## Sur certaines suites liées aux ensembles plans et leur application à la représentation conforme

par F. LEJA (Kraków)

**1. Suites extrémales de points d'un ensemble.** Soit $\mathcal{E}$ un ensemble infini fermé et borné de points du plan et

$$ (1) \qquad a_1, a_2, a_3, \dots $$

la suite de points de $\mathcal{E}$ définie comme il suit: $a_1$ est un point quelconque de $\mathcal{E}$, $a_2$ un point tel qu'on ait $|a_2-a_1| = \max_{z \in \mathcal{E}} |z-a_1|$, $a_3$ un point tel que $|(a_3-a_1)(a_3-a_2)| = \max_{z \in \mathcal{E}} |(z-a_1)(z-a_2)|$ et en général $a_{n+1}$ un point de $\mathcal{E}$ tel que

$$ (2) \quad |(a_{n+1}-a_1)(a_{n+1}-a_2)\dots(a_{n+1}-a_n)| = \max_{z \in \mathcal{E}} \prod_{k=1}^n |z-a_k|, \quad n=1,2,\dots $$

Toute suite (1) remplissant les conditions (2), où $a_1$ est un point quelconque de $\mathcal{E}$, sera dite *suite extrémale* de points de $\mathcal{E}$. Il suit du principe de maximum que tous les points (1), sauf $a_1$ au plus, sont situés sur la frontière $\mathcal{F}$ du domaine non borné $D_\infty = D_\infty(\mathcal{E})$ contenu dans l'ensemble complémentaire à $\mathcal{E}$.

Formons la suite numérique

$$ (3) \qquad A_n = |(a_{n+1}-a_1)(a_{n+1}-a_2)\dots(a_{n+1}-a_n)|, \quad n=1,2,\dots $$

et la suite de polynômes

$$ (4) \qquad P_n(z) = (z-a_1)(z-a_2)\dots(z-a_n), \quad n=1,2,\dots $$

Le but de cette Note est d'examiner ces deux suites.

**2. Convergence de la suite $\{\sqrt[n]{A_n}\}$.** Désignons par $\zeta^{(n)}$ un système de $n+1$ points quelconques $\zeta_0, \zeta_1, \dots, \zeta_n$ du plan, par $V(\zeta^{(n)})$ le produit de toutes les distances mutuelles de ces points

$$ V(\zeta^{(n)}) = \prod_{0 \le j < k \le n} |\zeta_j - \zeta_k|, $$

par $V_n(\mathcal{E})$ le maximum de ce produit lorsque les points de $\zeta^{(n)}$ varient arbitrairement dans $\mathcal{E}$ et soit

$$ (5) \qquad \eta^{(n)} = \{\eta_0^{(n)}, \eta_1^{(n)}, \dots, \eta_n^{(n)}\} $$

un système de points de $\mathcal{E}$ pour lequel $V(\eta^{(n)}) = V_n(\mathcal{E})$. D'autre part, soit $T_n(z, \mathcal{E}) = z^n + c_1 z^{n-1} + \dots + c_n$ le polynôme de Tchebycheff du degré $n$ correspondant à $\mathcal{E}$ et $R_n = \max_{z \in \mathcal{E}} |T_n(z, \mathcal{E})|$. On sait [1] que les suites $\{[V(\eta^{(n)})]^{2/n(n+1)}\}$ et $\{\sqrt[n]{R_n}\}$ convergent vers la même limite

$$ (6) \qquad \lim_{n \to \infty} [V(\eta^{(n)})]^{2/n(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{R_n} = v(\mathcal{E}) $$

dite diamètre transfini (ou écart) de l'ensemble $\mathcal{E}$. Je dis que:

**LEMME 1.** La suite $\{\sqrt[n]{A_n}\}$ converge, elle aussi, vers le diamètre transfini $v(\mathcal{E})$

$$ (7) \qquad \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{A_n} = v(\mathcal{E}). $$

