Die Formeln (72), (73), (74), (75) ergeben:

$$ (77) \quad \left| \int_{\Sigma} f(u, v) \cdot i(u, v) \cdot D(u, v) \, du \, dv - \int_{\Sigma} F(x, y) \cdot n(x, y) \, dx \, dy \right| \\ < \varepsilon + \varepsilon \cdot H \cdot \int_{\Sigma} N(x, y) \, dx \, dy. $$

Indem man in (77) zur Grenze übergeht, folgt

$$ \int_{\Sigma_0} f(u, v) \cdot i(u, v) \cdot D(u, v) \, du \, dv = \int_{\Sigma} F(x, y) \cdot n(x, y) \, dx \, dy. $$

Eingegangen: Mai 1924 ¹⁰).

¹⁰) ursprünglich in englicher Sprache.

## Sur un ensemble analytique plan, universel pour les ensembles mesurables (B).

Par

W. Sierpiński (Varsovie).

(Extrait d'une lettre adressée à M. N. Lusin).

Pendant votre séjour à Varsovie, en octobre 1927, vous avez attiré mon attention sur l'intérêt que présenterait une construction d'un ensemble (A) plan, dont les intersections par les droites parallèles à l'axe d'ordonnées donnent tous les ensembles mesurables B linéaires, et seulement des ensembles mesurables B. Permettez de vous communiquer un exemple d'un tel ensemble.

Comme on le sait, il existe un ensemble universel $G_\delta$ dans l'espace $R^3$ à trois dimensions, c'est-à-dire un ensemble $G_\delta$ situé dans $R^3$, soit $U$, tel qu'en le coupant avec les plans parallèles au plan YOZ on obtient tous les ensembles $G_\delta$ plans possibles <fnref n="1" />).

Désignons par $Q$ l'ensemble de tous les points $(x, y, z)$ de l'ensemble $U$, tels qu'il n'existe aucun point $(\xi, \eta, \zeta)$ de $U$, où $\xi = x$, $\eta = y$ et $\zeta > z$. L'ensemble $U$ étant mesurable $B$, l'ensemble $Q$ sera, d'après M. Mazurkiewicz, un ensemble $CA$ (complémentaire)

<footnote n="1">¹) Voici comment on pourrait démontrer l'existence d'un ensemble universel $G_\delta$ plan. Comme j'ai démontré (Fund. Math. t. VII, p. 200) il existe un ensemble universel fermé dans l'espace à 3 dimensions, c'est-à-dire un ensemble fermé $F$ situé dans $R^3$, tel qu'en le coupant avec les plans parallèles au plan YOZ on obtient tous les ensembles fermés plans. La projection $P(F)$ de l'ensemble $F$ sur le plan XOY sera un ensemble universel. $F_\sigma$ plan (puisque les ensembles $F_\sigma$ linéaires coïncident avec les projections des ensembles fermés plans, comme je l'ai démontré dans les Fund. Math. t. VII, p. 238), et parsuite son complémentaire $CP_\sigma F$ (par rapport au plan XOY) sera un ensemble universel $G_\delta$ plan. On obtient pareillement un ensemble universel $G_\delta$ dans $R^3$, en partant d'un ensemble universel fermé dans l'espace à 4 dimensions.</footnote>
taire d'un ensemble (A) dans l'espace à 3 dimensions) <fnref n="1" />). Il en résulte que l'ensemble $V = U - Q$ sera un ensemble (A) (dans $R_3$).

Soit $R = P(U)$ la projection de l'ensemble $U$ sur le plan $XOY$, et soit $S = PP(V)$ la projection de l'ensemble $V$ sur l'axe $OX$: ce seront des ensembles (A) (comme projections des ensembles (A)). Désignons par $T$ l'ensemble de tous les points $(x, y)$ du plan $XOY$, tels que $x \in S$: ce sera encore un ensemble (A) (plan). Posons $E = R + T$. Je dis que l'ensemble $E$ jouit des propriétés désirées.

En effet: 1) $E$ est un ensemble (A) plan (comme somme de deux ensembles (A) plans).

2) Soit $a$ un nombre réel donné, et désignons par $L$ l'intersection de l'ensemble $E$ par la droite $x = a$.

Si $a \in S$, $L$ coïncide avec la droite $x = a$ (d'après les définitions des ensembles $T$ et $E$). Si $a \notin S$, il résulte des définitions des ensembles $S$ et $V$ que toute droite $x = a$, $y = b$, où $b$ est un nombre réel quelconque, coupe l'ensemble $U$ au plus en un point. Il en résulte tout de suite que $L$ est une projection biunivoque d'un ensemble $G_\delta$ plan: c'est donc une image biunivoque et continue (dans un sens) d'un ensemble mesurable $B$. D'après votre théorème d'unicité <fnref n="2" />) l'ensemble $L$ est donc mesurable $B$.

3) Soit $M$ un ensemble linéaire mesurable $B$ quelconque. Il résulte sans peine de votre théorème d'unicité <fnref n="3" />) que l'ensemble $M$ est une projection biunivoque d'un ensemble $G_\delta$ plan, soit $N$. Or, il résulte de la propriété de l'ensemble $U$ qu'il existe un nombre réel $a$ tel qu'en coupant l'ensemble $U$ par le plan $x = a$ on obtient l'ensemble $N$, dont la projection sur la droite $x = a$ z = 0 est l'ensemble $M$. D'après les définitions des ensembles $Q$, $V$, $S$ et $E$ il en résulte sans peine que l'intersection de l'ensemble $E$ par la droite $x = a$ est l'ensemble $M$.

Nous avons donc démontré que l'ensemble $E$ jouit des propriétés désirées. Il est à remarquer que, le complémentaire de $E$ par rapport au plan $XOY$ est un ensemble $CA$ plan, tel qu'en le coupant avec les droites parallèles à l'axe $OY$ on obtient tous les ensembles mesurables $B$ linéaires possibles et seulement les ensembles

## Sur un ensemble (A) plan.

mesurables $B$. Or, on voit sans peine qu'il n'existe aucun ensemble plan mesurable $B$ universel, c'est-à-dire un ensemble plan mesurable $B$, dont les intersections par les droites parallèles à l'axe $OY$ donnent tous les ensembles mesurables $B$ linéaires (puisque, en coupant un ensemble mesurable $B$ de classe $\alpha$ par une droite, on obtient toujours un ensemble mesurable $B$ de classe $\le \alpha$).

Varsovie, le 1 Novembre 1927.

<footnote n="1">¹) *Fund. Math.* t. X. p. 172. Il y est traité le cas d'un ensemble mesurable $B$ plan, mais la démonstration est valable pour l'espace à 3 dimensions. Cf. W. Sierpiński *Fund. Math.* t. XI, p. 293.</footnote>

<footnote n="2">²) N. Lusin: *Fund. Math.* t. X, p. 60.</footnote>

<footnote n="3">³) N. Lusin: *Fund. Math.* t. X, p. 49.</footnote>