pour tout $p \in [1, P]$, et $\sigma \gg 1$. Alors

$$
J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s) = \sum_{\mathcal{P} \subsetneq [1,P]} \sum_{j=1}^{Q} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \Gamma(1+N_p - \mu_p s) \right) \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}} (-1)^{|\mathbf{k}|} h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s) \\
\frac{\theta^{|\boldsymbol{\mu}'|+|\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} s^{-|\boldsymbol{N}'|-|\boldsymbol{N}|_{|\mathcal{P}|-|\mathcal{P}|}+|\mathbf{k}|}}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s) ((|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}})s - |\boldsymbol{N}'| - |\boldsymbol{N}|_{|\mathcal{P}|-|\mathcal{P}|} + |\mathbf{k}|)} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p + \mu_p s - k_p, d_p)}{k_p!}, \\
+ \left( \prod_{p=1}^{P} \Gamma(1+N_p - \mu_p s) \right) \left( \sum_{j=1}^{Q} h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',[1,P],j}(s) \frac{\theta^{|\boldsymbol{\mu}'|+|\boldsymbol{\mu}|} s^{-|\boldsymbol{N}'|-|\boldsymbol{N}|-P}}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s) ((|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|)s - |\boldsymbol{N}'| - |\boldsymbol{N}|-P)} \right),
$$

où l'on rappelle les notations de la Proposition 2.2.4 : Pour $\mathcal{P} \subsetneq [1, P]$, $j \in [1, Q]$, et $\mathbf{k} = (k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}$,

$$
h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s) = \frac{1}{\prod_{q=1, q \neq j}^{Q} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \\
\cdot \int_{0}^{1} \dots \int_{0}^{1} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} \prod_{p \in \mathcal{P}} l_p^*(\hat{\mathbf{x}}^j)^{-N_p + \mu_p s - 1} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} l_p^*(\hat{\mathbf{x}}^j)^{k_p} dx_1 \dots \widehat{dx_j} \dots dx_Q
$$

et

$$
h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',[1,P],j}(s) = \frac{1}{\prod_{q=1, q \neq j}^{Q} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \\
\cdot \int_{0}^{1} \dots \int_{0}^{1} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} \prod_{p=1}^{P} l_p^*(\hat{\mathbf{x}}^j)^{-N_p + \mu_p s - 1} dx_1 \dots \widehat{dx_j} \dots dx_Q,
$$

avec les notations suivantes :

1) $\hat{\mathbf{x}}^j = (x_1, \dots, x_{j-1}, 1, x_{j+1}, \dots, x_Q)$,

2) $dx_1 \dots \widehat{dx_j} \dots dx_Q = dx_1 \dots dx_{j-1} dx_{j+1} \dots dx_Q.$

Démonstration. Soit $s \in \mathbb{C}$ tel que $\mu_p s \notin \mathbb{N}^*$ pour tout $p \in [1, P]$, et $\sigma \gg 1$. Pour prouver cette formule, il suffit de reprendre la formule obtenue dans la Proposition précédente, et de réexprimer l'intégrale présente dans cette formule. On simplifiera cette intégrale à l'aide d'un éclatement.

On remarque d'abord que $[0, \theta]^Q = \bigcup_{j=1}^Q V_j$, avec $V_j := \{\mathbf{x} \in [0, \theta]^Q | \forall q \neq j, x_j \geq x_q\}$, et on observe
également que l'intersection deux à deux de ces ensembles est de mesure nulle. Par Chasles, on obtient

$$
\int_0^\theta \dots \int_0^\theta \prod_{q=1}^Q x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} \prod_{p \in \mathcal{P}} l_p^*(\mathbf{x})^{-N_p + \mu_p s - 1} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} l_p^*(\mathbf{x})^{k_p} dx_1 \dots dx_Q \\
= \sum_{j=1}^Q \int_{V_j} \prod_{q=1}^Q x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} \prod_{p \in \mathcal{P}} l_p^*(\mathbf{x})^{-N_p + \mu_p s - 1} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} l_p^*(\mathbf{x})^{k_p} dx_1 \dots dx_Q
$$

On considère le changement de variable suivant :

$$
f_j : [0, 1]^{j-1} \times [0, \theta] \times [0, 1]^{Q-j} \to V_j \\
\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_Q) \mapsto (x_1 x_j, \dots, x_j, \dots, x_Q x_j),
$$
dont le jacobien est $Jac(f_j) = x_j^{Q-1}$.

Quitte à effectuer une permutation des coordonnées, il suffit d'étudier l'intégrale dont le domaine est $V_Q$. Tout d'abord, on remarque que pour tout $\mathbf{x} = (x_1, ..., x_Q) \in [0, 1]^{Q-1} \times [0, \theta]$, on a $l_p^*(f_Q(\mathbf{x})) = x_Q l_p^*(\hat{x}^Q)$. Ainsi, on trouve que

$$ 
\begin{aligned}
& \int_{V_Q} \prod_{q=1}^{Q} x_q^{-N'_q+\mu'_q s-1} \prod_{p \in \mathcal{P}} l_p^*(\mathbf{x})^{-N_p+\mu_p s-1} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} l_p^*(\mathbf{x})^{k_p} dx_1 \dots dx_Q \\
&= \int_0^1 \dots \int_0^1 \int_0^\theta x_Q^{-|\mathbf{N}'|+|\boldsymbol{\mu}'|s-Q-|\mathbf{N}_{||P}|-|\boldsymbol{\mu}_{||P}|-|\mathcal{P}|-|\mathbf{k}|} \prod_{q=1}^{Q-1} x_q^{-N'_q+\mu'_q s-1} \\
& \qquad \prod_{p \in \mathcal{P}} l_p^*(\hat{\mathbf{x}}^Q)^{-N_p+\mu_p s-1} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} l_p^*(\hat{\mathbf{x}}^Q)^{k_p} x_Q^{Q-1} dx_1 \dots dx_Q \\
&= \int_0^1 \dots \int_0^1 \prod_{q=1}^{Q-1} x_q^{-N'_q+\mu'_q s-1} \prod_{p \in \mathcal{P}} l_p^*(\hat{\mathbf{x}}^Q)^{-N_p+\mu_p s-1} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} u_p(\hat{\mathbf{x}}^Q)^{k_p} dx_1 \dots dx_{Q-1} \\
& \qquad \frac{\theta(|\boldsymbol{\mu}'|+|\boldsymbol{\mu}_{||P}|)s - |\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}_{||P}|-|\mathcal{P}|+|\mathbf{k}|}{(|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}_{||P}|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}_{||P}|-|\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|},
\end{aligned}
$$

ce qui conclut la preuve.

<figure><img src="image_9.png" /></figure>

La proposition précédente est cruciale pour démontrer la Proposition 2.2.4. On montrera en effet la régularité de $J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$ en $s = 0$ via la formule de la proposition précédente. On utilisera en particulier la Proposition 2.2.2, qui fournit une majoration de $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s)$ uniforme en $s$ sur tout compact. On démontrera la Proposition 2.2.2 dans la prochaine sous-section.

### 2.3.3 Démonstration de la Proposition 2.2.2

On démontrera dans cette sous-section la Proposition 2.2.2. Rappelons la notation $l_p^*(x) = \sum_{q=1}^Q c_{q,p} x_q$ pour tout $p \in [1, P]$ et tout $x \in \mathbb{R}^Q$. On établira un lemme avant de démontrer cette proposition. Pour tout $\epsilon \in [0, \frac{1}{2MQ}]$, pour chaque sous-ensemble $\mathcal{Q} \subset [1, Q]\setminus\{j\}$, et pour tout $q \in [1, Q]\setminus\{j\}$, on pose

$$ \Delta_{Q,j}(\epsilon, q) = \begin{cases} [0, \epsilon] & \text{si } q \in \mathcal{Q} \\ [\epsilon, 1] & \text{si } q \in \mathcal{Q}^c \end{cases} $$

et on note ensuite $F_{Q,j}(\epsilon) := \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q \Delta_{Q,j}(\epsilon, q)$. On peut alors découper le domaine d'intégration suivant :

$$ \{(x_1, \dots, x_{j-1}, x_{j+1}, \dots, x_Q) | \forall q \neq j, x_q \in [0, 1]\} = \bigcup_{\mathcal{Q} \subset [1, Q]\setminus\{j\}} F_{\mathcal{Q},j}(\epsilon). $$

Via la relation de Chasles, on peut ainsi réécrire les termes $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s)$ et $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',[1,P],j}$ sous forme d'une somme d'intégrales :

$$ h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s) = \sum_{\mathcal{Q} \subset [1,Q]\setminus\{j\}} I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, s) \quad (2.20) $$

$$ h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',[1,P],j}(s) = \sum_{\mathcal{Q} \subset [1,Q]\setminus\{j\}} I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',[1,P],j,\mathcal{Q}}(\epsilon, s), \quad (2.21) $$
en ayant noté pour tout sous-ensemble $\mathcal{Q} \subset [[1, Q]\setminus\{j\}]$,

$$ I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, s) = \frac{1}{\prod_{q \in [[1,Q]\setminus\{j\}]} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \int_{F_{\mathcal{Q},j}(\epsilon)} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} \prod_{p \in \mathcal{P}} l_p^*(\hat{\mathbf{x}}^j)^{-N_p + \mu_p s - 1} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} l_p^*(\hat{\mathbf{x}}^j)^{k_p} dx_1 \dots \widehat{dx_j} \dots dx_Q, $$

et

$$ I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',[[1,P]],j,\mathcal{Q}}(\epsilon, s) = \frac{1}{\prod_{q \in [[1,Q]\setminus\{j\}]} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \int_{F_{\mathcal{Q},j}(\epsilon)} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} \prod_{p=1}^{P} l_p^*(\hat{\mathbf{x}}^j)^{-N_p + \mu_p s - 1} dx_1 \dots \widehat{dx_j} \dots dx_Q, $$

pour tout $s \in \mathbb{C}$ tel que $\sigma \gg 1$.

**Lemme 2.3.22.** Soit $(\mu, \mu') \in \mathbb{R}_+^P \times \mathbb{R}_+^Q$, $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$, $\mathcal{P} \subset [[1, P]]$, $j \in [[1, Q]]$, $\mathcal{Q} \subset [[1, Q]] \setminus \{j\}$, et $\mathbf{k} = (k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}$. Alors on a

i) Pour tout $\epsilon > 0$ suffisamment petit, la fonction $I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, s)$ est holomorphe en $s$ sur $\mathbb{C}$.

ii) Pour tout $\epsilon > 0$ suffisamment petit et pour tout $r \in \mathbb{N}^*$, on a la majoration suivante, uniforme pour $s \in D_0(r)$ :

$$ \left| I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, s) \right| \ll (QM)^{|\mathbf{k}|}, $$

$$ \text{avec } M = \max_{1 \le q \le Q, 1 \le p \le P} (|c_{q,p}|). $$

iii) Pour tout $s \in \mathbb{C}$ et $0 < \epsilon \ll 1$, on a

$$ I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, s) = \sum_{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^P} \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}^c} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c |\mathbf{w}_p|=k_p}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q \in [[1,Q]]} c_{q,p}^{w_p,q} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p + \mu_p s - 1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{q \in \mathcal{Q}} c_{q,p}^{v_p,q} \right) \\ \cdot \frac{1}{\prod_{q \in [[1,Q]] \setminus \{j\}} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s) \prod_{q \in \mathcal{Q}} (-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q))} \\ \cdot \int_{\epsilon}^{1} \dots \int_{\epsilon}^{1} \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1 + \mathbf{w}(q)} \cdot \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( c_{j,p} + \sum_{f \in \mathcal{Q}^c} c_{f,p} x_f \right)^{-N_p + \mu_p s - 1 - |\mathbf{v}_p|} \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} dx_q, \quad (2.22) $$

avec les notations $\mathcal{Q}^c = ([[1,Q]]\setminus\{j\})\setminus\mathcal{Q}$, $\mathbf{v}(q) = \sum_{p \in \mathcal{P}} v_{p,q}$ pour tout $q \in \mathcal{Q}$, et $\mathbf{w}(q) = \sum_{p \in \mathcal{P}^c} w_{p,q}$ pour tout $q \in [[1,Q]]$. En notant $T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{w},\mathbf{v}}(\epsilon, s)$ le terme général de la série précédente, on a également

$$ \partial_s I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, s) = \sum_{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^P} \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}^c} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c |\mathbf{w}_p|=k_p}} \partial_s T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{w},\mathbf{v}}(\epsilon, s). \quad (2.23) $$

iv) Pour $\epsilon > 0$ suffisamment petit, et pour tout $s \in \mathbb{C}$, on a

$$ h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(s) = \sum_{\mathcal{Q} \subset [[1,Q]] \setminus \{j\}} I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, s). \quad (2.24) $$
*Démonstration.* On cherchera ici à développer l'intégrande via des développements en séries entières au voisinage de 0 pour les éléments de $F_{Q,j}(\epsilon)$. Notons que ces séries entières convergeront uniformément sur le disque $D_0(\eta)$, pour $\eta$ suffisamment petit. On pourra donc intervertir la série et l'intégrale.

Soit $s \in \mathbb{C}$ tel que $\sigma \gg 1$. Soit $\mathcal{Q} \subset [1, \mathcal{Q}] \setminus \{j\}$. Soit $\epsilon \in [0, \frac{1}{2MQ}]$, avec $M = \max_{1 \le q \le \mathcal{Q}, 1 \le p \le P} (|c_{q,p}|)$, on peut développer en série entière en $(x_q)_{q \in \mathcal{Q}}$ les fonctions de la forme $l_p^*(\hat{\mathbf{x}}^j)^{-N_p+\mu_p s-1}$, avec $x \in F_{\mathcal{Q},j}$ et $p \in \mathcal{P}$. Par le Lemme 2.3.1, on obtient uniformément en $\hat{\mathbf{x}}^j$ :

$$ 
\begin{align*}
l_p^*(\hat{\mathbf{x}}^j)^{-N_p+\mu_p s-1} &= \left( c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q + \sum_{q \in \mathcal{Q}} c_{q,p} x_q \right)^{-N_p+\mu_p s-1} \\
&= \left( c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q \right)^{-N_p+\mu_p s-1} \left( 1 + \sum_{f \in \mathcal{Q}} \frac{c_{f,p}}{c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q} x_f \right)^{-N_p+\mu_p s-1} \\
&= \sum_{\mathbf{v}_p = (v_{p,q})_{q \in [1, \mathcal{Q}] \in \mathbb{N}^\mathcal{Q}}} \left( \frac{-N_p + \mu_p s - 1}{|\mathbf{v}_p|} \right) \left( \frac{|\mathbf{v}_p|}{|\mathbf{v}_p|} \right) \left( c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q \right)^{-N_p+\mu_p s-1-|\mathbf{v}_p|} \prod_{q \in \mathcal{Q}} c_{q,p}^{v_{p,q}} x_q^{v_{p,q}}. \tag{2.25}
\end{align*}
$$

Pour $p \in \mathcal{P}^c$, et $k_p \in \mathbb{N}$, on a par le multinôme de Newton :

$$ l_p^*(\hat{\mathbf{x}}^j)^{k_p} = \sum_{\substack{\mathbf{w}_p = (w_{p,q})_{q \in [1, \mathcal{Q}] \in \mathbb{N}^\mathcal{Q}} \\ |\mathbf{w}_p| = k_p}} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} c_{j,p}^{w_{p,j}} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}} x_q^{w_{p,q}}. $$

La série présente dans (2.25) converge uniformément pour $(x_e)_{e \in \mathcal{Q}} \in [0, \epsilon]^\mathcal{Q}$. Par permutation série intégrale, on peut réexprimer $I_{\mathbb{N},\mathbb{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, s)$ de la manière suivante :

$$ 
\begin{align*}
I_{\mathbb{N},\mathbb{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, s) = & \sum_{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^\mathcal{Q})^\mathcal{P}} \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^\mathcal{Q})^\mathcal{P} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c \\ |\mathbf{w}_p|=k_p}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} c_{j,p}^{w_{p,j}} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p + \mu_p s - 1}{|\mathbf{v}_p|} \left( \frac{|\mathbf{v}_p|}{|\mathbf{v}_p|} \right) \right) \\
& \cdot \frac{1}{\prod_{q \in [1, \mathcal{Q}] \setminus \{j\}} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \int_{F_{\mathcal{Q},j}(\epsilon)} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}} x_q^{w_{p,q}} \right) \\
& \cdot \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( \prod_{q \in \mathcal{Q}} c_{q,p}^{v_{p,q}} x_q^{v_{p,q}} \right) \left( c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q \right)^{-N_p + \mu_p s - 1 - |\mathbf{v}_p|} dx_1 \dots \hat{dx}_j \dots dx_Q.
\end{align*}
$$
En remarquant que $[[1, Q]]\setminus\{j\} = Q \cup Q^c$, on peut séparer le produit $\prod_{q \in [1, Q] \setminus \{j\}}$ en deux parties :

$$
\begin{align*}
I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,Q,\mathbf{k}}(\epsilon, s)_{\mu,\mu'}
&= \sum_{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^\mathcal{P}} \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}^c} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p|=k_p}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_p,q} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p + \mu_p s - 1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{q \in \mathcal{Q}} c_{q,p}^{v_p,q} \right) \\
&\quad \cdot \frac{1}{\prod_{q \in [[1,Q]] \setminus \{j\}} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \int_{F_{\mathcal{Q},j}(\epsilon)} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{\prod_{q=1}^Q x_q^{w_p,q}}{\prod_{q \neq j} x_q^{v_p,q}} \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{\prod_{q \in \mathcal{Q}} x_q^{v_p,q}}{\prod_{q \in \mathcal{Q}} x_q^{w_p,q}} \\
&\quad \cdot \left( c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q \right)^{-N_p + \mu_p s - 1 - |\mathbf{v}_p|} \cdot \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} dx_1 \dots \widehat{dx_j} \dots dx_Q \\
&= \sum_{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^\mathcal{P}} \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}^c} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p|=k_p}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_p,q} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p + \mu_p s - 1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{q \in \mathcal{Q}} c_{q,p}^{v_p,q} \right) \\
&\quad \cdot \frac{1}{\prod_{q \in [[1,Q]] \setminus \{j\}} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \int_{F_{\mathcal{Q},j}(\epsilon)} \prod_{q \in \mathcal{Q}} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1 + \sum_{p \in \mathcal{P}} v_{p,q} + \sum_{p \in \mathcal{P}^c} w_{p,q}} \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1 + \sum_{p \in \mathcal{P}^c} w_{p,q}} \\
&\quad \cdot \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q \right)^{-N_p + \mu_p s - 1 - |\mathbf{v}_p|} dx_1 \dots \widehat{dx_j} \dots dx_Q.
\end{align*}
$$

Soit $\mathbf{v} = (\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}}$ avec $\mathbf{v}_p \in \mathbb{N}^Q$ pour tout $p \in \mathcal{P}$, et $\mathbf{w} = (\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c}$ avec $\mathbf{w}_p \in \mathbb{N}^Q$ pour tout $p \in \mathcal{P}^c$.
On rappelle la notation $\mathbf{v}(q) = \sum_{p \in \mathcal{P}} v_{p,q}$ tout $q \in \mathcal{Q}$, et $\mathbf{w}(q) = \sum_{p \in \mathcal{P}^c} w_{p,q}$ pour tout $q \in [[1, Q]]$. Via
le théorème de Fubini, on obtient l’expression suivante pour $\sigma \gg 1$ :

$$
\begin{align*}
I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,Q,\mathbf{k}}(\epsilon, s)_{\mu,\mu'}
&= \sum_{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^\mathcal{P}} \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}^c} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p|=k_p}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_p,q} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p + \mu_p s - 1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{q \in \mathcal{Q}} c_{q,p}^{v_p,q} \right) \\
&\quad \cdot \frac{1}{\prod_{q \in [[1,Q]] \setminus \{j\}} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \left( \prod_{q \in \mathcal{Q}} \frac{\epsilon^{-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q)}}{-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q)} \right) \int_{\epsilon}^{1} \dots \int_{\epsilon}^{1} \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1 + \mathbf{w}(q)} \\
&\quad \cdot \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q \right)^{-N_p + \mu_p s - 1 - |\mathbf{v}_p|} \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} dx_q.
\end{align*}
$$

On obtient donc que la formule 2.22 est vraie pour tout $s \in \mathbb{C}$ tel que $\sigma \gg 1$.

On cherche maintenant à prolonger $s \mapsto I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,Q,\mathbf{k}}(\epsilon, s)$ sur tout $\mathbb{C}$ via l'expression précédente. On
a clairement que, pour tout $\sigma \gg 1$,

$$ I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, s) = \frac{1}{\prod_{q \in \mathcal{Q}^c} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \sum_{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^\mathcal{Q})^\mathcal{P}} \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^\mathcal{Q})^{\mathcal{P}^c} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p| = k_p}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \left( \frac{k_p}{\mathbf{w}_p} \right) \prod_{q=1}^{Q} c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( \frac{-N_p + \mu_p s - 1}{|\mathbf{v}_p|} \right) \left( \frac{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \right) \prod_{q \in \mathcal{Q}} c_{q,p}^{v_{p,q}} \right) \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} \frac{\epsilon^{-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q)}}{\Gamma(-N'_q + \mu'_q s)(-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q))} \cdot \int_{\epsilon}^{1} \dots \int_{\epsilon}^{1} \left( \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1 + \mathbf{w}(q)} \right) \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q \right)^{-N_p + \mu_p s - 1 - |\mathbf{v}_p|} \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} dx_q. \quad (2.26) $$

Notons $T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s)$ le terme général de la série précédente. On a alors

$$ I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, s) = \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^\mathcal{Q})^\mathcal{P} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p| = k_p}} \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^\mathcal{Q})^{\mathcal{P}^c} \\ \mu, \mu' \in \mathcal{P}'}} T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s). $$

Tous les termes présents dans l'expression de $T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s)$ sont holomorphes en $s$ sur tout $\mathbf{C}$.

Pour montrer que $I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, s)$ est holomorphe en $s$, il suffit de montrer que la série précédente converge normalement en la variable $s$ sur tout compact. On cherche alors à majorer le terme général sur un disque $\bar{D}_0(r)$, avec $r \in \mathbb{N}^*$ un entier. Les majorations que l'on effectuera dépendront toutes de $\mathbf{N}, \mathbf{N}', \mu, \mu', \mathcal{P}, j, \mathcal{Q}$, mais on omettra cette dépendance afin de simplifier la rédaction.

On sait que la fonction

$$ s \mapsto \frac{1}{\Gamma(-N'_q + \mu'_q s)(-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q))}, $$

est holomorphe sur $\mathbb{C}$, pour tout $q \in \mathcal{Q}$. On majore maintenant le terme général de la série 2.26 à l'aide du Lemme 2.3.4. On a

$$ \begin{gathered} \forall q \in \mathcal{Q}, \forall s \in D_0(r), \forall a \in \mathbb{N}, \qquad \left| \frac{1}{\Gamma(-N'_q + \mu'_q s)(-N'_q + \mu'_q s + a)} \right| \ll 1 \\ \forall q \in [1, \mathcal{Q}], \qquad \left| \frac{1}{\Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \right| \ll 1. \end{gathered} $$

On sait que la fonction

$$ s \in \mathbb{C} \mapsto \int_{\epsilon}^{1} \dots \int_{\epsilon}^{1} \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1 + \mathbf{w}(q)} \cdot \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q \right)^{-N_p + \mu_p s - 1 - |\mathbf{v}_p|} \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} dx_q, $$

est holomorphe car l'intégrande est régulière.

Soit $s \in D_0(r)$, $\mathbf{v} = (\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}}$ avec $\mathbf{v}_p \in \mathbb{N}^\mathcal{Q}$, et $\mathbf{w} = (\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c}$ avec $\mathbf{w}_p \in \mathbb{N}^\mathcal{Q}$ tel que $|\mathbf{w}_p| = k_p$ pour tout $p \in \mathcal{P}^c$. On observe alors que $\sum_{q=1}^{Q} \mathbf{w}(q) = |\mathbf{k}| - \mathbf{w}(j)$. De plus, par compacité, on obtient la majoration suivante uniformément en $q \in \mathcal{Q}^c$ et en $x_q \in [\epsilon, 1]$,

$$ \left| x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} \right| \ll 1. $$
Comme $\mathbf{w}(q) \ge 0$, on obtient que $|x_q^{\mathbf{w}(q)}| \le 1$. De plus, comme $\arg\left(c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q\right) \in ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, on a pour tout $s \in D_0(r)$, et tout $(x_q)_{q \in \mathcal{Q}^c} \in [\epsilon, 1]^{\mathcal{Q}^c}$,

$$ \forall s \in D_0(r), \quad \left| \left( c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q \right)^{-N_p + \mu_p s - 1 - |\mathbf{v}_p|} \right| \le \left| c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q \right|^{-N_p + \mu_p \sigma - 1 - |\mathbf{v}_p|} e^{\mu_p r \pi / 2}. $$

On remarque que l'on a la majoration suivante pour tout $(x_q)_{q \in \mathcal{Q}^c} \in [\epsilon, 1]^{\mathcal{Q}^c}$

$$ K + K\epsilon \le \left( \mathrm{Re}(c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} \mathrm{Re}(c_{q,p}\epsilon)) \right) \le \left| c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q \right| \le \sum_{q=1}^{Q} |c_{q,p}| \le QM, $$

avec $M = \max_{1 \le p \le P, 1 \le q \le Q} (|c_{q,p}|)$ et $K := \min_{1 \le q \le Q, 1 \le p \le P} \mathrm{Re}(c_{q,p})$. Pour $p \in \mathcal{P}$, on trouve alors

$$ \left| c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q \right|^{-N_p + \mu_p \sigma - 1 - |\mathbf{v}_p|} \le \begin{cases} (QM)^{\mu_p \sigma - N_p - |\mathbf{v}_p| - 1} \quad \text{si} \quad \left| c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q \right| \ge 1 \text{ et } \mu_p \sigma - N_p - |\mathbf{v}_p| - 1 \ge 0 \\ 1 \quad \text{si} \quad \left| c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q \right| \ge 1 \text{ et } \mu_p \sigma - N_p - |\mathbf{v}_p| - 1 < 0 \\ 1 \quad \text{si} \quad \left| c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q \right| < 1 \text{ et } \mu_p \sigma - N_p - |\mathbf{v}_p| - 1 \ge 0 \\ (K(\epsilon+1))^{\mu_p \sigma - N_p - |\mathbf{v}_p| - 1} \quad \text{sinon} \end{cases} $$

On a uniformément pour $s \in D_0(r)$ :

$$ \forall p \in \mathcal{P}, \quad (QM)^{\mu_p \sigma - N_p - |\mathbf{v}_p| - 1} \ll (QM)^{-|\mathbf{v}_p|}. $$

Soit $p \in [1, P]$. Par compactité, on a uniformément pour $s \in D_0(r)$ :

$$ (K\epsilon)^{\mu_p \sigma} \ll 1. $$

On a également

$$ (K(\epsilon + 1))^{-N_p - |\mathbf{v}_p| - 1} \ll (K(\epsilon + 1))^{-|\mathbf{v}_p|} \ll K^{-|\mathbf{v}_p|}. $$

On obtient finalement la majoration suivante uniformément en $s \in D_0(r)$ et en $(x_q)_{q \in \mathcal{Q}^c} \in [\epsilon, 1]^{\mathcal{Q}^c}$,

$$ \left| \left( c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q \right)^{-N_p + \mu_p \sigma - 1 - |\mathbf{v}_p|} \right| \ll \max_{r, \epsilon} (K^{-|\mathbf{v}_p|}, (QM)^{-|\mathbf{v}_p|}, 1) \prod_{p=1}^{P} e^{\mu_p r \pi / 2} \ll \min_{r, \epsilon} (K, QM, 1)^{-|\mathbf{v}_p|}. $$