Démonstration. Il suit de ce qui précède que le produit $V(a_1, a_2, \dots, a_{n+1}) = A_1 A_2 \dots A_n$ ne surpasse pas $V(\eta^{(n)})$ et que $R_n \le A_n$ donc

$$ R_1 R_2 \dots R_n \le A_1 A_2 \dots A_n \le V(\eta^{(n)}). $$

Posons $r_n = \sqrt[n]{R_n}$ et $o_n = \sqrt[n]{A_n}$. Puisque

$$ (r_1^2 r_2^2 \dots r_n^{2/n(n+1)} \le (a_1^2 a_2^2 \dots a_n^{2/n(n+1)} \le [V(\eta^{(n)})]^{2/n(n+1)} $$

et que les termes extrèmes de cette inégalité convergent vers $v(\mathcal{E})$ on a

$$ (8) \qquad \lim_{n \to \infty} (a_1^2 a_2^2 \dots a_n^{2/n(n+1)}) = v(\mathcal{E}). $$

Soit $\bar{d}$ le diamètre (proprement dit) de l'ensemble $\mathcal{E}$. Étant

$$ A_{n+1} = \max_{z \in \mathcal{E}} |(z-a_1) \dots (z-a_{n+1})| \le \bar{d} \max_{z \in \mathcal{E}} |(z-a_1) \dots (z-a_n)| = \bar{d} A_n $$

on voit que

$$ (9) \qquad a_{n+1} \le \bar{d}^{1/(n+1)} a_n^{n/(n+1)}, \quad n=1,2,\dots $$

et comme $\sqrt[n]{R_n} \le \sqrt[n]{A_n}$ on a

$$ (10) \qquad v(\mathcal{E}) = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{R_n} \le \lim_{n \to \infty} a_n. $$

La thèse (7) résulte immédiatement des relations (8), (9), (10) et du lemme général suivant:
**LEMME 2.** Si une suite {$c_n$} à termes positifs satisfait aux hypothèses:

1° $c_{n+1} \le d^{1/(n+1)} c_n^{n/(n+1)}$, $n = 1, 2, ..., \text{où } d \text{ est un nombre positif,}$

2° $\lim_{n \to \infty} (c_1^{1/n} c_2^{1/n} ... c_n^{n/n})^{1/(n+1)} = \gamma$,

3° $\gamma \le \lim_{n \to \infty} c_n$

alors cette suite converge vers $\gamma$.

**Démonstration.** Il suit de 1° que

$$ (11) \qquad c_{n+k} \le \hat{d}^{k/(n+k)} c_n^{n/(n+k)}, \quad k = 1, 2, \dots, n = 1, 2, \dots $$

d'où l'on déduit, en faisant tendre $k$ vers l'infini, $\overline{\lim} c_n \le d$, ce qui prouve que la suite {$c_n$} est bornée. Posons

$$ \overline{\lim} c_n = \alpha \le \beta = \lim c_n. $$

Si $\beta = 0$ il est clair que $\alpha = \beta = \gamma = 0$ et la suite {$c_n$} converge vers $\gamma = 0$.

Supposons que $\beta > 0$ et soit $\varepsilon$ un nombre positif quelconque remplissant la condition $\beta - 2\varepsilon > 0$ et {$m_k$} une suite croissante des nombres entiers positifs tels que

$$ c_m > \beta - \varepsilon \quad \text{et} \quad c_m \to \beta \quad \text{lorsque} \quad m = m_1, m_2, \dots $$

En remplissant dans (11) $n$ par $m-k > 0$ on obtient pour $m = m_1, m_2, \dots$ et $k < m$

$$ (12) \qquad c_{m-k} \ge \hat{d}^{-k/(m-k)} c_m^{m/(m-k)} > \hat{d}^{-k/(m-k)} (\beta - \varepsilon)^{m/(m-k)}. $$

Désignons par $k = k(m)$ le plus grand nombre entier $< m$ pour lequel

$$ (13) \qquad \hat{d}^{-k/(m-k)} (\beta - \varepsilon)^{m/(m-k)} > \beta - 2\varepsilon. $$

Alors $k[\log d - \log(\beta - 2\varepsilon)] < m[\log(\beta - \varepsilon) - \log(\beta - 2\varepsilon)]$ et si l'on pose

$$ \eta = \frac{\log(\beta - \varepsilon) - \log(\beta - 2\varepsilon)}{\log d - \log(\beta - 2\varepsilon)} $$

on a $m\eta - 1 < k \le m\eta$ pour $m = m_1, m_2, \dots, k = k(m)$ et par suite $k/m \to \eta > 0$ lorsque $k = k(m)$ et $m = m_k \to \infty$.

