# Réponse à Monsieur Dugué

Paul Levy

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Paul Levy. Réponse à Monsieur Dugué. Annales de l'ISUP, 1957, VI (3), pp.163-176. hal-04093355

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# RÉPONSE A MONSIEUR DUGUÉ

par

Paul LÉVY

(École Polytechnique)

M. Dugué, au cours d'une conférence sur une généralisation de ce qu'il a bien voulu appeler le théorème de Lévy-Cramér, m'a demandé ce qui m'avait conduit à considérer comme vraisemblable ce théorème que je ne savais pas démontrer, et a suggéré que ma réponse pourrait paraître à côté du texte de sa conférence, dans "un prochain numéro des Publications de l'Institut de Statistique de l'Université de Paris". MM. Fréchet et Darmois ont ajouté que toutes les indications que je pourrais donner sur mes méthodes de travail et de recherche seraient les bienvenues.

C'est avec grand plaisir que je vais répondre à des questions posées d'une manière si aimable. Mais je veux d'abord remercier ceux qui ont eu l'idée d'associer mon nom à ce numéro des Publications de l'Institut de Statistique, et tous ceux qui ont collaboré à ce premier volume. Ne connaissant pas encore tous leurs noms, je ne peux pas, pour le moment, les remercier individuellement.

1. Je réponds maintenant à la question de M. Dugué. Je rappelle à cet effet que mes premiers travaux de calcul des probabilités ont porté sur l'extension du théorème de Laplace-Liapounoff, d'après lequel : si $S_n$ désigne une somme $S_n$ de n termes aléatoires indépendants et tous très petits, la loi dont dépend $S_n$, après une réduction convenable, diffère très peu de la loi de Laplace. Si on précise que chaque terme $X_v$ est centré sur sa médiane, que "petit" signifie petit par rapport à la médiane de $|S_n - m_n|$, où $m_n$ est la médiane de $S_n$, et qu'enfin "très" veut dire arbitrairement, on a un énoncé très précis.

J'avais depuis longtemps remarqué que, dans cet énoncé, on pouvait évidemment remplacer "très petit" par "très probablement tous très petits", quand en 1930 ou 1931 je me dis que, "dans cet ordre d'idées, on devait pouvoir trouver une condition nécessaire et suffisante". Mais il y a une condition préalable ; puisqu'une somme de termes laplaciens indépendants, petits ou non, est laplacienne, on peut obtenir une somme lapla-
cienne, ou presque laplacienne, dans des conditions qui ne peuvent pas être considérées comme une application d'un théorème du type Laplace-Liapounoff. Pour ce théorème, la condition préalable est alors que chaque terme $X_h$ de la somme soit très probablement très petit en valeur absolue, et le théorème que je presentais et que je ne pus démontrer qu'en 1934 est que, si cette condition est remplie, pour que la somme soit presque laplacienne, il faut et il suffit que tous les termes soient très petits, sauf peut-être dans des cas de probabilité **totale** très petite.

Si on ne se restreint pas au cas où la condition préalable est remplie, il est évident qu'une somme presque laplacienne peut être obtenue, soit dans les conditions du théorème précédent, soit par addition de termes presque laplaciens, soit enfin par une combinaison des deux premiers cas, certains termes étant presque laplaciens, et les autres étant très probablement tous très petits. La question se posait de savoir s'il y avait encore d'autres possibilités. Si oui, la théorie devenait étrangement compliquée; dans le cas contraire, elle était encore relativement simple, ayant ce caractère d'élégance qu'ont souvent les théories mathématiques exactes. Or cette seconde hypothèse équivaut exactement au théorème de Lévy-Cramér; j'avais besoin de ce théorème pour une théorie que des considérations esthétiques rendaient vraisemblable.

Telle est la raison qui acheva en 1934 de me persuader de son exactitude. Mais il s'était d'abord présenté à mon esprit sous un aspect légèrement différent. Dans mes premiers travaux, et dans mon livre de 1925, je m'étais surtout occupé du cas où les $S_n$ sont les sommes successives d'une série $\sum X_v$ à termes aléatoires indépendants. Dans le cas d'une série convergente, ou presque sûrement convergente, chaque terme isolé n'est pas négligeable devant la somme, et il ne peut être question d'appliquer un théorème du type Laplace-Liapounoff. Même sans rien savoir sur la convergence presque sûre des séries à termes aléatoires, on peut observer que cette conclusion subsiste si on sait seulement que les $S_n$ sont bornés en probabilité, et il suffit pour cela, si pour fixer les idées les $E(X_n)$ sont nuls, que la série $\sum E(X_v^2)$ soit convergente. Des exemples bien connus dont le plus simple est donné par la représentation décimale (ou la représentation binaire) d'un nombre choisi au hasard entre zéro et un, aussi bien que le théorème fondamental de mon livre, rendaient évident pour moi que dans une telle série on ne devait pas s'attendre à obtenir une somme laplacienne. Aussi fus-je très surpris quand M. Fréchet, rencontra un de ces exemples, crut pouvoir en déduire que ce théorème n'était applicable que si les lois des $X_v$ "ressemblaient suffisamment à la loi de Gauss" (il ne disait pas encore loi de Laplace). Il me remit son mémoire, un jour de 1928, en sortant du séminaire de M. Hadamard. Pressé de savoir d'où venaient ses hésitations à admettre mon théorème, j'en lus aussitôt la première page, avant même de sortir du Collège de France. Ma réaction fut instantanée : "Non seulement, me dis-je, il n'y avait pas lieu de s'attendre à ce que la somme de cette série soit gaussienne, mais il est probable, bien au contraire, que la somme d'une série à termes indépendants ne peut pas être gaussienne sans que tous les termes le soient". L'impression qu'une telle série, dont la somme serait gaussienne sans que chaque terme le soit, serait quelque chose de trop monstrueux
pour exister, me fit croire très vite à l'exactitude de cette hypothèse, qui devint le théorème de Lévy-Cramér.