Maintenant que l'on a majoré l'intégrande, on obtient finalement que l'intégrale est bornée de la façon suivante :

$$ \left| \int_{\epsilon}^{1} \dots \int_{\epsilon}^{1} \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1 + \mathbf{w}(q)} \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q \right)^{-N_p + \mu_p s - 1 - |\mathbf{v}_p|} \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} dx_q \right| \ll \prod_{r, \epsilon} \min(K, QM, 1)^{-|\mathbf{v}_p|} \ll \min(K, QM, 1)^{-\sum_{p \in \mathcal{P}} |\mathbf{v}_p|} $$
On a la majoration suivante uniforme en $s \in D_0(r)$ :

$$
\left| \epsilon \sum_{q \in \mathcal{Q}} (-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q)) \right| \underset{r, \epsilon}{\lesssim} \epsilon \sum_{q \in \mathcal{Q}} \mathbf{v}(q)
$$

De plus, on a que

$$
\forall n \in \mathbb{N}, \forall a \in \mathbb{N}, \forall b \in \mathbb{R}_+^*, \forall s \in D_0(r), \quad \left| \binom{-n+bs-1}{a} \right| \le \binom{n+[br]+a}{a}.
$$

On trouve alors que

$$
\begin{align*}
& \left| \frac{1}{\prod_{q \in \mathcal{Q}^c} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{-N_p + \mu_p s - 1}{|\mathbf{v}_p|} \right) \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{q \in \mathcal{Q}} c_{q,p}^{v_{p,q}} \right| \\
& \qquad \cdot \prod_{q \in \mathcal{Q}} \frac{\epsilon^{-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q)}}{\Gamma(-N'_q + \mu'_q s)(-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q))} \\
& \qquad \cdot \int_{\epsilon}^{1} \dots \int_{\epsilon}^{1} \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1 + \mathbf{w}(q)} \cdot \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( c_{j,p} + \sum_{q \in \mathcal{Q}^c} c_{q,p} x_q \right)^{-N_p + \mu_p s - 1 + |\mathbf{v}_p|} \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} dx_q \\
& \qquad \lesssim \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} M^{\sum_{q \in [1, \mathcal{Q}]} w_{p,q}} \right) \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{N_p + [\mu_p r] + |\mathbf{v}_p|}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} (M\epsilon)^{\sum_{q \in \mathcal{Q}} \mathbf{v}(q)} \min(K, QM, 1)^{-\sum_{q \in \mathcal{Q}} \mathbf{v}(q)} \\
& \qquad \lesssim \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} M^{k_p} \right) \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{N_p + [\mu_p r] + |\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \left( \frac{M\epsilon}{\min(K, QM, 1)} \right)^{\sum_{q \in \mathcal{Q}} \mathbf{v}(q)} . \tag{2.27}
\end{align*}
$$

En sommant le terme de droite dans l'expression 2.27 sur $\mathbf{v} = (\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}}$ avec $\mathbf{v}_p \in \mathbb{N}^{\mathcal{Q}}$, et sur $\mathbf{w} = (\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c}$ avec $\mathbf{w}_p \in \mathbb{N}^{\mathcal{Q}}$ tel que $|\mathbf{w}_p| = k_p$, pour tout $p \in \mathcal{P}^c$. On obtient alors la série

$$
M^{|\mathbf{k}|} \left( \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^{\mathcal{Q}})^{\mathcal{P}^c} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p|=k_p}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \right) \left( \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{\mathcal{Q}})^{\mathcal{P}} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{v}_p|=k_p}} \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{N_p + [\mu_p r] + |\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \left( \frac{M\epsilon}{\min(K, QM, 1)} \right)^{\sum_{q \in \mathcal{Q}} \mathbf{v}(q)} \right) \\
= (QM)^{|\mathbf{k}|} \left( \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{\mathcal{Q}})^{\mathcal{P}} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{v}_p|=k_p}} \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{N_p + [\mu_p r] + |\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \left( \frac{M\epsilon}{\min(K, QM, 1)} \right)^{\sum_{q \in \mathcal{Q}} \mathbf{v}(q)} \right)
$$

La série entière ci-dessus précédemment converge absolument pour tout $0 < \epsilon < \frac{\min(K, QM, 1)}{M}$. En fixant un $\epsilon$ suffisamment petit, la série en $(v_{p,q})_{p \in \mathcal{P}, q \in \mathcal{Q}}$ est une constante ne dépendant que de $r, \epsilon$ et de $\mathbb{N}$. On obtient alors l'inégalité suivante :

$$
\left| I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, s) \right| \le (QM)^{|\mathbf{k}|}.
$$

On a donc obtenu le point i) et iii) par théorème d'holomorphie sous le signe somme, et par prolongement
analytique. Le point ii) est vrai par la majoration précédente. Comme $I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, s)$ est holomorphe,
et que pour tout $s = \sigma + i\tau \in \mathbb{C}$ tel que $\sigma \gg 1$, on a

$$
h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s) = \sum_{\mathcal{Q} \subset [1,\mathcal{Q}] \setminus \{j\}} I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, s),
$$

et par 2.20, on peut prolonger l'égalité précédente sur tout $\mathbb{C}$ par prolongement analytique, d'où le point
iv). $\square$
En modifiant légèrement la démonstration du lemme précédent, on obtient le lemme suivant :

**Lemme 2.3.23.** Soit $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in \mathbb{R}_+^P \times \mathbb{R}_+^{*Q}$, et $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$, $j \in [1, Q]$, $Q \subset [1, Q] \setminus \{j\}$. Pour tout $s \in \mathbb{C}$ et $0 < \epsilon \ll 1$, on a :

$$
\begin{align*}
I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',[1,P],j,Q}(\epsilon, s) = & \sum_{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in [1,P]} \in (\mathbb{N}^Q)^P} \left( \prod_{q \in [1,Q]} c_{q,p}^{w_p,q} \right) \left( \prod_{p=1}^{P} \frac{(-N_p + \mu_p s - 1)}{|\mathbf{v}_p|} \right) \left( \prod_{q \in Q} c_{q,p}^{v_p,q} \right) \\
& \cdot \frac{1}{\prod_{q \in [1,Q]\setminus\{j\}} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q))} \frac{\epsilon^{\sum_{q \in Q} (-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q))}}{\prod_{q \in Q} (-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q))} \\
& \cdot \int_{\epsilon}^{1} \dots \int_{\epsilon}^{1} \prod_{q \in Q^c} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} \cdot \prod_{p=1}^{P} \left( c_{j,p} + \sum_{f \in Q^c} c_{f,p} x_f \right)^{-N_p + \mu_p s - 1 - |\mathbf{v}_p|} \prod_{q \in Q^c} dx_q,
\end{align*}
$$

avec les notations $\mathcal{Q}^c = ([1, Q] \setminus \{j\}) \setminus \mathcal{Q}$, $\mathbf{v}(q) = \sum_{p=1}^{P} v_{p,q}$ pour tout $q \in \mathcal{Q}$.

De plus, $s \in \mathbb{C} \mapsto I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',[1,P],j,Q}(\epsilon, s)$ admet un prolongement holomorphe sur $\mathbb{C}$.

**Remarque 2.3.24.** Contrairement au Lemme 2.3.22, on n'a pas besoin d'obtenir une majoration dans le lemme 2.3.23, puisque le terme **k** y est absent.

On dispose de tous les ingrédients nécessaires à la démonstration de la Proposition 2.2.2 :

*Démonstration.* Rappelons que $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s)$ et $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',[1,P],j}(s)$ s'expriment de la façon suivante, pour tout $s \in \mathbb{C}$ tel que $\sigma \gg 1$ :

$$
\begin{align*}
h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s) &= \sum_{\mathcal{Q} \subset [1,Q]\setminus\{j\}} I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon,s), \\
h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',[1,P],j}(s) &= \sum_{\mathcal{Q} \subset [1,Q]\setminus\{j\}} I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',[1,P],j,\mathcal{Q}}(\epsilon,s).
\end{align*}
$$

Comme on sait que les fonctions de la forme $I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, s)$ et $I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',[1,P],j,\mathcal{Q}}(\epsilon, s)$ sont holomorphes en $s$ sur $\mathbb{C}$, on peut prolonger holomorphiquement $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s)$ et $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',[1,P],j}(s)$ sur tout $s \in \mathbb{C}$. On obtient alors le point i) de la Proposition 2.2.2. Le point ii) et iii) de la Proposition 2.2.2 découle du point ii) et iii) du Lemme 2.3.22. $\square$

## 2.3.4 Démonstration de la Proposition 2.2.4

Soit $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$, et $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in \mathbb{R}_+^P \times \mathbb{R}_+^{*Q}$. On exploite l'expression $Z(\mathbf{s}, \mathbf{s}') = K(\theta, \mathbf{s}, \mathbf{s}') + J(\theta, \mathbf{s}, \mathbf{s}')$ pour obtenir la preuve du théorème de prolongement méromorphe selon la direction $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}')$. On sait déjà que $(\mathbf{s}, \mathbf{s}') \mapsto K(\theta, \mathbf{s}, \mathbf{s}')$ est holomorphe sur $\mathbb{C}^P \times \mathbb{C}^Q$. Il reste donc à prouver que l'application $s \mapsto J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$ est méromorphe et régulière en $s = 0$. Afin de montrer la Proposition 2.2.4, il ne nous reste plus qu'à établir que $s \mapsto J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$ est méromorphe sur $\mathbb{C}$ avec des pôles inclus dans

$$
S(\mathbf{N}, \mathbf{N}') = \left[ \bigcup_{\substack{1 \le p \le P \\ \mu_p \ne 0}} \frac{1}{\mathbb{Z}^{\ge N_p + 1}} \right] \bigcup \left[ \bigcup_{\mathcal{P} \subset [1, P]} \frac{1}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} \mathbb{Z}^*_{\le |\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} + |\mathbf{N}'| + |\mathcal{P}|} \right].
$$
On sait que la formule 2.5 est valable sur le complémentaire de cet ensemble, pour $\sigma \gg 1$. Pour tout $s \in \mathbb{C}\S(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$ tel que $\sigma \gg 1$, on a alors

$$
J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s) = \sum_{\mathbf{p} \subseteq [1,P]} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \Gamma(1+N_p - \mu_p s) \right) \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \left( \sum_{j=1}^{Q} h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s) \frac{\theta(|\boldsymbol{\mu}'|+|\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}})s - |\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|_{\mathcal{P}}-|\mathcal{P}|+|\mathbf{k}|}{\Gamma(-N_j'-\mu_j's)((|\boldsymbol{\mu}'|+|\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}})s - |\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|_{\mathcal{P}}-|\mathcal{P}|+|\mathbf{k}|)} \right) \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p + \mu_p s - k_p, d_p)}{k_p!} \\
+ \left( \prod_{p=1}^{P} \Gamma(1+N_p - \mu_p s) \right) \left( \sum_{j=1}^{Q} h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',[1,P],j}(s) \frac{\theta(|\boldsymbol{\mu}'|+|\boldsymbol{\mu}|)s - |\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|-P}{\Gamma(-N_j'+\mu_j's)((|\boldsymbol{\mu}'|+|\boldsymbol{\mu}|)s - |\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|-P)} \right)
$$

. A l'aide de ces rappels, on peut démontrer la Proposition 2.2.4 :

Démonstration. Soit $0 < \theta \ll 1$. On sait par la Proposition 2.3.21 que la formule 2.5 est valable pour tout $s = \sigma + i\tau \in \mathbb{C}\S(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$, tel que $\sigma \gg 1$. $\mu, \mu'$

Il est clair que le terme

$$
\sum_{j=1}^{Q} h_{\mathbf{N}, \mathbf{N}', [1, P], j}(s) \frac{\theta(|\boldsymbol{\mu}'|+|\boldsymbol{\mu}|)s - |\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|-P}{\Gamma(-N_j' + \mu_j's)((|\boldsymbol{\mu}'|+|\boldsymbol{\mu}|)s - |\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|-P)}
$$

correspond à une fonction méromorphe en $s$ sur $\mathbb{C}$, régulière en $s = 0$, et avec des pôles de la forme
$s = \frac{|\mathbf{N}'| + |\mathbf{N}| + P}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|}$. Il reste alors à démontrer que la série de fonctions en $s$

$$
\sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \Gamma(1 + N_p - \mu_p s) \right) \sum_{\mathbf{k} = (k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \left( \sum_{j=1}^{Q} h_{\mathbf{N}, \mathbf{N}', \mathcal{P}, j, \mathbf{k}}(s) \frac{\theta(|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|}{\Gamma(-N_j' + \mu_j's)((|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|)} \right) \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p + \mu_p s - k_p, d_p)}{k_p!} \quad (2.28)
$$

est méromorphe sur $\mathbb{C}$, régulier en $s = 0$, et avec des pôles inclus dans $S(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$.
$\mu, \mu'$

On pose

$$
\tilde{D}(\mathbf{N}, \mathbf{N}', \delta, r) := \left\{ s \in \bar{D}_0(r) \middle| \left( \forall p \in [1, P], \min_{\substack{n \in \mathbb{N} \\ n > N_p}} |\mu_p s - n| \ge \delta \right) \wedge \left( \forall \mathcal{P} \subset [1, P], \min_{\substack{n \in \mathbb{Z}^* \\ n \ge -|\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} - |\mathbf{N}'| - |\mathcal{P}|}} |(|\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}} + |\boldsymbol{\mu}'|)s + n| \ge \delta \right) \right\}.
$$

Notons que :

1) On a clairement que $\tilde{D}(\mathbf{N}, \mathbf{N}', \delta, r)$ contient un voisinage ouvert de 0.
$\mu, \mu'$

2) La condition

$$
\min_{\substack{n \in \mathbb{N} \\ n > N_p}} |\mu_p s - n| \ge \delta
$$

apparaît pour éviter les singularités de $\zeta(-N_p + \mu_p s - k, d_p)$. On observe qu'au voisinage de $s = 0$,
ce terme est parfaitement défini.
3) La condition

$$
\min_{\substack{n \in \mathbb{Z}^* \\ n \ge -|\mathbf{N}_{||P} - |\mathbf{N}'|| - |\mathcal{P}|}} |(|\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}} + |\boldsymbol{\mu}'|)s + n| \ge \delta
$$

apparaît pour éviter les singularités de $\frac{1}{(|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}_{||\mathcal{P}}| - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|}$ qui ne sont pas nécessairement compensées par les zéros de $\frac{1}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)}$. On remarque tout de même qu'en $s = 0$, lorsque $-|\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}_{||\mathcal{P}}| - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}| = 0$, la singularité de $\frac{1}{(|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|)s}$ est compensée par le zéro de $\frac{1}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)}$.

4) L'ensemble $S(\mathbf{N}, \mathbf{N}', \delta, r)$ est inclus dans le complémentaire de $\tilde{D}(\mathbf{N}, \mathbf{N}', \delta, r)$.

Fixons un sous-ensemble $\mathcal{P} \subset \llbracket 1, P \rrbracket$. On sait par la Proposition 2.3.21 que la formule 2.5 est valable pour tout $s = \sigma + i\tau \in \mathbb{C} \setminus S(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$, tel que $\sigma \gg 1$. On souhaite prouver que la série en $\mathbf{k}$ présente dans la formule (2.28) est normalement convergente sur $\tilde{D}(\mathbf{N}, \mathbf{N}', \delta, r)$.

Soit $r' > 1$ un réel tel que, pour tout $p \in \llbracket 1, P \rrbracket$, $\mathcal{R}_p = (d_p) \ge 1/r'$, et $|d_p| < r'$. Soit $r > 0$, $1 > \delta > 0$. Par le Lemme 2.3.3, on a

$$
\forall p \in \llbracket 1, P \rrbracket, \forall s \in \tilde{D}(\mathbf{N}, \mathbf{N}', \delta, r), \forall k_p \in \mathbb{N}, \quad \zeta(-N_p + \mu_p s - k_p, d_p) \ll \mathcal{L}_{r,r',\delta}(k_p + N_p)!(k_p + N_p + 1)^{r+1}(1+r'^{2k_p}).
$$

Par le Lemme 2.2.2, on a

$$
\forall s \in D_0(r), \forall \mathbf{k} = (k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}, \quad |h_{\mathbf{N}, \mathbf{N}', \mathcal{P}, j, \mathbf{k}}(s)| \ll (QM)^{|\mathbf{k}|}.
$$

Comme l'application $s \mapsto \Gamma(1+N_p - \mu_p s)$ est holomorphe sur $\tilde{D}(\mathbf{N}, \mathbf{N}', \delta, r)$ pour tout $1 \le p \le P$, on en déduit la majoration suivante

$$
\forall p \in \llbracket 1, P \rrbracket, \forall s \in \tilde{D}(\mathbf{N}, \mathbf{N}', \delta, r), \quad |\Gamma(1 + N_p - \mu_p s)| \ll 1.
$$

Enfin, par le Lemme 2.3.4 on a la majoration suivante

$$
\forall s \in \tilde{D}(\mathbf{N}, \mathbf{N}', \delta, r), \quad \left| \frac{1}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)((|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}_{||\mathcal{P}}| - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|)} \right| \ll 1.
$$

Par compatité, de $\bar{D}_0(r)$ on obtient

$$
\forall s \in \bar{D}_0(r), |\theta(|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}_{||\mathcal{P}}| - |\mathcal{P}|| \ll 1.
$$

Ainsi, pour tout $s \in \tilde{D}(\mathbf{N}, \mathbf{N}', \delta, r)$, et pour $\mathbf{k} = (k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}$, on a

$$
\left| (-1)^{|\mathbf{k}|} h_{\mathbf{N}, \mathbf{N}', \mathcal{P}, j, \mathbf{k}}(s) \prod_{p \in \mathcal{P}} \Gamma(1 + N_p - \mu_p s) \right| \\
\frac{\theta(|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}_{||\mathcal{P}}| - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)((|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}_{||\mathcal{P}}| - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|)} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p + \mu_p s - k_p, d_p)}{k_p!} \\
\ll_{r,r',\delta} (QM\theta)^{|\mathbf{k}|} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{(k_p + N_p)!}{k_p!} (k_p + N_p + 1)^{r+1} (1 + r'^{2k_p}) \\
\ll_{r,r',\delta} (2r'^2QM\theta)^{|\mathbf{k}|} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{(k_p + N_p)!}{k_p!} (k_p + N_p + 1)^{r+1}.
$$
Or la série

$$ \sum_{\mathbf{N} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}} (2r'^2 QM\theta)^{|\mathbf{k}|} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{(k_p + N_p)!}{k_p!} (k_p + N_p + 1)^{r+1} $$

converge absolument pour tout $\theta \in \mathbb{C}$ tel que $|\theta| < \frac{1}{(2r'^2QM)}$. On en déduit en particulier que la formule 2.5 est valable pour tout $s \in \tilde{D}(\mathbf{N}, \mathbf{N}', \delta, r)$. Par théorème d'holomorphie sous le signe somme, on obtient que la fonction $s \mapsto J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$ est holomorphe sur $\tilde{D}(\mathbf{N}, \mathbf{N}', \delta, r)$. Comme $\tilde{D}(\mathbf{N}, \mathbf{N}', \delta, r)$ contient un voisinage ouvert de 0, on obtient par le théorème d'holomorphie sous le signe somme que l'on peut dériver en $s$ sur ce même voisinage la fonction $J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$, $\mu, \mu' \in \mu, \mu'$

$$ \partial_s J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s) = \tag{2.29} $$

$$ \sum_{\mathcal{P} \subsetneq [1, P]} \sum_{j=1}^{Q} \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}} \partial_s \left( \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \Gamma(1 + N_p - \mu_p s) \right) (-1)^{|\mathbf{k}|} h_{\mathbf{N}, \mathbf{N}', \mathcal{P}, j, \mathbf{k}}(s) \right. \\ \left. \frac{\theta(|\mu'| + |\mu|_\mathcal{P})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|_\mathcal{P} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)((|\mu'| + |\mu|_\mathcal{P})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|_\mathcal{P} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|)} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p + \mu_p s - k_p, d_p)}{k_p!} \right), \\ + \partial_s \left( \prod_{p=1}^{P} \Gamma(1 + N_p - \mu_p s) \sum_{j=1}^{Q} h_{\mathbf{N}, \mathbf{N}', [1, P], j}(s) \frac{\theta(|\mu'| + |\mu|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}| - P}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)((|\mu'| + |\mu|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}| - P)} \right). $$

Comme $1 > \delta > 0$ est arbitraire dans la définition de $\tilde{D}(\mathbf{N}, \mathbf{N}', \delta, r)$, et que $\tilde{D}(\mathbf{N}, \mathbf{N}', \delta, r)$ contient un voisinage ouvert de 0, on obtient en particulier que $J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$ est régulière en $s = 0$, et que ses pôles sont inclus dans l'ensemble $S(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$ décrit dans la Proposition 2.2.4. $\square$

**Remarque 2.3.25.** Via la formule 2.5, on peut en déduire une expression des résidus de $Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(s)$ en $\mu, \mu' \in \mu, \mu'$ ses pôles. En effet, on sait que cette fonction se réexprime sous la forme d'une somme entre une fonction holomorphe et une fonction méromorphe en $s$

$$ Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(s) = K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s) + J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s). $$

Comme $K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$ est holomorphe en $s$, cette fonction ne contient aucune singularité. En revanche, dans la formule 2.5, on peut lire les résidus en étudiant finement les deux termes suivants, pour tout $j \in [1, Q]$

$$ \bullet \frac{\theta(|\mu'| + |\mu|_\mathcal{P})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|_\mathcal{P} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)((|\mu'| + |\mu|_\mathcal{P})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|_\mathcal{P} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|)} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p + \mu_p s - k_p, d_p)}{k_p!} \quad (\mathcal{P} \subsetneq [1, P], \mathbf{k} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}) $$

$$ \theta(|\mu'| + |\mu|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}| - P $$

$$ \bullet \frac{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)((|\mu'| + |\mu|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}| - P)}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)((|\mu'| + |\mu|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}| - P)} $$

Notons que les pôles en $s$ de ces termes là peuvent être parfois compensés par des zéros des fonctions de la forme $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s)$ pour le premier terme, et par des zéros de fonctions de la forme $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',[1,P],j}(s)$ pour le second terme.
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# Chapitre 3

## Calculs des coefficients $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(\mathcal{P}, j, \mathbf{k})$ et $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^1(\mathcal{P}, j, \mathbf{k})$

Par la Proposition 2.2.2, on sait que la fonction $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}$ est holomorphe, en particulier, on peut considérer ses coefficients d'ordre 0 et 1 au voisinage de 0 dans son développement de Taylor :

**Notation.** Soit $(\mu, \mu') \in \mathbb{R}^P \times \mathbb{R}_*^Q$, et $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$. Soit $\mathcal{P} \subset [1, P]$ et $\mathbf{k} \in \mathbb{N}^{P_c}$. Comme $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}$ est holomorphe, on note au voisinage de 0

$$h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s) = Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(\mathcal{P},j,\mathbf{k}) + Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^1(\mathcal{P},j,\mathbf{k})s + O(s^2).$$

Les coefficients $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(\mathcal{P}, j, \mathbf{k})$, pour tout $j \in [1, Q]$, $\mathcal{P} \subsetneq [1, P]$, s'avéreront cruiaux dans l'expression des formules de $Z(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}'))$. De plus, les coefficients $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(\mathcal{P}, j, \mathbf{k})$ et $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^1(\mathcal{P}, j, \mathbf{k})$, pour tout $j \in [1, Q]$, $\mathcal{P} \subsetneq [1, P]$, seront présents dans la formule de la dérivée directionnelle en les multi-entiers négatifs $Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}'))$. Observons également que l'on a pas besoin de calculer $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0([1, P], j)$ et $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^1([1, P], j)$, puisqu'ils n'apparaissent pas dans les expressions contenues dans le Théorème A et dans le Théorème D. On montrera dans nos calculs que $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(\mathcal{P}, j, \mathbf{k})$ ne dépend pas des directions $(\mu, \mu')$. On notera donc simplement ce coefficient $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(\mathcal{P}, j, \mathbf{k})$.

### 3.1 Lemmes

**Lemme 3.1.1.** Soit $a, c \in H_0$, $b \in \mathbb{N}$ et $d \in \mathbb{Z}$. On pose $g : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ la fonction méromorphe décrite par l'expression

$$g(s) := \frac{1}{\Gamma(as - b)(cs + d)}.$$

Alors $g$ est régulière en 0. De plus

$$g(0) = \begin{cases} \frac{a}{c}(-1)^b b! & \text{si } d = 0 \\ 0 & \text{si } d \neq 0. \end{cases}$$
et

$$ \partial_s (g(s))_{s=0} = \begin{cases} \frac{a^2}{c}(-1)^b b! (\gamma - h_b) & \text{si } d=0 \\ \frac{a}{d}(-1)^b b! & \text{si } d \neq 0. \end{cases} $$

où $h_b$ désigne le nombre harmonique $h_b := \sum_{i=1}^{b} \frac{1}{i}$. Enfin, on a

$$ \partial_s \left( \frac{1}{\Gamma(s)} \right) \Big|_{s=-N} = (-1)^N N!. $$

*Démonstration.* Au voisinage de $s = 0$, on a

$$ \frac{1}{\Gamma(s-N)} = (-1)^N N! s + O(s^2), $$

ce qui prouve la formule pour $\partial_s \left( \frac{1}{\Gamma(s)} \right) \Big|_{s=-N}$.

Pour démontrer les autres formules, on étudiera le développement limité de $g$ au voisinage de $s = 0$. Par l'équation fonctionnelle de la fonction gamma, on obtient

$$ g(s) = \frac{(as - 1)...(as - b)}{\Gamma(as)(cs + d)}. $$

On a au voisinage de 0 que

$$ \begin{aligned} (as - 1)...(as - b) &= (-1)^b b! + a(-1)^{b-1} b! h_b s + O(s^2), \\ \frac{1}{\Gamma(s)} &= s + \gamma s^2 + O(s^3). \end{aligned} $$

Supposons que $d = 0$. Alors on a au voisinage de 0 :

$$ \begin{aligned} g(s) &= \frac{a(as - 1)...(as - b)}{c \Gamma(as)as} \\ &= \frac{a}{c}((-1)^b b! + as(-1)^{b-1} b! h_b)(1 + \gamma as) + O(s^2) \\ &= \frac{a}{c}(-1)^b b! + \frac{a^2}{c}(-1)^{b-1} b! h_b s + \frac{a^2}{c}\gamma(-1)^b b! s + O(s^2) \end{aligned} $$

Supposons maintenant que $d \neq 0$, alors on a au voisinage de 0 :

$$ \begin{aligned} g(s) &= \frac{(as - 1)...(as - b)}{\Gamma(as)(cs + d)} \\ &= \frac{(as - 1)...(as - b)}{cs + d}(as) + O(s^2) \\ &= \frac{a}{d}(-1)^b b! s + O(s^2). \end{aligned} $$

□

**Lemme 3.1.2.** *Soit $\mathcal{P} \subset [1, P]$, $(\mu_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{R}^\mathcal{P}$, $(N_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^\mathcal{P}$, $(n_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^\mathcal{P}$, on a*

$$ \partial_s \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p - 1 + \mu_p s}{n_p} \right) \Big|_{s=0} = \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p - 1}{n_p} \left( \sum_{p \in \mathcal{P}} \mu_p (h_{N_p} - h_{N_p + n_p}) \right), $$

où $h_n$ désigne le n-ième nombre harmonique.
*Démonstration.* Rappelons que l'on a

$$ \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p - 1 + \mu_p s}{n_p} = \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{(-N_p - 1 + \mu_p s) \dots (-N_p + \mu_p s - n_p)}{n_p!}. $$

En développant le produit $\frac{(-N_p - 1 + \mu_p s) \dots (-N_p - n_p + \mu_p s)}{n_p!}$ avec $s$ au voisinage de 0, on trouve que

$$ \frac{(-N_p - 1 + \mu_p s) \dots (-N_p + \mu_p s - n_p)}{n_p!} = \binom{-N_p - 1}{n_p} + \mu_p \left( \sum_{i=0}^{n_p-1} \frac{(-N_p - 1) \dots \overline{(-N_p - 1 - i)} \dots (-N_p - n_p)}{n_p!} \right) s + O(s^2), $$

où $\overline{(-N_p - 1 - i)}$ désigne l'élément que l'on oublie dans le produit. On peut simplifier l'égalité précédente sous la forme

$$ \begin{aligned} \frac{(-N_p - 1 + \mu_p s) \dots (-N_p + \mu_p s - n_p)}{n_p!} &= \binom{-N_p - 1}{n_p} + \mu_p \binom{-N_p - 1}{n_p} \left( \sum_{i=0}^{n_p-1} \frac{1}{-N_p - 1 - i} \right) s \\ &= \binom{-N_p - 1}{n_p} + \mu_p \binom{-N_p - 1}{n_p} (h_{N_p} - h_{N_p+n_p}) s + O(s^2). \end{aligned} $$

Au voisinage de $s = 0$, on obtient alors :

$$ \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p - 1 + \mu_p s}{n_p} = \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p - 1}{n_p} + \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p - 1}{n_p} \left( \sum_{p \in \mathcal{P}} \mu_p (h_{N_p} - h_{N_p+n_p}) \right) s + O(s^2). $$

□

**Lemme 3.1.3.** Soit $M \in \mathbb{Z}_{\le 0}$ un entier, et $(a_k)_{k \in \mathbb{N}, +\infty[$ et $(b_k)_{k \in \mathbb{N}, +\infty[$ deux suites de nombres complexes tels que la série entière $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k x^k$ et la série entière $\sum_{k=0}^{+\infty} b_k x^k$ aient deux rayons de convergence $R_1$ et $R_2$ non nuls. Supposons de plus qu'il existe un réel $0 < R < \min(R_1, R_2)$ tel que

$$ \forall x \in ]0, R[, \quad \sum_{k=M}^{+\infty} a_k x^k + \sum_{k=M}^{+\infty} b_k x^k \ln(x) = 0, $$

alors, pour tout $k \in ]0, +\infty[$, $a_k = 0$ et $b_k = 0$.

