\{j\}} \end{pmatrix} \quad \text{par la propostion A.4.1} $$

$$ = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{i,j} \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ * & A_{\{i\},\{j\}} \end{pmatrix} $$

Montrons que pour tout $j \in \{1, \dots, n\}$ :

$$ \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ * & A_{\{i\},\{j\}} \end{pmatrix} = \Delta_{\{i\},\{j\}}(A). $$

Posons :

$$ B := (b_{k,l})_{k,l} := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ * & A_{\{i\},\{j\}} \end{pmatrix} $$

Soit $j \in \{1, \dots, n\}$. On a :

$$ \begin{aligned} \det(B) &= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} b_{i,\sigma(i)} \\ &= \sum_{\substack{\sigma \in \mathfrak{S}_n \\ \sigma(1)=1}} \varepsilon(\sigma) b_{1,1} \prod_{i=2}^{n} b_{i,\sigma(i)} \\ &= \sum_{\substack{\sigma \in \mathfrak{S}_n \\ \sigma(1)=1}} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=2}^{n} [A_{\{i\},\{j\}}]_{i-1,\sigma(i)-1} \\ &= \sum_{\substack{\sigma' \in \mathfrak{S}_{n-1} \\ \sigma'(1)=1}} \varepsilon(\sigma') \prod_{i=1}^{n-1} [A_{\{i\},\{j\}}]_{i,\sigma'(i)} \\ &= \Delta_{\{i\},\{j\}}(A) \end{aligned} $$
$$ = \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} \varepsilon((1,2,\dots,i)) \det \mathbf{P}_{(1,2,\dots,i)} \begin{pmatrix} \mathcal{L}_1(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_{i-1}(A) \\ e_j^T \\ \mathcal{L}_{i+1}(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_n(A) \end{pmatrix} \quad \text{par A.3.1} $$

$$ = \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} (-1)^{i-1} \det \begin{pmatrix} e_j^T \\ \mathcal{L}_1(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_{i-1}(A) \\ \mathcal{L}_{i+1}(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_n(A) \end{pmatrix} \quad \text{par la propostion A.4.1} $$

$$ = \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} (-1)^{i-1} \det \left( \begin{pmatrix} e_j^T \\ \mathcal{L}_1(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_{i-1}(A) \\ \mathcal{L}_{i+1}(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_n(A) \end{pmatrix} \right) \det \left( \mathbf{P}_{(1,2,\dots,j)}^{-1} \mathbf{P}_{(1,2,\dots,j)} \right) $$

$$ = \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} (-1)^{i-1} \det \begin{pmatrix} e_j^T \\ \mathcal{L}_1(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_{i-1}(A) \\ \mathcal{L}_{i+1}(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_n(A) \end{pmatrix} \mathbf{P}_{(1,2,\dots,j)} \det(\mathbf{P}_{(1,2,\dots,j)}) \quad \text{car } \mathbf{P}_{(1,2,\dots,j)}^{-1} = \mathbf{P}_{(1,2,\dots,j)}^T $$

$$ = \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} (-1)^{i-1} \varepsilon((1,2,\dots,j)) \det \begin{pmatrix} e_j^T \\ \mathcal{L}_1(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_{i-1}(A) \\ \mathcal{L}_{i+1}(A) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_n(A) \end{pmatrix} \mathbf{P}_{(1,2,\dots,j)} \quad \text{par A.3.1} $$

$$ = \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} (-1)^{i-1} (-1)^{j-1} \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ * & A_{\{i\},\{j\}} \end{pmatrix} \quad \text{par la propostion A.4.1} $$

$$ = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{i,j} \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ * & A_{\{i\},\{j\}} \end{pmatrix} $$

Montrons que pour tout $j \in \{1, \dots, n\}$ :

$$ \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ * & A_{\{i\},\{j\}} \end{pmatrix} = \Delta_{\{i\},\{j\}}(A). $$

Posons :

$$ B := (b_{k,l})_{k,l} := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ * & A_{\{i\},\{j\}} \end{pmatrix} $$
Ainsi on a :

$$
\begin{align*}
\det(A) &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{i,j} \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ * & A_{\{i\},\{j\}} \end{pmatrix} \\
&= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{i,j} \Delta_{\{i\},\{j\}}(A)
\end{align*}
$$

(2) **Cas i≠l.** Posons $B$ la matrice définie par les lignes :

$$
\forall j \in \{1, \dots, n\}, \mathcal{L}_j(B) := \begin{cases} \mathcal{L}_j(A) & \text{si } j \neq i \\ \mathcal{L}_l(A) & \text{si } j = i \end{cases}
$$

Donc les lignes *i* et *l* de *B* sont égales (donc $\det(B) = 0$). En utilisant (1) avec la matrice *B* et comme $B_{\{i\},\{j\}} = A_{\{i\},\{j\}}$, on a donc :

$$
\begin{align*}
0 &= \det(B) \\
&= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} [B]_{i,j} \Delta_{\{i\},\{j\}}(B) \\
&= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} [A]_{l,j} \det(B_{\{i\},\{j\}}) \\
&= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} [A]_{l,j} \det(A_{\{i\},\{j\}}) \\
&= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} [A]_{l,j} \Delta_{\{i\},\{j\}}(A)
\end{align*}
$$

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

On peut écrire la formule aussi comme :

$$
\begin{align*}
\det(A)\delta_{i,l} &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} [A]_{l,j} \Delta_{\{i\},\{j\}}(A) \\
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,1}} (-1)^{i+|J|} \Delta_{\overline{\{l\}},\overline{J}}(A) \Delta_{\{i\},J}(A) \\
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,1}} \Delta_{\overline{\{l\}},\overline{J}}(A) \mathrm{Cof}_{\{i\},J}(A).
\end{align*}
$$

On généralise cette dernière égalité.

**Proposition 2.2.4**

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $I, L \in \mathcal{P}_{n,k}$. Alors on a :

$$
\begin{align*}
\det(A)\delta_{I,L} &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{L},\bar{J}}(A) \Delta_{I,J}(A) \\
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} \Delta_{\bar{L},\bar{J}}(A) \mathrm{Cof}_{I,J}(A)
\end{align*}
$$

Démonstration. Montrons le résultat en deux parties.
Soit $j \in \{1, \dots, n\}$. On a :

$$
\begin{align*}
\det(B) &= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} b_{i, \sigma(i)} \\
&= \sum_{\substack{\sigma \in \mathfrak{S}_n \\ \sigma(1)=1}} \varepsilon(\sigma) b_{1,1} \prod_{i=2}^{n} b_{i, \sigma(i)} \\
&= \sum_{\substack{\sigma \in \mathfrak{S}_n \\ \sigma(1)=1}} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=2}^{n} [A_{\{i\}, \{j\}}]_{i-1, \sigma(i)-1} \\
&= \sum_{\sigma' \in \mathfrak{S}_{n-1}} \varepsilon(\sigma') \prod_{i=1}^{n-1} [A_{\{i\}, \{j\}}]_{i, \sigma'(i)} \\
&= \Delta_{\{i\}, \{j\}}(A)
\end{align*}
$$

Ainsi on a :

$$
\begin{align*}
\det(A) &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{i,j} \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ * & A_{\{i\},\{j\}} \end{pmatrix} \\
&= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{i,j} \Delta_{\{i\},\{j\}}(A)
\end{align*}
$$

(2) **Cas i ≠ l.** Posons $B$ la matrice définie par les lignes :

$$
\forall j \in \{1, \dots, n\}, \mathcal{L}_j(B) := \begin{cases} \mathcal{L}_j(A) & \text{si } j \neq i \\ \mathcal{L}_l(A) & \text{si } j = i \end{cases}
$$

Donc les lignes *i* et *l* de *B* sont égales (donc $\det(B) = 0$). En utilisant (1) avec la matrice *B* et comme $B_{\{i\},\{j\}} = A_{\{i\},\{j\}}$, on a donc :

$$
\begin{align*}
0 &= \det(B) \\
&= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} [B]_{i,j} \Delta_{\{i\},\{j\}}(B) \\
&= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} [A]_{l,j} \det(B_{\{i\},\{j\}}) \\
&= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} [A]_{l,j} \det(A_{\{i\},\{j\}}) \\
&= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} [A]_{l,j} \Delta_{\{i\},\{j\}}(A)
\end{align*}
$$

□

On peut écrire la formule aussi comme :

$$
\begin{align*}
\det(A)\delta_{i,l} &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} [A]_{l,j} \Delta_{\{i\},\{j\}}(A) \\
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,1}} (-1)^{i+|J|} \Delta_{\overline{\{l\}},J}(A) \Delta_{\{i\},J}(A) \\
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,1}} \Delta_{\overline{\{l\}},J}(A) \mathrm{Cof}_{\{i\},J}(A).
\end{align*}
$$

On généralise cette dernière égalité.
(1) Cas $I = L$. On montre que :

$$ \det(A) = \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{I}, \bar{J}}(A) \Delta_{I, J}(A). $$

(2) Cas $I \neq L$. On montre que :

$$ \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{I}, \bar{J}}(A) \Delta_{I, J}(A) = 0. $$

(1) **Cas $I = L$. On a :**

Montrons par récurrence double et forte sur $(n, k)$ tels que $n \in \mathbb{N}_*$ et $k \in \{0, \dots, n\}$ la propriété :

$$ \mathcal{Q}(n,k) : \forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \forall I \in \mathcal{P}_{n,k}, \det(A) = \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{I}, \bar{J}}(A) \Delta_{I, J}(A). $$

Voici le schéma de preuve.

(i) **Initialisation pour $n := 1$.** On montre que $\mathcal{Q}(1,0)$ et $\mathcal{Q}(1,1)$ sont vraies.

(ii) **Hérédité pour $n \in \mathbb{N}_*$.** Soit $n \in \mathbb{N}_*$. On suppose que $\mathcal{Q}(n', k')$ soient vraies pour tous $(n', k') \in \mathbb{N}_* \times \mathbb{N}$ tels que $0 \le k' \le n' \le n$ (récurrence forte double).

(I) **Initialisation pour $k := 0$ et $k := 1$.** On montre que $\mathcal{Q}(n+1,0)$ est vraie et par le lemme 2.2.3, on a que $\mathcal{Q}(n+1,1)$ est vraie.

(II) **Hérédité pour $k \in \{1, \dots, n\}$.** Soit $k \in \{1, \dots, n\}$. On suppose que $\mathcal{Q}(n+1,l)$ soit vraie pour tout $l \in \{0, \dots, k\}$. On montre que $\mathcal{Q}(n+1,k+1)$ est vraie.

(III) **Conclusion pour $k \in \{0, \dots, n+1\}$.** Par le principe de récurrence forte, $\mathcal{Q}(n+1,k)$ est vraie pour tout $k \in \{0, \dots, n+1\}$.

(iii) **Conclusion pour $n \in \mathbb{N}_*$.** Par le principe de récurrence double et forte, $\mathcal{Q}(n,k)$ est vraie pour tout $(n,k)$ tels que $n \in \mathbb{N}_*$ et $k \in \{0, \dots, n\}$.

(i) Soit $A \in \mathcal{M}_1(\mathbb{C})$. Comme $\mathcal{P}_{1,0} = \{\emptyset\}$ et $\mathcal{P}_{1,0} = \{\{1\}\}$. On a :

$$ \begin{aligned} (-1)^{|\emptyset|+|\emptyset|} \Delta_{\bar{\emptyset}, \bar{\emptyset}}(A) \Delta_{\emptyset, \emptyset}(A) &= (-1)^0 \Delta_{\{1\}, \{1\}}(A) \Delta_{\emptyset, \emptyset}(A) \\ &= \det(A) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} (-1)^{|\{1\}|+|\{1\}|} \Delta_{\overline{\{1\}}, \overline{\{1\}}} (A) \Delta_{\{1\}, \{1\}} (A) &= (-1)^2 \Delta_{\emptyset, \emptyset} (A) \Delta_{\{1\}, \{1\}} (A) \\ &= \det(A) \end{aligned} $$

Donc $\mathcal{Q}(1,0)$ et $\mathcal{Q}(1,1)$ sont vraies.

(ii) Soit $n \in \mathbb{N}_*$ et $A \in \mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{C})$. Supposons que $\mathcal{Q}(n', k')$ soient vraies pour tous $(n', k') \in \mathbb{N}_* \times \mathbb{N}$ tels que $0 \le k' \le n' \le n$.

(I) Comme $\mathcal{P}_{n+1,0} = \{\emptyset\}$, on a :

$$ \begin{aligned} (-1)^{|\emptyset|+|\emptyset|} \Delta_{\bar{\emptyset}, \bar{\emptyset}}(A) \Delta_{\emptyset, \emptyset}(A) &= (-1)^0 \Delta_{\{1, \dots, n+1\}, \{1, \dots, n+1\}}(A) \Delta_{\emptyset, \emptyset}(A) \\ &= \det(A) \end{aligned} $$

Donc $\mathcal{Q}(n+1,0)$ est vraie.

Par le lemme 2.2.3, on a que $\mathcal{Q}(n+1,1)$ est vraie.

(II) Soit $k \in \{1, \dots, n\}$ et $I \in \mathcal{P}_{n+1,k+1}$. Supposons que $\mathcal{Q}(n+1,l)$ soit vraie pour tout $l \in \{0, \dots, k\}$. Comme $n+1 \ge k+1 \ge 1$, il existe $i_0 \in I$ et $I' := I - \{i_0\} \in \mathcal{P}_{n+1,k}$. Pour tout $J' \in \mathcal{P}_{n+1,k}$, on a par la propriété $\mathcal{Q}(n+1-k, 1)$ appliquée à $A_{\overline{I'}, \overline{J'}}$ avec $\{i_0\} \in \overline{I'}$ :

(**) : $\Delta_{\overline{I'}, \overline{J'}}(A)$
### Proposition 2.2.4

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $I, L \in \mathcal{P}_{n,k}$. Alors on a :

$$ 
\begin{aligned}
\det(A)\delta_{I,L} &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{L},\bar{J}}(A)\Delta_{I,J}(A) \\
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} \Delta_{\bar{L},\bar{J}}(A)\mathrm{Cof}_{I,J}(A)
\end{aligned}
$$

*Démonstration.* Montrons le résultat en deux parties.

(1) Cas $I = L$. On montre que :

$$ \det(A) = \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{I},\bar{J}}(A)\Delta_{I,J}(A). $$

(2) Cas $I \neq L$. On montre que :

$$ \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{L},\bar{J}}(A)\Delta_{I,J}(A) = 0. $$

(1) **Cas $I = L$. On a :**

Montrons par récurrence double et forte sur $(n, k)$ tels que $n \in \mathbb{N}_*$ et $k \in \{0, \dots, n\}$ la propriété :

$$ \mathcal{Q}(n,k) : \forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \forall I \in \mathcal{P}_{n,k}, \det(A) = \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{I},\bar{J}}(A)\Delta_{I,J}(A). $$

Voici le schéma de preuve.

(i) **Initialisation pour $n := 1$.** On montre que $\mathcal{Q}(1,0)$ et $\mathcal{Q}(1,1)$ sont vraies.

(ii) **Hérédité pour $n \in \mathbb{N}_*$.** Soit $n \in \mathbb{N}_*$. On suppose que $\mathcal{Q}(n', k')$ soient vraies pour tous $(n', k') \in \mathbb{N}_* \times \mathbb{N}$ tels que $0 \le k' \le n' \le n$ (récurrence forte double).

(I) **Initialisation pour $k := 0$ et $k := 1$.** On montre que $\mathcal{Q}(n+1,0)$ est vraie et par le lemme 2.2.3, on a que $\mathcal{Q}(n+1,1)$ est vraie.

(II) **Hérédité pour $k \in \{1, \dots, n\}$.** Soit $k \in \{1, \dots, n\}$. On suppose que $\mathcal{Q}(n+1,l)$ soit vraie pour tout $l \in \{0, \dots, k\}$. On montre que $\mathcal{Q}(n+1,k+1)$ est vraie.

(III) **Conclusion pour $k \in \{0, \dots, n+1\}$.** Par le principe de récurrence forte, $\mathcal{Q}(n+1,k)$ est vraie pour tout $k \in \{0, \dots, n+1\}$.

(iii) **Conclusion pour $n \in \mathbb{N}_*$.** Par le principe de récurrence double et forte, $\mathcal{Q}(n,k)$ est vraie pour tout $(n,k)$ tels que $n \in \mathbb{N}_*$ et $k \in \{0, \dots, n\}$.

(i) Soit $A \in \mathcal{M}_1(\mathbb{C})$. Comme $\mathcal{P}_{1,0} = \{\emptyset\}$ et $\mathcal{P}_{1,0} = \{\{1\}\}$. On a :

$$ 
\begin{aligned}
(-1)^{|\emptyset|+|\emptyset|} \Delta_{\overline{\emptyset},\overline{\emptyset}}(A)\Delta_{\emptyset,\emptyset}(A) &= (-1)^0 \Delta_{\{1\},\{1\}}(A)\Delta_{\emptyset,\emptyset}(A) \\
&= \det(A)
\end{aligned}
$$

$$ 
\begin{aligned}
(-1)^{|\{1\}|+|\{1\}|} \Delta_{\overline{\{1\}},\overline{\{1\}}} (A) \Delta_{\{1\},\{1\}} (A) &= (-1)^2 \Delta_{\emptyset,\emptyset} (A) \Delta_{\{1\},\{1\}} (A) \\
&= \det(A)
\end{aligned}
$$

Donc $\mathcal{Q}(1,0)$ et $\mathcal{Q}(1,1)$ sont vraies.

(ii) Soit $n \in \mathbb{N}_*$ et $A \in \mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{C})$. Supposons que $\mathcal{Q}(n', k')$ soient vraies pour tous $(n', k') \in \mathbb{N}_* \times \mathbb{N}$ tels que $0 \le k' \le n' \le n$.
$$
\begin{align*}
&= \det(A_{\overline{I'}, \overline{J'}}) \\
&= \sum_{K \in \mathcal{P}_{n+1-k, 1}} (-1)^{|\mathfrak{p}(i_0, \overline{I'})|+|K|} \Delta_{\overline{\mathfrak{p}(i_0, \overline{I'})}, \overline{K}}(A_{\overline{I'}, \overline{J'}}) \Delta_{\overline{\mathfrak{p}(i_0, \overline{I'})}, K}(A_{\overline{I'}, \overline{J'}}) \quad \text{par } \mathcal{Q}(n+1-k, 1) \\
&= \sum_{j \in \overline{J'}} (-1)^{\mathfrak{p}(i_0, \overline{I'}) + \mathfrak{p}(j, \overline{J'})} a_{i_0, j} \Delta_{\mathfrak{p}(i_0, \overline{I'}), \mathfrak{p}(j, \overline{J'})}(A_{\overline{I'}, \overline{J'}}) \\
&= \sum_{j \in \overline{J'}} (-1)^{\mathfrak{p}(i_0, \overline{I'}) + \mathfrak{p}(j, \overline{J'})} a_{i_0, j} \Delta_{\overline{\overline{I}, \overline{J'} \cup \{j\}}}(A)
\end{align*}
$$

Remarque : on aurait pu avoir $n+1-k=n+1$ pour $k:=0$ si on n'avait pas fait une initialisation à deux termes avec $\mathcal{Q}(n+1, 1)$ vraie. Il était donc utile de démontrer le lemme 2.2.3 avant.
On a donc :

$$
\begin{align*}
& \det(A) \\
&= \sum_{J' \in \mathcal{P}_{n+1,k}} (-1)^{|I'|+|J'|} \Delta_{\overline{I'}, \overline{J'}}(A) \Delta_{I', J'}(A) && \text{par } \mathcal{Q}(n+1,k) \\
&= \sum_{J' \in \mathcal{P}_{n+1,k}} (-1)^{|I'|+|J'|} \left( \sum_{j \in \overline{J'}} (-1)^{\mathfrak{p}(i_0, \overline{I'}) + \mathfrak{p}(j, \overline{J'})} a_{i_0, j} \Delta_{\overline{I, J' \cup \{j\}}} (A) \right) \Delta_{I', J'}(A) && \text{par } (**) \\
&= \sum_{J' \in \mathcal{P}_{n+1,k}} \sum_{j \in \overline{J'}} (-1)^{|I'|+|\mathfrak{p}(i_0, \overline{I'})|+|J'|+|\mathfrak{p}(j, \overline{J'})|} a_{i_0, j} \Delta_{\overline{I, J' \cup \{j\}}} (A) \Delta_{I', J'}(A) \\
&= \sum_{J' \in \mathcal{P}_{n+1,k}} \sum_{j \in \overline{J'}} (-1)^{|I'|+|i_0|+|J'|+|j|} \Delta_{\overline{I, J' \cup \{j\}}} \\
& \qquad \times ((-1)^{-\mathfrak{p}(i_0, I)} - \mathfrak{p}(j, J' \cup \{j\}) - 2a_{i_0, j}(A) \Delta_{I', J'}(A)) && \text{par } (2.1.1) \\
&= \sum_{J' \in \mathcal{P}_{n+1,k}} \sum_{j \in \overline{J'}} (-1)^{|I'|+|i_0|+|J'|+|j|} \Delta_{\overline{I, J' \cup \{j\}}} \\
& \qquad \times ((-1)^{\mathfrak{p}(i_0, I)} + \mathfrak{p}(j, J' \cup \{j\}) [A_{I,J}]_{\mathfrak{p}(i_0,I)+\mathfrak{p}(j, J' \cup \{j\})} \Delta_{\{\mathfrak{p}(i_0,I)\}, \{\mathfrak{p}(j, J' \cup \{j\})\}} (A_{I,J})) \\
&= \sum_{J' \in \mathcal{P}_{n+1,k}} \sum_{j \in \overline{J'}} (-1)^{|I'|+|J'|+|j|} \Delta_{\overline{I, J' \cup \{j\}}} (A) \det(A_{I, J' \cup \{j\}}) && \text{par } \mathcal{Q}(n-k, 1) \\
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n+1,k+1}} (-1)^{|I'|+|J'|} \Delta_{\overline{I}, \overline{J}}(A) \det(A_{I, J}) \\
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n+1,k+1}} (-1)^{|I'|+|J'|} \Delta_{\overline{I}, \overline{J}}(A) \Delta_{I, J}(A)
\end{align*}
$$

Donc $\mathcal{Q}(n+1, k+1)$ est vraies.

