Sur une hypothèse de M. Borel.

Par

Edward Szpilrajn (Varsovie).

Nous considérons dans cette Note des ensembles linéaires qui satisfont à la condition (C) suivante:

(C) Quel que soit la suite infinie {$a_n$} de nombres positifs, il existe une suite infinie {$\delta_n$} d'intervalle recouvrant l'ensemble donné et telle que la longueur de l'intervalle $\delta_n$ est $a_n$ pour $n = 1, 2...$

Ce sont les mêmes ensembles que M. Borel dans son Mémoire *Sur la classification des ensembles de mesure nulle*<fnref n="1" />) appelle „ensembles qui ont une mesure asymptotique inférieure à toute série donnée à l'avance". M. Borel y écrit comme il suit:

„Un ensemble énumérable a une mesure asymptotique inférieure à toute série donnée à l'avance — la reciproque me paraît exacte, mais je n'en possède pas de démonstration entièrement satisfaisante<fnref n="2" />).

Le but de cette Note est de démontrer que l'hypothèse de M. Borel est vraie pour les ensembles mesurables (B) et, plus généralement, pour les ensembles analytiques.

Nous prouverons que tout ensemble satisfaisant à la condition (C) est totalement imparfait (c'est-à-dire ne contient aucun sous-ensemble parfait). Tout ensemble analytique totalement imparfait étant au plus dénombrable <fnref n="3" />), il en résultera tout de suite notre proposition.

**Lemme.** La propriété (C) est un invariant des transformations par des fonctions continues sur la droite.

**Démonstration.** Soit E un ensemble situé dans un intervalle borné I. Soit $f(x)$ une fonction réelle continue sur la droite et {$a_n$} une suite infinie arbitraire de nombres positifs. La fonction $f(x)$ étant uniformément continue sur I, il existe une suite {$b_n$} de nombres positifs telle que l'inégalité

$$|x_1 - x_2| < b_n$$

entraîne (pour tous les points $x_1$ et $x_2$ situés dans I)

$$|f(x_1) - f(x_2)| < a_n \quad (1)$$

L'ensemble E satisfaisant par l'hypothèse à la condition (C), il existe une suite {$\delta_n$} d'intervalle recouvrant E, située dans I et telle que la longueur de $\delta_n$ est $b_n$ ($n = 1, 2, ...$). Par conséquent on peut recouvrir $f(E)^1)$ — en vertu de (1) — par une suite {$A_n$} d'intervalle de longueurs {$a_n$}. L'ensemble $f(E)$ satisfait donc à la condition (C).

L'extension de notre démonstration aux ensembles non bornés ne présente aucune difficulté, car la somme d'une suite infinie d'ensembles qui satisfont à la condition (C) — lui satisfait aussi. Notre lemme est donc établi.

Soit à présent Z un ensemble linéaire contenant un sous-ensemble parfait P. Il existe, comme on sait, une fonction $\varphi(x)$ continue sur la droite et telle que l'ensemble $\varphi(P)$ est de mesure positive et par conséquent l'ensemble $\varphi(Z) \supset \varphi(P)$ ne satisfait pas à la condition (C). Il résulte donc de notre lemme que l'ensemble Z ne lui satisfait non plus.

Notre assertion est ainsi démontrée.

Le problème si l'hypothèse de M. Borel est vraie pour les ensembles quelconques reste ouvert. Or, M. Sierpiński a démontré en 1928²) que l'hypothèse de M. Borel est incompatible avec l'hypothèse de Cantor (que $2^{N_0} = N_1$).

<footnote n="1">¹) *Bulletin de la Société mathématique de France* t. XLVII, 1919, p. 1. Ce Mémoire se trouve aussi dans le livre de M. Borel: *Méthodes et problèmes de Théorie des Fonctions*, Paris 1922, p. 38.</footnote>

<footnote n="2">²) *Méthodes et problèmes*, p. 64.</footnote>

<footnote n="3">³) Voir p. e. N. Lusin, *Fund. Math.* t. X, p. 25.</footnote>

<footnote n="1">¹) Nous désignons par $f(E)$ l'ensemble de tous les points $f(p)$ tels que $p \in E$.</footnote>

<footnote n="2">²) *Fund. Math.* t. XI, p. 304.</footnote>