L'appareil réalisé a été conçu pour les élèves des classes élémentaires. Il permet avant tout de faire MANIPULER les enfants,ce à quoi il parait indispensable de les habituer, dès le C.P.,pour qu'ils s'éveillent à l'es prit des nouveaux programmes de mathématique Cette manipulation leur est aisée:ltappareil est fixé,à leur portée, verticalement,contre un mur de la classe.Il est donc PRATIQUE;il est aussi FONCTIONNEL. -La manipulation se fait " à la demande ",à l'initiative des enfants, individuellement,sans aucun déballage ni distribution de matériels,donc sans perte de temps,sans bruit,sans directives du maître. -L'élève habitué à un type d'exercices,INVENTE une situation qu'il matérialise en respectant des conventions à préciser au départ.Puis, par l'OBSERVATION de la disposition matérielle ainsi constituée,il entre- voit déjà la solution(sinon la plus simple ou la plus directe,du moins une SOLUTION).Ayant effectué une OPERATION,il peut en vérifier la réponse VISUELLEMENT et AUSSITOT:les éléments de cette opération étant encore matérialisés sur la grille.Il peut se reprendre lérsqu'il s'aperçoit d'une erreur. -Les enfants sont plus actifs et leur participation est positive et beaucoup plus contructive:le mattre intervient moins souvent pour expliquer En camarade qui " a vu " peut le faire a sa place et la démonstration est toujours convaincante: il suffit de VOIR.Ils apprennent ainsi à observer et,par la pratique,prennent conscience de la diversité des bonnes solutions.C'est un instrument très utile dans une classe où les élèves travaillent par "équipe". -C'est,de plus,un appareil fonctionnel en ce sens que l'élève libéré de la hantise du " problème difficile "(ce n'est pas difficile puisque " ça se voit "),peut porter tout son effort à la MATHEMATISATION de ce qu'il voit.Et il doit le faire de façon correcte. -Parvenu à la solution,l'élève voit encore la route prise et les traces de son passage.Il peut s'appliquer à rechercher de nouveaux chemins. Pour le maître,également,l'appareil est un outil de DEMONSTRATION idéal applicable à toutes les leçons du programme:numération,bases,apprentissage des tables,opérateur,élément de départ dans une opération,fractions et chaînes d'opérateurs,nombres décimaux, divisibilité et proportionnalité, petits problèmes,calcul menta@,géométrie...etc. Il est utilisable dans n'importe quelle classe et la VISUALISATION incite les enfants à la pratique indispensable et continuelle du CALCUL @MENTAL. p R I N C I P E de FONCTIONNEMENT Le principe appliqué est très simple. L'appareil est une TABLE de PYTHAGORE,donc un CARRE de CENT CASES(10/10) quadrillé1 pouvant être reproduit par les élèves sur leur cahier,en moins de trente secondes. (Pas de distribution,pas d'achat de matériel individuel ni de manuel coûteux.) Mais cette " TABLE " est AMENAGEE. Un Un SYSTEME de REGLETTES et de TRINGLES que l'on peut faire glisser devant le quadrillage et qui,par convention,représen tent des VALEURS positives que l'on fait varier au départ de zéro,PERMET UN BALAYAGE COMPLET(horizontalement et verticale ment) des cent cases du carré représenté ,et VISUALISE TOUTES les DECOMPOSITIONS POSSIBLES des valeurs positives de::0 à 100@ Ce système de balayage permet de plus,une applioation directe des opé- rations et une appréciation visuelle du résultat que peut avoir un opérateur sur un " cardinal de départ donné ", CE,par l'intermédiaire des RECTANGLES ou CARRES REPRESENTES et dont les éléments sont