PL-MTEB/scidef huggingface dataset:
Polimeryzacja rodnikowa (wolnorodnikowa, ang. free radical polymerization), to rodzaj polimeryzacji addycyjnej, w której centrami aktywnymi są rodniki (wolne rodniki) (wg zaleceń International Union of Pure and Applied Chemistry – IUPAC, czyli Międzynarodowej Unii Chemii Czystej i Stosowanej) [1], [2].
termin używany do określenia polimeryzacji, w której dokładnie określono parametr kinetyczny lub cechę strukturalną tworzącej się makrocząsteczki, która podlega kontroli ( kontrolowane polimeryzacje rodnikowe ).
Rynek finansowy to miejsce zorganizowane w sensie instytucjonalnym, w którym spotyka się popyt na
kapitał (środki pieniężne) z jego podażą. Służy do transformacji wolnych środków pieniężnych w
inne formy majątkowe (materialne, niematerialne), za pośrednictwem instrumentów finansowych.
... nazywne też arylami lub węglowodorami aromatycznymi są to związki, które zawierają co najmniej jeden pierścień aromatyczny w strukturze.
to polimery z grupy poliestrów, które otrzymuje się najczęściej w reakcji polikondensacji alifatycznych dioli (alkoholi z dwoma grupami hydroksylowymi), alifatycznych kwasów dikarboksylowych i aromatycznych kwasów /estrów dikarboksylowych [1].
Społeczeństwo informacyjne – termin ten kolejno zaproponowali i spopularyzowali Japończycy Tadao Umesamo i Kenichi Koyama – to forma organizacji społeczeństwa, która do tej pory nie została jednoznacznie zdefiniowana, co wynika z wielości możliwych do przyjęcia kryteriów (np. dominacji technologii ICT, transformacji gospodarki w kierunku sektora usług przetwarzania danych, zmian w zakresie wymogów kompetencyjnych na rzecz umiejętności cyfrowych itp.), czego efektem jest występowanie w dyskursie naukowym wielu pokrewnych dla niego określeń, między innymi społeczeństwa sieciowego, postindustrialnego,  pokapitalistycznego czy opartego na  wiedzy [2].
Jednym z często podkreślanych aspektów społeczeństwa informacyjnego jest dominująca rola informacji w najważniejszych jego obszarach:

technologicznym – kryterium to odnosi się do procesu ewolucji technologii informacyjnych oraz ich popularyzacji poprzez rozpowszechnienie urządzeń cyfrowych i spadek ich cen (np. smartfonów);
gospodarczym – przemiany procesów ekonomicznych, których podstawą staje się przetwarzanie informacji (np. wdrażanie w sektorze bankowym chmury obliczeniowej);
społecznym – odnoszącym się do zmian w życiu człowieka, głównie w wyniku powszechnego dostępu do informacji (np. rozwój telepracy);
edukacyjnym – wynikającym z konieczności nabywania wiedzy w zakresie praktycznego wykorzystania technologii ICT i kreowaniem przeświadczenia o konieczności adaptacji do nowych okoliczności, co umożliwia nabycie umiejętności, wiedzy i władzy (np. nauka programowania) [3].
Informacja, podobnie jak społeczeństwo informacyjne, jest pojęciem powszechnie używanym, ale jednocześnie wieloznacznym i rozumianym na wiele odmiennych sposobów [4].
W ujęciu ograniczającym się do obszaru społecznych aktywności ludzi, przyjąć można, że informacja jest „specyficznym dobrem niematerialnym, które w miarę postępu gospodarczego oraz rozwoju środków i form komunikowania się społecznego nabiera coraz większego znaczenia, przeobrażając oblicze wielu tradycyjnie zorganizowanych gospodarek świata” [5].
W zależności od przyjętej perspektywy luka informacyjna może być odmiennie rozumiana, przy czym zazwyczaj punktem wspólnym jest obserwowany „rozdźwięk” pomiędzy dostępnymi, a niezbędnymi w danym momencie informacjami. W specjalnościach takich jak zarządzanie strategiczne luka informacyjna stanowi różnicę pomiędzy dostępnymi a niezbędnymi do podjęcia decyzji informacjami, wpływając tym samym na podejmowanie efektywnych rozstrzygnięć, na przykład w zakresie strategii biznesowej przedsiębiorstwa [10].
W perspektywie badań nad komunikacją zjawisko to bywa przedstawianie jako efekt procesu interpretacji, który powstaje, gdy pojawia się luka pomiędzy wiedzą niezbędną dla operacji nadania sensu w procesie interpretacji komunikatu a wiedzą – bazą interpretacyjną – posiadaną przez obiorcę, co może być celowo wykorzystywane do wzbudzania ciekawości (np. w działaniach edukacyjnych), ale też wywierania wpływu (np. w komunikacji marketingowej) [11].

