Extension du théorème du Phragmèn-Brouwer
aux ensembles non bornés.

Par

Stefan Mazurkiewicz (Varsovie).

1. $R_2$ désignant l'ensemble de points du plan euclidien et $A$ étant un ensemble fermé, l'ensemble $R_2 - A$ est la somme d'un nombre fini ou d'une infinité dénombrable de domaines connexes sans points communs deux à deux. Nous dirons qu'un tel domaine est déterminé par $A$.

2. Le théorème de Phragmèn-Brouwer s'énonce ainsi: la frontière d'un domaine connexe, déterminé par un continu borné, est un continu<fnref n="1" />).

3. Je me propose de démontrer qu'on peut supprimer dans cet énoncé le mot „borné“.

4. La démonstration sera basée sur l'emploi de la transformation par rayons réciproques. $z$ désignant le centre de la transformation, $x$ un point arbitraire du plan différent de $z$, — enfin $A$ un ensemble plan, je désignerais:

par $S_r(x)$ le point transformé du point $x$;

par $S_r(A)$ l'ensemble de tous les $S_r(x)$ pour $x \subset A, x \neq z$, dans le cas de $A$ borné;

par $S_r(A)$ (l'ensemble de tous les $S_r(x)$ pour $x \subset A, x \neq z$) + le point $z$, dans le cas de $A$ non borné.

5. Janiszewski a démontré le théorème suivant: si les continus bornés $A$ et $B$ ne découpent pas le plan et si l'ensemble $A \times B$ est vide ou bien-enchaîné, alors $A + B$ ne découpe pas le plan<fnref n="2" />). Or

<footnote n="1">¹) v. Brouwer: Beweis des Jordanschen Kurvensatzes. Math. Ann. 69.</footnote>

<footnote n="2">²) Janiszewski: Sur les coupures du plan faites par les continus (en pointais) Prace mat.-fiz. XXVI p. 48–52.</footnote>
si l'on remplace dans la démonstration de Janiszewski les deux points quelconques par deux points déterminés $a$ et $b$ on obient l'énoncé suivant: si $A$ et $B$ sont deux continus bornés, si $a$ et $b$ désignent deux points de $R_2 — (A+B)$, si l'ensemble $A \times B$ est vide ou bien enchainé, enfin si $A$ et $B$ ne sont pas des $\mathfrak{S}(a, b; R_2)$, alors $A + B$ n'est pas un $\mathfrak{S}(a, b; R_2)^1$).

6. Soit maintenant $A$ un continu non borné, $B$ un domaine déterminé par $A$.

Si $B + \mathfrak{F}(B) = R_2$, on aura nécessairement $\mathfrak{F}(B) = A$ et le théorème est démontré. Ecartons cette supposition. Donc:

$$ (1) \qquad R_2 - (B + \mathfrak{F}(B)) \neq 0. $$

On peut toujours supposer, que:

$$ (2) \qquad R_2 - (B + A) \neq 0 $$

en effet dans le cas contraire on aurait:

$$ (3) \qquad R_2 - (B + \mathfrak{F}(B)) \subset A $$

donc l'ensemble (1) étant un domaine $A$ contiendrait un point intérieur $a$. Soit $K$ l'intérieur du cercle de centre $a$ et de rayon $\frac{1}{2}\rho(a \mathfrak{F}(A))$. L'ensemble $A-K$ est comme on voit aisément un continu, — $B$ est un domaine déterminé par ce continu et (2) est vérifiée si on remplace $A$ par $A-K$.

7. (2) étant supposé vérifiée, soit $z$ un point arbitraire de $R_2 — (B + A)$. L'ensemble $S_*(A)$ est alors un continu borné contenant $z$, l'ensemble $S_*(B)$ — un domaine borné déterminé par $S_*(B)$. On aura de plus:

$$ (4) \qquad \mathfrak{F}[S_*(B)] = S_*[\mathfrak{F}(B)] $$

et comme on peut appliquer le théorème de Phragmèn-Brouwer à $S_*(A)$, l'ensemble (4) est un continu. Si cet ensemble ne contient pas $z$, nous sommes au but car:

$$ (5) \qquad S_*[\mathfrak{F}[S_*(B)]] = S_*[S_*[\mathfrak{F}(B)]] = \mathfrak{F}(B) $$

est alors un continu. Donc nous supposerons:

$$ (6) \qquad z \subset \mathfrak{F}(S_*(B)). $$

<footnote n="1">1) Le symbole $\mathfrak{S}(a, b; R_2)$ est défini dans ma note: „Sur un ensemble $G_\delta$ etc.“ Fund. Math. I, p. 62, § 6.</footnote>
8. Supposons que $\mathfrak{F}(B)$ n'est pas continu, on a alors une décomposition:

