PL-MTEB/scidef huggingface dataset:
Dla obszaru  \(   \Omega=(0,l) \subset {\cal R}  \) dla którego brzeg podzielony jest na fragment brzegu Dirichleta w  \(  x=0  \) i fragment brzegu Robina w  \(  x=l  \), szukamy pola skalarnego  \(  u \in V  \) takiego że   \(   B(u,v)=L(v)-B(\hat{u},v) \quad \forall v\in V  \) gdzie   \(   B(u,v)=\int_0^l \left( a(x) u'(x) v'(x) +b(x)u'(x)v(x)+c(x)u(x)v(x)\right)dx + \beta u(l)v(l)  \) oraz  \(  L(v)=\int_0^l  f(x) v(x)dx + \gamma v(l)  \) oraz  \(  \tilde{u}  \) jest rozszerzeniem warunku brzegowego Dirichleta na cały obszar, oraz  \(  V=\{u\in H^1(\Omega): u(0)=0 \}  \).
Internet, potocznie określany też jako sieć, od początku swojego istnienia – czyli lat 60. XX wieku – przeszedł ewolucję od zamkniętego projektu wojskowego pn. ARPANET (Advanced Research Projects Agency Network) do symbiotycznej, otwartej sieci łączącej ludzi i maszyny na całym świecie, czyli tak zwanego Internetu Rzeczy (IoT, Internet of things). W 1995 roku eksperci wchodzący w skład amerykańskiej Federalnej Rady Sieci USA (FNC, Federal Networking Council) wydali rezolucję, w której jednogłośnie zdefiniowali pojęcie „Internet” jako odnoszące się do globalnego systemu informatycznego, który:
jest logicznie i globalnie połączony ze sobą poprzez unikalną przestrzeń adresową opartą na protokole internetowym (IP) lub jego późniejszych rozszerzeniach / kontynuacjach;
jest w stanie obsługiwać komunikację przy użyciu pakietu Transmission Control Protocol / Internet Protocol (TCP / IP) lub jego późniejszych rozszerzeń / następców i / lub innych protokołów zgodnych z IP;
oraz zapewnia, wykorzystuje lub udostępnia publicznie lub prywatnie usługi wysokiego poziomu obejmujące komunikację i powiązaną infrastrukturę opisaną w niniejszym dokumencie (tj. rezolucji – przyp. DG) [4].
Jak wynika z przedstawionej definicji, potoczne rozumienie internetu jako sieci połączonych ze sobą komputerów gwarantujących dostęp do stron www jest niewystarczające. Jest to medium, które oferuje wiele usług (pocztowe, Web, FTP – przesyłania plików, streamingu itp. itd.), a także może łączyć odmienne typy urządzeń cyfrowych (komputery, telefony, smartfony, a coraz częściej urządzenia RTV/AGD czy samochody).
Iloczynem skalarnym wektorów  \(  \overrightarrow{u}=(u_{x},u_{y},u_{z})  \) oraz  \(  \overrightarrow{v}=(v_{x},v_{y},v_{z})  \) nazywamy liczbę (skalar)  \(  \overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}  \) określoną wzorem

					(1)

								\( \overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}:=u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}+u_{z}v_{z}. \)


Przykład 1: Obliczanie iloczynu skalarnego wektorówDla wektorów  \( \overrightarrow{u}=(1,2,-1) \) oraz  \( \overrightarrow{v}=(0,3,1) \) mamy:



