# Analyse factorielle des correspondances continues

J. C. Naouri

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J. C. Naouri. Analyse factorielle des correspondances continues. Annales de l'ISUP, 1970, XIX (1), pp.1-100. hal-04083232

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Je tiens à exprimer mes vifs remerciements à mon directeur de thèse, Monsieur le Professeur J.P. BENZECRI, pour l'aide qu'il a bien voulu apporter à mon travail et pour le très grand plaisir que j'ai eu à discuter avec lui sur un grand nombre de sujets.

Je remercie également Monsieur le Professeur D. DUGUE pour le soutien qu'il m'a accordé non seulement pour ma thèse mais aussi pour les études que je poursuis sur des sujets connexes.

Voici le plan de ce travail :

*Première Partie : L'analyse factorielle des correspondances dans le cas continu; théorie générale; théorème de Perron-Frobenius.*

Quatre paragraphes.

*Deuxième Partie : Rappels sur la méthode de Fredholm.*

*Troisième Partie : La loi normale.*

Deux paragraphes.

*Quatrième Partie : Calcul dans deux cas particuliers.*

Deux paragraphes.

*Cinquième Partie : L'analyse factorielle des correspondances pour certains noyaux simples utilisés dans l'approximation.*

Cinq paragraphes.
Cinquième partie.

Les deux premiers éléments de la formalisation.

Création des parties : l'analyse factorielle des customisations pour certaines

Deux prémisses.

Quatrième partie : Calcul dans des cas particuliers.

Deux bagages.

Troisième partie : En les noms.

Deuxième partie : Rappels sur les méthodes de probabilité.

Quatre bagages.

Générale partie : L'analyse factorielle des customisations dans le cas

Voilà le plus de ce travail.

Si base que le bonne au des ajets communs

sont en il n'a anything on anything but one of these mais aussi pour les
Je sensi : établit Montan le Professeur D. DUGUE but le

avec lui sur un grand nombre de subjects.

apporter à mon travail et pour le rose grand plan que j'ai eu à discuter
soit le monsieur le Professeur J. F. BENECHI but l'idee du il a bien voulé
Je tente d'entendre mais il estentirans à mon dit-avoir de di-

PREMIERE PARTIE
# PREMIERE PARTIE

## L'ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES DANS LE CAS CONTINU; THEORIE GENERALE; THEOREME DE PERRON-FROBENIUS

L'analyse factorielle des correspondances a été construite jusqu'ici dans le cas où les deux ensembles I et J en correspondance, sont tous deux finis. Or il est intéressant de généraliser la théorie au cas où I et J sont tous deux des espaces de probabilité, ceci pour plusieurs raisons: tout d'abord la généralisation se fait dans un cadre plus naturel; ensuite il est possible (et fréquent) que l'expérience donne une correspondance finie alors qu'en réalité, la correspondance a lieu entre ensembles infinis; enfin on peut essayer à partir d'une correspondance finie mais dont le cardinal soit grand, de trouver un modèle continu, simple et global. De ces remarques, découlent les deux parties de notre étude: d'une part construction de la théorie dans le cas où I et J sont des espaces de probabilité; d'autre part quels sont les liens entre les facteurs et les valeurs propres de la correspondance continue et ceux obtenus à partir d'une approximation(nous verrons en quel sens) de cette correspondance ?

I. Nous ne rappellerons pas la théorie discrète mais nous allons construire la théorie continue de façon parallèle. Celle-ci se présente sous deux formes, la première étant un cas particulier de la seconde. Commençons donc par elle. Soit $I = J = [0,1]$. Nous disons qu'il y a correspondance entre I et J, si l'on s'est donné une fonction $T(x,y)$ définie sur $I \times J = [0,1] \times [0,1]$ et mesurable. Supposons de plus que, $T(x,y) \ge 0$ et $\iint T(x,y) \, dx \, dy = 1$. Autrement dit $T(x,y)$ représente non pas un tableau de données mais un tableau de fréquences. Les hypothèses faites entraînent l'existence des fréquences marginales

$$ T_1(x) = \int_0^1 T(x,y) \, dy \qquad (1) $$

$$ T_2(y) = \int_0^1 T(x,y) \, dx $$
Dans la théorie discrète, il est loisible de supposer que les lois marginales ne s'annulent pas; c'est impossible ici comme on le voit aisément; mais on peut supposer que les ensembles où les lois marginales s'annulent sont d'intérieur vide. En tout état de cause, nous supposerons que ces ensembles sont de mesure de Lebesgue nulle. Il est dès lors possible de définir les fréquences conditionnelles presque partout soit

$$ \frac{T(x,y)}{T_1(x)} \quad \text{et} \quad \frac{T(x,y)}{T_2(y)} \qquad (2) $$

Ces deux fréquences définissent deux transitions probabilistes $P_1$ et $P_2$ de I vers J et de J vers P.

On munit alors $I = [0,1]$ de la mesure de densité (par rapport à la mesure de Lebesgue) $T_1(x)$, et J de celle définie par $T_2(y)$. Ce sont des mesures positives de masse unité.

On peut alors définir une forme quadratique de moments d'inertie comme dans le cas discret, mais nous poserons plutôt le problème de la manière suivante: on dit qu'une fonction $f$ mesurable sur I est un facteur relatif à la valeur propre $\lambda$ si l'on a :

$$ P_1 P_2 f = \lambda f \qquad (3) $$

à condition naturellement que le premier membre soit défini. Autrement dit, si les intégrations sont licites :

$$ \lambda f(z) = \iint \frac{T(z,y) T(x,y)}{T_1(z) T_2(y)} f(x) dx dy \qquad (4) $$

Supposons désormais que les fonctions $f(x)$ recherchées sont dans $L^2([0,1])$ pour la mesure de densité $T_1$. Le problème est donc celui de l'analyse spectrale de l'opérateur intégral $U$ définie par (4). Cet opérateur est-il autoadjoint ? La formule (4) montre plutôt que c'est un opérateur de Schmidt. Toutefois, il est possible de réécrire (4) de façon à voir que cet opérateur $U$ est autoadjoint. En notant $d_\mu$ et $d_\nu$ les mesures respectivement définies par les densités $T_1$ et $T_2$, on a :
$$ U f = \iint \frac{T(z,y) T(x,y)}{T_1(z) T_2(y) T_1(x) T_2(y)} f(x) \, d\mu \, d\nu \quad (5) $$

Posons :

$$ \mathcal{J}(x,y) = \frac{T(x,y)}{T_1(x) T_2(y)} \quad (6) $$

On voit alors que :

$$ \begin{aligned} U f &= \iint \mathcal{J}(x,y) \mathcal{J}(z,y) f(x) \, d\mu \, d\nu \\ &= \iint \left( \iint \mathcal{J}(x,y) \mathcal{J}(z,y) \, d\nu \right) f(x) \, d\mu \end{aligned} \quad (7) $$

Soit :

$$ U(x,z) = \int \mathcal{J}(x,y) \mathcal{J}(z,y) \, d\nu \quad (8) $$

Alors $U(x,z)$ est symétrique : $U(x,z) = U(z,x)$.

Par conséquent, l'opérateur $U$ est bien autoadjoint. De plus, on vérifie que :

$$ U = T T^* \quad (9) $$

où $T$ désigne l'opérateur intégral dont $\mathcal{J}(x,y)$ est le noyau.

L'équation (9) montre immédiatement que $U$ est autoadjoint positif. Supposons désormais que $\mathcal{J}(x,y)$ appartient à l'espace $L^2$ pour le carré $[0,1] \times [0,1]$. Etudions alors l'opérateur $T$ qui opère une transition de $L^2$ (I) dans $L^2$ (J). C'est un opérateur borné; en effet :

$$ \begin{gathered} T f = \int T(x,y) f(x) \, d\mu \\ (T f)^2 = \left( \int T(x,y) f(x) \, d\mu \right)^2 \ll \left( \int T(x,y)^2 d\mu \right) \int f(x)^2 \, d\mu \\ \text{et} \end{gathered} $$
6

$$ \begin{aligned} \| T f \|_{L^2(J)}^2 &\le \iint f(x)^2 d\mu \iint T(x,y)^2 d\mu d\nu \\ &= \| f \|_{L^2(I)}^2 \quad \| T \|_{L^2(I \times J)}^2 \end{aligned} $$

Par conséquent \quad $ \| T \| \le \| T \|_{L^2(I \times J)}^2 $

D'autre part, c'est un opérateur compact de $L^2(I)$ dans $L^2(J)$. Pour le voir on peut soit employer une caractérisation générale des opérateurs intégraux compacts de $L^p$ dans $L^q$; soit plus simplement le fait suivant: la limite uniforme d'une suite d'opérateurs compacts est compacte; les opérateurs intégraux de rang fini (c'est-à-dire dont l'image est de dimension finie) sont compacts. Enfin toute fonction $K(x,y)$ appartenant à $L^2$ peut être approxée d' aussi près qu'on veut par un noyau de rang fini et cela au sens de la métrique de $L^2$, c'est-à-dire en moyenne. Ce théorème d'approximation se démontre dans ses grandes lignes de la façon suivante: on approche tout d'abord au sens de $L^2$, $K(x,y)$ par sa tronquée $K_N(x,y)$ égale à $K(x,y)$ si $|K| < N$, à O sinon. Puis on approche $K_N(x,y)$ par des fonctions en escalier. Or toute fonction en escalier de deux variables peut se mettre sous la forme

$$ \sum \phi_i(x) \overline{\psi_i(y)} $$

c'est-à-dire sous la forme d'un noyau de rang fini. Naturellement les propriétés de $T$ se transportent à $U = TT^*$. Ainsi l'on peut affirmer que $U$ est un opérateur borné de $L^2(I)$ dans $L^2(I)$, que $U$ est également compact. Nous en déduirons plus loin les résultats de l'approximation par des noyaux simples. Enfin la forme même de l'opérateur $U$ comme produit $TT^*$ permet de retrouver toutes les propriétés de «dualité» bien connues dans le cas discret. En effet jusqu'ici nous avons opéré l'analyse sur $I$ en ce sens que nous avons cherché les vecteurs propres et valeurs propres dans $L^2(I)$ alors que le problème initial était parfaitement symétrique en $I$ et $J$.

Montrons que les résultats de l'analyse sur $\zeta$ se déduisent de manière très simple. L'analyse sur $\zeta$ se fait en cherchant les valeurs et fonctions propres du produit des deux transitions $P_2 P_1$ et l'on obtient au lieu de (3) l'équation

$$ P_2 P_1 f = \lambda f \quad (11) $$
Or

$$ (P_2 P_1 f)(u) = \iint \frac{T(x,u) T(x,y)}{T_2(u) T_1(x)} f(y) \, dy \, dx \quad (12) $$

en introduisant la forme explicite de $P_1$ et $P_2$. Réécrivons l'intégrale :

$$ (P_2 P_1 f) = \iint \frac{T(x,u) T(x,y)}{T_1(x) T_2(u) T_1(x) T_2(y)} f(y) \, d\mu \, d\nu \quad (13) $$

ou encore :

$$ (P_2 P_1 f) = \iint \mathcal{J}(x,u) \ \mathcal{J}(x,y) f(y) \, d\mu \, d\nu \quad (14) $$

L'équation (14) montre immédiatement que l'opérateur $V$ dont on veut faire l'analyse spectrale ($V = P_2 P_1$) est égal à $T^*T$. $U$ et $V$ sont tous deux des opérateurs compacts; soient $\{E_\lambda; \lambda \in \Lambda\}$ (resp. $F_\mu, \mu \in M$) les sous-espaces propres de dimension finie correspondant à la valeur propre $\lambda$ de $U$ (resp. la valeur propre $\mu$ de $V$).

L'équation

$$ T^*T E_\lambda = \lambda E_\lambda $$

donne

$$ (T^*T) T E_\lambda = \lambda T^* E_\lambda $$

Par conséquent,

$$ T E_\lambda \subset F_\lambda $$

On montre de même que

$$ T^* F_\lambda \subset E_\lambda $$

Comme le produit $T^*T$ est un isomorphisme sur $E_\lambda$ si $\lambda$ est non nul, on en déduit immédiatement pour $\lambda \neq 0$

$$ T E_\lambda = F_\lambda \quad \text{et} \quad T^* F_\lambda = E_\lambda \quad (15) $$

**THEOREME:** La résolution du problème pour $I$ et celle pour $J$ sont identiques.

On a naturellement écarté la valeur propre nulle.
Il nous reste maintenant à établir l'analogue de la formule discrète :

$$f_{ij} = f_i \times f_j \sum \sqrt{\lambda(\varphi)} \varphi^i \varphi^j$$

A cet effet remarquons d'abord que la fonction constante, égale à 1 sur $[0,1]$ est fonction propre relative à la valeur propre 1; cela découle de l'égalité :

$$1 = \iint \frac{T(x,y) T(z,y)}{T_1(z) T_2(y)} dx dy$$

Il est possible d'appliquer au noyau de U le théorème de Hilbert-Schmidt, puisque ce noyau $U(z,x) = \int_0^1 \mathcal{J}(x,y) \mathcal{J}(z,y) dy$ est symétrique et de carré sommable.

Donc :

$$U(z,x) = \sum_i \lambda_i \varphi_i(x) \varphi_i(y) \quad (17)$$

(au sens de la convergence en moyenne).

(17) n'est autre que l'analyse spectrale de l'opérateur compact U. Mais nous nous intéressons à l'opérateur T. Or Schmidt a rattaché à tout noyau non symétrique K les deux systèmes $\{\varphi_i\}$ et $\{\psi_i\}$ des fonctions propres de $KK^*$ et $K^*K$ (qui eux sont autoadjoints) et a montré que le théorème de Hilbert-Schmidt modifié s'applique dans ce cas aussi, en ce sens qu'on a :

$$K(x,y) = \sum_i \sqrt{\lambda_i} \varphi_i(x) \psi_i(y) \quad (18)$$

si la série est convergente en moyenne.

Ceci peut se redémontrer de la manière suivante. Puisque $K$ établit un isomorphisme entre $E_\lambda$ et $F_\lambda$, il est possible de choisir les $\varphi_i$ et $\psi_i$ de manière que $K \varphi_i = \sqrt{\lambda_i} \psi_i$ dès lors il est aisé de voir que l'action de $K$ sur les $E_\lambda$ avec $\lambda \ge \lambda_0 > 0$ (en nombre fini et de dimension finie) se réduit à celle du noyau

$$\sum_{\lambda \ge \lambda_0} \sqrt{\lambda_i} \varphi_i(x) \psi_i(y)$$
On peut en déduire que la formule (18) est valide dès qu'il y a convergence. Dans le cas qui nous intéresse, c'est-à-dire celui du noyau $\mathcal{J}(x,y)$, on obtient :

$$ \mathcal{J}(x,y) = \sum_{i} \sqrt{\lambda_{i}} \phi_{i}(x) \psi_{i}(y) ; \text{ on a donc} $$

THEOREME : L'espression suivante est valide

$$ T(x,y) = T_1(x) T_2(y) \sum_i \sqrt{\lambda_i} \phi_i(x) \psi_i(y) \quad (19) $$

analogue de (16).

Il est possible de se ramener du cas général au cas où nous nous plaçons, c'est-à-dire $I = J = [0,1]$; si les limites initiales sont $[0 + \infty[$ il est possible de faire un changement de variable

$$ x = \frac{x'}{1 - x'} $$

et de se ramener ainsi à $[0,1]$. De même si $I = ]-\infty, +\infty[$, on pose $x = \log x'$. Une autre méthode utilisant le fait que les mesures utilisées sont de masse finie consiste à opérer les changements de variables

$$ x' = \mu \left( ] - \infty, x] \right) $$

$$ y' = \nu \left( ] - \infty, y] \right) $$

Ceci justifie que nous nous soyons placés dans le cas $I = J = [0,1]$. Plaçons-nous maintenant dans un cadre apparemment plus général. Soit $I$ et $J$ deux espaces, tels que $I \times J$ soit muni d'une mesure de probabilité $P(A,B)$. Nous verrons plus loin les hypothèses qui permettent de préciser la théorie (espaces polonais, espaces de Lebesgue); pour l'instant nous ne faisons aucune hypothèse sur $I$ et $J$. Notons $P_1(A)$ et $P_2(B)$ les mesures induites par $P(A,B)$ respectivement sur $I$ et $J$, c'est-à-dire: $P_1(A) = P(A,J)$ et $P_2(B) = P(I,B)$. Ces sont les probabilités marginales. Notons encore $L^2(I \times J)$, $L^2(I)$ et $L^2(J)$ les espaces des classes d'équivalence de fonctions de carré sommable sur $I \times J$, $I,J$ pour les mesures $P$, $P_1$, $P_2$. La projection canonique $p$ :

$$ I \times J \longrightarrow I $$

induit l'injection canonique $i$ :

$$ L^2(I) \longrightarrow L^2(I \times J) $$
De même on a $j$ :

$$ L^2(J) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} L^2(I \times J) $$

Encore faut-il vérifier que c'est un morphisme d'espaces de Hilbert; à cet effet, vérifions la conservation du produit scalaire :

$$ 
\begin{aligned}
\int_{I \times J} P(\mathrm{di}, dj) \ f(i) \ g(\overline{i}) &= \int_{I} P(\mathrm{di}, J) \ f(i) \ g(\overline{i}) \\
&= \int_{I} P_{1}(\mathrm{di}) \ f(i) \ g(\overline{i})
\end{aligned}
$$

c'est-à-dire :

$$ < i(f), i(g) >_{L^2(I \times J)} = < f, g >_{L^2(I)} $$

Donc $L^2(I)$ et $L^2(J)$ sont isomorphes à des sous-espaces de Hilbert de $L^2(I \times J)$. A ce titre, nous pouvons définir des opérateurs de projection orthongonale :

$$ \mathcal{P}_1 : L^2(I \times J) \longrightarrow L^2(I) $$

$$ \mathcal{P}_2 : L^2(I \times J) \longrightarrow L^2(J) $$

Par abus d'écriture nous noterons également $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ les opérateurs de projection orthongonale restreints à $L^2(J)$ et $L^2(I)$. Appelons correspondance sur $I \times J$, la donnée de $P(A,B)$ sur $I \times J$. L'analyse de cette correspondance est par définition l'analyse spectrale simultanée de $\mathcal{P}_1 o \mathcal{P}_2$ et de $\mathcal{P}_2 o \mathcal{P}_1$. Nous ne referons pas la démonstration de l'équivalence des analyses spectrales de $\mathcal{P}_1 o \mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_2 o \mathcal{P}_1$ dans le cas où ces transformations sont compactes. On peut d'ailleurs montrer très aisément que cette analyse pour la plus grande valeur propre se ramène à la recherche des couples d'angle minimum, c'est-à-dire des couples $f \in L^2(I)$, $g \in L^2(J)$ tels que

$$ \frac{< i(f), j(g) >}{\| f \| \| g \|} \quad \text{soit maximum.} $$
$$ \text{Or } < i(f), j(g) >_{L^2(I \times J)} = < \mathcal{P}_2 f, g >_{L^2(J)} $$

Cette égalité permet de déterminer $\Phi = \mathcal{P}_2 f$; en effet on peut la réécrire

$$ \int_{I \times J} P(dx, dy) f(x) g(y) = \int_{J} \Phi(y) g(y) P_{2}(y) $$

En particulier pout tout $B \subset J$ mesurable

$$ \int_{B} \Phi(y) P_{2}(y) = \int_{I} P(dx, B) \mathbf{1}(x) $$

Or cette égalité est la définition même des espérances conditionnelles. $\Phi$ est l'espérance conditionnelle de $i(f)$ par rapport à la sous-σ-algèbre $B$ de la $\sigma$-algèbre $\mathcal{A}$ de $I \times J$, engendrée par les éléments de $\mathcal{I}$ de la forme $I \times B$. Donc :

$$ \Phi = E^{\mathcal{B}}(f) $$

Dans le cas où les espaces $I$ et $J$ sont polonais (i.e; métrisables, complets, de type dénombrable), une probabilité conditionnelle $P_2(dx,B)$ définit cette espérance conditionnelle.

Mais la transition elle-même, définie par l'espérance conditionnelle, est valable dans tous les cas.

Ceci étant souligné, nous nous limiterons aux espaces $I$ et $J$ mesurés-isomorphes à $[0,1]$ (cas particulier des espaces de Lebesgue qui s'en déduisent en ajoutant un ensemble dénombrable de points).

Alors le seul cas intéressant, celui où $\mathcal{P}_1, \mathcal{P}_2$ est un opérateur compact (le seul cas qui peut être approché par la théorie discrète) se ramène immédiatement au cas où $P_1$ et $P_2$ sont des fonctions. En effet, dans l'espace $L^2$, les transformations linéaires compactes sont limites uniformes de transformation de rang fini lesquelles sont de forme intégrale. Or, puisque $L^2$ est compact, ces limites sont aussi représentables par des noyaux intégraux. On en déduit immédiatement le résultat cherché, à savoir: dans le cas compact, la théorie est non plus celle de mesures de probabilités mais celle de fonctions.
II. Nous abordons maintenant le problème de l'approximation, sans d'ailleurs essayer d'établir un cadre très général de la théorie de l'approximation. Commençons par un cas particulier, celui qui nous a conduit à construire la théorie de l'Analyse Factorielle Continue. Cherchons la solution de l'équation aux valeurs propres :

$$ \lambda f(z) = \int_{0}^{1} U(z,x) f(x) dx \quad (20) $$

On peut alors utiliser une formule d'interpolation linéaire de la forme :

$$ \int_{0}^{1} \varphi(x) dx = \sum_{k=1}^{n} A_{k} \varphi(x_{k}) + \rho \quad (21) $$

où $\rho$ désigne l'erreur. Par exemple pour la formule rectangulaire

$$ x_k = \frac{k-1}{n} \quad \text{et} \quad A_k = \frac{1}{n} $$

Pour la formule des trapèzes :

$$ x_k = \frac{k-1}{n-1}, \quad A_1 = A_n = \frac{1}{2n-2}, \quad A_k = \frac{1}{n-1} $$

$$ \text{pour } k \neq 1, \quad k \neq n $$

On peut encore utiliser la formule de Chebyschev ou la formule de Gauss pour laquelle :

$$ x_k = x_k^{(n)} $$

$$ A_k = A_k^{(n)} $$

où $x_k^{(n)}$ sont les racines du polynôme de Legendre d'ordre $n$, et les $A_k^{(n)}$ sont les coefficients de Gauss pour l'intervalle $[0,1]$. Appliquons la formule d'interpolation (21) à l'équation (20) :

$$ \lambda f(x) - \sum_{k=1}^{n} A_k U(x, x_k) f(x_k) = \rho(x) \quad (22) $$
Faisons dans (22) $x = x_1, \dots, x_n$; on obtient alors un système d'équations linéaires par rapport aux n inconnues $\tilde{f}(x_1), \dots, \tilde{f}(x_n)$

$$ \lambda f(x_i) - \sum_{k=1}^{n} A_k K(x_i, x_k) f(x_k) = \rho_i \quad (23) $$

En négligeant $\rho_i$ dans le second membre, on obtient un système approché par rapport aux n inconnues $\tilde{f}(x_1), \dots, \tilde{f}(x_n)$

$$ \lambda \tilde{f}(x_i) - \sum A_k K(x_i, x_k) \tilde{f}(x_k) = 0 \quad (24) $$

qui n'est autre qu'un système d'équations aux valeurs propres pour la matrice, de coefficient générique $\{A_k K(x_i, x_k)\}$. En résolvant l'équation (24) on trouve les valeurs approchées $\tilde{f}(x_1), \dots, \tilde{f}(x_n)$. On peut trouver alors une fonction approchée $f(x)$ par une quelconque formule d'interpolation, mais plus simplement encore en posant

$$ \tilde{f}(x) = \frac{1}{\lambda} \sum_{k=1}^{n} A_k K(x, x_k) \tilde{f}(x_k) $$

Il est parfois utile de remplacer le noyau $K$ par un noyau plus régulier: par exemple le noyau itéré $K^{(n)}$ est souvent plus approprié: c'est le cas pour les noyaux singuliers de la formule $K(x,y) = \frac{H(x,y)}{|x-y|^{\alpha}}$ ou $H(x,y)$ est une fonction bornée et où $\alpha$ est positif et inférieur à 1.

On peut en effet montrer que si $K$ et $K_1$ sont deux noyaux de ce type d'exposants $\alpha$ et $\beta$ respectivement, alors le produit (au sens des opérateurs) sera un noyau du même type et d'exposant $\alpha + \beta - 1$. Si donc $K$ est un noyau de ce type, il est facile de voir que pour n suffisamment grand $K^{(n)}$ sera un noyau borné.

La résolution du système (24) donne aussi une valeur approchée des valeurs propres $\lambda$ (d'un nombre fini d'entre elles en tout cas). Il est possible de donner une estimation de l'erreur pour les valeurs propres $\lambda$ de l'opérateur défini par le noyau $K(x,y)$. En notant $\Delta(\lambda)$ le polynôme caractéristique du système approché (24), entièrement connu lui (à la différence du déterminant de Fredholm $D(\lambda)$ du système initial),
$M = \sup_{x,y} |K(x,y)|$; soit $\Delta_{ik}(\lambda)$ le complément algébrique de l'élément de la i-ième ligne et k-ème colonne du déterminant $\Delta(\lambda)$ et soit $R$ une matrice de $\Sigma_k$ $|\Delta_{ik}|$ dans un disque donné.

THEOREME : Alors il existe une constante $k_n$ dépendant de la méthode d'approximation (c'est-à-dire le choix des coefficients $A_k$) et tendant vers zéro avec n telle que pour toute valeur propre $\lambda$ du système initial on ait

$$| \Delta(\lambda) | < \frac{M R |\lambda| k_n}{1 - k_n}$$

On peut donc avoir une idée de la qualité de l'approximation obtenue en faisant $\Delta(\lambda) = 0$.

