Assoziierte_Elemente
Assoziierte_Elemente

=== Nicht-kommutative Ringe ===
Zwei Elemente  eines nicht-kommutativen Rings  mit 1 heißen zueinander rechts assoziiert, falls eine Rechtseinheit  mit  existiert. Dann ist sowohl  rechtes Vielfaches von , das heißt  linker Teiler von , als auch  rechtes Vielfaches von .
Entsprechend definiert man links assoziiert mit einer Linkseinheit und linken Vielfachen. Sind zwei Elemente  sowohl links wie rechts assoziiert, gelten sie als zweiseitig assoziiert.
Darüber hinaus lassen sich zwei Elemente  als erweitert assoziiert definieren, wenn es 2 Einheiten  mit  gibt. Dann stehen  zwar nicht notwendigerweise in einer Teilbarkeitsbeziehung, es folgt jedoch aus ''zweiseitig assoziiert'' sowohl ''links assoziiert'' wie ''rechts assoziiert'' und sowohl aus ''links assoziiert'' wie aus ''rechts assoziiert'' noch ''erweitert assoziiert''.
Im nicht-kommutativen Fall muss man bei der Teiler- und Vielfachen-Eigenschaft die Seitigkeit (linke, rechte) benennen, was das einfache Teilbarkeitssymbol (dessen symmetrische Gestalt schon einer Spiegelung mit inverser Bedeutung im Wege steht) des kommutativen Falls nicht ausdrücken kann.