الجمهورية الجزائرية الديمقراطية الشعبية

République Algérienne Démocratique et Populaire

وزارة التعليم العالي و البحث العلمي

Ministère de l'enseignement supérieur et de la recherche scientifique

Université Mohamed Khider - Biskra

Faculté des Sciences et de la technologie

Département : Génie Civil et Hydraulique

Ref : ................

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جامعة محمد خضر بسكرة

جامعة محمد خضر بسكرة

كلية العلوم و التكنولوجيا

قسم: الهندسة المدنية

المرجع: ............

Thèse présentée en vue de l'obtention

Du diplôme de

**Doctorat LMD en Génie Civil**

Spécialité : Modélisation numérique en génie civil

## Éléments Finis pour l'Analyse des Structures Sandwichs

Présentée par :

**Mohamed Ouejdi BELARBI**

Soutenue publiquement le 14 Juin 2015

Devant le jury composé de :

Dr. Benmebarek Sadok

Professeur

Président

Université de Biskra

Dr. Tati Abdelouahab

Professeur

Rapporteur

Université de Biskra

Dr. Guenfoud Mohamed

Professeur

Examinateur

Université de Guelma

Dr. Belounar Lamine

Professeur

Examinateur

Université de Biskra

Dr. Hamadi Fodil

Professeur

Examinateur

Université de Bechar
DEDICACE

Je dédie ce travail à la
mémoire de mon père, mon exemple, bien aimé, qu’Allah ait son âme pour tous
ce qu’il m’a donné et appris spécialement la patience et l’amour de la science.

Et ma mère pour son soutien et pour ce qu’elle est.
# REMERCIEMENTS

Tout d'abord, j'exprime mes vifs remerciements à mon directeur de thèse, Monsieur **Abdelouahab TATI**, Professeur à l'Université de Biskra, qui m'a encadré durant la période de la thèse avec grande patience et bonne humeur. Son assistance, sa disponibilité, les encouragements qu'il n'a cessé de me prodiguer et enfin la confiance qu'il m'a toujours témoigné, m'ont été d'un grand secours pour l'accomplissement de ce travail. Je lui en suis très reconnaissant.

Je tiens à remercier profondément les membres de jury :

* Monsieur Sadok BENMEBAREK, Professeur à l'Université de Biskra, d'avoir accepté d'examiner ce travail et de m'avoir honoré de présider le jury.

* Monsieur Mohamed GUENFOUD, Professeur à l'Université de Guelma, qui m'a fait l'honneur d'examiner ce travail et je lui en suis profondément reconnaissant.

* Monsieur Lamine BELOUNAR, Professeur à l'Université de Biskra, qui a accepté d'être examinateur. Je le remercie très sincèrement.

* Monsieur Fodil HAMADI, Professeur à l'Université de Bechar, qui a accepté lui aussi d'examiner cette thèse. Je tiens à le remercier pour son extrême gentillesse.

Je tiens à exprimer ma profonde gratitude et mes remerciements aux enseignants du département de Génie Civil de l'Université de Biskra, notamment le Professeur A. Ounis et le Docteur A. ZAATER, qui m'ont soutenu et aidé durant cette période, ainsi que leurs conseils fructueux.

Je tiens aussi à remercier en particulier mon collègue de travail: H. Ounis pour son soutien moral et scientifique durant notre parcours doctoral.
# Publications

En plus de cette thèse de doctorat, ces travaux ont conduit aux publications et communications suivantes:

## ❖ Publications internationales

1. **M. O. Belarbi**, A. Tati, (In press), "A new $C^0$ finite element model for the analysis of sandwich plates using combined theories" International Journal of Structural Engineering.

2. **M. O. Belarbi**, A. Tati, "Bending analysis of composite sandwich plates with laminated face sheets: new finite element formulation". *Accepted Manuscript*, Journal of Solid Mechanics.

3. **M. O. Belarbi**, A. Tati, H. Ounis and A. Benchabane, "Development of a 2D isoparametric finite element model based on the layerwise approach for the bending analysis of sandwich plates" *Submitted to Structural Engineering and Mechanics*, 2014.

4. A. Tati, **M. O. Belarbi**, " A $C^0$ rectangular element model for sandwich plates analysis using combined theories " *Submitted to Measurement journal*, 2014.

5. **M. O. Belarbi**, A. Tati, " A new $C^0$ quadrilateral finite element model based on layerwise approach for the analysis of laminated composite and sandwich plates: Bending and free vibration ", 2015 (*To be submitted*).

6. **M. O. Belarbi**, A. Tati, " Free vibration analysis of laminate-faced sandwich plate by a new layerwise finite element formulation", 2015 (*To be submitted*).

## ❖ Communications internationales

7. **M. O. Belarbi**, A. Tati, "Étude du flambement des poutres sandwich par éléments finis" Congrès Algérien de Mécanique (CAM), 25-28 novembre 2013, Mascara-Algérie.
8. **M. O. Belarbi**, A. Tati, A. Khechai, "Efficient layerwise finite element model for multilayer sandwich plates analysis" Sixth International Congress on Design and Modeling of Mechanical Systems (CMSM'2015), Tunisia, March 23-25, 2015, Springer. pp 305-314, DOI: 10.1007/978-3-319-17527-0_30

9. A. Khechai, A. Tati, **M. O. Belarbi**, Abdelhamid Guettala, " Finite element analysis of stress concentrations in isotropic and composite plates with elliptical holes " Sixth International Congress on Design and Modeling of Mechanical Systems (CMSM'2015), Tunisia, March 23-25, 2015, Springer. pp 427-436, DOI: 10.1007/978-3-319-17527-0_43

❖ Communications nationals

10. **M. O. Belarbi**, A. Tati, H. Ounis, "Finite Element for the Analysis of Sandwich Plates in Bending" JEMGM II, 22 et 23 Avril 2014, Biskra-Algeria.

11. H. Ounis, A. Tati, **M. O. Belarbi**, "Thermal buckling behavior of laminated plates with cut-outs" JEMGM II, 22 et 23 Avril 2014, Biskra-Algeria.

12. **M. O. Belarbi**, A. Tati, H. Ounis, "Étude numérique du flambage des poutres isotropes et des poutres anisotropes" JEGM 29 avril 2013, Biskra-Algérie.

13. **M. O. Belarbi**, A. Tati, "Étude du Flambement des Poutres Sandwichs par MEF' JEMGM' 2013, Biskra-Algérie.

14. H. Ounis, A. Tati, **M. O. Belarbi**, "Flambement thermique des plaques isotropes et composite stratifies" JEGM 29 avril 2013, Biskra-Algérie.
# Résumé

Dans l'analyse des structures composites et notamment les structures sandwichs, la détermination des déplacements et des contraintes interlaminaires aux interfaces requiert des théories et des modèles d'éléments finis raffinés, capables de donner une meilleure description aux réponses locales. Pour des raisons de coûts élevés en terme de mémoire et de temps de calcul dans le cas des approches tridimensionnelles, les approches bidimensionnelles de type layerwise ont été développées et ont été bien appliquées pour l'analyse des structures composites sandwichs. Cependant, ces approches requièrent un temps de calcul relativement long lorsqu'il s'agit d'un grand nombre de couches.

Dans ce travail de thèse, un nouveau modèle de type layerwise a été développé pour l'analyse du comportement des plaques composites multicouches et notamment les plaques sandwichs. Contrairement à tous les autres modèles layerwise présentés dans la littérature, le nombre de degrés de liberté dans le présent modèle est indépendant du nombre de couches. Le modèle proposé est issu d'une combinaison de deux théories, où la théorie de déformation en cisaillement du premier ordre est adoptée pour modéliser les deux peaux, tandis que l'âme est modélisée en utilisant une théorie de déformation en cisaillement du troisième ordre. Ces deux théories combinées, satisfont les exigences de continuité des déplacements interlaminaires ainsi que les conditions de compatibilité. Le nouveau modèle permet de calculer les contraintes de cisaillement transversal d'une manière précise sans recours à des facteurs de correction.

Sur la base du modèle proposé, deux éléments finis ont été développés pour l'analyse statique et dynamique des plaques composites stratifiées et sandwichs. Ces éléments sont géométriquement simples et ne possèdent que quatre nœuds et treize degrés de liberté par nœud. La comparaison des résultats obtenus avec des solutions de références, déterminés analytiquement, et ceux obtenus par d'autres modèles d'éléments finis disponibles dans la littérature, a montré la performance et la précision du modèle proposé. Par ailleurs, une étude paramétrique a également été menée pour mettre en évidence l'effet de certains paramètres, sur les comportements de flexion et de vibration des plaques sandwichs multicouches.

## Mots clés:

Composites multicouches, Sandwichs, Élément fini, Layerwise, Analyse statique, Dynamique
Abstract

In the analysis of composite structures, especially sandwich structures, the determination of displacements and interlaminar stresses at the interfaces, requires theories and finite elements models, able to give a better description of the local response. For reasons of high cost in terms of memory and computation time in the case of three-dimensional approaches, the “layerwise” two-dimensional approaches have been developed and have been properly applied for the analysis of multilayer composites structures. However, these approaches require a high computational time when dealing with a large number of layers.

In this thesis, a new layerwise model has been developed for the analysis of the behavior of laminated composite plates and especially sandwich plates. Unlike all other layerwise models, presented in the literature, the number of degrees of freedom in the present model is independent of the number of layers. The proposed model is derived from a combination of two theories; where the first-order shear deformation theory is adopted to model the two face sheets, while the core is modeled using the third-order shear deformation theory. This combined theory satisfies the continuity requirements of interlaminar displacements as well as the compatibility conditions. The new model allows calculating the transverse shear stresses in a precise manner without the use of correction factors.

Based on the proposed model, two finite elements have been developed for static and dynamic analysis of laminated composite and sandwich plates. These elements are geometrically simple and have only four nodes and thirteen degrees of freedom per node. The comparison of the results obtained with those given by the three-dimensional elasticity solutions and those obtained by other finite element models available in the literature; showed the performance and accuracy of the proposed model. Moreover, a parametric study was also conducted to investigate the effect of certain characteristic parameters on the bending and free vibration behavior of laminated sandwich plates.

**Keywords:**

Laminated Composite, Sandwich, Finite element, Layerwise, Static analysis, Dynamic
# الملخص

في تحليل الهياكل المركبة وخاصة هياكل السندويش، تحديد الانتقالات و الاجهادات الموجودة ما بين الطبقات ، يتطلب نظريات ونماذج من العناصر المحدودة المطورة، القادرة على إعطاء وصف أفضل للاستجابات المحلية. نظرا للتكلفة العالية من حيث الذاكرة وحساب الوقت في حالة نهوج ثلاثية الأبعاد، فان نهوج ثنائية الأبعاد من نوع لا يرويّز تم تطويرها و تطبيقها بشكل صحيح لتحليل الهياكل المركبة متعددة الطبقات. لكن يجدر بنا ان نذكر ان هذه النهوج تتطلب حساب طويل نسبيا في حالة وجود عدد كبير من الطبقات.

في هذه الأطروحة، تم تطوير نموذج جديد من نوع لا يرويّز من اجل تحليل سلوك الصفائح المركبة و خاصة صفائح السندويش. خلافا لجميع نماذج لا يرويّز الأخرى، المقدمة في المراجع، فان عدد درجات الحرية في هذا النموذج هو مستقل عن عدد الطبقات. النموذج المقترح هو ناتج من مزيج نظريتين؛ نظرية تشهوه القص من الدرجة الأولى التي اعتمدت لنمذجة اثنين من الطبقات القشرية، في حين ان نظرية تشهوه القص من الدرجة الثالثة اعتمدت لنمذجة الطبقة الوسطى. هاتين النظريتين تلبيان متطلبات استمرارية الانتقالات بين الصفائح وكذلك شروط التوافق. النموذج الجديد يسمح بحساب إجهادات القص بطريقة دقيقة من دون استخدام عوامل التصحيح.

بناءا على النموذج المقترح، تم تطوير عنصرين محدودين من اجل تحليل السلوك الستاتيكي والديناميكي للصفائح المركبة و صفائح السندويش. هذان العنصران يتميزان ببساطة الشكل الهندسي كما انهما لا يحتويان الا على اربعة عقد و ثلاثة عشر درجة حرية لكل عقدة. مقارنة النتائج المتحصل عليها مع الحلول التحليلية وتلك التي تم الحصول عليها من قبل نماذج العناصر المحدودة ، المتاحة في المراجع، أظهرت الاداء الجيد و اثبتت دقة النموذج المقترح. من ناحية أخرى، أجريت دراسة بارومترية لإظهار تأثير بعض المعلمات على سلوك الانحناء والاهتزاز لصفحات الساندويتش متعدد الطبقات.

## الكلمات المفتاحية:

الهياكل المركبة من عدة طبقات، سندويش، العناصر المحدودة ، لا يرويّز، السلوك الستاتيكي، ديناميكي
# Table des matières

<table><tr><td>Résumé</td><td>i</td></tr><tr><td>Abstract</td><td>ii</td></tr><tr><td>ملخص</td><td>iii</td></tr><tr><td>Table des matières</td><td>iv</td></tr><tr><td>Liste des figures</td><td>ix</td></tr><tr><td>Liste des tableaux</td><td>xiv</td></tr><tr><td>Introduction générale</td><td>1</td></tr><tr><td>1. Introduction</td><td>1</td></tr><tr><td>2. Objective de la thèse</td><td>3</td></tr><tr><td>3. Plan de la thèse</td><td>3</td></tr></table>

## PARTIE I. SYNTHESE BIBLIOGRAPHIQUE

### Chapitre 1: Aperçu sur l'évolution des théories aux éléments finis pour la modélisation des composites sandwichs

<table><tr><td>1.1 Introduction</td><td>6</td></tr><tr><td>1.2 Modèles et théories de structures sandwichs multicouches</td><td>8</td></tr><tr><td>1.2.1 Modèles tridimensionnels (3D)</td><td>8</td></tr><tr><td>1.2.2 Modèles de plaques bidimensionnelles (2D)</td><td>8</td></tr><tr><td>1.2.2.1 Approche de monocouche équivalente (approximation globale)</td><td>9</td></tr><tr><td>1.2.2.1.1 Théorie classique des plaques</td><td>10</td></tr><tr><td>1.2.2.1.2 Théorie de déformation en cisaillement du premier ordre</td><td>11</td></tr><tr><td>1.2.2.1.2.1 Facteurs de correction du CT</td><td>13</td></tr><tr><td>1.2.2.1.3 Théories de déformation en cisaillement d'ordre supérieur</td><td>14</td></tr><tr><td>1.2.2.2 Approche par-couche ou couche discrète (approximation local)</td><td>23</td></tr></table>
<table><tr><td>1.2.2.2.1</td><td>Théories Zig-Zag</td><td>26</td></tr><tr><td>1.2.2.2.2</td><td>Théories Global-Local d'ordre supérieur (GLHSDT)</td><td>30</td></tr><tr><td>1.2.2.3</td><td>Modèles à cinématique enrichie</td><td>33</td></tr><tr><td>1.3</td><td>Modèles éléments finis des structures sandwichs multicouches</td><td>35</td></tr><tr><td>1.3.1</td><td>Éléments finis basés sur les théories du premier ordre</td><td>35</td></tr><tr><td>1.3.2</td><td>Éléments finis basés sur les théories d'ordre supérieur</td><td>37</td></tr><tr><td>1.3.3</td><td>Éléments finis basés sur l'approche Layerwise</td><td>40</td></tr><tr><td>1.3.4</td><td>Éléments finis basés sur la théorie de Zig-Zag</td><td>46</td></tr><tr><td>1.4</td><td>Conclusion</td><td>49</td></tr></table>

# PARTIE II DEVELOPPEMENT D'UN NOUVEAU MODELE D'ELEMENTS FINIS SANDWICH SUR LA BASE DE L'APPROCHE LAYERWISE.

## Chapitre 2 Proposition d'un nouveau modèle layerwise pour l'analyse des structures sandwichs et des multicouches

<table><tr><td>2.1</td><td>Introduction</td><td>52</td></tr><tr><td>2.2</td><td>Formulation du modèle proposé</td><td>53</td></tr><tr><td>2.2.1</td><td>Cinématique du présent modèle</td><td>53</td></tr><tr><td>2.2.1.1</td><td>Champ de déplacement de la couche central (âme)</td><td>53</td></tr><tr><td>2.2.1.1.1</td><td>Relation cinématique de la couche centrale</td><td>54</td></tr><tr><td>2.2.1.2</td><td>Champ de déplacement des peaux</td><td>55</td></tr><tr><td>2.2.1.2.1</td><td>Relation cinématique des peaux</td><td>57</td></tr><tr><td>2.2.2</td><td>Loi de comportement d'un stratifiée</td><td>59</td></tr><tr><td>2.2.2.1</td><td>Les efforts résultants dans l'âme</td><td>61</td></tr><tr><td>2.2.2.1.1</td><td>Résultantes en membrane</td><td>61</td></tr><tr><td>2.2.2.1.2</td><td>Moments de flexion et de torsion</td><td>61</td></tr><tr><td>2.2.2.1.3</td><td>Résultantes d'ordre supérieur (second ordre)</td><td>61</td></tr><tr><td>2.2.2.1.4</td><td>Résultantes d'ordre supérieur (troisième ordre)</td><td>62</td></tr><tr><td>2.2.2.1.5</td><td>Résultantes en cisaillement</td><td>62</td></tr><tr><td>2.2.2.1.6</td><td>Résultantes d'ordre supérieur en cisaillement</td><td>62</td></tr><tr><td>2.3</td><td>Conclusion</td><td>65</td></tr></table>
# Chapitre 3 Développement d'un nouvel élément fini rectangulaire (RSFT52)
pour l'analyse des plaques sandwichs et multicouches

<table><tr><td>3.1 Introduction</td><td>67</td></tr><tr><td>3.2 Formulation de l'élément RSFT52</td><td>68</td></tr><tr><td>3.2.1 Description</td><td>68</td></tr><tr><td>3.2.2 Approximation nodale des coordonnées</td><td>68</td></tr><tr><td>3.2.3 Évaluation de la matrice de rigidité</td><td>72</td></tr><tr><td>3.2.3.1 Matrice de rigidité de l'âme</td><td>73</td></tr><tr><td>3.2.3.2 Matrice de rigidité des deux peaux</td><td>74</td></tr><tr><td>3.3 Validation numérique de l'élément RSFT52</td><td>75</td></tr><tr><td>3.3.1 Conditions aux limites adoptées</td><td>75</td></tr><tr><td>3.3.2 Plaques isotropes</td><td>75</td></tr><tr><td>3.3.2.1 Plaque isotrope carrée simplement appuyée sous chargement uniforme</td><td>76</td></tr><tr><td>3.3.2.2 Plaque isotrope rectangulaire simplement appuyée</td><td>77</td></tr><tr><td>3.3.3 Plaques stratifiées</td><td>78</td></tr><tr><td>3.3.3.1 Plaque carrée à trois couches sous chargement sinusoïdal</td><td>78</td></tr><tr><td>3.3.3.2 Plaques carrée à trois et cinq couches sous chargement uniforme</td><td>80</td></tr><tr><td>3.3.3.3 Plaques stratifiées à neuf couches sous chargement doublement sinusoïdal</td><td>83</td></tr><tr><td>3.3.4 Plaques sandwichs</td><td>84</td></tr><tr><td>3.3.4.1 Plaque sandwich carrée symétrique sous chargement sinusoïdal</td><td>84</td></tr><tr><td>3.3.4.2 Plaque sandwich carrée sous chargement uniforme</td><td>89</td></tr><tr><td>3.3.4.3 Plaque sandwich carrée avec des peaux composites stratifiées pour différents types de conditions aux limites</td><td>90</td></tr><tr><td>3.3.4.4 Plaque sandwich carrée avec des peaux stratifiées alternées (angle-ply) soumise à une charge uniformément répartie</td><td>92</td></tr><tr><td>3.3.4.5 Comparaison avec des résultats expérimentaux sur des plaques sandwichs rectangulaires ayant des peaux stratifiées de type CFRP</td><td>97</td></tr><tr><td>3.3.4.6 Étude Paramétriques</td><td>100</td></tr><tr><td>3.4 Conclusion</td><td>104</td></tr></table>
# Chapitre 4 Développement d'un nouvel élément fini isoparamétrique (QSFT52) en introduisant la technique de déformation naturelle

<table><tr><td>4.1 Introduction</td><td>106</td></tr><tr><td>4.2 Construction d'un élément isoparamétrique</td><td>107</td></tr><tr><td>4.2.1 Définition</td><td>107</td></tr><tr><td>4.2.2 Transformation géométrique</td><td>107</td></tr><tr><td>4.2.3 Approximation nodale des coordonnées</td><td>108</td></tr><tr><td>4.2.4 Fonctions d'interpolations de l'élément réel</td><td>110</td></tr><tr><td>4.3 Formulation de l'élément QSFT52</td><td>111</td></tr><tr><td>4.3.1 Description</td><td>111</td></tr><tr><td>4.3.2 Approximation nodale des coordonnées de l'élément QSFT52</td><td>112</td></tr><tr><td>4.3.3 Introduction de la méthode des déformations naturelles de substitution</td><td>115</td></tr><tr><td>4.3.4 Évaluation de la matrice de rigidité</td><td>117</td></tr><tr><td>4.3.4.1 Matrice de rigidité de l'âme</td><td>117</td></tr><tr><td>4.3.4.2 Matrice de rigidité des deux peaux</td><td>119</td></tr><tr><td>4.4 Performance et efficacité de l'élément QSFT52</td><td>119</td></tr><tr><td>4.4.1 Plaque composite starifiée biaise simplement appuyée et soumise à un chargement uniformément réparti</td><td>120</td></tr><tr><td>4.4.2 Plaque sandwich carrée simplement appuyée sous chargement doublement Sinusoïdal</td><td>122</td></tr><tr><td>4.4.3 Plaque sandwich carrée encastrée et soumise à une charge uniformément répartie</td><td>123</td></tr><tr><td>4.4.4 Plaque sandwich carrée sous chargement uniformément réparti</td><td>131</td></tr><tr><td>4.4.5 Plaque sandwich carrée avec des peaux stratifiées alternés (angle-ply)</td><td>131</td></tr><tr><td>4.5 Conclusion</td><td>132</td></tr></table>
# PARTIE III APPLICATION D'ELEMENT QSFT52 POUR L'ETUDE DYNAMIQUE DES PLAQUES SANDWICHS ET DES STRATIFIEES

## Chapitre 5 Vibration libre des plaques sandwichs et des composites stratifiées

<table><tr><td>5.1 Introduction</td><td>137</td></tr><tr><td>5.2 Revue des travaux antérieurs sur l'analyse dynamique des plaques multicouches et des sandwichs</td><td>137</td></tr><tr><td>5.3 Formulation da la matrice masse consistante élémentaire du modèle QSFT52</td><td>141</td></tr><tr><td>5.4 Tests de validation</td><td>146</td></tr><tr><td>5.4.1 Plaque isotrope carrée avec différents types de conditions aux limites</td><td>146</td></tr><tr><td>5.4.2 Plaques composites stratifiées carrées à trois, cinq et neuf couches</td><td>146</td></tr><tr><td>5.4.3 Plaque sandwich carrée simplement appuyée</td><td>148</td></tr><tr><td>5.4.4 Plaque sandwich carrée simplement appuyée ayant des peaux composites stratifiées symétriques</td><td>150</td></tr><tr><td>5.4.5 Plaque sandwich carrée simplement appuyée ayant des peaux composites stratifiées non-symétriques</td><td>156</td></tr><tr><td>5.4.6 Vibration libre des plaques sandwichs stratifiées en utilisant un mousse de PVC dans l'âme</td><td>157</td></tr><tr><td>5.4.7 Vibration libre des plaques composites stratifiées biaises (skew plate)</td><td>158</td></tr><tr><td>Conclusion générale et perspectives</td><td>167</td></tr><tr><td>Références bibliographiques</td><td>170</td></tr></table>
# Liste des figures

## CHAPITRE 1

### APERÇU SUR L'ÉVOLUTION DES THÉORIES AUX ÉLÉMENTS FINIS POUR LA MODÉLISATION DES COMPOSITES SANDWICHS

<table><tr><td>Figure 1.1 :</td><td>Sandwich typique</td><td>7</td></tr><tr><td>Figure 1.2 :</td><td>Modélisation schématique d'une stratifiée par le modèle monocouche et layerwise</td><td>9</td></tr><tr><td>Figure 1.3 :</td><td>Description de déplacement du modèle: monocouche équivalente (à gauche) et par couche (à droite). Cas linéaire et non-linéaire</td><td>9</td></tr><tr><td>Figure 1.4 :</td><td>Géométries déformées et non déformées d'un bord d'une plaque sous l'hypothèse de Kirchhoff</td><td>10</td></tr><tr><td>Figure 1.5 :</td><td>Géométries déformées et non déformées d'un bord d'une plaque sous l'hypothèse de Reissner-Mindlin</td><td>12</td></tr><tr><td>Figure 1.6 :</td><td>Variation de déplacement et des contraintes transversales à travers l'épaisseur pour les deux théories: théorie classique (à gauche) et la théorie du premier ordre (à droit)</td><td>13</td></tr><tr><td>Figure 1.7 :</td><td>Géométries de non déformées et déformées d'une plaque selon les trois théories CLPT, FSDT et HSDT</td><td>15</td></tr><tr><td>Figure 1.8 :</td><td>Schéma de l'approche par-couche</td><td>23</td></tr><tr><td>Figure 1.9 :</td><td>Représentation des déplacements et des fonctions d'approximation linéaire utilisée dans la théorie Layerwise</td><td>25</td></tr><tr><td>Figure 1.10:</td><td>Géométrie et notations employées dans les théories en Zig-Zag</td><td>27</td></tr><tr><td>Figure 1.11 :</td><td>Champ de déplacement des modèles Zig-Zag du premier ordre</td><td>28</td></tr><tr><td>Figure 1.12 :</td><td>Champ de déplacement des modèles Zig-Zag d'ordre supérieur</td><td>28</td></tr></table>
<table><tr><td>Figure 1.13 :</td><td>Système des coordonnées, ordre de couche d'une plaque multicouche</td><td>31</td></tr><tr><td>Figure 1.14 :</td><td>Élément triangulaire à 16 nœuds et leurs degrés de liberté [215]</td><td>37</td></tr><tr><td>Figure 1.15 :</td><td>Élément triangulaire à 6 nœuds de Polit [228]</td><td>39</td></tr><tr><td>Figure 1.16 :</td><td>Élément triangulaire à 13 nœuds de Rezaiee [232]</td><td>40</td></tr><tr><td>Figure 1.17 :</td><td>Élément d'Oskooei and Hansen [244]</td><td>42</td></tr><tr><td>Figure 1.18 :</td><td>Élément brique de Ramtekkar et al. [245]</td><td>42</td></tr><tr><td>Figure 1.19 :</td><td>Élément prismatique de Demiray [247]</td><td>43</td></tr><tr><td>Figure 1.20 :</td><td>Élément (3D) de Linke et al. [249]</td><td>44</td></tr><tr><td>Figure 1.21 :</td><td>Élément triangulaire à 45 nœuds de Ramesh [250]</td><td>45</td></tr><tr><td>Figure 1.22 :</td><td>Élément solide de Darılmaz [252]</td><td>46</td></tr><tr><td>Figure 1.23 :</td><td>Élément brique à 8 nœuds de Cho [157]</td><td>47</td></tr><tr><td>Figure 1.24 :</td><td>Schéma de stratification générale et la configuration de déplacement</td><td>48</td></tr></table>

# CHAPITRE 2

## PROPOSITION D'UN NOUVEAU MODELE LAYERWISE POUR L'ANALYSE DES STRUCTURES SANDWICHS ET DES MULTICOUCHES

<table><tr><td>Figure 2.1 :</td><td>Géométrie et notations d'une plaque sandwich</td><td>53</td></tr><tr><td>Figure 2.2 :</td><td>Cinématique du modèle proposé</td><td>55</td></tr><tr><td>Figure 2.3 :</td><td>Les axes de référence (X, Y, Z); et les axes de fibre du couche (1,2,3)</td><td>59</td></tr></table>
# CHAPITRE 3

## DEVELOPPEMENT D'UN NOUVEL ELEMENT FINI RECTANGULAIRE
(RSFT52) POUR L'ANALYSE DES PLAQUES SANDWICHS ET DES
MULTICOUCHES