Une seconde méthode d'approximation consiste à utiliser une base (orthonormale) de $L^2$ et d'y développer le noyau et la fonction propre cherchée. On obtient un système d'équation du type :

$$\sum_j K_{ij} f_j = \lambda f_i \quad (i = 1, 2, \dots)$$

On tronque alors ce système, c'est-à-dire qu'on opère une projection sur l'espace engendré par les n premiers vecteurs de la base; on obtient alors le système

$$\sum_{j=1}^{n} K_{ij} \tilde{f}_j = \lambda \tilde{f}_i \quad (i = 1, 2, \dots, n)$$

Soit $K_{ij}$ la matrice de $K$ dans la base choisie. Soit $P_n$ l'opérateur de projection sur les n premiers vecteurs de la base. Alors on peut montrer qu'une condition nécessaire et suffisante pour que $K$ soit compact est que $P_n K \to K$ (en norme) ou encore que $P_n K P_m \to K$ lorsque n et m tendent vers l'infini de manière indépendante ou enfin que $P_n K P_m \to K$.

Les solutions de ce système approché tendent vers les solutions exactes. Il est possible de trouver également des bornes.

Enfin, la troisième méthode est celle du noyau dégénéré. Nous avons vu que pour un noyau dégénéré, c'est-à-dire de rang fini (les $u_i$ sont linéairement indépendants).
$$K(x,y) = \sum_{i=1}^{n} u_i(x) v_i(y)$$

la solution s'obtenait de manière particulièrement simple; en effet

$$\lambda f(x) = \sum_{i=1}^{n} u_i(x) \int v_i(y) f(y) dy$$

Donc on doit rechercher $f(x)$ parmi les fonctions de la forme :

$$f(x) = \sum_{i=1}^{n} f_i u_i(x)$$

ce qui donne par report :

$$\lambda f_i = \sum_j f_j a_{ij}$$

$$\text{où l'on pose } a_{ij} = \int v_i(y) u_j(y) dy$$

On s'est ramené à un système d'équations aux valeurs propres. Or tout noyau de $L^2$ est compact et tout noyau compact est limite de noyaux de rang fini (dans $L^2$). On peut donc développer un noyau $K(x,y)$ donné à l'avance en série de Fourier

$$K(x,y) = \sum_{i=1}^{\infty} u_i(x) v_i(y)$$

Il est possible dans certains cas de ramener cette méthode à la pré-
cédente; en effet si les $u_i(x)$ forment une base, la matrice de $K$ dans
cette base n'est autre que

$$K_{ij} = \int v_i(y) u_j(y) dy$$

ce sont les coefficients de Fourier des $v_i(y)$.

Quoiqu'il en soit si l'on choisit pour les $u_i$ et $v_i$ une base de
fonctions orthogonales de $L^2$ alors le système approché a des solutions
qui convergent vers les solutions exactes.

En général, il est utile de se ramener à un noyau assez petit par
addition d'un noyau dégénéré; alors la résolvante du nouveau noyau se dé-
duit de la résolvante initiale grâce à la formule de Bateman: soit $k(x,y)$
un noyau dont on connaît la résolvante $\gamma(x,y,\lambda)$ et $K(x,y)$ le noyau dont on veut trouver la résolvante $\Gamma(x,y,\lambda)$; soit

$$K(x,y) = k(x,y) + \sum_{i=1}^{n} u_i(x) v_i(y)$$

On peut alors écrire

$$K(x,y) = \begin{vmatrix} k(x,y) & f_1(x) & f_n(x) \\ g_1(y) & a_{11} & a_{1n} \\ g_n(y) & a_{n1} & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{1n} \\ a_{n1} & a_{nn} \end{vmatrix}$$

THEOREME : Avec les notations ci-dessus on a :

$$\Gamma(x,y,\lambda) = \frac{\det | a_{ij} + \lambda \tau_{ij} |}{\phi_1(x) \quad \phi_2(x) \quad \dots \quad \phi_n(x)}$$

$$\text{avec } \tau_{ij} = \int \phi_j(x) g_i(x) \, dx$$

et où les $\phi_i$ et les $\chi_i$ sont les solutions des équations intégrales

$$\phi(x) - \lambda \int k(x,y) \phi(y) \, dy = f_1(x)$$

$$\chi(x) - \lambda \int k(x,y) \chi(y) \, dy = g_1(x)$$
### III.
Il est possible de démontrer un analogue du théorème de Perron-Frobenius pour les probabilités de transition entre $L^2(I)$ et $L^2(J)$ soit $P(x,dy)$. Rappelons, tout d'abord, certaines propriétés des matrices. On dit qu'une matrice $A$ est non-négative si tous les éléments $(a_{ij})$ de $A$ sont négatifs. On dit qu'une matrice $A = (a_{ij})$ est réductible si l'ensemble des indices $1,2,...,n$ peut être séparé en deux ensembles complémentaires

$$i_1, i_2, \dots, i_\mu \qquad ; k_1, k_2, \dots, k \qquad (\mu + \nu = n)$$

$$\text{tels que } a_{i\alpha k\beta} = 0 \quad (\alpha = 1, \dots, \mu \quad ; \beta = 1, 2, \dots, \nu)$$

Sinon la matrice est dite irréductible. On peut encore dire que la matrice $A$ est réductible si elle possède un sous-espace de coordonnées invariant de dimension $V$ ($\nu < n$).

Le théorème de Perron-Frobenius énonce les propriétés suivantes des matrices irréductibles non-négatives: A possède toujours une valeur propre positive $r$ qui est une racine simple de l'équation caractéristique. Les modules de toutes les autres valeurs propres ne sont pas supérieurs à $r$. Le vecteur propre relatif à $r$ a toutes ses coordonnées positives. Si $A$ possède $h$ valeurs propres $\lambda_0 = r, \lambda_1, \dots, \lambda_{h-1}$ de module $r$, ces nombres sont distincts et sont des racines de l'équation :

$$\lambda^h = r^h$$

Le spectre $\lambda_0, \lambda_1, \dots, \lambda_{h-1}$ de $A$ est appliqué sur lui-même par une rotation de $2\pi/h$ dans le plan complexe.

C'est cette structure du spectre (et du vecteur propre relatif à la valeur propre $r$) qu'on peut généraliser au cas des opérateurs.

Tout d'abord dans le cas des probabilités de transition au sens strict, c'est-à-dire des probabilités qui ne sont pas des fonctions: alors il ne s'agit pas d'opérateurs compacts puisqu'il y a identité entre opérateurs compacts et opérateurs définis par des fonctions (dans $L^2$). Dans le cas général on ne peut rien dire. Dans le cas quasi-compact, c'est-à-dire dans le cas où il existe un opérateur compact $K$, vérifiant pour au moins un entier $n$

$$\| P^n - Q \| < 1$$

alors on peut affirmer les propriétés suivantes: le spectre de $P$ est
compris dans le disque unité et le spectre sur le cercle unité est composé des racines de l'unité. Passons maintenant au cas compact, c'est-à-dire que $P(x,dy)$ est une fonction $K(x,y)$ de $L^2$. $K(x,y)$ est supposé positif ou nul. Comme $K(x,y)$ est une probabilité conditionnelle, on peut affirmer que 1 sera valeur propre et que le module des valeurs propres ne sera pas supérieur à 1. Opérons une subdivision de $[0,1] \times [0,1]$ en $n^2$ carrés de côté $1/n$. Notons $(i,j)$ le carré qui se présente à la i-ème ligne et la j-ème colonne. Soit $K_{ij}$ la moyenne de K dans le carré $(i,j)$ :

$$K_{ij} = n^2 \iint_{(i,j)} K(x,y) \, dx \, dy$$

Il est possible de démontrer que la fonction $K_n(x,y)$ définie de la façon suivante: $K_n(x,y)$ est constante et égale à $K_{1j}$ dans le carré $(i,j)$ (on ne précise pas la valeur à la frontière de $(i,j)$), converge dans $L^2$ vers $K(x,y)$. On pourrait d'ailleurs montrer que ce procédé d'approximation est convergent dans $L^2$.

Par conséquent le spectre de $K_n$ converge vers celui de K. Or $K_n$ n'est autre qu'une matrice et l'équation aux valeurs propres se réduit à une équation matricielle. Cette matrice est non-négative; pour s'assurer qu'elle est irréductible, introduisons plutôt la matrice

$$\tilde{K}_n = (\tilde{K}_{1j})$$

$$\text{avec } \tilde{K}_{ij} = \text{Max} (K_{ij}, 1/n)$$

qui est irréductible. Le spectre de $\tilde{K}_n$ tend vers celui de K. Les valeurs propres de K sur le cercle unité sont en nombre fini et de multiplicité finie. Pour n assez grand les valeurs propres de $\tilde{K}_n$ seront proches de ces valeurs propres. A partir du théorème de Perron-Frobenius pour $\tilde{K}_n$ on déduit donc, après un raisonnement pour se ramener au cas où ces valeurs propres de $\tilde{K}_n$ proches des valeurs proches de module 1 de K sont de même module.

**THEOREME:** Les valeurs propres de module 1 seront des racines de l'unité d'ordre h s'il y a h valeurs propres.

On voit de même que :
THEOREME: Tout le spectre de K considéré comme système de points dans le plan complexe sera invariant par la rotation d'angle $2\pi/h$.

Il existe d'ailleurs une structure simple pour les espaces propres relatifs aux valeurs propres de module unité.

Cette généralisation du théorème de Perron-Frobenius est destinée, à avoir des applications très importantes en Economie. En effet le modèle linéaire de Léontief d'Input-Output étudie la croissance d'une économie en utilisant de manière fondamentale les propriétés de la valeur propre positive maximale attachée à la matrice de Léontief (matrice d'Input-Output). Il étudie en particulier le caractère oscillatoire asymptotique de la production et la période. Toutes ces propriétés doivent pouvoir se généraliser au cas où l'on utilise un modèle de Léontief continu, c'est-à-dire un tableau d'input-output qui n'est plus une matrice mais une fonction $T(x,y)$ sur le carré $[0,1] \times [0,1]$, fonction de densité d'input pour une densité d'output donnée. Cet angle nouveau correspond à une tendance moderne à considérer des Economies «Continues» au lieu d'Economies Discrètes. Cette étude reste toutefois à faire de façon précise.

Nous allons maintenant établir une propriété très intéressante qui généralise une propriété analogue dans le cas discret.

Soit donc I et J deux espaces polonais; restreignons nous même à des espaces mesure-isomorphes à $[0,1]$. Gardons les notations déjà choisies. Dans tous les cas, la fonction constante 1 est fonction propre relative à la valeur propre 1. Etudions le cas où la valeur propre 1 est multiple, d'ordre n. Admettons le théorème ergodique suivant: soit P une probabilité de transition sur un espace mesurable; et soit aussi P (par abus d'écriture) l'opérateur défini par cette probabilité; supposons cet opérateur compact (en fait il suffit de supposer P quasi-compact). Alors il existe des entiers $dp \ge 1$ ($p=1,...,r$), $\sum dp$ fonctions mesurables positives et $\sum dp$ probabilités $p$ notées respectivement $p$

où $\delta$ est défini modulo $dp$, telles que

$$u_{p,\delta} = P u_{p,\delta+1} \quad \text{et} \quad \pi_{p,\delta} = \pi_{p,\delta-1} P$$

$$\int \pi_{p,\delta}(dx) u_{p,\delta}(x) = \delta_{p,\delta}$$

$$\begin{cases} \sum u_{p,\delta} = 1 \\ \mu_{p,\delta} = \mu_{\delta} \end{cases}$$
Les $u_{\rho\delta}$ définissent alors l'espace vectoriel associé à la valeur propre 1 de P. De plus les $E_{\rho\delta} = \{u_{\rho\delta} = 1\}$ sont disjoints 2 à 2 et sont les supports des $\pi_{\rho\delta}$. Enfin $P(x, E_{\rho\delta+1}) = 1 \Leftrightarrow x \in E_{\rho\delta}$.

Ces propriétés s'appliquent au cas où nous intéresse. En effet sup-
posons que $\mathcal{J}\mathcal{J}^*$ possède la valeur propre 1 multiple d'ordre n. Alors
évidemment il en est de même pour $\mathcal{J}$ qui possède la valeur propre 1 ou
- 1 avec la même multiplicité. Puisque $\mathcal{J}$ est compact, on peut écrire :

$$
\mathcal{J} = \sum_{\lambda} \mathcal{J}_{\lambda} \quad , \text{décomposition spectrale de } \mathcal{J}.
$$

$\mathcal{J}_1$ agissant sur l'espace correspondant à la valeur propre 1. Mais alors
le théorème précédent indique que :

$$
\mathcal{J}_1 = \sum_{\rho=1}^{r} \sum_{\delta=1}^{d\rho} u_{\rho, \delta-1} \otimes \pi_{\rho, \delta}
$$

Cette expression a la signification suivante: par une simple «permutation»
de I, correspondant au réarrangement fini

$$
I \to \{E_{11}, \dots E_{1,d_1}, \dots E_{\rho}, \delta, \dots \}
$$

$\mathcal{J}_i$ se met sous une forme diagonale par blocs. Il en est donc de même de de $T(x,y) = T_1(x) T_2(y) \mathcal{J}(x,y)$. Comme d'autre part $\mathcal{J}\mathcal{J}^*$ est auto-adjoint et que

<figure><img src="image_2.png" /></figure>

on voit que l'opérateur $K = \mathcal{J}\mathcal{J}^*$ se met sous forme diagonale en ce qui concerne la valeur propre 1 par le simple réarrangement défini plus haut (permutation dans le cas fini).

IV. Nous allons obtenir une première démonstration de la convergence des vecteurs propres et des valeurs propres dans un cas relativement restreint en théorie mais très important en pratique, celui où le noyau de l'équation aux valeurs propres est borné.
$$ \lambda f(z) = \int K(z,x) f(x) dx $$

Supposons donc que $\{K_n(z,x)\}$ soit une suite de noyaux approchés au sens que $\sup_{x,z[0,1]} |K(z,n) - K_n(z,x)|$ tend vers 0.

L'application la plus importante sera l'approximation par des noyaux relatifs à une partition de l'unité. Soit en effet

$$ \{ f_{i(n)}^{(n)} \}_{i(n) \in I(n)} $$ une suite de partitions de l'unité qui sont de plus en plus fines (i.e. le diamètre de la partition tend vers 0) quand n tend vers l'infini. Si l'on pose

$$ K^{(n)} = \sum_{i} K(i) f_{i(n)}^{(n)} $$

où $K(i)$ est la valeur prise par $K$ en un point du support de $f_i$, alors $K^{(n)}$ tend vers $K$ de façon uniforme si $K$ est continue. Nous verrons plus loin des partitions particulières (noyaux en escalier).

Utilisons la méthode de Fredholm qui est particulièrement parlante (cf. les rappels sur la théorie de Fredholm pour les notations). Affectons d'un indice n les grandeurs relatives au noyau $K_n(z,x)$. Démontrons tout d'abord que les valeurs propres de $K_n$ tendent vers celles de $K$. A cet effet rappelons que les valeurs caractéristiques de $K$ (resp. de $K_n$) sont les racines de la fonction entière déterminant $D(\lambda)$ (resp. $D_n(\lambda)$) ou en-core les pôles de la fonction mésomorphe $\frac{D'(\lambda)}{D(\lambda)}$ (resp. $\frac{D'_n(\lambda)}{D_n(\lambda)}$).

Or, d'après la relation (10) des Rappels

$$ D(\lambda) = \exp \left( - \sum_{i=1}^{\infty} A_p \lambda^p \right) $$

$$ \text{où } A_p = \int_0^1 K^{(p)}(x,x) dx $$

D'autre part, si $K_n \to K$ au sens de la convergence uniforme, il est évident qu'il en est de même pour $K_n^{(p)}$ qui tend vers $K^{(p)}$ (mais pas uniformément en p). Par suite les traces $A_{p(n)}$ tendent aussi (pour n tendant vers l'infini) vers les $A_p$.
Ceci montre que la série

$$ \sum_{1}^{\infty} A_{p(n)} \lambda^{p} $$

tend vers

$$ \sum_{1}^{\infty} A_{p} \lambda^{p} $$

uniformément sur tout compact. En effet les termes de chaque série sont moindres en valeur absolue que les termes de même rang d'une série convergente à termes positifs indépendants de n et chaque terme de la lère série a pour limite le terme correspondant de la seconde. Or, il est bien connu que si la suite de séries entières $f_n(x)$ tend uniformément sur tout compact vers $f(x)$, alors les pôles de $f_n(x)$ tendent vers ceux de $f(x)$ (uniformément sur tout compact aussi puisque de toute façon il n'y en a qu'un nombre fini). Par suite les pôles de $\frac{D'(\lambda)}{D_n(\lambda)}$ tendent vers ceux de

$\frac{D'(\lambda)}{D(\lambda)}$ ; il en va de même naturellement des résidus.

**THEOREME :** Les valeurs caractéristiques de $K_n$ tendent vers celles de K avec la multiplicité convenable.

Montrons maintenant la convergence des vecteurs propres. Pour cela utilisons leur expression déjà connue (cf. Méthode de Fredholm). Soit $\lambda_0$ une valeur caractéristique de K et soit $p, x_1, ..., x_p, y_1, ..., y_p$ telles que

$$ D \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \begin{Vmatrix} x_p \\ y_p \end{Vmatrix} \neq 0 $$

On montre tout comme ci-dessus que les mineurs

$$ D_n \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} \begin{Vmatrix} x_p \\ y_p \end{Vmatrix} $$

tendent uniformément sur tout compact vers le mineur D pour $x_1 - x_p, y_1 - y_p$ fixés. Donc pour n suffisamment grand, $D_n$ sera non nul dans un
voisinage de $\lambda_o$, les fonctions propres de $K_n$ seront données par

$$D_n \begin{pmatrix} x & x_2 - x_p & \\ y_1 & y_p & \lambda_n \end{pmatrix} \\ \\ D_n \begin{pmatrix} x_1 & x_p & \\ y_1 & y_p & \lambda_n \end{pmatrix}$$

expressions qu'on pourra rendre aussi proches que l'on veut de

$$D_n \begin{pmatrix} x & x_2 & x_p \\ y_1 & y_p & \lambda_o \end{pmatrix} \\ \\ D_n \begin{pmatrix} x_1 & x_p \\ y_1 & y_p & \lambda_o \end{pmatrix}$$

d'après la convergence des valeurs propres; ces dernières expressions tendant vers les fonctions propres de K; la démonstration de la convergence uniforme des mineurs se faisant par exemple sur l'expression :

$$D \begin{pmatrix} x_1 & x_p \\ y_1 & y_p & \lambda \end{pmatrix} = K \begin{pmatrix} x_1 & x_p \\ y_1 & y_p \end{pmatrix} + \sum_{l=1}^{\infty} \frac{(-\lambda)^p}{p} \int \dots \int K \begin{pmatrix} x_1 & x_p & t_1 & t_q \\ y_1 & y_p & t_1 & -t_q \end{pmatrix} dt_1 \dots dt_q$$

Pour cette convergence on pourra voir par exemple que si $M = \sup K(x,y)$ et si $|K(x,y) - K_n(x,y)| < \epsilon$ dans le carré $[0,1] \times [0,1]$ on a pour chaque déterminant $K$ :
$$ \left| K \begin{pmatrix} x_1 & x_p \\ y_1 & y_p \end{pmatrix} - K n \begin{pmatrix} x_1 & x_p \\ y_1 & y_p \end{pmatrix} \right| < \left( P^{P/2} (M+\epsilon)^P - M^P \right) $$

Cette inégalité se démontre très facilement grâce à l'inégalité de Hadamard. A partir de cette inégalité et d'autres analogues on déduit les diverses propriétés de convergence.

La démonstration est donc terminée dans ce cas particulier où le noyau est borné.

Il s'agit maintenant d'élargir la démonstration au cas général où le noyau n'est pas nécessairement borné ni même une fonction (mais une probabilité conditionnelle). Remarquons tout d'abord qu'il existe une démonstration simple dans certains cas quand il s'agit d'espaces propres de dimension 1 d'opérateurs compacts (mais précisément pour le cas où la transition est strictement déduite d'une probabilité conditionnelle, l'opérateur n'est pas compact). En effet soit de manière générale dans un espace de Banach B, des opérateurs compacts $K_n$ tendant (fortement c'est-à-dire en norme) vers un opérateur $K$ (qui est donc compact) et soit $x_n$ un vecteur propre de $K_n$ relatif à la valeur propre $\lambda_n$

$$ K_n x_n = \lambda_n x_n $$

Supposons $x_n$ de norme unité. Alors par hypothèse

$$ \| K x_n - K_n x_n \| \le \| K - K_n \| \| x_n \| = \| K - K_n \| \to 0 $$

Par conséquent

$$ \| K x_n - \lambda_n x_n \| = \| K x_n - K_n x_n \| $$

tend vers 0. Or l'hypothèse de compacité entraîne que l'image par $K$ de la boule unité est compacte donc que la suite $K x_n$ a un point d'accumulation soit $y$. Par extraction d'indices supposons que $K x_n$ tend vers $y$. Puisque les $K_n$ tendent uniformément vers $K$, les $K_n$ sont bornés dans leur ensemble, par conséquent $| \lambda_n | \le \| K_n \|$ les $\lambda_n$ seront bornés dans leur ensemble, et se trouveront dans un compact du plan complexe; il est donc possible de trouver un point d'accumulation des $\lambda_n$ soit $\lambda$; supposons, encore par extraction d'indices que les $\lambda_n$ tendent vers $\lambda$. Toutes ces
remarques montrent dès lors que $\lambda x_n$ tend vers $y$. Si $\lambda$ est nul, on ne peut rien dire. Sinon on peut affirmer que $x_n$ tend vers $y/\lambda$ lequel est un vecteur propre de $K$ correspondant à la valeur propre limite $\lambda$.

Passons maintenant au cas général des transformations autoadjointes bornées $U = \mathcal{J}\mathcal{J}^*$. Soit $U_n$ une suite de transformations qui convergent uniformément vers $U$.

$$ \| U_n - U \| \to 0 $$

Avant de procéder à la démonstration, faisons un rappel du théorème fondamental de l'Analyse Spectrale. Soit $K$ une transformation linéaire bornée, d'un espace de Banach $B$, $S_1$ et $S_2$ deux parties isolées complémentaires du spectre de $K$; il est alors possible de décomposer $B$ en somme directe de deux sous-espaces vectoriels $B_1$ et $B_2$, invariants par $K$ et cela de façon que dans $B_1$ (resp. $B_2$) la transformation $K$ ait un spectre égal à $S_1$ (resp. $S_2$).

THEOREME : Alors la projection de $B$ sur $B_1$ parallèlement à $B_2$ est égale à l'intégrale

$$ P(S_1) = -\frac{1}{2\pi i} \int_C (K - zI)^{-1} dz $$

prise le long d'une courbe composée d'un nombre fini de courbes fermées rectifiables passant uniquement hors du spectre $S = S_1 \cup S_2$ de $K$, c'est-à-dire dans l'ensemble résolvant de $K$, frontière d'un domaine $D$ tel que $S_1$ soit l'intersection de $S$ avec $D$.

Soit $K_n$ une suite de transformations linéaires bornées tendant uniformément vers $K$ :

$$ \| K_n - K \| \to 0 $$

Soit $S_1 \cup S_2$ une partition du spectre $S$ de $K$ de la manière expliquée ci-dessus. Si $z$ appartient à $C$ :

$$ \begin{aligned} K_n - zI &= K_n - K + K - zI \\ &= [(K_n - K)(K - zI)^{-1} + I](K - zI) \end{aligned} $$
Cette expression montre immédiatement que l'inversibilité du membre de gauche, c'est-à-dire l'appartenance de z à l'ensemble résolvant de $K_n$ (complémentaire du spectre $S_n$) est équivalente puisque z est dans l'ensemble résolvant de K, à l'inversibilité de $(K_n - K) (K - z I)^{-1} + I$; par hypothèse la courbe C est compacte; par conséquent la norme de la transformation $(K z I)^{-1}$ y est bornée par M. Dès lors, dès que $\|K_n - K\| < \frac{1}{2M}$,

$$I + (K_n - K) (K - z I)^{-1} = I + H$$

avec $\|H\| < 1/2$.

Or les transformations de ce type sont inversibles; en effet le développement en série de l'inverse converge sous la forme :

$$(I + H)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n H^n$$

Donc pour n assez grand C se trouve dans l'ensemble résolvant de $K_n$, il est donc possible de considérer la projection

$$P_n(S_{1,n}) = -\frac{1}{2\pi i} \int_C (K_n - z I)^{-1} dz$$

où $S_{1,n}$ désigne la partie du spectre de $K_n$ qui se trouve à l'intérieur de C.

### Etudions maintenant

$$P(S_1) - P_n(S_{1,n}) = - \frac{1}{2\pi i} \int_C [(K - z I)^{-1} - (K_n - z I)^{-1}] dz$$

Or

$$(K - z I)^{-1} - (K_n - z I)^{-1} = (K - z I)^{-1} [K_n - z I - K + z I] (K_n - z I)^{-1} \\ = (K - z I)^{-1} (K_n - K) (K_n - z I)^{-1}$$

Les normes de $(K - z I)^{-1}$ et de $(K_n - z I)^{-1}$, comme nous l'avons vu plus haut sont bornées toutes deux sur C, soit M une borne commune. Donc :

$$\| (K - z I)^{-1} - K_n - z I \| < \| K_n - K \| M^2$$
Donc, quand $||K_n - K||$ tend vers zéro l'intégrande tend vers 0; mais puisque la courbe C est compacte, cela entraine que

$$|| P(S_1) - P_n(S_1)_n || \to 0$$

Le résultat fondamental va nous permettre de déduire toutes les limites cherchées. Mais établissons d'abord un résultat préliminaire: Si les projections P et Q sur les sous espaces $B_1$ et $B_2$ de l'espace de Banach B satisfont à la condition

$$|| P - Q || < 1$$

alors $B_1$ peut être appliqué sur $B_2$ par un isomorphisme. On peut en effet voir que, en posant

$$A = I + P(Q - P)P$$

les transformations

$$U = QA^{-1/2}P$$

et $U* = P A^{-1/2} Q$

constituent les isométries de $B_1$ sur $B_2$ et de $B_2$ sur $B_1$.

