Mechanizm polimeryzacji jest związany z szeregiem procesów elementarnych, w których biorą udział rodniki, które są centrami aktywnymi.

Etapy reakcji polimeryzacji  (przykłady schemat i film ):
I.	Inicjacja (inicjowanie, reakcje startu)
W tym etapie dochodzi do rozkładu inicjatora (reakcja 1 rzędowa) – cząsteczki  \( A \), z której tworzą się bardzo aktywne rodniki pierwotne  \( R^{\bullet} \), które są zdolne do inicjowania nowych łańcuchów polimerowych.
W zależności od czynników, w wyniku rozkładu inicjatora –  \( A \) tworzą się różne ilości rodników (w przypadku działania czynników fizycznych często tworzą się dwa – takie same, lub różne – rodniki).

Schematycznie rozkład pod wpływem inicjatora można zapisać w następujący sposób:

								\( A\xrightarrow{k_{d}}2R^{\bullet} \)

gdzie:
 \( A \) – inicjator reakcji,
 \( R^{\bullet} \) – rodnik inicjujący polimeryzację,
 \( k_d \) – stała szybkości rozkładu (dysocjacji) inicjatora,  \( [ s^{-1}] \).

Szybkość etapu można opisać:

(1)

								\( r_d=-\frac{d[A]}{dt} \)

gdzie:
 \( r_d \) – szybkość homolizy inicjatora,  \( [mol\cdot dm ^{-3} s^{-1}] \)
 \( t \) – czas polimeryzacji,  \( [s] \) .

Stężenie inicjatora po czasie t, w którym zachodzi reakcja dysocjacji ( \( [A_t] \)) wyraża się następującym wzorem:

(2)

								\( [A_t] =[A_0] exp (-k_dt) \)

lub

(3)

								\(  ln\frac{[A_0]}{[A_t]}= k_dt \)

gdzie:
 \(  {[A_0]}  \) – początkowe stężenie inicjatora przed rozpoczęciem reakcji,  \( [mol\cdot dm ^{-3}] \)
 \(  {[A_t]}  \) – stężenie inicjatora po czasie \( t \),   \( [mol\cdot dm ^{-3}] \)

Rodniki, które powstają w wyniku rozpadu inicjatora biorą udział w reakcji inicjacji (startu), poniżej zapisano schematycznie reakcje, w której dochodzi do przyłączenia rodnika  –  \( R^{\bullet} \)  do monomeru –   \( M \) (w wyniku reakcji inicjowania dochodzi do przeniesienia niesparowanego elektronu na cząsteczkę monomeru)

								\( R^{\bullet} + M \xrightarrow{k_{i}}RM^{\bullet}  \)

gdzie:
 \(  {k_i}  \) – stała szybkości reakcji inicjacji (startu) polimeryzacji,  \( [ s^{-1}] \), dla dużej ilości inicjatorów jest rzędu  \( 10^{-4} - 10^{-6}  \)  \( [ s^{-1}] \).
Szybkość tego procesu opisuje poniższe równanie:

(4)

								\( r_i=-k_i[R^{\bullet}][M]  \)

gdzie:
 \(  {R^{\bullet}}  \) – stężenie rodników inicjujących reakcję polimeryzacji,  \( [mol\cdot dm ^{-3}] \),
 \(  {M}  \) – stężenie monomeru,  \( [mol\cdot dm ^{-3}] \).

II.	Wzrost łańcucha (propagacja)
Etap, w którym zachodzi reakcja chemiczna pomiędzy aktywnym centrum i monomerem. Prowadzi ona do wzrostu łańcucha i odtworzenia przynajmniej jednego centrum aktywnego.
Następuje szybki wzrost makrorodników (w czasie mniejszym niż sekunda):

								\( RM^{\bullet} + nM \xrightarrow{k_{p}}RM_{n+1}^{\bullet}  \)

gdzie:
 \(  {k_p}  \) – stała szybkości reakcji propagacji polimeryzacji, stała szybkości rzędu  \( 10 - 10^{4} [mol\cdot dm^{3} s^{-1}] \),
 \(  {M_n^{\bullet}}  \) – stężenie makrorodników,  \( [mol\cdot dm ^{-3}] \).

Poniższe równanie opisuje szybkość reakcji propagacji:

(5)

								\( r_p=\frac{d[M_n^{\bullet}]}{dt} \)

(6)

								\( r_p=k_p[M_n^{\bullet}][M]  \)

Szybkość wzrostu łańcucha zależy od kilku czynników m.in. reaktywności monomeru (np. przeszkód sterycznych, czyli budowy chemicznej monomeru, reaktywności wiązań podwójnych), reaktywności rodników (np. rodnik wodorowy  \( H• \) ma większą reaktywność niż rodnik metylowy  \( •CH_3 \)) oraz lepkości mieszaniny reakcyjnej.

III. Zakończenie (terminacja) łańcucha
Proces, w którym dochodzi do dezaktywacji rosnącego łańcucha, może przebiegać na sposób:

rekombinacji, czyli łączenia się makrorodników (zob. Rys. 1 );
reakcji dysproporcjonowania dwóch rodników, proces ten polega na przeniesieniu atomu wodoru z jednego makrorodnika (wzrastającego) na drugi, w wyniku czego polimer przestaje być "aktywny", tworzą się dwie nieaktywne makrocząsteczki (jedna z wiązaniem podwójnym (zob. Rys. 1 );
przeniesienia aktywności łańcucha.

Szybkość etapu terminacji można opisać poniższym równaniem:

(7)

								\( r_t=\frac{d[M_n^\bullet]}{dt} =2k_t[M_n^{\bullet}][M_m^{\bullet}] \)

W przypadku zakończenia łańcuchów reakcji polimeryzacji w wyniku reakcji rekombinacji lub dysproporcjonowania, szybkości terminacji można w skrócie zapisać:

(8)

								\( r_t =2k_t[M_n^{\bullet}]^2 \)

gdzie:
 \( r_t \) – szybkość zakończenia łańcuchów,  \( [mol\cdot dm ^{-3} s^{-1}] \)
 \( t \) – czas polimeryzacji,  \( [s] \)
 \( [M_n^{\bullet}],[M_m^{\bullet}] \) – stężenie makrorodników o długości łańcuchów n i m,  \( [mol\cdot dm ^{-3}] \)

 \( k_t \) – stała szybkości zakończenia łańcucha, (wielkość rzędu  \( 10^{7} - 10^{9}) [mol\cdot dm^{-3} s^{-1}] \).


termin używany do określenia polimeryzacji, w której dokładnie określono parametr kinetyczny lub cechę strukturalną tworzącej się makrocząsteczki, która podlega kontroli ( kontrolowane polimeryzacje rodnikowe ).


Rynek finansowy to miejsce zorganizowane w sensie instytucjonalnym, w którym spotyka się popyt na
kapitał (środki pieniężne) z jego podażą. Służy do transformacji wolnych środków pieniężnych w
inne formy majątkowe (materialne, niematerialne), za pośrednictwem instrumentów finansowych.


... nazywne też arylami lub węglowodorami aromatycznymi są to związki, które zawierają co najmniej jeden pierścień aromatyczny w strukturze.


to polimery z grupy poliestrów, które otrzymuje się najczęściej w reakcji polikondensacji alifatycznych dioli (alkoholi z dwoma grupami hydroksylowymi), alifatycznych kwasów dikarboksylowych i aromatycznych kwasów /estrów dikarboksylowych [1].


Społeczeństwo informacyjne – termin ten kolejno zaproponowali i spopularyzowali Japończycy Tadao Umesamo i Kenichi Koyama – to forma organizacji społeczeństwa, która do tej pory nie została jednoznacznie zdefiniowana, co wynika z wielości możliwych do przyjęcia kryteriów (np. dominacji technologii ICT, transformacji gospodarki w kierunku sektora usług przetwarzania danych, zmian w zakresie wymogów kompetencyjnych na rzecz umiejętności cyfrowych itp.), czego efektem jest występowanie w dyskursie naukowym wielu pokrewnych dla niego określeń, między innymi społeczeństwa sieciowego, postindustrialnego,  pokapitalistycznego czy opartego na  wiedzy [2].
Jednym z często podkreślanych aspektów społeczeństwa informacyjnego jest dominująca rola informacji w najważniejszych jego obszarach:

technologicznym – kryterium to odnosi się do procesu ewolucji technologii informacyjnych oraz ich popularyzacji poprzez rozpowszechnienie urządzeń cyfrowych i spadek ich cen (np. smartfonów);
gospodarczym – przemiany procesów ekonomicznych, których podstawą staje się przetwarzanie informacji (np. wdrażanie w sektorze bankowym chmury obliczeniowej);
społecznym – odnoszącym się do zmian w życiu człowieka, głównie w wyniku powszechnego dostępu do informacji (np. rozwój telepracy);
edukacyjnym – wynikającym z konieczności nabywania wiedzy w zakresie praktycznego wykorzystania technologii ICT i kreowaniem przeświadczenia o konieczności adaptacji do nowych okoliczności, co umożliwia nabycie umiejętności, wiedzy i władzy (np. nauka programowania) [3].