Tego typu oddziaływania są możliwe, ponieważ według niektórych ujęć psychologicznych luka informacyjna jest jednym z mechanizmów generujących ciekawość, którą jednostka odczuwa w momencie uświadomienia sobie braków we własnej wiedzy i możliwości ich uzupełnienia odpowiednią informacją [12].
Roztwór jest to wieloskładnikowy układ  jednofazowy. Każdy roztwór składa się z rozpuszczalnika i substancji rozpuszczonej. Składnik, którego jest więcej nazywamy rozpuszczalnikiem.
Równanie

					
								\( \dfrac d{dx} f_{u^\prime}\big(x,u(x),u^\prime(x)\big)- f_u\big(x,u(x),u^\prime(x)\big)=0 \)

nazywa się równaniem Eulera-Lagrange'a. Jest to podstawowe równanie w rachunku wariacyjnym.
Procesy geologiczne polegające na wywiewaniu materiału nazywane są deflacją.
... są pochodnymi kwasów karboksylowych, w których grupa hydroksylowa została zastąpiona atomem fluorowca. Ich ogólny wzór ma postać  \( \text{R}{–}\text{C(}{=}\text{O)}{–}\text{X} \) (gdzie: X oznacza F, Cl, Br lub I).
kamery wyprodukowane specjalnie dla potrzeb fotogrametrycznych,
EOW i dystorsja kamer nie ulegają zmianie w czasie (przy założeniu, że kamera nie doświadczy gwałtownych
wstrząsów czy uszkodzenia mechanicznego); kamery są fabrycznie kalibrowane i dostarczane wraz z protokołem
kalibracji.
aparaty fotograficzne ogólnego przeznaczenia, EOW i dystorsja są
wyznaczone przez użytkownika na drodze kalibracji powtarzanej okresowo albo przed każdym pomiarem
fotogrametrycznym, albo wykonywanej w trybie samokalibracji.
obiekty zbudowane z minerałów lub/i substancji mineralnych, które powstały w
wyniku naturalnych procesów geologicznych.
Mówimy, że  \( \Gamma \) jest krzywą zadaną parametrycznie, jeżeli istnieją takie funkcje ciągłe  \(  \varphi: [\alpha,\beta] \to \mathbb{R}  \) oraz  \(  \psi: [\alpha,\beta] \to \mathbb{R}  \), że


								\( \Gamma=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x =\varphi(t), y=\psi(t) \text{ dla } t \in [\alpha,\beta]\}. \)
Mówimy, że  \( \Gamma \) jest krzywą zadaną biegunowo , jeżeli istnieje nieujemna funkcja ciągła  \(  r: [\alpha,\beta] \to \mathbb{R}  \) taka, że


