MINRES-Verfahren
MINRES-Verfahren

== Konstruktionsidee von MINRES ==
Krylov-Unterraum-Verfahren beschränken sich darauf, nur Vektoren aus Matrix-Vektor-Produkten mit der Systemmatrix zu benutzen. Das hat Vorteile, weil die Matrix dazu nicht explizit, sondern nur als Funktion für das Matrix-Vektor-Produkt verfügbar sein muss. Zu Beginn sind die einzigen bekannten Vektoren die aktuelle Näherungslösung  (zu Beginn meist ein Nullvektor), die rechte Seite  und das Residuum . 
Man kopiert das Residuum in einen Vektor  und nimmt diesen aus obigem Grund als Korrekturrichtung für die Näherungslösung. Dazu berechnet man sein Bild . Dieses Bild will man optimal an das Residuum heranaddieren, sodass dessen Länge kleinstmöglich wird (daher der Verfahren-Name). Dazu rechnet man , mit . Dazu muss  sein (Gram-Schmidt). Die zugehörige Näherungslösung  für dieses Residuum kennt man: . 
Für das neue Residuum erstellt man wieder eine Kopie  und berechnet wieder das Bild . Um durch Wiederholung dieses Prinzips das Residuum immer weiter zu verkleinern, möchte man im nächsten Schritt ein Residuum  erzeugen, dass auf  und  senkrecht steht. Da  einen Richtungsanteil von  enthalten könnte, muss  auf  orthogonalisiert und  analog angepasst werden, damit danach weiterhin  gilt. Für  wird . So setzt man das über viele Iterationen fort.
Auf diese Weise müsste in der -ten Iteration die Richtung  auf  Vorgängern  orthogonalisiert werden. Lanczos konnte jedoch zeigen, dass  bereits auf all diesen Richtungen senkrecht steht, falls  nur auf seinen beiden Vorgängern  orthogonalisiert (= senkrecht gestellt) wird. Dies liegt an der Symmetrie von  (weshalb das Verfahren auch nur im symmetrischen Fall funktioniert).