Markow-Kette
Markow-Kette

==== Endlicher Zustandsraum ====
Übergangsgraph für die beschriebene Markow-Kette
Wir versuchen, mithilfe einer Markow-Kette eine einfache Wettervorhersage zu bilden. Dazu kodieren wir 1 = „die Sonne scheint“, 2 = „es ist bewölkt“ und 3 = „es regnet“. Als Zeitschritt wählen wir einen Tag. Aus Erfahrung wissen wir, dass wenn heute die Sonne scheint, die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen regnet, ungefähr 80 % ist und die Wahrscheinlichkeit, dass es bewölkt ist, ca. 20 % beträgt. Außerdem treffen wir die Annahme, dass sich diese Wahrscheinlichkeiten nicht ändern, die Markow-Kette also homogen ist. Somit wissen wir nun
Ist es aber bewölkt, so regnet es mit Wahrscheinlichkeit 0,5 am folgenden Tag und mit Wahrscheinlichkeit von 0,5 scheint die Sonne. Es gilt also
Regnet es heute, so scheint danach nur mit Wahrscheinlichkeit von 0,1 die Sonne und mit Wahrscheinlichkeit von 0,9 ist es bewölkt. Damit folgt für die Übergangswahrscheinlichkeiten
Damit ist die Markow-Kette vollständig beschrieben. Anschaulich lassen sich solche Markow-Ketten gut durch Übergangsgraphen darstellen, wie oben abgebildet. Ordnet man nun die Übergangswahrscheinlichkeiten zu einer Übergangsmatrix an, so erhält man
Wir wollen nun wissen, wie sich das Wetter entwickeln wird, wenn heute die Sonne scheint. Dazu geben wir die Anfangsverteilung  vor in Form des stochastischen Startvektors . Wir starten also fast sicher im Zustand 1. Multiplikation von rechts mit der Übergangsmatrix liefert . Mit achtzigprozentiger Wahrscheinlichkeit regnet es also. Am dritten Tag gilt . Somit ist die Regenwahrscheinlichkeit am dritten Tag knapp über 50 % und die Sonnenwahrscheinlichkeit knapp unter 40 %. Somit lässt sich für jedes vorgegebene Wetter am Starttag die Regen- und Sonnenwahrscheinlichkeit an einem beliebigen Tag angeben. Auch Fragestellungen wie: „Heute scheint die Sonne. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es vor drei Tagen geregnet hat?“ lassen sich mit dem Satz von Bayes beantworten.