*Démonstration.* Si tous les $b_k$ sont nuls (respectivement tous les $a_k$ sont nuls) pour tout $k \ge M$, le résultat est trivial. Sinon, on suppose par l'absurde qu'il existe $i, j \ge M$ tels que $a_i \ne 0$ et $b_j \ne 0$. Supposons que $i = \min\{k|a_k \ne 0\}$ et $j = \min\{k|b_k \ne 0\}$, on a alors au voisinage de 0 que

$$ a_i x^i + b_j x^j \ln(x) + o(x^j \ln(x)) + o(x^i) = 0, $$

et donc $b_j x^{j-i} \ln(x) \sim a_i$ au voisinage de 0, contradiction.

□

Le lemme précédent bien qu'évident, jouera un rôle crucial dans la détermination des formules des valeurs spéciales dans la démonstration du Théorème A et du Théorème D. En effet, dans le découpage de $Z_{(\mathbf{N}, \mathbf{N}')(s)}$ obtenue dans la Proposition 2.2.4, on a introduit artificiellement une variable libre $\theta$. Il est évident que $K_{(\mathbf{N}, \mathbf{N}')(\theta, s)}$ s'annule en $s = 0$, la seule difficulté réside alors à évaluer $J_{(\mathbf{N}, \mathbf{N}')(\theta, 0)}$ via la formule 2.5 en $s = 0$, on obtiendra alors une expression faisant intervenir une série de Laurent en les $\theta$, or la quantité $Z(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}')) = Z_{(\mathbf{N}, \mathbf{N}')(0)}$ ne dépendant pas de $\theta$, on ne gardera de la formule obtenue que les termes constants de la série de Laurent en les $\theta$. Pour le calcul de $Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}')) = Z'_{(\mathbf{N}, \mathbf{N}')(0)}$, on utilisera également ce lemme pour effectuer la même simplification, sauf que cette fois ci, en dérivant la formule 2.5 par rapport à $s$, on fera apparaître un terme en $\ln(\theta)$. De la même manière, on utilisera ce lemme afin de calculer les coefficients $Q^0$ et $Q^1$, afin d'éliminer les séries en $\epsilon$ et les termes en $\ln(\epsilon)$.
**Lemme 3.1.4.** Il existe une fonction définie pour tout $0 < \epsilon \ll 1$ tel que

$$ \alpha_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}^*(\epsilon) = a \ln(\epsilon) + \sum_{n \ge m} b_n \epsilon^n, $$

avec $m \in \mathbb{Z}$, avec un terme constant nul, (i.e. $b_0 = 0$), et tel que

$$ \int_{\epsilon}^{1} x_f^{-N'_f - 1 + \mathbf{w}(f)} \cdot \prod_{p \in \mathcal{P}} (c_{j,p} + c_{f,p}x_f)^{-N_p + \mu_p s - 1 - |\mathbf{v}_p|} dx_f = \alpha_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}^*(\epsilon) + F_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N},\mathbf{N}'), $$

avec $F_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N},\mathbf{N}')$, la constante définie dans la Proposition 1.3.2 :

$$ F_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N},\mathbf{N}') = -E_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N},\mathbf{N}') - \sum_{\lambda=2}^{N'_f+1-\mathbf{w}(f)} \frac{C_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\lambda}(\mathbf{N},\mathbf{N}')}{\lambda-1} \\ - \frac{1}{c_{f,p}} \sum_{p \in \mathcal{P}} \sum_{\lambda=2}^{(|\mathbf{N}|_{\mathcal{P}}+|\mathcal{P}|+|\mathbf{v}|)} \frac{D_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},(\lambda,p)}(\mathbf{N},\mathbf{N}')}{\lambda-1} ((c_{j,p} + c_{f,p})^{1-\lambda} - c_{j,p}^{1-\lambda}) \\ + \frac{1}{c_{f,p}} \sum_{p \in \mathcal{P}} D_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},(1,p)}(\mathbf{N},\mathbf{N}') \ln \left(1 + \frac{c_{f,p}}{c_{j,p}}\right). $$

**Démonstration.** Afin de calculer l’intégrale, on utilise la Proposition 1.3.2. Avec les notations de cette proposition, on a

$$ x_f^{-N'_f - 1 + \mathbf{w}(f)} \cdot \prod_{p \in \mathcal{P}} (c_{j,p} + c_{f,p}x_f)^{(-N_p - 1 - |\mathbf{v}_p|)} = \tilde{P}_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}(x_f) + \sum_{\lambda=1}^{N'_f + 1 - \mathbf{w}(f)} \frac{C_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\lambda}(\mathbf{N},\mathbf{N}')}{x_f^{\lambda}} \\ + \sum_{p \in \mathcal{P}} \sum_{\lambda=1}^{(|\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} + |\mathcal{P}| + |\mathbf{v}|)} \frac{D_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},(\lambda,p)}(\mathbf{N},\mathbf{N}')}{(c_{j,p} + c_{f,p}x_f)^{\lambda}}. $$

On a noté $P_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}(x_f)$ la primitive du polynôme $\tilde{P}_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}(x_f)$ s'annulant en 1, et on note $E_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N},\mathbf{N}')$ le terme constant de $P_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}(x_f)$. On note $P_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}^*(x_f) := P_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}(x_f) - E_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N},\mathbf{N}')$. On trouve alors

$$ \int_{\epsilon}^{1} x_f^{-N'_f - 1 + \mathbf{w}(f)} \cdot \prod_{p \in \mathcal{P}} (c_{j,p} + c_{f,p}x_f)^{-N_p + \mu_p s - 1 - |\mathbf{v}_p|} dx_f = \\ - E_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N},\mathbf{N}') - P_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}^*(\epsilon) - C_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},1}(\mathbf{N},\mathbf{N}') \ln(\epsilon) - \sum_{\lambda=2}^{N'_f+1-\mathbf{w}(f)} \frac{C_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\lambda}(\mathbf{N},\mathbf{N}')}{\lambda-1} (1-\epsilon^{1-\lambda}) \\ + \frac{1}{c_{f,p}} \sum_{p \in \mathcal{P}} D_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},(1,p)}(\mathbf{N},\mathbf{N}') \left( \ln(c_{j,p} + c_{f,p}) - \ln(c_{j,p}) - \ln\left(1 + \frac{c_{f,p}}{c_{j,p}}\epsilon\right) \right) \\ - \frac{1}{c_{f,p}} \sum_{p \in \mathcal{P}} \sum_{\lambda=2}^{(|\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} + |\mathcal{P}| + |\mathbf{v}|)} \frac{D_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},(\lambda,p)}(\mathbf{N},\mathbf{N}')}{\lambda-1} ((c_{j,p} + c_{f,p})^{1-\lambda} - (c_{j,p} + c_{f,p}\epsilon)^{1-\lambda}) $$

En développant au voisinage de $\epsilon = 0$ les termes $(c_{j,p} + c_{f,p}\epsilon)^{1-\lambda}$ et $\ln\left(1 + \frac{c_{f,p}}{c_{j,p}}\epsilon\right)$, on peut découper la formule obtenue précédemment en un terme constant, et en une somme entre un terme en $\ln(\epsilon)$ et une série de Laurent sans terme constant en $\epsilon$, pour $0 < \epsilon \ll 1$. Notons le terme non constant $\alpha_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}^*(\epsilon)$.
On a alors

$$
\begin{align*}
\int_{\epsilon}^{1} x_f^{-N'_f - 1 + \mathbf{w}(f)} \cdot \prod_{p \in \mathcal{P}} (c_{j,p} + c_{f,p} x_f)^{-N_p + \mu_p s - 1 - |\mathbf{v}_p|} dx_f &= \alpha_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}^*(\epsilon) \\
&\quad - E_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}') - \sum_{\lambda=2}^{N'_f + 1 - \mathbf{w}(f)} \frac{C_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\lambda}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')}{\lambda - 1} + \frac{1}{c_{f,p}} \sum_{p \in \mathcal{P}} D_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},(1,p)}(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \ln \left( 1 + \frac{c_{f,p}}{c_{j,p}} \right) \\
&\quad - \frac{1}{c_{f,p}} \sum_{p \in \mathcal{P}} \sum_{\lambda=2}^{(|\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} + |\mathcal{P}| + |\mathbf{v}|)} \frac{D_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},(\lambda,p)}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')}{\lambda - 1} ((c_{j,p} + c_{f,p})^{1-\lambda} - c_{j,p}^{1-\lambda})
\end{align*}
$$

□

Remarquons que l'on peut obtenir une expression plus simple de l'intégrale précédente, moins explicite, mais plus pratique à calculer avec un logiciel de calcul formel :

Considérons la primitive $G_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}(x_f)$ de $x_f^{-N'_f-1+\mathbf{w}(f)} \prod_{p \in \mathcal{P}} (c_{j,p} + c_{f,p}x_f)^{-N_p+\mu_p s-1-|\mathbf{v}_p|}$ s'annulant en $x_f = 1$. Cette primitive s'exprime sous la forme d'une somme entre un multiple de $\ln(x_f)$ et d'une série de Laurent en $x_f$, pour $0 < x_f \ll 1$. On remarque alors que le terme constant de cette série de Laurent est $-F_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$.

**Remarque 3.1.5.** Il paraît plus pratique avec un logiciel de calcul formel de calculer directement le coefficient $F_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$ en déterminant une primitive de $x_f^{-N'_f-1+\mathbf{w}(f)} \prod_{p \in \mathcal{P}} (c_{j,p} + c_{f,p}x_f)^{-N_p+\mu_p s-1-|\mathbf{v}_p|}$ plutôt que de calculer les coefficients $C_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\lambda}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$, $D_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},(\lambda,p)}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$, et $E_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$ en utilisant la décomposition en éléments simples de la Proposition 1.3.2.

## 3.2 Valeurs et dérivées de $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s)_{\mu,\mu'}$

Soit $\mathcal{P} \subsetneq [1, P]$, $j \in [1, Q]$, et $\mathbf{k} = (k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}$. On cherchera dans cette section à calculer explicitement les coefficients $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(\mathcal{P}, j, \mathbf{k})$ et $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^1(\mathcal{P}, j, \mathbf{k})$, dont on rappelle les définitions :

$$
\begin{align*}
h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(0) &= Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(\mathcal{P}, j, \mathbf{k}), \\
\partial_s h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(0) &= Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^1(\mathcal{P}, j, \mathbf{k}).
\end{align*}
$$

Rappelons que l'on a montré dans la Proposition 2.2.2 que la fonction

$$
h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s) = \frac{1}{\prod_{q=1}^{Q} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \cdot \int_{0}^{1} \dots \int_{0}^{1} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1} \prod_{p \in \mathcal{P}} l_p^*(\hat{\mathbf{x}}^j)^{-N_p + \mu_p s - 1} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} l_p^*(\hat{\mathbf{x}}^j)^{k_p} dx_1 \dots \widehat{dx_j} \dots dx_Q,
$$

était holomorphe.

On avait également obtenu dans cette proposition une expression de la dérivée de $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s)$ en $s=0$.

### 3.2.1 Préliminaires

Soit $\mathcal{P} \subsetneq [1, P]$, $j \in [1, Q]$, et $0 < \epsilon \ll 1$. Comme on a pour tout $s \in \mathbb{C}$,

$$
h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s) = \sum_{Q \subsetneq [1,Q]\setminus\{j\}} I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,Q,\mathbf{k}}(\epsilon, s),
$$
on en déduit qu'il suffit d'étudier le développement de Taylor de $I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, s)$ au voisinage de 0 pour $0 < \epsilon \ll 1$ afin d'obtenir celui de $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s)$. On rappelle le point iii) obtenu dans la

Proposition 2.2.2:

Soit $\mathbf{k} = (k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}$. Pour tout $s \in \mathbb{C}$, et pour tout $\epsilon > 0$ suffisamment petit, on a :

$$
\begin{align*}
h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s) = & \sum_{Q \subset [1,Q] \setminus \{j\}} \sum_{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^\mathcal{P}} \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^Q)^\mathcal{P}^c \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p| = k_p}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q \in [1,Q]} c_{q,p}^{w_p,q} \right) \\
& \cdot \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p + \mu_p s - 1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{q \in Q} c_{q,p}^{v_p,q} \right) \frac{1}{\prod_{q \in [1,Q] \setminus \{j\}} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \frac{\epsilon \sum_{q \in Q} (-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q))}{\prod_{q \in Q} (-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q))} \\
& \cdot \int_{\epsilon}^{1} \dots \int_{\epsilon}^{1} \prod_{q \in Q^c} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1 + \mathbf{w}(q)} \cdot \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( c_{j,p} + \sum_{f \in Q^c} c_{f,p} x_f \right)^{-N_p + \mu_p s - 1 - |\mathbf{v}_p|} \prod_{q \in Q^c} dx_q.
\end{align*}
$$

Notons $T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s)$ le terme général de la série précédente :

$$
\begin{align}
T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s) = & \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^{Q} c_{q,p}^{w_p,q} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p + \mu_p s - 1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{q \in \mathcal{Q}} c_{q,p}^{v_p,q} \right) \nonumber \\
& \cdot \frac{1}{\prod_{q=1}^{Q} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q))} \frac{\epsilon \sum_{q \in \mathcal{Q}} (-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q))}{\prod_{q \in \mathcal{Q}} (-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q))} \nonumber \\
& \cdot \int_{\epsilon}^{1} \dots \int_{\epsilon}^{1} \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1 + \mathbf{w}(q)} \cdot \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( c_{j,p} + \sum_{f \in \mathcal{Q}^c} c_{f,p} x_f \right)^{-N_p + \mu_p s - 1 - |\mathbf{v}_p|} \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} dx_q. \tag{3.1}
\end{align}
$$

Rappelons également que, avec cette définition de $T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s)$ on a par le point iii) du Lemme 2.3.22 :

$$
I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, 0) = \sum_{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^\mathcal{P}} \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^Q)^\mathcal{P}^c \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p| = k_p}} T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, 0), \quad (3.2)
$$

et par ce même point iii), on a également une expression de sa dérivée selon $s$ :

$$
\left( \partial_s I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, s) \right)_{|s=0} = \sum_{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^\mathcal{P}} \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^Q)^\mathcal{P}^c \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p| = k_p}} \left( \partial_s T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s) \right)_{|s=0} . \quad (3.3)
$$

Grâce à l'égalité 2.24, on a

$$
h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(0) = \sum_{\mathcal{Q} \subset [1,Q] \setminus \{j\}} I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, 0), \quad (3.4)
$$

$$
\left( \partial_s h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(s) \right)_{|s=0} = \sum_{\mathcal{Q} \subset [1,Q] \setminus \{j\}} \left( I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, s) \right)_{|s=0} . \quad (3.5)
$$

Ainsi, calculer les coefficients $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(\mathcal{P}, j, \mathbf{k})$ et $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^1(\mathcal{P}, j, \mathbf{k})$ revient à étudier le terme général $T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s)$ au voisinage de $s = 0$.
**Lemme 3.2.1.**

$$ T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s) = \begin{cases} O(1) & \text{si } |\mathcal{Q}| = Q - 1, \text{ et } \forall q \in \mathcal{Q}, \qquad \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) = N'_q \\ O(s) & \text{si } |\mathcal{Q}| = Q - 1 \text{ et } \exists f \in \mathcal{Q} \setminus \{j\}, \forall q \in \mathcal{Q} \setminus \{f\}, \qquad \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) = N'_q \\ O(s) & \text{si } |\mathcal{Q}| = Q - 2 \text{ et } \forall q \in \mathcal{Q}, \qquad \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) = N'_q \\ O(s^2) & \text{sinon.} \end{cases} $$

*Démonstration.* On sait que la fonction méromorphe $s \mapsto \prod_{q \in \mathcal{Q}} \frac{1}{-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q)}$ admet un pôle d'ordre $|\{q \in \mathcal{Q} | N'_q = \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q)\}|$ en $s = 0$. En particulier, l'ordre est nécessairement plus petit que $|\mathcal{Q}|$. Par propriété de la fonction $\Gamma$, on sait que la fonction $s \mapsto \frac{1}{\prod_{q=1}^Q \Gamma(-N'_q + s\mu'_q)}$ admet un zéro d'ordre $Q - 1$ en $s = 0$. On obtient alors que $T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s)$ est d'ordre $O(s^n)$ avec

$$ n = Q - 1 - |\{q \in \mathcal{Q} | N'_q = \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q)\}|. $$

□

### 3.2.2 Calcul de $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^{0}(\mathcal{P}, j, \mathbf{k})$

**Proposition 3.2.2.** *Soit $\mathcal{Q} \subset [1, Q] \setminus \{j\}$.*

* Si $\mathcal{Q} = [1, Q] \setminus \{j\}$ et $\forall q \in \mathcal{Q}$, $\mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) = N'_q$, alors

$$ T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, 0) = \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q \in [1, Q]} c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p - 1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{q \in \mathcal{Q}} c_{q,p}^{v_{p,q}} \right) \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q (-1)^{N'_q} N'_q! $$

* Sinon, on a

$$ T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, 0) = 0. $$

*Démonstration.* Dans le premier cas, par le lemme 3.1.1, on a pour tout $q \neq j$ :

$$ \left( \frac{1}{\Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \frac{1}{\mu'_q s} \right)_{s=0} = (-1)^{N'_q} N'_q! \frac{\mu'_q}{\mu'_q}. $$

En évaluant en $s = 0$ l'expression de $T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s)$, on trouve la première formule de la proposition. La seconde égalité découle du Lemme 3.2.1. □

Par la formule 3.2 et par la proposition précédente, on obtient :

**Corollaire 3.2.3.** *Soit $\mathcal{Q} \subset [1, Q] \setminus \{j\}$, et $0 < \epsilon \ll 1$.*
* Si $\mathcal{Q} = [1, \mathcal{Q}] \setminus \{j\}$, alors on a

$$ I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, 0) = (-1)^{|\mathbf{N}'||[1,\mathcal{Q}]\setminus\{j\}|} \left(\prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} N'_q!\right) \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^\mathcal{Q})^{\mathcal{P}} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p|=k_p}} \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,\mathcal{Q}]\setminus\{j\}})^\mathcal{P} \\ \forall q \neq j, \mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)=N'_q}} \left(\prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^{Q} c_{q,p}^{w_{p,q}}\right) \left(\prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} c_{q,p}^{v_{p,q}}\right). $$

* Sinon, on a

$$ I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, 0) = 0. $$

Par la formule 2.24, on a que

$$ h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(0) = \sum_{\mathcal{Q} \subset [1,\mathcal{Q}] \setminus \{j\}} I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, 0), $$

on trouve alors par le corollaire précédent que

$$ Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(\mathcal{P}, j, \mathcal{Q}, \mathbf{k}) = (-1)^{|\mathbf{N}'||[1,\mathcal{Q}]\setminus\{j\}|} \left(\prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} N'_q!\right) \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^\mathcal{Q})^{\mathcal{P}} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p|=k_p}} \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,\mathcal{Q}]\setminus\{j\}})^\mathcal{P} \\ \forall q \neq j, \mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)=N'_q}} \left(\prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^{Q} c_{q,p}^{w_{p,q}}\right) \left(\prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} c_{q,p}^{v_{p,q}}\right). \quad (3.6) $$

### 3.2.3 Calcul de $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^1(\mathcal{P}, j, \mathbf{k})$

En évaluant en $s = 0$ la dérivée en $s$ du terme général

$$ T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s) = \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^{Q} c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p + \mu_p s - 1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{q \in \mathcal{Q}} c_{q,p}^{v_{p,q}} \right) \\ \cdot \frac{1}{\prod_{q=1}^{Q} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s) \prod_{q \in \mathcal{Q}} (-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q))} \\ \cdot \int_{\epsilon}^{1} \dots \int_{\epsilon}^{1} \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} x_q^{-N'_q + \mu'_q s - 1 + \mathbf{w}(q)} \prod_{p \in \mathcal{P}} \left( c_{j,p} + \sum_{f \in \mathcal{Q}^c} c_{f,p} x_f \right)^{-N_p + \mu_p s - 1 - |\mathbf{v}_p|} \prod_{q \in \mathcal{Q}^c} dx_q, $$

on obtient :

**Proposition 3.2.4.** *Soit $\mathcal{Q} \subset \mathcal{Q} = [1, \mathcal{Q}] \setminus \{j\}$,*
* Si $\mathcal{Q} = [1, \mathcal{Q}] \setminus \{j\}$ et $\forall q \in \mathcal{Q}$, $\mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) = N'_q$, alors

$$ \partial_s \left( T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s) \right) \Big|_{s=0} = \qquad (3.7) $$

$$ \begin{aligned} & (-1)^{|\mathbf{N}'|\otimes[1,\mathcal{Q}]\setminus\{j\}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q c_{q,p}^{v_{p,q}} \right) \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q N'_q! \\ & \qquad \cdot \left( \sum_{p \in \mathcal{P}} \mu_p (h_{N_p} - h_{N_p+|\mathbf{v}_p|}) + \sum_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q \mu'_q (\gamma - h_{N'_q}) \right) \\ & \qquad + (-1)^{|\mathbf{N}'|\otimes[1,\mathcal{Q}]\setminus\{j\}} |\boldsymbol{\mu}'|_{\mathcal{Q}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q c_{q,p}^{v_{p,q}} \right) \left( \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q N'_q! \right) \ln(\epsilon). \end{aligned} $$

* Si $\mathcal{Q} = [1, \mathcal{Q}] \setminus \{j\}$ et s'il existe $f \in \mathcal{Q} \setminus \{j\}$ tel que $\mathbf{v}(f) + \mathbf{w}(f) \neq N'_f$ et tel que, pour tout $q \in \mathcal{Q} \setminus \{f\}$, $\mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) = N'_q$, alors

$$ \partial_s \left( T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s) \right) \Big|_{s=0} = \qquad (3.8) $$

$$ \begin{aligned} & (-1)^{|\mathbf{N}'|\otimes[1,\mathcal{Q}]\setminus\{j\}} \left( \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q N'_q! \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q c_{q,p}^{v_{p,q}} \right) \\ & \qquad \cdot \frac{\mu'_f}{-N'_f + \mathbf{v}(f) + \mathbf{w}(f)} \epsilon^{-N'_f + \mathbf{v}(f) + \mathbf{w}(f)}. \end{aligned} $$

* Si $\mathcal{Q} = [1, \mathcal{Q}] \setminus \{j, f\}$ tel que $\mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) = N'_q$ pour tout $q \in \mathcal{Q}$, on a qu'il existe un terme $\beta_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}^*(\epsilon)$ correspondant à la somme entre un terme en $\ln(\epsilon)$ et d'une série de Laurent en $\epsilon$ définie pour $0 < \epsilon \ll 1$ sans coefficient constant, et tel que

$$ \partial_s \left( T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s) \right) \Big|_{s=0} = \qquad (3.9) $$

$$ \mu'_{f}(-1)^{|\mathbf{N}'|\otimes[1,\mathcal{Q}]\setminus\{j\}} \left( \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q N'_q! \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j, f}}^Q c_{q,p}^{v_{p,q}} \right) F_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \\ + \beta_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}^*(\epsilon), $$

avec $F_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$ définie dans la Proposition 1.3.2.

* Sinon, on a

$$ \partial_s \left( T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s) \right) \Big|_{s=0} = 0. $$
Démonstration. • Si $\mathcal{Q} = [1, \mathcal{Q}] \setminus \{j\}$, on a alors

$$
\begin{align*}
\partial_s \left( T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s) \right)_{|s=0} &= \\
&\quad \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \partial_s \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p + \mu_p s - 1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q c_{q,p}^{v_{p,q}} \right)_{|s=0} \\
&\quad \cdot \left( \frac{1}{\prod_{q=1}^Q \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)(-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q))} \right)_{|s=0} \epsilon^{\sum_{q=1}^Q (-N'_q + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q))} \\
&\quad + \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p - 1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q c_{q,p}^{v_{p,q}} \right) \\
&\quad \cdot \partial_s \left( \frac{1}{\prod_{q=1}^Q \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)(-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q))} \right)_{|s=0} \epsilon^{\sum_{q=1}^Q (-N'_q + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q))} \\
&\quad + |\boldsymbol{\mu}'|_{\mathcal{Q}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p - 1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q c_{q,p}^{v_{p,q}} \right) \\
&\quad \cdot \left( \frac{1}{\prod_{q=1}^Q \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)(-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q))} \right)_{|s=0} \ln(\epsilon) \epsilon^{\sum_{q=1}^Q (-N'_q + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q))}
\end{align*}
$$

Par le Lemme 3.1.2, on a

$$
\partial_s \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p + \mu_p s - 1}{|\mathbf{v}_p|} \right)_{|s=0} = \left( \sum_{p \in \mathcal{P}} \mu_p (h_{N_p} - h_{N_p + |\mathbf{v}_p|}) \right) \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p - 1}{|\mathbf{v}_p|},
$$

ce qui conclut la première formule.

• Si $\mathcal{Q} = [1, \mathcal{Q}] \setminus \{j\}$ et $\forall q \in \mathcal{Q}$, $\mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) = N'_q$, on a par le Lemme 3.1.1,

$$
\begin{align*}
\partial_s \left( \frac{1}{\prod_{q \neq j}^{Q} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s) \mu'_q s} \right)_{|s=0} &= \sum_{\substack{f=1 \\ f \neq j}}^{Q} \mu'_f (-1)^{N'_f} N'_f! (\gamma - h_{N'_f}) \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j, f}}^{Q} (-1)^{N'_q} N'_q! \\
&= (-1)^{|\mathbf{N}'|} {}_{[1,\mathcal{Q}]\setminus\{j\}} \left( \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} N'_q! \right) \left( \sum_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} \mu'_q (\gamma - h_{N'_q}) \right) \\
\left( \frac{1}{\prod_{q \neq j}^{Q} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s) \mu'_q s} \right)_{|s=0} &= (-1)^{|\mathbf{N}'|} {}_{[1,\mathcal{Q}]\setminus\{j\}} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} N'_q!
\end{align*}
$$
Ainsi, on trouve

$$
\begin{align*}
\partial_s \left( T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s) \right)_{|s=0} &= \\
& \quad \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \left( \sum_{p \in \mathcal{P}} \mu_p (h_{N_p} - h_{N_p+|\mathbf{v}_p|}) \right) \left( \prod_{\substack{p \in \mathcal{P} \\ |\mathbf{v}_p|}} \binom{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{|\mathbf{v}_p|} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q c_{q,p}^{v_{p,q}} \right) \\
& \quad \cdot (-1)^{|\mathbf{N}'||[1,Q]\setminus\{j\}|} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q N_q'! \\
& \quad + \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \left( \prod_{\substack{p \in \mathcal{P} \\ |\mathbf{v}_p|}} \binom{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{|\mathbf{v}_p|} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q c_{q,p}^{v_{p,q}} \right) \\
& \quad \cdot (-1)^{|\mathbf{N}'||[1,Q]\setminus\{j\}|} \left( \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q N_q'! \right) \left( \sum_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q \mu_q'(\gamma - h_{N_q'}) \right) \\
& \quad + |\boldsymbol{\mu}'|_{\mathcal{Q}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \left( \prod_{\substack{p \in \mathcal{P} \\ |\mathbf{v}_p|}} \binom{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{|\mathbf{v}_p|} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q c_{q,p}^{v_{p,q}} \right) \\
& \quad \cdot (-1)^{|\mathbf{N}'||[1,Q]\setminus\{j\}|} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q N_q'! \ln(\epsilon)
\end{align*}
$$

En factorisant la première et la seconde expression de cette somme, on obtient la formule 3.7.

