# Ensembles pluripolaires exceptionnels pour la croissance partielle des fonctions holomorphes

par AHMED ZERIAHI (Rabat, Maroc)

**Résumé.** Soit $\Omega$ un espace de Stein (irréductible) de dimension $n \ge 1$, $E \subset \Omega$ un sous-ensemble pluripolaire de $\Omega$. Soit $\varrho > 0$, $\sigma > 0$ on donne des conditions sur $E$ pour qu'il existe une fonction holomorphe $f: \Omega \times C \to C$ dont $E$ soit l'ensemble exceptionnel des points $z \in \Omega$, où la fonction entière $w \to f(z, w)$ a un ordre $\varrho_f(z) < \varrho$ (resp. un type $\sigma_f(z) < \sigma$ pour l'ordre partiel maximum $\bar{\varrho}_f = \sup \{\varrho_f(z): z \in \Omega\} = \varrho$).

On montre en particulier que c'est le cas si $E$ est pluripolaire complet de type $F_\sigma$ et on donne un encadrement de $E$ par de tels ensembles dans le cas général.

**1. Introduction et enonce du problème.** Rappelons tout d'abord quelques définitions classiques.

Soit $f: C \to C$ une fonction entière. Pour $r > 0$, on pose

$$M_f(r) = \sup \{|f(w)|: |w| \le r\}.$$

On définit alors l'ordre de $f$ par la formule

$$\varrho(f) = \limsup_{r \to +\infty} \frac{\mathrm{Log}^+ \mathrm{Log} M_f(r)}{\mathrm{Log} r}.$$

Si $f$ est d'ordre fini $\varrho = \varrho(f) > 0$, on définit le type de $f$ par la formule

$$\sigma = \sigma(f; \varrho) = \limsup_{r \to \infty} \frac{\mathrm{Log} M_f(r)}{r^{\varrho}}.$$

Nous aurons besoin des formules suivantes de Lindelöf pour le calcul de l'ordre et du type d'une fonction entière à l'aide des coefficients de sa série de Taylor à l'origine:

**PROPOSITION 1.1.** ([3]). Soit $f(w) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k w^k$ une fonction entière sur $C$.

On a alors:

(i) $$\varrho(f) = \limsup_{k \to \infty} \frac{k \mathrm{Log} k}{-\mathrm{Log} |a_k|}.$$
Si de plus $f$ est d'ordre fini $\varrho(f) = \varrho > 0$, on a:

$$ (ii) \qquad \sigma(f) = \frac{1}{e \cdot \varrho} \limsup_{k \to \infty} k |a_k|^{\varrho/k}. $$

Considérons maintenant une fonction holomorphe $f: \mathbb{C}^n \times \mathbb{C} \to \mathbb{C}$. Pour chaque $z \in \mathbb{C}^n$, on peut considérer l'ordre $\varrho_f(z)$ de la fonction entière $w \to f(z, w)$ que l'on appellera l'ordre partiel de $f$ au point $z$ (par rapport à la seconde variable).

Si $f$ est d'ordre partiel maximum $\bar{\varrho}_f = \sup \{\varrho_f(z): z \in \mathbb{C}^n\} < +\infty$, alors l'ordre de la fonction entière $w \to f(z, w)$ est égal à $\bar{\varrho}_f$ sauf pour un ensemble exceptionnel de valeurs de $z$, cet ensemble exceptionnel

$$ (1) \qquad E_\varrho(f) = \{z \in \mathbb{C}^n: \varrho_f(z) < \bar{\varrho}_f\} $$

est un ensemble de type $F_\sigma$ et pluripolaire dans $\mathbb{C}^n$ d'après un résultat de Lelong [11].

Si $\bar{\varrho}_f \in ]0, +\infty[$, on définit le type partiel de $f$ au point $z$ pour l'ordre $\bar{\varrho}_f$, comme le type de la fonction entière $w \to f(z, w)$ pour l'ordre $\bar{\varrho}_f$.

Si $\varrho = \bar{\varrho}_f \in ]0, +\infty[$ et si $f$ est de type partiel maximum $\bar{\sigma}_f = \sup \{\sigma_f(z): z \in \mathbb{C}^n\} < +\infty$, alors l'ensemble exceptionnel

$$ (2) \qquad E_\sigma(f; \varrho) = \{z \in \mathbb{C}^n: \sigma_f(z) < \bar{\sigma}_f\} $$

est un ensemble de type $F_\sigma$ et pluripolaire dans $\mathbb{C}^n$ ([11]).

