# Répartition des fonctions $q$-multiplicatives
dans la suite $([n^c])_{n \in \mathbb{N}}$, $c > 1$

par

CHRISTIAN MAUDUIT (Marseille) et JOËL RIVAT (Villeurbanne)

**1. Introduction.** On note $U$ le groupe multiplicatif des nombres com-plexes de module 1 et $q$ un nombre entier supérieur ou égal à 2.

On appelle fonction $q$-multiplicative une fonction $\chi : \mathbb{N} \to U$ telle que si $(a, b, k) \in \mathbb{N}^3$ et $b < q^k$, alors $\chi(q^ka + b) = \chi(q^k a)\chi(b)$.

Une fonction $q$-multiplicative est donc entièrement déterminée par la donnée de sa valeur sur l'ensemble $\{jq^k : (j, k) \in \{0, \dots, q-1\} \times \mathbb{N}\}$ car si $n = \sum_{k \in \mathbb{N}} j_k q^k$ (avec $j_k \in \{0, \dots, q-1\}$ pour tout $k \in \mathbb{N}$), alors $\chi(n) = \prod_{k \in \mathbb{N}} \chi(j_k q^k)$.

Les exemples les plus simples de fonctions $q$-multiplicatives sont les fonc-tions $\chi(n) = \exp(2i\pi n\alpha)$ et $\chi(n) = \exp(2i\pi s_q(n)\alpha)$ où $\alpha \in \mathbb{R}$ et $s_q(n)$ désigne la somme des chiffres du nombre entier $n$ écrit en base $q$.

Cette notion a été introduite en 1948 par R. Bellman et H. N. Shapiro dans [1]. Les propriétés arithmétiques, spectrales et ergodiques des fonctions $q$-multiplicatives ont depuis été étudiées par de nombreux auteurs : [2]–[4], [7], [9], [12]–[15], [17], [20], ...

En 1968, A. O. Guelfond a montré dans [7] que pour tout polynôme $P$ à coefficients entiers positifs de degré 1, la suite $(s_q(P(n)))_{n \in \mathbb{N}}$ est bien répartie dans les progressions arithmétiques en donnant des estimations précises des sommes trigonométriques associées. Lorsque le degré de $P$ est supérieur à 1, le problème devient extrêmement difficile et on ne connaît aucun résultat analogue dans ce cas.

Le but de ce travail est de préciser la répartition des fonctions $q$-multipli-catives dans la suite $([n^c])_{n \in \mathbb{N}}$, $c > 1$. On peut considérer cette suite comme un cas intermédiaire entre les polynômes de degré 1 et ceux de degré 2.

Notons que les propriétés arithmétiques de cette suite ont été étudiées à partir de 1953 par I. Piatetski-Shapiro qui a montré en particulier dans [19] que $\#\{n \le x : [n^c] \text{ est un nombre premier}\} \sim x/(c \ln x)$ pour tout $c \in [1, 12/11[$. Ce résultat a depuis été amélioré par [10], [11], [8], [16] et [22].
Lorsque $\chi(n) = \exp(2i\pi n\alpha)$ des estimations de la somme trigonométrique $\sum_{1\le n\le x} \chi([n^c])$ valables pour tout $c > 1$ ont été données par J. M. Deshouillers en 1973 (voir [5]) et dans ce contexte plus général, lié à l'obtention de théorèmes ergodiques pour des suites extraites, récemment par R. Nair (voir [18]).

