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# Calcul de la prime de risque dans le modèle d'espérance d'utilité avec dépendance au rang

Jean-Pascal Gayant

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Jean-Pascal Gayant. Calcul de la prime de risque dans le modèle d'espérance d'utilité avec dépendance au rang. 1997. halshs-05095226

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CAHIERS ECO & MATHS

97.04

CALCUL DE LA PRIME DE RISQUE DANS LE MODELE
D'ESPERANCE D'UTILITE AVEC DEPENDANCE AU RANG

Jean-Pascal GAYANT

CEME
# Calcul de la prime de risque dans le modèle d'espérance d'utilité avec dépendance au rang.

## Résumé :

Les travaux de Pratt (1964) ont permis d'approximer la valeur de la prime de risque d'une variable aléatoire dans le modèle d'espérance d'utilité et ont conduit à assimiler la sensibilité de l'utilité marginale à un "mesure locale d'aversion pour le risque". Dans cet article, nous tentons d'approximer la prime de risque dans le modèle plus général d'espérance d'utilité avec dépendance au rang. La prime de risque peut être approximée par la somme d'une composante principale, l'espérance transformée de la variable aléatoire, et d'une composante secondaire, le produit de la sensibilité de l'utilité marginale par un terme de dispersion de la variable aléatoire. L'analyse de ce résultat nous conduit à remettre en cause l'interprétation de Pratt.

**Mots-clés** : Modèle RDEU, Prime de risque, Aversion probabiliste pour le risque, Utilité marginale décroissante.

# Risk premium calculation in the Rank Dependent Expected Utility Model.

## Abstract :

The works of Pratt (1964) provide an approximation of the risk premium of a random variable in the expected utility model and lead to consider the sensitivity of marginal utility as a risk aversion measure. In this paper, we try to evaluate the risk premium in the more general framework of the rank dependent expected utility model. The risk premium may be evaluated as the sum of a main part, the distorted expectation of the random variable, and a secondary part, the product of the sensitivity of marginal utility by the distorted dispersion of the random variable. This analysis leads us to question the Pratt interpretation.

**Keywords** : RDEU Model, Risk Premium, Probabilistic Risk Aversion, Decreasing Marginal Utility.
# Calcul de la prime de risque dans le modèle d'espérance d'utilité avec dépendance au rang.

## 1 Introduction

Dans le cadre du modèle d'Espérance d'Utilité (EU), Pratt (1964) cherche à déterminer une approximation de la prime de risque (l'écart entre l'équivalent certain d'une loterie et son espérance mathématique) et établit que pour de "petits risques" cette prime tend vers le produit de la variance de la loterie par le rapport - $\frac{u''(x)}{u'(x)}$. Pratt interprète le rapport - $\frac{u''(x)}{u'(x)}$ comme une "mesure locale d'aversion pour le risque". En fait de mesure d'aversion pour le risque, il s'agit d'une mesure de sensibilité de l'utilité marginale qui, dans le modèle EU, possède la propriété d'être proportionnelle à la prime de risque. Dès lors que l'on s'intéresse à un modèle plus général que le modèle EU, le lien entre sensibilité de l'utilité marginale et prime de risque est plus complexe. En particulier, dans le modèle d'Espérance d'Utilité avec Dépendance au Rang (RDEU) -une généralisation du modèle EU où les probabilités sont transformées de manière non nécessairement linéaire par les agents- (Quiggin (1982), Yaari (1987)), l'éventuelle non-linéarité de la fonction de transformation des probabilités est susceptible d'induire une modification de ce lien. Cette conjecture est motivée par le constat qu'existe une distinction pertinente entre "décroissance de l'utilité marginale" et "aversion probabiliste pour le risque" dans le cadre du modèle RDEU (Chateauneuf & Cohen (1994), Chew, Karni & Safra (1987), Cohen (1995), Lansberger & Meilijson (1994), Quiggin (1992), Wakker (1994)); dès lors, fonder une mesure d'aversion pour le risque sur les seules propriétés de la
fonction d'utilité (définie uniquement sur les gains ou le niveau de richesse) ne semble plus satisfaisant.

La tentative d'évaluation de la prime de risque par Segal & Spivak (1988) concerne des loteries constituées de trois résultats seulement ; outre que leur approximation ne possède pas un grand degré de généralité, l'écriture d'un développement limité de la fonction de transformation des probabilités conduit à des expressions qu'il n'est guère commode d'interpréter.