• Si $\mathcal{Q} = [1, \mathcal{Q}] \setminus \{j\}$ et s'il existe $f \in \mathcal{Q} \setminus \{j\}$ tel que $\mathbf{v}(f) + \mathbf{w}(f) \neq N'_f$ et tel que, pour tout $q \in \mathcal{Q} \setminus \{f\}$, on a $\mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) = N'_q$, on a par le Lemme 3.1.1,

$$
\begin{align*}
\left( \frac{1}{\Gamma(-N'_f + \mu'_f s)(-N'_f + \mu'_f s + \mathbf{v}(f) + \mathbf{w}(f)) \prod_{q=1}^Q \Gamma(-N'_q + \mu'_q s) \mu'_q s} \right)_{|s=0} &= 0, \\
\partial_s \left( \frac{1}{\Gamma(-N'_f + \mu'_f s)(-N'_f + \mu'_f s + \mathbf{v}(f) + \mathbf{w}(f)) \prod_{q=1}^Q \Gamma(-N'_q + \mu'_q s) \mu'_q s} \right)_{|s=0} &= \\
(-1)^{|\mathbf{N}'|[1,Q]\setminus\{j\}} \left( \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q N'_q! \right) \frac{\mu'_f}{-N'_f + \mathbf{v}(f) + \mathbf{w}(f)}. &
\end{align*}
$$
On trouve alors

$$
\begin{align*}
\partial_s \left( T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s) \right) \Big|_{s=0} &= \\
& \sum_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q (-N'_q + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q)) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p - 1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{|\mathbf{v}_p|} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q c_{q,p}^{v_{p,q}} \right) \\
& \cdot \partial_s \left( \frac{1}{\Gamma(-N'_f + \mu'_f s)(-N'_f + \mu'_f s + \mathbf{v}(f) + \mathbf{w}(f)) \prod_{q \neq j,f}^Q \Gamma(-N'_q + \mu'_q s)(-N'_q + \mu'_q s + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q))} \right) \Big|_{s=0}
\end{align*}
$$

En observant que $\sum_{q=1}^{Q} (-N'_{q} + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q)) = -N'_{f} + \mathbf{v}(f) + \mathbf{w}(f) \neq 0$, on obtient la formule 3.8.

• Si $\mathcal{Q} = [1, \mathcal{Q}] \setminus \{j, f\}$ tel que $\mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) = N'_{q}$ pour tout $q \in \mathcal{Q}$, on a par le Lemme 3.1.1

$$
\left( \frac{1}{\Gamma(-N'_{f} + \mu'_{f}s) \prod_{q \neq j, f}^{Q} \Gamma(-N'_{q} + \mu'_{q}s) \mu'_{q}s} \right) \Big|_{s=0} = 0
$$
$$
\partial_s \left( \frac{1}{\Gamma(-N'_{f} + \mu'_{f}s) \prod_{q \neq j, f}^{Q} \Gamma(-N'_{q} + \mu'_{q}s) \mu'_{q}s} \right) \Big|_{s=0} = \mu'_{f} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} (-1)^{N'_{q}} N'_{q}!,
$$

En dérivant le terme général $T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s)$ suivant $s$, puis en l'évaluant en $s = 0$ on trouve pour tout $0 < \epsilon \ll 1$,

$$
\begin{align}
\partial_s \left( T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s) \right) \Big|_{s=0} &= \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p - 1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{|\mathbf{v}_p|} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j,f}}^Q c_{q,p}^{v_{p,q}} \right) \tag{3.10} \\
&\quad \cdot \partial_s \left( \frac{1}{\Gamma(-N'_f + \mu'_f s) \prod_{q=1}^Q \Gamma(-N'_q + \mu'_q s) \mu'_q s} \right) \Big|_{s=0} \quad \sum_{\substack{q=1 \\ q \neq j,f}}^Q (-N'_q + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q)) \nonumber \\
&\quad \cdot \int_{\epsilon}^{1} x_f^{-N'_f - 1 + \mathbf{w}(f)} \cdot \prod_{p \in \mathcal{P}} (c_{j,p} + c_{f,p} x_f)^{-N_p - 1 - |\mathbf{v}_p|} dx_f. \nonumber
\end{align}
$$

Avec les conditions que l'on a imposé sur les multi-indices **v** et **w**, on trouve que $\sum_{\substack{q=1 \\ q \neq j,f}}^{Q} (-N'_{q} + \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q)) = 0$.

Par le Lemme 3.1.4, on a

$$
\int_{\epsilon}^{1} x_{f}^{-N'_{f}-1+\mathbf{w}(f)} \cdot \prod_{p \in \mathcal{P}} (c_{j,p} + c_{f,p} x_{f})^{-N_{p}-1-|\mathbf{v}_{p}|} dx_{f} = \alpha_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}^{*}(\epsilon) + F_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N},\mathbf{N}')
$$

avec $F_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$ définie dans la Proposition 1.3.2, et $\alpha_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}^*(\epsilon)$ une fonction en epsilon de la forme $a \ln(\epsilon) + \sum_{n \ge m} b_n \epsilon^n, m \in \mathbb{Z}$ et $a, b_n$ des complexes tels que $b_0 = 0$.
En injectant cette expression dans la formule 3.10, on trouve

$$
\begin{align*}
\partial_s \left( T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s) \right) \Big|_{s=0} &= \\
& \mu_f' \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{(-1)^{N'_q} N'_q!} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p - 1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{|\mathbf{v}_p|} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j, f}}^Q c_{q,p}^{v_{p,q}} \right) \\
& \cdot \left( \alpha_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}^*(\epsilon) + F_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \right).
\end{align*}
$$

En notant

$$
\beta_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}^*(\epsilon) = \mu_f' \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}} (-1)^{N'_q} N'_q! \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p - 1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{|\mathbf{v}_p|} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j, f}}^Q c_{q,p}^{v_{p,q}} \right) \alpha_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{N},\mathbf{N}'}^*(\epsilon),
$$

on obtient la formule 3.9.

* Si l'on n'est pas dans un des trois cas ci-dessus, alors on a par le Lemme 3.2.1 au voisinage de $s = 0$, pour tout $0 < \epsilon \ll 1$,

$$
T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s) = O(s^2),
$$

ce qui conclut.

<figure><img src="image_11.png" /></figure>

Par la formule 3.3 et par la proposition précédente, on trouve le corollaire suivant :

**Corollaire 3.2.5.** *Soit* $\mathcal{Q} \subset [[1, Q]]\setminus\{j\}$.

* Si $\mathcal{Q} = [[1, Q]]\setminus\{j\}$, alors il existe un terme $I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}^*(\epsilon)$ correspondant à la somme entre un terme en $\ln(\epsilon)$ et d'une série de Laurent définie pour $0 < \epsilon \ll 1$ sans terme constant, et tel que

$$
\begin{equation} \tag{3.11}
\begin{split}
\partial_s \left( I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,[[Q]\setminus\{j\},\mathbf{k}]}(\epsilon, s) \right) \Big|_{s=0} = & \\
& (-1)^{|\mathbf{N}'|} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q N'_q! \sum_{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}^c} \atop \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p| = k_p} \sum_{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^{|1,Q|}\setminus\{j\})^\mathcal{P} \atop \forall q \neq j, \mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)=N'_q} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \\
& \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{|\mathbf{v}_p|} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q c_{q,p}^{v_{p,q}} \right) \left( \sum_{p \in \mathcal{P}} \mu_p(h_{N_p} - h_{N_p+|\mathbf{v}_p|}) + \sum_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q \mu'_q(\gamma - h_{N'_q}) \right) \\
& + I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}^*(\epsilon).
\end{split}
\end{equation}
$$

* Si $\mathcal{Q} = [[1, Q]]\setminus\{j, f\}$, on a qu'il existe un terme $I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}^*(\epsilon)$ correspondant à la somme entre un terme en $\ln(\epsilon)$ et d'une série de Laurent définie pour $0 < \epsilon \ll 1$ sans terme constant, et tel que
terme en $\ln(\epsilon)$ et d'une série de Laurent définie pour $0 < \epsilon \ll 1$ sans terme constant, et tel que

$$ \partial_s \left( I_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k}}(\epsilon, s) \right) \Big|_{s=0} = \qquad (3.12) $$

$$ I_{\mu, \mu'}^{*} \mathbf{N}, \mathbf{N}', \mathcal{P}, j, \mathcal{Q}, \mathbf{k} (\epsilon) + (-1)^{|\mathbf{N}'| \cup [1, \mathcal{Q}] \setminus \{j\}} \mu_f' \left( \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} N_q'! \right) \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^\mathcal{Q})^{\mathcal{P}} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p| = k_p}} \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1, \mathcal{Q}] \setminus \{j, f\}})^\mathcal{P} \\ \forall q \neq j, f, \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) = N_q'}} F_{\mathcal{P}, j, f, \mathbf{v}, \mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}') $$

avec $F_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$ définie dans la Proposition 1.3.2.

• Sinon, on a

$$ \partial_s \left( T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathcal{Q},\mathbf{k},\mathbf{v},\mathbf{w}}(\epsilon, s) \right) \Big|_{s=0} = 0. $$

Par la formule 3.5, on a que

$$ \partial_s \left( h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s) \right) \Big|_{s=0} = \sum_{\mathcal{Q} \subset [1, \mathcal{Q}] \setminus \{j\}} \partial_s \left( I_{\mu, \mu'} \mathbf{N}, \mathbf{N}', \mathcal{P}, j, \mathcal{Q}, \mathbf{k} (\epsilon, s) \right) \Big|_{s=0}, $$

on trouve alors grâce au corollaire précédent que

$$ \begin{aligned} Q_{\mu, \mu'}^{1} \mathbf{N}, \mathbf{N}'(\mathcal{P}, j, \mathbf{k}) = & \partial_s \left( I_{\mu, \mu'} \mathbf{N}, \mathbf{N}', \mathcal{P}, j, \llbracket 1, \mathcal{Q} \rrbracket \setminus \{j\}, \mathbf{k} (\epsilon, s) \right) \Big|_{s=0} + \sum_{\substack{f=1 \\ f \neq j}}^{Q} \partial_s \left( I_{\mu, \mu'} \mathbf{N}, \mathbf{N}', \mathcal{P}, j, \llbracket 1, \mathcal{Q} \rrbracket \setminus \{j, f\}, \mathbf{k} (\epsilon, s) \right) \Big|_{s=0} \\ = & (-1)^{|\mathbf{N}'| \cup [1, \mathcal{Q}] \setminus \{j\}} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} N_q'! \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^\mathcal{Q})^{\mathcal{P}} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p| = k_p}} \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1, \mathcal{Q}] \setminus \{j\}})^\mathcal{P} \\ \forall q \neq j, \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) = N_q'}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^{Q} c_{q,p}^{w_p,q} \right) \\ & \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} c_{q,p}^{v_p,q} \right) \left( \sum_{p \in \mathcal{P}} \mu_p (h_{N_p} - h_{N_p+|\mathbf{v}_p|}) + \sum_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} \mu_q' (\gamma - h_{N_q'}) \right) \\ + & (-1)^{|\mathbf{N}'| \cup [1, \mathcal{Q}] \setminus \{j\}} \left( \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} N_q'! \right) \sum_{\substack{f=1 \\ f \neq j}}^{Q} \mu_f' \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^\mathcal{Q})^{\mathcal{P}} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p| = k_p}} \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1, \mathcal{Q}] \setminus \{j, f\}})^\mathcal{P} \\ \forall q \neq j, \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) = N_q'}} F_{\mathcal{P}, j, f, \mathbf{v}, \mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \\ & \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^{Q} c_{q,p}^{w_p,q} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j, f}}^{Q} c_{q,p}^{v_p,q} \right) F_{\mathcal{P}, j, f, \mathbf{v}, \mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \\ + & I_{\mu, \mu'}^{*} \mathbf{N}, \mathbf{N}', \mathcal{P}, j, \llbracket 1, \mathcal{Q} \rrbracket \setminus \{j\}, \mathbf{k} (\epsilon) + \sum_{\substack{f=1 \\ f \neq j}}^{Q} I_{\mu, \mu'}^{*} \mathbf{N}, \mathbf{N}', \mathcal{P}, j, \llbracket 1, \mathcal{Q} \rrbracket \setminus \{j, f\}, \mathbf{k} (\epsilon). \end{aligned} $$

On conclut via le Lemme 3.1.3 en remarquant que $Q_{\mu, \mu'}^1(\mathcal{P}, j, \mathbf{k})$ ne dépend pas de $\epsilon$. On trouve alors que le terme constant en $\epsilon$ dans la formule précédente vaut nécessairement $Q_{\mu, \mu'}^1(\mathcal{P}, j, \mathbf{k})$.
# Chapitre 4

## Démonstration du Théorème A et de ses corollaires

Le but de ce chapitre est d'étudier les valeurs directionnelles de $Z(s, s')$ aux multi-entiers négatifs. En montrant que la fonction $Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(s)$ est régulière en $s = 0$, on a montré que les quantités $Z(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}'))$ et $Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}'))$ ont bien un sens. Afin de calculer la première quantité, on exploitera la Proposition 2.2.4 afin d'évaluer $Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(s)$ en $s = 0$.

### 4.1 Enoncé du Théorème A

Rappelons tout d'abord l'énoncé du théorème :

**Théorème (A).** Soit $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in \mathbb{R}_+^P \times \mathbb{R}_*^{Q+}$. Soit $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$. On a

$$Z(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}')) = (-1)^{|\mathbf{N}'|} \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, \mathbf{N}]} (-1)^{|\mathbf{N}'|_{\mathcal{P}} + |\mathcal{P}|} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}'|_{\mathcal{P}}+|\mathcal{P}|=|\mathbf{k}|}} \sum_{j=1}^{Q} \frac{(-1)^{N'_j} \mu'_j N'_j !}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} Q_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \\ \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!},$$

avec

$$Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) = \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}^c} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p|=k_p \\ \forall q \in [1, \mathcal{Q}] \setminus \{j\}, N'_q=\mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)}} \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \\ \forall p \in \mathcal{P}, \mathbf{v}_p \in [1, \mathcal{Q}] \setminus \{j\} \\ \forall q \in [1, \mathcal{Q}] \setminus \{j\}, N'_q=\mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \\ \cdot \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q c_{q,p}^{v_{p,q}} \right) \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q (-1)^{N'_q} N'_q !.$$

où l'on rappelle les notations

$$\forall q \in [1, \mathcal{Q}], \quad \mathbf{w}(q) = \sum_{p \in \mathcal{P}^c} w_{p,q},$$

et

$$\forall q \in [1, \mathcal{Q}] \setminus \{j\}, \quad \mathbf{v}(q) = \sum_{p \in \mathcal{P}} v_{p,q}.$$
## 4.2 Démonstration du Théorème A

*Démonstration.* De la Proposition 2.2.4, on obtient pour tout $0 < \theta \ll 1$,

$$Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(0) = K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, 0) + J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, 0),$$

Or on sait que $K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, 0) = 0$ par la Proposition 2.3.11. Il ne reste qu’à étudier la valeur de $J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$ en $s = 0$. Par la formule 2.5, on a

$$Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(0) = \sum_{\mathcal{P} \subsetneq [1,P]} \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \sum_{j=1}^{P} h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(0) \left( \frac{1}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)} \frac{\theta^{-|\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|_\mathcal{P}+(|\mu'|+|\mu|_\mathcal{P})s-|\mathcal{P}|+|\mathbf{k}|_\mathcal{P}^c}}{-|\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|_\mathcal{P} + (|\mu'| + |\mu|_\mathcal{P})s - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|_\mathcal{P}^c} \right) \prod_{s=0}^{P} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!} + \left( \prod_{p=1}^{P} \Gamma(1+N_p) \right) \left( \sum_{j=1}^{Q} h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\llbracket 1,P \rrbracket, j}(0) \left( \frac{\theta^{(|\mu'|+|\mu|)s-|\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|-P}}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)((|\mu'| + |\mu|)s - |\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|-P)} \right) \Big|_{s=0} \right)$$

Observons tout d'abord que l'expression

$$\left( \prod_{p=1}^{P} \Gamma(1 + N_p) \right) \left( \sum_{j=1}^{Q} h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\llbracket 1,P \rrbracket, j}(0) \left( \frac{\theta^{(|\mu'|+|\mu|)s-|\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|-P}}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)((|\mu'| + |\mu|)s - |\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|-P)} \right) \Big|_{s=0} \right),$$

est nulle. En effet, comme on a $-|\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}| - P \neq 0$, alors le zéro de $\frac{1}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)}$ en $s = 0$ n'est compensé par aucun pôle venant de la fraction $\frac{1}{(|\mu'| + |\mu|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}| - P}$ en $s = 0$.

Étudions plus en détail le premier terme de la formule de $Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(0)$. On sait que $h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(0) = Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k})$. Soit $0 < \theta \ll 1$ et $\mathcal{P} \subsetneq [1, P]$.

* Si $|\mathbf{N}'| + |\mathbf{N}|_\mathcal{P} \neq -|\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|_\mathcal{P}^c$, alors on sait par le Lemme 3.1.1 que le terme

$$\frac{1}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)} \frac{\theta^{-|\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|_\mathcal{P}+(|\mu'|+|\mu|_\mathcal{P})s-|\mathcal{P}|+|\mathbf{k}|_\mathcal{P}^c}}{-|\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|_\mathcal{P} + (|\mu'| + |\mu|_\mathcal{P})s - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|_\mathcal{P}^c}$$

s'annule en $s = 0$.

* Si $|\mathbf{N}'| + |\mathbf{N}|_\mathcal{P} = -|\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|_\mathcal{P}^c$, alors par le Lemme 3.1.1 on a :

$$\left( \frac{1}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)} \frac{\theta^{-|\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|_\mathcal{P}+(|\mu'|+|\mu|_\mathcal{P})s-|\mathcal{P}|+|\mathbf{k}|_\mathcal{P}^c}}{-|\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|_\mathcal{P} + (|\mu'| + |\mu|_\mathcal{P})s - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|_\mathcal{P}^c} \right) \Big|_{s=0} = \frac{\mu'_j}{|\mu'| + |\mu|_\mathcal{P}} (-1)^{N'_j} N'_j!$$

On en déduit alors le Théorème A. L'expression de $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k})$ dans le Théorème A découle de l'expression obtenue dans l'égalité (3.6). □

## 4.3 Sur les corollaires du Théorème A

Une fois le Théorème A démontré, les corollaires sont rapides à démontrer.
### 4.3.1 Démonstration du Corollaire A1

Pour prouver le Corollaire A1, on applique le Théorème A, en posant $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') = (\mathbf{0}, \mathbf{0})$ :

$$ Z(-(\mathbf{0}, \mathbf{0})) = \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} (-1)^{|\mathcal{P}|} \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}}} \sum_{\substack{j=1 \\ |\mathbf{k}|=|\mathcal{P}|}}^{Q} \frac{\mu'_j}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} Q_{\mathbf{0},0}^{0}(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-k_p, d_p)}{k_p!}, $$

avec

$$ Q_{\mathbf{0},0}^{0}(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) = \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c |\mathbf{w}_p|=k_p \\ \mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]} \setminus \{j\})^Q \\ \forall q \neq j, \mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)=0}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^{Q} c_{q,p}^{w_p,q} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} c_{q,p}^{v_p,q} \right). $$

On peut simplifier le coefficient $Q_{\mathbf{0},0}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k})$ en remarquant que la condition $\mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) = 0$ pour tout $q \neq j$ implique que

$$ \forall p \in \mathcal{P}, \forall q \in [1, Q] \setminus \{j\}, \quad v_{p,q} = 0 $$

$$ \forall p \in \mathcal{P}^c, \forall q \in [1, Q] \setminus \{j\}, \quad w_{p,q} = 0. $$

On obtient alors que $k_p = |\mathbf{w}_p| = w_{p,j}$ pour tout $p \in \mathcal{P}^c$. Ainsi, on peut simplifier l'expression de $Q_{\mathbf{0},0}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k})$ :

$$ Q_{\mathbf{0},0}^{0}(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) = \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p}. $$

### 4.3.2 Démonstration du Corollaire A2

Sur le Corollaire A2, en posant $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') = (\mathbf{1}, \mathbf{1})$ et $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') = (N, \dots, N)$, on trouve via le Théorème A que

$$ Z_{\Delta}(-N) = \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} (-1)^{N(|\mathcal{P}|+Q+1)+|P|} N!^{|\mathcal{P}|+1} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}} \\ |\mathbf{k}|=N(Q+|\mathcal{P}|)+|P| \\ \forall p \in \mathcal{P}^c |\mathbf{w}_p|=k_p \\ \mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]} \setminus \{j\})^Q \\ \forall q \neq j, \mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)=N}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N-k_p, d_p)}{k_p!}, $$

avec

$$ Q_N^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) = (-1)^{N(Q-1)} N!^{Q-1} \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c |\mathbf{w}_p|=k_p \\ \mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]} \setminus \{j\})^Q \\ \forall q \neq j, \mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)=N}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^{Q} c_{q,p}^{w_p,q} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} c_{q,p}^{v_p,q} \right). $$

En notant

$$ Q_N^0(\mathcal{P}, \mathbf{k}) = \sum_{j=1}^{Q} Q_N^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}), $$

on trouve la formule annoncée dans le corollaire.
4.3.3 Démonstration du Corollaire A3

Le Corollaire A3 correspond à une version qualitative, non explicite du Théorème A. Soit $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in \mathbb{R}_+^P \times \mathbb{R}_*^{Q+}$. Soit $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$. On note $\mathbb{K}$ le corps engendré par $\mathbb{Q}$, par les coefficients complexes $(d_p)_{p \in [1, P]}$ et $(c_{q,p})_{p \in [1, P], q \in [1, Q]}$, et par les directions $\mu_p$ pour tout $p \in [1, P]$, et $\mu'_q$ pour tout $q \in [1, Q]$.
Par le Théorème A, on a que

$$
Z(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}')) = (-1)^{|\mathbf{N}'|} \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} (-1)^{|\mathbf{N}_{||\mathcal{P}}| + |\mathcal{P}|} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=|\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}_{||\mathcal{P}}|+|\mathcal{P}|}} \sum_{j=1}^{Q} \frac{(-1)^{N'_j} \mu'_j N'_j!}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} Q_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \\
\prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!},
$$

avec

$$
Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) = (-1)^{|\mathbf{N}'|\otimes[1,Q]\setminus\{j\}} \left( \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q N'_q! \right) \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}^c} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c |\mathbf{w}_p|=k_p \\ \mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]}\setminus\{j\})^{\mathcal{P}} \\ \forall q \neq j, \mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)=N'_q}} \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]}\setminus\{j\})^{\mathcal{P}} \\ \forall q \neq j, \mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)=N'_q}} \\
\left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_{p,q}} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{|\mathbf{v}_p|} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q c_{q,p}^{v_{p,q}} \right).
$$

Observons tout d'abord que les coefficients $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k})$ est dans le corps $\mathbb{K}$, en tant que somme rationnels de produit de puissance des coefficients $c_{q,p} \in \mathbb{K}$ pour $1 \le p \le P$ et $1 \le q \le Q$. Ensuite, par propriété de la fonction zêta de Hurwitz, on sait que ses valeurs aux entiers négatifs s'expriment en fonction de polynômes de Bernoulli, et ceux-ci sont à coefficients rationnels. Ainsi, on obtient que
$$ \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!} \in \mathbb{Q}[d_1, \dots, d_P] \subset \mathbb{K}, \text{ ce qui prouve le corollaire.} $$
# Chapitre 5

## Démonstration de la Proposition B et du Théorème D

### 5.1 Enoncé de la Proposition B et du Théorème D

On cherchera dans ce chapitre à démontrer la Proposition B et le Théorème D, dont on rappelle les énoncés ci-dessous.

**Proposition (B).** Soit $j \in [1, Q]$ un entier. On suppose que $l_j$ est une forme linéaire à coefficients rationnels pour $1 \le j \le Q$. Pour tout $1 \le p \le P$, on pose $c_{j,p} = \frac{a_{j,p}}{b_{j,p}}$ la décomposition irréductible de $c_{j,p}$ avec $a_{j,p} > 0$ et $b_{j,p} > 0$. On pose alors $x_j(\mathbf{c}) = \frac{\text{ppcm}(a_{j,p})}{\text{pgcd}(b_{j,p})} \in \mathbb{Q}^*$, et $\beta_{j,p}(\mathbf{c}) := \frac{x_j(\mathbf{c})}{c_{j,p}} \in \mathbb{N}^*$ pour tout $1 \le p \le P$. Alors pour tout $\mathbf{R} \in \mathbb{N}^P$, la fonction $\varphi_{\mathbf{R}}^j(s)$ admet la relation suivante pour tout $s \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{N}^*$,

$$ \varphi_{\mathbf{R}}^j(s) = x_j(\mathbf{c})^{-s} \prod_{p=1}^{P} \beta_{j,p}^{R_p} \sum_{\substack{0 \le v_1 \le \beta_{j,1}(\mathbf{c})-1 \\ 0 \le v_P \le \beta_{j,P}(\mathbf{c})-1}} \sum_{\mathbf{P} \subseteq [1,P]} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} R_p! \sum_{\substack{\mathbf{k} \in \mathbb{N}^P, \mathbf{k}' \in \mathbb{N} \\ |\mathbf{k}|+|\mathbf{k}'|=|\mathbf{R}|+|\mathcal{P}^c|+|\mathcal{P}^c|-1}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{\zeta\left(-R_p - k_p, \frac{d_p+v_p}{\beta_{j,p}(\mathbf{c})}\right)}{k_p!} \cdot \frac{\zeta(s-k', l_j(x_j(\mathbf{c})^{-1}(\mathbf{d}+\mathbf{v})))}{k'}! $$
**Théorème (D).** Soit $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$, et $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in \mathbb{R}^{+P} \times \mathbb{R}_*^{+Q}$, alors

$$ Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}')) = \sum_{\mathbf{\mu}, \mathbf{\mu}'} Z'_{\mathbf{\mu}, \mathbf{\mu}'} \quad (5.1) $$

$$
\begin{align*}
& \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \sum_{j=1}^{Q} (-1)^{|\mathbf{N}|+|\mathbf{N}'|+|\mathcal{P}|+N'_j} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) \frac{\mu'_j N'_j!}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=|\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}|_{|\mathcal{P}|}+|\mathcal{P}|}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!} \\
& \qquad \cdot \left( Q_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \left( \sum_{p \in \mathcal{P}} \mu_p(\gamma - h_{N_p}) + \mu'_j(\gamma - h_{N'_j}) \right) + Q_{\mathbf{\mu}, \mathbf{\mu}'}^1(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \right) \\
& \qquad + \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \sum_{j=1}^{Q} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) (-1)^{|\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}|_{|\mathcal{P}|}+|\mathcal{P}|+N'_j} \frac{\mu'_j N'_j!}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=|\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}|_{|\mathcal{P}|}+|\mathcal{P}|}} Q_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \\
& \qquad \cdot \left( \sum_{i \in \mathcal{P}^c} \mu_i \frac{\zeta'(-N_i - k_i, d_i)}{k_i!} \prod_{p \in \mathcal{P}^c \setminus \{i\}} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!} \right) \\
& \qquad + \sum_{j=1}^{Q} \mu'_j \sum_{\substack{\mathbf{u}=(\mathbf{u}_q)_{q \in [1, Q] \setminus \{j\}} \in (\mathbb{N}^P)^{[1, Q] \setminus \{j\}} \\ \forall q \in [1, Q] \setminus \{j\}, |\mathbf{u}_q|=N'_q}} \left( \prod_{q=1}^{Q} \binom{N'_q}{\mathbf{u}_q} \prod_{p=1}^{P} c_{q,p}^{u_{q,p}} \right) \partial_s \varphi_{\mathbf{R}(\mathbf{N}, j, \mathbf{u})}^j(s) \Big|_{s=-N'_j} \\
& \qquad - \sum_{j=1}^{Q} (\gamma - h_{N'_j}) \mu'_j N'_j! \sum_{\substack{\mathbf{u}=(\mathbf{u}_q)_{q \in [1, Q] \setminus \{j\}} \in (\mathbb{N}^P)^{[1, Q] \setminus \{j\}} \\ \forall q \in [1, Q] \setminus \{j\}, |\mathbf{u}_q|=N'_q}} \left( \left( \prod_{q=1}^{Q} \binom{N'_q}{\mathbf{u}_q} \prod_{p=1}^{P} c_{q,p}^{u_{q,p}} \right) \partial_s \varphi_{\mathbf{R}(\mathbf{N}, j, \mathbf{u})}^j(s) \right) \Big|_{s=-N'_j} \\
& \qquad \cdot \left( \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} (-1)^{|\mathbf{R}(\mathbf{N}, j, \mathbf{u})|_{\mathcal{P}}+|\mathcal{P}|} \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{-R(\mathbf{N}, j, \mathbf{u})_{p-1}} R(\mathbf{N}, j, \mathbf{u})_p! \right) \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=N'_j+|\mathbf{R}(\mathbf{N}, j, \mathbf{u})|_{\mathcal{P}}+|\mathcal{P}|}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \frac{\zeta(-\mathbf{R}(\mathbf{N}, j, \mathbf{u})_p - k_p, d_p)}{k_p!}
\end{align*}
$$

où l'on a posé

$$ \mathbf{R}(\mathbf{N}, j, \mathbf{u}) := (N_p + \mathbf{u}(p))_{p \in [1, P]}, $$

pour tout $\mathbf{u} = (\mathbf{u}_q)_{q \in [1, Q] \setminus \{j\}}$, et tout $j \in [1, Q]$, avec $Q_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k})$ et $Q_{\mathbf{\mu}, \mathbf{\mu}'}^1(j, \mathcal{P}, \mathbf{k})$ déterminés dans le Chapitre 3.