Informacja, podobnie jak społeczeństwo informacyjne, jest pojęciem powszechnie używanym, ale jednocześnie wieloznacznym i rozumianym na wiele odmiennych sposobów [4].
W ujęciu ograniczającym się do obszaru społecznych aktywności ludzi, przyjąć można, że informacja jest „specyficznym dobrem niematerialnym, które w miarę postępu gospodarczego oraz rozwoju środków i form komunikowania się społecznego nabiera coraz większego znaczenia, przeobrażając oblicze wielu tradycyjnie zorganizowanych gospodarek świata” [5].


W zależności od przyjętej perspektywy luka informacyjna może być odmiennie rozumiana, przy czym zazwyczaj punktem wspólnym jest obserwowany „rozdźwięk” pomiędzy dostępnymi, a niezbędnymi w danym momencie informacjami. W specjalnościach takich jak zarządzanie strategiczne luka informacyjna stanowi różnicę pomiędzy dostępnymi a niezbędnymi do podjęcia decyzji informacjami, wpływając tym samym na podejmowanie efektywnych rozstrzygnięć, na przykład w zakresie strategii biznesowej przedsiębiorstwa [10].
W perspektywie badań nad komunikacją zjawisko to bywa przedstawianie jako efekt procesu interpretacji, który powstaje, gdy pojawia się luka pomiędzy wiedzą niezbędną dla operacji nadania sensu w procesie interpretacji komunikatu a wiedzą – bazą interpretacyjną – posiadaną przez obiorcę, co może być celowo wykorzystywane do wzbudzania ciekawości (np. w działaniach edukacyjnych), ale też wywierania wpływu (np. w komunikacji marketingowej) [11].

Tego typu oddziaływania są możliwe, ponieważ według niektórych ujęć psychologicznych luka informacyjna jest jednym z mechanizmów generujących ciekawość, którą jednostka odczuwa w momencie uświadomienia sobie braków we własnej wiedzy i możliwości ich uzupełnienia odpowiednią informacją [12].


Roztwór jest to wieloskładnikowy układ  jednofazowy. Każdy roztwór składa się z rozpuszczalnika i substancji rozpuszczonej. Składnik, którego jest więcej nazywamy rozpuszczalnikiem.


 Równanie

								\( \dfrac d{dx} f_{u^\prime}\big(x,u(x),u^\prime(x)\big)- f_u\big(x,u(x),u^\prime(x)\big)=0 \)

nazywa się równaniem Eulera-Lagrange'a. Jest to podstawowe równanie w rachunku wariacyjnym.


Procesy geologiczne polegające na wywiewaniu materiału nazywane są deflacją.


... są pochodnymi kwasów karboksylowych, w których grupa hydroksylowa została zastąpiona atomem fluorowca. Ich ogólny wzór ma postać  \( \text{R}{–}\text{C(}{=}\text{O)}{–}\text{X} \) (gdzie: X oznacza F, Cl, Br lub I).


  kamery wyprodukowane specjalnie dla potrzeb fotogrametrycznych,
EOW i dystorsja kamer nie ulegają zmianie w czasie (przy założeniu, że kamera nie doświadczy gwałtownych
wstrząsów czy uszkodzenia mechanicznego); kamery są fabrycznie kalibrowane i dostarczane wraz z protokołem
kalibracji.


  aparaty fotograficzne ogólnego przeznaczenia, EOW i dystorsja są
wyznaczone przez użytkownika na drodze kalibracji powtarzanej okresowo albo przed każdym pomiarem
fotogrametrycznym, albo wykonywanej w trybie samokalibracji.


 obiekty zbudowane z minerałów lub/i substancji mineralnych, które powstały w
wyniku naturalnych procesów geologicznych.


Mówimy, że  \( \Gamma \) jest krzywą zadaną parametrycznie, jeżeli istnieją takie funkcje ciągłe  \(  \varphi: [\alpha,\beta] \to \mathbb{R}  \) oraz  \(  \psi: [\alpha,\beta] \to \mathbb{R}  \), że

								\( \Gamma=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x =\varphi(t), y=\psi(t) \text{ dla } t \in [\alpha,\beta]\}. \)


Mówimy, że  \( \Gamma \) jest krzywą zadaną biegunowo , jeżeli istnieje nieujemna funkcja ciągła  \(  r: [\alpha,\beta] \to \mathbb{R}  \) taka, że

								\( \Gamma=\{ (r,\phi) \in \mathbb{R}^2: r = r(\phi), \phi \in [\alpha, \beta] \}. \)


  dane określające położenie układu kamery w układzie terenowym, składające się ze współrzędnych
środka rzutu \(X_o,Y_o,Z_o\) oraz trzech kątów \( \omega , \phi , \kappa \) wyrażających orientację kątową układu kamery względem terenowego (zbiór
sześciu EOZ składa się z trzech elementów liniowych i trzech kątowych).


 Mówimy, że funkcjonał  \( \hskip 0.3pc \varphi :X\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) posiada w punkcie  \( \hskip 0.3pc x_0\in X\hskip 0.3pc \)  minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie  \( \hskip 0.3pc V\hskip 0.3pc \) punktu  \( \hskip 0.3pc x_0\hskip 0.3pc \) takie, że

								\( \varphi (x_0)\leq \varphi (x),\qquad {\rm dla }\quad x\in V. \)

Jeśli

								\( \varphi (x_0) < \varphi (x),\qquad {\rm dla }\quad x\in V,\hskip 0.3pcx\neq x_0, \)

mówimy, że w punkie  \( \hskip 0.3pc x_0\hskip 0.3pc \) istnieje   minimum lokalne silne.
Zmieniając kierunek znaku otrzymamy definicje maksimum lokalnego  i silnego maksimum lokalnego.


 Niech  \( \hskip 0.3pc x\in X.\hskip 0.3pc  \) Odwzorowanie liniowe  \( \hskip 0.3pc L(x) :X\to \mathbb R\hskip 0.3pc  \) takie, że

								\( \displaystyle\lim_{\|h\| \to 0}\dfrac{\varphi (x+h)-\varphi (x)-L(x)(h)}{\|h\|}=0, \)

nazywamy różniczką funkcjonału  \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) w punkcie  \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) i oznaczamy symbolem  \( \hskip 0.3pc d\varphi (x)\hskip 0.3pc \) lub  \( \hskip 0.3pc \varphi ^\prime(x).\hskip 0.3pc \)


 Niech  \( A \) będzie macierzą kwadratową stopnia  \( n \). Jeżeli istnieje macierz  \( A^{-1} \) taka, że spełnione są warunki

 \( A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_{n}, \)
to mówimy, że macierz  \( A \) jest odwracalna, a macierz  \( A^{-1} \) nazywamy macierzą odwrotną do  \( A \) (lub odwrotnością  \( A \) ).


Macierz kwadratową  \( A \) taką, że  \(  \mathrm{det}A\neq 0 \) nazywamy macierzą nieosobliwą. W przeciwnym wypadku  \( A \) nazywamy  macierzą osobliwą.


 Niech  \( A=(a_{ij}) \) będzie macierzą stopnia  \( n \), gdzie  \( n\geq 2 \). Niech  \( A_{ij} \) będzie podmacierzą powstałą z  \( A \) poprzez skreślenie  \( i \)-tego wiersza i  \( j \)-tej kolumny. Liczbę
 \( D_{ij}=(-1)^{i+j}\mathrm{det}A_{ij} \)
nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu  \( a_{ij} \) macierzy  \( A \).


 Macierz
 \( A^{D}=\left( \begin{array}{cccc} D_{11}&D_{12}&\ldots&D_{1n}\\ D_{21}&D_{22}&\ldots&D_{2n}\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ D_{n1}&D_{n2}&\ldots&D_{nn} \end{array} \right), \)
gdzie  \( D_{ij} \) oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów  \( a_{ij} \) macierzy  \( A \), nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych macierzy  \( A \).