Nous allons donc tenter d'évaluer la prime de risque dans le modèle RDEU de manière plus générale, afin de faire valoir la plus grande richesse des propriétés que ce modèle permet de mettre en évidence, mais aussi de réinterpréter les résultats classiques du modèle EU.

Après avoir brièvement présenté le modèle RDEU, nous allons définir les moments transformés (ou perçus), qui sont des moments subjectifs puisque construits à l'aide de la fonction de transformation des probabilités du décideur considéré. Ensuite nous allons approximer la valeur de la prime de risque (pour de petits risques) dans le modèle RDEU. Nous mettrons en évidence que cette prime de risque dépend, non seulement de la sensibilité de l'utilité marginale, mais aussi des moments objectifs et des moments transformés (d'ordre 1 et 2). Nous tenterons d'interpréter cette expression, et constaterons que la sensibilité de l'utilité marginale tient un rôle secondaire dans le calcul de la prime de risque. Néanmoins, dans le cadre du modèle EU, le seul terme non nul est le produit de ce coefficient par la variance, ce qui lie directement la sensibilité de l'utilité marginale au montant de la prime.
## 2 Le modèle RDEU

Etant donnée une variable aléatoire ayant comme distribution de probabilité $p_1, p_2, ..., p_n$ sur des résultats ordonnés $x_1, x_2, ..., x_n \in C \subset \mathbb{R}$ ($x_1 < x_2 < ... < x_n$), ($C$ désignant un ensemble fermé borné) notée $(x_1, p_1; x_2, p_2; ... ; x_n, p_n)$, la fonction représentative des préférences d'un agent satisfaisant aux axiomes du modèles RDEU (Wakker (1994), Chateauneuf (1990)) est :

$$ \text{RDEU}(L) = u(x_1) \cdot \phi(1) + \sum_{i=2}^{n} [u(x_i) - u(x_{i-1})] \cdot \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) $$

où $u$ désigne une fonction continue, croissante et définie à une transformation affine positive près et $\phi$ une fonction croissante et définie à une transformation affine près. La fonction $u$ est appelée fonction d'utilité, c'est-à-dire "transformation non nécessairement linéaire des résultats" ; la fonction $\phi$ est appelée fonction de transformation des probabilités. Nous supposerons que $u$ est de classe $C^3$ dans $C$ et que $u' \neq 0$. De plus, sans perte de généralité, nous pouvons faire l'hypothèse que $\phi(0) = 0, \phi(1) = 1$.

L'expression ci-dessus peut être interprétée de la manière suivante : le décideur mesure d'abord la satisfaction associée au résultat minimum, puis ajoute les surcroits successifs de satisfaction -engendrés par les éventuels gains supplémentaires- pondérés par les probabilités transformées correspondantes. Ce mode de transformation des probabilités exclut toute possibilité de violation de la dominance stochastique du premier ordre.

Le modèle EU est le cas particulier du modèle RDEU pour lequel la fonction $\phi$ est linéaire et donc égale à la fonction identité. D'un point de vue axiomatique, le passage du modèle EU au modèle RDEU résulte essentiellement d'un affaiblissement de l'axiome d'indépendance (le postulat d'invariance de l'ordre
des préférences n'est postulé que pour des combinaisons de variables
aléatoires deux à deux comonotones).

### 3 Moments transformées

Etant donné un décideur satisfaisant aux axiomes du modèles RDEU et
possédant une fonction de transformation des probabilités $\phi$, étant donné
$X = x + \varepsilon$ un niveau de richesse aléatoire composé d'une part certaine $x \in \mathbb{R}$ et
d'une part aleatoire $\varepsilon$ dont la distribution de probabilité est
$(\varepsilon_1, p_1 ; \varepsilon_2, p_2 ; \dots ; \varepsilon_n, p_n)$ avec $\varepsilon_1 < \varepsilon_2 < \dots < \varepsilon_n$ et $E(\varepsilon) = 0$, définissons $E_\phi(\varepsilon)$
(l'espérance transformée) et $\sigma_\phi^2$ (un moment centré transformé d'ordre 2) de
la variable aléatoire $\varepsilon$ par :

$$ 
\begin{aligned}
E_{\phi}(\varepsilon) &= \varepsilon_1 + \sum_{i=2}^{n} (\varepsilon_i - \varepsilon_{i-1}) \cdot \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) \\
\sigma_{\phi}^2 &= [\varepsilon_1 - E_{\phi}(\varepsilon)]^2 + \sum_{i=2}^{n} \{[\varepsilon_i - E_{\phi}(\varepsilon)]^2 - [\varepsilon_{i-1} - E_{\phi}(\varepsilon)]^2\} \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right)
\end{aligned}
$$