Si l'on note $B_1$ le sous-espace propre de B correspondant à la partie $S_1$ du spectre de K et $B_{1n}$ le sous-espace propre relatif à la partie $S_{1n}$ du spectre de $K_n$, on voit donc :

**THEOREME:** Il existe pour n assez grand un isomorphisme entre $B_1$ et $B_{1n}$.

Dans le cas d'une valeur propre $\lambda$ isolée du reste du spectre, on en déduit :

**THEOREME:** Pour n assez grand il existe une partie $\Lambda_n$ du spectre $K_n$ tendant vers $\lambda$ (au sens ou $d(\lambda, \Lambda_n) \to 0$ et diam($\Lambda$) $\to 0$), $\Lambda_n$ étant un ensemble de valeurs propres si la multiplicité de $\lambda$ est finie et les espaces propres correspondant à $\lambda_n$ sont isomorphes à l'espace relatif à $\lambda$.
Tout ceci est vrai dans le cas général d'une transformation linéaire bornée. Si nous supposons maintenant que la transformation est aussi autoadjointe, on a un résultat plus fort dans la mesure où il est possible de donner des résultats également pour les parties non isolées. Tout d'abord remarquons qu'on peut démontrer la limite suivante :

$$ \| K P (S_1) - K_n P_n (S_1) \| \to 0 $$

par un calcul très simple calqué sur celui que nous venons de faire. Soit une transformation autoadjointe K de famille spectrale E(λ), et des opérateurs autoadjoints K_n de famille spectrale E_n(λ). Soit µ_1 et µ_2 deux points sur la droite réelle n'appartenant pas au spectre de K. Alors nous pouvons appliquer les résultats précédents à l'intervalle δ = [µ_1, µ_2]. On obtient en écrivant E(δ) = E(µ_1) - E(µ_2)

$$ \| E_n(\delta) - E(\delta) \| \to 0 \quad \text{et} \quad \| K_n E_n(\delta) - K E(\delta) \| \to 0 $$

En utilisant le fait que la famille spectrale E(λ) s'obtient comme limite de polynômes en K, on peut démontrer que E_n(λ) → E(λ) pour tout λ non valeur propre.
## DEUXIEME PARTIE

### RAPPELS SUR LA METHODE DE FREDHOLM

La méthode de Fredholm pour l'équation de seconde espèce

$$ \varphi(x) - \lambda \int_{\alpha}^{\beta} K(x,y) \varphi(y) dy = f(x) \quad (1) $$

où a et b sont finis; K(x,y) est continu dans [a,b] × [a,b], en fournit une solution explicite. L'idée initiale remplace l'intégrale dans (1) par une somme approchée

$$ h = \frac{b-a}{n}, \quad \sum_{i=1}^{n} K(x,y_i) \varphi(y_i) h $$

On obtient alors

$$ \varphi(x) - \lambda h \sum K(x,y_i) \varphi(y_i) = f(x) \quad (2) $$

En y faisant $x = y_1, \dots, y_n$ on obtient un système linéaire aux inconnues $\varphi(y_1), \dots, \varphi(y_n)$ :

$$ \left\{ \begin{array}{lll} \varphi(y_1) & - \lambda h \sum_{i=1}^{n} K(y_1, y_i) \varphi(y_i) = f(y_1) & \\ \vdots & \vdots & \\ \varphi(y_n) & - \lambda h \sum_{i=1}^{n} K(y_n, y_i) \varphi(y_i) = f(y_n) & \end{array} \right. \quad (2') $$

résoluble par les méthodes de l'algèbre linéaire. Les $\varphi(y_i)$ s'expriment alors comme fractions rationnelles de $\lambda$ dont le dénominateur est

$$ D_n(\lambda) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda K(y_1, y_1) h & & - \lambda K(y_1, y_n) h \\ - \lambda K(y_2, y_1) h & 1 - \lambda K(y_2, y_2) h & \\ - \lambda K(y_n, y_1) h & & 1 - \lambda K(y_n, y_n) h \end{vmatrix} \quad (3) $$
et le numérateur un mineur $D_n^{(i)}(\lambda)$. La question se pose de savoir si ces deux polynômes $D_n(\lambda)$ et $D_n^{(i)}(\lambda)$ ont une limite quand $n$ tend vers l'infini et si ces limites fournissent une solution de l'équation (1). Nous le montrerons plus loin; pour l'instant utilisons ces résultats de façon heuristique.

Introduisons tout d'abord une notation; si $(x_1, \dots, x_n)$ et $(y_1, \dots, y_n)$ sont deux n- uples réels, on pose :

$$ K \begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x_n \\ y_1 & \cdots & y_n \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} K(x_1, y_1) & K(x_1, y_n) \\ K(x_n, y_1) & K(x_n, y_n) \end{vmatrix} $$

Si l'on développe $D_n(\lambda)$ suivant les puissances de $-\lambda^p$, on voit aisément que le coefficient de $(-\lambda)^p h^p$ est égal à une somme de déterminants d'ordre p, chacun étant de la forme

$$ K \begin{pmatrix} y_1 & \cdots & y_p \\ y_1 & \cdots & y_p \end{pmatrix} $$

Or l'intégrale

$$ \Delta_p = \int_{\alpha}^{b} \dots \int_{\alpha}^{b} K \begin{pmatrix} y_1 & \cdots & y_p \\ y_1 & \cdots & y_p \end{pmatrix} dy_1 \dots dy_p $$

peut être approchée par une somme finie dont le terme général est précisément

$$ h^p K \begin{pmatrix} y_1 & \cdots & y_p \\ y_1 & \cdots & y_p \end{pmatrix} $$

A vrai dire un facteur $p$ s'introduit de par la symétrie de $K$:
$$ \begin{pmatrix} y_1 & \cdots & y_p \\ y_1 & \cdots & y_p \end{pmatrix} $$
Posons donc désormais

$$D(\lambda) = \sum_{p=0}^{\infty} \frac{(-\lambda)^p}{p^r} \Delta_p$$

Est-elle convergente? Rappelons l'inégalité de Hadamard pour les déterminants; si $A(a_{ij})$ est une matrice complexe nxn alors

$$| \text{dét } A | \lesssim \prod_{i=1}^{n} \left( \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|^2 \right)^{1/2}$$

On en déduit une majoration pour $\Delta_p$ :

$$\Delta_p \le \int \prod_{i=1}^{p} \left( \sum_{j=1}^{p} |K(y_i, y_j)|^2 \right)^{1/2} dy_1 \dots dy_p$$

$$\le \int \prod_{i=1}^{p} (\sum M^2)^{1/2} dy_1 \dots dy_p \le \int \prod_{i=1}^{p} (p M^2)^{1/2} dy_1 \dots dy_p$$

$$\le (b-a)^p p^{1/2} M^p$$

$$où M = \| K(x,y) \| \xrightarrow{p\to\infty} 0$$

On en déduit que le terme général de $D(\lambda)$ est majoré par

$$\frac{|\lambda|^p}{p'} p^{p/2} M^p (b-a)^p ;$$

il est facile d'en déduire la convergence quel que soit $\lambda$.

Cherchons une solution de l'équation (1) sous la forme

$$\varphi(x) = \varphi_0(x) + \lambda \varphi_1(x) + \dots + \lambda^n \varphi_n(x) + \dots \quad (4)$$

d'une série entière en $\lambda$. Formellement on en déduit des relations

$$\left\{ \begin{array}{l} \varphi_n(x) = \displaystyle\int_{\alpha}^{b} K(x,y) \varphi_{n-1}(y) \, dy \\ \\ \varphi_0(x) = f(x) \end{array} \right.$$
Voyons si ces calculs sont légitimes.

On obtient

$$ \| \varphi_n \|_{L^\infty} \lesssim (b-a) \| \varphi_{n-1} \|_{L^\infty} \| K \|_{L^\infty} $$

ce qui montre la convergence de la série (4) dès que

$$ | \lambda | \frac{1}{\| K \|_{(b-a)}} \quad (5) $$

et par suite (4) sera une solution de (1). C'en est même, alors, la seule solution: en effet, si $\psi(x)$ est une autre solution, $\mu(x) = \varphi - \psi$ satisfera à l'équation homogène

$$ \mu(x) = \lambda \int_{\alpha}^{\beta} K(x,y) \mu(y) dy $$

d'où l'on déduit

$$ \| \mu \|_{L^\infty} \lesssim \lambda (b-a) \| K \|_{L^\infty} \| \mu \|_{L^\infty} $$

ce qui n'est possible d'après (5) que pour $\mu(x) = 0$.

En introduisant les noyaux

$$ K^{(1)}(x,y) = K(x,y), \quad K^{(2)}(x,y) = \int_{\alpha}^{\beta} K(x,z) K(z,y) dz $$

$$ K^{(n)}(x,y) = \int_{\alpha}^{\beta} K^{(n-1)}(x,z) K(z,y) dz $$

on vérifie par récurrence que $\varphi_n(x) = \int_{\alpha}^{\beta} K^{(n)}(x,y) f(y) dy$

On a d'ailleurs

$$ K^{(n)}(x,y) = \int_{\alpha}^{\beta} \dots \int_{\alpha}^{\beta} K(x,t_1) \dots K(t_1, t_{1+1}) \dots K(t_n, y) dt_1 \dots dt_n $$
On appelle résolvante $\Gamma(x,y,\lambda)$ la série entière en $\lambda$ suivante

$$ \Gamma(x,y,\lambda) = \sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{n-1} K^{(n)}(x,y) \quad (6) $$

Dès que $|\lambda|$ satisfait à la condition (5), la série (6) est convergente, uniformément en x et y dans $[a,b] \times [a,b]$; ce qui permet d'intégrer terme à terme et d'écrire la solution (unique) de l'équation (1) sous la forme

$$ \varphi(x) = f(x) + \lambda \int_{\alpha}^{\beta} \Gamma(x,y,\lambda) f(y) dy $$

En fait, cette formule est valable non seulement pour $K(x,y)$ continu dans $[a,b] \times [a,b]$ mais également pour $K(x,y) \in L^2$ et pour $|\lambda| < \frac{1}{\|K\|_{L^2}}$.

On peut se demander quel est le comportement de $\Gamma(x,y,\lambda)$: est-ce une fonction entière, une fonction mésomorphe, quelles sont ses singularités ? Avant de le voir, établissons quelques relations; la convergence uniforme permet l'intégration terme à terme et la démonstration immédiate de la relation

$$ \Gamma(x,y,\lambda) = K(x,y) + \lambda \int_{\alpha}^{\beta} K(x,z) \Gamma(z,y,\lambda) dz \quad (7) $$

En fait, $\Gamma(x,y,\lambda)$ peut se définir par la relation entre opérateurs

$$ 1 + \lambda \Gamma_{\lambda} = (1 - \lambda K)^{-1} $$

où $K$ est l'opérateur agissant sur les fonctions continues dans $[a,b]^2$ défini par

$$ K \varphi(x) = \int_{\alpha}^{\beta} K(x,y) \varphi(y) dy $$

et $\Gamma_{\lambda}$ l'opérateur défini sur le même domaine par

$$ \Gamma_{\lambda} \varphi(x) = \int_{\alpha}^{\beta} \Gamma(x,y,\lambda) \varphi(y) dy $$

Passons à l'étude des singularités de la résolvante. A cet effet formons $D(x,y,\lambda) = \Gamma(x,y,\lambda) D(\lambda)$ qu'on peut développer suivant
les puissances de $\lambda$ :

$$D(x,y,\lambda) = K(x,y) + \sum_{l=1}^{\infty} \frac{(-\lambda)^l}{p^l} A_p(x,y)$$

$A_p(x,y)$ s'exprimant en fonction de $\Gamma(x,y,\lambda)$ et de $D(\lambda)$; de la relation (7) nous déduisons en effet par multiplication par $D(\lambda)$

$$D(x,y,\lambda) = K(x,y) D(\lambda) + \lambda \int_{\alpha}^{\beta} K(x,z) D(z,y,\lambda) dz$$

En identifiant les coefficients de $\frac{(-\lambda)^l}{p^l}$ des deux côtés, on déduit :

$$A_p(x,y) = K(x,y) \Delta_p - p \int_{\alpha}^{\beta} K(x,z) A_{p-1}(z,y) dz \quad (9)$$

Nous allons en déduire par récurrence $A_p(x,y)$ :

$$ 
\begin{align*}
A_1(x,y) &= K(x,y) \Delta_1 - \int_{\alpha}^{\beta} K(x,z) K(z,y) dz \\
&= K(x,y) \int_{\alpha}^{\beta} K(z,z) dz - \int_{\alpha}^{\beta} K(x,z) K(z,y) dz \\
&= \int_{\alpha}^{\beta} \begin{vmatrix} K(x,y) & K(x,z) \\ K(z,y) & K(z,z) \end{vmatrix} dz \\
&= \int_{\alpha}^{\beta} K \begin{vmatrix} x z \\ y z \end{vmatrix} dz
\end{align*}
$$

Supposons que $A_{p-1}(x,y)$ est de la forme précédente i.e.

$$A_{p-1}(x,y) = \int_{\alpha}^{\beta} \dots \int_{\alpha}^{\beta} K \begin{pmatrix} x & t_1 & \dots & t_{p-1} \\ y & t_1 & \dots & t_{p-1} \end{pmatrix} dt_1 \dots dt_{p-1}$$

En développant le déterminant $K \begin{pmatrix} x & t_1 & \dots & t_p \\ y & t_1 & \dots & t_p \end{pmatrix}$ suivant les éléments de
la première ligne, on obtient :

$$
K \begin{pmatrix} x & t_1 & \cdots & t_p \\ y & t_1 & \cdots & t_p \end{pmatrix} = K(x \ y) K \begin{pmatrix} t_1 & \cdots & t_p \\ y & t_1 & \cdots & t_p \end{pmatrix} - K(x, t_1) K \begin{pmatrix} t_1 & \cdots & t_p \\ y & t_2 & \cdots & t_p \end{pmatrix} \\ \qquad - \cdots - K(x, t_p) K \begin{pmatrix} t_1 & \cdots & t_p \\ t_1 & \cdots & y \end{pmatrix}
$$

En intégrant en $t_1 \dots t_p$ on obtient précisément la relation de récurrence (9), ce qui termine la démonstration. En notant

$$
\delta_p(x,y) = \int \dots \int K \begin{pmatrix} x & t_1 & \cdots & t_p \\ y & t_1 & \cdots & t_p \end{pmatrix} dt_1 \dots dt_p
$$

on obtient

$$
D(x \ y \lambda) = \sum_{\lambda} \frac{(-\lambda)^p}{p!} \delta_p(x,y)
$$

Comme pour D(λ) on montre la convergence uniforme en x et y dans
[a,b] × [a,b] quel que soit λ. En effet par l'inégalité de Hadamard

$$
| \delta_p (x, y) | \le M^{p+1} (b-a)^p (p+1)^2
$$

$\Gamma (x,y \lambda)$ quotient de deux fonctions entières est une fonction mésomorphe
dans le domaine où elle a été définie par (5) i.e. $|\lambda| < \frac{1}{\| K \| (b-a)}$

mais son prolongement analytique dans tout le plan est une fonction mésomorphe dont les pôles sont les zéros de D(λ). En particulier le plus petit zéro de D(λ) se trouve en dehors du disque défini par (5). Dans le développement en série de λ de D(x,x,λ) intégrons terme à terme

$$
\int_{\alpha}^{b} D(x \times \lambda) \, dx = \sum_{\lambda} \frac{(-\lambda)^p}{p!} \int \dots \int K \begin{pmatrix} x & t_1 & \cdots & t_p \\ x & t_1 & \cdots & t_p \end{pmatrix} dx \dots dt_p \\
= - D'(\lambda)
$$
D'où :

$$ \int_{a}^{b} \Gamma (x x \lambda) \, dx = - \frac{D'(\lambda)}{D(\lambda)} $$

Si $|\lambda|$ est inférieur au module de la lère singularité de $\Gamma (x x \lambda)$ i.e. le plus petit zéro de $D(\lambda)$, le développement en série de $\Gamma (x x \lambda)$ converge uniformément et peut être intégré terme à terme i.e.

$$ \int_{a}^{b} \Gamma (x x \lambda) \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} A_{n} \lambda^{n} $$

$$ \text{où } A_n = \int K^{(n)}(x,x)dx = T_2(K^n) \quad (\text{Trace de l'opérateur } K^n) $$

$$ \frac{D'(\lambda)}{D(\lambda)} = - \sum_{n=0}^{\infty} A_n \lambda^n $$

Or $D(0) = 1$; par suite on obtient la relation fondamentale

$$ D(\lambda) = \exp \left( - \sum_{n=0}^{\infty} A_n \lambda^n \right) \quad (10) $$

Nous avons admis plus haut que les zéros de $D(\lambda)$ sont des pôles de la résolvante. Montrons-le : si $D(\lambda)$ est divisible par $(\lambda - \lambda_0)^n$ alors il ne peut en être de même de $D(x,y,\lambda)$ sinon il en serait également de même de $D'(\lambda) = - \int_a^b D(x x \lambda) dx$ ce qui est absurde.

Evidemment dans ce cas ($\lambda_0$ est un zéro de $D(\lambda)$) la relation (8) n'a plus guère de sens; on la généralise en définissant des mineurs d'ordre plus élevé et en établissant une relation analogue pour le premier mineur non nul. Nous ne le ferons pas ici.

Passons maintenant au problème des valeurs et vecteurs propres de l'opérateur $K$; si $\lambda$ n'est pas un pôle de la résolvante alors la relation (7) pour $f=0$ montre que la seule solution de l'équation

$$ \varphi(x) = \lambda \int K(x y) \varphi(y) dy $$

est la fonction identiquement nulle.
Montrons, inversement que pour $D(\lambda_o) = 0$, elle admet des solutions non triviales (vecteurs propres).

On a vu plus haut que

$$D(x \times \lambda) \, dx = - D'(\lambda)$$

On montre de même que

$$\int \dots \int D \begin{pmatrix} t_1 \dots t_p \\ t_1 \dots t_p \end{pmatrix}_{\lambda_o} dt_1 \dots dt_p = D^{(p)}(\lambda_o)$$

au signe près.

De cette relation on déduit qu'à partir d'un certain entier $n < m$ les mineurs $D \begin{pmatrix} x_1 \dots x_n \\ y_1 \dots y_n \end{pmatrix}_{\lambda_o}$ ne peuvent plus être identiquement nuls en $(x_1 \dots x_n \ y_1 \dots y_n)$ où $m$ est la multiplicité de la racine $\lambda_o$ de $D(\lambda)$.
Supposons n le plus petit entier ayant cette propriété. On a le développement suivant du déterminant :

$$K \begin{pmatrix} x_1 \dots x_n & t_1 \dots t_p \\ y_1 \dots y_n & t_1 \dots t_p \end{pmatrix} = \sum_i (-1)^{i-1} K(x_1, y_i) K \begin{pmatrix} x_2 \dots x_n & t_1 \dots t_p \\ y_1 \dots y_n & t_1 \dots t_p \end{pmatrix} \\ - \sum_i K(x_1, t_i) K \begin{pmatrix} t_1 x_2 \dots x_n & t_1 \dots t_p \\ y_1 y_2 \dots y_n & t_1 \dots t_p \end{pmatrix}$$

L'intégration des deux membres suivant $t_1 \dots t_p$ après multiplication par $\frac{(-\lambda)^p}{p!} \, dt_1 \dots dtp$, puis la somme sur $p$ des égalités obtenues donnent compte tenu du fait que tout mineur d'ordre inférieur à n est nul pour $\lambda = \lambda_o$.

$$D \begin{pmatrix} x_1 \dots x_n \\ y_1 \dots y_n \end{pmatrix}_{\lambda_o} = \lambda_o \int K(x_1, y) D \begin{pmatrix} y & x_2 \dots x_n \\ y_1 & \dots y_n \end{pmatrix}_{\lambda_o} dy$$
On voit que $\varphi_1(x) = D \begin{pmatrix} x & x_2 & \cdots & x_n \\ y_1 & \cdots & y_n \end{pmatrix} |_{\lambda_o}$ est une fonction propre de l'opérateur K; on montre de même que $\varphi_1(x) = D \begin{pmatrix} x_1 & \cdots & x & \cdots & x_n \\ y_1 & \cdots & y_i & \cdots & y_n \end{pmatrix} |_{\lambda_o}$

est aussi une fonction propre associée à la valeur propre $\lambda_o$. Les n solutions ainsi obtenues sont linéairement indépendantes et engendrent l'espace propre associé à la valeur propre $\lambda_o$. Démontrons la première propriété. Pour cela souvenons-nous qu'une condition nécessaire et suffisante pour que n éléments $x_1, \dots, x_n$ d'une espace E soient linéairement indépendants est qu'il existe des éléments $u_1, \dots, u_n$ de $E^*$ (dual de E) vérifiant

$$u_i(x_j) = \delta_{ij}$$

Or nous avons

$$D \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ y_1 & \cdots & y_n \end{pmatrix} |_{\lambda_o} = \lambda_o \int K(x_i, t) D \begin{pmatrix} t & x_2 & \cdots & x_n \\ y_1 & \cdots & y_n \end{pmatrix} |_{\lambda_o} dt$$

et par suite le second membre est nul si et seulement si $i \neq j$.

De même

$$\int K(x_i, t) D \begin{pmatrix} x_1 & \cdots & t & \cdots & x_n \\ y_1 & \cdots & y_j & \cdots & y_n \end{pmatrix} |_{\lambda_o} dt \quad \text{est nul si et seulement si } i \neq j.$$

Il est parfois intéressant comme nous le verrons plus loin de considérer non pas le noyau initial K mais une de ses puissances soit $K^n$; si $D_n(x,y,\lambda)$ et $D_n(\lambda)$ désignent respectivement le mineur de Fredholm et le déterminant de Fredholm obtenus à partir de $K^n$, on peut démontrer la relation suivante :

$$\begin{align} \Gamma (x y \lambda) &= \gamma (x y \lambda) + \lambda^{n-1} \frac{D_n (x y \lambda^n)}{D_n (\lambda^n)} \tag{11} \\ &\quad + \lambda^n \int_{\alpha}^{\beta} \gamma (x t \lambda) \frac{D_n (t y \lambda^n)}{D_n (\lambda^n)} dt \nonumber \end{align}$$
où

$$ \gamma (x y \lambda) = K (x y) + \lambda K^{(2)} (x y) + \dots + \lambda^{n-2} K^{(n-1)} (x y) $$

On en déduit que $\Gamma(x y \lambda)$ peut se mettre sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est $D_n(\lambda^n)$. On a de même

$$ D_n(\lambda^n) = D(\lambda) D(\varepsilon \lambda) \dots D(\varepsilon^{n-1} \lambda) $$

où $\varepsilon$ désigne une racine n-ème de l'unité.
TROISIEME PARTIE

LA LOI NORMALE

Nous nous proposons de résoudre entièrement le problème dans le cas où la correspondance est normale, c'est-à-dire dans le cas où $I = R^n$, $J = R^m$ et où $T(x,y)$ est une loi normale (ou de Gauss) définie sur $R^{n+m}$. Nous commencerons par l'étude du cas le plus simple $n = 1$, $m = 1$, puis nous passerons au cas général. Dans cette partie, nous essaierons de résoudre le problème dans son cadre le plus général, c'est-à-dire pour un espace de fonctions aussi générales que possible. Nous allons voir qu'en fait on peut aller jusqu'au bout des calculs dans l'espace des distributions tempérées. Voici donc le plan de cette étude :

1) Cas particulier $n = 1, m = 1$ :

a) Calcul d'une forme simple

b) Etude des propriétés générales

c) Valeurs propres et fonctions propres dans $L^2$; méthode de Fredholm

d) Continuité complète de l'opérateur intégral

e) Etude d'un problème parallèle pour les distributions tempérées.

2) Cas général (n et m quelconques).

Rappels et notations: On appelle loi normale $N(x_o, Σ)$ définie sur $R^p$, centrée en $x_o$ ($\in R^p$) et de matrice de covariance $\Sigma$ (définie positive) la loi définie par la fonction de distribution :

$$ \frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^p \det \Sigma}} \exp \left( -\frac{1}{2} (x-x_o)^T \Sigma^{-1} (x-x_o) \right) $$

On sait que si $x$ est distribué selon $N(x_o, \varepsilon)$ alors la distribution marginale de tout sous ensemble de composantes de $x$ est normale de moyenne et covariance obtenues en prenant les composantes convenables de $x_o$ et $\varepsilon$ respectivement. Nous nous restreindrons aux lois de moyenne nulle.

