# Caractérisation des lois de probabilités qui conduisent à une martingale retournée particulière

B. Schmidt

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B. Schmidt. Caractérisation des lois de probabilités qui conduisent à une martingale retournée particulière. Annales de l'ISUP, 1970, XIX (1), pp.101-106. hal-04083249

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Submitted on 27 Apr 2023

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# CARACTERISATION DES LOIS DE PROBABILITES QUI CONDUISENT A UNE MARTINGALE RETOURNEE PARTICULIERE

## B. SCHMIDT

## INTRODUCTION

Soit $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ un espace probabilisé, $(\mathcal{F}_n)_{n=1,...}$ une suite dé-
croissante de sous-tribus de $\mathcal{F}$ ; on dit qu'une suite $(X_n)_{n=1,...}$ de va-
riables aléatoires réelles (v.a.r.) est une martingale retournée («reverse
martingale») par rapport à $(\mathcal{F}_n)_{n=1,...}$, si pour tout $n \ge 1$ on a :

$$
(a) E(|X_n|) < + \infty
$$

(b) $X_n$ est $\mathcal{F}_n$-mesurable,

(c) $E(X_n | \mathcal{F}_{n+1}) = X_{n+1}$ presque sûrement (p.s.).

On dira que $(X_n)_{n=1,...}$ est une martingale retournée si elle est une mar-
tingale retournée par rapport à $(\mathcal{T}(X_m, m \ge n))_{n=1,...}$ où $\mathcal{T}(X_m, m \ge n)$
est la tribu engendrée par $X_n, X_{n+1},...$.

Considérons une suite $(X_n)_{n=1,...}$ de v.a.r. mutuellement indé-
pendantes de même loi et intégrables; posons $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$, ($n \ge 1$)
alors $(\frac{S_n}{n})_{n=1,2,...}$ est une martingale retournée.

SIMONS (1) a indiqué que, si $(X_n)_{n=1,\dots}$ est une suite de v.a.r. mutuellement indépendantes de même loi gamma à 2 paramètres (de densité $\frac{\alpha\beta}{\Gamma(\beta)} x^{\beta-1} e^{-\alpha x}$ où $\alpha, \beta > 0$ pour $x>0$), alors pour tout $\lambda$ strictement positif $\left(\frac{S_n^\lambda}{\Gamma(S_n^\lambda)}\right)_{n=1,\dots}$ est une martingale retournée par rapport à $(\mathcal{T}(S_m, m \ge n))_{n=1,\dots}$
Nous allons montrer la réciproque de cette proposition.

### 1 - LEMME 1 :

Soit $(X_n)_{n=1,2...}$ une suite de v.a.r. positives mutuellement indépendantes et de même loi de fonction de répartition (f.r.) F.

$Si \left( \frac{S_n^2}{E(S_n^2)} \right)_{n=1,...}$ est une martingale retournée alors la fonction caractéristique (f.c.) $\varphi$ des $X_n$ vérifie l'équation différentielle :

$$ \varphi \varphi'' - \frac{m_2}{m_1^2} (\varphi')^2 = 0 \quad (1) $$

où $m_1 = E(X_1)$ et $m_2 = E(X_2^2)$

### DEMONSTRATION :

Notons $\Psi(t,v)$ la f.c. de $(S_{n+1}, S_n)$ nous avons d'une part :

$$ \begin{aligned} \Psi(t,v) &= E \left( \exp(i t S_{n+1} + i v S_n) \right) \\ &= E \left( E \left( \exp(i t S_n + i v S_n + i t X_{n+1} | S_n) \right) \right) \\ &= E \left( \exp(i(t+v)S_n) \cdot E \left( \exp(i t X_{n+1} | S_n) \right) \right) \end{aligned} $$