W polimeryzacji kondensacyjnej (stopniowej, ang. step-growth polymerization) wzrost łańcucha polimerowego (propagacja) przebiega w sposób stopniowy, w trakcie procesu polimeryzacji. Polimeryzacja kondensacyjna zachodzi na skutek reakcji grup funkcyjnych, które występują w monomerach, w wyniku tej reakcji bardzo często dodatkowo powstaje małocząsteczkowy produkt uboczny (np. woda, kwas solny, amoniak, alkohol) [1], [2].


Mówimy, że ciąg nieskończony  \(  (a_n)  \) ma granicę właściwą  \( g \), jeżeli dla dowolnej liczby  \(  \varepsilon \gt 0 \) od pewnego miejsca  zachodzi warunek  \(  |a_n-g| \lt \varepsilon  \).


Mówimy, że ciąg  \(  (a_n)  \) ma granicę niewłaściwą  \( + \infty  \), jeżeli  dla dowolnej liczby  \( E>0 \) od pewnego miejsca zachodzi nierówność   \( a_n> E \).


Mówimy, że ciąg  \(  (a_n)  \) ma granicę niewłaściwą  \( - \infty  \), jeżeli dla dowolnej liczby  \( E>0 \) od pewnego miejsca zachodzi nierównośc  \( a_n<-E \).


Ciąg, który nie posiada granicy właściwej ani niewłaściwej nazywamy ciągiem rozbieżnym.


  Porowatość określa istnienie w skale wolnych przestrzeni zwanych porami
(Rys. 1). Mianem tym także nazywana jest objętość wolnych przestrzeni [1], [2], [3]. Porowatość pierwotna
jest własnością skały istniejącą od czasu jej powstania, natomiast porowatość wtórna tworzy się
w skale przez działalność później zachodzących procesów, np. rozpuszczania, rekrystalizacji [1].


  Przepuszczalność to zdolność materiału porowatego do
przepuszczania cieczy. Wyraża się ona jako prędkość, z jaką ciecz o określonej lepkości, pod wpływem
zadanego ciśnienia, przepływa przez próbkę o określonym przekroju i grubości. Przepuszczalność w dużej
mierze zależy od wielkości i kształtu porów, od wielkości, kształtu i rozmieszczenia ziaren. Zależy nie tylko od
własności skały, ale również od własności cieczy, która przez skałę przepływa (zob.  Odpływ podziemny wód
gruntowych).


... jest teorią, która dla związków chemicznych wprowadza termin liniowo mieszanych orbitali atomowych (orbitali zhybrydyzowanych), które posiadają określone energie, kształty, itp. różne od tych dla orbital atomowych.


Prosta  \( y=ax+b \) jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji  \( y=f(x)  \), jeżeli  \( D_f \) jest zbiorem nieograniczonym od dołu oraz granica różnicy wartości funkcji  \( f(x)  \) i funkcji liniowej  \(  (ax+b)  \) w  \( - \infty  \) jest równa zero  \(  ( \lim_{x \rightarrow - \infty} \lbrack f(x)-(ax+b) \rbrack =0)  \).


Prosta  \( y=ax+b \) jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji  \( y=f(x)  \), jeżeli  \( D_f \) jest zbiorem nieograniczonym od góry oraz granica różnicy wartości funkcji  \( f(x)  \) i funkcji liniowej  \(  (ax+b)  \) w  \( + \infty  \) jest równa zero  \(  ( \lim_{x \rightarrow \infty} \lbrack f(x)-(ax+b) \rbrack =0)  \).


  Procesy przyrodnicze, które napędzane są energią zewnętrzną,
czyli pozyskiwaną ze źródeł pozaziemskich, nazywane są procesami egzogenicznymi. Głównymi źródłami tej
energii jest Słońce (zob.  Energia słoneczna) i grawitacja.


  Długotrwałe współdziałanie procesów geologicznych, prowadzące do
wyrównania powierzchni Ziemi nazywane jest peneplenizacją. Celem peneplenizacji jest osiągnięcie możliwie
płaskiej morfologii na rozległych obszarach, którą nazywa się penepleną (prawierównią, zrównaniem
końcowym). Peneplenę charakteryzuje pagórkowata rzeźba, w której występują niskie wzniesienia o łagodnie
nachylonych stokach oraz szerokie i płytkie doliny [7], [4].


Wyrażenie na stałą równowagi zostało wyprowadzone przez Guldberga i Waagego w 1864 r. jako tzw. prawo działania mas. W stanie równowagi chemicznej, w stałej temperaturze iloraz iloczynu stężeń molowych produktów do iloczynu stężeń molowych substratów, podniesionych do odpowiednich potęg, które odpowiadają współczynnikom stechiometrycznym reagujących substancji ma wartość stałą. Wartość stałej równowagi chemicznej jest wielkością charakterystyczną dla danej reakcji chemicznej oraz określonej temperatury.

								\( K=\frac{k_1}{k_{-1}}= \frac{[C]^c\cdot[D]^d}{[A]^a\cdot[B]^b} \)


 Obligacja to dokument, który potwierdza zaciągnięcie przez emitenta
pożyczki (w wysokości nominału obligacji) i zobowiązanie do jej zwrotu w ustalonym terminie, wraz z
należnymi odsetkami.


 Siatka obliczeniowa to skończenie wymiarowa rodzina  \(  T_{hp} \) elementów skończonych  \(  T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \), takich że
 \(   \cup_{K \in T_{hp}} = \Omega  \),  \(  \textrm{ meas} K_i \cap K_j = K_i \textrm{ dla } i=j; 0 \textrm{ dla } i \neq j  \)


 Dla danej siatki obliczeniowej  \(  T_{hp}= \{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right)  \}_K  \) siatka referencyjna to rodzina  \(  T_{\frac{h}{2}p+1} \) elementów skończonych  \(   T_{\frac{h}{2}p+1}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \), takich że
 \(   \forall K \in T_{\frac{h}{2}p+1} \exists  K_1,K_2,K_3,K_4 \in {\cal P}(T_{hp},K)  \), takie że
 \(  K=K_1\cup K_2 \cup K_3 \cup K_4, \textrm{meas}K_i \cap K_j=K_i \textrm{ dla } i=j; 0 \textrm{ dla } i \neq j \),
 \(  X(K_1),X(K_2),X(K_3),X(K_4) \in {\cal P}(T_{hp},X(K)), dim X(K)=\\ dim(K_1)+7=dim(K_2)+7=dim(K_3)+7=dim(K_4)+7  \), gdzie
 \(  {\cal P}(T_{hp},K)   \) i  \(  {\cal P}(T_{hp},X(K))  \) oznaczają projekcje na pierwszy i drugi komponent   \(  \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right)  \).
Wzór wymiaru przestrzeni funkcji kształtu na nowych czterech elementach wynika z dodania siedmiu nowych funkcji kształtu, stosownie poprzez zwiększenie stopnia wielomianów o 1 we wnętrzu elementu w kierunku poziomym i pionowym (co daje w sumie trzy dodatkowe wielomiany - jeden ze stopniem zwiększonym w kierunku pionowym, drugi ze stopniem zwiększonym w kierunku poziomym, i trzeci ze stopniami zwiększonymi w obydwu kierunkach oraz 4 nowe funkcje kształtu uzyskane poprzez dodanie nowych wielomianów na krawędziach elementów, ze stopniem wielomianów zwiększonych o 1).


Przestrzeń aproksymacyjna nad dwuwymiarową siatką obliczeniową  \(  T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \) to
  \(  V_{hp }= \{ v \in C(\Omega): \forall K \in {\cal P }( T_{hp},K): {\cal P }( v,K) \in X(K) \}  \),
gdzie  \(   {\cal P }( T_{hp},K)   \) to zbiór przedziałów reprezentujących geometrię elementów wyciągniętych z trójki reprezentującej dwuwymiarową siatkę obliczeniową,  \(  {\cal P }( v,K)   \) to projekcja funkcji na przedział reprezentujący geometrię elementu.


Niech  \(  T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \) oznacza dwuwymiarową siatkę obliczeniową.
Niech  \(  \{ e_i^{hp} \}_i  \) oznacza bazę przestrzeni  \(  V_{hp }= span\{ e_i^{hp} \}   \).
Niech  \(  \chi^K_k \in X \left( K\right)  \) oznacza funkcje kształtu nad elementem  \(  K  \).
Wówczas  \(  \forall K \in {\cal P }( T_{hp},K), \forall i, \exists k : {\cal P}(e_i^{hp},K) = \chi^K_k  \).
Istnieje odwzorowanie odwrotne  \(  {\cal I}^2 \ni (k,K)\rightarrow i(k,K)\in {\cal I}  \), które przypisuje numer
 \(  i(k,K)  \) globalnej i-tej funkcji bazowej związanej z lokalną   \( k \)-tą funkcją kształtu nad elementem  \(  K  \).
W przypadkach rozpatrywanych w tym podręczniku, odwzorowanie to jest izomorficzne.


