# De l'endommagement à la rupture progressive de structures composites tissés

Lionel Marcin, Nicolas Carrère, Jean-François Maire

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Lionel Marcin, Nicolas Carrère, Jean-François Maire. De l'endommagement à la rupture progressive de structures composites tissés. 9e Colloque national en calcul des structures, CSMA, May 2009, Giens, France. hal-01418190

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Submitted on 16 Dec 2016

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# De l'endommagement à la rupture progressive de structures composites tissés

L. Marcin¹, N. Carrère¹, J.F. Maire¹

¹ Onera

Département Matériaux et Structures Composites,
ONERA/DMSC,

BP 72, 29 Avenue de la Division Leclerc,
92322 Châtillon Cedex

{lionel.marcin,carrere,maire}@onera.fr

**Résumé** — L'objet de cet article est de présenter un modèle macroscopique décrivant le comportement des structures composites tissés de l'endommagement à la rupture. Pour pallier le problème numérique (localisation artificielle de l'endommagement) lié à la prise en compte de la transition/endommagement rupture, deux méthodes de régularisation ont été mises en oeuvre. Plus précisément une comparaison entre le modèle à effet retard et le modèle non local a été réalisée sur un cas test de structure.

**Mots clés** — Composite tissé, Mécanique Continue de l'Endommagement, Rupture.

## 1 Introduction

Depuis quelques années, des techniques issues de l'industrie textile sont mises en oeuvre afin de concevoir des matériaux composites tissés à matrice organique ou céramique. L'un des avantages de ces matériaux est d'offrir une meilleure tenue à l'impact tout en réduisant de manière significative le délaminage qui est l'une des problématiques majeures des composites stratifiés [1]. Le manque de confiance dans les modèles actuels conduit les industriels à de forts surdimensionnements (baisse de performance) ou à des surcoûts de qualification expérimentale des structures aéronautiques.

Le modèle [2] de comportement présenté dans ce travail permet de décrire le comportement des composites tissés de l'endommagement à la rupture. Ce modèle d'endommagement anisotrope prend en compte (i) le caractère unilatéral du dommage ; (ii) les déformations résiduelles générées par la fissuration matricielle et (iii) fait la différence entre le dommage matriciel et le dommage "fibre" conduisant à un comportement "adoucissant".

Une des difficultés de la modélisation concerne la transition endommagement/rupture dans le cadre du calcul de structures. En effet, pour des comportements " adoucissants ", les résultats de la simulation sont dépendants du maillage utilisé (orientation ou finesse). Pour pallier ce problème numérique (localisation artificielle de l'endommagement) des méthodes de régularisation peuvent être mises en oeuvre. Parmi celles-ci, on distingue (i) d'une part, les modèles non locaux et (ii) les modèles à effet retard. Dans ce présent travail, ces méthodes sont mises en oeuvre afin d'évaluer leurs apports et leurs limites dans le dimensionnement de structures composites tissés jusqu'à rupture.
# 2 Modélisation du comportement de l'endommagement et de la rupture des matériaux composites tissés

## 2.1 Modélisation de l'endommagement matriciel

Le modèle d'endommagement présenté, Onera Damage Model Load (ODM_LD), permet de rendre compte de l'endommagement matriciel des matériaux composites tissés. ODM_LD comporte cinq variables scalaires d'endommagement<fnref n="1" /> ($d_1^m, d_2^m, d_3^m, d_4^m, d_5^m$). Il est construit de sorte que pour des chargements à 0°, 90°, +45° et -45°, le mode de dommage activé est perpendiculaire à ce chargement. Le modèle est donc équivalent à un modèle tensoriel pour ces directions.

La loi de comportement est définie de la manière suivante :

$$ \sigma = \tilde{C}^m : (\varepsilon - \varepsilon^{th} - \varepsilon^0) - C^0 : (\varepsilon^s + \varepsilon^r - \varepsilon^0), $$

où $\tilde{C}^m = (\tilde{S}^m)^{-1}$, avec $\tilde{S}^m = S^0 + \Delta\tilde{S}^m$, $\Delta\tilde{S}^m$ représente la variation du tenseur des souplesses, $S^0$, due à l'endommagement matriciel :

$$ \Delta S^m = \sum_i d_i^m H_i^m. $$

$H_i^m$ est le tenseur d'effet du dommage, $\eta_i^m$ représente l'index de désactivation du dommage (0 dommage inactif, 1 dommage actif). $\varepsilon^{th}$ est le tenseur des déformations thermiques. $\varepsilon^0$ définit le moment de fermeture. $\varepsilon^r$ est le tenseur des déformations résiduelles liées à l'endommagement. $\varepsilon^s$, tenseur des déformations stockées, permet d'assurer la continuité de la réponse $(\sigma, \varepsilon)$ au moment de la refermeture.