Je ne me décidai d'ailleurs à publier cet énoncé hypothétique que dans mon mémoire de 1934 sur les lois indéfiniment divisibles. J'avais défini complètement la structure du semi-groupe formé par ces lois, et cet énoncé constituait un curieux complément aux résultats ainsi établis. Un énoncé analogue relatif à la loi de Poisson aurait été aussi un intéressant complément. Je réponds à ce sujet à une autre question de M. Dugué qui m'a demandé si je n'y avais pas pensé. D'une part, rien ne m'avait conduit à croire a priori à l'exactitude de cet autre théorème. D'autre part ma théorie des lois indéfiniment divisibles m'avait donné l'impression que j'étais enfin à même de donner au théorème de Laplace-Liapounoff la forme définitive que je pressentais depuis 1931 et dont j'ai parlé plus haut. J'y arrivai en septembre ou octobre 1934, à peu près en même temps que W. Feller, dont le travail est indépendant du mien. En 1935, je m'occupai de l'extension de ce théorème à certaines sommes de variables enchaînées ; de là naquit la théorie de ce que J. Ville a appelé les martingales. C'est en mars 1936 que je reçus la lettre de H. Cramér, qui donnait enfin une base solide à l'édifice construit sur un lemme hypothétique. Je pris aussitôt la décision d'écrire un nouveau livre, qui m'occupa cinq ou six mois. Ce ne fut qu'ensuite que je pus m'occuper de l'arithmétique des lois de probabilité. Khintchine en avait déjà donné le théorème fondamental, et Raikov avait obtenu son théorème sur la loi de Poisson. Je ne pus que prendre le résultat de leurs travaux pour point de départ de nouvelles recherches.

2. J'ai maintenant répondu à M. Dugué. Quant aux questions posées par MM. Fréchet et Darmois, il m'a semblé qu'elles portaient surtout sur le rôle de l'intuition dans mes recherches, mais aussi un peu sur ma psychologie en général. Il est délicat de parler de soi. Il y a des choses que j'hésite à dire. Mais j'ai bien souvent regretté de ne pas avoir dit ce que j'avais pensé à dire. Dans les cas de ce genre, les psychanalystes conseillent de donner libre cours aux sentiments refoulés. Puisque, pour une dizaine de pages, le moi a cessé d'être haïssable, j'espère qu'on m'excusera d'en consacrer quelques-unes aux regrets dont je viens de parler.

Un jour où il avait le droit de parler de lui-même, M. Hadamard a parlé surtout des théorèmes à côté desquels il avait passé sans les voir. Je n'étonnerai personne en disant que j'ai aussi des regrets de cette nature. Ainsi, je ne m'explique pas comment je n'ai pas su, avant Wiener, donner la définition correcte de la fonction du mouvement brownien; tout m'y préparait, tant mes travaux sur la loi de Laplace que l'idée, qui m'était familière, que les difficultés de la théorie de la mesure dans une sphère de l'espace de Hilbert disparaissaient pour une famille de fonctions définies dans un intervalle fini et y vérifiant une condition de Lipschitz. Et pourtant je ne l'ai pas fait.

Mais ce n'est pas de ces regrets que je voudrais surtout parler. Il m'est beaucoup plus difficile de me consoler de ne pas m'être décidé, dans de nombreux cas, à publier des résultats que j'avais effectivement
obtenus. Il y a des cas pour lesquels je n'arrive plus à m'expliquer mes hésitations (1). Dans d'autres cas, j'avais mal apprécié ce qui pouvait, dans l'état actuel de la science, intéresser les lecteurs. Trop entraîné par le cours intérieur de mes pensées pour être un bon observateur de la marche générale de la science, je ne savais que rarement si mes résultats étaient nouveaux, et je m'en suis longtemps rapporté à un critère qui s'est révélé déplorable. Quand j'avais l'impression d'avoir résolu une difficulté sérieuse, je me disais : "Si cela était fait, cela se saurait". Cela se savait sans doute, mais je ne le savais pas et c'est ainsi qu'il m'arriva, entre autres, de publier en 1930 une note sur la loi du logarithme itéré presque identique à celle présentée six ans plus tôt par A. Khintchine. Si au contraire le résultat obtenu me paraissait évident, je me disais "on se moquerait de moi si je disais une chose si évidente", et je laissais échapper une riche moisson.

Je pourrais comparer l'impression que j'ai souvent éprouvée dans ce dernier cas à celui du voyageur arrivant au sommet d'une montagne ; qu'il y arrive après une marche pénible, ou qu'il y soit transporté sans effort, le résultat est le même. Il n'a qu'à ouvrir les yeux, et regarder ; à quoi bon décrire le paysage ? N'importe qui peut le voir aussi bien que lui. Et je ne me disais pas qu'il fallait le décrire pour les habitants de la vallée; peut-être aussi pour moi-même: en m'imposant de le décrire, j'en aurais mieux vu les aspects essentiels.

Je ne sais plus à propos de quel théorème dont M. Fréchet me parlait un jour, je lui ai répondu "mais cela va sans dire"; il me répondit 'cela irait encore mieux en le disant'. Je compris qu'il avait raison, et me promis de ne plus hésiter à dire même des choses évidentes. Mais il me reste d'amers regrets relatifs au passé. Je ne veux pas risquer de lasser le lecteur par l'énumération des découvertes que je n'ai pas publiées, et me bornerai à raconter une histoire déjà très ancienne.