<table><tr><td>Figure 3.1 :</td><td>La géométrie de l'élément RSFT52 et les variables cinématiques nodales correspondantes</td><td>68</td></tr><tr><td>Figure 3.2 :</td><td>Plaque rectangulaire ayant une maille de m × n</td><td>76</td></tr><tr><td>Figure 3.3 :</td><td>Plaque stratifiée carrée à trois couches, simplement appuyée sous chargement doublement sinusoïdal</td><td>79</td></tr><tr><td>Figure 3.4 :</td><td>Convergence du déplacement transversal d'une plaque carrée starifiée à trois couches, simplement appuyée, sous doublement chargement sinusoïdal (h/a = 0.25)</td><td>81</td></tr><tr><td>Figure 3.5 :</td><td>Plaque stratifiée carrée à neuf couches</td><td>83</td></tr><tr><td>Figure 3.6 :</td><td>Plaque sandwich carrée symétrique sous chargement doublement sinusoïdal</td><td>84</td></tr><tr><td>Figure 3.7 :</td><td>Influence du rapport d'épaisseur (a/h) sur le déplacement transversal (w̄) d'une plaque sandwich (f/c/f) simplement appuyée sous chargement doublement sinusoïdal</td><td>88</td></tr><tr><td>Figure 3.8 :</td><td>Influence du rapport d'épaisseur (a/h) sur la contrainte de cisaillement (τ̄<sub>xz</sub>) d'une plaque sandwich (f/c/f) simplement appuyée sous chargement doublement sinusoïdal</td><td>88</td></tr><tr><td>Figure 3.9 :</td><td>Influence du rapport d'épaisseur (a/h) sur la contrainte de cisaillement (τ̄<sub>yz</sub>) d'une plaque sandwich (f/c/f) simplement appuyée sous chargement doublement sinusoïdal</td><td>89</td></tr><tr><td>Figure 3.10 :</td><td>Plaque sandwich avec des peaux stratifiées</td><td>90</td></tr><tr><td>Figure 3.11 :</td><td>Plaques sandwichs avec différentes séquences d'empilement</td><td>98</td></tr><tr><td>Figure 3.12 :</td><td>Effet de l'épaisseur de l'âme (h<sub>c</sub>) sur le déplacement transversal (w̄) d'une plaque sandwich (0/90/0/C/0/90/0) avec différentes conditions aux limites</td><td>102</td></tr></table>
**Figure 3.13 :** Effet du rapport d'épaisseur (a/h) sur le déplacement transversal (w̄) d'une plaque sandwich (0/90/0/C/0/90/0) encastré et simplement appuyée .................................................... 103

**Figure 3.14 :** Effet du rapport d'aspect (a/b) sur le déplacement transversal (w̄) d'une plaque sandwich (0/90/0/C/0/90/0) simplement appuyée ....... 103

**Figure 3.15 :** Effet du rapport d'orthotropie (E₁/E₂) de la peau et le rapport (h_c/h), sur le déplacement transversal (w̄) d'une plaque sandwich (0°/90°/0°/C/0°/90°/0°) simplement appuyée .................................... 104

# CHAPITRE 4

## DEVELOPPEMENT D'UN NOUVEL ELEMENT FINI ISOPARAMETRIQUE (QSFT52) EN INTRODUISANT LA TECHNIQUE DE DEFORMATION NATURELLE

**Figure 4.1 :** Transformation géométrique de l'élément réel vers l'élément parent. 108

**Figure 4.2 :** La géométrie de l'élément QSFT52 et les variables cinématiques nodales correspondantes .................................................... 111

**Figure 4.3 :** Position du point de prélèvement pour les composantes: γ̄<sub>xz</sub><sup>f(A)</sup> (à gauche) et γ̄<sub>yz</sub><sup>f(A)</sup> (à droit) .................................................... 116

**Figure 4.4 :** Plaque biaise simplement appuyée avec un maillage de m×n ............ 120

**Figure 4.5 :** Distribution des contraintes planes (a) σ̄<sub>xx</sub> et (b) σ̄<sub>yy</sub>, à travers l'épaisseur pour une plaque sandwich carrée simplement appuyée soumise à une charge sinusoïdale (h/a = 0.1) .................................... 127

**Figure 4.6 :** Distribution des contraintes planes (a) σ̄<sub>xx</sub>, (b) σ̄<sub>yy</sub> et (c) σ̄<sub>xy</sub>, à travers l'épaisseur pour une plaque sandwich carrée simplement appuyée soumise à une charge sinusoïdale (h/a = 0.25) .................... 129

**Figure 4.7 :** Influence du rapport d'épaisseur (a/h) sur le déplacement transversal (w̄) d'une plaque sandwich (f/c/f) encastrée sous chargement uniforme .................................................... 129
# CHAPITRE 5

## VIBRATION LIBRE DES PLAQUES SANDWICH ET DES COMPOSITES
STRATIFIEES

**Figure 5.1 :** Effet du nombre de couches et le rapport d'anisotropie ($E_{11}/E_{22}$) sur la fréquence fondamentale ($\bar{\omega}_1$) d'une Plaque stratifiée carrée simplement appuyée .................................................... 150

**Figure 5.2 :** Plaque sandwich carrée simplement appuyée avec des peaux stratifiées (0/90/C/0/90) pour différents rapport d'épaisseur - Comparaison des fréquences naturelles .................................... 162

**Figure 5.3 :** Plaque sandwich carrée simplement appuyée avec des peaux stratifiées (0/90/C/0/90) pour différents rapport ($h_c/h_f$) - Comparaison des fréquences naturelles .................................... 162

**Figure 5.4 :** Plaque sandwich simplement appuyée ayant des peaux stratifiées (0/90/C/0/90) avec différents rapport d'aspect ($a/b$) - Comparaison des fréquences naturelles .................................... 163
# Liste des tableaux

## CHAPITRE 1

### APERÇU SUR L'ÉVOLUTION DES THÉORIES AUX ÉLÉMENTS FINIS POUR LA MODÉLISATION DES COMPOSITES SANDWICHS

<table><tr><td>Tableau 1.1 :</td><td>Quelques modèles d'ordre supérieur</td><td>19</td></tr></table>

## CHAPITRE 3

### DEVELOPPEMENT D'UN NOUVEL ELEMENT FINI RECTANGULAIRE (RSFT52) POUR L'ANALYSE DES PLAQUES MULTICOUCHES ET DES SANDWICHS

<table><tr><td>Tableau 3.1 :</td><td>Détails de conditions aux limites utilisées pour les exemples numériques</td><td>76</td></tr></table>

<table><tr><td>Tableau 3.2 :</td><td>Déflexion normalisé (w̄) d'une plaque carrée isotrope simplement appuyée</td><td>77</td></tr></table>

<table><tr><td>Tableau 3.3 :</td><td>Déflexion normalisé et contrainte de cisaillement (τ̄xz), d'une plaque isotrope simplement appuyée (E = 1 GPa, ν = 0.2, 0.3 et 0.4)</td><td>78</td></tr></table>

<table><tr><td>Tableau 3.4 :</td><td>Propriétés des matériaux (normalisés) utilisés pour les plaques stratifiées</td><td>79</td></tr></table>

<table><tr><td>Tableau 3.5 :</td><td>Déplacement transversal non-dimensionnel (w̄) d'une plaque stratifiée carrée à trois couches (0/90/0) simplement appuyée sous chargement doublement sinusoïdal</td><td>80</td></tr></table>

<table><tr><td>Tableau 3.6 :</td><td>Déplacement transversal non-dimensionnel (w̄) d'une plaque stratifiée carrée à trois couches (0/90/0), simplement appuyée, sous chargement uniforme</td><td>81</td></tr></table>

<table><tr><td>Tableau 3.7 :</td><td>Déplacement transversal (w̄) d'une plaque stratifiée carrée à cinq</td><td>82</td></tr></table>
couches (0/90/90/90/0), simplement appuyée, sous chargement uniforme

**Tableau 3.8:** Déplacement transversal non-dimensionnel ($\overline{w}$) d'une plaque stratifiée carrée à neuf couches (0/90/0/90/0/90/0/90/0) simplement appuyée, sous chargement doublement sinusoïdal 83

**Tableau 3.9:** Propriétés des matériaux (normalisés) utilisés pour les plaques sandwichs 84

**Tableau 3.10:** Déplacement transversal ($\overline{w}$) et contraintes de cisaillement transversal ($\overline{\tau}_{xz}, \overline{\tau}_{yz}$), d'une plaque sandwich symétrique ($f/c/f$), simplement appuyée, sous chargement doublement sinusoïdal 86

**Tableau 3.11:** Déplacement transversal ($\overline{w}$) d'une plaque sandwich carrée ($f/c/f$), sous chargement réparti uniforme 91

**Tableau 3.12:** Déplacement transversal ($\overline{w}$) et contraintes de cisaillement transversal ($\overline{\tau}_{xz}, \overline{\tau}_{yz}$), d'une plaque sandwich ayant des peaux stratifiées non-symétriques (0/90/C/0/90), sous chargement doublement sinusoïdal, avec différents types de conditions aux limites

**Tableau 3.13:** Déplacement transversal ($\overline{w}$) et contraintes de cisaillement transversal ($\overline{\tau}_{xz}, \overline{\tau}_{yz}$), d'une plaque sandwich ayant des peaux stratifiées non-symétriques ($\theta/\theta+90/C/\theta/\theta+90$), simplement appuyée, sous un chargement uniformément distribué 96

**Tableau 3.14:** Spécifications des matériaux 99

**Tableau 3.15:** Propriétés des matériaux de peaux (CFRP) 99

**Tableau 3.16:** Propriétés des matériaux de l'âme 99

**Tableau 3.17:** Propriétés des matériaux de l'adhésif 99

**Tableau 3.18:** Déflexion ($\overline{w}$) d'une plaque sandwich rectangulaire ayant des peaux stratifiées, sous chargement réparti uniforme 100

**Tableau 3.19:** Propriétés des matériaux utilisés 101
# CHAPITRE 4

## DEVELOPPEMENT D'UN NOUVEL ELEMENT FINI ISOPARAMETRIQUE
(QSFT52) EN INTRODUISANT LA TECHNIQUE DE DEFORMATION
NATURELLE

**Tableau 4.1 :** Déplacement transversal (w̄) d'une plaque composite stratifiée biaise (0/90/0) simplement appuyée sous chargement uniforme .. 121

**Tableau 4.2 :** Déplacement transversal (w̄), contraintes planes (σ̄xx, σ̄yy, τ̄xy) et contraintes de cisaillement transversal (τ̄xz, τ̄yz), d'une plaque sandwich symétrique (f/c/f) simplement appuyée sous chargement doublement sinusoïdal .................................... 124

**Tableau 4.3 :** Déplacement transversal (w̄), contraintes planes (σ̄xx, σ̄yy, τ̄xy) et contraintes de cisaillement transversal (τ̄xz, τ̄yz), d'une plaque sandwich symétrique (f/c/f) encastrée sous chargement uniforme ........................................................................ 130

**Tableau 4.4 :** Propriétés mécaniques utilisés dans l'exemple 4.4.4 .................... 131

**Tableau 4.5 :** Déplacement transversal (w̄), contraintes planes (σ̄xx, σ̄yy, τ̄xy) et contraintes de cisaillement transversal (τ̄xz, τ̄yz), d'une plaque sandwich symétrique (f/c/f) sous chargement uniforme ............ 133

**Tableau 4.6 :** Déplacement transversal (w̄), contraintes planes (σ̄xx, σ̄yy, τ̄xy) et contraintes de cisaillement transversal (τ̄xz, τ̄yz), d'une plaque sandwich carrée avec des peaux stratifiées (f(θ/θ + 90)/c/f(θ/θ + 90)), simplement appuyée et soumise un chargement uniforme ................................................................ 134
# CHAPITRE 5

## VIBRATION LIBRE DES PLAQUES SANDWICH ET DES COMPOSITES
STRATIFIEES

**Tableau 5.1 :** Fréquences propres ($\bar{\omega}$) d'une plaque isotrope carrée avec différents types de conditions aux limites .................................... 147

**Tableau 5.2 :** Effet de l'anisotropie ($E_{11}/E_{22}$) sur la fréquence fondamentale ($\bar{\omega}_1$) de plaques stratifiées carrées (0/90/.../0) simplement appuyées .................................................................................... 149

**Tableau 5.3 :** Fréquence propre fondamentale ($\bar{\omega}_1$) d'une plaque sandwich carrée ($f/c/f$) simplement appuyée .................................... 151

**Tableau 5.4 :** Propriétés mécaniques des matériaux utilisés dans l'exemple 5.4.4 .................................... 149

**Tableau 5.5 :** Fréquence propre non-dimensionnelle, pour différents modes, d'une plaque sandwich carrée simplement appuyée ayant des peaux composites stratifiées symétriques (0/90/C/90/0) .................................... 152

**Tableau 5.6 :** Fréquence propre non-dimensionnelle, pour différents modes, d'une plaque sandwich carrée simplement appuyée ayant des peaux composites stratifiées symétrique [0/90/0/90/0/90/0/90/C]/Sym .................................... 153

**Tableau 5.7 :** Fréquences propres non-dimensionnelles d'une plaque sandwich carrée ayant des peaux composites stratifiées symétriques (0/90/C/90/0) avec différents types de conditions aux limites .................................... 154

**Tableau 5.8 :** Propriétés mécaniques des matériaux utilisés dans l'exemple 5.4.5 .................................... 156

**Tableau 5.9 :** Fréquence fondamentale non-dimensionnelle ($\bar{\omega}_1$) avec différents rapports d'épaisseurs ($a/h$) pour une plaque sandwich carrée simplement appuyée ayant des peaux composites stratifiée non-symétrique (0/90/C/0/90) .................................... 159
**Tableau 5.10:** Fréquence propre non-dimensionnelle ($\bar{\omega}$), pour différents modes, d'une plaque sandwich carrée simplement appuyée ayant des peaux composites stratifiées non-symétriques (0/90/C/0/90) avec différents rapports d'épaisseurs (a/h) .................................... 160

**Tableau 5.11:** Fréquence fondamentale non-dimensionnelle ($\bar{\omega}_1$) avec différents rapports ($h_c/h_f$) pour une plaque sandwich carrée simplement appuyée ayant des peaux stratifiées non-symétriques (0/90/C/0/90) .................................................... 161

**Tableau 5.12:** Fréquence fondamentale non-dimensionnelle ($\bar{\omega}_1$) avec différents rapports d'aspects (a/b) pour une plaque sandwich carrée simplement appuyée ayant des peaux stratifiées non-symétrique (0/90/C/0/90) .................................................... 161

**Tableau 5.13:** Propriétés mécaniques des peaux et de l'âme (HEREX - C70.130) .................................................... 163

**Tableau 5.14:** Fréquences propres non-dimensionnelles ($\bar{\omega}$) d'une plaque sandwich carrée avec différentes séquences d'empilement dans les peaux .................................................... 164

**Tableau 5.15:** Fréquences propres non-dimensionnelles ($\bar{\omega}$), pour différents modes, d'une plaque composite stratifiée carrée biaise (90/0/90/0/90) avec deux types de conditions aux limites (SSSS et CCCC) .................................................... 165
# Introduction générale

## 1. Introduction

Au cours des dernières décennies, le développement rapide des technologies modernes requiert que l'on utilise des matériaux ayant des caractéristiques spécifiques élevées (bons rapports rigidité-poids et résistance-poids, faible coût d'entretien, excellente durabilité et bien d'amples qualités). Les matériaux composites sont des matériaux qui répondent à ces exigences. Ils deviennent de plus en plus incontournables dans de nombreuses composantes structurales comme la marine, le transport, la navigation, les sports, les applications aérospatiales et ils ont été utilisés récemment dans les structures de génie civil comme des compléments aux matériaux classiques (acier, bois et béton). Ces derniers temps, les ingénieurs civils ont exploité les avantages d'utilisation des matériaux composites et spécialement les plastiques renforcés par des fibres de verre dans la réparation du béton.

Parmi les composites les plus convoités, on peut distinguer deux grandes catégories de matériaux composites structuraux: les stratifiés et les sandwichs. Les stratifiés sont des matériaux couramment rencontrés dans les éléments structuraux. Ces derniers sont constitués par l'empilement de plusieurs couches où chaque couche peut avoir une orientation différente, i.e. les caractéristiques mécaniques varient selon les directions considérées. Les sandwichs sont des structures composites dont l'utilisation connaît un essor important. Ces structures se composent de trois couches principales dont les caractéristiques mécaniques sont différentes: deux peaux fines, généralement stratifiées, possédant de très bonnes caractéristiques mécaniques (module d'élasticité élevé ainsi qu'une grande résistance à la compression et à la traction), collées sur une âme épaisse, légère et de faibles caractéristiques mécaniques (mousse, bois) dont le rôle principal est de résister aux efforts de cisaillement. Ces différentes couches sont liées entre elles par collage ou par soudure.

Malgré les nombreux avantages que présentent ces matériaux, leur comportement est assez complexe à cause des problèmes spécifiques liés principalement à leur hétérogénéité. Parmi ces complexités liées à l'hétérogénéité, l'effet de cisaillement transverse est
prédominant et joue un rôle essentiel, car il est considéré comme étant la cause de plusieurs modes de ruptures comme le délaminage au niveau des interfaces, fissure transverse, etc. Cet effet devient beaucoup plus complexe dans le cas des structures sandwichs car la variation des propriétés mécaniques entre le cœur et les peaux est très importante.

Par conséquent, la précision dans la détermination des contraintes de cisaillement transverse est nécessaire lors de la conception des structures composites multicouches. En effet, de nos jours, plusieurs investigations ont été accomplies dans ce domaine afin de résoudre le problème en question.

Toutes les théories et les approches développées à ce jour pour l'analyse des éléments de structures composites et notamment de sandwichs, présentent des limites de performances ou des difficultés dans les moyens de calcul. On cite à titre d'exemple, les modèles monocouche équivalente (approximation globale), dont les variables sont introduites pour toute la plaque/coque. Par conséquent, ces modèles sont incapables de prédire avec précision le comportement local des structures multicouches y compris les endommagements. L'approche monocouche équivalente englobe essentiellement trois théories bien connues: la théorie classique des stratifiés, basée sur les hypothèses de Kirchhoff, qui néglige l'effet de cisaillement transverse, la théorie de déformation en cisaillement du premier ordre, basée sur les hypothèses de Reissner-Mindlin et les théories de déformation en cisaillement d'ordre supérieur basées sur l'approximation non linéaire des déplacements.

Pour ces raisons, des modèles plus précis, basés sur une description par-couche, (layerwise, i.e. approximation locale), ont été proposés. Cette description est plus réponde car chaque couche est traitée individuellement, en imposant les conditions de continuité en déplacements ou en contraintes aux interfaces. Cependant, ces modèles exigent énormément de temps de calcul, notamment lorsque la plaque stratifiée est constituée d'un grand nombre de couche, puisque le nombre d'inconnues augmente d'une manière proportionnelle avec l'augmentation du nombre de couches.

La méthode des éléments finis s'est imposée dans les dernières années comme étant une méthode puissante et efficace, ce qui lui permet d'être largement utilisée dans l'analyse de comportement complexe des structures sandwichs composites. La plupart des modèles éléments finis, basés sur les théories sus-citées, sont pratiquement difficile à mettre en œuvre.
Par conséquent, les ingénieurs doivent choisir entre les modèles éléments finis classiques moins coûteux mais moins précis au niveau local et ceux raffinés et sophistiqués mais trop coûteux en terme de temps de calcul. Ces difficultés ont amené les chercheurs à développer d'autres modèles d'éléments finis assurant un meilleur compromis entre la précision et le faible coût. Toutefois, ce domaine requiert des recherches importantes et plus approfondies sur les modèles d'éléments finis qui sont capables d'analyser d'une manière plus précise le comportement de ces structures.

## 2. Objectif de la thèse

L'objectif principal de cette thèse est le développement d'un nouveau modèle sandwich, basé sur l'approche layerwise mais en gardant tous les avantages de l'approche monocouche, e.g. le nombre de degrés de liberté est indépendant du nombre de couches. Sur la base de ce nouveau modèle, on procède à la création de deux éléments finis en assurant un meilleur compromis entre la précision et le faible coût. Ces éléments développés seront destinés à l'analyse des différents types de comportements (statique et dynamique) des structures en matériaux isotropes, composites stratifiées et plus spécialement les structures sandwichs. Par ailleurs, un autre objectif de ce travail est d'étudier l'influence de différents paramètres sur la variation du déplacement transversal ainsi que les fréquences naturelles d'une plaque sandwich, tels que le rapport d'épaisseur, les combinaisons de conditions aux limites, le rapport d'aspect, le degré d'anisotropie des sandwichs, etc.

## 3. Plan de la thèse:

Le travail de cette thèse est divisé en trois grandes parties:

### Partie I : Synthèse bibliographique

Le premier chapitre est dédié à l'acquisition des connaissances théoriques nécessaires pour l'élaboration de la problématique de cette thèse. Dans un premier temps, nous avons présenté quelques notions générales concernant les matériaux sandwichs composites, ainsi qu'une synthèse sur les approches, les théories et les différents modèles d'éléments finis qui servent à analyser le comportement des structures composites multicouches et des structures sandwich en particulier.

### Partie II : Développement d'un nouveau modèle d'éléments finis sandwich sur la base de l'approche layerwise, articulée autour de trois chapitres :
**Le deuxième chapitre** est consacré à la formulation théorique d'un nouveau modèle de plaque sandwich multicouches, basé sur l'approche layerwise, i.e. combinaison de deux théories: (i) la théorie de déformation en cisaillement du premier ordre (FSDT), pour modéliser les deux peaux; et (ii) la théorie du troisième ordre (TSDT), pour la modélisation de l'âme. Ces deux théories combinées, satisfont les exigences de continuités des déplacements interlaminaires ainsi que les conditions de compatibilité. Dans le présent modèle, les facteurs de correction de cisaillement ne sont pas nécessaires.

**Le troisième chapitre** porte sur le développement et la validation d'un nouvel élément fini de forme rectangulaire (RSFT52), simple et peu coûteux en temps de calcul. Cet élément est défini par quatre nœuds avec treize degrés de liberté par nœud. Il est créé sur la base du modèle layerwise, proposé dans le second chapitre. Les contraintes de cisaillement transversal sont calculées directement en utilisant les équations constitutives plutôt que les équations d'équilibres. L'efficacité et la performance de cet élément, en terme de convergence et de stabilité, sont évaluées à travers une série d'applications en flexion de plaques isotropes, composites stratifiées et sandwichs symétrique / non symétrique, avec différents cas de chargement, de géométrie et de conditions aux limites.

**Le quatrième chapitre** est consacré à la généralisation de l'élément rectangulaire (RSFT52) pour l'analyse des structures ayant des formes plus arbitraires en faisant introduire la notion d'isoparamétrie. Ainsi, un nouvel élément fini quadrilatère isoparamétrique (QSFT52) basé sur le modèle layerwise, présenté dans le deuxième chapitre, a été formulé. La bonne performance de cet élément, en statique, a été clairement démontrée à travers une série d'exemples numériques.

# Partie III : Application de l'élément QSFT52 pour l'étude dynamique des plaques sandwichs et des stratifiées

**Le cinquième chapitre** sera consacré à la validation de l'élément QSFT52, développé au quatrième chapitre, dans la résolution des problèmes dynamiques (vibration libre) des plaques isotropes, composites stratifiées et sandwich (symétrique/non symétrique). Les résultats des fréquences propres seront comparés à ceux déterminés analytiquement et ceux obtenus à l'aide d'autres modèles d'éléments finis disponibles dans la littérature.

Finalement, le travail se termine par une conclusion générale résumant les résultats obtenus et par des perspectives.
# PARTIE I

## SYNTHESE BIBLIOGRAPHIQUE
# Chapitre 1

## Aperçu sur l'évolution des théories aux éléments finis pour la modélisation des composites sandwichs

### 1.1 Introduction

De nos jours, les composites stratifiées reçoivent une attention considérable et deviennent de plus en plus incontournables dans divers domaines de technologie comme les constructions civiles, la marine, le transport, la navigation et les applications aérospatiales, grâce à leurs rapports rigidité-poids et résistance-poids, faible coût d'entretien, excellente durabilité et bien d'amples qualités. Ces qualités permettent le développement des structures légères possédant des rigidités membranaires et flexionnelles très importantes.

Parmi les composites les plus convoités, on notera les structures sandwichs dont l'utilisation prend une allure ascendante depuis un demi-siècle. Ces structures se composent de trois couches principales dont les caractéristiques mécaniques sont différentes. Deux peaux fines, très rigides (métal, composite stratifié, contreplaque, etc.), qui ont un module d'élasticité élevé ainsi qu'une grande résistance à la compression et à la traction. Entre ces deux peaux, il y a une couche épaisse (bois, mousses organiques, nid d'abeilles, balsas, etc.) dite âme (ou cœur) ayant une faible masse volumique et de faibles caractéristiques mécaniques. Son rôle principal est de résister aux efforts de cisaillement ainsi que de maintenir l'écartement entre les peaux, ce qui permet d'augmenter les moments quadratiques de flexion. Ces différentes couches sont liées entre elles par collage ou par soudure (Fig.1.1). Cette configuration donne à la structure sandwich une résistance et une rigidité spécifique avec une faible densité. Pour avoir plus d'informations et de détails sur ces matériaux et leurs applications, le lecteur pourra consulter les ouvrages: Reddy [1, 2], Kollár et Springer [3], Vinson [4], Zenkert [5], Plantema [6]. Jones [7], Carlsson et Kardomateas [8]
<figure><img src="image_2.png" /><figcaption>Fig.1.1 Sandwich typique [9]</figcaption></figure>

Les premières analyses des structures sandwichs qui sont rapportées dans la littérature, ont débuté juste après la deuxième guerre mondiale. En 1948, Libove et Batdorf [10] ont développé une théorie de petit déplacement 'small deflection theory' pour les plaques sandwichs anisotropes. Ce travail a été effectué sous le comité consultatif national pour l'aéronautique 'the National Advisory Committee for Aeronautics (NACA)'. Dans la même année, Reissner [11] a fourni des solutions théoriques aux problèmes à grands déplacements. Il suppose que les deux peaux ayant une épaisseur très petite, reprennent uniquement les efforts membranaires, tandis que l'âme ne subit que les contraintes de cisaillement transverse. En 1950, Reissner [12] a utilisé le même principe de Libove [10] pour étudier les coques sandwichs. En revanche, Hoff [13] et Eringen [14] dérivent l'équation différentielle pour étudier la flexion et le flambement des plaques sandwichs, en utilisant le principe des déplacements virtuels. En 1951, Yen et al. [15] présentent une étude pour les plaques sandwichs simplement supportées soumises à deux types de chargements (uniformément réparti et concentré). Ils ont intégré les équations différentielles pour obtenir le déplacement transversal. Une autre étude a été faite par Gerard [16] pour les plaques sandwichs épaisses. D'autre part, Ericksen [17] a calculé la flèche et les contraintes des panneaux sandwichs sous chargement normal. En 1958, l'auteur [18] a publié un rapport pour analyser les structures sandwichs non-symétriques avec des peaux d'épaisseur inégale. Dans les années soixante, Cheng [19] a présenté les mêmes théories de Reissner, mais dans cette étude, le matériau utilisé pour l'âme était orthotrope. Lin et Yokota [20] ont calculé le moment de flexion et la flèche d'un panneau sandwich sous deux chargements combinés (compression biaxiale et pression). En 1967, Liaw et Little [21] ont considéré une plaque sandwich composée de (n) membranes isotropes ayant différentes épaisseurs et (n-1) cœurs. Cette étude a été reprise par Azar [22] pour les matériaux orthotropes.
Cependant, à cause de leurs complexités et hétérogénéités, le comportement de ce type
de matériaux requiert d'avantage d'investigations et de modélisations tant expérimentales que
numériques.

## 1.2 Modèles et théories de structures sandwichs multicouches

Toutes les théories et les approches développées à ce jour pour l'analyse des éléments de structures conçus à base de ces matériaux, telle que les plaques et les coques minces ou épaisses, présentent des limites de performances ou des difficultés dans les moyens de calcul. Dans ce contexte, de nombreux travaux d'investigations ont été menés à travers les années, dans l'objectif d'améliorer les différentes approches afin de prévoir les réponses statiques et dynamiques ainsi que la stabilité de ces structures. Selon lesquelles on peut distinguer deux modèles principaux: le modèle tridimensionnel (3D) et le modèle bidimensionnel (2D).

### 1.2.1 Modèles tridimensionnels (3D)

L'approche tridimensionnelle vise à donner des résultats plus précis, utilisés notamment comme référence, mais peu d'auteurs ont adopté cette approche à cause de son coût en terme de temps de calcul et en capacité de mémoire pour le stockage de la base des données requise qui est plus importante que celle dans l'analyse bi-dimensionnelle, (Pagano [23, 24], Jones [25], Srinivas et Rao [26, 27], Noor et al. [28, 29] et Kant et Swaminathan [30]). De plus, les solutions 3D sont difficiles à obtenir dans la majorité des cas de géométrie et de conditions aux limites. Parmi les solutions d'élasticité 3D, on trouve l'article de Pagano [24] qui a proposé une solution d'élasticité tridimensionnelle, sous forme de série sinusoïdale, pour le problème de flexion des plaques stratifiées rectangulaires. Une autre solution a été présentée par Noor et al. [28] pour le flambement et la vibration libre de panneaux sandwichs.