								\( \Gamma=\{ (r,\phi) \in \mathbb{R}^2: r = r(\phi), \phi \in [\alpha, \beta] \}. \)
dane określające położenie układu kamery w układzie terenowym, składające się ze współrzędnych
środka rzutu \(X_o,Y_o,Z_o\) oraz trzech kątów \( \omega , \phi , \kappa \) wyrażających orientację kątową układu kamery względem terenowego (zbiór
sześciu EOZ składa się z trzech elementów liniowych i trzech kątowych).
Mówimy, że funkcjonał  \( \hskip 0.3pc \varphi :X\to \mathbb R\hskip 0.3pc \) posiada w punkcie  \( \hskip 0.3pc x_0\in X\hskip 0.3pc \)  minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie  \( \hskip 0.3pc V\hskip 0.3pc \) punktu  \( \hskip 0.3pc x_0\hskip 0.3pc \) takie, że

					
								\( \varphi (x_0)\leq \varphi (x),\qquad {\rm dla }\quad x\in V. \)

Jeśli


								\( \varphi (x_0) < \varphi (x),\qquad {\rm dla }\quad x\in V,\hskip 0.3pcx\neq x_0, \)

mówimy, że w punkie  \( \hskip 0.3pc x_0\hskip 0.3pc \) istnieje   minimum lokalne silne.
Zmieniając kierunek znaku otrzymamy definicje maksimum lokalnego  i silnego maksimum lokalnego.
Niech  \( \hskip 0.3pc x\in X.\hskip 0.3pc  \) Odwzorowanie liniowe  \( \hskip 0.3pc L(x) :X\to \mathbb R\hskip 0.3pc  \) takie, że



								\( \displaystyle\lim_{\|h\| \to 0}\dfrac{\varphi (x+h)-\varphi (x)-L(x)(h)}{\|h\|}=0, \)


nazywamy różniczką funkcjonału  \( \hskip 0.3pc \varphi\hskip 0.3pc \) w punkcie  \( \hskip 0.3pc x\hskip 0.3pc \) i oznaczamy symbolem  \( \hskip 0.3pc d\varphi (x)\hskip 0.3pc \) lub  \( \hskip 0.3pc \varphi ^\prime(x).\hskip 0.3pc \)
Niech  \( A \) będzie macierzą kwadratową stopnia  \( n \). Jeżeli istnieje macierz  \( A^{-1} \) taka, że spełnione są warunki