Przestrzeń aproksymacyjna nad dwuwymiarową siatką obliczeniową  \(  T_{\frac{h}{2}p+1}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \)  to
  \(  V_{\frac{h}{2}p+1 }= \{ v \in C(\Omega): \forall K \in {\cal P }( T_{\frac{h}{2}p+1},K): {\cal P }( v,K) \in X(K) \}  \),
gdzie  \(   {\cal P }( T_{\frac{h}{2}p+1},K)   \) to zbiór przedziałów reprezentujących  geometrię elementów wyciągniętych z trójki reprezentującej dwuwymiarową siatkę obliczeniową,  \(  {\cal P }( v,K)   \) to projekcja funkcji na przedział reprezentujący geometrię elementu.


Niech  \(  T_{\frac{h}{2}p+1}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \) oznacza dwuwymiarową siatkę referencyjną.
Niech  \(  \{ e_i^{\frac{h}{2}p+1} \}_i  \) oznacza bazę przestrzeni  \(  V_{\frac{h}{2}p+1 }= span\{ e_i^{\frac{h}{2}p+1} \}  \).
Niech  \(  \chi^K_k \in X \left( K\right)  \) oznacza funkcje kształtu nad elementem  \(  K  \).
Wówczas  \(  \forall K \in {\cal P }( T_{\frac{h}{2}p+1},K), \forall i, \exists k : {\cal P}(e_i^{\frac{h}{2}p+1},K) = \chi^K_k  \).
Istnieje odwzorowanie odwrotne  \(  {\cal I}^2 \ni (k,K)\rightarrow i(k,K)\in {\cal I}  \), które przypisuje numer
 \(  i(k,K)  \) globalnej i-tej funkcji bazowej związanej z lokalną   \( k \)-tą funkcją kształtu nad elementem  \(  K  \).
W przypadkach rozpatrywanych w tym podręczniku, odwzorowanie to jest izomorficzne.


Przestrzeń aproksymacyjna nad dwuwymiarową referencyjną siatką obliczeniową  \(  T_{\frac{h}{2}p+1}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \), to  \(  V_{\frac{h}{2}p+1}=span \{ e_j^{\frac{h}{2}p+1} : \forall K \in {\cal P}(T_{\frac{h }{2}p+1},K), \forall \phi_j \in X(K), \exists ! e_i^{\frac{h}{2}p+1} :{\cal P }( e_i^{\frac{h}{2}p+1 },K)=\psi_k \}  \), gdzie  \(  e_i^{\frac{h}{2}p+1}   \) to globalna funkcja bazowa (element bazy przestrzeni  \(  V_{\frac{h}{2}p+1}  \) ) oraz   \(  \psi_k   \) to lokalna funkcja kształtu nad elementem   \(  K  \),
 \(  {\cal I}^2 \ni (k,K)\rightarrow i(k,K)\in {\cal I}  \) to odwzorowanie przypisujące numer  \(  i(k,K)  \) globalnej funkcji bazowej związanej z lokalną   \( k \)-tą funkcją kształtu nad elementem  \(  K  \).


Dla danej siatki obliczeniowej   \(  T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \) znaleźć współczynniki  \(  \{ u^{hp}_i \}_{i=1,...,N^{hp}}  \) rozwiązania przybliżonego   \(  V \supset V_{hp } \ni u_{hp }=\sum_{i=1,...,N^{hp } } u_i^{hp } e_i^{hp }  \), takie że  \(   \sum_{m=1,...,N^{hp } } u_m^{hp } B(e_m^{hp},e_n^{hp})=L(e_n^{hp}) n=1,...,N^{hp}  \), gdzie
 \(  B(e_m^{hp},e_n^{hp})= \int_{\Omega} \left(  \sum_{i=1,2} \sum_{j=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \frac{\partial e_m^{hp}(x_1,x_2) }{\partial x_j } \frac{\partial e_n^{hp}(x_1,x_2) }{\partial x_j }\right. \\ \left. +  \sum_{j=1,2} b_j(x_1,x_2) \frac{\partial e_m^{hp}(x_1,x_2) }{\partial x_j } e_n^{hp}(x_1,x_2) +c (x_1,x_2 )e_n^{hp}(x_1,x_2) \right) dx_1 dx_2 +  \)
 \(  +\int_{\Gamma_R} \beta(x_1,x_2) e_m^{hp}(x_1,x_2) e_n^{hp}(x_1,x_2) ds  \)
 \(  L(e_n^{hp})= \int_{\Omega} f(x_1,x_2)e_n^{hp}(x_1,x_2) dx_1 dx_2 + \int_{\Gamma_R} g(x_1,x_2)  e_n^{hp}(x_1,x_2) ds  \).
Baza  \(  \{ e^{hp}_i \}_{i=1,...,N^{hp}}  \) przestrzeni aproksymacyjnej  \( V_{hp}  \) uzyskana jest poprzez sumowanie funkcji kształtu z przestrzeni  \(   X\left(K\right)  = {\cal P}(T_{hp},X(K))  \) dla poszczególnych elemetów z siatki  \(  T_{hp}  \) w globalne funkcje bazowe.


Dla danej siatki obliczeniowej   \(  T_{\frac{h}{2}p+1}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \) znaleźć współczynniki  \(  \{ u^{\frac{h}{2}p+1}_i \}_{i=1,...,n^{\frac{h}{2}p+1}}  \) rozwiązania przybliżonego   \(  V \supset V_{\frac{h}{2}p+1 } \ni u_{\frac{h}{2}p+1 }=\sum_{i=1,...,N^{\frac{h}{2}p+1 } } u_i^{\frac{h}{2}p+1 } e_i^{\frac{h}{2}p+1 }  \), takie że  \(   \sum_{m=1,...,N^{\frac{h}{2}p+1 } } u_m^{\frac{h}{2}p+1 }  B(e_m^{\frac{h}{2}p+1},e_n^{\frac{h}{2}p+1})=L(e_n^{\frac{h}{2}p+1}) n=1,...,N^{hp} \)
 \(  B(e_m^{\frac{h}{2}p+1},e_n^{\frac{h}{2}p+1})= \int_{\Omega} \left(  \sum_{i=1,2} \sum_{j=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \frac{\partial e_m^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) }{\partial x_j } \frac{\partial e_n^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) }{\partial x_j }\right. \\ \left. +  \sum_{j=1,2} b_j(x_1,x_2) \frac{\partial e_m^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) }{\partial x_j } e_n^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) +c (x_1,x_2 )e_n^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) \right) dx_1 dx_2 +  \)
 \(  +\int_{\Gamma_R} \beta(x_1,x_2) e_m^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) e_n^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) ds  \)
 \(  L(e_n^{\frac{h}{2}p+1})= \int_{\Omega} f(x_1,x_2)e_n^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) dx_1 dx_2 + \int_{\Gamma_R} g(x_1,x_2)  e_n^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) ds  \).
Baza  \(  \{ e^{\frac{h}{2}p+1}_i \}_{i=1,...,N^{\frac{h}{2}p+1}}  \) przestrzeni aproksymacyjnej  \( V_{hp}  \) uzyskana jest poprzez sumowanie funkcji kształtu z przestrzeni  \(   X\left(K\right)  = {\cal P}(T_{\frac{h}{2}p+1},X(K))  \) dla poszczególnych elemetów z siatki  \(  T_{\frac{h}{2}p+1}  \) w globalne funkcje bazowe.


Mówimy, że  \( f:X\to Y \) jest suriekcją, (czyli funkcją „na”) wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości jest równy zbiorowi końcowemu  \( Y \).

Zapisujemy wówczas  \( f:X\xrightarrow{na} Y \)  co odczytujemy: funkcja  \( f \) prowadzi ze zbioru  \( X  \)na zbiór  \( Y \).


Mówimy, że  \( f:X\to Y \) jest iniekcją (funkcją różnowartościową) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych elementów  \( x_1,x_2\in X \) stąd, że  \( x_1\neq x_2 \) wynika, że  \( f(x_1)\neq f(x_2) \)
Interpretacja geometryczna różnowartościowości.


Mówimy, że funkcja  \( f \) jest różnowartościowa w zbiorze  \( A \) zawartym w dziedzinie wtedy i tylko wtedy, gdy jej restrykcja do zbioru  \( A \) jest funkcja różnowartościową.