### 1.2.2 Modèles de plaques bidimensionnelles (2D)

À ce jour, l'utilisation des modèles bidimensionnels (2D) est préférable dans la plupart des applications liées à l'analyse des structures multicouches. En fait, ces modèles sont plus pratiques que les modèles 3D en termes de simplicité dans la modélisation et d'efforts de calcul nécessaires. Parmi ces modèles, deux familles peuvent être distinguées (Fig.1.2):

* Approche monocouche équivalente (ESL)<fnref n="1" />;

* Approche par-couche (LW)<fnref n="2" />.

<footnote n="1">¹ Equivalent Single Layer Approach</footnote>

<footnote n="2">² Layer-Wise Approach</footnote>
<figure><img src="image_3.png" /><figcaption>**Fig.1.2 Modélisation schématique d'une stratifiée par le modèle monocouche et layerwise**</figcaption></figure>

### 1.2.2.1 Approche de monocouche équivalente (approximation globale)

Dans l'approche monocouche équivalente, qui est la plus adoptée par les chercheurs, la plaque multicouche hétérogène est traitée comme une seule couche homogène équivalente via la technique d'homogénéisation, voir [31-34]. Les variables de cette approche sont introduites pour toute la plaque. Cela va conduire à un nombre de degrés de libertés indépendant par rapport au nombre de couches (Fig.1.3). Selon Reddy [35], les théories du modèle ESL fournissent une description suffisamment précise de la réponse globale de stratifié (i.e. la flèche transversale, la fréquence fondamentale de vibration, la charge critique du flambement et le moment résultant). Les principaux avantages des modèles ESL sont leur simplicité inhérente et leur faible coût de calcul, dû au petit nombre des variables dépendantes.

<figure><img src="image_4.png" /><figcaption>**Fig.1.3 Description du déplacement du modèle: monocouche équivalente (à gauche) et par-couche (à droite). Cas linéaire et non-linéaire [36]**</figcaption></figure>
Dans cette approche, on peut distinguer trois théories bien connues, à savoir:

* Théorie classique des plaques (CLPT)<fnref n="3" />

* Théorie de déformation en cisaillement du premier ordre (FSDT)<fnref n="4" />

* Théories d'ordres supérieurs (HSDT)<fnref n="5" />

### 1.2.2.1.1 Théorie classique des plaques

La théorie classique de plaque est la plus simple et la plus ancienne parmi les autres théories. Elle est initiée par Kirchhoff [37] en 1850, puis elle a été poursuivie par Love [38] au début du XXe siècle, voir [7, 39-47]. Cette théorie est applicable uniquement pour les plaques/coques, minces. Cependant, elle a donné des résultats erronés quand elle a été utilisée dans l'analyse des plaques épaisses. L'hypothèse principale de la théorie CLPT est que les lignes normales au plan médian avant déformation restent droites et perpendiculaires à la surface moyenne après déformation (Fig.1.4). Cette hypothèse implique la négligence des déformations dues au cisaillement transverse (CT)<fnref n="6" /> ($\epsilon_{xz} = \epsilon_{yz} = 0$) et les déformations/contraintes normales ($\epsilon_z = \sigma_z = 0$).

<figure><img src="image_5.png" /><figcaption>**Fig. 1.4** Géométries déformées et non-déformées d'un bord d'une plaque sous l'hypothèse de Kirchhoff [2]</figcaption></figure>

<footnote n="3">³ Classical Lamination Plate Theory</footnote>

<footnote n="4">⁴ First order Shear Deformation Theory</footnote>

<footnote n="5">⁵ Higher order Shear Deformation Theory</footnote>

<footnote n="6">⁶ Cisaillement Transverse</footnote>
La cinématique de cette théorie peut s'écrire d'une manière linéaire sous la forme suivante:

$$ 
\begin{align} 
u(x, y, z) &= u_0(x, y) - z \frac{\partial w_0}{\partial x} \nonumber \\ 
v(x, y, z) &= v_0(x, y) - z \frac{\partial w_0}{\partial y} \tag{1.1} \\ 
w(x, y, z) &= w_0(x, y) \nonumber 
\end{align} 
$$

où

$u_0$, $v_0$ et $w_0$ sont les composantes des déplacements dans le plan moyen.

$w_{,x}$ et $w_{,y}$ sont les rotations dues à la flexion (sans cisaillement) dans les deux directions.

Cependant, cette théorie n'est pas adéquate pour l'analyse des composites multicouches et notamment les structures sandwichs (inadaptée pour la modélisation du cœur), à cause de l'effet du cisaillement transverse. Cet effet joue un rôle très important sur le comportement de ces structures, puisque les rapports entre les modules de Young et les modules de cisaillement sont compris entre 20 et 50 dans les matériaux composites modernes et entre 2,5 et 3,0 dans les matériaux isotropes [48]. En plus, l'effet du cisaillement est la cause de différents modes de rupture comme le délaminage au niveau des interfaces, fissure transverse, etc., alors que, une prédiction précise des contraintes de cisaillement interlaminaires est nécessaire dans l'analyse des défaillances des composites sandwichs.

Étant donné l'importance de la question, Libove et Batdorf [10], Yang et al. [49] et Whitney [50], ont étendu la théorie de Reissner [51], Mindlin [52], dans le cas de plaques isotropes épaisses, pour introduire l'effet de cisaillement dans les plaques sandwichs et les plaques stratifiées anisotropes. Cela est devenu ce qu'on appelle "théorie de déformation en cisaillement du premier ordre" (FSDT) ou la théorie de la plaque de déformation en cisaillement uniforme (USDPT)<fnref n="7" /> [4, 53-58].

### 1.2.2.1.2 Théorie de déformation en cisaillement du premier ordre

La théorie du premier ordre (FSDT) peut être considérée comme une amélioration par rapport à la théorie classique (CLPT). Cette théorie est basée essentiellement sur l'hypothèse suivante de Reissner-Mindlin: les lignes normales au plan médian avant déformation restent

<footnote n="7">⁷ Uniform Shear Deformation Plate Theory</footnote>
droites mais pas forcément perpendiculaires à la surface moyenne après déformation (à cause de l'effet du cisaillement transverse), (Fig.1.5). Ils ont également supposé que la contrainte normale ($\sigma_z$) est négligeable par rapport aux autres composantes du tenseur de contraintes (l'hypothèse de déformation plane). Le champ de déplacement de la théorie du premier ordre s'écrit comme suit:

$$ 
\begin{aligned}
u(x, y, z) &= u_0(x, y) + z\phi_x(x, y) \\
v(x, y, z) &= v_0(x, y) + z\phi_y(x, y) \\
w(x, y, z) &= w_0(x, y)
\end{aligned} 
\qquad (1.2) $$

$\phi_x$ et $\phi_y$ sont les rotations de la normale autour des axes (x, y), respectivement

À partir de l'équation (1.2), nous remarquons que les composantes de déplacements plans (u, v) varient d'une manière linéaire suivant l'axe z, tandis que la composante de déplacement transversal (w) est constante. Cela va conduire à un état de contrainte/déformation de cisaillement transverse constant sur toute l'épaisseur de la plaque (Fig.1.6), alors que, selon la théorie de l'élasticité tridimensionnelle (3D), les contraintes de cisaillement transversal sont plutôt quadratiques à travers l'épaisseur [59]. Cette déficience est corrigée par l'introduction de ce qu'on appelle les facteurs de correction de cisaillement transverse [48, 60-65].

<figure><img src="image_6.png" /><figcaption>**Fig. 1.5** Géométries déformées et non déformées d'un bord d'une plaque sous l'hypothèse de Reissner-Mindlin [2]</figcaption></figure>
<figure><img src="image_7.png" /><figcaption>**Fig.1.6** Variation du déplacement et des contraintes transversales à travers l’épaisseur pour les deux théories: théorie classique (à droite) et la théorie du premier ordre (à gauche) [66]</figcaption></figure>

1.2.2.1.2.1 Facteurs de correction du CT:

Les facteurs de correction du CT (FC), notés *k*, sont ajoutés pour corriger le décalage entre la répartition des contraintes de cisaillement transversal réelles (3D) et celles supposées dans la théorie du premier ordre. Ces facteurs sont introduits comme des paramètres dans les relations constitutives entre les forces de cisaillement transversal et les déformations de cisaillement transversal. Pour les matériaux isotropes homogène, le premier concept de FC a été présenté par Reissner [51, 53, 67]. Il a proposé une valeur de 5/6 qui est largement utilisée, en employant une méthode de calcul basée sur des considérations d'équilibre statique et d'équivalence énergétique. Puis, Mindlin [52] a proposé une valeur de $k = \pi^2/12$, en utilisant la méthode d'analyse dynamique pour la première fois (équivalence de fréquence propre associée au mode de vibration en CT ou de vitesse de propagation d'ondes de flexion [68]). Une autre méthode a été présentée par Ayad [69] pour calculer les facteurs de correction. Il les évalue par une comparaison entre l'énergie de cisaillement obtenue via les équations d'équilibre et celle obtenue par la théorie du premier ordre.

Par ailleurs, les facteurs de correction pour les composites stratifiées et les sandwichs dépendent essentiellement des propriétés matérielles du matériau (module de Young, coefficient de poisson, etc.), du rapport d'aspect, de la forme des fibres ainsi que leurs orientations, de la géométrie du stratifiée, du nombre de stratification et les conditions aux limites, ce qui rend ces facteurs difficiles à déterminer. Dans ce contexte, plusieurs méthodes ont été proposées pour estimer les facteurs de correction dans ces matériaux. La méthodologie la plus courante est basée sur la comparaison de certaines réponses (l'énergie de déformation de CT, la vitesse de propagation d'une onde de flexion, la fréquence naturelle du mode de
vibration, etc.) prédite par la théorie du premier ordre et celles obtenues par la théorie d'élasticité tridimensionnelle [49, 56, 61, 70-72]. Yu [73] a utilisé une méthode basée sur la comparaison des fréquences naturelles (les fréquences obtenues par la théorie d'élasticité 3D et celles obtenues par la théorie du premier ordre) pour les plaques sandwichs.

Whitney [58] a publié une analyse précise pour calculer les facteurs de correction des plaques stratifiées symétriques/antisymétriques et les plaques sandwichs. Il les identifie par une méthode basée sur des considérations des flexions cylindriques. L'auteur a montré que, les facteurs de correction de CT ne s'approchent pas de la valeur classique 5/6, quand le nombre de couches du stratifié augmente. La même remarque a été trouvée par Madabhusi-Raman et Davalos [64]. Dans l'article de Vlachoutsis [60], les facteurs de correction de CT dans le cas sandwich, sont estimés à partir d'une expression analytique, il montre que le rapport d'anisotropie ($E_\mu/E_c$) influe sur les valeurs des FC. Certains auteurs, dont Pai [48], ont présenté une nouvelle formulation de FC, en comparant les résultantes des contraintes de cisaillement exactes et l'énergie de déformation de cisaillement avec ceux déterminées par la théorie du premier ordre. L'article de Birman et Bert [62] résume les différentes méthodes concernant la détermination de ces facteurs pour les poutres/plaques isotropes et sandwichs.

### 1.2.2.1.3 Théories de déformation en cisaillement d'ordre supérieur:

Pour pallier les limitations rencontrées dans les deux théories précédentes (i.e., détermination des contraintes de CT et leurs distributions au sens de l'épaisseur de la plaque), des théories raffinées dites "théories de déformation en cisaillement d'ordre supérieur" (HSDT), ont été proposées par de nombreux chercheurs [74-83]. Ces théories sont basées sur une variation non-linéaire du champ de déplacement (Fig.1.7), afin d'obtenir une meilleure représentation des déformations et des contraintes de cisaillement transverse sans recours à l'utilisation de facteurs de correction de CT. En addition, la théorie de déformation en cisaillement d'ordre supérieur permet de prendre en compte un gauchissement éventuel de la section droite de la plaque lors de la déformation [55].

Selon Touratier [84], un grand nombre de modèles d'ordre supérieur a été développé en utilisant une méthode basée sur le développement en série de puissances (série de Taylor qui a été initialement utilisée par Hildebrand et al. [85] en 1949) du champ de déplacement. Basset [86] en 1890, semble avoir été le premier à suggérer cette idée. L'équation (1.3) présente l'expression générale de ce champ qui s'écrit comme suit:
<figure><img src="image_8.png" /><figcaption>**Fig. 1.7** Géométries non déformées et déformées d'une plaque selon les trois théories CLPT, FSDT et HSDT [87]</figcaption></figure>

$$U_i(M,t) = u_i(M_0,t) + z\omega_i^{(1)}(M_0,t) + z^2\omega_i^{(2)}(M_0,t) + z^3\omega_i^{(3)}(M_0,t) + z^4\omega_i^{(4)}(M_0,t) + \dots, \quad (1.3)$$
où z est la coordonnée normale au plan médian $(x, y, 0)$, les coordonnées d'un point M étant $(x, y, z)$, $M_0 = (x, y, 0)$; $i \in \{x, y, z\}$

Par exemple, dans la théorie classique de Kirchhoff [37] et la théorie de déformation en cisaillement de Mindlin [52], les auteurs ont employé une hypothèse cinématique basée sur l'équation (1.3) avec $\omega_i^{(j)} = 0$ pour $j = 2, 3, 4$ et $\omega_z^{(1)} = 0$.

Certains auteurs, dont Whitney et Sun [79], ont tenté d'améliorer la cinématique de la théorie FSDT en proposant une théorie de second ordre (SSDT)<fnref n="8" />, déduite par l'équation (1.3) avec $\omega_i^{(3)} = \omega_i^{(4)} = 0$ et $\omega_z^{(2)} = \omega_z^{(3)} = 0$, pour l'analyse statique et dynamique des plaques stratifiées orthotropes. Le champ de déplacement considéré est:

$$ 
\begin{align}
u(x, y, z) &= u_0(x, y) + z\phi_x(x, y) + \frac{z^2}{2}\psi_x(x, y) \nonumber \\
v(x, y, z) &= v_0(x, y) + z\phi_y(x, y) + \frac{z^2}{2}\psi_y(x, y) \tag{1.4} \\
w(x, y, z) &= w_0(x, y) + z\phi_z(x, y) \nonumber
\end{align}
$$

<footnote n="8">⁸ Second-Order Shear Deformation Theories</footnote>
où $(\psi_x, \psi_y)$ sont des termes de second ordre.

Une année plus tard, les mêmes auteurs [88] ont développé une autre théorie de second ordre, dans laquelle les composantes de déplacement dans le plan $(u, v)$ varient linéairement, et la composante de déplacement transversal $(w)$ varie d'une manière quadratique à travers l'épaisseur $(\omega_i^{(2)} = \omega_i^{(3)} = \omega_i^{(4)} = 0 \text{ et } \omega_z^{(3)} = 0)$ pour étudier les coques stratifiées cylindriques. La même cinématique a été utilisée par Kwon et Akin [89] et Fares [90]. Nelson et Lorch [77] ont proposé également une théorie de déformation en cisaillement d'ordre deux en utilisant un polynôme quadratique pour les trois composantes de déplacement $(\omega_i^{(3)} = \omega_i^{(4)} = 0)$. Tessler [91] a développé une nouvelle théorie de second ordre pour l'analyse élastostatique linéaire de plaques composites stratifiées épaisses, où les déplacements plans sont linéaires et le déplacement transversal est quadratique à travers l'épaisseur. Sacco et Reddy [92] ont appliqué la même cinématique de Whitney et Sun [79] pour analyser les plaques multicouches en flexion. Ces derniers ont constaté que l'inclusion des termes de second ordre ne s'est pas améliorée de manière significative par rapport à la solution linéaire obtenue par la théorie de FSDT, à cause de l'absence de la variation quadratique des contraintes de CT.

Plusieurs auteurs ont alors développé d'autres théories d'ordre supérieur de plaque en se basant sur l'équation (1.3). En 1975, Reissner [93] a remarqué que les polynômes d'ordre trois pourraient être capables de rapprocher la distribution parabolique des contraintes de cisaillement transversal à travers l'épaisseur de la plaque, en modifiant le champ de déplacement choisi initialement en 1945. En 1977, Lo et al. [75], reprennent cette fois de façon complète le champ de déplacement de Reissner [93].

Levinson [94] et Murthy [81] ont repris l'idée de Reissner [93] et Lo et al. [75], pour présenter une théorie modifiée de déformation en cisaillement du troisième ordre (TSDT)<fnref n="9" /> similaire, dans le but d'analyser les plaques isotropes et les composites stratifiées, respectivement. Mais dans ces théories, les auteurs utilisent les équations d'équilibre qui sont variationnellement incompatibles avec les déplacements. En 1984, Reddy [78] fut le premier à obtenir les équations d'équilibre d'une manière compatible en utilisant le principe des déplacements virtuels. Il développe un modèle plus simple et efficace pour les plaques

<footnote n="9">⁹ Third-Order Shear Deformation Theories</footnote>
composites multicouches, en se basant sur la théorie TSDT ($\omega_i^{(4)} = 0$ et $\omega_z^{(1)} = \omega_z^{(2)} = \omega_z^{(3)} = 0$), où les composants de champ de déplacement membranaires sont des fonctions cubiques et le déplacement transversal est supposé constant selon l'épaisseur de la plaque (Eq.1.5).

$$ 
\begin{aligned}
u(x, y, z) &= u_0(x, y) + z\phi_x(x, y) + z^2\psi_x(x, y) + z^3\zeta_x(x, y) \\
v(x, y, z) &= v_0(x, y) + z\phi_y(x, y) + z^2\psi_y(x, y) + z^3\zeta_y(x, y) \\
w(x, y, z) &= w_0(x, y)
\end{aligned} 
\qquad (1.5) $$

où les termes ($u_0, v_0, w_0$) et ($\phi_x, \phi_y$), ont la même signification physique que ceux mentionnés dans la théorie du premier ordre, ils dénotent les déplacements et les rotations de la normale sur le plan ($z = 0$), respectivement. Les paramètres ($\psi_x, \psi_y, \zeta_x$ et $\zeta_y$) sont des termes d'ordre supérieur dont l'interprétation physique est difficile [95].

Reddy a utilisé les conditions de nullité des contraintes de cisaillement ($\tau_{xz}, \tau_{yz}$) sur les faces supérieures et inférieures de la plaque qui ont été proposées pour la première fois par Levinson [94] dans l'analyse des plaques isotropes et par Murthy [81] et Bert [96] dans l'analyse des plaques stratifiées. Ces conditions permettent de réduire le nombre de variables additionnelles de déplacement (élimination de $\xi$ et $\zeta$). Donc, le champ de déplacement de l'équation (1.5) contiendra des paramètres ayant une signification physique comme suit:

$$ 
\begin{aligned}
u(x, y, z) &= u_0(x, y) + z\phi_x(x, y) + z^3\left(-\frac{4}{3h^2}\right)\left(\phi_x + \frac{\partial w_0}{\partial x}\right) \\
v(x, y, z) &= v_0(x, y) + z\phi_y(x, y) + z^3\left(-\frac{4}{3h^2}\right)\left(\phi_y + \frac{\partial w_0}{\partial y}\right) \\
w(x, y, z) &= w_0(x, y)
\end{aligned} 
\qquad (1.6) $$

où $h$ est l'épaisseur totale de la plaque.

La théorie de Reddy est devenue très populaire parce qu'elle donne une meilleure précision pour les contraintes de cisaillement transversal, et se traduisent par une distribution parabolique de ces contraintes, sans recours à des facteurs de correction. En plus, le nombre de variables est le même que dans la théorie FSDT (Cinq variables indépendantes). Cette
théorie est aussi connue sous le nom de "la théorie de la plaque de déformation en cisaillement parabolique (PSDPT)$^{10}$".

Certains auteurs, dont Senthilnathan et al. [97], ont utilisé cette théorie de Reddy pour l'analyse du flambage des plaques isotropes et composites. Ils ont enrichi la composante de déplacement normal en introduisant des variables supplémentaires comme suit:

$$w(x, y, z) = w_f(x, y) + w_c(x, y) \qquad (1.7)$$

où les notations *f* et *c* indiquent les contributions de la flexion et du cisaillement transverse au déplacement normal, respectivement.

Lee et al. [98] ont utilisé autrement la cinématique de Reddy pour l'analyse non-linéaire des plaques isotropes épaisses.

En outre, Rohwer [99] a présenté une étude comparative de sept modèles basés sur des théories différentes (CLPT, SSDT et HSDT) pour l'analyse des plaques composites multicouches. Il a aussi montré les avantages et les limites de ces modèles et a conclu d'après les résultats obtenus que la théorie de la plaque de Reddy est une bonne alternative parmi toutes les théories en cisaillement de déformation d'ordre supérieur dans la littérature. Selon Ferreira et al. [100], la théorie de Reddy est le meilleur choix pour les théories HSDT et reste toujours la théorie la plus simple et la plus populaire dans l'analyse des plaques composites stratifiées.

Kant et Swaminathan [30] ont proposé des solutions analytiques pour l'analyse statique des plaques composites et des sandwichs simplement appuyées. Ils ont présenté deux modèles d'ordre supérieur où le champ de déplacement est défini de telle façon que les trois composantes ($u, v, w$) soient cubiques pour le premier modèle et pour le deuxième modèle les deux composantes membranaires ($u, v$) soient cubiques et la composante transversale ($w$) soit constante sur l'épaisseur de la plaque. La comparaison a été faite avec des solutions d'élasticité (3D) données par Pagano [24] et d'autres modèles trouvés dans la littérature [54, 78, 97]. Cette comparaison a montré la précision et la fiabilité de ces deux modèles dans le calcul de déplacement transversal et les contraintes. Un résumé de quelques modèles d'ordre supérieur discuté précédemment est donné dans le tableau 1.

<footnote>$^{10}$Parabolic Shear Deformation Plate Theory</footnote>
<table><caption>**Tableau 1.1** Quelques modèles d'ordre supérieur</caption><thead><tr><th>Théories</th><th>Déformation dans le plan</th><th>Déformation de cisaillement transverse</th><th>Déformation normale transversale</th></tr></thead><tbody><tr><td>Whitney et Sun [79]</td><td>Quadratique</td><td>Linéaire</td><td>Constant</td></tr><tr><td>Whitney et Sun [88]</td><td>Linéaire</td><td>Linéaire</td><td>Linéaire</td></tr><tr><td>Nelson et Lorch [77]</td><td>Quadratique</td><td>Linéaire</td><td>Linéaire</td></tr><tr><td>Lo et al. [75]</td><td>Cubique</td><td>Quadratique</td><td>Linéaire</td></tr><tr><td>Kant [82]</td><td>Cubique</td><td>Quadratique</td><td>Linéaire</td></tr><tr><td>Reddy [78]</td><td>Cubique</td><td>Quadratique</td><td>Zéro</td></tr><tr><td>Bert [96]</td><td>Cubique</td><td>Quadratique</td><td>Zéro</td></tr><tr><td>Krishna Murty [101]</td><td>Cubique</td><td>Quadratique</td><td>Zéro</td></tr></tbody></table>

Dans la littérature, il existe un certain nombre de modèles basés sur des théories non-polynomiales [84, 102-110]. Ces modèles permettent de décrire le gauchissement à travers l'épaisseur de la plaque, et donnent ainsi une distribution adéquate pour les déformations et les contraintes de cisaillement transversal. En 1877, Levy [103] a développé une théorie raffinée pour les plaques isotropes épaisses pour la première fois, en utilisant des fonctions sinusoïdales (i.e. fonctions trigonométriques) dans le champ de déplacement. Mais, l'efficacité de cette théorie de plaque particulière n'a pas été validée pour plus d'un siècle [111]. Stein [108] a évalué cette théorie pour l'appliquer dans les plaques isotropes de forme modifiée. Plus tard, Stein et Jegley [112] ont étudié l'effet de cisaillement transverse dans la flexion cylindrique de plaques composites stratifiées, en utilisant la théorie de la plaque de déformation en cisaillement trigonométrique (TSDPT)<fnref n="11" />. Ils ont prouvé que cette théorie prédit les contraintes avec plus de précision que les autres théories.

Touratier [84] a proposé un nouveau modèle, qui est largement utilisé dans les plaques stratifiées et sandwichs, en se basant sur la théorie TSDPT. L'auteur a utilisé une fonction sinusoïdale pour décrire la cinématique de son modèle où le champ de déplacement est donné par les expressions suivantes :

<footnote n="11">¹¹ Trigonometric Shear Deformation Plate Theory</footnote>
$$
\begin{align}
u(x, y, z) &= u_0(x, y) - z \frac{\partial w_0}{\partial x}(x, y) + \frac{h}{\pi} \sin\left(\frac{\pi z}{h}\right) \psi_x \nonumber \\
v(x, y, z) &= v_0(x, y) - z \frac{\partial w_0}{\partial y}(x, y) + \frac{h}{\pi} \sin\left(\frac{\pi z}{h}\right) \psi_y \tag{1.8} \\
w(x, y, z) &= w_0(x, y) \nonumber
\end{align}
$$

D'après l'équation (1.8), on remarque que ce modèle se rapproche beaucoup des modèles à base de polynômes d'ordre supérieur. Selon Nguyen [113], les contraintes de cisaillement transversal déterminées par le modèle "sinus" prennent une forme sinusoïdale dans l'épaisseur de la plaque. La précision de ce modèle par rapport à la solution exacte est meilleure que la théorie de Reddy.

En 1997, Idlbi et al. [114] ont présenté une étude comparative entre la théorie de Reddy (PSDPT), celle de Touratier [84] (TSDPT) et les théories classiques (CLPT et FSDT), pour la flexion et la vibration des plaques multicouches (Cross-Play et Sandwich). Ils ont montré que le modèle raffiné de type sinus est préférable, en particulier lorsque les exigences de continuité interlaminaire sont incluses.

Un nouveau modèle basé sur une autre théorie nommée la théorie de la plaque de déformation en cisaillement hyperbolique (HSDPT)<fnref n="12" /> a été développé par Soldatos [115] pour l'analyse des plaques monocliniques homogènes. L'auteur a utilisé la fonction sinus hyperbolique pour les composantes membranaires tandis que le déplacement transversal est considéré comme constant à travers l'épaisseur. La cinématique de ce modèle est de la forme suivante:

$$
\begin{align}
u(x, y, z) &= u_0(x, y) - z \frac{\partial w_0}{\partial x}(x, y) + h \sinh\left(\frac{z}{h}\right) - z \cosh\left(\frac{1}{2}\right) \psi_x \nonumber \\
v(x, y, z) &= v_0(x, y) - z \frac{\partial w_0}{\partial y}(x, y) + h \sinh\left(\frac{z}{h}\right) - z \cosh\left(\frac{1}{2}\right) \psi_y \tag{1.9} \\
w(x, y, z) &= w_0(x, y) \nonumber
\end{align}
$$

Soldatos et Timarci [116] ont unifié la théorie HSDPT pour les plaques composites multicouches. Le principal avantage de cette théorie unifiée est la capacité de modifier la répartition des contraintes transversales [117]. Il existe d'autres travaux notamment ceux de Karama et al. [110] qui ont proposé une nouvelle fonction dite "exponentielle" pour les

<footnote n="12">¹² Hyperbolic Shear Deformation Plate Theory</footnote>
poutres composites stratifiées. Elle est plus tard étendue aux plaques stratifiées [118]. Les fonctions exponentielles s'avèrent beaucoup plus riches que les fonctions trigonométriques (sinus et cosinus) dans leur série de développement de Fourier [110]. Elle est communément connue par la théorie de plaque de la déformation en cisaillement exponentielle (ESDPT)<fnref n="13" /> dont le champ de déplacement s'écrit comme suit:

$$
\begin{align}
u(x, y, z) &= u_0(x, y) - z \frac{\partial w_0}{\partial x}(x, y) + ze^{-2(z/h)^2} \psi_x \\
v(x, y, z) &= v_0(x, y) - z \frac{\partial w_0}{\partial y}(x, y) + ze^{-2(z/h)^2} \psi_y \tag{1.10} \\
w(x, y, z) &= w_0(x, y)
\end{align}
$$

Le choix de la fonction exponentielle permet un développement en puissance paires et impaires de la variable z alors que la fonction “sinus” (Touratier [84]) ne permet qu’un développement en puissances impaires [113].