 \( A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_{n}, \)
to mówimy, że macierz  \( A \) jest odwracalna, a macierz  \( A^{-1} \) nazywamy macierzą odwrotną do  \( A \) (lub odwrotnością  \( A \) ).
Macierz kwadratową  \( A \) taką, że  \(  \mathrm{det}A\neq 0 \) nazywamy macierzą nieosobliwą. W przeciwnym wypadku  \( A \) nazywamy  macierzą osobliwą.
Niech  \( A=(a_{ij}) \) będzie macierzą stopnia  \( n \), gdzie  \( n\geq 2 \). Niech  \( A_{ij} \) będzie podmacierzą powstałą z  \( A \) poprzez skreślenie  \( i \)-tego wiersza i  \( j \)-tej kolumny. Liczbę
 \( D_{ij}=(-1)^{i+j}\mathrm{det}A_{ij} \)
nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu  \( a_{ij} \) macierzy  \( A \).
Macierz
 \( A^{D}=\left( \begin{array}{cccc} D_{11}&D_{12}&\ldots&D_{1n}\\ D_{21}&D_{22}&\ldots&D_{2n}\\ \ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\ D_{n1}&D_{n2}&\ldots&D_{nn} \end{array} \right), \)
gdzie  \( D_{ij} \) oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów  \( a_{ij} \) macierzy  \( A \), nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych macierzy  \( A \).
W polimeryzacji kondensacyjnej (stopniowej, ang. step-growth polymerization) wzrost łańcucha polimerowego (propagacja) przebiega w sposób stopniowy, w trakcie procesu polimeryzacji. Polimeryzacja kondensacyjna zachodzi na skutek reakcji grup funkcyjnych, które występują w monomerach, w wyniku tej reakcji bardzo często dodatkowo powstaje małocząsteczkowy produkt uboczny (np. woda, kwas solny, amoniak, alkohol) [1], [2].
Mówimy, że ciąg nieskończony  \(  (a_n)  \) ma granicę właściwą  \( g \), jeżeli dla dowolnej liczby  \(  \varepsilon \gt 0 \) od pewnego miejsca  zachodzi warunek  \(  |a_n-g| \lt \varepsilon  \).
Mówimy, że ciąg  \(  (a_n)  \) ma granicę niewłaściwą  \( + \infty  \), jeżeli  dla dowolnej liczby  \( E>0 \) od pewnego miejsca zachodzi nierówność   \( a_n> E \).
Mówimy, że ciąg  \(  (a_n)  \) ma granicę niewłaściwą  \( - \infty  \), jeżeli dla dowolnej liczby  \( E>0 \) od pewnego miejsca zachodzi nierównośc  \( a_n<-E \).
Ciąg, który nie posiada granicy właściwej ani niewłaściwej nazywamy ciągiem rozbieżnym.
Porowatość określa istnienie w skale wolnych przestrzeni zwanych porami
(Rys. 1). Mianem tym także nazywana jest objętość wolnych przestrzeni [1], [2], [3]. Porowatość pierwotna
jest własnością skały istniejącą od czasu jej powstania, natomiast porowatość wtórna tworzy się
w skale przez działalność później zachodzących procesów, np. rozpuszczania, rekrystalizacji [1].
Przepuszczalność to zdolność materiału porowatego do
przepuszczania cieczy. Wyraża się ona jako prędkość, z jaką ciecz o określonej lepkości, pod wpływem
zadanego ciśnienia, przepływa przez próbkę o określonym przekroju i grubości. Przepuszczalność w dużej
mierze zależy od wielkości i kształtu porów, od wielkości, kształtu i rozmieszczenia ziaren. Zależy nie tylko od
własności skały, ale również od własności cieczy, która przez skałę przepływa (zob.  Odpływ podziemny wód
gruntowych).
... jest teorią, która dla związków chemicznych wprowadza termin liniowo mieszanych orbitali atomowych (orbitali zhybrydyzowanych), które posiadają określone energie, kształty, itp. różne od tych dla orbital atomowych.
Prosta  \( y=ax+b \) jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji  \( y=f(x)  \), jeżeli  \( D_f \) jest zbiorem nieograniczonym od dołu oraz granica różnicy wartości funkcji  \( f(x)  \) i funkcji liniowej  \(  (ax+b)  \) w  \( - \infty  \) jest równa zero  \(  ( \lim_{x \rightarrow - \infty} \lbrack f(x)-(ax+b) \rbrack =0)  \).
Prosta  \( y=ax+b \) jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji  \( y=f(x)  \), jeżeli  \( D_f \) jest zbiorem nieograniczonym od góry oraz granica różnicy wartości funkcji  \( f(x)  \) i funkcji liniowej  \(  (ax+b)  \) w  \( + \infty  \) jest równa zero  \(  ( \lim_{x \rightarrow \infty} \lbrack f(x)-(ax+b) \rbrack =0)  \).
Procesy przyrodnicze, które napędzane są energią zewnętrzną,
czyli pozyskiwaną ze źródeł pozaziemskich, nazywane są procesami egzogenicznymi. Głównymi źródłami tej
energii jest Słońce (zob.  Energia słoneczna) i grawitacja.
Długotrwałe współdziałanie procesów geologicznych, prowadzące do
wyrównania powierzchni Ziemi nazywane jest peneplenizacją. Celem peneplenizacji jest osiągnięcie możliwie
płaskiej morfologii na rozległych obszarach, którą nazywa się penepleną (prawierównią, zrównaniem
końcowym). Peneplenę charakteryzuje pagórkowata rzeźba, w której występują niskie wzniesienia o łagodnie
nachylonych stokach oraz szerokie i płytkie doliny [7], [4].
Wyrażenie na stałą równowagi zostało wyprowadzone przez Guldberga i Waagego w 1864 r. jako tzw. prawo działania mas. W stanie równowagi chemicznej, w stałej temperaturze iloraz iloczynu stężeń molowych produktów do iloczynu stężeń molowych substratów, podniesionych do odpowiednich potęg, które odpowiadają współczynnikom stechiometrycznym reagujących substancji ma wartość stałą. Wartość stałej równowagi chemicznej jest wielkością charakterystyczną dla danej reakcji chemicznej oraz określonej temperatury.