## 5.2 Fonctions auxiliaires

On appliquera dans cette section la Proposition 2.2.4 aux fonctions auxiliaires $\varphi_{\mathbf{R}}^j(s)$, afin de faire intervenir les valeurs spéciales de ces fonctions par la suite dans le calcul des valeurs de la dérivée directionnelle de $Z$.

On rappelle que, pour $\mathbf{R} = (R_1, ..., R_P) \in \mathbb{N}^P$, et $j \in [1, Q]$, on a posé

$$ \varphi_{\mathbf{R}}^j(s) = \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} (n_1 + d_1)^{R_1} \dots (n_P + d_P)^{R_P} (l_j(\mathbf{n}) + d'_j)^{-s}. $$

Cette série de Dirichlet se prolonge méromorphiquement sur $\mathbb{C}$, et on sait qu'elle est régulière en les entiers négatifs par le Corollaire 2.2.6.
**Remarque 5.2.1.** Pour $\mathbf{R} = 0$, on retrouve la fonction zêta de Barnes définie par la série

$$ \zeta^B(s, d'_j | c_{j,1}, \dots, c_{j,P}) = \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \frac{1}{(l_j(\mathbf{n}) + d'_j)^s} $$

On applique la Proposition 2.2.4 à la fonction auxiliaire $\varphi_{\mathbf{R}}^j(s)$, en posant $\boldsymbol{\mu} = \mathbf{0}$, $\mathbf{N} = \mathbf{R}$, $\mathbf{N}' = \mathbf{0}$, et $\boldsymbol{\mu}' = 1$. On sait que cette fonction auxiliaire est régulière en les entiers négatifs, et par cette même proposition, on obtient que l'ensemble des pôles est inclus dans l'ensemble

$$ \mathcal{S}(\mathbf{R}) := \mathbb{Z}_{\ge 1}. $$

On obtient que la fonction auxiliaire s'exprime sous la forme suivante, pour $0 < \theta \ll 1$, et pour tout $s \in \mathbb{C} \setminus \mathcal{S}(\mathbf{R})$,

$$ \varphi_{\mathbf{R}}^j(s) = J_{\mathbf{R}}^j(\theta, s) + K_{\mathbf{R}}^j(\theta, s), \quad (5.2) $$

avec, pour tout $s \in \mathbb{C}$,

$$ K_{\mathbf{R}}^j(\theta, s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \Gamma(s, \theta, l_j(\mathbf{n}) + d'_j) \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{R_p}, $$

et pour tout $s \in \mathbb{C} \setminus \mathcal{S}(\mathbf{R})$, on a

$$ J_{\mathbf{R}}^j(\theta, s) = \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \prod_{p \in \mathcal{P}} R_p! \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}} (-1)^{|\mathbf{k}|} h_{\mathbf{R}, \mathcal{P}, \mathbf{k}}(s) \frac{\theta^{s-|\mathbf{R}|_P - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|}}{\Gamma(s)(s - |\mathbf{R}|_P - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|)} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-R_p - k_p, d_p)}{k_p!} + \left( \prod_{p=1}^{P} R_p! \right) h_{\mathbf{R}, [1, P], j}(s) \frac{\theta^{(|\boldsymbol{\mu}'|+|\boldsymbol{\mu}|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}| - P}}{\Gamma(s)(s - |\mathbf{R}| - P)}. $$

avec

$$ h_{\mathbf{R}, \mathcal{P}, \mathbf{k}}(s) = \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{-N_p-1} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p}, $$

et

$$ h_{\mathbf{R}, [1, P], j}(s) = \prod_{p=1}^{P} c_{j,p}^{-N_p-1}. $$

On trouve alors

$$ J_{\mathbf{R}}^j(\theta, s) = \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \prod_{p \in \mathcal{P}} R_p! \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{-R_p-1} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \right) \frac{\theta^{s-|\mathbf{R}|_P - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|}}{\Gamma(s)(s - |\mathbf{R}|_P - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|)} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-R_p - k_p, d_p)}{k_p!} + \left( \prod_{p=1}^{P} R_p! \right) \left( \prod_{p=1}^{P} c_{j,p}^{-R_p-1} \right) \frac{\theta^{s-|\mathbf{R}|-P}}{\Gamma(s)(s - |\mathbf{R}| - P)}. \quad (5.3) $$

**Proposition 5.2.2.** Soit $\mathbf{R} \in \mathbb{N}^P$, et $\mathbf{N} \in \mathbb{N}$. Soit $0 < \theta \ll 1$ et $j \in [1, Q]$, alors $s \mapsto \varphi_{\mathbf{R}}^j(s)$ admet un prolongement méromorphe sur $\mathbb{C}$, et est régulière en les entiers négatifs. De plus,

$$ \partial_s K_{\mathbf{R}}^j(\theta, -N) = (-1)^N N! \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \Gamma(-N, \theta, l_j(\mathbf{n}) + d'_j) \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{R_p} \quad (5.4) $$

$$ \partial_s J_{\mathbf{R}}^j(\theta, -N) = \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} (-1)^{|\mathbf{R}|_P + |\mathcal{P}|} \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{-R_p-1} R_p! \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=N+|\mathbf{R}|_P + |\mathcal{P}|}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \frac{\zeta(-R_p - k_p, d_p)}{k_p!}, \quad (5.5) $$
avec $J_R^*(\theta, -N)$ de la forme $J_R^*(\theta, -N) = \sum_{n \ge -N - |\mathbf{R}| - P} \alpha_n \theta^n + \beta \ln(\theta)$ pour tout $0 < \theta \ll 1$, et avec un terme constant nul, i.e. $\alpha_0 = 0$.

**Démonstration.** Par le Théorème 2.2.6, on sait que $\varphi_R^j$ admet un prolongement méromorphe régulier en les entiers négatifs. Par la Proposition 2.3.11, on sait que l'application $s \in \mathbb{C} \mapsto \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \Gamma(s, \theta, l_j(\mathbf{n}) + d'_j) \prod_{p=1}^P (n_p + d_p)^{R_p}$ est holomorphe sur $\mathbb{C}$. En dérivant l'expression de $K_R^j$, on obtient

$$ \partial_s K_{\mathbf{R}}^j(\theta, s) = - \frac{\psi(s)}{\Gamma(s)} \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \Gamma(s, \theta, l_j(\mathbf{n}) + d'_j) \prod_{p=1}^P (n_p + d_p)^{R_p} \\ + \frac{1}{\Gamma(s)} \partial_s \left( \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \Gamma(s, \theta, l_j(\mathbf{n}) + d'_j) \prod_{p=1}^P (n_p + d_p)^{R_p} \right), $$

où $\psi$ désigne la fonction digamma.

On peut alors évaluer cette somme de deux termes en $s = -N$. Comme $\frac{1}{\Gamma(s)}$ s'annule en $s = -N$, et que par le Lemme 3.1.1, $\left(\frac{\psi(s)}{\Gamma(s)}\right)_{s=-N} = (-1)^{N+1}N!$, on obtient bien la formule voulue.

De la formule 5.3, on en déduit

$$ \partial_s J_R^j(\theta, s) = \sum_{\mathcal{P} \subsetneq [1, P]} \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{-R_p-1} R_p! \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-R_p - k_p, d_p)}{k_p!} \\ \cdot \partial_s \left( \frac{1}{\Gamma(s)(s - |\mathbf{R}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|)} \right) \theta^{s - |\mathbf{R}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|} \\ + \sum_{\mathcal{P} \subsetneq [1, P]} \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{-R_p-1} R_p! \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-R_p - k_p, d_p)}{k_p!} \\ \cdot \frac{1}{\Gamma(s)(s - |\mathbf{R}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|)} \theta^{s - |\mathbf{R}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|} \ln(\theta) \\ - \left( \prod_{p=1}^P R_p! \right) \left( \prod_{p=1}^P c_{j,p}^{-R_p-1} \right) \theta^{s - |\mathbf{R}| - P} \left( \frac{\ln(\theta)}{\Gamma(s)(s - |\mathbf{R}| - P)} + \partial_s \left( \frac{1}{\Gamma(s)(s - |\mathbf{R}| - P)} \right) \right) $$

Pour obtenir la formule pour $(\partial_s J_R^j(\theta, s))_{s=-N}$, on doit évaluer les termes de la forme $\frac{1}{(s - |\mathbf{R}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|)\Gamma(s)}$, et ceux de la forme $\partial_s \frac{1}{(s - |\mathbf{R}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|)\Gamma(s)}$. On évalue ces expressions en $s = -N$ à l'aide du Lemme 3.1.1 :

$$ \left( \frac{1}{(s - |\mathbf{R}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|)\Gamma(s)} \right)_{s=-N} = \begin{cases} (-1)^N N! & \text{si } |\mathbf{k}| = N + |\mathbf{R}|_{\mathcal{P}} + |\mathcal{P}| \\ 0 & \text{si } |\mathbf{k}| \neq N + |\mathbf{R}|_{\mathcal{P}} + |\mathcal{P}|. \end{cases} $$

et

$$ \partial_s \left( \frac{1}{\Gamma(s)(s - |\mathbf{R}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|)} \right)_{s=-N} = \begin{cases} (-1)^N (\gamma - h_N) N! & \text{si } |\mathbf{k}| = N + |\mathbf{R}|_{\mathcal{P}} + |\mathcal{P}| \\ \frac{(-1)^N N!}{-N - |\mathbf{R}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|} & \text{si } |\mathbf{k}| \neq N + |\mathbf{R}|_{\mathcal{P}} + |\mathcal{P}|. \end{cases} $$
On trouve alors

$$
\begin{align*}
\partial_s J_{\mathbf{R}}^j(\theta, -N) ={}& (\gamma - h_N) N! \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} (-1)^{|\mathbf{R}||\mathcal{P}|+|\mathcal{P}|} \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{-R_p-1} R_p! \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=N+|\mathbf{R}_{||\mathcal{P}|+|\mathcal{P}|}^c \\ |\mathbf{k}| \neq N+|\mathbf{R}_{||\mathcal{P}|+|\mathcal{P}|}^c}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \frac{\zeta(-R_p - k_p, d_p)}{k_p!} \\
& + (-1)^N N! \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{-R_p-1} R_p! \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=N+|\mathbf{R}_{||\mathcal{P}|+|\mathcal{P}|}^c \\ |\mathbf{k}| \neq N+|\mathbf{R}_{||\mathcal{P}|+|\mathcal{P}|}^c}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \frac{\zeta(-R_p - k_p, d_p)}{k_p!} \right) \frac{\theta^{-N-|\mathbf{R}_{||\mathcal{P}|+|\mathcal{P}|}^c+|\mathbf{k}|}}{-N - |\mathbf{R}_{||\mathcal{P}|+|\mathcal{P}|}^c + |\mathbf{k}|} \\
& + N! \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} (-1)^{|\mathbf{R}_{||\mathcal{P}|+|\mathcal{P}|}^c} \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{-R_p-1} R_p! \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=N+|\mathbf{R}_{||\mathcal{P}|+|\mathcal{P}|}^c \\ |\mathbf{k}| \neq N+|\mathbf{R}_{||\mathcal{P}|+|\mathcal{P}|}^c}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \frac{\zeta(-R_p - k_p, d_p)}{k_p!} \right) \ln(\theta) \\
& + (-1)^N N! \left( \prod_{p=1}^P R_p! \right) \left( \prod_{p=1}^P c_{j,p}^{-R_p-1} \right) \frac{\theta^{-N-|\mathbf{R}|-P}}{-N - |\mathbf{R}| - P}
\end{align*}
$$

On peut alors poser $J_{\mathbf{R}}^{j}(\theta, -N)$ telle que

$$
\begin{align*}
J_{\mathbf{R}}^{j}(\theta, -N) ={}& (-1)^N N! \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{-R_p-1} R_p! \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}| \neq N+|\mathbf{R}_{||\mathcal{P}}|+|\mathcal{P}|}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \frac{\zeta(-R_p - k_p, d_p)}{k_p!} \right) \frac{\theta^{-N-|\mathbf{R}_{||\mathcal{P}}|-|\mathcal{P}|+|\mathbf{k}|}}{-N - |\mathbf{R}_{||\mathcal{P}}|-|\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|} \\
& + N! \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} (-1)^{|\mathbf{R}_{||\mathcal{P}}|+|\mathcal{P}|} \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{-R_p-1} R_p! \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=N+|\mathbf{R}_{||\mathcal{P}}|+|\mathcal{P}|}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \frac{\zeta(-R_p - k_p, d_p)}{k_p!} \right) \ln(\theta) \\
& + (-1)^N N! \left( \prod_{p=1}^P R_p! \right) \left( \prod_{p=1}^P c_{j,p}^{-R_p-1} \right) \frac{\theta^{-N-|\mathbf{R}|-P}}{-N - |\mathbf{R}|-P}
\end{align*}
$$

□

**Remarque 5.2.3.** Le terme $J_{\mathbf{R}}^{j}(\theta, -N)$ correspond à la somme entre un multiple de $\ln(\theta)$ et une série de Laurent à terme constant non nul.

Observons que l'on ne peut pas obtenir une expression explicite des valeurs de $\partial_s \varphi_{\mathbf{R}}^j$ en les entier négatifs à l'aide de (5.4) et de (5.5), puisqu'il n'est pas vrai que le terme $\partial_s K_{\mathbf{R}}^j(\theta, -N)$ s'annule. On a ainsi besoin d'une autre stratégie pour calculer les valeurs de $\partial_s \varphi_{\mathbf{R}}^j$ en les entiers négatifs.

### 5.2.1 Démonstration de la Proposition B

On souhaite dans cette section fournir des valeurs explicites des dérivées de ces fonctions auxiliaires dans le cas où les coefficients $(c_{q,p})_{q \in [1,Q] \times [1,P]}$ sont rationnels.

Soit $P \in \mathbb{N}^*$, et $\mathbf{R} \in \mathbb{N}^P$. Pour simplifier les écritures dans cette sous-section, on écrira pour tout complexe $s$ tel que $\sigma \gg_{\mathbf{R}} 1$

$$ \varphi_{\mathbf{R}}(s, \mathbf{d}|w_1, \dots, w_P) := \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \frac{(n_1 + d_1)^{R_1} \dots (n_P + d_P)^{R_P}}{\left(\sum_{p=1}^P w_p (n_p + d_p)\right)^s}, $$

avec $\mathbf{d} = (d_p)_{p \in [1, P]}$ et $w_p, d_p \in H_0$ pour tout entier $p$. Cette fonction admet un prolongement méromorphe sur $\mathbb{C}$ en la variable $s$. On souhaite dans cette sous-section établir une relation explicite
entre $\varphi_{\mathbf{R}}^j(s)$ et la fonction zêta d'Hurwitz $\zeta(s, x)$, avec $x \in H_0$. On suit pour cela une stratégie développée par Aoki et Sakane dans [SA22], qui a été utilisée initialement pour explicitier les valeurs spéciales des dérivées supérieures des fonctions zêta de Barnes à coefficients rationnels. Ici, les fonctions auxiliaires $\varphi_{\mathbf{R}}(s, x|w_1, ..., w_P)$ ne sont pas exactement des fonctions zêta de Barnes à cause des termes au numérateur dans la série, cependant les techniques utilisées par Aoki et Sakane fonctionnent de la même manière pour étudier cette fonction.

**Lemme 5.2.4.** Soit $w_1, ..., w_P \in \mathbb{Q}_*^+$ tels que $w_p = \frac{a_p}{b_p}$ avec $a_p$ et $b_p$ des entiers strictement positifs.
Pour tout multiple commun $\alpha$ à $b_1, ..., b_P$, et tout multiple commun $\beta$ à $\alpha w_1, ..., \alpha w_P$, on a

$$ \varphi_{\mathbf{R}}(s, \mathbf{d}|w_1, ..., w_P) = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^s \prod_{p=1}^{P} \beta_p^{R_p} \sum_{\substack{0 \le k_1 \le \beta_1 - 1 \\ 0 \le k_P \le \beta_P - 1}} \varphi_{\mathbf{R}} \left( s, \left( \frac{d_p + k_p}{\beta_p} \right)_{p \in [1, P]} |1 \right), \quad (5.6) $$

$$ \text{avec } \beta_1 = \frac{\beta}{\alpha w_1}, ..., \beta_P = \frac{\beta}{\alpha w_P}. $$

**Démonstration.** Soit $s \in \mathbb{C}$ tel que $\sigma \gg 1$. Pour obtenir le résultat souhaité, on découpera chaque somme

$$ \sum_{n_p=0}^{+\infty} \text{ par } \sum_{\substack{n_p=0 \\ n_p=k_p \text{ mod } \beta_p}}^{+\infty}, \text{ avec } k_p \text{ un entier variant dans l'ensemble } [0, \beta_p - 1]. \text{ On obtient alors que} $$

$$ \varphi_{\mathbf{R}}(s, \mathbf{d}|w_1, ..., w_P) = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{s\beta_1-1} \cdots \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{\beta_P-1} \sum_{\substack{n_p \in \mathbb{N}^P \\ \forall p, n_p = k_p \text{ mod } \beta_p}} \frac{\prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{R_p}}{\left(\frac{\alpha}{\beta}\sum_{p=1}^{P} (w_p d_p + w_p k_p + w_p(n_p - k_p))\right)^s}. $$

En effectuant un changement de variable de la forme $n'_p = \beta_p n_p + k_p$ pour tout entier $p$, on obtient

$$ \varphi_{\mathbf{R}}(s, \mathbf{d}|w_1, ..., w_P) = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{s\beta_1-1} \cdots \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{\beta_P-1} \sum_{\substack{k_1=0 \\ k_P=0}}^{n_p \in \mathbb{N}^P} \frac{\prod_{p=1}^{P} (\beta_p n_p + k_p + d_p)^{R_p}}{\left(\frac{\alpha}{\beta}\sum_{p=1}^{P} w_p d_p + w_p k_p + w_p \beta_p n_p\right)^s}. $$

En factorisant par $\beta_p^{R_p}$ au numérateur, et en remarquant que $\frac{\alpha w_p \beta_p}{\beta} = 1$, on a

$$ \varphi_{\mathbf{R}}(s, \mathbf{d}|w_1, ..., w_P) = \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^s \prod_{p=1}^{P} \beta_p^{R_p} \sum_{k_1=0}^{\beta_1-1} \cdots \sum_{k_P=0}^{\beta_P-1} \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \frac{\prod_{p=1}^{P} \left(n_p + \frac{k_p+d_p}{\beta_p}\right)^{R_p}}{\left(\sum_{p=1}^{P} n_p + \frac{\alpha}{\beta} (w_p d_p + w_p k_p)\right)^s}. $$

Il ne reste qu'à observer que

$$ \frac{k_p + d_p}{\beta_p} = \frac{\alpha}{\beta} (w_p d_p + w_p k_p), $$

pour tout $1 \le p \le P$. On obtient donc la formule 5.6 pour tout $s \in \mathbb{C}$ tel que $\sigma \gg 1$. On peut alors étendre l'égalité sur tout $\mathbb{C}$ par prolongement analytique. $\square$

On peut préciser la formule 5.6 en choisissant un coefficient rationnel $\frac{\alpha}{\beta}$ plus agréable. On peut en effet considérer directement un tel coefficient rationnel qui dépendra directement des coefficients $w_1, ..., w_P$ ce qui facilitera grandement nos calculs explicites par la suite.

**Proposition 5.2.5.** Soit $\mathbf{d} \in H_0$ $w_1 = \frac{a_1}{b_1}, ..., w_P = \frac{a_P}{b_P}$ des rationnels avec $a_p, b_p > 0$ des entiers premiers entre eux pour tout $p \in [1, P]$. On pose $w := \frac{\text{ppcm}(a_1, ..., a_P)}{\text{pgcd}(b_1, ..., b_P)}$, et pour tout $p \in [1, P]$, on
pose $\beta_1 := \frac{w}{w_1}, ..., \beta_P := \frac{w}{w_P}$. Alors

$$ \varphi_{\mathbf{R}}(s, \mathbf{d}|w_1, ..., w_P) = w^{-s} \prod_{p=1}^{P} \beta_p^{R_p} \sum_{\substack{0 \le k_1 \le \beta_1 - 1 \\ 0 \le k_P \le \beta_P - 1}} \varphi_{\mathbf{R}} \left( s, \left( \frac{d_p + k_p}{\beta_p} \right)_{p \in [1, P]} |\mathbf{1} \right). $$

*Démonstration.* On pose $\alpha = \text{ppcm}(b_1, ..., b_P)$ et $\beta = \text{ppcm}(\alpha w_1, ..., \alpha w_P)$. Par [SA22, p.3], on sait que $\frac{\alpha}{\beta} = w^{-1}$. On a alors qu’à utiliser la formule 5.6 avec le $\alpha$ et le $\beta$ fixés ci-dessus. $\square$

Finalement, on obtient une formule similaire à celle démontrée par [Ono21, Proposition 4.1] pour réexprimer $\varphi_{\mathbf{R}}(s, \mathbf{d}|1, ..., 1)$, en modifiant très légèrement la preuve d’Onodera.

**Proposition 5.2.6.** *Soit $\mathbf{d} \in H_0^P$, $\mathbf{R} \in \mathbb{N}^P$, et $s \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{N}^*$. Alors on a*

$$ \varphi_{\mathbf{R}}(s, \mathbf{d}|\mathbf{1}) = \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} (-1)^{|\mathcal{P}|} \prod_{p \in \mathcal{P}} R_p! \sum_{\substack{\mathbf{k} \in \mathbb{N}^P, k' \ge 0 \\ |\mathbf{k}|_{\mathcal{P}} + k' = |\mathbf{R}|_{\mathcal{P}} + |\mathcal{P}^c| - 1}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \frac{\zeta(s - k', |\mathbf{d}|)}{k'!} \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{\zeta(-R_p - k_p, d_p)}{k_p!}. $$

Pour démontrer cette formule, on utilisera un lemme d’Onodera [Ono21, Lemme 4.2] qui est une généralisation de la formule de Faulhaber suivante

$$ \sum_{n=1}^{y} n^r = \frac{1}{r+1} \sum_{k=0}^{r} \binom{r+1}{k} (-1)^k B_k y^{r-k+1}. $$

**Lemme 5.2.7.** [*Ono21*] *Soit $\mathbf{R} = (R_1, ..., R_P) \in \mathbb{N}^P$ des entiers positifs, et $y \in \mathbb{Z}$ un entier relatif. Alors on a*

$$ \sum_{\substack{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P \\ |\mathbf{n}| = y}} \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{R_p} + (-1)^{P-1} \sum_{\substack{\mathbf{n} \in \mathbb{Z}^P \\ |\mathbf{n}| = y}} \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{R_p} = \\ \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} R_p! \sum_{\substack{\mathbf{k} \in \mathbb{N}^P, k' \in \mathbb{N} \\ |\mathbf{k}| + k' = |\mathbf{R}|_{\mathcal{P}^c} + |\mathcal{P}^c| - 1}} \frac{(|\mathbf{d}| + y)^{k'}}{k'!} \prod_{p \in \mathcal{P}} (-1)^{k_p} \frac{\zeta(-R_p - k_p, d_p)}{k_p!} $$

On remarque au passage que si $y \in \mathbb{N}$, alors le second terme à gauche de l’égalité du terme précédent est nul. On peut maintenant prouver la Proposition 5.2.6 :

*Démonstration.* On commence par remarquer que, pour tout $s \in \mathbb{C}$ tel que $\sigma \gg 1$, on a

$$ \varphi_{\mathbf{R}}(s, \mathbf{d}|\mathbf{1}) = \sum_{n'=0}^{+\infty} \frac{1}{(n' + |\mathbf{d}|)^s} \sum_{\substack{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P \\ |\mathbf{n}| = n'}} \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{R_p}. $$

Par le Lemme 5.2.7, on obtient alors

$$ \begin{align*} \varphi_{\mathbf{R}}(s, \mathbf{d}|\mathbf{1}) &= \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} R_p! \sum_{\substack{\mathbf{k} \in \mathbb{N}^P, k' \in \mathbb{N} \\ |\mathbf{k}| + k' = |\mathbf{R}|_{\mathcal{P}^c} + |\mathcal{P}^c| - 1}} (-1)^{k_p} \frac{\zeta(-R_p - k_p, d_p)}{k_p!} \sum_{n'=0}^{+\infty} \frac{(n' + |\mathbf{d}|)^{k'}}{k'!} \frac{1}{(n' + |\mathbf{d}|)^s} \\ &= \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} R_p! \sum_{\substack{\mathbf{k} \in \mathbb{N}^P, k' \in \mathbb{N} \\ |\mathbf{k}| + k' = |\mathbf{R}|_{\mathcal{P}^c} + |\mathcal{P}^c| - 1}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{\zeta(-R_p - k_p, d_p)}{k_p!} \right) \frac{\zeta(s - k', |\mathbf{d}|)}{k'!} \end{align*} $$

$\square$
En appliquant la Proposition 5.2.6 à la formule obtenue dans la Proposition 5.2.5, on obtient la proposition suivante :

