سوال: فرض کنید به‌ازای هر f_{n}:\left[ 0,\infty  \right)\to \mathbb{R} \ \ ،n\in \mathbb{N} تابعی انتگرال‌پذیر باشد و F_{n}:\left[ 0,\infty  \right)\to \mathbb{R} با ضابطۀ F_{n}\left( x \right)=\int_{0}^{x}f_{n}\left( t \right)dt تعریف شود. اگر دنبالۀ \left\{ f_{n} \right\} همگرای یکنواخت باشد، کدام گزینه درست است؟
گزینه‌ها:
1. دنبالۀ \left\{ f_{n} \right\} بر \left[ 0,\infty  \right) یکنواخت کران‌دار است.
2. درصورت وجود حدود، \lim_{x \to \infty } \lim_{n \to \infty } F_{n}\left( x \right)=\lim_{n \to \infty } \lim_{x \to \infty } F_{n}\left( x \right).
3. به‌ازای هر F_{n} \ ، n\in \mathbb{N} مشتق‌پذیر است و به‌ازای هر \lim_{n \to \infty } F^{'}_{n}\left( x \right)=\lim_{n \to \infty } f_{n}\left( x \right) \ ،x.
4. دنبالۀ \left\{ f_{n} \right\} بر هر زیرمجموعه کران‌دار \left[ 0,\infty  \right) همگرای یکنواخت است ولی بر \left[ 0,\infty  \right) لزوماً همگرای یکنواخت نیست.
پاسخ صحیح: گزینه 4