$$ (7) \qquad \mathfrak{F}(B) = C_1 + C_2, \quad C_1 \neq 0, C_2 \neq 0, $$

$$ (8) \qquad C_1 \times C_2 = 0 $$

$C_1$ et $C_2$ étant fermés. Donc:

$$ (9) \qquad \mathfrak{F}(S_r(C)) = S_r(C_1) + S_r(C_2) $$

$S_r(C_1)$ et $S_r(C_2)$ étant fermés. (4) étant un continu on aura certainement:

$$ (10) \qquad S_r(C_1) \times S_r(C_2) \neq 0. $$

Mais d'après (8), $S_r(C_1) \times S_r(C_2)$ ne peut contenir que le point $z$. Donc:

$$ (11) \qquad S_r(C_1) \times S_r(C_2) = z. $$

Remarquons encore, que $S_r(C_1)$ et $S_r(C_2)$ sont continus. En effet supposons le contraire pour $S_r(C_1)$ p. e. On aura une décomposition:

$$ (12) \quad S_r(C_1) = P_1 + P_2 \quad P_1 \times P_2 = 0 \quad P_1 \text{ et } P_2 \text{ fermés, non vides} $$

$z$ est contenu dans un seulement des deux ensembles $P_1, P_2$, p. e. dans le premier, et on a en vertu de (11)

$$ (13) \qquad S_r(C_2) \times P_2 \subset S_r(C_2) \times S_r(C_1) \times P_2 \subset z \times P_2 = 0 $$

$$ (14) \qquad [S_r(C_2) + P_1] \times P_2 = (S_r(C_2) \times P_2) + (P_1 \times P_2) = 0 $$

$$ (15) \qquad [S_r(C_2) + P_1] + P_2 = \mathfrak{F}(S_r(B)) $$

les ensembles $[S_r(C_2) + P_1]$ et $P_2$ étant fermés, non vides. Mais (14), (15) montrent que $\mathfrak{F}(S_r(B))$ n'est pas continu, contrairement à ce qui a été démontré.

9. L'ensemble $R_2 = [\mathfrak{F}(S_r(B)) + S_r(B)]$ se décompose en une infinité dénombrable ou en un nombre fini de domaines connexes sans points communs, désignons les par $D_1, D_2, \dots$, dont les frontières sont des continus, car $\mathfrak{F}(S_r(B)) + S_r(B)$ est borné, donc on peut appliquer le théorème de Phragmén-Brouver. On a de plus:

$$ (16) \qquad \mathfrak{F}(D_n) \subset \mathfrak{F}(S_r(B)). $$

10. On a pour toute entier $n$, pour lequel $D_n$ existe l'une des deux relations:
$$ (17) \qquad \begin{aligned} \mathfrak{F}(D_n) &\subset S_n(C_1) \\ \mathfrak{F}(D_n) &\subset S_n(C_2). \end{aligned} $$

En effet, dans le cas contraire, d'après (11) les ensembles :

$$ (18) \qquad G_1 = \mathfrak{F}(D_n) \times S_n(C_1) $$

$$ (19) \qquad G_2 = \mathfrak{F}(D_n) \times S_n(C_2) $$

seraient des continus n'ayant que le point $z$ en commun (d'après 11). On a, en vertu de (16), (19) :

$$ (20) \qquad G_1 + G_2 = \mathfrak{F}(D_n). $$

Soit $y$ un point arbitraire de $S_x(B)$, $y'$ — un point de $D_n$; $\mathfrak{F}(D_n)$ est evidemment un $\mathfrak{S}(y, y'; R_2)$. Soit $y''$ un point de $G_2 - G_1$, $H$ l'intérieur du cercle de centre $y''$ et de rayon $\frac{1}{2}\rho(y'', G_1)$. On a :

$$ (21) \qquad (S_x(B) + D_n + H) \times G_1 = 0 $$

et $S_x(B) + D_n + H$ est un domaine connexe, contenant $y$ et $y'$. En effet, $y''$ est un point de $\mathfrak{F}(D_n)$, donc un point limite de $D_n$ et en même temps un point de $\mathfrak{F}(S_x(B))$ donc — point limite de $S_x(B)$. $H$ contient par suite de points de $D_n$ et de points de $S_x(B)$.

Il en résulte l'existence d'un continu contenant $y$ et $y'$ et contenu dans $H + D_n + S_x(B)$; désignons le par $L$. Comme d'après (21)

$$ (22) \qquad L \times G_1 = 0 $$

on voit que $G_1$ n'est pas un $\mathfrak{S}(y, y'; R_2)$. De même on démontre que $G_2$ n'est pas un $\mathfrak{S}(y, y'; R_2)$. Comme $G_1 \times G_2 = z$ il en résulte d'après 5, que $\mathfrak{F}(D_n)$ n'est pas un $\mathfrak{S}(y, y'; R_2)$. On arrive ainsi à une contradiction. Donc nous avons démontré, qu'on a nécessairement une des deux relations (17).