Funkcję  \( f:X\to Y \)nazywamy bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją różnowartościową oraz „na”, czyli jest zarówno  iniekcją jak i suriekcją jednocześnie.


 to sekwencja skalna reprezentująca część litosfery oceanicznej, podniesiona i
umieszczona na kontynencie ( Rys. 1  ), [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8].
Ofiolit – dosłownie z greckiego „kamień wężowy”.


Jednowymiarowym referencyjnym elementem skończonym nazywamy trójkę
 \(  \left( \hat{K}, X\left(\hat{K}\right), \Pi_p \right)  \)
zdefiniowaną za pomocą następujących czterech kroków

Geometria:  \(  \hat{K}=[0,1] \subset {\cal R}  \)
Wybór węzłów:  \(  \hat{a}_1, \hat{a}_2  \) węzły związane z wierzchołkami 0 i 1 elementu, oraz  \(  \hat{a}_3  \) węzeł związany z wnętrzem (0,1) elementu
Definicja funkcji kształtu elementu  \(  X \left( \hat{K}\right)=span \{ \hat{\chi}_j \in {\cal P}^p\left(\hat{K}\right),j=1,...,p+1 \}  \) gdzie  \(  {\cal P}^p\left(\hat{K}\right)  \) to wielomiany stopnia  \( p  \) określone na przedziale  \( \hat{K} =(0,1)  \) oraz  \(  \hat{\chi}_1(\xi)=1-\xi  \),  \(  \hat{\chi}_2(\xi)=\xi  \),  \(  \hat{\chi}_3(\xi)=(1-\xi)\xi  \),  \(  \hat{\chi}_l(\xi)=(1-\xi)\xi(2\xi-1)^{l-3} \quad l=4,...,p+1  \).
Definicja operatora interpolacji przez operator projekcji  \(  \Pi_p:H^1\left( \hat{K} \right) \rightarrow X\left( \hat{K}\right)  \). Dla danej funkcji  \(  u \in H^1\left(\hat{K} \right)  \), jej interpolant bazujący na projekcji to  \(  \Pi_pu\in X\left( \hat{K}\right)  \) jest zdefiniowany poprzez następujące warunki:
 \(  \Pi_p u(\hat{a}_1)=u(\hat{a}_1)  \)
 \(  \Pi_p u(\hat{a}_2)=u(\hat{a}_2)  \)
 \(  \|  \Pi_p u -u \|_{H^1_0(0,1)}\rightarrow min  \)
gdzie  \(  \|  \Pi_p u  -u \|_{H^1_0(0,1)} = \int_0^1 \left( \left( \Pi_p u \right)' -u' \right)^2 d\xi   \)  to norma w przestrzeni Sobolewa  \(  H^1_0(0,1)  \).


Jednowymiarowym referencyjnym elementem skończonym nazywamy trójkę
 \(  \left( \hat{K}, V^*\left(\hat{K}\right), X\left(\hat{K}\right) \right)  \)
zdefiniowaną za pomocą następujących czterech kroków

Geometria:  \(  \hat{K}=\left(0,1\right) \in {\cal R}  \)
Wybór węzłów:  \(  \hat{a}_1, \hat{a}_2  \) węzły związane z wierzchołkami 0 i 1 elementu, oraz  \(  \hat{a}_3  \) węzeł związany z wnętrzem (0,1) elementu
Definicja przestrzeni stopni swobody   \(  V^* \left( \hat{K}\right) = span \{ \psi_i \}_{i=1,...,p+1}  \) jako przestrzeni dualnej do   \(  V\left( \hat{K} \right)   \).Kojarzymy stopnie swobody z węzłami elementu oraz z wnętrzem elementu  \( \psi_1 : V\left(\hat{K}\right) \ni f \rightarrow f(\hat{a}_1)\in R  \),   \( \psi_2 : V\left(\hat{K}\right) \ni f \rightarrow f(\hat{a}_2)\in R  \),  \( \psi_3 : V\left(\hat{K}\right) \ni f \rightarrow 3 \int_{\hat{a}_3} f'(\xi) (1-2\xi)d\xi \in R  \). Możliwe jest rozszerzenie tej definicji na dalsze stopnie swobody (tutaj podajemy definicję dla  \(  p=2   \).
Konstrukcja przestrzeni aproksymacyjnej  \(  X\left(\hat{K}\right)  \subset V\left(\hat{K}\right)   \). Przestrzeń aproksymacyjna jest rozpięta przez bazę wielomianów będącą bazą dualną do bazy stopni swobody
 \(  \psi_i\left(\chi_j\right) = \delta_{ij}  \)


Jednowymiarowym elementem skończonym nazywamy trójkę
 \(  \left( K, X\left(K \right), \Pi_p \right)  \)
zdefiniowaną za pomocą następujących czterech kroków

Geometria:  \(  K=[ x_l,x_r] \subset {\cal R}, x_l,x_r \in {\cal R}  \)
Wybór węzłów:  \( a_1, a_2  \) węzły związane z wierzchołkami  \(   x_l,x_r   \) elementu, oraz  \(  a_3  \) węzeł związany z wnętrzem   \(  K=[ x_l,x_r] {\cal R}  \) elementu
Definicja funkcji kształtu elementu  \(  X \left( K\right)=\{ \chi = \hat{\chi} \cdot x_K^{-1}, \hat{\chi} \in X\left(\hat{K}\right) \}  \) gdzie  \(  x_K:\hat{K} \rightarrow K   \) to odwzorowanie z elementu wzrocowego   \( K=[0,1]  \) na element  \( K=[x_l,x_r]  \) dane  \( \hat{K} \ni \xi \rightarrow x_K\left(\xi\right)=x_l+(x_r-x_l)=x\in K  \)
Definicja operatora interpolacji bazującego na operatorze projekcji  \(  \Pi_p:H^1\left( \hat{K} \right) \rightarrow X\left( \hat{K}\right)  \) zdefiniowanego analogicznie do Definicji 1.


 ciało stałe, o uporządkowanej strukturze, w którym cząsteczki, atomy oraz jony
występują w ściśle określonym i powtarzalnym położeniu tworząc sieć krystaliczną( Rys. 2  ), [2].


  Wodami mineralnymi nazywamy wody zawierające w
litrze ponad 1000 mg rozpuszczonych związków mineralnych [1], [2]. Zawierają jony rozpuszczonych
składników stałych, jak również gazy, takie jak dwutlenek węgla, metan, siarkowodór czy radon.


  Wody termalne to wody podziemnie, których temperatura wynosi co
najmniej 20\(^{\circ }\)C na wypływie ze źródła lub z odwiertu [6].


  Współczynnik określający przyrost temperatury na jednostkę
przyrostu głębokości nazywany jest gradientem geotermicznym.


  Energia słoneczna to energia promieniowania słonecznego zdolna
do wytwarzania ciepła i wywoływania reakcji chemicznych lub generowania elektryczności [1], [2]. Używa się
też pojęcia energia słoneczna dla opisania energii wytwarzanej przez Słońce w wyniku reakcji termojądrowych
[3].
Natężenie promieniowania słonecznego to moc na jednostkę powierzchni (powierzchniowa gęstość mocy)
odbierana ze Słońca w postaci promieniowania elektromagnetycznego w zakresie długości fal instrumentu
pomiarowego. Natężenie promieniowania słonecznego jest mierzone w watach na metr kwadratowy (\(W/m^2\)) w
jednostkach SI.


  Stała słoneczna jest to ilość energii słonecznej docierającej w jednostce
czasu do jednostki powierzchni prostopadłej do kierunku rozchodzenia się promieniowania na górnej granicy
atmosfery [4]. Jej wartość wynosi ok. 1370 \(W/m^2\). Wbrew nazwie wartość stałej słonecznej ulega wahaniom, które są
skutkiem zmian odległości Ziemi od Słońca w ruchu po orbicie oraz zmian aktywności Słońca.


Negocjacje to „zwrotny proces komunikowania się w celu osiągnięcia porozumienia w sytuacji, gdy ty i druga strona związani jesteście pewnymi interesami, z których jedne są wspólne, a inne przeciwstawne” [3].


są osadami powstającymi w wyniku wytrącania składników okruchowych z zawiesiny. Zawiesina powstaje przez zmieszanie składników okruchowych z wodą morską w wyniku zaburzeń, powodowanych między innymi przez trzęsienia ziemi. Przemieszcza się z brzegu basenu w kierunku jego głębszych części pod wpływem grawitacji. To przemieszczanie nazywa się prądem zawiesinowym. Stosowany jest również termin spływ kohezyjny, gdy składniki okruchowe utrzymują się w wodzie w wyniku kohezji, czyli oddziaływania sił międzycząsteczkowych.