								\(  \begin{array}{l}\overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{u}=1\cdot 1+ 2\cdot 2 + (-1)\cdot (-1) = 6,\\ \overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{v}=0\cdot 0+ 3\cdot 3 + 1\cdot 1 = 10,\\ \overrightarrow{u}\circ\overrightarrow{v}=1\cdot 0+ 2\cdot 3 + (-1)\cdot 1= 5.\end{array} \)
Rozważmy dwie półproste o wspólnym początku  \( O \) zawarte w pewnej płaszczyźnie. Półproste te dzielą płaszczyznę na dwa wzajemnie dopełniające się obszary, obie półproste są ich wspólnym brzegiem (zob. Rys. 1 ). Każdy z tych obszarów (wraz z półprostymi) nazywamy kątem, półproste nazywamy ramionami kąta, ich wspólny początek  \( O \) nazywamy wierzchołkiem kąta.
Po ustaleniu kolejności półprostych tworzących kąt otrzymamy kąt skierowany - pierwszą z tych półprostych nazwiemy ramieniem początkowym, drugą ramieniem końcowym kąta skierowanego.
Niech  \( \overrightarrow{v},\overrightarrow{w}%\in\mathbb{R}^{3} \). Jeżeli  \( \overrightarrow{v}\circ\overrightarrow{w}=0, \) to piszemy  \( \overrightarrow{v}\bot \overrightarrow{w} \) i mówimy, że wektory  \(  \overrightarrow{v} \) i  \( \overrightarrow{w} \) są ortogonalne.
... są związkami, których grupa funkcyjna jest zbudowana z grup karbonylowej i hydroksylowej przyłączonych do karbonylowego atomu węgla  \( ({–}\ce{C(}{=}\ce{O)}{–}\ce{OH}) \). Ogólny wzór kwasów karboksylowych ma postać:   \( \ce{R}{–}\ce{COOH} \).
(7)

								\( {I_{{\text{sk}}}=\frac{I_{{0}}}{\sqrt{2}}} \)


Tę wielkość nazywamy wartością skuteczną natężenia prądu zmiennego. Analogicznie definiujemy skuteczną wartość napięcia.
(8)

								\( {U_{{\text{sk}}}=\frac{U_{{0}}}{\sqrt{2}}} \)
W procesach odwracalnych entropię definiujemy wzorami:

(1)

								\( {{dS}=\frac{{dQ}}{T}} \)

lub

(2)

								\( {S=\int {\frac{{dQ}}{T}}} \)

gdzie  \( dQ \) jest ciepłem dostarczanym do układu w procesie odwracalnym.
Entropię definiujemy jako

(9)

								\(  S=k\ln\omega  \)

gdzie  \( k \) jest stałą Boltzmana, a  \( \omega  \) prawdopodobieństwem (tzw. prawdopodobieństwem termodynamicznym), że układ znajdzie się w danym stanie (w odniesieniu do wszystkich pozostałych stanów). Prawdopodobieństwo to wyraża się przez liczbę sposobów na jakie dany stan termodynamiczny makroskopowy może być zrealizowany przez stany mikroskopowe.
charakteryzuje jakość wykształcenia poszczególnych składników, czyli
stopień krystaliczności, prawidłowości wykształcenia, wielkość oraz wzajemne relacje pomiędzy
składnikami.
Niech będzą dane niepuste zbiory   \( X \) i  \( Y \).

 Funkcją odwzorowującą zbiór  \( X \) w zbór  \( Y \) (co zapisujemy  \( f:X\to Y \)) nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi  \( x \) ze zbioru  \( X \) dokładnie jednego elementu  \( y \) ze zbioru  \( Y \). Element  \( x \) ze zbioru  \( X \) nazywamy argumentem funkcji a jedyny element  \( y \) ze zbioru  \( Y \), który został przyporządkowany elementowi  \( x \) oznaczamy przez  \( f(x) \) i nazywamy wartością funkcji  \( f \) dla argumentu  \( x \).


Zbiór  \( X \) nazywamy dziedziną funkcji  \( f \) i oznaczamy przez  \( D_f \). Zbiór obrazów wszystkich argumentów czyli zbiór elementów  \( \{f(x):x\in X\} \) nazywamy przeciwdziedziną lub zbiorem wartości funkcji  \( f \) i oznaczamy  \( \mathbb R_f \). Przeciwdziedzina jest zawsze podzbiorem zbioru  \( Y \). Rysunek 1:  Funkcja  \( f:X\to Y \)
Niech  \( X \) oraz  \( Y \) będą niepustymi podzbiorami liczb rzeczywistych  \( \mathbb R \).

Funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej prowadzącą ze zbioru  \( X \) w zbiór  \( Y \) (co zapisujemy  \( f:X\to Y \)) nazywamy przyporządkowanie każdej liczby  \( x \) ze zbioru  \( X \) dokładnie jednej liczby  \( y \) ze zbioru  \( Y \).Rysunek 2:  Funkcja rzeczywista  \( f:X\to Y \)
Niech  \( X \) i  \( Y \) będą dowolnymi niepustymi zbiorami.

Funkcją o dziedzinie  \( X \) i wartościach ze zbioru  \( Y \) nazywamy zbiór  \( f \) par uporządkowanych  \( (x, y) \) takich, że pierwszy element pary należy do zbioru  \( X \), a drugi do zbioru  \( Y \) oraz zbiór par spełnia tzw. warunek prawostronnej jednoznaczności tzn. dla każdego elementu  \( x \) ze  zbioru  \( X \) w zbiorze par  \( f \) jest tylko jedna para mająca  \( x \) na pierwszym miejscu.
Funkcję   \( V(r) \) nazywamy potencjałem pola grawitacyjnego i definiujemy jako stosunek grawitacyjnej energii potencjalnej masy m do wartości tej masy.
Polimeryzacja międzyfazowa – jest rodzajem polimeryzacji ze stopniowym wzrostem, w której rekcja polimeryzacji zachodzi na granicy faz, które nie mieszają się ze sobą (zwykle są to fazy ciekłe). Monomer znajduje się w jednej fazie ciekłej, zaś inicjator w drugiej. Powstający polimer jest natychmiast "wyciągany" z układu reakcji tak, aby utrzymywać cały czas dużą powierzchnię kontaktu faz. W wyniku tej polimeryzacji otrzymuje się włókna lub bardzo cienkie folie.
Niech  \(  \overrightarrow{v}=(v_{x},v_{y},v_{z}) \in \mathbb{R}^{3}  \) oraz  \(  \overrightarrow{w}=(w_{x},w_{y},w_{z}) \in \mathbb{R}^{3}  \) będą dwoma wektorami oraz niech  \(  \alpha \in\mathbb{R}  \). Możemy wówczas zdefiniować wektor

					
								\(  \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=(v_{x}+w_{x},v_{y}+w_{y},v_{z}+w_{z})  \)

nazywany sumą wektorów  \(  \overrightarrow{v}  \) i  \(  \overrightarrow{w}  \) oraz wektor


								\(  \alpha \cdot \overrightarrow{v}=( \alpha v_{x},\alpha v_{y},\alpha v_{z})  \)

					
nazywany iloczynem wektora  \(  \overrightarrow{v}  \) przez skalar  \(  \alpha  \).
Z dowolnym wektorem  \(  \overrightarrow{v}=(v_{x},v_{y},v_{z}) \in \mathbb{R}^{3}  \) możemy stowarzyszyć liczbę nieujemną  \( \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert  \) określoną wzorem

					
								\(  \left\Vert \overrightarrow{v}\right\Vert =\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}%};  \)

					
liczbę tę nazywamy długością wektora  \(  \overrightarrow{v}  \).
Poliwęglany to poliestry kwasu węglowego ( \( H_2CO_3 \)), cecha charakterystyczna to występowanie grupy estrowej w łańcuchu głównym polimeru.
Substancje (związki organiczne i nieorganiczne) posiadające właściwości tworzenia w dużym przedziale temperatur, ciekłokrystalicznej płynnej, ale jeszcze anizotropowej (zależnej od kierunku) fazy pośredniej czyli mezofazy zwanej ciekłymi kryształami.
Morena jest [1], [2], (Rys. 1):

materiałem klastycznym występującym w lodowcu,

strefą lodowca, w której występuje koncentracja materiału klastycznego,

skałą detrytyczną luźną pochodzenia glacjalnego, czyli materiałem ziarnistym który został
zdeponowany przez lodowiec,

formą sedymentacyjną, utworzoną z osadu glacjalnego.