En 2006, Aydogdu [117] a présenté une étude dans laquelle il a comparé les différentes théories d'ordre supérieur (PSDPT, TSDPT, HSDPT et ESDPT) avec la théorie d'élasticité tridimensionnelle. L'auteur a montré que le déplacement transversal et les contraintes sont mieux prédits par la théorie ESDPT, tandis que les deux théories PSDPT et HSDPT donnent des prédictions plus précises des fréquences naturelles et des charges critiques de flambement par rapport à d'autres théories.

Généralement, afin d'augmenter la précision des résultats, une croissance dans le degré du polynôme de l'équation (1.3) peut être une alternative. Cette technique est peu adoptée par les chercheurs à cause de son coût élevé en termes de calcul. Dans ce contexte, plusieurs simplifications ont été proposées afin de réduire le nombre de paramètres de déplacement. Une de ces simplifications consiste à raccourcir les derniers termes de la série de Taylor en introduisant une "fonction de cisaillement" [119]. La forme du déplacement proposée à travers l'épaisseur est alors la suivante :

$$
\begin{align}
u(x, y, z) &= u_0(x, y) - z \frac{\partial w_0}{\partial x} + f(z) \theta_x(x, y) \nonumber \\
v(x, y, z) &= v_0(x, y) - z \frac{\partial w_0}{\partial y} + f(z) \theta_y(x, y) \tag{1.11} \\
w(x, y, z) &= w_0(x, y) \nonumber
\end{align}
$$

<footnote n="13">¹³ Exponential Shear Deformation Plate Theory</footnote>
$f(z)$ peut être considérée comme la fonction de cisaillement qui permet de déterminer la distribution des déformations et des contraintes de cisaillement transversal à travers l'épaisseur. Selon cette fonction $f(z)$, nous pouvons distinguer quelques modèles d'ordre supérieurs importants dans la littérature qui sont chronologiquement décrits comme suit:

Ambarsumyan [44]
$$f(z) = \frac{z}{2} \left( \frac{h^2}{4} - \frac{z^2}{3} \right)$$

Kaczkowski [120], Panc [121] et Reissner [122]
$$f(z) = \frac{5z}{4} \left( 1 - \frac{4z^2}{3h^2} \right)$$

Levinson [94], Murthy [81] et Reddy [78]
$$f(z) = z \left( 1 - \frac{4z^2}{3h^2} \right)$$

Levy [103], Stein [108] et Touratier [84]
$$f(z) = \frac{h}{\pi} \sin \left( \frac{\pi z}{h} \right)$$

Soldatos [115]
$$f(z) = h \sinh \left( \frac{z}{h} \right) - z \cosh \left( \frac{1}{2} \right)$$

Karama et al. [110, 118]
$$f(z) = ze^{-2(z/h)^2}$$

Ferreira et al. [123]
$$f(z) = \sin \left( \frac{\pi z}{h} \right)$$

Aydogdu [102]
$$f(z) = z \alpha^{-2(z/h)^2 / \ln \alpha}, \quad \alpha > 0$$

Mantari et al. [124]
$$f(z) = z \alpha^{-2(z/h)^2}$$

Mantari et al. [125]
$$f(z) = \tan(mz)$$

Mantari et al. [106]
$$f(z) = \sin \left( \frac{\pi z}{h} \right) e^{m \cos(\pi z / h)}$$

Mantari et Guedes Soares [126]
$$f(z) = \sinh \left( \frac{z}{h} \right) e^{m \cosh(z/h)}$$

Grover et al. [127]
$$f(z) = \sinh^{-1} \left( \frac{rz}{h} \right) - z \frac{2r}{h\sqrt{r^2 + 4}}, \quad r = 3$$

Sahoo et Singh [128]
$$f(z) = \cot^{-1} \left( \frac{rh}{z} \right) - \frac{4r}{h(4r^2 + 1)}, \quad r = 0.46$$

Les théories issues d'une approche monocouche équivalente sont incapables de décrire et prédire avec précision le comportement local des structures sandwichs y compris les
endommagements. Par exemple, la répartition des contraintes interlaminaires entre les couches, délaminages, etc. Ainsi, le problème majeur qui prévalait encore dans cette approche est la discontinuité des contraintes de cisaillement transversal au niveau des interfaces, qui est d'une grande importance dans la conception des structures. Ces constatations ont motivé les chercheurs à développer d'autres théories qui permettent une définition des champs par couche.

### 1.2.2.2 Approche par-couche ou couche discrète (approximation locale)

Les théories mentionnées ci-dessus ne parviennent pas à prédire et décrire avec précision les déformations et les contraintes locales, parce que ces dernières dépendent de la rigidité élastique des couches constitutives et leur ordre d'empilement. Par conséquent, l'utilisation d'une description par-couche devient indispensable pour l'obtention d'une description complète en 3D des états des contraintes et des déformations dans les stratifiés. Les modèles de type layerwise supposent des champs de déplacement séparément propres à chaque couche matérielle plutôt qu'une cinématique globale. Ces derniers consistent donc à fournir une représentation cinématiquement correcte de la déformation dans les couches discrètes stratifiées, et permettre la détermination exacte des contraintes aux niveaux des plis.

Dans cette approche, chaque couche est traitée individuellement (Fig.1.8), en imposant les conditions de continuité en déplacements ou en contraintes aux interfaces. On applique à chaque sous structure la théorie du premier ordre ou une théorie d'ordre supérieur, ce qui conduit à un nombre de variables dépendant du nombre de couches. Les équations de mouvement sont écrites pour chaque couche constitutive, alors que les conditions d'interface sur les déplacements et les variables de contraintes transversales, sont présentées comme étant supplémentaires [129].

<figure><img src="image_9.png" /><figcaption>**Fig.1.8** Schéma de l'approche par-couche [130]</figcaption></figure>
Le développement des théories basées sur l'approche par-couche (layerwise) a été lancé par Kao et Ross [131], Srinivas [132], Sun et Whitney [133], Swift et Heller [134], Seide [135] et d'autres auteurs [136-142]. Kao et Ross [131] ont fait une première tentative pour les poutres sandwichs multi-cœurs. Par la suite, Srinivas [132] a présenté une théorie de stratifiée discrète pour l'analyse des plaques multicouches. Dans son modèle, les composantes de déplacements plans sont considérées linéaires pour chaque couche et le déplacement transversal est supposé constant sur l'épaisseur de la plaque. Sun et Whitney [133] ont utilisé la même idée dans une autre procédure pour l'obtention de la réponse dynamique des plaques stratifiées. Ils ont considéré la cinématique de la théorie FSDT pour chaque couche séparément. Le champ de déplacement pour $k^{th}$ couche est exprimé comme suit:

$$ 
\begin{align} 
u^k(x, y, z) &= u_0^k(x, y) + z\phi_x^k(x, y) \nonumber \\ 
v^k(x, y, z) &= v_0^k(x, y) + z\phi_y^k(x, y) \tag{1.12} \\ 
w^k(x, y, z) &= w_0^k(x, y) \nonumber 
\end{align} 
$$

Les auteurs utilisent les conditions de continuité des contraintes de cisaillement au niveau des interfaces afin de réduire le nombre d'inconnues à cinq, qui est le même que le FSDT quel que soit le nombre de couches. Dans cette analyse, les facteurs de correction de cisaillement de Mindlin sont utilisés.

Ren [143] et Kassapoglou et Lagace [144, 145], se sont concentrés sur l'estimation de contraintes d'interface en construisant une cinématique plus riche, basée sur l'approche en contraintes. Ils ont supposé que les composantes de contraintes de CT sont quadratiques pour chaque couche et continues au niveau de l'interface. La même approche a été adoptée par Yin [146, 147] pour déterminer les contraintes interlaminaires.

En 1987, Reddy [136] a proposé une approximation par-couche, plus fine, des champs de déplacement suivant l'épaisseur d'une multicouche (Fig.1.9). Ce modèle est basé sur l'idée que les déplacements peuvent être représentés comme une combinaison linéaire des produits de fonctions des coordonnées dans le plan et les fonctions de l'épaisseur. Le champ de déplacement correspondant dans la $k^{ème}$ couche s'écrit comme suit:
$$
\begin{align}
u^k (x, y, z) &= \sum_{j=1}^{n} U_j^k (x, y) \phi_j^k (z) \nonumber \\
v^k (x, y, z) &= \sum_{j=1}^{n} V_j^k (x, y) \phi_j^k (z) \tag{1.13} \\
w^k (x, y, z) &= \sum_{j=1}^{n} W_j^k (x, y) \phi_j^k (z) \nonumber
\end{align}
$$

où $u^k$, $v^k$ et $w^k$ représentent les composantes des déplacements de la couche $k$ dans les directions $x$, $y$ et $z$, respectivement; $\phi_j^k(z)$ sont des fonctions d'interpolation de Lagrange (1D) continues selon les coordonnées de l'épaisseur.

<figure><img src="image_10.png" /><figcaption>**Fig.1.9** Représentation des déplacements et des fonctions d'approximation linéaire
utilisée dans la théorie Layerwise [2]</figcaption></figure>

Cho et al. [140, 141] ont présenté une théorie dite "Cho et al. Higher order, Individual-
Layer Theory" pour l'analyse des contraintes thermiques dans les plaques composites
stratifiées. Ils ont utilisé la cinématique suggérée par Lo et al. [75] pour l'appliquer à chaque
couche séparément. Cette théorie satisfait la compatibilité des déplacements et les conditions
de l'équation d'équilibre de contraintes de cisaillement au niveau de l'interface. Le champ de
déplacement s'écrit comme suit:

$$
\begin{align}
u_k(x, y, z_k) &= u_{0k}(x, y) + z_k u_{1k}(x, y) + z_k^2 u_{2k}(x, y) + z_k^3 u_{3k}(x, y) \nonumber \\
v_k(x, y, z_k) &= v_{0k}(x, y) + z_k v_{1k}(x, y) + z_k^2 v_{2k}(x, y) + z_k^3 v_{3k}(x, y) \tag{1.14} \\
w_k(x, y, z_k) &= w_{0k}(x, y) + z_k w_{1k}(x, y) + z_k^2 w_{2k}(x, y), \quad k=1,2,\dots,n \nonumber
\end{align}
$$
où n est le nombre de couches du stratifié.

Plus tard, un nouveau modèle basé sur la théorie layerwise d'ordre supérieur a été proposée par Lee et al. [148] pour la flexion des plaques composites stratifiées. Les auteurs ont supposé que les composantes des déplacements dans le plan possèdent une variation cubique pour chaque couche, ainsi, une variation quadratique pour les contraintes de cisaillement avec des valeurs nulles aux surfaces libres (Eq.1.15). Dans ce modèle, la continuité des déplacements plans et les contraintes de cisaillement transversal au niveau des interfaces est assurée. On note également que le nombre de variables étant le même que celui de la théorie de Mindlin (FSDT).

$$ 
\begin{align} 
u^k(x, y, z) &= u_0^k - z \frac{\partial w_0}{\partial x} + \left(z - \frac{4z^3}{3h^2}\right) \phi_x^k \nonumber \\ 
v^k(x, y, z) &= v_0^k - z \frac{\partial w_0}{\partial y} + \left(z - \frac{4z^3}{3h^2}\right) \phi_y^k \tag{1.15} \\ 
w^k(x, y, z) &= w_0^k(x, y), \quad k=1, \dots, n \nonumber 
\end{align} 
$$

Bien que la performance de l'approche layerwise soit bonne en termes de précision, lorsqu'il s'agit de l'estimation et la représentation des contraintes interlaminaires. Cependant, cette approche requiert un temps de calcul relativement long, puisque le nombre d'inconnues augmente d'une manière proportionnelle avec l'augmentation du nombre de couches. Ce qui a amené les chercheurs à développer d'autres théories raffinées en assurant un compromis significatif entre la précision des solutions et le faible temps de calcul.

### 1.2.2.2.1 Théories Zig-Zag

Pour remédier au problème de temps de calcul élevé dans les théories de plaques à couche discrète, Di Sciuva [149, 150], Murakami [151], Cho et Parmerter [152, 153], Lu et Liu [154] et d'autres auteurs, ont présenté des modèles raffinés de type Zig-Zag (ZZT)<fnref n="14" /> dont les déplacements plans ont une variation linéaire [149, 150, 155-157] (Figs.1.10, 1.11) ou d'ordre supérieur [151-153, 158-166] (Fig.1.12), par morceaux, dans la direction de l'épaisseur. L'avantage principal du champ de déplacements des modèles Zig-Zag réside dans l'introduction de la perturbation de l'interface sans augmenter le degré de l'ordre des équations fondamentales de la théorie de couche équivalente [119].

<footnote n="14">¹⁴ Zig-Zig Theories</footnote>
Dans ces modèles, les conditions de continuité des déplacements et des contraintes de cisaillement transversal aux niveaux d'interfaces (entre les peaux et l'âme) sont respectées dans quelques travaux. Et le plus important, est que le nombre de variables cinématiques est indépendant du nombre de couches (comme dans l'approche ESL). L'idée fondamentale dans le développement de théories en Zig-Zag consiste à prendre un certain modèle de déplacement (ou de contraintes) dans chaque couche, puis d'utiliser les conditions de compatibilité et de l'équilibre d'interface pour réduire le nombre de variables inconnues [129].

<figure><img src="image_11.png" /><figcaption>**Fig.1.10** Géométrie et notations employées dans les théories en Zig-Zag [167]</figcaption></figure>

Historiquement, la plupart des contributions significatives concernant les théories de Zig-Zag sont originaires de l'école russe. En 2003, Carrera [167] a présenté un aperçu historique détaillé sur les théories Zig-Zag pour l'analyse des plaques et des coques en matériaux multicouches, dans lequel les trois théories fondamentales ont été abordées, à savoir: la théorie multicouche de Lekhnitskii (LMT)<fnref n="15" />, la théorie multicouche d'Ambartsumian (AMT)<fnref n="16" /> et la théorie multicouche de Reissner (RMT)<fnref n="17" />.

Les théories LMT et AMT décrivent l'effet Zig-Zag par l'introduction de conditions de continuité des contraintes de cisaillement transverses à travers les équations constitutives de chaque couche et les relations entre la déformation et le déplacement. Par contre, la RMT utilise les équations indépendantes dans la théorie [168].

<footnote n="15">¹⁵ Lekhnitskii Multilayered Theory</footnote>

<footnote n="16">¹⁶ Ambartsumian Multilayered Theory</footnote>

<footnote n="17">¹⁷ Reissner Multilayered Theory</footnote>
<figure><img src="image_12.png" /><figcaption>Fig.1.11 Champ de déplacements des modèles Zig-Zag du premier ordre [168]</figcaption></figure>

<figure><img src="image_13.png" /><figcaption>Fig.1.12 Champ de déplacements des modèles Zig-Zag d'ordre supérieur [168]</figcaption></figure>

En 1935, Lekhnitskii [169] a été le premier à proposer la théorie de Zig-Zag pour les structures multicouches. Elle est obtenue par la résolution d'un problème d'élasticité des poutres cantilevers. Dans cette théorie, l'auteur décrit la forme en Zig-Zag d'un champ de déplacement dans le sens de l'épaisseur et l'équilibre des contraintes transversales aux interfaces. En outre, des contributions exceptionnelles dans l'analyse des sous-structures (plaques/coques) composites ont été établies par Ambartsumian [170, 171]. En 1969, Whitney [50] a par la suite étendu la théorie multicouche d'Ambartsumian aux problèmes de plaques stratifiées anisotropes, symétriques et non-symétriques. Sur la base de la théorie AMT, Di Sciuva [149] a développé une théorie de type Zig-Zag pour les plaques multicouches anisotropes. Dans ce modèle, les composantes des déplacements plans possèdent une distribution linéaire par morceaux dans le sens de l'épaisseur de la plaque, ainsi la continuité
des déplacements et des contraintes de cisaillement transversal aux interfaces est satisfaite (la déformation transversale normale est négligée). Deux ans après, l'auteur a appliqué son modèle (LZZ)<fnref n="18" /> aux problèmes de flexion, vibration libre et flambage, des plaques composites multicouches [150].

En 1986, Murakami [151] propose un nouveau modèle, en utilisant la théorie variationnelle de Reissner [172]. Il a introduit dans le modèle de plaque de Reissner-Mindlin une fonction de type Zig-Zag (MZZF)<fnref n="19" />. Dans ce modèle, le champ de déplacement globale de la théorie FSDT est superposé avec celui de type Zig-Zag dans le sens de l'épaisseur, afin d'avoir les composantes des déplacements plans (Eq.1.16).

$$ 
\begin{aligned}
u(x, y, z) &= u_0(x, y) + z\phi_x(x, y) + M(z)u^{zz}(x, y) \\
v(x, y, z) &= v_0(x, y) + z\phi_y(x, y) + M(z)v^{zz}(x, y) \\
w(x, y, z) &= w_0(x, y)
\end{aligned} 
\qquad (1.16) $$

où la fonction M de Murakami est définie selon la formule suivante:

$$ M(z) = (-1)^k \zeta_k \text{ avec } \zeta_k = \frac{2z_k}{h_k} $$

$\zeta_k$ est la coordonnée adimensionnelle d'un point situé sur la couche k, $u^{zz}$ et $v^{zz}$ sont les amplitudes effectives de l'effet du zig-zag, ayant le sens de déplacements.

Une année plus tard, Toledano et Murakami [173, 174] ont développé cette théorie en ajoutant des termes du deuxième et troisième ordre au champ de déplacement de Murakami, afin d'enrichir leur cinématique (Eq.1.17).

$$ u_i(x, y, z) = u_{i0} + z\psi_i + z^2\xi_i + z^3\zeta_i + (-1)^k \zeta_k u^{zz}(x, y), \quad i \in \{x, y, z\} \qquad (1.17) $$

En 1995, Carrera [175] a généralisé la théorie de zig-zag de Murakami jusqu'à l'ordre n, en considérant le champ de déplacement suivant:

$$ u_i(x, y, z) = u_{i0} + z\phi_i^{(1)} + z^2\phi_i^{(2)} + \dots + z^N\phi_i^{(N)} + M(z)u_i^{zz}(x, y), \quad i \in \{x, y, z\} \qquad (1.18) $$

Dans le même contexte, Cho et Parmerter [152, 153] ont fourni une théorie efficace de type Zig-Zag en combinant la théorie d'ordre supérieur de Reddy avec celle de Di Sciuva

<footnote n="18">¹⁸ Linear Zig-Zag model</footnote>

<footnote n="19">¹⁹ Murakami's Zig-Zag Function</footnote>
[150]. Par ailleurs, Di Sciuva et Gherlone [176] ont proposé une théorie de zig-zag d'ordre supérieur (HZZT)<fnref n="20" />, capable de calculer les contraintes de cisaillement transversal à partir des équations constitutives. Cette théorie conduit à une variation parabolique des contraintes de cisaillement par morceaux qui s'annulent sur les surfaces supérieure et inférieure.

Pour avoir plus d'informations et de détails sur les différentes approches, théories et modèles d'éléments finis, des revues bibliographiques exhaustives, servant à analyser le comportement des structures composites multicouches et notamment les structures sandwichs, sont accessibles et sont données par [9, 35, 36, 59, 95, 114, 117, 129, 177-186].

### 1.2.2.2.2 Théories Global-Local d'ordre supérieur (GLHSDT)<fnref n="21" />

Étant donné que les théories mentionnées ci-dessus présentent des limitations dans la prédiction des contraintes de cisaillement transversal directement à partir des équations constitutives, des théories nommées "théorie Global-Local d'ordre supérieur" (GLHSDT), basées sur des hypothèses de superposition double (global-local), ont été proposées pour surmonter ces limitations. Dans cette théorie, le nombre de variables est indépendant du nombre de couches (pour plus de détails, on peut consulter les deux références [185, 186]). Li et Liu [187] furent les premiers à initier des travaux concernant cette approche. Les auteurs ont proposé un modèle, où les conditions de continuités de déplacements et ceux des contraintes de cisaillement interlaminaires sont satisfaites (Eq.1.19). Ainsi, les conditions de nullité des contraintes de cisaillement sur les deux faces libres de la plaque sont également imposées (Eq.1.20). Ce modèle est capable de prédire avec précision les contraintes de cisaillement transversal directement à partir des équations constitutives. Dans les travaux [185, 188-194], les auteurs ont utilisé la technique de superposition double (global-local), pour prédire les contraintes interlaminaires dans les structures multicouches.

$$u^{k-1}|_{z=z_k} = u^k|_{z=z_k}, \quad \tau_{xz}^{k-1}|_{z=z_k} = \tau_{xz}^k|_{z=z_k}, \quad k = 2, 3, 4, \dots, n \qquad (1.19)$$

$$\tau_{xz}|_{z=z_n} = 0 \quad \text{et} \quad \tau_{xz}|_{z=z_0} = 0 \qquad (1.20)$$

Le champ de déplacement peut être écrit comme suit:

<footnote n="20">²⁰ Higher order Zig-Zag Theory</footnote>

<footnote n="21">²¹ Global-Local Higher order Shear Deformation Theory</footnote>
$$ 
\begin{aligned}
u^k(x, y, z) &= u_G(x, y, z) + u_L^k(x, y, z) \\
v^k(x, y, z) &= v_G(x, y, z) + v_L^k(x, y, z) \\
w^k(x, y, z) &= w_G(x, y, z)
\end{aligned} 
\qquad (1.21) $$

où $u_G, v_G$ et $w_G$ sont les composantes globales du déplacement, $u_L$ et $v_L$ sont les composantes locales, $k$ représente la $k^{ème}$ couche.

avec

$$ 
\begin{aligned}
u_G(x, y, z) &= u_0(x, y) + z u_1(x, y) + z^2 u_2(x, y) + z^3 u_3(x, y) \\
v_G(x, y, z) &= v_0(x, y) + z v_1(x, y) + z^2 v_2(x, y) + z^3 v_3(x, y) \\
w_G(x, y, z) &= w_0(x, y) + z w_1(x, y) + z^2 w_2(x, y)
\end{aligned} 
\qquad (1.22) $$

et

$$ 
\begin{aligned}
u_L^k(x, y, z) &= u_0^k + u_1^k \xi_k \\
v_L^k(x, y, z) &= v_0^k + v_1^k \xi_k
\end{aligned} 
\qquad (1.23) $$

$\xi_k$ est la coordonnée locale dans la direction d'épaisseur de la couche $k$. Pour plus de simplicité, les auteurs ont proposé une transformation linéaire entre les coordonnées globales et les coordonnées locales, $\xi_k$ est défini comme suit:

$$ \xi_k = a_k z + b_k \qquad (1.24) $$

où

$a_k = 2/(z_{k+1} - z_k)$, $b_k = -(z_{k+1} + z_k/z_{k+1} - z_k)$, $z_k$ et $z_{k+1}$ sont illustrées dans la figure ci-dessous.

<figure><img src="image_14.png" /><figcaption>Fig.1.13 Système des coordonnées, ordre de couche d'une plaque multicouche [195]</figcaption></figure>
Deux ans après, les auteurs Li et Liu [196] ont procédé à une amélioration sur le modèle précédent, en proposant un autre modèle raffiné (GLTSDT)<fnref n="22" />, basé sur la technique de superposition globale-locale (The 1,2-3 Double-Superposition Theory), dont les termes par-couche "local" du troisième ordre sont superposés avec des termes "global" du troisième ordre des déplacements plans.

$$ 
\begin{align} 
u^k (x, y, z) &= u_G (x, y, z) + \bar{u}_L^k (x, y, z) + \hat{u}_L^k (x, y, z) \nonumber \\ 
v^k (x, y, z) &= v_G (x, y, z) + \bar{v}_L^k (x, y, z) + \hat{v}_L^k (x, y, z) \tag{1.25} \\ 
w^k (x, y, z) &= w_G (x, y, z) \nonumber 
\end{align} 
$$

D'après l'équation (1.25), le terme local se compose de deux parties, la première partie $(\bar{u}_L^k, \bar{v}_L^k)$ contient les termes de premier et de deuxième ordre, tandis que la seconde partie $(\hat{u}_L^k, \hat{v}_L^k)$ contient le terme de troisième ordre, comme suit:

$$ 
\begin{align} 
\bar{u}_L^k (x, y, z) &= u_1^k (x, y) \xi_k + u_2^k (x, y) \xi_k^2 \nonumber \\ 
\bar{v}_L^k (x, y, z) &= v_0^k + v_1^k \xi_k + v_2^k (x, y) \xi_k^2 \nonumber \\ 
\hat{u}_L^k (x, y, z) &= u_3^k (x, y) \xi_k^3 \nonumber \\ 
\hat{v}_L^k (x, y, z) &= v_3^k (x, y) \xi_k^3 \tag{1.26} 
\end{align} 
$$

Les composantes globales peuvent être écrites comme suit:

$$ 
\begin{align} 
u_G (x, y, z) &= u_0 (x, y) + z u_1 (x, y) + z^2 u_2 (x, y) + z^3 u_3 (x, y) \nonumber \\ 
v_G (x, y, z) &= v_0 (x, y) + z v_1 (x, y) + z^2 v_2 (x, y) + z^3 v_3 (x, y) \tag{1.27} \\ 
w_G (x, y, z) &= w_0 (x, y) \nonumber 
\end{align} 
$$

Dans ce modèle, les auteurs ont imposé l'hypothèse de la continuité des déplacements et des contraintes de cisaillement aux interfaces, qui permet de réduire considérablement le nombre de variables inconnus. Toutefois, quand la théorie de double-superposition 1,2-3 est comparée avec les théories par-couche, les coefficients d'ordre supérieur (en termes de z) sont liés aux propriétés propres des couches et à la coordonnée z suivant l'épaisseur au lieu de variables inconnues [195].

Certains auteurs, dont Zhen et Wanji [193] ont montré que la théorie global-local du troisième ordre ou la théorie 1, 2-3 en double superposition de Li et Liu [196], donne des

<footnote n="22">²² Global-Local Third order Shear Deformation Theory</footnote>
solutions très satisfaisantes aux problèmes de flexion, quand le nombre de couches est inférieur à six. Cependant, la théorie GLTSDT présente des difficultés dans la prédiction des contraintes de cisaillement lorsque le nombre de couches est supérieur à six. En addition, l'exactitude de la solution de cette théorie diminue lorsqu'elle est appliquée à l'analyse des plaques multicouches non-symétriques [195].

Dans le cadre de développement des éléments finis, certains chercheurs ont adopté la théorie global-local d'ordre supérieur (GLHSDT), pour obtenir une bonne description des structures sandwichs [189-192, 197, 198]. Citons par exemple, Wu et al. [189] qui ont étendu la théorie de 1,2-3 double superposition proposée par Li et Liu [196] aux problèmes de plaques stratifiées alternées (angle-ply). Ces derniers ont ajouté les termes $Q_{45k}$ de l'angle plis, puisqu'ils ne sont pas nuls (Eq.1.32). En partant de cette théorie, global-local, les auteurs ont formulé deux éléments finis de plaque, un élément quadrilatère à quatre nœuds (PQ) et un autre élément triangulaire à trois nœuds (PT). Les éléments ont treize degrés de liberté par nœud et le nombre d'inconnues est indépendant du nombre de couches. Les résultats numériques trouvés par ces éléments montrent que les contraintes planes et les contraintes de cisaillement transversal peuvent être calculées avec précision par les équations constitutives directes, tandis que la contrainte normale ($\sigma_{zz}$) est calculée à partir des équations d'équilibre. La théorie a été appliquée dans l'analyse des comportements dynamiques et flambage des plaques composites stratifiées et sandwichs [199, 200].

$$ 
\begin{aligned}
\tau_{xz}^{k}(z) &= Q_{44k} \varepsilon_{xz}^{k}(z) + Q_{45k} \varepsilon_{yz}^{k}(z) \\
\tau_{yz}^{k}(z) &= Q_{45k} \varepsilon_{xz}^{k}(z) + Q_{55k} \varepsilon_{yz}^{k}(z)
\end{aligned} 
\qquad (1.28) $$

### 1.2.2.3 Modèles à cinématique enrichie

D'autres chercheurs ont tenté d'enrichir et d'améliorer les cinématiques des modèles précités (CLPT, FSDT, etc.), en ajoutant des termes capables de donner une bonne description des structures multicouches. Tessler et al. [201] ont présenté un nouveau modèle basé sur la théorie du premier ordre enrichie pour les plaques sandwichs et les composites stratifiées. Ils ont ajouté des fonctions zig-zag linéaires par morceau (Piecewise-Linear Zig-Zag functions), qui permettent de fournir une représentation plus réaliste des états des déformations et des contraintes de cisaillement. Le nombre des inconnus est relativement faible par rapport aux autres théories. Cependant, la formulation de ce modèle n'impose pas les conditions de
continuité des contraintes de cisaillement transversal. La cinématique est exprimée par l'équation suivante:

$$
\begin{align}
u^{(k)}(x, y, z) &= u_0(x, y) + z \theta_x(x, y) + \phi_x^{(k)}(z) \psi_x(x, y) \nonumber \\
v^{(k)}(x, y, z) &= v_0(x, y) + z \theta_y(x, y) + \phi_y^{(k)}(z) \psi_y(x, y) \tag{1.29} \\
w(x, y, z) &= w_0(x, y) \nonumber
\end{align}
$$

où les fonctions zig-zag ($\phi_x^{(k)}, \phi_y^{(k)}$) sont définies par:

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\phi_x^{(k)}(x, y, z) &= 1/2(1 - \xi^{(k)}) u_{0(k-1)} + 1/2(1 + \xi^{(k)}) u_{0(k)} \\
\phi_y^{(k)}(x, y, z) &= 1/2(1 - \xi^{(k)}) v_{0(k-1)} + 1/2(1 + \xi^{(k)}) v_{0(k)}
\end{aligned}
\tag{1.30}
\end{equation}
$$

avec

$$
\xi^{(k)} = \left[ \left( z - z_{(k-1)} \right) / h^{(k)} - 1 \right] \in [-1, 1] \quad (k = 1, \dots, n)
$$

Oh et al. [202] ont élaboré une nouvelle formulation d'éléments finis basée sur la théorie du premier ordre améliorée (EFSDT)<fnref n="23" /> pour étudier avec précision le comportement des composites stratifiées et des structures sandwichs. Pour cela, ils ont choisi le champ de déplacement du modèle de Cho [153] (HZZT), pour enrichir leurs cinématiques. Par ailleurs, Xiaohui et al. [203] ont développé un modèle efficace basé sur la théorie d'ordre supérieur global-local, pour analyser les structures stratifiées et les sandwichs. La partie locale de ce modèle est représentée par une cinématique de type zig-zag d'ordre supérieur. Les conditions de continuité des contraintes interlaminaires et la nullité des contraintes de cisaillement sur les surfaces libres des peaux supérieure et inférieure, sont satisfaites. On note également que ces contraintes sont évaluées à partir de l'intégration des équations d'équilibre tridimensionnel. En partant de ce modèle, les auteurs ont formulé un élément fini triangulaire à continuité (C⁰) défini par six nœuds et 7ddl/nœud.