Les premiers travaux dans ce sens sont ceux de Sire [16] et Lelong [10] qui ont considéré des fonctions entières de deux variables complexes.

De façon plus générale on peut considérer des fonctions holomorphes sur $\Omega \times \mathbb{C}$, où $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{C}^n$. Les résultats les plus généraux et les plus précis dans ce sens sont ceux de Kiselman qui a considéré des types de croissance plus variés (voir [8] et [9] où l'on trouvera une bibliographie plus complète sur le sujet).

Dans ce travail nous allons étudier le problème inverse. Soit $\Omega$ un espace de Stein irréductible de dimension $n \ge 1$.

**PROBLÈME.** Caractériser les sous-ensembles pluripolaires de type $F_\sigma$ de $\Omega$ qui sont de la forme (1) (resp. (2)).

Pour $n = 1$ et $\Omega = \mathbb{C}$, des résultats partiels ont été obtenu par Ronkin ([13]) pour le type et Stavskiï ([17]) pour l'ordre.

Pour $n \ge 2$, Lokšin ([12]) a montré que si $E$ est pluripolaire de type $F_\sigma$, il existe une fonction holomorphe $f: \mathbb{C}^n \times \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ telle que $\bar{\varrho}_f = \sup \{\varrho_f(z): z \in \mathbb{C}^n\} = 1$ et $\varrho_f(z) = 0$ si $z \in E$, autrement dit $E \subset E_\varrho(f)$ avec $\varrho = 1$.

Dans ce travail nous considérons des ensembles pluripolaires de type $F_\sigma$ d'un espace de Stein $\Omega$ (irréductible) de dimension $n \ge 1$.
Nous montrons que si $E$ est un tel ensemble, alors pour tout ensemble $G$ de type $G_δ$ dans $\Omega$ tel que $E \subset E_{P(\Omega)}^* \subset G$ (où $E_{P(\Omega)}^*$ est défini par la formule (1) cidessous), on peut trouver une fonction $f: \Omega \times C \to C$ holomorphe telle que $E \subset E(f) \subset G$ (resp. $E \subset E_\alpha(f) \subset G$). Cela généralise les résultats de Lokšin d'une part et ceux de Ronkin et Stavskiǐ d'autre part.

**2. Ensembles pluripolaires.** Dans tout ce qui suit $\Omega$ sera un espace de Stein de dimension $n \ge 1$ que l'on supposera irréductible pour simplifier.

Un sous-ensemble $E \subset \Omega$ sera dit pluripolaire si pour tout $a \in E$, il existe un voisinage $U_a$ de $a$ dans $\Omega$ et une fonction $u$ plurisous-harmonique (psh) sur $U_a$ telle que $u(z) = -\infty$ si $z \in E \cap U_a$.

Désignons par $P(\Omega)$ le cône des fonctions plurisous-harmoniques (psh) sur $\Omega$ (par définition si $u \in P(\Omega)$ on a $u \ne -\infty$ sur $\Omega$).

D'après le théorème de Josefson (voir [2] et [7] pour $\Omega = C^n$ et [1] pour le cas général) si $E$ est pluripolaire dans $\Omega$ alors $E$ est $P(\Omega)$-polaire i.e. il existe $u \in P(\Omega)$ telle que $u(z) = -\infty$ si $z \in E$.

Nous dirons qu'un ensemble $E \subset \Omega$ est $P(\Omega)$-polaire complet s'il existe $u \in P(\Omega)$ telle que $E = \{z \in \Omega: u(z) = -\infty\}$, un tel ensemble est nécessairement de type $G_δ$.

Si $E$ est un ensemble $P(\Omega)$-polaire, on définit l'ensemble suivant

$$ (1) \quad E_{P(\Omega)}^* = \{z \in \Omega: u(z) = -\infty \text{ pour tout } u \in P(\Omega) \text{ telles que } u/E = -\infty\}. $$

Si $E$ est $P(\Omega)$-polaire complet alors $E_{P(\Omega)}^* = E$, mais la réciproque n'est pas vraie. Pour le voir notons que dans le cas où $\Omega = C$, pour tout ensemble polaire $E \subset C$, on a $E_{P(C)}^* = E$.

