# Relations algébriques entre valeurs de E-fonctions ou de M-fonctions

Boris Adamczewski, Colin Faverjon

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Boris Adamczewski, Colin Faverjon. Relations algébriques entre valeurs de E-fonctions ou de M-fonctions. 2023. hal-04021940

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Preprint submitted on 9 Mar 2023

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# RELATIONS ALGÉBRIQUES ENTRE VALEURS DE $E$-FONCTIONS OU DE $M$-FONCTIONS

BORIS ADAMCZEWSKI AND COLIN FAVERJON

RÉSUMÉ. Nous montrons que toutes les relations algébriques sur $\overline{\mathbb{Q}}$ entre les valeurs prises par des $E$-fonctions de Siegel en un point algébrique non nul sont d'origine fonctionnelle, en ce sens qu'elles s'obtiennent par dégénérescence de relations algébro-différentielles sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$ entre les fonctions considérées. Nous obtenons un résultat analogue pour les $M_q$-fonctions de Mahler, dans lequel les relations dites $\sigma_q$-algébriques se substituent aux relations algébro-différentielles. Nous donnons également plusieurs conséquences de ce résultat, notamment concernant certains phénomènes de descente. Le point de vue adopté révèle des similitudes frappantes entre la théorie des $E$-fonctions et celle des $M_q$-fonctions.

## 1. INTRODUCTION

La théorie des nombres transcendants est mue par deux objectifs principaux. Un ensemble de nombres complexes $\Xi$ étant fixé, il s'agit d'une part d'être capable de déterminer, pour tous $\xi_1, \dots, \xi_r \in \Xi$, l'ensemble des relations algébriques ou linéaires entre ces nombres sur le corps $\overline{\mathbb{Q}}$ des nombres algébriques ou un sous-corps de ce dernier et, d'autre part, d'en trouver la raison d'être. Ces deux problèmes sont naturellement liés et le second, plus ambigu, dépend bien sûr de la façon dont les éléments de $\Xi$ sont définis.

Par exemple, si $\Xi$ désigne l'anneau des périodes, une conjecture de Grothendieck prédit que les relations algébriques sont nécessairement d'origine motivique, ce qui répondrait dans ce cadre au second objectif tout en offrant un outil puissant pour atteindre le premier. Une formulation plus élémentaire, bien qu'équivalente, est donnée par la conjecture de Kontsevich et Zagier qui stipule que toute relation algébrique entre périodes découle des règles fondamentales de l'intégration que sont l'additivité, le changement de variables et la formule de Stokes. Pour davantage de détails sur ces deux conjectures et leurs liens voir [21, 22]. Si à présent on choisit pour $\Xi$ l'ensemble $\{(1/\sqrt{2\pi})\Gamma(r) : r \in \mathbb{Q}\}$, où $\Gamma$ est la fonction gamma d'Euler, la conjecture de Rohrlich-Lang prédit que les relations algébriques proviennent nécessairement de relations fonctionnelles strandard associées à $\Gamma$ (voir, par exemple, [31, Conjecture 22]). Outre le fait de s'inscrire dans une ambition commune, ces différentes conjectures ont pour point commun d'être considérées comme totalement hors de portée des méthodes actuelles.

Considérons des fonctions analytiques $f_1(z), \dots, f_r(z)$ dont le développement de Taylor à l'origine est à coefficients algébriques et un nombre algébrique non nul $\alpha$ appartenant à un domaine d'analyticité commun contenant 0. Dans ce contexte, les relations fonctionnelles, lorsqu'il en existe, sont une source évidente de relations entre les nombres $f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)$. En effet,
s'il existe une relation algébrique homogène sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$ entre $f_1(z), \dots, f_r(z)$,
c'est-à-dire s'il existe un polynôme $Q \in \overline{\mathbb{Q}}[z, X_1, \dots, X_r]$, homogène en les
variables $X_1, \dots, X_r$, tel que

$$
Q(z, f_1(z), \dots, f_r(z)) = 0,
$$

on obtient par spécialisation au point $\alpha$ une relation homogène de même
degré, à savoir

$$
P(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)) = 0,
$$

où $P(X_1, \dots, X_r) := Q(\alpha, X_1, \dots, X_r)$. Une telle relation sera dite *banale*, tandis que les relations algébriques ne pouvant s'obtenir de cette façon seront qualifiées de *non banales*. Trouver les relation banales entre les nombres $f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)$ revient donc à déterminer l'idéal des relations algébriques sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$ entre les fonctions $f_1(z), \dots, f_r(z)$. Ce n'est généralement pas une tâche aisée, mais lorsque les fonctions en question sont liées par des équations différentielles ou aux différences linéaires, les théories galoisiennes associées permettent d'obtenir des résultats probants (voir [27, 28]).

Notons que même dans des cas très simples, les relations banales n'épuisent pas nécessairement l'ensemble des relations algébriques. Par exemple, la fonction $f(z) := (z-1)e^z$ étant non nulle, la relation $f(1) = 0$ ne peut être banale. On peut néanmoins trouver une origine fonctionnelle à cette relation. En effet, celle-ci s'obtient par spécialisation au point $z = 1$ de la relation différentielle

$$
(1.1) \qquad zf(z) - (z-1)f'(z) = 0.
$$

Comme le coefficient de $f'$ s'annule en $z=1$, on dira que cette relation *dégénère* au point 1. Le lecteur, ou la lectrice, prendra garde au fait que le caractère banale d'une relation est relatif et se détermine au regard d'un ensemble de fonctions préalablement fixé. Ainsi, la relation $f(1)=0$ est non banale relativement à l'ensemble $\{f(z)\}$, mais elle est banale, d'après (1.1), relativement à l'ensemble $\{f(z), f'(z)\}$.

Dans cet article, nous étudions le cas où l'ensemble Ξ est composé des valeurs prises en un point α ∈ Q* par les éléments de l'anneau des E-fonctions de Siegel ou de celui des M_q-fonctions de Mahler. Le théorème 1.1 ci-après montre que dans le cadre des E-fonctions, dont f est justement un exemple, toutes les relations algébriques non banales s'obtiennent par dégénérescence de relations fonctionnelles algébro-différentielles, c'est-à-dire de façon similaire à (1.1). Il fournit également un résultat analogue pour les M_q-fonctions, dans lequel les relations dites σ_q-algébriques se substituent aux relations algébro-différentielles. Le point de vue adopté révèle des similitudes frappantes entre ces deux théories qu'il serait intéressant de développer plus avant. Celles-ci sont d'autant plus étonnantes que les E- et les M_q-fonctions sont de nature très différente. Par exemple, les E-fonctions sont entières, alors qu'une M_q-fonction qui n'est pas rationnelle admet le cercle unité comme coupure et est différentiellement transcendante (voir [6, 13]).

1.1. **Résultats principaux.** Notons $\delta := \frac{d}{dz}$ et, pour tout entier $k \ge 0$,
$\delta^k(f) = f^{(k)}(z)$. Une E-fonction est une série formelle de la forme $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!} z^n \in \overline{\mathbb{Q}}[[z]]$ qui satisfait à une équation différentielle linéaire à coefficients dans $\overline{\mathbb{Q}}[z]$, c'est-à-dire qu'il existe des polynômes $p_0(z), \dots, p_m(z) \in$
$\overline{\mathbb{Q}}[z]$, non tous nuls, tels que

$$p_0 f + p_1 \delta(f) + \dots + p_m \delta^{(m)}(f) = 0,$$

et dont la croissance arithmétique des coefficients est limitée par les deux conditions suivantes : il existe $C > 0$ et une suite d'entiers $d_n \ge 1$ tels que pour tout $\sigma \in \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ et tout entier $n \ge 1$, on a $|\sigma(a_n)| \le C^n$, $d_n \le C^n$ et $d_n a_i$ est un entier algébrique pour tout $i$, $1 \le i \le n$.

Pour tout entier $q \ge 2$, désignons par $\sigma_q$ l'endomorphisme injectif de $\overline{\mathbb{Q}}[[z]]$ défini par $\sigma_q(f) = f(z^q)$, de sorte que, pour tout entier $k \ge 0$, $\sigma_q^k(f) = f(z^{q^k})$. Une $M_q$-fonction est une série formelle de la forme $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n \in \overline{\mathbb{Q}}[[z]]$ qui satisfait à une équation aux différences $\sigma_q$-linéaire à coefficients dans $\overline{\mathbb{Q}}[z]$, c'est-à-dire qu'il existe des polynômes $p_0(z), \dots, p_m(z) \in \overline{\mathbb{Q}}[z]$, non tous nuls, tels que

$$(1.2) \qquad p_0 f + p_1 \sigma_q(f) + \dots + p_m \sigma_q^m(f) = 0.$$

Rappelons qu'une $M_q$-fonction est convergente (cf. [13, Lemma 4]) et admet donc, d'après (1.2) un prolongement méromorphe dans le disque unité ouvert.

Étant données $f_1(z), \dots, f_r(z) \in \overline{\mathbb{Q}}[[z]]$, on notera

$$\mathcal{I}(f_1, \dots, f_r) := \{ Q \in \overline{\mathbb{Q}}(z) [X_1, \dots, X_r] : Q(z, f_1(z), \dots, f_r(z)) = 0 \}$$

l'idéal des relations algébriques sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$ entre ces séries formelles. L'idéal des relations algébro-différentielles, ou $\delta$-algébriques, c'est-à-dire l'idéal des relations algébriques sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$ entre $f_1(z), \dots, f_r(z)$ et leurs dérivées successives, est noté

$$\mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r) := \{ Q \in \overline{\mathbb{Q}}(z) [(X_{i,j})_{1 \le i \le r, j \in \mathbb{N}}] : Q(z, \delta^j(f_i(z))_{1 \le i \le r, j \ge 0}) = 0 \}.$$

De façon similaire, on note $\mathcal{I}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r)$ l'idéal des relations $\sigma_q$-algébriques, c'est-à-dire l'idéal des relations algébriques sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$ entre $f_1, \dots, f_r$ et leurs images successives par l'opérateur $\sigma_q$. Une relation $Q$, $\delta$-algébrique ou $\sigma_q$-algébrique, est dite homogène si $Q$ est homogène en les variables $X_{i,j}$. En identifiant les variables $X_1, \dots, X_r$ et $X_{1,0}, \dots, X_{r,0}$, on obtient que

$$\mathcal{I}(f_1, \dots, f_r) \subset \mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r) \quad \text{et} \quad \mathcal{I}(f_1, \dots, f_r) \subset \mathcal{I}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r).$$

Une relation $\delta$-algébrique $Q \in \mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r) \setminus \mathcal{I}(f_1, \dots, f_r)$ dégénère en $\alpha$ si

$$Q \in \mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r) \setminus \mathcal{I}(f_1, \dots, f_r) \quad \text{et} \quad Q(\alpha, (X_{i,j})) \in \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r].$$

La dégénérescence d'une relation $\sigma_q$-algébrique est définie de façon similaire. Nous pouvons à présent énoncer le résultat principal de cet article.

**Théorème 1.1.** On a les deux résultats suivants.

(E) Soient $f_1(z), \dots, f_r(z)$ des E-fonctions et $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$. Toute relation algébrique homogène sur $\overline{\mathbb{Q}}$ non banale entre $f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)$ peut s'obtenir par dégénérescence en $\alpha$ d'une relation $\delta$-algébrique homogène entre les fonctions $f_1(z), \dots, f_r(z)$.

(M_q) Soient $f_1(z), \dots, f_r(z)$ des $M_q$-fonctions et $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}$, $0 < |\alpha| < 1$, un point qui n'est un pôle d'aucune de ces fonctions. Toute relation algébrique homogène sur $\overline{\mathbb{Q}}$ non banale entre $f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)$ peut s'obtenir par dégénérescence en $\alpha$ d'une relation $\sigma_q$-algébrique homogène entre les fonctions $f_1(z), \dots, f_r(z)$.
Remarque 1.2. Dans le cas (E), ce résultat repose sur deux ingrédients : un raffinement qualitatif du théorème de Siegel-Shidlovskii obtenu par Beukers [14] et le fait, démontré par André [9], que toute E-fonction est annulée par un E-opérateur différentiel. Les théorèmes de Siegel-Shidlovskii et de Beukers imposent aux fonctions $f_1(z), \dots, f_r(z)$ d’être liées par un système différentiel linéaire et au point $\alpha$ d’être un point régulier pour ce système (voir section 2.1). L’apport du théorème 1.1 est de supprimer ces deux restrictions. La démonstration du cas ($M_q$) est similaire : nous substituons au théorème de Beukers un résultat analogue dû à Philippon [26] et aux auteurs [2], et nous introduisons la notion de $M_q$-opérateur qui remplace celle de E-opérateur.