I. ETUDE DU CAS PARTICULIER $n = 1, m = 1$ :

Alors la mesure sur $I \times J$ est

$$ \mu_{I \times J} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2\pi} \exp\left(-\frac{1}{2}(x,y) A\left(\frac{x}{y}\right)\right) \quad \text{où} \quad A = \varepsilon^{-1} $$
inverse de la matrice de covariance et

$\Delta = \det A = ad - bc \quad A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \quad b = c$; toutefois nous garderons les deux lettres.

$$ \Sigma = \begin{pmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{pmatrix} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} $$

Les lois marginales se déduisent aisément grâce au rappel précédent. En effet :

$$ \begin{aligned} \mu_I(x) &= N(0, \Sigma_{11}) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi) \det \Sigma_{11}}} e^{-\frac{1}{2} \Sigma_{11}^{-1} x} \\ &= \sqrt{\frac{\Delta}{2\pi d}} e^{-\frac{\Delta x^2}{2d}} \end{aligned} $$

De même

$$ \mu_J(y) = \sqrt{\frac{\Delta}{2\pi\alpha}} e^{-\frac{\Delta y^2}{2\alpha}} $$

Le problème de l'étude des deux transitions

$$ \varphi(x) \rightarrow \int \frac{\mu_{I J}(x,y)}{\mu_J(y)} \varphi(x) dx $$

$$ \psi(y) \rightarrow \int \frac{\mu_{I J}(z,y)}{\mu_I(z)} \psi(y) dy $$

se ramène donc à la forme explicite :

$$ \varphi(x) \rightarrow \iint dx dy \frac{\Delta}{(2\pi)^2} \frac{e^{-\frac{1}{2}Q(x,y)}}{\sqrt{\frac{\Delta}{2\pi d}} e^{-\frac{\Delta z^2}{2d}}} \frac{e^{-\frac{1}{2}Q(z,y)}}{\sqrt{\frac{\Delta}{2\pi \alpha}} e^{-\frac{\Delta y^2}{2\alpha}}} \varphi(x) dx dy \quad (1) $$
où nous notons

$Q(x,y) = (x,y)$ A $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $K(x,y,z)$ le noyau sous le signe d'intégration,

$$K(x,y,z) = \frac{\sqrt{ad}}{2\pi} e^{-\frac{1}{2}Q(x,y)} + \frac{\Delta y^2}{2\alpha} e^{-\frac{1}{2}Q(z,y)} + \frac{\Delta z^2}{2d}$$

$$Q(x,y) - \frac{\Delta y^2}{\alpha} = a x^2 + (b+c) xy + dy^2 - \frac{\Delta y^2}{\alpha} \\ = a \left(x + \frac{b+c}{2a} y\right)^2$$

De même :

$$Q(,y) - \frac{\Delta z^2}{d} = d \left(y + \frac{b+c}{2d} z\right)^2$$

$$K(x,y,z) = \frac{\sqrt{ad}}{2\pi} e^{-\frac{a}{2}\left(x + \frac{b+c}{2\alpha}y\right)^2 - \frac{d}{2}\left(y + \frac{b+c}{2d}z\right)^2}$$

Calculons $I(x,z) = \int K(x,y,z)$ dy en considérant cette intégrale comme une intégrale de convolution. Nous verrons une autre méthode plus simple dans le cas général. En notant

$$\xi_{\alpha}(x) = \frac{1}{\alpha \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2\alpha^2}}, \text{ on a}$$

$$\xi_{\alpha} * \xi_{\beta} = \frac{\xi}{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}} \quad (2)$$

Dans ces conditions, posons : $u = y + \frac{b+c}{2d} z$. Alors

$$I(x,z) = \frac{\sqrt{ad}}{2\pi} \int e^{-\frac{du^2}{2}} e^{-\frac{\alpha}{2}\left(x + \frac{b+c}{2\alpha}u\right)^2 - \frac{(b+c)^2}{4ad}z^2} du$$
$$ \exp(-du^2/2) = \sqrt{\frac{2\pi}{d}} \quad \xi_{1/\sqrt{d}}^{u} \quad (u) $$

Quant à l'exponentielle, on voit qu'elle est égale à

$$ \frac{2\sqrt{2 a \pi}}{b+c} \quad \xi_{2\sqrt{a/b+c}}^{u} \quad \left( \frac{b+c}{2d} z - \frac{2a}{b+c} x - u \right) $$

Par suite, on a :

$$ \begin{aligned} I(x,z) &= \frac{\sqrt{a} d}{2 \pi} \sqrt{\frac{2 \pi}{d}} \frac{2 \sqrt{2 a \pi}}{b+c} \int_{-\infty}^{+\infty} \xi \frac{1}{\sqrt{d}}(u) \xi \frac{2\sqrt{a}}{b+c} \left( \frac{b+c}{2d} - \frac{2a}{b+c} - u \right) du \\ &= \frac{2a}{b+c} \int \frac{\xi}{\sqrt{d}}(u) \xi \frac{2\sqrt{a}}{b+c} \left( \frac{b+c}{2d}z - \frac{2a}{b+c}x - uz \right) du \end{aligned} $$

En utilisant (2) on trouve finalement que :

$$ \begin{aligned} I(x,z) &= \frac{2a}{b+c} \frac{\sqrt{2\pi} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{4a}{(b+c)^2}}}{2} \exp\left(-\left(\frac{b+c}{2d}z - \frac{2ax}{b+c}\right)^2\right) / (3) \\ &= 2 \left(\frac{1}{d} + \frac{4a}{(b+c)^2}\right) \\ &= \frac{2a \sqrt{d}}{\sqrt{2\pi} \sqrt{(b+c)^2 + 4ad}} \exp\left(-\frac{(b+c)^2 z - 4adx)^2}{8d \left((b+c)^2 + 4ad\right)}\right) \end{aligned} $$

Naturellement ces expressions se simplifieraient considérablement si l'on tenait compte du fait que $b = c$. Mais nous voulons conserver les deux lettres pour la généralisation au cas n et m quelconques où l'on aura seulement $b = \tilde{c}$. Nous pouvons donc écrire explicitement le produit des deux transitions considérées et chercher la solution du problème envisagé c'est-à-dire les valeurs propres et les vecteurs propres de ce produit, sans spécifier pour l'instant l'espace de fonctions dans lequel nous voulons trouver les fonctions propres. L'équation aux valeurs propres peut s'écrire sous la forme suivante :

$$ \lambda \varphi(z) = \frac{2 a \sqrt{d}}{\sqrt{2 \pi} \sqrt{4 a d + (b+c)^2}} \int \varphi(x) \exp \left[ - \frac{((b+c)^2 z - 4 a d x)^2}{8 d (b+c)^2 + 4 a d} \right] dx \quad (4) $$
Pour simplifier les notations nous allons incorporer la constante $\frac{2a\sqrt{d}}{\sqrt{2\pi}\sqrt{(b+c)^2+4ad}}$ dans la valeur propre $\lambda$ c'est-à-dire que nous nous

proposons de trouver les «fonctions» (réelles) $\varphi$ et les réels $\lambda$ vérifiant
l'équation

$$
\lambda \varphi(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} K(z,x) \varphi(x) \, dx \quad (5)
$$

en notant

$$
K(z,x) = \exp \left( \frac{-(b+c)^2 z - 4 ad x}{8d (b+c)^2 + 4 ad} \right) \quad (6)
$$

Nous pouvons déduire de l'équation (5) un certain nombre de propriétés de
la fonction φ en utilisant le fait que le noyau intégral K(z,x) est indéfi-
niment dérivable par rapport aux deux variables et à décroissance rapide par
rapport à chacune des variables. Rappelons qu'on dit qu'une fonction f
définie sur Rn, indéfiniment dérivable est à décroissance rapide si

$$
\lim_{|x| \to \infty} |x|^k |f^{(q)}(x)| = 0
$$

pour tout p et tout k. L'espace topologique de ces fonctions est noté S.
Etudions de façon générale quelques propriétés des solutions de l'équation
(5) où l'on suppose seulement que K est dans S par rapport à chacune
des variables, l'autre restant fixe. Supposons tout d'abord φ bornée sur R
c'est-à-dire |φ(x)| ≤ M. Alors (5) montre que

$$
\begin{align*}
|\varphi(z+h) - \varphi(z)| &= \left| \int [K(z+h,x) - K(z,x)] \varphi(x) \,dx\right| \\
&\le M \int |K(z+h,x) - K(z,x)| \,dx = M \int_{-N}^{+N} |K(z+h,x) - K(z,x)| \,dx \\
&\quad + M \int_{R-[-N,+N]} |K(z+h,x) - K(z,x)| \,dx
\end{align*}
$$

Pour tout $\epsilon$, on peut alors choisir $N$ assez grand pour que

$$
\int |K(z',x)| \, dx < \epsilon \quad \text{uniformément pour } z' \in [z, z+h]; R-[-N, +N]
$$
N étant fixé on peut alors choisir $\alpha$ de façon que :
$|K(z+h,x) - K(z,x)| < \frac{\epsilon}{N}$ dès que $h < \alpha$ pour tout $x$ sur [-N,+N].

En effet K continue sur le compact [-N,+N] y est uniformément continue.
On en déduit immédiatement une majoration

$$| \varphi(z+h) - \varphi(z) | \le 2 \epsilon M + 2 \epsilon M = 4 \epsilon M$$

qui montre la continuité de $\varphi(z)$. On a donc montré que si $\varphi$ est borné, $\varphi$ est aussi continue. Montrons maintenant que si $\varphi$ est localement bornée, c'est-à-dire, bornée sur un voisinage de tout point ou encore sur tout compact, $\varphi$ est aussi dérivable, de dérivée obtenue par dérivation sous le signe somme. Pour cela étudions l'expression

$$E = \int \left[ \frac{K(z+h,x) - K(z,x)}{h} - K'_{z}(z,x) \right] \varphi(x) dx$$

$$\text{Or} \quad \frac{K(z+h,x) - K(z,x)}{h} = K'_{z}(z+\theta h,x)$$

$$E = \int [ K'_{z}(z+\theta h,x) - K'_{z}(z,x) ] \varphi(x) dx$$

$$\text{Or} \quad |E| \le \int | K'_{z}(z+\theta h,x) - K'_{z}(z,x) | |\varphi(x)| dx$$

Naturellement les intégrales convergent puisque $K'$ est à décroissance rapidement et que $\varphi$ est bornée localement. Choisisons donc N de façon que

$$\int_{\mathbb{R} - [-N, +N]} | K'_{z}(z',x) | | \varphi(x) | dx < \epsilon$$

et ce uniformément en $z'$ dans $[z,z+h]$. Une fois N fixé de la sorte, nous pouvons utiliser la continuité, donc la continuité uniforme en $z$ de $K'_{z}(z,x)$ pour $x \in [-N,+N]$. Il existe $\alpha$ tel que $h < \alpha$ entraine

$$| K'_{z}(z+\theta h,x) - K'_{z}(z,x) | < \frac{\epsilon}{NM}$$

où M désigne la borne de $\varphi(x)$ dans [-N,+N]. Et ceci termine la démonstration de la dérivabilité de $\varphi(x)$.

$$\varphi'(z) = \int K'_{z}(z,x) \varphi(x) dx \quad (5')$$
On pourrait naturellement en déduire des formules (5$^{n}$)

$$
\varphi^{(n)}(z) = \int K_z^{(n)}(z,x) \varphi(x) \, dx \quad (5^n)
$$

Ainsi le fait que $\varphi(x)$ soit bornée localement entraîne sa dérivabilité à
tous les ordres.

Etudions maintenant un cas qui nous intéresse particulièrement, ce-
lui où φ(x) appartient à Lp (1 < p < ∞); le cas p = ∞ vient d'être étu-
dié. Le cas p = 2 sera le plus courant par la suite et celui dans le cadre
duquel la théorie générale a été construite. Naturellement S ⊂ Lq pour tout
q, 1 < q < ∞. On peut donc appliquer la formule de Hölder à l'expression :

$$
F = \int \left( K(z+h,x) - K(z,x) \right) \varphi(x) \, dx
|F| \le \left( \int |K(z+h,x) - K(z,x)|^q \, dx \right)^{1/q} \left( \int |\varphi(x)|^p \, dx \right)^{1/p}
$$

où q est le réel conjugué de p, 1/p + 1/q = 1.

Or c'est un problème trivial dont la solution provient de considéra-
tions analogues à celles exposées ci-dessus, que de montrer que le premier
facteur à 0 pour limite. On en déduit la continuité de φ(x).

Enfin, considérons le cas un peu différent où l'on se place dans
l'espace L² (μᵢ), des fonctions de carré intégrable pour la loi marginale

$$
\mu_i(x) = \sqrt{\frac{\Delta}{2\pi d}} e^{-\frac{\Delta x^2}{2d}}
$$

auquel appartiennent en particulier les polynômes. La continuité puis la dé-
rivabilité se démontrent de manière analogue en utilisant toutefois l'inéga-
lité suivante

$$
\left| \int K(z,x) \varphi(x) \, dx \right| \le \left[ \int K(z,x)^2 \frac{dx}{I(x)} \right]^{1/2} \left( \int \varphi^2(x) \mu_1(x) \, dx \right)^{1/2}
$$

Le second facteur $\int \phi^2(x) \mu_1(x) dx$ converge par hypothèse puisque $\phi \in L^2(\mu_1)$. Quant au premier, sa convergence découle du caractère même des constantes du problème; en effet il s'écrit à un facteur constant près :
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{(z-kx)^2}{\alpha^2}} e^{\frac{\Delta x^2}{2d}} dx $$

Il suffit d'étudier le signe du coefficient de $x^2$ dans l'exponentielle; or ce coefficient n'est autre que

- $\frac{k^2}{\alpha^2} + \frac{\Delta}{2d}$ ; en tenant compte du fait que

$$ \Delta = \frac{4 ad - (b+c)^2}{4} = (b+c)^2 \left(\frac{k-1}{4}\right) \quad \text{on en déduit le coefficient :} $$

$$ \begin{aligned} - \frac{k^2}{\alpha^2} + \frac{\Delta}{2d} &= - \frac{k^2 (b+c)^2}{4d(1+k)} + (b+c)^2 \left(\frac{k-1}{8d}\right) \\ &= - \frac{(b+c)^2 (1+k)^2}{8d(1+k)} \end{aligned} $$

Puisque ce coefficient est négatif, on a bien les propriétés de convergence désirées.

Revenons au problème précis que nous voulons résoudre, celui de l'équation (4). Appliquons tout d'abord la méthode de la théorie générale des équations de Fredholm. Cette méthode indique que les valeurs propres sont les inverses des zéros du déterminant $D(\lambda)$. Nous allons les calculer directement. Cherchons, en premier lieu, les noyaux itérés $K^{(n)}(x,y)$. On a par définition :

$$ K^{(2)}(x,y) = \int K(x,z) K(z,y) dz $$

$$ K^{(n)}(x,y) = \int K^{(n-1)}(x,z) K(z,y) dy $$

avec $K(z,x)$ donné par la formule (3)

$$ K(z,x) = \frac{2a}{b+c} \left( \xi \sqrt{\frac{1}{d} + \frac{4a}{(b+c)^2}} \right) \frac{b+c}{2d} z - \frac{2a}{b+c} x \quad (6) $$

Rappelons que $\xi_{\alpha}(x) = \frac{1}{\alpha \sqrt{2\pi}} \exp(-x^2/2\alpha^2)$
Cette forme peut être simplifiée de façon à introduire la constante qui joue un rôle fondamental dans tout ce problème. En effet on peut écrire :

$$ \begin{aligned} & \exp - \left( (b+c)^2 z - 4 \operatorname{ad} x \right)^2 / 8d \left( (b+c)^2 + 4 \operatorname{ad} x \right) = \\ & = \exp \left( (b+c)^2 \left( z - \frac{4 \operatorname{ad} x}{(b+c)^2} \right)^2 \right) / 8d \left( 1 + 4 \frac{\operatorname{ad} x}{(b+c)^2} \right) \end{aligned} $$

Soit $K = \frac{4 \operatorname{ad}}{(b+c)^2} \quad (= \frac{\operatorname{ad}}{bc} = \frac{\operatorname{ad}}{b^2} > 1)$ puisque ad - bc est le déterminant de la matrice A définie positive).

Quelques transformations élémentaires nous ramènent à la forme :

$$ K(z,x) = \frac{k}{\alpha \sqrt{2\pi}} \exp \left( - \frac{(z-kx)^2}{2\alpha^2} \right) = k \xi_{\alpha} (z-kx) \quad (7) $$

Incorporons la constante k à la valeur propre et considérons l'égalité :

$$ K(z,x) = \xi_{\alpha} (z-kx) \quad (7') $$

$$ k = \frac{4 \operatorname{ad}}{(b+c)^2} \qquad \alpha^2 = \frac{4 d(1+k)}{(b+c)^2} $$

Passons au calcul des itérés :

$$ \begin{aligned} K^{(2)} (z,y) &= \int K(z,x) K(x,y) \, dx \\ &= \int \xi_{\alpha} (z-kx) \quad \xi_{\alpha} (x-ky) \, dx \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \xi_{\alpha} (z-kx) &= \frac{1}{\alpha \sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{(z-kx)^2}{2\alpha^2}\right) = \frac{1}{\alpha \sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{k^2(z/k-x)^2}{2\alpha^2}\right) \\ &= \frac{1}{k} \xi_{\alpha/k} (z/k - x) \end{aligned} $$

Opérons le changement de variable sous l'intégrale :

$$ u = z/k - x $$

$$ K^{(2)}(z,y) = \frac{1}{k} \int \xi_{\alpha/k}(u) \quad \xi_{\alpha} (z/k - k y - u) \, du $$
En utilisant la formule $\xi_{\alpha} * \xi_{\beta} = \xi \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$ on trouve pour
$K^{(2)}(z,y)$

$$
\begin{align}
K^{(2)}(z,y) &= \frac{1}{k} \xi_{\alpha} \sqrt{1 + \frac{1}{k^2}} (z/k - k y) \tag{9} \\
&= \xi_{\alpha} \sqrt{1 + k^2} (z - k^2 y) \nonumber
\end{align}
$$

De même :

$$
\begin{align*}
K^{(3)}(x,y) &= \int \xi_{\alpha} (x-k \, z) \quad \xi_{\alpha} \sqrt{1+k^2} (z-k^2 \, y) \, dz \\
&= \frac{1}{k} \int \xi_{\alpha/k} (x/k - z) \quad \xi_{\alpha} \sqrt{1+k^2} (z-k^2 \, y) \, dz \\
&= \frac{1}{k} \left( \xi_{\alpha} \sqrt{1+k^2} + \frac{1}{k^2} (x/k - k^2 \, y) \right) \\
&= \xi_{\alpha} \sqrt{1+k^2+k^4} (x-k^3 y)
\end{align*}
$$

On peut démontrer de même par récurrence la formule

$$
K^{(n)}(x,y) = \xi_{\alpha} \sqrt{\frac{k^{2n}-1}{k^2-1}} (x-k^n y) \quad (10)
$$

On en déduit la résolvante

$$
\Gamma (x \ y \ \lambda) \equiv \sum_{1}^{\infty} \lambda^{n-1} \ K^{(n)} (x,y)
$$

Mais cette expression reste obscure. Au contraire, nous allons voir que
$D(\lambda)$ s'exprime sous une forme très simple. On sait que

$$
\frac{D'(\lambda)}{D(\lambda)} = - \sum_{1}^{\infty} A_{n} \lambda^{n-1}
$$

où $A_n$ désigne la trace de $K^{(n)}$ i.e. $A_n = \int K^{(n)}(x,x) dx$
Or $\int K^{(n)}(x,x) \, dx = \frac{1}{k^{n-1}}$ comme cela ressort immédiatement de l'expression (10). On en déduit

$$ \frac{D'(\lambda)}{D(\lambda)} = - \sum_{1}^{\infty} \frac{\lambda^{n-1}}{k^{n-1}}, \quad \text{série convergente pour } |\lambda| < k \quad (11) $$

L'absolue convergence permet d'effectuer les calculs suivants (en tenant compte du fait que $k > 1$)

$$ \begin{aligned} \frac{D'(\lambda)}{D(\lambda)} &= - \sum_{1}^{\infty} \frac{\lambda^{n-1}}{k^{n-1}} = - \frac{1}{\lambda} \sum_{1}^{\infty} \frac{\lambda^n}{k^{n-1}} \\ &= - \frac{1}{\lambda} \sum_{1}^{\infty} \frac{\lambda^n}{k^n \left(1 - \frac{1}{k^n}\right)} = \frac{1}{\lambda} \sum_{1}^{\infty} \frac{\lambda^n}{k^{n-1}} \\ &= - \frac{1}{\lambda} \sum_{p=1}^{\infty} \frac{\lambda}{k^p - \lambda} = \frac{1}{\lambda - k^p} \end{aligned} $$

THEOREME : On a

$$ \frac{D'(\lambda)}{D(\lambda)} = \sum_{p=1}^{\infty} \frac{1}{\lambda - k^p} $$

Un calcul élémentaire montre que la série (12) converge uniformément dans tout compact du plan, ne contenant pas les $k^p$. $\frac{D'(\lambda)}{D(\lambda)}$ et cette série sont égales pour $|\lambda| < k$ donc dans tout le plan $(D'(\lambda)/D(\lambda)$ est mésomorphe). Par suite les singularités de $D'(\lambda)/D(\lambda)$ sont des pôles simples aux points $k^p$ ($p \ge 1$). On en déduit que les zéros de $D(\lambda)$ sont tous simples et situés aux points $k^p$. Ce sont les inverses des valeurs propres de l'opérateur $K(x,y)$. Or nous avons vu dans la théorie générale que la multiplicité d'une valeur propre comme zéro du déterminant est une majoration du nombre de vecteurs propres correspondant à cette valeur propre. En effet nous connaissons explicitement les vecteurs propres lui correspondant. D'autre part lorsque la multiplicité est 1, il y a au moins une fonction propre, ce qui revient à dire que la seule forme de Jordan pour un espace de
dimension 1 est aussi une forme diagonale. Par conséquent nous pouvons assurer qu'il y a une et une seule fonction propre correspondant à chaque valeur propre $1/k^p$ ($p \ge 1$). Or nous allons précisément exhiber des fonctions propres pour chaque valeur propre $1/k^p$. La solution sera dès lors terminée. Auparavant, il serait opportun de préciser quelque peu l'espace dans lequel nous opérons. Il s'agit de $L^2(\mu_l)$ espace dans lequel la théorie générale de Fredholm (ainsi que la théorie générale des Correspondances) est valable. En fait, nous avons vu que les seules fonctions de $L^2$ qui peuvent être solutions sont des fonctions indéfiniment dérivables.

De l'équation étudiée :

$$ \lambda \varphi(z) = \int \xi_{\alpha} (z-kx) \varphi(x) \, dx \quad (13) $$

Cherchons une solution de la forme $\xi_{\beta}(x)$. Pourquoi cet essai ? C'est la formule $\xi_{\alpha} * \xi_{\beta} = \xi_{\sqrt{\alpha^2 + \beta^2}}$ qui montre que la convolution

laisse invariantes les fonctions $\xi$ ; or l'équation (13) ressemble fort à une équation de convolution et peut s'y ramener en effet :

$$ \xi_{\alpha} (z - k x) = \frac{1}{k} \quad \xi_{\alpha/k} (z/k - x) \quad (14) $$

comme on l'a déjà vu et l'on obtient en tenant compte de cette égalité :

$$ \lambda \varphi(z) = \frac{1}{k} \int \xi_{\alpha/k} (z/k - x) \, \xi_{\beta}(x) = \lambda \xi_{\beta}(x) $$

L'intégrale se calcule et vaut :

$$ \frac{1}{k} \xi \sqrt{\beta^2 + \alpha^2/k^2} (z/k) = \frac{1}{k\sqrt{2\pi}} \sqrt{\beta^2 + \alpha^2/k^2} \exp(-z^2/2 (k^2 \beta^2 + \alpha^2)) $$

En identifiant $k^2 \beta^2 + \alpha^2$ à $\beta^2$ on obtient la solution :

$$ \beta^2 = \frac{\alpha^2}{1-k^2} < 0. \text{ Autrement dit, on a trouvé une solution négative (k > 1), ce qui ne convient pas; et, en effet, dans ces conditions l'intégrale diverge. Donc dans le cadre actuel, une telle solution} $$
est à rejeter. Puisque nous savons que $\phi$ est indéfiniment dérivable, nous avons :

$$ 
\begin{aligned}
\lambda \phi'(z) &= \int \xi'_{\alpha} (z - kx) \phi(x) \, dx && (15) \\
&= -\frac{1}{\alpha^2} \int (z - kx) \xi_{\alpha} (z - kx) \phi(x) \, dx
\end{aligned}
$$

En tenant compte de (14) nous avons la forme équivalente de (13)

$$ 
\begin{aligned}
\lambda \phi(z) &= \frac{1}{k} \int \xi_{\alpha/k} (z/k - x) \phi(x) \, dx && (16) \\
&= \frac{1}{k} \int \xi_{\alpha/k} (x) \phi(z/k - x) \, dx
\end{aligned}
$$

En dérivant l'égalité obtenue, nous arrivons à une nouvelle expression pour la dérivée

$$ 
\begin{aligned}
\lambda \phi'(z) &= \frac{1}{k^2} \int \xi_{\alpha/k} (x) \phi'(z/k - x) \, dx && (17) \\
&= \frac{1}{k} \int \xi_{\alpha} (z-kx) \phi'(x) \, dx
\end{aligned}
$$

Notons $E_p$ l'espace vectoriel propre des vecteurs propres attachés à la valeur propre $1/k^p$. Sa dimension est un d'après ce qu'on a vu plus haut. L'équation (17) donne une relation fondamentale en ce sens qu'elle montre que si $\phi \in E_p$ alors $\phi' \in E_{p-1}$. Cette remarque conduit à chercher des solutions polynomiales. En effet la fonction constante (égale à 1 par exemple) est dans $E_1$ comme on le voit aisément à partir de

$$ \int \xi_{\alpha} (z-kx) \, dx = \frac{1}{k} $$

Cherchons à passer de $E_p$ à $E_{p+1}$. Pour cela, développons $z \phi(z)$ de la façon suivante à partir de l'équation (17) et en s'inspirant des deux formes (15) et (16) de la dérivée
$$
\begin{align}
\lambda z_k \varphi(z) &= \frac{1}{k} \int [(z_k-x) + x] \xi_{\alpha_k}(z_k-x) \varphi(x) \, dx \tag{18} \\
&= \frac{1}{k} \int (z_k-x) \xi_{\alpha_k}(z_k-x) \varphi(x) \, dx \nonumber \\
&\quad + \frac{1}{k} \int \xi_{\alpha_k}(z_k-x) x \varphi(x) \, dx \nonumber
\end{align}
$$

Or :

$$
\begin{align*}
\lambda \varphi'(z) &= - \frac{1}{\alpha^2 k} \int (z-kx) \xi_{\alpha_k}(z_k-x) \varphi(x) \, dx \\
&= - \frac{1}{\alpha^2} \int (z_k-x) \xi_{\alpha_k}(z_k-x) \varphi(x) \, dx
\end{align*}
$$