Par exemple $E = Q$ (ensemble des rationnels de la droite réelle) n'est pas de type $G_δ$ dans $C$, ce qui prouve que $E$ n'est pas polaire complet, pourtant on a $E = E_{P(\Omega)}^*$. Si $n \ge 2$, l'ensemble $E = Q \times C^{n-1}$ est $P(C^n)$-polaire non complet (car non $G_δ$) et vérifie $E = E_{P(C^n)}^*$.

**PROPOSITION 2.1.** Soit $E$ un ensemble pluripolaire dans $\Omega$, $F$ un ensemble de type $F_\alpha$, $G$ un ensemble de type $G_\delta$ dans $\Omega$ tels que $F \subset E \subset E_\Omega^* \subset G$. Alors il existe un ensemble $\tilde{E} \subset \Omega$, $P(\Omega)$-polaire complet tel que $F \subset \tilde{E} \subset G$.

En particulier, tout ensemble $E \subset \Omega$, qui est à la fois de type $F_\alpha$ et $G_\delta$ et qui vérifie $E = E_{P(\Omega)}^*$, est $P(\Omega)$-polaire complet.

Pour démontrer ce résultat, nous aurons besoin du lemme suivant:

**LEMME 2.1.** Soit $E$ un sous-ensemble pluripolaire de $\Omega$, $F$ et $K$ deux compacts de $\Omega$ tels que $F \subset E$, $K \subset \Omega \setminus E_{P(\Omega)}^*$ et $\omega \in \Omega$. Alors pour tout nombre réel $A > 0$ il existe $v$ psh, continue sur $\Omega$ et vérifiant les propriétés suivantes:

$$ (i) \qquad v(z) \le -A, \quad \forall z \in F, $$
$$
(ii) \qquad v(z) \ge -1, \quad \forall z \in K,
$$

$$
(iii) \quad \sup_{z \in \bar{\Omega}} v(z) = 0.
$$

Démonstration. Soit $a \in K \subset \Omega \setminus E_p^*(\Omega)$, il existe alors par définition de $E_{p(\Omega)}^*$ une fonction $u$ psh sur $\Omega$ telle que $u|E = -\infty$ et $u(a) > -\infty$. Posons
$$M = \max_{z \in \bar{\Omega} \cup K} \{u(z) - u(a), 0\} \quad \text{alors: la fonction}$$

$$
w(z) = \frac{1}{2M+1} (u(z) - u(a)) - \frac{1}{2} \quad \text{pour } z \in \Omega,
$$

est psh sur Ω est vérifie: w|E = -∞, w(a) = -½ et w ≤ 0 sur ω.

Comme Ω est un espace de Stein, il existe une suite $\{w_j\}$ de fonction psh
continues sur Ω qui décroit vers w ([6]). Soit A > 0, en appliquant deux fois
le lemme de Dini classique on trouve un entier $j_a > 1$ pour lequel la fonction
$v_a = w_{j_a}$ vérifie les deux propriétés suivantes:

$$
(1) \qquad v_a(z) \le -A, \quad \forall z \in F,
$$

$$
(2) \qquad v_a(z) \le 0, \quad \forall z \in \bar{\omega}.
$$

Comme $v_a$ est continue sur $\Omega$ et que $v_a(a) \ge w(a) = -\frac{1}{2} > -1$, on peut
trouver un voisinage $U_a$ de $a$ tel que :

$$
(3) \qquad v_a(z) \ge -1, \quad \forall z \in U_a.
$$

Par un argument de compacité, on construit facilement à partir des
propriétés (1), (2) et (3), une fonction v psh et continue sur Ω telle que
v ≤ 0 sur ω, v ≤ -A sur F et v ≥ -1 sur K; ce qui prouve le lemme.

