Untergruppe
Untergruppe

== Erzeugte Untergruppen ==
Da der Durchschnitt von Untergruppen wieder eine Untergruppe ist, gibt es zu jeder Teilmenge  einer Gruppe  eine bezüglich der Inklusion minimale Untergruppe von , die  enthält. Diese Untergruppe wird mit  bezeichnet und die von  erzeugte Untergruppe  von  genannt. Abstrakt definiert man also
Man kann zeigen, dass die Elemente von  genau die Elemente von  sind, welche man durch Verknüpfungen von endlich vielen  erhält. Hierbei bezeichnet  die Menge der Inversen der Elemente von . Es gilt also:
Gilt für eine Untergruppe , dass , so heißt  ein Erzeugendensystem von . Das Erzeugendensystem einer Untergruppe ist nicht eindeutig.
Eine Untergruppe , welche ein endliches Erzeugendensystem besitzt, wird als endlich erzeugte Gruppe bezeichnet. Besitzt  ein Erzeugendensystem aus einem Element , so heißt  zyklisch und man schreibt 
explizit durch seine Elemente beschreiben, so erhält man:
Die Gruppenordnung   heißt die Ordnung des erzeugenden Elements .
Die Menge aller Untergruppen einer Gruppe  bildet einen vollständigen Verband, den Untergruppenverband. Die beiden trivialen Untergruppen  und  entsprechen dem Null- bzw. dem Einselement des Verbandes. Dabei sind die Verbandsoperationen
: (von der Vereinigung erzeugte Untergruppe)