Zyklische_Gruppe
Zyklische_Gruppe

== Eigenschaften ==
Alle zyklischen Gruppen sind abelsche Gruppen.
Eine zyklische Gruppe kann mehrere Erzeuger haben. Die Erzeuger von  sind +1 und −1, die Erzeuger von  sind die Restklassen, die teilerfremd zu  sind; ihre Anzahl  wird von der Eulerschen φ-Funktion angegeben.
Ist allgemein  ein Teiler von , dann ist  die Anzahl der Elemente von , die die Ordnung  haben:
Das direkte Produkt zweier zyklischer Gruppen  und  ist genau dann zyklisch, wenn  und  teilerfremd sind; in diesem Fall ist das Produkt isomorph zu .
Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist direktes Produkt endlich vieler (endlicher und unendlicher) zyklischer Gruppen.
Der Gruppenexponent einer endlichen zyklischen Gruppe ist gleich ihrer Ordnung. Jede endliche zyklische Gruppe ist isomorph zur additiven Gruppe des Restklassenring , der Isomorphismus ist dabei der diskrete Logarithmus: Ist  ein Erzeuger von , dann ist die Abbildung