Funkcję postaci  \(  f(x)=\frac{ A }{ (x-a)^k }  \) , gdzie   \( a,A \in \mathbb{ R }  \) i  \(  k \in \mathbb{ N }\backslash \{ 0\} \) nazywamy  ułamkiem prostym pierwszego rodzaju  .
Funkcję  \(  f(x)=\frac{ Bx+C }{ (x^2+bx+c)^l }  \), gdzie  \( b,c,B,C \in \mathbb{ R }  \),  \(  l \in \mathbb{ N }\backslash \{ 0\} \) oraz wielomian  \(  x^2+bx+c \) jest wielomianem nieposiadającym pierwiastków, tzn.  \(   \Delta =b^2-4c<0 \) nazywamy  ułamkiem prostym drugiego rodzaju  .


Funkcję nazywamy wypukłą (wypukłą ku dołowi)  w przedziale  \( I \), gdy odcinek łączący dowolne dwa punkty wykresu funkcji  \( f \) zawężonej do przedziału  \( I \) leży powyżej lub na wykresie tej funkcji.


Funkcję nazywamy ściśle wypukłą (ściśle wypukłą ku dołowi)  w przedziale  \( I \), gdy odcinek łączący dowolne dwa punkty wykresu funkcji  \( f \) zawężonej do przedziału  \( I \) leży powyżej wykresu tej funkcji.


Funkcję nazywamy wklęsłą (wypukłą ku górze)  w przedziale  \( I \), gdy odcinek łączący dowolne dwa punkty wykresu funkcji  \( f \) zawężonej do przedziału  \( I \) leży poniżej lub na wykresie tej funkcji.


Funkcję nazywamy ściśle wklęsłą (ściśle wypukłą ku górze)  w przedziale  \( I \), gdy odcinek łączący dowolne dwa punkty wykresu funkcji  \( f \) zawężonej do przedziału  \( I \) leży poniżej wykresu tej funkcji.


Niech  \( f \) będzie funkcją ciągłą w  \( O(x_0) \). Funkcja  \( f \) ma punkt przegięcia  w  \( x_0 \), gdy spełniony jest jeden z warunków:

1. funkcja  \( f \) jest ściśle wypukła w  \( S(x_0^-) \) i  ściśle wklęsła w  \( S(x_0^+) \)

albo

2. funkcja  \( f \) jest ściśle wklęsła w  \( S(x_0^-) \) i ściśle wypukła w  \( S(x_0^+) \).


oznaczana jako \(  \rho \) lub d (ang. density) jest jedną z podstawowych właściwości fizycznych substancji. Definiuje się ją jako stosunek masy próbki (m) do jej objętości (v) w danej temperaturze:

(1)

								\( \rho = \frac {m}{v} [\frac {g} {cm^3}] \)

gdzie: m – masa próbki (g); v – objętość próbki ( \( cm^3 \)).


Termin nowe media jawi się jako abstrakcyjny i trudny do jednoznacznego zdefiniowania między innymi z powodu wpisanego w to pojęcie ładunku ideologicznego („nowe” zdaje się jako coś lepszego od tradycyjnych mediów) oraz możliwych do przyjęcia punktów odniesienia, gdyż można je opisywać w oparciu o odmienne cechy wyróżniające, między innymi technologie, sposób odbioru, zależności pomiędzy nadawcami a odbiorcami treści i tym podobne [4]. Jedną z najprostszych konceptualizacji nowych mediów przedstawił Lev Manovich, którego zdaniem nowe media to media analogowe skonwertowane do postaci cyfrowej [5]. Cechują się one przede wszystkim swobodnym dostępem do danych, potencjałem do bezstratnego powielania, przez co ich kolejne kopie zachowują pierwotną jakość oryginału, a także interaktywnością, dzięki której ich odbiorcy mogą wchodzić we wzajemne interakcje [5].


Koszty stałe to koszty, które są niezależne od wielkości produkcji.


  Koszty zmienne to koszty, które zmieniają się wraz ze zmianą wielkości
produkcji.


  Wartościowy próg rentowności to taka wartość
przychodów ze sprzedaży, która pokrywa koszty całkowite.


 Opcja to umowa zawarta między nabywcą opcji a jej wystawcą, dotycząca
możliwości dokonania zakupu lub sprzedaży instrumentu bazowego po określonej z góry cenie, w określonym
czasie w przyszłości.
Nabywca opcji (ang. holder) kupuje prawo do kupna (w opcji kupna – ang. call option) lub sprzedaży (w
opcji sprzedaży – ang. put option) pewnej ilości instrumentu bazowego na powyższych warunkach.


 czyli powiązany ze sobą kompleks obejmujący wszelkie miejsca, w
których znajduje się stop glinokrzemianowy, we wnętrzu i na powierzchni Ziemi. Obejmuje on strefę ogniska
magmowego, komory magmowe oraz inne zbiorniki, w których następuje gromadzenie magm, odchodzące
od nich korytarze, w które jest wtłaczany stop lub którymi odbywa się jego migracja oraz struktury
lawowe, które formują się na powierzchni Ziemi.


  to ciała skalne powstałe z magmy zastygłej w skorupie ziemskiej lub
proces iniekcji magm w struktury skorupy ziemskiej [1], [2], [3], [4], [5], [6].
W zależności od kształtu intruzji i ich stosunku do skał otaczających wyróżniamy ( Rys. 1  ), [7], [1], [4], [6]:

intruzje zgodne to takie, których ściany są zgodne z powierzchniami strukturalnymi skał
otaczających: uławiceniem, warstwowaniem, płaszczyznami tektonicznymi i płaszczyznami
niezgodności,

intruzje niezgodne, gdy ich ściany przecinają powierzchnie strukturalne.


Mówimy, że funkcja  \( f \) ma pochodną w przedziale otwartym  \( (a,b) \) , gdzie  \( -\infty\leq a\lt b\leq\infty \), gdy funkcja  \( f \) ma pochodną w każdym punkcie tego przedziału.
Mówimy, że funkcja  \( f \) ma pochodną w przedziale domkniętym  \( [a,b] \) , gdzie  \( -\infty\lt a\lt b\lt\infty \), gdy funkcja  \( f \) ma pochodną w przedziale otwartym  \( (a,b) \) i pochodną prawostronną w  \( a \) i pochodną lewostronną w  \( b \).

Mówimy, że funkcja  \( f \) ma pochodną w przedziale  \( (a,b] \) , gdzie  \( -\infty\leq a\lt b\lt\infty \), gdy funkcja  \( f \) ma pochodną w przedziale otwartym  \( (a,b) \) i pochodną lewostronną w  \( b \).

Mówimy, że funkcja  \( f \) ma pochodną w przedziale  \( [a,b) \) , gdzie  \( -\infty\lt a\lt b\leq\infty \), gdy funkcja  \( f \) ma pochodną w przedziale otwartym  \( (a,b) \) i pochodną prawostronną w  \( a \).


Funkcję określoną w przedziale  \( I \), której wartości są równe  \( f^{\prime}(x) \) dla każdego  \( x\in I \), nazywamy funkcją pochodną funkcji  \( f \) w przedziale  \( I \)  lub pochodną funkcji  \( f \) w przedziale  \( I \)  i oznaczamy ją przez  \( f^{\prime} \) lub  \( \frac{df}{dx} \).


Funkcję mającą pochodną (właściwą) w każdym punkcie przedziału nazywamy funkcją różniczkowalną w tym przedziale.


Niech  \( \vec v:[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}^2 \) o przepisie  \( \vec v(t)=(x(t),y(t)) \) będzie funkcją wektorową.

Pochodną funkcji wektorowej  \( \vec v \)  określamy wzorem

								\( \vec v\,^{\prime}(t)=(x^{\prime}(t),y^{\prime}(t)). \)


Niech funkcja  \( f(x)  \) będzie określona w lewostronnym sąsiedztwie punktu  \( x_0 \not\in D_f  \). Prostą  \(  x=x_0 \) nazywamy asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji  \( y=f(x)  \), jeżeli  granica lewostronna funkcji  \( f(x)  \) w punkcie  \( x_0 \) jest niewłaściwa  \(  (\lim_{x \rightarrow x_0^- } f(x)=± \infty )  \).