Nous montrons le théorème suivant :

**THÉORÈME.** *Soit $\chi$ une fonction $q$-multiplicative et $c$ un nombre réel, $c \in [1, 4/3[$. Alors, en posant $\gamma = 1/c$, on a pour $\varepsilon = \varepsilon(\gamma) > 0$ assez petit*

$$ \sum_{1 \le n \le x} \chi([n^c]) = \gamma \sum_{1 \le m \le x^c} \chi(m) m^{\gamma-1} + O_{\gamma}(x^{1-\varepsilon}). $$

Il en résulte en particulier les corollaires suivants (on désigne par $s_q(n)$ la somme des chiffres du nombre entier $n$ écrit en base $q$) :

**COROLLAIRE 1.** *Si $c \in [1, 4/3[$, alors la suite $(s_q([n^c])\alpha)_{n \in \mathbb{N}}$ est équirépartie modulo 1 pour tout nombre irrationnel $\alpha$.*

**COROLLAIRE 2.** *Si $c \in [1, 4/3[$, alors pour tout $(a, m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*$ on a*

$$ \lim_{N \to +\infty} \frac{1}{N} \#\{n < N : s_q([n^c]) \equiv a \pmod m\} = \frac{1}{m}. $$

## 2. Démonstration du théorème

**2.1. Détection de la suite $[n^c]$.** Soit $c > 1$ et $\gamma = 1/c$. On a

$$ \begin{aligned} m = [n^c] &\Leftrightarrow m \le n^c < m + 1 \\ &\Leftrightarrow m^\gamma \le n < (m + 1)^\gamma \\ &\Leftrightarrow -(m + 1)^\gamma < -n \le -m^\gamma \\ &\Leftrightarrow [-m^\gamma] - [-(m + 1)^\gamma] = 1. \end{aligned} $$

Par conséquent,

$$ \sum_{1 \le n \le x} \chi([n^c]) = \sum_{1 \le m \le x^c} \chi(m)([-m^\gamma] - [-(m+1)^\gamma]). $$

**2.2. Terme principal. Terme d'erreur.** Soit $\psi(x) = x - [x] - 1/2$. On a l'égalité

$$ \sum_{1 \le n \le x} \chi([n^c]) = \sum_{1 \le m \le x^c} \chi(m)((m+1)^\gamma - m^\gamma) \\ \qquad + \sum_{1 \le n \le x^c} \chi(m)(\psi(-(m+1)^\gamma) - \psi(-m^\gamma)). $$

On a

$$ \sum_{1 \le m \le x^c} \chi(m)((m+1)^\gamma - m^\gamma) = \gamma \sum_{1 \le m \le x^c} \chi(m) m^{\gamma-1} + O_\gamma(1) $$

ce qui nous donne le terme principal.
Reste à démontrer

$$ \sum_{1 \le m \le x^c} \chi(m)(\psi^*(-(m+1)^\gamma) - \psi^*(-m^\gamma)) = O_\gamma(x^{1-\epsilon}). $$

**2.3. Passage aux sommes trigonométriques.** Pour tout nombre réel $x$, on pose $e(x) = \exp(2i\pi x)$.

Nous utilisons maintenant une approximation classique de $\psi(x)$, sous la forme donnée par Vaaler (voir [23], théorème A.6 de [6]):

**LEMME 1.** *Soit $H > 0$. Il existe des suites $a_h$ et $b_h$ telles que $\psi(x) = \psi^*(x) + O(\delta(x))$ avec*

$$ \psi^*(x) = \sum_{1 \le |h| \le H} \frac{a_h}{h} e(hx), \quad |a_h| \ll 1, $$

$$ \delta(x) = \sum_{|h| \le H} \frac{b_h}{H} e(hx), \quad |b_h| \ll 1. $$

Ce lemme nous ramène à démontrer les estimations suivantes :

$$ \sum_{1 \le m \le x^c} \chi(m)(\psi^*(-(m+1)^\gamma) - \psi^*(-m^\gamma)) = O_\gamma(x^{1-\epsilon}), $$

$$ \frac{1}{H} \sum_{|h| \le H} \left| \sum_{1 \le m \le x^c} e(hm^\gamma) \right| = O_\gamma(x^{1-\epsilon}). $$

Par découpage dyadique de l'intervalle $[1, x^c]$, il suffit de démontrer en fait

$$ S_1 := \sum_{M \le m \le M'} \chi(m)(\psi^*(-(m+1)^\gamma) - \psi^*(-m^\gamma)) = O_\gamma(M^{1-\epsilon}), $$

$$ S_2 := \frac{1}{H} \sum_{|h| \le H} \left| \sum_{M \le m \le M'} e(hm^\gamma) \right| = O_\gamma(M^{\gamma-\epsilon}) $$

pour tout $M \in [1, x^c]$ et tout $M'$ tel que $M < M' \le 2M$.