$\exp(i(t+v)S_n)$ étant bornée et $S_n$ - mesurable, et, $X_{n+1}$ et $S_n$ étant indépendantes on a :

$$ E \left( \exp(i t X_{n+1} | S_n) \right) = \varphi(t) \quad \text{p.s., d'où} $$

$$ \Psi(t,v) = \varphi(t) \cdot \varphi^n(t+v) $$

en dérivant par rapport à v on obtient :

$$ \left( \frac{\partial^2}{\partial v^2} \left( \Psi(t,v) \right) \right)_{v=0} = \varphi(t) \cdot \frac{d^2}{dt^2} \left( \varphi^n(t) \right) \quad (2) $$

d'autre part, nous avons :
$$ 
\begin{aligned}
\Psi (t,v) &= E (E(\exp(itS_{n+1} + ivS_n | S_{n+1})) \\
&= E (\exp(itS_{n+1}) \cdot E (\exp(ivS_n | S_{n+1}))
\end{aligned}
$$

$$ \Psi (t,v) = \int \exp(ity) \left( \int \exp(ivx) \, dF_n(x|y) \right) dF^{(n+1)}(y) $$

où $F_n(\cdot|y)$ est la fonction de répartition conditionnelle à

$$ \{S_{n+1} = y\} \text{ de } S_n \text{ et } F^{(n+1)} \text{ la (n+1)\text{ième}} $$

convolution de $F$ avec elle-même.

On obtient en dérivant par rapport à $v$ :

$$ \frac{\partial}{\partial v} \Psi (t,v) = \int \exp(ity) \left( \int \frac{\partial}{\partial v} \exp(ivx) \, dF_n(x|y) \right) dF^{(n+1)}(y) $$

$$ \frac{\partial^2}{\partial v^2} \Psi (t,v) = \int \exp(ity) \left( \int \frac{\partial^2}{\partial v^2} \exp(ivx) \, dF_n(x|y) \right) dF^{(n+1)}(y) $$

$$ \left( \frac{\partial^2}{\partial v^2} \Psi (t,v) \right)_{v=0} = \int \exp(ity) (-E(S_n^2 S_{n+1} = y)) \, dF^{(n+1)}(y) $$

or par hypothèse nous avons :

$$ E(S_n^2 | S_{n+1} = y) = \frac{E(S_n^2)}{E(S_{n+1}^2)} y^2 $$

en posant $a_n = E(S_n^2)$ nous obtenons :

$$ \frac{\partial^2}{\partial v^2} \Psi (t,v) \varepsilon = \frac{a_n}{a_{n+1}} \int \exp(ity) \cdot (-y^2) \, dF^{(n+1)}(y) $$

$$ = \frac{a_n}{a_{n+1}} \int \frac{\partial^2}{\partial t^2} (\exp(ity)) \, dF^{(n+1)}(y) $$

$$ \left( \frac{\partial^2}{\partial v^2} \Psi (t,v) \right)_{v=0} = \frac{a_n}{a_{n+1}} \cdot \frac{d^2}{dt^2} \quad (\Phi^{n+1}(t)) \quad (3) $$
$E(X_1^2)$ étant fini, $\phi''$ existe et les intégrales considérées sont normalement convergentes, ce qui justifie les dérivations et les interversions des opérations de dérivation et d'intégration.

L'équation différentielle (1) se déduit de (2) et (3) après simplifications obtenues en explicitant :

$$a_n = E(S_n^2) = nm_2 + n(n-1)m_1^2$$

et en utilisant le fait que $\phi$, étant une f.c., ne s'annule pas dans un voisinage de l'origine.

## 2 - LEMME 2 :

Soit $(X_n)_{n=1,...}$ une suite de v.a.r. positives mutuellement indépendantes et de même loi.

Si $(\frac{S_n^2}{E(S_n^2)})_{n=1,...}$ est une martingale retournée, alors la loi des $X_n$ est
ou bien une loi $\epsilon_{m_1}$ ($m_1 > 0$) ou bien une loi gamma.

De plus $(\frac{S_n^\lambda}{E(S_n^\lambda)})_{n=1,...}$ est alors une martingale retournée pour tout $\lambda > 0$.

