Sur une propriété topologique
des ensembles dénombrables denses en soi.

Par
Wacław Sierpiński (Warszawa).

Le but de cette note est de démontrer le suivant

*Théorème*<fnref n="1" />). Tous les ensembles dénombrables denses en soi (situés dans un espace euclidien à un nombre quelconque de dimensions) sont homéomorphes.

Démonstration. Soient $E$ et $E'$ deux ensembles dénombrables et denses en soi. Comme tout ensemble de points de l'espace à $m$ dimensions peut être regardé comme un ensemble de points de l'espace à $n>m$ dimensions, on peut admettre que les ensembles $E$ et $E'$ appartiennent au même espace à $n$ dimensions. Pour abréger l'écriture, nous donneons la démonstration pour $n=2$, mais notre raisonnement sera valable (avec des modifications évidentes) pour un nombre quelconque de dimensions. Enfin, tout ensemble de points étant évidemment homéomorphe à un ensemble borné, nous pouvons admettre que les ensembles $E$ et $E'$ sont bornés.

Soit $R$ un rectangle aux côtés parallèles à l'axes de coordonnées et tel que l'ensemble $E$ est intérieur à $R$. L'ensemble $E$ étant dénombrable, nous concluons sans peine qu'il existe un ensemble dense formé de parallèles à l'axe d'abscisses et dont aucune ne contient de points de $E$.

<footnote n="1">¹) J'ai signalé déjà ce théorème dans la note *L'homéomorphisme des espaces rationnels*, Wektor 1915.</footnote>
Soient:

$$ (1) \qquad \mu_1, \mu_2, \mu_3, \dots $$

un ensemble dense et dénombrable de telles parallèles à l'axe d'abscisses et

$$ (2) \qquad v_1, v_2, v_3, \dots $$

un ensemble analogue (dense et ne contenant de points de $E$) de parallèles à l'axe d'ordonnées.

Je dis qu'il existe dans la suite infinie

$$ (3) \qquad \mu_1, v_1, \mu_2, v_2, \mu_3, v_3, \dots $$

au moins une droite $\lambda$ qui divise le rectangle $R$ en deux rectangles dont chacun contient des points de $E$.

Soient, en effet, $q_1$ et $q_2$ deux points de $E$. Si la droite $q_1q_2$ n'est pas parallèle à l'axe d'abscisses, les points $q_1$ et $q_2$ ont des ordonnées différentes et il existe évidemment dans la suite (1) au moins une droite $\mu$ telle que les points $q_1$ et $q_2$ se trouvent dans des parties différentes en lesquelles la droite $\mu$ coupe le plan. Comme parallèle à l'un des côtés de $R$, la droite $\mu$ divise $R$ en deux rectangles désirés. Si la droite $q_1q_2$ est parallèle à l'axe d'abscisses, elle ne l'est pas à l'axe d'ordonnées et le même raisonnement s'applique à la suite (2).

Soit

$$ (4) \qquad q_1, q_2, q_3, \dots $$

une suite infinie contenant tous les points de l'ensemble $E$.

Posons $p_0=q_1$ et soit $\lambda$ la première droite de la suite (3) qui divise le rectangle $R$ en deux rectangles dont chacun contient des points de $E$. Désignons par $R_0$ celui d'entre eux qui contient le point $p_0$; l'autre sera désigné par $R_1$.

$p_0$ est évidemment le premier point de la suite (4) contenu dans $R_0$; soit $p_1$ le premier point de la suite (4) contenu dans $R_1$.

$E_0$ et $E_1$ désignant les parties de $E$ contenues respectivement dans $R_0$ et $R_1$, on voit sans peine que chacun des ensembles $E_0$ et $E_1$ est dénombrable dense en soi et que $E=E_0+E_1$.

En raisonnant sur $R_0$ et $E_0$ comme plus haut sur $R$ et $E$, on voit qu'il existe dans la suite (3) au moins une droite — soit $\lambda_0$ la première d'entre elles — qui divise le rectangle $R_0$
en deux rectangles dont chacun contient des points de $E_0$, donc aussi de $E$. Désignons en par $R_{00}$ celui qui contient le point $p_{00}=p_0$; l'autre sera désigné par $R_{01}$. Soit $p_{01}$ le premier point de la suite (4) contenu dans $R_{01}$. Nous définissons d'une façon analogue les rectangles $R_{10}$ et $R_{11}$ et les points $p_{10}=p_1$ et $p_{11}$.