(III) Par le principe de récurrence forte, $\mathcal{Q}(n+1, k)$ est vraie pour tout $k$ tels que $k \in \{0, \dots, n+1\}$.

(iii) Par le principe de récurrence double et forte, $\mathcal{Q}(n, k)$ est vraie pour tout $(n, k)$ tels que $n \in \mathbb{N}_*$ et $k \in \{0, \dots, n\}$.

(2) **Cas $I \neq L$**. Posons $I := (i_1, \dots, i_k)$, $L := (l_1, \dots, l_k)$ et $B$ la matrice définie par les lignes :

$$
\forall k \in \{1, \dots, n\}, \quad \mathcal{L}_k(B) := \begin{cases} \mathcal{L}_k(A) & \text{si } k \in \overline{I} \\ \mathcal{L}_{l_j}(A) & \text{si } k := i_j \in I \end{cases}
$$

Comme $I$ et $L$ sont de même cardinal et distincts, il existe un élément dans $L$ qui n’est pas dans $I$ (et inversement) i.e. il existe $l' := l_j \in L - I = L \cap \overline{I}$. Comme $l' \neq i_j$ (car $l' \in \overline{I}$ et $i_j \in I$) et comme :

$$
\mathcal{L}_{l'}(B) = \mathcal{L}_{l'}(A)
$$
(I) Comme $\mathcal{P}_{n+1,0} = \{\emptyset\}$, on a :

$$ \begin{aligned} (-1)^{|\emptyset|+|\bar{\emptyset}|} \Delta_{\bar{\emptyset}, \bar{\emptyset}}(A) \Delta_{\emptyset, \emptyset}(A) &= (-1)^0 \Delta_{\{1,...,n+1\}, \{1,...,n+1\}}(A) \Delta_{\emptyset, \emptyset}(A) \\ &= \det(A) \end{aligned} $$

Donc $\mathcal{Q}(n+1,0)$ est vraie.

Par le lemme 2.2.3, on a que $\mathcal{Q}(n+1,1)$ est vraie.

(II) Soit $k \in \{1, ..., n\}$ et $I \in \mathcal{P}_{n+1,k+1}$. Supposons que $\mathcal{Q}(n+1,l)$ soit vraie pour tout $l \in \{0, ..., k\}$. Comme $n+1 \ge k+1 \ge 1$, il existe $i_0 \in I$ et $I' := I - \{i_0\} \in \mathcal{P}_{n+1,k}$. Pour tout $J' \in \mathcal{P}_{n+1,k}$, on a par la propriété $\mathcal{Q}(n+1-k,1)$ appliquée à $A_{\overline{I'}, \overline{J'}}$ avec $\{i_0\} \in \overline{I'}$ :

$$ \begin{aligned} (**) : \quad & \Delta_{\overline{I'}, \overline{J'}}(A) \\ &= \det(A_{\overline{I'}, \overline{J'}}) \\ &= \sum_{K \in \mathcal{P}_{n+1-k,1}} (-1)^{|\mathfrak{P}(i_0, \overline{I'})|+|K|} \Delta_{\overline{\mathfrak{P}(i_0, \overline{I'})}, K}(A_{\overline{I'}, \overline{J'}}) \Delta_{\overline{\mathfrak{P}(i_0, \overline{I'})}, K}(A_{\overline{I'}, \overline{J'}}) \quad \text{par } \mathcal{Q}(n+1-k,1) \\ &= \sum_{j \in \overline{J'}} (-1)^{|\mathfrak{P}(i_0, \overline{I'}) + \mathfrak{P}(j, \overline{J'})|} a_{i_0, j} \Delta_{\overline{\mathfrak{P}(i_0, \overline{I'})}, \overline{\mathfrak{P}(j, \overline{J'})}}(A_{\overline{I'}, \overline{J'}}) \\ &= \sum_{j \in \overline{J'}} (-1)^{|\mathfrak{P}(i_0, \overline{I'}) + \mathfrak{P}(j, \overline{J'})|} a_{i_0, j} \Delta_{\overline{I}, \overline{J'} \cup \{j\}}(A) \end{aligned} $$

**Remarque :** on aurait pu avoir $n+1-k=n+1$ pour $k:=0$ si on n'avait pas fait une initialisation à deux termes avec $\mathcal{Q}(n+1,1)$ vraie. Il était donc utile de démontrer le lemme 2.2.3 avant.

On a donc :

$$ = \sum_{J' \in \mathcal{P}_{n+1,k}} (-1)^{|I'|+|J'|} \Delta_{\overline{I'}, \overline{J'}}(A) \Delta_{I', J'}(A) \quad \text{par } \mathcal{Q}(n+1,k) $$

$$ = \sum_{J' \in \mathcal{P}_{n+1,k}} (-1)^{|I'|+|J'|} \left( \sum_{j \in \overline{J'}} (-1)^{|\mathfrak{P}(i_0, \overline{I'}) + \mathfrak{P}(j, \overline{J'})|} a_{i_0, j} \Delta_{\overline{I}, \overline{J'} \cup \{j\}}(A) \right) \Delta_{I', J'}(A) \quad \text{par } (**) $$

$$ = \sum_{J' \in \mathcal{P}_{n+1,k}} \sum_{j \in \overline{J'}} (-1)^{|I'|+|\mathfrak{P}(i_0, \overline{I'})|+|\mathfrak{P}(j, \overline{J'})|} a_{i_0, j} \Delta_{\overline{I}, \overline{J'} \cup \{j\}}(A) \Delta_{I', J'}(A) $$

$$ = \sum_{J' \in \mathcal{P}_{n+1,k}} \sum_{j \in \overline{J'}} (-1)^{|I'|+i_0+|J'|+j} \Delta_{\overline{I}, \overline{J'} \cup \{j\}} \times ((-1)^{-|\mathfrak{P}(i_0,I)-\mathfrak{P}(j,J' \cup \{j\})|} a_{i_0,j}(A) \Delta_{I',J'}(A)) \quad \text{par (2.1.1)} $$

$$ = \sum_{J' \in \mathcal{P}_{n+1,k}} \sum_{j \in \overline{J'}} (-1)^{|I'|+i_0+|J'|+j} \Delta_{\overline{I}, \overline{J'} \cup \{j\}} \times ((-1)^{|\mathfrak{P}(i_0,I)+\mathfrak{P}(j,J' \cup \{j\})|} [A_{I,J}]_{\mathfrak{P}(i_0,I)+\mathfrak{P}(j,J' \cup \{j\})} \Delta_{\{\mathfrak{P}(i_0,I)\}, \{\mathfrak{P}(j,J' \cup \{j\})\}}(A_{I,J})) $$

$$ = \sum_{J' \in \mathcal{P}_{n+1,k}} \sum_{j \in \overline{J'}} (-1)^{|I'|+|J'|+j} \Delta_{\overline{I}, \overline{J'} \cup \{j\}}(A) \det(A_{I, \overline{J'} \cup \{j\}}) \quad \text{par } \mathcal{Q}(n-k,1) $$

$$ = \sum_{J \in \mathcal{P}_{n+1,k+1}} (-1)^{|I'|+|J'|} \Delta_{\overline{I}, \overline{J}}(A) \det(A_{I,J}) $$

$$ = \sum_{J \in \mathcal{P}_{n+1,k+1}} (-1)^{|I'|+|J'|} \Delta_{\overline{I}, \overline{J}}(A) \Delta_{I,J}(A) $$

Donc $\mathcal{Q}(n+1,k+1)$ est vraies.
$$ \mathcal{L}_{i_j}(B) = \mathcal{L}_{l_j}(A) = \mathcal{L}_{l'}(A) $$

les lignes $l'$ et $i_j$ de $B$ sont égales (donc $\det(B) = 0$). En utilisant le point (1) avec la matrice $B$ et comme :

$$ B_{I,J} = A_{I,J} \quad , \quad B_{\bar{I},\bar{J}} = A_{\bar{I},\bar{J}} $$

on a donc :

$$ \begin{align*} 0 &= \det(B) \\ &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{I},\bar{J}}(B) \Delta_{I,J}(B) \\ &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \det(B_{\bar{I},\bar{J}}) \det(B_{I,J}) \\ &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \det(A_{\bar{I},\bar{J}}) \det(A_{I,J}) \\ &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{I},\bar{J}}(A) \Delta_{I,J}(A) \end{align*} $$

□

Dans le cas où $I = L$, on a à gauche le déterminant, d'où la définition suivante.

## Définition 2.2.5

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $I \in \mathcal{P}_{n,k}$. Le calcul du déterminant de $A$ en développant suivant les lignes de $I$ est :

$$ \begin{align*} \det(A) &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{I},\bar{J}}(A) \Delta_{I,J}(A) \\ &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} \Delta_{\bar{I},\bar{J}}(A) \mathrm{Cof}_{I,J}(A) \\ &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} \mathrm{Cof}_{\bar{I},\bar{J}}(A) \Delta_{I,J}(A). \end{align*} $$

Pour la troisième égalité, on utilise le fait que :

$$ (-1)^{|\bar{I}|+|\bar{J}|} = (-1)^{n(n+1)/2 - |I| + n(n+1)/2 - |J|} = (-1)^{|I|+|J|}. $$
(III) Par le principe de récurrence forte, $\mathcal{Q}(n+1, k)$ est vraie pour tout $k$ tels que $k \in \{0, \dots, n+1\}$.

(iii) Par le principe de récurrence double et forte, $\mathcal{Q}(n, k)$ est vraie pour tout $(n, k)$ tels que $n \in \mathbb{N}_*$ et $k \in \{0, \dots, n\}$.

(2) **Cas $I \neq L$**. Posons $I := (i_1, \dots, i_k)$, $L := (l_1, \dots, l_k)$ et $B$ la matrice définie par les lignes :

$$ \forall k \in \{1, \dots, n\}, \quad \mathcal{L}_k(B) := \begin{cases} \mathcal{L}_k(A) & \text{si } k \in \bar{I} \\ \mathcal{L}_{l_j}(A) & \text{si } k := i_j \in I \end{cases} $$

Comme $I$ et $L$ sont de même cardinal et distincts, il existe un élément dans $L$ qui n'est pas dans $I$ (et inversement) i.e. il existe $l' := l_j \in L - I = L \cap \bar{I}$. Comme $l' \neq i_j$ (car $l' \in \bar{I}$ et $i_j \in I$) et comme :

$$ \begin{aligned} \mathcal{L}_{l'}(B) &= \mathcal{L}_{l'}(A) \\ \mathcal{L}_{i_j}(B) &= \mathcal{L}_{l_j}(A) = \mathcal{L}_{l'}(A) \end{aligned} $$

les lignes $l'$ et $i_j$ de $B$ sont égales (donc $\det(B) = 0$). En utilisant le point (1) avec la matrice $B$ et comme :

$$ B_{I,J} = A_{I,J} \quad , \quad B_{\bar{I},\bar{J}} = A_{\bar{I},\bar{J}} $$

on a donc :

$$ \begin{aligned} 0 &= \det(B) \\ &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{I},\bar{J}}(B) \Delta_{I,J}(B) \\ &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \det(B_{\bar{I},\bar{J}}) \det(B_{I,J}) \\ &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \det(A_{\bar{I},\bar{J}}) \det(A_{I,J}) \\ &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{I},\bar{J}}(A) \Delta_{I,J}(A) \end{aligned} $$

□

Dans le cas où $I = L$, on a à gauche le déterminant, d'où la définition suivante.

## Définition 2.2.5

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $I \in \mathcal{P}_{n,k}$. Le calcul du déterminant de $A$ en développant suivant les lignes de $I$ est :

$$ \begin{aligned} \det(A) &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{I},\bar{J}}(A) \Delta_{I,J}(A) \\ &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} \Delta_{\bar{I},\bar{J}}(A) \mathrm{Cof}_{I,J}(A) \\ &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} \mathrm{Cof}_{\bar{I},\bar{J}}(A) \Delta_{I,J}(A). \end{aligned} $$

Pour la troisième égalité, on utilise le fait que :

$$ (-1)^{|\bar{I}|+|\bar{J}|} = (-1)^{n(n+1)/2 - |I| + n(n+1)/2 - |J|} = (-1)^{|I|+|J|}. $$
# 3 Super matrices

## 3.1 Notations

On définit maintenant la notion de matrices de mineurs associées à une matrice carrée. On commence par définir la notion de matrices carrées indicées par un ensemble ordonné.

### Notation 3.1.1

Soit un ensemble ordonné $E := (x_1, \dots, x_N)$ et une application $U : E^2 \to \mathbb{C}$. On peut représenter $\Gamma$ sous forme matricielle. Notons pour tous $i, j \in \{1, \dots, N\}$ :

$$U_{x_i, x_j} := U(x_i, x_j).$$

On note alors $U$ part :

$$U = \begin{pmatrix} U_{x_1,x_1} & \cdots & U_{x_1,x_N} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ U_{x_N,x_1} & \cdots & U_{x_N,x_N} \end{pmatrix}.$$

On dira par abus que $U$ est un élément de $\mathcal{M}_N(\mathbb{C})$.

En utilisant les ordres définis sur $\mathcal{P}_{n,k}$ et $\mathcal{P}_n$ (voir notations 2.1.1), on note par abus :

$$(V_{I,J})_{I,J \in \mathcal{P}_{n,k}} := (V_{I,J})_{\mathfrak{p}(I, \mathcal{P}_{n,k}), \mathfrak{p}(J, \mathcal{P}_{n,k})} \in \mathcal{M}_{(n)k}(\mathbb{C})$$

$$(W_{I,J})_{I,J \in \mathcal{P}_n} := (W_{I,J})_{\mathfrak{p}(I, \mathcal{P}_n), \mathfrak{p}(J, \mathcal{P}_n)} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C})$$

### Exemple 3.1.2: Cas $n := 2$

Comme :

$$\mathcal{P}_{2,1} = (\{1\}, \{2\})$$

$$\mathcal{P}_2 = (\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\})$$

on a :

$$(V_{I,J})_{I,J \in \mathcal{P}_{2,1}} = \begin{pmatrix} V_{\{1\},\{1\}} & V_{\{1\},\{2\}} \\ V_{\{2\},\{1\}} & V_{\{2\},\{2\}} \end{pmatrix}$$

$$(W_{I,J})_{I,J \in \mathcal{P}_2} = \begin{pmatrix} W_{\emptyset,\emptyset} & W_{\emptyset,\{1\}} & W_{\emptyset,\{2\}} & W_{\emptyset,\{1,2\}} \\ W_{\{1\},\emptyset} & W_{\{1\},\{1\}} & W_{\{1\},\{2\}} & W_{\{1\},\{1,2\}} \\ W_{\{2\},\emptyset} & W_{\{2\},\{1\}} & W_{\{2\},\{2\}} & W_{\{1\},\{1,2\}} \\ W_{\{1,2\},\emptyset} & W_{\{1,2\},\{1\}} & W_{\{1,2\},\{2\}} & W_{\{1,2\},\{1,2\}} \end{pmatrix}$$

## 3.2 Matrices de Kronecker

On définit dans cette sous-section la notion de matrice de Kronecker.

### Notation 3.2.1

Soit $n \in \mathbb{N}_*$ et $k \in \{0, \dots, n\}$.

(1) La **matrice (n,k) de Kronecker** est la matrice de taille $\binom{n}{k}$ définie par :

$$\mathbf{K}_{n,k} := ((-1)^{|I|} \delta_{I,J})_{I,J \in \mathcal{P}_{n,k}}$$
# 3 Super matrices

## 3.1 Notations

On définit maintenant la notion de matrices de mineurs associées à une matrice carrée. On commence par définir la notion de matrices carrées indicées par un ensemble ordonné.

**Notation 3.1.1**

Soit un ensemble ordonné $E := (x_1, \dots, x_N)$ et une application $U : E^2 \to \mathbb{C}$. On peut représenter $U$ sous forme matricielle. Notons pour tous $i, j \in \{1, \dots, N\}$ :

$$U_{x_i, x_j} := U(x_i, x_j).$$

On note alors $U$ par :

$$U = \begin{pmatrix} U_{x_1, x_1} & \cdots & U_{x_1, x_N} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ U_{x_N, x_1} & \cdots & U_{x_N, x_N} \end{pmatrix}.$$

On dira par abus que $U$ est un élément de $\mathcal{M}_N(\mathbb{C})$.

En utilisant les ordres définis sur $\mathcal{P}_{n,k}$ et $\mathcal{P}_n$ (voir notations 2.1.1), on note par abus :

$$(V_{I,J})_{I,J \in \mathcal{P}_{n,k}} := (V_{I,J})_{\mathfrak{p}(I, \mathcal{P}_{n,k}), \mathfrak{p}(J, \mathcal{P}_{n,k})} \in \mathcal{M}_{(k)}^{(n)}(\mathbb{C})$$

$$(W_{I,J})_{I,J \in \mathcal{P}_n} := (W_{I,J})_{\mathfrak{p}(I, \mathcal{P}_n), \mathfrak{p}(J, \mathcal{P}_n)} \in \mathcal{M}_{2n}^{(\mathbb{C})}$$

**Exemple 3.1.2: Cas $n := 2$**

Comme :

$$\mathcal{P}_{2,1} = (\{1\}, \{2\})$$

$$\mathcal{P}_2 = (\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\})$$

on a :

$$(V_{I,J})_{I,J \in \mathcal{P}_{2,1}} = \begin{pmatrix} V_{\{1\}, \{1\}} & V_{\{1\}, \{2\}} \\ V_{\{2\}, \{1\}} & V_{\{2\}, \{2\}} \end{pmatrix}$$

$$(W_{I,J})_{I,J \in \mathcal{P}_2} = \begin{pmatrix} W_{\emptyset, \emptyset} & W_{\emptyset, \{1\}} & W_{\emptyset, \{2\}} & W_{\emptyset, \{1,2\}} \\ W_{\{1\}, \emptyset} & W_{\{1\}, \{1\}} & W_{\{1\}, \{2\}} & W_{\{1\}, \{1,2\}} \\ W_{\{2\}, \emptyset} & W_{\{2\}, \{1\}} & W_{\{2\}, \{2\}} & W_{\{1\}, \{1,2\}} \\ W_{\{1,2\}, \emptyset} & W_{\{1,2\}, \{1\}} & W_{\{1,2\}, \{2\}} & W_{\{1,2\}, \{1,2\}} \end{pmatrix}$$

## 3.2 Matrices de Kronecker

On définit dans cette sous-section la notion de matrice de Kronecker.

**Notation 3.2.1**

Soit $n \in \mathbb{N}_*$ et $k \in \{0, \dots, n\}$.
avec l'ordre (lexicographique) défini sur $\mathcal{P}_{n,k}$ (voir 2.1.1).

(2) La **matrice n de Kronecker** est la matrice de taille $2^n$ définie par :

$$ \mathbf{K}_n := ((-1)^{|I|} \delta_{I,J})_{I,J \in \mathcal{P}_n} := \begin{pmatrix} \mathbf{K}_{n,0} & & (0) \\ & \ddots & \\ (0) & & \mathbf{K}_{n,n} \end{pmatrix} $$

avec l'ordre défini sur $\mathcal{P}_n$ (voir 2.1.1).