					
								\( K=\frac{k_1}{k_{-1}}= \frac{[C]^c\cdot[D]^d}{[A]^a\cdot[B]^b} \)
Obligacja to dokument, który potwierdza zaciągnięcie przez emitenta
pożyczki (w wysokości nominału obligacji) i zobowiązanie do jej zwrotu w ustalonym terminie, wraz z
należnymi odsetkami.
Siatka obliczeniowa to skończenie wymiarowa rodzina  \(  T_{hp} \) elementów skończonych  \(  T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \), takich że
 \(   \cup_{K \in T_{hp}} = \Omega  \),  \(  \textrm{ meas} K_i \cap K_j = K_i \textrm{ dla } i=j; 0 \textrm{ dla } i \neq j  \)
Dla danej siatki obliczeniowej  \(  T_{hp}= \{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right)  \}_K  \) siatka referencyjna to rodzina  \(  T_{\frac{h}{2}p+1} \) elementów skończonych  \(   T_{\frac{h}{2}p+1}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \), takich że
 \(   \forall K \in T_{\frac{h}{2}p+1} \exists  K_1,K_2,K_3,K_4 \in {\cal P}(T_{hp},K)  \), takie że
 \(  K=K_1\cup K_2 \cup K_3 \cup K_4, \textrm{meas}K_i \cap K_j=K_i \textrm{ dla } i=j; 0 \textrm{ dla } i \neq j \),
 \(  X(K_1),X(K_2),X(K_3),X(K_4) \in {\cal P}(T_{hp},X(K)), dim X(K)=\\ dim(K_1)+7=dim(K_2)+7=dim(K_3)+7=dim(K_4)+7  \), gdzie
 \(  {\cal P}(T_{hp},K)   \) i  \(  {\cal P}(T_{hp},X(K))  \) oznaczają projekcje na pierwszy i drugi komponent   \(  \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right)  \).
Wzór wymiaru przestrzeni funkcji kształtu na nowych czterech elementach wynika z dodania siedmiu nowych funkcji kształtu, stosownie poprzez zwiększenie stopnia wielomianów o 1 we wnętrzu elementu w kierunku poziomym i pionowym (co daje w sumie trzy dodatkowe wielomiany - jeden ze stopniem zwiększonym w kierunku pionowym, drugi ze stopniem zwiększonym w kierunku poziomym, i trzeci ze stopniami zwiększonymi w obydwu kierunkach oraz 4 nowe funkcje kształtu uzyskane poprzez dodanie nowych wielomianów na krawędziach elementów, ze stopniem wielomianów zwiększonych o 1).
Przestrzeń aproksymacyjna nad dwuwymiarową siatką obliczeniową  \(  T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \) to
  \(  V_{hp }= \{ v \in C(\Omega): \forall K \in {\cal P }( T_{hp},K): {\cal P }( v,K) \in X(K) \}  \),
gdzie  \(   {\cal P }( T_{hp},K)   \) to zbiór przedziałów reprezentujących geometrię elementów wyciągniętych z trójki reprezentującej dwuwymiarową siatkę obliczeniową,  \(  {\cal P }( v,K)   \) to projekcja funkcji na przedział reprezentujący geometrię elementu.
Niech  \(  T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \) oznacza dwuwymiarową siatkę obliczeniową.
Niech  \(  \{ e_i^{hp} \}_i  \) oznacza bazę przestrzeni  \(  V_{hp }= span\{ e_i^{hp} \}   \).
Niech  \(  \chi^K_k \in X \left( K\right)  \) oznacza funkcje kształtu nad elementem  \(  K  \).
Wówczas  \(  \forall K \in {\cal P }( T_{hp},K), \forall i, \exists k : {\cal P}(e_i^{hp},K) = \chi^K_k  \).
Istnieje odwzorowanie odwrotne  \(  {\cal I}^2 \ni (k,K)\rightarrow i(k,K)\in {\cal I}  \), które przypisuje numer
 \(  i(k,K)  \) globalnej i-tej funkcji bazowej związanej z lokalną   \( k \)-tą funkcją kształtu nad elementem  \(  K  \).
W przypadkach rozpatrywanych w tym podręczniku, odwzorowanie to jest izomorficzne.
Przestrzeń aproksymacyjna nad dwuwymiarową siatką obliczeniową  \(  T_{\frac{h}{2}p+1}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \)  to
  \(  V_{\frac{h}{2}p+1 }= \{ v \in C(\Omega): \forall K \in {\cal P }( T_{\frac{h}{2}p+1},K): {\cal P }( v,K) \in X(K) \}  \),
gdzie  \(   {\cal P }( T_{\frac{h}{2}p+1},K)   \) to zbiór przedziałów reprezentujących  geometrię elementów wyciągniętych z trójki reprezentującej dwuwymiarową siatkę obliczeniową,  \(  {\cal P }( v,K)   \) to projekcja funkcji na przedział reprezentujący geometrię elementu.
Niech  \(  T_{\frac{h}{2}p+1}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \) oznacza dwuwymiarową siatkę referencyjną.
Niech  \(  \{ e_i^{\frac{h}{2}p+1} \}_i  \) oznacza bazę przestrzeni  \(  V_{\frac{h}{2}p+1 }= span\{ e_i^{\frac{h}{2}p+1} \}  \).
Niech  \(  \chi^K_k \in X \left( K\right)  \) oznacza funkcje kształtu nad elementem  \(  K  \).
Wówczas  \(  \forall K \in {\cal P }( T_{\frac{h}{2}p+1},K), \forall i, \exists k : {\cal P}(e_i^{\frac{h}{2}p+1},K) = \chi^K_k  \).