  Rysunek 1:  Morena (Islandia).
Złożeniem funkcji  \( f:X\to Y \) i  \( g:Z\to W \), gdzie  \( Y\subset Z \) nazywamy funkcję oznaczoną  \( g\circ f \), określoną następująco  \( g\circ f:X\to W \),  \( (g\circ f)(x)=g(f(x)) \), dla każdego  \( x\in X \).
Strumień  \( {\phi} \) pola elektrycznego przez powierzchnię  \( S \) definiujemy jako iloczyn skalarny wektora powierzchni  \( {\bf S} \) i natężenia pola elektrycznego  \( {\bf E} \).

(1)

								\( {\phi ={\bf E}\cdot {\bf S}=\mathit{ES}{\cos}\alpha } \)
Polimeryzacja addycyjna to reakcja łańcuchowa, w której wzrost łańcucha polimeru (makrocząsteczki, czyli związku wielkocząsteczkowego) zachodzi wyłącznie w wyniku reakcji monomeru(ów) (związków małocząsteczkowych) z centrum(ami) aktywnym(i) łańcucha polimerowego z regeneracją centrum aktywnego na końcu każdego etapu wzrostu (wg zaleceń International Union of Pure and Applied Chemistry – IUPAC, czyli Międzynarodowej Unii Chemii Czystej i Stosowanej Komisji) [1]. Polimeryzacja łańcuchowa to mechanizm polimeryzacji, w którym cząsteczki monomeru przyłączają się pojedynczo do aktywnego miejsca rosnącego łańcucha polimeru [2], [3].
Niech  \( \varphi\in\mathbb{R} \). Symbolem   \( e^{i\varphi} \)oznaczamy liczbę zespoloną  \( \cos\varphi+i\sin\varphi \). Mamy zatem
 \( e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi . \)
Każdą liczbę zespoloną  \( z \) można zapisać w postaci
 \( z=re^{i\varphi}, \)
gdzie  \( r \) oznacza moduł, zaś  \( \varphi\in\mathbb{R} \) jest argumentem liczby  \( z \).
Postać  \( z=re^{i\varphi} \) nazywamy postacią wykładniczą liczby zespolonej.
Manipulacja to planowe i celowe działanie, którego autor wywiera wpływ na inną osobę w taki sposób, aby nie zdawała sobie ona sprawy z tego, że podlega jakimkolwiek oddziaływaniom, bądź by nie była świadoma siły lub konsekwencji tych oddziaływań [2].
1. „Fake news” to artykuły, informacje, komunikaty, które celowo sfałszowano, tak by wprowadzały odbiorców w błąd. Definicja ta wyraźni odróżnia „fake news”  od niezamierzonych błędów w przekazach, upowszechnianych plotek, teorii spiskowych, tendencyjnych, nierzetelnych i nieobiektywnych raportów, sprawozdań, fałszywych wypowiedzi polityków, które łatwo można zweryfikować oraz żartów i satyry.
2. W szerszej perspektywie za „fake news” uznaje się również przeinaczenia, nadinterpretacje, informacje, które mają na celu wywołanie dezinformacji, dokonanie oszustwa, wprowadzenie odbiorców w błąd lub są żartem [7].
Połowę iloczynu masy ciała i kwadratu prędkości nazywamy energią kinetyczną  \( E_{k} \) ciała o masie  \( m \).

(5)

								\( E_{{k}}=\frac{1}{2}\mathit{mv}{{^2}} \)
Jednostką pracy i energii jest w układzie SI dżul (J); 1J = 1N·m.
W fizyce atomowej powszechnie używa się jednostki elektronowolt (eV) 1eV  \( =1.6·10{^{-19}} \)  J.
Osuwanie to stosunkowo szybkie grawitacyjne przemieszczenie się mas
skalnych po stoku. Mianem osuwiska określa się powstałą w wyniku osuwania morfologię wraz z formami na
niej występującymi (Rys. 1A).
Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy następujące funkcje: funkcję identycznościową,  \( y=x \), funkcję stałą  \( y=const \), funkcję wykładniczą  \( y=e^x \),  funkcję trygonometryczną  \( y=sin x \).
Funkcjami elementarnymi nazywamy wszystkie funkcje, które można otrzymać z podstawowych funkcji elementarnych za pomocą skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji składania i odwracania funkcji.
Wielomianem stopnia  \( n \) nazywamy funkcje  \( W:\mathbb R\to\mathbb R \) określoną wzorem  \( W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 \) gdzie  \( n \) jest liczbą naturalną lub zerem, zaś współczynniki  \( a_i \) dla  \( i=0,1,\ldots,n \) są stałymi, przy czym  \( a_n\neq 0 \).