Désignons par $\gamma_m$ la quantité $(c_1^m, c_2^m, \dots, c_m^{m/2/m(m+1)})$. Étant

$$ \gamma_m = (c_1^{1/2} \dots c_m^{m-k})^{2/m(m+1)} (c_{m-k+1}^{m-k+1} \dots c_m^{m/2/m(m+1)}) $$

et d'après (12) et (13) $c_{m-k} > \beta - 2\varepsilon$ pour $0 \le k \le k(m)$ on a

$$ \gamma_m \ge \gamma_{m-k}^{(m-k)(m-k+1)/m(m+1)} (\beta - 2\varepsilon)^{(2m-k+1)/m(m+1)} \quad \text{pour } k = k(m), m = m_1, m_2, \dots $$

En faisant tendre $m$ vers l'infini par les valeurs $m_1, m_2, \dots$ on trouve d'après l'hypothèse 2°

$$ \gamma \ge \gamma^{(1-n)^2} (\beta - 2\varepsilon)^{2\eta - n^2} $$

et cette inégalité donne $\gamma \ge \beta - 2\varepsilon$. Mais, étant d'après 3° $\gamma \le a$ on a $\beta - 2\varepsilon \le a$ et, comme $\varepsilon$ est arbitrairement petit, $\alpha = \beta = \gamma$, ce qui prouve la convergence de la suite {$c_n$} vers $\gamma$.

**5. Propriétés de la suite {$P_n(z)$}**. L'ensemble complémentaire à $F$ est la somme d'un nombre fini ou dénombrable de domaines $D_\infty$, $D_1, D_2, \dots$ dont $D_\infty$ seul est non borné. Formons la suite

$$ (14) \qquad \sqrt[n]{P_n(z)}, \quad n = 1, 2, \dots $$

et supposons que ses termes soient normés dans $D_\infty$ de manière que le quotient $\sqrt[n]{P_n(z)}/z$ soit égal à 1 à l'infini. Nous allons démontrer le

**THÉORÈME 1.** Si $v(E) > 0$ la suite (14) converge dans le domaine $D_\infty$ vers une fonction analytique $P(z) = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{P_n(z)}$, uniforme ou multiforme, dont le module est uniforme et satisfait à la relation

$$ (15) \qquad \log|P(z)| = G(z) + \log v(E), \quad \text{où } G(z) \text{ est la fonction de Green (classique ou généralisée) de } D_\infty \text{ et de pôle à l'infini.} $$

**Démonstration.** Considérons le système (5), formons les produits

$$ \Delta_j^{(n)} = \prod_{\substack{k=0 \\ (k \ne j)}}^n |\gamma_j^{(n)} - \gamma_k^{(n)}|, \quad j = 0, 1, \dots, n, $$

et supposons que les indices des points $\eta_0^{(n)}, \eta_1^{(n)}, \dots, \eta_n^{(n)}$ soient choisis de manière qu'on ait $\Delta_0^{(n)} \le \Delta_j^{(n)}$ pour $j = 1, 2, \dots, n$. Les polynômes

$$ L_j^{(n)}(z) = \prod_{\substack{k=0 \\ (k \ne j)}}^n \frac{z - r_k^{(n)}}{\eta_j^{(n)} - \eta_k^{(n)}}, \quad j = 0, 1, \dots, n, $$

satisfont dans l'ensemble $E$ à l'inégalité $|L_j^{(n)}(z)| \le 1$ ce qui résulte immédiatement de la suivante $V(\eta_0^{(n)}, \dots, \eta_j^{(n)}, \dots, \eta_1^{(n)}, \dots, \eta_n^{(n)}) \le V(\eta_j^{(n)})$ lorsque $\varepsilon \in E$. Nous nous appuierons sur les résultats suivants démontrés ailleurs (F. Leja [3] et J. Górski [2]):