En 2012, Nemeth [204] a enrichit la cinématique du modèle classique de Kirchhoff, en ajoutant des fonctions cubiques de type zig-zag qui sont continues par morceaux, pour prendre en considération l'effet d'hétérogénéité des stratifiés et la déformation de cisaillement transverse. Les déformations et les contraintes de cisaillement transversal sont représentées par des fonctions quadratiques au sens de l'épaisseur, mais elles sont discontinues au niveau

<footnote n="23">²³ Enhanced First-order Shear Deformation Theory</footnote>
d'interface des couches. Dans la même période, Sedira et al. [205] ont proposé un élément fini de forme quadrilatère possédant 4 nœuds, formulé sur la base du modèle variationnel discrète de Mindlin (DDM)<fnref n="24" />, pour les plaques multicouches/sandwichs. Ils ont introduit la fonction Zig-Zag de Murakami dans le modèle DDM afin d'améliorer la précision de contraintes planes et de cisaillement transversal. Le modèle est caractérisé par une variation linéaire par couche du déplacement, ce qui permet de satisfaire aux exigences de continuité des contraintes.

Dans l'article de Natarajan et Manickam [206], un élément fini C⁰ quadrilatère à 8 nœuds avec 13 ddl/nœud a été formulé sur la base de la théorie du troisième ordre raffinée pour l'étude statique et dynamique des plaques sandwichs de type matériaux fonctionnellement gradués (FGM)<fnref n="25" />, qu'elles soient minces ou épaisses. Les auteurs ont ajouté la fonction zig-zag de Murakami dans le champ de déplacement de la théorie TSDT (Eq.1.31), afin d'avoir une variation réaliste des déplacements à travers l'épaisseur de la plaque.

$$ 
\begin{align} 
u^k(x, y, z) &= u_0(x, y) + z\theta_x(x, y) + z^2\beta_x(x, y) + z^3\phi_x(x, y) + S^k\psi_x(x, y) \nonumber \\ 
v^k(x, y, z) &= v_0(x, y) + z\theta_y(x, y) + z^2\beta_y(x, y) + z^3\phi_y(x, y) + S^k\psi_y(x, y) \tag{1.31} \\ 
w^k(x, y, z) &= w_0(x, y) + zw_1(x, y) + z^2\Gamma(x, y) \nonumber 
\end{align} 
$$

## 1.3 Modèles éléments finis des structures sandwichs multicouches

Les solutions variationnelles ou analytiques exactes pour les problèmes qui ont des géométries complexes, des conditions aux limites arbitraires ou bien dans le cas d'une non-linéarité, sont terriblement difficiles à obtenir. Par conséquent, il faut recourir à des méthodes numériques d'analyse capables de résoudre de tels problèmes. La méthode des éléments finis s'est imposée dans les dernières décennies comme étant une méthode puissante et efficace, ce qui lui permet d'être largement utilisée dans l'analyse du comportement complexe de structures composites sandwichs.

<footnote n="24">²⁴ Displacement Discrete Mindlin</footnote>

<footnote n="25">²⁵ Functionally Graded Material (FGM): est la version continue de la plaque stratifiée. Plus précisément, grâce à de nouveaux procédés, il est possible de faire varier presque continument dans l'épaisseur les propriétés du matériau constitutif. Ce nouveau concept est une façon de répondre aux difficultés soulevées par les concentrations de contraintes présentées par les plaques stratifiées [123].</footnote>
### 1.3.1 Éléments finis basés sur les théories du premier ordre

Depuis de nombreuses années, le développement des éléments finis basés sur la théorie FSDT a attiré l'attention de nombreux chercheurs, comme Abel et Popov [207], Monforton et Schmit [208], Ahmed [209], Khatua et Cheung [210, 211], Cook [212, 213] et Fazio et Ha [214], sont considérés comme étant les premiers à utiliser la méthode des éléments finis dans l'analyse du comportement des structures composites sandwichs. Monforton et Schmit [208] ont formulé un élément fini rectangulaire à base du modèle déplacement, en adoptant la théorie du premier ordre pour analyser les plaques et les coques sandwichs. Dans cet élément, les variables de déplacement (membranaires et transversales) des deux peaux sont interpolées par un polynôme d'Hermite.

En 1972, Cook [212] a développé deux éléments finis en incluant l'effet de déformations de cisaillement transversal, pour étudier les plaques sandwichs minces et épaisses. Les éléments sont de forme quadrilatérale avec douze degrés de liberté (12 ddl) pour chacun (l'un, ayant neuf paramètres de contrainte et l'autre contient seulement cinq). Au cours de la même année, Khatua et Cheung [210, 211] ont élaboré deux éléments finis, triangulaire et rectangulaire, où l'angle de cisaillement commun, au niveau du cœur n'a pas été pris en considération.

En 1990, Lardeur [70] a développé deux éléments finis baptisés DST et DSQ (Discrete Shear Triangular et Quadrilateral), pour l'analyse statique, dynamique et du flambage linéaire des structures composites multicouches. Ces éléments sont construits selon la formulation variationnelle mixte modifiée de Reissner, qui permet d'éviter le problème de verrouillage. L'auteur a utilisé les équations d'équilibre pour calculer les déformations et les contraintes de cisaillement transverse.

Dans le travail de Sheikh et al. [215], un élément fini triangulaire, possédant 16 nœuds et 55 ddl, a été développé pour l'analyse des plaques composites multicouches de différentes géométries. La distribution des degrés de liberté est présentée sur la figure 1.14. Dans cet élément, le déplacement transversal ($w$) est interpolé précisément, en utilisant un polynôme complet d'ordre quatre, tandis que les déplacements membranaires ($u$ et $v$) et les deux rotations ($\theta_x$ et $\theta_y$) sont exprimés par un polynôme d'ordre trois.
<figure><img src="image_15.png" /><figcaption>**Fig. 1.14** Élément triangulaire à 16 nœuds et leurs degrés de liberté [215]</figcaption></figure>

Dans le cadre de sa thèse doctorale, Tafla [216] a élaboré, à l'aide d'une formulation mixte-hybride, un modèle élément fini quadrilatérale (MiSP/ml) à 4 nœuds et 3 ddl/nœud, basé sur la théorie FSDT pour l'analyse des structures stratifiées et sandwichs. Le principal avantage dans ce travail est la non nécessité de recourir aux facteurs de correction pour avoir une distribution quadratique des contraintes de CT (approximation quadratique des contraintes de cisaillement à travers l'épaisseur, qui exige la continuité $C^1$). L'élément est une extension de l'élément MiSP isotrope, proposé en 1993 par Ayad [69] sur la base du modèle mixte projeté en cisaillement (MiSP: Mixed with Shear Projection). Le verrouillage en CT est évité via une méthode nommée, 'Assumed Natural Strain' (ANS).

D'une manière similaire, Sakami [217] a développé dans son travail de doctorat, un modèle d'éléments finis pour les plaques et coques multicouches, basé sur une nouvelle approche variationnelle appelée ‘Discret Displacement Mindlin’ (DDM). Le modèle d'éléments finis élaboré (DMQP/ml, DMQS/iso, DMQS/ml) est l'extension du modèle de Katili [218], proposé initialement pour les plaques/coques homogènes isotropes. L'auteur a introduit d'une manière discrète deux hypothèses (cinématique et mécanique) modifiées de Mindlin dans leur formulation, ainsi, elle a utilisé la méthode ANS, pour éliminer le problème de verrouillage.

### 1.3.2 Éléments finis basés sur les théories d'ordre supérieur

Au début des années quatre-vingt, un grand nombre de chercheurs ont fait d'importantes contributions à l'élaboration de nouveaux modèles d'éléments finis efficaces et capables de donner une bonne description des structures multicouches, en se basant sur la théorie HSDT. On commence par Kant et al. [219] qui sont les premiers à avoir publié des travaux
concernant la formulation d'éléments finis à base de cette théorie. Par la suite, Engblom et Ochoa [220] ont adopté la théorie du deuxième ordre pour développer un élément fini destiné à l'analyse statique des plaques stratifiées. Il s'agit de l'élément QHD40 qui est un quadrilatère à 8 nœuds et 7 ddl/nœud. Les équations d'équilibre sont utilisées pour calculer les contraintes de cisaillement transversal, tandis que les contraintes planes sont évaluées par les équations constitutives.

Vers la fin des années 80, Pandya et Kant [221-224] ont étendu le model de Kant et al. [219], pour présenter une série de travaux, destinés à l'étude du comportement des plaques symétriques de type sandwich et starifiées. Les auteurs ont formulé un élément fini C⁰ isoparamétrique de type Lagrange possédant neuf nœuds, confiné pour l'analyse statique, en se basant sur divers champs de déplacements (Eq.1.32-33).

* Modèle de déplacement à cinq variables inconnues (HOST5)

$$ 
\begin{align} 
u(x, y, z) &= z\psi_x(x, y) + z^3\zeta_x(x, y) \nonumber \\ 
v(x, y, z) &= z\psi_y(x, y) + z^3\zeta_y(x, y) \tag{1.32} \\ 
w(x, y, z) &= w_0(x, y) \nonumber 
\end{align} 
$$

* Modèle de déplacement à six variables inconnues (HOST6)

$$ 
\begin{align} 
u(x, y, z) &= z\psi_x(x, y) + z^3\zeta_x(x, y) \nonumber \\ 
v(x, y, z) &= z\psi_y(x, y) + z^3\zeta_y(x, y) \tag{1.33} \\ 
w(x, y, z) &= w_0(x, y) + z^2\zeta_y(x, y) \nonumber 
\end{align} 
$$

Kant et Kommineni [225] ont également élaboré un élément fini, basé sur la théorie du troisième ordre (Eq.1.5), pour l'analyse linéaire et non-linéaire géométrique, des plaques composites FRC (Fibre Reinforced Composite) et des sandwichs. L'élément est un quadrilatéral de type Lagrange à continuité C⁰, défini par 9 nœuds et 9 ddl par nœud. Par la suite, Manjunatha et Kant [226, 227] ont présenté deux éléments finis isoparamétriques (9 et 16 nœuds), basés sur les deux modèles d'ordre supérieur précédents (HOST5 et HOST6), pour une évaluation précise des contraintes interlaminaires dans les plaques composites stratifiées et sandwichs. Les auteurs ont utilisé les équations constitutives pour évaluer les contraintes planes, tandis que les contraintes de cisaillement transversal sont estimées en utilisant les équations d'équilibre. Suite à cela, ils ont remarqué d'après les tests effectués,
que l'élément de seize nœuds donne de meilleures estimations de contraintes de cisaillement transversal et contraintes normales, en le comparant avec l'élément de 9 nœuds.

D'autres chercheurs, notamment Polit et Touratier [228-230] ont adopté le modèle "sinus" de Touratier [84] pour développer un nouvel élément fini à continuité $C^1$, adapté à l'étude du comportement linéaire et non linéaire des plaques multicouches/sandwichs. L'élément est triangulaire ayant 6 nœuds avec 81 ddl. La figure 1.15 montre la géométrie de l'élément correspondant, où les nœuds aux coins (1, 2, 3) ont 18 ddl, tandis que ceux au milieu des arrêtes (4, 5, 6) ne possèdent que 9 ddl. Une fois de plus, dans ce travail, les contraintes de cisaillement transversal sont calculées via des équations d'équilibre. Par ailleurs, un certain nombre de chercheurs [231-233] ont adopté la théorie d'ordre supérieur de Reddy pour formuler leurs éléments.

<figure><img src="image_16.png" /><figcaption>Fig. 1.15 Élément triangulaire à 6 nœuds [228]</figcaption></figure>

Nayak et al. [231] ont décrit deux éléments finis quadrilatères isoparamétriques $C^0$, contenant 4 et 9 nœuds avec 7 ddl/nœud, afin d'étudier le comportement en flexion des plaques: isotropes, composites stratifiées et sandwichs. Ils ont utilisé la méthode ANS qui a été proposée en 1984 par Dvorkin et Bathe [234] et Huang et Hinton [235], pour éviter le problème de verrouillage en cisaillement ainsi que les modes parasites. Les deux éléments développés donnent des résultats précis et fiables (pour les déplacements et les contraintes) notamment l'élément à 9 nœuds. Au cours de la même période, Sheikh et Chakrabarti [233] ont publié un travail concernant le développement d'un élément fini triangulaire non conforme pour l'analyse statique de plaques composites stratifiées. Celui-ci est défini par 6 nœuds contenant $u,v,w,\theta_x,\theta_y,\gamma_x$ et $\gamma_y$ comme des degrés de liberté à chacun. Un concept semblable a été appliqué par Rezaee-Pajand et al. [232] pour concevoir un nouvel élément triangulaire à 13 nœuds. Les auteurs ont employé un polynôme d'interpolation approprié pour le déplacement transversal, en plus, ils ont pris la dérivée normale du déplacement transversal
($\partial w/\partial n$) comme degré de liberté indépendant. La figure 1.16 montre la géométrie de cet élément, où les nœuds (1, 2, 3, 13) possèdent 5 ddl $(u, v, w, \theta_x, \theta_y)$, les nœuds (4, 6, 7, 9, 10, 12) contiennent 6 ddl $(u, v, w, \theta_x, \theta_y, \partial w/\partial n)$ et les nœuds (5, 8, 11) ont seulement un degré de liberté ($\partial w/\partial n$).

<figure><img src="image_17.png" /><figcaption>**Fig. 1.16** Élément triangulaire à 13 nœuds [232]</figcaption></figure>

Récemment, Tu et al. [236] ont formulé un élément fini rectangulaire ayant 9 ddl dans chacun de ses neuf nœuds pour l'analyse du comportement flexionnel et vibratoire des plaques composites starifiées et sandwichs, en utilisant la cinématique de Pandya and Kant [237]. Dans cette étude aussi, les auteurs ont effectué une étude paramétrique, dans le but de montrer l'effet de certains paramètres (rapport d'aspect, angle d'orientation des fibres et le degré d'anisotropie) sur les contraintes planes, les contraintes de cisaillement transversal, les déplacements et les fréquences fondamentales.

En 2013, Goswami et Becker [238] ont élaboré un élément fini de forme rectangulaire à 4 nœuds avec 11 ddl/nœud, pour analyser les plaques isotropes et les plaques composites/sandwichs. La formulation de cet élément a été basée sur la théorie de troisième ordre (TSDT). Les auteurs ont pris les deux déformations angulaires ($\gamma_{xz}$ et $\gamma_{yz}$) comme des degrés de liberté. Dans la même année, Lee and Kim [239] ont développé un élément fini de forme quadrilatéral à 4 nœuds et 7 ddl/nœud ($u, v, w, \theta_x, \theta_y, \partial w/\partial x, \partial w/\partial y$), pour l'analyse des plaques composites multicouches. Les auteurs ont introduit la méthode ANS pour pallier le problème de verrouillage en CT.

### 1.3.3 Éléments finis basés sur l'approche layerwise

De nombreux travaux de recherche ont été effectués dans le but de développer des modèles d'éléments finis avec des cinématiques plus adéquates que celles qui ont précédé.
Ces éléments sont basés sur l'approche layerwise, et sont capables de donner une bonne description du comportement des structures sandwichs (dans le cas des réponses locales aux niveaux des interfaces). En 1982, Spilker [240] a développé un élément fini isoparamétrique à 8 nœuds pour l'analyse des plaques multicouches minces et épaisses, en utilisant une formulation hybride en contraintes. Les composantes des déplacements plans sont continus et linéaires pour chaque couche, et toutes les composantes de contrainte sont incluses et interpolées de façon indépendante dans chaque couche. La même formulation a été adoptée par Fazio et al. [241]. Dans la référence [242], un élément fini isoparamétrique C⁰ à 9 nœuds, formulé via une approche mixte, est élaboré pour prédire les contraintes interlaminaires et les déplacements dans les plaques sandwichs épaisses. Les auteurs ont proposé, pour chaque couche, un champ cubique et quadratique pour les déplacements dans le plan et hors-plan, respectivement. Dans leur modèle, uniquement la continuité des déplacements est assurée.

En outre, Lee et Fan [243] ont décrit un nouveau modèle dans lequel la théorie du premier ordre (FSDT) est utilisée pour modéliser les peaux, tandis que les déplacements au niveau de l'âme sont exprimés en fonction des déplacements des deux peaux (Eq.1.34). Dans ce modèle, les contraintes de cisaillement transversal varient linéairement, et la déformation selon l'épaisseur du cœur est constante. À partir de ce modèle, les auteurs ont formulé un élément fini isoparamétrique à 9 nœuds et 5 ddl/nœud, afin d'étudier la flexion et la vibration des plaques sandwichs.

$$ 
\begin{align} 
u_c &= \left[ \frac{(u_0^b - u_0^t)}{h} + \frac{(t^b \phi_x^b + t^t \phi_x^t)}{2h} \right] z + \left[ \frac{(u_0^b + u_0^t)}{2} + \frac{(t^b \phi_x^b - t^t \phi_x^t)}{4} \right] z \nonumber \\ 
v_c &= \left[ \frac{(v_0^b - v_0^t)}{h} + \frac{(t^b \phi_y^b + t^t \phi_y^t)}{2h} \right] z + \left[ \frac{(v_0^b + v_0^t)}{2} + \frac{(t^b \phi_y^b - t^t \phi_y^t)}{4} \right] z \tag{1.34} \\ 
w_c &= \frac{(w_0^b - w_0^t)}{h} z + \frac{(w_x^b + w_x^t)}{2} \nonumber 
\end{align} 
$$

Par ailleurs, certains auteurs proposent des modèles éléments finis tridimensionnels, citons par exemple Oskooei et Hansen [244] qui ont développé un nouveau modèle basé sur l'approche layerwise, pour l'analyse statique des plaques sandwichs ayant des peaux composites stratifiées. Dans ce modèle, les peaux sont modélisées comme des plaques de Riessner-Mindlin, tandis que l'âme est modélisée en utilisant la théorie du troisième ordre, où le champ de déplacement est cubique pour les composantes *u* et *v* et quadratique pour la
composante w, dans le sens de l'épaisseur. En partant de ce modèle, les auteurs ont construit un élément fini tridimensionnel (3D) contenant 240 degrés de liberté (Fig.1.17).

<figure><img src="image_18.png" /><figcaption>Fig. 1.17 Élément d'Oskooei et Hansen [244]</figcaption></figure>

Évoquons également l'élément de Ramtekkar et al. [245, 246] qui est proposé notamment pour l'évaluation précise des contraintes interlaminaires dans les plaques stratifiées et sandwichs. Il s'agit d'un élément brique à 18 nœuds avec 6 ddl/nœud (trois déplacements (u,v,w) et trois contraintes (σ<sub>xz</sub>, σ<sub>yz</sub>, σ<sub>z</sub>)), comme le montre la figure 1.18.
Les auteurs utilisent une cinématique basée sur l'approche layerwise, où les composantes du champ de déplacement u, v et w sont des fonctions cubiques pour chaque couche. Les exigences de continuité des déplacements ainsi que les contraintes de cisaillement transversal dans ce modèle sont satisfaites.

<figure><img src="image_19.png" /><figcaption>Fig. 1.18 Élément brique de Ramtekkar et al. [245]</figcaption></figure>
Par la suite, Demiray et al. [247, 248] ont proposé un nouveau modèle pour analyser la non-linéarité statique des plaques sandwichs. Dans ce modèle, les peaux sont représentées par la théorie classique de Kirchhoff, et l'âme est représentée par la théorie du deuxième ordre (les composantes $u$ et $v$ sont quadratiques et la composante $w$ est linéaire au sens de l'épaisseur de la plaque). Sur la base de ce modèle, les auteurs ont développé un élément fini prismatique (3D) défini par 6 nœuds: les nœuds (1, 2, 3) sont situés dans la face supérieure et les nœuds (4, 5, 6) dans la face inférieure, où chaque nœud contient 6 ddl (Fig. 1.19). La non-linéarité géométrique est prise en compte dans ce modèle. Pour éviter le problème de verrouillage en cisaillement, les auteurs ont utilisé la technique d'intégration réduite.

<figure><img src="image_20.png" /><figcaption>Fig. 1.19 Élément prismatique de Demiray [247]</figcaption></figure>

La cinématique adoptée pour les trois couches est:

* Peau supérieure (Top face-sheet):

$$ 
\begin{align} 
v_1' &= u_1' + \left( x_3 + \frac{t^c + t^f}{2} \right) \varphi_1' \nonumber \\ 
v_2' &= u_2' + \left( x_3 + \frac{t^c + t^f}{2} \right) \varphi_2' \tag{1.35} \\ 
v_3' &= u_3' \nonumber 
\end{align} 
$$

où $t^c$ et $t^f$ sont les épaisseurs de l'âme et des peaux, respectivement.
* Peau inférieure (Bottom face-sheet):

$$ 
\begin{aligned}
v_1^b &= u_1^b + \left(x_3 - \frac{t^c + t^f}{2}\right) \varphi_1^b \\
v_2^b &= u_2^b + \left(x_3 - \frac{t^c + t^f}{2}\right) \varphi_2^b \\
v_3^b &= u_3^b
\end{aligned} 
\qquad (1.36) $$

* Couche central (Core):

$$ 
\begin{aligned}
v_1^c &= \frac{1}{2}(u_1^t + u_1^b) - \frac{1}{t^c}(u_1^t - u_1^b)x_3 + \frac{t^c}{4}(\varphi_1^t - \varphi_1^b) - \frac{t^f}{2t^c}(\varphi_1^t + \varphi_1^b)x_3 + \left(\frac{4(x_3)^2}{(t^c)^2} - 1\right)\psi_1^c \\
v_2^c &= \frac{1}{2}(u_2^t + u_2^b) - \frac{1}{t^c}(u_2^t - u_2^b)x_3 + \frac{t^c}{4}(\varphi_2^t - \varphi_2^b) - \frac{t^f}{2t^c}(\varphi_2^t + \varphi_2^b)x_3 + \left(\frac{4(x_3)^2}{(t^c)^2} - 1\right)\psi_2^c \\
v_3^c &= \frac{1}{2}(u_3^t + u_3^b) - \frac{1}{t^c}(u_3^t - u_3^b)x_3
\end{aligned} 
\qquad (1.37) $$

En outre, Linke et al. [249] ont développé un élément fini (3D) contenant 44 degrés de liberté, comme le montre la figure 1.20. Chaque peau contient 5 ddl par nœud, tandis que l'âme contient seulement un degré de liberté. Cet élément est proposé pour l'analyse statique et l'analyse de la stabilité des plaques sandwichs. La formulation de cet élément est basée sur le modèle de trois couches, où les peaux sont décrites par des éléments de plaques classiques basés sur l'hypothèse de Love-Kirchhoff et l'âme est décrite par la théorie du troisième ordre (polynôme cubique pour les composantes $u$ et $v$, et quadratique pour la composante $w$).

<figure><img src="image_21.png" /><figcaption>Fig. 1.20 Élément (3D) de Linke et al. [249]</figcaption></figure>
Citons aussi, Ramesh et ses collègues [250] qui ont proposé un élément fini triangulaire (HE-45-LT) de 45 nœuds avec 7 ddl/nœud (Fig.1.21), pour prévoir des contraintes interlaminaires dans les plaques composites stratifiées. La construction de cet élément est basée sur deux théories, la théorie du troisième ordre (TSDT) et la théorie layerwise de Reddy [136]. L'élément est capable de prédire avec précision les forces de cisaillement, les moments de torsion et spécialement les contraintes de cisaillement transversal à travers l'épaisseur. Cependant, l'analyse des plaques de plusieurs couches nécessite énormément de temps de calcul, lorsque le nombre de couches est important car la variation de ce dernier est proportionnelle au nombre d'inconnues.

<figure><img src="image_22.png" /><figcaption>**Fig. 1.21** Élément triangulaire à 45 nœuds de Ramesh [250]</figcaption></figure>

Durant la même période, Ćetković et Vuksanović [251] ont utilisé le modèle layerwise de Reddy [136] pour étudier le comportement statique, dynamique et de flambage des plaques composites stratifiées et sandwichs. Dans ce modèle, les composantes des déplacements plans ont une variation linéaire par couche (piecewise), et la composante transversale est constante, à travers l'épaisseur de la plaque. Les auteurs ont achevé leur travail par une étude paramétrique, afin d'étudier l'effet de l'anisotropie, l'orientation des fibres, le nombre de couches et le rapport d'aspect sur les déplacements, les contraintes planes, les contraintes de cisaillement transversal, les fréquences fondamentales et la charge critique de flambement. Ils ont trouvé que ces paramètres jouent un rôle important dans le comportement de plaques multicouches.
Darılmaz [252] a publié un travail dans lequel un élément fini solide hybride tridimensionnel (Fig. 1. 22) à 8 nœuds et 48 ddl a été employée dans l'analyse de plaques sandwichs. La formulation de cet élément est basée sur le principe variationnel de Hellinger-Reissner (développée déjà en 2005 par le même auteur [253]). L'objectif de l'investigation a été de prédire avec précision les contraintes hors-plan ($\sigma_{xz}, \sigma_{yz}, \sigma_{z}$).

<figure><img src="image_23.png" /><figcaption>Fig. 1.22 Élément solide de Darılmaz [252]</figcaption></figure>

Dans un autre ordre d'idées, Mantari et al. [104] ont développé un nouveau modèle layerwise, dans lequel les composantes du déplacement plan (u et v) sont exprimées par des fonctions tangentielles trigonométriques, tandis que la composante normale (w) est constante selon l'épaisseur de la plaque. En partant de ce modèle, un élément fini quadrilatère isoparamétrique de continuité $C^0$, défini par 4 nœuds et 7 ddl/nœud ($u_0, v_0, w_0, \partial w/\partial x, \partial w/\partial y, \theta_x^c, \theta_y^c$), est utilisé pour étudier la flexion des panneaux multicouches épais. Les résultats obtenus par ce modèle sont satisfaisants pour la flèche et les contraintes qu'elles soient planes ou cisaillement.