**Proposition 5.2.8.** Soit $\mathbf{d} \in H_0^P$, $\mathbf{R} \in \mathbb{N}^P$, et $s \in \mathbb{C}\backslash\mathbb{N}^*$, et $w_1 = \frac{a_1}{b_1}, ..., w_P = \frac{a_P}{b_P}$ des rationnels avec $a_p, b_p > 0$ des entiers premiers entre eux pour tout $p \in \llbracket 1, P \rrbracket$. On pose $w := \frac{\text{ppcm}(a_1, ..., a_P)}{\text{pgcd}(b_1, ..., b_P)}$, et pour tout $p \in \llbracket 1, P \rrbracket$, on pose $\beta_1 := \frac{w}{w_1}, ..., \beta_P := \frac{w}{w_P}$. Alors on a

$$ \varphi_{\mathbf{R}}(s, \mathbf{d}|w_1, ..., w_P) = w^{-s} \prod_{p=1}^{P} \beta_p^{R_p} \sum_{\substack{0 \le u_1 \le \beta_1 - 1 \\ 0 \le u_P \le \beta_P - 1}} \sum_{\mathcal{P} \subseteq \llbracket 1, P \rrbracket} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} R_p! \sum_{\substack{\mathbf{k} \in \mathbb{N}^P, k' \in \mathbb{N} \\ |\mathbf{k}| + k' = |\mathbf{R}|_{|\mathcal{P}^c|} + |\mathcal{P}^c| - 1}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{\zeta\left(-R_p - k_p, \frac{d_p + u_p}{\beta_p}\right)}{k_p!} \cdot \frac{\zeta(s - k', w^{-1}(w_1(d_1 + u_1) + \dots + w_P(d_P + u_P)))}{k'!} $$

## 5.3 Démonstration du Théorème D

Soit $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$, $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in \mathbb{R}_+^P \times \mathbb{R}_+^{Q^c}$. Par la Proposition 2.2.4, on a pour tout complexe $s$ au voisinage de 0, et pour tout $0 < \theta \ll 1$,

$$ Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(s) = K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s) + J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s), $$

avec

$$ K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s) = \sum_{\mathcal{Q} \subseteq \llbracket 1, Q \rrbracket} \sum_{Q \neq \emptyset} (-1)^{|Q^c| - |A_Q|} \frac{1}{\prod_{q \in \llbracket 1, Q \rrbracket \setminus A_Q} \Gamma(-N_q' + \mu_q's)} \left( \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{N_p - \mu_p s} \cdot \prod_{q \in A_Q} (l_q(\mathbf{n}) + d_q')^{N_q' - \mu_q's} \prod_{q \in \llbracket 1, Q \rrbracket \setminus A_Q} \Gamma(-N_q' + \mu_q's, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d_q') \right) $$

et

$$ J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s) = \sum_{\mathcal{P} \subseteq \llbracket 1, P \rrbracket} \sum_{j=1}^{Q} \prod_{p \in \mathcal{P}} \Gamma(1 + N_p - \mu_p s) \cdot \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{P^c}} (-1)^{|\mathbf{k}|} h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(s) \frac{\theta(|\boldsymbol{\mu}'|+|\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|_{\mathcal{P}^c}}{\Gamma(-N_j' + \mu_j's)((|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|_{\mathcal{P}^c})} \cdot \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p + \mu_p s - k_p, d_p)}{k_p!} + \left( \prod_{p=1}^{P} \Gamma(1 + N_p - \mu_p s) \right) \left( \sum_{j=1}^{Q} h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\llbracket 1, P \rrbracket, j}(s) \frac{\theta(|\boldsymbol{\mu}'|+|\boldsymbol{\mu}|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}| - P}{\Gamma(-N_j' + \mu_j's)((|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}| - P)} \right). $$

**Proposition 5.3.1.** Soit $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$, $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in \mathbb{R}_+^P \times \mathbb{R}_+^{Q^c}$. Il existe une fonction $K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^*(\theta)$ définie pour $0 < \theta \ll 1$, tel que

$$ \forall 0 < \theta \ll 1, \quad K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^*(\theta) = \beta \ln(\theta) + \sum_{n=m}^{+\infty} \alpha_n \theta^n, $$
avec $m \in \mathbb{Z}$ un entier, un complexe $\beta \in \mathbb{C}$ et une suite de complexes $(\alpha_n)_{n \in [m, +\infty[}$ vérifiant $\alpha_0 = 0$, et vérifiant l'égalité suivante :

$$
\partial_s K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)_{s=0} = \tag{5.7}
$$

$$
\begin{align*}
& \sum_{j=1}^{Q} \mu_j' \quad \sum_{\substack{\mathbf{u}=(\mathbf{u}_q)_{q \in [1,Q]} \setminus \{j\} \in (\mathbb{N}^P)^{[1,Q]} \setminus \{j\} \\ \forall q \in [1,Q] \setminus \{j\}, |\mathbf{u}_q|=N'_q}} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} \binom{N'_q}{\mathbf{u}_q} \prod_{p=1}^{P} c_{q,p}^{\mathbf{u}(p)} \partial_s \varphi_{(N_p+\mathbf{u}(p))_{p \in [1,P]}}^{j} (s)|_{s=-N'_j} \\
& \quad - \sum_{j=1}^{Q} (\gamma - h_{N'_j}) \mu_j' N'_j! \quad \sum_{\substack{\mathbf{u}=(\mathbf{u}_q)_{q \in [1,Q]} \setminus \{j\} \in (\mathbb{N}^P)^{[1,Q]} \setminus \{j\} \\ \forall q \in [1,Q] \setminus \{j\}, |\mathbf{u}_q|=N'_q}} \left( \left( \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} \binom{N'_q}{\mathbf{u}_q} \prod_{p=1}^{P} c_{q,p}^{\mathbf{u}(p)} \right) \right. \\
& \qquad \left. \cdot \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,P]} (-1)^{|\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})|_{\mathcal{P}} + |\mathcal{P}|} \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{-\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})_p - 1} \mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})_p! \quad \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=N'_j + |\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})|_{\mathcal{P}} + |\mathcal{P}|}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \frac{\zeta(-\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})_p - k_p, d_p)}{k_p!} \right) \\
& \quad + K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^*(\theta).
\end{align*}
$$

Démonstration. En dérivant le terme $K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$ par rapport à $s$ dans la formule 2.4, on obtient

$$
\partial_s K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s) = \tag{5.8}
$$

$$
\begin{align*}
& \sum_{\mathcal{Q} \subset [1, Q]} \sum_{\mathcal{Q} \neq \emptyset} (-1)^{|\mathcal{Q}^c| - |\mathcal{A}_\mathcal{Q}|} \partial_s \left( \prod_{q \in [1, Q] \setminus \mathcal{A}_\mathcal{Q}} \frac{1}{\Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \right) \left( \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^P (n_p + d_p)^{N_p - \mu_p s} \right. \\
& \qquad \left. \cdot \prod_{q \in \mathcal{A}_\mathcal{Q}} (l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{N'_q - \mu'_q s} \prod_{q \in [1, Q] \setminus \mathcal{A}_\mathcal{Q}} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_q) \right) \\
& + \sum_{\mathcal{Q} \subset [1, Q]} \sum_{\mathcal{Q} \neq \emptyset} (-1)^{|\mathcal{Q}^c| - |\mathcal{A}_\mathcal{Q}|} \prod_{q \in [1, Q] \setminus \mathcal{A}_\mathcal{Q}} \frac{1}{\Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \partial_s \left( \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^P (n_p + d_p)^{N_p - \mu_p s} \right. \\
& \qquad \left. \cdot \prod_{q \in \mathcal{A}_\mathcal{Q}} (l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{N'_q - \mu'_q s} \prod_{q \in [1, Q] \setminus \mathcal{A}_\mathcal{Q}} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_q) \right).
\end{align*}
$$

A l'aide de l'inégalité 2.12, on a vu dans la preuve de la Proposition 2.3.11 que la fonction

$$
s \in \mathbb{C} \mapsto \left( \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{N_p - \mu_p s} \prod_{q \in \mathcal{A}_Q} (l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{N'_q - \mu'_q s} \prod_{q \in [1, Q] \setminus \mathcal{A}_Q} \Gamma(-N'_q + \mu'_q s, \theta, l_q(\mathbf{n}) + d'_q) \right)
$$

était holomorphe sur $\mathbb{C}$. Comme $s \mapsto \frac{1}{\Gamma(s)}$ s'annule en les entiers négatifs, on en déduit que le second terme de 5.8 s'annule en $s = 0$. De plus, on sait que, au voisinage de 0,

$$
\frac{1}{\Gamma(-N'_{q} + \mu'_{q}s)} = O(s),
$$
On en déduit que, pour tout $\emptyset \neq Q \subset [1, Q]$ et pour tout $A_Q \subset Q^c$, on a

$$ \prod_{q \in [1, Q] \setminus A_Q} \frac{1}{\Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} = \begin{cases} O(s^2) & \text{si } |Q| \ge 2, \\ O(s) & \text{si } Q = \{j\}, A_Q = [1, Q] \setminus \{j\} \text{ avec } j \in [1, Q], \\ O(s^2) & \text{sinon.} \end{cases} $$

Ainsi, on en déduit que si $|Q| \ge 2$, alors

$$ \partial_s \left( \prod_{q \in [1, Q] \setminus A_Q} \frac{1}{\Gamma(-N'_q + \mu'_q s)} \right)_{s=0} = 0. $$

On trouve alors

$$ \partial_s K_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}(\theta, s)_{s=0} = \sum_{j=1}^{Q} \partial_s \left( \frac{1}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)} \right)_{s=0} \left( \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \Gamma(-N'_j, \theta, l_j(\mathbf{n}) + d'_j) \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{N_p} \cdot \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} (l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{N'_q} \right). $$

Par le Lemme 3.1.1, on a que

$$ \partial_s \left( \frac{1}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)} \right)_{s=0} = (-1)^{N'_j} N'_j! \mu'_j. $$

On obtient alors

$$ \partial_s K_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}(\theta, s)_{s=0} = \sum_{j=1}^{Q} \mu'_j (-1)^{N'_j} N'_j! \left( \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \Gamma(-N'_j, \theta, l_j(\mathbf{n}) + d'_j) \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{N_p} \cdot \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} (l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{N'_q} \right) $$

Pour tout $q \in [1, Q]$, $\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P$, on a $l_q(\mathbf{n}) + d'_q = \sum_{p=1}^{P} c_{q,p}(n_p + d_p)$. Ainsi par le multinôme de Newton, on obtient

$$ (l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{N'_q} = \sum_{\substack{\mathbf{u_q} \in \mathbb{N}^P \\ |\mathbf{u_q}| = N'_q}} \left( \binom{N'_q}{\mathbf{u_q}} \right) \prod_{p=1}^{P} c_{q,p}^{u_{q,p}} (n_p + d_p)^{u_{q,p}}. $$

En effectuant le produit sur $q \in [1, Q] \setminus \{j\}$, on trouve

$$ \begin{aligned} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} (l_q(\mathbf{n}) + d'_q)^{N'_q} &= \sum_{\substack{\mathbf{u}=(\mathbf{u_q})_{q \in [1,Q] \setminus \{j\}} \in (\mathbb{N}^P)^{[1,Q] \setminus \{j\}} \\ \forall q \in [1,Q] \setminus \{j\}, |\mathbf{u_q}|=N'_q}} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} \left( \binom{N'_q}{\mathbf{u_q}} \right) \prod_{p=1}^{P} c_{q,p}^{u_{q,p}} (n_p + d_p)^{u_{q,p}} \\ &= \sum_{\substack{\mathbf{u}=(\mathbf{u_q})_{q \in [1,Q] \setminus \{j\}} \in (\mathbb{N}^P)^{[1,Q] \setminus \{j\}} \\ \forall q \in [1,Q] \setminus \{j\}, |\mathbf{u_q}|=N'_q}} \left( \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} \binom{N'_q}{\mathbf{u_q}} \right) \prod_{p=1}^{P} c_{q,p}^{u_{q,p}} \left( \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{\mathbf{u}(p)} \right), \end{aligned} $$
où l'on a noté

$$ \mathbf{u}(p) = \sum_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} u_{q,p}. $$

On obtient finalement

$$ \partial_s K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)_{s=0} = \sum_{j \in [1,Q]} \mu_j' (-1)^{N_j' N_j'}! \sum_{\substack{\mathbf{u}=(\mathbf{u}_q)_{q \in [1,Q]} \setminus \{j\} \in (\mathbb{N}^P)^{[1,Q] \setminus \{j\}} \\ \forall q \in [1,Q] \setminus \{j\}, |\mathbf{u}_q|=N_q', |\mathbf{u}_q|=N_q''}} \prod_{q=1}^{Q} \prod_{q \neq j}^{P} \binom{N_q'}{\mathbf{u}_q} \prod_{p=1}^{P} c_{q,p}^{u_{q,p}} \left( \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \Gamma(-N_j', \theta, l_j(\mathbf{n}) + d_j') \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{N_p+\mathbf{u}(p)} \right). \quad (5.9) $$

On sait par la formule (5.2) que, pour tout $m \in \mathbb{N}$,

$$ (-1)^m m! \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \Gamma(-m, \theta, l_j(\mathbf{n}) + d_j') \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{R_p} = \partial_s \varphi_{\mathbf{R}}^j(s)|_{s=-m} - \partial_s J_{\mathbf{R}}^j(\theta, s)|_{s=-m}. $$

En substituant $(-1)^m m! \sum_{\mathbf{n} \in \mathbb{N}^P} \Gamma(-m, \theta, l_j(\mathbf{n}) + d_j') \prod_{p=1}^{P} (n_p + d_p)^{R_p}$ dans 5.9 par la formule obtenue précédemment, on obtient

$$ \partial_s K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)_{s=0} = \sum_{j=1}^{Q} \mu_j' \sum_{\substack{\mathbf{u}=(\mathbf{u}_q)_{q \in [1,Q]} \setminus \{j\} \in (\mathbb{N}^P)^{[1,Q] \setminus \{j\}} \\ \forall q \in [1,Q] \setminus \{j\}, |\mathbf{u}_q|=N_q', |\mathbf{u}_q|=N_q''}} \prod_{q=1}^{Q} \binom{N_q'}{\mathbf{u}_q} \prod_{p=1}^{P} c_{q,p}^{u_{q,p}} \quad (5.10) \\ \left( \partial_s \varphi_{(N_p+\mathbf{u}(p))_{p \in [1,P]}}^j(s) \right)_{s=-N_j'} - \partial_s J_{(N_p+\mathbf{u}(p))_{p \in [1,P]}}^j(\theta, s) \Big|_{s=-N_j'} \right). $$

On rappelle que l'on a posé $\mathbf{R}(\mathbf{N}, j, \mathbf{u}) = (N_p + \mathbf{u}(p))_{p \in [1,P]}$ pour tout $\mathbf{u} = (\mathbf{u}_q)_{q \in [1,Q] \setminus \{j\}}$ dans les notations du Théorème D. Par la formule (5.5), on a

$$ \partial_s J_{\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})}^j(\theta, s)_{s=-N_j'} = (\gamma - h_{N_j'}) N_j'! \sum_{\mathcal{P} \subset [1,P]} (-1)^{|\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})|_{\mathcal{P}} + |\mathcal{P}|} \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{-R(\mathbf{N},j,\mathbf{u})_p - 1} R(\mathbf{N},j,\mathbf{u})_p! \\ \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}} \\ |\mathbf{k}|=N_j' + |\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})|_{\mathcal{P}} + |\mathcal{P}|}} \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{k_p} \frac{\zeta(-\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})_p - k_p, d_p)}{k_p!} \quad (5.11) \\ + J_{\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})}^{*j}(\theta, -N_j'). $$

On pose pour $0 < \theta \ll 1$,

$$ K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^{*}(\theta) := - \sum_{j=1}^{Q} \mu_j' \sum_{\substack{\mathbf{u}=(\mathbf{u}_q)_{q \in [1,Q]} \setminus \{j\} \in (\mathbb{N}^P)^{[1,Q] \setminus \{j\}} \\ \forall q \in [1,Q] \setminus \{j\}, |\mathbf{u}_q|=N_q''}} J_{\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})}^{*j}(\theta, -N_j') \prod_{q=1}^{Q} \binom{N_q'}{\mathbf{u}_q} \prod_{p=1}^{P} c_{q,p}^{u_{q,p}}. $$

Par construction des $J_{\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})}^{*j}(\theta, -N_j')$, observons que $K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^{*}(\theta)$ est de la forme $\sum_{n \ge m} \alpha_n \theta^n + \beta \ln(\theta)$ avec $\alpha_n$ et $\beta$ des complexes pour tout $n \ge m$, et $\alpha_0 = 0$. En injectant 5.11 dans 5.10, on trouve alors la
formule désirée :

$$
\partial_s K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)_{s=0} = \tag{5.12}
$$

$$
\begin{align*}
& \sum_{j=1}^{Q} \mu_j' \quad \sum_{\substack{\mathbf{u}=(\mathbf{u}_q)_{q \in [1,Q]} \setminus \{j\} \in (\mathbb{N}^P)^{[1,Q]} \setminus \{j\} \\ \forall q \in [1,Q] \setminus \{j\}, |\mathbf{u}_q|=N'_q}} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} \binom{N'_q}{\mathbf{u}_q} \prod_{p=1}^{P} c_{q,p}^{u_{q,p}} \partial_s \varphi^{j}_{(N_p+\mathbf{u}(p))_{p \in [1,P]}} (s)|_{s=N'_j} \\
& \qquad - \sum_{j=1}^{Q} \mu_j' \quad \sum_{\substack{\mathbf{u}=(\mathbf{u}_q)_{q \in [1,Q]} \setminus \{j\} \in (\mathbb{N}^P)^{[1,Q]} \setminus \{j\} \\ \forall q \in [1,Q] \setminus \{j\}, |\mathbf{u}_q|=N'_q}} \left( \left( \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} \binom{N'_q}{\mathbf{u}_q} \right) \prod_{p=1}^{P} c_{q,p}^{u_{q,p}} (-1)^{N'_j} N'_j! (\gamma - h_{N'_j}) \right) \\
& \qquad \cdot \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,P]} (-1)^{|\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})|_{||\mathcal{P}|} + |\mathcal{P}|} \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{-R(\mathbf{N},j,\mathbf{u})_p - 1} R(\mathbf{N},j,\mathbf{u})_p! \quad \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=N'_j + |\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})|_{||\mathbf{P}|} + |\mathcal{P}|}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \frac{\zeta(-\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})_p - k_p, d_p)}{k_p!} \\
& \qquad + K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^*(\theta)_{\mu,\mu'}.
\end{align*}
$$

□

Il ne reste qu’à calculer les valeurs de $\partial_s(J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s))$ en $s = 0$ afin de prouver le Théorème D.

**Proposition 5.3.2.** *Soit $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$, et $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in \mathbb{R}^{+P} \times \mathbb{R}_*^{+Q}$. Il existe une fonction $J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^{*}(\boldsymbol{\theta})$ définie pour $0 < \boldsymbol{\theta} \ll 1$, tel que*

$$
\forall 0 < \theta \ll 1, \quad J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^*(\theta) = \beta \ln(\theta) + \sum_{n=m}^{+\infty} \alpha_n \theta^n,
$$

avec $m \in \mathbb{Z}$ un entier, un complexe $\beta \in \mathbb{R}$ et une suite de complexes $(\alpha_n)_{n \in [m, +\infty[}$ tel que $\alpha_0 = 0$, et
vérifiant l'égalité suivante pour tout $0 < \theta \ll 1$ :

$$
\partial_s J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s) = \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,P]} \sum_{j=1}^{Q} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=|\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}_{||\mathcal{P}}|+|\mathcal{P}|}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) (-1)^{|\mathbf{k}|+N'_j} \frac{\mu'_j}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{||\mathcal{P}}}
$$
$$
\prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!} \tag{5.13}
$$

$$
\begin{align*}
& \cdot \left( Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \left( \sum_{p \in \mathcal{P}} \mu_p(\gamma - h_{N_p}) + \mu'_j(\gamma - h_{N'_j}) \right) + Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^1(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \right) \\
& + \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,P]} \sum_{j=1}^Q \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) (-1)^{|\mathbf{N}'| + |\mathbf{N}_{||\mathcal{P}}| + |\mathcal{P}| + N'_j} \frac{\mu'_j N'_j!}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{||\mathcal{P}}}
\sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=|\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}_{||\mathcal{P}}|+|\mathcal{P}|}} Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \\
& \cdot \left( \sum_{i \in \mathcal{P}^c} \mu_i \frac{\zeta'(-N_i - k_i, d_i)}{k_i!} \prod_{p \in \mathcal{P}^c \setminus \{i\}} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!} \right) \\
& + J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^*(\theta)_{\mu,\mu'}.
\end{align*}
$$
Démonstration. Rappelons les notations suivantes :

$$
Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^{0}(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) := h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(0)
$$

$$
Q_{\mu, \mu'}^{1}(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) := \partial_{s} (h_{\mathbf{N}, \mathbf{N}', \mathcal{P}, j, \mathbf{k}}(s))|_{s=0},
$$

pour $j \in [1, Q]$, $\mathcal{P} \subsetneq [1, P]$, $\mathbf{k} = (k_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}$.

Notons $T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(\theta, s)$ le terme général de la série présente dans 2.5 :

$$
T_{\mathbf{N}, \mathbf{N}', \mathcal{P}, j, \mathbf{k}}(\theta, s) = \frac{\left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \Gamma(1 + N_p - \mu_p s) \right) \sum_{\mathbf{k} = (k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}} (-1)^{|\mathbf{k}|} h_{\mathbf{N}, \mathbf{N}', \mathcal{P}, j, \mathbf{k}}(s) \theta^{(|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|}}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s) ((|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|) \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p + \mu_p s - k_p, d_p)}{k_p!}},
$$

pour tout $j \in [1, Q]$, $\mathcal{P} \subsetneq [1, P]$, et $\mathbf{k} = (k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}$. On évalue la formule 2.29 en $s = 0$ pour
réexprimer $\partial_s (J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s))_{s=0}$. On obtient

$$
\partial_s (J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)) = \sum_{\mathcal{P} \subset [1,P]} \sum_{j=1}^{Q} \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c}} \partial_s T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(\theta, s))_{s=0} \quad (5.14) \\
\qquad + \partial_s \left( \prod_{p=1}^{P} \Gamma(1+N_p - \mu_p s) \sum_{j=1}^{Q} h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',[1,P],j}(s) \frac{\theta^{(|\boldsymbol{\mu}'|+|\boldsymbol{\mu}|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|-P}}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)((|\boldsymbol{\mu}'|+|\boldsymbol{\mu}|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|-P)} \right)_{s=0}
$$

Étudions tout d'abord le second terme de cette somme. Remarquons que, en $s = 0$, la fonction
$$ \frac{1}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)((|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|-P)} $$ s'annule. On obtient alors

$$
\partial_s \left( \prod_{p=1}^{P} \Gamma(1 + N_p - \mu_p s) \sum_{j=1}^{Q} h_{\mathbf{N}, \mathbf{N}', [1,P], j}(s) \frac{\theta^{(|\boldsymbol{\mu}'|+|\boldsymbol{\mu}|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|-P}}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)((|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|-P)} \right)_{s=0} = \\
\qquad \prod_{p=1}^{P} N_p! \sum_{j=1}^{Q} h_{\mathbf{N}, \mathbf{N}', [1,P], j}(0) \theta^{-|\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|-P} \partial_s \left( \frac{1}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)((|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|-P)} \right)_{s=0}.
$$

Par le lemme 3.1.1, on a

$$
\partial_s \left( \frac{1}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)((|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|-P)} \right)_{s=0} = (-1)^{N'_j+1} N'_j! \frac{\mu'_j}{|\mathbf{N}'| + |\mathbf{N}| + P}.
$$

On trouve alors

$$
\partial_s \left( \prod_{p=1}^{P} \Gamma(1 + N_p - \mu_p s) \sum_{j=1}^{Q} h_{\mathbf{N}, \mathbf{N}', [1,P], j}(s) \frac{\theta^{(|\boldsymbol{\mu}'|+|\boldsymbol{\mu}|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|-P}}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)((|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|)s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|-P)} \right)_{s=0} = \\
\left( \prod_{p=1}^{P} N_p! \sum_{j=1}^{Q} h_{\mathbf{N}, \mathbf{N}', [1,P], j}(0) (-1)^{N'_j+1} N'_j! \frac{\mu'_j}{|\mathbf{N}'| + |\mathbf{N}| + P} \right) \theta^{-|\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|-P}.
$$
On inclura le terme précédent à l'expression de $J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^*(\theta)$, puisque $-|\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}| - P \neq 0$.

Étudions à présent la dérivée du terme général $T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(\theta, s))$ en $s = 0$.

• Si $|\mathbf{k}| \neq |\mathbf{N}'| + |\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} + |\mathcal{P}|$, alors la fonction
$$ \frac{1}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)((|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|)} $$
s'annule en $s = 0$. On trouve alors

$$
\partial_s (T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(\theta, s))_{s=0} = \\
\left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) (-1)^{|\mathbf{k}|} h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(0) \theta^{-|\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|_{\mathcal{P}}-|\mathcal{P}|+|\mathbf{k}|} \\
\partial_s \left( \frac{1}{\Gamma(-N'_j + \mu'_j s)((|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|)} \right) \prod_{s=0}^{N_c} \frac{\zeta(-N_p + \mu_p s - k_p, d_p)}{k_p!}.
$$

Via le Lemme 3.1.1, on obtient

$$
\partial_s (T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(\theta, s))_{s=0} = \\
\left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) (-1)^{|\mathbf{k}|} h_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(0) \theta^{-|\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|_{\mathcal{P}}-|\mathcal{P}|+|\mathbf{k}|} (-1)^{N'_j} N'_j! \frac{\mu'_j}{-|\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|_{\mathcal{P}}-|\mathcal{P}|+|\mathbf{k}|} \\
\prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p + \mu_p s - k_p, d_p)}{k_p!}.
$$

On remarque que la puissance de $\theta$ dans le terme précédent est non nul. On inclura donc tous les termes de la forme $\partial_s(T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(\theta, s))_{s=0}$ tel que $|\mathbf{k}| \neq |\mathbf{N}'| + |\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} + |\mathcal{P}|$ dans l'expression de $J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^*(\theta)$.