**2.4. Majoration d'une somme d'exponentielles.** Nous allons utiliser le théorème 2.9 de [6] avec $q = 0$.

**LEMME 2.** *Soit $A \neq 0$ et $\alpha \in \mathbb{R}$, $\alpha \neq 0, 1, 2$. Soit $N \ge 1$ et $N'$ tel que $N < N' \le 2N$. Alors on a l'estimation*

$$ \sum_{N \le n \le N'} e(An^\alpha) \ll |A|^{1/2} N^{\alpha/2} + |A|^{-1} N^{1-\alpha}. $$
**2.5. Majoration de S₂.** D'après le lemme 2 on a

$$ S_2 \ll \frac{1}{H} \sum_{0<|h|\le H} (h^{1/2}M^{\gamma/2} + h^{-1}M^{1-\gamma}) + M/H \\ \ll \left( H^{1/2}M^{\gamma/2} + \frac{\ln H}{H}M^{1-\gamma} \right) + M/H. $$

On choisit $H = M^{1-\gamma+\varepsilon}$, d'où

$$ S_2 \ll M^{1/2+\varepsilon/2} + M^{\gamma-\varepsilon}. $$

Donc pour $\varepsilon$ suffisamment petit et $\gamma > 1/2$ on a $S_2 \ll M^{\gamma-\varepsilon}$, ce qui termine la majoration de $S_2$.

**2.6. Transformation de $S_1$**

$$ S_1 = - \sum_{1<|h|\le H} \frac{a_h}{h} \sum_{M\le m\le M'} \chi(m)(e(-hm^\gamma) - e(-h(m+1)^\gamma)). $$

On définit $\phi_h(x) = 1 - e(h(x^\gamma - (x+1)^\gamma))$ et on obtient

$$ S_1 = - \sum_{1<|h|\le H} \frac{a_h}{h} \sum_{M\le m\le M'} \chi(m)e(-hm^\gamma)\phi_m(m) \\ = - \sum_{1<|h|\le H} \frac{a_h}{h} \phi_h(M') \sum_{M\le m\le M'} \chi(m)e(-hm^\gamma) \\ + \int_M^{M'} \sum_{1<|h|\le H} \frac{a_h}{h} \cdot \frac{\partial\phi_h(x)}{\partial x} \sum_{M\le m\le M'} \chi(m)e(-hm^\gamma) dx. $$

Pour $x \in [M, 2M]$ on a

$$ \phi_h(x) \ll hM^{\gamma-1}, \quad \partial\phi_h(x)/\partial x \ll hM^{\gamma-2}. $$

Donc on a

$$ S_1 \ll M^{\gamma-1} \max_{M' \in [M, 2M]} \sum_{0<h\le H} \left| \sum_{M\le m\le M'} \chi(m)e(-hm^\gamma) \right|. $$

Il suffit donc de démontrer, pour $M' \in [M, 2M]$ et $|\varepsilon_h| = 1$ l'estimation
$S'_1 \ll M^{1-\varepsilon}$ où

$$ S'_1 = \sum_{0<h\le H} \varepsilon_h \sum_{M\le m\le M'} \chi(m)e(hm^\gamma). $$

**2.7.** $\chi$ est q-multiplicative. On pose $m = q^k a + b$, et on remplace la sommation sur $m$ par une sommation sur $a$ et $b$.
Soit $k$ un entier $\ge 1$ et $B = q^k$. On suppose $B \le M$. Par la division euclidienne, on a

$$ 
\begin{align*} 
M &= AB - R && \text{avec } 0 \le R < B, \\ 
M' &= A'B + R' && \text{avec } 0 \le R' < B. 
\end{align*} 
$$