Przyjmujemy, że funkcja tożsamościowo równa zeru  \( W(x)=0 \) jest wielomianem stopnia  \( -\infty \).
Funkcją wymierną nazywamy funkcję, którą można zapisać za pomocą ilorazu dwóch wielomianów.
Niech  \( a>0 \) i  \( a\neq 1 \). Funkcją wykładniczą o podstawie  \( a \) nazywamy funkcję  \( f:\mathbb R\to\mathbb R \) określoną wzorem  \( f(x)=a^x \). Dziedziną funkcji wykładniczej jest  \( \mathbb R \), zbiorem wartości  \( \mathbb R_+ \).


Funkcja wykładnicza o podstawie  \( a>1 \) jest rosnąca, natomiast o podstawie  \( 0<a<1 \) jest malejąca.
Niech  \( a>0 \) i  \( a\neq 1 \). Funkcją logarytmiczną o podstawie  \( a \) nazywamy funkcję  \( f:\mathbb R\to\mathbb R \) określoną wzorem  \( f(x)=\log_ax \). Dziedziną funkcji logarytmicznej jest  \( \mathbb R_+ \), zbiorem wartości  \( \mathbb R \)


Funkcja logarytmiczna o podstawie  \( a>1 \) jest rosnąca, natomiast o podstawie  \( 0<a<1 \) jest malejąca.
Funkcją kosinus hiperboliczny nazywamy funkcję  \( \cosh:\mathbb R\to\mathbb R \) określoną wzorem  \( \cosh(x)={{e^x+e^{-x}}\over 2} \), gdzie  \( e \) jest stałą Eulera - (  \( e:=\lim\limits_{n\to \infty} ({1+}{1\over n})^n \) ).

Dziedziną funkcji kosinus hiperboliczny jest  \( \mathbb R \), a zbiorem wartości  \( [1,\infty) \)
Funkcją sinus hiperboliczny nazywamy funkcję  \( \sinh:\mathbb R\to\mathbb R \) określoną wzorem  \( \sinh(x)={{e^x-e^{-x}}\over 2} \), gdzie  \( e \) jest stałą Eulera (patrz definicja kosinusa hiperbolicznego).


Dziedziną i zbiorem wartości funkcji sinus hiperboliczny jest  \( \mathbb R \).
Funkcją tangens hiperboliczny nazywamy funkcję  \( th:\mathbb R\to\mathbb R \) określoną wzorem  \( th(x)={{\sinh x}\over {\cosh x}} \).

Dziedziną funkcji tangens hiperboliczny jest  \( \mathbb R \), zaś zbiorem wartości przedział otwarty  \( (-1,1) \).

Rysunek 4:  Tangens hiperboliczny
Funkcją kotangens hiperboliczny nazywamy funkcję  \( cth:\mathbb R\setminus \{ 0\}\to\mathbb R \) określoną wzorem  \( cth(x)={{\cosh x}\over {\sinh x}} \).

Dziedziną funkcji tangens hiperboliczny jest  \( \mathbb R\setminus \{0\} \), zaś zbiorem wartości suma przedziałów   \( (-\infty,-1)\cup (1,\infty) \).