C'était en 1902, j'avais juste seize ans et, venant d'une classe de rhétorique, entrais au Lycée Saint-Louis, dans celle d'élémentaires supérieures, sans avoir jamais fait de physique, tandis que mes camarades en avaient tous fait deux ou trois ans. Si le cours de mathématiques allait trop lentement à mon gré, je fus vite débordé par celui de physique, et, quand le professeur parla de "l'accélération proportionnelle à l'élongation", j'avouai mes difficultés à mon père. Sa réponse m'apprit ce qu'étaient une dérivée, une vitesse, une accélération. Ce fut une révélation pour moi; en quelques jours, j'avais découvert la théorie élémentaire des dérivées, quelques règles de calcul, le théorème de Rolle, et son application à l'équation du troisième degré. Ensuite je me mis à la recherche des fonctions sans dérivées, et arrivai à définir la courbe connue aujourd'hui sous le nom de courbe de von Koch. Puis je découvris la propriété des points de cette courbe qui correspondent aux valeurs rationnelles du paramètre,

<footnote>(1) Ainsi, suivant en 1908 un cours de M. Hadamard à la Sorbonne, j'eus l'idée d'un théorème sur le rapport entre le plus grand terme d'une série entière et la somme de cette série. Je ne puis dire pourquoi j'attendis 1925 pour lui en parler, et présenter une note à l'Académie. Ce n'était certainement pas la crainte d'être mal accueilli qui m'avait arrêté.</footnote>
propriété que Cesàro devait en 1906 signaler et célébrer en termes lyriques. C'était en novembre 1902; j'en parlai à mon père. Je me demande s'il ne comprit pas l'intérêt de mes résultats, ou s'il craignait de me voir me détourner de mon travail de lycéen. Quoi qu'il en soit, sa réponse fut peu encourageante, et d'ailleurs mon esprit se trouva brusquement polarisé dans une autre direction.

Le professeur commençait à nous parler des séries. La notion de série convergente m'était familière depuis longtemps; mais je n'avais jamais réfléchi au problème technique qui se posait à propos des séries. Après huit jours d'efforts, je compris tout à coup ce qu'on ne nous disait pas : il s'agissait d'établir un classement des rapidités de croissance des infiniment petits ou infiniment grands usuels, et de situer la coupure qui sépare les séries convergentes des séries divergentes. Alors, en quelques jours, j'obtins le théorème de Cauchy sur la relation entre les séries et les intégrales, les critères de Bertrand et tous les théorèmes de Paul Dubois-Reymond; la nécessité de classer n! m'obligea à découvrir la formule de Stirling (à un facteur constant près, que je ne découvris que dans la bilbiothèque de mon père). Je m'attaquai ensuite à la croissance des nombres premiers, et, en mars 1903, j'étais sûr, quoique sans l'avoir démontré, du célèbre théorème des nombres premiers, démontré en 1893 par M. M. Hadamard et de la Vallée Poussin. Il exprime qu'un certain rapport tend vers l'unité; j'avais seulement démontré, en partant de la décomposition de n! en nombres premiers, que ce rapport à l'unité comme valeur d'accumulation.

C'est à ce moment que mon attention fut attirée par un livre de la bibliothèque de mon père : les leçons sur les séries à termes positifs, d'Emile Borel. Il ne contenait, je crois, qu'un théorème nouveau pour moi : le théorème de l'auteur lui-même sur les séries convergentes à termes décroissants. Mais, constatant que je n'avais rien découvert de nouveau sur les séries, je me dis qu'il était sans doute chimérique d'espérer que mes autres théorèmes soient nouveaux, et je laissai passer les années. Mon travail sur les nombres premiers fut finalement rédigé et montré à mon père en 1905, puis publié dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, tandis que j'attendis la fin de 1908 pour parler de ma courbe à la Société Mathématique de France.

Cette communication donna lieu à de nombreuses observations des auditeurs, notamment Fatou et Bricard. Ce dernier, surtout, se déclara très intéressé; mais peu de temps après, il apprit par E. Landau, et m'informa, que ma courbe avait déjà été découverte par von Koch et étudiée par Cesàro. J'avais d'ailleurs des résultats nouveaux. J'avais en effet appliqué les principes de la théorie des probabilités dénombrables, que E. Borel devait faire connaître dans son célèbre mémoire de 1909, à l'étude des propriétés presque sûres de la courbe au voisinage d'un de ses points, choisi au hasard. Mais, découragé parce que mes premiers résultats n'étaient plus nouveaux, je renonçai à rien publier. Je l'ai regretté par la suite, et me suis seulement décidé en 1938 à étendre mes résultats nouveaux à une classe plus générale de courbes et les publier dans le Journal de l'Ecole Polytechnique. Il faut d'ailleurs ajouter qu'en
1908 je ne connaissais guère le langage de la théorie de la mesure ni celui du calcul des probabilités; je n'ose pas affirmer que j'aurais réellement pu à cette époque énoncer les lemmes de E. Borel, que j'utilisais seulement comme une de ces choses "qui vont de soi". Ce que je regrette surtout, c'est de n'avoir pas en 1902 rédigé et publié mes premiers résultats sur la courbe de von Koch. Je n'aurais pas devancé cet auteur, mais j'aurais devancé Cesàro.