Le moment $\sigma^2_\phi$ est un moment transformé calculé à partir des pondérations déterminées par l'ordre des résultats $\varepsilon_i$. On peut lui contester l'appelation "variance transformée" sous le prétexte q'une telle variance devrait être calculée à partir des pondérations déterminées par l'ordre des résultats $[\varepsilon_i - E_\phi(\varepsilon)]^2$. Toutefois, le moment $\sigma^2_\phi$ possède les caractéristiques d'une mesure de dispersion et vérifie la propriété (cf Annexe 1) :

$$ \sigma^2_{\phi} = E_{\phi}(\varepsilon^2) - E_{\phi}(\varepsilon)^2 $$

Pour les besoins des développements ultérieurs, définissons également :

$$ E_{\phi}(\varepsilon^3) = \varepsilon_1^3 + \sum_{i=2}^{n} (\varepsilon_i^3 - \varepsilon_{i-1}^3) \cdot \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) $$

Enfin nous noterons $\sigma^2$ la variance "objective" de la variable aléatoire $\varepsilon$.
# 4 Calcul de la prime de risque

Désignons par $\rho_{\varepsilon}$ la prime de risque attachée à la variable aléatoire $\varepsilon$ définie par :

$$RDEU(X) = RDEU(x + \varepsilon) = u(x - \rho_{\varepsilon})$$

Soit $h = \max \{ - \varepsilon_1 ; \varepsilon_n \}$. Nous cherchons à déterminer un équivalent de la prime $\rho$ lorsque $h \to 0$. Nous supposerons que $u' \neq 0$, que $u'''$ existe et est de classe $C^3$ dans $\mathbb{R}$.

$$\forall \varepsilon_i \in \{ \varepsilon_1 ; \varepsilon_2 ; \dots ; \varepsilon_n \}:$$

$$u(x+\varepsilon_i) = u(x) + \varepsilon_i u'(x) + \varepsilon_i^2 \frac{u''(x)}{2!} + \varepsilon_i^3 \frac{u'''(x+\Theta\varepsilon_i)}{3!}$$

$$\text{avec } \Theta = \Theta(\varepsilon_i) \in ]0;1[ \text{ et } |\Theta(\varepsilon_i)| \le |\varepsilon_i|.$$

L'image par la fonction représentative des préférences (RDEU) de la variable X est donc :

$$\begin{aligned} \text{RDEU}(X) = u(x) &+ \varepsilon_1 u'(x) + \varepsilon_1^2 \frac{u''(x)}{2!} + \frac{u'''(x+\Theta\varepsilon_1)}{3!} \varepsilon_1^3 \\ &+ \sum_{i=2}^{n} \left[ u(x) + \varepsilon_i u'(x) + \varepsilon_i^2 \frac{u''(x)}{2!} + \frac{u'''(x+\Theta\varepsilon_i)}{3!} \varepsilon_i^3 \right. \\ & \qquad \left. - u(x) + \varepsilon_{i-1} u'(x) + \varepsilon_{i-1}^2 \frac{u''(x)}{2!} + \frac{u'''(x+\Theta\varepsilon_{i-1})}{3!} \varepsilon_{i-1}^3 \right] \cdot \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) \end{aligned}$$

Soit, en simplifiant puis en mettant en facteur $u'(x)$ et $u''(x)$ :