11. Ces deux relations s'excluant, nous pouvons décomposer la suite $\{D_n\}$ en deux suites $\{U_k\}$, $\{V_k\}$, la première comprenant tous les $D_n$ pour lesquels $\mathfrak{F}(D_n) \subset S_n(C_1)$ — la seconde les $D_n$ pour lesquels $\mathfrak{F}(D_n) \subset S_n(C_2)$.

12. Posons :

$$ (23) \qquad M_1 = S_n(C_1) + \left( S_n(A) \times \sum_k U_k \right) $$

$$ (24) \qquad M_2 = S_n(C_2) + \left( S_n(A) \times \sum_k V_k \right). $$
On aura:

$$ (25) \qquad \begin{aligned} M_1 + M_2 &= \mathfrak{F}(S_x(B)) + \left(S_x(A) \times \sum_n D_n\right) = \\ &= S_x(A) \times \left[S_x(B) + \mathfrak{F}(S_x(B)) + \sum_n D_n\right] = S_x(A) \times R_2 = S_x(A) \end{aligned} $$

$$ (26) \quad \begin{aligned} M_1 \times M_2 &= [S_x(C_1) \times S_x(C_2)] + [S_x(C_1) \times S_x(A) \times \sum_k V_k] + \\ & \quad + [S_x(C_2) \times S_x(A) \times \sum_k U_k] + [S_x(A) \times \sum_{k,l} (U_k \times V_l)] = z. \end{aligned} $$

13. Je dis que $M_1$ et $M_2$ sont fermés. Il suffit de le démontrer pour $M_1$. Soit $p$ un point limite de $M_1$. Il existe une suite de points de $M_1$: $p_1, p_2, \dots$ telle que:

$$ (27) \qquad \lim_{m \to \infty} p_m = p. $$

Si dans la suite $\{p_m\}$ il y a une infinité de points de $S_x(C_1)$, alors $p$ est point limite de $S_x(C_1)$, donc, cet ensemble étant fermé on a:

$$ (28) \qquad p \subset S_x(C_1) \subset M_1. $$

Si dans la suite $\{p_m\}$ il y a une infinité de points appartenant à un même $U_k$, alors

$$ (29) \qquad p \subset U_k + \mathfrak{F}(U_k) $$

et comme on a $p \subset S_x(A)$ et $\mathfrak{F}(U_k) \subset S_x(C_1)$:

$$ (30) \qquad p \subset (S_x(A) \times U_k) + S_x(C_1) \subset M_1. $$

Enfin, si les deux cas considérés sont en défaut, on peut à tout $\varepsilon > 0$ faire correspondre deux points $p_{m_1}, p_{m_2}$ tels que:

$$ (31) \qquad \varrho(p, p_{m_1}) \le \varepsilon $$

$$ (32) \qquad \varrho(p, p_{m_2}) \le \varepsilon $$

$$ (33) \qquad p_{m_1} \subset U_{k_1}, \quad p_{m_2} \subset U_{k_2}, \quad k_1 \ne k_2. $$

Le segment de droite $\overline{p_{m_1} p_{m_2}}$, reliant le point $p_{m_1}$ intérieur à $U_{k_1}$, avec $p_{m_2}$ extérieur à $U_{k_1}$ contient un point $p' \subset \mathfrak{F}(U_{k_1}) \subset S_x(C_1)$. On a evident:

$$ (34) \qquad \varrho(p, p') \le \varepsilon $$

$\varepsilon$ étant quelconque on voit, que dans ce cas $p$ est encore point limite de $S_x(C_1)$, ce qui entraîne (28). On voit ainsi que $M_1$ est fermé c. q. f. d.
14. (25), (26) entraînent:

$$
(34) \qquad A = S_x(S_x(A)) = S_x(M_1) + S_x(M_2)
$$

$$
(35) \qquad S_x(M_1) \times S_x(M_2) = 0
$$

puisque la transformation rejette z à l'infini. D'après (7), (23), (24)

$$
(36) \quad S_x(M_1) \supsetneq S_x(S_x(C_1)) = C_1 \neq 0; \quad S_x(M_2) \supsetneq C_2 \neq 0
$$

(34), (35), (36) montrent. — $S(M_1)$ et $S_x(M_2)$ étant fermés d'après
13 — que $A$ n'est pas un continu, contrairement à la supposition.
L'hypothèse que $\mathfrak{F}(B)$ n'est pas continu entraîne une contradiction,
donc $\mathfrak{F}(B)$ est un continu et le théorème de Phragmèn-Brouwer
est démontré pour les continus non bornés. —