Démonstration. Soit $(F_j)_{j \ge 1}$ une suite croissante de compacts telle
que $F = \bigcup_{j=1}^{\infty} F_j$ et $(K_j)_{j \ge 1}$ une suite croissante de compacts telle que $\Omega \setminus G$
$= \bigcup_{j=1}^{\infty} K_j$ et $(\omega_j)$ une suite croissante d'ouverts telle que $\omega_j \in \Omega$, $\Omega = \bigcup_{j=1}^{\infty} \omega_j$.
En appliquant le lemme 2.1 à $F_j$, $K_j$, $\omega_j$ et $A_j = 2^j$, on obtient une fonction
psh continue $v_j$ sur $\Omega$ telle que :

$$
(4) \qquad v_j \le 0 \quad \text{sur } \omega_j,
$$

$$
(5) \qquad v_j \le -2^j \quad \text{sur } F_j,
$$

$$
(6) \qquad v_j \ge -1 \quad \text{sur } K_j.
$$

La fonction $v = \sum_{j=1}^{\infty} 2^{-j} v_j$ est alors psh sur $\Omega$ d'après (4). De plus d'après
(5) on a $v(z) = -\infty$ si $z \in F = \bigcup_{j=1}^{\infty} F_j$. Enfin d'après (6) on a $v(z) > -\infty$ si
$z \in \Omega \setminus G = \bigcup_{j=1}^{\infty} K_j$. En posant $\tilde{E} = \{z \in \Omega : v(z) = -\infty\}$, on a $F \subset \tilde{E} \subset \Omega \setminus G$.

Si $G$ est fermé, on peut choisir la suite $(K_j)$ telle que $K_j \subset \tilde{K}_{j+1}$ et $\Omega \setminus G = \bigcup_{j=1}^{\infty} K_j$. Les conditions (4) et (6) impliquent alors la continuité de $v$ sur $\Omega \setminus G$. D'où le corollaire suivant qui complète un résultat de ([5]):

**COROLLAIRESI. 2.1.** Soit E un sous-ensemble pluripolaire fermé dans Ω. Alors E est P(Ω)-polaire complet si et seulement si $E = E_{P(\Omega)}^*$. Dans ce cas, on peut trouver v psh sur Ω, continue sur Ω\E telle que $E = \{z \in \Omega: v(z) = -\infty\}$.

Signalons également la propriété suivante:

**COROLLAIRESI. 2.2.** Soit $(E_j)_{j \ge 1}$ une suite de sous-ensembles $P(\Omega)$-polaires complets dans $\Omega$ telles que $E = \bigcup_{j=1}^{\infty} E_j$ soit de type $F_\sigma$. Alors E est $P(\Omega)$-polaire complet si et seulement si E est de type $G_\delta$.

Démonstration du Corollaire 2.2. Il est clair que la condition est nécessaire. Pour montrer qu'elle est suffisante, il suffit de prouver, d'après la proposition 2.1, que $E = E_{P(\Omega)}^*$. Soit $a \notin E = \bigcup_{j=1}^{\infty} E_j$, alors pour tout $j \ge 1$, $a \notin E_j$.

Puisque $E_j$ est $P(\Omega)$-polaire complet, il existe $v_j$ psh sur $\Omega$ telle que $v_j|_{E_j} = -\infty$ et $v_j(a) \ge 0$.

Soit $(\omega_j)_{j \ge 1}$ une suite croissante d'ouverts relativement compacts de $\Omega$ telle que $\Omega = \bigcup_{j=1}^{\infty} \omega_j$. Posons $M_j = \sup_{z \in \omega_j} v_j(z)$, $j \ge 1$ et soit $(\varepsilon_j)_{j \ge 1}$ une suite de nombres réels strictement positifs telle que $\sum_{j=1}^{\infty} \varepsilon_j |M_j| < +\infty$. Alors la fonction définie par

$$v = \sum_{j=1}^{\infty} \varepsilon_j (v_j - M_j)$$

est psh sur $\Omega$ et vérifie $v|_{E} = -\infty$ et $v(a) \ge -\sum_{j=1}^{\infty} \varepsilon_j M_j > -\infty$. Cela prouve que $a \notin E_{P(\Omega)}^*$. $\square$

Pour conclure ce paragraphe on démontre le lemme suivant qui sera utile dans la suite:

**LEMME 2.2.** Soit E un ensemble pluripolaire de type $F_\sigma$ dans $\Omega$ et $\tilde{E}$ un ensemble $P(\Omega)$-polaire complet tel que $E \subset \tilde{E} \subset \Omega$. Alors il existe une suite $(h_j)_{j \ge 1}$ de fonctions holomorphes sur $\Omega$ et des suites $(c_j)_{j \ge 1}$, $(d_j)_{j \ge 1}$ strictement croissantes d'entiers positifs telles que les propriétés suivantes soient vérifiées:
(i) La suite $(\frac{1}{c_j} \Log |h_j|)_{j \ge 1}$ est localement majorée sur $\Omega$.