• Si $|\mathbf{k}| = |\mathbf{N}'| + |\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} + |\mathcal{P}|$, alors par le Lemme 3.1.1, on a

$$
\left( \frac{1}{\Gamma(-N'_{j} + \mu'_{j}s)((|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|)} \right)_{|s=0} = (-1)^{N'_{j}} \frac{\mu'_{j}}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} N'_{j}! \\
\partial_s \left( \frac{1}{\Gamma(-N'_{j} + \mu'_{j}s)((|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}})s - |\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}|_{\mathcal{P}} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|)} \right)_{|s=0} = (-1)^{N'_{j}} \frac{\mu'^{2}_{j}}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} N'_{j}!(\gamma - h_{N'_{j}}).
$$
En dérivant par rapport à $s$ le terme général $T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(\theta, s)$, on a

$$
\begin{align*}
\partial_s (T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(\theta, s))_{s=0} = & - \left( \sum_{i \in \mathcal{P}} \mu_i \Gamma'(1+N_i) \prod_{p \in \mathcal{P} \setminus \{i\}} N_p! \right) (-1)^{|\mathbf{k}|} Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) (-1)^{N_j'} \frac{\mu_j'}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}'} N_j'! \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!}, \\
& + \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) (-1)^{|\mathbf{k}|} Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^1(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) (-1)^{N_j'} \frac{\mu_j'}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}'} N_j'! \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!}, \\
& + \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) (-1)^{|\mathbf{k}|} Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) (|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}) \ln(\theta) (-1)^{N_j'} \frac{\mu_j'}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}'} N_j'! \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!}, \\
& + \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) (-1)^{|\mathbf{k}|} Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) (-1)^{N_j'} \frac{\mu_j'^2}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}'} N_j'!(\gamma - h_{N_j'}) \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!} \\
& + \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) (-1)^{|\mathbf{k}|} Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) (-1)^{N_j'} \frac{\mu_j'}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}'} N_j'! \left( \sum_{i \in \mathcal{P}^c} \mu_i \frac{\zeta'(-N_i - k_i, d_i)}{k_i!} \prod_{p \in \mathcal{P}^c \setminus \{i\}} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!} \right),
\end{align*}
$$

On sait que $\Gamma'(1 + N_p) = N_p'!(-\gamma + h_{N_p}')$. On peut réduire l'expression précédente sous une forme plus pratique à manipuler.

$$
\begin{align*}
\partial_s (T_{\mathbf{N},\mathbf{N}',\mathcal{P},j,\mathbf{k}}(\theta, s))_{s=0} = & \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) (-1)^{|\mathbf{k}|+N_j'} \frac{\mu_j' N_j'!}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!} \\
& \cdot \left( Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \left( \mu_j'(\gamma - h_{N_j'}) - \sum_{p \in \mathcal{P}} \frac{\mu_p \Gamma'(1+N_p)}{N_p!} \right) + Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^1(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \right) \\
& + \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) (-1)^{|\mathbf{k}|} Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) (-1)^{N_j'} \frac{\mu_j' N_j'!}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} \left( \sum_{i \in \mathcal{P}^c} \mu_i \frac{\zeta'(-N_i - k_i, d_i)}{k_i!} \prod_{p \in \mathcal{P}^c \setminus \{i\}} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!} \right), \\
& + \left( \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) (-1)^{|\mathbf{k}|+N_j'} Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \mu_j' N_j'! \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!} \right) \ln(\theta).
\end{align*}
$$

On inclura le terme en $\ln(\theta)$ dans l'expression de $J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^{*}(\theta)$.
$\mu, \mu'$
On pose $J^*_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta)$ tel que

$$
\begin{align*}
J^*_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta) = & \left( \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,P]} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) \sum_{\substack{Q \\ j=1}} \mu_j' N_j'! \sum_{\substack{k=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=|\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}_{||\mathcal{P}||}+|\mathcal{P}|}} (-1)^{|\mathbf{k}|+N_j'} Q^0_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!} \right) \ln(\theta) \\
& + \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,P]} \sum_{\substack{Q \\ j=1}} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}| \neq |\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}_{||\mathcal{P}||}+|\mathcal{P}|}} \left( \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) (-1)^{|\mathbf{k}|} Q^0_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) (-1)^{N_j' N_j!} \frac{\mu_j'}{-|\mathbf{N}'| - |\mathbf{N}_{||\mathcal{P}||} - |\mathcal{P}| + |\mathbf{k}|} \right. \\
& \qquad \left. \cdot \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p + \mu_p s - k_p, d_p)}{k_p!} \right) \theta^{-|\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}_{||\mathcal{P}||}-|\mathcal{P}|+|\mathbf{k}|} \\
& + \left( \prod_{p=1}^P N_p! \sum_{\substack{Q \\ j=1}} Q^0_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(j, [1,P]) (-1)^{N_j'+1} N_j'! \frac{\mu_j'}{|\mathbf{N}'| + |\mathbf{N}| + P} \right) \theta^{-|\mathbf{N}'|-|\mathbf{N}|-P}.
\end{align*}
$$

On découpe la série présente dans la formule 5.14 suivant que $|\mathbf{k}|$ soit égal ou non à $|\mathbf{N}'| + |\mathbf{N}_{||\mathcal{P}||} + |\mathcal{P}|$. Avec le terme $J^*_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta)$ que l'on vient de poser, on obtient alors la formule 5.13. $\square$

On observe que les séries $J^*_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta)$ et $K^*_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta)$ ont un terme constant nul, et que $\partial_s Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(s) = \partial_s J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s) + \partial_s K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)$. Comme $\partial_s(Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(s))_{s=0}$ ne dépend pas de $\theta$, on a par le lemme 3.1.3 que

$$
\partial_s(Z_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(s))|_{s=0} = \partial_s J_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s)|_{s=0} + \partial_s(K_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta, s))|_{s=0} - K^*_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta) - J^*_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta),
$$

pour tout $0 < \theta \ll 1$. On en déduit alors le Théorème D.

On obtient également dans le même temps le Théorème C, qui correspond à une reformulation qualitative du Théorème D.

**Remarque 5.3.3.** De l'égalité $K^*_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta) + J^*_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta) = 0$ pour tout $0 < \theta \ll 1$, et du lemme 3.1.3, on en déduit que chaque coefficient dans la série de Laurent de $K^*_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta) + J^*_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}(\theta)$ s'annule, et le coefficient devant $\ln(\theta)$ s'annule aussi. On pourrait donc en déduire des relations entre les valeurs de $\zeta(-k, d_p)$, avec $k \in \mathbb{N}$ et $1 \le p \le P$.

5.4 Sur les corollaires du Théorème D

Pour démontrer les corollaires du Théorème D, il suffit d'utiliser la formule donnée par le théorème et de remplacer la direction ou les valeurs $-(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$ que l'on souhaite étudier.

5.4.1 Démonstration du Théorème C

Soit $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathbb{N}^P \times \mathbb{N}^Q$, et $(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\mu}') \in \mathbb{R}^{+P} \times \mathbb{R}_*^{+Q}$. Il s'agit ici de reprendre la formule obtenue pour $Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}'))$, et d'y étudier les termes qualitativement. On note $\mathbb{K}$ le corps engendré par $\mathbb{Q}$, par les coefficients complexes $(d_p)_{p \in [1, P]}$ et $(c_{q,p})_{p \in [1, P], q \in [1, Q]}$, et par les directions $(\mu_p)_{p \in [1, P]}$, $(\mu'_q)_{q \in [1, Q]}$.
Par le Théorème D, on a

$$
\begin{align*}
Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}')) = & \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,P]} \sum_{j=1}^{Q} (-1)^{|\mathbf{N}|+|\mathbf{N}'|+|\mathcal{P}|+N'_j} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) \frac{\mu'_j N'_j!}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=|\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}_{||\mathcal{P}}|+|\mathcal{P}|}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!} \\
& \cdot \left( Q_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \left( \sum_{p \in \mathcal{P}} \mu_p(\gamma - h_{N_p}) + \mu'_j(\gamma - h_{N'_j}) \right) + Q_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}^1(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \right) \\
& + \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,P]} \sum_{j=1}^{Q} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} N_p! \right) (-1)^{|\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}_{||\mathcal{P}}|+|\mathcal{P}|+N'_j} \frac{\mu'_j N'_j!}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=|\mathbf{N}'|+|\mathbf{N}_{||\mathcal{P}}|+|\mathcal{P}|}} Q_{\mathbf{N}, \mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \\
& \cdot \left( \sum_{i \in \mathcal{P}^c} \mu_i \frac{\zeta'(-N_i - k_i, d_i)}{k_i!} \prod_{p \in \mathcal{P}^c \setminus \{i\}} \frac{\zeta(-N_p - k_p, d_p)}{k_p!} \right) \\
& + \sum_{\substack{j=1 \\ \mathbf{u}=(\mathbf{u}_q)_{q \in [1,Q] \setminus \{j\}} \in (\mathbb{N}^P)^{[1,Q] \setminus \{j\}} \\ \forall q \in [1,Q] \setminus \{j\}, |\mathbf{u}_q|=N'_q}} \left( \prod_{q=1}^{Q} \binom{N'_q}{\mathbf{u}_q} \prod_{p=1}^{P} c_{q,p}^{u_{q,p}} \right) \partial_s \varphi_{\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})}^j(s)|_{s=-N'_j} \\
& - \sum_{\substack{j=1 \\ \mathbf{u}=(\mathbf{u}_q)_{q \in [1,Q] \setminus \{j\}} \in (\mathbb{N}^P)^{[1,Q] \setminus \{j\}} \\ \forall q \in [1,Q] \setminus \{j\}, |\mathbf{u}_q|=N'_q}} \left( \left( \prod_{q=1}^{Q} \binom{N'_q}{\mathbf{u}_q} \prod_{p=1}^{P} c_{q,p}^{u_{q,p}} \right) \partial_s \varphi_{\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})}^j(s) \right) \Biggr),
\end{align*}
$$

où l'on a posé

$$
\mathbf{R}(\mathbf{N}, j, \mathbf{u}) := (N_p + \mathbf{u}(p))_{p \in [1, P]},
$$

pour tout $\mathbf{u} = (\mathbf{u}_q)_{q \in [1,Q] \setminus \{j\}}$, et tout $j \in [1,Q]$,

$$
Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) = \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}^c} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c |\mathbf{w}_p|=k_p \\ \forall q \in [1,Q] \setminus \{j\}, N'_q=\mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)}} \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]} \setminus \{j\})^P \\ \forall q \in [1,Q] \setminus \{j\}, N'_q=\mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^{Q} c_{q,p}^{w_p,q} \right) \\
\cdot \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} c_{q,p}^{v_p,q} \right) \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} (-1)^{N'_q} N'_q!,
$$
et

$$
\begin{align*}
Q_{\mu, \mu'}^{1, \mathbf{N}, \mathbf{N}'}(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) ={}& (-1)^{|\mathbf{N}'| \cup [1, Q] \setminus \{j\}} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} N_q'! \sum_{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}} \atop \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p| = k_p} \sum_{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]} \setminus \{j\})^{\mathcal{P}} \atop \forall q \neq j, \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) = N_q'} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^{Q} c_{q,p}^{w_p,q} \right) \\
& \qquad \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p - 1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{|\mathbf{v}_p|} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} c_{q,p}^{w_p,q} \right) \left( \sum_{p \in \mathcal{P}} \mu_p (h_{N_p} - h_{N_p + |\mathbf{v}_p|}) + \sum_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} \mu_q' (\gamma - h_{N_q'}) \right) \\
& \qquad + (-1)^{|\mathbf{N}'| \cup [1, Q] \setminus \{j\}} \left( \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} N_q'! \right) \sum_{\substack{f=1 \\ f \neq j}}^{Q} \mu_f' \sum_{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}} \atop \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p| = k_p} \sum_{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]} \setminus \{j,f\})^{\mathcal{P}} \atop \forall q \neq j, f, \mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) = N_q'} \\
& \qquad \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^{Q} c_{q,p}^{w_p,q} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N_p - 1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{|\mathbf{v}_p|} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j, f}}^{Q} c_{q,p}^{w_p,q} \right) F_{\mathcal{P}, j, f, \mathbf{v}, \mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}'),
\end{align*}
$$

avec $F_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$ la constante posée dans la Proposition 1.3.2.

Observons tout d'abord que $Q_{\mathbf{N},\mathbf{N}'}^0(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \in \mathbb{K}$. De plus, les coefficients de la forme $F_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}')$ appartiennent à l'espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ engendré par les coefficients de la forme $\ln\left(1 + \frac{c_{q,p}}{c_{j,p}}\right)$ pour $1 \le q, j \le Q$ et $1 \le p \le P$, donc $F_{\mathcal{P},j,f,\mathbf{v},\mathbf{w}}(\mathbf{N}, \mathbf{N}') \in \mathrm{Vect}_{\mathbb{K}}\left[\left(\ln\left(1 + \frac{c_{q,p}}{c_{j,p}}\right)\right)_{\substack{a \le j, q \le Q \\ 1 \le p \le P}}\right]$. On trouve alors que

$$
Q_{\mu, \mu'}^{1, \mathbf{N}, \mathbf{N}'}(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \in \mathrm{Vect}_{\mathbb{K}} \left[ \gamma, \left( \ln \left( 1 + \frac{c_{q,p}}{c_{j,p}} \right) \right)_{\substack{a \le j, q \le Q \\ 1 \le p \le P}} \right].
$$

Comme les valeurs spéciales de la forme $\zeta(-N, d_p)$ sont dans le corps engendré $\mathbb{Q}$ et par les coefficients $d_1, \dots, d_P$, on a que ces valeurs de la fonction zêta de Hurwitz sont dans $\mathbb{K}$, on obtient que $Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}'))_{\mu, \mu'}$ appartient bien à l'espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ engendré par $\gamma$, par les coefficients de la forme $\ln\left(1 + \frac{c_{q,p}}{c_{j,p}}\right)$, par les valeurs spéciales aux entiers négatifs des dérivées des fonctions auxiliaires $\partial_s\varphi_{\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})}^j(s)_{|s=-N'_j}$ et par des valeurs spéciales aux entiers négatifs de la dérivée selon $s$ de la fonction zêta d'Hurwitz.

5.4.2 Démonstration du Corollaire C1

On utilise le fait que, lorsque les formes linéaires sont rationnels, on a par le Corollaire B1 une expression
de $\partial_s \varphi_{\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})}^j(s)|_{s=-N'_j}$ en fonction de la dérivée de la fonction zêta de Hurwitz. On remplace alors les
termes de la forme $\partial_s \varphi_{\mathbf{R}(\mathbf{N},j,\mathbf{u})}^j(s)|_{s=-N'_j}$ dans le Théorème C, par des termes de la forme $\zeta'(-n, y)$.

5.4.3 Démonstration du Corollaire D1

On obtient le Corollaire D1 en appliquant la formule obtenue pour $Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}'))$ dans le Théorème A,
$\mathbf{\mu}, \mathbf{\mu}'$
en remplaçant les termes de la forme $\varphi_{\mathbf{R}}^{j'}(-N)$ par la formule donnée par le Corollaire B1.

Comme les formes linéaires $l_j$ sont à coefficients rationnels, on peut poser $c_{j,p} = \frac{a_{j,p}}{b_{j,p}}$ pour tout
$1 \le p \le P$, en supposant que cette fraction est irréductible. On pose alors $x_j(\mathbf{c}) = \frac{\mathrm{ppcm}(a_{j,p})}{\mathrm{pgcd}(b_{j,p})} \in \mathbb{Q}_+^*$, et
$$
\beta_{j,p}(\mathbf{c}) := \frac{x_j(\mathbf{c})}{c_{j,p}} \in \mathbb{N}^* \text{ pour tout } 1 \le p \le P.
$$

Par le Corollaire B1, pour tout $\mathbf{R} \in \mathbb{N}^P$, on a

$$
\begin{align*}
\varphi_{\mathbf{R}}^{j'}(-N_j') &= \\
& x_j(\mathbf{c})^N \prod_{p=1}^{P} \beta_{j,p}(\mathbf{c})^{R_p} \sum_{\substack{0 \le v_1 \le \beta_{j,1}(\mathbf{c})-1 \\ 0 \le v_P \le \beta_{j,P}(\mathbf{c})-1}} \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,P]} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} R_p! \right) \sum_{\substack{\mathbf{k} \in \mathbb{N}^P, k' \in \mathbb{N} \\ |\mathbf{k}+\mathbf{k}'=|\mathbf{R}|_{|\mathcal{P}^c|}+|\mathcal{P}^c|-1}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \\
& \qquad \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{\zeta\left(-R_p - k_p, \frac{d_p+v_p}{\beta_{j,p}(\mathbf{c})}\right)}{k_p!} \left( \frac{\zeta'\left(-N-k', l_j(x_j(\mathbf{c})^{-1}(\mathbf{d}+\mathbf{v}))\right)}{k'!} - \ln(x_j(\mathbf{c})) \frac{\zeta\left(-N-k', l_j(x_j(\mathbf{c})^{-1}(\mathbf{d}+\mathbf{v}))\right)}{k'!} \right) \\
&= x_j(\mathbf{c})^N \prod_{p=1}^{P} \beta_{j,p}(\mathbf{c})^{R_p} \sum_{\substack{0 \le v_1 \le \beta_{j,1}(\mathbf{c})-1 \\ 0 \le v_P \le \beta_{j,P}(\mathbf{c})-1}} \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,P]} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \mathbf{R}(\mathbf{N}, j, \mathbf{u})_{p!} \right) \sum_{\substack{\mathbf{k} \in \mathbb{N}^P, k' \in \mathbb{N} \\ |\mathbf{k}+\mathbf{k}'=|\mathbf{R}|_{|\mathcal{P}^c|}+|\mathcal{P}^c|-1}} (-1)^{|\mathbf{k}|} \\
& \qquad \cdot \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{\zeta\left(-\mathbf{R}(\mathbf{N}, j, \mathbf{u})_p - k_p, \frac{d_p+v_p}{\beta_{j,p}(\mathbf{c})}\right)}{k_p!} \right) \\
& \qquad \cdot \left( \frac{\zeta'\left(-N_j'-k', l_j(x_j(\mathbf{c})^{-1}(\mathbf{d}+\mathbf{v}))\right)}{k'!} - \ln(x_j(\mathbf{c})) \frac{\zeta\left(-N_j'-k', l_j(x_j(\mathbf{c})^{-1}(\mathbf{d}+\mathbf{v}))\right)}{k'!} \right).
\end{align*}
$$

En injectant cette formule dans celle obtenue pour $Z'(-(\mathbf{N}, \mathbf{N}'))$ dans le Théorème D, on trouve le
résultat.

On obtient encore une fois le Corollaire C1, qui correspond à une reformulation qualitative du
Corollaire D1.

5.4.4 Démonstration du Corollaire D2

En posant $(\mathbf{N}, \mathbf{N}') = (\mathbf{0}, \mathbf{0})$ dans le théorème D, on peut simplifier plusieurs sommes en remarquant les
faits suivants :

1) Soit $\mathbf{v} = (\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]} \setminus \{j\})^P$ et $\mathbf{w} = (\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}^c}$ tels que

$$
\begin{align*}
|\mathbf{w}_p| &= k_p & (p \in \mathcal{P}^c) \\
\mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) &= 0 & (q \in [1, Q] \setminus \{j\}).
\end{align*}
$$

Alors on a nécessairement que ces indices ont plusieurs composantes nulles :

$$
\forall q \in [1, Q] \setminus \{j\}, \forall p \in \mathcal{P}, \quad v_{p,q} = 0,
$$

et

$$
\forall q \in [1, Q] \setminus \{j\}, \forall p \in \mathcal{P}^c, \quad w_{p,q} = 0.
$$

Ainsi, comme $w_{p,j} = |w_p| = k_p$ pour tout $p \in \mathcal{P}^c$, on obtient que $\mathbf{w} = (k_p \mathbf{e}_j)_{p \in \mathcal{P}^c}$ avec $\mathbf{e}_j \in \mathbb{N}^Q$ le vecteur valant 1 en la j-ième coordonnée, et 0 ailleurs.

2) Soit $\mathbf{v} = (\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]} \setminus \{j,f\})^P$ et $\mathbf{w} = (\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}^c}$ tels que

$$
\begin{align*}
|\mathbf{w}_p| &= k_p & (p \in \mathcal{P}^c) \\
\mathbf{v}(q) + \mathbf{w}(q) &= 0 & (q \in [1, Q] \setminus \{j, f\}).
\end{align*}
$$

On obtient alors que

$$
\forall q \in [1, Q] \setminus \{j, f\}, \forall p \in \mathcal{P}, \quad v_{p,q} = 0,
$$
et

$$
\forall q \in [1, Q] \setminus \{j, f\}, \forall p \in \mathcal{P}^c, w_{p,q} = 0.
$$

Ainsi, on trouve que l'indice **w** est de la forme ($w_{p,j}$$\mathbf{e}_j + w_{p,f}$$\mathbf{e}_f$)$_{p \in \mathcal{P}^c}$, avec $w_{p,j} + w_{p,f} = k_p$ pour tout $p \in \mathcal{P}^c$. On trouve ainsi que le coefficient multinomial présent dans l'expression de $Q^1$ vaut :

$$
\begin{pmatrix} k_p \\ \mathbf{w}_p \end{pmatrix} = \frac{k_p!}{w_{p,j}! w_{p,f}!}.
$$

Pour simplifier cette expression, on parcourra $w'_p \in [0, k_p]$, et on posera $w_{p,f} = w'_p$ et $w_{p,j} = k_p - w'_p$

3) Soit $j \in [1, Q]$, et $\mathbf{u} = (\mathbf{u}_q)_{q \in \{1, Q\} \setminus \{j\}}$ tel que

$$
|\mathbf{u}_q| = N'_q = 0 \quad (q \in [1, Q] \setminus \{j\}).
$$

On obtient trivalement que $\mathbf{u} = \mathbf{0}$, et donc $\mathbf{R}(\mathbf{N}, j, \mathbf{u}) := (N_p + \mathbf{u}(p))_{p \in \{1, P\}} = \mathbf{0}$. En particulier, les fonctions auxiliaires $\varphi^j_{(N_p+\mathbf{u}(p))_{p \in \{1,P\}}}$ ($s$) sont en fait des fonctions zêta de Barnes de la forme

$$
\varphi_{0}^{j}(s) = \zeta^{B}(s, d'_{j} | c_{j,1}, \dots, c_{j,P}).
$$

On rappelle au passage que la dérivée de cette fonction zêta de Barnes en $s = 0$ correspond à $\ln(\Gamma_P(d'_j|c_{j,1}, \dots, c_{j,P}))$, avec $\Gamma_P$ correspondant aux fonctions multigamma de Barnes introduites dans la Définition 1.2.14.

On a déjà vu dans la preuve du Corollaire A1 que

$$
Q_{0,0}^{0}(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) = \prod_{p \in \mathcal{P}^{c}} c_{j,p}^{k_{p}}.
$$

A l'aide de ces trois points précédents, et du fait que le nombre harmonique $h_0$ vaut 0, on obtient :

$$
\begin{align*}
Z'(-(\mathbf{0}, \mathbf{0})) = & \\
& \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \sum_{j=1}^{Q} (-1)^{|\mathcal{P}|} \frac{\mu_j'}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=|\mathcal{P}|}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-k_p, d_p)}{k_p!} \left( \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \right) \gamma(\mu_j' + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}) + Q_{\mu,\mu'}^{1} \mathbf{N}_{\mu,\mu'}(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \right) \\
& + \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \sum_{j=1}^{Q} (-1)^{|\mathcal{P}|} \frac{\mu_j'}{|\boldsymbol{\mu}'| + |\boldsymbol{\mu}|_{\mathcal{P}}} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=|\mathcal{P}|}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \left( \sum_{i \in \mathcal{P}^c} \mu_i \frac{\zeta'(-k_i, d_i)}{k_i!} \prod_{p \in \mathcal{P}^c \setminus \{i\}} \frac{\zeta(-k_p, d_p)}{k_p!} \right) \\
& + \sum_{j=1}^{Q} \mu_j' \partial_s \zeta^B(s, d_j' | \mathbf{c}_j)_{s=0} - \sum_{j=1}^{Q} \gamma \mu_j' \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} (-1)^{|\mathcal{P}|} \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{-1} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \\ |\mathbf{k}|=|\mathcal{P}|}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \frac{\zeta(-k_p, d_p)}{k_p!}.
\end{align*}
$$

Par les points 1) et 2) précédent, on obtient :

$$
Q_{\mu, \mu'}^{1}(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) = \sum_{\substack{f=1 \\ f \neq j}}^{Q} \mu'_{f} \sum_{\mathbf{w}' = (w'_{p})_{p \in \mathcal{P}^c} \in \bigcap_{p \in \mathcal{P}^c} [0, k_p]} F_{\mathcal{P}, j, f, \mathbf{0}, (w'_{p}\mathbf{e}_{f} + (k_p - w'_{p})\mathbf{e}_{j})_{p \in \mathcal{P}^c}(\mathbf{0}, \mathbf{0})} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{w'_p} c_{f,p}^{w'_p} c_{j,p}^{k_p - w'_p} \right) \\
+ \gamma |\boldsymbol{\mu}'|_{[1, Q] \setminus \{j\}} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p}.
$$
5.4.5 Démonstration du Corollaire D3

En appliquant le Corollaire D2, en remplaçant $\boldsymbol{\mu}$ par $(0, ..., 0)$, et en remplaçant $\boldsymbol{\mu}'$ par $(1, ..., 1)$, on obtient

$$
\begin{align*}
Z'(-(\mathbf{0}, \mathbf{0})) = & \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} \sum_{j=1}^{Q} \frac{(-1)^{|\mathcal{P}|}}{Q} \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \atop |\mathbf{k}|=|\mathcal{P}|} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \frac{\zeta(-k_p, d_p)}{k_p!} \left( \gamma \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \right) + Q^1(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) \right) \\
& + \sum_{j=1}^{Q} \ln(\Gamma_P(d'_j | \mathbf{c}_j)) - \gamma \sum_{j=1}^{Q} \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1, P]} (-1)^{|\mathcal{P}|} \prod_{p \in \mathcal{P}} c_{j,p}^{-1} \sum_{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}^c} \atop |\mathbf{k}|=|\mathcal{P}|} \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p} \frac{\zeta(-k_p, d_p)}{k_p!},
\end{align*}
$$

avec

$$
Q^1(j, \mathcal{P}, \mathbf{k}) = \sum_{\substack{f=1 \\ f \neq j}}^{Q} \sum_{\mathbf{w}'=(w'_p)_{p \in \mathcal{P}^c} \in \bigcap_{p \in \mathcal{P}^c} [0, k_p]} F_{\mathcal{P}, j, f, \mathbf{0}, (w'_p \mathbf{e}_f + (k_p - w'_p) \mathbf{e}_j)_{p \in \mathcal{P}^c}} (\mathbf{0}, \mathbf{0})) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{w'_p} c_{f,p}^{w'_p} c_{j,p}^{k_p - w'_p} \right) \\
+ \gamma(Q-1) \prod_{p \in \mathcal{P}^c} c_{j,p}^{k_p}.
$$

Or par la Définition 1.2.16 $Z'(-(\mathbf{0}, \mathbf{0})) = \ln(\partial_s(\zeta^{Sh}(s, (\mathbf{c}_1, ..., \mathbf{c}_Q), \mathbf{d}')|_{s=0}))$, et par la Définition 1.2.14, on a $(\partial_s \zeta^B(s, d|c_1, ..., c_P))|_{s=0} = \ln(\Gamma_P(d|c_1, ..., c_P))$, et $\partial_s(\zeta^{Sh}(s, \mathbf{d}'|\mathbf{c}))|_{s=0} = \ln(\Gamma_P(\mathbf{d}'|\mathbf{c})).$ On trouve alors le Corollaire D3.
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# Chapitre 6

## Fonctions zêta de Witten

On rappelle ici la théorie des fonctions zêta de Witten sous l'angle de Komori, Matsumoto et de Tsumura. Les détails des preuves sont disponibles dans le livre [KMT24] qui paraîtra en novembre 2023. Alternativement, on peut aussi voir le détail dans les articles [KMT10b], [KMT10c], [KMT11b], [KMT12]. Pour les détails de la théorie de Lie, on se réfère à [Hum72], [Bou06], [Bou81]. On appliquera ensuite certains de nos résultats à l'étude des fonctions zêta de Witten $\zeta_{g_2}(s)$, et $\zeta_{50(5)}(s)$, pour en déduire l'expression explicite de la constante $C$ dans le Théorème 1.2.35, et une formule asymptotique pour le nombre de représentations $r_{g_2}(n)$ à l'aide du Théorème 1.2.33.

### 6.1 Généralités sur les algèbres de Lie

On appelle $\mathfrak{g}$ une algèbre de Lie un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie muni d'une forme bilinéaire $[\cdot, \cdot]$ vérifiant les conditions suivantes

$$1. \forall x \in \mathfrak{g}, \quad [x, x] = 0$$

$$2. \forall x, y, z \in \mathfrak{g}, \quad [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.$$

On appellera $[\cdot, \cdot]$ le crochet de Lie associé à l'algèbre de Lie $\mathfrak{g}$.

Soit $\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_2$ des algèbres de Lie munies respectivement des crochets de Lie $[\cdot, \cdot]_1$ et $[\cdot, \cdot]_2$. Soit $f : \mathfrak{g}_1 \to \mathfrak{g}_2$ un morphisme d'espace vectoriel. On dira que $f$ est un morphisme d'algèbre de Lie si $f$ respecte le crochet de Lie, c'est-à-dire que

$$\forall x, y \in \mathfrak{g}_1, \quad [f(x), f(y)]_2 = f([x, y]_1).$$

Si de plus $f$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels, on dira que $f$ est un isomorphisme d'algèbres de Lie.

Pour $x \in \mathfrak{g}$, on notera $ad_x$ la dérivation suivante :

$$ad_x : \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}, \quad y \mapsto [x, y].$$

**Définition 6.1.1.** Soit $\mathfrak{g}$ une algèbre de Lie. Soit $\mathfrak{a} \subset \mathfrak{g}$ un sous-espace vectoriel de $\mathfrak{g}$. On dit que $\mathfrak{a}$ est une sous-algèbre de $\mathfrak{g}$ si $\mathfrak{a}$ est stable par le crochet de Lie, c'est-à-dire lorsque $[\mathfrak{a}, \mathfrak{a}] \subset \mathfrak{a}$.