3. Qu'on me permette maintenant une parenthèse pour parler de Landau. Quand il vit mon petit travail sur les nombres premiers, dont j'ai parlé tout à l'heure, il m'écrivit pour me faire quelques observations : je n'énonçais aucun théorème précis, et, dans mes raisonnements, un point manquait de rigueur. Je ne pus que reconnaître que mon travail était mal rédigé, mais répondis avec précision à ses deux objections. Il me répondit à son tour par une lettre de huit pages : "Je vois avec plaisir que vous avez le sentiment de la rigueur, sans lequel on ne peut rien faire en mathématiques... Le théorème même des nombres premiers n'est pas si difficile à démontrer que vous le pensez. Permettez-moi de me servir de mes notations, dont j'ai l'habitude (c'était ma première rencontre avec son o et son O)". La démonstration suivait, en moins de sept pages d'une large écriture; elle ne remplirait pas quatre pages de ce journal.

Je la lus sans effort, vérifiant chaque formule l'une après l'autre. Mais l'idée directrice, que rien n'indiquait, m'avait échappé. Aussi relus-je plusieurs fois cette lettre au cours des 20 ou 30 années suivantes, et toujours avec le même résultat. Puis elle fut perdue par suite de la dispersion de mes papiers par les Allemands, et peu d'années après la seconde guerre, quand Erdös vint à Paris exposer la démonstration élémentaire du théorème des nombres premiers, qui venait d'être découverte, je me rendis compte que Landau était mort sans avoir publié la sienne, qui était bien plus simple.

Tout ce que je peux me rappeler, c'est le rôle de la formule

$$ \sum_{p<n} \log p \sim n, $$

d'où la formule finale se déduit aisément.

J'ai déjà raconté cette histoire à quelques savants, notamment à G. Pólya, qui m'en fit remarquer l'invraisemblance : "Tout le monde sait que Landau a consacré beaucoup d'efforts à la recherche d'une démonstration élémentaire de ce théorème, et ne l'a pas trouvée". Je ne sais que répondre. J'ai parfois constaté que ma mémoire n'est pas infaillible; certains souvenirs peuvent être déformés. Mais je ne peux pas croire que j'aie pris pour élémentaire une démonstration qui aurait utilisé la fonction de Riemann, et, pour tout le reste, je suis sûr de ce que je viens de dire (1).

<footnote>(1) L'hypothèse, a priori peu probable, d'une erreur de Landau, me paraît exclue. Si la découverte d'une erreur l'avait obligé à renoncer à publier ce qu'il m'avait écrit, il m'aurait sûrement prévenu; il me semble en outre que j'aurais remarqué cette erreur.</footnote>
4. Je reviens à mon sujet, c'est-à-dire à moi-même. Puisque je viens de parler des défaillances de ma mémoire, permettez-moi d'en raconter une, assez singulière. En 1936 ou 37, j'avais découvert un théorème dont j'étais très fier. Il donnait la condition nécessaire et suffisante pour que la formule :

$$y(t) = \int_{0}^{t} f(t, u) \, dx(u)$$

transforme n'importe quelle fonction continue, définie dans (0,1), en une fonction continue. C'était simple et élégant, c'était un beau théorème, ou du moins je me l'imagine aujourd'hui. Et pourtant je ne l'ai pas publié, me disant que j'attendrais la seconde édition de mon analyse fonctionnelle. Le moment venu, je ne pus même pas me rappeler l'énoncé de ce théorème; les cinq années de la guerre avaient passé, et effacé ce souvenir.

Il est temps maintenant de répondre par quelques exemples précis à la question de MM. Daýmois et Fréchet. Je commencerai par l'histoire de ma thèse. Dans son cours au Collège de France, M. Hadamard avait exposé sa célèbre formule donnant la variation de la fonction de Green. Je remarquai qu'elle posait un problème d'intégrabilité et le lui dis. Il me répondit qu'il le savait, qu'il avait pensé se réserver ce sujet, mais que, puisque j'avais mis la main dessus, il me l'abandonnait. Je lui en ai toujours gardé une profonde reconnaissance.

Alors je me mis au travail et, quand je repense à cette époque, je retrouve certaines caractéristiques de mon esprit qui n'ont jamais changé. D'abord, si je ne sais pas concentrer ma pensée par un effort de volonté, il arrive qu'elle se concentre d'elle-même sur le sujet qui m'intéresse: mon esprit "se polarise". Alors je peux penser au même problème nuit et jour, pendant plusieurs mois, jusqu'au moment où il me faut parfois un long repos pour reconstituer dans mon cerveau les conditions physiologiques mystérieuses qui me permettront de recommencer. D'autre part, si dans certains cas j'ai trop hésité à publier mes résultats, il m'arrive aussi d'être trop pressé et d'être obligé de rectifier des erreurs. C'est un défaut dont je n'ai jamais pu me guérir, puisque, encore au début de 1956, j'ai présenté à l'Académie des notes contenant plusieurs erreurs. Enfin, alors qu'à seize ou vingt ans je me croyais un excellent calculateur, je m'aperçois fréquemment, en vérifiant mes calculs, que j'avais commis des erreurs, et il y eut des cas où je peux dire que j'ai été d'erreur en erreur vers la vérité. Cela se produisit aussi parfois en matière de raisonnement, et il y en a un dans ma thèse que je n'ai pu mener à bonne fin que parce que des erreurs successives ne m'avaient jamais permis de voir qu'une difficulté à la fois.

Quel fut dans ce travail le rôle de l'intuition? Si j'ai eu parfois l'impression d'une intuition subite, ce fut lorsque m'apparaissait un problème à ma mesure, c'est-à-dire pas trop facile (on se moquerait de moi si...), pas trop difficile (à quoi bon se casser la tête contre un mur?) et qui enfin me semblait intéressant (et il m'arriva d'écarter comme non intéressants des problèmes que je devais juger autrement quelques années plus tard). C'est ainsi qu'en me posant le problème de l'intégrabilité de l'équation de
M. Hadamard, je fus tout de suite sûr que ce serait mon sujet de thèse. Mais je n'eus aucun sentiment intuitif de ce que seraient les résultats.