constitués par les tringles qui les délimitent ou les réglettes qui en balaient l'aire. Il permet bien sdr aux jeunes élèves un APPRENTISSAGE VISUEL et rationnel des TABLES de MULTIPLICATIONS et d'ADDITIONS.Pour les plus grands seront constituées "des situations"de deuxième ou troisième niveau,telles que la solution nécessite l'application d'un deuxième puis d'un troisième opérateur (CRAINES).Le passage,par exemple,à un cardinal représentant la VALEUR d'un VOLUME se fera par l'application d'un opérateur an cardinal de l'AIRE,déjà trouvéetd'une face de ee voluse.On travaillera sur le CUBE au lieu de travailler sur le CARRE ce qui amène à réviser la NUMZRATIOW (en base dix) au delà de :100. Les corbinaisons sont variables à l'infini et on peut compliquer les situations à plaisir de sorte que l'appareil est utilisable â tous les @niveaux de l'école élémentaire (et sans doute au delà). 2 ) Cette table est AIMANTEE.CHAQUE PLOT (ou case de un à sent) eut RETENIR un AIMANT nécessaire pour matérialiser un cardinal à trouver,un repère,un élément d'un ensemble un une valeur quelconque. 3 ) Les PLOTS peuvent ETRE COIFFES par d'AUTRES CUBES,identiques ceux qui ont tt6 utilisés pour le quadrillage et superpes s perpendiculairement à ceux-ci,(ce qui permet des calculs à trois éléments:VOLUMES trois dimensions). D E S C R I P T I O N (SOMNAIRE) Par référence aux dessins de la Flanche I :"vue d'ense ble" Fig. 1 ....2.....3(échelle :C,25.Seule la moitié inférieure:partie utile de l'appareil est re@présentée). L@. TABLE est constituée de: -a) Le SCCLE:(fig. 1);ici,panneau d'aggloméré de 64cm sur 58cm,ép.2 -b) Le Panneau -C@UVERCLE:vissé,formica blanc:3mmép.porte-glissières (g)pour VITRE (v)coulissante(partie hachurée:fig.1) -C) DEUX FENETRES CARREES (20cm sur 20cm) -c1) PRINCIPALE,à droite,dite: " FENETR@ des DEC@MPOSITIONS" non recouverte,et présentant le QUADRILIAGE:fig.2 -c2) COMPLEMENTATRE,à gauche,dite:"FENETRE des COMPLEMENTS.. à 10;à 100;à 1 000...recouverte d'une VITRE(ou plexi.) * La vitre permet de mettre l'appareil en posit.vertic. * Elle peut coulisser vers c gauche grace aux glissières(g),aménagées dans le panneau-couvercle. * Elle est recouverte de feutre adhésif pour réduction atx dimension de la fenêtre principa'e (ci). -D) LesPIECES du"BALAYAGE"(horizontal et vertical): (fig. 2 et 3). -dl) les TRINGLES:éléments de longueurs (assimilables à des ensembles).Elles ont 30cm de long; sect.carrée:4mm). Onze TRINGLES BLEUES HORIZONTALES par convention,dites: " de CARDINAL: B"(grand B),décomposable en:b (petits b). Onze TRINGLES ROUGES VERTICALES par convention,dites: " de CARDINAL: A"ou R ....,décomposable en:a ou r . *Les éléments de ces "ensembles"peuvent être affectés d'une VALEUR autre que:1; b= 0,5 ...a ou r= 3/@ -d2) les REGLETTES:éléments de surface(ou pour numêration). 30 cm de long;Sect.rectangulaire :ép.2mm Dix REGLETTES BLEUES HORIZONTALES............idem tringles..... Dix REGLETTES VERTICAL S ROUGES d'un côté,JAUNES de l'autre *Elles peuvent ,comme les tringles être assimilables à un ensemble: 3,ou A (selon la couleur),dont le cardinal dépend du nombre des éléments b ou a et de la valeur donnée à chacun de ceux-ci. *Plusieurs@ tringles(ou réglettes)de même couleur, utilisées,représentent autant de sous-ensemble de l'ensemble:B,ou A dont on devra préciser le cardinal. *Les tringles bleues ou rouges N 0 sont plus rarement utilisées:(blocage du balayage RU poSnt zéro). -E) Les AIMANTS (simples ou munis d'une flèche) D E S C R I P T I O N (@C@MAIRE) suite @@r référence aux dessins de la Planche II:" Tringles et réglettes" DETAILS techniques et EXEMPLES d'EXEL@ITATION pédagogique. FIG.4 : d1 et d2 " en situation "....