Istnieje odwzorowanie odwrotne  \(  {\cal I}^2 \ni (k,K)\rightarrow i(k,K)\in {\cal I}  \), które przypisuje numer
 \(  i(k,K)  \) globalnej i-tej funkcji bazowej związanej z lokalną   \( k \)-tą funkcją kształtu nad elementem  \(  K  \).
W przypadkach rozpatrywanych w tym podręczniku, odwzorowanie to jest izomorficzne.
Przestrzeń aproksymacyjna nad dwuwymiarową referencyjną siatką obliczeniową  \(  T_{\frac{h}{2}p+1}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \), to  \(  V_{\frac{h}{2}p+1}=span \{ e_j^{\frac{h}{2}p+1} : \forall K \in {\cal P}(T_{\frac{h }{2}p+1},K), \forall \phi_j \in X(K), \exists ! e_i^{\frac{h}{2}p+1} :{\cal P }( e_i^{\frac{h}{2}p+1 },K)=\psi_k \}  \), gdzie  \(  e_i^{\frac{h}{2}p+1}   \) to globalna funkcja bazowa (element bazy przestrzeni  \(  V_{\frac{h}{2}p+1}  \) ) oraz   \(  \psi_k   \) to lokalna funkcja kształtu nad elementem   \(  K  \),
 \(  {\cal I}^2 \ni (k,K)\rightarrow i(k,K)\in {\cal I}  \) to odwzorowanie przypisujące numer  \(  i(k,K)  \) globalnej funkcji bazowej związanej z lokalną   \( k \)-tą funkcją kształtu nad elementem  \(  K  \).
Dla danej siatki obliczeniowej   \(  T_{hp}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \) znaleźć współczynniki  \(  \{ u^{hp}_i \}_{i=1,...,N^{hp}}  \) rozwiązania przybliżonego   \(  V \supset V_{hp } \ni u_{hp }=\sum_{i=1,...,N^{hp } } u_i^{hp } e_i^{hp }  \), takie że  \(   \sum_{m=1,...,N^{hp } } u_m^{hp } B(e_m^{hp},e_n^{hp})=L(e_n^{hp}) n=1,...,N^{hp}  \), gdzie
 \(  B(e_m^{hp},e_n^{hp})= \int_{\Omega} \left(  \sum_{i=1,2} \sum_{j=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \frac{\partial e_m^{hp}(x_1,x_2) }{\partial x_j } \frac{\partial e_n^{hp}(x_1,x_2) }{\partial x_j }\right. \\ \left. +  \sum_{j=1,2} b_j(x_1,x_2) \frac{\partial e_m^{hp}(x_1,x_2) }{\partial x_j } e_n^{hp}(x_1,x_2) +c (x_1,x_2 )e_n^{hp}(x_1,x_2) \right) dx_1 dx_2 +  \)
 \(  +\int_{\Gamma_R} \beta(x_1,x_2) e_m^{hp}(x_1,x_2) e_n^{hp}(x_1,x_2) ds  \)
 \(  L(e_n^{hp})= \int_{\Omega} f(x_1,x_2)e_n^{hp}(x_1,x_2) dx_1 dx_2 + \int_{\Gamma_R} g(x_1,x_2)  e_n^{hp}(x_1,x_2) ds  \).
Baza  \(  \{ e^{hp}_i \}_{i=1,...,N^{hp}}  \) przestrzeni aproksymacyjnej  \( V_{hp}  \) uzyskana jest poprzez sumowanie funkcji kształtu z przestrzeni  \(   X\left(K\right)  = {\cal P}(T_{hp},X(K))  \) dla poszczególnych elemetów z siatki  \(  T_{hp}  \) w globalne funkcje bazowe.
Dla danej siatki obliczeniowej   \(  T_{\frac{h}{2}p+1}=\{ \left(K, X\left(K\right), \Pi_p \right) \}_K  \) znaleźć współczynniki  \(  \{ u^{\frac{h}{2}p+1}_i \}_{i=1,...,n^{\frac{h}{2}p+1}}  \) rozwiązania przybliżonego   \(  V \supset V_{\frac{h}{2}p+1 } \ni u_{\frac{h}{2}p+1 }=\sum_{i=1,...,N^{\frac{h}{2}p+1 } } u_i^{\frac{h}{2}p+1 } e_i^{\frac{h}{2}p+1 }  \), takie że  \(   \sum_{m=1,...,N^{\frac{h}{2}p+1 } } u_m^{\frac{h}{2}p+1 }  B(e_m^{\frac{h}{2}p+1},e_n^{\frac{h}{2}p+1})=L(e_n^{\frac{h}{2}p+1}) n=1,...,N^{hp} \)
 \(  B(e_m^{\frac{h}{2}p+1},e_n^{\frac{h}{2}p+1})= \int_{\Omega} \left(  \sum_{i=1,2} \sum_{j=1,2} a_{ij}(x_1,x_2) \frac{\partial e_m^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) }{\partial x_j } \frac{\partial e_n^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) }{\partial x_j }\right. \\ \left. +  \sum_{j=1,2} b_j(x_1,x_2) \frac{\partial e_m^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) }{\partial x_j } e_n^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) +c (x_1,x_2 )e_n^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) \right) dx_1 dx_2 +  \)
 \(  +\int_{\Gamma_R} \beta(x_1,x_2) e_m^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) e_n^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) ds  \)
 \(  L(e_n^{\frac{h}{2}p+1})= \int_{\Omega} f(x_1,x_2)e_n^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) dx_1 dx_2 + \int_{\Gamma_R} g(x_1,x_2)  e_n^{\frac{h}{2}p+1}(x_1,x_2) ds  \).
Baza  \(  \{ e^{\frac{h}{2}p+1}_i \}_{i=1,...,N^{\frac{h}{2}p+1}}  \) przestrzeni aproksymacyjnej  \( V_{hp}  \) uzyskana jest poprzez sumowanie funkcji kształtu z przestrzeni  \(   X\left(K\right)  = {\cal P}(T_{\frac{h}{2}p+1},X(K))  \) dla poszczególnych elemetów z siatki  \(  T_{\frac{h}{2}p+1}  \) w globalne funkcje bazowe.
Mówimy, że  \( f:X\to Y \) jest suriekcją, (czyli funkcją „na”) wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości jest równy zbiorowi końcowemu  \( Y \).