$$\begin{aligned} \text{RDEU}(X) = u(x) &+ u'(x) \left[ \varepsilon_1 + \sum_{i=2}^{n} (\varepsilon_i - \varepsilon_{i-1}) \cdot \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) \right] \\ &+ \frac{u''(x)}{2!} \left[ \varepsilon_1^2 + \sum_{i=2}^{n} (\varepsilon_i^2 - \varepsilon_{i-1}^2) \cdot \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) \right] \\ &+ \frac{1}{3!} \left[ u'''(x+\Theta\varepsilon_1) \varepsilon_1^3 + \sum_{i=2}^{n} \left\{ u'''(x+\Theta\varepsilon_i) \varepsilon_i^3 - u'''(x+\Theta\varepsilon_{i-1}) \varepsilon_{i-1}^3 \right\} \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) \right] \end{aligned}$$
Or $\frac{1}{3!} [ u'''(x+\varepsilon_1)\varepsilon_1^3 + \sum_{i=2}^{n} \{ u'''(x+\Theta\varepsilon_i)\varepsilon_i^3 - u'''(x+\Theta\varepsilon_{i-1})\varepsilon_{i-1}^3 \} \phi(\sum_{j=i}^{n} p_j) ]$ est aussi

$$
\text{égal à : } \frac{1}{3!} \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i}^{n} [\phi(\sum p_j) - \phi(\sum p_j)] \varepsilon_i^3 u'''(x+\Theta\varepsilon_i) + \phi(p_n) \varepsilon_n^3 u'''(x+\Theta\varepsilon_n)
$$

Comme $u'''$ est bornée sur $[0; x+1]$, et puisque (c.f. Annexe 2) :

$$
\left| \sum_{i=1}^{n-1} \left[ \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) - \phi\left(\sum_{j=i+1}^{n} p_j\right) \right] \varepsilon_i^3 + \phi(p_n) \varepsilon_n^3 \right| \\
\le \left\{ \sum_{i=1}^{n-1} \left[ \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) - \phi\left(\sum_{j=i+1}^{n} p_j\right) \right] \varepsilon_i^2 + \phi(p_n) \varepsilon_n^2 \right\} h
$$

$$
\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i}^{n} [\phi(\sum p_j) - \phi(\sum p_j)] \varepsilon_i^3 u'''(x+\Theta\varepsilon_i) + \phi(p_n) \varepsilon_n^3 u'''(x+\Theta\varepsilon_n) \\
= \left\{ \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i}^{n} [\phi(\sum p_j) - \phi(\sum p_j)] \varepsilon_i^2 + \phi(p_n) \varepsilon_n^2 \right\} \alpha(h) \\
\text{avec } \alpha(h) \to 0 \text{ quand } h \to 0
$$

Ainsi,

$$
\text{RDEU}(X) = u(x) + u'(x) E_{\phi}(\varepsilon) + \frac{1}{2!} u''(x) E_{\phi}(\varepsilon^2) + \frac{1}{3!} E_{\phi}(\varepsilon^3) \alpha(h) \quad (i)
$$

De plus RDEU (X) = u ( x - ρ )

Comme $-h \le \rho \le h$ et que $u''$ est bornée sur $[x-h ; x+h]$

$$
u(x - \rho) = u(x) - \rho u'(x) + \rho \beta(h) \quad \text{où } \beta(h) \to 0 \text{ quand } h \to 0
$$

Donc :

$$
\text{RDEU}(X) = u(x) - \rho u'(x) + \rho \beta(h) \quad (ii)
$$

En égalisant (i) et (ii), on obtient :

$$
u'(x) E_{\phi}(\epsilon) + \frac{1}{2!} u''(x) E_{\phi}(\epsilon^2) + \frac{1}{3!} E_{\phi}(\epsilon^3) \alpha(h) = - \rho u'(x) + \rho \beta(h)
$$
ou encore :

$$ u'(x) E_{\phi}(\epsilon) + \frac{1}{2!} u''(x) E_{\phi}(\epsilon^2) + \frac{1}{3!} E_{\phi}(\epsilon^2) \alpha(h) = - \rho [u'(x) - \beta(h)] $$

et donc :

$$ \rho = - \frac{u'(x) E_{\phi}(\epsilon)}{[u'(x) - \beta(h)]} - \frac{u''(x) E_{\phi}(\epsilon^2)}{2! [u'(x) - \beta(h)]} - \frac{E_{\phi}(\epsilon^2) \alpha(h)}{3![u'(x) - \beta(h)]} \quad (iii) $$

Supposons maintenant que $\forall i \in \{1; 2; \dots; n\}, \epsilon_i = t\eta_i$, avec $\eta_1 < \eta_2 < \dots < \eta_n$, $t > 0$ et $E(\epsilon) = 0$. Lorsque $t$ tend vers $0$, la prime $\rho$ devient :

$$ \rho = - \frac{u'(x) E_{\phi}(t\eta)}{[u'(x) - \beta(t)]} - \frac{u''(x) E_{\phi}(t^2\eta^2)}{2! [u'(x) - \beta(t)]} - \frac{E_{\phi}(t^2\eta^2) \alpha(t)}{3![u'(x) - \beta(t)]} \quad (iv) $$
avec $\alpha(t) \to 0$ quand $t \to 0$ et $\beta(t) \to 0$ quand $t \to 0$.