D'où :

$$
\lambda z_k \varphi(z) = - \frac{\alpha^2 \lambda}{k} \varphi'(z) + \int \xi_{\alpha_k}(z-kx) x \varphi(x) \, dx \quad (19)
$$

En utilisant aussi la formule (17) pour la dérivée, écrivons :

$$
\lambda \varphi'(z) = a \lambda \varphi'(z) + \frac{b}{k} \int \xi_{\alpha}(z-kx) \varphi'(x) \, dx \quad a+b=1 \quad (20)
$$

Introduisons alors cette forme dans l'expression (19) :

$$
\begin{align}
\frac{\lambda z \varphi(z)}{k} + \frac{\alpha^2 \lambda a}{k} \varphi'(z) = & \int \xi_{\alpha}(z-kx) x \varphi(x) \, dx - \tag{21} \\
& - \frac{\alpha^2 b}{k^2} \int \xi_{\alpha}(z-kx) \varphi'(x) \, dx \nonumber
\end{align}
$$

$$
\frac{\lambda}{k} [z \varphi(z) + \alpha^2 a \varphi'(z)] = \int \xi_{\alpha}(z-kx) [x \varphi(x) - \frac{\alpha^2 b}{k^2} \varphi'(x)] dx \quad (21')
$$
Nous voyons alors apparaître la possibilité que $z \varphi(z) + \alpha^2 a \varphi'(z)$ soit aussi une fonction propre. Pour cela il faut que $\alpha^2 a = -\frac{\alpha^2 b}{k^2}$; ou encore en tenant compte de

$$a+b=1 \qquad b = \frac{k^2}{k^2-1}, \qquad a = \frac{-1}{k^2-1}. \quad \text{D'autre part, si } \varphi \text{ est dans}$$

$E_p$, non nul, $z \varphi(z) - \frac{\alpha^2}{k^2-1} \varphi'(z)$ est dans $E_{p+1}$ et différent du vecteur nul lui aussi. Nous avons donc un moyen, à partir de 1 dans E, d'engendrer tous les $E_p$. Or la relation de récurrence est sensiblement la même que celle qui définit les polynômes d'Hermite. Rappelons en effet qu'on définit le polynôme d'ordre n, $H_n$ attaché à la fonction $e^{-x^2/u}$ par

$$H_n(x) e^{-\frac{x^2}{u}} = \left(-\frac{u^n}{2}\right) \frac{d^n}{dx^n} \left(e^{-\frac{x^2}{u}}\right)$$

On vérifie simplement par dérivation que

$$H_{n+1}(x) = x H_n(x) - \frac{2}{u} H'_n(x) \quad (22)$$

Or cette relation n'est autre que celle vue plus haut où l'on pose $\frac{2}{u} = \frac{\alpha^2}{k^2-1}$;

d'autre part, le polynôme d'Hermite d'ordre 1 est évidemment le polynôme constant et égal à 1; il en est de même de la fonction propre attachée à la valeur propre $1/k$. Autrement dit :

**THEOREME:** En notant $\varphi_p(z)$ la fonction propre attachée à la valeur propre $1/k^p$ et normalisée (c'est-à-dire dont le coefficient du terme de plus haut degré est 1), on a $\varphi_p = H_p$, où $H_p$ est le polynôme d'Hermite d'ordre p attaché à la fonction $\exp(-x^2(k^2-1)/2\alpha^2)$. Remarquons que cette fonction ne diffère de celle rejetée plus haut que par le signe du coefficient de $x^2$. On vérifie aisément que ces solutions sont dans $L^2(\mu_1)$.
Le problème est donc entièrement résolu dans cet espace.
Nous allons indiquer un autre mode de démonstration pour la recher-
che du spectre de l'opérateur K défini par le noyau K(z,x). Considérons
le drapeau F<sup>e</sup> :

$$
P_o \subset P_1 \subset \dots \subset P_n \subset \dots
$$

où P_n désigne l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n.
Alors nous allons montrer que K laisse ce drapeau invariant. Ceci entraî-
nera l'existence d'une diagonalisation de K compatible avec ce drapeau;
en d'autres termes, puisque ce drapeau définit une base complète dans
L²([0,1], dx) et aussi dans L²(]-∞, +∞[, µ_l) (comme on le voit très ai-
sément, ne serait-ce qu'en notant qu'une telle base est fournie par les po-
lynômes d'Hermite), il existera une diagonalisation sous forme de polynômes
de degré n et la démonstration sera complète.

Montrons donc que K laisse invariant F :

$$
\begin{align*}
K(x^n) &= \int \xi_{\alpha} (z-kx) x^n dx \\
&= \left[ \frac{x^{n+1}}{(n+1) \alpha \sqrt{2\pi}} \exp \left(-\frac{(z-kx)^2}{2\alpha^2}\right) \right]^{+\infty}_{-\infty} + \frac{2k}{n+1} \int (kx-z) \xi_{\alpha} (z-kx) x^{n+1} dx \\
&= \frac{2k}{n+1} \left[ k K(x^{n+2}) - z K(x^{n+1}) \right]
\end{align*}
$$

Cette expression montre immédiatement que :

$$
K(P_{n+2}) \subset z K(P_{n+1}) + K(P_n)
$$

Donc il suffit de faire la démonstration par récurrence; or pour n = 0,

$$
\int \xi_{\alpha} (z-kx) dx = \text{constante}
$$

Considérons maintenant le problème sous l'angle opérateurs et dé-
montrons (a posteriori) que l'opérateur K dont on cherche les valeurs et
vecteurs propres est borné et complètement continu. Cet opérateur agit sur
L²(I, μ_l). Le fait qu'il soit borné est évident d'après les inégalités :

$$
\begin{align}
\left( \int K(z,x) \varphi(x) \, dx \right)^2 &\lesssim \left( \int K(z,x)^2 / \mu_I(x) \, dx \right) \int \varphi^2(x) \, I(x) \, dx \tag{23} \\
&= \left( \int K(z,x)^2 / \mu_I(x) \, dx \right) \| \varphi \|^2_{L^2(\mu_I)} \nonumber
\end{align}
$$
Donc :

$$ \| K \varphi \|_{L^2(\mu_I)}^2 = \int \mu_I(z) \left( \int K(z,x) \varphi(x) \, dx \right)^2 \, dz \quad (24) $$

$$ \ll \| \varphi \|_{L^2(\mu_I)}^2 \int \mu_I(z) \left( \int K(z,x)^2 / \mu_I(x) \, dx \right) \, dz $$

Or grâce à la forme particulière de $K(z,x) = \xi_{\alpha}(z-kx)$ le second facteur du dernier membre est calculable et convergent comme on peut le voir aisément. On a ainsi obtenu une majoration de la norme par ce terme. Une façon beaucoup plus simple de calculer la norme est la suivante. Rappelons que pour un opérateur autoadjoint la norme est égale à la plus grande valeur propre. En général pour un opérateur intégral défini sur $L^2([0,1], dx)$, qui n'est pas symétrique, $K(x,y)$ la norme $\|K\|$ est donnée par

$$ \| K \| = \sqrt{\lambda} \quad (25) $$

où $\lambda$ est la plus grande valeur propre de l'opérateur autoadjoint $K*K$, c'est-à-dire l'opérateur intégral de noyau

$$ K(s,t) = \int_{0}^{1} K(\tau,s) K(\tau,t) \, d\tau $$

Etudions maintenant la continuité complète de l'opérateur intégral. Rappelons tout d'abord qu'on dit qu'un opérateur $K$ de l'espace de Banach $A$ dans l'espace de Banach $B$ est complètement continu (ou compact) si l'image par $K$ de tout borné de $A$ est compact. Les opérateurs de rang fini sont compacts. Les limites uniformes (c'est-à-dire pour la topologie de la norme) d'opérateurs compacts sont compactes. Quelles sont les conditions pour qu'un opérateur intégral $U$ défini par le noyau $K(s,t)$ de $L^p(E)$ dans $L^q(E')$ où $E$ et $E'$ sont de mesure finie pour la mesure $\mu$ dans $R$, soit compact ?

Supposons que $K(s,t)$ appartient à l'espace $L^r(E \times E')$ ou $r'$ est le réel conjugué de $r = \min(p,q)$

$$ \int_{E'} \int_{E} |K(s,t)|^{r'} d\mu(z) \, d\mu(t) \ll C^{r'} < \infty \quad (27) $$

Alors $U$ est compact ; en effet toute fonction de $L^r(E \times E')$ peut être approchée pour la topologie de cet espace par des fonctions continues.
Soient $K_n(s,t)$ ces fonctions pour $K(s,t)$. Alors :

$$ \left| \int_{E'} \int_{E} |K(s,t) - K_n(s,t)|^2 d\mu(s) d\mu(t) \right|^{1/r'} \le \varepsilon_n \quad (28) $$

avec $\varepsilon_n$ aussi petit que l'on veut.

D'autre part, nous avons :

$$ |U\varphi(s)| \lesssim \left[ \int_E |K(s,t)|^{1/r'} d\mu(t) \right]^{1/r'} \left[ \int_E |\varphi(t)|^r d\mu(t) \right]^{1/r} \quad (29) $$

$$ \begin{aligned} & \lesssim \left[ \int_E |K(s,t)|^{1/r'} d\mu(t) \right]^{1/r'} \left( \int_E |\varphi(t)|^p d\mu(t) \right)^{1/p} \\ & = \|\varphi\|_{L^p(E)} \left[ \int_E |K(s,t)|^{1/r'} d\mu(t) \right]^{1/r'} \end{aligned} $$

On en déduit :

$$ \| U \varphi \|_{L^q} \lesssim \| x \|_{L^p} \left( \left( \int_{E'} \left( \int_E |K(s,t)|^{1/r'} d\mu(t) \right)^{q/r'} d\mu(s) \right)^{1/q} \right) \quad (30) $$

D'autre part $r' \ge q$, par suite on peut écrire :

$$ \| U \varphi \|_{L^q} \lesssim \| x \|_{L^p} \left( \int_{E'} \int_E |K(s,t)|^r d\mu(t) d\mu(s) \right)^{1/r'} \left( \int_{E'} \left( \frac{r'}{q}\right)^{\frac{1}{q}} d\mu(s) \right)^{\frac{1}{q}} $$

On voit donc que $\|U\|$ tend vers 0 avec

$$ \int_{E'} \int_{E} |K(s,t)|^{1/r'} d\mu(t) d\mu(s) $$
Si $U_n$ désigne l'opérateur de noyau $K_n$, nous voyons que $\|U_n - U\| \to 0$ quand $n$ tend vers l'infini. Il suffit donc de voir que les $U_n$ sont compacts. Continuons la démonstration dans le cas qui nous intéresse. Nous pouvons utiliser le fait que tout noyau de $L^2$ peut être approché pour la topologie de cet espace par des noyaux de rang fini, c'est-à-dire des noyaux de la forme :

$$ \sum_{i=i}^{r} \phi_i(x) \psi_i(y) $$

Or ces noyaux de rang fini sont compacts; d'autre part $p=q=q'=r=r'=2$. Donc la limite uniforme de ces noyaux est aussi compacte et cela termine la démonstration pour $p=q=2$. Pour le cas où $p$ et $q$ sont quelconques, utilisons le théorème de caractérisation de Riesz: les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un sous-espace de fonctions $E \subset L^p$ soit compact sont

1) que $E$ soit borné

2) que les fonctions translatées convergent dans $L^p$ vers la fonction initiale de façon uniforme dans $E$, c'est-à-dire que

$$ \int_E |\varphi(t+\tau) - \varphi(t)|^p d\mu(t) \to 0 $$

uniformément en $\varphi$ dans $E$. Or si $B$ est borné dans $L^p$, $U(B)$ (où $U$ est l'opérateur $L^p \to L^q$ défini par un noyau continu) sera évidemment borné (U est continu). D'autre part

$$ U \varphi(t+\tau) - U \varphi(t) = \left( \int (K(t+\tau,x) - K(t,x)) \right) \varphi(x) \, dx \quad (32) $$

En utilisant les inégalités (31) on trouve

$$ \left( \iint (U \varphi(t+\tau) - U \varphi(t))^{q'} d\mu(t) \right)^{1/q'} \ll (33) $$

$$ \| \varphi \|_{L^p} (\mu(E'))^q (\frac{r'}{q'}) \left( \iint (K(t+\tau,x) - K(t,x))^{r'} d\mu(t) d\mu(x) \right)^{1/r'} $$

Or $\|\varphi\|_{L^p}$ est majoré puisque $B$ est borné; et le dernier terme tend vers zéro comme on le voit facilement. Ce qui termine la démonstration.
Pour l'étude qui nous occupe, on peut faire le changement de variable

$$u = \int_{-\infty}^{x} \mu_{I}(t) dt$$

ce qui permet de ramener l'étude à $[0,1]$ muni de la mesure de Lebesgue à partir de $]-\infty, +\infty[$ muni de $\mu_I(x)$. Le noyau normal peut se rattacher à la théorie de Hilbert-Schmidt. En effet, le noyau

$$K(z,x) = \frac{\int \mu_I(z,y) \mu_{IJ}(x,y)}{\mu_I(z) \mu_J(y)} dy$$

est un noyau de Schmidt. Par définition on appelle noyau de Schmidt tout noyau de la forme

$$A(x) B(y) S(x,y)$$

où $A(x)$ et $B(y)$ gardent un signe constant et où $S(x,y)$ est autoadjoint. Pour ces noyaux, toute la théorie des noyaux autoadjoints peut se refaire. Il suffit en effet d'opérer le changement de fonction inconnue

$$\psi(x) = \sqrt{\frac{A(x)}{B(x)}} \quad \phi(x) \quad \text{et l'on obtient le noyau symétrique}$$

$$\sqrt{A(x) B(x) A(y) B(y) S(x,y)}$$

D'ailleurs, puisque l'on opère sur l'espace $L^2(\mu_I)$ on peut aussi considérer que le noyau est défini par

$$K \phi(z) = \int \frac{\mu_{IJ}(z,y) \mu_{IJ}(x,y)}{\mu_I(z) \mu_J(y) \mu_I(x)} dy \phi(x) \mu_I(x) dx$$

Autrement dit

$$K(z,x) = \int \frac{\mu_{IJ}(z,y) \mu_{IJ}(x,y)}{\mu_I(z) \mu_J(y) \mu_J(x)} dy \quad (34)$$

qui est autoadjoint et pour lequel toute la théorie s'applique.
Ceci explique d'ailleurs pourquoi toutes les valeurs propres trouvées étaient réelles. Nous reviendrons d'ailleurs là-dessus, certains résultats de l'Analyse des Correspondances, en particulier la dualité entre les décompositions dans I et J découlant de la forme $U = T*T$ de l'opérateur intégral. A partir de ces résultats, on peut appliquer la théorie de Hilbert-Schmidt; en particulier le théorème de Hilbert-Schmidt et même le théorème de Mercer puisque toutes les valeurs propres non nulles sont positives. On a une petite difficulté dans la démonstration dûe au fait que le théorème de Mercer classique s'applique aux noyaux définis sur un intervalle compact $[a,b]$ alors qu'ici on se trouve sur $]-\infty, +\infty[$. Ceci se répare en remarquant que $K(z,x)$ est borné et tend vers une limite (nulle) pour $x$ ou $z$ tendant vers l'infini.

On obtient ainsi le développement de $K(z,x)$ en polynômes d'Hermite.

Intéressons-nous maintenant à un problème annexe pour les distributions. Le problème initial, c'est-à-dire trouver des solutions à

$$ \lambda \varphi(z) := \int K(z,x) \varphi(x) \, dx \qquad (35) $$

ne peut pas naturellement s'étendre tel quel pour une distribution $\varphi$; en effet $\langle \varphi, K(z, \cdot) \rangle$ serait alors une fonction en $z$ et $\varphi$ serait elle-même une fonction d'après (35) et l'on n'aurait nullement étendu le problème. Utilisons plutôt la forme explicite (7) du noyau normal

$$ K(z,x) = k \quad \xi_{\alpha}(z-kx) = \xi_{\alpha/k}(z/k - x) \qquad (7) $$

Grâce à cette équation, on peut réécrire l'équation (35)

$$ \lambda \varphi(z) = (\varphi^* \xi_{\alpha/k}) (z/k) \qquad (36) $$

Or cette forme peut, elle, s'étendre aux distributions. Notons $\mathcal{S}$ l'espace des distributions à croissance lente ou tempérées dual de $\mathcal{S}$ espace des fonctions à décroissance rapide, $\theta_M$ l'espace des fonctions indéfiniment dérivables à croissance lente, $\theta'_C$ l'espace des distributions à décroissance rapide, $\mathcal{L}$ l'espace des fonctions continues à croissance lente, espaces dont nous ne rappellerons pas la définition. Notons toutefois que la condition nécessaire et suffisante pour qu'une distribution $T$ soit tempérée, est qu'elle soit une dérivée d'une fonction continue à croissance lente.
On peut écrire au lieu de (36) dans $\mathcal{S}'$,

$$ \lambda T_k = T^* \quad \xi_{\alpha/k} \qquad (37) $$

où nous définissons la distribution $T_k$ par

$$ \langle T_k, \phi \rangle = \frac{1}{k} \langle T, \phi_{1/k} \rangle \quad \text{avec} \quad \phi_{1/k}(x) = \phi(x/k) $$

La multiplication avec les éléments de $\mathcal{S}'$ est définie pour les éléments de $\theta_M$. La convolution est définie avec les éléments de $\theta'_C$. Précisément

$$ \xi_{\alpha/k} \in \theta'_C. $$

D'autre part, la transformation de Fourier est un isomorphisme de $\mathcal{S}'$ dans lui-même, soit F. On vérifie aisément alors que

$$ F(T_k) = \frac{1}{k} (F T)_{1/k} $$

On a d'ailleurs une formule analogue, plus générale dans le cas où l'on considère une transformation linéaire dans $\mathbb{R}^n$ (et non plus seulement une homothétie). L'équation (37) donne par transformation de Fourier :

$$ \frac{\lambda}{k} (F T)_{1/k} = (F T) F \left( \xi_{\alpha/k} \right) \quad (k \ge 1) \qquad (38) $$

Nous considérons (38) comme la généralisation dans $\mathcal{D}'$ (et non plus $\mathcal{S}'$) de (36). Puisque F est un isomorphisme, il est équivalent d'étudier les équations (37) et (38) dans $\mathcal{S}'$. Pour conserver des notations simples, nous étudierons à la place de (38) l'équation équivalente :

$$ \frac{\lambda}{k} (F T)_{1/k} = (F T) F(\epsilon) \qquad (39) $$

où $\epsilon(x) = \exp(-\pi x^2)$ invariant par $F: F(\epsilon) = \epsilon$. On déduit de (39) par récurrence :

$$ \left(\frac{\lambda}{k}\right)^2 (F T)_{1/k}^2 = \frac{\lambda}{k} (F T)_{1/k} \quad \epsilon_{1/k} = (F T) \quad \epsilon_{1/k} = \epsilon $$

et

$$ \left(\frac{\lambda}{k}\right)^n (F T)_{1/k}^n = (F T) \quad \epsilon = \epsilon_{1/k} \quad \dots \quad \epsilon_{1/k}^{n-1} $$
Mais

$$
\begin{align*}
\varepsilon \ \varepsilon_{1/k} \dots \varepsilon_{1/k^{n-1}} &= \exp - \pi^2 \left( 1 + \frac{1}{k^2} + \dots + \frac{1}{k^{2(n-1)}} \right) = \\
&= \exp - \pi x^2 \frac{\left(1 - \frac{1}{k_{2n}}\right)}{1 - \frac{1}{k}}
\end{align*}
$$

qui est encore une fonction de $\mathcal{S}$ (ou encore une distribution de $\theta'_c$). Po-
sons $g(x) = \exp(-\pi x^2 / l - \frac{1}{k^r})$; on vérifie qu'on a

$$
g(x) = g\left(\frac{x}{k}\right)
$$

Par suite, on a :

$$
\frac{\lambda}{k} (F T)_{1/k} g_{1/k} = (F T) g \quad (40)
$$

On est donc ramené au problème suivant: trouver toutes les distributions U
de $\mathcal{S}'$ vérifiant :

$$
\frac{\lambda}{k} U_{1/k} = U \tag{41}
$$

Montrons les deux propriétés suivantes :

1) Si $0 \not\subset$ Supp $U$, $U$ satisfaisant à (41), alors $U = 0$

2) Si Supp U est compact, alors Supp U = { 0 }, U est combinai-
son linéaire finie de la distribution de Dirac et de ses dérivées centrées à
l'origine (et sa transformée de Fourier sera un polynôme, précisément un
polynôme d'Hermite). On peut en tirer des conclusions grâce au théorème
de Paley-Wiener. Il est évident que Supp U₁/k = 1/k Supp U; d'autre part
l'équation (41) montre que Supp U = Supp U₁/k. Il est donc néces-
saire que Supp U soit invariant par l'homothétie de rapport 1/k. Les deux
propriétés 1) et 2) en découlent. Cherchons maintenant à résoudre entièrement (41). Utilisons à cet effet la propriété caractéristique des distributions de $\mathcal{S}'$ d'être des dérivées des fonctions de $\mathcal{L}$. En notant que $(U_{1/k})' = \frac{1}{k}(U')_{1/k}$, on voit que la solution générale du problème est de la forme suivante: si l'équation (41) est résolue dans $\mathcal{L}$, alors toutes les solutions dans $\mathcal{S}'$ seront fournies par les dérivées (au sens des distributions) de ces solutions, les valeurs propres différant naturellement d'un facteur $k^n$ où n est l'ordre de la dérivation appliquée. Or dans $\mathcal{L}$, l'équation (41) est particulièrement simple; il est évident, en effet, que toutes les solutions sont obtenues de la manière suivante: étant donnée, une

fonction $f$ continue bornée quelconque sur $[1, k]$ (avec $f(k^-) = \frac{\lambda}{k} f(1)$), on définit une fonction $\tilde{f}$ sur $[0, +\infty[$ par la formule :

$$ \tilde{f}(x) = \left(\frac{\lambda}{k}\right)^n f\left(\frac{x}{k^n}\right) $$

où n est choisi de manière que $\frac{x}{k^n} \in [1, k[$; la solution est acceptable dès que $k < \lambda$, condition nécessaire et suffisante pour que $\tilde{f}(x)$ soit finie en $x=0$ (elle y est nulle). La fonction $\tilde{f}$ obtenue sera dans $\mathcal{L}$. En effet, soit p tel que $k^p > \frac{1}{k}$ (c'est possible puisque $k > 1$), alors :

$$ \begin{align*} |\tilde{f}(x)| & \le k^{np} f\left(\frac{x}{k^n}\right) \\ & \le \frac{x^p}{\left(\frac{x}{k^n}\right)^p} f\left(\frac{x}{k^n}\right) \le x^p M \end{align*} $$

$$ \text{où } M = \sup_{[1,k]} f(x) $$

La démonstration est ainsi terminée.

## II. LE CAS GENERAL : n ET m QUELCONQUE :

Dans ce cas, la loi normale $\mu_{1J}$ sur $\mathbb{R}^{n+m} = \mathbb{R}^p$ s'écrit

$$ \mu_{1J} = \frac{\sqrt{\Delta}}{\sqrt{(2\pi)^p}} \exp\left(-\frac{1}{2} \hat{x} \Sigma^{-1} x\right) \quad (I = \mathbb{R}^n, J = \mathbb{R}^m) $$
où Σ est la matrice des covariances ; Δ = det (Σ⁻¹)

x = ($$
\begin{pmatrix}
x_1 \\
\vdots \\
x_n \\
\vdots \\
x_{n+m}
\end{pmatrix}
$$) on suppose Σ définie positive et la distribution centrée à l'origine. La décomposition Rⁿ = Rⁿ ⊕ Rᵐ donne une décomposition des matrices de Σ et de Σ⁻¹ en blocs :

$$
\Sigma = \begin{pmatrix} n & & & \\ & \ddots & & \\ & & m & \\ & & & \\ \alpha & & & \\ & \ddots & & \\ & & \ddots & \\ & & & m \end{pmatrix} \qquad \Sigma^{-1} = \begin{pmatrix} n & & & \\ & \ddots & & \\ & & m & \\ & & & \\ \alpha & & & \\ & \ddots & & \\ & & \ddots & \\ & & & m \end{pmatrix}
$$

L'hypothèse que Σ est définie positive a un certain nombre de conséquences: α, δ, a, d sont quissi des matrices symétriques définies positives.

β = γ, b = c. Nous verrons plus loin d'autres conséquences. Dans tous les calculs préliminaires qui doivent nous conduire à la forme simple et explicite du noyau intégral nous supposerons toutes les matrices inversibles ce qui n'a pas d'inconvénient étant donné le caractère formel de ces calculs valables pour toutes les matrices; d'ailleurs on pourrait se passer de cet artifice et montrer d'office que la forme finale est identique à la forme initiale.