### 1.3.4 Éléments finis basés sur la théorie de zig-zag

Pour améliorer les modèles précédents et corriger certains problèmes rencontrés dans les travaux cités ci-dessus, plusieurs auteurs ont axé leurs travaux vers la recherche des éléments finis de plus en plus élaborés en utilisant la théorie dite zig-zag. Leurs objectifs est d'obtenir un meilleur compromis entre la précision et le faible coût de calcul. Di Sciuva [254, 255] a élaboré deux éléments finis conformes de continuité $C^1$ pour les plaques multicouches. Ces derniers possèdent dix degrés de liberté par nœud. Il s'agit de l'élément quadrilatère à quatre nœuds (RHQ40) et de l'élément triangulaire à trois nœuds (RHT30). L'auteur a utilisé
des fonctions d'interpolation hermitienne pour le déplacement transversal. La formulation était basée sur les théories zig-zag d'Ambartsumian où les exigences de continuité aux interfaces sont respectées. En outre, Carrera [256, 257], Averill et Yip [258], Cho et Averill [157, 259] et d'autres, ont présenté des modèles d'éléments finis créés sur la base de la théorie de zig-zag du premier ordre. On cite à titre d'exemple la brique à huit nœuds de Cho et Averill [157] qui est destinée à l'étude des plaques stratifiées composites et des plaques sandwichs. La géométrie de cet élément et ses degrés de liberté sont présentés dans la figure 1.23. La cinématique utilisée dans ce modèle est une combinaison de celle de Reissner-Mindlin et des fonctions de type zig-zag (Fig. 1.11). Les composantes des déplacements plans sont supposées comme des fonctions linéaires par morceaux et varient en zig-zag dans le sens de l'épaisseur de la plaque.

<figure><img src="image_24.png" /><figcaption>**Fig. 1.23** Élément brique à 8 nœuds Cho et Averill [157]</figcaption></figure>

En 2003, Topdar et al. [163] ont développé un élément fini pour l'analyse statique des plaques sandwichs, en utilisant le modèle zig-zag d'ordre supérieur (HZZT)<fnref n="26" /> de Cho et Parmerter [153]. L'élément est rectangulaire à quatre nœuds avec huit degré de liberté (u, v, w, ∂w/∂x, ∂w/∂y, ∂w/∂x∂y, γₓ, γᵧ) par nœud. Ce dernier a nécessité la continuité C¹ à cause de l'interpolation de type Hermitien dans l'approximation du déplacement transverse. La cinématique de ce modèle est plus robuste que la précédente, voir l'Eq.1.38. Dans ce modèle, les exigences de continuité des déplacements et les contraintes interlaminaires sont satisfaites. L'ensemble de stratification et les configurations de déplacement sont indiqués sur la figure 1.24. Pour plus de détails sur ce modèle, le lecteur peut se référer à l'article de Cho et Parmerter [153].

<footnote n="26">²⁶ Higher order Zig-Zag Theory</footnote>
$$
\begin{align}
u &= u_0 + \sum_{k=0}^{n_u-1} S_x^k (z-z_k) H(z-z_k) + \sum_{k=0}^{n_l-1} T_x^k (z-\zeta_k) H(-z-\zeta_k) + \xi_x z^2 + \phi_x z^3 \nonumber \\
v &= v_0 + \sum_{k=0}^{n_u-1} S_y^k (z-z_k) H(z-z_k) + \sum_{k=0}^{n_l-1} T_y^k (z-\zeta_k) H(-z-\zeta_k) + \xi_y z^2 + \phi_y z^3 \tag{1.38} \\
w &= w_0(x,y) \nonumber
\end{align}
$$

où $n_u$ et $n_l$ sont respectivement, les nombre de couches dans la moitié supérieure et inférieure de la plaque.

<figure><img src="image_25.png" /><figcaption>**Fig. 1.24** Schéma de stratification générale et la configuration de déplacement [153]</figcaption></figure>

D'une manière similaire au modèle de Cho, Chakrabarti et Sheikh [158, 260] ont développé un nouvel élément fini triangulaire à 6 nœuds et 7 ddl/nœud pour l'analyse statique des plaques sandwichs. Les déplacements dans le plan varient selon une loi cubique alors que le déplacement hors plan est supposé constant à travers l'épaisseur de la plaque. La variation des contraintes de cisaillement transversal à travers l'épaisseur est représentée par des fonctions paraboliques pour chaque morceau, alors qu'elles sont nulles sur les deux faces de la plaque (supérieure et inférieure). L'élément formulé est non conforme dû à la condition de continuité de pente normale qui n'est pas satisfaite. Le seul problème signalé dans cet élément est que ce dernier nécessite une continuité C¹ de déplacement transversal aux interfaces.
En 2008, Pandit et al. [162] ont amélioré le modèle zig-zag de Chakrabarti et Sheikh [260] afin d'étudier les plaques sandwichs avec une âme molle (soft core). Le déplacement transversal est susceptible de varier comme une fonction quadratique dans la couche centrale, tandis qu'il reste constant dans les deux faces. En partant de ce modèle, les auteurs ont développé un élément fini quadrilatère à continuité C⁰ défini par 9 nœuds et 11 ddl/nœud. En plus, les auteurs ont pallié le problème rencontré ci-dessus pour la continuité C¹ en utilisant des fonctions de formes séparées pour définir les dérivés de déplacement transversal.

En 2013, Khandelwal et al. [160] ont développé un modèle d'élément fini efficace à continuité (C⁰) destiné à l'analyse statique des plaques sandwichs à âme molle. Ce modèle est élaboré en utilisant deux théories combinées: la théorie de zig-zag d'ordre supérieur (HZZT) et la méthode de moindres carrés (LES)<fnref n="27" />. L'élément est un quadrilatère isoparamétrique à 9 nœuds et 11 ddl/nœud, formulé sur la base de la théorie HZZT. Cette théorie a fourni des résultats très satisfaisants pour les contraintes planes et le déplacement transversal par rapport aux autres théories 2D existantes dans la littérature, alors que les contraintes de cisaillement transversal sont évaluées d'une manière précise par la méthode LES. D'autres scientifiques, dont Singh et al. [261] et Chalak et al. [262] ont pris l'idée de Cho et Parmerter [153] et Pandit et al. [162] pour formuler leurs modèles d'éléments finis des plaques multicouches.

## 1.4 Conclusion

Ce premier chapitre est dédié à l'acquisition des connaissances théoriques nécessaires pour étudier notre problématique. Dans un premier temps, nous avons présenté quelques notions générales concernant les matériaux sandwichs, ainsi qu'une revue sommaire sur les approches, les théories et les différents modèles d'éléments finis qui servent à analyser le comportement des structures composites multicouches et des structures sandwich en particulier.

La revue bibliographique a montré que les modèles basés sur l'approche monocouche équivalente deviennent moins efficaces lorsqu'il s'agit d'étudier les problèmes liés à l'endommagement (i.e. délaminage) et aux effets locaux (i.e. estimation des contraintes interlaminaires). Par conséquent, l'utilisation d'une description par-couche devient indispensable.

<footnote n="27">²⁷ The Least Square Error method</footnote>
Actuellement, les éléments finis créés sur la base de l'approche par-couche (LW, ZZT and GLHSDT) gagnent du terrain, parce qu'ils fournissent une représentation cinématiquement correcte des contraintes interlaminaires ainsi que les déplacements au niveau d'interface.

La partie suivante portera sur la présentation d'un nouveau modèle de type layerwise pour la modélisation des plaques sandwichs et stratifiées. Ce modèle, qui a pour objectif l'enrichissement de la bibliothèque des éléments finis existants, est destiné non seulement pour l'analyse des plaques sandwichs, mais également pour l'étude des plaques isotropes et des composites multicouches.
# PARTIE II

## DEVELOPPEMENT D'UN NOUVEAU MODELE D'ELEMENTS FINIS SANDWICH SUR LA BASE DE L'APPROCHE LYERWISE
# Chapitre 2

## Proposition d'un nouveau modèle layerwise
pour l'analyse des structures sandwichs et des
multicouches

### 2.1 Introduction

Dans la partie bibliographie précédente, nous avons vu que les modèles issus d'une approche monocouche équivalente, présentent des difficultés lorsqu'il s'agit de la prédiction et de l'estimation des déplacements et des contraintes interlaminaires aux interfaces. Donc, l'utilisation d'une description par-couche devient indispensable pour avoir une bonne prévision de l'état des contraintes. Cette description est plus répandue car chaque couche est traitée individuellement, en imposant les conditions de continuité en déplacements et en contraintes au niveau des interfaces.

Par conséquent, ce chapitre a pour objectif de présenter un nouveau modèle, basé sur l'approche layerwise, pour analyser le comportement des composites multicouches et notamment les plaques sandwichs qu'elles soient symétriques ou non-symétriques. Contrairement à tous les autres modèles layerwise présentés dans la littérature, le nombre de degrés de liberté est indépendant du nombre de couches. Le modèle proposé est issu d'une combinaison de deux théories; la théorie de déformation en cisaillement du premier ordre (FSDT) est adoptée pour modéliser les deux peaux, tandis que l'âme est modélisée en utilisant la théorie de déformation en cisaillement du troisième ordre (TSDT). Ces deux théories combinées, satisfont les exigences de continuités des déplacements interlaminaires ainsi que les conditions de compatibilité. Le nouveau modèle permet de calculer les contraintes de cisaillement transversal d'une manière précise en utilisant directement les équations constitutives plutôt que les équations d'équilibre et sans recours à des facteurs de correction.
## 2.2 Formulation du modèle proposé

Les plaques sandwichs sont des structures qui se composent de trois couches principales, (figure 2.1) dont deux peaux minces (supérieure-inférieure) d'épaisseurs ($h_t$), ($h_b$), respectivement, et une couche centrale épaisse, nommée âme, d'épaisseur ($h_c$). L'épaisseur totale de la plaque (h) est la somme des épaisseurs de toutes les couches. Le plan (x, y) du système de coordonnées coïncide avec le plan moyen de la plaque.

<figure><img src="image_26.png" /><figcaption>Fig.2.1 Géométrie et notations d'une plaque sandwich.</figcaption></figure>

### 2.2.1 Cinématique du présent modèle

Le modèle proposé dans ce travail combine deux théories:

(i) La théorie de déformation en cisaillement du premier ordre (FSDT) pour la modélisation des deux peaux

(ii) La théorie du troisième ordre (TSDT) pour la modélisation de l'âme.

On suppose dans tous les cas qu'il n'y a pas de glissement aux interfaces, i.e. les couches sont parfaitement collées.

#### 2.2.1.1 Champ de déplacement de la couche centrale (âme)

Le champ de déplacement de l'âme permet de donner une description parabolique pour les contraintes de cisaillement sans recours à des facteurs de correction. La variation des déplacements dans le plan (u, v) et le déplacement transversal (w), à travers l'épaisseur, peut être exprimée, respectivement comme suit:
$$
\begin{align}
u_c &= u_0 + z\psi_x^c + z^2\eta_x^c + z^3\zeta_x^c \nonumber \\
v_c &= v_0 + z\psi_y^c + z^2\eta_y^c + z^3\zeta_y^c \tag{2.1} \\
w_c &= w_0 \nonumber
\end{align}
$$

où $u_0$, $v_0$ et $w_0$ sont respectivement, les composantes de déplacement dans le plan et hors plan, du plan moyen de la plaque sandwich. $\psi_x^c$ et $\psi_y^c$ représentent les rotations du premier ordre de la sections autour des axes y et x, respectivement. Les rotations $\eta_x^c$, $\eta_y^c$, $\zeta_x^c$ et $\zeta_y^c$ sont des termes d'ordre supérieur, où $\eta_x^c$ et $\eta_y^c$ symbolisent les termes du second ordre (courbure) et $\zeta_x^c$ et $\zeta_y^c$ sont des termes du troisième ordre (gauchissement des sections).

2.2.1.1.1 Relations cinématiques de la couche centrale

Les relations "déformation-déplacement" peuvent être écrites sous la forme suivante:

$$
\begin{align}
\epsilon_{xx}^c &= \epsilon_x^{(0)} + z\chi_x^{(1)} + z^2\chi_x^{(2)} + z^3\chi_x^{(3)} \nonumber \\
\epsilon_{yy}^c &= \epsilon_y^{(0)} + z\chi_y^{(1)} + z^2\chi_y^{(2)} + z^3\chi_y^{(3)} \nonumber \\
\gamma_{xy}^c &= \gamma_{xy}^{(0)} + z\chi_{xy}^{(1)} + z^2\chi_{xy}^{(2)} + z^3\chi_{xy}^{(3)} \tag{2.2} \\
\gamma_{yz}^c &= \gamma_{yz}^{(0)} + z\chi_{yz}^{(1)} + z^2\chi_{yz}^{(2)} \nonumber \\
\gamma_{xz}^c &= \gamma_{xz}^{(0)} + z\chi_{xz}^{(1)} + z^2\chi_{xz}^{(2)} \nonumber
\end{align}
$$

d'où,

$$
\begin{align}
\epsilon^{(0)} &= (\epsilon_{xx}^{(0)}, \epsilon_{yy}^{(0)}, \gamma_{xy}^{(0)}) = \left( \frac{\partial u_0}{\partial x}, \frac{\partial v_0}{\partial y}, \frac{\partial u_0}{\partial y} + \frac{\partial v_0}{\partial x} \right) \notag \\
\chi^{(1)} &= (\chi_x^{(1)}, \chi_y^{(1)}, \chi_{xy}^{(1)}) = \left( \frac{\partial \psi_x^c}{\partial x}, \frac{\partial \psi_y^c}{\partial y}, \frac{\partial \psi_x^c}{\partial y} + \frac{\partial \psi_y^c}{\partial x} \right) \notag \\
\chi^{(2)} &= (\chi_x^{(2)}, \chi_y^{(2)}, \chi_{xy}^{(2)}) = \left( \frac{\partial \eta_x^c}{\partial x}, \frac{\partial \eta_y^c}{\partial y}, \frac{\partial \eta_x^c}{\partial y} + \frac{\partial \eta_y^c}{\partial x} \right) \notag \\
\chi^{(3)} &= (\chi_x^{(3)}, \chi_y^{(3)}, \chi_{xy}^{(3)}) = \left( \frac{\partial \zeta_x^c}{\partial x}, \frac{\partial \zeta_y^c}{\partial y}, \frac{\partial \zeta_x^c}{\partial y} + \frac{\partial \zeta_y^c}{\partial x} \right) \tag{2.3} \\
\gamma_s^{(0)} &= (\gamma_{yz}^{(0)}, \gamma_{xz}^{(0)}) = \left( \psi_y^c + \frac{\partial w_0}{\partial y}, \psi_x^c + \frac{\partial w_0}{\partial x} \right) \notag \\
\chi_s^{(1)} &= (\chi_{yz}^{(1)}, \chi_{xz}^{(1)}) = (2\eta_y^c, 2\eta_x^c) \notag \\
\chi_s^{(2)} &= (\chi_{yz}^{(2)}, \chi_{xz}^{(2)}) = (3\zeta_y^c, 3\zeta_x^c) \notag
\end{align}
$$

On peut écrire le champ de déformation de l'âme de la façon suivante:
$$ \left\{ \begin{matrix} \epsilon_{xx} \\ \epsilon_{yy} \\ \gamma_{xy} \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} \epsilon_x^{(0)} \\ \epsilon_y^{(0)} \\ \gamma_{xy}^{(0)} \end{matrix} \right\} + z \left\{ \begin{matrix} \chi_x^{(1)} \\ \chi_y^{(1)} \\ \chi_{xy}^{(1)} \end{matrix} \right\} + z^2 \left\{ \begin{matrix} \chi_x^{(2)} \\ \chi_y^{(2)} \\ \chi_{xy}^{(2)} \end{matrix} \right\} + z^3 \left\{ \begin{matrix} \chi_x^{(3)} \\ \chi_y^{(3)} \\ \chi_{xy}^{(3)} \end{matrix} \right\} \qquad (2.4) $$

$$ \left\{ \begin{matrix} \gamma_{yz} \\ \gamma_{xz} \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} \gamma_{yz}^{(0)} \\ \gamma_{xz}^{(0)} \end{matrix} \right\} + z \left\{ \begin{matrix} \chi_{yz}^{(1)} \\ \chi_{xz}^{(1)} \end{matrix} \right\} + z^2 \left\{ \begin{matrix} \chi_{yz}^{(2)} \\ \chi_{xz}^{(2)} \end{matrix} \right\} $$

### 2.2.1.2 Champ de déplacement des peaux

La théorie utilisée pour modéliser les deux peaux est la théorie du premier ordre (définie dans la section 1.1.2.1.2). Les composantes de déplacement $(u, v \text{ et } w)$ sont exprimées par les expressions suivantes:

$$ \begin{align} u^{(f)}(x, y, z) &= u_0(x, y) + z\psi_x^f(x, y) \notag \\ v^{(f)}(x, y, z) &= v_0(x, y) + z\psi_y^f(x, y), \quad f = t, b \tag{2.5} \\ w^{(f)}(x, y, z) &= w_0(x, y) \notag \end{align} $$

Les conditions de compatibilité ainsi que la continuité des déplacements au niveau de l'interface (top face sheet-core- bottom face sheet), conduisent aux expressions suivantes des déplacements dans les deux peaux (voir Fig. 2.2):

#### a. Peau supérieure (Top face-sheet)

$$ \begin{align} u_t &= u_c \left( \frac{h_c}{2} \right) + \left( z - \frac{h_c}{2} \right) \psi_x^t \notag \\ v_t &= v_c \left( \frac{h_c}{2} \right) + \left( z - \frac{h_c}{2} \right) \psi_y^t \tag{2.6} \\ w_t &= w_0 \notag \end{align} $$

où $\psi_x^t$ et $\psi_y^t$ sont les rotations de la peau supérieure de la section autour des axes y et x, respectivement.

avec,

$$ \begin{align} u_c \left( \frac{h_c}{2} \right) &= u_0 + \left( \frac{h_c}{2} \right) \psi_x^c + \left( \frac{h_c^2}{4} \right) \eta_x^c + \left( \frac{h_c^3}{8} \right) \zeta_x^c \notag \\ v_c \left( \frac{h_c}{2} \right) &= v_0 + \left( \frac{h_c}{2} \right) \psi_y^c + \left( \frac{h_c^2}{4} \right) \eta_y^c + \left( \frac{h_c^3}{8} \right) \zeta_y^c \tag{2.7} \end{align} $$
<figure><img src="image_27.png" /><figcaption>Fig.2.2 Cinématique du modèle proposé.</figcaption></figure>

En substituant l'équation (2.7) dans l'équation (2.6), le champ de déplacement de la peau supérieure sera exprimé par:

$$
\begin{align}
u_t &= u_0 + \left(\frac{h_c}{2}\right) \psi_x^c + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \eta_x^c + \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \zeta_x^c + \left(z - \frac{h_c}{2}\right) \psi_x^t \nonumber \\
v_t &= v_0 + \left(\frac{h_c}{2}\right) \psi_y^c + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \eta_y^c + \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \zeta_y^c + \left(z - \frac{h_c}{2}\right) \psi_y^t \tag{2.8} \\
w_t &= w_0 \nonumber
\end{align}
$$

b. Peau inférieure (Bottom face-sheet)

Selon la figure 2.2, le champ de déplacement de la peau inférieure s'écrit comme:

$$
\begin{align}
u_b &= u_c \left( -\frac{h_c}{2} \right) + \left( z + \frac{h_c}{2} \right) \psi_x^b \nonumber \\
v_b &= v_c \left( -\frac{h_c}{2} \right) + \left( z + \frac{h_c}{2} \right) \psi_y^b \tag{2.9} \\
w_b &= w_0 \nonumber
\end{align}
$$

où $\psi_x^b$ et $\psi_y^b$ sont les rotations de la peau inférieure de la section autour des axes y et x,
respectivement.

avec,

$$
\begin{align}
u_c \left(-\frac{h_c}{2}\right) &= u_0 - \left(\frac{h_c}{2}\right) \psi_x^c + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \eta_x^c - \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \zeta_x^c \nonumber \\
v_c \left(-\frac{h_c}{2}\right) &= v_0 - \left(\frac{h_c}{2}\right) \psi_y^c + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \eta_y^c - \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \zeta_y^c \tag{2.10}
\end{align}
$$

La substitution de l'équation (2.10) dans l'équation (2.9) conduira à l'expression du champ de déplacement de la peau inférieure:
$$
\begin{align}
u_b &= u_0 - \left(\frac{h_c}{2}\right) \psi_x^c + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \eta_x^c - \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \zeta_x^c + \left(z + \frac{h_c}{2}\right) \psi_x^b \nonumber \\
v_b &= v_0 - \left(\frac{h_c}{2}\right) \psi_y^c + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \eta_y^c - \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \zeta_y^c + \left(z + \frac{h_c}{2}\right) \psi_y^b \tag{2.11} \\
w_b &= w_0 \nonumber
\end{align}
$$

2.2.1.2.1 Relations cinématiques des peaux

Pour la peau supérieure, les relations ‘‘déformation-déplacement’’ sont données par:

$$
\begin{align}
\epsilon_{xx}^t &= \frac{\partial u_t}{\partial x} = \frac{\partial u_0}{\partial x} + \left(\frac{h_c}{2}\right) \frac{\partial \psi_x^c}{\partial x} + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \frac{\partial \eta_x^c}{\partial x} + \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \frac{\partial \zeta_x^c}{\partial x} + \left(z - \frac{h_c}{2}\right) \frac{\partial \psi_x^t}{\partial x} \nonumber \\
\epsilon_{yy}^t &= \frac{\partial v_t}{\partial y} = \frac{\partial v_0}{\partial y} + \left(\frac{h_c}{2}\right) \frac{\partial \psi_y^c}{\partial y} + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \frac{\partial \eta_y^c}{\partial y} + \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \frac{\partial \zeta_y^c}{\partial y} + \left(z - \frac{h_c}{2}\right) \frac{\partial \psi_y^t}{\partial y} \nonumber \\
\gamma_{xy}^t &= \frac{\partial u_t}{\partial y} + \frac{\partial v_t}{\partial x} = \left(\frac{\partial u_0}{\partial y} + \frac{\partial v_0}{\partial x}\right) + \frac{h_c}{2} \left(\frac{\partial \psi_x^c}{\partial y} + \frac{\partial \psi_y^c}{\partial x}\right) + \frac{h_c^2}{4} \left(\frac{\partial \eta_x^c}{\partial y} + \frac{\partial \eta_y^c}{\partial x}\right) \nonumber \\
&\qquad + \frac{h_c^3}{8} \left(\frac{\partial \zeta_x^c}{\partial y} + \frac{\partial \zeta_y^c}{\partial x}\right) + \left(z - \frac{h_c}{2}\right) \left(\frac{\partial \psi_x^t}{\partial y} + \frac{\partial \psi_y^t}{\partial x}\right) \tag{2.12} \\
\gamma_{yz}^t &= \frac{\partial w_0}{\partial y} + \psi_y^t \nonumber \\
\gamma_{xz}^t &= \frac{\partial w_0}{\partial x} + \psi_x^t \nonumber
\end{align}
$$

D'une autre manière, l'équation (2.12) peut être écrite sous forme matricielle comme suit:

$$
\left\{
\begin{array}{c}
\displaystyle \frac{\partial u_0}{\partial x} + \left(\frac{h_c}{2}\right) \frac{\partial \psi_x^c}{\partial x} + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \frac{\partial \eta_x^c}{\partial x} + \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \frac{\partial \zeta_x^c}{\partial x} - \left(\frac{h_c}{2}\right) \frac{\partial \psi_x^t}{\partial x} \\
\displaystyle \frac{\partial v_0}{\partial y} + \left(\frac{h_c}{2}\right) \frac{\partial \psi_y^c}{\partial y} + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \frac{\partial \eta_y^c}{\partial y} + \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \frac{\partial \zeta_y^c}{\partial y} - \left(\frac{h_c}{2}\right) \frac{\partial \psi_y^t}{\partial y} \\
\displaystyle \left(\frac{\partial u_0}{\partial y} + \frac{h_c}{2} \left(\frac{\partial \psi_x^c}{\partial y} + \frac{\partial \psi_y^c}{\partial x}\right) + \frac{h_c^2}{4} \left(\frac{\partial \eta_x^c}{\partial y} + \frac{\partial \eta_y^c}{\partial x}\right) + \frac{h_c^3}{8} \left(\frac{\partial \zeta_x^c}{\partial y} + \frac{\partial \zeta_y^c}{\partial x}\right) - \frac{h_c}{2} \left(\frac{\partial \psi_x^t}{\partial y} + \frac{\partial \psi_y^t}{\partial x}\right) \right]
\end{array}
\right.
\quad (2.13)
$$

$$
\epsilon_f^t = \begin{cases} \epsilon_{xx}^{t(f)} \\ \epsilon_{yy}^{t(f)} \\ \gamma_{xy}^{t(f)} \end{cases} = z \begin{bmatrix} \frac{\partial \psi_x^t}{\partial x} \\ \frac{\partial \psi_y^t}{\partial y} \\ \frac{\partial \psi_x^t}{\partial y} + \frac{\partial \psi_y^t}{\partial x} \end{bmatrix}, \quad \gamma_c^t = \begin{cases} \gamma_{xz}^t \\ \gamma_{yz}^t \end{cases} = \begin{bmatrix} \frac{\partial w_0}{\partial x} + \psi_x^t \\ \frac{\partial w_0}{\partial y} + \psi_y^t \end{bmatrix} \quad (2.14)
$$
Où les exposants *m*, *f* et *c* désignent respectivement, membranaire, flexionnelle et cisaillement transversal.

Les relations ‘‘déformation-déplacement’’ de la peau inférieure peuvent être écrites sous la forme suivante:

$$
\begin{align}
\epsilon_{xx}^b &= \frac{\partial u_b}{\partial x} = \frac{\partial u_0}{\partial x} + \left(-\frac{h_c}{2}\right) \frac{\partial \psi_x^c}{\partial x} + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \frac{\partial \eta_x^c}{\partial x} - \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \frac{\partial \zeta_x^c}{\partial x} + \left(z + \frac{h_c}{2}\right) \frac{\partial \psi_x^b}{\partial x} \nonumber \\
\epsilon_{yy}^b &= \frac{\partial v_b}{\partial y} = \frac{\partial v_0}{\partial y} + \left(-\frac{h_c}{2}\right) \frac{\partial \psi_y^c}{\partial y} + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \frac{\partial \eta_y^c}{\partial y} - \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \frac{\partial \zeta_y^c}{\partial y} + \left(z + \frac{h_c}{2}\right) \frac{\partial \psi_y^b}{\partial y} \nonumber \\
\gamma_{xy}^b &= \frac{\partial u_b}{\partial y} + \frac{\partial v_b}{\partial x} = \left(\frac{\partial u_0}{\partial y} + \frac{\partial v_0}{\partial x}\right) - \frac{h_c}{2} \left(\frac{\partial \psi_x^c}{\partial y} + \frac{\partial \psi_y^c}{\partial x}\right) + \frac{h_c^2}{4} \left(\frac{\partial \eta_x^c}{\partial y} + \frac{\partial \eta_y^c}{\partial x}\right) \nonumber \\
&\qquad - \frac{h_c^3}{8} \left(\frac{\partial \zeta_x^c}{\partial y} + \frac{\partial \zeta_y^c}{\partial x}\right) + \left(z + \frac{h_c}{2}\right) \left(\frac{\partial \psi_x^b}{\partial y} + \frac{\partial \psi_y^b}{\partial x}\right) \tag{2.15} \\
\gamma_{yz}^b &= -\frac{\partial w_0}{\partial y} + \psi_y^b \nonumber \\
\gamma_{xz}^b &= -\frac{\partial w_0}{\partial x} + \psi_x^b \nonumber
\end{align}
$$

De même, l'équation (2.15) peut être sous-divisée en trois termes; membranaire, flexionnelle et cisaillement transversal. Soit:

$$
\left\{
\begin{array}{c}
\epsilon_m^b \\
\epsilon_{xx}^{b(m)} \\
\epsilon_{yy}^{b(m)} \\
\gamma_{xy}^{b(m)}
\end{array}
\right\}
=
\begin{bmatrix}
\frac{\partial u_0}{\partial x} - \left(\frac{h_c}{2}\right) \frac{\partial \psi_x^c}{\partial x} + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \frac{\partial \eta_x^c}{\partial x} - \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \frac{\partial \zeta_x^c}{\partial x} + \left(\frac{h_c}{2}\right) \frac{\partial \psi_x^b}{\partial x} \\
\frac{\partial v_0}{\partial x} - \left(\frac{h_c}{2}\right) \frac{\partial \psi_y^c}{\partial y} + \left(\frac{h_c^2}{4}\right) \frac{\partial \eta_y^c}{\partial y} - \left(\frac{h_c^3}{8}\right) \frac{\partial \zeta_y^c}{\partial y} + \left(\frac{h_c}{2}\right) \frac{\partial \psi_y^b}{\partial y} \\
\left(\frac{\partial u_0}{\partial y} + \frac{\partial v_0}{\partial x}\right) - \frac{h_c}{2} \left(\frac{\partial \psi_x^c}{\partial y} + \frac{\partial \psi_y^c}{\partial x}\right) + \frac{h_c^2}{4} \left(\frac{\partial \eta_x^c}{\partial y} + \frac{\partial \eta_y^c}{\partial x}\right) - \frac{h_c^3}{8} \left(\frac{\partial \zeta_x^c}{\partial y} + \frac{\partial \zeta_y^c}{\partial x}\right) + \frac{h_c}{2} \left(\frac{\partial \psi_x^b}{\partial y} + \frac{\partial \psi_y^b}{\partial x}\right) \\
\epsilon_f^b = \begin{cases} \epsilon_{xx}^{b(f)} \\ \epsilon_{yy}^{b(f)} \\ \gamma_{xy}^{b(f)} \end{cases} = z \begin{bmatrix} \frac{\partial \psi_x^b}{\partial x} \\ \frac{\partial \psi_y^b}{\partial y} \\ \frac{\partial \psi_x^b}{\partial y} + \frac{\partial \psi_y^b}{\partial x} \end{bmatrix}, \quad \gamma_c^b = \begin{cases} \gamma_{xz}^b \\ \gamma_{yz}^b \end{cases} = \begin{bmatrix} \frac{\partial w_0}{\partial x} + \psi_x^b \\ \frac{\partial w_0}{\partial y} + \psi_y^b \end{bmatrix}
\end{array}
\right.
\quad (2.16)
$$
$$
(2.17)
$$
### 2.2.2 Loi de comportement d'un stratifié

La théorie élémentaire des plaques fait l'hypothèse que les contraintes normales $\sigma_{zz}$ sont négligeables dans le volume de la plaque, par rapport aux composantes $\sigma_{xx}$, $\sigma_{yy}$ et $\sigma_{xy}$. Cette hypothèse est étendue à la théorie des stratifiés. Les relations contraintes-déformations dans le système de coordonnées locales des fibres sont données par :

$$ 
\left\{ \begin{matrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \sigma_{xy} \end{matrix} \right\} = \begin{bmatrix} Q_{11} & Q_{12} & Q_{16} \\ Q_{21} & Q_{22} & Q_{26} \\ Q_{61} & Q_{62} & Q_{66} \end{bmatrix} \left\{ \begin{matrix} \varepsilon_{xx} \\ \varepsilon_{yy} \\ \gamma_{xy} \end{matrix} \right\} \qquad (2.18) \\
\left\{ \begin{matrix} \tau_{yz} \\ \tau_{xz} \end{matrix} \right\} = \begin{bmatrix} Q_{44} & Q_{45} \\ Q_{54} & Q_{55} \end{bmatrix} \left\{ \begin{matrix} \gamma_{yz} \\ \gamma_{xz} \end{matrix} \right\}
$$

où les indices 1 et 2 désignent respectivement, la direction longitudinale des fibres et la direction transversale aux fibres dans le plan de la plaque; 3 est la direction normale à la plaque.