Donc

$$ 
\begin{align*} 
S_1' &= \sum_{0<h\le H} \varepsilon_h \sum_{AB\le m<A'B} \chi(m)e(hm^\gamma) + O(HB) \\ 
&= \sum_{0<h\le H} \varepsilon_h \sum_{A\le a<A'} \sum_{0\le b<B} \chi(Ba+b)e(h(Ba+b)^\gamma) + O(HB). 
\end{align*} 
$$

Or $\chi$ est $q$-multiplicative, donc on a

$$ \chi(Ba + b) = \chi(q^k a + b) = \chi(Ba)\chi(b) $$

puisque $b < q^k$. Par conséquent,

$$ S_1' = \sum_{0<h\le H} \varepsilon_h \sum_{A\le a<A'} \sum_{0\le b<B} \chi(Ba)\chi(b)e(h(Ba+b)^\gamma) + O(HB) $$

avec $A \le A' \le 2A$, $M \le AB \le 2M$.

**2.8. Séparation des variables a et b.** On a

$$ 
\begin{align*} 
h(Ba + b)^\gamma &= hB^\gamma a^\gamma \left(1 + \frac{b}{Ba}\right)^\gamma \\ 
&= hB^\gamma a^\gamma \left(1 + \gamma \frac{b}{Ba} + \frac{1}{2}\gamma(\gamma - 1)\frac{b^2}{B^2a^2} + O_\gamma\left(\frac{b^3}{B^3a^3}\right)\right) \\ 
&= hB^\gamma a^\gamma + \gamma h b B^{\gamma-1} a^{\gamma-1} \\ 
&\quad + \frac{1}{2}\gamma(\gamma - 1)hb^2B^{\gamma-2}a^{\gamma-2} + O_\gamma(HB^3M^{\gamma-3}), 
\end{align*} 
$$

donc $e(h(Ba+b)^\gamma) = e(hB^\gamma a^\gamma + \gamma h b B^{\gamma-1} a^{\gamma-1} + \frac{1}{2}\gamma(\gamma-1)hb^2B^{\gamma-2}a^{\gamma-2}) + O_\gamma(HB^3M^{\gamma-3})$, ce qui donne, en remplaçant dans $S_1'$,

$$ 
\begin{align*} 
S_1' &= \sum_{0<h\le H} \varepsilon_h \sum_{A\le a<A'} \sum_{0\le b<B} \chi(Ba)\chi(b) \\ 
&\quad \times e(hB^\gamma a^\gamma + \gamma h b B^{\gamma-1} a^{\gamma-1} + \frac{1}{2}\gamma(\gamma-1)hb^2B^{\gamma-2}a^{\gamma-2}) \\ 
&\quad + O(HB) + O_\gamma(H^2B^3M^{\gamma-2}). 
\end{align*} 
$$

En faisant l'hypothèse $B \le M^{(1+\gamma)/3-2\epsilon}$, on a l'estimation souhaitée pour les termes d'erreur intervenant dans $S_1'$ (rappelons que $\gamma > 1/2$). Il reste donc à estimer

$$ 
\begin{align*} 
S := \sum_{0<h\le H} \varepsilon_h \sum_{A\le a<A'} \sum_{0\le b<B} \chi(Ba)\chi(b) \\ 
\times e(hB^\gamma a^\gamma + \gamma h b B^{\gamma-1} a^{\gamma-1} + \frac{1}{2}\gamma(\gamma-1)hb^2B^{\gamma-2}a^{\gamma-2}). 
\end{align*} 
$$
**2.9.** “Lissage” de la variable a. Par Cauchy-Schwarz, on a

$$S^2 \ll HA \sum_{0<h\le H} \sum_{A\le a<A'} \left| \sum_{0\le b\le B} \chi(b) \times e(\gamma hbB^{\gamma-1}a^{\gamma-1} + \frac{1}{2}\gamma(\gamma-1)hb^2B^{\gamma-2}a^{\gamma-2}) \right|^2.$$