(échelle:0,5). EXEMPLE I : ....UTILISEES COMME REPRESENTARION de CARRES et RECTANGLES - CALCUL de l'AIRE(produit)ou du DEMI-PERIMETRE(somme) à partir des éléments donnés(cardinal de:B et de: A)... - DECOMPOSITION de la REPONSE TROUVEE en faisant varier la valeur des elements. QUELQUES SUGGESTIONS POUR UTILISER LA SITUATION:FIG.4 Nous avons,ici,un RECTANGLE représenté@ dont les éléments sont donnés(par d1).La TRINGLE(bleue)N 4 MATERIALISE la LONGUEUR .Elle a pour VALEUR: 6(cardinal de B;si b=1...3=bx6..=1x6...=6) La TRINGLE(rouge)N 6 MATERIALISE la LARGEUR.Elle a pour VALEUR: 4(cardinal de A @uR.....même raisonnement... *Le COMPLEMENT à 10 de: B=6 apparait fenêtre C2 et est égal à: B'=4 *Remarques techn.: ACCROCHAGE(la tringle bleue soutient la rouge). : Les Tringles N 0,5,6 et réglettes N 5,6 (bleues) ont été enlevées.Celles(horizontales ou verticales)non utilisées, affleurent au "Point Zéro"(côté de gauche et côté supérieur de C1.) -Calcul de l'AIRE (d2)...Application d'un PRODUIT . *La REGLETTE bleue(horizontale)N 1,utilisée,a comme la tringle,VALEUR 6 Elle sert à montrer "l'ELEMENT de DEPART"donné,auquel s'appliquera "l'OPERATEUR multiplié par" de VALEUR:4 (2 élément,égal au cad.de d1 (rouge) : soit 6 x4 = 24 *La VERIFICATION et MAITRISE de l'OPERATION se fait par" BALAYAGE de l'AIRE "(en tirant les trois réglettes suivantes) soit...... 6 x1 = 6 ;....6 x2 = 12;...6 x3 = 18... DECOMPOSITION de 14AIRE trouvée ....et par extension:grandeurs PROPORTIO. *La REGLE@@E bleue N0 7,utilisée,de VALEUR 3., SLRT de REP@RE pour voir que pour . constant ,si 3 est divisé par:2 ,ltAIRE est aussi divisée par:2 ,soit ... (6 x4)=24 mais....(3 x4)=12(possibilité de maîtri ser le calcul de l'aire,colonne par colonne et DECOMPOSITIONS de: O à 24 dans les deux sehs:commutativité de la multiplication). *Remarque techn.:La Tringle bleue est placée,là,sur sa "FACE de DIVISI BILITE par TROIS"(bleu-foncé...bleu-clair alternativement ,trois/./.trois) elle joue donc le même rôle que la réglette N 7 (repère). -DECO@POSITION des ELEMENTS pour une réponse (ici,produit)donnée:(6 x4)=24 *DISTRIBUTIVITE de la multiplic. (5 +1) x4 .. .= (5 x4) + (1(x4).... (contôle visuel) ou 6 x(3 +1)...~ (6 x3) + (6 xl).... -BASES:En utilisant d2 (bleues) si nous "balayons l'aire du rectangle", nous obtenons une disposition qui matérialise un groupement: SE SIX(et en utilisant d2(rouges).....BASE QUATRE).Pour toutes les valeurs inscrites(en base DIX) dans le rectangle il est visuellement très facile de déterminer l'écriture correspondante de ces chiffres. @ @ S @ R I @ T I O N(@UITE) C lcul @u @ @I-I@@@@#@@l@@..... @@@IC@@@ N @'une @@ @@(même rect@ngle), @ô@es élé@ @@@ @c @@(d1) @@u ...L@UR 6 ;rouge de V@LEUR 4. *const@ton@(co at tivité)@leu.......... 4 ; rouge ;........ 6 don@ent un rect@ngle @@ on@ @@ffére@ment @ais @quiv@lent@ et qui @@@ a une aire égale et un de@i-périmètre de même v@leur. *Le DEMI-FERIMET@@ est toujours représenté par d1 :éléments de longueur d1 bleu,élément de départ(par convention); card. 6 dl rouge Opérateur 4 (mais de signe +) soit...............(6 + 4)= 10;(4 +6)=10 -PERIMETRE (opérateur 2 niveau) .............