Rysunek 5:  Kotangens hiperboliczny
Niech  \( A=(a_{ij}) \) będzie macierzą kwadratową stopnia  \( n \), gdzie  \( n\geq 2 \). Niech  \( A_{ij} \) będzie podmacierzą stopnia  \( n-1 \) powstałą z macierzy  \( A \) poprzez skreślenie \( i \)-tego wiersza i  \( j \)-tej kolumny. Liczbę
 \( D_{ij}=(-1)^{i+j}\mathrm{det}A_{ij} \)


nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu  \( a_{ij} \) macierzy  \( A \).
Niech  \(  (a_n)  \) , dla  \( n \in \mathbb{N}_+  \)  będzie nieskończonym ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym o wyrazach   \( a_n \)  nazywamy uporządkowaną parę ciągów  \(  ( (a_n ),(S_n ) )  \) , gdzie wyrazy ciągu  \( S_n \) określone są jako  \( S_n=a_1+a_2+⋯+a_n \) i nazywane  \( n \)-tymi sumami częściowymi szeregu.
Mówimy, że szereg  \(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n  \)  jest zbieżny do sumy  \( S \), jeżeli istnieje właściwa granica ciągu sum częściowych  \(  (S_n)  \) szeregu równa  \( S \) tzn.   \(  \lim\limits_{n \to \infty}⁡S_n =S  \). Mówimy wtedy, że liczba  \( S \) jest sumą szeregu  \(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n  \).
Jeżeli ciąg sum częściowych  \(  (S_n)  \) szeregu  \(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n  \)  ma granicę niewłaściwą  \( + \infty  \), albo  \( - \infty  \) to mówimy, że szereg  \(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n  \)  jest rozbieżny do  \( + \infty  \), albo do  \( - \infty  \).
Jeżeli ciąg sum częściowych  \(  (S_n)  \) szeregu  \(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n  \)  nie ma granicy, to mówimy, że szereg  \(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n  \)  jest rozbieżny.
Jeżeli przez  \( R_{mn}  \), dla  \( m \lt n  \) oznaczymy różnicę  \( n \)-tej i  \(  (m-1)  \)-szej sumy częściowej szeregu  \(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n  \) , tzn.   \(  R_{mn}=S_n-S_{m-1}  \), to  \( m \)-tą reszta szeregu  \(  \sum_{n=1}^{\infty}a_n  \)  nazywamy liczbę  \( R_m=\lim\limits_{n \to \infty} ⁡R_{mn }  \).
System medialny to zbiór (ogół) instytucji i organizacji biorących udział – w różny, właściwy dla siebie sposób – w procesie masowego komunikowania; są to środki masowego przekazu, czyli prasa, radio, telewizja, internet, a także instytucje i organizacje uzupełniające ich działalność (m.in. agencje informacyjne, firmy kolportażowe), bądź ją nadzorujące lub kontrolujące [1].
W takim rozumieniu system medialny to zespół mediów masowych działających w społeczeństwach narodowych, w różnych sektorach, jak prasa, radio, telewizja i nowe media internetowe [2].
przetworzenie zdjęcia z rzutu środkowego do postaci
odpowiadającej hipotetycznemu rzutowi ortogonalnemu; rezultat ortorektyfikacji zdjęcia jest nazywany
ortoobrazem lub ortozdjęciem (ang. ortho-image, orthophoto [2, 3]).
kartometryczny obraz cyfrowy powstały przez połączenie ortoobrazów w
większe moduły obszarowe w sposób gwarantujący ciągłość odwzorowanych obiektów na stykach ortoobrazów;
wyróżnia się:


ortofotomapę zwykłą, która pokazuje obiekty wystające nad teren z przesunięciem radialnym
(skutek ortorektyfikacji na NMT),



true ortofotomapę (ang. true orthophoto), która pokazuje obiekty wystające nad teren bez
przesunięcia radialnego (skutek ortorektyfikacji na NMPT).
Niech  \( n \) będzie liczbą naturalną. Pierwiastkiem stopnia  \( n \) z liczby zespolonej  \( z \) nazywamy każdą liczbę zespoloną  \( w \) spełniającą warunek

					
								\( w^{n}=z \)