Ceci peut encore s'écrire :

$$ \rho = - \frac{u'(x) t E_{\phi}(\eta)}{[u'(x) - \beta(t)]} - \frac{u''(x) t^2 E_{\phi}(\eta^2)}{2! [u'(x) - \beta(t)]} - \frac{t^2 E_{\phi}(\eta^2) \alpha(t)}{3! [u'(x) - \beta(t)]} $$

Distinguons :

1. Si $E_{\phi}(\eta) \neq 0$, on a $\frac{\rho}{-tE_{\phi}(\eta)} \to 1$ quand $t \to 0$. Ainsi, $\rho \to -E_{\phi}(t\eta)$ quand $t \to 0$.

2. Si $E_{\phi}(\eta) = 0$, on a $\frac{\rho}{-\frac{1}{2} \frac{u''(x)}{u'(x)} t^2 E_{\phi}(\eta^2)} \to 1$ quand $t \to 0$.

Ainsi, $\rho \to -\frac{1}{2} \frac{u''(x)}{u'(x)} E_{\phi}(t^2\eta^2)$ quand $t \to 0$.

Autrement dit, on peut, pour de petits risques, approximer la prime de risque d'un décideur satisfaisant les axiomes du modèle RDEU à partir d'une composante principale qui est l'espérance transformée $-E_{\phi}(\epsilon)$ de la variable aléatoire (ou moment transformé d'ordre 1). Si cette espérance transformée
est, comme l'espérance effective, nulle, la prime de risque peut alors être approximée par une composante secondaire - $\frac{1}{2} E_{\phi}(\varepsilon^2) \frac{u''(x)}{u'(x)}$. Cette composante secondaire est aussi égale à - $\frac{1}{2} [\sigma^2_{\phi} - E_{\phi}(\varepsilon)^2] \frac{u''(x)}{u'(x)}$, soit le produit d'une mesure de sensibilité de l'utilité marginale par un terme de dipersion.

Remarques :

- Quand $u(x)=x$ (Théorie Duale, Yaari (1987)), on montre trivalement que
  $\rho = - E_{\phi}(\varepsilon)$

- Quand $\phi(p)=p$ (Espérance d'utilité), $E_{\phi}(\varepsilon) = E(\varepsilon) = 0$, $\sigma^2_{\phi} = \sigma^2$ et donc
  $\rho \rightarrow -\frac{1}{2} \frac{u''(x)}{u'(x)} \sigma^2$ quand $t \rightarrow 0$.

5 Interprétation

L'expression (iv) nous conduit à nuancer l'interprétation de Pratt qui assimile
le rapport $-\frac{u''(x)}{u'(x)}$ à une "mesure locale d'aversion pour le risque". En effet, ce
qui détermine principalement la valeur de la prime de risque, c'est la forme de
la fonction de transformation des probabilités, par le biais de l'espérance
transformée. La plus ou moins grande dispersion de la variable aléatoire (telle
que le décideur la perçoit) va contribuer à accroitre ou diminuer la prime.
Dans le cas où l'utilité marginale est décroissante, une plus grande dispersion
perçue accroit la prime ; inversement, lorsque l'utilité marginale est
croissante, une plus grande dispersion perçue diminue la prime. Pour le
comprendre, isolons ce phénomène en considérant le cas d'un décideur
possédant une fonction de transformation des probabilités linéaire et
confronté à deux variables aléatoires d'espérances nulles $\varepsilon$ et $\varepsilon'$ telles que $\varepsilon'$ se
déduit de $\varepsilon$ par un "étalement à moyenne constante" (mean preserving
spread). La décroissance de l'utilité marginale rend $\varepsilon'$ moins désirable que $\varepsilon$
car le surcroit de satisfaction lié aux éventuels gains supérieurs est plus faible que le surcroit de désutilité lié aux éventuelles pertes supérieures. Que l'on se place dans le cadre du modèle RDEU ou dans le cadre plus restreint du modèle EU, il apparaît donc pertinent de qualifier le rapport - $\frac{u''(x)}{u'(x)}$ de "mesure locale de sensibilité de la satisfaction à une variation infime de la richesse" (ou variation infime autour du statu quo). Puisque cette variation est incertaine, la raison d'être de cette mesure locale de sensibilité de la satisfaction est la présence de risque ; c'est pourquoi Pratt l'a qualifié de mesure d'aversion (ou de goût) pour le risque. Néanmoins, cette appelation nous semble trompeuse. Les caractéristiques de l'utilité marginale d'un agent peuvent être considérées comme "intrinsèques" au sens où elles ne doivent pas conditionner différemment les prises de décision dans un contexte certain ou dans un contexte aléatoire : la décroissance de l'utilité marginale signifie uniquement que le surcroit de satisfaction lié au gain de 1 franc supplémentaire sera de moins en moins grande avec la richesse. Si le contexte est aléatoire, le gain ou la perte de 1 franc, relativement à la richesse initiale, va induire un surcroit d'utilité ou de désutilité dont l'intensité sera un élément de détermination de la prime de risque (élément principal dans le cadre du modèle EU, élément secondaire dans le cadre du modèle RDEU).