La profondeur d'une relation $Q$, $\delta$-algébrique ou $\sigma_q$-algébrique, est le plus petit entier $s$ tel que le support de $Q$ est inclus dans $\{(i, j) : 1 \le i \le r, 0 \le j \le s\}$. Dans le cas (E), nous verrons que toutes les relations algébriques s'obtiennent par dégénérescence de relations $\delta$-algébriques dont la profondeur est bornée indépendamment du point $\alpha$. Ceci n'est plus vrai dans le cas ($M_q$) (cf. exemple 8.3), mais la profondeur peut toutefois être bornée en fonction de $R$ pour tout $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}$ tel que $0 < |\alpha| < R < 1$.

Soit $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$. Notons $\mathbf{E} \subset \mathbb{C}$ l'ensemble formé des évaluations de toutes les E-fonctions au point $\alpha$. Comme l'anneau des E-fonctions est stable par le changement de variabe $z \mapsto \alpha z$, $\mathbf{E}$ ne dépend pas du choix de $\alpha$. Étant donné un sous-corps $\mathbb{K}$ de $\overline{\mathbb{Q}}$, on note $\mathbf{E}_{\mathbb{K}}$ l'ensemble formé de l'évaluation en $z = 1$ de toutes les E-fonctions à coefficients dans $\mathbb{K}$, de sorte que $\mathbf{E} = \cup_{\mathbb{K}} \mathbf{E}_{\mathbb{K}}$. De façon similaire, notons $\mathbf{M}_{q,\alpha}$ l'ensemble formé des évaluations au point $\alpha$ de toutes les $M_q$-fonctions qui n'ont pas de pôle en $\alpha$ et $\mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}}$ l'ensemble formé des évaluations au point $\alpha$ de toutes les $M_q$-fonctions à coefficients dans $\mathbb{K}$ qui n'ont pas de pôle en $\alpha$. Cette fois-ci, les ensembles obtenus dépendent du point $\alpha$. Les ensembles $\mathbf{E}$, $\mathbf{E}_{\mathbb{K}}$, $\mathbf{M}_{q,\alpha}$ et $\mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}}$ sont tous des anneaux.

Le résultat suivant découle directement du théorème 1.1 (cf. section 6).

**Corollaire 1.3.** Soient $\mathbb{K} \subset \overline{\mathbb{Q}}$ un corps et $\alpha \in \mathbb{K}$, $0 < |\alpha| < 1$. On a les deux résultats suivants.

(E) Des éléments de $\mathbf{E}_{\mathbb{K}}$ sont linéairement dépendants sur $\overline{\mathbb{Q}}$ si, et seulement si, ils le sont sur $\mathbb{K}$. En d'autres termes, les $\mathbb{K}$-algèbres $\mathbf{E}_{\mathbb{K}}$ et $\overline{\mathbb{Q}}$ sont linéairement disjointes et $\mathbf{E} = \mathbf{E}_{\mathbb{K}} \otimes_{\mathbb{K}} \overline{\mathbb{Q}}$.

(M_q) Des éléments de $\mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}}$ sont linéairement dépendants sur $\overline{\mathbb{Q}}$ si, et seulement si, ils le sont sur $\mathbb{K}$. En d'autres termes, les $\mathbb{K}$-algèbres $\mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}}$ et $\overline{\mathbb{Q}}$ sont linéairement disjointes et

$$ \mathbf{M}_{q,\alpha} = \mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}} \otimes_{\mathbb{K}} \overline{\mathbb{Q}}. $$

Le cas (E) a été obtenu indépendamment par Fischler et Rivoal [20, Theorem 2]. Le cas ($M_q$) est dû aux auteurs [2, théorème 1.7]. Le théorème 1.1 permet d'obtenir une démonstration unifiée des deux cas.

1.2. **Organisation de l'article.** La démonstration du théorème 1.1 occupe la section 2. Dans la section 3, nous expliquons brièvement comment le théorème 1.1 peut être utilisé pour atteindre le premier objectif évoqué, à savoir la détermination effective des relations algébriques entre les valeurs prises par des E- ou des $M_q$-fonctions fixées en un point algébrique $\alpha$ lui-aussi fixé.
Une caractéristique fondamentale des relations banales est leur permanence : l'existence d'une relation banale en un point $\alpha$ implique l'existence d'une relation de même type (i.e. banale et homogène de même degré) en tout point algébrique non nul du domaine d'analyticité commun aux fonctions sous-jacentes. Dans le cadre des E- et des $M_q$-fonctions, nous montrons dans la section 4 que les relations non banales sont quant à elles sporadiques. Nous décrivons brièvement la structure des idéaux de la forme $\mathfrak{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$ et $\mathfrak{I}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r)$ dans la section 5. Dans la section 6, nous montrons comment le corollaire 1.3 découle du théorème 1.1 et nous mentionnons également quelques conséquences directes de ce résultat. La section 7 est inspirée par l'article récent [20] de Fischler et Rivoal. Nous y montrons comment utiliser le théorème 1.1 pour obtenir l'analogue dans le cas des $M_q$-fonctions de certains de leurs résultats. Là encore, le théorème 1.1 permet de déduire de façon unifiée les résultats obtenus pour les E- et pour les $M_q$-fonctions. Dans la section 8, nous illustrons le théorème 1.1 à travers quelques exemples.

## 2. PREUVE DU THÉORÈME 1.1

Dans cette section, nous démontrons le théorème 1.1. Pour ce faire, nous rappelons quelques résultats concernant les E- et les $M_q$-fonctions, puis nous introduisons la notion de $M_q$-opérateur (de niveau R) qui jouera dans la preuve du cas ($M_q$) du théorème 1.1, le rôle joué par les E-opérateurs différentiels dans le cas (E).

### 2.1. Rappels concernant la théorie les E-fonctions.
Étant donné un système différentiel linéaire d'ordre 1 :

$$ (2.1) \qquad \mathbf{Y}'(z) = A(z)\mathbf{Y}(z), \quad A(z) \in \mathcal{M}_m(\overline{\mathbb{Q}}(z)), $$

le point $\alpha \in \mathbb{C}$ est dit régulier si la matrice $A(z)$ est bien définie en $\alpha$ et singulier sinon. Les singularités d'un opérateur différentiel

$$ L = a_0(z) + a_1(z)\delta + \dots + a_m(z)\delta^m \in \overline{\mathbb{Q}}[z, \delta] $$

sont les racines du polynôme $a_m(z)$, lesquelles correspondent également aux singularités du système différentiel associé à la matrice compagnon de $L$ :

$$ A_L := \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ -\frac{a_0(z)}{a_m(z)} & -\frac{a_1(z)}{a_m(z)} & \cdots & \cdots & -\frac{a_{m-1}(z)}{a_m(z)} \end{pmatrix}. $$

Le résultat fondamental de la théorie des E-fonctions est le théorème de Siegel-Shidlovskii (voir, par exemple, [30]).

**Théorème E1.** Soient $f_1(z), \dots, f_m(z)$ des E-fonctions formant un vecteur solution d'un système différentiel linéaire de la forme (2.1) et $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$ un point régulier relativement à ce système. Alors, on a

$$ \deg \operatorname{tr}_{\overline{\mathbb{Q}}}(f_1(\alpha), \dots, f_m(\alpha)) = \deg \operatorname{tr}_{\overline{\mathbb{Q}}(z)}(f_1(z), \dots, f_m(z)). $$
Le théorème E1 est un énoncé quantitatif exprimant une égalité de dimension, à savoir celle des dimensions de Krull des anneaux $\overline{\mathbb{Q}}[f_1(\alpha), \dots, f_m(\alpha)]$ et $\overline{\mathbb{Q}}(z)[f_1(z), \dots, f_m(z)]$. Dans [14], Beukers a obtenu un raffinement remarquable du théorème de Siegel-Shidlovskii ; il s'agit d'un énoncé qualitatif qui tient compte de chaque relation algébrique homogène sur $\overline{\mathbb{Q}}$ entre les nombres $f_1(\alpha), \dots, f_m(\alpha)$ et qui peut s'énoncer comme suit.

**Théorème E2.** *Sous les hypothèses du théorème E1, toute relation algébrique homogène sur $\overline{\mathbb{Q}}$ entre les nombres $f_1(\alpha), \dots, f_m(\alpha)$ est banale.*

Dans [9], André introduit la notion de E-opérateur différentiel et montre que toute E-fonction est annulée par un tel opérateur. La démonstration du théorème E2 par Beukers repose sur ce résultat d'André et plus précisément sur le fait que les seules singularités d'un E-opérateur sont 0 et $\infty$. André [11] a également montré comment déduire le théorème E2 du théorème de Siegel-Shidlovskii en développant une nouvelle correspondance de Galois pour les systèmes différentiels linéaires.

**2.2. Rappels concernant la théorie des $M_q$-fonctions.** Tout comme dans le cas différentiel, il est parfois plus commode de travailler avec des systèmes $q$-mahlériens linéaire d'ordre 1, plutôt qu'avec des équations $q$-mahlériennes. Un tel système est de la forme :

$$ (2.2) \qquad \mathbf{Y}(z^q) = A(z)\mathbf{Y}(z), \quad A(z) \in \mathrm{GL}_m(\overline{\mathbb{Q}}(z)). $$

Le point $\alpha \in \mathbb{C}$ est dit régulier si la matrice $A(z)$ est bien définie et inversible en $\alpha^q$ pour tout $\ell \ge 0$.

L'analogue du théorème de Siegel-Shidlovskii dans ce cadre est un théorème de Ku. Nishioka [25].

**Théorème M1.** *Soient $f_1(z), \dots, f_m(z)$ des $M_q$-fonctions formant un vecteur solution d'un système mahlérien linéaire de la forme (2.2) et $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}$, $0 < |\alpha| < 1$, un point régulier relativement à ce système. Alors, on a*

$$ \deg \mathrm{tr}_{\overline{\mathbb{Q}}}(f_1(\alpha), \dots, f_m(\alpha)) = \deg \mathrm{tr}_{\overline{\mathbb{Q}}(z)}(f_1(z), \dots, f_m(z)). $$

L'analogue du théorème E2 a été obtenu dans [2] à partir d'une version légèrement plus faible<fnref n="1" /> démontrée par Philippon [26].

**Théorème M2.** *Sous les hypothèses du théorème M1, toute relation algébrique homogène sur $\overline{\mathbb{Q}}$ entre les nombres $f_1(\alpha), \dots, f_m(\alpha)$ est banale.*

Dans [2, 26], le théorème M2 est déduit du théorème M1 (voir également [24] pour une démonstration analogue à celle donnée par André [11] du théorème E2). Une nouvelle preuve des théorèmes M1 et M2, ainsi que leurs généralisations à des fonctions mahlériennes de plusieurs variables, ont été récemment obtenues par les auteurs (voir [4, 5]). Dans cette approche, on démontre directement le théorème M2 et on en déduit le théorème M1 par un argument déjà utilisé par Shidlovskii dans sa preuve du théorème E1.

<footnote n="1">1. La version obtenue dans [26] ne tient pas compte du caractère homogène des relations.</footnote>
2.3. $M_q$-opérateurs. Un $\sigma_q$-opérateur est un opérateur de la forme

$$L = a_0(z) + a_1(z)\sigma_q + \dots + a_m(z)\sigma_q^m \in \bar{\mathbb{Q}}[z, \sigma_q].$$

Un point $\alpha \in \mathbb{C}$ est dit régulier pour $L$ s'il l'est pour le système $q$-mahlérien associé à la matrice compagnon $A_L$, ou de façon équivalente si

$$a_0(\alpha^{q_l})a_m(\alpha^{q_l}) \neq 0 \quad \forall l \geq 0.$$

Dans le cas contraire, on dit que $\alpha$ est une singularité de $L$.

Dans toute la suite, $D(0, R) \subset \mathbb{C}$ désignera le disque ouvert de rayon $R$ et on notera $D^*(0, R) := D(0, R) \setminus \{0\}$ le disque épointé associé.

**Définition 2.1.** Soit $R$, $0 < R \le 1$ un nombre réel. Un $M_q$-opérateur de niveau $R$ est un $\sigma_q$-opérateur de la forme

$$a_0(z) + a_1(z)\sigma_q + \dots + a_m(z)\sigma_q^m \in \bar{\mathbb{Q}}[z, \sigma_q],$$

tel que le polynôme $a_0(z)$ n'a aucune racine dans $D^*(0, R)$.

**Lemme 2.2.** Soit $R$, $0 < R \le 1$, un nombre réel. Toute solution dans $\bar{\mathbb{Q}}[[z]]$ d'un $M_q$-opérateur de niveau $R$ est analytique sur $D(0, R)$.