Niech funkcja  \(  f(x)  \) będzie określona w prawostronnym sąsiedztwie punktu  \( x_0 \not\in D_f \). Prostą  \( x=x_0 \) nazywamy asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji  \( y=f(x) \), jeżeli  granica prawostronna funkcji  \( f(x) \) w punkcie  \( x_0 \) jest niewłaściwa  \(  ( \lim_{x \rightarrow x_0^+ } f(x)=± \infty)  \).


 to okresowy ruch atomów cząsteczki względem siebie w czasie, którego środek ciężkości cząsteczki pozostaje niezmieniony i który jest opisywany za pomocą oscylatora harmonicznego ( 1 ):

					(1)

								\( {F}{=}{–}{k}{·}{Q} \)

gdzie:  \( {k} \) – oznacza stałą siłową, a  \( {Q}{ =} {A}{·}{ cos}{(}{2}{\pi}{⋅}{\nu}{·}{t}{)} \) i  \( {\nu}{=}\cfrac{1}{2\pi}{√}\cfrac{k}{{\mu}{_z}{_r}{_e}{_d}} \),
A – jest maksymalną amplitudą współrzędnej drgań  \( {Q}  \),
 \( {μ}{_z}{_r}{_e}{_d} \) – masą zredukowaną i  \( {\nu} \) – częstością drgania.

Cząsteczka nieliniowa zawierająca N atomów ma 3N – 6 drgań normalnych, a cząsteczka liniowa ma 3N – 5 drgań normalnych.


Wielkość wektorową

(1)

								\( {\mathbf{\mu} =\mathit{\mathbf{I} \cdot \mathbf{S}}} \)

nazywamy magnetycznym momentem dipolowym. Wektor  \( \mathbf{\mu}  \) jest prostopadły do płaszczyzny ramki z prądem.


Pojęcie szybkości reakcji chemicznej (r) wiąże się z przebiegiem reakcji chemicznej i jest miarą zmian jakie zachodzą w czasie układu reagującego.
Ze stechiometrii reakcji chemicznej:

								\( aA + bB \rightarrow cC + dD \)

(gdzie: A, B i C, D to odpowiednio substraty  i produkty,  natomiast a, b, c, d to współczynniki stechiometryczne reagentów)
Szybkość reakcji chemicznej r, można zdefiniować jako zmiany stężenia substratów  \( [A], [B]  \)  lub produktów  \( [C], [D] \) w czasie (t):

(1)

								\( r=-\frac{1}{a} \cdot \frac{d[A]}{dt}=- \frac{1}{b} \cdot \frac{d[B]}{dt}= \frac{1}{c} \cdot \frac{d[C]}{dt}= \frac{1}{d} \cdot \frac{d[D]}{dt} \)

Ogólne wyrażenie na szybkość reakcji chemicznej r, można zdefiniować jako:

(2)

								\( r= \pm\frac{1}{v_x} \cdot \frac{d[X]}{dt} \)

gdzie:
r- szybkość reakcji chemicznej  \( [mol\cdot dm ^{-3} s^{-1}] \)
znak  \(  „- ”  \) dla substratów znak  \(  „+ ”  \) dla produktów
 \( [X] \)- stężenie reagenta X  \( [mol\cdot dm^{-3}] \)
 \( ν_X  \) - stechiometryczny współczynnik reagenta X
t - czas  \( [s] \)


Chwilową szybkość reakcji chemicznej można przedstawić jako nachylenie stycznej do krzywej, która przedstawia zmianę stężenia produktu ( Rys. 1A ) lub substratu ( Rys. 1B ). Szybkość reakcji chemicznej r, w danej chwili jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do krzywej stężenie molowe = f(czas) w określonym punkcie np  \( ([P],t), ([S],t) \).

Rysunek 1:  Zmiany stężenia produktu (A) i substratu (B) w funkcji czasu.


... są związkami karbonylowymi, w cząsteczkach których węgiel karbonylowy jest związany z dwoma atomami wodoru  \( (\ce{HC(=O)H}) \) lub atomem wodoru i atomem węgla podstawnika węglowodorowego  \( \ce{R-(RC(=O)H)} \) (zob. Pochodne węglowodorów-Rys. 2 ).


... dwa podstawniki węglowodorowe są przyłączone do atomu węgla grupy karbonylowej  \( (\ce{RC(}{=}\ce{O)R}) \) (zob. Pochodne węglowodorów-Rys. 2 ).


Masę substancji rozpuszczanej (wyrażoną w gramach), którą w danej temperaturze i pod danym ciśnieniem można rozpuścić w 100g rozpuszczalnika, tworząc roztwór nasycony nazywamy rozpuszczalnością. Miarą rozpuszczalności substancji jest stężenie jej roztworu nasyconego.


  Cykl skalny, zwany także cyklem geologicznym, opisuje procesy prowadzące
do powstania skał, ich przeobrażeń i zniszczenia. Cykl skalny jest serią procesów naturalnych, w których
następuje obieg materii pomiędzy skałami, w wyniku przekształceń skał jednego typu w inne typy [1], [2], [3].


  ustalenie EOZ wielu zdjęć w jednym procesie obliczeniowym, w którym korygowane są inicjalne EOZ w taki
sposób, aby zapewnić optymalne dopasowanie wiązek promieni wychodzących ze środków rzutu kamer, a
przecinających się na punktach wiążących i fotopunktach (Rys. 1).


  punkty homologiczne potrzebne do rekonstrukcji promieni tworzących
wiązki poszczególnych zdjęć, które podlegają dopasowaniu w procesie estymacji EOZ (potocznie: punkty
służące do "powiązania" zdjęć).


Stan ciekły to stan skupienia materii pośredni między ciałem stałym a gazem, w którym ciało fizyczne trudno zmienia objętość, ale łatwo zmienia kształt. Wskutek tego ciecz przyjmuje kształt naczynia, w którym się znajduje, ale w przeciwieństwie do gazu nie rozszerza się, aby wypełnić je całe.


... to nienasycone węglowodory; posiadają co najmniej jedno  pomiędzy atomami węgla w cząsteczce.


  jest to oderwanie się fragmentów skalnych i przemieszczenie się
ich pionowo lub pod bardzo dużym kątem [1], [2]. Przemieszczenie to odbywa się gwałtownie,
według [3] obrywy odróżnia się od osuwisk na podstawie prędkości ruchu. W przypadku obrywów
prędkość ta dochodzi do 150 m/s. Obrywem nazywa się też nagromadzony materiał skalny [4].


Mówimy, że ciąg  \(  (a_n)_{n \in M}  \) jest rosnący, jeżeli dla wszystkich  \(  n \in M  \) spełniona jest nierówność   \( a_{n+1} > a_n  \).


Mówimy, że ciąg  \(  (a_n)_{n \in M}  \) jest malejący, jeżeli  dla wszystkich  \(  n \in M  \) spełniona jest nierówność   \( a_{n+1} < a_n  \).


Mówimy, że ciąg  \(  (a_n)_{n \in M}  \)  jest stały, jeżeli  dla wszystkich  \(  n \in M  \) spełniona jest równość  \(  a_{n+1} = a_n  \).


Mówimy, że ciąg  \(  (a_n)_{n \in M}  \)  jest niemalejący, jeżeli  dla wszystkich  \(  n \in M  \) spełniona jest nierówność  \(  a_{n+1}\geq  a_n  \).


Mówimy, że ciąg  \(  (a_n)_{n \in M }  \)  jest nierosnący, jeżeli dla wszystkich  \(  n \in M  \) spełniona jest nierówność   \( a_{n+1} \leq a_n  \).


Jeżeli  dziedziną ciągu  \(  (a_n)  \) jest  \(  \mathbb{N}  \) i istnieje  \(  n_0 \in \mathbb{N}  \) takie, że dla każdego  \( n \geq n_0  \) spełniona jest nierówność   \( a_{n+1} > a_n  \) , to mówimy, że ciąg jest rosnący od pewnego miejsca.


Jeżeli dziedziną ciągu  \(  (a_n)  \) jest  \(  \mathbb{N}  \) i istnieje   \(  n_0 \in \mathbb{N}  \) takie, że dla każdego   \( n \geq n_0  \) spełniona jest nierówność   \( a_{n+1} < a_n \) , to mówimy, że ciąg jest malejący od pewnego miejsca.


Jeżeli dziedziną ciągu  \(  (a_n)  \) jest  \(  \mathbb{N}  \) i istnieje  \(  n_0 \in \mathbb{N}  \) takie, że dla każdego  \( n \geq n_0  \) spełniona jest równość  \(  a_{n+1} = a_n \) , to mówimy, że ciąg jest stały od pewnego miejsca.