Zapisujemy wówczas  \( f:X\xrightarrow{na} Y \)  co odczytujemy: funkcja  \( f \) prowadzi ze zbioru  \( X  \)na zbiór  \( Y \).
Mówimy, że  \( f:X\to Y \) jest iniekcją (funkcją różnowartościową) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych elementów  \( x_1,x_2\in X \) stąd, że  \( x_1\neq x_2 \) wynika, że  \( f(x_1)\neq f(x_2) \)
Interpretacja geometryczna różnowartościowości.
Mówimy, że funkcja  \( f \) jest różnowartościowa w zbiorze  \( A \) zawartym w dziedzinie wtedy i tylko wtedy, gdy jej restrykcja do zbioru  \( A \) jest funkcja różnowartościową.
Funkcję  \( f:X\to Y \)nazywamy bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją różnowartościową oraz „na”, czyli jest zarówno  iniekcją jak i suriekcją jednocześnie.
to sekwencja skalna reprezentująca część litosfery oceanicznej, podniesiona i
umieszczona na kontynencie ( Rys. 1  ), [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8].
Ofiolit – dosłownie z greckiego „kamień wężowy”.
Jednowymiarowym referencyjnym elementem skończonym nazywamy trójkę
 \(  \left( \hat{K}, X\left(\hat{K}\right), \Pi_p \right)  \)
zdefiniowaną za pomocą następujących czterech kroków