**Démonstration.** Soit $L := a_0(z) + a_1(z)\sigma_q + \dots + a_m(z)\sigma_q^m$ un $M_q$-opérateur de niveau $R$ et $f(z) \in \bar{\mathbb{Q}}[[z]]$ une $M_q$-fonction annulée par $L$. Raisonnons par l'absurde en supposant que le rayon de convergence de $f$ soit égal à $\rho < R$. Notons que $\rho > 0$ puisque $f(z) \in \bar{\mathbb{Q}}[[z]]$ et que toute série formelle solution d'une équation mahlérienne linéaire est convergente. En écrivant

$$f(z) = \frac{-1}{a_0(z)} (a_1(z)f(z^q) + \dots + a_m(z)f(z^{q^m})),$$

on constate que le membre de droite à un rayon de convergence au moins égal à $\max(\rho^{1/q}, R) > \rho$, puisque par définition $a_0(z)$ ne s'annule pas sur $D^*(0, R)$. Ceci contredit notre hyptohèse. $\square$

Le lemme 2.2 admet la réciproque suivante.

**Proposition 2.3.** Soit $R$, $0 < R \le 1$, un nombre réel. Toute $M_q$-fonction qui est analytique sur $D(0, R)$ est annulée par un $M_q$-opérateur de niveau $R$.

**Démonstration.** Le dénominateur $q$-mahlérien d'une $M_q$-fonction $f$ est défini comme le générateur (choisi unitaire) de l'idéal principal

$$\left\{ p(z) \in \bar{\mathbb{Q}}[z] : p(z)f(z) \in \sum_{k \ge 1} \bar{\mathbb{Q}}[z] f(z^{q^k}) \right\}.$$

Cette notion est introduite dans [1]. Notons $\mathfrak{d}(z)$ le dénominateur $q$-mahlérien de $f$. D'après [1, Proposition 6.4], si $\mathfrak{d}$ a une racine $\lambda$ telle que $0 < |\lambda| < 1$, alors $f$ a un rayon de convergence strictement inférieur à un. En réalité, la preuve de cette proposition établit explicitement que le rayon de convergence de $f$ est alors au plus $|\lambda|$. Ainsi si $f$ est analytique sur le disque $D(0, R)$, son dénominateur $q$-mahlérien ne peut s'annuler sur ce disque. On en déduit l'existence d'un $M_q$-opérateur de niveau $R$, de la forme

$$L = \mathfrak{d}(z) + a_1(z)\sigma_q + \dots + a_m(z)\sigma_q^m,$$

qui annule $f$. $\square$
**Remarque 2.4.** La proposition 6.4 de [1] sur laquelle repose la démonstration précédente est loin d’être triviale : elle nécessite l’utilisation du théorème M2.

**Proposition 2.5.** Soit $f$ une $M_q$-fonction analytique sur $D(0, R)$, $0 < R < 1$. Alors $f$ est annulée par un $\sigma_q$-opérateur $L$ sans singularités sur $D^*(0, R)$.

**Démonstration.** D’après la proposition 2.3, il existe un $M_q$-opérateur de niveau $R$ qui annule $f$. Notons

$$L_1 := a_0(z) + a_1(z)\sigma_q + \dots + a_m(z)\sigma_q^m$$

un tel opérateur. Considérons un entier $s \ge 1$ tel que $a_m(z^{q^s})$ n’a aucune racine dans $D^*(0, R)$ et posons

$$L_2 := \sigma_q^s(L_1) = a_0(z^{q^s})\sigma_q^s + \dots + a_m(z^{q^s})\sigma_q^{m+s}.$$

Puisque $L_1(f) = 0$, on a également $L_2(f) = 0$ et l’opérateur $L := L_1 + L_2$ annule donc $f$. De plus, on a

$$L = b_0(z) + b_1(z)\sigma_q + \dots + b_{m+s}\sigma_q^{m+s},$$

où $b_0(z) = a_0(z)$ et $b_{m+s}(z) = a_m(z^{q^s})$.

Soit $\alpha \in D^*(0, R)$. Comme les polynômes $a_0(z)$ et $a_m(z^{q^s})$ ne s’annulent pas sur $D^*(0, R)$, on obtient que

$$b_0(\alpha^{q^l})b_{m+s}(\alpha^{q^l}) \neq 0 \quad \forall l \ge 0.$$

Ainsi $\alpha$ est un point régulier pour $L$. $\square$

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

2.4. **Preuve du théorème 1.1.** Nous pouvons à présent démontrer notre résultat principal.

**Démonstration du théorème 1.1.** Commençons par le cas (E). Considérons des $E$-fonctions $f_1, \dots, f_r$, un nombre $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$ et supposons qu’il existe un polynôme homogène $P \in \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r]$ tel que

$$(2.3) \qquad P(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)) = 0.$$

D’après [9, Théorème 4.2], toute $E$-fonction $f$ est solution d’un $E$-opérateur différentiel. De plus, le théorème 4.3 de [9] stipule qu’un tel opérateur n’a que deux singularités : 0 et $\infty$. Cela signifie que $f$ est annulée par un opérateur différentiel de la forme

$$L := a_0(z) + a_1(z)\delta + \dots + a_{m-1}(z)\delta^{m-1} + z^{\nu}\delta^{(m)},$$

où les $a_i(z)$ sont dans $\overline{\mathbb{Q}}[z]$ et $\nu \ge 0$ est un entier. Ainsi, le système différentiel associé à la matrice compagnon $A_L$ d’une telle équation est à coefficients dans $\overline{\mathbb{Q}}[z, 1/z]$.

Pour tout $i$, $1 \le i \le r$, il existe donc une matrice $A_i(z) \in \mathcal{M}_{m_i}(\overline{\mathbb{Q}}[z, 1/z])$ telle que

$$\left( \begin{array}{c} \delta(f_i) \\ \vdots \\ \delta^{m_i}(f_i) \end{array} \right) = A_i(z) \left( \begin{array}{c} f_i \\ \vdots \\ \delta^{m_i-1}(f_i) \end{array} \right),$$

où $m_i$ peut être choisi comme le minimum des ordres des $E$-opérateurs annulant $f_i$. Notons

$$A(z) := A_1(z) \oplus A_2(z) \oplus \dots \oplus A_r(z)$$
la somme directe des matrices $A_i(z)$. Les fonctions $f_{i,j}(z) = \delta^j(f_i)$, $1 \le i \le r$, $0 \le j \le m_i - 1$, sont les coordonnées d'un vecteur solution du système différentiel associé à la matrice $A(z)$. Comme $A(z)$ est à coefficients dans $\overline{\mathbb{Q}}[z, 1/z]$, tout point $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$ est régulier pour ce système. D'après (2.3) et le théorème E2, il existe un polynôme $Q \in \overline{\mathbb{Q}}[z, (X_{i,j})_{1\le i\le r, 0\le j<m_i}]$ homogène en les variables $X_{i,j}$, $1 \le i \le r$, $0 \le j < m_i$, tel que

$$Q(z, f_{i,j}(z)) = 0, \quad \text{et} \quad Q(\alpha, (X_{i,j})_{1\le i\le r, 0\le j<m_i}) = P(X_{1,0}, \dots, X_{r,0}).$$

Ainsi, il suit que soit $Q \in \mathcal{I}(f_1, \dots, f_r)$ et la relation (2.3) est banale, soit $Q \notin \mathcal{I}(f_1, \dots, f_r)$ et (2.3) s'obtient alors par dégénérescence au point $\alpha$ d'une relation $\delta$-algébrique homogène entre les fonctions $f_1, \dots, f_r$.

Passons au cas ($M_q$). Soient $f_1, \dots, f_r$ des $M_q$-fonctions et $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}$, $0 < |\alpha| < 1$, qui n'est pôle d'aucune de ces fonctions. On suppose qu'il existe $P \in \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r]$ homogène tel que

$$(2.4) \qquad P(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)) = 0.$$

Choisissons un nombre réel $R$ tel que $0 < |\alpha| < R < 1$. Comme les fonctions $f_i$ n'ont qu'un nombre fini de pôles sur $D(0, R)$, il existe un polynôme $D(z) \in \overline{\mathbb{Q}}[z]$ tel que $g_i(z) := D(z)f_i(z)$ est analytique sur $D(0, R)$ pour tout $i$, $1 \le i \le r$, et $D(\alpha) = 1$. D'après (2.4), on a

$$(2.5) \qquad P(g_1(\alpha), \dots, g_r(\alpha)) = 0.$$

D'autre part, la proposition 2.5 assure que chaque fonction $g_i$ est annulée par un $\sigma_q$-opérateur $L_i$, d'ordre noté $m_i$, qui est régulier au point $\alpha$. En désignant par $A_i(z)$ la matrice compagnon de l'opérateur $L_i$, on obtient que les fonctions $g_i$, $\sigma_q(g_i)$, ..., $\sigma_q^{m_i-1}(g_i)$ forment un vecteur solution d'un système $q$-mahlérien

$$\mathbf{Y}(z^q) = A_i(z)\mathbf{Y}(z), \quad A_i(z) \in \mathrm{GL}_{m_i}(\overline{\mathbb{Q}}(z)).$$

pour lequel $\alpha$ est régulier. Notons

$$A(z) := A_1(z) \oplus A_2(z) \oplus \dots \oplus A_r(z)$$

la somme directe des matrices $A_i(z)$. Les fonctions $f_{i,j}(z) := \sigma_q^j(g_i)$, $1 \le i \le r$, $0 \le j \le m_i - 1$, sont les coordonnées d'un vecteur solution du système $q$-mahlérien associé à la matrice $A(z)$ et le point $\alpha$ est encore régulier pour ce système. D'après (2.5) et le théorème M2, il existe un polynôme $Q_0 \in \overline{\mathbb{Q}}[z, (X_{i,j})_{1\le i\le r, 0\le j<m_i}]$ homogène en les variables $X_{i,j}$, $1 \le i \le r$, $0 \le j < m_i$, tel que

$$Q_0(z, f_{i,j}(z)) = 0 \quad \text{et} \quad Q_0(\alpha, (X_{i,j})_{1\le i\le r, 0\le j<m_i}) = P(X_{1,0}, \dots, X_{r,0}).$$

Définissons $Q_1 \in \overline{\mathbb{Q}}[z, (X_{i,j})_{1\le i\le r, 0\le j<m_i}]$ par

$$Q_1(z, (X_{i,j})_{1\le i\le r, 0\le j<m_i}) := Q_0(z, (D(z^q)X_{i,j})_{1\le i\le r, 0\le j<m_i}).$$

On a alors

$$Q_1(z, \sigma_q^j(f_i)(z)) = 0 \quad \text{et} \quad Q_1(\alpha, \sigma_q^j(f_i)(\alpha)) = P(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)),$$

puisque $D(\alpha) = 1$. On a donc que soit $Q_1 \in \mathcal{I}(f_1, \dots, f_r)$ et la relation (2.4) est banale, soit $Q \notin \mathcal{I}(f_1, \dots, f_r)$ et (2.4) s'obtient alors par dégénérescence au point $\alpha$ d'une relation $\sigma_q$-algébrique homogène entre les fonctions $f_1, \dots, f_r$. $\square$
2.5. **Remarque sur les preuves des théorèmes E2 et M2.** Dans [14], Beukers prouve le théorème E2 de la façon suivante. D'une part, il montre que pour toute E-fonction $f$ et tout $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$ :

$$ (2.6) \quad f(\alpha) = 0 \implies \begin{array}{l} \alpha \text{ est une singularité de} \\ \text{l'opérateur différentiel minimal annulant } f. \end{array} $$

D'autre part, en supposant par l'absurde que la conclusion du théorème E2 est fausse, il donne une construction élémentaire et générale d'une E-fonction qui contredit (2.6). Il ressort ainsi que le point clé pour démontrer le théorème E2 est d'obtenir l'implication (2.6). Celle-ci découle du fait que pour toute E-fonction $f$ et tout $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$, $f$ est annulée par un opérateur différentiel régulier en $\alpha$; propriété elle-même garantie par l'existence d'un E-opérateur annulant $f$ (cf. [9, Théorème 4.2]).

