Kummertheorie
Kummertheorie

== Kummertheorie ==
Die Kummertheorie macht Aussagen der umgekehrten Richtung. Ist  ein Körper, der  verschiedene -te Einheitswurzeln enthält, so besagt sie, dass jede zyklische Erweiterung von  vom Grad  durch das Ziehen einer -ten Wurzel gewonnen werden kann. Bezeichnet man mit  die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen Elemente des Körpers , so stehen die zyklischen Erweiterungen von  vom Grad , die in einem fest gewählten algebraischen Abschluss liegen, in Bijektion mit den zyklischen Untergruppen von , also der Faktorgruppe von  nach den -ten Potenzen.
Die Bijektion kann explizit angegeben werden: Einer zyklischen Untergruppe  wird die Erweiterung  zugeordnet, die durch Adjunktion aller -ten Wurzeln von Elementen aus  zu  entsteht.
Umgekehrt ordnet man der Kummererweiterung  die Untergruppe  zu.
Ordnet diese Bijektion die Gruppe  und die Körpererweiterung  einander zu, so gibt es einen Isomorphismus , der gegeben ist durch . Dabei steht  für die Gruppe der -ten Einheitswurzeln und  für eine beliebige -te Wurzel von .