## 2.2 Modélisation de la rupture progressive des torons

Pour des structures présentant des singularités, la tenue est en général sous-évaluée, si un critère de rupture est utilisé pour déterminer les zones rompues. C'est la raison pour laquelle, des variables scalaires d'endommagement ($d_i^f$) décrivant la rupture progressive des torons sont introduits dans la formulation<fnref n="2" />. Plus précisément, une variable scalaire d'endommagement est introduite pour chaque mode de ruine, tension et compression, et direction dans le plan.

Le tenseur d'ordre 4 $\Delta S^f$ représentant la variation du tenseur des souplesses est ici introduit :

$$ \Delta S^f = \sum_i d_i^f H_i^f. $$

$H_i^f$ représente le tenseur d'effet dû dommage du à la rupture progressive des torons de fibre. Dans ce cas, nous considérons que l'effet des ruptures de torons est actif aussi bien en traction qu'en compression.

## 2.3 Formulation du modèle complet

La formulation du modèle complet permettant de décrire le comportement des matériaux composites tissés jusqu'à rupture est redéfini de la manière suivante :

$$ \sigma = \tilde{C} : (\varepsilon - \varepsilon^{th} - \varepsilon^0) - \tilde{C}^f : (\varepsilon^s + \varepsilon^r - \varepsilon^0), $$

$$ \text{avec } \tilde{C} = (S^0 + \Delta S^m + \Delta S^f)^{-1} \text{ et } \tilde{C}^f = (S^0 + \Delta S^f)^{-1}. $$

<footnote n="1">1. L'exposant *m* est lié à la matrice, c'est à dire aux aspects non adoucissants.</footnote>

<footnote n="2">2. L'exposant *f* est lié aux torons de fibre, c'est à dire aux aspects adoucissants.</footnote>
# 3 Traitement de la dépendance aux maillages des résultats

Le formalisme vu précédemment conduit à des modèles de types adoucissants. Or, la mise en oeuvre de ces modèles dans le cadre du calcul de structure par Éléments Finis conduit à des problèmes numériques c'est-à-dire la perte d'ellipticité des équations du problème d'équilibre dans le cas statique et à la perte d'hyperbolicité dans le cas dynamique. Ceci se traduit par une dépendance du résultat vis-à-vis du maillage (types d'éléments, taille des éléments, orientation du maillage).

Pour éviter la localisation artificielle de l'endommagement, on trouve plusieurs méthodes de régularisation dans la littérature parmi lesquelles : (i) les modèles à effet retard qui régularisent le problème en limitant la croissance du dommage [3], (ii) les modèles non locaux qui régularisent le problème en moyennant les variables sur une zone, imposant du même coup une zone de localisation non nulle [4].

## 3.1 Modèle d'endommagement à effet retard

L'équation définissant l'évolution de la variable d'endommagement est la suivante ($\tau_i$ étant un paramètre du modèle) :

$$d^f = \frac{1}{\tau_i} (d_i^{fied}) - d_i^f)$$

$d_i^f$ correspond au dommage réel qui est pris en compte pour déterminer les propriétés dégrées du matériau et $d_i^{fied}$ est le dommage obtenu par la loi classique sans effet retard.

## 3.2 Modèle d'endommagement non local

Dans le cas des modèles non-locaux, l'hypothèse de l'état local est remise en cause. En effet, la valeur d'une variable en un point M dépend des variables définies dans son voisinage. Dans cette étude, une variable ($y_i^{fied}$) non locale est introduite pour chaque force motrice de l'endommagement des torons de fibres $y_i^f$. Une équation de diffusion ainsi qu'une condition de flux nul sur les bords sont alors introduit dans le problème mécanique à résoudre ($c_i$ étant un paramètre du modèle) :

$$\left\{ \begin{array}{l} y_i^{fied} - c_i \nabla^2 y_i^{fied} = y_i^f \quad \text{sur } \Omega \\ \vec{\nabla} y_i^f \cdot \vec{n} = 0 \quad \text{sur } \partial\Omega \end{array} \right.$$

# 4 Mise en oeuvre des méthodes de régularisation

## 4.1 Présentation de l'application

Le matériau considéré dans cette application est un composite tissé équilibré CMC élaboré par CVI. Cette classe de matériau considéré comme initialement orthotrope symétrique présente un comportement élastique-endommageable. Le cas test consiste en un essai de traction uniaxiale sur éprouvette trouée. Pour des raisons de symétrie, un quart de l'éprouvette a été maillé. En bord de trou, le maillage n°2 est plus fin que le maillage n°1.
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Figure 1 – Réponse force/déplacement de la simulation d’un essai de traction sur plaque trouée pour $\tau = 1$ et $\tau = 3$.</figcaption></figure>

## 4.2 Résultats des simulations numériques

### 4.3 Cas du modèle à effet retard

La Figure 1 présente les résultats en terme de courbe force/déplacement pour des maillages différents et deux paramètres $\tau$ différents. Lorsque la valeur de $\tau$ est assez grande, les réponses de la structure ainsi que les valeurs de l'endommagement fibres (voir Figure 2) sont identiques quel que soit le maillage même au-delà du pic de charge.