Geometria:  \(  \hat{K}=[0,1] \subset {\cal R}  \)
Wybór węzłów:  \(  \hat{a}_1, \hat{a}_2  \) węzły związane z wierzchołkami 0 i 1 elementu, oraz  \(  \hat{a}_3  \) węzeł związany z wnętrzem (0,1) elementu
Definicja funkcji kształtu elementu  \(  X \left( \hat{K}\right)=span \{ \hat{\chi}_j \in {\cal P}^p\left(\hat{K}\right),j=1,...,p+1 \}  \) gdzie  \(  {\cal P}^p\left(\hat{K}\right)  \) to wielomiany stopnia  \( p  \) określone na przedziale  \( \hat{K} =(0,1)  \) oraz  \(  \hat{\chi}_1(\xi)=1-\xi  \),  \(  \hat{\chi}_2(\xi)=\xi  \),  \(  \hat{\chi}_3(\xi)=(1-\xi)\xi  \),  \(  \hat{\chi}_l(\xi)=(1-\xi)\xi(2\xi-1)^{l-3} \quad l=4,...,p+1  \).
Definicja operatora interpolacji przez operator projekcji  \(  \Pi_p:H^1\left( \hat{K} \right) \rightarrow X\left( \hat{K}\right)  \). Dla danej funkcji  \(  u \in H^1\left(\hat{K} \right)  \), jej interpolant bazujący na projekcji to  \(  \Pi_pu\in X\left( \hat{K}\right)  \) jest zdefiniowany poprzez następujące warunki:
 \(  \Pi_p u(\hat{a}_1)=u(\hat{a}_1)  \)
 \(  \Pi_p u(\hat{a}_2)=u(\hat{a}_2)  \)
 \(  \|  \Pi_p u -u \|_{H^1_0(0,1)}\rightarrow min  \)
gdzie  \(  \|  \Pi_p u  -u \|_{H^1_0(0,1)} = \int_0^1 \left( \left( \Pi_p u \right)' -u' \right)^2 d\xi   \)  to norma w przestrzeni Sobolewa  \(  H^1_0(0,1)  \).