(6 +4) x2; (6 x2)+(4x2) -RECHERCHE des ELEMENTS (soit B..soit A) du rectangle à partir de l'aire ou du demi périmètre: problème inverse (division ou soustraction) à traiter en se référent i ...................(multiplic.ou addition). *La VISUALISATION favorise la compréhension. FIG.4 :d2 rouges et jaunes "en situation" EXEMPLE II .....UTILISEES pour permettre la RECHERCHE d'un CARDINAL -@UESTION: 1 " Trouve le CARDINAL de l'ensemble A à partir de ses deux sous-ensembles représentés par les REGLETTES N 8et9 (rouges), si a=3/5 ." on peut déjà poser a=3/5= 6/10= 0,6 " ce que l'on voit" Feut s'écrire : A =....(a x2) + (a x3)....( a x(2 + 3)... (a x5) donc A = soit.... (3/5 x 5 .... = 3 # soit..............................(0,6 x5)= 3 etc.... -QUESTION:2 " Trouve les valeurs demandées dans le tableau ci-dessous indique différents mo es de calcul. ensemble VALEUR (card.) et FACONS POSSIBLES A (d@ N 8 et 9)........ 3 ................ voir ci-dessus.... A'(d@ N 8) 1,2 (3/5 x@)...6/5 ...12/10..ou(0,6 x2) @" N 9 ............1,3 .....................@ ( @ -1,2) A'" N 10(j@une)....... 3,6......................... ( 3 +0,6) ou (1,8 x2 ) ou ( @ + 3/5).. 30/10 +6/10=36/10 I@ATIO@ @@voride la découv r@e de solutions différentes @@ choisit ensuite la plus simple et la plus rapid@@@ SUITE d c la D @ @ C R I P T I FIG. 5 : Cl et C@ (perspective). - d1 (N 1) et d2 (N 2) "au point zéro"...détails du quadrillage. *REMARQUE I (technique): @ménagements permettant le fonctionnement en POSITION VERTICALE: 1 ) ACCROCHAGE et PREHENSION du système de balayage au point ZERO. Le réglettes ou tringles verticales,REPOUSSEES & oint zéro, (côté supérieur de C1) sont MAINTENUES en bout de course par un système simple permettant de les LIBERER par simple appel de Il en est de même pour les bleues qui@ AFFLEURENT au point:O mais on peut REPOUSSER la VITRE (v)de plusieurs centinètres sur la gauche,pour en faciliter la préhension. Il convient ensuite de replacer la vire à sa position première. 20) Le QUADRILLAGE,(qui pourrait être en bois,avec des rainures ou GORGES-GUIDE-TRINGLES (go),fig.2 et 5,taillées directement dans le socle,) est ,ici,formé de cent CUBES(2cm d'arête), EMBOITES et formant le CARRE visible (fig.2).Ce carré est inclus dans le socle de sorte qu'affleurent les gorges-guide-tringles également visibles.Dans ces gorges circulent les tringles(verti cales et horizontales).Ces tringles font saillie par rapport aux PLOTS carrés (P):(dessus des cubes)de 1,5 mm environ ce qui1 avec la vitre,permet de maintenir à leur place les réglettes notamment horizontales).les réglettes glissent entre les gorges sur les plots carrés. *REMARQUE II : Aménagement(pédagogique ) et (technique).POSITION privilé giée de REFERENCE:VALEUR 5...CROIX médiane (C). 10) Le sillon central, (dans les deux sens),indique la position de VALEUR 5 (ou 50,.ou 500...selon la valeur donnée à b et a) Cette valeur 5 est une valeur de référence,INTERMEDIAIRE,pour déterminer VISUELLEMENT toute position (et valeur) supérieure ou inférieure à 5 : CALCUL MENTAL AUTOMATIQUE). 