Bedingte_Wahrscheinlichkeit
Bedingte_Wahrscheinlichkeit

== Motivation und Definition ==
Mitunter möchte man untersuchen, wie stark der statistische Einfluss einer Größe auf eine andere ist. Beispielsweise möchte man wissen, ob Rauchen () krebserregend () ist. Die logische Implikation würde fordern, dass der Schluss  für alle Instanzen gilt, dass also jeder Raucher an Krebs erkrankt. Ein einziger Raucher, der keinen Krebs bekommt, würde die Aussage „Rauchen ruft mit logischer Sicherheit Krebs hervor“ beziehungsweise „Jeder Raucher bekommt Krebs“ falsifizieren. Dennoch, obwohl es Raucher ohne Krebs gibt, besteht ein ''statistischer'' Zusammenhang zwischen diesen beiden Ereignissen: Die Wahrscheinlichkeit, an Krebs zu erkranken, ist bei Rauchern erhöht. Diese Wahrscheinlichkeit ist die bedingte Wahrscheinlichkeit , dass jemand Krebs bekommt, unter der Bedingung, dass er Raucher ist.
Stochastisch kann nun ebenso die Wahrscheinlichkeit untersucht werden, dass jemand raucht, unter der Bedingung, dass er Krebs hat. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist somit zu beachten, dass der Begriff der Bedingung nicht an einen kausalen oder zeitlichen Zusammenhang gebunden ist. Die bedingte Wahrscheinlichkeit gibt ein Maß dafür an, wie stark der statistische Einfluss von  auf  ist. Sie kann als stochastisches Maß dafür angesehen werden, wie wahrscheinlich der Schluss  ist. Sie sagt aber, wie alle statistischen Größen, nichts über die etwaige Kausalität des Zusammenhangs aus.
Mit dieser Motivation kommt man zu folgender Definition:
Wenn  und  beliebige Ereignisse sind und  ist, dann ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von , vorausgesetzt  (auch: die Wahrscheinlichkeit von  unter der Bedingung ), notiert als  (mit senkrechtem Strich zwischen  und ), definiert durch:
Darin ist  die Wahrscheinlichkeit, dass  und  gemeinsam auftreten.  wird gemeinsame Wahrscheinlichkeit, Verbundwahrscheinlichkeit oder Schnittwahrscheinlichkeit genannt.  bezeichnet dabei den mengentheoretischen Schnitt der Ereignisse  und .