En adaptant l'argument de [14], on obtient que le théorème M2 découle du fait que pour toute $M_q$-fonction $f$ et tout $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}$, $0 < |\alpha| < 1$ :

$$ (2.7) \quad f(\alpha) = 0 \implies \begin{array}{l} \alpha \text{ est une singularité du} \\ \sigma_q\text{-opérateur minimal annulant } f. \end{array} $$

Montrons que cette propriété est une conséquence de la proposition 2.3. Soit

$$ (2.8) \quad a_0(z)f(z) + \dots + a_n(z)f(z^n) = 0, $$

l'équation minimale de $f$. Supposons par l'absurde que $f(\alpha) = 0$ et que $\alpha$ est régulier pour cette équation, c'est-à-dire que

$$ (2.9) \quad a_0(\alpha^{q^\ell})a_n(\alpha^{q^\ell}) \neq 0, \quad \forall \ell \geq 0. $$

Posons $g(z) := f(z)/(z-\alpha)$. D'après (2.8), $g$ est annulée par le $\sigma_q$-opérateur

$$ (2.10) \quad L_1 := a_0(z)(z-\alpha) + \dots + a_n(z)(z^{q^n} - \alpha)\sigma_q^n = 0. $$

Soit $R$ tel que $|\alpha| < R < 1$. Comme $g$ est bien définie en $\alpha$, il existe $P(z) \in \overline{\mathbb{Q}}[z]$ tel que $P(z)g(z)$ est analytique sur $D(0, R)$ et $P(\alpha) = 1$. D'après la proposition 2.3, $P(z)g(z)$ est annulée par un $M_q$-opérateur de niveau $R$. On en déduit l'existence d'un $\sigma_q$-opérateur

$$ (2.11) \quad L_2 := b_0(z) + b_1(z)\sigma_q + \dots + b_m(z)\sigma_q^m $$

qui annule $g$ et tel que $b_0(\alpha) \neq 0$. Considérons un tel opérateur avec $m$ minimal. Notons que $m \geq n$. Posons

$$ L_3 := b_m(z)\sigma^{m-n}L_1 - a_n(z^{q^{m-n}})(z^{q^m} - \alpha)L_2. $$

On obtient que $L_3$ annule $g$ et est d'ordre strictement inférieur à $m$. De plus, on vérifie que le terme constant de $L_3$ vaut

$$ \begin{array}{l} a_n(z^{q^{m-n}})(z^{q^m} - \alpha)b_0(z) \\ \text{si } m > n \text{ et} \\ \qquad a_n(z^{q^{m-n}})(z^{q^m} - \alpha)b_0(z) - b_m(z)a_0(z)(z - \alpha) \end{array} $$

lorsque $m = n$. Dans les deux cas, (2.9) assure que ce terme ne s'annule pas en $\alpha$. Cela contredit la minimalité de $m$ et prouve donc (2.7).

Il faut prendre garde au fait que nous n'obtenons pas pour autant une preuve « sans transcendance » du théorème M2 à la façon de [10, 14]. En effet, la démonstration que nous avons donnée de la proposition 2.3 repose sur le
théorème M2 et l’argument serait donc circulaire. Nous attirons simplement l’attention sur le fait que, in fine, le théorème M2 et la proposition 2.3 sont essentiellement équivalents, de même que le théorème E2 et le fait que pour toute E-fonction $f$ et tout $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$, $f$ est annulée par un opérateur différentiel régulier en $\alpha$. Dans le cas des E-fonctions, ce sont les résultats profonds obtenus sur les G-opérateurs qui permettent d’obtenir « miraculeusement » l’existence de tels opérateurs, via la notion de E-opérateur (cf. [9]). Dans le cas des $M_q$-fonctions, nous ne savons pour le moment pas comment obtenir l’existence de ces opérateurs indépendamment du théorème M2.

### 3. DÉTERMINATION EFFECTIVE DES RELATIONS ALGÉBRIQUES

Dans cette section, nous discutons brièvement la question suivante, ainsi que son analogue pour les $M_q$-fonctions : étant donnés $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$ et des E-fonctions $f_1, \dots, f_r$, peut-on déterminer les relations algébriques sur $\overline{\mathbb{Q}}$ entre les nombres $f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)$ ? Il s’agit donc de déterminer explicitement une base de l’idéal

$$ \mathcal{I}(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)) := \{ P \in \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r] : P(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)) = 0 \}. $$

L’article [19] décrit un algorithme pour répondre à cette question dans le cas des E-fonctions. Nous décrivons une approche alternative fondée sur le théorème 1.1 qui, nous semble-t-il, est particulièrement limpide. L’utilisation du théorème 1.1 permet à nouveau de traiter les E- et les $M_q$-fonctions de façon unifiée. Notons que ces deux approches souffrent d’une même limite liée à l’utilisation de l’algorithme de Hrushovski-Feng [17] (ou de Feng [18] pour les $M_q$-fonctions).

**Remarque 3.1.** Comme dans [7], on supposera que chaque fonction $f_i$ est donnée par un opérateur différentiel linéaire $L_i$ qui l’annule et les premiers coefficients de son développement de Taylor à l’origine. On supposera que le nombre de coefficients connus est suffisamment grand pour que $f_i$ soit uniquement déterminée par ces données.

Étant donné un idéal $\mathcal{J}$ de $\overline{\mathbb{Q}}(z)[X_1, \dots, X_s]$, $s \ge 1$, on note $\text{ev}_\alpha(\mathcal{J})$ l’idéal de $\overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_s]$ obtenu en évaluant les élément de $\mathcal{J} \cap \overline{\mathbb{Q}}[z, X_1, \dots, X_s]$ en $z = \alpha$.

Nous traitons d’abord le cas des E-fonctions.

1. La première étape consiste à déterminer pour chaque $f_i$ un entier $m_i$ tel que $f_i$ est annulée par un E-opérateur d’ordre au plus $m_i$. On suit l’approche d’André [9]. Si $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!} z^n$, on dit que $g(z) := \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ est la G-fonction associée à $f$. À partir de l’opérateur $L_i$, on peut déterminer un opérateur différentiel $L'_i$ annulant la G-fonction associée à $f_i$ en utilisant la transformée de Fourier-Laplace. À partir de ce premier opérateur on peut obtenir un opérateur différentiel d’ordre minimal annulant cette G-fonction (voir [15]). C’est un G-opérateur. À partir de ce G-opérateur, on détermine facilement un E-opérateur explicite annulant $f_i$ (cf. [9, Sections 2 et 5]). On note $m_i$ l’ordre de cet opérateur et on pose $\mathbf{m} := (m_1 - 1, \dots, m_r - 1)$.

2. La démonstration du théorème 1.1 montre alors que

$$ \mathcal{I}(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)) = \text{ev}_\alpha(\mathcal{I}_{\mathbf{m}}^\delta(f_1, \dots, f_r)) \cap \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r], $$
où $\mathcal{I}_{\mathbf{m}}^{\delta}(f_1, \dots, f_r) := \mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r) \cap \overline{\mathbb{Q}}(z)[(X_{i,j})_{1 \le i \le r, 0 \le j < m_i}]$ et où
l'on a identifié les variables $X_{i,0}$ et $X_i$, $1 \le i \le r$.

3. Supposons que l'on dispose d'un ensemble explicite de générateurs de $\mathcal{I}_{\mathbf{m}}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$. En les évaluant en $z = \alpha$, on obtient un ensemble explicite de générateurs de l'idéal $\text{ev}_{\alpha}(\mathcal{I}_{\mathbf{m}}^{\delta}(f_1, \dots, f_r))$. La détermination explicite d'une base de l'idéal

$$
\mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{I}_{\mathbf{m}}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)) \cap \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r]
$$

s'obtient alors classiquement en utilisant la théorie des bases de Gröbner (voir [12, Section 6.2] pour l'algorithme correspondant).

Il ressort de cette analyse que la connaissance d'une base de $\mathcal{I}_{\mathbf{m}}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$ suffit à déterminer efficacement une base de $\mathcal{I}(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha))$. Toute la difficulté réside donc dans l'obtention de cette première. Les fonctions $\delta^j(f_i)$, $1 \le i \le r$, $1 \le j < m_i$, étant liées par un système différentiel linéaire, l'algorithme de Hrushovski-Feng [17] permet en principe d'obtenir une base de $\mathcal{I}_{\mathbf{m}}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$. Cependant, cet algorithme semble difficile à mettre en œuvre du point de vue pratique ; c'est là le talon d'Achille de cette méthode.

Dans le cas des $M_q$-fonctions, on peut suivre rigoureusement la même approche, en substituant l'algorithme de Feng [18] à celui de Hrushovski-Feng. Notons que cet algorithme est tout aussi peu commode à utiliser dans la pratique. La seule différence réside dans la première étape, à savoir la détermination explicite d'un vecteur $\mathbf{m} := (m_1 - 1, \dots, m_r - 1)$ tel que

$$
\mathcal{I}(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)) = \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{I}_{\mathbf{m}}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r)) \cap \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r],
$$

où $\mathcal{I}_{\mathbf{m}}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r) := \mathcal{I}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r) \cap \overline{\mathbb{Q}}(z)[X_{i,j})_{1 \le i \le r, 0 \le j < m_i}]$. Une analyse
de la preuve du théorème 1.1 montre que s'il existe un entier $\ell \ge 1$ tel que
pour chaque $i$, $1 \le i \le r$, on dispose d'un système $q^\ell$-malhérien linéaire
régulier en $\alpha$ et possédant un vecteur solution formé de la fonction $f_i$ et de
fonctions de la forme $\sigma_q^j(f_i)$ pour $j \le c_i$, alors on peut choisir $m_i := \ell c_i + 1$.

Voici comment construire explicitement de tels systèmes. Partant d'un
$\sigma_q$-opérateur annulant $f_i$, on détermine un $\sigma_q$-opérateur d'ordre minimal
annulant $f_i$ (cf. [3]). Notons $n_i$ son ordre. D'après le théorème 1.10 de [2],
on peut itérer le système compagnon associé, puis utiliser la technique de
dédoublément décrite dans la preuve du lemme 5.2 de [2], pour obtenir un
système $q^\ell$-mahlérien pour un certain $\ell$ explicite tel que $\alpha$ est régulier pour
ce système. En outre, il suffit de choisir $\ell$ suffisamment grand par rapport à
$q$, au module de $\alpha$, et au maximum des degrés des polynômes de l'équation
minimale de $f_i^2$. On peut ainsi trouver explicitement un entier $\ell$ qui convient
pour toutes les fonctions $f_i$. Il suffit alors de prendre $m_i := 2\ell + n_i$.

Remarque 3.2. Dans le cas (E), nous avons vu que le vecteur **m** peut être déterminé indépendamment de **α**. Dans le cas (M<sub>q</sub>), on peut déterminer **m** qui convient pour tout **α** ∈ D<sup>*</sup>(0, R) lorsque R < 1 est préalablement fixé, mais il n'existe pas nécessairement un vecteur **m** qui convient pour tous les points du disque unité (cf. exemple 8.3).

<footnote n="2">2. Plus précisément, il suffit de choisir $\ell$ de sorte que $\alpha^{q^\ell}$ soit régulier pour l'équation minimale de $f_i$. Si $R < 1$ est fixé, on choisit $\ell$ tel que $a(z^{q^\ell})$ n'a pas de racine dans $D^*(0, R)$, pour tout polynôme $a(z)$ qui est coefficient de l'équation minimale de $f_i$. Ce choix de $\ell$ conviendra alors pour tout $\alpha \in D^*(0, R)$.</footnote>
4. SPORADICITÉ DES RELATIONS NON BANALES

La proposition suivante établit que dans le cadre des E- et des M_q-
fonctions les relations non banales sont nécessairement sporadiques.

**Proposition 4.1.** On a les deux résultats suivants.

(E) Soient $f_1(z), \dots, f_r(z)$ des E-fonctions. Il existe un ensemble fini $S \subset \overline{\mathbb{Q}}$ tel que l'existence d'une relation non banale entre $f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)$ implique que $\alpha \in S$.

(M_q) Soient $f_1(z), \dots, f_r(z)$ des M_q-fonctions et R un nombre réel, $0 < R < 1$. Il existe un ensemble fini $S_R \subset \overline{\mathbb{Q}}$ tel que l'existence d'une relation non banale entre $f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)$ avec $\alpha \in D^*(0, R)$ implique que $\alpha \in S_R$.

Remarque 4.2. En général, les relations non banales entres des fonctions ana-
lytiques n'ont aucune raison d'être sporadiques, comme le montre l'exemple
suivant. Considérons la fonction définie par

$$
f(z) := \sum_{n=1}^{\infty} c_k \left( \prod_{i=1}^{k} P_i(z) \right),
$$

où $P_1, P_2, \dots$ est une énumération des polynômes à coefficients entiers et  
$(c_k)_{k \ge 1}$ une suite décroissante de nombres rationnels non nuls tendant vers 0.  
Si la décroissance de $c_k$ est suffisamment rapide, alors $f$ est une fonction  
entière, ce que nous supposerons désormais. Ainsi, comme $f$ n'est pas un  
polynôme, elle est donc transcendante et les fonctions 1 et $f$ sont linéairement  
indépendantes sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$. Par construction, pour tout $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$, on a $f(\alpha) \in \overline{\mathbb{Q}}$,  
de sorte que la relation linéaire sur $\overline{\mathbb{Q}}$ donnée par $f(\alpha) \times 1 - 1 \times f(\alpha) = 0$  
est non banale relativement à $\{1, f(z)\}$.

Démontrons d'abord le lemme suivant. Nous conservons les notations in-
troduites dans la section 3.

**Lemme 4.3.** *Soit $\mathfrak{J}$ un idéal de $\overline{\mathbb{Q}}(z)[X_1, \dots, X_m]$ et posons $\mathfrak{J}_r := \mathfrak{J} \cap \overline{\mathbb{Q}}(z)[X_1, \dots, X_r]$. Alors, il existe un ensemble fini $\mathcal{S} \subset \overline{\mathbb{Q}}$ tel que, pour tout $\alpha$ dans $\overline{\mathbb{Q}} \setminus \mathcal{S}$, on a*

$$
\mathrm{ev}_{\alpha}(\mathfrak{J}) \cap \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r] = \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathfrak{J}_r).
$$

Démonstration. L’argument repose sur l’utilisation de bases de Gröbner.
Nous renvoyons à [12] pour les résultats classiques concernant cette notion.