D'une façon générale, $a_1, a_2, a_3, ...$ étant des nombres 0 ou 1, nous pouvons considérer les rectangles $R_{a_1 a_2 ... a_n}$, les ensembles $E_{a_1 a_2 ... a_n}$ et les points $p_{a_1 a_2 ... a_n}$. Tout rectangle $R_{a_1 a_2 ... a_n}$ aura des côtés parallèles aux axes de coordonnées et ne contiendra sur son contour aucun point de $E$; $p_{a_1 a_2 ... a_n}$ sera le premier point de la suite (4) intérieur à $R_{a_1 a_2 ... a_n}$. Si l'on désigne par $\lambda_{a_1 a_2 ... a_n}$ la première droite de la suite (3) qui divise le rectangle $R_{a_1 a_2 ... a_n}$ en deux rectangles dont chacun contient des points de $E$, $R_{a_1 a_2 ... a_n 0}$ sera celui d'entre eux qui contient le point $p_{a_1 a_2 ... a_n}$; l'autre sera désigné par $R_{a_1 a_1 ... a_n 1}$. $E_{a_1 a_2 ... a_n}$ désignera la partie de $E$, contenue dans $R_{a_1 a_2 ... a_n}$: c'est un ensemble dénombrable, dense en soi.

Soit $a_1, a_2, a_3, ...$ une suite infinie donnée de nombres 0 et 1. Je dis que le diamètre de $E_{a_1 a_2 ... a_n}$ tend vers 0 avec $n \to \infty$.

Dans le cas contraire, il existerait, en effet, un nombre positif $\delta$ et une suite infinie croissante d'indices $n_1, n_2, n_3, ...$ tels que le diamètre de $E_{a_1 a_2 ... a_{n_K}}$ dépasserait $\delta$ pour $k=1, 2, 3, ...$ Il s'en suit qu'il existe dans $E_{a_1 a_2 ... a_{n_K}}$ deux points, soit $u_K$ et $v_K$ avec la distance $u_K v_K$ dépassant $\delta$. L'ensemble $E$ étant borné et $u_K, v_K$ appartenant évidemment à $E$, il en résulte, comme on sait, l'existence d'une suite infinie croissante d'indices $k_1, k_2, ...$ pour laquelle les suites des points $u_{k_S}$ et $v_{k_S}$ ($s=1, 2, ...$) sont convergentes. Posons:

$$ (5) \qquad \lim_{s \to \infty} u_{k_S} = u, \qquad \lim_{s \to \infty} v_{k_S} = v. $$

Les distances $u_{k_S} v_{k_S}$ dépassant $\delta$ (pour $s=1, 2, ...$), il résulte de (5) que la distance $uv$ n'est pas inférieure à $\delta$. Par conséquent, il existe dans la suite (3) une droite $\lambda$ qui coupe le plan entre les points $u$ et $v$. Je dis que la droite $\lambda$ divise chaque rectangle $R_{a_1 a_2 ... a_n}$ ($n=1, 2, ...$) en deux rectangles dont chacun contient des points de $E$. En effet, l'ensemble $E_{a_1 a_2 ... a_n}$ contenant toujours l'ensemble $E_{a_1 a_2 ... a_n a_{n+1}}$, on voit sans peine que, pour $n$ donné et $s$ suffisamment grand, les points $u_{k_S}$ et $v_{k_S}$
appartiennent tous les deux à $E_{a_1 a_2 \dots a_n}$; s'ils étaient tous (pour s
suffisamment grands) dans une même partie du plan par rapport
à $\lambda$, il résulte de (5) que les points $u$ et $v$ ne pourraient
être situés de deux côtés différents de la droite $\lambda$, contraire-
ment à la définition de cette droite. Soit $r$ le (plus petit) numéro
de la droite $\lambda$ dans la suite (3). Soit, d'une façon générale, $r_n$
le (plus petit) numéro de la droite extraite de la suite (3) qui
divise le rectangle $R_{a_1 a_2 \dots a_n}$ en rectangles $R_{a_1 a_2 \dots a_n 0}$ et $R_{a_1 a_2 \dots a_n 1}$.
En vertu de la définition des ces rectangles, la suite $r_1, r_2, r_3, \dots$
est croissante et il existerait donc un indice $n$ tel que $r_n > r$.