### Exemple 3.2.2: Cas $n := 2$

(1) Comme :

$$ \mathcal{P}_{2,0} = (\emptyset) $$

$$ \mathcal{P}_{2,1} = (\{1\}, \{2\}) $$

$$ \mathcal{P}_{2,2} = (\{1, 2\}) $$

on a :

$$ \mathbf{K}_{2,0} = ((-1)^{|\emptyset|}) = ((-1)^0) = (1) $$

$$ \mathbf{K}_{2,1} = \begin{pmatrix} (-1)^{|\{1\}|} & 0 \\ 0 & (-1)^{|\{2\}|} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)^1 & 0 \\ 0 & (-1)^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ \mathbf{K}_{2,2} = ((-1)^{|\{1,2\}|}) = ((-1)^{1+2}) = (-1) $$

(2) Comme :

$$ \mathcal{P}_2 = (\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}). $$

on a :

$$ \mathbf{K}_2 = \begin{pmatrix} \mathbf{K}_{2,0} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{K}_{2,1} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{K}_{2,2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

On a les propriétés simples de $\mathbf{K}_n$.

### Lemme 3.2.3

La matrice $\mathbf{K}_n$ est inversible et on a :

$$ \mathbf{K}_n^{-1} = \mathbf{K}_n = \mathbf{K}_n^T = (-1)^{n(n+1)/2} \mathbf{K}_n^C $$

avec $\bullet^C$ la cotransposée (voir appendice B).

*Démonstration.* Les deux premières égalités sont dues au fait que $\mathbf{K}_n$ est diagonale avec des $\pm 1$ sur sa diagonale donc elle est symétrique et involutive (i.e. elle est égale à son inverse).

Pour la dernière égalité, il suffit de regarder les coefficients sur la diagonale car la cotransposée d'une matrice
(1) La **matrice (n, k) de Kronecker** est la matrice de taille $\binom{n}{k}$ définie par :

$$ \mathbf{K}_{n,k} := ((-1)^{|I|} \delta_{I,J})_{I,J \in \mathcal{P}_{n,k}} $$

avec l'ordre (lexicographique) défini sur $\mathcal{P}_{n,k}$ (voir 2.1.1).

(2) La **matrice n de Kronecker** est la matrice de taille $2^n$ définie par :

$$ \mathbf{K}_n := ((-1)^{|I|} \delta_{I,J})_{I,J \in \mathcal{P}_n} := \begin{pmatrix} \mathbf{K}_{n,0} & & & (0) \\ & \ddots & & \\ (0) & & \mathbf{K}_{n,n} & \end{pmatrix} $$

avec l'ordre défini sur $\mathcal{P}_n$ (voir 2.1.1).

Exemple 3.2.2: Cas $n := 2$

(1) Comme :

$$ \mathcal{P}_{2,0} = (\emptyset) $$

$$ \mathcal{P}_{2,1} = (\{1\}, \{2\}) $$

$$ \mathcal{P}_{2,2} = (\{1, 2\}) $$

on a :

$$ \mathbf{K}_{2,0} = ((-1)^{|\emptyset|}) = ((-1)^0) = (1) $$

$$ \mathbf{K}_{2,1} = \begin{pmatrix} (-1)^{|\{1\}|} & 0 \\ 0 & (-1)^{|\{2\}|} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)^1 & 0 \\ 0 & (-1)^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ \mathbf{K}_{2,2} = ((-1)^{|\{1,2\}|}) = ((-1)^{1+2}) = (-1) $$

(2) Comme :

$$ \mathcal{P}_2 = (\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}). $$

on a :

$$ \mathbf{K}_2 = \begin{pmatrix} \mathbf{K}_{2,0} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{K}_{2,1} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{K}_{2,2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

On a les propriétés simples de $\mathbf{K}_n$.

Lemme 3.2.3

La matrice $\mathbf{K}_n$ est inversible et on a :

$$ \mathbf{K}_n^{-1} = \mathbf{K}_n = \mathbf{K}_n^T = (-1)^{n(n+1)/2} \mathbf{K}_n^C $$

avec $\bullet^C$ la cotransposée (voir appendice B).
diagonale est diagonale. Soit $I \in \mathcal{P}_n$. On a par l'équation (2.1.3) et la notation (3.1.1) :

$$
\begin{align*}
[\mathbf{K}_n^C]_{I,I} &= [\mathbf{K}_n^C]_{\mathfrak{P}(I,\mathcal{P}_n),\mathfrak{P}(I,\mathcal{P}_n)} \\
&= [\mathbf{K}_n]_{2^{n+1}-\mathfrak{P}(I,\mathcal{P}_n),2^{n+1}-\mathfrak{P}(I,\mathcal{P}_n)} \\
&= [\mathbf{K}_n]_{\mathfrak{P}(\bar{I},\mathcal{P}_n),\mathfrak{P}(\bar{I},\mathcal{P}_n)} \\
&= [\mathbf{K}_n]_{\bar{I},\bar{I}} \\
&= (-1)^{|\bar{I}|} \\
&= (-1)^{n(n+1)/2-|I|} \\
&= (-1)^{n(n+1)/2} [\mathbf{K}_n]_{I,I}
\end{align*}
$$

D'où le résultat.

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

3.3 Super matrices des mineurs et des cofacteurs

On peut alors définir les matrices des mineurs et des cofacteurs associées à une matrice.

Définition 3.3.1

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $k \in \{0, \dots, n\}$.

(i) (a) La $k$-matrice des mineurs de $A$ est la matrice de taille $\binom{n}{k}$ définie par :

$$
\mathrm{Spam}_k(A) := (\Delta_{I,J}(A))_{I,J \in \mathcal{P}_{n,k}}
$$

avec l'ordre (lexicographique) défini sur $\mathcal{P}_{n,k}$ (voir 2.1.1).

(b) La **super matrice des mineurs de A** est la matrice de taille $2^n$ définie par :

$$
\text{Spam}(A) := (\Delta_{I,J}(A))_{I,J \in \mathcal{P}_n} := \begin{pmatrix} \text{Spam}_0(A) & & (0) \\ & \ddots & \\ (0) & & \text{Spam}_n(A) \end{pmatrix}
$$

avec l'ordre défini sur $\mathcal{P}_n$ (voir 2.1.1) et en posant que le déterminant d'une matrice non carrée est nul (on a donc $\Delta_{I,J}(A) = 0$ si $\text{Card}(I) \neq \text{Card}(J)$).

(ii) (a) La $k$-matrice des cofacteurs de $A$ est la matrice de taille $\binom{n}{k}$ définie par :

$$
\mathrm{Spof}_k(A) := (\mathrm{Cof}_{I,J}(A))_{I,J \in \mathcal{P}_{n,k}}
$$

avec l'ordre (lexicographique) défini sur $\mathcal{P}_{n,k}$ (voir 2.1.1).

(b) La **super matrice des cofacteurs de A** est la matrice de taille $2^n$ définie par :

$$
\mathrm{Spof}(A) := (\mathrm{Cof}_{I,J}(A))_{I,J \in \mathcal{P}_n} := \begin{pmatrix} \mathrm{Spof}_0(A) & & (0) \\ & \ddots & \\ (0) & & \mathrm{Spof}_n(A) \end{pmatrix}
$$

avec l'ordre défini sur $\mathcal{P}_n$ (voir 2.1.1) et en posant que le déterminant d'une matrice non carrée est nul (on a donc $\Delta_{I,J}(A) = 0$ si $\text{Card}(I) \neq \text{Card}(J)$).

On a donc :

$$
\mathrm{Spof}(A) = \mathbf{K}_n \mathrm{Spam}(A) \mathbf{K}_n \tag{3.3.1}
$$
*Démonstration.* Les deux premières égalités sont dues au fait que $\mathbf{K}_n$ est diagonale avec des $\pm 1$ sur sa diagonale donc elle est symétrique et involutive (i.e. elle est égale à son inverse).

Pour la dernière égalité, il suffit de regarder les coefficients sur la diagonale car la cotransposée d'une matrice diagonale est diagonale. Soit $I \in \mathcal{P}_n$. On a par l'équation (2.1.3) et la notation (3.1.1) :

$$
\begin{align*}
[\mathbf{K}_n^C]_{I,I} &= [\mathbf{K}_n^C]_{\mathfrak{P}(I,\mathcal{P}_n),\mathfrak{P}(I,\mathcal{P}_n)} \\
&= [\mathbf{K}_n]_{2^{n+1}-\mathfrak{P}(I,\mathcal{P}_n),2^{n+1}-\mathfrak{P}(I,\mathcal{P}_n)} \\
&= [\mathbf{K}_n]_{\mathfrak{P}(\bar{I},\mathcal{P}_n),\mathfrak{P}(\bar{I},\mathcal{P}_n)} \\
&= [\mathbf{K}_n]_{\bar{I},\bar{I}} \\
&= (-1)^{|\bar{I}|} \\
&= (-1)^{n(n+1)/2-|I|} \\
&= (-1)^{n(n+1)/2} [\mathbf{K}_n]_{I,I}
\end{align*}
$$

D'où le résultat.

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

## 3.3 Super matrices des mineurs et des cofacteurs

On peut alors définir les matrices des mineurs et des cofacteurs associées à une matrice.

### Définition 3.3.1

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $k \in \{0, \dots, n\}$.

(i) (a) La $k$-matrice des mineurs de $A$ est la matrice de taille $\binom{n}{k}$ définie par :

$$ \text{Spam}_k(A) := (\Delta_{I,J}(A))_{I,J \in \mathcal{P}_{n,k}} $$

avec l'ordre (lexicographique) défini sur $\mathcal{P}_{n,k}$ (voir 2.1.1).

(b) La **super matrice des mineurs de A** est la matrice de taille $2^n$ définie par :

$$ \text{Spam}(A) := (\Delta_{I,J}(A))_{I,J \in \mathcal{P}_n} := \begin{pmatrix} \text{Spam}_0(A) & (0) \\ (0) & \vdots \\ (0) & \text{Spam}_n(A) \end{pmatrix} $$

avec l'ordre défini sur $\mathcal{P}_n$ (voir 2.1.1) et en posant que le déterminant d'une matrice non carrée est nul (on a donc $\Delta_{I,J}(A) = 0$ si $\text{Card}(I) \neq \text{Card}(J)$).

(ii) (a) La $k$-matrice des cofacteurs de $A$ est la matrice de taille $\binom{n}{k}$ définie par :

$$ \text{Spof}_k(A) := (\text{Cof}_{I,J}(A))_{I,J \in \mathcal{P}_{n,k}} $$

avec l'ordre (lexicographique) défini sur $\mathcal{P}_{n,k}$ (voir 2.1.1).

(b) La **super matrice des cofacteurs de A** est la matrice de taille $2^n$ définie par :

$$ \text{Spof}(A) := (\text{Cof}_{I,J}(A))_{I,J \in \mathcal{P}_n} := \begin{pmatrix} \text{Spof}_0(A) & (0) \\ (0) & \vdots \\ (0) & \text{Spof}_n(A) \end{pmatrix} $$

avec l'ordre défini sur $\mathcal{P}_n$ (voir 2.1.1) et en posant que le déterminant d'une matrice non carrée est nul (on a donc $\Delta_{I,J}(A) = 0$ si $\text{Card}(I) \neq \text{Card}(J)$).
i.e. pour tout $k \in \{0, \dots, n\}$ :

$$ \mathrm{Spof}_k(A) = \mathbf{K}_{n,k} \quad \mathrm{Spam}_k(A) \mathbf{K}_{n,k} \qquad (3.3.2) $$

### Lemme 3.3.2

On a :

$$ \mathrm{Spam}(A) = (\Delta_{I,J}(A))_{I,J \in \mathcal{P}_n} = \begin{pmatrix} \det(A) & & & (0) \\ & \ddots & & \\ & & A^{CT} & \\ (0) & & & 1 \end{pmatrix} $$

avec $\bullet^C$ la cotransposée (voir appendice B).

*Démonstration.* On a par l'exemple 2.2.2 et comme $\mathcal{P}_{n,n-1} = (\overline{\{n\}}, \dots, \overline{\{1\}})$ :

$$ \begin{aligned} \mathrm{Spam}_0(A) &= (\Delta_{I,J}(A))_{I,J \in \mathcal{P}_{n,0}} = \Delta_{\emptyset,\emptyset}(A) \\ &= \det(A) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \mathrm{Spam}_{n-1}(A) &= (\Delta_{I,J}(A))_{I,J \in \mathcal{P}_{n,n-1}} \\ &= \begin{pmatrix} \Delta_{\overline{\{n\}},\overline{\{n\}}} (A) & \cdots & \Delta_{\overline{\{n\}},\overline{\{1\}}} (A) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \Delta_{\overline{\{1\}},\overline{\{n\}}} (A) & \cdots & \Delta_{\overline{\{1\}},\overline{\{1\}}} (A) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \det(A_{\overline{\{n\}},\overline{\{n\}}}) & \cdots & \det(A_{\overline{\{n\}},\overline{\{1\}}}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \det(A_{\overline{\{1\}},\overline{\{n\}}}) & \cdots & \det(A_{\overline{\{1\}},\overline{\{1\}}}) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} [A]_{nn} & \cdots & [A]_{n1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ [A]_{1n} & \cdots & [A]_{11} \end{pmatrix} \\ &= A^{CT} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \mathrm{Spam}_n(A) &= (\Delta_{I,J}(A))_{I,J \in \mathcal{P}_{n,n}} \\ &= \Delta_{\{1,\dots,n\},\{1,\dots,n\}}(A) = 1 \end{aligned} $$

□

Ainsi on a :

$$ \mathrm{Spam}(A)^C = \begin{pmatrix} 1 & & & (0) \\ & A^T & & \\ & & \ddots & \\ (0) & & & \det(A) \end{pmatrix} $$

$$ \begin{aligned} \mathrm{Spof}(A) &= \begin{pmatrix} \mathbf{K}_0 \det(A) \mathbf{K}_0 & & & (0) \\ & \ddots & & \\ & & \mathbf{K}_{n-1} A^{CT} \mathbf{K}_{n-1} & \\ (0) & & & \mathbf{K}_n \mathbf{K}_n \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \det(A) & & & (0) \\ & \ddots & & \\ & & \mathbf{K}_{n-1} A^{CT} \mathbf{K}_{n-1} & \\ (0) & & & 1 \end{pmatrix} \end{aligned} $$
On a donc :

$$
\text{Spof}(A) = \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A) \mathbf{K}_n \tag{3.3.1}
$$

i.e. pour tout $k \in \{0, \dots, n\}$ :

$$
\mathrm{Spof}_k(A) = \mathbf{K}_{n,k} \mathrm{Spam}_k(A) \mathbf{K}_{n,k} \quad (3.3.2)
$$

Lemme 3.3.2

On a :

$$
\text{Spam}(A) = (\Delta_{I,J}(A))_{I,J \in \mathcal{P}_n} = \begin{pmatrix} \det(A) & & & (0) \\ & \ddots & A^{CT} & \\ (0) & & & 1 \end{pmatrix}
$$

avec •C la cotransposée (voir appendice B).

Démonstration. On a par l'exemple 2.2.2 et comme $\mathcal{P}_{n,n-1} = (\overline{\{n\}}, \dots, \overline{\{1\}})$ :

$$
\begin{align*}
\text{Spam}_0(A) &= (\Delta_{I,J}(A))_{I,J \in \mathcal{P}_{n,0}} = \Delta_{\emptyset,\emptyset}(A) \\
&= \det(A)
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\text{Spam}_{n-1}(A) &= (\Delta_{I,J}(A))_{I,J \in \mathcal{P}_{n,n-1}} \\
&= \begin{pmatrix} \Delta_{\overline{\{n\}}, \overline{\{n\}}}(A) & \cdots & \Delta_{\overline{\{n\}}, \{1\}}(A) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \Delta_{\overline{\{1\}}, \overline{\{n\}}}(A) & \cdots & \Delta_{\overline{\{1\}}, \{1\}}(A) \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} \det(A_{\overline{\{n\}}, \{n\}}) & \cdots & \det(A_{\overline{\{n\}}, \{1\}}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \det(A_{\overline{\{1\}}, \{n\}}) & \cdots & \det(A_{\overline{\{1\}}, \{1\}}) \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} [A]_{nn} & \cdots & [A]_{n1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ [A]_{1n} & \cdots & [A]_{11} \end{pmatrix} \\
&= A^{CT}
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\text{Spam}_n(A) &= (\Delta_{I,J}(A))_{I,J \in \mathcal{P}_{n,n}} \\
&= \Delta_{\{1,\dots,n\},\{1,\dots,n\}}(A) = 1
\end{align*}
$$

□

Ainsi on a :

$$
\text{Spam}(A)^C = \begin{pmatrix} 1 & & & (0) \\ & A^T & & \\ & & \ddots & \\ (0) & & & \det(A) \end{pmatrix}
$$

$$
\mathrm{Spof}(A) = \begin{pmatrix} \mathbf{K}_0 \det(A) \mathbf{K}_0 & & & (0) \\ & \ddots & \mathbf{K}_{n-1} A^{CT} \mathbf{K}_{n-1} & \\ & & \mathbf{K}_n & \mathbf{K}_n \\ (0) & & & \mathbf{K}_n \mathbf{K}_n \end{pmatrix}
$$
Exemple 3.3.3: Cas $n := 2$

Soit :

$$A := \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C}).$$

On a :

$$ \text{Spam}(A) = \begin{pmatrix} \det(A) & 0 & 0 \\ 0 & A^{CT} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \det(A) & 0 & 0 \\ 0 & d & c \\ 0 & b & a \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ \text{Spam}(A)^C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & A^T & 0 \\ 0 & 0 & \det(A) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & c \\ 0 & b & d \\ 0 & 0 & \det(A) \end{pmatrix} $$

avec :

$$ \det(A) = ad - bc. $$

Avant de démontrer le résultat général, on démontre le lemme simple suivant.

Lemme 3.3.4

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $I, J \in \mathcal{P}_n$. On a :

$$ [\text{Spam}(A)]_{\bar{L}, \bar{J}} = [\text{Spam}(A)^C]_{J, L} $$

Démonstration. On a par l'équation (2.1.3) et la notation (3.1.1) :

$$ \begin{align*} [\text{Spam}(A)^C]_{J,L} &= [\text{Spam}(A)^C]_{\mathfrak{p}(J, \mathcal{P}_n), \mathfrak{p}(L, \mathcal{P}_n)} \\ &= [\text{Spam}(A)]_{2^{n+1}-\mathfrak{p}(L, \mathcal{P}_n), 2^{n+1}-\mathfrak{p}(J, \mathcal{P}_n)} \\ &= [\text{Spam}(A)]_{\mathfrak{p}(\bar{L}, \mathcal{P}_n), \mathfrak{p}(\bar{J}, \mathcal{P}_n)} \\ &= [\text{Spam}(A)]_{\bar{L}, \bar{J}} \end{align*} $$

□

Théorème 3.3.5

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. On a :

$$ \begin{align*} \det(A)I_{2^n} &= \mathbf{K}_n \text{Spam}(A) \mathbf{K}_n \text{Spam}(A)^C \\ &= \text{Spof}(A) \text{Spam}(A)^C \\ &= \text{Spam}(A) \text{Spof}(A)^C \end{align*} $$

Démonstration. Soit $I, J \in \mathcal{P}_n$. On a par la proposition 2.2.4 et le lemme 3.3.4 :

$$ [\mathbf{K}_n \text{Spam}(A) \mathbf{K}_n \text{Spam}(A)^C]_{I,L} = \sum_{J,J',J'' \in \mathcal{P}_n} [\mathbf{K}_n]_{I,J''} [\text{Spam}(A)]_{J'',J'} [\mathbf{K}_n]_{J',J} [\text{Spam}(A)^C]_{J,L} $$
$$ = \begin{pmatrix} \det(A) & & & & (0) \\ & \ddots & & & \\ & & \mathbf{K}_{n-1} & A^{CT} & \mathbf{K}_{n-1} \\ & & & & 1 \end{pmatrix} $$

### Exemple 3.3.3: Cas $n := 2$

Soit :

$$ A := \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C}). $$

On a :

$$ \text{Spam}(A) = \begin{pmatrix} \det(A) & 0 & 0 \\ 0 & A^{CT} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \det(A) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d & c & 0 \\ 0 & b & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ \text{Spam}(A)^C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & A^T & 0 \\ 0 & 0 & \det(A) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & c & 0 \\ 0 & b & d & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \det(A) \end{pmatrix} $$

avec :

$$ \det(A) = ad - bc. $$

Avant de démontrer le résultat général, on démontre le lemme simple suivant.