5. Il y eut des cas où l'intuition subite est allée beaucoup plus loin. Je vais en citer deux, survenus tous les deux pendant des conférences faites au séminaire de M. Hadamard. Ils furent très différents, en ce sens que dans un cas je fus sûr d'un énoncé sans démonstration; dans l'autre c'est au contraire la démonstration qui m'apparut instantanément, dans tous ses détails.

Je commencerai par ce dernier. Il s'agissait du théorème de Fischer et F. Riesz, et je suis un peu confus d'avouer qu'en 1927 je ne le connaissais pas. Un auditeur du séminaire, M. Noaillon, attira mon attention sur le fait que, sans ce théorème, on ne pouvait pas, comme je l'avais fait dans mes Leçons d'analyse fonctionnelle, affirmer l'identité de l'espace des fonctions de carrés sommables et de l'espace de Hilbert, et, avant la conférence qu'il fit sur ce sujet, je lui dis que je n'avais pas encore trouvé la réponse à son objection. Il commença par définir la notion de convergence en mesure. Alors la démonstration m'apparut instantanément (peut-être en dix ou vingt secondes) dans tous ses détails. Je ne pus réussir à suivre M. Noaillon, qui s'était engagé dans une démonstration affreusement compliquée. Au bout d'une demi-heure, n'y tenant plus, je l'interrompis, et donnai la mienne (je crois d'ailleurs qu'elle n'était pas nouvelle; je n'ai jamais fait de recherches sur ce point; mais là n'est pas la question, aujourd'hui).

Dans l'autre cas, il s'agissait de la conférence de M. Denjoy sur un problème de Poincaré relatif aux solutions périodiques des équations différentielles. Il parla à un certain moment d'une série qui était presque partout divergente, mais dont il espérait venir à bout par des procédés de sommation convenables. Je fus sur le point de l'interrompre pour lui dire: "Vous n'y arriverez pas parce que c'est impossible; les séries de cette nature ne peuvent pas être sommables". Ma réaction avait été instantanée, mais non moins instantanée la réflexion qui me retint: je n'aurais pas su justifier mon affirmation. Ce n'est que le soir que j'écrivis à M. Denjoy pour lui dire ce que "des principes généraux de calcul des probabilités me permettaient d'affirmer".

Le théorème, auquel je n'avais jamais pensé auparavant et qui s'était soudainement imposé à moi, est le suivant : si une série $\sum X_n$ à termes aléatoires indépendants n'est pas presque sûrement convergente, il est aussi presque sûr qu'elle n'est pas sommable (et cela pour n'importe quel procédé de sommation donné d'avance), sauf dans le cas où elle résulte de l'addition d'une série presque sûrement convergente et d'une série numérique sommable. Mon mémoire sur ce sujet parut en 1935; je crois qu'il m'avait fallu quelques semaines pour démontrer le théorème énoncé, et justifier son extension au cas considéré par M. Denjoy, où il ne s'agissait pas exactement d'une série à termes aléatoires indépendants.

Je pense qu'il est inutile de multiplier les exemples; ceux que j'ai cités suffisent pour marquer une distinction importante. Dans les cas où je suis arrivé au sommet d'une montagne, que j'y sois monté pas à pas ou
qu'une intuition subite m'y ait transporté, je n'ai eu qu'à regarder devant moi, et voir à la fois un théorème et sa démonstration. Dans d'autres cas, comme dans le dernier exemple cité, le théorème m'apparut comme un sommet voisin, auquel menait une route que je ne faisais qu'entrevoir. Dans les cas enfin où c'est le sentiment de l'esthétique d'une théorie qui m'a fait croire à son exactitude, ce sentiment ne me donnait aucune indication sur la démonstration nécessaire. En outre la conviction même de cette exactitude ne se renforçait qu'après une longue période de réflexion. Il n'y eut d'exception que pour le théorème qui fut démontré par Cramér, qui naquit, comme je l'ai dit, d'une intuition subite relative aux séries convergentes.

6. Ces cas d'intuition presque instantanée ont d'ailleurs été assez rares, et je ne pourrai pas en raconter un grand nombre. Par contre, il m'est arrivé assez souvent d'avoir des "périodes d'intuition", pendant lesquelles je découvrais rapidement les caractères essentiels d'une théorie nouvelle. J'ai déjà dit qu'en 1902 j'avais eu deux de ces périodes de travail rapide et fécond. Je vais en indiquer deux autres exemples.

Le premier remonte au printemps 1919. Carvallo, l'éminent directeur des études de l'Ecole Polytechnique, m'avait demandé de faire trois conférences aux élèves de cette école pour leur expliquer le rôle de la loi de Gauss dans la théorie des erreurs; je devais leur faire comprendre que c'était la loi normale, et que si une erreur n'obéissait pas à cette loi, c'était un fait anormal dont il fallait trouver l'explication. J'avais environ deux mois pour me préparer. Je parcourus les cours de l'Ecole, les traités de J. Bertrand, de E. Borel, de Poincaré lui-même, et ne fus pas satisfait. Toutefois je fus frappé par cette phrase de Poincaré : "J'appelle fonction caractéristique de la loi d'une variable X la valeur problème de e^X". Je me mis au travail, remplaçai z par iz, et en trois semaines j'avais les bases de la théorie que je pus exposer aux élèves (la rédaction de ces leçons existe à l'Ecole, en annexe au cours de G. Humbert; elle a été reproduite sans modification dans les premières années de mon cours).