Quels liens y a-t-il entre les coefficients (matriciels de Σ et de Σ⁻¹ ? Notons I (resp. O) indifféremment l'unité (resp. la matrice nulle) à toutes les dimensions

$$
\alpha a + \beta c = I \tag{1}
$$

$$
\alpha b + \beta d = 0
$$

$$
\gamma a + \delta c = 0
$$

$$
\gamma b + \delta d = I
$$

On en déduit successivement (formellement) :

$$
\begin{align*}
\alpha &= -\beta d \ b^{-1} \\
\gamma &= -\delta c \ a^{-1}
\end{align*}
\tag{2}
$$

Puis en introduisant les expressions (2) dans (1) :

$$
- \beta d b^{-1} a + \beta c = I \quad (3)
$$

$$
- \delta c a^{-1} b + \delta d = I
$$
et

$$ \alpha = -(b \ d^{-1}c - a)^{-1} \qquad (4) $$

$$ \beta = (b \ d^{-1}c - a)^{-1} \ b \ d^{-1} $$

$$ \gamma = -(d - c \ a^{-1}b)^{-1} \ c \ a^{-1} $$

$$ \delta = (d - c \ a^{-1}b)^{-1} $$

Les matrices a et d sont inversibles; ce qui justifie ces formules. D'autre part, l'existence de $(b \ d^{-1}c-a)^{-1}$ est justifiée précisément par le fait que $\alpha = -(b \ d^{-1}c - a)^{-1}$. Utilisons les formules (4) pour calculer les lois marginales de $u_{IJ}$. Rappelons que ces sont des lois normales des moyennes et de matrices de covariance obtenues en prenant les composantes convectibles de la moyenne et de la matrice $\Sigma$. Ainsi

$$ u_I(X) = \frac{\sqrt{\Delta 1}}{\sqrt{2\pi})^n} \exp \left( -\frac{1}{2} \tilde{X} \alpha^{-1} X \right) \qquad (5) $$

$$ u_j(Y) = \frac{\sqrt{\Delta 2}}{\sqrt{2\pi})} \exp \left( -\frac{1}{2} \tilde{Y} \delta^{-1} Y \right) $$

$\Delta_1 = \det(\alpha^{-1}) \quad \Delta_2 = \det(\delta^{-1}) \quad \text{et} \quad x = \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$. Nous voulons étudier le produit des deux transitions (6) et (6') :

$$ \varphi(X) \rightarrow \int \frac{u_{IJ}(X,Y)}{u_j(Y)} \varphi(X) \ d^n X \qquad (6) $$

$$ \psi(Y) \rightarrow \int \frac{u_{IJ}(Z,Y)}{u_I(Z)} \psi(Y) \ d^m Y \qquad (6') $$

Nous ferons le changement de fonction inconnue

$$ \varphi(X) = f(X) / u_I(X) \qquad (7) $$

pour tous les calculs préliminaires. Ainsi l'équation initiale aux valeurs propres dont l'étude nous concerne

$$ \lambda \varphi(Z) = \int \frac{u_{IJ}(X,Y) \ u_{IJ}(Z,Y)}{u_j(Z) \ u_j(Y)} \varphi(X) \ d^n X \ d^m Y \qquad (8) $$
se transforme en l'équation analogue

$$ \lambda f(Z) = \int \frac{\mu_{1J}(X,Y) \mu_{1J}(Z,Y)}{\mu_I(X) \mu_J(Y)} f(X) \, d^n X \, d^m Y \quad (9) $$

c'est-à-dire de façon explicite en notant $K(X,Y,Z)$ le noyau de cette équation intégrale :

$$ K(X,Y,Z) = \frac{\Delta}{\sqrt{(2\pi)^P \Delta_1 \Delta_2}} \exp \left[ -\frac{1}{2} Q(X,Y) - \frac{1}{2} Q(Z,Y) + \frac{1}{2} \tilde{X} \alpha^{-1} X + \frac{1}{2} \tilde{Y} \delta^{-1} Y \right] \quad (10) $$

où $Q(X,Y)$ est la forme quadratique, $Q(X,Y) = (X,Y) \Sigma^{-1} \begin{pmatrix} X \\ Y \end{pmatrix}$

Notons $T$ l'expression entre crochets

$$ T = -\frac{1}{2} Q(X,Y) - \frac{1}{2} Q(Z,Y) - \frac{1}{2} \tilde{X} (b \, d^{-1} c - a) X + \frac{1}{2} \tilde{Y} (d \, c^{-1} b) Y \quad (11) $$

$$ \text{Or } Q(X,Y) = \tilde{X} a X + \tilde{Y} c X + \tilde{X} b Y + \tilde{Y} d Y $$

$$ \text{Naturellement } \tilde{Y} c X = \tilde{X} b Y \text{ puisque } \tilde{b} = c. $$

En développant totalement on obtient pour $T$ :

$$ \begin{aligned} T &= -\frac{1}{2} [ \tilde{Y} (d+c a^{-1}b)Y + \tilde{X} b Y + \tilde{Y} c X + \tilde{Z} b Y + \tilde{Y} c Z \\ & \qquad + \tilde{X} b d^{-1} c X + \tilde{Z} a Z ] \\ &= -\frac{1}{2} [ \tilde{Y} (d+c a^{-1}b)Y + (\tilde{X}+\tilde{Z})b Y + \tilde{Y} c(X+Z) + \tilde{X} b d^{-1} c X + \tilde{Z} a Z ] \end{aligned} \quad (12) $$

Cherchons à compléter le carré dont $\tilde{Y} (d + c a^{-1}b)Y$ serait le 1er terme. A cet effet notons $V = X + Z$, et cherchons une matrice $U$ telle que le terme carré en question soit de la forme :

$$ \mathcal{F}(Y) = (Y + U V) (d + c a^{-1}b) (Y + U V) \quad (13) $$

$$ \text{Le développement et l'identification donnent } U = (d + c a^{-1} b)^{-1} c \quad (14) $$
Justifions cette formule en montrant que $(d + c a^{-1}b)$ est inversible. Or $d$ est définie positive ainsi que $a$ ; il en est donc de même de $a^{-1}$. Or $c a^{-1}b = \tilde{b} a^{-1}b$ étant congrue à $a^{-1}$ est aussi positive (pas nécessairement définie). Or la somme d'une matrice définie positive et d'une matrice positive est définie positive donc inversible. Le terme correctif est de la forme

$$ - \tilde{V} \tilde{U} (d + c a^{-1}b) U V = - (\tilde{X} + Z) b (d + c a^{-1}b)^{-1} c (X + Z) $$

On obtient donc :

$$ T = -\frac{1}{2} [ \mathcal{J}(Y) + \tilde{X} b d^{-1}c X + \tilde{Z} a Z - (\tilde{X} + Z) b (d + c a^{-1}b)^{-1} c(X+Z) ] \quad (15) $$

$$ = -\frac{1}{2} [ \mathcal{J}(Y) + \mathcal{S}(X,Z) $$

L'équation (9) prend alors la forme :

$$ \lambda f(Z) = \frac{\Delta}{\sqrt{(2\pi)^p \Delta_1 \Delta_2}} \int d^n X f(X) \exp\left(-\frac{1}{2} \mathcal{S}(X,Z) \int d^m Y e^{-\frac{1}{2} \mathcal{J}(Y)}\right) \quad (16) $$

La dernière intégrale est une intégrale classique et vaut

$$ \sqrt{(2\pi)^m} / \sqrt{\text{dét}(d + c a^{-1}b)} \quad \text{Posant} $$

$$ D = \frac{\Delta}{\sqrt{(2\pi)^n \Delta_1 \Delta_2 \Delta_3}} \quad , \quad \Delta_3 = \det(d + c a^{-1}b), \text{ l'équation (16) prend} $$

la forme simple

$$ \lambda f = D \int d^n X f(X) \exp\left(-\frac{1}{2} \mathcal{S}(X,Z)\right) \quad (17) $$

Cherchons maintenant à simplifier $\mathcal{S}(X,Z)$ et en particulier à le mettre sous forme d'un carré si possible (comme dans le cas $n = m = 1$).

$$ \begin{aligned} \mathcal{S}(X,Z) ={}& \tilde{X} [b d^{-1}c - b(d+c a^{-1}b)^{-1}c] X + \tilde{Z} (a-b(d+c a^{-1}b)^{1-c}) Z \quad (18) \\ & - 2 \tilde{X} b (d+c a^{-1}b)^{-1} c Z \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \text{Or } & b d^{-1}c - b(d+c a^{-1}b)^{-1}c = b(d+c a^{-1}b)^{-1} [(d+c a^{-1}b)d^{-1}-1] c \\ & = b(d+c a^{-1}b)^{-1} [d+c a^{-1}b-d] d^{-1}c = b(d+c a^{-1}b)^{-1} c a^{-1}b d^{-1}c \end{aligned} $$
$$
\begin{align*}
\text{et } a - b(d+c a^{-1}b)^{-1}c &= a - (c^{-1}d b^{-1} + a^{-1})^{-1} = [a(c^{-1}d b^{-1} + a^{-1}) - 1] \\
&\quad [c^{-1}d b^{-1} + a^{-1}] \\
&= a c^{-1}d b^{-1} (c^{-1}d b^{-1} + a^{-1})^{-1} = [a(1 + a^{-1}b d^{-1}c)^{-1}]
\end{align*}
$$

Remarquons que dans ces formes finales les inverses de b et de c ont
disparu. Restent seulement les inverses de a, de d, de d+c a⁻¹b dont
on sait qu'ils existent. On trouve enfin l'inverse de I + a⁻¹b d⁻¹c. Or I
est définie positive ainsi que a⁻¹ ; b d⁻¹c est positive, or le produit de
deux matrices positives a des valeurs propres réelles positives. Donc il en
est ainsi de a⁻¹b d⁻¹c. Par conséquent comme on le voit très aisément par
un raisonnement d'algèbre linéaire, I + a⁻¹bd⁻¹c est définie positive donc
inversible.

$$
\begin{equation}
\begin{split}
\mathcal{S}(X,Z) = \bar{X} b(d+c a^{-1}b)^{-1} c a^{-1}b \, d^{-1} c X + \bar{Z} a(1+a^{-1}b \, d^{-1}c)^{-1} \, Z & \quad (19) \\
- 2 \bar{X} b \, (d+c a^{-1}b)^{-1} \, c \, Z &
\end{split}
\end{equation}
$$

Essayons de trouver des matrices U et D de façon que

$$
\mathcal{S}(X,Z) = \widetilde{(X + UZ)} \quad D(X + UZ)
$$

A cet effet, il faut que

$$
D = b(d + c a^{-1}b)^{-1} c a^{-1}b \, d^{-1}c \quad (20)
$$

par identification des termes carrés en X. Vérifions que cette matrice con-
vient et déterminons U par :

$$
\tilde{X} \ D \ U \ Z \ = \ - \ \tilde{X} \ b \ (d + c \ a^{-1}b)^{-1} \ c \ Z
$$

$$
\text{Donc : } \begin{aligned}[t] U &= - D^{-1} b (d + c a^{-1}b)^{-1} c \\ &= - c^{-1} d b^{-1} a \end{aligned}
$$

Cette forme où interviennent les inverses de c et b dont on ne sait s'ils
existent montre que le carré qu'il fallait chercher est de la forme suivante :

$$
\begin{align}
\mathcal{S}(X,Z) &= \widetilde{(U^{-1}X + Z)} \quad \tilde{U} \ D \ U \ (U^{-1}X + Z) \tag{21} \\
&= \widetilde{(Z + VX)} \quad \mathfrak{M} \ (Z + UX) \nonumber
\end{align}
$$
$$ \text{où } V = - a^{-1} b d^{-1} c \qquad (22) $$

$$ \mathcal{M} = \tilde{U} D U = a (1 + a^{-1} b d^{-1} c)^{-1} $$

On voit que $\mathcal{M}$ est symétrique définie positive; seul le caractère symétrique n'est pas évident sur la forme (20). Pour le rendre clair, il suffit de considérer l'expression équivalente

$$ \mathcal{M} = (a^{-1} + a^{-1} b d^{-1} c a^{-1})^{-1} \qquad (23) $$

L'équation aux valeurs propres est donc réduite à l'équation simple:

$$ \lambda f(Z) = D \int f(X) \exp \left( -\frac{1}{2} (\tilde{Z} + VX) \mathcal{M} (Z + VX) \right) d^n X $$

Remarquons que :

$$ S(X,Z) = \left( \overbrace{a Z - b d^{-1} c X}^{\sim} \right) a^{-1} \mathcal{M} a^{-1} \left( a Z - b d^{-1} c X \right) \qquad (25) $$

Posons $\mathcal{H} = a^{-1} \mathcal{M} a^{-1}$. $\mathcal{H}$ est encore symétrique définie positive et l'on a :

$$ S(X,Z) = \left( \overbrace{a Z - b d^{-1} c X}^{\sim} \right) \mathcal{H} \left( a Z - b d^{-1} c X \right) $$

On sait que toute matrice symétrique définie positive admet une racine carée positive unique. Autrement dit on peut trouver une matrice inversible $R = \sqrt{\mathcal{H}}$ telle que $\tilde{R} R = \mathcal{H}$.

Dans ces conditions, distinguons deux cas suivant la régularité de $b d^{-1} c$, c'est-à-dire en fait de $b$ (ou de $c = \tilde{b}$). En effet $b$ inversible $\Leftrightarrow$ c
inversible $\Leftrightarrow$ $b d^{-1} c$ inversible. Naturellement la régularité de $b$ a des conséquences sur $n$ et $m$: on doit avoir $n = m$.

1) Sous l'hypothèse où $b$ est régulière, posons :

$$ K = R b d^{-1} c \qquad (27) $$

Alors $K$, en tant que produit de deux matrices inversibles est elle-même inversible. On peut réécrire

$$ S(X,Z) = \left( \overbrace{R a Z - K X}^{\sim} \right) (R a Z - K X) \qquad (28) $$

$$ \text{Opérons le changement de coordonnées: } T = K X \qquad (29) $$
Nous pouvons obtenir alors plusieurs formes équivalentes de l'équation aux valeurs propres. Le jacobien de la transformation linéaire K n'est autre que $|\det K| = \det K$. L'équation (24) devient alors :

$$ \lambda f(Z) = D \int f(K^{-1}T) \exp \left[ -\frac{1}{2} \left( \tilde{R} a Z - T \right) \left( R a Z - T \right) \right] \frac{d^n T}{\det K} \quad (30) $$

Posons $\xi = Ra Z$. Il s'agit d'un changement de coordonnées inversible. On obtient alors :

$$ \lambda f(a^{-1}R^{-1} \xi) = D \int f(K^{-1}T) \exp \left[ -\frac{1}{2} (\tilde{\xi} - T)(\xi - T) \right] \frac{d^n T}{\det K} \quad (31) $$

En opérant un changement de fonction inconnue :

$$ \psi(X) = f(a^{-1} R^{-1} X) \quad (32) $$

on obtient la forme :

$$ \lambda \psi(Z) = \left( \frac{D}{\det K} \right) \int \psi(Ra K^{-1}T) \exp \left[ -\frac{1}{2} (\tilde{Z} - T)(Z - T) \right] d^n T \quad (33) $$

Etudions la matrice $Ra K^{-1}$ ; en particulier cherchons quelles propriétés analogues à celles déjà trouvées dans le cas particulier elle possède :
$Ra K^{-1} = Ra c^{-1}d b^{-1}R^{-1} = (Ra)c^{-1}d b^{-1}a(Ra)^{-1}$. Donc il suffit d'étudier la matrice $c^{-1}d b^{-1}a$ qui lui est semblable. Naturellement celle-ci est in- versible (d'après l'hypothèse initiale) et ses valeurs propres sont toutes positives (elle n'est pas nécessairement symétrique). Utilisons les formules (4) du début du paragraphe :

$$ \alpha = -(1 - c^{-1}d b^{-1}a)^{-1} c^{-1}d b^{-1} $$

On en déduit l'égalité :

$$ 1 - c^{-1}d b^{-1} a = - c^{-1}d b^{-1} \alpha^{-1} $$

Or $\alpha^{-1}$ est définie positive, $c^{-1}d b^{-1}$ également. Le produit des deux matrices est donc inversible et toutes ses valeurs propres sont strictement positives. Or cette propriété montre immédiatement que les valeurs propres de $c^{-1}d b^{-1}a$ sont, elles, toutes supérieures strictement à 1. En effet soit X et $\lambda$ respectivement un vecteur propre et une valeur propre de
$c^{-1}d b^{-1}a :$

$$ \lambda X = (c^{-1}d b^{-1}a) X = X + c^{-1}d b^{-1} \alpha^{-1} X $$

Donc $c^{-1}d b^{-1} \alpha^{-1} X = (\lambda - 1) X$ et $X$ et $\lambda$ sont aussi vecteur et value propres de $c^{-1}d b^{-1} \alpha^{-1}$ ; par suite $\lambda - 1 > 0$. Cette propriété constitue l'analogue de la propriété $k > 1$ énoncée dans le I. Pour se ramener totalement au cas du I, diagonalisons la matrice

$$ R \ a \ K^{-1} \qquad \text{Soit} \qquad R \ a \ K^{-1} = P^{-1} \Delta P \qquad (34) $$

où $\Delta$ est une matrice diagonale d'éléments $\delta_i$. L'équation (33) s'écrit alors

$$ \lambda \varphi(Z) = \frac{D}{\det K} \int \varphi(P^{-1} \Delta P T) \exp \left[ -\frac{1}{2} (\tilde{Z}-T) (Z-T) \right] d^n T \qquad (35) $$

En incorporant $\frac{D}{\det K}$ à $\lambda$ et en opérant un changement de fonction inconnue $\varphi(Z) = \varphi(P^{-1}Z)$ on obtient enfin

$$ \lambda \varphi(P Z) = \int \varphi (\Delta P T) \exp \left[ -\frac{1}{2} (\tilde{Z}-T) (Z-T) \right] d^n T \qquad (36) $$

De cette équation, on déduit aisément grâce au changement de variable $T \to P^{-1}T \qquad Z \to P^{-1}Z$

$$ \lambda \varphi(Z) = \int \varphi(\Delta T) \exp \left[ -\frac{1}{2} (\tilde{Z}-T) (P \tilde{P})^{-1} (Z-T) \right] d^n T \qquad (37) $$

C'est sur cette équation, très semblable à l'équation (16) du I que nous allons finir de résoudre le problème. Notons $\partial_i \varphi(Z)$ la dérivée partielle de $\varphi(Z)$ par rapport à $z_i$ ($Z = (z_i, ..., z_n)$). Nous savons en effet, que $\varphi(Z)$ est indéfiniment dérivable (encore qu'il reste à rappeler quel espace $L^2$ est en jeu grâce à (7)). L'équation (37) montre donc que :

$$ \lambda \partial_i \varphi(Z) = \delta_i \int \partial_i \varphi (\Delta T) \exp \left[ -\frac{1}{2} (\tilde{Z}-T) (P \tilde{P})^{-1} (Z-T) \right] d^n T \qquad (38) $$

Cette équation permet de tirer des conclusions du même ordre que dans le I.
En désignant par $C_λ$ le sous espace (dont nous ignorons encore la dimension) des fonctions propres correspondant à la valeur propre $λ$, $φ ∈ C_λ → ∂_i φ ∈ C_{λ/δ_i}$. Alors qu'au I la valeur propre de la dérivée

était supérieure à la valeur propre de la fonction initiale, ici c'est l'inverse. C'est dû aux conventions de notation qui sont différentes. D'une façon analogue, l'équation (7) indique que si nous voulons que la fonction initiale (notée φ dans l'équation 7) soit dans l'espace $L^2(μ_i)$ comme c'était le cas dans I, alors f doit appartenir à l'espace $L^2(1/μ_i)$ dont la mesure n'est pas bornée comme on le voit aisément. La différence, indiquons-le tout de suite, est la même qu'entre les polynômes d'Hermite et les fonctions d'Hermite. Ici nous allons pouvoir utiliser la lère méthode du I qui avait conduit à un échec dans la mesure où nous avions trouvé une exponentielle du type $exp(x^2(k^2-1)/2α^2)$ non satisfaisante. Commençons par calculer les noyaux itérés $K^{(n)}(Z,X)$.L'équation (24) complétée par (22) montre que

$$K(Z,X) = D \exp \left( -\frac{1}{2} \overline{(Z+VX)} \mathcal{M} \left( Z+VX \right) \right) \quad (39)$$

Cherchons en toute généralité les itérés d'un noyau de cette forme, c'est-à-dire (puisqu'on peut se ramener par changement de coordonnées au cas où V est diagonale de la forme $Δ^{-1}$) :

$$K(Z,X) = \exp \left[ -\frac{1}{2} \overline{(Z - \Delta^{-1} U)} A (Z - \Delta^{-1} U) \right] \quad (40)$$

où A est simplement symétrique définie positive ;

$$ 
\begin{align*}
K^{(2)} (Z,X) &= \int K(Z,U) K(U,X) \, d^n U \\
&= \int \exp \left( -\frac{1}{2} Q (Z,U,X) \right) \, d^n U \\
Q(Z,U,X) &= \tilde{U} \Delta^{-1} A \Delta^{-1} U + \tilde{U} A U + \tilde{Z} A Z + X \Delta^{-1} A \Delta^{-1} X \\
&\quad - 2 \tilde{Z} A \Delta^{-1} U - 2 \tilde{X} \Delta^{-1} A U
\end{align*}
$$

En complétant le carré en U, on voit qu'on arrive à une équation de la forme :

$$Q(Z,U,X) = \overline{(U - D^{-1}T) D (U - D^{-1}T)} - \tilde{T} D^{-1} T + \tilde{Z} A Z + X \Delta^{-1} A \Delta^{-1} X$$
où

$$D = \Delta^{-1} A \Delta^{-1} + A \quad \text{et} \quad T = A \Delta^{-1} X + \Delta^{-1} A Z \quad (41)$$

On en déduit que

$$K^{(2)}(Z,X) = \frac{\sqrt{(2\pi)^n}}{\sqrt{\det D}} \exp \left( -\frac{1}{2} (\tilde{Z} A Z + \tilde{X} \Delta^{-1} A \Delta^{-1} X - \tilde{T} D^{-1} T) \right) \quad (42)$$

Démontrons que $\det D > 0$. A est une matrice symétrique définie positive, il en est de même de $\Delta^{-1} A \Delta^{-1}$ qui est congruente à $A$. Or la somme de deux matrices symétriques définies positives est aussi de ce type. Il s'agit maintenant de mettre la forme quadratique $H(Z,X)$ obtenue, sous forme de carré. Or le développement de $H(Z,X)$ donne

$$H(Z,X) = \tilde{Z} A Z - \tilde{Z} A \Delta^{-1} D^{-1} \Delta^{-1} A Z + \tilde{X} \Delta^{-1} A \Delta^{-1} X - \tilde{X} \Delta^{-1} A D^{-1} A \Delta^{-1} X - 2 \tilde{Z} A \Delta^{-1} D^{-1} A \Delta^{-1} X \quad (43)$$

Cherchons à mettre ce développement sous la forme :

$$(\tilde{Z} + I X) J (Z + I X) \quad (44)$$

$J$ matrice symétrique, définie positive.

On doit avoir dans ce cas :

$$\begin{aligned} J &= A - A \Delta^{-1} D^{-1} \Delta^{-1} A \\ &= A (1 - (\Delta D \Delta)^{-1} A) \end{aligned}$$

$$\begin{array}{ll} \text{Or} & (\Delta D \Delta)^{-1} A = (A + \Delta A \Delta)^{-1} A = (1 + A^{-1} \Delta A \Delta)^{-1} \\ \text{et} & J = (A^{-1} + \Delta^{-1} A^{-1} \Delta^{-1})^{-1} \quad (45) \end{array}$$

De même

$$J I = A \Delta^{-1} D^{-1} A \Delta^{-1}$$

Donc :

$$\begin{aligned} I &= -(\Delta^{-1} A^{-1} \Delta^{-1} + A^{-1}) A \Delta^{-1} D^{-1} A \Delta^{-1} \\ &= -(\Delta^{-1} A^{-1} \Delta^{-1} + A^{-1}) (A^{-1} \Delta^{-1} + \Delta A^{-1})^{-1} \Delta^{-1} \\ &= - \Delta^{-2} \end{aligned} \quad (46)$$
La vérification qui s'impose est la suivante :

$$ \tilde{I} J I = \Delta^{-2} (\Delta^{-1}A^{-1} \Delta^{-1} + A^{-1})^{-1} \Delta^{-2} = \Delta^{-1} (A^{-1} + \Delta A^{-1} \Delta)^{-1} A^{-1} $$

Or le coefficient du terme carré en X dans H(Z,X) est

$$ \Delta^{-1} A \Delta^{-1} - \Delta^{-1} A D^{-1} A \Delta^{-1} = \Delta^{-1} A(1 - D^{-1} A) \Delta^{-1} $$

D'autre part, on peut voir aisément que

$$ 1 - D^{-1} A = (1 + \Delta A^{-1} \Delta A)^{-1} $$

On en déduit, comme il se doit, que les deux coefficients sont égaux. Par conséquent on peut écrire :

$$ K^{(2)}(Z,X) = \frac{\sqrt{(2\pi)^n}}{\sqrt{\det D}} \exp \left[ -\frac{1}{2} \langle \tilde{Z} - \Delta^{-2}X \rangle (\Delta^{-1}A^{-1} \Delta^{-1} + A^{-1})^{-1} \right] \quad (47) \\ (z - \Delta^{-2}X) $$

Naturellement on voit très bien le lien entre cette formule et la formule équivalente (9) du I à une dimension. On pourrait continuer les itérations et trouver des formules de récurrence. Mais ceci serait complexe dans la mesure où les différentes matrices ne commutent pas et où les différents déterminants (du genre de $\det D$) ne sont pas calculables. Ceci conduit à considérer les matrices particulières qui sont en jeu.

$$ V = - a^{-1} b d^{-1} c \quad \text{et} \quad \mathfrak{M} = a(1 + a^{-1} b d^{-1} c)^{-1} $$

Notons $V_m$ la transposée de la matrice V pour la forme quadratique définie par $\mathfrak{M}$. On a :

$$ V_{\mathfrak{M}} = \mathfrak{M}^{-1} V_{\mathfrak{M}} $$

Un calcul simple montre que

$$ V_{\mathfrak{M}} = a^{-1} (1 + bd^{-1} ca^{-1}) bd^{-1} ca^{-1} (1 + bd^{-1} ca)^{-1} a^{-1} $$

Or on vérifie que $V V_{\mathfrak{M}} = V_{\mathfrak{M}} V$. Cette propriété montre que V est normale pour la forme quadratique $\mathfrak{M}$ ; donc V peut être réduite à la forme diagonale en même temps que $\mathfrak{M}$. C'est-à-dire qu'il existe une matrice de passage Q, telle que
$$ 
\begin{gathered}
Q V Q^{-1} = - \mathcal{D} = - \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \qquad (48) \\
\mathcal{M} = \tilde{Q} Q
\end{gathered}
$$

Il est aisé de voir que $\mathcal{D} = \Delta^{-1}$. Par conséquent $\lambda_i = \delta_i^{-1}$. Par conséquent $\lambda_i < 1$. L'équation intégrale s'écrit maintenant :

$$ \lambda f(Z) = D \int f(X) K(Z, X) d^n X $$

avec $K(Z,X) = \exp -\frac{1}{2} (\tilde{Z} - \mathcal{D}X)(Z - \mathcal{D}X)$ à un facteur multiplicatif près, après le changement de fonction inconnue $f(X) \to f(QX)$. Or grâce à la diagonalisation les coordonnées se séparent et le noyau $K(Z,X)$ est maintenant un noyau dégénéré de la forme

$$ K(Z,X) = \pi_i K_i (z_i, x_i) $$

avec $K_i(z_i, x_i) = \exp -\frac{1}{2}(z_i - \lambda_i x_i)^2 \quad \lambda_i \neq 0$ (en effet d'après l'hypothèse fondamentale, b est régulière).