(ii) $\lim_{j \to \infty} c_j/d_j = 0$.

(iii) $\limsup_{j \to \infty} |h_j(z)|^{1/c_j} > 0, \forall z \notin \tilde{E}$.

(iv) $\limsup_{j \to \infty} |h_j(z)|^{1/d_j} = 0, \forall z \in E$.

(v) $\limsup_{j \to \infty} |h_j(z)|^{1/d_j \log d_j} = 1, \forall z \in \Omega$.

Démonstration. Par hypothèse il existe une fonction $v$ psh sur $\Omega$ telle que $\tilde{E} = \{z \in \Omega: v(z) = -\infty\}$. Comme $\Omega$ est de Stein, on peut trouver une suite décroissante $\{v_j\}$ de fonctions psh continues sur $\Omega$ telle que $v = \lim_{j \to \infty} v_j$ ([6]). Soit $F$ un compact de $E$, $K$ un compact de $\Omega$ et $\varepsilon > 0$.

D'après le lemme de Dini classique, on peut trouver un entier $j = j_\varepsilon > 1$ tel que si on pose $u = v_j$, on ait:

$$ (7) \qquad u(z) \le \text{Log } \varepsilon, \quad \forall z \in F. $$

Appliquons à la fonction continue $u$ sur l'espace de Stein $\Omega$ un raisonnement classique comme dans le lemme de Bremermann (voir [15]) pour trouver des fonctions holomorphes $f_1, \dots, f_s$ sur $\Omega$ et des entiers $j_1, \dots, j_s > 1$ tels que

$$ (8) \qquad u(z) - \varepsilon \le \sup_{1 \le k \le s} \frac{1}{j_k} \Log |f_{j_k}(z)| \le u(z), \quad \forall z \in K \cup F. $$

Choissons un entier $q > 1$ tel que l'on ait:

$$ (9) \qquad u(z) - \varepsilon > -\varepsilon \text{Log}(q \cdot j_k), \quad \forall z \in K, \forall k = 1, \dots, s. $$

En posant $g_k = f_{j_k}^q, m_k = q \cdot j_k$ pour $k = 1, \dots, s$; on obtient à partir de (8) en tenant compte de (7) et (9) et du fait que $v \le u \le v_1$:

$$ (10) \qquad \exp(v(z) - \varepsilon) \le \sup_{1 \le k \le s} |g_k(z)|^{1/m_k} \le \exp v_1(z), \quad \forall z \in K, $$

$$ (11) \qquad \exp(v(z) - \varepsilon) \le \sup_{1 \le k \le s} |g_k(z)|^{1/m_k} \le \varepsilon, \quad \forall z \in F, $$

$$ (12) \qquad \sup_{1 \le k \le s} |g_k(z)|^{1/m_k \log m_k} \ge \exp(-\varepsilon), \quad \forall z \in K. $$

Les fonctions holomorphes ainsi obtenues dépendent de la donnée du compact $F \subset E$, du compact $K \subset \Omega$ et du nombre réel $\varepsilon > 0$.

Soit $(F_l)_{l \ge 1}$ une suite croissante de compacts telle que $E = \bigcup_{l=1}^\infty F_l$ et $(K_l)_{l \ge 1}$ une suite croissante de compacts de $\Omega$ telle que $\Omega = \bigcup_{l=1}^\infty K_l$.
En appliquant ce qui précède pour chaque $l \ge 1$ à $F = F_l, K = K_l$ et $\varepsilon = l^{-1}$, les inégalités (10), (11) et (12) permettent de construire par récurrence sur $l \ge 1$, une suite $(p_l)_{l \ge 1}$ strictement croissante d'entiers positifs, une suite $(h_j)_{j \ge 1}$ de fonctions holomorphes sur $\Omega$ et une suite $(c_j)_{j \ge 1}$ strictement croissante d'entiers positifs vérifiant les trois propriétés suivantes:

$$
(13) \quad \exp(v(z) - l^{-1}) \le \sup \{|h_j(z)|^{1/c_j} : p_{l-1} < j \le p_l\} \le \exp v_1(z), \quad \forall z \in K_l,
$$

$$
(14) \quad \sup \{|h_j(z)|^{1/c_j} : p_{l-1} < j \le p_l\} \le l^{-1}, \quad \forall z \in F_l,
$$

$$
(15) \quad \sup \{|h_j(z)|^{1/c_j \log c_j} : p_{l-1} < j \le p_l\} \ge \exp(-l^{-1}), \quad \forall z \in K_l,
$$

Ces inégalités étant satisfaites pour tout $l \ge 1$.

Posons $d_j = l \cdot c_j$ pour $p_{l-1} < j \le p_l$, $l \ge 2$ et $d_j = c_j$ si $j \le p_1$. Il est clair que $\lim (c_j/d_j) = 0$, ce qui prouve la propriété (ii) du lemme. La propriété (i) $j \to \infty$ résulte de (13).

La propriété (iii) du lemme résulte de (13) si l'on tient compte du fait que $v(z) > -\infty$ si $z \notin \tilde{E}$.

La propriété (iv) résulte de (14) compte tenu de la définition de $d_j$ et enfin (v) résulte de (15) compte tenu du fait que $\lim_{j \to \infty} (c_j/d_j) = 0$. Le lemme est démontré.

**3. Ensembles exceptionnels pour l'ordre partiel.** A l'aide des résultats de la Section 2, nous allons prouver:

THÉORÈME 3.1. Soit $E$ un ensemble pluripolaire de type $F_\sigma$ dans $\Omega$ et $G$ un ensemble de type $G_\delta$ tel que $E^*_{P(\Omega)} \subset G$.

Alors pour tout $\varrho > 0$, il existe une fonction holomorphe $f: \Omega \times C \to C$
telle que $\bar{\varrho}_f = \varrho$, $\varrho_f(z) = 0$ si $z \in E$ et $\varrho_f(z) = \varrho$, lorsque $z \in \Omega \setminus G$. En parti-
culier, on a: $E \subset E_\varrho(f) \subset G$.

Démonstration. D'après la proposition 2.1, il existe un ensemble
ÊP(Ω)-polaire complet tel que: E ⊂ Ē ⊂ G. On peut alors appliquer le
lemme 2.2 pour obtenir une suite (h_j)_{j≥1} de fonctions holomorphes sur Ω
ayant les propriétés (i)-(iv) du lemme.

Considérons alors la fonction définie par

$$
(1) \quad f(z, w) = \sum_{j=1}^{\infty} d^{-d_j/\rho} [h_j(z)]^{l_j} w^{d_j}, \quad (z, w) \in \Omega \times C,
$$

où $l_j$ est l'unique entier vérifiant $l_j \le \text{Log } d_j < l_j + 1$.

Montrons que la série du second membre de (1) converge normalement
sur tout compact de $\Omega \times C$.

Soit $K$ un compact de $\Omega$ et $U_r = \{w \in C : |w| < r\}, r > 0$.
D'après la condition (i) du lemme 2.2, il existe une constante $M > 0$ telle que

$$ \|h_j\|_K = \max_{z \in K} |h_j(z)| \le M^{j}, \quad \forall j \ge 1. $$

On en déduit que

$$ (2) \qquad a_j = d_j^{-d_j/q} \|h_j\|_K^{l_j} r^{d_j} \le d_j^{-d_j/q} M^{c_j l_j} r^{d_j}, \quad \forall j \ge 1. $$

Des inégalités (2) il résulte:

$$ (3) \qquad a_j^{1/d_j} \le r \exp \left( l_j \left( \frac{c_j}{d_j} \log M - \frac{1}{\varrho} \frac{\log d_j}{l_j} \right) \right), \quad j > 1. $$