J'avais décidé de terminer d'abord la rédaction de mes Leçons d'analyse fonctionnelle; j'eus aussi à rédiger mon cours de l'Ecole. Je ne songeai qu'en 1922 à revenir au Calcul des Probabilités, et complétai mon travail par l'étude générale des lois stables. Mon mémoire développé, qui ne fut publié qu'en 1924, avait été remis à la Société Mathématique de France en octobre 1922. Entre 1919 et cette date, il y avait eu les deux mémoires de Lindeberg.

L'autre exemple se rapporte à la théorie des lois indéfiniment divisibles. Je n'avais pas remarqué les Notes de B. de Finetti et A. Kolmogoroff quand je me dis, au début de 1934, que les lois stables autres que la loi de Laplace devaient donner lieu à des processus additifs continus en probabilité. La théorie générale, qui définit un semi-groupe dont les éléments de base sont donnés par la loi de Laplace et celle de Poisson, m'apparut très rapidement dans ses traits essentiels. Mais la démonstration du fait, dont je ne doutais pas, qu'il n'y a pas d'autre loi indéfiniment divisible, ne m'apparut pas aussi clairement, et je mis deux ou trois mois à rédiger
mon mémoire sur cette question, qui d'ailleurs laisse à désirer sur certains points. Le nouvel exposé que je fis de cette théorie dans mon livre de 1937 réalisa un progrès incontestable.

Les deux exemples que je viens de citer se distinguent essentiellement de mes travaux de 1902 mentionnés plus haut parce que, si le travail rapide, guidé par quelques notions intuitives, me conduisait à la conviction intime que la théorie entrevue était exacte, la justification de cette théorie par des raisonnements rigoureux ne s'ensuivait pas immédiatement.

7. Je répondrai, pour terminer, à une question que le lecteur s'est sans doute posée : quelle confiance peut-on avoir dans l'intuition ? Une réponse générale est impossible. Chez un Pasteur, un Galois, ou un Poincaré, cette confiance pouvait légitimement être très grande. Il sied à d'autres d'être plus prudents.

J'ai déjà dit qu'il m'est arrivé de me tromper; mais dans la plupart des cas je ne crois pas devoir rendre mon intuition responsable de mes erreurs. Quelques-unes furent dues à de banales fautes de calcul, d'autres à des généralisations trop hâtives de résultats démontrés dans certains cas particuliers. Il y a au moins un cas où, un calcul m'ayant conduit à un résultat contraire à celui qui me paraissait intuitivement évident, je crus devoir m'en rapporter au calcul. Une plus grande confiance dans mon intuition m'aurait conduit à vérifier mon calcul avec plus de soin, et à découvrir une faute que je ne découvris que plusieurs années plus tard, parce qu'en me relisant mon sentiment intuitif fut assez fort pour me persuader trop tard qu'il y avait une erreur de calcul (1). De même, à la fin de mon livre sur les Processus stochastiques, figurent quelques énoncés étranges qui sont le résultat d'une erreur de calcul; je me souviens que j'avais été amusé mais non choqué par cette étrangeté, et qu'il n'est pas question de rendre l'intuition responsable de mon erreur, car, en faisant le calcul en question, qui devait répondre par oui ou non à un problème que je m'étais posé, je ne m'attendais pas à un résultat plutôt qu'à l'autre. J'ajoute qu'en un sens cette erreur fut heureuse. C'est en me demandant s'il ne restait pas quelque chose de vrai parmi les conséquences bizarres que j'en avais déduites que je fus conduit à entreprendre le travail que j'ai présenté en 1955 au troisième Symposium de Berkeley; sa dernière partie répond affirmativement à cette question.

Voici pourtant un cas où sans doute mon intuition m'avait trompé. Là encore, j'ai un souvenir précis, et bien daté. C'est en août 1922 que je fis la connaissance de N. Wiener, qui me parla de ses travaux, et notamment de son mémoire sur la série $\sum \frac{1}{n^2}$, "sur laquelle il y a bien des choses intéressantes à dire". Ma réaction fut instantanée: "Cette série est convergente, et la fonction caractéristique de sa somme est $\Pi \cos \frac{1}{n}$. Il ne s'agit que d'une application banale d'un théorème général". Je ne voulus pas traiter son problème de banal, et ne dis rien; j'eus évidemment tort.

<footnote>(1) Il s'agit de l'énoncé qui termine le n° 79, 4° de mon livre de 1937 sur les Variables aléatoires, et qui est inexact. L'erreur a été rectifiée dans la deuxième édition.</footnote>
Or, en essayant de me rappeler mon état d'esprit à cette époque, je crois qu'en réalité je n'avais pas une idée très nette des relations entre les différents modes de convergence d'une suite de variables aléatoires. Je savais bien entendu que la convergence des fonctions caractéristiques, entraîne la convergence en distribution. Mais il me semble aussi que je croyais que la convergence en moyenne quadratique est, dans le cas d'une série à termes indépendants, la condition nécessaire et suffisante de la convergence presque sûre. Or elle n'est pas nécessaire, et, si elle est bien suffisante (de sorte que ma réflexion sur la série de Wiener était correcte), la démonstration de ce fait est bien moins simple que je ne me l'imaginais à cette époque.