### Lemme 3.3.4

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $I, J \in \mathcal{P}_n$. On a :

$$ [\text{Spam}(A)]_{\bar{L}, \bar{J}} = [\text{Spam}(A)^C]_{J, L} $$

*Démonstration.* On a par l'équation (2.1.3) et la notation (3.1.1) :

$$ \begin{align*} [\text{Spam}(A)^C]_{J,L} &= [\text{Spam}(A)^C]_{\mathfrak{p}(J, \mathcal{P}_n), \mathfrak{p}(L, \mathcal{P}_n)} \\ &= [\text{Spam}(A)]_{2^{n+1}-\mathfrak{p}(L, \mathcal{P}_n), 2^{n+1}-\mathfrak{p}(J, \mathcal{P}_n)} \\ &= [\text{Spam}(A)]_{\mathfrak{p}(\bar{L}, \mathcal{P}_n), \mathfrak{p}(\bar{J}, \mathcal{P}_n)} \\ &= [\text{Spam}(A)]_{\bar{L}, \bar{J}} \end{align*} $$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

### Théorème 3.3.5

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. On a :

$$ \begin{align*} \det(A)I_{2^n} &= \mathbf{K}_n \text{Spam}(A) \mathbf{K}_n \text{Spam}(A)^C \\ &= \text{Spof}(A) \text{Spam}(A)^C \\ &= \text{Spam}(A) \text{Spof}(A)^C \end{align*} $$
$$
\begin{align*}
&= \sum_{J,J',J'' \in \mathcal{P}_n} (-1)^{|I|} \delta_{I,J''} [\text{Spam}(A)]_{J'',J'} (-1)^{|J'|} \delta_{J',J} [\text{Spam}(A)^C]_{J,L} \\
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_n} (-1)^{|I|+|J|} [\text{Spam}(A)]_{I,J} [\text{Spam}(A)]_{\bar{L},\bar{J}} \\
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{I,J}(A) \Delta_{\bar{L},\bar{J}}(A) \\
&= \det(A) \delta_{I,L}.
\end{align*}
$$

Pour la dernière égalité, on utilise le lemme 3.2.3. On a :

$$
\begin{align*}
\text{Spam}(A) \text{Spof}(A)^C &= \text{Spam}(A) (\mathbf{K}_n \text{Spam}(A)\mathbf{K}_n)^C \\
&= \text{Spam}(A) \mathbf{K}_n^C \text{Spam}(A)^C \mathbf{K}_n^C \\
&= \text{Spam}(A) (-1)^{n(n+1)/2} \mathbf{K}_n \text{Spam}(A)^C (-1)^{n(n+1)/2} \mathbf{K}_n \\
&= \mathbf{K}_n (\mathbf{K}_n \text{Spam}(A)^C \mathbf{K}_n \text{Spam}(A)) \mathbf{K}_n \\
&= \mathbf{K}_n \det(A) I_{2^n} \mathbf{K}_n \\
&= \det(A) I_{2^n} \\
&= \text{Spof}(A) \text{Spam}(A)^C
\end{align*}
$$

□

Exemple 3.3.6

Reprenons l'exemple (1) de 3.3.3 :

$$
A := \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C}).
$$

On a :

$$
\begin{align*}
& \mathbf{K}_2 \text{Spam}(A) \mathbf{K}_2 \text{Spam}(A)^C \\
&= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \det(A) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d & c & 0 \\ 0 & b & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & c & 0 \\ 0 & b & d & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \det(A) \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} \det(A) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \det(A) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \det(A) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \det(A) \end{pmatrix} \\
&= \det(A) I_4
\end{align*}
$$

On en déduit l'inversibilité de la super matrice d'une matrice inversible.

Corollaire 3.3.7

Soit $A \in \text{GL}_n(\mathbb{C})$. On a $\text{Spam}(A) \in \text{GL}_{2^n}(\mathbb{C})$ et :

$$
\begin{align*}
\text{Spam}(A)^{-1} &= \frac{1}{\det(A)} \mathbf{K}_n \text{Spam}(A)^C \mathbf{K}_n \\
&= \frac{1}{\det(A)} \text{Spof}(A)^C
\end{align*}
$$
Démonstration. Soit $I, J \in \mathcal{P}_n$. On a par la proposition 2.2.4 et le lemme 3.3.4 :

$$
\begin{align*}
[\mathbf{K}_n \text{ Spam}(A) \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A)^C]_{I,L} &= \sum_{J,J',J'' \in \mathcal{P}_n} [\mathbf{K}_n]_{I,J''} [\text{Spam}(A)]_{J'',J'} [\mathbf{K}_n]_{J',J} [\text{Spam}(A)^C]_{J,L} \\
&= \sum_{J,J',J'' \in \mathcal{P}_n} (-1)^{|I|} \delta_{I,J''} [\text{Spam}(A)]_{J'',J'} (-1)^{|J'|} \delta_{J',J} [\text{Spam}(A)^C]_{J,L} \\
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_n} (-1)^{|I|+|J|} [\text{Spam}(A)]_{I,J} [\text{Spam}(A)]_{\bar{L},\bar{J}} \\
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{I,J}(A) \Delta_{\bar{L},\bar{J}}(A) \\
&= \det(A) \delta_{I,L}.
\end{align*}
$$

Pour la dernière égalité, on utilise le lemme 3.2.3. On a :

$$
\begin{align*}
\text{Spam}(A) \text{ Spof}(A)^C &= \text{Spam}(A) (\mathbf{K}_n \text{ Spam}(A) \mathbf{K}_n)^C \\
&= \text{Spam}(A) \mathbf{K}_n^C \text{ Spam}(A)^C \mathbf{K}_n^C \\
&= \text{Spam}(A) (-1)^{n(n+1)/2} \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A)^C (-1)^{n(n+1)/2} \mathbf{K}_n \\
&= \mathbf{K}_n (\mathbf{K}_n \text{ Spam}(A)^C \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A)) \mathbf{K}_n \\
&= \mathbf{K}_n \det(A) I_{2^n} \mathbf{K}_n \\
&= \det(A) I_{2^n} \\
&= \text{Spof}(A) \text{ Spam}(A)^C
\end{align*}
$$

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Exemple 3.3.6

Reprenons l'exemple (1) de 3.3.3 :

$$
A := \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C}).
$$

On a :

$$
\begin{align*}
& \mathbf{K}_2 \text{Spam}(A) \mathbf{K}_2 \text{Spam}(A)^C \\
&= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \det(A) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d & c & 0 \\ 0 & b & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & c & 0 \\ 0 & b & d & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \det(A) \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} \det(A) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \det(A) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \det(A) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \det(A) \end{pmatrix} \\
&= \det(A) I_4
\end{align*}
$$

On en déduit l'inversibilité de la super matrice des mineurs d'une matrice inversible.
i.e. pour tout $k \in \{0, \dots, n\}$ :

$$ \text{Spam}_k(A)^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \mathbf{K}_{n-k} \text{Spam}_{n-k}(A)^C \mathbf{K}_{n-k}. $$

Pour $k := n - 1$, on a :

$$ \begin{aligned} A^{-1} &= \frac{1}{\det(A)} \mathbf{K}_1 \text{Spam}_1(A)^C \mathbf{K}_1 \\ &= \frac{1}{\det(A)} \text{Cof}_1(A)^T \end{aligned} $$

Démonstration. Comme $\det(A) \neq 0$ et comme $\mathbf{K}_n^{-1} = \mathbf{K}_n$, on a donc :

$$ I_{2^n} = \frac{1}{\det(A)} \text{Spam}(A) \mathbf{K}_n \text{Spam}(A)^C \mathbf{K}_n $$

i.e. on a par le lemme 3.2.3 :

$$ \begin{aligned} \text{Spam}(A)^{-1} &= \frac{1}{\det(A)} \mathbf{K}_n \text{Spam}(A)^C \mathbf{K}_n \\ &= \frac{1}{\det(A)} (\mathbf{K}_n^C \text{Spam}(A) \mathbf{K}_n^C)^C \\ &= \frac{1}{\det(A)} ((-1)^{n(n+1)/2} \mathbf{K}_n \text{Spam}(A) (-1)^{n(n+1)/2} \mathbf{K}_n)^C \\ &= \frac{1}{\det(A)} (\mathbf{K}_n \text{Spam}(A) \mathbf{K}_n)^C \\ &= \frac{1}{\det(A)} \text{Spof}(A)^C \end{aligned} $$

Comme :

$$ \text{Spam}(A)^{-1} = \begin{pmatrix} \text{Spam}_0(A) & & & (0) \\ & (0) & & \text{Spam}_n(A) \\ & & \ddots & \\ & & & (0) \end{pmatrix}^{-1} \\ = \begin{pmatrix} \text{Spam}_0(A)^{-1} & & & (0) \\ & (0) & & \text{Spam}_n(A)^{-1} \\ & & \ddots & \\ & & & (0) \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} 1/\det(A) & & & (0) \\ & \ddots & (A^{CT})^{-1} & \\ & & 1 & \\ (0) & & & (0) \end{pmatrix} $$

$$ \begin{aligned} \text{Spof}(A)^C &= \begin{pmatrix} \mathbf{K}_0 \text{Spam}_0(A) \mathbf{K}_0 & & & (0) \\ & (0) & & \mathbf{K}_n \text{Spam}_n(A) \mathbf{K}_n \\ & & \ddots & \\ & & & (0) \end{pmatrix}^C \\ &= \begin{pmatrix} \mathbf{K}_n \text{Spam}_n(A)^C \mathbf{K}_n & & & (0) \\ & (0) & & \mathbf{K}_0 \text{Spam}_0(A)^C \mathbf{K}_0 \\ & & \ddots & \\ & & & (0) \end{pmatrix} \end{aligned} $$
Corollaire 3.3.7

Soit $A \in \text{GL}_n(\mathbb{C})$. On a $\text{Spam}(A) \in \text{GL}_{2^n}(\mathbb{C})$ et :

$$
\begin{align*}
\text{Spam}(A)^{-1} &= \frac{1}{\det(A)} \mathbf{K}_n \text{Spam}(A)^C \mathbf{K}_n \\
&= \frac{1}{\det(A)} \text{Spof}(A)^C
\end{align*}
$$

i.e. pour tout $k \in \{0, \dots, n\}$ :

$$
\text{Spam}_k(A)^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \mathbf{K}_{n-k} \text{Spam}_{n-k}(A)^C \mathbf{K}_{n-k}.
$$

Pour $k := n - 1$, on a :

$$
\begin{align*}
A^{-1} &= \frac{1}{\det(A)} \mathbf{K}_1 \text{Spam}_1(A)^C \mathbf{K}_1 \\
&= \frac{1}{\det(A)} \text{Cof}_1(A)^T
\end{align*}
$$

Démonstration. Comme $\det(A) \neq 0$ et comme $\mathbf{K}_n^{-1} = \mathbf{K}_n$, on a donc :

$$
I_{2^n} = \frac{1}{\det(A)} \text{Spam}(A) \mathbf{K}_n \text{Spam}(A)^C \mathbf{K}_n
$$

i.e. on a par le lemme 3.2.3 :

$$
\begin{align*}
\text{Spam}(A)^{-1} &= \frac{1}{\det(A)} \mathbf{K}_n \text{Spam}(A)^C \mathbf{K}_n \\
&= \frac{1}{\det(A)} (\mathbf{K}_n^C \text{Spam}(A) \mathbf{K}_n^C)^C \\
&= \frac{1}{\det(A)} \left( (-1)^{n(n+1)/2} \mathbf{K}_n \text{Spam}(A) (-1)^{n(n+1)/2} \mathbf{K}_n \right)^C \\
&= \frac{1}{\det(A)} (\mathbf{K}_n \text{Spam}(A) \mathbf{K}_n)^C \\
&= \frac{1}{\det(A)} \text{Spof}(A)^C
\end{align*}
$$

Comme :

$$
\begin{align*}
\text{Spam}(A)^{-1} &= \begin{pmatrix}
\text{Spam}_0(A) & & & (0) \\
& \ddots & & \\
(0) & & \text{Spam}_n(A) & \\
& & \ddots & \\
& & & (0)
\end{pmatrix}^{-1} \\
&= \begin{pmatrix}
\text{Spam}_0(A)^{-1} & & & (0) \\
& \ddots & & \\
(0) & & \text{Spam}_n(A)^{-1} & \\
& & \ddots & \\
& & & (0)
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1/\det(A) & & & (0) \\
& \ddots & & \\
& & (A^{CT})^{-1} & \\
& & & 1
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$
$$ = \begin{pmatrix} 1 & & & (0) \\ & \mathbf{K}_{n-1} & A^T \mathbf{K}_{n-1} & \\ & (0) & & \det(A) \end{pmatrix} $$

On a donc pour tout $k \in \{0, \dots, n\}$ :

$$ \mathrm{Spam}_k(A)^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \mathbf{K}_{n-k} \mathrm{Spam}_{n-k}(A)^C \mathbf{K}_{n-k} $$

Pour $k := n - 1$, on a :

$$ (A^{-1})^{CT} = (A^{CT})^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \mathbf{K}_1 \mathrm{Spam}_1(A)^C \mathbf{K}_1 $$

i.e. on a :

$$ \begin{aligned} A^{-1} &= \left( \frac{1}{\det(A)} \mathbf{K}_1 \mathrm{Spam}_1(A)^C \mathbf{K}_1 \right)^{CT} \\ &= \frac{1}{\det(A)} \mathbf{K}_1 \mathrm{Spam}_1(A)^T \mathbf{K}_1 \\ &= \frac{1}{\det(A)} (\mathbf{K}_1 \mathrm{Spam}_1(A) \mathbf{K}_1)^T \\ &= \frac{1}{\det(A)} \mathrm{Cof}_1(A)^T \end{aligned} $$

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

Exemple 3.3.8

Reprenons l'exemple 3.3.6 avec $\det(A) \neq 0$ i.e. :

$$ A := \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{C}) $$

On a donc :

$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} \det(A) & 0 & 0 \\ 0 & A^{CT} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} &= \mathrm{Spam}(A)^{-1} \\ &= \frac{1}{\det(A)} \mathbf{K}_2 \mathrm{Spam}(A)^C \mathbf{K}_2 \\ &= \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} \mathbf{K}_{2,0} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{K}_{2,1} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{K}_{2,2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & A^T & 0 \\ 0 & 0 & \det(A) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{K}_{2,0} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{K}_{2,1} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{K}_{2,2} \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{K}_{2,1} A^T \mathbf{K}_{2,1} & 0 \\ 0 & 0 & \det(A) \end{pmatrix} \end{aligned} $$

Donc on a :

$$ (A^{-1})^{CT} = (A^{CT})^{-1} $$
$$
\begin{align*}
\operatorname{Spof}(A)^C &= \begin{pmatrix}
\mathbf{K}_0 \operatorname{Spam}_0(A) \mathbf{K}_0 & & & (0) \\
& (0) & & \\
& & \mathbf{K}_n \operatorname{Spam}_n(A) \mathbf{K}_n & \\
& & & \vdots \\
& & & (0)
\end{pmatrix}^C \\
&= \begin{pmatrix}
\mathbf{K}_n \operatorname{Spam}_n(A)^C \mathbf{K}_n & & & (0) \\
& (0) & & \\
& & \mathbf{K}_0 \operatorname{Spam}_0(A)^C \mathbf{K}_0 & \\
& & & \vdots \\
& & & (0)
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 & \mathbf{K}_{n-1} A^T \mathbf{K}_{n-1} & & (0) \\
& (0) & & \\
& & \operatorname{det}(A) & \\
& & & \vdots \\
& & & (0)
\end{pmatrix}
\end{align*}
$$

On a donc pour tout $k \in \{0, \dots, n\}$ :

$$
\operatorname{Spam}_k(A)^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det}(A)} \mathbf{K}_{n-k} \operatorname{Spam}_{n-k}(A)^C \mathbf{K}_{n-k}
$$

Pour $k := n - 1$, on a :

$$
(A^{-1})^{CT} = (A^{CT})^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \mathbf{K}_1 \operatorname{Spam}_1(A)^C \mathbf{K}_1
$$

i.e. on a :

$$
\begin{align*}
A^{-1} &= \left( \frac{1}{\det(A)} \mathbf{K}_1 \operatorname{Spam}_1(A)^C \mathbf{K}_1 \right)^{CT} \\
&= \frac{1}{\det(A)} \mathbf{K}_1 \operatorname{Spam}_1(A)^T \mathbf{K}_1 \\
&= \frac{1}{\det(A)} (\mathbf{K}_1 \operatorname{Spam}_1(A) \mathbf{K}_1)^T \\
&= \frac{1}{\det(A)} \operatorname{Cof}_1(A)^T
\end{align*}
$$

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

Exemple 3.3.8

Reprenons l'exemple 3.3.6 avec $\det(A) \neq 0$ i.e. :

$$
A := \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{C})
$$

On a donc :

$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix} \det(A) & 0 & 0 \\ 0 & A^{CT} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}
&= \operatorname{Spam}(A)^{-1} \\
&= \frac{1}{\det(A)} \mathbf{K}_2 \operatorname{Spam}(A)^C \mathbf{K}_2 \\
&= \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} \mathbf{K}_{2,0} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{K}_{2,1} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{K}_{2,2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & A^T & 0 \\ 0 & 0 & \det(A) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{K}_{2,0} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{K}_{2,1} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{K}_{2,2} \end{pmatrix}
\end{align*}
$$
$$ 
\begin{aligned}
&= \mathbf{K}_{2,1} A^T \mathbf{K}_{2,1} \\
&= \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} a & -c \\ -b & d \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

i.e. on a :

$$ 
\begin{aligned}
A^{-1} &= \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} a & -c \\ -b & d \end{pmatrix}^{CT} \\
&= \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

On retrouve la formule usuelle de l'inverse d'une matrice de taille 2.

## 3.4 Développement suivants des colonnes

En passant à la transposée, on a le développement suivant plusieurs colonnes. On commence par un lemme simple qui est dû à la stabilité du déterminant par la transposée.

**Lemme 3.4.1**

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $I, J \in \mathcal{P}_n$.

(i) On a :

$$ (A^T)_{I,J} = (A_{J,I})^T. $$

(ii) On a :

$$ \Delta_{I,J}(A^T) = \Delta_{J,I}(A). $$

(iii) On a :

$$ \text{Spam}(A^T) = \text{Spam}(A)^T. $$

**Démonstration.** (i) Enlever les lignes de $J$ et les colonnes de $I$ à $A$ est équivalent à enlever les lignes de $I$ et les colonnes de $J$ à $A^T$. D'où le résultat.

(ii) Par le point (i) et la stabilité du déterminant par transposée (voir la proposition B.2.1), on a :

$$ 
\begin{aligned}
\Delta_{I,J}(A^T) &= \det((A^T)_{I,J}) \\
&= \det((A_{J,I})^T) \\
&= \det(A_{J,I}) \\
&= \Delta_{J,I}(A).
\end{aligned}
$$

(iii) On a donc par le point (ii) :

$$ 
\begin{aligned}
\text{Spam}(A^T) &= (\Delta_{I,J}(A^T))_{I,J \in \mathcal{P}_n} \\
&= (\Delta_{J,I}(A))_{I,J \in \mathcal{P}_n} \\
&= \text{Spam}(A)^T
\end{aligned}
$$

□
$$ = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{K}_{2,1} A^T \mathbf{K}_{2,1} & 0 \\ 0 & 0 & \det(A) \end{pmatrix} $$

Donc on a :

$$ \begin{aligned} (A^{-1})^{CT} &= (A^{CT})^{-1} \\ &= \mathbf{K}_{2,1} A^T \mathbf{K}_{2,1} \\ &= \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} a & -c \\ -b & d \end{pmatrix} \end{aligned} $$

i.e. on a :

$$ \begin{aligned} A^{-1} &= \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} a & -c \\ -b & d \end{pmatrix}^{CT} \\ &= \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \end{aligned} $$

On retrouve la formule usuelle de l'inverse d'une matrice de taille 2.

## 3.4 Développement suivants des colonnes

En passant à la transposée, on a le développement suivant plusieurs colonnes. On commence par un lemme simple qui est dû à la stabilité du déterminant par la transposée.

### Lemme 3.4.1

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $I, J \in \mathcal{P}_n$.

(i) On a :

$$ (A^T)_{I,J} = (A_{J,I})^T. $$

(ii) On a :

$$ \Delta_{I,J}(A^T) = \Delta_{J,I}(A). $$

(iii) On a :

$$ \text{Spam}(A^T) = \text{Spam}(A)^T. $$

**Démonstration.** (i) Enlever les lignes de $J$ et les colonnes de $I$ à $A$ est équivalent à enlever les lignes de $I$ et les colonnes de $J$ à $A^T$. D'où le résultat.

(ii) Par le point (i) et la stabilité du déterminant par transposée (voir la proposition B.2.1), on a :

$$ \begin{aligned} \Delta_{I,J}(A^T) &= \det((A^T)_{I,J}) \\ &= \det((A_{J,I})^T) \\ &= \det(A_{J,I}) \\ &= \Delta_{J,I}(A). \end{aligned} $$

(iii) On a donc par le point (ii) :

$$ \text{Spam}(A^T) = (\Delta_{I,J}(A^T))_{I,J \in \mathcal{P}_n} $$
On en déduit alors le développements du déterminant d'une matrice carrée suivant plusieurs colonnes.