Or, c'est impossible, car alors le $r_n$-ième terme de la suite (3) ne serait pas la première droite de cette suite qui divise $R_{a_1 a_2 \dots a_n}$ en deux rectangles dont chacun contient des points de $E$ (puisque le $r$-ième terme de la suite (3) jouit de la même propriété). Il est ainsi démontré que (pour toute suite $a_1, a_2, \dots$ donnée) le diamètre de $E_{a_1 a_2 \dots a_n}$ tend vers 0 avec $n \to \infty$.

Nous allons démontrer maintenant que tout point de $E$ est un $p_{a_1 a_2 \dots a_n}$.

En effet, soit $p$ un point de $E$. Soit $R_{a_1}$ celui des deux rectangles $R_0$ et $R_1$ qui contient $p$. Soit $R_{a_1 a_2}$ celui des deux rectangles $R_{a_1 0}$ et $R_{a_1 1}$ qui contient $p$, et ainsi de suite. Nous arrivons ainsi à une suite infinie de rectangles

$$
R_{a_1}, R_{a_1 a_2}, R_{a_1 a_2 a_3}, \dots
$$

dont chacun contient le point $p$; ce dernier appartient donc
aussi à chacun des ensembles $E_{a_1 a_2 \dots a_n} (n=1,2,\dots)$. Comme un
point de $E$, $p$ est un terme de la suite (4); soit $p$. ex. $p=q_m$.
Or, il résulte sans peine de la définition des points $p_{a_1 a_2 \dots a_n}$
que si $p$ est un point de $E_{a_1 a_2 \dots a_n}$, l'indice de $p_{a_1 a_2 \dots a_n}$ dans
la suite (4) n'est pas supérieur à celui de $p$ dans cette suite.
Donc, comme $p=q_m$, tout terme de la suite

$$
(6) \qquad p_{a_1}, p_{a_1 a_2}, p_{a_1 a_2 a_3}, \dots
$$

a dans (4) un indice $\le m$. Par conséquent, un au moins des
points de la suite (6), soit $q$, figure dans la suite (6) une infinité
de fois. Il en résulte sans peine que $q$ appartient à chacun des en-
sembles $E_{a_1}$, $E_{a_1 a_2}$,\dots (puisque, chacun d'eux contenant tous les
suivants, $E_{a_1 a_2 \dots a_n}$ contient les points $p_{a_1 a_2 \dots a_n}, p_{a_1 a_2 \dots a_{n+1}}, \dots$). Chacun des ensembles $E_{a_1 a_2 \dots a_n}$ contient donc les points $p$ et $q$ et, par suite, est de diamètre non inférieur à la distance entre $p$ et $q$, ce qui n'est possible que dans le cas où $p=q$ (puisque, comme nous avons démontré plus haut, le diamètre de $E_{a_1 a_2 \dots a_n}$ tend vers 0 avec $n \to \infty$). Nous avons donc démontré que $p=q$, c. à. d. que $p$ est un terme de la suite (6). Ainsi, l'ensemble de tous les points $p_{a_1 a_2 \dots a_n} (a_1, a_2, \dots)$ étant des 0 ou 1) constitue l'ensemble $E$.

On voit sans peine que deux points $p_{a_1 a_2 \dots a_n}$ et $p_{\beta_1 \beta_2 \dots \beta_m}$ (où $m \ge n$) coïncident dans le cas où $a_i = \beta_i$ pour $i=1, 2, \dots, n$ et $\beta_i = 0$ pour $i=n+1, n+2, \dots$ — et dans ce cas seulement.

Soit maintenant $E'$ un autre ensemble dénombrable et dense en soi. En opérant sur $E'$ comme sur $E$, nous obtenons pour $E'$ les rectangles $R'_{a_1 a_2 \dots a_n}$, les ensembles $E'_{a_1 a_2 \dots a_n}$ et les points $p'_{a_1 a_2 \dots a_n}$.

Faisons correspondre à tout point $p_{a_1 a_2 \dots a_n}$ de $E$ le point $p'_{a_1 a_2 \dots a_n}$ de $E'$. On voit aisément que c'est une correspondance biunivoque entre les points de $E$ et ceux de $E'$. Je dis que cette correspondance est bicontinue.