Comme $l_j \sim \log d_j$ et que $\lim_{j \to \infty} (c_j/d_j) = 0$ (voir lemme 2.2), on en déduit que $\lim_{j \to \infty} a_j^{1/d_j} = 0$. Ce qui prouve que la série (1) converge normalement sur $K \times \bar{U}_r$. Par suite elle converge normalement sur tout compact de $\Omega \times C$ et définit donc une fonction holomorphe sur $\Omega \times C$. Calculons son ordre partiel en chaque point $z \in \Omega$ en appliquant la proposition 1.1. On a alors pour $z \in \Omega$:

$$ \varrho_f(z) = \limsup_{j \to \infty} \left[ - \log \left( d_j^{-d_j/q} |h_j(z)|^{l_j} \right) \right]^{-1} d_j \cdot \log d_j. $$

Ce qui implique la formule suivante:

$$ (4) \qquad \varrho_f(z) = \left( \frac{1}{\varrho} - \limsup_{j \to \infty} \frac{l_j}{d_j \log d_j} \log |h_j(z)| \right)^{-1}, \quad z \in \Omega. $$

D'après la condition (i) du lemme 2.2, on a pour tout $z \in \Omega$, $\sup_{j \ge 1} \log |h_j(z)| = M(z) < +\infty$. Comme $l_j \sim \log d_j$ et que d'après la condition (ii) du lemme 2.2, $\lim_{j \to \infty} c_j/d_j = 0$, on déduit de la formule (4) que pour tout $z \in \Omega$, on a $\varrho_f(z) \le \varrho$.

D'après les conditions (ii) et (iii) du lemme 2.2, on a pour tout $z \in \tilde{E}$, $\limsup_{j \to \infty} |h_j(z)|^{1/d_j} \ge 1$. De là on déduit en appliquant la formule (4) que si $z \notin \tilde{E}$, on a $\varrho_f(z) \ge \varrho$.

En tenant compte de ce qui précède, on en déduit que $\varrho_f(z) = \varrho$ si $z \in \Omega \setminus G$:

Enfin, il résulte de la condition (iv) du lemme 2.2 et de la formule (4) que pour tout $z \in E$, on a $\varrho_f(z) = 0$.

Ce théorème a une conséquence intéressante:

**COROLLAIRE 3.2.** Soit $E$ un ensemble $P(\Omega)$-polaire complet de type $F_\sigma$ dans $\Omega$. Alors pour tout $\varrho > 0$, il existe une fonction holomorphe $f: \Omega \times C \to C$ telle que $\varrho_f(z) = 0$ si $z \in E$ et $\varrho_f(z) = \varrho$ si $z \notin E$. En particulier $E = E_\varrho(f)$.
Dans le cas où $\Omega = C$, l'enoncé du théorème se simplifie puisque dans ce cas, on a toujours $E = E_{P(\Omega)}^*$:

COROLLAIRE 3.2. Soit $E$ un ensemble polaire de type $F_\sigma$ dans $C$ et $G$ un ensemble de type $G_\delta$ dans $C$ tel que $E \subset G$. Alors pour tout $\varrho > 0$, il existe une fonction holomorphe $f: C \times C \to C$ telle que $\bar{\varrho}_f = \varrho$, $\varrho_f(z) = 0$ si $z \in E$ et $\varrho_f(z) = \varrho$ si $z \in C \setminus G$.

En particulier on a $E \subset E_\varrho(f) \subset G$.

Ce corollaire donne comme cas particulier lorsque $G = \bar{E}$, le théorème de Stavskiť ([17]) (voir aussi [14], p. 149).

**4. Ensembles exceptionnels pour le type partiel.** Nous allons démontrer des résultats sur le type partiel, analogues à ceux obtenus pour l'ordre partiel.

THÉORÈME 4.1. Soit $E$ un ensemble pluripolaire de type $F_\sigma$ dans $\Omega$ et $G$ un ensemble de type $G_\delta$ tel que $E_{P(\Omega)}^* \subset G$. Alors pour tout $\varrho > 0$ et $\sigma > 0$, il existe une fonction holomorphe $f: \Omega \times C \to C$ telle que $\varrho_f = \varrho$, $\bar{\sigma}_f = \sigma$, $\sigma_f(z) = 0$ si $z \in E$ et $\sigma_f(z) = \sigma$ si $z \in \Omega \setminus G$. En particulier, on a $E \subset E_\sigma(f) \subset G$.