### Théorème 3.4.2

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. On a :

$$ 
\begin{aligned}
\det(A)I_{2^n} &= \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A)^C \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A) \\
&= \text{Spof}(A)^C \text{ Spam}(A).
\end{aligned}
$$

*Démonstration.* Comme $\mathbf{K}_n$ est symétrique, on a par le théorème 3.3.5, par la stabilité du déterminant par transposée (voir la proposition B.2.1) et par la proposition B.2.1 :

$$ 
\begin{aligned}
\det(A)I_{2^n} &= \det(A^T) I_{2^n} \\
&= \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A^T) \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A^T)^C \\
&= \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A)^T \mathbf{K}_n (\text{Spam}(A)^C)^T \\
&= (\text{Spam}(A)^C \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A) \mathbf{K}_n)^T
\end{aligned}
$$

Et ainsi on a en passant à la transposée et comme $\mathbf{K}_n^{-1} = \mathbf{K}_n$ :

$$ 
\begin{aligned}
\det(A)I_{2^n} &= \text{Spam}(A)^C \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A) \mathbf{K}_n \\
&= \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A)^C \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A)
\end{aligned}
$$

<figure><img src="image_5.png" /></figure>

En regardant les coefficients de cette égalité matricielle, on a le résultat suivant.

### Corollaire 3.4.3

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $I, L \in \mathcal{P}_{n,k}$. Alors on a :

$$ 
\begin{aligned}
\det(A)\delta_{I,L} &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{J},\bar{I}}(A) \Delta_{J,L}(A) \\
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} \mathrm{Cof}_{\bar{J},\bar{I}}(A) \Delta_{J,L}(A).
\end{aligned}
$$

*Démonstration.* Soit $I, J \in \mathcal{P}_n$. On a par le lemme 3.3.4 :

$$ 
\begin{aligned}
\det(A)\delta_{I,L} &= [\mathbf{K}_n \text{ Spam}(A)^C \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A)]_{I,L} \\
&= \sum_{J,J',J'' \in \mathcal{P}_n} [\mathbf{K}_n]_{I,J''} [\text{Spam}(A)^C]_{J'',J'} [\mathbf{K}_n]_{J',J} [\text{Spam}(A)]_{J,L} \\
&= \sum_{J,J',J'' \in \mathcal{P}_n} (-1)^{|I|} \delta_{I,J''} [\text{Spam}(A)^C]_{J'',J'} (-1)^{|J'|} \delta_{J',J} [\text{Spam}(A)]_{J,L} \\
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_n} (-1)^{|I|+|J|} [\text{Spam}(A)]_{\bar{J},\bar{I}} [\text{Spam}(A)]_{J,L} \\
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{J},\bar{I}}(A) \Delta_{J,L}(A)
\end{aligned}
$$
$$ = (\Delta_{J,I}(A))_{I,J \in \mathcal{P}_n} \\ = \text{Spam}(A)^T $$

<figure><img src="image_6.png" /></figure>

On en déduit alors le développements du déterminant d'une matrice carrée suivant plusieurs colonnes.

### Théorème 3.4.2

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. On a :

$$ \det(A)I_{2^n} = \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A)^C \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A) \\ = \text{Spof}(A)^C \text{ Spam}(A). $$

*Démonstration.* Comme $\mathbf{K}_n$ est symétrique, on a par le théorème 3.3.5, par la stabilité du déterminant par transposée (voir la proposition B.2.1) et par la proposition B.2.1 :

$$ \begin{aligned} \det(A)I_{2^n} &= \det(A^T)I_{2^n} \\ &= \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A^T) \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A^T)^C \\ &= \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A)^T \mathbf{K}_n (\text{Spam}(A)^C)^T \\ &= (\text{Spam}(A)^C \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A) \mathbf{K}_n)^T \end{aligned} $$

Et ainsi on a en passant à la transposée et comme $\mathbf{K}_n^{-1} = \mathbf{K}_n$ :

$$ \begin{aligned} \det(A)I_{2^n} &= \text{Spam}(A)^C \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A) \mathbf{K}_n \\ &= \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A)^C \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A) \end{aligned} $$

<figure><img src="image_7.png" /></figure>

En regardant les coefficients de cette égalité matricielle, on a le résultat suivant.

### Corollaire 3.4.3

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $I, L \in \mathcal{P}_{n,k}$. Alors on a :

$$ \begin{aligned} \det(A)\delta_{I,L} &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{J},\bar{I}}(A)\Delta_{J,L}(A) \\ &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} \text{Cof}_{\bar{J},\bar{I}}(A)\Delta_{J,L}(A). \end{aligned} $$

*Démonstration.* Soit $I, J \in \mathcal{P}_n$. On a par le lemme 3.3.4 :

$$ \begin{aligned} \det(A)\delta_{I,L} &= [\mathbf{K}_n \text{ Spam}(A)^C \mathbf{K}_n \text{ Spam}(A)]_{I,L} \\ &= \sum_{J,J',J'' \in \mathcal{P}_n} [\mathbf{K}_n]_{I,J''}[\text{Spam}(A)^C]_{J'',J'}[\mathbf{K}_n]_{J',J}[\text{Spam}(A)]_{J,L} \\ &= \sum_{J,J',J'' \in \mathcal{P}_n} (-1)^{|I|} \delta_{I,J''}[\text{Spam}(A)^C]_{J'',J'}(-1)^{|J'|} \delta_{J',J}[\text{Spam}(A)]_{J,L} \end{aligned} $$
Pour la deuxième égalité, on utilise le fait que :

$$(-1)^{|\bar{I}|+|\bar{I}|} = (-1)^{n(n+1)/2 - |I| + n(n+1)/2 - |J|} = (-1)^{|I|+|J|}.$$

□

Dans le cas où $k := 1$, $I := \{i\}$ et $L := \{l\}$, on retrouve la formule usuelle du développement suivant une colonne :

$$\begin{align*}
\det(A)\delta_{i,l} &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,1}} (-1)^{i+|J|} \Delta_{\overline{J}, \{i\}}(A) \Delta_{J, \{l\}}(A) \\
&= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \Delta_{\overline{\{j\}}, \{i\}}(A) \Delta_{\{j\}, \{l\}}(A) \\
&= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} [A]_{\overline{\{j\}}, \{i\}} \Delta_{\{j\}, \{l\}}(A)
\end{align*}$$

Dans le cas où $I = L$, on a à gauche le déterminant, d'où la définition suivante.

### Définition 3.4.4

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $I \in \mathcal{P}_{n,k}$. Le calcul du déterminant de $A$ en développant suivant les colonnes de $I$ est :

$$\begin{align*}
\det(A) &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\overline{J}, \overline{I}}(A) \Delta_{J, I}(A) \\
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} \Delta_{\overline{J}, \overline{I}}(A) \mathrm{Cof}_{J, I}(A) \\
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} \mathrm{Cof}_{\overline{J}, \overline{I}}(A) \Delta_{J, I}(A)
\end{align*}$$
$$
\begin{align*}
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_n} (-1)^{|I|+|J|} [\text{Spam}(A)]_{\bar{J}, \bar{I}} [\text{Spam}(A)]_{J, L} \\
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{J}, \bar{I}}(A) \Delta_{J, L}(A)
\end{align*}
$$

Pour la deuxième égalité, on utilise le fait que :

$$
(-1)^{|\bar{I}|+|\bar{I}|} = (-1)^{n(n+1)/2 - |I| + n(n+1)/2 - |J|} = (-1)^{|I|+|J|}.
$$

□

Dans le cas où $k := 1$, $I := \{i\}$ et $L := \{l\}$, on retrouve la formule usuelle du développement suivant une colonne :

$$
\begin{align*}
\det(A)\delta_{i,l} &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,1}} (-1)^{i+|J|} \Delta_{\bar{J}, \{i\}}(A) \Delta_{J, \{l\}}(A) \\
&= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} \Delta_{\overline{\{j\}}, \{i\}}(A) \Delta_{\{j\}, \{l\}}(A) \\
&= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} [A]_{\overline{\{j\}}, \{i\}} \Delta_{\{j\}, \{l\}}(A)
\end{align*}
$$

Dans le cas où $I = L$, on a à gauche le déterminant, d'où la définition suivante.

Définition 3.4.4

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $I \in \mathcal{P}_{n,k}$. Le calcul du déterminant de $A$ en développant suivant les colonnes de $I$ est :

$$
\begin{align*}
\det(A) &= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} (-1)^{|I|+|J|} \Delta_{\bar{J}, \bar{I}}(A) \Delta_{J,I}(A) \\
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} \Delta_{\bar{J}, \bar{I}}(A) \mathrm{Cof}_{J,I}(A) \\
&= \sum_{J \in \mathcal{P}_{n,k}} \mathrm{Cof}_{\bar{J}, \bar{I}}(A) \Delta_{J,I}(A)
\end{align*}
$$
# 4 Exemples

## 4.1 Cas de la dimension 3

Soit :

$$A := \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}).$$

On a :

$$ \text{Spam}(A) = \begin{pmatrix} \det(A)g & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & ei - fh & di - fg & dh - eg & 0 & 0 & 0 \\ 0 & bi - ch & ai - cg & ah - bg & 0 & 0 & 0 \\ 0 & bf - ce & af - cd & ae - bd & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & i & h & g \\ 0 & 0 & 0 & 0 & f & e & d \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c & b & a \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

et

$$ \text{Spam}(A)^C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & e & h & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c & f & i & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ae - bd & ah - bg & dh - eg & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & af - cd & ai - cg & di - fg & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & bf - ce & bi - ch & ei - fh & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \det(A) \end{pmatrix} $$

avec :

$$ \det(A) = (ch - bi)d - (fh - ei)a - (ce - bf)g. $$

Comme :

$$ \mathcal{P}_{3,0} = (\emptyset) $$

$$ \mathcal{P}_{3,1} = (\{1\}, \{2\}, \{3\}) $$

$$ \mathcal{P}_{3,2} = (\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}) $$

$$ \mathcal{P}_{3,3} = (\{1,2,3\}) $$

on a :

$$ \mathbf{K}_{3,0} = ((-1)^{|\emptyset|}) = ((-1)^0) = (1) $$

$$ \mathbf{K}_{3,1} = \begin{pmatrix} (-1)^{|\{1\}|} & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^{|\{2\}|} & 0 \\ 0 & 0 & (-1)^{|\{3\}|} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)^1 & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (-1)^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

$$ \mathbf{K}_{3,2} = \begin{pmatrix} (-1)^{|\{1,2\}|} & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^{|\{1,3\}|} & 0 \\ 0 & 0 & (-1)^{|\{2,3\}|} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)^{1+2} & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^{1+3} & 0 \\ 0 & 0 & (-1)^{2+3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

$$ \mathbf{K}_{3,3} = ((-1)^{|\{1,2,3\}|}) = ((-1)^{1+2+3}) = (1) $$

Et comme :

$$ \mathcal{P}_3 = (\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}). $$
# 4 Exemples

## 4.1 Cas de la dimension 3

Soit :

$$A := \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}).$$

On a :

$$ \text{Spam}(A) = \begin{pmatrix} \det(A)g & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & ei - fh & di - fg & dh - eg & 0 & 0 & 0 \\ 0 & bi - ch & ai - cg & ah - bg & 0 & 0 & 0 \\ 0 & bf - ce & af - cd & ae - bd & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & i & h & g \\ 0 & 0 & 0 & 0 & f & e & d \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c & b & a \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

et

$$ \text{Spam}(A)^C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & d & g & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & e & h & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c & f & i & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ae - bd & ah - bg & dh - eg & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & af - cd & ai - cg & di - fg & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & bf - ce & bi - ch & ei - fh & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \det(A) \end{pmatrix} $$

avec :

$$ \det(A) = (ch - bi)d - (fh - ei)a - (ce - bf)g. $$

Comme :

$$ \mathcal{P}_{3,0} = (\emptyset) $$

$$ \mathcal{P}_{3,1} = (\{1\}, \{2\}, \{3\}) $$

$$ \mathcal{P}_{3,2} = (\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}) $$

$$ \mathcal{P}_{3,3} = (\{1,2,3\}) $$

on a :

$$ \mathbf{K}_{3,0} = ((-1)^{|\emptyset|}) = ((-1)^0) = (1) $$

$$ \mathbf{K}_{3,1} = \begin{pmatrix} (-1)^{|\{1\}|} & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^{|\{2\}|} & 0 \\ 0 & 0 & (-1)^{|\{3\}|} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)^1 & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (-1)^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

$$ \mathbf{K}_{3,2} = \begin{pmatrix} (-1)^{|\{1,2\}|} & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^{|\{1,3\}|} & 0 \\ 0 & 0 & (-1)^{|\{2,3\}|} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)^{1+2} & 0 & 0 \\ 0 & (-1)^{1+3} & 0 \\ 0 & 0 & (-1)^{2+3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

$$ \mathbf{K}_{3,3} = ((-1)^{|\{1,2,3\}|}) = ((-1)^{1+2+3}) = (1) $$

Et comme :

$$ \mathcal{P}_3 = (\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}). $$
on a :

$$
\mathbf{K}_3 = \begin{pmatrix} \mathbf{K}_{3,0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{K}_{3,1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{K}_{3,2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mathbf{K}_{3,3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
$$

Ainsi on a :

$$
\begin{align*}
\mathbf{K}_3\text{Spam}(A)\mathbf{K}_3\text{Spam}(A)^C &= \begin{pmatrix}
\det(A) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \det(A) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \det(A) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \det(A) & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \det(A) & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \det(A) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \det(A) & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \det(A)
\end{pmatrix} \\
&= \det(A)I_8
\end{align*}
$$

4.2 Un exemple en dimension 4

Reprenons la matrice de l'introduction

$$
A := \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & 2 & -1 \\ -2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
$$

On a :

$$
\text{Spam}(A) =
\begin{pmatrix}
25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -43 & 12 & 22 & 35 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -35 & 15 & 15 & 25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -14 & 1 & 6 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -5 & -5 & -5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 5 & 6 & -6 & -9 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 2 & 11 & 2 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 11 & 13 & 7 & 2 & 7 & 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 & 7 & 3 & 2 & -3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 10 & 10 & 5 & 0 & 5 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 3 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
on a :

$$
\mathbf{K}_3 = \begin{pmatrix} \mathbf{K}_{3,0} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{K}_{3,1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{K}_{3,2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mathbf{K}_{3,3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
$$

Ainsi on a :

$$
\begin{align*}
\mathbf{K}_3\text{Spam}(A)\mathbf{K}_3\text{Spam}(A)^C &= \begin{pmatrix}
\det(A) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \det(A) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \det(A) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \det(A) & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \det(A) & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \det(A) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \det(A) & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \det(A)
\end{pmatrix} \\
&= \det(A)I_8
\end{align*}
$$

4.2 Un exemple en dimension 4

Reprenons la matrice de l'introduction

$$
A := \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & 2 & -1 \\ -2 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
$$

On a :

$$
\text{Spam}(A) =
\begin{pmatrix}
25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -43 & 12 & 22 & 35 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -35 & 15 & 15 & 25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -14 & 1 & 6 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -5 & -5 & -5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 5 & 6 & -6 & -9 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 2 & 11 & 2 & 1 & -4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 11 & 13 & 7 & 2 & 7 & 7 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 & 7 & 3 & 2 & -3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 10 & 10 & 5 & 0 & 5 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 4 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 3 & 1 & -2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
et

$$ \text{Spam}(A)^C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & 4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5 & -3 & 7 & -4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5 & 2 & 7 & 1 & -9 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 2 & 2 & -6 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 5 & 7 & 7 & 11 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 10 & 0 & 13 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 10 & 7 & 11 & 5 & -9 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 25 & 35 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -5 & 6 & 15 & 22 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -5 & 1 & 15 & 12 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -5 & -14 & -35 & -43 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25 \end{pmatrix} $$

Comme

$$ \mathbf{K}_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$
on a :

$$
\begin{align*}
\mathbf{K}_4\text{Spam}(A)\mathbf{K}_4\text{Spam}(A)^C &=
\begin{pmatrix}
25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25
\end{pmatrix} \\
&= 25I_{16}
\end{align*}
$$
on a :

$$
\begin{align*}
\mathbf{K}_4\text{Spam}(A)\mathbf{K}_4\text{Spam}(A)^C &=
\begin{pmatrix}
25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 25
\end{pmatrix} \\
&= 25I_{16}
\end{align*}
$$
# A Matrices de permutations

On utilise les notations suivantes pour les matrices.

* Pour toute matrice $M \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{C})$, tout $k \in \{1, \dots, n\}$ et tout $l \in \{1, \dots, p\}$, on note $[M]_{k,l}$ le coefficient de $M$ à la ligne $k$ et la colonne $l$.

* On omettra la virgule en indice pour séparer les indices si aucune confusion n'est possible. On écrira par exemple $a_{ij} := a_{i,j}$ mais on laissera $a_{i+2,j}$.

* Soit $M := (m_{i,j})_{i,j} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $l \in \{1, \dots, n\}$.

(a) On note $\mathcal{L}_l(M)$ la $l$-ième ligne de $M$ i.e. :

$$ \mathcal{L}_l(M) := (m_{l1} \quad \dots \quad m_{ln}). $$

(b) On note $\mathcal{C}_l(M)$ la $l$-ième colonne de $M$ i.e. :

$$ \mathcal{C}_l(M) := \begin{pmatrix} m_{l1} \\ \vdots \\ m_{ln} \end{pmatrix}. $$

## A.1 Groupes symétriques

### Définition A.1.1

(i) Une **permutation de** $\{1, \dots, n\}$ est une bijection $\sigma$ de $\{1, \dots, n\}$ vers $\{1, \dots, n\}$. Son support est défini par :

$$ \text{Supp}(\sigma) := \{i \in \{1, \dots, n\}, \sigma(i) \neq i\}. $$

On note $\mathfrak{S}_n$ l'ensemble des permutations de l'ensemble $\{1, \dots, n\}$.

(ii) Soit $l \in \{2, \dots, n\}$ et $i_1, \dots, i_l$ des éléments distincts de $\{1, \dots, n\}$. Le **cycle** $\sigma := (i_1, \dots, i_l)$ **de longueur** $l$ est la permutation de $\{1, \dots, n\}$ telle que :

$$ \begin{gathered} \forall j \in \{1, \dots, l-1\}, \quad \sigma(i_j) = i_{j+1} \\ \sigma(i_l) = i_1 \\ \text{Supp}(\sigma) = \{i_1, \dots, i_l\} \end{gathered} $$

(iii) Une **transposition** $\tau$ de $\{1, \dots, n\}$ est un cycle de longueur 2 i.e. il existe $i, j \in \{1, \dots, n\}$ distincts tels que $\text{Supp}(\tau) = \{i, j\}$. On la note :

$$ \tau_{i,j} := \tau = (i,j). $$

(iv) Pour toute permutation $\sigma$ de $\{1, \dots, n\}$, la **signature de** $\sigma$ est définie par :

$$ \varepsilon(\sigma) := \prod_{1 \le i < j \le n} \frac{\sigma(j) - \sigma(i)}{j - i}. $$

La composition est une loi de composition interne dans $\mathfrak{S}_n$ qui fait de $\mathfrak{S}_n$ un groupe et :

$$ \text{Card}(\mathfrak{S}_n) = n!. $$

On pourra noter deux façons une permutations $\sigma$ :

* sous forme de matrice :

$$ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix} $$
# A Matrices de permutations

On utilise les notations suivantes pour les matrices.

* Pour toute matrice $M \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{C})$, tout $k \in \{1, \dots, n\}$ et tout $l \in \{1, \dots, p\}$, on note $[M]_{k,l}$ le coefficient de $M$ à la ligne $k$ et la colonne $l$.

* On omettra la virgule en indice pour séparer les indices si aucune confusion n'est possible. On écrira par exemple $a_{ij} := a_{i,j}$ mais on laissera $a_{i+2,j}$.

* Soit $M := (m_{i,j})_{i,j} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $l \in \{1, \dots, n\}$.

(a) On note $\mathcal{L}_l(M)$ la $l$-ième ligne de $M$ i.e. :

$$ \mathcal{L}_l(M) := (m_{l1} \quad \dots \quad m_{ln}). $$

(b) On note $\mathcal{C}_l(M)$ la $l$-ième colonne de $M$ i.e. :

$$ \mathcal{C}_l(M) := \begin{pmatrix} m_{l1} \\ \vdots \\ m_{ln} \end{pmatrix}. $$

## A.1 Groupes symétriques

### Définition A.1.1

(i) Une **permutation de** $\{1, \dots, n\}$ est une bijection $\sigma$ de $\{1, \dots, n\}$ vers $\{1, \dots, n\}$. Son support est défini par :

$$ \text{Supp}(\sigma) := \{i \in \{1, \dots, n\}, \sigma(i) \neq i\}. $$

On note $\mathfrak{S}_n$ l'ensemble des permutations de l'ensemble $\{1, \dots, n\}$.