Żywice poliestrowe ( poliestry ) to wielkocząsteczkowe estry kwasów dikarboksylowych i alkoholi polihydroksylowych, które najczęściej otrzymuje się w wyniku reakcji polikondensacji ( przykład ).


oligomery, które w łańcuchu głównym makrocząsteczki zwierają grupy estrowe (-OCOR) i wiązanie podwójne (-CH=CH-).


Proces nazywamy odwracalnym, gdy za pomocą bardzo małej (różniczkowej) zmiany otoczenia można wywołać proces odwrotny do niego, tzn. przebiegający po tej samej drodze w przeciwnym kierunku.


Liczbę zespoloną  \( \lambda \) nazywamy wartością własną macierzy kwadratowej  \( A \), jeżeli istnieje niezerowy wektor  \( v \) taki, że

(1)

								\( Av=\lambda v. \)

Każdy niezerowy wektor   \( v \)  spełniający równanie ( 1 )  nazywamy wektorem własnym macierzy  \( A \) odpowiadającym wartości własnej  \( \lambda \).


Jeżeli macierz  \( A \) jest macierzą kwadratową wymiaru  \( n\times n \), to funkcja

 \( \varphi_{A} \left(  \lambda\right)  =\det\left(  A-\lambda I\right) \)
jest wielomianem stopnia  \( n \); jest to tzw. wielomian charakterystyczny macierzy  \( A \).


  Cykl azotowy to cykl biogeochemiczny opisujący cyrkulację azotu na Ziemi
[1], [2]. Azot wielokrotnie przemieszcza się w cyklu zamkniętym między atmosferą, skorupą ziemską, hydrosferą
i biosferą.


W układzie SI jednostką ładunku jest kulomb (C). Jest to ładunek przenoszony przez prąd o natężeniu 1 ampera w czasie sekundy 1 C = 1 A·s.


 Weksel jest to dokument sporządzony w formie przewidzianej przez prawo, który
zawiera bezwzględne zobowiązanie do zapłaty określonej osobie (remitentowi) wymienionej na nim sumy
pieniężnej, w ustalonym miejscu i czasie.


Polimery fluorowe (fluoroplasty) to polimery łańcuchowe, które otrzymuje się w reakcji polimeryzacji fluoroalkenów. Ich szkielet podstawowy zbudowany jest z węgla i fluoru.


Elektroluminescencja jest zdolnością niektórych substancji do emitowania światła pod wpływem przepływu prądu, wyładowania elektrycznego, pola elektrycznego, fali elektromagnetycznej.


  Zbiorniki bagienne to obszary permanentnie lub okresowo podmokłe,
o wysoko położonym zwierciadle wód gruntowych. Takie warunki występują zazwyczaj:

w płytkich obniżeniach terenu,

w będących w stadium zaniku zbiornikach limnicznych,

towarzyszą strefom okołozbiornikowym mórz, jezior lub źródlisk rzecznych.


Zbiór rozwiązań   \( \hskip 0.3pc \{y_1(t),\dots,\hskip 0.3pc y_n(t)\},\hskip 0.3pc  \) równania ( 2 ) będziemy nazywali fundamentalnym zbiorem rozwiązań , jeżeli dla każdego  \( \hskip 0.3pc t\in I\hskip 0.3pc \)  wrońskian   \( \hskip 0.3pc W(y_1(t),\ldots ,y_n(t))\hskip 0.3pc \) jest różny od zera.


Kopolimer – rodzaj polimeru, w którego łańcuchach występują dwa lub więcej rodzajów merów. Głównym powodem otrzymywania kopolimerów są ich szczególne własności fizyczne. Kopolimery zawierające trzy różne mery nazywamy terpolimerami.


... to najbardziej liczna klasa związków organicznych; składają się z łańcucha węglowodorowego, o różnej długości, nasyconego atomami wodoru i tlenu (w formie grup hydroksylowych i karbonylowych, a czasami mostków hemiacetalowych) o stosunku atomów H:O wynoszącym 2:1. Ich ogólny wzór ma postać  \( \ce{C}{_m}\ce{(H}{_2}\ce{O)}{_n} \) (wyjątkiem jest dezoksyryboza  \( \ce{C}{_5}\ce{H}{_{10}}\ce{O}{_4} \)).


  Minerały, które tworzone są w wyniku procesów biologicznych
nazywane są biominerałami, a proces ich wytwarzania biomineralizacją.


Niech  \( x_0\in \mathbb{R} \).

Otoczeniem punktu  \( x_0 \) o promieniu  \( \varepsilon>0 \)  nazywamy przedział  \( (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) \) i oznaczamy przez  \( O(x_0,\varepsilon) \).

Otoczeniem lewostronnym punktu  \( x_0 \) o promieniu  \( \varepsilon>0 \)  nazywamy przedział  \( (x_0-\varepsilon,x_0] \) i oznaczamy przez  \( O(x_0^-,\varepsilon) \).

Otoczeniem prawostronnym punktu  \( x_0 \) o promieniu  \( \varepsilon>0 \)  nazywamy przedział  \( [ x_0, x_0+\varepsilon) \) i oznaczamy przez  \( O(x_0^+,\varepsilon) \).

Gdy promień otoczenia nie jest istotny (czyli może być dowolną liczbą dodatnią), powyższe otoczenia oznaczamy odpowiednio przez  \( O(x_0) \),  \( O(x_0^-) \),  \( O(x_0^+) \).


Niech  \( x_0\in \mathbb{R} \) oraz funkcja  \( f \) będzie określona w otoczeniu  \( O(x_0) \).

Pochodną (właściwą) funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \)  nazywamy granicę właściwą

								\( \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. \)

					 Pochodną funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \) oznaczamy przez  \( f^{\prime} (x_0) \) lub też przez:  \( \frac{df}{dx}(x_0) \),   \( \dot{f}(x_0) \),  \( Df(x_0) \).


Niech  \( x_0\in \mathbb{R} \) oraz funkcja  \( f \) będzie określona w otoczeniu  \( O(x_0^{-}) \).

Pochodną lewostronną (właściwą) funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \) , którą oznaczamy przez  \( f^{\prime}_{-} (x_0) \), nazywamy granicę właściwą

								\( f^{\prime}_{-} (x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. \)


Niech  \( x_0\in \mathbb{R} \) oraz funkcja  \( f \) będzie określona w otoczeniu  \( O(x_0^{+}) \).

Pochodną prawostronną (właściwą) funkcji  \( f \) w punkcie  \( x_0 \) , którą oznaczamy przez  \( f^{\prime}_{+} (x_0) \), nazywamy granicę właściwą

								\( f^{\prime}_{+} (x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. \)


Niech  \( x_0\in \mathbb{R} \) oraz funkcja  \( f \) będzie określona i ciągła w otoczeniu  \( O(x_0) \).

Mówimy, że funkcja  \( f \) ma pochodną niewłaściwą w punkcie  \( x_0 \) , gdy

								\( \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\infty\quad\text{ lub }\quad \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\infty. \)

Fakt, że funkcja ma pochodną niewłaściwą w punkcie  \( x_0 \) zapisujemy:

								\( f^{\prime}(x_0)=-\infty\quad\text{ lub }\quad f^{\prime}(x_0)=+\infty. \)


 Niech  \( x_0\in \mathbb{R} \) oraz funkcja  \( f \) będzie określona i ciągła w otoczeniu  \( O(x_0^-) \).

Mówimy, że funkcja  \( f \) ma pochodną niewłaściwą lewostronną w punkcie  \( x_0 \) , gdy

								\( \lim\limits_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\infty\quad\text{ lub }\quad \lim\limits_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\infty, \)

					 co zapisujemy:  \( f^{\prime}_-(x_0)=-\infty \) lub  \( f^{\prime}_-(x_0)=+\infty \).


Niech  \( x_0\in \mathbb{R} \) oraz funkcja  \( f \) będzie określona i ciągła w otoczeniu  \( O(x_0^+) \).

Mówimy, że funkcja  \( f \) ma pochodną niewłaściwą prawostronną w punkcie  \( x_0 \) , gdy

								\( \lim\limits_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\infty\quad\text{ lub }\quad \lim\limits_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\infty, \)

					 co zapisujemy:  \( f^{\prime}_+(x_0)=-\infty \) lub  \( f^{\prime}_+(x_0)=+\infty \).


 Dolomity to skały, które zbudowane są w ponad 50% z minerału dolomitu
(zob.  Dolomit, syderyt i inne węglany), (Rys. 1).


 Syderyty to skały w których dominującym minerałem jest syderyt (Rys. 2),
(zob.  Dolomit, syderyt i inne węglany), [1], [3].