La suite $\sqrt[n]{\Delta_0^{(n)}}$ converge vers $v(E)$ et si $v(E) > 0$ la suite $\{\sum_{j=0}^{n} |L_j^{(n)}(z)|^{1/n}\}$ converge dans le plan entier et la suite $\{|L_0^{(n)}(z)|^{1/n}\}$ en dehors de l'ensemble $F$ et on a dans le domaine $D_\infty$ l'égalité

$$ \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{j=0}^{n} |L_j^{(n)}(z)|^{1/n} \right) = \lim_{n \to \infty} |L_0^{(n)}(z)|^{1/n} = e^{G(z)}. $$
Ceci posé, remarquons que d'après la formule d'interpolation de Lagrange on a identiquement

$$P_n(z) = \sum_{j=0}^{n} P_n(\eta_j^{(n)}) L_j^{(n)}(z)$$

d'où l'on déduit l'inégalité $|P_n(z)| \le A_n \sum_{j=0}^{n} |L_j^{(n)}(z)|$ et par suite

$$(16) \qquad \overline{\lim}^n \sqrt[n]{|P_n(z)|} \le v(E) e^{G(z)} \quad \text{si} \quad z \in D_{\infty}.$$

Posons pour $n = 1, 2, ...$

$$(17) \qquad R_n(z) = \frac{(z-a_1)(z-a_2)\dots(z-a_n)}{(z-\eta_1^{(n)})(z-\eta_2^{(n)})\dots(z-\eta_n^{(n)})} = \frac{P_n(z)}{L_0^{(n)}(z)} \cdot \frac{1}{\Delta_0^{(n)} e^{\theta_0 n}}$$

où $\Theta_n$ est l'argument de $(\eta_0^{(n)} - \eta_1^{(n)})(\eta_0^{(n)} - \eta_2^{(n)}) \dots (\eta_0^{(n)} - \eta_n^{(n)})$ et soit $\Delta$ un domaine simplement connexe quelconque contenant le point $z = \infty$ et contenu avec sa frontière dans $D_\infty$. Les fonctions $\sqrt[n]{R_n(z)}$, $n = 1, 2, ...$, normées par la condition $\sqrt[n]{R_n(\infty)} = 1$ sont holomorphes uniformes dans $\Delta$. Je dis que la suite $\{\sqrt[n]{R_n(z)}\}$ est uniformément bornée dans $\Delta$.

En effet, soit $\delta$ la distance de $\Delta$ à $E$ et $K$ le cercle $|z| < r$ de rayon si grand que $E \subset K$ et que, si $\eta$ est un point quelconque de $E$ et $\zeta$ un point extérieur à $K$, on ait $|\eta/\zeta| < \frac{1}{2}$. Alors aux points $z \in \Delta$ intérieurs à $K$ on a $\sqrt[n]{R_n(z)} \le 2r/\delta$ car $|z - a_k| \le 2r$, $|z - \eta_k^{(n)}| \ge \delta$, et aux points $z \in \Delta$ extérieurs à $K$ on a $\sqrt[n]{R_n(z)} < 3$ car $|1 - a_k/z| < \frac{3}{2}$, $|1 - \eta_k^{(n)}/z| > \frac{1}{2}$.