(ii) Soit $l \in \{2, \dots, n\}$ et $i_1, \dots, i_l$ des éléments distincts de $\{1, \dots, n\}$. Le **cycle** $\sigma := (i_1, \dots, i_l)$ **de longueur** $l$ est la permutation de $\{1, \dots, n\}$ telle que :

$$ \begin{gathered} \forall j \in \{1, \dots, l-1\}, \quad \sigma(i_j) = i_{j+1} \\ \sigma(i_l) = i_1 \\ \text{Supp}(\sigma) = \{i_1, \dots, i_l\} \end{gathered} $$

(iii) Une **transposition** $\tau$ de $\{1, \dots, n\}$ est un cycle de longueur 2 i.e. il existe $i, j \in \{1, \dots, n\}$ distincts tels que $\text{Supp}(\tau) = \{i, j\}$. On la note :

$$ \tau_{i,j} := \tau = (i,j). $$

(iv) Pour toute permutation $\sigma$ de $\{1, \dots, n\}$, la **signature de** $\sigma$ est définie par :

$$ \varepsilon(\sigma) := \prod_{1 \le i < j \le n} \frac{\sigma(j) - \sigma(i)}{j - i}. $$

La composition est une loi de composition interne dans $\mathfrak{S}_n$ qui fait de $\mathfrak{S}_n$ un groupe et :

$$ \text{Card}(\mathfrak{S}_n) = n! $$

On pourra noter deux façons une permutations $\sigma$ :

* sous forme de matrice :

$$ \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end{pmatrix} $$
• sous-forme de tableau :

<table><tr><td>$i$</td><td>1</td><td>2</td><td>...</td><td>$n$</td></tr><tr><td>$\sigma(i)$</td><td>$\sigma(1)$</td><td>$\sigma(2)$</td><td>...</td><td>$\sigma(n)$</td></tr></table>

La proposition suivante énonce les résultats utiles pour la compréhension du texte.

### Proposition A.1.2

(i) Toute permutation $\sigma$ peut s'écrire comme le produit de transpositions.

(ii) La signature définie un morphisme de groupes :

$$ \varepsilon : \sigma \in (\mathfrak{S}_n, \circ) \mapsto \varepsilon(\sigma) \in (\{\pm 1\}, \times) $$

et pour toute transposition $\tau$ de $\mathfrak{S}_n$, on a $\varepsilon(\sigma) = -1$.

On peut aussi montrer que la parité du nombre de transpositions apparaissant dans la décomposition ne dépend pas de la décomposition (i.e. si on a deux décompositions de $\sigma$ en produit de transpositions avec $N$ et $N'$ transpositions respectivement alors $N' \equiv N[2]$). On a alors :

$$ \varepsilon(\sigma) = (-1)^N $$

si $\sigma := \tau_1 \circ \dots \circ \tau_N$. Tout cycle $c := (i_1, \dots, i_l)$ se décompose en le produit de $l-1$ transpositions :

$$ c = (i_1, i_2) \circ \dots (i_{l-1}, i_l) $$

et donc on a :

$$ \varepsilon(c) = (-1)^l. $$

On donne deux exemples simples pour comprendre les objets et notions définis.

### Exemple A.1.3

(1) Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_3$ est d'ordre 6, on a :

$$ \begin{aligned} \mathfrak{S}_3 &= \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \right\} \\ &= \{\mathrm{Id}, (12), (13), (23), (123) = (12)(23), (132) = (13)(32)\} \\ &=: \{\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3, \sigma_4, \sigma_5, \sigma_6\} \end{aligned} $$

Comme la signature d'une transposition vaut $-1$, les signatures des six permutations valent :

$$ \varepsilon(\sigma_1) = 1 $$

$$ \varepsilon(\sigma_2) = -1 $$

$$ \varepsilon(\sigma_3) = -1 $$

$$ \varepsilon(\sigma_4) = -1 $$

$$ \varepsilon(\sigma_5) = \varepsilon(\sigma_2) \varepsilon(\sigma_4) = 1 $$

$$ \varepsilon(\sigma_6) = \varepsilon(\sigma_3) \varepsilon(\sigma_4) = 1 $$

Montrons avec l'autre formule que $\varepsilon(\sigma_6) = 1$. Comme :

$$ \sigma_6 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

on a :

$$ \varepsilon(\sigma_6) = \prod_{1 \le i < j \le 3} \frac{\sigma_6(j) - \sigma_6(i)}{j - i} $$
• sous-forme de tableau :

<table><tr><td>$i$</td><td>1</td><td>2</td><td>...</td><td>$n$</td></tr><tr><td>$\sigma(i)$</td><td>$\sigma(1)$</td><td>$\sigma(2)$</td><td>...</td><td>$\sigma(n)$</td></tr></table>

La proposition suivante énonce les résultats utiles pour la compréhension du texte.

**Proposition A.1.2**

(i) Toute permutation $\sigma$ peut s'écrire comme le produit de transpositions.

(ii) La signature définie un morphisme de groupes :

$$ \varepsilon : \sigma \in (\mathfrak{S}_n, \circ) \mapsto \varepsilon(\sigma) \in (\{\pm 1\}, \times) $$

et pour toute transposition $\tau$ de $\mathfrak{S}_n$, on a $\varepsilon(\sigma) = -1$.

On peut aussi montrer que la parité du nombre de transpositions apparaissant dans la décomposition ne dépend pas de la décomposition (i.e. si on a deux décompositions de $\sigma$ en produit de transpositions avec $N$ et $N'$ transpositions respectivement alors $N' \equiv N[2]$). On a alors dans ce cas :

$$ \varepsilon(\sigma) = (-1)^N. $$

Tout cycle $c := (i_1, \dots, i_l)$ se décompose en le produit de $l-1$ transpositions :

$$ c = (i_1, i_2) \circ \dots \circ (i_{l-1}, i_l) $$

et donc on a :

$$ \varepsilon(c) = (-1)^l. $$

On donne deux exemples simples pour comprendre les objets et notions définis.

**Exemple A.1.3**

(1) Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_3$ est d'ordre 6, on a :

$$ \begin{aligned} \mathfrak{S}_3 &= \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \right\} \\ &= \{\mathrm{Id}, (12), (13), (23), (123) = (12)(23), (132) = (13)(32)\} \\ &=: \{\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3, \sigma_4, \sigma_5, \sigma_6\} \end{aligned} $$

Comme la signature d'une transposition vaut $-1$, les signatures des six permutations valent :

$$ \varepsilon(\sigma_1) = 1 $$

$$ \varepsilon(\sigma_2) = -1 $$

$$ \varepsilon(\sigma_3) = -1 $$

$$ \varepsilon(\sigma_4) = -1 $$

$$ \varepsilon(\sigma_5) = \varepsilon(\sigma_2)\varepsilon(\sigma_4) = 1 $$

$$ \varepsilon(\sigma_6) = \varepsilon(\sigma_3)\varepsilon(\sigma_4) = 1 $$

Montrons avec l'autre formule que $\varepsilon(\sigma_6) = 1$. Comme :

$$ \sigma_6 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

on a :

$$ \varepsilon(\sigma_6) = \prod_{1 \le i < j \le 3} \frac{\sigma_6(j) - \sigma_6(i)}{j - i} $$
$$
\begin{align*}
&= \frac{\sigma_6(2) - \sigma_6(1)}{2-1} \cdot \frac{\sigma_6(3) - \sigma_6(1)}{3-1} \cdot \frac{\sigma_6(3) - \sigma_6(2)}{3-2} \\
&= \frac{1-3}{2-1} \cdot \frac{2-3}{3-1} \cdot \frac{2-1}{3-2} \\
&= -1 \times -1 \times 1 \\
&= 1
\end{align*}
$$

(2) Soit la permutation de {1, ..., 12} :

$$
\sigma := \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
2 & 4 & 3 & 10 & 8 & 9 & 7 & 12 & 6 & 1 & 11 & 5
\end{pmatrix}
$$

On a :

$$
\text{Supp}(\sigma) = \{1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12\}
$$

et

$$
\sigma = c_1 \circ c_2 \circ c_3 = (1, 2, 4, 10) \circ (5, 8, 12) \circ (6, 9)
$$

avec

$$
c_1 := (1, 2, 4, 10) = (1, 2) \circ (2, 4) \circ (4, 10)
$$

$$
c_2 := (5, 8, 12) = (5, 8) \circ (8, 12)
$$

$$
c_3 := (6, 9)
$$

Ainsi on a :

$$
\sigma = (1, 2) \circ (2, 4) \circ (4, 10) \circ (5, 8) \circ (8, 12) \circ (6, 9)
$$

et on a :

$$
\epsilon(\sigma) = (-1)^6 = 1
$$

A.2 Déterminant d'une matrice carrée

On donne dans cette sous-section les notions importantes sur le déterminant pour comprendre le texte. On note
(e₁,...,eₙ) la base canonique de ℂⁿ := 𝒰ₙ,₁( ℂ ) sur ℂ définie par :

$$
e_1 := \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \quad e_2 := \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \dots, \quad e_n := \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.
$$

Démonition A.2.1

Soit $f$ une application de $(\mathbb{C}^n)^n$ vers $\mathbb{C}$. On dit que $f$ est une **forme $n$-linéaire alternée** si :

(i) (linéarité en chaque variable) pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, tous $x_1, \dots, x_n, y_i \in \mathbb{C}^n$ et tous $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$, on a :

$$
f(x_1, \dots, x_{i-1}, \alpha x_i + \beta y_i, x_{i+1}, \dots, x_n) = \alpha f(x_1, \dots, x_n) + \beta f(x_1, \dots, x'_i, \dots, x_n);
$$

(ii) (alternée) pour tous i, j ∈ {1, ..., n} distincts et tous x₁, ..., xₙ ∈ Cⁿ tels que xᵢ = xⱼ, on a :

$$
f(x_1, \dots, x_n) = 0.
$$
$$
\begin{align*}
&= \frac{\sigma_6(2) - \sigma_6(1)}{2-1} \cdot \frac{\sigma_6(3) - \sigma_6(1)}{3-1} \cdot \frac{\sigma_6(3) - \sigma_6(2)}{3-2} \\
&= \frac{1-3}{2-1} \cdot \frac{2-3}{3-1} \cdot \frac{2-1}{3-2} \\
&= -1 \times -1 \times 1 \\
&= 1
\end{align*}
$$

(2) Soit la permutation de {1, ..., 12} :

$$
\sigma := \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
2 & 4 & 3 & 10 & 8 & 9 & 7 & 12 & 6 & 1 & 11 & 5
\end{pmatrix}
$$

On a :

$$
\mathrm{Supp}(\sigma) = \{1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12\}
$$

et

$$
\sigma = c_1 \circ c_2 \circ c_3 = (1, 2, 4, 10) \circ (5, 8, 12) \circ (6, 9)
$$

avec

$$
c_1 := (1, 2, 4, 10) = (1, 2) \circ (2, 4) \circ (4, 10)
$$

$$
c_2 := (5, 8, 12) = (5, 8) \circ (8, 12)
$$

$c_3 := (6, 9)$

Ainsi on a :

$$
\sigma = (1, 2) \circ (2, 4) \circ (4, 10) \circ (5, 8) \circ (8, 12) \circ (6, 9)
$$

et on a :

$$
\epsilon(\sigma) = (-1)^6 = 1
$$

A.2 Déterminant d'une matrice carrée

On donne dans cette sous-section les notions importantes sur le déterminant pour comprendre le texte. On note
(e₁, ..., eₙ) la base canonique de Cⁿ := Mₙ,₁(C) sur C définie par :

$$
e_1 := \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \quad e_2 := \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \dots, \quad e_n := \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.
$$

Définition A.2.1

Soit $f$ une application de $(\mathbb{C}^n)^n$ vers $\mathbb{C}$. On dit que $f$ est une **forme $n$-linéaire alternée** si :

(i) (linéarité en chaque variable) pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$, tous $x_1, \dots, x_n, y_i \in \mathbb{C}^n$ et tous $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$, on a :

$$
f(x_1, \dots, x_{i-1}, \alpha x_i + \beta y_i, x_{i+1}, \dots, x_n) = \alpha f(x_1, \dots, x_n) + \beta f(x_1, \dots, y_i, \dots, x_n);
$$

(ii) (alternée) pour tous i, j ∈ {1, ..., n} distincts et tous x₁, ..., xₙ ∈ Cⁿ tels que xᵢ = xⱼ, on a :

$$
f(x_1, \dots, x_n) = 0.
$$
On est dans $\mathbb{C}$ donc une $n$-forme linéaire $f$ est alternée si et seulement si elle est **antisymétrique** i.e. :

$$ \forall x_1, \dots, x_n \in \mathbb{C}^n, \forall i, j \in \{1, \dots, n\}, i < j \implies f(x_1, \dots, x_{i-1}, x_j, x_{i-1}, \dots, x_{j-1}, x_i, x_{j-1}, \dots, x_n) = -f(x_1, \dots, x_n). $$

Pour toute forme $n$-linéaire alternée $f$, on a :

$$ f(x_1, \dots, x_n) = \left( \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^{n} x_{\sigma(j),j} \right) f(e_1, \dots, e_n). $$

L'ensemble des formes $n$-linéaires alternées est donc un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension 1. Il est engendré par toute forme $n$-linéaire alternée non nulle. D'où les définitions suivantes.

## Définition A.2.2

(i) Le **déterminant** $\det$ est l'unique forme $n$-linéaire alternée telle que :

$$ \det(e_1, \dots, e_n) = 1. $$

(ii) Soit :

$$ M := (\mathfrak{C}_1(M) | \dots | \mathfrak{C}_n(M)) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}). $$

Le **déterminant** de $M$ est défini par :

$$ \det(M) := \det(\mathfrak{C}_1(M), \dots, \mathfrak{C}_n(M)). $$

Pour $M := (m_{i,j})_{ij}$, on a donc :

$$ \det(M) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} m_{i,\sigma(i)}. $$

On a les propriétés utiles du déterminant.

## Proposition A.2.3

Soit $M, N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

(i) On a :

$$ \det(MN) = \det(M) \det(N). $$

(ii) On a :

$$ \det(M) \neq 0 \iff M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}). $$

En passant à la transposée, on a donc que le déterminant d'une matrice est le déterminant de ses lignes i.e. pour :

$$ M := (m_{i,j})_{ij} := \begin{pmatrix} \mathcal{L}_1(M) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_n(M) \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}). $$

on a donc :

$$ \begin{aligned} \det(M) &= \det(\mathcal{L}_1(M)^T, \dots, \mathcal{L}_n(M)^T) \\ &= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} [M^T]_{i,\sigma(i)} \\ &= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} m_{\sigma(i),i}. \end{aligned} $$
On est dans $\mathbb{C}$ donc une $n$-forme linéaire $f$ est alternée si et seulement si elle est **antisymétrique** i.e. :

$$ \forall x_1, \dots, x_n \in \mathbb{C}^n, \forall i, j \in \{1, \dots, n\}, i < j \implies f(x_1, \dots, x_{i-1}, x_j, x_{i-1}, \dots, x_{j-1}, x_i, x_{j-1}, \dots, x_n) = -f(x_1, \dots, x_n). $$

Pour toute forme $n$-linéaire alternée $f$, on a :

$$ f(x_1, \dots, x_n) = \left( \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{j=1}^{n} x_{\sigma(j),j} \right) f(e_1, \dots, e_n). $$

L'ensemble des formes $n$-linéaires alternées est donc un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension 1. Il est engendré par toute forme $n$-linéaire alternée non nulle. D'où les définitions suivantes.

### Définition A.2.2

(i) Le **déterminant** $\det$ est l'unique forme $n$-linéaire alternée telle que :

$$ \det(e_1, \dots, e_n) = 1. $$

(ii) Soit :

$$ M := (\mathfrak{C}_1(M) | \dots | \mathfrak{C}_n(M)) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}). $$

Le déterminant de $M$ est défini par :

$$ \det(M) := \det(\mathfrak{C}_1(M), \dots, \mathfrak{C}_n(M)). $$

Pour $M := (m_{i,j})_{ij}$, on a donc :

$$ \det(M) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} m_{i,\sigma(i)}. $$

On a les propriétés utiles du déterminant.

### Proposition A.2.3

Soit $M, N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

(i) On a :

$$ \det(MN) = \det(M) \det(N). $$

(ii) On a :

$$ \det(M) \neq 0 \iff M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C}). $$

## A.3 Matrices de permutation

### Définition A.3.1

(i) Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_n$. La **matrice de permutation associée à $\sigma$** est la matrice $P_{\sigma} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que pour tous $k, l \in \{1, \dots, n\}$ :

$$ [P_{\sigma}]_{k,l} := \delta_{i,\sigma(j)}. $$

(ii) Soit $i, j \in \{1, \dots, n\}$ tels que $i \neq j$. La **matrice de permutation $(i, j)$ de taille $n$** est la matrice :

$$ P_{i,j} := P_{\tau_{i,j}} $$
## A.3 Matrices de permutation

### Définition A.3.1

(i) Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_n$. La matrice de permutation associée à $\sigma$ est la matrice $\mathbf{P}_{\sigma} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que pour tous $k,l \in \{1, \dots, n\}$ :

$$[\mathbf{P}_{\sigma}]_{k,l} := \delta_{i,\sigma(j)}.$$

(ii) Soit $i, j \in \{1, \dots, n\}$ tels que $i \neq j$. La matrice de permutation $(i, j)$ de taille $n$ est la matrice :

$$\mathbf{P}_{i,j} := \mathbf{P}_{\tau_{i,j}}$$

avec $\tau_{i,j}$ la transposition de $i$ et $j$. On dit aussi que $\mathbf{P}_{i,j}$ est une **matrice élémentaire de permutation** ou une **matrice de transposition**.

On a donc :

$$\mathbf{P}_{i,j} = (e_1 | \cdots | e_{i-1} | e_j | e_{i+1} | \cdots | e_{j-1} | e_i | e_{j+1} | \cdots | e_n).$$

On reprend l'exemple (1) de A.1.3.