Les composantes de la rigidité $Q_{ij}$ sont données par:

$$ Q_{11} = \frac{E_1}{1 - \nu_{12}\nu_{21}}, \quad Q_{12} = \frac{\nu_{12}E_2}{1 - \nu_{12}\nu_{21}}, \quad Q_{22} = \frac{E_2}{1 - \nu_{12}\nu_{21}}, \quad Q_{66} = G_{12}, \quad Q_{44} = G_{23}, \quad Q_{55} = G_{13} \qquad (2.19) $$

avec $E_1, E_2$ sont des modules d'Young du matériau dans les directions 1 et 2, $G_{12}, G_{13}$ et $G_{23}$ sont des modules de cisaillement; et $\nu_{12}$ et $\nu_{21}$ sont des coefficients de Poisson.

<figure><img src="image_28.png" /><figcaption>Fig. 2.3 Les axes de référence $(X, Y, Z)$; et les axes de fibre du couche (1,2,3)</figcaption></figure>

La loi de Hooke généralisée dans le système de coordonnées globales (Fig.2.3) peut être obtenue en utilisant la matrice de transformation $[T]$ donnée par:
$$[T] = \begin{bmatrix} c^2 & s^2 & -2sc & 0 & 0 \\ s^2 & c^2 & 2sc & 0 & 0 \\ sc & -sc & c^2 - s^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c & -s \\ 0 & 0 & 0 & s & c \end{bmatrix} \qquad (2.20)$$

D'où,

$c = \cos \alpha$ et $s = \sin \alpha$, dans laquelle $\alpha$ est l'angle de la fibre comme représenté sur la figure 2.3.

Les relations contraintes-déformations, pour une couche $k$, exprimées dans le repère global, s'écrivent donc:

$$ \left\{ \begin{matrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{yy} \\ \sigma_{xy} \end{matrix} \right\} = \left[ \begin{matrix} \bar{Q}_{11} & \bar{Q}_{12} & \bar{Q}_{16} \\ \bar{Q}_{21} & \bar{Q}_{22} & \bar{Q}_{26} \\ \bar{Q}_{61} & \bar{Q}_{62} & \bar{Q}_{66} \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \varepsilon_{xx} \\ \varepsilon_{yy} \\ \gamma_{xy} \end{matrix} \right\} \qquad (2.21) \\ \left\{ \begin{matrix} \tau_{yz} \\ \tau_{xz} \end{matrix} \right\} = \left[ \begin{matrix} \bar{Q}_{44} & \bar{Q}_{45} \\ \bar{Q}_{54} & \bar{Q}_{55} \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \gamma_{yz} \\ \gamma_{xz} \end{matrix} \right\} $$

où $\bar{Q}_{ij}$ sont les coefficients de la matrice de rigidité d'une couche $k$ donnée. Ils sont exprimés par les relations suivantes:

$$ \begin{align} \bar{Q}_{11} &= Q_{11} c^4 + Q_{22} s^4 + 2(Q_{12} + 2Q_{66}) s^2 c^2 \notag \\ \bar{Q}_{12} &= (Q_{11} + Q_{22} - 4Q_{66}) s^2 c^2 + Q_{12} (s^2 + c^4) \notag \\ \bar{Q}_{22} &= Q_{11} s^4 + Q_{22} c^4 + 2(Q_{12} + 2Q_{66}) s^2 c^2 \notag \\ \bar{Q}_{16} &= (Q_{11} - Q_{22} - 2Q_{66}) c^3 s - (Q_{22} - Q_{12} - 2Q_{66}) s^3 c \notag \\ \bar{Q}_{26} &= (Q_{11} - Q_{12} - 2Q_{66}) s^3 c - (Q_{22} - Q_{12} - 2Q_{66}) c^3 s \tag{2.22} \\ \bar{Q}_{44} &= Q_{44} c^2 + Q_{55} s^2 \notag \\ \bar{Q}_{45} &= (Q_{55} - Q_{44}) sc \notag \\ \bar{Q}_{55} &= Q_{44} s^2 + Q_{55} c^2 \notag \\ \bar{Q}_{66} &= (Q_{11} + Q_{22} - 2Q_{12} - 2Q_{66}) s^2 c^2 + Q_{66} (s^4 + c^4) \notag \end{align} $$

Les deux peaux (supérieure et inférieure) sont considérées comme des plaques en matériaux composites stratifiées. Par conséquent, les relations contrainte-déformation d'une couche $k^{th}$ dans le système de coordonnées global peuvent être exprimées par:
$$
\left\{
\begin{array}{c}
\sigma_{xx}^f \\
\sigma_{yy}^f \\
\tau_{yz}^f \\
\tau_{xz}^f \\
\sigma_{xy}^f
\end{array}
\right\}^{(k)}
=
\begin{bmatrix}
\overline{Q_{11}} & \overline{Q_{12}} & 0 & 0 & \overline{Q_{16}} \\
\overline{Q_{21}} & \overline{Q_{22}} & 0 & 0 & \overline{Q_{26}} \\
0 & 0 & \overline{Q_{44}} & \overline{Q_{45}} & 0 \\
0 & 0 & \overline{Q_{54}} & \overline{Q_{55}} & 0 \\
\overline{Q_{61}} & \overline{Q_{62}} & 0 & 0 & \overline{Q_{66}}
\end{bmatrix}^{(k)}
\left\{
\begin{array}{c}
\varepsilon_{xx}^f \\
\varepsilon_{yy}^f \\
\gamma_{yz}^f \\
\gamma_{xz}^f \\
\gamma_{xy}^f
\end{array}
\right\}^{(k)}
\quad \text{i.e. } \left[\sigma^{(k)}\right] = \left[Q^{(k)}\right] \left[\varepsilon^{(k)}\right] \quad (2.23)
\\[1.5em]
f = \text{top, bottom}
$$

L'âme est considérée comme un matériau composite orthotrope et les relations "contrainte-déformation" sont données sous la forme suivante:

$$
\left\{
\begin{array}{c}
\sigma_{xx} \\
\sigma_{yy} \\
\tau_{yz} \\
\tau_{xz} \\
\sigma_{xy}
\end{array}
\right\}
=
\begin{bmatrix}
\overline{Q_{11}} & \overline{Q_{12}} & 0 & 0 & \overline{Q_{16}} \\
\overline{Q_{21}} & \overline{Q_{22}} & 0 & 0 & \overline{Q_{26}} \\
0 & 0 & \overline{Q_{44}} & \overline{Q_{45}} & 0 \\
0 & 0 & \overline{Q_{54}} & \overline{Q_{55}} & 0 \\
\overline{Q_{61}} & \overline{Q_{62}} & 0 & 0 & \overline{Q_{66}}
\end{bmatrix}
\left\{
\begin{array}{c}
\varepsilon_{xx} \\
\varepsilon_{yy} \\
\gamma_{yz} \\
\gamma_{xz} \\
\gamma_{xy}
\end{array}
\right\}
\qquad (2.24)
$$

2.2.2.1 Les efforts résultants dans l'âme

Les efforts résultants dans l'âme sont obtenus par l'intégration des contraintes à travers son
épaisseur.

2.2.2.1.1 Résultantes en membrane

Le vecteur des résultantes en membrane noté $N(x, y)$, d'une couche $k$, est défini par:

$$
N(x, y) = \begin{bmatrix} N_x \\ N_y \\ N_{xy} \end{bmatrix} = \int_{-\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c}{2}} \left[ \begin{bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_{xy} \end{bmatrix} \right] dz \quad (2.25)
$$

2.2.2.1.2 Moments de flexion et de torsion

Les moments de flexion et de torsion sont définis par:

$$
M(x, y) = \begin{bmatrix} M_x \\ M_y \\ M_{xy} \end{bmatrix} = \int_{-\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c}{2}} \left[ \begin{bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_{xy} \end{bmatrix} \right] z \, dz \quad (2.26)
$$

2.2.2.1.3 Résultantes d'ordre supérieur (second ordre)

Le vecteur des résultantes de second ordre, noté $\overline{N}(x, y)$, est exprimé par:
$$ \overline{N}(x, y) = \begin{bmatrix} \overline{N}_x \\ \overline{N}_y \\ \overline{N}_{xy} \end{bmatrix} = \int_{\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c}{2}} \begin{bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_{xy} \end{bmatrix} z^2 dz \qquad (2.27) $$

### 2.2.2.1.4 Résultantes d'ordre supérieur (troisième ordre)

Le vecteur des résultantes du troisième ordre, noté $\overline{M}(x, y)$, est exprimé par:

$$ \overline{M}(x, y) = \begin{bmatrix} \overline{M}_x \\ \overline{M}_y \\ \overline{M}_{xy} \end{bmatrix} = \int_{\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c}{2}} \begin{bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_{xy} \end{bmatrix} z^3 dz \qquad (2.28) $$

### 2.2.2.1.5 Résultantes de cisaillement

Le vecteur force en cisaillement noté $V(x, y)$ est défini de la même manière par:

$$ V(x, y) = \begin{bmatrix} V_x \\ V_y \end{bmatrix} = \int_{\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c}{2}} \begin{bmatrix} \tau_{xz} \\ \tau_{yz} \end{bmatrix} dz \qquad (2.29) $$

### 2.2.2.1.6 Résultantes d'ordre supérieur en cisaillement

Le vecteur des résultantes d'ordre supérieur de cisaillement est exprimé par:

$$ \begin{bmatrix} S_x & R_x \\ S_y & R_y \end{bmatrix} = \int_{\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c}{2}} \begin{bmatrix} \tau_{xz} \\ \tau_{yz} \end{bmatrix} (z, z^2) dz \qquad (2.30) $$

En substituant les équations (2.4) et (2.23) dans les expressions des efforts résultants (Eq.2.25-2.30), on obtient:

$$ \begin{Bmatrix} N_x \\ N_y \\ N_{xy} \end{Bmatrix} = \int_{\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c}{2}} \left[ \mathcal{Q} \right] \begin{Bmatrix} \epsilon_{xx}^0 \\ \epsilon_{yy}^0 \\ \gamma_{xy}^0 \end{Bmatrix} + \mathcal{Q} z \begin{Bmatrix} \chi_{xx}^1 \\ \chi_{yy}^1 \\ \chi_{xy}^1 \end{Bmatrix} + \mathcal{Q} z^2 \begin{Bmatrix} \chi_{xx}^2 \\ \chi_{yy}^2 \\ \chi_{xy}^2 \end{Bmatrix} + \mathcal{Q} z^3 \begin{Bmatrix} \chi_{xx}^3 \\ \chi_{yy}^3 \\ \chi_{xy}^3 \end{Bmatrix} dz \qquad (2.31) $$

$$ \begin{Bmatrix} M_x \\ M_y \\ M_{xy} \end{Bmatrix} = \int_{\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c}{2}} z \left[ \mathcal{Q} \right] \begin{Bmatrix} \epsilon_{xx}^0 \\ \epsilon_{yy}^0 \\ \gamma_{xy}^0 \end{Bmatrix} + \mathcal{Q} z \begin{Bmatrix} \chi_{xx}^1 \\ \chi_{yy}^1 \\ \chi_{xy}^1 \end{Bmatrix} + \mathcal{Q} z^2 \begin{Bmatrix} \chi_{xx}^2 \\ \chi_{yy}^2 \\ \chi_{xy}^2 \end{Bmatrix} + \mathcal{Q} z^3 \begin{Bmatrix} \chi_{xx}^3 \\ \chi_{yy}^3 \\ \chi_{xy}^3 \end{Bmatrix} dz \qquad (2.32) $$
$$
\left\{ \begin{matrix} \overline{\left\{ \frac{N_x}{N_y} \right\}} \\ \overline{\left\{ \frac{N_y}{N_x} \right\}} \end{matrix} \right\} = \int_{-\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c}{2}} z^2 \left[ \mathcal{Q} \left\{ \begin{matrix} \epsilon_{xx}^0 \\ \epsilon_{yy}^0 \\ \gamma_{xy}^0 \end{matrix} \right\} + \mathcal{Q} z \left\{ \begin{matrix} \chi_{xx}^1 \\ \chi_{yy}^1 \\ \chi_{xy}^1 \end{matrix} \right\} + \mathcal{Q} z^2 \left\{ \begin{matrix} \chi_{xx}^2 \\ \chi_{yy}^2 \\ \chi_{xy}^2 \end{matrix} \right\} + \mathcal{Q} z^3 \left\{ \begin{matrix} \chi_{xx}^3 \\ \chi_{yy}^3 \\ \chi_{xy}^3 \end{matrix} \right\} \right] dz \quad (2.33)
$$

$$
\left\{ \begin{matrix} \overline{\left\{ \frac{M_x}{M_y} \right\}} \\ \overline{\left\{ \frac{M_y}{M_x} \right\}} \end{matrix} \right\} = \int_{-\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c}{2}} z^3 \left[ \mathcal{Q} \left\{ \begin{matrix} \epsilon_{xx}^0 \\ \epsilon_{yy}^0 \\ \gamma_{xy}^0 \end{matrix} \right\} + \mathcal{Q} z \left\{ \begin{matrix} \chi_{xx}^1 \\ \chi_{yy}^1 \\ \chi_{xy}^1 \end{matrix} \right\} + \mathcal{Q} z^2 \left\{ \begin{matrix} \chi_{xx}^2 \\ \chi_{yy}^2 \\ \chi_{xy}^2 \end{matrix} \right\} + \mathcal{Q} z^3 \left\{ \begin{matrix} \chi_{xx}^3 \\ \chi_{yy}^3 \\ \chi_{xy}^3 \end{matrix} \right\} \right] dz \quad (2.34)
$$

$$
\left\{ \begin{matrix} V_y \\ V_x \end{matrix} \right\} = \int_{-\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c}{2}} \left[ \mathcal{Q} \left\{ \begin{matrix} \gamma_{yz}^0 \\ \gamma_{xz}^0 \end{matrix} \right\} + \mathcal{Q} z \left\{ \begin{matrix} \chi_{yz}^1 \\ \chi_{xz}^1 \end{matrix} \right\} + \mathcal{Q} z^2 \left\{ \begin{matrix} \chi_{yz}^2 \\ \chi_{xz}^2 \end{matrix} \right\} \right] dz \quad (2.35)
$$

$$
\left\{ \begin{matrix} S_y \\ S_x \end{matrix} \right\} = \int_{-\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c}{2}} z \left[ \mathcal{Q} \left\{ \begin{matrix} \gamma_{yz}^0 \\ \gamma_{xz}^0 \end{matrix} \right\} + \mathcal{Q} z \left\{ \begin{matrix} \chi_{yz}^1 \\ \chi_{xz}^1 \end{matrix} \right\} + \mathcal{Q} z^2 \left\{ \begin{matrix} \chi_{yz}^2 \\ \chi_{xz}^2 \end{matrix} \right\} \right] dz \quad (2.36)
$$

$$
\left\{ \begin{matrix} R_y \\ R_x \end{matrix} \right\} = \int_{-\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c}{2}} z^2 \left[ \mathcal{Q} \left\{ \begin{matrix} \gamma_{yz}^0 \\ \gamma_{xz}^0 \end{matrix} \right\} + \mathcal{Q} z \left\{ \begin{matrix} \chi_{yz}^1 \\ \chi_{xz}^1 \end{matrix} \right\} + \mathcal{Q} z^2 \left\{ \begin{matrix} \chi_{yz}^2 \\ \chi_{xz}^2 \end{matrix} \right\} \right] dz \quad (2.37)
$$

Les composantes des matrices de rigidité de l'âme sont définies par :

$$
(A_{ij}, B_{ij}, D_{ij}, E_{ij}, F_{ij}, G_{ij}, H_{ij}) = \int_{-\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c}{2}} Q_{ij} (1, z, z^2, z^3, z^4, z^5, z^6) dz \quad (i, j = 1, 2, 6) \tag{2.38}
$$

$$
(A_{ij}^s, B_{ij}^s, D_{ij}^s, E_{ij}^s, F_{ij}^s) = \int_{-\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c}{2}} Q_{ij} (1, z, z^2, z^3, z^4) dz \quad (i, j = 4, 5)
$$

Les expressions développées des résultantes s'écrivent :

$$
\left\{ \begin{matrix} N_x \\ N_y \\ N_{xy} \end{matrix} \right\} = \left[ \begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{16} \\ A_{21} & A_{22} & A_{26} \\ A_{61} & A_{62} & A_{66} \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \epsilon_{xx}^0 \\ \epsilon_{yy}^0 \\ \gamma_{xy}^0 \end{matrix} \right\} + \left[ \begin{matrix} B_{11} & B_{12} & B_{16} \\ B_{21} & B_{22} & B_{26} \\ B_{61} & B_{62} & B_{66} \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \chi_{xx}^1 \\ \chi_{yy}^1 \\ \chi_{xy}^1 \end{matrix} \right\} + \left[ \begin{matrix} D_{11} & D_{12} & D_{16} \\ D_{21} & D_{22} & D_{26} \\ D_{61} & D_{62} & D_{66} \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \chi_{xx}^2 \\ \chi_{yy}^2 \\ \chi_{xy}^2 \end{matrix} \right\} + \left[ \begin{matrix} E_{11} & E_{12} & E_{16} \\ E_{21} & E_{22} & E_{26} \\ E_{61} & E_{62} & E_{66} \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \chi_{xx}^3 \\ \chi_{yy}^3 \\ \chi_{xy}^3 \end{matrix} \right\} \quad (2.39)
$$

$$
\left\{ \begin{matrix} M_x \\ M_y \\ M_{xy} \end{matrix} \right\} = \left[ \begin{matrix} B_{11} & B_{12} & B_{16} \\ B_{21} & B_{22} & B_{26} \\ B_{61} & B_{62} & B_{66} \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \epsilon_{xx}^0 \\ \epsilon_{yy}^0 \\ \gamma_{xy}^0 \end{matrix} \right\} + \left[ \begin{matrix} D_{11} & D_{12} & D_{16} \\ D_{21} & D_{22} & D_{26} \\ D_{61} & D_{62} & D_{66} \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \chi_{xx}^1 \\ \chi_{yy}^1 \\ \chi_{xy}^1 \end{matrix} \right\} + \left[ \begin{matrix} E_{11} & E_{12} & E_{16} \\ E_{21} & E_{22} & E_{26} \\ E_{61} & E_{62} & E_{66} \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \chi_{xx}^2 \\ \chi_{yy}^2 \\ \chi_{xy}^2 \end{matrix} \right\} + \left[ \begin{matrix} F_{11} & F_{12} & F_{16} \\ F_{21} & F_{22} & F_{26} \\ F_{61} & F_{62} & F_{66} \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \chi_{xx}^3 \\ \chi_{yy}^3 \\ \chi_{xy}^3 \end{matrix} \right\} \quad (2.40)
$$
$$ \left\{ \begin{bmatrix} \overline{N}_x \\ \overline{N}_y \\ \overline{N}_{xy} \end{bmatrix} \right\} = \left[ \begin{bmatrix} D_{11} & D_{12} & D_{16} \\ D_{21} & D_{22} & D_{26} \\ D_{61} & D_{62} & D_{66} \end{bmatrix} \left\{ \begin{bmatrix} \epsilon_{xx}^0 \\ \epsilon_{yy}^0 \\ \gamma_{xy}^0 \end{bmatrix} \right\} + \left[ \begin{bmatrix} E_{11} & E_{12} & E_{16} \\ E_{21} & E_{22} & E_{26} \\ E_{61} & E_{62} & E_{66} \end{bmatrix} \left\{ \begin{bmatrix} \chi_{xx}^1 \\ \chi_{yy}^1 \\ \chi_{xy}^1 \end{bmatrix} \right\} + \left[ \begin{bmatrix} F_{11} & F_{12} & F_{16} \\ F_{21} & F_{22} & F_{26} \\ F_{61} & F_{62} & F_{66} \end{bmatrix} \left\{ \begin{bmatrix} \chi_{xx}^2 \\ \chi_{yy}^2 \\ \chi_{xy}^2 \end{bmatrix} \right\} + \left[ \begin{bmatrix} G_{11} & G_{12} & G_{16} \\ G_{21} & G_{22} & G_{26} \\ G_{61} & G_{62} & G_{66} \end{bmatrix} \left\{ \begin{bmatrix} \chi_{xx}^3 \\ \chi_{yy}^3 \\ \chi_{xy}^3 \end{bmatrix} \right\} \right] \right\} \quad (2.41) $$

$$ \left\{ \begin{bmatrix} \overline{M}_x \\ \overline{M}_y \\ \overline{M}_{xy} \end{bmatrix} \right\} = \left[ \begin{bmatrix} E_{11} & E_{12} & E_{16} \\ E_{21} & E_{22} & E_{26} \\ E_{61} & E_{62} & E_{66} \end{bmatrix} \left\{ \begin{bmatrix} \epsilon_{xx}^0 \\ \epsilon_{yy}^0 \\ \gamma_{xy}^0 \end{bmatrix} \right\} + \left[ \begin{bmatrix} F_{11} & F_{12} & F_{16} \\ F_{21} & F_{22} & F_{26} \\ F_{61} & F_{62} & F_{66} \end{bmatrix} \left\{ \begin{bmatrix} \chi_{xx}^1 \\ \chi_{yy}^1 \\ \chi_{xy}^1 \end{bmatrix} \right\} + \left[ \begin{bmatrix} G_{11} & G_{12} & G_{16} \\ G_{21} & G_{22} & G_{26} \\ G_{61} & G_{62} & G_{66} \end{bmatrix} \left\{ \begin{bmatrix} \chi_{xx}^2 \\ \chi_{yy}^2 \\ \chi_{xy}^2 \end{bmatrix} \right\} + \left[ \begin{bmatrix} H_{11} & H_{12} & H_{16} \\ H_{21} & H_{22} & H_{26} \\ H_{61} & H_{62} & H_{66} \end{bmatrix} \left\{ \begin{bmatrix} \chi_{xx}^3 \\ \chi_{yy}^3 \\ \chi_{xy}^3 \end{bmatrix} \right\} \right] \right\} \quad (2.42) $$

Il est intéressant de noter que $(B, D, E, F, G, H)$ sont des matrices de couplage. Les termes de couplage de même ordre s'annulent pour une âme symétrique.

Les expressions développées pour les efforts résultants au cisaillement s'écrivent:

$$ \left\{ \begin{matrix} V_y \\ V_x \end{matrix} \right\} = \left[ \begin{matrix} A_{44} & A_{45} \\ A_{54} & A_{55} \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \gamma_{yz}^0 \\ \gamma_{xz}^0 \end{matrix} \right\} + \left[ \begin{matrix} B_{44} & B_{45} \\ B_{54} & B_{55} \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \chi_{yz}^1 \\ \chi_{xz}^1 \end{matrix} \right\} + \left[ \begin{matrix} D_{44} & D_{45} \\ D_{54} & D_{55} \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \chi_{yz}^2 \\ \chi_{xz}^2 \end{matrix} \right\} \quad (2.43) $$

$$ \left\{ \begin{matrix} S_y \\ S_x \end{matrix} \right\} = \left[ \begin{matrix} B_{44} & B_{45} \\ B_{54} & B_{55} \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \gamma_{yz}^0 \\ \gamma_{xz}^0 \end{matrix} \right\} + \left[ \begin{matrix} D_{44} & D_{45} \\ D_{54} & D_{55} \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \chi_{yz}^1 \\ \chi_{xz}^1 \end{matrix} \right\} + \left[ \begin{matrix} E_{44} & E_{45} \\ E_{54} & E_{55} \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \chi_{yz}^2 \\ \chi_{xz}^2 \end{matrix} \right\} \quad (2.44) $$

$$ \left\{ \begin{matrix} R_y \\ R_x \end{matrix} \right\} = \left[ \begin{matrix} D_{44} & D_{45} \\ D_{54} & D_{55} \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \gamma_{yz}^0 \\ \gamma_{xz}^0 \end{matrix} \right\} + \left[ \begin{matrix} E_{44} & E_{45} \\ E_{54} & E_{55} \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \chi_{yz}^1 \\ \chi_{xz}^1 \end{matrix} \right\} + \left[ \begin{matrix} F_{44} & F_{45} \\ F_{54} & F_{55} \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \chi_{yz}^2 \\ \chi_{xz}^2 \end{matrix} \right\} \quad (2.45) $$

Les équations constitutives de l'âme peuvent être écrites sous la forme contractée suivante:

$$ \left\{ \begin{matrix} N \\ M \\ \overline{N} \\ \overline{M} \end{matrix} \right\} = \left[ \begin{matrix} [A] & [B] & [D] & [E] \\ [B] & [D] & [E] & [F] \\ [D] & [E] & [F] & [G] \\ [E] & [F] & [G] & [H] \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \epsilon^{(0)} \\ \chi^{(1)} \\ \chi^{(2)} \\ \chi^{(3)} \end{matrix} \right\} \quad (2.46) $$

$$ \left\{ \begin{matrix} V \\ S \\ R \end{matrix} \right\} = \left[ \begin{matrix} [A^s] & [B^s] & [D^s] \\ [B^s] & [D^s] & [E^s] \\ [D^s] & [E^s] & [F^s] \end{matrix} \right] \left\{ \begin{matrix} \gamma_s^{(0)} \\ \chi_s^{(1)} \\ \chi_s^{(2)} \end{matrix} \right\} \quad (2.47) $$

Selon la théorie de déformation en cisaillement du premier ordre (FSDT), les expressions des résultantes de la peau supérieure s'écrivent:
$$
\left\{
\begin{array}{c}
N^t \\
M^t \\
T^t
\end{array}
\right\}
=
\begin{bmatrix}
A^t & B^t & 0 \\
B^t & D^t & 0 \\
0 & 0 & A_c^t
\end{bmatrix}
\left\{
\begin{array}{c}
\epsilon_m^t \\
\epsilon_f^t \\
\gamma_c^t
\end{array}
\right\}
\qquad (2.48)
$$

où les composantes des matrices de rigidité de la peau supérieure (A', B', D') sont données
par:

$$
(A_{ij}^{t}, B_{ij}^{t}, D_{ij}^{t}) = \int_{\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c+h_t}{2}} \overline{Q}_{ij}^{(k)}(1, z, z^2) dz = \sum_{k=1}^{n \text{ layer}} \int_{h^k}^{h^{k+1}} \overline{Q}_{ij}^{(k)}(1, z, z^2) dz \quad (i, j = 1, 2, 6) \tag{2.49}
$$

$$
\left( \bar{A}_{ij} \right) = \int_{\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c+h_t}{2}} \bar{Q}_{ij}^{(k)} \, dz = \sum_{k=1}^{n \text{ layer}} \int_{h^k}^{h^{k+1}} \bar{Q}_{ij}^{(k)} \, dz \quad (i, j = 4, 5)
$$

De même pour la peau inférieure,

$$
\left\{
\begin{array}{c}
N^b \\
M^b \\
T^b
\end{array}
\right\}
=
\begin{bmatrix}
A^b & B^b & 0 \\
B^b & D^b & 0 \\
0 & 0 & A_c^b
\end{bmatrix}
\left\{
\begin{array}{c}
\epsilon_m^b \\
\epsilon_f^b \\
\gamma_c^b
\end{array}
\right\}
\qquad (2.50)
$$

$$
(A_{ij}^b, B_{ij}^b, D_{ij}^b) = \int_{-\frac{h_c}{2}}^{-\frac{h_c+h_t}{2}} \bar{Q}_{ij}^{(k)}(1, z, z^2) dz = \sum_{k=1}^{n \text{ layer}} \int_{h^k}^{h^{k+1}} \bar{Q}_{ij}^{(k)}(1, z, z^2) dz \quad (i, j = 1, 2, 6) \tag{2.51}
$$

avec,

$$
\left( \bar{A}_{ij}^b \right) = \int_{-\frac{h_c}{2} + h_b}^{\frac{h_c}{2}} \bar{Q}_{ij}^{(k)} dz = \sum_{k=1}^{n \text{ layer}} \int_{h^k}^{h^{k+1}} \bar{Q}_{ij}^{(k)} dz \quad (i, j = 4, 5)
$$

2.3 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté la formulation théorique d’un nouveau modèle de
plaque sandwich multicouches, basée sur l’approche layerwise, i.e. combinaison de deux
théories: (i) la théorie de déformation en cisaillement du premier ordre (FSDT) pour la
modélisation des deux peaux; et (ii) la théorie du troisième ordre (TSDT) pour modéliser
l’âme. Contrairement à tous les autres modèles layerwise présentés dans la littérature, le
nombre de degrés de liberté est indépendant du nombre de couches. Ceci a pour avantage la
réduction du temps de calcul lorsque le nombre de couches augmente. Sur la base du modèle
proposé, nous allons aborder, dans le chapitre III, la formulation et la validation d'un nouvel élément fini de forme rectangulaire pour l'analyse statique des plaques sandwichs, qu'elles soient symétriques ou non-symétriques, ainsi que les plaques isotropes et les composites multicouches.
# Chapitre 3

## Développement d'un nouvel élément fini rectangulaire (RSFT52) pour l'analyse des plaques sandwichs et multicouches

### 3.1 Introduction

La revue de la littérature montre qu'un grand nombre d'auteurs préfèrent modéliser leurs structures multicouches en utilisant des éléments tridimensionnelles (3D), conçus à base du modèle layerwise [157, 242, 244, 245, 247, 249, 250, 252, 253]. D'après ces auteurs, les éléments 3D fournissent des résultats très satisfaisants, mais s'avèrent coûteux en termes de temps de calcul.