On considère une base de Gröbner $\mathcal{G} = \{P_1, \dots, P_s\}$ relativement à un ordre monomial $\succ$ qui élimine $X_{r+1}, \dots, X_m$. Pour un tel ordre, tout monôme contenant une des variables $X_{r+1}, \dots, X_m$ est plus grand qu’un monôme composé uniquement des variables $X_1, \dots, X_r$. De plus, l’ordre est compatible avec la multiplication. Pour un polynôme $P$, on note $\mathrm{lm}(P)$ le monôme le plus grand pour la relation d’ordre totale $\succ$ et $\mathrm{lc}(P) \in \overline{\mathbb{Q}}(z)$ le coefficient correspondant. On a

$P = \mathrm{lc}(P)\mathrm{lm}(P) + P'$

où $P'$ est un polynôme dont les monômes sont tous plus petits que $\mathrm{lm}(P)$.
Soit $S \subset \overline{\mathbb{Q}}$ l'ensemble des racines des polynômes $\mathrm{lc}(P_i)$, $1 \le i \le s$. On va
montrer que si $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}} \setminus S$, alors

$$ \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{I}) \cap \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r] = \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{I}_r). $$

Supposons par l'absurde que ce ne soit pas le cas. Considérons $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}} \setminus S$ tel qu'il existe $P \in \mathcal{I} \cap \overline{\mathbb{Q}}[z, X_1, \dots, X_m]$ pour lequel

$$ \mathrm{ev}_{\alpha}(P) \in \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r] \setminus \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{I}_r). $$

On choisit $P$ de sorte que $\mathrm{lm}(P)$ soit minimal parmi les polynômes ayant cette propriété. Comme $\mathcal{G}$ est une base de Gröbner, il existe un $P_i$ dont le monôme dominant divise celui de $P$. De plus, comme $\alpha \notin S$, on a $\mathrm{ev}_{\alpha}(\mathrm{lc}(P_i)) \neq 0$. On pose

$$ Q := \left( \mathrm{lc}(P_i)P - \frac{\mathrm{lc}(P)\mathrm{lm}(P)}{\mathrm{lm}(P_i)}P_i \right) / \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathrm{lc}(P_i)) \in \overline{\mathbb{Q}}[z, X_1, \dots, X_m]. $$

Comme $P \notin \mathcal{I}_r$, $\mathrm{lm}(P)$ contient au moins une des variables $X_{r+1}, \dots, X_m$. Comme $\mathrm{ev}_{\alpha}(P) \in \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r]$, le coefficient dominant de $P$ doit s'annuler en $\alpha$. On obtient donc que $\mathrm{ev}_{\alpha}(Q) = \mathrm{ev}_{\alpha}(P)$. Cependant, le monôme dominant de $Q$ est strictement plus petit que celui de $P$, ce qui contredit la définition de $P$. $\square$

**Démonstration de la Proposition 4.1.** Commençons par le cas (E). Soit $\mathbf{m} \in \mathbb{N}^r$ tel que pour tout $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$, on a

$$ \mathcal{I}(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)) = \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{I}_{\mathbf{m}}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)) \cap \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r]. $$

Nous avons vu qu'un tel $\mathbf{m}$ existe (cf. Section 3). Posons $\mathcal{I} := \mathcal{I}_{\mathbf{m}}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$ et $\mathcal{I}_r := \mathcal{I} \cap \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r]$. S'il existe une relation non banale entre les nombres $f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)$, alors il existe un polynôme $Q$ tel que

$$ \mathrm{ev}_{\alpha}(Q) \in \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{I}) \cap \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r] \setminus \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{I}_r) $$

et donc

$$ \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{I}) \cap \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r] \neq \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{I}_r). $$

D'après le lemme 4.3, il n'existe qu'un nombre fini de tels $\alpha$. Le cas ($M_q$) est similaire. On choisit $\mathbf{m} \in \mathbb{N}^r$ tel que

$$ \mathcal{I}(f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)) = \mathrm{ev}_{\alpha}(\mathcal{I}_{\mathbf{m}}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r)) \cap \overline{\mathbb{Q}}[X_1, \dots, X_r]. $$

La différence est que l'existence d'un tel $\mathbf{m}$ est seulement assurée pour tout $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^* \cap D(0, R)$ lorsque $R < 1$ est fixé, mais qu'il n'est pas toujours possible de choisir $\mathbf{m}$ indépendamment de $R$ (cf. remarque 3.2). $\square$

## 5. STRUCTURE DES IDÉAUX DES RELATIONS $\delta$-ET $\sigma_q$-ALGÉBRIQUES

Dans cette section, nous décrivons la structure des idéaux $\mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r)$ et $\mathcal{I}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r)$ qui interviennent dans le théorème 1.1.
5.1. **Le cas des E-fonctions.** Soient $f_1, \dots, f_r$ des E-fonctions. Pour tout $i, 1 \le i \le r$, notons

$$a_{i,0}(z) + \dots + a_{i,m_{i-1}}(z) \delta^{m_{i-1}} + \delta^{m_i}$$

l'opérateur différentiel d'ordre minimal annulant $f_i$, où $a_{i,j}(z) \in \overline{\mathbb{Q}}(z)$ pour tout $j, 1 \le j \le m_i - 1$. En posant

$$L_i := a_{i,0}(z)X_{i,0} + \dots + a_{i,m_{i-1}}(z)X_{i,m_{i-1}} + X_{i,m_i},$$

on a donc $L_i \in \mathcal{I}^\delta(f_1, \dots, f_r)$. Posons $\mathbf{m} := (m_1 - 1, \dots, m_r - 1)$ et

$$\mathcal{I}_{\mathbf{m}}^{\delta}(f_1, \dots, f_r) := \mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r) \cap \overline{\mathbb{Q}}(z)[(X_{i,j})_{1 \le i \le r, 0 \le j < m_i}].$$

Rappelons que si $R$ est un anneau muni d'une dérivation $\partial$, un $\partial$-idéal $\mathcal{I}$ de $R$ est un idéal de $R$ tel que $\partial(\mathcal{I}) \subset \mathcal{I}$. Le $\partial$-idéal engendré par un sous-ensemble $\mathcal{S}$ de $R$ est le plus petit $\partial$-idéal de $R$ contenant $\mathcal{S}$. L'anneau $\overline{\mathbb{Q}}(z)[(X_{i,j})_{1 \le i \le r, j \in \mathbb{N}}]$ peut être muni de la dérivation $\delta$ qui agit classiquement sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$ et telle que $\delta(X_{i,j}) = X_{i,j+1}$. Muni de cette dérivation, on vérifie que $\mathcal{I}^\delta(f_1, \dots, f_r)$ est un $\delta$-idéal. L'anneau de polynômes $\overline{\mathbb{Q}}(z)[(X_{i,j})_{1 \le i \le r, j \in \mathbb{N}}]$ n'est pas noethérien et l'idéal $\mathcal{I}^\delta(f_1, \dots, f_r)$ n'est pas toujours finiment engendré; il l'est toutefois en tant que $\delta$-idéal. Le résultat suivant précise un ensemble de générateurs.

**Proposition 5.1.** En tant que $\delta$-idéal, $\mathcal{I}^\delta(f_1, \dots, f_r)$ est engendré par les éléments de $\mathcal{I}^\delta_m(f_1, \dots, f_r)$ et les formes linéaires $L_1, \dots, L_r$.

*Démonstration.* Notons $\mathcal{J}$ le $\delta$-idéal engendré par les éléments de l'idéal $\mathcal{I}^\delta_m(f_1, \dots, f_r)$ et les formes linéaires $L_1, \dots, L_r$. Il est clair que

$$\mathcal{J} \subset \mathcal{I}^{\delta}(f_1, \dots, f_r).$$

Montrons l'inclusion réciproque. Soit $Q \in \mathcal{I}^\delta(f_1, \dots, f_r)$. Considérons l'ordre partiel sur $\mathbb{N}^r$ défini par $\mathbf{m} \le \mathbf{n}$ si $m_i \le n_i$ pour tout $i, 1 \le i \le r$. La multi-profondeur de $Q$ est définie comme le $r$-uplet minimal $(n_1, \dots, n_r)$ tel que le support de $Q$ est inclus dans $\{(i, j) : 1 \le i \le r, 0 \le j \le n_i\}$.

Nous allons raisonner par récurrence multiple sur $(n_1, \dots, n_r)$. Si $n_i < m_i$ pour tout $i$, alors $Q \in \mathcal{I}^\delta_m(f_1, \dots, f_r)$ et il n'y a rien à prouver. Supposons à présent que tout polynôme de $\mathcal{I}^\delta(f_1, \dots, f_r)$ de multi-profondeur au plus $(n_1, n_2, \dots, n_r)$ appartient à $\mathcal{J}$ et montrons qu'il en est de même pour tout polynôme de $\mathcal{I}^\delta(f_1, \dots, f_r)$ de multi-profondeur au plus $(n_1 + 1, n_2, \dots, n_r)$, où $n_1 + 1 \ge m_1$. L'argument pour les polynômes de $\mathcal{I}^\delta(f_1, \dots, f_r)$ de multi-profondeur au plus $(n_1, \dots, n_j + 1, \dots, n_r)$ est identique.

On note $\mathbf{X}^\circ$ l'ensemble des variables $X_{i,j}, 1 \le i \le r, 1 \le j \le n_i$. Soit $Q$ un élément de $\mathcal{I}^\delta(f_1, \dots, f_r)$ de multi-profondeur au plus $(n_1+1, n_2, \dots, n_r)$. On peut écrire

$$Q := \sum_{\nu=0}^{s} M_{\nu}(z, \mathbf{X}^{\circ}) X_{1,n_1+1}^{\nu},$$

où les $M_\nu(z, \mathbf{X}^\circ)$ appartiennent à $\overline{\mathbb{Q}}(z)[\mathbf{X}^\circ]$ et $s \ge 0$. On raisonne par récurrence sur l'entier $s$ pour montrer que $Q \in \mathcal{J}$. Si $s = 0$, alors $Q$ est de multi-profondeur au plus $(n_1, n_2, \dots, n_r)$ est la première hypothèse de récurrence implique donc que $Q \in \mathcal{J}$. Supposons à présent que $s \ge 1$ et que le
résultat est connu pour tout élément de $\mathcal{I}^\delta(f_1, \dots, f_r)$ de multi-profondeur au plus $(n_1 + 1, n_2, \dots, n_r)$ et de degré au plus $s - 1$ en $X_{1,n_1+1}$. Posons

$$P := M_s(z, \mathbf{X}^\circ) X_{1,n_1+1}^{s-1} \delta^{n_1+1-m_1}(L_1).$$

Comme $L_1 \in \mathfrak{J}$ et que $\mathfrak{J}$ est un $\delta$-idéal, on a $P \in \mathfrak{J} \subset \mathfrak{J}^\delta(f_1, \dots, f_r)$. De plus, comme le coefficient de $X_{1,n_1+1}$ dans $\delta^{n_1+1-m_1}(L_1)$ est égal à 1, le coefficient de $X_{1,n_1+1}^s$ dans $P$ est égal à $M_s(z, \mathbf{X}^\circ)$. On obtient que $Q - P \in \mathfrak{J}^\delta(f_1, \dots, f_r)$ est un polynôme de multi-profondeur au plus $(n_1 + 1, n_2, \dots, n_r)$ et de degré au plus $s - 1$ en la variable $X_{1,n_1+1}$. Par hypothèse de récurrence, on a $Q - P \in \mathfrak{J}$. Comme $P \in \mathfrak{J}$, on en déduit que $Q \in \mathfrak{J}$ comme souhaité. $\square$

**5.2. Le cas des $M_q$-fonctions.** Soient $f_1, \dots, f_r$ des $M_q$-fonctions. Pour tout $i$, $1 \le i \le r$, notons

$$a_{i,0}(z) + \dots + a_{i,m_{i-1}}(z) \sigma_q^{m_i-1} + \sigma_q^{m_i}$$

le $\sigma_q$-opérateur d'ordre minimal annulant $f_i$, où $a_{i,j}(z) \in \overline{\mathbb{Q}}(z)$ pour tout $j$, $1 \le j \le m_i - 1$. En posant

$$L_i := a_{i,0}(z)X_{i,0} + \dots + a_{i,m_{i-1}}(z)X_{i,m_{i-1}} + X_{i,m_i},$$

on a donc $L_i \in \mathfrak{J}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r)$. Posons $\mathbf{m} := (m_1 - 1, \dots, m_r - 1)$ et

$$\mathfrak{J}_{\mathbf{m}}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r) := \mathfrak{J}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r) \cap \overline{\mathbb{Q}}(z)[(X_{i,j})_{1 \le i \le r, 0 \le j < m_i}].$$

Rappelons que si $R$ est un anneau muni d'un endomorphisme $\phi$, un $\phi$-idéal $\mathcal{I}$ de $R$ est un idéal de $R$ tel que $\phi(\mathcal{I}) \subset \mathcal{I}$. Le $\phi$-idéal engendré par un sous-ensemble $\mathcal{S}$ de $R$ est par définition le plus petit $\phi$-idéal de $R$ contenant $\mathcal{S}$. L'anneau $\overline{\mathbb{Q}}(z)[(X_{i,j})_{1 \le i \le r, j \in \mathbb{N}}]$ peut être muni de l'endomorphisme $\sigma_q$ qui agit comme précédemment sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$ et tel que $\sigma_q(X_{i,j}) = X_{i,j+1}$. Cette définition implique que $\mathfrak{J}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r)$ est un $\sigma_q$-idéal. À nouveau, $\mathfrak{J}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r)$ est finiment engendré en tant que $\sigma_q$-idéal et on obtient l'analogue de la proposition 5.1, dont la preuve est par ailleurs identique.