D'autre part, il est très facile de voir que les noyaux itérés d'un noyau dégénéré sont aussi des noyaux dégénérés dont les composantes sont les itérés des composantes du noyau initial. Autrement dit

$$ K^{(n)}(Z,X) = \prod_{i=1}^{n} K_{i}^{(n)}(z_i, x_i) $$

Or les $K_i(z_i, x_i)$ ne sont autres que les $\xi_i (z_i - \lambda_i x_i)$. Et nous avons déjà calculé les itérés des noyaux $\xi$. Nous avons, d'après la formule (10) du I :

$$ K_i^{(n)}(z_i, x_i) = \xi \frac{\sqrt{1 - \lambda_i^{2n} / (1 - \lambda_i^2)}}{(z_i - \lambda_i^n x_i)} \quad (50) $$

Grâce à cette expression nous pouvons déduire la résolvante $\Gamma$ du noyau $K(Z,X)$ par l'équation

$$ \Gamma (X, Y, \lambda) = \sum_{1}^{\infty} \lambda^{n-1} K^{(n)} (X, Y) $$

Calculons de même le déterminant $D(\lambda)$ :

$$ \frac{D'(\lambda)}{D(\lambda)} = - \sum_{1}^{\infty} A_n \lambda^{n-1} $$
où $A_n$ désigne la trace du noyau $K^{(n)}(Z,X)$ autrement dit :

$$
\begin{align*}
A_n &= \int K(Z,Z) \, d^n Z = \int \pi_i K_i(z_i, z_i) \, d^n Z \\
&= \pi_i A_{n,i} \quad \text{où } A_{n,i} \text{ désigne la trace partielle du noyau}
\end{align*}
$$

$K_i^{(n)}$ déjà calculée, celle-là : $A_{n,i} = \frac{1}{1 - \lambda_i^n}$

Donc :

$$
\frac{D'(\lambda)}{D(\lambda)} = - \sum_{1}^{\infty} \frac{\lambda^{n-1}}{\pi_i (1-\lambda_i^n)} . \text{ Rappelons que } 0 < \lambda_i < 1
$$

Cette série est absolument et uniformément convergente dans tout compact
contenu dans le disque $|\lambda| < \pi_i \lambda_i$. On peut donc opérer les regroupements
suivants :

$$
\frac{D'(\lambda)}{D(\lambda)} = - \sum_{1}^{\infty} \frac{\lambda^{n-1}}{\pi_i (1-\lambda_i^n)} = - \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{n} \lambda_i^n \binom{\sum_{p_i=0}^{\infty} \lambda_i^{p_i}}{\pi_i} \quad (52)
$$

$$
= - \frac{1}{\lambda} \sum_{p_1=0}^{\infty} \dots \sum_{p_n=0}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \lambda \lambda_1^{p_1} \dots \lambda_n^{p_n} \right)^n
$$

$$
= - \frac{1}{\lambda} \sum_{p_1=0}^{\infty} \dots \sum_{p_n=0}^{\infty} \frac{\lambda \lambda_1^{p_1} \dots \lambda_n^{p_n}}{1 - \lambda \lambda_1^{p_1} \dots \lambda_p^{p_n}}
$$

$$
= \sum_{p_1=0}^{\infty} \dots \sum_{p_n=0}^{\infty} \frac{1}{\lambda - \delta_1^{p_1} \dots \delta_n^{p_n}} \quad (53)
$$

(Rappelons que $\delta_i = \lambda_i^{-1}$ par définition).

On démontre comme au § 1 que $\frac{D'(\lambda)}{D(\lambda)}$ est une fonction mésomorphe représentée par le développement (53), que ses pôles sont tous simples,
en $\delta_1^{p_1} ... \delta_n^{p_n}$, de résidu 1. On en déduit que les zéros de $D(\lambda)$ sont
tous simples en $\delta_1^{p_1} ... \delta_n^{p_n}$. Or les zéros de $D(\lambda)$ sont les inverses des
valeurs propres (valeurs caractéristiques). Les valeurs propres, toutes de
multiplicité 1, sont donc situées en $\lambda_1^{p_1} ... \lambda_n^{p_n}$, où $p_i \in \mathbb{N}$. Il s'agit
maintenant de trouver effectivement les vecteurs propres leur correspondant.
Comme le noyau est dégénéré, il est évident que le produit de n fonctions
propres de $K_1(z_i, x_i)$ $f_1(x_1)...f_n(x_n)$ sera une fonction propre de $K(Z,X)$.
Or une solution de

$$ \int f(X) \quad \xi_1 (z - \lambda_i X) \, dX = \mu \, f(z) $$

est donnée comme on le voit rapidement en se référant au calcul fait au § 1
par $f(X) = \frac{\xi_1}{\sqrt{1-\lambda_1^2}} (X)$. Notons que ce calcul est justifié par le fait que
$0 < \lambda_1 < 1$ (alors qu'au § 1, $k > 1$). Donc on pourra prendre comme fonction générale de valeur propre 1

$$ f(X) = \prod_{i=1}^{n} \frac{\xi_1}{\sqrt{1-\lambda_i^2}} (X) $$

THEOREME: Les dérivées partielles par rapport aux différentes variables fournissent les vecteurs propres correspondant aux différentes valeurs propres; autrement dit $D_1^{p_1}...D_n^{p_n}$ ($f(X)$ est la fonction propre, correspondant à la valeur propre $\lambda_1^{p_1}...\lambda_n^{p_n}$.

Les solutions sont donc les fonctions d'Hermite. Pour terminer, vérifions que ces solutions sont bien dans l'espace $L^2$ convenable (cf. l'équation 7). Entre l'équation (7) et la solution nous avons fait un changement de fonction inconnue (49). Tout revient donc à montrer que les intégrales suivantes convergent :

$$ \int f_1^2 f_2^2 \dots f_n^2 (\tilde{Q} X) / \mu_1(X) \, d^n X $$

où $f_1^{p_1} f_2^{p_2} \dots f_n^{p_n} (X)$ est la fonction propre correspondant à la valeur propre $\lambda_1^{p_1} \dots \lambda_n^{p_n}$. Or la convergence de cette intégrale revient en fait à montrer que la forme quadratique $q(X)$ dont on prend l'exponentielle est définie
négative :

$$ q(X) = - \langle \tilde{Q}X \rangle \operatorname{Diag} (1 - \lambda_1^2) (QX) + \tilde{X} \alpha^{-1} X \quad (54) $$

Diag $(1 - \lambda_1^2)$ désigne la matrice diagonale de coefficients $1 - \lambda_1^2$. Cette matrice n'est autre que $1 - \mathcal{D}^2$. Donc la matrice du premier terme est $\tilde{Q}(1 - \mathcal{D}^2) Q$. Quant au second terme, on a :

$$ \alpha = -(b d^{-1}c-a)^{-1} = -(a^{-1}b d^{-1}c - 1)^{-1} a^{-1} $$

$$ \begin{aligned} \text{Donc } \alpha^{-1} &= -a(a^{-1}b d^{-1}c - 1) = -a(-V^{-1}-1) \\ &= -a(Q^{-1}\mathcal{D}Q - 1) \end{aligned} $$

d'après (48). Par suite :

$$ \alpha^{-1} = a Q^{-1} (1 - \mathcal{D}) Q \quad (56) $$

Toujours d'après (48) :

$$ \begin{aligned} \mathcal{M} &= a (1 + a^{-1}b d^{-1}c)^{-1} = \tilde{Q} Q \\ &= a (1 + Q^{-1} \mathcal{D} Q)^{-1} = \tilde{Q} Q \end{aligned} \quad (57) $$

$$ \text{Donc : } a Q^{-1} = \tilde{Q} (1 + \mathcal{D}) $$

$$ \text{et } \alpha^{-1} = \tilde{Q}(1 - \mathcal{D}^2) Q $$

$$ \text{Par suite : } q(X) = - \tilde{X} \tilde{Q} (1 - \mathcal{D}^2 - \frac{1}{2} (1 - \mathcal{D}^2) ) Q X $$

En tenant compte du fait que $0 < \mathcal{D} < I$, on en déduit aisément la propriété cherchée et on voit du même coup que $f(X)/\mu_1(X)$ est un polynôme.

2) Cas où $b d^{-1}c$ est singulière :

En fait, les calculs sont identiques jusqu'à l'équation

$$ \lambda f(Z) = \int f(X) \exp \left[ -\frac{1}{2} \langle \tilde{Z} + VX \rangle \mathcal{M} (Z + VX) \right] d^n X $$

Mais $V = -a^{-1}b d^{-1}c$ est singulière. En diagonalisant simultanément $V$ et $\mathcal{M}$, ce qui est, nous le savons, possible, on obtient par les formules (48)
et (49) :

$$ \lambda f(Q^{-1}Z) = \int f(Q^{-1}X) \exp -\frac{1}{2} (\tilde{Z} - \tilde{D}X) (Z - DX) d^n X $$

D est une matrice diagonale dont les n-k derniers coefficients sont nuls. Ecrivons $R^n = E' + E''$ la somme directe de $R^n$ correspondant au noyau $E''$ de D et $X = X' + X'', Z = Z' + Z''$ les décompositions correspondantes. Alors nous avons l'équation :

$$ \lambda f(Q^{-1}Z + Q^{-1}Z'') = \int f(Q^{-1}X) \exp -\frac{1}{2} (\tilde{Z}' - \tilde{D}X') (Z' - D X') \exp -\frac{1}{2} \tilde{Z}'' Z'' d^n X \quad (58) $$

Or (58) montre de façon claire que la seule dépendance de $f(Q^{-1}Z' + Q^{-1}Z'')$ en $Z''$ est de la forme $\exp -\frac{1}{2} \tilde{Z}'' Z''$. Donc $f(Q^{-1}Z)$ peut s'écrire sous la forme d'un produit :

$$ f(Q^{-1}Z) = f'(Z') f''(Z'') \quad (59) $$

$$ \text{avec } f''(Z'') = \exp -\frac{1}{2} \tilde{Z}'' Z'' $$

Quant à la fonction $f'(Z')$, elle satisfait à une équation du même type mais correspondant au n°1 précédent. Ce qui permet d'affirmer que les valeurs propres sont de la forme $\lambda_1^{p_1} ... \lambda_k^{p_k}$ ($k < n$) et non plus $\lambda_1^{p_1} ... \lambda_n^{p_n}$, les fonctions propres correspondantes étant des produits d'exponentielles $\exp -\frac{1}{2} Z'' Z''$ et de fonctions d'Hermite. On peut encore exprimer ces résultats en faisant qu'on trouvera les valeurs propres et les fonctions propres en faisant $p_{k+1} = ... = p_n = 0$ dans les résultats du n° précédent.
# QUATRIEME PARTIE

## CALCUL DANS DEUX CAS PARTICULIERS

Nous allons appliquer la théorie générale à deux cas particuliers; les calculs vont nous permettre de remarquer certaines régularités dont nous montrerons plus loin qu'elles sont toujours présentes pour les noyaux polyédriques (cf. la définition plus loin). Toutefois nous n'irons pas aussi loin dans les détails que pour la loi normale; en particulier nous négligerons les questions d'unicité des solutions; et nous nous contenterons dans le second cas de ramener le problème à une forme calculable et d'indiquer deux méthodes de résolution. Les noyaux seront tous deux définis dans $C = [0,1]^2$ et la mesure utilisée celle de Lebesgue.

I. Le premier est défini par

$$ T(x,y) = \begin{cases} 1 & \text{si } x+y \ge 1 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \quad \text{pour } (x,y) \in [0,1]^2 $$

On a la représentation graphique simple :

<figure><img src="image_3.png" /></figure>

Il s'agit donc de la généralisation au cas continu de la matrice triangulaire supérieure dont tous les coefficients non nuls sont égaux. Pour étudier l'équation aux valeurs propres, calculons le noyau :

$$ \lambda f(z) = \iint_C \frac{T(x,y) T(z,y)}{T_1(z) T_2(y)} f(x) \, dx \, dy \quad (1) $$

où $T_1$ et $T_2$ représentent les probabilités cumulées par rapport à la seconde et à la première variable; évidemment

$$ T_1(x) = \int T(x,y) \, dy = x $$

$$ T_2(y) = \int T(x,y) \, dx = y $$
Calculons maintenant le noyau autoadjoint

$$ K(z,x) = \int_{0}^{1} \frac{T(x,y) T(z,y)}{T_{2}(y)} dy \qquad (2) $$

l'équation se réduisant alors à :

$$ \lambda T_1(z) f(x) = \int_0^1 K(z,x) f(x) dx \qquad (3) $$

Distinguons deux cas selon que $x < z$ ou $z < x$. Dans le premier cas, $1-x > 1-z$. Le domaine de $[0,1]$ pour lequel l'intégrande de (2) sera non nul est constitué des y vérifiant simultanément $x+y \ge 1$, $z+y \ge 1$, autrement dit puisque $1-x > 1-z$, ce domaine sera constitué par l'ensemble des y tels que $1-x \le y \le 1$. Par suite le noyau peut s'écrire pour $z > x$ :

$$ K(z,x) = \int_{1-x}^{1} \frac{dy}{y} = -L(1-x) \qquad (4) $$

Or puisque $K(z,x)$ est symétrique, comme cela ressort de la forme même de l'intégrande (2), $K(z,x) = K(x,z)$. Par conséquent on peut trouver une expression pour les deux cas grâce à la formule suivante :

$$ K(z,x) = -L(1-x) \quad \text{si } x < z \qquad (5) $$

$$ K(z,x) = -L(1-z) \quad \text{si } z < x $$

Le noyau est continu et même différentiable à tous les ordres dans les deux domaines $x < z$ et $z < x$. Enfin le point $x = z = 1$ est irrégulier. On peut définir également $K(z,z)$ par $-L(1-z)$ mais comme la valeur de $K$ sur un ensemble de mesure nulle n'a pas d'importance, nous nous en dispenserons.

L'équation (3) s'écrit donc :

$$ \lambda z f(z) = \int_{0}^{1} K(z,x) f(x) dx \qquad (6) $$

$$ = \int_{0}^{z} K(z,x) f(x) dx + \int_{z}^{1} K(z,x) f(x) dx $$

$$ = - \int_{0}^{z} L(1-x) f(x) dx - \int_{z}^{1} L(1-z) f(x) dx $$
Nous ne chercherons pas les solutions dans $L^2(T_1(x))$ comme pour la loi normale mais simplement parmi les fonctions dérivables sur $]0,1[$. D'ailleurs cette classe comprend en particulier toutes les fonctions bornées, puisque le second membre de (6) est dérivable en z sur $]0,1[$ pour toute fonction $f(x)$ bornée. On pourrait également rechercher plus généralement des solutions dans $L^p$ pour lesquelles le second membre soit dérivable. Dans notre hypothèse, on obtient successivement :

$$ \lambda(z f)' = - L(1-z) f(z) - \frac{1}{z-1} \int_{z}^{1} f(x) \, dx + L(1-z) f(z) \quad (7) $$

$$ = -\frac{1}{z-1} \int_{z}^{1} f(x) \, dx $$

$$ \lambda((z-1)(z-f))' = f(z) $$

D'où l'on déduit l'équation différentielle :

$$ \lambda z (z-1) f'' + \lambda (3 z-2) f' + (\lambda - 1) f = 0 \quad (8) $$

Or cette équation peut encore s'écrire :

$$ z(1-z) f'' + (2-3z) f' + \frac{1-\lambda}{\lambda} f = 0 \quad (9) $$

qui n'est autre que l'équation de Gauss :

$$ z(1-z) f'' + [\gamma - (\alpha + \beta + 1) z] f' - \alpha \beta f = 0 \quad (10) $$

$$ \text{correspondant à } \gamma = 2, \alpha (\text{resp } \beta) = -2 + \frac{\sqrt{3\lambda+1}}{\lambda} $$

On sait qu'une des deux solutions de (10) est la fonction hypergéométrique $F(\alpha, \beta, \gamma, x)$ dans tout le segment $]0,1[$. L'autre solution n'est pas régulière à l'origine dans le cas qui nous intéresse ($\gamma = 2$), par conséquent nous la négligerons. Quant à $F(\alpha, \beta, \gamma, x)$ :

$$ F(\alpha, \beta, \gamma, x) = \frac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\Gamma(\alpha+n) \Gamma(\beta+n)}{\Gamma(\gamma+n)} \frac{x^n}{n!} \quad (11) $$

On peut calculer explicitement le coefficient $a_n$ de $x^n$ dans le cas qui
nous occupe, soit directement par des relations de récurrence entre les $a_n$ en identifiant les coefficients dans (9), soit par l'expression (11). On obtient :

$$a_n = \frac{\alpha (\alpha+1) \dots (\alpha+n-1) \beta (\beta+1) \dots (\beta+n-1)}{n! (n+1)!} \quad (12)$$

En particulier, on en déduit :

$$a_n = \frac{\alpha\beta + (\alpha+\beta)(n-1) + (n-1)^2}{n(n+1)} \qquad a_{n-1} = \frac{\frac{\lambda-1}{\lambda} + 2(n-1) + (n-1)^2}{n(n+1)} \qquad a_{n-1} \quad (13)$$

Si l'on cherche pour quelles valeurs de $\lambda$ la fonction F se réduit à un polynôme on trouve immédiatement tous les $\lambda_n$ tels que

$$\lambda_n = \frac{1}{(n+1)^2} \quad (14)$$

Or, en dehors de ces polynômes, les fonctions F ne sont jamais régulières au point $x = 1$. Par conséquent :

**THEOREME :** Les fonctions régulières sur $[0,1]$ solutions de (3) sont les polynômes trouvés. On les rattache très aisément aux polynômes de Jacobi.

**II.** Passons maintenant au second cas particulier, celui où le noyau $T(x,y)$ a la forme suivante: il est égal à 1 sur le domaine, dans le carré $[0,1]^2$ limité par les droites $\frac{x}{\alpha} + y = 1$ et $x + \alpha y = 1$. On suppose $\alpha < \frac{1}{2}$, tous les calculs à venir étant symétriques en $\alpha$ et $1 - \alpha$. Donc :

<figure><img src="image_4.png" /></figure>

$$ \begin{aligned} T(x,y) &= 1 \quad \text{pour} \quad 1/\alpha > \frac{x}{\alpha} + y > 1 \quad (15) \\ &= 0 \quad \text{sinon} \end{aligned} $$
$$ \text{Naturellement } T_2(y) = \int T(x,y) \, dx = 1 - \alpha $$

et

$$ T_1(x) = \int T(x,y) \, dy = \frac{x}{\alpha} \quad \text{pour} \quad 0 < x < \alpha \qquad (16) $$

1 pour $\alpha < x < 1-\alpha$

$\frac{1-x}{\alpha}$ pour $1-\alpha < x < 1$

On peut dès lors calculer le noyau $K(z,x)$ défini par (2), c'est-à-dire :

$$ K(z,x) = \int_{0} \frac{T(x,y) T(z,y)}{T_{2}(y)} dy = \frac{1}{1-\alpha} \int T(x,y) T(z,y) dy \quad (17) $$

L'intégrande est non nulle si et seulement si $T(x,y)$ et $T(z,y)$ sont simul-
tanément non nuls, c'est-à-dire d'après (15)

$$ \begin{cases} \frac{1-x}{\alpha} < y < 1 - \frac{x}{\alpha} & \text{et} \\ \\ \frac{1-z}{\alpha} < y < 1 - z/\alpha \end{cases} \qquad (18) $$

Puisque le noyau $K(z,x)$ est symétrique, on peut se limiter par exemple à
$x < z$ donc à $1-z < 1-x$, $\frac{1-z}{\alpha} < \frac{1-x}{\alpha}$ et $1-\frac{z}{\alpha} < 1-\frac{x}{\alpha}$. Tenant compte des inéga-
lités $1-\frac{x}{\alpha} < \frac{1-x}{\alpha}$ et $1-\frac{z}{\alpha} < \frac{1-z}{\alpha}$ la disposition des points $\frac{1-z}{\alpha}$, $1-z/\alpha$, $\frac{1-x}{\alpha}$,
$1-\frac{x}{\alpha}$, dépend uniquement de la position de $1-\frac{x}{\alpha}$ par rapport à $\frac{1-z}{\alpha}$. Si
$1-\frac{x}{\alpha} < \frac{1-z}{\alpha}$, le domaine commun aux deux systèmes de (18) sera vide. Au
contraire si $1-\frac{x}{\alpha} > \frac{1-z}{\alpha}$, tout l'intervalle $[1-\frac{x}{\alpha}, 1-z/\alpha]$ constituera ce domaine. Autrement dit

$$ K(z,x) = \frac{1}{1-\alpha} \int_{1-\frac{x}{\alpha}}^{\frac{1-z}{\alpha}} dy \quad \text{si} \quad 1-\frac{x}{\alpha} < 1-z = 0 \quad \text{sinon} \quad (19) $$
c'est-à-dire :

$$
\begin{align}
K(z,x) &= \frac{1}{\alpha(1-\alpha)} (1-\alpha+x-z) \quad \text{si } x < z \tag{20} \\
       &\phantom{=} \text{et } z-x < 1-\alpha \\
       &= 0 \quad \text{sinon}
\end{align}
$$

Comme $kK(z,x) = K(x,z)$ on peut trouver la forme du noyau dans le cas gé-
néral :

$$
\begin{align}
K(z,x) &= \frac{1}{\alpha(1-\alpha)} (1-\alpha-|x-z|) \quad \text{si } 1-\alpha > |x-z| \tag{21} \\
       &= 0 \quad \text{sinon} \notag
\end{align}
$$

Ce noyau est continu mais n'est pas différentiable. Nous ne chercherons de
solution comme précédemment que parmi les fonctions dérivables dont font
partie (même démonstration que pour la loi normale et pour le cas particulier
ci-dessus) les fonctions bornées (uniquement pour les solutions de l'équa-
tion (3) naturellement). L'équation (3) s'écrit donc :

$$
\begin{align}
\lambda T_1(z) f(z) &= \int_0^1 K(z,x) f(x) \, dx \tag{22} \\
&= \int_0^{z-(1-\alpha)} K(z,x) f(x) \, dx + \int_{z-(1-x)}^{z+(1-\alpha)} K(z-x) f(x) \, dx + \nonumber \\
&\qquad + \int_{z+(1-\alpha)}^1 K(z,x) f(x) \, dx \nonumber
\end{align}
$$

Le 1er et le 3ème terme sont nuls (puisque |z-x| > 1-x dans ces termes) .
Donc :

$$
\lambda T_1(z) f(z) = \frac{1}{\alpha(1-\alpha)} \int_{z-(1-\alpha)}^{z+(1-\alpha)} [1-\alpha-|z-x|] f(x) dx \quad (22)
$$

Il faut distinguer trois cas selon la valeur de z :

1) $0 < z < \alpha$ : Alors l'équation s'écrit :
$$ \frac{\lambda z}{\alpha} f(z) = \frac{1}{\alpha(1-\alpha)} \int_{0}^{z+(1-\alpha)} [1-\alpha-|z-x|] f(x) dx \quad (23) $$

2) $\alpha < z < 1-\alpha$: Alors l'équation s'écrit :

$$ \lambda f(z) = \frac{1}{\alpha(1-\alpha)} \int_{0}^{1} [1-\alpha - |z-x|] f(x) dx \quad (24) $$

3) $1-\alpha < z < 1$: Alors l'équation s'écrit :

$$ \lambda \frac{(1-z)}{\alpha} f(z) = \frac{1}{\alpha(1-\alpha)} \int_{z-(1-\alpha)}^{1} [1-\alpha-|z-x|] f(x) dx \quad (25) $$

En fait les cas 1) et 3) s'identifient: en effet le noyau $K(z,x)$ est invariant par $x \to 1-x$, $z \to 1-z$; de même $T_1(z)$ est invariant (on le voit sur (16)) par $z \to 1-z$. Donc, comme on s'en rend compte par inspection de l'équation aux valeurs propres $f(z) = f(1-z)$. On se contentera donc d'étudier $f(z)$ sur $[0,1/2]$. Plaçons-nous d'abord dans l'hypothèse (2). Alors

$$ \lambda \alpha (1-\alpha) f(z) = \int_{0}^{z} [1-\alpha-z+x] f(x) dx + \int_{z}^{1} [1-\alpha+z-x] f(x) dx \quad (27) $$

c'est-à-dire en dérivant après élimination :

$$ \lambda \alpha (1-\alpha) f'(z) = \int_{z}^{1} f(x) dx - \int_{0}^{z} f(x) dx \quad (28) $$

Redérivons :

$$ \lambda \alpha (1-\alpha) f''(z) = -2 f(x) \quad (29) $$

Les solutions de cette équation sont des exponentielles (réelles ou imaginaires). Donc $f(x)$ se réduit à une somme de deux exponentielles sur $[\alpha, 1/2]$.