Dans ce chapitre, nous allons alors procéder au développement d'un nouvel élément fini, bi-dimensionnelle (2D), construit sur la base du modèle layerwise, décrit dans le chapitre précédent [Réf]. Cet élément est destiné à l'analyse statique des plaques sandwichs, qu'elles soient symétriques ou non-symétriques, ainsi que les composites multicouches. L'élément développé est de forme rectangulaire, nommé **RSFT52** (Rectangular Sandwich First Third with 52-degrees of freedom), défini par quatre nœuds et treize degrés de liberté par nœud. Chaque nœud contient: deux degrés de liberté de rotation pour chaque peau, six degrés de liberté de rotation aussi pour l'âme, alors que les trois degrés de liberté de type translation sont communs aux trois couches. Après la formulation, une série de tests ont été entrepris dans l'objectif de valider l'élément développé (RSFT52).
## 3.2 Formulation de l'élément RSFT52

### 3.2.1 Description de l'élément RSFT52

L'élément sandwich développé, nommé RSFT52 (Rectangular Sandwich First Third with 52- degrees of freedom), est formulé sur la base du modèle layerwise, i.e. combinaison de deux théories: (i) la théorie de déformation en cisaillement du premier ordre (FSDT); et (ii) une théorie du troisième ordre (TSDT). Cet élément est de forme rectangulaire à continuité C⁰, défini par quatre nœuds et treize degrés de liberté par nœud (13 ddl/nœud). La figure 3.1(a) montre la géométrie de l'élément RSFT52 et ses degrés de liberté correspondants.

<figure><img src="image_29.png" /><figcaption>**Fig. 3.1** Géométrie de l'élément RSFT52 et les variables cinématiques nodales correspondantes</figcaption></figure>

### 3.2.2 Approximation nodale des déplacements

La formulation de l'élément nécessite uniquement une approximation C⁰. Le vecteur déplacement en tous points de coordonnées (x, y) de la plaque peut être exprimé par:

$$ \delta(x, y) = \sum_{i=1}^{n} N_i(x, y) \delta_i \quad (3.1) $$

où $\delta_i = \{u_i, v_i, w_i, \psi_{xi}^c, \psi_{yi}^c, \eta_{xi}^c, \eta_{yi}^c, \zeta_{xi}^c, \zeta_{yi}^c, \psi_{xi}^{t}, \psi_{yi}^{t}, \psi_{xi}^{b}, \psi_{yi}^{b}\}^T$ est le vecteur des déplacements nodaux de l'élément, $i$ étant le numéro du nœud considéré ($i=1,2,3,4$).

Les fonctions d'interpolation bi-linéaire classique $N_i$ de type Lagrange ont les expressions suivantes:
$$
\begin{align*}
N_1 &= \frac{1}{4ab} (a-x)(b-y) \\
N_2 &= \frac{1}{4ab} (a+x)(b-y) \\
N_3 &= \frac{1}{4ab} (a+x)(b+y) \\
N_4 &= \frac{1}{4ab} (a-x)(b+y)
\end{align*}
\tag{3.2}
$$

L'approximation des variables cinématiques des trois couches peut être exprimée comme suit:

a. Au plan médian de la plaque sandwich:

$$
u_0(x,y) = \sum_{i=1}^{4} N_i(x,y) u_{0i} ; \quad v_0(x,y) = \sum_{i=1}^{4} N_i(x,y) v_{0i} ; \quad w(x,y) = \sum_{i=1}^{4} N_i(x,y) w_{0i} \quad (3.3)
$$

b. L'âme:

$$
\begin{align*}
\psi_x^c(x, y) &= \sum_{i=1}^{4} N_i(x, y) \psi_{xi}^c, & \psi_y^c(x, y) &= \sum_{i=1}^{4} N_i(x, y) \psi_{yi}^c \\
\eta_x^c(x, y) &= \sum_{i=1}^{4} N_i(x, y) \eta_{xi}^c, & \eta_y^c(x, y) &= \sum_{i=1}^{4} N_i(x, y) \eta_{yi}^c \tag{3.4} \\
\zeta_x^c(x, y) &= \sum_{i=1}^{4} N_i(x, y) \zeta_{xi}^c, & \zeta_y^c(x, y) &= \sum_{i=1}^{4} N_i(x, y) \zeta_{yi}^c
\end{align*}
$$

c. Peau supérieure:

$$
\psi_x^t(x, y) = \sum_{i=1}^{4} N_i(x, y) \psi_{xi}^t, \qquad \psi_y^t(x, y) = \sum_{i=1}^{4} N_i(x, y) \psi_{yi}^t \tag{3.5}
$$

d. Peau inférieure:

$$
\psi_x^b(x, y) = \sum_{i=1}^{4} N_i(x, y) \psi_{xi}^b, \qquad \psi_y^b(x, y) = \sum_{i=1}^{4} N_i(x, y) \psi_{yi}^b \tag{3.6}
$$

L'approximation nodale du vecteur de déformation de l'âme (Eq.2.2-2.4) en un point quelconque de coordonnée (x, y) pourra être exprimée par les dérivées des déplacements nodaux comme suit:

$$
\begin{align}
\{\chi^{(1)}\}^e &= [B_{\chi}^{(1)}]^{(e)} \{\delta_i\}_{(e)} ; & \{\chi^{(2)}\}^e &= [B_{\chi}^{(2)}]^{(e)} \{\delta_i\}_{(e)} \notag \\
\{\chi^{(3)}\}^e &= [B_{\chi}^{(3)}]^{(e)} \{\delta_i\}_{(e)} ; & \{\gamma_s^{(0)}\}^e &= [B_{\gamma_s}^{(0)}]^{(e)} \{\delta_i\}_{(e)} \tag{3.7} \\
\{\chi_s^{(1)}\}^e &= [B_{\chi_s}^{(1)}]^{(e)} \{\delta_i\}_{(e)} ; & \{\chi_s^{(2)}\}^e &= [B_{\chi_s}^{(2)}]^{(e)} \{\delta_i\}_{(e)} \notag
\end{align}
$$
Où les matrices $[B_{\chi}^{(1)}]$, $[B_{\chi}^{(2)}]$, $[B_{\chi}^{(3)}]$, $[B_{\gamma_i}^{(0)}]$, $[B_{\chi_i}^{(1)}]$ et $[B_{\chi_i}^{(2)}]$ peuvent être obtenues à partir de la dérivation des fonctions de forme comme ci-dessous:

$$
\begin{align}
\begin{bmatrix} B_{\chi}^{(1)} \end{bmatrix} &=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \nonumber \\
\begin{bmatrix} B_{\chi}^{(2)} \end{bmatrix} &=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \nonumber \\
\begin{bmatrix} B_{\chi}^{(3)} \end{bmatrix} &=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \tag{3.8} \\
\begin{bmatrix} B_{\gamma_i}^{(0)} \end{bmatrix} &=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial x} & N_i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & N_i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \nonumber \\
\begin{bmatrix} B_{\chi_i}^{(1)} \end{bmatrix} &=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2N_i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2N_i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \nonumber \\
\begin{bmatrix} B_{\chi_i}^{(2)} \end{bmatrix} &=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3N_i & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3N_i & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \nonumber
\end{align}
$$

Pour la peau supérieure, les relations déformation-déplacement généralisées peuvent être données par:

$$
\{\epsilon_m^t\}^e = [B_m^t]^e \{\delta_i\}_e ; \quad \{\epsilon_f^t\}^e = [B_f^t]^e \{\delta_i\}_e ; \quad \{\gamma_c^t\}^e = [B_c^t]^e \{\delta_i\}_e \quad (3.9)
$$
où

$$
\begin{bmatrix} B_m^t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & c \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & d \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & e \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & f \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & d \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & e \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & f \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c \frac{\partial N_i}{\partial y} & c \frac{\partial N_i}{\partial x} & d \frac{\partial N_i}{\partial y} & d \frac{\partial N_i}{\partial x} & e \frac{\partial N_i}{\partial y} & e \frac{\partial N_i}{\partial x} & f \frac{\partial N_i}{\partial y} & f \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \quad (3.10)
$$

$$ c = \frac{h_c}{2}, \quad d = \frac{h_c^2}{4}, \quad e = \frac{h_c^3}{8}, \quad f = -\frac{h_c}{2} $$

$$
\begin{bmatrix} B_f^t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 \end{bmatrix}
$$

$$
\begin{bmatrix} B_c^t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N_i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N_i & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
$$

De la même manière, les relations déformation-déplacement généralisées de la peau inférieure sont données par :

$$
\{\epsilon_m^b\}^e = [B_m^b]^e \{\delta_i\}_e ; \quad \{\epsilon_f^b\}^e = [B_f^b]^e \{\delta_i\}_e ; \quad \{\gamma_c^b\}^e = [B_c^b]^e \{\delta_i\}_e \quad (3.11)
$$

où,

$$
\begin{bmatrix} B_m^b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & f \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & d \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & h \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 & c \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & f \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & d \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & h \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & c \frac{\partial N_i}{\partial y} \\ 0 & 0 & 0 & f \frac{\partial N_i}{\partial y} & f \frac{\partial N_i}{\partial x} & d \frac{\partial N_i}{\partial y} & d \frac{\partial N_i}{\partial x} & h \frac{\partial N_i}{\partial y} & h \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & c \frac{\partial N_i}{\partial y} & c \frac{\partial N_i}{\partial x} \end{bmatrix}
$$

avec :

$$ f = -\frac{h_c}{2}, \quad d = \frac{h_c^2}{4}, \quad h = -\frac{h_c^3}{8}, \quad c = \frac{h_c}{2} $$
$$[B_f^b] = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & \frac{\partial N_i}{\partial x} \end{bmatrix} \qquad (3.12)$$

$$[B_c^b] = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial x} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N_i & 0 \\ 0 & 0 & \frac{\partial N_i}{\partial y} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N_i \end{bmatrix}$$

### 3.2.3 Évaluation de la matrice de rigidité

Pour établir la relation entre les forces et les déplacements, on a utilisé le principe du travail virtuel, soit:

$$\delta U - \delta W = 0 \qquad (3.13)$$

où U indique l'énergie potentielle de déformation dans le sandwich et W présente le travail effectué par les forces extérieures.

Dans le modèle proposé, le travail virtuel des efforts interne ($\delta U$) de la plaque sandwich peut être écrit comme la somme des travaux virtuels des trois couches (peau supérieure, âme et peau inférieure). Soit:

$$\delta U = \delta U_c + \delta U_t + \delta U_b \qquad (3.14)$$

où

$$\delta U = \int_{v_c} (\sigma^{(c)})^T \delta \varepsilon^{(c)} dv_c + \int_{v_t} (\sigma^{(t)})^T \delta \varepsilon^{(t)} dv_t + \int_{v_b} (\sigma^{(b)})^T \delta \varepsilon^{(b)} dv_b \qquad (3.15)$$

L'expression de travail virtuel des efforts interne (Eq. 3.15) peut s'écrire comme suit:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
\delta U = & \int_{A_t} \int_{-\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c}{2}} \left( \sigma_{xx}^c \delta \varepsilon_{xx}^c + \sigma_{yy}^c \delta \varepsilon_{yy}^c + \sigma_{xy}^c \delta \varepsilon_{xy}^c + \sigma_{xz}^c \delta \varepsilon_{xz}^c + \sigma_{yz}^c \delta \varepsilon_{yz}^c \right) dz \, dA_c \\
& + \int_{A_t} \int_{\frac{h_c}{2}}^{\frac{h_c+h_t}{2}} \left( \sigma_{xx}^t \delta \varepsilon_{xx}^t + \sigma_{yy}^t \delta \varepsilon_{yy}^t + \sigma_{xy}^t \delta \varepsilon_{xy}^t + \sigma_{xz}^t \delta \varepsilon_{xz}^t + \sigma_{yz}^t \delta \varepsilon_{yz}^t \right) dz \, dA_t \quad (3.16) \\
& + \int_{A_b} \int_{-\left(\frac{h_c}{2} + h_b\right)}^{\frac{h_c}{2}} \left( \sigma_{xx}^b \delta \varepsilon_{xx}^b + \sigma_{yy}^b \delta \varepsilon_{yy}^b + \sigma_{xy}^b \delta \varepsilon_{xy}^b + \sigma_{xz}^b \delta \varepsilon_{xz}^b + \sigma_{yz}^b \delta \varepsilon_{yz}^b \right) dz \, dA_b
\end{aligned}
\end{equation}
$$

Le travail virtuel effectué par les forces externes est donné par:

$$
\delta W = \int_{-b-a}^{+b+a} f(x, y) \delta w \, dxdy \quad (3.17)
$$

Dans laquelle *f(x, y)* est la charge statique transversale répartie sur la surface de l'élément.

3.2.2.1 Matrice de rigidité de l'âme

La substitution des expressions des efforts résultants (Eqs 2.48–2.49) dans l’expression
de travail virtuel dans l’âme (Eq.3.15), nous permet d’écrire :

$$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \int_{-b-a}^{b} \int_{a}^{a} \left( \left\{ \delta\epsilon^{(0)} \right\}^{T} [A] \left\{ \epsilon^{(0)} \right\} + \left\{ \delta\epsilon^{(0)} \right\}^{T} [B] \left\{ \chi^{(1)} \right\} + \left\{ \delta\epsilon^{(0)} \right\}^{T} [D] \left\{ \chi^{(2)} \right\} \right. \\
& \qquad + \left\{ \delta\epsilon^{(0)} \right\}^{T} [E] \left\{ \chi^{(3)} \right\} + \left\{ \delta\chi^{(1)} \right\}^{T} [B] \left\{ \epsilon^{(0)} \right\} + \left\{ \delta\chi^{(1)} \right\}^{T} [D] \left\{ \chi^{(1)} \right\} \\
& \qquad + \left\{ \delta\chi^{(1)} \right\}^{T} [E] \left\{ \chi^{(2)} \right\} + \left\{ \delta\chi^{(1)} \right\}^{T} [F] \left\{ \chi^{(3)} \right\} + \left\{ \delta\chi^{(2)} \right\}^{T} [D] \left\{ \epsilon^{(0)} \right\} \\
& \qquad + \left\{ \delta\chi^{(2)} \right\}^{T} [E] \left\{ \chi^{(1)} \right\} + \left\{ \delta\chi^{(2)} \right\}^{T} [F] \left\{ \chi^{(2)} \right\} + \left\{ \delta\chi^{(2)} \right\}^{T} [G] \left\{ \chi^{(3)} \right\} \\
& \qquad + \left\{ \delta\chi^{(3)} \right\}^{T} [E] \left\{ \epsilon^{(0)} \right\} + \left\{ \delta\chi^{(3)} \right\}^{T} [F] \left\{ \chi^{(1)} \right\} + \left\{ \delta\chi^{(3)} \right\}^{T} [G] \left\{ \chi^{(2)} \right\} \\
& \qquad + \left\{ \delta\chi^{(3)} \right\}^{T} [H] \left\{ \chi^{(3)} \right\} + \left\{ \delta\gamma_s^{(0)} \right\}^{T} [A^s] \left\{ \gamma_s^{(0)} \right\} + \left\{ \delta\gamma_s^{(0)} \right\}^{T} [B^s] \left\{ \chi_s^{(1)} \right\} \\
& \qquad + \left\{ \delta\gamma_s^{(0)} \right\}^{T} [D^s] \left\{ \chi_s^{(2)} \right\} + \left\{ \delta\chi_s^{(1)} \right\}^{T} [B^s] \left\{ \gamma_s^{(0)} \right\} + \left\{ \delta\chi_s^{(1)} \right\}^{T} [D^s] \left\{ \chi_s^{(1)} \right\} \\
& \qquad + \left\{ \delta\chi_s^{(1)} \right\}^{T} [E^s] \left\{ \chi_s^{(2)} \right\} + \left\{ \delta\chi_s^{(2)} \right\}^{T} [D^s] \left\{ \gamma_s^{(0)} \right\} + \left\{ \delta\chi_s^{(2)} \right\}^{T} [E^s] \left\{ \chi_s^{(1)} \right\} \\
& \qquad \left. + \left\{ \delta\chi_s^{(2)} \right\}^{T} [F^s] \left\{ \chi_s^{(2)} \right\} \right) dxdy - \int_{-b-a}^{b} \int_{a}^{a} f \delta w \, dxdy = 0
\end{aligned}
\tag{3.18}
\end{equation}
$$

L'introduction des relations déformation-déplacement dans l'expression (3.18), mène à
l'équation d'équilibre suivante:
$$[K_e^{(c)}] \{d_e\} = \{f_e^{(c)}\} \qquad (3.19)$$

où la matrice de rigidité élémentaire de l'âme est donnée par:

$$ \begin{aligned} [K_e^{(c)}] = & \int_{-b-a}^{b} \int_{-a}^{a} \left( \begin{aligned}[t] & [B_{\varepsilon}^{(0)}]^T [A] [B_{\varepsilon}^{(0)}] + [B_{\varepsilon}^{(0)}]^T [B] [B_{\chi}^{(1)}] + [B_{\varepsilon}^{(0)}]^T [D] [B_{\chi}^{(2)}] \\ & + [B_{\varepsilon}^{(0)}]^T [E] [B_{\chi}^{(3)}] + [B_{\chi}^{(1)}]^T [B] [B_{\varepsilon}^{(0)}] + [B_{\chi}^{(1)}]^T [D] [B_{\varepsilon}^{(1)}] \\ & + [B_{\chi}^{(1)}]^T [E] [B_{\chi}^{(2)}] + [B_{\chi}^{(1)}]^T [F] [B_{\varepsilon}^{(3)}] + [B_{\chi}^{(2)}]^T [D] [B_{\varepsilon}^{(0)}] \\ & + [B_{\chi}^{(2)}]^T [E] [B_{\chi}^{(1)}] + [B_{\chi}^{(2)}]^T [F] [B_{\chi}^{(2)}] + [B_{\chi}^{(2)}]^T [G] [B_{\chi}^{(3)}] \\ & + [B_{\chi}^{(3)}]^T [E] [B_{\varepsilon}^{(0)}] + [B_{\chi}^{(3)}]^T [F] [B_{\chi}^{(1)}] + [B_{\chi}^{(3)}]^T [G] [B_{\chi}^{(2)}] \end{aligned} \right) \\ & + \begin{aligned}[t] & [B_{\chi}^{(3)}]^T [H] [B_{\chi}^{(3)}] + [B_{\gamma_s}^{(0)}]^T [A^s] [B_{\gamma_s}^{(0)}] + [B_{\gamma_s}^{(0)}]^T [B^s] [B_{\chi_s}^{(1)}] \\ & + [B_{\gamma_s}^{(0)}]^T [D^s] [B_{\chi_s}^{(2)}] + [B_{\chi_s}^{(1)}]^T [B^s] [B_{\gamma_s}^{(0)}] + [B_{\chi_s}^{(1)}]^T [D^s] [B_{\gamma_s}^{(1)}] \\ & + [B_{\chi_s}^{(1)}]^T [E^s] [B_{\chi_s}^{(2)}] + [B_{\chi_s}^{(2)}]^T [D^s] [B_{\gamma_s}^{(0)}] + [B_{\chi_s}^{(2)}]^T [E^s] [B_{\gamma_s}^{(1)}] \\ & + [B_{\chi_s}^{(2)}]^T [F^s] [B_{\gamma_s}^{(2)}] \end{aligned} dxdy \end{aligned} \qquad (3.21) $$

### 3.2.2.2 Matrice de rigidité des deux peaux

Les mêmes étapes ont été suivies pour élaborer la matrice de rigidité des deux peaux. On aura donc:

#### a. Peau supérieure

$$ \begin{aligned} [K_e^{(t)}] = & \int_{-b-a}^{b} \int_{-a}^{a} \left( \underbrace{[B_m^t]^T [A^{(t)}] [B_m^t]}_{\text{membranaire}} + \underbrace{[B_m^t]^T [B^{(t)}] [B_f^t]}_{\text{couplage membrane-flexion}} + \underbrace{[B_f^t]^T [B^{(t)}] [B_m^t]}_{\text{couplage flexion-membrane}} \right. \\ & \left. + \underbrace{[B_f^t]^T [D^{(t)}] [B_f^t]}_{\text{flexionnelle}} + \underbrace{[B_c^t]^T [A_c^{(t)}] [B_c^t]}_{\text{cisaillement}} \right) dxdy \end{aligned} \qquad (3.22) $$

#### b. Peau inférieure

$$ \begin{aligned} [K_e^{(b)}] = & \int_{-b-a}^{b} \int_{-a}^{a} \left( \underbrace{[B_m^b]^T [A^{(b)}] [B_m^b]}_{\text{membranaire}} + \underbrace{[B_m^b]^T [B^{(b)}] [B_f^b]}_{\text{couplage membrane-flexion}} + \underbrace{[B_f^b]^T [B^{(b)}] [B_m^b]}_{\text{couplage flexion-membrane}} \right. \\ & \left. + \underbrace{[B_f^b]^T [D^{(b)}] [B_f^b]}_{\text{flexionnelle}} + \underbrace{[B_c^b]^T [A_c^{(b)}] [B_c^b]}_{\text{cisaillement}} \right) dxdy \end{aligned} \qquad (3.23) $$
Finalement, la matrice de rigidité totale $[K_e^T]$ de l'élément RSFT52 est la somme des matrices de rigidité de trois couches. Elle est exprimée comme ci-dessous:

$$[K_e^T] = [K_e^{(t)}] + [K_e^{(c)}] + [K_e^{(b)}] \quad (3.24)$$

La matrice de rigidité globale s'obtient par l'assemblage des matrices de rigidité élémentaires.

## 3.3 Validation numérique de l'élément RSFT52

Dans cette section, nous allons évaluer les performances de l'élément développé (RSFT52), en termes de précision, de convergence et de stabilité, à travers une série de tests. Des plaques isotropes, composites stratifiées et sandwichs symétriques et non symétriques ainsi que différents cas de chargement, géométrie et conditions aux limites ont été considérés. Les résultats obtenues seront comparés avec les solutions obtenus analytiquement et ceux obtenus par d'autres modèles d'éléments finis disponibles dans la littérature.

### 1.3.1 Conditions aux limites adoptées

Les conditions aux limites considérées dans cette étude sont présentées dans le tableau 3.1. Les notations de ces conditions sont:

CCCC: Plaque encastrée sur les quatres bords.

SSSS: Plaque simplement appuyée sur les quatres bords.

CSCS: Deux bords opposés encastrés et deux autres bords simplement appuyés

CFCF: Deux bords opposés encastrés et deux autres bords libres.

L'arrangement du maillage utilisé dans tous les exemples est illustré dans la figure 3.2.

### 3.3.2 Plaques isotropes

Afin de montrer la capacité de la présente formulation dans l'analyse des plaques isotropes, deux exemples ont été considérés.

Le premier exemple concerne une plaque isotrope carrée simplement appuyée avec différents rapports d'épaisseur ($a/h$). Quant au deuxième exemple, il concerne une plaque
isotrope rectangulaire simplement appuyée avec différents rapports d'aspect et différentes valeurs du coefficient de Poisson.

<figure><img src="image_30.png" /><figcaption>Fig.3.2 Plaque rectangulaire ayant une maille de $m \times n$</figcaption></figure>

<table><caption>**Tableau 3.1** Détails de conditions aux limites utilisées pour les exemples numériques.</caption><thead><tr><th>Conditions aux limites</th><th>Abréviations</th><th>Bords retenus</th></tr></thead><tbody><tr><td rowspan="2">Simplement appuyé</td><td rowspan="2">SSSS</td><td>w<sub>0</sub> = ψ<sup>c</sup><sub>x</sub> = η<sup>c</sup><sub>x</sub> = ζ<sup>c</sup><sub>x</sub> = ψ<sup>t</sup><sub>x</sub> = ψ<sup>b</sup><sub>x</sub> = 0 at y = ±<sup>b</sup>&frasl;<sub>2</sub></td></tr><tr><td>w<sub>0</sub> = ψ<sup>c</sup><sub>y</sub> = η<sup>c</sup><sub>y</sub> = ζ<sup>c</sup><sub>y</sub> = ψ<sup>t</sup><sub>y</sub> = ψ<sup>b</sup><sub>y</sub> = 0 at x = ±<sup>b</sup>&frasl;<sub>2</sub></td></tr><tr><td>Encastré</td><td>CCCC</td><td>w<sub>0</sub> = ψ<sup>c</sup><sub>x</sub> = ψ<sup>c</sup><sub>y</sub> = η<sup>c</sup><sub>x</sub> = η<sup>c</sup><sub>y</sub> = 0<br>ζ<sup>c</sup><sub>x</sub> = ζ<sup>c</sup><sub>y</sub> = ψ<sup>t</sup><sub>x</sub> = ψ<sup>t</sup><sub>y</sub> = ψ<sup>b</sup><sub>x</sub> = ψ<sup>b</sup><sub>y</sub> = 0</td></tr><tr><td>Encastré - Simplement appuyé</td><td>CSCS</td><td>Encastré à x = ±<sup>a</sup>&frasl;<sub>2</sub><br>Simplement appuyé à y = ±<sup>b</sup>&frasl;<sub>2</sub></td></tr><tr><td>Encastré-Libre</td><td>CFCF</td><td>Encastré à x = ±<sup>a</sup>&frasl;<sub>2</sub><br>Libre à y = ±<sup>b</sup>&frasl;<sub>2</sub></td></tr></tbody></table>

### 3.3.2.1 Plaques isotropes carrées simplement appuyées sous chargement uniforme

Une plaque carrée simplement appuyée soumise à un chargement uniforme a été considérée. Les propriétés mécaniques du matériau sont: $E = 10.92$, et $v = 0.3$. Le tableau 3.2