**Proposition 5.2.** *En tant que $\sigma_q$-idéal, $\mathfrak{J}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r)$ est engendré par les éléments de $\mathfrak{J}_{\mathbf{m}}^{\sigma_q}(f_1, \dots, f_r)$ et les formes linéaires $L_1, \dots, L_r$.*

## 6. DESCENTE

Dans cette section, nous montrons comment le corollaire 1.3 découle du théorème 1.1 puis nous donnons deux conséquences de ce résultat.

Rappelons tout d'abord le lemme suivant, qui correspond au lemme 5.3 de [2]. L'énoncé donné ici est légèrement modifié, mais la preuve reste identique.

**Lemma 6.1.** *Soient $\mathbb{K} \subset \overline{\mathbb{Q}}$ un corps de nombres, $h_1(z), \dots, h_r(z) \in \mathbb{K}[[z]]$ et $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}$. Supposons qu'il existe $w_1(z), \dots, w_r(z) \in \overline{\mathbb{Q}}[z]$ tels que*

$$(6.1) \qquad w_1(z)h_1(z) + \dots + w_r(z)h_r(z) = 0,$$

avec $w_i(\alpha) = 0$ pour tout indice $i$ dans un ensemble $\mathcal{I} \subset \{1, \dots, r\}$ et $w_{i_0}(\alpha) \neq 0$ pour un certain indice $i_0 \in \{1, \dots, r\} \setminus \mathcal{I}$. Alors, il existe $w'_1(z), \dots, w'_r(z) \in \mathbb{K}[z]$, tels que

$$w'_1(z)h_1(z) + \dots + w'_r(z)h_r(z) = 0,$$

avec $w'_i(\alpha) = 0$ pour tout indice $i \in \mathcal{I}$ et $w'_{i_0}(\alpha) \neq 0$.
Démonstration du corollaire 1.3. Nous démontrons seulement le cas (E), la preuve du cas ($M_q$) étant identique.

Soit $K \subset \overline{\mathbb{Q}}$ un corps. Supposons que les nombres $\xi_1, \dots, \xi_r \in E_K$ sont linéairement dépendants sur $\mathbb{Q}$. Quitte à choisir un sous-corps de $K$, on peut sans perte de généralité supposer que $K$ est un corps de nombres (puisque les coefficients d'une $E$-fonction engendre toujours une extension finie de $\mathbb{Q}$). Il existe donc des $E$-fonctions $f_1(z), \dots, f_r(z) \in K[[z]]$ telles que $\xi_1 = f_1(1), \dots, \xi_r = f_r(1)$. D'après le théorème 1.1, il existe une relation $\delta$-linéaire sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$ entre les fonctions $f_1(z), \dots, f_r(z)$ qui se spécialise en $z = 1$ en une relation non triviale entre les nombres $\xi_1, \dots, \xi_r$. Notons que les dérivées successives des $f_i$ restent à coefficients dans $K$. D'après le lemme 6.1, il existe donc une relation $\delta$-linéaire sur $K(z)$ entre les fonctions $f_1(z), \dots, f_r(z)$ qui se spécialise au point 1 en une relation non triviale entre les nombres $\xi_1, \dots, \xi_r$. La relation obtenue est nécessairement à coefficients dans $K$ et on obtient donc que les nombres $\xi_1, \dots, \xi_r$ sont linéairement dépendants sur $K$.

En d'autres termes, les extensions $E_K$ et $\overline{\mathbb{Q}}$ sont linéairement disjointes sur $K$. Le fait que $E = E_K \otimes_K \overline{\mathbb{Q}}$ découle classiquement de cette propriété (voir, par exemple, [16, Chapter V, §2] et [23, Chapter VII, §3]). $\square$

Les deux résultats suivants découlent également du corollaire 1.3. Dans le cas (E), ils correspondent respectivement au Corolary 3 et au Lemma 1 de [20]. Dans le cas ($M_q$), le corollaire 6.4 correspond au corollaire 1.8 de [2].

**Corollaire 6.2.** On a les deux résultats suivants.

(E) Soient $K \subset \overline{\mathbb{Q}}$ un corps de nombres et $w_1, \dots, w_d$ une base du $\mathbb{Q}$-espace vectoriel $K$. Alors, on a

$$ E_K = w_1 E_{\mathbb{Q}} \oplus \dots \oplus w_d E_{\mathbb{Q}}. $$

(M_q) Soient $K \subset \overline{\mathbb{Q}}$ un corps de nombres, $\alpha \in K$, $0 < |\alpha| < 1$, et $w_1, \dots, w_d$ une base du $\mathbb{Q}(\alpha)$-espace vectoriel $K$. Alors, on a

$$ M_{q,\alpha,K} = w_1 M_{q,\alpha,\mathbb{Q}(\alpha)} \oplus \dots \oplus w_d M_{q,\alpha,\mathbb{Q}(\alpha)}. $$

Remarque 6.3. On peut montrer que $M_{q,\alpha,\mathbb{Q}(\alpha)} = M_{q,\alpha,\mathbb{Q}}$ et donc simplifier légèrement l'expression du cas ($M_q$).

**Corollaire 6.4.** Soit $K \subset \overline{\mathbb{Q}}$ un corps de nombres. On a les deux résultats suivants.

(E) Si $f(z)$ est une $E$-fonction à coefficients dans $K$ et $\alpha \in K$, alors on a l'alternative suivante : soit $f(\alpha) \in K$, soit $f(\alpha)$ est transcendant.

(M_q) Si $f(z)$ est une $M_q$-fonction à coefficients dans $K$ et $\alpha \in K$, $0 < |\alpha| < 1$, n'est pas un pôle de $f(z)$, alors on a l'alternative suivante : soit $f(\alpha) \in K$, soit $f(\alpha)$ est transcendant.

## 7. QUELQUES REMARQUES LIÉES À UN ARTICLE DE FISCHLER ET RIVOAL

Dans la section 6, nous avons déduit du théorème 1.1 plusieurs énoncés également obtenus par Fischler et Rivoal pour les $E$-fonctions (à savoir les Theorem 2, Theorem 3 et le Corolary 3 de [20]), ainsi que leurs analogues dans le cadre des $M_q$-fonctions. Ces résultats ont été obtenus indépendamment de [20], contrairement aux résultats présentés dans cette section qui ont été inspirés par [20].
**7.1. Considérations galoisiennes.** Nous démontrons d'abord, pour les $M_q$-fonctions, des résultats analogues aux propositions 1 et 4 de [20].

Étant donnés une série formelle $f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a(n)z^n \in \overline{\mathbb{Q}}[[z]]$ et un élément $\tau$ de $\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$, on pose $f^{\tau}(z) := \sum_{n=0}^{\infty} \tau(a(n))z^n$. On vérifie aisément que si $f$ est une $M_q$-fonction, il en est de même de $f^{\tau}$. Le résultat suivant est une conséquence directe du théorème 1.1.

**Proposition 7.1.** Soient $f$ une $M_q$-fonction et $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}$, $0 < |\alpha| < 1$, tel que $f(\alpha) \in \overline{\mathbb{Q}}$. Pour tout $\tau \in \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ tel que $|\tau(\alpha)| < 1$, on a $f^{\tau}(\tau(\alpha)) = \tau(f(\alpha))$.

*Démonstration.* Notons tout d'abord que si $p(z) \in \overline{\mathbb{Q}}[z]$ on a $p^{\tau}(\tau(\alpha)) = \tau(p(\alpha))$ et que le résultat est évident si $\alpha = 0$. On suppose désormais que $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^*$. Comme $f(\alpha) \in \overline{\mathbb{Q}}$, les nombres 1 et $f(\alpha)$ sont linéairement dépendants sur $\overline{\mathbb{Q}}$. D'après le théorème 1.1, une telle relation est la spécialisation en $z = \alpha$ d'une relation $\sigma_q$-linéaire (éventuellement dégénérée) entre les fonctions 1 et $f(z)$. Cela signifie qu'il existe un entier $m$ et des polynômes $p_{-1}(z), \dots, p_m(z) \in \overline{\mathbb{Q}}[z]$ tels que

$$ (7.1) \qquad p_{-1}(z) + p_0(z)f + p_1(z)\sigma_q(f) + \dots + p_m(z)\sigma_q^m(f) = 0 $$

et

$$ (7.2) \qquad p_{-1}(\alpha) = f(\alpha), \quad p_0(\alpha) = -1, \quad p_1(\alpha) = \dots = p_m(\alpha) = 0. $$

Comme $\tau$ et $\sigma_q$ commutent, en appliquant $\tau$ à (7.1), on obtient

$$ (7.3) \qquad p_{-1}^{\tau}(z) + p_0^{\tau}(z)f^{\tau} + p_1^{\tau}(z)\sigma_q(f^{\tau}) + \dots + p_m^{\tau}(z)\sigma_q^m(f^{\tau}) = 0. $$

En spécialisant au point $\tau(\alpha)$ et en utilisant (7.2), on obtient $f^{\tau}(\tau(\alpha)) = \tau(f(\alpha))$, comme souhaité. $\square$

**Corollaire 7.2.** Soient $f(z)$ une $M_q$-fonction à coefficients dans un corps de nombres $\mathbb{K}$ et $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}$, $|\alpha| < 1$. Les énoncés suivants sont équivalents :

$$ (i) \quad f(\alpha) = 0, $$

$$ (ii) \quad \text{il existe } \tau \in \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \text{ tel que } |\tau(\alpha)| < 1 \text{ et } f^{\tau}(\tau(\alpha)) = 0, $$

$$ (iii) \quad \text{pour tout } \tau \in \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \text{ tel que } |\tau(\alpha)| < 1, \text{ on a } f^{\tau}(\tau(\alpha)) = 0, $$

$$ (iv) \quad \text{Soit } D \text{ le polynôme minimal de } \alpha \text{ sur } \mathbb{K}. \text{ La } M_q\text{-fonction } g(z) := f(z)/D(z) \in \mathbb{K}[[z]] \text{ est bien définie en } \tau(\alpha) \text{ pour tout } \tau \in \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{K}) \text{ tel que } |\tau(\alpha)| < 1. $$

*Démonstration.* Les implications (iii) ⇒ (i) ⇒ (ii) sont immédiates. D'après la proposition 7.1, (ii) implique que $\tau(f(\alpha)) = 0$ et donc $f(\alpha) = 0$. On a donc (ii) implique (i). Soit $\tau \in \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ tel que $|\tau(\alpha)| < 1$. En combinant, la proposition 7.1 et (i) on obtient que

$$ f^{\tau}(\tau(\alpha)) = \tau(f(\alpha)) = \tau(0) = 0. $$

Ainsi, (i) ⇒ (iii). Comme (iv) implique trivialment (i), il suffit par exemple de montrer que (iii) implique (iv). Or, d'après (iii), pour tout $\tau \in \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{K})$, tel que $|\tau(\alpha)| < 1$, on a $f^{\tau}(\tau(\alpha)) = 0$. Comme $f^{\tau} = f$, on en déduit que $f$ s'annule en $\tau(\alpha)$ et donc que la propriété (iv) est vérifiée. $\square$
Similairement à [20, Section 6], on définit une action de Gal($\overline{\mathbb{Q}}/\overline{\mathbb{Q}}(\alpha)$) sur $\mathbf{M}_{q,\alpha}$ de la façon suivante : étant donnés $\xi \in \mathbf{M}_{q,\alpha}$ et $\tau \in \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\overline{\mathbb{Q}}(\alpha))$ on pose $\tau(\xi) = f^{\tau}(\alpha)$ où $f$ désigne une $M_q$-fonction telle que $f(\alpha) = \xi$. Pour montrer que cette action est bien définie, il suffit de vérifier que $\tau(\xi)$ ne dépend pas du choix de $f$. Soit $g$ une $M_q$-fonction telle que $g(\alpha) = \xi$ et $h := f - g$. On a $h(\alpha) = 0$. Il découle de la proposition 7.1 que $h^{\tau}(\tau(\alpha)) = h^{\tau}(\alpha) = 0$. Comme $h^{\tau} = f^{\tau} - g^{\tau}$, on a $f^{\tau}(\alpha) = g^{\tau}(\alpha)$, comme souhaité.

