Satz_von_Lagrange
Satz_von_Lagrange

== Untergruppen zu gegebener Ordnung ==
Mit dem Satz von Lagrange hat man für endliche Gruppen ein notwendiges Kriterium für die Existenz einer Untergruppe zu einer bestimmten Ordnung. Das Kriterium ist allerdings nicht hinreichend, das heißt im Allgemeinen gibt es für endliche Gruppen nicht zu jedem Teiler der Gruppenordnung auch eine Untergruppe, welche diese Ordnung hat. Die kleinste Gruppe, welche dies verdeutlicht, ist die Gruppe  .  hat  Elemente, aber keine Untergruppe der Ordnung .
Dennoch gibt es bestimmte Gruppen, welche zu jedem Teiler der Gruppenordnung auch eine Untergruppe dieser Ordnung besitzen. Ein Beispiel sind die zyklischen Gruppen. Es gibt auch Sätze, welche die Existenz von Untergruppen bestimmter Ordnungen garantieren. Ein Beispiel hierfür sind die Sylow-Sätze.