### 4.4 Cas du modèle non local

La convergence des calculs avec le modèle non local a nécessité l'utilisation d'un algorithme de résolution à longueurs d'arc. En effet, la résolution du problème avec une méthode de Newton-Raphson diverge dès l'apparition du dommage lié à la rupture des torons dans un élément. L'utilisation du solveur à longueur d'arc pour le modèle classique fait apparaître une décharge au moment de l'apparition du dommage fibre, par contre l'endommagement reste localisé en un point de Gauss. Couplé au modèle non local, premièrement, les courbes force/déplacement sont similaires (voir Figure 3). Deuxièmement, le dommage fibre n'est plus confiné en un point de Gauss, de plus il est réparti sur la même zone (voir Figure 4).

<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>Figure 2 – Visualisation du dommage fibre en bord de trou induit par un essai de traction sur plaque trouée pour un déplacement $U_y = 0.2\text{mm}$ ($\tau = 3$).</figcaption></figure>
<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>Figure 3 – Comparaison des courbes force/déplacement de la simulation d'un essai de traction sur plaque trouée pour les deux maillages retenus.</figcaption></figure>

# 5 Discussions et premières confrontations à l'expérience

La méthode de régularisation visqueuse permet de s'affranchir de la dépendance au maillage des résultats. Néanmoins, l'un des inconvénients de cette approche est d'introduire une dépendance vis-à-vis du temps des résultats dans le cas de calcul statique. Plus généralement, la question de la signification physique des paramètres $c_i$ (homogène à une longueur au carré) et $\tau_i$ (homogène à un temps) se pose dans la perspective d'une comparaison avec des résultats expérimentaux. Le choix de ces paramètres requiert un compromis entre non localisation du dommage fibre et minimisation de leur influence sur la réponse matériau. Dans le cas présent, nous avons choisi les paramètres $\tau_i$ et $c_i$ les plus petits possibles permettant une délocalisation du dommage quelle que soit la finesse du maillage. Le modèle adoucissant conduisant à une rupture fragile, l'utilisation d'un algorithme à longueur d'arc (dans le cas du calcul non local) induit une réponse force/déplacement après le pic de chargement ne correspondant pas à une réponse physique. Dans le cadre d'une comparaison avec l'expérience seul le pic de charge est donc retenu.

Les résultats d'une première confrontation aux résultats expérimentaux sont présentés dans le Tableau 1. Il est possible de rendre compte avec un bon accord des résultats expérimentaux grâce aux approches développées dans cette étude (Figure 5).

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>Figure 4 – Visualisation du dommage fibre en bord de trou à la fin de la simulation d'un essai de traction sur plaque trouée.</figcaption></figure>
<table><caption>Tableau 1 – Comparaison modèles/expérience des contraintes à rupture (en MPa).</caption><thead><tr><td>Essai</td><td>Effet retard</td><td>Non local</td></tr></thead><tbody><tr><td>161</td><td>160</td><td>131</td></tr></tbody></table>

## 6 Conclusions

Le modèle de comportement présenté dans ce travail permet de décrire le comportement non linéaire des matériaux composites tissés jusqu’à la rupture. Afin de s’affranchir du phénomène de localisation deux approches ont été mises en oeuvre : un modèle d’endommagement à effet retard et un modèle non local. Dans l’optique d’une confrontation à l’expérience, la question de la signification numérique des paramètres introduits est posée. A priori leurs choix reposent sur un compromis entre non localisation du dommage et faible influence de la réponse matériau. Les premiers résultats de la confrontation expérimentale sont plutôt satisfaisants et mettent en évidence la capacité de ces approches à évaluer la tenue des structures composites tissés. Ce travail doit encore être approfondi, en effet la confrontation aux résultats expérimentaux est a priori un bon indicateur pour discriminer ces deux approches.

## Références

[1] B.N. Cox. Handbook of analytical methods for textile composites. Technical report, NASA, 1997.

[2] L. Marcin, N. Carrère, and J.F. Maire. A macroscopic visco-elastic-damage model for three-dimensional woven fabric composites. In *European Conference on Composite Materials*, 2008.

[3] P. Ladevèze, O. Allix, J.F. Deü, and D. Lévêque. A mesomodel for localisation and damage computation in laminates. *Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering*, 183(1-2):105-122, 2000.

[4] N. Germain. *Modélisation non locale de l'endommagement dans les structures composites*. PhD thesis, Ecole Nationale Supérieure des Mines de Paris, 2006.

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>Figure 5 – Confrontation expérience/simulation des réponses contrainte/déformation d’un essai de traction sur plaque trouée.</figcaption></figure>