### Exemple A.3.2

On a :

$$\begin{align*}
\mathfrak{S}_3 &= \{\mathrm{Id}, (12), (13), (23), (123) = (12)(23), (132) = (13)(32)\} \\
&=: \{\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3, \sigma_4, \sigma_5, \sigma_6\}
\end{align*}$$

Les six matrices de permutation associées valent :

$$\mathbf{P}_{\sigma_1} = \mathbf{P}_{\mathrm{Id}} = \begin{pmatrix} \delta_{1,\sigma_1(1)} & \delta_{1,\sigma_1(2)} & \delta_{1,\sigma_1(3)} \\ \delta_{2,\sigma_1(1)} & \delta_{2,\sigma_1(2)} & \delta_{2,\sigma_1(3)} \\ \delta_{3,\sigma_1(1)} & \delta_{3,\sigma_1(2)} & \delta_{3,\sigma_1(3)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \delta_{1,1} & \delta_{1,2} & \delta_{1,3} \\ \delta_{2,1} & \delta_{2,2} & \delta_{2,3} \\ \delta_{3,1} & \delta_{3,2} & \delta_{3,3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$\mathbf{P}_{\sigma_2} = \mathbf{P}_{(1,2)} = \begin{pmatrix} \delta_{1,\sigma_2(1)} & \delta_{1,\sigma_2(2)} & \delta_{1,\sigma_2(3)} \\ \delta_{2,\sigma_2(1)} & \delta_{2,\sigma_2(2)} & \delta_{2,\sigma_2(3)} \\ \delta_{3,\sigma_2(1)} & \delta_{3,\sigma_2(2)} & \delta_{3,\sigma_2(3)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \delta_{1,2} & \delta_{1,1} & \delta_{1,3} \\ \delta_{2,2} & \delta_{2,1} & \delta_{2,3} \\ \delta_{3,2} & \delta_{3,1} & \delta_{3,3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

$$\mathbf{P}_{\sigma_3} = \mathbf{P}_{(1,3)} = \begin{pmatrix} \delta_{1,\sigma_3(1)} & \delta_{1,\sigma_3(2)} & \delta_{1,\sigma_3(3)} \\ \delta_{2,\sigma_3(1)} & \delta_{2,\sigma_3(2)} & \delta_{2,\sigma_3(3)} \\ \delta_{3,\sigma_3(1)} & \delta_{3,\sigma_3(2)} & \delta_{3,\sigma_3(3)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \delta_{1,3} & \delta_{1,2} & \delta_{1,1} \\ \delta_{2,3} & \delta_{2,2} & \delta_{2,1} \\ \delta_{3,3} & \delta_{3,2} & \delta_{3,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$$\mathbf{P}_{\sigma_4} = \mathbf{P}_{(2,3)} = \begin{pmatrix} \delta_{1,\sigma_4(1)} & \delta_{1,\sigma_4(2)} & \delta_{1,\sigma_4(3)} \\ \delta_{2,\sigma_4(1)} & \delta_{2,\sigma_4(2)} & \delta_{2,\sigma_4(3)} \\ \delta_{3,\sigma_4(1)} & \delta_{3,\sigma_4(2)} & \delta_{3,\sigma_4(3)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \delta_{1,1} & \delta_{1,3} & \delta_{1,2} \\ \delta_{2,1} & \delta_{2,3} & \delta_{2,2} \\ \delta_{3,1} & \delta_{3,3} & \delta_{3,2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$\mathbf{P}_{\sigma_5} = \mathbf{P}_{(1,2,3)} = \begin{pmatrix} \delta_{1,\sigma_1(1)} & \delta_{1,\sigma_1(2)} & \delta_{1,\sigma_1(3)} \\ \delta_{2,\sigma_1(1)} & \delta_{2,\sigma_1(2)} & \delta_{2,\sigma_1(3)} \\ \delta_{3,\sigma_1(1)} & \delta_{3,\sigma_1(2)} & \delta_{3,\sigma_1(3)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \delta_{1,2} & \delta_{1,3} & \delta_{1,1} \\ \delta_{2,2} & \delta_{2,3} & \delta_{2,1} \\ \delta_{3,2} & \delta_{3,3} & \delta_{3,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$\mathbf{P}_{\sigma_6} = \mathbf{P}_{(1,3,2)} = \begin{pmatrix} \delta_{1,\sigma_1(1)} & \delta_{1,\sigma_1(2)} & \delta_{1,\sigma_1(3)} \\ \delta_{2,\sigma_1(1)} & \delta_{2,\sigma_1(2)} & \delta_{2,\sigma_1(3)} \\ \delta_{3,\sigma_1(1)} & \delta_{3,\sigma_1(2)} & \delta_{3,\sigma_1(3)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \delta_{1,3} & \delta_{1,1} & \delta_{1,2} \\ \delta_{2,3} & \delta_{2,1} & \delta_{2,2} \\ \delta_{3,3} & \delta_{3,1} & \delta_{3,2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

On a alors les résultats fondamentaux suivants.
avec $\tau_{i,j}$ la transposition de $i$ et $j$. On dit aussi que $\mathbf{P}_{i,j}$ est une **matrice élémentaire de permutation** ou une **matrice de transposition**.

On a donc :

$$ \mathbf{P}_{i,j} = (e_1 | \cdots | e_{i-1} | e_j | e_{i+1} | \cdots | e_{j-1} | e_i | e_{j+1} | \cdots | e_n). $$

On reprend l'exemple (1) de A.1.3.

### Exemple A.3.2

On a :

$$ \begin{aligned} \mathfrak{S}_3 &= \{\mathrm{Id}, (12), (13), (23), (123) = (12)(23), (132) = (13)(32)\} \\ &=: \{\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3, \sigma_4, \sigma_5, \sigma_6\} \end{aligned} $$

Les six matrices de permutation associées valent :

$$ \mathbf{P}_{\sigma_1} = \mathbf{P}_{\mathrm{Id}} = \begin{pmatrix} \delta_{1,\sigma_1(1)} & \delta_{1,\sigma_1(2)} & \delta_{1,\sigma_1(3)} \\ \delta_{2,\sigma_1(1)} & \delta_{2,\sigma_1(2)} & \delta_{2,\sigma_1(3)} \\ \delta_{3,\sigma_1(1)} & \delta_{3,\sigma_1(2)} & \delta_{3,\sigma_1(3)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \delta_{1,1} & \delta_{1,2} & \delta_{1,3} \\ \delta_{2,1} & \delta_{2,2} & \delta_{2,3} \\ \delta_{3,1} & \delta_{3,2} & \delta_{3,3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ \mathbf{P}_{\sigma_2} = \mathbf{P}_{(1,2)} = \begin{pmatrix} \delta_{1,\sigma_2(1)} & \delta_{1,\sigma_2(2)} & \delta_{1,\sigma_2(3)} \\ \delta_{2,\sigma_2(1)} & \delta_{2,\sigma_2(2)} & \delta_{2,\sigma_2(3)} \\ \delta_{3,\sigma_2(1)} & \delta_{3,\sigma_2(2)} & \delta_{3,\sigma_2(3)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \delta_{1,2} & \delta_{1,1} & \delta_{1,3} \\ \delta_{2,2} & \delta_{2,1} & \delta_{2,3} \\ \delta_{3,2} & \delta_{3,1} & \delta_{3,3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ \mathbf{P}_{\sigma_3} = \mathbf{P}_{(1,3)} = \begin{pmatrix} \delta_{1,\sigma_3(1)} & \delta_{1,\sigma_3(2)} & \delta_{1,\sigma_3(3)} \\ \delta_{2,\sigma_3(1)} & \delta_{2,\sigma_3(2)} & \delta_{2,\sigma_3(3)} \\ \delta_{3,\sigma_3(1)} & \delta_{3,\sigma_3(2)} & \delta_{3,\sigma_3(3)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \delta_{1,3} & \delta_{1,2} & \delta_{1,1} \\ \delta_{2,3} & \delta_{2,2} & \delta_{2,1} \\ \delta_{3,3} & \delta_{3,2} & \delta_{3,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

$$ \mathbf{P}_{\sigma_4} = \mathbf{P}_{(2,3)} = \begin{pmatrix} \delta_{1,\sigma_4(1)} & \delta_{1,\sigma_4(2)} & \delta_{1,\sigma_4(3)} \\ \delta_{2,\sigma_4(1)} & \delta_{2,\sigma_4(2)} & \delta_{2,\sigma_4(3)} \\ \delta_{3,\sigma_4(1)} & \delta_{3,\sigma_4(2)} & \delta_{3,\sigma_4(3)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \delta_{1,1} & \delta_{1,3} & \delta_{1,2} \\ \delta_{2,1} & \delta_{2,3} & \delta_{2,2} \\ \delta_{3,1} & \delta_{3,3} & \delta_{3,2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

$$ \mathbf{P}_{\sigma_5} = \mathbf{P}_{(1,2,3)} = \begin{pmatrix} \delta_{1,\sigma_1(1)} & \delta_{1,\sigma_1(2)} & \delta_{1,\sigma_1(3)} \\ \delta_{2,\sigma_1(1)} & \delta_{2,\sigma_1(2)} & \delta_{2,\sigma_1(3)} \\ \delta_{3,\sigma_1(1)} & \delta_{3,\sigma_1(2)} & \delta_{3,\sigma_1(3)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \delta_{1,2} & \delta_{1,3} & \delta_{1,1} \\ \delta_{2,2} & \delta_{2,3} & \delta_{2,1} \\ \delta_{3,2} & \delta_{3,3} & \delta_{3,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

$$ \mathbf{P}_{\sigma_6} = \mathbf{P}_{(1,3,2)} = \begin{pmatrix} \delta_{1,\sigma_1(1)} & \delta_{1,\sigma_1(2)} & \delta_{1,\sigma_1(3)} \\ \delta_{2,\sigma_1(1)} & \delta_{2,\sigma_1(2)} & \delta_{2,\sigma_1(3)} \\ \delta_{3,\sigma_1(1)} & \delta_{3,\sigma_1(2)} & \delta_{3,\sigma_1(3)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \delta_{1,3} & \delta_{1,1} & \delta_{1,2} \\ \delta_{2,3} & \delta_{2,1} & \delta_{2,2} \\ \delta_{3,3} & \delta_{3,1} & \delta_{3,2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

On a alors les résultats fondamentaux suivants.

### Lemme A.3.3

(i) Soit $\sigma, \tau \in \mathfrak{S}_n$. On a :

$$ \mathbf{P}_{\sigma \circ \tau} = \mathbf{P}_{\sigma} \mathbf{P}_{\tau}. $$

(ii) Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_n$. On a $\mathbf{P}_{\sigma} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ et :

$$ \mathbf{P}_{\sigma}^{-1} = \mathbf{P}_{\sigma^{-1}} = \mathbf{P}_{\sigma}^{T}. $$

(iii) Toute matrices de permutation est le produit de matrices élémentaires de permutation.
Lemme A.3.3

(i) Soit $\sigma, \tau \in \mathfrak{S}_n$. On a :

$$ \mathbf{P}_{\sigma \circ \tau} = \mathbf{P}_{\sigma} \mathbf{P}_{\tau}. $$

(ii) Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_n$. On a $\mathbf{P}_{\sigma} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ et :

$$ \mathbf{P}_{\sigma}^{-1} = \mathbf{P}_{\sigma^{-1}} = \mathbf{P}_{\sigma}^{T}. $$

(iii) Toute matrices de permutation est le produit de matrice élémentaire de permutation.

(iv) Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_n$. On a :

$$ \det(\mathbf{P}_{\sigma}) = \varepsilon(\sigma). $$

Démonstration. (i) Comme $\tau$ est une bijection, on a pour tous $p, q \in \{1, \dots, n\}$ :

$$ p = \tau(q) \iff q = \tau^{-1}(p). $$

Ainsi pour tous $k, l \in \{1, \dots, n\}$, on a :

$$
\begin{align*}
[\mathbf{P}_{\sigma}\mathbf{P}_{\tau}]_{kl} &= \sum_{m=1}^{n} [\mathbf{P}_{\sigma}]_{km} [\mathbf{P}_{\tau}]_{ml} \\
&= \sum_{m=1}^{n} \delta_{k,\sigma(m)} \delta_{m,\tau(l)} \\
&= \delta_{k,\sigma(\tau(l))} \\
&= [\mathbf{P}_{\sigma\circ\tau}]_{kl}
\end{align*}
$$

(ii) Pour tous $k, l \in \{1, \dots, n\}$, on a :

$$
\begin{align*}
[\mathbf{P}_{\sigma}\mathbf{P}_{\sigma}^{T}]_{kl} &= \sum_{m=1}^{n} [\mathbf{P}_{\sigma}]_{km} [\mathbf{P}_{\sigma}^{T}]_{ml} \\
&= \sum_{m=1}^{n} [\mathbf{P}_{\sigma}]_{km} [\mathbf{P}_{\sigma}]_{lm} \\
&= \sum_{m=1}^{n} \delta_{k,\sigma(m)} \delta_{l,\sigma(m)} \\
&= \delta_{k,l} \\
&= [I_n]_{kl}
\end{align*}
$$

et par bijection de $\sigma$, on a :

$$
\begin{align*}
[\mathbf{P}_{\sigma}\mathbf{P}_{\sigma^{-1}}]_{kl} &= \sum_{m=1}^{n} [\mathbf{P}_{\sigma}]_{km} [\mathbf{P}_{\sigma^{-1}}]_{ml} \\
&= \sum_{m=1}^{n} \delta_{k,\sigma(m)} \delta_{m}, \\
&= \sum_{m=1}^{n} \delta_{k,\sigma(\sigma^{-1}(l))} \\
&= \delta_{k,l} \\
&= [I_n]_{kl}
\end{align*}
$$

Donc on a $\mathbf{P}_{\sigma} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ et :

$$ \mathbf{P}_{\sigma}^{-1} = \mathbf{P}_{\sigma^{-1}} = \mathbf{P}_{\sigma}^{T}. $$
(iv) Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_n$. On a :

$$ \det(\mathbf{P}_{\sigma}) = \varepsilon(\sigma). $$

Démonstration. (i) Comme $\tau$ est une bijection, on a pour tous $p, q \in \{1, \dots, n\}$ :

$$ p = \tau(q) \iff q = \tau^{-1}(p). $$

Ainsi pour tous $k, l \in \{1, \dots, n\}$, on a :

$$ 
\begin{align*}
[\mathbf{P}_{\sigma}\mathbf{P}_{\tau}]_{kl} &= \sum_{m=1}^{n} [\mathbf{P}_{\sigma}]_{km} [\mathbf{P}_{\tau}]_{ml} \\
&= \sum_{m=1}^{n} \delta_{k,\sigma(m)} \delta_{m,\tau(l)} \\
&= \delta_{k,\sigma(\tau(l))} \\
&= [\mathbf{P}_{\sigma\circ\tau}]_{kl}
\end{align*}
$$

(ii) Pour tous $k, l \in \{1, \dots, n\}$, on a :

$$ 
\begin{align*}
[\mathbf{P}_{\sigma}\mathbf{P}_{\sigma}^{T}]_{kl} &= \sum_{m=1}^{n} [\mathbf{P}_{\sigma}]_{km} [\mathbf{P}_{\sigma}^{T}]_{ml} \\
&= \sum_{m=1}^{n} [\mathbf{P}_{\sigma}]_{km} [\mathbf{P}_{\sigma}]_{lm} \\
&= \sum_{m=1}^{n} \delta_{k,\sigma(m)} \delta_{l,\sigma(m)} \\
&= \delta_{k,l} \\
&= [I_n]_{kl}
\end{align*}
$$

et par bijection de $\sigma$, on a :

$$ 
\begin{align*}
[\mathbf{P}_{\sigma}\mathbf{P}_{\sigma^{-1}}]_{kl} &= \sum_{m=1}^{n} [\mathbf{P}_{\sigma}]_{km} [\mathbf{P}_{\sigma^{-1}}]_{ml} \\
&= \sum_{m=1}^{n} \delta_{k,\sigma(m)} \delta_{m,} \\
&= \sum_{m=1}^{n} \delta_{k,\sigma(\sigma^{-1}(l))} \\
&= \delta_{k,l} \\
&= [I_n]_{kl}
\end{align*}
$$

Donc on a $\mathbf{P}_{\sigma} \in \text{GL}_n(\mathbb{C})$ et :

$$ \mathbf{P}_{\sigma}^{-1} = \mathbf{P}_{\sigma^{-1}} = \mathbf{P}_{\sigma}^{T}. $$

(iii) Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ une permutation. Alors par la proposition A.1.2, $\sigma$ est le produit de transpositions $\tau_1, \dots, \tau_k$ :

$$ \sigma = \tau_1 \circ \cdots \circ \tau_k. $$

On a donc par le point (i) :

$$ 
\begin{align*}
\mathbf{P}_{\sigma} &= \mathbf{P}_{\tau_1 \circ \cdots \circ \tau_k} \\
&= \mathbf{P}_{\tau_1} \cdots \mathbf{P}_{\tau_k}
\end{align*}
$$

D'où le résultat.
(iii) Soit $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ une permutation. Alors par la proposition A.1.2, $\sigma$ est le produit de transpositions $\tau_1, \dots, \tau_k$ :

$$ \sigma = \tau_1 \circ \dots \circ \tau_k. $$

On a donc par le point (i) :

$$ \mathbf{P}_{\sigma} = \mathbf{P}_{\tau_1 \circ \dots \circ \tau_k} $$

$$ = \mathbf{P}_{\tau_1 \cdots \tau_k} $$

D'où le résultat.

(iv) Soit $\tau_{i,j}$ une transposition avec $i, j \in \{1, \dots, n\}$ avec $i < j$. Montrons que :

$$ \det(\mathbf{P}_{i,j}) = -1 = \varepsilon(\tau_{i,j}). $$

On a par antisymétrie du déterminant :

$$ \det(\mathbf{P}_{i,j}) = \det(\mathfrak{C}_1(\mathbf{P}_{i,j}), \dots, \mathfrak{C}_1(\mathbf{P}_{i,j})) $$

$$ = \det(e_1, \dots, e_{i-1}, e_j, e_{i+1}, \dots, e_{j-1}, e_i, e_{j+1}, \dots, e_n) $$

$$ = -\det(e_1, \dots, e_n) $$

$$ = -1 $$

$$ = \varepsilon(\tau_{i,j}) $$

On réutilise les notations du point (iii). Soit une permutation décomposée en produit de transpositions :

$$ \sigma = \tau_1 \circ \dots \circ \tau_k. $$

On a donc :

$$ \det(\mathbf{P}_{\sigma}) = \det(\mathbf{P}_{\tau_1} \cdots \mathbf{P}_{\tau_k}) $$

$$ = \prod_{i=1}^{k} \det(\mathbf{P}_{\tau_i}) $$

$$ = (-1)^k $$

$$ = \varepsilon(\sigma) $$

□

Tout cycle $c := (i_1, \dots, i_l)$ se décompose en le produit de $l-1$ transpositions :

$$ c = (i_1, i_2) \circ \dots (i_{l-1}, i_l) $$

et donc on a :

$$ \varepsilon(c) = (-1)^l = \det(\mathbf{P}_c). \qquad (A.3.1) $$

## A.4 Exemples

### Proposition A.4.1

Faire une permutation sur les **lignes** (resp. les **colonnes**) d'une matrice est équivalent à multiplier la matrice à **gauche** (resp. à **droite**) par une matrice de permutation.

Regardons cela sur un exemple. Soit la matrice :

$$ M := \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}. $$
(iv) Soit $\tau_{i,j}$ une transposition avec $i, j \in \{1, \dots, n\}$ avec $i < j$. Montrons que :

$$ \det(\mathbf{P}_{i,j}) = -1 = \varepsilon(\tau_{i,j}). $$

On a par antisymétrie du déterminant :

$$
\begin{align*}
\det(\mathbf{P}_{i,j}) &= \det(\mathfrak{C}_1(\mathbf{P}_{i,j}), \dots, \mathfrak{C}_1(\mathbf{P}_{i,j})) \\
&= \det(e_1, \dots, e_{i-1}, e_j, e_{i+1}, \dots, e_{j-1}, e_i, e_{j+1}, \dots, e_n) \\
&= -\det(e_1, \dots, e_n) \\
&= -1 \\
&= \varepsilon(\tau_{i,j})
\end{align*}
$$

On réutilise les notations du point (iii). Soit une permutation décomposée en produit de transpositions :

$$ \sigma = \tau_1 \circ \dots \circ \tau_k. $$

On a donc :

$$
\begin{align*}
\det(\mathbf{P}_{\sigma}) &= \det(\mathbf{P}_{\tau_1} \cdots \mathbf{P}_{\tau_k}) \\
&= \prod_{i=1}^{k} \det(\mathbf{P}_{\tau_i}) \\
&= (-1)^k \\
&= \varepsilon(\sigma)
\end{align*}
$$

□

Tout cycle $c := (i_1, \dots, i_l)$ se décompose en le produit de $l-1$ transpositions :

$$ c = (i_1, i_2) \circ \dots \circ (i_{l-1}, i_l) $$

et donc on a :

$$ \varepsilon(c) = (-1)^l = \det(\mathbf{P}_c). \qquad (A.3.1) $$

## A.4 Exemples

### Proposition A.4.1

Faire une permutation sur les **lignes** (resp. les **colonnes**) d'une matrice est équivalent à multiplier la matrice à **gauche** (resp. à **droite**) par une matrice de permutation.

Regardons cela sur un exemple. Soit la matrice :

$$ M := \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}. $$

(1)

$$ [L_2 \leftrightarrow L_3] \qquad \mathbf{P}_{2,3} M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$
(1)

$[L_2 \leftrightarrow L_3]$

$$ \mathbf{P}_{2,3} M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$

(2)

$[L_1 \leftrightarrow L_3]$

$$ \mathbf{P}_{1,3} M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} $$

(3)

$[C_2 \leftrightarrow C_3]$

$$ M \mathbf{P}_{2,3} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 8 \end{pmatrix} $$

(4)

$[C_1 \leftrightarrow C_3]$

$$ M \mathbf{P}_{1,3} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 6 & 5 & 4 \\ 9 & 8 & 7 \end{pmatrix} $$
(2)

$[L_1 \leftrightarrow L_3]$

$$ \mathbf{P}_{1,3} M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} $$

(3)

$[C_2 \leftrightarrow C_3]$

$$ M \mathbf{P}_{2,3} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 8 \end{pmatrix} $$

(4)

$[C_1 \leftrightarrow C_3]$

$$ M \mathbf{P}_{1,3} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 6 & 5 & 4 \\ 9 & 8 & 7 \end{pmatrix} $$
# B La transposée et la cotransposée

La transposée d'une matrice est une symétrie par rapport à la première diagonale. La cotransposée est définie comme la symétrie par rapport à l'autre diagonale.

## B.1 Notations

### Définition B.1.1

Soit $M \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{C})$ et $N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

(i) (a) La **transposée de** $M$ est la matrice $M^T \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{C})$ définie pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et tout $j \in \{1, \dots, p\}$ par :

$$[M^T]_{ij} := [M]_{ji}.$$

(b) On dit que $N$ est **symétrique** si :

$$N^T = N.$$

On note $\mathcal{S}_n(\mathbb{C})$ leur ensemble.