Je laisse au lecteur le soin de dire s'il s'agissait de l'erreur banale d'un débutant sur une question mal étudiée, ou d'une intuition trompeuse. Mais cela ne saurait changer mon opinion sur le rôle de l'intuition et celui de la rigueur dans la recherche scientifique, et je voudrais terminer en répétant sous une forme un peu différente ce que j'ai déjà dit bien souvent. La rigueur cartésienne n'est pas créatrice. Même avec une machine les empêchant d'écrire des phrases dépourvues de sens ou de faire des fautes de raisonnement, les singes dactylographes d'Emile Borel ne feraient pas progresser la science. Pour faire oeuvre utile, le savant doit avoir, à côté du sens de la rigueur cartésienne, des qualités réellement créatrices, un sens exact de ce qui est important, un instinct qui lui fera choisir les meilleures directions pour ses recherches, une connaissance des méthodes qui lui permettront d'avancer dans ces directions, et un esprit inventif qui lui fera découvrir de nouvelles méthodes. Or cet instinct, cet esprit inventif, ne sauraient obéir à des règles toutes faites. Il semble que certains savants ont tendance à procéder par bonds brusques, quitte à revenir en arrière s'ils arrivent sur un mauvais terrain; ce sont ceux-là qu'on appelle les intuitifs. D'autres sont plus prudents, et je ne saurais le leur reprocher. D'illustres exemples ont prouvé que les uns et les autres sont utiles aux progrès de la science. Ce qu'il m'arrive de regretter chez les seconds, c'est que leur prudence s'accompagne souvent d'une sorte de coquetterie à présenter leurs résultats sous une forme parfaitement logique, mais qui ne laisse rien voir de la démarche de leur esprit; sans doute cachent-ils inconsciemment ce qui est tout de même une forme d'intuition. En le montant mieux, en éclairant au préalable par quelques remarques générales la route qu'ils vont suivre, ils favoriseraient la compréhension intuitive des théories exposées, et rendraient service à leurs élèves. Je voudrais que tous les maîtres le fassent (1), ce qui ne les empêcherait pas de rappeler qu'il ne faut demander à l'intuition que ce qu'elle peut donner, qu'une confiance exagérée en elle serait dangereuse, mais qu'inversement, comme l'a dit M. Hadamard : "on ne peut demander à la rigueur que de consolider les conquêtes de l'intuition".

<footnote>(1) J'ai d'ailleurs souvent constaté que, en présence d'un auditoire dont il devine la réaction, tel maître dont les travaux sont pour moi difficiles à lire me donne au contraire toute satisfaction dans ses exposés oraux.</footnote>
II

Il y a plusieurs mois que les pages précédentes ont été écrites, et je regrette de n'avoir pas su profiter de l'occasion pour rendre un hommage mérité aux maîtres à qui je dois d'être ce que je suis. Peut-être est-il temps de combler cette lacune.

Il ne saurait être question de dire ici tout ce que je dois à mon père, et aussi à ma mère qui fut mon seul professeur jusqu'à mon entrée au lycée, en 1895. Mais il n'est sans doute pas déplacé de rappeler que mon père, polytechnicien de la promotion 1872, agrégé de mathématiques, après avoir été professeur au lycée de Rennes et à Louis-le-Grand, puis directeur des études au collège Sainte-Barbe, où je suis né, consacra à l'Ecole Polytechnique les 24 dernières années de sa vie. Il avait rempli pendant 19 ans, et avec un rare succès, les fonctions d'examenateur d'admission, et laissé la réputation de l'examenateur qui ne s'était jamais trompé. Il devint examinateur des élèves, pour la mécanique, en remplacer cement de Carvallo, nommé directeur des études. Déjà malade, il ne voulut pas demander sa retraite, et mourut à la tâche.

Comme mathématicien, il fut l'auteur d'un mémoire de géométrie couronné par l'Académie de Belgique, d'un Précis de la théorie des fonctions elliptiques, qui fut très utile aux ingénieurs, et, en collaboration avec Rouché, d'un traité d'analyse infinitésimale. Rouché, déjà âgé, avait entrepris un travail au-dessus de ses forces, et lui avait demandé de l'aider; je crois me rappeler que, pour plus des trois quarts, ces deux gros volumes furent l'œuvre de mon père.

Je ne peux pas non plus dire tout ce que je dois à tous les professeurs que j'ai eus aux lycées Montaigne, Louis-le-Grand, et Saint-Louis, dont je fus successivement l'élève. Quelques-uns, comme Louis Mangin, Gustave Glotz, Emile Mâle, furent des hommes éminents dans leurs spécialités. Mais ma reconnaissance va surtout à des hommes plus modestes, qui se consacraient corps et âme à leur tâche, et dont beaucoup étaient des éducateurs remarquables. Je serais tenté d'en faire revivre quelques-uns, depuis Augustin Monod, professeur de sixième, que nous adorions et qui nous le rendait bien, jusqu'à mon professeur de Spéciales, Emile Blutel, un excellent professeur, capable de s'élever bien au-dessus de ce qu'exigeait la préparation au concours de l'Ecole Polytechnique. Mais tout cela m'entraînerait trop loin.

A l'Ecole, où j'entrai en 1904, les plus illustres de nos professeurs étaient Henri Poincaré, Henri Becquerel, Georges Humbert, Poincaré était professeur titulaire d'astronomie; il avait fait le cours l'année précédente, mais ne nous fit que trois leçons, et le reste du cours fut fait par un suppléant. Ayant été malade, je n'entendis qu'une de ces trois leçons. Bien que je l'aie bien connu quand il accepta d'être rapporteur de ma thèse, je ne peux pas dire que j'aie été son élève.

C'est à Becquerel que je dois la révélation de ce que pouvait être la physique. Les programmes des classes préparatoires, remplis par les expériences de Regnault, d'Amagat, et d'interminables discussions sur les
instruments d'optique, semblaient faits pour dégoûter les élèves de la physique. En outre, j'étais venu de Louis-le-Grand où je n'avais pas fait de physique, à Saint-Louis où l'on s'adressait à des élèves qui en avaient fait deux ou trois ans; la base me manquait. Je ne pus reprendre pied qu'à l'Ecole, plus sans doute grâce au cours écrit de Becquerel que grâce à son enseignement oral, car il avait la voix trop faible. Mes camarades et moi fûmes surtout intéressés par son remarquable exposé des théories de Fresnel.