					
Symbolem  \( \sqrt[n]{z} \) oznaczamy zbiór pierwiastków  \( n \)-tego stopnia z liczby zespolonej  \(  z  \).
Koszt to celowe zużycie zasobów w celu osiągnięcia określonego efektu.
Wydatek to rozchód środków pieniężnych.
Pierwsza energia jonizacji, to energia, jaką należy dostarczyć, aby usunąć elektron z obojętnego atomu z utworzeniem kationu (jonu dodatniego). Jej wartość ulega zmianie wraz z przemieszczaniem się w układzie okresowym i najniższe wartości prezentuje dla pierwiastków alkalicznych (grupa 1), których konfiguracja elektronowa powłoki walencyjnej przedstawia się jako  \( ns^1 \), zaś najwyższe dla helowców ze względu na ich bardzo trwałe zamknięte powłoki elektronowe.
Wyższe wartości w stosunku do pierwszej energii jonizacji odpowiadają oderwaniu kolejnego elektronu (tzw. druga, trzecia energia jonizacji).

 \( \ce{Cu}_{(g)} \rightarrow \ce{Cu}^+_{(g)} + \ce{e}^- \hspace{1in} \ce{E}_j^1=785\frac{kJ}{mol} \)

 \( \ce{Cu}^+_{(g)} \rightarrow \ce{Cu}^{+2}_{(g)} + \ce{e}^- \hspace{1in} \ce{E}_j^2=1955\frac{kJ}{mol} \)
Kolejną wielkością, której trend można wyznaczyć na podstawie analizy położenia pierwiastka w układzie okresowym jest powinowactwo elektronowe, czyli energia, jaka wydziela się w procesie przyłączenia do atomu (lub cząsteczki) w stanie gazowym elektronu z utworzeniem anionu (jonu ujemnego). W przypadku pierwszego powinowactwa elektronowego następuje wydzielenie energii, natomiast przyłączenie drugiego elektronu wymaga dostarczenia dodatkowej jej porcji ze względu na odpychanie cząstek jednoimiennych.

 \( \ce{O}_{(g)} + \ce{e}^- \rightarrow \ce{O}^{-}_{(g)} \hspace{1in} \ce{E}_{pe}^1= -141\frac{kJ}{mol} \)

 \( \ce{O}^{-}_{(g)} + \ce{e}^- \rightarrow \ce{O}^{-2}_{(g)} \hspace{1in} \ce{E}_{pe}^2= +844\frac{kJ}{mol} \)
Elektroujemność to indywidualna cecha każdego pierwiastka, która uwidacznia się dopiero w kontakcie z drugim pierwiastkiem i określa jego skłonność do przyciągania elektronów. Powinowactwo elektronowe, o którym wspominaliśmy, jest pośrednią miarą elektroujemności, bowiem wraz ze wzrostem powinowactwa elektronowego danego pierwiastka wzrasta również jego elektroujemność. Największą wartość (w skali Paulinga) prezentuje fluor (4,0) najniższą zaś frans (0,7).
Kataliza homogeniczna (jednorodna, jednofazowa) - katalizator znajduje się w takiej samej fazie jak reagenty.
Kataliza heterogeniczna (niejednorodna, wielofazowa) - katalizator stanowi odrębną fazę układu reagującego.
Ciągiem liczbowym o wyrazach rzeczywistych nazywamy funkcję  \(  a: M \rightarrow \mathbb{R}  \), która elementom podzbioru  \(  M \) zbioru liczb naturalnych  \( \mathbb{N} \) (  \( M \subset  \mathbb{N}  \) ) przyporządkowuje liczby rzeczywiste.
Jeżeli dziedzina  \( M \) ciągu  \( a \) jest zbiorem skończonym (np.  \( M=\{1,2,…,n\}  \) ), to mówimy, że  \( a \) jest ciągiem skończonym ( \( n \)-wyrazowym).
Jeżeli dziedzina  \( M \) ciągu  \( a \) jest zbiorem nieskończonym (np.  \( M=\mathbb{N} \)  lub  \( M= \)zbór liczb parzystych), to mówimy, że  \( a \) jest ciągiem nieskończonym.
Podstawowymi metodami określania ciągu są:
 podanie wzoru na  \( n \)-ty wyraz ciągu, np.  \( a_n =\frac{1-\sqrt[3]{n^2+1}}{\log_3{(n+3)}} ,  a_n=\frac{6n-8}{4+\sqrt{\arcsin(n^{-2})}}  \)
 podanie wzoru rekurencyjnego, np.  \(  \left\{\begin{array}{c} a_1=3\\  a_{n+1}=6 – 2a_n  +\sqrt{1+a_n } \end{array}\right. , \hspace{1em}  \left\{\begin{array}{c} a_1=1\\  a_2=2\\ a_{n+2}=\frac{a_n+a_{n+1}}{2} \end{array}\right.  \)
 opisanie sposobu tworzenia kolejnych wyrazów, np.  \( a_n \)  jest kolejnym wyrazem rozwinięcia dziesiętnego liczby  \(  \sqrt{5}  \)  podanie kilku wyrazów początkowych ciągu, aby wiadomo było, według jakiej zasady należy tworzyć wyrazy następne, np.:   \(  (a_n )=(\frac{1}{2},\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5},…).  \)
Graficznie ciąg możemy przedstawiać w postaci wykresu funkcji o argumentach naturalnych, otrzymując pełny wykres ciągu lub w postaci rzutu tego wykresu na oś wartości, otrzymując uproszczony wykres ciągu.
Macierzą rzeczywistą (zespoloną) o  \( m \) wierszach i  \( n \) kolumnach oraz elementach  \(  a _ {ij} \), gdzie  \(  1 \leq i \leq m  \),  \( 1\leq j \leq n  \) nazywamy prostokątną tablicę liczb rzeczywistych (zespolonych)