Le résultat suivant est l'analogue de [20, Proposition 4].

**Proposition 7.3.** Soit $\mathbb{K}$ un corps de nombre, $\alpha \in \mathbb{K}$ et $\xi \in \mathbf{M}_{q,\alpha}$. Alors, $\xi \in \mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}}$ si et seulement si $\tau(\xi) = \xi$ pour tout $\tau \in \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{K})$.

*Démonstration.* Soit $\xi \in \mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}}$ et $f \in \mathbb{K}[[z]]$ une $M_q$-fonction telle que $\xi = f(\alpha)$. Alors $\tau(\xi) = f^{\tau}(\alpha) = f(\alpha) = \xi$ pour tout $\tau \in \text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{K})$.

Supposons à présent que $\xi$ est fixé par tous les éléments de Gal($\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{K}$). Soit $f$ une $M_q$-fonction telle que $f(\alpha) = \xi$. Soit $\mathbb{L}$ une extension galoisienne de $\mathbb{K}$ contenant tous les coefficients de $f$. En définissant $g$ comme la moyenne des $f^{\tau}(z)$ quand $\tau$ parcourt Gal($\mathbb{L}/\mathbb{K}$), on obtient que $g(z) \in \mathbb{K}[[z]]$ et $g(\alpha) = \xi$, puisque $\tau(\xi) = \xi$ pour tout $\tau \in \text{Gal}(\mathbb{L}/\mathbb{K})$. Ainsi, $\xi \in \mathbf{M}_{q,\alpha,\mathbb{K}}$. $\square$

**7.2. Décomposition des $M_q$-fonctions sur un corps de nombres.** Soit $R$, $0 < R \le 1$, un nombre réel. Une $M_q$-fonction $f$ est dite purement transcendante sur $D(0, R)$ si $f$ prend des valeurs transcendantes en tout point algébrique $\alpha$ du disque épointé $D^*(0, R)$ qui n’est pas un pôle de $f$.

Le résultat suivant est l'analogue de [20, Proposition 3].

**Proposition 7.4.** Soient $\mathbb{K}$ un corps de nombre, $f(z) \in \mathbb{K}[[z]]$ une $M_q$-fonction et $R$, $0 < R < 1$, un nombre réel. Alors, il existe des fractions rationnelles $R_1(z)$, $R_2(z) \in \mathbb{K}(z)$ et une $M_q$-fonction $g(z) \in \mathbb{K}[[z]]$, analytique et purement transcendante sur $D(0, R)$, tels que

$$f(z) = R_1(z) + R_2(z)g(z).$$

Soient $f(z)$ une $M_q$-fonction et $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}$, $0 < |\alpha| < 1$, qui n’est pas un pôle de $f$. La multiplicité de $f$ en $\alpha$ est définie comme le supremum des entiers $m$ tel qu’il existe $P(z) \in \overline{\mathbb{Q}}[z]$ de degré au plus $m-1$ pour lequel le quotient

$$\frac{f(z) - P(z)}{(z - \alpha)^m}$$

est bien défini au point $\alpha$. Si $f(z) = \sum_n \eta_n (z - \alpha)^n$ est le développement de Taylor de $f(z)$ en $\alpha$, alors $m$ est le plus petit entier pour lequel $\eta_m \notin \overline{\mathbb{Q}}$. Remarquons que la multiplicité est nulle si et seulement si $f(\alpha) \notin \overline{\mathbb{Q}}$. D'autre part, le lemme suivant assure que la multiplicité de $f$ en $\alpha$ est toujours finie.

**Lemme 7.5.** Soient $1, f(z), f_2(z), \dots, f_n(z)$ des $M_q$-fonctions linéairement indépendantes sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$ et formant un vecteur solution d'un système q-mahlérien linéaire associé à une matrice $A(z)$. Supposons que ces fonctions sont définies en $\alpha$ et que $\alpha^q$ est un point régulier pour ce système. Alors, la multiplicité de $f$ en $\alpha$ est majorée par l'ordre de $\alpha$ comme pôle de $\det A(z)$.

*Démonstration.* On procède par récurrence sur l'ordre $\nu$ de $\alpha$ en tant que pôle de $\det A(z)$.
Supposons que $\nu = 0$, c'est-à-dire que $A(\alpha)$ est bien définie. Comme le point $\alpha^q$ est régulier pour ce système et que les fonctions sont toutes définies en $\alpha$, la matrice $A^{-1}(\alpha)$ est également définie. Le fait que les matrices $A(z)$ et $A^{-1}(z)$ soient bien définies en $\alpha$ et que $\alpha^q$ soit un point régulier implique que le point $\alpha$ est lui-même régulier. Puisque les fonctions $1, f(z), f_2(z), \dots, f_n(z)$ sont linéairement indépendantes, il résulte du théorème M2 que $f(\alpha) \notin \mathbb{Q}$. Ainsi, la multiplicité de $f$ en $\alpha$ est nulle et donc bien inférieure ou égale à $\nu$.

Soit $\nu \ge 1$. Supposons le résultat montré pour l'ordre $\nu - 1$. Supposons maintenant que l'ordre de $\alpha$ comme pôle de det $A(z)$ est égal à $\nu$. Si $f(\alpha) \notin \mathbb{Q}$, sa multiplicité est nulle, donc inférieure à $\nu$. On peut donc supposer que $f(\alpha) \in \mathbb{Q}$. Posons $g(z) := (f(z) - f(\alpha))/(z - \alpha)$ et notons que $g$ est une $M_q$-fonction qui est bien définie en $\alpha$. On obtient que

$$ \begin{pmatrix} 1 \\ g(z^q) \\ f_2(z^q) \\ \vdots \\ f_n(z^q) \end{pmatrix} = P(z^q)A(z)P(z)^{-1} \begin{pmatrix} 1 \\ g(z) \\ f_2(z) \\ \vdots \\ f_n(z) \end{pmatrix} $$

où

$$ P(z) := \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ -\frac{f(\alpha)}{z-\alpha} & \frac{1}{z-\alpha} & 0 & \cdots & 0 \\ & & 1 & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & 1 \end{pmatrix}. $$

Posons $B(z) := P(z^q)A(z)P(z)^{-1}$. Comme

$$ \det B(z) = \frac{\det A(z)(z - \alpha)}{z^q - \alpha}, $$

l'ordre de $\alpha$ comme pôle de det $B(z)$ est égal à $\nu - 1$. Par hypothèse de récurrence, on obtient que la multiplicité de $g$ en $\alpha$ est au plus $\nu - 1$ et donc que la multiplicité de $f$ en $\alpha$ est au plus $\nu$. $\square$

Démontrons d'abord la Proposition 7.4 dans le cas où $f$ est analytique sur le disque $D(0, R)$.

**Proposition 7.6.** La proposition 7.4 est vraie si $f$ est analytique sur $D(0, R)$.

*Démonstration.* Nous procédons par récurrence sur la somme $S$ des multiplicités de $f$ aux points de $\mathbb{Q} \cap D(0, R)$. Notons que $S$ est finie d'après le lemme 7.5 et le fait que la multiplicité de $f$ est non nulle seulement en un nombre fini de point de $\mathbb{Q} \cap D(0, R)$.

Supposons que $S = 0$. Alors, $f(z)$ prend des valeurs transcendantes en tout point de $D^*(0, R)$ et il suffit de choisir $P := 0, Q := 1$ et $g := f$.

Supposons à présent que $S \ge 1$ et que le résultat est démontré pour toute fonction analytique sur le disque $D(0, R)$ dont la somme des multiplicités est au plus $S - 1$. Soit $\alpha$ un point de multiplicité $m \ge 1$ pour $f$. Soit $\mathbb{L}$ une extension galoisienne de $\mathbb{K}$ contenant $\alpha$ et posons $G := \text{Gal}(\mathbb{L}/\mathbb{K})$. Notons
que d'après le corollaire 6.4, on a $f(\alpha) \in \mathbb{K}$. Posons

$$h(z) := \sum_{\tau \in G} \frac{f(z) - \tau(f(\alpha))}{z - \tau(\alpha)}.$$

C'est une $M_q$-fonction. De plus, comme $h(z)$ est fixée par $G$, on a $h(z) \in \mathbb{K}[[z]]$. Montrons que $h$ est analytique sur $D(0, R)$. Il est immédiat que $h$ est analytique en tout point de $D(0, R)$ qui n'est pas de la forme $\tau(\alpha)$ pour un $\tau \in G$. D'autre part, si $\tau(\alpha) \in D(0, R)$, $\tau \in G$, la proposition 7.1 implique que $\tau(f(\alpha)) = f(\tau(\alpha))$ et donc que $h$ est analytique au point $\tau(\alpha)$. Ainsi, $h$ est analytique sur $D(0, R)$. La multiplicité en $\alpha$ de la fonction

$$\frac{f(z) - \tau(f(\alpha))}{z - \tau(\alpha)}$$

vaut $m$ si $\tau(\alpha) \neq \alpha$ et $m-1$ sinon. On en déduit que la multiplicité de $h$ en $\alpha$ vaut $m-1$. En tout autre point de $\overline{\mathbb{Q}} \cap D(0, R)$, la multiplicité de $h$ est inférieur ou égale à celle de $f$. La somme des multiplicités de $h$ est donc au plus égale à $S-1$. Par hypothèse de récurrence, il existe $A_1(z), A_2(z) \in \mathbb{K}(z)$ et $g(z) \in \mathbb{K}[[z]]$ analytique et purement transcendante sur $D(0, R)$, tels que

$$h(z) = A_1(z) + A_2(z)g(z).$$

On définit alors

$$\delta(z) := \left( \sum_{\tau \in G} \frac{1}{z - \tau(\alpha)} \right)^{-1} \quad \text{et} \quad \gamma(z) := \delta(z) \left( \sum_{\tau \in G} \frac{\tau(f(\alpha))}{z - \tau(\alpha)} \right)$$

Par construction, $\delta(z)$ et $\gamma(z)$ appartiennent à $\mathbb{K}(z)$. Par ailleurs, on a

$$f(z) = \delta(z)h(z) - \gamma(z).$$

En posant $R_1(z) := A_1(z)\delta(z) - \gamma(z)$ et $R_2(z) := A_2(z)\delta(z)$, on obtient

$$f(z) = R_1(z) + R_2(z)g(z)$$

comme souhaité.

□

*Démonstration de la Proposition 7.4.* Nous procédons par récurrence sur la somme $S$ des pôles de $f$ dans $D(0, R)$, comptés avec multiplicité.

Si $S = 0$, $f$ est analytique sur $D(0, R)$ est le résultat correspond à la proposition 7.6.

Supposons à présent que $S \geq 1$ et que le résultat est démontré quand la somme des pôles est au plus $S-1$. Soit $\alpha$ un pôle de $f(z)$ et $D(z)$ le polynôme minimal de $\alpha$ sur $\mathbb{K}$. Alors la somme des pôles de $D(z)f(z) \in \mathbb{K}[[z]]$ est strictement inférieure à $S$. Par hypothèse de récurrence, il existe $A_1(z), A_2(z) \in \mathbb{K}(z)$ et $g(z) \in \mathbb{K}[[z]]$, analytique et purement transcendante sur $D(0, R)$, tels que

$$D(z)f(z) = A_1(z) + A_2(z)g(z).$$

En posant $R_1(z) := A_1(z)/D(z)$ et $R_2(z) := A_2(z)/D(z)$, on obtient le résultat souhaité. □
## 8. EXEMPLES DE RELATIONS NON BANALES

Nous illustrons le théorème 1.1 à travers quelques exemples.

