Impulsinvarianz-Transformation
Impulsinvarianz-Transformation

== Erläuterung ==
Hierfür wird die Impulsantwort eines analogen Filters  durch äquidistante Abtastung in die zeitdiskrete Impulsantwort  mit  überführt.
Die Impulsantwort des zeitdiskreten Filters stimmt somit an den Abtastzeitpunkten  mit der Impulsantwort des analogen Filters überein.
Um die impulsinvariante Transformation nun durchzuführen, geht man wie folgt vor. Mittels einer inversen Laplace-Transformation erhält man die Impulsantwort  aus der Übertragungsfunktion  des analogen Filters:
Um die Impulsantwort nun "abzutasten", substituiert man  durch  in . Hierbei sei  die Abtastperiode. Die z-Übertragungsfunktion erhält man nun aus der abgetasteten Impulsantwort mit Hilfe der z-Transformation. Zusammengefasst lässt sich die impulsinvariante Transformation also als
schreiben. Durch die Multiplikation mit  kürzt sich der Vorfaktor  des Spektrum des abgetasteten Signals, so dass das Spektrum des abgetasteten Signals (bis auf Aliasing) unabhängig von der Abtastperiode wird.
Hierdurch kann ein zeitdiskretes Filter entworfen werden, welches an den Abtastzeitpunkten  die gleiche Impulsantwort hat wie ein entsprechendes analoges Filter. Dies macht sich bei geeignet hoher Abtastung im Frequenzbereich kaum bemerkbar. Das zeitdiskrete Filter approximiert somit den Frequenzgang des analogen Filters.
würde man eine z-Übertragungsfunktion erhalten, die an den Abtastzeitpunkten  die gleiche Sprungantwort aufweist.