5 +2=7 4= 5 -1 (si b ou a valent:1 50 +20=70..40=50 -10(si b ou a valent: 10 etc.... (lecture directe jusqu'à trois plots ) 20) Cette POSITION et valeur de référence:5..500..5 000... EST MATERIALISEE dans le fond du sillon central,par la bande bleue horizontale et rouge verticale dessinant la CROIX MEDIANE (C) qui apparait FIG.2(et FIG.4 et 5 en partie)et sur laquelle glissent lec deux tringles du centre. suite de 1- E - C R I P T I C FIG. 5 .....détails du quadrillage. . @ *REMARQUE III : COULEUR des PLOTS du QUADRILL@GE (intérêt péd@gogique) Le dessus de -lots aot eint de couleurs différentes,selon dec lignesparallèles à le diagonale du carré qui part du point zéro( " Table des carrés ").Les plots situés sur cette diagonale sont peints en violet,puis,de part et d'autre de cette ligne,il y une rangée de plots peints en bleu...puis,jaune...puis orange... Ce, pour faciliter l'@@@RENTISSAGE (visuellement et en diagonale) des tble de multiplication et d'additions. FIG. 6: LES AIMANTS Procédé de fixation (technique)..Leur usage. *REMARQUE IV : technique. Les cubes formant le carré sont creux. Une TETE DE PUNAISE(métal)A ETE ENGAGEE @@E L'ENVERS DE CHAQUE PLOT,@vant mise en place,de sorte que de petits aimants peuvent être placés et maintenus,côté face,sur chacun des plots du quadrillage. pédagogique.Ces aimante,de couleurs différentes, PERMETTENT ,entre autres usages, de MATERIALISER une "SITUATION" (aimants "de situation" pour rectangles et carrés)ou une QUESTION POSEE (aimants d'interrogation ").Ils sont carrés,ou rectangulaires munis ou non de flèches(aimants de "numération",)ou ronds(aimants de "simple repère". -L'éléve habitué peut très rapidement REPORTER les DONNEES qu' il a sous les yeux sur son PROPRE QUADRILLAGE. -Le "PROBLEME" étant ainsi VISUELLEMENT et SCHEMATIQUEMENT POSE(ain de temps),le martre peut a'assurer flue l'élève a compris en lui demandant d'expriner (oralement ou par écritzmais sous force de- phrase précise et correcte quelles sont les DONNEES de la "situation représentée"(Ce pour les habituer au vocabulaire et langage mathématique). -Les élèves peuvent faire @nsuite,à haute voix,l'INVENTAIRE des QuESTIONS POSSIBLES(chacun donnant son avis à tour de rôle). C'est la partie ACTIVE du TRAVAIL,chacun pouv@nt démontrer aux autres,par la MANIPULATION,la façon permettant de résoudre la question qu'il a lui même INVENTEE(parce qu'il en entrevoyait sans doute la solution) et qui est -donc "a zon niveau".Chacun travaille ainsi à le limite de ses ACQUISITIONS. -@ partir de cet éventail de questions possibles,ce qui lui permet d'apprécier au mieux le niveau de sa classe,Le MAITRE CHOISIRA la QUESTION "bien dosée" pour l'ensemble. -Lors de la correction,LES S@LUTIONS étant @O@@R@@SES (et plue ou moins simples), l'@@@ERIENCE et le SAVCIR F@IR@ DES meilleurs EL@V@@ SERONT SALUT@IRES ET AURONT VALEUR D'EXEMPLE pour les autres. R E V E N D I C . n I O N S - PREAMBULE: 1 Appareil pouvant aider les maîtres de l'école élémentaire qui cherchent à "RENOVER" leur ENSEIGNEMENT des MATHEMATIQUES dans le sens des Instructions Officielles er cours. -L'appareil pourrait entre assimilable à une "TABLE dite de PYTHAGORE" (fenêtre principale: C1),mais UN certain nombre d'@ména- gements techniques fait qu'il a une autre foncticn que celle ce constituer un simple tableau présentant les réponses des tables d'additions ou de multiplications. En effet, Sa caractéristique(pédagogique)primordiale est: de permettre,A LA FOIS,....La DEMONSTRATION par la MANIPUL@TION.... La CONCRETISATION par la VISUALISATION des données....L'INCITATION permanente au CALCUL MENTAL et RAPIDE. Sa caractéristique(éducative)principale serait: de favoriser,A LA FOIS,....l'ES@RIT d'OBSERVATION...l'INITIATIVE et la PARTICIPATION spontanée...le plaisir " de DICOUVRIR "des enfants. Etant utilisable i tous les niveaux de l'école élémentaire, son coté (utilitaire)possible pourrit etre: de constituer " un LIEN COMMUN ENTRE les COURS "et,en quelque