On pourrait maintenant développer simplement le carré, mais il est plus agréable de faire appel à l'inégalité de Weyl-van der Corput :

**LEMME 3.** *Soit $L > K$, $Q > 0$ et $z_k$ des nombres complexes. On a l'inégalité*

$$\left| \sum_{K \le k < L} z_k \right|^2 \le \left( 2 + \frac{L-K}{Q} \right) \sum_{|q|<Q} \left( 1 - \frac{|q|}{Q} \right) \sum_{K \le k-q, k+q < L} z_{k+q} \overline{z_{k-q}}.$$

La preuve de ce lemme est similaire à la preuve du lemme 2.5 de [6]. On a maintenant, pour $Q \le B$,

$$S^2 \ll \frac{HAB}{Q} \sum_{0<h\le H} \sum_{|q|<Q} \sum_{0\le b-q, b+q < B} \left| \sum_{A\le a<A'} e(2\gamma hq B^{\gamma-1} a^{\gamma-1} + 2\gamma(\gamma-1)hbq B^{\gamma-2} a^{\gamma-2}) \right|,$$

d'où

$$S^2 \ll \frac{H^2 M^2}{Q} + \frac{HM}{Q} \times \sum_{0<h\le H} \sum_{0<q<Q} \sum_{\substack{b \\ 0\le b-q < B \\ 0\le b+q < B}} \left| \sum_{A\le a<A'} e(2\gamma hq B^{\gamma-1}(a^{\gamma-1} + (\gamma-1)bB^{-1}a^{\gamma-2})) \right|.$$

**2.10.** *Fin de la majoration.* Nous allons achever la majoration de $S$ en appliquant le lemme classique suivant, dû à Kuz'min et Landau (voir théorème 2.1 de [6]).

**LEMME 4.** *Soit $I$ un intervalle sur lequel la fonction $f$ est continument dérivable de dérivée $f'$ monotone et vérifie*

$$\|f'\| = \min_{n \in \mathbb{Z}} \{|f'(i) - n| : i \in I\} \ge \lambda > 0.$$

On a alors

$$\sum_{i \in I} e(f(i)) \ll \lambda^{-1}.$$

Posons donc

$$f(a) = 2\gamma hq B^{\gamma-1} a^{\gamma-1} + 2\gamma(\gamma-1)hbq B^{\gamma-2} a^{\gamma-2}.$$
On a

$$f'(a) = 2\gamma(\gamma - 1)hqB^{\gamma-1}a^{\gamma-2}\left(1 + (\gamma - 2)\frac{b}{aB}\right)$$

et donc si $A \ge 3$, $f'$ est monotone sur $[A, A']$ et

$$\|f'(a)\| \ge \gamma^2(1 - \gamma)hqBM^{\gamma-2}$$

dès que l'on choisit $(B, Q)$ tel que $BQ = o(M^{1-\epsilon})$. On a alors, grâce au lemme 4,

$$\sum_{A \le a < A'} e(f(a)) \ll \frac{1}{hqBM^{\gamma-2}},$$

d'où on déduit

$$S^2 \ll \frac{H^2 M^2}{Q} + \frac{H M^{3-\gamma}}{Q} \ln H \ln Q \ll \frac{M^{4-2\gamma+2\epsilon}}{Q} + \frac{M^{4-2\gamma}}{Q} (\ln M)^2.$$

Choisissons $Q = M^{2-2\gamma+4\epsilon}$; on a donc $S^2 \ll M^{2-2\epsilon} + M^{2-4\epsilon}(\ln M)^2$, d'où pour $M$ assez grand $S \ll M^{1-\epsilon}$.