Étudions maintenant l'équation (23) correspondant au cas 1) $0 < z < \alpha$.

$$ \lambda z f(z) = \int_{0}^{z} \frac{1}{1-\alpha} [1 - \alpha - z + x] f(x) dx \quad (30) $$
$$+ \int_{z}^{z+1-\alpha} \frac{1}{1-\alpha} [1 - \alpha - x + z] f(x) dx$$

Dérivant des deux côtés, on trouve :

$$\lambda (1-\alpha) (z f)' = (1-\alpha) f(z+1-\alpha) + z f'(z) - (z+1-\alpha) f(z+1-\alpha) \quad (31)$$

$$ \begin{align*} &+ z f(z) - z f'(z) - \int_{0}^{z} f(x) \, dx \\ &+ z [f(z+1-\alpha) - f(z)] + \int_{z}^{z+1-\alpha} f(x) \, dx \\ &= - \int_{0}^{z} f(x) \, dx + \int_{z}^{z+1-\alpha} f(x) \, dx \end{align*} $$

Dérivons à nouveau :

$$\lambda (1-\alpha) (z f)'' = - f(z) - f'(z) + f(z+1-\alpha)$$

Nous sommes amenés à l'étude de l'équation différentielle :

$$\lambda (1-\alpha) (z f)'' = - 2 f(z) + f(z+1-\alpha) \quad (32)$$

Tenant compte de $f(z) = f(1-z)$ on peut réécrire (32) :

$$\lambda (1-\alpha) (z f)'' = - 2 f(z) + f(\alpha-z) \quad \text{pour } z \in [0, \alpha] \quad (33)$$

Voici une première méthode de résolution. Posons :

$$D \varphi = \lambda (1-\alpha) (z \varphi)'' + 2 \varphi$$

pour toute fonction $\varphi(z)$ ; l'opérateur différentiel linéaire $D$ appliqué à $f(z)$ donne $f(\alpha-z)$ ; donc $D^2$ donnera $f(z)$ ; donc $D^2$ se réduit à l'identité pour les fonctions cherchées; on estramené à une équation différentielle d'ordre 4. On peut se ramener à une équation différentielle d'ordre 3 de la façon suivante; on pose $g(z) = f(\alpha-z)$. On obtient alors au lieu de (33) le système :

$$\lambda (1-\alpha) (z f)'' = - 2 f + g \quad (a)$$

$$\lambda (1-\alpha) ((\alpha-z) g)'' = - 2 g + f \quad (b)$$
L'équation (a) se résout en considérant g comme un second membre. L'équation sans second membre s'écrit :

$$z f'' + 2 f' + \frac{2}{\lambda (1-\alpha)} f = 0 \quad (35)$$

et le développement en série entière de la solution régulière à l'origine est donné par $\sum_n a_n x^n$ où

$$a_{n+1} = \left[ \frac{-2}{\lambda (1-\alpha)} \right]^n \frac{2 a_1}{(n+1) |^2 (n+2)}$$

Soient $f_1$ et $f_2$ deux solutions linéairement indépendantes de (35) (elles sont directement liées aux Fonctions de Bessel). Alors par la méthode de variations des constantes dans la décomposition :

$$f(z) = A(z) f_1(z) + B(z) f_2(z)$$

on trouve A et B sous la forme

$$A = \int^x g(t) \mu(t) dt$$

$$B = \int^x g(t) \nu(t) dt$$

$\mu$ et $\nu$ calculables en fonction de $f_1$, $f_2$; en reportant cette expression dans (b) on trouve une équation intégro-différentielle de Volterra qui par dérivation donne une équation différentielle linéaire d'ordre 3 qu'on ré-sout. Une seconde méthode consiste à considérer l'équation (33) non pas sur $[0, \alpha]$ mais sur $[-\infty, +\infty]$ et d'opérer formellement (sans se soucier de convergence des transformées de Fourier) les calculs suivants; notons $F$ la transformation de Fourier et $\bar{F}$ sa conjuguée; on sait qu'on a

$$F \bar{F} = \bar{F} F = \text{identité}$$

Notons $f_T(x) = f(x+\pi)$ et $f_L(x) = f(-x)$. On a alors au sens des distributions :

$$f(\alpha - x) = f_{\alpha}(-x) = \delta_{\alpha} * f_{-}(x)$$

D'autre part :

$$F f_{-} = \bar{F} f = \bar{F} f \quad (f \text{ est une fonction réelle}).$$
Donc compte non tenu de coefficients constants, on peut se ramener par
transformation de Fourier à :

$$
z^2(F f') + F f = \exp (2 \pi i \alpha z) (\overline{F f}) \quad (36)
$$

On pose alors

$$
F f = \operatorname{Re}(F f) + i \operatorname{Im} F f;
$$

On décompose l'équation (36) en un système de deux équations linéaires
en Re f et Im f qu'on peut alors résoudre. Nous laisserons toutefois
cette méthode à ce point.
CINQUIEME PARTIE

L'ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
POUR CERTAINS NOYAUX SIMPLES UTILISES
DANS L'APPROXIMATION

Nous verrons plus loin quelles sont les techniques d'approximation
pour les noyaux continus les plus généraux; nous montrerons que les no-
yaux approchés peuvent souvent être choisis parmi certains noyaux simples;
par conséquent nous consacrerons cette section à l'étude de ces noyaux
simples et à leur solution complète. Cette classe de noyaux simples com-
prend les noyaux en escalier: alors la théorie n'est autre que la théorie
classique de l'analyse des correspondances discrètes; les noyaux dégéné-
rés; les noyaux bistochastiques (voir la définition plus loin) : leur étude
permet de résoudre le problème pour certains polynômes trigonométriques;
les noyaux linéaires par morceaux (polyédriques): la forme la plus efficace
d'approximation avec les noyaux en escalier; les noyaux polynomiaux et
sous forme de série entière; enfin les noyaux qui satisfont à une équation
différentielle simple. Tous les noyaux étudiés dans cette section seront dé-
finis sur [0,1] × [0,1]; et la mesure sera celle de Lebesgue sauf pour les
applications aux polynômes trigonométriques où nous spécifierons le do-
maine de définition.

1) Noyaux en escalier :

Nous voulons étudier l'équation

$$
\lambda f(z) = \iint_{[0,1]^2} \frac{T(x,y) T(z,y)}{T_1(z) T_2(y)} f(x) \, dx \, dy \quad (1)
$$

pour un noyau de correspondance T(x,y) défini sur le carré [0,1] × [0,1]
et constant par morceaux sur une subdivision de ce carré; autrement dit
soit [ x₀ = 0,...,x₁ = ⅛, ...xₙ = 1 ] et [ y₀ = 0,...,yₗ = j/n, ...yₙ = 1 ] des
subdivisions de [0,1] × [0,1] et soit T(x,y) = aᵢⱼ pour x₁₋₁ < x < xᵢ et
yⱼ₋₁ < y < yⱼ. Alors les noyaux marginaux sont égaux à :

$$
T_1(x) = \sum_j a_{1j} = a_1 \quad (\text{pour } x_{1-1} < x < x_1) \qquad (2)
$$

$$
T_2(y) = \sum_i a_{1i} = a_i \quad (\text{pour } y_{i-1} < y < y_i)
$$
On peut en déduire aisément le noyau

$$K(z,x) = \int_{0}^{1} \frac{T(x,y) T(z,y)}{T_{2}(y)} dy \quad (2')$$

pour $x \in [x_{1-1}, x_1]$ et $z \in [z_{1-1}, z_1]$ on a :

$$ 
\begin{aligned}
K(z,x) &= \sum_j \frac{a_{1j} a_{zj}}{a_j} \int_{y_{j-1}}^{y_j} dy \\
&= \frac{1}{n} \sum_j \frac{a_{1j} a_{1j}}{a_j}
\end{aligned} 
\quad (3) $$

Donc l'équation se réduit à la forme suivante pour $z \in [z_{z-1}, z_1]$

$$ 
\begin{aligned}
\lambda f(z) &= \int_0^1 \frac{1}{n} \sum_j \frac{a_{1j} a_{1j}}{a_j} \frac{f(x)}{a_1} dx \quad (4) \\
&= \frac{1}{n a_1} \sum_i \int_{x_{1-1}}^{x_1} \sum_j \frac{a_{1j} a_{1j}}{a_j} f(x) dx \\
&= \frac{1}{n a_1} \sum_{i,j} \frac{a_{1j} a_{1j}}{a_j} \int_{x_{1-1}}^{x_1} f(x) dx
\end{aligned}
$$

En posant

$$f_i = \int_{x_{i-1}}^{x_i} f(x) dx$$

$$f(z) = \frac{1}{n a_1} \sum_{i,j} \frac{a_{1j} a_{1j}}{a_j} f_i \quad (5)$$

Cette équation montre que $f(z)$ est constant pour $z \in [z_{1-1}, z_1]$. Comme son intégrale sur cet intervalle est $f_1$, on voit que $f(z)$ est une fonction en escalier sur $[0,1]$ pour la subdivision utilisée dont la valeur $n f_1$ sur l'intervalle $[z_{1-1}, z_1]$ est donnée par l'équation :
$$ \lambda f_1 = \frac{1}{n^2 a_1} \sum_{i,j} \frac{a_{1j} a_{1i}}{a_j} f_i \quad (6) $$

Ceci est une équation matricielle aux valeurs propres d'analyse des correspondances discrète. Remarquons qu'il était possible d'utiliser des subdivisions de [0,1] autres que celle utilisée; il aurait alors fallu introduire des coefficients différents de $1/n$ dans l'équation (6). Nous reviendrons sur ce problème d'interpolation par des noyaux en escalier (Méthodes de Gauss, Chebyshev, etc...).

## 2) Noyaux polynomiaux; série entières :

En général il n'est pas facile d'approcher un noyau déterminé par des noyaux polynomiaux mais on peut savoir a priori qu'il existe un noyau polynomial assez proche. C'est donc pour cette éventualité que nous étudions ici les noyaux polynomiaux qui ne sont d'ailleurs qu'un cas particulier des noyaux de rang fini (noyaux dégénérés) que nous verrons plus loin. Soit donc

$$ T(x,y) = \sum_{p=0}^{n} a_p(x) y^p = \sum_{q=0}^{m} b_q(y) x^q \quad (7) $$

où $a_p(x)$ (resp. $b_q(y)$) est un polynôme en $x$ (resp. en $y$) de degré au plus égal à $m$ (resp. $n$). On en déduit les noyaux marginaux :

$$ T_1(x) = \int_0^1 T(x,y) \, dy = \sum_{q=0}^{m} B_q x^q \quad B_q = \int_0^1 b_q(y) \, dy \quad (8) $$

$$ T_2(y) = \int_0^1 T(x,y) \, dx = \sum_{p=0}^{n} A_p y^p \quad A_p = \int_0^1 a_p(x) \, dx $$

Quant au noyau $K(z,x)$ défini par $(2')$ il est également polynomial, en effet :

$$ K(z,x) = \int_0^1 \left( \frac{\sum_q b_q(y) x^q}{T_2(y)} \right) dy $$

$$ = \sum_{p,q} x^q z^p \int_0^1 \frac{b_q(y) b_p(y)}{T_2(y)} dy $$
Donc

$$ K(z,x) = \sum_{p,q} C_{pq} x^q z^p \qquad C_{pq} = \int_{0}^{1} \frac{b_{p}(y) b_{q}(y)}{T_{2}(y)} dy \quad (9) $$

Par suite l'équation aux valeurs propres se réduit à :

$$ \lambda \sum_{q}^{n} B_{q} z^{q} f(z) = \int_{0}^{1} K(z,x) f(x) dx \quad (10) $$

$$ = \sum_{p} z^{p} \int_{0}^{1} \sum_{l} C_{pl} x^{l} f(x) dx $$

En posant

$$ A_p = \int_0^1 \sum_l C_{pl} x^l f(x) dx \quad \text{on obtient} \quad (11) $$

$$ \lambda f(z) = \frac{\sum_{q}^{m} A_{p} z^{q}}{\sum_{q}^{m} B_{q} z^{q}} \quad (12) $$

Par conséquent toute fonction propre est une fonction rationnelle. Reste à déterminer les coefficients $A_p$ qui pour l'instant sont inconnus; à cet effet il suffit de porter l'expression (12) de $f(x)$ dans l'équation (11); on obtient alors comme on le voit aisément un système d'équations aux valeurs propres; et le problème estramené à la recherche des valeurs propres d'une matrice; plus explicitement :

$$ \lambda A_p = \sum_q A_q \int_0^1 \frac{\sum_l C_{pl} x^l x^q}{\sum_i B_i x^i} dx \quad (13) $$

La matrice à diagonaliser a pour élément d'indice $(p,q)$

$$ \int_{0}^{1} \frac{\sum_{l} C_{pl} x^{q+1}}{\sum_{i} B_{i} x^{i}} dx $$
On voit ainsi que l'espace vectoriel des fonctions propres correspondant à des valeurs propres non nulles est de dimension finie, ce qu'on pouvait voir a priori, puisque le noyau était de rang fini.

Dans le cas des séries entières, le calcul formel est le même; mais il a deux restrictions: d'une part il faut que la convergence de la série entière représentant $T(x,y)$ soit assurée dans tout le domaine d'intégration, c'est-à-dire $(x,y) \in [0,1] \times [0,1]$ et $T_1(z)$ ne doit pas avoir de zéro dans $[0,1]$. D'autre part, le système (13) est un système linéaire à une infinie d'inconnues beaucoup plus difficile à résoudre.

### 3) Noyaux polyédriques :

Voici ce que nous entendons par noyau polyédrique; soit $\mathcal{T}$ une triangulation finie de $[0,1] \times [0,1]$. Disons que $T(x,y)$ est polyédrique si $T(x,y)$ est linéaire à l'intérieur de chaque triangle et si $T(x,y)$ est continu; des noyaux polyédriques particuliers sont obtenus (en particulier pour l'approximation des noyaux continus) en se donnant des valeurs $a_{ij}$ ($i=0,...,n$; $j=0,...,n$) réelles et en construisant la forme linéaire affine $f_{ijk}^1$ (resp. $f_{ijk}^2$) qui prend les valeurs $a_{ij}$, $a_{i+1,j}$, $a_{i+1,j+1}$ (resp. $a_{i+1,j-1}$) aux points $(x=\frac{i}{n}, y=\frac{j}{n})$, $(x=\frac{i+1}{n}, y=\frac{j}{n})$, $(x=\frac{i+1}{n}, y=\frac{j+1}{n})$ [resp. $(x=\frac{i+1}{n}, y=\frac{j-1}{n})$] et en posant $T(x,y)$ égal à $f^1$ ou à $f^2$ suivant le triangle en question; revenons aux noyaux généraux. Par chaque sommet de la triangulation $\mathcal{T}$ menons les parallèles à Ox et à Oy. On obtient ainsi deux subdivisions :

$(x_o = 0, \dots, x_i, \dots, x_n = 1)$ et $(y_o = 0, \dots, y_j, \dots, y_n = 1)$;

en raffinant éventuellement les deux subdivisions (par exemple en les superposant) nous supposerons que ces deux subdivisions sont identiques; on en déduit un morcellement de $[0,1] \times [0,1]$ en rectangles ne contenant pas de sommets dans leur intérieur. On peut alors exprimer les hypothèses sur $T(x,y)$ en écrivant :

$$T(x,y) = \sum_{i, i'=1}^{n} T_{i i'}(x,y) \quad (14)$$

où $T_{ii'}(x,y)$ est nul en dehors du carré $[x_{i-1}, x_i] \times [y_{i'-1}, y_i]$, noté $(i,i')$ et :
$$ T_{ii'}(x,y) = \alpha_{ii'}^j(x,y) \quad \text{pour } y \in [\beta_{ii'}^{j-1}(x), \beta_{ii'}^j(x)] \quad (15) $$

$$ = \alpha_{ii'}^{j}(x,y) \quad \text{pour } x \in [\beta_{ii'}^{j-1}(y), \beta_{ii'}^{j}(y)] $$

où les $\alpha$ et $\alpha'$ sont des formes linéaires affines en $x$ et $y$ et les $\beta, \beta'$ des formes linéaires affines. Ces égalités reviennent simplement à exprimer que le noyau $T_{ii'}$ est polyédrique dans $(ii')$. Nous voulons calculer maintenant :

$$ K(z,x) = \int \frac{T(z,y) T(x,y)}{T_2(y)} dy \quad (16) $$

$$ \text{Or : } T_2(y) = \int T(x,y) \, dx $$

On peut donc écrire $T_2(y) = \sum_i T_2^i(y)$ où $T_2^i(y)$ est nul en dehors de $[y_{i-1}, y_i]$. On en déduit :

$$ T_2^i(y) = \int_0^1 \sum_j T_{ji}(x,y) \, dx \quad (17) $$

$$ = \sum_j \int_0^1 T_{ji}(x,y) \, dx = \sum_j \int_{\beta_{ji}^{j'-1}}^{\beta_{ji}^j(y)} \alpha_{ji'}^{j'}(x,y) \, dx $$

d'après (15). L'intégration montre alors très aisément que $T_2^i(y)$ est un polynôme en $y$ du second degré. On pourrait démontrer une propriété identique pour $T_1(x)$. (16) devient alors :

$$ K(z,x) = \sum_{i,i'} K_{ii'}(z,x) \quad (18) $$

où

$$ K_{ii'}(x,z) = \sum_{j,j'} \int \frac{T_{ij}(z,y) T_{i',j'}(x,y)}{T_2(y)} dy \quad \dots \quad (19) $$
$$ 
\begin{align*} 
\dots &= \sum_j \int \frac{T_{ij}(z,y) T_{i'j}(x,y)}{T_2(y)} \, dy \\
&= \sum_j \int_{y_{j-1}}^{y_j} \frac{T_{ij}(z,y) T_{i'j}(x,y)}{T_2^j(y)} \, dy \\
&= \sum_j K_{ij}^j(z,x) 
\end{align*} 
$$

Tous ces calculs sont évidents.

Il s'agit maintenant de calculer $K_{ii'}^j$. Or dans tout $[y_{j-1}, y_j] T_2^j(y)$ est un polynôme du second degré; quant au numérateur c'est un produit de formes linéaires variables selon la position de y par rapport aux diverses formes linéaires en x et en z définies dans (15). Selon la position de x par rapport à z, y passera ces différentes formes linéaires dans un ordre différent; on peut encore dire que l'élimination de y entre ces formes linéaires donne des inégalités pour x telles que y passe les formes linéaires en x et en z dans un ordre défini tant que x satisfait à une même inégalité. Autrement dit, on a des formes linéaires affines $\gamma_1(z), \dots, \gamma_p(z)$ qui définissent une subdivision de $[x_{i-1}, x_i]$. On a alors

$$ K_{ii'}^j(z,x) = \sum_l K_{ii'}^{j1}(z,x) \quad \text{où} \quad (20) $$

$K_{ii'}^{j1}(z,x)$ est le noyau correspondant à $x \in [\gamma_{i-1}(z), \gamma_1(z)]$.

Or $K_{ii'}^{j1}(z,x)$ se calcule facilement puisque c'est une somme de termes de la forme

$$ \int \beta^{\alpha}(x) \frac{\alpha(x,y) \alpha'(z,y)}{(\text{Polynôme de d 2 en y})} \, dy \quad (21) $$

$$ \int \beta^{\alpha}(z) \frac{\alpha(x,y) \alpha'(z,y)}{(\text{Polynôme de d 2 en y})} \, dy $$

$$ \int \beta^{\alpha}(z) \frac{\alpha(x,y) \alpha'(z,y)}{(\text{Polynôme de d 2 en y})} \, dy $$

<figure><img src="image_5.png" /></figure>
où $\beta$ désigne une forme linéaire affine générique, $C$ une constante, $\alpha, \alpha'$ des formes linéaires affines génériques. Dans ces conditions l'intégration se fait par décomposition en éléments simples. Passons sur des calculs pé-nibles et énonçons le résultat suivant :

$K_{11}^{1}(z,x)$ est une somme de termes de la forme :

$$ egin{aligned} & x z [ C_1 + N_1 (f_1(x)) + P_1 (g_1(z)) ] + \\ & + ( \alpha x + \beta z ) [ C_2 + N_2 (f_2(x)) + P_2 (g_2(z)) ] + \\ & + C_3 + N_3 [ f_3(x) ] + P_3 (g_3(z)) \end{aligned} \quad (22) $$

où $C_1, C_2, C_3, \alpha, \beta$ sont des constantes, $f_1, f_2, f_3, g_1, g_2, g_3$, des formes linéaires affines; $N_1$ et $P_1$ (resp. $N_2$ et $P_2$) (resp. $N_3$ et $P_3$) des fonctions qui sont sommes d'un logarithme d'une forme linéaire de la variable et d'une fraction rationnelle dont le dénominateur est de degré 1 et le numérateur de degré 1 (resp. le numérateur de degré 2) (resp. le numérateur de degré 3). Nous avons continué les calculs mais nous énonçons ici seulement le résultat final auquel nous sommes arrivés et qui généralise les équations (32) et (33) de la Partie «Calcul dans deux cas particuliers» :

**THEOREME :** La fonction $f(z)$ satisfait à une équation différentielle de la forme :

$$ \sum_{n=0}^{p} P_n(x) f^{(n)}(x) = \sum_{i=0}^{q} Q_m(x) f^{(m)}(g_i(x)) \quad (23) $$

où les $P$ et les $Q$ sont des sommes de fractions rationnelles et de logarithmes et où les $g_i$ sont des formes linéaires affines. Cette équation peut se résoudre par les deux méthodes indiquées dans le deuxième cas de «Calcul dans deux cas particuliers».

4) **Noyaux bistochastiques :**

Comme nous l'avons souvent remarqué, un grand nombre de difficultés proviennent de la présence sous le signe d'intégration des facteurs $T_1$ et $T_2$. En particulier, si $T_1 = T_2 = 1$, l'opérateur $K$ ne serait autre que $TT^*$ où $T$ est l'opérateur défini par $T(x,y)$. Par généralisation des
matrices dont la somme de chaque ligne, de même que la somme de chaque colonne est constante, qu'on appelle bistochastiques, appelons bistochastiques les opérateurs vérifiant $T_1(x) = T_2(y) = 1$. Pour ces opérateurs :

$$K(z,x) = \int T(z,y) T(x,y) dy$$

et $K(z,x)$ est bistochastique; si $T$ et $U$ sont bistochastiques, il en est de même de $T^*$, de $UT$; si $T$ est de plus symétrique, alors $K(z,x) = T^{(2)}(z,x)$ et la théorie de Fredholm s'applique directement. Appliquons ces remarques à l'étude des noyaux définis sur le cercle unité et ne dépendant que de la différence des arguments; autrement dit

$$T(x,y) = \varphi(x-y)$$

où $(x,y) \in [0,1] \times [0,1]$ et où $\varphi$ est une fonction définie modulo 1. Il est facile de voir que ces noyaux sont bistochastiques. Supposons $\varphi$ développable en Série de Fourier; alors

$$\varphi(x) = \sum_{k=-\infty}^{\pm\infty} c_k e^{2\pi i k x} \quad (24)$$

Calculons maintenant $K(z,x)$ :

$$K(z,x) = \int_0^1 \varphi(x-y) \varphi(z-y) dy = \sum_{k=-\infty}^{\pm\infty} c_k c_{-k} e^{2\pi i k (x-z)} \quad (25)$$

On vérifie que $K$ est bien symétrique en $x$ et $z$. Résolvons maintenant l'équation aux valeurs propres; pour cela notons que

$$T_1(x) = T_2(y) = c_0$$

que nous supposerons être égal à 1

$$\lambda f(z) = \int_0^1 K(z,x) f(x) dx$$

Supposons $f$ développable en série de Fourier; alors

$$\begin{align}
\int K(z,x) f(x) dx &= \sum_k c_k c_{-k} \int_0^1 e^{2\pi i k (z-x)} f(x) dx \tag{26} \\
&= \sum_k c_k c_{-k} e^{2\pi i k z} \left( \int f(z) e^{-2\pi i k x} dx \right) \nonumber
\end{align}$$
Or le terme entre parenthèses n'est autre que le coefficient de Fourier de $f$ d'ordre $k$, soit $a_k$ ; on en déduit :

$$c_k c_{-k} a_k = \lambda a_k \qquad (27)$$

THEOREME: $a_k$ est nul sauf pour les valeurs de $\lambda$ vérifiant $\lambda = c_k c_{-k}$. Si $\phi$ ne dépend que de $|x-y|$ alors il faut imposer au développement d'être pair.

En fait, il faut apporter une restriction au problème général tel qu'il vient d'être posé; en effet dans l'analyse factorielle des correspondances, on impose au noyau d'être positif; or le noyau général défini par (24) n'est même pas réel a priori. Pour y remédier au moins dans le cas polynomial, il faut reconstruire les raisonnements précédents et utiliser le lemme de Féjer-Rieoz affirmant que tout polynôme trigonométrique positif peut être, représenté par le carré du module d'un autre polynôme trigonométrique.

### 5) Noyaux satisfaisant à une équation différentielle :

Si $D$ est un opérateur différentiel linéaire d'ordre fini et si $D_x T(x,y) = 0$ identiquement en $y$ alors on a également pour toute fonction propre $f(z)$

$$D (T_1(z) f(z) ) = 0$$

Par conséquent, $f(z)$ s'écrit comme combinaison linéaire des solutions (en nombre fini) de l'équation définie par $D$ (divisées par $T_1(z)$). Les coefficients de cette combinaison linéaire se déterminent par report dans l'équation aux valeurs propres; on est ramené à une diagonalisation matricielle. En fait cette méthode est un cas particulier de ce qui se passe pour les noyaux de rang fini. En effet si $D_x T(x,y) = 0$, c'est que $T(x,y)$ peut s'écrire sous la forme $\sum_l f_l(x) g_l(y)$ où les $f_l(x)$ sont les solutions de $D f = 0$ ; donc $T$ est de rang fini.