## DEMONSTRATION :

Considérons le cas $0 < m_1, m_2 < +\infty$ et $m_2 > m_1^2$. Une solution de (1) : $yy'' - \frac{m_2}{m_1^2} (y')^2 = 0$, où y est a valeurs complexes telle qu'en $t = 0$,

$y(0) = 1$ et $y'(0) = im_1$, est $y(t) = \left(1 - \frac{m_2 - m_1^2}{m_1} it\right)^{-\frac{m_2}{m_2 - m_1^2}}$ pour tout $t \in \mathbb{R}$, ce que l'on vérifie aisément, et c'est la seule solution qui satisfasse à ces conditions initiales. En effet, (1) s'écrit

$$y'' = f(t,y,y') = \frac{m_2}{m_1^2} \frac{(y')^2}{y} \text{ où } f \text{ est holomorphe dans un domaine}$$
D contenant le point $(0, 1, \text{im}_1)$ ne coupant pas

$$ (C \times \{0\} \times C) \cup (C \times \{0\} \times \{0\}), $$

il existe donc une fonction $g$ satisfaisant aux conditions initiales données, vérifiant (1) et holomorphe dans un voisinage $V$ de $t=0$, de plus cette solution est unique; sa restriction à $V \cap \mathbb{R}$, qui est holomorphe, coinci- de donc sur $V \cap \mathbb{R}$ avec la détermination de $(1 - \frac{m_2-m_1^2}{m_1} iz) - \frac{m_2}{m_2-m_1^2}$

ayant la valeur 1 en $z=0$ holomorphe et solution de (1) dans la bande $B = \{z \in C : |\text{Im}(z)| < \frac{m_1}{m_2-m_1^2}\}$ et dont $y(t)$ est la restriction à $\mathbb{R}$; l'unicité de $y(t)$ résulte du théorème du prolongement analytique.

Or $(1 - \frac{m_2-m_1^2}{m_1} it) - \frac{m_2}{m_2-m_1^2}$ est une f.c., plus précisément celle de la loi gamma de paramètres $\alpha = \frac{m_1}{m_2-m_1^2}$ et $\beta = \frac{m_2}{m_2-m_1^2}$.

Il résulte d'après la proposition indiquée par SIMONS énoncée dans l'introduction que $(\frac{S_n^\lambda}{E(S_n^\lambda)})_{n=1}^\lambda$ est alors une martingale retournée pour tout $\lambda > 0$.

Le cas $0 < m_1 < +\infty$ et $m_2 = m_1$ se traite de la même manière et conduit à l'unique solution $\exp(im_1 t)$ f.c. de la v.a.r. positive presque sûrement égale à $m_1$, ce qui ne doit pas étonner !.

Remarquons que c'est le fait que $E(X_1)$ soit strictement positif qui est intervenu et non celui de la positivité des $X_n$; on en conclut que $\text{si } \left( \frac{S_n^2}{E(S_n^2)} \right)_{n=1}^\infty$ est une martingale retournée (les $X_n$ n'étant pas p.s.

égales à une constante), alors la loi des $\epsilon X_n$ (où $\epsilon$ est le signe de $EX_1$ supposé non nul) est une loi gamma.
### 3 - THEOREME

Soit $(X_n)_{n=1,...}$ une suite de v.a.r. positives mutuellement indépendantes et de même loi (non p.s. égales à une constante), la condition nécessaire et suffisante pour que, pour tout $\lambda$ strictement positif,

$$ \left( \frac{S_n^\lambda}{E(S_n^\lambda)} \right)_{n=1,...} \text{ soit une martingale retournée est que les } X_n \text{ suivent} $$

une loi gamma.

Celà résulte du lemme 2 et de la proposition de SIMONS.

On a ainsi obtenu un théorème de caractérisation des lois gamma.

## BIBLIOGRAPHIE

[1] SIMONS (G.) - On the cost of not knowing the variance when making a fixed-width confidence interval for the mean, *Ann. Math. Statist.*, 39, (1968), 1946-1952.

Reçu en Septembre 1969

Institut National de la Santé
et de la Recherche Médicale

Unité de Recherches
de Pathologie Digestive

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