(c) On dit que $N$ est **antisymétrique** si :

$$N^T = -N.$$

On note $\mathcal{A}_n(\mathbb{C})$ leur ensemble.

(ii) (a) La **cotransposée de** $M$ est la matrice $M^C \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{C})$ définie pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et tout $j \in \{1, \dots, p\}$ par :

$$[M^C]_{ij} := [M]_{p+1-j,n+1-i}.$$

(b) On dit que $N$ est **cosymétrique** si :

$$N^C = N.$$

On note $\mathcal{S}_n^c(\mathbb{C})$ leur ensemble.

(c) On dit que $N$ est **coantisymétrique** si :

$$N^C = -N.$$

On note $\mathcal{A}_n^c(\mathbb{C})$ leur ensemble.

La transposée et la cotransposée sont des applications linéaires de $\mathcal{M}_{np}(\mathbb{C})$ vers $\mathcal{M}_{pn}(\mathbb{C})$ car pour tous $M, N \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{C})$, tous $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$, tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et tout $j \in \{1, \dots, p\}$, on a :

$$ \begin{aligned} [(\alpha M + \beta N)^T]_{i,j} &= [\alpha M + \beta N]_{j,i} \\ &= \alpha [M]_{j,i} + \beta [N]_{j,i} \\ &= \alpha [M^T]_{i,j} + \beta [N^T]_{i,j} \\ &= [\alpha M^T + \beta N^T]_{i,j} \end{aligned} \qquad \begin{aligned} [(\alpha M + \beta N)^C]_{i,j} &= [\alpha M + \beta N]_{p+1-j,n+1-i} \\ &= \alpha [M]_{p+1-j,n+1-i} + \beta [N]_{p+1-j,n+1-i} \\ &= \alpha [M^C]_{i,j} + \beta [N^C]_{i,j} \\ &= [\alpha M^C + \beta N^C]_{i,j} \end{aligned} $$

### Exemple B.1.2

On a :

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} $$
# B La transposée et la cotransposée

La transposée d'une matrice est une symétrie par rapport à la première diagonale. La cotransposée est définie comme la symétrie par rapport à l'autre diagonale.

## B.1 Notations

### Définition B.1.1

Soit $M \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{C})$ et $N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

(i) (a) La **transposée de** $M$ est la matrice $M^T \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{C})$ définie pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et tout $j \in \{1, \dots, p\}$ par :

$$[M^T]_{ij} := [M]_{ji}.$$

(b) On dit que $N$ est **symétrique** si :

$$N^T = N.$$

On note $\mathcal{S}_n(\mathbb{C})$ leur ensemble.

(c) On dit que $N$ est **antisymétrique** si :

$$N^T = -N.$$

On note $\mathcal{A}_n(\mathbb{C})$ leur ensemble.

(ii) (a) La **cotransposée de** $M$ est la matrice $M^C \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{C})$ définie pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et tout $j \in \{1, \dots, p\}$ par :

$$[M^C]_{ij} := [M]_{p+1-j,n+1-i}.$$

(b) On dit que $N$ est **cosymétrique** si :

$$N^C = N.$$

On note $\mathcal{S}_n^c(\mathbb{C})$ leur ensemble.

(c) On dit que $N$ est **coantisymétrique** si :

$$N^C = -N.$$

On note $\mathcal{A}_n^c(\mathbb{C})$ leur ensemble.

La transposée et la cotransposée sont des applications linéaires de $\mathcal{M}_{np}(\mathbb{C})$ vers $\mathcal{M}_{pn}(\mathbb{C})$ car pour tous $M, N \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{C})$, tous $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$, tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et tout $j \in \{1, \dots, p\}$, on a :

$$ \begin{aligned} [(\alpha M + \beta N)^T]_{i,j} &= [\alpha M + \beta N]_{j,i} \\ &= \alpha [M]_{j,i} + \beta [N]_{j,i} \\ &= \alpha [M^T]_{i,j} + \beta [N^T]_{i,j} \\ &= [\alpha M^T + \beta N^T]_{i,j} \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} [(\alpha M + \beta N)^C]_{i,j} &= [\alpha M + \beta N]_{p+1-j,n+1-i} \\ &= \alpha [M]_{p+1-j,n+1-i} + \beta [N]_{p+1-j,n+1-i} \\ &= \alpha [M^C]_{i,j} + \beta [N^C]_{i,j} \\ &= [\alpha M^C + \beta N^C]_{i,j} \end{aligned} $$

### Exemple B.1.2

On a :

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} $$
$$
\begin{gather*}
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^C = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 5 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \\
\left( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^C \right)^T = \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^T \right)^C = \begin{pmatrix} 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
\end{gather*}
$$

Les deux transposées sont reliées, on utilise pour cela la matrice coidentité.

Définition B.1.3

Soit $n \in \mathbb{N}_*$. La **matrice coidentité de taille n** est définie par :

$$
\mathbf{C}_n := (\delta_{i,n+1-j})_{i,j}
$$

Exemple B.1.4

On a donc :

$$
\mathbf{C}_1 = (1) , \quad \mathbf{C}_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} , \quad \mathbf{C}_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$

On a alors les propriétés simples suivantes.

Lemme B.1.5

Soit $n \in \mathbb{N}_*$.

(i) On a $\mathbf{C}_n^T = \mathbf{C}_n$, $\mathbf{C}_n^C = \mathbf{C}_n$ et $\mathbf{C}_n^2 = \mathbf{I}_n$ (donc $\mathbf{C}_n^{-1} = \mathbf{C}_n$).

(ii) On a :

$$
\det(\mathbf{C}_n) = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor}.
$$

(iii) Soit $M \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{C})$. On a :

$$
M^C = C_n M^T C_p.
$$

Démonstration. (i) On a pour tous $i,j \in \{1, \dots, n\}$ :

$$
\begin{align*}
[\mathbf{C}_n^T]_{i,j} &= [\mathbf{C}_n]_{j,i} \\
&= \delta_{j,n+1-i} &&= \delta_{n+1-j,n+1-(n+1-i)} \\
&= \delta_{i,n+1-j} &&= \delta_{n+1-j,i} \\
&= [\mathbf{C}_n]_{i,j} &&= [\mathbf{C}_n]_{i,j}
\end{align*}
\[
[\mathbf{C}_n^2]_{i,j} &= \sum_{k=1}^{n} [\mathbf{C}_n]_{i,k} [\mathbf{C}_n^2]_{k,j} \\
&= \sum_{k=1}^{n} \delta_{i,n+1-k} \delta_{k,n+1-j} \\
&= \delta_{n+1-i,n+1-j} \\
&= [\mathbf{C}_n]_{i,j}
\end{align*}
$$

(ii) On a :

$$
\det(\mathbf{C}_n) = \sum_{\sigma \in \mathcal{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} [\mathbf{C}_n]_{i,\sigma(i)}
$$
$$
\begin{gather*}
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^C = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 5 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \\
\left( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^C \right)^T = \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^T \right)^C = \begin{pmatrix} 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
\end{gather*}
$$

Les deux transposées sont reliées, on utilise pour cela la matrice coidentité.

Définition B.1.3

Soit $n \in \mathbb{N}_*$. La **matrice coidentité de taille n** est définie par :

$$
\mathbf{C}_n := (\delta_{i,n+1-j})_{i,j}
$$

Exemple B.1.4

On a donc :

$$
\mathbf{C}_1 = (1) , \mathbf{C}_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} , \mathbf{C}_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$

On a alors les propriétés simples suivantes.

Lemme B.1.5

Soit $n \in \mathbb{N}_*$.

(i) On a $\mathbf{C}_n^T = \mathbf{C}_n$, $\mathbf{C}_n^C = \mathbf{C}_n$ et $\mathbf{C}_n^2 = \mathbf{I}_n$ (donc $\mathbf{C}_n^{-1} = \mathbf{C}_n$).

(ii) On a :

$$
\det(\mathbf{C}_n) = (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor}.
$$

(iii) Soit $M \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{C})$. On a :

$$
M^C = C_n M^T C_p.
$$

Démonstration. (i) On a pour tous $i,j \in \{1, \dots, n\}$ :

$$
\begin{align*}
[\mathbf{C}_n^T]_{i,j} &= [\mathbf{C}_n]_{j,i} & [\mathbf{C}_n^C]_{i,j} &= [\mathbf{C}_n]_{n+1-j,n+1-i} & [\mathbf{C}_n^2]_{i,j} &= \sum_{k=1}^{n} [\mathbf{C}_n]_{i,k} [\mathbf{C}_n^2]_{k,j} \\
&= \delta_{j,n+1-i} & = \delta_{n+1-j,n+1-(n+1-i)} & = \sum_{k=1}^{n} \delta_{i,n+1-k} \delta_{k,n+1-j} \\
&= \delta_{i,n+1-j} & = \delta_{n+1-j,i} & = \delta_{n+1-i,n+1-j} \\
&= [\mathbf{C}_n]_{i,j} & = [\mathbf{C}_n]_{i,j} & = [\mathbf{C}_n]_{i,j}
\end{align*}
$$

(ii) On a :

$$
\det(\mathbf{C}_n) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} [\mathbf{C}_n]_{i,\sigma(i)}
$$
$$
\begin{align*}
&= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} \delta_{i,n+1-\sigma(i)} \\
&= \varepsilon \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ n & n-1 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \right) \\
&= \prod_{i=1}^{[n/2]} \varepsilon((i, n+1-i)) \\
&= (-1)^{\lfloor n/2 \rfloor}
\end{align*}
$$

(iii) On a pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et tout $j \in \{1, \dots, q\}$ :

$$
\begin{align*}
[\mathbf{C}_n M^T \mathbf{C}_p]_{i,j} &= \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{p} [\mathbf{C}_n]_{i,k} [M^T]_{k,l} [\mathbf{C}_p]_{l,j} \\
&= \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{p} \delta_{i,n+1-k} [M]_{l,k} \delta_{l,n+1-j} \\
&= [M]_{n+1-j,n+1-i} \\
&= [M^C]_{i,j}
\end{align*}
$$

□

B.2 Propriétés

On a les propriétés simples suivantes.

Proposition B.2.1

Soit $M \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{C})$, $N \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{C})$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

(i) On a :

$$
(MN)^T = N^T M^T , \quad (MN)^C = N^C M^C .
$$

(ii) On a

$$
(M^T)^C = (M^C)^T .
$$

(iii) Supposons que $A \in \text{GL}_n(\mathbb{C})$. Alors $A^T, A^C \in \text{GL}_n(\mathbb{C})$ et :

$$
(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T , \quad (A^C)^{-1} = (A^{-1})^C .
$$

(iv) On a :

$$
\det(A^T) = \det(A^C) = \det(A).
$$

Démonstration. (i) On a pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et tout $j \in \{1, \dots, q\}$ :

$$
\begin{align*}
\left[ (MN)^T \right]_{i,j} &= [MN]_{j,i} \\
&= \sum_{k=1}^{p} [M]_{j,k} [N]_{k,i} \\
&= \sum_{k=1}^{p} [N^T]_{i,k} [M^T]_{k,j}
\end{align*}
\begin{align*}
\left[ (MN)^C \right]_{i,j} &= [MN]_{q+1-j,n+1-i} \\
&= \sum_{k=1}^{p} [M]_{q+1-j,k} [N]_{k,n+1-i} \\
&= \sum_{k=1}^{p} [M]_{q+1-j,p+1-k} [N]_{p+1-k,n+1-i}
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
&= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} \delta_{i,n+1-\sigma(i)} \\
&= \varepsilon \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ n & n-1 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \right) \\
&= \prod_{i=1}^{[n/2]} \varepsilon((i, n+1-i)) \\
&= (-1)^{\lceil n/2 \rceil}
\end{align*}
$$

(iii) On a pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et tout $j \in \{1, \dots, q\}$ :

$$
\begin{align*}
[\mathbf{C}_n M^T \mathbf{C}_p]_{i,j} &= \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{p} [\mathbf{C}_n]_{i,k} [M^T]_{k,l} [\mathbf{C}_p]_{l,j} \\
&= \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{p} \delta_{i,n+1-k} [M]_{l,k} \delta_{l,n+1-j} \\
&= [M]_{n+1-j,n+1-i} \\
&= [M^C]_{i,j}
\end{align*}
$$

□

B.2 Propriétés

On a les propriétés simples suivantes.

Proposition B.2.1

Soit $M \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{C})$, $N \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{C})$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

(i) On a :

$$
(MN)^T = N^T M^T , \quad (MN)^C = N^C M^C .
$$

(ii) On a

$$
(M^T)^C = (M^C)^T .
$$

(iii) Supposons que $A \in \text{GL}_n(\mathbb{C})$. Alors $A^T, A^C \in \text{GL}_n(\mathbb{C})$ et :

$$
(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T , \quad (A^C)^{-1} = (A^{-1})^C .
$$

(iv) On a :

$$
\det(A^T) = \det(A^C) = \det(A).
$$

Démonstration. (i) On a pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et tout $j \in \{1, \dots, q\}$ :

$$
\begin{align*}
\left[ (MN)^T \right]_{i,j} &= [MN]_{j,i} \\
&= \sum_{k=1}^{p} [M]_{j,k} [N]_{k,i} \\
&= \sum_{k=1}^{p} [N^T]_{i,k} [M^T]_{k,j}
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\left[ (MN)^C \right]_{i,j} &= [MN]_{q+1-j,n+1-i} \\
&= \sum_{k=1}^{p} [M]_{q+1-j,k} [N]_{k,n+1-i} \\
&= \sum_{k=1}^{p} [M]_{q+1-j,p+1-k} [N]_{p+1-k,n+1-i}
\end{align*}
$$
$$
= [N^T M^T]_{i,j} \qquad \begin{aligned} & = \sum_{k=1}^{p} [N^C]_{i,k} [M^C]_{k,j} \\ & = [N^C M^C]_{i,j} \end{aligned}
$$

(ii) On a pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et tout $j \in \{1, \dots, q\}$ :

$$
\begin{align*}
\left[ (M^T)^C \right]_{i,j} &= [M^T]_{p+1-j, n+1-i} \\
&= [M]_{n+1-i, p+1-j} \\
&= [M^C]_{j,i} \\
&= \left[ (M^C)^T \right]_{i,j}
\end{align*}
$$

(iii) On a :

$$
\begin{align*}
I_n &= I_n^T & I_n &= I_n^C \\
&= (A^{-1}A)^T & &= (A^{-1}A)^C \\
&= A^C(A^{-1})^T & &= A^C(A^{-1})^C
\end{align*}
$$

Ainsi $A^T, A^C \in \text{GL}_n(\mathbb{C})$ et :

$$
(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T , \quad (A^C)^{-1} = (A^{-1})^C .
$$

(iv) Posons $A := (a_{ij})_{ij}$. L'application :

$$
\sigma \in \mathfrak{S}_n \mapsto \sigma^{-1} \in \mathfrak{S}_n
$$

est une bijection (elle est involutive), donc on a :

$$
\begin{align*}
\det(A^T) &= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} [A^T]_{i, \sigma(i)} \\
&= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} [A]_{\sigma(i), i} \\
&= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma^{-1}) \prod_{i=1}^{n} [A]_{\sigma^{-1}(i), i} \\
&= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} [A]_{\sigma^{-1}(i), i} \\
&= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} [A]_{i, \sigma(i)} \\
&= \det(A)
\end{align*}
$$

Donc on a par le lemme B.1.5 :

$$
\begin{align*}
\det(A^C) &= \det(C_n A^T C_n) \\
&= \det(A^T) \det(textbf{C}_n)^2 \\
&= \det(A^T) \\
&= \det(A^T)
\end{align*}
$$

□
$$
\begin{align*}
&= [N^T M^T]_{i,j} \\
&= \sum_{k=1}^{p} [N^C]_{i,k} [M^C]_{k,j} \\
&= [N^C M^C]_{i,j}
\end{align*}
$$

(ii) On a pour tout $i \in \{1, \dots, n\}$ et tout $j \in \{1, \dots, q\}$ :

$$
\begin{align*}
\left[ (M^T)^C \right]_{i,j} &= [M^T]_{p+1-j, n+1-i} \\
&= [M]_{n+1-i, p+1-j} \\
&= [M^C]_{j,i} \\
&= \left[ (M^C)^T \right]_{i,j}
\end{align*}
$$

(iii) On a :

$$
\begin{align*}
I_n &= I_n^T & I_n &= I_n^C \\
&= (A^{-1}A)^T & &= (A^{-1}A)^C \\
&= A^C(A^{-1})^T & &= A^C(A^{-1})^C
\end{align*}
$$

Ainsi $A^T, A^C \in \text{GL}_n(\mathbb{C})$ et :

$$
(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T , \quad (A^C)^{-1} = (A^{-1})^C .
$$

(iv) Posons $A := (a_{ij})_{ij}$. L'application :

$$
\sigma \in \mathfrak{S}_n \mapsto \sigma^{-1} \in \mathfrak{S}_n
$$

est une bijection (elle est involutive), donc on a :

$$
\begin{align*}
\det(A^T) &= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} [A^T]_{i, \sigma(i)} \\
&= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} [A]_{\sigma(i), i} \\
&= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma^{-1}) \prod_{i=1}^{n} [A]_{\sigma^{-1}(i), i} \\
&= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} [A]_{\sigma^{-1}(i), i} \\
&= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} [A]_{i, \sigma(i)} \\
&= \det(A)
\end{align*}
$$

Donc on a par le lemme B.1.5 :

$$
\begin{align*}
\det(A^C) &= \det(C_n A^T C_n) \\
&= \det(A^T) \det(C_n)^2 \\
&= \det(A^T) \\
&= \det(A^T)
\end{align*}
$$

□
On note alors

$$ M^{CT} := (M^T)^C = (M^C)^T. \qquad (B.2.1) $$

On a de plus :

$$ \begin{aligned} \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) &= \mathcal{S}_n(\mathbb{C}) \oplus \mathcal{A}_n(\mathbb{C}) \\ &= \mathcal{S}_n^c(\mathbb{C}) \oplus \mathcal{A}_n^c(\mathbb{C}). \end{aligned} $$

Les décompositions sont données respectivement pour tout $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ par :

$$ \begin{aligned} M &= \frac{M + M^T}{2} + \frac{M - M^T}{2} \\ &= \frac{M + M^C}{2} + \frac{M - M^C}{2}. \end{aligned} $$
On note alors

$$ M^{CT} := (M^T)^C = (M^C)^T. \qquad (B.2.1) $$

On a de plus :

$$ \begin{aligned} \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) &= \mathcal{S}_n(\mathbb{C}) \oplus \mathcal{A}_n(\mathbb{C}) \\ &= \mathcal{S}_n^c(\mathbb{C}) \oplus \mathcal{A}_n^c(\mathbb{C}) \\ &= (\mathcal{S}_n(\mathbb{C}) \cap \mathcal{S}_n^c(\mathbb{C})) \oplus (\mathcal{S}_n(\mathbb{C}) \cap \mathcal{A}_n^c(\mathbb{C})) \oplus (\mathcal{A}_n(\mathbb{C}) \cap \mathcal{S}_n^c(\mathbb{C})) \oplus (\mathcal{A}_n(\mathbb{C}) \cap \mathcal{A}_n^c(\mathbb{C})). \end{aligned} $$

Les décompositions sont données respectivement pour tout $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ par :

$$ \begin{aligned} M &= \frac{M + M^T}{2} + \frac{M - M^T}{2} \\ &= \frac{M + M^C}{2} + \frac{M - M^C}{2} \\ &= \frac{M + M^T + M^C + M^{CT}}{4} + \frac{M + M^T - M^C - M^{CT}}{4} + \frac{M - M^T + M^C - M^{CT}}{4} + \frac{M - M^T - M^C + M^{CT}}{4}. \end{aligned} $$

En passant à la transposée, on a que le déterminant d'une matrice est le déterminant de ses lignes i.e. pour :

$$ M := (m_{i,j})_{ij} := \begin{pmatrix} \mathcal{L}_1(M) \\ \vdots \\ \mathcal{L}_n(M) \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}). $$

on a donc :

$$ \begin{aligned} \det(M) &= \det(\mathcal{L}_1(M)^T, \dots, \mathcal{L}_n(M)^T) \\ &= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n [M^T]_{i, \sigma(i)} \\ &= \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^n m_{\sigma(i), i}. \end{aligned} $$
Références

[1] Viktor Vasil evich Prasolov, *Problems and Theorems in Linear Algebra*, American Mathematical Soc., (1994).

[2] Wikipedia (english), *Minor (linear algebra) # Inverse of a matrix*.
Références

[1] Viktor Vasil evich Prasolov, *Problems and Theorems in Linear Algebra*, American Mathematical Soc., (1994).

[2] Wikipedia (english), *Minor (linear algebra) # Inverse of a matrix*.