# 6 Conclusion

Nous avons montré que, dans le cadre général du modèle RDEU, l'approximation de la prime de risque d'une variable aléatoire quelconque (pour des petits risques) est la somme d'une composante principale qui est l'espérance transformée de la variable aléatoire et d'une composante
secondaire qui est le produit d'un coefficient de sensibilité de la satisfaction par une mesure de dispersion. Au delà de ce résultat, ces développements apportent un éclairage nouveau sur les travaux de Pratt dans le cadre du modèle EU : le coefficient $-\frac{u''(x)}{u'(x)}$ est avant tout une mesure de sensibilité de la satisfaction. Son assimilation à une mesure locale d'aversion pour le risque est liée à la forme très rudimentaire du modèle EU : la décroissance de l'utilité marginale y induit nécessairement un écart (négatif) entre l'espérance mathématique d'une variable aléatoire et son équivalent certain. La tentation est grande de relier la décroissance de l'utilité marginale à un concept d'aversion pour le risque. L'analyse plus fine que permet le modèle RDEU tempère la pertinence d'un tel lien. Ceci met, en particulier, l'accent sur l'évidente nécessité de donner des définitions intrinsèques de l'aversion pour le risque (c. f. Cohen (1995)).
Annexe 1 :

$$
\sigma^2_{\phi} = [ \varepsilon_1 - E_{\phi}(\varepsilon) ]^2 + \sum_{i=2}^{n} \{ [ \varepsilon_i - E_{\phi}(\varepsilon) ]^2 - [ \varepsilon_{i-1} - E_{\phi}(\varepsilon) ]^2 \} \phi \left( \sum_{j=i}^{n} p_j \right)
$$

$$
\sigma^2_{\phi} = \varepsilon_1^2 - 2\varepsilon_1 E_{\phi}(\varepsilon) + E_{\phi}(\varepsilon)^2 \\
+ \sum_{i=2}^{n} \{ [\varepsilon_i^2 - 2\varepsilon_i E_{\phi}(\varepsilon) + E_{\phi}(\varepsilon)^2] - [\varepsilon_{i-1}^2 - 2\varepsilon_{i-1} E_{\phi}(\varepsilon) + E_{\phi}(\varepsilon)^2] \} \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right)
$$

$$
\sigma^2_{\phi} = E_{\phi}(\varepsilon)^2 + \varepsilon_1^2 + \sum_{i=2}^{n} (\varepsilon_i^2 - \varepsilon_{i-1}^2) \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) - 2E_{\phi}(\varepsilon) \sum_{i=2}^{n} (\varepsilon_i - \varepsilon_{i-1}) \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right)
$$

$$
\sigma^2_{\phi} = E_{\phi}(\varepsilon)^2 - 2E_{\phi}(\varepsilon)^2 + E_{\phi}(\varepsilon^2)
$$

$$
\sigma^2_{\phi} = E_{\phi}(\varepsilon^2) - E_{\phi}(\varepsilon)^2
$$

Annexe 2 :