Démonstration. D'après la proposition 2.1, il existe un ensemble $\tilde{E}P(\Omega)$-polaire complet tel que $E \subset \tilde{E} \subset G$. On peut alors appliquer le lemme 2.2 pour obtenir une suite $(h_j)_{j \ge 1}$ de fonctions holomorphes sur $\Omega$ vérifiant les conditions (i)–(v) du lemme 2.2.

Considérons cette fois-ci la fonction définie par

$$ (1) \qquad f(z, w) = \sum_{j=1}^{\infty} (d_j^{-1} \sigma e \varrho)^{d_j/\varrho} h_j(z) w^{d_j}, \quad (z, w) \in \Omega \times C. $$

On montre comme à la section 3 que la série du second membre de (1) converge normalement sur tout compact de $\Omega \times C$ et qu'elle définit donc une fonction holomorphe sur $\Omega \times C$.

L'ordre partiel de $f$ se calcule grâce à la proposition 1.1. Ce qui donne:

$$ (2) \qquad \varrho_f(z) = \left| \frac{1}{\varrho} - \limsup (1/d_j \log d_j) \log |h_j(z)| \right|^{-1}, \quad z \in \Omega. $$

D'après la condition (v) du lemme 2.2, la formule (2) montre que $\varrho_f(z) = \varrho$ pour tout $z \in \Omega$.

Le type partiel de $f$ pour l'ordre partiel $\varrho$ se calcule grâce à la proposition 1.1. Ce qui donne:

$$ \begin{align} \sigma_f(z) &= \frac{1}{e \cdot \varrho} \limsup_{j \to \infty} \left\{ d_j \left( \frac{e \cdot \sigma \cdot \varrho}{d_j} \right)^{d_j/\varrho} |h_j(z)|^{\nu/d_j} \right\} \nonumber \\ &= \sigma \limsup_{j \to \infty} |h_j(z)|^{\nu/d_j}, \quad z \in \Omega. \end{align} $$
D'après les propriétés (i) et (ii) du lemme 2.2, on a $\sigma_f(z) \le \sigma$ pour tout $z \in \Omega$. D'après les propriétés (ii) et (iii) du lemme 2.2 on a $\sigma_f(z) \ge \sigma$ pour tout $z \in \Omega \setminus \bar{E}$. Ce qui prouve compte tenu de ce qui précède que $\sigma_f(z) = \sigma$ si $z \in \Omega \setminus G \subset \Omega \setminus \bar{E}$.

Enfin d'après la propriété (iv) du lemme 2.2 on a $\sigma_f(z) = 0$ si $z \in E$. Ce qui prouve le théorème.

On a également les conséquences suivantes:

**COROLLAIRE 4.1.** Soit $E$ un ensemble $P(\Omega)$-polaire complet de type $F_\sigma$ dans $\Omega$. Alors pour tout $\varrho > 0$ et $\sigma > 0$, il existe une fonction holomorphe $f: \Omega \times C \to C$ telle que $\varrho_f(z) = \varrho$ pour tout $z \in \Omega$, $\bar{\sigma}_f = \sigma$, $\sigma_f(z) = 0$ si $z \in E$ et $\sigma_f(z) = \sigma$ si $z \in \Omega \setminus E$. En particulier $E = E_\sigma(f)$.

**COROLLAIRE 4.2.** Soit $E$ un ensemble polaire de type $F_\sigma$ dans $C$ et $G$ un ensemble de type $G_\delta$ dans $C$ tel que $E \subset G$. Alors pour tout $\varrho > 0$, il existe une fonction holomorphe $f: C \times C \to C$ telle que $\varrho_f = \varrho$ sur $C$, $\bar{\sigma}_f = \sigma$, $\sigma_f(z) = 0$ si $z \in E$ et $\sigma_f(z) = \sigma$ si $z \in C \setminus G$. En particulier on a $E \subset E_\sigma(f) \subset G$.

Ce corollaire donne en particulier lorsque $G = \bar{E}$, le théorème de Ronkin [13] (voir aussi [14], p. 151).

Références

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UNIVERSITÉ MOHAMMED

FACULTE DES SCIENCES DE RABAT

DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE

RABAT, MAROC

Reçu par la Rédaction le 23.03.1987