Je dis maintenant que la suite $\{\sqrt[n]{R_n(z)}\}$ converge dans $\Delta$ vers la constante 1. En effet, de chaque suite partielle de $\{\sqrt[n]{R_n(z)}\}$ on peut extraire une nouvelle suite partielle tendant uniformément dans $\Delta$ vers une fonction analytique, soit $R(z)$. Puisque $\sqrt[n]{\Delta_0^{(n)}} \to v(E)$ et $|L_0^{(n)}(z)|^{1/n} \to e^{G(z)}$ il suit de (16) et (17) que le module de $R(z)$ satisfait à l'inégalité $|R(z)| \le 1$. D'autre part, étant $\sqrt[n]{R_n(\infty)} = 1$ on a $R(\infty) = 1$ d'où il suit d'après le principe de maximum que $R(z) \equiv 1$ et comme toute suite partielle de $\{\sqrt[n]{R_n(z)}\}$ contient une nouvelle suite partielle tendant uniformément vers 1, la suite $\{\sqrt[n]{R_n(z)}\}$ converge dans $\Delta$ uniformément vers 1.

Il en résulte d'après la formule

$$\sqrt[n]{P_n(z)} = |\sqrt[n]{R_n(z)} \cdot \sqrt[n]{L_0^{(n)}(z)} \cdot \sqrt[n]{\Delta_0^{(n)}}|$$

que la suite $\{\sqrt[n]{P_n(z)}\}$ converge dans le domaine $D_\infty$ vers $e^{G(z)}v(E)$ la convergence étant uniforme dans le voisinage de tout point fini de ce domaine et comme la suite $\{\sqrt[n]{P_n(z)}/z\}$ converge à l'infini vers 1. La suite

(14) converge dans le domaine $D_\infty$ vers une fonction analytique uniforme ou multiforme $P(z)$ satisfaisant à la relation (15). Le théorème est donc démontré.

**4. Remarques.** 1. Lorsque le domaine $D_\infty$ est simplement connexe il est clair que la fonction $P(z) = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{P_n(z)}$ est uniforme. D'après (15) son module surpasse $v(E)$ et tend vers $v(E)$ lorsque $z$ tend vers un point quelconque de la frontière $F$ de $D_\infty$. Dans le voisinage du point à l'infini $P(z)$ admet manifestement le developpement de la forme

$$P(z) = z + c_0 + \frac{c_1}{z} + \dots$$

d'où l'on conclut que $P(z)$ est univalente dans $D_\infty$ et effectue la représentation conforme de ce domaine sur le cercle $|w| > v(E)$ de manière que les points $z = \infty$ et $w = \infty$ se correspondent et le quotient $w/z$ tend vers 1 lorsque $z \to \infty$.

Lorsque le domaine $D_\infty$ est multiplement connexe la fonction $P(z)$ est en général multiforme et les valeurs $w = P(z)$ couvrent de même le cercle $|w| > v(E)$.

2. Supposons que l'ensemble complémentaire au domaine fermé $D_\infty + F$ ne soit pas vide et soit $D_k$ un des domaines partiels de cet ensemble ouvert. Choisissons dans $D_k$ un point fixe quelconque $z = a$ et formons la suite

$$(18) \qquad p_n(z) = e^{\theta_n} \sqrt[n]{P_n(z)}, \quad n = 1, 2, \dots$$

où la détermination du radical et le nombre réel $\Theta_n$ ont été choisis de manière que la valeur de $p_n(z)$ au point $z = a$ soit positive. En appliquant la méthode du paragraphe précédent on peut démontrer le

**THÉORÈME 2.** La suite (18) converge uniformément dans le domaine $D_k$ vers la constante $v(E)$.

### Travaux cités

INSTITUT MATÉMATYCUZNY POLSKIEJ AKADEMII NAUK
INSTITUT MATHÉMATIQUE DE L'ACADÉMIE POLONAISE DES SCIENCES

Reçu par la Rédaction le 18.5.1956

<footnote>[1] M. Fekete, Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten, Math. Zeit. 17 (1923), p. 228-249.</footnote>

<footnote>[2] J. Górski, Sur l'équivalence de deux constructions de la fonction de Green généralisée, Ann. Soc. Pol. Math. 21 (1948), p. 70-73.</footnote>

<footnote>[3] F. Leja, Sur les suites de polynômes, les ensembles fermés et la fonction de Green, Ann. Soc. Pol. Math. 12 (1934), p. 57-71.</footnote>