(1)

								\(  A= \left(\begin{array}{cccc}a_ {11} & a_ {12} & \ldots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22} & \ldots & a_ {2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ldots & a_ {mn} \end{array}\right). \)
Niech  \( A=(a_{ij})_{m\times n} \) i  \( B=(b_{ij})_{m\times n} \) będą macierzami wymiaru  \( m\times n \).
 Sumą macierzy  \( A \) i  \( B \) (ozn.  \( (A+B) \) nazywamy macierz  \( C=(c_{ij})_{m\times n} \) taką, że każdy element macierzy  \( C \) jest sumą odpowiednich elementów macierzy  \( A \) i  \( B \)  tj. dla każdej pary  \( (ij) \), gdzie  \( 1\leq i\leq m \),  \( 1\leq j \leq n \) zachodzi równość  \( c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}. \)
 Różnicą macierzy  \( A \) i  \( B \) (ozn.  \( A-B \)) nazywamy macierz  \( C=(c_{ij})_{m\times n} \) taką, że każdy element macierzy  \( C \) jest różnicą odpowiednich elementów macierzy  \( A \) i  \( B \) tj. dla każdej pary  \( (ij) \), gdzie  \( 1\leq i\leq m \),  \( 1\leq j \leq n \) zachodzi równość  \( c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}. \)
Niech  \( \alpha \) będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną i niech  \( A=(a_{ij})_{m\times n}  \).  Iloczynem macierzy  \( A \) i liczby  \( \alpha \), oznaczanym symbolem  \( \alpha A \), nazywamy macierz wymiaru  \( m\times n \), której elementy są równe  \( \alpha \cdot a_{ij} \).
Rozważmy macierz  \( A=(a_{ij})  \) wymiaru  \( m\times k \) oraz macierz  \( B=(b_{ij}) \) wymiaru  \( k\times n \).
Iloczynem macierzy  \( A \) i  \( B \) (ozn.  \( A\cdot B \)) nazywamy macierz  \( C=(c_{ij}) \) wymiaru  \( {m\times n} \), której element  \( c_{ij} \) jest określony wzorem

(2)

								\( c_{ij}=\sum_{s=1}^{k}a_{is}b_{sj}, \)

dla  \( i=1,\ldots, m \),  \( j=1,\ldots, n. \)
Polimeryzacja koordynacyjna jest to proces katalityczny, w wyniku którego powstają związki koordynacyjne pomiędzy katalizatorem a monomerem. W procesie polimeryzacji powstają polimery stereoregularne (tzw. taktyczne ) [1].
Reakcja łańcuchowa jest serią reakcji jądrowych zachodzących jedna po drugiej.