Soit $\mathfrak{a}_1$ et $\mathfrak{a}_2$ des sous-algèbres d'une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$, on définit $[\mathfrak{a}_1, \mathfrak{a}_2]$ comme étant la sous-algèbre de Lie de $\mathfrak{g}$ engendrée par les éléments de la forme $[x, y]$, avec $x \in \mathfrak{a}_1$, et $y \in \mathfrak{a}_2$.

Soit $\mathfrak{a}$ une sous-algèbre d'une algèbre de Lie $\mathfrak{g}$. On note $N(\mathfrak{a})$ la sous-algèbre de $\mathfrak{g}$ constituée d'éléments $x$ vérifiant $ad_x(\mathfrak{a}) \subset \mathfrak{a}$. Si $N(\mathfrak{a}) = \mathfrak{g}$, alors on dira que $\mathfrak{a}$ est un idéal de $\mathfrak{g}$.

**Définition 6.1.2.** On construit la suite $(\mathfrak{g}^{(n)})_{n \in \mathbb{N}}$ définie par la relation

$$\mathfrak{g}^{(0)} = \mathfrak{g}, \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad \mathfrak{g}^{(n+1)} = [\mathfrak{g}^{(n)}, \mathfrak{g}^{(n)}].$$

On dira que $\mathfrak{g}$ est résoluble s'il existe un entier $n \in \mathbb{N}$ tel que $\mathfrak{g}^{(n)} = 0$. On notera rad($\mathfrak{g}$) (l'unique) idéal maximal résoluble de $\mathfrak{g}$.
**Définition 6.1.3.** Soit $\mathfrak{g}$ une algèbre de Lie, on construit la suite $(\mathfrak{g}^n)_{n \in \mathbb{N}}$

$$ \mathfrak{g}^0 = \mathfrak{g}, \quad \forall n \in \mathbb{N}, \quad \mathfrak{g}^{n+1} = [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}^n]. $$

On dira que $\mathfrak{g}$ est nilpotente si il existe un entier $n \in \mathbb{N}$ tel que $\mathfrak{g}^n = 0$.

**Définition 6.1.4.** Soit $\mathfrak{g}$ une algèbre de Lie. On dit de $\mathfrak{g}$ est $\{0\}$. De plus, si $\mathfrak{g}$ ne contient qu'un seul idéal, on dit que $\mathfrak{g}$ est simple.

On donne maintenant quelques exemples fondamentaux d'algèbre de Lie semi-simple :

**Exemple 6.1.5.** Soit $r \in \mathbb{N}^*$,

$$ \text{Le type } A_r : A_r := \mathfrak{sl}_{r+1} = \{X \in \mathcal{M}_{r+1}(\mathbb{C}) \mid \text{tr}(X) = 0\}. $$

$$ \text{Le type } B_r : B_r := \mathfrak{so}_{2r+1} = \{X \in \mathcal{M}_{2r+1}(\mathbb{C}) \mid {}^t X + X = 0\}. $$

$$ \text{Le type } C_r : C_r := \mathfrak{sp}_r = \{X \in \mathcal{M}_{2r}(\mathbb{C}) \mid {}^t X J_r + J_r X = 0\}, \text{ avec} $$

$$ J_r := \begin{pmatrix} 0 & Id_r \\ -Id_r & 0 \end{pmatrix}. $$

$$ \text{Le type } D_r : D_r := \mathfrak{so}_{2r} = \{X \in \mathcal{M}_{2r}(\mathbb{C}) \mid {}^t X + X = 0\}, \text{ pour } r \ge 2. $$

Dans tous ces exemples, le crochet de Lie correspond à $[x, y] := x \cdot y - y \cdot x$, avec $x, y \in \mathcal{M}_r$ et où correspond à la multiplication matricielle.

Dans l'exemple précédent, toutes ces algèbres de Lie sont simples, à part pour $D_2$. On a de plus la décomposition $D_2 = A_1 \oplus A_1$.

**Proposition 6.1.6.** Une algèbre de Lie semi-simple est une somme directe d'algèbres de Lie simples.

Ainsi, pour classifier les algèbres de Lie semi-simples, il suffit de classifier les algèbres Lie simples. On verra via le Théorème de Cartan-Killing que les 4 types d'algèbres que l'on a décrites dans l'exemple précédent classifient presque totalement l'ensemble des algèbres de Lie semi-simples.

**Définition 6.1.7.** Une représentation d'une algèbre de lie $\mathfrak{g}$ sur un $\mathbb{C}$-espace vectoriel $E$ correspond à un morphisme d'espace-vectoriel $\varphi : \mathfrak{g} \to GL(E)$. On appellera dim($\varphi$) la dimension de cette représentation. On dira que la représentation $\varphi$ est irréductible si elle n'admet pas de sous-espace vectoriel non trivial stable par l'application linéaire $\varphi$.

**Exemple 6.1.8.** L'application adjointe induit une représentation d'une algèbre de Lie $\text{ad}(\mathfrak{g})$ sur l'espace vectoriel $\mathfrak{g}$ :

$$ \text{ad}(\mathfrak{g}) : \mathfrak{g} \to GL(\mathfrak{g}), \quad x \mapsto \text{ad}_x. $$

On peut alors définir la forme bilinéaire de Killing sur $\mathfrak{g} \times \mathfrak{g}$:

$$ <x, y> := \text{Tr}(\text{Ad}_x \circ \text{Ad}_y). $$

**Théorème 6.1.9.** Soit $\mathfrak{g}$ une algèbre de Lie. Les conditions suivantes sont équivalentes :

a) $\mathfrak{g}$ est semi-simple.

b) $\text{rad}(\mathfrak{g}) = 0$

c) La forme de Killing $<,>$ est non dégénérée.

Le théorème précédent permet en particulier d'identifier une algèbre de Lie semi-simple avec son dual. Ainsi, à un élément $x \in \mathfrak{g}$ on lui associera canoniquement un élément $x^* \in \mathfrak{g}^*$.

## 6.2 Système de racine d'une algèbre de Lie

Soit $\mathfrak{g}$ une algèbre de Lie. On appelle sous-algèbre de Cartan une sous-algèbre de Lie nilpotente de $\mathfrak{g}$ telle que $N(\mathfrak{h}) = \mathfrak{h}$. Les sous-algèbres de Cartan ne sont pas uniques, mais elles partagent la même dimension sur $\mathbb{C}$. On appelle alors cette dimension le rang de $\mathfrak{g}$, noté $\text{rg}(\mathfrak{g})$.

On se fixe pour tout cette section une algèbre de Lie semi-simple $\mathfrak{g}$, et une sous-algèbre de Cartan $\mathfrak{h}$ de $\mathfrak{g}$. La forme de Killing s'étend à la sous-algèbre de Cartan $\mathfrak{h}$, et cette dernière est non dégénérée sur $\mathfrak{h}$. Via l'identification de $\mathfrak{h}$ avec son dual, on peut définir la forme de Killing sur $\mathfrak{h}^*$.
**Définition 6.2.1.** Soit $\alpha \in \mathfrak{h}^*$ un élément du dual de $\mathfrak{h}$. On dit que $\alpha$ est une racine de $\mathfrak{g}$ relativement à $\mathfrak{h}$ lorsqu'il existe un élément non nul $x \in \mathfrak{g} \setminus \{0\}$ tel que

$$ \forall h \in \mathfrak{h}, \quad ad_h(x) = \alpha(h)x. \tag{6.1} $$

On notera $g_\alpha$ l'ensemble des $x \in \mathfrak{g}$ vérifiant 6.1 On notera $\Delta(\mathfrak{g})$ l'ensemble des racines de $\mathfrak{g}$ relativement à $\mathfrak{h}$. On appellera $\Delta(\mathfrak{g})$ le système de racines de l'algèbre de Lie semi-simple $\mathfrak{g}$.

Le système de racines de $\mathfrak{g}$ est un ensemble fini. De plus, les algèbres de Lie $\mathfrak{g}_\alpha$ sont de dimension 1, et elles donnent une décomposition de $\mathfrak{g}$ :

$$ \mathfrak{g} = \mathfrak{h} \oplus \bigoplus_{\alpha \in \Delta} g_{\alpha}. $$

Par l'identification entre $\mathfrak{h}$ et son dual, on considère pour toute racine $\alpha \in \mathfrak{h}^*$ l'élément $\alpha' \in \mathfrak{h}$ lui correspondant. On pose $\mathfrak{h}_0 := \text{Vect}_{\mathbb{R}}((\alpha')_{\alpha \in \Delta(\mathfrak{g})})$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel engendré par les éléments $\alpha'$. On note alors

$$ \alpha^{\vee} := \frac{2}{\langle \alpha', \alpha' \rangle} \alpha'. $$

Pour tout $\alpha, \beta \in \Delta(\mathfrak{g})$, on observe que

$$ \beta(\alpha^{\vee}) = \frac{2 \langle \beta, \alpha \rangle}{\langle \alpha, \alpha \rangle}. $$

On note $a(\beta, \alpha)$ la quantité précédente.

**Notation.** On note $\mathfrak{h}_0$ le $\mathbb{R}$-espace vectoriel engendré par les racines $\Delta(\mathfrak{g})$, et on note $\mathfrak{h}_0^*$ son dual.

**Fait 6.2.2.** Soit $\alpha, \beta \in \Delta(\mathfrak{g})$. On a que:

1) $\beta(\alpha^{\vee}) \in \mathbb{Z}$.

2) $\beta - a(\beta, \alpha)\alpha \in \Delta(\mathfrak{g})$.

3) Si il existe $c \in \mathbb{C}$ tel que $\beta = c\alpha$, alors $c = \pm 1$.

Ces trois propriétés caractérisent un système de racines "abstrait" au sens de [Ser66] et de [Bou81]. Étant donné deux algèbres de Lie semi-simples, on sait qu'il existe une isométrie $(\text{Vect}_{\mathbb{R}}(\Delta(\mathfrak{g}_1)), \|\|_1) \to (\text{Vect}_{\mathbb{R}}(\Delta(\mathfrak{g}_2)), \|\|_2)$ envoyant $\Delta(\mathfrak{g}_1)$ sur $\Delta(\mathfrak{g}_2)$ si et seulement si $\mathfrak{g}_1$ est isomorphe à $\mathfrak{g}_2$ en tant qu'algèbre de Lie, en notant $\|\|_1$ et $\|\|_2$ les normes euclidiennes des deux espaces vectoriels $\text{Vect}_{\mathbb{R}}(\Delta(\mathfrak{g}_1))$ et $\text{Vect}_{\mathbb{R}}(\Delta(\mathfrak{g}_2))$. Cette propriété permet en particulier de ramener l'étude des algèbres de Lie simple à l'étude de système de racines. Il découle de cette correspondance le théorème suivant, permettant de classifier les algèbres de Lie simples.

### Théorème 6.2.3. [Bou81] [Théorème de Cartan-Killing]

Une algèbre de Lie simple quelconque est isomorphe soit à $A_r, B_r, C_r$, ou $D_r$, ou à une algèbre de Lie exceptionnelle $G_2, F_4, E_6, E_7$ ou $E_8$.

Pour voir la construction des algèbres de Lie exceptionnelles $G_2, F_4, E_6, E_7$ ou $E_8$, voir [Bou81].

Notons $H_{\alpha^{\vee}} := \{\beta \in \mathfrak{h}_0^* | \langle \beta, \alpha^{\vee} \rangle > 0\}$

On remarque que, l'ensemble des racines étant fini, on a que l'ensemble

$$ \mathfrak{h}_0^* \setminus \bigcup_{\alpha \in \Delta(\mathfrak{g})} H_{\alpha^{\vee}} $$

est non vide. Soit $\gamma$ un élément de cet ensemble. On a alors la décomposition suivante :

$$ \Delta(\mathfrak{g}) = \{\alpha \in \Delta(\mathfrak{g}) | \langle \gamma, \alpha^{\vee} \rangle > 0\} \cup \{\alpha \in \Delta(\mathfrak{g}) | \langle \gamma, \alpha^{\vee} \rangle < 0\}. $$

On notera $\Delta_+(\mathfrak{g}, \gamma) = \Delta_+(\mathfrak{g}) := \{\alpha \in \Delta(\mathfrak{g}) | \langle \gamma, \alpha^{\vee} \rangle > 0\}$ l'ensemble des racines positives.
**Définition 6.2.4.** Soit $\alpha$ une racine positive. On dira que $\alpha$ est une racine fondamentale (ou simple) s'il n'existe aucun couple $(\beta_1, \beta_2) \in \Delta_+(\mathfrak{g})$ tel que $\alpha = \beta_1 + \beta_2$. On notera $\psi(\mathfrak{g})$ l'ensemble des racines fondamentales.

**Fait 6.2.5.** L'ensemble des racines fondamentales forme une base du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathfrak{h}_0^* = \text{Vect}_{\mathbb{R}}((\alpha')_{\alpha \in \Delta(\mathfrak{g})})$. On obtient au passage qu'il y a $r = \text{dim}_{\mathbb{R}}(\mathfrak{h}_0)$ racines fondamentales.

On se propose maintenant d'introduire la notion de poids :

**Définition 6.2.6.** Soit $\varphi : \mathfrak{g} \to \text{GL}(E)$ une représentation de l'algèbre de Lie semi-simple $\mathfrak{g}$, avec $E$ de dimension finie. Soit $u \in E$ un vecteur. On dira que $u$ est un vecteur propre s'il existe une forme linéaire $\lambda \in \mathfrak{h}^*$ sur $\mathfrak{h}$ tel que

$$ \forall H \in \mathfrak{h}, \quad \varphi(H)u = \lambda(H)u. $$

On appellera $\lambda$ le poids de $u$.

Si de plus, on a $\lambda(\alpha^\vee) \ge 0$ pour toute racine simple $\alpha$ de $\mathfrak{g}$, alors on dira que $\lambda$ est un poids dominant.

Notons $\psi(\mathfrak{g}) = \{\alpha_1, \dots, \alpha_r\}$ l'ensemble des racines simples de $\mathfrak{g}$. On pose alors $\lambda_j(\alpha_i^\vee) := \delta_{i,j}$ pour tout $1 \le i, j \le r$. Les $\lambda_j$ sont en particulier des poids dominants. On les appelle des poids fondamentaux (ou simples).

**Fait 6.2.7.** Chaque poids dominant $\lambda$ admet une décomposition unique à l'aide des poids fondamentaux

$$ \lambda = n_1\lambda_1 + \dots + n_r\lambda_r \quad (n_1, \dots, n_r \in \mathbb{N}). $$

**Fait 6.2.8.** Il y a une correspondance bijective entre l'ensemble des représentations irréductibles de dimension finie (à isomorphisme près), et l'ensemble des poids dominants.

**Théorème 6.2.9.** [de Weyl]

Soit $\varphi$ une représentation irréductible de $\mathfrak{g}$. Alors

$$ \dim(\varphi) = \prod_{\alpha \in \Delta^+(\mathfrak{g})} \frac{< \alpha^\vee, (n_1+1)\lambda_1 + \dots + (n_r+1)\lambda_r >}{< \alpha^\vee, \lambda_1 + \dots + \lambda_r >}. $$

**Remarque 6.2.10.** A priori, les résultats énoncées dépendent du choix de la sous-algèbre de Cartan $\mathfrak{h}$, et du choix de $\gamma$. Cependant, d'après [KMT24, §2.3], ceux-ci sont indépendants de ces choix. La raison étant que, d'après [Hum72, §16.2], deux sous-algèbres de Cartan sont nécessairement conjuguées.

Notons au passage que le Fait 6.2.8 et le Théorème 6.2.9 permettent en particulier de déterminer une expression de $r_{\mathfrak{g}}$, le nombre de représentations irréductibles (à isomorphisme près) de dimension $n$ d'une algèbre de Lie semi-simple $\mathfrak{g}$.

**Définition 6.2.11.** [Zag94] On associe à une algèbre de Lie semi-simple $\mathfrak{g}$ une fonction zêta

$$ \zeta_{\mathfrak{g}}(s) := \sum_{\varphi} \frac{1}{\dim(\varphi)^s}, $$

où l'on somme sur les représentations irréductibles de dimension finie $\varphi$ de $\mathfrak{g}$ (à isomorphisme près).

Cette fonction zêta généralise les séries qui interviennent dans les formules de volume de Witten dans [Wit91].

Du Fait 6.2.8 et du Théorème de Weyl 6.2.9, on en déduit que les fonctions zêta de Witten s'écrivent sous la forme d'une série de produits de formes linéaires en $r$ variables, $r$ étant le nombre de racines fondamentales. Plus précisément, on a l'écriture

$$ \zeta_{\mathfrak{g}}(s) := \prod_{\alpha \in \Delta^+(\mathfrak{g})} < \alpha^\vee, \lambda_1 + \dots + \lambda_r >^s \sum_{n_1, \dots, n_r \ge 0} \frac{1}{\prod_{\alpha \in \Delta^+(\mathfrak{g})} < \alpha^\vee, (n_1+1)\lambda_1 + \dots + (n_r+1)\lambda_r >^s}. $$
Matsumoto, Tsumura et Komori ont introduit dans [KMT10b] des analogues multizêta des fonctions zêta de Witten, en considérant des séries de Dirichlet de la forme

$$ \sum_{n_1, \dots, n_r \ge 0} \frac{1}{\prod_{\alpha \in \Delta^+(\mathfrak{g})} <\alpha^{\vee}, (n_1+1)\lambda_1 + \dots + (n_r+1)\lambda_r >^{s_{\alpha}}} $$

Cela permet d'obtenir des formules récursives pour ces fonctions multizêta (voir [KMT10b, Théorème 3.1]), et d'obtenir plusieurs formules à certains multi-entiers positifs.

## 6.3 Quelques résultats sur $\zeta_{g2}$ et $\zeta_{s0}(5)$

On souhaite ici détailler les formules obtenues dans le Théorème A et dans le Théorème D pour les deux fonctions zêta de Witten $\zeta_{g2}$ et $\zeta_{s0}(5)$, en étudiant principalement les valeurs en $s=0$. Les valeurs spéciales $\zeta_{g2}(0)$ et $\zeta_{s0}(5)(0)$ sont très simples à calculer à l'aide du Corollaire A1. En revanche, les calculs des valeurs $\zeta'_{g2}(0)$ et $\zeta'_{s0}(5)(0)$ s'avèreront plus ardus. On se propose d'établir une formule en utilisant le Corollaire D2 lorsque $P=2$, c'est-à-dire lorsque la série de Dirichlet décrivant $Z(s, s')$ n'est qu'à deux variables $n_1, n_2$. On fixe de plus la direction $(\mu, \mu') = (\mathbf{1}, \mathbf{1})$, et on pose $d_1 = d_2 = 1$. Commençons par étudier les valeurs de $Z_{\Delta}(s)$ en les entiers négatifs par le Corollaire A2 :

**Lemme 6.3.1.** Soit $N \in \mathbb{N}$. On a

$$ Z_{\Delta}(-N) = \frac{(-1)^{(1+Q)N}}{Q} N! \sum_{k=0}^{QN} Q_N^0(\emptyset, (k, QN-k)) \frac{\zeta(-N-k)}{k!} \frac{\zeta(-Q+1)N+k}{(QN-k)!} \\ + \frac{(-1)^{QN+1}}{Q+1} N!^2 (Q_N^0(\{1\}, (Q+1)N+1) + Q_N^0(\{2\}, (Q+1)N+1)) \frac{\zeta(-Q+2)N-1}{((Q+1)N+1)!}, $$

avec

$$ Q_N^0(\emptyset, (k_1, k_2)) = (-1)^{N(Q-1)} N!^{Q-1} \sum_{j=1}^{Q} \sum_{\substack{\mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p=1,2} \in (\mathbb{N}^Q)^2 \\ |\mathbf{w}_1|=k_1, |\mathbf{w}_2|=k_2 \\ \forall q, w_{1,q}+w_{2,q}=N}} \binom{k_1}{\mathbf{w}_1} \binom{k_2}{\mathbf{w}_2} \prod_{q=1}^{Q} c_{q,1}^{w_{1,q}} c_{q,2}^{w_{2,q}}, \quad (k_1+k_2=QN) $$

$$ Q_N^0(\{1\}, (Q+1)N+1) = (-1)^{N(Q-1)} N!^{Q-1} \sum_{j=1}^{Q} \sum_{\substack{\mathbf{w}_2 \in \mathbb{N}^Q \\ |\mathbf{w}_2|=(Q+1)N+1 \\ w_{2,j} \ge 2N+1}} \frac{(-N-1)\dots(N+1-w_{2,j})}{\prod_{q \ne j} w_{2,q}!} c_{j,2}^{w_{2,j}} \prod_{\substack{q=1 \\ q \ne j}}^{Q} c_{q,1}^{N-w_{2,q}} c_{q,2}^{w_{2,q}}, $$

$$ Q_N^0(\{2\}, (Q+1)N+1) = (-1)^{N(Q-1)} N!^{Q-1} \sum_{j=1}^{Q} \sum_{\substack{\mathbf{w}_1 \in \mathbb{N}^Q \\ |\mathbf{w}_1|=(Q+1)N+1 \\ w_{1,j} \ge 2N+1}} \frac{(-N-1)\dots(N+1-w_{1,j})}{\prod_{q \ne j} w_{1,q}!} c_{j,1}^{w_{1,j}} \prod_{\substack{q=1 \\ q \ne j}}^{Q} c_{q,2}^{N-w_{1,q}} c_{q,1}^{w_{1,q}}. $$

**Démonstration.** Par le Corollaire A2, on a

$$ Z_{\Delta}(-N) = \sum_{\mathcal{P} \subseteq [1,2]} \frac{(-1)^{(|\mathcal{P}|+1+Q)N+|\mathcal{P}|}}{Q + |\mathcal{P}|} N!^{|\mathcal{P}|+1} \sum_{\substack{\mathbf{k}=(k_p)_{p \in \mathcal{P}} \in \mathbb{N}^{\mathcal{P}} \\ |\mathbf{k}|=(Q+|\mathcal{P}|)N+|\mathcal{P}|}} Q_N^0(\mathcal{P}, \mathbf{k}) \prod_{p \in \mathcal{P}} \frac{\zeta(-N-k_p)}{k!}, \\ = \frac{(-1)^{(1+Q)N}}{Q} N! \sum_{\substack{k_1, k_2 \ge 0 \\ k_1+k_2=QN}} Q_N^0(\emptyset, (k_1, k_2)) \prod_{p=1}^{2} \frac{\zeta(-N-k_p)}{k_p!} \\ + \frac{(-1)^{QN+1}}{Q+1} N!^2 (Q_N^0(\{1\}, (Q+1)N+1) + Q_N^0(\{2\}, (Q+1)N+1)) \frac{\zeta(-Q+2)N-1}{((Q+1)N+1)!}, $$
avec

$$
Q_N^0(\mathcal{P}, \mathbf{k}) = (-1)^{N(Q-1)} N!^{Q-1} \sum_{\substack{j=1 \\ \mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}} \\ \forall p \in \mathcal{P}^c | \mathbf{w}_p|=k_p}} \sum_{\substack{\mathbf{v}=(\mathbf{v}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^{[1,Q]} \setminus \{j\})^{\mathcal{P}} \\ \forall q \neq j, \mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)=N}} \sum_{\substack{\mathbf{k}_p \\ \mathbf{w}_p=(\mathbf{w}_p)_{p \in \mathcal{P}} \in (\mathbb{N}^Q)^{\mathcal{P}} \\ \forall q \neq j, \mathbf{v}(q)+\mathbf{w}(q)=N}} \left( \prod_{p \in \mathcal{P}^c} \binom{k_p}{\mathbf{w}_p} \prod_{q=1}^Q c_{q,p}^{w_p,q} \right) \left( \prod_{p \in \mathcal{P}} \binom{-N-1}{|\mathbf{v}_p|} \binom{|\mathbf{v}_p|}{\mathbf{v}_p} \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q c_{q,p}^{v_p,q} \right).
$$

• Si $\mathcal{P} = \emptyset$ et $k_1 + k_2 = QN$, alors on a

$$
Q_N^0(\emptyset, \mathbf{k}) = (-1)^{N(Q-1)} N!^{Q-1} \sum_{\substack{j=1 \\ \mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p=1,2} \in (\mathbb{N}^Q)^2 \\ |\mathbf{w}_1|=k_1, |\mathbf{w}_2|=k_2 \\ \forall q \neq j, w_{1,q}+w_{2,q}=N}} \sum_{\substack{\mathbf{k}_1 \\ \mathbf{w}_1=(\mathbf{w}_p)_{p=1,2} \in (\mathbb{N}^Q)^2 \\ |\mathbf{w}_1|=k_1, |\mathbf{w}_2|=k_2 \\ \forall q \neq j, w_{1,q}+w_{2,q}=N}} \left(\binom{k_1}{\mathbf{w}_1}\binom{k_2}{\mathbf{w}_2}\right) \prod_{q=1}^Q c_{q,1}^{w_{1,q}} c_{q,2}^{w_{2,q}}.
$$

Observons que

$$
\begin{align*}
w_{1,j} + w_{2,j} &= \sum_{q=1}^{Q} w_{1,q} + w_{2,q} - \sum_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} w_{1,q} + w_{2,q}, \\
&= k_1 + k_2 - (Q-1)N, \\
&= N.
\end{align*}
$$

Soit $\mathbf{w} = (\mathbf{w}_p)_{p=1,2} \in (\mathbb{N}^Q)^2$. La condition $|\mathbf{w}_1| = k_1, |\mathbf{w}_2| = k_2$, et $w_{1,q} + w_{2,q} = N$ pour tout $q \neq j$, est équivalente à la condition $w_{1,q} + w_{2,q} = N$ pour tout $q$ et $|\mathbf{w}_1| = k_1, |\mathbf{w}_2| = k_2$. On trouve alors

$$
Q_N^0(\emptyset, \mathbf{k}) = (-1)^{N(Q-1)} N!^{Q-1} \sum_{\substack{j=1 \\ \mathbf{w}=(\mathbf{w}_p)_{p=1,2} \in (\mathbb{N}^Q)^2 \\ |\mathbf{w}_1|=k_1, |\mathbf{w}_2|=k_2 \\ \forall q, w_{1,q}+w_{2,q}=N}} \sum_{\substack{\mathbf{k}_1 \\ \mathbf{w}_1=(\mathbf{w}_p)_{p=1,2} \in (\mathbb{N}^Q)^2 \\ |\mathbf{w}_1|=k_1, |\mathbf{w}_2|=k_2 \\ \forall q, w_{1,q}+w_{2,q}=N}} \left(\binom{k_1}{\mathbf{w}_1}\binom{k_2}{\mathbf{w}_2}\right) \prod_{q=1}^Q c_{q,1}^{w_{1,q}} c_{q,2}^{w_{2,q}}.
$$

• Si $\mathcal{P} = \{1\}$ et $k_2 = (Q+1)N+1$, alors on a

$$
Q_N^0(\{1\}, (Q+1)N+1) = (-1)^{N(Q-1)} N!^{Q-1} \sum_{\substack{j=1 \\ \mathbf{w}_2 \in \mathbb{N}^Q \\ |\mathbf{w}_2| = (Q+1)N+1 \\ \forall q \neq j, w_{2,q} \le N}} \sum_{\substack{\mathbf{w}_2 \in \mathbb{N}^Q \\ |\mathbf{w}_2| = (Q+1)N+1 \\ \forall q \neq j, w_{2,q} \le N}} \left( \left( \binom{k_1}{w_{2,1}, \dots, w_{2,Q}} \right) \prod_{q=1}^Q c_{q,2}^{w_{2,q}} \right) \\
\left( \left( \binom{-N-1}{\sum_{q \neq j} (N - w_{2,q})} \right) \left( \sum_{q \neq j} N - w_{2,q} \right) \prod_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^Q c_{q,1}^{N - w_{2,q}} \right).
$$

On remarque que

$$
\begin{align*}
\sum_{\substack{q=1 \\ q \neq j}}^{Q} (N - w_{2,q}) &= (Q - 1)N - |\mathbf{w}_2| + w_{2,j} \\
&= -2N - 1 + w_{2,j}.
\end{align*}
$$