sorte, un ELEMENT de CONTINUITE ce qui parait actuellement faire défaut. L'AMEN@GEMENT T@CHNIQUE PRIN@IPAL de l'APPAREIL est caractérisé par le fait qu'UN SYSTEME de REGLETTES D2 ET DE TRINGLES D1 que l'on peut faire glisser devant le quadrillage de la table(fenêtre de droite)PERMET UN BALAYAGE,dans les deux sens,des CENT CASES du carré représenté et VISU@LISE toutes LES DECOMPOSITIONS POSSIBLES des VALEURS POSITIVES de ZERO à CENT. Les réglettes et les tringles sont en effet ASSI@I@@ES @ des ENSEMBLES dits B (horizontalement)ou A (verticalement), DECOMPOSABLES en sous-ensembles de 3 ou de A,FORMES d'ELEMENTS dits b ou a,dont le nombre et,de ce fait,la valeur varient ,au départ de zéro, en fonction de l'allongement des tringles ou réglettes présent@es " en situation " devant la table. - PREAMBULE: 2 Aménagement selon la revendication 1 caractérisé par le fait que LES ELEMENTS b et a des ensembles @ONT @@TERIALISES sur chacune des quatre facesdes tringles SOUS @@ FOR@@ @@ TIRETS peints en bleu (horizont.)ou rouge (vertic.)de la longueur d'un plot (ou case) du Quadrillage,et séparés par un liseret blanc de la largeur des gorges-guide-tringles. - PREAMBULE: 3 @ménagement selon la revendication 2 caractérisé par le fait que CHAQUE TRINGLE bleue ou rouge A ETE PEINTE sur trois de ses faces en ALTERNANT Lk COULEUR (bleu foncé...bleu clair rouge foncé...rouge @lair,)de deux en deux,de trois en trois,de quatre en quatre...(il y a une réserve de tringles),pour FACILITER la VISUALISATION dans les exercices de DIVISIBILITE par @@E@@@@@@@ @ ---- @@@. @ Aménagement selon la revendication 3 caractérisé par le fait qu'en ce qui conserne la DIVISIBILITE par 5et pour favoriser la visualisation et le calcul rapidesLE SILLON CENTRAL du QUADRILIAGE,dans les deux sens ETE PEINT et FORME une CROIX bleue rouge qu matérialise globalement la VALEUR 5 (ou 50...500... selon le coefficient DONNé à b ou a),et sert de valeur de référence. - PREAMBULE: 5 Aménagement selon la revendication 1 caractérisé par le fait que le quadrillage de la table délimite CENT PLOTS (ou cases) dont CHACUN PEUT,d'une part,RETENIR UN AIMANT nécessaire pour matérialiser un cardinal à trouver,un repôre,un élément d'un ensemble ou une valeur quelconque (C.F. "usage des aimants), ETRE COIFFE ,de plus, FAR D'AUTRES CUBES identiques à ceux qui ont été utilisés our le quadrillage et superposés perpendiculairement à ceux-ci (volumes:tr@is dimensions) - PREAMBULE: 6 Aménagement selon la revendication 5 caractérisé par le fait que le DESSUS des PLOTS du quadrillage A ETE PEINT de COULEURS DIFFERENTES suivant des lignes parallèles à la diagonale du carré partant du Point zéro(table des carrés);CE pour FACILITER l'APPREN TISSAGE (visuellement et en diagonale) des TABLES de multiplication et d'addition. -PREAMBULE: 7 Aménagement selon la revendication 1 caractérisé par le fit tue la fenêtre principale C1 de l'appareil est flanquée ,à sa gauche,d'UNE FENETRE SECONDAIRE C2 @ERMETTANT par visualisation, le calcul des valeurs des COMPLEMENTS 10 (100...1 000...) correspondant aux valeurs qu'indiquent les tringles ou réglettes bleues présentées " en situation "devant la table. - PREAMBULE: @ Aménagement selon la revendication 1 caractérisé par le fait que le SYSTEME de BALAY@GE go PEUT,grace i: la vitre (v) coulissante,aux gorges (go) guide tringles et à l'accroc@age de ses éléments (rouge notamment) au point zéro, FONCTIONNER lorsque l'appareil est placé en POSITION VERTICALE.