**Exemple 8.1.** D'après la proposition 4.1, le lieu des relations non banales entre des E-fonctions fixées est un ensemble fini. Réciproquement, tout ensemble fini $S \subset \overline{\mathbb{Q}}^*$ est le lieu des relations banales entre certaines E-fonctions. En effet, considérons $f(z) := P(z)e^z$, où $P(z) \in \overline{\mathbb{Q}}[z]$ est à racines simples avec $S$ comme ensemble de racines. On obtient que $f(\alpha) = 0$ pour tout $\alpha \in S$ et $f(\alpha) \notin \overline{\mathbb{Q}}$ pour tout $\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}^* \setminus S$. Ainsi, l'ensemble $S$ correspond au lieu des relation non banales pour $\{f\}$. Notons que pour tout $\alpha \in S$, la relation $f(\alpha) = 0$ s'obtient comme dégénérescence de la relation différentielle

$$ (P' + P)f - Pf' = 0. $$

**Exemple 8.2.** Considérons la fonction de Bessel

$$ J_0(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n!)^2} \left(\frac{x}{2}\right)^{2n} $$

et

$$ f(z) := \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{(-1)^n (2n)!}{(n!)^4 2^{2n}} - \frac{(-1)^n}{n!(n-1)! 2^{2n-1}} \right) x^{2n} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)!n!} \frac{x^{2n+1}}{2^{2n+1}}. $$

En $z = 1$, on a la relation algébrique suivante :

$$ (8.1) \qquad f(1) - J_0(1)^2 = 0. $$

On peut vérifier que cette relation s'obtient par dégénérescence de la relation algébro-différentielle suivante entre $f$ et $J_0$ :

$$ (8.2) \qquad f(z) - J_0(z)^2 + (z-1)J'_0(z) = 0. $$

Comme $J_0(z)$ et $J'_0(z)$ sont algébriquement indépendantes sur $\overline{\mathbb{Q}}(z)$, il en va de même, d'après (8.2), de $f(z)$ et $J_0(z)$. En particulier, la relation (8.1) est non banale relativement à $\{f(z), J_0(z)\}$.

**Exemple 8.3.** Considérons $f(z) := \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$, où $a_n \in \{0, 1\}$ désigne le nombre d'occurences du chiffre 2 dans l'écriture ternaire de $n$, compté modulo 2. La suite $(a_n)_{n \ge 0}$ est une variante de la célèbre suite de Thue-Morse. Des relations $a_{3n} = a_{3n+1} = a_n$ et $a_{3n+2} = 1 - a_n$, on déduit que $f(z)$ est une $M_3$-fonction, solution de l'équation 3-mahlérienne inhomogène

$$ (8.3) \qquad \frac{z^2}{1-z^3} - f(z) + (1+z-z^2)f(z^3) = 0. $$

Posons $\varphi := \frac{1-\sqrt{5}}{2}$. La relation $\sigma_3$-linéaire (8.3) entre 1 et $f$ dégénère au point $\varphi$ en

$$ \frac{\varphi^2}{1 - \varphi^3} - f(\varphi) = 0. $$

En particulier, $f(\varphi) \in \overline{\mathbb{Q}}$. En raisonnant par récurrence à partir de (8.3), on obtient que pour tout $\ell \ge 0$, $f(\varphi^{1/3^\ell}) \in \overline{\mathbb{Q}}$. Par ailleurs, on peut montrer que $f$ n'est pas rationnelle et l'on obtient donc qu'il existe une relation linéaire non banale relativement à $\{1, f\}$ en tout point de la forme $\varphi^{1/3^\ell}$, $\ell \ge 0$.
Le lieu des relations non banales est donc infini, bien qu'il soit fini sur tout disque $D(0, R)$, $0 < R < 1$, comme le garantit la proposition 4.1.

Notons qu'une relation linéaire entre 1 et $f(\varphi^{1/3})$ s'obtient par dégénérescence de la relation $\sigma_3$-linéaire

$$ \frac{z^2 + z^5 + z^6 + z^7}{1 - z^9} - f(z) + (1 + z - z^2)(1 + z^3 - z^6)f(z^9) = 0, $$

laquelle s'obtient à partir de (8.3) et donne

$$ \frac{\varphi^{2/3} + \varphi^{5/3} + \varphi^{6/3} + \varphi^{7/3}}{1 - \varphi^3} - f(\varphi^{1/3}) = 0. $$

De façon générale, on peut montrer que toute relation linéaire entre 1 et $f(\varphi^{1/3^\ell})$ peut s'obtenir par dégénérescence d'une relation $\sigma_3$-linéaire de profondeur $\ell + 1$, c'est-à-dire faisant intervenir la fonction $\sigma_3^{\ell+1}(f)$ et qu'on ne peut l'obtenir comme dégénérescence d'une relation de profondeur moindre.

Cet exemple met en évidence une différence avec le cas des E-fonctions, où l'on peut obtenir toutes les relations non banales entre $f_1(\alpha), \dots, f_r(\alpha)$ par dégénérescence de relations algébro-différentielles dont la profondeur est bornée indépendamment de $\alpha$. Pour obtenir un résultat analogue pour les $M_q$-fonctions, il faut alors restreindre leur étude au disque $D(0, R)$ où $R < 1$ est préalablement fixé.

**Exemple 8.4.** Les suites de Baum-Sweet et Rudin-Shapiro figurent parmi les exemples classiques de suites automatiques (cf. [8, Chapter 5]). Notons $f(z)$ la série génératrice associée à la suite de Baum-Sweet et $g(z)$ celle associée à la suite de Rudin-Shapiro. Ce sont deux $M_2$-fonctions solutions des équations suivantes :

$$ f(z) - zf(z^2) - f(z^4) = 0 \quad \text{et} \quad g(z) + (z-1)g(z^2) - 2zg(z^4) = 0. $$

Considérons la $M_2$-fonction $h(z) := (1 - 3z)f(z^2)^3 + f(z)g(z)$. D'après [29, Section 9.3], les fonctions $f(z)$, $f(z^2)$, $g(z)$ et $g(z^2)$ sont algébriquement indépendantes sur $\mathbb{Q}(z)$. On en déduit que $h(z)$, $f(z)$ et $g(z)$ le sont également. Par ailleurs, on a

$$ (8.4) \qquad f\left(\frac{1}{3}\right)g\left(\frac{1}{3}\right) - h\left(\frac{1}{3}\right) = 0, $$

qui est donc nécessairement une relation non banale relativement à $\{f, g, h\}$. Elle s'obtient par dégénérescence en $z = 1/3$ de la relation $\sigma_2$-algébrique

$$ f(z)g(z) - h(z) + (1 - 3z)f(z^2)^3 = 0. $$

**Exemple 8.5.** Il peut également exister des relations $\sigma_q$-algébriques non triviales, mais qui ne sont source d'aucune dégénérescence. Voici un exemple. On note à nouveau $f(z)$ la série génératrice de la suite de Baum-Sweet (voir exemple 8.4). Notons $(n)_2$ le développement binaire de l'entier $n$ et $S_2(n)$ la somme des chiffres binaires de $n$. Définissons alors la suite $(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$ par :

$$ \left\{ \begin{array}{ll} b_n = 0 & \text{si } (n)_2 \text{ a un bloc de 0 consécutifs de longueur impair,} \\ b_n = 1 & \text{si } (n)_2 \text{ ne contient pas de tel bloc et } S_2(n) \text{ est pair,} \\ b_n = -1 & \text{sinon.} \end{array} \right. $$
On pose $g(z) := \sum_{n \in \mathbb{N}} b_n z^n$. On peut vérifier que

$$ \begin{pmatrix} f(z) & g(z) \\ f(z^2) & -g(z^2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f(z^2) & -g(z^2) \\ f(z^4) & g(z^4) \end{pmatrix}. $$

D'après [29], le groupe de Galois de ce système 2-mahlérien est $SL_2(\mathbb{Q})$. On peut alors utiliser la proposition 5.2 pour montrer que les relations $\sigma_2$-algébriques entre $f$ et $g$ sont engendrées par la relation

$$ (8.5) \qquad f(z)g(z^2) + f(z^2)g(z) = 2 $$

et leurs équations minimales respectives :

$$ f(z) - zf(z^2) - f(z^4) = 0 \quad \text{et} \quad g(z) + zg(z^2) - g(z^4) = 0. $$

Cependant, ces relations ne sont source d'aucune dégénérescence : $f(\alpha)$ et $g(\alpha)$ sont algébriquement indépendants sur $\mathbb{Q}$ pour tout $\alpha \in \mathbb{Q}$, $0 < |\alpha| < 1$.

## RÉFÉRENCES

[1] B. Adamczewski, J. P. Bell, and D. Smertnig, A height gap theorem for coefficients of Mahler functions, to appear in J. Eur. Math. Soc. (JEMS).

[2] B. Adamczewski et C. Faverjon, Méthode de Mahler : relations linéaires, transcendance et applications aux nombres automatiques, Proc. London Math. Soc. 115 (2017), 55–90.

[3] B. Adamczewski et C. Faverjon, Méthode de Mahler, transcendance et relations linéaires : aspects effectifs, J. Théor. Nombres Bordeaux 30 (2018), 557–573.

[4] B. Adamczewski and C. Faverjon, Mahler's method in several variables and finite automata, preprint 2020, arXiv:2012.08283 [math.NT].

[5] B. Adamczewski and C. Faverjon, A new proof of Nishioka's theorem in Mahler's method, to appear in Comptes Rendus – Mathématique.

[6] B. Adamczewski, T. Dreyfus, and C. Hardouin, Hypertranscendence and linear difference equations, J. Amer. Math. Soc. 34 (2021), 475–503.

[7] B. Adamczewski and T. Rivoal, Exceptional values of E-functions at algebraic points, Bull. London Math. Soc. 50 (2018), 697–708.

[8] J.-P. Allouche and J. Shallit, Automatic sequences. Theory, applications, generalizations, Cambridge University Press, Cambridge, 2003.

[9] Y. André, Séries Gevrey de type arithmétique I. Théorèmes de pureté et de dualité, Annals of Math. 151 (2000), 705–740.

[10] Y. André, Séries Gevrey de type arithmétique II. Transcendence sans transcendance, Annals of Math. 151 (2000), 741–756.

[11] Y. André, Solution algebras of differential equations and quasi-homogeneous varieties: a new differential Galois correspondence, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. 47 (2014), 449–467.

[12] T. Becker and V. Weispfenning, Gröbner bases. A computational approach to commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics 141, Springer-Verlag, New York, 1993.

[13] J. Bell, Jason, M. Coons, and E. Rowland, The rational-transcendental dichotomy of Mahler functions, J. Integer Seq. 16 (2013), Article 13.2.10, 11 pp.

[14] F. Beukers, A refined version of the Siegel–Shidlovskii theorem, Annals of Math. 163 (2006), 369–379.

[15] A. Bostan, T. Rivoal, and B. Salvy, Minimization of differential equations and algebraic values of E-functions, prépublication 2022, arXiv:2209.01827 [math.NT].

[16] N. Bourbaki, Elements of Mathematics, Algebra II, Chapters 4–7, Springer, 2003.
[17] R. Feng, *Hrushovski's algorithm for computing the Galois group of a linear differential equation*, Adv. in Appl. Math. **65** (2015), 1–37.

[18] R. Feng, *On the computation of the Galois group of linear difference equations*, Math. Comp. **87** (2018), 941–965.

[19] S. Fischler and T. Rivoal, *Effective algebraic independence of values of E-functions*, preprint 2019, arxiv 1906.05589 [mmath.NT].

[20] S. Fischler and T. Rivoal, *Values of E-functions are not Liouville numbers*, preprint 2023, arXiv :2301.01158v1 [math.NT].

[21] J. Fresan, *Une introduction aux périodes*, Périodes et transcendance, Éditions de l'École polytechnique, 2022.

[22] M. Kontsevich and D. Zagier, *Periods*, in Mathematics unlimited–2001 and beyond, Springer, Berlin, 2001, p. 771–808.

[23] S. Lang, Algebra, Revised third edition, Graduate Texts in Mathematics **21** Springer-Verlag, New York, 2002.

[24] L. Naguy and T. Szamely, *A general theory of André's solution algebras*, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) **70** (2020), 2003–2129.

[25] Ku. Nishioka, *New approach in Mahler's method*, J. reine angew. Math. **407** (1990), 202–219.

[26] P. Philippon, *Groupes de Galois et nombres automatiques*, J. Lond. Math. Soc. **92** (2015), 596–614.

[27] M. van der Put and M. F. Singer, Galois theory of difference equations, *Lecture Notes in Mathematics 1666*, Springer-Verlag, Berlin, 1997.

[28] M. van der Put and M. F. Singer, Galois theory of linear differential equations, *Grund-lehren der mathematischen Wissenschaften 328* Springer-Verlag, Berlin, 2003.

[29] J. Roques, *On the algebraic relations between Mahler functions*, Trans. Amer. Math. Soc. **370** (2018), 321–355.

[30] A. B. Shidlovskii, Transcendental numbers, *De Gruyter Studies in Mathematics 12*, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1989.

[31] M. Waldschmidt, *Transcendence of periods : the state of the art*, Pure Appl. Math. Q. **2** (2006), 435–463.

UNIV LYON, UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD LYON 1, CNRS UMR 5208, INSTITUT CAMILLE JORDAN, F-69622 VILLEURBANNE CEDEX, FRANCE

*Email address: Boris.Adamczewski@math.cnrs.fr*

UNIV LYON, UNIVERSITÉ CLAUDE BERNARD LYON 1, CNRS UMR 5208, INSTITUT CAMILLE JORDAN, F-69622 VILLEURBANNE CEDEX, FRANCE

*Email address: faverjon@math.univ-lyon1.fr*