On vérifie maintenant sans peine que si $\gamma \in ]3/4, 1[$, les conditions imposées sont compatibles, c'est-à-dire qu'il existe $\epsilon > 0$ et $u > 0$ tels que

$$B = M^u, \quad M^{2-2\gamma+4\epsilon} = Q \le B \le M^{(1+\gamma)/3-2\epsilon}$$

et

$$B = o\left(\frac{M^{1-\epsilon}}{Q}\right) = o(M^{2\gamma-1-5\epsilon}).$$

Ceci achève la démonstration du théorème.

**3. Démonstration des corollaires.** Les corollaires 1 et 2 résultent du critère de Weyl (voir [21]) et de la proposition suivante :

**PROPOSITION.** Soit $c$ un nombre réel, $c > 1$, et $\alpha$ un nombre réel non entier. Alors en posant $\gamma = 1/c$ on a

$$\sum_{1 \le m \le x^c} e(s_q(m)\alpha) m^{\gamma-1} = o(x).$$

Par le lemme d'Abel on a

$$\sum_{1 \le m \le x^c} e(s_q(m)\alpha) m^{\gamma-1} = x^{c(\gamma-1)} \sum_{1 \le m \le x^c} e(s_q(m)\alpha) + (1-\gamma) \int_1^{x^c} \sum_{1 \le m \le u} e(s_q(m)\alpha) u^{\gamma-2} du.$$

Posons $S(N) = \sum_{m<N} e(s_q(m)\alpha)$. On remarque que $S(q^n) = (\sum_{j<q} e(j\alpha))^n$ et donc que

$$|S(q^n)| = K^n \quad \text{où } K = \left| \frac{\sin 2\pi q\alpha}{\sin 2\pi \alpha} \right| < q.$$
Par ailleurs, si

$$N = \sum_{k=1}^{l} j_k q^{N_k}$$

est l'écriture de $N$ en base $q$, on vérifie facilement que

$$S(N) = \sum_{k=1}^{l} \sum_{j_1+\dots+j_{k-1} \le j < j_1+\dots+j_k} e(j\alpha)S(q^{N_k})$$

et donc

$$|S(N)| \le \sum_{k=1}^{l} j_k K^{N_k} \le \frac{q-1}{K-1} K^{N_1+1} \le \frac{(q-1)K}{K} N^{\theta}$$

où $\theta = \log_q K$.

Ceci nous montre donc que

$$\left| \sum_{1 \le m \le x^c} e(s^q(m)\alpha) \right| \ll x^{c\theta}$$

et

$$\left| \int_{1}^{x^c} \sum_{1 \le m \le u} e(s_q(m)\alpha) u^{\gamma-2} du \right| \ll \int_{1}^{x^c} u^{\theta+\gamma-2} du.$$

On en déduit

$$\sum_{1 \le m \le x^c} e(s_q(m)\alpha) m^{\gamma-1} \ll \max(1, x^{1-(1-\theta)c}),$$

ce qui démontre la proposition.

## Références

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[2] J. Coquet, *Contributions à l'étude harmonique des suites arithmétiques*, Thèse d'Etat, Orsay, 1978.

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[11] —, *Primes of the form [n^c]*, Pacific J. Math. 118 (1985), 437–447.

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[19] I. Piatetski-Shapiro, *On the distribution of prime numbers in sequences of the form [f(n)],* Mat. Sb. 33 (1953), 559–566 (en russe).

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[21] G. Rauzy, *Propriétés de suites arithmétiques*, Presses Universitaires de France, collection SUP, Paris, 1976.

[22] J. Rivat, *Autour d'un problème de Piatetski-Shapiro (nombres premiers dans la suite [n^c]),* thèse de Doctorat, Université Paris Sud, 1992.

[23] J. D. Vaaler, *Some extremal functions in Fourier analysis*, Bull. Amer. Math. Soc. 12 (1985), 183–216.

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Reçu le 14.6.1994

et révisé le 4.10.1994

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