$$
E_{\phi}(\varepsilon^2) = \sum_{i=2}^{n} ( \varepsilon_i^2 - \varepsilon_{i-1}^2 ) \cdot \phi \left( \sum_{j=i}^{n} p_j \right) \text{ et } E_{\phi}(\varepsilon^3) = \sum_{i=2}^{n} ( \varepsilon_i^3 - \varepsilon_{i-1}^3 ) \cdot \phi \left( \sum_{j=i}^{n} p_j \right)
$$

peuvent encore s'écrire :

$$
E_{\phi}(\varepsilon^2) = \sum_{i=1}^{n-1} \left[ \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) - \phi\left(\sum_{j=i+1}^{n} p_j\right) \right] \varepsilon_i^2 + \phi(p_n) \varepsilon_n^2
$$

$$
\text{et } E_{\phi}(\varepsilon^3) = \sum_{i=1}^{n-1} \left[ \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) - \phi\left(\sum_{j=i+1}^{n} p_j\right) \right] \varepsilon_i^3 + \phi(p_n) \varepsilon_n^3
$$

$$
\text{Comme } h = \max \{ -\varepsilon_1 ; \varepsilon_n \}, \forall i \in \{ 1 ; \dots ; n \}, |\varepsilon_i^3| \le \varepsilon_i^2 h
$$

Puisque $\phi$ est positive et croissante,

$$
\forall i \in \{1; \dots; n-1\}, \sum_{\substack{i=1 \\ n-1}}^{n-1} [\phi(\sum p_j) - \phi(\sum p_j)] \ge 0 \text{ et donc, } \forall i \in \{1; \dots; n-1\}, \\
\sum_{i=1}^{n-1} [\phi(\sum p_j) - \phi(\sum p_j)] |\varepsilon_i^3| \le \sum_{i=1}^{n-1} [\phi(\sum p_j) - \phi(\sum p_j)] \varepsilon_i^2 h
$$

ainsi que $\phi(p_n) | \varepsilon_n^3| \le \phi(p_n) \varepsilon_n^2 h$
En sommant membre à membre ces $n$ inégalités, on a :

$$
\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i}^{n} \left[ \phi\left(\sum_{j=i+1}^{n} p_j\right) - \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) \right] \cdot |\varepsilon_i^3| + \phi(p_n) \cdot |\varepsilon_n^3| \\
\le \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i}^{n} \left[ \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) - \phi\left(\sum_{j=i+1}^{n} p_j\right) \right] \varepsilon_i^2 h + \phi(p_n) \varepsilon_n^2 h
$$

D'autre part, puisque $\forall i \in \{1;\dots;n-1\}$,
$$
\sum_{i=1}^{n-1} \left[ \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) - \phi\left(\sum_{j=i+1}^{n} p_j\right) \right] \ge 0 \text{ et } \phi(p_n) \ge 0
$$
$$
\begin{aligned}
& \left| \sum_{i=1}^{n-1} \left[ \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) - \phi\left(\sum_{j=i+1}^{n} p_j\right) \right] \varepsilon_i^3 + \phi(p_n) \varepsilon_n^3 \right| \\
& \le \sum_{i=1}^{n-1} \left[ \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) - \phi\left(\sum_{j=i+1}^{n} p_j\right) \right] \varepsilon_i^3 + \phi(p_n) \varepsilon_n^3
\end{aligned}
$$

Donc :
$$
\left| \sum_{i=1}^{n-1} \left[ \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) - \phi\left(\sum_{j=i+1}^{n} p_j\right) \right] \varepsilon_i^3 + \phi(p_n) \varepsilon_n^3 \right| \\
\le \sum_{i=1}^{n-1} \left[ \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) - \phi\left(\sum_{j=i+1}^{n} p_j\right) \right] \varepsilon_i^2 h + \phi(p_n) \varepsilon_n^2 h
$$

Ou encore :
$$
\left| \sum_{i=1}^{n-1} \left[ \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) - \phi\left(\sum_{j=i+1}^{n} p_j\right) \right] \varepsilon_i^3 + \phi(p_n) \varepsilon_n^3 \right| \\
\le h \left\{ \sum_{i=1}^{n-1} \left[ \phi\left(\sum_{j=i}^{n} p_j\right) - \phi\left(\sum_{j=i+1}^{n} p_j\right) \right] \varepsilon_i^2 + \phi(p_n) \varepsilon_n^2 \right\}
$$
Références Bibliographiques

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