Mais l'homme qui fit sur nous la plus forte impression fut Humbert, Il était vraiment un professeur extraordinaire, parlant avec aisance, et rendant clair tout ce qu'il exposait. Quelques-uns de mes camarades pensaient même qu'il escamotait des difficultés, qui leur apparaissaient au moment de l'étude en salle. Sauf une seule fois, je n'ai jamais constaté que ce reproche fût fondé.

Je retrouvai Humbert à l'Ecole des Mines, où il enseignait la résistance des matériaux, et au Collège de France. Je ne puis parler de tous mes professeurs de l'Ecole des Mines. Beaucoup étaient des savants illustres. Ceux qui firent sur moi la plus forte impression furent Le Châtelier, Cayeux, et surtout Termier, poète de la géologie; il nous enseignait la minéralogie, et n'obtint que plus tard la chaire de géologie; mais, même si le sujet était aride, il était impossible de ne pas être captivé par la manière dont il l'exposait.

Je reviens à Humbert, et à son cours du Collège de France, qu'il faisait deux fois par semaine à midi quarante cinq, pour que les élèves de l'Ecole des Mines puissent le suivre. Son cours était très dense; il était un virtuose du calcul, ce qui lui faisait gagner du temps, et il exposait en une leçon ce qui en aurait rempli deux ou trois d'un professeur ordinaire. Après le cours, il rentrait à pied, à l'autre bout de Paris, près du parc Monceau, et aimait être accompagné de ses auditeurs, toujours intéressés par sa conversation. Fatou, Chapelon et moi le suivions souvent jusqu'aux abords du Palais-Bourbon.

Je suivis à la même époque, deux années de suite, le cours d'Emile Picard. Lui aussi était un remarquable professeur, et les sujets qu'il exposait m'intéressaient plus que les mathématiques classiques d'Humbert; je me souviens surtout d'un admirable exposé de la théorie des fonctions orthogonales et du mémoire de Schmidt sur les équations intégrales.

Mais mon véritable maître, à cette époque, fut M. J. Hadamard, que je suis heureux de savoir en bonne santé près de cinquante ans plus tard. Je suivis son cours deux années de suite à la Sorbonne, et une troisième année au Collège de France. Les sujets qu'il traita successivement furent la théorie des fonctions entières, les nombres premiers et la fonction ζ(s) de Riemann, enfin l'équation ΔΔu = 0. C'est dans ce dernier cours, comme je l'ai déjà rappelé, que je trouvai mon sujet de thèse, et il m'aida par d'utiles conseils.

Plus tard, je fus un auditeur assidu de son séminaire, et c'est peut-être à ce séminaire que je l'ai le plus admiré. Intéressé, amusé même par tous les progrès des mathématiques, il faisait traiter par ses audi-
teurs les sujets les plus divers, et, alors que souvent je devais renoncer
à suivre, je voyais par ses observations qu'aucune nuance de pensée ne
lui échappait; si parfois il n'était pas sûr de bien comprendre, il posait la
question voulue pour obliger l'orateur à préciser le point obscur, et rien
ne restait dans l'ombre.

Si on peut se dire l'élève de quelqu'un parce qu'on a lu ses oeuvres,
je fus l'élève d'Emile Borel presque autant que celui de M. Hadamard,
J'avais essayé de suivre son cours de calcul des probabilités. Mais il
passa trop de temps sur les notions élémentaires du début, et, après 3 ou
4 leçons, découragé de n'avoir rien appris, je renonçai. Par contre, j'ai
lu avec avidité ses premiers livres sur les séries à termes positifs, sur
les séries divergentes, sur les fonctions entières, et, par la suite, je
pense avoir lu à peu près tout ce qu'il a écrit. Tout devenait clair, sous
sa plume et ses livres ont toujours été pour moi la meilleure manière de
m'initier à des théories que je ne connaissais pas. Je lui dois une grande
reconnaissance.

Je ne peux pas ne pas mentionner encore l'influence qu'a eue sur moi
M. Fréchet, peut-être plus par ses travaux de calcul fonctionnel que par
ses importantes contributions au calcul des probabilités, et aussi par de
nombreuses lettres. Il m'a bien souvent rendu service en m'informant de
priorités que j'ignorais. Sachant que je n'arrivais jamais à faire des
recherches bibliographiques suffisantes, j'ai souvent pris le parti, avant
de publier des résultats que je croyais nouveaux, de consulter les savants
que je savais mieux informés que moi, et il fut un de ceux que j'ai le plus
souvent consultés. Mais ce n'est qu'un détail, à côté de l'influence qu'a
eue sur moi l'aspect philosophique de sa pensée. Il est le plus jeune de
ceux que je peux considérer comme mes maîtres, et je suis heureux qu'il
ait accepté, ainsi que M. Hadamard, de contribuer à ce volume.

Enfin je veux encore remercier tous les amis qui y ont contribué, et
m'excuser auprès de ceux qui auraient pu aussi y contribuer mais n'ont
pas été invités à le faire. Sachant que tous mes collègues de l'Ecole Poly-
technique y avaient été invités, j'ai pensé que, pour ne pas grossir exagé-
rément ce volume, il fallait limiter à un très petit nombre de spécialistes
du calcul des probabilités les nouvelles invitations adressées à ma
demande, et je me suis à regret décidé à rayer, sur la liste que j'avais
d'abord établie, les noms de plusieurs savants français et étrangers que
je considère comme des amis.