En effet, soit $p_{a_1 a_2 \dots a_n}$ un point de $E$ et $\varepsilon$ un nombre positif donné. Chacun des ensembles

$E'_{a_1 a_2 \dots a_n}$, $E'_{a_1 a_2 \dots a_n 0}$, $E'_{a_1 a_2 \dots a_n 00}$, $E'_{a_1 a_2 \dots a_n 000}$, ...

contient le point $p'_{a_1 a_2 \dots a_n} = p'_{a_1 a_2 \dots a_n 0} = p'_{a_1 a_2 \dots a_n 00} = \dots$ et le diamètre de ces ensembles tend vers 0. Soit $E'_{a_1 a_2 \dots a_n 0 \dots 0}$ l'un d'eux (à $n+k$ indices) de diamètre $<\varepsilon$. Le point $p_{a_1 a_2 \dots a_n}$ est évidemment intérieur au rectangle $R_{a_1 a_2 \dots a_n 0 \dots 0}$ (à $n+k$ indices). Soit $p$ un point quelconque de $E$, intérieur au même rectangle. C'est évidemment un point de $E_{a_1 a_2 \dots a_n 0 \dots 0}$ et son image $p'$ appartient par conséquent à $E'_{a_1 a_2 \dots a_n 0 \dots 0}$; elle est donc à une distance de $p'_{a_1 a_2 \dots a_n}$ inférieure à $\varepsilon$. Nous avons ainsi démontré que, pour tout point $p_{a_1 a_2 \dots a_n}$ de $E$ et pour tout nombre positif $\varepsilon$, il existe un rectangle contenant $p_{a_1 a_2 \dots a_n}$ et tel que l'image de tout point de $E$ intérieur à ce rectangle
se trouve à une distance moindre que $\varepsilon$ de l'image $p'_{a_1 a_2 \dots a_n}$ de $p_{a_1 a_2 \dots a_n}$. Cela prouve que, dans notre correspondance, $E'$ est une image continue de $E$. On démontre de même que, dans cette correspondance, $E$ est une image continue de $E'$. La correspondance entre $E$ et $E'$ est donc biunivoque et bicontinue, c. à. d. que $E$ et $E'$ sont homéomorphes.

Les points $p_0$ et $p_0'$ étant par hypothèse deux points quel-
conques de $E$ et $E'$, nous avons démontré en même temps
qu’il existe une correspondance biunivoque et bicontinue
entre $E$ et $E'$ transformant un point quelconque de $E$ en un
point quelconque de $E'$. Autrement dit, *tout ensemble dénom-
brable dense en soi est topologiquement homogène*.

Notre théorème permet aussi de démontrer sans peine
que *tout ensemble dénombrable dans l'espace à m dimensions*
*est homéomorphe à un ensemble de nombres rationnels (donc*
*à un ensemble linéaire).*

Soit, en effet, $E$ un ensemble dénombrable dans l'espace
euclidien à $m$ dimensions. Soit $R_m$ l'ensemble des points de cet
espace dont toutes les coordonnées sont rationnelles; $R_m$ est donc
dénombrable dense en soi et il en est de même de $P=\mathbb{R}_m+E$.

D'après notre théorème, *P* est homéomorphe à *R*₁. Par conséquent, le sous-ensemble *E* de *P* est homéomorphe à un sous-ensemble de *R*₁, c. q. f. d.

Un des cas particuliers les plus intéressants de notre théorème est celui d'après lequel l'ensemble de tous les nombres rationnels et l'ensemble de tous les points du plan aux coordonnées rationnelles sont homéomorphes. Ce théorème a été démontré par moi sur une autre voie dans ma note citée.

En voici encore un autre cas particulier intéressant. Soit *P* un ensemble parfait linéaire non-dense, *E* l'ensemble de toutes les extrémités gauches des intervalles contigus à *P*. L'ensemble *E* est évidemment dénombrable et dense en soi, donc, d'après notre théorème, homéomorphe à l'ensemble de tous les nombres rationnels. Ce résultat est remarquable, puisque tout point de *E* n'en est un point d'accumulation que du côté droit, tandis que tout point de *R*₁ en est un des deux côtés.