Zenons_Paradoxien_der_Vielheit
Zenons_Paradoxien_der_Vielheit

=== Teilung durch und durch ===
Anders verhält es sich, wenn die Prozedur der Teilung erneut auf alle entstehenden Teile angewendet wird, wenn der Stab ''durch und durch'' in Einzelteile geteilt wird. Wie genau Zenon zum Widerspruch im letzten Satz kommt, ist auch unter diesen Annahmen nicht geklärt.
Eine moderne, wohlmeinende Interpretation versteht das Verfahren analog zur Intervallschachtelung.
Teilt man das Intervall 0, 1 in 0, 1/2 und 1/2, 1 und die entstandenen Teile wiederum, ad infinitum, erhält man Ketten von Intervallen, welche jeweils um die Hälfte kleiner werden, zum Beispiel . Angenommen, das Intervall sei durch und durch geteilt, also jede mögliche dieser Ketten gebildet.
Die Menge der so entstehenden Ketten ist überabzählbar: In jeder Kette von verschachtelten Intervallen kann lediglich ein Punkt liegen. (Angenommen, es gebe zwei Punkte, welche in jedem der Intervalle enthalten sind, dann gibt es zwischen ihnen eine positive Distanz , jedoch gibt es in der Intervallschachtelung ein Intervall, welches eine geringere Länge als  hat, also nicht beide Punkte enthalten kann.)
Die Summation lässt sich also nicht wie bei Achilles und der Schildkröte mit Mitteln der Grenzwertbildung einer (abzählbar) unendlichen Reihe lösen.
In dieser Form ähnelt das Gedankenexperiment sehr dem Argument der vollständigen Teilung.